Sachverhalt:
A. Mit Eingabe vom 11. Dezember 2006 stellte X._ beim Gerichtskreis G._ das Gesuch, es sei ihm in der gegen Y._ eingeleiteten Betreibung Nr......... des Betreibungsamtes B._, für Fr. 215'727.60 nebst Zins zu 5 % seit 15. Juni 2005 provisorische Rechtsöffnung zu erteilen: Bei der in Betreibung gesetzten Forderung handle es sich um den Kaufpreis für Aktien der im Ausland domizilierten Firma A._, die er Y._ abgetreten habe.
In der von ihm eingeholten Vernehmlassung vom 3. Januar 2007 schloss Y._ auf Abweisung des Rechtsöffnungsbegehrens.
Der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises G._ wies das Rechtsöffnungsgesuch am 9. Januar 2007 ab.
B. Hiergegen appellierte X._ an das Obergericht des Kantons Bern. Er beantragte, den Entscheid des Gerichtspräsidenten aufzuheben und die Sache zur Gewährung des rechtlichen Gehörs und zu neuem Entscheid an diesen zurückzuweisen; allenfalls sei ihm die verlangte provisorische Rechtsöffnung zu erteilen. Sein Hauptbegehren begründete er damit, dass ihm die Vernehmlassung Y._s vom 3. Januar 2007 erst auf sein Ersuchen, am 12. Januar 2007, zugesandt worden sei.
Das Obergericht (Appellationshof, 1. Zivilkammer) holte von Y._ eine Stellungnahme ein, die dieser am 8. Februar 2007 einreichte. Darin wurde beantragt, verschiedene Appellationsbeilagen aus den Akten zu weisen und die Appellation abzuweisen.
Mit Entscheid vom 8. März 2007 gab das Obergericht beiden Anträgen statt und wies das Rechtsöffnungsgesuch seinerseits ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 16. April 2007 beantragt X._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Sache zur Gewährung des rechtlichen Gehörs, zur Ansetzung einer Frist für die Einreichung beglaubigter Übersetzungen der Gesuchsbeilagen und zu neuem Entscheid an die Appellationsinstanz zurückzuweisen; allenfalls sei ihm durch das Bundesgericht die verlangte Rechtsöffnung zu erteilen.
Y._ (Beschwerdegegner) schliesst in seiner Vernehmlassung vom 17. Dezember 2007 auf Abweisung der Beschwerde. Die Stellungnahme wurde dem Beschwerdeführer am 18. Dezember 2007 zur Kenntnis gebracht.
Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Als Entscheid in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegt der angefochtene Entscheid der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Rechtsöffnungsentscheide sind zudem Endentscheide im Sinne von <ref-law> (dazu <ref-ruling> E. 1.4 S. 400). Ferner ist der für vermögensrechtliche Angelegenheiten hier geforderte Streitwert von 30'000 Franken (<ref-law>) bei weitem erreicht. Da Rechtsöffnungssachen im Übrigen nicht etwa vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> darstellen (dazu <ref-ruling> E. 1.5 S. 400), sind in rechtlicher Hinsicht sämtliche Rügen nach den Art. 95 und 96 BGG zulässig. Unter das in <ref-law> angeführte Bundesrecht fallen auch verfassungsmässige Rechte des Bundes (<ref-ruling> E. 3.1 S. 447; <ref-ruling> E. 1 S. 203).
2. Zur Begründung seines Hauptbegehrens um Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids bringt der Beschwerdeführer vor, es sei ihm weder vom erstinstanzlichen Richter die Vernehmlassung des Beschwerdegegners vom 3. Januar 2007 noch von der Appellationsinstanz dessen Stellungnahme vom 8. Februar 2007 zu seiner Appellation vor Fällung des jeweiligen Entscheids zur Kenntnis gebracht worden. Durch ihr Vorgehen hätten beide kantonalen Instanzen seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und auf ein faires Verfahren (Art. 6 Ziff. 1 EMRK) missachtet. Diese Bestimmungen verleihten den Parteien das Recht, von sämtlichen dem Gericht eingereichten Eingaben oder Vernehmlassungen Kenntnis zu erhalten und zu diesen gegebenenfalls Stellung zu nehmen.
3. 3.1 Das Obergericht, das auf eine Stellungnahme zur Beschwerde ausdrücklich verzichtet hat, stellt nicht in Abrede, dass es dem Beschwerdeführer die Vernehmlassung des Beschwerdegegners vom 8. Februar 2007 zur Appellation nicht zur Kenntnis gebracht hat. Den gegenüber dem erstinstanzlichen Richter - der seinerseits dem Beschwerdeführer die Vernehmlassung zum Rechtsöffnungsgesuch (vor Fällung seines Entscheids) nicht zugestellt hatte - erhobenen Vorwurf der Missachtung des Anspruchs auf rechtliches Gehör und auf ein faires Verfahren hat es hauptsächlich mit dem Hinweis auf die Besonderheiten von Rechtsöffnungsangelegenheiten zurückgewiesen: Nach <ref-law> bzw. nach der entsprechenden Bestimmung von Art. 317 (Ziff. 4) der Berner Zivilprozessordnung (ZPO) seien Rechtsöffnungsgesuche im summarischen Verfahren zu erledigen. Dieses unterscheide sich vom ordentlichen Verfahren dadurch, dass die Anforderungen an den Beweis herabgesetzt und die Beweismittel beschränkt seien; es sei zeitlich gerafft, bezüglich seiner Formen vereinfacht und durch besondere Raschheit gekennzeichnet. Das summarische Verfahren führe teilweise zu Entscheiden provisorischen Charakters, an die der Richter im Hauptprozess nicht gebunden sei. Den Prozessmaximen, insbesondere der Eventual- und der Verhandlungsmaxime, komme grösseres Gewicht zu, und der Anspruch auf beiderseitiges rechtliches Gehör erfahre, vorerst einmal, Beeinträchtigung. Der Natur des Summarverfahrens entsprechend bestehe kein Anspruch auf Replik und Duplik. Von einem solchen Anspruch sei denn auch in <ref-law> (wonach der Richter dem Betriebenen sofort nach Eingang des Rechtsöffnungsgesuchs Gelegenheit zur mündlichen oder schriftlichen Stellungnahme gibt und den Entscheid danach innert fünf Tagen eröffnet) nicht die Rede. Das Gleiche gelte übrigens für den Vorentwurf der Schweizerischen Zivilprozessordnung, dessen Art. 262 im Summarverfahren keine Möglichkeit zur Replik und Duplik vorsehe.
Aufgrund seiner Erwägungen gelangte das Obergericht zum Ergebnis, der erstinstanzliche Richter habe durch das Unterlassen der Zustellung der Vernehmlassung des Beschwerdegegners den Gehörsanspruch des Beschwerdeführers nicht verletzt. Alsdann hat es das Rechtsöffnungsgesuch unter Einbezug des vom Beschwerdegegner in der Stellungnahme vom 8. Februar 2007 Vorgebrachten materiell geprüft und dafür gehalten, es sei abzuweisen.
3.2 Der obergerichtlichen Auffassung zum Anspruch auf rechtliches Gehör ist nicht beizupflichten: Das Bundesgericht hat wiederholt erklärt, die vom Beschwerdeführer angerufene Bestimmung von <ref-law> verleihe - unter Vorbehalt von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen zum Schutz überwiegender öffentlicher Interessen oder berechtigter Interessen Dritter (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 44 mit Hinweis) - der Verfahrenspartei den Anspruch, in alle für den Entscheid wesentlichen Akten Einsicht zu nehmen und sich dazu zu äussern (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweis). Dies bedeutet, dass ein Gericht jede bei ihm eingereichte Stellungnahme den Beteiligten zur Kenntnis zu bringen hat (dazu <ref-ruling>, E. 2.1 und 2.2 S. 99 f., und 100, E. 4.5 und 4.6 S. 103 f., mit Hinweisen).
Die Ausführungen des Obergerichts vermögen ein Abweichen von dieser Regel nicht zu rechtfertigen: Wenn unter Berufung auf das bundesgerichtliche Urteil vom 22. März 2002 (5P.31/2002) erklärt wird, <ref-law> halte den Rechtsöffnungsrichter an, innert fünf Tagen seit Anbringen des Begehrens und nach Anhören der Parteien zu entscheiden, und sehe keine Replik des Gläubigers vor, ist darauf hinzuweisen, dass in jenem Entscheid ausdrücklich festgehalten wurde, die genannte Bestimmung verbiete weder Replik noch Duplik (E. 3b). Zu bemerken ist ferner, dass es sich bei <ref-law> um eine blosse Ordnungsvorschrift handelt und dass das Bundesgericht bereits in einem älteren Urteil festhielt, diese müsse zurücktreten, wenn durch ihre Einhaltung den Parteien unter Umständen das rechtliche Gehör verweigert würde (<ref-ruling> E. 3 S. 468). Dem Beschleunigungsgebot hätte der Rechtsöffnungsrichter im Übrigen mit der Anordnung einer mündlichen Verhandlung Rechnung tragen können (vgl. Jaeger/Walder/Kull/Kottmann, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 4. Auflage, Zürich 1997, N. 2 zu Art. 84), wie sie nach der Berner Zivilprozessordnung (Art. 309) auch für das summarische Verfahren in Fällen der vorliegenden Art möglich ist. Soweit die Nichtzustellung der vom Beschwerdegegner im Appellationsverfahren eingereichten Vernehmlassung durch die Vorinstanz in Frage steht, vermochte <ref-law> die Unterlassung von vornherein nicht zu rechtfertigen, wendet sich doch diese Bestimmung ausschliesslich an den Rechtsöffnungsrichter.
3.3 Wenn das Obergericht zum Schluss gelangte, der erstinstanzliche Richter habe, ohne den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör zu verletzen, davon absehen dürfen, die Stellungnahme vom 3. Januar 2007 (worin der Beschwerdegegner unter Beilage verschiedener Schriftstücke die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs verlangte) zur Kenntnis zu bringen, hat es nach dem Gesagten <ref-law> verkannt. Ausserdem hat die Vorinstanz auch selbst gegen <ref-law> verstossen, indem sie dem Beschwerdeführer die Vernehmlassung vom 8. Februar 2007 zu seiner Appellation nicht zustellte: Sie hat diese Eingabe, in der der Beschwerdegegner nicht nur auf Abweisung des Rechtsmittels schloss, sondern zudem beantragte, gewisse Appellationsbeilagen seien aus den Akten zu weisen, ausdrücklich erwähnt und in Betracht gezogen. Mit dem angefochtenen Entscheid wurde beiden Anträgen entsprochen (Dispositiv-Ziffern 1 und 2). Die dem Beschwerdeführer vorenthaltene Stellungnahme war somit nicht etwa nur abstrakt geeignet, den Verfahrensausgang zu beeinflussen.
4. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde gutzuheissen, ohne dass die ebenfalls in der Sache selbst erhobenen Rügen zu prüfen wären. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückzuweisen.
5. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdegegner aufzuerlegen, zumal dieser ausdrücklich die Abweisung der Beschwerde verlangt hat (<ref-law>). Der Beschwerdegegner ist ausserdem zu verpflichten, den Beschwerdeführer für seine Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Obergerichts (Appellationshof, 1. Zivilkammer) des Kantons Bern vom 8. März 2007 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Der Beschwerdegegner wird verpflichtet, den Beschwerdeführer für seine Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (Appellationshof, 1. Zivilkammer) des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel