Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 28. Januar 2014 verneinte die IV-Stelle Uri einen Anspruch von A._ auf Leistungen der Invalidenversicherung. A._ erhob hiegegen am 15. Februar 2014 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Uri. Gleichentags stellte sie zudem bei der IV-Stelle ein Gesuch um Wiedererwägung der Verfügung vom 28. Januar 2014. Sie berief sich in beiden Eingaben auf einen Arztbericht vom 12. Februar 2014.
Mit Schreiben vom 20. Februar 2014 teilte die IV-Stelle der Versicherten mit, durch das Arztzeugnis vom 12. Februar 2014 werde eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes angezeigt resp. eine neue, der Verwaltung bisher nicht bekannte gesundheitliche Situation belegt. Die IV-Stelle könne das Wiedererwägungsbegehren daher als Neuanmeldung entgegennehmen. Sie werde die notwendigen Abklärungen in die Wege leiten und den Leistungsanspruch neu prüfen.
A._ hielt hierauf mit Schreiben vom 4. März 2014 an die Verwaltung und in Kopie an das Obergericht fest, da gemäss dem Schreiben vom 20. Februar 2014 betreffend Wiederanmeldung auf das Wiedererwägungsgesuch eingetreten werde, erübrige sich eine weitere Behandlung der Beschwerde und könne das Verfahren abgeschrieben werden.
B.
Mit Entscheid vom 27. März 2014 schrieb das Obergericht das Beschwerdeverfahren als erledigt ab (Dispositiv-Ziff. 1). Es auferlegte der IV-Stelle Gerichtskosten (Dispositiv-Ziff. 2).
Die IV-Stelle ersuchte das Obergericht mit Schreiben vom 1. April 2014 darum, von der Auflegung von Kosten abzusehen. Das Obergericht lehnte dies mit Schreiben vom 4. April 2014 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, Dispositiv-Ziff. 2 des vorinstanzlichen Entscheids sei aufzuheben.
Das Obergericht verweist in seiner Vernehmlassung auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid. A._ äussert sich, ohneeinen Antrag zu stellen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Der vorinstanzliche Entscheid ist nicht angefochten, soweit er auf Abschreibung des kantonalen Verfahrens lautet. Daran ist das Bundesgericht gebunden (vgl. <ref-law>).
2.
Die Beschwerde richtet sich dagegen, dass der Verwaltung Gerichtskosten auferlegt wurden.
2.1. Das kantonale Gericht hat dies damit begründet, die IV-Stelle habe mit Schreiben vom 20. Februar 2014 dem Gesuch der Versicherten um Wiedererwägung der Verfügung vom 28. Januar 2014 entsprochen und nehme eine neuerliche Sachverhaltsabklärung sowie Leistungsprüfung vor. Damit sei das Anfechtungsobjekt verloren gegangen, weshalb das Verfahren als gegenstandslos abzuschreiben sei. Die Gerichtskosten habe die demnach als unterliegend zu betrachtende Verwaltung zu tragen.
Die Beschwerde führende IV-Stelle bestreitet, auf ihre Verfügung zurückgekommen zu sein. Vielmehr habe sie sich im ganzen vorinstanzlichen Verfahren kein einziges Mal geäussert. Sie habe der Versicherten im Schreiben vom 20. Februar 2014 in Beantwortung von deren Schreiben vom 15. Februar 2014 einzig mitgeteilt, sie werde die Verschlechterung des Gesundheitszustandes abklären und den Leistungsanspruch neu prüfen. Die Verfügung vom 28. Januar 2014 habe nach wie vor Bestand. Das Obergericht hätte bei dieser Sachlage die Verfahrenskosten nicht, und erst recht nicht ohne Begründung, der Verwaltung auferlegen dürfen. Die Kosten hätten vielmehr der Versicherten überbunden werden müssen, da diese sinngemäss die Beschwerde zurückgezogen habe.
2.2. Es steht fest, dass das Obergericht nach Erhalt des Schreibens der Versicherten vom 4. März 2014 der Verwaltung keine Gelegenheit zur Stellungnahme gegeben hat. Das ist nachzuholen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 344 f.). Der angefochtene Entscheid ist im Kostenpunkt aufzuheben und die Sache ist an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Dieses hat der IV-Stelle das rechtliche Gehör zu gewähren. Anschliessend ist über die Kostenfrage neu zu entscheiden, wobei es der Vorinstanz unbenommen ist, von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen. In diesem Sinne ist die Beschwerde gutzuheissen.
3.
Die gegebenen Umstände lassen es gerechtfertigt erscheinen, auf die Erhebung von Kosten für das vorliegende Verfahren zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und Dispositiv-Ziffer 2 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Uri vom 27. März 2014 aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, A._ und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Juli 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz