Sachverhalt:
A.
Die am 23. Februar 1989 geborene, an einem Down-Syndrom leidende A._ wurde gemäss Beschluss des Gemeinderates vom 20. März 2007 unter die elterliche Sorge von Vater und Mutter gestellt. Mit Verfügung vom 4. Juli 2007 sprach ihr die IV-Stelle des Kantons St. Gallen ab 1. März 2007 eine Hilflosenentschädigung mittleren Grades zu. Am 1. Januar 2011 trat die Versicherte in das Wohnheim der Stiftung C._ ein, weswegen die für die Durchführung der Ergänzungsleistung (EL) zuständige Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen die diesbezüglichen Ansprüche neu festlegte (Verfügung vom 18. Februar 2011). Ende Dezember 2011 wurde die IV-Stelle über den Heimeintritt informiert. Mit unangefochten rechtskräftig gewordener Verfügung vom 19. Januar 2012 forderte sie die Versicherte auf, die für den Zeitraum vom 1. Februar 2011 bis 31. Januar 2012 zu viel ausbezahlte Hilflosenentschädigung in Höhe von Fr. 7'250.- zurückzubezahlen. Das vom Vater der Versicherten eingereichte Erlassgesuch lehnte sie unter Verneinung der Gutgläubigkeit ab (Verfügung vom 29. Februar 2012); zur Begründung führte sie u.a. an, sie habe in der Leistungsverfügung vom 4. Juli 2007 ausdrücklich darauf hingewiesen, dass bei der Bemessung der Hilflosenentschädigung je nach Aufenthalt zu Hause oder im Heim der doppelte bzw. der einfache Entschädigungsansatz geschuldet sei.
B.
Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen ab (Entscheid vom 14. Oktober 2013).
C.
Mit Beschwerde lässt A._ beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei auf eine Rückforderung der zu viel bezogenen Hilflosenentschädigung zu verzichten; eventualiter sei der Umfang der Rückforderung unter Berücksichtigung der Schadenminderungspflicht neu festzulegen. Ferner wird um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 39). Zu den Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gehören die unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen, die Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> sowie die Missachtung der Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Auskünfte (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Das Bundesgericht prüft dabei, angesichts der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat die Rechtsgrundlagen betreffend den Erlass der Rückerstattung unrechtmässig gewährter Leistungen (<ref-law> und Art. 4 f. ATSV; vgl. auch <ref-ruling> E. 2c S. 103) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.2.
2.2.1. Wie das kantonale Gericht zutreffend erwogen hat, ist der gute Glaube als Erlassvoraussetzung nicht schon mit der Unkenntnis des Rechtsmangels gegeben. Die Leistungsempfängerin darf sich vielmehr nicht nur keiner böswilligen Absicht, sondern auch keiner groben Nachlässigkeit schuldig gemacht haben. Der gute Glaube entfällt somit einerseits von vornherein, wenn die zu Unrecht erfolgte Leistungsausrichtung auf eine arglistige oder grobfahrlässige Melde- oder Auskunftspflichtverletzung zurückzuführen ist. Anderseits kann sich die rückerstattungspflichtige Person auf den guten Glauben berufen, wenn ihr fehlerhaftes Verhalten nur leicht fahrlässig war (<ref-ruling> E. 2c S. 103). Wie in anderen Bereichen beurteilt sich das Mass der erforderlichen Sorgfalt nach einem objektiven Massstab, wobei aber das den Betroffenen in ihrer Subjektivität Mögliche und Zumutbare (Urteilsfähigkeit, Gesundheitszustand, Bildungsgrad usw.) nicht ausgeblendet werden darf (Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts [heute Bundesgericht] I 622/05 vom 14. August 2006 E. 4.4, publiziert in: SVR 2007 IV Nr. 13 S. 49).
2.2.2. Es ist zu unterscheiden zwischen dem guten Glauben als fehlendem Unrechtsbewusstsein und der Frage, ob sich jemand unter den gegebenen Umständen auf den guten Glauben berufen kann und ob er bei zumutbarer Aufmerksamkeit den bestehenden Rechtsmangel hätte erkennen sollen. Das Unrechtsbewusstsein gehört zum inneren Tatbestand und ist daher Tatfrage, die nach Massgabe von <ref-law> von der Vorinstanz verbindlich beantwortet wird. Demgegenüber handelt es sich bei der gebotenen Aufmerksamkeit um eine frei überprüfbare Rechtsfrage, soweit es darum geht, festzustellen, ob sich jemand angesichts der jeweiligen tatsächlichen Verhältnisse auf den guten Glauben berufen kann (<ref-ruling> E. 3 S. 223).
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat erkannt, dass der Tatbestand der wesentlichen Änderung des für den Ansatz der Hilflosenentschädigung massgebenden Aufenthaltsortes im Sinne von <ref-law> erfüllt war und die Eltern der Versicherten gemäss <ref-law> als gesetzliche Vertreter verpflichtet waren, diesen Umstand unverzüglich zu melden. Mit Formular der "Interkantonalen Vereinbarung für soziale Einrichtungen (IVSE), Verbindungsstelle des Kantons St. Gallen" vom 7./27. Dezember 2010 ersuchten die Eltern und die Stiftung C._ um Kostenübernahmegarantie für den ab 1. Januar 2011 vorgesehenen Heimaufenthalt, worauf die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen den Anspruch auf Ergänzungsleistung neu berechnete (Verfügung vom 18. Februar 2011). Nach den weiteren Erwägungen der Vorinstanz erfuhr die für die Bemessung der Hilflosenentschädigung zuständige IV-Stelle ausweislich der Akten erstmals am 28. Dezember 2011 vom Heimeintritt. Sie hat in diesem Zusammenhang weiter erwogen, die vom Vater der Versicherten aufgeworfene Frage, ob mit dem Gesuch vom 7./27. Dezember 2010 an die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen der Meldepflicht Genüge getan wurde und aus der mit <ref-law> eingeführten Ausweitung des Kreises meldepflichtiger Personen und Amtsstellen Folgerungen für das Bestehen der sonstigen Meldepflichten gezogen werden könnten, offen gelassen werden könne. Selbst wenn die Eltern den Heimeintritt sofort der IV-Stelle mitgeteilt hätten, müsste der zu vermutende gute Glaube verneint werden. Die IV-Stelle habe in der Leistungsverfügung vom 4. Juli 2007 betreffend Hilflosenentschädigung ausdrücklich auf die unterschiedlichen Ansätze bei Aufenthalt zu Hause und in einem Heim hingewiesen, weshalb den Eltern hätte auffallen müssen, dass ihnen trotz Heimeintritt der Versicherten die Hilflosenentschädigung unverändert ausbezahlt wurde. Für das Unrechtsbewusstsein spreche zudem, dass die Stiftung C._ den Eltern ab 1. Januar 2011 jeweils den für den Heimaufenthalt geltenden tieferen Ansatz der zugesprochenen Hilflosenentschädigung in Rechnung gestellt habe.
3.2.
3.2.1. Gemäss <ref-law> ist jede wesentliche Änderung in den für eine Leistung massgebenden Verhältnissen von den Bezügerinnen und Bezügern, ihren Angehörigen oder Dritten, denen die Leistung zukommt, dem Versicherungsträger oder dem jeweils zuständigen Durchführungsorgan zu melden (Abs. 1). Erhält eine an der Durchführung der Sozialversicherung beteiligte Person oder Stelle Kenntnis davon, dass sich die für die Leistung massgebenden Verhältnisse geändert haben, so ist diese dem Versicherungsträger oder dem jeweils zuständigen Durchführungsorgan zu melden (Abs. 2).
3.2.2. Laut dem vorinstanzlich angesprochenen KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Aufl., Zürich/Basel/Genf 2009, Rz 16 und 26 f. zu Art. 31, beurteilt sich die Frage, wer gemäss Abs. 2 dieser Bestimmung zu den meldepflichtigen Personen oder Stellen gehört, nach dem Kriterium der Beteiligung an der Durchführung der Sozialversicherung. Dabei hat der Gesetzgeber einen weiten Kreis gewählt, weil er - anders als etwa in Abs. 1 - nicht von Versicherungsträgern oder Durchführungsorganen spricht. Allerdings besteht keine Rangfolge der Meldepflicht, sodass aus deren Nichterfüllung keine Folgerungen für das Bestehen anderer Meldepflichten gezogen werden können. So wird etwa die leistungsbeziehende Person nicht dadurch entlastet, dass eine andere Sozialversicherung, die Kenntnis von der Sachverhaltsänderung erhalten hat, diese Kenntnis nicht weiterleitet. Wie es sich damit verhält, muss im vorliegenden Zusammenhang - entgegen den Erwägungen des kantonalen Gerichts - näher geprüft werden.
3.2.3. Nach ständiger Rechtsprechung genügt es für den Beginn des (einjährigen) Fristenlaufs gemäss <ref-law>, dass die erforderliche Kenntnis bei einem für die Durchführung der Versicherung zuständigen Organ vorhanden ist (<ref-ruling>). Das Bundesgericht hat im zitierten Entscheid erkannt, dass sich eine Ausgleichskasse das Wissen um einen zur Rentenrückforderung Anlass gebenden Sachverhalt auch dann anrechnen lassen muss, wenn ihr dieser (erst) im Zusammenhang mit der beitragsrechtlichen Erfassung des Rentenbezügers zur Kenntnis gelangte (E. 5.2 in fine mit Hinweisen). Diese Rechtsprechung ist sinngemäss anzuwenden, wenn die versicherte Person um Erlass einer rechtskräftig verfügten Rückerstattung gestützt auf den dafür vorausgesetzten guten Glauben von zu Unrecht bezogenen Sozialversicherungsleistungen ersucht und dabei geltend macht, sie habe ihre Melde- oder Auskunftspflicht erfüllt. Auch in einem solchen Fall ist nach objektiven Kriterien zu prüfen, ob die versicherte Person die sozialversicherungsrechtlichen Leistungen gestützt auf eine Meldepflichtverletzung erhalten hat, dabei aber gutgläubig gewesen ist. In diesem Zusammenhang hat das Bundesgericht bspw. in E. 3 des Urteils I 380/69 vom 18. September 1970 (nicht publ. in: <ref-ruling>) festgehalten, dass keine Verletzung der Meldepflicht besteht, wenn der Versicherte annehmen kann, den Organen der IV seien die neuen Verhältnisse bekannt. Gemäss ZAK 1975 S. 436 (I 274/74 E. 2) erfüllt der Vormund des Versicherten, der die Veränderung von dessen Verhältnissen dem Leiter des Fürsorgeamtes meldet, welcher in Personalunion auch Leiter der AHV-Zweigstelle ist, seine Meldepflicht gegenüber der IV-Kommission hinreichend.
3.2.4.
3.2.4.1. Gemäss Einführungsgesetz zur Bundesgesetzgebung über die Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung des Kantons St. Gallen vom 13. Juni 1994 (EG-AHV) führt der Staat die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen (Art. 1 Abs. 1) durch, die in die Ausgleichskasse, die IV-Stelle und weitere Dienststellen gegliedert ist (Art. 3 Abs. 1). Laut Art. 10 Abs. 1 des Ergänzungsleistungsgesetzes vom 22. September 1991 des Kantons St. Gallen (ELG.nGS 34 - 35) ist das Gesuch um Ergänzungsleistungen (EL) am Wohnsitz des Gesuchsstellers oder der Sozialversicherungsanstalt einzureichen (Abs. 1); diese entscheidet über Anspruch und Höhe der EL (Art. 11 Abs. 1 ELG.nGS 34 -35). Gemäss vorinstanzlichem Entscheid ist die kantonale Ausgleichskasse für die Entgegennahme der Gesuche und für die Festsetzung und die Auszahlung der EL zuständig (vgl. Art. 21 Abs. 2 ELG). Zu ihren Aufgaben zählt von Bundesrechts wegen auch, u.a. die Hilflosenentschädigungen auszuzahlen (<ref-law>). Zu den Pflichten der kantonalen IV-Stellen gehört gemäss Art. 57 Abs. 1 lit. g und f IVG, die Hilflosenentschädigung zu bemessen und hierüber zu verfügen.
3.2.4.2. Nach den zitierten kantonalen Bestimmungen sind sowohl die Ausgleichskasse wie auch die IV-Stelle Teil der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen, und sie haben u.a. gemeinsam die IV durchzuführen. Daher ist nicht nachvollziehbar, wenn die Ausgleichskasse des Kantons St. Gallen die ihr gestützt auf das Gesuch vom 7./27. Dezember 2010 mitgeteilte Sachverhaltsänderung, aufgrund welcher sie die Ergänzungsleistung zur Hilflosenentschädigung neu berechnen musste (vgl. Verfügung vom 18. Februar 2011), der IV-Stelle des Kantons St. Gallen erst Ende 2011 gemeldet haben soll. Wohl mag zutreffen, dass der Vater der Beschwerdeführerin von der ihm obliegenden Meldepflicht nicht entbunden war. Indessen durfte er darauf vertrauen, dass die Ausgleichskasse der am gleichen Ort domizilierten IV-Stelle den ab 1. Januar 2011 vorgesehen ausserhäuslichen Aufenthalt mitteilen werde. Diese Erwartung entspricht dem in <ref-law> verankerten Grundsatz, dass alle mit der Durchführung der Sozialversicherung betrauten Stellen versehentlich an sie gelangte Anmeldungen, Gesuche und Eingaben entgegenzunehmen (Satz 1) und die entsprechenden Unterlagen an die zuständige Stelle weiterzuleiten haben (Satz 2; vgl. auch ZAK 1975 S. 436, I 274/74 E. 2 Mitte).
3.2.4.3. Die Hinweise in der die Hilflosenentschädigung zusprechenden Verfügung vom 4. Juli 2007 auf die Meldepflicht vermögen den guten Glauben nicht zu zerstören. Die IV-Stelle hielt darin fest, abweichend von den Ansätzen bei Aufenthalt zu Hause und in einem Heim gälten unter anderem bei einem Internatsaufenthalt besondere Bestimmungen. Weder der Verfügung vom 29. Februar 2012 noch dem vorinstanzlichen Entscheid ist zu entnehmen, ob der Aufenthalt der Versicherten im Wohnheim der Stiftung C._ als Heim- oder als Internatsaufenthalt zu betrachten ist.
3.2.4.4. Nach dem Gesagten ist der gute Glaube der Beschwerdeführerin zu bejahen, weshalb die weitere Erlassvoraussetzung der grossen Härte zu prüfen ist (vgl. <ref-law>). Dazu hat die IV-Stelle nicht Stellung genommen, weshalb die Sache zur Beurteilung dieser Frage an sie zurückzuweisen ist.
4.
Die Gerichtskosten sind der unterliegenden IV-Stelle aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 14. Oktober 2013 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 29. Februar 2012 werden aufgehoben. Die Sache wird an die IV-Stelle des Kantons St. Gallen zurückgewiesen, damit sie gemäss über das Erlassgesuch des Beschwerdegegners neu verfüge.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. August 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Grunder