Sachverhalt:
A. A.a Mit Zahlungsbefehl vom 6. August 2008 des Betreibungsamtes Appenzell Hinterland in Herisau wurde X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) von der Einwohnergemeinde A._ für vier Wasser/Abwasser/Kehricht-Rechnungen für die Jahre 2004-2006 im Gesamtbetrag von Fr. 2'842.40 und Mahngebühren von Fr. 20.-- nebst 5% Zins betrieben. Der Schuldner erhob Rechtsvorschlag.
A.b Die Gemeinde A._ reichte am 29. Juni 2009 beim Kantonsgerichtspräsidium von Appenzell Ausserrhoden ein Gesuch um definitive Rechtsöffnung ein. Das Rechtsöffnungsbegehren wurde dem Beschwerdeführer gemäss Verfügung vom 1. Juli 2009 am 2. Juli 2009 mit eingeschriebener Post zugesandt. Der Schuldner reichte dem Kantonsgericht weder eine Vernehmlassung noch eine Meldung für eine Ferienabwesenheit ein.
A.c Mit Entscheid vom 6. August 2009 hat der Einzelrichter des Kantonsgerichts der Gläubigerin im anbegehrten Umfang definitive Rechtsöffnung erteilt.
Das Kantonsgerichtspräsidium ersuchte am 24. August 2009 das Polizeikommando von Appenzell Ausserrhoden, den Entscheid dem Schuldner zuzustellen. Beim Zustellungsversuch vom 31. August 2009 verweigerte der Beschwerdeführer die Unterschrift für die Empfangnahme.
A.d Am 5. September 2009 reichte der Schuldner die Appellationserklärung beim Einzelrichter des Obergerichts von Appenzell Ausserrhoden ein. Mit Schreiben vom 14. September 2009 teilte der Obergerichtspräsident (Verfahren OGP 09 47) dem Beschwerdeführer mit, wer ein Rechtsmittel ergreife, habe nach <ref-law>/AR die im angefochtenen Entscheid auferlegten Kosten vorläufig zu bezahlen und bei der Anhängigmachung einer Appellation beim Einzelrichter des Obergerichts eine Einschreibgebühr von Fr. 100.-- zu leisten. Der Beschwerdeführer wurde aufgefordert, innert einer Notfrist von 10 Tagen Fr. 340.-- (inkl. Fr. 240.-- Rechtskostenanteil für das erstinstanzliche Verfahren [ER1 09 160]) zu bezahlen. Mit Schreiben vom 25. September 2009 teilte der Beschwerdeführer dem Obergerichtspräsidenten mit, er sehe nicht ein, weshalb er für ein nicht eröffnetes Verfahren einen Gerichtskostenvorschuss leisten müsse und stellte das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Entscheid vom 26. Oktober 2009 wurde das Gesuch abgewiesen, und die Verfahrenskosten von Fr. 300.-- wurden dem Gesuchsteller auferlegt (OGP 09 52). Der Beschwerdeführer verlangte eine Begründung des Entscheids.
A.e Gegen diesen Entscheid erhob der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 20. November 2009 Beschwerde bei der Justizaufsichtskommission des Obergerichts und stellte den Antrag, der Entscheid OGP 09 52 sei aufzuheben. Eventualiter sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen, und es sei auf den Antrag im Zusammenhang mit dem Rechtsöffnungsrichter einzutreten. Zudem beantragte der Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren und stellte ein Gesuch um aufschiebende Wirkung.
Mit Entscheid vom 16. Februar 2010 wies die Justizaufsichtskommission des Obergerichts (JAK 09 25) die Beschwerde des Beschwerdeführers gegen den Entscheid des Obergerichtspräsidenten vom 26. Oktober 2010 ab und verurteilte ihn zur Übernahme der Verfahrenskosten von Fr. 150.-- (Verfahren 5D_69/2010).
A.f Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für dieses Verfahren wurde mit separatem Entscheid der Justizaufsichtskommission des Obergerichts (JAK 09 26) vom 16. Februar 2010 abgewiesen (Verfahren 5D_68/2010).
B.a Der Beschwerdeführer gelangt mit gesonderten Eingaben vom 3. Mai 2010 an das Bundesgericht und beantragt die Aufhebung der beiden Entscheide der Justizaufsichtskommission des Obergerichts vom 16. Februar 2010. Sodann sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er stellt zudem das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Mit Verfügungen der Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung vom 6. Mai 2010 wurden die Gesuche um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
B.b Mit Eingabe vom 5. Juli 2010 teilt der Beschwerdeführer die Zustelladresse bis zum 3. November 2010 mit und ersucht, "die nicht vom Gesetz bestimmten Fristen zu erstrecken und gleich bei der Fristsetzung zu verdoppeln".
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Die inhaltsgleichen Eingaben des Beschwerdeführers richten sich gegen zwei letztinstanzliche Entscheide (<ref-law>) betreffend die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Zusammenhang mit der Erteilung einer definitiven Rechtsöffnung. Es ist deshalb zweckmässig, die beiden Verfahren 5D_68/2010 und 5D_69/2010 zu vereinigen (<ref-ruling> E. 1 S. 217).
2. 2.1 Gemäss <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen auch Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen. Beim vorliegenden Entscheid über die definitive Rechtsöffnung handelt es sich um einen solchen Entscheid (<ref-ruling> E. 1). Der im Rechtsöffnungsverfahren ergangene Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege bildet gleichermassen ein taugliches Anfechtungsobjekt (Urteil 5A_396/2009 vom 5. August 2009 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.2 In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>), es sei denn, dass ein vorliegend nicht gegebener Ausnahmegrund nach <ref-law> besteht. Da im vorliegenden Fall die Streitwertgrenze offensichtlich nicht erreicht wird, ist nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> zulässig.
2.3 Unzulässig ist die (verspätete) Eingabe vom 5. Juli 2010 insoweit, als darin ersucht wird, die nicht vom Gesetz bestimmten Fristen zu erstrecken und gleich bei der Fristsetzung zu verdoppeln, denn es steht keine im Sinne von <ref-law> richterlich angesetzte Frist offen.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer wirft der Justizkommission des Obergerichts eine Verletzung von <ref-law> vor, denn er verfüge nicht über die erforderlichen Mittel, um die Verfahrenskosten zu bezahlen, und sein Rechtsbegehren sei nicht aussichtslos.
3.2 Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt. Unabhängig davon besteht ein solcher Anspruch auf Grund von <ref-law> (bzw. Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK). Während das Bundesgericht die Rüge der Verletzung von direkt aus <ref-law> (bzw. Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK) hergeleiteten Rechtspflegeansprüchen mit freier Kognition untersucht, prüft es die Auslegung und Anwendung der kantonalen Gesetzesbestimmungen über den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nur unter dem Gesichtspunkt des Willkürverbotes (<ref-ruling> E. 3 S. 180 mit Hinweisen).
3.3 Mit Bezug auf Einwendungen gegen tatsächliche Feststellungen der Vorinstanz ist die Kognition des Bundesgerichts auf Willkür im Sinne von <ref-law> beschränkt. Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene Rügen, die soweit möglich zu belegen sind, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 2 S. 639). Neue tatsächliche und rechtliche Vorbringen sind grundsätzlich unzulässig (BGE <ref-ruling> E. 2 S. 640).
3.4 Nach dem angefochtenen Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Appellationsverfahren (JAK 09 25; E. 7b S. 4) erfolgte die Prüfung der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege - mangels Rügen zur willkürlichen Auslegung von kantonalem Prozessrecht - einzig nach <ref-law>. Es ist somit lediglich zu untersuchen, ob die bundesrechtlichen Minimalgarantien dieser Bestimmung - wie der Beschwerdeführer behauptet - missachtet worden sind.
3.5 3.5.1 Nach ständiger Rechtsprechung hat eine bedürftige Person in einem für sie nicht aussichtslosen Zivilprozess unmittelbar aufgrund von <ref-law> Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und auf Ernennung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes, sofern sie zur gehörigen Wahrung ihrer Interessen eines solchen bedarf (<ref-ruling> E.3a S.181 mit Hinweisen). Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung verlangt nach ständiger Praxis grundsätzlich das kumulative Vorliegen von drei Voraussetzungen, nämlich der finanziellen Bedürftigkeit des Rechtsuchenden, der Nichtaussichtslosigkeit seines Parteistandpunktes und der - hier nicht zur Diskussion stehenden - sachlichen Notwendigkeit der Verbeiständung (<ref-ruling> E. 2.5 S. 232 ff., mit Hinweisen).
Grundsätzlich obliegt dem Gesuchsteller, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich auch zu belegen (Urteil 5A_294/2008 vom 18. August 2008, E. 2, s. auch Christian Favre, L'assistance judiciaire gratuite en droit suisse, Diss. Lausanne 1989, S. 54 f.). Unter verfassungsrechtlichem Blickwinkel darf der gesuchstellenden Partei die Behauptungs- und Beweislast für ihr Einkommen und Vermögen und damit für ihre Bedürftigkeit auferlegt werden (<ref-ruling> E. 3a S. 181/182). Soweit sie ihrer Beweisführungspflicht hinreichend nachgekommen ist, genügt Glaubhaftmachung der Mittellosigkeit (<ref-ruling> E. 2b S. 326). Das Bundesgericht prüft frei, ob die Kriterien zur Bestimmung der Bedürftigkeit zutreffend gewählt worden sind (<ref-ruling> E. 3a S. 181), legt seinem Urteil aber den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat.
Für die Feststellung der wirtschaftlichen Situation des Gesuchstellers darf die entscheidende Behörde die Beweismittel nicht formalistisch beschränken und etwa einseitig nur einen amtlichen Beleg über dessen finanzielle Verhältnisse zulassen (<ref-ruling> E. 3b S. 31; s. auch Urteil 5D_34/2008 vom 16. Juni 2008 E. 2.5). Sie hat allenfalls unbeholfene Rechtsuchende auch auf die Angaben hinzuweisen, die sie zur Beurteilung des Gesuches benötigt. Verweigert ein Gesuchsteller die zur Beurteilung seiner aktuellen Gesamtsituation erforderlichen Angaben oder Belege, so kann die Bedürftigkeit ohne Verletzung von <ref-law> verneint werden.
3.5.2 Das Obergericht führt aus, es teile die vom Obergerichtspräsidenten dargelegte Verletzung der Mitwirkungspflicht des Beschwerdeführers vollumfänglich. Es könne nicht angehen, dass ein Rechtsuchender, der um unentgeltliche Rechtspflege nachsuche, das Ausfüllen des ihm von der Entscheidbehörde zugestellten Formulars verweigere und stattdessen nach eigenem Gutdünken nur einen Teil der Fragen beantworte und andere gar nicht erst aufführe. Des Weiteren sei der urteilende Richter darauf angewiesen, im Fall von Unklarheiten bei der betreffenden Behörde nachfragen zu können, weshalb es erforderlich sei, dass die auf dem Formular erwähnten Amtsstellen vom Gesuchsteller vom Amtsgeheimnis befreit würden (E. 7c/aa S. 5).
3.5.3 Der Beschwerdeführer trägt dagegen vor, er habe die "Zusammenstellung" des Formulars "Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege" im Computer gespeichert und jeweils bei Gebrauch der Situation angepasst und sei immer im guten Glauben gewesen, dass die vollständige Zusammenstellung, welche er immer den Änderungen des ihm zugeschickten Formulars angepasst habe, den Anforderungen genüge. Dass der Obergerichtspräsident mit seiner Zusammenstellung, welche seit Jahren von sämtlichen Gerichtsinstanzen akzeptiert worden seien, nicht billigen werde, habe er nicht voraussehen können (S. 3). Er habe das Gesuch für das Verfahren OGP 09 47 kopiert und auf das Verfahren OGP 09 52 abgeändert, unterzeichnet und zurückgeschickt. Dass das letztere Gesuch nur wegen den fehlenden identischen Beilagen nicht entgegen genommen und die unentgeltliche Rechtspflege verweigert worden sei, müsse als formalistische Spitzfindigkeit angesehen werden (S. 4 oben).
3.5.4 Dazu ist vom Obergericht weiter bemerkt worden, es könne nicht angehen, dass der Richter aus einem anderen laufenden Verfahren - im Übrigen nicht zweifelsfrei bezeichnete - Unterlagen heraussuchen müsse (S. 6 lit. bb). Vorab nicht eingetreten werden kann auf die Vorbringen des Beschwerdeführers zum Einkommen und Vermögen seiner Töchter, denn es sei ausgeschlossen, dass dieses im Sinne von <ref-law> zur Bezahlung von Prozesskosten in eigener Sache herangezogen werden könne (S. 2/3), denn in den angefochtenen Entscheiden wird dazu nichts ausgeführt (E. 3.3 hiervor). Fehl geht der weitere und haltlose Einwand, im bundesgerichtlichen Verfahren 5A_782/2009 seien seine Ausführungen betreffend seine Mittellosigkeit ausdrücklich unwidersprochen geblieben (S. 2 unten), denn hierüber musste in der Präsidialverfügung vom 23. November 2009 gar nicht entschieden werden, da die Beschwerde mangels hinreichender Substantiierung als aussichtslos erschien und dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege nicht gewährt werden konnte. Fehl geht auch die Rüge, der Obergerichtspräsident hätte die fehlenden Beilagen des Gesuchs im Verfahren OGP 09 52 mit einer Notfrist ein zweites Mal verlangen müssen (S. 4 oben). Gemäss dem Entscheid des Obergerichtspräsidenten vom 26. Oktober 2009 (E. 2), auf den die Vorinstanz verweist, wurde der Beschwerdeführer mit Brief vom 29. September 2009 ausdrücklich darauf aufmerksam gemacht, er müsse mit einer Abweisung des Gesuchs rechnen, wenn das erwähnte Formular nicht vollständig ausgefüllt und die verlangten Unterlagen nicht beigelegt würden; ferner wurde darauf hingewiesen, eine weitere Nachfrage erfolge nicht. Damit wurde dem Beschwerdeführer unmissverständlich zu verstehen gegeben, es würde ihm auch keine Notfrist gewährt. Dies ist unter diesen Umständen nicht zu beanstanden. Der Vorwurf der Verletzung der Mitwirkungspflicht hält somit vor <ref-law> Stand. Damit fällt auch der (neue und daher unzulässige) Vorwurf der Verletzung des rechtlichen Gehörs nach <ref-law> gegenüber dem Obergerichtspräsidenten dahin, dieser habe die Angaben über die finanzielle Situation nicht gesichtet und beurteilt (S. 2 Abs. 2).
3.5.5 Bei diesem Ergebnis kann die Frage, ob die Vorinstanz zu Recht von der Aussichtslosigkeit des Appellationsverfahrens ausgegangen ist, offen gelassen werden (E. 3.5.1 hiervor).
4. Auf die Rüge des Beschwerdeführers, der Kantonsgerichtspräsident habe sich unkorrekt verhalten, weil er das begründete Urteil im Verfahren ER1 09 160 habe polizeilich zustellen lassen, ist die Vorinstanz nicht eingetreten, da gegen formlose, prozessleitende Verfügungen sowie Vorladungen die Beschwerde nach <ref-law>/AR nicht zulässig sei, denn Beschlüsse solcher Art könnten nötigenfalls mit dem Gesamturteil angefochten werden (E. 8). Zudem erfülle der Antrag "ab sofort habe Einzelrichter Z._ solche unkorrekten Zustellungen zu unterlassen" die Anforderungen an die Bestimmtheit eines Rechtsbegehrens nicht, weshalb auch aus diesem Grund nicht eingetreten werden könne. Im Übrigen habe der Beschwerdeführer diese Rüge bereits im Verfahren JAK 08 16 vorgebracht, weshalb auf die E. 7.2 in jenem Entscheid verwiesen werden könne.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen Erwägungen überhaupt nicht auseinander. Er bringt dagegen vor, die Vorinstanz verkenne, dass er das "Verhalten des Kantonsgerichtspräsidenten beim Obergerichtspräsidenten mit dem Gesamturteil, der Rechtsöffnung, angefochten habe" (S. 5). Darum verlange er in diesem Punkt "die Rückweisung an die Vorinstanzen zur korrekten Verarbeitung". Dazu ist darauf hinzuweisen, dass es vorliegend nur um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Appellationsverfahren geht (wo die Erfolgsaussichten bloss vorläufig und summarisch beurteilt wurden) und der Beschwerdeführer diese Rüge dem Obergericht vortragen kann, wenn dieses die Appellation materiell behandelt. Da keine Verletzung von kantonalem Prozessrecht geltend gemacht wird, ist schliesslich auch darauf nicht einzutreten.
5. Die Justizaufsichtskommission hat in ihrem Entscheid zum Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ausgeführt, die Vorbringen des Beschwerdeführers seien nicht geeignet, den angefochtenen Entscheid umzustossen, wonach die Gewinnaussichten als gering einzuschätzen seien (JAK 09 26; Verfahren 5D_68/2010). Diesbezüglich könne vollumfänglich auf die Entscheidbegründung in JAK 09 25 verwiesen werden. Die Beschwerde sei daher offensichtlich aussichtslos im Sinne der Rechtsprechung, so dass das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren JAK 09 25 abzuweisen sei.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesem Entscheid überhaupt nicht auseinander.
6. Nach dem Ausgeführten müssen die subsidiären Verfassungsbeschwerden abgewiesen werden, soweit auf sie eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer wird damit kostenpflichtig (<ref-law>), da die Beschwerden von vornherein keine Aussicht auf Erfolg haben konnte (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 5D_68/2010 und 5D_69/2010 werden vereinigt.
2. Die subsidiären Verfassungsbeschwerden werden abgewiesen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
3. Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht von Appenzell A.Rh., Justizaufsichtskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett