Faits:
A. En août 2005, X._, alors incarcéré à la prison de Champ-Dollon, a confié à Me Y._, avocat au Barreau de Genève, la défense de ses intérêts dans le cadre de la procédure pénale P/zzz.
En raison de dissensions sur la conduite du dossier, X._ a mis un terme au mandat de Me Y._ par courrier du 2 mai 2006.
Le 9 mai 2006, l'avocat a adressé à X._ une note d'honoraires pour l'activité déployée entre le 25 août 2005 et le 5 mai 2006; selon ce document, les honoraires s'élèvent au total à 117'952 fr.30, dont il faut déduire des provisions par 47'332 fr.90 (contre-valeur de 30'496 euros), de sorte que le solde dû se monte à 70'619 fr.40. X._ a contesté cette facture et demandé à Me Y._ le détail de ses prestations. L'avocat a fourni le relevé détaillé de l'activité fournie. Le solde d'honoraires est resté impayé.
Par la suite, l'avocat a obtenu le séquestre de l'un des comptes de X._, puis introduit une poursuite en validation du séquestre; un commandement de payer le montant de 70'619 fr.40, plus intérêts, a été notifié à X._. Le poursuivi a formé opposition.
B. Par demande du 19 décembre 2008, Y._ a ouvert action contre X._ devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Il concluait à la condamnation du défendeur à lui payer le montant de 70'619 fr.40, plus intérêts à 5% dès le 8 mai 2006, ainsi qu'à la mainlevée définitive de l'opposition dans la poursuite en validation de séquestre.
Le 2 mai 2009, X._ a saisi la Commission de taxation des honoraires d'avocats du canton de Genève; il contestait tant la quotité des heures facturées par l'avocat que le bien-fondé de ses activités.
Par jugement incident du 18 juin 2009, le Tribunal de première instance a suspendu l'instruction de la cause jusqu'à droit jugé dans la procédure devant la Commission de taxation.
Par décision du 19 avril 2010, la Commission de taxation a arrêté les honoraires de Me Y._ à 114'448 fr.50, y compris les débours et frais, et dit que le solde dû après déduction des provisions s'élevait à 70'619 fr.40. L'autorité a rappelé à cette occasion qu'elle procédait uniquement à un examen de la proportionnalité des honoraires par rapport au tarif convenu et au service effectivement rendu, mais qu'elle n'était pas compétente pour se prononcer sur la bonne ou mauvaise exécution du mandat.
Le 7 juin 2010, le Tribunal de première instance a repris l'instruction de la cause.
Le 30 août 2010, X._ a déposé une écriture intitulée «requête incidente en suspension de cause et mémoire de réponse et demande reconventionnelle». Il demandait, par voie incidente et préalablement, la suspension de la cause jusqu'à jugement définitif et exécutoire dans la procédure pénale P/zzz, puis le déboutement de Y._ de toutes ses conclusions et, reconventionnellement, la condamnation du demandeur principal à lui payer les montants de 150'000 fr. et de 30'496 euros avec intérêts à 5% dès le 2 mai 2006. A l'appui de ses conclusions au fond, X._ faisait valoir que l'avocat avait violé ses devoirs de fidélité, de diligence et de conseil, si bien qu'il devait lui restituer l'avance de 30'496 euros et réparer le dommage causé à sa réputation ainsi que son tort moral à hauteur de 150'000 fr. au moins.
Par jugement du 30 septembre 2010, le Tribunal de première instance a débouté X._ de ses conclusions sur incident.
Statuant le 20 mai 2011, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté l'appel que X._ avait formé contre la décision incidente. En substance, elle a jugé qu'en refusant de suspendre l'instruction de la cause, le tribunal n'avait pas outrepassé le pouvoir d'appréciation résultant de l'art. 107 de la loi de procédure civile genevoise (LPC/GE, encore en vigueur lors du prononcé de la décision de première instance).
C. X._ interjette un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire. Il conclut à l'annulation du jugement du 30 septembre 2010 et à la suspension de la cause pendante devant le Tribunal de première instance jusqu'à jugement définitif et exécutoire dans l'affaire pénale P/zzz. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle instruction et nouveau jugement dans le sens des considérants.
Y._ conclut à l'irrecevabilité des recours et, subsidiairement, à leur rejet.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 103, 470 consid. 1 p. 472).
1.1 A l'instar du Tribunal de première instance, la cour cantonale a refusé de suspendre l'instruction de la cause civile jusqu'à droit connu sur la poursuite pénale ouverte contre le recourant. Cet arrêt, qui ne met pas un terme à la procédure, est une décision incidente (cf. arrêt 5A_737/2008 du 3 avril 2009 consid. 2.2; arrêt 4A_241/2008 du 15 août 2008 consid. 1.1). Pour le cas où un recours serait ouvert contre cette décision (cf. consid. 1.3 ci-dessous), il ne peut s'agir que du recours en matière civile. En effet, lorsque le recours a pour objet une décision incidente, la valeur litigieuse est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité compétente sur le fond (art. 51 al. 1 let. c LTF). Or, en l'espèce, les conclusions en cause au fond portent sur un montant manifestement supérieur à la limite de 30'000 fr. prévue à l'<ref-law>. Il s'ensuit que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (<ref-law>).
1.2 Dans le corps de son mémoire, le recourant indique expressément s'en prendre à l'arrêt de la Cour de justice du 20 mai 2011 et critique cette décision. Dans ses conclusions, il demande toutefois l'annulation du jugement du Tribunal de première instance du 30 septembre 2010. Dans cette mesure, le recours est irrecevable puisqu'une décision doit avoir été prise par une autorité cantonale de dernière instance pour être l'objet d'un recours en matière civile (<ref-law>).
1.3 Le recours contre une décision incidente ne concernant ni la compétence ni une demande de récusation (cf. <ref-law>) n'est recevable qu'aux conditions de l'<ref-law>. Une telle décision ne peut faire l'objet d'un recours immédiat que si elle peut causer un préjudice irréparable (<ref-law>) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale permettant d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>). En l'espèce, la seconde hypothèse n'entre manifestement pas en considération, de sorte que la recevabilité du recours doit être examinée uniquement au regard de l'<ref-law>.
Par préjudice irréparable, on entend le dommage juridique qu'une décision finale, même favorable au recourant, ne ferait pas disparaître complètement (<ref-ruling> consid. 1.3.4 p. 36; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 430; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 632 et les arrêts cités). Il appartient au recourant d'alléguer et d'établir la possibilité que la décision incidente lui cause un dommage irréparable, à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (ATF <ref-ruling> consid. 1.2 p. 429; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 632).
En l'espèce, le recourant prétend que le jugement attaqué peut lui causer un préjudice irréparable dans la mesure où, sans la suspension de la procédure civile jusqu'au jugement pénal, il ne pourra pas prouver son dommage ni son droit de compenser.
La procédure pénale, ouverte en tout cas depuis août 2005, met en cause le recourant dans une affaire apparemment d'ordre financier. La procédure civile met aux prises les parties à propos des honoraires de l'intimé liés à la défense pénale du recourant entre août 2005 et mai 2006. Malgré les explications du recourant, il n'apparaît pas clairement en quoi l'issue de la procédure pénale pourrait en l'occurrence influer sur le montant des honoraires dus à l'intimé ou sur les dommages-intérêts pour mauvaise exécution du mandat que le recourant réclame reconventionnellement. Cette question peut toutefois rester indécise, dès lors que le recours est de toute manière irrecevable pour les motifs exposés ci-dessous.
La procédure pénale, ouverte en tout cas depuis août 2005, met en cause le recourant dans une affaire apparemment d'ordre financier. La procédure civile met aux prises les parties à propos des honoraires de l'intimé liés à la défense pénale du recourant entre août 2005 et mai 2006. Malgré les explications du recourant, il n'apparaît pas clairement en quoi l'issue de la procédure pénale pourrait en l'occurrence influer sur le montant des honoraires dus à l'intimé ou sur les dommages-intérêts pour mauvaise exécution du mandat que le recourant réclame reconventionnellement. Cette question peut toutefois rester indécise, dès lors que le recours est de toute manière irrecevable pour les motifs exposés ci-dessous.
1.4 1.4.1 La procédure ouverte devant le Tribunal de première instance est régie par l'ancien droit de procédure (<ref-law>). La décision attaquée est ainsi fondée sur le droit de procédure cantonal, plus précisément sur l'<ref-law>/GE qui prévoyait que l'instruction d'une cause peut être suspendue lorsqu'il existe des motifs suffisants, notamment s'il s'agit d'attendre la fin d'une procédure ayant une portée préjudicielle pour la décision à rendre ou qui pourrait influencer celle-ci de manière décisive.
Sauf dans les cas cités expressément à l'art. 95 let. c à e LTF qui n'entrent pas en ligne de compte dans le cas particulier, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 3 p. 351; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 466).
Le Tribunal fédéral n'examine le moyen fondé sur la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise (<ref-law>). Cela signifie que le recourant doit préciser quel principe constitutionnel est en cause et exposer de manière claire et détaillée en quoi ce principe est violé par la décision attaquée; à défaut, le recours est irrecevable (<ref-ruling> consid. 3 p. 352; <ref-ruling> consid. 6 p. 397). Ainsi, s'il se plaint d'une violation de l'art. 9 Cst., le recourant ne saurait se contenter de critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité supérieure jouit d'une libre cognition; en particulier, il ne peut se borner à opposer son opinion à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer par une argumentation précise que cette décision repose sur une application arbitraire de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenable (<ref-ruling> consid. 3 et l'arrêt cité). S'il invoque une violation arbitraire du droit cantonal, le recourant doit désigner la norme cantonale en cause et montrer en quoi consiste l'arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 2a p. 3).
1.4.2 En l'espèce, le recourant ne cite nulle part l'<ref-law>/GE. Dans un exposé appellatoire, il explique que la cour cantonale aurait dû suspendre l'instruction de la cause et qu'il est «juste, proportionné et utile d'attendre le jugement pénal.» Le recours ne contient aucune démonstration précise du caractère arbitraire de l'application de la loi cantonale par la Cour de justice. A cet égard, l'adjonction ça et là de l'adjectif «arbitraire» ou de l'adverbe «arbitrairement» n'apparaît pas suffisante.
En conclusion, le recours se révèle irrecevable faute d'une motivation conforme à l'<ref-law>.
2. Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (<ref-law>) et versera des dépens à l'intimé (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel est irrecevable.
2. Le recours en matière civile est irrecevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le recourant versera à l'intimé une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 19 octobre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Godat Zimmermann