Faits:
A. Par jugement du 24 septembre 2009, le Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte a condamné A.X._, pour gestion déloyale, à la peine de 40 jours-amende, d'un montant unitaire de 20 fr., avec sursis pendant 2 ans.
Saisie d'un recours du condamné, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois l'a rejeté par arrêt du 6 novembre 2009.
B. Cet arrêt, en le résumant, déclare faire sien dans son intégralité l'état de fait du jugement de première instance. Il en résulte en substance ce qui suit.
B.a A.X._, né en 1951, est marié et père de 3 enfants, dont l'aîné, B.X._, seul majeur, est né en 1982. Alors qu'il était serrurier à son compte, il a connu des difficultés financières, avant de tomber en faillite, les actes de défaut de biens délivrés contre lui totalisant plus de 100'000 fr. Il a ensuite été ouvrier serrurier. Il est actuellement en recyclage AI, en raison d'un handicap qui l'empêche de porter des charges. Sa situation financière est serrée. Il perçoit environ 5000 fr. d'indemnité de la SUVA et une aide pour payer les primes d'assurance maladie. Il paye un loyer de 2100 fr., la famille n'ayant pu trouver de logement moins cher.
B.b En raison de problèmes de développement, B.X._ a fait l'objet de divers placements en institution. Rentier AI, il a été placé sous la tutelle de son père en mai 2004, par décision de la Justice de paix du cercle de Cossonay.
B.c En sa qualité de tuteur, A.X._ a encaissé les rentes AI versées à son fils B.X._, cela à hauteur de 48'806,20 fr. de juin 2004 à avril 2005. Au lieu de distinguer les comptes respectifs de la famille et de son fils, il a "tout laissé ensemble". Il est établi que des sommes de 8016 fr. et de 15'714,40 fr. ont été versées par lui en faveur de son fils pour couvrir les frais de séjour de ce dernier dans un foyer pour handicapés. Selon le décompte de l'institution, les frais de séjour se seraient toutefois élevés à 29'465 fr. durant la même période. Le solde des rentes perçues, soit 25'075,80 fr., a dès lors été tenu pour utilisé à d'autres fins, notamment au profit du tuteur.
B.d Par de multiples décisions, la justice de paix, notamment du fait qu'il manquait des justificatifs, a refusé la décharge des comptes. Elle a finalement relevé A.X._ de sa mission en février 2005 et a désigné un nouveau tuteur à B.X._. Elle a dénoncé le cas au juge d'instruction le 20 octobre 2006.
B.e Le Tribunal de police a exclu l'abus de confiance, faute de dessein d'enrichissement. Il a admis que l'accusé "n'aurait jamais dû être désigné comme tuteur" et qu'il n'avait "fait que tenter de se battre sur trop de fronts à la fois, sans en avoir ni les compétences ni les moyens". Il a toutefois estimé que celui-ci, pour avoir mal géré les affaires de son fils et pupille, en ce sens qu'il avait tout mélangé, avait prétérité les intérêts de ce dernier et devait dès lors être reconnu coupable de gestion déloyale, ajoutant que la dénonciation de la justice de paix devait être considérée comme équivalant à une plainte. Au stade de la fixation de la peine, il a indiqué qu'il tenait largement compte de la difficulté de l'exercice pour un père de famille désemparé et dépassé par la tâche.
B.f La cour cantonale a, notamment, écarté le grief par lequel l'accusé se plaignait d'une violation de l'<ref-law> à raison d'une absence de plainte. Subséquemment, elle a considéré qu'il n'y avait pas lieu d'examiner si, comme il le plaidait à titre subsidiaire, la dénonciation de la justice de paix était tardive.
C. A.X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral, pour violation des art. 158 ch. 3, 30 al. 2 et 31 CP. Il conclut à sa libération de l'infraction de gestion déloyale, subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Il sollicite l'assistance judiciaire.
L'intimé conclut au rejet du recours. Le Ministère public n'a pas déposé de réponse. L'autorité cantonale a renoncé à formuler des observations.

Considérant en droit:
1. Le recourant invoque une violation de l'<ref-law> ainsi que des art. 30 al. 2 et 31 CP. Il fait valoir que, la personne lésée étant son fils, l'infraction ne pouvait être poursuivie que sur plainte, que la dénonciation de l'autorité tutélaire n'est pas assimilable à une plainte, qui ferait donc défaut, et que, même considérée comme telle, elle devait être écartée parce que tardive, au vu du temps écoulé depuis le moment où cette autorité a eu connaissance des faits et de l'auteur.
1.1 L'<ref-law> dispose que la gestion déloyale au préjudice des proches ou des familiers - tels que définis à l'art. 110 al. 1 et 2 CP - ne sera poursuivie que sur plainte. Lorsque l'auteur de l'infraction est un proche ou un familier de la personne lésée par cette infraction, une plainte est donc nécessaire, comme condition de la poursuite pénale. L'<ref-law> ne déroge pas à cette exigence, qu'il précise au contraire, en réglant la question de savoir à qui appartient le droit de porter plainte. Il en résulte notamment que ce droit appartient à toute personne lésée par l'infraction (cf. <ref-law>), à son représentant légal si elle n'a pas l'exercice des droits civils et, en outre, à l'autorité tutélaire si elle est sous tutelle (cf. <ref-law>) et que le lésé mineur ou interdit a aussi le droit de porter plainte s'il est capable de discernement (cf. <ref-law>). Ce droit de plainte appartient de manière indépendante à chacun des ayants droit. Cela signifie que chacun d'eux peut déposer plainte, la maintenir ou la retirer sans l'accord des autres, voire contre leur volonté (cf. <ref-ruling> consid. 5 p. 194 ss), mais ne change rien au fait qu'une plainte est nécessaire à la poursuite de l'infraction.
En l'espèce, le recourant est le père du lésé. L'<ref-law> est donc applicable. Partant, il ne pouvait être poursuivi pour gestion déloyale qu'à la condition qu'une plainte ait été déposée contre lui.
1.2 La plainte pénale est une déclaration de volonté inconditionnelle, par laquelle le lésé demande à l'autorité compétente d'introduire une poursuite pénale (<ref-ruling> consid. 2a p. 83). Elle se distingue de la dénonciation pénale, qui ne doit pas nécessairement émaner de la personne lésée, mais peut être émise par quiconque, puisqu'elle est simplement destinée à informer l'autorité d'un fait déterminé, considéré comme étant pénalement relevant. Dans le cas d'infractions qui ne sont punissables que sur plainte, une simple dénonciation pénale n'est pas suffisante pour l'ouverture d'une procédure pénale, si elle n'exprime pas clairement la volonté du dénonciateur que le dénoncé soit puni. En effet, le plaignant n'entend pas seulement informer l'autorité, mais veut aussi que cette dernière agisse effectivement contre l'auteur, en le poursuivant pénalement (cf. arrêt 6S.110/2005, consid. 2.2 non publié aux <ref-ruling>).
Le recourant se borne à laisser entendre que la dénonciation de l'autorité tutélaire du 20 octobre 2006, dont il produit une copie, ne peut être considérée comme une plainte pénale. Contrairement à ce qu'il semble penser, le seul fait que ce document est intitulé "dénonciation", et non "plainte pénale", n'est pas décisif (cf. arrêt 6S.110/2005 précité, consid. 2.2). C'est son contenu qui est déterminant.
Le document en question, qui est adressé au juge d'instruction, dénonce le recourant pour avoir disposé, à des fins personnelles, des fonds qu'il avait reçus, en sa qualité de tuteur de son fils, en vue de l'hébergement de ce dernier dans un foyer. A l'appui, il relève que le recourant a signé le 11 novembre 2005, en faveur du foyer, une reconnaissance de dette d'un montant de 16'000 fr., assortie d'un engagement de remboursement par acomptes échelonnés, qu'il n'a toutefois pas respecté. Il en déduit que le recourant a ainsi reconnu avoir utilisé pour son compte les prestations destinées à son fils. Il relève encore que les comptes établis par le recourant n'ont pu être approuvés, en raison de l'absence de justificatifs et que, le 20 mars 2006, la justice de paix a notamment décidé de dénoncer le recourant pour mauvaise gestion.
Il est douteux que ce document, au vu de son contenu, puisse être considéré comme une plainte pénale. Il se réduit en effet largement à informer l'autorité de poursuite pénale de faits que la justice de paix estime pénalement relevants. Pour les motifs exposés ci-après, la question peut toutefois demeurer indécise.
1.3 En vertu de l'<ref-law>, le droit de porter plainte se prescrit par trois mois. Ce délai court du jour où l'ayant droit a eu connaissance de l'auteur et - l'<ref-law> ne le précise pas, mais cela va de soi - de l'acte délictueux, c'est-à-dire des éléments constitutifs de l'infraction (<ref-ruling> consid. 2 p. 132; <ref-ruling> consid. 2a p. 275). Cette connaissance doit être suffisante pour que l'ayant droit puisse considérer que des poursuites auraient de fortes chances de succès et ne l'exposeraient pas au risque d'être lui-même poursuivi pour dénonciation calomnieuse ou diffamation (<ref-ruling> consid. 2 p. 132; <ref-ruling> consid. 2a p. 275).
Il résulte de sa dénonciation du 20 octobre 2006 que l'autorité tutélaire a décidé le 25 janvier 2005 de relever le recourant de son mandat de tuteur, du fait que ce dernier ne réglait pas les factures d'hébergement de son fils. Il en ressort également que, lors de sa séance du 20 mars 2006, elle a notamment décidé de refuser de donner décharge au recourant pour la gestion de la tutelle de son fils, portant sur la période du 6 mai 2004 au 25 janvier 2005, et de le dénoncer au juge d'instruction pour mauvaise gestion. On est fondé à en déduire que, à cette date en tout cas, soit le 20 mars 2006, l'autorité tutélaire avait une connaissance suffisante des faits qu'elle a par la suite dénoncés au juge d'instruction. Même considérée comme une plainte pénale, la dénonciation du 20 octobre 2006 était donc manifestement tardive. Subséquemment, le recourant ne pouvait être poursuivi pénalement. Il devait dès lors être acquitté.
2. Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Il ne sera pas perçu de frais. Une indemnité de dépens sera allouée au mandataire du recourant, laquelle, vu les circonstances particulières du cas, sera mise intégralement à la charge du canton de Vaud (<ref-law>). La requête d'assistance judiciaire du recourant devient ainsi sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2. Il n'est pas perçu de frais.
3. Le canton de Vaud versera une indemnité de dépens de 3000 fr. au mandataire du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de cassation pénale.
Lausanne, le 11 mai 2010
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Favre Angéloz