Art. 9 und 29 BV,hat sich ergeben:
A.- D._ war seit dem 25. September 1984 einziger Verwaltungsrat der F._ AG. Diese erwarb am 24. November 1988 sämtliche Aktien der E._ Holding AG, welche ihrerseits seit dem 10. Dezember 1987 alle Aktien der E._ AG hielt. Am 24. Februar 1989 wurde D._ auch in den Verwaltungsrat der E._ AG gewählt.
Am 12. Dezember 1988 schlossen die F._ AG, die E._ AG und die Bank C._ eine Vereinbarung zur Sanierung der E._ AG. Darin verpflichtete sich die F._ AG unter anderem, die Software der E._ AG zum Preis von Fr. 3'000'000.-- zu kaufen. Der Kaufpreis war zur Hälfte bis Ende 1988 zu bezahlen, für die übrigen Fr. 1'500'000.-- sollte die E._ AG der F._ AG ein langfristiges Darlehen gewähren. Die F._ AG und die E._ AG schlossen dementsprechend am 15. Dezember 1988 einen Kauf- und Lizenzvertrag sowie einen Darlehensvertrag.
Danach sollte das Darlehen von Fr. 1'500'000.-- in jährlichen Raten von Fr. 300'000.-- amortisiert werden, erstmals per 30. November 1989.
Am 5. Juli 1990 wurde über die E._ AG und die E._ Holding AG infolge einer Überschuldungsanzeige nach Art. 192 aSchKG der Konkurs eröffnet. Der F._ AG wurde am 28. Juni 1991 eine Nachlassstundung gewährt. Der Nachlassvertrag mit Vermögensabtretung wurde am 3. Dezember 1991 richterlich genehmigt.
B.- Die Bank A._, B._ und die Bank C._ (Beschwerdeführerinnen) sind Gläubigerinnen der E._ AG. Im Verlauf des Jahres 1991 liessen sie sich von der Konkursmasse die Verantwortlichkeitsansprüche gegen die Organe der konkursiten E._ AG abtreten. Am 2. September 1993 reichten die Gläubigerinnen Klage beim Amtsgericht Luzern-Stadt ein. Sie verlangten im Wesentlichen die Verurteilung von vier Beklagten, darunter D._, zur Bezahlung von Fr. 3'000'000.-- nebst Zins gestützt auf aktienrechtliche Verantwortlichkeitsansprüche. Das Amtsgericht Luzern-Stadt hiess die Klage am 21. Dezember 1998 gut und verpflichtete D._ (unter solidarischer Haftbarkeit mit einem anderen Beklagten) zur Bezahlung von Fr. 3'000'000.-- nebst Zins. Das Gericht kam zum Schluss, D._ habe faktisch die E._ AG seit deren Übernahme durch die F._ AG geleitet bzw. deren Geschäfte geführt. In dieser Eigenschaft habe er pflichtwidrig die Bezahlung des Software-Kaufpreises von Fr. 3'000'000.-- nicht überwacht bzw. für die kreditierte Kaufpreishälfte keine hinreichenden Sicherheiten vereinbart. Dadurch sei der E._ AG ein Schaden in dieser Höhe entstanden, welchen der Beklagte in adäquat kausaler Weise durch die Pflichtverletzung verursacht habe, wofür ihn ein nicht leichtes Verschulden treffe. Mit Urteil vom 18. April 2001 bestätigte das Obergericht des Kantons Luzern auf Appellation des Beklagten hin das erstinstanzliche Urteil.
C.-Der Beklagte hat sowohl staatsrechtliche Beschwerde wie Berufung eingereicht. In der staatsrechtlichen Beschwerde beantragt er, das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 18. April 2001 sei aufzuheben. In ihren Vernehmlassungen schliessen die Beschwerdegegnerinnen und das Obergericht des Kantons Luzern auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Gemäss Art. 84 Abs. 2 OG ist die staatsrechtliche Beschwerde nur zulässig, wenn die behauptete Rechtsverletzung nicht sonstwie durch Klage oder Rechtsmittel beim Bundesgericht gerügt werden kann. Liegt eine berufungsfähige Streitsache vor, so können Bundesrechtsverletzungen einzig im Berufungsverfahren vorgebracht werden (Art. 43 OG). Im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde sind in diesem Fall derartige Rügen ausgeschlossen. Soweit der Beschwerdeführer gegen den angefochtenen berufungsfähigen Entscheid die Verletzung von Bundesrechtsnormen geltend macht, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Dies gilt insbesondere für die Rüge, das Obergericht habe den Rechtsbegriff der materiellen Organschaft (krass) verkannt und aus diesem Grund willkürlich rechtliche Schlüsse aus tatsächlich unbestrittenen Feststellungen gezogen. Rechtsfrage ist grundsätzlich auch, welche Pflichten das Organ einer Gesellschaft zu erfüllen hat und ob ein Verschulden leicht oder schwer wiegt.
2.- a) Nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss die Beschwerdeschrift namentlich eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 1c). Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde führt das vorausgegangene kantonale Verfahren nicht einfach weiter, sondern dient als ausserordentliches Rechtsmittelverfahren der spezifischen Kontrolle kantonaler Hoheitsakte unter dem besonderen Gesichtspunkt der Verfassungsmässigkeit (<ref-ruling> E. 1c). Eine rein appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil ist nicht zu hören.
b) Die Rechtsschrift des Beschwerdeführers beschränkt sich weitgehend auf eine rein appellatorische Kritik, mit der bundesrechtliche Schlüsse und tatsächliche Feststellungen unterschieden kritisiert werden. Dies gilt insbesondere für die Ausführungen zu den erstinstanzlichen Erwägungen, die der Beschwerdeführer zwar - soweit das Obergericht ausdrücklich darauf verweist - zulässigerweise anficht, die er jedoch höchstens mit marginalen Verweisen auf das Willkürverbot einer allgemeinen Kritik unterzieht. Darauf ist nicht einzutreten. Auch insoweit der Beschwerdeführer die Erwägungen des Obergerichts über seine Stellung als Organ der E._ AG sowie seine Pflichten im Zusammenhang mit der Sicherstellung des Darlehens von Fr. 1,5 Mio.
kritisiert, ist der Rechtsschrift nicht zu entnehmen, welche tatsächlichen Feststellungen inwiefern dem Willkürverbot widersprechen sollten. Die formellen Anforderungen im Sinne von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG sind insofern nicht erfüllt, zumal die Kriterien bundesrechtlich umschrieben sind, nach denen sich eine faktische Organschaft und die daraus folgenden Pflichten bestimmen und den Ausführungen in der Beschwerde nicht zu entnehmen ist, inwiefern das Obergericht in diesem Zusammenhang einzelne erhebliche Tatsachen willkürlich gewürdigt haben sollte.
3.- Der Beschwerdeführer rügt als willkürlich, das Obergericht habe die tatsächliche Zahlung der von der F._ AG bis Ende 1988 an die E._ AG zu leistenden Fr. 1'500'000.-- als nicht bewiesen beurteilt. Er macht in diesem Zusammenhang auch geltend, das Obergericht habe ihm das rechtliche Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verweigert, indem es auf relevante Beweisofferten nicht eingetreten sei.
a) Das Gericht kann ohne Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör ein Beweisverfahren schliessen, wenn die Beweisanträge einer Partei eine unerhebliche Tatsache betreffen oder offensichtlich untauglich sind. Ebenso kann das Gericht auf eine zusätzliche Beweisabnahme verzichten, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und willkürfrei in antizipierter Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde. Das Bundesgericht greift auf staatsrechtliche Beschwerde nur ein, wenn die Beweiswürdigung willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4a). Keine Verletzung von Art. 29 BV liegt vor, wenn das Obergericht ohne Willkür in antizipierter Beweiswürdigung die Beweisofferten des Beklagten abgewiesen hat.
b) Willkürlich ist ein Entscheid, wenn dieser offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3). Willkür liegt dagegen nicht bereits vor, wenn eine andere Lösung in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre (<ref-ruling> E. 3a). Zu berücksichtigen ist überdies, dass dem Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zusteht, in den das Verfassungsgericht nicht einzugreifen hat. Dass das Sachgericht einzelne Beweise oder Indizien anders gewichtet, als eine der Parteien oder Schlüsse zieht, welche in vertretbarer Weise auch anders hätten ausfallen können, widerspricht dem Willkürverbot zum Vornherein nicht (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 1c). Willkürlich ist insbesondere eine Beweiswürdigung, welche einseitig einzelne Beweise berücksichtigt oder das Zugeständnis einer Partei übergeht (<ref-ruling> E. 1b).
c) Der Beschwerdeführer hält zunächst die obergerichtliche Auslegung von § 207 lit. b ZPO/LU für willkürlich.
Danach ist ein nachträglicher neuer Beweisantrag nur zuzulassen, wenn er die Richtigkeit einer bereits früher behaupteten oder gleichzeitig vorgetragenen Tatsache sowohl zeitlich wie inhaltlich sofort zu beweisen vermag. Diese Voraussetzung erachtet das Gericht nur als erfüllt, wenn eine Urkunde für sich allein eine bestimmte, entscheidrelevante Tatsache beweist, was es für einen Teil der beklagtischen Beweise sowie die dazu neu vorgetragenen Tatsachen, nicht aber für die übrigen Urkunden angenommen hat. Der Beschwerdeführer hält die Unterscheidung danach, ob das Gericht eine für sich allein oder nur im Zusammenspiel mit andern Urkunden schlüssige Urkunde als Novum berücksichtigt, im Blick auf die unerwünschte Verzögerung des Prozesses für unhaltbar. Er legt jedoch nicht dar, inwiefern sich aus den von ihm als ausserordentliche Noven eingelegten, nicht berücksichtigten Urkunden die Richtigkeit einer früher oder gleichzeitig vorgetragenen Tatsache sowohl zeitlich wie inhaltlich - allenfalls unter Berücksichtigung weiterer Urkunden - sofort und offenkundig ergeben hätte. Die Begründung genügt den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG nicht.
d) Das Obergericht hat im angefochtenen Urteil die Darstellung der Beschwerdegegnerinnen als zutreffend erachtet, wonach die Beträge von Fr. 350'000.--, Fr. 525'000.-- sowie Fr. 21'698. 95 ebenso wenig wie die Überweisung an die X._ GmbH von DM 720'101. 50 bzw. Fr. 603'085.-- als Teilzahlungen des Kaufpreises von Fr. 1'500'000.-- zu betrachten seien. Dabei hat das Obergericht den direkten oder indirekten Geldfluss an die E._ AG nicht in Frage gestellt, jedoch den Zahlungsgrund für nicht erwiesen erachtet.
Für die Darstellung des Beschwerdeführers, die Zahlungen seien je als teilweise Tilgung des Kaufpreises gedacht gewesen, hat das Obergericht mehrere Tatsachen aufgeführt, namentlich die Verbuchung der Vorgänge. Als gegen diesen Zahlungsgrund sprechend hat das Obergericht dagegen berücksichtigt, dass die Zahlungen vor dem Abschluss des Kauf- und Lizenzvertrages vom 15. Dezember 1988 erfolgten und diese Zahlungen in den entsprechenden Verträgen trotz ihrer Bedeutung nicht erwähnt waren. Im Gegenteil verpflichtete sich die F._ AG in einem Zusatz zur Vereinbarung vom 24. November 1988 bei der Übernahme der E._ AG, dieser zur Deckung des unmittelbaren Liquiditätsbedarfs grössere Beträge als Eigenkapital oder als nachrangiges Darlehen zur Verfügung zu stellen. Zusätzlich zu diesen Überlegungen, welche durch die Belege aus den Buchhaltungen der F._ AG und der E._ AG sowie einer Revisionsnotiz vom Obergericht nicht als widerlegt erachtet wurden, erwähnte das Gericht auch das in der Sanierungsvereinbarung vom 12. Dezember 1988 vereinbarte Verrechnungsverbot, das der Anrechnung dieser früher geleisteten Teilzahlungen an den vereinbarten Kaufpreis entgegenstehe.
e) Der Beschwerdeführer beruft sich zur Begründung seiner Willkürrüge im Wesentlichen auf die Buchung der Vorgänge durch die F._ AG wie auch durch die E._ AG. Er hält dafür, die Folgerung sei offensichtlich unhaltbar, dass es ihm nicht gelungen sei, Zweifel an der klägerischen Behauptung zu wecken, wonach überhaupt keine Zahlung in Anrechnung an die Kaufpreishälfte von Fr. 1,5 Mio. geleistet worden sei. Das Obergericht habe denn auch völlig unhaltbar festgestellt, den einzelnen Buchhaltungsbelegen komme keine Beweiskraft zu, wenngleich es diese Unterlagen dann durchaus in seine - verfehlte - Beweiswürdigung miteinbezogen habe. Der Beschwerdeführer verkennt die Tragweite des Willkürverbotes (vgl. E. 3b), wenn er aus der Verbuchungsart der Zahlungen der F._ AG an die E._ AG den unwiderlegbaren Gegenbeweis für die umstrittenen Teilzahlungen an den Kaufpreis der Software ableiten will. Das Obergericht hat - wie der Beschwerdeführer selbst zugesteht - die Verbuchung der Zahlungen sowohl bei der F._ AG wie der E._ AG durchaus gewürdigt, aber entgegen der Auffassung des Beklagten so gewichtet, dass es gestützt darauf keine Zweifel an der Nichtleistung des hälftigen Kaufpreises seitens der F._ AG hegte. Diese Würdigung ist aufgrund des Datums der Zahlungen und der nachfolgenden Sanierungsvereinbarung, welche diese Zahlungen unerwähnt lässt, im Ergebnis vertretbar und damit nicht willkürlich.
4.- Der Beschwerdeführer bringt vor, eine eventuelle Pflicht zur Einforderung der Ende November 1989 fällig gewordenen Abzahlungsrate von Fr. 300'000.-- und zur Kündigung des Restdarlehens hätte die Zahlungsfähigkeit und den Zahlungswillen der F._ AG vorausgesetzt. Er rügt, das Obergericht sei auf sein Beweisangebot nicht eingetreten, mit dem er die Zahlungsunfähigkeit und -unwilligkeit der F._ AG habe beweisen wollen. Stattdessen habe das Gericht eine Vermutung wider die übereinstimmende Schilderung der Parteien getroffen. Ausserdem habe es eine Abtretung unberücksichtigt gelassen und damit der E._ AG eine ihr nicht zustehende Gläubigerposition unterstellt, was beides in klarem Widerspruch zur Aktenlage stehe und willkürlich sei. Der Beschwerdeführer übersieht mit dieser Rüge, dass ihm das Obergericht allein aufgrund der unbestrittenen Tatsachen der Fälligkeit der Rate nebst Zins, der Unterlassung deren Geltendmachung und der vorzeitigen Kündigung des Darlehensvertrags eine Pflichtverletzung anlastete. Ob das Gericht die vom Beschwerdeführer angeführten Umstände der Zahlungsunfähigkeit und -unwilligkeit der Schuldnerin zutreffend als unerheblich erachten durfte, ist eine Frage des Bundesrechts.
Die klare Überschuldung der F._ AG Ende 1989 hat der Beschwerdeführer nach den Feststellungen im angefochtenen Urteil in der Appellationsbegründung behauptet und damit den Kausalzusammenhang zwischen der Pflichtverletzung (Einforderung der Darlehensrate und Kündigung des Restdarlehens) und dem Schaden bestritten. Das Obergericht hat diese Bestreitung entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht als verspätet zurückgewiesen, sondern festgehalten, dass die primäre Pflichtverletzung einer Darlehensgewährung ohne jegliche Sicherheiten zum eingeklagten Schaden geführt habe, weshalb nicht entschieden zu werden brauche, ob zwischen der eventuellen Pflichtverletzung der Nichteinforderung und dem Schaden ein Kausalzusammenhang bestehe. Da das Obergericht die Frage für nicht (mehr) entscheidwesentlich erachtet hat, ist es nicht in Willkür verfallen, wenn es dazu keine Feststellungen traf.
Die Behauptung des Beschwerdeführers schliesslich, das Obergericht schliesse im Zusammenhang mit der Würdigung des Verschuldens auf ein tatsächliches Wissen um die unterlassene Zahlung, ist klar falsch. Das Obergericht wirft dem Beschwerdeführer vor, dass er aufgrund seiner Stellung "Kenntnis haben musste, dass die Zahlung nicht bzw. nicht gültig geleistet wurde. " Dabei handelt es sich um eine Rechtsfrage, die im vorliegenden Verfahren nicht zu beurteilen ist (oben E. 1).
5.- Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen und den Beschwerdegegnerinnen eine Parteientschädigung auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 15'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 18'000.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern (I. Kammer) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 29. Oktober 2001
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: