Sachverhalt:
A.
Am 1. Mai 2012 reichte A._ ein Baugesuch ein zum Neubau eines Schweinestalles für 420 Masttiere und zwei Futtersilos sowie die Umnutzung der bestehenden Schweinescheune in einen Lagerraum auf seiner Parzelle Nr. 122 in Schachen (Gemeinde Werthenstein). Gegen das Bauvorhaben erhob B._, Eigentümer des Wohnhauses auf der angrenzenden Parzelle Nr. 828 (Wohnzone B), Einsprache. Er bemängelte insbesondere den ungenügenden Abstand des Neubaus zu seinem Wohnhaus und zum gegenüberliegenden Kindergarten in der Zone für öffentliche Zwecke, der von seinen Kindern besucht werde. Trotz Abänderung des Projekts kam keine Einigung zustande. Mit Entscheid vom 2. Oktober 2012 erteilte der Gemeinderat Werthenstein A._ die nachgesuchte Bauerlaubnis unter Bedingungen und Auflagen und wies die Einsprache von B._ ab. Zugleich eröffnete er den Entscheid der kantonalen Dienststelle Raumentwicklung, Wirtschaftsförderung und Geoinformation (rawi) vom 28. September 2012, mit dem die Bewilligung zur inneren Aufstockung nach Art. 16a Abs. 2 RPG (SR 700) erteilt wurde.
B.
Hiergegen erhob B._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht (nunmehr Kantonsgericht) des Kantons Luzern. Dieses führte einen mehrfachen Schriftenwechsel durch. Mit Urteil vom 19. Februar 2014 hiess es die Beschwerde gut, soweit es darauf eintrat, hob die Baubewilligung und die Bewilligung der Dienststelle rawi auf und wies die Sache zum Entscheid über das weitere Vorgehen an die Bewilligungsbehörden zurück. Das Kantonsgericht erwog, die Bewilligungsbehörden hätten den Mindestabstand an sich methodisch korrekt nach den Empfehlungen der Eidgenössischen Forschungsanstalt für Betriebswirtschaft und Landtechnik (FAT; heute Forschungsanstalt Agroscope Reckenholz-Tänikon [ART]) berechnet. Der massgebende FAT-Bericht Nr. 476 von 1995 sehe bei bestimmten Einflussfaktoren Korrekturen vom Normabstand vor. Die Korrekturfaktoren (fk) 1 (für Geländeform) und 7 (für Lüftung) seien von den Vorinstanzen widersprüchlich festgesetzt worden, und die Widersprüche hätten sich weder mit den Erklärungen noch mit dreifachem Schriftenwechsel beheben lassen. Wegen glaubhaft gemachter besonderer Windverhältnisse hätte entweder eine Sonderbeurteilung durchgeführt oder der fk 1 mit 1,2 eingesetzt werden müssen. Auch für den fk 7 sei ein Wert von 1,2 angezeigt, wobei zu verifizieren bleibe, ob der vorgesehene Luftwäscher allenfalls die Anforderungen an eine "Kaminführung über Dach" erfülle, was gegebenenfalls eine Reduktion erlaubte. Endlich sei ungewiss und zweifelhaft, ob der Luftwäscher dem in den FAT-Richtlinien erwähnten Biowäscher gleichgesetzt werden könne, was beim fk 8 eine Reduktion auf 0,3 erlauben würde; denn der Biowäscher verfüge verglichen mit dem Luftwäscher über eine zusätzliche Reinigungsstufe (Einsatz von Mikroorganismen). Für den vorgesehenen Luftwäscher fehlten aktuelle Daten. Könne aber für den Luftwäscher nicht ein fk 0,3 (Reinigungswirkungsgrad 80%) eingesetzt werden, so respektiere der Neubau die Mindestabstände nicht. Die angefochtenen Entscheide wiesen noch weitere Mängel auf. Insbesondere stütze sich die Berechnung der Ammoniakemissionsreduktion um 20% gemäss Massnahmenplan Luftreinhaltung auf ungesicherte bzw. unerklärte, zum Teil sich aus den Plänen nicht ergebende Grundlagen. Zudem seien die Angaben zum Rindvieh- und Mastschweinebestand unpräzis. Es rechtfertige sich daher nicht, dass das Kantonsgericht alle weiteren Abklärungen treffe und allfällige weitere Rahmenbedingungen festlege; die Angelegenheit sei zu diesem Zweck zurückzuweisen.
C.
Mit Eingabe vom 2. April 2014 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 19. Februar 2014 aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, die erteilte Baubewilligung zu bestätigen, eventuell ein Beweisverfahren durchzuführen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Zur Begründung macht der Beschwerdeführer geltend, die Rückweisung sei unnötig gewesen, weil dem Kantonsgericht alle erforderlichen Beurteilungsgrundlagen vorgelegen hätten. Da die Weiterführung der Schweinemast für ihn existenzielle Bedeutung habe und er die alte Schweinescheune innert 18 Monaten ab Rechtskraft der Baubewilligung stilllegen müsse, bedeute die durch die Rückweisung bedingte Verzögerung des Neubauvorhabens einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law>. Dieses würde wegen der zusätzlichen Abklärungen auch massgeblich verteuert. Die Verfahrensverlängerung führe zu einer Verletzung des Beschleunigungsgebots. Die Vorinstanz habe eine Gehörsverweigerung begangen, weil sie keinen Augenschein durchgeführt habe. Ihre Kritik beruhe auf falschem Verständnis der Bewilligungsentscheide bzw. auf Missverständnissen. Schliesslich habe sie den Streitgegenstand unzulässig erweitert und Massnahmen des verschärften Immissionsschutzes verlangt, ohne dass die entsprechenden Voraussetzungen vorlägen.
Die Gemeinde Werthenstein gibt in ihrer Vernehmlassung an, sie halte an der von ihr erteilten Baubewilligung fest. Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Kantonsgericht schliesst ebenfalls auf Abweisung, soweit auf die Beschwerde eingetreten werden könne. Die Dienststelle rawi verweist auf die Erwägungen in ihrem raumplanungsrechtlichen Entscheid und beantragt die Gutheissung der Beschwerde. Das Bundesamt für Umwelt hält die Überlegungen im angefochtenen Rückweisungsentscheid für überzeugend; das richtige Setzen der Korrekturfaktoren sei entscheidend für die Beurteilung des Vorhabens.
Mit Verfügung vom 2. Juni 2014 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG). Ein Ausschlussgrund gemäss <ref-law> liegt nicht vor. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, ist als Baugesuchsteller durch das angefochtene Urteil besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Die Beschwerde wurde form- und fristgerecht eingereicht (Art. 42 und 100 Abs. 1 BGG).
1.2 Das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts weist die Angelegenheit zur weiteren Behandlung an die Bewilligungsbehörden zurück. Obwohl das Kantonsgericht die erteilten Bewilligungen aufgehoben hat, schliesst sein Urteil das Verfahren - entgegen der Auffassung des Beschwerdegegners - nicht ab; dieses ist weiterhin hängig (erneut vor den kommunalen und kantonalen Bewilligungsbehörden). Das angefochtene Urteil stellt daher keinen Endentscheid, sondern einen Zwischenentscheid dar (<ref-ruling> E. 1.3 S. 127; <ref-ruling> E. 1.2 S. 411 f.).
1.3 Ein Zwischenentscheid ist - von den hier nicht gegebenen Ausnahmen gemäss <ref-law> abgesehen - beim Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> anfechtbar, d.h. wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Diese Ausnahmevoraussetzungen sollen das Bundesgericht entlasten. Es soll sich möglichst nur einmal mit einer Sache befassen und sich überdies nicht in einem frühen Verfahrensstadium ohne genügende umfassende Sachverhaltskenntnisse teilweise materiell festlegen müssen. Können allfällige Nachteile in verhältnismässiger Weise auch noch mit einer bundesgerichtlichen Beurteilung nach Ausfällung des Endentscheids behoben werden, so tritt das Bundesgericht auf eine Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 34 f.). Die blosse Verzögerung oder Verteuerung des Verfahrens genügt generell nicht, um einen sofortigen Entscheid des Bundesgerichts zu erwirken, Immerhin muss sichergestellt werden, dass das Verfahren insgesamt dem verfassungsrechtlichen Gebot genügt, im Rahmen eines fairen Verfahrens innert angemessener Frist einen wirksamen Rechtsschutz zu gewähren (<ref-law>; Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Unter diesem Aspekt kann es ausnahmsweise verfassungsrechtlich geboten sein, bereits auf einen Zwischenentscheid einzutreten, wenn es rechtsstaatlich unzumutbar wäre, die Parteien auf die Anfechtung des Endentscheids zu verweisen (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 170 f. mit Hinweis).
1.4 Auf die zweite Ausnahme (<ref-law>) beruft sich der Beschwerdeführer nicht (vgl. Beschwerde I.2. Ziff. 5). Er bringt jedoch vor, die Rückweisung zur weiteren Abklärung bedeute für ihn einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil. Die Gründe, die er dazu anführt (vgl. Sachverhaltsabschnitt C hiervor), sind zwar durchaus nachvollziehbar. Sie lassen aber ersehen, dass es ihm vor allem darum geht, eine Verlängerung und Verteuerung des Verfahrens als Folge weiterer Sachverhaltsabklärungen und sich daraus allenfalls ergebender Projektänderungen zu vermeiden. Gewiss weist er zudem auf die ihm eingeräumte Frist von 18 Monaten ab Eintritt der Rechtskraft der beantragten Baubewilligung hin, innert der er die alte Schweinescheune ersetzt haben müsse, wenn er die Einnahmen aus der Schweinemast - seine Haupteinnahmequelle - nicht verlieren wolle. Solange die Baubewilligung nicht in Rechtskraft erwächst, läuft diese Frist indessen nicht, weshalb keine besondere zeitliche Dringlichkeit angenommen werden kann. Der Beschwerdeführer behauptet auch, müsste das Bauprojekt neu aufgerollt werden, sei mit einer massiv kürzeren Übergangsfrist zu rechnen. Mit dieser unbelegten Behauptung übersieht er, dass die Vorinstanz in ihrem Rückweisungsentscheid keine Änderung des Bauprojekts, sondern zusätzliche Abklärungen bezüglich dessen Zulässigkeit verlangt. Es ist zudem verständlich, dass die Vorinstanz für die Beurteilung der neuen Schweinemasthalle in unmittelbarer Nachbarschaft einer Wohnzone, der Dorfzone und einer Zone für öffentliche Nutzung mit Kindergarten in jeder Hinsicht einwandfreie Abklärungen und verlässliche, dem aktuellen Stand der Technik entsprechende Grundlagen voraussetzt. Die sich aus problematischer Lage ergebenden Detailabklärungen können, jedenfalls soweit sie sich im Rahmen eines Beweisverfahrens wie hier sachlich rechtfertigen lassen, keinen Verstoss gegen das Beschleunigungsgebot (<ref-law>) begründen. Im Zusammenhang mit der hier zu beurteilenden Rückweisung kann daher nicht von einer übermässig langen Verfahrensdauer gesprochen werden (vgl. dazu: <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 171; 370 E. 1.5 S. 374). Dies umso weniger, als das Kantonsgericht erfolglos versucht hat, die offenen Fragen durch einen mehrmaligen Schriftenwechsel selber zu klären, und nicht erwartet werden kann, dass ein Augenschein genügt hätte, um die fehlenden Informationen beizubringen. Unter diesen Umständen kann nicht gesagt werden, die Rückweisung der Angelegenheit zur weiteren Behandlung im Sinne der vorinstanzlichen Erwägungen bedeute einen unzumutbaren und nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law>. Die Eintretensvoraussetzungen sind somit nicht erfüllt.
2.
Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Ergebnis wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig. Er hat die Verfahrenskosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Werthenstein, dem Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement, Dienststelle Raumentwicklung, Wirtschaftsförderung und Geoinformation (rawi), dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juli 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Gelzer