Sachverhalt:
A. X._ schloss mit dem Kloster Einsiedeln am 30. Januar 1999 einen landwirtschaftlichen Pachtvertrag über den Betrieb A._ in B._ ab. Das Pachtverhältnis wurde vom Kloster Einsiedeln fristgerecht auf den 31. März 2008 aufgelöst. Die neue Eigentümerin des Betriebes, die C._ AG, gewährte X._ am 5. März 2008 eine Räumungsfrist bis zum 15. Mai 2008.
Das Landwirtschaftsamt des Kantons Thurgau teilte X._ am 4. August 2008 mit, aufgrund der Beendigung des Pachtverhältnisses am 31. März 2008 habe er keinen Anspruch auf Direktzahlungen für das Jahr 2008; mit Entscheid vom 18. September 2008 bestätigte es die Verweigerung der Direktzahlungen. Ein von X._ gegen diesen Entscheid an das Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau gerichteter Rekurs blieb - wie die anschliessende Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht - ohne Erfolg.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 8. Juni 2010 aufzuheben und das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz bzw. die Erstinstanz zurückzuweisen; eventuell seien ihm die Direktzahlungen für das Jahr 2008 auszurichten.
Das Landwirtschaftsamt und das Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau stellen den Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
Das Bundesamt für Landwirtschaft, dessen Stellungnahme sich das Eidgenössische Volkswirtschaftsdepartement anschliesst, beantragt sinngemäss die Abweisung der Beschwerde.
Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein Entscheid über die Ausrichtung von Direktzahlungen gemäss Art. 70 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. April 1998 über die Landwirtschaft (Landwirtschaftsgesetz, LwG; SR 910.1). Es handelt sich um ein Urteil des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, gegen das die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht grundsätzlich zulässig ist (vgl. Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG). Auf die fraglichen Beiträge besteht Anspruch, und es gilt insofern kein gesetzlicher Ausschlussgrund (vgl. Art. 83 lit. k und s BGG).
2. 2.1 Gemäss <ref-law> richtet der Bund Bewirtschaftern von bodenbewirtschafteten bäuerlichen Betrieben unter der Voraussetzung des ökologischen Leistungsnachweises allgemeine Direktzahlungen aus.
2.2 Nach Art. 2 Abs. 1 lit. a-c der Verordnung vom 7. Dezember 1998 über die Direktzahlungen an die Landwirtschaft (Direktzahlungsverordnung, DZV; SR 910.13) erhalten Bewirtschafter, die einen Betrieb führen, ihren zivilrechtlichen Wohnsitz in der Schweiz haben und über eine landwirtschaftliche Ausbildung verfügen, solche Direktzahlungen. Gemäss Art. 2 der Verordnung vom 7. Dezember 1998 über landwirtschaftliche Begriffe und die Anerkennung von Betriebsformen (Landwirtschaftliche Begriffsverordnung, LBV; SR 910.91) gilt als Bewirtschafter eine natürliche oder juristische Person oder Personengesellschaft, die einen Betrieb auf eigene Rechnung und Gefahr führt. Als Betrieb gilt ein landwirtschaftliches Unternehmen, das Pflanzenbau oder Nutztierhaltung oder beide Betriebszweige betreibt, eine oder mehrere Betriebsstätten umfasst, rechtlich, wirtschaftlich, organisatorisch und finanziell selbständig sowie unabhängig von anderen Betrieben ist, ein eigenes Betriebsergebnis ausweist und während eines ganzen Jahres bewirtschaftet wird (Art. 6 Abs. 1 lit. a-e LBV). Zu dem vom Gesetz verlangten ökologischen Leistungsnachweis zählt namentlich ein angemessener Anteil an ökologischen Ausgleichsflächen (Art. 70 Abs. 2 LWG), die im Eigentum oder auf dem Pachtland des Bewirtschafters sind (Art. 7 Abs. 2 lit. b DZV).
2.3 Das Gesuch für Direktzahlungen ist der zuständigen Behörde zwischen dem 15. April und dem 15. Mai einzureichen (Art. 65 Abs. 1 DZV). Die Beiträge werden aufgrund der Verhältnisse am Stichtag festgesetzt (vgl. Art. 67 Abs. 1 DZV). Als Stichtag gilt das Datum für die Erhebung von landwirtschaftlichen Daten, d.h. anfangs Mai; das genaue Datum wird vom Bundesamt für Landwirtschaft festgesetzt (vgl. Art. 67 Abs. 2 DZV in Verbindung mit Art. 5 Abs. 1 der landwirtschaftlichen Datenverordnung vom 7. Dezember 1998 [SR 919.117.71]). Im vorliegenden Fall handelt es sich unbestrittenermassen um den 2. Mai 2008.
2.4 Für die Beiträge für raufutterverzehrende Nutztiere ist die Anzahl der vom 1. Mai des Vorjahres bis zum 30. April des Beitragsjahres (Referenzzeit) auf dem Betrieb gehaltenen Tiere massgebend (Art. 29 Abs. 1 lit. a DZV). Das hat analog auch für die Beiträge für regelmässigen Auslauf dieser Nutztiere im Freien (Ethobeiträge, Art. 59 ff. DZV) zu gelten.
2.5 Der ökologische Leistungsausweis, der Voraussetzung für die Ausrichtung aller Direktzahlungen bildet, sowie die besonders tierfreundliche Haltung sind bis zum 31. August des Jahres anzumelden, das dem Beitragsjahr vorausgeht (Art. 65 Abs. 3 DZV).
3. 3.1 Das in Frage stehende Pachtverhältnis des Beschwerdeführers für den von ihm bis dahin bewirtschafteten Betrieb endete am 31. März 2008; bis zum 15. Mai 2008 erfolgte bloss noch eine faktische, auf die Betriebsübergabe ausgerichtete Bewirtschaftung. Nach diesem Zeitpunkt wurde der Betrieb durch die neue Eigentümerin bewirtschaftet, welche als juristische Person indessen - allenfalls mit Ausnahme der Beiträge für den ökologischen Ausgleich (Art. 43 Abs. 1 DZV) - keine Direktzahlungen erhält (Art. 2 Abs. 2 lit. a DZV).
3.2 Wie dem Schreiben der neuen Eigentümerin vom 5. März 2008 zu entnehmen ist, wurde dem Beschwerdeführer die auf den 31. März 2008 angesetzte Räumungsfrist bis zum 15. Mai 2008 erstreckt; diese Zusage sollte ausdrücklich nicht als Pachterstreckung oder Abschluss eines neuen Pachtvertrages gelten.
3.3 Die Vorinstanz ist aufgrund dieser Verhältnisse im Einklang mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 4.1) zu Recht davon ausgegangen, dass die für die Zeit vom 1. April 2008 bis 15. Mai 2008 getroffene Vereinbarung über die Nutzung der ehemaligen Pachtsache eine genügende zivilrechtliche Grundlage für die Annahme einer rechtmässigen selbständigen Bewirtschaftung bilde, die grundsätzliche Voraussetzung für die Ausrichtung von Direktzahlungen ist.
3.4 Die Vorinstanz hat jedoch erwogen, es sei nicht zu erkennen, inwiefern die Übernehmerin des Betriebs ein eigenes Interesse an der gewährten Fristverlängerung, das z.B. in einer besseren bzw. nahtlosen Übergabe des Betriebs liegen könnte, habe. Auch aus landwirtschaftlicher Sicht, beispielsweise aus Gründen der Vegetation oder der Ernte, seien keine Gründe für eine derart kurze Verlängerung der Räumungsfrist ersichtlich.
Demgegenüber habe der Beschwerdeführer ein Interesse an der Verlängerung gehabt. Dessen Vorgehen habe einzig bezweckt, sich die Direktzahlungen für das Jahr 2008 zu sichern. Andere sachliche Gründe seien keine ersichtlich. Es sei jedoch mit dem Institut der Direktzahlungen nicht vereinbar, dass dem Beschwerdeführer für das Jahr 2008 Direktzahlungen ausgerichtet werden sollen, obwohl er den Betrieb nur wenige Tage über den Stichtag hinaus und somit während eines kleinen Teils der Vegetationsperiode bewirtschaftet habe. Auch eine bei einer Hofübergabe privatrechtliche Einigung unter den Bewirtschaftern, wie sie die Weisungen zu Art. 67 Abs. 1 DZV vorsehen, sei vor allem auf Sachverhalte anwendbar, bei welchen beide Bewirtschafter zum Bezug von Direktzahlungen berechtigt seien.
Es sei unter diesen Umständen im vorliegenden Fall von einem Umgehungstatbestand auszugehen, und die von den beteiligten Parteien gewählte Rechtsgestaltung sei als missbräuchlich anzusehen, weshalb der Beschwerdeführer keinen Anspruch auf die Ausrichtung von Direktzahlungen für das Jahr 2008 habe.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine willkürliche bzw. offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>, <ref-law>). Diese erblickt er darin, dass die Vorinstanz erwogen habe, die neue Eigentümerin habe im Gegensatz zu ihm an der Fristverlängerung kein eigenes Interesse gehabt.
Mehrfach führt er dazu an, die Fristverlängerung sei auf Wunsch der neuen Eigentümerin vereinbart worden. Diese habe erst spät einen Betriebsleiter rekrutieren können und sei am 1. April 2008 nicht in der Lage gewesen, den Betrieb selber zu bewirtschaften.
4.2 Wie es sich damit verhält, kann offen gelassen werden, da die Interessenlage im vorliegenden Fall nicht entscheidend ist. Dasselbe gilt für die ebenfalls beanstandete Feststellung, auch aus landwirtschaftlicher Sicht seien keine Gründe für eine Fristverlängerung ersichtlich, denn auch wenn betriebliche Gründe eine Fristverlängerung rechtfertigten, wäre dies für den Ausgang des Verfahrens unwesentlich.
Die Vorinstanz durfte damit in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung bzw. ohne Verletzung des Anspruches des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör auf eine Anhörung der neuen Eigentümerin bzw. deren Vertreterin bei der Abwicklung der Übergabe verzichten. Auch auf ein näheres Eingehen auf die in diesem Zusammenhang vorgetragenen Argumente des Beschwerdeführers konnte die Vorinstanz ohne Verletzung von Bundesrecht verzichten.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer hat mit Eingaben vom 2. Mai 2008 für das Jahr 2008 um Ausrichtung von allgemeinen Direktzahlungen (Flächenbeitrag, Beitrag für die Haltung Raufutter verzehrender Tiere, Hangbeiträge für Rebflächen), Ökobeiträgen (ökologischer Ausgleich) und Ethobeiträgen (regelmässiger Auslauf im Freien) ersucht. Die entsprechenden Beiträge betrugen im Jahr 2007 Fr. 68'734.--, Fr. 3'986.-- und Fr. 8'330.--, insgesamt Fr. 81'049.--.
5.2 Die Vorinstanz hat festgehalten, dass es mit dem Institut der Direktzahlungen nicht vereinbar sei, dass dem Beschwerdeführer für das Jahr 2008 die vollen Direktzahlungen ausgerichtet werden sollten, obwohl er den Betrieb im Beitragsjahr nur wenige Tage über den Stichtag hinaus und somit während eines kleinen Teils der Vegetationsperiode bewirtschaftet habe.
Es trifft zu, dass ein beitragsberechtigter Betrieb grundsätzlich während des ganzen Jahres bewirtschaftet werden muss (Art. 6 Abs. 1 lit. e LBV; <ref-ruling> E. 4.1). Dies ergibt sich auch aus Art. 14 Abs. 1 LBV, wonach die dem Betrieb zugeordnete landwirtschaftliche Nutzfläche dem Bewirtschafter ganzjährig zur Verfügung stehen muss. Allerdings bedarf der näheren Prüfung, welche Tragweite diesem Grundsatz unter den gegebenen Umständen zukommt.
5.3 Zunächst ist zu beachten, dass die ganzjährige Bewirtschaftung im Beitragsjahr nur für diejenigen Direktzahlungen erforderlich ist, mit denen die in diesem Zeitraum selber erbrachten geförderten ökologisch ausgerichteten bzw. naturnahen Leistungen des Bewirtschafters abgegolten werden. Anders verhält es sich bei den Beiträgen für die Haltung Raufutter verzehrender Nutztiere, die aufgrund des während der vergangenen zwölf Monate gehaltenen Tierbestandes festgelegt werden (Art. 29 Abs. 1 lit. a DZV). In Art. 67 Abs. 1 DZV wird für die Beitragsbemessung denn auch ausdrücklich auf diese Bestimmung verwiesen. Diese erwünschten Leistungen hat der Bewirtschafter am Stichtag bereits erbracht, weshalb ihm die dafür vorgesehenen Direktzahlungen auch auszurichten sind, sofern alle Voraussetzungen für diese Beiträge erfüllt sind.
Dasselbe muss auch für die Beiträge für regelmässigen Auslauf dieser während der Referenzzeit gehaltenen Nutztiere im Freien gelten.
5.4 Ausserdem regeln die dargestellten Vorschriften nicht, wie bei einer Übergabe des Hofs die Direktzahlungen auszurichten sind. Das Bundesamt geht davon aus, dass in solchen Fällen der alte und der neue Bewirtschafter die Aufteilung der Beiträge privatrechtlich regeln könnten (vgl. Weisungen und Erläuterungen 2010 des Bundesamts für Landwirtschaft zur Direktzahlungsverordnung vom 12. Mai 2010). Gegenüber dem Staat habe der Bewirtschafter, der am Stichtag den Betrieb führe, den Anspruch auf die Beitragszahlungen. Bei Hofübergaben werden nach dieser Praxis somit auch dem Bewirtschafter Zahlungen geleistet, der den Betrieb nicht selber während des ganzen Jahres führt, sondern diesen an einen anderen Bewirtschafter übergibt. Allerdings wird unterstellt, dass auch der neue Bewirtschafter anspruchsberechtigt ist und sich deshalb die volle Auszahlung der Beiträge rechtfertigt.
Die Vorinstanz erkennt zu Recht, dass es problematisch ist, in der beschriebenen Weise vorzugehen, wenn nur der bisherige, nicht aber der neue Betriebsinhaber beitragsberechtigt ist. Denn in dieser Situation besteht die Beitragsberechtigung nicht während des ganzen, sondern nur eines Teils des Jahres. Das hat allerdings nicht zur Folge, dass der Anspruch auf Direktzahlungen vollständig entfällt, wie die Vorinstanz annimmt. Vielmehr besteht ein solcher pro rata temporis, also für den Zeitraum, während dessen noch der beitragsberechtigte bisherige Bewirtschafter den Betrieb geführt hat. Das Erfordernis der ganzjährigen Bewirtschaftung gemäss Art. 6 Abs. 1 lit. e LBV steht einem solchen Verständnis nicht entgegen. Es verlangt nur, dass der Betrieb vom bisherigen Inhaber ganzjährig und nicht bloss saisonal bewirtschaftet wurde. Ausserdem ist kein Grund dafür ersichtlich, den bisherigen Bewirtschafter schlechter zu stellen, wenn der von ihm bewirtschaftete Hof auf einen nicht beitragsberechtigten neuen Inhaber übergeht, als wenn die Veräusserung an einen Beitragsberechtigten erfolgt.
5.5 Nach den vorinstanzlichen Feststellungen hat die C._ AG den vom Beschwerdeführer bis am 15. Mai 2008 bewirtschafteten Betrieb erworben. Als juristische Person hat sie selber keinen Anspruch auf Direktzahlungen (Art. 2 Abs. 2 lit. a DZV). Hingegen sind natürliche Personen, die den Betrieb einer Aktiengesellschaft bewirtschaften, unter gewissen Voraussetzungen beitragsberechtigt (Art. 2 Abs. 3 DZV). Die Vorinstanzen haben nicht abgeklärt, ob seit der Hofübergabe am 15. Mai 2008 eine beitragsberechtigte Person den Betrieb führt.
Unter diesen Umständen steht zwar fest, dass die Verweigerung auch der übrigen - nicht bereits in E. 5.3 erwähnten - Beiträge Bundesrecht verletzt. Hingegen lässt sich nicht beurteilen, ob der Beschwerdeführer Anspruch auf eine Ausrichtung für das ganze Jahr 2008 oder nur für den Zeitraum bis zum 15. Mai 2008 hat. Die Sache ist deshalb zur weiteren Abklärung und zur Neubeurteilung an das Landwirtschaftsamt des Kantons Thurgau zurückzuweisen (<ref-law>).
6. Die Beschwerde erweist sich demnach als begründet. Sie ist gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache an das Landwirtschaftsamt des Kantons Thurgau sowie für die Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang und angesichts der auf dem Spiel stehenden finanziellen Interessen sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Kanton Thurgau aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Ausserdem hat der Kanton Thurgau den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 8. Juni 2010 aufgehoben.
Die Sache wird zur weiteren Abklärung und Neubeurteilung an das Landwirtschaftsamt des Kantons Thurgau bzw. zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Kanton Thurgau auferlegt.
3. Der Kanton Thurgau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesverwaltungsgericht, dem Eidgenössischen Volkswirtschaftsdepartement und dem Bundesamt für Landwirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Februar 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Küng