Sachverhalt:
A. A.a Am 21. November 2007 ersuchte X._ (geb. 1942) die Vormundschaftsbehörde der Kreise Oberengadin/Bergell (Vormundschaftsbehörde) um Unterstützung in den Bereichen Pflegekosten, Rentenpfändung, Ehescheidungsverfahren sowie seine künftige Wohnsituation. Seinem Einverständnis und seinem Begehren entsprechend ordnete die Vormundschaftsbehörde mit Verfügung vom 13. Dezember 2007 eine Beistandschaft im Sinn von <ref-law> an und ernannte den Amtsvormund zum Beistand.
A.b Im Jahr 2008 wurde X._ aufgrund einer allgemeinen Erschöpfung notfallmässig in die psychiatrische Klinik A._ eingewiesen. Am 14. März 2008 teilte der Co-Chefarzt der Klinik dem Beistand mit, X._ sei wegen langandauernder und wahrscheinlich bleibender psychophysischer Defizite dauerhaft nicht in der Lage, allein zu wohnen; die Klinik habe daher im Einverständnis mit X._ damit begonnen, für ihn im Raum Chur eine Altersinstitution zu suchen. Im Auftrag des Beistandes erteilte die Vormundschaftsbehörde der psychiatrischen Klinik A._ den Auftrag, X._ psychiatrisch zu untersuchen. Das Gutachten von Dr. med. Y._ vom 5. September 2008 stellte bei X._ eine dauerhafte psychische Störung in Form einer narzisstischen Persönlichkeitsstörung fest, die mit einer über Jahre dauernden Therapie, bei leichtem Verlauf ambulant, bei schweren Störungen stationär behandelt werden könne. Laut Gutachten ist X._ bedingt durch die psychische Störung nicht immer in der Lage, sein alltägliches Leben eigenständig und erfolgreich zu bewältigen. Der Gutachter gelangt zum Schluss, bei ihm seien aufgrund krankheitsbedingter Einschränkungen der Urteilsfähigkeit die Voraussetzungen für eine Beiratschaft bzw. Vormundschaft gegeben.
A.c Am 23. Dezember 2008 reichte X._ beim Bezirksgericht Maloja als Aufsichtsbehörde Beschwerde ein und beantragte, die Amtsvormundschaft Oberengadin von ihrem Auftrag zu entbinden und seinen Fall zur Regelung der Pflegebedürftigkeit und des Notbedarfs einer anderen Institution zu übertragen. Diese Beschwerde ergänzte er mit weiteren Eingaben vom 24. und 28. Dezember 2008. Das Beschwerdeverfahren (Verfahren 120-2008-19) wurde wegen des angeschlagenen Gesundheitszustandes von X._ über längere Zeit sistiert.
A.d Am 15. April 2009 widerrief X._ seine Einwilligung zur Beistandschaft und reichte am 15. August 2009 eine weitere Beschwerde beim Bezirksgericht Maloja als Aufsichtsbehörde gegen die Vormundschaftsbehörde ein, die er am 6. und 19. September 2009 ergänzte. In der letzten ergänzenden Eingabe beantragte er die unverzügliche Aufhebung der Beistandschaft und die Sistierung des Beschwerdeverfahrens (Verfahren 120-2009-16).
A.e Am 17. August 2010 hob die Vormundschaftsbehörde die Beistandschaft auf eigenes Begehren auf, genehmigte den Schlussbericht des Beistandes und entliess diesen aus seinem Amt. Eine von X._ gegen diesen Entscheid eingereichte Beschwerde wies das Bezirksgericht Maloja am 6. Dezember 2011 ab (Verfahren 120-2010-15). Dieser Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
A.f Mit Entscheid vom 21. September 2010 schrieb das Bezirksgericht Maloja die beiden Aufsichtsbeschwerden (120-2008-19 und 120-2009-16) als erledigt ab bzw. wies sie vollumfänglich ab, soweit darauf einzutreten war; es auferlegte die Gerichtsgebühr von Fr. 5'000.-- und die Schreibgebühren von Fr. 500.-- X._ und sprach keine Entschädigungen zu. Das Bezirksgericht anerkannte seine Zuständigkeit gestützt auf <ref-law> und hielt dafür, angesichts der bereits aufgehobenen Beistandschaft verfüge X._ nicht mehr über ein rechtlich geschütztes Interesse an der Überprüfung der Beschwerden, soweit es um die Aufhebung der Beistandschaft gehe. Im Weiteren prüfte das Bezirksgericht aber die vom Beschwerdeführer bzw. seinem Anwalt gegen die Vormundschaftsbehörde erhobenen Vorwürfe und erachtete diese als haltlos.
B. X._ gelangte gegen diesen Entscheid mit Beschwerde vom 6. Dezember 2010 und mit einer weiteren Eingabe vom 10. März 2012 an das Kantonsgericht von Graubünden. Er beantragte, den Entscheid des Bezirksgerichts Maloja vom 21. September 2010 aufzuheben und das Beschwerdeverfahren bis zur Erledigung des Beschwerdeverfahrens 120-2010-15 (Beschwerde gegen die Aufhebung der Beistandschaft) zu sistieren. Der Präsident des Kantonsgerichts nahm die Beschwerde mit Verfügung vom 23. April 2012 als Berufung im Sinn der ZPO entgegen und wies sie ab, soweit darauf einzutreten war.
C. X._ (Beschwerdeführer) hat gegen diese Verfügung am 31. Mai 2012 beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt zur Hauptsache, die Verfügung des Präsidenten des Kantonsgerichts von Graubünden vom 23. April 2012 sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die zuständige Aufsichtsbehörde im Vormundschaftswesen des Kantons Graubünden zurückzuweisen. Die Kosten der beiden Beschwerdeverfahren (120-2008-19 und 120-2009-16) sowie die Kosten des Kantonsgerichts seien dem Kanton Graubünden aufzuerlegen. Eventuell sei die Eingabe als Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist eine kantonal letztinstanzliche Verfügung des Präsidenten des Kantonsgerichts von Graubünden (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG), mit der eine Berufung des Beschwerdeführers gegen einen erstinstanzlichen Entscheid über zwei vormundschaftliche Aufsichtsbeschwerden abgewiesen worden ist, soweit darauf einzutreten war. Das Verfahren betrifft eine Angelegenheit auf dem Gebiet der Aufsicht über die Vormundschaftsbehörden (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit zulässig. Der Beschwerdeführer war im kantonalen Verfahren Partei (<ref-law>). Da seinem Antrag auf Aufhebung der erstinstanzlichen Verfügung nicht entsprochen wurde, er überdies die Kosten des Verfahrens zu tragen hat und keine Parteientschädigung zugesprochen erhielt, verfügt er über ein schützenswertes Interesse an der Aufhebung bzw. Abänderung der angefochtenen Verfügung (<ref-law>). Auf die im Übrigen fristgerecht eingereichte Beschwerde (<ref-law>) ist einzutreten.
1.2 Soweit der Beschwerdeführer darum ersucht, die Kosten der beiden Verfahren (120-2008-19 und 120-2009-16) dem Kanton Graubünden aufzuerlegen, handelt es sich um einen erstmals vor Bundesgericht gestellten und damit unzulässigen Antrag (<ref-law>). Darauf ist nicht einzutreten.
1.3 Damit bleibt es bei einem blossen Rückweisungsantrag, der allerdings genügt: Im vorliegenden Fall hat die Vorinstanz nicht materiell über die vom Beschwerdeführer gegen die Vormundschaftsbehörde erhobenen Vorwürfe entschieden. Dem angefochtenen Entscheid lassen sich überdies keine tatsächlichen Feststellungen entnehmen, welche es dem Bundesgericht erlaubten, in der Sache selbst materiell zu urteilen (zu den Voraussetzungen eines blossen Rückweisungsantrages: <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 1.2 S. 188; <ref-ruling> E. 1.2 S. 139; <ref-ruling> E. 1b S. 414 mit Hinweisen).
1.4 Die Beschwerde ist zu begründen. Mit ihr ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern dieser Bundesrecht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Verfassungsverletzungen werden nur geprüft, wenn sie gerügt und gehörig begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> 1.4).
2. 2.1 Entgegen dem Antrag des Beschwerdeführers ist der Präsident des Kantonsgerichts in der Hauptsache nicht auf das (altrechtlich) als kantonale Berufung entgegengenommene Rechtsmittel eingetreten und hat dieses im - vor Bundesgericht nicht selbständig angefochtenen - Kostenpunkt abgewiesen. Er erwog, mit Ausnahme des Kostenpunktes könne der Berufung nicht eindeutig entnommen werden, was der Beschwerdeführer von der Berufungsinstanz erwarte, zumal der ursprüngliche Antrag auf Aufhebung der Beistandschaft bereits während des Verfahrens vor Bezirksgericht durch Aufhebung der Massnahme erledigt worden sei. Sollte man hingegen aus der Berufungsschrift den Antrag ableiten, es sei festzustellen, dass die Vormundschaftsbehörde sich in verschiedener Hinsicht widerrechtlich verhalten habe, fehle dem Beschwerdeführer ein aktuelles Rechtsschutzinteresse. Soweit er lediglich Kritik über die Vorgehensweise der Vormundschaftsbehörde, des Amtsvormundes und der Klinik A._ vortrage, sei das Kantonsgericht von vornherein nicht zuständig, weil es nicht deren Aufsichtsbehörde sei.
2.2 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Anspruchs auf ein faires Verfahren (Art. 9 und 29 BV Art. 6 EMRK) und macht zur Begründung im Wesentlichen geltend, der Bezirksgerichtsausschuss Maloja habe in seinem Entscheid vom 21. September 2010 seine Laieneingaben als Aufsichtsbeschwerden entgegengenommen. Dabei komme eine Behandlung dieser Eingaben als Beschwerden im Sinn von <ref-law> nicht infrage, weil Entscheide gestützt auf die genannte Bestimmung in die Zuständigkeit der Vormundschaftsbehörde fallen. Zum andern halte der Bezirksgerichtsausschuss selbst fest, eine Beschwerde sei mangels Beschwer nicht möglich. Das treffe indes einzig auf die Beschwerde nach <ref-law> zu, nicht jedoch auf jene gemäss Art. 68 ff. VRG, da dort gemäss Art. 69 VRG weder ein besonderes Interesse vorliegen noch eine Frist eingehalten werden müsse. Im vorliegenden Fall sei unklar geblieben, ob der Bezirksgerichtsausschuss einen Aufsichtsbeschwerdeentscheid gemäss Art. 68 ff. VRG oder einen Entscheid im Sinn von <ref-law> gefällt habe. Dass es sich vorliegend mangels Anfechtungsobjekt nicht um einen Entscheid im Sinn von <ref-law> gehandelt habe, verstehe sich von selbst. Das Kantonsgericht habe diese offensichtlich widersprüchlichen verfahrensrechtlichen Einschätzungen der ersten Instanz nicht korrigiert, sondern habe seine Eingabe einfach als Berufung gegen ein erstinstanzlichen Entscheid gestützt auf <ref-law> entgegengenommen.
Damit wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz im Ergebnis vor, sie habe nicht beachtet, dass auf das Beschwerdeverfahren vor erster Instanz die Art. 68 ff. VRG und nicht die <ref-law> zur Anwendung hätten gelangen sollen. Bei einer korrekten (willkürfreien) Anwendung der kantonalen Bestimmungen hätte das Kantonsgericht somit die Beschwerde gutheissen und den angefochtenen erstinstanzlichen Entscheid wie beantragt aufheben müssen.
3. Soweit die Beschwerde in diesem Punkt überhaupt den formellen Begründungsanforderungen (E. 1.2) entspricht, wird damit keine Verletzung der genannten Bestimmungen der BV und der EMRK dargetan.
Die Behauptung des Beschwerdeführer, die beiden der vorliegenden Streitsache zugrunde liegenden Beschwerden seien als allgemeine Aufsichtsbeschwerden im Sinne von Art. 68 des bündnerischen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege (VRG) zu verstehen gewesen und hätten folglich als solche von der hiefür - nicht näher spezifizierten - Behörde behandelt bzw. an diese weitergeleitet werden müssen, trifft offensichtlich nicht zu. Beide Eingaben enthielten materielle Anträge. In der Beschwerde vom 23. Dezember 2008 verlangte der Beschwerdeführer die Übertragung der Beistandschaft an eine andere Behörde und in derjenigen vom 15. August 2009 die unverzügliche Aufhebung der Beistandschaft. Darüber konnte nicht anders als im Verfahren nach <ref-law> von den hiefür zuständigen Instanzen entschieden werden. Zu Recht behauptet der Beschwerdeführer nicht, das Bezirksgericht (als untere vormundschaftliche Aufsichtsbehörde) und das Kantonsgericht (als obere vormundschaftliche Aufsichtsbehörde) seien hiefür nicht zuständig gewesen (siehe dazu Art. 42 des Einführungsgesetzes zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch des Kantons Graubünden vom 12. Juni 1994; BR 201.100). Dass die - offenbar sehr allgemein gehaltene - Begründung für die Durchsetzung der gestellten Begehren nicht ausgereicht hat, kann die angerufene Behörde nicht dazu verpflichten, in der Eingabe eine allgemeine Aufsichtsbeschwerde zu erkennen und sie als solche zu behandeln. Darüber hinaus übersieht der Beschwerdeführer, dass die allgemeine Aufsichtsbeschwerde nach dem ausdrücklichen Wortlaut von Art. 68 Abs. 1 VRG nur gegen Handlungen und Unterlassungen von Verwaltungsbehörden sowie Körperschaften und Anstalten des kantonalen öffentlichen Rechts ergriffen werden kann, "die der Aufsicht durch die Regierung unterliegen". Aufgrund welcher kantonalen Gesetzesbestimmung die Regierung Aufsichtsbehörde gegenüber einer Vormundschaftsbehörde oder einem vormundschaftlichen Organ sein soll, legt der Beschwerdeführer nicht dar und kommt insofern seiner Begründungspflicht nicht nach.
Nach dem Gesagten hat sich das Bezirksgericht ohne Willkür für die Behandlung der fraglichen Beschwerden als zuständig erklärt. Unter den beschriebenen tatsächlichen und rechtlichen Vorgaben bestand somit für den Präsidenten des Kantonsgerichts kein Anlass, den angefochtenen Entscheid des Bezirksgerichts dem Antrag des Beschwerdeführers entsprechend aufzuheben. Der Vorwurf der Verletzung von Art. 9 und Art. 29 BV bzw. Art. 6 EMRK erweist sich als haltlos.
4. Im Übrigen zeigt der Beschwerdeführer nicht anhand der Erwägungen der angefochtenen Verfügung auf, inwiefern die Vorinstanz mit dem Nichteintretensentscheid Art. 9 und 29 BV sowie Art. 6 EMRK verletzt haben soll (E. 1.2).
5. Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die Frage der Entschädigung stellt sich nicht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Vormundschaftsbehörde der Kreise Oberengadin/Bergell und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. August 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden