Sachverhalt:
A. A._, die leibliche Tochter von X._ und M._, bezieht seit dem 1. Dezember 1994 materielle Hilfe von der Einwohnergemeinde Y._. Sie absolvierte vom 4. Februar bis 24. Februar 2003 einen Drogenentzug in der Klinik für Suchtkranke K._. Anschliessend trat sie in das sozialtherapeutische Übergangsprogramm der Klinik K._ und ab dem 28. April 2003 zur Fortsetzung einer stationären Langzeittherapie ins Reha-Zentrum für Drogenabhängige in L._ über, wo sie sich bis ca. Ende 2003 aufhielt (angefochtenes Urteil, act. 2, E. 3.3.). Während der Aufwand des Drogenentzuges bis auf einen Selbstbehalt von 10 % von der Krankenversicherung übernommen wurde, deckte die Einwohnergemeinde die ungedeckten Kosten der stationären Behandlung in den Kliniken K._ und L._ und übernahm überdies auch weitere Auslagen und die Krankenkassenprämien; ferner richtete sie der Tochter während der Klinikaufenthalte ein monatliches Sackgeld aus.
B. B.a Am 5. Januar 2004 klagte die Einwohnergemeinde Y._ gegen X._ und M._ gestützt auf Art. 328/329 ZGB auf Zahlung von Fr. 78'447.40 zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 5. Januar 2004 für die der Tochter A._ in der Zeit vom 1. Januar 2003 bis 31. Dezember 2003 geleistete Unterstützungshilfe. Das Bezirksgericht Aarau hiess die Klage mit Urteil vom 31. August 2005 im Umfang von Fr. 78'187.30 zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 5. Januar 2004 gut. Laut dem bezirksgerichtlichen Urteil ergibt sich die Differenz zum eingeklagten Betrag (Fr. 78'447.40) daraus, dass die Krankenkassenprämie für Januar 2003 nicht Fr. 235.40, sondern lediglich Fr. 65.30 betrug und die Tochter im April 2003 lediglich 28 statt der in der Klage angegebenen 30 Tage in der Klinik K._ und weitere 2 Tage in L._ untergebracht war, weshalb das Pensionsgeld sowie der Betrag für das Taschengeld tiefer ausfielen als angegeben.
B.b Mit Urteil vom 9. Januar 2007 hiess das Obergericht des Kantons Aargau eine Appellation der Eltern teilweise gut, verneinte die solidarische Haftbarkeit von M._ und wies die gegen sie erhobene Klage ab; demgegenüber hiess es die Klage gegen X._ in dem vom Bezirksgericht angegebenen Umfang gut und regelte die Kosten des Verfahrens.
C. X._ hat gegen das obergerichtliche Urteil beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Darin beantragt er zusammengefasst, das Urteil des Obergerichts aufzuheben, soweit es ihn betrifft, und die Klage abzuweisen.
Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet; die Einwohnergemeinde schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht in Kraft getreten (BGG; SR 173.110; AS 2006 1205, 1243). Das angefochtene Urteil ist nach Inkrafttreten des Gesetzes ergangen, weshalb dieses Gesetz anzuwenden ist (<ref-law>).
1.2 Im vorliegenden Fall geht es um einen behaupteten Anspruch aus Verwandtenunterstützung, mithin um eine Zivilsache (<ref-law>). Das angefochtene Urteil ist letztinstanzlich (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG); vor der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) war ein Betrag von mehr als Fr. 78'000.-- streitig, womit der erforderliche Streitwert von mindestens Fr. 30'000.-- (<ref-law>) ohne weiteres gegeben ist. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich zulässig.
2. 2.1 Die Beschwerde nach <ref-law> hat nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95 f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten wird. In der Beschwerdeschrift ist entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen des Art. 55 Abs. 1 lit. c OG (Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001, S. 4207 ff., Ziff. 4.1.2.4 zu Art. 39 Entwurf, S. 4294) auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen, welche Vorschriften (Botschaft, a.a.O., Ziff. 2.2.4, S. 4232) und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 3 S. 749).
2.2 Der im Urteil des Obergerichts der Beschwerdegegnerin zugesprochene Betrag von Fr. 78'187.30 setzt sich laut der Aufstellung des Bezirksgerichts Aarau (act. 3 S. 17 f.) einmal aus der Miete für Januar 2003, den Kosten für den Umzug und die Instandstellung der Wohnung, der Wohnbegleitung, dem Taschengeld der Tochter, den Auslagen für Kleidung sowie den Krankenkassenprämien für das Jahr 2003, abzüglich eines Überschusses an Krankenkassengutschriften zusammen. Dieser Teilbetrag beläuft sich auf Fr. 6'017.30. Ein weiterer Teilbetrag beschlägt die Pensionsgelder der Klinik K._ und der Reha-Klinik L._ und macht insgesamt Fr. 72'170.-- aus. Der Beschwerdeführer richtet sich in der Beschwerde gegen die Pensionsgelder für die Klinik K._ und die Reha-Klinik L._ (Beschwerde, act. 1 S. 5 Art. 3). Er legt indes nicht dar, inwiefern die Zusprechung des Teilbetrages von Fr. 6'017.30 gegen Art. 328 bzw. 329 ZGB verstösst oder sonst wie Bundesrecht verletzt. Die Behandlungsbedürftigkeit der Tochter des Beschwerdeführers im Jahr 2003, die Notwendigkeit der Behandlung in einer Anstalt sind ebenso wenig bestritten, wie die Tatsache, dass der Tochter während des Aufenthaltes in einer Anstalt ein Taschengeld ausbezahlt werden muss. Nicht substanziiert bestritten sind schliesslich die Kosten für die Miete sowie die Instandstellung der Wohnung, für die Wohnbegleitung sowie die Auslagen für die Bekleidung und die Krankenkassenprämien für 2003. Auch in diesem Zusammenhang wird nicht rechtsgenüglich dargetan, inwiefern eine Zusprechung des entsprechenden Betrages <ref-law> verletzt. Mit Bezug auf den Betrag von Fr. 6'017.30 nebst Zins erweist sich die Beschwerde als nicht den gesetzlichen Anforderungen entsprechend begründet; darauf ist nicht einzutreten.
3. 3.1 Das Obergericht hat die Klage mit Bezug auf die von der Beschwerdegegnerin im Rahmen der materiellen Hilfe bezahlten Pensionsgelder der Kliniken K._ und L._ für das Jahr 2003 geschützt und dazu im Wesentlichen erwogen, nach § 14 Abs. 1 des Sozialhilfe- und Präventionsgesetzes des Kantons Aargau (SPG) übernehme die aargauische Wohnsitzgemeinde die Kosten des Aufenthaltes drogenabhängiger Personen in einer anerkannten Therapieeinrichtung als materielle Hilfe. Aus den vorliegenden Unterlagen ergebe sich, dass die Beschwerdegegnerin bei Erteilung der Kostengutsprache für die Therapieaufenthalte in K._ und L._ die Therapiebedürftigkeit und -bereitschaft von A._ abgeklärt habe. Von den Beklagten sei nie bestritten worden, dass die Voraussetzungen der Behandlungsbedürftigkeit und -bereitschaft sowie die Eignung der gewählten Anstalten erfüllt waren. Die Kliniken K._ und L._ befänden sich nicht auf der Spitalliste der medizinischen Einrichtungen für Suchtkranke und gälten daher nicht als von der obligatorischen Krankenversicherung zugelassene Leistungserbringer im Sinne von <ref-law>. Damit sei gleichzeitig auch dargetan, dass die Beschwerdegegnerin - ausser den Kosten des Drogenentzuges - keine weiteren Leistungen an die Therapieaufenthalte erhältlich machen konnte. Dies ändere nichts daran, dass die Beschwerdegegnerin die entsprechenden Kosten habe tragen müssen, nachdem die gesetzlichen Voraussetzungen für eine Kostenübernahme im Rahmen der materiellen Hilfe gegenüber A._ erfüllt gewesen seien. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung dürften kantonale Gerichte im Bereich der Verwandtenunterstützung auf den Bedarf abstellen, der anhand der Kriterien für die Gewährung der Sozialhilfe berechnet worden sei (<ref-ruling> E. 2.4). Da die Kosten der Therapieaufenthalte in den beiden Kliniken als notwendige Behandlungs- und Lebensunterhaltskosten im Sinne von § 14 SPG gälten, sei die Beschwerdegegnerin berechtigt, deren Rückerstattung unter dem Titel der Verwandtenunterstützung zu verlangen, ohne dass weiter abzuklären wäre, ob im Kanton Aargau von den Krankenkassen anerkannte Einrichtungen für die Langzeittherapie bestünden (Urteil S. 10 f., E. 3.3.1. und 3.3.2.)
3.2 Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, das Obergericht habe ausschliesslich kantonales Recht (§ 14 SPG) angewendet und den Sachverhalt nicht nach den Kriterien von <ref-law> geprüft (Beschwerde S. 4 f., Art. 2). Auch die Vorinstanz gehe davon aus, dass keine Unterstützung nach <ref-law> verlangen könne, wem ausreichende Sozialversicherungsleistungen zustünden. Die Langzeittherapie der Tochter falle unter die krankenkassenversicherten Leistungen, zumal Drogensucht als Krankheit im Sinne von Art. 3 des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG; SR 830.1) gelte. Unter diesen Umständen seien ausreichende Sozialversicherungsleistungen erhältlich gewesen, wobei keine Rolle spiele, ob im Kanton Aargau tatsächlich von der Krankenkasse anerkannte Leistungserbringer vorhanden seien. Die Wahl einer nicht anerkannten Institution führe daher zu einer Verwirkung des Unterstützungsanspruchs (Beschwerde S. 9, Art. 4, Ziff. 1 und S. 11, Ziff. 6).
3.3 Die Beschwerdegegnerin unterstützt in der Vernehmlassung im Wesentlichen die Argumentation des angefochtenen Urteils und bringt insbesondere vor, das Gesetz verlange bei der Definition des Begriffs der "Not" nicht, dass die Therapie- und Heilungskosten nur bei Institutionen anfallen dürften, welche ihre Leistungen "zu Lasten der obligatorischen Krankenversicherung" erbrächten. Vielmehr gehe es darum, dass die Bedürftige dort behandelt werde, wo ein geeignetes Behandlungsangebot bestehe (Vernehmlassung S. 6, zu 1.). Die Beschwerdegegnerin bestreitet insbesondere, dass der Tochter keine Wahlfreiheit habe zugestanden werden dürfen. Die Wahlfreiheit habe jedoch ihre Grenzen und es kämen nur Institutionen in Frage, die für die Behandlung der Sucht geeignet seien. Entscheidend sei nicht, ob die Krankenkasse zahle, sondern ob die Therapieeinrichtung im Sinne von § 15 SPG vom Kanton bewilligt und anerkannt sei und ob Fachleute die Anstalt als geeignet bezeichnen würden (Vernehmlassung S. 13, zu 7.).
4. Wie der Beschwerdeführer zu Recht bemerkt, entscheidet sich allein gestützt auf Art. 328 bzw. 329 ZGB, ob ein Anspruch auf Verwandtenunterstützung und ein allfälliger Rückerstattungsanspruch der Beschwerdegegnerin besteht, welche Leistungen an die Therapie der Tochter des Beschwerdeführers erbracht hat. Dabei kann es entgegen der Auffassung der Beschwerdegegnerin nicht darauf ankommen, ob die Therapieeinrichtung im Sinne von § 15 SPG vom Kanton bewilligt und anerkannt worden ist. Soweit das Obergericht unter Berufung auf <ref-ruling> E. 2.4 davon ausgeht, dass bei der Verwandtenunterstützung hinsichtlich der Therapiekosten auf den Bedarf abgestellt werden dürfe, der anhand der Sozialhilfe berechnet werde (Urteil S. 10, 3.3.2.), kann ihm nicht beigepflichtet werden. Im zitierten Urteil hat das Bundesgericht erkannt, dass sich der zu Unterstützungszahlungen gemäss <ref-law> Verpflichtete nicht einen höheren Bedarf des Ansprechers anrechnen lassen muss als das Gemeinwesen, und hat damit seine frühere Rechtsprechung (<ref-ruling>) aufgegeben, wonach die Verwandtenunterstützung weiter gehe als die Sozialhilfe (<ref-ruling> E. 2.4 S. 102 f.). Aus dem publizierten Entscheid ergibt sich aber nicht, dass das Gemeinwesen die den Kriterien entsprechende und gewährte Sozialhilfe ohne weiteres von den unterstützungspflichtigen Verwandten erhältlich machen kann.
5. 5.1 Wer in günstigen Verhältnissen lebt, ist verpflichtet, Verwandte in auf- und absteigender Linie zu unterstützen, die ohne diesen Beistand in Not geraten würden (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung befindet sich in einer Notlage im Sinne dieser Bestimmung, wer sich das zum Lebensunterhalt Notwendige nicht mehr aus eigener Kraft verschaffen kann (<ref-ruling> E. 3 S. 442). Der Unterstützungsanspruch geht in der Regel auf die Verschaffung von Nahrung, Kleidung, Wohnung sowie ärztlicher Betreuung und Heilmitteln bei Krankheit (<ref-ruling> E. 3a S. 292; <ref-ruling> E. 2.2 S. 100), aber auch auf Beschaffung der Mittel, welche zur Deckung der Kosten des Aufenthalts und der Behandlung Suchtabhängiger in einer Anstalt nötig sind (Judith Widmer, Verhältnis der Verwandtenunterstützungspflicht zur Sozialhilfe in Theorie und Praxis, Zürich 2001, S. 49). Im Lichte der aufgezeigten Grundsätze kann keine Unterstützung verlangen, wem ausreichende Sozialversicherungsleistungen zustehen (Hegnauer, Grundriss des Kindesrechts, 5. Aufl. 1999, Rz. 29.09, S. 241), liegt doch diesfalls keine Notlage vor.
Mit Bezug auf die Kosten des Aufenthalts und der Behandlung Suchtabhängiger ist für die Beantwortung der Frage, ob eine Notlage vorliegt, nicht massgebend, ob die für die Behandlung der Betroffenen gewählte Einrichtung der kantonalen Sozialhilfegesetzgebung entspricht; nicht von Bedeutung ist ferner, dass das nunmehr gegen die unterstützungspflichtigen Verwandten klagende Gemeinwesen gestützt auf die kantonale Sozialhilfegesetzgebung die Behandlungskosten eines nach <ref-law> Unterstützungsberechtigten getragen hat. Eine Notlage im Sinne des Gesetzes liegt vor, wenn kein dem Behandlungsbedürfnis des Suchtkranken entsprechendes und anerkanntes Angebot an Behandlungsanstalten besteht, dessen Kosten vom obligatorischen Krankenversicherer getragen werden; ebenso dürfte sie zu bejahen sein, wenn zwar eine solche Einrichtung besteht, die entsprechenden Kosten aber vom obligatorischen Krankenversicherer - etwa aufgrund eines Selbstbehalts des Versicherten - nicht voll übernommen werden.
5.2 Die Beweislast dafür, dass eine Notlage vorliegt, die einen Anspruch aus <ref-law> begründet, obliegt dem Ansprecher (BGE 60 II 266 E. 4 S. 268; Kummer, Berner Kommentar, N. 148 zu <ref-law>; Koller, Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 3. Aufl. 2006, N. 13 zu Art. 328/329 ZGB; Albert Banzer, Die Verwandtenunterstützungspflicht nach Art. 328/329 ZGB, Diss. Zürich 1979, S. 196; Widmer, a.a.O., S. 54). Klagt das Gemeinwesen, welches aufgrund erbrachter Leistungen kraft gesetzlicher Subrogation in die Rechte des Ansprechers eingetreten ist (Art. 329 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>), obliegt ihm der Beweis der Notlage (vgl. Koller, a.a.O., N. 20 zu Art. 328/329 ZGB).
5.3 Unter Berücksichtigung der vorgenannten Grundsätze oblag der Beschwerdegegnerin als Gemeinwesen, welches aufgrund erbrachter Leistungen in die Rechtsstellung der Tochter des Beschwerdeführers eingetreten ist, der Beweis dafür, dass die obligatorische Krankenversicherung der Tochter für die Langzeitbehandlung nicht oder nicht voll aufkommt bzw. dass die angebotene Leistung der Versicherung dem Behandlungsbedürfnis der suchtkranken Tochter nicht entspricht.
Im kantonalen Appellationsverfahren hatten die appellierenden Eltern gerügt, die Beschwerdegegnerin habe weder behauptet noch bewiesen, dass ihre Tochter in eine von der Krankenkasse nicht anerkannte Institution habe eintreten müssen, so dass die Beschwerdegegnerin den Nachweis der Notlage schuldig geblieben sei (Urteil S. 8, Abs. 2). Das Obergericht hat nicht abgeklärt, ob überhaupt Krankenkasseneinrichtungen für die Langzeittherapie von Suchtkranken bestehen, die den Bedürfnissen der Drogenkranken entsprechen und deren Kosten vom Krankenversicherer der Tochter des Beschwerdeführers übernommen werden; die Beschwerdegegnerin hat ihrerseits in diesem Zusammenhang keine Tatsachen vorgebracht und auch keine Beweise angetragen. Indem das Obergericht der Beschwerdegegnerin ohne weiteres den Ersatz des geleisteten Betrages der von der Krankenversicherung nicht übernommenen Behandlungs- und Therapiekosten zugesprochen hat, verletzte es sowohl <ref-law> als auch die Bestimmung über die Verwandtenunterstützung (<ref-law>). Das angefochtene Urteil ist somit aufzuheben, soweit es die Parteien des vorliegenden Beschwerdeverfahrens betrifft.
5.4 Indes erübrigt es sich, die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zwar wird das die Verwandtenunterstützung betreffende kantonale Verfahren laut den obergerichtlichen Ausführungen von der Untersuchungsmaxime beherrscht (angefochtenes Urteil E. 1), die grundsätzlich auch im Appellationsverfahren kein Novenverbot kennt (Bühler/Edelmann/Killer, Kommentar zur aargauischen Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 1998, N. 7 zu <ref-law>). Aber auch die Untersuchungsmaxime entbindet die Parteien nicht von ihrer Mitwirkungspflicht (Bühler/Edelmann/Killer, a.a.O., N. 43 zu <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 413), aufgrund derer es an der Beschwerdegegnerin gelegen wäre, die erforderlichen tatsächlichen Grundlagen zur Bejahung einer Notlage im Sinne des Gesetzes darzutun und auch die Beweise für die vorgebrachten Tatsachen anzutragen. Da die Beschwerdegegnerin ihrer Mitwirkungspflicht nicht nachgekommen ist, bleibt die Notlage unbewiesen. Bei diesem offenen Beweisergebnis ist die Klage abzuweisen, soweit sie die Kosten der beiden Kliniken (Fr. 72'170.--) betrifft.
6. Der Beschwerdeführer obsiegt grösstenteils, bleibt es doch lediglich im Umfang von Fr. 6'017.30 nebst Zins beim angefochtenen Urteil, während die Klage im Hauptpunkt (Fr. 72'170.--) abgewiesen worden ist. Da der Streit Vermögensinteressen der Beschwerdegegnerin als Gemeinwesen betrifft, können ihr Gerichtskosten auferlegt werden (<ref-law>). Angesichts des Verfahrensausgangs rechtfertigt es sich, ihr die gesamten Verfahrenskosten aufzuerlegen (<ref-law>) und sie überdies zu verhalten, den Beschwerdeführer voll zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, vom 9. Januar 2007 wird aufgehoben, soweit es die Parteien des vorliegenden Beschwerdeverfahrens betrifft.
2. In Abänderung von Ziffer 1.1 des obergerichtlichen Urteils wird Ziff. 1. des Urteils des Bezirksgerichts Aarau vom 31. August 2005 wie folgt neu gefasst:
"In teilweiser Gutheissung der Klage wird der Beklagte 1 verpflichtet, der Klägerin Fr. 6'017.30 nebst Zins zu 5 % seit dem 5. Januar 2004 für die in der Zeit vom 1. Januar 2003 bis 31. Dezember 2003 für die Tochter A._ geleistete Unterstützungshilfe zu bezahlen. Im Übrigen wird die Klage abgewiesen."
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'500.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
5. Die Sache wird zur neuen Verlegung der Kosten und Entschädigungen der kantonalen Verfahren an das Obergericht zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: