Sachverhalt:
A. Am 5. Dezember 2007 wurde in der Betreibung Nr. 1 des Betreibungsamts Region Solothurn dem Schuldner X._ (nachfolgend: Beschwerdeführer) der Zahlungsbefehl zugestellt. Er nahm diesen auf der Poststelle B._ in Empfang. Auf dem Schuldnerexemplar des Zahlungsbefehls befindet sich in der für die Erhebung des Rechtsvorschlags vorgesehenen Rubrik die Unterschrift des Schuldners, nicht aber auf dem Gläubigerdoppel. Das Dokument wurde an das Betreibungsamt weitergeleitet und von der "Amtschreiberei Region Solothurn, i. A. Y._" (Stempelaufdruck) wurde der Vermerk "kein Rechtsvorschlag" (Stempelaufdruck) angebracht. Z._ (nachfolgend: Beschwerdegegner) stellte am 22. Januar 2008 das Fortsetzungsbegehren, und am 30. Januar 2008 erhielt der Schuldner die Pfändungsankündigung. Mit Beschwerde vom 31. Januar 2008 an die Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs machte X._ geltend, er habe am 5. Dezember 2007 Rechtsvorschlag erhoben. Er stützte sich dabei auf die Erklärung der Postbeamtin W._ vom 31. Januar 2008, wonach der Schuldner am 5. Dezember 2007 um 15.00 Uhr Rechtsvorschlag verlangt und dies mit seiner Unterschrift bestätigt habe. Am 19. Februar 2008 verfügte die Amtschreiberei Region Solothurn bzw. das Betreibungsamt Region Solothurn, der Rechtsvorschlag von X._ in der Betreibung Nr. 1 werde nachträglich als gültig anerkannt.
Die vom Beschwerdegegner dagegen bei der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn eingereichte Beschwerde wurde mit Urteil vom 22. April 2008 gutgeheissen, die Verfügung des Betreibungsamts Region Solothurn vom 19. Februar 2008 aufgehoben und das Betreibungsamt angewiesen, dem Fortsetzungsbegehren des Beschwerdegegners stattzugeben.
B. Der Beschwerdeführer (nun durch einen Anwalt vertreten) hat am 9. Mai 2008 beim Bundesgericht Beschwerde eingereicht. Er beantragt, das Urteil der Aufsichtsbehörde und die Pfändungsankündigung vom 25. Januar 2005 seien aufzuheben, und das Betreibungsamt Region Solothurn sei anzuweisen, den Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. 1 zu protokollieren.
Mit Präsidialverfügung vom 30. Mai 2008 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. Die Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs beantragt in ihrer Vernehmlassung Gutheissung und der Beschwerdegegner in seiner Beschwerdeantwort Nichteintreten auf die Beschwerde, eventualiter abweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Beschwerdeentscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden über Verfügungen der Vollstreckungsorgane gemäss <ref-law> sind Endentscheide im Sinne von <ref-law> und unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze anfechtbar (<ref-law>). Auf die fristgerecht erhobene Beschwerde ist damit grundsätzlich einzutreten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1).
1.2 Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine "offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts" entspricht der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung (Botschaft, BBl 2001 IV 4338; BGE 133 II E. 249 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Dabei genügt es aber nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sein sollen (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255). Nach der bundesgerichtlichen Praxis liegt Willkür vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148 mit Hinweisen).
2. 2.1 Will der Betriebene Rechtsvorschlag erheben, so hat er dies sofort dem Überbringer des Zahlungsbefehls oder innert zehn Tagen nach der Zustellung dem Betreibungsamt mündlich oder schriftlich zu erklären (<ref-law>). Die Beurkundungen auf dem Zahlungsbefehl schliessen einen durch andere Beweismittel erbringbaren Gegenbeweis nicht aus (vgl. <ref-law>, <ref-law>; BGE 26 I 239 S. 240; <ref-ruling> S. 15).
2.2 Die Vorinstanz führt aus, der Zahlungsbefehl bestehe aus einem Schuldner- und einem Gläubigerdoppel, welche bei der Erhebung des Rechtsvorschlags beide zu unterzeichnen seien. Gemäss <ref-law> habe derjenige das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen, der aus ihr Rechte ableite. Der Schuldner wolle mit dem Schreiben der Postbeamtin vom 31. Januar 2008 darlegen, er habe am 5. Dezember 2007 unterschriftlich Rechtsvorschlag erhoben, womit er Rechte aus seiner Behauptung ableite und die Beweislast trage. Mit dem Schreiben der Postbeamtin könne der behauptete unterschriftlich erhobene Rechtsvorschlag jedoch nicht bewiesen werden, zumal in dem in den Akten vorhandenen Gläubigerdoppel des Zahlungsbefehls kein Rechtsvorschlag verzeichnet sei. Unter diesen Umständen sei die Erhebung des Rechtsvorschlags durch den Schuldner nicht rechtsgenüglich bewiesen worden und damit davon auszugehen, dieser habe in der Betreibung Nr. 1 keinen Rechtsvorschlag erhoben. Damit hat die Vorinstanz eine Beweiswürdigung vorgenommen.
Der Beschwerdeführer macht geltend, das Bundesgericht habe entschieden, dass dem Schuldner, der nachweisbar Rechtsvorschlag erhoben habe, der Vermerk im Gläubigerdoppel des Zahlungsbefehls, es sei kein Rechtsvorschlag erfolgt, nicht schaden könne (<ref-ruling>; ebenso Entscheid der Aufsichtsbehörde des Kantons Neuenburg vom 10. November 1998, BlSchK 2000, S. 31). Das Bundesgericht habe erwogen, es lasse sich in keiner Weise rechtfertigen, wenn ein Betriebener, der Rechtsvorschlag erhoben habe, wegen eines - ihm nicht anzulastenden - Übermittlungsfehlers wehrlos der Durchführung der ganzen Betreibung ausgesetzt wäre. Beim Vermerk auf dem Gläubigerdoppel des Zahlungsbefehls handle es sich um eine amtliche Beurkundung, die nach <ref-law> und <ref-law> für die durch sie bezeugten Tatsachen solange - und nur solange - Beweis schaffe, als nicht nachgewiesen sei, dass sie inhaltlich unrichtig sei.
Das Bundesgericht hat in seinem Urteil aber auch ausgeführt, dieser Nachweis könne insbesondere durch einen von der Aufsichtsbehörde als zuverlässig erachteten Bericht des Betreibungsamtes erbracht werden (BGE, a.a.O., S. 15). Die Vorinstanz hat jedoch die Erklärung der Postbeamtin nicht als schlüssigen Nachweis angesehen. Darin erblickt der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law>, denn gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung könne der Beweis, dass Rechtsvorschlag erhoben wurde, mit jedem tauglichen Mittel erbracht werden (BGE 49 III 5).
2.3 Die Tatsache, dass der Beschwerdeführer auf dem für den Schuldner bestimmten Exemplar des Zahlungsbefehls den Rechtsvorschlag unterschriftlich bestätigt hat, gilt indessen nicht als eindeutiger Beweis für den Rechtsvorschlag, hätte doch der Betriebene seine Unterschrift darauf ebensogut nachträglich anbringen können. Trifft allerdings die Darstellung der Postbeamtin vom 31. Januar 2008 zu, dass sie den fraglichen Zahlungsbefehl dem Betriebenen zugestellt hat und dieser unmittelbar am Schalter Rechtsvorschlag verlangt und dies mit seiner Unterschrift bestätigt hat, so müsste der Beweis als erbracht angesehen werden. Fraglich ist dann allerdings, warum nicht auch das Gläubigerexemplar des Zahlungsbefehls unterschrieben ist. Hierfür findet sich im Schreiben der Postbeamtin vom 31. Januar 2008 keine Erklärung, was davon herrühren dürfte, dass sie sich nicht bewusst war, dass das Gläubigerdoppel nicht unterzeichnet war und sich nicht bemüssigt fühlte, etwas zu erklären. In den kantonalen Akten findet sich ein ergänzendes Schreiben der Postbeamtin vom 2. Mai 2008, das allerdings erst später datiert ist als der angefochtene Entscheid. Darin wird ausgeführt, dass der Schuldner das für ihn bestimmte Exemplar des Zahlungsbefehls unterschreibe, unter dem sich die Durchschlagskopie des Gläubigerdoppels befinde, so dass die Unterschrift auf diesem Exemplar eine Kopie sei. Das erklärt zwar, weshalb sich die Unterschrift auf dem Schuldnerexemplar vorfindet, aber nicht, weshalb sie auf dem an das Betreibungsamt weitergeleiteten Gläubigerdoppel fehlt. Eine Erklärung ist auch dem Schreiben der Post vom 5. Mai 2008 nicht zu entnehmen, das wie die Erklärung der Postbeamtin vom 2. Mai 2008 ein unzulässiges (echtes) Novum darstellt (<ref-ruling> E. 2.1).
Eine mögliche, im Übrigen durchaus plausible Erläuterung wird erstmals in der Beschwerde an das Bundesgericht vorgetragen, nämlich, dass ein Kohlepapier (Format A5) zwischen dem Schuldner- und dem Gläubigerexemplar eingelegt werde, bevor es dem Schuldner zur Unterschrift überreicht werde; dann würden die Dokumente vom Postangestellten getrennt und dem Schuldner werde das für ihn bestimmte Exemplar ausgehändigt, ohne dass er das Gläubigerdoppel zu sehen bekomme. Abgesehen davon, dass diese Klarstellung eine unzulässige neue Tatsache darstellt (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 3), bleibt auch dann die Frage offen, warum der Postbeamtin beim Weiterleiten des Gläubigerdoppels an das Betreibungsamt nicht aufgefallen ist, dass darauf die (durchgeschlagene) Unterschrift fehlte. Der Beschwerdeführer macht zwar geltend, indem die Vorinstanz die Erklärung der Postbeamtin (vom 31. Januar 2008) nicht als Beweis für die Erhebung des Rechtsvorschlags anerkannt habe, habe sie gegen <ref-law> verstossen. Selbst wenn dieser Vorwurf bei grosszügiger Interpretation als (sinngemäss erhobene) Willkürrüge entgegengenommen wird, kann ihr kein Erfolg beschieden sein. Denn gestützt auf die Unterlagen, die der Aufsichtsbehörde am 22. April 2008 vorgelegen haben, war der Schluss, ein Rechtsvorschlag sei nicht erhoben worden, naheliegender als der gegenteilige.
3. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer wird damit kosten- und entschädigungspflichtig (<ref-law> und <ref-law> i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. August 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett