Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1944) stammt aus Österreich. Sie lebte teilzeitlich im Kanton Wallis (U._). Die Dienststelle für Bevölkerung und Migration wies A._ am 10. Oktober 2013 aus der Schweiz weg, wogegen sie an das Kantonsgericht Wallis gelangte. Dessen Instruktionsrichter entsprach am 15. November 2013 ihrem Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht, da sie es unterlassen habe, darzulegen, "inwiefern ihr durch die Wegweisung ein nicht wieder gutzumachender Nachteil entstünde".
1.2. A._ gelangte hiergegen mit dem Antrag an das Bundesgericht, den entsprechenden Entscheid aufzuheben; sie habe am 17. Dezember 2013 ein Gesuch um Erteilung einer FZA-Rentnerbewilligung gestellt, das entsprechende Verfahren sei hängig. Nach Einholen der Akten wurde ihrer Eingabe am 16. Januar 2014 aufschiebende Wirkung beigelegt; ihr Rechtsvertreter ist in der Folge wiederholt bezüglich des Standes des Bewilligungsverfahrens angefragt worden, wobei er darauf hinwies, dass er seine Klientin wiederholt nicht erreichen und die erforderlichen Papiere nicht erhältlich machen konnte.
1.3. Am 16. Juli 2014 wies die Dienststelle für Bildung und Sicherheit des Kantons Wallis das Bewilligungsgesuch von A._ ab, da sie trotz erstreckter Frist nicht habe nachweisen können, dass sie über ausreichende Mittel für einen erwerbslosen Aufenthalt verfüge. Hiergegen ist A._ an den Staatsrat des Kantons Wallis gelangt, worauf das Kantonsgericht Wallis das bei ihm hängige Verfahren gegen die Wegweisung vom 10. Oktober 2013 am 9. Januar 2015 als gegenstandslos abschrieb.
2.
2.1. Gemäss Art. 32 Abs. 1 und 2 BGG entscheidet der Präsident der Abteilung als Einzelrichter über die Abschreibung von Verfahren infolge Gegenstandslosigkeit, Rückzugs oder Vergleichs. Gleichzeitig befindet er über die Gerichtskosten und eine allfällige Parteientschädigung, im Falle der Gegenstandslosigkeit (bzw. des Dahinfallens des rechtlichen Interesses) aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (Art. 71 in Verbindung mit <ref-law>).
2.2. Die Beschwerdeführerin hat vor Bundesgericht einen Zwischenentscheid über eine vorsorgliche Massnahme im Zusammenhang mit einer Wegweisung angefochten (<ref-law>). Da die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Wegweisungsentscheide grundsätzlich ausgeschlossen ist (<ref-law>; <ref-ruling> ff.), gilt dies auch für entsprechende Zwischenentscheide (Einheit des Verfahrens). Gegen die angefochtene Verfügung stand somit nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (<ref-law>). Diese setzt voraus, dass die beschwerdeführende Person darlegt, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzt (Art. 116 i.V.m. Art. 117 und 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 3.3); dies hat die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe nicht getan.
2.3. Da der freizügigkeitsrechtliche Bewilligungsanspruch deklaratorischer Natur ist (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen), wurde dem Rechtsmittel an das Bundesgericht dennoch aufschiebende Wirkung beigelegt und das Verfahren nicht sofort beendet, um der Beschwerdeführerin Gelegenheit zu geben, ihren Anspruch und die entsprechenden Voraussetzungen im von ihr anhängig gemachten kantonalen Bewilligungsverfahren dartun zu können. Dieses ist inzwischen erstinstanzlich negativ abgeschlossen und der bisherige Wegweisungsentscheid durch einen neuen ersetzt worden; das entsprechende Beschwerdeverfahren ist beim Staatsrat hängig und das Kantonsgericht hat das bei ihm offene und vor Bundesgericht einzig Gegenstand bildende ursprüngliche Beschwerdeverfahren am 9. Januar 2015 abgeschrieben, ohne dass dieser Entscheid seinerseits beim Bundesgericht angefochten worden wäre. Der ursprünglich angefochtene Zwischenentscheid ist mit dem Dahinfallen des Verfahrens in der Sache selber gegenstandslos geworden, was zur Folge hat, dass auch das bundesgerichtliche Verfahren mangels eines fortbestehenden Anfechtungsobjekts dahinfällt.
3.
Es rechtfertigt sich, für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Indessen sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen, da die Beschwerdeführerin mit ihrem Verhalten (Nichterreichbarkeit, ungenügende bzw. verspätete Einreichung von Unterlagen usw.) die Gegenstandslosigkeit des bundesgerichtlichen Verfahrens, das im Übrigen keine ernsthaften Aussichten auf Erfolg gehabt hätte (vgl. E. 2.1), zu verantworten hat (vgl. <ref-law>).

Demnach verfügt der Präsident:
1.
Das Verfahren wird abgeschrieben.
2.
Es werden keine Kosten erhoben und keine Entschädigungen zugesprochen.
3.
Diese Verfügung wird den Verfahrensbeteiligten, der Dienststelle für Bevölkerung und Migration, dem Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Februar 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar