Faits :
A.
X._ exploite un salon de massage à Genève.
Le 11 février 2015, le Département de la sécurité et de l'économie de la République et canton de Genève (ci-après: le Département), par son secrétaire général adjoint Y._, a écrit à l'intéressée. Il lui reprochait d'avoir, par des éléments figurant sur le site Internet du salon, porté atteinte à l'ordre public, en particulier à la santé publique. Il envisageait d'ordonner la fermeture temporaire de l'établissement pour une durée de un à six mois, de lui interdire d'exploiter tout autre salon pour une durée analogue, ainsi que de lui infliger une amende administrative.
B.
Le 27 février 2015, l'intéressée a sollicité la récusation de Y._ auprès du Département. Elle a invoqué le fait que celui-ci ne faisait plus preuve de l'impartialité nécessaire car il avait prononcé toutes les décisions dont elle avait fait l'objet et qu'un certain nombre de ces décisions avaient été modifiées ou annulées sur recours, que ce soit par la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) ou par le Tribunal fédéral. Cette demande a été rejetée par le Département le 10 mars 2015, qui a déclaré sa décision exécutoire nonobstant recours. L'intéressée a contesté ce prononcé le 23 mars 2015 auprès de la Cour de justice, qui a restitué l'effet suspensif au recours par décision incidente du 30 avril 2015. Dans la procédure devant cette autorité, l'intéressée a nouvellement invoqué une altercation intervenue entre Y._ et une tierce personne, employée de son salon.
Par arrêt du 23 juin 2015, la Cour de justice a rejeté le recours. Après avoir écarté la demande d'audition de l'employée du salon par appréciation anticipée, la Cour de justice a jugé que les motifs qui avaient conduit à l'admission des recours contre les décisions du Département ne démontraient ni d'excès ou d'abus de la part de son secrétaire général adjoint, ni de prévention à l'égard de l'intéressée. Par ailleurs, elle a jugé que les explications du Département quant à l'incident survenu entre Y._ et la tierce personne employée du salon étaient entièrement convaincantes, ajoutant qu'on ne voyait pas en quoi cet événement aurait eu une incidence négative dans l'appréciation que Y._ pouvait avoir de l'intéressée et de son salon.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._, dans un premier acte daté du 21 juillet 2015, demande au Tribunal fédéral d'accorder l'effet suspensif à son recours. Dans un second acte du 31 août 2015, elle conclut en substance, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt du 23 juin 2015 de la Cour de justice et au renvoi de la cause à cette dernière pour nouvelle décision dans le sens des considérants; subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt précité et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Elle se plaint d'établissement inexact des faits, de violation du droit d'être entendu et d'arbitraire.
Par ordonnance du 23 juillet 2015, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a rejeté la requête d'effet suspensif.
La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le Département conclut au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt attaqué constitue une décision incidente notifiée séparément et portant sur une demande de récusation, de sorte qu'il peut en principe faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral en vertu de l'<ref-law>.
1.2. Selon le principe de l'unité de la procédure, un recours n'est toutefois ouvert contre une décision incidente que si, sur le fond, la cause peut être portée devant le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 647 s.). En l'occurrence, le recours est dirigé contre un arrêt rendu en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>) ne tombant pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'<ref-law>. La voie du recours en matière de droit public est partant ouverte. Le recours a en outre été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (<ref-law>) par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. Le recours en matière de droit public est par conséquent recevable, sous réserve de ce qui suit.
1.3. Selon un principe général de procédure, les conclusions en constatation de droit ne sont recevables que lorsque des conclusions condamnatoires ou formatrices sont exclues. Sauf situations particulières, les conclusions constatatoires ont donc un caractère subsidiaire (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 122; arrêts 2C_199/2010 du 12 avril 2011 consid. 3.3, non publié in <ref-ruling>; 1B_129/2013 du 26 juin 2013 consid. 2.2). Dans la mesure où la recourante conclut, parallèlement à l'annulation de l'arrêt du 23 juin 2015 de la Cour de justice, à ce qu'il soit dit et constaté " que l'arrêt ATA/669/2015 du 23 juin 2015 n'est pas conforme au droit " et " que les circonstances de la présente affaire donnent l'apparence de la prévention du Secrétaire général et font redouter une activité partiale ", elle formule des conclusions constatatoires qui sont irrecevables.
1.4. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Il n'y a donc pas lieu de prendre en considération la pièce datée du 8 juillet 2015 et annexée au mémoire de recours, celle-ci étant postérieure à l'arrêt attaqué.
2.
La recourante se plaint en premier lieu de violation de son droit d'être entendue et d'arbitraire dans l'établissement des faits.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. <ref-law>). Le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>), ce que la partie recourante doit démontrer d'une manière circonstanciée, conformément aux exigences de motivation de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). La notion de "manifestement inexacte" correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 450).
Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preu-ves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 282). L'autorité peut cependant renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 210; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 147 s.; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 429). Le juge cantonal enfreint tant la règle générale de l'<ref-law>, applicable également en droit public, que la garantie du droit d'être entendu de l'art. 29 al. 2 Cst. s'il tient pour exactes les allégations non prouvées d'une partie, nonobstant leur contestation par la partie adverse, ou s'il refuse toute administration de preuve sur des faits pertinents en droit (arrêt 2C_778/2012 du 19 novembre 2012 consid. 3.2 et les références citées).
2.2. La recourante fait grief à l'autorité précédente d'avoir considéré que l'incident téléphonique survenu entre le secrétaire général adjoint du Département et une employée de son salon de massage n'avait pas d'influence sur le litige, dès lors qu'il n'impliquait ni la recourante, ni son salon. Selon elle, toute personne qui a une vive altercation avec un employé travaillant ou exerçant dans un établissement a, dans la majorité des cas, une certaine rancoeur à l'égard non seulement de la personne, mais également à l'encontre de l'établissement et devient par conséquent partiale. Elle est donc d'avis que la Cour de justice aurait dû procéder à l'audition de l'employée du salon et de Y._ afin de clarifier les circonstances de l'altercation téléphonique survenue entre ces personnes.
En l'occurrence, la Cour de justice, se référant aux explications du Département, a retenu que Y._ avait adressé une lettre circulaire à tous les responsables d'un salon de massage ou d'une agence d'escorte, en se fondant sur une liste d'adresses fournie par la brigade des moeurs. La recourante ne conteste d'ailleurs pas à proprement parler ce fait. Pour autant que la motivation de ce grief remplisse les conditions de l'<ref-law>, c'est ainsi sans arbitraire que la Cour de justice en a déduit que la prétendue altercation survenue entre une employée du salon de la recourante et le secrétaire général adjoint du Département n'avait pas d'influence sur la présente cause. Ce dernier s'est en effet contenté d'envoyer, à un nombre important de personnes ciblées (en raison de leur profession), un document d'informations contenant des généralités abstraites, ce qui excluait d'emblée la con-naissance personnelle de tous les destinataires, et en particulier celle de l'employée du salon. Au demeurant, comme le fait également valoir l'autorité précédente, même si Y._ devait avoir eu connaissance du rapport existant entre cette employée et le salon de la recourante, cela n'a aucune incidence sur l'issue de la cause (cf. consid. 3.3 i.f. ci-dessous).
Le recours, en tant qu'il porte sur l'établissement inexact des faits et la violation du droit d'être entendu, doit donc être rejeté.
3.
Invoquant l'art. 29 al. 1 Cst., la recourante se plaint de ce que la Cour de justice a violé le droit fédéral en refusant d'annuler la décision du Département et en ne prononçant pas la récusation de Y._.
3.1. L'art. 29 al. 1 Cst. dispose que toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement. Selon la jurisprudence, ce droit permet notamment d'exiger la récusation des membres d'une autorité administrative dont la situation ou le comportement sont de nature à faire naître un doute sur leur indépendance ou leur impartialité; il tend à éviter que des circonstances extérieures à l'affaire ne puissent influencer une décision en faveur ou au détriment de la personne concernée. La récusation peut s'imposer même si une prévention effective du membre de l'autorité visée n'est pas établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale. Cependant, seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles d'une des personnes impliquées ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 2b p. 198; <ref-ruling> consid. 3b p. 123, 209 consid. 8a p. 217).
De manière générale, les dispositions sur la récusation sont moins sévères pour les membres des autorités administratives que pour les autorités judiciaires. Contrairement à l'art. 30 al. 1 Cst., l'art. 29 al. 1 Cst. n'impose pas l'indépendance et l'impartialité comme maxime d'organisation. En règle générale, les prises de positions qui s'inscrivent dans l'exercice normal des fonctions gouvernementales, administratives ou de gestion, ou dans les attributions normales de l'autorité partie à la procédure, ne permettent pas, dès lors que l'autorité s'exprime avec la réserve nécessaire, de conclure à l'apparence de la partialité et ne sauraient justifier une récusation, au risque sinon de vider de son sens la procédure administrative (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 329 s.; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 451; <ref-ruling> consid. 3f p. 124; voir également arrêt 2C_831/2011 du 30 décembre 2011 consid. 3.2). Une autorité, ou l'un de ses membres, a en revanche le devoir de se récuser lorsqu'elle dispose d'un intérêt personnel dans l'affaire à traiter, qu'elle manifeste expressément son antipathie envers l'une des parties ou s'est forgée une opinion inébranlable avant même d'avoir pris connaissance de tous les faits pertinents de la cause (cf. arrêt 1C_442/2011 du 6 mars 2012 consid. 2.1 et la référence).
D'après la jurisprudence, une faute de procédure - voire une fausse application du droit matériel - ne suffit pas à elle seule pour donner une apparence de prévention. Il n'en va autrement que si le membre d'une autorité administrative ou judiciaire a commis des erreurs grossières ou répétées constituant une grave violation des devoirs de sa charge. Une personne qui exerce la puissance publique est nécessairement amenée à devoir trancher des questions controversées ou des questions qui dépendent largement de son appréciation. Même si elle prend dans l'exercice normal de sa charge une décision qui se révèle erronée, il n'y a pas lieu de redouter une attitude partiale de sa part à l'avenir. Par ailleurs, la procédure de récusation ne saurait être utilisée pour faire corriger des fautes - formelles ou matérielles - prétendument commises par une personne détentrice de la puissance publique; de tels griefs doivent être soulevés dans le cadre du recours portant sur le fond de l'affaire (<ref-ruling> consid. 3b p. 404 et les références).
3.2. Selon l'arrêt entrepris, le Département, agissant par son secrétaire général adjoint, a rendu au moins quatre décisions à l'encontre de la recourante.
Le 30 mai 2012, sur la base d'un rapport de la brigade des moeurs, il a adressé un avertissement et une amende de 500 fr. à la recourante, lui reprochant d'avoir autorisé une personne à travailler dans son salon alors que celle-ci n'était pas valablement enregistrée. Cette sanction, confirmée par la Cour de justice, a toutefois été annulée par le Tribunal fédéral, le texte légal en vigueur au moment des faits - contrairement à celui applicable au moment du jugement - ne faisant pas obligation à une prestataire de se présenter personnellement à la brigade des moeurs avant de commencer son activité (arrêt 2C_926/2013 du 21 janvier 2014).
Le 29 novembre 2012, il a infligé une amende de 1'000 fr. au salon en raison de propositions faites sur le site Internet de ce dernier, relatives à de nombreuses pratiques sexuelles présentant des risques d'infections sexuellement transmissibles. Cette sanction a été confirmée, en dernier lieu, par le Tribunal fédéral (arrêt 2C_490/2014 du 26 novembre 2014).
Le 17 avril 2013, il a infligé une amende de 1'000 fr. à la recourante car la brigade des moeurs n'avait pas pu pénétrer dans certaines pièces du salon. La Cour de justice a annulé cette décision en retenant que l'attitude de la recourante, qui était absente et ne pouvait se rendre dans un bref délai à son salon, ne permettait pas de retenir qu'elle avait violé les obligations qui lui incombaient.
Finalement, le 27 août 2014, la recourante s'est vue infliger une amende de 1'000 fr. et un avertissement, une personne ayant été trouvée par la brigade des moeurs en train de travailler au salon sans être au bénéfice d'un permis de travail et sans qu'elle ne se soit annoncée auprès du service compétent. Saisie, la Cour de justice a partiellement admis le recours contre cette décision, confirmé l'avertissement et annulé l'amende, retenant que la recourante avait averti la prostituée du fait qu'elle devait régulariser sa situation et qu'elle ne pouvait penser que celle-ci commencerait à oeuvrer sans la prévenir.
3.3. S'il peut tout au plus paraître surprenant que le Département ait contrôlé la recourante au moins quatre fois sur un peu plus de deux ans, notamment compte tenu du nombre important de salons et de prostitués dans la République et canton de Genève (6'454 travailleurs du sexe recensés à fin 2013 dans la République et canton de Genève; cf. rapport n° 85 de la Cour des comptes de la République et canton de Genève, décembre 2014, p. 20 i.f. qui relativise cependant ce chiffre), il n'en demeure pas moins qu'en tant que la recourante invoque le fait que Y._ a statué en sa défaveur dans quatre procédures, il ne saurait être question de partialité de celui-ci. Certes, deux procédures ont finalement été annulées sur recours, alors qu'une troisième l'a été partiellement. Toutefois, il faut relever que la personne en charge de ces causes n'a aucunement commis d'erreurs grossières ou répétées, de droit ou d'appréciation, qui auraient constitué une grave violation des devoirs liés à sa charge. Le secrétaire général adjoint du Département, fondé sur les rapports de la brigade des moeurs, a bien plus effectué son travail de manière conforme à ce qui doit être attendu de lui dans de telles situations. Les quatre décisions qu'il a rendues contre la recourante ou son salon ne constituent nullement une manifestation expresse d'antipathie envers celle-ci. Rien n'indique au demeurant qu'il ait eu un intérêt personnel dans ces affaires. Appréciées objectivement, ces quatre procédures ne sauraient donc faire naître une apparence de prévention de Y._ envers la recourante. Cela signifie également que même si ce dernier avait eu connaissance du rapport de travail existant entre la recourante et la tierce personne avec laquelle il aurait prétendument eu une altercation (événement survenu antérieurement aux quatre décisions précitées), cela n'a aucunement eu d'incidence sur son travail au sein du Département, et en particulier pas quant aux décisions rendues à l'encontre de la recourante.
3.4. Faute d'éléments objectifs fondant un cas de récusation, c'est sans violer le droit fédéral que l'autorité précédente a confirmé la décision du Département. Le recours doit en conséquence être rejeté.
4.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Département de la sécurité et de l'économie et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 1 ère section.
Lausanne, le 1er décembre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
Le Greffier : Tissot-Daguette