Faits:
A.
L._, bénéficiaire de rentes de vieillesse et de survivant, demeurant dans un établissement médico-social depuis le 2 décembre 2008, a requis des prestations complémentaires le 6 janvier 2009.
Sur la base des nombreux documents récoltés (avis de taxation; attestations, certificats ou décomptes de rente; avis de crédit; extraits et relevés des comptes bancaires; certificats d'assurance-maladie; factures de loyer; contrat d'hébergement en établissement médico-social; etc.), le Service genevois des prestations complémentaires (ci-après: le service) a accédé à la requête de l'assurée en lui allouant des prestations complémentaires fédérales d'un montant de 193 fr. en décembre 2008 et de 456 fr. pour chaque mois à partir de janvier 2009 (décision du 22 mai 2009). Il avait été tenu compte d'un dessaisissement de fortune de 147'410 fr. pour 2008 et de 137'410 fr. pour 2009.
L._ s'est opposée à la décision. Elle contestait s'être indûment dessaisie d'une partie de sa fortune, dont elle mentionnait qu'elle avait aussi connu des variations à la hausse, et soutenait en avoir usé pour l'entretien de sa fille handicapée.
L'administration a partiellement admis l'opposition, retenant désormais un montant de 124'730 fr. pour 2008 et de 114'730 fr. pour 2009 à titre de biens dessaisis, ce qui donnait droit à des prestations complémentaires fédérales de 586 fr. pour le mois de décembre 2008 et de 849 fr. à compter du mois de janvier 2009 (décision du 6 août 2009).
B.
L'assurée a recouru contre la décision sur opposition auprès du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (aujourd'hui, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève), concluant à l'octroi de prestations calculées indépendamment de tout dessaisissement.
Des pièces afférentes à la situation financière de L._ (acte de vente immobilière; etc.) et à la prise en charge par celle-ci des frais médicaux de sa fille (factures de soins dentaires) et le dossier de cette dernière, qui bénéficie de prestations complémentaires à une rente de l'assurance-invalidité, ont été produits durant l'instance.
La juridiction cantonale a partiellement admis le recours. Elle a annulé la décision litigieuse, dans la mesure où elle retenait un montant supérieur à 62'511 fr. 15 pour 2008 et à 52'511 fr. 15 pour 2009 au titre de fortune dessaisie, et a renvoyé la cause à l'administration pour qu'elle recalcule le montant des prestations complémentaires dues (jugement du 1er septembre 2010). Elle a substantiellement estimé que le dessaisissement devait se calculer sur la base de la diminution globale de la fortune pendant la période considérée, ce qui avait pour effet de tenir compte des augmentations de fortune survenues pendant la même période, et qu'il était vraisemblable que l'assurée avait assumé l'entretien et les frais médicaux de sa fille, ce qui était en outre un devoir moral.
C.
Le service interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il en requiert l'annulation et conclut à la confirmation de la décision litigieuse.
L._ conclut - simultanément et contradictoirement - au rejet du recours, dans la mesure où elle sollicite la confirmation de l'acte attaqué, et à l'octroi de prestations calculées indépendamment de tout dessaisissement. Elle demande en outre l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (<ref-law>), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (<ref-law>) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (<ref-law>). Il examine en principe seulement les griefs motivés (<ref-law>) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
Le litige porte en l'occurrence sur le droit de l'intimée à des prestations complémentaires à ses rentes de vieillesse et de survivant, singulièrement sur la détermination du montant des dessaisissements à prendre en considération dans le calcul du droit à la prestation.
3.
On remarquera au préalable que l'assurée n'a pas interjeté de recours contre le jugement cantonal dans le délai légal de trente jours (<ref-law>). Lors du dépôt de sa réponse, elle ne pouvait donc que conclure à l'irrecevabilité ou au rejet du recours de la partie adverse, voire au renvoi de la cause pour complément d'instruction, mais n'avait plus la possibilité de prendre des conclusions indépendantes puisque l'institution du recours joint n'est pas admise devant le Tribunal fédéral (cf. Message du Conseil fédéral concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 4000 ss, p. 4139 s.; voir aussi <ref-ruling> consid. 2.5 p. 335 s.). Ses conclusions et considérations portant sur l'octroi de prestations complémentaires calculées indépendamment de tout dessaisissement ne sont donc pas recevables céans.
4.
4.1. Le service recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir violé le droit fédéral en déterminant la valeur du dessaisissement qu'il fallait prendre en compte dans le calcul des prestations complémentaires en fonction d'une diminution globale de la fortune pendant une période considérée.
4.2.
4.2.1. L'objectif de la loi sur les prestations complémentaires à l'AVS et à l'AI est de compléter les prestations servies par les deux assurances citées pour le cas où ces prestations ne suffiraient pas à couvrir de façon appropriée les besoins vitaux d'un assuré (cf. Message du Conseil fédéral concernant le projet de loi sur les prestations complémentaires à l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité du 21 septembre 1964, FF 1964 II p, 47 s.; voir également Ernst/Gächter, Schranken der Freigiebigkeit: die Behandlung von Schenkungen im Privatrecht und im Ergänzungsleistungsrecht in RSAS 2011 p. 149; FERRARI, Dessaisissement volontaire et prestations complémentaires à l'AVS/AI in RSAS 2002 p. 417; SPIRA, Transmission de patrimoine et dessaisissement au sens de la loi fédérale sur les prestations complémentaires à l'AVS/AI in RSAS 1996 p. 208).
4.2.2. La loi ne définit pas la notion de besoins vitaux mais se contente de fixer des règles de calcul permettant de déterminer le montant de la prestation complémentaire. Celle-ci correspond à la part des dépenses reconnues excédant les revenus déterminants (<ref-law>). Ceux-ci comprennent généralement des ressources et des biens dont l'ayant droit a la maîtrise (une fraction de la fortune nette par exemple, cf. art. 11 al. let. c LPC) et exceptionnellement des ressources et parts de fortune dont celui-ci s'est dessaisi (cf. art. 11 al. 1 let. g LPC). Doctrine et jurisprudence définissent la fortune comme étant l'ensemble des actifs que l'assuré a effectivement reçus et dont il peut disposer sans restriction (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 31 s.; FERRARI, op. cit., p. 419; SPIRA, op. cit., p. 210) et le dessaisissement comme étant le fait de renoncer à certains éléments de revenu ou de fortune sans obligation juridique, ni contre-prestation équivalente (cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 334; <ref-ruling> consid. 2b p. 191; Ernst/Gächter, op. cit., p. 150). Il n'existe pas de limite temporelle à la prise en compte d'un dessaisissement (cf. <ref-ruling> consid. 4f p. 186 s.; MOOSER/WERMELINGER, Quelques aspects liés au dessaisissement volontaire de fortune par des personnes âgées in Revue fribourgeoise de jurisprudence 1993 p. 15; SPIRA, op. cit., p. 211) dès lors qu'une telle mesure vise justement à éviter l'octroi abusif de prestations complémentaires; il n'appartient assurément pas à l'assureur social - et, partant, à la collectivité - d'assumer l'éventuel «découvert» dans les comptes de l'assuré lorsque celui-ci l'a provoqué sans aucun motif valable (cf. arrêt P 12/04 du 14 septembre 2005 consid. 4.1; MOOSER/WERMELINGER, op. cit., p. 13).
4.2.3. L'<ref-law> décrit la façon dont il faut prendre en considération la fortune et d'éventuels dessaisissements dans le calcul de la prestation complémentaire; la valeur de la fortune lors du dessaisissement doit être reportée telle quelle au premier janvier de l'année suivante, puis être réduite chaque année (al. 2) de 10'000 fr. (al. 1) jusqu'au premier janvier de l'année pour laquelle la prestation est servie (al. 3).
4.3. La juridiction cantonale s'écarte en l'occurrence du texte clair de la réglementation susmentionnée, en particulier de la méthode de calcul de la prestation complémentaire annuelle. En effet, elle compense les différents dessaisissements avec les augmentations de fortune sans pour autant démontrer, ni rendre vraisemblable que les secondes sont liées aux premiers ou constituent les contre-prestations de ceux-ci. Il ne suffit assurément pas d'émettre l'hypothèse qu'une fraction des dessaisissements observés correspondraient à des prêts qui auraient été remboursés les années durant lesquelles les augmentations de fortune ont été constatées sans produire, ni s'appuyer sur le moindre élément concret (contrat de prêt, relevé de compte bancaire attestant un transfert de fonds, etc.). L'approche des premiers juges a pour effet de faire supporter à la collectivité le comportement abusif de l'assuré. Cette approche est par conséquent contraire au droit fédéral. On ajoutera que, contrairement à ce que semble prétendre la juridiction cantonale, le service recourant ne fait nullement abstraction des augmentations de fortune puisqu'une fraction de la fortune nette est utilisée pour la fixation des revenus déterminants.
5.
5.1. L'administration reproche encore aux premiers juges d'avoir échafaudé de simples hypothèses pour justifier la conclusion selon laquelle l'intimée aurait très vraisemblablement assumé les frais de dentiste et d'autres frais médicaux de sa fille.
5.2. Contrairement à ce qu'avait retenu le service recourant, la juridiction cantonale a estimé qu'il était hautement vraisemblable que l'assurée ait assumé les frais des soins dentaires (trois factures de respectivement 2'163 fr. 70 en 2000, 2'846 fr. 55 en 2002 et de 80 fr. 60 en 2004, dont les duplicata avaient été produits en première instance par la doctoresse S._), ainsi que d'autres frais médicaux (montant total de 5'735 fr. 85 entre 1998 et 2004) de sa fille dès lors substantiellement que celle-ci était handicapée, qu'elle ne disposait pas de moyens financiers lui permettant de payer des factures élevées et qu'une prise en charge par l'administration ne ressortait pas du dossier. Peu importait par ailleurs que les années de facturation ne coïncidaient pas avec celles pendant lesquelles les dessaisissements avaient été constatés. Les premiers juges ont aussi considéré que le paiement de telles factures par l'intimée constituait un devoir moral. Ils ont donc estimé qu'il existait un fondement valable à ces dépenses dont le montant devait, par conséquent, être déduit du montant du dessaisissement retenu.
5.3. Cette argumentation viole le droit fédéral. Il apparaît effectivement que, conformément à ce que soutient l'administration, les premiers juges ont émis une hypothèse quant à la prise en charge des frais médicaux de sa fille par l'assurée sans véritablement se fonder sur des éléments concrets. Or, la seule possibilité qu'un événement se soit déroulé d'une certaine manière n'est pas suffisante pour retenir, au degré de la vraisemblance prépondérante, que cet événement est établi (cf. arrêt 9C_717/2009 du 20 octobre 2009 consid. 3.3 et les références). En l'espèce, le seul fait établi évoqué est le remboursement de 22'680 fr. par la mère à sa fille, sur l'injonction de l'autorité tutélaire, au motif que leurs comptes auraient été mélangés. On ne saurait inférer de cet événement que la mère payait systématiquement - ni même occasionnellement d'ailleurs - les factures de sa fille. On ajoutera que l'absence de rapports médicaux afférents aux handicaps dont souffrait cette dernière et leurs influences ne permet pas de conclure que celle-ci était incapable de s'assumer financièrement. On remarquera encore que le fait que la fille bénéficie d'une rente d'invalidité et de prestations complémentaires ne signifie pas pour autant qu'elle ne dispose pas de ressources financières lui permettant de régler des factures importantes dans la mesure où il ressort du dossier que celle-ci a reçu 100'000 fr. de la vente d'un chalet reçu par héritage (cf. courrier du 28 avril 2009 adressé par les curateurs au service recourant) dont il n'est pas exclu, compte tenu de la fortune retenue et de l'absence de mention de dessaisissements dans le calcul des prestations complémentaires (cf. notamment décisions des 3 janvier 2001 et 10 février 2010), qu'ils aient servi à s'acquitter de factures importantes. On relèvera enfin que dans la mesure où il n'a pas été établi au degré de la vraisemblance prépondérante que l'assurée avait payé certaines factures pour sa fille, la question de savoir si celle-ci remplissait un devoir moral - qui n'a pas été tranchée par le Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling>) - peut rester ouverte.
6.
L'intimée, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>) et ne saurait prétendre des dépens (<ref-law>). L'assistance judiciaire lui est cependant accordée dès lors que les conditions auxquelles l'art. 64 al. 1 et 2 LTF subordonne son attribution sont réalisées. L'assurée est rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal si elle devient ultérieurement en mesure de le faire (<ref-law>). Aucune indemnité n'est allouée à Me Georges Zufferey à titre d'honoraires dès lors que, outre le fait d'avoir annoncé son mandat, il n'est pas intervenu dans le dossier.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et le jugement rendu le 1er septembre 2010 par le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales est annulé.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 août 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Cretton