Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. X._ trat am 15. November 2000 in das Bürgerspital Solothurn ein, um von A._, Chefarzt der Klinik für Hals-, Nasen- und Ohrenheilkunde, eine Nasenoperation vornehmen zu lassen. Er belegte zunächst entsprechend seinem auf dem entsprechenden Formular gestellten Antrag ein Zweibett-Zimmer in der Halbprivat-Abteilung. A._ operierte X._ am 16. November 2000. Nach durchgeführter Operation erteilte die vom Bürgerspital Solothurn um eine Kostengutsprache ersuchte Krankenkasse Intras gleichentags Kostengutsprache für volle Deckung in der allgemeinen Abteilung. X._ wurde darauf am 17. November 2000 in die allgemeine Abteilung verlegt. Er konnte das Spital am 19. November 2000 verlassen.
Am 19. Januar 2001 stellte das Bürgerspital Solothurn X._ Rechnung über Fr. 4'763.55 für den von ihm zu übernehmenden Anteil an den Gesamtkosten in der Höhe von Fr. 5'421.55. Mit Schreiben vom 23. Januar 2001 erhob X._ beim Stiftungsrat des Bürgerspitals Solothurn Beschwerde mit dem Antrag, die Rechnung sei an seine Krankenkasse zu richten, da es sich um ein Missverständnis handle. Am 3. Mai 2001 lehnte der Stiftungsrat die Beschwerde ab und teilte dies X._ mit Schreiben vom 7. Mai 2001 mit. Dieser bezahlte die Rechnung nicht und erhob gegen den Zahlungsbefehl des Betreibungsamtes Thal-Gäu vom 8. Januar 2002 Rechtsvorschlag.
Am 19. Januar 2001 stellte das Bürgerspital Solothurn X._ Rechnung über Fr. 4'763.55 für den von ihm zu übernehmenden Anteil an den Gesamtkosten in der Höhe von Fr. 5'421.55. Mit Schreiben vom 23. Januar 2001 erhob X._ beim Stiftungsrat des Bürgerspitals Solothurn Beschwerde mit dem Antrag, die Rechnung sei an seine Krankenkasse zu richten, da es sich um ein Missverständnis handle. Am 3. Mai 2001 lehnte der Stiftungsrat die Beschwerde ab und teilte dies X._ mit Schreiben vom 7. Mai 2001 mit. Dieser bezahlte die Rechnung nicht und erhob gegen den Zahlungsbefehl des Betreibungsamtes Thal-Gäu vom 8. Januar 2002 Rechtsvorschlag.
B. Am 12. Juli 2002 erhob das Bürgerspital Solothurn gegen X._ beim Richteramt Thal-Gäu Klage auf Zahlung von Fr. 4'763.55 nebst Zins zu 5% seit 5. März 2001 sowie Fr. 70.-- für die Kosten des Zahlungsbefehls und auf Beseitigung des Rechtsvorschlags. Mit Urteil vom 3. September 2003 trat die Zivilabteilung des Richteramts Thal-Gäu wegen mangelnder sachlicher Zuständigkeit auf die Klage nicht ein.
B. Am 12. Juli 2002 erhob das Bürgerspital Solothurn gegen X._ beim Richteramt Thal-Gäu Klage auf Zahlung von Fr. 4'763.55 nebst Zins zu 5% seit 5. März 2001 sowie Fr. 70.-- für die Kosten des Zahlungsbefehls und auf Beseitigung des Rechtsvorschlags. Mit Urteil vom 3. September 2003 trat die Zivilabteilung des Richteramts Thal-Gäu wegen mangelnder sachlicher Zuständigkeit auf die Klage nicht ein.
C. Darauf erhob das Bürgerspital Solothurn am 28. Januar 2004 beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Klage gegen X._ mit den vor dem Richteramt Thal-Gäu gestellten Rechtsbegehren. Der Beklagte beantragte vollumfängliche Abweisung der Klage. Mit Urteil vom 20. April 2004 verpflichtete das Verwaltungsgericht X._ in Gutheissung der Klage, dem Bürgerspital Solothurn Fr. 4'763.55 nebst Zins zu 5% seit 5. März 2001 sowie Fr. 70.-- für die Kosten des Zahlungsbefehls zu bezahlen und beseitigte den Rechtsvorschlag in diesem Umfang. Das Verwaltungsgericht ging davon aus, dass sich X._ über das ihm bei der Spitalaufnahme vorgelegte, mit "Antrag" überschriebene Formular hatte Rechenschaft ablegen können und müssen und dieses im Bewusstsein von dessen Tragweite unterzeichnet hatte.
C. Darauf erhob das Bürgerspital Solothurn am 28. Januar 2004 beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Klage gegen X._ mit den vor dem Richteramt Thal-Gäu gestellten Rechtsbegehren. Der Beklagte beantragte vollumfängliche Abweisung der Klage. Mit Urteil vom 20. April 2004 verpflichtete das Verwaltungsgericht X._ in Gutheissung der Klage, dem Bürgerspital Solothurn Fr. 4'763.55 nebst Zins zu 5% seit 5. März 2001 sowie Fr. 70.-- für die Kosten des Zahlungsbefehls zu bezahlen und beseitigte den Rechtsvorschlag in diesem Umfang. Das Verwaltungsgericht ging davon aus, dass sich X._ über das ihm bei der Spitalaufnahme vorgelegte, mit "Antrag" überschriebene Formular hatte Rechenschaft ablegen können und müssen und dieses im Bewusstsein von dessen Tragweite unterzeichnet hatte.
D. Gegen dieses Urteil hat X._ am 19. Mai 2004 staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht eingereicht mit dem Antrag, das angefochtene Urteil sei aufzuheben. Er rügt eine ungenügende Sachverhaltsabklärung durch das Verwaltungsgericht und beruft sich auf Verletzungen des rechtlichen Gehörs (Art. 29 BV) und des Willkürverbots (Art. 9 BV).
D. Gegen dieses Urteil hat X._ am 19. Mai 2004 staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht eingereicht mit dem Antrag, das angefochtene Urteil sei aufzuheben. Er rügt eine ungenügende Sachverhaltsabklärung durch das Verwaltungsgericht und beruft sich auf Verletzungen des rechtlichen Gehörs (Art. 29 BV) und des Willkürverbots (Art. 9 BV).
E. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn hat sich mit dem Antrag auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, vernehmen lassen. Das Bürgerspital Solothurn hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts Solothurn ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid, gegen den nur die staatsrechtliche Beschwerde offen steht (Art. 84 Abs. 1 lit. a und Abs. 2 und Art. 86 Abs. 1 OG). Der Beschwerdeführer ist durch das angefochtene Urteil persönlich betroffen und daher zur staatsrechtlichen Beschwerde legitimiert (Art. 88 OG). Da auch die übrigen formellen Voraussetzungen erfüllt sind, ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägungen auf die Beschwerde einzutreten.
1.2 Das Bundesgericht prüft auf staatsrechtliche Beschwerde hin nur klar und detailliert erhobene Rügen hinsichtlich konkreter Verletzungen verfassungsmässiger Rechte (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG); auf nicht substantiierte Vorbringen und appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3c und 4 S. 43; <ref-ruling> E. lc S. 76 mit Hinweis).
1.2 Das Bundesgericht prüft auf staatsrechtliche Beschwerde hin nur klar und detailliert erhobene Rügen hinsichtlich konkreter Verletzungen verfassungsmässiger Rechte (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG); auf nicht substantiierte Vorbringen und appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3c und 4 S. 43; <ref-ruling> E. lc S. 76 mit Hinweis).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer erblickt darin, dass das Verwaltungsgericht den Sachverhalt seiner Ansicht nach ungenügend abgeklärt habe, eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör der an einem Verfahren beteiligten Partei bestimmt sich zunächst nach Massgabe des kantonalen Rechts. Unabhängig davon greifen die unmittelbar aus Art. 29 Abs. 2 BV folgenden bundesrechtlichen Minimalgarantien Platz (<ref-ruling> E. 7a S. 430; <ref-ruling> E. 2 S. 242 f., je mit Hinweisen). Da der Beschwerdeführer keine Verletzung kantonaler Verfahrensvorschriften rügt, ist einzig und zwar mit freier Kognition zu prüfen, ob unmittelbar aus Art. 29 Abs. 2 BV folgende Regeln missachtet wurden.
2.2 Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht dar. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2b S. 56 mit Hinweis).
2.3 Der Beschwerdeführer, hat es unterlassen darzulegen, welche weiteren Abklärungen hätten getroffen werden müssen. Damit genügt die Beschwerde den Anforderungen an die Begründung gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG insoweit nicht, weshalb auf die Rüge der Gehörsverletzung durch ungenügende Sachverhaltsabklärung nicht eingetreten werden kann. Die Rüge würde sich im Übrigen ohnehin als unbegründet erweisen:
2.3.1 Das Verwaltungsgericht hat zur Abklärung des Sachverhalts keine eigenen Beweiserhebungen vorgenommen, sondern sich auf die Zeugenbefragungen, die das Richteramt Thal-Gäu am 3. September 2003 durchgeführt hatte, sowie die bereits vorliegenden Beweisstücke gestützt. Dies ist nicht zu beanstanden, sofern sich der Sachverhalt dadurch als genügend abgeklärt erweist.
2.3.2 Seitens des Bürgerspitals Solothurn wurde in der Klage geltend gemacht, der Beschwerdeführer sei bei seinem Spitaleintritt von B._, Mitarbeiterin bei der Patientenaufnahme, betreut worden. Diese habe ihn gefragt, ob er allgemein, halbprivat oder privat versichert sei. Sie habe ihm den Unterschied zwischen "allgemein", "halbprivat" und "privat" erklärt und ihn darauf hingewiesen, dass er für den Fall, dass er nur "allgemein" versichert sei und gleichwohl den Aufenthalt in einem Einer- oder Zweier-Zimmer sowie die Operation durch den Chefarzt wolle, für die Mehrkosten selber aufkommen müsse. B._ habe dem Beschwerdeführer erklärt, dass er in diesem Fall ein entsprechendes Formular zu unterschreiben habe. Der Beschwerdeführer habe gemeinsam mit B._ das Formular "Antrag" durchgelesen und dieses alsdann mit der angekreuzten Variante "Halbprivat Abteilung (Zweier-Zimmer)" unterschrieben. Der Beschwerdeführer hat bestätigt, dass ihm das Formular "Antrag" vorgelegt wurde, auf welchem er die "Minimalvariante", "Halbprivat Abteilung (Zweier-Zimmer)", angekreuzt habe. Was er eigentlich gewollt habe, nämlich die Operation durch den Chefarzt A._, habe er nicht angekreuzt, und was ihm unbedeutend gewesen sei, nämlich das Zweibett-Zimmer, habe er mangels anderer Varianten angekreuzt. Das Formular enthalte keinerlei Hinweise auf die finanziellen Auswirkungen der einen oder anderen Markierung. Er sei der deutschen Sprache nur teilweise mächtig und kenne sich in den im Antragsformular aufgeführten Spezialvarianten nicht aus. Das Antragsformular sei und bleibe für ihn unverständlich und unklar.
2.3.3 B._ hat als Zeugin erklärt, sie könne sich an den Beschwerdeführer nicht mehr erinnern. Den Patienten werde jeweils erklärt, was halbprivat bedeute. Dieser Versicherungsschutz werde jedem Patienten mündlich erläutert. Die Angaben der Patienten würden dann der Krankenkasse gefaxt. Danach erhalte das Spital von der Krankenkasse eine sogenannte "Kostengutrücksprache." Das Formular werde den allgemein versicherten Patienten nicht gezeigt.
2.3.4 Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Urteil festgehalten, aus den Akten würden sich keine Anhaltspunkte dafür ergeben, dass der Beschwerdeführer überhaupt nicht befragt und aufgeklärt worden sei. Es sei auch davon auszugehen, dass keine massgeblichen sprachlich bedingten Verständigungsprobleme bestanden hätten. Es könne praktisch ausgeschlossen werden, dass der Kläger auf Befragen seine Krankenkasse bekannt gebe und sich als allgemein versichert bezeichne, die aufnehmende Mitarbeiterin des Spitals dann aber entgegen dem täglich mehrmals praktizierten Vorgehen das Formular verwende, das einzig für Privat- und Halbprivatversicherte bestimmt sei. Weil auf dem Formular eine Rubrik "allgemeinversichert" fehle, sei es auch ausgeschlossen, dass die Mitarbeiterin die Variante falsch angekreuzt habe.
2.3.5 Nachdem B._ anlässlich der Verhandlung vom 3. September 2003 vor dem Richteramt Thal-Gäu in Anwesenheit des Beschwerdeführers als Zeugin einvernommen worden ist und erklärt hat, sie könne sich an ihn nicht mehr erinnern, ist nicht ersichtlich, was das Verwaltungsgericht zur Abklärung des genauen Inhalts des Aufnahmegesprächs zwischen B._ und dem Beschwerdeführer weiter hätte vorkehren sollen. Der Beschwerdeführer selbst gibt denn auch keinen Hinweis, worin seiner Ansicht nach eine weitere Abklärung hätte bestehen sollen. Das Verwaltungsgericht hat daher dadurch, dass es keine weiteren Abklärungen vorgenommen hat, das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers nicht verletzt. Die diesbezügliche Rüge erwiese sich somit, sofern darauf eingetreten werden könnte, als unbegründet.
2.3.5 Nachdem B._ anlässlich der Verhandlung vom 3. September 2003 vor dem Richteramt Thal-Gäu in Anwesenheit des Beschwerdeführers als Zeugin einvernommen worden ist und erklärt hat, sie könne sich an ihn nicht mehr erinnern, ist nicht ersichtlich, was das Verwaltungsgericht zur Abklärung des genauen Inhalts des Aufnahmegesprächs zwischen B._ und dem Beschwerdeführer weiter hätte vorkehren sollen. Der Beschwerdeführer selbst gibt denn auch keinen Hinweis, worin seiner Ansicht nach eine weitere Abklärung hätte bestehen sollen. Das Verwaltungsgericht hat daher dadurch, dass es keine weiteren Abklärungen vorgenommen hat, das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers nicht verletzt. Die diesbezügliche Rüge erwiese sich somit, sofern darauf eingetreten werden könnte, als unbegründet.
3. Es stellt sich jedoch die Frage, ob das Verwaltungsgericht aus der gegebenen Beweislage ohne Willkür die von ihm gezogenen Schlüsse ziehen durfte.
3.1 Willkür liegt nach ständiger Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere als die vom kantonalen Gericht gewählte Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht weicht vom Entscheid der kantonalen Behörde nur ab, wenn dieser offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3a S. 15 mit Hinweisen). Dies gilt insbesondere auch in Bezug auf die Ermittlung des Sachverhalts und die Würdigung der Beweise. In diesem Bereich steht dem kantonalen Sachrichter ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 4b S. 40). Das Bundesgericht greift auf Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 BV (Art. 4a BV) nur ein, wenn das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht hat, etwa aus den vorliegenden Beweisen und aus den gegebenen Umständen schlechthin nicht mehr vertretbare Schlüsse gezogen (BGE 116 la 85 E. 2b S. 88 mit Hinweisen) oder einseitig nur einzelne Beweise und Indizien berücksichtigt beziehungsweise erhebliche Beweise grundlos unberücksichtigt gelassen hat (<ref-ruling> E. 1b S. 30). Willkür liegt nur vor, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2b S. 56; <ref-ruling> E. 5b S. 134 mit Hinweis).
3.2 Das Verwaltungsgericht ist gestützt auf die Aussagen von B._, die sich zwar an den Beschwerdeführer nicht erinnern konnte, das bei der Patientenaufnahme übliche Vorgehen aber klar und unmissverständlich geschildert hat, davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer nach seinen Versicherungsverhältnissen befragt und aufgeklärt worden ist. Diese Annahme ist insbesondere im Hinblick auf die Bedeutung, die Art und Umfang der Versicherung für das Spital haben, sowie angesichts des vom Beschwerdeführer unterschriebenen Formulars nicht willkürlich. Die Versicherungsfrage ist ausschlaggebend für die Unterbringung des Patienten in einem Mehrbett-, Zweibett- oder Einbett-Zimmer sowie für die Frage, ob die Behandlung durch den Chefarzt oder Leitenden Arzt erfolgen soll. Die Aufnahme kann daher nur nach Besprechung der Versicherungsmodalitäten erfolgen, weshalb das Verwaltungsgericht davon ausgehen durfte, dass eine solche Besprechung auch im Fall des Beschwerdeführers stattgefunden hat. Das vom Beschwerdeführer unterschriebene Antragsformular wird nach Aussage von B._ den allgemein versicherten Patienten nicht gezeigt, weshalb die Folgerung des Verwaltungsgerichts, der Beschwerdeführer selbst habe sich als halbprivat versichert bezeichnet, jedenfalls nicht als willkürlich erscheint.
3.3 Das vom Beschwerdeführer unterschriebene Antragsformular enthält in grosser Schrift den Vermerk "WICHTIGE HINWEISE" und darunter den folgenden Passus:
"Es ist Sache der Patientinnen und Patienten, den Versicherungsschutz zu kennen. Die Patientin oder der Patient kann nachträglich nicht geltend machen, er oder sie habe sich geirrt oder den Versicherungsschutz falsch eingeschätzt."
Darauf folgt der Hinweis, mit der Unterschrift werde zugleich erklärt, von der obigen Rubrik: "WICHTIGE HINWEISE" Kenntnis genommen zu haben. Abschliessend enthält das Formular den folgenden Passus:
"Ferner wird die Voraussetzung akzeptiert, dass bei ungenügendem Versicherungsschutz sämtliche differenzierten MEHRKOSTEN zu Lasten der Patientin oder des Patienten gehen."
Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Urteil ausgeführt, entgegen der Darstellung in der Klageantwort sei nach den Akten davon auszugehen, dass keine massgeblichen sprachlich bedingten Verständigungsprobleme bestanden hätten. Der Beschwerdeführer hält dem entgegen, der Umstand, dass auf dem Antragsformular die Rubrik "Operation durch Chefarzt oder Leitenden Arzt" nicht angekreuzt worden sei, sei ein starkes Indiz, dass er das Formular nicht verstanden habe. Das Verwaltungsgericht hat hierzu ausgeführt, es sei nicht weiter zu untersuchen, warum dies unterblieben sei.
Da die Halbprivat-Versicherung bereits die freie Arztwahl und damit die vom Beschwerdeführer gewünschte und in der Folge durchgeführte Operation durch den Chefarzt erlaubte, durfte das Verwaltungsgericht auf eine weitere Abklärung, warum ein Ankreuzen der Rubrik "Operation durch Chefarzt oder Leitenden Arzt" im vorliegenden Fall unterblieben war, verzichten. Es ist denn auch nicht zu erkennen, inwiefern sich ein Ankreuzen dieser Rubrik auf den vorliegenden Fall hätte auswirken können. Nachdem der Beschwerdeführer zugegebenermassen die Operation durch den Chefarzt wünschte und dies mindestens eine Halbprivat-Versicherung erforderte, konnte seinem Wunsch bereits mit dem Ankreuzen der Rubrik "Halbprivat-Abteilung" entsprochen werden. Gerade der Umstand, dass die Rubrik "Operation durch Chefarzt oder Leitenden Arzt" nicht angekreuzt wurde, weist darauf hin, dass dem Beschwerdeführer die Bedeutung des Ankreuzens der Rubrik "Halbprivat-Abteilung (Zweier-Zimmer)" bewusst war, hätte er doch sonst angesichts dessen, dass ihm die Operation durch den Chefarzt A._ wichtig war, diese Rubrik sicher angekreuzt oder darauf bestanden, dass diese Rubrik angekreuzt werde.
Da die Halbprivat-Versicherung bereits die freie Arztwahl und damit die vom Beschwerdeführer gewünschte und in der Folge durchgeführte Operation durch den Chefarzt erlaubte, durfte das Verwaltungsgericht auf eine weitere Abklärung, warum ein Ankreuzen der Rubrik "Operation durch Chefarzt oder Leitenden Arzt" im vorliegenden Fall unterblieben war, verzichten. Es ist denn auch nicht zu erkennen, inwiefern sich ein Ankreuzen dieser Rubrik auf den vorliegenden Fall hätte auswirken können. Nachdem der Beschwerdeführer zugegebenermassen die Operation durch den Chefarzt wünschte und dies mindestens eine Halbprivat-Versicherung erforderte, konnte seinem Wunsch bereits mit dem Ankreuzen der Rubrik "Halbprivat-Abteilung" entsprochen werden. Gerade der Umstand, dass die Rubrik "Operation durch Chefarzt oder Leitenden Arzt" nicht angekreuzt wurde, weist darauf hin, dass dem Beschwerdeführer die Bedeutung des Ankreuzens der Rubrik "Halbprivat-Abteilung (Zweier-Zimmer)" bewusst war, hätte er doch sonst angesichts dessen, dass ihm die Operation durch den Chefarzt A._ wichtig war, diese Rubrik sicher angekreuzt oder darauf bestanden, dass diese Rubrik angekreuzt werde.
4. 4.1 Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Urteil festgehalten, der Beschwerdeführer könne sich nicht auf einen Erklärungsirrtum berufen. Er habe mit seiner Unterschrift bestätigt, was er mündlich erklärt und gewünscht habe. Ebenso wenig liege ein Irrtum über eine ungelesen unterzeichnete Urkunde vor. Der Beschwerdeführer habe bei der Unterzeichnung nicht gemeint, er unterschreibe für die allgemeine Abteilung. Nach dem Beweisergebnis sei davon auszugehen, dass beim Beschwerdeführer Willensentschluss und Willenserklärung übereinstimmten. Der Beschwerdeführer hält dem entgegen, diese Darlegungen und Schlussfolgerungen beruhten auf einer ungenügenden Abklärung des Sachverhalts. Er unterlässt es jedoch auch hier darzulegen, welche weiteren Beweiserhebungen das Verwaltungsgericht seiner Ansicht nach hätte durchführen müssen, weshalb auch auf diese Rüge einer Gehörsverletzung nicht einzutreten ist. Die Rüge würde sich allerdings auch als unbegründet erweisen. Nachdem die für die Patientenaufnahme zuständige Mitarbeiterin B._ als Zeugin befragt wurde und ihre Aussage schlüssig erscheint, ist nicht ersichtlich, welche zusätzlichen Abklärungen das Verwaltungsgericht hätte vornehmen sollen.
4.2 Der Beschwerdeführer wirft dem Verwaltungsgericht vor, es habe den Begriff des Erklärungsirrtums willkürlich ausgelegt. Ein Erklärungsirrtum liegt vor, wenn ein Vertragschliessender etwas erklärt habe, was er nicht wolle; Wille und Erklärung stimmten nicht überein (vgl. Gauch/Schluep/Schmid/Rey, Schweizerisches Obligationenrecht, Allgemeiner Teil, 8. Aufl., 2003, Band I, Rz. 810; von Tuhr/Peter, Allgemeiner Teil des schweizerischen Obligationenrechts, Zürich 1979, Band I, S. 301 f.).
Der Beschwerdeführer wollte erklärtermassen die Operation durch den Chefarzt A._. Indem er die Rubrik "Halbprivat Abteilung (Zweier-Zimmer)" ankreuzte, gab er jedenfalls indirekt diesem Willen Ausdruck. Da das Verwaltungsgericht, wie bereits ausgeführt, davon ausgehen durfte, dass die Frage des Versicherungsschutzes mit dem Beschwerdeführer besprochen und er über die Bedeutung einer "Halbprivat"- Versicherung aufgeklärt worden war, wusste er auch, dass die Unterbringung in der Halbprivat-Abteilung die freie Ärztewahl und damit die von ihm gewünschte Operation durch A._ beinhaltete. Die Annahme des Verwaltungsgerichts, der Beschwerdeführer habe sich nicht in einem Erklärungsirrtum befunden, erweist sich daher nicht als willkürlich.
Der Beschwerdeführer wollte erklärtermassen die Operation durch den Chefarzt A._. Indem er die Rubrik "Halbprivat Abteilung (Zweier-Zimmer)" ankreuzte, gab er jedenfalls indirekt diesem Willen Ausdruck. Da das Verwaltungsgericht, wie bereits ausgeführt, davon ausgehen durfte, dass die Frage des Versicherungsschutzes mit dem Beschwerdeführer besprochen und er über die Bedeutung einer "Halbprivat"- Versicherung aufgeklärt worden war, wusste er auch, dass die Unterbringung in der Halbprivat-Abteilung die freie Ärztewahl und damit die von ihm gewünschte Operation durch A._ beinhaltete. Die Annahme des Verwaltungsgerichts, der Beschwerdeführer habe sich nicht in einem Erklärungsirrtum befunden, erweist sich daher nicht als willkürlich.
5. Der Beschwerdeführer macht im Weiteren geltend, das Bürgerspital hätte die Möglichkeit gehabt, bereits beim Spitaleintritt eine Kostengutsprache der Krankenkasse einzuholen, um in Erfahrung zu bringen, ob und in welchem Umfang eine Kostendeckung bestand. Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Urteil diesbezüglich erklärt, der Beschwerdeführer verkenne die administrativen Abläufe, die darauf ausgerichtet seien, dass die Kostengutsprache beim Krankenversicherer zu einem möglichst aktuellen Zeitpunkt eingeholt werde.
Ob zur Abklärung der Versicherungsdeckung seitens des Bürgerspitals - gerade bei Wahloperationen - auch ein anderes Vorgehen denkbar, möglich und vielleicht sogar wünschenswert wäre, ist vorliegend nicht zu prüfen. Entscheidend ist, dass das Verwaltungsgericht, wie bereits ausgeführt, ohne Willkür davon ausgehen durfte, dass die Frage der Versicherungsdeckung mit dem Beschwerdeführer anlässlich seiner Spitalaufnahme besprochen und er dadurch in die Lage versetzt worden war, Sinn und Tragweite des von ihm unterschriebenen Antragsformulars zu verstehen. Aus den vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang zitierten Zeugenaussagen von A._, B._ und dem Vertreter des Bürgerspitals, C._, ergibt sich nichts anderes. Alle drei genannten Personen haben zwar erklärt, das Bürgerspital Solothurn mache bei den eintretenden Patienten eine Abklärung bei der zuständigen Krankenkasse und erhalte dann eine sogenannte "Kostengutrücksprache". Aus ihren Aussagen ergibt sich aber nicht, dass das Bürgerspital üblicherweise mit der Aufnahme eines Patienten zuwarten würde, bis die Kostengutsprache der Krankenkasse vorliegt.
Ob zur Abklärung der Versicherungsdeckung seitens des Bürgerspitals - gerade bei Wahloperationen - auch ein anderes Vorgehen denkbar, möglich und vielleicht sogar wünschenswert wäre, ist vorliegend nicht zu prüfen. Entscheidend ist, dass das Verwaltungsgericht, wie bereits ausgeführt, ohne Willkür davon ausgehen durfte, dass die Frage der Versicherungsdeckung mit dem Beschwerdeführer anlässlich seiner Spitalaufnahme besprochen und er dadurch in die Lage versetzt worden war, Sinn und Tragweite des von ihm unterschriebenen Antragsformulars zu verstehen. Aus den vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang zitierten Zeugenaussagen von A._, B._ und dem Vertreter des Bürgerspitals, C._, ergibt sich nichts anderes. Alle drei genannten Personen haben zwar erklärt, das Bürgerspital Solothurn mache bei den eintretenden Patienten eine Abklärung bei der zuständigen Krankenkasse und erhalte dann eine sogenannte "Kostengutrücksprache". Aus ihren Aussagen ergibt sich aber nicht, dass das Bürgerspital üblicherweise mit der Aufnahme eines Patienten zuwarten würde, bis die Kostengutsprache der Krankenkasse vorliegt.
6. Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Urteil (Ziffer 14) ausgeführt, es sei zu vermuten, dass der Beklagte den inneren Willen gehabt habe, sich im Spital in jener Klasse behandeln zu lassen, für die er versichert war. Angesichts dessen, dass das Verwaltungsgericht an anderer Stelle erklärt hat, mehrere erhebliche Indizien liessen es als durchaus glaubhaft erscheinen, dass der Beschwerdeführer beim Eintritt falsche Angaben gemacht (Ziffer 8) beziehungsweise dass er sich gar zweckgerichtet als halbprivat versichert bezeichnet habe (Ziffer 10), erscheint die zu Beginn von Ziffer 14 des angefochtenen Urteils geäusserte Vermutung, wie der Beschwerdeführer zu Recht geltend macht, als widersprüchlich. Wie bereits dargelegt (vgl. oben E. 4.1), ist ein Entscheid jedoch nur dann als willkürlich anzusehen, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE <ref-ruling> E. 5b S. 134). Das Verwaltungsgericht ist in willkürfreier Würdigung des ausreichend abgeklärten Sachverhalts und der vorliegenden Beweismittel zum Ergebnis gelangt, dass dem Beschwerdeführer die Bedeutung der von ihm angekreuzten Rubrik "Halbprivat-Abteilung (Zweier-Zimmer)" bewusst war und er sich über die Tragweite des von ihm unterzeichneten Formulars Rechenschaft ablegen konnte und musste. Gestützt darauf ist das Verwaltungsgericht im Ergebnis zur Gutheissung der Klage gelangt. Die widersprüchliche Vermutung zu Beginn von Ziffer 14 des angefochtenen Urteils lässt dieses Ergebnis nicht als willkürlich erscheinen.
6. Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Urteil (Ziffer 14) ausgeführt, es sei zu vermuten, dass der Beklagte den inneren Willen gehabt habe, sich im Spital in jener Klasse behandeln zu lassen, für die er versichert war. Angesichts dessen, dass das Verwaltungsgericht an anderer Stelle erklärt hat, mehrere erhebliche Indizien liessen es als durchaus glaubhaft erscheinen, dass der Beschwerdeführer beim Eintritt falsche Angaben gemacht (Ziffer 8) beziehungsweise dass er sich gar zweckgerichtet als halbprivat versichert bezeichnet habe (Ziffer 10), erscheint die zu Beginn von Ziffer 14 des angefochtenen Urteils geäusserte Vermutung, wie der Beschwerdeführer zu Recht geltend macht, als widersprüchlich. Wie bereits dargelegt (vgl. oben E. 4.1), ist ein Entscheid jedoch nur dann als willkürlich anzusehen, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE <ref-ruling> E. 5b S. 134). Das Verwaltungsgericht ist in willkürfreier Würdigung des ausreichend abgeklärten Sachverhalts und der vorliegenden Beweismittel zum Ergebnis gelangt, dass dem Beschwerdeführer die Bedeutung der von ihm angekreuzten Rubrik "Halbprivat-Abteilung (Zweier-Zimmer)" bewusst war und er sich über die Tragweite des von ihm unterzeichneten Formulars Rechenschaft ablegen konnte und musste. Gestützt darauf ist das Verwaltungsgericht im Ergebnis zur Gutheissung der Klage gelangt. Die widersprüchliche Vermutung zu Beginn von Ziffer 14 des angefochtenen Urteils lässt dieses Ergebnis nicht als willkürlich erscheinen.
7. Der Beschwerdeführer rügt, das Verwaltungsgericht habe den Begriff des Grundlagenirrtums willkürlich ausgelegt. Das Verwaltungsgericht hat sich im angefochtenen Urteil (Ziffer 14) nicht mit dem Vorliegen eines Grundlagenirrtums auseinandergesetzt, sondern von einem Irrtum im Beweggrund gesprochen. Ein solcher Motivirrtum ist, wie Art. 24 Abs. 2 OR ausdrücklich festhält, nicht wesentlich. Von einem Grundlagenirrtum ist im angefochtenen Urteil nicht die Rede. Ein solcher liegt vor, wenn der Irrtum einen bestimmten Sachverhalt betraf, der vom Irrenden nach Treu und Glauben im Geschäftsverkehr als eine notwendige Grundlage des Vertrages betrachtet wurde. Der Grundlagenirrtum wird als qualifizierter Motivirrtum verstanden, indem es nicht lediglich auf subjektive Vorstellungen des Irrenden, sondern zusätzlich auf das objektive Moment von Treu und Glauben im Geschäftsverkehr ankommt (vgl. Bruno Schmidlin, in: Berner Komm., Band IV 1/2, N. 527 zu Art. 23/24 OR). Grundlagenirrtum im Sinne von Art. 24 Abs. 1 Ziff. 4 OR liegt vor, wenn sich ein Vertragschliessender über einen bestimmten Sachverhalt geirrt hat, den er als eine notwendige Grundlage des Vertrags ansah und nach Treu und Glauben im Geschäftsverkehr auch bei objektiver Betrachtungsweise als gegeben voraussetzen durfte (<ref-ruling> E. 2 S. 139). Nachdem das Verwaltungsgericht ohne Willkür zur Überzeugung gelangt ist, dass der Beschwerdeführer sich Rechenschaft über die Bedeutung der von ihm angekreuzten Rubrik und die Tragweite des von ihm unterschriebenen Formulars geben konnte und musste, hatte es keinen Anlass, sich mit der Frage eines Grundlagenirrtums auseinander zu setzen.
7. Der Beschwerdeführer rügt, das Verwaltungsgericht habe den Begriff des Grundlagenirrtums willkürlich ausgelegt. Das Verwaltungsgericht hat sich im angefochtenen Urteil (Ziffer 14) nicht mit dem Vorliegen eines Grundlagenirrtums auseinandergesetzt, sondern von einem Irrtum im Beweggrund gesprochen. Ein solcher Motivirrtum ist, wie Art. 24 Abs. 2 OR ausdrücklich festhält, nicht wesentlich. Von einem Grundlagenirrtum ist im angefochtenen Urteil nicht die Rede. Ein solcher liegt vor, wenn der Irrtum einen bestimmten Sachverhalt betraf, der vom Irrenden nach Treu und Glauben im Geschäftsverkehr als eine notwendige Grundlage des Vertrages betrachtet wurde. Der Grundlagenirrtum wird als qualifizierter Motivirrtum verstanden, indem es nicht lediglich auf subjektive Vorstellungen des Irrenden, sondern zusätzlich auf das objektive Moment von Treu und Glauben im Geschäftsverkehr ankommt (vgl. Bruno Schmidlin, in: Berner Komm., Band IV 1/2, N. 527 zu Art. 23/24 OR). Grundlagenirrtum im Sinne von Art. 24 Abs. 1 Ziff. 4 OR liegt vor, wenn sich ein Vertragschliessender über einen bestimmten Sachverhalt geirrt hat, den er als eine notwendige Grundlage des Vertrags ansah und nach Treu und Glauben im Geschäftsverkehr auch bei objektiver Betrachtungsweise als gegeben voraussetzen durfte (<ref-ruling> E. 2 S. 139). Nachdem das Verwaltungsgericht ohne Willkür zur Überzeugung gelangt ist, dass der Beschwerdeführer sich Rechenschaft über die Bedeutung der von ihm angekreuzten Rubrik und die Tragweite des von ihm unterschriebenen Formulars geben konnte und musste, hatte es keinen Anlass, sich mit der Frage eines Grundlagenirrtums auseinander zu setzen.
8. Zusammenfassend erweist sich die staatsrechtliche Beschwerde als unbegründet. Sie ist daher abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang hat der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2004
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Die Gerichtsschreiberin: