Erwägungen:
1.
1.1. X._ (geb. 1988) stammt aus Tunesien. Am 8. Februar 2012 ersuchte er in der Schweiz um Asyl. Mit Entscheid vom 1. Mai 2012 trat das BFM im Dublinverfahren auf sein Gesuch nicht ein, wies ihn nach Italien weg und beauftragte den Kanton Aargau mit dem Vollzug der Wegweisung (<ref-law> [SR 142.31]). Am 7. Mai 2012 wurde X._ mit einem Einreiseverbot bis zum 29. Mai 2016 belegt. Am 30. Mai 2012 ist X._ nach Rom ausgeschafft worden.
1.2. Am 15. November 2013 wurde X._ in Chiasso angehalten; nach eigenen Angaben will er nach Deutschland unterwegs gewesen sein, um Verwandte zu besuchen. Am 18. November 2013 wurde er im Kanton in Ausschaffungshaft genommen; gleichentags bat das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau das BFM, ein erneutes Rückübernahmeersuchen an Italien zu stellen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau prüfte und bestätigte die Ausschaffungshaft bis zum 17. Februar 2014. Es ging in seinem Entscheid davon aus, dass der ursprüngliche Wegweisungsentscheid vollzogen worden sei und nicht mehr mit einer Ausschaffungshaft gesichert werden könne, doch wirke die Einreisesperre wie ein Wegweisungsentscheid.
1.3. X._ ist hiergegen mit dem Antrag an das Bundesgericht gelangt, das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben und ihn umgehend aus der Haft zu entlassen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Die Ausschaffungshaft habe nicht angeordnet werden dürfen, da kein Wegweisungsentscheid vorgelegen habe. Das Einreiseverbot dürfe nicht einer Wegweisung gleichgestellt werden; nur deren Vollzug könne durch eine Ausschaffungshaft sicher gestellt werden.
1.4. Das Departement Volkswirtschaft und Inneres sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Migration stellt keinen Antrag, hat aber im Sinne eines Amtsberichts die Praxis und deren Vollzug bei Dublinentscheiden dargelegt.
1.5. Am 12. Dezember 2013 hat das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau das Gericht informiert, dass X._ im Dublin-Wiederaufnahmeverfahren nach Italien verbracht worden sei.
1.6. Mit Eingabe vom 12. Dezember 2013 hat X._ an seinen Ausführungen und Anträgen festgehalten.
2.
2.1. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich nur legitimiert, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung seiner Eingabe hat (lit. c). Dieses muss nicht nur bei der Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung aktuell und praktisch sein (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 286 f.). Fällt das schutzwürdige Interesse im Laufe des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen). Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1 S. 103; <ref-ruling> E. 1.1 S. 81; vgl. auch <ref-ruling> ff.).
2.2. Im vorliegenden Fall ist das aktuelle Interesse an der Beurteilung der Eingabe während der (beschleunigten) Instruktion des bundesgerichtlichen Verfahrens dahingefallen: Der Beschwerdeführer ist am 12. Dezember 2013 in den für sein Asylgesuch zuständigen Dublinstaat (Italien) zurückgeführt worden. Es rechtfertigt sich nicht, ausnahmsweise vom Erfordernis des aktuellen Interesses abzusehen, weil die aufgeworfene Frage im Einzelfall kaum je rechtzeitig höchstrichterlich überprüft werden könnte (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 674). Das Verfahren kann deshalb durch den instruierenden Präsidenten als gegenstandslos abgeschrieben werden (Art. 32 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. das Urteil 2C_362/2007 vom 30. August 2007 E. 1).
3.
3.1. Über die Kosten- und Entschädigungsfrage ist gestützt auf eine summarische Prüfung zu entscheiden. Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu vertiefen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen; vielmehr muss es bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Es soll auf dem Weg über den Kostenentscheid nicht ein materielles Urteil gefällt und unter Umständen der Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage präjudiziert werden (vgl. PHILIPP GELZER, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger, BKK Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 14 zu <ref-law>).
3.2.
3.2.1. Die Eingabe des Beschwerdeführers wäre vermutlich gutzuheissen gewesen: Die Ausschaffungshaft setzt einen erstinstanzlichen Weg- oder Ausweisungsentscheid voraus, dessen Vollzug mit der entsprechenden Festhaltung sichergestellt werden soll (Art. 76 Abs. 1 AuG; ANDREAS ZÜND, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli [Hrsg.], Migrationsrecht, 3. Aufl. 2012, N. 1 zu Art. 76 AuG; THOMAS HUGI YAR, § 10 Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2008, N. 10.76). Eine solche Wegweisung lag hier nicht vor. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, war die Wegweisung vom 7. Mai 2013 nach Italien mit der Überstellung des Betroffenen an die dortigen Asylbehörden vollzogen und konnte nicht mehr mit einer neuen Ausschaffungshaft gesichert werden (Hugi Yar, a.a.O., N. 10.86; Urteil 2C_820/2013 vom 7. November 2013 E. 2 mit Hinweisen).
3.2.2. Eine weitere Entfernungsmassnahme war (noch) nicht ergangen. Das Einreiseverbot ist entgegen der Praxis des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau im Zusammenspiel der europäischen Regeln eine Fernhalte- und keine Entfernungsmassnahme (so auch MARC SPESCHA, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli, a.a.O., N. 1 zu Art. 67 AuG). Dies ergibt sich aus den unions- bzw. schengenrechtlichen Begriffsumschreibungen, welche für die Schweiz verbindlich sind und über Art. 64 ff. bzw. Art. 67 AuG ins nationale Recht umgesetzt wurden; sie sind schon aus systematischen Gründen unionskonform zu handhaben (vgl. BGE 2C_861/2013 vom 11. November 2013 E. 2.3 mit Hinweisen auf die Literatur) : Als Einreiseverbot gilt die behördliche oder richterliche Entscheidung oder Massnahme, mit der die Einreise in das Hoheitsgebiet der Mitgliedstaaten und der dortige Aufenthalt für einen bestimmten Zeitraum untersagt wird und die mit einer Rückkehrentscheidung einhergeht (Art. 3 Ziff. 6 RL 2008/115/EG [ABl. L 348 vom 24. Dezember 2008 S. 98 ff]; als Rückkehrentscheidung ist die behördliche oder richterliche Entscheidung zu verstehen, mit der illegale Aufenthalte von Drittstaatsangehörigen festgehalten und eine Rückkehrverpflichtung auferlegt oder festgestellt wird (Art. 3 Ziff. 4 RL 2008/115/EG). Hierzu dienen in der Schweiz der negative Bewilligungsentscheid verbunden mit den schengenkonform ausgestalteten Wegweisungsformen (Art. 64 ff. AuG). Die ausländerrechtliche Ausweisung als kombinierte Entfernungs- und Fernhaltemassnahme (Art. 10 ANAG [BS 1 121]) sowie die bisherige formlose Wegweisung (Art. 12 ANAG i.V.m. Art. 17 Abs. 1 ANAV [AS 1949 I 228]) gibt es im europakompatibel ausgestalteten Ausländerrechtssystem nicht mehr (vgl. auch das Urteil 2C_820/2013 vom 7. November 2013 E. 2 zweitletzter Satz).
3.2.3. Befindet sich der Betroffene nach einer Dublinüberstellung - wie hier - wieder in der Schweiz und stellt er kein erneutes Asylgesuch, sondern werden erst gewisse Strafen vollzogen, muss er hernach erneut in den zuständigen Dublinstaat weggewiesen werden. Nur ein entsprechender erstinstanzlicher Entscheid kann mit Ausschaffungshaft sichergestellt werden, andernfalls ist während der Zeit der Abklärung des Aufenthaltsverhältnisses bzw. der Verfügungszuständigkeiten und der Kooperationsbemühungen zwischen Bund und Kanton eine Vorbereitungshaft anzuordnen, falls die entsprechenden Voraussetzungen gegeben sind (vgl. etwa Art. 75 Abs. 1 lit. c und f AuG; TARKAN GÖKSU, in: Caroni/Gächter/Thurnherr [Hrsg.], BSK Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, 2010, N. 15 zu Art. 75 AuG; zur Problematik der "kleinen" Ausschaffungshaft [Art. 77 AuG] und der Dublin-Wegweisung: Urteil 2C_131/2011 vom 25. Februar 2011). Für die Wegweisung im Rahmen des Dublin-Assoziierungsabkommens ist bezüglich einer Person, die sich illegal in der Schweiz aufhält, ausschliesslich das BFM wegweisungsbefugt (Art. 64a AuG). Dies muss auch gelten, soweit dublinrechtlich eine Wiederaufnahme gestützt auf Art. 16 Abs. 1 lit. c in Verbindung mit Art. 20 der Dublin-II-Verordnung beantragt werden muss ("Überstellungsentscheid"; Verordnung EG Nr. 343/2003 des Rates vom 18. Februar 2003 zur Festlegung der Kriterien und Verfahren zur Bestimmung des Mitgliedstaats, der für die Prüfung eines von einem Drittstaatsangehörigen in einem Mitgliedstaat gestellten Asylantrag zuständig ist [ABl. L 50 vom 25. Februar 2003 S. 1 ff.]). Eine kantonale Wegweisung (Art. 64c Abs. 1 lit. b i.V.m. Abs. 2 AuG) ist allenfalls unter Vorbehalt von Art. 64b AuG (Wegweisungsverfügung mit Standardformular) gestützt auf Art. 64 Abs. 1 lit. b (formlose Wegweisung bei vorgängig verweigerter Einreise nach Art. 13 des Schengener Grenzkodex [ABl. L 105 vom 13. April 2006 S. 23]) denkbar, muss hier aber nicht weiter geprüft werden, da im konkreten Fall gar keine Wegweisungsverfügung getroffen wurde und eine solche beim BFM (inklusive der Wiederübernahmefrage) gestützt auf die kantonale Anfrage in Bearbeitung stand (Schreiben des Kantons vom 18. November 2013 um Erlass eines Wegweisungsentscheids). Die entsprechende Wegweisungsverfügung seitens des BFM nach Italien erging am 29. November 2013 und konnte damit nicht Grundlage des Urteils vom 19. November 2013 bilden. Die Ausschaffungshaft war mangels eines zu sichernden Wegweisungsentscheids unzulässig; zu prüfen wäre eine normale Vorbereitungshaft gewesen, bis die dublinrechtliche Wiederübernahmesituation geklärt gewesen wäre und die Wegweisung mit der Überstellung nach Italien hätte vollzogen werden können (vgl. TARKAN GÖKSÜ, a.a.O., N. 2 ff. zu Art. 75 AuG).
4.
Es rechtfertigt sich unter diesen Umständen, den Kanton Aargau zu verpflichten, dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>). Es sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Dem Verfahrensausgang entsprechend wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (<ref-law>) gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Der Kanton Aargau hat den Anwalt des Beschwerdeführers mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
2.3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Dezember 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar