Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt führte gegen X._ ein Strafverfahren wegen Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte sowie wegen Landfriedensbruchs. X._ wurde vorgeworfen, sich im Rahmen einer bewilligten Demonstration an Ausschreitungen beteiligt zu haben.
Auf Gesuch hin konnte X._ am 25. Juli 2012 in den Räumlichkeiten der Staatsanwaltschaft unter Aufsicht die Verfahrensakten einsehen und sich Notizen erstellen. Den Antrag, die Akten kopieren zu dürfen, wies die Staatsanwaltschaft hingegen mit Verfügung vom 31. Juli 2012 ab. Die Staatsanwaltschaft erwog, das Vorverfahren sei nicht öffentlich; die Beschränkung, der beschuldigten Person während des laufenden Vorverfahrens grundsätzlich keine Kopien der Verfahrensakten herauszugeben, diene dem Ziel, die Nichtöffentlichkeit zu gewährleisten.
Diese Verfügung focht X._ mit Beschwerde vom 13. August 2012 beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt an und beantragte, es sei festzustellen, dass beschuldigte Personen Aktenkopien gegen Gebühr verlangen dürften, und es sei ihr selbst die Erstellung solcher Kopien zu gestatten.
Am 30. August 2012 stellte die Staatsanwaltschaft das Verfahren gegen X._ wegen Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte ein. Zugleich verurteilte sie X._ mit Strafbefehl wegen Landfriedensbruchs zu einer bedingten Geldstrafe; gegen diesen Strafbefehl erhob X._ Einsprache.
Mit Entscheid vom 25. November 2013 wies das Appellationsgericht die Beschwerde von X._ vom 13. August 2012 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
X._ führt mit Eingabe vom 14. Januar 2014 Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht und beantragt in der Hauptsache die Aufhebung des Entscheids des Appellationsgerichts.
Das Appellationsgericht stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung und teilt mit, dass kein Rechtsmittel mehr hängig sei. Die Staatsanwaltschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die eingegangenen Stellungnahmen wurden der Beschwerdeführerin zur Kenntnisnahme zugestellt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Beschluss stellt einen Zwischenentscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) dar, der gemäss <ref-law> der Beschwerde in Strafsachen unterliegt, sofern die Voraussetzungen von <ref-law> gegeben sind. Ob dies hier der Fall ist, kann offen bleiben.
1.2. Streitgegenstand bildet der Umfang des Akteneinsichtsrechts der Beschwerdeführerin als beschuldigte Person im Vorverfahren nach StPO (SR 312.0). Das Verfahren vor der Staatsanwaltschaft wurde am 30. August 2012 mit Einstellungsverfügung und mit Strafbefehl abgeschlossen. Ein Rechtsmittel ist nach den Ausführungen der Vorinstanz nicht mehr hängig. Damit ist das Rechtsschutzinteresse der Beschwerdeführerin nicht mehr aktuell.
Dies wird von der Beschwerdeführerin nicht bestritten. Sie macht indessen geltend, das Bundesgericht verzichte praxisgemäss auf das Erfordernis eines aktuellen praktischen Rechtsschutzinteresses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlichen Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 208).
1.3. Die Beschwerdeführerin begründet nicht, und es ist auch nicht ersichtlich, weshalb eine rechtzeitige höchstrichterliche Beurteilung der Frage nach dem Umfang des Akteneinsichtsrechts im Vorverfahren kaum je möglich sein sollte. Vielmehr weist die Beschwerdeführerin selbst darauf hin, dass das vorliegende Verfahren zum Zeitpunkt ihres Gesuchs bereits drei Jahre gedauert habe (Beschwerde S. 7). Im Normalfall erscheint eine rechtzeitige bundesgerichtliche Prüfung dieser Rechtsfrage durchaus möglich (vgl. insoweit auch Verfügung 1B_339/ 2013 vom 4. Februar 2014 E. 4), weshalb kein Anlass besteht, die Beschwerde trotz des fehlenden aktuellen praktischen Interesses der Beschwerdeführerin ausnahmsweise materiell zu behandeln. Auf die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin grundsätzlich kostenpflichtig. Angesichts ihrer schwierigen finanziellen Verhältnisse rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Damit ist der Antrag auf unentgeltliche Prozessführung gegenstandslos. Da die Beschwerde aussichtslos war, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Stohner