Faits :
A.
A._ est appointé de gendarmerie au sein de la brigade de sécurité routière de Genève.
Le 31 août 2011, un cortège de trente-deux caravanes et trente-quatre voitures de gens du voyage a occupé le parking d'un centre sportif à U._, créant une importante perturbation de la circulation. Un dispositif de gendarmerie a été mis en place pour dévier ce cortège en direction de la France. Dans le cadre de cette opération, A._ et l'un de ses collègues ont été postés à un giratoire situé à proximité. Alors qu'ils effectuaient leur mission et en dépit de leurs injonctions, une voiture a forcé leur barrage, manquant de peu de les renverser. Pris en chasse par les deux policiers, le conducteur s'est arrêté à la hauteur du parking du centre sportif et a pris la fuite à pied. Rattrapé, il a été mis au sol et menotté au poignet droit.
Assistant à la scène, une quarantaine d'hommes de la communauté des gens du voyage s'est précipitée vers les deux agents; une bagarre, au cours de laquelle A._ a été frappé au visage par un agresseur non identifié, s'en est suivie. Les assaillants ont finalement été dispersés au moyen de spray au poivre par les gendarmes venus en renfort.
A la suite de ces événements, A._ a été pris en charge par les Hôpitaux universitaires de Genève (ci-après: les HUG). D'après les rapports des 5 septembre 2011 et 21 janvier 2013 établis par les HUG, celui-ci présentait une plaie ouverte de la columelle ainsi que de la lèvre supérieure. Une intervention chirurgicale immédiate, sous anesthésie locale, a été nécessaire. L'intéressé s'est rendu une deuxième fois aux HUG pour l'ablation des sutures. Sur le plan psychologique, un syndrome de stress post-traumatique a été identifié par le psychologue-psychothérapeute consulté par A._. Ce diagnostic a fait l'objet d'un rapport du 21 juin 2012. Le prénommé a en outre été incapable de travailler durant deux semaines.
Le 24 avril 2013, le prénommé a adressé à l'Instance d'indemnisation LAVI du canton de Genève (ci-après: l'Instance LAVI) une demande d'indemnisation fondée sur la loi fédérale sur l'aide aux victimes d'infractions du 23 mars 2007 (LAVI; RS 312.5). Il a sollicité l'octroi d'une indemnité pour tort moral d'un montant de 5'000 fr. Par ordonnance du 10 juillet 2013, l'Instance LAVI a rejeté cette demande.
B.
La Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève a partiellement admis le recours de A._ contre cette décision et lui a alloué un montant de 1'500 fr. à titre de réparation du tort moral. Elle a en substance jugé que l'indemnité pour risques inhérents à la fonction prévue en faveur des agents par l'art. 47 de la loi cantonale sur la police du 26 octobre 1957 (LPol/GE; rs/GE F1 05) n'équivalait pas à une réparation morale; le principe de subsidiarité ancré à l'<ref-law> ne faisait dès lors pas échec à l'octroi d'une indemnisation fondée sur l'aide aux victimes, indemnisation qui se justifiait, en l'espèce, au regard des circonstances particulières de l'agression ainsi que de l'atteinte subie (cicatrice permanente sur le visage).
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Département fédéral de justice et police, représenté par l'Office fédéral de la justice, demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Il conclut implicitement à la confirmation de l'ordonnance de l'Instance LAVI du 10 juillet 2013.
La Chambre administrative s'en remet à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. A._ conclut au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les <ref-law>, aucune des exceptions mentionnées à l'<ref-law> n'étant réalisée. Le Département fédéral de justice et police, qui est le département compétent en matière d'aide aux victimes d'infractions, a qualité pour recourir (<ref-law>; art. 7 al. 1 let. c de l'ordonnance sur l'organisation du Département fédéral de justice et police [RS 172.213.1]). L'exercice de ce droit de recours n'est pas subordonné à l'existence d'un intérêt digne de protection à l'annulation de la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1 p. 124 et les arrêts cités). Les autres conditions de recevabilité énoncées aux <ref-law> sont remplies, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Dans un premier grief, le département recourant soutient que l'atteinte subie par l'intimé n'atteint pas le seuil de gravité exigé par l'<ref-law>.
2.1. Toute lésion corporelle n'ouvre pas le droit à la réparation morale, encore faut-il qu'elle revête une certaine gravité (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 74 s.; <ref-ruling> consid. 2c; arrêt 1A.235/2000 du 21 février 2001 consid. 5b/aa; cf. également GOMM/ZEHNTNER, Opferhilfegesetz, Berne 2009, n. 9 <ref-law>; A. GUYAZ, Le Tort moral en cas d'accident: une mise à jour, in SJ 2013 II p. 215, p. 230; F. Werro, Commentaire romand, Code des obligations I [art. 1-529], 2012, n. 2 ad <ref-law>). Cette exigence est notamment réalisée en cas d'invalidité ou de perte définitive de la fonction d'un organe. En cas d'atteinte passagère, d'autres circonstances peuvent ouvrir le droit à une réparation morale fondée sur l'<ref-law>, parmi lesquelles figurent par exemple une longue période de souffrance et d'incapacité de travail, une période d'hospitalisation de plusieurs mois, de même qu'un préjudice psychique important tel qu'un état de stress post-traumatique conduisant à un changement durable de la personnalité (cf. arrêts 1A.235/2000 précité consid. 5b/aa; 1C_296/2012 précité consid. 3.2.2; voir également GOMM/ZEHNTNER, op. cit., n. 9 <ref-law>; A. GUYAZ, op. cit., p. 230).
2.2. En l'espèce, la Cour de justice a retenu que, suite au coup reçu, l'intimé a présenté deux plaies ouvertes au niveau du visage, lesquelles ont nécessité une intervention chirurgicale sous anesthésie locale. L'intimé s'est rendu une deuxième fois aux HUG pour l'ablation des fils de suture. Par la suite, il a été incapable de travailler durant deux semaines. Lors de son audition du 23 mai 2013 par l'Instance LAVI, il a déclaré que son visage était resté marqué d'une cicatrice permanente sur la lèvre et qu'il voyait toujours un dermatologue. L'arrêt attaqué indique que cette cicatrice lui fait ressentir de la honte et se sentir jugé par ses collègues, ce qu'il vit très mal. Au regard de ces éléments et aux circonstances particulières de l'agression, la cour cantonale a jugé que l'atteinte physique subie par l'intimé présentait un caractère particulier et une gravité suffisante pour justifier une réparation morale au sens de l'<ref-law>.
2.3. Pour sa part, et se fondant sur l'évolution favorable du processus de cicatrisation et de l'absence de traitement correctif, le département recourant estime que les lésions alléguées n'atteignent pas le seuil de gravité requis par cette disposition. Il relève à cet égard que l'intimé n'a jamais affirmé que sa cicatrice le faisait encore souffrir ou qu'elle le gênait lorsqu'il mangeait. Le recourant souligne par ailleurs que les suites psychiques de l'agression ont pu être maîtrisées après deux séances auprès d'un thérapeute et qu'aucun autre traitement n'a depuis lors été nécessaire.
2.4. Si le visage de l'intimé restera certes marqué de manière permanente par une cicatrice au dessus de la lèvre supérieure, on ne peut déduire de ce seul caractère que le seuil de gravité relativement élevé exigé par l'<ref-law> et la jurisprudence soit atteint. En effet, il ne ressort pas du dossier, en particulier des rapports médicaux établis par les HUG, que cette lésion aurait nécessité un traitement particulier au-delà de l'intervention chirurgicale et l'ablation des sutures. L'intimé n'a en particulier produit aucun document médical attestant de l'existence d'un tel traitement ou de la nécessité d'une opération de chirurgie réparatrice. Lors de son audition, l'intimé a déclaré qu'il n'avait pas été facile de retourner au travail avec ses "cicatrices visibles" et qu'il avait alors ressenti de la honte et le sentiment d'être jugé par ses collègues. Cependant, interrogé sur les conséquences actuelles de l'agression, l'intimé n'a évoqué la présence que d'une "petite cicatrice sur la lèvre". Avec le recourant, on doit également retenir que l'intimé n'a pas prétendu que cette cicatrice le faisait toujours souffrir ou encore qu'elle le gênait au quotidien. Par ailleurs, sous l'angle psychologique, l'intimé a certes présenté un syndrome de stress post-traumatique ayant engendré des mécanismes d'évitement, des comportements d'hypervigilance, des difficultés de concentration et des troubles du sommeil. Toutefois, après deux séances de deux heures, l'intimé a été en mesure de faire face à ses obligations professionnelles et familiales. Bien que le thérapeute consulté ait indiqué que certains éléments du traumatisme pourraient devoir être traités ultérieurement, on ne décèle pas que l'état de stress vécu par l'intimé ait durablement et significativement modifié sa personnalité; le fait que celui-ci fasse depuis les événements preuve d'une plus grande prudence lors de ses interventions ne témoigne pas à lui seul d'un tel changement. Il ne ressort en outre pas du dossier que l'état de stress post-traumatique diagnostiqué ait nécessité, ou nécessite encore des traitements médicaux particuliers.
Sur le vu de ce qui précède, et sans nier le caractère déplorable des événements vécus par l'intimé, les éléments retenus par l'instance précédente apparaissent insuffisants à fonder le droit à une réparation morale. C'est ainsi à tort que la cour cantonale a considéré que la lésion subie répondait aux critères de gravité de l'<ref-law>, violant en cela le droit fédéral.
2.5. En définitive, le recours doit être admis pour ce premier motif, sans qu'il soit nécessaire d'examiner la question de la subsidiarité de l'aide aux victimes (<ref-law>) soulevée par le département recourant dans un deuxième moyen.
3.
Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission du recours et à l'annulation de l'arrêt attaqué; l'ordonnance de l'Instance LAVI du 10 juillet 2013 est confirmée. Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires, la procédure de recours étant gratuite dans ce domaine (<ref-ruling> consid. 3 p. 132; <ref-ruling> consid. 4b p. 219) ni d'allouer des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis; l'arrêt attaqué est annulé et l'ordonnance de l'Instance d'indemnisation LAVI du canton de Genève du 10 juillet 2013 est confirmée.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué au Département fédéral de justice et police (Office fédéral de la justice), au mandataire de l'intimé, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 2 ème section et, pour information, à l'Instance d'indemnisation LAVI du canton de Genève.
Lausanne, le 1 er mai 2015
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Fonjallaz
Le Greffier : Alvarez