Sachverhalt:
A. A.a Der 1967 geborene D._ war seit 1992 bei der E._ AG als Automechaniker angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 8. Januar 1997 wurde beim Schliessen des Sicherungsbügels eines Sesselliftsitzplatzes das rechte Handgelenk des Versicherten zwischen Sitzfläche und Bügelstütze eingeklemmt. Er erlitt einen dorsalen Kantenabriss, weswegen er ärztlicher Versorgung bedurfte und temporär arbeitsunfähig war. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Auf eine Rückfallmeldung hin bestellte sie unter anderem das Gutachten des Spitals X._, Abteilung für Handchirurgie vom 19. Februar 2001 (mit Ergänzung vom 16. März 2001) und sprach dem Versicherten mit Verfügung vom 18. September 2001 unter Verneinung eines Anspruchs auf Integritätsentschädigung rückwirkend ab 1. Februar 2000 eine Invalidenrente auf Basis eines Invaliditätsgrades von 15 % zu. Eine Einsprache lehnte sie ab (Einspracheentscheid vom 21. November 2001).
Anlässlich einer Besprechung mit einem Aussendienstmitarbeiter der SUVA vom 19. Oktober 2006 machte der Versicherte eine deutliche Verschlechterung des Zustands am rechten Handgelenk geltend. Die SUVA klärte den medizinischen Sachverhalt erneut ab und kam unter anderem gestützt auf die Stellungnahmen des Prof. Dr. med. F._, Facharzt für Orthopädie und Handchirurgie FMH, Spital Y._ vom 10. Juli 2007 und 28. Mai 2008 sowie derjenigen des Dr. med. G._, FMH für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Kreisarzt der SUVA vom 2. Juli 2008 zum Schluss, dass keine erhebliche Änderung des unfallbedingten Gesundheitsschadens vorliege, die eine Revision rechtfertigte (Verfügung vom 8. Juli 2008). Mit hiegegen erhobener Einsprache liess der Versicherte das Gutachten des Dr. med. B._, Chirurgie FMH, Spez. Handchirurgie, vom 31. Oktober 2008 auflegen.
A.b Am 23. Oktober 2002 fiel anlässlich von Reparaturarbeiten an einem Fahrzeug dessen Querlenker auf den Versicherten, wobei er sich eine Zerrung an der linken Schulter zuzog. Die SUVA erbrachte zunächst auch für diesen Unfall die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Mit Verfügung vom 30. Mai 2008 verneinte sie einen überwiegend wahrscheinlichen Kausalzusammenhang des Unfalls vom 23. Oktober 2002 mit den weiterbestehenden Schulterbeschwerden. Hiegegen liess der Versicherte unter Auflage eines Auszugs aus der Krankengeschichte des Hausarztes (Bericht des Dr. med. W._, Arzt für Allgemeine Medizin FMH, vom 25. Juni 2008) Einsprache erheben.
A.c Mit Entscheid vom 12. März 2009 wies die SUVA beide Einsprachen ab. Sie erwog zum einen, aus den ärztlichen Unterlagen sei eine Verschlimmerung des Zustands am rechten Handgelenk nicht ersichtlich, zum anderen könne für die geltend gemachten linksseitigen Schulterbeschwerden kein traumatisch bedingtes organisches Substrat festgestellt werden.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde, mit welcher beantragt wurde, die Sache sei zu neuer Entscheidung an die Verwaltung zurückzuweisen und diese sei zu verpflichten, die Kosten des Gutachtens des Dr. med. B._ im Betrage von Fr. 4'930.- zu erstatten, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern ab (Entscheid vom 11. März 2010).
C. Mit Beschwerde lässt D._ die vorinstanzlich gestellten Rechtsbegehren wiederholen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist zunächst, ob sich der Zustand am rechten Handgelenk seit der rechtskräftigen Zusprechung der Invalidenrente (Verfügung der SUVA vom 18. September 2001 und Einspracheentscheid vom 21. November 2001) bis zum Erlass des Einspracheentscheids vom 12. März 2009 in revisionsrechtlich erheblicher Weise verschlimmerte. Die Vorinstanz hat die zur Beurteilung dieser Frage massgeblichen Rechtsgrundlagen zutreffend dargelegt, worauf verwiesen wird.
2.1 Der Rentenzusprechung lag im Wesentlichen das Gutachten des Spitals X._ vom 19. Februar 2001 (mit Ergänzung vom 16. März 2001) zugrunde. Danach war aufgrund der klinischen und radiologischen Befunde eine chronische unspezifische diffuse Schmerzsymptomatik am rechten Handgelenk rechts (dominant) nach stumpfem Quetschtrauma zu diagnostizieren. Bei ausgeprägter subjektiver Symptomatik und fehlenden objektiven Befunden war es nicht möglich, die Arbeitsfähigkeit konklusiv einzuschätzen. Die inkonstante Kraftminderung beim Faustschluss rechts deutete darauf hin, dass manuell stark belastende Arbeiten nicht mehr zumutbar waren. Von handchirurgischer Seite ergaben sich keine operativ-therapeutischen Behandlungsmöglichkeiten. Die SUVA ging gestützt darauf davon aus, dass der Versicherte im angestammten Beruf als Automechaniker im Umfang von 15 % vermindert leistungsfähig war.
2.2 Das kantonale Gericht hat gestützt auf eine sorgfältige und inhaltsbezogene Würdigung der medizinischen Akten festgestellt, dass der Gesundheitsschaden sich im Vergleichszeitraum nicht in revisionsrechtlich erheblicher Weise verschlimmerte. Laut Auskünften des Prof. Dr. med. F._ (Berichte vom 10. Juli 2007 und 28. Mai 2008) entstanden die Beschwerden am rechten Handgelenk rein belastungsabhängig und waren mit grösster Wahrscheinlichkeit bei Entlastung reversibel; er vermochte keine Befunde zu erheben, die eine chirurgische Intervention notwendig machten, wobei er insbesondere ausschloss, es könnte die vom SUVA-Kreisarzt Dr. med. A._, Allgemeine Chirurgie FMH (Bericht vom 28. März 2008) vermutete scapholunäre Dissoziation am Handgelenk rechts vorliegen.
2.2 Das kantonale Gericht hat gestützt auf eine sorgfältige und inhaltsbezogene Würdigung der medizinischen Akten festgestellt, dass der Gesundheitsschaden sich im Vergleichszeitraum nicht in revisionsrechtlich erheblicher Weise verschlimmerte. Laut Auskünften des Prof. Dr. med. F._ (Berichte vom 10. Juli 2007 und 28. Mai 2008) entstanden die Beschwerden am rechten Handgelenk rein belastungsabhängig und waren mit grösster Wahrscheinlichkeit bei Entlastung reversibel; er vermochte keine Befunde zu erheben, die eine chirurgische Intervention notwendig machten, wobei er insbesondere ausschloss, es könnte die vom SUVA-Kreisarzt Dr. med. A._, Allgemeine Chirurgie FMH (Bericht vom 28. März 2008) vermutete scapholunäre Dissoziation am Handgelenk rechts vorliegen.
2.3 2.3.1 Was der Beschwerdeführer vorbringt, dringt nicht durch. Zunächst ist festzuhalten, dass die Diskussion, ob zur Beurteilung des Gesundheitszustands von einem "recht erheblichen initialen Trauma" auszugehen ist, wovon das Spital X._ ausging (Gutachten vom 19. Februar 2001), oder eine durch Hebelwirkung verstärkte Kraft von ca. 4,5 Tonnen auf das Handgelenk einwirkte, wie Dr. med. B._ annahm (Privatgutachten vom 31. Oktober 2008), revisionsrechtlich ohne Belang ist.
2.3.2 Sodann räumt der Beschwerdeführer ein, dass Dr. med. B._ das Gutachten des Spitals X._ vom 19. Februar 2001, auf welches die SUVA bei der Beurteilung des Gesundheitszustands und der Arbeitsfähigkeit in der rentenzusprechenden Verfügung vom 18. September 2001 bzw. in dem diese bestätigenden Einspracheentscheid vom 21. November 2001 im Wesentlichen abstellte, nicht vorlag. Ein Vergleich der Gutachten zeigt, dass die wiedergegebenen klinischen Befunde weitgehend übereinstimmen. Insbesondere hielt auch Dr. med. B._ fest, es könne keine Atrophie der Muskulatur im Bereich der rechten Hand und des rechten Armes festgestellt werden; die flächige Schmerzzone korreliere nicht mit spezifischen darunter liegenden Strukturen (Sehnen, Gelenkskapsel, Handwurzelknochen, Radius), weshalb eine Differenzierung nicht möglich sei; die Beweglichkeit der Fingerzwischengelenke sowie des Daumens sei lediglich leichtgradig eingeschränkt; das Schultergürtelgelenk sei weitgehend frei beweglich in sämtlichen Richtungen. Unter diesen Umständen ist die damit nicht übereinstimmende, aus den radiologischen Befunden gezogene Schlussfolgerung des Dr. med. B._, es bestehe ein dringender Verdacht auf Status nach ossärem und ligamentärem Ausriss des Scapho-Lunargelenks rechts und zusätzlichem Verdacht auf partielle kapsuläre und ligamentäre Läsionen palmar, die eine hälftige Arbeitsunfähigkeit begründeten, nicht ohne weiteres nachvollziehbar. Dr. med. B._ nahm denn auch nicht Stellung zu den sich aufdrängenden Fragen, ob und allenfalls welche therapeutischen Massnahmen indiziert wären und wie es sich mit der Leistungsfähigkeit in einer Verweisungstätigkeit verhielte. Schliesslich ist aus seinen Ausführungen nicht ersichtlich, inwieweit und inwiefern sich die zusätzlich diagnostizierten Neurombeschwerden mit neuropathischen lokalen Schmerzen und Schmerzausstrahlung in den rechten Arm sowie die Sensibilitätsstörungen, deren Ausmass offenbar zum grossen Teil auf den Angaben des Versicherten beruhte, auf die Arbeitsfähigkeit auswirkten. Insgesamt betrachtet ist das vorinstanzliche Beweisergebnis, Dr. med. B._ beurteile den im Wesentlichen unverändert gebliebenen Sachverhalt anders als das Spital X._ und Prof. Dr. med. F._, nicht zu beanstanden. Der Beschwerdeführer übersieht, dass mit einer Diagnose allein noch nichts über die gesundheitlichen und erwerblichen Auswirkungen gesagt wird.
2.3.3 Hinsichtlich des Vorbringens des Beschwerdeführers, es liege der Rückkommensgrund der prozessualen Revision (vgl. <ref-law>) vor, wird auf die nicht zu beanstandenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen, welchen nichts beizufügen ist.
2.3.4 Schliesslich hat das kantonale Gericht zutreffend festgestellt, dass die Voraussetzungen, die praxisgemäss gegeben sein müssen, damit der Sozialversicherer zur Bezahlung der Kosten eines medizinischen Privatgutachtens verpflichtet werden kann, hier nicht vorliegen.
3. Streitig und zu prüfen bleibt, ob das geltend gemachte Schulterleiden links in einem rechtserheblichen Kausalzusammenhang mit den Unfällen vom 8. Januar 1997 und 23. Oktober 2002 steht, was die Vorinstanz verneint hat. Wohl mag die Einwendung des Beschwerdeführers zutreffen, dass er bis zum Unfall vom 23. Oktober 2002 in Bezug auf die vorbestandene krankheitsbedingte Arthrose am linken Schultergelenk nicht beeinträchtigt war. Indessen ist zum einen auf die Rechtsprechung hinzuweisen, wonach die Beweisregel "post hoc ergo propter hoc" im Sinne einer natürlichen Vermutung, Beschwerden müssten unfallbedingt sein, wenn eine vorbestehende Erkrankung bis zum Unfall schmerzfrei war, medizinisch nicht haltbar und beweisrechtlich daher nicht zulässig ist (Urteil U 290/06 vom 11. Juni 2006 mit Hinweisen, publ. in: SVR 2008 UV Nr. 11 S. 34). Zum anderen hat das kantonale Gericht gestützt auf die ärztlichen Unterlagen einlässlich dargelegt, dass unfallbedingte strukturelle Läsionen im Bereich des linken Schultergelenks weder klinisch noch radiologisch objektiviert werden konnten, weshalb auch der Einwand, gemäss Urteil 8C_826/2008 vom 2. April 2009 schliesse das allfällige Fehlen von Brückensymptomen das Vorliegen von Spätfolgen oder eines Rückfalles nicht aus, nicht sticht.
4. Die Gerichtskosten werden gemäss <ref-law> dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Dezember 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Grunder