Sachverhalt:
A. Die 1982 geborene H._ war als Malerin bei der Personalberatung R._GmbH angestellt und bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie sich bei einem Motorradunfall am 30. Juni 2004 eine Trümmerfraktur des linken Vorderarms und eine Klavikulafraktur zuzog. Die SUVA erbrachte in der Folge die gesetzlichen Leistungen. Nach einer erneuten Fraktur der Klavikula am 7. März 2006 und einer Rückfallmeldung am 28. Juni 2007 sprach die SUVA H._ mit Verfügung vom 9. Oktober 2007 eine Integritätsentschädigung zu, ausgehend von einer Integritätseinbusse von 5 %. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 4. Dezember 2007 fest.
B. Hiegegen liess H._ Beschwerde erheben und am 25. Juni 2008 einen Bericht der Neurologin Dr. med. S._, vom 6. Juni 2008 sowie ein orthopädisches Privatgutachten des Dr. med. J._ vom 12. Juni 2008 einreichen. Letzterer schätzte den Integritätsschaden auf 42.5 %. Am 15. September 2008 reichte die SUVA eine ärztliche Beurteilung von Dr. med. L._, Facharzt für orthopädische Chirurgie, Versicherungsmedizin SUVA, vom 6. August 2008 ein. Dazu nahm Dr. med. J._ am 25. November 2008 erneut Stellung. Mit Entscheid vom 29. Oktober 2009 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab.
C. Mit Beschwerde lässt H._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und die Ausrichtung einer Integritätsentschädigung basierend auf einem Integritätsschaden von mindestens 20 % beantragen. Eventualiter sei die Sache zur Einholung eines verwaltungsunabhängigen medizinischen Gutachtens zurückzuweisen. Die SUVA sei zudem zu verpflichten, die Kosten des Privatgutachtens von Dr. med. J._ zu bezahlen. Ferner wird um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ersucht.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Unter Berücksichtigung der für Beschwerden bestehenden allgemeinen Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es indessen grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese letztinstanzlich nicht mehr aufgegriffen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2. Streitig und zu prüfen ist die Höhe des Integritätsschadens. In Bezug auf die Verneinung eines Rentenanspruchs ist die Verfügung der Beschwerdegegnerin vom 19. Oktober 2007 demgegenüber unangefochten in Rechtskraft erwachsen (<ref-ruling>).
2.1 Das kantonale Gericht hat die Bestimmung über die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers (<ref-law>) und die Grundsätze über den Anspruch sowie die Bemessung der Integritätsentschädigung richtig dargelegt (Art. 24 und 25 UVG; <ref-law> sowie Anhang 3 zur UVV). Darauf wird verwiesen.
Zu ergänzen ist, dass bei Entscheiden gestützt ausschliesslich auf versicherungsinterne ärztliche Beurteilungen, die im Wesentlichen oder ausschliesslich aus dem Verfahren vor dem Sozialversicherungsträger stammen, an die Beweiswürdigung strenge Anforderungen zu stellen sind. Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der ärztlichen Feststellungen, ist eine versicherungsexterne medizinische Begutachtung im Verfahren nach <ref-law> oder ein Gerichtsgutachten anzuordnen (<ref-ruling> E. 4 S. 467 ff., 122 V 157 E. 1d S. 162).
2.2 SUVA-Kreisarzt Dr. med. M._, Facharzt für Chirurgie, vermerkte in der ärztlichen Abschlussuntersuchung vom 25. September 2007 als Folgen des Unfallereignisses vom 30. Juni 2004 eine Bewegungseinschränkung am Ringfinger und am Handgelenk links, eine Kraftminderung am linken Unterarm, Narben am Unterarm über dem Schlüsselbein sowie über dem Beckenkamm links und radiologische Veränderungen. Den Integritätsschaden schätzte er auf 5 %. Zur Begründung gab er an, für die einzelnen Verletzungsfolgen der Beschwerdeführerin wiesen die massgeblichen SUVA-Tabellen keine Integritätsschadensangaben aus. Im Quervergleich z.B. mit einer mässigen Handgelenksarthrose erscheine ihm jedoch der gesamte Integritätsschaden der linken oberen Extremität einschliesslich des Schlüsselbeins mit 5 % als angemessen.
2.3 Die Beschwerdeführerin machte zunächst geltend, der Kreisarzt habe die Verletzungsfolgen nur ungenügend berücksichtigt, indem er zum einen die sich aus den Akten ergebenden Hinweise wie die mögliche Bildung einer Arthrose und eine Knochenheilungsstörung nicht aufgenommen habe und zum anderen in seiner Abschlussuntersuchung unfallbedingte Schädigungen erwähne, welche er bei der Beurteilung des Integritätsschadens in willkürlicher Weise ausser Acht gelassen habe, wie das Taubheitsgefühl an Unterarm und Hand, die verminderte Belastbarkeit der linken Schulter, die Verminderung des Tastsinns an Daumen, Zeige- und Mittelfinger sowie Schmerzen und Schwellungen im Bereich des Ringfingers und des Handgelenks. Die Beschwerdegegnerin habe sich mit diesen Vorbringen in der Einsprache nicht auseinandergesetzt.
Im Einspracheentscheid vom 4. Dezember 2007 führte die Beschwerdegegnerin aus, in den Akten befände sich keine von Kreisarzt Dr. med. M._ abweichende ärztliche Beurteilung des Integritätsschadens und die Erhöhung des Integritätsschadens könne sich nicht auf die Einschätzung einer Fachperson stützen. Daraufhin veranlasste die Beschwerdeführerin ein Gutachten bei Dr. med. J._. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin sei dieses Gutachten geeignet, die Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der ärztlichen Feststellungen von Dr. med. M._ arg in Zweifel zu ziehen und zu erschüttern.
2.4 Die Vorinstanz kam in Würdigung der medizinischen Beurteilungen der SUVA und des Privatgutachtens von Dr. med. J._ zum Schluss, die Einschätzung des SUVA-Arztes, den Integritätsschaden mit 5 % zu bemessen, sei verhältnismässig. Der Integritätsschaden im Privatgutachten in der Höhe 42.5 % sei hingegen nicht nachvollziehbar, da dies einer fast völligen Gebrauchsunfähigkeit des linken Arms entspräche.
2.4 Die Vorinstanz kam in Würdigung der medizinischen Beurteilungen der SUVA und des Privatgutachtens von Dr. med. J._ zum Schluss, die Einschätzung des SUVA-Arztes, den Integritätsschaden mit 5 % zu bemessen, sei verhältnismässig. Der Integritätsschaden im Privatgutachten in der Höhe 42.5 % sei hingegen nicht nachvollziehbar, da dies einer fast völligen Gebrauchsunfähigkeit des linken Arms entspräche.
2.5 2.5.1 Dr. med. J._ erhob in seinem orthopädischen Gutachten im Auftrag der Beschwerdeführerin am 12. Juni 2008 mit Verweis auf die zusätzlich am 7. und 13. März 2008 vorgenommenen bildgebenden Abklärungen als Hauptbefund im linken Handgelenk ein radiologisch ausgewiesenes Ausweichen der verlängerten Ulna nach distal und nach dorsal im Sinne einer posttraumatischen relativen Verlängerung gegenüber dem Radius. Eine ulnocarpale und eine radioulnare Arthrose durch Sprengung dieses Gelenks seien damit vorprogrammiert. Eine schwere, von ulnar beginnende Handgelenksarthrose, die zu einem prothetischen Ersatz des Ulnaköpfchens und/oder zu einer Teilarthrodese führen werde, dürfte nach seiner Einschätzung in knapp zehn Jahren Tatsache sein. Unter Berücksichtigung der programmierten Verschlechterung schätzte er den Integritätsschaden für die Befunde an der linken Hand ausgehend von einer schweren Handgelenksarthrose gemäss SUVA-Tabelle 5 (Integritätsschaden bei Arthrosen) auf 25 %. Für die Funktionsstörung der linken Schulter sei ein Integritätsschaden von 10 % und für die deutliche Schädigung des Nervus medianus ein Integritätsschaden von 7.5 % gemäss SUVA-Tabelle 1 (Integritätsschaden bei Funktionsstörungen an den oberen Extremitäten) angemessen.
2.5.2 In einer Aktenbeurteilung vom 6. August 2008 hielt Dr. med. L._, Facharzt für orthopädische Chirurgie, Versicherungsmedizin SUVA, fest, der von Dr. med. J._ erhobene Befund entspreche sicher einer Präarthrose, jedoch noch nicht einer Arthrose. Es handle sich um eine leichte bis knapp mässige Instabilität, verbunden mit entsprechenden Funktionseinschränkungen und Kraftminderungen, welche gemäss SUVA-Tabelle 6 (Integritätsschaden bei Gelenkinstabilitäten) einen Integritätsschaden von 3 % rechtfertige. Zur schweren Arthrose, welche Dr. med. J._ prognostizierte, gab er an, es könne nicht vorhergesagt werden, wann und vor allem in welchem Ausmass sich eine solche Arthrose entwickle. Das residuelle sensible Carpaltunnelsyndrom müsse zudem aufgrund des geringfügigen sensiblen Ausfalls mit 2 % geschätzt werden. Im Schultergelenk liege schliesslich keine Funktionseinschränkung mehr vor. Der von Dr. med. J._ geschätzte Integritätsschaden von 42.5 % sei im Quervergleich mit anderen Integritätsschäden weit entfernt von der Realität.
2.5.3 Am 25. November 2008 führte Dr. med. J._ schliesslich aus, man dürfe sicher diskutieren, wie schwer die Arthrose an der linken Hand und deren Verschlimmerung richtigerweise einzuschätzen sei. Es verbleibe jedoch klar ein geschädigtes linkes Handgelenk und nicht nur eine Instabilität im mässigen Bereich mit einem Integritätsschaden von 3 %. Aufgrund der vorgefundenen Situation mit Einbezug der Verschlimmerung sei die Handgelenksarthrose zwischen mässig und schwer einzuschätzen, was einen Integritätsschaden von 15 % ergebe. Zudem halte er an seiner Beurteilung des Integritätsschadens für die linke Schulter fest. Es bestünden hier Einschränkungen für das Tragen von Lasten. Das Gewichtslimit betrage 10 Kilogramm. Auch die Einschätzung des Integritätsschadens von 7.5 % für das Carpaltunnelsyndrom halte er weiterhin für gerechtfertigt. Dr. med. S._ habe nicht ein geringfügiges, sondern ein mässiggradiges sensibles Carpaltunnelsyndrom mit fixiertem sensiblem Defizit links vorgfunden.
2.5.3 Am 25. November 2008 führte Dr. med. J._ schliesslich aus, man dürfe sicher diskutieren, wie schwer die Arthrose an der linken Hand und deren Verschlimmerung richtigerweise einzuschätzen sei. Es verbleibe jedoch klar ein geschädigtes linkes Handgelenk und nicht nur eine Instabilität im mässigen Bereich mit einem Integritätsschaden von 3 %. Aufgrund der vorgefundenen Situation mit Einbezug der Verschlimmerung sei die Handgelenksarthrose zwischen mässig und schwer einzuschätzen, was einen Integritätsschaden von 15 % ergebe. Zudem halte er an seiner Beurteilung des Integritätsschadens für die linke Schulter fest. Es bestünden hier Einschränkungen für das Tragen von Lasten. Das Gewichtslimit betrage 10 Kilogramm. Auch die Einschätzung des Integritätsschadens von 7.5 % für das Carpaltunnelsyndrom halte er weiterhin für gerechtfertigt. Dr. med. S._ habe nicht ein geringfügiges, sondern ein mässiggradiges sensibles Carpaltunnelsyndrom mit fixiertem sensiblem Defizit links vorgfunden.
2.6 2.6.1 Den vorliegenden medizinischen Unterlagen lassen sich zwei unterschiedliche Einschätzungen des Integritätsschadens zwischen den versicherungsinternen Ärzten und dem Parteigutachter Dr. med. J._ entnehmen. Die Ausführungen von Dr. med. L._ in der Stellungnahme vom 6. August 2008 als Reaktion auf das Privatgutachten erweisen sich in mehrfacher Hinsicht als begründet.
Wie er richtig angibt, ist ein Integritätsschaden von insgesamt 42.5 %, wie ihn Dr. med. J._ in seinem Gutachten zunächst postulierte, im Quervergleich mit anderen Integritätsschäden zu hoch.
Aus der Belastungseinschränkung der linken Schulter mit einem Traglimit von 10 Kilogramm kann keine Einschränkung der Schulterbeweglichkeit bis 30° über der Horizontalen gemäss Tabelle 1 (Integritätsschaden bei Funktionsstörungen an den oberen Extremitäten) der von der SUVA in Ergänzung zur bundesrätlichen Skala von Anhang 3 zur UVV aufgestellten Richtwerte (<ref-ruling> E. 1c S. 32) gefolgert werden. Eine Einschränkung der Beweglichkeit liegt nicht vor.
Die Beurteilung des Carpaltunnelsyndroms durch Dr. med. L._ erweist sich ebenfalls als begründet und schlüssig. Ausgehend von einer distalen kompletten Medianuslähmung mit Befall der intrinsischen Handmuskulatur beträgt der Integritätsschaden gemäss SUVA-Tabelle 1 insgesamt 15 %. Die von Dr. med. L._ vorgenommene Unterteilung in motorische und sensible Anteile je zur Hälfte und die daraus folgende Beurteilung eines vollständigen Sensibilitätsausfalls mit einem Integritätsschaden von 7.5 % stellt keinen Ermessensmissbrauch dar, ebenso wenig wie die Schätzung des Integritätsschadens auf 2 % bei einem vorhandenen geringfügigen sensiblen Ausfall. Der Hinweis von Dr. med. J._ auf ein mässiggradiges Carpaltunnelsyndrom steht nicht im Widerspruch zur Beurteilung von Dr. med. L._, welcher ein geringfügiges Carpaltunnelsyndrom erwähnte. Ein vollständiger Sensibilitätsausfall, welcher dem von Dr. med. J._ geschätzten Integritätsschaden von 7.5 % entspräche, liegt unbestrittenermassen nicht vor.
2.6.2 Dr. med. J._ nahm im Zusammenhang mit den von ihm festgehaltenen arthrotischen Veränderungen an der linken Hand im Vergleich zur Beurteilung von Kreisarzt Dr. med. M._ zusätzliche bildgebende Abklärungen vor und verwies zur Begründung seiner Schätzung des Integritätsschadens auf die dabei erhobenen Befunde und deren Entwicklung seit 2007. So gab er an, der ganze Knochen der linken Hand sei auffällig rarifiziert, der radiokarpale Gelenkspalt zeichne sich durch eine scharfe Linie der radialen Kortikalis aus, Gelenkspalten zur proximalen Handwurzelreihe seien praktisch aufgehoben und gegenüber dem Normalbefund auf der rechten Seite verschmälert. Es finde sich hier das Bild einer beginnenden arthrotischen Veränderung, wie es im Buche stehe. Zudem sei bereits im September 2007 ein Radius mit sklerosierter Gelenkfläche festgestellt worden. Wenn bei Dr. med. L._ die Gelenkfläche im Jahr 2008 immer noch sklerosiert sei, dürfte klar sein, dass es sich hier um eine Arthrose handle, anderweitig sich die Sklerose längst erholt hätte.
Unter Berücksichtigung der strengen Anforderungen, welche an die Beweiswürdigung bei versicherungsinternen ärztlichen Beurteilung zu stellen sind (vgl. E. 2.1 hievor), müssen gestützt auf diese Ausführungen von Dr. med. J._ hinreichende Zweifel an der Beurteilung der Integritätsschadenshöhe durch die versicherungsinternen Ärzte bejaht werden. Die Angaben von Dr. med. J._ können nicht als bloss unbelegte oder als erkennbar falsche Behauptungen qualifiziert werden.
Gemäss <ref-law> sind im Übrigen voraussehbare Verschlimmerungen des Integritätsschadens angemessen zu berücksichtigen, und Revisionen der Integritätsentschädigung sind nur im Ausnahmefall möglich, wenn die Verschlimmerung insbesondere nicht voraussehbar war. Eine voraussehbare Verschlimmerung liegt vor, wenn im Zeitpunkt der Festsetzung der Integritätsentschädigung eine Verschlimmerung als wahrscheinlich prognostiziert und damit auch geschätzt werden kann. Die blosse Möglichkeit einer Verschlimmerung des Integritätsschadens genügt hingegen nicht (vgl. RKUV 1995 Nr. U 228 S. 192, U 23/93 E. 3a). Diese Prognose im Sinne einer fallbezogenen medizinischen Beurteilung über die voraussichtliche künftige Entwicklung der Gesundheitsbeeinträchtigung ist, genauso wie die Beurteilung der einzelnen Integritätsschäden an sich (RKUV 1998 Nr. U 296 S. 235, U 245/96 E. 2d; Urteil U 121/06 vom 23. April 2007 E. 4.2), eine Tatfrage, die ein Mediziner zu beurteilen hat (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398; Urteil 8C_459/2008 vom 4. Februar 2009 E. 2.3). Auch hier liegen vorliegend zwei unterschiedliche medizinische Ansichten vor. Während Dr. med. L._ eine prognostizierbare Verschlimmerung der Befunde verneint, wird für Dr. med. J._ eine solche voraussehbar eintreten.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde hat die Beschwerdegegnerin damit eine fachärztliche, unabhängige Begutachtung zu veranlassen, um diese widersprüchlichen medizinischen Ansichten zu klären und hernach über den Anspruch auf Integritätsentschädigung neu zu verfügen.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin beantragt die Übernahme der Kosten für das Privatgutachten von Dr. med. J._ in der Höhe von Fr. 7'500.- durch die Beschwerdegegnerin.
3.2 Gemäss <ref-law> hat die obsiegende beschwerdeführende Person Anspruch auf Ersatz der Parteikosten. Diese werden vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen. Nach der Rechtsprechung sind unter dem Titel Parteientschädigung auch die notwendigen Kosten privat eingeholter Gutachten zu vergüten, soweit die Parteiexpertise für die Entscheidfindung unerlässlich war (<ref-ruling> E. 5c S. 63). Die Vorinstanz, an welche die Sache zu diesem Zweck zurückzuweisen ist, wird über die Neuverlegung der Parteientschädigung einschliesslich der Kosten des Privatgutachtens entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Verfahrens entscheiden.
4. Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu erneuter Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235; Urteil 8C_671/2007 vom 13. Juni 2008 E. 4.1). Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten daher der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Der obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin steht eine Parteientschädigung zu. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung wird gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. Oktober 2009 und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) vom 4. Dezember 2007 werden aufgehoben. Die Sache wird an SUVA zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Integritätsentschädigung neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. September 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Kathriner