A.- a) Le 8 mars 1995, Georges Aymon a ouvert action en paiement de 130 000 fr., du chef de la résiliation anticipée d'un contrat d'entreprise, et en inscription définitive d'une hypothèque des artisans et entrepreneurs de 100 000 fr.
Renate Tinguely, qui s'est substituée aux défendeurs initiaux, a conclu au rejet de la demande et, reconventionnellement, au paiement de 60 000 fr. à titre de dommagesintérêts.
A la requête de la partie adverse, la demanderesse reconventionnelle a déposé un cautionnement pour les dépens d'un montant de 8800 fr. En cours de procès, elle a en outre fourni des sûretés, au sens de l'art. 839 al. 3 CC, sous la forme de deux carnets d'épargne de 100 000 fr. et 30 000 fr.
Par décision du 16 octobre 1997, la défenderesse a été mis au bénéfice de l'assistance judiciaire totale avec effet rétroactif au 12 décembre 1996.
L'instruction a été close le 10 décembre 1998.
b) Le débat final a été tenu le 11 avril 2000. A cette occasion, la défenderesse a augmenté sa demande reconventionnelle pour réclamer le paiement de 182 517 fr. Le président de l'autorité de jugement a alors informé l'avocat de la défenderesse que les conditions du droit de sa mandante à l'assistance judiciaire allaient être réexaminées et il a ouvert une instruction complémentaire sur ce point. La défenderesse a déposé des documents et le demandeur s'est déterminé à leur sujet par exploit du 1er mai 2000.
Par décision présidentielle du 21 août 2000, la demande d'assistance judiciaire a été rejetée dans la mesure où les conclusions reconventionnelles de la défenderesse dépassaient 60 000 fr.
Statuant le même jour, la IIe Cour civile du Tribunal cantonal valaisan a condamné la défenderesse à payer au demandeur le montant de 86 500 fr.; dit que les sûretés fournies par la défenderesse seraient affectées, à due concurrence, au paiement de ce montant et restituées pour le surplus; mis les 9/10 des frais (40 580 fr.) à la charge de la défenderesse et le solde à celle du demandeur; invité la défenderesse à verser à ce dernier le montant de 6240 fr.90 à titre de remboursement d'avances ainsi que la somme de 16 200 fr. à titre de dépens; enfin, condamné le demandeur à verser à la défenderesse le montant de 2050 fr. au même titre. Ce jugement n'a pas fait l'objet d'un recours au Tribunal fédéral.
Le cautionnement de 8800 fr. a été remis ultérieurement à l'avocat du demandeur pour être affecté au paiement des dépens dus à son client.
B.- Le 18 octobre 2000, l'avocat du demandeur a déposé une requête tendant au paiement, par la collectivité, des dépens et avances mis à la charge de la défenderesse dans le jugement du 21 août 2000.
Le demandeur s'est vu délivrer un acte de défaut de biens, le 13 février 2001, pour la somme de 14 064 fr.24 au terme de la poursuite intentée par lui contre la défenderesse.
Par décision du 27 février 2001, le Président de la IIe Cour civile du Tribunal cantonal valaisan a rejeté la requête susmentionnée.
C.- Agissant par la voie du recours de droit public, le demandeur, qui invoque la violation des art. 9 et 29 Cst. , conclut à l'annulation de cette décision.
L'autorité intimée a présenté des observations qui ont été communiquées au recourant, lequel s'est déterminé à leur sujet sans y avoir été invité.

Considérant en droit :
1.- a) La décision attaquée est une décision finale qui a été prise en dernière instance cantonale, si bien que le recours de droit public formé par le demandeur est recevable au regard des art. 86 et 87 OJ.
Déposé en temps utile (art. 89 al. 1 OJ) et revêtu de la forme prévue par la loi (art. 90 al. 1 OJ), le recours est en principe recevable.
b) La qualité pour recourir appartient aux particuliers et aux collectivités lésés par des arrêts ou par des décisions qui les concernent personnellement ou qui sont d'une portée générale (art. 88 OJ). Le recours de droit public n'est donc ouvert à un particulier que si l'inconstitutionnalité dont il se prévaut l'atteint dans ses intérêts personnels et juridiquement protégés.
Tel est le cas du recourant. En effet, comme la partie adverse est insolvable, il devra payer les honoraires judiciaires de son propre avocat (cf. art. 394 al. 3 CO), alors que, selon la thèse qu'il soutient, il eût appartenu à l'Etat du Valais de les prendre en charge, conformément à la législation cantonale en matière d'assistance judiciaire. Dès lors, le recourant a un intérêt juridiquement protégé à ce que le refus de l'autorité intimée d'imposer à la collectivité publique la prise en charge des dépens de son avocat n'ait pas été prononcé en violation de ses droits constitutionnels.
2.- a) Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours (<ref-ruling> consid. 3c; <ref-ruling> consid. 1c, 534 consid. 1b; <ref-ruling> consid. 1b p. 495).
Dans un domaine comme la procédure civile, où chacun des 26 cantons suisses a sa propre législation, il appartient au recourant de démontrer clairement en quoi la solution retenue par l'autorité intimée est incompatible avec le droit constitutionnel qu'il invoque. Cela suppose qu'il indique, avec toute la précision voulue, quel est, relativement au problème soulevé, l'état de la législation cantonale et comment le Tribunal supérieur du canton concerné interprète la ou les dispositions topiques de cette législation; à ce défaut, le Tribunal fédéral, dont les membres ne peuvent naturellement pas connaître tous les arcanes de chaque code de procédure cantonal, n'est pas en mesure de vérifier si, sur le point critiqué, la décision attaquée porte atteinte aux droits constitutionnels invoqués.
b) Le recours soumis au Tribunal fédéral ne satisfait pas à l'exigence de motivation ainsi définie.
aa) Dans une première partie de son acte de recours, le demandeur rappelle la teneur des art. 9 et 29 Cst. , ainsi que l'interprétation qui en a été faite par la jurisprudence fédérale. Il énonce également le contenu de deux dispositions - abrogées - du droit valaisan relatives à l'assistance judiciaire (art. 29 al. 2 let. a et al. 4 de la loi du 29 janvier 1988 sur la profession d'avocat et l'assistance judiciaire et administrative; aLPAv) et cite une jurisprudence cantonale y afférente.
Ensuite, et sans faire de lien entre cette partie théorique et les circonstances de la présente cause, le recourant reproche tout d'abord au magistrat intimé d'avoir méconnu l'art. 24 OAJA - le deuxième alinéa de cette disposition énonce que si l'assistance a été accordée sous l'ancien droit, ses effets sont régis par le droit nouveau dès son entrée en vigueur - en examinant le cas à la lumière de l'art. 29 LPAv, modifié avec effet au 1er janvier 1999, alors que la défenderesse a bénéficié de l'assistance judiciaire dès le 12 décembre 1996 déjà et que pratiquement toutes les prestations de l'avocat du demandeur auraient été effectuées sous l'empire de l'ancien droit.
Force est, pourtant, de constater que le recourant n'indique pas quel est l'état de la législation actuelle en la matière, ni en quoi la législation antérieure était, par hypothèse, plus favorable à la partie opposée à un adversaire bénéficiant de l'assistance judiciaire qu'elle ne l'est aujourd'hui.
Ce n'est pas le rôle de la juridiction constitutionnelle suprême que d'examiner d'office cette question. Dès lors, comme il n'est pas établi que le nouveau droit ait réduit les prestations auxquelles cette partie pouvait prétendre antérieurement, on ne peut affirmer que l'application - supposée arbitraire - de l'art. 24 al. 2 OAJA ait porté atteinte aux droits pécuniaires du recourant. En d'autres termes, le caractère causal de la violation alléguée n'a pas été démontré. C'est le lieu de rappeler que, pour qu'une décision soit annulée en application de l'art. 9 Cst. , il faut qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat et non seulement dans ses motifs (<ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 5 p. 250; <ref-ruling> consid. 2b).
Faute d'une motivation répondant aux exigences susmentionnées, le premier grief formulé par le recourant est irrecevable (art. 90 al. 1 let. b OJ).
bb) En second lieu, le recourant fait grief au magistrat intimé d'avoir soutenu arbitrairement que l'octroi de l'assistance judiciaire totale à la défenderesse n'avait eu aucune incidence sur le droit du demandeur d'exiger des sûretés.
A l'en croire, il aurait, au contraire, été dans l'impossibilité de réclamer des sûretés supplémentaires avant l'entrée en force de la décision du 21 août 2000 refusant à la défenderesse le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la part correspondant à l'augmentation du montant de sa demande reconventionnelle. En fait, il eût appartenu, selon lui, à l'autorité saisie de rendre une décision sur la demande d'assistance judiciaire avant la notification du jugement du 21 août 2000.
A la lecture de l'argumentation ainsi résumée, on cherche en vain une quelconque référence à une disposition (ou à un principe) du droit judiciaire valaisan susceptible d'avoir été méconnue grossièrement par le magistrat intimé.
Or, il n'incombe pas au Tribunal fédéral de rechercher luimême quelle est, selon ce droit, la réglementation en matière de sûretés pour les dépens, quels sont les rapports entre cette institution procédurale et l'assistance judiciaire ou encore à quoi s'expose, au point de vue financier, la partie non assistée qui a omis de réclamer la fourniture de sûretés en temps utile. Ce travail était l'affaire du recourant, qui aurait dû démontrer, en se référant à la décision attaquée et en citant les dispositions pertinentes du droit de procédure valaisan, que la solution retenue impliquait une violation grossière de ces normes. Or, plutôt que de s'y atteler, le recourant s'est contenté de formuler son grief sur un mode appellatoire et un ton polémique. Par conséquent, ce second grief est, lui aussi, irrecevable.
3.- Les frais de la procédure fédérale seront mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 156 al. 1 OJ).
Conformément à l'art. 159 al. 2 OJ, il n'y a pas matière à allocation de dépens en l'espèce.

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Déclare le recours irrecevable;
2. Met un émolument judiciaire de 2000 fr. à la charge du recourant;
3. Communique le présent arrêt en copie au recourant et au Président de la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais.
_
Lausanne, le 16 août 2001 ECH
Au nom de la Ie Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président,
Le Greffier,