Faits :
A.
A._, née en 1965, a été engagée dès le 1 er avril 2009 en qualité de secrétaire auprès du Service B._ de l'Etat de Neuchâtel. Elle a été nommée à cette fonction avec effet au 1 er janvier 2011. Le 11 janvier 2012, le chef du Service B._ a informé la prénommée par lettre recommandée que son comportement répréhensible au travail depuis le mois de mai 2011 semblait constituer de justes motifs de licenciement permettant à l'autorité de nomination d'ordonner son renvoi, sans avertissement préalable. Dans une convention datée des 20 et 23 avril 2012, valant avertissement préalable au sens des dispositions de la loi sur le statut de la fonction publique, A._ a pris divers engagements en vue d'améliorer son comportement à l'égard de ses collègues. Par courrier du 5 octobre 2012, le chef de service ad interim a rappelé à A._ certaines de ses obligations professionnelles ainsi que les engagements découlant de la convention valant avertissement. Plusieurs séances réunissant l'intéressée, son représentant du syndicat C._ ainsi que son employeur ont eu lieu entre octobre 2012 et mars 2013, lesquelles ont conduit au maintien de la collaboration (cf. notes de la séance du 6 mars 2013).
A la suite de nouvelles plaintes émanant de collègues au cours du mois de juillet 2013, le chef de service a convoqué A._ le 6 août 2013 et l'a informée de son intention de proposer au Service des ressources humaines l'ouverture d'une procédure en vue de son renvoi. Le contenu de cet entretien lui a en outre été confirmé par écrit le même jour en mains propres. Par lettre du 20 août 2013, le chef du Service des ressources humaines a informé A._ que le Conseil d'Etat envisageait de mettre un terme à son engagement, en la libérant de son obligation de travailler. Un délai de dix jours lui a été imparti pour formuler ses remarques. Par courrier recommandé du 26 août 2013, le syndicat C._ a contesté les reproches émis à l'encontre de A._, informé le Conseil d'Etat que celle-ci était en incapacité de travail et sollicité la suspension du délai fixé à un retour à sa pleine capacité de travail. Il a joint à sa correspondance deux certificats médicaux attestant une incapacité de travail de 100 % jusqu'au 28 août 2013 (certificat du 14 août 2013), respectivement jusqu'au 27 août 2013 (certificat du 23 août 2013).
Par décision du 18 septembre 2013, le Conseil d'Etat a résilié les rapports de service avec effet au 31 décembre 2013. En même temps, il a refusé de suspendre, respectivement de prolonger le délai pour le dépôt des observations, libéré A._ de son obligation de travailler dès le 7 ème jour suivant la réception de la décision et retiré l'effet suspensif à un éventuel recours.
B.
A._ a recouru auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, en concluant préalablement à la restitution de l'effet suspensif et, principalement, à l'annulation de la décision du Conseil d'Etat du 18 septembre 2013. Par arrêt du 17 décembre 2013, la juridiction cantonale a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable. Elle a en outre déclaré la requête en restitution de l'effet suspensif sans objet.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, sous suite de frais et dépens.
Le Service des ressources humaines de la République et canton de Neuchâtel du Département de la justice, de la sécurité et de la culture conclut au rejet du recours.
D.
Par ordonnance du 7 avril 2014, le juge instructeur de la Ire Cour de droit social du Tribunal fédéral a rejeté la demande d'effet suspensif de la recourante.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le jugement entrepris a été rendu en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Dans la mesure où la contestation porte sur l'annulation d'une décision de renvoi, il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. La valeur litigieuse atteint par ailleurs le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF).
1.2. Pour le surplus, interjeté en temps utile (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF), le recours en matière de droit public est recevable.
2.
Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Toutefois, il n'examine que les griefs soulevés, sauf en présence de violations de droit évidentes (<ref-ruling> consid. 2 p. 88; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 280). En outre, le Tribunal fédéral ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief motivé de façon détaillée conformément aux exigences accrues de l'<ref-law>. Le recourant doit énoncer le droit ou principe constitutionnel violé et exposer de manière claire et circonstanciée en quoi consiste la violation (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 176).
3.
Le Tribunal fédéral conduit par ailleurs son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire.
4.
4.1. La recourante se plaint tout d'abord d'une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.), en invoquant qu'elle n'a pas été en mesure de prendre connaissance des reproches qui lui étaient adressés avant que le Conseil d'Etat ne rende sa décision de licenciement. Les premiers juges ont retenu que le fait de ne pas avoir répondu à la demande de suspension du délai avant de rendre la décision de renvoi était certes critiquable de la part du Conseil d'Etat. Toutefois, en ne réagissant pas au silence de l'autorité et en ne déposant pas d'observations après qu'elle eut recouvré sa capacité de travail, la recourante, représentée par un mandataire, n'avait pas non plus fait preuve de la diligence que l'on pouvait attendre d'elle. Dans ces circonstances, elle n'avait pas été empêchée d'exercer son droit d'être entendue avant que la décision de renvoi ne soit prise à son encontre.
4.2. Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de caractère formel, dont la violation doit entraîner l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès du recourant sur le fond (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 390; <ref-ruling> consid. 3d/aa p. 437). Le contenu du droit d'être entendu et les modalités de sa mise en oeuvre sont déterminés en premier lieu par les dispositions de droit cantonal de procédure, dont le Tribunal fédéral ne revoit l'application et l'interprétation que sous l'angle restreint de l'arbitraire; il examine en revanche librement si les garanties minimales consacrées par le droit constitutionnel fédéral sont respectées (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 161; consid. 5.2 non publié aux <ref-ruling> de l'arrêt 8C_158/2009 du 2 septembre 2009 et les arrêts cités).
4.3. Le droit d'être entendu est concrétisé à l'art. 47 de la loi sur le statut de la fonction publique (LSt), du 28 juin 1995 (RSN 152.510), invoqué par la recourante, selon lequel avant de prendre sa décision, l'autorité de nomination entend l'intéressé en lui indiquant les faits ou omissions qui lui sont reprochés, ainsi que les moyens de défense dont il dispose, conformément à la loi sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA), du 27 juin 1979 (RSN 152.130), en particulier son droit de consulter le dossier et de se faire assister d'un mandataire. La recourante ne prétend pas que cette norme accorde une garantie du droit d'être entendu allant au-delà de celle de l'art. 29 al. 2 Cst., de sorte que son grief peut être examiné exclusivement à la lumière de la disposition constitutionnelle fédérale.
4.4. De manière générale, le droit d'être entendu n'accorde pas un droit automatique à une prolongation du délai, laquelle est subordonnée à l'existence de motifs suffisants (<ref-law> et <ref-law>, auquel renvoie l'art. 20 LPJA dans sa version en vigueur depuis le 1 er janvier 2011; arrêts 5D_47/2013, 5D_48/2013, 5D_52/2013 et 5D_53/2013 du 29 juillet 2013). En l'espèce, l'autorité de nomination a informé la recourante par courrier recommandé du 20 août 2013, notifié le 23 août 2013, de la décision envisagée ainsi que des faits qui lui étaient reprochés et lui a accordé un délai de dix jours dès réception de cet envoi pour formuler ses remarques, en lui rappelant son droit de consulter le dossier et de se faire assister d'un mandataire. Invoquant une incapacité de travail de sa mandante, le syndicat C._ a demandé par lettre du 26 août 2013 que le Conseil d'Etat " suspende le délai du droit d'être entendu à un retour de notre mandante à sa pleine capacité de travail ". Selon les certificats médicaux produits à l'appui de cette requête, l'incapacité de travail prenait fin le 27 ou le 28 août 2013 (les certificats sont sur ce point divergents). Toujours est-il que la recourante (pour laquelle agissait une avocate employée de C._) ne pouvait exclure que la requête fût rejetée dès lors que l'incapacité de travail prenait fin pratiquement au moment du dépôt de la requête. Face au silence de l'autorité, la recourante pouvait tout au plus penser que la demande de suspension était tacitement admise et qu'en conséquence le délai de dix jours commencerait au plus tard à courir dès le 29 août 2013 pour venir à échéance le lundi 9 septembre suivant. Elle avait donc la possibilité de déposer ses observations jusqu'à cette date. En ne réagissant pas dans ce délai (prolongé) et pas non plus par la suite, elle a pris le risque de ne plus pouvoir se déterminer avant le prononcé de la décision du Conseil d'Etat. Les premiers juges pouvaient dans ces circonstances nier une violation du droit d'être entendu.
5.
5.1. La juridiction cantonale a considéré que la décision de renvoi de la recourante n'était pas critiquable. Elle a constaté que la recourante avait fait l'objet d'un avertissement au mois d'avril 2012, auquel cette dernière avait d'ailleurs elle-même conclu face à l'éventualité d'un renvoi. A cette occasion, la recourante avait pris conventionnellement divers engagements relatifs à son comportement vis-à-vis de ses collègues et supérieurs. A la suite de nouveaux écarts de comportement, elle avait été rappelée à ses obligations au mois d'octobre 2012. Plusieurs séances réunissant l'intéressée et son mandataire, d'une part, ses supérieurs, d'autre part, avaient succédé à cette remise à l'ordre entre octobre 2012 et mars 2013, lesquelles avaient conduit au maintien de la collaboration. De nouveaux manquements aux engagements pris avaient été rapportés dès le mois de juillet 2013, lesquels correspondaient, pour la plupart, à ceux qui avaient justifié le prononcé d'un avertissement en 2012. Au vu de ces circonstances, le Tribunal cantonal a estimé que les rapports de service de la recourante ne pouvaient plus être maintenus en raison des difficultés relationnelles persistantes qui existaient aussi bien avec ses collègues qu'avec ses supérieurs et de l'impossibilité pour la recourante de s'amender de manière durable. Dès lors que la poursuite de son activité au sein du secrétariat apparaissait clairement préjudiciable à sa bonne marche et que les collègues de la recourante n'avaient pas à en subir les conséquences, la décision de renvoi n'apparaissait pas critiquable.
5.2. La recourante reproche tout d'abord à la juridiction cantonale d'avoir violé l'art. 9 Cst. en arrivant à la conclusion que la décision de renvoi était restée dans le cadre du pouvoir d'appréciation de l'autorité de nomination.
5.3. La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. A défaut d'une telle motivation, il n'est pas possible de prendre en considération un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée, ni des faits qui n'y sont pas contenus (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 187; <ref-ruling> consid. 1.4 et 6.2 p. 287 s.). Le recourant ne peut d'ailleurs demander une rectification de l'état de fait que si celle-ci est de nature à influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
5.4. En l'espèce, la recourante se contente, par une succession d'allégués, d'opposer sa propre version des événements à celle retenue par la juridiction cantonale, sans en démontrer le caractère arbitraire. Dans ces conditions, il n'y a pas de motif de s'écarter des faits constatés par la juridiction précédente, en tant qu'elle a retenu que le comportement inapproprié de la recourante nuisait au climat de travail et à l'efficacité du secrétariat. Sur la base de ces faits, la juridiction cantonale n'est pas tombée dans l'arbitraire en admettant l'existence d'un juste motif de licenciement au sens des art. 45 à 48 LSt.
6.
Se prévalant de l'art. 15 Cst., la recourante fait encore valoir qu'elle est victime d'une discrimination confessionnelle dès lors que ses problèmes relationnels au travail seraient survenus à la suite de l'annonce de sa conversion à la religion musulmane.
Dans la convention valant avertissement préalable des 20 et 23 avril 2012, la recourante n'a jamais contesté les comportements qui lui étaient reprochés, se contentant de nier que ceux-ci puissent être constitutifs d'un licenciement pour justes motifs, sans avertissement préalable. Par ailleurs, le dossier ne contient pas le moindre indice de la discrimination alléguée. Partant, le grief, pour autant qu'il soit recevable, est à l'évidence mal fondé.
7.
Vu l'issue du litige, la recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public.
Lucerne, le 29 octobre 2014
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Leuzinger
La Greffière : Fretz Perrin