Faits:
A. F._, ressortissante espagnole, a travaillé (à temps partiel) comme couturière sur machine à Y._ jusqu'à la fin du mois de mai 1995. Après avoir présenté une première demande de prestations à l'assurance-invalidité qui a été rejetée par décision du 23 septembre 2002, la prénommée - entre-temps retournée dans son pays d'origine où elle n'a pas repris d'activité lucrative - a déposé une nouvelle demande le 11 mars 2004. L'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après: l'office AI) a recueilli, par l'intermédiaire de la Sécurité sociale espagnole, deux rapports E 213 (des 28 janvier 2004 et 10 février 2005), selon lesquels F._ souffre de fibromyalgie, d'une légère scoliose dorso-lombaire et d'une extension cervicale et présente un status post hystérectomie (2001), qui ne l'empêchent pas d'exercer son ancienne activité professionnelle ou une activité adaptée (sans aucune limitation). De son côté, le Service médical de l'office AI a d'abord attesté d'un empêchement de 22 % dans les travaux ménagers et d'une incapacité de travail de 60 % dans une activité lucrative (avis du docteur R._ des 4 avril et 27 juin 2005), avant de nier par la suite toute incapacité de travail pour la part relative à l'exercice d'une activité professionnelle (avis du docteur M._ du 6 février 2006). Dans un rapport du 3 janvier 2005, la doctoresse A._ de l'Institut X._ (en Espagne) a indiqué que F._ souffrait de fibromyalgie qui la limitait dans ses activités quotidiennes.
Le 1er juillet 2005, l'office AI a rendu une décision par laquelle il a rejeté la demande de prestations, en considérant notamment que l'intéressée était capable d'exercer une activité lucrative dans une mesure suffisante pour exclure le droit à une rente. Sur opposition de F._, il a confirmé ce point de vue le 3 mars 2006.
B. L'intéressée a déféré la décision sur opposition à la Commission fédérale de recours en matière d'AVS/AI pour les personnes résidant à l'étranger (depuis le 1er janvier 2007: Tribunal administratif fédéral). Elle a été déboutée par jugement du 22 avril 2008.
C. F._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, dont elle demande l'annulation. En substance, elle conclut principalement à la reconnaissance de son droit à des prestations de l'assurance-invalidité et, à titre subsidiaire, à ce que soit ordonnée une instruction complémentaire sous la forme d'une expertise psychiatrique.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
1.2 A l'appui de ses conclusions, la recourante a produit en instance fédérale une décision rendue le 22 décembre 2006 par un magistrat "del Jutjat Social nùméro 25 de Barcelona", par laquelle elle a été reconnue "en situation d'incapacité permanente absolue" et mise au bénéfice de la prestation correspondante. Elle a précisé que cette décision a été contestée par l'Institut national de la Sécurité sociale espagnole.
Le point de savoir si cette pièce, établie à une date antérieure au prononcé du jugement attaqué, mais postérieure à celle de la clôture de l'échange d'écritures (le 7 septembre 2006) en première instance, est recevable devant le Tribunal fédéral au regard de l'<ref-law>, peut rester ouverte. Elle n'est en effet pas pertinente pour l'issue du présent litige, parce que la reconnaissance par les autorités espagnoles compétentes d'une "incapacité permanente absolue" n'aurait pas d'influence sur l'examen du droit à une rente de l'assurance-invalidité suisse. Le degré d'invalidité d'un assuré qui prétend une telle prestation est déterminé exclusivement d'après le droit suisse (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 257), même lorsque, comme en l'espèce, les dispositions de l'ALCP sont applicables à la contestation devant les autorités suisses.
2. Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente de l'assurance-invalidité. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et jurisprudentielles sur la notion et l'évaluation de l'invalidité (en particulier au moyen de la méthode mixte), ainsi que la jurisprudence rendue en matière de troubles somatoformes douloureux et de fibromyalgie, et de valeur probante des rapports médicaux, applicables au présent cas. Il suffit donc d'y renvoyer.
3. 3.1 Se fondant sur les rapports E 213 de la Sécurité sociale espagnole (des 28 janvier 2004 et 10 février 2005) et du docteur M._ du Service médical de l'intimé (avis du 6 février 2006), les premiers juges ont retenu que l'ensemble des atteintes (notamment polyarthrose modérée, scoliose dorso-lombaire et fibromyalgie) dont souffrait la recourante ne l'empêchaient pas d'exercer son ancienne activité de couturière sur machine ou toute autre activité adaptée dans une mesure excluant le droit à une rente d'invalidité. En particulier, ils ont considéré qu'une expertise psychiatrique n'était pas nécessaire, dès lors que ni les rapports médicaux E 213, ni celui de la doctoresse A._ ne faisaient état de troubles psychiques qui permettaient de soulever la question d'une interférence des troubles rhumatologiques avec des troubles psychiques d'une certaine gravité.
En substance, la recourante reproche à la première instance de recours fédérale de n'avoir pas mis en oeuvre une expertise pluridisciplinaire comprenant un volet psychiatrique, alors qu'une telle mesure d'instruction serait nécessaire pour évaluer les conséquences du diagnostic de fibromyalgie sur sa capacité de travail.
3.2 Conformément à la jurisprudence citée par les premiers juges (cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 72), une expertise psychiatrique - ou une expertise interdisciplinaire tenant à la fois compte des aspects rhumatologiques et psychiques - est en principe nécessaire quand il s'agit de se prononcer sur l'incapacité de travail qu'une fibromyalgie est susceptible d'entraîner. Une telle appréciation psychiatrique n'est toutefois pas indispensable lorsque le dossier médical comprend suffisamment de renseignements pour exclure l'existence d'une composante psychique aux douleurs de l'assuré qui revêtirait une importance déterminante au regard de la limitation de la capacité de travail. Le Tribunal fédéral des assurances a ainsi retenu qu'une expertise psychiatrique complémentaire n'était pas nécessaire dans un cas où un rhumatologue, titulaire d'un certificat AMPP en médecin psychosomatique et psychosociale, s'était également prononcé de manière circonstanciée sur d'éventuels problèmes psychiques sous-jacents aux troubles physiques de l'assuré (arrêt I 830/02 du 25 août 2003). De même, a-t-il considéré que des éclaircissements de la part d'un médecin psychiatre n'étaient pas nécessaires lorsqu'il n'existait aucun indice que l'assuré présentât une problématique psychique invalidante (arrêt I 761/01 du 18 octobre 2002, in SVR 2003 IV n° 11 p. 31).
3.3 Dans le cadre de sa première demande de prestations à l'assurance-invalidité, la recourante a été soumise à une expertise psychiatrique auprès du docteur S._. Selon le rapport de ce psychiatre (du 10 novembre 1999), la recourante souffrait, du point de vue psychique, d'un trouble somatoforme douloureux qui n'entraînait aucune limitation de sa capacité de travail; aucune comorbidité psychiatrique n'avait par ailleurs été relevée. Au cours de l'instruction de la seconde requête de la recourante, les médecins qui se sont prononcés ont retenu le diagnostic de fibromyalgie, sans mettre en évidence une évolution défavorable de la situation de l'assurée, en particulier sur le plan psychique. Ainsi, les médecins mandatés par l'intermédiaire de la Sécurité sociale espagnole n'ont pas fait état d'une problématique psychique (rapports des 28 janvier 2004 et 10 février 2005), pas plus que la doctoresse A._, consultée par la recourante (rapport du 3 janvier 2005). De son côté, le docteur M._ du Service médical de l'intimé a expressément exclu une péjoration de l'état de santé de la recourante depuis 2002 (date de la première décision de l'assurance-invalidité).
Compte tenu de ces éléments médicaux, qui ne laissent apparaître aucun indice en faveur d'une limitation de la capacité de travail de la recourante au plan psychique, une expertise psychiatrique se révèle superflue. Aussi, n'y a-t-il pas lieu de procéder au complément d'instruction sollicité par la recourante. Par ailleurs, on ne saurait reprocher à l'autorité judiciaire de première instance d'avoir renoncé, dans le cadre d'une appréciation anticipée des preuves (sur cette notion, voir <ref-ruling> consid. 4b p. 94) à mettre en oeuvre un examen psychiatrique.
3.4 Pour le surplus, l'autorité de recours de première instance a expliqué les raisons qui la conduisaient à suivre l'avis du docteur M._, plutôt que celui de son confrère R._ qui se trouvait en contradiction avec les rapports E 213 des 28 janvier 2004 et 10 février 2005, et à retenir, en conséquence, que la recourante était capable d'exercer son ancienne activité de couturière sur machine ou toute autre activité adaptée dans une mesure excluant le droit à une rente d'invalidité. Les critiques de la recourante, selon lesquelles l'autorité judiciaire de première instance n'aurait pas dûment pris en considération les conclusions du docteur R._, ne sont pas pertinentes. Il n'y a donc pas lieu de s'écarter des constatations de fait des premiers juges, ni de leur appréciation des preuves.
3.5 Il ressort de ce qui précède que le recours est mal fondé.
4. Vu l'issue de la procédure, la recourante qui succombe est tenue de prendre en charge les frais de justice (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif fédéral, Cour III, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 8 janvier 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless