Faits:
A.
A.a. A._, ressortissant de U._, s'est installé en Suisse en 1981. Il a d'abord travaillé dans l'hôtellerie puis en qualité d'aide-charpentier au service de la société B._ SA du 1 er décembre 1988 au 5 mai 2003, date à laquelle il a été mis en arrêt de travail pour maladie. Il n'a pas repris d'activité lucrative depuis lors et a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 11 février 2004. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a rendu une décision, le 30 mai 2008, par laquelle il a accordé à l'assuré une rente entière d'invalidité du 1 er mai 2004 au 31 janvier 2005. Se fondant sur un rapport rendu le 24 juillet 2006 par les médecins de son Service médical régional (SMR), qui ont notamment exclu toute atteinte sur le plan psychique, l'administration a considéré en bref que l'intéressé disposait d'une capacité de travail entière dans une activité adaptée à partir du mois d'octobre 2004, de sorte qu'il ne subissait qu'une perte de gain d'un taux insuffisant (18 %) pour maintenir le droit à la prestation (courrier à l'assuré du 26 mars 2008).
A.b. Le 2 février 2010, A._ a à nouveau requis des prestations de l'assurance-invalidité. Après avoir recueilli les avis du médecin traitant de l'assuré, le docteur C._, généraliste, et de son psychiatre traitant, le docteur D._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, qui a diagnostiqué une schizophrénie simple (rapport du 4 février 2010), l'office AI a confié une expertise psychiatrique au docteur E._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Ce médecin, qui s'est entretenu avec A._ avec l'aide d'une interprète en langue serbo-croate, a conclu que l'assuré souffrait d'un épisode dépressif depuis 2003, de degré actuellement léger, qui n'entraînait pas de diminution de la capacité de travail; le diagnostic de schizophrénie simple ne pouvait être retenu (rapport du 4 avril 2011). Fort de ces conclusions, l'office AI a informé l'intéressé, le 3 octobre 2011, qu'il entendait rejeter sa demande. A._ a contesté le projet de décision, en produisant l'avis du docteur C._ (du 23 décembre 2011) et le rapport établi le 2 janvier 2012 par le docteur D._ et le psychologue-psychothérapeute G._. Par décision du 1 er juin 2012 (faussement datée du 14 novembre 2011), l'office AI a rejeté la demande de prestations.
B.
Saisi d'un recours formé par A._ contre cette décision, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a rejeté par arrêt du 1 er novembre 2013.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Sous suite de frais et dépens, il conclut principalement à la réforme de celui-ci, en ce sens que lui soit reconnu le droit à des prestations de l'assurance-invalidité, notamment sous forme de rente. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi de la cause à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois pour qu'elle ordonne une expertise psychiatrique judiciaire. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
Compte tenu du jugement entrepris et des conclusions du recourant, le litige porte sur son droit à une rente de l'assurance-invalidité, à la suite de sa demande de prestations du 2 février 2010. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence sur la notion d'invalidité, le droit à la rente d'invalidité et son étendue, la valeur probante des rapports médicaux, ainsi que les dispositions applicables en cas de nouvelle demande après un refus de prestations. Il suffit d'y renvoyer.
3.
Suivant les conclusions de l'expertise du docteur E._, les premiers juges ont nié toute aggravation de l'état de santé psychique du recourant depuis la décision administrative du 26 mars 2008 ( recte 30 mai 2008), attendu qu'il était à même de mettre en valeur une pleine capacité de travail. En particulier, ils ont considéré que l'expertise n'avait pas été entachée de manière négative par des problèmes de traduction des propos de l'assuré par l'interprète; le docteur E._ avait par ailleurs expliqué de manière convaincante les raisons pour lesquelles l'avis du docteur D._ ne pouvait être suivi. Quant à la situation du recourant sur le plan somatique, elle n'avait pas non plus changé depuis les appréciations médicales sur lesquelles s'était appuyé l'office AI dans sa première décision. Faute de modification depuis ce moment-là, les prétentions du recourant étaient mal fondées.
4.
4.1. Invoquant une violation de son droit d'être entendu, ainsi que l'interdiction de l'arbitraire, le recourant reproche aux premiers juges de n'avoir pas mis en oeuvre une expertise médicale judiciaire au regard des moyens de preuve produits et des problèmes de traduction survenus au cours de l'expertise du docteur E._. Selon lui, la juridiction cantonale a fait preuve d'arbitraire en considérant, d'une part, que ses allégations selon lesquelles il avait relevé à plusieurs reprises au cours de l'examen psychiatrique des erreurs de traduction de l'interprète ne pouvaient être retenues, faute d'être corroborées par un élément du dossier, et, d'autre part, qu'il n'était pas intervenu dans les suites immédiates de l'examen pour se plaindre de la fiabilité de la traduction de ses propos à l'expert. Les constatations des premiers juges quant à ses connaissances de la langue française seraient par ailleurs manifestement inexactes, puisqu'il ressortait d'un rapport du Centre d'observation professionnelle de l'assurance-invalidité (COPAI) du 22 mai 2007 que tant sa compréhension du français que son expression orales étaient très limitées. A cet égard, le recourant soutient que la juridiction cantonale aurait dû l'entendre en ce qui concerne sa faiblesse linguistique. Il fait également grief à l'autorité cantonale de recours d'avoir écarté arbitrairement ses critiques quant au contenu de l'expertise du docteur E._, relatives à deux erreurs de traduction au moins qui avaient influencé les conclusions du psychiatre pour exclure le diagnostic (de schizophrénie simple) posé par le docteur D._.
4.2. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend celui pour les parties de produire des preuves quant aux faits de nature à influer la décision et d'obtenir qu'il soit donné suite aux offres de preuves pertinentes (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 370; <ref-ruling> consid. 2c p. 578; <ref-ruling> consid. 3a p. 436). En revanche, une partie n'a pas droit à l'administration d'une preuve dépourvue de pertinence parce qu'elle porte sur une circonstance sans rapport avec le litige, ou qu'une appréciation anticipée des preuves déjà recueillies démontre qu'elle ne serait pas de nature à emporter la conviction de la juridiction saisie (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 429; <ref-ruling> consid. 6c/cc in fine p. 135). Dans la mesure où il porte sur le résultat de cette appréciation anticipée des preuves, le grief formulé par le recourant relève bien plutôt de l'appréciation des preuves que de la violation du droit d'être entendu. Il sera donc examiné sous cet angle avec le fond du litige.
5.
5.1. Comme l'a rappelé la juridiction cantonale, pour évaluer de manière fiable l'état de santé de l'assuré et ses répercussions éventuelles sur la capacité de travail, en particulier lors d'un examen psychiatrique, la meilleure compréhension possible entre l'expert et la personne assurée revêt une importance spécifique. Il n'existe cependant pas de droit inconditionnel à la réalisation d'un examen médical dans la langue maternelle de l'assuré ou à l'assistance d'un interprète. En définitive, il appartient à l'expert, dans le cadre de l'exécution soigneuse de son mandat, de décider si l'examen médical doit être effectué dans la langue maternelle de l'assuré ou avec le concours d'un interprète. Le choix de l'interprète, ainsi que la question de savoir si, le cas échéant, certaines phases de l'instruction médicale doivent être exécutées en son absence pour des raisons objectives et personnelles, relèvent également de la décision de l'expert. Ce qui est décisif dans ce contexte, c'est l'importance de la mesure au regard de la prestation entrant en considération. Il en va ainsi de la pertinence et donc de la valeur probante de l'expertise en tant que fondement de la décision de l'administration, voire du juge. Les constatations de l'expert doivent dès lors être compréhensibles, sa description de la situation médicale doit être claire et ses conclusions motivées (arrêt I 245/00 du 30 décembre 2003, publié in VSI 2004 p. 144 consid. 4; arrêt 8C_913/2010 du 18 avril 2011 consid. 3.3.1 et les arrêts cités).
5.2. Le point de savoir si, au regard des circonstances concrètes du cas d'espèce et des aspects rappelés ci-avant, la compréhension linguistique entre l'expert et la personne assurée est suffisante pour garantir une expertise revêtant un caractère à la fois complet, compréhensible et concluant relève de l'appréciation des preuves et, partant, d'une question de fait que le Tribunal fédéral examine uniquement à l'aune de l'inexactitude manifeste et de la violation du droit au sens de l'<ref-law> (consid. 1 supra; consid. 3.3.2 de l'arrêt 8C_913/2008 cité). A cet égard, l'appréciation des preuves est arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les arrêts cités). L'appréciation des preuves doit être arbitraire non seulement en ce qui concerne les motifs évoqués par la juridiction cantonale pour écarter un moyen de preuve, mais également dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 318 s.).
6.
6.1. C'est en vain tout d'abord que le recourant reproche aux premiers juges d'avoir omis de tenir compte du rapport du COPAI lorsqu'ils ont constaté notamment qu'il était à même de comprendre les questions de l'expert E._ et d'y répondre, du moins en partie, sans l'aide de l'interprète, puisque sa maîtrise du français semblait meilleure que ce qu'il prétendait. S'il est vrai que sous le chapitre "capacités d'adaptation et d'apprentissage (cérébralité) ", les auteurs du rapport du COPAI du 22 mai 2007 ont indiqué que la compréhension linguistique (du français) et l'expression orale de l'assuré étaient "très limitée[s]", ils ont toutefois mentionné dans la partie "résumé du bilan cursus et impact sur la réadaptation" du rapport que "M. A._ comprend bien le français et s'exprime avec accent dans un vocabulaire simple et compréhensible". Le passage du rapport invoqué par le recourant n'est dès lors pas suffisant pour remettre en cause les autres éléments mis en évidence à ce sujet par la juridiction cantonale (que le recourant se limite à qualifier d'"inconsistants", grief de nature purement appellatoire) : l'assuré avait été à même de comprendre et de s'exprimer de manière satisfaisante devant les médecins qu'il avait consultés par le passé (les doctoresses F._ et H._, le docteur D._) ou qui l'avaient examiné (les médecins du SMR en 2006); le docteur E._ avait relevé que l'assuré, qui disait comprendre le français, mais le parler moins bien qu'il ne le comprenait, s'exprimait correctement dans cette langue et la comprenait bien lors de l'examen.
En tout état de cause, le niveau exact des connaissances linguistiques du recourant n'est pas déterminant, pas plus du reste que le point de savoir s'il s'est plaint de la fiabilité de la traduction devant l'expert, puis en procédure administrative. Les deux erreurs d'interprétation qu'il fait valoir à l'appui de ses conclusions ne sont en effet pas déterminantes pour l'issue du litige, comme il ressort de ce qui suit.
6.2. Selon le recourant, le docteur E._ se serait fondé exclusivement sur les déclarations mal traduites par l'interprète pour en déduire qu'il ne pouvait pas poser le diagnostic de schizophrénie simple, à l'inverse du docteur D._. Pour exclure ledit diagnostic, l'expert psychiatre avait nié un retrait social, au vu du souhait qu'aurait exprimé l'assuré de voir ses amis plus souvent, alors que celui-ci indique avoir dit le contraire (ses amis voulaient le voir plus souvent); le médecin avait également retenu la mention d'hallucinations et d'idées délirantes, tandis que le recourant indique avoir parlé de cauchemars.
A la lecture de l'expertise du docteur E._, on constate que les deux éléments invoqués par le recourant, qui reposeraient sur une erreur de compréhension, ne sont que deux facteurs parmi beaucoup d'autres mentionnés par le psychiatre pour expliquer les raisons le conduisant à s'écarter de l'appréciation du docteur D._. Il ressort en particulier des explications de l'expert que nombre d'éléments déterminants pour le diagnostic de schizophrénie simple n'étaient pas présents chez l'assuré: son apathie était le reflet de la diminution de l'élan vital en lien avec la dépression; il n'y avait pas d'émoussement affectif, ni de ralentissement idéique; la communication non verbale n'était pas marquée par la pauvreté; le comportement n'était pas caractérisé par la bizarrerie, l'assuré était cohérent et adéquat dans sa souffrance dépressive; son discours était de type dépressif, ce qui n'était pas compatible avec le diagnostic de schizophrénie. L'expert a par ailleurs exposé qu'aucun médecin consulté par le patient antérieurement au docteur D._ n'avait mentionné le diagnostic retenu uniquement par celui-ci, alors que la schizophrénie était une atteinte qui commençait chez l'adulte jeune, entre l'âge de 18 et 35 ans.
Compte tenu de l'ensemble des facteurs mis en évidence par l'expert, ses conclusions apparaissent convaincantes en ce qui concerne la pathologie retenue et ses effets, même s'il fallait faire abstraction des éléments de "retrait social" et d'"exclusion d'hallucinations et d'idées délirantes". Quoi qu'en dise le recourant, l'avis de son psychiatre traitant n'est pas propre à mettre en doute l'évaluation de son confrère, comme l'a retenu la juridiction cantonale, dans une appréciation qui ne saurait être qualifiée d'arbitraire. Dans son rapport du 2 janvier 2012, le docteur D._ ne fait état d'aucun élément nouveau dont l'expert E._ n'aurait pas tenu compte, mais en donne une interprétation différente (l'assuré ne transmet pas "un ressentiment dépressif, mais de vide"), sans se référer aux constatations de l'expertise. Parmi les facteurs énumérés par le psychiatre traitant, on ne trouve par ailleurs pas d'indices de "bizarreries du comportement", telles que mentionnées dans la définition de la schizophrénie simple de la Classification statistique internationale des maladies et des problèmes de santé connexes (CIM-10, dixième révision, Organisation mondiale de la santé; F20.6: trouble caractérisé par la survenue insidieuse et progressive de bizarreries du comportement, d'une impossibilité à répondre aux exigences de la société et d'une diminution globale des performances. La survenue des caractéristiques "négatives" de la schizophrénie résiduelle [par exemple un émoussement affectif et une perte de volonté, etc] n'est pas précédée d'un quelconque symptôme psychotique manifeste"). A cet égard, on rappellera qu'on ne saurait remettre en cause une expertise ordonnée par l'administration ou le juge et procéder à de nouvelles investigations du seul fait qu'un ou plusieurs médecins traitants ont une opinion contradictoire. Il n'en va différemment que si ces médecins font état d'éléments objectivement vérifiables ayant été ignorés dans le cadre de l'expertise et qui sont suffisamment pertinents pour remettre en cause les conclusions de l'expert (<ref-ruling> consid. 3b/bb p. 353). Tel n'est pas le cas en l'occurrence.
6.3. En conséquence de ce qui précède, les griefs du recourant apparaissent mal fondés, de sorte qu'il n'y a pas lieu de s'écarter de l'appréciation des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale. La mise en oeuvre d'une nouvelle expertise médicale se révèle par ailleurs superflue, dès lors que le dossier comprend suffisamment de rapports médicaux permettant de forger la conviction du Tribunal. Le recours doit donc être rejeté.
7.
Le recourant, qui satisfait aux conditions de l'<ref-law>, en particulier parce qu'il a établi son indigence au moyen d'une attestation du Centre social intercommunal de V._, est dispensé de l'obligation de payer des frais judiciaires. Quant aux conditions auxquelles l'<ref-law> subordonne la désignation d'un avocat d'office, elles sont également réalisées. L'attention du recourant est cependant attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée et Maître Flore Primault est désignée comme avocate d'office du recourant.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 19 mai 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : La Greffière :
Kernen Moser-Szeless