Sachverhalt:
A. Die slowenischen Behörden führen eine Strafuntersuchung gegen den georgischen Staatsangehörigen X._ wegen Diebstahls. Mit Entscheid vom 21. Februar 2008 bewilligte das Bundesamt für Justiz (BJ) ein Gesuch Sloweniens um Auslieferung von X._. Eine vom Verfolgten dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht, II. Beschwerdekammer, mit Urteil vom 19. Juni 2008 ab.
B. In seinem Urteil korrigierte das Bundesstrafgericht ein redaktionelles Versehen im Auslieferungsentscheid des BJ (wo versehentlich von einem Auslieferungsersuchen vom "07.02.08" die Rede war). Das Bundesstrafgericht stellte in den Erwägungen klar, "dass es sich um das Ersuchen vom 20. Dezember 2007" handelte und um den gegen den Verfolgten dort erhobenen Vorwurf des Diebstahls eines Damenrucksacks am 11. August 2003 in Ljubljana (E. 3.2, S. 5-6). Im Dispositiv seines Urteils wies das Bundesstrafgericht das BJ an, "den Redaktionsfehler im Dispositiv des Entscheids vom 21. Februar 2008 im Sinne der Erwägungen 3.2 zu bereinigen" (Dispositiv Ziffer 3).
C. Gegen das Urteil des Bundesstrafgerichtes vom 19. Juni 2008 erhob der Verfolgte am 4. Juli 2008 Beschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt zur Hauptsache die Aufhebung des angefochtenen Entscheides. Auf die Stellungnahme des BJ vom 16. Juli 2008 replizierte der Beschwerdeführer am 4. August 2008.

Erwägungen:
1. Gemäss <ref-law> ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, wenn er (unter anderem) eine Auslieferung betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1). Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2).
1.1 Nach <ref-law> entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf eine Beschwerde, wenn kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet (Abs. 3; zum vereinfachten Verfahren nach Art. 109 i.V.m. Art. 84 und Art. 107 Abs. 3 BGG vgl. näher <ref-ruling> ff.).
1.2 Zwar geht es hier um eine rechtshilfeweise Auslieferung und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> insoweit möglich ist. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers handelt es sich jedoch nicht um einen besonders bedeutenden Fall. Der angefochtene Entscheid stützt sich auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung, auf die zurückzukommen kein Anlass besteht. Auch sonst wie ist der Fall nicht von aussergewöhnlicher Tragweite (zur restriktiven gesetzlichen Regelung und Eintretenspraxis vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 128 f., 129 f., 131 f., 271 E. 2.2.2 S. 274 mit Hinweisen). Hinreichende Anhaltspunkte für die Annahme, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden wären oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufwiese, fehlen ebenfalls.
Die Beschwerde ist daher unzulässig.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung ist wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels abzuweisen (Art. 64 Abs. 1-2 BGG). Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird verzichtet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Justiz und dem Bundesstrafgericht, II. Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. August 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Forster