Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1987) stammt aus Nigeria. Er ersuchte im Jahr 2009 in der Schweiz erfolglos um Asyl (Nichteintretensentscheid des Bundesamts für Migration vom 22. Oktober 2009 bestätigt mit Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 30. Oktober 2009). Am 10. März 2010 nahm das Amt für Migration des Kantons Zug X._ in Ausschaffungshaft; ab dem 7. Juni 2010 ersetzte es diese durch eine Durchsetzungshaft, aus der X._ am 16. Mai 2011 entlassen wurde. Am 27. Mai 2011 nahm das Amt für Migration des Kantons Zug X._ erneut in Ausschaffungshaft, welche die Haftrichterin am Verwaltungsgericht des Kantons Zug am 30. Mai 2011 prüfte und bis zum 26. August 2011 bestätigte.
B. X._ beantragt vor Bundesgericht, die richterliche Haftgenehmigung aufzuheben und das Amt für Migration des Kantons Zug anzuweisen, ihn sofort aus der Haft zu entlassen. X._ macht geltend, er sei in Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör im haftrichterlichen Verfahren nicht anwaltlich vertreten gewesen; zudem erscheine seine Hafterstehungsfähigkeit als fraglich. Die Haftrichterin am Verwaltungsgericht des Kantons Zug beantragt, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Das Amt für Migration des Kantons Zug und das Bundesamt für Migration haben sich nicht vernehmen lassen.
C. Am 18. Juli 2011 liess X._ mitteilen, dass er nach Nigeria ausgeschafft worden sei. Seine Beschwerde sei dennoch zu behandeln, da die grundsätzliche Frage offenbleibe, "wie weit dem Ausschaffungshäftling das Recht auf anwaltschaftliche Vertretung beschnitten werden" dürfe. Auf Rückfrage des Gerichts hin bestätigte das Amt für Migration des Kantons Zug am 19. Juli 2011, dass X._ bereits am 7. Juli 2011 mit einem Sonderflug nach Lagos/Nigeria ausgeschafft worden sei und sich seither nicht mehr in Ausschaffungshaft befinde.

Erwägungen:
1. 1.1 Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist legitimiert, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch die angefochtene Verfügung besonders berührt ist und über ein aktuelles schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung verfügt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 252). Fällt das aktuelle Interesse im Verlauf des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt und die Beschwerde gegenstandslos; fehlte es schon bei Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 [BGG]; <ref-ruling> E. 1a [OG]).
1.2 Aufgrund der bisherigen bundesgerichtlichen Praxis hatte der Ausländer nach seiner Ausschaffung oder Freilassung kein praktisches Interesse mehr daran, dass der Haftentscheid nachträglich noch auf seine Vereinbarkeit mit dem Bundesrecht hin geprüft wird. Für das Gericht bestand in solchen Fällen auch regelmässig kein Anlass, ausnahmsweise auf dieses Erfordernis zu verzichten (vgl. die Urteile 2C_423/2007 vom 27. September 2007 E. 2; 2C_78/2007 vom 19. April 2007 E. 2.1 mit Hinweisen).
1.3 In Anlehnung an <ref-ruling> ff. und unter Berücksichtigung der neusten Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (Urteil i.S. Jusic gegen die Schweiz vom 2. Dezember 2010 [4691/06]) hat das Bundesgericht diese Praxis in einem neusten Urteil dahin gehend präzisiert, dass die Haftentlassung (auch) bei der ausländerrechtlichen Administrativhaft nicht mehr zur Gegenstandslosigkeit des Rechtsmittels führt, wenn bezüglich der beendeten Festhaltung - rechtsgenügend begründet (vgl. <ref-law>) und in vertretbarer Weise ("griefs 'défendables' fondés sur la Convention") - eine Missachtung von Garantien der EMRK geltend gemacht wird, wobei diesbezüglich nicht überspitzt formalistisch zu entscheiden und der Situation des Betroffenen als Häftling angemessen Rechnung zu tragen ist (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 253; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9). Die entsprechenden Rügen sind jeweils zu prüfen und führen gegebenenfalls zu einem richterlichen Feststellungsentscheid (vgl. BGE 2C_745/ 2010 vom 31. Mai 2011 E. 4.3.4). Der Beschwerdeführer macht im vorliegenden Verfahren inhaltlich in vertretbarer Weise geltend, unter Verletzung von Konventionsgarantien inhaftiert worden zu sein. An der Beurteilung der Konventionskonformität seiner Haft hat er nach dem Gesagten ein fortbestehendes Feststellungsinteresse, weshalb auf seine Eingabe einzutreten ist, auch wenn er inzwischen in seine Heimat ausgeschafft wurde.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht dabei von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der Begründungspflicht des Betroffenen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die vorgebrachten Rügen, es wäre denn weitere rechtliche Mängel erschienen geradezu offensichtlich. Das Bundesgericht ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese in seinem Verfahren nicht mehr problematisiert werden (<ref-ruling> E. 1.4.1).
2.2 Der Beschwerdeführer stellt den angefochtenen Entscheid nur bezüglich seiner anwaltlichen Vertretung im richterlichen Haftprüfungsverfahren und hinsichtlich seiner Hafterstehungsfähigkeit infrage; einzig diese Rügen sind zu prüfen, da das Vorliegen der übrigen (materiellen) Haftvoraussetzungen (Haftgründe usw.) nicht bestritten ist und diesbezüglich auch keine ins Auge springenden Mängel vorliegen: Der Beschwerdeführer wurde am 27. Mai 2011 gestützt auf den asylrechtlichen Nichteintretens- und Wegweisungsentscheid vom 22. Oktober 2009 im Anschluss an seine Entlassung aus der Durchsetzungshaft erneut ausländerrechtlich inhaftiert (<ref-law> [SR 142.31] i.V.m. Art. 76 Abs. 1 lit. b Abs. 2 AuG [SR 142.20]), nachdem der Wegweisungsentscheid wegen der Einstellung der Sonderflüge nach Nigeria zuvor nicht zwangsweise hatte vollzogen werden können und mehrere Versuche, ihn zu einer freiwilligen Rückkehr in seine Heimat zu bewegen, an seinem renitenten Verhalten gescheitert waren. Am 5. November 2010 vereinbarten die nigerianischen und schweizerischen Behörden die Wiederaufnahme der zwangsweisen Rückführungen, wobei für den 7. Juli 2011 ein erster Sonderflug geplant war (der in der Folge auch durchgeführt werden konnte). Hierin lag ein (neuer) Umstand, der den Vollzug der Wegweisung des Beschwerdeführers wiederum in absehbare Nähe rückte und eine erneute ausländerrechtliche Festhaltung im Rahmen der maximal zulässigen Haftdauer von 18 Monaten ermöglichte (vgl. Art. 79 AuG in seiner Fassung gemäss Art. 2 Ziff. 1 des BB vom 18. Juni 2010 betreffend die Übernahme der EG-Rückführungsrichtlinie [Richtlinie 2008/115/EG]). Zwar war der Beschwerdeführer zuvor bereits während rund 14 Monaten ausländerrechtlich festgehalten worden, dennoch erschien wegen seines bisherigen renitenten Verhaltens eine erneute Inhaftierung nicht unverhältnismässig: Es durfte davon ausgegangen werden, dass seine zwangsweise Ausschaffung in der verbleibenden Zeit möglich sein würde.
3. Der Beschwerdeführer macht unter Hinweis darauf, dass er vom 19. bis zum 26. Juni 2011 in die Psychiatrische Klinik B._ habe verlegt werden müssen, geltend, dass seine Hafterstehungs- und "Rückkehrfähigkeit" fraglich gewesen seien. Die von ihm bereits an der Haftprüfungsverhandlung vorgebrachten gesundheitlichen Störungen seien zu Unrecht nicht vertieft abgeklärt worden. Seine Ausführungen überzeugen nicht: Wie sich aus dem Protokoll der Verhandlung vor der Haftrichterin ergibt, klagte er dort lediglich über diffuse Beschwerden ("multiple problems"), die er auf Nachfrage hin nicht näher beschreiben wollte oder konnte. Aus den Akten der früheren Haftverfahren ergaben sich keinerlei Hinweise auf die behauptete fehlende Hafterstehungsfähigkeit. Im Zeitpunkt der Haftgenehmigung war eine Arztkonsultation wenige Stunden später geplant, weshalb die Haftrichterin ohne Verletzung von Bundesrecht feststellen durfte, dass der Beschwerdeführer hinreichend ärztlich betreut sei und er ohne anderslautende Bescheinigung - zumindest zurzeit - als hafterstehungsfähig gelten könne. Die weiteren diesbezüglichen Entwicklungen sind nicht zu berücksichtigen. Die Bindung an den Sachverhalt (<ref-law>) schliesst das Vorbringen von neuen tatsächlichen Behauptungen und Beweismitteln aus (vgl. <ref-law>). Entsprechende nachträgliche Veränderungen sind im Rahmen eines Haftentlassungsgesuchs (vgl. Art. 80 Abs. 5 AuG) oder im Haftverlängerungsverfahren geltend zu machen (Urteil 2C_756/2009 vom 15. Dezember 2009 E. 2.2 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 3a S. 221; THOMAS HUGI YAR, Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax et al., Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, N. 10.187).
4. 4.1 Der Beschwerdeführer kritisiert, dass er - trotz wiederholtem Ersuchen hierum - im haftrichterlichen Verfahren nicht anwaltlich vertreten gewesen sei. Die Haftrichterin entgegnet dem, dass der Betroffene im Haftrichterverfahren "selbst" um eine professionelle Vertretung besorgt sein müsse und ihm nicht von Amtes wegen ein Rechtsanwalt zur Seite gestellt werde; eine Ausnahme sehe das kantonale Einführungsgesetz zum Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (EG ANAG) vom 28. November 1996 (BGS 122.5) nur bei Haftentlassungsgesuchen vor (dort § 12).
4. 4.1 Der Beschwerdeführer kritisiert, dass er - trotz wiederholtem Ersuchen hierum - im haftrichterlichen Verfahren nicht anwaltlich vertreten gewesen sei. Die Haftrichterin entgegnet dem, dass der Betroffene im Haftrichterverfahren "selbst" um eine professionelle Vertretung besorgt sein müsse und ihm nicht von Amtes wegen ein Rechtsanwalt zur Seite gestellt werde; eine Ausnahme sehe das kantonale Einführungsgesetz zum Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (EG ANAG) vom 28. November 1996 (BGS 122.5) nur bei Haftentlassungsgesuchen vor (dort § 12).
4.2 4.2.1 Der Standpunkt der Haftrichterin überzeugt nicht und verkennt die konventions- und verfassungsrechtlichen Gebote auf (unentgeltliche) Verbeiständung, wie sie das Bundesgericht zu den Zwangsmassnahmen entwickelt hat. Der Anspruch auf Verbeiständung kann sich direkt gestützt auf die Minimalgarantien von <ref-law> und Art. 5 Ziff. 4 EMRK ergeben, auch wenn das kantonale Recht einen solchen nicht ausdrücklich vorsieht (vgl. <ref-ruling> E. 3.1); dies muss insbesondere in einem Fall wie dem vorliegenden gelten, wo das kantonale Einführungsgesetz noch auf das ANAG Bezug nimmt und den seitherigen materiell- und verfahrensrechtlichen Entwicklungen im Zwangsmassnahmenrecht keine Rechnung trägt (Einführung des AuG und Weiterentwicklung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu diesem; Umsetzung der Richtlinie 2008/115/EG des Europäischen Parlaments und des Rates vom 16. Dezember 2008 über gemeinsame Normen und Verfahren in den Mitgliedstaaten zur Rückführung illegal aufhältiger Drittstaatsangehöriger [RL 2008/115/EG, ABl. 2008 L 348 vom 24. Dezember 2008 S. 98 ff.] im Rahmen des Schengen-Assoziierungsabkommens [SAA, SR 0.362.31] usw.).
4.2.2 Die bedürftige Partei hat gestützt auf <ref-law> einen Anspruch darauf, dass ihr auf Gesuch hin ein unentgeltlicher Rechtsvertreter bestellt wird, falls dies zur Wahrung ihrer Rechte notwendig erscheint; nach <ref-law> muss jede Person, welcher die Freiheit entzogen wird, die Möglichkeit haben, ihre Rechte - in einer den Umständen angemessenen, wirksamen Weise - geltend zu machen. Das Erfordernis der fehlenden Aussichtslosigkeit ist bei einem Freiheitsentzug von einer gewissen Intensität bzw. Dauer im Hinblick hierauf jeweils sachgerecht zu relativieren und das Kriterium der Erfolgsaussichten differenziert zu handhaben (<ref-ruling> E. 3.2.3). Das Bundesgericht hat in diesem Rahmen festgestellt, dass dem Ausländer bei der Haftverlängerung nach drei Monaten eine schwere Freiheitsbeschränkung droht, die für ihn mit rechtlichen und tatsächlichen Schwierigkeiten verbunden ist, denen er - auf sich selber gestellt - mangels Kenntnis der Sprache und der hiesigen Verhältnisse nicht gewachsen erscheint. Es ist ihm in dieser Situation selbst in "einfachen" Fällen kaum möglich, das administrative Haftverlängerungsverfahren ohne anwaltliche Hilfe zu verstehen. Die wirksame Geltendmachung seiner Rechte setzt deshalb spätestens in diesem Verfahrensabschnitt voraus, dass einem Antrag auf unentgeltliche Verbeiständung entsprochen wird (<ref-ruling> E. 3.2.2 und 3.2.3).
4.2.3 Das Gleiche ergibt sich aus Art. 5 Ziff. 4 EMRK: Im Rahmen dieser Bestimmung sind dem Inhaftierten die der Haftart angepassten grundlegenden Rechte zu gewähren; das richterliche Prüfungsverfahren muss "fair" sein. Der Betroffene hat das Recht, sich selber zu vertreten, sich durch den Anwalt seiner Wahl vertreten zu lassen oder die Bestellung eines unentgeltlichen Vertreters zu verlangen, wenn er bedürftig ist und seine Verbeiständung "im Interesse der Rechtspflege erforderlich" erscheint (so auch Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK für den Strafprozess; <ref-ruling> E. 3.2.4). Entsprechende Anforderungen ergeben sich heute indirekt auch aus der für die Schweiz ebenfalls massgebenden europäischen Rückführungsrichtlinie 2008/115/EG, die festhält, dass die von ihr betroffenen Drittstaatsangehörigen "rechtliche Beratung, rechtliche Vertretung und - wenn nötig - Sprachbeistand in Anspruch nehmen können" bzw. ihnen auf Antrag die erforderliche Rechtsberatung und/oder -vertretung gemäss dem einschlägigen Prozesskostenhilferecht (Art. 15 Abs. 3 - 6 RL 2005/85/EG) bereitzustellen ist (Art. 13 Abs. 3 und 4 RL 2008/115/EG; vgl. zur Anwendung der RL 2008/115/EU in der Schweiz: THOMAS HUGI YAR, Das Urteil El Dridi, die EU-Rückführungsrichtlinie und der Schengen-Besitzstand, in: Jusletter 11. Juli 2011, Rz. 13 ff.). Nach Art. 81 Abs. 1 AuG hat der inhaftierte Ausländer ausdrücklich Anspruch darauf, mit dem von ihm bezeichneten Rechtsvertreter mündlich und schriftlich zu verkehren. Ist er im Verfahren vor dem Haftrichter nicht vertreten, weil die Behörden nichts unternommen haben, um ihm diesen zu ermöglichen, bzw. weil sie seinen Anwalt nicht über die Festhaltung oder den Hafttermin informierten, verletzt dies den Anspruch des Betroffenen auf rechtliches Gehör (Urteil 2C_131/2011 vom 25. Februar 2011 E. 2.4.1 mit weiteren Hinweisen auf Doktrin und Praxis).
4.2.3 Das Gleiche ergibt sich aus Art. 5 Ziff. 4 EMRK: Im Rahmen dieser Bestimmung sind dem Inhaftierten die der Haftart angepassten grundlegenden Rechte zu gewähren; das richterliche Prüfungsverfahren muss "fair" sein. Der Betroffene hat das Recht, sich selber zu vertreten, sich durch den Anwalt seiner Wahl vertreten zu lassen oder die Bestellung eines unentgeltlichen Vertreters zu verlangen, wenn er bedürftig ist und seine Verbeiständung "im Interesse der Rechtspflege erforderlich" erscheint (so auch Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK für den Strafprozess; <ref-ruling> E. 3.2.4). Entsprechende Anforderungen ergeben sich heute indirekt auch aus der für die Schweiz ebenfalls massgebenden europäischen Rückführungsrichtlinie 2008/115/EG, die festhält, dass die von ihr betroffenen Drittstaatsangehörigen "rechtliche Beratung, rechtliche Vertretung und - wenn nötig - Sprachbeistand in Anspruch nehmen können" bzw. ihnen auf Antrag die erforderliche Rechtsberatung und/oder -vertretung gemäss dem einschlägigen Prozesskostenhilferecht (Art. 15 Abs. 3 - 6 RL 2005/85/EG) bereitzustellen ist (Art. 13 Abs. 3 und 4 RL 2008/115/EG; vgl. zur Anwendung der RL 2008/115/EU in der Schweiz: THOMAS HUGI YAR, Das Urteil El Dridi, die EU-Rückführungsrichtlinie und der Schengen-Besitzstand, in: Jusletter 11. Juli 2011, Rz. 13 ff.). Nach Art. 81 Abs. 1 AuG hat der inhaftierte Ausländer ausdrücklich Anspruch darauf, mit dem von ihm bezeichneten Rechtsvertreter mündlich und schriftlich zu verkehren. Ist er im Verfahren vor dem Haftrichter nicht vertreten, weil die Behörden nichts unternommen haben, um ihm diesen zu ermöglichen, bzw. weil sie seinen Anwalt nicht über die Festhaltung oder den Hafttermin informierten, verletzt dies den Anspruch des Betroffenen auf rechtliches Gehör (Urteil 2C_131/2011 vom 25. Februar 2011 E. 2.4.1 mit weiteren Hinweisen auf Doktrin und Praxis).
4.3 4.3.1 Der Beschwerdeführer hatte sich bei seiner erneuten Anhaltung bereits seit rund 14 Monaten in ausländerrechtlich begründeter Haft befunden. Soweit ersichtlich, war er in den vorherigen Verfahren nie anwaltlich vertreten gewesen. Nachdem zwangsweise Rückführungen nach Nigeria während Monaten nicht möglich gewesen sind (vgl. etwa das Urteil 2C_538/2010 vom 19. Juli 2010), sich im Hinblick auf die Umsetzung der RL 2008/115/EU neue rechtliche Fragen stellen konnten (HUGI YAR, Das Urteil El Dridi, die EU-Rückführungsrichtlinie und der Schengen-Besituzstand, a.a.O., Rz. 15), die Zulässigkeit einer erneuten Inhaftierung nach einer Freilassung in Rechtsprechung und Doktrin zudem kontrovers behandelt wird (vgl. hierzu das Urteil 2A.211/2003 vom 5. Juni 2003 E. 3 mit Hinweisen) und der Beschwerdeführer schliesslich nur elf Tage nach seiner Entlassung aus der Durchsetzungshaft wieder in Ausschaffungshaft gesetzt wurde, wäre seinem Gesuch um Verbeiständung im Haftprüfungsverfahren zu entsprechen gewesen. Darf dem Betroffenen bei der Haftverlängerung nach drei Monaten eine solche losgelöst von der Komplexität des Falles nicht (mehr) verweigert werden, muss dies umso mehr in einem Fall wie dem vorliegenden gelten, wo nach einer vierzehnmonatigen Festhaltung und einem Haftunterbruch von nur wenigen Tagen eine weitere Inhaftierung von drei Monaten bis praktisch zur maximal zulässigen Obergrenze verfügt wird (vgl. Art. 79 AuG [Fassung vom 18. Juni 2010]; Art. 15 Abs. 5 und 6 RL 2008/115/EG).
4.3.2 Der Beschwerdeführer hat sowohl gegenüber dem Migrationsamt als auch gegenüber der Haftrichterin zum Ausdruck gebracht, dass er bei der Verhandlung durch einen Anwalt vertreten sein wollte. Es war der Entscheid des Migrationsamts, ihn am Freitag, 27. Mai 2011, zu inhaftieren, womit spätestens am Montag die Haftrichterverhandlung stattfinden musste. In dieser kurzen Zeitspanne war es für den Beschwerdeführer in der Haft nicht möglich, ohne Hilfe selber einen Anwalt zu finden. Es wäre unter diesen Umständen an den kantonalen Behörden gewesen, das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung zu behandeln und dafür zu sorgen, dass der Beschwerdeführer im Haftprüfungsverfahren diesbezüglich seine Verfahrensrechte im Rahmen von Art. 5 Ziff. 4 EMRK wirksam wahrnehmen konnte. Die Haftrichterin durfte sich in dieser Situation nicht damit begnügen, einfach darauf hinzuweisen, dass der Beschwerdeführer "zwar ohne Frage" Anspruch auf einen professionellen Rechtsvertreter habe, er "für die Suche und Mandatierung eines solchen [...] jedoch selbst besorgt" sein "müsse", was er über ein Wochenende realistischerweise offensichtlich nicht konnte.
4.3.3 Zwar wurde seitens des Migrationsamts auf deren Drängen hin am 27. Mai 2011 die Vertrauensperson des Beschwerdeführers über die erneute Inhaftierung informiert, doch war es auch dieser nicht möglich, über das Wochenende die vom Beschwerdeführer gewünschte Vertretung zu organisieren, nachdem es sich bei ihr um keine Anwältin handelt und sie zudem nicht im Kanton Zug lebt. Es ist im Verfahren der Haftprüfung trotz Zeitdrucks Aufgabe des Haftrichters, sicherzustellen, dass die Verfahrensrechte des Inhaftierten wirksam und verfassungskonform wahrgenommen werden können (so ausdrücklich das ebenfalls den Kanton Zug betreffende Urteil 2C_131/ 2011 vom 25. Februar 2011 E. 2.4.2). Das Haftgericht kann diese Aufgabe nicht faktisch an freiwillig tätige, aussenstehende Dritte delegieren, wenn diese - wie hier - zum Ausdruck gebracht haben, dass es ihnen nicht möglich ist, die entsprechende Aufgabe zu übernehmen, und sowohl sie wie der Betroffene selber für das haftrichterliche Verfahren ausdrücklich eine anwaltliche Vertretung beantragen. Die Durchführung der haftrichterlichen Verhandlung erfolgte hier somit in Verletzung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör. Da er inzwischen nach Nigeria verbracht wurde, muss es bei dieser Feststellung sein Bewenden haben.
4.4 Damit ist nicht gesagt, dass der Beschwerdeführer auch aus der Haft zu entlassen gewesen wäre: Nicht jede Verletzung von Verfahrensvorschriften führt zur Haftentlassung; es kommt vielmehr jeweils darauf an, welche Bedeutung den verletzten Vorschriften für die Wahrung der Rechte des Betroffenen einerseits und dem Interesse an einer reibungslosen Durchsetzung seiner Ausschaffung andererseits zukommt (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 109). Die mündliche richterliche Haftverhandlung wurde vorliegend tatsächlich durchgeführt; der Beschwerdeführer stellt vor Bundesgericht die inhaltliche Berechtigung seiner erneuten Anhaltung denn auch nicht infrage. Er hat sich während Monaten renitent gezeigt und musste schliesslich zwangsweise mit einem Sonderflug ausgeschafft werden. Wegen seines unkooperativen Verhaltens hätte das öffentliche Interesse daran, den Vollzug seiner Ausweisung sicherzustellen, sein privates, von Zwangsmassnahmen abzusehen, überwogen, weshalb es sich nicht gerechtfertigt hätte, ihn aus der Haft zu entlassen.
5. 5.1 Die Beschwerde ist somit in dem Sinne teilweise gutzuheissen, als festgestellt wird, dass das Haftgericht den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt hat, indem es dem Gesuch des Beschwerdeführers, ihn zu verbeiständen, in Verletzung seiner Verfahrensrechte nicht entsprochen hat; im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit sie nicht gegenstandslos geworden ist (vgl. E. 1.1).
5.2 Dem Verfahrensausgang entsprechend sind keine Kosten zu erheben (vgl. <ref-law>). Der Beschwerdeführer war vor Bundesgericht nicht durch einen Anwalt, sondern eine Vertrauensperson vertreten. Der Kanton Zug hat diese für ihre Kosten und Aufwendungen im Rahmen seines Unterliegens zu entschädigen (vgl. Art. 68 Abs. 4 i.V.m. <ref-law>; vgl. HUGI YAR, Ausländerrecht, a.a.O., Rz. 10.186). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung vor Bundesgericht wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne teilweise gutgeheissen, als festgestellt wird, dass die Haftrichterin am Verwaltungsgericht des Kantons Zug den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt hat, indem sie seinem Ersuchen auf Verbeiständung nicht entsprach; im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit sie nicht gegenstandslos geworden ist.
2. 2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Der Kanton Zug hat die Vertrauensperson des Beschwerdeführers, Z._, für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 300.-- zu entschädigen.
2.3 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Haftrichterin, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Hugi Yar