Sachverhalt:
A. Am 6. Januar 1996 erlitt der damals zehnjährige X._, Schüler der dritten Klasse der Primarschule Y._, im schuleigenen Hallenbad der damaligen Real- und Sekundarschulgemeinde Z._ einen Ertrinkungsunfall, welcher zu schweren Gesundheitsschädigungen führte. Er ist der Auffassung, die Lehrerin habe ihre Sorgfaltspflicht verletzt und den Unfall damit verschuldet.
In der Folge erklärte die Haftpflichtversicherung der Schule - die "Zürich"-Versicherungsgesellschaft - gegenüber dem Rechtsvertreter von X._ insgesamt sieben Mal, auf die Einrede der Verjährung zu verzichten, soweit diese nicht bereits eingetreten sei; das zweitletzte Mal am 11. Dezember 2007 mit Befristung bis zum 6. Januar 2009 und das letzte Mal am 2. Dezember 2009 mit Befristung bis zum 6. Januar 2011. Dazwischen, mit Begehren vom 5. Januar 2009, hatte X._ sowohl gegen die Haftpflichtversicherung als auch gegen die Politische Gemeinde Y._ Forderungen von je Fr. 1'000'000.-- in Betreibung setzen lassen.
B. Am 12. Januar 2010 erhob X._ gegen die Politische Gemeinde Y._ als Rechtsnachfolgerin der früheren Schulgemeinde Y._ Klage beim Kreisgericht W._ auf Zahlung eines nach durchgeführtem Beweisverfahren festzulegenden Betrags, mindestens jedoch Fr. 400'000.-- nebst Zins. Nachdem die Beklagte geltend gemacht hatte, die Ansprüche seien verwirkt bzw. verjährt, beschränkte das Kreisgericht das Verfahren vorerst auf diese Fragen und gewährte X._ mit separatem Entscheid vom 12. April 2011 diesbezüglich die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Mit Urteil vom 19. Oktober 2011 wies es die Klage mit der Begründung ab, der eingeklagte Anspruch sei bereits am 6. Januar 2006 - spätestens jedoch am 6. Januar 2009 - verwirkt.
Hiegegen erhob X._ am 30. Dezember 2011 Berufung beim Kantonsgericht des Kantons St. Gallen mit den Anträgen, das Urteil des Kreisgerichts W._ aufzuheben und dieses anzuweisen, die Klage materiell zu behandeln. Gleichzeitig ersuchte er (auch) für das Berufungsverfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Mit Entscheid vom 19. Januar 2012 wies das Kantonsgericht St. Gallen (verfahrensleitender Richter) die letztgenannten Anträge mit der Begründung ab, die Berufung gegen das Urteil des Kreisgerichts W._ erweise sich als aussichtslos. Gleichzeitig verpflichtete es X._ zur Zahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 10'000.--.
C. Mit Eingabe vom 14. Februar 2012 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, den letztgenannten Entscheid aufzuheben und dem Beschwerdeführer für das Berufungsverfahren vor dem Kantonsgericht St. Gallen die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig wird auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Die Politische Gemeinde Y._ hat sich nicht vernehmen lassen. Das Kantonsgericht St. Gallen (verfahrensleitender Richter) verzichtet auf Vernehmlassung.
D. Mit Verfügung vom 15. März 2012 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.
E. X._ hat von der Möglichkeit, sich noch einmal zu äussern, keinen Gebrauch gemacht.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide in Zivilsachen ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (Art. 72 Abs. 1 und Art. 75 Abs. 1 BGG), in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts demgegenüber die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Für die Bestimmung des zulässigen Rechtsmittels an das Bundesgericht ist massgeblich, ob die vom Kläger bzw. Beschwerdeführer erhobene Forderung privat- oder öffentlich-rechtlicher Natur ist (Urteil 2C_58/2009 vom 4. Februar 2010 E. 1.1). Entscheidend ist nicht, welches Verfahren die kantonalen Behörden eingeschlagen haben, sondern ob die Parteien Ansprüche des Bundeszivilrechts oder des öffentlichen Rechts erheben (Urteil 1C_382/2007 vom 24. April 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 415 mit Hinweisen), was sich nach den Sachvorbringen des Klägers richtet (<ref-ruling> E. 1a S. 239).
Der Beschwerdeführer hat in der Hauptsache ausdrücklich eine Forderung aus Staatshaftung geltend gemacht. Nach einhelliger Lehre und Rechtsprechung gehört die Staatshaftung dem öffentlichen Recht an. Entsprechende letztinstanzliche kantonale Entscheide sind vor Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anfechtbar (Urteil 2C_391/2008 vom 1. September 2008 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>, Art. 30 Abs. 1 lit. c Ziff. 1 des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht [BGerR; SR 173.110.131]). Dass der angefochtene Entscheid eine andere Rechtsmittelbelehrung enthält und die Sache von (kantonalen) Zivilgerichten beurteilt worden ist, ändert nichts (Urteil 2C_111/2011 vom 7. Juli 2011 E. 1.2). Ausgenommen ist einzig die hier nicht zur Diskussion stehende Staatshaftung aus medizinischer Tätigkeit, die trotz ihrer öffentlich-rechtlichen Natur im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen von der I. zivilrechtlichen Abteilung behandelt wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 331; <ref-ruling> E. 2.1 S. 465).
1.2 Anfechtungsobjekt ist hier ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid, mit dem die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wurde, mithin ein Zwischenentscheid, der in der Regel einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirkt (<ref-law>; Urteil 4A_363/2012 vom 31. Juli 2012 E. 3, <ref-ruling> E. 4 S. 338, 129 I 129 E. 1.1 S. 131 mit Hinweis). Von einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil ist auszugehen, wenn nicht nur die unentgeltliche Rechtspflege verweigert, sondern zugleich auch die Anhandnahme des Rechtsmittels von der Bezahlung eines Kostenvorschusses durch die gesuchstellende Partei abhängig gemacht wird (<ref-ruling> E. 2b S. 202 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2a S. 210; <ref-ruling> E. 2f S. 278; <ref-ruling> E. 2b S. 279; <ref-ruling> E. 2 S. 439). Ausnahmsweise kann es sich anders verhalten, etwa wenn der Kostenvorschuss schon (oder gleichwohl) bezahlt wurde (Urteil 2D_1/2007 vom 2. April 2007 E. 3.1 - 3.4) und der Anwalt bereits alle nötigen Eingaben verfasst hat. Ein solcher Ausnahmefall liegt hier aber nicht vor.
Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (Urteile 2C_111/2011 vom 7. Juli 2011 E. 1.2, 5A_145/2010 vom 7. April 2010 E. 1.1). In dieser geht es hier um eine Forderung aus Staatshaftung, mithin um eine Angelegenheit, die der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht unterliegt (vorne E. 1.1). Insoweit steht dasselbe Rechtsmittel auch gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das kantonal letztinstanzliche Verfahren offen, zumal auch die Streitwertgrenze überschritten wird (Art. 85 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit <ref-law>). Auf die vorliegende Beschwerde ist daher einzutreten.
2. Das Kantonsgericht hat das Ersuchen des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abgewiesen, weil es dessen Rechtsmittel als aussichtslos erachtet.
Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu <ref-law> Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweis). Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer summarischen Prüfung nach den Verhältnissen zur Zeit, zu der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen) und damit - in einem Rechtsmittelverfahren - aufgrund der Sach- und Rechtslage, wie sie sich nach dem unterinstanzlichen Entscheid darbot.
3. 3.1 Art. 1 des kantonalen Gesetzes vom 7. Dezember 1959 über die Haftung der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten (Verantwortlichkeitsgesetz, VG) hatte ursprünglich folgenden Wortlaut:
"Der Staat, die Gemeinden, die übrigen öffentlich-rechtlichen Körperschaften und die öffentlich-rechtlichen Anstalten des kantonalen Rechts haften für den Schaden, den ihre Behörden, Beamten und Angestellten in Ausübung dienstlicher Verpflichtungen Dritten widerrechtlich zufügen, sofern sie nicht nachweisen, dass ihren Behörden, Beamten und Angestellten kein Verschulden zur Last falle. (...)."
Art. 4 VG in seiner ursprünglichen Fassung (aArt. 4 VG) lautete (unter dem Marginale "Schadenersatzbegehren):
"Der Geschädigte hat das Schadenersatzbegehren innerhalb eines Jahres, nachdem er von der Schädigung Kenntnis erhalten hat, spätestens aber zehn Jahre nach der schädigenden Handlung, dem Bezirksamtmann einzureichen. (...)".
Mit dem "II. Nachtragsgesetz zum Verantwortlichkeitsgesetz vom 26. Mai 2000" (in Kraft seit 1. September 2000) entfiel in Art. 1 Abs. 1 VG der Halbsatz" sofern sie nicht nachweisen, dass ihren Behörden, Beamten und Angestellten kein Verschulden zur Last falle". Art. 4 VG erhielt demgegenüber folgenden Wortlaut (Marginale: "Schadenersatzbegehren"):
"Der Schadenersatzanspruch verjährt, wenn der Geschädigte nicht innert zwei Jahren, nachdem er von der Schädigung Kenntnis erhalten hat, spätestens aber zehn Jahre nach der schädigenden Handlung, Klage beim Vermittler erhebt. (...)".
Allerdings wurde dieses Nachtragsgesetz nicht angewendet auf Schäden, die vor seinem Vollzugsbeginn "verursacht worden sind" (Ziff. IV.1 der Übergangsbestimmungen).
3.2 Das Kreisgericht W._ erwog in erster Instanz, aArt. 4 Abs. 1 VG enthalte eine relative einjährige und eine absolute zehnjährige Verwirkungsfrist. Massgebend sei vorliegend die zehnjährige, nicht erstreckbare Verwirkungsfrist, die am 6. Januar 2006 unbenutzt abgelaufen sei. Sämtliche Verzichtserklärungen seien unter dem Vorbehalt abgegeben worden, dass die Verjährung bzw. Verwirkung nicht bereits eingetreten sei, was sich in dem Sinne auswirke, dass der Kläger weiterhin verpflichtet gewesen sei, die absolute Zehnjahresfrist einzuhalten. Selbst wenn man auch bei Verwirkungen eine Verzichtserklärung zulassen wollte, seien die Verzichtserklärungen der Beklagten nur bis am 6. Januar 2009 gültig gewesen; die Betreibung vom 5. Januar 2009 sei keine gültige Unterbrechungshandlung. Somit sei der Anspruch spätestens seit dem 6. Januar 2009 verwirkt. Die neue Verzichtserklärung der Beklagten vom 2. Dezember 2009 gelte nur, soweit die Verjährung nicht bereits eingetreten sei und könne die spätestens am 6. Januar 2009 bereits eingetretene Verwirkung nicht ersetzen.
3.3 Mit Art. 21 des kantonalen Einführungsgesetzes zur Schweizerischen Zivilprozessordnung vom 15. Juni 2010 (EG ZPO, in Kraft seit 1. Januar 2011) wurde Art. 4 VG erneut angepasst und erhielt (unter dem Marginale "Verjährung" folgenden Wortlaut:
"1 Der Schadenersatzanspruch verjährt, wenn der Geschädigte nicht innert zwei Jahren, nachdem er von der Schädigung Kenntnis erhalten hat, spätestens aber zehn Jahre nach der schädigenden Handlung, das Schlichtungsgesuch einreicht.
2 Die Körperschaft oder Anstalt kann auf die Erhebung der Verjährungseinrede verzichten."
In seiner Berufung an das Kantonsgericht hatte sich der Beschwerdeführer neu auf diese Änderung berufen und geltend gemacht, der vorliegende Fall unterliege damit einerseits nicht mehr einer Verwirkungs-, sondern einer Verjährungsfrist, und andererseits könne die öffentlich-rechtliche Körperschaft auf die Erhebung der Verjährungseinrede verzichten. Gerade dies aber habe die Beklagte getan, weshalb davon auszugehen sei, dass die Forderung aufgrund der neuen Fassung von Art. 4 VG auch im jetzigen Zeitpunkt nicht verjährt sei.
3.4 Nach der Rechtsprechung sind die Verjährungs- oder Verwirkungsbestimmungen des neuen Rechts auf altrechtliche Ansprüche anwendbar, sofern diese vor dem Inkrafttreten des neuen Rechts entstanden und fällig, aber vor diesem Zeitpunkt noch nicht verjährt oder verwirkt sind (<ref-ruling> E. 5.2 S. 429/430 mit Hinweisen). Selbst wenn man davon ausgeht, dass neues Recht grundsätzlich auf hängige Verfahren und damit auf im Zeitpunkt des Inkrafttretens noch nicht abgelaufene Verjährungsfristen Anwendung findet, so würde es demzufolge den genannten allgemeinen intertemporalen Grundsätzen widersprechen anzunehmen, es würden auch unter altem Recht bereits abgelaufene Verjährungs- oder Verwirkungsfristen wieder hergestellt (vgl. das zitierte Urteil sowie Urteil 9C_698/2009 vom 7. Juli 2010 E. 3.2). Wollte der Gesetzgeber dies anordnen, müsste er eine solche Regelung ausdrücklich vorsehen.
Damit aber erwies sich die Berufung des Beschwerdeführers auf das neue Recht (EG ZPO, neue Fassung des VG) als aussichtslos.
3.5 Soweit sich der Beschwerdeführer in der Berufung auf die abgegebenen Verjährungsverzichtserklärungen berief, stellte er das entscheidende Argument des Kreisgerichts nicht in Frage, dass zwischen dem 6. Januar 2009 und dem 2. Dezember 2009 keine gültige Verzichtserklärung bestand. In der Rechtsschrift behauptete er bloss (S. 6), die Betreibung vom 5. Januar 2008 (recte: 2009) habe die Frist unterbrochen; er setzte sich aber mit der gegenteiligen Argumentation der ersten Instanz (vgl. Urteil des Kreisgerichts W._ S. 5) nicht auseinander, wonach eine Betreibungseinleitung nach Art. 4 aVRG gerade nicht genüge, um die Verwirkungsfrist zu wahren.
Auch unter diesem Aspekt kann dem Kantonsgericht demzufolge keine Verletzung von <ref-law> vorgeworfen werden.
3.6 Unter diesen Umständen war auch der geltend gemachte Aspekt von Treu und Glauben aussichtslos, unter welchem allgemeinen Vorbehalt der Zeitablauf als Untergangsgrund für einen Anspruch steht (dazu ausführlich <ref-ruling> E. 3 S. 152 ff.). Zwar ist die Einrede der Verwirkung auch dann rechtsmissbräuchlich, wenn der Schuldner ohne Arglist durch sein Verhalten bei der Gegenpartei das Vertrauen erweckt, dass die Geltendmachung der Ansprüche nicht nötig sei und er sich trotz seines früheren Verhaltens auf die Verwirkung beruft (<ref-ruling> E. 4e, so auch <ref-ruling> E. 4a und Urteil 2C_267/2010 vom 8. April 2011 E. 5.4), und kann davon abgesehen werden, einer Verwirkungsfrist Rechnung zu tragen, wenn sich der Beklagte "ohne irgendwelchen Vorbehalt auf die Sache eingelassen hatte" (<ref-ruling> E. 3c/bb). Der Beschwerdeführer berief sich auf diese Grundsätze, erwähnte in seiner Rechtsschrift an das Kantonsgericht aber bloss abstrakt einige (zum Teil auch kantonale) Urteile, ohne aber darzulegen, dass und inwiefern sich die Beklagte im Sinne dieser Rechtsprechung "vorbehaltlos" auf den Prozess eingelassen haben sollte.
3.7 Nach dem Gesagten durfte die Vorinstanz die bei ihr erhobene Berufung gegen das Urteil des Kreisgerichts W._ vom 19. Oktober 2011 ohne Rechtsverletzung als aussichtslos bezeichnen und das entsprechende Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abweisen.
4. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde.
Bei diesem Ausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 65/66 BGG). Seinem Gesuch, ihm auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren, kann nicht entsprochen werden, zumal der angefochtene Entscheid im Einklang mit der veröffentlichten Rechtsprechung des Bundesgerichts steht und der Beschwerdeführer deshalb nicht ernsthaft mit einer Gutheissung seiner Anträge rechnen durfte (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Politischen Gemeinde Y._ und dem Kantonsgericht St. Gallen, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgericht
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein