Sachverhalt:
A. A.a Am 28. Januar 2009 machte das Konkursamt Bern-Mittelland, Dienststelle Bern, öffentlich bekannt, dass über X._ (bereits) am 27. Januar 2004 der Konkurs eröffnet worden sei und der Konkurs im summarischen Verfahren durchgeführt werde (SHAB Nr. 18 vom 28. Januar 2009). In der Folge meldete sich am 27. Februar 2009 die Bank A._ AG, mit Sitz in B._, beim Konkursamt mit der Mitteilung, dass X._ ein erhebliches Guthaben bei ihr besitze.
A.b Mit Verfügung vom 10. Juni 2009 stellte das Konkursamt gegenüber der Bank fest, dass vier (bestimmte) Konti Bestandteil der Konkursmasse seien, und forderte die Bank auf, die genannten Konti zu saldieren und den Saldo an das Konkursamt zu überweisen. Am 25. Juni 2009 überwies die Bank den Betrag von Fr. 753'218.15 an das Konkursamt. X._ verlangte daraufhin vom Konkursamt in verschiedenen Schreiben, dass der von der Bank überwiesene Betrag freizugeben sei. Mit Verfügung vom 22. September 2009 wies das Konkursamt sein Begehren um Aufhebung der Bankkonto-Sperre und der (an die Bank gerichteten) Verfügung vom 10. Juni 2009 ab.
B. X._ erhob gegen die Verfügung des Konkursamtes vom 22. September 2009 Beschwerde, auf welche das Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, vom 16. Dezember 2009 nicht eintrat. Gleichzeitig verzichtete die kantonale Aufsichtsbehörde auf die Einleitung eines Disziplinarverfahrens.
C. Mit als "öffentlichrechtlicher Beschwerde" bezeichneter Eingabe vom 11. Januar 2010 ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt im Wesentlichen, den Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde vom 16. Dezember 2009 aufzuheben und das Konkursamt anzuweisen, den von der Bank erhaltenen Betrag wieder an diese zurückzuüberweisen. Weiter ersucht er um aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Präsidialverfügung vom 21. Januar 2010 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung im Sinne der Erwägungen zuerkannt.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist der Beschwerdeentscheid einer kantonalen Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, welcher im Wesentlichen die konkursamtliche Feststellung des Konkursbeschlages eines Geldbetrages aus Bankguthaben zum Gegenstand hat, was in rein konkursrechtlicher Hinsicht von den Aufsichtsbehörden überprüft werden kann (BGE 32 I 774 E. 2 u. 3 S. 777; 77 III 34 E. 2 S. 35/36). Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Als solche ist die Eingabe des Beschwerdeführers entgegenzunehmen.
1.2 Der Beschwerdeentscheid der kantonalen Aufsichtsbehörden über eine Verfügung des Konkursamtes, inwieweit sich der konkursmässige Beschlag auf das schuldnerische Vermögen erstreckt (vgl. BGE 32 I 774 E. 2 u. 3 S. 777), stellt einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 1.2 S. 351). Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig.
1.3 Nach der Rechtsprechung ist der Gemeinschuldner befugt, Verfügungen der Konkursverwaltung und Gläubigerausschüsse - namentlich solche über die Verwertung der Aktiven der Konkursmasse sowie über die Erfassung und Sicherung des Konkursvermögens - mit Beschwerde (<ref-law>) anzufechten, wenn sie in seine rechtlich geschützten Rechte und Interessen eingreifen (<ref-ruling> E. 2 S. 2 mit Hinweisen). Dies ist nicht der Fall, wenn sich der Gemeinschuldner auf einen angeblichen den Gläubigern zugefügten oder drohenden Nachteil beruft (<ref-ruling> E. 2 S. 28/29). Der Beschwerdeführer verlangt hier die Feststellung, dass der Geldbetrag aus den Bankguthaben nicht vom Konkursbeschlag erfasst sei, da er daran wirtschaftlich nicht berechtigt sei, sondern das Geld "einem Dritten" gehöre. Er beruft sich weiter auf einen "grossen finanziellen Verlust des Darlehensgebers". Damit ist allerdings fraglich, inwiefern er sich auf seine eigenen rechtlich geschützten Rechte und (oder zumindest tatsächlichen schutzwürdigen) Interessen beruft, welche das Eintreten (bereits) der kantonalen Aufsichtsbehörde auf die Beschwerde rechtfertigen (vgl. bereits BGE 27 I 555 S. 556). Der Beschwerdeführer führt aber einen "eigenen absoluten Nachteil" an, weil angeblich eine ihm nach der Konkurseröffnung "bestätigte" Darlehenssumme zur Masse gezogen worden sei. Soweit es um die Abgrenzung des Konkursbeschlagsrechts gegenüber dem Schuldner selbst geht (vgl. BGE 77 III 34 E. 2 S. 35/36), sind rechtlich geschützte Interessen des Beschwerdeführers berührt. Ob der Beschwerdeführer ein in jedem Punkt hinreichendes Interesse im Sinne von <ref-law> hat, um zur Beschwerde in Zivilsachen befugt zu sein, braucht - beim vorliegenden Ausgang des Beschwerdeverfahrens - nicht abschliessend erörtert zu werden.
1.4 Disziplinarentscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden unterliegen von der Sache her der Beschwerde in Zivilsachen (Urteil 5A_112/2009 vom 7. Mai 2009 E. 1). Indessen ist der Beschwerdeführer als Anzeiger nicht legitimiert, diesen vorinstanzlichen Entscheid anzufechten (Urteil 5A_9/2008 vom 2. Juli 2008 E. 4; vgl. Urteil 7B.122/2002 vom 24. Juli 2002 mit Hinweisen). Auf seine verschiedenen Vorwürfe, wonach die Konkursorgane ihre Amtspflichten verletzt hätten, und die (sinngemässe) Rüge, die Vorinstanz habe zu Unrecht kein Disziplinarverfahren eröffnet, ist daher nicht einzutreten (<ref-law>).
1.5 In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Mit der Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
1.6 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>); neue Tatsachen und Beweismittel sind grundsätzlich unzulässig (<ref-law>). Zulässig ist einzig die Rüge, dass eine Tatsachenfeststellung auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhe oder eine Tatsache offensichtlich unrichtig festgestellt worden sei (<ref-law>), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
2. 2.1 Die Aufsichtsbehörde hat erwogen, dass die Beschwerde gegen die Verfügung des Konkursamtes vom 22. September 2009 verspätet sei, weil das Konkursamt bereits am 10. Juni 2009 entschieden habe, dass die Guthaben bzw. der Überschuss aus deren Saldierung vom Konkursbeschlag erfasst seien. Im Übrigen sei die Beschwerde unbegründet. Hierzu hat die Aufsichtsbehörde festgehalten, für den Einwand des Beschwerdeführers, der betreffende Geldbetrag stelle ein ihm gewährtes Darlehen dar, lägen keine hinreichenden Belege vor. Eine allfällige, bloss fiduziarische Berechtigung des Beschwerdeführers am Geldbetrag ändere am Konkursbeschlag nichts. Sodann spreche nichts dafür, dass am Geldbetrag ein Dritter wirtschaftlich berechtigt sei, zumal sich niemand gemeldet und eine Berechtigung am überwiesenen Guthaben geltend gemacht habe.
2.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Aufsichtsbehörde habe zu Unrecht angenommen, dass der von der Bank überwiesene Betrag ihm gehöre und daher vom Konkursbeschlag erfasst werde; es handle sich vielmehr um ein Darlehen. Die Aufsichtsbehörde habe Dokumente, welche bestätigten, dass das Geld geliehen sei bzw. er daran nicht wirtschaftlich berechtigt sei, übergangen. Der Beschwerdeführer rügt insbesondere die Verletzung von <ref-law> sowie u.a. einer Reihe von Verfassungsbestimmungen. Die Verfügung des Konkursamtes vom 10. Juni 2009 sei im Übrigen an die Bank gerichtet gewesen und nicht an ihn. Er habe (sinngemäss) von der betreffenden Verfügung keine Kenntnis gehabt, weshalb seine Beschwerde nicht verspätet sei.
3. Anlass zum Beschwerdeverfahren gibt die Verfügung des Konkursamtes, mit welchem die Bankguthaben des Beschwerdeführers eingefordert wurden, und die damit verbundene Frage, ob der Saldo aus den Guthaben, welche der Beschwerdeführer als Gemeinschuldner bei der Bank hat, dem Konkursbeschlag unterliegen. Unbestritten ist, dass die Bankkonti auf den Namen des Beschwerdeführers lauten.
3.1 Nach <ref-law> bildet sämtliches pfändbares Vermögen, das dem Schuldner zur Zeit der Konkurseröffnung gehört und gleich wo es sich befindet, eine einzige Masse, die zur gemeinsamen Befriedigung der Gläubiger dient (Abs. 1); Vermögen, das dem Schuldner vor Schluss des Konkursverfahrens anfällt, gehört gleichfalls zur Konkursmasse (Abs. 2). Dass der Beschwerdeführer als Inhaber des Bankkontos Berechtigter gegenüber der Bank ist, steht vorliegend nicht in Frage. Der Einwand des Beschwerdeführers, das Guthaben gegenüber der Bank falle nicht in die Konkursmasse, weil er daran nicht wirtschaftlich berechtigt sei, ist unbehelflich. Sachen und Rechte, die dem Schuldner fiduziarisch gehören, können grundsätzlich bei ihm gepfändet werden und fallen in einer Generalexekution in seine Konkurs- oder Nachlassmasse, auch wenn sie wirtschaftlich gesehen einem anderen zustehen (<ref-ruling> E. 3b S. 430). Aus den Angaben, welche der Beschwerdeführer im "Formular A" gegenüber der Bank gemacht hat, kann er nichts gegen den Konkursbeschlag ableiten. Das von den Banken zur Identifizierung des wirtschaftlich an den von ihren Klienten hinterlegten Werten Berechtigten verwendete "Formular A" entfaltet keinerlei privatrechtliche Wirkung; es ändert nichts daran, dass der Beschwerdeführer vertraglich Berechtigter gegenüber der Bank ist (Urteil 4C.108/2002 vom 23. Juli 2002 E. 3c/aa, in: Pra 2003 Nr. 51 S. 251; <ref-ruling> E. 5.3.1 S. 618). Insoweit ist nicht zu beanstanden, wenn die Aufsichtsbehörde die Auffassung des Konkursamtes bestätigt hat, dass das Guthaben bzw. der ausbezahlte Geldbetrag vom Konkursbeschlag erfasst ist. Dass das Konkursamt zum Forderungseinzug (vgl. <ref-law>) zuständig ist, wird vom Beschwerdeführer zu Recht nicht bezweifelt. Anlass zu Ausführungen zur Frage, wie Dritte vorgehen können, wenn ihre Vermögenswerte vom Konkursbeschlag getroffen werden, besteht nicht.
3.2 Soweit der Beschwerdeführer weiter geltend macht, die Aufsichtsbehörde habe übergangen, dass das Geld von einem Dritten (einem Kloster) bloss geliehen sei, und aus diesem Grund nicht "zu seinem Vermögen" gehöre, geht seine Argumentation ebenfalls ins Leere. Durch den Darlehensvertrag verpflichtet sich der Darlehensgeber zur Übertragung des Eigentums an einer Summe Geld (vgl. <ref-law>). Was dem Schuldner zu Eigentum zusteht, gehört aber zur Konkursmasse. Dies übergeht der Beschwerdeführer, und er legt nicht dar (<ref-law>), inwiefern die Aufsichtsbehörde die Regeln über die Reichweite des Konkursbeschlages (<ref-law>) verkannt habe, wenn sie die angefochtene Verfügung des Konkursamtes bestätigt hat. Der Beschwerdeführer weist vergeblich darauf hin, dass die Darlehensforderung in den Passiven des Konkurses aufzunehmen sei. Wohl wird mit dem Konkurs des Darlehensnehmers die Darlehenssumme grundsätzlich zur Rückzahlung fällig (<ref-law>) und kann der Darlehensgeber seine Forderung im Konkurs eingeben. Die Erwahrung der Forderungen (<ref-law>) ist jedoch nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheides und die Vorbringen des Beschwerdeführers gehen an der Sache vorbei.
3.3 Schliesslich wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, sie habe übergangen, dass nach den eingereichten Unterlagen das Geld aus einem Darlehen stamme, welches ihm am 27. April 2007 - mithin nach der Konkurseröffnung (am 27. Januar 2004) - "bestätigt" worden sei. Es trifft grundsätzlich zu, dass ein nach der Konkurseröffnung mit dem Gemeinschuldner abgeschlossener Darlehensvertrag die Konkursmasse nicht mehr berührt (KREN, Konkurseröffnung und schuldrechtliche Verträge, 1989, S. 55; vgl. Amonn/Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 8. Aufl. 2008, § 41 Rz 7), und zu Recht hat die Aufsichtsbehörde die Befugnis angenommen, über die streitige Abgrenzung (des Konkursbeschlagsrechts gegenüber dem Schuldner selbst) zu entscheiden (BGE 77 III 34 E. 2 S. 35/36). Sie hat festgehalten, dass für das behauptete Darlehen keine genügenden Belege vorliegen und der Beschwerdeführer aus den Kopien des undatierten Darlehensvertrages nichts zu seinen Gunsten ableiten könne. Wenn die Aufsichtsbehörde aus der "Darlehensbestätigung" vom 27. April 2007 des Klosters und dem undatierten "Darlehensvertrag", nach welchem das Kloster dem Beschwerdeführer auf unbestimmte Zeit ein zinsloses Darlehen von 1 Mio. Dollar gewähre, gefolgert hat, es liege kein Abschluss eines Darlehensvertrages vor, hat es einen Schluss in tatsächlicher Hinsicht getroffen. Mit seinem Vorbringen, die Aufsichtsbehörde habe die Beweismittel "für jedermann als falsch erkennbar" gewürdigt, wendet der Beschwerdeführer sich gegen die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz. Die Kritik erschöpft jedoch in unzulässiger appellatorischer Kritik an der Beweiswürdigung dar (E. 1.6). Insoweit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
3.4 Nach dem Dargelegten hält die von der Aufsichtsbehörde in der Sache getroffene (Eventual-)Begründung vor Bundesrecht stand. Unter diesen Umständen ist nicht zu prüfen, ob die Vorinstanz die Beschwerde des Beschwerdeführers zu Recht als verspätet erachten durfte.
3.5 Schliesslich ist der Vorwurf des Beschwerdeführers, die Aufsichtsbehörde habe sein rechtliches Gehör verletzt, unbehelflich. Er macht geltend, die Vorinstanz habe ihm nicht wie anbegehrt das Schreiben der Steuerverwaltung zugestellt, sondern ohne weiteres entschieden. Aus den Verfahrensakten geht hervor, dass der Präsident der Aufsichtsbehörde am 7. Dezember 2009 dem Beschwerdeführer mitgeteilt hat, dass die von ihm verlangte Beilage ("Schreiben der Steuerverwaltung der Stadt Bern vom 20. November 2008") zum Schreiben des Konkursamtes vom 8. Januar 2009 an den Konkursrichter des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen nicht aktenkundig sei. Mit diesem Schreiben vom 8. Januar 2009 beantragte das Konkursamt dem Konkursrichter die Durchführung des Konkurses im summarischen Verfahren, nachdem - wie im Schreiben erwähnt - die Steuerverwaltung sich bereit erklärt habe, den Kostenvorschuss zu leisten. Unter diesen Umständen ist nicht ersichtlich - und wird vom Beschwerdeführer nicht dargelegt -, inwieweit die betreffende Beilage eine rechtserhebliche Tatsache betreffe, welche bei der Beurteilung des Beschwerdegegenstandes eine entscheidende Rolle spiele, und die Aufsichtsbehörde ein form- und fristgerecht anerbotenes Beweismittel übergangen bzw. den Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>) im Beschwerdeverfahren verletzt habe. Von einer Verletzung des Gehörsanspruchs nach <ref-law> kann keine Rede sein. Inwiefern das Rechtsgleichheitsgebot (<ref-law>) verletzt sein soll, legt der Beschwerdeführer nicht dar (<ref-law>).
4. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde in Zivilsachen abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege kann infolge Aussichtslosigkeit nicht entsprochen werden (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Eingabe ist als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen.
2. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Konkursamt Bern-Mittelland, Dienststelle Bern, und dem Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. April 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante