Sachverhalt:
A.
Z._ schloss am 22. Dezember 2004 mit der Versicherung A._ (heute X._ Versicherungen AG; Gesuchstellerin) eine Freizügigkeitsversicherung (Einzeltaggeldversicherung) nach dem VVG ab. Am 27. April 2005 trat der Versicherte seine Ansprüche aus der Einzeltaggeldversicherung ab 1. Januar 2005 an die Sozialbehörde der Gemeinde Lindau (Gesuchsgegnerin) ab, und später erneut am 8. Juni 2007 und 27. Januar 2009.
B.
Eine erste Klage der Gesuchsgegnerin um Ausrichtung von Taggeldern für den Zeitraum vom 2. Dezember 2006 bis 31. Oktober 2008 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 26. September 2011 ab.
Am 14. November 2011 erhob die Gesuchsgegnerin erneut Klage beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und beantragte, die Gesuchstellerin sei zu verpflichten, ihr für den Zeitraum vom 27. März 2005 bis zum 20. Mai 2006 Fr. 32'219.-- nebst Zins aus der Krankentaggeldversicherung von Z._ zu bezahlen. Mit Urteil vom 12. April 2013 hiess das Sozialversicherungsgericht die Klage gut und verpflichtete die Gesuchstellerin, der Gesuchsgegnerin den Betrag von Fr. 32'219.-- zuzüglich 5 % Zins seit 1. Dezember 2011 zu bezahlen.
Mit Urteil vom 20. September 2013 wies das Bundesgericht eine von der Gesuchstellerin dagegen erhobene Beschwerde in Zivilsachen ab (Verfahren 4A_280/2013).
C.
Die Gesuchstellerin reichte dem Bundesgericht am 15. November 2013 ein Revisionsgesuch ein mit folgenden Anträgen:
"1. Das Urteil des Bundesgerichtes 4A_280/2013 vom 20. September 2013 sei revisionsweise aufzuheben, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 12. April 2013 (...) sei aufzuheben, die Klage der Gesuchsgegnerin sei abzuweisen, ein neues Urteil durch das Bundesgericht sei zu fällen und die Sache zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigungsfolgen für das kantonale Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen;
2. Eventualiter sei das Urteil des Bundesgerichtes 4A_280/2013 vom 20. September 2013 revisionsweise aufzuheben, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 12. April 2013 (...) sei aufzuheben, und die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese insbesondere abkläre und Feststellungen zur Frage treffe, wann die erstmalige ärztliche Feststellung und Attestierung der Arbeitsunfähigkeit von Z._ für die eingeklagte Periode vom 27. März 2005 bis zum 20. Mai 2006 stattgefunden habe;
3. Subeventualiter sei das Urteil des Bundesgerichtes 4A_280/2013 vom 20. September 2013 revisionsweise aufzuheben, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 12. April 2013 (...) sei aufzuheben, und die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4. (...) "
Die Gesuchsgegnerin beantragt, das Revisionsgesuch abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Die Gesuchstellerin reichte eine Replik ein, wozu die Gesuchsgegnerin nicht mehr eingehend Stellung nahm.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 10. Dezember 2013 wurde dem Revisionsgesuch die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Die Gesuchstellerin stellt den Verfahrensantrag, "die Akten der Verfahren Prozess Nr. KK 2008.00022 und KK.2011.00003 des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich, die IV-Akten i.S. Z._ sowie die Akten der Verfahren vor Bundesgericht Nr. 4A_572/2010 und 4A_280/2012 mit samt den in all diesen Verfahren eingereichten Beweismitteln (...) beizuziehen".
Dem wurde nur insoweit entsprochen, als die Akten des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich und des Bundesgerichts betreffend die Klage, welche dem vom Revisionsgesuch betroffenen Urteil zugrunde liegt, beigezogen wurden (KK.2011.00034 und 4A_280/2012). Auf den Beizug der weiteren Akten kann verzichtet werden, da dies zur Beurteilung des vorliegenden Revisionsgesuchs nicht notwendig ist.
2.
2.1. Die Revision eines Bundesgerichtsurteils kann nur aus einem der im Gesetz abschliessend genannten Gründe verlangt werden (Art. 121-123 BGG; Elisabeth Escher, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 1 zu <ref-law>). Das Gesuch muss einen solchen anrufen oder zumindest Tatsachen nennen, die von einem gesetzlichen Revisionsgrund erfasst sind. Ob tatsächlich ein Grund zur Revision vorliegt, ist nicht eine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung. Immerhin gelten auch für das Revisionsgesuch die in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genannten Anforderungen, wonach die gestellten Begehren zu begründen sind (Urteil 5F_3/2011 vom 4. Mai 2011 E. 1.2). Diesen Anforderungen wird das vorliegende Revisionsgesuch, mit dem die Revisionsgründe nach Art. 121 lit. a, c und d BGG angerufen werden, gerecht.
2.2. Das bundesgerichtliche Urteil 4A_280/2013 vom 20. September 2013 ist der Gesuchstellerin in vollständiger Ausfertigung am 18. Oktober 2013 eröffnet worden. Das Revisionsgesuch vom 15. November 2013 erging somit rechtzeitig innerhalb der 30-tägigen Frist nach <ref-law>, was die Anrufung der Revisionsgründe von Art. 121 lit. c und d BGG anbelangt.
Hinsichtlich des geltend gemachten Revisionsgrundes von <ref-law> (Verletzung der Vorschriften über die Besetzung) ist die Frist nach <ref-law> zu beachten. Gemäss dieser Bestimmung ist das Revisionsgesuch wegen Verletzung der Ausstandsvorschriften innert 30 Tagen nach der Entdeckung des Ausstandsgrundes einzureichen. Dies gilt auch, wenn eine rechtswidrige Besetzung geltend gemacht wird (Escher, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>). Zwar ist anzunehmen, dass die Gesuchstellerin bereits mit der gleichentags erfolgten Mitteilung des Dispositivs vom 20. September 2013 Kenntnis von der Dreierbesetzung nehmen konnte. Indessen konnte sie ihr Argument für die geltend gemachte vorschriftswidrige Besetzung (angebliche Entscheidung einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung) erst aufgrund der Begründung des bundesgerichtlichen Urteils entdecken. Die Frist von 30 Tagen lief demnach auch diesbezüglich erst ab Erhalt der vollständigen Ausfertigung und ist eingehalten.
2.3. Auf das durch die hierzu legitimierte ursprüngliche Beschwerdeführerin frist- und formgerecht eingereichte Revisionsgesuch ist demnach einzutreten.
3.
Wegen Verletzung von Verfahrensvorschriften kann die Revision gemäss <ref-law> unter anderem verlangt werden, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind (lit. c) oder das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (lit. d).
3.1. Der Revisionsgrund von <ref-law> liegt nur vor, wenn das Gericht eine Tatsache oder ein bestimmtes Aktenstück übersehen oder mit einem falschen Wortlaut wahrgenommen hat, nicht wenn die Tatsache oder das Aktenstück in der äusseren Erscheinung richtig wahrgenommen wurde und allenfalls bloss eine unzutreffende beweismässige oder rechtliche Würdigung vorgenommen worden ist. Der entsprechende Revisionsgrund kann zudem nur angerufen werden, wenn "erhebliche Tatsachen" unberücksichtigt geblieben sind, d.h. solche, die zugunsten des Gesuchstellers zu einer anderen Entscheidung hätten führen müssen, wären sie berücksichtigt worden. Die Revision dient nicht dazu, um angebliche Rechtsfehler des Bundesgerichts zu korrigieren (<ref-ruling> E. 3; Urteile 2F_20/2012 vom 25. September 2012 E. 2.1; 5F_7/2012 vom 7. September 2012 E. 2.3).
3.1.1. Die Gesuchstellerin macht geltend, das Bundesgericht habe das angefochtene Urteil des Sozialversicherungsgerichts aus mehreren Gründen offensichtlich aus Versehen unrichtig wahrgenommen. Konkret erblickt sie ein Versehen in folgender Erwägung des Bundesgerichtsurteils vom 20. September 2013 (E. 5.4 S. 12) :
"Dieses Vorbringen [Massgeblichkeit des Datums des Arztzeugnisses von Dr. N._] scheitert an der verbindlichen Feststellung der Vorinstanz, gegen welche die Beschwerdeführerin keine hinreichende Sachverhaltsrüge vorträgt (vgl. Erwägung 2). Danach bescheinigte erstmals das asim-Gutachten vom 21. November 2008 die vollständige psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit des Versicherten ab dem 25. Februar 2005. "
Laut der Gesuchstellerin soll aus dieser Erwägung hervorgehen, dass das Bundesgericht die Erwägungen und Feststellungen der Vorinstanz gemäss Erwägungen 2.3, 4.3 und 6.2 in deren Urteil offensichtlich aus Versehen und nach dem tatsächlichen Sinn und Wortlaut unrichtig wahrgenommen habe. Die Vorinstanz habe nämlich gerade nicht festgestellt, welches Arztzeugnis objektiv als zeitlich erstes eine Arbeitsunfähigkeit für die massgebliche Periode festgehalten (d.h. attestiert) habe. Dies weil sie - zu Unrecht - auf das subjektive Element der Erkennbarkeit der Arbeitsunfähigkeit abgestellt habe. Aufgrund der Akten könne kein Zweifel bestehen, dass die erstmalige Attestierung der Arbeitsunfähigkeit für die massgebliche Periode schon im Jahre 2006 durch Dr. N._ erfolgt sei. Die Vorinstanz habe sich aus falschen rechtlichen Erwägungen (Abstellen auf Erkennbarkeit) auf das asim-Gutachten (Gutachten der Academy of Swiss Insurance Medicine) abgestützt und aus diesem Grund implizit das Arztzeugnis von Dr. N._ vom 7. September 2006 als nicht massgeblich betrachtet. Hätte das Bundesgericht dies richtig wahrgenommen, hätte es die Beschwerde gutgeheissen und insbesondere auch keine Rügepflichtverletzung der Gesuchstellerin annehmen dürfen. Es handle sich um einen Irrtum bzw. eine versehentlich unrichtige Wahrnehmung der Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz durch das Bundesgericht. Zudem liege ein Irrtum betreffend einer erheblichen Tatsache vor, nämlich betreffend der Frage, ob auf das Arztzeugnis von Dr. N._ oder auf dasjenige des asim abzustellen sei. Dies wiederum entscheide darüber, ob die Verjährung eingetreten und die Klage abzuweisen sei oder nicht.
3.1.2. Es trifft zu, dass im Urteil des Sozialversicherungsgerichts vom 12. April 2013 nicht wörtlich festgestellt ist, dass das asim-Gutachten vom 21. November 2008 erstmals die vollständige psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit des Versicherten ab dem 25. Februar 2005 bescheinige. Explizit ist davon die Rede, dass "für den fristauslösenden Zeitpunkt der krankheitsbedingten, ärztlich bescheinigten Arbeitsunfähigkeit auf das Datum des asim-Gutachtens vom 21. November 2008 abzustellen (ist); das Ausmass und der Beginn der psychisch begründeten vollständigen Arbeitsunfähigkeit des Versicherten wurde erst aufgrund dieses Gutachtens erkennbar" (E. 6.2). Indessen ist damit implizite auch gesagt, dass das asim-Gutachten die vollständige psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit des Versicherten ab dem 25. Februar 2005 erstmals bescheinigte. Denn erkennbar wurde dieser Umstand eben gerade deshalb, weil er in diesem Gutachten bescheinigt worden war. Dass eine entsprechende Feststellung der Vorinstanz anzunehmen ist, ergibt sich auch aus dem Einleitungssatz der einschlägigen Erwägung 6.2: Die Vorinstanz suchte im Zusammenhang mit der Verjährung nach dem fristauslösenden Zeitpunkt der krankheitsbedingten, " ärztlich bescheinigten" Arbeitsunfähigkeit und stellte dabei auf das Datum des asim-Gutachtens ab. Damit brachte sie zum Ausdruck, dass - nach ihrer Beurteilung - dieses Gutachten erstmals die vollständige Arbeitsunfähigkeit des Versicherten bescheinigte. Mit anderen Worten, gemäss Vorinstanz war jener Umstand erkennbar, weil er bescheinigt worden war. In diesem Sinne hat das Bundesgericht jene Erwägung der Vorinstanz durchaus richtig so verstanden, dass sie implizite feststellte, dass das asim-Gutachten die vollständige Arbeitsunfähigkeit auch erstmals bescheinigte. Sonst wäre dieselbe nicht erstmals aufgrund dieses Gutachtens erkennbar geworden. Damit verwarf die Vorinstanz implizite auch, dass die ärztliche Bescheinigung der vollständigen Arbeitsunfähigkeit schon zu einem früheren Zeitpunkt, namentlich mit dem Arztzeugnis von Dr. N._ vom 7. September 2006, erfolgt wäre.
Es liegt mithin kein versehentliches Ausserachtlassen oder eine nach dem Wortlaut unrichtige Wahrnehmung einer in den Akten liegenden erheblichen Tatsache im Sinne von <ref-law> vor.
3.2. Unter Berufung auf den Revisionsgrund von <ref-law> bringt die Gesuchstellerin vor, das Bundesgericht habe die von ihr als Beweise angebotenen Arztzeugnisse von Dr. N._ vom 7. September 2006 und/oder vom 20. Juli 2007 nicht gewürdigt bzw. abgenommen.
Die vom Bundesgericht zu beurteilenden Anträge im Sinne von <ref-law> sind primär solche zur Sache, aber auch - soweit zulässig - Beweisanträge (Escher, a.a.O., N. 8 zu <ref-law>). Keine Anträge sind Vorbringen und Rügen. Ob eine Rüge den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügt und das Bundesgericht sie deshalb hätte behandeln müssen, kann demnach nicht mit Revision geltend gemacht werden (Urteil 2F_20/2012 vom 25. September 2012 E. 2.1; Escher, a.a.O., N. 8 zu <ref-law>).
Aus dem Urteil des Bundesgerichts geht klar hervor, dass es die von der Gesuchstellerin angebotenen Urkunden, mithin das Arztzeugnis von Dr. N._ vom 7. September 2006 und seinen Bericht vom 20. Juli 2007 durchaus beachtet hat (Erwägung 5.4 S. 12). Diese Beweisanträge wurden mithin keineswegs übersehen. Das Bundesgericht hat aber auf die Würdigung der genannten Urkunden verzichtet und nicht darauf abgestellt, weil es davon ausging, es sei an die - so von ihm richtig verstandene (vgl. oben E. 3.1) - Feststellung der Vorinstanz gebunden, dass erstmals das asim-Gutachten vom 21. November 2008 die vollständige (psychisch bedingte) Arbeitsunfähigkeit des Versicherten bescheinigt habe. Ob diese Beurteilung zutreffend ist und ob das Bundesgericht angesichts des Umstands, dass die Vorinstanz jene Feststellung lediglich implizite getroffen hat, zu strenge Anforderungen an die Sachverhaltsrügepflicht der Gesuchstellerin gestellt hat, kann nicht Gegenstand einer Revision bilden (vgl. Urteil 2F_20/2012 vom 25. September 2012 E. 2.2).
Somit liegt auch der Revisionsgrund von <ref-law> nicht vor.
4.
Zuletzt beruft sich die Gesuchstellerin auf <ref-law> mit der Begründung, das Bundesgericht hätte in Fünfer- und nicht in Dreierbesetzung urteilen müssen. Denn beim Entscheid, dass die Verjährungsfrist im Zeitpunkt der ärztlichen Bescheinigung einer krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit beginne, wenn die Bescheinigung rückwirkend für eine bereits abgelaufene Zeitdauer erfolge, sei es um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung gegangen.
Mit dieser Argumentation vermag sie den angerufenen Revisionsgrund nicht zu begründen. Denn die Revision steht nicht zur Verfügung, wenn - wie hier - geltend gemacht wird, das Bundesgericht hätte in der Besetzung mit fünf Richtern oder Richterinnen und nicht in Dreierbesetzung urteilen müssen, weil es über eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung entschieden habe (<ref-law>). Die im konkreten Fall erfolgte Dreierbesetzung beruhte auf der materiellrechtlichen Beurteilung, dass sich keine Grundsatzfragen stellten. Es geht mithin nicht um die richtige Anwendung von Verfahrensvorschriften. Ob die dem Besetzungsentscheid zugrunde liegenden materiellrechtlichen Überlegungen zutreffen, kann nicht Gegenstand einer Revision bilden (Escher, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>; dieselbe, in: Geiser und andere [Hrsg.], Prozessieren vor Bundesgericht, 3. Aufl. 2011, S. 358 Rz. 8.22; Pierre Ferrari, in: Commentaire de la LTF, Corboz und andere [Hrsg.], 2009, N. 7 zu <ref-law>; Dominik Vock, in: Spühler und andere [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz, Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, N. 1 zu <ref-law>; a.A. Nicolas von Werdt, in: Seiler und andere, Bundesgerichtsgesetz, Handkommentar, 2007, N. 12 zu <ref-law>).
5.
Das Revisionsgesuch ist abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Gesuchstellerin kostenpflichtig (<ref-law>). Der Gesuchsgegnerin (Gemeinde Lindau) ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 7 S. 118 f.). Gründe, die es rechtfertigen würden, ausnahmsweise von der Regel nach <ref-law> abzugehen, liegen nicht vor. Namentlich genügt es für eine Ausnahme nicht, dass der Gesuchsgegnerin durch das Revisionsverfahren ein weiterer Aufwand erwachsen ist, zumal nicht ersichtlich ist, dass dieser besonders erheblich ausgefallen sein soll, wie die Gesuchsgegnerin behauptet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Gesuchstellerin auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer