Sachverhalt:
A.
Der serbische Staatsangehörige A.A._ (geb. 1983) ersuchte 2003 in der Schweiz erstmals erfolglos um Asyl. Im Herbst 2005 reiste er erneut in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Das Asylverfahren wurde infolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben, da A.A._ am 10. März 2006 die Schweizer Bürgerin B.A._ geheiratet und das Migrationsamt des Kantons Zürich ihm in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau erteilt hatte. Die Aufenthaltsbewilligung wurde letztmals bis zum 9. März 2011 verlängert. Aus der Ehe mit B.A._ sind die beiden Kinder C.A._ (geb. 2007) und D.A._ (geb. 2009) hervorgegangen. Die eheliche Wohngemeinschaft wurde am 6. März 2011 aufgegeben. Auf Begehren der Ehefrau bewilligte das Bezirksgericht Zürich mit Urteil vom 7. Juni 2011 das Getrenntleben der Eheleute auf unbestimmte Zeit und teilte ihr die Obhut über die Kinder zu. A.A._ wurde ein Besuchsrecht eingeräumt und für dessen Durchführung und Organisation eine Erziehungsbeistandschaft errichtet.
A.A._ ist strafrechtlich wie folgt in Erscheinung getreten: Das Obergericht des Kantons Zürich verurteilte ihn mit Urteil vom 25. Januar 2007 unter anderem wegen Raubes zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 12 Monaten bei einer Probezeit von drei Jahren Das Bezirksgericht Zürich verurteilte A.A._ sodann mit - noch nicht rechtskräftigem - Urteil vom 26. Februar 2013 wegen mehrfacher Körperverletzung, mehrfacher Nötigung, Drohung, wiederholter Tätlichkeiten, mehrfachen Ungehorsams gegen amtliche Verfügungen und mehrfacher Widerhandlungen gegen Vorschriften der Strassenverkehrsgesetzgebung zu einer Freiheitsstrafe von 20 Monaten. A.A._ trat in Bezug auf dieses Strafverfahren den vorzeitigen Strafvollzug an. Weiter mussten gegen A.A._ wegen ehelicher Gewalt Schutzmassnahmen (Kontakt- und Rayonverbot) angeordnet werden. Er hat sodann in erheblicher Höhe Sozialhilfe bezogen und ist verschuldet.
B.
Mit Verfügung vom 30. Januar 2013 wies das Migrationsamt das Gesuch von A.A._ um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ab und setzte ihm Frist zum Verlassen der Schweiz bis zum 30. April 2013. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 23. April 2013; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 18. September 2013).
C.
Mit Eingabe vom 25. Oktober 2013 erhebt A.A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 18. September 2013 sei aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Zudem ersucht er um unentgeltliche Prozessführung.
Die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich verzichten auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 12. November 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer beruft sich auf Art. 50 AuG (SR 142.20), Art. 8 EMRK sowie <ref-law> und macht in vertretbarer Weise einen Bewilligungsanspruch geltend, sodass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid zulässig ist (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 [e contrario], Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 und Art. 90 BGG). Ob der Anspruch tatsächlich besteht, ist Sache der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>).
1.2. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 540; <ref-ruling> E. 3 S. 386; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550).
Trotz der Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten, darin eingeschlossen solcher, die sich aus Völkerrecht ergeben, gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f. mit Hinweisen).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt in diesem Sinne mangelhaft erscheint und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f.). Rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung genügt den Begründungs- bzw. Rügeanforderungen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 104 f.).
2.
2.1. Ausländische Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern haben Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen (Art. 42 Abs. 1 AuG). Gemäss Art. 50 Abs. 1 AuG besteht nach Auflösung der Ehe der Anspruch des ausländischen Ehegatten auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Art. 42 AuG fort, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht (lit. a) oder wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (lit. b). Die Ansprüche nach Art. 50 AuG erlöschen namentlich beim Vorliegen von Widerrufsgründen nach Art. 62 AuG, soweit die Verweigerung bzw. der Widerruf der Aufenthaltsbewilligung verhältnismässig ist (Art. 51 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 62 i.V.m. Art. 96 AuG; <ref-ruling> E. 4.3 S. 381 f.).
2.2. Der Beschwerdeführer räumt ein, dass die Ehegemeinschaft definitiv aufgelöst sei und die Ehegemeinschaft weniger als fünf Jahre gedauert habe, weshalb gestützt auf Art. 42 AuG kein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung mehr bestehe (Beschwerde S. 5). Der Beschwerdeführer ist aber der Auffassung, dass die Voraussetzungen von Art. 50 Abs. 1 lit. a und b AuG (i.V.m. Art. 8 EMRK) in seinem Fall erfüllt seien, was im Folgenden zu prüfen ist.
2.3. Die Vorinstanz hat ausgeführt, dass der Beschwerdeführer zwar mehr als drei Jahre mit seiner Schweizer Ehefrau zusammengelebt habe, alleine aufgrund der strafrechtlichen Verurteilungen (zu 12 Monaten bzw. 20 Monaten Freiheitsstrafe) jedoch keine "erfolgreiche Integration" im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG vorliege (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.3). Diese Sichtweise ist nicht zu beanstanden: Als erfolgreich integriert gilt namentlich, wer die rechtsstaatliche Ordnung und die Werte der Bundesverfassung respektiert und den Willen zur Teilnahme am Wirtschaftsleben und zum Erwerb der am Wohnort gesprochenen Landessprache bekundet (Art. 77 Abs. 4 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]; vgl. ferner Art. 4 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über die Integration von Ausländerinnen und Ausländern [VIntA; SR 142.205]). Angesichts der Straffälligkeit des Beschwerdeführers, seiner Verschuldung und der nach eigenen Angaben "starken Unterstützung seitens der Sozialhilfe" (Beschwerde S. 7) liegt praxisgemäss keine erfolgreiche Integration vor (vgl. Urteile 2C_133/2013 vom 13. September 2013 E. 2.3.2; 2C_413/2013 vom 28. Juni 2013 E. 2.2; 2C_828/2012 vom 26. März 2013 E. 2.2; 2C_668/2011 vom 23. Juli 2012 E. 3.2.2). Der Beschwerdeführer hat durch sein Verhalten insgesamt deutlich zum Ausdruck gebracht, dass er die rechtsstaatliche Ordnung nicht akzeptiert. Daran vermögen weder der - nicht näher belegte - Hinweis auf das Führen eines selbständigen Geschäfts (von 2008 bis 2012) und die daraus entstanden "sozialen Kontakte", der Stellenantritt als Bauarbeiter nach Verbüssung der Haftstrafe im März 2013 noch das Absolvieren eines Deutschkurses etwas Wesentliches zu ändern.
2.4. Zu prüfen ist weiter, ob wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG). Dabei sind auch die Anforderungen zu berücksichtigen, die sich aus Art. 8 EMRK und <ref-law> in Bezug auf allfällige Kinder ergeben (Urteile 2C_930/2012 vom 10. Januar 2013 E. 4.1; 2C_422/2012 vom 16. Dezember 2012 E. 3.3).
2.4.1. Gestützt auf diese Normen hat der nicht sorge- bzw. obhutsberechtigte Ausländer ausnahmsweise dann einen Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, wenn zwischen ihm und seinem Kind in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung besteht, die - würde eine Bewilligung verweigert - wegen der Distanz zwischen der Schweiz und dem Land, in das der Ausländer vermutlich auszureisen hätte, praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte. Zudem muss sich der Ausländer tadellos verhalten haben (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen).
2.4.2. In diesem Zusammenhang vermag vorab die Rüge nicht durchzudringen, die Vorinstanz habe den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie auf eine Befragung seines älteren Sohnes verzichtet habe, um die intensive Vater-Kind-Beziehung zu beweisen. Zwar umfasst der in <ref-law> gewährleistete Anspruch auf rechtliches Gehör u.a. auch das Recht der Betroffenen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden (<ref-ruling> E. 5.1 S. 293 mit Hinweisen). Jedoch ist dieser Anspruch nicht verletzt, wenn ein Gericht deshalb auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener (antizipierter) Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148 mit Hinweisen).
Diese Voraussetzungen waren vorliegend ohne Weiteres erfüllt: Die Vorinstanz hat sich gestützt auf die Aktenlage das für die Überprüfung der Aufenthaltsbewilligungerforderliche Bild über die familiären Verhältnisse des Beschwerdeführers machen können. Insbesondere vermöchte auch ein intensiver Kontakt des Beschwerdeführers zu seinen Kindern nicht darüber hinweg zu täuschen, dass kein tadelloses Verhalten vorliegt (vgl. E. 2.4.3 hiernach), sodass die Vorinstanz - wie auch das Bundesgericht - auf die beantragte Befragung verzichten durfte. Der Beschwerdeführer hatte zudem genügend Gelegenheit, sich im Verfahren zu äussern und allenfalls weitere geeignete Belege einzureichen, um seinen Standpunkt darzulegen.
2.4.3. Die Voraussetzung des tadellosen Verhaltens ist beim Beschwerdeführer aufgrund seiner Straftaten klarerweise nicht erfüllt (vgl. E. 2.3 hiervor). Nichts zu seinen Gunsten kann er aus dem Umstand ableiten, dass er die (kurze) Zeit seit der Haftentlassung nicht rückfällig geworden ist. Auch die vom Beschwerdeführer ins Recht gelegten Ausführungen seines Vermieters lassen nicht auf ein tadelloses Verhalten schliessen. Darüber hinaus hat die Vorinstanz zu Recht entschieden, dass weder in wirtschaftlicher noch in affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung vorliegt (vgl. angefochtener Entscheid E. 3) : Sie hat zwar ausgeführt, dass dem Beschwerdeführer ein "gerichtsübliches" Besuchsrecht eingeräumt worden ist, was gemäss neuster bundesgerichtlicher Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 2.5 S. 321 f.) an sich das Erfordernis der besonderen Intensität der affektiven Beziehung zum Kind erfüllen würde. Gleichzeitig hat die Vorinstanz aber festgestellt, es gebe keine Anhaltspunkte, wonach der Beschwerdeführer sein Besuchsrecht auch tatsächlich ausgeübt habe. Der Beschwerdeführer behauptet zwar vor Bundesgericht, das Besuchsrecht werde faktisch ausgeübt, ohne aber diese Behauptung auch nur ansatzweise näher zu belegen. Weiter hat die Vorinstanz verbindlich (vgl. E. 1.3 hiervor) festgestellt, dass der Beschwerdeführer auch in wirtschaftlicher Hinsicht keine besonders intensive Beziehung pflege und er insbesondere der Unterhaltspflicht (monatlich Fr. 580.-- pro Kind) nicht nachgekommen sei. Der Beschwerdeführer behauptet nun unter Bezugnahme auf diverse Bankbelege, dass er monatliche Unterhaltszahlungen geleistet habe. Abgesehen davon, dass es sich bei den Bankauszügen um unzulässige Noven (<ref-law>) handeln dürfte, vermögen diese eine lückenlose und vollständige Begleichung der Unterhaltspflichten ohnehin nicht zu belegen. Unter diesen Umständen entfällt ein Bewilligungsanspruch nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG oder Art. 8 EMRK bzw. <ref-law>. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers ist ihm zumutbar, sein Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her auszuüben, wobei allenfalls die Modalitäten des Besuchsrechts geeignet aus- bzw. umzugestalten sind. Im Übrigen können die familiären Beziehungen nicht nur besuchsweise, sondern auch vom Ausland aus über Briefverkehr, Telefonate, E-Mail oder Internet (Skype etc.) gepflegt werden.
Weiter ist zwar ebenfalls das Kindeswohl zu berücksichtigen, wie der Beschwerdeführer sinngemäss geltend macht (vgl. Art. 3 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes [UNO-KRK; SR 0.107]). Über Art. 8 EMRK und <ref-law> hinausgehende Ansprüche auf Bewilligung ergeben sich aus der UNO-KRK vorliegend jedoch nicht (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 156 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 367 f.; Urteil 2C_956/2012 vom 22. Februar 2013 E. 3.4.3 mit Hinweisen).
2.4.4. Schliesslich vermag der Beschwerdeführer aus dem Hinweis auf die sog. "Reneja"-Praxis (<ref-ruling>) nichts zu seinen Gunsten abzuleiten, da es hier offensichtlich schon an der Voraussetzung einer intakten Ehe mit einer Schweizerin mangelt.
3.
3.1. Der angefochtene Entscheid verletzt weder Art. 50 AuG noch Art. 8 EMRK oder <ref-law>. Folglich ist die Beschwerde unbegründet und abzuweisen.
3.2. Da die Gewinnaussichten der Prozessbegehren von Anfang an beträchtlich geringer waren als die Verlustgefahren, erweist sich die Beschwerde als aussichtslos und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.; Urteil 2C_856/2012 vom 25. März 2013 E. 7.1). Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juni 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger