Sachverhalt:
A. Der 1964 geborene V._ arbeitete ab 1. Juni 2004 als Sanitärmonteur bei der Firma S._. Nach mehreren Arbeitsabsenzen seit März 2006 war er ab 31. März 2007 dauernd zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. In der Folge löste die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf Ende August 2007 auf. Im Mai 2007 hatte sich V._ bei der Invalidenversicherung angemeldet und u.a. Umschulung und eine Rente beantragt. Nach Abklärungen und durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle Luzern den Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 17. März 2009).
B. Die Beschwerde des V._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern insoweit gut, als es die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit diese die Umschulung prüfe und danach neu verfüge. Im Übrigen wies es das Rechtsmittel ab (Entscheid vom 16. September 2010).
C. V._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 16. September 2010 sei aufzuheben und die Sache zur neuen medizinischen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, eventualiter ihm mindestens eine Viertelsrente auszurichten, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle und das kantonale Verwaltungsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Der vorinstanzliche Entscheid ist nicht angefochten, soweit er die Sache zur Prüfung des Anspruchs auf Umschulung an die IV-Stelle zurückweist, und insofern in Rechtskraft erwachsen (<ref-ruling> E. 2a S. 415, 117 V 294 E. 2b S. 295).
2. Die Vorinstanz hat bezogen auf den Zeitpunkt des Ablaufs der Wartezeit am 1. Dezember 2007 (<ref-law> [seit 1. Januar 2008: <ref-law>]; <ref-ruling>) durch Einkommensvergleich (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) einen Invaliditätsgrad von 32 % ermittelt, was für den Anspruch auf eine Invalidenrente nicht ausreicht (<ref-law>). Bei der Bestimmung des Invalideneinkommens auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2006 des Bundesamtes für Statistik (LSE 06; vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 475 f.) im Besonderen ist sie gestützt auf die Beurteilung des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) gemäss Protokolleinträgen vom 14. März 2008 und 6. März 2009 davon ausgegangen, dem Versicherten sei eine leichte bis manchmal mittelschwere körperliche Tätigkeit zu 100 % zumutbar. Entgegen den Vorbringen in der Beschwerde habe sich der Gesundheitszustand seit den Berichten des Dr. med. H._, Facharzt Neurologie FMH, vom 9. Mai und 15. Juni 2007 bis zum Erlass der Verfügung vom 17. März 2009 nicht wesentlich verschlechtert. Die abweichende Beurteilung des Dr. med. P._, FMH Physikalische Medizin und Rehabilitation, Klinik T._, in den Berichten vom 11. Juli und 28. Oktober 2008 stütze sich auf das bio-psycho-soziale Krankheitsmodell, welches weiter gefasst sei als der für die Belange der Rechtsanwendung massgebende sozialversicherungsrechtliche Begriff der gesundheitlichen Beeinträchtigung, weshalb sie in der Entscheidfindung nicht zu berücksichtigen sei.
3. Der Beschwerdeführer rügt, die vorinstanzliche Feststellung, der Gesundheitszustand habe sich seit der Untersuchung durch Dr. med. H._ im Mai 2007 nicht verschlechtert und zu einer (weiteren) Einschränkung der Arbeitsfähigkeit geführt, beruhe auf einer willkürlichen (antizipierten) Beweiswürdigung. Die Vorinstanz habe u.a. unberücksichtigt gelassen, dass aufgrund der sich verschlechternden Befunde die Schmerzmitteleinnahme laufend habe erhöht werden müssen. Sodann habe die Vorinstanz ihre Begründungspflicht verletzt, weil nicht nachvollziehbar sei, weshalb die Berichte des Dr. med. P._ vom 11. Juli und 28. Oktober 2008 auf einem bio-psycho-sozialen Krankheitsmodell beruhen sollen. Schliesslich könne auf die RAD-Beurteilung insbesondere mangels genügender fachlicher Qualifikation des Verfassers und, weil nicht auf eigenen Untersuchungen beruhend, nicht abgestellt werden.
4.1 4.1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil - von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen - den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen oder auf Rüge hin (<ref-law>) berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
Die Nichtbeachtung des im Verfahren vor den IV-Stellen und im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren geltenden Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1 und <ref-law>) stellt eine Verletzung von Bundesrecht dar (Urteile 9C_418/2009 vom 24. August 2009 E. 2 und 9C_214/2009 vom 11. Mai 2009 E. 3.2). Der Verzicht auf weitere Abklärungen oder im Beschwerdefall auf Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu diesem Zwecke (antizipierte Beweiswürdigung) verletzt etwa dann Bundesrecht, wenn der festgestellte Sachverhalt unauflösbare Widersprüche enthält oder wenn eine entscheidwesentliche Tatfrage, wie namentlich Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit einer versicherten Person, auf unvollständiger Beweisgrundlage beantwortet wird (Urteil 9C_736/2009 vom 26. Januar 2010 E. 3.1).
4.1.2 Einem ärztlichen Bericht kommt Beweiswert zu, wenn er für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt und in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, wenn die Beschreibung der medizinischen Situation und Zusammenhänge einleuchtet und die Schlussfolgerungen begründet sind (<ref-ruling> E. 3a S. 352). Der Arzt muss über die notwendigen fachlichen Qualifikationen verfügen (Urteil 9C_736/2009 vom 26. Januar 2010 E. 2.1). Den diesen Anforderungen genügenden Berichten der regionalen ärztlichen Dienste (RAD; <ref-law> und <ref-law>) kommt ebenfalls Beweiswert zu (SVR 2009 IV Nr. 56, 9C_323/2009 E. 4.3.1; Urteil 9C_1059/2009 vom 4. August 2010 E. 1.2).
4.2 4.2.1 Dr. med. P._ behandelt den Beschwerdeführer seit Juli 2007 wegen eines chronisch lumbospondylogenen und lumbovertebralen Schmerzsyndroms bei Dehydrierung der Bandscheiben L3/4-L5/S1, moderater Spondylarthrose L3/4-L5/S1 und leichter Osteochondrose L4/5 (Modic Typ I) schmerzdiagnostisch und -therapeutisch (Berichte vom 11. Juli und 2. Dezember 2008). Es trifft zu, dass die Medikation im Laufe der Zeit gesteigert und teils wegen Unverträglichkeit, teils wegen ungenügender Wirkung neu angepasst wurde. Daraus allein kann jedoch nicht auf eine auf objektivierbaren Ursachen beruhende Verschlechterung des Gesundheitszustandes seit der Untersuchung durch Dr. med. H._ im Mai 2007 und noch weniger auf eine dadurch bedingte (weitere) Einschränkung der Arbeitsfähigkeit geschlossen werden. Dr. med. P._ bezeichnete denn auch nirgends die Medikamenteneinnahme als unzumutbar. Ebenfalls kann auf die Einschätzung des behandelnden Arztes im Bericht vom 3. Juni 2008, wonach aufgrund der Schmerzen seit März 2007 eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % bestehe, nicht abgestellt werden, und zwar schon deshalb nicht, weil sie die Frage unbeantwortet lässt, inwiefern vom Versicherten trotz der Schmerzen willensmässig erwartet werden kann zu arbeiten (vgl. <ref-ruling> E.5a S. 299 und Urteil 9C_161/2009 vom 18. September 2009 E. 3). Daraus allein kann indessen nicht gefolgert werden, diese Beurteilung stütze sich auf das sogenannte bio-psycho-soziale Krankheitsmodell, welches Wechselwirkungen zwischen sich körperlich und psychisch manifestierenden Störungen und der sozialen Umwelt wesentlich stärker berücksichtigt als der für die Belange der Rechtsanwendung massgebende sozialversicherungsrechtliche Begriff der gesundheitlichen Beeinträchtigung (SVR 2008 IV Nr. 6 S. 14, I 629/06 E. 5.4; SVR 2008 IV Nr. 62 S. 203, 9C_830/2007 E. 4.2). Ein - invalidisierendes - psychisches Leiden steht nicht zur Diskussion und Dr. med. P._ ist auch nicht Psychiater. Anderseits erfordert eine wirksame (schmerzdiagnostische und -therapeutische) Behandlung im Sinne von Ursachen- oder Symptombekämpfung Kenntnis darüber, inwieweit die persistierenden lumbalen Schmerzen somatisch bedingt sind.
4.2.2 Im Bericht vom 11. Juli 2008 ging Dr. med. P._ von einer Arbeitsfähigkeit von 60 bis höchstens 80 % für leichte wechselbelastende Tätigkeiten ohne monoton statische Zwangshaltungen aus, sofern die vorgesehenen Therapien Erfolg zeigten. Die Vorinstanz hat dazu festgestellt, auch wenn der Versicherte damals noch nicht austherapiert gewesen sei, habe die IV-Stelle von weiteren Abklärungen absehen dürfen, da mit überwiegender Wahrscheinlichkeit davon auszugehen sei, dass die in der Folge durchgeführten Infiltrationen auf eine Schmerzlinderung gerichtet gewesen seien. Das gute Resultat der Facettengelenksinfiltration L3/4-L5/S1 vom 26. August 2008 bestätigte eine massgebende spondylogene Schmerzgenese bei mehrsegmentaler Bandscheibendegeneration (Bericht vom 10. September 2008). Dagegen sprach der Versicherte auf die peridurale translaminäre Depotsteroidinfiltration L5/S1 paramedian links vom 29. September 2008 nicht an. Dr. med. P._ folgerte daraus, dass eine diskogene Schmerzkomponente nicht vollständig ausgeschlossen sei. Er schlug daher eine invasivere Therapie, allenfalls auch chirurgische Massnahmen, eventuell eine Diskographie der Segmente L3/4, L4/5 und L5/S1 vor, wofür der Versicherte jedoch (noch) "nicht zu haben" war. Er erachtete eine leichte, idealerweise wechselbelastende Tätigkeit von zumindest 50 % als zumutbar (Berichte vom 29. September und 28. Oktober 2008). Bereits Dr. med. H._ hatte im Bericht vom 9. Mai 2007 festgehalten, das klinisch imponierende chronisch-rezidivierende lumbospondylogene Beschwerdebild lasse sich bildgebend untermauern. Derzeit bestehe noch keine Indikation für ein operatives Vorgehen. Auch Dr. med. H._, auf dessen Beurteilung vom 15. Juni 2007 der RAD und die Vorinstanz abstellten, schloss somit aufgrund der Befunde eine spätere Operation und somit eine organische Ursache der Schmerzen nicht aus. Ob sich die Einschätzung einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % im Bericht des Chiropraktors Dr. Dr. K._ vom 8. Februar 2008 (einzig) auf die zuletzt ausgeübte Tätigkeit als Sanitärinstallateur bezog, wie die Vorinstanz angenommen hat, kann offenbleiben, da die Frage nicht entscheidrelevant ist.
4.3 Der behandelnde Arzt korrigierte seine Einschätzung der Arbeitsfähigkeit von 60 bis höchstens 80 % in leidensangepassten Tätigkeiten auf zumindest 50 %. Bei dieser Sachlage und da kein Grund zur Annahme besteht, die Einschätzungen der behandelnden Ärzte, insbesondere diejenige des Dr. med. P._ wiesen Gefälligkeitscharakter auf, bestehen erhebliche Anhaltspunkte im Sinne einer natürlichen Vermutung, dass es dem Versicherten seit der Untersuchung durch Dr. med. H._ im Mai 2007 und vor Erlass der Verfügung vom 17. März 2009 gesundheitlich und/oder leistungsmässig tatsächlich schlechter ging. Ein solches Indiz bildet auch der Umstand, dass die Medikation im Laufe der Zeit gesteigert und teils wegen Unverträglichkeit, teils wegen ungenügender Wirkung neu angepasst werden musste (vorne E. 4.2.1). In diesem Zusammenhang ist nicht von Belang, dass eine Neurokompression bildgebend nicht zur Darstellung kam. Erfahrungsgemäss kann eine lumbale Symptomatik, je nach Ausprägung und Schweregrad, die Arbeitsfähigkeit auch ohne radikuläre Beteiligung einschränken (Urteil 9C_1059/2009 vom 4. August 2010 E. 4). Diese Vermutung wird durch die anders lautende Stellungnahme des RAD vom 6. März 2009 nicht umgestossen, zumal sie nicht auf eigenen Untersuchungen beruht und der Verfasser, Facharzt für Innere Medizin, nicht Spezialist für Wirbelsäulenerkrankungen ist. Unter diesen Umständen war die IV-Stelle verpflichtet, ergänzende medizinische Abklärungen vorzunehmen (Art. 43 f. ATSG), weshalb die Vorinstanz die angefochtene Verfügung vom 17. März 2009 nicht hätte bestätigen dürfen (<ref-law>). Festzuhalten ist der Vollständigkeit halber, dass der Anspruch des Beschwerdeführers auf Umschulung vorgängig zu prüfen ist (vorne E. 1).
5. Bei diesem Ergebnis braucht auf die Vorbringen in der Beschwerde gegen die vorinstanzliche Ermittlung des Invaliditätsgrades durch Einkommensvergleich (vorne E. 2) nicht eingegangen zu werden.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die IV-Stelle die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist demzufolge gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 16. September 2010 und die Verfügung der IV-Stelle Luzern vom 17. März 2009 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Verwaltung zurückgewiesen, damit sie im Sinne von E. 4.3 verfahre.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle Luzern auferlegt.
3. Die IV-Stelle Luzern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hat die Gerichtskosten und die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren neu festzusetzen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Januar 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler