Faits:
A. Selon l'art. 158 de la Constitution de la République et canton de Genève du 24 mai 1847 (RS/GE A 2 00), l'approvisionnement et la distribution d'eau et d'électricité sont un monopole public exercé par les Services industriels de Genève (SIG), qui sont un établissement de droit public autonome, doté de la personnalité juridique. L'organisation des SIG est réglée dans la loi sur l'organisation des Services industriels de Genève du 5 octobre 1973 (LSIG RS/GE L 2 35). Selon l'art. 6 LSIG, l'administration de l'établissement est confiée à un Conseil d'administration dont les membres sont nommés à raison de :
a) 1 membre de chaque parti représenté au Grand Conseil, désigné par ce dernier;
b) 4 membres, dont un conseiller d'Etat, par le Conseil d'Etat;
c) 4 membres par le Conseil municipal de la Ville de Genève;
d) 1 membre choisi en son sein par le Conseil administratif de la Ville de Genève;
e) 3 membres par les conseillers municipaux des autres communes;
f) 4 membres faisant partie du personnel des SIG.
Les administrateurs sont nommés pour quatre ans (art. 10 LSIG). Ils sont rémunérés (art. 15 al. 4 LSIG).
Le 20 décembre 2006, le Conseil d'Etat a arrêté la composition du Conseil d'administration des SIG pour la période du 1er janvier 2007 au 31 décembre 2010. Parmi les sept membres désignés par le Grand Conseil figurait S._, député, représentant le Mouvement des citoyens genevois (MCG), dont il est par ailleurs le président.
B. B.a Le 28 juin 2007, lors d'une séance du Conseil d'administration des SIG, S._ a souhaité connaître le montant des boni distribués à la direction générale par l'établissement. Après une discussion, le président du Conseil d'administration, M._, s'est engagé à répondre à S._, de manière transparente, à condition que celui-ci formule ses demandes clairement et par écrit.
Le 9 juillet 2007, S._ et un autre député ont déposé devant le Grand Conseil une proposition de résolution intitulée «SIG-Monopole d'Etat et les millions de francs de Bonus payés à la direction générale sur le dos des consommateurs qui n'ont d'autre choix d'approvisionnement!». Le Conseil d'Etat était invité «à rendre un rapport détaillé (...) sur le montant exact des bonus versés à l'ensemble du personnel des SIG pour les années 2000 à 2006 et les montants prévus ou payés en 2007». Cette intervention a été largement relayée dans la presse. Parallèlement, S._ a dénoncé à la Cour des comptes le régime des boni, exorbitants à ses yeux, versés aux membres de la direction générale et au personnel des SIG.
Le 12 juillet 2007, S._ a adressé au président du Conseil d'administration une lettre par laquelle il souhaitait obtenir le détail des boni attribués aux employés et à la direction générale des SIG. Le président a répondu le 22 août 2007 que le montant total versé à ce titre en 2006 était de 6'500'000 fr., dont 330'000 fr. aux membres de la direction générale. Il précisait que la «validation» des montants attribués individuellement était de la compétence du bureau. Dans une interview à la presse publiée le 11 septembre 2007, S._ a déclaré avoir «la nette impression que le système de bonus (était) illégal». Lors d'une séance du 4 octobre 2007, le Conseil d'administration a décidé de faire la transparence sur les rémunérations des membres du Conseil d'administration.
Dans son audit de légalité et de gestion relatif aux rémunérations des membres des conseils d'administration et des directions des principaux établissements publics autonomes du canton du 21 février 2008, la Cour des comptes a constaté que les rémunérations du Conseil d'administration des SIG n'avaient pas donné lieu à une acceptation formelle du Conseil d'Etat comme prévu par la loi. Toutefois, un document récapitulatif des rémunérations pratiquées par ces établissements, faisant état des rémunérations de l'ensemble des administrateurs des SIG, avait été communiqué à cette autorité le 8 février 2002, laquelle n'avait pas relevé d'irrégularités. En revanche, contrairement à la loi, les salaires de six membres de la direction des SIG avaient été supérieurs à ceux de la fonction publique. A la suite de ce rapport, le salaire du président du Conseil d'administration des SIG, alors de 374'900 fr. par an, a été ramené à 220'000 fr.
B.b Le 23 juillet 2007, S._ a déposé devant le secrétariat du Grand Conseil une interpellation urgente portant le titre : «Rhino, Bistrok, Cave 12 : Au nom de la loi ça suffit!». Cette intervention concernait notamment l'énergie fournie par les SIG à des squatters. Son auteur y dénonçait la «complicité» des SIG; il déplorait «la responsabilité éminemment politique dans ce dossier (...) prouvée par la présence à la présidence du Conseil d'administration d'un ancien élu communiste et (les) liens étroits qu'il entretient avec le conseiller d'Etat et ministre de tutelle de cette société publique autonome».
Dans un courrier électronique du 26 juillet 2007, S._ a prié le président des SIG de répondre à une série de questions sur les squats et la pose de compteurs dans les bâtiments concernés. Le 20 août 2007, le président a répondu aux différentes questions posées, en indiquant notamment que le squat en question avait été équipé de compteurs électriques pour éviter les branchements sauvages, jugés trop dangereux.
B.c Le 25 septembre 2007, S._ et d'autres députés de son parti ont déposé devant le secrétariat du Grand Conseil une proposition de résolution intitulée: «Les ordures de la mafia italienne infiltrent les SIG!». Cette intervention avait pour but d'interdire toute importation de déchets ménagers et/ou industriels en vue de leur incinération à l'usine des Cheneviers qui ne proviendraient pas de la région immédiate de Genève. Leurs auteurs dénonçaient les erreurs de prévision et d'évaluation des SIG qui obligeaient ceux-ci à importer 100'000 tonnes par année de déchets supplémentaires pour faire fonctionner le troisième four de cette usine. Ils stigmatisaient les «errements mégalomaniaques» des SIG et une politique condamnable au regard du fait que le nombre de cancers à Genève, spécifiquement autour de l'incinérateur incriminé, était selon eux de trois à quatre fois supérieur à la moyenne suisse.
B.d Le 1er juin 2008, le peuple genevois a rejeté en votation populaire une loi modifiant la LSIG. Cette loi avait pour but de réduire le nombre des membres du Conseil d'administration des SIG et d'instaurer un mode de désignation de ceux-ci en fonction de critères professionnels.
B.e Le 12 juin 2008, plusieurs députés du MCG, dont son président, ont déposé devant le secrétariat du Grand Conseil une proposition de résolution invitant le Conseil d'Etat à dissoudre, respectivement à révoquer, le Conseil d'administration dans son entier ou, à défaut, son président. Faisant référence à la votation précitée, les signataires se proposaient, en particulier, de mettre fin «au copinage» dans la nomination des administrateurs des SIG, dont les membres auraient privilégié les intérêts financiers de l'entreprise au détriment des impératifs de santé publique, en acceptant notamment l'importation de déchets toxiques incinérés à l'usine des Cheneviers.
B.f Le 20 août 2008, plusieurs députés du MCG, dont S._, ont déposé devant le secrétariat du Grand Conseil une proposition de motion nommée : «Tarifs d'électricité : 30 % de hausse en un an, ça suffit! Où est passé le milliard de francs encaissé par les SIG?». Il était reproché aux SIG d'avoir investi des centaines de millions de francs dans la construction de barrages hydroélectriques en Valais et d'avoir encaissé un milliard de francs en remboursement des investissements consentis sans pour autant répercuter cette recette par une baisse des tarifs à Genève. Le Conseil d'Etat était invité, en particulier, à dire toute la vérité sur l'utilisation de cette somme «que les Services industriels genevois ont encaissée sur le dos des usagers genevois en obtenant des tarifs préférentiels d'EOS (Energie Ouest Suisse) et en laissant des tarifs d'électricité arbitrairement élevés». Le 27 août 2008, le journal «20 minutes» a publié à ce sujet un article sous le titre «Les Services industriels ont trompé les Genevois». S._ y accusait les SIG d'avoir trompé la population en encaissant près de un milliard de francs sur le dos de leurs clients. L'intéressé a réitéré cette accusation dans une émission de Radio Cité le 27 août 2008.
B.g Le 2 septembre 2008, lors d'une séance de la commission de l'énergie du Conseil d'administration, S._ a demandé des explications au sujet d'une somme de 100 millions de francs versée par les SIG à EOS entre 2001 et 2003. Un membre de la direction générale a expliqué que ce versement était intervenu dans le cadre d'un plan général d'assainissement d'EOS («plan Pi»), comportant un prêt convertible de 36 millions de francs, d'une part, et un versement de 100 millions de francs, d'autre part, lié à un contrat d'approvisionnement à bas prix. Cette prestation à bas prix constituait la rémunération et le remboursement du montant de 100 millions de francs. L'opération avait permis aux SIG de baisser le prix de l'énergie entre 2001 et 2007. Par courriel du 7 septembre 2008, S._ a adressé au président du Conseil d'administration une liste de questions concernant le montant de 100 millions de francs versé à EOS. Il souhaitait obtenir une réponse pour la réunion du Conseil d'administration agendée le 9 septembre suivant. Le 8 septembre 2008, la secrétaire du Conseil d'administration lui a répondu qu'au vu de la diversité des questions ainsi que de la disponibilité des intéressés, il ne pourrait pas être fourni de réponses avant la séance du lendemain. Le même jour et le lendemain, plusieurs journalistes ont interpellé les SIG pour connaître leurs déterminations sur une interpellation urgente que S._ indiquait avoir déposée devant le Grand Conseil à ce sujet. Cette interpellation urgente a été formellement déposée par S._ le 11 septembre 2008, sous la forme de cinq interpellations urgentes distinctes, toutes intitulées : «SIG la banque royale à la charge des citoyens!». Le Conseil d'Etat était invité à fournir des réponses à plusieurs questions relativement au «prêt» de 100 millions de francs accordé à EOS. On pouvait, selon l'auteur de l'interpellation, suspecter une violation des règles comptables. Celui-ci précisait avoir dénoncé ces faits à la Cour des comptes et au procureur général.
Dans une note d'information adressée le 12 septembre 2008 aux membres du Conseil d'administration, le président a fourni une réponse détaillée aux différentes questions posées par S._ le 7 septembre 2008. Cette réponse reprenait en substance, avec davantage de détails, l'explication donnée à l'intéressé lors de la séance de la commission de l'énergie du 2 septembre 2008. Il était précisé, par ailleurs, que la société Gaznat SA avait bénéficié, comme EOS, d'un plan d'assainissement de la part de ses actionnaires et que l'engagement des SIG envers cette société se montait, à fin 2000, à 74 millions de francs et, à fin 2007, à 35 millions de francs.
Le 13 septembre 2008, S._ a déposé devant le secrétariat du Grand Conseil une interpellation urgente portant le titre : «Le bilan des SIG est-il un faux, les Genevois ont-ils été trompés?». Son auteur soupçonnait les SIG d'avoir fait une fausse déclaration dans le bilan pour échapper à un projet de loi en bonne et due forme portant sur l'opportunité de l'investissement accordé à EOS. Il affirmait que, dans le meilleur des cas, il y avait eu une fausse présentation des comptes de la part des SIG, qui ne respectaient pas les normes comptables. Ceux-ci étaient, quoi qu'il en soit, accusés d'avoir occulté le subventionnement accordé à EOS afin d'échapper à l'approbation nécessaire du Grand Conseil et du Conseil d'Etat.
Le 16 septembre 2008, S._ a déposé devant le secrétariat du Grand Conseil l'interpellation urgente: «Electricité qui paie quoi et à qui!». Il accusait les SIG d'avoir violé la loi en inscrivant l'investissement de 100 millions de francs dans le bilan sous la rubrique «achat électricité», alors qu'il se serait agi d'un prêt sans intérêts ou d'un paiement à fonds perdus. Il reprochait également aux SIG d'avoir contrevenu aux dispositions réprimant la dilapidation d'actifs au sein de la société EOS en demandant des rabais extraordinaires à cette société afin de la désendetter.
Le 9 octobre 2008, le Conseil d'Etat a répondu aux questions posées dans ces deux interpellations urgentes. Il a explicité les tenants et aboutissants du «plan Pi», dans lequel s'inséraient les 100 millions de francs versés à EOS. Ce plan était considéré comme légal tant du point de vue comptable que des lois en vigueur. Le montant de 74 millions de francs versé à Gaznat SA dans le cadre de son assainissement visait le même objectif.
B.h Dans sa séance du 16 octobre 2008, le Conseil d'administration des SIG a débattu du comportement de S._. Celui-ci a exprimé l'avis que ses interventions devant le Grand Conseil, relayées par la presse, relevaient du débat politique. Un autre membre du Conseil d'administration, C._, a déploré que l'information circulait mal au sein du Conseil d'administration. Une semaine auparavant, il avait lui-même demandé des précisions sur les 74 millions de francs versés à Gaznat SA et n'avait pas reçu de réponse. De son point de vue, les problèmes rencontrés par les SIG découlaient d'une situation qui remontait à la fin des années 1980 et au début des années 1990. C._ a donné lecture d'extraits de documents confidentiels de l'époque restés en sa possession.
Le lendemain, S._ a demandé au Conseil d'administration de lui transmettre par retour de courriel la copie des documents financiers dont avait fait état C._ au cours de la séance du Conseil d'administration de la veille. La secrétaire du Conseil d'administration a répondu le même jour que la consultation intégrale des documents en question ne pouvait être autorisée sans vérifications préalables. Ces documents étaient confidentiels et dataient de plus de quinze ans. Un contact serait repris prochainement avec l'intéressé au sujet de sa demande. S._ a protesté par retour de courriel.
Le même jour, S._ a divulgué aux membres de la commission de l'énergie du Grand Conseil le contenu des discussions de la séance du Conseil d'administration du 16 octobre 2008 et la teneur des documents produits par C._ à cette occasion. Le 25 octobre 2008, il a publié sur son blog l'échange de courriels qu'il avait eu avec le Conseil d'administration concernant sa demande de communication de ces documents.
B.i Auparavant, le 30 septembre 2008, S._ avait cosigné avec plusieurs autres députés un projet de loi nommé «Eco 21» sur l'économie d'énergie, visant à distribuer des ampoules basse consommation aux usagers au moyen des fonds dont disposait le programme «Eco 21». Dans l'exposé des motifs, il était relevé que ce programme avait coûté plus de 10 millions de francs en frais de publicité, en prospectus luxueux, en salaires et en frais de représentation, sans qu'il y ait eu des modifications de comportement significative des usagers.
C. Par arrêté du 29 octobre 2008, le Conseil d'Etat a ouvert une procédure administrative en vue de déterminer si S._ avait enfreint ses devoirs liés à sa charge d'administrateur des SIG. Les SIG et S._ ont été invités à se déterminer.
D. Le 2 mars 2009, le Conseil d'Etat a pris un arrêté par lequel il a révoqué S._ de sa qualité d'administrateur des SIG avec effet immédiat et prononcé que la décision était immédiatement exécutoire nonobstant recours éventuel.
E. S._ a recouru devant le Tribunal administratif de la République et canton de Genève en concluant à l'annulation de l'arrêté du Conseil d'Etat du 2 mars 2009. Préalablement, il demandait la restitution de l'effet suspensif à son recours.
Par décision du 19 mai 2009, la présidente du tribunal administratif a rejeté la requête en restitution de l'effet suspensif en tant qu'elle devait être traitée comme une demande de mesures provisionnelles. S._ a interjeté un recours en matière de droit public contre cette décision incidente en concluant à la restitution de l'effet suspensif à son recours. Statuant le 3 août 2009, le Tribunal fédéral a déclaré le recours irrecevable, le recourant n'ayant pas démontré l'existence d'un préjudice irréparable (arrêt 8C_473/2009).
F. Statuant sur le fond le 19 janvier 2010, le tribunal administratif a rejeté le recours porté devant lui.
G. S._ a formé un recours en matière de droit public dans lequel il a conclu à l'annulation du jugement du 19 janvier 2010, ainsi qu'à l'annulation de l'arrêté du Conseil d'Etat du 2 mars 2009.
Le Conseil d'Etat a conclu principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.

Considérant en droit:
1. 1.1 La décision attaquée concerne des rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF et 85 al. 1 let. b LTF. La notion de rapports de travail de droit public doit en effet être comprise dans un sens large et s'applique à tous les rapports de travail qui ne sont pas fondés sur le droit privé. Ce qui importe, c'est que l'intéressé soit engagé et rétribué par l'Etat, et soumis, comme le montre le présent cas, à un pouvoir disciplinaire (voir l'arrêt 8C_473/2009, rendu entre les mêmes parties, consid. 2; cf. aussi arrêt 1D_15/2007 du 13 décembre 2007 consid. 1.2; ALAIN WURZBURGER, in Commentaire de la LTF, 2009, n. 97 ss ad <ref-law>).
1.2 Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public (lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause), le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions qui concernent une contestation non pécuniaire.
En l'espèce, le recourant a simplement conclu à l'annulation du jugement attaqué et de la décision précédente du Conseil d'Etat. Il n'a pas pris de conclusion en paiement d'une somme d'argent déterminée. Il ressort toutefois clairement des motifs du recours que l'intéressé a demandé à être réintégré dans ses fonctions, pour lesquelles il percevait une rémunération. Ses conclusions ont, en tout cas partiellement, un but économique, de sorte qu'il y a lieu de considérer qu'il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire.
Le recourant rappelle à ce propos qu'il a été nommé en qualité de membre du Conseil d'administration des SIG pour la période du 1er janvier 2007 au 31 décembre 2010. Comme il a été révoqué au début du mois de mars 2009, il a été privé de sa rémunération d'administrateur pendant 22 mois. Cette rémunération se compose d'un montant fixe (5'000 fr. par année) auquel s'ajoute une indemnité pour chaque séance du Conseil d'administration (360 fr. par séance). Le manque à gagner allégué pour 22 mois se serait élevé à 16'360 fr. (part fixe de 9'160 fr., plus 7'200 fr. pour 20 séances).
Sans contester ces montants en tant que tels, le Conseil d'Etat soutient que l'appréciation de la valeur litigieuse ne devrait correspondre qu'à la seule rémunération de base, à l'exclusion des jetons de présence versés en sus. Selon lui, en effet, le recourant n'aurait reçu des jetons de présence que si et dans la mesure où il avait effectivement participé à des séances, ce qui n'a pas été le cas dès lors que la décision de révocation a été déclarée exécutoire nonobstant recours. Cette objection n'est toutefois pas fondée. Dans un tel cas, en effet, la valeur litigieuse se détermine en fonction de la rémunération totale versée à l'administrateur (cf. arrêt 5C.243/2004 du 2 mars 2005 consid. 1 non publié dans l'<ref-ruling>; arrêt 5C.203/1999 du 14 mars 2000 consid. 1b non publié dans l'<ref-ruling>). On doit donc admettre que le seuil requis de 15'000 fr. est atteint.
2. Sous réserve d'exceptions (cf. art. 95 let. c et d LTF), non réalisées en l'espèce, la violation du droit cantonal ne constitue pas un motif de recours (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382). Le recourant peut donc uniquement se plaindre de ce que la violation du droit cantonal par l'autorité précédente consacrerait simultanément une violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law>, en particulier l'interdiction de l'arbitraire garantie par l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382 s.; <ref-ruling> consid. 1 p. 203; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 466).
3. Par ailleurs, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur la violation d'un droit de rang constitutionnel ou sur une question afférente au droit cantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante (<ref-law>). En outre, il statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>) c'est-à-dire arbitraire, ce qui lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.).
4. 4.1 Selon l'art. 13 LSIG, quel que soit le mode de nomination, le Conseil d'Etat peut en tout temps révoquer l'administrateur pour de justes motifs. Est notamment considéré comme un juste motif le fait que, pendant la durée de sa fonction, l'administrateur s'est rendu coupable d'un acte grave, a manqué à ses devoirs ou est devenu incapable de bien gérer.
L'art. 16 al. 2 let. a LSIG prévoit par ailleurs que le Conseil d'administration ordonne par règlement son mode de fonctionnement et l'exercice de sa surveillance générale sur l'établissement. Se fondant sur cette disposition, le Conseil d'administration a adopté un règlement interne, dont une partie est consacrée à la nature et à l'étendue des droits et des devoirs de l'administrateur. Il en ressort, en particulier, que l'administrateur doit agir dans l'intérêt des SIG et dans le respect de la mission de service public de l'établissement (devoir de fidélité). Il doit s'acquitter consciencieusement des tâches qui lui sont dévolues (devoir de diligence). Le règlement rappelle en outre que l'administrateur est soumis au secret de fonction pour toutes les informations dont il a eu connaissance dans l'exercice de son mandat. Il est notamment tenu de respecter la confidentialité des débats menés au sein du Conseil d'administration, du bureau et des commissions (ch. 5.4.1 et 5.4.2).
4.2 Le recourant invoque l'arbitraire prohibé par l'art. 9 Cst., en ce sens qu'il se plaint d'une application insoutenable de la législation cantonale. Il se prévaut de l'art. 6 let. a LSIG selon lequel l'administration des Services industriels est confiée à un Conseil d'administration composé, notamment, d'un membre de chaque parti représenté au Grand Conseil, désigné par ce dernier. Il met l'accent sur sa qualité de député et soutient, en substance, qu'il n'avait à rendre de comptes qu'aux élus du Grand Conseil et au peuple souverain. En présence de dysfonctionnements, son devoir de fidélité ne devait pas l'amener à les couvrir, mais au contraire à les dénoncer. En cas de conflits d'intérêts, ses obligations à l'égard des élus devaient primer et le conduire à dénoncer les irrégularités qu'il constatait, lorsque les démarches au sein des SIG n'avaient pas porté leurs fruits ou lorsqu'il apparaissait d'emblée qu'il serait vain d'espérer obtenir du Conseil d'administration qu'il corrige sa politique. En le sanctionnant parce qu'il avait privilégié la voie parlementaire au détriment des canaux internes à l'établissement, les premiers juges auraient appliqué de manière arbitraire la LSIG. Le recourant conteste par ailleurs le reproche d'avoir agi par la voie de la dénonciation publique. Si les faits dénoncés ont été relayés par la presse, c'est que les interventions parlementaires sont accessibles sur internet avant qu'elles ne soient traitées par le Conseil d'Etat. Faisant référence à la votation populaire du 1er juin 2008, il soutient que le peuple a clairement exprimé la volonté que les forces politiques du canton restent représentées dans les Conseils d'administration des grands établissements publics cantonaux et qu'elles y jouent un rôle actif et non qu'elles se cantonnent dans une «représentation passive». Le recourant prétend, par ailleurs, que la décision attaquée viole le principe de la proportionnalité. Il reproche au tribunal administratif de lui avoir fait un procès d'intention en affirmant que la situation «laisse clairement penser (que l'intéressé) ne changera pas d'attitude et qu'une mesure moins incisive ne pourrait atteindre le résultat escompté». Le recourant estime avoir agi à bon droit : à aucun moment il n'a pu être affirmé qu'il avait agi par légèreté ou pire, par mauvaise foi, c'est-à-dire en connaissance de l'inexactitude des faits dénoncés. Dès lors, même en admettant qu'il a violé ses devoirs, il aurait selon lui été possible de ne prononcer qu'une suspension pour une période déterminée, avec un avertissement à ne pas récidiver.
4.3 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire, au sens de l'art. 9 Cst., lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution apparaisse concevable, voire préférable, pour que cette décision soit annulée. Encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat, ce qu'il appartient au recourant de démontrer (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 4 s.; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 265 s.). S'agissant du principe de la proportionnalité figurant à l'art. 5 al. 2 Cst., il n'est pas un droit fondamental, mais simplement un principe constitutionnel. Comme le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit fédéral en général (<ref-law>), il est possible d'invoquer le principe de la proportionnalité directement et indépendamment d'un droit fondamental (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 156 s. et les références). Le Tribunal fédéral a toutefois précisé que, lorsqu'il examine le droit cantonal indépendamment de toute atteinte à un droit fondamental, il ne revoit pas le respect du principe de la proportionnalité librement, mais seulement sous l'angle de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 158). L'atteinte au principe de la proportionnalité soulevée ici se confond donc avec le grief d'arbitraire.
4.4 Les premiers juges considèrent que la présence au sein du Conseil d'administration des SIG d'un membre de chaque parti représenté au Grand Conseil n'a pas pour but d'assurer une surveillance parlementaire de l'établissement, mais de garantir dans cet organe une représentation des différentes tendances politiques, ce qui est le corollaire du monopole d'Etat accordé aux SIG. Au reste, ajoutent les premiers juges, la qualité de représentant d'un parti politique au sein du Conseil d'administration n'est pas dépendante d'un mandat de député. La juridiction cantonale relève en outre que le Conseil d'administration est placé sous la surveillance du Conseil d'Etat, qui peut solliciter tous les dossiers et pièces justificatives s'il l'estime nécessaire (art. 158 al. 5 Cst.-GE et art. 39 al. 2 LSIG). Si l'administrateur ne peut se substituer aux autorités de surveillance et de répression, il n'est pas privé du droit, lorsqu'il se trouve parallèlement député, d'utiliser les moyens parlementaires pour prendre politiquement et publiquement position si une infraction est dûment constatée par des organes compétents ou encore pour contester les décisions politiques légales prises à la majorité par le Conseil d'administration et qu'il désapprouve. En effet, toujours selon les premiers juges, le devoir de fidélité - qui implique un devoir de réserve - et le devoir de diligence, comme le secret de fonction de l'administrateur, ne sont pas incompatibles avec les droits et les devoirs des députés : des limitations existent, qui imposent notamment à l'administrateur-député de veiller à ne pas nuire, plus que ce qui est absolument nécessaire, à l'image et aux intérêts de l'établissement qu'il représente, de ne pas utiliser de propos inutilement blessants, de ne pas répandre de fausses informations, de vérifier la véracité des faits exposés à l'appui de ses interventions, d'épuiser tous les moyens légaux mis à sa disposition pour ce faire, de choisir le moment opportun - en pesant les intérêts de l'établissement, d'une part, et l'urgence d'une intervention politique, d'autre part - pour combattre politiquement ses positions, ou de ne pas provoquer, par le biais d'interpellations et de questions parlementaires, la divulgation de faits dont la confidentialité est nécessaire à la bonne exécution de décisions prises légalement et à la majorité des membres présents, par le Conseil d'administration.
4.4 Les premiers juges considèrent que la présence au sein du Conseil d'administration des SIG d'un membre de chaque parti représenté au Grand Conseil n'a pas pour but d'assurer une surveillance parlementaire de l'établissement, mais de garantir dans cet organe une représentation des différentes tendances politiques, ce qui est le corollaire du monopole d'Etat accordé aux SIG. Au reste, ajoutent les premiers juges, la qualité de représentant d'un parti politique au sein du Conseil d'administration n'est pas dépendante d'un mandat de député. La juridiction cantonale relève en outre que le Conseil d'administration est placé sous la surveillance du Conseil d'Etat, qui peut solliciter tous les dossiers et pièces justificatives s'il l'estime nécessaire (art. 158 al. 5 Cst.-GE et art. 39 al. 2 LSIG). Si l'administrateur ne peut se substituer aux autorités de surveillance et de répression, il n'est pas privé du droit, lorsqu'il se trouve parallèlement député, d'utiliser les moyens parlementaires pour prendre politiquement et publiquement position si une infraction est dûment constatée par des organes compétents ou encore pour contester les décisions politiques légales prises à la majorité par le Conseil d'administration et qu'il désapprouve. En effet, toujours selon les premiers juges, le devoir de fidélité - qui implique un devoir de réserve - et le devoir de diligence, comme le secret de fonction de l'administrateur, ne sont pas incompatibles avec les droits et les devoirs des députés : des limitations existent, qui imposent notamment à l'administrateur-député de veiller à ne pas nuire, plus que ce qui est absolument nécessaire, à l'image et aux intérêts de l'établissement qu'il représente, de ne pas utiliser de propos inutilement blessants, de ne pas répandre de fausses informations, de vérifier la véracité des faits exposés à l'appui de ses interventions, d'épuiser tous les moyens légaux mis à sa disposition pour ce faire, de choisir le moment opportun - en pesant les intérêts de l'établissement, d'une part, et l'urgence d'une intervention politique, d'autre part - pour combattre politiquement ses positions, ou de ne pas provoquer, par le biais d'interpellations et de questions parlementaires, la divulgation de faits dont la confidentialité est nécessaire à la bonne exécution de décisions prises légalement et à la majorité des membres présents, par le Conseil d'administration.
4.5 4.5.1 On ne voit pas que l'autorité précédente soit tombée dans l'arbitraire en tenant compte de ces considérations pour délimiter ainsi le devoir de fidélité incombant à un membre du Conseil d'administration des SIG en vertu de son règlement interne. Un devoir de fidélité semblable ou analogue s'impose aussi aux organes dirigeants des sociétés privées (voir p. ex. <ref-ruling>; voir aussi RITA TRIGO TRINDADE, Le devoir de fidélité des dirigeants de la société anonyme lors de conflits d'intérêts, in SJ 1999 p. 385 ss). Comme le soulignent les premiers juges, il englobe le devoir de réserve, dont il constitue l'une des facettes (JEAN-MARC VERNIORY/FABIEN WAELTI, Le devoir de réserve des fonctionnaires, spécialement sous l'angle du droit genevois, PJA 7/2008 p. 810 s.).
4.5.2 L'autorité cantonale pouvait aussi conclure, sans tomber dans l'arbitraire, que les députés-administrateurs nommés par le Grand Conseil ne bénéficient pas d'un statut spécial par rapport aux autres administrateurs et qu'ils ont par conséquent le même devoir de fidélité et de réserve que ces derniers. Un tel statut particulier ne peut en tout cas pas se déduire de la seule invocation de l'art. 6 let. a LSIG ni d'une autre disposition de cette loi, que le recourant invoque par ailleurs de manière toute générale. La thèse du recourant ne saurait davantage trouver appui dans le résultat de la votation du 1er juin 2008. S'il est vrai que le peuple a été majoritairement convaincu par les arguments des opposants qui souhaitaient maintenir une représentation politique au sein des conseils d'administration des grands établissements publics cantonaux (cf. ETIENNE POLTIER La surveillance des entités décentralisées, in François Bellanger/Thierry Tanquerel [édit.], Surveillance et contrôles de l'administration, 2008, p. 77 s.), ce résultat ne permet de tirer aucune conclusion quant à une éventuelle modification du régime de surveillance des établissements en question ou quant à une volonté de renforcer le rôle des partis politiques en conférant un statut privilégié à leurs représentants au sein des conseils d'administration. La nomination de certains administrateurs en fonction de leur appartenance politique dans les établissements de droit public vise à garantir une certaine représentativité dans l'organe qui définit les grandes orientations de l'établissement (voir THIERRY TANQUEREL, L'établissement public démocratisé : un modèle pour la collaboration intercantonale?, in RDAF I 2001, p. 29 s.). Certes, elle vise aussi, par un effet réflexe, une meilleure information du parlement, voire une publicité plus large, ce qui est notamment le cas lorsque les parlementaires ont une obligation de rendre compte à leurs collègues, par exemple au sein d'une commission parlementaire spécialisée (cf. ETIENNE POLTIER, Les entreprises d'économie mixte, Etude de droit suisse et de droit comparé, 1983, p. 285 et n. 116). Dans le cas présent on ne saurait cependant conclure que cette représentativité libère les personnes concernées de leur devoir de fidélité ou de réserve dans une mesure qui irait au-delà des limites fixées ci-dessus par la juridiction cantonale.
4.5.3 Enfin, n'est pas non plus arbitraire la conclusion de la juridiction cantonale selon laquelle il existait en l'espèce de justes motifs propres à entraîner une révocation. A l'évidence, le recourant a manqué à ses devoirs de fidélité, de réserve et de discrétion, manquements qui sont en général considérés comme de justes motifs de résiliation (cf. MARIE-NOËLLE VENTURI-ZEN-RUFFINEN, La résiliation pour justes motifs des contrats de durée, Fribourg 2007, n° 777 ss p. 233 ss).
Sans la moindre précaution, le recourant a porté de graves accusations relatives à la gestion des SIG (établissement de faux bilans, tromperie des consommateurs, dilapidation d'actifs, «vols» au détriment des usagers, etc.). Ce faisant, il a non seulement porté atteinte au crédit de l'établissement, mais il a en même temps jeté sur ses collègues du Conseil d'administration la suspicion d'irrégularités graves et systématiques, voire de malversations répétées, qui n'ont pas été établies par la suite. Il est allé jusqu'à demander la révocation de tous les membres de ce même conseil dans le but, selon lui, de mettre fin à un système de «copinage» qui, à ses yeux, privilégiait les intérêts financiers au détriment des impératifs de santé publique (voir en particulier ses affirmations - non étayées - sur une prévalence accrue des cancers à Genève qu'il attribuait à la politique des SIG en matière d'incinération des déchets). Il a fait état de manière plus ou moins explicite d'une connivence inadmissible du Conseil d'Etat ou du moins de certains de ses membres avec les organes dirigeants des SIG (voir notamment son interpellation à propos des squatters). Il n'a pas non plus utilisé ou épuisé les voies internes, que ce soit au sein du Conseil d'administration ou dans le cadre de la surveillance exercée par le Conseil d'Etat. Sans attendre les réponses aux questions qu'il posait au président du Conseil d'administration, il a déposé des interpellations urgentes devant le Grand Conseil dans le but manifeste d'amorcer à chaque fois la polémique, comme en témoigne d'ailleurs le ton utilisé dans l'intitulé de ses interventions. Il ressort également des constatations du jugement attaqué qu'il n'a pas rétabli la vérité lorsque ses accusations se sont révélées fausses (prétendue illégalité du montant de 100 millions de francs versé à EOS et du montant de 74 millions de francs versé à Gaznat SA; dépenses de dix millions de francs en frais divers dans le programme «Eco 21», alors qu'il s'agissait en réalité de 1'800'000 fr.). Enfin, la divulgation de son échange de courriels avec la Présidence du conseil sur son blog, de même que la révélation, à la commission de l'énergie du Grand Conseil du contenu des débats tenus par le Conseil d'administration lors de la séance du 16 octobre 2008 et de la teneur des documents confidentiels produits par C._ à cette occasion apparaissent pour le moins problématiques sous l'angle du secret de fonction auquel était astreint le recourant.
Il ressort en outre des constatations du jugement attaqué que le recourant a été informé de ses devoirs lors de son entrée en fonction. Son attention a par la suite été attirée sur le fait qu'il était soumis, dans le cadre de son mandat, au secret de fonction. Maintes fois, le Conseil d'administration et le Conseil d'Etat ont tenté de le rappeler à ses devoirs. Malgré ces rappels, le recourant n'a pas modifié son comportement; bien au contraire, il a affirmé vouloir persister dans son attitude.
4.5.4 Dans ces circonstances, la mesure prise n'apparaît pas arbitraire et, partant, n'est pas manifestement contraire au principe de proportionnalité.
4.5.5 On peut encore ajouter que le recourant n'a invoqué, l'interdiction de l'arbitraire mise à part, aucune autre norme ou principe de droit constitutionnel. Il n'y a donc pas lieu d'examiner son cas à l'aune de l'arrêt 8C_1065/2009 du 31 août 2010, dans lequel le Tribunal fédéral a jugé que l'avertissement infligé à l'encontre d'un professeur chargé de cours dans une haute école zurichoise pour avoir distribué un tract aux membres du parlement cantonal constitue une restriction inadmissible du droit à la liberté d'expression consacré à l'art. 16 al. 2 Cst.
5. De ce qui précède, il résulte que le recours est mal fondé.
Vu l'issue du litige, les frais de justice doivent être supportés par le recourant, qui succombe (art. 66 al. 1, 1ère phrase, LTF). Ils sont fixés en application de l'art. 65 al. 4 let. c LTF, car la valeur litigieuse ne dépasse pas 30'000 fr. Bien qu'obtenant gain de cause, le canton n'a pas droit à des dépens (arrêt 8C_151/2010 du 31 août 2010 consid. 6).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal administratif de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 18 octobre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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