Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss vom 8. Mai 2012 des Obergerichts des Kantons Zürich, das unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer auf dessen Beschwerde gegen die Sistierung eines Verfahrens nach <ref-law> (Streitwert rund Fr. 11'500.--) nicht eingetreten ist,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Beschluss des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass das Gesuch des Beschwerdeführers um Verfahrensvereinigung in Anbetracht der Verschiedenheit der angefochtenen Entscheide abzuweisen ist,
dass sodann in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Beschluss vom 8. Mai 2012 erwog, einerseits erhebe der Beschwerdeführer lediglich eventualiter Beschwerde, was unzulässig sei, anderseits habe der Beschwerdeführer selbst die Verfahrenssistierung beantragt, weshalb er durch den vorinstanzlichen Entscheid nicht beschwert sei, ferner bringe er nichts Bestimmtes gegen die Sistierung vor, schliesslich sei für das Beschwerdeverfahren das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege nicht erneuert worden, weshalb insofern nichts zu entscheiden sei, der Beschwerdeführer werde ausgangsgemäss kostenpflichtig,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht rechtsgenüglich auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass er erst recht nicht anhand dieser Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert aufzeigt, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den Beschluss des Obergerichts vom 8. Mai 2012 verletzt sein sollen,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass mit dem Beschwerdeentscheid das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung gegenstandslos wird,
dass dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Verfassungsbeschwerde nicht gewährt werden kann (<ref-law>),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>) und keine Parteientschädigung zugesprochen erhält,
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und das präsidierende Abteilungsmitglied zuständig ist,

erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Das Gesuch um Verfahrensvereinigung wird abgewiesen.
2. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dem Beschwerdeführer wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juni 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Füllemann