Sachverhalt:
A. Am 15. Dezember 2008 verurteilte das Amtsgericht Luzern-Stadt X._ wegen Persönlichkeitsverletzung. Es verpflichtete sie, dem Kläger Y._ eine Parteientschädigung von Fr. 2'542.80 zu bezahlen. Das Obergericht des Kantons Luzern bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 10. November 2009. Für das Appellationsverfahren sprach es Y._ eine Anwaltskostenentschädigung von Fr. 3'832.80 zu. Überdies gewährte es ihm die unentgeltliche Rechtspflege und setzte Rechtsanwalt Z._ als seinen unentgeltlichen Rechtsbeistand ein. X._ gelangte hierauf mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Dieses wies die Beschwerde ab und verpflichtete X._, Y._ mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen (Urteil 5A_89/2010 vom 3. Juni 2010).
B. Mit Schreiben vom 25. Oktober 2010 ersuchte Rechtsanwalt Z._ das Obergericht des Kantons Luzern darum, seinen Urteilsspruch vom 10. November 2009 zu berichtigen. X._ sei zu verpflichten, die Anwaltskostenentschädigung von Fr. 3'832.80 an ihn und nicht an Y._ zu bezahlen. Das Obergericht des Kantons Luzern berichtigte darauf sein Urteil vom 10. November 2009. Es änderte Ziff. 6 Abs. 3 des Urteilsspruches dahingehend ab, dass X._ die Parteientschädigung für das zweitinstanzliche Hauptverfahren Rechtsanwalt Z._ zu bezahlen hat (Entscheid vom 27. Oktober 2010).
C. C.a Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde gelangt X._ (fortan "Beschwerdeführerin") an das Bundesgericht. Sie beantragt, den Entscheid der I. Kammer des Obergerichts des Kantons Luzern vom 27. Oktober 2010 ersatzlos aufzuheben; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen (Eingabe vom 8. Dezember 2010).
C.b Bereits am 18. November 2010 hatte die Beschwerdeführerin beim Obergericht des Kantons Luzern gegen Obergerichtspräsident W._ Aufsichtsbeschwerde erhoben und u.a. die ersatzlose Aufhebung des Entscheids vom 27. Oktober 2010 beantragt. Aus diesem Grund sistierte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren bis zum Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern über die Aufsichtsbeschwerde (Verfügung vom 21. Dezember 2010). Dieser Entscheid erging am 12. Mai 2011. Die 1. Abteilung des Obergerichts des Kantons Luzern wies die Aufsichtsbeschwerde ab, soweit sie darauf eintrat.
C.c In seiner Vernehmlassung vom 9. Juni 2011 beantragt das Obergericht des Kantons Luzern, die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Rechtsanwalt Z._ stellt in seinem eigenen Namen sowie als Prozessbevollmächtigter von Y._ den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen und es sei ihm für das vorliegende Beschwerdeverfahren eine angemessene Honorarentschädigung zu Lasten der Beschwerdeführerin, eventualiter zu Lasten des Staates auszurichten (Eingabe vom 9. Juli 2011).

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerdeführerin ficht einen Entscheid an, mit dem die I. Kammer des Obergerichts des Kantons Luzern gestützt auf § 285 des luzernischen Gesetzes über die Zivilprozessordnung vom 27. Juni 1994 (ZPO/LU, SRL Nr. 260a, in Kraft bis am 31. Dezember 2010) ihr eigenes Urteil vom 10. November 2009 berichtigt hat.
1.2 Im aufsichtsrechtlichen Beschwerdeverfahren vor dem Obergericht konnte die Beschwerdeführerin lediglich das unberechtigte Verweigern oder Verzögern einer Amtshandlung sowie die ungebührliche Behandlung im Verfahren rügen (<ref-law>/LU). Die Rechtmässigkeit der Berichtigung konnte sie in diesem Verfahren nicht beanstanden. Der angefochtene Berichtigungsentscheid schliesst daher das kantonale Verfahren ab (<ref-law>). Das Obergericht hat ihn als letzte kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> gefällt.
1.3 Richtet sich die Beschwerde gegen einen Berichtigungsentscheid im beschriebenen Sinn (E. 1.1), so kommt es für die Frage, ob die Angelegenheit vermögensrechtlicher Natur ist und damit dem Streitwerterfordernis nach <ref-law> unterliegt, auf den Streitgegenstand an, über den im berichtigten Entscheid in der Hauptsache befunden wurde. Im vorliegenden Fall ging es im berichtigten Entscheid in der Hauptsache um eine Auseinandersetzung über die Verletzung von Persönlichkeitsrechten, mithin um eine Zivilsache nicht vermögensrechtlicher Natur (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 483), die der Beschwerde in Zivilsachen zugänglich ist. Folglich kann dieses Rechtsmittel auch gegen den Entscheid über eine Berichtigung ergriffen werden.
1.4 Die Beschwerdeführerin hat im vorinstanzlichen Berichtigungsverfahren offensichtlich keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten (<ref-law>). Dass damit ihr Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden wäre, macht sie freilich nicht geltend. Entgegen dem, was die Beschwerdegegner glauben machen wollen, hat die Beschwerdeführerin auch ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Berichtigungsentscheides (<ref-law> in der bis zum 31. Dezember 2010 gültigen Fassung). Auf die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist deshalb einzutreten.
1.5 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft gehörig behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) an sich mit freier Kognition. Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt allerdings das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2. Die Beschwerdeführerin beanstandet unter anderem, das Obergericht habe die in <ref-law>/LU enthaltene Vorschrift in einer Weise angewendet, die vor dem verfassungsmässigen Willkürverbot (<ref-law>) nicht standhält. Dieser Vorwurf ist begründet:
Ob das Obergericht im Urteil vom 10. November 2009 Honorar und Auslagen des Rechtsbeistands gestützt auf <ref-law>/LU direkt dem unentgeltlichen Rechtsbeistand von Y._ hätte zusprechen müssen und die Beschwerdeführerin in diesem Fall ihre Entschädigungsschuld nicht mit ihren Alimentenforderungen hätte verrechnen können, ist entgegen der Ansicht der Beschwerdegegner nicht ausschlaggebend. Das Obergericht hat die streitige Parteientschädigung eben gerade nicht dem unentgeltlichen Rechtsbeistand Z._, sondern dem Kläger Y._ zugesprochen. Dies ergibt sich aus Erwägung 8 der Urteilsbegründung, wo das Obergericht in Übereinstimmung mit Ziff. 6 Abs. 3 des Urteilsspruches festhält: "Die Beklagte hat dem Kläger für das obergerichtliche Verfahren somit eine Anwaltskostenentschädigung von Fr. 3'832.80 zu bezahlen [...]". Von einem Schreibfehler oder einer irrigen Bezeichnung der Parteien, die als offensichtliche Versehen einer Berichtigung im Sinne von <ref-law>/LU zugänglich wären, kann unter diesen Umständen keine Rede sein. Der in <ref-law>/LU vorgesehene Rechtsbehelf dient lediglich dazu, einen offenkundigen Erklärungsfehler zu heilen und eine Unrichtigkeit zu beheben, die auf unsorgfältiger Redaktion beruht (URS W. STUDER/VIKTOR RÜEGG/HEINER EIHOLZER, Der Luzerner Zivilprozess, 1994, N 1 zu <ref-law>/LU). Berichtigt werden dürfen mit anderen Worten nur Fehler, die formeller Art sind und deren Behebung den Inhalt der berichtigten Entscheidung selbst in keiner Weise verändert. Eine mit Rechtsfehlern behaftete Entscheidung kann demgegenüber nicht im Wege der Berichtigung inhaltlich abgeändert werden (Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 10. April 1978, in: Max. XII Nr. 440). Gerade dies hat das Obergericht mit dem angefochtenen Berichtigungsentscheid aber getan. Zu Recht wirft ihm die Beschwerdeführerin vor, es komme im angefochtenen Entscheid auf den Inhalt seines Urteils vom 10. November 2009 zurück, greife im Punkt der Kostenverlegung in den rechtskräftigen Urteilsspruch ein und spreche die Parteientschädigung im Wege der Berichtigung neu Rechtsanwalt Z._ zu. Die Neufassung von Ziff. 6 Abs. 3 des Urteilsspruchs kommt in der Tat einer inhaltlichen Abänderung des berichtigten Urteils gleich: Das Obergericht gestaltet die materielle Rechtslage neu, indem es die Person des Gläubigers der Entschädigungsforderung auswechselt. Damit hat das Obergericht des Kantons Luzern den Sinn und Zweck der Berichtigung in krasser Weise verkannt und die in <ref-law>/LU enthaltene Vorschrift willkürlich im Sinne von <ref-law> angewendet. Die Beschwerde erweist sich insofern als begründet. Hinsichtlich der Anwaltskostenentschädigung für das zweitinstanzliche Hauptverfahren muss es bei der Regelung bleiben, die das Obergericht in der ursprünglichen Fassung von Ziff. 6 Abs. 3 des Urteilsspruches vom 10. November 2009 getroffen hat. Der angefochtene Entscheid ist deshalb aufzuheben und das Berichtigungsgesuch vom 25. Oktober 2010 abzuweisen (<ref-law>).
3. Erweist sich der angefochtene Entscheid nach dem Gesagten als willkürlich, so kommt den weiteren Rügen der Beschwerdeführerin, das Obergericht habe die materielle Rechtskraft des ursprünglichen Urteils missachtet und den Grundsatz der derogatorischen Kraft des Bundesrechts (<ref-law>) verletzt, keine eigenständige Bedeutung mehr zu. Ausführungen dazu erübrigen sich.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegen Y._ und Rechtsanwalt Z._ als Beschwerdegegner. Sie werden kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs.1 und Art. 68 Abs. 1 BGG). Die Kosten- und Entschädigungspflicht wird ihnen zu gleichen Teilen und in solidarischer Haftbarkeit auferlegt (Art. 66 Abs. 5, Art. 68 Abs. 4 i.Vm. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid der I. Kammer des Obergerichts des Kantons Luzern vom 27. Oktober 2010 wird aufgehoben und das Berichtigungsgesuch vom 25. Oktober 2010 wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden den Beschwerdegegnern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung auferlegt.
3. Die Beschwerdegegner haben die Beschwerdeführerin für das Verfahren vor Bundesgericht mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen. Diese Entschädigungspflicht wird den Beschwerdegegnern zu gleichen Teilen und in solidarischer Haftung auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. August 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn