Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Beschwerdeführer) mit Wohnsitz in U._, Kroatien, ist ein professioneller Fussballspieler kroatischer und australischer Nationalität. Er spielte regelmässig für die kroatische Fussballnationalmannschaft.
Die Fédération Internationale de Football Association (FIFA; Beschwerdegegnerin) ist ein Verein schweizerischen Rechts mit Sitz in Zürich.
A.b. Am 19. November 2013 fand im Rahmen der Qualifikation für die FIFA-Weltmeisterschaft 2014 zwischen den Nationalmannschaften von Kroatien und Island in Zagreb das Rückspiel statt. Kroatien gewann mit 2:0 und qualifizierte sich damit für die Weltmeisterschaft 2014 in Brasilien.
Etwa vierzig Minuten nach Spielende behändigte A._ ein Mikrophon und begab sich allein in die Mitte des Spielfelds. Während er die linke Hand, in der er ein Fussballtrikot hielt, mit regelmässigen Bewegungen in die Höhe streckte, rief er mindestens zweimal "u boj, u boj" ("auf in den Kampf"), woraufhin die kroatischen Zuschauer jeweils mit dem Ruf "za narod svoj" ("für unser Volk") antworteten. Danach rief er etwa viermal "za dom" ("für die Heimat"), woraufhin die Masse jeweils "spremni" ("wir sind bereit") schrie.
Am 20. November 2013 reichte das Netzwerk FARE, eine Dachorganisation, die sich gegen Diskriminierung im Fussball einsetzt, der FIFA einen Bericht über den erwähnten Vorfall ein. Darin wurde darauf hingewiesen, dass der Ausdruck "za dom spremni!" ein kroatischer Gruss sei, der während des Zweiten Weltkriegs von der faschistischen Ustascha-Bewegung verwendet wurde.
A.c. Am 22. November 2013 leitete die Disziplinarkommission der FIFA ein Verfahren gegen A._ ein.
Mit Entscheid vom 12. Dezember 2013 stellte die FIFA-Disziplinarkommission einen Verstoss gegen Art. 58 Abs. 1 lit. a des FIFA-Disziplinarreglements (Ausgabe 2011) anlässlich des Länderspiels vom 19. November 2013 fest, der herabwürdigende, diskriminierende oder verunglimpfende Äusserungen oder Handlungen unter Strafe stellt. Die Disziplinarkommission sperrte A._ für die nächsten zehn Länderspiele, sprach für die betreffenden Fussballspiele ein Stadionverbot gegen ihn aus und verhängte eine Busse von Fr. 30'000.--.
A.d. Mit Entscheid vom 21. Februar 2014 wies die Berufungskommission der FIFA eine von A._ gegen den Entscheid der FIFA-Disziplinarkommission vom 12. Dezember 2013 erhobene Berufung ab und bestätigte die verhängten Sanktionen.
B.
Mit Eingabe vom 9. April 2014 focht A._ den Entscheid der FIFA-Berufungskommission vom 21. Februar 2014 beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) mit Berufung an.
Am 15. bzw. 17. April 2014 einigten sich die Parteien auf eine Beurteilung im beschleunigten Verfahren nach R52 TAS-Code.
Am 8. Mai 2014 fand in Lausanne die Hauptverhandlung statt. Dabei wurden unter anderem die von A._ angerufenen Sachverständigen, Professor B._ und Professor C._, sowie der von der FIFA angerufene Professor D._ befragt.
Mit Entscheid vom 12. Mai 2014 (begründet zugestellt am 29. Juli 2014) wies das TAS die Berufung ab und bestätigte den Entscheid der FIFA-Berufungskommission vom 21. Februar 2014.
Das TAS sah es als erwiesen an, dass mit der von A._ skandierten Parole "za dom - spremni!" eine Verbindung zum faschistischen Regime der Ustascha zum Ausdruck gebracht wurde, was eine nach Art. 58 Abs. 1 lit. a des FIFA-Disziplinarreglements strafbare Diskriminierung darstelle. Das Schiedsgericht berücksichtigte dabei unter anderem, dass die Zuschauer auf der im Schiedsverfahren eingereichten Videoaufnahme - entsprechend dem sog. Hitlergruss - den rechten Arm erhoben, als sie "spremni" riefen. Den Einwand von A._, er selbst habe lediglich "za dom" und nicht "spremni" gerufen, sondern seine Anhänger, liess das Schiedsgericht nicht gelten; er habe eindeutig mit seinen Anhängern kommuniziert, weshalb ihm die gesamte Parole zuzurechnen sei, wie wenn er sie selbst ausgerufen hätte.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt A._ dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid des TAS vom 12. Mai 2014 aufzuheben.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das TAS beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Der Beschwerdeführer hat dem Bundesgericht eine Replik, die Beschwerdegegnerin eine Duplik eingereicht.
D.
Mit Verfügung vom 20. November 2014 wies das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ab.

Erwägungen:
1.
Nach <ref-law> ergeht der Entscheid des Bundesgerichts in einer Amtssprache, in der Regel in jener des angefochtenen Entscheids. Wurde dieser in einer anderen Sprache redigiert, verwendet das Bundesgericht die von den Parteien gewählte Amtssprache. Der angefochtene Entscheid ist in englischer Sprache abgefasst. Da es sich dabei nicht um eine Amtssprache handelt und sich die Parteien vor Bundesgericht der deutschen Sprache bedienen, ergeht der Entscheid des Bundesgerichts auf Deutsch.
2.
Im Bereich der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit ist die Beschwerde in Zivilsachen unter den Voraussetzungen der Art. 190-192 IPRG (SR 291) zulässig (<ref-law>).
2.1. Der Sitz des Schiedsgerichts befindet sich vorliegend in Lausanne. Der Beschwerdeführer hatte im massgebenden Zeitpunkt seinen Wohnsitz ausserhalb der Schweiz (<ref-law>). Da die Parteien die Geltung des 12. Kapitels des IPRG nicht ausdrücklich ausgeschlossen haben, gelangen die Bestimmungen dieses Kapitels zur Anwendung (<ref-law>).
2.2. Zulässig sind allein die Rügen, die in <ref-law> abschliessend aufgezählt sind (<ref-ruling> E. 5 S. 187; <ref-ruling> E. 1a S. 53; <ref-ruling> E. 1a S. 282). Nach <ref-law> prüft das Bundesgericht nur die Rügen, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind; dies entspricht der in <ref-law> für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht vorgesehenen Rügepflicht (<ref-ruling> E. 5 S. 187 mit Hinweis). Appellatorische Kritik ist unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1 S. 567; <ref-ruling> E. 3b S. 382).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den das Schiedsgericht festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vorinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt, zu dem namentlich die Anträge der Parteien, ihre Tatsachenbehauptungen, rechtlichen Erörterungen, Prozesserklärungen und Beweisvorbringen, der Inhalt einer Zeugenaussage, einer Expertise oder die Feststellungen anlässlich eines Augenscheins gehören (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung des Schiedsgerichts weder berichtigen noch ergänzen, selbst wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (vgl. <ref-law>, der die Anwendbarkeit von <ref-law> sowie <ref-law> ausschliesst). Allerdings kann das Bundesgericht die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids überprüfen, wenn gegenüber diesen Sachverhaltsfeststellungen zulässige Rügen im Sinne von <ref-law> vorgebracht oder ausnahmsweise Noven berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 34; <ref-ruling> E. 3.1 S. 567; <ref-ruling> E. 5 S. 141; je mit Hinweisen). Wer sich auf eine Ausnahme von der Bindung des Bundesgerichts an die tatsächlichen Feststellungen des Schiedsgerichts beruft und den Sachverhalt gestützt darauf berichtigt oder ergänzt wissen will, hat mit Aktenhinweisen darzulegen, dass entsprechende Sachbehauptungen bereits im schiedsgerichtlichen Verfahren prozesskonform aufgestellt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 486; <ref-ruling> E. 1c S. 473; je mit Hinweisen).
2.4. Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (<ref-law>). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die beschwerdeführende Partei die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.4). Die Replik ist nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2).
Soweit der Beschwerdeführer in seiner Replik darüber hinausgeht, können seine Ausführungen nicht berücksichtigt werden.
3.
Der Beschwerdeführer rügt in zweierlei Hinsicht eine Verletzung des Grundsatzes der Gleichbehandlung der Parteien und des Grundsatzes des rechtlichen Gehörs (<ref-law>).
3.1.
3.1.1. Er bringt vor, die erste Verletzung dieser verfahrensrechtlichen Grundsätze sei darin zu erblicken, dass der Vorsitzende des Schiedsgerichts die Fragen zur Glaubwürdigkeit des von der FIFA benannten Sachverständigen, Professor D._, nicht mehr zugelassen habe.
Eine zweite Verletzung bestehe darin, dass der Vorsitzende im weiteren Verlauf der Hauptverhandlung Fragen zum Sachverstand von Professor D._ unterbunden und sodann überhaupt keine Fragen mehr zugelassen habe.
3.2.
3.2.1. <ref-law> lässt die Anfechtung allein wegen der zwingenden Verfahrensregeln gemäss <ref-law> zu. Danach muss das Schiedsgericht insbesondere den Anspruch der Parteien auf rechtliches Gehör wahren. Dieser entspricht - mit Ausnahme des Anspruchs auf Begründung - dem in <ref-law> gewährleisteten Verfassungsrecht (<ref-ruling> E. 5 S. 37 f.; <ref-ruling> E. 4b S. 243; <ref-ruling> E. 2c S. 578 f.). Die Rechtsprechung leitet daraus insbesondere das Recht der Parteien ab, sich über alle für das Urteil wesentlichen Tatsachen zu äussern, ihren Rechtsstandpunkt zu vertreten, ihre entscheidwesentlichen Sachvorbringen mit tauglichen sowie rechtzeitig und formrichtig offerierten Mitteln zu beweisen, sich an den Verhandlungen zu beteiligen und in die Akten Einsicht zu nehmen (<ref-ruling> E. 5 S. 38; <ref-ruling> E. 2c S. 578 f.; je mit Hinweisen). Der Grundsatz der Gleichbehandlung gebietet zudem, dass die Parteien während des gesamten Schiedsverfahrens gleich behandelt werden (vgl. BGE <ref-ruling> E. 6.1 S. 143).
Auch im schiedsgerichtlichen Verfahren gilt der Gehörsanspruch nicht unbegrenzt. So ist es dem Schiedsgericht nicht verboten, den Sachverhalt nur aufgrund der als tauglich und erheblich erachteten Beweismittel festzustellen (<ref-ruling> E. 1b S. 389; <ref-ruling> E. 4c S. 644). Das Schiedsgericht kann auf eine Beweisabnahme verzichten, wenn der entsprechende Beweisantrag eine nicht rechtserhebliche Tatsache betrifft, wenn das angebotene Beweismittel offensichtlich untauglich ist oder wenn das Gericht aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 429; <ref-ruling> E. 4a). Die antizipierte Würdigung von Beweisen durch ein internationales Schiedsgericht kann im Beschwerdeverfahren nur unter dem beschränkten Blickwinkel einer Verletzung des Ordre public überprüft werden (Urteile 4A_178/2014 vom 11. Juni 2014 E. 5.1; 4A_526/2011 vom 23. Januar 2012 E. 2.1; 4P.23/2006 vom 27. März 2006 E. 3.1).
3.2.2. Die Partei, die sich durch eine Verweigerung des rechtlichen Gehörs oder einen anderen nach <ref-law> relevanten Verfahrensmangel für benachteiligt hält, verwirkt ihre Rügen, wenn sie diese nicht rechtzeitig im Schiedsverfahren vorbringt und nicht alle zumutbaren Anstrengungen unternimmt, um den Mangel - soweit möglich - zu beseitigen (<ref-ruling> E. 4.3 S. 75; <ref-ruling> E. 3c S. 253 f.; <ref-ruling> E. 1a S. 388; je mit Hinweisen). Die bundesgerichtliche Überprüfung des Schiedsspruchs auf Verfahrensverstösse ist mithin insoweit subsidiär, als die Parteien entsprechende Mängel zunächst beim Schiedsgericht so zu rügen haben, dass diese noch im laufenden Schiedsverfahren behoben werden können. Es widerspricht Treu und Glauben, einen Verfahrensmangel erst im Rahmen eines Rechtsmittelverfahrens zu rügen, obwohl im Schiedsverfahren die Möglichkeit bestanden hätte, dem Schiedsgericht die Gelegenheit zur Behebung des angeblichen Mangels zu geben (<ref-ruling> E. 1a S. 388). Treuwidrig und rechtsmissbräuchlich handelt insbesondere die Partei, die Rügegründe gleichsam in Reserve hält, um diese bei ungünstigem Prozessverlauf und voraussehbarem Prozessverlust nachzuschieben (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 609; <ref-ruling> E. 3.1 S. 449; <ref-ruling> E. 3c S. 254).
3.3. Der Beschwerdeführer hat im Verfahrensverlauf nicht beanstandet, er sei ungleich behandelt oder sein Gehörsanspruch sei missachtet worden. Aus seinen Ausführungen geht in keiner Weise hervor, inwiefern er im laufenden Schiedsverfahren auf eine Behebung der angeblichen Verfahrensmängel hingewirkt hätte. Der in der Beschwerde erhobene Einwand, sein Rechtsvertreter habe "seinen Unmut über die ungewöhnliche Verhandlungsführung mit einer ironischen Schlussbemerkung bekundet", verfängt nicht. Entgegen seiner Ansicht kann in der folgenden Antwort seines Rechtsvertreters auf die Frage des Vorsitzenden, ob die Parteien Einwände hinsichtlich des Verfahrensablaufs hätten, keine Beanstandung der Verhandlungsleitung durch den Vorsitzenden des Schiedsgerichts erblickt werden:
"Mr. President, due to the fact that we acted in front of the ICTY [International Criminal Tribunal for the former Yugoslavia] as well in some important proceedings and we are used to extense examination and cross-examination I would say [...] during every point [...]".
Inwiefern dem Schiedsgericht damit eine Missachtung des Gleichbehandlungsgebots oder des Gehörsanspruchs vorgeworfen worden wäre, leuchtet nicht ein. Wie das TAS in seiner Vernehmlassung zutreffend vorbringt, unterschlägt der Beschwerdeführer ausserdem, dass sein Rechtsvertreter unmittelbar anschliessend an das aufgeführte Zitat erklärte:
"We are very satisfied with the fact how we were treated by the Panel here; thank you very much, Mr. President!".
Der Beschwerdeführer hat demnach entgegen seiner Ansicht nicht alle zumutbaren Anstrengungen unternommen, um auf eine Behebung der angeblichen Mängel im laufenden Schiedsverfahren hinzuwirken. Damit verwirkte er das Recht, sich im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht auf die entsprechenden Mängel zu berufen.
3.4. Ohnehin zeigt der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen keine Verletzung des Gleichbehandlungsgrundsatzes oder des rechtlichen Gehörs auf.
Er behauptet lediglich pauschal eine Verletzung des Grundsatzes der Gleichbehandlung der Parteien, ohne jedoch konkret aufzuzeigen, inwiefern ihn das Schiedsgericht im Verfahren ungleich behandelt haben soll (vgl. BGE <ref-ruling> E. 6.1 S. 143). Damit verfehlt er die gesetzlichen Begründungsanforderungen an eine entsprechende Rüge.
Mit der blossen Wiedergabe zweier Passagen der Tonbandaufzeichnung der Expertenbefragung anlässlich der mündlichen Verhandlung (File 3 der Tonbandaufzeichnung, Minute 24:10 bis Minute 25:13 und Minute 36:36 bis Minute 38:15) zeigt der Beschwerdeführer zudem keine Verletzung des Gehörsanspruchs auf. Er verkennt insbesondere, dass sich aus dem Grundsatz des rechtlichen Gehörs kein (zeitlich und inhaltlich) unbeschränktes Recht auf die Befragung eines von der Gegenseite angerufenen Experten ergibt. Auch die Einvernahme von Zeugen und Experten bedarf der Verhandlungsleitung und es ist dem Schiedsgericht grundsätzlich nicht verwehrt, zeitliche Vorgaben für die Befragung durch die Parteien zu machen oder bestimmte Fragen nicht zuzulassen, etwa weil sie nicht rechtserheblich sind, bereits gestellt wurden oder das Schiedsgericht den Sachverhalt, auf den sich die Frage bezieht, bereits als erstellt erachtet (vgl. Bernhard Berger/Franz Kellerhals, International and Domestic Arbitration in Switzerland, 3. Aufl. 2015, Rz. 1334, 1342).
Aus der vom Beschwerdeführer zunächst zitierten Passage geht ausserdem hervor, dass die Glaubwürdigkeit von Professor D._ im Rahmen der Befragung bereits thematisiert worden war ("Now then, relevant questions to Mr. D._ on his expertise and no more questions like his credibility"), weshalb entsprechende Fragen im angeführten Abschnitt der Befragung nicht mehr zugelassen wurden. Auch in der zweiten Passage wies der Vorsitzende darauf hin, dass die bisher erhobenen Beweise hinsichtlich des Sachverstands des befragten Experten ("[...] I will stop this examination because we know enough as panel about the quality and references of Mr. D._ [...]") bzw. die erfolgten Expertenaussagen ("No, I know enough, the panel knows enough, so I stop the examination of this expert.") für die Sachverhaltsfeststellung ausreichten.
Auch vor Bundesgericht zeigt der Beschwerdeführer im Übrigen nicht auf, welche für die Urteilsfindung massgebenden Fragen er Professor D._ noch hätte stellen wollen, sondern bestreitet einmal mehr dessen Sachverstand und Glaubwürdigkeit und kritisiert in appellatorischer Weise den angefochtenen Schiedsentscheid. Dass es ihm im Rahmen des Schiedsverfahrens verwehrt worden wäre, sich zur Glaubwürdigkeit, zum Sachverstand oder zum Inhalt der Aussagen des von der Gegenseite angerufenen Experten zu äussern, bringt der Beschwerdeführer zu Recht nicht vor. Mit seinen Ausführungen legt er nicht dar, dass es ihm in Verletzung des Gehörsanspruchs verunmöglicht worden wäre, seinen Standpunkt in das Schiedsverfahren einzubringen.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Tribunal Arbitral du Sport (TAS) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Februar 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann