Sachverhalt:
A. Der 1963 geborene A._, Betriebsökonom HWV, war ab Oktober 1999 als Leiter Back-Office bei der Firma X._ angestellt und dadurch bei der Alba Allgemeine Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Alba) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Er kündigte den Arbeitsvertrag auf den 30. Juni 2002 und entschloss sich zu einem "Timeout" ohne Berufstätigkeit. Eine Anmeldung bei der Arbeitslosenversicherung vom 4. Dezember 2002 zog er am 17. Januar 2003 wieder zurück, da er für den Zeitraum von Mitte Februar bis Ende April 2003 einen Auslandaufenthalt ins Auge fasste. Am 25. Januar 2003 erlitt A._ einen Snowboard-Unfall. Er zog sich verschiedene Verletzungen zu, welche ärztlich behandelt werden mussten und eine vorübergehende Arbeitsunfähigkeit bewirkten. A._ meldete den Unfall mit Schreiben vom 4. April 2003 der X._, welcher er vorhielt, sie sei bei der Beendigung des Arbeitsverhältnisses ihrer Aufklärungspflicht hinsichtlich der Abredeversicherung nach UVG nicht nachgekommen. Dies teilte er mit Schreiben vom 20. Mai 2003 auch der Alba mit, wobei er geltend machte, es sei nachträglich eine Abredeversicherung abzuschliessen und es seien entsprechend Leistungen ab dem 25. Januar 2003 auszurichten. Dies lehnte die Alba mit Verfügung vom 15. Oktober 2003 ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 17. November 2004 fest.
B. Die von A._ hiegegen geführte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 31. Juli 2008 ab. Es schloss dabei namentlich auch aus, dass A._ aus Vertrauensschutz infolge unterlassener Information Anspruch auf Versicherungsleistungen wie bei abgeschlossener Abredeversicherung erheben könne.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und des Einspracheentscheides sei die Alba zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen aus dem Unfall vom 25. Januar 2003 zu erbringen. Er beruft sich dabei wie schon vorinstanzlich darauf, er sei nicht über die Möglichkeit der Abredeversicherung orientiert worden und sei daher aus Vertrauensschutz so zu stellen, wie wenn diese abgeschlossen worden wäre.
Die Alba schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.2 1.2.1 Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (<ref-law>).
Diese Einschränkungen der Rüge- und Überprüfungsbefugnis gelten nicht bei Beschwerden, welche sich gegen einen Entscheid über die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung richten. Hier kann jede unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gerügt werden (<ref-law>) und ist das Bundesgericht nicht an die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz gebunden (<ref-law>).
1.2.2 Im vorliegenden Fall beantragt der Beschwerdeführer, die Alba sei zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen aus der Unfallversicherung zu erbringen. Der Wortlaut des Antrags umfasst auch Geldleistungen, zumindest in Form von Taggeld. Es fragt sich daher, ob die Regelung über die freie Kognition des Bundesgerichts gemäss Art. 105 Abs. 3 in Verbindung mit <ref-law> zur Anwendung gelangt. Das trifft nicht zu. Die Alba hat ihre Leistungspflicht generell mit der Begründung verneint, der Beschwerdeführer sei im Zeitpunkt des Unfalls vom 25. Januar 2003 nicht bei ihr versichert gewesen. Das kantonale Gericht hat dies bestätigt. Gegenstand des angefochtenen Entscheids bildet einzig diese Frage der Versicherungsdeckung bei der Alba. Damit ist auch der letztinstanzliche Prüfungsgegenstand umschrieben. Bejaht das Bundesgericht abweichend von der Vorinstanz die Versicherungsdeckung bei der Alba, kann dies zwar - bei Erfüllung der weiteren versicherungsmässigen Voraussetzungen - einen Anspruch auf Leistungen der Unfallversicherung nach sich ziehen. Dabei kann es sich auch um Geldleistungen handeln. Dies ändert aber nichts daran, dass es hier nur um die Frage der Versicherungsdeckung bei der Alba geht. Ob Versicherungsdeckung besteht, ist - als Vorfrage zu prüfende - Voraussetzung jedes Leistungsanspruchs, welcher gegenüber einem Unfallversicherer (oder einem anderen Versicherer) geltend gemacht wird, unabhängig davon, ob es sich nun um Geld- oder um Sachleistungen handelt. Es ist nicht davon auszugehen, dass der Gesetzgeber die Geldleistungen der Militär- und Unfallversicherung kognitionsmässig auch bei dieser Vorfrage anders als die übrigen vom Bundesgericht zu beurteilenden Versicherungsmaterien behandeln wollte. Das stünde auch dem Ausnahmecharakter entgegen, der <ref-law> (und entsprechend <ref-law>) zukommt (vgl. Ulrich Meyer, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N 46 zu <ref-law>; MARKUS SCHOTT, im selben Werk, N 28 zu <ref-law>; HANSJÖRG SEILER, in: Seiler/von Werdt/ Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, 2007, N 27 zu <ref-law>; Ursprung/Fleischanderl, Die Kognition des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nach dem neuen Bundesgesetz über das Bundesgericht [BGG], in: Festschrift 100 Jahre Aargauischer Anwaltsverband, 2005, S. 423) und nach einer restriktiven Interpretation ruft (Bernard Corboz, in: Commentaire de la LTF, 2009, N 67 zu <ref-law>). Soweit die Frage der Versicherungsdeckung von Sachverhaltsfeststellungen abhängt, gilt daher die eingeschränkte Kognition.
2. Im angefochtenen Entscheid sind die Bestimmungen über das Ende der obligatorischen Unfallversicherung von Arbeitnehmern (<ref-law>) und über die bis zu diesem Zeitpunkt bestehende Möglichkeit des Abschlusses einer Abredeversicherung zwecks Verlängerung des Versicherungsschutzes bis zu 180 Tagen (Art. 3 Abs. 3; Art. 8 UVV) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die Grundsätze über die Informationspflicht, welche bezüglich der Abredeversicherung dem Versicherer und dem Arbeitgeber - als Organen der Versicherungsdurchführung - zukommt, und über die Folgen einer Verletzung dieser Pflicht. Demnach gilt, dass der Versicherer den Arbeitgeber und dieser den Arbeitnehmer über die Möglichkeit der Abredeversicherung zu informieren hat. Eine Verletzung dieser Informationspflicht kann nach den Prinzipien des öffentlich-rechtlichen Vertrauensschutzes zur Folge haben, dass die Versicherungsdeckung auch in Ermangelung einer Abredeversicherung bejaht wird (<ref-law>; <ref-ruling>).
3. Vorinstanz und Parteien gehen übereinstimmend davon aus, dass das ordentliche Versicherungsverhältnis einschliesslich der 30tägigen Nachdeckungsfrist gemäss <ref-law> bereits vor dem Unfall vom 25. Januar 2003 geendet hatte und innert der hiefür geltenden Frist keine Abrede im Sinne von <ref-law> erfolgt ist. Einigkeit besteht zudem darin, dass sich der Unfall noch innerhalb der maximal möglichen Dauer einer solchen Abredeversicherung ereignet hat.
Uneinigkeit besteht in der Beantwortung der Frage, ob seitens der Organe der Versicherungsdurchführung die Informationspflicht über die Abredeversicherung verletzt wurde und deswegen nach vertrauensschutzrechtlichen Grundsätzen der Beschwerdeführer so zu halten ist, wie wenn er die Abrede vorgenommen hätte.
4. Das kantonale Gericht hat zunächst erkannt, der Versicherer habe die Arbeitgeberin über die Möglichkeit der Abredeversicherung informiert. Die Arbeitgeberin hingegen habe den Arbeitnehmer zwar über verschiedene versicherungsrechtliche Gesichtspunkte orientiert. Eine Information über die Möglichkeit der Abredeversicherung habe sie aber unterlassen.
Es wird nichts vorgebracht, was diese tatbeständlichen Feststellungen als offensichtlich unrichtig oder als rechtsverletzend nach <ref-law> erscheinen liesse.
5. 5.1 Die Vorinstanz hat sodann geprüft, ob die Unterlassung der Information nach dem Vertrauensschutz zur Folge hat, dass die Versicherungsdeckung trotz mangelnder Abredeversicherung zu bejahen ist. Sie ist zum Ergebnis gelangt, es sei höchstens möglich, nicht aber überwiegend wahrscheinlich, dass der Beschwerdeführer bei erfolgtem Hinweis die Abredeversicherung abgeschlossen hätte. Damit fehle es am Kausalzusammenhang zwischen dem Unterlassen der Information und dem Nichtzustandekommen der Abredeversicherung, weshalb eine Versicherungsdeckung aus Vertrauensschutz ausser Betracht falle.
5.2 Abgeleitet aus dem Grundsatz von Treu und Glauben, welcher den Bürger in seinem berechtigten Vertrauen auf behördliches Verhalten schützt, können falsche Auskünfte von Verwaltungsbehörden unter bestimmten Voraussetzungen eine vom materiellen Recht abweichende Behandlung des Rechtsuchenden gebieten. Gemäss Rechtsprechung und Doktrin ist dies der Fall, 1. wenn die Behörde in einer konkreten Situation mit Bezug auf bestimmte Personen gehandelt hat; 2. wenn sie für die Erteilung der betreffenden Auskunft zuständig war oder wenn die rechtsuchende Person die Behörde aus zureichenden Gründen als zuständig betrachten durfte; 3. wenn die Person die Unrichtigkeit der Auskunft nicht ohne weiteres erkennen konnte; 4. wenn sie im Vertrauen auf die Richtigkeit der Auskunft Dispositionen getroffen hat, die nicht ohne Nachteil rückgängig gemacht werden können und 5. wenn die gesetzliche Ordnung seit der Auskunftserteilung keine Änderung erfahren hat (<ref-ruling> E. 5 S. 480 mit Hinweisen). Der unrichtigen Auskunft gleichgestellt ist die Unterlassung einer behördlichen Auskunft, welche gesetzlich vorgeschrieben oder nach den im Einzelfall gegebenen Umständen geboten war (<ref-ruling> E. 5 S. 480 mit Hinweisen; zur Abredeversicherung siehe insbesondere auch <ref-ruling> E. 2c S. 34). Die dritte Voraussetzung lautet diesfalls: wenn die Person den Inhalt der unterbliebenen Auskunft nicht kannte oder deren Inhalt so selbstverständlich war, dass sie mit einer anderen Auskunft nicht hätte rechnen müssen (<ref-ruling> E. 5 S. 481).
Im vorliegenden Fall besteht die nachteilige Disposition des Beschwerdeführers darin, dass er keine Abredeversicherung abgeschlossen hat. Dabei ist umstritten, ob hiefür die Unterlassung der Information durch die Arbeitgeberin kausal war. Es geht darum, ob der Beschwerdeführer bei erfolgter Information von der Möglichkeit der Abredeversicherung Gebrauch gemacht hätte, mithin um einen hypothetischen Kausalverlauf. Die übrigen Voraussetzungen des Vertrauensschutzes sind ohne weiteres als erfüllt zu betrachten.
5.3 Für den hypothetischen Kausalverlauf verlangt die bundesgerichtliche Rechtsprechung keinen strikten Beweis. Es genügt, wenn der Richter zur Überzeugung gelangt, dass die überwiegende Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Geschehensablauf spricht (<ref-ruling> E. 9.2 S. 22; <ref-ruling> E. 3.5 S. 311, je mit Hinweisen; insbesondere für einen Fall unterlassener Aufklärung: <ref-ruling> E. 3d S. 165 f.).
Kognitionsrechtlich gilt Folgendes (vgl. auch E. 1 hievor): Die Beurteilung des hypothetischen Kausalverlaufs ist - vom Bundesgericht frei überprüfbare - Rechtsfrage, wenn sie ausschliesslich gestützt auf die allgemeine Lebenserfahrung und nicht gestützt auf Beweismittel erfolgt. Sie ist - nur eingeschränkt überprüfbare - Tatfrage, wenn sie sich auf Beweiswürdigung stützt, selbst wenn darin auch Schlussfolgerungen aus der allgemeinen Lebenserfahrung mitberücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 719 und 305 E. 3.5 S. 311; Urteil 4A_417/2007 vom 14. Februar 2008 E. 5.4, je mit Hinweisen; Corboz, a.a.O., N 42 zu <ref-law>; Meyer, a.a.O., N 34a zu <ref-law>; Seiler, a.a.O., N 12 zu <ref-law>, je mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2 S. 507 mit Hinweisen). Tatfrage sind auch Feststellungen über innere oder psychische Tatsachen, wie beispielsweise was jemand wollte oder wusste (<ref-ruling> E. 4.5.3 S. 136; <ref-ruling> E. 3 S. 184; Urteil 8C_31/2007 vom 25. September 2007 E. 3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2008 ALV Nr. 12 S. 35; CORBOZ, a.a.O., N 36 zu <ref-law>; MEYER, a.a.O., N 34a zu <ref-law>; SEILER, a.a.O., N 12 zu <ref-law>).
Gestützt auf die allgemeine Lebenserfahrung traf das Bundesgericht etwa folgende Annahmen: Bei einem Kauf eines Occasionswagens sei die Zahl der gefahrenen Kilometer für den Käufer regelmässig von Bedeutung (BGE 71 II 239 E. 4 S. 241). Angaben über das Bauvolumen eines Wohnhauses seien geeignet, die Preiswürdigkeit der Kaufsache zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 1e S. 248 f.). Der Mietzins einer Wohnung hänge von deren Grösse, insbesondere der Zimmerzahl und der bewohnbaren Fläche, ab. Die eine wie die andere Angabe sei daher geeignet, den Entscheid eines Interessenten über den Vertragsschluss und dessen Bedingungen zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 1b S. 28). Die Angaben über die Bruttogeschossfläche einer Wohnung seien geeignet, den Kaufentscheid zu beeinflussen. Es bestehe daher eine natürliche Vermutung, dass die Angaben für den Vertragsabschluss kausal waren (Urteil 4A_417/2007 vom 14. Februar 2008 E. 5.5 und 5.6).
5.4 Die Abredeversicherung verlängert den UVG-Versicherungsschutz aufgrund des bisherigen Arbeitsverhältnisses über dessen Ende und die Nachdeckung hinaus. Ziel ist, bei Eintritt eines versicherten Ereignisses Leistungen beziehen zu können, auch wenn (noch) kein neuer UVG-Versicherungsschutz begründet worden ist. Die vernünftig denkende versicherte Person hat ein Interesse an einer solchen Verlängerung. Denn sie wird dadurch unfallversicherungsmässig gehalten wie im beendeten Arbeitsverhältnis. Zudem ist der Abschluss der Abredeversicherung für die versicherte Person sehr unkompliziert; der Abschluss einer Privatversicherung für einen vergleichbaren Versicherungsschutz wäre mit deutlich höherem administrativem Aufwand verbunden. Diese Aspekte sprechen nach der allgemeinen Lebenserfahrung dafür, dass eine versicherte Person bei genügender Information von der Abrede eher Gebrauch macht als nicht. Es besteht somit eine natürliche Vermutung für den Abschluss der Abredeversicherung bei erfolgter Information. Das gilt jedenfalls dann, wenn die Person lediglich ein vorübergehendes berufliches Timeout ins Auge fasst. Denn diesfalls ist ihr ein höheres Interesse an einem - möglichst ununterbrochenen - Beibehalten des Versicherungsschutzes zuzubilligen, als etwa bei einem endgültigen Ausstieg aus dem Erwerbsleben oder bei Eintritt einer Arbeitslosigkeit, welche über die Arbeitslosenversicherung einen Versicherungsschutz für Nichtberufsunfälle zur Folge haben kann (<ref-law>; <ref-law>; Art. 2 der Verordnung vom 24. Januar 1996 über die Unfallversicherung von arbeitslosen Personen, SR 837.171).
5.5 Zu prüfen bleibt, ob die besagte Vermutung eines Versicherungsabschlusses im vorliegenden Fall durch konkrete Beweiswürdigung entkräftet ist.
Anhaltspunkte, welche diesen Schluss zuliessen, werden im angefochtenen Entscheid nicht genannt. Das kantonale Gericht hat erwogen, die Aussagen des Beschwerdeführers deuteten darauf hin, dass er unabhängig vom Verhalten der Arbeitgeberin irrtümlich der Auffassung gewesen sei, über seine Krankenkasse bereits unfallversichert zu sein. Es stelle sich die Frage, ob er sich durch einen Hinweis der Arbeitgeberin auf die Abredeversicherung veranlasst gesehen hätte, eine solche abzuschliessen oder sich zumindest weiter nach den unterschiedlichen Versicherungsmöglichkeiten zu erkundigen. Dies sei aber aufgrund des Verhaltens, das der Beschwerdeführer in versicherungsrechtlichen Angelegenheiten an den Tag gelegt habe, höchstens möglich, nicht aber überwiegend wahrscheinlich.
Sollte der Beschwerdeführer indessen irrtümlich der Auffassung gewesen sein, er sei beim Krankenversicherer unfallversichert, hätte wohl gerade die Information über die Abredeversicherung dazu beigetragen, den Irrtum gleich zu erkennen, oder zumindest Anlass geboten, sich über den Versicherungsschutz zu vergewissern. Aus den Akten ergeben sich auch keine verlässlichen Anhaltspunkte dafür, dass sich der Beschwerdeführer in Versicherungsangelegenheiten nachlässig verhielt und dies den Schluss gestatten würde, er hätte entgegen der allgemeinen Lebenserfahrung auch bei erfolgter Information von der Möglichkeit der Abrede keinen Gebrauch gemacht. Es ist vielmehr davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer bei erfolgter Information die Abredeversicherung abgeschlossen hätte. Die Vorinstanz hat die Voraussetzungen für den Vertrauensschutz somit zu Unrecht verneint.
Ist nach dem Gesagten davon auszugehen, die Abredeversicherung sei vertrauensschutzrechtlich als zustande gekommen zu betrachten, bleibt zu prüfen, ob sich aus dieser Versicherung die geltend gemachten Leistungsansprüche ergeben. Die Sache wird hiefür und zur neuen Verfügung an die Alba zurückgewiesen.
6. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdegegnerin zu tragen (<ref-law>). Diese hat dem Beschwerdeführer überdies eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 31. Juli 2008 und der Einspracheentscheid der Alba Allgemeine Versicherungs-Gesellschaft vom 17. November 2004 aufgehoben werden und die Sache an die Alba Allgemeine Versicherungs-Gesellschaft zurückgewiesen wird, damit diese im Sinne der Erwägungen über den Leistungsanspruch des Beschwerdeführers neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. September 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz