Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Streitig und zu prüfen ist, ob die SUVA mit ihrer Verfügung vom 14. Januar 1997 zutreffend festgestellt hat, der Beschwerdeführer habe keinen Anspruch auf Versicherungsleistungen, weil ein natürlicher Kausalzusammenhang der von ihm geklagten Beschwerden mit dem Unfallereignis nicht mit der erforderlichen Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sei.
2.- Das kantonale Gericht hat die in Anwendung von Art. 118 Abs. 1 und 2 lit. c UVG massgeblichen Bestimmungen über die Gewährung von Versicherungsleistungen bei Unfällen sowie die vom Eidgenössischen Versicherungsgericht entwickelten Grundsätze zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang (<ref-ruling> Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, je mit Hinweisen) zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden zutreffend dargelegt. Gleiches gilt in Bezug auf den Beweiswert medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> Erw. 1c mit Hinweisen) sowie hinsichtlich des im Sozialversicherungsrecht im Allgemeinen erforderlichen Beweisgrades der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> Erw. 2 mit Hinweisen). Darauf kann verwiesen werden.
3.- a) Die SUVA ging in ihrem Einspracheentscheid vom 14. Mai 1997 davon aus, dass die geklagte Arthrodese und die vollständige ossäre Ankylosierung des rechten Ellbogengelenkes nicht auf den Unfall vom Mai 1980 zurückzuführen waren. Demgegenüber macht der Beschwerdeführer geltend, obwohl sich der Kreisarzt der SUVA bei seinen Befunden nicht auf zuverlässige Abklärungen gestützt hätte, habe auch er den Kausalzusammenhang zwischen den geklagten Beschwerden und dem Unfallereignis für möglich gehalten. Zudem enthalte der vorinstanzliche Entscheid insofern einen Widerspruch, als das kantonale Gericht die Beschwerde ungeachtet davon abgewiesen habe, dass es für die Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs genügt, wenn das schädigende Ereignis zusammen mit anderen Bedingungen die körperliche Integrität der versicherten Person beeinträchtigt hat. Im vorliegenden Fall habe der 1980 erlittene Unfall eine entscheidende Rolle gespielt. Somit seien die gesetzlichen Voraussetzungen sowohl nach altem als auch nach neuem Recht als erfüllt zu betrachten.
b) Die Vorinstanz hat in einlässlicher Würdigung der eingeholten und bezogenen ärztlichen Unterlagen mit überzeugender Begründung erkannt, dass keine nachweisbaren Beschwerden als Folgen des Unfalls vom Mai 1980 vorhanden sind. Auch was in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde diesbezüglich vorgebracht wird, vermag die dargelegte Sachverhaltsfeststellung und das davon abgeleitete Ergebnis nicht in Zweifel zu ziehen oder zu entkräften. Insbesondere ist das Argument unbehelflich, alle sich zur vorliegenden Angelegenheit geäusserten Ärzte hätten einen natürlichen Kausalzusammenhang nicht ausgeschlossen, bzw. hätten ihn für möglich gehalten. Nachdem nach ständiger Rechtsprechung die blosse Möglichkeit eines Zusammenhangs für die Begründung eines Leistungsanspruchs nicht genügt (<ref-ruling> Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, je mit Hinweisen), ist die Frage, ob zwischen dem erlittenen Unfall und den organischen Gesundheitsstörungen ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht, mangels überwiegender Wahrscheinlichkeit zutreffend verneint worden.
c) Aus dem vorgehend Gesagten folgt, dass das kantonale Gericht den Einspracheentscheid vom 14. Mai 1997 zu Recht bestätigt hat. Dabei drängten sich ergänzende Abklärungen auch bezüglich weiterer Leistungsansprüche nicht auf, da diese das Erfordernis eines natürlichen Kausalzusammenhangs ebenfalls voraussetzen.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
II. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht
des Kantons Zürich, der UNIVERSA Krankenkasse
und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 31. Juli 2001
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: