Sachverhalt:
A. Der 1981 geborene kosovarische Staatsangehörige X._ ist 1998 mit einem Besuchervisum in die Schweiz eingereist und beantragte hier eine Aufenthaltsbewilligung. Nach Ablehnung seines Antrags stellte er ein Asylgesuch, welches ebenfalls rechtskräftig abgewiesen wurde. Am 4. Januar 2001 heiratete er seine 1980 geborene Landsfrau Y._, welche zu jener Zeit über eine Aufenthaltsbewilligung verfügte. Aus dieser Beziehung ging der Sohn Z._ (geb. 2001) hervor. Y._ und Z._ wurden im Jahr 2007 eingebürgert. X._ erhielt aufgrund seiner Ehe eine Aufenthaltsbewilligung, welche mehrmals verlängert wurde.
X._ wurde in der Schweiz wiederholt straffällig:
Am 2. Juni 2000 wurde er von der Bezirksanwaltschaft Uster wegen mehrfachen Diebstahls sowie Hausfriedensbruchs zu einer bedingt vollziehbaren Gefängnisstrafe von drei Monaten verurteilt;
Das Kantonsgericht Glarus verurteilte ihn am 19. Februar 2003 zu einer bedingt vollziehbaren Gefängnisstrafe von 15 Monaten wegen gewerbs- und bandenmässigen Diebstahls;
Mit Strafbefehl vom 26. Januar 2004 sprach ihn die Bezirksanwaltschaft Uster der mehrfachen Entwendung eines Motorfahrzeugs zum Gebrauch, des mehrfachen Fahrens ohne Führerausweis und der Verletzung von Verkehrsregeln schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingt vollziehbaren Gefängnisstrafe von 10 Tagen sowie zu einer Busse von Fr. 500.--;
Das Bezirksgericht Dielsdorf verurteilte ihn am 29. Januar 2007 wegen mehrfachen Diebstahls, teilweise Versuch dazu, mehrfacher Sachbeschädigung, mehrfachen Hausfriedensbruchs, mehrfacher Entwendung eines Motorfahrzeugs zum Gebrauch, mehrfachen Führens eines Motorfahrzeugs trotz Entzug des Lernfahrausweises und Vergehen gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer bedingt vollziehbaren Freiheitsstrafe von 15 Monaten.
B. Nachdem X._ bereits am 8. August 2002 vom Migrationsamt des Kantons Zürich verwarnt worden war, lehnte dieses mit Verfügung vom 5. September 2007 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ unter Hinweis auf dessen Delinquenz ab. Hiergegen rekurrierte dieser erfolglos beim Regierungsrat des Kantons Zürich. Eine beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eingereichte Beschwerde wurde mit Urteil vom 3. September 2008 abgewiesen.
C. Mit Eingabe vom 10. November 2008 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen die Gutheissung seines Gesuchs um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und mithin die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils.
Das Bundesamt für Migration und der Regierungsrat des Kantons Zürich schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Mit Verfügung vom 18. November 2008 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 <ref-law> schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
1.2 Das streitige Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung wurde eingereicht, bevor das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) per 1. Januar 2008 in Kraft getreten ist. Es ist daher noch gemäss den Bestimmungen des inzwischen aufgehobenen Bundesgesetzes vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seinen Ausführungserlassen zu beurteilen (Art. 126 Abs. 1 AuG).
1.3 Gemäss Art. 4 ANAG entscheidet die zuständige Behörde, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Es besteht damit grundsätzlich kein Rechtsanspruch auf Erteilung oder Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn, der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts (einschliesslich Bundesverfassungsrecht) oder eines Staatsvertrages berufen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 189; <ref-ruling> E. 2 S. 284; <ref-ruling> E. 1.1.1 S. 148, mit Hinweisen).
1.4 Gemäss Art. 7 Abs. 1 ANAG (in der Fassung vom 23. März 1990) hat der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Der Beschwerdeführer ist mit einer in der Schweiz eingebürgerten Landsfrau verheiratet. Damit steht ihm gestützt auf die erwähnte Bestimmung im Grundsatz ein Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung zu. Ein analoger Anspruch besteht zudem aufgrund des in Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> garantierten Rechts auf Achtung des Familienlebens, wenn nahe Angehörige - wie vorliegend die Ehefrau und das gemeinsame Kind - über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz verfügen und die familiäre Beziehung tatsächlich gelebt wird und intakt ist (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 285 f.; <ref-ruling> E. 5.3.1 S. 211, je mit Hinweisen). Aufgrund dieses Rechtsanspruchs erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als zulässig.
1.5 Der Beschwerdeführer ist als Adressat des angefochtenen Entscheids ohne weiteres zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Auf die im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde ist daher einzutreten.
2. Wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, erlischt der Anspruch des ausländischen Ehegatten eines Schweizer Bürgers auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn ein Ausweisungsgrund vorliegt (Art. 7 Abs. 1 Satz 3 ANAG), d.h. unter anderem wenn der Ausländer wegen eines Verbrechens oder Vergehens gerichtlich bestraft wurde (Art. 10 Abs. 1 lit. a ANAG). Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung ist indes nur dann zulässig, wenn die gebotene Interessenabwägung (Art. 11 Abs. 3 ANAG bzw. Art. 8 Ziff. 2 EMRK) die Massnahme als verhältnismässig erscheinen lässt (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 523). Dabei sind namentlich die Schwere des Verschuldens des Ausländers, die Dauer seiner Anwesenheit in der Schweiz sowie die ihm und seiner Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen (vgl. Art. 16 Abs. 3 der vormaligen Vollziehungsverordnung vom 1. März 1949 zum Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer [ANAV]; <ref-ruling> E. 3 f. S. 216 ff.). Unter diesem Gesichtswinkel ist namentlich auch zu fragen, ob den nahen Familienangehörigen zugemutet werden kann, dem Ausländer, der keine Bewilligung (mehr) erhält, ins Ausland zu folgen. Die Zumutbarkeit der Ausreise für nahe Familienangehörigen ist umso eher zu bejahen, als dessen Verhalten einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz als unerwünscht erscheinen lässt. Eine allfällige Unzumutbarkeit der Ausreise ist mitabzuwägen, führt aber für sich allein nicht zur Unzulässigkeit einer Bewilligungsverweigerung (<ref-ruling> E. 2 S. 6; <ref-ruling> E. 4b S. 131). Ausgangspunkt und Massstab für die Schwere des Verschuldens und die fremdenpolizeiliche Interessenabwägung ist die vom Strafrichter verhängte Strafe (<ref-ruling> E. 3.1 S. 216; <ref-ruling> E. 4b S. 14).
3. Im vorliegenden Fall ist evident und unbestritten, dass der Beschwerdeführer aufgrund seiner wiederholten und erheblichen Delinquenz den Ausweisungsgrund von Art. 10 Abs. 1 lit. a ANAG erfüllt hat. Die Verweigerung der Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung erweist sich demnach als statthaft, wenn sie auch dem Prinzip der Verhältnismässigkeit zu genügen vermag.
3.1 In diesem Zusammenhang hat das Verwaltungsgericht im angefochtenen Entscheid ausgeführt, dass ein signifikantes öffentliches Interesse an der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers bestehe: Dieser habe wiederholt in gewerbsmässiger Weise gegen die öffentliche Ordnung und Sicherheit verstossen, das Gastrecht missbraucht und (bedingt vollziehbare) Gefängnis- bzw. Freiheitsstrafen von insgesamt über 33 Monaten verwirkt. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sei bei einer Verurteilung zu einer zweijährigen oder längeren Freiheitsstrafe grundsätzlich von einem schweren Verstoss gegen die Rechtsordnung auszugehen und regelmässig keine Aufenthaltsbewilligung mehr zu erteilen (sog. "Reneja-Praxis"; vgl. <ref-ruling>). Zwar gelte diese "Zweijahresregel" primär für ausländische Personen, welche erstmalig um eine Aufenthaltsbewilligung ersuchen oder nach nur kurzem Aufenthalt in der Schweiz eine Verlängerung der Bewilligung beantragen. Wenn sich ein Ausländer schon längere Zeit in der Schweiz aufhalte, könne diese Praxis nicht unbesehen angewendet werden; indes sei auch dann die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht zwingend. Im vorliegenden Fall sei die kriminelle Laufbahn des Beschwerdeführers aufgrund ihrer Dauer und der Vielzahl der verübten Taten nicht zu verharmlosen. Selbst wenn der Beschwerdeführer in den letzten Jahren nicht delinquiert hätte, könnte ihm keine günstige Prognose gestellt werden. Jedoch sei den Akten zu entnehmen, dass er auch in der jüngeren Vergangenheit die Justiz bzw. die Ermittlungsbehörden wiederholt beschäftigt habe: Drei verschiedene Strafverfahren wegen Körperverletzung und Drohung, welchen Ereignisse zwischen Februar 2004 und Ende November 2005 zugrunde lägen, seien wegen Rückzugs des Strafantrages eingestellt worden. Ein weiteres Verfahren betreffend Widerhandlungen gegen das ANAG in der Zeit vom 1.-14. September 2006 sei vorläufig sistiert worden.
Sodann erwog das Verwaltungsgericht, dass eine Ausreise in den Kosovo für den Beschwerdeführer auch keine unzumutbare Härte bedeute. Dieser habe seine Heimat erst im Alter von siebzehneinhalb Jahren verlassen und noch immer lebten viele seiner Angehörigen im Kosovo. Auch die Situation der Familie des Beschwerdeführers stehe einer Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht entgegen: Die Ehefrau besitze neben der schweizerischen Staatsangehörigkeit auch jene des Kosovos. Sie sei erst vor kurzem eingebürgert worden und spreche die albanische Sprache. Auch sie pflege im Kosovo noch immer Beziehungen. Diese Umstände erleichterten es ihr, sich dort zurechtzufinden. Was den gemeinsamen Sohn angehe, so sei dieser noch in einem Alter, welches es ihm ermögliche, sich an die neue Umgebung anzupassen. Überhaupt hätten aber der Beschwerdeführer und seine Ehefrau nicht ohne weiteres davon ausgehen dürfen, gemeinsam in der Schweiz leben zu können, zumal sich der Beschwerdeführer bei Zeugung des Kindes lediglich als Asylbewerber in der Schweiz aufgehalten habe.
In Berücksichtigung der genannten Gründe gelangte das Verwaltungsgericht zum Schluss, dass bei einer Interessensabwägung bezüglich der Verwirkung des Aufenthaltsrechts gemäss Art. 7 Abs. 1 Satz 3 ANAG das öffentliche Interesse an der Ausreise des Beschwerdeführers stärker zu gewichten sei, als das Interesse des Beschwerdeführers sowie von dessen Familie an der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung.
3.2 Demgegenüber behauptet der Beschwerdeführer, eine korrekte Interessensabwägung führe zum Schluss, dass seine privaten und familiären Interessen überwiegen würden:
Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines bedeutsamen öffentlichen Interesses an seiner Fernhaltung aus der Schweiz. Er bringt diesbezüglich in erster Linie vor, die von ihm begangenen Straftaten lägen schon mindestens viereinhalb Jahre zurück; seither habe er sich wohl verhalten. Die von der Vorinstanz ins Feld geführten weiteren gegen ihn eröffneten Strafuntersuchungen könnten ihm nicht ohne Verletzung der Unschuldsvermutung entgegengehalten werden, zumal keines dieser Verfahren zu einer Verurteilung geführt habe. Auch sei die vom Verwaltungsgericht aufgezeigte sog. "Reneja-Praxis" vorliegend nicht anwendbar, weil er bereits seit längerer Zeit in der Schweiz lebe.
Im Weiteren hätten sowohl er selbst als auch seine Ehefrau und der gemeinsame Sohn besonders gewichtige Interessen daran, weiterhin in familiärer Gemeinschaft in der Schweiz leben zu können: Er kümmere sich in überdurchschnittlichem Ausmass um die Betreuung seines Sohnes. Ohne diese Mithilfe könne die Ehefrau nicht in gleichem Umfang erwerbstätig bleiben und sei dann nicht mehr in der Lage, den Existenzbedarf für sich und ihren Sohn zu erwirtschaften. Der Hinweis des Verwaltungsgerichts, dass er und seine Ehefrau aufgrund seines Asylantenstatus bei Zeugung des Kindes ohnehin nicht mit einem familiären Zusammenleben in der Schweiz hätten rechnen dürfen, sei nicht stichhaltig. Auch sei es der Ehefrau und dem Sohn nicht zuzumuten, ihm, dem Beschwerdeführer, in den Kosovo zu folgen. Insbesondere grenze es an Verantwortungslosigkeit, den Sohn in den Kosovo umzusiedeln und ihn den dortigen Schulen und den dortigen beruflichen Möglichkeiten zu überlassen. Aber auch die Ehefrau habe im Kosovo angesichts der hohen Arbeitslosigkeit keine beruflichen Möglichkeiten. Sodann macht der Beschwerdeführer geltend, er habe vor kurzem den Fenstermontagebetrieb von seinem früheren Arbeitgeber übernommen; eine Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung bedeute daher zugleich den Verlust der getätigten Investitionen.
3.3 Die Einwände des Beschwerdeführers vermögen nicht zu überzeugen:
Soweit er den Verweis des Verwaltungsgerichts auf die sog. "Reneja-Praxis" bzw. auf die daraus hergeleitete "Zweijahresregel" beanstandet, ist er darauf hinzuweisen, dass auch die Vorinstanz davon ausgegangen ist, diese Praxis könne im vorliegenden Fall "nicht unbesehen" angewendet werden (E. 3.3 des angefochtenen Entscheids). Dagegen, dass die betreffende bundesgerichtliche Rechtsprechung dennoch im Sinne einer Vergleichsgrösse in die Verhältnismässigkeitsprüfung miteinbezogen wird, ist aber nichts einzuwenden. Bei der "Zweijahresregel" handelt es sich ohnehin nur um einen Richtwert und nicht um eine starre Grenze; entscheidend sind die Umstände des Einzelfalls (BGE <ref-ruling> E. 4b). Vorliegend mögen die deliktischen Handlungen des Beschwerdeführers zwar nicht gegen Leib und Leben gerichtet gewesen sein. Selbst ohne Berücksichtigung der eingestellten bzw. sistierten Strafverfahren muss aber aufgrund der Anzahl und der Häufigkeit der strafrechtlichen Verurteilungen auf eine besonders hartnäckige Delinquenz des Beschwerdeführers geschlossen werden. Dadurch, dass er immer wieder innerhalb der ihm auferlegten Probezeiten - meist einschlägig - rückfällig wurde, demonstrierte er eine bedenkliche Gleichgültigkeit gegenüber der schweizerischen Rechtsordnung im Allgemeinen und gegenüber den angedrohten oder bereits ausgesprochenen staatlichen Sanktionen im Besondern. Ein derartiges Verhalten ist mit einem Verbleiben des Ausländers in der Schweiz grundsätzlich nicht zu vereinbaren. In jedem Fall hat die Vorinstanz bei dieser Sachlage zu Recht angenommen, dass ein sehr gewichtiges öffentliches Interesse daran bestehe, dem Beschwerdeführer die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zu verweigern.
Wenn der Beschwerdeführer die Rückkehr in seine Heimat mit wirtschaftlichen Nachteilen verbindet, erscheint dies zwar durchaus nachvollziehbar. Diese mögliche Folge ist jedoch einzig seinem kriminellen Verhalten zuzuschreiben und deshalb hinzunehmen. Soweit der Beschwerdeführer überdies seinen Anteil an der Betreuung seines Sohnes betont und geltend macht, dass der Ehefrau so die Ausübung der Erwerbstätigkeit erleichtert werde, ist nicht ersichtlich, inwiefern eine gemeinsame Rückkehr in den Kosovo dieser Aufgabenteilung entgegenstehen sollte. Ebenso kann nicht davon gesprochen werden, dass es geradezu verantwortungslos wäre, dem Sohn die Einschulung im Kosovo zuzumuten: Das 2001 geborene Kind ist noch in einem anpassungsfähigen Alter; es steht ganz am Anfang seiner Schulpflicht, so dass ohne weiteres davon ausgegangen werden kann, dass es in der Lage ist, sich im gemeinsamen Herkunftsland seiner Eltern zu integrieren und Anschluss zu finden.
Wie das Verwaltungsgericht zutreffend festgestellt hat, kommt der Ehefrau und dem Sohn des Beschwerdeführers die Wahl zu, ob sie dem Beschwerdeführer in den Kosovo folgen wollen oder nicht. Als Schweizer Staatsbürger steht es ihnen frei, in der Schweiz zu verbleiben; der Kontakt zum Beschwerdeführer kann diesfalls mittels gegenseitigen Kurzbesuchen stattfinden, zumal dieser nicht formell aus der Schweiz ausgewiesen, sondern ihm lediglich die Aufenthaltsbewilligung verweigert wird. Dass die Ehefrau im Falle eines Verbleibens in der Schweiz aufgrund des Wegfalls der Betreuungsleistungen des Beschwerdeführers nicht in gleichem Umfang wie bis anhin erwerbstätig bleiben könnte, ist nicht nachvollziehbar: Der Beschwerde ist zu entnehmen, dass ohnehin bereits an vier von fünf Arbeitstagen der Ehefrau eine teilweise Fremdbetreuung des Sohnes durch eine Tagesmutter besteht, und sich die Betreuung durch den Beschwerdeführer jeweils auf den frühen Abend bzw. den späteren Nachmittag sowie auf den Samstag bis ca. 17.00 Uhr beschränkt. Dass in diesen Zeiten eine Platzierung bei der Tagesmutter oder eine Betreuung durch andere Familienangehörige nicht möglich wäre, ist weder ersichtlich, noch wurde dies vom Beschwerdeführer substantiiert dargelegt. Zuzustimmen ist dem Beschwerdeführer einzig insofern, dass heute unerheblich scheint, ob zum Zeitpunkt der Zeugung des Kindes damit zu rechnen war, dass die Familie gemeinsam in der Schweiz leben kann oder nicht. Jedoch vermag er hieraus nichts zu seinen Gunsten abzuleiten, zumal - wie gezeigt - zum gegenwärtigen Zeitpunkt keine besonders schützenswerten privaten und familiären Interessen des Beschwerdeführers für seinen weiteren Verbleib im Lande sprechen.
4. Aus den genannten Gründen ist die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers nicht zu beanstanden, und die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten daher abzuweisen.
Entsprechend diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mit geteilt.
Lausanne, 7. Mai 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Zähndler