Sachverhalt:
A. A.a A.X._-Y._, geboren am xxxx 1959, ist die Tochter von B.R._ und C.R._, geborene W._. Im September 1964 wurde diese Ehe geschieden und die Mutter heiratete kurz darauf Y._. Auf Gesuch der Mutter hin bewilligte der Regierungsrat des Kantons Schaffhausen am 12. September 1967, dass ihre Kinder aus erster Ehe, A.R._ und ihre beiden Brüder, den Familiennamen "Y._" führen. A.Y._ erwarb durch die Heirat mit X._ am 3. Mai 1989 den Familiennamen "X._" und trug fortan den Allianznamen "X._-Y._".
A.b Mit Eingabe vom 5. August 2008 ersuchte A.X._-Y._ das Gemeindeamt des Kantons Zürich, Abteilung Zivilstandswesen, die Änderung des Namens von "X._-Y._" in "R._ X._" zu bewilligen.
B. Die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich wies das Gesuch um Namensänderung gemäss <ref-law> mit Verfügung vom 21. Oktober 2008/31. März 2009 ab. A.X._-Y._ gelangte an das Obergericht des Kantons Zürich (II. Zivilabteilung), welches den Rekurs mit Beschluss vom 5. August 2009 abwies und die angefochtene Verfügung bestätigte.
C. A.X._-Y._ führt mit Eingabe vom 4. September 2009 Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Änderung ihres Namens in "R._ X._" zu bewilligen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Entscheid über die (verweigerte) Bewilligung der Namensänderung, welcher der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 3 BGG). Die Beschwerdeführerin hat ein nach <ref-law> geschütztes Interesse und ist zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt (<ref-law>). Die Beschwerde gegen den letztinstanzlichen kantonalen und verfahrensabschliessenden Entscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG) in einer nicht vermögensrechtlichen Angelegenheit ist grundsätzlich zulässig.
1.2 In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Mit Beschwerde in Zivilsachen kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), was heisst, dass es unter Berücksichtigung der Begründungspflicht der Beschwerde die geltend gemachten Rechtsverletzungen mit freier Kognition prüft (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
1.3 Das Bundesgericht ist an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Zulässig ist einzig die Rüge, dass eine Tatsachenfeststellung auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhe oder eine Tatsache offensichtlich unrichtig festgestellt worden sei (<ref-law>), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
2. Das Obergericht hat die Namensänderung gestützt auf <ref-law> im Wesentlichen verweigert, weil nicht ersichtlich sei, weshalb die Beschwerdeführerin sich ohne Namensänderung nicht ebenso mit der Familie R._ verbunden fühlen und zu ihr bekennen könne. Ein Zusammenhang zwischen den psychischen Leiden der Beschwerdeführerin und dem Namen "Y._" sei nicht genügend dargetan und objektiv nicht nachvollziehbar. Zudem sei sie mit dem Namen "Y._" ebenfalls verbunden, zumal ihre Geschwister nach wie vor diesen Namen tragen würden. Das ärztliche Zeugnis von Dr. M._ vom 21. Juli 2008 (welcher mit der Beschwerdeführerin nicht verschwägert sei) stelle keinen nachvollziehbaren Zusammenhang zwischen dem Namen der Gesuchstellerin und ihren psychischen Problemen her; es werde nicht begründet, weshalb gerade die Namensänderung - bzw. die Voranstellung des Namens "R._" vor den eherechtlichen Familiennamen "X._" - die Linderung der seelischen Not und Steigerung des Identitäts- und Selbstwertgefühls bewirken solle. Wenn ihre psychischen Probleme bereits im Jahre 1983 begonnen hätten, sei nicht plausibel, weshalb sie erst so viele Jahre später einen Zusammenhang mit der Namensänderung im Jahre 1967 erkannt haben soll. Auch der Umstand, dass nach heutiger Auffassung grundsätzlich keine Namensänderung für Kinder, die nach der Scheidung ihrer Eltern in der Stieffamilie aufwachsen, bewilligt werde, stelle - wie auch die anderen Vorbringen - kein wichtiger Grund zur Namensänderung zum heutigen Zeitpunkt dar.
3. Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt das Gesuch der Beschwerdeführerin, welche dem mit der Heirat erworbenen Familiennamen "X._" den Namen "R._", den Namen ihres leiblichen Vaters bzw. ersten Ehemannes ihrer Mutter voranstellen will, nachdem sie aufgrund einer in der Kindheit vollzogenen Namensänderung den Namen ("Y._") des zweiten Ehemannes trug. Die Beschwerdeführerin beruft sich im Wesentlichen auf ihre seelischen Probleme und das von ihr eingereichte ärztliche Gutachten, wonach die Namensänderung mit grosser Wahrscheinlichkeit ihre seelische Not lindern und ihr Identitäts- und Selbstwertgefühl verbessern würde. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz vor, objektiv nachvollziehbare Gründe zur Namensänderung verkannt und damit <ref-law> verletzt zu haben.
3.1 Der bürgerliche Name einer Person ist grundsätzlich unveränderlich. Die Regierung des Wohnsitzkantons kann einer Person die Änderung des Namens bewilligen, wenn wichtige Gründe vorliegen (<ref-law>). Ob im einzelnen Fall ein Grund für eine Namensänderung vorliegt, ist eine Ermessensfrage, die von der zuständigen Behörde nach Recht und Billigkeit zu beantworten ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2a S. 402; <ref-ruling> E. 2 S. 2).
3.1.1 Ein wichtiger Grund im Sinne von <ref-law> ist gegeben, wenn das Interesse des Namensträgers an einem neuen Namen dasjenige der Allgemeinheit und der Verwaltung an der Unveränderlichkeit des einmal erworbenen und in die Register eingetragenen Namens sowie an der eindeutigen Kennzeichnung und Unterscheidung des Einzelnen überwiegt. Der Name soll dem Namensträger das Fortkommen ermöglichen und erleichtern; aus dem Namen sollen nicht wirkliche Nachteile oder erhebliche Unannehmlichkeiten erwachsen (<ref-ruling> E. 1 S. 277). Die Namensänderung hat den Zweck, ernstliche Nachteile, die mit dem bisherigen Namen verbunden sind, zu beseitigen, wobei vor allem moralische, geistige und seelische, aber auch wirtschaftliche oder administrative Interessen im Spiele stehen können (<ref-ruling> E. 5a S. 4; <ref-ruling> E. 2b S. 402, je mit Hinweis; GEISER, Die neuere Namensänderungspraxis des schweizerischen Bundesgerichts, ZZW 1993 S. 375 Ziff. 2.11). Diese Interessen sind jedoch nach objektiven Kriterien, mithin danach zu werten, wie der zu ändernde Name auf die Umwelt wirkt; subjektive Gründe des Namensträgers bleiben bei dieser Wertung grundsätzlich bedeutungslos (RIEMER, Personenrecht des ZGB, 2. Aufl. 2002, S. 114 Rz. 230; DESCHENAUX/STEINAUER, Personnes physiques et tutelle, 4. Aufl. 2001, S. 132 Rz. 427; BÜHLER, Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 3. Aufl. 2006, N. 5 zu <ref-law>).
3.1.2 Ehegatten darf eine Namensänderung aus wichtigen Gründen im Sinne von <ref-law> bewilligt werden, soweit der oder die neuen Namen Art. 160 oder Art. 30 Abs. 2 ZGB entsprechen; die "wichtigen Gründe" sollten sich jedoch in der Regel aus einem Sachverhalt ableiten, der erst nach der Heirat eingetreten ist (Urteil 5A_42/2008 vom 30. Juni 2008 E. 4.1.2, in: FamPra.ch 2009 S. 142; HEGNAUER/BREITSCHMID, Grundriss des Eherechts, 4. Aufl. 2000, Rz. 13.29; BRÄM, Zürcher Kommentar, N. 21, 24 zu <ref-law>). Einer Ehefrau, die den Namen des Mannes führt (<ref-law>), kann mit einer Namensänderung nach <ref-law> ein Doppelname (Voranstellung nach <ref-law>) bewilligt werden (HEGNAUER/BREITSCHMID, a.a.O., Rz. 13.35). Dabei muss der zweite Teil mit dem Mannesnamen übereinstimmen; der erste Teil des Namens braucht nicht notwendigerweise mit dem Namen übereinzustimmen, den die Frau vor der Ehe führte (GEISER, Die Namensänderung nach <ref-law> unter dem Einfluss des neuen Eherechts, ZZW 1989 S. 34).
3.1.3 Bereits unter dem Namensrecht von 1907 hat das Bundesgericht in <ref-ruling> ff. erkannt, dass die Änderung des Allianznamens zulässig ist. Im erwähnten Urteil ging es - wie im hier zu beurteilenden Fall - um die Bewilligung der Namensänderung einer verheirateten Frau, welche aufgrund einer in ihrer Jugend vollzogenen Namensänderung den Namen des zweiten Ehemannes ihrer Mutter trug. Das Bundesgericht entschied, dass es zur Änderung des Allianznamens eines schutzwürdiges Interesses im Sinne eines wichtigen Grundes gemäss <ref-law> bedarf (<ref-ruling> E. 3 a.A. S. 100). Die Überlegungen zu den wichtigen Gründen für die Änderung des Allianznamens lassen sich ohne weiteres auf ein - wie hier vorliegendes - Gesuch betreffend die Voranstellung des Namens eines Ehegatten übertragen (BRÄM, a.a.O., N. 25 zu <ref-law>).
3.2 Das Obergericht hat - entgegen seiner Erwägung - nicht "offen gelassen", ob die Beschwerdeführerin durch eine Voranstellung ihren Familiennamen "X._" verändern kann, sondern Gegenstand des angefochtenen Entscheides ist gerade die Prüfung von wichtigen Gründen für eine derartige Namensänderung nach <ref-law>. Die von der Beschwerdeführerin anbegehrte Voranstellung des Namens "R._", den Namen ihres leiblichen Vaters bzw. ersten Ehemannes ihrer Mutter, vor den mit der Heirat erworbenen Familiennamen "X._" steht mit dem ehelichen Namensrecht (<ref-law>) in Einklang und ist daher als Namensänderung nach <ref-law> grundsätzlich möglich (GEISER, a.a.O., ZZW 1989 S. 34). Weiter ist unbestritten, dass der Ehegatte zum Gesuch der Beschwerdeführerin angehört wurde (<ref-ruling> E. 3a S. 194). Umstritten ist hingegen, ob die Vorinstanz ihr Ermessen (<ref-law>) gesetzwidrig ausgeübt hat, wenn sie keine wichtigen Gründe erblickt hat, um der Beschwerdeführerin die Voranstellung des Namens ihres leiblichen Vaters bzw. ersten Ehemannes ihrer Mutter zu bewilligen.
3.3 Aus dem angefochtenen Urteil geht hervor, dass die Beschwerdeführerin vorgebracht hat, vor einigen Jahren wieder vermehrt Kontakt mit ihrem leiblichen Vater aufgebaut zu haben, er ihr eine grosse Stütze in ihrem Leben geworden und sein Tod im Jahre 2005 ein grosser, schmerzvoller Verlust gewesen sei. In der vorliegenden Konstellation (vgl. E. 3.1.3) ist nach <ref-ruling> (E. 3b S. 100 f.) das affektive Interesse am Namen des leiblichen Vaters durchaus verständlich und es könnte mit Zurückhaltung als wichtiger Grund zur Namensänderung betrachtet werden.
3.3.1 Das Obergericht hat zur Abweisung des Namensänderungsgesuches jedoch miterwogen, dass die Geschwister der Beschwerdeführerin ihren Namen "Y._" nie geändert hatten und sie selber erst nach vielen Jahren die Wiederannahme ihres Geburtsnamens verlangt. Die Beschwerdeführerin übergeht, dass beides - die Namen der Geschwister und die nach Erlangung der Mündigkeit verflossene Zeit - Kriterien sind, die in der vorliegenden Konstellation nach der Rechtsprechung mitzuberücksichtigen sind (<ref-ruling> E. 3b S. 100 f.).
3.3.2 Sodann macht die Beschwerdeführerin geltend, dass sie bereits im Alter von 24 Jahren (im Jahre 1983, also vor der Heirat) ihre erste psychische Krise mit Verlustängsten gehabt habe; eine weitere Krise mit Erschöpfungs- und Überforderungsgefühlen sei nach dem Suizid ihres Bruders im Jahre 1987 gekommen und nach der Heirat bzw. Geburt ihrer Tochter habe sie teils schwere ängstlich-depressive Krisen in den Jahren 1998 und 2002 mit Hospitalisationen durchlebt. Der Tod des Vaters habe die psychischen Probleme wegen der nicht verarbeiteten Vergangenheit vergrössert. Die Beschwerdeführerin betont, dass - was auch die Vorinstanz gewürdigt hat - die erste psychische Krise im Jahre 1983 mit der Namensänderung im Jahre 1967 in Zusammenhang stehe bzw. durch diese verursacht sei. Wenn die Beschwerdeführerin selber den Schwerpunkt ihres Interesses an der Änderung ihres ehelichen Namens auf die Behebung von psychischen Problemen legt, welche bereits im Jahre 1983 begonnen haben und während der Ehe erneut aufgetreten sind, kann der Vorinstanz keine Ermessensverletzung vorgeworfen werden, wenn sie in erster Linie geprüft hat, ob vorliegend die Behebung von psychischen Problemen als wichtiger Grund die Namensänderung rechtfertigt.
3.4 Die Beschwerdeführerin macht gestützt auf die Meinung von Dr. M._ geltend, dass die Namensänderung im Kindesalter für ihre seelische Gesundheit schwerwiegende Konsequenzen gehabt habe und nur die erneute Namensänderung mit grosser Wahrscheinlichkeit ihre seelische Not lindern und ihr Identitäts- und Selbstwertgefühl steigern könne.
3.4.1 Die Bewilligung der Namensänderung darf sich nur auf Tatsachen stützen, von deren Vorhandensein sich die Behörde überzeugt hat, wobei der Gesuchsteller die Beweislast für das Vorhandensein der Voraussetzungen trägt (vgl. GULDENER, Grundzüge der freiwilligen Gerichtsbarkeit, 1954, S. 57; HÄFLIGER, Die Namensänderung nach <ref-law>, 1996, S. 75). Das Bundesrecht schreibt der kantonalen Behörde nicht vor, mit welchen Mitteln der Sachverhalt abzuklären ist und wie das Ergebnis davon zu würdigen ist. Ob die Vorinstanz das entsprechende, im kantonalen Verfahren vorgelegte ärztliche Zeugnis vom 21. Juli 2008 als "nicht nachvollziehbar" erachtet und den darin aufgezeigten Zusammenhang zwischen psychischen Problemen und Namensänderung verneinen durfte, gehört zur Beweiswürdigung, welche nur wegen eines Verstosses gegen das Willkürverbot (<ref-law>) überprüft werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 291).
3.4.2 Vorliegend hat Dr. M._, Arzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, seinen Bericht vom 21. Juli 2008 - anders als die Beschwerdeführerin vorgibt - nicht als (Privat-)Gutachten, sondern als "Ärztliches Zeugnis" bezeichnet. Die Beschwerdeführerin übergeht, dass ein Arztzeugnis im Allgemeinen die einfachste Form einer medizinischen Erhebung darstellt. Für die Beurteilung eines Rechtsanspruchs ist entscheidend, inwieweit eine medizinische Erhebung - sei diese ein Gutachten oder ein ärztlicher Bericht - den Kriterien der Vollständigkeit, Nachvollziehbarkeit und Schlüssigkeit genügt (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 352; ferner GLANZMANN-TARNUTZER, Der Beweiswert medizinischer Erhebung im Zivil-, Straf- und Sozialversicherungsprozess, AJP 2005 S. 79 f.).
3.4.3 Die Beschwerdeführerin umschreibt ihr Leiden mit "ernsthaften psychischen Problemen". Das von ihr eingereichte Arztzeugnis enthält unter dem Titel "Vorgeschichte" im Wesentlichen die Informationen des Namensänderungsgesuchs vom 5. August 2008. Unter dem Titel "Ärztliche Stellungnahme" wird auf wenigen Zeilen im Wesentlichen bestätigt, die Namensänderung komme "sowohl im subjektiven Erleben als auch aus psychiatrischer Sicht einer Art Wiedergutmachung eines im Kindesalter erlittenen Unrechts gleich", lasse nach dem Tod des Vaters und dem "Wiederaufleben des Trennungstraumas" einen "heilsamen Effekt erwarten" und "im Sinne der Antragsstellerin die psychische Stabilität deutlich verbessern". Selbst in Gutachten, in denen - anders als hier - die Angabe von psychisch verursachten Beschwerden nach der internationalen Klassifikation psychischer Störungen (CIM-10/ICD-10) erfolgt, ist notwendig, dass eine präzise und nach den medizinischen Regeln formulierte Diagnose enthalten ist (MEINE, L'expert et l'expertise - critères de validité de l'expertise médicale, in: Rosatti [Hrsg.], L'expertise médicale, 2002, S. 21). Dass eine solche im erwähnten Arztzeugnis enthalten und von der Vorinstanz übergangen worden sei, bringt die Beschwerdeführerin nicht vor. Ebenso wenig legt sie dar, inwiefern das Obergericht ausser Acht gelassen habe, dass in der ärztlichen Beurteilung z.B. eine Diskussion der erstmals aufgetretenen und späteren Beschwerden und Befunde vorgenommen, Therapien und Therapievorschläge besprochen oder Prognosen beurteilt worden seien, welche den medizinischen Zusammenhang zwischen der Namensänderung und der Beseitigung ihrer psychischen Probleme nachvollziehbar machen. Dass sich entsprechende Schlussfolgerungen aus der IV-Viertelsrentenverfügung, welche die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren eingereicht hat, entnehmen lassen sollen, wird nicht behauptet, so dass das Argument, die Namensänderung würde den Gesundheitszustand verbessern und die Erwerbsfähigkeit erhöhen, unbehelflich ist. Die Beschwerdeführerin setzt insgesamt nicht auseinander (<ref-law>), inwiefern das Obergericht in Willkür verfallen sei (<ref-law>), wenn es gestützt auf das Arztzeugnis vom 21. Juli 2008 nicht zur Überzeugung gelangt ist, dass mit der Namensänderung seelische Nachteile beseitigt werden können. Inwiefern die Vorinstanz als Rekursinstanz schliesslich kantonales Verfahrensrecht bzw. <ref-law>/ZH, wonach (in sinngemässer Anwendung bei Namensänderungen; <ref-law>/ZH) eine mündliche Verhandlung angeordnet werden kann, in unhaltbarer Weise (<ref-law>) angewendet habe, wird in der Beschwerdeschrift nicht hinreichend begründet (<ref-law>).
3.4.4 Wenn die Vorinstanz vor diesem Hintergrund keine Umstände erblickt hat, welche die Namensänderung rechtfertigen, kann von einer Verletzung ihres Ermessens (<ref-law>) nicht gesprochen werden.
3.5 Nach dem Dargelegten besteht insgesamt kein Anlass, um in die Ermessensausübung der kantonalen Behörden einzugreifen, und es hält vor Bundesrecht stand, wenn das Obergericht die Namensänderung bzw. Voranstellung des Namens "R._" vor den eherechtlichen Familiennamen "X._" nicht bewilligt hat.
4. Aus diesen Gründen ist der Beschwerde in Zivilsachen kein Erfolg beschieden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante