Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Mit Urteil vom 9. August 2007 (U 221/05) wies das Bundesgericht eine Verwaltungsgerichtsbeschwerde des B._ gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 27. April 2005 (betreffend Leistungen der Unfallversicherung) ab.
B._ wendet sich mit einem Revisionsgesuch vom 25. Oktober 2007 (Poststempel) an das "Eidgenössische Versicherungsgericht".
2. Auf den 1. Januar 2007 wurden das Bundesgericht in Lausanne und das Eidgenössische Versicherungsgericht in Luzern zu einem einzigen Bundesgericht zusammengefügt. Gleichzeitig trat das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft (AS 2006 1205, 1243). Weil das vorliegende Verfahren nach dem Inkrafttreten des BGG eingeleitet wurde, richtet es sich nach diesem Gesetz (<ref-law> e contrario; vgl. <ref-ruling> E. 1).
3. 3.1 Die Aufhebung oder Abänderung eines in Rechtskraft erwachsenen letztinstanzlichen Urteils ist nur bei Vorliegen eines Revisionsgrundes gemäss <ref-law> möglich. Dabei ist im Revisionsgesuch darzulegen und zu begründen, inwiefern mit dem angefochtenen Urteil ein Revisionsgrund gesetzt worden sein soll (vgl. <ref-law>); die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. der Gesuchsteller hat sich mit den massgeblichen Entscheidgründen des Urteils, dessen Revision er beantragt, auseinanderzusetzen und muss darlegen, inwiefern gerade in Bezug auf diese Entscheidgründe ein Revisionsgrund vorliege (nicht veröffentlichte Urteile M. vom 21. November 2007, 8F_9/2007, S. vom 8. Oktober 2007, 2F_9/2007, und B./M. vom 13. August 2007, P 50/06).
3.2 Im vorliegenden Revisionsgesuch vom 25. Oktober 2007 wird nicht dargelegt, inwiefern mit dem angefochtenen Urteil vom 9. August 2007 einer der gesetzlichen Revisionsgründe (Art. 121-123 BGG) gesetzt worden sein soll; auch erfolgt im Gesuch keine Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des Urteils vom 9. August 2007, und es wird nicht dargelegt, inwiefern gerade in Bezug auf diese Entscheidgründe ein Revisionsgrund gegeben sein soll. Vielmehr beschränkt sich der Gesuchsteller im Wesentlichen darauf, Kritik an den Gegenstand des früheren bundesgerichtlichen Verfahrens bildenden Sachverhaltsfeststellungen bzw. an den dem angefochtenen Urteil zugrunde liegenden medizinischen Würdigungen zu üben, indem er seine anderslautende Sicht der Dinge gegenüberstellt. Solche Kritik ist jedoch im Revisionsverfahren nicht zu hören. Es muss daher bei der Feststellung sein Bewenden haben, dass sich das Revisionsgesuch mangels hinreichender Substantiierung als offensichtlich unzulässig erweist.
3.3 Auf das Revisionsgesuch ist daher ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) nicht einzutreten. Unter den gegebenen Umständen kann offenbleiben, ob das Gesuch überhaupt rechtzeitig eingereicht worden ist (s. <ref-law>).
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Februar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Batz