Sachverhalt:
A.
B._ (Beschwerdegegner) erlitt mit seinem Mofa am 14. Juli 2001 einen Selbstunfall. Sein Sturz verursachte an beiden Armen Frakturen der Radiusköpfchen. Am 19. Juli 2001 wurde er am Kantonsspital Sarnen durch die Dres. med. C._ und D._ operiert. Postoperativ präsentierte sich rechts eine Fallhand. Am 8. August 2001 wurde eine axonale Läsion des Ramus profundus des Nervus radialis rechts festgestellt. Am 26. September 2001 erfolgte durch Dr. E._ im Kantonsspital Obwalden ein Sehnentransfer zur Animation der Langfingerstrecker, des Daumenstreckers und der Daumenabduktion. Vom 12. Dezember 2001 bis 20. März 2002 hielt sich der Beschwerdegegner in der Reha-Klinik Bellikon auf. Am 6. Mai 2002 nahm Dr. E._ am Kantonsspital Luzern "die Schraubenentfernung Radiusköpfchen rechts, Streckertenolyse rechts" vor.
B.
Am 2. Mai 2008 erhob der Beschwerdegegner beim Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden Klage gegen den Kanton Obwalden (Beschwerdeführer) und beantragte, dieser habe ihm Fr. 1'031'128.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 18. Juli 2001, Fr. 20'000.-- vorprozessuale Anwaltskosten sowie den Rentenausfallschaden gemäss Spezifikation nach Vorliegen des Beweisergebnisses, eventuell nach richterlicher Schadensschätzung gemäss <ref-law> zu bezahlen. Er machte geltend, die Operateure Dres. med. C._ und D._ hätten bei der Operation der Radiusköpfchenimpressionsfraktur rechts den Nervus radialis durchtrennt. Es liege sowohl eine Sorgfaltspflichtverletzung als auch eine Verletzung der Aufklärungspflicht vor.
Das Verfahren wurde zunächst antragsgemäss sistiert und im Sinne von Art. 1 Abs. 2 der Verordnung des Kantons Obwalden vom 9. März 1973 über das Verwaltungsgerichtsverfahren (GDB 134.14) der Bescheid der Aufsichtskommission des Kantonsspitals Obwalden eingeholt. Nachdem diese eine Haftung abgelehnt hatte, wurde das Verfahren fortgesetzt.
Mit Entscheid vom 21. Februar 2013 verpflichtete das Verwaltungsgericht den Beschwerdeführer, dem Beschwerdegegner Fr. 149'599.-- nebst verschiedenen Zinsbetreffnissen zu bezahlen. Es verneinte eine Sorgfaltspflichtverletzung bei der medizinischen Behandlung des Beschwerdegegners, bejahte aber eine Verletzung der Aufklärungspflicht. Den behaupteten Schaden erachtete es nur im zugesprochenen Umfang als gegeben bzw. erstellt.
C.
Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 21. Februar 2013 aufzuheben und die Klage vom 2. Mai 2008 vollumfänglich abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der bei ihm eingereichten Beschwerden von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 475 mit Hinweisen).
1.2. Gegenstand des angefochtenen Entscheids sind Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital nach dem kantonalen öffentlichen Haftungsrecht. Da solche Entscheide in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, kommt dagegen nach <ref-law> die Beschwerde in Zivilsachen in Betracht (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1 S. 465).
1.3. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen. Bei der letzten kantonalen Instanz muss es sich um ein oberes Gericht handeln (<ref-law>). Zudem muss dieses obere Gericht als Rechtsmittelinstanz entscheiden (<ref-law>), es sei denn, es liege einer der - hier nicht gegebenen - Ausnahmefälle von Art. 75 Abs. 2 lit. a-c BGG vor. Die den Kantonen zur Anpassung ihrer Bestimmungen an <ref-law> gewährte Übergangsfrist (<ref-law>) ist mit Inkrafttreten der schweizerischen Zivilprozessordnung am 1. Januar 2011 abgelaufen. Seit dem 1. Januar 2011 ist somit die Beschwerde in Zivilsachen, wie im Übrigen auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>), nur noch gegen Urteile letzter kantonaler Instanzen zulässig, die obere Gerichte sind und - unter Vorbehalt der Ausnahmen - auf Rechtsmittel hin entschieden haben (<ref-ruling> E. 1.1 S. 42; <ref-ruling> E. 2.1; Urteil 4A_655/2012 vom 25. Februar 2013 E. 1.6, zur Publikation vorgesehen).
1.4. Für die nach dem 1. Januar 2011 eröffneten Urteile gelten die Erfordernisse gemäss <ref-law> (oberes kantonales Gericht, das als Rechtsmittelinstanz entschieden hat) vollumfänglich. Die Kantone müssen demnach für Angelegenheiten, die am 1. Januar 2011 hängig waren, aber erst nach diesem Datum beurteilt wurden, ein Rechtsmittel an ein oberes kantonales Gericht vorsehen (Urteil 4A_655/2012 vom 25. Februar 2013 E. 1.6 mit Hinweisen, zur Publikation vorgesehen).
1.5. Vorliegend war das Verwaltungsgericht bei Einleitung der Klage am 2. Mai 2008 gestützt auf den dannzumal geltenden Art. 62 Abs. 1 lit. d GOG/OW als einzige kantonale Instanz zuständig für den Entscheid über die erhobene Klage. Der Entscheid wurde indes erst am 21. Februar 2013 gefällt, mithin nach dem 1. Januar 2011. Der Kanton Obwalden ist nach dem Gesagten von Bundesrechts wegen verpflichtet, gegen diesen Entscheid ein Rechtsmittel an ein oberes kantonales Gericht zur Verfügung zu stellen, das hinsichtlich Kognition den Anforderungen von <ref-law> genügt. Entsprechend hat das Bundesgericht in einem den Kanton Freiburg betreffenden Haftungsfall aus ärztlicher Behandlung in einem öffentlichen Spital entschieden (Urteil 4A_655/2012 vom 25. Februar 2013 E. 1.6 mit Hinweisen, zur Publikation vorgesehen).
Der Kanton Obwalden hat zwischenzeitlich seine Rechtsordnung an die bundesrechtlichen Anforderungen angepasst und sieht nunmehr für Streitigkeiten wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital einen doppelten Instanzenzug vor, nämlich in erster Instanz die Zuständigkeit des Kantonsgerichts mit Weiterzugsmöglichkeit an das Obergericht (Art. 35 Abs. 1 lit. b GOG/OW). Gemäss der Übergangsbestimmung von Art. 84b GOG/OW besteht die Zuständigkeit der Instanz, bei der ein Verfahren im Zeitpunkt der Justizreform hängig war, fort. Das Verwaltungsgericht behandelte deshalb das bei ihm hängige Verfahren weiter. Der Fortbestand der Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts kann aber nur bedeuten, dass es als erste Instanz über die Klage entscheiden konnte, indessen gegen sein erst nach dem 1. Januar 2011 gefälltes Urteil ein Rechtsmittel an ein oberes kantonales Gericht einzuräumen ist.
1.6. Aus dem Gesagten ergibt sich, dass auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann, weil sie sich gegen ein Urteil einer kantonalen Instanz richtet, die als erste Instanz und nicht als Rechtsmittelbehörde entschieden hat. Die Sache wird zur weiteren Behandlung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten und die Parteikosten wettzuschlagen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Sache wird zur Behandlung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer