Sachverhalt:
A.
Bei der 1962 geborenen M._ erfolgte im Jahre 1997 im Spital X._ eine Mikrodiskektomie L5/S1 links. Seit 29. Oktober 2001 war sie Servicemitarbeiterin im Hotel Z._. Am 23. Juni 2006 wurde bei ihr im Spital Y._ eine Mikrodiskektomie/Wurzelneurolyse S1 links durchgeführt. Am 8. Dezember 2006 meldete sie sich bei der IV-Stelle des Kantons Zürich zum Leistungsbezug an. Diese tätigte medizinische sowie berufliche Abklärungen und sprach ihr mit unangefochten in Rechtskraft erwachsener Verfügung vom 22. Mai 2008 ab 1. März 2007 eine halbe Invalidenrente (Invaliditätsgrad 55 %) zu. Im Mai 2009 leitete die IV-Stelle eine Revision ein. Sie zog diverse Arztberichte, einen Abklärungsbericht für Selbstständigerwerbende vom 15. Januar 2010 sowie die Gutachten des Dr. med. K._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, Chefarzt Klinik A._, vom 11. Februar 2011 und des Zentrums B._, vom 6. Juni 2011 bei; die interdisziplinäre Beurteilung wurde im letztgenannten Gutachten integriert. Die Versicherte reichte einen Bericht des Dr. med. H._, Facharzt FMH für Neurologie Computer-Tomographie, vom 13. September 2011 ein. Mit Verfügung vom 15. November 2011 hob die IV-Stelle die Rente nach Zustellung der Verfügung auf Ende des folgenden Monats auf.
B.
Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 16. Mai 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ihr nach dem 31. Januar 2012 eine halbe Invalidenrente zuzusprechen; es seien ihr die Kosten der Abklärung durch Dr. med. H._ von Fr. 1'839.15 zu erstatten.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Trotzdem prüft es - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Rechtsfragen sind die vollständige Feststellung erheblicher Tatsachen sowie die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die aufgrund Letzterer gerichtlich festgestellte Gesundheitslage bzw. Arbeitsfähigkeit und die konkrete Beweiswürdigung sind Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397; nicht publ. E. 4.1 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]).
2.
Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), die Invalidität (<ref-law>; <ref-law>), die Rentenrevision (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 132), die Invalidität bei psychischen Gesundheitsschäden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 50, 130 V 352 E. 2.2.1 S. 353) und den Beweiswert von Arztberichten (E. 1 hievor) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob zwischen dem Rentenbeginn am 1. März 2007 und der Rentenaufhebungsverfügung vom 15. November 2011 (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 320) eine erhebliche Verbesserung der Arbeitsfähigkeit eintrat.
3.1. Im Rahmen der rentenzusprechenden Verfügung vom 22. Mai 2008 wurde aufgrund der medizinischen Aktenlage davon ausgegangen, der Versicherten sei die angestammte Tätigkeit als Service-Mitarbeiterin nicht mehr, eine angepasste Tätigkeit hingegen zu 50 % zumutbar.
3.2.
3.2.1. Die Vorinstanz erwog, die Gutachten des Dr. med. K._ vom 11. Februar 2011 und des AEH vom 6. Juni 2011 erfüllten die Anforderungen an eine medizinische Beurteilungsgrundlage. Gestützt darauf sei bei der Versicherten eine wesentliche Verbesserung des Gesundheitszustandes aus somatischer Sicht eingetreten. Da ihr die angestammte Tätigkeit als Serviceangestellte sowie eine angepasste Tätigkeit zu 100 % zumutbar seien, bestehe keine Erwerbseinbusse mehr, weshalb die Rente zu Recht aufgehoben worden sei.
3.2.2. Das AEH konsultierte die Ergebnisse der im Spital Y._, erfolgten MRI-Untersuchungen der Lendenwirbelsäule (LWS) vom 14. März und 28. Juni 2006 sowie der Iliosakralgelenke (ISG) vom 27. März 2006 und der von Dr. med. H._ vorgenommenen CT der LWS vom 13. Oktober 2006. Aktuelle bildgebende Abklärungen lagen dem AEH nicht vor. Es führte eine klinische Untersuchung und eine Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit der Versicherten durch. Das AEH kam zum Schluss, es müsse von einer vollen Arbeitsfähigkeit der Versicherten seit dem 11. März 2007 ausgegangen werden; seit diesem Zeitpunkt sei ihr Gesundheitszustand weitgehend stabil. Demnach liegt seitens des AEH bloss eine unterschiedliche Beurteilung eines aus seiner Sicht seit der Rentenzusprache ab März 2007 im Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts vor, die im revisionsrechtlichen Kontext grundsätzlich unbeachtlich ist (nicht publ. E. 3.2 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2011 IV Nr. 1 S. 1 E. 3.2 [8C_972/2009]; SVR 2012 IV Nr. 36 S. 140 E. 3.1 [9C_896/2011]). In diesem Lichte überzeugt das AEH-Gutachten entgegen der vorinstanzlichen Auffassung nicht.
Es kann auch nicht gesagt werden, es seien die Voraussetzungen für eine prozessuale Revision (<ref-law>) oder Wiedererwägung (<ref-law>) der rentenzusprechenden Verfügung vom 22. Mai 2008 gegeben (vgl. SVR 2012 IV Nr. 36 S. 140 E. 4.1 f.).
Nach dem Gesagten ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie ein medizinisches Gerichtsgutachten einholt. Danach hat sie über die Beschwerde betreffend den Rentenanspruch neu zu entscheiden.
4.
Die Versicherte verlangt, die IV-Stelle habe ihr die Kosten von Fr. 1'839.15 für die medizinischen Untersuchungen und die Berichterstattung des Dr. med. H._ zu erstatten. Aus den vorinstanzlichen Akten ergibt sich, dass dieser Betrag seinen Bericht vom 13. September 2011 (Fr. 450.-) sowie die ihm zu Grunde liegenden, vom 25. August bis 13. September 2011 getätigten Abklärungen bzw. Aufwendungen (Fr. 1'389.15) betrifft. Vor Bundesgericht setzt sich die Versicherte indessen mit diesen Akten inhaltlich nicht auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern ihnen massgebende Bedeutung für die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur weiteren Abklärung zukommt (vgl. <ref-ruling>; SVR 2011 IV Nr. 13 S. 35 E. 2 [9C_178/2010]; Urteil 8C_231/2013 vom 18. Juli 2013 E. 6). Die IV-Stelle hat die entsprechenden Kosten somit nicht zu übernehmen.
5.
Die Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zu neuem Entscheid über den Rentenanspruch mit noch offenem Ausgang gilt für die Auferlegung der Gerichtskosten und der Parteientschädigung als volles Obsiegen der Versicherten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 7.1 S. 271). Hingegen unterliegt sie bezüglich der Kostenvergütung für die von ihr veranlassten medizinischen Abklärungen durch Dr. med. H._. Die Verfahrenskosten sind demnach zu einem Fünftel der Versicherten und zu vier Fünfteln der IV-Stelle aufzuerlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 16. Mai 2013 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Von den Gerichtskosten von Fr. 800.- werden Fr. 160.- der Beschwerdeführerin und Fr. 640.- der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'240.- (vier Fünftel von Fr. 2'800.-) zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Oktober 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar