Sachverhalt:
A.
Die Gemeindeversammlung von Ballwil beschloss am 21. Mai 2012 eine Änderung des kommunalen Zonenplans und des am 24. November 1995 genehmigten Bau- und Zonenreglements der Gemeinde Ballwil (BZR). Dabei wurden die Parzelle Nr. 568 und ein kleiner Teil der Parzelle Nr. 238 im Gebiet Neualp von der Landwirtschaftszone in eine "Sondernutzungszone Gärtnerei/Gartenbau (SGä) " umgezont. Zudem wurde in das Bau- und Zonenreglement ein neuer Art. 12b mit verschiedenen Bestimmungen zur neu geschaffenen Sondernutzungszone eingefügt. Eine von A._ erhobene Einsprache wies die Gemeindeversammlung mit demselben Beschluss ab.
Dagegen erhob A._ Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Luzern. Mit Entscheid vom 23. Oktober 2012 wies dieser die Beschwerde ab und genehmigte die Änderung des Zonenplans und des Bau- und Zonenreglements.
Die von A._ gegen den regierungsrätlichen Entscheid erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 26. August 2013 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 30. September 2013 beantragt das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE), das Urteil des Kantonsgerichts und der Entscheid des Regierungsrats seien aufzuheben (Verfahren 1C_774/2013). Es macht im Wesentlichen geltend, die vorgesehene Sondernutzungszone sei bundesrechtswidrig, wobei es nicht darauf ankomme, ob man sie als Bauzone oder als Intensivlandwirtschaftszone qualifiziere.
Der Regierungsrat hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, A._ auf deren Gutheissung. Die Gemeinde Ballwil beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. In seiner Stellungnahme dazu hält das ARE an seinen Anträgen fest. In der Folge hat A._ ein weiteres Schreiben eingereicht. Auch die Gemeinde Ballwil hat erneut Stellung genommen. Der Beschwerdegegner 1, Eigentümer der Parzelle Nr. 568, beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Eigentümer der Parzelle Nr. 238 (Beschwerdegegner 2) hat sich nicht vernehmen lassen.
C.
Mit Eingabe vom 30. September 2013 erhebt auch A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Verfahren 1C_778/2013). Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Kantonsgerichts und des Beschlusses der Gemeinde Ballwil. Zur Begründung führt er im Grundsatz dieselben Argumente wie das ARE an. Darüber hinaus macht er insbesondere auch geltend, der Regionale Entwicklungsplan (REP) Seetal (beschlossen vom Regionalplanungsverband Seetal am 27. September 2007 und genehmigt vom Regierungsrat am 19. August 2008) stehe sowohl der Schaffung einer Bauzone wie auch einer Intensivlandwirtschaftszone entgegen.
Der Regierungsrat hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Gemeinde Ballwil beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das ARE hat sich vernehmen lassen, ohne einen förmlichen Antrag zu stellen. Mit weiteren Eingaben halten A._ und die Gemeinde Ballwil an ihren Anträgen fest. Der Beschwerdegegner 1 beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdegegner 2 hat sich nicht vernehmen lassen.
D.
Die I. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat die Angelegenheit am 16. Juli 2014 an einer öffentlichen Sitzung beraten.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde des ARE und jene des privaten Beschwerdeführers richten sich gegen dasselbe Urteil und hängen inhaltlich eng zusammen. Es ist angezeigt, die Beschwerdeverfahren zu vereinigen und die Sache in einem einzigen Urteil zu behandeln.
1.2. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über eine Nutzungsplanung. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (<ref-law>).
1.3. Der private Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Eigentümer einer Parzelle, welche direkt an die von der Teilrevision der Ortsplanung erfassten Parzellen angrenzt, besonders betroffen. Er ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert.
1.4. Das ARE ist nach <ref-law> und Art. 48 Abs. 4 der Raumplanungsverordnung vom 28. Juni 2000 (RPV; SR 700.1) im Bereich der Raumplanung zur Beschwerde ans Bundesgericht berechtigt. Die Legitimationsvoraussetzungen von <ref-law> sind nicht anwendbar, weshalb insbesondere eine Beteiligung am vorinstanzlichen Verfahren im Sinne von <ref-law> nicht erforderlich ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 362 ff. mit Hinweisen).
1.5. Die Sachurteilsvoraussetzungen sind grundsätzlich erfüllt. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerden dagegen insoweit, als sie sich gegen den Beschluss der Gemeindeversammlung Ballwil bzw. gegen den Entscheid des Regierungsrats richten. Diese sind im Rahmen des Streitgegenstands durch das Urteil des Kantonsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gelten als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144 mit Hinweis). Soweit der Regierungsrat in seinem Entscheid die amtlichen Kosten des Genehmigungsverfahrens bestimmte und der Gemeinde Ballwil auferlegte, würde den Beschwerdeführern zudem auch die Legitimation fehlen.
2.
Das Gebiet Neualp ist nach dem geltenden Zonenplan der Gemeinde Ballwil der Landwirtschaftszone zugeordnet. Es liegt beim Weiler Gerligen zwischen Ballwil und Inwil. Gemäss dem kommunalen Bericht nach <ref-law> vom 19. Januar 2012 betreibt die D._ Gärtnerei AG auf der Parzelle Nr. 568 einen Gärtnerei- und Gartenbaubetrieb. Dieser soll von der E._ AG übernommen und an ihr eigenes Betriebskonzept angepasst werden. Als Ziele der Umzonung werden genannt: "a) Produktion und Handel (Zwischenlager) von Gärtnereiprodukten[;] b) Wohnbedarf für eine Grosswohnung und 2 Kleinwohnungen (u.a. Angestellte) ". Verbindlich wird die Sondernutzungszone im neuen Art. 12b BZR geregelt:
1 In der Sondernutzungszone Gärtnerei/Gartenbau sind Bauten und Anlagen für die Landwirtschaft, für Gärtnerei- und Gartenbaubetriebe sowie eine Familienwohnung und zwei Kleinwohnungen zulässig. Es gilt Gestaltungsplanpflicht.
2 Im Gestaltungsplan sind Lage, Grösse und Gestaltung der Bauten, die Erschliessung und Parkierung zu regeln. Im Weiteren sind die Nutzungsbereiche für betriebsbedingte Hochbauten, Freilandkulturen und die bodenunabhängige Produktion mit Gewächshäusern und Containerpflanzen festzulegen.
3 Bauten und Anlagen haben sich gut in die Landschaft einzuordnen.
4 Bei Aufgabe der rechtmässigen Nutzung des Gärtnerei- und Gartenbaubetriebes hat der Grundeigentümer für den Rückbau zu sorgen. Grundlage für einen allfälligen Rückbau ist das Rückbaukonzept vom 9. Januar 2012. Das Areal ist anschliessend wieder der Landwirtschaftszone zuzuführen.
5 Im Interesse des haushälterischen Umgangs mit dem Boden, gestützt auf § 122 Abs. 6 PBG, ist auf einen Mehrlängenzuschlag gemäss § 122 Abs. 5 PBG bei den Grenzabständen zu verzichten.
6 Eine mögliche zukünftige Erweiterung der Sonderbauzone wird ausgeschlossen.
3.
In einem ersten Schritt ist zu untersuchen, wie die vorgesehene "Sondernutzungszone Gärtnerei/Gartenbau" planungsrechtlich zu qualifizieren ist. In einem zweiten Schritt ist zu prüfen, ob die Zone am vorgesehenen Ort mit dem Raumplanungsrecht des Bundes vereinbar ist. Gegenstand dieser Prüfung ist die Zonenumschreibung gemäss Art. 12b BZR. Die von der potenziellen Käuferin angestrebten konkreten baulichen und betrieblichen Veränderungen, auf die sich die Verfahrensbeteiligten zum Teil berufen, sind dagegen nicht relevant, zumal nicht ein Bauvorhaben Prozessgegenstand bildet. Aus demselben Grund steht auch die Zonenkonformität der gegenwärtigen Nutzung nicht zur Beurteilung. Schliesslich ist der in Art. 12b BZR vorgesehene Gestaltungsplan, der bereits als Entwurf vorliegt, ebenfalls nicht massgeblich. Es handelt sich dabei um ein raumplanerisches Instrument, das nicht Teil des Zonenplans bildet und auch unabhängig von diesem geändert werden könnte.
4.
4.1. Das Kantonsgericht führt im angefochtenen Entscheid aus, mit der neuen Zone werde bezweckt, den bestehenden Gärtnerei- und Gartenbaubetrieb über eine innere Aufstockung hinaus zu erweitern und auf die Bedürfnisse der E._ AG auszurichten, mithin eine Zone für bodenabhängigen und bodenunabhängigen Gartenbau im Sinne von Art. 16a Abs. 3 RPG (SR 700) zu schaffen.
4.2. Aus den bei den Akten befindlichen Materialien geht dagegen hervor, dass die Gemeinde Ballwil die Ausscheidung einer Sonderbauzone und nicht einer Intensivlandwirtschaftszone im Sinne von Art. 16a RPG beabsichtigte. Das ergibt sich zunächst aus dem bereits erwähnten kommunalen Bericht nach <ref-law> mit dem Titel "Einzonung Neualp: Sonderbauzone Gärtnerei/Gartenbau SGä". Darin wird ausgeführt, der Gärtnerei- und Gartenbaubetrieb liege heute in der Landwirtschaftszone und werde mit der Einzonung in eine Sonderbauzone planungsrechtlich gesichert. Die Zulässigkeit der neuen Zone wird im Bericht konsequenterweise nach den Kriterien von Art. 15 RPG geprüft, nicht nach jenen von Art. 16a Abs. 3 RPG. Auch die Beschlussfassung der Gemeindeversammlung Ballwil vom 21. Mai 2012 ist von der Absicht getragen, eine Sonderbauzone zu schaffen. Der Gemeindepräsident legte den Stimmbürgern explizit dar, dass sich die betroffene Fläche nach der Einzonung nicht mehr in der Landwirtschaftszone befinde. Dem entspricht auch, dass der neue Art. 12b im Bau- und Zonenreglement bei den Bestimmungen zu den Bauzonen eingeordnet wurde.
4.3. Gegen die Qualifizierung als Intensivlandwirtschaftszone spricht, dass Art. 12b BZR Nutzungen zulässt, welche den Rahmen dessen sprengen, was in solchen Zonen bundesrechtlich zulässig ist. So erklärt Abs. 1 der Bestimmung neben Bauten für die Landwirtschaft allgemein auch solche für Gärtnerei- und Gartenbaubetriebe für zulässig. Art. 16 Abs. 1 lit. a RPG enthält indessen eine Einschränkung auf den produzierenden Gartenbau, der im Sähen und Grossziehen von Pflanzen besteht und der eine der landwirtschaftlichen Bewirtschaftung vergleichbare Nutzung darstellt (vgl. Bernhard Waldmann/ Peter Hänni, Raumplanungsgesetz, 2006, N. 13 zu Art. 16 RPG; Alexander Ruch, in: Kommentar zum Bundesgesetz über die Raumplanung, 2009, N. 29 zu Art. 16 RPG; ARE, Neues Raumplanungsrecht: Erläuterungen zur Raumplanungsverordnung und Empfehlungen für den Vollzug, 2001, S. 29). Art. 12b lässt sodann unbeschränkt den Handel und die Lagerung von Gärtnereierzeugnissen zu, ohne dass die für derartige Nutzungen in <ref-law> vorgesehenen Schranken respektiert werden. Es wäre danach sogar zulässig, von der landwirtschaftlichen Bewirtschaftung und dem produzierenden Gartenbau gänzlich abzusehen und beispielsweise ausschliesslich von Drittbetrieben produzierte Gärtnereierzeugnisse zu lagern oder zu verkaufen.
Auch hinsichtlich der Wohnnutzung entspricht Art. 12b BZR nicht den vom Bundesrecht für Intensivlandwirtschaftszonen gezogenen Grenzen. Gemäss <ref-law> sind (vom Wohnbedarf der abtretenden Generation abgesehen) Bauten für den Wohnbedarf nur insofern zulässig, als dieser für das entsprechende landwirtschaftliche Gewerbe unentbehrlich ist. Davon abweichend sieht Art. 12b Abs. 1 BZR eine Familienwohnung und zwei Kleinwohnungen unabhängig davon vor, ob diese für das landwirtschaftliche Gewerbe unentbehrlich sind oder dazu überhaupt ein Bezug besteht.
4.4. Insgesamt ergibt sich, dass die "Sondernutzungszone Gärtnerei/ Gartenbau" als Bauzone zu qualifizieren ist. Dafür spricht nicht nur die Absicht der Gemeinde und die Bezeichnung der Zone in den Materialien, sondern auch - und dies ist entscheidend - ihre inhaltliche Ausgestaltung.
5.
5.1. Die Schaffung einer Bauzone für ein konkretes Projekt ist zulässig, wenn die Planungsmassnahme den Zielen und Grundsätzen der Nutzungsplanung gemäss dem Raumplanungsgesetz entspricht. Kleinbauzonen stellen dagegen im Allgemeinen eine Umgehung von Art. 24 ff. RPG dar und sind unzulässig, wenn sie gegen das raumplanerische Ziel verstossen, die Siedlungstätigkeit in Bauzonen zusammenzufassen und die Streubauweise für nicht freilandgebundene Bauten zu verhindern. Ermöglicht eine Kleinbauzone keine zusätzliche Streubauweise, sondern einzig eine geringfügige Erweiterung bereits bebauten Gebiets oder die massvolle Erweiterung bestehender Bauten, ist sie zulässig, sofern sie auch sonst auf einer sachlich vertretbaren Interessenabwägung beruht (<ref-ruling> E. 3a S. 395; Urteil 1C_13/2012 vom 24. Mai 2012 E. 3.1; je mit Hinweisen).
Die von der geplanten Umzonung erfassten Parzellen liegen gemäss den Feststellungen des Regierungsrats 165 m vom Siedlungsgebiet entfernt. Ein Siedlungszusammenhang fehlt und die Parzellen können auch für sich allein betrachtet nicht als Siedlungsgebiet bezeichnet werden (vgl. Urteil 1C_153/2007 vom 6. Dezember 2007 E. 3.3). Folglich müssen die Voraussetzungen für eine Kleinbauzone erfüllt sein.
5.2. Der Gemeinderat und der Regierungsrat heben in dieser Hinsicht hervor, dass das Areal bereits erschlossen und überbaut sei. Es befänden sich darauf bereits sieben grosse Gewächshäuser, zudem gebe es diverse kleinere Anlagen und Beete sowie zwei Bauten (unter anderem ein Haus). Gegenüber der heutigen Nutzung würden keine zusätzlichen Fruchtfolgeflächen beansprucht und mit der Gestaltungsplanpflicht könne die optimale Eingliederung in die Landschaft sichergestellt werden. Um eine möglichst hohe, dichte Ausnützung der Parzelle zu erreichen und dadurch dem Grundsatz des haushälterischen Umgangs mit dem Boden gerecht zu werden, werde überdies auf den Mehrlängenzuschlag verzichtet. Ausserdem werde eine Erweiterung der Zone ausgeschlossen und nach Aufgabe der Nutzung müssten alle Bauten und Anlagen zurückgebaut werden.
5.3. Es trifft zu, dass sich auf dem betroffenen Gebiet bereits Bauten und Anlagen befinden und dass dieses Gebiet durch die Ortsplanrevision nicht vergrössert wird. Dies ist jedoch nicht allein massgeblich. Auch die Ausbaumöglichkeiten auf den beiden Parzellen selbst und Veränderungen in den Nutzungsmöglichkeiten sind in die Betrachtung einzubeziehen (Urteile 1C_13/2012 vom 24. Mai 2012 E. 3.6; 1C_153/2007 vom 6. Dezember 2007 E. 3.3.1). In dieser Hinsicht ist zum einen festzuhalten, dass aufgrund der Neuzonierung eine deutliche Verdichtung und auch eine Veränderung der baulichen Grundstruktur der Parzellen zulässig wäre. Zum andern würde es Art. 12b BZR erlauben, Neubauten für in der Landwirtschaftszone nicht zonenkonforme Nutzungen zu erstellen. Ob dies den derzeitigen Intentionen der D._ Gärtnerei AG bzw. der E._ AG entspricht, ist irrelevant. Entscheidend ist lediglich, was nach den zur Diskussion stehenden Zonenvorschriften möglich ist (vgl. Urteil 1C_13/2012 vom 24. Mai 2012 E. 3.6). Nach dem bereits Ausgeführten wäre beispielsweise zulässig, ausschliesslich von Drittbetrieben produzierte Gärtnereierzeugnisse zu lagern und zu verkaufen und die für diesen Zweck notwendigen Bauten zu erstellen. Derart grundlegende Veränderungsmöglichkeiten in der baulichen Struktur und in der Nutzung gehen über eine massvolle Erweiterung im Sinne der Rechtsprechung hinaus und sind mit der Trennung von Bau- und Nichtbaugebiet nicht vereinbar. Daran vermag die an sich positiv zu beurteilende Gestaltungsplanpflicht nichts zu ändern. Auch die wirtschaftlichen Interessen der Eigentümerin an der Möglichkeit einer Erweiterung und Umgestaltung ihres Betriebs führen nicht zu einem anderen Ergebnis. Sachzwänge - namentlich die Ausschöpfung der zulässigen Erweiterungsmöglichkeiten in der Landwirtschaftszone - dürfen nicht dazu führen, Grundsätze des Raumplanungsrechts ausser Kraft zu setzen (Urteile 1C_13/2012 vom 24. Mai 2012 E. 4.5; 1C_374/2011 vom 14. März 2012 E. 3.4, in: ZBl 114/2013 S. 389).
6.
Nach dem Gesagten ergibt sich, dass die strittige Teilrevision der Ortsplanung von Ballwil dem Raumplanungsrecht des Bundes widerspricht. Die Beschwerden sind deshalb gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das angefochtene Urteil ist aufzuheben.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdegegner 1 aufzuerlegen (<ref-law>). Dieser ist Eigentümer der von der strittigen Teilrevision der Ortsplanung hauptsächlich betroffenen Parzelle Nr. 568. Die Parzelle Nr. 238 ist dagegen nur marginal betroffen, weshalb es gerechtfertigt ist, deren Eigentümer, dem Beschwerdegegner 2, keine Kosten aufzuerlegen. Der Beschwerdegegner 1 hat zudem den privaten Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Das ARE hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).
Zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens ist die Angelegenheit an das Kantonsgericht zurückzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 1C_774/2013 und 1C_778/2013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 26. August 2013 wird aufgehoben.
Die Angelegenheit wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an das Kantonsgericht zurückgewiesen.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdegegner 1 auferlegt.
4.
Der Beschwerdegegner 1 hat dem privaten Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 4'000.-- zu bezahlen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Ballwil, dem Regierungsrat und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold