Sachverhalt:
A. Am 27. Januar 2010, um 00.01 Uhr, ging bei der Notrufzentrale des Kantons Thurgau ein Einbruchalarm ein. Anlässlich der umgehend eingeleiteten Fahndung konnte X._ rund eine Stunde später angehalten werden. Er trug eine Tasche mit Schmuck und anderen Gegenständen verdächtiger Herkunft mit sich. Um 01.25 Uhr wurde er festgenommen.
Am 28. Januar 2010 ordnete der Haftrichter der Anklagekammer des Kantons Thurgau die Untersuchungshaft an und erklärte diese einstweilen bis zum 27. Februar 2010 als zulässig.
Am 25. Februar 2010 ersuchte das Bezirksamt Kreuzlingen um Verlängerung der Untersuchungshaft bis zum 27. Mai 2010.
Mit Verfügung vom 27. Februar 2010 gab der Haftrichter dem Gesuch statt. Er bejahte den dringenden Tatverdacht; ebenso Kollusions- und Fluchtgefahr. Rechtsanwalt Thomas Leu richtete er eine Offizialanwaltsentschädigung von Fr. 600.-- zuzüglich 7,6 % Mehrwertsteuer für das Haftverlängerungsverfahren aus.
B. Mit Eingabe vom 29. März 2010 erhob X._ Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, die Verfügung des Haftrichters vom 27. Februar 2010 sei aufzuheben und der Beschwerdeführer sofort aus der Haft zu entlassen. Es sei dem amtlichen Verteidiger für das Haftverfahren eine angemessene Entschädigung auszurichten, mindestens aber Fr. 1'200.--. Zudem sei dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ihm Rechtsanwalt Thomas Leu als amtlicher Verteidiger beizugeben.
C. Das Bezirksamt liess sich vernehmen, ohne einen förmlichen Antrag zu stellen. Es teilte mit, X._ sei am 31. März 2010 aus der Haft entlassen und im Auftrag des Migrationsamtes in sein Heimatland ausgewiesen worden.
Der Haftrichter reichte Gegenbemerkungen ein mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
D. Am 14. April 2010 teilte das Bundesgericht den Parteien mit, gemäss Stellungnahme des Bezirksamtes sei X._ am 31. März 2010 aus der Haft entlassen worden. Damit stelle sich die Frage, ob das obgenannte Verfahren gegenstandslos geworden sei. Das Bundesgericht gab den Parteien Gelegenheit, sich zur Frage der Gegenstandslosigkeit und der Kostenregelung zu äussern.
E. Der Haftrichter und das Bezirksamt verzichteten auf weitere Bemerkungen.
X._ reichte eine Stellungnahme ein mit dem Antrag, die Verfügung des Haftrichters vom 27. Februar 2010 sei aufzuheben und festzustellen, dass sich der Beschwerdeführer vom 28. Februar bis zum 31. März 2010 unrechtmässig in Untersuchungshaft befunden habe. Im Übrigen hielt er an den in der Beschwerde in Strafsachen gestellten Anträgen fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
1.2 Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist daher nach Art. 80 i.V.m. <ref-law> zulässig.
1.3 Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat (...) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, insbesondere die beschuldigte Person (lit. a und b Ziff. 1).
Der Beschwerdeführer muss ein aktuelles praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde haben. Mit diesem Erfordernis soll sichergestellt werden, dass das Gericht konkrete und nicht bloss theoretische Fragen entscheidet. Es dient damit der Prozessökonomie (<ref-ruling> E. 3 S. 84; <ref-ruling> E. 4a S. 397; je mit Hinweisen).
Nach der Rechtsprechung fehlt es nach Beendigung der Untersuchungshaft an einem aktuellen praktischen Interesse für die Behandlung der Haftbeschwerde. Unter besonderen Umständen sind bestimmte Rügen jedoch trotz Entlassung des Beschwerdeführers aus der Untersuchungshaft materiell zu behandeln (BGE <ref-ruling> E. 5f S. 404).
Solche Umstände bejahte das Bundesgericht in BGE 1B_326/2009 vom 11. Mai 2010 (E. 1.3). Der hier zu beurteilende Fall liegt im Wesentlichen gleich.
Wie die folgenden Erwägungen zeigen, ist eine Verletzung von Art. 5 Ziff. 1 EMRK gegeben. Bei dieser Sachlage entspricht es dem Gebot des fairen Verfahrens (<ref-law>) und der Prozessökonomie, dass das Bundesgericht diese Rüge sogleich behandelt und dem Beschwerdeführer durch die Feststellung der Verletzung der EMRK Wiedergutmachung verschafft.
Behandelt das Bundesgericht die Beschwerde materiell, ist damit zudem Art. 13 EMRK in jedem Fall Genüge getan. Danach hat jede Person, die in ihren in dieser Konvention anerkannten Rechten oder Freiheiten verletzt worden ist, das Recht, bei einer innerstaatlichen Instanz eine wirksame Beschwerde zu erheben. Würde das Bundesgericht hier die erhobenen Rügen nicht behandeln, könnte der Europäische Gerichtshof allenfalls auf eine Verletzung von Art. 13 EMRK erkennen. Dies hat er im Urteil vom 16. Dezember 1997 in Sachen Camenzind gegen Schweiz getan (CourEDH 1997-VIII S. 2880). Das Bundesgericht war in jenem Fall auf die vom Betroffenen bei ihm gegen eine Hausdurchsuchung eingereichte Beschwerde mangels aktuellen praktischen Interesses nicht eingetreten, da die Hausdurchsuchung abgeschlossen war. Wie der Europäische Gerichtshof entschied, stand dem Beschwerdeführer damit keine wirksame Beschwerde nach Art. 13 EMRK zur Verfügung. Den Einwand der Schweiz, der Beschwerdeführer hätte seine Rügen der Verletzung der EMRK insbesondere in einem Entschädigungsverfahren nach Art. 99 VStrR (SR 313.0) geltend machen können, erachtete der Gerichtshof nicht als massgeblich (§§ 51 ff.).
Zu berücksichtigen ist zudem Folgendes: Zöge der Beschwerdeführer die Sache an den Europäischen Gerichtshof weiter, wäre damit zu rechnen, dass dieser die Beschwerde als zulässig erachtete und die Rügen der Verletzung der EMRK beurteilte. Denn für den Europäischen Gerichtshof stellt die Aktualität des Rechtsschutzinteresses kein relevantes Kriterium dar (MARKUS LANTER, Die Ausschöpfung des innerstaatlichen Instanzenzugs [Art. 35 Ziff. 1 EMRK], 2008, S. 217). So hat er im Urteil vom 15. März 2007 in Sachen Kaiser gegen Schweiz die Verletzung von Art. 5 Ziff. 3 EMRK geprüft (und bejaht), obschon die Beschwerdeführerin bereits vor dem bundesgerichtlichen Urteil aus der Untersuchungshaft entlassen worden war (vgl. § 13 und §§ 38 ff.). Der Grundsatz der Einheit des Verfahrens gebietet es, dass das Bundesgericht die Rügen, die beim Europäischen Gerichtshof erhoben werden können, ebenfalls prüft.
Die Beschwerde wird hier deshalb - wie der Beschwerdeführer in seinem Schreiben vom 22. April 2010 verlangt - materiell behandelt.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, nach dem Gesetz vom 30. Juni 1970 des Kantons Thurgau über die Strafrechtspflege (Strafprozessordnung, StPO/TG; RB 312.1) müsse der Untersuchungsrichter das Haftverlängerungsgesuch spätestens drei Tage vor Ablauf der Haftdauer beim Präsidenten der Anklagekammer einreichen. Diese Frist habe der Untersuchungsrichter hier nicht eingehalten. Dem Beschwerdeführer sei daher die Freiheit nicht auf die gesetzlich vorgeschriebene Weise im Sinne von Art. 5 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> entzogen worden.
2.2 <ref-law>/TG in der Fassung vom 21. Juni 2006, in Kraft seit dem 7. Oktober 2006, trägt den Randtitel "Haftverlängerungsgesuch" und bestimmt Folgendes:
Ist die vom Präsidenten der Anklagekammer angesetzte Dauer der Untersuchungshaft abgelaufen (...), muss der Untersuchungsrichter ein Gesuch um Haftverlängerung stellen (Abs. 1). Der Untersuchungsrichter reicht dem Präsidenten der Anklagekammer das schriftliche und begründete Gesuch spätestens drei Tage vor Ablauf der Haftdauer mit den erforderlichen Akten ein (Abs. 2). Über die Haftverlängerung wird in der Regel im schriftlichen Verfahren entschieden (Abs. 3). Der Präsident der Anklagekammer kann die Untersuchungshaft jeweils um höchstens drei Monate verlängern (Abs. 4).
Die Vorinstanz erklärte mit Verfügung vom 28. Januar 2010 die Untersuchungshaft einstweilen bis zum 27. Februar 2010 als zulässig. Gemäss <ref-law>/TG hätte der Untersuchungsrichter der Vorinstanz somit das Haftverlängerungsgesuch spätestens am 24. Februar 2010 einreichen müssen. Das hat er unstreitig nicht getan. Er hat das Haftverlängerungsgesuch erst am 25. Februar 2010 gestellt.
Gemäss Art. 5 Ziff. 1 EMRK bzw. dem insoweit übereinstimmenden <ref-law> darf die Freiheit nur auf die gesetzlich vorgeschriebene Weise entzogen werden. Freiheitsentzug muss somit stets dem gesetzlich vorgeschriebenen (eidgenössischen oder kantonalen) innerstaatlichen Verfahren gehorchen. Eine Verletzung des anwendbaren Rechts bedeutet daher ohne Weiteres auch eine Verletzung von Art. 5 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> (Urteil des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte Winterwerp gegen Niederlande vom 24. Oktober 1979, Serie A Bd. 33 § 46; ARTHUR HAEFLIGER/FRANK SCHÜRMANN, Die Europäische Menschenrechtskonvention und die Schweiz, 2. Aufl. 1999, S. 87; HANS VEST, in: St. Galler Kommentar zur Bundesverfassung, 2. Aufl. 2008, N. 14 zu <ref-law>; Botschaft vom 20. November 1996 über eine neue Bundesverfassung, BBl 1997 185).
Die Verfahrensmässigkeit des Freiheitsentzugs ist an folgende Voraussetzungen geknüpft, welche kumulativ erfüllt sein müssen: Erstens muss ein innerstaatliches Verfahren eingerichtet werden, das den Freiheitsentzug und dessen Verlängerung vorsieht. Zweitens muss das Verfahren selbst konventions- bzw. verfassungskonform sein. Drittens muss das Verfahren im Einzelfall tatsächlich auch eingehalten worden sein (MARK E. VILLIGER, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention, 2. Aufl. 1999, S. 207 N. 322 f.; VEST, a.a.O., N. 15 zu <ref-law>). Wo innerstaatliche Fristen für die Verlängerung der Haft vorgesehen werden, sind diese einzuhalten (Villiger, a.a.O., S. 208 N. 323). Das Gesuch um Verlängerung des Freiheitsentzugs muss rechtzeitig eingereicht werden (vgl. Urteil des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte vom 2. September 1998 Erkalo gegen Niederlande, Recueil CourEDH 1998-VI S. 2464 § 59).
Letzteres ist hier nicht geschehen. Der Untersuchungsrichter hat das Gesuch um Haftverlängerung in Missachtung von <ref-law>/TG verspätet eingereicht und damit das gesetzlich vorgeschriebene Verfahren nicht eingehalten. Dem Beschwerdeführer ist daher die Freiheit nach dem 27. Februar 2010 nicht auf die gesetzlich vorgeschriebene Weise entzogen worden. Art. 5 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> sind insoweit verletzt worden.
Diese Verletzung ist hier (im Dispositiv) festzustellen. Damit - und in Verbindung mit der für den Beschwerdeführer vorteilhaften Kostenregelung (unten E. 7) - wird diesem eine hinreichende Wiedergutmachung verschafft (BGE 1B_326/2009 vom 11. Mai 2010 E. 2.3; <ref-ruling> E. 3 S. 337; je mit Hinweisen). Dieses Vorgehen ist geboten, obwohl es sich bei der in <ref-law>/TG vorgesehenen Regelung, wonach der Untersuchungsrichter das Haftverlängerungsgesuch spätestens drei Tage vor Ablauf der Haftdauer beim Präsidenten der Anklagekammer einzureichen hat, um eine Ordnungsvorschrift handelt (vgl. hinten E. 3.3.2).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, da das Haftverlängerungsgesuch verspätet gestellt worden sei, hätte die Vorinstanz nicht darauf eintreten dürfen. Bei der Frist von drei Tagen nach <ref-law>/TG handle es sich entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht um eine Ordnungs-, sondern eine Verwirkungsfrist. Nach dem 27. Februar 2010 habe sich der Beschwerdeführer daher unrechtmässig in Haft befunden. Er beruft sich insoweit (Beschwerde S. 11 Ziff. 1.9) auf sein verfassungsmässiges Recht auf persönliche Freiheit.
3.2 Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, <ref-law>) wegen der Verlängerung der Untersuchungshaft erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung des entsprechenden kantonalen Rechts frei (<ref-ruling> E. 2.5 S. 73 f. mit Hinweis).
3.2 Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, <ref-law>) wegen der Verlängerung der Untersuchungshaft erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung des entsprechenden kantonalen Rechts frei (<ref-ruling> E. 2.5 S. 73 f. mit Hinweis).
3.3 3.3.1 <ref-law>/TG entspricht in der Sache weitgehend Art. 227 der Schweizerischen Strafprozessordnung vom 5. Oktober 2007 (StPO; AS 2010 1881 ff.), welche am 1. Januar 2011 in Kraft tritt. <ref-law> lautet - soweit hier von Interesse - wie folgt:
Läuft die vom Zwangsmassnahmengericht festgesetzte Dauer der Untersuchungshaft ab, so kann die Staatsanwaltschaft ein Haftverlängerungsgesuch stellen (Abs. 1 Satz 1). Die Staatsanwaltschaft reicht dem Zwangsmassnahmengericht das schriftliche und begründete Gesuch spätestens 4 Tage vor Ablauf der Haftdauer ein und legt ihm die wesentlichen Akten bei (Abs. 2). Das Zwangsmassnahmengericht gibt der beschuldigten Person und ihrer Verteidigung Gelegenheit, die ihm vorliegenden Akten einzusehen und innert 3 Tagen schriftlich zum Gesuch Stellung zu nehmen (Abs. 3). Es kann die provisorische Fortdauer der Untersuchungshaft bis zu seinem Entscheid anordnen (Abs. 4). Das Zwangsmassnahmengericht entscheidet spätestens innert 5 Tagen nach Eingang der Stellungnahme beziehungsweise Ablauf der in Absatz 3 genannten Frist (Abs. 5 Satz 1).
Wie die Botschaft zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts vom 21. Dezember 2005 (BBl 2006 1232) dazu ausführt, werden bei der Festlegung des Zeitpunktes, in welchem das Verlängerungsgesuch spätestens einzureichen ist, zwei Interessen berücksichtigt: Zum einen muss sichergestellt sein, dass das Zwangsmassnahmengericht vor Ablauf der Haftdauer eine provisorische Fortdauer der Untersuchungshaft anordnen kann, weil ohne diese Anordnung die beschuldigte Person nach Ablauf der Haftdauer, aber unter Umständen noch vor dem Verlängerungsentscheid des Zwangsmassnahmengerichts mangels gültigen Hafttitels aus der Haft zu entlassen wäre. Zum andern darf der Zeitpunkt nicht zu weit nach vorne verlegt werden, weil dadurch das Zwangsmassnahmengericht seinen Verlängerungsentscheid auf der Basis von nicht mehr genügend aktuellen Tatsachen fällen müsste. Die Frist von vier Tagen vor Ablauf der Haftdauer nimmt auf beide Interessen Rücksicht.
Nach den weiteren Darlegungen in der Botschaft (a.a.O. 1233) wird angesichts des Rechts der beschuldigten Person auf Stellungnahme innert drei Tagen und der Entscheidfrist des Zwangsmassnahmengerichts von fünf Tagen der Verlängerungsentscheid in aller Regel erst nach Ablauf der Haftdauer erfolgen. Mit dem Ablauf der Haftdauer fällt jedoch der Titel für den Freiheitsentzug dahin. Um zu verhindern, dass beschuldigte Personen aus der Haft entlassen werden müssten, noch bevor über eine Verlängerung entschieden ist, hat das Zwangsmassnahmengericht die Möglichkeit, als vorsorgliche Massnahme die provisorische Fortdauer der Untersuchungshaft anzuordnen. Diese kann allein gestützt auf das Verlängerungsgesuch der Staatsanwaltschaft erfolgen und dauert bis zum Verlängerungsentscheid.
Nach im Schrifttum vertretener Auffassung handelt es sich bei der Frist von vier Tagen nach <ref-law> um eine Ordnungsvorschrift (NIKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 2009, N. 4 zu <ref-law>; DERSELBE, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts, 2009, S. 453 Fn. 165).
3.3.2 Die Frist von drei Tagen gemäss <ref-law>/TG hat denselben Zweck wie jene von vier Tagen nach <ref-law>. Sie soll es der Vorinstanz ermöglichen, vor Ablauf der Haftdauer diese zumindest provisorisch zu verlängern. Dies hat die Vorinstanz hier mit Verfügung vom 25. Februar 2010 getan. Sie hat darin die Untersuchungshaft einstweilen bis zum Entscheid über das Haftverlängerungsgesuch als zulässig erklärt. Die Frist von drei Tagen bezweckt entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht, für den Inhaftierten die Ungewissheit darüber zu beenden, ob die Haft über die ursprünglich angeordnete Dauer hinaus verlängert werde. Diese Funktion kommt dem haftrichterlichen Entscheid zu, welcher entweder - wie hier - noch innerhalb der ursprünglich angeordneten Haftdauer oder - bei provisorischer Verlängerung der Haft - jedenfalls kurz danach ergeht. Es besteht deshalb kein sachlicher Grund, bei Missachtung der Frist von drei Tagen nach <ref-law>/TG die Verwirkung des Rechts auf Haftverlängerung anzunehmen. Ein derartiger formeller Mangel führt nach der Rechtsprechung nicht zur Haftentlassung, sofern die materiellen Haftvoraussetzungen gegeben sind. Vielmehr hat es bei der Feststellung der Verletzung der EMRK bzw. der Bundesverfassung sein Bewenden (<ref-ruling> E. 3b S. 65; <ref-ruling> E. 5d S. 92 f.; Urteile 1P.495/2005 vom 14. September 2005 E. 2.3, in: SJ 2006 I S. 57; 1P.42/2005 vom 10. Februar 2005 E. 3.2, in: Pra 2005 Nr. 84 S. 628). Ein Hafthindernis hätte im Übrigen selbst dann nicht bestanden, wenn der Untersuchungsrichter das Haftverlängerungsgesuch nach Ablauf der ursprünglich angeordneten Haftdauer eingereicht hätte. Diesfalls hätte die Vorinstanz die Haft neu anordnen können (<ref-ruling> E. 3e S. 324; Urteile 1P.230/2000 vom 8. Mai 2000 E. 2b und c, in: Pra 2000 Nr. 145 S. 849; 1C.5/1999 vom 23. Oktober 2000 E. 2b).
Nach der zutreffenden Auffassung der Vorinstanz handelt es sich bei der Frist von drei Tagen gemäss <ref-law>/TG danach um keine Verwirkungs-, sondern eine Ordnungsfrist. Die Vorinstanz durfte somit die Haft verlängern, obgleich der Untersuchungsrichter das Haftverlängerungsgesuch einen Tag zu spät gestellt hatte.
Die Vorinstanz hat die Haft am 27. Februar 2010 verlängert, noch innerhalb der am 28. Januar 2010 als zulässig erklärten Haftdauer. Der Beschwerdeführer befand sich somit bis zu seiner Entlassung am 31. März 2010 ununterbrochen gestützt auf eine richterliche Anordnung in Untersuchungshaft. Die materiellen Haftvoraussetzungen waren stets gegeben. Der dringende Tatverdacht und jedenfalls Fluchtgefahr lagen offensichtlich vor. Zudem war die Haft aufgrund der erheblichen Tatvorwürfe verhältnismässig. Der Beschwerdeführer befand sich daher zu keinem Zeitpunkt materiell unrechtmässig in Haft. Sein Antrag, es sei festzustellen, dass er sich vom 28. Februar bis zum 31. März 2010 unrechtmässig in Untersuchungshaft befunden habe, ist deshalb abzuweisen.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer wendet (Beschwerde S. 11. ff. Ziff. 2) ein, die Vorinstanz habe ihm eine sehr knappe Frist für die Stellungnahme zum Haftverlängerungsgesuch angesetzt. Damit habe sie Art. 6 Ziff. 1 und Art. 6 Ziff. 3 lit. b EMRK verletzt.
4.2 Gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person Anspruch darauf, dass über eine gegen sie erhobene strafrechtliche Anklage in einem fairen Verfahren verhandelt wird. Nach Art. 6 Ziff. 3 lit. b EMRK hat jede angeklagte Person das Recht, ausreichende Zeit und Gelegenheit zur Vorbereitung ihrer Verteidigung zu haben.
Art. 6 Ziff. 3 lit. b EMRK konkretisiert den Anspruch auf ein faires Verfahren nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK (<ref-ruling> E. 2.1 S. 188; <ref-ruling> E. 6a S. 132 mit Hinweisen).
Art. 6 Ziff. 3 lit. b EMRK ist nicht erst vom Zeitpunkt an anwendbar, in dem Anklage erhoben wird, sondern schon im Vorverfahren zu beachten (HAEFLIGER/SCHÜRMANN, a.a.O., S. 218 f.). Die Garantie nach dieser Bestimmung gilt nicht nur zur Vorbereitung der Hauptverhandlung, sondern der Verteidigung insgesamt (VILLIGER, a.a.O., S. 325 N. 509).
4.3 Am 25. Februar 2010 verfügte die Vorinstanz, das Haftverlängerungsgesuch vom gleichen Tag gehe an den Angeschuldigten sowie dessen Verteidiger, unter Einräumung einer Frist zur fakultativen Stellungnahme von 24 Stunden ab dem Zeitpunkt der Übersetzung dieser Verfügung und des Haftverlängerungsgesuchs. Diese vorinstanzliche Verfügung ging nach den Angaben des Verteidigers am 25. Februar 2010, um 18.52 Uhr, per Fax bei diesem ein. Noch am selben Tag nahm der Verteidiger zur Haftverlängerung ein erstes Mal (per Fax) schriftlich Stellung. Mit Fax vom 26. Februar 2010 teilte die Vorinstanz dem Verteidiger mit, gemäss dem soeben zugestellten Einvernahmeprotokoll vom gleichen Tag seien dem Angeschuldigten die Verfügung der Vorinstanz vom 25. Februar 2010 sowie das Haftverlängerungsgesuch am 26. Februar 2010, um 09.40 Uhr vollständig übersetzt worden. Nach der Verfügung der Vorinstanz vom 25. Februar 2010 endige die Frist zur Einreichung einer fakultativen Stellungnahme somit am 27. Februar 2010, um 09.40 Uhr. Mit Fax vom 26. Februar 2010 nahm der Verteidiger ein zweites Mal zur Haftverlängerung Stellung.
4.4 Der Beschwerdeführer bringt vor, seine Einvernahme vom 26. Februar 2010, an welcher der Verteidiger ebenfalls teilgenommen habe, habe bis ca. 10.45 Uhr gedauert. Damit sei die knappe Frist von 24 Stunden faktisch um eine weitere Stunde verkürzt worden.
Es ist einzuräumen, dass die Frist zur Stellungnahme zum Haftverlängerungsgesuch von faktisch ca. 23 Stunden kurz war. Eine solche Frist kommt den Interessen des Inhaftierten jedoch insofern entgegen, als bei einer Abweisung des Haftverlängerungsgesuchs die Entlassung früher erfolgen könnte. Wäre der Verteidiger der Auffassung gewesen, er sei nicht in der Lage, innert der angesetzten kurzen Frist seriös zur Haftverlängerung Stellung zu nehmen, hätte er im Übrigen um Fristerstreckung ersuchen können. Wie die Vorinstanz (angefochtener Entscheid S. 6) darlegt, ist die Thurgauer Praxis bei der Beurteilung von Fristerstreckungen grosszügig und stellt an entsprechende Gesuche keine hohen Anforderungen. Wenn der Verteidiger um keine Fristerstreckung ersucht hat, hat er sich den geltend gemachten Zeitdruck selber zuzuschreiben und kann er sich nicht darüber beklagen. Der Verteidiger hat in der zweiten Eingabe vom 26. Februar 2010 an die Vorinstanz, welche umfassender ist als die erste Eingabe vom 25. Februar 2010, die Haftverlängerung sowohl aus formellen als auch materiellen Gründen einlässlich als unzulässig kritisiert. Er war somit trotz der kurzen Frist in der Lage, zur Haftverlängerung unter allen wesentlichen Gesichtspunkten Stellung zu nehmen.
Unter diesen Umständen kann nicht gesagt werden, dass der Beschwerdeführer keine ausreichende Zeit und Gelegenheit zur Verteidigung im Haftverlängerungsverfahren hatte. Eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 bzw. Art. 6 Ziff. 3 lit. b EMRK ist zu verneinen.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer rügt (Beschwerde S. 13 ff. Ziff. 3) eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 6 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law>). Der Untersuchungsrichter habe ihm die Akten unvollständig zur Verfügung gestellt. Der Verteidiger sei erst auf dessen Intervention hin in den Besitz der fehlenden Akten gelangt. Die im Haftverlängerungsgesuch vom 25. Februar 2010 erwähnten Unterlagen, welche die Grundlage für die einstweilige Verlängerung der Untersuchungshaft gebildet hätten, seien dem Verteidiger gar erst nach der Einvernahme vom 26. Februar 2010 ausgehändigt worden, also eine Stunde, nachdem die Frist von 24 Stunden zur Stellungnahme bereits zu laufen begonnen habe.
5.2 Der Verteidiger war somit nach seinen eigenen Angaben unmittelbar nach der Einvernahme vom 26. Februar 2010 im Besitz sämtlicher Akten. Er hat danach zur Haftverlängerung in der Eingabe vom gleichen Tag einlässlich Stellung genommen. Die Offenlegung sämtlicher Akten erfolgte damit noch rechtzeitig. Der Verteidiger konnte in Kenntnis aller wesentlichen Umstände zur Haftverlängerung Stellung nehmen und hat dies auch getan. Bei dieser Sachlage ist eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör zu verneinen.
Die Beschwerde ist im vorliegenden Punkt unbegründet.
6. 6.1 Der Beschwerdeführer bringt (Beschwerde S. 15 f. Ziff. 4) vor, die Vorinstanz habe Rechtsanwalt Thomas Leu für das Haftverlängerungsverfahren zum amtlichen Verteidiger ernannt und ihm eine Entschädigung von Fr. 600.-- zuzüglich 7,6 % Mehrwertsteuer ausgerichtet. Diese Entschädigung sei willkürlich tief. Angemessen sei eine solche von mindestens Fr. 1'200.--.
6.2 Den amtlichen Verteidiger bezahlt der Staat. Gemäss <ref-law>/TG wird die Entschädigung des amtlichen Anwalts durch das Gericht nach dem Anwaltstarif festgesetzt. Sie kann vom Staat beim kostenpflichtigen Angeklagten zurückgefordert werden.
Der Beschwerdeführer ist im Hinblick auf eine allfällige Rückforderung bei ihm an einer möglichst tiefen Entschädigung interessiert. Mit der vorliegenden Beschwerde wird eine höhere Entschädigung verlangt, als sie die Vorinstanz zugesprochen hat. Beschwerde wird insoweit somit nicht im Interesse des Beschwerdeführers geführt, sondern seines Verteidigers. Ob man annehmen kann, dass Letzterer hier insoweit in eigenem Namen Beschwerde führt, kann dahingestellt bleiben. Wollte man auf die Beschwerde im vorliegenden Punkt eintreten, wäre sie aus folgenden Erwägungen jedenfalls unbegründet.
6.3 Gemäss § 13 Abs. 2 der Verordnung vom 9. Juli 1991 des Obergerichts des Kantons Thurgau über den Anwaltstarif für Zivil- und Strafsachen (RB 176.3) in der Fassung vom 24. Oktober 2006, in Kraft seit dem 1. Januar 2007, wird der Offizialverteidiger nach dem notwendigen Zeitaufwand entschädigt, wobei die maximale Gesamtgebühr gemäss den ordentlichen Ansätzen nicht überschritten werden darf. Er hat eine Schlussrechnung einzureichen, welche eine spezifizierte Aufstellung der mandatsbezogenen Tätigkeiten und der Barauslagen enthält. Der Honoraransatz beträgt Fr. 200.-- pro Stunde.
Nach der Rechtsprechung kommt den Kantonen bei der Bemessung des Honorars des amtlichen Anwalts ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 3a S. 2; <ref-ruling> E. 2b S. 134; je mit Hinweisen). Es ist Sache der kantonalen Behörde, die Angemessenheit anwaltlicher Bemühungen zu beurteilen. Das Bundesgericht schreitet nur ein, wenn die kantonale Behörde ihren Ermessenspielraum klarerweise überschritten und Bemühungen nicht honoriert hat, die zweifelsfrei zu den Obliegenheiten eines amtlichen Verteidiger gehören (BGE <ref-ruling> E. 2d S. 136 mit Hinweisen). Für die Annahme einer Verletzung von <ref-law> genügt es nicht, wenn die kantonale Behörde, welche die Entschädigung festzusetzen hat, sich auf ein unhaltbares Argument stützt. Der angefochtene Entscheid ist erst dann aufzuheben, wenn der dem amtlichen Anwalt zugesprochene gesamthafte Betrag willkürlich erscheint (<ref-ruling> E. 3d S. 112; Urteil 1P.713/2005 vom 14. Februar 2006 E. 2.1 und 3). Es rechtfertigt sich, bei der Festsetzung der Entschädigung den Anwalt und den Anwaltspraktikanten verschieden zu behandeln (<ref-ruling> E. 3e S. 112 f.). Es soll nicht zulasten des Staates gehen, wenn ein Anwalt die Offizialverteidigung einem bei ihm tätigen Praktikanten überträgt, der dafür mehr Zeit braucht (Urteil 1P.161/2006 vom 25. September 2006 E. 3.5.3).
6.4 Die Vorinstanz setzte die dem Offizialverteidiger für das Haftverlängerungsverfahren auszurichtende Entschädigung unter Berücksichtigung gewisser Synergieeffekte mit der amtlichen Vertretung des Angeschuldigten im Strafverfahren auf den genannten Betrag fest (angefochtener Entscheid S. 10 E. 9).
Dass die Vorinstanz insoweit ihrer Begründungspflicht nicht hinreichend nachgekommen sei und damit den Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> verletzt habe, wird nicht in einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Weise gerügt.
Der Verteidiger reichte der Vorinstanz keine Honorarnote ein. Die von ihr zugesprochene Entschädigung entspricht somit einem ermessensweise angenommenen Zeitaufwand von drei Stunden.
Rechtsanwalt Leu, der am 9. Februar 2010 zum amtlichen Verteidiger ernannt worden war, übertrug die Verteidigung einem bei ihm tätigen Anwaltspraktikanten. Dieser war im Zeitpunkt des Haftverlängerungsverfahrens mit den wesentlichen Umständen des Falles bereits vertraut. Die sich in diesem Verfahren stellenden Tat- und Rechtsfragen waren zudem weder zahlreich noch von besonderer Komplexität. Die Einreichung von zwei Eingaben an die Vorinstanz war sodann nicht notwendig; die zweite vom 26. Februar 2010 hätte genügt.
Würdigt man dies gesamthaft, ist es nicht geradezu willkürlich, wenn die Vorinstanz einen Zeitaufwand von drei Stunden angenommen hat. Falls der Anwaltspraktikant mangels Erfahrung länger gebraucht haben sollte, dürfte dies nach der dargelegten Rechtsprechung nicht zulasten des Staates gehen. Der zugesprochene Betrag von Fr. 600.-- ist zwar tief, liegt aber - wenn auch nur knapp - noch im Bereich des der Vorinstanz zustehenden weiten Ermessens.
Die Beschwerde wäre deshalb im vorliegenden Punkt - wollte man darauf überhaupt eintreten - unbegründet.
7. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, teilweise gutzuheissen.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law> kann bewilligt werden.
Der Beschwerdeführer trägt deshalb, auch soweit er unterliegt, keine Kosten. Dem Kanton werden ebenfalls keine Kosten auferlegt (<ref-law>).
Soweit der Beschwerdeführer obsiegt, hat der Kanton seinem Vertreter eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Diese wird auf Fr. 1'250.-- festgesetzt. Soweit der Beschwerdeführer unterliegt, wird seinem Vertreter aufgrund der Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung ausgerichtet. Diese wird auf ebenfalls Fr. 1'250.-- festgesetzt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird, soweit darauf einzutreten ist, teilweise gutgeheissen. Es wird festgestellt, dass der Anspruch des Beschwerdeführers auf Freiheitsentzug auf die gesetzlich vorgeschriebene Weise im Sinne von Art. 5 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> verletzt worden ist. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Der Kanton Thurgau hat dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Thomas Leu, eine Entschädigung von Fr. 1'250.-- zu bezahlen.
5. Dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Thomas Leu, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'250.-- ausgerichtet.
6. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksamt Kreuzlingen und der Anklagekammer des Kantons Thurgau, Haftrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Härri