Erwägungen:
1. Die ghanaische Staatsangehörige Y._ heiratete am 24. September 2007 in ihrer Heimat einen Schweizer Bürger. Am 4. Oktober 2008 reiste sie zusammen mit ihrem Sohn aus einer früheren Beziehung, X._, geb. 1999, zum Ehemann in die Schweiz ein. Es wurde ihr eine Aufenthaltsbewilligung nach Art. 42 AuG erteilt, der Sohn erhielt seinerseits gestützt darauf eine entsprechende Bewilligung. Nachdem der Ehemann von Y._ die Schweiz verlassen hatte, widerrief das Migrationsamt des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 27. Oktober 2010 die (letztmals bis 3. Oktober 2011 verlängerten) Bewilligungen von Mutter und Sohn. Den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs wies das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen mit unangefochten gebliebenem Entscheid vom 15. August 2011 ab. Darauf setzte das Migrationsamt eine Ausreisefrist auf den 6. November 2011 an.
Mit Schreiben vom 5. Januar 2012 teilte der kurz zuvor zwölf Jahre alt gewordene X._ dem Migrationsamt mit, er sei zum Schluss gekommen, dass es für ihn besser sei, in der Schweiz zu bleiben; er finde es ungerecht, dass einfach über ihn bestimmt worden sei, ohne dass jemand vorher mit ihm gesprochen habe. Auf dieses als Wiedererwägungsgesuch betrachtete Begehren trat das Migrationsamt am 23. Januar 2012 nicht ein. Gegen diesen Nichteintretensentscheid gelangte X._ mit Rekurs an das Sicherheits- und Justizdepartement, und zwar mit Eingabe seines heutigen Vertreters vom 27. Januar 2012 sowie mit einer von einer Rechtsanwältin verfassten Rechtsschrift vom 7. Februar 2012, wobei er vergeblich um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersuchte (eine diesbezügliche Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen blieb erfolglos). Das Departement wies die Beschwerde mit Entscheid vom 30. Juli 2012 ab. Dagegen liess X._ durch seine Rechtsanwältin Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen erheben, namentlich mit dem Begehren, es sei wiedererwägungsweise zu prüfen, ihm und seiner Mutter den Aufenthalt zu bewilligen. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 13. November 2012 ab.
Mit Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist und Beschwerde vom 14. Januar 2013 gelangt X._ an das Bundesgericht. Er beantragt, es sei die Beschwerdefrist wiederherzustellen und die Beschwerde als fristgerecht eingereicht zu betrachten; sodann sei das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und der Kanton St. Gallen anzuweisen, auf das Wiedererwägungsgesuch einzutreten.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2. 2.1 Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen einen Entscheid innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen. Fristen, die durch eine Mitteilung ausgelöst werden, beginnen am folgenden Tag zu laufen (<ref-law>). Ist der letzte Tag der Frist ein Samstag, ein Sonntag oder ein vom Bundesrecht oder vom kantonalen Recht anerkannter Feiertag, so endet sie am nächstfolgenden Werktag (<ref-law>). Sie steht still vom 18. Dezember bis und mit dem 2. Januar (<ref-law>). Vorliegend wurde das Urteil des Verwaltungsgerichts von der Vertreterin des Beschwerdeführers am 21. November 2012 entgegengenommen. Die Beschwerdefrist lief somit am Montag, 7. Januar 2013, ab. Die Beschwerde ist am 14. Januar 2013 unbestrittenermassen verspätet erhoben worden. Es wird indessen um Wiederherstellung der Frist ersucht.
2. 2.1 Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen einen Entscheid innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen. Fristen, die durch eine Mitteilung ausgelöst werden, beginnen am folgenden Tag zu laufen (<ref-law>). Ist der letzte Tag der Frist ein Samstag, ein Sonntag oder ein vom Bundesrecht oder vom kantonalen Recht anerkannter Feiertag, so endet sie am nächstfolgenden Werktag (<ref-law>). Sie steht still vom 18. Dezember bis und mit dem 2. Januar (<ref-law>). Vorliegend wurde das Urteil des Verwaltungsgerichts von der Vertreterin des Beschwerdeführers am 21. November 2012 entgegengenommen. Die Beschwerdefrist lief somit am Montag, 7. Januar 2013, ab. Die Beschwerde ist am 14. Januar 2013 unbestrittenermassen verspätet erhoben worden. Es wird indessen um Wiederherstellung der Frist ersucht.
2.2 2.2.1 Eine versäumte Frist kann gemäss <ref-law> wiederhergestellt werden, wenn eine Partei oder ihr Vertreter unverschuldeterweise abgehalten worden ist, fristgerecht zu handeln, sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt. Fristwiederherstellung ist nur zu gewähren, wenn die darum ersuchende Partei und ihren Vertreter klarerweise kein Verschulden an der Säumnis trifft und sie auch bei gewissenhaftem Vorgehen nicht rechtzeitig hätten handeln können; es gilt ein strenger Massstab (vgl. <ref-ruling>; <ref-ruling>; je zum mit <ref-law> im Wesentlichen übereinstimmenden Art. 35 Abs. 1 des bis Ende 2006 in Kraft stehenden Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege; zu <ref-law> selber Urteile 2C_700/2012 vom 18. Juli 2012 E. 2.1.1 und 2C_458/2010 vom 15. September 2010 E. 3.1 mit Hinweisen auf die Doktrin).
2.2.2 Wer einen Vertreter bestellt, hat sich dessen Verhalten vollumfänglich zurechnen zu lassen. Trifft den Vertreter ein Verschulden an der Versäumung der Frist, kann die Partei grundsätzlich nicht um Fristwiederherstellung ersuchen (JEAN-MAURICE FRÉSARD, in: Commentaire de la LTF, Berne 2009, N. 6 zu <ref-law>; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Berne 2008, N. 1342 ff. zu <ref-law>); wer den Vorteil hat, Pflichten durch eine Hilfsperson erfüllen zu lassen, der hat grundsätzlich auch die daraus resultierenden Nachteile zu tragen (vgl. BGE 114 I b 67 E. 2c S. 71 betreffend das Verschulden von Hilfspersonen, welche die Partei oder ihr Vertreter beiziehen).
Hat der Vertreter bewusst auf die Ergreifung eines Rechtsmittels verzichtet, stellt sich die Frage eines - verschuldeten oder unverschuldeten - Hindernisses nicht, und es bleibt kein Raum für die Anwendung von <ref-law> (Urteil 9C_541/2009 vom 12. Mai 2010 E. 4; PETER ARNOLD, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008, N. 4 zu <ref-law>).
2.2.3 Vorliegend hat die Rechtsanwältin, die den Beschwerdeführer vor Verwaltungsgericht vertrat, das anzufechtende Urteil am 21. November 2012 entgegengenommen und am 6. Dezember 2012 an die Mutter des Beschwerdeführers weitergeleitet. Sie wies darauf hin, dass sie "keine Möglichkeit für einen Weiterzug" sehe und das Urteil am 7. Januar 2013 rechtskräftig werde. Am 10. Januar 2013 sodann teilte sie der Mutter mit, dass das Urteil des Verwaltungsgerichts nun rechtskräftig sei und der Beschwerdeführer sowie sie innert der vom Migrationsamt auf den 30. Januar 2013 angesetzten Frist auszureisen hätten. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe erst am 11. Januar 2013 Kenntnis vom für ihn negativ ausgefallenen Urteil des Verwaltungsgerichts genommen, weil seine Mutter dieses weder verstanden noch ihm darüber berichtet habe. Wie es sich mit dieser wenig plausiblen Behauptung verhält, kann offen bleiben. Der Beschwerdeführer hat im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht durch eine - formell wohl von seiner Mutter mandatierte - Rechtsanwältin gehandelt und ein Urteil erwirken lassen, das unerlässlich für die Öffnung des Rechtswegs an das Bundesgericht ist, womit in optimaler Form den Anforderungen von Art. 12 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtekonvention, KRK [SR 0.107]) Genüge getan wurde. Wenn die Rechtsanwältin zur Einschätzung kam, ein bundesrechtliches Rechtsmittel habe keine reellen Erfolgsaussichten, das der Mutter des Beschwerdeführers so kommunizierte und diese davon absah, ihrerseits dennoch eine Weiterführung des Verfahrens zu organisieren, muss der Beschwerdeführer dies nach dem vorstehend Gesagten ebenso gegen sich gelten lassen wie die von ihm gewollte professionelle Beschwerdeführung durch die Vertreterin vor der Vorinstanz. Sollte es wirklich an nach der KRK notwendiger Kommunikation gefehlt haben, beträfe dies allein das Innenverhältnis des Mandats, und allfällige (ohnehin nicht erstellte) diesbezügliche Fehlleistungen wären allein der Vertreterin (bzw. den Vertreterinnen) zuzurechnen. Es fehlt offensichtlich an den Voraussetzungen für eine Fristwiederherstellung nach <ref-law>.
2.3 Auf die verspätete Beschwerde ist nicht einzutreten.
2.4 Da die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (<ref-law>). Entsprechend sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Januar 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller