Sachverhalt:
A.
Der türkische Staatsangehörige A._ (geb. 1969) reiste im Jahre 2003 in die Schweiz ein und stellte erfolglos ein Asylgesuch. Während der Hängigkeit des entsprechenden Rechtsmittelverfahrens heiratete er am 5. Januar 2005 die aus Thailand stammende Schweizer Bürgerin B._ (geb.1959), worauf er eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau erhielt. Bereits wenige Monate später erteilte das Zivilgericht Basel-Stadt den Eheleuten die Bewilligung zum Getrennntleben (Verfügung vom 22. November 2005).
Am 2. Juni 2006 setzte die Ehefrau die Migrationsdienste davon in Kenntnis, dass sie das Zusammenleben mit ihrem Ehemann wieder aufgenommen habe, worauf die kantonalen Behörden A._ die Aufenthaltsbewilligung mehrmals verlängerten, letztmals im Januar 2009. Im Rahmen der Prüfung zur Erteilung einer Niederlassungsbewilligung klärte das Migrationsamt in der Folge die eheliche Situation erneut ab und ordnete - zumal A._ im April 2010 im Kanton Zürich eine Drei-Zimmer-Wohnung gemietet hatte und angab, nur noch an den Wochenenden nach Basel zurückzukehren - unter Verweis auf das Vorliegen einer Scheinehe die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ an und wies diesen aus der Schweiz weg (Verfügung vom 21. Oktober 2010).
B.
Gegen diese Verfügung erhob A._ Rekurs beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt. Dieses kam in seinem Entscheid vom 30. November 2012 zum Ergebnis, es könne aufgrund der Beweiswürdigung "nicht rechtsgenüglich auf eine Scheinehe geschlossen werden", hielt dann aber dafür, die eheliche Gemeinschaft sei aufgelöst und wies den Rekurs ab.
Den gegen den Departementsentscheid an den Regierungsrat gerichteten Rekurs wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) mit Urteil vom 22. Oktober 2013 ebenfalls ab, nachdem es ihn zuständigkeitshalber zur Beurteilung übernommen hatte.
C.
A._ führt mit Eingabe vom 21. Januar 2014 "Einheitsbeschwerde und Verfassungsbeschwerde" beim Bundesgericht mit den Anträgen, in Aufhebung des letztgenannten Urteils ihm - dem Beschwerdeführer - die Niederlassungsbewilligung, eventuell eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen (recte: zu verlängern); eventualiter sei die Sache zur rechtskonformen Abklärung des Sachverhalts und anschliessendem Neuentscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt beantragt Abweisung der Beschwerde, ebenso das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und das Bundesamt für Migration (BFM, heute Staatssekretariat für Migration [SEM]).
Mit Verfügung vom 24. Januar 2014 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer beruft sich in vertretbarer Weise auf einen Aufenthaltsanspruch gemäss Art. 42 bzw. Art. 50 AuG (SR 142.20), weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 [e contrario], Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG); der Beschwerdeführer ist dazu legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Die ebenfalls eingereichte Verfassungsbeschwerde ist damit unzulässig, da diese subsidiärer Natur ist (Art. 113 BGG).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Neue Begehren sind unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer hatte zwar ursprünglich die Erteilung der Niederlassungsbewilligung beantragt, aber im Rekurs an das Justiz- und Sicherheitsdepartement vom 29. November 2010 und auch in demjenigen an den Regierungsrat (vom 7. Dezember 2012 [Anmeldung] und 18. Februar 2013 [Begründung]) wurde bloss die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung verlangt. Damit ist der Antrag auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung vor Bundesgericht unzulässig, und gleichzeitig ist die Rüge der Gehörsverletzung in diesem Zusammenhang (Beschwerde Rz. 41) unbegründet.
1.3. Das Bundesgericht prüft frei und von Amtes wegen die richtige Anwendung von Bundes- und Völkerrecht (Art. 95 lit. a und b, Art. 106 Abs. 1 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substanziert vorzubringen ist (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314 mit Hinweisen), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht kann allerdings auch den Sachverhalt von Amtes wegen berichtigen (Art. 105 Abs. 2 BGG), vor allem wenn die Vorinstanz einen rechtserheblichen Sachverhalt nicht oder nicht vollständig festgestellt hat, sich dieser aber aus den Akten ergibt.
Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 ff.; Urteile 2C_678/2013 vom 28. April 2014 E. 3.3; 2C_1273/2012 vom 13. Juni 2013 E. 1.7, ASA 82 S. 72; in Bezug auf Scheinehe: Urteile 2C_389/2014 vom 19. Mai 2014 E. 2.1; 2C_217/2014 vom 20. März 2014 E. 2.1; 2C_244/2010 vom 15. November 2010 E. 3.3).
1.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Echte Noven können von vornherein nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.; <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229). Das gilt hier auch für den vom Justiz- und Sicherheitsdepartement vernehmlassungsweise eingebrachten Verdacht, es liege eine Mehrfachehe vor.
2.
Ausländische Ehegatten und ledige Kinder unter 18 Jahren von Schweizerinnen und Schweizern haben Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen (Art. 42 Abs. 1 AuG).
Die Vorinstanz hat nach ausführlicher Würdigung des Sachverhalts festgestellt (E. 2.6.1 - 2.6.3 des angefochtenen Entscheides), es fehle - im Zeitpunkt ihres Urteils - bei den Eheleuten sowohl an einer Wohn- , als auch an einer Ehegemeinschaft. Der Beschwerdeführer erhebt gegen diese Sachverhaltsfeststellung und der ihr zugrunde liegenden Beweiswürdigung keine hinreichenden Rügen. Die Sachverhaltsfeststellung ist damit für das Bundesgericht verbindlich (vorne E. 1.2), und der Beschwerdeführer hat entsprechend aus Art. 42 Abs. 1 AuG keinen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung.
3.
3.1. Gemäss Art. 50 Abs. 1 AuG besteht nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft der Anspruch des Ehegatten auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach den Artikeln 42 und 43 weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht (lit. a); oder wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (lit. b).
Das Appellationsgericht hat zwar nicht ausdrücklich festgestellt, in welchem Zeitpunkt im vorliegenden Fall die Ehegemeinschaft aufgelöst worden ist, geht aber - indem es die Feststellung seiner Vorinstanz, es habe eine solche jedenfalls vom 1. Oktober 2006 bis Ende Dezember 2009/Januar 2010 bestanden, nicht in Zweifel zieht - vom Erreichen der in Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG gesetzlich verlangten Dreijahresfrist aus. Der Beschwerdeführer hat damit Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung, wenn er erfolgreich integriert ist, was die Vorinstanz verneint hat und was hier einzig noch zu prüfen ist.
3.2. Die Integration soll längerfristig und rechtmässig anwesenden Ausländerinnen und Ausländern ermöglichen, am wirtschaftlichen, sozialen und kulturellen Leben der Gesellschaft teilzuhaben (Art. 4 Abs. 2 AuG; vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 4 f.). Dazu ist erforderlich, dass sich Ausländerinnen und Ausländer mit den gesellschaftlichen Verhältnissen und Lebensbedingungen in der Schweiz auseinandersetzen und insbesondere eine Landessprache erlernen (Art. 2 Abs. 4 AuG). Nach Art. 77 Abs. 4 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE, SR 142.201) liegt eine erfolgreiche Integration nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG vor, wenn die Ausländerin oder der Ausländer namentlich die rechtsstaatliche Ordnung und die Werte der Bundesverfassung respektiert (lit. a) sowie den Willen zur Teilnahme am Wirtschaftsleben und zum Erwerb der am Wohnort gesprochenen Landessprache bekundet (lit. b, vgl. Urteile 2C_930/2012 vom 10. Januar 2013 E. 3.1, 2C_14/2014 vom 27. August 2014 E. 4.6.1). Nach Art. 4 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über die Integration von Ausländerinnen und Ausländern (VintA; SR 142.205) zeigt sich der Beitrag der Ausländerinnen und Ausländer zu ihrer Integration namentlich in der Respektierung der rechtsstaatlichen Ordnung und der Werte der Bundesverfassung (lit. a), im Erlernen der am Wohnort gesprochenen Landessprache (lit. b), in der Auseinandersetzung mit den Lebensbedingungen in der Schweiz (lit. c) sowie im Willen zur Teilnahme am Wirtschaftsleben und zum Erwerb von Bildung (lit. d). Das Bundesgericht hat festgehalten, dass das Adverb "namentlich", welches sowohl in Art. 77 Abs. 4 VZAE wie auch in Art. 4 VintA verwendet wird, auf den nicht ausschliesslichen Charakter der in diesen Bestimmungen aufgezählten Kriterien hinweist. Bei der Prüfung der Integrationskriterien verfügen die zuständigen Behörden über einen grossen Ermessensspielraum, in welchen das Bundesgericht nur zurückhaltend eingreift (vgl. Art. 54 Abs. 2 und Art. 96 Abs. 1 AuG; vgl. Urteil 2C_668/2011 vom 23. Juli 2012 E. 3.2.1).
Bei einem Ausländer, der in der Schweiz beruflich integriert ist und eine feste Anstellung hat, immer finanziell unabhängig war, sich korrekt verhält und die örtliche Sprache beherrscht, bedarf es ernsthafter besonderer Umstände, um eine erfolgreiche Integration zu verneinen (Urteile 2C_749/2011 vom 20. Januar 2012 E. 3.3; 2C_839/2010 vom 25. Februar 2011 E. 7.1.2). Nicht erforderlich ist eine besonders qualifizierte berufliche Karriere (Urteil 2C_430/2011 vom 11. Oktober 2011 E. 4.2). Auch das Fehlen besonders enger sozialer Beziehungen schliesst für sich allein eine erfolgreiche Integration nicht aus (Urteil 2C_839/2010 vom 25. Februar 2011 E. 7.1.2), ebenso wenig das Fehlen von Vereinsmitgliedschaften (Urteil 2C_427/2011 vom 26. Oktober 2011 E. 5.3). Keine erfolgreiche Integration liegt vor, wenn eine Person kein Erwerbseinkommen erwirtschaften kann, welches ihren Konsum zu decken vermag, und während einer substantiellen Zeitdauer von Sozialleistungen abhängig ist (Urteile 2C_857/2010 vom 22. August 2011 E. 2.3.1; 2C_546/2010 vom 30. November 2010 E. 5.2.3 f.).
Geringfügige Strafen schliessen eine Integration nicht aus (Urteil 2C_749/2011 vom 20. Januar 2012 E. 4.3). Umgekehrt ergibt sich aus dem Umstand, dass die ausländische Person sich strafrechtlich nichts zuschulden hat kommen lassen und ihr Unterhalt ohne Sozialhilfe gewährleistet erscheint, für sich allein noch keine erfolgreiche Integration (Urteil 2C_830/2010 vom 10. Juni 2011 E. 2.2.2). Ein Indiz gegen eine erfolgreiche Integration ist der Umstand, dass das gesellschaftliche Leben einer ausländischen Person primär mit Angehörigen des eigenen Landes erfolgt (Urteil 2C_749/2011 vom 20. Januar 2012 E. 3.3; 2C_546/2010 vom 30. November 2010 E. 5.2.4).
3.3. Es wird von keiner Seite in Zweifel gezogen, dass der Beschwerdeführer als selbständiger Lebensmittelhändler für "Halal-Fleisch, Frisch-Poulet, Cevapcici, Hamburger und Wurstwaren" beruflich integriert erscheint, und er hat auch nie Sozialhilfe bezogen. Die Vorinstanz hat dessen fehlende Integration mit seinen mangelnden Sprachkenntnissen, der Straffälligkeit und seinen Schulden begründet. Der Beschwerdeführer rügt auch in diesem Zusammenhang, der Sachverhalt sei von der Vorinstanz offensichtlich unrichtig bzw. unvollständig festgestellt worden (dazu hinten E. 3.5 und 3.6).
3.4. Vorab rügt er allerdings eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör, da das Migrationsamt die Voraussetzungen von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG gar nie geprüft habe, die Rechtsmittelinstanzen jedoch schon. Diese Rüge ist unbegründet: Sowohl die erste Rechtsmittelbehörde (das Justiz- und Sicherheitsdepartement) wie auch die Vorinstanz haben aufgrund des Grundsatzes der Rechtsanwendung von Amtes wegen die Regelung von Art. 50 AuG zulässigerweise geprüft, auch wenn das Migrationsamt den von ihm festgestellten Sachverhalt ursprünglich bloss auf das Vorliegen einer Scheinehe untersucht hat. Ausserdem hat die Vorinstanz den Sachverhalt und die Rechtsanwendung frei geprüft (vgl. Ziff. 1 des angefochtenen Entscheides). Aus denselben Gründen ist auch die Rüge unbegründet, wonach die Voraussetzungen von Art. 50 AuG nicht retrospektiv hätten geprüft werden dürfen (Rz. 31, 35 und 40 der Beschwerdeschrift).
Allerdings hat das Appellationsgericht im angefochtenen Entscheid den Sachverhalt zwar umfassend und ausführlich zum Thema "Scheinehe" untersucht, dann aber, nachdem es die Erwägungen seiner Vorinstanz zur erreichten Dreijahresfrist der Ehegemeinschaft von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG nicht in Zweifel gezogen hat (vorne E. 3.1), das dort kumulativ verlangte Kriterium der "erfolgreichen Integration" eher summarisch beurteilt und verschiedene relevante Aspekte nicht oder nicht vollständig festgestellt. Dies kann - zumal sich die noch fehlenden Sachverhaltselemente ohne Weiteres aus den Akten ergeben - das Bundesgericht hier nachholen (Art. 105 Abs. 2 BGG; vorne E. 1.3), was den sonst bestehenden Ermessensspielraum der vorinstanzlichen kantonalen Behörden indessen relativiert (vorne E. 3.2).
3.5. Was die deutschen Sprachkenntnisse des Beschwerdeführers betrifft, hat die Vorinstanz diesen in mündlicher Verhandlung persönlich angehört und festgehalten, ohne Dolmetscher wäre keine Kommunikation möglich gewesen (S. 10 des angefochtenen Urteils). Insbesondere daraus schliesst das Gericht auf ungenügende Sprachkenntnisse. Der Beschwerdeführer selber macht - gemäss gängiger Globalskala - ein Sprachniveau A2 geltend (sich auf einfache Weise in typischen alltäglichen Situationen verständigen und kurze Gespräche führen), was er vor Bundesgericht auch belegt. Die diesbezüglichen Dokumente, die er einreicht, sind zwar Noven. Diese können aber einerseits durch den angefochtenen Entscheid veranlasst gelten (vorne E. 1.4); zudem bestätigen sie bloss, was bereits aus den Akten hervorgeht, nämlich dass der Beschwerdeführer gemäss Protokollen der Kantonspolizei "gebrochen deutsch", nach anderen Quellen "eigentlich recht gut Deutsch" (Protokoll der Sicherheitsdienste vom 15. Dezember 2005) bzw. "ziemlich gut Deutsch" (Protokoll der Dienste Basel-Stadt vom 1. Dezember 2005) spricht und sich jedenfalls auf einfache Weise in alltäglichen Situationen verständigen kann. Eine solche einfache Verständigung im Alltag ist wohl vereinbar mit der vorinstanzlichen Feststellung, dass in einer Gerichtsverhandlung eine Kommunikation ohne Dolmetscher nicht möglich gewesen wäre, doch durfte das Appellationsgericht dadurch - bei der Prüfung der Integrationsvoraussetzungen - nicht unbesehen auf mangelnde Sprachkenntnisse des Beschwerdeführers schliessen: Gemäss Art. 62 Abs. 1 lit. b VZAE wird das Sprachniveau A2 für eine Erteilung der Niederlassungsbewilligung nach Art. 34 Abs. 4 AuG verlangt (um die es hier gerade nicht geht); dieses Niveau gilt somit als erfolgreiche Integration. Für eine Integration im Sinne von Art. 31 Abs. 1 lit. a VZAE verlangt das Staatsekretariat bloss das Niveau A1 (Weisungen AuG Ziff. 5.6.4.1.2); ein Niveau B1 ist nur erforderlich für Personen mit einer Lehr- oder Betreuungsaufgabe (Weisungen Integration Ziff. 2.3.3, 2.3.5), die hier ebenfalls nicht zur Diskussion steht.
Der Beschwerdeführer erscheint damit in sprachlicher Hinsicht hinreichend integriert.
3.6. Sodann liegen gegen ihn zwei rechtskräftige strafrechtliche Verurteilungen vor: Am 2. Februar 2011 wurde er von der Eidgenössischen Zolldirektion wegen mehrfacher illegaler Einfuhr von Fleischwaren und anderen Lebensmitteln mit Fr. 6'600.-- gebüsst; ebenso erhielt er im selben Jahr eine unbedingte Geldstrafe von 120 Tagessätzen à Fr. 50.-- . Grund dafür war das Beschäftigen von Ausländern ohne Bewilligung in seinem Ladengeschäft am 8. August 2011.
Diese Delikte sind nicht zu bagatellisieren, haben aber - zumal der Beschwerdeführer kooperierte, sich jeweils einsichtig zeigte und sich bis zum angefochtenen Urteil nichts mehr zu Schulden kommen liess - nicht genügend Gewicht, um ihm eine erfolgreiche Integration im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG abzusprechen.
Gleiches gilt unter Berücksichtigung seiner wirtschaftlichen Situation: Aus dem angefochtenen Entscheid (S. 15) ergibt sich, dass zwar für eine Forderung der Profond Vorsorgestiftung von Fr. 8'217.20 noch ein Verlustschein besteht. Anderseits erscheint gemäss der Vorinstanz eine (offenbar ältere) Steuerforderung von Fr. 6'872.50 nicht mehr im Betreibungsregisterauszug und belegt der Beschwerdeführer mit neuen Unterlagen - die aufgrund des dort erhobenen Steuerschuldenvorwurfs wiederum als durch den angefochtenen Entscheid veranlasst gelten können -, dass die Steuersaldi für die Jahre 2010-2012 ausgeglichen sind bzw. "alle bis heute fälligen Steuern für Kanton und Bund bezahlt worden sind". Es kann damit von einer allmählichen Beruhigung der wirtschaftlichen Lage ausgegangen werden.
3.7. Die Voraussetzungen von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG sind im Falle des Beschwerdeführers damit allesamt zu bejahen; entgegen der Auffassung der Vorinstanz auch seine "erfolgreiche Integration" im Sinne dieser Gesetzesbestimmung. Der Beschwerdeführer hat damit einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung; und seine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der letztgenannte Nichteintretenspunkt (vgl. dazu vorne E. 1.2) ist im bereits versandten Urteilsdipositiv nicht enthalten. Dieses wird daher gemäss Art. 129 Abs. 1 BGG von Amtes wegen berichtigt.
4.
Heisst das Bundesgericht die Beschwerde gut, so entscheidet es in der Sache selbst oder weist diese zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurück. Es kann die Sache auch an die Behörde zurückweisen, die als erste Instanz entschieden hat (Art. 107 Abs. 2 BGG).
Vorliegend erscheint es angezeigt, das angefochtene Urteil aufzuheben und das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt anzuweisen, dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
Bei diesem Ausgang sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Hingegen hat der Kanton Basel-Stadt den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Das Appellationsgericht wird über die Kostenverlegung im kantonalen Verfahren neu zu entscheiden haben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) vom 22. Oktober 2013 aufgehoben.
2.
Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt wird angewiesen, dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Basel-Stadt hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) hat über die Kostenverlegung im kantonalen Verfahren neu zu entscheiden.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein