Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Entscheid vom 7. August 2012 hatte das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eine von B._ gegen den Beschluss des Bezirksrats vom 18. November 2011 (betreffend Sozialhilfe) gerichtete Beschwerde abgewiesen, soweit es darauf eingetreten war; gleichzeitig wurde das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung abschlägig beschieden. Das Bundesgericht hiess die dagegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten teilweise gut und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit eine öffentliche Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK durchgeführt werde (Urteil vom 3. Januar 2013 [Verfahren 8C_752/2012]). Ein hiegegen eingereichtes Revisionsgesuch wurde mit Urteil vom 19. Juli 2013 abgewiesen (Verfahren 8F_2/2013).
A.b. Am 21. März 2013 forderte das Verwaltungsgericht die Parteien verfügungsweise auf, sich zu den für die öffentliche Verhandlung vorgeschlagenen Terminen zu äussern. Tags darauf wandte sich B._ an das Gericht und ersuchte um Sistierung des Prozesses bis zur Erledigung des beim Bundesgericht noch hängigen Revisionsbegehrens sowie um Erlass eines Zwischenentscheids bezüglich der Gewährung von unentgeltlicher Prozessführung und Verbeiständung. Mit Verfügung vom 22. März 2013 sprach sich das kantonale Gericht gegen eine Verfahrenssistierung aus und setzte den Parteien erneut Frist, um sich zu den Terminvorschlägen vernehmen zu lassen. Dem Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wurde unter Hinweis auf die am 24. Januar 2012 erfolgte rechtskräftige Ablehnung nicht stattgegeben; über das Ersuchen um unentgeltliche Prozessführung werde - so das Gericht im Weiteren - nach Anhörung von B._ im zu treffenden Endentscheid zu befinden sein. Ferner teilte es mit, dass an der Verhandlung u.a. der Abteilungspräsident A._ als Vorsitzender mitwirken werde.
B.
Auf das in der Folge gegen den Abteilungspräsidenten gerichtete Ausstandsbegehren trat das Verwaltungsgericht mit Entscheid vom 19. April 2013 nicht ein.
C.
B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Ablehnung des Abteilungspräsidenten infolge Befangenheit. Zudem sei dem Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Ferner stellt er ein sämtliche Mitglieder der I. und II. sozialrechtlichen Abteilungen des Bundesgerichts betreffendes Ausstandsgesuch und ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.
D.
Mit Verfügung vom 19. Juli 2013 ist das Bundesgericht auf das gegen die eigenen Mitglieder gerichtete Ausstandsbegehren nicht eingetreten. Gleichenorts hat es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zufolge Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels abgewiesen und den Beschwerdeführer aufgefordert, einen Kostenvorschuss von Fr. 500.- einzuzahlen, was - nach Gewährung einer Fristverlängerung bis Ende Oktober 2013 - fristgerecht geschehen ist.

Erwägungen:
1.
Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen. Ebenfalls zulässig ist nach <ref-law> die Beschwerde u.a. gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über Ausstandsbegehren. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2.
Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
3.
3.1. In formeller Hinsicht bringt der Beschwerdeführer zunächst vor, es seien ihm im Rahmen seines Akteneinsichtsrechts die vollständigen Akten der Vorinstanz mittels eingeschriebener Post zuzustellen.
3.2. Grundsätzlich ist die zur Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht notwendige Einsicht in die Vorakten innert der Beschwerdefrist bei der Vorinstanz zu beantragen (Urteil 8C_300/2008 vom 28. November 2008 E. 2.2 mit Hinweis). Anders verhält es sich lediglich, falls und soweit die Akteneinsicht zuvor verweigert wurde und erst durch das Bundesgericht zu gewähren wäre (<ref-ruling> Sachverhalt S. 196; Laurent Merz, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 41 zu <ref-law>). Für Letzteres bestehen indes weder Anhaltspunkte noch wird eine derartige Sachlage in der Beschwerde geltend gemacht. Im letztinstanzlichen Verfahren wurden sodann seitens der übrigen Verfahrensbeteiligten keine weiteren, dem Beschwerdeführer nicht bekannte, entscheidwesentliche Unterlagen aufgelegt. Im Übrigen erschöpft sich das verfassungsmässig garantierte Akteneinsichtsrecht grundsätzlich darin, die Akten am Ort der urteilenden Behörde einzusehen, sich Notizen davon zu machen und Fotokopien anzufertigen bzw. anfertigen zu lassen, sofern der Behörde daraus nicht ein unverhältnismässiger Aufwand entsteht (<ref-ruling> E. 2b S. 112 mit Hinweisen). Entsprechend verstösst es nach der Rechtsprechung auch nicht gegen das Gleichbehandlungsprinzip, wenn die Akten nur den im Anwaltsregister eingetragenen Rechtsanwälten, nicht aber privaten Beschwerdeführern herausgegeben werden (oben in A.a erwähntes Urteil 8F_2/2013 E. 3.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3 S. 8 f., bestätigt in Urteilen 5A_571/2012 vom 19. Oktober 2012 E. 3.2 und 5A_349/2009 vom 23. Juni 2009 E. 3.4).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer beantragt im Weiteren die Durchführung einer mündlichen und parteiöffentlichen Parteiverhandlung sowie Beratung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
4.2. Ausstandsverfahren betreffen, da damit einzig über eine prozessuale Frage zu befinden ist, nach ständiger Rechtsprechung keine zivil- oder strafrechtliche Angelegenheit im Sinne der erwähnten Konventionsbestimmung (Urteil 8C_146/2013 vom 8. März 2013 E. 4 u.a. mit Hinweis auf Urteil 1P.428/2001 vom 14. Dezember 2001 E. 2). Es sind auch keine anderweitigen Gründe ersichtlich, welche eine mündliche Parteiverhandlung (<ref-law>) oder eine mündliche Beratung (<ref-law>) indizierten, weshalb dem Ersuchen nicht entsprochen werden kann.
5.
5.1. Gemäss § 5a Abs. 1 lit. a des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zürich vom 24. Mai 1959 (VRG; LS 175.2) treten Personen, die eine Anordnung zu treffen, dabei mitzuwirken oder sie vorzubereiten haben, in den Ausstand, wenn sie in der Sache persönlich befangen erscheinen, insbesondere, wenn sie in der Sache ein persönliches Interesse haben.
5.2. Der Beschwerdeführer begründete sein gegen den vorinstanzlichen Abteilungspräsidenten gerichtetes Ausstandsbegehren im Wesentlichen mit dem Argument, dieser sei ihm gegenüber feindselig eingestellt und in der Sache vorbefasst. Das zeige sich deutlich anhand nicht eingehaltener massgeblicher gesetzlicher Bestimmungen und Verfahrensvorschriften. Daher und wegen der Folgen der "fortwährenden schikanösen und menschenunwürdigen Behandlungen" werde auch eine Strafanzeige wegen Amtsmissbrauchs ins Auge gefasst.
5.2.1. Das kantonale Gericht ist in eingehender Würdigung der Aktenlage zum Schluss gelangt, die vom Beschwerdeführer gegenüber dem Abteilungspräsidenten geäusserten Vorwürfe erschöpften sich in pauschalen, allgemein gehaltenen Behauptungen, welche mangels genügender Substanziierung nicht geeignet seien, einen Ablehnungs- bzw. Ausstandsgrund darzutun. Namentlich die Beteiligung von Gerichtspersonen an früheren Verfahren oder der Umstand, dass gegen einzelne Richterinnen und Richter Strafanzeige erhoben bzw. angedroht werde, belege rechtsprechungsgemäss nicht deren Befangenheit. Im Übrigen könne ein Ablehnungs- oder Ausstandsverfahren nicht der Beurteilung behaupteter Verfahrens- oder anderer Fehler der Richterin oder des Richters dienen; derartige Rügen seien vielmehr im dafür vorgesehenen Rechtsmittelverfahren geltend zu machen.
5.2.2. Die dagegen in der Beschwerde erhobenen Einwendungen vermögen zu keinem anderen Ergebnis zu führen, zumal das Bundesgericht in kognitionsrechtlicher Hinsicht an den vorinstanzlich (rechts-) mängelfrei festgestellten Sachverhalt gebunden ist (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-law>). Insbesondere die seitens des Beschwerdeführers angedrohte Einleitung einer Strafanzeige und/oder aufsichtsrechtlicher Schritte rechtfertigte nicht den Ausstand des Abteilungspräsidenten. Andernfalls bestünde die Gefahr des Rechtsmissbrauchs und der Möglichkeit, dass die am Recht stehende Person mit einem derartigen Vorgehen in verfassungswidriger Weise und aus sachfremden Motiven ihre Richterinnen und Richter gewissermassen auswählen könnte (Urteil 1P.514/2002 vom 13. Februar 2003 E. 2.5 mit diversen Hinweisen). Anderweitige Gründe, welche die Vorinstanz hätten dazu veranlassen sollen, auf das Ausstandsersuchen einzutreten, sind nicht auszumachen bzw. wurden nicht in der erforderlichen Begründungsdichte dargelegt.
6.
Mit dem Urteil in der Hauptsache ist die Frage der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos (Urteil 9C_922/2008 vom 16. Januar 2009 E. 5 mit Hinweis).
7.
7.1. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde wird im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> - ohne Durchführung eines Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den kantonalen Entscheid (Art. 102 Abs. 1 und Art. 109 Abs. 3 BGG) - erledigt.
7.2. Ausgangsgemäss sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 Abs. 4 lit. a und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist mit Verfügung vom 19. Juli 2013 infolge Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens abgewiesen worden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Januar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Fleischanderl