Sachverhalt:
A. Am 6. Dezember 2006 klagte A._ (Beschwerdeführer) beim Bezirksgericht Zürich gegen B._ auf Aberkennung einer Forderung von rund Fr. 1'272'0000.--, für die am 14. August 2006 provisorische Rechtsöffnung erteilt worden war. Das Bezirksgericht Zürich verpflichtete den Beschwerdeführer in Anwendung von <ref-law>/ZH zur Leistung einer Prozesskaution von Fr. 70'000.-- unter der Androhung, dass bei Säumnis auf die Klage nicht eingetreten werde. Das daraufhin eingereichte Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung sowie entsprechende Befreiung der Leistung der Prozesskaution lehnte es mit Beschluss vom 29. Mai 2007 ab. Das Bezirksgericht stützte sich insbesondere auf die Steuererklärung 2005 des Beschwerdeführers, worin neben Schulden in der Höhe von knapp 7 Millionen Franken Vermögenswerte von rund Fr. 378'000.-- bzw. Fr. 338'000.-- ausgewiesen seien, und erachtete die Mittellosigkeit des Beschwerdeführers als nicht erwiesen. Falls diese Werte im Eigentum seiner Ehefrau stünden, müssten sie aufgrund der ehelichen Unterhaltspflicht zur Finanzierung des Prozesses herangezogen werden. Die Frist zur Leistung der Prozesskaution von Fr. 70'000.-- wurde dem Beschwerdeführer neu angesetzt, wiederum unter Androhung der Säumnisfolgen.
B. Das Obergericht des Kantons Zürich bestätigte den Beschluss des Bezirksgerichts Zürich vom 29. Mai 2007 und wies den vom Beschwerdeführer dagegen erhobenen Rekurs mit Beschluss vom 28. September 2007 ab. Es erwog, dass die in der Steuererklärung ausgewiesenen Vermögenswerte zum Kindesvermögen gehörten und deshalb nicht zur Berechnung des Vermögens des Beschwerdeführers herangezogen werden dürfen. Aufgrund der familienrechtlichen Beistandspflicht rechnete das Obergericht sodann die Nettoeinkommen der Ehegatten zusammen und stellte fest, dass das Gesamtjahreseinkommen Fr. 203'082.-- betrage (Fr. 25'000.-- [Einkommen des Beschwerdeführers] plus Fr. 121'782.-- [Einkommen der Ehefrau des Beschwerdeführers], Fr. 37'200.-- [Liegenschaftenertrag der Ehefrau des Beschwerdeführers aus Fremdvermietung] sowie Fr. 19'100.-- [Wertschriftenertrag der Ehefrau des Beschwerdeführers]). Über den Bedarf der Familie des Beschwerdeführers konnte das Obergericht aufgrund der eingereichten Akten und Behauptungen keine genauen Angaben machen; die geltend gemachten Schulden von knapp 7 Millionen Franken berücksichtigte es mangels Zahlungsnachweises nicht. Das Obergericht schloss aus, dass vom monatlichen Gesamteinkommen von rund Fr. 16'924.-- nach Abzug eines durchschnittlichen im Armenrechtsverfahren zu berücksichtigenden Gesamtbedarfs einer dreiköpfigen Familie - ohne Einbezug der Schulden - zu wenig Geld für die Bezahlung der Gerichtskosten übrig blieb. Zwar würden dem Beschwerdeführer die finanziellen Mittel fehlen, um die gesamte Prozesskaution innert Frist auf einmal zu leisten, aber angesichts des monatlichen Gesamteinkommens erwiesen sich Ratenzahlungen im Betrag von mindestens Fr. 7'000.-- pro Monat als angemessen. Die Frist zur Bezahlung der ersten Rate bei der Bezirksgerichtskasse Zürich wurde auf den 1. November 2007 angesetzt unter der Androhung, dass im Verzugsfall auf die Aberkennungsklage nicht eingetreten werde.
Das Kassationsgericht des Kantons Zürich wies die vom Beschwerdeführer eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde gegen den Beschluss des Obergerichts mit Zirkulationsbeschluss vom 29. Juli 2008 ab, soweit es darauf eintrat, und setzte dem Beschwerdeführer die Frist zur Bezahlung der monatlichen Raten der Prozesskaution für das erstinstanzliche Verfahren neu an.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beschwerdeführer, die Beschlüsse des Kassationsgerichts sowie des Obergerichts des Kantons Zürich seien aufzuheben, und es sei ihm im Aberkennungsprozess die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren; entsprechend sei von der Leistung einer Prozesskaution abzusehen. Eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er rügt eine Verletzung von Art. 9, Art. 29 Abs. 2 und 3 BV sowie <ref-law>. Der Beschwerdeführer ersucht sodann, es sei ihm für das bundesgerichtliche Verfahren ebenso die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren. Mit Schreiben vom 14. Oktober 2008 reichte der Beschwerdeführer unter anderem die Stellungnahme seiner Ehefrau im Eheschutzverfahren nach.
Die Verfahrensakten wurden beigezogen. Sowohl das Obergericht als auch das Kassationsgericht verzichteten auf eine Vernehmlassung.
D. Auf Begehren des Beschwerdeführers wurde der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 1. Oktober 2008 aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid des Kassationsgerichts des Kantons Zürich ist ein in einem hängigen kantonalen Verfahren ergangener letztinstanzlicher Zwischenentscheid über die unentgeltliche Rechtspflege. Solche Entscheide bewirken in der Regel einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1 S. 131 mit Hinweis). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2). Der Streitwert bestimmt sich dabei nach den Begehren, die vor der Instanz streitig sind, wo die Hauptsache hängig ist (<ref-law>). Vorliegend betrifft die Hauptsache eine Zivilsache (<ref-law>), und der Streitwert beträgt über Fr. 30'000.-- (<ref-law>), so dass die Beschwerde in Zivilsachen zulässig ist.
Soweit mit der Beschwerde der Beschluss des Obergerichts angefochten wird, ist darauf mangels Letztinstanzlichkeit (<ref-law>) insofern nicht einzutreten, als der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 9 sowie Art. 29 Abs. 2 und 3 BV rügt (§ 281 Ziff. 1 und 2 sowie <ref-law>/ZH; <ref-ruling> E. 3 S. 586 ff.). Diese Rügen konnten mit der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde dem Kassationsgericht des Kantons Zürich unterbreitet werden. Der mitangefochtene Beschluss des Obergerichts ist nur hinsichtlich der Rüge der Anwendung von Bundesrecht letztinstanzlich, da dem Kassationsgericht diesbezüglich lediglich eine eingeschränkte Prüfungsbefugnis zusteht (<ref-law>/ZH).
2. 2.1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Enthält der angefochtene Entscheid mehrere selbstständige Begründungen, ist für jede einzelne darzutun, weshalb sie bundesrechtswidrig sein soll (<ref-ruling> E. 6.3 S. 121 mit Hinweisen).
2.2 Gemäss <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2). Die Voraussetzungen für eine Sachverhaltsrüge nach <ref-law> und für eine Berichtigung des Sachverhalts von Amtes wegen nach <ref-law> stimmen im Wesentlichen überein. Soweit es um die Frage geht, ob der Sachverhalt willkürlich oder unter verfassungswidriger Verletzung einer kantonalen Verfahrensregel ermittelt worden ist, sind strenge Anforderungen an die Begründungspflicht der Beschwerde gerechtfertigt (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift nach den erwähnten gesetzlichen Erfordernissen darzulegen, inwiefern diese Feststellungen willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sind. Andernfalls können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255 mit Hinweis).
3. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, den Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> verletzt zu haben. Sie habe weder berücksichtigt, dass sich seine Ehefrau weigere, monatliche Ratenzahlungen für die Prozesskaution zu leisten noch dass er für die Durchsetzung der ehelichen Beistandspflicht gegenüber seiner Ehefrau auf den Rechtsweg angewiesen sei.
3.1 Der in <ref-law> gewährleistete Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst die Rechte der Parteien auf Teilnahme am Verfahren und auf Einflussnahme auf den Prozess der Entscheidfindung. In diesem Sinne dient das rechtliche Gehör einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, der in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört auch das Recht, dass rechtzeitig und formgerecht angebotene Beweismittel abgenommen werden. Die Nichtabnahme von Beweisen über Tatsachen, die für die Entscheidfindung der Streitsache erheblich sind, stellt eine Verweigerung des rechtlichen Gehörs dar (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 2b S. 56; <ref-ruling> E. 2 S. 242, je mit Hinweisen).
Die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde ist ein ausserordentliches Rechtsmittel, mit dem besonders grobe Fehler korrigiert werden können. Die Kantone sind von Bundesrechts wegen nicht verpflichtet, ein ausserordentliches Rechtsmittel vorzusehen. Tun sie das trotzdem, sind sie in der Ausgestaltung im Rahmen der verfassungsrechtlichen Minimalgarantien frei. Aus der besonderen Natur des Rechtsmittels wird auch ein Novenverbot abgeleitet (RICHARD FRANK UND ANDERE, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 1997, N. 7b zu §§ 114/115 ZPO/ZH sowie N. 4a zu <ref-law>/ZH). Ein solches ist im Rahmen der Minimalgarantien von <ref-law> nicht zu beanstanden, zumal im Rechtsmittelverfahren vor Obergericht Noven im Armenrecht, wo die Offizialmaxime gilt, uneingeschränkt zulässig sind (<ref-law>/ZH).
3.2 Die Vorinstanz erachtete die Behauptungen des Beschwerdeführers als neu und somit unzulässig, dass seine Ehefrau nicht gewillt sei, Zahlungen zur Tilgung der Prozesskautionsforderung zu leisten und dass er für die Durchsetzung der familienrechtlichen Beistandspflicht gegenüber seiner Ehefrau auf den Rechtsweg angewiesen sei. Er habe bislang bloss geltend gemacht, es fehle seiner Ehefrau an der erforderlichen Leistungsfähigkeit bzw. sie sei zu Zahlungen nicht in der Lage oder es bestünde keine Unterhalts- und Beistandspflicht, selbst wenn seine Ehefrau über entsprechendes Vermögen verfügen würde.
Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, vor Bezirks- und Obergericht seine - von der Vorinstanz als neu qualifizierte - Vorbringen nicht geltend gemacht zu haben. Er hält den Erwägungen der Vorinstanz jedoch entgegen, dass er vor dem Beschluss des Obergerichts vom 28. September 2007 seine diesbezüglichen Ausführungen gar nicht habe vortragen können, da keine Ratenzahlungen zur Leistung der Prozesskaution zur Diskussion gestanden seien. Umgehend nach Erhalt dieses Beschlusses habe er seine Ehefrau um entsprechende Zahlungen angefragt, aber sie habe sich geweigert und dies am 25. Oktober 2007 schriftlich begründet. Am 3. September 2008 habe er ein Eheschutzverfahren eingeleitet.
3.3 Eine Verletzung von <ref-law> läge nur vor, wenn der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren weder Gelegenheit noch Anlass gehabt hätte, rechtserhebliche Tatsachen vorzutragen. Der Beschwerdeführer hätte jedoch bereits nach dem Beschluss des Bezirksgerichts vom 29. Mai 2007 Anlass gehabt abzuklären, ob seine Ehefrau bereit sei, die Prozesskaution zu finanzieren oder ob er den Anspruch ihr gegenüber gegebenenfalls im Eheschutzverfahren geltend zu machen hätte. Unerheblich ist, dass erst das Obergericht eine Ratenzahlung angeordnet hat, stellt eine solche doch eine Rechtswohltat dar und ist damit zu rechnen, wenn das Einkommen für eine einmalige Zahlung nicht ausreicht. Der Vorwurf ist somit unbegründet, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör im Sinne von <ref-law> verletzt.
4. Der Beschwerdeführer rügt sodann eine Verletzung von <ref-law>. Er macht geltend, die Vorinstanz sei zu Unrecht von einer Beistandspflicht seiner Ehefrau (<ref-law>) ausgegangen, wobei der Umfang ihrer Leistungspflicht zu Unrecht und mit willkürlicher Begründung angenommen worden sei.
4.1 Nach <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Begehren nicht aussichtslos erscheint, und ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand, soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 355). Für die Bestimmung der Bedürftigkeit sind die Mittel des Gesuchstellers sowie die Mittel von ihm gegenüber unterstützungspflichtigen Personen (z.B. Eltern oder Ehegatte) massgeblich. Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege ist subsidiär zur familienrechtlichen Unterhaltspflicht der Ehegatten (Art. 159 Abs. 3 und Art. 163 ZGB; Urteil 5P.441/2005 vom 9. Februar 2006 E. 1.1, in: Pra 95/2006 Nr. 143 S. 989 mit Hinweisen). Dies gilt auch für vermögensrechtliche Prozesse (<ref-ruling> E. 3 S. 4 ff.). Die Einkommen der Ehegatten sind daher zusammenzurechnen. Der anspruchsberechtigte Ehegatte hat selbst zu entscheiden, und es liegt in seiner Privatautonomie, ob und gegebenenfalls in welcher Weise er einen Prozesskostenvorschuss vom Ehegatten erhältlich macht. Mit Blick auf die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege handelt es sich bei der Geltendmachung des Anspruchs auf Prozesskostenvorschuss gegenüber dem Ehegatten um eine Obliegenheit, deren Verletzung dazu führt, dass die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wird (Urteil 5P.395/2001 vom 12. März 2002 E. 2c und 2d, in: FamPra.ch 2002 S. 582 f.). Mit anderen Worten kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nur entsprochen werden, wenn erstellt ist, dass der Gesuchsteller vom Ehegatten keinen Prozesskostenvorschuss verlangen kann. Solange hierüber Ungewissheit besteht, kann der Gesuchsteller nicht als bedürftig gelten (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 195; <ref-ruling> E. 4 S. 101).
4.2 Sowohl das Obergericht als auch das Kassationsgericht sind in Übereinstimmung mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung von einer ehelichen Beistandspflicht der Ehefrau des Beschwerdeführers ausgegangen. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanzen Bundesrecht verletzt haben sollen.
4.3 Der Beschwerdeführer rügt, das Kassationsgericht habe dem Einkommen seiner Ehefrau in willkürlicher Weise Miet- und Wertschriftenerträge hinzugerechnet, die aufgrund der Illiquidität der X._ AG und der Y._ AG nicht realisierbar seien. Die Vorinstanz trat auf die Rügen des Beschwerdeführers nicht ein, da er die Unrealisierbarkeit dieser Einnahmen mangels konkreter Hinweise auf bestimmte Aktenstellen nicht rechtsgenügend dargetan habe. Im Sinne einer materiellen Eventualbegründung erachtete die Vorinstanz die Rügen in verschiedener Hinsicht selbst dann als unbegründet, wenn sie genügend substanziiert gewesen wären. So habe beispielsweise die X._ AG sowohl im Jahr 2006 als auch im Vorjahr einen positiven Betriebserfolg nach Steuern verzeichnet. Die Rüge des Beschwerdeführers wendet sich einzig gegen die Eventualbegründung. Gegen die Hauptbegründung der Vorinstanz, wonach auf seine Rüge aus formellen Gründen gar nicht einzutreten sei, bringt der Beschwerdeführer lediglich vor, er habe bereits im Verfahren vor Obergericht die Jahresrechnungen und Steuererklärung der X._ AG eingereicht. Er unterlässt es dagegen, rechtsgenügend darzulegen, inwiefern die Vorinstanz das Willkürverbot verletzt haben soll, so dass insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
5. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer hat auch für das Verfahren vor Bundesgericht um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung ersucht. Das Bundesgericht befreit eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten und von der Sicherstellung der Parteientschädigung, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (<ref-law>). Aussichtslos sind nach konstanter Rechtsprechung Begehren, für welche die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135; <ref-ruling> E. 4b S. 275). Vorliegend verkennt der Beschwerdeführer die Rechtslage und seine Begehren erschienen von Anfang an als aussichtslos im Sinne von <ref-law>. Es ist ihm daher für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung zu verweigern, ohne seine Bedürftigkeit zu prüfen. Ausgangsgemäss sind ihm die Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>).
Mit Abweisung der Beschwerde entfällt die der Beschwerde verliehene aufschiebende Wirkung. Die Frist zur Bezahlung der Prozesskaution bzw. der monatlichen Raten ist dem Beschwerdeführer daher neu anzusetzen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Frist für die nächste Ratenzahlung von mindestens Fr. 7'000.-- gemäss Ziffer 3 Absatz 1 Satz 2 des Dispositivs des Zirkulationsbeschlusses des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 29. Juli 2008 wird auf den 1. Dezember 2008 angesetzt.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Oktober 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Corboz Feldmann