Faits:
A.
Le 11 décembre 2003, le Dr W._, médecin-chirurgien FMH, a opéré Y._ à l'abdomen. L'intervention a eu lieu à la Clinique U._, exploitée par Z._ SA. Lors de l'ablation du drain cinq jours après l'opération, deux tubules sont restées dans l'abdomen de la patiente. Cette dernière s'est plainte par la suite de douleurs abdominales persistantes.
Le 23 novembre 2004, la Dresse A._, médecin-radiologue, a effectué un CT (tomographie assistée par ordinateur) abdominal à la Clinique X._. Celui-ci relevait la présence d'un corps étranger. La Dresse A._ ne l'a toutefois pas remarqué.
En février 2008, un autre médecin a découvert le corps étranger. Il l'a enlevé le 6 janvier 2009. Depuis lors, les douleurs de Y._ ont disparu.
B.
Par mémoire du 6 juin 2012, Y._ (demanderesse) a ouvert action contre W._. Elle concluait au paiement de 40'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral et 11'300 fr. en remboursement des frais de la procédure de preuve à futur.
En même temps que sa réponse, W._ a déposé deux requêtes d'appel en cause, l'une contre Z._ SA, l'autre contre la Fondation X._. Dans cette dernière requête, W._ alléguait qu'en cas d'admission de l'action intentée contre lui, il pourrait se retourner contre la Fondation X._ pour les conséquences de l'erreur commise par la radiologue du service de radiologie de la Clinique X._. Par jugements incidents du 22 avril 2013, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a admis la requête contre Z._ SA et rejeté celle dirigée contre la Fondation X._.
W._ a interjeté recours contre le second jugement. Par arrêt du 12 juin 2013 dont les considérants ont été notifiés le 22 août 2013, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours et confirmé le jugement attaqué.
En résumé, la cour cantonale a retenu que la Dresse A._ travaillait à la Clinique X._ comme radiologue indépendante, qu'elle était au bénéfice d'une assurance responsabilité civile personnelle et qu'elle n'était pas liée à la Fondation X._ par contrat de travail; elle en a déduit que la requête aurait due être dirigée contre la Dresse A._. A titre superfétatoire, les juges précédents relèvent que, selon le rapport d'expertise du Dr B._, aucune faute ni violation des règles de l'art ne peut être retenue en relation avec l'intervention du 23 novembre 2004 à la Clinique X._.
C.
W._ (recourant) interjette un recours en matière civile. Il conclut à ce que l'appel en cause de la Fondation X._ (intimée) soit admis.
L'intimée propose le rejet du recours. A la suite de la réponse, le recourant a déposé des observations.
Y._ et Z._ SA ont toutes deux déclaré s'en remettre à justice.

Considérant en droit:
1.
Le refus d'appel en cause est une décision partielle mettant fin à la procédure à l'égard d'un consort et est ainsi susceptible de recours (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 381 s.). Par ailleurs, l'arrêt attaqué a été rendu sur recours par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans une cause civile (<ref-law>) dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (<ref-law>). Le recours est interjeté par la partie qui n'a pas obtenu gain de cause en instance cantonale (<ref-law>). Enfin, il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Le recours en matière civile est recevable.
2.
Le recourant se plaint d'une violation de l'<ref-law>. A son sens, aucun élément ne démontre que l'intimée ne répond pas des actes des médecins agissant au sein de sa clinique; en particulier, le défaut de contrat de travail n'empêcherait pas que la responsabilité de l'intimée pour les auxiliaires puisse être engagée. Le recourant est d'avis par ailleurs qu'il a démontré dans sa requête d'appel en cause le lien de connexité entre les conclusions de la demanderesse et sa propre prétention envers l'intimée.
2.1. Aux termes de l'<ref-law>, le dénonçant peut appeler en cause le dénoncé devant le tribunal saisi de la demande principale en faisant valoir les prétentions qu'il estime avoir ( zu haben glaubt, ritiene de avere ) contre lui pour le cas où il succomberait. Dans sa requête, il doit uniquement indiquer les conclusions qu'il entend prendre contre le dénoncé et les motiver succinctement (<ref-law>). Il n'a pas à démontrer le bien-fondé ou la vraisemblance de ses prétentions pour le cas où il succomberait face au demandeur principal. Le juge appelé à statuer sur la requête d'appel en cause n'examine pas si les prétentions du dénonçant contre le dénoncé sont justifiées matériellement, ce qui sera, le cas échéant, l'objet du procès au fond ultérieur. A ce stade, le juge se limite à contrôler s'il existe un lien de connexité entre les prétentions du dénonçant et l'action principale. Pour admettre un tel lien, il suffit que les prétentions invoquées dépendent du sort de l'action principale et que le dénonçant puisse ainsi avoir un intérêt à une action récursoire contre le dénoncé; cet examen s'effectue sur la base des allégués du dénonçant (<ref-ruling> consid. 2.4.3 p. 74 s.). Si les conditions de l'appel en cause sont réunies, le juge doit l'admettre; il ne pourra le refuser en invoquant des motifs liés à l'économie de la procédure (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 73 s.).
2.2. L'autorité précédente a refusé l'appel en cause au motif que le recourant (dénonçant) n'aurait pas de prétentions contre l'intimée (dénoncée) au cas où l'action principale intentée contre lui par la demanderesse serait admise. Ce faisant, elle a procédé à un examen du bien-fondé des prétentions du dénonçant. Or, elle n'avait pas à le faire, puisque, conformément aux principes rappelés ci-dessus, elle devait se borner à déterminer si un lien de connexité existait entre les prétentions invoquées par le recourant et l'action principale de la demanderesse.
Au demeurant, le caractère mal fondé des prétentions à l'origine de l'appel en cause n'est pas évident en l'état. D'une part, une faute de la radiologue, qui n'a pas décelé le corps étranger, ne saurait être sans autre exclue, de même que la responsabilité de l'intimée ne peut être d'emblée écartée, à défaut de précisions sur les liens contractuels entre l'intimée et la demanderesse. D'autre part, le fait de ne pas avoir décelé le corps étranger pourrait être, avec une éventuelle faute antérieure du recourant, une cause concomitante des douleurs endurées par la demanderesse durant la période postérieure à l'examen radiologique, conduisant à une responsabilité solidaire envers la demanderesse. Un éventuel recours du recourant contre l'intimée en qualité de coresponsable paraît ainsi possible. Dès lors qu'il existe un lien de connexité entre les prétentions telles que présentées par le dénonçant et l'action principale de la demanderesse, c'est à tort que l'appel en cause de l'intimée a été refusé.
3.
Sur le vu de ce précède, le recours doit être admis. L'arrêt attaqué sera annulé et l'appel en cause sera admis.
En application des art. 67 et 68 al. 5 LTF, la cour de céans renverra la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale. Le dispositif de l'arrêt adressé aux parties et à la cour cantonale, muet sur ce point par inadvertance, sera complété dans ce sens.
L'intimée, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (<ref-law>) et versera des dépens au recourant (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens aux autres participantes à la procédure, qui s'en sont remises à justice.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé.
L'appel en cause de la Fondation X._ est admis.
2.
La cause est renvoyée à la Chambre des recours civile pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4.
L'intimée versera au recourant une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 23 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Godat Zimmermann