Sachverhalt:
A. A.a T._ verheiratete sich am 14. Oktober 1987 mit R._. Der Ehe entsprossen am 3. Dezember 1987 der Sohn A._ und am 11. August 1990 der Sohn F._. Im April 2004 meldete sich T._ bei der IV-Stelle des Kantons Zürich zum Leistungsbezug an. Während des IV-Abklärungsverfahrens wurde die Ehe am 19. Oktober 2006 geschieden und die elterliche Sorge über den damals noch minderjährigen Sohn F._ der Ehegattin zugeteilt. Im Scheidungsurteil wurde von Unterhaltszahlungen des Vaters an den Sohn F._ abgesehen, aber gestützt auf <ref-law> bestimmt, dass allfällige dem Vater ausgerichtete Sozialversicherungsleistungen anstelle der Unterhaltsbeiträge treten. Für den im Scheidungszeitpunkt bereits volljährigen Sohn A._ enthielt das Scheidungsurteil keine Regelung.
A.b Mit Verfügungen vom 8. April 2008 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich T._ rückwirkend ab 1. September 2004 eine Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 100 % zu, samt Kinderrenten für den in Ausbildung stehenden Sohn A._ (befristet bis Ende August 2007) sowie für den Sohn F._. Als Zahlungsadresse der Nachzahlungen für die Kinderrenten gab die Verfügung die Adresse von R._ an.
B. Beschwerdeweise liess T._ beantragen, die Verfügung vom 8. April 2008 sei so abzuändern, dass ihm die Kinderrente für den Sohn A._ ab 1. Januar 2006 bis zum Erlöschen des Anspruchs am 31. August 2007 ausbezahlt werde. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 27. Februar 2009 ab.
C. T._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und erneuert das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren. Zugleich ersucht er um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung.
Die IV-Stelle des Kantons Zürich sowie das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragen Abweisung der Beschwerde. Die zur Vernehmlassung eingeladenen R._ und A._ haben sich nicht geäussert.

Erwägungen:
1. Ist die Auszahlung einer Rente an einen Dritten verfügt worden und beantragt der Rentenberechtigte beschwerdeweise die Auszahlung an sich, so ist der Dritte, dem die Auszahlung zugesprochen worden ist, im Beschwerdeverfahren zwangsläufig Gegenpartei; denn die Gutheissung der Beschwerde wirkt sich direkt auf den zugesprochenen Betrag aus (vgl. SVR 2002 IV Nr. 5 S. 11, I 245/01 E. 4b; Urteil 9C_300/2008 vom 28. Oktober 2008 E. 3.1). Die Vorinstanz hat die ehemalige Ehefrau des Beschwerdeführers nicht ins Verfahren einbezogen, was im Ergebnis deren Anspruch auf rechtliches Gehör nicht beeinträchtigte, da die Beschwerde abgewiesen wurde. Vor Bundesgericht ist sie angehört worden und hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Da die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nicht bestritten sind und es einzig um Rechtsfragen geht, die vom Bundesgericht frei und von Amtes wegen zu prüfen sind (<ref-law>), ist damit der Gehörsanspruch gewahrt.
2. 2.1 Männer und Frauen, denen eine Invalidenrente zusteht, haben für jedes Kind, das im Falle ihres Todes eine Waisenrente der AHV beanspruchen könnte, Anspruch auf eine Kinderrente (<ref-law>). Der Anspruch besteht auch für erwachsene Kinder, die noch in Ausbildung stehen, bis längstens zum vollendeten 25. Altersjahr (<ref-law>). Gemäss <ref-law> wird die Kinderrente wie die Rente ausbezahlt, zu der sie gehört, mithin grundsätzlich an den rentenberechtigten Elternteil. Vorbehalten bleiben die Bestimmungen über die zweckmässige Verwendung (<ref-law>) und abweichende zivilrichterliche Anordnungen (<ref-law>). Der Bundesrat kann die Auszahlung für Sonderfälle in Abweichung von <ref-law> regeln, namentlich für Kinder aus getrennter oder geschiedener Ehe (<ref-law>). Gestützt auf diese Delegation hat der Bundesrat in <ref-law> festgelegt, dass für die Auszahlung der Renten für Volljährige unter anderem <ref-law> sinngemäss gilt. Dessen Abs. 1 lautet: "Sind die Eltern des Kindes nicht oder nicht mehr miteinander verheiratet oder leben sie getrennt, ist die Kinderrente auf Antrag dem nicht rentenberechtigten Elternteil auszuzahlen, wenn diesem die elterliche Sorge über das Kind zusteht und es bei ihm wohnt. Abweichende vormundschaftliche oder zivilrichterliche Anordnungen bleiben vorbehalten."
2.2 Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> erkannt, dass nach dieser Regelung die Kinderrente für mündige Kinder vorbehältlich einer abweichenden zivilrichterlichen Anordnung dem rentenberechtigten Elternteil auszurichten ist, nicht aber direkt dem mündigen Kind (E. 2.3.6 S. 19) und auch nicht dem anderen Elternteil, bei welchem das mündige Kind wohnt (E. 2.2 S. 16). Die Vorinstanz weicht von dieser Rechtsprechung mit zwei Argumenten ab: Zunächst macht sie geltend, im Unterschied zu jenem Entscheid gehe es hier nicht um eine Rentenzusprache pro futuro, sondern um eine Nachzahlung. Der Beschwerdeführer habe eingestandenermassen in der fraglichen Periode nichts an den Unterhalt des Sohnes A._ geleistet; er habe daher nach <ref-law> (in Verbindung mit <ref-law>) keinen Anspruch auf die Nachzahlungen. Zweitens sei die Geltendmachung des Anspruchs durch den Beschwerdeführer als rechtsmissbräuchlich zu qualifizieren.
2.3 Aus <ref-ruling> ergibt sich nicht, dass die dort getroffene Aussage für Rentennachzahlungen nicht gelten würde. Der Entscheid stützt sich auf den Wortlaut von <ref-law>, wonach die Kinderrente dem nicht rentenberechtigten Elternteil auszuzahlen ist, wenn diesem die elterliche Sorge zusteht, was per definitionem nur der Fall sein kann, solange die Kinder unmündig sind (<ref-law>). Diese Überlegung gilt unabhängig davon, ob es sich um Rentennachzahlungen handelt oder um Renten, die pro futuro zugesprochen werden. Nach <ref-law> gilt Abs. 1 ausdrücklich auch für die Nachzahlungen. Damit ist auch Abs. 2 nur anwendbar, wenn es um Kinder unter elterlicher Sorge geht, was auch für die in Satz 2 dieser Bestimmung enthaltene Einschränkung gilt.
2.4 Auch die Annahme eines Rechtsmissbrauchs kann nicht ohne weiteres überzeugen: Rechtsmissbrauch ist nicht schon darin zu erblicken, dass sich jemand auf eine für ihn günstige Rechtsnorm beruft. Typische Anwendungsfälle des Rechtsmissbrauchs liegen vor, wenn überhaupt kein schützenswertes Interesse besteht oder ein krasses Missverhältnis berechtigter Interessen resultieren würde, oder wenn die Geltendmachung eines Rechts im Widerspruch zu einem früheren Verhalten steht und dadurch erweckte berechtigte Erwartungen enttäuscht. Ob ein Rechtsmissbrauch vorliegt, ist anhand der konkreten Umstände des Einzelfalls zu bestimmen (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 169 f., 129 III 493 E. 5.1 S. 497). Ein Interesse des Beschwerdeführers an der Auszahlung der Kinderrente kann nicht verneint werden. Ob dadurch ein krasses Missverhältnis berechtigter Interessen resultieren würde, kann nicht ohne Prüfung der konkreten Umstände geprüft werden und ergibt sich nicht zwingend schon daraus, dass der Beschwerdeführer eingestandenermassen für den Sohn A._ keine Unterhaltsbeiträge geleistet hat. Ohne nähere Begründung und Prüfung der konkreten Umstände kann Rechtsmissbrauch nicht angenommen werden.
3. 3.1 In Wirklichkeit scheint das kantonale Gericht die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> grundsätzlich in Frage zu stellen. Auch das BSV macht geltend, diese bewirke in der Praxis häufig unbefriedigende Ergebnisse. Es sei stossend, wenn die Kinderrente dem rentenberechtigten Elternteil ausbezahlt werde, dieser jedoch das Geld anderweitig als für das mündige, in Ausbildung stehende Kind verwende und dieses finanziell überhaupt nicht mehr unterstütze. Ein solches Verhalten stimme mit dem Verwendungszweck der Kinderrente nicht überein. Dass die Korrektur nur über den umständlicheren zivilrechtlichen Weg erreicht werden könne, vermöge nicht zu befriedigen. In der Praxis laufe die Auszahlung der Kinderrente an den getrennt lebenden Elternteil, bei welchem das Kind wohne, in vielen Fällen problemlos. Es sei weder für die Betroffenen noch für die Durchführungsstelle verständlich, wieso bei Erreichen des 18. Altersjahrs an der Auszahlungsmodalität etwas geändert werden müsse, wenn die Wohnsituation gleich geblieben sei. In der Praxis erfolge denn häufig im zunächst stillen Einverständnis der Betroffenen die Auszahlung wie bisher; damit riskiere die Ausgleichskasse aber Doppelzahlungen, wenn der rentenberechtigte Elternteil später sein Recht auf Auszahlung durchsetze. Um dies zu verhindern, müssten die Ausgleichskassen die Betroffenen jeweils bei Erreichen des 18. Altersjahres des Kindes auf die Änderung der Rechtslage aufmerksam machen, mit dem Effekt, dass die rentenberechtigte Person allenfalls die Kinderrente an sich auszahlen lasse, unabhängig davon, ob sie diese zweckbestimmt zu verwenden gedenke oder nicht. Es sei zweifelhaft, ob die Nichterwähnung der mündigen Kinder in <ref-law> ein qualifiziertes Schweigen darstelle.
3.2 Die Ausführungen des BSV sind aus der Sicht der Praxis durchaus nachvollziehbar. Aus rechtlicher Sicht kann aber doch der wesentliche Schritt nicht verkannt werden, der mit der Mündigkeit erfolgt: Vor der Mündigkeit sorgt derjenige Elternteil, unter dessen Sorge und Obhut das Kind ist, für den Unterhalt (<ref-law>); auch der Anspruch auf Unterhaltsbeiträge wird durch Leistung an diesen Elternteil erfüllt (<ref-law>). Dieser zivilrechtlichen Lage entspricht es, dass auch die Kinderrenten, die dem nicht obhutsberechtigten Elternteil zustehen, direkt an den obhutsberechtigten ausbezahlt werden können (<ref-law>). Diese Rechtslage ändert sich jedoch entscheidend mit der Mündigkeit, selbst wenn in vielen Fällen - namentlich bei Kindern in Ausbildung - praktisch die Lebensumstände mehr oder weniger unverändert bleiben: Das Kind sorgt nunmehr grundsätzlich selber für sich, vorbehältlich allfälliger Unterhaltsbeiträge der Eltern (<ref-law>). Die Klage auf solche Unterhaltsbeiträge muss vom volljährigen Kind selber erhoben werden (Philippe Meier/Martin Stettler, Droit de la filiation, 4. Aufl. 2009, S. 634 f.). Auch wenn das Kind nach wie vor bei einem Elternteil wohnt, hat dieser keine gesetzliche Vertretung mehr und ist auch nicht (bzw. nur aufgrund einer allfälligen Bevollmächtigung durch das Kind) befugt, für das Kind bestimmte Unterhaltsbeiträge vom anderen Elternteil einzuklagen oder entgegenzunehmen. Auch wenn man mit dem BSV davon ausgeht, dass die Kinderrente zweckbestimmt ausbezahlt werden sollte, könnte diese nur dem mündigen Kind selber ausbezahlt werden, aber nicht mehr (bzw. nur mit Vollmacht des Kindes) wie vor der Mündigkeit dem Elternteil, bei dem das Kind wohnt. So oder so müsste also bei Eintritt der Mündigkeit eine Überprüfung und allenfalls Änderung der Auszahlungsmodalität erfolgen, mindestens in dem Sinne, dass die Zustimmung des Kindes eingeholt wird für die Auszahlung der Rente an den Elternteil, bei dem es wohnt (vgl. für die analoge Situation, wenn das Kind während des Scheidungsprozesses seiner Eltern mündig wird, <ref-ruling> E. 3.1.5 S. 59). Ohne eine solche ausdrückliche Zustimmung riskiert die Ausgleichskasse weiterhin eine Doppelzahlung, wenn nachträglich das Kind selber die dem Elternteil ausbezahlte Rente einfordert. Es kann also ohne ausdrückliche Zustimmung des mündigen Kindes die Rente nicht - wie das BSV offenbar meint und die Beschwerdegegnerin verfügt hat - weiterhin dem Elternteil ausbezahlt werden, bei dem das Kind wohnt. In Frage käme höchstens eine direkte Auszahlung an das Kind selber (in <ref-ruling> ging es denn auch um Auszahlung an das mündige Kind, nicht an dessen Mutter). Eine solche wurde vorliegend weder verlangt noch verfügt.
3.3 In <ref-ruling> wurde nicht verkannt, dass die Kinderrente für den Unterhalt des Kindes bestimmt ist. Ausschlaggebend für die Verneinung einer richterrechtlich auszufüllenden Lücke war aber die Überlegung, dass es nicht Sache der Sozialversicherungen, sondern des Zivilgerichts ist, die Verhältnisse zwischen dem rentenberechtigten Elternteil und seinem mündigen Kind zu regeln.
Gemäss <ref-law> sind Kinderrenten zusätzlich zum familienrechtlichen Unterhaltsbetrag zu bezahlen, soweit das Gericht es nicht anders bestimmt. Damit ist ausgedrückt, dass die Rente grundsätzlich dem Kind zukommen soll. Diese wird daher familienrechtlich beim Einkommen des unterhaltspflichtigen Rentenempfängers nicht eingerechnet und umgekehrt auch bei den Unterhaltskosten des Kindes abgezogen (<ref-ruling> E. 4b S. 309 f.; Urteil 5A_746/2008 vom 9. April 2009 E. 6.1; Carmen Ladina Widmer, Kindesunterhalt und Kinderzulagen gemäss FamZG, Jusletter 20. Juli 2009, Rz. 8, mit weiteren Hinweisen). Indessen kann das Gericht etwas anderes bestimmen. Hätte der Gesetzgeber die Kinderrente in jedem Fall und unbedingt dem Kind direkt zukommen lassen wollen, hätte er <ref-law> anders gefasst. De lege lata bleibt es letztlich eine Frage des familienrechtlichen Rechtsverhältnisses, ob und in welchem Umfang der Rentenempfänger dem mündigen Kind Unterhaltsbeiträge zu leisten hat, wobei der Betrag der Kinderrente in die gesamthafte Beurteilung einzufliessen hat.
3.4 Auch aus <ref-law> kann kein unbedingter Direktzahlungsanspruch des mündigen Kindes abgeleitet werden: Nach dieser Bestimmung hat der Unterhaltspflichtige, der nachträglich eine Sozialversicherungsrente erhält, diese dem Kind zu zahlen, wobei sich der bisherige Unterhaltsbeitrag von Gesetzes wegen im Umfang dieser neuen Leistung vermindert. Diese Bestimmung, die im Rahmen der Scheidungsrechtsrevision aufgenommen worden ist (Markus Krapf, Die Koordination von Unterhalts- und Sozialversicherungsleistungen für Kinder, Diss. Freiburg 2004, S. 162 Rz. 672), will vermeiden, dass bei einer nachträglichen Zusprache einer Sozialversicherungsleistung ein Änderungsverfahren nach <ref-law> durchgeführt werden muss, um eine nicht gerechtfertigte Kumulation der beiden Leistungen zu vermeiden (Krapf, a.a.O., S. 165 Rz. 684; Meier/Stettler, a.a.O., S. 578 f.; Stephan Wullschleger, in Ingeborg Schwenzer [Hrsg.], FamKomm Scheidung, 2005, <ref-law> N. 80). Wie sich aus diesem Kontext ergibt, setzt die Anwendung von <ref-law> voraus, dass zunächst ein Unterhaltsbeitrag festgesetzt worden ist und nachher die sozialversicherungsrechtliche Leistung erbracht wird (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 367; Krapf, a.a.O., S. 151 Rz. 636, S. 169). Vorliegend ist indessen bisher kein Unterhaltsbeitrag festgesetzt worden: Im Scheidungsurteil wurde (richtigerweise) betreffend den Sohn A._ nichts angeordnet, da dieser bereits volljährig war. Eine Unterhaltsklage von A._ gegenüber dem Beschwerdeführer ist nach Lage der Akten bisher nicht erhoben worden. Es fehlt daher an einem festgesetzten Unterhaltsbeitrag, so dass <ref-law> nicht zur Anwendung gelangen kann.
3.5 Es muss somit dabei bleiben, dass über das Schicksal der Kinderrente in Bezug auf das mündige Kind nicht ohne Berücksichtigung der zivilrechtlichen Gesamtsituation entschieden werden kann, die durch das Zivilgericht zu beurteilen ist (Urteil I 840/04 vom 28. Dezember 2005 E. 5.1; 9C_499/2008 vom 6. Mai 2009 E. 3.4 und 3.5; vgl. auch Widmer, a.a.O., Rz. 36, 49). Zwar könnte der Bundesrat auf dem Verordnungsweg gestützt auf <ref-law> auch für mündige Kinder eine analoge Regelung wie diejenige in <ref-law> treffen. Wenn er davon abgesehen hat, ist es aber nicht Sache der Gerichte, hier eine andere Regelung vorzusehen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 369). Das schliesst nicht aus, dass die Kinderrente letztlich zum Kind gelangt, steht es diesem doch offen, vom unterhaltsverpflichteten Rentenberechtigten auf dem zivilrechtlichen Weg (<ref-law>) eine Unterhaltsleistung unter Berücksichtigung der Rentenleistung zu erstreiten. Ob von dieser Regelung allenfalls abgewichen werden könnte, wenn im Einzelfall der zivilrechtliche Weg aus irgendwelchen Gründen nicht gangbar sein sollte (vgl. Hansjörg Seiler, Praktische Rechtsanwendung, 2009, S. 98), braucht nicht entschieden zu werden; denn es wird von keiner Seite geltend gemacht und ist auch sonst nicht ersichtlich, dass und weshalb der zivilrechtliche Weg vorliegend nicht offenstehen sollte.
3.6 Insgesamt sind keine triftigen Gründe ersichtlich, um die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> zu ändern. Der Beschwerdeführer hat somit grundsätzlich Anspruch auf Auszahlung der Rente an sich. Immerhin ist dem Anliegen Rechnung zu tragen, dass die Kinderrente letztlich für den Unterhalt des Kindes bestimmt ist. Wäre der Beschwerdeführer bisher zu einer Unterhaltszahlung verpflichtet gewesen, so käme <ref-law> zur Anwendung. Nach Lage der Akten hat der Sohn den Beschwerdeführer bisher nicht auf Zahlung von Unterhaltsbeiträgen eingeklagt, möglicherweise in der Annahme, dies sei aufgrund der persönlichen oder finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers aussichtslos. Die Zusprache einer Kinderrente könnte diese Verhältnisse ändern und den Sohn veranlassen, eine Klage gegen seinen Vater ins Auge zu fassen. Würde in der Zwischenzeit die Rente an den Beschwerdeführer ausbezahlt, so bestünde die Gefahr, dass dieser den Betrag anderweitig verwendet, so dass auch im Falle einer nachträglichen Unterhaltsklage unter Umständen keine Unterhaltsbeiträge zugesprochen oder zugesprochene Beiträge nicht mehr vollstreckt werden könnten. Das Sozialversicherungsrecht kann zwar die familienrechtliche Regelung nicht vorwegnehmen, aber es kann doch dazu beitragen, dass diese nicht vereitelt wird. Zu diesem Zweck drängt sich folgendes Vorgehen auf: Bevor die Auszahlung an den Beschwerdeführer erfolgt, teilt die Verwaltung dem mündig gewordenen Kind mit, dass die vor der Mündigkeit dem obhutsberechtigten Elternteil ausbezahlte Kinderrente in Zukunft dem rentenberechtigten ausbezahlt wird, sofern das Kind nicht innert einer angemessenen Frist Klage auf Unterhalt gemäss <ref-law> gegen den (rentenberechtigten) Beschwerdeführer erhebt. Wird eine solche Klage angehoben, so ist es Sache des Zivilgerichts, durch vorsorgliche Massnahmen (<ref-law>) und im Urteil durch Anweisung an die IV (<ref-law>; vgl. Krapf, a.a.O., S. 120 Rz. 496 und S. 126 Rz. 520) sicherzustellen, dass der Betrag der Kinderrente, sofern er zivilrechtlich dem Kind zukommen soll, diesem auch tatsächlich zufliesst.
4. Die Kosten des Verfahrens sind ausgangsgemäss von der unterliegenden IV-Stelle zu tragen (<ref-law>), welche dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen hat (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 27. Februar 2009 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 8. April 2008 werden aufgehoben, soweit damit die Auszahlung der Kinderrente für den Sohn A._ vom 1. Januar 2006 bis 31. August 2007 an seine Mutter angeordnet wurde. Die IV-Stelle des Kantons Zürich wird angewiesen, im Sinne der Erwägungen über die Auszahlung neu zu verfügen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle des Kantons Zürich auferlegt.
3. Die IV-Stelle des Kantons Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Ausgleichskasse der Aarg. Industrie und Handelskammer und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Oktober 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann