Sachverhalt:
A.
Am 14. November 2012 erhob X._ gegen Y._, Regierungsrätin des Kantons Zürich, und weitere Personen Strafanzeige wegen "Nötigung, Drohung, Erpressung, Amtsmissbrauch, schwerer oder einfacher Körperverletzung, Urkundenfälschung (Falschbeurkundung) im Amt, Verletzung des Amtsgeheimnisses, Begünstigung, arglistiger Vermögensschädigung".
B.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl stellte die Strafanzeige der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich zu. Sie beantragte, es sei ein Verfahren betreffend Ermächtigung zur Strafuntersuchung gegen Y._ einzuleiten, wobei nach summarischer Prüfung kein deliktsrelevanter Verdacht vorliege. Die Oberstaatsanwaltschaft verfügte am 13. Dezember 2012 die Überweisung an die Geschäftsleitung des Kantonsrates. Diese wies mit Beschluss vom 21. Februar 2013 das Gesuch von X._ um Erteilung der Ermächtigung zu einer Strafverfolgung als offensichtlich unbegründet von der Hand.
C.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt X._, in Aufhebung des Beschlusses der Geschäftsleitung des Kantonsrates sei diese anzuweisen, das Ermächtigungsgesuch an die Hand zu nehmen und dem Kantonsrat zur Abstimmung zu unterbreiten; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung und Begründung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem werden prozessuale Begehren betreffend Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens, Gewährung der Akteneinsicht sowie Wiederherstellung der Beschwerdefrist resp. Einräumung der Gelegenheit zur ergänzenden Stellungnahme gestellt. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung und Prozessführung ersucht.
Y._, die Oberstaatsanwaltschaft und die Geschäftsleitung des Kantonsrates verzichten auf eine Vernehmlassung. Nach wahrgenommener Akteneinsicht nimmt X._ mit Eingabe vom 8. Juli 2013 nochmals Stellung.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid steht ausschliesslich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (Art. 113 in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 273; <ref-ruling> E. 1 S. 115 ff.). Die Voraussetzungen für das Eintreten auf diese (vgl. <ref-law>) sind erfüllt.
2.
Das Sistierungsbegehren ist, wie der Beschwerdeführer in der Eingabe vom 8. Juli 2013 bestätigt, gegenstandslos geworden. Gleiches gilt für die Anträge betreffend Akteneinsicht und ergänzende Stellungnahme; der Beschwerdeführer erhielt die Gelegenheit zu beidem.
3.
Einziger Beschwerdegrund bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) ist die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte nur, wenn diese Rüge gemäss den Anforderungen von <ref-law> ausdrücklich vorgebracht und klar und detailliert begründet wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 334 mit Hinweisen).
4.
Im Kanton Zürich setzt die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen (u.a.) ein Mitglied des Regierungsrates wegen in Ausübung des Amtes begangener Verbrechen oder Vergehen voraus, dass der Kantonsrat die Ermächtigung erteilt (<ref-law> in Verbindung mit § 38 Abs. 1 des Kantonsratsgesetzes vom 5. April 1981 [KRG]; <ref-ruling> E. 1 S. 115 f.). § 38 Abs. 2 KRG regelt das Verfahren und sieht namentlich auch vor, dass die Geschäftsleitung des Kantonsrates offensichtlich unbegründete Anzeigen und Ermächtigungsgesuche selbstständig von der Hand weisen kann.
Das Ermächtigungserfordernis soll Behördenmitglieder und Beamte namentlich vor mutwilliger Strafverfolgung schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherstellen. Dabei darf vorausgesetzt werden, dass eine Kompetenzüberschreitung oder ein gemessen an den Amtspflichten missbräuchliches Verhalten oder ein sonstiges Verhalten, das strafrechtliche Konsequenzen zu zeitigen vermag, in minimaler Weise glaubhaft erscheint, mithin genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen (Urteil 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 3.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.3 S. 277).
5.
Die Beschwerdegegnerin untersteht als Regierungsrätin unstreitig der dargelegten Ermächtigungsregelung.
Die Vorinstanz hat erwogen, der Beschwerdeführer sei offensichtlich mit Mahnungen, Betreibungen und Rechtsöffnungsverfahren, welche das kantonale Amt für Jugend und Berufsberatung erlassen resp. angehoben habe, nicht einverstanden. Inwiefern sich die Beschwerdegegnerin, die an den Handlungen des Amtes für Jugend und Berufsberatung offenbar überhaupt nicht beteiligt gewesen sei, dadurch eines strafbaren Verhaltens schuldig gemacht haben solle, werde aber nicht ansatzweise dargelegt. Der Strafanzeige könnten somit keinerlei konkrete Anhaltspunkte für ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Beschwerdegegnerin entnommen werden. Das Begehren des Beschwerdeführers um Erteilung der Ermächtigung zu einer Strafverfolgung sei offensichtlich unbegründet und demzufolge in Anwendung von Art. 38 Abs. 2 KRG von der Hand zu weisen.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer wendet ein, es liege kein Antrag der Justizkommission nach § 38 Abs. 2 KRG vor. Er legt aber nicht dar, inwiefern dadurch seine verfassungsmässigen Rechte verletzt worden sein sollen. Erst recht wird nicht mit einer solchen Rechtsverletzung begründet, weshalb der vorinstanzliche Entscheid, wie vom Beschwerdeführer postuliert, geradezu nichtig sein sollte.
6.2. Auf die Vorbringen betreffend <ref-law> sowie Art. 23 Abs. 1 und Art. 24 Abs. 1 UNO-Pakt II ist nicht weiter einzugehen, da der Beschwerdeführer nicht darlegt, inwiefern diese Bestimmungen durch den vorinstanzlichen Entscheid berührt sein sollen.
6.3. Es ist nicht nachvollziehbar, inwiefern durch den vorinstanzlichen Entscheid das Verbot von Folter und grausamer, unmenschlicher oder erniedrigender Behandlung oder Strafe nach Art. 3 EMRK und Art. 7 UNO-Pakt II oder das Recht auf persönliche Freiheit und Sicherheit nach Art. 9 UNO-Pakt II auch nur ansatzweise tangiert worden sein soll. Die hiezu thematisierten zwei Schreiben der Beschwerdegegnerin gestatten keine andere Betrachtungsweise. Es kann namentlich auch keine Rede davon sein, dass hier Behördengewalt vorliegen soll, welche einen Anspruch des Beschwerdeführers auf eine Strafuntersuchung gegen die Beschwerdegegnerin zu begründen vermöchte. Ist demnach Art. 3 EMRK nicht berührt, fällt auch eine Verletzung des im Zusammenhang mit dieser Bestimmung angerufenen Art. 13 EMRK von vornherein ausser Betracht.
6.4. Gerügt wird weiter, der vorinstanzliche Entscheid verletze die verfahrensrechtlichen Garantien gemäss <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK, Art. 14 UNO-Pakt II und Art. 18 Abs. 2 der Verfassung des Kantons Zürich vom 27. Februar 2005 (KV).
6.4.1. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern der vorinstanzliche Entscheid zivilrechtliche Ansprüche oder Verpflichtungen oder eine gegen ihn erhobene strafrechtliche Anklage im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK resp. Art. 14 UNO-Pakt II beschlagen soll. Die Frage der Anwendbarkeit dieser Bestimmungen muss aber ohnehin nicht abschliessend beantwortet werden, da die durch sie geschützten und hier geltend gemachten Verfahrensrechte durch die Garantien aus <ref-law> abgedeckt werden. Auf die erwähnten völkerrechtlichen Bestimmungen ist daher nicht gesondert einzugehen. Das gilt, aus dem gleichen Grund, auch hinsichtlich Art. 18 Abs. 2 KV.
6.4.2. Im Einzelnen ergibt sich folgendes:
Der Beschwerdeführer beanstandet, die Verfügung der Oberstaatsanwaltschaft vom 13. Dezember 2012 sei ihm nicht zugestellt worden. Er äussert sich aber auch nach wahrgenommener Einsicht in die Akten, und damit auch in die Verfügung, nicht zu letzterer. Die Verfügung beschränkt sich im Übrigen ohnehin auf die Anordnung der Überweisung an die Geschäftsleitung des Kantonsrates. Damit hat es diesbezüglich sein Bewenden.
Nach Lage der Akten sind im vorinstanzlichen Verfahren keine Stellungnahmen oder Antragsstellungen von Beschwerdegegnerin und/oder Justizkommission erfolgt, zu welchen sich der Beschwerdeführer gegebenenfalls hätte äussern können. Die Rüge, die Gelegenheit zur Stellungnahme sei nicht gewährt worden, ist daher von vornherein unbegründet.
Es ist davon auszugehen, dass die Beilagen zur Strafanzeige an die Vorinstanz übermittelt wurden, zumal diese sie dann auch letztinstanzlich aufgelegt hat. Dass die Oberstaatsanwaltschaft die Weiterleitung der Akten nicht ausdrücklich vermerkt hat, stellt dies nicht in Frage. Der Einwand, die Vorinstanz resp. die vermeintlich Antrag stellende Justizkommission habe bei der Entscheidsfindung nicht über diese Akten verfügt, ist daher unbegründet. Was die im gleichen Zusammenhang erwähnte Stellungnahme des Ombudsmannes des Kantons Zürich vom 22. Februar 2013 betrifft, bestätigt der Beschwerdeführer selber, dass diese im - mit Beschluss vom 21. Februar 2013 beendeten - vorinstanzlichen Verfahren gar noch nicht berücksichtigt werden konnte.
Die Begründung des angefochtenen Entscheids genügt den verfassungsrechtlichen Anforderungen. Die Vorinstanz hat hinreichend klar und ausführlich dargelegt, weshalb sie zum Ergebnis gelangt ist, das Ermächtigungsgesuch sei von der Hand zu weisen. Dass sie hiebei nicht ausdrücklich auf die zwei Schreiben der Beschwerdegegnerin Bezug genommen hat, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Entgegen der in der Beschwerde weiter vertretenen Auffassung kann auch keine Rede davon sein, dass die Vorinstanz eine verfassungsrechtlich gebotene Protokollierung unterlassen oder den Anspruch auf Abnahme von entscheidrelevanten Beweisen verletzt hätte. Das gilt namentlich auch hinsichtlich der vom Beschwerdeführer erwähnten Klageantworten (offenbar von ihm verfasste Eingaben in Rechtsöffnungsverfahren), zumal nicht dargetan wird, inwiefern sich daraus Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten der Beschwerdegegnerin ergeben sollten.
Nach dem Gesagten liegt keine Verletzung von verfassungsrechtlich geschützten Verfahrensrechten vor.
6.5. Der Beschwerdeführer macht sodann geltend, die Vorinstanz habe in aktenwidriger Weise Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten der Beschwerdegegnerin sowie für deren Beteiligung an den Handlungen des Amtes für Jugend und Berufsberatung verneint. Indem sie mit dieser aktenwidrigen Begründung § 38 Abs. 2 statt Abs. 1 KRG zur Anwendung gebracht habe, habe sie gegen das Willkürverbot gemäss <ref-law> verstossen.
Der Beschwerdeführer verwies in der Strafanzeige vom 14. November 2012 auf zwei Schreiben der Beschwerdegegnerin, aus welchen sich deren strafbares Verhalten ergebe. In diesen vom 21. Dezember 2010 und 18. April 2011 datierten Schreiben hat sich die Beschwerdegegnerin in Beantwortung mehrerer Schreiben des Beschwerdeführers zu einem Betreibungsverfahren und zu der diesem zugrunde liegenden Darlehensforderung geäussert. Wenn die Vorinstanz weder in diesen Schreiben noch in den diesbezüglichen Ausführungen in der Strafanzeige auch nur geringfügige Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten erkannt hat, ist dies nicht aktenwidrig und jedenfalls nicht willkürlich. Das gilt auch für den Vorwurf des Beschwerdeführers, die Beschwerdegegnerin habe Mitarbeitende des Amtes für Jugend und Berufsberatung vor Strafverfolgung schützen wollen. Dies findet weder in den besagten Schreiben noch anderweitig eine Stütze. Abgesehen davon fehlen ohnehin Anhaltspunkte dafür, dass sich Mitarbeitende des Amtes für Jugend und Berufsberatung in dieser Sache strafbar verhalten hätten (vgl. heutiges Urteil 1C_631/2013 des Bundesgerichts).
6.6. Zusammenfassend ist der angefochtene Entscheid als verfassungsmässig zu betrachten. Die Beschwerde ist abzuweisen. Dabei kann offen bleiben, welche der angerufenen Garantien aus Völkerrecht und Kantonsverfassung überhaupt unter den Begriff der verfassungsmässigen Rechte im Sinne von <ref-law> fallen würden (vgl. Giovanni Biaggini, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 20 f. und N. 22 ff. zu <ref-law>).
7.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (<ref-law>). Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird ausnahmsweise verzichtet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und der Geschäftsleitung des Kantonsrates des Eidgenössischen Standes Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Oktober 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Lanz