Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1967) und Y._ (geb. 1980) sind die Eltern von Z._ (geb. 23. Februar 2005). Das Kind lebte bei seiner Mutter. Die Eltern sind nicht miteinander verheiratet. Schon kurz nach der Geburt erhielt Z._ einen Beistand zur Regelung des Besuchsrechts. Dieser kümmerte sich zunächst um die Unterhaltspflichten des Vaters. Später überwachte er auch den persönlichen Verkehr. Am 1. Mai 2012 errichtete die Vormundschaftsbehörde der Stadt S._ ausserdem eine Erziehungsbeistandschaft im Sinne von <ref-law>. Damit betraute sie den Besuchsrechtsbeistand C._. Überdies ordnete die Behörde eine aufsuchende Familienbegleitung (AFB) an.
B.
Am 4. Juni 2012 erschien Y._ mit Z._ auf der Vormundschaftsbehörde der Stadt S._. Er erklärte, das Kind werde von der Mutter geschlagen und vernachlässigt. Er habe X._ angezeigt und werde seine Tochter bis zur Klärung der Sache bei sich behalten. In der Folge ersuchte die Staatsanwaltschaft Zug die Vormundschaftsbehörde, für Z._ zusätzlich eine Vertretungsbeistandschaft zu errichten, da gegen die Mutter ein Verfahren eröffnet worden sei. Gestützt auf einen Antrag des bisherigen Beistands C._ entzog die Vormundschaftsbehörde X._ am 6. Juli 2012 vorübergehend die Obhut und teilte diese Y._ zu. Die Behörde ordnete an, dass über den endgültigen Aufenthalt des Kindes erst nach dem Vorliegen eines Erziehungsgutachtens entschieden werde, und setzte eine Rechtsanwältin als Prozessbeiständin ein.
C.
Nachdem das Erziehungsgutachten samt Antworten auf Zusatzfragen vorlag und ein weiterer Bericht über die Wohnsituation des Kindes beim Vater erging, stellte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Zug (KESB) mit Entscheid vom 26. März 2013 Z._ endgültig unter die Obhut des Vaters und traf weitere Anordnungen betreffend die Eltern. In Ziffer 6 ihres Rechtspruchs entzog sie einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. In zwei weiteren Entscheiden vom 16. April und 7. Mai 2013 ernannte die KESB A._ zur neuen Beiständin im Sinne von <ref-law> und setzte mit Rechtsanwältin B._ für Z._ wiederum eine Prozessbeiständin ein.
D.
Mit Beschwerde vom 19. April 2013 gelangte X._ an die Fürsorgerechtliche Kammer des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug. Soweit vor Bundesgericht noch relevant, beantragte sie, ihr die Obhut über Z._ "schnellstmöglich wieder anzuvertrauen". Weiter stellte sie das Begehren, die aufschiebende Wirkung der Beschwerde wiederherzustellen und Z._ für die Dauer des Beschwerdeverfahrens unter ihre Obhut zu stellen. Das Verwaltungsgericht holte bei den Verfahrensbeteiligten Vernehmlassungen ein. Die KESB nahm am 6., Y._ am 29. Mai 2013 Stellung. Die Vernehmlassungen der Vertretungsbeiständin B._ gingen am 24. Juni und am 11. Juli 2013 ein. Mit Verfügung vom 16. Juli 2013 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab (Ziffer 1). X._s Rechtsvertreter erhielt ausserdem "Gelegenheit, dem Verwaltungsgericht bis zum 5. August 2013 eine Replik einzureichen" (Ziffer 2). Auf die Rechtsmittelbelehrung (Ziffer 3) folgen in Ziffer 4 die Anordnungen über die Mitteilung des Entscheids: Den Anwälten der Eltern, der KESB und der Beiständin eröffnete das Verwaltungsgericht die Verfügung "je unter Beilage der Stellungnahme der Vertretungsbeiständin B._ vom 10. Juli 2013". Eine Mitteilung erging auch an die Vertretungsbeiständin.
E.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. August 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, die Verfügung des Verwaltungsgerichts vom 16. Juli 2013 aufzuheben. Weiter verlangt sie, die Obhut über Z._ "bis zu einem abschliessenden materiellen Entscheid" zurück auf die Mutter zu übertragen; eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. In ihren Vernehmlassungen beantragen Y._ (Beschwerdegegner), die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Zug, die Prozessbeiständin und das Verwaltungsgericht, die Beschwerde abzuweisen. Die Stellungnahmen wurden der Beschwerdeführerin zugestellt. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht auch die vorinstanzlichen Akten zukommen lassen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin wehrt sich gegen den Entscheid, mit dem das Verwaltungsgericht ihr Gesuch abweist, die aufschiebende Wirkung ihrer Verwaltungsgerichtsbeschwerde wiederherzustellen. Das ist ein Zwischenentscheid (<ref-ruling> E. 2b S. 264). Geht es in der Sache um die Zuteilung der Obhut, kann dieser Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken (<ref-ruling> E. 1 S. 477; Urteil 5A_303/2012 vom 30. August 2012 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). Der Streit um die Zuteilung der Obhut ist eine Zivilsache, die keiner Streitwertgrenze unterliegt (Art. 72 Abs. 1 und 74 BGG). Dass das Verwaltungsgericht mit Bezug auf die angefochtene Verfügung nicht als Rechtsmittelinstanz im Sinne von <ref-law> entschieden hat, steht der Zulässigkeit der Beschwerde nicht entgegen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426 f.). Auf die im Übrigen fristgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
Der Entscheid über die Nichtwiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ist ein Entscheid über eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> (BGE 137 IIII 475 E. 2 S. 477 mit Hinweisen). Das bedeutet, dass mit der Beschwerde nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Die rechtsuchende Partei muss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte in der Beschwerde präzise vorbringen und begründen. Im Schriftsatz ist im Einzelnen substanziiert darzulegen, worin die Verletzung besteht (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht beurteilt nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.). Sind die Anforderungen des Rügeprinzips erfüllt, so prüft das Bundesgericht frei, ob die angerufenen verfassungsmässigen Rechte verletzt sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 31 mit Hinweisen). Dabei ist es allerdings an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Von diesen Sachverhaltsfeststellungen kann das Bundesgericht nur abweichen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kamen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), was wiederum präzise geltend zu machen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 445).
3.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres rechtlichen Gehörs. Sie wirft dem Verwaltungsgericht vor, ihr die Stellungnahme der Vertretungsbeiständin vom 10. Juli 2013 (s. Sachverhalt Bst. D) erst mit der angefochtenen Verfügung vom 16. Juli 2013 zugestellt zu haben. Damit habe das Verwaltungsgericht ihr Recht missachtet, sich zu dieser Eingabe zu äussern.
3.1. Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Aus dieser verfassungsmässigen Garantie folgt unter anderem das Recht einer Partei, sich im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu den Stellungnahmen und Vernehmlassungen der anderen Verfahrensparteien, unteren Instanzen und weiteren Stellen zu äussern (<ref-ruling> E. 2.1 S. 99, 100 E. 4.5). Dieses Äusserungsrecht steht einer Prozesspartei unabhängig davon zu, ob die eingereichte Eingabe neue Tatsachen oder rechtliche Argumente enthält und ob sie im Einzelfall geeignet ist, den richterlichen Entscheid zu beeinflussen. Es ist Sache der Parteien und nicht des Gerichts zu beurteilen, ob eine neue Eingabe oder ein neues Beweismittel Bemerkungen erfordert (<ref-ruling> E. 2.1 S. 485 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 197; <ref-ruling> E. 4.3 S. 102; <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 46). Die Wahrnehmung des Replikrechts setzt voraus, dass die fragliche Eingabe der Partei vor Erlass des Urteils zugestellt wird, damit sie sich darüber schlüssig werden kann, ob sie sich dazu äussern will (BGE <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197 mit Hinweisen). In diesem Sinne ist der Prozesspartei die konkrete Möglichkeit zur Replik einzuräumen (BGE <ref-ruling> E. 4.3-4.6 S. 102 ff. mit Hinweisen; Urteil 9C_557/2008 vom 3. April 2009 E. 3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Hierzu genügt es grundsätzlich, den Parteien die Eingaben zur Information zuzustellen (im Einzelnen <ref-ruling> E. 2.4 S. 487; <ref-ruling> E. 2.2 S. 255; s. auch Urteil 5A_825/2012 vom 17. April 2013 E. 3.3).
Wie das Bundesgericht in einem neuen Entscheid bekräftigt, kommt <ref-law> in einem Verfahren, das den Erlass vorsorglicher Massnahmen zum Gegenstand hat, nicht die gleiche Tragweite zu wie in einem Verfahren betreffend die Hauptsache. Insbesondere liegt es in der Natur von richterlichen Verfügungen bezüglich der aufschiebenden Wirkung, dass sie rasch und ohne lange zusätzliche Erhebungen getroffen werden müssen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 192). Auch der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte hat erkannt, dass gewisse Verfahrensgarantien nur in dem Mass Anwendung finden können, als es die Natur und der Zweck des Massnahmeverfahrens erlauben (Entscheid des EGMR Micallef gegen Malta vom 15. Oktober 2009 § 86). Sofern keine besonderen Umstände vorliegen, braucht die entscheidende Behörde vor dem Erlass einer einstweiligen Massnahme keinen zweiten Schriftenwechsel durchzuführen. Grundsätzlich ist der Gehörsanspruch des Gesuchstellers mit der Einreichung seines Antrags betreffend die aufschiebende Wirkung gewahrt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 192).
3.2. Zwar mag es erstaunen, wenn sich das Verwaltungsgericht in seiner Stellungnahme auf die Dringlichkeit der Streitsache und das Gebot der beförderlichen Verfahrenserledigung beruft, nachdem es Rechtsanwältin B._ die Frist zur Einreichung ihrer Vernehmlassung mit Verfügung vom 24. Juni 2013 antragsgemäss um drei Wochen bis zum 15. Juli 2013 verlängerte und seinen Entscheid erst am 16. Juli 2013 fällte, obwohl die Vernehmlassung schon am 11. Juli 2013 eintraf. Auch liefert das Verwaltungsgericht keine Erklärung dafür, weshalb es sich in geradezu zwingender Weise aufgedrängt hätte, mit der Stellungnahme von Z._s Prozessbeiständin anders zu verfahren als mit den Vernehmlassungen des Beschwerdegegners und der KESB, die es der Beschwerdeführerin und den übrigen Verfahrensbeteiligten schon vor dem Entscheid über die Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung separat zur Kenntnis gebracht hatte. Dass das Verwaltungsgericht mit dieser Ungleichbehandlung ihr Grundrecht auf einen fairen Prozess verletzt hätte, macht die Beschwerdeführerin indes nicht geltend. Allein unter dem Gesichtspunkt des Anspruchs auf rechtliches Gehör ist es im Lichte der vorigen Erwägungen aber mit der Verfassung vereinbar, wenn das Verwaltungsgericht der Beschwerdeführerin die besagte Stellungnahme vom 10. Juli 2013 erst zusammen mit dem angefochtenen Entscheid zustellte. Wie erwähnt (E. 3.1), ist im Auge zu behalten, dass der Streit um die Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung des kantonalen Rechtsmittels eine Massnahme des einstweiligen Rechtsschutzes betrifft und nicht die Hauptsache - die Zuteilung der Obhut über Z._ - zum Gegenstand hat. Anders als das Urteil in der Hauptsache erwächst der Entscheid über die aufschiebende Wirkung nur in beschränktem Mass in materielle Rechtskraft; seine provisorische Natur bringt es mit sich, dass er leicht abgeändert werden kann. Entsprechend kann die betroffene Partei bei veränderten Verhältnissen auch verlangen, dass die einstweilige Verfügung über die aufschiebende Wirkung abgeändert werde (<ref-ruling> E. 3.5 S. 193 f.). Die Gehörsrüge erweist sich damit als unbegründet.
3.3. Als weitere Gehörsverletzung wirft die Beschwerdeführerin dem Verwaltungsgericht auch noch vor, es habe ihr vor Erlass der Verfügung vom 16. Juli 2013 "keine rechtsgenügende Gelegenheit" gegeben, sich zu den vorliegenden Gutachten zu äussern. Nachdem sich die Beschwerdeführerin in ihrer inzwischen eingereichten Replik vom 2. August 2013 umfassend zu den Gutachten äussern konnte, kommt dieser Rüge im vorliegenden Prozess keine eigenständige Bedeutung mehr zu. Inwiefern sie allein im Hinblick auf den Entscheid über die Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung darauf angewiesen gewesen wäre, sich zu den Gutachten äussern zu können, tut die Beschwerdeführerin nicht in einer Weise dar, die den Anforderungen des Rügeprinzips (E. 2) genügt.
4.
In der Sache dreht sich der Streit um die Frage, ob das Verwaltungsgericht die aufschiebende Wirkung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 19. April 2013 zu Recht nicht wiederherstellte.
4.1. Dem angefochtenen Entscheid zufolge lässt sich weder dem Bundesrecht (Art. 450c i.V.m. <ref-law>) noch dem im vorinstanzlichen Verfahren anwendbaren Verwaltungsrechtspflegegesetz entnehmen, welches die wichtigen Gründe für den sofortigen Vollzug eines Entscheides sind bzw. unter welchen Voraussetzungen das Gericht von der Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde absehen kann. Das Verwaltungsgericht führt aus, eine solche Massnahme müsse die Ausnahme bleiben und ihren Grund in den Besonderheiten des Einzelfalles haben. Es gelte, das Interesse an einem sofortigen Vollzug des Entscheides und dasjenige an einer rechtsstaatlich einwandfreien Prüfung der Rechtslage gegeneinander abzuwägen. Die Vorinstanz verweist auf das Erziehungsfähigkeitsgutachten des Zentrums für Psychologie und Verhaltenstherapie T._ vom 10. September 2012, wonach Z._ bis auf Weiteres dem Beschwerdegegner in Obhut zu geben sei, sowie auf das Ergänzungsgutachten derselben Institution vom 28. Januar 2013, das an der ersten Empfehlung festhalte. Überdies stützt es sich auf die Stellungnahme von Z._s Vertretungsbeiständin vom 10. Juli 2013. Das Verwaltungsgericht kommt zum Schluss, es erscheine gerechtfertigt und im Sinne des Kindeswohls geradezu geboten, Z._ bis zum abschliessenden materiellen Entscheid in der väterlichen Obhut zu belassen.
4.2. Die Beschwerdeführerin wirft dem Verwaltungsgericht vor, es stütze seinen Zwischenentscheid "im Wesentlichen" auf die erwähnten Gutachten vom 10. September 2012 und vom 28. Januar 2013. In weitschweifigen Ausführungen legt sie dar, weshalb diese Expertisen ihrer Meinung nach "nicht schlüssig und nicht aktuell" seien, das Erstgutachten auf falschen Tatsachen und Aussagen beruhe und dem Ergänzungsgutachten eine unvollständige Sachverhaltsermittlung zugrunde liege. Ein Entscheid, der sich auf diese unbrauchbaren Gutachten stütze, erweise sich "konsequenterweise als willkürlich". Bei all diesem Tadel übersieht die Beschwerdeführerin, dass das Verwaltungsgericht die angefochtene Verfügung keineswegs nur auf die beiden Gutachten stützt. Es berücksichtigt auch die Stellungnahme von Z._s Vertretungsbeiständin. Diese befürworte die Obhutszuteilung an den Beschwerdegegner und halte es für angezeigt, das Kind bis zum abschliessenden Entscheid des Verwaltungsgerichts in der väterlichen Obhut zu belassen, woran Z._s Wunsch, wieder bei ihrer Mutter zu leben, nichts zu ändern vermöge. Die Beschwerdeführerin führt in diesem Zusammenhang lediglich den erwähnten Wunsch des Kindes nach einer Rückkehr zur Mutter ins Feld. Inwiefern das Verwaltungsgericht die Stellungnahme der Beiständin in unhaltbarer Weise gewürdigt hätte, zeigt sie aber nicht auf. Auch die vorinstanzliche Erkenntnis, wonach es Z._ beim Vater "offenbar gut" gehe, stellt sie nicht in Abrede, noch setzt sie sich mit der Überlegung des Verwaltungsgerichts auseinander, dass ein allfälliges Hin- und Herschieben von Z._ das Kindeswohl "massiv" beeinträchtigen würde und deshalb zu verhindern sei. Um den angefochtenen Entscheid als verfassungswidrig auszuweisen, genügt es jedoch nicht, einzelne Punkte der Beweiswürdigung zu beanstanden und andere Elemente unangefochten stehen zu lassen. Will die Beschwerdeführerin schon anerkennen, dass es Z._ beim Vater gut geht und kurzfristige oder häufige Veränderungen das Wohl des Kindes zu beeinträchtigen vermögen, so müsste sie jedenfalls dartun, weshalb das Verwaltungsgericht trotz dieser Erkenntnisse nicht zum Schluss kommen durfte, dass die Abwägung der involvierten Interessen keine Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung rechtfertige. Das aber tut sie nicht. Deshalb ist ihre Beschwerde unbegründet.
5.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Zug ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>). Das Kind ist nicht Partei im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht. Seiner Vertretungsbeiständin steht deshalb kein Entschädigungsanspruch zu. Hingegen hat die Beschwerdeführerin den obsiegenden Beschwerdegegner zu entschädigen (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Zug, A._, Rechtsanwältin B._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. November 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn