Sachverhalt:
A.
Am 15./16. Mai 2012 erkannte das Kreisgericht Rorschach X._ schuldig der Vergewaltigung, der sexuellen Belästigung, des mehrfachen Führens eines Motorfahrzeugs trotz Entzugs des erforderlichen Ausweises, der mehrfachen Übertretung der Verordnung über die Arbeits- und Ruhezeit der berufsmässigen Chauffeure sowie der Verkehrsregelverletzung. Es widerrief den bedingten Vollzug zweier Vorstrafen, auferlegte ihm eine Gesamtstrafe von 3 Jahren und 3 Monaten sowie Fr. 2'500.-- Busse und verpflichtete ihn zur Leistung von Schadenersatz von Fr. 120.-- und Genugtuung von Fr. 12'000.--. Überdies untersagte es ihm für die Dauer von fünf Jahren, eine berufliche Tätigkeit im Bereich des Personentransports mittels Personenfahrzeugen auszuüben. Das Kreisgericht erachtete es als erwiesen, dass X._ als Taxichauffeur eine betrunkene Kundin sexuell belästigte, indem er ihr die Bluse aufknöpfte, seine Hand unter ihren Büstenhalter schob und ihre Brüste anfasste, und dass er eine andere stark alkoholisierte Kundin in seinem Taxi vergewaltigte.
Gegen diesen Entscheid legten der Verurteilte Berufung und das Vergewaltigungsopfer A._ Anschlussberufung ein.
Das Kantonsgericht St. Gallen bestätigte am 5. Dezember 2012 die kreisgerichtlichen Schuldsprüche. Es bestrafte X._ mit einer Freiheitsstrafe von 37 Monaten, widerrief den bedingten Strafaufschub zweier Vorstrafen und büsste ihn mit Fr. 2'500.--. Weiter schützte das Kantonsgericht St. Gallen die Schadenersatzforderung des Vergewaltigungsopfers von Fr. 120.-- und verpflichtete den Verurteilten zur Bezahlung einer Genugtuung von Fr. 15'000.--.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt X._, der kantonsgerichtliche Entscheid vom 5. Dezember 2012 sei aufzuheben. Er sei von den Vorwürfen der sexuellen Belästigung und der Vergewaltigung freizusprechen. Hinsichtlich des mehrfachen Führens eines Motorfahrzeugs ohne Führerausweis sei er zu einer bedingten Freiheitsstrafe von sechs Monaten unter Festsetzung einer zweijährigen Probezeit zu verurteilen. Betreffend die mehrfache Übertretung der Verordnung über die Arbeits- und Ruhezeit der berufsmässigen Chauffeure und die Verkehrsregelverletzung sei er mit Fr. 1'000.-- zu büssen. Die Zivilforderung (Schadenersatz und Genugtuung) von A._ sei im Grundsatz und in der Höhe abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. X._ stellt weitere Anträge in Bezug auf die Kostenverlegung und die Entschädigungsregelung. Überdies ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Anklagegrundsatzes betreffend den Vorwurf der sexuellen Belästigung. Er beruft sich auf Art. 9 und 350 Abs. 1 StPO. Die Vorinstanz gehe von einem andern als in der Anklage fixierten Tatzeitpunkt aus (Beschwerde, S. 6-9).
1.2. Nach dem Anklagegrundsatz (<ref-law>) bestimmt die Anklageschrift den Gegenstand des Gerichtsverfahrens (Umgrenzungsfunktion). Die Anklage hat die der beschuldigten Person zur Last gelegten Delikte in ihrem Sachverhalt so präzise zu umschreiben, dass die Vorwürfe in objektiver und subjektiver Hinsicht genügend konkretisiert sind. Das Gericht ist an den in der Anklage wiedergegebenen Sachverhalt gebunden, nicht aber an dessen rechtliche Würdigung durch die Anklagebehörde (<ref-law>). Kleinere Ungenauigkeiten in den Orts- und Zeitangaben führen nach konstanter Rechtsprechung des Bundesgerichts nicht zur Unbeachtlichkeit der Anklage (Urteile 6B_544/2012 vom 11. Februar 2013 E. 6.4.4.; 6B_640/2011 vom 14. Mai 2012 E. 2.3.3; 6B_432/2011 vom 26. Oktober 2011 E. 2.2).
1.3. Nach den Feststellungen der Vorinstanz fand die sexuelle Belästigung am frühen Morgen des 12. Oktober 2010 statt, und nicht, wie in der Anklage umschrieben, am frühen Morgen des 13. Oktober 2010 (Entscheid, S. 16). Darin kann noch keine Verletzung des Anklagegrundsatzes gesehen werden, da die Vorinstanz lediglich hinsichtlich des Tatzeitpunkts geringfügig von der Anklage abweicht, und der Beschwerdeführer bezüglich des Tatvorwurfs nicht im Unklaren war. Seine Verteidigungsmöglichkeiten wurden nicht eingeschränkt. Bereits aufgrund der Fahrtenabrechnungen ist erstellt, dass er sowohl in der Nacht vom 11./12. Oktober 2010 als auch in der Nacht vom 12./13. Oktober 2010 mit dem Taxi unterwegs war und Personen transportierte. Weiter steht fest, dass er in den frühen Morgenstunden des 12. Oktober 2010 von der Olma in St. Gallen nach Schweizersholz/TG fuhr. Das entspricht - mit Ausnahme der Datumsangabe - den Ausführungen des Opfers der sexuellen Belästigung. Die Umschreibung des Tatvorwurfs erlaubt eine Individualisierung der Tat ohne weiteres und lässt die geringfügige zeitliche Ungenauigkeit in der Anklage als unerheblich erscheinen. Die Rüge der Verletzung des Anklagegrundsatzes ist unbegründet.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz in Bezug auf die Verurteilungen wegen sexueller Belästigung und Vergewaltigung eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung und eine Verletzung der Unschuldsvermutung vor. Die Aussagen der angeblichen Opfer seien nicht konsistent und schlüssig. Die Vorinstanz stelle einseitig darauf ab. Seinen Einwänden messe sie willkürlich keine Bedeutung zu (Beschwerde, S. 9-12, S. 13 ff., S. 18-21).
2.2. Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.2.3; <ref-ruling> E. 1.4.1). Der Unschuldsvermutung kommt in ihrer Funktion als Beweiswürdigungsregel keine über das Willkürverbot hinausgehende Bedeutung zu (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2a).
Willkür bei der Beweiswürdigung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist oder mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht. Dass eine andere Lösung oder Würdigung ebenfalls vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt für die Annahme von Willkür nicht (<ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 2.4). Die Rüge der Willkür muss präzise vorgebracht und begründet werden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer muss im Einzelnen darlegen, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. Auf eine rein appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 4.2.3; <ref-ruling> E. 2.8; je mit Hinweisen).
2.3. Der Beschwerdeführer bestreitet seine Täterschaft in Bezug auf den Vorwurf der sexuellen Belästigung. Was er vorbringt, ist unbehelflich und zudem appellatorisch. Er legt in der Beschwerde nur seine Sicht der Dinge dar, ohne aufzuzeigen, inwiefern die Erwägungen im angefochtenen Entscheid unhaltbar sein könnten (Beschwerde, S. 9 ff.). Die Vorinstanz prüft die Frage der Täterschaft eingehend. Das Opfer der sexuellen Belästigung identifizierte den Beschwerdeführer mehrmals als Täter und schilderte den Tatablauf stets gleich und schlüssig. Seine glaubhaften Aussagen werden durch die Fahrtenabrechnung vom 11./12. Oktober 2010 und die Angaben der im Taxi Mitfahrenden gestützt. Die Aussagen des Beschwerdeführers verwirft die Vorinstanz mit vertretbaren Argumenten als nicht glaubhaft. Sie konnte willkürfrei auf die Täterschaft des Beschwerdeführers schliessen (Entscheid, S. 14 ff.).
2.4. Die Beweiswürdigung ist auch hinsichtlich der dem Beschwerdeführer zur Last gelegten Vergewaltigung nicht willkürlich. Die Vorinstanz würdigt die Beweise umfassend. Sie stellt auf die im Kern überzeugenden Schilderungen der Beschwerdegegnerin 2 ab, deren Angaben bezüglich des äusseren Tatablaufs eine zusätzliche Stütze in der Videoaufzeichnung vom Marktplatz und den Schilderungen der Zeugen B._, C._ sowie D._ finden (Entscheid, S. 9 f.). Das von mehreren Personen beschriebene ungewöhnliche Verhalten der Beschwerdegegnerin 2 nach der Tat passt nach der willkürfreien vorinstanzlichen Auffassung zur angezeigten Vergewaltigung. Die Aussagen des Beschwerdeführers hält die Vorinstanz ohne Willkür für nicht glaubhaft (Entscheid, S. 11 f.). Dieser bestritt einen Kontakt mit der Beschwerdegegnerin 2 zunächst gänzlich. Er räumte einen solchen erst ein, als ihm die Erhebung von DNA-Material vorgehalten wurde. Seine nachfolgende Version eines einverständlichen Beischlafs ("Sex gegen Geld") verwirft die Vorinstanz mit nachvollziehbaren Argumenten (Entscheid, S. 12). Der Beschwerdeführer geht auf die Beweiswürdigung der Vorinstanz nur am Rande ein. Er legt namentlich nicht dar, inwiefern diese an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leiden könnte. Im Wesentlichen wendet er nur ein, sein widersprüchliches Aussageverhalten dürfe ihm als verheiratetem Familienvater nicht zur Last gelegt werden, und es sei nicht ausgeschlossen, dass die Beschwerdegegnerin 2 das eigene sexuelle Handeln ebenfalls nur rechtfertigen wollte (Beschwerde, S. 18, S. 19 f.). Mit einer solchen Kritik lässt sich Willkür nicht begründen. Der Beschwerdeführer zeigt damit lediglich eine andere mögliche Sachverhaltsversion auf.
2.5. Die Vorinstanz durfte auf eine erneute Befragung des Ehemanns der Beschwerdegegnerin 2 sowie auf die Edition der Ehetrennungsunterlagen verzichten (Entscheid, S. 6 f.; siehe aber Beschwerde, S. 19). Es ist nicht ersichtlich, inwiefern Erkenntnisse zur allfälligen Zerrüttung der Ehe der Beschwerdegegnerin 2 den Aussagehintergrund in Bezug auf das konkrete Tatgeschehen erhellen könnten. Die Abweisung der Beweisanträge ist verfassungskonform.
3.
Der Beschwerdeführer rügt eine unrichtige Anwendung von <ref-law>. Es sei nicht zu einer Gewalteinwirkung in der von der Praxis geforderten Intensität gekommen, ansonsten Verletzungsspuren bei der Beschwerdegegnerin 2 hätten erhoben werden können. Deren Widerstand, soweit es einen solchen überhaupt gegeben habe, habe er, allenfalls leichtsinnig, nicht ernst genommen. Er habe sich in einem Sachverhaltsirrtum (<ref-law>) befunden, weswegen er straflos bleibe (Beschwerde, S. 12 ff.).
3.1.
3.1.1. Wer eine Person weiblichen Geschlechts zur Duldung des Beischlafs nötigt, namentlich indem er sie bedroht, Gewalt anwendet, sie unter psychischen Druck setzt oder zum Widerstand unfähig macht, wird mit Freiheitsstrafe von einem Jahr bis zu zehn Jahren bestraft (<ref-law>).
3.1.2. Die sexuellen Nötigungstatbestände gelten als Gewaltdelikte und sind damit prinzipiell als Akte physischer Aggression zu verstehen. Das ist nicht schon mit jedem beliebigen Zwang gegeben. Die Einwirkung auf das Opfer muss erheblich sein (<ref-ruling> E. 3.1). Gewalt im Sinne von <ref-law> ist gegeben, wenn der Täter ein grösseres Mass an körperlicher Kraft aufwendet, als zum blossen Vollzug des Akts notwendig ist. Es ist keine brutale Gewalt, etwa in Form von Schlägen und Würgen, erforderlich. Das Opfer muss sich nicht auf einen Kampf einlassen oder Verletzungen in Kauf nehmen. Es genügt, wenn der Täter seine überlegene Kraft einsetzt, indem er die Frau festhält oder sich mit seinem Gewicht auf sie legt (Urteil 6S.558/1996 vom 2. Dezember 1996 E. 3; Urteil 6B_267/2007 vom 3. Dezember 2007 E. 6.3).
3.1.3. Der Tatbestand der Vergewaltigung ist nur erfüllt, wenn der Täter vorsätzlich handelt. Dieser muss wissen, dass das Opfer mit dem Beischlaf nicht einverstanden ist. Es genügt eventualvorsätzliches Handeln (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 71).
3.2. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz gab die Beschwerdegegnerin 2 hinreichend deutlich zu erkennen, keinen Geschlechtsverkehr mit dem Beschwerdeführer zu wollen. Dieser setzte sich darüber hinweg. Er hielt der Beschwerdegegnerin 2 den Mund zu, damit sie nicht schreien könne, und fixierte sie mit seinem Körpergewicht sowie den Händen im Beifahrersitz, um den Beischlaf zu vollziehen (Entscheid, S. 10, S. 11 f.). Dass die Gewaltanwendung als solche nicht massiv erscheint, ist unerheblich, zumal im Rahmen der Beurteilung des Ausmasses der Gewaltanwendung auch Opfergesichtspunkte mitzuberücksichtigen sind (relativer Massstab). Es genügt diejenige Gewalt, die erforderlich ist, um den Willen des konkreten Opfers zu brechen. Die Vorinstanz weist in diesem Zusammenhang zutreffend auf die wegen des übermässigen Alkoholkonsums bedingte Unterlegenheit der Beschwerdegegnerin 2 und deren Überrumpelung durch den Beschwerdeführer hin, und würdigt dessen Gewaltanwendung und den der Beschwerdegegnerin 2 zumutbaren Widerstand bundesrechtskonform vor diesem Hintergrund (Entscheid, S. 13 f.).
Dass die Beschwerdegegnerin 2 sich wehrte und ihren Unwillen gegen einen sexuellen Kontakt manifestierte, war für den Beschwerdeführer erkennbar, ansonsten es nicht notwendig gewesen wäre, ihr den Mund zuzuhalten und sie in den Beifahrersitz zu drücken und mit Körper und Händen zu fixieren. Ebenso war dem Beschwerdeführer die offensichtliche Alkoholisierung der Beschwerdegegnerin 2 bewusst. Er war sich somit über deren eingeschränkte Widerstandsfähigkeit im Klaren. Die Vorinstanz stellt willkürfrei fest, dass der Beschwerdeführer unter diesen Umständen mit Wissen und Willen handelte (Entscheid, S. 14). Für einen Sachverhaltsirrtum gemäss <ref-law> bleibt kein Raum. Die Rügen, die der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang vorbringt, richten sich gegen die vorinstanzlichen Feststellungen. Er legt nur seine Sicht der Dinge dar, ohne nachzuweisen, dass die Feststellungen der Vorinstanz willkürlich sind (Beschwerde, S. 15).
Der Schuldspruch der Vergewaltigung verletzt kein Bundesrecht. Die Ausführungen in der Beschwerde, ob allenfalls eine Schändung (<ref-law>) oder eine Ausnützung der Notlage (<ref-law>) vorliegt, sind obsolet.
4.
Die Vorinstanz verpflichtet den Beschwerdeführer zur Leistung einer Genugtuung von Fr. 15'000.-- an die Beschwerdegegnerin 2 (Entscheid, S. 21). Sie durfte die seelische Unbill der Beschwerdegegnerin 2 und den Kausalzusammenhang (vgl. <ref-ruling>) bejahen. Aus den vorinstanzlichen Feststellungen ergibt sich, dass die Beschwerdegegnerin 2 traumatisiert war. Als man sie auffand, war sie völlig aufgelöst. Ihr Zustand veranlasste die Zeugen C._ und D._ unmittelbar, die Polizei zu alarmieren. Nach der zutreffenden vorinstanzlichen Beurteilung ist es plausibel, dass sich die Beschwerdegegnerin 2 in psychotherapeutische Behandlung begeben musste (Entscheid, S. 21). Die Höhe der Genugtuungssumme erscheint durch die objektiven Umstände der Tathandlung gerechtfertigt und hält vor Bundesrecht stand. Entgegen der Beschwerde (S. 21) liegen keine Anhaltspunkte dafür vor, dass sich familiäre Ereignisse (Trennung vom Ehemann und deren Hintergründe) auf die psychische Situation und die geltend gemachte Therapiebedürftigkeit der Beschwerdegegnerin 2 ausgewirkt haben könnten und der Beschwerdeführer für Beeinträchtigungen finanziell zur Verantwortung gezogen wird, die über die Vergewaltigung vom 13. Februar 2011 hinausgehen. Die Rüge ist unbegründet.
5.
Die Anträge betreffend Strafzumessung, Kostenauflage und Entschädigung begründet der Beschwerdeführer einzig mit den beantragten Freisprüchen von der Anklage der Vergewaltigung und der sexuellen Belästigung. Da es bei den Verurteilungen bleibt, ist darauf nicht weiter einzugehen.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde ebenfalls abzuweisen (<ref-law>). Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Seine angespannte finanzielle Situation ist bei der Bemessung der Gerichtskosten angemessen zu berücksichtigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, Strafkammer, sowie Frau E._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill