Faits:
A. Après s'être vu refusé une première fois des prestations de l'assurance-invalidité (décision de l'Office cantonal AI du Valais du 29 juin 2000, confirmée sur recours [arrêt I 199/01 du Tribunal fédéral des assurances du 4 juillet 2001]), B._ s'est à nouveau annoncé à l'assurance-invalidité le 21 novembre 2003. Au cours de l'instruction, l'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI) a recueilli des renseignements économiques et médicaux, puis chargé l'Hôpital X._ d'une expertise pluridisciplinaire. Dans un rapport du 11 janvier 2005, les docteurs D._, O._ et M._ de l'Hôpital X._ ont conclu que l'incapacité de travail de 70% présentée par l'assuré était avant tout à mettre sur le compte de troubles psychiques (association d'un épisode dépressif moyen et d'un syndrome somatoforme douloureux envahissant avec une perte d'intégration sociale). Par la suite, l'office AI a soumis B._ à un examen d'abord auprès du docteur F._, puis du docteur A._, psychiatre. Ce dernier a indiqué que toutes pathologies confondues (trouble de l'adaptation avec humeur anxio-dépressive et malaises d'origine indéterminée), l'assuré présentait une incapacité de travail de 50% dans une activité adaptée.
Ayant soumis le dossier à son Service médical régional (SMR), dont les médecins ont retenu une capacité de travail entière dans une activité adaptée, l'office AI a, par décisions des 10 et 11 avril 2006, nié le droit de l'assuré à des mesures de reclassement, à une aide au placement, ainsi qu'à une rente d'invalidité. Sur opposition de celui-ci, l'administration a confirmé sa décision le 8 mars 2007.
B. Statuant le 19 novembre 2007 sur le recours formé par l'intéressé contre la décision sur opposition, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais l'a admis. Annulant la décision du 8 mars 2007, il a retourné le dossier à l'administration pour instruction complémentaire et nouvelle décision "dans le sens du considérant 3d".
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Il conclut, principalement, au renvoi de la cause au Tribunal cantonal des assurances pour nouveau jugement, subsidiairement à la confirmation de sa décision du 8 mars 2007 et, plus subsidiairement encore, au renvoi de la cause pour instruction complémentaire et nouvelle décision.
Sous suite de frais et dépens, B._ conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet et, plus subsidiairement encore, à l'admission du recours en ce sens que le Tribunal cantonal valaisan des assurances aurait dû statuer sur son droit à une demi-rente et à ce qu'il soit reconnu invalide à 50%. Tant le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais que l'Office fédéral des assurances ont renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le dispositif du jugement entrepris a pour objet l'annulation de la décision du recourant du 8 mars 2007 et le renvoi du dossier à celui-ci pour instruction complémentaire et nouvelle décision "dans le sens du considérant 3d". En tant qu'il renvoie le dossier à l'administration pour une nouvelle décision, le jugement entrepris doit être qualifié de décision incidente qui peut être attaquée aux conditions de l'<ref-law>.
Dans le considérant auquel renvoie le dispositif de l'arrêt entrepris, la juridiction cantonale a fixé à 50% le taux d'incapacité de travail de l'intéressé dans une activité adaptée depuis le 24 mars 2003 et considéré qu'il appartenait au recourant de calculer le taux d'invalidité de B._ et d'examiner son droit éventuel à des mesures d'ordre professionnel et/ou à une rente. Il s'agit d'un arrêt de renvoi qui ne laisse plus de latitude de jugement à l'administration sur l'un des aspects du droit litigieux à des prestations d'assurance, puisque l'étendue de l'incapacité de travail de l'assuré dans une activité adaptée y est déterminée à 50%. Aussi, le recourant est-il tenu de rendre une décision qui, selon lui, est contraire au droit fédéral. En cela, il subit un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (sur cette notion, voir <ref-ruling> consid. 3.1 p. 87, 134 III 188 consid. 3.1 et 2.2 p. 190 s., 133 V 477 consid. 5.2.1 p. 483, 645 consid. 2.1 p. 647). C'est en vain que l'intimé soutient le contraire, en se fondant sur l'arrêt 2P.277/2005 du Tribunal fédéral du 29 septembre 2005. L'existence d'un dommage irréparable pour la partie recourante avait certes été niée dans cet arrêt, mais celle-ci n'était pas, comme en l'espèce, l'autorité administrative de décision, mais les destinataires de la décision litigieuse, de sorte que la question du préjudice irréparable avait été appréciée du point de vue des justiciables et non de l'administration invitée à rendre une (nouvelle) décision. Il convient dès lors d'entrer en matière sur le recours de l'office AI.
1.2 Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
1.3 Les modifications de la LAI du 6 octobre 2006 (5ème révision de la LAI), entrées en vigueur le 1er janvier 2008, n'ont pas à être prises en considération dans le présent litige, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment de la réalisation de l'état de fait dont les conséquences juridiques font l'objet de la décision (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 4 et les arrêts cités).
2. Dans un premier grief d'ordre formel, tiré de la violation des garanties générales de procédure de l'art. 29 al. 1 et 2 Cst., le recourant reproche aux premiers juges un déni de justice et un défaut de motivation. En renvoyant la cause à l'administration au lieu de se prononcer elle-même sur le litige, la juridiction cantonale aurait refusé de statuer sur le fond, ce qui équivaudrait à un déni de justice. Par ailleurs, elle aurait manqué, aux yeux du recourant, d'expliquer les raisons pour lesquelles elle annulait la décision sur opposition du 8 mars 2007, ne traitait pas des points litigieux et lui retournait le dossier pour instruction complémentaire.
2.1 L'autorité de recours qui ne traite pas un grief relevant de sa compétence, motivé de façon suffisante et pertinent pour l'issue du litige commet un déni de justice formel proscrit par l'art. 29 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 3a p. 117). Par ailleurs, la jurisprudence a déduit du droit d'être entendu consacré à l'art. 29 al. 2 Cst. le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les arguments invoqués par les parties. Il n'y a violation du droit d'être entendu que si l'autorité ne satisfait pas à son devoir minimum d'examiner les problèmes pertinents (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2b).
Contrairement à ce que soutient l'intimé, les garanties de procédure de l'art. 29 Cst. peuvent être invoquées par l'office AI en tant que partie au procès, dès lors que la qualité pour former recours en matière de droit public lui a été reconnue (art. 89 al. 2 let. d LTF en relation avec les <ref-law>, 89 RAI et 201 al. 1 RAVS).
2.2 Au terme de l'instruction administrative, le recourant a refusé les mesures de réadaptation d'ordre professionnel requises (reclassement et aide au placement), au motif que l'assuré disposait d'une capacité de travail entière dans une activité légère et adaptée, que son degré d'invalidité était nul et qu'il ne présentait aucune limitation qui l'entravait dans la recherche d'un emploi (décision du 10 avril 2006). Il a également rejeté la demande de l'assuré en tant qu'elle visait l'octroi d'une rente, en retenant qu'il était capable d'exercer à plein temps une activité qui lui permettait de réaliser un salaire de 52'494 fr., supérieur à celui qu'il obtenait dans son ancienne profession de chauffeur de poids lourds (43'589 fr.), et qu'il ne subissait dès lors pas une incapacité de gain (décision du 11 avril 2006).
2.3 Compte tenu de la décision sur opposition et des conclusions du recours cantonal, dans lequel l'assuré demandait la reconnaissance d'un taux d'invalidité de 70% et l'octroi d'un reclassement, voire d'une aide au placement, le litige portait en instance cantonale sur le droit de l'intimé à des mesures d'ordre professionnel, voire à une rente d'invalidité.
En se prononçant sur l'existence et l'étendue d'une incapacité de travail, l'autorité cantonale de recours a statué sur l'un des aspects de l'objet du litige, à savoir l'une des conditions préalables à la reconnaissance d'une invalidité (cf. art. 6 et 7 LPGA). Si on peut s'étonner qu'elle n'ait ensuite pas examiné les répercussions économiques de l'incapacité de travail ainsi reconnue, on ne saurait cependant lui reprocher d'avoir commis un déni de justice formel en renvoyant le dossier à l'administration. L'office AI avait en effet nié la mesure de réadaptation professionnelle au motif que l'assuré disposait d'une capacité de travail entière, sans se déterminer sur les autres conditions du droit à cette prestation - dont l'examen précède celui du droit à une rente d'invalidité en raison du principe dit de la priorité de la réadaptation sur la rente (cf. <ref-ruling> consid. 2b p. 271; <ref-ruling> consid. 4a p. 191). Une fois admise l'existence d'une incapacité de travail d'une certaine importance, l'autorité cantonale de recours avait la compétence, mais pas l'obligation de se prononcer sur les autres conditions du droit au reclassement professionnel, dans la mesure où la décision litigieuse n'avait pas porté sur celles-ci. Au vu du taux d'incapacité de travail retenu (50%), les premiers juges pouvaient partir de l'idée que le degré d'invalidité minimum exigé pour l'ouverture du droit à des mesures de réadaptation d'ordre professionnel était atteint. A ce stade de la procédure, ils n'avaient pas, contrairement à ce que fait valoir le recourant, à vérifier si le refus de la mesure de reclassement pouvait être confirmé par substitution de motifs, puisque de tels motifs - par exemple, le défaut d'aptitude objective et subjective de l'intéressé - n'avaient pas été formellement examinés par l'administration dans sa décision, ni partant discutés par les parties.
2.4 En ce qui concerne le grief du défaut de motivation, la décision de renvoi est, quoi qu'en dise le recourant, suffisamment motivée. Du considérant 3d du jugement entrepris, on peut en effet déduire que la décision sur opposition de l'administration reposait aux yeux des premiers juges sur une évaluation incorrecte de la capacité de travail de l'intimé, ce qui conduisait - en relation avec le renvoi de la cause - à son annulation. Quant à "l'instruction complémentaire" ordonnée au chiffre 1 du dispositif de l'arrêt attaqué, elle revient à indiquer au recourant de reprendre l'examen du droit aux prestations requises sous l'angle des conditions sur lesquelles il ne s'est pas encore prononcé, avant de statuer à nouveau. Il ne s'agit pas, contrairement à ce que semble avoir compris le recourant, de mettre en oeuvre une nouvelle mesure d'instruction. La juridiction cantonale n'avait donc pas à motiver davantage ce point.
2.5 En conséquence de ce qui précède, les griefs tirés de la violation des garanties de procédure de l'art. 29 Cst. doivent être rejetés.
3. 3.1 Sur le fond, invoquant à la fois une constatation manifestement inexacte des faits, une violation du principe de la libre appréciation des preuves et du droit fédéral (art. 4 et 28 LAI quant à la notion d'invalidité), le recourant s'en prend en réalité à l'appréciation des preuves des premiers juges. Pour l'essentiel, il soutient qu'au regard des critères jurisprudentiels posés par le Tribunal fédéral en matière de troubles somatoformes douloureux (cf. <ref-ruling>; <ref-ruling> et 396), l'intimé n'a pas épuisé toutes ses ressources adaptatives et psychiques et doit être considéré comme capable de reprendre une activité adaptée.
3.2 Les critiques du recourant, qui tente de substituer sa propre appréciation de la situation à celle des premiers juges, fondée sur les expertises mises en oeuvre en procédure administrative, ne sont pas pertinentes. Tout d'abord, la constatation des premiers juges que l'intimé souffre d'un trouble dépressif moyen à sévère et de troubles somatoformes n'apparaît pas manifestement inexacte au regard des pièces médicales au dossier. Alors que les médecins de l'Hôpital X._ avaient diagnostiqué un épisode dépressif majeur, de degré moyen (avec un pronostic réservé), les médecins du Service de consultation de l'Hôpital Y._, qui suivait l'intimé depuis le 25 novembre 2003, ont fait état d'un état dépressif sévère le 8 juin 2007. L'appréciation des médecins de l'Hôpital Y._, postérieure à celle du docteur A._ - mais se rapportant à la situation de l'intimé depuis 2003 -, met en évidence le caractère fluctuant du trouble dépressif présenté par l'assuré. Quoi qu'en dise le recourant en se référant à la jurisprudence du Tribunal fédéral sur la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling>), on ne saurait reprocher à la juridiction cantonale d'avoir fait siennes les constatations des médecins consultés régulièrement par l'intimé. Le fait qu'un rapport médical a été rédigé par le médecin traitant de l'assuré ne lui enlève pas toute valeur probante, notamment en ce qui concerne les diagnostics retenus, même s'il s'agit, dans l'appréciation de l'état de santé, de tenir compte des particularités de la relation thérapeutique qui lie l'auteur du rapport médical à son patient. La juridiction cantonale était donc en droit de s'écarter sur ce point de l'évaluation de l'expert A._, selon lequel le thymisme n'était pas dépressif au sens d'un épisode ou trouble dépressif majeur, et de suivre celle des médecins de l'Hôpital X._ et de l'Hôpital Y._, sans qu'on puisse y voir une violation des règles sur l'appréciation des preuves, comme le voudrait le recourant.
Quant à l'évaluation du critère de la perte d'intégration sociale, elle n'a pas à être discutée plus avant. L'atteinte retenue par la juridiction cantonale en sus du trouble somatoforme douloureux constitue en effet une comorbidité psychiatrique d'une sévérité suffisante pour admettre qu'on ne saurait exiger de l'intimé qu'il réintègre le processus de travail dans une mesure supérieure à 50%. On précisera à cet égard que les médecins de l'Hôpital X._ avaient justifié l'incapacité de travail (de 70%) par la sévérité des deux diagnostics psychiques associés. Par ailleurs, s'il était d'avis que le trouble somatoforme douloureux n'avait à lui seul aucune incidence sur la capacité de travail, l'expert A._ a cependant conclu à une incapacité de travail de 50% en raison de l'association de cette atteinte avec les autres pathologies retenues (troubles de l'adaptation, troubles dissociatifs non spécifiques et malaises d'origine indéterminée). Au demeurant, à suivre l'appréciation que fait le recourant de la perte d'intégration sociale, on ne devrait admettre ce critère que dans l'hypothèse où une personne vivrait dans un isolement complet et serait incapable d'effectuer quelque tâche ménagère que ce soit; une telle appréciation relève d'une interprétation trop restrictive de la notion en cause.
Enfin, c'est en vain que le recourant critique le taux d'incapacité de travail de 50% retenu par les premiers juges, cette constatation n'apparaissant pas manifestement inexacte au regard des conclusions convergentes des experts qu'il avait mandatés. Ainsi, avant le docteur A._, les médecins de l'Hôpital X._ avaient déjà conclu à une incapacité de travail de plus de 50%, tandis que le docteur F._ avait admis l'exigibilité d'une activité adaptée (avec certaines restrictions) de 2 à 3 heures par jour.
3.3 En conséquence de ce qui précède, il n'y a pas lieu de s'écarter des faits retenus par l'autorité cantonale de recours, ni de l'appréciation qu'elle en a faite. Le recours se révèle également mal fondé sur le fond.
4. Compte tenu de l'issue du litige, les frais de justice doivent être supportés par le recourant, qui succombe (art. 66 al. 1ère phrase LTF en relation avec l'<ref-law>). L'intimé a droit à une indemnité de dépens à la charge du recourant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimé la somme de 2500 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais, à l'Office fédéral des assurances sociales et à la Caisse de compensation du canton du Valais.
Lucerne, le 6 octobre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
p. le Président: La Greffière:
Borella Moser-Szeless