Sachverhalt:
A. Mit Gesuch vom 16. Juni 2006 beantragte die TDC Switzerland AG (heute: Sunrise Communications AG) den Neubau einer Mobilfunkanlage auf dem Dach der Liegenschaft Sagenstrasse 15 (Parzelle Nr. 2198, Grundbuch Ebikon). Die Eheleute A._ und zahlreiche weitere Personen erhoben dagegen Einsprache. Mit Entscheid vom 27. November 2008 erteilte der Gemeinderat von Ebikon die Baubewilligung.
Gegen diesen Entscheid legten unter anderem die Eheleute A._ sowie die im Rubrum genannten weiteren Personen Beschwerde ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies das Rechtsmittel mit Urteil vom 19. November 2009 ab, soweit es darauf eintrat.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. Januar 2010 an das Bundesgericht beantragen die im Rubrum genannten Personen im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Baubewilligung sei zu verweigern. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, der Gemeinderat von Ebikon und die Beschwerdegegnerin beantragen in ihrer jeweiligen Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführer halten in ihrer Stellungnahme dazu an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest.
Mit Präsidialverfügung vom 9. Februar 2010 hat das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid über die Baubewilligung für eine Mobilfunkanlage, welcher der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (<ref-law>). Die Beschwerdeführer haben am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Gemäss den Feststellungen im angefochtenen Entscheid liegen ihre Grundstücke innerhalb des für die Einspracheberechtigung massgebenden Radius (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 169 ff. mit Hinweisen). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägungen einzutreten.
1.2 Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Das setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt.
Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.; je mit Hinweisen).
1.3 Die Beschwerdeführer rügen die Baubewilligungserteilung durch den Gemeinderat, da dieser die Frage der Eingliederung nicht mit der notwendigen Sorgfalt geprüft habe. Auf die entsprechenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid gehen sie dagegen nicht ein. Sie zeigen mit anderen Worten nicht auf, inwiefern der Entscheid des Verwaltungsgerichts in diesem Punkt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 und Art. 95 ff. BGG). Auf die Rüge ist deshalb nicht einzutreten.
1.3 Die Beschwerdeführer rügen die Baubewilligungserteilung durch den Gemeinderat, da dieser die Frage der Eingliederung nicht mit der notwendigen Sorgfalt geprüft habe. Auf die entsprechenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid gehen sie dagegen nicht ein. Sie zeigen mit anderen Worten nicht auf, inwiefern der Entscheid des Verwaltungsgerichts in diesem Punkt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 und Art. 95 ff. BGG). Auf die Rüge ist deshalb nicht einzutreten.
1.4 1.4.1 Die Beschwerdeführer machen weiter geltend, dass das betroffene Grundstück innerhalb des Perimeters des Gestaltungsplans "Sagenstrasse" liege. Ein Verbot für Dachantennen sei in allen Baubewilligungen der 18 im Gestaltungsplangebiet errichteten Einfamilienhäuser enthalten. Nach Ansicht des Verwaltungsgerichts entfalteten die Auflagen jedoch nur für das jeweils betroffene Bauprojekt Wirkung. Diese Auffassung sei rechtswidrig und verstosse gegen das Gebot der Rechtsgleichheit. Der angefochtene Entscheid sei unhaltbar, denn erstens habe sich der Gemeinderat nicht mit den ästhetischen Überlegungen auseinandergesetzt, welche dem Gestaltungsplan zugrunde liegen, und zweitens sei die Auffassung des Verwaltungsgerichts falsch, dass eine Bundesrechtsverletzung vorliege, wenn in der Reihenhaussiedlung Sagenstrasse keine Mobilfunkantenne errichtet werden könnte.
1.4.2 Die Vorinstanz erwog, entgegen der Ansicht der Beschwerdeführer enthielten weder der Gestaltungsplan vom 15. November 1973 noch dessen Änderung vom 2. April 1981 ein Antennenverbot. Ein solches würde ohnehin der Fernmeldegesetzgebung zuwiderlaufen. Mit diesen Darlegungen, welche für die Rüge der Beschwerdeführer von ausschlaggebender Bedeutung sind, setzen sich diese nicht auseinander. Auf das Vorbringen ist deshalb nicht einzutreten (<ref-law>).
2. 2.1 Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Sie verweisen auf eine Vereinbarung zwischen dem Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement des Kantons Luzern und drei Mobilfunknetzbetreiberinnen, darunter die Beschwerdegegnerin. Die Vereinbarung sehe vor, dass die jeweilige Gemeinde und die Mobilfunkbetreiberin eine Standortevaluation vornähmen. Dabei würden mögliche Alternativstandorte geprüft. Vorliegend sei diese Standortevaluation durchgeführt worden. Die Beschwerdeführer hätten jedoch keine Gelegenheit erhalten, sich dazu zu äussern.
2.2 Das Verwaltungsgericht hielt diesbezüglich fest, dass für die Baubewilligung für Mobilfunkantennen kein Bedürfnisnachweis gefordert werden dürfe. Auch gebe es keine rechtliche Grundlage, um die Beschwerdegegnerin auf eine Prüfung von alternativen Standorten zu verpflichten. Die betreffenden Vorbringen der Beschwerdeführer, auch in Bezug auf die Verletzung des rechtlichen Gehörs, seien deshalb unbegründet.
2.3 Das rechtliche Gehör gemäss <ref-law> dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen. Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst als Mitwirkungsrecht somit alle Befugnisse, der eine Partei bedarf, um in einem Verfahren ihren Standpunkt wirksam zur Geltung zu bringen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 293 mit Hinweisen).
Das Akteneinsichtsrecht ist nach dem Gesagten Ausfluss des rechtlichen Gehörs. Es bezieht sich auf sämtliche verfahrensbezogenen Akten, die geeignet sind, Grundlage des Entscheids zu bilden. Die Akteneinsicht ist auch zu gewähren, wenn dadurch der Entscheid in der Sache nicht beeinflusst werden kann. Die Einsicht in die Akten, die für ein bestimmtes Verfahren erstellt oder beigezogen wurden, kann demnach nicht mit der Begründung verweigert werden, die betreffenden Dokumente seien für den Verfahrensausgang belanglos. Es muss dem Betroffenen selber überlassen sein, die Relevanz der Akten zu beurteilen. Um Akteneinsicht zu erhalten, haben die Rechtsuchenden grundsätzlich ein Gesuch einzureichen. Dies bedingt, dass sie über den Beizug neuer verfahrensbezogener Akten, welche sie nicht kennen und auch nicht kennen können, informiert werden (<ref-ruling> E. 3.2 und 6.2 S. 389 ff. mit Hinweisen).
2.4 Aus dem angefochtenen Entscheid und der Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin im bundesgerichtlichen Verfahren geht hervor, dass die Beschwerdegegnerin zusammen mit der Gemeinde Ebikon eine Standortevaluation durchgeführt hat. Diese erfolgte offenbar auf freiwilliger Basis, denn die erwähnte Vereinbarung wurde erst im Oktober 2008 unterzeichnet, also nach der öffentlichen Auflage des Baugesuchs vom 28. August bis zum 18. September 2006. Dies ist jedoch nicht von Belang, denn nach dem Gesagten bezieht sich das Akteneinsichtsrecht auf sämtliche verfahrensbezogenen Akten, die geeignet sind, Grundlage des Entscheids zu bilden. Indem die Vorinstanz eine Verletzung des rechtlichen Gehörs mit der Begründung verneinte, es bestehe keine rechtliche Pflicht zur Prüfung von Alternativstandorten, wendete sie <ref-law> falsch an. Die Rüge der Beschwerdeführer erweist sich somit als begründet.
3. Nach dem Gesagten ergibt sich, dass die Beschwerde teilweise gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben ist. Die Angelegenheit wird einerseits zur neuen Beurteilung unter Gewährung des rechtlichen Gehörs an den Gemeinderat von Ebikon zurückgewiesen, andererseits zu neuem Entscheid über die Kosten und die Parteientschädigung an das Verwaltungsgericht. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens tragen die Beschwerdeführer und die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten im Umfang ihres Unterliegens (<ref-law>). Die Parteientschädigungen werden wettgeschlagen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und das Urteil vom 19. November 2009 des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern aufgehoben. Die Angelegenheit wird zur neuen Beurteilung in der Sache an den Gemeinderat von Ebikon zurückgewiesen und zur neuen Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an das Verwaltungsgericht. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden im Umfang von Fr. 1'500.-- den Beschwerdeführern, im Umfang von Fr. 1'500.-- der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat von Ebikon und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold