Sachverhalt:
A. Die 1945 geborene, zuletzt als kaufmännische Angestellte tätig gewesene G._ war als Bezügerin von Arbeitslosenentschädigung bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 26. Januar 2002 einen Verkehrsunfall erlitt. Der von ihr gelenkte Renault Twingo wurde beim vortrittsberechtigten Abbiegen an der vorderen rechten Seite von einem entgegenkommenden Ford Mondeo gerammt. Wegen danach aufgetretener Beschwerden suchte G._ am 29. Januar 2002 den Hausarzt auf, welcher auf eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) befand und ab dem Unfallzeitpunkt eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigte. In der Folge wurde von ärztlicher Seite auch die Diagnose einer milden traumatischen Gehirnverletzung gestellt. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt eröffnete sie der Versicherten mit Verfügung vom 20. Januar 2005 die Einstellung der Leistungen auf den 28. Februar 2005. Zugleich verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum versicherten Ereignis. Die vom Krankenversicherer der G._ hiegegen erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache der Versicherten wies die SUVA ab (Einspracheentscheid vom 3. November 2005).
B. In Gutheissung der von G._ hiegegen erhobenen Beschwerde hob das Kantonsgericht Basel-Landschaft den Einspracheentscheid vom 3. November 2005 auf, und es verpflichtete die SUVA, die Versicherungsleistungen über den 28. Februar 2005 hinaus zu erbringen (Entscheid vom 27. September 2006).
C. Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben.
G._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist indessen vorher ergangen, weshalb sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG) richtet (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. Streitig ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Verkehrsunfall vom 26. Januar 2002 über den 28. Februar 2005 hinaus.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid, auf welchen verwiesen wird, zutreffend dargelegt. Es betrifft dies nebst den massgeblichen gesetzlichen Bestimmungen namentlich die Grundsätze über den für einen Leistungsanspruch vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 181 mit Hinweisen) sowie bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (<ref-ruling>) und bei nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen verbundenen HWS-Schleudertraumen (<ref-ruling>), äquivalenten Verletzungen der HWS (RKUV 2000 Nr. U 395 S. 316 E. 3, U 160/98; SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) und Schädel-Hirntraumen (<ref-ruling>) im Besonderen. An diesen Grundsätzen hat sich mit dem In-Kraft-Treten des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) am 1. Januar 2003 nichts geändert.
3. Das kantonale Gericht hat zunächst erkannt, dass die persistierenden Beschwerden nicht mit einem organisch objektiv ausgewiesenen unfallbedingten Gesundheitsschaden erklärt werden können. Das ist nach Lage der Akten richtig.
Aus den weiteren Erwägungen im angefochtenen Entscheid geht nicht zweifelsfrei hervor, ob die Vorinstanz von einem beim Unfall erlittenen Schädel-Hirntrauma ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle ausgeht oder nicht. Jedenfalls ist sie zur Auffassung gelangt, die Versicherte habe bei der Autokollision eine - ebenfalls nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen verbundene - HWS-Distorsion erlitten, welche natürlich kausal sei für die persistierenden Beschwerden. Der adäquate Kausalzusammenhang sei daher nach der sog. Schleudertrauma-Praxis zu prüfen.
Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde führende SUVA verneint jegliche natürlich unfallkausale Verletzung, welche die Anwendung der besagten Adäquanzbeurteilungspraxis zu rechtfertigen vermöchte. Die noch geklagten Beschwerden seien vielmehr mit einer psychischen Fehlentwicklung nach Unfall zu erklären.
Die diskutierte Unterscheidung bei den Adäquanbeurteilungsmethoden ist insofern von Bedeutung, als nach der Schleudertrauma-Praxis, anders als im Falle einer psychischen Fehlentwicklung nach Unfall, bei der Prüfung der abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzprüfung einzubeziehenden unfallbezogenen Kriterien auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird, weil es hier nicht entscheidend ist, ob Beschwerden eher als organischer und/oder psychischer Natur beurteilt werden (<ref-ruling> E. 6a S. 367 und 369 E. 4b S. 382 f.).
4. Aufgrund der medizinischen Akten ist die Diagnose einer beim Unfall vom 26. Januar 2002 erlittenen HWS-Distorsion als gesichert zu betrachten. Gleiches gilt für das konsekutive Auftreten von weiten Teilen des für Schleudertraumen und ähnliche Verletzungen der HWS typischen Beschwerdebildes (<ref-ruling> E. 4b S. 360; vgl. auch <ref-ruling>), weshalb der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den persistierenden Beschwerden mit der Vorinstanz zu bejahen ist.
Was die SUVA vorbringt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Es betrifft dies sowohl die allgemeinen Ausführungen zur Schleudertrauma-Praxis als auch die Vorbringen zu deren Anwendbarkeit im vorliegenden Fall. Namentlich sind keine Widersprüche in den Aussagen der Versicherten auszumachen, welche die geklagten und von verschiedenen Ärzten als nachvollziehbar erachteten Beschwerden als nicht bestehend erscheinen liessen. Dass die klinisch festgestellten Muskelverspannungen und Bewegungseinschränkungen kein fassbares organisches Korrelat darstellen, ist bei den der Schleuderdertrauma-Praxis zugrunde liegenden Verletzungsmustern ohne Belang. Im Weiteren trifft zu, dass bei zu langem Zeitintervall zwischen dem Unfall und dem Auftreten von schleudertraumatypischen Beschwerden die natürliche Kausalität zu verneinen ist. Dies heisst aber entgegen der in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vertretenen Auffassung nicht, dass bereits unmittelbar nach dem Unfall das ganze für derartige Verletzungen typische Beschwerdebild vorliegen muss. Wie die Vorinstanz richtig erkannt hat, genügt - bei zuverlässiger Diagnose der Verletzung und späterem Hinzukommen eines weiten Teils des Beschwerdebildes - wenn in einer Latenzzeit von höchstens 72 Stunden nach dem Unfall Beschwerden in der Halsregion oder an der HWS auftreten (SVR 2007 UV Nr. 23 S. 75 E. 5 mit Hinweisen, U 215/05; RKUV 2000 Nr. U 359 S. 29 E. 5e). Das war hier der Fall. Es kann schliesslich auch nicht gesagt werden, die bestehenden Beschwerden seien wahrscheinlicher auf unfallfremde, wie etwa psychosoziale, Gründe als auf eine schleudertraumaähnliche Verletzung der HWS zurückzuführen.
5. Sind nach dem Gesagten die persistierenden Beschwerden natürlich kausal mit einer beim Unfall vom 26. Januar 2002 erlittenen HWS-Verletzung im Sinne der Schleudertrauma-Praxis zu erklären, gilt es den adäquaten Kausalzusammenhang nach den hiefür geltenden Grundsätzen zu prüfen.
5.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen (<ref-ruling> E. 6a S. 366 f.). Das kantonale Gericht hat die Auffahrkollision vom 26. Januar 2002 bei den mittelschweren Unfällen an der Grenze zu den leichten Unfällen eingeordnet.
Das ist aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufes richtig. Ein schwerer Unfall liesse sich auch nicht mit dem von der Versicherten angeführten Umstand begründen, dass aufgrund des seitlich/diagonalen Kollisionspunktes an der Karrosserie des von ihr gefahrenen Renaults dessen Knautschzone im Frontbereich nicht zum Tragen gekommen sei. Auch Auffahrunfälle auf ein haltendes Fahrzeug werden nämlich in der Regel als mittelschwere, im Grenzbereich zu den leichten Unfällen liegende Ereignisse, in Einzelfällen sogar als nur leichte Unfälle qualifiziert (RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236 E. 5.1.2, U 380/04, 2003 Nr. U 489 S. 357 E. 4.2, U 193/01, je mit Hinweisen), obschon das bei diesen Kollisionen betroffene Fahrzeugheck strukturell ebenfalls deutlich weniger geschützt ist als die Frontpartie. Zudem war hier die Geschwindigkeit des Unfallgegners beim Aufprall recht gering. Dies ergibt sich aus der verlässlich erscheinenden Beurteilung in der Technischen Unfallanalyse vom 24. April 2004. Darin wird überdies ausgeführt, der stattgefundene Bewegungsablauf sei eher mit einer geringeren Belastung der HWS verbunden gewesen als eine gerade gerichtete frontale oder heckseitige Kollision.
5.2 Von den weiteren, objektiv fassbaren und unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehenden oder als Folge davon erscheinenden Umständen, welche als massgebende Kriterien in die Gesamtwürdigung einzubeziehen sind (<ref-ruling> E. 6a S. 367), müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (<ref-ruling> E. 6b S. 367 f.).
5.2.1 Das kantonale Gericht erachtet die Kriterien der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzung, der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung, der Dauerbeschwerden, des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen sowie des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit als - in jeweils nicht ausgeprägter Weise - erfüllt. Damit wären die massgeblichen Kriterien in gehäufter Weise gegeben, was für die Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs genügen würde. Die Versicherte stimmt dieser Adäquanzbeurteilung zu. Weitere der praxisgemäss in Frage kommenden Kriterien werden - nach Lage der Akten zu Recht - nicht zur Diskussion gestellt.
Die SUVA verneint, allerdings unter dem Gesichtspunkt einer psychischen Fehlentwicklung nach Unfall, sämtliche adäquanzrelevanten Kriterien.
5.2.2 Die Prüfung der nach Auffassung von Vorinstanz und Versicherter erfüllten Kriterien ergibt Folgendes:
Rechtsprechungsgemäss vermag die Diagnose eines Schleudertraumas resp. einer Distorsion der HWS für sich allein das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzung nicht zu begründen (RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236 E. 5.2.3 mit Hinweisen, U 380/04). Hiefür genügt entgegen dem angefochtenen Entscheid auch nicht, wenn die verunfallte Person nach dem Unfall temporär neuropsychologische Defizite aufgewiesen hat. Dem von der Vorinstanz erwähnten Urteil U 20/95 vom 30. März 1995 (zusammengefasst in SZS 2001 S. 438 f. und Plädoyer 3/1995 S. 65) lässt sich nichts anderes entnehmen. Es liegen auch keine weiteren Gesichtspunkte vor, welche für die Erfüllung des Kriteriums sprechen würden. Das kantonale Gericht hat dieses daher zu Unrecht bejaht.
Gleiches gilt für das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs oder erheblicher Komplikationen. Für dessen Bejahung genügt entgegen dem angefochtenen Entscheid nicht, wenn keine nachhaltige Besserung der Beschwerden eingetreten ist. Es bedürfte vielmehr besonderer Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben (SVR 2007 UV Nr. 26 S. 86, U 339/06, E. 5.3 mit Hinweisen). Anhaltspunkte hiefür liegen nicht vor. Die Entwicklung nach dem Unfall vom 26. Januar 2002 entspricht dem nach HWS-Schleudertraumen Üblichen.
Ob das Kriterium von Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit als erfüllt zu betrachten ist, erscheint schon mit Blick darauf, dass die Versicherte im Unfallzeitpunkt bereits frühpensioniert war und seither eine Pension von rund zwei Dritteln des ehemaligen Lohnes erhält, eher fraglich. Dies muss aber nicht abschliessend beurteilt werden. Denn auch wenn dieses und die beiden weiteren vom kantonalen Gericht bejahten Kriterien (Dauer der ärztlichen Behandlung; Dauerbeschwerden) - ohne nähere Prüfung - als erfüllt betrachtet werden, ist jedenfalls keines in besonders ausgeprägter Weise gegeben und bestehen die adäquanzrelevanten Kriterien weder gehäuft noch in besonderer Weise. Entgegen dem angefochtenen Entscheid kommt dem Unfall vom 26. Januar 2002 somit keine rechtserhebliche Bedeutung für die persistierenden Beschwerden zu. Dies führt zur Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, vom 27. September 2006 aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Januar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
i.V. Widmer Lanz