Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. C._, geboren 1951, seit 1991 geschieden, ist ausgebildete Primarlehrerin und arbeitete zuletzt von 1990 bis Ende März 1999 als Sachbearbeiterin für die Ausgleichskasse Basel-Stadt, ab April 1996 mit einem Pensum von 60 %. Einem Schreiben der zuständigen Pensionskasse Q._ vom 6. Januar 2003 ist zu entnehmen, dass sich die Versicherte zufolge vollständiger Aufnahme der selbstständigen Erwerbstätigkeit als Kunstmalerin ab 1. April 1999 ihre Freizügigkeitsleistung bar auszahlen liess. Mit dem Hinweis, sie sei "in einer Erschöpfung und völligen Unfähigkeit, Kraft zu entwickeln", meldete sie sich am 5. September 2001 bei der IV-Stelle Basel-Stadt zum Rentenbezug an. Dr. med. J._, welche die Versicherte seit Januar 1999 behandelte, stellte in ihrem Bericht vom 4. November 2002 als Diagnosen mit Auswirkung auf die Arbeitsunfähigkeit einen seit 1995 zunehmenden chronischen Erschöpfungszustand bei hyperäthetisch-asthenischem Syndrom, einen Verdacht auf depressive Störung bei neurotischer Grundproblematik sowie seit der Kindheit chronisch-rezidivierende Abdominalbeschwerden fest. Weiter führte die behandelnde Ärztin aus, die Versicherte habe ihre Erwerbstätigkeit im März 1999 "teils aus gesundheitlichen Gründen, teils, weil sie eigenständig künstlerisch-kreativ tätig sein wollte", beendet. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine Arbeitsfähigkeit von über 30 % je wiedererlangen könne, sei aus ärztlicher Sicht sehr gering. Eine nächste Bestandesaufnahme sei frühestens in einem Jahr sinnvoll. Nach weiteren medizinischen und erwerblichen Abklärungen sprach die IV-Stelle der Versicherten bei einem Invaliditätsgrad von 50 % mit Wirkung ab 1. September 2000 eine halbe Invalidenrente zu (Verfügung vom 20. November 2003) und hielt mit Einspracheentscheid vom 15. September 2004 daran fest.
A. C._, geboren 1951, seit 1991 geschieden, ist ausgebildete Primarlehrerin und arbeitete zuletzt von 1990 bis Ende März 1999 als Sachbearbeiterin für die Ausgleichskasse Basel-Stadt, ab April 1996 mit einem Pensum von 60 %. Einem Schreiben der zuständigen Pensionskasse Q._ vom 6. Januar 2003 ist zu entnehmen, dass sich die Versicherte zufolge vollständiger Aufnahme der selbstständigen Erwerbstätigkeit als Kunstmalerin ab 1. April 1999 ihre Freizügigkeitsleistung bar auszahlen liess. Mit dem Hinweis, sie sei "in einer Erschöpfung und völligen Unfähigkeit, Kraft zu entwickeln", meldete sie sich am 5. September 2001 bei der IV-Stelle Basel-Stadt zum Rentenbezug an. Dr. med. J._, welche die Versicherte seit Januar 1999 behandelte, stellte in ihrem Bericht vom 4. November 2002 als Diagnosen mit Auswirkung auf die Arbeitsunfähigkeit einen seit 1995 zunehmenden chronischen Erschöpfungszustand bei hyperäthetisch-asthenischem Syndrom, einen Verdacht auf depressive Störung bei neurotischer Grundproblematik sowie seit der Kindheit chronisch-rezidivierende Abdominalbeschwerden fest. Weiter führte die behandelnde Ärztin aus, die Versicherte habe ihre Erwerbstätigkeit im März 1999 "teils aus gesundheitlichen Gründen, teils, weil sie eigenständig künstlerisch-kreativ tätig sein wollte", beendet. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine Arbeitsfähigkeit von über 30 % je wiedererlangen könne, sei aus ärztlicher Sicht sehr gering. Eine nächste Bestandesaufnahme sei frühestens in einem Jahr sinnvoll. Nach weiteren medizinischen und erwerblichen Abklärungen sprach die IV-Stelle der Versicherten bei einem Invaliditätsgrad von 50 % mit Wirkung ab 1. September 2000 eine halbe Invalidenrente zu (Verfügung vom 20. November 2003) und hielt mit Einspracheentscheid vom 15. September 2004 daran fest.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der C._ hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 26. Mai 2005 in dem Sinne teilweise gut, als es einen Invaliditätsgrad von 62 % ermittelte, demzufolge mit Wirkung ab 1. Januar 2004 eine Dreiviertelsrente zusprach und den Einspracheentscheid der IV-Stelle insoweit aufhob.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der C._ hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 26. Mai 2005 in dem Sinne teilweise gut, als es einen Invaliditätsgrad von 62 % ermittelte, demzufolge mit Wirkung ab 1. Januar 2004 eine Dreiviertelsrente zusprach und den Einspracheentscheid der IV-Stelle insoweit aufhob.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt C._ unter Aufhebung des kantonalen Gerichts- und des Einspracheentscheides die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente mit Wirkung ab 1. September 2000, eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur weiteren Abklärung und Neubeurteilung zurückzuweisen. Zudem ersucht die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Während die IV-Stelle auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherung (BSV) auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen über den Invaliditätsbegriff (Art. 8 Abs. 1 ATSG in Verbindung mit Art. 4 Abs. 1 IVG), den Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 28 Abs. 1 IVG in der bis Ende 2003 und in der ab 1. Januar 2004 gültigen Fassung) und die Bemessung des Invaliditätsgrades nach der Einkommensvergleichsmethode (Art. 16 ATSG) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt in Bezug auf die Ausführungen zur praxisgemässen Bedeutung ärztlicher Auskünfte im Rahmen der Invaliditätsschätzung (<ref-ruling> Erw. 4, 115 V 134 Erw. 2, 114 V 314 Erw. 3c, 105 V 158 Erw. 1), zum Beweiswert eines Arztberichtes (<ref-ruling> Erw. 3a) sowie zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte (<ref-ruling> Erw. 1c mit Hinweisen; ZAK 1986 S. 188 Erw. 2a). Richtig wiedergegeben ist ferner die Rechtsprechung zur Verwendung von Tabellenlöhnen bei der Ermittlung des trotz Gesundheitsschädigung zumutbarerweise noch realisierbaren Einkommens (Invalideneinkommen; <ref-ruling> f. Erw. 3b mit Hinweis; AHI 2002 S. 67 Erw. 3b) und zum in diesem Zusammenhang gegebenenfalls vorzunehmenden behinderungsbedingten Abzug (AHI 1999 S. 181 Erw. 3b; siehe auch <ref-ruling> ff. Erw. 5; AHI 2002 S. 67 ff. Erw. 4). Darauf wird verwiesen.
1.2 Die Beschwerdeführerin hat sich bereits im Jahre 2001 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Damit ist teilweise ein Sachverhalt zu beurteilen, der sich vor dem In-Kraft-Treten des ATSG am 1. Januar 2003 sowie der Änderungen des IVG vom 21. März 2003 und der IVV vom 21. Mai 2003 (4. IV-Revision) am 1. Januar 2004 verwirklicht hat, weshalb entsprechend den allgemeinen intertemporalrechtlichen Regeln für die Zeit bis 31. Dezember 2002 und bis 31. Dezember 2003 auf die damals geltenden Bestimmungen, ab diesen Zeitpunkten auf die Normen des ATSG und der 4. IV-Revision und deren Ausführungsverordnungen abzustellen ist (<ref-ruling> ff.), wobei die von der Rechtsprechung zu den Begriffen der Arbeitsunfähigkeit, der Erwerbsunfähigkeit und der Invalidität sowie zur Bestimmung des Invaliditätsgrades herausgebildeten Grundsätze unter der Herrschaft des ATSG prinzipiell weiterhin Geltung haben (<ref-ruling>).
1.2 Die Beschwerdeführerin hat sich bereits im Jahre 2001 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Damit ist teilweise ein Sachverhalt zu beurteilen, der sich vor dem In-Kraft-Treten des ATSG am 1. Januar 2003 sowie der Änderungen des IVG vom 21. März 2003 und der IVV vom 21. Mai 2003 (4. IV-Revision) am 1. Januar 2004 verwirklicht hat, weshalb entsprechend den allgemeinen intertemporalrechtlichen Regeln für die Zeit bis 31. Dezember 2002 und bis 31. Dezember 2003 auf die damals geltenden Bestimmungen, ab diesen Zeitpunkten auf die Normen des ATSG und der 4. IV-Revision und deren Ausführungsverordnungen abzustellen ist (<ref-ruling> ff.), wobei die von der Rechtsprechung zu den Begriffen der Arbeitsunfähigkeit, der Erwerbsunfähigkeit und der Invalidität sowie zur Bestimmung des Invaliditätsgrades herausgebildeten Grundsätze unter der Herrschaft des ATSG prinzipiell weiterhin Geltung haben (<ref-ruling>).
2. Streitig ist der Invaliditätsgrad.
2.1 Verwaltung und Vorinstanz gingen gestützt auf das Gutachten der Medizinischen Poliklinik X._ vom 26. Mai 2003 (nachfolgend: MUP-Gutachten) und die ergänzenden Berichte der MUP vom 24. Juni und 2. September 2003 davon aus, die Versicherte könne sowohl in ihrer angestammten kaufmännischen Tätigkeit als auch in ihrem erlernten Beruf als Primarlehrerin trotz des Gesundheitsschadens zumutbarerweise eine Arbeitsfähigkeit von 50 % erwerblich verwerten.
2.2 Demgegenüber wendet die Beschwerdeführerin ein, das MUP-Gutachten erfülle die an eine medizinische Expertise praxisgemäss gestellten Anforderungen nicht, weshalb darauf nicht abgestellt werden könne. Es fehle unter anderem an einer nachvollziebaren Begründung zur Bemessung der Arbeitsfähigkeit. Die Einschätzung der zumutbaren Leistungsfähigkeit beruhe auf Voraussetzungen (optimales salutogenetisches unterstützendes Umfeld, physische Rehabilitation und schrittweise körperliche Reaktivierung), welche nicht erfüllt seien. Die erwerbliche Verwertung einer Arbeitsfähigkeit von 50 % würde es ihr wegen Erschöpfung und chronischer Müdigkeit verunmöglichen, ihren Haushalt weiterhin selber zu besorgen, ein soziales Leben zu führen und Kontakte zu pflegen. Schliesslich sei im Rahmen der Bestimmung des Invaliditätsgrades anhand der Tabellenlöhne gemäss der vom Bundesamt für Statistik herausgegebenen Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) beim Invalideneinkommen ein leidensbedingter Abzug von 25 % zu berücksichtigen.
2.2 Demgegenüber wendet die Beschwerdeführerin ein, das MUP-Gutachten erfülle die an eine medizinische Expertise praxisgemäss gestellten Anforderungen nicht, weshalb darauf nicht abgestellt werden könne. Es fehle unter anderem an einer nachvollziebaren Begründung zur Bemessung der Arbeitsfähigkeit. Die Einschätzung der zumutbaren Leistungsfähigkeit beruhe auf Voraussetzungen (optimales salutogenetisches unterstützendes Umfeld, physische Rehabilitation und schrittweise körperliche Reaktivierung), welche nicht erfüllt seien. Die erwerbliche Verwertung einer Arbeitsfähigkeit von 50 % würde es ihr wegen Erschöpfung und chronischer Müdigkeit verunmöglichen, ihren Haushalt weiterhin selber zu besorgen, ein soziales Leben zu führen und Kontakte zu pflegen. Schliesslich sei im Rahmen der Bestimmung des Invaliditätsgrades anhand der Tabellenlöhne gemäss der vom Bundesamt für Statistik herausgegebenen Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) beim Invalideneinkommen ein leidensbedingter Abzug von 25 % zu berücksichtigen.
3. 3.1 Dem Bericht des die Versicherte am 11. September 2002 im Auftrag der Dr. med. J._ psychiatrisch explorierenden Dr. med. F._ vom 16. September 2002 ist unter anderem zur "Vorgeschichte" zu entnehmen:
"Etwa 1990 habe die Patientin bei der Ausgleichskasse Basel-Stadt als Sachbearbeiterin zu arbeiten begonnen, vorgängig habe sie jeweils nur kurze Arbeitseinsätze geleistet. Sie habe sich beruflich intensiv weitergebildet und sich eine gute Stelle schaffen können, wo sie vor allem selbständig gearbeitet habe. 1993 sei eine Hysterektomie erfolgt. 1995 habe sie begonnen, unter dem Pfeiffer'schen Drüsenfieber zu leiden, welches sich in den folgenden Jahren jeweils wiederholt habe. 1996 sei aus unbekannten Gründen eine Pankreatitis hinzugetreten. Aufgrund der dauernden krankheitsbedingten Ausfälle und der zunehmenden Mühe, die Leistungen zu erbringen, habe sie die Arbeit auf 60% reduziert. 1998 verstarb die Mutter, die Patientin habe in der Folge Geld geerbt, weshalb sie 1999 die Arbeit niedergelegt habe. Im gleichen Jahr: Meningitis in Sri Lanka mit notfallmässigem Rücktransport in die Schweiz. Sie sei drei Monate krank zu Hause gelegen. Im 2000 sei dann noch der Vater verstorben. Das Geld habe sie aus verschiedenen Gründen alles aufgebraucht, weshalb sie sich beim Arbeitsamt gemeldet habe. Aufgrund des starken Druckes beim Arbeitsamt habe sie im November 2001 einen 'Totalzusammenbruch' erlitten. Es sei dann einfach nichts mehr gegangen. Sie werde seither vom Sozialamt unterstützt."
Vom 8. bis 20. April 2002 weilte die Beschwerdeführerin zur stationären Behandlung ihres Erschöpfungszustandes in der Klinik Y._. Gemäss Entlassungsbericht vom 7. Juni 2002 zuhanden der Dr. med. J._ war die Versicherte im Zeitpunkt des Klinikeintritts untergewichtig (Body-Mass-Index von 18.2), schwach und erschöpft. Die klinische Untersuchung ergab dem Habitus entsprechende Normalbefunde. Breite laborchemische Untersuchungen fielen ebenso normal aus wie eine Sonographie des Abdomens. Die Symptomatik wurde als chronischer Erschöpfungszustand beurteilt. Die Behandlung zeigte "im Verlauf eine rasche Besserung des Allgemeinzustandes mit Normalisierung der Verdauung". Die Heileurythmie habe sie als sehr wohltuend empfunden. Trotz dieser positiven Behandlungsergebnisse berichtete Dr. med. J._ der IV-Stelle am 4. November 2002, dass die Beschwerdeführerin als Primarlehrerin höchstens zwei- bis dreimal pro Woche während zwei Stunden Nachhilfeunterricht erteilen könne. Weitere Tätigkeiten seien ihr nicht zumutbar, weil sie physisch und psychisch nicht belastbar sei. Dr. med. J._ begründete mit keinem Wort, weshalb nicht auf die Beurteilung der von ihr veranlassten Exploration des Psychiaters Dr. med. F._ abzustellen sei. Letzterer hielt dafür, dass es der Versicherten trotz des festgestellten neurasthenischen Syndroms und des Verdachts auf eine versteckte depressive Störung zumutbar sie, ihr neurotisches Fehlverhalten zu überwinden. Ihre eigenwilligen Vorstellungen von einer Lehrtätigkeit, welche sie kompromisslos umzusetzen versuche, erschwere natürlich die Wiederaufnahme einer Erwerbstätigkeit erheblich. Gestützt auf diese Beurteilung schätzte Dr. med. F._ die Arbeitsunfähigkeit auf 30 %. Die fachärztliche Empfehlung, sich einer psychotherapeutischen Behandlung zu unterziehen, lehnte die Beschwerdeführerin mit der Begründung ab, sie befürchte einerseits, dekompensieren zu müssen, und beschäftige sich andererseits bereits intensiv mit sich selbst, weshalb sie eine solche Therapie erst zu einem späteren Zeitpunkt ins Auge fassen könne. Der Magen-Darm-Spezialist Dr. med. G._ fand anlässlich einer Gastroduodenoskopie vom 10. Dezember 1998 unauffällige Verhältnisse. Derselbe Facharzt erhob auch bei einer Sonographie des Oberbauches am 6. Januar 1999 keine Pathologien. Im Rahmen der Hospitalisierung in der Medizinischen Klinik des Spitals Z._ vom 19. bis 23. Dezember 1999 (im Anschluss an einen Aufenthalt in einer Naturheilklinik in Sri Lanka) wurde als Ursache für den Infekt mit starken Kopfschmerzen zwar eine leichte Meningitis als "theoretisch denkbar" diskutiert, obwohl der Verlauf mit "spontaner" Besserung dagegen spreche.
Unter Mitberücksichtigung dieser Ausgangslage ist mit Verwaltung und Vorinstanz auf die Ergebnisse des MUP-Gutachtens vom 26. Mai 2003 abzustellen. Als Diagnosen mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit ist von einer Neurasthenie sowie von Untergewicht (bei den Differentialdiagnosen Mangelernährung und Colon irritabile) auszugehen, welche in der angestammten Tätigkeit als Sachbearbeiterin ab März 1999 zu einer anhaltenden Arbeitsunfähigkeit von 50 % führten. Es sind keine Gründe ersichtlich, weshalb nicht auf die schlüssigen, nachvollziehbaren und auf allseitigen Untersuchungen des Beschwerdeführers beruhenden Ergebnisse des MUP-Gutachtens abgestellt werden könnte. Bei dieser Ausgangslage durften Verwaltung und Vorinstanz zu Recht und ohne das rechtliche Gehör zu verletzen in antizipierter Beweiswürdigung (SVR 2001 IV Nr. 10 S. 28 Erw. 4b mit Hinweis auf <ref-ruling> Erw. 4b und 122 V 162 Erw. 1d) auf die Abnahme weiterer Beweise verzichten.
3.2 Dr. med. C._ hielt am 18. Oktober 2004 zuhanden des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin ausdrücklich fest, er selber sei von einer synonymen Verwendung der Begriffe "Neurasthenie" und "Chronic fatigue syndrome" (CFS) ausgegangen. Dennoch wandte er sich in seinem Schreiben an die IV-Stelle vom 14. August 2003 gegen die nach ICD-10 von Seiten der MUP gestellte Diagnose einer Neurasthenie (F48.0). Er "möge" diesen Ausdruck nicht besonders. Der Katalog gemäss ICD-10 sei mit Blick auf eine adäquate Erfassung des CFS lückenhaft. Die bisherige Forschung habe dieses Syndrom nicht als psychiatrische Erkrankung einordnen können. Die Annahme eines psychischen Gesundheitsschadens, wozu bei angeblich synonymer Verwendung der Begriffe "Neurasthenie" (F48.0 nach ICD-10) und "Chronic fatigue syndrome" auch die mit letzterer Bezeichnung umschriebene Befindlichkeitsstörung zählt, setzt jedoch zunächst eine fachärztlich (psychiatrisch) gestellte Diagnose nach einem wissenschaftlich anerkannten Klassifikationssystem voraus (<ref-ruling> Erw. 1.2, 130 V 398 ff. Erw. 5.3 und Erw. 6). Angesichts dieser Unklarheiten in den Ausführungen des Dr. med. C._ und unter Berücksichtigung der Erfahrungstatsache, dass Hausärzte und behandelnde Spezialärzte mitunter im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung in Zweifelsfällen eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagen (<ref-ruling> Erw. 3b/cc und Urteile S. vom 15. Februar 2005 [I 513/04] Erw. 3.4, R. vom 26. Juni 2003 [I 460/02] Erw. 2.2.3; vgl. auch Urteil K. vom 12. Juli 2004 [I 80/04] Erw. 3.3 mit Hinweis), kommt seinen Ausführungen im Gegensatz zum MUP-Gutachten nicht volle Beweiskraft zu. Dr. med. C._ nahm mit Blick auf die der Versicherten trotz ihrer Beschwerden verbleibenden Leistungsfähigkeit keine eigenständige Zumutbarkeitsbeurteilung vor, sondern schätzte die Restarbeitsfähigkeit auf höchstens 30 %, indem der auf die subjektiven Angaben der Beschwerdeführerin gemäss Anamnese im Bericht der Abteilung für Psychosomatik des Spitals Z._ vom 2. Mai 2003 abstellte. Das subjektive Empfinden der versicherten Person kann demgegenüber, insbesondere wenn es sich nicht mit der Auffassung der medizinischen Fachleute deckt, für sich allein nicht massgebend sein (Urteile G. vom 18. März 2005 [I 579/04] Erw. 4.1, T. vom 28. Mai 2004, I 677/03, Erw. 2.3.1). Entscheidend ist vielmehr, dass der Beschwerdeführerin bei Aufbietung allen guten Willens (<ref-ruling>; AHI 2001 S. 228 Erw. 2b mit Hinweisen) und in Nachachtung des im Sozialversicherungsrecht allgemein geltenden Grundsatzes der Schadenminderungspflicht (<ref-ruling> Erw. 3c, 117 V 278 Erw. 2b, 400, je mit Hinweisen; AHI 2001 S. 282 f. Erw. 5a/aa) die erwerbliche Verwertung einer Arbeitsfähigkeit von 50 % trotz ihres Gesundheitsschadens unter anderem in der angestammten Tätigkeit als Sachbearbeiterin zumutbar ist, wobei wegen der erhöhten Ermüdbarkeit eine tägliche Arbeitseinteilung von je einem etwa zweistündigen Einsatz vormittags und nachmittags zu empfehlen sei. Die MUP-Gutachter anerkannten somit durchaus den Einfluss der neurasthenischen Symptomatik auf die Leistungsfähigkeit, schätzten aber nach Würdigung der vorhandenen Akten und unter Berücksichtigung der in genügendem Ausmass festgestellten Ressourcen der Versicherten die Arbeitsfähigkeit auf 50 %. Nach dem Gesagten ist folglich entgegen der Beschwerdeführerin mit Verwaltung und Vorinstanz auf die Stellungnahme zur Arbeitsfähigkeit gemäss MUP-Gutachten abzustellen.
3.2 Dr. med. C._ hielt am 18. Oktober 2004 zuhanden des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin ausdrücklich fest, er selber sei von einer synonymen Verwendung der Begriffe "Neurasthenie" und "Chronic fatigue syndrome" (CFS) ausgegangen. Dennoch wandte er sich in seinem Schreiben an die IV-Stelle vom 14. August 2003 gegen die nach ICD-10 von Seiten der MUP gestellte Diagnose einer Neurasthenie (F48.0). Er "möge" diesen Ausdruck nicht besonders. Der Katalog gemäss ICD-10 sei mit Blick auf eine adäquate Erfassung des CFS lückenhaft. Die bisherige Forschung habe dieses Syndrom nicht als psychiatrische Erkrankung einordnen können. Die Annahme eines psychischen Gesundheitsschadens, wozu bei angeblich synonymer Verwendung der Begriffe "Neurasthenie" (F48.0 nach ICD-10) und "Chronic fatigue syndrome" auch die mit letzterer Bezeichnung umschriebene Befindlichkeitsstörung zählt, setzt jedoch zunächst eine fachärztlich (psychiatrisch) gestellte Diagnose nach einem wissenschaftlich anerkannten Klassifikationssystem voraus (<ref-ruling> Erw. 1.2, 130 V 398 ff. Erw. 5.3 und Erw. 6). Angesichts dieser Unklarheiten in den Ausführungen des Dr. med. C._ und unter Berücksichtigung der Erfahrungstatsache, dass Hausärzte und behandelnde Spezialärzte mitunter im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung in Zweifelsfällen eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagen (<ref-ruling> Erw. 3b/cc und Urteile S. vom 15. Februar 2005 [I 513/04] Erw. 3.4, R. vom 26. Juni 2003 [I 460/02] Erw. 2.2.3; vgl. auch Urteil K. vom 12. Juli 2004 [I 80/04] Erw. 3.3 mit Hinweis), kommt seinen Ausführungen im Gegensatz zum MUP-Gutachten nicht volle Beweiskraft zu. Dr. med. C._ nahm mit Blick auf die der Versicherten trotz ihrer Beschwerden verbleibenden Leistungsfähigkeit keine eigenständige Zumutbarkeitsbeurteilung vor, sondern schätzte die Restarbeitsfähigkeit auf höchstens 30 %, indem der auf die subjektiven Angaben der Beschwerdeführerin gemäss Anamnese im Bericht der Abteilung für Psychosomatik des Spitals Z._ vom 2. Mai 2003 abstellte. Das subjektive Empfinden der versicherten Person kann demgegenüber, insbesondere wenn es sich nicht mit der Auffassung der medizinischen Fachleute deckt, für sich allein nicht massgebend sein (Urteile G. vom 18. März 2005 [I 579/04] Erw. 4.1, T. vom 28. Mai 2004, I 677/03, Erw. 2.3.1). Entscheidend ist vielmehr, dass der Beschwerdeführerin bei Aufbietung allen guten Willens (<ref-ruling>; AHI 2001 S. 228 Erw. 2b mit Hinweisen) und in Nachachtung des im Sozialversicherungsrecht allgemein geltenden Grundsatzes der Schadenminderungspflicht (<ref-ruling> Erw. 3c, 117 V 278 Erw. 2b, 400, je mit Hinweisen; AHI 2001 S. 282 f. Erw. 5a/aa) die erwerbliche Verwertung einer Arbeitsfähigkeit von 50 % trotz ihres Gesundheitsschadens unter anderem in der angestammten Tätigkeit als Sachbearbeiterin zumutbar ist, wobei wegen der erhöhten Ermüdbarkeit eine tägliche Arbeitseinteilung von je einem etwa zweistündigen Einsatz vormittags und nachmittags zu empfehlen sei. Die MUP-Gutachter anerkannten somit durchaus den Einfluss der neurasthenischen Symptomatik auf die Leistungsfähigkeit, schätzten aber nach Würdigung der vorhandenen Akten und unter Berücksichtigung der in genügendem Ausmass festgestellten Ressourcen der Versicherten die Arbeitsfähigkeit auf 50 %. Nach dem Gesagten ist folglich entgegen der Beschwerdeführerin mit Verwaltung und Vorinstanz auf die Stellungnahme zur Arbeitsfähigkeit gemäss MUP-Gutachten abzustellen.
4. Zu prüfen bleibt die erwerbliche Seite.
4.1 Unbestritten ist, dass die Beschwerdeführerin an ihrer angestammten Arbeitsstelle im massgebenden Zeitpunkt des Rentenbeginns (1. September 2000) ohne Invalidität als Valideneinkommen mit einem Vollpensum einen Jahresverdienst von Fr. 79'609.- (= Fr. 6123.75 x 13) hätte erzielen können.
4.2 Nimmt die Versicherte wie vorliegend nach Eintritt des Gesundheitsschadens keine oder jedenfalls keine ihr an sich zumutbare neue Erwerbstätigkeit auf, so können für die Ermittlung des hypothetischen Einkommens nach Eintritt der Invalidität (Invalideneinkommen) die so genannten Tabellenlöhne gemäss LSE herangezogen werden (<ref-ruling> f. Erw. 3b/bb). Hier ist wie üblich (vgl. z.B. <ref-ruling> Erw. 7a) von der Tabelle A1 ("Monatlicher Bruttolohn [Zentralwert] nach Wirtschaftszweigen, Anforderungsniveau des Arbeitsplatzes und Geschlecht. Privater Sektor") der LSE auszugehen. Unter den gegebenen Umständen hat das kantonale Gericht zutreffend die Ausbildung, die Arbeitserfahrung und die bisherige Erwerbstätigkeit der Beschwerdeführerin berücksichtigt. Dabei stellte es auf den Durchschnittslohn von Frauen mit Berufs- und Fachkenntnissen (LSE 2000 S. 31 TA1 Anforderungsniveau 3) in den Bereichen Sozialversicherung, Unterrichtswesen, Gesundheits- und Sozialwesen sowie sonstige öffentliche und persönliche Dienstleistungen (LSE 2000, a.a.O., Zeilen 75-93) ab, welcher bei einer wöchentlichen Arbeitszeit von 40 Stunden im Jahre 2000 monatlich Fr. 4845.- (= [Fr. 4895.- + Fr. 5532.- + Fr. 4966.- + Fr. 3985.-] / 4) betrug. Gegen die Mitberücksichtigung des Durchschnittslohnes aus dem Bereich Unterrichtswesen ist nichts einzuwenden, zumal die Versicherte nach Angaben der Dr. med. J._ ab Sommer 2002 wieder angefangen hat, als Primarlehrerin einem achtjährigen Schüler Nachhilfeunterricht zu erteilen. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, ihr sei der Beruf als Lehrerin gemäss Bericht der Abteilung für Psychosomatik des Spitals Z._ vom 2. Mai 2003 nicht mehr zumutbar, steht diese Behauptung in direktem Widerspruch zu den tatsächlichen Verhältnissen. Bei Annahme einer im Jahr 2000 durchschnittlichen betriebsüblichen wöchentlichen Arbeitszeit in der öffentlichen Verwaltung, im Unterrichts- sowie im Gesundheits- und Sozialwesen von mindestens 41,6 Stunden (Die Volkswirtschaft 2005 Heft 7/8 S. 98 Tabelle B9.2 Zeilen L und N) entspricht dies einem Einkommen von monatlich Fr. 5039.- (= [Fr. 4845- : 40] x 41,6) und jährlich Fr. 60'468.- (= Fr. 5039.- x 12). Um den besonderen Einschränkungen der Versicherten (insbesondere der erhöhten Ermüdbarkeit mit Notwendigkeit einer Zweiteilung des Tagesarbeitspensums) Rechnung zu tragen, ist entgegen der Beschwerdeführerin unter Berücksichtigung der gesamten Umstände des Einzelfalles ein Abzug von höchstens 5 % (vgl. <ref-ruling> ff. Erw. 5b) zu rechtfertigen, sodass in den Verweisungstätigkeiten mit einem Vollpensum ein Jahreseinkommen von Fr. 57'445.- (= Fr. 60'468.- x 0,95) erzielbar wäre. Bei einer Restarbeitsfähigkeit von 50 % resultiert im Ergebnis ein trotz Gesundheitsschadens zumutbares Erwerbseinkommen (Invalideneinkommen) von Fr. 28'723.- (= Fr. 57'445.- x 0,5).
4.3 Aus der Gegenüberstellung dieses Invalideneinkommens auf der einen und des Valideneinkommens von Fr. 79'609.- (Erw. 5.1 hievor) auf der andern Seite ergibt sich ein Mindereinkommen von Fr. 50'886.- (= Fr. 79'609.- - Fr. 28'723.-) und gerundet (vgl. <ref-ruling>) ein Invaliditätsgrad von 64 % (= [Fr. 50'886.- / Fr. 79'609.-] x 100). Demnach steht der Versicherten mit Wirkung ab 1. September 2000 eine halbe und ab In-Kraft-Treten der 4. IV-Revision am 1. Januar 2004 (Erw. 1.2 hievor) eine Dreiviertelsrente zu. Der angefochtene Entscheid ist daher im Ergebnis nicht zu beanstanden.
4.3 Aus der Gegenüberstellung dieses Invalideneinkommens auf der einen und des Valideneinkommens von Fr. 79'609.- (Erw. 5.1 hievor) auf der andern Seite ergibt sich ein Mindereinkommen von Fr. 50'886.- (= Fr. 79'609.- - Fr. 28'723.-) und gerundet (vgl. <ref-ruling>) ein Invaliditätsgrad von 64 % (= [Fr. 50'886.- / Fr. 79'609.-] x 100). Demnach steht der Versicherten mit Wirkung ab 1. September 2000 eine halbe und ab In-Kraft-Treten der 4. IV-Revision am 1. Januar 2004 (Erw. 1.2 hievor) eine Dreiviertelsrente zu. Der angefochtene Entscheid ist daher im Ergebnis nicht zu beanstanden.
5. Da es um Versicherungsleistungen geht, sind gemäss Art. 134 OG keine Gerichtskosten zu erheben. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von den Gerichtskosten ist daher gegenstandslos. Die unentgeltliche Verbeiständung kann gewährt werden (Art. 152 in Verbindung mit Art. 135 OG), da die Bedürftigkeit aktenkundig ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung geboten war (<ref-ruling> Erw. 4a und 372 Erw. 5b, je mit Hinweisen). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 152 Abs. 3 OG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Advokat Dr. Axel Delvoigt, Basel, für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) ausgerichtet.
3. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Advokat Dr. Axel Delvoigt, Basel, für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, der Ausgleichskasse Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 10. Oktober 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer: Der Gerichtsschreiber: