Sachverhalt:
A.
Die Sunrise Communications AG, Zürich, reichte am 9. September 2009 ein Baugesuch für den Neubau einer Mobilfunkanlage auf dem Grundstück Nr. 744 des Grundbuchs Berneck ein. Gemäss dem Standortdatenblatt soll die Anlage drei UMTS-Antennen, eine Richtfunkantenne sowie die notwendige technische Infrastruktur umfassen. Die Antennen sollen an einem drei Meter langen Mast auf dem ausgebauten Satteldach des zweigeschossigen Postgebäudes an der Neugass 23 im Dorf Berneck angebracht werden. Dieses Dorf ist im Bundesinventar der schützenswerten Ortsbilder von nationaler Bedeutung aufgenommen. Das Baugrundstück liegt in der dreigeschossigen Kernzone K2 und im Ortsbildschutzgebiet "Dorf Neugass".
B.
Das Amt für Umweltschutz und Energie (AFU) kam in seiner Stellungnahme zum Baugesuch vom 21. Dezember 2009 zum Ergebnis, die Immissions- und Anlagegrenzwerte seien eingehalten, wenn zum Schutz des Ortes mit empfindlicher Nutzung (OMEN) 01A eine Dachabschirmung realisiert werde. Daraufhin bewilligte der Gemeinderat Berneck mit Beschluss vom 7. September 2010 das Baugesuch mit Auflagen und wies die dagegen erhobenen Einsprachen ab. Dagegen rekurrierten einige Einsprecher an das Baudepartement des Kantons St. Gallen. Das kantonale Amt für Kultur (Abteilung Denkmalpflege) kam in seiner Stellungnahme vom 30. November 2010 zum Ergebnis, das Bauprojekt verletze die denkmalpflegerischen Grundsätze nicht. Am 22. Februar 2011 führte das Baudepartement einen Augenschein durch, kam in einer vorläufigen Beurteilung zum Schluss, die Rekurse seien bezüglich der Dachabschirmung beim OMEN 01A begründet und sistierte das Verfahren. Daraufhin reichte die Bauherrin am 25. März 2011 bezüglich des OMEN 01A ein Korrekturgesuch ein, das der Gemeinderat mit Beschluss vom 3. April 2012 unter Abweisung der dagegen erhobenen Einsprachen bewilligte. Dagegen erhob A._ einen Rekurs an das Baudepartement. Dieses vereinigte die Rekursverfahren gegen die beiden kommunalen Bewilligungen und wies mit Entscheid vom 12. Februar 2013 die dagegen erhobenen Rekurse ab.
Gegen diesen Rekursentscheid erhob A._ eine Beschwerde, die das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 16. April 2014 abwies, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ (Beschwerdeführer) erhebt beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 16. April 2014 sei aufzuheben, eventuell sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit Verfügung vom 25. Juni 2014 wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch des Beschwerdeführers, vorsorglich die Wiederanbringung von Bauvisieren anzuordnen, als gegenstandslos ab.
Das Baudepartement und das Verwaltungsgericht beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Die Sunrise Communications AG (Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Umwelt kam in seiner Vernehmlassung zum Ergebnis, der angefochtene Entscheid stehe im Einklang mit der Umweltschutzgesetzgebung des Bundes.
In seiner Replik hält der Beschwerdeführer an seinen in der Beschwerde gestellten Anträgen fest. Die weiteren Verfahrensbeteiligten verzichteten auf eine Duplik.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid über die Baubewilligung für eine Mobilfunkanlage, welcher der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und hat als Adressat des angefochtenen Entscheids ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung, weshalb er zur Beschwerde legitimiert ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 252 f.). Der bloss kassatorische Antrag des Beschwerdeführers auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids ist im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (<ref-ruling> E. 1.4 S. 414 f. mit Hinweisen). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen vorliegen, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. a, b und c BGG). Die Verletzung des übrigen kantonalen Rechts kann abgesehen von hier nicht relevanten Ausnahmen gemäss Art. 95 lit. c und d BGG vor Bundesgericht nicht gerügt werden; zulässig ist jedoch die Rüge, die Anwendung dieses Rechts führe zu einer Verletzung von Bundesrecht, namentlich des verfassungsmässigen Willkürverbots (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.). Nach der Praxis des Bundesgerichts verstösst ein Entscheid gegen dieses Verbot, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, weil er zum Beispiel eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5; <ref-ruling> E. 7.1; je mit Hinweisen).
1.3. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130).
2.
2.1. Im Verfahren vor dem Baudepartement brachte der Beschwerdeführer in seiner am 15. Mai 2012 nachgereichten Rekursbegründung vor, das von der Gemeinde in der Baubewilligung zur Bedingung gemachte Qualitätssicherungssystem (QS-System) sei ein reines Fantasieprodukt und zitierte zur Begründung wörtlich den auf der Webseite "Gigaherz.ch" veröffentlichten "Kurzbericht über einen von sämtlichen Gerichtshöfen der Schweiz gedeckten phantastischen Schwindel" (nachstehend: Kurzbericht "Gigaherz"). In diesem Bericht wird namentlich geltend gemacht, die Steuerzentralen der Mobilfunkbetreiberinnen befänden sich im Ausland (Indien, Rumänien) und hätten daher nicht inspiziert werden können.
2.2. Das Baudepartement kam in seinem Entscheid vom 12. Februar 2013 zum Ergebnis, die von den Rekurrenten am QS-System geübte Kritik, sei unbegründet (E. 5.3.3). Zur Begründung führte das Baudepartement zum einen aus, das Bundesgericht habe in seiner Rechtsprechung wiederholt festgehalten, dass das QS-System der Rekursgegnerin aus umweltschutzrechtlicher Sicht nicht zu beanstanden sei (E. 5.3.1). Zum anderen verwies das Baudepartement auf die Stellungnahme des St. Galler Amts für Umwelt und Energie (AFU) vom 12. Juli 2012, in der dieses die Tauglichkeit des QS-Systems bestätigte (E. 5.3.2).
2.3. Das Verwaltungsgericht kam zum Ergebnis, das Baudepartement habe den in Art. 12 des St. Galler Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 16. Mai 1965 (VRP/SG) vorgesehenen Untersuchungsgrundsatz nicht verletzt, da es bei der kantonalen Fachstelle bezüglich des Einwands, das QS-System sei ein "eigentlicher Schwindel" einen Amtsbericht in Auftrag gegeben und das AFU in seiner Stellungnahme (Amtsbericht) vom 12. Juli 2012 die Tauglichkeit des QS-Systems bestätigt habe (Rekursakten 12-2418, act. 8).
2.4. Der Beschwerdeführer wendet ein, da weder das Verwaltungsgericht noch das Baudepartement die Stellungnahme des AFU vom 12. Juli 2012 ihren Urteilen beigelegt hätten, müsse befürchtet werden, dass eine solche Stellungnahme nicht existiere oder nachträglich fabriziert worden sei. Sollte sie auftauchen, müsste sie als Parteibehauptung gewertet werden, da der Kontrollbeamte des Kantons St. Gallen an der Untersuchung der Firma ASEB vom 18. Januar 2012 beteiligt gewesen sei. Diese Untersuchung sei, wie im Kurzbericht "Gigaherz" beschrieben, ein grosser Vertuschungs- oder Verschleierungsversuch. Bei pflichtgemässer Abklärung des Sachverhalts hätte das Verwaltungsgericht feststellen können, dass das QS-System nur noch aus einem Formular bestehe, das die Mobilfunkbetreiber jeden zweiten Monat von Hand ausfüllten. Mit diesen Ausführungen rügt der Beschwerdeführer sinngemäss eine willkürliche Anwendung von Art. 12 VRP/SG.
2.5. Die Stellungnahme bzw. der Amtsbericht des AFU vom 12. Juli 2012 befindet sich gemäss der zutreffenden Angabe des Verwaltungsgerichts bei den Akten des Baudepartements. Darin bestätigte das AFU den beigelegten Bericht "Stichprobenkontrolle von Mobilfunksendeanlagen und Überprüfung der Qualitätssicherungssysteme der Mobilfunkbetreiber Orange, Sunrise, Swisscom und SBB, 2010/2011" vom 18. Januar 2012 (nachstehend: Bericht "Stichprobenkontrolle"). Die gegen diesen Bericht und gegen das Funktionieren des QS-Systems im Kurzbericht "Gigaherz" erhobenen Einwände wurden bereits in früheren Verfahren vorgetragen und vom Bundesgericht als unbegründet erachtet (Urteile 1C_661/2012 vom 5. September 2013 E. 5, 5.1 und 5.2; 1C_642/2013 vom 7. April 2014 E. 6.3 und 6.4 mit weiteren Hinweisen). Unter diesen Umständen hat das Verwaltungsgericht mit dem Verzicht auf weitere Sachverhaltsabklärungen den in Art. 12 VRP/SG vorgesehenen Untersuchungsgrundsatz offensichtlich nicht willkürlich angewendet.
3.
3.1. Das Verwaltungsgericht ging davon aus, die Rügen des Beschwerdeführers hinsichtlich des QS-Systems seien nicht rechtsgenüglich begründet, weil er insoweit nur auf seine Eingaben an das Baudepartement verweise und wörtlich seine Ausführungen in seiner Rekursergänzung vom 15. Mai 2012 wiederhole. Dennoch prüfte das Verwaltungsgericht die vom Beschwerdeführer gegen das QS-System vorgebrachten Einwände und kam unter Verweis auf die Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Ergebnis, diese seien unbegründet. So führte es namentlich aus, das Bundesgericht habe zwischenzeitlich auch den Einwand geprüft und verworfen, dass das QS-System deshalb ungenügend sei, weil die Steuer- und Überwachungszentralen der Mobilfunknetze ins Ausland verlegt worden seien.
3.2. Der Beschwerdeführer rügt, die vorinstanzliche Annahme der ungenügenden Beschwerdebegründung verstosse gegen das Verbot des überspitzten Formalismus. Da sich das Baudepartement mit der im Kurzbericht "Gigaherz" aufgeführten Mängelliste überhaupt nicht auseinandergesetzt habe, sei dem Beschwerdeführer nichts anderes übrig geblieben, als diese Liste bei der nächsten Instanz nochmals vorzubringen. Das Verwaltungsgericht hätte daher diese Liste prüfen sollen, weshalb die Sache mit der Auflage an die Vorinstanz zurückzuweisen sei, detailliert auf diese Mängelliste einzugehen und sie seriös zu prüfen.
3.3. Diesem Antrag ist nicht stattzugeben, da sich das Verwaltungsgericht inhaltlich mit den im Bericht "Gigaherz" genannten Einwänden befasste und der Beschwerdeführer nicht aufzeigt, welche Rügen das Verwaltungsgericht nicht oder nur ungenügend behandelt haben soll. Dies ist auch nicht ersichtlich, da das Verwaltungsgericht in diesem Zusammenhang die wesentlichen Überlegungen nannte, von denen es sich hat leiten lassen, und es damit die aus dem verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör abgeleitete Begründungspflicht erfüllte (<ref-ruling> E. 3.2 S. 270 mit Hinweisen). Deshalb ist die Beschwerde in diesem Punkt abzuweisen.
4.
4.1. Bezüglich der vom Beschwerdeführer beanstandeten Messgenauigkeit erwog das Verwaltungsgericht, das Bundesgericht habe zwar im Urteil 1C_661/2012 vom 5. September 2013 (E. 4.3) einen Amtsbericht des Eidgenössischen Instituts für Metrologie (METAS) zur Frage verlangt, ob die bisherigen Messempfehlungen, die für die erweiterte Messunsicherheit U den Wert von ± 45 % zulassen, noch dem heutigen Stand der Technik entsprechen. Dieser Bericht sei jedoch nicht zwingend.
4.2. Der Beschwerdeführer widerspricht dieser Annahme und beantragt, das Bundesgericht müsse den Bau von Mobilfunkanlagen stoppen, bis der von ihm verlangte Amtsbericht des METAS vorliege.
4.3. Dieser Antrag ist gegenstandslos geworden, weil das METAS den angeforderten Amtsbericht am 11. Juni 2014 erstellt hatte. Darin bestätigt es die bisher empfohlene Methode für Abnahmemessungen und kam zum Ergebnis, derzeit bestehe keine Möglichkeit, mit moderneren Messeinrichtungen und Techniken die gesamte erweiterte Messunsicherheit U von ± 45 % bei experimentellen Bestimmungen des örtlichen Höchstwertes der elektromagnetischen Feldstärken in Innenräumen zu verkleinern. Gemäss diesem Fachbericht liegt somit kein technischer Wandel vor, der ein Abweichen von der bisherigen Rechtsprechung des Bundesgerichts zur Messung der Strahlung von Mobilfunkanlagen begründen könnte.
5.
5.1. Weiter führte das Verwaltungsgericht erläuternd aus, bei den Anlagegrenzwerten handle es sich nicht um Gefährdungswerte, sondern um vorsorgliche Emissionsbegrenzungen, welche die Strahlung auf das technisch und betrieblich mögliche und wirtschaftlich tragbare Mass reduzieren sollen.
5.2. Der Beschwerdeführer wendet ein, gemäss einer unter der Leitung von Dr. Adilza C. Dode durchgeführten wissenschaftlichen Studie zu Mobilfunkstrahlung und Krebs sei in der brasilianischen Stadt Belo Horizonte in einem Strahlungsbereich, der schweizerischen Grenzwerten entspreche, eine erhöhte Krebsrate und damit eine reale Gefährdung der Bevölkerung festgestellt worden.
5.3. Der Beschwerdeführer bezieht sich damit auf die Studie "Mortality by neoplasia and cellular telephone base stations in the Belo Horizonte municipality, Minas Gerais state, Brasil" (Science of The Total Environment 2011, 19 [409], 3649-3665). Das Bundesgericht ging in seiner bisherigen Rechtsprechung davon aus, diese Studie gebe keinen Anlass zur Anpassung der Grenzwerte für nichtionisierende Strahlung, da die Studie in der öffentlich zugänglichen Literatur-Datenbank ELMAR ausführlich bewertet worden sei und das BAFU angenommen habe, wegen methodischer Mängel der Studie könne nicht gesagt werden, dass die darin angeführten Krebserkrankungen kausal auf die Mobilfunkstrahlung zurückzuführen seien (Urteil 1C_340/2013 vom 4. April 2014 E. 3.4.2 i.V.m. E. 3.2). Für das Bundesgericht besteht auch im vorliegenden Verfahren kein Anlass, von dieser Einschätzung der Fachbehörde des Bundes abzuweichen, da der Beschwerdeführer sie nicht widerlegt.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dieser hat die obsiegende, anwaltlich vertretene private Beschwerdegegnerin ( Sunrise Communications AG) für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1, 2 und 4 BGG). Die Entschädigung wird als Gesamtbetrag festgesetzt, in dem auch die Mehrwertsteuer enthalten ist (Art. 12 des Parteientschädigungsreglements vom 31. März 2006, SR 173.110.210.3).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Politischen Gemeinde Berneck, dem Baudepartement des Kantons St. Gallen, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Gelzer