Faits:
A. X._ (ci-après: l'assurée), physiothérapeute indépendante, a conclu avec Y._ SA (ci-après: l'assureur) un contrat d'assurance complémentaire à l'assurance-maladie sociale lui assurant le paiement d'indemnités journalières en cas d'incapacité de travail due à la maladie ou à un accident. Une nouvelle police d'assurance, remplaçant une police antérieure, valable du 1er janvier 2010 au 31 décembre 2014, prévoit une indemnité journalière de 80% du gain assuré, fixé à 100'000 fr., durant 750 jours, après un délai d'attente de 30 jours.
Une radiographie effectuée le 2 mars 2010 a révélé que l'assurée présentait diverses atteintes de la colonne vertébrale, soit plus précisément une discopathie avec cervicarthrose en C5-C6 et C6-C7, une spondylarthrose dorsale moyenne, assez marquée, une discopathie sévère en L4-L5 et en L5-S1, avec des pincements intersomatiques importants et une importante sclérose des plateaux vertébraux.
Par un formulaire daté du 15 avril 2010, l'assurée a annoncé à l'assureur qu'elle était en incapacité de travail de 50% dès le 12 avril 2010 pour cause de maladie.
Différents médecins ont examiné l'assurée et ont confirmé l'existence des atteintes à la colonne vertébrale, les souffrances qui en résultent et qui empêchent l'assurée de rester assise et debout longtemps, ainsi qu'une incapacité de travail de 50% dans sa profession de physiothérapeute.
L'assureur a sollicité une expertise rhumatologique confiée à la clinique A._. L'assurée a été examinée, le 6 juin 2011, par le Dr V._, rhumatologue, lequel a établi son rapport en date du 18 juillet 2011. Selon les constatations de la cour cantonale, le rapport repose sur le dossier médical de l'assurée, sur une anamnèse comportant un volet familial, personnel, socioprofessionnel et médical, sur les plaintes de l'assurée et un examen rhumatologique. L'expert pose des diagnostics précis, ses constatations sont claires et ses conclusions suffisamment motivées. Elles ne sont pas en contradiction avec d'autres éléments du dossier, les autres médecins ne s'étant pas prononcés sur la capacité de travail dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles. L'expert est parvenu à la conclusion que la capacité de travail de l'assurée était de 50% de manière définitive dans son activité habituelle. En effet, d'une part, les efforts déployés avec les membres supérieurs étaient susceptibles de se répercuter sur la colonne cervicale et ceux de traction ou de pression prolongée avec les membres supérieurs étaient à éviter; d'autre part, le travail de physiothérapeute comportait pratiquement toujours des positions en porte-à-faux lombaire, lesquelles étaient associées à des efforts plus ou moins importants des membres supérieurs. En revanche, l'expert a conclu que la capacité de travail de l'assurée, dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles, était de 100% dès le 6 juin 2011, date de l'examen.
Par courrier du 21 juin 2011, l'assureur, rappelant à l'assurée son devoir de diminuer le dommage, l'a sommée de mettre en valeur sa capacité de travail en recherchant un emploi dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles. Il a précisé qu'il mettrait fin aux versements des indemnités journalières après le 30 septembre 2011.
B. Par acte du 24 octobre 2011, l'assurée a ouvert une action en paiement contre l'assureur, réclamant le versement des indemnités journalières jusqu'au mois d'avril 2012 et concluant à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui payer la somme de 23'331 fr. avec intérêts moratoires de 5% dès le 15 janvier 2012.
Faisant valoir que l'assurée aurait déjà eu des douleurs dorsales à l'époque du dernier questionnaire d'assurance, l'assureur a soutenu que l'assurée aurait donné des indications inexactes et qu'elle aurait fait preuve de réticence, ce qui lui permettait de résilier le contrat et de réclamer le remboursement des prestations déjà servies. A titre reconventionnel, l'assureur a conclu à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui payer la somme de 55'562 fr.10 avec intérêts à 5% dès le 7 décembre 2011.
Statuant en instance cantonale unique par arrêt du 17 avril 2012, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de Genève a rejeté la demande reconventionnelle. Comme l'assureur n'a pas recouru au Tribunal fédéral, cette question est définitivement liquidée et il n'y a pas lieu d'y revenir. Quant à la demande principale, la cour cantonale a admis, sur la base de l'art. 61 LCA, que l'on pouvait effectivement attendre de l'assurée qu'elle exerce une activité conforme à son état, l'expertise privée produite par l'assureur étant crédible et convaincante. Elle a considéré cependant, l'assurée ayant exercé pendant longtemps la profession de physiothérapeute, qu'il fallait lui accorder le délai maximum d'adaptation prévu par la jurisprudence, à savoir un délai de cinq mois. Elle a donc conclu que les indemnités journalières étaient dues jusqu'au 30 novembre 2011 et elle a condamné l'assureur à payer encore à la demanderesse la somme de 6'685 fr. avec intérêts à 5% dès le 28 octobre 2011.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 17 avril 2012. Invoquant une violation de l'art. 61 LCA, elle conclut, sous suite de frais et dépens, à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que la somme qui lui a été allouée doit être remplacée par une condamnation de sa partie adverse à lui payer la somme de 23'331 fr. avec intérêts moratoires à 5% l'an dès le 15 janvier 2012.
L'intimée a conclu, avec suite de dépens, à l'irrecevabilité et subsidiairement au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. 1.1 Selon l'art. 7 CPC, les cantons peuvent instituer un tribunal qui statue en tant qu'instance cantonale unique sur les litiges portant sur les assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale selon la loi fédérale du 8 mars 1994 sur l'assurance-maladie (LAMal; RS 832.10). Le canton de Genève a fait usage de cette faculté en prévoyant, à l'art. 134 al. 1 let. c de la loi genevoise sur l'organisation judiciaire du 26 septembre 2010 (LOJ; E 2 05), que la Chambre des assurances sociales connaît en instance cantonale unique des contestations relatives aux assurances complémentaires à l'assurance-maladie obligatoire.
Avec l'entrée en vigueur du CPC, l'art. 74 al. 2 let. b et l'art. 75 al. 2 let. a LTF ont été modifiés en ce sens que la formule "une loi fédérale prescrit une instance cantonale unique" a été remplacée par la phrase "une loi fédérale prévoit une instance cantonale unique". Il ressort clairement des travaux préparatoires que la volonté du législateur, en adoptant cette modification, était d'englober non seulement les cas où le droit fédéral impose une instance cantonale unique, mais aussi les cas où il permet au droit cantonal de prévoir une instance cantonale unique et que le droit cantonal a fait usage de cette faculté (Procès-verbal de la séance du 3 avril 2008 de la Commission des affaires juridiques du Conseil national, p. 9; cf. arrêts 4A_595/2011 du 17 février 2012 consid. 1.1; 4A_445/2010 du 1er décembre 2010 consid. 1.1; 4A_412/2010 du 27 septembre 2010 consid. 1.2.3).
Il résulte donc de l'art. 7 CPC que l'on se trouve en présence d'un cas où, selon la nouvelle formulation de la LTF, une loi fédérale prévoit une instance cantonale unique.
En conséquence, la cour cantonale a valablement statué en instance unique (art. 75 al. 2 let. a LTF) et le recours est recevable sans égard à la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. b LTF).
L'argumentation de l'intimée tendant à l'irrecevabilité du recours doit donc être rejetée.
1.2 Formé par la partie qui a succombé partiellement dans ses conclusions en paiement et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF; cf. infra consid. 2.1), le recours est recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 45 al. 1, 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.3 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut donc être formé pour violation d'une norme de droit fédéral comme l'art. 61 LCA (art. 95 let. a LTF).
Le Tribunal fédéral applique d'office le droit dont il peut contrôler le respect (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 4 p. 317 s.; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 584; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 389; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 187). La partie recourante qui se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit présenter une motivation répondant aux exigences strictes de l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, les deux parties adoptent expressément l'état de fait figurant dans la décision attaquée et, dès lors que l'on ne voit pas en quoi celui-ci aurait été établi arbitrairement, il n'y a pas lieu de s'en écarter.
1.5 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 1 LTF).
Si le Tribunal fédéral admet le recours, il statue lui-même sur le fond ou renvoie l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle prenne une nouvelle décision (art. 107 al. 2 LTF).
2. 2.1 Il ressort des constatations cantonales - qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - que la recourante est au bénéfice d'un contrat d'assurance conclu avec l'intimée, qui oblige cette dernière, à certaines conditions, à verser à la recourante des indemnités journalières en cas de perte de gain causée par la maladie.
Dans le domaine de l'assurance couvrant le risque de perte de gain en cas de maladie, les parties peuvent librement choisir soit de conclure une assurance sociale d'indemnités journalières régie par les art. 67 à 77 LAMal, soit de conclure une assurance d'indemnités journalières soumise à la loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1) (arrêt 4A_595/2011 du 17 février 2012 consid. 2.1; 4A_373/2010 du 10 novembre 2010 consid. 2.1). En l'occurrence, il ressort des constatations cantonales que le contrat conclu prévoit expressément qu'il est soumis à la LCA. Il s'agit donc d'une assurance complémentaire à l'assurance sociale relevant du droit privé (art. 12 al. 2 et 3 LAMal; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 441 s.).
2.2 L'art. 61 LCA dispose que lors du sinistre, l'ayant droit est obligé de faire tout ce qui est possible pour restreindre le dommage; s'il n'y a pas péril en la demeure, il doit requérir les instructions de l'assureur sur les mesures à prendre et s'y conformer (al. 1); si l'ayant droit contrevient à cette obligation d'une manière inexcusable, l'assureur peut réduire l'indemnité au montant auquel elle serait ramenée si l'obligation avait été remplie (al. 2).
Il a été jugé que l'art. 61 LCA, bien qu'il figure parmi les dispositions spéciales relatives à l'assurance contre les dommages, exprime un principe général du droit des assurances, qui s'applique également à l'assurance des personnes et aux assurances de sommes, notamment à l'assurance d'indemnités journalières (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 531; <ref-ruling> consid. 3b p. 36; arrêt 5C.18/2006 du 18 octobre 2006 consid. 7.1 publié in SJ 2007 I p. 238). Il n'y a pas lieu de s'écarter de cette jurisprudence constante.
Dès lors que l'assurance d'espèce est soumise à la LCA, il faut donc appliquer le principe contenu à l'art. 61 LCA et l'argumentation de la recourante, fondée sur le fait qu'il s'agit d'une assurance de sommes, doit être rejetée.
2.3 L'obligation de réduire le dommage découlant de l'art. 61 LCA peut impliquer, dans le domaine de l'assurance des indemnités journalières, l'obligation pour l'assuré de changer d'activité professionnelle, si cela peut raisonnablement être exigé de lui (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 531 et les arrêts cités).
L'assureur qui entend faire application de l'art. 61 al. 2 LCA doit inviter l'assuré à changer d'activité et lui impartir pour cela un délai d'adaptation approprié pour s'accommoder aux nouvelles conditions ainsi que pour trouver un emploi; en règle générale, un délai de trois à cinq mois doit être considéré comme adéquat (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 531 et les arrêts cités; cf. aussi: arrêt 5C.74/2002 du 7 mai 2002 consid. 3a et c).
Il incombe à l'assureur, qui n'entend pas indemniser la totalité du dommage subi par l'assuré, de prouver que celui-ci a violé son devoir de réduire le dommage (cf. art. 8 CC; PETER DIENER, Verminderung von Gefahr und Schaden im Versicherungsvertragsverhältnis, 1970, p. 106). A cet égard, il lui appartient de démontrer que les mesures tendant à diminuer le dommage qui n'ont pas été prises par l'assuré pouvaient raisonnablement être exigées de celui-ci (HÖNGER/SÜSSKIND, in Basler Kommentar, Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag, 2001, no 30 ad art. 61 LCA; DIENER, op. cit., p. 106).
2.4 En l'espèce, la cour cantonale a considéré que l'expertise privée produite par l'assureur était convaincante. Elle a retenu - conformément à l'opinion de l'expert - que la recourante pourrait recouvrer une capacité de travail de 100% si elle exerçait une activité adaptée à son état. Elle a alors estimé qu'on pouvait attendre de l'assurée qu'elle change d'activité professionnelle et lui a accordé pour cela un délai d'adaptation de cinq mois.
Force est de constater que l'expert, dans la limite du mandat qui lui a été confié, se borne à affirmer que, d'un point de vue médico-théorique, l'assurée pourrait retrouver une capacité de travail de 100% si elle exerçait une activité adaptée à son état. L'expertise ne donne par contre aucune indication sur les chances concrètes de l'assurée de pouvoir exercer une telle activité. Or, l'art. 61 al. 2 LCA ne permet pas à l'assureur de réduire ses prestations dans la perspective d'un changement d'activité purement théorique, qui n'est concrètement pas réalisable. Le juge doit procéder à une analyse concrète de la situation. Il doit se demander, en fonction de l'âge de l'assurée et de l'état du marché du travail, quels sont ses chances réelles de trouver un emploi qui tient compte de ses limitations fonctionnelles. Il doit également examiner en fonction de la formation, de l'expérience et de l'âge de l'assurée, si un tel changement d'activité peut réellement être exigé d'elle.
La réduction de l'indemnité est en outre exclue s'il n'est en réalité pas possible de réduire le dommage par un changement d'activité professionnelle, une personne raisonnable - non couverte par une assurance - placée dans la même situation n'envisageant à l'évidence pas de changer d'activité dans ces conditions (sur le critère cf. arrêt 5C.74/2002 déjà cité consid. 3c; HÖNGER/SÜSSKIND, op. cit., no 15 ad art. 61 LCA; ALFRED MAURER, Schweizerisches Privatversicherungsrecht, 3e éd. 1995, p. 344 et les références). Un tel changement ne peut dès lors être raisonnablement imposé à l'assurée qu'à la condition que celle-ci puisse réaliser, dans une activité à plein temps adaptée à sa situation, un revenu supérieur à celui acquis dans l'exercice de son activité actuelle à 50%.
En l'occurrence, ni le rapport d'expertise, ni l'arrêt cantonal ne disent mot de la profession qui, en fonction des critères évoqués ci-dessus, pourrait raisonnablement être exigée de l'assurée, de même que des possibilités de gain que cette nouvelle activité offrirait à celle-ci. A considérer qu'un changement professionnel puisse être exigé, aucune constatation ne permet en outre de déterminer le délai d'adaptation (qui permettrait de réaliser une formation complémentaire, voire une reconversion professionnelle) qui devrait être accordé à l'assurée.
Dans ces circonstances, il n'était pas admissible d'admettre la réduction plaidée par l'assureur en se fondant exclusivement sur l'analyse médico-théorique contenue dans le rapport d'expertise. La cour cantonale a ainsi transgressé l'art. 61 al. 2 LCA.
Les constatations de fait sont insuffisantes pour que la Cour de céans puisse se prononcer à la place de l'autorité précédente. Il y a donc lieu de lui renvoyer la cause pour qu'elle prenne une nouvelle décision (art. 107 al. 2 LTF).
3. En conclusion, il y a lieu d'admettre le recours, d'annuler l'arrêt attaqué et de renvoyer l'affaire à l'autorité cantonale qui devra compléter l'état de fait avant de déterminer, sur la base des critères mentionnés plus haut, si un changement d'activité pouvait raisonnablement être exigé de l'assurée.
Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de l'intimée qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera à la recourante une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales.
Lausanne, le 14 novembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Piaget