Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Die Vorinstanz hat die Grundlagen des Anspruchs auf rechtliches Gehör im Allgemeinen (<ref-law>) und im invalidenversicherungsrechtlichen Vorbescheidverfahren im Besonderen (<ref-law>) zutreffend dargelegt (vgl. zur neueren Rechtsprechung <ref-ruling> Erw. 2b, 127 III 578 Erw. 2c, 126 I 72, 126 V 132 Erw. 2b, je mit Hinweisen). Beizufügen ist, dass es nach der Rechtsprechung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts im Vorbescheidverfahren der Invalidenversicherung den Anforderungen an das rechtliche Gehör grundsätzlich nicht genügt, wenn sich die IV-Stelle mit den Argumenten des Versicherten nur in einem der Verfügung vorangehenden Schreiben auseinandersetzt.
Die im Verlaufe der Anhörung gegen die geplante Erledigung angeführten Argumente müssen in der Verfügung selbst behandelt werden. Sofern dies unterbleibt, liegt darin zwar kein besonders schwerer Mangel, weshalb er angesichts der uneingeschränkten Überprüfungsbefugnis des kantonalen Gerichts in tatbeständlicher und rechtlicher Hinsicht (<ref-law> in Verbindung mit Art. 85 Abs. 2 lit. c und d AHVG) im nachfolgenden Beschwerdeverfahren geheilt werden kann. Die Heilung eines solchen Mangels muss aber die Ausnahme bleiben, weshalb eine systematische Verletzung der Begründungspflicht einer Heilung nicht zugänglich ist (<ref-ruling> Erw. 4).
b) Die Beschwerdeführerin lässt vorbringen, es liege eine systematische Verletzung des rechtlichen Gehörs vor; das Vorgehen der Beschwerdegegnerin führe dazu, dass in einer grossen Anzahl von Versicherungsfällen eine gerichtliche Beurteilung unumgänglich werde, wenn sich der verfügende Versicherungsträger nicht bemühe, den im Anspruch auf das rechtliche Gehör verankerten Grundsatz der Fairness im Verfahren zu garantieren und für die Richtigkeit des Entscheids sowie dessen Akzeptanz besorgt zu sein. Demgegenüber führt die Vorinstanz aus, die IV-Stelle habe den Anspruch auf rechtliches Gehör nicht verletzt, weil sie in ihrer der Verfügung beiliegenden Stellungnahme vom 3. Juli 2001 auf die vorgebrachten Einwände reagiert habe.
c) Die IV-Stelle hat die Gründe, weshalb sie von der Beurteilung im Vorbescheid nicht abwich, in ihrer Stellungnahme vom 3. Juli 2001 ausführlich dargelegt und ihrer Verfügung beigefügt. Auch wenn es an einer ausdrücklichen Erklärung, welche die Stellungnahme als integrierenden Bestandteil der Verfügung bezeichnet, fehlte, kam ihr diese Funktion doch tatsächlich zu. Es kann auch nicht gesagt werden, die IV-Stelle habe sich nicht bemüht, auf die gegen den Vorbescheid erhobenen Einwendungen einzugehen, zumal sie die wesentlichen Gesichtspunkte zur Verfügungsbegründung nennt. Die Beschwerdegegnerin ist damit ihrer Begründungspflicht nachgekommen und es liegt keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor.
2.- a) Die Beschwerdeführerin beanstandet in materieller Hinsicht, dass das kantonale Gericht bei der Beurteilung der Arbeitsfähigkeit auf den Bericht von Dr. med.
Y._ vom 20. Oktober 2000 sowie auf das Gutachten von Dr. med. Z._ vom 5. März 2001 abstellte, obwohl sich ihr Gesundheitszustand seit diesen Untersuchungen verschlechtert habe und damit bezüglich des aktuellen Gesundheitszustandes im Verfügungszeitpunkt (10. Juli 2001) weitere Abklärungen hätten getroffen werden müssen. Überdies habe sie ihr Arbeitspensum wegen der Zunahme gesundheitlicher Beschwerden zwischenzeitlich auf 30 % reduzieren müssen.
b) Nach ständiger Rechtsprechung beurteilt das Sozialversicherungsgericht die Gesetzmässigkeit der Verwaltungsverfügungen in der Regel nach dem Sachverhalt, der zur Zeit des Verfügungserlasses gegeben war (<ref-ruling> Erw. 1b mit Hinweisen). Tatsachen, die jenen Sachverhalt seither verändert haben, sollen im Normalfall Gegenstand einer neuen Verwaltungsverfügung sein (<ref-ruling> Erw. 1b mit Hinweis).
c) Aufgrund der Akten ist davon auszugehen, dass der Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin zwischen den Untersuchungen der Dres. med. Y._ und Z._ (20. Oktober 2000 bzw. 5. März 2001) und dem Verfügungszeitpunkt am 10. Juli 2001 stabil war. Auch der im Verwaltungsgerichtsbeschwerdeverfahren eingereichte Bericht von Dr. med. W._ vom 27. Juli 2001 bestätigt eine 50 %ige Arbeitsfähigkeit und lässt damit darauf schliessen, dass sich der Gesundheitszustand der Versicherten jedenfalls nicht verschlechtert hat. Der Vorinstanz ist darin beizupflichten, dass im Zeitpunkt des Verfügungserlasses von einer Arbeitsfähigkeit von 40 % auszugehen ist, woran auch der ebenfalls mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde neu eingereichte Arbeitsvertrag vom 7. Januar 2002 nichts zu ändern vermag, weil er nicht den Zeitpunkt der Verfügung betrifft. Im Übrigen wird in diesem Vertrag gesamthaft ebenfalls von einem Arbeitspensum von 40 % ausgegangen, sind doch in der Rubrik Beschäftigungsgrad "30 % fix und 10 % variabel" aufgeführt.
d) Kann beim invalidenversicherungsrechtlichen Einkommensvergleich auf die tatsächlichen Einkünfte abgestellt werden, sind die im individuellen Konto eingetragenen Einkommen massgebend (<ref-ruling> Erw. 2c/aa). Die Richtigkeit einer Eintragung kann von der versicherten Person bestritten werden. Wird ein Kontenauszug verlangt und dagegen fristgemäss und begründet Einsprache erhoben (<ref-law>) oder wurde ein erhobener Einspruch abgewiesen, so kann bei Eintritt des Versicherungsfalles die Berichtigung von Eintragungen im individuellen Konto nur verlangt werden, soweit die Unrichtigkeit offenkundig ist oder dafür der volle Beweis erbracht wird (<ref-law>).
Vorliegend deutet nichts darauf hin, dass die Arbeitgeberin unrichtige Einkommen deklariert hätte. Gemäss den IK-Einträgen, von denen nach dem Gesagten nicht abgewichen werden darf, beträgt das Valideneinkommen demzufolge Fr. 39'813.-. Ausgehend von einer 40 %igen Arbeitsfähigkeit an der derzeitigen Stelle bei der Spitex ging die Vorinstanz überdies zu Recht von einem Invalideneinkommen von Fr. 29'165.- aus. Es ergibt sich somit ein Invaliditätsgrad von 26,7 % im Erwerbsbereich und 67 % im Haushaltbereich, woraus ein gewichteter Gesamtinvaliditätsgrad von 47 % resultiert.
Die vorinstanzliche Ablehnung des Anspruchs auf eine halbe Invalidenrente ist daher nicht zu beanstanden.
3.- a) Gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> hat der obsiegende Beschwerdeführer Anspruch auf Ersatz der Kosten der Prozessführung und Vertretung vor der kantonalen Rekursbehörde nach gerichtlicher Festsetzung. Ob und unter welchen Voraussetzungen ein Anspruch auf Parteientschädigung besteht, beurteilt sich somit nach Bundesrecht. Dieses enthält jedoch in den meisten Sozialversicherungszweigen keine Bestimmung über die Bemessung der Parteientschädigung und insbesondere keinen Tarif. Die Regelung dieser Frage ist dem kantonalen Recht überlassen. Mit diesem hat sich das Eidgenössische Versicherungsgericht grundsätzlich nicht zu befassen (Art. 128 OG in Verbindung mit Art. 97 Abs. 1 OG und <ref-law>). Es darf die Höhe einer Parteientschädigung nur daraufhin überprüfen, ob die Anwendung der für ihre Bemessung einschlägigen kantonalen Bestimmungen zu einer Verletzung von Bundesrecht geführt hat (Art. 104 lit. a OG). Dabei fällt in diesem Bereich praktisch nur das Willkürverbot des <ref-law> in Betracht. Nach der Rechtsprechung ist eine Entschädigung dann willkürlich, wenn sie eine Norm oder einen klaren unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (SVR 2001 AHV Nr. 4 S. 11 Erw. 2; zu Art. 4 Abs. 1 aBV ergangene, weiterhin geltende Rechtsprechnung: <ref-ruling> Erw. 3a, 114 V 86 Erw. 4a, je mit Hinweisen).
b) Das kantonale Gericht hat die Kostennote der Rechtsvertreterin gekürzt und diese Kürzung, entgegen den Ausführungen der Versicherten in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, begründet, indem es ausführt, der in Rechnung gestellte Aufwand gehe über das übliche Mass hinaus. Es liegt demnach keine Verletzung der Begründungspflicht vor.
c) Die von der Vorinstanz zugebilligte Parteientschädigung deckt einen Aufwand von 12 Stunden ab, was in Anbetracht des notwendigen Aufwands in vergleichbaren Fällen nicht zu beanstanden ist.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
II. Es werden keine Kosten erhoben.
III. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse des Kantons Bern und
dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 11. Juli 2002
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer:
i.V.
Die Gerichtsschreiberin: