Faits:
A. Le 24 avril 1998, X._ a ouvert un compte auprès de la Banque Y._ SA, qui deviendra par la suite la Banque Z._ SA (ci-après: Z._). A cette occasion, il a signé, entre autres documents, une convention de nantissement ainsi que les «conditions spéciales pour opérations et contrats à terme, options et autres produits dérivés», lesquelles comprenaient notamment les clauses suivantes:
«Le client a l'intention de traiter par l'entremise de la Banque Y._ SA, ci-après: "la Banque", mais pour son propre compte et à ses risques et périls, des options, opérations et contrats à termes sur métaux précieux, devises, matières premières et sur indices, étant précisé que les transactions effectuées auprès de la SOFFEX (Swiss Options and Financial Futures Exchange) ou auprès d'une autre bourse sont régies respectivement par les "rules and regulations" et autres directives de la SOFFEX, ou les réglementations et procédures de la bourse concernée.»
«Les marges de garantie relatives à ce genre d'opérations et, de manière générale, aux nantissements seront déterminées par la banque de cas en cas. Le client s'engage à veiller au maintien et à la reconstitution desdites marges dont le montant doit correspondre en tout temps à la marge indiquée lors de la confirmation de la ligne, sans que la banque soit obligée de l'aviser, de manière formelle ou autre, en cas d'insuffisance de la marge. La banque se réserve le droit de modifier les marges requises en tout temps et sans préavis. Les pertes, qu'elles soient réalisées ou non, doivent toujours être couvertes à 100%.»
«Si la marge (couverture) tombe en-dessous du montant fixé, soit parce que la valeur vénale de ses options, contrats ou opérations à terme s'est modifiée au détriment du client, soit parce que la valeur des sûretés a diminué, le client est tenu de fournir immédiatement des sûretés complémentaires.»
«Lorsque le client ne fournit pas de sûretés complémentaires, la banque a le droit, mais non l'obligation, de prendre immédiatement, ou à tout autre moment qui lui conviendra ultérieurement, les mesures nécessaires pour reconstituer la couverture intégrale. La banque peut, à son choix, liquider en tout ou en partie les transactions ou contrats conclus ou réaliser des sûretés fournies.»
Pour le surplus, X._ n'a pas confié de mandat de gestion à la banque. Ses principaux interlocuteurs au sein de la banque étaient A._ et B._.
X._ avait cessé son activité professionnelle dans l'import-export en 1990 et gérait depuis lors son patrimoine et celui de sa famille. Il effectuait des opérations boursières sur le marché français. Spéculant sur l'indice CAC 40 anticipé à la hausse, il procédait à la vente à découvert d'options PUT sur cet indice boursier, avec des échéances échelonnées, en prenant des positions à long terme. Il pratiquait cette stratégie d'investissement depuis 1995. B._ et A._ ont eu l'occasion de constater que X._ connaissait très bien le marché du CAC 40. En conséquence, la banque a accordé au client un accès direct à la table des marchés pour la transmission des ordres de bourse. Présenté comme le gestionnaire du compte, B._ n'est jamais intervenu dans la gestion des avoirs de X._ et son rôle se bornait à être l'«homme de contact» du client au sein de la banque. X._ suivait attentivement les opérations qu'il ordonnait, disposait de ses propres sources d'information boursière et se tenait au courant de la valeur de ses options.
Pour les opérations engagées par le client, la banque a déterminé une marge, correspondant à la proportion de la valeur totale d'exposition des options qui devait être garantie par les avoirs bancaires nantis. Selon le protocole de crédit du 17 juillet 1998, le comité de crédit de la banque a fixé une marge de garantie de 35% des engagements liés aux opérations effectuées par X._. Par la suite, ce dernier a demandé une réduction de la marge à 15%. Le 17 janvier 2000, le comité de crédit a abaissé la marge à 20% et fixé la limite de la valeur d'exposition des options à 22'050'000 fr. Le 30 mars 2001, la marge a été réduite à 15% et la valeur d'exposition des options a été limitée à 19'000'000 fr. Afin de déterminer si la marge était couverte par le portefeuille de X._, les comptes courants et le prix de rachat des options étaient retenus pour la totalité de leur valeur, alors que les actions et les obligations l'étaient à raison de 50%, respectivement 80% de leur valeur.
En décembre 1999, X._ a procédé à la vente à découvert de 2'850 options PUT sur l'indice CAC 40. En parallèle, il a bouclé une précédente opération de vente à découvert d'options en rachetant 750 options CALL sur cet indice. La valeur d'exposition des options vendues par X._ et la marge requise de 35% s'élevaient à 13'714'164 euros, respectivement à 4'800'307 euros. Or, la valeur du portefeuille destinée à calculer le besoin de couverture (valeur nette) n'était alors que de 1'398'029 euros, représentant une marge effective de 10%. La banque a alors procédé à un appel de marge, auquel X._ a donné suite en transférant 15'000 actions Carrefour.
Entre janvier et décembre 2000, la marge effective, calculée sur la valeur nette du portefeuille, a oscillé entre 15,78% et 17,94%, alors que la marge requise était de 20%. De mars 2001 jusqu'au 10 septembre 2001, la marge effective - variant entre 8% et 10% - a été inférieure à la marge requise de 15%, sauf le 30 avril 2001 où elle était de 16%. En raison de la situation favorable des marchés, la banque a renoncé durant ces périodes à exiger de X._ qu'il reconstitue la marge.
Les événements du 11 septembre 2001 ont entraîné un bouleversement des marchés financiers. Au 12 septembre 2001, la valeur nette du portefeuille ne couvrait plus le prix de rachat des options; la marge effective se situait à -2%. Ce jour-là, B._ a informé X._ de l'insuffisance de marge. Le client a racheté 100 options sur l'indice CAC 40 et vendu 3'000 actions Carrefour; le lendemain, il a encore vendu 3'000 actions Carrefour supplémentaires et 300 actions L'Oréal. Au 13 et au 14 septembre 2001, la marge effective était de -1%. Il manquait près de 1'900'000 euros pour reconstituer la marge nette.
A sa demande, X._ a été reçu le 17 septembre 2001 par A._, C._, chargé de surveiller la marge du client au sein du service des crédits, et un troisième collaborateur de la banque. X._ anticipait une chute de 30% du marché à l'occasion de la réouverture de la bourse de New York. Les employés de la banque lui ont présenté un document relatif à la position de son compte au 17 septembre 2001. Un apport de liquidités supplémentaires a été demandé au client, qui a répondu par la négative et devait en conséquence racheter ses positions. A la suite de cette rencontre, X._ a, le même jour, racheté toutes ses positions ouvertes en options; le montant total débité pour ces transactions s'est élevé à 3'126'310 euros. Parallèlement, il a vendu 48'000 actions Carrefour pour un montant de 2'206'424 euros. Si X._ n'avait pas donné l'ordre de liquider ses positions, la banque y aurait procédé elle-même.
En date du 8 octobre 2001, X._ a signé, sous la mention «Statement of assets & liabilities approved», le relevé estimatif établi à cette date selon lequel la valeur totale de ses avoirs s'élevait à 1'166'068 euros; le relevé indiquait notamment une position en actions de 1'185'243 euros et le poste des liquidités en débit, mais ne mentionnait plus de postes relatifs à des options.
Par courrier du 19 octobre 2001, X._ a reproché à la banque de lui avoir tendu un piège le 17 septembre 2001; Z._ aurait subitement, ce jour-là, changé le mode de calcul de la couverture de la marge, alors qu'il avait jusque-là toujours respecté les accords de couverture; il n'entendait ainsi pas supporter les énormes pertes subies. La banque a contesté toute responsabilité de sa part.
Le 17 décembre 2001, X._ a retiré ses avoirs et clôturé son compte auprès de Z._. Il a ensuite saisi l'Ombudsman des banques suisses, qui a indiqué le 27 juin 2002 que le cas dépassait le cadre d'une médiation. Le client a par ailleurs mandaté une fiduciaire afin d'examiner l'activité de la banque, concernant en particulier le traitement des opérations qu'il avait menées sur les options sur le CAC 40. L'expert-comptable D._ a établi un rapport principal en date du 14 avril 2003.
B. Par acte déposé le 3 février 2005, X._ a assigné Z._ en paiement de 2'467'567 euros à titre de dommages-intérêts, plus intérêts à 5% dès le 20 septembre 2001. Il reprochait à la banque d'avoir violé à la fois son obligation d'information sur la marge exigée et son obligation de diligence, par une absence de suivi de la marge. En raison de ces manquements, la banque l'avait contraint, à la suite des attentats du 11 septembre 2001, à liquider ses positions en options, au motif que la couverture de marge n'était plus suffisante. Le dommage dont le demandeur réclamait réparation correspondait à la différence de valeur de son portefeuille entre le 30 juin 2001 et le 8 octobre 2001, diminuée de 27,5% pour tenir compte de la baisse globale des marchés induite par les événements du 11 septembre.
Après les enquêtes, X._ a réduit ses conclusions à 2'435'965 euros, soit une perte directe de 1'688'190 euros pour la baisse de valeur de son portefeuille, un manque à gagner sur les options de 563'775 euros et un remboursement de 184'000 euros à titre de commissions perçues indûment.
Par jugement du 14 mai 2009, le Tribunal de première instance du canton de Genève a débouté le demandeur de toutes ses conclusions.
Statuant le 18 juin 2010 sur appel de X._, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance. En substance, l'autorité cantonale a jugé que la banque n'avait pas violé ses obligations contractuelles en ne fournissant pas spontanément et systématiquement à son client des informations sur l'état de la marge et le besoin de couverture de celle-ci; Z._ n'a pas non plus commis un abus de droit en n'exigeant pas de X._ de compléter sa marge pendant une longue période, avant de lui imposer une liquidation de ses positions au motif d'une insuffisance de couverture de la marge. Au surplus, la cour cantonale a examiné les autres conditions de la responsabilité contractuelle pour aboutir à la conclusion que, de toute manière, il n'y avait pas de lien de causalité adéquate entre le défaut de renseignement sur la marge et le dommage allégué, lequel n'étant au demeurant pas établi.
C. X._ interjette un recours en matière civile. Il demande au Tribunal fédéral, principalement, d'annuler l'arrêt cantonal, puis de condamner Z._ à lui verser la somme de 2'252'965 euros, plus intérêts à 5% dès le 18 septembre 2001. A titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Z._ propose le rejet du recours.

Considérant en droit:
1. 1.1 Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours, déposé par une partie qui a pris part à l'instance précédente et a succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF), est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. b et art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur la violation d'un droit de rang constitutionnel ou sur une question afférente au droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF). Pour le reste, il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue dans la décision déférée; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104). Cependant, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 105).
Par ailleurs, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401; <ref-ruling> consid. 8.1 p. 153) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). S'il entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 3 p. 104 s. et les arrêts cités). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. Selon la cour cantonale, l'intimée n'a pas violé ses obligations contractuelles envers le recourant. Par surabondance de droit, les juges genevois ont considéré que le demandeur n'avait pas non plus démontré la réalisation de deux autres conditions nécessaires à l'admission de la responsabilité contractuelle de la banque.
Lorsque la décision attaquée se fonde, comme en l'espèce, sur plusieurs motivations, alternatives ou subsidiaires, toutes suffisantes, l'auteur du recours doit démontrer que chacune d'elles est contraire au droit, sous peine d'irrecevabilité (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 560 et les arrêts cités).
Le recourant s'est conformé à cette exigence, dès lors qu'il s'en prend non seulement à la motivation relative à l'étendue des obligations contractuelles de l'intimée, mais également aux considérants dans lesquels la cour cantonale nie un lien de causalité adéquate entre la violation contractuelle prétendue et le dommage invoqué, ainsi que l'existence du dommage allégué.
3. Le recourant, qui a introduit une action en dommages-intérêts fondée sur la responsabilité contractuelle de l'intimée, est domicilié en France. Comme la cause comporte un élément d'extranéité, le Tribunal fédéral, saisi d'un recours en matière civile, doit examiner d'office la question du droit applicable au litige, en fonction de la loi du for, singulièrement de la LDIP (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 261; <ref-ruling> consid. 2 p. 39, 323 consid. 2.1 p. 327 s.).
En l'espèce, les parties au contrat ont convenu d'une élection de droit en faveur du droit suisse, qui s'applique par conséquent (art. 116 al. 1 LDIP).
4. Invoquant les art. 97 et 398 al. 2 CO, les règles sur l'interprétation des contrats, l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'abus de droit, le recourant soulève plusieurs griefs en rapport avec le refus de la cour cantonale de reconnaître que l'intimée a violé ses obligations contractuelles. Ainsi, la banque aurait méconnu son devoir de diligence en n'informant pas le client sur la marge et sur le besoin de couverture de celle-ci, en ne suivant pas la position et en ne faisant pas régulièrement des appels de marge, ainsi qu'en ne disposant pas des compétences humaines et de l'infrastructure nécessaires au suivi des opérations. Elle aurait également manqué à son obligation de fidélité en n'effectuant des appels de marge que dans des cas où elle se trouvait en situation de perte potentielle pour elle-même; à cet égard, la cour cantonale aurait nié, de manière insoutenable, que la banque se trouvait dans une telle situation lors des appels de marge des 29 décembre 1999 et 12 septembre 2001. Par ailleurs, une juste application du principe de la confiance au texte des conditions spéciales aurait dû conduire la cour cantonale à admettre que la réglementation du MONEP (Marché des Options Négociables de Paris), imposant une information précise en matière de marge, s'appliquait aux relations contractuelles des parties. Enfin, la banque aurait commis un abus de droit (art. 2 al. 2 CC) en exigeant brusquement, le 17 septembre 2001, le respect de la marge, alors que la position avait déjà été maintes fois en insuffisance de marge sans que le client ne soit avisé de ce fait ou soumis à un appel de marge.
5. Selon les constatations de la cour cantonale, l'intimée n'a pas fourni spontanément au recourant des informations sur l'état de sa marge et sur le besoin de couverture de celle-ci. Les juges précédents ont relevé par ailleurs une absence de suivi permanent de la marge de la part de la banque. Il ressort enfin de l'état de fait cantonal que, sauf en décembre 1999 et en septembre 2001, l'intimée n'a pas avisé le recourant lorsqu'il se trouvait en insuffisance de couverture de marge. La question se pose de savoir si, ce faisant, la banque a violé ses obligations contractuelles envers le client.
5.1 Il convient d'examiner tout d'abord le contenu du rapport contractuel liant les parties, singulièrement si celles-ci ont incorporé la réglementation du MONEP dans leur convention, comme le recourant le prétend.
5.1.1 Lorsque, comme en l'espèce, l'autorité précédente n'a pas déterminé la volonté réelle et commune des parties, le contrat doit être interprété selon le principe de la confiance. Il sied de rechercher comment les termes précités pouvaient être compris de bonne foi en fonction de l'ensemble des circonstances (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 188; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 302, 410 consid. 3.2 p. 413). Le sens d'un texte, apparemment clair, n'est pas nécessairement déterminant, de sorte que l'interprétation purement littérale est prohibée. Même si la teneur d'une clause contractuelle paraît limpide à première vue, il peut résulter d'autres conditions du contrat, du but poursuivi par les parties ou d'autres circonstances que le texte de ladite clause ne restitue pas exactement le sens de l'accord conclu. Il n'y a cependant pas lieu de s'écarter du sens littéral du texte adopté par les intéressés lorsqu'il n'existe aucune raison sérieuse de penser qu'il ne correspond pas à leur volonté (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 188; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 302; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 67).
5.1.2 En l'espèce, la relation contractuelle entre les parties était régie notamment par les «conditions spéciales pour opérations et contrats à terme, options et autres produits dérivés», qui contiennent des clauses précises à propos de la marge de garantie relative à ce genre d'opérations. Les conditions spéciales prévoient également que le client traitera ces opérations par l'entremise de la banque, mais pour son propre compte, et que les transactions effectuées auprès de la SOFFEX ou d'une autre bourse seront soumises aux réglementations et procédures de la bourse concernée. Invoquant cette réserve, le recourant voudrait que la réglementation du MONEP s'applique dans sa relation avec la banque. En effet, selon les constatations cantonales, la note sur les instruments financiers à terme du MONEP impose à l'intermédiaire de fournir périodiquement au donneur d'ordre des informations lui permettant de suivre l'évolution de sa position et les risques qu'elle comporte, notamment au moyen de relevés indiquant la garantie requise et les garanties déposées.
Selon les termes clairs des conditions spéciales, ce sont les transactions effectuées par la banque, représentante indirecte du client, sur le marché concerné qui sont régies par les réglementations et procédures dudit marché. Ainsi, seules sont en cause les relations entre la banque et ses intervenants sur le marché. Le rapport interne entre la banque et son client n'est pas touché par cette réserve.
Aucun élément de l'arrêt attaqué ne permet de conclure que le recourant pouvait de bonne foi attribuer un autre sens à la clause des conditions spéciales réservant les réglementations des bourses concernées. Au contraire, le fait que les conditions spéciales contiennent plusieurs clauses précises sur la marge excluait que ce domaine soit soumis, en plus, à d'autres dispositions, qui n'étaient même pas citées expressément dans la convention des parties.
Le moyen tiré d'une mauvaise application du principe de la confiance se révèle mal fondé.
5.2 Le recourant soutient que, de toute manière, les conditions spéciales imposaient à la banque des obligations en matière de suivi de la marge et d'information du client.
5.2.1 Selon la jurisprudence, la banque qui, sans être au bénéfice d'un mandat de gestion, s'engage uniquement à exécuter des instructions de son mandant, n'est pas tenue, de manière générale, à une sauvegarde des intérêts du client. Un devoir général d'information n'existe pas en pareille hypothèse. En principe, la banque ne doit renseigner son mandant que s'il le demande; s'il apparaît toutefois que le client n'a aucune idée des risques qu'il court, la banque doit l'y rendre attentif. Il n'y a de devoir d'information que dans des situations exceptionnelles, soit lorsque la banque, en faisant preuve de l'attention requise, a reconnu ou aurait dû reconnaître que le client n'a pas identifié un danger lié au placement, ou lorsqu'un rapport particulier de confiance s'est développé dans le cadre d'une relation d'affaires durable entre le client et la banque, en vertu duquel le premier peut, sur la base des règles de la bonne foi, attendre conseil et mise en garde même s'il ne formule pas de demande dans ce sens (<ref-ruling> consid. 7.1.2 p. 103; <ref-ruling> consid. 4.1.1 p. 380 s; arrêt 4C.385/2006 du 2 avril 2007 consid. 2.1 et 2.2, in SJ 2007 I p. 499).
En l'espèce, les opérations sur options engagées par le recourant étaient des transactions avec effet de levier, supposant un crédit de la part de la banque. En effet, dans ce genre d'opération, le client peut prendre des positions pour des montants plus importants que les actifs dont il dispose; la différence est financée par la banque qui exigera, d'une part, le nantissement de tous les actifs en compte et, d'autre part, une couverture appropriée en matière de fonds propres (marge) (CARLO LOMBARDINI, Responsabilité de la banque dans le domaine de la gestion de fortune: état de la jurisprudence et questions ouvertes, SJ 2008 II p. 421). Selon la jurisprudence, la marge exigée pour certaines transactions tend à limiter les risques de la banque en cas d'insolvabilité du client; a priori, ce dernier ne peut donc pas tenir la banque pour responsable si elle se contente d'une marge insuffisante. La banque dépourvue de mandat de gestion n'a en principe pas à chercher activement à limiter les risques de perte du client (arrêt 4A_521/2008 du 26 février 2009 consid. 5.2; arrêt 4C.298/2004 du 26 janvier 2005 consid. 3.2; arrêt 4C.305/2003 du 3 mai 2004 consid. 3.2.1; arrêt 4C.152/2002 du 22 juillet 2002 consid. 2.2, in SJ 2003 I p. 359; arrêt 4C.166/2000 du 8 décembre 2000 consid. 3a/cc). Cependant, l'interprétation de la convention des parties conduira parfois à admettre un devoir de protection en faveur du client, lequel pourra alors se retourner contre la banque qui a toléré une couverture insuffisante. En outre, il peut y avoir entre la banque et le client un rapport de confiance particulier, sur la base duquel la banque est en mesure d'évaluer de manière sûre les relations patrimoniales du mandant; en pareil cas, un devoir d'information ou de mise en garde pourra se déduire des règles de la bonne foi (arrêt 4A_521/2008 du 26 février 2009 consid. 5.2; arrêt 4C.305/2003 du 3 mai 2004 consid. 3.2.1).
5.2.2 Les clauses sur la marge contenues dans les conditions spéciales confirment qu'en l'espèce, cet instrument protège exclusivement les intérêts de la banque, qui peut renoncer à son bénéfice, et qu'il n'a pas d'effet protecteur envers le client. Ainsi, la marge requise est fixée par la banque, qui peut la modifier en tout temps et sans préavis. Si la marge effective tombe en-dessous du montant fixé et que le client ne fournit pas de sûretés complémentaires, il est mentionné expressément que la banque a le droit, mais non l'obligation, de prendre les mesures nécessaires pour reconstituer la couverture intégrale et qu'elle peut se décider immédiatement ou plus tard, au moment qui lui convient. Pour sa part, le client n'a que des obligations: il s'engage à veiller au maintien et à la reconstitution de la marge, sans que la banque soit obligée de l'aviser de manière formelle ou autre, en cas d'insuffisance de la marge; si la marge n'est plus couverte, il doit fournir immédiatement des sûretés complémentaires.
L'interprétation objective de la convention des parties amène dès lors la cour de céans à admettre, à l'instar de l'autorité cantonale, que la banque n'était pas tenue contractuellement de suivre l'évolution de la marge effective, ni d'informer régulièrement le recourant de l'état de sa marge, en particulier de l'aviser lorsque la marge effective était inférieure à la marge requise; dans cette dernière hypothèse, l'intimée n'avait pas non plus à procéder systématiquement à un appel de marge.
Il s'ensuit également que l'un des comportements incriminés de l'intimée, consistant, selon le recourant, à n'avoir exigé un complément de couverture qu'en cas de perte potentielle pour elle-même, n'est pas contraire aux obligations contractuelles de la banque, singulièrement à son obligation de fidélité. A ce propos, il se révèle superflu d'examiner si la cour cantonale a procédé à une appréciation arbitraire des preuves en retenant que la banque n'a jamais été en situation de devoir couvrir des pertes éventuelles du recourant. En effet, une appréciation différente de ce point de fait n'est pas susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF), puisque la banque était de toute manière en droit de procéder à des appels de marge quand bon lui semblait.
Au surplus, il ne ressort pas de l'état de fait cantonal qu'il existait entre les parties un rapport de confiance particulier qui aurait pu justifier un suivi de la marge et une information régulière à ce sujet. Le recourant ne fait du reste rien valoir de tel.
Force est dès lors de conclure que la cour cantonale a admis à bon droit que l'intimée n'a pas violé ses obligations contractuelles envers son mandant.
5.3 Le recourant reproche également à la cour cantonale d'avoir violé l'art. 2 al. 2 CC en ne retenant pas un abus de droit de la part de l'intimée. Il considère en effet que la banque a agi abusivement le 17 septembre 2001, en exigeant subitement le respect de la marge et en ne lui laissant d'autre choix que de liquider toutes ses positions; il s'agirait là d'un comportement contradictoire, l'intimée n'ayant jusqu'alors pas signalé au client de nombreuses insuffisances de marge, ni procédé à un appel de marge à ces occasions. A ce propos, le recourant se réfère en particulier à l'arrêt 4C.410/2004 du 16 mars 2005.
5.3.1 Aux termes de l'art. 2 al. 2 CC, l'abus manifeste d'un droit n'est pas protégé par la loi. La règle prohibant l'abus de droit permet au juge de corriger les effets de la loi dans certains cas où l'exercice d'un droit allégué créerait une injustice manifeste. L'existence d'un abus de droit se détermine selon les circonstances concrètes du cas, en s'inspirant des diverses catégories mises en évidence par la jurisprudence et la doctrine. Les cas typiques sont l'absence d'intérêt à l'exercice d'un droit, l'utilisation d'une institution juridique contrairement à son but, la disproportion manifeste des intérêts en présence, l'exercice d'un droit sans ménagement et l'attitude contradictoire (<ref-ruling> consid. 3.3.1 p. 169; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 58; <ref-ruling> consid. 5.1 et les arrêt cités). Ainsi, l'exercice d'un droit peut être abusif s'il contredit un comportement antérieur, qui avait suscité des attentes légitimes chez l'autre partie (venire contra factum proprium). Dans l'arrêt du 16 mars 2005 invoqué par le recourant, le Tribunal fédéral a admis une telle attitude contradictoire de la part d'une banque. Dans cette affaire, le client, appelé à compléter la marge à la suite des baisses de marché liées aux événements du 11 septembre 2001, avait proposé, lors d'un entretien le 18 septembre 2001, un gage immobilier à titre de garantie; la banque avait alors promis d'examiner cette possibilité et de communiquer sa décision avant de procéder à une éventuelle liquidation des positions; or, le lendemain de l'entrevue, la banque avait fermé les positions, sans avoir respecté sa promesse et donc en contradiction avec son attitude de la veille.
5.3.2 Le cas présent est fort différent de celui ayant donné lieu à la jurisprudence invoquée par le recourant. Dans l'arrêt susmentionné, le client pouvait s'attendre, selon le principe de la confiance, à une attitude déterminée de la part de la banque, qui s'était engagée à examiner sa proposition avant de clôturer, le cas échéant, les positions. Il n'en va pas de même en l'espèce. Du comportement de l'intimée avant le 17 septembre 2001, le recourant ne peut pas déduire de bonne foi que la banque avait renoncé, en toutes circonstances, à disposer d'une couverture suffisante et à réclamer un complément de marge.
Avant septembre 2001, la banque a demandé une fois à l'intimé de compléter la marge, en décembre 1999, lorsque la marge effective est tombée à 10% pour une marge requise de 35%. Il est donc faux de prétendre, comme le recourant le fait, que la banque n'a jamais procédé à des appels de marge. Certes, en 2000, la marge effective, oscillant entre 15,78% et 17,94%, était inférieure à la marge requise de 20%. De même, après l'abaissement de la marge requise à 15% en mars 2001, la marge effective a atteint à plusieurs reprises 8% ou 10%. Durant ces périodes, l'intimée n'a pas demandé au client de reconstituer la marge. Cette tolérance était liée à la situation favorable du marché, que le recourant connaissait bien. Elle n'avait plus de sens en cas d'effondrement des marchés. Du reste, le lendemain des événements du 11 septembre 2001, la marge effective se situait à -2% et le recourant, informé par la banque de l'insuffisance de marge, a immédiatement cherché à la reconstituer; les ventes auxquelles il a procédé n'étaient toutefois pas suffisantes, puisque la marge effective était de -1% au 14 septembre 2001. A ce moment-là, l'insuffisance de couverture était donc beaucoup plus importante que lors des mois précédents et la banque n'a pas manqué de demander au recourant d'y remédier.
En résumé, le recourant ne pouvait conclure qu'en tolérant, pendant une période favorable aux marchés, des marges effectives un peu inférieures à la marge requise, la banque avait renoncé de manière définitive à ses droits contractuels en matière de marge et, en particulier, qu'elle n'effectuerait pas un appel de marge si, comme en septembre 2001, la marge effective atteignait des valeurs négatives.
En procédant à un appel de marge le 17 septembre 2001, qui a finalement conduit le recourant à liquider ses positions, la banque n'a pas commis un abus de droit. Le grief tiré d'une violation de l'art. 2 al. 2 CC ne peut être que rejeté.
6. Sur le vu de ce qui précède, l'intimée n'a pas adopté un comportement propre à engager sa responsabilité sur la base de l'art. 97 CO, comme les juges précédents l'ont admis à juste titre. Cette conclusion suffit à rejeter le recours, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres conditions de la responsabilité contractuelle dont la réalisation a été niée par la cour cantonale, soit le lien de causalité adéquate et le dommage.
7. Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 20'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 22'000 fr., à payer à titre de dépens à l'intimée, est mise à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 21 décembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Godat Zimmermann