Faits:
A.
Le 9 décembre 2009, S._ a été victime d'un accident de travail. Celui-ci a provoqué des brûlures chimiques et thermiques et nécessité une hospitalisation à l'Hôpital X._, d'abord dans le service de médecine intensive adulte et centre des brûlés, puis dans le service de chirurgie plastique et reconstructive. Dans leur rapport du 1er février 2010, les docteurs P._ et E._, médecins dans ce dernier service, ont diagnostiqué des brûlures chimiques sur 25 % de tout le corps allant du 2ème degré profond sur le dos et les membres supérieurs au 2ème degré superficiel sur le visage et le cuir chevelu. Ces lésions ont nécessité des greffes cutanées des bras et du dos avec prélèvements de peau sur les cuisses. Le cas a été pris en charge par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Après une évolution favorable, S._ a pu reprendre son travail, d'abord à 50 %, puis à 100 % dès le 10 janvier 2011. Lors de son examen final du 7 mars 2012, le docteur A._, chirurgien orthopédiste et médecin d'arrondissement, a relevé l'absence de douleurs chez l'assuré. Celui-ci ne se plaignait plus que de sensations désagréables, occasionnelles, lors de mouvements de l'épaule droite entraînant des tiraillements au niveau de la zone greffée. Par ailleurs, le docteur A._ a constaté que l'assuré avait bénéficié de greffes cutanées sur l'ensemble du dos, sur la face postérieure du bras droit, à l'exception de sa partie antérieure, ainsi que sur la partie postérieure du bras gauche, avec des prélèvements de peau au niveau des deux cuisses. Il n'a relevé aucune trace au niveau du visage et du cuir chevelu. Seule subsistait une discrète gêne dans la mobilisation de l'épaule droite.
Dans un rapport du même jour, le docteur A._ a estimé l'indemnité pour atteinte à l'intégrité à 12 %, compte tenu des séquelles esthétiques au dos, aux deux bras et sur les cuisses. Sur la base de cette appréciation, la CNA a fixé l'indemnité pour atteinte à l'intégrité à 12 % (décision du 19 mars 2012). Au cours de la procédure d'opposition, le docteur A._ a complété son rapport du 7 mars 2012. En se référant aux tables d'indemnisation, il a précisé que les cicatrices au visage et aux mains constituaient des atteintes nettement plus graves que celles aux parties couvertes, comme c'était le cas chez l'assuré. En outre, il a mentionné, qu'en plus de l'aspect cosmétique, il avait pris en compte le handicap fonctionnel causé par la cicatrice en raison des rétractions et de la vulnérabilité accrue de la peau ainsi que de la diminution de la sensibilité cutanée (rapport du 25 avril 2012).
Statuant sur l'opposition, la CNA l'a rejetée par décision du 4 mai 2012.
B.
S._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, qui l'a débouté par jugement du 7 mai 2013.
C.
S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à son annulation et au renvoi à la juridiction inférieure pour complément d'instruction.
Le 21 juin 2013, S._ a produit une attestation médicale émanant du docteur H._ (du 12 juin 2013) ainsi que des photographies des lésions cutanées après les greffes.
La CNA a conclu au rejet du recours et l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Le litige porte sur le taux de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité allouée au recourant pour les suites de l'accident du 9 décembre 2009. Le Tribunal fédéral n'est dès lors pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente (<ref-law>).
2.
Au cours de la procédure fédérale, le recourant a produit un rapport du docteur H._ et des photographies. Ces nouveaux moyens de preuve ne peuvent pas être pris en considération dès lors que, sauf exception non réalisée en l'espèce, un moyen de preuve qui ne résulte pas de la décision de l'autorité précédente n'est pas admissible devant le Tribunal fédéral (<ref-law>; <ref-ruling>).
3.
Est litigieux le taux de l'atteinte à l'intégrité subie par le recourant à la suite de l'accident du 9 décembre 2009. A cet égard, le jugement cantonal expose de manière correcte les règles légales et jurisprudentielles relatives à l'indemnité pour atteinte à l'intégrité et à son évaluation. Il suffit donc d'y renvoyer.
On rappellera néanmoins, qu'aux termes de l'<ref-law>, l'assureur examine les demandes, prend d'office les mesures d'instruction nécessaires et recueille les renseignements dont il a besoin. L'examen de la demande inclut l'obtention de rapports émanant de médecins de l'assurance, dont les prises de position ne constituent pas des expertises au sens de l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, si l'assureur doit recourir aux services d'un expert indépendant pour élucider les faits, il donne connaissance du nom de celui-ci aux parties. Celles-ci peuvent récuser l'expert pour des raisons pertinentes et présenter des contre-propositions.
4.
La juridiction cantonale a retenu que les brûlures subies par le recourant n'avaient pas laissé de cicatrices sur le visage et le cuir chevelu et que sous réserve d'une légère gêne dans la mobilité de l'épaule droite, il n'existait pas d'extrême sensibilité au soleil ou à la chaleur. Elle a aussi constaté que le médecin d'arrondissement avait pris en compte de façon complète et correcte les critères définis par la table 18 d'indemnisation des atteintes à l'intégrité en cas de lésions de la peau. Puis, se référant aux exemples donnés par cette table, en particulier la perte du nez (30 %) ou celle du pavillon de l'oreille (10 %), elle a estimé que l'évaluation médicale du docteur A._, fixant le taux à 12 %, ne pouvait pas être qualifiée d'arbitraire.
5.
A titre préliminaire, le recourant expose que son recours est formé "pour excès et abus du pouvoir d'appréciation dans l'application des art. 42, 43, 44, 61 let. c LPGA et 6 CEDH".
5.1. Se fondant sur la jurisprudence des <ref-ruling> et 137 V 210, le recourant reproche aux premiers juges de n'avoir pas ordonné une expertise au sens de l'<ref-law>. Il considère que ceux-ci auraient dû avoir des doutes sérieux quant à la fiabilité des constatations du docteur A._, du fait de sa qualité de médecin d'arrondissement de la CNA dont le statut doit être assimilé à celui d'un médecin du COMAI, avec les risques de manque d'indépendance liés à ce statut. Il se plaint aussi du fait que ce médecin, spécialiste en chirurgie orthopédique, n'avait pas les compétences requises pour se prononcer sur une atteinte dermatologique.
Dans ses rapports des 7 mars et 25 avril 2012, le docteur A._ a constaté l'absence de douleurs chez l'assuré, à l'exception de tiraillements occasionnels lors de mouvements de l'épaule droite, et une absence de traces de brûlures ou de cicatrices au visage et au cuir chevelu. Il a ainsi fixé l'indemnité pour atteinte à l'intégrité en tenant compte de séquelles esthétiques au dos, aux deux bras et aux cuisses ainsi que d'une discrète gêne dans la mobilisation de l'épaule droite. Le recourant n'a pas fait état d'autres séquelles, en particulier, il n'a pas prétendu qu'il subsistait des cicatrices au visage et au cuir chevelu.
L'évolution du cas a été décrite comme favorable par les médecins du service de chirurgie plastique et reconstructive de l'Hôpital X._ (rapport de la doctoresse N._ du 24 janvier 2011 et de la doctoresse C._ du 19 octobre 2011). De plus, lors des entretiens avec les gestionnaires de la CNA des 27 septembre 2011 et 20 janvier 2012, l'assuré a déclaré que les tiraillements au niveau du bras avaient presque disparu et que la mobilité était bonne. Concernant les séquelles cutanées, il a précisé qu'il ne devait plus faire attention à la chaleur et à l'exposition au soleil et qu'il était satisfait de sa guérison. Ces différents éléments corroborent les constatations du docteur A._.
Par ailleurs, le fait que le docteur A._ est chirurgien orthopédiste, ne permet pas d'émettre des doutes au sujet de son évaluation de l'indemnité. En effet, ce médecin a dû évaluer l'impact des tiraillements à l'épaule droite, qui est dans son domaine d'activité. Quant à l'estimation des atteintes cutanées, on est en présence d'un préjudice esthétique que le médecin, qu'il soit dermatologue ou chirurgien, doit évaluer dans le cadre des critères fixés par la table d'indemnisation 18.
En outre, contrairement à ce que soutient le recourant, le docteur A._ n'a pas assimilé les séquelles de l'accident à une simple dépigmentation des mains. Il s'est borné à exposer que l'atteinte subie était plus grave qu'une atteinte isolée localisée sur la paume de la main (correspondant à un taux de 5 %), mais moins grave qu'une brûlure entraînant une défiguration (correspondant à un taux de 50 %). Cette appréciation ne prête aucunement le flanc à la critique et n'est pas apte à mettre en doute l'évaluation du médecin d'arrondissement.
5.2.
5.2.1. L'art. 6 par. 1 CEDH ne contient pas de règles concernant les moyens de preuve admissibles en procédure judiciaire et sur la manière de les apprécier. Ainsi, le refus d'un tribunal de donner suite à une demande d'expertise judiciaire déposée par une des parties, ne contrevient pas à l'art. 6 par. 1 CEDH, lorsque le procès peut encore être qualifié d'équitable.
Selon l'art. 6 par. 1 CEDH, le principe de l'égalité des armes fait partie des droits à un procès équitable. Ce principe n'est pas uniquement destiné à sauvegarder l'égalité formelle des parties dans la procédure judiciaire mais doit en plus garantir une égalité des chances pour les parties de pouvoir faire valoir leurs moyens devant le tribunal. Toutefois, l'art. 6 par. 1 CEDH n'oblige pas les pays signataires de la Convention à prévoir une complète égalité des armes entre les parties. La Convention exige cependant qu'un assuré ne soit pas mis dans une situation procédurale dans laquelle il n'a aucune chance raisonnable de soumettre son affaire au tribunal sans être clairement défavorisé par rapport aux autres parties à la procédure. En regard de ces règles, il est en principe admissible qu'un tribunal se fonde sur les preuves obtenues de manière correcte par l'assureur et renonce ainsi à sa propre procédure probatoire.
La jurisprudence (<ref-ruling> consid. 3b/ee p. 353 s) a posé le principe que le seul fait que les médecins de l'assurance sont employés de celle-ci ne permet pas de conclure à l'existence d'une prévention et d'un manque d'objectivité. Si un cas d'assurance est jugé sans rapport d'un médecin externe à l'assurance, l'appréciation des preuves doit être soumise à des exigences strictes. L'existence d'un doute même minime sur la fiabilité et la validité des constatations du médecin de l'assurance, doit conduire le tribunal à demander des éclaircissements (<ref-ruling> consid. 1d p 162).
En application du principe de l'égalité des armes, l'assuré a le droit de présenter ses propres moyens de preuve pour mettre en doute la fiabilité et la validité des constatations du médecin de l'assurance. Il s'agit souvent de rapports émanant du médecin traitant ou d'un autre médecin mandaté par l'assuré. Ces avis n'ont pas valeur d'expertise et, d'expérience, en raison de la relation de confiance liant le patient à son médecin, celui-ci va plutôt pencher, en cas de doute, en faveur de son patient. Ces constats ne libèrent cependant pas le tribunal de procéder à une appréciation complète des preuves et de prendre en considération les rapports produits par l'assuré, afin de voir s'ils sont de nature à éveiller des doutes sur la fiabilité et la validité des constatations du médecin de l'assurance.
Il résulte de ce qui précède que les rapports des médecins employés de l'assurance sont à prendre en considération tant qu'il n'existe aucun doute, même minime, sur l'exactitude de leurs conclusions (<ref-ruling> consid. 4.7 p. 471). L'<ref-ruling> n'a pas modifié cette manière de voir.
5.2.2. En l'espèce, le recourant n'a pas apporté d'éléments médicaux concrets aptes à mettre en doute la valeur probante de l'appréciation du docteur A._. Au contraire, ses propres déclarations vont dans le sens des constatations de ce médecin.
5.3. En conclusion, aucun élément du dossier ne justifiait que la juridiction cantonale ordonnât d'office une expertise pour sauvegarder l'égalité des armes entre les parties. Elle pouvait donc renoncer à demander une expertise avant de statuer, sans violer l'<ref-law> (et la jurisprudence y relative), ni les autres dispositions invoquées par le recourant.
6.
6.1. Le recourant se prévaut également d'un abus du pouvoir d'appréciation, en ce sens que l'évaluation conduirait à un résultat manifestement arbitraire. Il estime que les atteintes cosmétiques subies résultaient de brûlures aux 2ème et 3ème degrés sur 25 % de la surface du corps et qu'elles étaient particulièrement pénibles à vivre dans de nombreuses situations (sport collectif, vacances estivales, vie intime). Il fait valoir qu'en fixant un taux d'atteinte à l'intégrité de 2 % supérieur à une simple dépigmentation des mains, les deux instances précédentes ont procédé à une estimation arbitraire.
6.2. A l'instar de la juridiction cantonale, il y a lieu de constater que la limitation fonctionnelle de l'épaule droite est peu importante et que les atteintes cutanées affectent pour l'essentiel des parties du corps (cuisses, dos et hauts des bras) qui sont souvent couvertes.
Sur la base des critères d'évaluation de la CNA, qui servent à fixer de la façon la plus objective possible l'indemnité, les atteintes subies par le recourant sont nettement moins graves que la perte du nez qui correspond à 30 %. Pour sa part, la jurisprudence (arrêt U 143/02 du 25 octobre 2002) a admis qu'une indemnité de 10 % était appropriée pour des cicatrices étendues sur une partie du corps qui n'était au moins pas régulièrement couverte. Avec un taux de 12 %, l'indemnité n'a pas été fixée arbitrairement et elle tient compte de façon appropriée de l'atteinte.
Le recours doit donc être rejeté.
7.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 20 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: Berset