Faits:
A. A.a Le groupe A._ est actif dans l'horlogerie de luxe. Il est composé d'un certain nombre de sociétés, dont A._ SA (ci-après: A._), X._ SA (ci-après: X._) et B._ SA (ci-après: B._), laquelle a repris, en 2005, C._ SA (ci-après: C._), D._ SA et E._ SA à la suite d'une fusion par absorption. En principe, chaque société a une tâche spécifique dans le groupe. Ainsi, par exemple, A._ s'occupe pour l'essentiel de l'aspect commercial et de la vente de montres produites par d'autres sociétés du groupe, X._ assemble les composants et B._ procède à l'emboîtage. Les comptabilités des différentes sociétés sont séparées et n'ont pas été consolidées. En revanche, certaines divisions de management ont été regroupées en un seul service; tel est le cas du service des ressources humaines. R._ est administrateur de la plupart des sociétés du groupe, dont X._ et B._.
A.b Le 1er mai 2001, Y._ a été engagée par C._ en qualité d'ouvrière polyvalente, moyennant un salaire mensuel brut de 3'200 fr.
A partir du 1er décembre 2003, elle a travaillé pour B._ comme auxiliaire en horlogerie, moyennant un salaire mensuel brut de 3'500 fr. Par courrier du 25 novembre 2003, C._ avait précisé à la travailleuse qu'un nouveau contrat de travail serait conclu, mais que, lors du transfert, elle conserverait ses droits acquis (vacances, bonus/malus, etc.), le treizième salaire étant toutefois payé au prorata du temps travaillé chez C._. Le certificat de travail établi le 30 novembre 2003 indique que Y._ a exécuté toutes les tâches inhérentes à son emploi d'une manière consciencieuse et assidue.
Chez B._, Y._ travaillait dans un grand atelier, comportant 6 à 8 établis. S._ était son supérieur hiérarchique. La travailleuse était chargée du contrôle des mouvements après leur assemblage et avant leur emboîtage par d'autres employés. Les relations avec ses collègues étaient bonnes.
Le samedi 24 mars 2007, Y._ ne s'est pas présentée à son poste de travail alors qu'elle était censée effectuer des heures supplémentaires. Le travail supplémentaire de ce samedi-là consistait à emboîter des montres destinées au salon horloger. Il était d'usage, au sein du groupe, que les travailleurs soient requis de travailler le soir et/ou le week-end durant trois périodes dans l'année, notamment au printemps avant le salon horloger. A la suite de cette absence, Y._ a eu un entretien le lundi suivant avec S._ dans le bureau de ce dernier. Le supérieur hiérarchique a reproché à la collaboratrice de ne pas être venue travailler le samedi précédent en criant, en l'invectivant et en tapant du poing sur la table. Par ailleurs, il l'a immédiatement transférée dans un local plus petit et dépourvu de fenêtres, dans lequel elle était chargée de contrôler et nettoyer des verres de montres déjà emboîtées, ce qui nécessitait parfois de les décoller. Ce travail supposait l'emploi de produits toxiques (alcool isopropylique, acétone et F45) qui, en raison de l'absence d'une installation d'aération ou de ventilation spécifique dans un local confiné sans fenêtres, ont causé des maux de tête et des nausées à la collaboratrice. Jusque-là, personne n'avait jamais été affecté à plein temps à ce travail, qui était effectué, pour chaque montre, par l'ouvrier chargé de l'emboîtage. Ce déplacement, qui avait désorganisé le travail de l'atelier, n'était pas lié à de mauvaises prestations de la collaboratrice en tant que contrôleuse de mouvements.
Quelques jours plus tard, Y._ s'est plainte de ses nouvelles conditions de travail. Après avoir constaté qu'il était impossible de dialoguer avec S._, la responsable des ressources humaines a proposé le transfert de la collaboratrice auprès de X._, où elle pourrait exercer à nouveau l'activité de contrôleuse de mouvements, l'entreprise ayant besoin d'une employée dotée de cette compétence. Après un essai concluant chez X._, Y._ a dû toutefois retourner chez B._, la procédure de transfert prenant du retard pour une raison indéterminée.
Du 14 juin au 18 septembre 2007, Y._ a été en incapacité de travail à 100%.
Par courrier du 1er octobre 2007, B._ a confirmé à la collaboratrice que son contrat de travail serait «transféré au sein de» X._; malgré la conclusion d'un nouveau contrat, elle conserverait ses droits acquis en termes de vacances, bonus/malus, durée du délai de congé et droit au salaire en cas de maladie ou d'accident.
Dès le 1er décembre 2007, Y._ a travaillé pour X._, dans le département «logistique, fourniture et stock» dirigé par T._. Selon le contrat de travail établi à en-tête de X._, elle était engagée comme auxiliaire en horlogerie pour un salaire mensuel brut de 4'300 fr.; il était précisé qu'elle pouvait en tout temps être chargée d'autres travaux au sein du groupe A._ et déplacée sur d'autres sites.
Par la suite, Y._ a remercié le service des ressources humaines pour ce transfert et s'est déclarée satisfaite de son nouveau poste. Elle avait de bons contacts avec ses collègues et n'a posé aucun problème, que ce soit du point de vue de la qualité de son travail ou de son comportement.
A.c A partir de décembre 2007, le syndicat H._ a dénoncé, notamment dans la presse, la direction des entreprises du groupe A._ qui, selon lui, tolérait et couvrait des comportements inadmissibles envers les salariés, comme le recours systématique et exagéré aux heures supplémentaires, payées sans majoration, des insultes, des actes de harcèlement sexuel et de mobbing; S._ et T._ étaient visés en particulier.
Cette démarche a été suivie de plusieurs effets. L'Union des fabricants d'horlogerie de Genève et Vaud a organisé, dès le 13 mai 2008, une procédure de négociation entre partenaires sociaux, notamment pour examiner les griefs formulés par le syndicat et nommer un médiateur externe. En outre, une enquête de l'Office cantonal de l'inspection et des relations de travail a été diligentée et la Commission de règlement des conflits collectifs a été saisie.
A l'initiative de H._, une assemblée du personnel de X._ et de B._ a eu lieu le 2 juin 2008; Y._ y a participé avec une quarantaine d'autres personnes. Ensuite, au moins deux autres assemblées du personnel se sont déroulées jusqu'au 23 juin 2008; Y._ s'y est également rendue. Une employée de B._, qui a assisté à l'une de ces assemblées, a rapporté à la responsable des ressources humaines de X._ et B._ le nom de quelques participants, dont celui de Y._.
Le 10 juin 2008, R._ et U._, directeur de B._, ont interrogé Y._ à propos de T._. La collaboratrice a répondu qu'elle n'avait pas de reproches à élever contre ce chef, mais qu'elle avait refusé de signer une lettre de soutien en sa faveur lorsqu'il le lui avait demandé. Elle a voulu par ailleurs aborder la question du comportement de S._ envers elle au printemps 2007, mais ses interlocuteurs ont refusé d'entrer en matière et l'ont priée de mettre ses griefs éventuels par écrit.
Le même jour, Y._ a écrit à U._. Elle déclarait avoir été «victime et humiliée suite au comportement inadmissible» de S._ le 26 mars 2007, avoir beaucoup souffert de cette situation et être «tombée en dépression» durant trois mois et demi, bien qu'elle aimât son travail; elle regrettait que R._, lors de sa visite du 10 juin 2008, n'ait pas voulu rencontrer ses collègues pour tenter de comprendre la situation résultant des méthodes de S._ et T._.
Le 19 juin 2008, B._ lui a répondu que son problème avait été réglé en 2007 et que des mesures avaient été prises afin d'éviter qu'un cas similaire se reproduise.
Le 27 juin 2008, X._ a résilié le contrat de travail la liant à Y._ pour le 31 août 2008. Le motif invoqué résidait dans la «restructuration du département logistique».
Par courrier du 15 juillet 2008, Y._ s'est opposée au licenciement; elle faisait valoir que le congé avait été donné en représailles à sa participation aux assemblées du personnel de juin 2008.
B. Par demande déposée le 26 septembre 2008, Y._ a assigné X._ et A._ en paiement d'un montant de 47'000 fr. plus intérêts, soit 20'000 fr. à titre de réparation du tort moral et 27'000 fr. à titre d'indemnité pour licenciement abusif.
Par jugement du 23 décembre 2009, le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève a débouté Y._ des fins de sa demande.
La demanderesse a appelé de ce jugement, sans remettre en cause le rejet de l'action en tant qu'elle était dirigée contre A._. Statuant le 4 novembre 2010, la Cour d'appel des prud'hommes du canton de Genève a annulé le jugement de première instance et condamné X._ à payer à Y._ les sommes de 5'000 fr. en réparation du tort moral et de 27'000 fr. à titre d'indemnité pour licenciement abusif, avec intérêts à 5% dès le 28 septembre 2008.
C. X._ interjette un recours en matière civile. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et demande au Tribunal fédéral de «déclarer infondé l'appel interjeté par Y._ (...) contre le jugement du Tribunal des prud'hommes».
Y._ propose le rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.

Considérant en droit:
1. 1.1 Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire de droit du travail dont la valeur litigieuse atteint manifestement le seuil de 15'000 fr. (<ref-law>), le recours, déposé par la partie qui a succombé en instance cantonale (<ref-law>), est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur la violation d'un droit de rang constitutionnel ou sur une question afférente au droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante (<ref-law>). Pour le reste, il applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue dans la décision déférée; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104). Cependant, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 105).
Par ailleurs, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 314; <ref-ruling> consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401; <ref-ruling> consid. 8.1 p. 153) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). S'il entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> sont réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 3 p. 104 s. et les arrêts cités). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2. D'une part, après avoir retenu un transfert conventionnel du contrat de travail, la cour cantonale a condamné la recourante à verser à l'intimée une indemnité pour tort moral en raison du comportement de S._, employé de B._, au printemps 2007. D'autre part, elle a reconnu le caractère abusif du licenciement signifié le 27 juin 2008 par la recourante et a alloué à l'intimée une indemnité pour ce motif.
La recourante dirige ses griefs contre ces deux parties de l'arrêt cantonal. Il convient d'examiner en premier lieu ceux qui concernent la réparation du tort moral, en particulier la question préalable du transfert du contrat de travail.
3. La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law> en mélangeant les méthodes d'interprétation subjective et objective à propos de la volonté des parties de transférer le contrat de travail. Les juges genevois n'auraient ainsi pas respecté la priorité de l'interprétation subjective, en particulier à propos de la question de savoir si le transfert conventionnel devait être considéré comme limité dans le temps, puisque la seule référence à ce sujet se trouverait dans le paragraphe relatif à l'interprétation objective. En outre, la cour cantonale aurait interprété «le contrat du 1er décembre 2007» contra stipulatorem, alors que ce type d'interprétation serait réservé exclusivement aux conditions générales d'assurance.
3.1 Pour déterminer l'objet et le contenu d'un contrat, le juge doit tout d'abord s'efforcer de rechercher la commune et réelle intention des parties (cf. <ref-law>; interprétation dite subjective). Lorsque l'autorité précédente parvient à se convaincre d'une telle volonté, il s'agit d'une constatation de fait qui lie en principe le Tribunal fédéral, conformément à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 413, 675 consid. 3.3 p. 681; cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 611; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 122). Si la volonté réelle des parties ne peut pas être établie ou si leurs volontés intimes divergent, le juge doit interpréter les déclarations faites et les comportements selon la théorie de la confiance (interprétation dite objective). Il doit alors rechercher comment une déclaration ou une attitude pouvait être comprise de bonne foi en fonction de l'ensemble des circonstances; le principe de la confiance permet ainsi d'imputer à une partie le sens objectif de sa déclaration ou de son comportement, même s'il ne correspond pas à sa volonté intime. L'application du principe de la confiance est une question de droit que le Tribunal fédéral peut examiner librement (<ref-law>) (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 188; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 413). Relève également du droit le principe selon lequel l'interprétation subjective a la priorité sur l'interprétation objective (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 611 et les arrêts cités).
3.2 En l'espèce, la cour cantonale a énuméré une série de circonstances qui l'ont conduite «à tenir pour acquis qu'en 2007, B._ et X._ avaient la commune et réelle volonté de garantir à [l'intimée], de manière non limitée dans le temps, la continuité de son rapport de travail en substituant X._ à B._ en qualité d'employeur, sous la seule réserve des "raisons administratives" conduisant à la fixation d'une "date de sortie" au 31 octobre 2007 et du paiement du treizième salaire prorata temporis.» Les juges précédents ajoutent que l'intimée a accepté le transfert proposé. Ils tiennent ainsi pour acquis que les parties ont conclu une convention tripartite, non limitée dans le temps, transférant à la recourante (partie reprenante) le contrat de travail liant l'intimée (partie restante) à B._ (partie sortante). Ce faisant, la cour cantonale a établi, en fait, la volonté réelle et commune des parties à la suite d'une interprétation subjective. Contrairement à ce que la recourante sous-entend, cette interprétation porte non seulement sur le principe du contrat de transfert, mais également sur sa portée dans le temps. La cour cantonale utilise ensuite les termes d'«interprétation objective» et «contra stipulatorem», mais c'est pour souligner que cette méthode d'interprétation-ci «ne conduit pas à une autre conclusion», ce qui indique bien que le recours à l'interprétation objective n'est que subsidiaire. Il s'ensuit que les juges genevois n'ont nullement méconnu le principe de la priorité de l'interprétation subjective sur l'interprétation objective, y compris à propos du caractère limité ou non du transfert.
En conclusion, le moyen tiré d'une violation de l'<ref-law> est mal fondé.
4. La recourante fait ensuite grief à l'autorité cantonale d'avoir violé les conditions posées par la jurisprudence et la doctrine en matière de transfert conventionnel de contrat. Les juges précédents n'auraient pas examiné la question centrale de l'intérêt de la recourante à convenir d'un transfert limité dans le temps, cet intérêt étant pourtant évident. Or, un transfert limité excluait la légitimation passive de la recourante pour une demande en réparation d'un tort moral subi avant le transfert.
4.1 En cas de transfert illimité de contrat, le nouveau cocontractant prend la place de la partie sortante dans le contrat de base également pour la période précédant le transfert; il assume ainsi toutes les obligations et acquiert tous les droits qui ont pris naissance à partir de la conclusion du contrat de base. En revanche, dans le transfert limité de contrat, le nouveau cocontractant remplace la partie sortante dans le contrat de base uniquement pour la période postérieure au transfert (Pascal G. Favre, Le transfert conventionnel de contrat, 2005, n° 93 p. 24 et n° 100 p. 26; cf. également Erica Mergner-Dal Vesco, Die Übertragung des Vertrages unter besonderer Berücksichtigung des Sozialschutzes im Arbeits- und Mietvertragsrecht, 1989, p. 89 ss).
Déterminer si un transfert de contrat conventionnel est illimité ou limité est affaire d'interprétation. En cas de doute sur la volonté des parties, il faut se référer à l'intérêt supposé du nouveau cocontractant au transfert (Pascal G. Favre, op. cit., n° 111 p. 28 s.). Ainsi, il est admis que lorsque le contrat de base est un contrat de durée, l'intérêt du nouveau cocontractant est en principe de convenir d'un transfert limité (cf. arrêt 4A_79/2010 du 29 avril 2010 consid. 2.4, in SJ 2010 I p. 459; Pascal G. Favre, op. cit., n° 113 p. 29; Peter Früh, Die Vertragsübertragung im schweizerischen Recht, 1944, p. 77).
4.2 Comme on l'a déjà vu, la cour cantonale a, sur la base d'une interprétation subjective, retenu que les parties avaient conclu un contrat de transfert illimité. Cette constatation ne peut être attaquée que pour arbitraire dans l'établissement des faits. Or, la règle d'interprétation que la recourante voudrait voir appliquée en l'espèce n'entre en considération que lorsqu'il y a doute, en d'autres termes, lorsque l'interprétation subjective n'a pas permis d'établir la volonté réelle et commune des parties et qu'il convient de recourir à l'interprétation objective (cf. arrêt précité du 29 avril 2010 consid. 2.4). Elle n'est d'aucun secours lorsqu'il s'agit de remettre en cause l'appréciation des preuves. Le moyen est dès lors irrecevable.
5. La recourante se plaint également d'une appréciation arbitraire des preuves en ce qui concerne le transfert de contrat; elle invoque deux éléments à cet égard. Le fait que l'intimée se soit adressée, par lettre du 10 juin 2008, à U._, directeur de son ancien employeur B._, pour revenir sur les événements du printemps 2007 démontrerait que la travailleuse ne pouvait avoir consenti qu'à un transfert conventionnel des rapports de travail limité dans le temps. La recourante voit également une preuve de cette volonté dans le fait que l'intimée a dirigé son action, à l'origine, contre deux sociétés du groupe A._.
5.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 4 s.; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 s.).
S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves et de l'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9).
5.2 La recourante ne conteste pas le transfert conventionnel du contrat de travail en lui-même. Elle soutient que la cour cantonale a versé dans l'arbitraire en établissant que ce transfert était illimité dans le temps. Elle ne s'en prend nulle part aux éléments avancés par la cour cantonale pour retenir la continuité du contrat de travail et l'absence de limitation dans le temps. Elle se borne à invoquer deux faits qui ne sont manifestement pas de nature à faire apparaître comme arbitraire la constatation cantonale sur la commune et réelle volonté des parties.
Il suffit de relever à ce sujet que U._, présenté effectivement comme le directeur de B._ au point H.c de l'arrêt attaqué, est aussi celui qui a été entendu comme représentant de la recourante au sujet de la résiliation du contrat de travail intervenue environ deux semaines après la lettre du 10 juin 2008, comme cela résulte du point I de l'arrêt attaqué. Que l'intimée se soit adressée à cette personne en juin 2008 est donc dénué de toute pertinence pour démontrer une éventuelle limitation dans le temps du transfert de contrat.
En outre, on ne discerne pas en quoi le fait que l'action de l'intimée ait été dirigée à l'origine contre la recourante et A._ (et non B._) serait de quelque façon déterminant pour établir la volonté commune et réelle des parties.
Le grief fondé sur la violation de l'art. 9 Cst. ne peut être qu'écarté.
6. En ce qui concerne la prétention en réparation du tort moral, la recourante invoque une violation de l'<ref-law>. A son avis, ni le comportement du supérieur hiérarchique le 26 mars 2007, ni la relégation de l'intimée à un travail de contrôle et de nettoyage de verres de montres, ne constituent des atteintes subjectivement et objectivement graves justifiant l'octroi d'une réparation morale. La recourante fait valoir en outre qu'aucune indemnité n'est due à l'intimée, dès lors que l'employeur a donné à celle-ci satisfaction autrement en la transférant dans une autre société du groupe.
6.1 Selon l'<ref-law>, l'employeur protège et respecte, dans les rapports de travail, la personnalité du travailleur; en particulier, il manifeste les égards voulus par sa santé. L'<ref-law> précise que l'employeur prend, pour protéger la vie, la santé et l'intégrité personnelle du travailleur, les mesures commandées par l'expérience, applicables en l'état de la technique, et adaptées aux conditions de l'exploitation, dans la mesure où les rapports de travail et la nature du travail permettent équitablement de l'exiger de lui. Le salarié victime d'une atteinte à sa personnalité contraire à l'<ref-law> du fait de son employeur ou d'un auxiliaire de celui-ci peut prétendre à une indemnité pour tort moral aux conditions fixées par l'<ref-law> (art. 97 al. 1, art. 101 al. 1 et art. 99 al. 3 CO; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 704; <ref-ruling> consid. 3a p. 74).
Cette disposition prévoit que celui qui subit une atteinte illicite à sa personnalité a droit à une somme d'argent à titre de réparation morale, pour autant que la gravité de l'atteinte le justifie et que l'auteur ne lui ait pas donné satisfaction autrement. N'importe quelle atteinte légère à la réputation professionnelle, économique ou sociale d'une personne ne justifie pas une réparation (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 704; <ref-ruling> consid. 3a p. 75). L'allocation d'une indemnité pour tort moral fondée sur l'<ref-law> suppose que l'atteinte ait une certaine gravité objective et qu'elle ait été ressentie par la victime, subjectivement, comme une souffrance morale suffisamment forte pour qu'il apparaisse légitime qu'une personne, dans ces circonstances, s'adresse au juge pour obtenir réparation (arrêt 4A_128/2007 du 9 juillet 2007 consid. 2.3).
6.2 En l'espèce, les faits suivants ressortent de l'arrêt cantonal:
Le lundi 26 mars 2007, le supérieur hiérarchique de l'intimée, mécontent de l'absence de celle-ci le samedi précédent, a invectivé la travailleuse en tapant du poing sur la table et l'a immédiatement affectée à une autre tâche que celle qu'elle avait exercée jusqu'alors à la satisfaction de ses supérieurs et en bonne entente avec ses collègues, soit le contrôle des mouvements. Cette nouvelle activité consistait à contrôler et à nettoyer les verres des montres déjà emboîtées, ce qui nécessitait parfois de les décoller. Ces opérations supposaient, pour une partie des verres, l'emploi d'alcool isopropylique et d'acétone - produits irritants et narcotisants dont l'inhalation des vapeurs peut provoquer notamment somnolence, vertiges et migraine - ainsi que de F45 - produit nocif et irritant pour les yeux dont l'utilisation nécessite des lunettes de protection hermétiques; la manipulation de ces produits doit se faire avec une bonne ventilation du poste de travail et une bonne aération du local. Après son changement d'activité, l'intimée ne travaillait plus dans l'atelier, mais dans un local confiné, dépourvu de fenêtre et sans installation d'aération ou de ventilation spécifique. L'utilisation régulière des produits toxiques susmentionnés a provoqué des maux de tête et des nausées chez l'intimée, qui ne disposait par ailleurs d'aucune protection respiratoire. Avant qu'il ne soit confié à l'intimée, le travail de contrôle et de nettoyage des glaces n'était pas exécuté par une seule personne, mais réparti entre les ouvriers chargés de l'emboîtage, chaque ouvrier nettoyant le verre de la montre qu'il venait d'emboîter. L'intimée a été en incapacité de travail du 14 juin au 18 septembre 2007, sans qu'il soit établi que sa maladie soit liée au changement d'activité imposé. Elle a commencé de travailler pour la recourante le 1er décembre 2007.
En résumé, il apparaît qu'à la suite du «coup de sang» de son supérieur qui n'a jamais voulu revenir en arrière malgré l'intervention de la responsable des ressources humaines, l'intimée s'est trouvée reléguée dans une activité moins intéressante, alors qu'elle donnait satisfaction dans son travail précédent. Ses nouvelles tâches, qui impliquaient l'emploi de produits toxiques, s'effectuaient dans un local insuffisamment aéré, sans protection respiratoire. Sa santé s'en est trouvée atteinte puisque l'intimée a subi des maux de tête et des nausées liées à l'exercice de sa nouvelle activité. L'intimée a subi cette situation, à laquelle elle ne s'est jamais accommodée, pendant une durée non négligeable, soit en tout cas jusqu'à la mi-juin 2007. La mesure adoptée par le supérieur hiérarchique revêtait en outre un aspect punitif, puisque les tâches confiées à l'intimée n'avaient jusque-là jamais été exercées de manière permanente par une seule personne et que l'auxiliaire de l'employeur n'a pas hésité à modifier l'organisation du travail de l'atelier pour aboutir à ses fins. Or, le fait que l'intimée ne soit pas venue faire des heures supplémentaires un samedi ne justifiait assurément pas une telle sanction.
A l'instar de la cour cantonale, il convient d'admettre, sur le vu de ces éléments, que l'atteinte à la personnalité subie par l'intimée est suffisamment grave, sur les plans objectif et subjectif, pour allouer à la travailleuse une indemnité pour tort moral au sens de l'<ref-law>.
Il reste encore à examiner si l'intimée n'a pas obtenu satisfaction autrement, comme la recourante le prétend. Certes, la travailleuse a été transférée en raison des événements survenus au printemps 2007. Cependant, le transfert n'est devenu effectif que cinq mois après le début de l'atteinte, si l'on fait abstraction de la période d'incapacité de travail de trois mois. L'atteinte à la personnalité a duré un certain temps et le fait d'y mettre fin en transférant la personne concernée ne constitue manifestement pas une réparation.
Il s'ensuit que la cour cantonale n'a pas violé l'<ref-law> en condamnant la recourante à verser une indemnité pour tort moral à l'intimée.
Au surplus, la cour de céans n'examinera pas l'ampleur de l'indemnité accordée puisque la recourante ne formule aucun grief à ce propos.
7. 7.1 En ce qui concerne le licenciement du 27 juin 2008, la recourante reproche tout d'abord aux juges cantonaux d'avoir admis le caractère abusif dudit congé en violation de l'<ref-law> en lien avec l'<ref-law>. Alors qu'il appartenait à la travailleuse de démontrer que la résiliation était abusive, la cour cantonale aurait fait porter sur l'employeur le fardeau de la preuve de la réalité du motif de licenciement qu'il invoquait.
Par ailleurs, la recourante fait grief à la cour cantonale d'avoir apprécié les preuves de manière arbitraire. Ainsi, le fait que l'intimée n'a pas été remplacée démontrerait qu'il y avait bien sous-occupation à l'époque du licenciement. Retenir dans ces circonstances que ce motif de congé était fictif serait arbitraire.
La recourante fait valoir en outre qu'elle n'a pas invoqué le manque d'intégration de l'intimée au moment du licenciement, mais plus tard. L'absence de preuve des relations difficiles de la travailleuse, retenue par la cour cantonale, ne serait ainsi pas déterminante pour juger du caractère abusif ou non du licenciement. Poursuivant dans une logique quelque peu particulière, la recourante invoque les témoignages de deux employés du groupe A._, qui auraient confirmé le caractère difficile de l'intimée. Ces éléments seraient de nature à faire apparaître comme arbitraire la conclusion de la cour cantonale selon laquelle le caractère difficile de l'intimée n'avait pas été établi.
Enfin, la recourante s'en prend, toujours sous l'angle de l'appréciation arbitraire des preuves, aux motifs réels du licenciement tels que retenus dans l'arrêt entrepris, soit, selon elle, la participation de l'intimée en juin 2008 aux réunions organisées par le syndicat H._, la plainte de la travailleuse en rapport avec la demande de signer des lettres de complaisance en faveur de S._ et T._, ainsi que la volonté de l'intimée de «remettre sur le tapis» le comportement de S._ intervenu un an plus tôt. La recourante invoque le témoignage de V._, laquelle a rapporté à l'employeur le nom de participants aux réunions organisées par H._; cette employée du groupe a déclaré qu'«à sa connaissance, aucune des personnes dont elle avait cité le nom n'avait ensuite été licenciée», ce qui infirmerait l'existence de représailles dans le cas de l'intimée. Par ailleurs, l'existence de lettres de complaisance en faveur de S._ et T._ ne résulterait que des déclarations de l'intimée. Enfin, la lettre du 10 juin 2008 de l'intimée était adressée à U._, directeur de B._, et non à R._, comme la cour cantonale l'a retenu par erreur. Elle traitait au surplus du comportement de S._, employé de B._. Selon la recourante, il est arbitraire de conclure à un congé-représailles dans ces circonstances, dès lors que le courrier précité n'était pas adressé à l'employeur qui a procédé au licenciement et ne concernait pas un collaborateur dudit employeur.
7.2 Selon l'<ref-law>, le contrat de travail conclu pour une durée indéterminée peut être résilié par chacune des parties. En droit suisse du travail, la liberté de la résiliation prévaut de sorte que, pour être valable, un congé n'a en principe pas besoin de reposer sur un motif particulier Le droit de chaque cocontractant de mettre unilatéralement fin au contrat est toutefois limité par les dispositions sur le congé abusif. L'art. 336 al. 1 et 2 CO énumère des cas dans lesquels la résiliation est abusive, comme, par exemple, lorsqu'elle est donnée parce que l'autre partie fait valoir de bonne foi des prétentions résultant du contrat de travail (art. 336 al. 1 let. d CO) ou parce que le travailleur a exercé, conformément au droit, une activité syndicale (<ref-law>). Cette liste n'est toutefois pas exhaustive et un congé abusif peut aussi être admis dans d'autres circonstances. Il faut cependant que ces autres situations apparaissent comparables, par leur gravité, aux cas expressément envisagés par l'<ref-law>. Pour dire si un congé est abusif, il faut se fonder sur son motif réel. Déterminer le motif d'une résiliation est une question de fait (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 514 s. et les arrêts cités).
En application de l'<ref-law>, il appartient, en principe, à la partie qui a reçu son congé de démontrer que celui-ci est abusif. Dans ce domaine, le Tribunal fédéral a toutefois tenu compte des difficultés qu'il pouvait y avoir à apporter la preuve d'un élément subjectif, à savoir le motif réel du congé. Selon la jurisprudence, le juge peut présumer en fait l'existence d'un licenciement abusif lorsque l'employé parvient à présenter des indices suffisants pour faire apparaître comme non réel le motif avancé par l'employeur. Si elle facilite la preuve, cette présomption de fait n'a pas pour résultat d'en renverser le fardeau. Elle constitue, en définitive, une forme de «preuve par indices». De son côté, l'employeur ne peut rester inactif; il n'a pas d'autre issue que de fournir des preuves à l'appui de ses propres allégations quant au motif du congé (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 703 et les arrêts cités).
7.3 En l'espèce, la recourante a motivé le licenciement de l'intimée par une «restructuration» du service dans lequel elle travaillait, les employées de ce service étant sous-occupées. Elle a expliqué que le choix de la personne à licencier s'était porté sur l'intimée parce que celle-ci avait fait l'objet de plusieurs mutations en raison de difficultés relationnelles avec ses collègues.
Selon la cour cantonale, il n'a été établi ni la sous-occupation des employées du service du stock, ni les relations difficiles que l'intimée entretenait prétendument avec ses collègues. Partant de ce constat, les juges précédents se sont alors attachés à la chronologie des faits survenus en juin 2008, peu avant le licenciement, soit la participation de l'intimée - connue de l'employeur - à des réunions organisées par le syndicat H._, la rencontre du 10 juin 2008 entre l'intimée, R._ et U._, ainsi que la lettre de l'intimée de la même date. Ils sont ainsi parvenus à la conviction que «la principale, sinon l'unique raison ayant conduit [l'employeur] à licencier [la travailleuse] à fin juin 2008 résidait dans l'activité déployée par [la travailleuse] en juin 2008, consistant à participer aux réunions organisées par H._ et à vouloir "remettre sur le tapis" le comportement de S._ envers elle au printemps 2007.»
Ce faisant, la cour cantonale n'a pas renversé le fardeau de la preuve. Elle n'a pas jugé que le congé était abusif parce que l'employeur n'était pas parvenu à démontrer la réalité du motif qu'il invoquait. En revanche, cette circonstance a été prise en compte dans le cadre de l'appréciation des preuves (cf. Rémy Wyler, Droit du travail, 2e éd. 2008, p. 534). L'absence de réalité du motif allégué par l'employeur a conduit la cour cantonale à donner plus de poids aux éléments apportés par la travailleuse, en particulier à l'enchaînement des événements en juin 2008.
Le moyen tiré d'une violation de l'<ref-law> est dès lors mal fondé.
7.4 Il reste à examiner si la cour cantonale a apprécié les preuves de manière arbitraire en établissant que le motif du congé résidait dans les activités déployées en juin 2008 par l'intimée, et non dans une restructuration liée à une sous-occupation du personnel du service du stock.
Sur ce dernier point, la cour cantonale a tenu une sous-occupation pour non démontrée en l'absence de tout document comparatif par rapport à des périodes précédentes, sur la base des témoignages des employées du service lui-même et sur le fait que l'intimée a effectué des heures supplémentaires dans les mois précédant son licenciement. Face à ces éléments, le seul fait amené par la recourante - le non-remplacement de l'intimée - n'est pas de nature à faire apparaître insoutenable la conclusion des juges genevois à ce sujet.
Quant aux prétendues difficultés relationnelles de l'intimée, il s'agit d'un élément dénué de toute pertinence, dès lors que la recourante ne l'invoquait que pour justifier son choix de licencier l'intimée plutôt que l'une de ses collègues en raison d'un manque de travail, précisément non établi. Au demeurant, la cour cantonale pouvait constater sans arbitraire que la recourante n'avait pas démontré que les transferts de l'intimée étaient liés à un manque d'intégration, les bonnes relations de la travailleuse étant attestées par les témoignages de ses collègues et de la responsable des ressources humaines.
Pour le reste, il est manifeste que les seules déclarations de V._, invoquées par la recourante, ne sont pas à même d'infirmer le lien de causalité entre la participation aux réunions organisées par le syndicat et le licenciement, d'autant moins que ce témoignage émane de l'employée qui a mentionné à l'employeur la présence de l'intimée aux réunions en question. Pour sa part, l'existence de lettres de complaisance en faveur notamment de T._ résulte non seulement des déclarations de l'intimée, comme la recourante le prétend, mais également du témoignage de W._ cité dans l'arrêt attaqué. Enfin, l'intimée a certes réitéré ses griefs à l'endroit de S._ dans sa lettre du 10 juin 2008 à U._; or, S._ ne travaillait pas pour la recourante et U._ était le directeur de B._. Vu l'organisation du groupe A._, ces circonstances n'excluent toutefois pas que la lettre en question ait joué un rôle dans la décision de licencier l'intimée. En effet, tout le groupe était touché depuis plusieurs mois par les dénonciations du syndicat, qui avait dans le collimateur S._ en particulier. Or, il existe des liens étroits entre les différentes sociétés du groupe, notamment entre la recourante et B._ qui partagent la même responsable des ressources humaines. Du reste, la recourante elle-même confirme cette imbrication puisque, selon la position qu'elle a défendue dans la procédure cantonale, la décision de licencier l'intimée a été prise par T._, R._ et U._ lui-même.
En conclusion, le grief fondé sur une appréciation arbitraire des preuves ne peut être que rejeté.
7.5 Il convient de relever finalement que la recourante ne nie pas le caractère abusif du motif de congé retenu par la cour cantonale. Une éventuelle violation de l'<ref-law> n'a donc pas à être examinée. De même, la recourante ne critique pas le montant, correspondant à six mois de salaire, accordé à titre d'indemnité pour licenciement abusif. Il n'y a pas non plus à revenir sur ce point.
8. Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
En conséquence, la recourante prendra à sa charge les frais judiciaires, dont le montant ne sera pas réduit étant donné que les conclusions de la demande dépassaient 30'000 fr. à l'ouverture de l'action (art. 65 al. 4 let. c et <ref-law>; <ref-ruling> consid. 5b p. 41; arrêt 4A_348/2010 du 8 octobre 2010 consid. 9). Par ailleurs, la recourante versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à payer à titre de dépens à l'intimée, est mise à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 1er mars 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Godat Zimmermann