Faits:
A.
A.X._, né en 1965, et B.X._, née en 1963, se sont mariés le 8 décembre 1989 à Vernier (GE). Les enfants suivants sont issus de cette union: C._, née en 1990, D._, né en 1991, E._, né en 1992, F._, née en 1994, et G._, né en 1995. Durant l'union conjugale, l'épouse a en outre donné naissance à H._, né en 1997, et aux jumeaux I._ et J._, nés en 1999. Ces trois derniers enfants n'ont pas le mari pour père biologique.
Les conjoints vivent séparés depuis janvier 2012 à tout le moins.
B.
Par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 27 novembre 2012, le Tribunal de première instance de Genève a, notamment, attribué à la mère la garde des jumeaux I._ et J._ et condamné le mari à verser, dès le prononcé du jugement, la somme de 2'400 fr. par mois à titre de contribution à l'entretien de l'épouse et de ces deux enfants. Il a en outre autorisé les conjoints à vivre séparés, attribué au mari la jouissance exclusive du domicile conjugal ainsi que la garde des enfants G._ (actuellement majeur) et H._, réservé au père un droit de visite sur les enfants I._ et J._ et, à la mère, un droit de visite sur l'enfant H._, enfin, prononcé les mesures pour une durée indéterminée.
Le mari a interjeté appel contre ce jugement. Quant à l'épouse, elle a formé un appel joint, qu'elle a ensuite retiré. Par arrêt du 30 août 2013, la Cour de justice du canton de Genève a augmenté à 3'280 fr. par mois le montant de la contribution d'entretien due par le mari.
C.
Par acte du 7 octobre 2013, le mari exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 30 août 2013. Il conclut, principalement, à ce qu'il lui soit donné acte de son accord de verser la somme de 1'224 fr. par mois pour les jumeaux, et à ce qu'il soit dit qu'il ne doit aucune contribution à l'épouse. Subsidiairement, il demande l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale.
L'intimée propose, principalement, la confirmation de l'arrêt attaqué. A titre subsidiaire, elle demande d'être acheminée à prouver, par toutes voies de droit, les faits allégués dans sa réponse.
Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
D.
Par ordonnance du 28 novembre 2013, le Président de la cour de céans a accordé l'effet suspensif au recours pour les contributions dues jusqu'à fin septembre 2013, mais non pour les montants dus à partir du 1er octobre 2013.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le présent recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4) rendue sur recours par une autorité supérieure (art. 75 al. 1 et 2 LTF) dans une affaire civile (<ref-law>). Le litige porte sur la contribution d'entretien mise à la charge du recourant, à savoir une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse requise est atteinte (art. 51 al. 1 ch. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a en outre pris part à la procédure devant l'autorité précédente (<ref-law>) et a un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
1.2. Dès lors que la décision attaquée porte sur le prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 à 179 CC), soit de mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5), le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir d'examen limité, seule la violation des droits constitutionnels pouvant être invoquée. Il n'examine en outre les griefs de violation de droits constitutionnels que s'ils ont été invoqués et motivés conformément au principe d'allégation (<ref-law>), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.4). Le recourant qui se plaint de la violation d'un droit fondamental ne peut donc se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer ses allégations par une argumentation précise (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3.2).
1.3. En ce qui concerne l'appréciation des preuves et la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 1b). Cette retenue est d'autant plus grande dans le domaine des mesures protectrices de l'union conjugale, qui sont ordonnées à la suite d'une procédure sommaire, avec administration restreinte des moyens de preuve et limitation du degré de la preuve à la simple vraisemblance. Dans le cadre d'un recours soumis à l'<ref-law>, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte doit démontrer que ceux-ci sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst., conformément au principe d'allégation précité (cf. supra, consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.2.2; arrêt 5A_654/2013 du 2 décembre 2013 consid. 2.2). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>).
2.
Le recourant se plaint d'une violation de l'interdiction de la reformatio in pejus. Il expose que le Tribunal de première instance avait fixé la contribution à l'entretien de la famille à 2'400 fr. par mois, contribution que l'autorité cantonale a, de son propre chef, augmenté à 3'280 fr. par mois, bien qu'il ait conclu, en appel, à ce que soit constaté qu'il ne doit aucun montant à ce titre et que l'intimée ait retiré son recours joint. Selon lui, si les juges précédents pouvaient agir de la sorte en vertu de la maxime d'office s'agissant de la contribution due pour les enfants, ils n'étaient nullement en mesure d'accroître la somme destinée à l'épouse; or le raisonnement de la cour cantonale consistant à dire qu'aucun revenu hypothétique ne peut être imputé à l'intimée est uniquement motivé par la prétendue incapacité de travailler de celle-ci. Dès lors, l'autorité précédente aurait uniquement augmenté la contribution due à l'épouse, enfreignant l'<ref-law> et, s'agissant plus particulièrement d'un cas d'application de l'<ref-law>, la prohibition de l'arbitraire.
2.1. L'interdiction de la reformatio in pejusest un principe juridique clair et incontesté, dont la violation contrevient à l'art. 9 Cst. Il signifie qu'une autorité de recours ne peut modifier la décision attaquée en défaveur de la partie recourante, sauf si la partie adverse a formé un recours joint (<ref-ruling> consid. 2.1.1). En première instance, la contribution d'entretien due par un conjoint à l'autre dans le cadre de mesures protectrices doit être arrêtée conformément aux art. 163 et 176 al. 1 ch. 1 CC et est soumise au principe de disposition (<ref-law>), aucune disposition légale ne stipulant que le juge n'est pas lié par les conclusions (<ref-law>). La contribution due à l'entretien d'un enfant dans cette même procédure est, quant à elle, prévue par l'<ref-law>, lequel renvoie aux <ref-law>, et est soumise à la maxime d'office (<ref-law>), ce qui a pour conséquence que le juge n'est pas lié par les conclusions des parents (arrêts 5A_704/2013 du 15 mai 2014 consid. 3.4; 5A_906/2012 du 18 avril 2013 consid. 6, publié in FamPra 2013 p. 715, et les références). La contribution à l'entretien de la famille doit d'ailleurs être arrêtée de manière différenciée pour le conjoint, d'une part, et chaque enfant, d'autre part. Le juge ne peut donc augmenter d'office la contribution due à l'épouse qui est soumise au principe de disposition; il est lié par les conclusions de celle-ci (arrêts 5A_906/2012 du 18 avril 2013 consid. 6.1.1; 5A_743/2012 du 6 mars 2013 consid. 6.2.2).
2.2. En l'espèce, il n'est pas nécessaire de se prononcer sur la portée de ces principes en instance de recours cantonale. En effet, la contribution d'entretien litigieuse a été fixée de manière globale pour l'épouse et les enfants. Or il n'apparaît pas que le recourant ait critiqué cette pratique en procédure d'appel, pas plus qu'il ne soulève de grief à ce sujet dans le présent recours (<ref-law>); il ne peut donc être reproché à la Cour de justice d'être tombée dans l'arbitraire en procédant de la sorte. Comme le recourant estime par ailleurs que la maxime d'office s'applique en effet aux contributions d'entretien en faveur des enfants, de sorte que leur fixation échappe à l'interdiction de la reformatio in pejus, il n'est pas possible de déterminer dans quelle mesure l'augmentation de la contribution d'entretien, effectuée globalement par l'autorité cantonale, concerne l'épouse ou les enfants ni, par conséquent, de contrôler si le principe de l'interdiction de la reformatio in pejus, autant qu'applicable, aurait été violé.
3.
Dans un autre grief, le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir refusé d'imputer un revenu hypothétique à l'épouse. Il estime que la Cour de justice a arbitrairement interprété les certificats, datés de plus de huit mois, établis par le médecin traitant de l'intimée, lequel, en tant que généraliste, ne serait pas compétent concernant des affections pouvant relever de l'addictologie ou de la psychiatrie. Il serait en outre insoutenable de considérer qu'aucun élément ne permet de retenir que l'intimée pourrait bénéficier d'une rente de l'assurance-invalidité, tout en soulignant qu'il appartient à celle-ci d'effectuer les démarches nécessaires afin de déterminer si elle serait néanmoins en mesure de percevoir de telles prestations pour elle-même et pour ses enfants.
3.1. Lors de la fixation de la contribution d'entretien, le juge doit en principe tenir compte des revenus effectifs. Il peut toutefois imputer à un époux un revenu hypothétique supérieur à celui obtenu effectivement. Pour ce faire, il doit examiner successivement les deux conditions suivantes: tout d'abord, il doit décider si l'on peut raisonnablement exiger de cette personne qu'elle exerce une activité lucrative ou augmente celle-ci, eu égard, notamment, à sa formation, à son âge et à son état de santé (question de droit); ensuite, il doit examiner si la personne a la possibilité effective d'exercer l'activité ainsi déterminée et quel revenu elle peut en obtenir, compte tenu des circonstances subjectives susmentionnées, ainsi que du marché du travail; il s'agit là d'une question de fait (<ref-ruling> consid. 4.2.2; <ref-ruling> consid. 4c/bb; <ref-ruling> consid. 2b).
3.2. Selon l'autorité cantonale, il ressort du certificat et des attestations établies par le médecin traitant de l'épouse qu'en raison de différentes affections chroniques, celle-ci se trouve en incapacité de travail depuis le 8 janvier 2010, pour une durée indéterminée. Les juges précédents ont ainsi nié la possibilité effective pour l'intimée de réaliser un revenu, question qui relève du fait. Or le recourant se contente de mettre en doute l'incapacité de travail de l'épouse, sans démontrer en quoi l'appréciation effectuée par l'autorité cantonale des documents produits serait insoutenable. Ses critiques, en particulier quant au manque de précisions sur la nature et la cause des troubles dont souffrirait l'intimée, l'absence de spécialisation du médecin, ou encore le défaut d'actualité des attestations fournies, ne suffisent en tout cas pas à établir que celles-ci ne seraient pas probantes.
Dans la mesure où le recourant prétend que la cour cantonale a commis l'arbitraire en estimant qu'aucun élément ne permettait de retenir que l'épouse pourrait bénéficier d'une rente-invalidité, ses allégations ne sont pas non plus fondées. Toute incapacité de travail, même médicalement attestée, ne donne pas encore droit à une rente d'assurance-invalidité. Il n'est ainsi pas arbitraire d'admettre, sur la base de certificats médicaux, l'incapacité d'un conjoint de trouver un emploi pour des raisons de santé, même si les conditions d'obtention d'une rente d'invalidité font défaut (arrêts 5A_51/2007 du 24 octobre 2007 consid. 4.3.2; 5P.423/2005 du 27 février 2006 consid. 2.2). Pour que l'on puisse tenir compte d'une telle rente sous l'angle d'un revenu hypothétique, il faut que le droit à l'obtenir soit établi, ou, à tout le moins, hautement vraisemblable (arrêts 5A_51/2007 du 24 octobre 2007 consid. 4.3.2). En l'occurrence, l'autorité cantonale a considéré que tel n'était pas le cas. Or le recourant ne démontre pas que cette constatation serait insoutenable, ses allégations selon lesquelles l'intimée tarde à effectuer les démarches nécessaires pour déterminer si elle peut bénéficier d'une telle rente n'étant à cet égard pas déterminantes. En définitive, on ne saisit pas en quoi il serait arbitraire de considérer que l'épouse, dont l'incapacité de travail est prouvée par certificat médical, ne peut se voir imputer, en l'état, un revenu hypothétique. Mal fondées pour autant que recevables, les critiques du recourant doivent être rejetées.
4.
De plus, le recourant soutient que la cour cantonale a fait preuve d'arbitraire en ne tenant pas compte de la composition des ménages respectifs des parties dans l'établissement de leurs charges et l'application de la méthode dite du minimum vital. Il lui reproche en particulier d'avoir inclus les frais relatifs au jumeaux dans les charges de l'intimée alors que ceux-ci ne logent pas chez elle et de n'avoir pas tenu compte du concubinage de celle-ci. Il affirme en outre que le solde disponible n'aurait pas dû être réparti par moitié entre les époux.
Il ne ressort cependant pas de l'arrêt déféré, et le recourant ne prétend pas non plus, que ces moyens auraient été soumis à la juridiction précédente: nouveaux, ils sont irrecevables dans un recours fondé sur l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2; arrêt 5A_720/2011 du 8 mars 2012 consid. 2.3 et les références).
5.
Le recourant fait aussi grief à l'autorité cantonale d'avoir omis de prendre en compte de manière anticipée, comme le prévoit la jurisprudence, les critères applicables à l'entretien après divorce selon l'<ref-law>, et ce bien que le lien conjugal soit définitivement rompu.
5.1. Le principe et le montant de la contribution d'entretien due selon l'<ref-law> se déterminent en fonction des facultés économiques et des besoins respectifs des époux (<ref-ruling> consid. 3b; <ref-ruling> consid. 20b et les références citées). Le juge doit partir de la convention, expresse ou tacite, que les époux ont conclue au sujet de la répartition des tâches et des ressources entre eux (<ref-law>), l'<ref-law> demeurant en effet la cause de l'obligation d'entretien réciproque des époux (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 3.2). Le juge doit ensuite prendre en considération qu'en cas de suspension de la vie commune (art. 175 s. CC), le but de l'<ref-law>, soit l'entretien convenable de la famille, impose à chacun des époux le devoir de participer, selon ses facultés, notamment par la reprise ou l'augmentation de son activité lucrative, aux frais supplémentaires qu'engendre la vie séparée. Le juge peut donc devoir modifier la convention conclue pour la vie commune, afin de l'adapter à ces faits nouveaux. C'est dans ce sens qu'il y a lieu de comprendre la jurisprudence consacrée dans l'arrêt paru aux <ref-ruling>, qui admet que le juge doit prendre en considération, dans le cadre de l'<ref-law>, les critères applicables à l'entretien après le divorce (<ref-law>) pour statuer sur la contribution d'entretien et, en particulier, sur la question de la reprise ou de l'augmentation de l'activité lucrative d'un époux (<ref-ruling> consid. 3.1; arrêts 5A_228/2012 du 11 juin 2012; 5A_807/2011 du 16 avril 2012 consid. 6.3.1; cf. aussi: arrêt 5A_122/2011 du 9 juin 2011 consid. 4). Ainsi, l'absence de perspectives de réconciliation ne justifie pas à elle seule la suppression de toute contribution d'entretien (<ref-ruling> consid. 3.1, précisant l'arrêt paru aux <ref-ruling>).
5.2. Compte tenu de ces principes, l'argumentation du recourant, autant qu'elle est suffisamment motivée, apparaît entièrement infondée, s'agissant, en l'espèce, d'une procédure de mesures protectrices de l'union conjugale et non de divorce.
6.
En conclusion, le recours se révèle mal fondé et doit par conséquent être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera dès lors les frais judiciaires (<ref-law>) et versera en outre des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF), dont la requête d'assistance judiciaire devient par conséquent sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Une indemnité de 3'000 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimée est sans objet.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 14 juillet 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Mairot