Sachverhalt:
A.
X._ (Gesuchstellerin, Beschwerdeführerin) wurde am 28. August 1995 beim Überqueren des Fussgängerstreifens in Dübendorf von einem Motorrad erfasst. Dessen Halter ist bei der Y._ Versicherung AG (Gesuchsgegnerin, Beschwerdegegnerin) haftpflichtversichert.
B.
B.a. Die Gesuchstellerin reichte am 4. Juli 2013 ein Begehren um vorsorgliche Beweisführung beim Einzelgericht Audienz am Bezirksgericht Zürich ein. Sie stellte die Anträge, es sei ein gerichtliches Gutachten zur Frage der medizinischen Dauerfolgen ihres Unfalls vom 28. August 1995 erheben zu lassen (Ziffer 1), unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Gesuchsgegnerin (Ziffer 2) und es sei der Gesuchstellerin die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen und ihr in der Person des unterzeichnenden Anwalts ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen (Ziffer 3).
Mit Entscheid vom 31. Juli 2013 wies das Bezirksgericht Zürich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege sowie das Gesuch um vorsorgliche Beweisführung ab.
B.b. Die Gesuchstellerin gelangte mit Rechtsmitteln vom 15. August 2013 an das Obergericht des Kantons Zürich. Gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege erhob sie Beschwerde. Gegen die Abweisung ihres Begehrens um vorsorgliche Beweisführung erhob sie Berufung.
Das Obergericht des Kantons Zürich wies mit Beschluss und Urteil vom 17. Oktober 2013 (Geschäftsnummer PF 130038-O/U) die Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Gesuch um vorsorgliche Beweisführung ab und verweigerte der Gesuchstellerin auch für das Beschwerdeverfahren vor Obergericht die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung.
Mit Beschluss und Urteil vom gleichen Tag (Geschäftsnummer LF 130054-O/U) wies das Obergericht sodann die Berufung ab und bestätigte das Urteil des Einzelgerichts Audienz des Bezirksgerichts Zürich vom 31. Juli 2013. Auch für dieses Verfahren wurde das Gesuch der Berufungsklägerin um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen.
C.
Mit zwei Beschwerden vom 25. November 2013 (Postaufgabe) stellt die Gesuchstellerin den Antrag, es sei Ziffer 1 des obergerichtlichen Urteils vom 17. Oktober 2013 (LF 130054-O/U) aufzuheben und das Gesuch um vorsorgliche Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zu den medizinischen Dauerfolgen des erlittenen Unfalls vom 4. Juli 2013 zu bewilligen und die unabhängige medizinische Gutachtensstelle Zürich mit einer Begutachtung zu beauftragen, eventuell sei das Audienzrichteramt des Bezirksgerichts des Kantons Zürich anzuweisen, das Gesuch um vorsorgliche Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zu den medizinischen Dauerfolgen des erlittenen Unfalls vom 29. August 1995 wieder anhand zu nehmen und eine dem Bezirksgericht gut scheinende Gutachterstelle mit der Erstellung eines Gutachtens zu beauftragen. Ausserdem beantragt sie Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses zu ihrem Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung und begehrt, ihr Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung sei sowohl für das kantonale erstinstanzliche Verfahren wie für das obergerichtliche Verfahren gutzuheissen. Des Weiteren stellt sie Anträge zur Verlegung der Gerichtskosten und beantragt Parteientschädigung.
Schliesslich ersucht die Beschwerdeführerin auch für die Verfahren vor Bundesgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
Die beiden Beschwerden richten sich gegen die Verweigerung der vorsorglichen Beweisabnahme einerseits und gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für dieses Verfahren andererseits. Es rechtfertigt sich, die beiden Beschwerden zu vereinigen und in einem Verfahren zu beurteilen.
2.
Über ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entscheidet die Abteilung in der Besetzung mit drei Richtern oder Richterinnen, wobei die Fälle im Verfahren nach <ref-law> und die Gewährung bei zweifelsfreier Erfüllung der Voraussetzungen vorbehalten bleiben (<ref-law>). Die grundsätzlich vorgeschriebene Spruchkörpergrösse (vgl. Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4202 ff., insb. Ziff. 4.1.2.10 S. 4304) schliesst jedoch nicht aus, dass fünf Richter oder Richterinnen über das Gesuch entscheiden; dies kann insbesondere dann der Fall sein, wenn über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege erst im Endurteil entschieden wird oder wenn der Entscheid über das Gesuch eine Frage von grundsätzlicher Bedeutung zur unentgeltlichen Rechtspflege aufwirft (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 397).
Der vorliegende Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege wirft die grundsätzliche Frage auf, ob auch im Hinblick auf eine vorsorgliche Beweisführung ein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege besteht. Über diese Frage ist gemäss <ref-law> in Fünferbesetzung zu entscheiden.
3.
Die Beschwerdeführerin wendet sich zunächst gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für ihr Gesuch um vorsorgliche Beweisführung und ersucht auch für das Verfahren vor Bundesgericht um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mit Bestellung ihres Anwalts.
3.1. Das Bundesgericht befreit eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, von der Bezahlung der Gerichtskosten, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (<ref-law>). Wenn es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, bestellt es ihr einen Anwalt, der für ungedeckten Aufwand aus der Gerichtskasse entschädigt wird (<ref-law>). Nach <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn (a) sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt; und (b) ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Sofern es zur Wahrung der Rechte notwendig ist, umfasst die unentgeltliche Rechtspflege die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands (<ref-law>).
Die Vorinstanzen haben das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ihrer Begehren abgewiesen und daher die Voraussetzung der Bedürftigkeit nicht geprüft. Die (selbständige kumulative) Voraussetzung der Bedürftigkeit braucht auch vorliegend nicht beurteilt zu werden, wenn sich erweist, dass es an der Erfolgsaussicht der Rechtsbegehren fehlt.
3.2. Die vom Bundesgericht zum Begriff der Aussichtslosigkeit gemäss <ref-law> entwickelte Praxis ist auch für die Auslegung von <ref-law> und <ref-law> zu berücksichtigen. Als aussichtslos sind demnach Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 2.2.4 mit Hinweisen, vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 134 f.).
3.3. Die Beschwerdeführerin begehrt die unentgeltliche Rechtspflege für eine vorsorgliche Beweisführung gemäss <ref-law>. Sie weist für die Streitwertberechnung zutreffend darauf hin, dass die mutmasslichen Begehren im Hauptprozess massgebend sind. Allgemein beurteilt sich nach den mutmasslichen Begehren im Hauptprozess, ob das vorsorglich beantragte Beweismittel eine erhebliche Tatsache betrifft und zum Beweis dieser Tatsache tauglich ist. Die vorsorgliche Beweisführung nach <ref-law> ist nur als Hilfsverfahren für ein beabsichtigtes Hauptverfahren zulässig, weshalb die gesuchstellende Partei ihre Rechtsbegehren zu bezeichnen hat, die sie im Hauptprozess aufgrund eines schlüssig und substanziiert behaupteten Lebenssachverhalts einzuklagen gedenkt (vgl. <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 81; <ref-ruling> E. 2.2.2). Die mutmasslichen Begehren im Hauptprozess sind auch massgebend für die Erfolgsaussichten, von deren Beurteilung die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abhängt.
3.3.1. <ref-law> und dementsprechend <ref-law> dienen dem Zugang zum Gericht. Mit dem Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> soll eine nicht über genügend finanzielle Mittel verfügende Partei in den Stand versetzt werden, zur Durchsetzung ihrer Rechte einen Prozess zu führen, und es soll ihr, gleich wie einer vermögenden Partei, der Zugang zum Gericht ungeachtet ihrer Bedürftigkeit möglich sein. Die Aufgabe des Staates beschränkt sich darauf, den Einzelnen dann zu unterstützen, wenn er ohne diese Unterstützung eines Rechts verlustig ginge oder sich gegen einen als unzulässig erachteten Eingriff nicht wehren könnte. Der Anspruch besteht deshalb in der Regel nicht in einem Verfahren der abstrakten Normenkontrolle, weil derartige Nachteile in der Regel nicht bereits dann unmittelbar drohen, wenn eine Norm erlassen wird; erst die Anwendung einer Norm im Einzelfall führt zu einem massgeblichen Eingriff in Rechte, und es genügt, wenn einer betroffenen bedürftigen Partei die unentgeltliche Prozessführung in jenem Zeitpunkt bewilligt wird (<ref-ruling> E. 4.2 mit Verweisen).
3.3.2. Das Bundesgericht hat aus demselben Grund etwa auch abgelehnt, dem Schuldner für die vom Konkursamt im Rahmen der Verwertung eines Miteigentumsanteils an einem Grundstück durchzuführende Einigungsverhandlung mit den pfandberechtigten Gläubigern (Art. 73e i.V.m. <ref-law>) einen Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand zu gewähren (<ref-ruling> E. 2.1-2.5 S. 13 ff.). Auch für die Schätzung des zu versteigernden Grundstücks besteht kein Anspruch des Schuldners auf unentgeltliche Rechtspflege, denn die Schätzung gibt den Interessenten lediglich einen Anhaltspunkt über das vertretbare Angebot, ohne etwas über den an der Versteigerung tatsächlich erzielbaren Erlös auszusagen (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 34; <ref-ruling> E. 3.1 S. 597). Dem Beschwerdeführer als Schuldner im Verwertungsverfahren droht nicht der Verlust eines Rechts, wenn ihn das Gemeinwesen nicht durch unentgeltliche Rechtspflege bei der Neuschätzung des zu versteigernden Grundstücks unterstützt (<ref-ruling> E. 3.2.3).
3.3.3. Dem Gesuchsteller im Verfahren um vorsorgliche Beweisabnahme zur Abklärung von Prozessaussichten droht kein Rechtsverlust, wenn ihm die vorsorgliche Abnahme des begehrten Beweises verweigert wird. Im Verfahren der vorsorglichen Beweisführung nach <ref-law> stehen keine (materiellrechtlichen) Rechte oder Pflichten der Parteien zur Beurteilung. Es geht ausschliesslich darum, das Vorhandensein gewisser Tatsachen beweismässig zu klären. Daran ändert nichts, dass das schutzwürdige Interesse an der Beweisabnahme durch das Gericht voraussetzt, dass die gesuchstellende Partei einen Anspruch gegen die Gesuchsgegnerin glaubhaft machen muss, zu dessen Beweis das beantragte Beweismittel dienen kann (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 81; <ref-ruling> E. 2.2.2). Damit soll vielmehr sichergestellt werden, dass das gerichtliche Verfahren zur vorsorglichen Beweiserhebung nicht ohne Rechtsschutzinteresse in Anspruch genommen wird. Die ZPO stellt mit Art. 158 Abs. 1 lit. b zweite Alternative der Partei, welche die Erhebung einer Klage in Aussicht nimmt, ein gerichtliches und damit unabhängiges Verfahren zur Verfügung, um gewisse Tatsachen beweismässig zu klären, die nach ihrer Einschätzung für den Entscheid über die Einleitung bzw. die Aussicht einer Klage wesentlich sind. Materiellrechtliche Rechte und Pflichten der Parteien stehen in diesem Verfahren jedoch nicht zur Entscheidung und das Gericht beurteilt in diesem Verfahren die Aussichten der beabsichtigten Klagebegehren nicht. Die gesuchstellende Partei hat - wenn das Verfahren der vorsorglichen Beweisführung durchgeführt wird - ein gerichtlich erhobenes Beweismittel zur Verfügung, das ihr ermöglichen soll, die Nutzlosigkeit einer Klage zu erkennen, bzw. das beiden Parteien eine vergleichsweise Regelung der Streitsache erleichtern soll.
3.3.4. Da im Verfahren um vorsorgliche Beweisführung nach <ref-law> nicht über materiellrechtliche Rechte oder Pflichten der Parteien zu entscheiden ist, besteht grundsätzlich kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Das Gericht hat in diesem Verfahren denn auch nicht zu beurteilen, wie aussichtsreich die von der gesuchstellenden Partei erwogene Klage ist. Es ist nur erforderlich, aber auch genügend, dass die gesuchstellende Partei einen Sachverhalt glaubhaft macht, aus dem sie die von ihr behaupteten Klageansprüche ableiten kann. Wenn die gesuchstellende Partei aber ein schutzwürdiges Interesse nachweist, hat sich das Gericht in diesem Verfahren darauf zu beschränken, die beantragten Beweise lege artis abzunehmen. Das Verfahren soll ausschliesslich der interessierten Partei ermöglichen, über die Einreichung der Klage zu entscheiden. Das Gericht hat sich in diesem Verfahren zur Aussicht der beabsichtigten Klage nicht zu äussern.
3.4. Die unentgeltliche Rechtspflege wird der bedürftigen Partei sowohl nach <ref-law> wie nach <ref-law> und <ref-law> für Verfahren gewährt, mit denen sie Rechtsansprüche durchsetzen will. Der Zugang zum Gericht wird der bedürftigen Partei danach nur für Rechtsansprüche gewährt, deren Erfolgsaussichten aufgrund summarischer Beurteilung mindestens nur wenig geringer sind als die Verlustgefahren (oben E. 3.2). Zur Beurteilung der Erfolgsaussichten der Rechtsbegehren muss dem über die unentgeltliche Rechtspflege entscheidenden Gericht das tatsächliche und rechtliche Fundament der Klage vollständig dargelegt werden, soweit dies nach dem Stand des Verfahrens möglich und zumutbar ist. <ref-law> regelt das Gesuch und Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege denn auch nur für Verfahren, mit denen die Klageansprüche rechtshängig gemacht werden (<ref-law>). In diesem Rahmen hat sich die gesuchstellende Partei zur Sache sowie über ihre Beweismittel zu äussern (<ref-law>). Für Beweiserhebungen hat nach <ref-law> jede Partei auch im Prozess um materiellrechtliche Ansprüche die Kosten für die Auslagen des Gerichts vorzuschiessen, die durch die von ihr beantragten Beweiserhebungen veranlasst werden. Wird der Vorschuss nicht geleistet, unterbleibt die Beweiserhebung (<ref-law>). Wenn die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren um streitige Ansprüche die Befreiung von Vorschussleistungen umfasst (<ref-law>) und die von der bedürftigen Partei beantragten Beweise ohne Vorschuss erhoben werden, so setzt dies jedenfalls die Erfolgsaussicht ihrer Ansprüche voraus, über die im Hauptverfahren zu befinden ist (vgl. auch <ref-ruling> E. 2 S. 162 f.). Für gesonderte Beweiserhebungen ohne Gefahr des Rechtsverlusts, wie sie <ref-law> zur Verfügung stellt, ist die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ausgeschlossen. Den in der Literatur geäusserten Meinungen, wonach auch im Verfahren der vorsorglichen Beweisführung zur Abklärung der Prozesschancen (<ref-law>) die Möglichkeit der unentgeltlichen Prozessführung bestehe (so Jürgen Brönnimann, in: Berner Kommentar, 2012, N. 26 zu <ref-law>; WALTER FELLMANN, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 42 zu <ref-law>), ist mithin nicht zu folgen.
4.
Die Beschwerden sind aussichtslos, soweit sie sich gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Verfahren richten.
Soweit mit der Beschwerde gerügt wird, die Vorinstanz habe bundesrechtswidrig ein schutzwürdiges Interesse an der vorsorglich beantragten Beweismassnahme verneint, ist eine blosse vorsorgliche Beweisabnahme zur Abklärung der Prozesschancen strittig, für die auch im bundesgerichtlichen Verfahren kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege besteht. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, ohne dass die Voraussetzung der Bedürftigkeit zu prüfen ist.
Die Beschwerdeführerin ist damit anzuhalten, einen Kostenvorschuss in der Höhe der mutmasslichen Gerichtskosten zu leisten (<ref-law>). Diese bemessen sich nach dem Streitwert, den die Vorinstanz in ihrer Rechtsmittelbelehrung mit über Fr. 40'000.-- angibt, worauf sich die Beschwerdeführerin beruft. Dabei unterlässt die Beschwerdeführerin freilich Angaben über die Art und Grössenordnung der Forderungen, die sie im Hauptverfahren einzuklagen beabsichtigt. Danach würde abzuschätzen sein, welche Gerichts- und Anwaltskosten bei Einleitung einer Klage ungefähr anfallen würden. Da die vorsorgliche Beweisführung bezweckt, diese Kosten zu vermeiden - sei es, dass die Gesuchstellerin die Nutzlosigkeit des Prozesses erkennt oder die Gegenpartei in einen Vergleich einwilligt - ist der Streitwert vorliegend für den Zugang zum Verfahren der vorsorglichen Beweisführung nach der Ersparnis der Kosten für das Hauptverfahren zu schätzen. Mangels konkreterer Angaben zu den beabsichtigten Klageansprüchen und einer Streitwertangabe von mindestens Fr. 40'000.-- ist für das bundesgerichtliche Verfahren von einem Streitwert zwischen Fr. 50'000.-- und Fr. 100'000.-- auszugehen, was nach dem Tarif zu einer Gerichtsgebühr zwischen Fr. 1'500.-- und Fr. 5'000.-- führt. Die Beschwerdeführerin ist mithin anzuhalten einen Kostenvorschuss von Fr. 3'000.-- zu leisten.

Demnach beschliesst das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerden werden vereinigt.
2.
Die Gesuche um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren werden abgewiesen.
3.
Die Beschwerdeführerin wird mit separatem Formular aufgefordert, einen Kostenvorschuss von Fr. 3'000.-- zu leisten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Januar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni