Erwägungen:
1.
1.1. X._ (Beschwerdeführer) gelangte mit Klage vom 14. Januar 2013 an das "Einzelgericht BGZ, ..." und stellte diverse Anträge. Vorab verlangte er die Nichtigerklärung eines Urteils und einer Verfügung "des Einzelgerichtes Audienz" vom "9.11./24.12.2012" sowie vom "10.10./12.11.2012". Das Einzelgericht für SchKG-Klagen des Bezirksgerichtes Zürich gab dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 7. Juni 2013 Gelegenheit, innert 10 Tagen eine verbesserte Klageschrift einzureichen und sich zur Erfüllung der Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege zu äussern. Für den Säumnisfall hielt das Gericht fest, die Klage vom 14. Januar 2013 gelte als nicht erfolgt; dasselbe gelte für eine erneute unverständliche, weitschweifige oder ungebührliche Eingabe. Mit Verfügung vom 28. November 2013 erachtete das Einzelgericht für SchKG-Klagen die Klage vom 14. Januar 2014 als nicht erfolgt und schrieb das Verfahren ab. Ausgehend von einem Streitwert von Fr. 12'525.-- auferlegte es dem Beschwerdeführer die Kosten und sprach keine Entschädigungen zu.
1.2. Der Beschwerdeführer gelangte dagegen mit Rechtsmitteleingabe vom 17. Dezember 2013 an das Obergericht des Kantons Zürich, das mit Beschluss vom 13. März 2014 die Eingabe als Berufung entgegennahm und darauf nicht eintrat. Im weiteren wies es das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ab, auferlegte ihm die Kosten des Verfahrens und sprach für das Berufungsverfahren keine Parteientschädigung zu.
1.3. Der Beschwerdeführer gelangt mit Beschwerde vom 7. Mai 2014 an das Bundesgericht. Er stellt diverse Anträge gegen verschiedene Verfügungen und Urteile. Überdies ersucht er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. Der Beschwerde lag einzig der Beschluss des Obergerichts vom 13. März 2014 bei. Es sind keine Vernehmlassungen eingereicht worden.
2.
2.1. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist ausschliesslich der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 13. März 2014, welcher der Beschwerde beigelegen hat. Soweit sich der Beschwerdeführer gegen andere Verfügungen und Urteile, namentlich gegen solche der ersten Instanz richtet, ist darauf von vornherein nicht einzutreten.
2.2. Da in der vorliegenden vermögensrechtlichen Zivilsache (<ref-law>) der Streitwert von Fr. 30'000.-- nicht erreicht ist (<ref-law>), ist gegen den angefochtenen Entscheid nur die Verfassungsbeschwerde gegeben (<ref-law>). In der Verfassungsbeschwerde ist die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>); es ist anhand der Erwägungen des Entscheids der letzten kantonalen Instanz klar und detailliert darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
2.3. Das Obergericht hat in der Hauptbegründung im Wesentlichen erwogen, der Beschwerdeführer sei mit Verfügung vom 13. Januar 2013 (recte 2014) aufgefordert worden, sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu belegen. Soweit er mit seiner entsprechenden Eingabe auch noch seine Berufung habe ergänzen wollen, bleibe dies unbeachtlich, zumal er nicht darlege, dass er die Ergänzung trotz zumutbarer Sorgfalt nicht in seiner Rechtsmitteleingabe vom 17. Dezember 2013 habe darlegen können. Der Beschwerdeführer verlange - mutmasslich im Sinn von Schadenersatz - die Zusprechung einer kostendeckenden Entschädigung und eine Genugtuung. Welche Kosten und in welchem Umfang solche durch die Entschädigung gedeckt werden sollen, beziffere er ebenso wenig wie die Höhe der Genugtuung. Auf diese Anträge und auf die Berufung in den entsprechenden Punkten sei nicht einzutreten. Der Eingabe lasse sich im Übrigen nichts Fassbares darüber entnehmen, von wem die Entschädigung und die Genugtuung eingefordert werden, weshalb auch aus diesem Grund auf die Berufung nicht einzutreten sei. Der Beschwerdeführer stelle alsdann, soweit erkennbar bzw. verständlich, in der Hauptsache mehrere Anträge auf Aufhebung bzw. Nichtigerklärung von mehreren Entscheiden. Wie im Fall der Aufhebung in der Sache selbst zu entscheiden wäre, lege er indes nicht dar. Er stelle mit Bezug auf die jeweiligen Begehren und insbesondere die Klage vom 14. Januar 2013 keine konkreten Anträge, und solche ergäben sich auch nicht in fassbarer Art aus der Begründung. Keinen Antrag zur Sache stellten die diversen Ausführungen des Beschwerdeführers zur öffentlichen Verhandlung, namentlich der Antrag zur Durchführung einer öffentlichen Hauptverhandlung dar. Das führe auch im Übrigen zum Nichteintreten auf die entsprechenden Anträge und insoweit auf die Berufung in der Hauptsache. Das Obergericht hat im weiteren begründet, weshalb dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege zu verweigern und ihm kein Beistand zu ernennen sei.
2.4. Der Beschwerdeführer geht in seiner Beschwerde in keiner Weise auf die Haupterwägung des Obergerichts ein und zeigt nicht auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Entscheid seine verfassungsmässigen Rechte verletzt haben soll. Er beschränkt sich vielmehr auf eine Kritik am erstinstanzlichen Nichteintretensentscheid, der indes wie auch die anderen in der Eingabe erwähnten Verfügungen und Entscheide (E. 2.1) nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens sind.
2.5. Auf die offensichtlich ungenügend begründete und damit unzulässige Verfassungsbeschwerde ist daher in Anwendung von <ref-law> i.V.m. Art. 117 und Art. 108 Abs. 1 lit b BGG durch das präsidierende Mitglied der Abteilung unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (<ref-law>) nicht einzutreten. Damit erübrigt es sich, auf die Eventualerwägung des Obergerichts (E. 3.4) näher einzugehen.
3.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
4.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da sich die Beschwerde angesichts der aufgezeigten formellen Mängel als von Anfang an aussichtslos erwiesen hat (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Mai 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zbinden