Sachverhalt:
A. Z._ ist Eigentümer des direkt am See liegenden und mit einem Chalet überbauten Grundstücks Nr. 223 in der Gemeinde Weggis. Er beabsichtigt, das Chalet abzubrechen und an dessen Stelle ein neues Einfamilienhaus zu bauen. Auf ein entsprechendes Baugesuch von Z._ hin erteilte die Dienststelle Raumentwicklung, Wirtschaftsförderung und Geoinformation (rawi) des Kantons Luzern die raumplanungsrechtliche Ausnahmebewilligung für das Bauvorhaben auf dem ausserhalb der Bauzone liegenden Grundstück. Daraufhin erteilte der Gemeinderat Weggis die Baubewilligung und wies gleichzeitig die von X._, Eigentümer des Grundstücks Nr. 694, sowie Y._, Eigentümer des Grundstücks Nr. 731, gegen das Baugesuch erhobenen Einsprachen ab.
B. Gegen den abweisenden Entscheid des Gemeinderats Weggis gelangten X._ und Y._ am 3. Dezember 2008 gemeinsam mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Dieses trat mit Urteil vom 30. September 2009 mangels Legitimation der Beschwerdeführer nicht auf die Beschwerde ein.
C. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern erhoben X._ und Y._ am 11. November 2009 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern zur Neubeurteilung. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Z._ und unter Hinweis auf das angefochtene Urteil das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
D. Die eingegangenen Stellungnahmen wurden den Beschwerdeführern zur Kenntnisnahme zugestellt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid, mit welchem auf eine Beschwerde gegen die Baubewilligung für ein Einfamilienhaus nicht eingetreten wurde, weil die Beschwerdeführer mangels genügender Betroffenheit durch das Bauprojekt nicht zur Beschwerde legitimiert seien. Das Urteil des Verwaltungsgerichts stützt sich auf öffentliches Recht (vgl. Art. 82 lit. a BGG) und stellt einen kantonalen Endentscheid dar (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 i.V.m. Art. 90 BGG).
1.2 Die Beschwerdeführer machen geltend, die Vorinstanz habe ihre Beschwerdelegitimation zu Unrecht verneint. Indem die Vorinstanz auf die Beschwerde nicht eingetreten sei, habe sie unter anderem gegen Art. 33 Abs. 3 lit. a RPG (SR 700), Art. 95 ff. BGG und Art. 111 Abs. 1 BGG verstossen. Zu dieser Rüge sind die Beschwerdeführer nach Art. 89 Abs. 1 BGG befugt, ungeachtet ihrer Legitimation in der Sache. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist daher (vorbehältlich rechtsgenügender Rügen; Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten.
1.3 Der rechtliche relevante Sachverhalt ergibt sich mit hinreichender Klarheit aus den Akten, weshalb der Antrag der Beschwerdeführer auf die Durchführung eines Augenscheins abzuweisen ist.
2. Die Beschwerdeführer sind der Auffassung, sie erfüllten alle Voraussetzungen für die Beschwerdebefugnis gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG, weshalb ihre Beschwerdelegitimation von der Vorinstanz auch im kantonalen Verfahren hätte anerkannt werden müssen.
2.1 Gemäss Art. 33 Abs. 3 lit. a RPG gewährleistet das kantonale Recht gegen Verfügungen betreffend die Raumplanung die Legitimation mindestens im gleichen Umfang wie für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Ferner schreibt Art. 111 BGG in Fortführung von Art. 98a des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) die Einheit des Verfahrens vor. Wer zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt ist, muss sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können (Art. 111 Abs. 1 BGG). Die unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts muss grundsätzlich mindestens die Rügen nach den Artikeln 95-98 BGG prüfen können (Art. 111 Abs. 3 BGG). Aus diesen Bestimmungen ergibt sich, dass die kantonalen Behörden die Rechtsmittelbefugnis nicht enger fassen dürfen, als dies für die Beschwerde an das Bundesgericht vorgesehen ist. Zur Beurteilung der Frage, ob die Vorinstanz die Beschwerdelegitimation der Beschwerdeführer zu Recht verneint hat, ist vorliegend die Beschwerdeberechtigung nach den Grundsätzen von Art. 89 Abs. 1 BGG zu prüfen. Wären die Beschwerdeführer befugt, gegen einen Sachentscheid über das Bauvorhaben auf der Parzelle Nr. 223 beim Bundesgericht Beschwerde zu führen, so hat die Vorinstanz auf ihr Rechtsmittel einzutreten.
2.2 Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht ist gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (lit. c). Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer, dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht. Die Nähe der Beziehung zum Streitgegenstand muss bei Bauprojekten insbesondere in räumlicher Hinsicht gegeben sein. Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann (vgl. Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4236). Die Voraussetzungen von Art. 89 Abs. 1 lit. b und lit. c BGG hängen eng zusammen. Insgesamt kann insoweit an die Grundsätze, die zur Legitimationspraxis bei der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach Art. 103 lit. a OG entwickelt worden sind, angeknüpft werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 404 f. mit Hinweisen).
2.3 Die Behauptung allein, jemand sei von den Folgen einer Baubewilligung betroffen, genügt nicht, um die Beschwerdebefugnis zu begründen. Vielmehr muss aufgrund des konkreten Sachverhalts das besondere Berührtsein und das schutzwürdige Interesse glaubhaft erscheinen, ansonsten jedermann, der eine unzutreffende Behauptung aufstellt, die Beschwerdeberechtigung zustünde. Dies liefe im Ergebnis auf eine unzulässige Popularbeschwerde hinaus. Ein Kriterium für die Beurteilung der Beschwerdebefugnis ist die räumliche Distanz des Nachbarn zum umstrittenen Bauvorhaben, wobei es nicht auf abstrakt bestimmte Distanzwerte ankommt. Das Beschwerderecht wird aber in der Regel anerkannt, wenn die Liegenschaft des Nachbarn unmittelbar an das Baugrundstück angrenzt oder allenfalls nur durch einen Verkehrsträger davon getrennt wird (<ref-ruling> E. 2b S. 174 mit Hinweisen; Urteil des Bundesgerichts 1A.98/1994 vom 28. März 1995 E. 2b, in: ZBl 96/1995 S. 528 f.; HEINZ AEMISEGGER/STEPHAN HAAG, Kommentar zum RPG, Zürich 1999, Art. 33 Rz. 39). Daneben wird eine besondere Betroffenheit vor allem in Fällen bejaht, in welchen von einer Anlage mit Sicherheit oder grosser Wahrscheinlichkeit Immissionen auf Nachbargrundstücke ausgehen (<ref-ruling> E. 2b S. 174; <ref-ruling> E. 4c S. 387; Urteil des Bundesgerichts 1A.98/1994 vom 28. März 1995 E. 2b, in: ZBl 96/1995 S. 529) oder die Anlage einen besonderen Gefahrenherd darstellt und die Anwohner einem besonderen Risiko ausgesetzt werden (<ref-ruling> E. 4d S. 388).
2.4 Die Vorinstanz hat den Beschwerdeführern zwar eine gewisse Nähe zur Streitsache attestiert, sie ist aber der Ansicht, es fehle an einem deutlich wahrnehmen Nachteil für die Beschwerdeführer, falls das Bauvorhaben realisiert würde. Weil das strittige Bauprojekt eine geringere oberirdische Kubatur aufweise und weniger hoch in Erscheinung trete als das bestehende Chalet, gehe der Einwand, ein redimensioniertes Bauvorhaben würde die Sichtfreiheit der Beschwerdeführer in Richtung Südwesten ausweiten, an der Sache vorbei. Die Beschwerde an die Vorinstanz habe darauf abgezielt, das geplante Bauvorhaben zu verhindern, womit es im Falle einer Gutheissung einstweilen beim bestehenden Gebäude geblieben wäre. Damit werde deutlich, dass die Beschwerdeführer ohnehin keinen Verfahrensausgang erreichen könnten, der in fassbarer Weise ihren eigenen rechtserheblichen Interessen diene.
Die Beschwerdeführer machen geltend, sie hätten ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Abänderung der erteilten Baubewilligung und an einer Redimensionierung des geplanten Bauvorhabens. Ihre besondere Betroffenheit ergebe sich aus der räumlichen Nähe ihrer Grundstücke zum Bauprojekt und daraus, dass der geplante Neubau von ihren Grundstücken aus sichtbar sei. Das geplante Einfamilienhaus stelle im Vergleich zum bestehenden Chalet eine absolut moderne Baute dar, welche im Volumen und in der Fläche erweitert werde. Entscheidend sei aber nicht das oberirdische Volumen des umstrittenen Ersatzneubaus, sondern dass die Identität des geplanten Bauvorhabens in den wesentlichen Zügen nicht gewahrt bleibe. Die Vergrösserung der Gebäudelänge stelle für die Beschwerdeführer eine Beeinträchtigung der Aussicht auf den Vierwaldstätter See dar. Der geplante Ersatzneubau weise ein teilweise sichtbares zusätzliches Untergeschoss und drei sichtbare Vollgeschosse inklusive einem Flachdach auf. Die Identität der bestehenden Baute werde auch in Bezug auf die Gestaltung nicht gewahrt, zumal das Bauvorhaben in der Materialisierung und Farbgestaltung eine enorme Vielfalt an den Tag lege. Zudem seien neue vorgelagerte Balkone und zwei grosse Sitzplätze geplant, weshalb mit zusätzlichen Immissionen, insbesondere Lärmimmissionen zu rechnen sei. Mit einer Zunahme der Lärmimmissionen sei auch wegen der Nutzung der geplanten Baute als ganzjähriges Wohnhaus anstatt wie bisher als Ferienhaus zu rechnen.
Der Beschwerdegegner ist der Ansicht, einzig die räumliche Nähe der Grundstücke der Beschwerdeführer zum geplanten Bauprojekt vermittle keine Beschwerdelegitimation. Die Beschwerdeführer hätten nicht aufgezeigt, inwiefern sie durch die Erteilung der Baubewilligung einen Nachteil erleiden würden.
2.5 Die Grundstücke der Beschwerdeführer liegen in unmittelbarer Nachbarschaft zu demjenigen des Beschwerdegegners. Die Wohnhäuser der Beschwerdeführer liegen nur ca. 30 bzw. 40 Meter entfernt vom geplanten Bauprojekt und das Grundstück Nr. 694 wird gar nur durch die Kantonsstrasse von demjenigen des Beschwerdegegners getrennt. Diese unmittelbare räumliche Nähe begründet eine besondere Betroffenheit der Beschwerdeführer, zumal zwischen ihren Grundstücken und der geplanten Baute Sichtkontakt besteht und das bestehende Chalet durch ein Einfamilienhaus ersetzt werden soll, dessen Erscheinungsbild stark vom bisherigen Gebäude abweicht. Der unterschiedliche Umriss des geplanten Neubaus mit Flachdach würde die Aussicht der Beschwerdeführer auf den See verändern. Zudem unterscheidet sich das geplante Einfamilienhaus vom bisherigen Gebäude für die Beschwerdeführer ohne Weiteres wahrnehmbar hinsichtlich der Gestaltung der Hausfassade. Schliesslich erscheint es aufgrund der unmittelbaren Nähe der Grundstücke zumindest nicht ausgeschlossen, dass der Ersatzbau für die Beschwerdeführer zusätzliche Lärmimmissionen zur Folge haben könnte. Die Beschwerdeführer sind somit zumindest in tatsächlicher Hinsicht stärker als die Allgemeinheit vom Bauvorhaben betroffen.
2.6 Die Beschwerdeführer sind demnach im Sinne von Art. 98 Abs. 1 BGG von der Erteilung der Baubewilligung besonders betroffen und haben an deren Aufhebung oder Abänderung ein schutzwürdiges Interesse. Weil die Vorinstanz die Legitimation der Beschwerdeführer mindestens im gleichen Umfang zu gewähren hat, hat sie auf die Beschwerde einzutreten.
3. Auf die Rüge der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe den für die Beurteilung der Beschwerdelegitimation rechtserheblichen Sachverhalt aktenwidrig und in offensichtlich unrichtiger und unvollständiger Weise festgestellt, ist nicht näher einzugehen, weil die von den Beschwerdeführern diesbezüglich gemachten Ausführungen am Ausgang des Verfahrens ohnehin nichts ändern würden. So ist für den vorliegenden Entscheid insbesondere nicht relevant, ob die Dienststelle rawi des Kantons Luzern das Bauvorhaben als bewilligungsfähig betrachtet hat und ob das oberirdische Volumen des geplanten Neubaus grösser ist als dasjenige des bestehenden Gebäudes.
4. Es ergibt sich, dass die vorliegende Beschwerde gutzuheissen ist. Der angefochtene Entscheid wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zur weiteren Behandlung zurückgewiesen (Art. 107 Abs. 2 BGG). Die Vorinstanz wird auch über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens neu zu entscheiden haben. Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdegegner aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegner hat den Beschwerdeführern für das Verfahren vor Bundesgericht eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 30. September 2009 aufgehoben. Die Angelegenheit wird zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Der Beschwerdegegner hat den Beschwerdeführern für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von gesamthaft Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Weggis, der Dienststelle Raumentwicklung, Wirtschaftsförderung und Geoinformation sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Mattle