Fatti:
A. La clinica A._SA ha licenziato B._, alle sue dipendenze quale infermiera dal 10 dicembre 1990, con effetto al 30 novembre 2009.
Il 25 maggio 2010 B._ ha convenuto in giudizio innanzi al Pretore della giurisdizione di Locarno Città la sua ex datrice di lavoro per ottenere il pagamento di fr. 4'271.--, differenza fra quanto effettivamente percepito (fr. 8'053.60) e quanto invece ritenuto dovuto (fr. 12'324.70) per il lavoro notturno e festivo svolto dal mese di maggio 2005 al mese di novembre 2009. L'8 aprile 2011 il Pretore ha accolto l'azione limitatamente a fr. 2'623.05, oltre interessi, per l'attività lavorativa effettuata nei giorni festivi.
B. La Camera civile dei reclami del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha respinto con sentenza 2 aprile 2012 il reclamo presentato dalla clinica A._SA. La Corte cantonale non ha ritenuto arbitrario l'accertamento secondo cui la lavoratrice ha svolto regolarmente negli ultimi 4 anni di attività ore di lavoro nei giorni festivi, ragione per cui ha confermato che la relativa indennità va pure corrisposta, in applicazione dell'<ref-law>, durante le vacanze e le assenze per malattia.
C. La clinica A._SA è insorta al Tribunale federale con un ricorso in materia civile del 15 maggio 2012 con cui postula, previo conferimento dell'effetto sospensivo al gravame, l'annullamento della sentenza cantonale e la reiezione dell'azione. Giustifica l'ammissibilità del ricorso affermando che la controversia riguarda una questione di diritto di importanza fondamentale. Sostiene di essere un ospedale riconosciuto a livello cantonale e di dover sottostare a un regime di finanziamento basato su tariffe forfettarie come tutti gli altri istituti che assolvono un mandato di diritto pubblico nel settore delle cure ospedaliere e ritiene per questo motivo di non soggiacere - alla stregua delle case di cura sottoposte al diritto pubblico - a quanto disposto dall'<ref-law>. La soluzione contraria violerebbe la parità di trattamento, la libertà economica e di concorrenza. Afferma infine che in ogni caso l'applicazione della citata norma del CO al rapporto di lavoro con l'attrice violerebbe il diritto federale e poggerebbe su un accertamento dei fatti manifestamente inesatto, atteso che tale rapporto non poteva in alcun caso essere paragonato alle condizioni che vigono in un "Call Center" come quello di cui alla <ref-ruling>.
La Presidente della Corte adita ha respinto, con decreto dell'11 giugno 2012, la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo al ricorso.
Con risposta 18 giugno 2012 B._ propone la reiezione del gravame. Il 5 luglio 2012 la ricorrente ha spontaneamente presentato una replica seguita il 24 luglio 2012 da una duplica dell'opponente.

Diritto:
1. Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con potere pieno l'ammissibilità del gravame (<ref-ruling> consid. 3 con rinvii).
1.1 La sentenza impugnata è stata emanata su ricorso dal tribunale di ultima istanza del Cantone Ticino in una causa civile. Nella fattispecie è pacifico che il valore di lite non raggiunge la soglia di fr. 15'000.-- prevista dall'<ref-law> per l'inoltro di un ricorso in materia civile in una controversia in materia di diritto del lavoro. La ricorrente reputa tuttavia tale rimedio di diritto ammissibile, perché la controversia concernerebbe una questione di diritto di importanza fondamentale nel senso dell'<ref-law>. Essa indica, a sostegno di tale assunto, che l'<ref-law> è unicamente applicabile ai rapporti di diritto privato e assevera di essere un istituto di cura autorizzato ad esercitare a carico dell'assicurazione obbligatoria contro le malattie e tenuto a sottostare al cosiddetto sistema di finanziamento DRG (Diagnosis Related Groups). Per tale motivo la ricorrente reputa che in concreto debba essere deciso se le "possano essere applicate sia le disposizioni di diritto pubblico relative al regime di finanziamento tariffale degli ospedali che quelle di diritto privato" in materia di contratto di lavoro, questione che considera essere di importanza fondamentale.
Ora, nel predetto quesito la ricorrente dà apoditticamente per acquisita una fattispecie (il mandato di diritto pubblico a cui essa sarebbe sottoposta e le relative modalità di finanziamento) non accertata dalla Corte cantonale. Così facendo, essa dimentica che, giusta l'<ref-law>, il Tribunale federale fonda la sua sentenza sull'accertamento dei fatti dell'autorità inferiore e può scostarsene se questo si è svolto in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto (<ref-law>) e che la parte che non intende basarsi sulle constatazioni dell'autorità inferiore deve spiegare in maniera circostanziata per quale motivo ritiene che le condizioni di una delle due eccezioni previste dall'<ref-law> siano realizzate, non potendosi altrimenti tener conto di una fattispecie diversa da quella indicata nella sentenza impugnata (<ref-ruling> consid. 6.2). La fattispecie posta a fondamento dell'esposizione ricorsuale non può nemmeno essere considerata ammissibile in virtù dell'<ref-law>. Infatti, avanti al Tribunale federale possono essere addotti nuovi fatti e nuovi mezzi di prova soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore, ciò che incombe alla parte di spiegare (<ref-ruling> consid. 3). La norma non intende permettere a una parte di addurre nuovi fatti o produrre nuovi mezzi di prova per sanare in tal modo la propria negligenza (<ref-ruling> consid. 4.4.3).
Ne discende che la predetta argomentazione, fondata su fatti che non risultano dalla sentenza impugnata senza che siano adempiuti i presupposti che permettono al Tribunale federale di scostarsi dagli accertamenti effettuati dai giudici cantonali, è del tutto inidonea a giustificare una deroga al requisito del valore di lite minimo previsto dalla LTF per l'inoltro di un ricorso in materia civile. Quest'ultimo si rivela pertanto inammissibile e le pretese violazioni di leggi federali abbozzate nel gravame non possono essere in concreto esaminate.
1.2 Occorre quindi verificare se il gravame può essere trattato quale ricorso sussidiario in materia costituzionale ai sensi dell'<ref-law>, atteso che un'errata denominazione dell'impugnativa non nuoce al ricorrente se i presupposti previsti per l'inoltro di un altro rimedio sono adempiuti (sentenza 5A_342/2009 del 4 dicembre 2009 consid. 1.2, non pubblicato in <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 1.3). Con un ricorso sussidiario in materia costituzionale è unicamente possibile censurare la violazione di diritti costituzionali (<ref-law>). Il Tribunale federale esamina la violazione di tali diritti soltanto se il ricorrente ha sollevato e motivato tale censura (<ref-law> richiamato dall'<ref-law>) e fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (<ref-law>). Esso può unicamente rettificare o completare l'accertamento dei fatti operato dalla predetta autorità se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> (<ref-law>).
Ora, una conversione del gravame da ricorso in materia civile in ricorso sussidiario in materia costituzionale appare esclusa perché il rimedio non soddisfa le predette esigenze di motivazione. La ricorrente menziona unicamente dei diritti costituzionali quando afferma che sarebbe vittima di "una disparità di trattamento per rapporto agli altri istituti di cura riconosciuti a livello cantonale, rispettivamente di un'inaccettabile violazione dei principi dell'uguaglianza giuridica (cfr. 8 Cost. fed.) e della libertà economica (cfr. <ref-law> fed.)", se venisse astretta a sottostare sia alle norme di diritto pubblico in materia di rimunerazione delle cure ospedaliere, sia alle disposizioni del diritto privato in materia di versamento del salario. Tuttavia anche tale argomentazione si basa in maniera apodittica sulla predetta fattispecie già inammissibilmente posta a fondamento dell'asserita proponibilità del ricorso in materia civile, senza che nel gravame sia stato preteso che gli accertamenti di fatto effettuati dalla Corte cantonale siano stati svolti in maniera incostituzionale.
2. Da quanto precede discende che il ricorso si rivela inammissibile. Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 65 cpv. 4 lett. c, 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è inammissibile.
2. Le spese giudiziarie di fr. 600.-- sono poste a carico della ricorrente, che rifonderà all'opponente fr. 700.-- a titolo di ripetibili della procedura innanzi al Tribunale federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla Camera civile dei reclami del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.