Faits:
A. Le 31 juillet 2003, la Société Coopérative Aérodrome du Jura Bressaucourt (ci-après: SCAJ) a déposé une demande d'octroi de concession fédérale pour l'exploitation d'un nouvel aérodrome à Bressaucourt. Elle a également sollicité l'approbation des plans ainsi que du règlement d'exploitation correspondants.
Par avis insérés dans la Feuille fédérale du 9 septembre 2003 et dans le Journal officiel du canton du Jura du lendemain, l'Office fédéral de l'aviation civile (ci-après: l'OFAC) a mis les requêtes à l'enquête publique.
Des oppositions contre les trois demandes ont été formées par C._, B._, l'Association des opposants au projet d'aérodrome de Bressaucourt (ci-après: AOPAB), l'Association Transports et Environnement (ci-après: ATE) ainsi que par le WWF Suisse.
B. Par décision du 18 août 2004, le Conseil fédéral a ajouté au Plan sectoriel de l'infrastructure aéronautique (PSIA) une fiche de coordination concernant l'aérodrome de Bressaucourt (fiche JU-1, partie IIIC/3ème série). Le projet y est décrit comme une nouvelle installation, faisant partie du réseau des aérodromes régionaux, qui a pour vocation d'accueillir des vols d'affaires, de tourisme et de travail et, dans la mesure du possible, les vols de perfectionnement ainsi que ceux liés à l'aviation sportive. La fiche indique également que le champ d'aviation de Porrentruy-Courtedoux sera mis hors-service dès l'entrée en fonction de la nouvelle installation. Les mesures de compensation exigées en matière de nature et de paysage, les précautions à prendre s'agissant de la protection des eaux, l'éventuelle nécessité d'une demande de défrichement, la coordination du projet avec les projets de l'A16 ainsi que le remaniement parcellaire à Bressaucourt sont en outre mentionnés.
C. Le 30 mai 2005, le Département fédéral de l'environnement, des transports, de l'énergie et de la communication (ci-après: DETEC) a octroyé la concession d'exploitation requise à la SCAJ, écartant ainsi les oppositions.
Dans une autre décision du même jour, le DETEC, rejetant les oppositions, a approuvé les plans de l'installation, de même qu'une demande de défrichement déposée le 17 septembre 2004. Il a néanmoins assorti l'approbation de nombreuses exigences en matière de protection de l'environnement, de la nature et du paysage.
Par décision du 30 mai 2005 également, l'OFAC a approuvé le règlement d'exploitation, déboutant ainsi les opposants. Il a en outre imposé des mesures supplémentaires en matière de protection de l'environnement.
L'AOPAB a recouru contre ces décisions auprès de la Commission fédérale de recours en matière d'infrastructures et d'environnement (CRINEN), en agissant pour son propre compte ainsi que pour celui de D._ et C._, F._, A._, K._, M._, N._, O._, P._, E._, Q._, R._ et S._, L._, J._, I._, G._, H._, T._ ainsi que U._, tous habitants, soit de la commune de Bressaucourt, soit de celle de Courgenay et de Chevenez. B._, le WWF Suisse et l'ATE ont également recouru.
Le 27 octobre 2005, le DETEC a conclu au rejet des recours dans la mesure de leur recevabilité, tout en admettant deux compléments au dispositif de la décision d'approbation des plans. Il a ainsi introduit deux nouvelles charges, l'une ayant trait à la force obligatoire de la directive "Protection de l'air sur les chantiers" de l'Office fédéral de l'environnement (ci-après: OFEV) et l'autre prescrivant la réalisation de l'infiltration de la voie d'accès conformément aux "Instructions sur la protection des eaux lors de l'évacuation des voies de communication 2002" de l'OFEV.
Le 2 octobre 2006, la CRINEN a organisé une vision locale réunissant des représentants des recourants, de l'intimée, des autorités de première instance et de l'OFEV. Un procès-verbal et un dossier photographique ont été établis.
Interpellés, l'OFEV et l'Office fédéral du développement territorial (ci-après: ARE), ont également pu se déterminer sur le recours.
D. Le 31 décembre 2006, la CRINEN a cessé toute activité et le dossier a été transmis au Tribunal administratif fédéral, compétent à compter du 1er janvier 2007. Par ordonnance du 7 février 2007, le juge instructeur a notamment demandé à l'intimée de produire un plan de gestion des mesures de compensation correspondant aux exigences formulées par l'OFEV, ce qui fut fait le 29 mars suivant.
E. Par arrêt du 17 décembre 2007, le Tribunal administratif fédéral a rejeté les recours contre la décision d'octroi de concession d'exploitation dans la mesure de leur recevabilité. Pour autant qu'ils soient recevables, il a très partiellement admis les recours contre la décision d'approbation des plans et a modifié le chiffre 3.2.1.5 du dispositif de cette dernière comme suit: "l'infiltration des eaux de la route d'accès sera réalisée conformément aux indications de l'OFEV figurant dans les « Instructions sur la protection des eaux lors de l'évacuation des eaux des voies de communication, Berne, 2002 » ainsi que le chiffre 3.2.1.3: « la directive de l'OFEV intitulée « Protection de l'air sur les chantiers, Berne 2002 » sera appliquée durant la phase de construction de l'installation". La décision d'approbation des plans a été confirmée pour le surplus. Supposés recevables, les recours contre la décision d'approbation du règlement d'exploitation ont également été rejetés.
F. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._, B._, C._, D._, E._, F._, G._, H._, I._, J._ et l'AOPAB demandent au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt rendu par le Tribunal administratif fédéral le 17 décembre 2007 et de renvoyer la cause au DETEC pour nouvelle décision. Invoquant l'art. 6 par. 1 CEDH, ils se plaignent essentiellement de l'impossibilité de contester la décision d'octroi de concession de même que le PSIA. Ils sollicitent en outre l'octroi de l'effet suspensif.
Par ordonnance du 6 mars 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif.
Le DETEC et l'OFAC ont conclu au rejet du recours en tant qu'il était recevable et à la confirmation de l'arrêt rendu le 17 décembre 2007 par le Tribunal administratif fédéral. La SCAJ a requis du Tribunal fédéral qu'il n'entre pas en matière sur le recours, subsidiairement qu'il le déclare irrecevable et plus subsidiairement encore, qu'il le rejette.

Considérant en droit:
1. 1.1 La voie du recours en matière de droit public est ouverte contre une décision du Tribunal administratif fédéral statuant sur l'approbation des plans de construction d'un aérodrome (art. 37 de la loi fédérale du 21 décembre 1948 sur l'aviation (RS 748.0; LA) et du règlement d'exploitation de ce dernier (art. 36c LA) (art. 82 et 86 al. 1 let. a LTF).
Les recourants domiciliés à Bressaucourt et à Chevenez, qui ont par ailleurs participé à la procédure devant l'autorité inférieure, ont manifestement qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF, puisqu'il est admis que ces communes sont susceptibles de subir des atteintes spéciales du fait de l'exploitation du nouvel aérodrome. La qualité pour recourir des recourants domiciliés à Courgenay souffre dès lors de rester indécise.
1.2 Le recours en matière de droit public est également ouvert lorsque le Tribunal administratif fédéral confirme une décision d'irrecevabilité. Dans une procédure administrative régie par le droit fédéral, l'auteur d'un recours déclaré irrecevable pour défaut de qualité pour agir est en effet habilité à contester ce prononcé par la voie du recours en matière de droit public (cf. <ref-ruling> consid. 1b p. 502; <ref-ruling> consid. 3a p. 317 et les arrêts cités). Les recourants ont par conséquent également qualité pour faire contrôler si c'est à tort ou à raison que leurs griefs à l'encontre de la décision d'octroi de concession (art. 36a LA) ont été jugés irrecevables.
Les autres conditions de recevabilité du recours en matière de droit public sont manifestement remplies.
2. A ce stade, seuls les particuliers domiciliés à proximité du site litigieux persistent à contester l'octroi de la concession à la SCAJ ainsi que l'approbation des plans et du règlement d'exploitation du futur aérodrome. Tant l'ATE que le WWF ont en effet renoncé à recourir.
Les arguments des recourants sont essentiellement d'ordre procédural. Ils maintiennent qu'une voie de recours est nécessaire contre la décision d'octroi d'une concession. Par ailleurs, ils discutent l'incidence de l'existence du PSIA sur les griefs susceptibles d'être invoqués.
3. Dans un premier argument, les recourants s'insurgent contre la confirmation de l'irrecevabilité des moyens dirigés contre l'octroi de concession. Ils estiment que l'absence d'une voie de recours reviendrait à interdire toute contestation du principe même de la création d'un aéroport. Ils font valoir une violation de l'art. 6 par. 1 CEDH.
3.1 Selon l'art. 36a LA, une concession est requise pour l'exploitation de tout aérodrome ouvert à l'aviation publique (aéroport) (al. 1). Le concessionnaire est autorisé à exploiter l'aéroport à titre commercial et, en particulier, à prélever des taxes. Il a l'obligation de le rendre accessible à tous les appareils du trafic intérieur et du trafic international, sous réserve des restrictions édictées dans le règlement d'exploitation, et de mettre à la disposition des usagers une infrastructure répondant aux impératifs d'une exploitation sûre et rationnelle (al. 2). Par ailleurs, le concessionnaire dispose du droit d'expropriation (al. 4).
L'organisation de l'aérodrome, les procédures d'approche et de départ ainsi que les prescriptions particulières pour l'utilisation de l'aérodrome doivent en revanche figurer dans un règlement d'exploitation (art. 36c LA). Les art. 10 al. 2 et 17 al. 2 de l'ordonnance du 23 novembre 1994 sur l'infrastructure aéronautique (RS 748.131.1; OSIA) précisent expressément que l'organisation de l'exploitation et de l'infrastructure ne fait pas l'objet de la concession d'exploitation. Il s'ensuit que c'est le règlement d'exploitation qui régit le trafic aérien (art. 23 OSIA).
3.2 La jurisprudence a déduit de ce qui précède que celui qui s'estime touché par le trafic aérien doit faire valoir ses critiques dans la procédure d'approbation du règlement d'exploitation et non dans celle d'octroi de la concession (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 336; arrêt 1A.61/2003 du 8 avril 2003 consid. 2.1).
La jurisprudence a au demeurant spécifié que la qualité pour recourir contre l'octroi d'une concession ne pouvait pas découler de l'art. 12 al. 1 let. c OSIA, qui prévoit que la concession est consentie lorsque le règlement d'exploitation peut être approuvé (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 337 s.; arrêt 1A.61/2003 précité consid. 2.2). Ces deux éléments ont en effet des fonctions différentes et leurs procédures sont distinctes. L'approbation du règlement d'exploitation est de la compétence de l'OFAC (art. 36c al. 3 et 4 LA), tandis que l'octroi de la concession relève de celle du DETEC (art. 36a al. 1 LA). En présence d'une demande de concession, le département doit se contenter de s'assurer auprès de l'office que le projet de règlement (art. 11 al. 1 let. e OSIA) peut être approuvé. S'il s'avère par la suite que le règlement d'exploitation viole le droit fédéral, la concession n'est pas automatiquement caduque mais elle doit être retirée par le DETEC, lequel peut le cas échéant ordonner les mesures nécessaires à la poursuite de l'exploitation de l'aéroport (art. 16 al. 2 OSIA).
3.3 Il n'y a pas lieu de remettre cette jurisprudence en question. Les recourants font certes valoir que cette dernière concernait le renouvellement d'une concession et non pas sa délivrance pour un nouvel aérodrome. On ne voit cependant pas en quoi cette circonstance aurait une quelconque influence sur les distinctions qui doivent être maintenues entre les différentes procédures. On rappellera en effet que l'octroi d'une concession n'est pas préjudiciable en lui-même, puisque la conformité du règlement d'exploitation en constitue la condition sine qua non. Par ailleurs, la simple reconduction d'une concession limite les possibilités d'examen du règlement d'exploitation (<ref-ruling> consid. 3 p. 340 ss). Par conséquent, si le recours contre la concession est dénié lors d'un renouvellement d'une concession pour une installation existante, il doit a fortiori l'être en cas de création d'un aérodrome.
Quoi qu'il en soit, comme on le verra ci-dessous, les recourants ont pu faire valoir l'intégralité de leurs arguments à l'encontre du règlement d'exploitation et des plans, de sorte qu'une violation de l'art. 6 par. 1 CEDH n'entre pas en considération. Ils n'indiquent au surplus pas l'existence de moyens qu'ils auraient pu faire valoir uniquement contre l'octroi de la concession.
4. Dans un second grief, les recourants affirment que les plans sectoriels ne sauraient lier les autorités judiciaires sous peine de vider le droit de recours de l'essentiel de son contenu.
Ils protestent en particulier contre le refus du Tribunal administratif fédéral d'examiner les alternatives au site de Bressaucourt. Ils font remarquer que la commune de Bressaucourt n'avait pas été prise en compte dans la première étude réalisée et qu'une seconde étude lui avait au demeurant préféré les sites de Courgenay et de Bure. Ils avancent que le site de Bressaucourt n'a finalement été retenu qu'en raison du vote positif de la commune. Invoquant l'art. 37 al. 4 LA, ils soutiennent que la population locale ne devrait pas pouvoir dicter le choix du lieu d'implantation d'une installation. Ils considèrent avoir droit à un contrôle de l'art. 2 al. 1 OAT, sous peine d'une violation de l'art. 6 par. 1 CEDH. Ils se plaignent du reste également un déni de justice formel sur ce point.
Les recourants font en outre valoir que le refus d'examen des variantes rendrait impossible celui de leurs objections fondamentales, qui sont les suivantes: la transformation de douze hectares d'un paysage agricole remarquable par sa "naturalité" serait irrémédiable et non compensable; les nuisances sonores, même lorsqu'elles ne dépasseraient pas le maximum autorisé, seraient des atteintes sérieuses qui ne pourraient être minimisées que par la construction des aéroports à l'écart des zones habitées; enfin, la disparition de haies et de structures bocagères ferait grossir les listes rouges des espèces animales menacées d'extinction et les rangs des espèces éteintes, de sorte que les compensations interviendraient trop tard.
4.1 Selon l'art. 13 de la loi fédérale du 22 juin 1979 sur l'aménagement du territoire (RS 700; LAT), pour exercer celles de ses compétences qui ont des effets sur l'organisation du territoire, la Confédération procède à des études de base; elle établit les conceptions et plans sectoriels nécessaires et les fait concorder. Conformément aux art. 14 ss de l'ordonnance du 28 juin 2000 sur l'aménagement du territoire (RS 700.1; OAT), les plans sectoriels doivent contenir des indications sur la manière dont la Confédération entend faire usage de sa liberté d'appréciation en matière d'aménagement; ils définissent en particulier les objectifs visés dans les domaines en question et comment ces objectifs seront conciliés avec l'aménagement du territoire, ainsi que les priorités, les modalités et les moyens envisagés pour l'exercice de l'activité concernée. L'art. 15 OAT règle les exigences de forme et de contenu des plans sectoriels. S'agissant des activités aéronautiques, lesquelles ont à l'évidence un effet sur l'organisation du territoire, l'art. 3a OSIA impose à la Confédération d'établir le PSIA. Ce dernier doit fixer le but, le périmètre requis, les grandes lignes de l'affectation, l'équipement ainsi que les conditions opérationnelles générales; les effets sur l'aménagement du territoire et sur l'environnement doivent également y être décrits (art. 3a al. 2 OSIA). Le PSIA est contraignant pour les autorités (art. 22 OAT et 3a OSIA). Il ne "décide" cependant pas si un projet sera réalisé ou non mais ne fait que fixer le cadre dans lequel doit s'inscrire la réalisation d'un éventuel projet. Les aspects relatifs à la conformité au droit, à l'examen approfondi des impacts sur le territoire et l'environnement ainsi qu'à la planification de détail des projets ne sont pas traités dans le PSIA, mais lors des procédures ultérieures (Plan sectoriel de l'infrastructure aéronautique (PSIA), Partie I p. 3, 18 octobre 2000).
4.2 Selon l'art. 2 al. 1 OAT, lors de la planification d'activités ayant des effets sur l'organisation du territoire, les autorités examinent en particulier, compte tenu du développement spatial souhaité, quelles possibilités et variantes de solution entrent en ligne de compte (let. b), si ces activités sont compatibles avec les buts et principes de l'aménagement du territoire (let. c) et quelles possibilités permettent de garantir une utilisation mesurée du sol, de réduire à un minimum les atteintes à l'environnement et de réaliser une occupation plus rationnelle du territoire (let. d). L'art. 3 al. 1 OAT précise que lorsque, dans l'accomplissement de leurs tâches ayant des effets sur l'organisation du territoire, les autorités disposent d'un pouvoir d'appréciation, elles sont tenues de peser les intérêts en présence.
4.3 Lorsque la Confédération établit des plans sectoriels, elle doit veiller à consulter les cantons et les communes ainsi qu'à informer la population et lui permettre de participer (art. 13 al. 2 et 4 al. 2 LAT; 17-19 OAT).
En l'espèce, les recourants ont pu être entendus. Ainsi que cela est rappelé dans le rapport définitif, les citoyens de Bressaucourt se sont prononcés favorablement sur le principe d'un aérodrome à Bressaucourt en 1995. Ils ont également approuvé en 2001 la convention précisant les modalités de réalisation de l'aérodrome. Par ailleurs, dans le cadre de la mise en consultation du PSIA, la population a également eu l'occasion de se prononcer.
4.4 Il apparaît donc que l'art. 4 al. 2 LAT a été respecté. L'exigence formulée par cette disposition ne se traduit en effet pas nécessairement dans une procédure de recours (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 123). La jurisprudence a précisé que les particuliers ne pouvaient attaquer le plan sectoriel que si les manquements invoqués s'étaient répercutés dans les décisions d'exécution (arrêt 1A.64/2003 du 8 juillet 2003 consid. 6.1.3; <ref-ruling> consid. 8d p. 216 s.; <ref-ruling> consid. 3 p. 402; arrêts 1E.8/2006 du 18 octobre 2006 consid. 5.2 et 5.3; 1E.5/2005 du 9 août 2005 consid. 3; 1E.10/2001 du 26 novembre 2001 consid. 2).
Dans le domaine similaire des routes nationales et du trafic ferroviaire, le Tribunal fédéral a spécifiquement jugé que les autorités d'exécution étaient liées par le choix effectué par le Conseil fédéral entre plusieurs variantes (<ref-ruling> consid. 8b p. 213 s.; arrêts 1E.8/2006 précité consid. 5.3 et 1E.10/2001 précité consid. 2). Des critiques d'ordre général à ce sujet ne sont pas recevables, le particulier devant au contraire limiter son argumentation à démontrer en quoi le projet définitif lui-même le léserait dans ses intérêts dignes de protection (ATF <ref-ruling> consid. 3 p. 402).
En l'espèce, conformément à cette jurisprudence, le reproche des recourants relatif à l'appréciation du résultat de l'étude des alternatives n'a pas été traité. Les objections dirigées contre le projet d'aérodrome à Bressaucourt lui-même ont en revanche toutes été rejetées par le Tribunal administratif fédéral au terme d'un examen fouillé. Devant la Cour de céans, les recourants ne reprennent pas ces arguments en détail. Ils font uniquement valoir avoir été empêchés de faire examiner leurs critiques en relation avec les atteintes au paysage, les mesures de compensation et les nuisances sonores. Une simple lecture de l'arrêt attaqué montre que tel n'est manifestement pas le cas pour les deux premiers objets. Les recourants n'ont au surplus jamais formulé de grief spécifique en matière de protection contre le bruit. Ils ne peuvent dès lors pas se plaindre de ce que ce point n'ait pas été analysé. Ils reconnaissent d'ailleurs eux-mêmes que les limites autorisées ne sont pas dépassées.
Les recourants ne mentionnent pas l'existence d'autres griefs qui auraient été soustraits à la cognition du Tribunal administratif fédéral. L'impossibilité de discuter les différentes alternatives envisagées ne conduit dès lors pas, du moins dans le cas d'espèce, à une violation de l'art. 6 par. 1 CEDH.
La situation ne se présenterait au demeurant pas différemment en cas de recours contre une planification cantonale ou communale. En effet, comme le rappelle utilement le Tribunal administratif fédéral, dans cette hypothèse, l'autorité de recours doit garder à l'esprit qu'elle n'est pas une autorité de planification. Il faut qu'elle respecte le pouvoir d'appréciation que l'art. 2 al. 3 LAT accorde à l'autorité chargée de la planification. Une décision de planification doit ainsi être confirmée lorsqu'elle paraît appropriée, indépendamment du fait que d'autres solutions peuvent sembler également adéquates (<ref-ruling> consid. 3b/aa p. 242).
5. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Les recourants, qui succombent, doivent supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 LTF). La Société coopérative Aérodrome Jura a droit à des dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Il n'est pas alloué d'autres dépens (art. 68 al. 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge solidaire des recourants.
3. Une indemnité de 2'000 fr., à payer à la Société coopérative Aérodrome Jura à titre de dépens, est mise à la charge solidaire des recourants.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, à l'Office fédéral de l'aviation civile, au Département fédéral de l'environnement, des transports, de l'énergie et de la communication ainsi qu'au Tribunal administratif fédéral, Cour I.
Lausanne, le 2 juin 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Féraud Truttmann