Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führt gegen X._ eine Strafuntersuchung wegen Sachbeschädigung. X._ wird verdächtigt, am 1. Mai 2009 zusammen mit ca. 15 weiteren Personen die Hausfassade einer Bankfiliale in Zürich mit Steinen und Farbflaschen beworfen und hierdurch einen Sachschaden in der Höhe von ca. Fr. 60'000.-- verursacht zu haben.
X._ wurde am 29. April 2010 verhaftet und von der Staatsanwaltschaft einvernommen. Diese stellte gleichentags beim Haftgericht Antrag auf Anordnung der Untersuchungshaft. Nach mündlicher Anhörung von X._ versetzte das Bezirksgericht Zürich diesen mit Verfügung vom 30. April 2010 in Untersuchungshaft. Es bejahte einen dringenden Tatverdacht und erachtete den Haftgrund der Kollusionsgefahr als erfüllt.
B. Mit Beschwerde vom 12. Mai 2010 beantragt X._, die Verfügung des Bezirksgerichts sei aufzuheben, und er sei aus der Haft zu entlassen. Eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an das Haftgericht zurückzuweisen.
Das Bezirksgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde. Am 4. Juni 2010 teilt die Staatsanwaltschaft dem Bundesgericht mit, X._ sei am 19. Mai 2010 aus der Untersuchungshaft entlassen worden.
Mit Schreiben vom 8. Juni 2010 gibt das Bundesgericht den Parteien Gelegenheit, sich zur Frage der Gegenstandslosigkeit des Verfahrens und zur Kostenregelung zu äussern. Das Bezirksgericht verzichtet auf eine Stellungnahme. Die Staatsanwaltschaft beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. In seiner Eingabe vom 12. Juni 2010 betont X._, die Beschwerde sei mit seiner Haftentlassung nicht gegenstandslos geworden, sondern er habe (weiterhin) ein aktuelles Interesse an einem materiellen Entscheid.

Erwägungen:
1. Gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Strafsachen. Ein kantonales Rechtsmittel gegen den angefochtenen Entscheid steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist nach Art. 80 i.V.m. Art. 130 Abs. 1 BGG zulässig. Nach Art. 81 Abs. 1 lit. a und b BGG ist zur Beschwerde berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat.
Bei Haftbeschwerden bejaht das Bundesgericht trotz bereits erfolgter Entlassung aus der Untersuchungshaft ein Rechtsschutzinteresse, wenn ein Verstoss gegen Bestimmungen der BV oder der EMRK zur Diskussion steht. Bei dieser Sachlage entspricht es dem Gebot des fairen Verfahrens (Art. 29 Abs. 1 BV) und der Prozessökonomie dem Beschwerdeführer durch die Feststellung der Verfassungs- oder Konventionsverletzung Wiedergutmachung zu verschaffen (vgl. zur Publikation bestimmtes Urteil BGE 1B_326/2009 vom 11. Mai 2010 E. 1). Ein solcher Fall liegt hier vor.
Gemäss Art. 5 Ziff. 1 EMRK darf die Freiheit "nur auf die gesetzlich vorgeschriebene Weise entzogen werden". Werden bei der Inhaftnahme die innerstaatlichen Verfahrensvorschriften nicht gewahrt, wird Art. 5 Ziff. 1 EMRK verletzt; zugleich liegt darin ein Verstoss gegen Art. 31 Abs. 1 BV begründet (vgl. MARK E. VILLIGER, Handbuch der EMRK, 2. Aufl. 1999, Rz. 321 ff.; Hans Vest, in: St. Galler Kommentar BV, 2. Aufl. 2008, Art. 31 N. 14 f.). Wie die folgenden Erwägungen zeigen, wird vorliegend die Bestimmung von § 61 Abs. 1 der Strafprozessordnung des Kantons Zürich vom 4. Mai 1919 (StPO/ZH; LS 321) missachtet, weshalb auch eine Verletzung von Art. 5 Ziff. 1 EMRK und von Art. 31 Abs. 1 BV zu bejahen ist.
Behandelt das Bundesgericht die Beschwerde materiell, sind auch die Vorgaben von Art. 13 EMRK eingehalten. Nach dieser Bestimmung hat jede Person, die in ihren in der Konvention anerkannten Rechten oder Freiheiten verletzt worden ist, das Recht, bei einer innerstaatlichen Instanz eine wirksame Beschwerde zu erheben.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt, sein Rechtsvertreter sei nicht an die Haftrichterverhandlung vom 30. April 2010 vorgeladen worden und habe auch keine Akteneinsicht erhalten. Damit würden Art. 5 EMRK, Art. 31 BV und § 61 StPO/ZH verletzt.
2.2 Gemäss § 61 Abs. 1 StPO/ZH gibt das Haftgericht der beschuldigten Person und ihrer Verteidigung Gelegenheit, sich zu den Vorbringen der Untersuchungsbehörde zu äussern. Es gewährt ihnen Einsicht in die von der Untersuchungsbehörde unterbreiteten Akten. Die beschuldigte Person ist auf ihr Verlangen hin persönlich anzuhören.
2.3 Bei der Hafteinvernahme durch die Staatsanwaltschaft vom 29. April 2010 gab der Beschwerdeführer auf die entsprechende Frage zu Protokoll, er habe einen eigenen Verteidiger, nämlich Marcel Bosonnet. Den gleichentags dem Haftgericht unterbreiteten Antrag auf Anordnung der Untersuchungshaft teilte die Staatsanwaltschaft Marcel Bosonnet aber nicht mit. Die Vorinstanz hörte den Beschwerdeführer tags darauf an, ohne jedoch dessen Rechtsvertreter über den Verhandlungstermin zu orientieren. Die angefochtene Verfügung vom 30. April 2010 stellte die Vorinstanz allerdings sowohl dem Beschwerdeführer als auch seinem Verteidiger zu.
Obwohl die Vorinstanz somit Kenntnis davon hatte, dass der Beschwerdeführer Marcel Bosonnet mit der Wahrung seiner Interessen betraut hatte, lud sie diesen nicht an die Haftrichterverhandlung vor. Sie verunmöglichte dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers damit, Einsicht in die Haftakten zu nehmen und sich zu den Vorbringen der Untersuchungsbehörde zu äussern.
Mit ihrem Vorgehen missachtete die Vorinstanz offensichtlich die Bestimmung von § 61 Abs. 1 StPO/ZH. Dieser Verstoss gegen die massgeblichen kantonalen Verfahrensvorschriften bedeutet nach dem Gesagten zugleich eine Verletzung von Art. 5 Ziff. 1 EMRK und Art. 31 Abs. 1 BV. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts sind Gehörsverletzungen dieser Art im Dispositiv des Haftprüfungsentscheids förmlich festzustellen und bei der Kostenverlegung mitzuberücksichtigen (vgl. Urteile BGE 1B_326/2009 vom 11. Mai 2010 E. 2.3 und 1B_166/2010 vom 14. Juni 2010 E. 2.4).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines dringenden Tatverdachts und des Haftgrunds der Kollusionsgefahr.
Die Vorinstanz begründet in der angefochtenen Verfügung den dringenden Tatverdacht betreffend Sachbeschädigung mit dem Hinweis auf eine DNA-Spur des Beschwerdeführers, welche auf einem in der Nähe des Tatorts aufgefundenen Stofftuch sichergestellt werden konnte. Den Haftgrund der Kollusionsgefahr erachtet sie als erfüllt, da die Ermittlungen erst am Anfang stünden und Konfrontationseinvernahmen mit einem weiteren Mitbeschuldigten sowie mit Zeugen erforderlich seien. Zudem müssten Umfeldabklärungen vorgenommen und sichergestellte Datenträger und Unterlagen ausgewertet werden. Die Vorinstanz folgert, der Beschwerdeführer könnte, auf freien Fuss gesetzt, versucht sein, Zeugen unter Druck zu setzen oder sie zu falschen Aussagen zu verleiten, sich mit Mitbeteiligten abzusprechen oder weitere Beweismittel zu beseitigen.
Der Beschwerdeführer wendet in seiner Beschwerde unter anderem ein, die Tatsache, dass sich am 31. Mai 2009 - und damit rund elf Monate vor der angeordneten Untersuchungshaft - an einem in einem Abwasserschacht in der Nähe des Tatorts aufgefundenen Tuch eine DNA-Spur von ihm habe feststellen lassen, begründe keinen dringenden Tatverdacht hinsichtlich der angeblichen Sachbeschädigung. Des Weiteren könnten die beiden mutmasslichen Zeugen keinen der Täter identifizieren, weshalb auch kein Bedarf für eine Konfrontationseinvernahme und keinerlei Gefahr der Beeinflussung bestehe. Ferner - so betont der Beschwerdeführer - hätte er rund ein Jahr Zeit gehabt, sich mit allfälligen Mitbeteiligten abzusprechen, so dass auch insoweit keine Verdunkelungsgefahr auszumachen sei.
Der Beschwerdeführer wendet in seiner Beschwerde unter anderem ein, die Tatsache, dass sich am 31. Mai 2009 - und damit rund elf Monate vor der angeordneten Untersuchungshaft - an einem in einem Abwasserschacht in der Nähe des Tatorts aufgefundenen Tuch eine DNA-Spur von ihm habe feststellen lassen, begründe keinen dringenden Tatverdacht hinsichtlich der angeblichen Sachbeschädigung. Des Weiteren könnten die beiden mutmasslichen Zeugen keinen der Täter identifizieren, weshalb auch kein Bedarf für eine Konfrontationseinvernahme und keinerlei Gefahr der Beeinflussung bestehe. Ferner - so betont der Beschwerdeführer - hätte er rund ein Jahr Zeit gehabt, sich mit allfälligen Mitbeteiligten abzusprechen, so dass auch insoweit keine Verdunkelungsgefahr auszumachen sei.
3.2 3.2.1 Bei der Anordnung von Untersuchungshaft handelt es sich um einen schwerwiegenden Eingriff in die persönliche Freiheit. Deshalb darf an die Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör kein tiefer Massstab angesetzt werden. Der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur. Ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst, führt seine Verletzung in der Regel zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Die Praxis lässt in Haftsachen zwar gewisse Ausnahmen zu. Eine Substitution der Begründung des angefochtenen kantonalen Entscheids ist jedoch nur möglich, wenn sich zulässige Haftgründe ohne besondere beweisrechtliche Abklärungen liquide aus den Akten ergeben. Es ist nicht die Aufgabe des Bundesgerichts in den Akten selbstständig nach allfälligen ausreichenden Haftgründen zu forschen (vgl. zum Ganzen Urteil 1P.464/1996 vom 12. September 1996 E. 2c und d, in: EuGRZ 1997 S. 15).
3.2.2 Kollusion bedeutet nach der bundesgerichtlichen Praxis insbesondere, dass sich die beschuldigte Person mit Zeugen oder Mitbeschuldigten ins Einvernehmen setzt oder sie zu wahrheitswidrigen Aussagen veranlasst, oder dass sie Spuren und Beweismittel beseitigt. Die strafprozessuale Haft wegen Kollusionsgefahr soll verhindern, dass der Beschuldigte die Freiheit dazu missbrauchen würde, die wahrheitsgetreue Abklärung des Sachverhaltes zu vereiteln oder zu gefährden. Die theoretische Möglichkeit, dass der Beschuldigte in Freiheit kolludieren könnte, genügt indessen nicht, um die Anordnung der Haft unter diesem Titel zu rechtfertigen. Es müssen vielmehr konkrete Indizien für die Annahme von Verdunkelungsgefahr sprechen. Solche konkreten Anhaltspunkte können sich nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts namentlich ergeben aus dem bisherigen Verhalten des Beschuldigten im Strafprozess, aus seinen persönlichen Merkmalen, aus seiner Stellung und seinen Tatbeiträgen im Rahmen des untersuchten Sachverhaltes sowie aus den persönlichen Beziehungen zwischen ihm und den ihn belastenden Personen. Bei der Frage, ob im konkreten Fall eine massgebliche Beeinträchtigung des Strafverfahrens wegen Verdunkelung droht, ist auch der Art und Bedeutung der von Beeinflussung bedrohten Aussagen bzw. Beweismittel, der Schwere der untersuchten Straftaten sowie dem Stand des Verfahrens Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 23, mit Hinweisen).
3.3 Im vorliegenden Fall erscheint bereits fraglich, ob ein hinreichend konkreter Tatverdacht besteht. Jedenfalls aber geht der Haftgrund der Kollusionsgefahr nicht liquide aus den Akten hervor.
Die Vorinstanz begründet nicht, welche konkreten Indizien bzw. Anhaltspunkte für die Annahme von Verdunkelungsgefahr sprechen. Zeugen, welche den Beschwerdeführer identifizieren können, scheinen nicht bekannt zu sein, so dass eine erhebliche Gefahr der Zeugenbeeinflussung prima vista nicht ersichtlich ist. Ebenso wenig konkretisiert die Vorinstanz, inwiefern eine konkrete Gefahr der Absprache mit anderen Tatverdächtigen besteht, zumal der untersuchte Sachverhalt bereits ein Jahr zurückliegt. Nicht aufgezeigt wird im angefochtenen Entscheid ferner, welche Beweismittel der Beschwerdeführer trotz bereits erfolgter Hausdurchsuchung beseitigen könnte.
Die Vorinstanz verletzt damit ihre Begründungspflicht. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese hat in Würdigung der vom Beschwerdeführer vorgebrachten Rügen zu prüfen, ob zum Verfügungszeitpunkt (30. April 2010) ausreichend konkrete Hinweise für das Bestehen eines dringenden Tatverdachts und von Kollusionsgefahr vorlagen. Ihren Entscheid wird sie eingehend zu begründen haben.
4. Die Beschwerde ist damit gutzuheissen. Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Zürich hat dem obsiegenden Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, und es wird festgestellt, dass Art. 5 Ziff. 1 EMRK und Art. 31 Abs. 1 BV verletzt worden sind. Die Verfügung des Bezirksgerichts Zürich, Haftrichter, vom 30. April 2010 wird aufgehoben, und die Haftsache wird zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Bezirksgericht Zürich, Haftrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juli 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Stohner