Faits:
A. Né en 1963 à l'étranger, B._ a travaillé comme maçon dès son arrivée en Suisse en 1990. En arrêt de travail depuis l'été 2003, il a subi une opération (cure de hernie discale) à la suite de laquelle il a déposé, le 29 juin 2004, une demande de prestations auprès de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI). Celui-ci a recueilli divers renseignements économiques et médicaux, puis chargé le docteur U._, spécialiste en rhumatologie, médecine interne et médecine du sport, d'une expertise. Dans son rapport du 4 novembre 2005, ce médecin a fait état notamment d'une lombosciatalgie gauche non déficitaire et d'un status après cure de hernie discale L5-S-1 (le 18 novembre 2003). Il a conclu que l'assuré ne pouvait plus exercer son travail de maçon, mais disposait, en revanche, d'une capacité de travail entière dans une activité professionnelle légère tenant compte des limitations indiquées. Il a par ailleurs suggéré la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique, que l'office AI a alors confié au docteur A._, psychiatre auprès de son Service médical régional (SMR). Ce médecin n'a retenu aucun diagnostic psychiatrique ayant une répercussion sur la capacité de travail de l'assuré (rapport du 13 juillet 2006).
Le 30 novembre 2007, l'office AI a rendu une décision par laquelle il a refusé la demande de rente et de reclassement professionnel, au motif que B._ ne présentait pas un degré d'invalidité - fixé à 17 % - suffisant pour ouvrir le droit à ces prestations.
B. L'assuré a déféré la décision administrative au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, qui a entendu le docteur U._ en qualité de témoin, le 29 avril 2008. B._ a encore fait verser au dossier une expertise du docteur I._, spécialiste en neurochirurgie, qui faisait état d'une récidive de hernie discale, limitant à 25 % la capacité de travail dans une activité adaptée (rapport du 28 avril 2008). Par jugement du 8 juillet 2008, le Tribunal genevois des assurances sociales a débouté l'assuré.
C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Il conclut, principalement, à la reconnaissance d'un droit à une rente entière d'invalidité "et à d'autres prestations de l'assurance-invalidité" dès le 29 juin 2004, ainsi qu'à la condamnation de l'office AI au remboursement des frais de l'expertise privée. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction, sous forme d'une expertise judiciaire, et nouveau jugement. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité et à une mesure de reclassement. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les normes légales (dans leur teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007, applicable en l'espèce [<ref-ruling> consid. 1 p. 11 et les arrêts cités]) et la jurisprudence relatives à la notion d'invalidité et son évaluation, ainsi que les principes jurisprudentiels sur la valeur probante des rapports médicaux et la libre appréciation des preuves. Il suffit d'y renvoyer.
2. 2.1 Expliquant les raisons qui les conduisaient à suivre l'expertise du docteur U._ du 4 novembre 2005 et non les conclusions du docteur I._ du 28 avril 2008, les premiers juges ont considéré que le recourant disposait d'une capacité de travail entière dans une activité adaptée tenant compte des limitations fonctionnelles décrites par le premier médecin nommé. Estimant que l'expertise du docteur I._ était bien moins complète, détaillée et convaincante que celle du docteur U._, ils ont en particulier relevé que le médecin mandaté par le recourant n'avait mis en évidence aucune péjoration de la situation par rapport à celle retenue antérieurement par son confrère rhumatologue, ni constaté à la lecture des imageries la présence d'un autre diagnostic que celui retenu par le docteur U._.
2.2 Comme le fait valoir à juste titre le recourant en invoquant une violation du principe de la libre appréciation des preuves - grief que le Tribunal fédéral examine librement (<ref-ruling> consid. 3.2 et 4 p. 397 s.) -, les motifs avancés par la juridiction cantonale pour écarter les conclusions du docteur I._ ne résistent pas à l'examen.
Contrairement à ce qu'ont retenu les premiers juges, dans son rapport du 28 avril 2008 (auquel ils ont à raison attribué une pleine valeur probante), l'expert privé a fait état d'une aggravation de l'état de santé du recourant, en ce sens qu'il a diagnostiqué une récidive de hernie discale L5-S1 gauche, qui limitait la capacité de travail dans une activité adaptée à 25 %. Appelé à se déterminer sur cette expertise en procédure cantonale, l'intimé a fait sienne l'appréciation du SMR (rapport du 9 juin 2008), selon laquelle "en présence d'avis extrêmement divergents entre les deux experts", une évaluation neutre était souhaitable pour se prononcer sur le point de savoir si une récidive de hernie discale pouvait diminuer la capacité de travail exigible de l'assuré dans une activité adaptée. Aussi, l'intimé s'était-il déclaré d'accord avec la mise sur pied d'une expertise sollicitée précédemment par le recourant (détermination de l'office AI du 13 juin 2008). Par ailleurs, interrogé sur la présence d'une éventuelle récidive de hernie discale au cours de son audition, le docteur U._ a indiqué qu'elle serait peut-être de nature à changer les diagnostics posés, mais vraisemblablement pas son appréciation de la capacité de travail, pour autant que le status clinique ne se fût pas modifié entre son expertise et le nouvel examen. A cet égard, même si le compte-rendu de l'examen clinique du docteur I._ n'est pas aussi détaillé que celui de l'expert commis par l'intimé, certaines divergences y apparaissent cependant par rapport à l'avis de celui-ci (p. ex. importance du syndrome lombaire, signes de Lasègue et de Waddell), de sorte qu'on ne saurait parler d'un status clinique inchangé entre les deux rapports médicaux en cause.
Dans ces circonstances, c'est en violation des règles sur la libre appréciation des preuves que la juridiction cantonale a écarté l'avis du docteur I._, en niant la présence des nouveaux éléments médicaux mis en évidence par celui-ci, dont l'intimé avait admis la pertinence puisqu'il s'était rallié à la demande d'expertise du recourant. Face aux conclusions divergentes de chacun des experts mandatés par les parties sur des points essentiels pour apprécier le droit aux prestations de l'assuré, l'autorité cantonale de recours aurait dû mettre en oeuvre une expertise judiciaire. Aussi, la cause lui sera-t-elle renvoyée pour qu'elle complète l'instruction par une telle mesure, puis statue à nouveau.
3. 3.1 Vu l'issue du litige, la question de la prise en charge des frais d'expertise du docteur I._ n'a pas à être tranchée dans la présente procédure.
3.2 En ce qui concerne les frais de l'instance fédérale, ils doivent être mis à la charge de l'intimé, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Le recourant a droit à une indemnité de dépens pour la procédure fédérale (art. 68 al. 1 LTF), ce qui rend sans objet sa demande d'assistance judiciaire.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 8 juillet 2008 est annulé, la cause étant renvoyée à ce Tribunal pour complément d'instruction conformément aux considérants et nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera au recourant la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 26 mars 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless