Erwägungen:
1.
1.1. Der nigerianische Staatsangehörige X._ (geb. 1978) reiste anfangs 2001 in die Schweiz ein und ersuchte erfolglos um Asyl. Am 18. Januar 2002 heiratete er eine im Kanton Zürich niederlassungsberechtigte italienische Staatsangehörige und erhielt eine letztmals bis zum 17. Januar 2012 verlängerte Aufenthaltsbewilligung EG/EFTA. Am 25. Mai 2010 wurde die kinderlose Ehe geschieden.
1.2. Mit Urteil vom 22. Juni 2010 verurteilte das Bezirksgericht Zürich X._ wegen Betäubungsmitteldelikten zu einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren und acht Monaten, wobei die Strafe im Umfang von zwanzig Monaten aufgeschoben wurde. Im Januar 2011 teilte das Migrationsamt des Kantons Zürich X._ mit, dass er sich nach Auflösung der Ehe nicht mehr auf das Freizügigkeitsabkommen berufen könne; es sei indessen bereit, ihm eine bis Ende Juni 2011 gültige Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Nach Verbüssung der Freiheitsstrafe habe er mit seiner Wegweisung zu rechnen. Später verlängerte das Migrationsamt die Aufenthaltsbewilligung im Hinblick auf den Strafvollzug bis Ende Dezember 2011.
X._ heiratete am 20. April 2011 die im Kanton Zürich niederlassungsberechtigte türkische Staatsangehörige A._ (geb. 1984). Aus dieser Beziehung war am 1. März 2011 die vom ihm anerkannte Tochter B._ hervorgegangen.
1.3. Am 20. März 2012 verfügte das Migrationsamt, dass die Aufenthaltsbewilligung von X._ widerrufen bzw. nicht verlängert werde und wies diesen aus der Schweiz weg. Ein Rekurs an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich blieb ohne Erfolg und auch das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies mit Urteil vom 20. Februar 2013 eine dagegen erhobene Beschwerde ab.
1.4. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 20. Februar 2013 erhebt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, das Urteil sei aufzuheben und das Migrationsamt sei anzuweisen, ihm eine Aufenthaltsbewilligung auszustellen.
Mit Verfügung vom 4. April 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
2.
Die von X._ beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> mit summarischer Begründung und Verweis auf die vorinstanzlichen Erwägungen abzuweisen ist.
2.1. Nach Art. 43 Abs. 1 AuG (SR 142.20) hat der Beschwerdeführer als Ehegatte einer Person mit Niederlassungsbewilligung grundsätzlich Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, doch erlischt dieser Anspruch gemäss Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG, wenn Widerrufsgründe nach Art. 62 AuG vorliegen. Gemäss Art. 62 lit. b AuG kann die Aufenthaltsbewilligung widerrufen werden, wenn die ausländische Person zu einer "längerfristigen Freiheitsstrafe" verurteilt worden ist, d.h. praxisgemäss zu einer solchen von mehr als einem Jahr (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18, 31 E. 2.1). Ob die Freiheitsstrafe bedingt, teilbedingt oder unbedingt ausgesprochen wurde, ist hierfür von keiner Bedeutung (Urteil 2C_515/2009 vom 27. Januar 2010 E. 2.1).
Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) ist der Beschwerdeführer aufgrund qualifizierter Widerhandlung gegen die Betäubungsmittelgesetzgebung mit Urteil vom 22. Juni 2010 des Bezirksgerichts Zürich rechtskräftig mit einer teilbedingten Freiheitsstrafe von 32 Monaten bestraft worden. Damit ist der Widerrufsgrund von Art. 62 lit. b AuG ohne Weiteres erfüllt. Wie die Vorinstanz richtig ausführt, kann damit offen gelassen werden, ob der Beschwerdeführer auch den Widerrufsgrund von Art. 62 lit. c AuG erfüllt.
2.2. Der Beschwerdeführer bestreitet denn auch nicht, dass er durch sein Verhalten einen Widerrufsgrund gesetzt hat. Im Wesentlichen beruft er sich in recht allgemeiner Weise darauf, dass ein Bewilligungswiderruf unverhältnismässig bzw. eine Rückkehr in seine Heimat unzumutbar sei. Die erhobene Rüge zielt jedoch ins Leere: Richtig ist wohl, dass ein Widerruf der Bewilligung aufgrund der gesamten Umstände des Einzelfalls verhältnismässig sein muss. Dies hat das Verwaltungsgericht aber nicht verkannt, sondern es hat die hier massgeblichen öffentlichen Interessen an einer Ausreise des Beschwerdeführers und dessen private Interessen an einem Verbleib in der Schweiz in sachgerechter Weise gewürdigt und es für zumutbar erachtet, dass der Beschwerdeführer in seine Heimat zurückkehrt.
2.3. Zu Lasten des Beschwerdeführers fällt namentlich ins Gewicht, dass bei schwerwiegenden Drogendelikten das Bundesgericht wie auch der EGMR eine strenge Praxis verfolgen: Gemäss ständiger Rechtsprechung besteht ein erhebliches öffentliches Interesse an der Fernhaltung ausländischer Drogenhändler (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 34 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer erwirkte seit seiner Einreise 2001 zehn strafrechtliche Verurteilungen mit Schwergewicht im Betäubungsmittelbereich (total 115 Tage Gefängnis und vier Monate Freiheitsstrafe). Mit seiner zuletzt beurteilten Tat (32 Monate Freiheitsstrafe wegen Kokainhandel im Kilobereich) hat der Beschwerdeführer dazu beigetragen, die Gesundheit vieler Menschen zu gefährden. Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer deshalb zu Recht eine schlechte Legalprognose gestellt (vgl. angefochtener Entscheid E. 3.2 und 3.3). Im Übrigen stellt der "Drogenhandel" eine der in <ref-law> (Fassung vom 28. November 2010) genannten Anlasstaten dar, deren Begehung dazu führen soll, dass die ausländische Person "unabhängig von ihrem ausländerrechtlichen Status ihr Aufenthaltsrecht sowie alle Rechtsansprüche auf Aufenthalt in der Schweiz" verliert. Dieser Absicht des Verfassungsgebers trägt das Bundesgericht bei der Auslegung des geltenden Ausländergesetzes insoweit Rechnung, als dies zu keinem Widerspruch mit übergeordnetem Recht führt und mit gleichwertigen Verfassungsbestimmungen, namentlich dem Verhältnismässigkeitsprinzip, im Einklang steht (sog. "praktische Konkordanz"; vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 34, 16 E. 4.2, 4.3 und 5.3).
2.4. Der Beschwerdeführer versucht, die Bedeutung seiner Verurteilung zu relativieren. Die Straftaten lägen bereits drei Jahre zurück und er habe sich geändert. Er wisse heute, dass er einen Fehler gemacht habe und habe dafür auch gebüsst. Mit einem Rückfall sei nicht zu rechnen. Er fühle sich zweimal für das Gleiche bestraft.
Mit diesen Ausführungen übersieht er zum einen, dass bei den Legalprognosen in fremdenpolizeilicher Hinsicht mit Blick auf das Interesse der öffentlichen Ordnung und Sicherheit ein strengerer Beurteilungsmassstab herrscht als im Strafrecht (<ref-ruling> E. 4.3.3 S. 188; <ref-ruling> E. 5b S. 132). Zum anderen liegt entgegen seiner Annahme keine unzulässige Nebenstrafe vor: Strafrecht und Ausländerrecht verfolgen unterschiedliche Ziele, sodass der Entzug des ausländerrechtlichen Titels nicht als Sanktion im Sinne des Strafrechts gilt. Zudem ist auch das Wohlverhalten im Strafvollzug kein hinreichender Grund, um von der gebotenen Massnahme abzusehen (<ref-ruling> E. 4a/bb S. 528). Damit kann der Beschwerdeführer aus dem Hinweis, er sei seit drei Jahren strafrechtlich nicht mehr in Erscheinung getreten, nichts zu seinen Gunsten ableiten.
Der Beschwerdeführer führt sodann aus, ein mit einer Italienerin verheirateter Landsmann, der zu 36 Monaten Freiheitsstrafe verurteilt worden sei, könne angeblich trotzdem in der Schweiz bleiben; er belegt diese Behauptung jedoch nicht ansatzweise, weshalb nicht näher darauf einzugehen ist.
2.5. Soweit sich der Beschwerdeführer schliesslich sinngemäss auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK (Schutz des Privat- und Familienlebens) beruft, kann ihm - abgesehen davon, dass es sich als fraglich erweist, ob die Rügen überhaupt den Begründungsanforderungen (vgl. <ref-law>) zu genügen vermögen - nicht gefolgt werden.
2.5.1. Zwar kann das in Art. 8 Ziff. 1 EMRK verankerte Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens verletzt sein, wenn einem Ausländer, dessen Familienangehörige hier weilen, die Anwesenheit untersagt und damit das Familienleben vereitelt wird. Das geschützte Familienleben beschränkt sich in erster Linie auf die Kernfamilie, d.h. die Gemeinschaft der Ehegatten mit ihren minderjährigen Kindern (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146 mit Hinweisen).
2.5.2. Richtig ist, dass seiner Ehefrau (und der gemeinsamen Tochter) eine Übersiedlung nach Nigeria nicht leicht fallen dürfte. Die konventionsrechtlich erforderliche Interessenabwägung entspricht jedoch den Anforderungen nach Art. 96 Abs. 1 AuG (vgl. Urteile 2C_360/2011 vom 18. November 2011 E. 3; 2C_54/2012 vom 23. Juli 2012 E. 4.3), sodass sich in Hinblick auf die Straffälligkeit des Beschwerdeführers auch ein Eingriff in das Recht auf Achtung des Familienlebens als zulässig erweist (vgl. auch E. 2.3 hiervor). Wesentlich ist sodann, dass die Ehe in einem Zeitpunkt geschlossen wurde, in dem der Beschwerdeführer bereits verurteilt war und die Ehefrau schon aufgrund des Schreibens des Migrationsamts vom Januar 2011 (vgl. E. 1.2 hiervor) nicht damit rechnen konnte, die Ehe in der Schweiz zu leben. Was schliesslich die heute zweijährige Tochter des Beschwerdeführers betrifft, so befindet sie sich noch in einem anpassungsfähigen Alter; es wäre ihr damit grundsätzlich möglich, sich in die Verhältnisse in Nigeria einzuleben. Soweit der Beschwerdeführer in allgemeiner Weise ausführt, er sehe auch gesundheitliche Probleme für sein Kind, erweisen sich diese Rügen als zu wenig substantiiert, weshalb nicht näher darauf einzugehen ist.
2.6. Mit Blick auf die begangenen Delikte und die nicht hinzunehmende Rückfallgefahr bestehen damit ordnungs- und sicherheitspolitische Gründe, welche die privaten Interessen an einem weiteren Verbleib des Beschwerdeführers überwiegen und den Widerruf der Bewilligung bzw. einen Eingriff in das Recht auf Achtung des Familienlebens im Sinne von Art. 8 Abs. 2 EMRK rechtfertigen. Das angefochtene Urteil ist bundesrechts- und konventionskonform.
3.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist demnach abzuweisen. Angesichts der ausführlichen Begründung im angefochtenen Entscheid, die umfassend auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung Bezug nimmt, erwiesen sich die Rechtsbegehren als von vornherein aussichtslos, weshalb das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege - abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer die erforderlichen Belege ohnehin nicht innert gesetzter Frist eingereicht hat - abzuweisen ist (<ref-law>). Bei diesem Ausgang hat demzufolge der Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens vor Bundesgericht zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt, der Sicherheitsdirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juni 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger