Faits:
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A. A.a C._ exploite en entreprise individuelle un atelier de polissage à F._. Désireux de construire une nouvelle usine sur l'article 7680 du cadastre de G._, C._ est entré en relation en novembre 1998 avec O._ SA, devenue le 9 mars 2001 D._ SA (ci-après: D._), société qui a notamment pour but la construction de maisons familiales et de bâtiments (art. 64 al. 2 OJ). C._ a chargé D._ de lui proposer un contrat d'entreprise à forfait.
C._ a allégué qu'il avait exigé que le coût global maximum de l'ouvrage ne dépasse pas 1'000'000 fr., frais de l'acquisition du terrain inclus, et que l'entrée en jouissance se fasse aux vacances horlogères 1999. D._, pour sa part, a fait valoir que le budget n'incluait que la construction de l'usine et qu'il ne comportait notamment pas les coûts liés à l'acquisition du terrain, pas plus que ceux afférents aux aménagements intérieurs et extérieurs.
A.b A une date indéterminée, D._ a dressé un premier projet de contrat; il y était fait mention d'un prix forfaitaire de 1'012'000 fr., lequel ne comprenait pas le prix du terrain à bâtir ni les frais d'aménagement du sol. C._ n'a pas signé ce contrat.
Le 19 novembre 1998, la fiduciaire de C._ a résilié les baux de ses locaux d'exploitation pour le 30 septembre 1999.
En décembre 1998, D._, sur la base d'une esquisse de C._, a établi un avant-projet concernant la construction de l'usine. A la suite des remarques effectuées en janvier 1999 par le Service de l'inspection et de la santé au travail du Département neuchâtelois de l'économie publique, C._ a sollicité des modifications de cet avant-projet.
Comme C._ désirait diminuer l'enveloppe financière des bâtiments, D._ a fait de nouveaux plans et proposé un second projet de contrat intitulé "contrat d'entreprise" prévoyant le même prix forfaitaire. Cet accord n'a pas été signé par C._.
Le 21 avril 1999, à partir de nouveaux plans établis par D._, C._ a signé une demande de permis de construire à l'intention du Conseil communal de G._.
Le 26 avril 1999, C._ a requis et obtenu le report de la résiliation de ses baux du 30 septembre 1999 au 31 décembre 1999.
Par décision du 15 juin 1999, le Service de l'inspection et de la santé au travail a approuvé les plans soumis par D._ pour le compte de C._, sous réserve en particulier de la conformité des machines aux règles générales de la SUVA.
Le 23 juin 1999, le Conseil communal de G._ a délivré le permis de construire sollicité par C._.
A.c Il a été retenu qu'au cours d'une réunion qui s'est tenue en juin 1999, C._ a souhaité poursuivre le projet, mais non plus sous la forme d'un contrat d'entreprise globale à forfait, mais sous celle d'un mandat d'architecte, avec faculté donnée au maître de l'ouvrage de choisir les entreprises, de négocier les prix et d'adjuger directement les travaux de construction.
Le 9 juin 1999, l'avocat mandaté par C._ avait écrit à D._ pour qu'elle confirme que l'entrée en jouissance de la nouvelle usine de polissage était prévue le 30 novembre 1999, "sans quoi (s)on mandant pourrait renoncer à son projet et chercher d'autres solutions" (art. 64 al. 2 OJ).
A.d Le 7 juillet 1999, C._, qui voulait modifier le projet autorisé en ce qui concernait l'aménagement intérieur de la construction, a remis un nouveau croquis à D._.
Le 5 août 1999, D._ a présenté à C._ un "contrat relatif aux prestations de l'architecte" tenant compte des modifications requises. Ce contrat, qui, pour le calcul des honoraires, se référait à la norme SIA 102, fixait ceux-ci au prix forfaitaire de 135'000 fr.
Par courrier du 23 août 1999, confirmé par son mandataire le 22 septembre 1999, C._ a fait savoir à D._ qu'il ne voulait plus collaborer avec elle et l'a priée de transmettre ses honoraires pour les travaux qu'elle avait effectués.
Le 12 octobre 1999, D._ a adressé à C._ une facture d'honoraires de 65'865 fr. A cette occasion, C._ a appris que des sondages et une étude géologique du terrain avaient été exécutés après le dépôt de la demande de permis de construire, étant donné la mauvaise qualité du terrain.
C._ a contesté la facture précitée, ne s'acquittant que d'un montant de 15'000 fr. le 24 décembre 1999.
C._ a contesté la facture précitée, ne s'acquittant que d'un montant de 15'000 fr. le 24 décembre 1999.
B. Le 22 février 2000, D._ a ouvert action contre C._ devant le Tribunal cantonal neuchâtelois. Soutenant avoir effectué toutes les prestations dans les règles de l'art et n'avoir reçu aucun avis de défaut d'exécution, elle a conclu au paiement par le défendeur de la somme de 50'532 fr.25 plus intérêts à 5 % dès le dépôt de la demande.
Le défendeur a conclu à libération. Il a allégué que la demanderesse n'avait respecté ni le délai d'exécution ni le coût de construction et qu'elle n'avait pas analysé la qualité du terrain avant de s'engager dans les phases de l'avant-projet, du projet et de la préparation de l'exécution des travaux.
En cours d'instance, une expertise a été confiée à P._, architecte FSAI-CSEA-GAN, qui a déposé son rapport le 24 août 2001. L'expert a relevé préliminairement que le dialogue entre les parties n'avait pas été ce qu'il aurait dû être. Puis, se référant à la norme SIA 102, l'expert a arrêté les prestations réellement effectuées par la demanderesse à 43 % de la mission complète (et non 48 % comme l'avait facturé celle-ci), alors que la prestation normalement accomplie à ce stade - qui comprend la phase de l'avant-projet, celle du projet et celle de préparation de l'exécution - serait de 54 %. Compte tenu d'un taux de base des honoraires de 17,2 % et d'un coefficient de complexité de 0,9, données rapportées à un montant donnant droit aux honoraires de 963'780 fr., les honoraires dus, d'après l'expert, se montent à 64'153 fr. (963'780 fr. x 17,2 % x 0,9 x 43 %). Ce dernier y a ajouté la TVA (7,6 %), les travaux complémentaires réalisés après l'octroi du permis de construire, par 1'500 fr., ainsi que des prestations complémentaires, en particulier des frais de sondage, par 1'832 fr.75, et des honoraires d'ingénieur civil, par 4'202 fr.25. Finalement, l'expert a évalué à 77'370 fr.70 (recte: 77'377 fr.70) le "montant total des honoraires selon tarif SIA No 102 + prestations complémentaires".
Dans un rapport complémentaire du 20 mars 2002, l'expert a déclaré que, par rapport aux prestations décrites aux art. 4.1.1, 4.1.3 et 4.1.4 de la norme SIA 102, la demanderesse n'avait pas accompli celles qui suivent:
- proposition de recourir à des professionnels spécialisés en matière de génie civil, de géotechnique, etc.;
- prise en considération des propositions des professionnels spécialisés;
- rédaction d'une notice explicative;
- estimation sommaire du coût de construction;
- comparaison du coût prévisible avec l'investissement envisagé par le mandant.
Par jugement du 3 novembre 2003, la Ire Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois a condamné le défendeur à verser à la demanderesse la somme de 31'000 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 22 février 2000. La cour cantonale a admis "qu'au moins jusqu'au stade de la sanction définitive, les plans et autres documents préparés par la demanderesse et signés par le défendeur après une intense collaboration constitu(aient) l'objet du contrat", qu'elle a qualifié de contrat d'entreprise. En revanche, dès le mois de juin 1999, D._ devait se rendre compte que des problèmes sérieux étaient apparus entre les parties contractantes, de sorte qu'il lui appartenait alors de cesser son activité. Autrement dit, les prestations accomplies après ce terme n'avaient pas à être rémunérées. De même, il convenait d'écarter les opérations que le maître de l'ouvrage ne pouvait prévoir (coûts de forage du sol, factures d'ingénieur civil).
Pour arrêter la rémunération de la demanderesse, l'autorité cantonale s'est référée à la norme SIA 102 et à la méthode de calcul des honoraires adoptée par l'expert judiciaire. Elle a toutefois réduit le pourcentage des prestations accomplies par la demanderesse à 28,5 % du total qui est atteint si toutes les phases du contrat sont exécutées, cela pour prendre en compte les défaillances d'informations dont devait répondre D._ et les conséquences qui en étaient résultées pour le défendeur. Elle a ainsi déterminé les honoraires dus à 42'520 fr. (963'780 fr. x 17,2 % x 0,9 x 28,5 %), montant ramené à 42'000 fr., auquel il convenait d'ajouter la TVA de 7,6 %, soit 3'192 fr., et les taxes administratives, par 700 fr., d'où un total de 45'892 fr. Après déduction de l'acompte versé de 15'000 fr., il restait un solde de 30'982 fr., que la Cour civile a arrondi à 31'000 fr.
Pour arrêter la rémunération de la demanderesse, l'autorité cantonale s'est référée à la norme SIA 102 et à la méthode de calcul des honoraires adoptée par l'expert judiciaire. Elle a toutefois réduit le pourcentage des prestations accomplies par la demanderesse à 28,5 % du total qui est atteint si toutes les phases du contrat sont exécutées, cela pour prendre en compte les défaillances d'informations dont devait répondre D._ et les conséquences qui en étaient résultées pour le défendeur. Elle a ainsi déterminé les honoraires dus à 42'520 fr. (963'780 fr. x 17,2 % x 0,9 x 28,5 %), montant ramené à 42'000 fr., auquel il convenait d'ajouter la TVA de 7,6 %, soit 3'192 fr., et les taxes administratives, par 700 fr., d'où un total de 45'892 fr. Après déduction de l'acompte versé de 15'000 fr., il restait un solde de 30'982 fr., que la Cour civile a arrondi à 31'000 fr.
C. Parallèlement à un recours en réforme, C._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral contre le jugement précité, dont il requiert l'annulation. Invoquant l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'application insoutenable de l'<ref-law> et de deux normes de la procédure cantonale, il signale la divergence d'opinions des juges cantonaux dans la présente cause et prétend qu'il manque un considérant dans la décision attaquée.
L'intimée conclut au rejet du recours.
L'autorité cantonale forme des observations. Elle expose que, conformément au Code de procédure civile neuchâtelois du 30 septembre 1991 (CPC/NE), le jugement, initialement prévu pour être rendu par voie de circulation, a été, à la demande de la Présidente de la Cour, rendu en audience publique, à la majorité, et que c'est l'un des juges majoritaires qui a procédé à sa rédaction définitive et l'a signé. La cour cantonale a concédé qu'il était exact que les considérants du jugement sautaient du numéro 4 au numéro 6, mais que c'était le résultat d'une inadvertance qui n'avait pas été décelée avant que le recourant ne la signale.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. 1.1 Conformément à la règle générale de l'art. 57 al. 5 OJ, il y a lieu de statuer d'abord sur le recours de droit public.
1.2 Le recours de droit public au Tribunal fédéral est ouvert contre une décision cantonale pour violation des droits constitutionnels des citoyens (art. 84 al. 1 let. a OJ).
Le jugement rendu par la cour cantonale, qui est final, n'est susceptible d'aucun autre moyen de droit sur le plan fédéral ou cantonal dans la mesure où le recourant invoque la violation directe d'un droit de rang constitutionnel, de sorte que la règle de la subsidiarité du recours de droit public est respectée (art. 84 al. 2 et 86 al. 1 OJ). En revanche, si le recourant soulève une question relevant de l'application du droit fédéral, le grief n'est pas recevable, parce qu'il pouvait faire l'objet d'un recours en réforme (art. 43 al. 1 et 84 al. 2 OJ).
Le recourant est personnellement touché par la décision attaquée, qui le condamne à paiement, de sorte qu'il a un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que cette décision n'ait pas été prise en violation de ses droits constitutionnels; en conséquence, il a qualité pour recourir (art. 88 OJ).
1.3 Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours (art. 90 al. 1 let. b OJ; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1c et les arrêts cités, p. 53/54).
1.3 Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours (art. 90 al. 1 let. b OJ; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1c et les arrêts cités, p. 53/54).
2. Le recourant reproche tout d'abord à la cour cantonale d'avoir arbitrairement constaté les faits en suivant l'expert, lequel a arrêté à 149'193 fr. les honoraires qui auraient été dus à l'intimée pour l'exécution complète du contrat. A l'en croire, les juges cantonaux devaient se référer à la rémunération de base, fixée contractuellement à 120'000 fr. et réclamée en justice par la demanderesse, et non à la rémunération théorique et abstraite ressortant de l'application de la norme SIA 102.
2.1 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou encore heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat. A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire même préférable (<ref-ruling> consid. 2.1 et les arrêts cités).
En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur le sens et la portée d'un tel élément, ou encore lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2a p. 41; au sujet plus particulièrement de l'appréciation d'une expertise, cf. <ref-ruling> consid. 1c p. 160; <ref-ruling> consid. 8a p. 274; <ref-ruling> consid. 1c p. 146).
Lorsque l'autorité cantonale juge une expertise concluante et en fait sien le résultat, le Tribunal fédéral n'admet le grief d'appréciation arbitraire que si l'expert n'a pas répondu aux questions posées, si ses conclusions sont contradictoires ou si, d'une quelconque autre façon, l'expertise est entachée de défauts à ce point évidents et reconnaissables, même sans connaissances spécifiques, que le juge ne pouvait tout simplement pas les ignorer (arrêt 5P.457/2000 du 20 avril 2001, consid. 4a). Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de vérifier si toutes les affirmations de l'expert sont exemptes d'arbitraire; sa tâche se limite bien plutôt à examiner si l'autorité intimée pouvait, sans arbitraire, se rallier au résultat de l'expertise.
2.2 En l'espèce, l'expert a calculé les honoraires de la demanderesse en recourant au système instauré par la norme SIA 102. Il a ainsi considéré que l'intimée n'avait effectivement réalisé que le 43 % de l'ensemble du contrat. A partir de là, il a fixé les honoraires dus à celle-ci - sans TVA, ni travaux et prestations complémentaires - à 64'153 fr., en tenant compte d'un montant donnant droit aux honoraires de 963'780 fr., d'un taux de base de 17,2 % et d'un coefficient de complexité de 0,9. Le résultat de 64'153 fr. découle donc du calcul suivant: 963'780 fr. x 17,2 % x 0,9 x 43 %.
La cour cantonale en a déduit en bonne logique que si la demanderesse avait réalisé le 100 % des prestations contractuelles, elle aurait eu droit à 149'193 fr. d'honoraires (963'780 fr. x 17,2 % x 0,9 x 100 %) selon la norme SIA. Il n'y a dans ce raisonnement pas trace d'arbitraire.
L'autorité cantonale pouvait enfin laisser de côté sans arbitraire le fait que l'architecte avait articulé un montant final d'honoraires inférieur à celui résultant de la norme SIA pour le cas où il pourrait mener le projet jusqu'à son terme, du moment que cette hypothèse ne s'est pas réalisée et qu'il n'a été établi aucun accord fixant la rémunération de l'architecte pour les diverses étapes de sa mission.
Le moyen est privé de tout fondement.
Le moyen est privé de tout fondement.
3. 3.1 Le recourant prétend que les magistrats neuchâtelois, au mépris des <ref-law> et 57 CPC/NE, ont pris spontanément l'initiative d'ajouter la TVA aux honoraires dus à l'intimée, sans que celle-ci l'allègue et le demande d'une quelconque manière. Il soutient qu'ils avaient l'obligation de trancher en défaveur de la demanderesse, qui avait le fardeau de l'allégation et de la preuve sur ce point.
De toute manière, en allouant la TVA à l'intimée, les juges cantonaux auraient enfreint le principe "ne ultra petita" ancré à l'<ref-law>/NE.
De toute manière, en allouant la TVA à l'intimée, les juges cantonaux auraient enfreint le principe "ne ultra petita" ancré à l'<ref-law>/NE.
3.2 3.2.1 La première branche du grief, où il est invoqué une violation des <ref-law> et 57 CPC/NE - disposition qui consacre la maxime des débats en procédure neuchâteloise -, a en réalité trait à la notion de charge de la motivation (Substanzierungspflicht).
Le fardeau de l'allégation objectif est le pendant du fardeau de la preuve, dont il ne saurait être dissocié (Fabienne Hohl, Procédure civile, tome I, n. 787, p. 152). En effet, lorsque le droit cantonal de procédure règle le fardeau de l'allégation, celui-ci ne peut en vertu du droit fédéral incomber qu'à la partie qui supporte le fardeau de la preuve, car lorsqu'à défaut d'allégations suffisantes, un état de fait déterminé ne peut pas être pris en considération ou demeure incertain, le juge doit trancher en défaveur de la partie qui supporte le fardeau de la preuve (<ref-ruling> consid. 1b). Par conséquent, la question de savoir si les faits allégués par une partie conformément au droit de procédure permettent de statuer sur sa prétention juridique fondée sur le droit civil fédéral relève non du droit cantonal, mais du droit fédéral (<ref-ruling> consid. I/2c p. 181; <ref-ruling> consid. 3c/bb; cf. également Oscar Vogel/Karl Spühler, Grundriss des Zivilprozessrechts, 7e éd., chap. 10 n. 56).
Le droit fédéral est donc violé lorsqu'une autorité cantonale admet à tort une demande dont la motivation en fait est insuffisante au regard de la norme de droit matériel fédéral invoquée, si bien que le grief y relatif doit être soulevé par la voie de la réforme lorsque celle-ci, comme dans le cas présent, est ouverte (arrêt 5P.322/1996 du 12 décembre 1996, consid. 2b, in SJ 1997 p. 240).
En l'espèce, il ressort des motifs exposés ci-dessus que le premier pan du grief ressortit à l'instance de réforme, d'où son irrecevabilité.
3.2.2 La possibilité ou l'interdiction pour le juge cantonal de s'écarter des conclusions et de statuer ultra petita relève de la procédure cantonale et non du droit fédéral (<ref-ruling> consid. 3; Jean-François Poudret, COJ II, n. 1.3.2.7 et 1.4.2.11 ad art. 43 OJ).
A teneur de l'<ref-law>/NE, le juge est lié par les conclusions des parties en ce sens qu'il ne peut accorder ni plus ni autre chose que ce qui est demandé (al. 1); il peut accorder moins (al. 2).
Dans sa demande du 22 février 2000, l'intimée a réclamé à son adverse partie le paiement de 50'532 fr.25 en capital. La cour cantonale n'a toutefois accueilli que partiellement les conclusions de la demanderesse, puisqu'elle ne lui a alloué que la somme de 31'000 fr. en capital.
Il appert donc manifestement que l'autorité cantonale, laquelle n'a pas accordé à l'intimée plus que ce qu'elle demandait, n'a pas fait une application arbitraire de l'<ref-law>/NE.
Le second pan du grief est infondé.
Le second pan du grief est infondé.
4. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Compte tenu de l'issue de la cause, le recourant supportera l'émolument de justice et versera à l'intimée une indemnité de dépens (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Ire Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois.
Lausanne, le 1er avril 2004
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: