Sachverhalt:
A. Die X._ AG mit Sitz in Triesen/FL ist seit dem 3. September 2004 als Aktiengesellschaft im liechtensteinischen Handelsregister eingetragen. Sie bezweckt laut Eintrag unter anderem "den Erwerb und das Halten von Flugzeugen sowie deren Weitervermietung und Vercharterung an Dritte". Die X._ AG ist die Tochtergesellschaft der B._ B.V., Amsterdam, die gemäss Gruppenstruktur als Holdinggesellschaft des Konzerns fungiert.
Die X._ AG, Triesen, beabsichtigte, ein Flugzeug Bombardier Global Express im Wert von rund US$ 34,5 Mio. im internationalen Charterverkehr einzusetzen, und ersuchte deshalb die liechtensteinische Steuerverwaltung am 4. Oktober 2004 um Aufnahme in das Mehrwertsteuerregister des Fürstentums Liechtenstein. Die liechtensteinische Steuerverwaltung verlangte in der Folge verschiedene Unterlagen ein. Weil die X._ AG mit dem Vorgehen der Steuerverwaltung nicht einverstanden war, erhob sie Säumnisbeschwerde bei der liechtensteinischen Landessteuerkommission, was eine weitere Säumnisbeschwerde beim Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein zur Folge hatte, nachdem die unteren Instanzen nicht innert Frist entschieden hatten.
Der Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein hiess die Beschwerde mit Urteil vom 1. Dezember 2005 gut und wies die Steuerverwaltung an, die X._ AG per 4. Oktober 2004 in das Register für Mehrwertsteuerpflichtige einzutragen.
Gegen dieses Urteil führte die liechtensteinische Steuerverwaltung Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Schweizerischen Bundesgericht. Dieses hiess mit Urteil vom 25. Oktober 2006 die Beschwerde gut und hob das Urteil des Verwaltungsgerichtshofes des Fürstentums Liechtenstein auf. Gleichzeitig wurde die Sache zur definitiven Beurteilung des Antrags auf Eintragung im Register der Mehrwertsteuerpflichtigen an die liechtensteinische Steuerverwaltung zurückgewiesen.
B. Mit Verfügung vom 8. August 2007 wies die liechtensteinische Steuerverwaltung das Gesuch um Aufnahme im Mehrwertsteuerregister ab. Sie ging davon aus, dass die Einräumung der Verfügungsmacht über das Flugzeug Bombardier Global Express BD-700-1 von der X._ AG an die Betreiberin des Flugzeugs (O._ AG, Zürich-Kloten) bereits in Windsor Locks (US-Bundesstaat Connecticut), und damit im Ausland, erfolgte. Es handle sich um einen reinen Ausland-Ausland-Umsatz, der keine Steuerpflicht begründe. Eine Vercharterung des Flugzeugs durch die X._ AG an die B._ B.V. anerkannte die Steuerverwaltung nicht. Im Übrigen wurde auch die Verrechnung eines Vorkaufsrechts mit der C._ S.A., Lugano, einer weiteren Gruppengesellschaft, nicht als steuerlich relevant betrachtet.
Gegen diese Verfügung erhob die X._ AG Einsprache und in der Folge Säumnisbeschwerde bei der Landessteuerkommission und schliesslich beim Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein.
Der Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein wies mit Urteil vom 17. November 2008 die Säumnisbeschwerde gegen die Landessteuerkommission bzw. gegen die Verfügung der Steuerverwaltung vom 8. August 2007 ab und bestätigte die Verfügung.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 23. Dezember 2008 beantragt die X._ AG dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein vom 17. November 2008 sei aufzuheben und die Verfügung der liechtensteinischen Steuerverwaltung vom 8. August 2007 dahingehend abzuändern, dass die Beschwerdeführerin mit Wirkung ab 4. Oktober 2004 bis zum 17. Januar 2008 in das Mehrwertsteuerregister des Fürstentums Liechtenstein eingetragen werde. Überdies verlangt sie eine Parteientschädigung von Fr. 98'689.--.
Die liechtensteinische Steuerverwaltung sowie die ebenfalls zur Stellungnahme eingeladene Eidgenössische Steuerverwaltung beantragen Abweisung der Beschwerde. Der Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 3. Juli 2009 nahm die Beschwerdeführerin zu den Vernehmlassungen der beiden Steuerverwaltungen Stellung. Sie beantragt neu eine Parteientschädigung von Fr. 134'136.30.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des liechtensteinischen Verwaltungsgerichtshofs an das Schweizerische Bundesgericht ergibt sich völkerrechtlich aus Art. 11 der Vereinbarung zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Fürstentum Liechtenstein vom 28. November 1994 zum Vertrag betreffend die Mehrwertsteuer im Fürstentum Liechtenstein (nachfolgend: MWST-Vereinbarung; SR 0.641.295.142.1) und landesrechtlich aus Art. 66 Abs. 1 des liechtensteinischen Gesetzes vom 16. Juni 2000 über die Mehrwertsteuer (Mehrwertsteuergesetz, MWSTG/FL; LGBl. 2000, Nr. 163). Das Verfahren richtet sich nach schweizerischem Recht (Art. 11 MWST-Vereinbarung, <ref-law>/FL). Auf die unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (<ref-law>/FL, <ref-law>) und Form (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten. Zulässig ist auch die von der Beschwerdeführerin zu den Vernehmlassungen der Steuerbehörden unaufgefordert eingereichte Replik vom 2. Juli 2009 (vgl. <ref-ruling> ff.).
Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit die Beschwerdeführerin Anträge in Bezug auf die Verfügung der liechtensteinischen Steuerverwaltung vom 8. August 2008 stellt. Beschwerdefähig sind nach Art. 11 der MWST-Vereinbarung und <ref-law>/FL nur "letztinstanzliche liechtensteinische Entscheidungen", mithin Entscheide des Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein.
1.2 Art. 11 der MWST-Vereinbarung mit Liechtenstein beschränkt die Anfechtbarkeit auf "Entscheidungen über materielle Vorschriften der Mehrwertsteuer". Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann somit nur gerügt werden, materielle Rechtsvorschriften der liechtensteinischen Mehrwertsteuergesetzgebung und der gemäss dieser Gesetzgebung anwendbaren Vorschriften seien verletzt (s. auch <ref-law>/FL). Eine Sachverhaltsprüfung steht dem Bundesgericht nicht zu.
Bezüglich der hier streitigen Fragen (Zulassung der Beschwerdeführerin als Steuersubjekt und die damit verbundene Zuteilung einer Mehrwertsteuernummer) ist die Zuständigkeit des Bundesgerichts gegeben.
1.3 Anwendbar ist im vorliegenden Fall das liechtensteinische Mehrwertsteuergesetz vom 16. Juni 2000, in Kraft seit 1. Januar 2001 (Art. 89 und 90 MWSTG/FL). Da das Gesetz das schweizerische Mehrwertsteuerrecht in weiten Teilen unverändert in das eigene Recht übernommen hat (vgl. Art. 1 Abs. 1 MWST-Vereinbarung), kann bei der Beurteilung auf die entsprechende Lehre und Rechtsprechung zur schweizerischen Mehrwertsteuer abgestellt werden. Das gilt zumindest insoweit, als keine abweichenden Gesetzesbestimmungen bestehen.
2. 2.1 Steuerpflichtig - und damit zur Anmeldung bei der Steuerverwaltung verpflichtet (<ref-law>/FL) - ist, wer eine mit der Erzielung von Einnahmen verbundene gewerbliche oder berufliche Tätigkeit selbständig ausübt, auch wenn die Gewinnabsicht fehlt, sofern seine Lieferungen, seine Dienstleistungen und sein Eigenverbrauch im Inland jährlich gesamthaft Fr. 75'000.-- übersteigen (<ref-law>/FL). Die Tätigkeit ist beruflich oder gewerblich, wenn sie gegenüber Dritten erfolgt, auf die Erzielung von Einnahmen angelegt ist und eine gewisse Nachhaltigkeit in zeitlicher Hinsicht verfolgt (vgl. Camenzind/Honauer/Vallender, Handbuch zum Mehrwertsteuergesetz, 2. Aufl. 2003, Rz. 995, 1001 ff.; Schafroth/Romang, in mwst.com, Kommentar zum Bundesgesetz über die Mehrwertsteuer, 2000, N. 22 ff. zu <ref-law>; Rivier/Rochat, Droit fiscal suisse, La taxe sur la valeur ajoutée, 2000, S. 99 ff.).
Zu den Umsätzen, die der Steuer unterliegen, sofern sie nicht ausdrücklich davon ausgenommen sind (vgl. <ref-law>/FL), zählen nach <ref-law>/FL:
a) im Inland gegen Entgelt erbrachte Lieferungen von Gegenständen;
b) im Inland gegen Entgelt erbrachte Dienstleistungen;
c) Eigenverbrauch im Inland;
d) Bezug von Dienstleistungen gegen Entgelt von Unternehmen mit Sitz im Ausland.
2.2 Um der Steuer zu unterliegen, muss der Umsatz somit einen Inlandbezug aufweisen. Als Inland im mehrwertsteuerrechtlichen Sinn gilt gemäss <ref-law>/FL in Verbindung mit Art. 2 der MWST-Vereinbarung das Gebiet des Fürstentums Liechtenstein und das Gebiet der Schweiz als ein gemeinsames Anwendungsgebiet der Mehrwertsteuer. Für die Frage, ob steuerbare (oder steuerbefreite) Umsätze vorliegen, ist daher der Ort der Lieferung oder Dienstleistung wesentlich. Für Lieferungen und Dienstleistungen gelten verschiedene Grundsätze:
Der Ort der Lieferung befindet sich dort, wo sich der Gegenstand im Zeitpunkt der Verschaffung der wirtschaftlichen Verfügungsmacht, der Ablieferung oder der Überlassung zum Gebrauch befindet (<ref-law>/FL). Wird der gelieferte Gegenstand versendet oder befördert, gilt die Lieferung als an dem Ort ausgeführt, wo die Beförderung oder Versendung beginnt (<ref-law>/FL). Das Befördern ist dabei nicht als eine selbständige Leistung zu verstehen (Dieter Metzger, Kurzkommentar zum Mehrwertsteuergesetz, 2000, N 3 zu Art. 13).
Eine Lieferung liegt nach <ref-law>/FL auch vor, wenn ein Gegenstand zum Gebrauch oder zur Nutzung überlassen wird. Die Vermietung und das Leasing von Gegenständen sind daher als Lieferungen zu behandeln. Die Vercharterung oder das Leasing von Luftfahrzeugen gilt folglich als an dem Ort ausgeführt, wo sich das Luftfahrzeug im Zeitpunkt der Überlassung zum Gebrauch befindet (<ref-law>/FL; vgl. Urteil des Bundesgerichts 2A.314/1998 vom 27. Februar 2001 E. 2b, in: ASA 73 S. 316 ff.). Befindet sich dieser Ort im Ausland, liegt kein steuerbarer Umsatz vor.
Demgegenüber werden Dienstleistungen nach <ref-law>/FL an demjenigen Ort erbracht, wo die Person, welche die Dienstleistung erbringt, ihren Sitz oder ihre Betriebsstätte hat. Das gilt unter dem Vorbehalt, dass keine der Ausnahmen der Absätze 2 und 3 zutrifft. Eine dieser Ausnahmen betrifft die Beförderungsleistungen. Diese gelten als in dem Land erbracht, wo die zurückgelegte Strecke liegt (<ref-law>/FL).
2.3 Im internationalen Luftverkehr ist zudem <ref-law>/FL zu beachten: Nach Absatz 3 dieses Artikels sind die Beförderungen im internationalen Luftverkehr, bei denen nur der Ankunfts- oder Abflugort im Inland liegt, sowie Beförderungen im internationalen Luftverkehr von einem ausländischen Flughafen zu einem anderen ausländischen Flughafen über inländisches Gebiet aus Gründen der Wettbewerbsneutralität von der Steuer befreit (<ref-law>/FL, entspricht Art. 6 der Verordnung vom 29. März 2000 zum schweizerischen Mehrwertsteuergesetz, SR 641.201). Es handelt sich um eine echte Steuerbefreiung, weil die Vorsteuern auf der Beschaffung der Gegenstände und Dienstleistungen, welche für die steuerbefreiten Umsätze verwendet werden, abgezogen werden können (auch Nullsatz-Besteuerung, vgl. <ref-law>/FL).
Gemäss <ref-law>/FL sind ferner auch die Vermietung und Vercharterung von Schienen- und Luftfahrzeugen, sofern diese vom Lieferungsempfänger überwiegend im Ausland genutzt werden, von der Steuer mit Anspruch auf Vorsteuerabzug (echt) befreit.
2.4 Keine steuerbaren Umsätze sind demnach reine Auslandlieferungen, d.h. Lieferungen die sich ausschliesslich auf ausländischem Gebiet abspielen, sowie Beförderungen im Ausland. Insoweit stimmen die massgeblichen Vorschriften der liechtensteinischen Mehrwertsteuer mit denjenigen der schweizerischen Mehrwertsteuer (vgl. Art. 5-7, 13, 14 und 19 MWSTG/CH) überein.
3. Aufgrund der tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid ist davon auszugehen, dass die B._ B.V. mit Sitz in den Niederlanden mit der Bombardier Aerospace Corporation, Texas/USA, am 25. Juni/1. Juli 2004 einen Vertrag über den Kauf eines Flugzeugs Bombardier Global Express BD-700-1 abschloss. Bei der B._ B.V. handelt es sich um die Holdinggesellschaft der gleichnamigen Gruppe, welcher auch die Beschwerdeführerin angehört.
In der Folge kam es am 14. Oktober 2004 zu insgesamt drei Verträgen:
Mit Pre-Owned Aircraft Purchase Agreement vom 14. Oktober 2004 übertrug die B._ B.V. die Rechte am Flugzeug auf die H._ Ltd. mit Sitz in George Town (Grand Cayman).
Gleichentags leaste die Beschwerdeführerin das Flugzeug von der H._ Ltd. (Aircraft Lease Agreement vom 14. Oktober 2004).
Am selben Tag (14. Oktober 2004) schloss die Beschwerdeführerin mit der schweizerischen O._ AG mit Sitz in Zürich-Flughafen einen Miet- und Betriebsvertrag (Rent and Operation Agreement). Damit betraute die Beschwerdeführerin die O._ AG als "Operator" mit dem Betrieb des genannten Flugzeugs.
Am 19. Oktober 2004 wurde das Flugzeug von Windsor Locks, Connecticut/USA, in die Schweiz überführt. Der Eintrag in das schweizerische Luftfahrzeugregister erfolgte unter dem Kennzeichen HB-_ am 19. Oktober 2004. Das Bundesamt für Zivilluftfahrt (BAZL) trug als Eigentümerin des Flugzeugs die H._ Ltd. und als Halterin die O._ AG ein. Am 20. Oktober 2004 erfolgte die Zollanmeldung für das Flugzeug. Als Empfängerin figurierte die Beschwerdeführerin. Die Verzollung wurde durch das Zollamt Zürich-Flughafen am 16. November 2004 durchgeführt.
Am 22. Dezember 2004 erteilte das BAZL der O._ AG das Luftverkehrsbetreiberzeugnis (Air Operator Certificate, AOC). Dieses ist Voraussetzung für die gewerbsmässige Beförderung von Personen (Art. 103 Abs. 1 lit. d der Luftfahrtverordnung vom 14. November 1973, SR 748.01). Damit durfte die Halterin (O._ AG) das Flugzeug auch für den gewerbsmässigen Transport von Dritten verwenden.
4. Die Vorinstanz erachtete im angefochtenen Entscheid die subjektive Steuerpflicht der Beschwerdeführerin ab 4. Oktober 2004 im Wesentlichen unter drei Gesichtspunkten nicht als gegeben:
Zum einen liege eine Lieferung des Flugzeugs durch die Beschwerdeführerin an die O._ AG vor. Der Übergabeort und damit auch Ort der Lieferung (<ref-law>/FL) befinde sich in Windsor Locks, Connecticut/USA. Dort habe am 15. Oktober 2004 die H._ Limited das Flugzeug der O._ AG übergeben. Diese habe damit ab Windsor Locks als Halterin über das Flugzeug rechtlich und tatsächlich verfügen können. Rechtliche Grundlage hierfür sei das Rent and Operation Agreement mit der Beschwerdeführerin vom 14. Oktober 2004 gewesen. Die Lieferung des Flugzeuges in den USA habe mehrwertsteuerrechtlich keinen Inlandbezug und sei daher nicht steuerbar.
Sodann erwog der Verwaltungsgerichtshof, dass seit der Übernahme des Flugzeuges durch die O._ AG als Halterin in Windsor Locks im Jahre 2004 die Nutzung des Flugzeugs nur im Ausland stattgefunden habe. Betriebsflugplatz (Operator Air Base) sei Kiew, Ukraine, von wo aus die meisten Flüge abgewickelt worden seien. Das sei auch der Heimatort eines der wirtschaftlich Berechtigten, R.S._. Im Jahre 2004 seien ausschliesslich ausländische Destinationen angeflogen worden. Auch insoweit lägen keine steuerbaren Leistungen vor. Aufgrund der Passagierlisten seien lediglich vier Flüge mit Inlandbezug nachgewiesen, nämlich am 19. Oktober 2004 (Windsor Locks - Zürich), 22. Oktober 2004 (Zürich - Berlin), 12. November 2004 (Kiew - Genf) und 13. November 2004 (Genf - Kiew).
Schliesslich hätten die Flüge ganz überwiegend privaten Charakter gehabt, eine geschäftliche Verwendung sei nicht nachgewiesen. R.S._ und ihm Nahestehende hätten gemäss der Passagierliste das Flugzeug massgeblich genutzt. Auch die nachträglich beigebrachte Passagierliste für das Jahr 2004 bestätige diese Annahme.
Die tatsächlichen Feststellungen des liechtensteinischen Verwaltungsgerichtshofs sind für das Bundesgericht verbindlich. Zu prüfen sind die vom Gerichtshof daraus gezogenen rechtlichen Schlüsse im Licht der liechtensteinischen Mehrwertsteuer.
5. Für die Beurteilung der Frage, welche Personen an welchen Leistungen beteiligt sind, ist es erforderlich, zunächst das von der Beschwerdeführerin mit der O._ AG am 14. Oktober 2004 geschlossene Rent and Operation Agreement zu analysieren. Dieses wurde am 23. Dezember 2004 und am 2. März 2005 durch zwei Amendments ergänzt. Wie der Verwaltungsgerichtshof richtig darlegt, sind für die mehrwertsteuerrechtliche Beurteilung des Vertrags die tatsächlichen Verhältnisse massgebend und ist nicht allein auf die Benennung des Vertrags durch die Parteien abzustellen.
5.1 Aufgrund des genannten Miet- und Betriebsvertrages vom 14. Oktober 2004 übergab die Beschwerdeführerin das Flugzeug der O._ AG und beauftragte diese, den Flugbetrieb sicherzustellen bzw. das Flugzeug auf Kosten der Beschwerdeführerin bestmöglich einzusetzen. Die O._ AG hatte gemäss Vertrag (Ziff. 5.1) als Operator nicht nur die Crew zur Verfügung zu stellen, sondern auch den Unterhalt zu gewährleisten, das Flugzeug zu verwalten und zu betreiben und die Flugbereitschaft aufrecht zu erhalten (Ziff. 7). Sie hatte alle mit dem Betrieb dieses Flugzeugs erforderlichen Koordinations- und anderen Dienstleistungen zu erbringen, welche im Zusammenhang mit der Flug- und Einsatzplanung erforderlich sind (vgl. Ziff. 6).
Was den Einsatz des Flugzeugs betrifft, so ist aufgrund der vertraglichen Vereinbarung davon auszugehen, dass das Flugzeug sowohl für Flüge zu Gunsten der Beschwerdeführerin als auch für die Vercharterung an Dritte eingesetzt werden soll (Ziff. 12.1). Für die erbrachten Dienstleistungen erhielt die O._ AG u.a. eine monatliche Management-Fee (Ziff. 11.2). Zusätzlich waren ihr alle durch sie selbst erbrachten oder bei Dritten bezogenen Leistungen zu entschädigen (Ziff. 11.1).
5.2 Diese Vereinbarung enthält alle Merkmale eines klassischen Aircraft Management Vertrags. Unter dem Begriff "Aircraft Management" wird das Verwalten und Betreiben von Luftfahrzeugen verstanden, welche einer anderen Person oder Firma bzw. einem anderen Eigentümer gehören. Um den Vertrag mit dem Eigentümer erfüllen zu können, bezieht die Aircraft Management Firma als Halterin des Flugzeugs die für den Betrieb und die Verwaltung des Luftfahrzeugs erforderlichen Leistungen von Dritten oder erbringt diese Leistungen mit eigenen Mitteln. Bei den von Dritten bezogenen Leistungen kann es sich um Lieferungen (z.B. Bezug von Treibstoffen, Catering, Wartungs- und Reparaturleistungen) oder um Dienstleistungen im In- oder Ausland handeln. Die von Dritten bezogenen und die selbst erbrachten Leistungen (einschliesslich "Management Fees") werden dem Eigentümer in Rechnung gestellt (vgl. Urteil 2A.40/2007 vom 14. November 2007 E. 2.5, in: StR63/2008 S. 288).
Die in der Schweiz geltende Praxis der Eidgenössischen Steuerverwaltung zum Aircraft Management Vertrag ist in der Branchenbroschüre Nr. 11, Luftverkehr (SR 610.540-11), ausführlich dargestellt. Sie geht davon aus, dass die Gesamtheit der Leistungen aus dem Aircraft Management Vertrag mit Bezug auf die Leistungen des Halters an den Eigentümer als ein unteilbares Dienstleistungspaket zu betrachten sind und sich der Ort dieser Dienstleistung dort befindet, wo die dienstleistende Person den Sitz ihrer wirtschaftlichen Tätigkeit oder eine Betriebsstätte hat und von wo aus die Dienstleistung erbracht wird (sog. Erbringerortprinzip, s. <ref-law>/FL; Branchenbroschüre. a.a.O, Ziff. 3.2.1). Liegt der Ort der Dienstleistungen im Inland, so werden sie zum Normalsatz steuerbar.
Diese Verwaltungspraxis wurde vom Bundesgericht bestätigt (Urteil, a.a.O., E. 2.5, 3.1). (Anders verhält es sich allenfalls seit dem 1. Juli 2006, nachdem auf diesen Zeitpunkt durch den Bundesrat mit der Einführung von Art. 1a der Verordnung vom 29. März 2000 zum Bundesgesetz über die Mehrwertsteuer [MWSTGV; SR 641.201] eine Praxisänderung vorgenommen wurde und Aircraft Management Leistungen neuerdings dem Empfängerortprinzip nach <ref-law> zugeordnet werden, doch findet diese neue Regelung hier noch keine Anwendung.)
5.3 Zivil- wie auch mehrwertsteuerrechtlich ist das Rent and Operation Agreement vom 14. Oktober 2004 zwischen der Beschwerdeführerin und der O._ AG demnach als ein Aircraft Management Vertrag zu qualifizieren. Die Gesamtleistung der O._ AG ist als ein einheitlicher Vorgang, als ein unteilbares Dienstleistungspaket zu betrachten. Es handelt sich um Leistungen der Betreiberin (Operator) an die Beschwerdeführerin, die darin bestehen, das Flugzeug zu unterhalten und zu Gunsten der Beschwerdeführerin einzusetzen und zu betreiben. Die Leistungen werden am Ort erbracht, wo die Betreiberin den Sitz ihrer wirtschaftlichen Tätigkeit oder eine Betriebsstätte hat (<ref-law>/FL). Der Auffassung des Verwaltungsgerichtshofs, wonach es sich um eine einheitliche Vercharterung des Flugzeugs von der Beschwerdeführerin an die O._ AG handle, kann somit nicht gefolgt werden. Damit kann auch der Leistungsort für die Vercharterung (Übergabeort des Flugzeugs an die O._ AG) in Windsor Locks, Connecticut/USA, nicht bestätigt werden.
5.4 Nur soweit die O._ AG im Rahmen der vertraglichen Abmachungen im Einzelfall berechtigt war, das Flugzeug zur Durchführung von Flügen mit Dritten zu verwenden, und davon Gebrauch machte, läge eine Vercharterung oder Vermietung durch die Beschwerdeführerin an die O._ AG vor. Hierfür musste die O._ AG aber im Besitz des Air Operator Certificate (AOC) für das Flugzeug sein, um ausser Personen der Beschwerdeführerin auch Dritte transportieren zu dürfen. Diese Bewilligung wurde ihr erst am 22. Dezember 2004 erteilt.
Auch nach dem 22. Dezember 2004 musste aber die O._ AG das Flugzeug für den Bedarf der Beschwerdeführerin bereit halten. Eine "generelle Vermietung" (Vercharterung) von der Beschwerdeführerin an die O._ AG, wie die Vorinstanz angenommen hat, liegt damit nicht vor. Nur soweit tatsächlich Dritte befördert wurden, wäre eine Vercharterung zu bejahen. Solche Vercharterungen oder Vermietungen gelten als einzelne Lieferungen im Sinne von <ref-law>/FL. Steuerbar sind sie nur, wenn das Flugzeug im Inland übergeben wird (vgl. vorn E. 2.2).
Denkbar wären daneben auch Beförderungsleistungen, welche die Beschwerdeführerin direkt erbrachte, indem sie mit dem Flugzeug Dritte beförderte. Steuerbar (bzw. von der Steuer echt befreit) wären solche Beförderungsleistungen aber nur, wenn mindestens der Abflug oder Ankunftsort im Inland liegt (vgl. vorn E. 2.3).
Es ist daher im Folgenden zu prüfen, ob die Beschwerdeführerin vor und nach dem 22. Dezember 2004 das Flugzeug an die O._ AG vercharterte (vermietete) oder ob sie das Flugzeug für die Beförderung Dritter selbst verwendete und gegebenenfalls in welchem Umfang.
6. Zur Frage, ob Vercharterungsleistungen vorliegen, ergibt sich Folgendes:
6.1 Aus den Passagierlisten, welche die Beschwerdeführerin für die Jahre 2004 (ab 19. Oktober) bis 2007 vorgelegt hat, lässt sich kein einziger Flug entnehmen, bei welchem durch die O._ AG unabhängige Dritte befördert worden wären. Als Drittpersonen sind hier Personen zu verstehen, die weder der Beschwerdeführerin noch mit ihr verbundenen Gesellschaften nahestehen oder angehören. Bis zur Erteilung des Air Operator Certificate (AOC) für das genannte Flugzeug am 22. Dezember 2004 war die O._ AG ohnehin nicht berechtigt, Drittpersonen damit zu befördern. Gemäss den Feststellungen des Verwaltungsgerichtshofs waren Passagiere für die im Jahr 2004 getätigten Flüge: A.U._ und A.T._ für die Überführung des Flugzeugs nach Europa (Zürich) am 19. Oktober 2004, R.S._ mit Gattin A.S._ oder A.S._ mit Sohn B.S._ am 12., 13., 15., 17. und 20. November 2004 sowie R.S._ mit einem Politiker am 18. November 2004. Es handelt sich um den wirtschaftlich Berechtigten und seine Familie.
6.2 Ab dem 23. Dezember 2004 war die O._ AG im Besitz des AOC für das Flugzeug und durfte sie damit auch Drittpersonen gewerbsmässig befördern. Doch ist auch für diesen Zeitraum bis und mit dem Jahr 2006 kein einziger solcher Flug nachgewiesen. Es handelte sich bei den beförderten Personen gemäss Passagierliste regelmässig um R.S._, seine Ehefrau, weitere Familienmitglieder und deren Freunde (family and friends), um Kader der zum gleichen Konzern wie die Beschwerdeführerin gehörende F._ Corporation (all senior members of F._) und vereinzelt Politiker. Zwar geben die Passagierlisten nicht über alle Flüge Auskunft, wie ein Vergleich mit der Flugliste (Aircraft Trip Summary) der betreffenden Jahre zeigt, doch hat die Beschwerdeführerin diese Unvollständigkeit selbst zu vertreten.
6.3 Die Beschwerdeführerin wendet ein, dass sie für die Periode bis 23. Dezember 2004 mit Aircraft Interim Charter Agreement vom 12. Dezember 2004 das Flugzeug an die B._ B.V., Amsterdam, rückwirkend "exklusiv verchartert" habe. Wesentlich ist indes, dass aus den massgebenden Unterlagen für den Zeitraum vom 19. Oktober 2004 bis zum 23. Dezember 2004 klar hervorgeht, dass das Flugzeug mit Ausnahme der nicht massgebenden Test- und Positionierungsflüge ausschliesslich durch den "Eigentümer" und seine Frau bzw. Familie, demnach nicht für Dritte (sondern für private Zwecke) verwendet wurde.
6.4 Eine Vermietung bzw. Vercharterung des Flugzeugs an die O._ AG ist damit nicht nachgewiesen.
7. Es bleibt zu prüfen, ob steuerbare bzw. von der Steuer echt befreite Beförderungsleistungen vorliegen.
7.1 Soweit die Beschwerdeführerin die Beförderungsleistungen (Flüge) für einen geschäftsmässig begründeten Zweck verwendet, bilden die daraus erzielten Einnahmen das Entgelt und können steuerbare Umsätze vorliegen. Auch Umsätze zwischen Konzerngesellschaften müssen anerkannt werden, wenn sie geschäftlich begründet sind. Erforderlich ist ein Leistungsaustausch zwischen mehreren Beteiligten (Leistung gegen Entgelt, vgl. Art. 5, 33 MWSTG/FL). Die Verwendung des Flugzeugs für Zwecke, die bei der Gesellschaft, die das Flugzeug nutzt, zu steuerbaren oder steuerbefreiten Umsätzen führt, wenn sie im Inland erbracht werden, begründen einen echten Leistungsaustausch. Reine Innenumsätze bewirken demgegenüber keinen Leistungsaustausch und sind nicht steuerpflichtig (Camenzind/Honauer/ Vallender, a.a.O., Rz. 157 S. 75, Rz. 171 S. 79). Wo die Nutzung ausschliesslich durch den wirtschaftlichen Eigentümer für seinen Privatbereich oder durch Personen, die diesem zuzurechnen sind, erfolgt, hat das Bundesgericht einen Leistungsaustausch regelmässig verneint (Urteil 2C_463/2008 vom 27. Januar 2009 E. 2.1; Urteil 2A.748/2005 vom 25. Oktober 2006 E. 3.2, in StR 62/2007 S. 234). Vereinzelt wurde auch angenommen, dass die Zwischenschaltung einer Aktiengesellschaft zur Erlangung von Vorsteuerabzügen auf einem für private Zwecke angeschafften Flugzeug den Tatbestand der Steuerumgehung erfüllt (Urteil 2C_632/2007 vom 7. April 2008 E. 4, in: ASA 77 S. 354; Urteil 2C_463/2008 vom 27. Januar 2009 E. 2.2).
7.2 Von vornherein keine steuerbaren oder steuerbefreiten Umsätze begründen reine Auslandflüge, bei denen Abflug- und Ankunftsort im Ausland liegen und auch kein inländisches Gebiet überflogen wird (<ref-law>/FL). Gemäss der bundesgerichtlichen Praxis gilt das auch für die in der Schweiz verzollten Beförderungsmittel, wenn sie im Ausland eingesetzt werden (Urteil 2A.577/1999 vom 10. November 2000 E. 5b/aa; in: ASA 70 S. 312 ff.; vgl. Camenzind/Honauer/Vallender, a.a.O., S. 187 Rz. 507).
7.3 Von den (wenigen) Flügen, bei denen gemäss der Flugliste (Aircraft Trip Summary) der Abflug- oder Ankunftsort im Inland liegt, fallen von vornherein jene ausser Betracht, welche aus betrieblichen Gründen zur Wartung oder Überführung dienten, wie z.B. die Flüge vom 22. Oktober 2004, 15., 16., 20. und 23. Mai 2005, 17. und 18. Juni 2005.
7.4 Sodann haben auch alle übrigen Flüge mit An- oder Abflugort im Inland, die als "family", "owner" oder "owner and wife" bezeichnet sind, als reine Privatflüge zu gelten, wie z.B. jene vom 12. und 13. November 2004, 21. und 25. Dezember 2005, 26., 27. und 29. Januar 2006, 13. und 14. April 2006, 10., 27. und 28. Dezember 2006 oder 3. und 4. September 2007.
Nicht gefolgt werden kann der Beschwerdeführerin darin, dass es sich bei R.S._ nicht um den beherrschenden Aktionär bzw. "wirtschaftlich Berechtigten" handeln soll. Der Hinweis, dass die B._ B.V., welche vollumfänglich die Beteiligung an der Beschwerdeführerin hält, ihrerseits zu 51 resp. 49 Prozent durch die D._ N.V. und die E._ B.V. beherrscht wird, genügt nicht, da ein tatsächlicher Nachweis für das Aktionariat nicht erbracht worden ist. Tatsache ist, dass R.S._ in den Flugunterlagen regelmässig als "Eigentümer" (owner) erwähnt wird und das Flugzeug fast ausschliesslich durch ihn genutzt wurde. Dass er das Flugzeug in Ausübung seiner "Leitungsfunktion bei der F._ (Corporation)" verwendet haben will, trifft ebenfalls nicht zu, nachdem eine regelmässige Nutzung durch andere Personen "in Leitungsfunktion" weder geltend gemacht noch nachgewiesen wurde.
7.5 Nicht anerkannt werden können schliesslich auch diejenigen Flüge mit Inlandbezug, für die Angaben zu den Passagieren fehlen, wie z.B. die Flüge vom 2. und 8. Januar 2005, 12. und 13. April 2005, 10. und 21. August 2005, 22. und 23. September 2005. Für die Flüge vom 25. und 28. Januar 2007 nach und von Zürich mit "all senior members of F._" fehlt ein Nachweis des geschäftlichen Zwecks. Dass einige Male "all senior partners of F._" befördert wurden, lässt angesichts der überwiegenden privaten Nutzung des Flugzeugs durch R.S._ nicht auf eine geschäftliche Verwendung schliessen. Angesichts der erheblichen Zweifel an der geschäftlichen Nutzung des Flugzeugs wäre es an der Beschwerdeführerin gelegen, für diejenigen Flüge, bei denen allenfalls eine geschäftliche Nutzung gegeben sein könnte, einen Nachweis zu erbringen. Beweisbelastet für diese Tatsache ist die Beschwerdeführerin, da sie daraus ihre Ansprüche auf Eintragung im Register der Mehrwertsteuerpflichtigen und damit die Möglichkeit der Einlagenentsteuerung und Vorsteuerrückerstattung ableitet.
7.6 Es verbleiben damit keine Flüge mit Inlandbezug, welche eine steuerbare bzw. eine von der Steuer (echt) befreite Beförderungsleistung darstellen könnten.
8. Die Beschwerdeführerin versucht ihre Pflicht zur Eintragung im Mehrwertsteuer-Register auch damit zu begründen, dass sie gegenüber der C._ S.A., Lugano, aufgrund des Option Agreement vom 1. November 2004 ein Vorkaufsrecht eingeräumt hat. Die hierfür bezahlte Entschädigung stelle einen steuerbaren Umsatz dar, der auf jeden Fall ihre Steuerpflicht begründe.
Der Verwaltungsgerichtshof hat diese Auffassung mit guten Gründen zurückgewiesen. In der Tat ist nicht ersichtlich, weshalb die C._ S.A., die gemäss Konzernstruktur eine Tochtergesellschaft der Allied Steel S.A. mit Sitz in Lugano ist, für die Einräumung eines Vorkaufsrechts am Flugzeug während den ersten beiden Jahren eine jährliche Gebühr von USD 220'000.-- und danach eine solche von USD 100'000.-- bezahlen sollte. Nach Darstellung der Beschwerdeführerin übertrug sie das Kaufrecht, welches ihr als Leasingnehmerin nach Ablauf des Vertrags gegenüber der H._ Ltd. zustehen soll, zur Sicherung der Finanzierung durch die C._ S.A. Die Verbindlichkeiten der Beschwerdeführerin gegenüber der C._ S.A. beliefen sich im Jahre 2006 auf über Fr. 20.4 Mio., wie der Verwaltungsgerichtshof feststellte. Dann ist aber nicht nachvollziehbar, weshalb die C._ S.A. die Kaufoption entschädigen sollte. Auch konnte die Beschwerdeführerin, die damals noch nicht Eigentümerin des Flugzeugs war, kein Kaufrecht abtreten. Die Annahme des Verwaltungsgerichtshofs, dass ein solcher Vertrag zwischen unabhängigen Dritten nie zu Stande gekommen wäre und der Verdacht bestehe, dass der Vertrag lediglich deshalb geschlossen wurde, um die Eintragung ins Mehrwertsteuerregister zu erwirken, ist berechtigt. Die Echtheit des angeblich eingeräumten Vorkaufsrechts ist damit nicht nachgewiesen.
9. Die Beschwerdeführerin geht davon aus, dass in ihrem Fall eine Option für die Steuerpflicht möglich sei und sie ein solches Optionsgesuch gestellt hat. In der Tat stellte sie mit Schreiben vom 6. Dezember 2004 ein solches Gesuch, wobei sie darin festhielt, dass sie als operative Gesellschaft tätig sei.
Im Gegensatz zur Schweiz kennt die liechtensteinische Gesetzgebung eine eigene Regelung im Zusammenhang mit der Besteuerung von Holding- und Sitzgesellschaften. <ref-law>/FL sieht vor, dass solche Gesellschaften von der Steuerpflicht ausgenommen sind, ausser für ihre steuerpflichtigen Umsätze im Mehrwertsteuerinland. Die Praxis der liechtensteinischen Steuerverwaltung geht zudem davon aus, dass Holding- und Sitzgesellschaften nicht von der freiwilligen Option Gebrauch machen können, was vom Verwaltungsgerichtshof geschützt wurde. Diese Einschränkung lässt sich mit der besonderen Stellung von Holding- und Sitzgesellschaften und deren Verwendung für internationale Transaktionen rechtfertigen. Die entsprechende Praxis wurde auch vom Bundesgericht anerkannt (Urteil 2C_195/2007 vom 8. Januar 2008, E. 2.5.5).
Aus dem Öffentlichkeitsregister Liechtensteins ist ersichtlich, dass die Beschwerdeführerin als Sitzunternehmen gegründet wurde und sich ihr Sitz bei der K._ in Triesen befindet. Dass es sich bei der Beschwerdeführerin um eine Sitzgesellschaft handelt, wird von der Vorinstanz mit einlässlicher Begründung dargelegt. Diese stellt zu Recht fest, dass die Beschwerdeführerin Aufgaben wahrnimmt, die sich auf eine reine Verwaltungstätigkeit beschränken. Es kommen dazu, dass die Gesellschaft ausländisch beherrscht ist, ihre Geschäftstätigkeit sich ausschliesslich im Ausland abwickelt und die eigentliche Tätigkeit, der Betrieb des Flugzeugs, durch die O._ AG in der Schweiz erfolgt. Daran ändert auch die hier erforderliche Gewerbebewilligung nichts. Im Übrigen steht nach dem Gesagten fest, dass die Beschwerdeführerin auch keine Inlandumsätze erzielt hat, die eine Steuerpflicht begründen könnten. Der Schluss der Vorinstanz, dass es sich bei der Beschwerdeführerin um eine Sitzgesellschaft handelt, die nicht für die freiwillige Besteuerung optieren kann, verletzt liechtensteinisches Mehrwertsteuerrecht nicht.
10. In der Beschwerde an den Verwaltungsgerichtshof machte die Beschwerdeführerin auch Dienstleistungsbezüge aus dem Ausland geltend. Dem angefochtenen Entscheid ist zu entnehmen, dass die Beschwerdeführerin für das Geschäftsjahr 2004 Dienstleistungen, insbesondere Beratungsdienstleistungen von Rechtsanwälten und Steuerberatern, aus dem Ausland im Umfang von USD 88'380.--bezogen hatte. Die Steuerverwaltung habe daher angekündigt, der Beschwerdeführerin für den Bezug dieser Dienstleistungen mit Wirkung ab 3. September 2004 eine Abrechnungsnummer zuzuteilen und den Steuerbetrag von Fr. 8'013.80 in Rechnung zu stellen. Dabei geht es aber um die besondere Steuerpflicht beim Bezug von Dienstleistungen von Unternehmen mit Sitz im Ausland gemäss <ref-law>/FL in Verbindung mit <ref-law>/FL (und nicht um die subjektive Steuerpflicht im Sinne von <ref-law>/FL). Die diesbezügliche Verfügung der Steuerverwaltung war offensichtlich nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens und ist somit nicht Streitgegenstand. Ebenfalls kann der Steuerverwaltung kein widersprüchliches Verhalten vorgeworfen werden, wenn sie aufgrund von <ref-law>/FL prüfte, ob die Voraussetzungen für die spezielle Steuerpflicht für den Dienstleistungsbezug aus dem Ausland bzw. von Unternehmen mit Sitz im Ausland gegeben sei.
11. Auf die Rüge der Beschwerdeführerin, sie sei im Vertrauen auf die Richtigkeit behördlicher Auskünfte zu schützen, ist nicht einzutreten, weil der Verwaltungsgerichtshof im angefochtenen Entscheid den Einwand eingehend geprüft hat und dieser nicht die Auslegung und Anwendung von "Rechtsvorschriften der liechtensteinischen Mehrwertsteuergesetzgebung" im Sinne von <ref-law>/FL beschlägt (sondern den allgemeinen Rechtsgrundsatz von Treu und Glauben und dessen Anwendung im Verwaltungsrecht).
12. Die Beschwerde erweist sich nach dem Gesagten als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist, und ist abzuweisen. Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen, die unterliegt (<ref-law>). Ein Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Parteientschädigung besteht bei diesem Verfahrensausgang nicht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 30'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Liechtensteinischen Steuerverwaltung, dem Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein sowie der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Dezember 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Wyssmann