Sachverhalt:
A. Am 9. Juli 2012 stellte die Post dem Bundesgericht am Standort Luzern ein Paket ohne Absender mit dem Vermerk "Unfrankiert aus Paketeinwurf ... 4.7.12" zu. Die Annahme der Sendung wurde verweigert.
B. Am 12. Juli 2012 (Poststempel) reichte Rechtsanwältin Q._ namens und im Auftrag von D._ eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ein gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 16. Mai 2012 betreffend die Aufhebung und Rückforderung der Invalidenrente sowie der Hilflosenentschädigung. Im Begleitschreiben führte sie unter Hinweis auf den beigelegten Auszug aus dem elektronischen Suchsystem "Track & Trace" der Post aus, die Beschwerde sei fristgerecht am 4. Juli 2012 aufgegeben, in der Zwischenzeit jedoch retourniert worden. Sie werde daher nochmals eingereicht.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der Beschwerde von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 96; Urteil 9C_959/2009 vom 19. Februar 2010 E. 2.1).
2. Die Beschwerde gegen einen Entscheid ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen (<ref-law>). Die Eingabe muss spätestens am letzten Tag der Frist beim Bundesgericht oder zu dessen Handen u.a. der Schweizerischen Post übergeben werden (<ref-law>). Die Beweislast für die Rechtzeitigkeit der Beschwerdeerhebung, die mit Gewissheit feststehen und nicht bloss überwiegend wahrscheinlich sein muss (Kathrin Amstutz/Peter Arnold, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, S. 562 N. 8 zu <ref-law> mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3c S. 9 f.), trägt der oder die Rechtsuchende (<ref-law>; Urteil 2C_265/2008 vom 9. April 2008 E. 2.2.2 mit Hinweisen und Urteil 5A_163/2007 vom 2. August 2007).
2.1 In tatsächlicher Hinsicht steht aufgrund der Suchergebnisse der Post ("Track & Trace") fest, dass das Paket, auf das in der Eingabe vom 12. Juli 2012 Bezug genommen wird, am 4. Juli 2012, 00.00 Uhr, somit kurz vor bzw. mit Ablauf der Rechtsmittelfrist, in Z._ über den Paketeinwurf aufgegeben worden war. Die Sendung war an das Bundesgericht adressiert; sie war jedoch nicht frankiert und trug keinen Absender. Das Gericht verweigerte die Annahme. In der Folge öffnete die Post das Paket und sandte es an den nunmehr bekannten Absender zurück (vgl. Ziff. 2.4 der Allgemeinen Geschäftsbedingungen "Postdienstleistungen" [AGB-Post, Ausgabe April 2012]).
2.1 In tatsächlicher Hinsicht steht aufgrund der Suchergebnisse der Post ("Track & Trace") fest, dass das Paket, auf das in der Eingabe vom 12. Juli 2012 Bezug genommen wird, am 4. Juli 2012, 00.00 Uhr, somit kurz vor bzw. mit Ablauf der Rechtsmittelfrist, in Z._ über den Paketeinwurf aufgegeben worden war. Die Sendung war an das Bundesgericht adressiert; sie war jedoch nicht frankiert und trug keinen Absender. Das Gericht verweigerte die Annahme. In der Folge öffnete die Post das Paket und sandte es an den nunmehr bekannten Absender zurück (vgl. Ziff. 2.4 der Allgemeinen Geschäftsbedingungen "Postdienstleistungen" [AGB-Post, Ausgabe April 2012]).
2.2 2.2.1 Das Bundesgericht verweigerte die Annahme des am 4. Juli 2012 bei der Post aufgegebenen Pakets. Gemäss Ziff. 2.2.4 der AGB-Post werden bei unbekanntem Absender nicht oder zu wenig bezahlte Portokosten (hier: Fr. 9.-) beim Empfänger erhoben. Solche Kosten bilden jedoch nicht Teil der zu bevorschussenden Gerichtskosten und Barauslagen (vgl. Art. 62 f. BGG und Thomas Geiser, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, a.a.O., S. 738 N. 4 f. zu <ref-law>), rechtfertigen daher auch nicht die Ansetzung einer Nachfrist (<ref-law>).
2.2.2 Beweisthema ist somit, ob das am letzten Tag der Frist am 4. Juli 2012 bei der Post aufgegebene Paket die am 12. Juli 2012 und damit verspätet eingereichte Beschwerde enthielt. Trifft dies zu, ist von der Rechtzeitigkeit des Rechtsmittels auszugehen. Welches der Inhalt der bei der Post über den Paketeinwurf aufgegebenen Sendung war, ist und bleibt jedoch unbekannt. Es lässt sich daher auch nicht überprüfen, ob es sich bei der zweiten Eingabe um die gleiche Rechtsschrift handelt oder ob in der Zwischenzeit Änderungen vorgenommen wurden. Unter diesen Umständen die Rechtzeitigkeit zu bejahen, liefe im Ergebnis auf eine gesetzwidrige Erstreckung der Beschwerdefrist hinaus (<ref-law>).
Die Beschwerde gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 16. Mai 2012 hat somit zufolge Beweislosigkeit zu Lasten des Beschwerdeführers (vorne E. 2) als verspätet zu gelten.
3. Eine Wiederherstellung der Frist gestützt auf <ref-law> fällt ausser Betracht. Die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers hat in ihrer Eingabe vom 12. Juli 2012 nicht dargelegt, inwiefern sie unverschuldeterweise davon abgehalten wurde, fristgerecht in rechtswahrender Weise zu handeln.
4. Mit dem sofortigen Entscheid in der Sache ist die Frage der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. September 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler