Sachverhalt:
A. Im Rahmen des Ehevorbereitungsverfahrens stellten Iris Rose, schweizerisch-französische Doppelbürgerin mit Wohnsitz in der Schweiz, und der in Ungarn wohnhafte Laszlo Losonci mit gemeinsamer Eingabe vom 17. September 2003 beim Zivilstandsamt Kreis Thun das Gesuch, den jeweiligen Nachnamen nach der Eheschliessung beizubehalten. Das Zivilstandsamt wies das Gesuch mit Verfügung vom 2. Oktober 2003 mit der Begründung ab, dass die gewünschte Namensführung nicht den gesetzlichen Regeln entspreche. Gegen die Verfügung erhoben Iris Rose und Laszlo Losonci Beschwerde, welche die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern mit Entscheid vom 12. Mai 2004 abwies.
B. Iris Rose und Laszlo Losonci gelangten am 1. Juni 2004 mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Am 2. Juni 2004 stellten die Brautleute nach <ref-law> das Gesuch, den Namen der Ehefrau als Familiennamen zu führen, welches am 7. Juni 2004 von den zuständigen kantonalen Zivilstandsbehörden bewilligt wurde, und am 23. Juli 2004 verheirateten sie sich. Im Zivilstandsregister wurden der Ehemann mit dem Namen "Losonci Rose geb. Losonci" und die Ehefrau mit dem Namen "Rose" eingetragen. In der Folge beantragten sie gegenüber dem Verwaltungsgericht, dass der Name des Ehemannes gemäss ungarischem Recht mit "Losonci", anstelle des "provisorisch" gewählten (Doppel-) Namens "Losonci Rose" in das Zivilstandsregister einzutragen sei. Mit Urteil des Verwaltungsgerichts (Verwaltungsrechtliche Abteilung) vom 14. Dezember 2004 wurde die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte.
C. Iris Rose und Laszlo Losonci führten Verwaltungsgerichtsbeschwerde und beantragten dem Bundesgericht, es sei das angefochtene Urteil aufzuheben und das Zivilstandstandsamt anzuweisen, im Register als Namen des Ehemannes "Losonci" einzutragen (und den Namen der Ehefrau "Rose" unverändert zu belassen). Mit Urteil 5A.4/2005 vom 24. Mai 2005 wies das Bundesgericht die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab, soweit darauf eingetreten wurde.
D. Daraufhin gelangten Iris Rose und Laszlo Losonci an den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR). Mit Urteil Nr. 664/06 vom 9. November 2010 stellte der EGMR eine Verletzung von Art. 14 i.V.m. Art. 8 EMRK fest. Weiter sprach er eine Entschädigung von EUR 10'000.-- ("pour dommage moral") sowie Ersatz von Partei- und Verfahrenkosten ("pour frais et dépens") im Umfang von EUR 4'515.-- zu. Weitergehende Entschädigungsansprüche wurden abgewiesen.
E. Iris Rose und Laszlo Losonci sind mit Revisionsgesuch vom 19. April 2011 an das Bundesgericht gelangt. Die Gesuchsteller machen Revision wegen Verletzung der EMRK (<ref-law>) geltend. Sie beantragen, es sei im Zivilstandsregister als Name des Ehemannes "Losonci" anstelle von "Losonci Rose" einzutragen. Sodann seien ihnen die im Verfahren vor dem EGMR entstandenen Parteikosten zu ersetzen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern schliesst auf Gutheissung des Revisionsgesuchs, was die Eintragung im Zivilstandsregister betrifft, und beantragt weiter die Abweisung des Gesuchs um Ersatz der Parteikosten für das Verfahren vor dem EGMR.
Mit unaufgefordert eingereichten Schreiben vom 24. Mai und 22. August 2011 beziffern die Gesuchsteller ihre Anwaltskosten für das Verfahren vor dem EGMR auf Fr. 8'268.50.

Erwägungen:
1. 1.1 Das nach dem 1. Januar 2007 eingereichte Gesuch ist aufgrund der <ref-law> zu beurteilen, auch wenn es sich auf einen Entscheid bezieht, der vor diesem Datum ergangen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 162).
1.2 Die Gesuchsteller berufen sich auf den Revisionsgrund gemäss <ref-law>. Danach kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts wegen Verletzung der EMRK verlangt werden. Das Urteil des EGMR vom 9. November 2010 wurde am 9. Februar 2011 endgültig. Das Revisionsgesuch ist fristgerecht eingereicht worden (<ref-law>).
2. Die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts nach <ref-law> kann verlangt werden, wenn der EGMR in einem endgültigen Urteil festgestellt hat, dass die EMRK oder die Protokolle dazu verletzt worden sind (lit. a), eine Entschädigung nicht geeignet ist, die Folgen der Verletzung auszugleichen (lit. b), und die Revision notwendig ist, um die Verletzung zu beseitigen (lit. c; vgl. zu den Voraussetzungen <ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 89 f.; BGE 5F_8/2010 vom 26. Mai 2011 E. 2).
2.1 Das Bundesgericht hat im Urteil vom 24. Mai 2005 im Wesentlichen erwogen, dass die Namensänderung nach <ref-law> in ihrer Wirkung dem schweizerischen Recht (<ref-law>) unterstehe. Das Gesuch der Ehegatten um Namensänderung sei bewilligt worden und habe nach <ref-law> bewirkt, dass der Ehegatte mit der Heirat den Namen der Ehefrau ("Rose") als Familiennamen erworben habe, welchem er seinen Namen "Losonci" vorangestellt habe (<ref-law>, Art. 12 Abs. 1 ZStV). Damit nach schweizerischem Recht eine Ehefrau ausschliesslich ihren Namen behalten könne, sei die Namensänderung nach <ref-law> notwendig, was jedoch für den Ehemann die Folge von <ref-law> mit sich bringe. Das Bundesgericht könne (mit Hinweis auf <ref-law>) keine vom Gesetzgeber verworfene Namensregelung einführen; im Weiteren sei die kritisierte Regelung mit der EMRK nicht unvereinbar.
2.2 Der EGMR hat im Urteil vom 9. November 2010 festgehalten, dass eine Ehefrau mit ausländischer Staatsangehörigkeit nach <ref-law> bei der Eheschliessung den Namen ihrem Heimatrecht unterstellen und (sofern das Heimatrecht dies vorsieht) ausschliesslich ihren Namen behalten könne. Sei hingegen - wie im konkreten Fall - auf den Namen der Ehefrau schweizerisches Recht anwendbar, so werde eine Namensänderung nach <ref-law> notwendig, um zu diesem Ergebnis zu gelangen, mit der umgekehrten Folge, dass der Ehemann zwingend den Namen der Ehefrau als Familiennamen erwerbe. Der EGMR hat erkannt, dass eine Ungleichbehandlung vorliegt, welche ihren Grund einzig im materiellen ehelichen Namensrecht der Schweiz hat, wonach die Ehefrau von Gesetzes wegen den Namen des Ehemannes erwirbt (<ref-law>) und zur Beibehaltung ihres Namens eine behördliche Namensänderung (<ref-law>) erforderlich ist. Diese Regelung habe dazu geführt, dass der Gesuchsteller nach der Heirat nicht einzig seinen Namen habe behalten können (EGMR-Urteil § 49 a.E.). Der Hinweis auf <ref-law> ändere nichts an der völkerrechtlichen Verantwortung der Schweiz, die mit der EMRK nicht vereinbare Ungleichbehandlung zu verhindern. Sodann sei das Gesuch des Ehegatten, nach der Heirat ausschliesslich den eigenen Namen weiterführen zu wollen, zur Achtung des Privatlebens gemäss Art. 8 EMRK erheblich, weil der Name ein zentrales Element der Individualisierung und Identität der Person darstelle.
2.3 Vorliegend hat der EGMR eine Verletzung von Art. 14 i.V.m. Art. 8 EMRK festgestellt (<ref-law>), indem die Schweiz dem Gesuchsteller die Eintragung des Namens "Losonci" nach der Heirat verweigert hat. Trotz der finanziellen Abgeltung, welche der EGMR zugesprochen hat, bleibt die konkrete nachteilige Auswirkung der Konventionsverletzung bestehen (vgl. <ref-law>), da der Gesuchsteller im Zivilstandsregister weiterhin mit dem Namen "Losonci Rose" eingetragen ist. Die Revision des Bundesgerichtsurteils ist notwendig, um die Verletzung zu beseitigen, da jenes Verfahren ohne Konventionsverletzung einen anderen Verlauf genommen hätte (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 91). Insoweit trifft der Revisionsgrund gemäss <ref-law> zu und das Bundesgerichtsurteil vom 24. Mai 2005 (Dispositiv-Ziff. 1) ist aufzuheben (<ref-law>).
2.4 Das Verfahren, das zum Urteil vom 24. Mai 2005 geführt hat, ist wieder aufzunehmen, und die Rechtslage ist zu beurteilen, wie dies ohne die EMRK-Verletzung geschehen wäre (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 164). Nach dem Urteil des EGMR führt die "Schweizer Regelung zu einer Diskriminierung unter binationalen Paaren, je nach dem, ob der Mann oder die Frau die schweizerische Staatsangehörigkeit hat" (§ 53). In der Tat kann die Ehefrau mit ausländischer (nicht doppelter) Staatsangehörigkeit das schweizerische Wohnsitzrecht (<ref-law>) bzw. den gesetzlichen Erwerb des Namens des Ehegatten bei Eheschliessung (<ref-law>) durch Wahl des Heimatrechts vermeiden (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 205). Hat hingegen der Ehemann ausländische Staatsangehörigkeit, so bleibt sein Name nach schweizerischem Wohnsitzrecht - genauso wie in reinen Binnensachverhalten - von der Eheschliessung unberührt. Die schweizerische Ehefrau benötigt zur Beibehaltung ihres Namens eine (gemäss <ref-law> schweizerischem Recht unterstehende) Namensänderung nach <ref-law>. Da der Grund für die Ungleichbehandlung - wie der EGMR festgestellt hat (§ 49) - im materiellen ehelichen Namensrecht (Art. 160 Abs. 1, <ref-law>) liegt, ist dieses konventionskonform anzuwenden. Sowohl für den Ehemann als auch für die Ehefrau muss nach materiellem Recht die Möglichkeit bestehen, den bei der Eheschliessung getragenen Namen behalten zu können. Dies führt hier zum Ergebnis, dass der Ehemann nicht gegen seinen Willen den Namen der Ehefrau ("Rose") als Familiennamen führen muss, sondern seinen bisherigen Namen ("Losonci") behalten kann. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde - nunmehr als Beschwerde in Zivilsachen zu behandeln - ist antragsgemäss gutzuheissen.
2.5 Der EGMR hat den Gesuchstellern im Verfahren, das zum Urteil vom 9. November 2010 geführt hat, die ihnen vor allen Instanzen in der Schweiz entstandenen Kosten mit EUR 4'515.-- bereits ersetzen lassen (vgl. § 58 und 61). Insoweit ist eine Revision des Bundesgerichtsurteils (Dispositiv-Ziff. 2) weder notwendig noch wird diese beantragt. Die Gesuchsteller verlangen hingegen Ersatz der Anwaltskosten, die ihnen für das Verfahren vor dem EGMR entstanden sind. Bereits vor dem EGMR haben sie den Betrag von Fr. 8'357.30 als Ersatz für Anwaltskosten für das Verfahren in Strassburg verlangt. Nach dem Urteil des EGMR genügte der betreffende Antrag den Anforderungen gemäss Art. 60 Abs. 2 der Verfahrensordnung des EGMR (SR 101.2) nicht. Der EGMR hat den Anspruch zurückgewiesen, wie die Gesuchsteller zu Recht festhalten. Entgegen ihrer Auffassung öffnet das Revisionsverfahren jedoch nicht den Weg, die vor dem EGMR unterlassene hinreichende Begründung des Anspruchs nachzuholen (Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001, BBl 2001 4202, Ziff. 4.1.6.1, S. 4353; vgl. auch Urteil 6S.362/2006 vom 3. November 2006 E. 2, in: Pra 2007 Nr. 49 S. 312). Insoweit ist das Revisionsgesuch abzuweisen.
3. Nach dem Dargelegten ist in teilweiser Gutheissung des Revisionsgesuchs das Urteil des Bundesgerichts vom 24. Mai 2005 (Dispositiv-Ziff. 1) aufzuheben, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde (nunmehr Beschwerde in Zivilsachen) gutzuheissen und das Zivilstandsamt Kreis Thun anzuweisen, den Gesuchsteller mit dem Namen "Losonci" (anstelle von "Losonci Rose") einzutragen. Im Übrigen ist dem Revisionsgesuch kein Erfolg beschieden.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>). Eine Parteientschädigung für das vorliegende Verfahren entfällt, da den Gesuchstellern keine ersatzpflichtigen Kosten entstanden sind. Das vorliegende Urteil ist der kantonalen Aufsichtsbehörde mitzuteilen (Art. 43 Abs. 2 ZStV), welche für die Beurkundung der mitgeteilten Personenstandsdaten verantwortlich ist (Art. 22 Abs. 3 ZStV).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. 1.1 Das Revisionsgesuch wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil 5A.4/2005 des Bundesgerichts vom 24. Mai 2005 wird in Ziffer 1 aufgehoben und das Verfahren wird neu wie folgt entschieden:
"In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde (nunmehr Beschwerde in Zivilsachen) wird das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 14. Dezember 2004 aufgehoben und das Zivilstandsamt Kreis Thun angewiesen, den Gesuchsteller 2 im Zivilstandsregister mit dem Namen Losonci (anstelle Losonci Rose) einzutragen."
1.2 Im Übrigen wird das Revisionsgesuch abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Gesuchstellern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, dem Zivilstandsamt Kreis Thun, der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (Aufsichtsbehörde Zivilstandswesen) sowie dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. September 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Levante