Sachverhalt:
A. Am 4. Mai 2012 erstattete X._ Strafanzeige und stellte Strafantrag gegen Rechtsanwalt A._ wegen Verletzung des Berufsgeheimnisses. Gemäss Anzeige soll A._ das Berufsgeheimnis als Rechtsanwalt verletzt haben, indem er als Rechtsvertreter von B._ eine Eingabe von X._ vom 14. September 2009 in einem bei der Staatsanwaltschaft March hängigen Strafverfahren am 28. September 2009 in Kopie den Kinder- und Jugendpsychiatrischen Diensten St. Gallen (KJPD/SG) hat zukommen lassen. Gegenstand des damaligen Strafverfahrens war der von B._ als Strafantragssteller gegenüber X._ erhobene Vorwurf der üblen Nachrede. Hintergrund bildet eine gerichtliche Auseinandersetzung um die elterliche Sorge über den gemeinsamen Sohn zwischen dem Kindsvater B._ und der mit X._ liierten Kindsmutter.
Am 11. Juni 2012 verfügte die Staatsanwaltschaft March die Nichtanhandnahme der Strafuntersuchung gegen Rechtsanwalt A._ wegen Verletzung des Berufsgeheimnisses. Zur Begründung führte sie aus, X._ fehle es an der Strafantragsberechtigung.
Die von X._ gegen diese Nichtanhandnahmeverfügung erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Schwyz mit Beschluss vom 4. September 2012 ab.
B. Mit Eingabe vom 10. Oktober 2012 führt X._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht mit den Anträgen, der Beschluss des Kantonsgerichts sei aufzuheben, und die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, die Strafuntersuchung gegen Rechtsanwalt A._ wegen Verletzung des Berufsgeheimnisses an die Hand zu nehmen.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Kantonsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdegegner stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung. Der Beschwerdeführer hält in seiner Replik vom 18. Januar 2013 an seinem Standpunkt und seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid bestätigt, dass das vom Beschwerdeführer angestrebte Strafverfahren gegen den Beschwerdegegner wegen Verletzung des Berufsgeheimnisses im Sinne von Art. 321 StGB gestützt auf Art. 310 Abs. 1 lit. a StPO (SR 312.0) nicht an die Hand genommen wird. Es handelt sich um einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Strafsache, gegen den die Beschwerde in Strafsachen zulässig ist (Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1, Art. 90 BGG).
Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Strafantragssteller gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 6 BGG zur Beschwerde legitimiert. Vorliegend geht es um das Strafantragsrecht als solches, da die Staatsanwaltschaft das Strafverfahren mit der Begründung nicht an die Hand nahm, der Beschwerdeführer sei nicht strafantragsberechtigt.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe in einem gegen ihn geführten Strafverfahren wegen übler Nachrede (Art. 173 StGB) zum Nachteil von B._ am 14. September 2009 eine Eingabe an die Staatsanwaltschaft geschickt. Der Beschwerdegegner habe als Rechtsvertreter des Strafantragsstellers B._ in Ausübung seines Berufs von dieser Eingabe Kenntnis erhalten, und er habe dieses Schreiben, welches Geheimnisse im Sinne von Art. 321 StGB enthalte, am 28. September 2009 den KJPD/SG weitergeleitet. Durch Art. 321 StGB würden nicht nur die Auftraggeber von Rechtsanwälten, sondern auch Dritte geschützt, deren Geheimnisse durch eine Berufsperson verraten würden. Als Geheimnisherr bzw. verletzter Dritter sei er entgegen der Auffassung der Staatsanwaltschaft und der Vorinstanz strafantragsberechtigt.
2.2 Die Vorinstanz hat erwogen, der Straftatbestand von Art. 321 StGB verfolge in erster Linie den Schutz der Geheimnissphäre desjenigen, der die Dienstleistungen des Geheimnisträgers in Anspruch nehme. Dies schliesse den Schutz der Geheimnisse Dritter, die dem Geheimnisträger durch diese oder auf andere Weise zur Kenntnis gelangt seien, zwar nicht aus. Antragsberechtigt sei aber einzig der Geheimnisherr, d.h. in der Regel der Auftraggeber. Nur in Ausnahmefällen würden auch Drittpersonen als antragsberechtigt angesehen. Ein solcher Ausnahmefall liege indes konkret nicht vor. Nicht zu prüfen seien standesrechtliche oder andere Konsequenzen einer allfälligen unbefugten Weitergabe von Untersuchungsakten.
2.3 Gemäss Art. 310 Abs. 1 lit. a StPO verfügt die Staatsanwaltschaft die Nichtanhandnahme, sobald aufgrund der Strafanzeige oder des Polizeirapports feststeht, dass die fraglichen Straftatbestände oder die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt sind. Ein gültig gestellter Strafantrag bildet Prozessvoraussetzung.
Rechtsanwälte, die ein Geheimnis offenbaren, das ihnen infolge ihres Berufs anvertraut worden ist, oder das sie in dessen Ausübung wahrgenommen haben, werden gemäss Art. 321 Ziff. 1 Abs. 1 StGB, auf Antrag, mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft. Art. 30 Abs. 1 StGB bestimmt, dass bei Antragsdelikten jede Person, die durch die Tat verletzt worden ist, die Bestrafung des Täters beantragen kann.
Zu klären ist, ob die Vorinstanz zu Recht geschlossen hat, der Beschwerdeführer sei nicht strafantragsberechtigt.
2.4 Zum Berufsgeheimnis im Sinne von Art. 321 StGB wird eine Angelegenheit dadurch, dass sie einem Rechtsanwalt infolge seines Berufs anvertraut oder bei dessen Ausübung von ihm wahrgenommen worden ist. Von der ersten Variante werden alle Informationen mit Geheimnischarakter erfasst, welche der Rechtsanwalt bei seiner Beratungstätigkeit über seinen Klienten erfahren hat, sei es von diesem selber oder durch einen Dritten. Die zweite Variante dehnt die Anwendung der Bestimmung auf die Kenntnis von Tatsachen mit Geheimnischarakter aus, die anderen Quellen entstammen. Zu denken ist etwa an Umstände, die der Anwalt den ihm zugänglichen Akten entnimmt (Andreas Donatsch / Wolfgang Wohlers, Strafrecht IV, Delikte gegen die Allgemeinheit, 4. Aufl. 2011, S. 566). Grundsätzlich keinen Geheimnischarakter haben Tatsachen, von denen der Mandant will, dass sie weiterverbreitet werden (Stefan Trechsel / Hans Vest, in: Stefan Trechsel / Mark Pieth [Hrsg.], StGB Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, Art. 321 N. 20).
Zweck des Berufsgeheimnisses nach Art. 321 StGB ist primär der Schutz des Vertrauensverhältnisses zwischen Anwalt und Klient. Das Verhältnis zur Gegenpartei wird demgegenüber nicht vom Schutzbereich der Bestimmung erfasst, denn die Gegenpartei kann nicht auf die Verschwiegenheit des gegnerischen Anwalts zählen. Immerhin gebietet unter Umständen der Persönlichkeitsschutz nach Art. 28 Abs. 1 ZGB dem Anwalt, Informationen aus der Privatsphäre oder der Geheim- und Intimsphäre eines Dritten nicht weiterzuverbreiten (Walter Fellmann, Anwaltsrecht, 2010, S. 208). Diese zivilrechtliche Frage bildet vorliegend aber ebenso wenig Verfahrensgegenstand wie der Aspekt des Datenschutzes.
2.5 Im zu beurteilenden Fall erhielt B._, der Mandant des Beschwerdegegners, durch die Ausübung seines Akteneinsichtsrechts als Strafantragssteller im Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer wegen übler Nachrede (Art. 173 StGB) Kenntnis von dessen Eingabe vom 14. September 2009. B._ beauftragte in der Folge seinen Rechtsvertreter, d.h. den Beschwerdegegner, mit der Weitergabe dieses Schreibens an die KJPD/SG. Indem der Beschwerdegegner diesen Auftrag am 28. September 2009 ausführte, handelte er mithin im Interessen seines Mandanten, und der Beschwerdeführer konnte als Gegenpartei nicht auf die Verschwiegenheit des Beschwerdegegners zählen. Als Gegenpartei, welche dem Beschwerdegegner kein Geheimnis anvertraut hat, ist der Beschwerdeführer nicht betroffener Geheimnisherr. Die Staatsanwaltschaft und die Vorinstanz haben ihm deshalb die Strafantragsberechtigung zu Recht abgesprochen.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem als Anwalt in eigener Sache prozessierenden Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da ihm kein besonderer Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 304).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf diese einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft March, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Februar 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner