Fatti:
A. M._, nato nel 1968, al momento dei fatti impiegato quale operaio presso l'agenzia di collocamento X._ e, in quanto tale, assicurato d'obbligo contro gli infortuni presso l'Istituto nazionale svizzero di assicurazione contro gli infortuni (INSAI), in data 20 aprile 2003, in circostanze poco chiare, ha subito una frattura scomposta intra-articolare di entrambi i polsi. Il caso è stato assunto dall'assicuratore infortuni, che ha corrisposto le prestazioni previste dalla LAINF.
Con provvedimento formale del 9 febbraio 2007, l'INSAI ha dichiarato estinto il diritto a prestazioni di corta durata dal 1° ottobre 2006 (eccezion fatta per i controlli medici strettamente necessari) e posto l'assicurato al beneficio di una rendita di invalidità del 15% tenuto conto di un guadagno annuo di fr. 15'536.-, nonché di un'indennità per menomazione dell'integrità del 20%. Patrocinato dallo Studio legale Lepori-Pedroia, l'assicurato si è opposto a questa decisione, contestando in particolare l'ammontare del guadagno assicurato e il grado di invalidità. Mediante decisione su opposizione del 24 maggio 2007, l'amministrazione ha confermato la decisione iniziale.
B. Sempre tramite lo Studio legale Lepori-Pedroia, l'interessato ha deferito la decisione su opposizione con un gravame al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, chiedendone l'accoglimento con relativa modifica della decisione impugnata nel senso che la rendita di invalidità andava adeguatamente aumentata e fissata in base ad un guadagno annuo assicurato di fr. 53'081.60.
Con giudizio del 4 febbraio 2008 il Tribunale cantonale ha parzialmente accolto il gravame nel senso che, in annullamento della decisione su opposizione impugnata, nella misura in cui riferita alla rendita, ha condannato l'assicuratore a versare una rendita d'invalidità del 19%, anziché del 15%, a far tempo dal 1° ottobre 2006.
C. Rappresentato dall'avv. Cesare Lepori, M._ ha contro il giudizio cantonale interposto un ricorso in materia di diritto pubblico, con il quale, protestate spese e ripetibili, chiede il riconoscimento di una rendita per un grado d'invalidità pari al 100%; nella denegata ipotesi in cui la Corte lo ritenesse ancora in misura di svolgere un'attività lucrativa, postula un tasso di riduzione del 25% sul reddito ipotetico da invalido. Egli formula altresì domanda di assistenza giudiziaria.
L'INSAI propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale della sanità pubblica ha rinunciato a determinarsi.

Diritto:
1. 1.1 Il ricorso in materia di diritto pubblico (<ref-law>) può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Il ricorrente può censurare l'accertamento dei fatti soltanto se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> e l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (art. 97 cpv. 1 e 105 cpv. 1 e 2 LTF). Se, tuttavia, come in concreto, il ricorso è diretto contro una decisione d'assegnazione o rifiuto di prestazioni pecuniarie dell'assicurazione militare o dell'assicurazione contro gli infortuni, può essere censurato qualsiasi accertamento inesatto o incompleto dei fatti giuridicamente rilevanti (<ref-law>); il Tribunale federale in tal caso non è vincolato dall'accertamento dei fatti operato dall'autorità inferiore (<ref-law>).
1.2 Per il resto, di regola, il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto (<ref-law>). Esso non è vincolato né dagli argomenti sollevati nel ricorso né dai motivi addotti dall'autorità inferiore. Tenuto conto dell'esigenza di motivazione di cui all'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, sotto pena d'inammissibilità (<ref-law>), il Tribunale federale esamina in linea di massima solo le censure sollevate, non essendo per contro tenuto a vagliare, come lo farebbe un'autorità di prima istanza, tutte le questioni giuridiche che si pongono, se queste ultime non sono sollevate in sede federale. La Corte federale esamina la violazione di diritti fondamentali e di disposizioni di diritto cantonale e intercantonale soltanto se il ricorrente ha sollevato e motivato tale censura (<ref-law>; sulla portata di questo obbligo cfr. <ref-ruling> consid. 1.4.2 pag. 254; <ref-ruling> consid. 1.4 pag. 287; <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 31). Nuovi fatti e nuovi mezzi di prova, infine, possono essere addotti soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore (<ref-law>).
2. Oggetto del contendere è la quantificazione del grado d'invalidità riconosciuto a M._.
3. 3.1 L'autorità giudiziaria cantonale ha già esposto le norme legali e i principi giurisprudenziali disciplinanti la materia, rammentando i presupposti che reggono il diritto a una rendita d'invalidità dell'assicurazione contro gli infortuni (<ref-law>), la nozione stessa d'invalidità (<ref-law>) come pure il metodo generale di confronto dei redditi per la determinazione del grado d'invalidità di assicurati esercitanti un'attività lucrativa (<ref-law>). Essa ha pure ricordato le regole legali e giurisprudenziali riguardanti l'applicazione dei dati statistici dell'inchiesta svizzera sulla struttura dei salari (ISS), edita dall'Ufficio federale di statistica. A tale esposizione può essere fatto riferimento, non senza tuttavia ribadire che a norma dell'<ref-law>, per valutare il grado d'invalidità, il reddito che l'assicurato invalido potrebbe conseguire esercitando l'attività ragionevolmente esigibile da lui dopo la cura medica e l'eventuale esecuzione di provvedimenti d'integrazione, tenuto conto di una situazione equilibrata del mercato del lavoro (reddito da invalido), è confrontato con il reddito che egli avrebbe potuto ottenere se non fosse diventato invalido (reddito da valido).
3.2 Giova inoltre ricordare che conformemente ad un principio generale applicabile anche nel diritto delle assicurazioni sociali, all'assicurato incombe l'obbligo di ridurre il danno (<ref-ruling> consid. 3c pag. 233; <ref-ruling> consid. 2b pag. 278, 400 consid. 4b e i riferimenti ivi citati; Riemer-Kafka, Die Pflicht zur Selbstverantwortung, Friborgo 1999, pagg. 57, 551 e 572). In virtù di tale obbligo, l'assicurato deve intraprendere tutto quanto è ragionevolmente esigibile per ovviare nel miglior modo possibile alle conseguenze della sua "invalidità", segnatamente mettendo a profitto la sua residua capacità lavorativa, se necessario, in una nuova professione (<ref-ruling> consid. 4b pag. 28 e sentenze ivi citate; Landolt, Das Zumutbarkeitsprinzip im schweizerischen Sozialversicherungsrecht, tesi Zurigo 1995, pag. 296 segg.). Non è quindi dato alcun diritto ad una rendita (superiore) se la persona interessata è in grado di percepire un reddito tale da escluderne (o limitarne) l'erogazione (<ref-ruling> consid. 4a pag. 28; RCC 1968 pag. 434).
4. 4.1 Nella fattispecie, il ricorrente sostiene di aver diritto ad una rendita di invalidità del 100%. Malgrado la questione non sia stata sollevata in sede cantonale, egli da un lato fa valere di essere totalmente incapace al lavoro in qualsiasi attività che richiede l'utilizzo delle mani, postulando, dall'altro, l'assunzione agli atti di nuova documentazione, consistente di tre certificati allestiti, rispettivamente, il 22 settembre, il 23 e il 29 novembre 2007 dall'Ospedale X._, e di una dichiarazione della responsabile della Y._ del 26 febbraio 2008.
4.2 Orbene, a norma dell'<ref-law>, possono essere addotti nuovi fatti e nuovi mezzi di prova soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore. Esclusi sono in particolare i fatti che si sono realizzati prima della pronuncia impugnata (i cosiddetti "unechte Noven"), così come i mezzi di prova che esistevano già in precedenza (<ref-ruling> consid. 2.2.1 pag. 226; sentenza 4A_36/2008 del 18 febbraio 2008 consid. 4.1).
4.3 Mediante sentenza 9C_40/2007 del 31 luglio 2007, pubblicata in SVR 2009 IV no. 10 pag. 21, questa Corte ha stabilito che la giurisprudenza del Tribunale federale relativa agli art. 105 cpv. 2 e 132 vOG, secondo la quale nelle liti in cui vi era cognizione limitata, rispettivamente nei casi con cognizione lata, dopo la decorrenza del termine per il ricorso oppure dopo la conclusione di un secondo scambio di scritti, nuovi mezzi di prova o nuovi fatti rilevanti potevano essere presentati solo se potevano giustificare una revisione ai sensi dell'art. 137 lett. b vOG (<ref-ruling>; sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni I 600/00 del 10 dicembre 2001), andava applicata anche dopo l'entrata in vigore della LTF (sentenza citata 9C_40/2007 consid. 3.1).
4.4 Il Tribunale federale ha finora lasciato aperta la questione di sapere se mezzi di prova (tempestivamente) trasmessi per la prima volta in ultima istanza vadano considerati fatti nuovi inammissibili anche nelle procedure rette dalla cognizione lata secondo gli art. 97 cpv. 2 e 105 cpv. 3 LTF (cfr. sentenze 8C_354/2007 del 4 agosto 2008, in SVR 2009 UV no. 3 pag. 9, consid. 3 e 8C_260/2007 del 31 ottobre 2007 consid. 2 in fine; nella sentenza 8C_82/2007 del 20 giugno 2007 consid 2.2 l'ammissibilità è tuttavia stata negata con riferimento a Hansjörg Seiler/Nicolas von Werdt/Andreas Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Berna 2007, n. 4 all'art. 99; a questo proposito cfr. però anche Ulrich Meyer, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger [a cura di], Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Basilea 2008, n. 9, 11 e 40 all'art. 99, secondo cui una tale esclusione non sarebbe compatibile ["kaum vereinbar"] con il principio del libero esame d'ufficio dei fatti e quindi sarebbe ammissibile solo in caso di violazione dell'obbligo di collaborare).
4.5 In concreto, occorre osservare che tra i diversi medici che si sono occupati del caso esiste sostanziale concordanza sia a livello diagnostico sia per quanto riguarda la valutazione dell'incidenza delle turbe fisiche sulla capacità lavorativa dell'interessato. Da parte sua, l'insorgente non si confronta in alcun modo con i rapporti allestiti dagli stessi medici. Per quanto concerne la documentazione prodotta con il ricorso, i certificati dell'Ospedale X._, che non fanno altro che attestare i dolori lamentati dal paziente, senza esprimersi sul carattere invalidante dei disturbi di natura funzionale a mani e braccia, e la dichiarazione della responsabile della Y._, alla quale non può essere riconosciuto il necessario valore probatorio, hanno ben poca influenza sulle conclusioni chiare, complete e motivate cui sono giunti gli specialisti della Clinica X._ e il dott. G._, esperto in reumatologia e medico di circondario dell'INSAI. Inoltre, questi ultimi si sono esplicitamente espressi sull'esigenza di una riformazione professionale e la possibilità di svolgere, in misura completa, un'attività adeguata, ad esempio come custode, venditore, collaboratore di sorveglianza di video-schermi, magazziniere o interprete, vista la conoscenza di diverse lingue da parte del ricorrente. Infine, come osservato dal dott. K._, specialista in reumatologia, e dal dott. E._, medico assistente presso la Clinica X._, nonostante le buone maniere, la disponibilità e la buona volontà dimostrate durante le visite mediche, sembra che M._ sia impedito nel riprendere un'attività professionale confacente non tanto a causa dell'infortunio ai polsi, bensì piuttosto per i problemi di ordine psicosociale con i quali è confrontato.
4.6 In considerazione di tali aspetti, la questione dell'ammissibilità dei nuovi fatti e dei nuovi mezzi di prova addotti in questa sede può pertanto essere lasciata aperta, poiché la censura sollevata, secondo la quale l'assicurato soffrirebbe di un'incapacità di lavoro totale e, di conseguenza, avrebbe diritto ad una rendita di invalidità del 100%, non è comunque fondata.
5. 5.1 In via subordinata, M._ si avvale di un grado di deduzione del 25% sul reddito da invalido stabilito dalla Corte cantonale, a causa di limitazioni residue addebitabili al danno alla salute. Più precisamente, egli chiede una riduzione del 15% per i soli problemi fisici, del 5% per la nazionalità e del 5% per l'impossibilità di lavorare a tempo pieno.
5.2 Nel giudizio impugnato, la Corte cantonale, dopo aver stabilito in fr. 50'317.72 il reddito da invalido calcolato sulla base della tabella TA1 dell'ISS 2006, ha confermato l'operato dell'amministrazione nell'ambito delle deduzioni per circostanze personali e professionali, ossia una riduzione del 15% per tenere conto della menomazione derivante dai postumi infortunistici e della nazionalità del ricorrente.
5.3 La questione relativa al grado di deduzione indicato nel caso concreto per tenere conto delle particolarità personali e professionali è una tipica questione di apprezzamento che può essere corretta solo se il Tribunale cantonale ha esercitato questo apprezzamento in maniera giuridicamente errata, vale a dire solo in caso di eccesso o abuso del potere di apprezzamento (<ref-ruling> consid. 3.2 e 3.3 pag. 398 seg.; sentenza 9C_83/2008 del 19 gennaio 2009 consid. 2.2). La questione di sapere se e in quale misura i salari fondati su dati statistici debbano essere ridotti in considerazione delle particolarità del caso dipende dall'insieme delle circostanze personali e professionali (limitazione addebitabile al danno alla salute, età, anni di servizio, nazionalità e tipo di permesso di dimora, grado di occupazione), criteri, questi, che l'amministrazione è tenuta a valutare globalmente, ritenuto che una deduzione massima del 25 % del salario statistico permette di tenere conto delle varie particolarità suscettibili di influire sul reddito del lavoro e che il giudice, chiamato a pronunciarsi sulla deduzione globale, la quale procede da una stima che l'amministrazione deve succintamente motivare, non può senza valido motivo sostituire il proprio apprezzamento a quello degli organi dell'assicurazione (<ref-ruling> consid. 4.2.3 pag. 481; <ref-ruling> consid. 5 b/cc e 6 pag. 80 seg.).
5.4 Sulla base dei principi suesposti e della giurisprudenza citata nel giudizio cantonale, al quale si rinvia, si può ammettere che l'amministrazione, senza abuso o eccesso del proprio potere d'apprezzamento, ha correttamente valutato le circostanze personali e professionali dell'assicurato, procedendo a una riduzione del 15% sul reddito ipotetico da invalido. Non va dimenticato infatti che l'interessato è stato ritenuto capace di svolgere, a tempo pieno e con massimo rendimento, un'attività confacente al suo stato di salute. Orbene, la decisione del giudice di prime cure di confermare la posizione dell'istituto assicuratore è senz'altro difendibile. In conclusione, il ricorso risulta anche su questo punto infondato.
6. 6.1 Stante quanto precede, la pronuncia cantonale dev'essere confermata.
6.2 Il ricorrente ha chiesto di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria gratuita. Ora, egli effettivamente risulta trovarsi in una situazione di indigenza ai sensi dell'<ref-law>. Per il resto, non si poteva pretendere che il richiedente difendesse i suoi interessi senza l'ausilio di un patrocinatore qualificato (<ref-law>). La domanda dev'essere pertanto accolta. L'insorgente viene comunque avvisato che qualora la sua situazione finanziaria dovesse migliorare, egli sarà tenuto a risarcire la cassa del Tribunale, così come prescritto dall'<ref-law>.
6.3 Non si assegnano ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è respinto.
2. Al ricorrente viene concessa l'assistenza giudiziaria.
3. Le spese giudiziarie di fr. 750.- sono poste a carico del ricorrente e per il momento assunte dalla cassa del Tribunale.
4. L'Avvocato Cesare Lepori, viene designato patrocinatore del ricorrente per la procedura innanzi al Tribunale federale. La Cassa del Tribunale gli verserà un'indennità di fr. 2200.-.
5. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale della sanità pubblica.