Faits:
A. Par contrat du 23 janvier 2003, Y._ SA (ci-après: la bailleresse) a remis à bail à X._ (ci-après: la locataire) une arcade destinée à l'exploitation d'un café-restaurant, pour un loyer annuel de 24'000 fr. plus 2'816 fr. de charges.
Le 14 janvier 2008, la bailleresse a résilié le contrat avec effet au 29 février 2008, pour défaut de paiement du loyer. Par jugement du 25 novembre 2008, le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève a constaté la validité du congé et prononcé l'évacuation immédiate de la locataire; ce jugement faisait suite à une requête en évacuation formée par la bailleresse, respectivement à une requête formée par la locataire en contestation de l'inefficacité du congé, en annulation de celui-ci et en réparation du préjudice subi, qui avaient préalablement été jointes. Par arrêt du 20 avril 2009, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève a déclaré irrecevable l'appel interjeté par la locataire. Le 23 juillet 2009, le Procureur général a ordonné à la force publique de procéder à l'exécution forcée du jugement d'évacuation.
La faillite de la locataire a été prononcée par jugement du 6 février 2008 et confirmée par arrêt de la Cour de justice du canton de Genève du 24 avril 2008. La locataire a recouru au Tribunal fédéral qui, après avoir accordé l'effet suspensif, a rejeté le recours le 11 juillet 2008. Le Tribunal de première instance a d'abord suspendu la faillite puis en a ordonné la liquidation le 12 décembre 2008, une avance de frais ayant été opérée par la bailleresse. Par courrier du 23 juillet 2008, l'Office des faillites a déclaré ne pas vouloir reprendre le bail. Sur injonction de celui-ci, la locataire lui a remis les clés de l'arcade le 21 août 2008. Le 25 août 2008, la bailleresse a été nommée gardienne des biens meubles se trouvant dans les locaux litigieux et a accepté de les déplacer et de les garder à la disposition de l'Office à ses frais.
La bailleresse a reloué l'arcade à un tiers dès le 14 janvier 2009; les locaux devaient alors encore faire l'objet de travaux d'aménagement d'une durée de deux mois, période pendant laquelle aucun loyer ne serait réclamé.
B. Par demande du 14 janvier 2009, la bailleresse a réclamé à la locataire le paiement de 11'090 fr. au titre d'indemnités pour occupation illicite du 1er août au 31 décembre 2008. Par jugement du 18 février 2010, le Tribunal des baux et loyers a rejeté la demande. Saisie par la bailleresse et statuant par arrêt du 6 septembre 2010, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers a annulé le jugement du 18 février 2010, condamné la locataire à payer à la bailleresse 11'090 fr. avec intérêts à 5 % dès le 15 octobre 2008 et prononcé la mainlevée à due concurrence.
La cour cantonale a retenu que ce n'était que dans son mémoire d'appel du 3 janvier 2009 que la locataire avait indiqué ne pas remettre en cause le prononcé d'évacuation. Certes, elle avait remis les clés des locaux litigieux à l'Office des faillites; elle agissait toutefois ainsi dans le cadre de la prise d'inventaire, le jugement de faillite étant définitivement entré en force. Jusqu'au début janvier 2009, la locataire avait constamment contesté le congé qui lui avait été signifié, manifestant ainsi son intention d'occuper les locaux litigieux; elle ne pouvait par conséquent être suivie, lorsqu'elle indiquait avoir de bonne foi restitué les locaux en procédant à la remise des clés à l'Office des faillites, le 21 août 2008, la remise des clés étant en contradiction avec la contestation du congé donné et le refus de sa part de toute évacuation, tel qu'exprimé dans ses conclusions au juge en charge du litige portant sur la validité du congé, ses conclusions exprimant un refus dénué de toute ambiguïté de libérer les lieux. La bailleresse ne pouvait disposer librement des locaux, puisque la locataire revendiquait devant le juge civil le droit de pouvoir continuer à les occuper. Par conséquent, il devait être fait droit aux prétentions de la bailleresse, dont la quotité en tant que telle n'était pas contestée.
C. La locataire (la recourante) a interjeté un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral, concluant à ce qu'il lui plaise annuler l'arrêt du 6 septembre 2010, dire qu'elle ne doit pas payer à la bailleresse la somme de 11'090 fr. avec intérêts à 5 % du 15 octobre 2008 et dire qu'il n'y a pas lieu de prononcer la mainlevée; elle a également sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire. La bailleresse (l'intimée) n'a pas été invitée à se déterminer.

Considérant en droit:
1. La valeur litigieuse, déterminée par les conclusions restées contestées devant l'autorité précédente (<ref-law>), est inférieure à 15'000 fr.; seule la voie du recours constitutionnel subsidiaire est dès lors ouverte (cf. art. 74 al. 1 let. a et art. 113 LTF).
Ce recours peut être formé uniquement pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'examine les griefs constitutionnels qu'à condition qu'ils aient été expressément invoqués et motivés (cf. <ref-law> auquel renvoie l'<ref-law>). L'acte de recours doit, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits ou principes constitutionnels violés; la partie recourante doit discuter les attendus de la décision attaquée et exposer de manière claire et circonstanciée en quoi consiste la violation du droit constitutionnel (cf. <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 2.1).
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés dans la décision entreprise; il ne peut rectifier ou compléter que les constatations de fait auxquelles l'autorité précédente est parvenue en violation des droits constitutionnels (cf. <ref-law>), pour autant que la partie recourante mette en évidence, dans le détail, les constatations prétendument viciées (<ref-ruling> consid. 7.1, 439 consid. 3.2 p. 445).
2. Sous un titre "en fait", la recourante reproche à la cour cantonale "de n'avoir pas procédé à son offre de preuve". Elle n'indique toutefois pas quel droit constitutionnel aurait été violé; le grief, à supposer qu'il soit censé avoir une portée autonome, est ainsi irrecevable.
3. La recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue au sens de l'art. 29 al. 2 Cst.; en substance, elle soutient avoir expliqué que l'intimée avait entrepris des travaux de réfection des locaux litigieux en automne 2008, "ce qui pourrait être confirmé par nombre de voisins, s'ils étaient autorisés à témoigner"; elle estime qu'il aurait "d'évidence appartenu à la Cour de justice de procéder à ces probatoires, avant d'admettre le recours, dès lors qu'une offre de preuve était aussi faite par (elle) dans son écriture à la Cour du 23 mars 2010".
La cour cantonale n'a pas méconnu la position de la recourante, puisqu'elle a indiqué dans l'arrêt querellé que, dans son mémoire-réponse, l'intéressée avait ajouté que l'intimée avait entrepris des travaux dans l'arcade litigieuse dès septembre 2008; elle n'a cependant - à tout le moins implicitement - pas retenu cet argument. La recourante ne soulève aucun moyen en rapport avec l'éventuelle application de la maxime inquisitoire sociale instituée en droit du bail. Même si tel avait été le cas, il n'en demeurerait pas moins que le devoir du juge d'établir d'office les faits ne serait en tout cas pas illimité, les parties n'étant pas dispensées de collaborer activement à la constatation de l'état de fait déterminant, ni de présenter des offres de preuves complètes (cf. <ref-ruling> consid. 4a p. 238 s; cf. également arrêts 4C.291/2004 du 1er novembre 2004 consid. 3.2, in SJ 2005 I p. 261; 4C.199/2000 du 21 décembre 2000 consid. 2a, in SJ 2001 I 278); or, la recourante n'indique pas précisément de quelle offre de preuve il s'agissait, ni quels travaux auraient selon elle été effectués. Pour le surplus, elle ne démontre pas davantage en quoi la prise en compte de l'élément qu'elle allègue aurait été de nature à modifier la conviction des juges cantonaux. Son grief doit être écarté.
4. La recourante estime que la décision entreprise "entraîne un résultat choquant, de sorte qu'elle est constitutive d'arbitraire", au sens de l'art. 9 Cst.; en bref, elle plaide que l'intimée avait dans les faits disposé librement et exclusivement des locaux dès le moment où elle avait reçu les clés de l'Office des faillites et que contrairement à ce qu'avait considéré la cour cantonale, elle s'était de bonne foi libérée de ses obligations en restituant les clés le 21 août 2008; elle affirme encore qu'après la confirmation de sa faillite par le Tribunal fédéral, "elle n'avait évidemment plus aucune intention de s'opposer à l'évacuation et de retourner dans les locaux", mais qu'elle "espérait cependant que le Tribunal des baux et loyers tiendrait compte des investissements importants effectués par elle, notamment pour la mise en place des infrastructures, dans l'appréciation des montants restant dus à la bailleresse".
L'argumentation de la recourante repose dans une large mesure sur des faits qui ne ressortent pas de la décision attaquée et elle ne soutient ni a fortiori ne démontre que la cour cantonale aurait commis arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits; elle se limite à présenter sa propre vision de la situation et à se prévaloir d'un résultat prétendument choquant, sans discuter spécifiquement les considérants de l'arrêt attaqué; un tel procédé est impropre à prouver l'arbitraire. Pour le surplus, elle ne plaide pas que les juges cantonaux auraient procédé à une application arbitraire du droit fédéral applicable en la matière. Il s'ensuit que le grief doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
5. La recourante sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Elle a en outre droit à l'assistance gratuite d'un défenseur, dans la mesure où la sauvegarde de ses droits le requiert (art. 29 al. 3 Cst.). Un procès est dépourvu de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre et qu'elles ne peuvent donc pas être considérées comme sérieuses, de sorte qu'une personne raisonnable et de condition aisée renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'elle s'exposerait à devoir supporter (<ref-ruling> consid. 5).
En l'occurrence, le recours apparaissait d'emblée dénué de chances de succès, si bien que la demande d'assistance judiciaire ne peut qu'être rejetée. En conséquence, la recourante supporte les frais judiciaires de la présente procédure (<ref-law>). Elle n'a en revanche pas à verser des dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève.
Lausanne, le 10 décembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Cornaz