Faits:
A. Par jugement du 16 août 2006, la Présidente de l'Arrondissement judiciaire Courtelary-Moutier-La Neuveville a condamné A._ pour acte d'ordre sexuel avec des enfants au préjudice de sa fille B._ et pour infraction à la loi fédérale sur la circulation routière (LCR; RS 741.01) à la peine de quatre mois d'emprisonnement avec sursis pendant trois ans. Elle a également alloué à la prénommée 1'500 fr. à titre d'indemnité pour tort moral. Elle a notamment retenu les faits suivants:
Lors des vacances d'octobre 2004, A._ a accueilli chez lui sa fille B._. Un soir, alors qu'il était allongé sur le canapé et que sa fille, vêtue d'un "pyjama-short", était assise sur son ventre, il a écarté le short et le slip de celle-ci et lui a touché, embrassé et léché le sexe. Ces faits correspondent à la version donnée par B._. Confrontée à une version différente de A._, qui nie avoir commis les actes qui lui sont reprochés, la juge précitée l'a écartée. Sur la base de différents indices, elle a acquis la conviction que les déclarations de la victime présentaient "une très haute vraisemblance, respectivement une crédibilité certaine".
B. A._ a fait appel de ce jugement devant la Cour suprême du canton de Berne, 3ème Chambre pénale, qui l'a confirmé par jugement du 8 décembre 2006. En substance, la Cour suprême bernoise a retenu les mêmes faits que la juge de première instance et a déclaré A._ coupable d'acte d'ordre sexuel sur un enfant de moins de seize ans au sens de l'art. 187 CP.
C. Agissant par la voie du recours de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement rendu par la Cour suprême du canton de Berne. Invoquant les art. 32 al. 1 Cst. et 6 par. 2 CEDH, il se plaint de la violation du principe "in dubio pro reo". Il requiert en outre l'assistance judiciaire. La Cour suprême se réfère aux considérants de son arrêt. Le Ministère public et B._ se sont déterminés; ils concluent au rejet du recours. A._ a présenté des observations complémentaires.

Considérant en droit:
1. La décision attaquée ayant été rendue avant le 1er janvier 2007, la loi fédérale d'organisation judiciaire (OJ) demeure applicable à la présente procédure de recours (art. 132 al. 1 LTF).
2. Le pourvoi en nullité au Tribunal fédéral n'étant pas ouvert pour se plaindre d'une appréciation arbitraire des preuves et des constatations de fait qui en découlent (<ref-ruling> consid. 2a p. 83) ni pour invoquer une violation directe d'un droit constitutionnel ou conventionnel, tel que la maxime "in dubio pro reo" consacrée aux art. 32 al. 1 Cst. et 6 par. 2 CEDH (<ref-ruling> consid. 2b p. 107; <ref-ruling> consid. 2b p. 35 s.), la voie du recours de droit public est ouverte à cet égard (art. 84 al. 2 OJ). Dans la mesure où l'arrêt attaqué confirme sa condamnation à une peine d'emprisonnement, le recourant a qualité pour contester ce prononcé (art. 88 OJ).
3. Pour être recevable, un recours de droit public doit contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et préciser en quoi consiste la violation (art. 90 al. 1 let. b OJ). Lorsqu'il est saisi d'un tel recours, le Tribunal fédéral n'a donc pas à vérifier de lui-même si l'arrêt entrepris est en tous points conforme à la Constitution. Il n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours. Le recourant ne saurait se contenter de soulever de vagues griefs ou de renvoyer aux actes cantonaux (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 261, 26 consid. 2.1 p. 31; <ref-ruling> consid. 1c p. 76).
4. Invoquant le principe de la présomption d'innocence, le recourant reproche en substance à l'autorité intimée d'avoir confirmé un jugement de première instance qui reposait sur des faits établis en contradiction avec les éléments ressortant du dossier ou de façon arbitraire.
4.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 17; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 219, 57 consid. 2 p. 61; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 178).
L'appréciation des preuves est en particulier arbitraire lorsque le juge de répression n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9). Il en va de même lorsqu'il retient unilatéralement certaines preuves ou lorsqu'il rejette des conclusions pour défaut de preuves, alors même que l'existence du fait à prouver résulte des allégations et du comportement des parties (<ref-ruling> consid. 1b p. 30). Il ne suffit pas qu'une interprétation différente des preuves et des faits qui en découlent paraisse également concevable pour que le Tribunal fédéral substitue sa propre appréciation des preuves à celle effectuée par l'autorité de condamnation, qui dispose en cette matière d'une grande latitude. En serait-il autrement, que le principe de la libre appréciation des preuves par le juge du fond serait violé (ATF <ref-ruling> consid. 2d p. 37 s.).
4.2 La présomption d'innocence est garantie par l'art. 6 par. 2 CEDH et par l'art. 32 al. 1 Cst., qui ont la même portée. Elle a pour corollaire le principe "in dubio pro reo", qui concerne tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves. En tant que règle de l'appréciation des preuves, ce principe, dont la violation n'est invoquée que sous cet angle par le recourant, signifie que le juge ne peut se déclarer convaincu d'un état de fait défavorable à l'accusé, lorsqu'une appréciation objective de l'ensemble des éléments de preuve laisse subsister un doute sérieux et insurmontable quant à l'existence de cet état de fait (<ref-ruling> consid. 2a p. 41; <ref-ruling> consid. 2a p. 88; <ref-ruling> consid. 2c p. 37). Le Tribunal fédéral ne revoit les constatations de fait et l'appréciation des preuves que sous l'angle de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2a p. 41; <ref-ruling> consid. 4 p. 211; <ref-ruling> consid. 2d p. 37 s.). Il examine en revanche librement la question de savoir si, sur la base du résultat d'une appréciation non arbitraire des preuves, le juge aurait dû éprouver un doute sérieux et insurmontable quant à la culpabilité de l'accusé; dans cet examen, il s'impose toutefois une certaine retenue, le juge du fait, en vertu du principe de l'immédiateté, étant mieux à même de résoudre la question (cf. arrêts non publiés 1P.454/2005 du 9 novembre 2005, consid. 2.1; 1P.428/2003 du 8 avril 2004, consid. 4.2 et 1P.587/2003 du 29 janvier 2004, consid. 7.2).
5. 5.1 En l'espèce, pour juger de la crédibilité de la victime, les juges cantonaux se sont notamment fondés sur ses révélations spontanées à sa cousine et sur ses déclarations à sa tante, à sa mère ainsi qu'à la psychologue du Centre de protection de l'enfance à Berne. Ils ont également forgé leur conviction sur la base de la constance et de la précision des descriptions de la victime, des termes utilisés, ainsi que des dessins qu'elle a esquissés et expliqués à la psychologue. La Cour cantonale s'est aussi appuyée sur le fait que les tensions existantes entre les parents avaient disparu et que l'entente était bonne au moment des faits. Dans ces circonstances, rien au dossier ne permettait de soupçonner une instrumentalisation ou une manipulation de l'enfant par son entourage.
5.2 Lorsque l'autorité cantonale forge sa conviction sur la base d'un ensemble d'indices ou éléments de preuves, c'est leur appréciation globale qui prévaut. Il convient alors de se demander si cette appréciation globale et le résultat auquel elle a conduit doivent être qualifiés d'arbitraires, c'est-à-dire considérés non seulement comme critiquables ou discutables mais comme manifestement insoutenables. Il ne suffit donc pas que le recourant se livre à une discussion de chaque élément ou argument ou de l'un ou de l'autre de ceux-ci en prétendant que, sauf arbitraire, il ne pouvait être apprécié ou interprété autrement que dans le sens favorable à sa thèse. Un tel procédé se réduit à une critique appellatoire, dont la jurisprudence a constamment souligné qu'elle n'est pas à même de faire admettre l'arbitraire de la décision attaquée.
6. 6.1 Le recourant fait d'abord grief aux juges cantonaux d'avoir considéré à tort que les premières déclarations de l'intimée avaient été faites de manière spontanée. Le témoignage de la tante de l'intimée, C._, permet pourtant d'établir que la victime a fait à sa cousine plusieurs récits en relation avec son père, alors qu'elle jouait avec celle-ci. Elle a également fait diverses déclarations que C._ a entendues par hasard. A ces occasions, l'intimée a notamment dit que son père lui avait fait "des bisous à la zézette". Ce n'est qu'après qu'elle ait rapporté le comportement de son père à son égard que C._ lui a demandé dans quelles circonstances ces bisous avaient été donnés. Dans ces conditions, on ne voit pas en quoi il serait manifestement insoutenable de considérer qu'il s'agit de déclarations spontanées. En retenant cet élément au nombre du faisceau d'indices, les juges cantonaux n'ont donc pas fait preuve d'arbitraire.
6.2 Le recourant ne saurait davantage soutenir - ce qu'il fait au demeurant de façon essentiellement appellatoire - que d'un point de vue physique, l'infraction ne peut être réalisée telle qu'elle a été décrite par la victime. Il était en effet possible pour le recourant de faire le geste incriminé en se penchant en avant et moyennant un léger déplacement de l'enfant, même s'il a été retenu que la victime se trouvait "sur son ventre". Dès lors, même si la position décrite n'était pas confortable pour l'agresseur, elle n'en reste pas moins praticable. Le recourant ne parvient en tout cas pas à démontrer en quoi l'appréciation des juges serait manifestement insoutenable.
6.3 Selon le recourant, le principe de la présomption d'innocence aurait dû conduire les juges à privilégier ses propres déclarations, qu'ils ont eux-mêmes qualifiées de "sincères". En réalité, l'autorité intimée a mis l'accent sur le fait que le recourant a confirmé un certain nombre de points secondaires du récit de sa fille alors qu'il nie toute implication dans les éléments importants. Les juges cantonaux ont en outre esquissé la personnalité du recourant, qui apparaît comme quelqu'un de fragile, peu stable et confronté à de nombreux problèmes. Ils ont également relevé que la "lettre de pressentiment" qu'il a écrite à son amie avant d'être interpellé par la police démontre qu'il s'est rendu compte "qu'il était allé trop loin". Dans ces conditions, il y a lieu de considérer que l'appréciation des preuves faite par la Cour cantonale est circonstanciée et qu'elle échappe au grief d'arbitraire.
6.4 Par ailleurs, dans un grief de nature essentiellement appellatoire, le recourant reproche également à l'autorité cantonale de ne pas avoir examiné l'hypothèse d'une commission des actes litigieux sans intention dolosive. Il ressort toutefois des considérants du jugement attaqué que tel ne peut être le cas. En effet, les faits reprochés au recourant vont manifestement au-delà de la plaisanterie ou de la taquinerie; écarter le pyjama d'une enfant pour lui toucher les parties génitales avec les lèvres ou la langue ne peut en aucun cas être considéré comme un jeu et ne saurait arriver de manière fortuite. Par conséquent, la Cour cantonale n'est pas tombée dans l'arbitraire en retenant que le comportement incriminé ne pouvait être qu'intentionnel.
6.5 Enfin, le recourant soutient que la Cour cantonale a violé la présomption d'innocence en choisissant, parmi les déclarations contradictoires de l'enfant, la version qui lui était la moins favorable. Il ressort des divers interrogatoires que la victime a mentionné que son père l'avait embrassée sur le sexe et, dans une audition ultérieure, qu'il l'avait léchée. Or, selon le recourant, en application du principe in dubio pro reo, la Cour aurait dû retenir qu'il n'avait donné qu'un baiser furtif sur le sexe de sa fille. A cet égard, le recourant se borne à donner sa propre interprétation des faits sans expliquer en quoi l'appréciation des juges serait manifestement insoutenable. Au demeurant, une telle contradiction - qui venant d'un enfant peut tout au plus être qualifiée d'imprécision - n'est pas de nature à faire naître un doute sérieux et insurmontable quant à la véracité des déclarations de la victime.
6.6 Dans ces circonstances, il y a lieu de constater que la Cour suprême du canton de Berne s'est fondée sur un faisceau d'indices convaincants et qu'elle n'a pas usé de son pouvoir d'appréciation des preuves de manière arbitraire. Dès lors qu'au terme de cette appréciation des preuves exempte d'arbitraire il ne subsiste pas de doute sérieux et irréductible quant à la culpabilité du recourant, le grief tiré de la violation de la présomption d'innocence doit également être rejeté.
7. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Comme le recours était d'emblée voué à l'échec, l'une des conditions d'octroi de l'assistance judiciaire n'est pas réalisée (art. 152 al. 1 OJ), de sorte que la requête du recourant tendant à ce que celle-ci lui soit accordée doit être rejetée. Par conséquent, le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la procédure de recours de droit public (art. 153, 153a et 156 OJ). L'intimée, qui a obtenu gain de cause avec l'assistance d'un avocat, a droit à des dépens à la charge du recourant (art. 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Un émolument de 1'500 fr. est mis à la charge du recourant.
4. Une indemnité de 1'500 fr. à verser à l'intimée à titre de dépens est mise à la charge du recourant.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, au Procureur général et à la Cour suprême du canton de Berne, 3ème Chambre pénale.
Lausanne, le 11 janvier 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener