Sachverhalt:
A.
X._ betreibt in der Rechtsform der Einzelunternehmung ein Taxiunternehmen in Basel.
B.
Nach Abschluss diverser Untersuchungen teilte die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV) X._ am 27. Oktober 2009 mit, er werde rückwirkend per 1. Januar 2005 ins Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragen. Am 1. Dezember 2009 bestätigte die ESTV die Steuerpflicht von X._ ab 1. Januar 2005 förmlich und forderte für die Zeit vom 1. Januar 2005 bis 31. Dezember 2008 Mehrwertsteuern in der Höhe von Fr. 27'366.-- nebst Verzugszins nach. Mit Einspracheentscheid vom 22. November 2012 korrigierte die ESTV die Nachforderung auf den Betrag von Fr. 25'545.-- nebst Verzugszins.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesverwaltungsgericht am 22. Juli 2013 im Umfang von Fr. 3'505.-- gut, soweit es darauf eintrat, und wies sie im Übrigen ab.
C.
X._ erhebt am 13. September 2013 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und festzustellen, dass er für die Steuerperioden 1. Quartal 2004 bis 4. Quartal 2008 keine Mehrwertsteuer schulde, und ihn demgemäss aus dem Register der Mehrwertsteuerpflichtigen zu streichen. Ferner ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung mit seinem Rechtsvertreter als unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die ESTV schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig. Als Steuerpflichtiger ist der Beschwerdeführer zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Die Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden, ist gleichzusetzen mit der Willkürrüge (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252); diese ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die im bundesgerichtlichen Verfahren neu eingereichte Fahrer-Bedienungsanweisung für Taxameter der Marke Kienzle Argo ist als unzulässiges unechtes Novum unbeachtlich, da dieses Beweismittel bereits der Vorinstanz hätte vorgelegt werden können (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129).
3.
Streitgegenstand bildet die Nachforderung der Mehrwertsteuer im Betrag von Fr. 21'040.-- nebst Verzugszins. Mit dem Urteil über das Begehren, die Nachforderung aufzuheben, wird zugleich über die grundsätzliche Mehrwertsteuerpflicht und allfällige Streichung aus dem Register entschieden. Aufgrund der Subsidiarität von Feststellungsbegehren gegenüber Gestaltungsbegehren (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 259; Tschannen/Zimmerli/Müller, Allgemeines Verwaltungsrecht, 3. Aufl. 2009, S. 243 Rz. 64) ist auf das Feststellungsbegehren, der Beschwerdeführer schulde für die fraglichen Steuerperioden keine Mehrwertsteuer und sei daher aus dem Register zu streichen, nicht einzutreten.
4.
4.1. Am 1. Januar 2010 sind das Bundesgesetz über die Mehrwertsteuer vom 12. Juni 2009 (Mehrwertsteuergesetz, MWSTG; SR 641.20) und die dazugehörige Verordnung vom 27. November 2009 (MWSTV; SR 641.201) in Kraft getreten. Der vorliegend zu beurteilende Sachverhalt erstreckt sich vom 1. Januar 2005 bis zum 31. Dezember 2008; er fällt somit in die Zeit vor dem Inkrafttreten des MWSTG. Gemäss <ref-law> bleiben die bisherigen gesetzlichen Bestimmungen sowie die gestützt darauf erlassenen Vorschriften grundsätzlich weiterhin auf alle während ihrer Geltungsdauer eingetretenen Tatsachen und entstandenen Rechtsverhältnisse anwendbar. Das vorliegende Verfahren untersteht deshalb in materieller Hinsicht dem Mehrwertsteuergesetz vom 2. September 1999 (aMWSTG; AS 2000 1300) sowie der dazugehörigen Verordnung vom 29. März 2000 (aMWSTGV; AS 2000 1347).
4.2. Das Verfahren vor der ESTV wurde im August 2009 eröffnet, indem diese den (heutigen) Beschwerdeführer zur Einreichung von Unterlagen aufforderte. Gemäss <ref-law> ist das neue Verfahrensrecht (vorbehältlich der Regeln über die Bezugsverjährung nach <ref-law>) auf sämtliche im Zeitpunkt des Inkrafttretens hängigen Verfahren anwendbar. In diesem Zeitpunkt (am 1. Januar 2010) war die Sache bereits vor der ESTV hängig, so dass in verfahrensrechtlicher Hinsicht das neue Recht anwendbar ist.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Zulässigkeit der Ermessensveranlagung. Die eingereichten Tagesrapporte würden detailliert darüber Aufschluss geben, wie viele Kilometer er täglich mit seinem Taxi zurückgelegt habe und wie viele davon "besetzt" (d.h. mit Kunden) bzw. "leer" (d.h. ohne Kunden) gefahren worden seien. Die Aufzeichnungen würden auf einer "wirklichen Ablesung" des Taxameters der Marke Kienzle Argo beruhen. Dieser erlaube es, am Ende eines Tages oder einer Schicht die Totaleinnahmen, die Einnahmen pro Kilometer und die Anzahl "besetzt" bzw. "leer" gefahrener Kilometer abzulesen. Ein Ausdruck auf Papier sei nicht möglich, sondern die entsprechenden Zählerstände müssten täglich vom einzelnen Taxifahrer auf sein Kontrollblatt übertragen werden. Dass nicht jede einzelne Fahrt aufgelistet werde, könne ihm - dem Beschwerdeführer - klarerweise nicht schaden, zumal er in guten Treuen habe davon ausgehen dürfen, dass die von ihm gewählte Form der Aufzeichnung der Tageseinnahmen die Kriterien der Rechtsprechung erfülle.
5.2. Aus seinen Aufstellungen und den entsprechenden Fahrtenschreiberkarten ergebe sich lückenlos, dass er in den Jahren 2004 bis 2008 Jahresumsätze zwischen Fr. 35'882.-- und Fr. 44'427.-- brutto erzielt habe. Die mehrwertsteuerauslösende Grenze von Fr. 75'000.-- pro Jahr werde bei Weitem nicht erreicht.
6.
6.1. Die Vorinstanz hat die Grundsätze des Mehrwertsteuerrechts, insbesondere die Voraussetzungen der Steuerpflicht (Art. 21 aMWSTG), das Selbstveranlagungsprinzip (Art. 46 aMWSTG) und die Bemessungsgrundlage bei Lieferungen und Dienstleistungen (Art. 33 aMWSTG) ausführlich dargelegt, weshalb darauf verwiesen werden kann.
Streitig ist zunächst die Zulässigkeit der Ermessensveranlagung durch die ESTV. Bejahendenfalls ist in einem zweiten Schritt die Richtigkeit der geschätzten Umsätze und gegebenenfalls die Höhe der Steuer zu prüfen.
6.2. Aus dem Selbstveranlagungsprinzip resultiert in erster Linie die Buchführungspflicht gemäss Art. 58 Abs. 1 aMWSTG. Danach hat die steuerpflichtige Person ihre Geschäftsbücher ordnungsgemäss zu führen und so einzurichten, dass sich aus ihnen die für die Feststellung der Steuerpflicht sowie für die Berechnung der Steuer und der abziehbaren Vorsteuern massgebenden Tatsachen leicht und zuverlässig ermitteln lassen; die Eidgenössische Steuerverwaltung kann hierüber nähere Bestimmungen erlassen. Welche Aufzeichnungen zur fortlaufenden Feststellung der Umsätze notwendig sind, hängt von der Art und Grösse des Betriebs ab. Rechtsprechungsgemäss ist die Führung eines Kassabuchs insbesondere für Kleinbetriebe unabdingbar, welche - wie ein Taxiunternehmen - überwiegend Einnahmen aus formlosen Verträgen erzielen und über ihre Bareinnahmen nicht regelmässig Rechnungen oder Quittungen ausstellen (Urteile 2C_206/2012 vom 6. September 2012 E. 2.2; 2C_835/2011 vom 4. Juni 2012 E. 2.2.2).
Wie das Bundesgericht im Urteil 2C_569/2012 vom 6. Dezember 2012 E. 2.2 festgehalten hat, hat die Eidgenössische Steuerverwaltung gestützt auf Art. 58 Abs. 1 aMWSTG bereits in der Wegleitung 2001 zur Mehrwertsteuer (Rz. 878 ff.) nähere Bestimmungen allgemeiner Natur zur Buchführung und Aufbewahrung der Geschäftsbücher und Belege erlassen. Danach sind sämtliche Einnahmen und Ausgaben mit den erforderlichen Texten in chronologischer Reihenfolge in Kassa-, Postcheck- oder Bankbücher (oder in die entsprechenden Konti) einzutragen. Diese Eintragungen müssen fortlaufend addiert und saldiert werden und die Saldi regelmässig auf ihre Übereinstimmung mit dem ebenfalls zu kontrollierenden Bargeldbestand geprüft werden (Wegleitung 2001 Rz. 884). Die einzelnen Geschäftsvorfälle (hier die Taxifahrten) müssen demnach anhand von Belegen von der Eintragung in die Hilfs- und Grundbücher bis zur Mehrwertsteuer-Abrechnung und umgekehrt leicht und zuverlässig verfolgt werden können (Wegleitung 2001 Rz. 890). Der Inhalt dieser Wegleitung darf beim Beschwerdeführer als bekannt vorausgesetzt werden, weshalb seine Berufung auf Treu und Glauben unbehelflich ist.
Die Vorinstanz hat (für das Bundesgericht verbindlich) festgestellt, in den vom Beschwerdeführer eingereichten Tagesrapporten würden jeweils die mit den Kunden täglich zurückgelegten Kilometer sowie die Tagesumsätze als Gesamtsummen angegeben. Sie hat bei dieser Sachlage zu Recht erwogen, dass diese Unterlagen den von der Rechtsprechung geforderten Kriterien - welche übrigens auch für die direkten Steuern gelten (vgl. Urteil 2C_206/2012 vom 6. September 2012 E. 2.2) - nicht entsprechen. Auch die ESTV weist in ihrer Vernehmlassung darauf hin, dass weder die Tagesrapporte noch der vom Beschwerdeführer neu erwähnte Taxameter eine Rückverfolgung der einzelnen Geschäftsvorfälle erlauben würden. Die Angaben auf den Tagesrapporten könnten auch nicht anhand der Aufzeichnungen auf den Fahrtenschreiberkarten nachgeprüft werden, weil letztere sich nur auf den Zeitraum vom 22. Januar 2008 bis 12. Januar 2009 und zudem auf zwei verschiedene Taxifahrzeuge beziehen würden.
6.3. Liegen keine oder nur unvollständige Aufzeichnungen vor, oder stimmen die ausgewiesenen Ergebnisse mit dem wirklichen Sachverhalt offensichtlich nicht überein, so nimmt die Eidgenössische Steuerverwaltung eine Schätzung nach pflichtgemässem Ermessen vor (Art. 60 aMWSTG). Nach dem in E. 6.2 Gesagten hat die Vorinstanz die Voraussetzungen der Ermessensveranlagung zu Recht bejaht. Die ESTV war nicht nur berechtigt, sondern auch verpflichtet, eine Schätzung der Umsätze vorzunehmen (Urteile 2C_569/2012 vom 6. Dezember 2012 E. 2.3; 2C_206/2012 vom 6. September 2012 E. 2.3).
6.4. Es bleibt zu prüfen, ob die Vorinstanz die Steuerpflicht gestützt auf die geschätzten Umsätze zu Recht bejaht hat. Das Bundesgericht ist an eine Ermessenseinschätzung gebunden, wenn sie auf einer richtigen und vollständigen Sachverhaltsermittlung und auf einer sachgemässen Abwägung der Gesamtheit der für die Veranlagung massgebenden Verhältnisse beruht. Es prüft derartige Schätzungen nur zurückhaltend und auf offensichtliche Fehler und Irrtümer hin, wobei es der steuerpflichtigen Person obliegt, die Unrichtigkeit der Schätzung zu beweisen. Ist sie es, die Beschwerde ans Bundesgericht führt, darf sie sich somit nicht darauf beschränken, die Kalkulationsgrundlagen der Ermessensveranlagung allgemein zu kritisieren; sie muss vielmehr nachweisen, dass die von der ESTV vorgenommene Schätzung offensichtlich unrichtig ist (Urteile 2C_970/2012 vom 1. April 2013 E. 4.3, in: StR 68/2013 S. 543; 2C_206/2012 vom 6. September 2012 E. 2.4; 2C_835/2011 vom 4. Juni 2012 E. 2.4, in: StR 67/2012 S. 709).
Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat diejenige Schätzungsmethode zu wählen, die den individuellen Verhältnissen im Betrieb der steuerpflichtigen Person soweit als möglich Rechnung trägt und auf plausiblen Annahmen beruht und deren Ergebnisse der wirklichen Situation möglichst nahe kommen (Urteil 2C_970/2012 vom 1. April 2013 E. 4.1, in: StR 68/2013 S. 543; vgl. auch Urteil 2C_835/2011 vom 4. Juni 2012 E. 2.5, in: StR 67/2012 S. 709). Die Vorinstanz hat einlässlich dargelegt, unter welchen Voraussetzungen die angewendete Schätzungsmethode, namentlich der Rückgriff auf Erfahrungszahlen und die Hochrechnung in zeitlicher Hinsicht (Umlageverfahren), zulässig ist. Im vorliegenden Fall stellte die ESTV auf die Kilometerstände gemäss den Servicerechnungen, die teilweise vorhandenen Fahrtenschreiberkarten und die Prüfberichte der Motorfahrzeugkontrolle ab und ermittelte gestützt auf diese Daten die pro Jahr gefahrenen Kilometer durch Hochrechnungen. Die geschäftlich zurückgelegten Kilometer berechnete die ESTV durch Pauschalabzüge für privat gefahrene Kilometer; ausnahmsweise und unpräjudiziell qualifizierte sie zudem auch den Arbeitsweg als Privatfahrt. Den Jahresumsatz errechnete die ESTV basierend auf einem Ansatz von Fr. 2.15 pro geschäftlich gefahrenen Kilometer.
Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern die Vorinstanz Bundesrecht verletzt haben soll, indem sie die Berechnungen der ESTV schützte. Er äussert sich nicht zu den Berechnungsgrundlagen, sondern wiederholt sein Vorbringen, wonach die Vorinstanz auf seine Aufzeichnungen hätte abstellen müssen. Dies aber betrifft die grundsätzliche Frage, ob die Ermessensveranlagung zulässig sei, und nicht die Höhe der Schätzung. Der Beschwerdeführer vermag nicht darzutun, dass die Vorinstanz die errechneten Umsätze (2008: Fr. 110'179.--, 2007: Fr. 70'608.--, 2006: 96'174.--, 2005: 87'866.--) in willkürlicher Weise bestätigt hätte. Die Vorinstanz hat die Steuerpflicht des Beschwerdeführers zu Recht bejaht und die Steuernachforderung der ESTV im Umfang von Fr. 21'040.-- zu Recht bestätigt. Das angefochtene Urteil erweist sich damit als korrekt.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
7.1. Der Beschwerdeführer hat um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Diese wird einer mittellosen Partei gewährt, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Angesichts des sorgfältig begründeten Urteils der Vorinstanz und der klaren bundesgerichtlichen Rechtsprechung in analogen Fällen waren der Beschwerde keine Erfolgsaussichten beschieden. Das Rechtsmittel muss als aussichtslos bezeichnet werden mit der Folge, dass das Gesuch abzuweisen und dem Beschwerdeführer die (umständehalber reduzierten) Gerichtskosten aufzuerlegen sind (<ref-law>).
7.2. Ausgangsgemäss ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Februar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner