Sachverhalt:
A. In der gegen X._ laufenden Betreibung der Krankenkasse A._ vollzog das Betreibungsamt Bern-Mittelland, Dienststelle Mittelland, am 10. Dezember 2010 die Pfändung (Gruppe Nr. xxxx). Auf entsprechende Mitteilung hin gelangte die Stadt Zürich, Soziale Dienste/Alimentenstelle, am 5. Januar 2011 an das Betreibungsamt. Sie verlangte den privilegierten Anschluss an die Pfändung nach <ref-law> für Alimentenforderungen gegenüber dem Schuldner, die sie für dessen Sohn vom 1. Juli 2008 bis 1. Januar 2011 bevorschusst hatte. Darauf teilte das Betreibungsamt der Stadt Zürich am 14. Januar 2011 mit, dass Unterhaltsbeiträge, die durch das Gemeinwesen bevorschusst werden, zur privilegierten Anschlusspfändung nicht berechtigt seien.
B. Gegen die Verfügung des Betreibungsamtes erhob die Stadt Zürich Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, welche mit Entscheid vom 7. Juni 2011 abgewiesen wurde.
C. Die Stadt Zürich ist am 16. Juni 2011 mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin verlangt, der Entscheid der Aufsichtsbehörde vom 7. Juni 2011 sei aufzuheben und das Betreibungsamt sei anzuweisen, den privilegierten Anschluss an die Pfändung vom 10. Dezember 2010 zu gewähren. Weiter ersucht sie um aufschiebende Wirkung.
Mit Präsidialverfügung vom 8. Juli 2011 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung dahingehend zuerkannt worden, dass die Verteilung des Pfändungserlöses ausgesetzt wurde.
Die Aufsichtsbehörde hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Betreibungsamt und der Schuldner als Beschwerdegegner haben sich nicht vernehmen lassen.
Über die vorliegende Beschwerde wurde an der öffentlichen Beratung vom 26. Januar 2012 entschieden.

Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden über Verfügungen der Vollstreckungsorgane gemäss <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Sie ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze gegeben (<ref-law>).
1.2 Die Beschwerdeführerin hat grundsätzlich ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung bzw. Änderung des angefochtenen Entscheides (<ref-law>). Die Beschwerde gegen den verfahrensabschliessenden Entscheid (<ref-law>) ist fristgemäss erhoben worden (<ref-law>) und grundsätzlich zulässig.
1.3 Mit vorliegender Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>).
2. 2.1 Die Aufsichtsbehörde hat zunächst festgehalten, über die Berechtigung zur privilegierten Anschlusspfändung nach <ref-law> sei im Beschwerdeverfahren (<ref-law>) zu entscheiden. In der Sache hat sie im Wesentlichen betont, dass der Unterhaltsgläubiger infolge seiner Abhängigkeit und Nähe Hemmungen habe, gegen den Unterhaltsschuldner vorzugehen, was den Anschluss an die Pfändung eines anderen Gläubigers innert 40 Tagen ohne vorgängige Betreibung rechtfertige. Auf dieses Privileg sei das Gemeinwesen jedoch nicht angewiesen, weil es in keiner persönlichen Beziehung oder Abhängigkeit stehe. Das Betreibungsamt habe daher das Begehren der Beschwerdeführerin um privilegierten Pfändungsanschluss zu Recht abgewiesen.
2.2 Die Beschwerdeführerin bestreitet die Zuständigkeit des Betreibungsamtes bzw. der Aufsichtsbehörde und macht sinngemäss geltend, über die Berechtigung zur Anschlusspfändung sei im Anschlussprozess (<ref-law>) zu entscheiden. In der Sache beruft sie sich auf <ref-law>, wonach im Fall, dass das Gemeinwesen für den Unterhalt des Kindes aufkommt, der Unterhaltsanspruch "mit allen Rechten" auf das Gemeinwesen übergehe, also auch mit dem Recht auf privilegierte Anschlusspfändung, weil insgesamt die Durchsetzung des Unterhaltsanspruchs gesichert werden soll. Im Weiteren würde bei Verweigerung des Anschlussprivilegs derjenige Unterhaltsschuldner, dessen Leistung das Gemeinwesen bevorschussen muss, im Vergleich zu anderen Unterhaltsschuldnern in der Pfändung bessergestellt. Dies sei nicht der Sinn der gesetzlichen Regelung.
3. Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt das Begehren der Beschwerdeführerin, welche gestützt auf <ref-law> an der gegenüber dem Schuldner vollzogenen Pfändung teilnehmen will. Nach dieser Gesetzesbestimmung können bestimmte Personen an einer Pfändung ohne vorgängige Betreibung innert 40 Tagen nach ihrem Vollzug teilnehmen (Abs. 1), u.a. die Kinder des Schuldners für Forderungen aus dem elterlichen Verhältnis (Abs. 1 Ziff. 2). Sodann bestimmt <ref-law>, dass der Unterhaltsanspruch mit allen Rechten auf das Gemeinwesen übergeht, falls das Gemeinwesen für den Unterhalt aufkommt (Subrogation bzw. Legalzession nach <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 197). Dass die Beschwerdeführerin als Gemeinwesen bevorschusste Unterhaltsansprüche für das Kind des Schuldners geltend macht, steht nicht in Frage. Streitpunkt ist hingegen, ob sie infolge Subrogation die privilegierte Anschlusspfändung nach <ref-law> verlangen kann.
3.1 Die Beschwerdeführerin stellt zunächst die Zuständigkeit der Aufsichtsbehörde in Frage. Dieses Vorbringen ist nicht haltbar. Es geht hier nicht um die Entscheidung, ob der Beschwerdeführerin materiell ein Unterhaltsanspruch in der geltend gemachten Höhe zusteht, was im Anschlussprozess zu klären wäre (<ref-law>), sondern darum, ob ein nach <ref-law> privilegierter Forderungsanspruch vorliegt. Der Streit dreht sich m.a.W. um die Legitimation eines Gläubigers zur Stellung des Anschlusspfändungsbegehrens. Diese zu prüfen ist Sache des Betreibungsamtes, dessen Entscheid mit Beschwerde nach <ref-law> weitergezogen werden kann (BGE 61 III 80 E. 2 S. 84; ZR 1905 Nr. 86 E. 1, S. 137).
3.2 Das Bundesgericht hat die Frage, ob das Unterhaltsbeiträge bevorschussende Gemeinwesen den privilegierten Pfändungsanschluss (<ref-law>) verlangen kann, noch nicht entschieden. In der Lehre und Praxis findet sich keine einheitliche Antwort.
3.2.1 Ein Teil der Autoren vertritt die Auffassung, dass zu "allen Rechten", die auf das Gemeinwesen übergehen (<ref-law>), auch das Recht zum privilegierten Pfändungsanschluss gehört, weil es um die qualitative Sicherung der Durchsetzung des Unterhaltsanspruchs gehe (u.a. BREITSCHMID, Fragen um die Zwangsvollstreckung bei Alimentenbevorschussung [...], SJZ 1992 S. 64, HEGNAUER, Berner Kommentar, 1997, N. 97 zu <ref-law>; HAUSHEER/SPYCHER, in: Handbuch des Unterhaltsrechts, 2. Aufl. 2010, S. 386, Rz. 6.42; BASTONS BULLETTI, Les moyens d'exécution des contributions d'entretien après divorce et les prestations d'aide sociale, in: Droit patrimonial de la famille, 2004, S. 72; MATHEY, La saisie de salaire et de revenu, 1989, S. 211, Rz. 457).
3.2.2 Nach anderer Meinung handelt es sich beim Anschlussrecht nach <ref-law> um ein Vorzugsrecht, welches mit Blick auf die persönliche Rücksichtnahme untrennbar mit der Person des Abtretenden verbunden sei und nicht nach <ref-law> übergehe (u.a. JENT-SØRENSEN, in: Basler Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 15 zu <ref-law>; GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. II, 2000, N. 36 zu <ref-law>; PROBST, in: Commentaire romand, Code des obligations I, 2003, N. 10 zu <ref-law>; GIRSBERGER, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 5. Aufl. 2011, N. 9 zu <ref-law>). Kantonale Rechtsprechung ist von dieser Auffassung bzw. von der Verweigerung des Anschlussprivilegs nicht überzeugt (ZR 1991 Nr. 40 E. 4a S. 126 obiter dictum).
3.3 Nach dem Wortlaut von <ref-law> geht der bevorschusste Unterhalt "mit allen Rechten" ("avec tous les droits", "con tutti i diritti") auf das Gemeinwesen über. Dies lässt den Einbezug des Übergangs des Rechts auf privilegierte Anschlusspfändung grundsätzlich zu. Nichts anderes ergibt sich aus der weiteren Auslegung der Bestimmung.
3.3.1 Den Materialien lässt sich entnehmen, dass die Subrogation "namentlich" die Unterhaltsklage (<ref-law>), den Anspruch auf Schuldneranweisung (<ref-law>) und auf Sicherstellung (<ref-law>) erfasst (Botschaft vom 5. Juni 1974 über die Änderung des ZGB [Kindesverhältnis], BBl 1974 II 1, Ziff. 322.6, S. 64). Daraus kann ebenso wenig wie aus der systematischen Einordnung von <ref-law> (im Kindesunterhaltsrecht) abgeleitet werden, dass der Übergang von zwangsvollstreckungsrechtlichen Vorzugsrechten ausgeschlossen sei. Der Revisionsgesetzgeber wollte die Geltendmachung und Vollstreckung des Unterhaltsanspruchs erleichtern. Mit dem Ausbau der privatrechtlichen Regelung wurde auch klargestellt, dass es sich bei der Bevorschussung des Unterhaltsanspruchs durch das Gemeinwesen nicht um Sozialleistungen handelt. Das Kind soll nicht Anspruch auf Bevorschussung haben, weil es Not leidet, sondern weil der Unterhaltspflichtige säumig ist. Das Gemeinwesen erbringt die Leistung an Stelle des Pflichtigen, weshalb der privatrechtliche (Unterhalts-) Anspruch übergeht (Botschaft, a.a.O., Ziff. 322.7, S. 66).
3.3.2 Zweck der Subrogation ist demnach, dass der Unterhaltsschuldner nicht von seiner Nachlässigkeit profitieren soll. Aus diesem Grund kann das bevorschussende Gemeinwesen die Schuldneranweisung nach <ref-law> verlangen, wie das Bundesgericht kürzlich entschieden hat (<ref-ruling> E. 3.4 S. 201). Die gleiche Überlegung gilt für das Recht des Gemeinwesens, die privilegierte Anschlusspfändung nach <ref-law> zu verlangen. Sie dient - ebenso wie die Schuldneranweisung - nicht dem unmittelbaren Unterhalt des Berechtigten, sondern vielmehr der Sicherung der Durchsetzung der Unterhaltsforderung (vgl. BREITSCHMID, a.a.O.). Demnach verlangt eine auf <ref-law> bzw. die zivilrechtliche Funktion der Subrogation abgestimmte Handhabung von <ref-law>, dass das Anschlussprivileg ohne Weiteres an der Unterhaltsforderung haftet (privilegium causae) und vom bevorschussenden Gemeinwesen geltend gemacht werden kann.
3.4 Betreibungs- oder obligationenrechtliche Aspekte stehen dieser Auslegung nicht entgegen.
3.4.1 Wohl hat das Anschlussprivileg nach <ref-law> seinen Grund in der für bestimmte Gläubiger bestehenden Schwierigkeit, wegen des familien- oder vormundschaftlichen Verhältnisses ihre Forderung durch selbständige Schuldbetreibung durchzusetzen (BGE 72 I 151 S. 154). Um den Nachteil gegenüber Fremdgläubigern wettzumachen, erleichtert das Gesetz den betreffenden benachteiligten Gläubigern die Teilnahme an einer bereits vollzogenen Pfändung durch ein doppeltes Vorrecht (Anschluss innert längerer Frist, ohne vorgängige Betreibung). Es ist jedoch nicht einzusehen, weshalb ein Schuldner, dessen Unterhaltsleistungen das Gemeinwesen bevorschussen muss, besser fahren soll (weil er nur mit vorgängiger Betreibung belangt werden kann), als ein Schuldner, dessen Gläubiger nicht auf die Bevorschussung angewiesen ist. Diese Unterscheidung, auf welche die Beschwerdeführerin zu Recht hinweist, ist durch den Zweck von <ref-law> nicht geboten und lässt sich betreibungsrechtlich nicht rechtfertigen.
3.4.2 Zu Recht hat die Vorinstanz die Subrogation bzw. Legalzession nach <ref-law> mit Blick auf <ref-law> gewürdigt. Nach dieser Bestimmung ist der Übergang der Vorzugs- und Nebenrechte eingeschränkt: Diese Rechte gehen nicht über, wenn sie "untrennbar mit der Person des Abtretenden verknüpft sind". Die Verknüpfung kann sich aus dem Willen der Parteien oder der Natur der Rechte ergeben (<ref-ruling> E. 4 S. 79; GIRSBERGER, a.a.O.; PROBST, a.a.O., mit weiteren Hinweisen). Für die Frage, ob das Anschlussrecht nach <ref-law> als "untrennbar mit der Person" betrachtet werden muss, ist auf die "Natur" bzw. den Sinn und Zweck der Legalzession von <ref-law> abzustellen (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 201, betreffend Schuldneranweisung). Wie dargelegt soll der Unterhaltsschuldner nicht von seiner Nachlässigkeit profitieren (E. 3.3.2). Da mit der Bevorschussung der Unterhaltsleistung durch das Gemeinwesen nicht eine Entlastung des Schuldners eintreten soll, ist das Anschlussprivileg als privilegium causae aufzufassen bzw. kann es nicht an der Person des Gläubigers haften. Es überzeugt daher nicht, wenn die Aufsichtsbehörde der Beschwerdeführerin den Anschluss nach <ref-law> unter Hinweis auf <ref-law> verweigert hat.
3.4.3 Schliesslich kann entgegen der Auffassung der Vorinstanz (sowie offenbar MEIER/STETTLER, Droit de filiation, 4. Aufl. 2009, S. 556, Fn. 2058) aus <ref-ruling> keine Verweigerung des Anschlussprivilegs abgeleitet werden. Nach der zitierten Rechtsprechung kann bei der Einkommenspfändung (<ref-law>) nur dann in das Existenzminimum des Schuldners eingegriffen werden, wenn die Pfändung (oder der Arrest) von unterhaltsberechtigten Familienmitgliedern verlangt wird, nicht aber, wenn das Gemeinwesen im Rahmen von <ref-law> als Gläubiger auftritt (<ref-ruling> E. 2 S. 20; zuletzt <ref-ruling> E. 3.9 S. 204). Dieser Rechtsprechung liegt die sozialpolitische Überlegung zugrunde, dass Schuldner und Gläubiger den gleich schweren wirtschaftlichen Einschränkungen unterliegen sollen, wenn beide Einkommen den Notbedarf nicht zu decken vermögen (<ref-ruling> E. 4 S. 15); es überwiegt die Verknüpfung mit der Person. Der Eingriff in den Notbedarf, der als Ausnahme zugelassen wird, haftet daher als privilegium personae am Unterhaltsberechtigten (<ref-ruling> E. 2 S. 21). Dem steht jedoch nicht entgegen, dass andere betreibungsrechtliche Privilegien von der Subrogation nach <ref-law> erfasst sind. Das Anschlussprivileg erleichtert zwar die betreibungsrechtliche Geltendmachung der Forderung (keine vorgängige Betreibung notwendig), ist jedoch mit dem Eingriff in das Existenzminimum des Schuldners nicht vergleichbar. Die privilegierte Anschlusspfändung gemäss <ref-law> wird daher von der Subrogation nach <ref-law> erfasst, ebenso wie das Privileg im Kollokationsplan (Art. 219 Abs. 4 Erste Klasse lit. c SchKG), was allgemein anerkannt ist (vgl. BGE 57 II 10 E. 3 S. 13 sowie u.a. GILLIÉRON, a.a.O., Bd. III, 2001, N. 84 zu <ref-law>; LORANDI, in: Basler Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 247 zu <ref-law>).
3.5 Nach dem Dargelegten ist mit Bundesrecht nicht vereinbar, wenn die Aufsichtsbehörde die Legitimation der Beschwerdeführerin zum Anschlussbegehren nach <ref-law> verweigert hat, weil sie eine Unterhaltsforderung gestützt auf <ref-law> geltend macht. Die Rüge einer Rechtsverletzung ist begründet.
4. Die Beschwerde in Zivilsachen ist gutzuheissen, und der Entscheid der Aufsichtsbehörde vom 7. Juni 2011 ist aufzuheben. Gegenstand des angefochtenen Entscheides ist einzig die vom Betreibungsamt - zu Unrecht - verweigerte Legitimation der Beschwerdeführerin zum Anschlussbegehren. Die Sache ist daher an das Betreibungsamt zurückzuweisen (<ref-law>), damit dieses die weitere Prüfung des Anschlussbegehrens vornehme (vgl. JENT-SØRENSEN, a.a.O., N. 33 zu <ref-law>).
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben (<ref-law>). Eine Parteientschädigung an die mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Beschwerdeführerin ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, vom 7. Juni 2011 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an das Betreibungsamt Bern-Mittelland, Dienststelle Mittelland, zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Januar 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Levante