Sachverhalt:
A.
X._ ist Eigentümer des Grundstücks an der Waldegg 2 und 2a (Grundbuch Nr. A._) in der Gemeinde Wolfwil. Er erwarb es am 5. Dezember 2011 von Y._. Das nicht landwirtschaftlich genutzte Grundstück liegt in der Landwirtschaftszone. Darauf befindet sich neben dem Wohnhaus (Nr. 2) mit frei stehendem Geräteschuppen ein Nebengebäude (Nr. 2a). Bereits vor dem Jahr 1972 stand an der Waldegg 2a ein Schopf mit einer Grundfläche von 4,0 x 6,0 m. Dieser diente ursprünglich als Hühnerhaus und danach als Hundezwinger.
Am 19. Juni 2009 stellte Y._ ein Baugesuch betreffend "Sanierung Waldegg 2a/Anbau Brennholzunterstand". Das Bau- und Justizdepartment des Kantons Solothurn (BJD) erteilte am 11. August 2009 dafür eine Ausnahmebewilligung gemäss Art. 24c RPG. Am 18. August 2009 bewilligte die Baukommission der Gemeinde Wolfwil das Bauvorhaben. Die Bewilligung erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
B.
Die Baukommission stellte im Dezember 2010 fest, dass die ausgeführten Bauarbeiten nicht dem bewilligten Baugesuch entsprechen. Zum selben Schluss kam nach dem Augenschein vom 9. März 2011 das BJD. Anstelle der bewilligten Sanierung habe Y._ den alten Schopf (Nr. 2a) vollständig abgerissen und durch einen Neubau mit einer Grundfläche von 6,5 x 6,5 m ersetzt, welcher zur Wohnnutzung bestimmt sei. Im Inneren des Hauses habe er dazu eine Galerie als zusätzliches Geschoss eingebaut. Das Wesen des ursprünglichen Hühner- bzw. Hundehauses sei komplett verändert worden. Zudem habe er den ursprünglichen Geräteschuppen, der sich unmittelbar neben dem Wohnhaus befunden habe, abgerissen und ohne Bewilligung durch ein "OBI-Fertighäuschen" ersetzt. Nachdem das BJD zum Schluss gekommen war, beide Bauten könnten auch nachträglich nicht bewilligt werden, verfügte es am 5. Mai 2011 die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands. Beide Gebäude seien bis zum 30. Juni 2011 vollständig zurückzubauen.
C.
Y._ und X._ fochten den Wiederherstellungsbefehl beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn an. Dieses hiess die Beschwerde nach durchgeführtem Augenschein am 1. März 2012 teilweise gut. In Abweichung von der Verfügung des BJD liess es das Gebäude Waldegg 2a unter folgenden Auflagen zu (Ziff. 2) :
"a) Die vier Fenster in den Stirnseiten des Dachstocks sind zu entfernen; die Holzwand ist jeweils wieder zu schliessen. b) Die Treppe, die auf die Galerie führt, ist zu entfernen. c) Der nördlich eingebaute Holzunterstand ist so umzugestalten, dass er auf mindestens zwei Seiten völlig offen ist. d) Ein weiterer Innenausbau ist untersagt. e) Es darf kein Wasseranschluss erstellt werden. f) Ein Abwasseranschluss darf bloss für das Dachwasser erstellt werden."
Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
D.
Das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, Ziffer 2 des Entscheids des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben; die Wiederherstellungsverfügung des BJD sei zu bestätigen; eventuell sei das Verfahren zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen zurückzuweisen.
E.
In formeller Hinsicht ersuchte das ARE um vorläufige Aussetzung des Verfahrens bis zur Klärung der Frage, ob X._ ein reduziertes Baugesuch einreiche, und gegebenenfalls bis zum Entscheid darüber.
Mit Verfügung vom 31. Mai 2012 setzte der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung das bundesgerichtliche Verfahren vorläufig aus. Am 6. März 2013 nahm er das Verfahren wieder auf, nachdem das ARE mitgeteilt hatte, dass mit X._ keine einvernehmliche Lösung gefunden worden sei.
F.
X._ verweist in der Vernehmlassung auf die seiner Ansicht nach zutreffenden Erwägungen des Verwaltungsgerichts und beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen; im Übrigen äussert er sich nicht zur Beschwerde. Y._ lässt sich nicht vernehmen. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das BJD beantragt deren Gutheissung.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen Endentscheid steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (<ref-law>). Das ARE ist nach <ref-law> und Art. 48 Abs. 4 der Raumplanungsverordnung vom 28. Juni 2000 (RPV; SR 700.1) zur Beschwerde berechtigt, um die öffentlichen Interessen, insbesondere an der richtigen und rechtsgleichen Anwendung des Bundesrechts, zu wahren (<ref-ruling> E. 1.1 S. 362). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Das "OBI-Fertighäuschen" ist nicht Streitgegenstand. Es ist nach dem in diesem Punkt unangefochtenen Entscheid des Verwaltungsgerichts vollständig zu entfernen (vgl. Ziff. 3 des Urteilsdispositivs).
Streitig ist dagegen, inwieweit der rechtmässige Zustand in Bezug auf das Gebäude Waldegg 2a (in der Folge: Neubau) wiederherzustellen ist. Die Vorinstanz kommt zum Schluss, es seien nur gewisse Rückbaumassnahmen nötig; der Neubau könne im Übrigen stehen bleiben (vgl. C. oben). Der Beschwerdeführer ist demgegenüber der Ansicht, der Neubau sei - wie vom BJD verfügt - vollständig zu entfernen.
3.
Die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands setzt zunächst voraus, dass die Baute, wie sie errichtet wurde, nicht bewilligt worden ist und auch nachträglich nicht bewilligt werden kann. Die Baute muss somit formell und materiell rechtswidrig sein (vgl. u.a. <ref-ruling> E. 4 S. 254).
Es ist unbestritten, dass der Beschwerdegegner 2 den Neubau in Abweichung von der erteilten Baubewilligung erstellte. Ob er unter den gegebenen Umständen dennoch davon ausgehen durfte, dass die Behörden die erstellte Baute duldeten, ist eine Frage des guten Glaubens. Soweit die Vorinstanz ausführt, das behördliche Verhalten sei insoweit missverständlich gewesen, sind deren Erwägungen somit beim Vertrauensschutz zu behandeln (dazu E. 4.1 unten).
Der Neubau ist unstreitig nicht zonenkonform. Die Vorinstanz hält sodann zu Recht fest, dass für die Baute, wie sie errichtet worden ist, auch eine nachträgliche Ausnahmebewilligung gemäss Art. 24 ff. RPG ausser Betracht falle.
Der Ersatz des ehemaligen Hundezwingers durch ein Wohnhaus erfolgte demnach ohne Bewilligung und kann auch nachträglich nicht bewilligt werden.
4.
Erweist sich die streitige Baute als widerrechtlich, hat die zuständige Behörde grundsätzlich den rechtmässigen Zustand herbeizuführen. Die Wiederherstellung kann jedoch im Einzelfall ausgeschlossen sein, wenn sie allgemeinen Prinzipien des Verfassungs- und Verwaltungsrechts entgegensteht. Dazu gehören namentlich die in <ref-law> festgehaltenen Grundsätze der Verhältnismässigkeit und des Schutzes des guten Glaubens (<ref-ruling> E. 6 S. 35).
4.1. Auf den Vertrauensschutz kann sich nach der Rechtsprechung berufen, wer im guten Glauben gehandelt hat, das heisst angenommen hat und unter Anwendung zumutbarer Sorgfalt annehmen durfte, die von ihm erstellte Baute sei rechtmässig bzw. stehe mit der Baubewilligung im Einklang (<ref-ruling> E. 7.1 S. 365 mit Hinweisen).
4.1.1. Aus dem vorinstanzlich erstellten Sachverhalt geht deutlich hervor, dass der Beschwerdegegner 2 die streitige Baute in wesentlichen Teilen in Abweichung von den Baugesuchsunterlagen errichtete. Er baute das Haus auf eine Firsthöhe von 5,4 m und damit rund einen Meter höher als bewilligt (vgl. Baugesuch vom 19. Juni 2009 [Schnitt A-A] mit Augenscheinprotokoll vom 9. März 2011). Er ersetzte den Riegelbau mit Zeltdach durch eine reine Holzkonstruktion mit Satteldach, obschon er die Materialisierung und Konstruktion von Fassade und Dach im Baugesuch als "wie bestehend" angegeben hatte. In Abweichung von den Plänen schloss er den Holzunterstand auf allen Seiten. Die oberen Fenster auf der Stirnseite des Gebäudes realisierte er um ein Mehrfaches grösser als in den Plänen festgehalten. Bei der Ausführung des Betonfundaments überschritt er die bewilligte Grundfläche um rund einen Drittel. Er isolierte die Aussenwand ohne Erlaubnis gegen Wind und Kälte. Ohne Bewilligung installiert er zudem einen Wasseranschluss. Da die erstellte Baute in diesen Punkten von klaren Vorgaben der Baubewilligung abweicht, erscheint die Annahme berechtigt, der Bauherr habe gewusst oder hätte bei gehöriger Sorgfalt wissen müssen, dass der geschaffene Zustand rechtswidrig war. Es ist dem Beschwerdeführer folglich beizupflichten, wenn er festhält, der Beschwerdegegner 2 sei insoweit bösgläubig gewesen.
Im Übrigen sind die Baubewilligungsunterlagen zwar teilweise mit Unklarheiten behaftet. Namentlich zeigen die Pläne im Gegensatz zu den Angaben auf dem Kerndatenblatt des Baugesuchs keine Sanierung des bestehenden Hauses, sondern einen Neubau. Daraus vermag der Beschwerdegegner 2 jedoch nichts zu seinen Gunsten abzuleiten. Die Pläne gehen dem Text nur dann vor, wenn sie im streitigen Punkt schlüssig sind (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 30). Dies ist hier nicht der Fall. Aus den Grundriss-, Schnitt- und Fassadenplänen geht nicht hervor, dass das ehemalige Hundehaus mit Brennholzunterstand in ein Wohnhaus umgenutzt werden sollte. Schwebte dem Beschwerdegegner 2 eine solche Zweckänderung vor, wäre er aufgrund seiner Mitwirkungspflicht gehalten gewesen, dies in den Plänen anzugeben (§ 6 Abs. 1 lit. a Ziff. 2 der Bauverordnung des Kantons Solothurn vom 3. Juli 1978 [KBV; BGS 711.61]). Da er die Bauarbeiten ohne die betreffende Angabe ausführte, kann er sich auch in dieser Hinsicht nicht auf seinen guten Glauben berufen (vgl. ebenso <ref-ruling> E. 6.1 S. 35 f.).
4.1.2. Auch das Verhalten der Behörden im Nachgang zur Baubewilligung war nicht geeignet, beim Bauherrn eine Vertrauensposition zu schaffen. Die Baukommission wies den Beschwerdegegner 2 bei der Bauabnahme von Anfang Dezember 2010 darauf hin, die erstellte Baute entspreche nicht der Baubewilligung. Sie forderte ihn innert Wochenfrist auf, ein nachträgliches Baugesuch einzureichen. Am 9. März 2011 führte das BJD einen Augenschein durch, verweigerte dem Beschwerdegegner 2 rund zwei Monate später die nachgesuchte Ausnahmebewilligung und verfügte gleichzeitig die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands. In Anbetracht dessen kann nicht von einer jahrelangen behördlichen Duldung gesprochen werden. Daran ändert entgegen der Auffassung des Verwaltungsgerichts nichts, dass die Baukommission dem Beschwerdegegner 2 am 19. August 2009 eine Baubewilligung erteilte, die unangefochten in Rechtskraft erwuchs. Was dieser baute, weicht von der Bewilligung ab; dafür ist ihm, wie dargelegt (E. 4.1.1), böser Glaube vorzuwerfen. Ob er auf die Rechtsgültigkeit der Verfügung vertrauen durfte, ist unter diesen Umständen unerheblich.
Der Beschwerdegegner 2 ist in Bezug auf die Unzulässigkeit der streitigen Baute demnach bösgläubig gewesen. Diesen Vorwurf hat auch der Beschwerdegegner 1 als dessen Rechtsnachfolger gegen sich gelten zu lassen (vgl. u.a. Urteil 1C_337/2008 vom 18. November 2008 E. 3.3). Gründe des Vertrauensschutzes stehen der Wiederherstellung nicht entgegen.
5.
Umstritten ist im Weiteren, ob die Behebung des rechtswidrigen Zustands verhältnismässig ist.
5.1. Ein Wiederherstellungsbefehl erweist sich dann als unverhältnismässig, wenn die Abweichung vom Gesetz gering ist und die berührten öffentlichen Rechtsgüter den Schaden, der dem Eigentümer durch die Wiederherstellung entstünde, nicht zu rechtfertigen vermögen. Auf den Grundsatz der Verhältnismässigkeit kann sich auch ein Bauherr berufen, der nicht gutgläubig gehandelt hat. Er muss aber in Kauf nehmen, dass die Behörden aus grundsätzlichen Erwägungen, namentlich zum Schutz der Rechtsgleichheit und der baurechtlichen Ordnung, dem Interesse an der Wiederherstellung des gesetzmässigen Zustands erhöhtes Gewicht beimessen und die dem Bauherrn allenfalls erwachsenden Nachteile nicht oder nur in verringertem Masse berücksichtigen (<ref-ruling> E. 6.4 S. 39 f. mit Hinweisen).
5.1.1. Die Trennung des Baugebietes vom Nichtbaugebiet stellt eines der grundlegendsten Prinzipien des Raumplanungsrechts des Bundes dar (vgl. <ref-law>; Art. 1 und 3 RPG; <ref-ruling> E. 9 S. 368; <ref-ruling> E. 6b S. 225). Im Lichte dieses wichtigen raumplanerischen Anliegens ist auch Art. 24c RPG auszulegen (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 218). Gestützt auf diese Bestimmung bewilligte der Kanton die Erneuerung und teilweise Erweiterung des Hundezwingers. In einer Gesamtbetrachtung setzt Art. 24c Abs. 2 RPG voraus, dass der Umfang, die äussere Erscheinung und die Zweckbestimmung der ursprünglichen Baute in den wesentlichen Zügen gewahrt bleibt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3a S. 218).
Im Streit liegt eine nicht zonenkonforme Baute, deren Volumen um über einen Drittel vergrössert wurde. Anstelle des ursprünglichen Riegelbaus mit Zeltdach steht heute eine reine Holzkonstruktion mit Satteldach. Das ehemalige Hundehaus wurde in ein Gebäude umgewandelt, dessen wärmeisoliertes, zweistöckiges Inneres zur Wohnnutzung bestimmt ist. Der Neubau weicht damit in Umfang, äusserer Erscheinung und Zweckbestimmung deutlich von der abgerissenen Baute ab. Entgegen der vorinstanzlichen Auffassung handelt es sich hierbei nicht um geringfügige Abweichungen vom Erlaubten. Der Neubau verletzt vielmehr von Grund auf den Identitätsgrundsatz und widerspricht damit gewichtigen Interessen der Raumplanung.
5.1.2. Unter dem Gesichtspunkt der Verhältnismässigkeit fragt sich im Weiteren, ob der vom Beschwerdeführer beantragte Totalabbruch erforderlich ist, um die auf dem Spiel stehenden raumplanerischen Grundsätze zu wahren. Die Vorinstanz verfügt im Wesentlichen eine teilweise Öffnung des Holzunterstandes sowie die Entfernung mehrerer Fenster und untersagt den weiteren Innenausbau des Neubaus. Für deutliche Abweichungen vom Identitätsgrundsatz sieht sie hingegen vom Befehl zur Wiederherstellung ab. Zu nennen sind das Volumen, die Materialisierung und das wärmeisolierte, zu Wohnzwecken bestimmte Innere des Hauses. Auch nach Vornahme der von der Vorinstanz verfügten Rückbaumassnahmen bliebe das Haus nach objektiven Gesichtspunkten bewohnbar. Ein entsprechendes Nutzungsverbot, wie es die Vorinstanz erwägt, wäre sodann mit erheblichen Vollzugsschwierigkeiten verbunden (vgl. Urteil 1C_157/2011 vom 21. Juli 2011 E. 5.4). Eine mit den zentralen Anliegen des Raumplanungsrechts im Einklang stehende Nutzung gewährleisten die von der Vorinstanz verfügten Massnahmen nicht. Der rechtmässige Zustand wird nur durch die vollständige Beseitigung des Neubaus erreicht.
5.1.3. Dem Totalabbruch stehen auf Seiten der Beschwerdegegner im Wesentlichen Vermögensinteressen entgegen. Gestützt auf die Akten hat das Gebäude einen Versicherungswert von rund Fr. 50'000.-- und belaufen sich die Abbruchkosten auf ungefähr Fr. 20'000.--. Diese Vermögensgüter wiegen zwar nicht leicht. Der Beschwerdegegner 2 hat diese Investitionen jedoch in Kenntnis der Rechtswidrigkeit des Bauvorhabens getätigt und demnach auf eigenes Risiko gehandelt. Diesen Vorwurf hat auch der Beschwerdegegner 1 gegen sich gelten zu lassen (vgl. E. 4.1.2). Wie der Beschwerdeführer zutreffend festhält, kommt der Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands für rechtswidrig erstellte Bauten ausserhalb der Bauzone besonderes Gewicht zu (vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 364). Unter diesen Umständen wiegen die privaten die öffentlichen Interessen bei Weitem nicht auf.
Wägt man die auf dem Spiel stehenden Interessen gesamthaft gegeneinander ab, erweist sich die vollständige Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands als verhältnismässig.
6.
Die Beschwerde ist somit begründet und die Wiederherstellungsverfügung des BJD im Ergebnis zu bestätigen. Demnach ist das Gebäude Waldegg 2a vollständig zu beseitigen.
7.
Ist die Beschwerde in diesem Sinne gutzuheissen, bleibt zu klären, an wen sich der Beseitigungsbefehl richtet und innert welcher Frist der rechtmässige Zustand wiederherzustellen ist.
7.1. Das BJD richtete die Beseitigungsverfügung vom 5. Mai 2011 an den Beschwerdegegner 2 in seiner Position als Bauherr und damaliger Eigentümer. Am 5. Dezember 2011 veräusserte dieser das streitbetroffene Grundstück an den Beschwerdegegner 1. Entsprechend trat letzterer dem vorinstanzlichen Prozess als Beschwerdeführer bei. Das Verwaltungsgericht hob den Beseitigungsbefehl am 1. März 2012 auf und verfügte reformatorisch bestimmte Rückbaumassnahmen. Dabei liess es offen, wer letztlich dazu verpflichtet ist, den rechtmässigen Zustand wiederherzustellen. Als mögliche Verfügungsadressaten kommen hier sowohl der Beschwerdegegner 2 als Bauherr und Verhaltensstörer wie auch der Beschwerdegegner 1 als heutiger Eigentümer und Zustandsstörer in Frage (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 23). Der Entscheid darüber, wer zur Wiederherstellung konkret zu verpflichten ist, steht im pflichtgemässen Ermessen der zuständigen Verwaltungsbehörde (a.a.O. E. 2b S. 24 f.). In diesem Sinne ist die Sache an das BJD zu neuem Entscheid zurückzuweisen (<ref-law>; u.a. Urteil 1D_11/2007 vom 27. Februar 2008 E. 6, nicht publ. in: <ref-ruling>).
7.2. Die von der Vorinstanz verfügte Wiederherstellungsfrist ist am 31. Oktober 2012 abgelaufen. Auch diesbezüglich ist die Sache an das BJD zurückzuweisen, um eine neue, nach den Umständen angemessene Frist festzusetzen.
In diesem Sinne ist der Rückweisungsantrag des Beschwerdeführers gutzuheissen.
8.
8.1. Die Beschwerde ist danach gutzuheissen. Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids ist aufzuheben. Das Gebäude Waldegg 2a ist vollständig, das heisst einschliesslich der Bodenplatte, zu entfernen. Im Übrigen ist die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen (vgl. E. 7) an das BJD zurückzuweisen.
8.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens tragen die privaten Beschwerdegegner die Gerichtskosten (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer hat den vorinstanzlichen Kostenentscheid nicht angefochten. Somit erübrigt sich eine Neuverteilung der Kosten des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens (vgl. <ref-law>; dazu u.a. Urteil 5A_309/2013 vom 4. November 2013 E. 7; Thomas Geiser, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 6 zu Art. 67).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und Ziffer 2 des Entscheids des Verwaltungsgerichts vom 1. März 2012 aufgehoben. Das Gebäude Waldegg 2a ist vollständig, einschliesslich der Bodenplatte, zu entfernen. Im Übrigen wird die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Bau- und Justizdepartement zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdegegnern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Baukommission der Einwohnergemeinde Wolfwil, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Januar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Geisser