Faits:
A. La République de Chine a été proclamée par Sun Yat-sen le 1er janvier 1912, après l'effondrement de l'empire mandchou. Chiang Kai-chek lui a succédé à la tête du gouvernement en 1925. La Constitution a été adoptée le 25 décembre 1946 et Chiang Kai-chek a été élu président de la République. Après la proclamation de la République populaire de Chine, le 1er octobre 1949, Chiang Kai-chek s'est replié à Taïwan avec une partie de son armée et de ses partisans.
Depuis 1949, la République de Chine (réduite à la possession de Taïwan) et la République populaire de Chine prétendent représenter le seul gouvernement légitime pour la Chine. La République de Chine a occupé le siège réservé à la Chine dans le Conseil de sécurité de l'ONU de 1945 à 1971, époque à laquelle elle a été exclue de l'ONU et son siège attribué à la République populaire de Chine. Après 1979, un grand nombre d'Etats ont reconnu la République populaire de Chine et rompu leurs relations diplomatiques avec Taïwan. Actuellement, seule une vingtaine d'Etats maintiennent des relations diplomatiques avec la République de Chine (Taïwan).
Quant à la Suisse, dès 1950, elle a considéré la République populaire de Chine comme le seul représentant légitime du peuple chinois; elle a depuis rompu ses relations diplomatiques avec Taïwan.
B. L'Organisation Internationale de Normalisation (ci-après : ISO) est une association de droit suisse au sens des art. 60 ss CC. Selon l'art. 2 de ses statuts, elle a pour but de « favoriser le développement de la normalisation et des activités connexes dans le monde, en vue de faciliter entre les nations les échanges de marchandises et les prestations de services et de réaliser une entente dans les domaines intellectuel, scientifique, technique et économique ». ISO élabore des normes internationales qui sont applicables universellement par des organismes publics et privés dans presque tous les secteurs du monde économique, de la technologie et de l'industrie.
C. C.a Dans le cadre de son activité, ISO a établi un système de désignation territoriale contenu dans la norme ISO 3166-1. Cette norme est destinée à toute application nécessitant l'expression des noms de pays sous une forme codée (art. 1 de la norme ISO 3166-1, 2ème éd., 2006). Selon cette norme, chaque pays se voit ainsi assigner un code à deux lettres, un code à trois lettres et un code numérique de trois chiffres.
Les noms de pays sont repris de la liste figurant dans le « Codage statistique normalisé des pays, zones et régions » établi par la Division des statistiques des Nations Unies (art. 4.1 de la norme ISO 3166-1). Les noms des pays indépendants proviennent, d'une part, du « Bulletin de Terminologie-Noms de Pays », publié par le Département des Conférences des Nations Unies, sous le titre « Etats membres de l'Organisation des Nations Unies, Membres d'institutions spécialisées ou parties au Statut de la Cour internationale de Justice » jusqu'en septembre 2000, puis sur le site UNTERM des Nations Unies, et, d'autre part, du « Codage statistique normalisé des pays, zones et régions » précité (art. 4.2 de la norme ISO 3166-1).
Les modifications du nom d'un pays résultent essentiellement des informations provenant du siège des Nations Unies (art. 7.4 de la norme ISO 3166-1).
C.b Dans la norme ISO 3166-1 (2ème éd., 2006), la République de Chine (Taïwan) est mentionnée comme « Taïwan, Province de Chine ».
La République populaire de Chine figure également dans cette norme, sous sa forme courte « Chine ».
D. Le 20 juillet 2007, la République de Chine (Taïwan) a saisi le Tribunal de première instance du canton de Genève d'une action en protection de sa personnalité et de son nom (art. 28 et 29 CC). Elle a conclu à ce qu'il soit ordonné à ISO de cesser d'utiliser la dénomination « Taïwan, Province de Chine » dans la norme 3166-1 ou toute autre norme ISO, publication écrite ou électronique dépendant d'elle et à ce qu'il lui soit ordonné de la désigner sous le nom de « République de Chine (TAIWAN) ».
Par conclusions sur exceptions et incidents du 11 janvier 2008, ISO a conclu à l'irrecevabilité de la demande, subsidiairement à son rejet, et plus subsidiairement encore au prononcé d'une cautio judicatum solvi d'un montant de 50'000 fr. A l'appui de ses conclusions, elle exposait que le Tribunal était incompétent à raison du lieu et de la matière, contestait la qualité pour agir de la République de Chine et faisait valoir que l'assignation était nulle.
La République de Chine (Taïwan) ne s'est pas opposée au versement d'une cautio judicatum solvi à concurrence de 20'000 fr. dans un délai de deux mois et a conclu au rejet des exceptions et incidents pour le surplus.
Par jugement du 4 septembre 2008, le Tribunal de première instance a rejeté les incidents soulevés et admis sa compétence en raison de la matière et du lieu. Il a également considéré que la République de Chine (Taïwan) avait la capacité d'ester en justice, la qualité pour agir en protection de sa personnalité et de son nom et a réservé la suite de la procédure.
Statuant le 20 mars 2009, la Cour de justice du canton de Genève a admis l'appel formé contre ce jugement par ISO et déclaré la demande irrecevable, subsidiairement infondée. Elle a considéré que les tribunaux genevois n'étaient pas compétents à raison de la matière et que la République de Chine n'avait pas la capacité d'ester en justice, ce qui conduisait à l'irrecevabilité de la demande. A titre subsidiaire, elle a observé que, supposée recevable, l'action aurait dû être rejetée sur le fond car il n'y a pas de violation du droit au nom.
E. Le 8 mai 2009, la République de Chine (Taïwan) forme un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal, à ce qu'il soit dit qu'elle a la capacité d'ester en justice et que les tribunaux suisses sont compétents à raison de la matière pour trancher le litige. Elle demande également que sa qualité pour agir sur la base des art. 28 et 29 CC soit reconnue.
Par ordonnance du 3 juin 2009, la présidente de la cour de céans a rejeté la demande d'effet suspensif.
Invitées à se déterminer, l'autorité précédente s'est référée aux considérants de son arrêt et l'intimée a conclu principalement au rejet du recours et, à titre subsidiaire, à son irrecevabilité.

Considérant en droit:
1. Sauf exceptions non réalisées en l'espèce (art. 72 al. 2 LTF), le recours en matière civile n'est recevable que contre les décisions rendues en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). Selon la jurisprudence, la question de savoir si des prétentions sont soumises au droit privé fédéral ou au droit public est de nature civile (<ref-ruling> consid. 1.1.1 et les réf. citées).
Quant aux autres conditions de recevabilité du recours en matière civile, elles sont en principe réunies. La décision attaquée, qui déclare irrecevable, subsidiairement infondée, l'action ouverte par la recourante, est finale dès lors qu'elle met fin à la procédure (art. 90 LTF; <ref-ruling>). Enfin, le recours a été déposé en temps utile - compte tenu des féries de Pâques (art. 46 al. 1 let. a et 100 al. 1 LTF) - et dans les formes requises (art. 42 al. 1 LTF).
2. La recourante reproche à la cour cantonale de lui avoir dénié la capacité d'ester en justice.
2.1 La capacité d'ester en justice (Prozessfähigkeit) est la faculté de mener soi-même le procès ou de désigner soi-même un mandataire qualifié pour le faire. Elle appartient à toute personne qui la capacité d'être partie (Parteifähigkeit), c'est-à-dire à toute personne qui a la faculté de figurer comme partie dans un procès (FRANK/STRAÜLI/MESSMER, Kommentar zum zürcherischen Zivilprozessordnung, 3ème éd., 1997, n. 1 ad §§ 27/28; FABIENNE HOHL, Procédure civile, I, 2001, n° 391 et 404). Aussi bien la capacité d'être partie que la capacité d'ester en justice sont des notions de procédure et relèvent donc, théoriquement, du droit cantonal. Elle découlent néanmoins du droit matériel puisque la capacité d'être partie appartient à quiconque a la jouissance des droits civils, de même que la capacité d'ester en justice est le corollaire de l'exercice des droits civils (<ref-ruling> consid. 2). Ces questions étant régies par le droit fédéral, le Tribunal fédéral peut donc les revoir avec un plein pouvoir d'examen (art. 95 let. a LTF).
Les Etats disposent en principe de la capacité d'être partie et, par conséquent, également de celle d'ester en justice (par ex. arrêts 4A_214/2008 du 9 juillet 2008, 4A_121/2008 du 14 mai 2008; AGNES DORMANN BESSENICH, Der ausländische Staat als Kläger, 1993, p. 44-45).
2.2 Selon la cour cantonale, un Etat non reconnu par le pays dans lequel il procède ne peut figurer comme partie dans un procès. Il y a ainsi lieu d'examiner quels sont les effets juridiques de la (non) reconnaissance d'un Etat.
Au sens du droit international public, est un Etat l'entité qui remplit ces trois critères : un territoire, une population, un gouvernement effectif et indépendant (<ref-ruling> et les réf. citées). Selon la conception dominante à laquelle s'est rallié le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 5.3 et les réf. citées), la reconnaissance ne produit qu'un effet déclaratif (et non constitutif), en ce sens qu'elle constate uniquement que les critères de l'existence d'un Etat sont réunis. En d'autres termes, la reconnaissance internationale n'est pas une condition nécessaire de l'accession au rang d'Etat, qui existe par lui-même et jouit de tous les droits et attributs qui y sont attachés (<ref-ruling> consid. 5.3 et les réf. citées; ANDREAS R. ZIEGLER, Introduction au droit international public, 2006, n° 435; JEAN COMBACAU/SERGE SUR, Droit international public, Paris 2004, 6ème éd., p. 287; WALTER KÄLIN/ASTRID EPINEY/MARTINA CARONI/JÖRG KÜNZLI, Völkerrecht, eine Einführung, 2ème éd., 2006, p. 134 et les arrêts cités; PASHA L. HSIEH, An unrecognised state in foreign and international courts : the case of the Republic of China on Taiwan, in : Michigan Journal of international Law, 2008, vol. 28: 765, p. 772). En revanche, la reconnaissance produit des effets politiques en ce sens que ledit Etat est considéré par les pays qui le reconnaissent comme un sujet de droit international avec lequel on peut entrer en relations officielles (diplomatiques, consulaires ou autres) et conclure des traités internationaux (cf. Avis de droit du DFAE du 26 juin 2007, Reconnaissance d'Etats et de gouvernements, pratique suisse in : JAAC 2008.6 p. 129; ANDREAS R. ZIEGLER, op. cit., n° 428; JEAN COMBACAU/SERGE SUR, op. cit., p. 287).
2.3 S'agissant de l'influence de la non-reconnaissance d'un Etat dans des rapports de droit international privé, les arrêts du Tribunal fédéral consacrent l'autonomie de celui-ci par rapport au droit international public. Dans l'<ref-ruling>, le Tribunal fédéral a ainsi considéré que la non-reconnaissance de la République démocratique allemande n'empêchait pas d'en admettre l'ordre juridique comme fait pertinent, ce qui l'a conduit à appliquer le droit de cet Etat. Dans le même sens, s'agissant de l'application du droit russe, alors que le gouvernement provisoire constitué après la Révolution de 1917 n'avait pas été reconnu par la Suisse, le Tribunal fédéral a estimé que cette circonstance n'empêchait pas le droit russe d'exister et de produire ses effets (ATF 50 II 512). Dans une affaire d'entraide internationale en matière pénale, il a été jugé que le défaut de reconnaissance de la République de Chine avait pour conséquence l'absence de relations diplomatiques; en revanche, les autorités suisses pouvaient demander et accorder l'entraide judiciaire en matière pénale aux autorités de Taïwan, sans que cela modifie la position de la Suisse par rapport à la République populaire de Chine, seul Etat reconnu (ATF 130 précité consid. 5.5).
Cette solution correspond à la pratique suivie dans les pays dits de « civil law », qui privilégient l'existence indiscutée de l'Etat plutôt que la reconnaissance diplomatique (JOE VERHOEVEN, Droit international public, Bruxelles 2000, p. 81; JOE VERHOEVEN, Relations internationales de droit privé en l'absence de reconnaissance d'un Etat, d'un gouvernement ou d'une situation in : Recueil des Cours de l'Académie de droit international de La Haye 1985, III, p. 9ss, p. 59; pour un exemple de décisions reconnaissant à Taïwan la capacité d'ester en justice : arrêt du 16 octobre 2008 de la Cour d'appel de Paris 07/02874 dans la cause République de Chine (Taïwan) c. République populaire de Chine). Parmi les pays de "common law", les Etats-Unis, bien qu'ils aient rompu leurs relations diplomatiques avec la République de Chine en 1979 pour reconnaître la République populaire de Chine comme l'unique gouvernement légal de la Chine, reconnaissent également à Taïwan la capacité d'ester en justice (Taiwan Relations Act; United States Code §3303-7 (2000) : « The capacity of Taiwan to sue and be sued in courts in the United States, in accordance with the laws of the United States, shall not be abrogated, infringed, modified, denied, or otherwise affected in any way by the absence of diplomatic relations or recognition »). Les tribunaux du Royaume-Uni, dont le gouvernement a rompu les relations diplomatiques avec Taïwan dès 1972, bien qu'ils ne disposent pas d'une loi similaire à la loi américaine précitée, ont toujours accordé à Taïwan le statut d'Etat dans les procédures judiciaires en se fondant sur la "common law" (PASHA L. HSIEH, op. cit., p. 782ss).
2.4 En l'espèce, comme le Tribunal fédéral l'a déjà reconnu, la recourante présente les caractéristiques d'un Etat, à savoir un territoire (île de Taïwan), une population et une indépendance indéniable, y compris à l'égard de la République populaire de Chine (<ref-ruling> consid. 5.2 et les réf. citées). Vu la portée déclarative de la reconnaissance, l'absence de celle-ci par la Suisse n'affecte pas ce statut d'Etat et sa capacité à jouir des droits et attributs qui sont rattachés à un Etat. La recourante doit dès lors se voir reconnaître la capacité d'être partie et la capacité d'ester en justice devant les tribunaux suisses. Cette décision ne saurait être considérée comme un moyen d'établir des relations diplomatiques avec la recourante et à ce titre, elle ne remet pas en question le refus du Conseil fédéral de reconnaître cet Etat.
3. La recourante reproche à la Cour de justice d'avoir considéré que la cause ne relevait pas de la juridiction civile et que, partant, elle n'était pas susceptible d'être portée devant un tribunal civil.
3.1 Selon la jurisprudence, une procédure civile oppose deux ou plusieurs personnes physiques ou morales prises en leur qualité de titulaires de droits privés, ou entre de telles personnes et une autorité à qui le droit fédéral reconnaît la faculté d'être partie; dans tous les cas, il faut que les parties exercent des prétentions relevant du droit civil fédéral et que celles-ci soient objectivement litigieuses (<ref-ruling> consid. 1.1.1 et les réf. citées; <ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 1a; <ref-ruling> consid. 1d; <ref-ruling> consid. 2a et les arrêts cités). C'est d'après l'objet du litige qu'il y a lieu de déterminer si l'on se trouve en présence d'un litige relevant du droit civil ou du droit public. Cet objet est déterminé par les conclusions et les faits allégués à l'appui des conclusions (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 2a).
3.2 En l'espèce, la recourante a conclu à ce qu'il soit ordonné à l'intimée de cesser d'utiliser la dénomination « Taïwan, Province de Chine » dans la norme 3166-1 ou toute autre norme ISO, publication écrite ou électronique dépendant d'elle et à ce qu'il lui soit ordonné de la désigner sous le nom de « République de Chine (TAIWAN) ». Cela étant, à l'appui des conclusions de sa demande du 20 juillet 2007, elle indique qu'elle se bat politiquement pour que son existence d'Etat démocratique indépendant soit reconnue internationalement (p. 6 de la demande), que son combat politique est un combat pour la liberté (p. 10) et que l'intimée participe sans droit à la violation par l'ONU de ces aspirations légitimes (p. 10). Il apparaît ainsi que le véritable objet de sa demande ne relève pas de la protection de son droit au nom mais vise une reconnaissance politique. Or, la reconnaissance d'un Etat ne relève pas des tribunaux civils mais du Conseil fédéral (art. 184 Cst.; relations avec l'étranger). Ces éléments montrent également que la recourante n'agit pas en tant que titulaire d'un droit privé mais défend des intérêts étatiques. L'objectif qu'elle poursuit ne peut être atteint par la voie d'une action en protection de la personnalité mais uniquement par la reconnaissance. C'est dire que les tribunaux civils genevois n'étaient pas compétents pour connaître du litige qui leur était soumis.
Ces considérations scellent le sort du recours, qui doit être rejeté sans qu'il soit nécessaire d'examiner le grief de déni de justice relatif à la motivation subsidiaire, au fond.
4. Au vu de ce qui précède, les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle versera également une indemnité de dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Une indemnité de 3'000 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 9 septembre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Rey-Mermet