Sachverhalt:
A.
An B. und A.C._ wurde erstmals am 27. September 1998 eine Aufenthaltsbewilligung B erteilt. Die aus der Türkei stammende B.C._ erhielt diese als erwerbslose Rentnerin; der deutsche Staatsangehörige A.C._ erhielt seine Aufenthaltsbewilligung im Familiennachzug. Die Aufenthaltsbewilligungen wurden laufend verlängert, im August 2003 erstmals als Aufenthaltsbewilligungen B EG/EFTA (Kraft der deutschen Staatsangehörigkeit von A.C._) für die ganze Schweiz mit dem Aufenthaltszweck Rentnerin bzw. Rentner, gültig bis zum 31. August 2008. Die Aufenthaltsbewilligungen B EG/EFTA wurden zweimal befristet verlängert, zuletzt bis am 31. Mai 2010.
Am 2. Juni 2010 gelangte D.C._, die Tochter von B. und A.C._, mehrmals schriftlich ans Amt für Arbeit, Abteilung Migration des Kantons Obwalden (Migrationsamt) und teilte mit, dass ihre Eltern die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht fristgerecht beantragen könnten. Diese würden aufgrund einer Erkrankung ihres Vaters nicht in die Schweiz zurückreisen können und erbäten um Fristverlängerung.
Mit Schreiben vom 7. Juli 2010 und 12. November 2010 teilte das Migrationsamt D.C._ mit, die Bewilligung ihrer Eltern sei am 31. Mai 2010 abgelaufen. Das Migrationsamt wies D.C._ darauf hin, dass Angehörige von EU- und EFTA-Staaten jederzeit ein Aufenthaltsrecht begründen könnten, und wies sie auf die Voraussetzungen hierfür hin.
Am 27. September 2011 ersuchte A.C._ das Migrationsamt persönlich, die Aufenthaltsbewilligung für sich und seine Gattin wieder zu erteilen.
B.
Mit Verfügung vom 12. Oktober 2011 lehnte das Migrationsamt das Gesuch um Wiedererteilung der Aufenthaltsbewilligung für B. und A.C._ ab. Es begründete dies mit einer fehlenden finanziellen Unabhängigkeit von B. und A.C._ in der Schweiz. Eine hiergegen an den Regierungsrat erhobene Eingabe wies dieser ab. Daraufhin erhoben B. und A.C._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht. Nach Bewilligung eines zweiten Schriftenwechsel beantragten sie am 15. November 2012 - nunmehr anwaltlich vertreten - ihre Aufenthaltsbewilligung zu verlängern, weil die Voraussetzungen hierzu offensichtlich erfüllt seien. Der Schriftenwechsel wurde mit einer Stellungnahme des Ehepaars am 16. Dezember 2012 vorläufig abgeschlossen. Mit Schreiben vom 18. Oktober 2013 stellte das Gericht den Parteien eine Aktennotiz betreffend eine ergänzende Abklärung bei der Ausgleichskasse des Kantons Obwalden zu und gab ihnen die Möglichkeit, hierzu Stellung zu nehmen. Das Ehepaar reichte daraufhin, am 18. und 24. November 2013, weitere Belege ein. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 27. November 2013 ab.
C.
Mit Eingabe vom 17. Januar 2014 beantragen B. und A.C._ dem Bundesgericht, das Urteil vom 27. November 2013 aufzuheben. Ihnen sei die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern, eventuell eine neue Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
Das Amt für Arbeit, Abteilung Migration, der Vorsteher des Volkswirtschaftsdepartements und das Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden sowie das Bundesamt für Migration beantragen, die Beschwerde abzuweisen.
Mit Verfügung vom 21. Januar 2014 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Nach <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts ausgeschlossen gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
Die Beschwerdeführer berufen sich in vertretbarer Weise auf einen Anspruch nach Massgabe von Art. 6 des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) und Art. 24 des Anhangs I zum Freizügigkeitsabkommen für Personen, die keine Erwerbstätigkeit ausüben. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig.
1.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG, insbesondere von Bundesrecht und Völkerrecht, erhoben werden. Die Anwendung des kantonalen Rechts als solches bildet nicht Beschwerdegrund; es kann nur überprüft werden, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung anderweitig gegen übergeordnetes Recht verstösst (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 227 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60 f.; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 116). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Im Fall einer unvollständigen Sachverhaltsfeststellung kann das Bundesgericht gemäss <ref-law> die Sache an die Vorinstanz oder eine untere Instanz zur ergänzenden Abklärung der Umstände zurückweisen (Urteile 2C_1102/2013 vom 8. Juli 2014 E. 2.2; 2C_273/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 1.3; 8C_119/2008 vom 22. September 2008 E. 3).
1.4. Neue tatsächliche Vorbringen und Beweismittel sind im bundesgerichtlichen Verfahren grundsätzlich unzulässig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 3.5 S. 397; <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.; je mit Hinweisen). Auf ein Schreiben vom 31. Dezember 2013, das eine Zahlungsverpflichtung eines Onkels der Beschwerdeführer zur regelmässigen Überweisung seiner Rente zum Inhalt hat, sowie auf Belege der Überweisung derselben im Zeitraum nach dem vorinstanzlichen Urteil, kann nicht weiter eingegangen werden. Es handelt sich um unzulässige Noven.
2.
Das Freizügigkeitsabkommen gewährt neben einem Recht auf Aufenthalt zu einer unselbstständigen Erwerbstätigkeit und einem Recht auf Niederlassung als Selbstständiger (Art. 1 lit. a FZA) auch ein Recht auf Aufenthalt für Personen, die im Aufenthaltsstaat keine Erwerbstätigkeit ausüben (Art. 1 lit. c FZA). Dieses Aufenthaltsrecht für Personen, die keine Erwerbstätigkeit ausüben, wird nach Art. 6 FZA gemäss den Bestimmungen des Anhangs I über Nichterwerbstätige gewährt. Art. 24 Abs. 1 und 2 Anhang I FZA bestimmen diesbezüglich:
(1) Eine Person, die die Staatsangehörigkeit einer Vertragspartei besitzt und keine Erwerbstätigkeit im Aufenthaltsstaat ausübt und dort kein Aufenthaltsrecht auf Grund anderer Bestimmungen dieses Abkommens hat, erhält eine Aufenthaltserlaubnis mit einer Gültigkeitsdauer von mindestens fünf Jahren, sofern sie den zuständigen nationalen Behörden den Nachweis dafür erbringt, dass sie für sich selbst und ihre Familienangehörigen über
a) ausreichende finanzielle Mittel verfügt, so dass sie während ihres Aufenthalts keine Sozialhilfe in Anspruch nehmen müssen;
b)einen Krankenversicherungsschutz verfügt, der sämtliche Risiken abdeckt.
Die Vertragsparteien können, wenn sie dies für erforderlich erachten, nach Ablauf der beiden ersten Jahre des Aufenthalts eine Erneuerung der Aufenthaltserlaubnis verlangen.
(2) Die finanziellen Mittel gelten als ausreichend, wenn sie den Betrag übersteigen, unterhalb dessen die eigenen Staatsangehörigen auf Grund ihrer persönlichen Situation und gegebenenfalls derjenigen ihrer Familienangehörigen Anspruch auf Fürsorgeleistungen haben. Ist diese Bedingung nicht anwendbar, so gelten die finanziellen Mittel des Antragstellers als ausreichend, wenn sie die von der Sozialversicherung des Aufnahmestaates gezahlte Mindestrente übersteigen.
Die vom Bundesrat erlassene Verordnung vom 22. Mai 2002 über die schrittweise Einführung des freien Personenverkehrs zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Union und deren Mitgliedstaaten sowie unter den Mitgliedstaaten der Europäischen Freihandelsassoziation (Verordnung über die Einführung des freien Personenverkehrs, VEP; SR 142.203) bestimmt in Art. 16 zu den bei Aufenthalt ohne Erwerbstätigkeit nach Art. 24 Anhang I FZA erforderlichen finanziellen Mitteln:
1 Die finanziellen Mittel von EU- und EFTA-Angehörigen sowie ihren Familienangehörigen sind ausreichend, wenn sie die Fürsorgeleistungen übersteigen, die einem schweizerischen Antragsteller oder einer schweizerischen Antragstellerin und allenfalls seinen oder ihren Familienangehörigen aufgrund der persönlichen Situation nach Massgabe der Richtlinien für die Ausgestaltung und Bemessung der Sozialhilfe (SKOS-Richtlinien) gewährt werden.
2 Die finanziellen Mittel sind für rentenberechtigte EU- und EFTA-Angehörige sowie ihre Familienangehörigen ausreichend, wenn sie den Betrag übersteigen, der einen schweizerischen Antragsteller oder eine schweizerische Antragstellerin und allenfalls seine oder ihre Familienangehörigen zum Bezug von Ergänzungsleistungen nach dem Bundesgesetz vom 19. März 1965 über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung berechtigt.
3.
3.1. Die Beschwerdeführer bringen vor, die Vorinstanz habe den Grundsatz von Treu und Glauben (<ref-law>), das Fairnessprinzip und ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt (<ref-law>), indem diese sie nicht auf ein mögliches Erlöschen ihrer Aufenthaltsbewilligung hingewiesen habe.
3.2. Der Widerruf bzw. das Erlöschen einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA ist im FZA nicht geregelt; die landesrechtlichen Voraussetzungen zum Erlöschen der Aufenthaltsbewilligung dürfen jedoch nicht so ausgestaltet sein, dass sie einen staatsvertraglich gewährleisteten Anspruch auf Aufenthalt vereiteln (vgl. Urteile 2C_471/2012 vom 18. Januar 2013 E. 4.1; 2C_831/2010 vom 27. Mai 2011 E. 2.2; 2C_408/2010 vom 15. Dezember 2010 E. 3). Gemäss <ref-law> erhalten EU- und EFTA-Angehörige eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA gestützt auf Art. 33 AuG und Art. 58 f. der Verordnung über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit vom 24. Oktober 2007 (VZAE; SR 142.201). Gemäss <ref-law> können Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA widerrufen werden, wenn die Voraussetzungen für ihre Erteilung nicht mehr erfüllt sind (<ref-ruling> E. 2.2 S. 332 f.; <ref-ruling> E. 4 S. 58 f.). Die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA erlischt gemäss der Bestimmung von Art. 61 Abs. 2 AuG, wenn eine ausländische Person die Schweiz sechs Monate verlässt, ohne sich abzumelden (vgl. auch Art. 6 Abs. 5, Art. 12 Abs. 5 und Art. 24 Abs. 6 Anhang I FZA), wobei das Gesetz für die Aufrechterhaltung der Niederlassungsbewilligung privilegierte Umstände vorsieht (Art. 61 Abs. 2 AuG; <ref-law>). Bei einem Wegfall des Aufenthaltsrechts kann die Bewilligung entsprechend angepasst bzw. entzogen werden (vgl. etwa Urteil 2C_900/2012 vom 25. Januar 2013 E. 3.1).
3.3. Der Beschwerdeführer kann sich als deutscher Staatsangehöriger auf das FZA berufen. Gemäss den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz, welche die Beschwerdeführer nicht substanziiert bestreiten, waren die Beschwerdeführer deutlich über sechs Monate landesabwesend. Das Migrationsamt informierte die von den Beschwerdeführern bevollmächtigte Tochter am 7. Juli 2010 und 12. November 2010, dass die Aufenthaltsbewilligung ihrer Eltern erloschen sei und diesen die Verfallsanzeige hierzu bereits zugestellt worden war. Indessen könnten Angehörige von EU- und EFTA-Staaten jederzeit ein neues Aufenthaltsrecht begründen; das Migrationsamt wies sie auf die Voraussetzungen hierfür hin und schrieb weiter, dass es bereit sei, die Aufenthaltsbewilligung ihrer Eltern neu zu erteilen, wenn die Voraussetzungen hierfür gegeben seien. Nach wie vor fehle hierfür der Beweis der finanziellen Unabhängigkeit. Inwiefern dieses Verhalten einen Verstoss gegen Treu und Glauben oder eine Verletzung des Anspruchs der Beschwerdeführer auf rechtliches Gehör darstellen könnte, ist nicht ersichtlich. Es gibt keine allgemeine Verpflichtung der Behörden, auf gesetzlich vorgesehene Fristen aktiv hinzuweisen.
Es ist demnach davon auszugehen, die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführer sei erloschen (Art. 61 Abs. 2 AuG; Art. 24 Abs. 6 Anh. I FZA e contrario).
4.
Zu prüfen bleibt indessen, ob die Vorinstanz (auch) das Gesuch um erneute Erteilung der Aufenthaltsbewilligung vom September 2011 ablehnen durfte.
4.1. Die Beschwerdeführer bringen vor, sie hätten im vorinstanzlichen Verfahren hinreichende Belege vorweisen können, dass sie über die erforderlichen finanziellen Mittel im Rahmen von Art. 24 Anh. I FZA verfügen würden. Entgegen den Ausführungen der Vorinstanz seien hierfür die Ansätze der Richtlinien für die Ausgestaltung und Bemessung der Sozialhilfe (SKOS-Richtlinien; oben E. 2), nicht die Berechnung der Ergänzungsleistungen massgeblich. Ohnehin sei die regelmässige Rentenüberweisung eines Onkels einzuberechnen, die in Missachtung kantonaler Verfahrensvorschriften und der Rechtsweggarantie (<ref-law>) keine Berücksichtigung gefunden habe. Unter Einbezug dieser Rente würde ohnehin die Einkommensgrenze überstiegen, welche einen Bezug von Ergänzungsleistungen ermöglichte.
4.2. Was die ökonomischen Aufenthaltsvoraussetzungen betrifft, genügt es nach dem Wortlaut von Art. 24 Abs. 1 und 2 Anhang I FZA, dass die Person, welche die Staatsangehörigkeit einer Vertragspartei besitzt, über ausreichende finanzielle Mittel verfügt und einen Krankenversicherungsschutz, der alle Risiken abdeckt. Nach der ständigen Rechtsprechung (vgl. zur Herleitung <ref-ruling> E. 3.4 ff. S.270 ff.) sind die erforderlichen Mittel nicht gegeben, wenn die betroffenen Personen auf Ergänzungsleistungen angewiesen sind und solche auch tatsächlich beziehen (<ref-ruling> E. 3.7 f. S. 272 ff.; Urteile 2C_495/2014 vom 26. September 2014 E. 4.4; 2C_737/2014 vom 6. September 2014 E. 1.2; 2C_7/2014 vom 20. Januar 2014 E. 3; 2C_989/2011 vom 2. April 2012 E. 3.3.4). <ref-law> sieht explizit vor, die finanziellen Mittel für rentenberechtigte EU- und EFTA-Angehörige sowie ihre Familienangehörigen seien dann ausreichend, wenn sie den Betrag übersteigen, der einen schweizerischen Antragsteller oder eine schweizerische Antragstellerin und allenfalls seine oder ihre Familienangehörigen zum Bezug von Ergänzungsleistungen nach dem Bundesgesetz vom 19. März 1965 über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung berechtigt (vgl. hiervor E.2). Die Vorinstanz durfte die erforderlichen Eigenmittel demnach - entgegen der Vorbringen der Beschwerdeführer - gestützt auf die Berechnungsgrundlage zur Ausrichtung von Ergänzungsleistungen kalkulieren.
4.3. Anforderungen in Bezug auf die Herkunft dieser Mittel enthalten die Anforderungen an die finanziellen Eigenmittel indessen nicht (<ref-ruling> E. 3.3 S. 269 f.). Diese können auch von Familienangehörigen oder sonstigen Dritten stammen (vgl. etwa Urteil des EuGH Kommission gegen Belgien, Slg. 2006 I-2647, Randnr. 42, 45 ff.). Wie das Bundesgericht bereits festgestellt hat, bezweckt die Regelung über die ökonomischen Aufenthaltsvoraussetzungen zu vermeiden, dass die öffentlichen Finanzen des Aufnahmestaates über Gebühr belastet werden. Bei eigenen Mitteln mag die Gefahr zwar geringer erscheinen, dass sie später wegfallen könnten, als dies der Fall ist, wenn die Mittel von einer zur Unterstützung nicht verpflichteten Drittperson stammen. Doch ist zu beachten, dass das Freizügigkeitsabkommen in Betracht zieht, dass stets ein latentes Risiko des Wegfalls ausreichender finanzieller Mittel besteht, weshalb das Aufenthaltsrecht ausdrücklich auch nur so lange besteht, als die Berechtigten die entsprechenden Bedingungen einhalten (Art. 24 Abs. 8 Anhang I FZA; vgl. für die frühere Rechtslage in der EU Art. 3 Richtlinie 90/364/EWG). Diese Regelung erlaubt dem Aufenthaltsstaat während des gesamten Aufenthalts nachzuprüfen, ob die Bedingungen (noch) eingehalten werden (<ref-ruling> E. 3.3 S. 270).
4.4. Vor diesem Hintergrund fällt die behauptete Rentenzuweisung eines Onkels als (zusätzliche) finanzielle Mittel grundsätzlich in Betracht, um einen Anspruch der Beschwerdeführer auf Aufenthalt ohne Erwerbstätigkeit im Sinne von Art. 24 Anh. I FZA zu begründen. Da die Beschwerdeführer die erforderlichen finanziellen Mittel gestützt auf die von der Vorinstanz korrekt durchgeführten Berechnung nur sehr knapp unterschreiten (Fehlbetrag von etwas mehr als Fr. 120.-- pro Monat), ist der Einbezug der am 18. und 24. November 2013 nachgereichten Belegen zur Rente des Onkels grundsätzlich entscheidwesentlich.
5.
5.1. Es stellt sich daher die prozessuale Frage, ob diese von den Beschwerdeführern in ihren am 18. und 24. November 2013 nachgereichten Belegen behauptete Rentenzahlung durch die Vorinstanz allenfalls noch hätte berücksichtigt werden müssen. Das Verwaltungsgericht verneint dies. Es stellt sich auf den Standpunkt, die fraglichen Belege bezögen sich alle "auf die Zeit ab September 2012", das heisst nach dem Urteil des Regierungsrats vom Juli 2012 als ihrer Vorinstanz. Sie seien deshalb unbeachtlich. Die Beschwerdeführer sehen darin eine Verletzung des kantonalen Verfahrensrechts, der Rechtsweggarantie, des Fairnessgrundsatzes und des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 1 und 2 BV; <ref-law>).
5.2. Es trifft zu, dass das Bundesgerichtsgesetzden Kantonen vorschreibt, dass die richterliche Vorinstanz des Bundesgerichts oder ein vorgängig zuständiges Gericht den Sachverhalt frei prüft und das Recht von Amtes wegen anwendet (<ref-law>; <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3 S. 374; Urteile 2C_81/2013 vom 30. Januar 2013 E. 2.2; 2C_690/2010 vom 25. Januar 2011 E. 2.1; 2C_651/2008 vom 20. April 2009 E. 4.2). In zeitlicher Hinsicht hängt die Pflicht zur Berücksichtigung der neuen tatsächlichen Vorbringen vom anwendbaren kantonalen Verfahrensrecht ab (<ref-ruling> E. 3.3 S. 374; Urteile 2C_961/2013 vom 29. April 2014 E. 3.4; 2C_354/2009 vom 30. Juni 2010 E. 3.1; zu den neuen Vorbringen im bundesrechtlichen Verwaltungsverfahren: <ref-ruling> E. 4.2 f. S. 173 f.). Nach der bundesgerichtlichen Praxis sind im kantonalen Verfahren indessen mindestens neue Sachverhaltsvorbringen zu berücksichtigen, die zusammen mit der fristgerecht eingereichten Rechtsmittelbegründung vorgebracht werden (Urteil 2C_961/2013 vom 29. April 2014 E. 3.4).
5.3. Gemäss dem von den Beschwerdeführern angeführten Art. 9 Abs. 3 der Obwaldner Verordnung über das Verwaltungs- und Verwaltungsbeschwerdeverfahren vom 29. Januar 1998 (Verwaltungsverfahrensverordnung/OW) kann die zuständige Behörde oder Amtsstelle "verspätete Parteivorbringen, die ausschlaggebend erscheinen, trotz der Verspätung berücksichtigen". Der Wortlaut dieser Bestimmung ist vergleichbar mit demjenigen von <ref-law>, der festlegt, dass verspätete Parteivorbringen, die ausschlaggebend erscheinen, trotz der Verspätung berücksichtigt werden können. Wenngleich es sich um eine "Kann"-Formulierung handelt, geht die Praxis und die herrschende Lehre bei der letztgenannten Norm von einer Verpflichtung zur Berücksichtigung verspäteter Parteivorbringen aus, sofern diese ausschlaggebend sind (vgl. hierzu <ref-ruling> E 4.2 S. 173). Hingegen wird es als zulässig erachtet, Vorbringen ausser Acht zu lassen, die auf nachlässiger Prozessführung beruhen oder der Verschleppung des Prozesses dienen (<ref-ruling> E. 4.3 S. 173 f.).
5.3.1. Vorliegend hatte es zweifellos an den Beschwerdeführern gelegen, die nach ihrer Behauptung bereits ab September 2012 geleistete Rentenzahlung den Behörden (so rasch als möglich) mitzuteilen. Entgegen ihren Behauptungen waren sie ab dem zweiten Schriftenwechsel im November 2012 anwaltlich vertreten, als die Zahlungen - gemäss ihren Vorbringen - bereits geleistet wurden. Für solche Tatsachen, von denen die untersuchende Behörde nicht wissen kann, trifft die Beschwerdeführer eine erhebliche Mitwirkungspflicht (vgl. hierzu <ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.; Urteile 2C_906/2012 vom 5. Juni 2013 E. 2.2; 2C_682/2012 vom 7. Februar 2013 E. 4.1; 2C_50/2010 vom 17. Juni 2010 E. 2.2).
5.3.2. Indessen hat die Vorinstanz die Beschwerdeführer zu den von ihr im Oktober 2013 zusätzlich eingeholten Informationen der Ausgleichskasse Obwalden betreffend ihre finanzielle Situation in Kenntnis gesetzt. Sie hat ihnen ausdrücklich die Gelegenheit geboten, zum Ergebnis des neuerlichen Instruktionsschritts Stellung zu nehmen. Daraufhin reichten die Beschwerdeführer die - wesentliche - Information betreffend Rentenzahlung innert erstreckter Frist am 18. und 24. November 2013 nach. Ob die Vorinstanz gehalten gewesen wäre, Art. 9 Abs. 3 Verwaltungsverfahrensverordnung/OW gleich wie die Bestimmung von <ref-law> im Sinne einer Berücksichtigungspflicht auszulegen (oben E. 5.3), sodass das kantonale Verfahrensrecht willkürlich angewandt worden wäre, kann offenbleiben. Denn im Zusammenhang mit der Aufforderung, zu den weiteren Instruktionsmassnahmen Stellung zu nehmen, erscheint die Vorgehensweise der Vorinstanz, diese Belege aus dem Recht zu weisen, überspitzt formalistisch (<ref-law>). Im Unterschied zum von der Vorinstanz angeführten <ref-ruling> ff. (E. 2.2) handelt es sich vorliegend ohnehin nicht um eine sozialversicherungsrechtliche Streitigkeit. Die Nichtberücksichtigung der Rentenzahlung lässt sich nicht mit dem Umstand begründen, dass die Überweisung erst ab September 2012 erfolgt sein soll, und sich diese Tatsache damit erst nach dem Entscheid des Regierungsrates zugetragen habe (<ref-law>; vorne E. 5.2).
5.3.3. In einer sehr kurz gehaltenen Eventualbegründung stellt sich das Verwaltungsgericht auf den Standpunkt, eine Verpflichtungserklärung des fraglichen Onkels habe ohnehin nicht vorgelegen. In Anbetracht der am 18. und 24. November 2013 vorgelegten Beweisanträge zur Ausrichtung der Rente reicht diese Begründung nicht aus, um einen Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung zu verneinen. Vielmehr wäre dieser auch anhand der neuen tatsächlichen Vorbringen zur Rente zu überprüfen. Das Bundesgericht kann diesen Sachverhalt selbst nicht erstellen. Die Streitsache ist in diesem Sinne an die Vorinstanz zu neuer Beurteilung und neuem Entscheid zurückzuweisen (<ref-law>; oben E. 1.3). Dabei ist darauf hinzuweisen, dass das Verwaltungsgericht ohne Weiteres berechtigt ist zu überprüfen, ob die Drittmittel auch tatsächlich zur Verfügung stehen und ob sie zusammen mit den eigenen ausreichend sind; es ist den Behörden während des gesamten Aufenthalts der Beschwerdeführer erlaubt nachzuprüfen, ob die Bedingungen (noch) eingehalten werden (<ref-ruling> E. 3.4 S. 270).
6.
Die Beschwerde ist gutzuheissen und zu neuer Beurteilung und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dabei sind die Vorbringen der Beschwerdeführer auch nach September 2012 zu berücksichtigen. Bei diesem Prozessausgang werden für das bundesgerichtliche Verfahren keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>). Rechtsanwalt Peter Wicki reicht für das bundesgerichtliche Verfahren eine Honorarnote von Fr. 3'888.-- ein. Zu berücksichtigen ist, dass nur die notwendigen Auslagen ersetzt werden können (<ref-law>) und den Ausführungen betreffend (Nicht-) Erlöschen der Aufenthaltsbewilligung klarerweisekein Erfolg beschieden sein konnte. Eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- erscheint angemessen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Obwalden vom 27. November 2013 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Obwalden hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Oktober 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni