Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft von Turin führt ein strafrechtliches Untersuchungsverfahren gegen unbekannte Täterschaft wegen mehrfacher fahrlässiger Tötung. Dabei geht es um italienische Staatsangehörige, die bei der X._ AG mit Sitz in Y._ gearbeitet haben und in Italien an einem durch Asbest verursachten Tumor ("Mesotheliom") gestorben sind.
Am 26. November 2001 ersuchte die Staatsanwaltschaft von Turin die Schweiz um die Übermittlung von Unterlagen, die von der X._ AG und der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) herauszugeben seien.
Das Bundesamt für Justiz leitete das Rechtshilfeersuchen am 8. Januar 2002 an das Verhöramt des Kantons Glarus weiter und bezeichnete den Kanton Glarus als Leitkanton.
Am 16. Januar 2002 trat das Verhöramt auf das Rechtshilfeersuchen wegen formeller Mängel nicht ein. Nachdem in der Folge die italienische Behörde das Ersuchen ergänzt hatte, trat das Verhöramt am 18. März 2002 darauf ein und verfügte die Edition von Unterlagen bei der X._ AG ("Namen und Personaldaten sämtlicher Arbeitnehmer mit italienischer Staatsangehörigkeit, die dort seit Werkeröffnung bis heute gearbeitet haben") und bei der Zentralstelle der SUVA (Krankendossiers aller Arbeiter italienischer Staatsangehörigkeit, die "bei der X._ AG in Y._ angestellt sind oder waren").
Am 7. Mai und 11. Juni 2002 übermittelte die X._ AG dem Verhöramt je eine Namenliste von ehemaligen italienischen Mitarbeitern ihrer Werke in Y._ und Z._.
Die SUVA reichte dem Verhöramt am 4. Juli 2002 12 Krankendossiers und am 16. August 2002 eine Liste mit den Namen von italienischen Mitarbeitern der X._ AG ein, die in Italien an einem Mesotheliom verstorben waren.
Mit Schlussverfügung vom 23. August 2002 ordnete das Verhöramt die Übermittlung der Akten, "das heisst die zwei Namenlisten der Mitarbeiter mit italienischer Staatsangehörigkeit (Werke in Y._ und Z._) sowie die Liste der SUVA bezüglich Personen mit Tumordiagnose", an die ersuchende Behörde an.
Mit Schreiben vom 28. Oktober 2002 hielt das Verhöramt in Beantwortung eines Briefes des Bundesamtes vom 17. Oktober 2002 fest, mit der Schlussverfügung vom 23. August 2002 sei abschliessend über das italienische Rechtshilfeersuchen entschieden worden; das Bundesamt könne die behaupteten Mängel auf dem Beschwerdeweg geltend machen, selbst wenn die Beschwerdefrist bereits abgelaufen sei.
Gegen die Schlussverfügung vom 23. August 2002 erhoben das Bundesamt am 18. September 2002 und die X._ AG am 23. September 2002 Beschwerde beim Präsidenten des Kantonsgerichts Glarus. Das Bundesamt beantragte die Aufhebung der Schlussverfügung, soweit in Bezug auf die bei der SUVA edierten Akten die Leistung der Rechtshilfe auf die Abgabe einer Liste mit den Namen derjenigen Personen beschränkt werde, über welche die SUVA ein Krankendossier aufgrund eines festgestellten Mesothelioms führe. Es vertrat die Ansicht, es müsse in vollem Umfang Rechtshilfe geleistet werden, weshalb sämtliche bei der X._ AG und der SUVA edierten Akten an die ersuchende Behörde herauszugeben seien. Die X._ AG stellte in ihrer Beschwerde den Antrag, die Schlussverfügung des Verhöramtes sei aufzuheben und dieses sei anzuweisen, die Rechtshilfe zu verweigern.
Das Bundesamt reichte am 7. November 2002 beim Präsidenten des Kantonsgerichtes eine gegen das Schreiben des Verhöramtes vom 28. Oktober 2002 gerichtete Beschwerde ein. Darin verlangte es, das Verhöramt sei anzuweisen, bei der X._ AG die Namen und Personaldaten sämtlicher italienischer Arbeitnehmer zu edieren, welche bei diesem Unternehmen tätig gewesen und in der Schweiz verstorben seien; sodann seien bei der SUVA die Krankheitsdossiers sämtlicher italienischer Arbeitnehmer der X._ AG zu edieren, welche in der Schweiz verstorben seien. Im Weiteren sei das Verhöramt anzuweisen, in Ergänzung zur Teilschlussverfügung vom 23. August 2002 eine Schlussverfügung zu erlassen, mit der das Rechtshilfeverfahren vollumfänglich abgeschlossen werde.
Der Kantonsgerichtspräsident entschied am 19. Dezember 2002 wie folgt:
"1. Die Beschwerde des Bundesamtes für Justiz vom 18. September 2002 wird gutgeheissen und die von der SUVA an das Verhöramt edierten Dossiers über Mesotheliomfälle bei Arbeitnehmern italienischer Staatsangehörigkeit der X._ AG werden (im Umfang von Ziff. 2 nachfolgend) im Original an die italienische Staatsanwaltschaft beim Gericht von Turin übergeben.
1. Die Beschwerde der X._ AG vom 23. September 2002 wird insofern gutgeheissen, als die Rechtshilfe an die italienische Staatsanwaltschaft beim Gericht von Turin auf die Namen und weiteren Personaldaten sowie die SUVA-Krankendossiers von ehemaligen Arbeitnehmern italienischer Staatsangehörigkeit der X._ AG beschränkt wird, von denen nicht bekannt ist, dass sie in der Schweiz leben oder in der Schweiz verstorben sind.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Beschwerde des Bundesamtes für Justiz vom 7. November 2002 wird abgewiesen, soweit sie dadurch nicht gegenstandslos geworden ist."
A.a.a Die von der X._ AG dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Bundesgericht am 22. August 2003 ab, soweit es darauf eintrat (1A.9/2003).
B. Mit Rechtshilfeersuchen vom 9. August 2004 verlangte die Staatsanwaltschaft von Turin im Nachtrag zu jenem vom 26. November 2001 die Herausgabe weiterer Unterlagen der SUVA. Davon erwartet die Staatsanwaltschaft von Turin Aufschluss über die Arbeitsumgebung der Werke in Y._ und Z._ sowie über die Gesundheitszustände der Arbeitnehmer, die dort in der Zeit zwischen 1950 und 1993 gearbeitet haben.
Am 31. Dezember 2004 trat das Verhöramt auf das Nachtragsersuchen ein.
Auf die von der SUVA dagegen erhobene Beschwerde trat der Präsident des Kantonsgerichts Glarus am 10. Februar 2005 nicht ein.
Mit Schreiben vom 4. November 2005 gab die SUVA die vom Verhöramt verlangten Unterlagen heraus, soweit sie vorhanden waren. Dabei handelt es sich um die Akten 1-24 des Werks Z._ von 1969 bis 1989, die Akten 1-343 des Werks Y._ von 1950 bis 1998 und um folgende drei Listen:
- "Liste 1" mit Personendaten (einschliesslich Diagnosen) von 196 Mitarbeitern schweizerischer oder ausländischer Nationalität der Werke Y._ und Z._, für die je bei der SUVA ein Berufskrankheitsdossier wegen einer möglicherweise asbestverursachten Krankheit eröffnet wurde;
- "Liste 2" mit den Personendaten (einschliesslich Diagnosen) von 62 Mitarbeitern schweizerischer oder ausländischer Nationalität der Werke Y._ und Z._, welche an einem von der SUVA als Berufskrankheit anerkannten Mesotheliom oder einem asbestbedingten Bronchuskarzinom erkrankt oder verstorben sind;
- "Liste 3" mit den Personendaten (einschliesslich Diagnosen) von 16 italienischen Mitarbeitern des Werks Y._, welche in Italien an einem Mesotheliom (bzw. in einem Fall an einem asbestbedingten Bronchuskarzinom) verstorben sind.
C. In der Folge schied das Verhöramt verschiedene im Einzelnen bezeichnete Dokumente aus dem Dossier zum Werk Y._ (act. 1-343), die keinen Bezug zur Asbestproblematik hatten, aus.
Mit Schlussverfügung vom 3. Januar 2006 entsprach das Verhöramt dem Rechtshilfeersuchen vom 9. August 2004 und ordnete die Herausgabe folgender Unterlagen an die ersuchende Behörde an:
- Dossier Werk Y._ (act. 1-343) mit Ausnahme der ausgeschiedenen Dokumente;
- Dossier Werk Z._ (act. 1-24);
- drei Listen mit Personendaten;
- Schreiben der SUVA vom 4. November 2005.
C. Auf die dagegen von der X._ AG erhobene Beschwerde trat der Präsident des Kantonsgerichts Glarus am 27. Juni 2006 nicht ein. Die Beschwerde der SUVA wies er ab.
D. Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, der Entscheid des Kantonsgerichtspräsidenten vom 27. Juni 2006 sei aufzuheben und die Rechtshilfe gemäss Ersuchen vom 9. August 2004 zu verweigern. Die bei der SUVA erhobenen Unterlagen seien ihr unverzüglich zurückzugeben. Eventualiter sei die Liste 3 (Italiener, welche in Italien verstorben sind) gemäss Schreiben der SUVA vom 4. November 2005 rechtshilfeweise herauszugeben. Es seien die gesamten Verfahrensakten betreffend das Rechtshilfeersuchen vom 9. August 2004 mitsamt den bei der SUVA einverlangten Unterlagen bei der Vorinstanz bzw. beim Verhörrichter beizuziehen. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen.
E. Der Kantonsgerichtspräsident und das Verhöramt haben auf Vernehmlassung verzichtet.
Das Bundesamt für Justiz hat ebenfalls auf Gegenbemerkungen verzichtet. Es beantragt die Abweisung der Beschwerde und schliesst sich den seines Erachtens zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid vollumfänglich an.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Für die Rechtshilfe zwischen der Schweiz und Italien sind in erster Linie die Bestimmungen des Europäischen Übereinkommens über die Rechtshilfe in Strafsachen vom 20. April 1959 (EUeR; SR 0.351.1) sowie der Zusatzvertrag zur Ergänzung dieses Übereinkommens zwischen den beiden Ländern vom 10. September 1998 (ZV-I/EUeR, SR 0.351.945.41), in Kraft seit 1. Juni 2003, massgebend. Soweit das internationale Staatsvertragsrecht bestimmte Fragen nicht abschliessend regelt, ist das schweizerische Landesrecht - namentlich das Bundesgesetz über internationale Rechtshilfe in Strafsachen vom 20. März 1981 (IRSG; SR 351.1) und die dazugehörige Verordnung (IRSV; SR 351.11) - anwendbar (<ref-law>). Das innerstaatliche Recht gilt nach dem "Günstigkeitsprinzip" auch, wenn es eine weitergehende Rechtshilfe erlaubt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 464; <ref-ruling> E. 2 S. 142, mit Hinweisen).
1.2 Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um die Verfügung einer letztinstanzlichen kantonalen Behörde, mit der das Rechtshilfeverfahren abgeschlossen wird. Dagegen ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde gemäss <ref-law> zulässig.
Die Unterlagen, welche nach der Schlussverfügung herausgegeben werden sollen, wurden bei der Beschwerdeführerin erhoben. Sie ist im Sinne von <ref-law> persönlich und direkt von einer Rechtshilfemassnahme betroffen und zur Beschwerde befugt (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 447; Robert Zimmermann, La coopération judiciaire internationale en matière pénale, 2. Aufl., Bern 2004, S. 351 N. 308 und S. 356 N. 310).
Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.3 Zulässige Beschwerdegründe sind die Verletzung von Bundesrecht (wozu auch das Staatsvertragsrecht gehört), einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens (<ref-law>).
Da als Vorinstanz eine richterliche Behörde entschieden hat, bindet ihre Feststellung des Sachverhaltes das Bundesgericht, soweit sie den Sachverhalt nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt hat (Art. 105 Abs. 2 OG).
Das Bundesgericht ist an die Begehren der Parteien nicht gebunden (<ref-law>). Im Rahmen der Verwaltungsgerichtsbeschwerde prüft es jedoch grundsätzlich nur Rechtshilfevoraussetzungen, die Streitgegenstand der Beschwerde bilden (<ref-ruling> E. 1.4 S. 341; <ref-ruling> E. 1d S. 136 f.; <ref-ruling> E. 2d S. 372).
1.4 Die Vorinstanz hat am 10. August 2006 dem Bundesgericht die Verfahrensakten und die von der Beschwerdeführerin herausgegebenen Akten zugestellt. Dem entsprechenden Verfahrensantrag der Beschwerdeführerin ist damit Genüge getan.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Vorinstanz beziehe sich in ihrem Entscheid nur auf die Herausgabe der "Krankendossiers der SUVA". Mit keinem Wort gehe die Vorinstanz auf die umfangreichen Amtsakten (Dossier Werke Y._ und Z._) und auf die Tatsache ein, dass die Beschwerdeführerin schon alle 12 Krankendossiers der betroffenen verstorbenen Italiener im ersten Rechtshilfeverfahren gemäss Ersuchen vom 26. November 2001 eingereicht habe. Es mache den Anschein, die Vorinstanz habe sich überhaupt nicht damit befasst, um welche Akten es sich im vorliegenden Rechtshilfeverfahren handle. Die Feststellung des rechtserheblichen Sachverhaltes und die Auseinandersetzung mit sämtlichen in der Rechtshilfe verlangten Akten sei jedoch elementar. Die Vorinstanz sei dieser Pflicht nicht nachgekommen, weshalb ihre Feststellung des Sachverhaltes willkürlich sei.
2.2 Der Einwand ist unbehelflich. Die Vorinstanz führt (S. 11/12) aus, die italienische Staatsanwaltschaft bitte um bei der Beschwerdeführerin vermutete Unterlagen, welche über die Arbeitsumgebung der Werke der X._ AG in Y._ und Z._ sowie über die Gesundheitszustände der Arbeitnehmer, die dort zwischen 1950 und 1993 gearbeitet hätten, Aufschluss geben könnten. Mit Eintretens- und Zwischenverfügung vom 31. Dezember 2004 habe das Verhöramt die Beschwerdeführerin aufgefordert, ihm die im Rechtshilfeersuchen genannten Unterlagen einzureichen. Mit Schreiben vom 4. November 2005 habe die Beschwerdeführerin 343 Aktenstücke zum Werk Y._ und 24 Aktenstücke zum Werk Z._ eingereicht.
Der Vorinstanz war somit klar, um welche Unterlagen es geht. Insbesondere hat sie nicht übersehen, dass auch die Herausgabe der genannten umfangreichen Aktenstücke zu den Werken Y._ und Z._ in Frage steht. Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung im Sinne von Art. 105 Abs. 2 OG ist zu verneinen. Die Vorinstanz war im Übrigen nicht gehalten, sich mit sämtlichen Aktenstücken auseinander zu setzen. Es wäre nach der Rechtsprechung vielmehr Sache der Beschwerdeführerin gewesen, im Einzelnen aufzuzeigen, welches Aktenstück aus welchem Grunde für das ausländische Strafverfahren mit Sicherheit unerheblich sei und deshalb nicht an die ersuchende Behörde herausgegeben werden dürfe (BGE <ref-ruling> E. 2d S. 371 f.).
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin wendet ein, im italienischen Strafverfahren liege auch heute noch kein konkreter Tatverdacht vor. Das vorliegende Rechtshilfeersuchen stelle ein reines Ausforschungsbegehren ("fishing expedition") dar.
3.2 Beim neuen Rechtshilfeersuchen vom 9. August 2004 handelt es sich um ein Nachtragsersuchen zu jenem vom 26. November 2001.
Zu letzterem hat sich das Bundesgericht im Urteil vom 22. August 2003 geäussert. Es erwog, die italienische Behörde bringe vor, es seien mehrere Italiener, die bei der X._ AG angestellt gewesen seien und dort mit Asbest gearbeitet hätte, in Italien an einem Asbesttumor gestorben, einer Krankheit, die typischerweise durch Asbest hervorgerufen werde. Wenn die Staatsanwaltschaft in diesem Zusammenhang eine Strafuntersuchung wegen fahrlässiger Tötung führe, so ergebe sich aus ihrem - freilich recht knappen - Ersuchen mit genügender Klarheit, was Gegenstand dieses Verfahrens sei: Die ersuchende Behörde gehe von einem gewissen Verdacht aus, die zuständigen leitenden Personen der X._ AG hätten bei Anwendung der gebotenen Sorgfalt die Arbeiter nicht so, wie es geschehen war, mit Asbest arbeiten lassen dürfen, da dieses Material zu Asbesttumor führe oder führen könne. Auch wenn dieser Sachverhalt im Ersuchen nicht durchwegs ausdrücklich dargelegt sei, lasse sich dem Begehren der Turiner Staatsanwaltschaft in hinreichender Weise entnehmen, welche Handlung bzw. Unterlassung Gegenstand des Strafverfahrens sei. Falls notwendig, habe die ersuchte Behörde das Gesuch in vernünftigem Sinn auszulegen (<ref-ruling> E. 3a S. 243). Es könne deshalb nicht gesagt werden, das Rechtshilfegesuch entspreche den Anforderungen von Art. 14 Ziff. 2 EUeR nicht. Wie die Vorinstanz mit Recht ausführe, sei auch zu erkennen, dass als Ort der mutmasslichen Tatbegehung die Werke der X._ AG zu betrachten seien und dass als Zeit eines allenfalls strafbaren Verhaltens der Zeitraum der Beschäftigung der verstorbenen Arbeitnehmer in diesen Werken zu gelten habe (E. 3.2).
Auf diese Ausführungen kann verwiesen werden. Der ersuchenden Behörde geht es demnach nicht darum, im Sinne einer "fishing expedition" belastendes Material zur Begründung eines Tatverdachts erst einmal zu beschaffen. Vielmehr besteht bereits ein Tatverdacht.
Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt unbegründet.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Rechtshilfe sei in sachlicher wie zeitlicher Hinsicht unverhältnismässig.
4.2 Mit Blick auf Art. 3 EUeR und <ref-law> sind nur Zwangsmassnahmen zulässig, welche dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit entsprechen. Die Rechtshilfe kann nur gewährt werden, soweit sie zur Ermittlung der Wahrheit durch die Strafbehörden des ersuchenden Staates nötig ist. Ob die verlangten Auskünfte für das Strafverfahren im ersuchenden Staat nötig oder nützlich sind, ist eine Frage, deren Beantwortung grundsätzlich dem Ermessen der Behörden dieses Staates anheimgestellt ist. Da der ersuchte Staat im Allgemeinen nicht über die Mittel verfügt, die es ihm erlauben würden, sich über die Zweckmässigkeit bestimmter Beweise im ausländischen Verfahren auszusprechen, hat er insoweit die Würdigung der mit der Untersuchung befassten Behörde nicht durch seine eigene zu ersetzen. Die internationale Zusammenarbeit kann nur abgelehnt werden, wenn die verlangten Unterlagen mit der verfolgten Straftat keinen Zusammenhang haben und offensichtlich ungeeignet sind, die Untersuchung voranzubringen, so dass das Ersuchen nur als Vorwand für eine unbestimmte Suche nach Beweismitteln erscheint (BGE <ref-ruling> E. 2c S. 371; <ref-ruling> E. 3a S. 242/3; <ref-ruling> E. 5c S. 255). Der Grundsatz der Verhältnismässigkeit verbietet es der ersuchten Behörde auch, über die an sie gerichteten Ersuchen hinauszugehen und dem ersuchenden Staat mehr zu gewähren, als er verlangt hat (<ref-ruling> E. 3a S. 243; <ref-ruling> E. 6 S. 125, 117 Ib 64 E. 5c S. 68 mit Hinweisen).
Die schweizerischen Behörden sind verpflichtet, den ausländischen Behörden alle diejenigen Aktenstücke zu übermitteln, die sich auf den im Ersuchen enthaltenen Verdacht beziehen können. Nicht zulässig wäre es, den ausländischen Behörden nur diejenigen Unterlagen zu überlassen, die den im Rechtshilfeersuchen dargestellten Sachverhalt mit Sicherheit beweisen. Massgeblich ist die potentielle Erheblichkeit der beschlagnahmten Aktenstücke: Den ausländischen Strafverfolgungsbehörden sind diejenigen Aktenstücke zu übermitteln, die sich möglicherweise auf den im Rechtshilfeersuchen dargestellten Sachverhalt beziehen können; nicht zu übermitteln sind nur diejenigen Akten, die für das ausländische Strafverfahren mit Sicherheit nicht erheblich sind. Den ausländischen Strafverfolgungsbehörden obliegt es dann, aus den möglicherweise erheblichen Akten diejenigen auszuscheiden, welche die den Beschuldigten vorgeworfenen Taten beweisen (BGE <ref-ruling> E. 2c). Es obliegt dem Beschwerdeführer, jedes einzelne Aktenstück, das nach seiner Auffassung nicht an die ersuchende Behörde übermittelt werden darf, zu bezeichnen. Zugleich hat er für jedes der so bezeichneten Aktenstücke darzulegen, weshalb es im ausländischen Strafverfahren nicht erheblich sein kann. Es ist nicht Sache des Bundesgerichtes, von Amtes wegen in den zur Übermittlung ins Ausland bestimmten Akten nach einzelnen Aktenstücken zu forschen, die im ausländischen Strafverfahren unerheblich sind (BGE <ref-ruling> E. 2d S. 371 f.).
4.3 Die Beschwerde ist im vorliegenden Punkt schon deshalb unbehelflich, weil die Beschwerdeführerin nicht darlegt, welches einzelne Aktenstück aus welchem Grunde für das ausländische Strafverfahren mit Sicherheit unerheblich sei. Sie wendet hinreichend substantiiert nichts gegen die Erwägung der Vorinstanz ein, wonach die herauszugebenden Unterlagen geeignet und erforderlich sind, um weitere Mesotheliom-Opfer zu finden und insbesondere das Verhalten der verantwortlichen Personen der X._ AG zu beurteilen.
Wie das Bundesgericht schon im Urteil vom 22. August 2003 (E. 2) unter Hinweis auf <ref-ruling> dargelegt hat, ist die Frage des Verjährungseintritts hier nicht zu prüfen. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, die Rechtshilfe gehe in zeitlicher Hinsicht über das hinaus, worum die Staatsanwaltschaft von Turin ersucht hat.
Soweit die herauszugebenden Unterlagen bis in die 50er-Jahre des letzten Jahrhunderts zurückgehen, sind diese für das ausländische Strafverfahren nicht mit Sicherheit unerheblich. Es kann für die italienischen Behörden für die Klärung der strafrechtlichen Verantwortlichkeit durchaus von Interesse sein, davon Kenntnis zu erlangen, was man bei der X._ AG über die Gefahren beim Umgang mit Asbest seit wann gewusst hat (oder hätte wissen müssen) und welche Vorkehren insoweit getroffen oder unterlassen worden sind.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin bringt vor, die von ihr verlangten Akten unterstünden dem Amtsgeheimnis und dürften nur unter den Voraussetzungen von Art. 97 des Bundesgesetzes vom 20. März 1981 über die Unfallversicherung (UVG; SR 832.20) den Strafuntersuchungsbehörden herausgegeben werden. Andernfalls würden sich die Verantwortlichen einer Verletzung des Amtsgeheimnisses gemäss <ref-law> bzw. <ref-law> schuldig machen. Die Voraussetzungen von <ref-law> für die Herausgabe seien jedoch nicht erfüllt.
5.2 Gemäss Art. 33 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG; SR 830.1) haben Personen, die an der Durchführung sowie der Kontrolle oder der Beaufsichtigung der Durchführung der Sozialversicherungsgesetze beteiligt sind, gegenüber Dritten Verschwiegenheit zu bewahren.
Nach Art. 97 Abs. 1 lit. i Ziff. 3 UVG dürfen, sofern kein überwiegendes Privatinteresse entgegensteht, Organe, die mit der Durchführung sowie der Kontrolle oder der Beaufsichtigung der Durchführung dieses Gesetzes betraut sind, Daten in Abweichung von Artikel 33 ATSG im Einzelfall und auf schriftlich begründetes Gesuch hin Strafgerichten und Strafuntersuchungsbehörden bekannt geben, wenn die Daten für die Abklärung eines Verbrechens oder eines Vergehens erforderlich sind.
Es ist fraglich, ob <ref-law> im vorliegenden Fall anwendbar ist. Denn die Schweiz darf die Rechtshilfe nicht unter Berufung auf ihr innerstaatliches Recht verweigern, wenn sie staatsvertraglich - hier also aufgrund des Europäischen Rechtshilfeübereinkommens und des mit Italien geschlossenen Zusatzvertrages - dazu verpflichtet ist (<ref-law>; <ref-ruling>; Zimmermann, a.a.O., S. 114, mit Hinweisen). Die Frage braucht jedoch nicht vertieft zu werden, da <ref-law> der Rechtshilfe ohnehin nicht entgegen steht.
Das Verhöramt hat gestützt auf das Nachtragsersuchen der Staatsanwaltschaft Turin die Beschwerdeführerin mit schriftlich begründeter Verfügung zur Herausgabe der betreffenden Unterlagen aufgefordert. Es geht um ein bestimmtes Strafverfahren und damit einen konkreten Einzelfall. Die von der Beschwerdeführerin herausgegebenen Unterlagen sind für die Abklärung des Vorwurfs der fahrlässigen Tötung, welche nach schweizerischem Recht (<ref-law>) ein Vergehen darstellt, erforderlich. Es kann dazu auf das oben (E. 4.3) zur Verhältnismässigkeit Gesagte verwiesen werden. Überwiegende Privatinteressen stehen der Bekanntgabe der Daten nicht entgegen. Wie die Vorinstanz zutreffend erwägt, kann das Interesse der X._ AG, ihre Verantwortlichen vor strafrechtlicher Verfolgung zu bewahren, nicht als überwiegendes Privatinteresse im Sinne von Art. 97 Abs. 1 lit. i Ziff. 3 UVG anerkannt werden, da das Interesse an der Verfolgung strafbarer Handlungen höher zu gewichten ist. Die Erkrankten und Angehörigen der Verstorbenen ihrerseits haben ein Interesse daran, dass Personen, die sich gegebenenfalls pflichtwidrig unvorsichtig verhalten haben, zur Verantwortung gezogen werden. Ein überwiegendes Privatinteresse gegen die Bekanntmachung der Daten besteht auch insoweit nicht.
Soweit die Beschwerdeführerin vorbringt, es fehle an der Einwilligung der Betroffenen zur Bekanntgabe der Daten, ist die Beschwerde unbehelflich. Eine solche Einwilligung verlangt Art. 97 Abs. 1 lit. i Ziff. 3 UVG nicht.
Waren danach die Verantwortlichen der Beschwerdeführerin nach <ref-law> zur Bekanntgabe der Daten befugt, konnten sie sich auch nicht wegen Verletzung des Amtsgeheimnisses gemäss <ref-law> bzw. <ref-law> strafbar machen. Nach <ref-law> ist die Tat, die das Gesetz für erlaubt erklärt, kein Verbrechen oder Vergehen.
5.3 Die Beschwerdeführerin bringt vor, es sei offen, was mit den herauszugebenden Unterlagen in Italien geschehen würde. Insbesondere sei nicht auszuschliessen, dass sie Journalisten und anderen Interessierten in die Hände fielen. Allenfalls würden sie auch für weitere Verfahren in Italien verwendet.
Der Einwand ist unbehelflich. Gegen die beliebige Weiterverwendung der herauszugebenden Unterlagen in Italien schützt die Beschwerdeführerin der Spezialitätsvorbehalt, den das Bundesamt bei der Übergabe praxisgemäss erklären wird. Aufgrund der Vermutung der Vertragstreue ist davon auszugehen, dass Italien den Spezialitätsvorbehalt beachten wird (<ref-ruling> E. 5b S. 395; <ref-ruling> E. 4b S. 271 f.; Zimmermann, a.a.O., S. 525).
6. 6.1 Die Beschwerdeführerin bringt vor, der ersuchende Staat ziele letztlich darauf ab, ihre Tätigkeit zu überprüfen. Dies stehe jedoch allein ihrer Aufsichtsbehörde - dem Bundesamt für Gesundheit bzw. dem Bundesrat - zu. Wenn sich insoweit "fremde Richter" einmischten, verletze das den schweizerischen "ordre public".
6.2 Gemäss Art. 2 lit. b EUeR kann die Rechtshilfe verweigert werden, wenn der ersuchte Staat der Ansicht ist, dass die Erledigung des Ersuchens geeignet ist, die öffentliche Ordnung (ordre public) seines Landes zu beeinträchtigen. Den "ordre public" behält auch <ref-law> vor. Gemäss <ref-law> entscheidet im Fall von <ref-law> das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement. Dessen Entscheid unterliegt der Beschwerde an den Bundesrat (<ref-law>).
Die Beschwerdeführerin hat am 14. Januar 2005 gestützt auf Art. 2 lit. b EUeR und <ref-law> eine Beschwerde beim Departement eingereicht (act. 16). Damit erhebt sie (S. 6 ff.) die Rüge der Verletzung des "ordre public" mit der gleichen Begründung wie hier. Das Departement wird - auch im vorliegenden Fall - über die Beschwerde praxisgemäss erst dann entscheiden, wenn rechtskräftig geklärt ist, ob und wieweit das massgebliche Staatsvertrags- und Gesetzesrecht die Rechtshilfe ansonsten zulässt (act. 12 S. 2 f.). Nach Abschluss des vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahrens wird somit das Departement und gegebenenfalls anschliessend der Bundesrat darüber zu befinden haben, ob die Rechtshilfe hier mit dem schweizerischen "ordre public" vereinbar sei. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist im vorliegenden Punkt daher nicht einzutreten.
6.3 Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, es sei möglich, dass der Turiner Staatsanwalt das Verfahren auf ihre Mitarbeiter und damit solche einer Bundesbehörde ausdehne. Dies liefe ebenfalls den berechtigten Interessen der Schweiz zuwider, weshalb die Rechtshilfe auch unter diesem Gesichtspunkt abzulehnen sei.
Die Beschwerdeführerin beruft sich damit in der Sache wiederum auf Art. 2 lit. b EUeR bzw. <ref-law>. Die Rüge ist denn auch in ihrer Beschwerde vom 14. Januar 2005 an das Departement (S. 9) enthalten. Darüber wird - wie gesagt - das Departement und allenfalls nachher der Bundesrat zu befinden haben. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist daher auch insoweit nicht einzutreten.
7. Die Beschwerdeführerin bringt vor, es sei unklar, welche Delikte die Staatsanwaltschaft Turin untersuche.
Der Einwand ist offensichtlich unbegründet. Die Staatsanwaltschaft Turin führt ein Verfahren wegen des Verdachts der fahrlässigen Tötung. Worum es dabei geht, wurde oben (E. 3.2) unter Hinweis auf das bundesgerichtliche Urteil vom 22. August 2003 bereits gesagt.
8. Soweit die Beschwerdeführerin eine Verletzung des rechtlichen Gehörs rügt, weil die Vorinstanz ihren Entscheid nicht hinreichend begründet habe, ist die Beschwerde ebenfalls offensichtlich unbegründet. Die Vorinstanz legt einlässlich und nachvollziehbar dar, weshalb Rechtshilfe zu leisten ist.
Der Richter muss sich im Übrigen nicht mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen. Er kann sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 3.2 S. 236; <ref-ruling> E. 2b S. 102 f. mit Hinweisen). Dies hat die Vorinstanz getan.
9. 9.1 Nach dem Gesagten besteht kein Rechtshilfehindernis. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
9.2 Gemäss Art. 156 OG werden die Gerichtskosten in der Regel der vor Bundesgericht unterliegenden Partei auferlegt (Abs. 1). Dem Bund, Kantonen oder Gemeinden, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis und ohne dass es sich um ihr Vermögensinteresse handelt, das Bundesgericht in Anspruch nehmen, dürfen in der Regel keine Gerichtskosten auferlegt werden (Abs. 2).
Die Kostenbefreiung nach Art. 156 Abs. 2 OG betrifft nicht nur die Gemeinwesen selber, sondern auch andere öffentlich-rechtliche und private Organisationen, die öffentliche Aufgaben wahrnehmen (Thomas Geiser, in Geiser/Münch [Hrsg.], Prozessieren vor Bundesgericht, 2. Aufl., Basel 1998, S. 11 N. 120a).
Die Beschwerdeführerin ist eine öffentlich-rechtliche Anstalt mit eigener Rechtspersönlichkeit (<ref-law>). Sie führt - unter der Oberaufsicht des Bundes (<ref-law>) - die obligatorische Unfallversicherung durch (<ref-law>). Damit nimmt sie öffentliche Aufgaben wahr, weshalb ihr - obschon sie unterliegt - keine Kosten aufzuerlegen sind.
9.3 Mit dem Entscheid in der Sache braucht über das Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht mehr befunden zu werden. Die Beschwerde hatte im Übrigen ohnehin von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung (Art. 21 Abs. 4 lit. b und Art. 80l Abs. 1 IRSG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Verhöramt und dem Kantonsgerichtspräsidenten des Kantons Glarus sowie dem Bundesamt für Justiz, Abteilung internationale Rechtshilfe, Sektion Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Oktober 2006
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: