Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1980) stammt aus Gambia und reiste am 5. Juli 2011 illegal in die Schweiz ein. Am 23. April 2012 wies das Bundesamt für Migration (BFM; heute: Staatssekretariat für Migration SEM) sein Asylgesuch ab und hielt ihn an, das Land zu verlassen. Am 11. November 2011 grenzte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt A._ aus dem Kantonsgebiet aus, nachdem er versucht hatte, dort Betäubungsmittel zu verkaufen. In der Folge missachtete A._ die entsprechende Verfügung wiederholt.
1.2. Das Amt für Migration Basel-Landschaft nahm A._ am 12. September 2013 in Ausschaffungshaft. Aus dieser wurde er am 6. März 2014 entlassen, da er der gambischen Delegation am 12. Dezember 2013 nicht hatte zugeführt werden können. Für eine weitere zentrale Befragung wurde A._ am 19. Mai 2014 erneut in Ausschaffungshaft genommen; diese wurde mit Zustimmung des jeweilig zuständigen Einzelrichters für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Kantonsgericht Basel-Landschaft verlängert - letztmals am 25. November 2014 bis zum 26. Februar 2015.
1.3. A._ beantragt mit Eingabe vom 24. Dezember 2014, das Urteil des Einzelrichters vom 25. November 2014 aufzuheben und den Kanton Basel-Landschaft anzuhalten, ihn aus der Haft zu entlassen. A._ macht geltend, die Haftverlängerung sei unverhältnismässig und verstosse gegen das Beschleunigungsgebot. Das Amt für Migration Basel-Landschaft beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft hat darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen. Das Staatssekretariat für Migration weist in seinem Amtsbericht auf die von ihm getroffenen Massnahmen und den Umstand hin, dass es den Identifikationsprozess aufrechterhalten und A._ erneut den gambischen Behörden vorführen werde. A._ hat an seinen Anträgen und Ausführungen festgehalten: Das SEM habe nichts weiter unternommen, als "zwei Delegationsgespräche zu arrangieren"; dies sei zu wenig im Hinblick auf die Haftdauer von ca. 15 Monaten. Die Haftbesuche der Vertreter des kantonalen Amtes für Migration seien nicht geeignet gewesen, das Identifikationsverfahren voranzutreiben.
2.
2.1. Das Amt für Migration Basel-Landschaft wirft in seiner Vernehmlassung die Frage auf, ob die Vertrauensperson des Beschwerdeführers bevollmächtigt ist, für diesen zu handeln; die bei den ausländerrechtlichen Akten liegende Vollmacht laute auf jemand anderen.
2.2. Der Eingabe an das Bundesgericht liegt eine (neue) Vollmacht vom 16. Dezember 2014 zugunsten der heutigen Vertreterin bei; jene deckt das Verfahren vor Bundesgericht ab und lässt sämtliche anderen "Mandate im Ausländerbereich" dahin fallen. Auf die Eingabe, die auch alle weiteren Verfahrensvoraussetzungen erfüllt, ist deshalb einzutreten.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aufgefordert worden, das Land zu verlassen. Er weigert sich, in seine Heimat zurückzukehren, hat wiederholt seine Ausgrenzung verletzt und ist hier straffällig geworden; während seiner Festhaltung hat er zudem versucht, Drogen in die Vollzugsanstalt zu schmuggeln. Es besteht bei ihm gestützt auf sein Verhalten, was er nicht bestreitet, die hinreichend konkretisierte Gefahr, dass er sich ohne ausländerrechtliche Festhaltung den Behörden für den Vollzug der Wegweisung nicht zur Verfügung halten bzw. er weiterhin versuchen wird, diesen zu vereiteln (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f.).
3.2.
3.2.1. Das Beschleunigungsgebot gilt nach der bundesgerichtlichen Praxis als verletzt, wenn während mehr als zwei Monaten keinerlei Vorkehren mehr im Hinblick auf die Ausschaffung getroffen wurden (Untätigkeit der Behörden), ohne dass die Verzögerung in erster Linie auf das Verhalten ausländischer Behörden oder des Betroffenen selber zurückgeht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211; <ref-ruling> E. 3a S. 51 mit Hinweisen). Den mit dem Vollzug der Wegweisung betrauten Behörden kommt bei der Wahl des ihnen hierfür geeignet erscheinenden Vorgehens wegen ihrer technischen Sachkenntnisse praxisgemäss ein gewisser Beurteilungsspielraum zu (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211).
3.2.2. Die Identität des Beschwerdeführers konnte trotz seiner Behauptung im Asylverfahren (und der weiteren entsprechenden Hinweise), dass er aus Gambia stammt, nicht erstellt werden, da er sich zweimal - im Juni und Dezember 2014 - weigerte, mit der gambischen Delegation zu sprechen, bzw. diese beschimpfte. Bisher ist nicht erwiesen, dass er tatsächlich nicht aus Gambia kommen würde; die Delegation hat protokolliert: "The delegation could not verify his nationality as Gambian because he refused to talk". Die Zusammenarbeit mit dem gambischen Behörden funktioniert grundsätzlich; es ist somit nicht ausgeschlossen, dass er diesen - wie vom SEM in Aussicht gestellt - noch einmal wird vorgeführt werden können.
3.2.3. Wenn die Personalien des Beschwerdeführers - trotz entsprechender Bemühungen - bis heute nicht definitiv ermittelt werden konnten, ist dies ausschliesslich dessen renitentem Verhalten zuzuschreiben. Die Behörden sind im Rahmen des Beschleunigungsgebots ihrerseits nicht gehalten, schematisch bestimmte Handlungen vorzunehmen. Geboten sind Vorkehrungen, die unter den konkreten Umständen geeignet erscheinen, die Ausschaffungsbemühungen voranzubringen; hierzu können allenfalls auch Rückführungsgespräche dienen, falls diese nicht über eine längere Zeit hinweg die einzige Massnahme der Behörden bilden. Der Beschwerdeführer soll erneut einer gambischen Delegation vorgeführt werden; dabei ist deren Besuchsplan zu berücksichtigen, welcher nur begrenzt beeinflusst werden kann. Die Verlängerung der ausländerrechtlich begründeten Festhaltung ist deshalb hinsichtlich der Verfahrensbeschleunigung nicht zu beanstanden. Der Vollzug der Ausschaffung ist trotz des Verhaltens des Beschwerdeführers nach wie vor absehbar und wird im Rahmen der ohne seine Mitwirkung naturgemäss beschränkteren Vollzugsmöglichkeiten sachgerecht weiter verfolgt.
3.3.
3.3.1. Die umstrittene Festhaltung des Beschwerdeführers erscheint auch nicht unverhältnismässig : Die Ausschaffungshaft soll den Vollzug der Entfernungsmassnahme sicherstellen und muss ernsthaft geeignet sein, diesen Zweck zu erreichen, was nicht (mehr) der Fall ist, wenn die Weg- oder Ausweisung trotz der behördlichen Bemühungen nicht in einem dem konkreten Fall angemessenen Zeitraum vollzogen werden kann. Die Festhaltung hat, weil unverhältnismässig, dann als unzulässig zu gelten, wenn triftige Gründe für solche Verzögerungen sprechen oder praktisch feststeht, dass sich der Vollzug kaum innert vernünftiger Frist wird realisieren lassen (<ref-ruling> E. 4.1.3 S. 61 mit Hinweisen). Die Ausschaffungshaft muss zweckbezogen auf die Sicherung des Wegweisungsverfahrens ausgerichtet sein; es ist jeweils aufgrund sämtlicher Umstände zu klären, ob sie (noch) geeignet bzw. erforderlich erscheint und nicht gegen das Übermassverbot, d.h. das sachgerechte und zumutbare Verhältnis von Mittel und Zweck, verstösst (zur Ausschaffungshaft: <ref-ruling> E. 5.1 S. 5 und unpublizierte E. 7; <ref-ruling> ff.; zur Durchsetzungshaft: <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97; <ref-ruling> E. 2.2 S. 100; Urteil 2C_168/2013 vom 7. März 2013 E. 3).
3.3.2. Der Beschwerdeführer befand sich zum Zeitpunkt der Haftverlängerung seit 11 Monaten und 23 Tagen in Haft; mit der umstrittenen Verlängerung wird seine Festhaltung 14 Monate und 23 Tage betragen. Die ausländerrechtlich begründete Festhaltung kann - bei fehlender Kooperation des Betroffenen oder Verzögerungen durch einen Nichtschengenstaat - heute grundsätzlich noch für maximal 18 Monate angeordnet werden (Art. 79 AuG). Die vorliegend zu beurteilende Ausschaffungshaft respektiert diese Grenze. Grundsätzlich ist der Gesetzgeber - in Übereinstimmung mit der europäischen Regelung (Art. 15 Abs. 6 RL 2008/115 [Rückführungsrichtlinie; ABl. 348 vom 24. Dezember 2008 S. 98 ff.]) - davon ausgegangen, dass bis zur Maximaldauer die Festhaltung als verhältnismässig gelten kann, wenn die Verzögerung in erster Linie auf das Verhalten des Betroffenen zurückzuführen ist. Dies ist hier unzweideutig der Fall. Es erübrigt sich unter diesen Umständen darüber zu spekulieren, wie sich der Beschwerdeführer allenfalls bei einer (weiteren) Vorführung verhalten und wie die gambische Delegation reagieren wird. Die umstrittene Haftverlängerung ist nicht zu beanstanden und verletzt kein Bundesrecht, auch wenn sich die Frage stellt, ob in Fällen wie dem vorliegenden (grundsätzlich kooperierender Heimatstaat; total renitenter Weggewiesener) nicht allenfalls bereits früher zu einer Durchsetzungshaft zu wechseln wäre, bei der das Beschleunigungs- und Verhältnismässigkeitsgebot weniger streng gelten (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 96 f.).
3.3.3. Zweck der Durchsetzungshaft ist es, die ausreisepflichtige Person in jenen Fällen zu einer Verhaltensänderung zu bewegen, in denen nach Ablauf der Ausreisefrist der Vollzug der rechtskräftig gegen sie angeordneten Weg- oder Ausweisung - trotz entsprechender behördlicher Bemühungen - ohne ihre Kooperation nicht (mehr) möglich erscheint (vgl. Art. 78 AuG). Der damit verbundene Freiheitsentzug stützt sich auf Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK (Haft zur Sicherung eines schwebenden Ausweisungsverfahrens) und dient in diesem Rahmen zur Erzwingung einer durch das Gesetz vorgeschriebenen Verpflichtung des Betroffenen (Art. 5 Ziff. 1 lit. b EMRK; vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1). Die Durchsetzungshaft bildet das letzte Mittel, wenn und soweit keine andere Massnahme (mehr) zum Ziel führt, den illegal anwesenden Ausländer auch gegen seinen Willen in seine Heimat verbringen zu können. Bei der Beurteilung, ob sich eine solche ihrerseits als verhältnismässig erweist, ist dem Verhalten des Betroffenen, den die Papierbeschaffung allenfalls erschwerenden objektiven Umständen (ehemalige Bürgerkriegsregion usw.) sowie dem Umfang der von den Behörden bereits getroffenen Abklärungen Rechnung zu tragen und zu berücksichtigen, wieweit der Ausländer es tatsächlich in der Hand hat, die Festhaltung zu beenden, indem er seiner Mitwirkungs- bzw. Ausreisepflicht nachkommt (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97). Von Bedeutung können zudem seine familiären Verhältnisse sein sowie der Umstand, dass er allenfalls wegen seines Alters, Geschlechts oder Gesundheitszustands als "besonders schutzbedürftig" gelten muss (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 205). Das mutmassliche künftige Verhalten des Betroffenen ist dabei jeweils aufgrund sämtlicher Umstände abzuschätzen; dabei steht dem Haftrichter wegen der Unmittelbarkeit seiner Kontakte mit dem Betroffenen wiederum ein gewisser Beurteilungsspielraum zu (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.2.4; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97).
3.3.4. Die umstrittene Haftverlängerung ist vorliegend jedoch - wie dargelegt - noch als Ausschaffungshaft zulässig und verhältnismässig; sie verletzt deshalb kein Bundesrecht. Der vorliegende Sachverhalt kann im Übrigen nicht mit dem im Entscheid 2C_787/2014 vom 29. September 2014 beurteilten verglichen werden: Dort konnten von den heimatlichen Behörden keinerlei Papier beschafft werden, wobei der ausländische Staat sich nicht kooperationsbereit gezeigt und die Schweizer Behörden das Beschleunigungsgebot verletzt hatten, was in einer Gesamtbetrachtung zur Haftentlassung führte. Der Beschwerdeführer kann seine Festhaltung verkürzen, indem er mit den Behörden zusammenarbeitet und freiwillig in seine Heimat zurückkehrt.
4.
Die Beschwerde ist unbegründet und deshalb abzuweisen. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (<ref-law>); es sind deshalb keine Kosten zu erheben. Eine Entschädigung im Rahmen einer unentgeltlichen Verbeiständung ist nicht geschuldet, da der unterliegende Beschwerdeführer nicht anwaltlich vertreten ist ( THOMAS GEISER, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger, BSK Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 33 zu <ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird entsprochen und es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar