Faits:
A.
P._ a été engagé en qualité de Xx._ par l'Aéroport international de Genève (ci-après: l'AIG) à partir du 1 er février 1996. Il a été nommé Xy._ en décembre 1998.
Par décision du 21 décembre 2009, l'AIG a licencié P._ avec effet au 30 juin 2010, tout en le libérant de l'obligation de travailler dès le 1 er janvier 2010. L'intéressé a contesté son licenciement devant la commission de recours de l'AIG, laquelle l'a confirmé par décision du 15 septembre 2010.
B.
Par jugement du 5 avril 2011, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève a admis le recours de P._. Elle a constaté que le licenciement était contraire au droit, proposé la réintégration de l'employé et ordonné à l'AIG, en cas de refus de procéder à cette réintégration, de transmettre sa décision à la Chambre administrative pour fixation d'une indemnité.
Le 3 juillet 2012, P._ a saisi la Chambre administrative d'une demande en fixation de l'indemnité. Par lettre du 9 juillet 2012, l'AIG a informé la Chambre administrative qu'il n'entendait pas réintégrer P._ dans son ancien poste et a requis un délai au 27 juillet suivant pour se déterminer sur l'indemnité maximale réclamée par ce dernier. L'AIG a soumis sa prise de position le 17 juillet 2012.
Le 12 mars 2013, la Chambre administrative de la Cour de justice a rendu un jugement par lequel elle a condamné l'AIG à verser à P._ une indemnité correspondant à douze fois son dernier traitement brut avec intérêts à 5 % à compter du 9 juillet 2012.
C.
P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, il conclut, principalement, à ce que l'AIG soit condamné à lui verser une indemnité correspondant à dix-huit mois de salaire et que le tribunal constate qu'il s'agit d'une indemnité à caractère punitif. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à la Chambre administrative pour qu'elle statue dans le sens des considérants.
L'AIG conclut au rejet du recours. Il requiert par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif.
D.
Par ordonnance du 3 octobre 2013, le juge instructeur a rejeté la demande d'effet suspensif.

Considérant en droit:
1.
Le litige soumis à la juridiction cantonale porte sur le droit éventuel du recourant à une indemnité correspondant à dix-huit mois de salaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. En outre, la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. (<ref-law>) est atteinte (<ref-law>).
Pour le surplus, le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) et il a été déposé dans le délai prévu par la loi (<ref-law>). Le recours en matière de droit public est dès lors recevable.
2.
Invoquant l'art. 29 al. 2 Cst., le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu pour défaut de motivation, en tant que la juridiction cantonale n'aurait pas répondu à l'argumentation qu'il avait soulevée pour fonder son droit à obtenir l'indemnité maximale prévue par l'art. 57 (A) al. 5 du statut du personnel de l'AIG (ci-après: le statut), à savoir que dite indemnité avait un caractère punitif.
2.1. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) le devoir pour le juge de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et exercer son droit de recours à bon escient. Pour répondre à ces exigences, le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 270; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 88 et les arrêts cités). Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision de l'autorité, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée est erronée. La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision (arrêt 2C_23/2009 du 25 mai 2009 consid. 3.1, in RDAF 2009 II p. 434).
2.2. En l'occurrence, la motivation du jugement entrepris permet de comprendre les éléments qui ont été retenus et pourquoi ils l'ont été. On ne saurait dès lors reprocher à la juridiction cantonale d'avoir violé le droit d'être entendu du recourant. En réalité, en tant que celui-ci reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas motivé son refus de considérer l'indemnité prévue par l'art. 57 (A) al. 5 du statut comme une indemnité punitive, le grief se confond avec celui d'arbitraire dans l'interprétation du droit cantonal que le recourant soulève également. Il convient de l'examiner avec le fond du litige.
3.
Sur le fond, le recourant se plaint d'une application arbitraire de l'art. 57 (A) al. 5 du statut par les premiers juges.
3.1. Sous le titre "Procédure et justification", l'art. 57 (A) al. 5 du statut prévoit, pour les cadres supérieurs, les cadres et les employés, que lorsqu'un licenciement est déclaré injustifié par l'autorité de recours, cette dernière peut proposer la réintégration de l'intéressé et, en cas de refus de l'AIG, condamner celui-ci au paiement d'une indemnité ne dépassant pas dix-huit mois de salaire fixe.
3.2. Sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, la violation du droit cantonal n'est pas un motif de recours. Elle peut en revanche être constitutive d'une violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law>, telle que l'interdiction de l'arbitraire à teneur de l'art. 9 Cst. (cf. par ex. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 69; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 466; <ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 251). Appelé à revoir l'application faite d'une norme cantonale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, ou encore si elle a été adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain (<ref-ruling> consid. 5.4 p. 148; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153). En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 4), ce qu'il revient au recourant de démontrer conformément aux exigences de motivation déduites de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 400).
3.3. La Chambre administrative a constaté que le recourant avait été licencié avec effet au 30 juin 2010 et qu'il avait retrouvé un nouvel emploi à partir du 1 er juillet 2011. Il était ainsi resté douze mois sans emploi. Durant cette période, il était à disposition de son employeur et potentiellement réintégrable. Les premiers juges ont ensuite effectué une appréciation de la situation en prenant en compte les circonstances du cas d'espèce. Ils ont retenu que les compétences professionnelles du recourant avaient été unanimement reconnues tant par les témoins entendus par l'enquêteur que par ceux auditionnés par la commission de recours de l'AIG. Bien qu'il eût été à de nombreuses reprises en incapacité de travail pour cause de maladie, les aptitudes professionnelles du recourant étaient demeurées intactes, de même que les relations avec ses supérieurs directs. En licenciant le recourant pendant la procédure d'enquête interne et sans attendre les conclusions de cette dernière, l'AIG avait par ailleurs gravement manqué à ses devoirs d'employeur. Au vu de l'ensemble de ces circonstances, les premiers juges ont octroyé une indemnité équivalant à douze mois du dernier traitement mensuel brut.
4.
4.1. Le recourant fait valoir qu'en refusant de lui allouer l'indemnité maximale équivalant à dix-huit mois de salaire et en ne reconnaissant pas le caractère punitif de cette indemnité, la Chambre administrative s'est écartée de sa propre jurisprudence relative à l'art. 57 (A) al. 5 du statut, respectivement de l'art. 31 al. 3 de la loi générale relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissements publics médicaux du 4 décembre 1997 (LPAC; RSG B 5 05), dont la teneur est similaire à la disposition statutaire précitée. Citant plusieurs arrêts rendus par la juridiction cantonale, il soutient que l'indemnité a toujours été fixée en fonction de la faute de l'employeur. En outre, se fondant sur un arrêt du Tribunal fédéral 2P.181/2006 du 28 novembre 2006, le recourant estime que l'interprétation faite par les premiers juges de l'art. 57 (A) al. 5 du statut est en contradiction avec la jurisprudence du Tribunal fédéral relative au droit de la fonction publique genevoise.
4.2. Dans l'arrêt 2P.181/2006 invoqué par le recourant, le Tribunal fédéral a jugé inconstitutionnel l'art. 31 al. 3 LPAC (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 30 avril 2007) en tant qu'il déniait aux employés de l'Etat licenciés à tort et non réintégrés tout droit à une réparation, alors que le fonctionnaire placé dans la même situation y avait droit. Le Tribunal fédéral a ensuite invité la juridiction cantonale à faire de l'art. 31 al. 3 LPAC une application conforme à la Constitution en allouant à l'employée recourante une indemnité pour licenciement illégal, comme la loi le prévoyait pour les fonctionnaires. Après avoir rappelé que l'<ref-law> n'était pas directement applicable dans le cas d'espèce, le Tribunal fédéral a suggéré au Tribunal administratif de s'inspirer de la réglementation contenue dans cette disposition pour régler la situation des employés illégalement licenciés et non réintégrés.
4.3. Il ressort de ces considérations que l'arbitraire constaté par le Tribunal fédéral résultait du fait que l'art. 31 al. 3 LPAC, dans sa version non encore modifiée, ne prévoyait aucune indemnité ou réparation pour un employé licencié à tort et non réintégré, à la différence de ce qui prévalait pour un fonctionnaire dans la même situation. Cette situation a entre-temps été corrigée puisque l'art. 31 al. 3 LPAC (dans sa teneur en vigueur depuis le 31 mai 2007) prévoit, pour les employés licenciés sans droit et non réintégrés, une indemnité ne dépassant pas six mois de salaire (vingt-quatre mois pour les fonctionnaires). On ne saurait déduire de cet arrêt que le Tribunal fédéral s'est prononcé sur la nature de cette indemnité et en tous les cas pas sur celle prévue par l'art. 57 (A) al. 5 du statut. Quant à l'<ref-law>, dont il y aurait lieu de s'inspirer selon le recourant pour interpréter l'art. 57 (A) al. 5 du statut, il n'est pas davantage pertinent puisque l'indemnité prévue en cas de licenciement abusif ne peut dépasser le montant correspondant à six mois de salaire. Le recourant ne saurait dès lors rien tirer de cet arrêt en sa faveur.
4.4. En l'occurrence, la juridiction cantonale a octroyé au recourant une indemnité équivalant à douze fois son dernier traitement. Pour fixer cette indemnité, les premiers juges se sont notamment fondés, comme on l'a vu au consid. 3.3 ci-dessus, sur les circonstances du cas d'espèce. La gravité des manquements de l'employeur ainsi que la période durant laquelle le recourant était resté sans salaire avant de retrouver un nouvel emploi apparaissent comme les critères décisifs qui ont guidé la Chambre administrative. Même en admettant, comme le soutient le recourant, que les premiers juges ont fait abstraction, à tort, du caractère exclusivement punitif de l'indemnité, cela ne conduirait pas à l'admission du recours. En effet, même si la motivation des premiers juges devait être considérée comme non pertinente, voire arbitraire, le résultat auquel ils sont parvenus ne l'est en tout cas pas, si l'on considère que l'indemnité correspond à douze mois de salaire, soit les deux tiers de l'indemnité maximale. Le grief est par conséquent infondé.
5.
Vu l'issue de la procédure, le recourant supportera les frais de justice y afférents, ainsi que ses propres dépens (<ref-law>). Bien qu'il obtienne gain de cause, l'AIG, en tant qu'établissement de droit public (art. 1 er de la loi sur l'Aéroport international de Genève [LAIG; RSG H 3 25] n'a pas droit aux dépens qu'il prétend (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lucerne, le 2 décembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: Fretz Perrin