Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1990 geborene Z._ war seit 4. August 2010 im Gasthof S._ als Serviceangestellte tätig und dadurch bei der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft AG (nachfolgend Mobiliar) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 9. September 2010 ging bei der Mobiliar eine Unfallmeldung des Arbeitgebers ein, in welcher ein "Unfall mit Pferd" vom 31. August 2010 erwähnt und für nähere Auskünfte an die sich im Spital X._ befindende Z._ verwiesen wurde. Mit Schreiben vom 14. September 2010 ersuchte die Mobiliar Z._ um Beantwortung eines Fragenkatalogs betreffend das Ereignis vom 31. August 2010. Am 15. September 2010 teilte die SWICA Krankenversicherung AG (nachfolgend SWICA) der Mobiliar mit, dass bei Z._ von einer Rückenprellung bei psychischer Überlagerung auszugehen sei und die SWICA die gesetzliche Vorleistungspflicht übernehme. Z._ reagierte auf das Schreiben vom 14. September 2010 trotz telefonischer Zusicherung nicht. Sie wurde am 26. Oktober 2010 erneut aufgefordert, den Fragenkatalog innert zehn Tagen zu beantworten. Nachdem trotz zweimaliger Aufforderung keine Antwort kam, leitete die Mobiliar mit Schreiben vom 17. November 2010 das Mahn- und Bedenkzeitverfahren gemäss <ref-law> ein und räumte Z._ eine Frist bis 28. November 2010 ein.
A.b. Mit Verfügung vom 3. Dezember 2010 lehnte die Mobiliar eine Leistungspflicht aus der obligatorischen Unfallversicherung für das Ereignis vom 31. August 2010 ab, da aus den ihr vorliegenden medizinischen Unterlagen weder ein Unfallereignis ersichtlich sei noch Verletzungsfolgen hätten genannt werden können, welche auf ein solches schliessen liessen. Diese Verfügung wurde sowohl Z._ wie auch der SWICA zugestellt.
A.c. Am 10. Oktober 2011 meldete die Amtsvormundschaft der SWICA einen Unfall von Z._ vom 31. August 2010, bei welchem sie hinter einem Pferd gestanden habe, welches sich erschreckt und mit den Hinterhufen ausgeschlagen und dabei die Versicherte getroffen habe. Die SWICA beantragte am 14. Oktober 2011 Akteneinsicht bei der Mobiliar, woraufhin ihr am 19. Oktober 2011 die Aktenkopien zugestellt wurden. Am 20. Dezember 2011 stellte die SWICA ein Revisions- und Wiedererwägungsgesuch betreffend die Verfügung der Mobiliar vom 3. Dezember 2010. Die Mobiliar trat mit Verfügung vom 9. Februar 2012 auf das Revisionsgesuch nicht ein und wies das Wiedererwägungsgesuch ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 3. April 2012 fest.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde, mit welcher die SWICA die Aufhebung des Einspracheentscheids vom 3. April 2012 und die Verpflichtung der Mobiliar zur Erbringung der Versicherungsleistungen für den Unfall vom 31. August 2010 beantragte, wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 30. April 2013 in Bezug auf die Möglichkeit einer prozessualen Revision ab. Hinsichtlich der Wiedererwägung hiess es die Beschwerde gut, hob den Einspracheentscheid vom 3. April 2012 auf und wies die Sache zu weiteren Abklärungen und anschliessender neuer Verfügung im Wiedererwägungsverfahren an die Mobiliar zurück.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die Mobiliar beantragen, der vorinstanzliche Entscheid vom 30. April 2013 sei in Bezug auf die Gutheissung der Beschwerde hinsichtlich der Wiedererwägung aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 3. April 2012 sei zu bestätigen.
Die SWICA, das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient, um einen selbstständig eröffneten Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>. Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
1.2.
1.2.1. Rechtsprechungsgemäss bewirkt ein Rückweisungsentscheid in der Regel keinen irreversiblen Nachteil im Sinne von <ref-law>, da der Rechtsuchende ihn später zusammen mit dem neu zu fällenden Endentscheid wird anfechten können (vgl. <ref-law>). Anders verhält es sich allerdings für die Verwaltung bzw. den Versicherungsträger, wenn diese durch den Rückweisungsentscheid gezwungen werden, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen. Diesfalls kann bereits dieser Entscheid angefochten und braucht nicht der Endentscheid abgewartet zu werden (<ref-ruling> E. 5.2, 5.2.1-5.2.4 S. 483 ff.; Urteile 8C_531/2008 vom 8. April 2009 E. 1.2.1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 40 S. 137, und 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008 E. 1.2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2008 UV Nr. 31 S. 115).
1.2.2. Das kantonale Gericht hat die Angelegenheit mit der Feststellung, das Ereignis vom 31. August 2010 erfülle die Voraussetzungen eines Unfalles und in Bezug auf die organischen Unfallfolgen gelte ein überwiegend wahrscheinlicher Sachverhalt als ausgewiesen, zur Durchführung weiterer medizinischer Abklärungen hinsichtlich allfälliger psychischer Unfallfolgen an den Unfallversicherer zurückgewiesen. Der angefochtene Entscheid enthält damit materiellrechtlich verbindliche Anordnungen, welche den Beurteilungsspielraum der Beschwerdeführerin wesentlich einschränken. Im Umstand, dass der darauf beruhende Endentscheid praktisch nicht angefochten und das Ergebnis nicht mehr korrigiert werden könnte, ist nach dem Gesagten ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne des <ref-law> zu erblicken. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2.
2.1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3.
Die Vorinstanz hat die Revisionsvoraussetzungen gemäss <ref-law> verneint. Dies ist nicht mehr streitig. Bejaht hat das kantonale Gericht hingegen die Voraussetzungen einer Wiedererwägung der Verfügung vom 3. Dezember 2010 gemäss <ref-law>, sowohl die zweifellose Unrichtigkeit wie auch die erhebliche Bedeutung der Berichtigung. Zur Begründung hat es im Wesentlichen ausgeführt, die Mobiliar habe gegen die Abklärungspflicht verstossen. Aufgrund der echtzeitlichen Dokumente hätte sich der Unfallversicherer - so die Vorinstanz - nicht damit begnügen dürfen, von der Versicherten zusätzliche Angaben zu verlangen und, nachdem diese keine weiteren Auskünfte mehr geliefert hatte und das Mahn- und Bedenkzeitverfahren durchgeführt worden war, das Verfahren mit leistungsablehnender Verfügung abzuschliessen. Vielmehr hätte die Mobiliar in Erfüllung ihrer von Amtes wegen geltenden Abklärungspflicht weitere Berichte einholen müssen.
4.
4.1. Unabhängig von einem materiellen Revisionsgrund kann der Versicherungsträger nach <ref-law> wiedererwägungsweise auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Für das Erfordernis der zweifellosen Unrichtigkeit vorausgesetzt ist, dass kein vernünftiger Zweifel an der Unrichtigkeit der Verfügung möglich, also nur dieser einzige Schluss denkbar ist. Erscheint indessen die Beurteilung einzelner ermessensgeprägter Schritte der Anspruchsprüfung vor dem Hintergrund der Sach- und Rechtslage sowie der Rechtspraxis (<ref-ruling> E. 3 S. 389) im Zeitpunkt der rechtskräftigen Verfügung als vertretbar, scheidet die Annahme zweifelloser Unrichtigkeit aus. Ansonsten würde die Wiedererwägung zum Instrument einer voraussetzungslosen Neuprüfung, was sich nicht mit dem Wesen der Rechtsbeständigkeit formell zugesprochener Dauerleistungen vertrüge (SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81, 9C_418/2010 E. 3.2, mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 8C_38/2013 vom 2. September 2013 E. 2.5 mit Hinweisen).
4.2. Nach den allgemeinen Regeln des Sozialversicherungsrechts hat der Versicherungsträger den rechtserheblichen Sachverhalt abzuklären. Er ist nach dem in <ref-law> statuierten Untersuchungsgrundsatz verpflichtet, die notwendigen Abklärungen von Amtes wegen vorzunehmen und die erforderlichen Auskünfte einzuholen, wobei mündlich erteilte Auskünfte schriftlich festzuhalten sind.
Ausnahmen von diesem Grundsatz ergeben sich dort, wo die versicherte Person ihre Mitwirkung verweigert. <ref-law> verpflichtet diese, unentgeltlich Auskünfte zu erteilen, die zur Abklärung des Anspruchs und zur Festsetzung der Versicherungsleistungen erforderlich sind. Für den Bereich der Unfallversicherung wird diese Mitwirkungspflicht in <ref-law> dahingehend präzisiert, dass die versicherte Person alle erforderlichen Auskünfte erteilen und ausserdem die Unterlagen zur Verfügung halten muss, die für die Klärung des Unfallsachverhaltes und die Unfallfolgen sowie für die Festsetzung der Versicherungsleistungen benötigt werden, insbesondere medizinische Berichte, Gutachten, Röntgenbilder und Belege über die Verdienstverhältnisse; sie muss Dritte ermächtigen, solche Unterlagen herauszugeben und Auskunft zu erteilen. <ref-law> sieht sodann vor, dass wenn die versicherte Person oder andere Personen, die Leistungen beanspruchen, den Auskunfts- oder Mitwirkungspflichten in unentschuldbarer Weise nicht nachkommen, der Versicherungsträger aufgrund der Akten verfügen oder die Erhebungen einstellen und Nichteintreten beschliessen kann. Er muss die Personen vorher schriftlich mahnen und auf die Rechtsfolgen hinweisen; ihnen ist eine angemessene Bedenkzeit einzuräumen. Gegebenenfalls kann der Versicherungsträger das von der versicherten Person eingereichte Gesuch mit der Begründung abweisen, der Sachverhalt, aus dem diese ihre Rechte ableiten wolle, sei nicht erwiesen (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 264; SVR 2010 IV Nr. 30 S. 94, 9C_961/2008 E. 3.1; Urteil 8C_396/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 2.2).
5.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz die Verfügung vom 3. Dezember 2010 als zweifellos unrichtig qualifizieren durfte.
5.1. Der Arbeitgeber der Versicherten reichte der Beschwerdeführerin die Unfallmeldung UVG vom 7. September 2010 ein. Diese enthielt lediglich rudimentäre Angaben zum Ereignis, indem sie als Schadendatum den 31. August 2010, als Schadenort den Stall T._ und als Vorfall "Unfall mit Pferd" erwähnte und für weitere Auskünfte an die sich zurzeit im Spital X._ befindende Versicherte verwies.
5.2. Die Beschwerdeführerin hat der Versicherten am 14. September 2010 einen Fragebogen zum Ereignis vom 31. August 2010 zugestellt. Diese erkundigte sich daraufhin beim Unfallversicherer nach der Kostengutsprache für die Behandlung in der Klinik Y._. Als der Versicherten seitens der Beschwerdeführerin dargelegt wurde, für die Beurteilung ihrer Leistungspflicht sei sie auf die verlangten Angaben angewiesen, stellte sie die Beantwortung des Fragebogens in den nächsten Tagen in Aussicht. Da keine Antwort einging, ersuchte die Beschwerdeführerin die Versicherte am 26. Oktober 2010 erneut, den Fragenkatalog innert zehn Tagen zu beantworten. Nachdem trotz zweimaliger Aufforderung keine Reaktion kam, führte der Unfallversicherer das Mahn- und Bedenkzeitverfahren gemäss <ref-law> durch und lehnte mit Verfügung vom 3. Dezember 2010 sämtliche Ansprüche auf Versicherungsleistungen aus der obligatorischen Unfallversicherung ab, da aus den zur Verfügung stehenden medizinischen Unterlagen kein Unfallereignis ersichtlich sei und nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sei, dass die geltend gemachten Beschwerden auf das Ereignis vom 31. August 2010 zurückzuführen seien. Diese Verfügung eröffnete die Beschwerdeführerin auch der Beschwerdegegnerin.
5.3. Aus der Unfallmeldung vom 7. September 2010 verfügte die Beschwerdeführerin über Anhaltspunkte, welche auf das Vorliegen eines Unfallereignisses schliessen liessen. Zudem stellte ihr die Klinik Y._ am 7. September 2010 ein Kostengutsprachegesuch für einen stationären Aufenthalt zu, woraufhin sie diese an den vorleistungspflichtigen Krankenversicherer verwies. In diesem Zusammenhang wurde der Beschwerdeführerin das Formular "Einweisung zur klinisch-stationären Behandlung/Rehabilitation" des Spitals X._ vom 6. September 2010 zugestellt, woraus die Diagnose "Querschnittssymptomatik mit/bei schlaffer Paraparese, sensorischer Ausfall ab Th 11, St. n. Trauma mit fraglich Pferdetritt am 31.08.2010, DD funktionelle Überlagerung/Somatisierungsstörung bei Dg2" sowie die Begleiterkrankung "Borderline-Störung: anamnestisch aktuell beschwerdefrei, St. n. Hospitalisation in L._ 2007" hervorgingen. Die der Beschwerdeführerin aus Unfallmeldung und Spitaleinweisungsformular vorliegenden Angaben waren rudimentär und insgesamt ungenügend für eine Leistungszusprache, sodass die Einforderung weiterer Angaben von der Versicherten zu Recht erfolgte.
5.4. Es ist aktenkundig und unbestritten, dass die Versicherte trotz mehrmaliger Aufforderung des Unfallversicherers und telefonischer Zusicherung keine weiteren Auskünfte zum vom Arbeitgeber gemeldeten Ereignis vom 31. August 2010 erteilt hat. Selbst nach Androhung des Mahn- und Bedenkzeitverfahrens am 17. November 2010 blieb sie säumig. Unter diesen Umständen war die Beschwerdeführerin befugt, die Verfügung vom 3. Dezember 2010 aufgrund der Akten zu erlassen und davon auszugehen, die Voraussetzungen für einen Leistungsanspruch seien nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen. Dies gilt vorliegend umso mehr, als auch seitens des vorleistungspflichtigen Krankenversicherers keine weiteren Angaben erfolgten, obschon er mit dem Unfallversicherer in Kontakt stand und ihm auch die leistungsablehnende Verfügung eröffnet wurde.
5.5. Soweit die Vorinstanz unter Hinweis auf psychische Beeinträchtigungen und die später erfolgte Bevormundung der Versicherten Zweifel an der Schuldhaftigkeit einer allfälligen Meldepflichtverletzung äussert, kann diesen Erwägungen nicht gefolgt werden. So hatte sich die Versicherte nach Erhalt des Fragebogens telefonisch beim Unfallversicherer gemeldet, sich nach der Kostengutsprache für die Behandlung erkundigt und die Beantwortung des Fragebogens in Aussicht gestellt, woraus geschlossen werden darf, dass sie sich über ihre Mitwirkungspflicht im Klaren war. Aus dem Einweisungsformular des Spitals X._ vom 6. September 2010 ergibt sich sodann, dass sie bezüglich der Borderline-Störung anamnestisch aktuell beschwerdefrei sei; Anhaltspunkte für weitere psychische Beeinträchtigungen sind nicht aktenkundig. Während des Abklärungs- bzw. Mahn- und Bedenkzeitverfahrens sowie im Zeitpunkt des Verfügungserlasses war die Versicherte zudem nicht bevormundet. Rein aus dem Umstand, dass später vormundschaftliche Massnahmen angeordnet worden sind, kann nicht geschlossen werden, dass die Versicherte ihrer Mitwirkungspflicht in entschuldbarer Weise nicht nachkam.
5.6. Zusammenfassend hat die Versicherte in unentschuldbarer Weise gegen ihre Mitwirkungspflicht bei der Sachverhaltsabklärung verstossen, weshalb das Vorgehen des Unfallversicherers nicht zur Folge hat, dass nach Erlass und Rechtskraft der leistungsablehnenden Verfügung diese als zweifellos unrichtig qualifiziert werden kann und einer Wiedererwägung bedürfte. Von einer klaren, eklatanten Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes sowie einer offensichtlich unrichtigen bzw. unvollständigen Feststellung des Sachverhaltes kann nicht gesprochen werden. Der Entscheid der Vorinstanz vom 30. April 2013 ist demzufolge aufzuheben.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5). Da sich zwei Versicherer gegenüberstehen, gilt für die Gerichtsgebühr der ordentliche Rahmen nach <ref-law>, während <ref-law> keine Anwendung findet (nicht publ. E. 5 des Urteils <ref-ruling>, in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120, 8C_934/2008).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 30. April 2013 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft AG vom 3. April 2012 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, Z._, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Februar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Kopp Käch