Art. 9 und <ref-law>(vorsorgliche Massnahmen während des Scheidungsverfahrens), hat sich ergeben:
A.- R._, Jahrgang 1943, und S._, Jahrgang 1950, heirateten am 7. August 1971 in Arbon. Sie sind italienische Staatsangehörige. Zur Familie R.S._ gehören drei heute volljährige Kinder. Auf Begehren der Ehefrau trennte das Bezirksgericht Arbon die Ehe der Parteien für ein Jahr und ordnete die unterhalts- und güterrechtlichen Ansprüche (Urteil vom 16. Oktober 1998). Im Dezember 1999 machte die Ehefrau die Scheidungsklage anhängig. Die Bezirksgerichtskommission Arbon schied die Ehe der Parteien und regelte die Scheidungsfolgen (Urteil vom 30. Juni 2000). Im Berufungsverfahren beider Parteien erhöhte das Obergericht des Kantons Thurgau den von R._ an S._ zu leistenden Unterhaltsbeitrag (Urteil vom 10. Mai 2001). R._ hat dagegen staatsrechtliche Beschwerde erhoben (5P. 393/2001) und eidgenössische Berufung eingereicht (5C. 290/2001). Die Verfahren sind noch hängig.
B.- Im Rahmen vorsorglicher Massnahmen während des Scheidungsverfahrens verpflichtete der Vize-Präsident des Bezirksgerichts Arbon R._ zu Unterhaltsbeiträgen an seine Ehefrau (Verfügung vom 16. März 2000). Antragsgemäss hob er die Unterhaltsbeitragspflicht ab 1. Juli 2000 auf mit der Begründung, R._ habe seine Arbeitsstelle auf den 30. Juni 2000 aus gesundheitlichen Gründen gekündigt und seinen Wohnsitz verständlicherweise nach Italien verlegt; das allenfalls erzielbare Ersatzeinkommen erlaube die Leistung von Unterhalt nicht (Verfügung vom 28. Juni 2001). Den von S._ dagegen eingelegten Rekurs hiess das Obergericht des Kantons Thurgau gut und verpflichtete damit R._, weiterhin den monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'133. 50 zu bezahlen; es ging von einem hypothetischen Einkommen von Fr. 2'830.-- (E. 3b/bb S. 9 f.) bzw.
letztlich von Fr. 2'113. 50 pro Monat aus (E. 3d/bb S. 11 und Dispositiv-Ziffer 1 des Rekursentscheids vom 27. Juli 2001).
C.- Mit staatsrechtlicher Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 (Schutz vor Willkür) und <ref-law> (Anspruch auf rechtliches Gehör) beantragt R._ dem Bundesgericht, den Rekursentscheid aufzuheben. Seinem Gesuch um aufschiebende Wirkung hat der Präsident der II. Zivilabteilung nicht entsprochen (Verfügung vom 31. Oktober 2001). Das Obergericht schliesst auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde. Den selben Antrag stellt S._; sie ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Das Gericht kann vorsorgliche Massnahmen auch dann anordnen, wenn - wie hier - die Ehe aufgelöst ist, aber das Verfahren über Scheidungsfolgen fortdauert (<ref-law>, Satz 2). Wiewohl das Verfahren über Scheidungsfolgen kantonal seit dem 10. Mai 2001 abgeschlossen und nunmehr vor Bundesgericht hängig ist, bleibt für vorsorgliche Massnahmen das kantonale Gericht ausschliesslich zuständig (Art. 58 OG).
Dessen Anordnungen sind auf Bundesebene - allfällige Nichtigkeitsgründe im Sinne von Art. 68 OG vorbehalten - nur mit staatsrechtlicher Beschwerde anfechtbar (Messmer/Imboden, Die eidgenössischen Rechtsmittel in Zivilsachen, Zürich 1992, N. 110 S. 149). Entgegen der Behauptung der Beschwerdegegnerin rügt der Beschwerdeführer nicht einzig eine Verletzung von <ref-law>. Er bezeichnet den angefochtenen Rekursentscheid vielmehr ausdrücklich und mehrfach als willkürlich.
Dass er dabei die einschlägige Verfassungsbestimmung angeblich nicht nennt, schadet ihm nicht, solange er die erhobenen Willkürrügen formell ausreichend begründet; den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügt die Eingabe des Beschwerdeführers (<ref-ruling> E. 2a S. 3 f.; <ref-ruling> E. 1c S. 76; <ref-ruling> E. 1c S. 73). Auf die staatsrechtliche Beschwerde kann eingetreten werden.
2.- Eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) erblickt der Beschwerdeführer darin, dass das Obergericht ihm ein hypothetisches Erwerbseinkommen von Fr. 1'500.-- pro Monat angerechnet habe, ohne dafür eine Begründung zu geben. Das Obergericht habe die für eine Einkommensanrechnung massgebenden Voraussetzungen nicht erkennbar geprüft und insbesondere nicht dargelegt, auf welches mögliche Einkommen er verzichtet habe; eine Bejahung jener Voraussetzungen halte dem Willkürverbot zudem nicht stand (<ref-law>). Der Beschwerdeführer betont, eine Verletzung der Mitwirkungspflicht im Massnahmenverfahren werde - und könne - ihm nicht angelastet werden. Die Beschwerdegegnerin vertritt in allen Punkten eine gegenteilige Auffassung.
a) In Zusammenfassung von Lehre und Rechtsprechung hat das Bundesgericht kürzlich bestätigt, dass bei der Festsetzung von Unterhaltsbeiträgen vom tatsächlichen Leistungsvermögen des Pflichtigen abgewichen und statt dessen von einem hypothetischen, höheren Einkommen ausgegangen werden darf, falls und soweit der Pflichtige bei gutem Willen bzw.
bei ihm zuzumutender Anstrengung mehr zu verdienen vermöchte, als er effektiv verdient; wo die reale Möglichkeit einer Einkommenssteigerung fehlt, muss eine solche jedoch ausser Betracht bleiben. Aus welchem Grund ein Ehegatte auf das ihm angerechnete höhere Einkommen verzichtet, ist an sich unerheblich; die Berücksichtigung eines hypothetischen, höheren Einkommens hat keinen pönalen Charakter. Im beurteilten Fall hob das Bundesgericht einen Entscheid als willkürlich auf, mit dem eine kantonale Letztinstanz dem Beschwerdeführer ein mehrere Jahre zuvor erzieltes Einkommen angerechnet hatte allein mit der Begründung, der unterhaltspflichtige Beschwerdeführer habe seine frühere Arbeitsstelle freiwillig aufgegeben; Willkür lag darin begründet, dass die kantonale Letztinstanz die Frage in keiner Weise erörtert hatte, ob dem Beschwerdeführer die Erzielung des angenommenen Einkommens tatsächlich möglich und zumutbar ist (<ref-ruling> Nr. 2).
Nicht zu entscheiden war im soeben erwähnten Urteil auf Grund des gegebenen Sachverhalts, ob bei böswilliger Verminderung des Einkommens ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden soll unbesehen der tatsächlichen Möglichkeit, die Verminderung rückgängig zu machen. Der Beschwerdeführer weist diesbezüglich zu Recht darauf, dass es auf eine allfällige Schädigungsabsicht weder nach der Rechtsprechung noch nach der - zumindest - vorherrschenden Lehre ankommt (unter Verweis auf <ref-ruling> E. 1b S. 17 und Hausheer/Spycher, Handbuch des Unterhaltsrechts, Bern 1997, N. 01.62 S. 51).
Die im Rekursentscheid zitierten Berner Kommentatoren vertreten keinen vom gezeigten abweichenden Standpunkt (Bühler/Spühler, Ergänzungsband, N. 141 zu aArt. 145 ZGB, unter Verweis auf ZR 87/1988 Nr. 36 E. 3b S. 89). Die obergerichtliche Rechtsprechung scheint damit übereinzustimmen.
Ein hypothetisches Einkommen wird danach angerechnet, wenn ein höheres Einkommen als möglich und zumutbar erscheint. Ein Anwendungsfall für diese Anrechnung liegt vor, wenn eine Person ihr Erwerbseinkommen böswillig reduziert und sich die Reduktion nicht rückgängig machen lässt. Für die Bestimmung der Höhe des fiktiven Einkommens stellt das Obergericht regelmässig ab "auf die zeitliche Verfügbarkeit, die berufliche Qualifikation, das Alter und die Gesundheit der betreffenden Person sowie auf die Arbeitsmarktlage" (RBOG 2000 Nr. 2 E. 2b S. 66, zu <ref-law>).
b) In Würdigung der verschiedenen ärztlichen Atteste hat das Obergericht festgehalten, die gesundheitlichen Probleme hätten jedenfalls nicht der Anlass der Kündigung gewesen sein können (E. 3b/aa S. 9). Es hat ferner im Zusammenhang mit der Anrechnung einer vorzeitigen AHV-Rente bemerkt, es liesse sich theoretisch auch rechtfertigen, dem Beschwerdeführer das bei seinem schweizerischen Arbeitgeber erzielte Einkommen aufzurechnen, da kein objektiv nachvollziehbarer Grund ersichtlich sei, weshalb er seine Arbeitsstelle im März per Ende Juni 2000 gekündigt habe (E. 3b/bb S. 10). Was die Höhe des anrechenbaren Einkommens angeht, ist das Obergericht von "Fr. 1'500.-- an in Italien erzielbarem Einkommen gemäss Urteil der Bezirksgerichtlichen Kommission Arbon vom 30. Juni /26. Juli 2000" ausgegangen (E. 3b/bb S. 10) und hat damit - implizit - auf die Begründung in jenem Urteil verwiesen.
Die Bezirksgerichtskommission hat dazu lediglich festgehalten, bei einem Einkommen des Beschwerdeführers in der Schweiz von ca. Fr. 3'700.-- netto pro Monat rechtfertige es sich in Italien von einem solchen von ca. Fr. 1'500.-- auszugehen; das Lohnniveau in Italien mache nämlich ca. 40 % des schweizerischen aus (E. 5 S. 11 des bezirksgerichtlichen Scheidungsurteils).
c) Das Obergericht hat lediglich die Teilfrage beantwortet und bejaht, ob dem Beschwerdeführer auf Grund des Gesundheitszustandes eine Erwerbstätigkeit tatsächlich möglich und zumutbar ist. Welches die effektive Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers auf Grund seiner beruflichen Qualifikation, seines Alters sowie der Arbeitsmarktlage aber noch sein könnte, haben weder das Obergericht noch die Bezirksgerichtskommission beurteilt. Sie sind damit ohne Grundangabe von den in Lehre und Rechtsprechung entwickelten Leitsätzen (E. 2a soeben) abgewichen (<ref-ruling> E. 2b S. 56 und 60 E. 5a S. 70) und haben in ihren Ermessensentscheid Umstände nicht einbezogen, die hätten berücksichtigt werden müssen (<ref-ruling> E. 2c S. 109; <ref-ruling> E. 3c S. 10); insoweit ist der angefochtene Rekursentscheid willkürlich (<ref-law>). Selbst wenn das Obergericht - im Gegensatz zur Bezirksgerichtskommission - von einer Aufgabe der Erwerbstätigkeit in regelrechter Schädigungsabsicht hätte ausgehen wollen, änderte dieser Umstand nichts an der Berechtigung des Willkürvorwurfs: Es ist zwar nicht untersagt, bei der Anwendung von Bundesrecht von der bundesgerichtlichen - und der eigenen - Rechtsprechung abzuweichen, doch müssen hierfür sachlich haltbare Gründe angeführt werden können; solche werden vorliegend nicht genannt und sind auch nicht ersichtlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2a S. 320; <ref-ruling> E. 4a S. 205/206).
Freilich bereitet die Abklärung der tatsächlichen Möglichkeit einer Erwerbstätigkeit in Italien Schwierigkeiten.
Diesbezüglich darf unter dem Blickwinkel der Willkür aber ohne weiteres auf die Mitwirkungspflicht des Beschwerdeführers zurückgegriffen werden (Art. 170 i.V.m. <ref-law>; Leuenberger, in: Praxiskommentar Scheidungsrecht, Basel 2000, N. 45 zu <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 385; Urteil des Bundesgerichts 5P.487/1994 vom 11. Juli 1995, E. 3b, in: SJ 1996 S. 120). Das Obergericht hat darauf in seinem Rekursentscheid ausdrücklich hingewiesen (E. 3a S. 7), ohne daraus die notwendigen Folgerungen zu ziehen.
Eine Auskunftsverweigerung des Beschwerdeführers führt nicht zur Umkehr der Beweislast, doch kann sie zur Folge haben, dass das Gericht beweiswürdigend die Überzeugung gewinnt, die Behauptungen des die Auskunft verweigernden Ehegatten seien ganz oder teilweise falsch bzw. die Angaben des andern Ehegatten glaubhaft (<ref-ruling> E. 3a S. 29).
Der Vorwurf willkürlicher Rechtsanwendung ist aus dem dargelegten Grund berechtigt, nicht hingegen die Rüge mangelhafter Begründung. Die aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) hergeleitete Begründungspflicht schliesst nicht aus, dass das Obergericht auf die Motive im bezirksgerichtlichen Urteil verweist, soweit es damit einig geht (<ref-ruling> E. 2c S. 34). Darauf macht die Beschwerdegegnerin zu Recht aufmerksam. Dass der - implizite - Verweis sich hier nur auf die Höhe des hypothetischen Erwerbseinkommens bezieht und die Feststellungen über den Gesundheitszustand nicht erfasst, folgt aus dem Sachzusammenhang und der selbstständigen Beurteilung des Gesundheitszustandes durch das Obergericht auf Grund ärztlicher Atteste, die der Bezirksgerichtskommission noch nicht vorgelegen hatten (<ref-ruling> E. 3a S. 409; vgl. <ref-ruling> E. 1d S. 480).
3.- Was die Beurteilung seines Gesundheitszustandes anbetrifft, rügt der Beschwerdeführer Willkür in der Beweiswürdigung (<ref-law>). Er macht weiter eine doppelte Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) geltend: Das Obergericht sei auf von ihm eingereichte Beweisurkunden nicht eingegangen (Begründungspflicht), und dem Antrag beider Parteien auf Einholung eines Obergutachtens hätte entsprochen werden müssen, wenn ein Sachvorbringen weder als erstellt noch als widerlegt erachtet werde (Beweisanspruch).
Die Beschwerdegegnerin belegt, weshalb die Vorwürfe des Beschwerdeführers allesamt für unbegründet zu erklären seien.
a) Dass das Obergericht das ärztliche Attest von Dr. T._ überhaupt nicht erwähnt hätte, trifft nicht zu; das Obergericht hat vielmehr dargelegt, Dr. U._ habe das besagte Arztzeugnis für seine Beurteilung beigezogen (E. 3b/aa S. 8). Die verfassungsmässige Begründungspflicht hat das Obergericht ebenso wenig verletzt, indem es auf medizinische Unterlagen aus dem Hauptprozess nicht eingegangen ist, auf die der Beschwerdeführer im Massnahmenverfahren verwiesen hat. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör folgt nicht, dass sich das Obergericht ausdrücklich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss; es darf sich gegenteils auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (zuletzt:
<ref-ruling> E. 2b S. 102). Wesentlich für die Beurteilung des Gesundheitszustandes des Beschwerdeführers sind die sich widersprechenden Stellungnahmen des Hausarztes Dr. J._ vom 13. August 1999 und vom 20. Juni 2000 einerseits und des im hängigen Prozess erstmals hinzugezogenen Dr. U._ vom 12. September 2000 andererseits gewesen. Dass der Beschwerdeführer auch in Italien Medikamente einnimmt und sich regelmässig zur ärztlichen Kontrolle begibt, ist daneben unerheblich; der Beschwerdeführer leidet (seit 1988) an Bluthochdruck und (seit 1992) an einer Zuckerkrankheit, was eine medikamentöse Behandlung und regelmässige ärztliche Untersuchungen auch des Herzes selbstverständlich macht.
b) Nach einer Gegenüberstellung der ärztlichen Befunde hat das Obergericht zunächst sein Erstaunen über das Verhalten des Beschwerdeführers während der Hängigkeit des Hauptprozesses zum Ausdruck gebracht (keine Anmeldung bei der IV trotz einhundertprozentiger Arbeitsunfähigkeit gemäss Gutachten von Dr. U._, Kündigung des Arbeitsplatzes einen Tag vor der bezirksgerichtlichen Instruktionseinvernahme sowie Vorpensionierungsantrag statt Antrag auf IV-Rente zwei Wochen vor der bezirksgerichtlichen Hauptverhandlung). Das Obergericht hat festgehalten, die gesundheitlichen Probleme hätten jedenfalls nicht der Anlass der Kündigung sein können, habe doch Dr. J._ noch am 20. Juni 2000, also zehn Tage vor der Hauptverhandlung vor der Bezirksgerichtskommission, eine gänzliche Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers bescheinigt (E. 3b/aa S. 9).
Gestützt auf das Verhalten des Beschwerdeführers und die bisher eingereichten Unterlagen ist das Obergericht damit zum Schluss gelangt, dass der strittige Sachverhalt erstellt sei, dass nämlich der Beschwerdeführer trotz gesundheitlicher Probleme arbeitsfähig sei. Liegt insoweit ein Beweisergebnis vor, verletzt die Nichtabnahme weiterer Beweismittel, wie sie der Beschwerdeführer beantragt haben will, den verfassungsmässigen Beweisanspruch nicht; von Verfassungs wegen stellt sich nur mehr die Frage, ob die vorweggenommene Beweiswürdigung dem Willkürverbot standhält (zuletzt: <ref-ruling> E. 1d S. 162; <ref-ruling> E. 4a S. 211; vgl. E. 3c sogleich).
Im Rahmen seiner Rüge willkürlicher Beweiswürdigung wendet der Beschwerdeführer mehrfach ein, das Obergericht habe sich über die Befunde des Gutachters Dr. U._ ohne Begründung hinweggesetzt und/oder sich damit nicht oder nur am Rande auseinandergesetzt. Die verfassungsmässige Begründungspflicht beschlägt auch die Tatsachenfeststellungen (<ref-ruling> E. 3a S. 3) und die Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 4d S. 551/552; Urteil des Bundesgerichts 5P.246/1991 vom 24. Februar 1992, E. 2a, in: SJ 1992 S. 398). Da der Beschwerdeführer einräumt, dass das Obergericht auf das Gutachten von Dr. U._ immerhin am Rande eingegangen ist, liegt keine Verletzung der Begründungspflicht vor, sondern wird Willkür geltend gemacht, die in der Beweiswürdigung namentlich dann zu bejahen sein kann, wenn der Sachrichter einseitig einzelne Beweise berücksichtigt und andere, aus denen sich Gegenteiliges ergeben könnte, ausser Acht lässt (<ref-ruling> E. 4 S. 127 und E. 6 S. 130; <ref-ruling> E. 1b S. 30; vgl. dazu Messmer/Imboden, a.a.O., S. 213 Anm. 43).
c) Der gegen die Beweiswürdigung erhobene Willkürvorwurf ist aus nachstehenden Gründen ungerechtfertigt:
aa) Gegen das obergerichtliche Abstellen auf den Bericht von Dr. J._ wendet der Beschwerdeführer ein, das Zeugnis sei ein Jahr älter als dasjenige von Dr. U._ und beruhe nicht auf einer vertieften Untersuchung. Der erste Einwand ist aktenwidrig. Das Obergericht erwähnt zwei Zeugnisse von Dr. J._; in demjenigen vom 13. August 1999 wird der Gesundheitszustand als eingeschränkt bezeichnet und im späteren vom 20. Juni 2000 dem Beschwerdeführer volle Arbeitsfähigkeit attestiert. Dieses zweite ärztliche Zeugnis ist somit lediglich drei Monate vor demjenigen von Dr. U._ vom 12. September 2000 erstellt worden. Es kann in zeitlicher Hinsicht nicht als überholt gelten, zumal Dr. U._ dasselbe Krankheitsbild beurteilt hat: Nachwirkungen eines Verkehrsunfalls von 1972 (Rückenverletzung) sowie einer Handverletzung von 1995 (Bruch des Daumens), Zuckerkrankheit (seit 1992), Bluthochdruck (seit 1988) und depressive Verstimmtheit seit der Trennung im Sommer/Herbst 1998 (E. 3b/aa S. 8 des Rekursentscheids; S. 2 f. des ärztlichen Zeugnisses, act. 4/4 der Beschwerdebeilage). Dass Dr. J._ seinen Befund ohne vertiefte Untersuchung abgegeben hätte, ist durch nichts belegt. Selbst wenn dem aber so wäre, ist zu beachten, dass Dr. J._ den Beschwerdeführer seit 1988 als Hausarzt betreut und deshalb auf Grund einer langjährigen Krankengeschichte ein ärztliches Zeugnis ohne vorgängige eingehende Untersuchung hätte erstellen können, zumal er auch nicht um die Beurteilung neu aufgetauchter oder akuter Beschwerden angegangen worden ist.
bb) Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers hat das Obergericht das Gutachten von Dr. U._ gewürdigt und ausdrücklich erwähnt, dass Dr. U._ den Beschwerdeführer aus drei Gründen für hundertprozentig arbeitsunfähig erklärt hat, nämlich wegen Rückenproblemen, wegen stark erhöhten Blutzuckerwerten sowie - neu diagnostiziert - wegen einer wahrscheinlich mittelschweren bis schweren Herzkrankheit. Das Obergericht hat das Gutachten von Dr. U._ auch insoweit richtig wiedergegeben, als es sich um eine vermutete und nicht mittels technischer Untersuchungen bewiesene Herzkrankheit handelt (E. 3b/aa S. 8 f. des Rekursentscheids). Im ärztlichen Zeugnis wird davon ausgegangen, dass "höchstwahrscheinlich" bzw. "sehr wahrscheinlich" eine Herzkrankheit besteht. Gestützt wird die Vermutung der Herzkrankheit auf den bekannten langjährigen Bluthochdruck, auf die - auf gezieltes Fragen (S. 3) - vom Beschwerdeführer angegebenen Brustschmerzen und die angegebene Atemnot sowie auf ein ausgeprägtes Herzgeräusch (S. 7, act. 4/4 der Beschwerdebeilage).
Das Obergericht hat somit auch das Gutachten von Dr. U._ umfassend einbezogen. Die gegenteilige Behauptung des Beschwerdeführers ist nicht stichhaltig.
cc) Beide ärztlichen Zeugnisse sind vom Beschwerdeführer selbst eingeholt und damit in dessen Auftrag erstellt worden. Für die Überzeugungskraft des Berichts von Dr. J._ kann angeführt werden, dass es sich bei ihm um den langjährigen Hausarzt handelt, der seinen Patienten und dessen familiäres Umfeld kennt. Im Widerspruch zu einer gerichtlichen Erfahrungstatsache (<ref-ruling> E. 3b/cc S. 353) lautet hier der Befund des Hausarztes überdies gerade nicht zugunsten des eigenen Patienten als Auftraggeber.
Gegen den Beweiswert des ärztlichen Zeugnisses von Dr. U._ kann sprechen, dass es offenkundig veranlasst worden ist, um die von der Bezirksgerichtskommission im Hauptprozess bejahte Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers vor Obergericht zu widerlegen (vgl. S. 2: "Anlass zur Exploration", act. 4/4 der Beschwerdebeilage). Der Befund stammt von einem Arzt, der den Patienten vorher nicht gekannt und nur einmal untersucht hat. Die neue Diagnose einer Herzkrankheit erscheint zudem als reichlich unsicher und vage, worauf die Beschwerdegegnerin mit Recht hinweist. Es ist denn auch nicht ganz nachvollziehbar, weshalb nicht wenigstens ein Belastungs-EKG und eine Ultraschalluntersuchung des Herzes im Sinne sofort und ambulant durchführbarer technischer Untersuchungen, die im Bericht erwähnt werden (S. 7, act. 4/4 der Beschwerdebeilage), vorgenommen worden sind, um dadurch ein höheres Mass an Gewissheit über eine mögliche Herzkrankheit zu gewinnen.
dd) Gegen die Annahme einer verminderten Arbeitsfähigkeit bestehen zusätzlich verschiedene Indizien, auf die der Beschwerdeführer nicht eingeht. Es muss doch auffallen, dass der Beschwerdeführer trotz all der erwähnten vorbestehenden gesundheitlichen Beeinträchtigungen bis im Juni 1998 nicht nur vollzeitlich arbeitstätig gewesen ist, sondern auch in erheblichem Ausmass Überstunden geleistet hat. Erst im Verlaufe des Trennungsverfahrens hat er auf eigenen Wunsch einen leichteren Arbeitsplatz mit geringerem Verdienst zugewiesen erhalten und seine Erwerbstätigkeit schliesslich in dem Zeitpunkt vollständig aufgegeben, als die Scheidung unausweichlich geworden ist. In beiden Gesundheitsattesten wird denn auch übereinstimmend eine nicht mehr vorhandene "Motivation" am Arbeitsplatz (Dr. J._) bzw. eine "reaktive Depression" (Dr. U._) vorab auf die Ehekrise zurückgeführt.
ee) Insgesamt erweist sich die obergerichtliche Beweiswürdigung nicht als willkürlich. Das Obergericht hat keine wesentlichen Beweismittel übersehen und aus den dargelegten sachlichen Gründen dem - durch Indizien verstärkten - Befund des Hausarztes glauben schenken dürfen, der Beschwerdeführer sei trotz gesundheitlicher Probleme voll arbeitsfähig.
Die Frage, ob die obergerichtliche Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (E. 3b soeben), ist zu verneinen bzw. stellt sich in dieser Form nicht. Zum einen braucht im Massnahmenverfahren nicht die volle Überzeugung des Gerichts herbeigeführt zu werden, dass der Beschwerdeführer gesund und arbeits- bzw. erwerbsfähig ist, sondern es genügt, wenn eine gewisse Wahrscheinlichkeit dafür spricht, auch wenn das Gericht noch mit der Möglichkeit rechnet, dass es sich anders verhalten könnte; diese Voraussetzung der Glaubhaftmachung durfte nach dem Gesagten bereits auf Grund der vorhandenen Beweismittel willkürfrei als erfüllt betrachtet werden (<ref-ruling> E. 3 S. 377 und 378 E. 3b S. 381; vgl. <ref-ruling> E. 4c S. 398). Zum anderen ist der Beweisanspruch der Parteien, wie die Beschwerdegegnerin und das Obergericht zutreffend hervorheben, wegen der summarischen Natur des Massnahmenverfahrens eingeschränkt; das Massnahmenverfahren kennt grundsätzlich kein ausführliches Beweisverfahren, und auf die Einholung von Gutachten darf verzichtet werden, ohne dadurch Bundesrecht zu verletzen (vgl. Bühler/Spühler, N. 419, und Ergänzungsband, N. 418 zu aArt. 145 ZGB; Leuenberger, N. 55 zu <ref-law>).
4.- Der Beschwerdeführer erhebt in drei weiteren Punkten Verfassungsrügen (Willkür und/oder Verletzung der Begründungspflicht).
Sie sind teilweise begründet:
a) Das Obergericht ist davon ausgegangen, dem erwerbstätigen, unterhaltspflichtigen Ehegatten sei auf jeden Fall das betreibungsrechtliche Existenzminimum zu belassen (E. 3a S. 6). Da das Lohnniveau in Italien ungefähr 40 % des schweizerischen betrage, rechtfertige es sich, auch das Existenzminimum bei etwa 40 % des schweizerischen Niveaus anzusetzen (E. 3d/aa S. 10 des Rekursentscheids; vgl. E. 5 S. 11 des bezirksgerichtlichen Scheidungsurteils unter Hinweis auf UBS, Preise und Löhne rund um die Welt: ein internationaler Kaufkraftvergleich, Zürich 1997).
Der Beschwerdeführer rügt, das Obergericht belasse ihm nicht einmal sein ganzen Existenzminimum. Er wendet sich dabei nicht gegen die konkrete Herabsetzung auf 40 % des in der Schweiz massgebenden Betrags, sondern gegen die Berechnungsmethode als solche. Der Willkürvorwurf ist unbegründet.
Unterhaltsbeiträge für die Familie sind so festzusetzen, dass dem Unterhaltsschuldner wenigstens noch sein Existenzminimum verbleibt (<ref-ruling> E. 3b S. 4); der Grundsatz gilt auch international (<ref-ruling> E. 3d S. 6) und wird vorliegendenfalls durch Art. 11 Abs. 2 des Haager Übereinkommens über das auf Unterhaltspflichten anzuwendende Recht (SR 0.211. 213.01) gewährleistet, das für die Schweiz am 1. Oktober 1977 und für Italien am 1. Januar 1982 in Kraft getreten ist. Lebt der Unterhaltsschuldner im Ausland, ist bei der Bedarfsberechnung das allenfalls tiefere oder höhere Niveau der dortigen Lebenskosten zu berücksichtigen (z.B.
Bräm, Zürcher Kommentar, N. 108 zu <ref-law>). Diese Berücksichtigung des unterschiedlichen Lebensstandards in den verschiedenen Staaten erfolgt praxisgemäss über eine Umrechnung anhand der statistisch erhobenen Verbrauchergeldparitäten bzw. internationaler Kaufkraftvergleiche (für Kinder im Ausland: Wullschleger, in: Praxiskommentar Scheidungsrecht, Basel 2000, N. 14 zu <ref-law>; im Anwendungsbereich des erwähnten Haager Übereinkommens ausführlich: Staudinger/von Bar/Mankowski, Kommentar zum Bürgerlichen Gesetzbuch, Stand: Juni 1996, N. 335 i.V.m. N. 339 f. sowie N. 396 f., und Siehr, Münchener Kommentar zum Bürgerlichen Gesetzbuch,
3. A. München 1998, N. 214 f., je des Anh I zu Art. 18 EGBGB, Haager Unterhaltsübereinkommen).
b) Der Beschwerdeführer ist Eigentümer eines Hauses mit Garagen und Garten in Italien, das er nicht selber bewohnt.
Unter diesen Umständen darf willkürfrei angenommen werden, es sei ihm die Vermietung dieser Liegenschaft zumutbar und der tatsächliche erzielbare Mietertrag als Einkommen anrechenbar (z.B. <ref-ruling> E. 6 S. 18; Urteil des Bundesgerichts 5P.103/1991 vom 26. August 1991, E. 5, in: Rep 124/1991 S. 371). Indem sich das Obergericht an diesen Grundsatz gehalten hat (E. 3b/bb S. 10), ist es nicht in Willkür verfallen (<ref-law>; z.B. <ref-ruling> E. 2c S. 13).
Auf den im Rekursverfahren erhobenen Einwand, ein zeitlich befristeter Mietvertrag sei in Italien praktisch nicht möglich, brauchte das Obergericht unter dem Blickwinkel der verfassungsmässigen Begründungspflicht nicht einzugehen, zumal es sich dabei offenkundig um eine reine Schutzbehauptung handelt (<ref-law>; zuletzt: <ref-ruling> E. 2b S. 102). Die von der Beschwerdegegnerin aufgeworfene Frage stellt sich damit nicht, ob der Grundsatz gerichtlicher Rechtsanwendung von Amtes wegen auch für ausländisches Recht gilt (vgl. dazu Hohl, Procédure civile, t. I: Introduction et théorie générale, Bern 2001, N. 869-871 S. 167 f.; seither:
BGE 126 III 492 E. 3c S. 494).
Da die Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers lediglich zu einem Unterhaltsbeitrag ausreicht, der das Existenzminimum der Beschwerdegegnerin - wenn überhaupt - nur knapp deckt, hätte das Obergericht ohne Willkür auch in Betracht ziehen können, dass der Beschwerdeführer eine seiner leerstehenden Garagen oder den von seinem Bruder genutzten Garten verkauft (vgl. Leuenberger, N. 31 zu <ref-law>).
Nach Angaben der Beschwerdegegnerin soll der Beschwerdeführer die Liegenschaft zwischenzeitlich verkauft haben, so dass ihm ein Zinsertrag auf dem Verkaufserlös anzurechnen sei. Das Bundesgericht kann diese Frage mangels Feststellungen im angefochtenen Rekursentscheid nicht beurteilen, doch wird diesem Vorgang, über den der Beschwerdeführer Auskunft zu erteilen hat (E. 2c Abs. 2 hiervor), gegebenenfalls im Rahmen der Neubeurteilung Rechnung zu tragen sein.
c) Das Obergericht hat dem Beschwerdeführer eine AHV-Rente von Fr. 900.-- pro Monat angerechnet und sich für deren Berechnung auf ein Schreiben des INCA (= Istituto Nazionale Confederale di Assistenza) vom 27. Oktober 1999 gestützt (act. 17 der Akten des Beklagten im Hauptprozess). Den Einwand des Beschwerdeführers, er habe erst im Juni 2000 einen Vorpensionierungsantrag gestellt, hat das Obergericht verworfen mit der Begründung, zwar dauere die Behandlung dieses Antrags offenbar ca. sechzehn Monate, doch werde die Rente rückwirkend per Eintritt der Pensionierung ausgerichtet, so dass keine Finanzierungslücke entstehe (E. 3b/bb S. 9).
Die Willkürrüge ist in diesem Punkt berechtigt.
Das offenbar im Hinblick auf die Scheidung erstellte Schreiben des INCA erläutert das "splitting automatico" im Scheidungsfalle und berechnet die Pension augenscheinlich auf der Grundlage, dass das in der Schweiz geäufnete AHV-Guthaben nach Italien überwiesen würde ("pensione determinata con il trasferimento dei contributi AVS"); letztlich unklar bleibt, auf welchen Zeitpunkt sich die errechnete Rente bezieht (sofortige Leistung oder nach Erreichen des gesetzlichen Pensionierungsalters).
Da der Beschwerdeführer in Italien einen Vorpensionierungsantrag gestellt hat, muss wohl davon ausgegangen werden, dass er eine Altersrente nicht voraussetzungslos erhält. Alle diese Fragen harren der Klärung. Solange die zuständigen Behörden nicht über den Vorpensionierungsantrag des Beschwerdeführers entschieden haben, erscheint es allerdings als unhaltbar, ihm bereits heute eine Rente anzurechnen, selbst wenn diese rückwirkend ausgerichtet wird; der Vorpensionierungsantrag könnte auch abgelehnt werden, jedenfalls hat das Obergericht nirgends festgestellt, dass die Voraussetzungen einer Vorpensionierung und damit des (rückwirkenden) Rentenanspruchs erfüllt sind.
Der Beschwerdeführer verweist ferner auf eine IV-Rente, die er in der Schweiz angeblich hätte geltend machen sollen und ihm im festgestellten Betrag von Fr. 1'777.-- pro Monat willkürlich angerechnet werden könnte. Im erstinstanzlichen Massnahmenentscheid ist zwar die Rede von einer IV-Rente (vgl. E. 1b S. 4 des Rekursentscheids), doch hat das Obergericht darauf nicht abgestellt. Im vorliegenden Verfahren erübrigen sich damit eingehende Erörterungen. Mit Blick auf die Neubeurteilung drängt sich lediglich der Hinweis auf, dass für einen Anspruch gegenüber der Invalidenversicherung das Abkommen zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Italienischen Republik über Soziale Sicherheit (SR 0.831. 109.454. 2) mit Zusatzabkommen (SR 0.831. 109.454. 22) und Zusatzvereinbarungen (SR 0.831. 109.454. 21 und .24) zu berücksichtigen sein dürften.
5.- Aus den dargelegten Gründen muss die staatsrechtliche Beschwerde gutgeheissen werden. Sie ist in zwei Punkten begründet. Das Obergericht wird neu zu beurteilen haben, ob und in welchem Umfang dem Beschwerdeführer ein zumutbares Erwerbseinkommen - vom Gesundheitszustand abgesehen (E. 3 hiervor) - tatsächlich möglich ist (E. 2 hiervor) und wie es sich mit dem angerechneten Mietertrag (E. 4b hiervor) und den geltend gemachten Rentenansprüchen im Einzelnen verhält (E. 4c hiervor). Die Beschwerdegegnerin unterliegt und wird damit kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 1 und 2 OG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (Art. 152 OG). Sie ist nachgewiesenermassen mittellos und von der Sozialfürsorge abhängig; zwar hat sie nach eigenen Angaben zwischenzeitlich ihren Güterrechtsanteil von Fr. 15'000.-- erhalten, doch ist ihr dieser Betrag als Notreserve zu belassen (vgl. die Nachweise bei Bühler, Die Prozessarmut, in: Gerichtskosten, Parteikosten, Prozesskaution, unentgeltliche Prozessführung, Bern 2001, S. 131 ff., S. 155). Als Beschwerdegegnerin kann ihr die Aussichtslosigkeit des gestellten Rechtsbegehrens nicht entgegengehalten werden, zu dessen Erhebung und Begründung sie fraglos auf anwaltliche Hilfestellung angewiesen gewesen ist (Geiser, Grundlagen, in: Prozessieren vor Bundesgericht,
2. A. Basel 1998, N. 1.42 S. 21 f. und S. 23). Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege befreit nicht von der Bezahlung der Entschädigung an die Gegenpartei (<ref-ruling> E. 2c S. 324/325; Geiser, a.a.O., N. 1.41 S. 20).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, und der Rekursentscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 27. Juli 2001 wird aufgehoben.
2.- Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt, und es wird ihr Rechtsanwalt Markus Wydler, Im Lindenhof, Postfach 41, 9320 Arbon, als amtlicher Vertreter bestellt.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt, indessen vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.- Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
5.- Rechtsanwalt Markus Wydler, Im Lindenhof, Post- fach 41, 9320 Arbon, wird als amtlichem Vertreter der Beschwerdegegnerin aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
6.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 18. Februar 2002
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: