Faits:
A. X._, né le 19 octobre 1960, travaille depuis le 3 septembre 2007 en qualité de responsable de chantier auprès de la société V._ SA, à Genève. A ce titre, il est couvert contre le risque d'une perte de gain résultant de la maladie ou d'un accident par une assurance collective soumise à la LCA conclue par son employeur et qui lui assure le paiement d'une indemnité journalière de 80% du salaire avec délai d'attente de deux jours. Initialement conclu avec la compagnie d'assurance Z._, ce contrat a été repris par Y._ SA (l'assureur).
Par déclaration du 12 juin 2010, l'employeur du prénommé a informé l'assureur que son employé était en état d'incapacité de travail dès le 4 juin 2010.
X._ a consulté dans un premier temps le Dr A._, de la Permanence de S._, qui a attesté une incapacité de travail totale dès le 4 juin 2010 en raison d'une épaule douloureuse.
Un rapport d'échographie de l'épaule droite, réalisé le 14 juin 2010 par le Dr B._, spécialiste FMH en radiologie, a évoqué le diagnostic de tendinose vraisemblablement calcifiante, sans hyperhémie focalisée.
Dans un rapport du 7 septembre 2010, la Dresse C._, médecin généraliste, a diagnostiqué une tendinite de l'épaule droite, un syndrome de l'angulaire de l'omoplate droite, des cervico-brachialgies droites, un état anxieux important, une déchirure musculaire probable du bras droit, une HTA (i. e. hypertension artérielle) ainsi qu'une hémochromatose, admettant un arrêt de travail de 100% depuis le 17 juin 2010.
L'assureur a mandaté le Dr E._, rhumatologue, de la Clinique R._, pour procéder à un examen médical de l'assuré. Dans son rapport du 7 octobre 2010, ce médecin a conclu que la capacité de travail de X._ était nulle dans l'activité de maçon; en revanche, une activité respectant ses limitations fonctionnelles (pas de port de charges de plus de 15 kg ni de mouvements au-dessus des épaules) permettrait de ramener sa capacité de travail à 100%.
Par pli recommandé du 27 octobre 2010, l'assureur a sommé X._ de reprendre le travail dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles, en lui fixant un délai au 31 janvier 2011.
L'assureur a ensuite prolongé le versement des indemnités journalières d'abord jusqu'au 28 février 2011, puis jusqu'au 30 avril 2011, au motif que l'assuré avait subi une intervention chirurgicale et que le professeur D._, médecin-chef de service du département de chirurgie de l'hôpital de T._, avait attesté d'un arrêt de travail de 100% du 18 mars 2011 au 1er mai 2011 inclus.
Le 23 mai 2011, l'assureur a mandaté la Dresse M._, spécialiste de rhumatologie et d'ostéodensitométrie, de la Clinique R._, aux fins d'examiner l'assuré. Dans son rapport du 17 juin 2011, cette praticienne a constaté que X._, sur une période de trois mois suivant l'évaluation, devait s'abstenir de tout port de charges de plus de 5 kg ainsi que de tout mouvement d'abduction, de rétropulsion ou d'antépulsion au-delà de 50°. Elle en a conclu que l'activité professionnelle de chef de chantier avec travaux de manutention n'était pas exigible. Cependant, sur le plan médico-théorique, une capacité de travail à 100% pouvait être envisagée dès le jour de l'évaluation (soit le 17 juin 2011), dans une activité adaptée, du type surveillance de chantier, exempte de tout mouvement de manutention.
Par courrier du 22 juillet 2011, l'assureur a accepté de verser les indemnités journalières jusqu'au 20 juin 2011.
Selon un rapport du Dr F._, chef de clinique du département de chirurgie de l'hôpital de T._, l'incapacité de travail de l'assuré devait être admise jusqu'au début du mois d'octobre 2011
B. Le 10 novembre 2011, X._ a demandé à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de Genève notamment de condamner l'assureur à continuer de lui payer l'indemnité journalière de 77 fr.55 tant qu'il n'a pas retrouvé une pleine capacité de travail dans son activité antérieure ou dans une activité adaptée, jusqu'à l'épuisement des droits résultant du contrat d'assurance collective.
En cours de procédure, X._ a produit un certificat émis par la Dresse C._ attestant d'une incapacité de travail de 100% dès le 2 mai 2011, avec une reprise partielle à 50% dès le 5 septembre 2011.
Dans son arrêt du 31 juillet 2012, la Chambre des assurances sociales a adopté la position de la Dresse M._ et admis que X._ était capable de travailler à 100% dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles. Elle a toutefois considéré que le délai d'adaptation pour changer d'activité était trop court et condamné l'assureur à payer les indemnités journalières jusqu'au 30 septembre 2011.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant une violation des art. 9 et 29 Cst., 6 CEDH, 8 CC, 44 CO et 61 LCA, il conclut principalement à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui verser, pour la période du 5 septembre au 11 novembre 2011, la somme de 5'273 fr.40 avec intérêts à 5% l'an dès le 3 octobre 2011 et, dès le 12 novembre 2011, une indemnité journalière de 77 fr.55 jusqu'à épuisement des droits résultant du contrat d'assurance.
L'intimée propose le rejet du recours et la confirmation de l'arrêt critiqué.
Les parties ont répliqué et dupliqué.
Par ordonnance du 17 octobre 2012, la Ire Cour de droit civil a admis la requête d'assistance judiciaire présentée par le recourant, son conseil étant désigné comme avocat d'office.

Considérant en droit:
1. 1.1 Selon l'<ref-law>, les cantons peuvent instituer un tribunal qui statue en tant qu'instance cantonale unique sur les litiges portant sur les assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale selon la loi fédérale du 8 mars 1994 sur l'assurance-maladie (LAMal; RS 832.10). Le canton de Genève a fait usage de cette faculté en prévoyant, à l'art. 134 al. 1 let. c de la loi genevoise sur l'organisation judiciaire du 26 septembre 2010 (LOJ; E 2 05), que la Chambre des assurances sociales connaît en instance cantonale unique des contestations relatives aux assurances complémentaires à l'assurance-maladie obligatoire.
Avec l'entrée en vigueur du CPC, l'art. 74 al. 2 let. b et l'<ref-law> ont été modifiés en ce sens que la formule "une loi fédérale prescrit une instance cantonale unique" a été remplacée par la phrase "une loi fédérale prévoit une instance cantonale unique". Il ressort clairement des travaux préparatoires que la volonté du législateur, en adoptant cette modification, était d'englober non seulement les cas où le droit fédéral impose une instance cantonale unique, mais aussi les cas où il permet au droit cantonal de prévoir une instance cantonale unique et que le droit cantonal a fait usage de cette faculté (Procès-verbal de la séance du 3 avril 2008 de la Commission des affaires juridiques du Conseil national p. 9; cf. arrêt 4A_304/2012 du 14 novembre 2012, consid. 1.1 destiné à la publication).
Il résulte donc de l'<ref-law> que l'on se trouve en présence d'un cas où, selon la nouvelle formulation de la LTF, une loi fédérale prévoit une instance cantonale unique.
En conséquence, la cour cantonale a valablement statué en instance unique (<ref-law>) et le recours est recevable sans égard à la valeur litigieuse (<ref-law>).
1.2 Formé par la partie qui a succombé partiellement dans ses conclusions en paiement et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>), dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>; cf. infra consid. 2.1), le recours est recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.3 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut donc également être formé pour violation d'un droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313) ou d'un droit découlant d'un traité international (<ref-law>).
Le Tribunal fédéral applique d'office le droit dont il peut contrôler le respect (<ref-law>). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été articulés ou, à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 4 p. 317 s.; <ref-ruling> consid. 1.4 et l'arrêt cité). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 584; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 389; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>; ATF <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 187). La partie qui se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit présenter une motivation répondant aux exigences strictes de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
1.5 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (<ref-law>).
Si le Tribunal fédéral admet le recours, il statue lui-même sur le fond ou renvoie l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle prenne une nouvelle décision (<ref-law>).
2. 2.1 Il ressort des constatations cantonales - qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>) - que le recourant est au bénéfice d'un contrat d'assurance qui lie l'intimée et oblige cette dernière, à certaines conditions, à lui verser des indemnités journalières en cas de pertes de gain causées par la maladie ou un accident.
Dans le domaine de l'assurance couvrant le risque de perte de gain en cas de maladie ou d'accident, les parties peuvent librement choisir, soit de conclure une assurance sociale d'indemnités journalières régie par les art. 67 à 77 LAMal, soit de conclure une assurance d'indemnités journalières soumise à la loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1) (arrêt 4A_595/2011 du 17 février 2012 consid. 2.1; 4A_373/2010 du 10 novembre 2010 consid. 2.1). En l'occurrence, il ressort des faits déterminants que le contrat conclu prévoit expressément qu'il est soumis à la LCA. Il s'agit donc d'une assurance complémentaire à l'assurance sociale relevant du droit privé (art. 12 al. 2 et 3 LAMal; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 441 s.).
2.2 L'<ref-law> dispose que lors du sinistre, l'ayant droit est obligé de faire tout ce qui est possible pour restreindre le dommage; s'il n'y a pas péril en la demeure, il doit requérir les instructions de l'assureur sur les mesures à prendre et s'y conformer (al. 1); si l'ayant droit contrevient à cette obligation d'une manière inexcusable, l'assureur peut réduire l'indemnité au montant auquel elle serait ramenée si l'obligation avait été remplie (al. 2 ).
Il a été jugé que l'<ref-law>, bien qu'il figure parmi les dispositions spéciales relatives à l'assurance contre les dommages, exprime un principe général du droit des assurances, qui s'applique également à l'assurance des personnes et aux assurances de sommes, notamment à l'assurance d'indemnités journalières (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 531; <ref-ruling> consid. 3b p. 36).
Dès lors que l'assurance d'espèce est soumise à la LCA, il faut donc appliquer le principe contenu à l'art. 61 de cette loi.
2.3 L'obligation de réduire le dommage découlant de l'<ref-law> peut impliquer, dans le domaine de l'assurance des indemnités journalières, le devoir pour l'assuré de changer d'activité professionnelle, si cela peut être raisonnablement exigé de lui et permet de réduire son incapacité de travail. L'assureur qui entend faire application de l'<ref-law> doit inviter l'assuré à changer d'activité et lui impartir pour cela un délai d'adaptation approprié; en règle générale, un délai de trois à cinq mois doit être considéré comme adéquat (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 531 et les arrêts cités).
2.4 La cour cantonale a fondé son opinion sur l'expertise privée établie par la Dresse M._ à la demande de l'assureur. Que l'expertise ait été sollicitée par l'assureur et qu'elle ait été demandée à un institut qui semble spécialisé dans ce genre de missions (la Clinique R._) ne permet pas encore de déduire, à défaut d'éléments plus concrets, que la Dresse M._ ne se serait pas exprimée avec l'indépendance d'esprit et l'impartialité requises. Savoir si son opinion est convaincante et s'il est de ce fait inutile d'ordonner une expertise judiciaire est une question d'appréciation des preuves que le Tribunal fédéral ne peut revoir que sous l'angle restreint de l'arbitraire. Les avis médicaux ultérieurs cités par le recourant (du Dr F._ et de la Dresse C._) ne paraissent pas envisager l'hypothèse d'un changement d'activité, de sorte qu'ils ne contredisent pas vraiment l'opinion de la Dresse M._ et ne permettent pas de conclure qu'il était arbitraire de suivre son rapport d'expertise privée.
Mais le recours doit être admis pour une autre raison, qui rend inutile un examen approfondi des griefs soulevés par le recourant.
Selon les constatations cantonales, la Dresse M._ s'est prononcée "sur le plan médico-théorique" (arrêt attaqué ch. 19 p. 5).
L'analyse médico-théorique ne constitue cependant qu'une première étape du raisonnement auquel il y a lieu de procéder pour appliquer l'<ref-law>. En effet, cette disposition ne permet pas à l'assureur de réduire ses prestations dans la perspective d'un changement d'activité purement théorique, qui n'est pratiquement pas réalisable. Le juge doit au contraire procéder à une analyse concrète de la situation. Partant, il doit se demander, en fonction de l'âge de l'assuré et de l'état du marché du travail, quelles sont ses chances réelles de trouver un emploi tenant compte de ses limitations fonctionnelles. Il doit également examiner, en fonction de la formation, de l'expérience et de l'âge de l'assuré, si un tel changement d'activité peut réellement être exigé de lui (arrêt 4A_304/2012 du 14 novembre 2012 déjà cité, consid. 2.4).
La réduction de l'indemnité est en outre exclue s'il n'est en réalité pas possible de limiter le préjudice par un changement d'activité professionnelle. Il faut donc qu'il soit démontré que cette nouvelle activité permettrait effectivement à l'assuré de réaliser un revenu supérieur à celui qu'il peut encore obtenir en conservant son emploi.
Ni l'expertise privée de la Dresse M._ ni l'arrêt déféré ne s'expriment singulièrement sur les possibilités de gain que la nouvelle profession, raisonnablement exigible en fonction des critères sus-décrits, offrirait au recourant.
En se fondant exclusivement sur les conclusions d'une analyse médico-théorique, la cour cantonale a enfreint l'<ref-law>.
Comme les constatations de fait contenues dans la décision attaquée sont insuffisantes pour que le Tribunal fédéral puisse se prononcer à la place de l'autorité cantonale, il y a lieu de lui renvoyer la cause pour qu'elle prenne une nouvelle décision (<ref-law>).
3. En définitive, il convient d'admettre le recours, d'annuler l'arrêt attaqué et de renvoyer la cause à l'autorité cantonale, laquelle devra compléter l'état de fait avant de déterminer, sur la base des critères mentionnés ci-dessus, si un changement d'activité pouvait raisonnablement être exigé du recourant.
Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de l'intimée, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera au recourant une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève Chambre des assurances sociales 4ème Chambre.
Lausanne, le 31 janvier 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet