Sachverhalt:
A.
A.a. Laut Aufzeichnung des Verkehrskontrollsystems VKS 3.1 und dessen Auswertung durch die Polizei fuhr X._ am 27. Dezember 2011 um ca. 16.05 Uhr mit einem Personenwagen auf der Autobahn A6-Nord bei Rapperswil/BE in Richtung Lyss-Süd mit einer Geschwindigkeit von netto 124 km/h und hielt dabei zum vor ihm fahrenden Fahrzeug einen Abstand von maximal 26 m ein, was einem zeitlichen Nachfahrabstand von 0.8 Sekunden entspricht. Mit rechtskräftigem Strafbefehl vom 8. März 2012 verurteilte ihn die Staatsanwaltschaft Region Berner Jura-Seeland wegen Überschreitens der Höchstgeschwindigkeit auf Autobahnen um 4 km/h und wegen Nichtwahrens eines ausreichenden Abstandes zum vorderen Fahrzeug zu einer Busse von Fr. 520.--.
A.b. Mit Verfügung vom 1. Juni 2012 entzog das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern X._ den Führerausweis für Motorfahrzeuge für die Dauer eines Monats.
B.
Am 17. Oktober 2012 wies die Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern eine dagegen erhobene Beschwerde ab.
C.
Mit als Beschwerde bezeichneter Eingabe an das Bundesgericht vom 13. Februar 2013 beantragt X._, den Entscheid der Rekurskommission aufzuheben und anstelle des Führerausweisentzugs eine Verwarnung auszusprechen. Im Wesentlichen macht er geltend, keine mittelschwere, sondern lediglich eine einfache Verletzung der Verkehrsregeln begangen zu haben, wovon auch die Staatsanwaltschaft im Strafbefehlsverfahren ausgegangen sei. Überdies sei nicht berücksichtigt worden, dass er in ständiger Bremsbereitschaft gewesen sei. Schliesslich sei er beruflich auf den Führerausweis angewiesen.
D.
Die Rekurskommission und das Bundesamt für Strassen ASTRA schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
E.
X._ hat sich am 29. Mai 2013 nochmals zur Sache geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht auch gegen Entscheide über administrative Massnahmen im Strassenverkehrsrecht offen. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid der zuständigen Rekurskommission, die von der Verwaltung unabhängig ist und damit gerichtliche Funktionen erfüllt (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 und Art. 90 BGG; Art. 74 des bernischen Gesetzes vom 11. Juni 2009 über die Organisation der Gerichtsbehörden und der Staatsanwaltschaft, GOG; Urteil des Bundesgerichts 1C_441/2012 vom 4. März 2013 E. 1.1). Der Beschwerdeführer ist als Inhaber des entzogenen Führerausweises und direkter Adressat des angefochtenen Entscheids gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert.
1.2. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann, von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen, nur die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten (vgl. Art. 95 lit. a-c BGG) sowie die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhaltes (vgl. <ref-law>) gerügt werden.
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>).
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.2. Im vorliegenden Fall sind die Tatsachen weitgehend unbestritten. Es besteht auch keine Differenz zwischen den Sachverhaltsfeststellungen im Strafbefehl und denjenigen der Vorinstanzen, so dass die entsprechenden Rechtsgrundsätze zur Bindung der Verwaltungsbehörden an die Feststellungen der Strafverfolgungsbehörden (vgl. <ref-ruling> E. 1c S. 106 f.; Urteil des Bundesgerichts 1C_441/2012 vom 4. März 2013 E. 3) von vornherein nicht verletzt worden sein können. Der Beschwerdeführer wendet hingegen ein, die Vorinstanzen hätten nicht berücksichtigt, dass er ständig in Bremsbereitschaft gewesen sei, was die Reaktionszeit erheblich verkürze. Der Beschwerdeführer vermag allerdings nicht darzutun, dass insoweit eine qualifiziert mangelhafte Sachverhaltsfeststellung vorliegen würde, wie es nötig wäre, damit das Bundesgericht den von der Vorinstanz als gerichtlicher Instanz erhobenen Sachverhalt ändert oder ergänzt. Im Übrigen würde dieser Umstand am Ausgang des Verfahrens nichts ändern (vgl. E. 4.2).
3.
3.1. Das Gesetz unterscheidet im Zusammenhang mit dem administrativen Führerausweisentzug zwischen der leichten, mittelschweren und schweren Widerhandlung (Art. 16a-c SVG). Gemäss <ref-law> begeht eine leichte Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine geringe Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft und ihn dabei nur ein leichtes Verschulden trifft (Abs. 1 lit. a). Die fehlbare Person wird verwarnt, wenn in den vorangegangenen zwei Jahren der Ausweis nicht entzogen war und keine andere Administrativmassnahme verfügt wurde (Abs. 3). In besonders leichten Fällen wird auf jegliche Massnahme verzichtet (<ref-law>). Gemäss <ref-law> begeht eine mittelschwere Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (Abs. 1 lit. a). Nach einer mittelschweren Widerhandlung wird der Führerausweis für mindestens einen Monat entzogen (Abs. 2 lit. a). Leichte und mittelschwere Widerhandlungen werden von <ref-law> als einfache Verkehrsregelverletzungen erfasst (<ref-ruling> E. 2.4 S. 143). Gemäss <ref-law> begeht eine schwere Widerhandlung, wer durch grobe Verletzung von Verkehrsregeln eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (Abs. 1 lit. a). Nach einer schweren Widerhandlung, welche einer groben Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law> entspricht (<ref-ruling> E. 3 S. 237), wird der Führerausweis für mindestens drei Monate entzogen (Abs. 2 lit. a). Eine Unterschreitung der gesetzlichen Mindestentzugsdauer ist ausgeschlossen (<ref-law>; vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E. 2.1).
3.2. Die mittelschwere Widerhandlung nach <ref-law> stellt einen Auffangtatbestand dar. Sie liegt vor, wenn nicht alle privilegierenden Elemente einer leichten Widerhandlung nach <ref-law> und nicht alle qualifizierenden Elemente einer schweren Widerhandlung nach <ref-law> gegeben sind. Die Annahme einer schweren Widerhandlung setzt kumulativ eine qualifizierte objektive Gefährdung und ein qualifiziertes Verschulden voraus. Ist die Gefährdung gering, aber das Verschulden hoch, oder umgekehrt die Gefährdung hoch und das Verschulden gering, liegt eine mittelschwere Widerhandlung vor (vgl. die Urteile des Bundesgerichts 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E. 2.2 und 1C_452/2011 vom 21. August 2012 E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
3.3. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers stimmt somit der strafrechtliche Tatbestand der Verkehrsregelverletzung von <ref-law>, der dort im Wortlaut übrigens auch nicht als einfacher Gesetzesverstoss bezeichnet wird, nicht mit demjenigen der einfachen Widerhandlung von <ref-law> überein, der für den administrativen Führerausweisentzug gilt. Straf- und Verwaltungsrecht folgen jeweils einer anderen Systematik und verwenden im Übrigen auch nicht dieselben Begriffe. Während <ref-law> (in der hier noch anwendbaren Fassung vom 19. Dezember 1958 bzw. vom 13. Dezember 2002) die nicht näher bezeichnete normale (oder im Sprachgebrauch einfache) von der groben Verkehrsregelverletzung unterscheidet, kennen die <ref-law> die vier Stufen der besonders leichten, leichten, mittelschweren und schweren Widerhandlung gegen das Gesetz. Nur schon von daher können die Tatbestände nicht deckungsgleich sein.
3.4. Eine Gefahr für die Sicherheit anderer im Sinne von Art. 16a - 16c SVG ist bei einer konkreten oder auch bei einer erhöhten abstrakten Gefährdung zu bejahen. Eine erhöhte abstrakte Gefahr besteht, wenn die Möglichkeit einer konkreten Gefährdung oder Verletzung naheliegt. Ob eine solche Gefährdung vorliegt, hängt von den jeweiligen Verhältnissen des Einzelfalls ab (Urteil 1C_452/2011 vom 21. August 2012 E. 3.3 mit Hinweis).
4.
4.1. Das Einhalten eines ausreichenden Abstandes beim Hintereinanderfahren wird von <ref-law> und Art. 12 Abs. 1 VRV vorgeschrieben und ist von grundlegender Bedeutung für die Verkehrssicherheit, bildet doch die Missachtung dieser Regel eine häufige Unfallursache (<ref-ruling> E. 3.2.1 mit Hinweis). Für die Bestimmung des auch bei günstigen Verhältnissen minimal einzuhaltenden Abstands kann nach der straf- wie verwaltungsrechtlichen Praxis des Bundesgerichts von der Faustregel "halber Tacho" (bzw. 1,8 Sekunden) ausgegangen werden (<ref-ruling> E. 3.1; Urteile 6B_3/2010 vom 25. Februar 2010 E. 3 und 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E. 4.1). Keine allgemeinen Grundsätze entwickelt hat die Rechtsprechung zur Frage, bei welchem Abstand auch bei günstigen Umständen objektiv von einer strafrechtlichen groben Verkehrsregelverletzung auszugehen ist. In der Lehre wird etwa ein Abstand von 0.6 Sekunden vorgeschlagen (<ref-ruling> E. 3.2.2 mit Hinweisen). Im Urteil 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 beurteilte das Bundesgericht einen Abstand von rund 20 bis 25 m bei einem Tempo von rund 100 km/h administrativrechtlich als mittelschwere Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz und ordnete einen entsprechenden Ausweisentzug nach <ref-law> an.
4.2. Der Beschwerdeführer fuhr gemäss Aufzeichnung des Verkehrskontrollsystems und dessen Auswertung durch die Polizei auf der Autobahn mit einer Geschwindigkeit von netto 124 km/h und hielt dabei zum vor ihm fahrenden Fahrzeug einen Abstand von maximal 26 m ein, was einem zeitlichen Nachfahrabstand von 0.8 Sekunden entspricht. Mit dem angewendeten Messsystem wird der fliessende Verkehr über eine Distanz von bis zu einem halben Kilometer überwacht. Wie die Vorinstanz verbindlich festgestellt hat, lässt sich aus den Messdaten schliessen, dass der Beschwerdeführer den kurzen Abstand über eine längere Distanz von mehreren hundert Metern bzw. einer entsprechenden Zeitdauer beibehielt und sich dieser mithin nicht bloss kurzzeitig daraus ergeben haben kann, dass sich das vordere Fahrzeug mit zu geringem Abstand vor ihn gesetzt hatte. Der Beschwerdeführer schuf dadurch eine zumindest erhöhte abstrakte Gefährdung des übrigen Verkehrs, die selbst bei trockener Strasse nicht mehr als gering zu bezeichnen ist. Daran würde im Übrigen auch nichts ändern, wenn er, wie er nunmehr behauptet, in ständiger Bremsbereitschaft gewesen wäre, denn auch das hätte angesichts des kurzen Abstandes und des hohen Tempos ein rechtzeitiges erfolgreiches Abbremsen im Bedarfsfall kaum garantieren können.
4.3. Der vorliegende Fall ist mit der im Entscheid 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 beurteilten Sachlage durchaus vergleichbar, wobei hier sogar eine um rund 20 km/h höhere Geschwindigkeit bei einem ähnlich grossen Abstand zu berücksichtigen ist. Der Beschwerdeführer ist angesichts der bei ihm höheren Geschwindigkeit nicht schlechter gestellt als der betroffene Fahrzeuglenker im Vergleichsfall. Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz ebenfalls von einer mittelschweren Widerhandlung ausging. Auch wenn das Verhalten des Beschwerdeführers strafrechtlich lediglich als einfache Verkehrsregelverletzung beurteilt worden ist, liegt es jedenfalls nicht näher beim leichten als beim schweren Gesetzesverstoss. Da der Beschwerdeführer mit der gesetzlich zulässigen Minimalsanktion eines Entzugs für die Dauer eines Monats gemäss <ref-law> belegt wurde, kann er aus dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit bzw. aus dem Argument, beruflich auf den Führerausweis angewiesen zu sein, nichts zu seinen Gunsten ableiten. Diesem Umstand wird allenfalls bei der Festlegung des konkreten Entzugstermins Rechnung getragen werden können.
4.4. Der angefochtene Entscheid verstösst demnach nicht gegen Bundesrecht.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern, der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführern und dem Bundesamt für Strassen ASTRA (Sekretariat Administrativmassnahmen) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax