A.- Der 1949 geborene S._ zog sich am 19. August 1997 bei einem Unfall eine Commotio cerebri mit parieto-occipitaler Rissquetschwunde und Akzentuierung eines cervicocephalen Schmerzsyndroms zu. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) erbrachte für die Folgen des Unfalles die gesetzlichen Leistungen. Mit Verfügung vom 2. Juli 1998 teilte sie dem Versicherten mit, dass sie ihn ab 8. Juli 1998 wieder als 50 % arbeitsfähig betrachte. Die von S._ hiegegen erhobene Einsprache mit dem Antrag auf Aufhebung der Verwaltungsverfügung, Offenlegung sämtlicher Akten und Weiterausrichtung eines Taggeldes auf Grund einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % lehnte die SUVA mit Entscheid vom 24. November 1998 ab.
B.- S._ liess hiegegen beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, die SUVA sei zu verpflichten, sämtliche Akten offen zu legen (Ziffer 1). Der Einspracheentscheid sei aufzuheben (Ziffer 2). Die SUVA habe ihm auch nach dem 7. Juli 1998 und weiterhin die gesetzlichen Leistungen zu erbringen, insbesondere ein Taggeld auf Grund einer vollen Arbeitsunfähigkeit (Ziffer 3), zuzüglich Verzugszins von 5 % auf den nachzuzahlenden Leistungen (Ziffer 4). Mit Mitteilung vom 20. Mai 1999, während hängigem Verfahren, zog die SUVA den Einspracheentscheid insofern in Wiedererwägung, als sie erklärte, dass sie das Taggeld entsprechend Ziffer 2 und 3 des Rechtsbegehrens weiterhin auf Grund einer Arbeitsfähigkeit von 100 % ausrichte. Im Weitern führte sie aus, dass sie sich dem Antrag auf Ausrichtung eines Zinses auf der Nachzahlung (Ziffer 4) widersetze und das Begehren gemäss Ziffer 1 für obsolet halte, weil die entscheidrelevanten Unterlagen im Aktenheft, das der Stellungnahme beiliege, offen gelegt worden seien. Am 31. Mai 1999 zog S._ die Beschwerde in den noch streitigen Punkten zurück. Gleichzeitig reichte er dem Gericht die Honorarnote vom 28. Mai 1999 über einen Totalbetrag von Fr. 6462.40 (21,8 Stunden à Fr. 210.-, Barauslagen von Fr. 1538.20 [davon Fr. 1500.- Gutachterkosten]) ein. Mit Entscheid vom 9. August 1999 schrieb das Verwaltungsgericht das Verfahren wegen Gegenstandslosigkeit beziehungsweise Rückzugs der Beschwerde als erledigt ab und verpflichtete die SUVA, S._ unter Einschluss der Auslagen und der Mehrwertsteuer (exkl. auf Auslagen für Gutachten) eine Parteientschädigung von Fr. 4247.- zu bezahlen (entsprechend einer Entschädigung von zwölf Stunden à Fr. 210.- [zuzüglich geltend gemachte Auslagen]).
C.- Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt S._ die Zusprechung einer höheren Parteientschädigung für das kantonale Verfahren beantragen, wobei er seine Bemühungen im kantonalen Verfahren mittels einer detaillierten Honorarnote (ohne Datum) ausweist.
Während die SUVA sich zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde äussert, ohne einen Antrag zu stellen, lässt sich das Bundesamt für Sozialversicherung nicht vernehmen.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Da es sich beim Streit um die Höhe des Parteikostenersatzes nicht um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen handelt, hat das Eidgenössische Versicherungsgericht nur zu prüfen, ob der vorinstanzliche Richter Bundesrecht verletzt hat, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt worden ist (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
2.- a) Die Vorinstanz hat den vom Rechtsvertreter des Beschwerdeführers geltend gemachten Parteikostenersatz von Fr. 6462.40 (21,8 Stunden à Fr. 210.- zuzüglich Auslagen von Fr. 1538.20) auf Fr. 4247.- (12 Stunden à Fr. 210.- zuzüglich Auslagen von Fr. 1538.20, einschliesslich Mehrwertsteuer) gekürzt. Während die Höhe der Auslagen, darunter ein Expertenhonorar von Fr. 1500.-, welches ebenfalls unter dem Titel Parteientschädigung zu ersetzen ist (<ref-ruling> Erw. 5c; RKUV 2000 Nr. U 362 S. 44 Erw. 3b), unbestritten ist, bleibt zu prüfen, wie es sich mit dem geltend gemachten Arbeitsaufwand verhält. Diesbezüglich hat die Vorinstanz gemäss angefochtenem Entscheid als Reduktionsgrund berücksichtigt, dass der Rückzug in zwei Punkten einem Unterliegen gleichkomme und sich der Anwalt bereits im Einspracheverfahren mit dem Fall befasst habe.
b) Zu Unrecht rügt der Beschwerdeführer, mit diesen Ausführungen sei die Vorinstanz ihrer Begründungspflicht nicht nachgekommen. Denn das kantonale Gericht, welches seinen Entscheid überhaupt nur zu begründen hatte, weil es die Parteientschädigung abweichend von der Kostennote auf einen bestimmten, nicht der üblichen, praxisgemäss gewährten Entschädigung entsprechenden Betrag festsetzte (SVR 2000 IV Nr. 11 S. 32 Erw. 3b), hat zu erkennen gegeben, von welchen Überlegungen es sich leiten liess. Die von ihm für die Reduktion der Parteientschädigung angeführten Gründe - der Rückzug in zwei Punkten und die Vorbefassung im Einspracheverfahren - reichen aus, um eine sachgerechte Anfechtung zu ermöglichen (vgl. hiezu <ref-ruling> Erw. 1a mit Hinweisen), womit das Gericht der ihm obliegenden Begründungspflicht Genüge getan hat.
3.- a) Gemäss <ref-law> hat der obsiegende Beschwerdeführer Anspruch auf den vom Gericht festgesetzten Ersatz der Parteikosten (Satz 1), wobei diese ohne Rücksicht auf den Streitwert nach dem zu beurteilenden Sachverhalt und der Schwierigkeit des Prozesses bemessen werden (Satz 2).
Daraus folgt, dass das Eidgenössische Versicherungsgericht als Frage des Bundesrechts frei prüft, ob der vorinstanzliche Entscheid den durch <ref-law> eingeräumten grundsätzlichen Anspruch auf Parteientschädigung verletzt und ob der Entscheid hinsichtlich der Bemessung der Parteientschädigung den bundesrechtlichen Anforderungen gemäss Art. 108 Abs. 1 lit. g Satz 2 UVG genügt. Darüber hinaus hat das Eidgenössische Versicherungsgericht praktisch lediglich zu prüfen, ob die Höhe der Parteientschädigung vor dem Willkürverbot standhält (<ref-ruling> Erw. 2a mit Hinweisen; vgl. auch AHI 1999 S. 183 Erw. 3a).
Nach der Rechtsprechung ist eine Entscheidung willkürlich, wenn sie eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> Erw. 2a, 125 II 15 Erw. 3a, 124 I 316 Erw. 5a, 124 V 139 Erw. 2b, je mit Hinweisen).
b) Praxisgemäss ist dem erstinstanzlichen Richter bei der Bemessung der Parteientschädigung ein weiter Ermessens- spielraum einzuräumen (<ref-ruling> Erw. 4b, 111 V 49 und 110 V 365; vgl. auch AHI 1999 S. 184 Erw. 3b). Ermessensmissbrauch liegt vor, wenn die Behörde zwar im Rahmen des ihr eingeräumten Ermessens bleibt, sich aber von unsachlichen, dem Zweck der massgebenden Vorschriften fremden Erwägungen leiten lässt oder allgemeine Rechtsprinzipien, wie das Verbot der Willkür oder der rechtsungleichen Behandlung, das Gebot von Treu und Glauben oder den Grundsatz der Verhältnismässigkeit verletzt (<ref-ruling> Erw. 2 mit Hinweisen).
4.- a) Soweit die SUVA während hängigem Rechtsstreit die entscheidrelevanten Akten offen gelegt hat, ist das kantonale Verfahren gegenstandslos geworden (ZAK 1992 S. 117 Erw. 5a mit Hinweisen). Die Vorinstanz hätte deshalb den Prozess nur hinsichtlich der Verzugszinsen als durch Rückzug erledigt abschreiben dürfen, weil er betreffend die Akteneinsicht bereits gegenstandslos geworden war.
In ständiger Rechtsprechung hat das Eidgenössische Versicherungsgericht im Rahmen von <ref-law> den Anspruch der beschwerdeführenden Partei auf Entschädigung auch bei Eintritt von Gegenstandslosigkeit anerkannt, wenn es die Prozessaussichten rechtfertigen. Massgeblich sind die Prozessaussichten, wie sie sich vor Eintritt der Gegenstandslosigkeit darboten (<ref-ruling>, 109 V 71, 106 V 124; nicht veröffentlichtes Urteil H. vom 30. September 1998, H 256/97). Dies gilt auch mit Bezug auf die Parteientschädigung in unfallversicherungsrechtlichen kantonalen Beschwerdeverfahren. Da der Beschwerdeführer mit seinem Antrag auf Offenlegung der Akten mutmasslich durchgedrungen wäre, hat doch die SUVA diesem Begehren selber im Laufe des kantonalen Verfahrens entsprochen, bedeutet es eine Bundesrechtsverletzung, wenn das kantonale Gericht mit Bezug auf den Parteikostenersatz nicht auf die Prozessaussichten, wie sie sich vor Eintritt der Gegenstandslosigkeit darboten, sondern auf die formelle Rückzugserklärung abgestellt und aus diesem Grunde wegen teilweisen Obsiegens nur eine reduzierte Parteientschädigung zugesprochen hat.
b) Zu prüfen bleibt die Reduktion der Parteientschädigung wegen Rückzugs des Begehrens auf Ausrichtung von Verzugszins. Bei der Frage des Verzugszinses handelt es sich offensichtlich um einen Nebenpunkt, der weder für sich Anlass zur Beschwerde gab, noch das Verfahren kompliziert oder aufwändiger gemacht hat. Der hauptsächliche Streitgegenstand betraf die Weiterausrichtung des Taggeldes auf Grund einer Arbeitsunfähigkeit von 100 %. Im Verzugszinspunkt hat der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers im vorinstanzlichen Verfahren denn auch keinen besonderen prozessualen Aufwand getätigt, hat er doch das entsprechende Begehren nicht einmal begründet. In der hauptsächlich streitigen Frage hat die SUVA mit der pendente lite anerkannten Pflicht, weiterhin ein Taggeld auf Grund einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % auszurichten, dem Antrag des Versicherten materiell entsprochen, womit dieser das Ziel seiner Beschwerde erreicht hatte. Der Teilrückzug des darüber hinausgehenden Begehrens auf Ausrichtung von Verzugszins rechtfertigt nach dem Gesagten ebenso wenig eine Reduktion der Parteientschädigung, wie dies bei Abweisung der Beschwerde in diesem noch streitigen Punkt der Fall gewesen wäre.
c) Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz dem Beschwerdeführer zu Unrecht nur eine reduzierte Parteientschädigung wegen teilweisen Obsiegens zugesprochen. Unter den gegebenen Umständen, insbesondere weil dem angefochtenen Entscheid auch nicht ansatzweise entnommen werden kann, in welchem Ausmass die Vorinstanz wegen teilweisen Obsiegens eine Reduktion vorgenommen hat, rechtfertigt es sich, die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es die Höhe der dem Beschwerdeführer zustehenden vollen Parteientschädigung festsetze. Dabei bleibt es der Vorinstanz, entgegen der in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vertretenen Auffassung, unbenommen, unter dem Titel des vom Bundesrecht vorgeschriebenen Kriteriums des gebotenen Aufwandes dem Umstand Rechnung zu tragen, dass der Rechtsvertreter den Beschwerdeführer bereits im Einspracheverfahren vertreten hat.
5.- Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Entsprechend dem Ausgang des Prozesses gehen die Gerichtskosten zu Lasten der SUVA (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG). Überdies ist dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zuzuerkennen (Art. 135 OG in Verbindung mit Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird
Dispositiv-Ziff. 3 des vorinstanzlichen Entscheides
vom 9. August 1999 aufgehoben und es wird die Sache an
das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zurückgewie-
sen, damit es über den Anspruch des Beschwerdeführers
auf Parteientschädigung für das kantonale Verfahren im
Sinne der Erwägungen neu entscheide.
II. Die Gerichtskosten von Fr. 700.- werden der SUVA auf-
erlegt.
III. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 700.- wird
dem Beschwerdeführer zurückerstattet.
IV. Die SUVA hat dem Beschwerdeführer für das Verfahren
vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Par-
teientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehr-
wertsteuer) zu bezahlen.
V. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsge-
richt des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche
Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherung
zugestellt.
Luzern, 9. Oktober 2000
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer:
Die Gerichtsschreiberin: