Faits:
A. Z._ exploite une entreprise de construction sous sa raison de commerce individuelle ... . Par décisions de la commune de Conthey du 7 décembre 2006 et du 21 juin 2007, il a obtenu l'autorisation de construire deux bâtiments d'habitation collective avec garages souterrains sur la parcelle n° aaa de cette commune. La réalisation du projet nécessitait le déplacement d'un collecteur d'eaux usées. Le nouveau collecteur fut établi sur les fonds voisins nos eee, fff et ggg, le long de la limite de propriété. La commune de Conthey était la maîtresse de cet ouvrage; elle mit à profit l'excavation nécessaire à la réalisation des garages.
Le 31 mai 2010, l'autorité communale informa Z._ qu'à l'occasion de récentes fouilles, elle avait constaté la présence de déchets de chantier dans les matériaux apportés pour le comblement de l'excavation; elle invitait l'entrepreneur à « remettre en ordre » le remblai concernant toute la parcelle n° aaa et une bande de terrain en bordure de celle-ci, sur les parcelles nos eee, fff et ggg. Z._répondit qu'il avait évacué tous les déchets de son chantier mais que des tiers avaient déversé à son insu des déblais provenant d'autres chantiers.
Le 14 octobre 2010, la commune de Conthey a constaté formellement que les travaux réalisés par Z._ n'étaient pas conformes aux autorisations qu'elle avait délivrées. Elle lui a ordonné de remettre les lieux en état, soit de nettoyer et évacuer tous les déchets et détritus contenus dans les matériaux de remblayage de la fouille, et d'y mettre en place des matériaux non pollués.
B. Avec succès, Z._ a recouru au Conseil d'Etat du canton du Valais. Cette autorité a annulé la décision attaquée le 30 mai 2012. Selon son prononcé, les autorisations obtenues par Z._ ne prévoyaient pas de travaux à réaliser sur les parcelles nos eee, fff et ggg et l'autorité communale ne peut donc pas lui imputer une exécution non conforme auxdites autorisations. Les travaux accomplis sur ces parcelles n'ont pas été régulièrement autorisés. Les pièces du dossier ne révèlent pas indubitablement que Z._ se trouve à l'origine du déversement de matériaux pollués, de sorte qu'un ordre de remise en état ne peut être adressé qu'aux propriétaires des parcelles concernées.
La commune de Conthey a elle-même recouru au Tribunal cantonal; elle persistait à soutenir que Z._ a exécuté les travaux de fouille et de remblayage, sur les parcelles nos eee, fff et ggg, à l'occasion de la construction des garages souterrains sur la parcelle n° aaa. La Cour de droit public du Tribunal cantonal a statué le 7 décembre 2012; elle a rejeté le recours. Après discussion détaillée des éléments de preuve disponibles, elle a retenu que ces indices ne permettent pas de constater l'exécution des travaux de remblayage par l'entreprise de Z._, de sorte que celui-ci ne peut pas être contraint d'assumer l'enlèvement et l'élimination des matériaux pollués.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la commune de Conthey requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal et de confirmer sa propre décision du 14 octobre 2010.
Invité à répondre, l'intimé conclut au rejet du recours, dans la mesure où celui-ci est recevable; les autorités cantonales n'ont pas présenté d'observations.

Considérant en droit:
1. En règle générale, le recours en matière de droit public est recevable contre les décisions des autorités cantonales de dernière instance rendues dans des causes de droit public (art. 82 let. a, 86 al. 1 let. d LTF). La décision présentement attaquée est susceptible de ce recours.
La commune de Conthey se prévaut de l'autonomie communale protégée par l'art. 50 al. 1 Cst.; à ce titre, elle a qualité pour recourir selon l'art. 89 al. 2 let. c LTF.
2. L'art. 50 al. 1 Cst. garantit l'autonomie communale dans les limites fixées par le droit cantonal. Selon la jurisprudence, les communes sont autonomes dans un domaine déterminé lorsque le droit cantonal ne le régit pas exhaustivement mais en délègue entièrement ou partiellement la réglementation aux communes, et leur accorde une liberté de décision relativement importante. Le domaine de l'autonomie protégée peut porter sur la compétence d'édicter et d'appliquer des règles communales, ou sur un pouvoir d'appréciation équivalent dans l'application du droit cantonal ou fédéral. Dans la mesure où son autonomie est en cause, la commune peut exiger que l'autorité cantonale respecte les limites de sa compétence et qu'elle applique correctement les dispositions du droit fédéral, cantonal ou communal qui règlent la matière. Le Tribunal fédéral examine librement l'application du droit constitutionnel fédéral ou cantonal; il contrôle sous l'angle de l'arbitraire celle des dispositions législatives ou réglementaires (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 244; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 269).
Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 319; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560). Dans l'appréciation des preuves et la constatation des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en considération, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, sur la base des éléments recueillis, elle parvient à des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 2.1).
Selon la jurisprudence relative aux recours formés pour violation de droits constitutionnels (art. 106 al. 2 ou 116 LTF), celui qui se plaint d'arbitraire doit indiquer de façon précise en quoi la décision qu'il attaque est entachée d'un vice grave et indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 400; <ref-ruling> consid. 2.8 p. 494).
3. La commune de Conthey prétend fonder son ordre de remise en état daté du 14 octobre 2010 sur les art. 51 ou 52 de la loi valaisanne sur les constructions, du 8 février 1996. Ces dispositions prévoient la remise en état en cas de travaux exécutés sans autorisation de construire ou contrairement à l'autorisation délivrée (art. 51), ou en cas d'atteinte à l'ordre public par des constructions ou installations non terminées ou mal entretenues (art. 52). La recourante se prétend non seulement compétente pour appliquer ces règles, ce qui ne semble pas contesté, mais aussi autonome dans l'exercice de cette tâche, celle-ci comportant, à son avis, un pouvoir d'appréciation étendu et important. Il n'est cependant pas nécessaire de vérifier si l'autonomie communale se trouve réellement en cause dans la présente affaire car le recours est de toute manière voué à l'échec.
La recourante reproche à l'autorité précédente d'avoir appliqué arbitrairement les dispositions légales précitées, d'abord en refusant arbitrairement de constater en fait que l'apport de déblais pollués était imputable à l'entreprise de l'intimé, puis en s'immisçant sans justification dans le pouvoir d'appréciation conféré à l'autorité communale. Au moins implicitement, la recourante admet que le fait allégué par elle est déterminant pour l'issue de la cause. Elle développe très longuement sa critique de l'appréciation des preuves, en revenant sur chacun des éléments discutés par la Cour de droit public du Tribunal cantonal. Or, le Tribunal fédéral ne trouve guère sur quels points elle reproche réellement aux précédents juges, sinon par de simples protestations ou dénégations, d'avoir commis une erreur certaine ou de s'être livrés à une appréciation absolument insoutenable. L'argumentation présentée tend plutôt à substituer une appréciation différente de celle de l'autorité précédente; elle est donc irrecevable faute de satisfaire aux exigences relatives à la motivation du grief d'arbitraire.
4. En tant que son autonomie est en cause, une commune jouit du droit d'être entendue par l'autorité cantonale (ATF <ref-ruling> consid. 3.2 p. 272; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 414; <ref-ruling> consid. 2 p. 54).
La recourante reproche au Tribunal cantonal de n'avoir pas interrogé des témoins qu'elle avait proposés devant le Conseil d'Etat afin de démentir des déclarations écrites produites par l'intimé. Elle admet cependant qu'à l'appui de son recours au Tribunal cantonal, elle n'a ni critiqué le refus du Conseil d'Etat d'entendre ces témoins ni renouvelé les réquisitions de preuve correspondantes. Elle ne tente pas de démontrer qu'au regard du droit de procédure applicable, le Tribunal cantonal eût néanmoins dû tenir la preuve pour valablement offerte devant lui. Or, le droit d'être entendu ne permet d'exiger, le cas échéant, que l'administration des preuves régulièrement offertes (<ref-ruling> consid. 3 p. 157; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 428). Le moyen présentement tiré de cette garantie constitutionnelle est donc in-consistant.
5. Le recours se révèle privé de fondement, dans la mesure où les griefs présentés sont recevables. La collectivité publique qui l'a introduit n'a pas à supporter d'émolument judiciaire mais elle doit verser les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
3. La recourante versera une indemnité de 1'500 fr. à l'intimé, à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Conseil d'Etat et au Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 12 mars 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le juge présidant: Aemisegger
Le greffier: Thélin