Faits:
A.
M. A.X._ (1967) et Mme B.X._ (1976), se sont mariés le 22 novembre 2001. Une enfant est issue de leur union: D._ (2002).
Le 15 juin 2009, une importante dispute a éclaté entre les conjoints. Suite à ces faits, l'époux a été condamné à une peine privative de liberté de 10 ans pour tentative d'assassinat sur sa fille et lésions corporelles simples au préjudice de son épouse. Le 24 juin 2009, celle-ci a déposé une requête de mesures protectrice de l'union conjugale. A l'audience du 3 juillet 2009, les parties sont convenues de confier la garde de l'enfant à sa mère, et de réserver leurs autres prétentions pour une éventuelle prochaine procédure de mesures protectrices de l'union conjugale ou de divorce.
B.
Le 20 septembre 2011, l'épouse a déposé une requête unilatérale de divorce. A l'audience du 20 janvier 2012, l'époux s'est opposé au prononcé du divorce, a sollicité subsidiairement le maintien de l'autorité parentale conjointe, avec octroi de la garde à son épouse tant qu'il serait lui-même détenu; il a également sollicité l'aménagement d'un droit de visite " usuel ", à mettre sur pied par le biais d'un curateur. Par jugement du 15 août 2013, le Juge du Tribunal civil du littoral et du Val-de-Travers a prononcé le divorce des parties, attribué l'autorité parentale et la garde sur leur enfant à la mère, et constaté qu'aucun droit de visite ne pouvait être prévu en faveur du père.
Par arrêt du 13 décembre 2013, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: la Cour d'appel civile) a rejeté l'appel introduit par l'époux contre ce jugement.
C.
Le 28 janvier 2014, l'époux et son conseil déposent chacun un mémoire de recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant en substance à l'annulation de l'arrêt entrepris, principalement au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision et, subsidiairement, à la réforme de cet arrêt, en ce sens qu'un droit de visite lui est accordé. Il requiert également l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des réponses n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1.
Le recours a été déposé contre une décision finale (<ref-law>) rendue en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (<ref-law>), dans une affaire de nature non pécuniaire puisqu'elle porte sur la question des relations personnelles. Le recourant, qui a été débouté de ses conclusions par l'autorité précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>). Pour le surplus, le présent recours a été déposé en temps utile (<ref-law>); en revanche, le mémoire complémentaire du 12 février 2014 - dans la mesure où il comporte des critiques à l'endroit de la décision attaquée - est tardif, partant irrecevable.
1.1. Le recourant produit diverses pièces. Celles qui ne figurent pas au dossier cantonal et sont produites pour la première fois en instance fédérale sont irrecevables, le recourant n'exposant pas en quoi leur production serait admissible au regard des exigences légales (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3 p. 395).
1.2. Le recourant requiert la jonction de la cause avec la cause 6B_1003/2013, à savoir un recours qu'il a introduit dans le cadre de son affaire pénale. Ces actes ne sont toutefois pas dirigés contre le même jugement ni contre les mêmes parties et concernent des problèmes radicalement différents, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'ordonner la jonction des causes (<ref-law> a contrario, applicable par renvoi de l'<ref-law>).
1.3. La requête du recourant tendant à la fixation d'une audience doit également être rejetée. En effet, les parties n'ont en principe aucun droit à des débats (<ref-law>) ou à une séance publique (<ref-law>), qui n'ont lieu qu'exceptionnellement devant le Tribunal fédéral, la règle étant de statuer par voie de circulation (<ref-law>; arrêt 5A_880_2011 du 20 février 2012 consid. 1.5).
1.4. Le recourant conteste les faits pour lesquels il a été condamné dans le cadre de son affaire pénale. Ce faisant, il perd de vue que ses critiques ne sauraient être examinées dans le cadre du présent recours, dès lors que la décision entreprise concerne uniquement le jugement de divorce.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 3 p. 415; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104 s.). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 60; arrêt 5A_420/2013 du 23 janvier 2014 consid. 2, destiné à la publication). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si de tels griefs ont été invoqués et motivés par le recourant (" principe d'allégation ", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 310 s.; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 234).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par la juridiction précédente (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La partie recourante qui soutient que les faits ont été constatés d'une manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252), doit satisfaire au principe d'allégation (<ref-law>) susmentionné.
2.3. Le recours n'est ouvert qu'à l'encontre des décisions rendues par une autorité cantonale de dernière instance, ce qui suppose que la partie recourante ait épuisé les voies de droit quant aux griefs qu'elle entend soumettre au Tribunal fédéral (principe de l'" épuisement des griefs ", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 3 s. et 424 consid. 3.2 p. 429; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 527).
3.
Le recourant évoque les principes de l'égalité devant la loi (art. 8 Cst.) et la " protection contre l'arbitraire et la bonne foi " (art. 9 Cst.). Il se plaint également de ne pas avoir pu interroger les témoins dont la comparution avait été requise par son épouse, dès lors qu'ils n'ont pas été convoqués à l'audience, ce qui contreviendrait aux art. 6 ch. 3 let. d CEDH, 29 Cst. et 28 Cst-NE. Enfin, se référant expressément aux art. 32 al. 2 Cst., 6 al. 3 CEDH et 150 ch. 1 CPC, le recourant soutient qu'en rejetant sa réquisition de production d'un enregistrement, l'autorité cantonale aurait violé la " garantie du droit d'administrer des preuves pertinentes ". Il n'explicite toutefois pas ces griefs conformément aux exigences de motivation requises par la loi, de sorte qu'ils sont irrecevables (art. 42 al. 2 et, pour les griefs d'ordre constitutionnels, <ref-law>; cf. supra consid. 2.1).
4.
Le recourant critique la décision entreprise en tant qu'elle refuse sa demande de récusation de juge de première instance. En substance, il soutient que ce magistrat aurait " maintenu de force " le mandat de son conseil d'office, qui avait pourtant été relevé de sa mission dans le cadre du dossier pénal. Il aurait également eu des " attitudes d'intimidation " à son égard, et refusé qu'il se fasse accompagner d'une personne de confiance lors de l'audience. Le recourant affirme avoir requis sa récusation par courriers des 28 août et 5 septembre 2013; il se réfère enfin, de manière peu intelligible, à des courriers des 11 mai et 12 juillet 2012.
En tant qu'il se fonde sur des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt entrepris - en particulier s'agissant du comportement du juge de première instance - , sans toutefois expliquer pour quel motif l'autorité cantonale aurait arbitrairement omis d'en tenir compte, l'argument est irrecevable (<ref-law>; cf. supra consid. 2.2). En outre, il ne s'en prend pas à l'argumentation de la cour cantonale selon laquelle, quand bien même il aurait présenté des requêtes de récusation aux dates qu'il mentionne, celles-ci seraient tardives au regard de l'<ref-law> (<ref-law>).
5.
5.1. Le recourant fait grief à la Cour d'appel civile d'avoir violé son droit d'être entendu (art. 29 Cst. et 6 CEDH), sous l'angle du défaut de motivation de la décision, en omettant de statuer sur l'ensemble des griefs qu'il a invoqués dans son appel, en particulier sur sa conclusion relative au droit de garde du recourant sur sa fille. Partant, il sollicite le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle pallie ce manquement.
En particulier, le recourant estime que, contrairement à ce qu'a retenu l'autorité cantonale, il a suffisamment motivé son appel du 13 septembre 2013, en y indiquant ce qui suit: " Alors je fais tout pour que notre fille retrouve une vie normale sans qu'elle soit priver de personne malgré tout le mal qu'ils me font vivre. Je vous prie de consulter mon courrier de mon Appel du 04 sept. 2011 dossier xxxx et mon courrier du 19 mai 2013 adressé à la présidente [...] Dossier xxxx. Dans l'attente d'une réponse qui annule le jugement du 15 août 2013 et son contenu par le Tribunal civil ou votre cour d'appel civil où de recours en matière civile. [...] je suis venue en homme libre me marier et je compte en homme libre me faire divorcer sans que notre fille soit tenue en otage et affecter par des separations injuste. Pour un avenir meilleur avec la bonne volonté de tous, de loin ou de près [...] Mesdames, Messieurs, dans l'attente d'une aide avec une réponse favorable pour l'annulement du jugement du 15 août 2013 et son contenu dans la globalité, veuillez agréer mes salutations distinguées ". Selon lui, il en ressort clairement qu'il réclamait un droit de visite sur son enfant, de sorte que les exigences de l'<ref-law> seraient respectées. Il aurait en outre soulevé les griefs de violation du droit et de constatation inexacte des faits. Il laisse aussi entendre que dans la mesure où il n'était pas assisté d'un avocat, la motivation de son appel pouvait être plus brève.
Le recourant ajoute que la cour cantonale a violé les maximes d'office et inquisitoire, applicables en matière de droit de visite sur un enfant (<ref-law>), en refusant de requérir la production des dossiers de la CMPEA et de la Cour pénale, qui contenaient les deux courriers auxquels il renvoyait dans son appel. Selon lui, en application de l'<ref-law>, la Cour d'appel civile aurait d'ailleurs dû procéder aux investigations nécessaires et compléter l'état de fait, ce qui impliquait d'ordonner la production de ces documents.
5.2. Il ressort de l'arrêt entrepris que le recourant n'a émis aucune critique explicite de fond à l'encontre du jugement de première instance. La Cour d'appel civile a également relevé que le simple renvoi à des courriers adressés à d'autres autorités ne constitue pas une motivation suffisante, de sorte qu'il pouvait être renoncé à en requérir la production.
5.3.
5.3.1. Eu égard à la nature formelle du droit d'être entendu (<ref-ruling> consid. 3d/aa p. 437), une éventuelle violation de cette garantie de procédure doit être examinée en premier lieu (<ref-ruling> consid. 1 p. 50) et avec un plein pouvoir d'examen (<ref-ruling> consid. 3 p. 194 et la jurisprudence citée).
La jurisprudence a notamment déduit du droit d'être entendu, consacré par l'art. 29 al. 2 Cst., le devoir pour le juge de motiver sa décision. Il suffit qu'il mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 445 et les arrêts cités).
5.3.2. Que la cause soit soumise à la maxime des débats (<ref-law>) ou à la maxime inquisitoire (art. 55 al. 2, art. 272 et, pour le sort des enfants, <ref-law>), il incombe au recourant de motiver son appel (<ref-law>), c'est-à-dire de démontrer le caractère erroné de la motivation attaquée. Pour satisfaire à cette exigence, il ne lui suffit cependant pas de renvoyer à une écriture antérieure, ni de se livrer à des critiques toutes générales de la décision attaquée. Sa motivation doit être suffisamment explicite pour que l'instance d'appel puisse la comprendre aisément, ce qui suppose une désignation précise des passages de la décision que le recourant attaque et des pièces du dossier sur lesquelles repose sa critique (<ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 375). La motivation de l'appel constitue une condition de recevabilité, qui doit être examinée d'office. Lorsque l'appel est insuffisamment motivé, l'autorité cantonale n'entre pas en matière (arrêts 5A_247/2013 du 15 octobre 2013 consid. 3.1 et les références; 4A_651/2012 du 7 février 2013 consid. 4.2).
5.3.3. Quoique la loi ne l'indique pas expressément, l'acte d'appel doit contenir non seulement une motivation, mais aussi des conclusions, car à tous les stades d'un procès, il s'impose d'articuler ce à quoi on prétend (arrêt 4A_659/2011 du 7 décembre 2011 consid. 4).
5.4.
5.4.1. En tant qu'il expose que l'arrêt cantonal violerait les art. 29 al. 2 Cst. et 6 CEDH puisqu'il serait insuffisamment motivé, le recourant ne saurait être suivi. Il ressort en effet clairement de cet arrêt que, dès lors qu'aucune critique n'a été émise quant au fond du jugement de première instance, il n'y avait pas lieu d'entrer en matière. Le recourant a d'ailleurs été parfaitement en mesure de contester cette motivation devant le Tribunal de céans, en soutenant avoir suffisamment motivé son appel sur la question du droit de visite (cf. infra consid. 5.1). Partant, le grief de violation de l'art. 29 al. 2 Cst. doit être rejeté, de même que celui qui repose sur l'art. 6 CEDH, dans la mesure où le recourant ne démontre pas que cette dernière disposition aurait une portée plus large que l'art. 29 al. 2 Cst. sur ce point (cf. supra consid. 2.1). Il n'y a au surplus pas lieu d'examiner si le droit d'être entendu a été violé pour d'autres motifs, eu égard à l'exigence accrue de motivation qui prévaut s'agissant des griefs d'ordre constitutionnel (<ref-law>; cf. supra consid. 2.1).
5.4.2. Cela étant, il y a lieu d'examiner le contenu de l'appel du recourant. Dans les conclusions de son appel, celui-ci a indiqué qu'il souhaitait " l'annulement du jugement du 15 août 2013 et son contenu dans la globalité ". Ces conclusions formulées de manière toute générale ne permettaient pas de comprendre que le recourant souhaitait, en particulier, se voir octroyer un droit de visite. On ne voit par ailleurs pas en quoi la motivation de son mémoire d'appel aurait permis à l'autorité cantonale de le saisir. Dans le passage de son mémoire d'appel qu'il cite dans son recours, il expose qu'il " compte en homme libre se faire divorcer sans que [sa] fille soit tenue en otage et affectée par des séparations injustes ", et qu'il " fai[t] tout pour que [sa] fille retrouve une vie normale sans qu'elle soit priver de personne malgré tout le mal qu'ils [lui] font vivre ". Contrairement à ce qu'il prétend, cette motivation est pour le moins confuse et équivoque, le recourant ne précisant pas même de quelle " séparation " il s'agirait, ni de qui serait privée sa fille. En outre, le fait d'avoir indiqué que le jugement était " basé sur des constatations inexactes des faits " et d'avoir cité l'art. 310 let. a et b CPC, disposition qui ne fait que mentionner quels motifs peuvent être invoqués dans le cadre d'un appel, n'est pas plus explicite. Le recourant ne s'est pas non plus référé à des passages du jugement de première instance relatifs au droit de visite. Partant, le contenu du mémoire d'appel ne permettait pas même de comprendre qu'il avait pris des conclusions en fixation d'un droit de visite (cf. supra consid. 5.3.3), de sorte que la cour cantonale pouvait déjà refuser d'entrer en matière pour ce motif. Dans ces circonstances, la motivation de l'appel sur la question du droit de visite se révèle a fortiori insuffisante (cf. supra consid. 5.3.2), de sorte qu'il est sans importance de savoir si, comme il le prétend, le recourant pouvait se contenter d'une brève motivation puisqu'il n'était pas assisté. Il s'ensuit que l'arrêt attaqué ne viole pas le droit fédéral en tant qu'il considère que l'appel n'a pas régulièrement été introduit conformément aux exigences de l'<ref-law>.
Enfin, le grief de violation de l'<ref-law>, disposition qui permet à l'autorité d'appel d'administrer des preuves, est infondé, puisque l'autorité ne saurait être tenue d'instruire une question sur laquelle, de manière justifiée, elle n'entre pas en matière.
6.
Le recourant affirme qu'en vertu des art. 272 et 273 CPC, il avait droit à ce qu'une audience d'appel soit appointée. Ce faisant, il perd de vue que, selon la systématique de la loi, l'<ref-law> s'applique exclusivement aux procédures de mesures protectrices de l'union conjugale, non pas aux procédures de divorce. Par surabondance, il faut souligner qu'en procédure d'appel, l'autorité peut statuer sur pièces (<ref-law>). Il ne saurait dès lors être question d'un droit à une audience dans le cadre d'un appel contre un jugement de divorce, le recourant n'exposant par ailleurs pas pour quels motifs la Cour d'appel civile aurait, en l'espèce, abusé de son pouvoir d'appréciation en ne fixant pas d'audience (cf. supra consid. 2.1). Enfin, on ne discerne pas quelle portée aurait l'<ref-law> dans ce contexte.
7.
Dans son argumentation subsidiaire, le recourant requiert l'octroi d'un droit de visite sur sa fille, et prétend avoir le droit de connaître son évolution notamment sur le plan scolaire et thérapeutique, ce qui lui aurait été retiré par le jugement de divorce. Il résulte de ces explications que le recourant soulève les griefs de violation des art. 133 et 275a CC. Quoi qu'il en soit, dans la mesure où le recourant ne démontre pas avoir soulevé ces griefs devant l'autorité précédente (cf. pour le surplus infra consid. 5.4), ils sont irrecevables (cf. supra consid. 2.3).
8.
Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Il en va de même de la requête d'assistance judiciaire, les conclusions du recourant étant d'emblée dépourvues de chances de succès (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer une indemnité de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 15 avril 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Bonvin