Sachverhalt:
A. Im Rahmen eines vom Staat Zürich gegen X._ eingeleiteten Rechtsöffnungsverfahrens stellte dieser am 28. September 2009 ein Ausstandsbegehren gegen die mit der Sache befasste Bezirksrichterin. Mit Beschluss vom 26. Oktober 2009 verpflichtete die für die Beurteilung des Ausstandsbegehrens zuständige Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich X._ zur Leistung einer Prozesskaution von Fr. 800.-- und setzte ihm hierfür eine Frist von zehn Tagen ab Zustellung des Beschlusses an.
Nachdem X._ dem Obergericht mit Schreiben vom 9. November 2009 mitgeteilt hatte, die im Beschluss vom 26. Oktober 2009 erwähnte Beilage sei nicht versandt worden, verfügte der Obergerichtspräsident am 17. November 2009 (Zustellung am 26. November 2009) den neuerlichen Versand der fraglichen Beilage und setzte eine neue zehntägige Frist zur Bezahlung der Prozesskaution an. X._ focht beide Verfügungen beim Bundesgericht an (Verfahren Nr. 5D_63/2010), ohne dass er aufschiebende Wirkung verlangt oder das Bundesgericht diese gewährt hätte.
Mit Beschluss vom 23. Dezember 2009 stellte die Verwaltungskommission des Obergerichts fest, dass X._ die ihm auferlegte Kaution nicht innert Frist geleistet hatte und trat folglich androhungsgemäss auf das Ablehnungsbegehren nicht ein.
B. Mit Eingabe vom 15. Februar 2010 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) unter anderem an das Bundesgericht und beantragt die Feststellung der Nichtigkeit bzw. die Aufhebung des Beschlusses vom 23. Dezember 2009; unter Kosten- und Entschädigungsfolgen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>), mit welchem das Obergericht zufolge Nichtleistung des einverlangten Kostenvorschusses nicht auf ein Ausstandsbegehren eingetreten ist. Mithin handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, N. 17 zu <ref-law>).
Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (Urteil 5A_108/2007 E. 1.2, s. auch 5A_170/2009 E. 1.2), d.h. des Rechtsöffnungsverfahrens. Die Zulässigkeit der Beschwerde ist vom Beschwerdeführer darzulegen (<ref-law>). Weder der Beschwerdeschrift noch den Akten lässt sich entnehmen, um welchen Betrag es im Rechtsöffnungsverfahren geht. Demzufolge mangelt es bereits am Nachweis des erforderlichen Streitwertes (<ref-law>), weshalb die Eingabe nicht als Beschwerde in Zivilsachen, sondern als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen wird (<ref-law>; s. Urteil 5A_40/2009 E. 1.3.4).
1.2 Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorgebracht werden, und hierfür gilt das strikte Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. mit <ref-law>). Danach prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik wird nicht eingetreten (vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Rechtslage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
In der Sache selbst, nämlich zur Frage, ob der Entscheid, zufolge Nichtleistens des einverlangten Kostenvorschusses nicht auf das Ausstandsbegehren einzutreten, vor der Verfassung Stand hält, kommt der Beschwerdeführer seiner Begründungspflicht nicht nach, denn er führt keine einzige gesetzliche Bestimmung an, die im Zusammenhang mit der Rechtsfolge des nicht geleisteten Kostenvorschusses in verfassungswidriger Weise angewandt worden sein soll. Insofern kann nicht auf seine Beschwerde eingetreten werden.
1.3 Unzulässig sind die im Anschluss an Ziffer 9.13 der Beschwerde formulierten Begehren, die in keinem ersichtlichen Zusammenhang zum angefochtenen Beschluss stehen.
Nicht einzutreten ist sodann auf die Beschwerde, soweit sie sich gegen den Beschluss vom 26. Oktober 2009 bzw. 17. November 2009 (s. Verfahren 5D_63/2010) oder andere Vorgänge ausserhalb des streitgegenständlichen Ausstandsgesuches im Rechtsöffnungsverfahren vor dem Bezirksgericht Meilen richtet.
1.4 Die Begründung muss in der Beschwerde selbst enthalten sein. Ein Verweis auf die den Vorinstanzen oder gar in anderen Verfahren eingereichten Rechtsschriften genügt den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 400; Urteil 5A_512/2007 E. 1.5). Daran ändert auch nichts, wenn der Beschwerdeführer seine bisherigen Rechtsschriften zum «integrierten Bestandteil» seiner Beschwerde erklärt. Indes machen Verweise die Beschwerde nicht als solche ungültig; vielmehr bleiben einfach die verwiesenen Vorbringen unbeachtlich (Urteil 5A_386/2008 E. 1).
Unbeachtlich sind sodann diejenigen Vorbringen, mit welchen der Beschwerdeführer sein Ausstandsbegehren gegen das Bezirksgericht Meilen im Allgemeinen und die Rechtsöffnungsrichterin im Speziellen richtet.
1.5 Nicht einzutreten ist auf die Rüge, wonach für Ausstandsverfahren von vornherein keine Gebühren und damit auch keine Prozesskaution erhoben werden dürfe. Diese Frage ist Gegenstand der im Verfahren 5D_63/2010 angefochtenen Beschlüsse, weshalb sie im vorliegenden Verfahren nicht mehr aufgeworfen werden kann.
Selbst wenn die Rüge im vorliegenden Verfahren zulässig wäre, könnte nicht darauf eingetreten werden, denn der Beschwerdeführer führt nicht an, aus welchen Gründen welche Gesetzesbestimmung willkürlich angewandt worden sein soll und er demzufolge seiner Begründungspflicht (<ref-law>) nicht nachkommt (s. E. 1.2).
2. Unter Anrufung der verfassungsmässigen Wohnsitzgerichtsstandsga-rantie (<ref-law>) bestreitet der Beschwerdeführer zunächst die örtliche Zuständigkeit des Obergerichts, weil er seinen Wohnsitz seit dem 14. Dezember 2009 im Kanton Luzern habe.
Gemäss <ref-law> entscheidet der Richter des Betreibungsortes über Gesuche um Rechtsöffnung. Auch für das Rechtsöffnungsverfahren gilt der Grundsatz der perpetuatio fori. Wenn zu Beginn des Verfahrens die Zuständigkeit des angerufenen Gerichts vorliegt, bleibt diese bestehen und entfällt nicht dadurch, dass später während des Verfahrens durch Veränderung von Tatsachen - wie die Verlegung des Wohnsitzes - die Zuständigkeit nicht mehr gegeben wäre (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 406 ).
Der Beschwerdeführer behauptet nicht, das Bezirksgericht Meilen sei bereits im Zeitpunkt der Einleitung des Rechtsöffnungsverfahrens örtlich unzuständig gewesen. Vielmehr wurde dieses an seinem (damaligen) Wohnsitzgerichtsstand eingeleitet. Damit ist und bleibt das Bezirksgericht Meilen für die Beurteilung des Rechtsöffnungsbegehrens örtlich zuständig. Daraus folgt, dass auch die für die Beurteilung von Ausstandsbegehren gegenüber dem Bezirksgericht Meilen zuständige Behörde, die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich, örtlich zuständig ist und bleibt. Indem der Beschwerdeführer seine Rüge ausschliesslich aus dem Umstand ableitet, dass er seither in den Kanton Luzern umgezogen ist, erweist sie sich als unbegründet.
3. Sodann beanstandet der Beschwerdeführer, der angefochtene Beschluss sei ihm während den Gerichtsferien zugestellt worden, woraus ohne weiteres dessen Nichtigkeit abzuleiten sei.
Der Beschwerdeführer irrt. Seinen eigenen Ausführungen zufolge "stehen die Fristen vom 18. bzw. 20. Dezember bis und mit dem 1. Januar bzw. 8. Januar still. Eine gesetzliche Zustellung konnte daher ohnehin frühestens am 9. Januar erfolgen." Ganz abgesehen davon, dass seine Datumsangaben nicht zutreffen und die Gerichtsferien nichts anderes bedeuten, als dass Fristen nicht zu laufen beginnen bzw. laufende Fristen stillstehen, gerichtliche Handlungen aber ohne weiteres vorgenommen werden dürfen, bleibt unerfindlich, wieso der - wiederum seinen eigenen Angaben zufolge - am 12. Januar 2010 erfolgte Versand des angefochtenen Beschlusses in die Gerichtsferien fallen soll.
4. Weiter rügt der Beschwerdeführer den Umstand, dass das Obergericht das Ausstandsverfahren fortgesetzt hat, obwohl er ein - nicht näher spezifiziertes - Rechtsmittel gegen die Verfügungen vom 26. Oktober 2009 und 17. November 2009 eingereicht habe, weshalb der angefochtene Entscheid nichtig sei.
Es trifft zu, dass der Beschwerdeführer an das Bundesgericht gelangt ist (Verfahren 5D_63/2010). Indes hat die Beschwerde an das Bundesgericht - abgesehen von hier nicht zutreffenden Ausnahmen - keine aufschiebende Wirkung, es sei denn, diese werde angeordnet (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat keinen diesbezüglichen Antrag gestellt, noch hat die Präsidentin der urteilenden Abteilung oder der Instruktionsrichter der Beschwerde die aufschiebende Wirkung von Amtes wegen erteilt. Damit stand der Fortsetzung des Verfahrens nichts entgegen. Die Rüge ist unbegründet.
5. Ferner rügt der Beschwerdeführer Befangenheit des Obergerichts und damit aller mitwirkenden Gerichtspersonen. Er habe mehrfach "Befangenheitsklagen" eingereicht. Ein Entscheid, wonach von einer übergeordneten Aufsichtsinstanz diese Befangenheit aufgehoben worden wäre, liege nicht vor, weshalb das Obergericht als befangen zu gelten habe. Sinngemäss dasselbe Argument führt er an, weil über eine von ihm gegen gewisse Richter des Obergerichts eingereichte Strafklage noch nicht entschieden worden sei.
Nach der in <ref-law> und in Art. 6 Ziff. 1 EMRK enthaltenen Garantie des verfassungsmässigen Richters hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird (<ref-ruling> E. 5.2 S. 3). Ausstandsbegehren sind in jedem Verfahren einzeln zu stellen und zu begründen, denn nur so kann geprüft werden, ob die Garantie des verfassungsmässigen Richters im Einzelfall erfüllt ist; pauschale "Befangenheitsklagen" ausserhalb eines konkreten Verfahrens sind unzulässig.
Der Beschwerdeführer behauptet nicht, im Verfahren vor der Verwaltungskommission des Obergerichts ein Ausstandsbegehren gestellt zu haben, weshalb dieses verspätet ist, insofern er sich auf Gründe bezieht, die sich ausserhalb des hängigen Verfahrens und zeitlich vor diesem zugetragen haben und damit bereits bekannt waren. Ebenso wenig behauptet er, der Ausstandsgrund habe sich erst im Verlaufe des vorinstanzlichen Verfahrens verwirklicht. Daher kann auf die Rüge der Verletzung von <ref-law> nicht eingetreten werden.
6. Schliesslich erachtet der Beschwerdeführer die angefochtene Verfügung als nichtig, weil eine Rechtsmittelbelehrung fehle.
Die fehlende Rechtsmittelbelehrung hat entgegen der vom Beschwerdeführer vertretenen Ansicht nicht die Nichtigkeit der fraglichen Verfügung zur Folge; vielmehr beschränkt sich das Gesetz auf die Regelung, dass einer Partei aus einer mangelhaften Eröffnung keine Nachteile erwachsen dürfen (<ref-law>; s. auch <ref-ruling> E. 2.3 S. 486). Ein solcher wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich, zumal der Beschwerdeführer das zutreffende Rechtsmittel ergreifen konnte; ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids besteht nicht. Daher kann auf diese Rüge nicht eingetreten werden (Urteil 4A_85/2007 vom 11. Juni 2007 E. 5).
7. Nach dem Gesagten ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer unterliegt und ist kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett