Sachverhalt:
A. Mit rechtskräftigem Scheidungsurteil vom 13. April 2005 wurde Z._ u.a. zur Bezahlung von Fr. 386'215.-- an X._ (geb. 1936) verpflichtet (im Einzelnen: Fr. 66'603.-- Vorsorge-Entschädigung gemäss <ref-law>, Fr. 309'612.-- güterrechtliche Entschädigung sowie Fr. 10'000.-- Verfahrens- und Parteikosten). Z._ kam seiner Zahlungspflicht nicht nach. Erste Betreibungen führten zu Verlust- bzw. zu Pfandausfallscheinen. Sodann erfolgte die Pfändung der BVG-Rente von Z._ im Umfang von monatlich Fr. 1'432.80, und zwar vom 31.8.2009 bis zum 31.8.2010. Mit Gesuch vom 16. März 2010 beantragte die Beschwerdeführerin beim Gerichtspräsidenten 4 des Gerichtskreises X Thun, ihr sei im Hinblick auf eine gegen die Lebenspartnerin des Z._ angestrebte paulianische Anfechtungsklage im Umfang von Fr. 390'913.65 die unentgeltliche Prozessführung sowie die amtliche Rechtsvertretung zu bewilligen. Mit Entscheid vom 16. Juni 2010 wurde das Gesuch hinsichtlich der Gerichtskosten abgewiesen, hinsichtlich der Parteikosten jedoch gutgeheissen.
B. Mit Rekurs gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Bern und beantragte, die unentgeltliche Prozessführung sowie die amtliche Rechtsvertretung seien ihr auch für die Gerichtskosten zu gewähren. Das Obergericht hiess den Rekurs mit Entscheid vom 15. Juli 2010 teilweise gut und gewährte X._ das Recht zur unentgeltlichen Prozessführung auch für die Gerichtskosten, wobei es diese Gewährung allerdings von der Bedingung abhängig machte, dass die erwähnten monatlichen Zahlungen des zuständigen Betreibungsamtes aus der BVG-Rentenpfändung während der Rechtshängigkeit des Hauptverfahrens ausbleiben; sollten diese Zahlungen hingegen weiterhin eingehen, habe X._ Fr. 800.-- pro Monat an die Gerichtskosten zu leisten.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. September 2010 beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) hauptsächlich die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sowie die vollumfängliche, d.h. bedingungslose Erteilung der unentgeltlichen Prozessführung unter Beiordnung ihrer Rechtsvertreterin; eventualiter beantragt sie die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sowie dessen Rückweisung an die Vorinstanz zur Neubeurteilung. Die Beschwerdeführerin hat auch für das Verfahren vor Bundesgericht einen Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege gestellt.
Der Beschwerdegegner hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Obergericht des Kantons Bern hat sich nicht geäussert.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>), mit dem die unentgeltliche Rechtspflege teilweise verweigert wurde. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht leicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 3 S. 143). In der Hauptsache geht es um einen Anfechtungsprozess gemäss <ref-law> mit einem Streitwert von mehr als Fr. 30'000.--, bei der die Beschwerde gemäss <ref-law> zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 236). Demzufolge kann sie auch gegen den angefochtenen Zwischenentscheid ergriffen werden.
1.2 Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt. Unabhängig davon besteht ein solcher Anspruch auf Grund von <ref-law> (bzw. Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK). Während das Bundesgericht die Rüge der Verletzung von direkt aus <ref-law> (bzw. Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK) hergeleiteten Rechtspflegeansprüchen mit freier Kognition untersucht, prüft es die Auslegung und Anwendung der kantonalen Gesetzesbestimmungen über den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nur unter dem Gesichtspunkt des Willkürverbotes (<ref-ruling> E. 3 S. 180 mit Hinweisen).
Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene Rügen, die, soweit möglich, zu belegen sind, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 2 S. 639).
1.3 An die kantonalen Sachverhaltsfeststellungen ist das Bundesgericht grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (<ref-law>), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist (Botschaft, BBl 2001 IV 4338; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398).
Was die Rüge willkürlicher Sachverhaltsfeststellung anbelangt, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Feststellungen für den Ausgang des Verfahrens im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein sollen, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, auf einem offenkundigem Versehen beruhen oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lassen (BGE <ref-ruling> E. 7.1 S. 398).
Die Beschwerdeführerin kündigt die Rüge der willkürlichen Beweiswürdigung lediglich an (vgl. Beschwerde S. 3), unterlässt es jedoch, diese weiter zu begründen, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
2. Streitig ist vorliegend, ob die Vorinstanz die unentgeltliche Rechtspflege hinsichtlich der Gerichtskosten bzw. die Bedürftigkeit zu Recht an die Bedingung geknüpft hat, dass die Zahlungen des Betreibungsamtes aus der Pfändung der BVG-Rente von Z._ ausbleiben sollten, andernfalls sie sich mit einem monatlichen Anteil von Fr. 800.-- an den Gerichtskosten zu beteiligen habe.
2.1 Das erstinstanzliche Gericht hatte festgehalten, dass der monatliche Betrag von Fr. 1'432.80, welcher der Beschwerdeführerin aus der Pfändung der BVG-Rente von Z._ monatlich zufliesse, als Einkommen anzurechnen sei. Das Obergericht erachtete diese Qualifikation als grundsätzlich korrekt, änderte den erstinstanzlichen Entscheid aber im Sinne der vorerwähnten Bedingung ab.
2.2 Die Beschwerdeführerin bestreitet weder den von der Vorinstanz ermittelten monatlichen Zwangsbedarf (Fr. 3'708.--) noch das ihr angerechnete übrige monatliche Einkommen (Fr. 3'068.25). Das Obergericht geht davon aus, dass das Barvermögen der Beschwerdeführerin im Umfang von ca. Fr. 10'000.-- vorliegend als unantastbar zu gelten habe (sog. Notgroschen). Dies stellt auch die Beschwerdeführerin nicht in Abrede, macht darüber hinaus allerdings Folgendes geltend: Da die aus der Pfändung der BVG-Rente fliessenden Zahlungen der teilweisen Erfüllung der Ansprüche aus ihrem Scheidungsurteil dienten und damit nicht Einkommen, sondern Vermögen darstellten, sei es unzulässig, diese Zahlungen teilweise zur Finanzierung der Gerichtskosten heranzuziehen. Diese Zahlungen seien noch zu ihrem Notgroschen zu zählen. Auch unter Berücksichtigung dieser Zahlungseingänge liege ihr Vermögen nämlich immer noch unter dem Notgroschen-Grenzwert von Fr. 20'000.--, welcher gemäss Kreisschreiben Nr. 18 der Zivilabteilung des Obergerichts sowie des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern in Fällen wie dem vorliegenden zur Anwendung gelange.
2.3 Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu <ref-law> gilt als bedürftig, wer für die Kosten eines Prozesses nicht aufkommen kann, ohne jene Mittel anzugreifen, derer er zur Deckung des notwendigen Lebensunterhalts für sich und seine Familie bedarf (<ref-ruling> E. 2.5.1 S. 232; <ref-ruling> I 202 E. 3b S. 205). Zur Beurteilung der Bedürftigkeit sind neben den Einkommens- auch die Vermögensverhältnisse zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 2a S. 2; <ref-ruling> E. 4a S. 370). In zeitlicher Hinsicht ist die wirtschaftliche Situation der rechtssuchenden Partei im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgeblich (<ref-ruling> E. 3a S. 181; Urteil 4D_41/2009 vom 14. Mai 2009 E. 3). Soweit das Vermögen einen angemessenen Notgroschen übersteigt, ist es der gesuchstellenden Partei - ungeachtet der Art der Vermögensanlage - grundsätzlich zuzumuten, dieses Vermögen zur Finanzierung des Prozesses zu verwenden. Das Institut des Notgroschens soll verhindern, dass eine Person zur Führung eines Prozesses auch ihre letzten finanziellen Notreserven aufbrauchen muss. Es ist zulässig, die unentgeltliche Rechtspflege auch nur teilweise zu gewähren, und zwar namentlich dann, wenn eine Person zwar über Mittel verfügt, die den ihr zustehenden Notgroschen-Grenzbetrag übersteigen, diese zusätzlichen Mittel zur Finanzierung des Prozesses aber dennoch nicht ausreichen. Die Höhe des Notgroschen-Grenzbetrages kann nicht generell, sondern nur individuell-konkret festgelegt werden, und zwar namentlich unter Berücksichtigung von Erwerbsaussichten, Alter, Gesundheitszustand sowie familiären Verpflichtungen.
2.4 Die Frage, ob die aus der BVG-Rentenpfändung von Z._ stammenden Zahlungen vorliegend dazu führen, dass der Notgroschen-Grenzbetrag der Beschwerdeführerin überschritten wird bzw. wie hoch ein solcher Grenzbetrag im vorliegenden Fall überhaupt wäre, kann offen bleiben. Ebenfalls offen bleiben kann, ob die aus dieser Pfändung fliessenden Zahlungen zwecks Erfüllung des rechtskräftigen Scheidungsurteils als Vermögen oder als Einkommen zu qualifizieren sind. Vorliegend geht es nämlich nicht um die Frage, in welchem Umfang effektiv vorhandenes Vermögen zur Finanzierung eines Prozesses anzuzehren oder aber als Notgroschen zu schützen ist, sondern einzig darum, ob <ref-law> einen Anspruch auf Äufnung eines bei Einleitung des Gerichtsverfahrens gar noch nicht vorhandenen Notgroschens gewährt. Ein derartiger Anspruch lässt sich aus <ref-law> nicht ableiten (vgl. auch Urteil 4P.22/2007 vom 18. April 2007 E. 5). Dabei spielt es keine Rolle, ob eine solche Äufnung mit Mitteln erfolgen würde, die dem Einkommen oder dem Vermögen entstammen.
3. Die Beschwerdeführerin beruft sich - nebst <ref-law> - auch auf das Kreisschreiben Nr. 18 der Zivilabteilung des Obergerichts sowie des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern. Ihre diesbezüglichen Ausführungen zielen allerdings einzig darauf ab, die Höhe des ihrer Ansicht nach vorliegend zur Anwendung kommenden Notgroschens zu rechtfertigen; dieser betrage gemäss Kreisschreiben Fr. 20'000.--. Die Beschwerdeführerin hat - abgesehen davon, dass im erwähnten Kreisschreiben kein Mindestbetrag in dieser Höhe vorgesehen ist - hingegen nicht behauptet (und schon gar nicht in einer <ref-law> genügender Weise), das bernische Recht gehe über die bundesrechtliche Minimalgarantie hinaus und berechtigte zur Äufnung eines Notgroschens selbst nach Einleitung eines Prozesses.
4. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Da die Beschwerde nicht zum Vornherein aussichtlos war und die Beschwerdeführerin bedürftig ist, hat sie im bundesgerichtlichen Verfahren Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege sowie unentgeltlichen Rechtsbeistand (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird gutgeheissen; ihr wird Fürsprecherin Annick Emmenegger Brunner als amtliche Rechtsbeiständin bestellt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, einstweilen jedoch auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4. Fürsprecherin Annick Emmenegger Brunner wird für ihre Bemühungen im bundesgerichtlichen Verfahren ein reduziertes Honorar von Fr. 1000.-- entrichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Oktober 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schwander