Sachverhalt:
A.
B._ und C._ (Vermieter, Beschwerdegegner) vermieteten A._ (Mieterin, Beschwerdeführerin) mit Vertrag vom 12. September 2005 eine 3-Zimmer-Wohnung in U._. Am 5. Juni 2012 stellte die Mieterin bei den Vermietern ein Begehren um Herabsetzung des Mietzinses. Mit formlosem Schreiben vom 25. Juni 2012 kündigten die Vermieter den Mietvertrag per 30. September 2012 wegen Eigenbedarfs ihrer Tochter. Die Mieterin focht daraufhin bei der Staatlichen Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten den Mietzins als rechtsmissbräuchlich an und verlangte die Behebung verschiedener Mängel sowie einen Entscheid über die von ihr hinterlegten Mietzinse. Sie begehrte sodann, es sei die Nichtigkeit der Kündigung vom 25. Juni 2012 festzustellen, und die Kündigung sei als rechtsmissbräuchlich aufzuheben. Eventualiter sei das Mietverhältnis zu erstrecken.
Am 9. August 2012 kündigten die Vermieter das Mietverhältnis mit Formular per 30. November 2012, wobei sie wiederum Eigenbedarf anmeldeten. Die Mieterin focht auch diese Kündigung bei der Schlichtungsstelle an und beantragte eventualiter die Erstreckung des Mietverhältnisses bis zum 30. November 2015.
B.
Nachdem an der Schlichtungsverhandlung hinsichtlich der beiden Kündigungen und der Erstreckung des Mietverhältnisses keine Einigung erzielt worden war, erhob die Mieterin am 10. Oktober 2012 beim Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt Klage gegen die Vermieter. Sie verlangte, es sei festzustellen, dass die Kündigung vom 25. Juni 2012 nichtig sei. Die Kündigung vom 9. August 2012 sei für rechtsmissbräuchlich und damit für unwirksam zu erklären. Eventualiter begehrte sie die Erstreckung des Mietverhältnisses "erstmalig" bis zum 30. November 2015. Mit Entscheid vom 25. März 2013 stellte die Zivilgerichtspräsidentin fest, dass die Kündigung vom 25. Juni 2012 nichtig sei (Dispositiv-Ziffer 1) und hob die Kündigung vom 9. August 2012 "zufolge Missbräuchlichkeit" auf (Dispositiv-Ziffer 2).
Dagegen gelangten die Vermieter mit Berufung an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, wobei sie die Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 2 des Entscheids und die Feststellung anbegehrten, dass die Kündigung vom 9. August 2012 rechtsgültig erfolgt sei. Die Mieterin beantragte Abweisung der Berufung, eventualiter Rückweisung an das Zivilgericht zur Beurteilung ihres Begehrens um Erstreckung des Mietverhältnisses. Mit Entscheid vom 8. November 2013 hob das Appellationsgericht in Gutheissung der Berufung Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids auf und erstreckte das Mietverhältnis "einmalig" bis zum 31. August 2014.
C.
Die Mieterin verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 8. November 2013 sei aufzuheben. Die Kündigung vom 9. August 2012 sei als rechtsmissbräuchlich aufzuheben. Eventualiter sei "die Angelegenheit betreffend die von der Beschwerdeführerin beantragte erstmalige Erstreckung des Mietverhältnisses bis zum 30. November 2015" an das Zivilgericht zurückzuweisen, subeventualiter sei das Mietverhältnis erstmalig bis zum 30. November 2015 zu erstrecken.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
D.
Mit Verfügung vom 25. Februar 2014 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abgewiesen. In der Folge überwies die Beschwerdeführerin den verlangten Kostenvorschuss fristgerecht.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Sodann übersteigt der Streitwert bei einem Monatsnettomietzins von Fr. 1'438.-- die Grenze nach <ref-law> in mietrechtlichen Fällen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinlänglichen Begründung (Erwägungen 2 und 3) - grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.8; <ref-ruling> E. 2.1).
3.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Entsprechende Rügen sind überdies bloss zulässig, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 3 und 7.1, 462 E. 2.4). Soweit sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3).
Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2, 467 E. 3.1). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Sachgericht erhebliche Beweismittel übersieht, augenscheinlich missversteht oder grundlos ausser Acht lässt, oder wenn es aus den vorliegenden Beweisen unhaltbare Schlüsse zieht (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.1). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.3). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2b).
Die Beschwerdeführerin kann im Folgenden nicht gehört werden, soweit sie ihre Argumentation auf einen Sachverhalt stützt, der von den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht, ohne im Einzelnen hinreichend begründete Sachverhaltsrügen gemäss den eben dargelegten Grundsätzen zu formulieren.
4.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts sei in formeller Hinsicht ungültig.
Sie beanstandet, er trage ausschliesslich die Unterschrift von Gerichtsschreiber Dr. Alexander Zürcher, was gegen <ref-law> sowie <ref-law> verstosse und Nichtigkeit zur Folge habe. Die Rüge verfängt nicht: Die Organisation der Gerichte und der Schlichtungsbehörden ist Sache der Kantone, soweit das Gesetz nichts anderes bestimmt (<ref-law>). Das kantonale Recht legt in diesem Sinne namentlich fest, wer einen Entscheid zu unterzeichnen hat (Urteil 5A_855/2012 vom 13. Februar 2013 E. 2.2 mit Hinweis). Vorliegend ist die Frage, wer den angefochtenen Entscheid des Appellationsgerichts zu unterzeichnen hatte, somit nach dem Recht des Kantons Basel-Stadt zu beantworten. Die Nichtbeachtung desselben oder von verfassungsmässigen Verfahrensgrundsätzen wird aber in diesem Punkt nicht geltend gemacht, womit sich die Argumentation der Beschwerdeführerin als unbehelflich erweist (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 6 mit weiteren Hinweisen).
Weiter kritisiert die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe den angefochtenen Entscheid ohne gesetzliche Grundlage im Zirkulationsverfahren gefällt. Damit habe sie gegen § 64 Abs. 3 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 27. Juni 1895 betreffend Wahl und Organisation der Gerichte sowie der Arbeitsverhältnisse des Gerichtspersonals und der Staatsanwaltschaft (GOG/BS; SG 154.100) verstossen, der die "persönliche Anwesenheit" der mitwirkenden Gerichtsmitglieder vorsehe, und das kantonale Recht willkürlich angewendet. Indem die Beschwerdeführerin die vorinstanzliche Vorgehensweise unter Hinweis auf den Text dieser kantonalen Gesetzesbestimmung als fehlerhaft bezeichnet, vermag sie indessen keine offensichtlich unhaltbare Anwendung derselben darzutun (vgl. Erwägung 2) : § 64 GOG/BS, der den Titel "Spruchzahl" trägt, regelt in den Absätzen 1-3 die Voraussetzungen für die Beschlussfähigkeit des Appellationsgerichts sowie seiner Kammern und Ausschüsse. Die zu diesem Zweck festgelegten Quoren zielen nach ihrer Formulierung ("Anwesenheit") auf den Fall ab, dass eine Sitzung stattfindet. Inwiefern die Bestimmung indessen - von Bundesverfassung wegen - die Beschlussfassung an einer Sitzung gebieten und diejenige auf dem Zirkularweg verbieten würde, ist nicht erkennbar.
5.
Im kantonalen Berufungsverfahren war nur noch die Kündigung vom 9. August 2012 zu beurteilen. Die Vorinstanz prüfte das diesbezügliche Begehren um Kündigungsschutz (bei der Miete von Wohn- und Geschäftsräumen) eingehend unter den von der Beschwerdeführerin vorgebrachten Gesichtspunkten und wies es mit ausführlicher Begründung ab. Dagegen wendet sich die Beschwerdeführerin, indem sie in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht im Wesentlichen ihre im kantonalen Verfahren nicht erfolgreiche Argumentation wiederholt, wobei sie teilweise den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt ergänzt. Soweit auf die entsprechenden Ausführungen angesichts ihrer appellatorischen Natur (vgl. Erwägungen 2 und 3) überhaupt eingetreten werden kann, ist dazu folgendes zu bemerken:
5.1. Die Beschwerdeführerin hatte vor dem Zivilgericht argumentiert, dass zwischen den Parteien bereits im März 2012 eine Verhandlung vor der Schlichtungsstelle stattgefunden habe. Dabei sei es um ein Beiblatt zum Mietvertrag gegangen, in dem vermieterseits neu vorgeschrieben worden sei, dass in den allgemein zugänglichen Räumen aufbewahrte persönliche Objekte "unter Beachtung der Sorgfaltspflichten von allen Mieter/innen benutzt werden" dürften. Die Beschwerdegegner hätten diese Passage im Nachgang zur Schlichtungsverhandlung wie verlangt gestrichen und damit eine Sperrfrist ausgelöst. Die Vorinstanz verneinte demgegenüber wie bereits die Erstinstanz die Anfechtbarkeit der Kündigung unter diesem Aspekt, zumal es sich beim Zusatz betreffend private Gegenstände um eine Bagatelle gehandelt habe, die keine Sperrfrist zur Folge haben könne.
Gemäss dem von der Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang als verletzt gerügten Art. 271a Abs. 1 lit. e Ziff. 4 OR ist die Kündigung durch den Vermieter insbesondere anfechtbar, wenn sie vor Ablauf von drei Jahren nach Abschluss eines mit dem Mietverhältnis zusammenhängenden Schlichtungs- oder Gerichtsverfahrens ausgesprochen wird, in dem der Vermieter mit dem Mieter einen Vergleich geschlossen hat oder sich sonstwie geeinigt hat. Nach der Praxis zu <ref-law> vermögen eigentliche Bagatellfälle jedoch keine Sperrfrist auszulösen (siehe Urteil 4A_38/2010 vom 1. April 2010 E. 6.2; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweis). Das Zivilgericht bejahte das Vorliegen eines Bagatellfalls, was die Beschwerdeführerin nach der verbindlichen Feststellung des Appellationsgerichts im Berufungsverfahren nicht beanstandete. Soweit die Beurteilung deshalb unter dem Gesichtspunkt der Letztinstanzlichkeit (<ref-law>) überhaupt noch der bundesgerichtlichen Überprüfung zugänglich ist, weist die Beschwerdeführerin sie jedenfalls nicht als bundesrechtswidrig aus: Die pauschale Behauptung, die Beschwerdegegner seien nicht legitimiert, über das Eigentum der Beschwerdeführerin zu verfügen, vermag die vorinstanzliche Würdigung als Bagatelle nicht umzustossen, zumal keine Anhaltspunkte dafür vorliegen, dass der fraglichen Bestimmung im Beiblatt aufgrund der konkreten Verhältnisse eine besondere Bedeutung zukam.
5.2. Ferner hatte die Beschwerdeführerin geltend gemacht, die Kündigung vom 9. August 2012 sei nach <ref-law> anfechtbar, da damals zwischen den Parteien zwei Verfahren betreffend Mängel und Herabsetzung des Nettomietzinses hängig gewesen seien. Vor Bundesgericht rügt sie, wenn die Vorinstanzen auf den Zeitpunkt der ersten, nichtigen Kündigung vom 25. Juni 2012 abgestellt und den Kündigungsschutz mangels Rechtshängigkeit eines Schlichtungs- oder Gerichtsverfahrens verneint hätten, verkannten sie, dass die Beschwerdegegner damals bereits im Besitz des am 5. Juni 2012 gestellten Begehren um Herabsetzung des Mietzinses gewesen seien. Der Sinn und Zweck von <ref-law> verlange, dass die Bestimmung bereits nach Einleitung des Vorverfahrens im Sinne von <ref-law> greife, welches Voraussetzung für eine Durchsetzung des Herabsetzungsanspruchs sei.
Gemäss <ref-law> ist eine Kündigung durch den Vermieter anfechtbar, wenn sie während eines mit dem Mietverhältnis zusammenhängenden Schlichtungs- oder Gerichtsverfahrens ausgesprochen wird, ausser wenn der Mieter das Verfahren missbräuchlich eingeleitet hat. Die Vorinstanz erkannte zutreffend und auch die Beschwerdeführerin stellt nicht mehr grundsätzlich in Abrede, dass es bei der Bestimmung des Zeitpunkts der Kündigung gegebenenfalls auf eine erste, formungültige Kündigung ankommt (vgl. Urteil 4A_432/2008 vom 17. Februar 2009 E. 2.2). Sodann kann der Beschwerdeführerin nicht gefolgt werden, wenn sie die Sperrfrist von <ref-law> hinsichtlich der Anfechtung des Mietzinses bereits ab Stellung des Herabsetzungsbegehrens beim Vermieter angewandt wissen möchte. Für eine entsprechend weite Anwendung bieten weder der Wortlaut der Bestimmung noch deren Regelungszweck eine Stütze. Letzterer liegt darin, zu verhindern, dass die Vermieterschaft ein ihr missliebiges Gerichtsverfahren durch Kündigung des Mietverhältnisses beendigen kann (<ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen). Der damit auf rechtshängige Schlichtungs- oder Gerichtsverfahren beschränkte Anwendungsbereich von <ref-law> (vgl. etwa auch Urteil 4A_78/2013 vom 16. Mai 2013 E. 3) ist namentlich vor dem Hintergrund zu sehen, dass eigentliche Rachekündigungen nach <ref-law> unabhängig von der Einleitung eines Schlichtungs- oder Gerichtsverfahrens anfechtbar sind (dazu sogleich Erwägung 5.3).
5.3. Die Beschwerdeführerin argumentiert sodann ausführlich, dass die Kündigung angesichts ihres Motivs als missbräuchlich im Sinne von <ref-law> und von <ref-law> hätte gewürdigt werden müssen.
5.3.1. Die Kündigung ist anfechtbar, wenn sie gegen den Grundsatz von Treu und Glauben verstösst (<ref-law>). Als treuwidrig gilt eine Kündigung im Allgemeinen, wenn sie ohne objektives, ernsthaftes und schützenswertes Interesse ausgesprochen wird. Gemäss <ref-law> muss die Kündigung auf Verlangen begründet werden. Sie verstösst namentlich dann gegen Treu und Glauben, wenn die angegebene Begründung offensichtlich bloss vorgeschoben ist (<ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen). Nach der ausdrücklichen Gesetzesvorschrift von <ref-law> ist eine Kündigung durch den Vermieter sodann insbesondere anfechtbar, wenn sie ausgesprochen wird, weil der Mieter nach Treu und Glauben Ansprüche aus dem Mietverhältnis geltend macht.
Die Feststellung des Kündigungsgrundes bzw. -motivs betrifft eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 4.3 S. 540; <ref-ruling> E. 4.1 S. 702; <ref-ruling> E. 2b S. 486). Ob die Vermieterschaft den angegebenen Kündigungsgrund nur vorgeschoben hat, entscheidet das kantonale Gericht demnach unter Vorbehalt von Art. 97 Abs. 1 sowie <ref-law> für das Bundesgericht verbindlich (Erwägung 3).
5.3.2. Die Vorinstanz verneinte die Anfechtbarkeit im Wesentlichen mit der Begründung, die Beschwerdegegner hätten die Wohnung ihrer Tochter zur Verfügung stellen wollen und die Kündigung somit wegen Eigenbedarfs ausgesprochen, wie sie im Kündigungsschreiben denn auch erwähnt hatten. Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen diese vorinstanzliche Beurteilung, indem sie dem Bundesgericht ihre eigene Sicht der Dinge unterbreitet und gestützt darauf postuliert, der Eigenbedarf sei entgegen der Vorinstanz nur vorgeschoben gewesen. Dass die Vorinstanz hinsichtlich des Eigenbedarfs als Kündigungsmotiv eine offensichtlich unrichtige Feststellung getroffen hätte, tut die Beschwerdeführerin indessen nicht hinreichend dar und ist auch nicht ersichtlich:
Die Vorinstanz setzte sich eingehend und nachvollziehbar mit den Umständen auseinander, die nach Auffassung der Erstinstanz und der Beschwerdeführerin ein missbräuchliches Kündigungsmotiv belegen sollen. So hielt sie es für unerheblich, dass die Beschwerdegegner im Gerichtsverfahren den Eigenbedarf damit begründet hatten, eine ihrer Töchter wolle mit einer Kollegin zusammenziehen, nachdem sie zunächst gegenüber der Liegenschaftsverwaltung als Kündigungsgrund angegeben hatten, ihre beiden Töchter studierten in Basel und wollten ihren Wohnsitz dorthin verlegen. Zu Recht sah die Vorinstanz dadurch den "Eigenbedarf überhaupt" nicht in Zweifel gezogen. Ebenso entkräftete die Vorinstanz nachvollziehbar das Argument der Beschwerdeführerin, wonach die Beschwerdegegner - nach Anfechtung der Kündigung durch die Beschwerdeführerin - auch einen Verkauf der Liegenschaft in Erwägung gezogen hätten. Sie erwog unter Bezugnahme auf die Erläuterungen der Beschwerdegegner, eine isoliert geäusserte Verkaufsabsicht im Nachgang zu einer Kündigung wegen Eigenbedarfs sei kein ausreichendes Indiz für die Treuwidrigkeit der Kündigung.
Schliesslich befasste sich die Vorinstanz ausführlich mit dem - von der Erstinstanz noch gebilligten - Einwand der Beschwerdeführerin, wonach auf Ende März 2012 im Haus der Beschwerdegegner eine vergleichbare Wohnung im 2. OG frei geworden sei, was den Eigenbedarf als Kündigungsgrund in Frage stelle. Sie führte aus, unter Berücksichtigung einer minimalen Kündigungsfrist von drei Monaten sei davon auszugehen, dass die Beschwerdegegner spätestens zu Beginn des Jahres 2012 über das weitere Schicksal der freigewordenen Wohnung hätten entscheiden müssen. Offenbar habe zu jenem Zeitpunkt noch keine ausreichende Klarheit bestanden, ob die Tochter der Beschwerdegegner tatsächlich in die elterliche Liegenschaft einzuziehen wünschte. Die Beschwerdegegner hätten in glaubhafter Weise darlegen können, dass sich dieser Wunsch erst im Verlaufe des Juni 2012 konkretisiert habe, nachdem ihre Tochter die ersten Jahresprüfungen ihres Studiums erfolgreich abgeschlossen habe und zugleich eine Kollegin auf dringender Wohnungssuche gewesen sei. In der Tat ist unter diesen Umständen nicht erkennbar, inwiefern das Freiwerden der Wohnung im 2. OG den Eigenbedarf der Beschwerdegegner als tatsächlichen Kündigungsgrund ausschliessen sollte, selbst dann nicht, wenn man mit der Beschwerdeführerin unterstellte, dass die Beschwerdegegner erst "später" im Frühjahr 2012 von der Verfügbarkeit der Wohnung im 2. OG erfahren haben könnte. Die entsprechende - theoretische - Möglichkeit macht die nachvollziehbare Beweiswürdigung ebenso wenig unhaltbar wie die unbelegte Behauptung der Beschwerdeführerin, der Entscheid einer Wohnsitzverlegung der Tochter nach Basel sei schon länger bekannt gewesen. Ferner ergibt sich aus dem von der Beschwerdeführerin angeführten Urteil 4A_241/2010 vom 10. August 2010 E. 2.2 nichts zu Gunsten ihres Standpunktes. In diesem beurteilte das Bundesgericht die vorinstanzliche Beweiswürdigung, wonach aufgrund der besonderen Sachlage des damaligen Falls (behauptete, aber nicht nachgewiesene persönliche Umstände auf Seiten des Vermieters, mehrere freigewordene Wohnungen) der Eigenbedarf als Kündigungsgrund vorgeschoben war, als nicht willkürlich. Dies steht einer abweichenden Beurteilung des vorliegenden Falls - ebenfalls unter Willkürgesichtspunkten - nicht entgegen.
5.3.3. Die Vorinstanz ging sodann auch ausdrücklich auf das Argument der Beschwerdeführerin ein, die Kündigung sei zwecks Vergeltung erfolgt. Sie erwog, nachdem der Eigenbedarf der Vermieter glaubhaft gemacht sei, könne selbst aus dem offenkundig vorbelasteten Mietverhältnis nicht auf eine Rachekündigung wegen des von der Beschwerdeführerin am 5. Juni 2012 gestellten Begehrens um Herabsetzung des Mietzinses geschlossen werden. Gegen eine solche spreche namentlich, dass die Beschwerdegegner noch am 12. Juni 2012 bei der Liegenschaftsverwaltung eine Überprüfung der Mietzinse sämtlicher Wohnungen, mithin auch jener der Beschwerdeführerin, in Auftrag gegeben hätten. Wäre die Beendigung des Mietverhältnisses zu diesem Zeitpunkt bereits beschlossene Sache gewesen - so die Vorinstanz -, hätten die Beschwerdegegner von dieser Überprüfung absehen können. Stattdessen sei die Kündigung erst am 25. Juni 2012 ausgesprochen worden, nachdem die Tochter der Beschwerdegegner und deren Kollegin sich aufgrund einer Besichtigung für den Einzug in die umstrittene Wohnung entschieden hätten. Mangels weiterer Indizien, die einen Zusammenhang zwischen dem Herabsetzungsbegehren der Beschwerdeführerin und der Kündigung belegten, verneinte sie eine Rachekündigung.
Wenn diese Beweiswürdigung auch nicht zwingend erscheint, so erweist sie sich immerhin nicht als geradezu unhaltbar. Die Beschwerdeführerin bringt jedenfalls keine Argumente vor, die unter dem Blickwinkel der Willkür das gegenteilige Beweisergebnis gebieten würden.
5.4. Die Vorinstanz hat nach dem Gesagten nicht gegen Bundesrecht verstossen, wenn sie die Anfechtbarkeit der Kündigung vom 9. August 2012 verneinte.
6.
Die Beschwerdeführerin wendet sich eventualiter gegen die vom Appellationsgericht einmalig bis zum 31. August 2014 gewährte Erstreckung des Mietverhältnisses.
6.1. Sie moniert in prozessualer Hinsicht, das Appellationsgericht hätte nicht selber über die Erstreckung entscheiden dürfen, sondern die Sache in diesem Punkt an das Zivilgericht zurückweisen müssen. Der Entscheid verletze <ref-law>. Die Rüge ist unbegründet: Die Rechtsmittelinstanz kann im Berufungsverfahren neu entscheiden (<ref-law>). Die Vorinstanz war unter den vorliegenden Umständen befugt, zugleich mit der Aufhebung des Entscheids betreffend Kündigungsanfechtung auch über die Erstreckung des Mietverhältnisses zu befinden. Sie war insofern weder an den (Eventual-) Rückweisungsantrag der im Berufungsverfahren betreffend Kündigungsanfechtung unterlegenen Beschwerdeführerin gebunden (vgl. auch <ref-law>), noch verletzte sie durch ihren Erstreckungsentscheid den Gehörsanspruch der Parteien, zumal die Beschwerdeführerin vor dem Zivilgericht selber (eventualiter) auf Mieterstreckung geklagt und zur Begründung die aus ihrer Sicht wesentlichen Umstände dargelegt hatte.
6.2. Die Beschwerdeführerin macht sodann in der Sache geltend, das Appellationsgericht habe bei seinem Erstreckungsentscheid in Verletzung von <ref-law> auf die Verhältnisse im Zeitpunkt der Verhandlung vor dem Zivilgericht am 1. November 2012 abgestellt. So habe sie nicht berücksichtigt, dass die Tochter der Beschwerdegegner in der Zwischenzeit eine passende Wohnung in Basel gefunden und einen bis ins Jahr 2015 befristeten Mietvertrag abgeschlossen habe. Zumindest bis dahin bestehe seitens der Beschwerdegegner kein schützenswertes Interesse an der Beendigung des Mietverhältnisses mehr. Die Beschwerdeführerin übersieht, dass die Vorinstanz den entsprechenden Mietvertrag vom 7. Januar 2013 durchaus berücksichtigte und erwog, der damit dokumentierte Umstand schliesse den Eigenbedarf nicht aus, sondern sei lediglich insofern zu berücksichtigen, als der Beschwerdeführerin eine etwas längere Mieterstreckung gewährt werden könne. Die Rüge ist unberechtigt.
6.3. Schliesslich behauptet die Beschwerdeführerin, die Interessenlage vermöge keine lediglich "einmalige" Erstreckung des Mietverhältnisses zu rechtfertigen. Der Ausschluss einer Zweiterstreckung trage ihren legitimen Interessen nicht Rechnung. Damit appelliert sie gegen die vorinstanzliche Interessenabwägung, vermag diese aber nicht als bundesrechtswidrig auszuweisen: Die Vorinstanz wog insofern das Interesse der Beschwerdeführerin an einem längeren Verbleib in der Wohnung gegen dasjenige der Beschwerdegegner ab, definitive Gewissheit zu erlangen, wann die Wohnung zuhanden ihrer Tochter frei werde. Sie befand, mit der gewährten Erstreckung werde der Tochter der Beschwerdegegner ermöglicht, vor Beginn des Wintersemesters 2014/15 im September 2014 noch umzuziehen. Es besteht kein Anlass, in diesem Punkt in die Ermessensausübung der Vorinstanz einzugreifen (vgl. Urteil 4A_105/2009 vom 5. Juni 2009 E. 3.2 mit Hinweisen).
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Da keine Beschwerdeantwort eingeholt wurde, ist keine Parteientschädigung zu sprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. April 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz