Faits:
Faits:
A. Par décisions des 30 octobre 1991 et 17 juin 1992, le Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) a respectivement suspendu, puis révoqué A._ de sa fonction de contrôleur permanent de la Banque cantonale du Valais (ci-après: la Banque), la révocation intervenant sans indemnité et avec effet au 30 juin 1992. A la suite de l'annulation de la décision de révocation par le Tribunal fédéral pour des motifs d'ordre formel (arrêt du 13 décembre 1993 dans les causes jointes 2P.147/1992, 2P.210/1992, 2P.226/1992 et 2P.255/ 1992), le Conseil d'Etat a mis en oeuvre un certain nombre de mesures d'instruction qui l'ont finalement conduit, après différentes péripéties de procédure, à confirmer la révocation litigieuse de l'intéressé dans une nouvelle décision du 28 mai 1997. Le Tribunal fédéral a ensuite rejeté, par arrêt du 2 septembre 1998, le recours de droit public formé par A._ contre cette dernière décision, au motif, notamment, que nonobstant le changement de statut de la Banque intervenu le 1er janvier 1993, le Conseil d'Etat était demeuré l'autorité compétente pour prendre la mesure litigieuse qui apparaissait justifiée au regard des circonstances, en particulier de la gravité des fautes commises par l'intéressé dans le cadre de l'exercice de sa fonction.
A. Par décisions des 30 octobre 1991 et 17 juin 1992, le Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) a respectivement suspendu, puis révoqué A._ de sa fonction de contrôleur permanent de la Banque cantonale du Valais (ci-après: la Banque), la révocation intervenant sans indemnité et avec effet au 30 juin 1992. A la suite de l'annulation de la décision de révocation par le Tribunal fédéral pour des motifs d'ordre formel (arrêt du 13 décembre 1993 dans les causes jointes 2P.147/1992, 2P.210/1992, 2P.226/1992 et 2P.255/ 1992), le Conseil d'Etat a mis en oeuvre un certain nombre de mesures d'instruction qui l'ont finalement conduit, après différentes péripéties de procédure, à confirmer la révocation litigieuse de l'intéressé dans une nouvelle décision du 28 mai 1997. Le Tribunal fédéral a ensuite rejeté, par arrêt du 2 septembre 1998, le recours de droit public formé par A._ contre cette dernière décision, au motif, notamment, que nonobstant le changement de statut de la Banque intervenu le 1er janvier 1993, le Conseil d'Etat était demeuré l'autorité compétente pour prendre la mesure litigieuse qui apparaissait justifiée au regard des circonstances, en particulier de la gravité des fautes commises par l'intéressé dans le cadre de l'exercice de sa fonction.
B. Parallèlement aux démarches judiciaires entreprises pour contester sa révocation, A._ a ouvert une action civile contre la Banque, le 2 juillet 1992, en concluant au versement d'une somme de 177'523 fr. 50 à titre de salaire dû jusqu'au terme prévu de son engagement (soit la période allant du 1er juillet 1992 au 31 mai 1993). Il soutenait que sa mise à pied équivalait à une résiliation injustifiée d'un contrat de travail de droit privé. Par jugement du 10 mai 1994, la IIe Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Valais a déclaré cette action irrecevable, au motif que les rapports de travail en cause ne relevaient pas du droit privé, mais du droit public, et qu'il appartenait à la Cour de droit public du Tribunal cantonal d'examiner sa compétence, le cas échéant de reprendre la procédure sous son autorité. Le 18 novembre 1994, la Ie Cour civile du Tribunal fédéral a rejeté le recours de droit public formé par A._ contre ce jugement (arrêt 4P.213/1994).
Après que le dossier lui eut été transmis le 18 janvier 1995, la Cour de droit public du Tribunal cantonal (ci-après: la Cour de droit public ou le Tribunal cantonal) a suspendu l'instruction de la cause par arrêt du 17 février 1995, en considérant que les prétentions de l'intéressé se fondaient, en définitive, sur l'illicéité de son licenciement, de sorte qu'il y avait lieu d'attendre l'issue de la procédure de révocation (relatée supra sous lettre A). La suspension a ensuite été prolongée, à la demande de A._, jusqu'à droit connu sur une autre procédure que ce dernier avait entamée, dans le cadre de cette affaire, devant la Cour européenne des droits de l'homme. A._ n'a pas donné d'information sur l'issue de cette procédure; en revanche, il a requis le maintien de la suspension de la procédure pendante devant le Tribunal cantonal, par écritures des 28 novembre 2003 et 25 mars 2004, en vue de trouver une solution négociée avec la Banque.
L'instruction de la cause a finalement été reprise à la requête de A._ qui, dans une lettre du 21 septembre 2004, constatait et déplorait l'échec des pourparlers engagés avec la Banque et annonçait qu'il déposerait une écriture complémentaire "fondée notamment sur (une) convention-transaction acceptée (par lui-même), en son nom personnel, et par Monsieur B._ et Monsieur C._, en leur qualité de représentants du Conseil d'administration de la Banque Cantonale du Valais". Le 27 septembre 2004, la Cour de droit public du Tribunal cantonal a fixé aux parties un délai au 15 octobre 2004 pour se déterminer sur la question de sa compétence à se saisir du litige. Par écriture du 6 octobre 2004, A._ a relevé que cette question avait déjà été tranchée de manière définitive par la Cour de droit civil du Tribunal cantonal. Après que la Banque eut fait savoir, le 11 octobre 2004, qu'elle admettait la compétence de la Cour de droit public, A._ a été invité, le 13 octobre 2004, à répliquer jusqu'au 25 octobre suivant. Dans ce délai, il a simplement pris acte de la position de la Banque.
Par arrêt du 18 mars 2005, la Cour de droit public s'est déclarée incompétente pour se saisir du litige, au motif que la loi valaisanne sur la procédure et la juridiction administratives du 6 octobre 1976 (LPJA) ne prévoyait plus, depuis une novelle du 16 mai 1991 entrée en vigueur le 1er janvier 1993, la voie de l'action devant le Tribunal administratif - qui a entre-temps été intégré au Tribunal cantonal comme Cour de droit public - pour les contestations de nature patrimoniale découlant des rapports de service et que, par ailleurs, la question du droit à une indemnité pour licenciement injustifié avait été définitivement tranchée par la négative dans l'arrêt précité de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral du 2 septembre 1998.
Par arrêt du 18 mars 2005, la Cour de droit public s'est déclarée incompétente pour se saisir du litige, au motif que la loi valaisanne sur la procédure et la juridiction administratives du 6 octobre 1976 (LPJA) ne prévoyait plus, depuis une novelle du 16 mai 1991 entrée en vigueur le 1er janvier 1993, la voie de l'action devant le Tribunal administratif - qui a entre-temps été intégré au Tribunal cantonal comme Cour de droit public - pour les contestations de nature patrimoniale découlant des rapports de service et que, par ailleurs, la question du droit à une indemnité pour licenciement injustifié avait été définitivement tranchée par la négative dans l'arrêt précité de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral du 2 septembre 1998.
C. A._ forme un recours de droit public contre l'arrêt cantonal précité du 18 mars 2005, dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à ce que "ordre (soit) immédiatement donné à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de suivre les règles procédurales en la cause (l'opposant) à la Banque cantonale du Valais introduite le 2 juillet 1992 devant les autorités civiles qui ont rejeté leur compétence dans ce litige". Pour l'essentiel, il se plaint de déni de justice et de violation des principes de la protection contre l'arbitraire et de la protection de la bonne foi. Sur le fond, il invoque une "convention-transaction" des 26/27 novembre 1991 que la Banque n'aurait pas respectée, ce qui justifierait ses prétentions pécuniaires à l'encontre de celle-ci. Il produit avec son recours le document invoqué.
La Cour de droit public a renoncé à se déterminer sur le recours, tandis que la Banque conclut à son rejet, sous suite de frais et dépens, en relevant que A._ met en avant des faits nouveaux irrecevables qui, au surplus, ne correspondent pas à la réalité; en particulier elle soutient qu'elle n'a pas donné son accord à la convention dont le prénommé se prévaut.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Déposé en temps utile contre une décision finale prise en dernière instance cantonale, qui ne peut être attaquée que par la voie du recours de droit public et qui touche le recourant dans ses intérêts juridiquement protégés, le présent recours est recevable, sur le principe, au regard des art. 84 ss OJ.
Cependant, sous réserve d'exceptions non réalisées en l'espèce, le recours de droit public est de nature purement cassatoire. Dans la mesure où le recourant demande autre chose que l'annulation de l'arrêt attaqué, ses conclusions sont dès lors irrecevables (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 131, 173 consid. 1.5 p. 176; <ref-ruling> consid. 1b p. 53 et la jurisprudence citée).
Cependant, sous réserve d'exceptions non réalisées en l'espèce, le recours de droit public est de nature purement cassatoire. Dans la mesure où le recourant demande autre chose que l'annulation de l'arrêt attaqué, ses conclusions sont dès lors irrecevables (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 131, 173 consid. 1.5 p. 176; <ref-ruling> consid. 1b p. 53 et la jurisprudence citée).
2. L'incompétence des tribunaux civils, l'application du droit public aux rapports noués entre le recourant et la Banque, ainsi que le fait que la révocation de A._ de sa fonction de contrôleur permanent ne lui donne pas droit à une indemnité, sont des questions définitivement jugées sur lesquelles il n'y a pas lieu de revenir. Que, postérieurement à la révocation litigieuse, le statut de la Banque ait été modifié, passant de celui d'établissement autonome de droit public à celui de société anonyme de droit public, n'y change rien, dans la mesure où l'actuel établissement continue de toute façon à répondre des créances de l'ancienne Banque, ayant repris les actifs et passifs de cette dernière.
Par ailleurs, du moment que la Cour de droit public du Tribunal cantonal s'est déclarée "incompétente à se saisir du litige", l'objet de la contestation se limite, en procédure fédérale, à cette question.
Par ailleurs, du moment que la Cour de droit public du Tribunal cantonal s'est déclarée "incompétente à se saisir du litige", l'objet de la contestation se limite, en procédure fédérale, à cette question.
3. 3.1 La Cour de droit public du Tribunal cantonal a décliné sa compétence en faisant valoir que la modification de la loi sur la procédure et la juridiction administratives, entrée en vigueur le 1er janvier 2003 (novelle du 16 mai 1991), avait supprimé la voie de l'action pour les prétentions de nature patrimoniale découlant des rapports de service (art. 83 LPJA a contrario). Lorsque le dossier lui a été transmis le 18 janvier 1995, elle considère ainsi qu'elle n'était pas compétente pour s'en saisir, seule la voie du recours étant de nature à fonder sa compétence pour de telles prétentions (cf. art. 72 ss LPJA).
Selon le recourant, le raisonnement de la Cour de droit public du Tribunal cantonal est arbitraire, en ce sens que, sauf à violer le principe de la non-rétroactivité des lois, cette autorité ne pouvait pas exciper son incompétence d'une modification légale entrée en vigueur après le dépôt de sa demande devant la juridiction civile incompétente. De plus, le recourant juge le procédé contraire au principe de la protection de la bonne foi, vu le temps que la juridiction saisie a laissé - inutilement - s'écouler avant de décliner sa compétence.
3.2 La Cour de droit public paraît admettre que, lors de l'ouverture de l'action devant le juge civil, le 2 juillet 1992, elle aurait été compétente pour en connaître si l'affaire lui avait alors été adressée, compte tenu de l'ancienne teneur de la loi sur la procédure et la juridiction administratives (cf. art. 83 aLPJA). Cette façon de voir n'apparaît pas critiquable (cf. art. 171 al. 1 OJ; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 230). Le raisonnement des premiers juges ne revient en effet pas, comme le soutient le recourant, à appliquer de manière rétroactive l'art. 83 LPJA dans sa nouvelle teneur; il consiste bien plutôt, en réalité, à considérer que c'est seulement lorsque le dossier leur a été transmis que la litispendance a été créée à leur égard, mais non lorsque le recourant a ouvert action devant la juridiction civile incompétente. On peut certes se demander si cette conception de la litispendance est admissible. Dans les circonstances de la présente affaire, un tel examen est cependant superflu.
Avec le recourant, il faut en effet convenir que la Cour de droit public du Tribunal cantonal ne pouvait pas, onze ans après que la cause lui avait été transmise, se déclarer subitement incompétente. Certes, on peut admettre que la juridiction mise en cause avait des motifs suffisants pour suspendre l'instruction du dossier sur le fond. Toutefois, conformément au principe de la bonne foi, elle devait statuer plus tôt sur sa compétence, surtout si elle avait des doutes à ce sujet.
Le grief tiré de la violation du principe de la bonne foi est dès lors bien fondé.
3.3 L'arrêt attaqué retient également, comme motif d'irrecevabilité, le fait que les prétentions au fond ont déjà fait l'objet d'un jugement définitif. L'admission du recours suppose donc que cette motivation se révèle elle aussi contraire aux droits constitutionnels du recourant (cas de la double motivation).
Le recourant remet en question la licéité de sa mise à pied par le Conseil d'Etat, qu'il qualifie de "prétendue et d'ailleurs fausse résiliation des rapports de service pour justes motifs, invoquée de toute manière tardivement". Par ailleurs, il relève que sa prétention repose également sur un autre fondement juridique, à savoir la "convention-transaction" qu'il aurait passée avec la Banque en novembre 1991. Enfin, il se plaint d'arbitraire "par confusion des parties", en faisant valoir qu'il est insoutenable de lui opposer les décisions de justice rendues dans le cadre de la procédure de révocation, car celle-ci l'opposait au Conseil d'Etat, mais non à la Banque.
3.4 Il est exact que, bien qu'elle fût son employeur, la Banque n'a pas participé formellement à la procédure administrative ayant abouti à la révocation du recourant. Le Tribunal fédéral a toutefois déjà jugé qu'il n'était pas possible, à l'époque, que l'intéressé fût révoqué de sa fonction par le Conseil d'administration de la Banque, vu la nécessité qu'il y avait alors d'agir rapidement pour régler la situation de la Banque, qui faisait l'objet d'une réorganisation complète. Il avait dès lors été admis que le Conseil d'Etat avait valablement agi en remplacement de l'ancien Conseil d'administration de la Banque (cf. arrêt précité du Tribunal fédéral du 2 septembre 1998, consid. 1a/aa-bb). Les premiers juges pouvaient donc considérer sans arbitraire que les questions juridiques tranchées à l'occasion de la procédure de révocation sont également opposables au recourant dans le cadre de la présente procédure.
Par conséquent, le recourant ne saurait revenir, comme il tente de le faire, sur le fait que sa révocation ne lui ouvre le droit à aucune indemnisation. Certes, il invoque également un nouveau fondement à sa réclamation, en se référant à une "convention-transaction" des 26/27 novembre 1991. Il s'agit toutefois là d'un nouveau moyen qui ne peut pas être soulevé dans le cadre d'un recours de droit public fondé sur l'arbitraire, vu le principe de l'épuisement des instances cantonales (art. 86 al. 1 OJ; cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 57; <ref-ruling> consid. 6c p. 357 et les arrêts cités). En effet, en procédure cantonale, le recourant ne s'est pas prévalu de ce grief pour fonder ses prétentions et établir la compétence de la juridiction cantonale à se saisir du dossier, alors même que l'occasion lui en avait pourtant été donnée à deux reprises (cf. lettres du Tribunal cantonal des 27 septembre et 13 octobre 2004). Il s'est borné à évoquer la précitée "convention-transaction" dans une lettre du 21 septembre 2004, sans produire cette pièce ni même apporter le moindre détail sur son contenu, réservant de telles indications pour une écriture complémentaire qu'il n'a pas déposée.
Au demeurant, il n'est pas interdit de constater que la nouvelle base de l'action apparaît plus que ténue. En effet, les pièces produites devant le Tribunal fédéral par le recourant à l'appui de ses prétentions se résument à une lettre que son conseil avait adressée, le 24 novembre 1991, à l'avocat de la Banque, à laquelle était jointe le projet de "convention-transaction" litigieux qui devait être passé entre lui-même, le Conseil d'Etat et la Banque. Mais on peine à voir que ce projet ait abouti. Il n'est en tout cas pas allégué que les parties l'auraient signé. Bien plus, il ressort d'une pièce produite par l'intimée que le Conseil d'administration de la Banque aurait expressément opposé son refus au projet en question (cf. lettre de M. B._ à Me Riand du 27 novembre 1991).
Au demeurant, il n'est pas interdit de constater que la nouvelle base de l'action apparaît plus que ténue. En effet, les pièces produites devant le Tribunal fédéral par le recourant à l'appui de ses prétentions se résument à une lettre que son conseil avait adressée, le 24 novembre 1991, à l'avocat de la Banque, à laquelle était jointe le projet de "convention-transaction" litigieux qui devait être passé entre lui-même, le Conseil d'Etat et la Banque. Mais on peine à voir que ce projet ait abouti. Il n'est en tout cas pas allégué que les parties l'auraient signé. Bien plus, il ressort d'une pièce produite par l'intimée que le Conseil d'administration de la Banque aurait expressément opposé son refus au projet en question (cf. lettre de M. B._ à Me Riand du 27 novembre 1991).
4. Il suit de ce qui précède que, dans la mesure où il est recevable, le recours est mal fondé.
Succombant, le recourant supportera les frais judiciaires et versera une indemnité de dépens à la Banque (cf. art. 156 al. 7 et 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge de A._.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge de A._.
3. A._ versera à la Banque cantonale du Valais un montant de 1'500 fr. à titre de dépens.
3. A._ versera à la Banque cantonale du Valais un montant de 1'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 12 août 2005
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: