Faits:
A. S._, née en 1969, est gravement handicapée. Elle a été placée à la Fondation H._ à R._, dans le canton de Berne, qui est une institution pour handicapés. Ses papiers sont déposés à L._, canton de Vaud, où elle a grandi et où vivent ses parents. Elle passe un week-end sur deux ainsi que sept semaines entières dans l'année (vacances) auprès de ces derniers.
S._ est affiliée auprès de la section vaudoise de la CPT Caisse-maladie pour l'assurance obligatoire des soins, ainsi que pour une assurance complémentaire des frais d'hospitalisation, classe de prestations 1 (division commune d'un hôpital dans toute la Suisse, pour autant que celui-ci ait été intégré dans la planification hospitalière du canton d'implantation).
Le 28 juin 2003, l'assurée a été admise au Centre de psychiatrie de P._, dans le canton de Berne. Elle présentait alors un tableau psychotique avec mise en danger d'elle-même et de ses proches.
Le 8 août 2003, le Centre psychiatrique de P._ a présenté à l'Etat de Vaud une demande de garantie de paiement pour un traitement hors du canton de résidence selon l'<ref-law>. Par décision du 2 septembre 2003, le Service cantonal vaudois de la santé publique a rejeté la demande, au motif que la patiente résidait dans le canton de Berne, de sorte que son admission à la clinique psychiatrique de P._ ne pouvait pas être considérée comme une hospitalisation extra-cantonale au sens de l'<ref-law>.
B. Représentée par ses parents, V._ et D._, S._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal des assurances du canton de Vaud. La caisse-maladie CPT a été appelée en cause.
Statuant le 24 mars 2004, le tribunal cantonal a rejeté le recours.
C. Tant S._ que la caisse-maladie CPT ont interjeté un recours de droit administratif contre ce jugement. Toutes les deux concluent, en substance, à la prise en charge par l'Etat de Vaud de la différence entre les coûts facturés par le Centre de psychiatrie de P._ et les tarifs de cet établissement pour les habitants du canton de Berne.
Le Service cantonal de la santé publique a conclu au rejet des recours. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique n'a pas présenté d'observations.

Considérant en droit:
1. Les deux recours sont dirigés contre le même jugement, opposent les mêmes parties et portent l'un et l'autre sur un état de faits identique. Il y a donc lieu de joindre les causes et de statuer par un seul arrêt (cf. <ref-ruling> consid. 1 et les références).
2. Le Tribunal fédéral des assurances est compétent ratione materiae pour connaître des litiges portant sur l'application de l'<ref-law> (<ref-ruling>). Le recours de droit administratif dirigé contre un jugement de dernière instance cantonale tranchant une contestation dans ce domaine est dès lors recevable.
3. L'assurée recourante a indéniablement qualité pour recourir. Il en va de même de la caisse-maladie CPT, qui a en l'espèce payé la facture d'hospitalisation au Centre psychiatrique de P._ en qualité de garant [système du tiers payant] (<ref-ruling> consid. 4).
4. La question du choix du fournisseur de prestations et de la prise en charge des coûts est réglée à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, si, pour des raisons médicales, l'assuré recourt aux services d'un hôpital public ou subventionné par les pouvoirs publics situé hors de son canton de résidence, ce canton prend en charge la différence entre les coûts facturés et les tarifs que l'hôpital applique aux résidents du canton (première phrase; paiement de la différence des coûts: <ref-ruling> et 310). La notion de «raisons médicales» est explicitée à l'<ref-law>. Sont réputées raisons médicales le cas d'urgence et le cas où les prestations nécessaires ne peuvent être fournies :
a) au lieu de résidence ou de travail de l'assuré ou dans les environs s'il s'agit d'un traitement ambulatoire;
b) dans le canton où réside l'assuré, s'il s'agit d'un traitement hospitalier ou semi-hospitalier, ou dans un hôpital en dehors de ce canton, qui figure sur la liste dressée par le canton où réside l'assuré, en application de l'art. 39 al. 1 let. e LAMal.
5. 5.1 Dans le cas particulier, il n'est pas contesté que la condition de l'urgence était réalisée. La question est de savoir si l'assurée a dû ou non se rendre dans un établissement hors de son canton de résidence ou, en d'autres termes, quel était son canton de résidence au sens de l'<ref-law>. Si l'on admet qu'il s'agissait du canton de Berne, le problème d'une prise en charge de la différence des coûts ne se pose pas. Dans le cas contraire, il appartiendrait au canton de Vaud de prendre en charge cette différence. Plus précisément, le litige porte sur l'interprétation de la notion de canton de résidence selon l'<ref-law>.
5.2 Les premiers juges interprètent cette notion comme étant le domicile au sens de l'<ref-law>. Ils retiennent que le domicile des parents de l'assurée recourante, à L._, est son unique rattachement avec le canton de Vaud. Le Centre psychiatrique de P._ a estimé qu'il n'était pas judicieux de transférer la patiente dans un établissement vaudois. Aussi bien doit-on admettre, selon la juridiction cantonale, que la localité de R._ est la résidence prépondérante de l'intéressée, d'autant plus que ses séjours à L._ ont pour seul but de faire des visites à la famille. En conséquence, l'Etat de Vaud n'est pas tenu de prendre en charge le coût supplémentaire découlant de l'hospitalisation de l'assurée dans un établissement bernois.
Pour les recourants, en revanche, le placement dans un établissement ne constitue pas le domicile, même s'il a lieu pour une durée indéterminée. L'<ref-law> doit être mis en relation avec le domicile fiscal de l'assuré. Cette disposition vise la situation de la personne qui se fait hospitaliser hors du canton où elle paie ses impôts; en l'occurrence, l'intéressée est imposée dans le canton de Vaud.
5.3 La loi s'interprète en premier lieu selon sa lettre. Selon la jurisprudence, il n'y a lieu de déroger au sens littéral d'un texte clair par voie d'interprétation que lorsque des raisons objectives permettent de penser que ce texte ne restitue pas le sens véritable de la disposition en cause. De tels motifs peuvent découler des travaux préparatoires, du but et du sens de la disposition, ainsi que de la systématique de la loi. Si le texte n'est pas absolument clair, si plusieurs interprétations de celui-ci sont possibles, il convient de rechercher quelle est la véritable portée de la norme, en la dégageant de tous les éléments à considérer, soit notamment des travaux préparatoires, du but de la règle, de son esprit, ainsi que des valeurs sur lesquelles elle repose ou encore de sa relation avec d'autres dispositions légales (<ref-ruling> consid. 4.2, 130 V 50 consid. 3.2.1, 232 consid. 2.2, 129 V 284 consid. 4.2 et les références).
5.4 A l'égard de l'<ref-law>, une interprétation littérale ne saurait être retenue, déjà pour le motif que, sur le point ici en discussion, les versions allemande, française et italienne du texte divergent. En effet, le terme «canton de résidence» est rendu en allemand par «Wohnkanton» et par «cantone di domicilio» en italien.
5.5 Les travaux préparatoires ne fournissent pas de réponse à la question posée. Selon le message du Conseil fédéral concernant la révision de l'assurance-maladie du 6 novembre 1991, la nouvelle réglementation découlant de l'<ref-law> devait servir à la péréquation des charges et à la coordination renforcée entre les cantons. Par exemple les cantons ayant créé de grands centres hospitaliers devaient être amenés à conclure des accords financiers avec leurs cantons voisins afin que ceux-ci participent au financement de l'établissement concerné. Les centres hospitaliers appliqueraient, en contrepartie, les mêmes tarifs aux patients du canton et aux patients venant de l'extérieur (FF 1992 I 151). On peut déduire de ces explications que le souci principal du législateur était d'inciter les cantons à renforcer leur collaboration lors de la planification hospitalière.
5.6 L'approche systématique apparaît en revanche déterminante. Il existe en ce qui concerne l'obligation pour les cantons de contribuer aux frais du traitement hospitalier un lien matériel et économique étroit entre l'<ref-law> et l'art. 41 al. 3 première phrase LAMal (<ref-ruling> consid. 5.3.3). Selon l'<ref-law>, pour rémunérer le traitement hospitalier, y compris le séjour à l'hôpital (<ref-law>), les parties à une convention conviennent de forfaits; pour les habitants du canton, ces forfaits couvrent au maximum, par patient ou par groupe d'assurés, 50 pour cent des coûts imputables dans la division commune d'hôpitaux publics ou subventionnés par les pouvoirs publics (première et deuxième phrases). D'après l'al. 2 de la même disposition, les parties à une convention peuvent prévoir que des prestations diagnostiques ou thérapeutiques spéciales ne soient pas comprises dans le forfait, mais facturées séparément; pour ces prestations, elles peuvent prendre en compte, pour les habitants du canton, les coûts imputables à raison d'un maximum de 50 pour cent, s'agissant d'hôpitaux publics ou subventionnés par les pouvoirs publics. La rémunération au sens de cette réglementation épuise toutes les prétentions de l'hôpital pour la division commune (protection tarifaire; <ref-law>; voir également Guy Longchamp, Conditions et étendue du droit aux prestations de l'assurance-maladie sociale, thèse, Berne 2004, p. 332 sv.). La partie restante est donc en principe financée par les recettes fiscales.
En raison de l'obligation d'affiliation à l'assurance-maladie (<ref-law>), le nombre des assurés et celui des contribuables (personnes physiques) se recouvre en principe et dans une très large mesure dans un canton. Si les patients provenant d'autres cantons bénéficiaient du même tarif hospitalier, cela aurait pour conséquence, pour les cantons dits importateurs de patients, de devoir subventionner les contribuables d'autres cantons. La coordination entre les cantons deviendrait pratiquement impossible. Ainsi, les cantons disposant d'une infrastructure hospitalière de pointe tenteraient de dissuader les patients de l'extérieur de se faire soigner dans leurs établissements : ces mêmes patients, payant leurs impôts dans un autre canton, seraient une charge pour les finances du canton importateur (sur ces questions, voir Lucas Crivelli/Jason Hauser/Peter Zweifel, Prestations hospitalières en dehors du canton de domicile, Une évaluation de l'art. 41.3 LAMal sous un angle économique, Publication du Concordat des assureurs-maladie suisses, 1997, p. 30). L'application de l'<ref-law> implique donc un rattachement avec l'assujettissement fiscal du patient.
5.7 En matière d'interdiction de la double imposition (art. 46 al. 2 aCst. et art. 127 al. 3 première phrase Cst.), le domicile fiscal des personnes physiques correspond, en règle ordinaire, au domicile civil, c'est-à-dire le lieu où la personne réside avec l'intention de s'établir durablement (<ref-law>), ou le lieu où se situe le centre de ses intérêts (<ref-ruling> consid. 2b et 56 consid. 2). De manière plus générale, même si la loi sur l'impôt fédéral direct (LIFD; RS 642.11) et la loi sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes (LHID; RS 642.14) connaissent une définition du domicile (<ref-law> et <ref-law>) qui n'est plus, à l'instar des anciennes lois fiscales, calquée sur la définition du droit civil, la notion de domicile fiscal reste néanmoins très proche de celle du droit civil (Walter Ryser/Bernard Rolli, Précis de droit fiscal suisse, 4e éd., Berne 2002, p. 31[14 A 207]; Jean-Marc Rivier, Droit fiscal suisse, 2ème éd. 1998, note 2b p. 311; arrêt A. du 26 juillet 2004 [2A.475/2003].
Sur le vu de ce qui précède, il se justifie donc d'interpréter la notion de canton de résidence au sens de l'<ref-law> comme étant le canton de domicile selon les <ref-law>. La doctrine, du reste, s'exprime, de manière plus ou moins explicite dans ce sens (Gebhard Eugster, Krankenversicherung in : Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], p. 167, note de bas de page 746; voir aussi Alfred Maurer, Das neue Krankenversicherungsrecht, 1996, p. 75, où cet auteur fait référence au «Wohnsitzkanton»; dans le même sens: Tomas Poledna/Brigitte Berger, Öffentliches Gesundheitsrecht, Berne 2002, p. 57 ch. 114; voir également Ariane Ayer/Béatrice Despland, Loi fédérale sur l'assurance-maladie, édition annotée, Genève 2004, p. 89 avec un renvoi à un jugement du Tribunal administratif du canton de Lucerne publié dans SVR 1998 KV n° 17 p. 57).
5.8 En procédure cantonale, l'intimé s'est prévalu de l'arrêt publié aux <ref-ruling>. Mais cette référence n'est pas pertinente en l'espèce. Cet arrêt concerne la réglementation applicable au cas de traitement ambulatoire prévu à l'art. 41 al. 1, deuxième phrase, LAMal; il porte, en particulier, sur l'interprétation des termes «lieu de résidence ou de travail de l'assuré ou dans les environs». Le lieu de résidence et le canton de résidence ne sont pas des notions identiques (Eugster, op. cit., p. 166, note de bas de page 744). Du reste, dans l'arrêt invoqué, le Tribunal fédéral des assurances a laissé indécis le point de savoir quel sens il fallait donner aux termes «canton où réside l'assuré» («Wohnkanton», «cantone di domicilio») dont use l'<ref-law>, qui concerne le traitement hospitalier ou semi-hospitalier (<ref-ruling> consid. 5d).
6. 6.1 Aux termes de l'<ref-law>, le séjour dans une localité en vue d'y fréquenter des écoles, ou le fait d'être placé dans un établissement d'éducation, un hospice, un hôpital, une maison de détention, ne constituent pas le domicile. Cette disposition ne contient qu'une présomption qui peut être renversée lorsqu'une personne entre de son plein gré dans un établissement afin d'y faire le centre de son existence. Dans ce cas, le séjour dans l'établissement ne sert pas un but spécifique (éducation, soins, traitement ou exécution d'une peine) et la constitution d'un domicile volontaire peut être admise (arrêt K. du 18 juin 2004 consid. 4.2 non publié aux <ref-ruling>).
6.2 En l'espèce, il est constant que l'assurée séjourne dans un établissement au sens de l'<ref-law> (voir à ce propos Jacques-Michel Grossen, Personnes physiques, Traité de droit privé suisse, Tome II, 2, p. 70; Daniel Staehelin, Commentaire bâlois, n. 7 ad <ref-law>). Il n'est d'autre part pas contesté par les parties qu'elle a grandi chez ses parents à L._, où elle a fait sa scolarité (Ecole U._ et Ecole O._ ). Le placement de l'assurée a été décidé par les parents de celle-ci d'entente avec le médecin traitant. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud, qui verse des prestations d'assurance, a donné son accord. Deux week-ends par mois et sept semaines entières par année, l'assurée revient chez ses parents. Du point de vue fiscal, elle est imposée dans le canton de Vaud. Hormis son séjour en établissement, elle ne paraît pas avoir noué de liens particuliers avec le canton de Berne. Il apparaît qu'elle n'a pas rompu avec son ancien domicile ni manifesté son intention de s'établir de façon durable dans ce canton.
Dans ces conditions, il faut d'admettre que l'assurée a son domicile civil dans le canton de Vaud. Il appartient donc à ce canton, conformément à l'<ref-law>, de payer la différence des coûts résultant de l'hospitalisation d'urgence de l'intéressée.
7. Il convient en conséquence d'annuler le jugement attaqué et la décision administrative précédente, et de renvoyer la cause à l'office intimé pour qu'il rende une nouvelle décision au sens des considérants.
8. Dans la mesure où l'assurée est partie au litige, il n'y a pas lieu de percevoir des frais de justice (<ref-ruling>). L'assurée recourante, qui obtient gain de cause, a droit à une indemnité de dépens (art. 159 al. 1 OJ). Quant à la caisse-maladie CPT, bien qu'elle obtienne aussi gain de cause, elle n'a pas droit à des dépens (SVR 2000 KV n° 39 p. 122 consid. 3).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Les causes K 108/04 et K 111/04 sont jointes.
2. Les recours sont admis et le jugement du Tribunal des assurances du du canton de Vaud du 24 mars 2004, ainsi que la décision du Service de la santé publique du canton de Vaud du 2 septembre 2003, sont annulés.
3. La cause est renvoyée audit service pour nouvelle décision au sens des motifs.
4. Il n'est pas perçu de frais de justice.
5. L'Etat de Vaud versera à S._ une indemnité de dépens de 2'000 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) pour la procédure fédérale.
6. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud est invité à statuer sur les dépens de la procédure cantonale compte tenu de l'issue du litige.
7. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 17 janvier 2005
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la Ire Chambre: La Greffière: