Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 4. Januar 2013 setzte die IV-Stelle die bisherige ganze Invalidenrente von B._ auf eine halbe Invalidenrente herab. Im dagegen geführten Beschwerdeverfahren vor dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn liess sich B._ durch Rechtsanwalt A._ vertreten.
Nach durchgeführter Verhandlung informierte das kantonale Versicherungsgericht den Rechtsvertreter über die Möglichkeit einer reformatio in peius, worauf dieser ein Ausstandsgesuch gegen die am Verfahren beteiligten Gerichtspersonen einreichte. Zu dessen Begründung stellte Rechtsanwalt A._ die Kernthese auf, die Möglichkeit einer reformatio in peius sei - auch angesichts des späten Zeitpunktes ihrer Androhung - ohne hinreichenden materiellen Anlass und damit sachfremd motiviert in Aussicht gestellt worden.
Am 30. Januar 2014 eröffnete die Anwaltskammer gegen Rechtsanwalt A._ gestützt auf die aufsichtsrechtliche Meldung vom 10. Oktober 2013 ein Disziplinarverfahren wegen Vorwurfs der Verletzung von Berufspflichten im Sinne von Art. 12 lit. a des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (BGFA; SR 935.61). Nach durchgeführtem Schriftenwechsel wurde ihm mit Beschluss der Anwaltskammer vom 22. Mai 2014 wegen Verstosses gegen die Berufsregeln ein Verweis erteilt.
B.
Gegen den Beschluss der Anwaltskammer vom 22. Mai 2014 liess Rechtsanwalt A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn führen. Er beantragte die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses und den Freispruch vom Vorwurf der Verletzung einer Berufspflicht. Das kantonale Verwaltungsgericht wies diese Beschwerde mit Urteil vom 28. November 2014 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 16. Januar 2015 beantragt Rechtsanwalt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 28. November 2014 sowie der Beschluss der Anwaltskammer vom 22. Mai 2014 seien kostenfällig aufzuheben. Seiner Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die Vorinstanz und die Anwaltskammer schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Mit Präsidialverfügung vom 2. Februar 2015 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt. Am 22. Juli 2015 hat der Beschwerdeführer dem Bundesgericht unaufgefordert eine zusätzliche Eingabe eingereicht.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts, der nicht unter den Ausnahmekatalog von <ref-law> fällt, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen steht (<ref-law>). Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn ist zudem eine letzte kantonale Instanz im Sinne von <ref-law>, deren Urteil nicht beim Bundesverwaltungsgericht angefochten werden kann. Der Beschwerdeführer ist durch den Entscheid besonders berührt und verfügt über ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 28. November 2014 ist einzutreten. Nicht einzutreten ist auf den Antrag, auch den Beschluss der Anwaltskammer vom 22. Mai 2014 aufzuheben. Dieser wurde durch das Urteil des kantonalen Verwaltungsgerichts ersetzt, gilt jedoch als inhaltlich mitangefochten (sog. Devolutiveffekt, <ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
2.
Der Beschwerdeführer rügt, das angefochtene vorinstanzliche Urteil beruhe auf einer unrichtigen Anwendung und Auslegung von <ref-law>. Der Vorwurf, die Kritik des Beschwerdeführers sei nicht bzw. nur "indirekt" sachbezogen und deshalb unzulässig gewesen, sei nicht haltbar und überdehne die Anforderungen an die anwaltliche Sorgfaltspflicht im Sinne von <ref-law>. Die geäusserte Kritik sei nicht über das Notwendige hinausgegangen; sie sei nur geäussert worden, um einen Ablehnungsantrag gegenüber den Richtern und dem Gerichtsschreiber zu begründen. Trifft diese Rüge zu, ist das angefochtene Urteil aufzuheben, und ist auf die gerügten Verletzungen des Verfassungs- und Konventionsrechts (Art. 16, Art. 27 BV; Art. 6, 7 und 10 EMRK) nicht weiter einzugehen. Sie ist deswegen vorab zu behandeln.
2.1. Das BGFA regelt in Art. 12 die Berufspflichten der Anwältinnen und Anwälte. Diese haben ihren Beruf insbesondere "sorgfältig und gewissenhaft auszuüben" (<ref-law>). Diese Verpflichtung hat für die gesamte Berufstätigkeit Geltung und erfasst neben der Beziehung zum eigenen Klienten sowohl die Kontakte mit der Gegenpartei als auch jene mit den Behörden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 276; VALTICOS, in: Commentaire romand de la Loi sur les avocats, 2010, N. 51 zu <ref-law>).
2.2. Als Berufspflicht obliegt den Anwältinnen und den Anwälten in erster Linie, die Interessen ihres Klienten bestmöglich zu vertreten. Als Verfechter von Parteiinteressen sind sie einseitig tätig. Dabei dürfen sie energisch auftreten und sich den Umständen entsprechend scharf ausdrücken. Verfassungsrechtlich sind die Äusserungen einer Anwältin oder eines Anwalts in Wahrnehmung der Interessen ihres Klienten durch die Meinungsfreiheit (<ref-law>) gedeckt (<ref-ruling> E. 3 S. 421 ff.; Urteile 2C_652/2014 vom 24. Dezember 2014 E. 3.2; 2C_1138/2013 vom 5. September 2014 E. 2.2; 2C_737/2008 vom 8. April 2009 E. 3.2).
Aus der Wahrnehmung von Parteiinteressen fliesst nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung auch die Freiheit, die Rechtspflege zu kritisieren; diese Freiheit ist darüber hinaus im Interesse der Sicherung einer integeren, den rechtsstaatlichen Anforderungen entsprechenden Rechtspflege unentbehrlich. Erweist sich die Kritik im Nachhinein als unbegründet, wird sie dadurch nicht unzulässig, ansonsten die Anwältinnen und Anwälte eine solche nicht mehr gefahrlos äussern könnten. Gewisse Übertreibungen sind deshalb hinzunehmen (<ref-ruling> E. 8b S. 107 f.; Urteile 2C_652/2014 vom 24. Dezember 2014 E. 3.2; 2C_1180/2013 vom 24. Oktober 2014 E. 4.1.1).
Gleichwohl sind nicht sämtliche Mittel durch die Ausübung der anwaltlichen Berufspflicht gerechtfertigt. Äusserungen einer Anwältin oder eines Anwalts haben sachbezogen und nicht darauf ausgerichtet zu sein, den Streit eskalieren zu lassen. Unnötig verletzende Äusserungen und solche, welche in keinem Zusammenhang zum Streitgegenstand stehen oder gar wider besseres Wissen erfolgen, sind zu unterlassen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 157; FELLMANN, Anwaltsrecht, 2010, N. 221 f., 230; VALTICOS, a.a.O., N. 46 zu <ref-law>). Soweit Anwältinnen und Anwälte ihren Darlegungsrechten und -pflichten nachkommen und sich im Rahmen sowie in den Formen des Prozesses äussern, ist bedeutsam, dass die Entscheidung darüber, wie und mit welchen Worten die Interessen des Klienten bestmöglich gewahrt werden, ihnen obliegt. Die Aufsichtsbehörden haben sich entsprechend einer gewissen Zurückhaltung zu befleissigen, wenn sie darüber befinden, ob bestimmte Ausführungen wirklich nötig waren oder überzogen und unnötig verletzend sind (Urteile 2C_652/2014 vom 24. Dezember 2014 E. 3.2; 2C_1138/2013 vom 5. September 2014 E. 2.2).
3.
3.1. Die Äusserungen, für welche der Beschwerdeführer disziplinarrechtlich sanktioniert wurde, erfolgten anlässlich der Vertretung von B._ in einem sozialversicherungsrechtlichen Verfahren.
3.1.1. Mit Verfügung vom 4. Januar 2013 hatte die IV-Stelle die bisherige ganze Invalidenrente von B._ auf eine halbe Invalidenrente herabgesetzt und einer Beschwerde gegen diese Verfügung die aufschiebende Wirkung entzogen. Dagegen liess B._ am 7. Februar 2013, vertreten durch den Beschwerdeführer, Beschwerde vor dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn erheben.
Nach Eingang der Beschwerdeantwort wies das kantonale Versicherungsgericht den Antrag auf Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde ab. Nach Erlass mehrerer verfahrensleitender Verfügungen fand am 20. August 2013 eine öffentliche Parteiverhandlung statt. Am frühen Nachmittag des Verhandlungstages reichte der Beschwerdeführer per Fax einen gleichentags eingeholten Bericht des behandelnden Psychiaters Dr. C._ und in den folgenden Tagen zwei weitere Eingaben zu Rechtsfragen ein.
Mit Verfügung vom 22. August 2013 eröffnete das kantonale Versicherungsgericht das Beweisverfahren wieder und nahm den Bericht von Dr. C._ zu den Akten. Des Weiteren teilte das Gericht mit, es ziehe "unpräjudiziell und nach einer Vorabwürdigung der für eine Schlechterstellung sprechenden Umstände in Erwägung, die angefochtenen Verfügungen (...) zu Ungunsten der Beschwerdeführerin abzuändern (sog. reformatio in peius) ". B._ wurde die Gelegenheit zur Stellungnahme sowie zum Rückzug ihrer Beschwerde gegeben.
3.1.2. Diese Ankündigung einer möglichen reformatio in peius veranlasste den Beschwerdeführer, namens und auftrags der Klientin ein Ausstandsgesuch gegen die am Verfahren beteiligten Gerichtspersonen einzureichen. Der Beschwerdeführer stellte in seiner Eingabe vom 11. September 2013 die Kernthese auf, die Androhung der reformatio in peius sei aus unsachlichen Gründen erfolgt. Ein Anschein der Befangenheit des Gerichts sei in der laufenden Verschlechterung der Rechtsposition der Klientin durch das Gericht zu erblicken, welche in der Androhung dieser reformatio in peius gemündet habe. Wörtlich führte der Beschwerdeführer in seiner Eingabe aus:
"Die erste Verschlechterung erfolgte mit der Abweisung des Antrages auf Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung mit Verfügung vom 14. Mai 2013. Die zweite Verschlechterung erfolgte mit der Nichtzulassung von Beweismitteln anlässlich der Vorladungsverfügungen vom 17. und 31. Mai 2013. Dann wurde der unterzeichnete Rechtsanwalt anlässlich des Parteivortrages angehört und er lieferte gute Argumente gegen eine revisionsweise Reduktion der IV-Rente (...). Und nun kommt die dritte Verschlechterung mit der besagten Androhung der reformatio in peius, obwohl aus der vorliegenden Verfügung überhaupt nicht hervorgeht, was sich in der Aktenlage oder in der rechtlichen Beurteilung seit der Erhebung der Beschwerde geändert haben soll."
Den Vorwurf, die reformatio in peius aus unsachlichen Gründen angedroht zu haben, untermauerte der Beschwerdeführer zusätzlich mit dem Argument, die Klientin und er als ihr Anwalt hätten dafür gemassregelt werden sollen, das Verfahren so lange durchgehalten und sich zudem an der Verhandlung vom 22. August 2013 noch erfrecht zu haben, dem Gericht neue Unterlagen einzureichen und neue Beweisanträge zu stellen. Das Vorgehen des Gerichts erwecke den Eindruck eines Disziplinierungsverfahrens, um nicht mehr zu sagen. Das Verfahren sei "kontaminiert".
3.2.
3.2.1. Wie die Vorinstanz zutreffend festhielt, sind in einem aufsichtsrechtlichen Disziplinarverfahren die Äusserungen einer Anwältin oder eines Anwalts nicht daran zu messen, ob ein eingereichtes Ausstandsgesuch gegen die am Verfahren beteiligten Gerichtspersonen im Nachhinein - wie vorliegend, vgl. Urteil 9C_821/2013 vom 29. Januar 2014 - als unbegründet beurteilt wurde (vgl. oben, E. 2.2). Ebenso zutreffend ist, dass in der vorgängigen Ankündigung einer reformatio in peius und der Einräumung der Gelegenheit zum Beschwerderückzug an sich kein unzulässiges, sondern, im Gegenteil, ein der Wahrung des Gehörsanspruches der betroffenen Verfahrenspartei dienendes Vorgehen zu erblicken ist (Urteil 9C_821/2013 vom 29. Januar 2014 E. 6.1.2, E. 6.2; vgl. grundlegend für sozialversicherungsrechtliche Verfahren <ref-ruling> E. 2 S. 167 f. zu <ref-law>). Aus diesem Grund hat der Gesetzgeber dieses Vorgehen für Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht anlässlich des Erlasses des Bundesgesetz vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG; SR 830.1) ausdrücklich in <ref-law> vorgeschrieben.
Zu unterscheiden von der Einräumung der Möglichkeit zum Beschwerderückzug im Falle einer sich abzeichnenden reformatio in peius sind die Voraussetzungen, unter welchen zu einer solchen geschritten werden kann. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu <ref-law> ist von der Möglichkeit einer reformatio in peius nur zurückhaltend Gebrauch zu machen und diese auf Fälle zu beschränken, wo der angefochtene Entscheid offensichtlich unrichtig und die Korrektur von erheblicher Bedeutung ist. Eine in eigener Beweiswürdigung eines Gutachtens erfolgende, von der erstinstanzlichen Verfügung abweichende Sachverhaltsfeststellung reicht dazu nicht aus (Urteil 8C_592/2012 vom 23. November 2012 E. 3.5, mit zahlreichen Hinweisen; zustimmend GRIFFEL, Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich [VRG/ZH], 3. Aufl. 2014, N. 11 [Fn 16] zu § 27 VRG/ZH).
3.3. Das kantonale Versicherungsgericht begründete in seiner verfahrensleitenden Verfügung vom 22. August 2013 die Möglichkeit einer reformatio in peius mit ihrem in vorläufiger Prüfung der Sach- und Rechtslage erfolgtem Schluss, das Gutachten der MEDAS Interlaken GmbH vom 6. Juli 2011 sei grundsätzlich beweiskräftig. Sollte diese vorläufige Würdigung zutreffen, wäre von einer gesundheitlichen Verbesserung und damit von einem Revisionsgrund für die Invalidenrente auszugehen; die Beschwerdeführerin könne ihre Schmerzstörung allenfalls mit einer zumutbaren Willensanstrengung auch zu mehr als 50 % überwinden. Dass der Beschwerdeführer angesichts dieser Begründung das Vorliegen der Voraussetzungen einer reformatio in peius in Zweifel zog, erscheint als nachvollziehbare, sachbezogene, und mit Bezug auf einen konkreten Verfahrensabschnitt geäusserte Kritik. Die weiteren Mutmassungen des Beschwerdeführers über die angeblichen Beweggründe des kantonalen Versicherungsgerichts - systematische Schwächung der Rechtsposition bzw. Demontierung der Klientin, um sie zum Beschwerderückzug zu bewegen, Druckausübung mit unsachlichen Argumenten, Disziplinierung wegen der Erfrechung, neue Unterlagen einzureichen und neue Beweismittel zu bezeichnen, "kontaminiertes" Verfahren - waren für die Stellungnahme zur in Aussicht gestellten reformatio in peius unnötig und hätten unterbleiben können. Allerdings kommt den Anwältinnen und Anwälten eine weitgehende Freiheit (Urteil 2C_551/2014 vom 9. Februar 2015 E. 4.1; ["grande liberté", Urteile 2C_652/2014 vom 24. Dezember 2014 E. 3.2; 2C_1180/2013 vom 24. Oktober 2014 E. 4.1.1]) zu, Behörden und insbesondere die Justiz zu kritisieren (vgl. zur Zulässigkeit, die Fähigkeit eines Regierungsstatthalters zur Amtsausübung wegen Paranoia in Zweifel zu ziehen, Urteil 2C_551/2014 vom 9. Februar 2015 E. 4; zur Vermutung, ein Vorgehen eines Staatsanwaltes gegen seinen Klienten beruhe ausschliesslich auf rassistischen Beweggründen ["approche au caractère purement raciste de l'affaire relative à son client"] Urteil 2C_652/2014 vom 24. Dezember 2014 E. 3). Diese Äusserungen des Beschwerdeführers, die im Verfahren zur Begründung eines Ausstandsbegehrens erfolgten, sind als blosse, noch nicht sanktionswürdige Übertreibungen anzusehen. Die Beschwerde erweist sich als wegen Verletzung von <ref-law> begründet, und das angefochtene vorinstanzliche Urteil ist aufzuheben.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Dem bei Einreichung der Beschwerdeschrift anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer ist eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten (<ref-law>).
Die Vorinstanz wird die Kosten und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens neu verlegen (Art. 67, Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf eingetreten wird, und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 28. November 2014 wird aufgehoben.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Solothurn hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. August 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall