A.- En 1993, l'Office X._, une association de droit privé ayant son siège à Lausanne, engagea E._ pour travailler en qualité d'éducateur auprès de l'un de ses centres.
Le 13 février 1997, E._ informait le centre qu'il souhaitait entreprendre une formation continue en travail social auprès de l'Université de Neuchâtel, en vue d'obtenir un diplôme.
Les quatre personnes qui s'étaient inscrites au cours de formation continue (dont E._) furent convoquées à une séance tenue à Sion le 19 septembre 1997, au cours de laquelle il leur fut indiqué que le temps désormais accordé à la formation continue serait de 10 jours par an (conformément à une convention collective applicable en Valais) et que la participation aux frais serait de 70% de ces 10 jours (et non pas de 70% du total des frais).
Le 25 novembre 1997, E._ signa avec le directeur du centre un protocole d'accord prévoyant qu'il aurait la possibilité de suivre les cours en vue de l'obtention d'un diplôme de formation continue en travail social, qu'il lui serait octroyé annuellement 10 jours pour sa formation continue et que le centre participerait à raison de 70% aux frais effectifs des 10 jours annuels de formation, le solde étant à sa charge; il était précisé que ce protocole était valable pour les années civiles 1997 et 1998 et susceptible d'être reconduit tacitement jusqu'à la fin de la formation.
Deux autres collaborateurs, A._ et B._, signèrent chacun de leur côté un document analogue.
Le 26 mai 1998, A._, B._ et E._ écrivirent à la Commission paritaire professionnelle cantonale pour se plaindre de ce que le centre ne leur remboursait que le 70% des frais encourus pour les dix jours de formation accordés et non de l'entier de celle-ci. Ils firent valoir notamment que le centre avait adopté par le passé une attitude plus généreuse. Aucune violation de la convention collective de travail applicable ne fut constatée.
Le 20 juin 2000, E._ déposa auprès du Tribunal du travail du canton du Valais une demande en paiement dirigée contre son employeur et concernant le remboursement de ses frais de formation.
B.- Par jugement du 20 février 2001, le Tribunal du travail rejeta la demande en paiement, portant sur 5646 fr.35, présentée par E._; il donna acte à l'employeur de ce qu'il reconnaissait devoir à E._ un montant de 734 fr.40. Le Tribunal du travail estima qu'il n'était pas prouvé que E._ ait reçu l'assurance que l'employeur assumerait une participation supérieure et qu'en tout état de cause, l'accord antérieur allégué fut remplacé par le protocole du 25 novembre 1997, qui lie les parties et qui fut respecté, étant observé qu'aucune circonstance correspondant à un vice du consentement ne fut établie.
C.- Contre ce jugement, E._ a formé un recours de droit public qui a été rejeté par un arrêt séparé de ce jour (cause 4P.264/2001).
Parallèlement, il a formé contre le jugement du 20 février 2001 un appel de droit cantonal, que le Juge III du district de Sion, par décision du 25 octobre 2001, a déclaré irrecevable.
E._ forme contre cette décision d'irrecevabilité un recours de droit public au Tribunal fédéral. Invoquant le droit à un juge indépendant et impartial garanti par les art. 6 par. 1 CEDH et 30 Cst. , ainsi que l'interdiction de l'arbitraire prévue par l'art. 9 Cst. , il conclut à l'annulation de la décision attaquée, le dossier étant retourné au Juge III du district de Sion avec ordre d'entrer en matière sur l'appel déposé par E._.
L'intimé n'a pas déposé d'observations. Le Juge III du district de Sion s'est référé à sa décision.
Contre la même décision d'irrecevabilité, E._ a formé un pourvoi en nullité cantonal, qui a été déclaré irrecevable par un jugement rendu le 14 novembre 2001 par la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal valaisan.

Considérant en droit :
1.- a) Le recours de droit public au Tribunal fédéral est ouvert contre une décision cantonale pour violation des droits constitutionnels des citoyens (art. 84 al. 1 let. a OJ).
La décision attaquée, fondée sur le droit cantonal, revêt un caractère final et n'est susceptible d'aucun autre moyen de droit sur le plan fédéral ou cantonal (comme le montre le jugement du 14 novembre 2001), de sorte que la règle de la subsidiarité du recours de droit public est respectée (art. 84 al. 2 et 86 al. 1 OJ).
Le recourant est personnellement touché par la décision attaquée, qui refuse définitivement d'examiner son appel interjeté contre le rejet de sa demande en paiement; il a un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que cette décision n'ait pas été prise en violation de ses droits constitutionnels. En conséquence, il a qualité pour recourir (art. 88 OJ).
Interjeté en temps utile (art. 89 al. 1 OJ) et dans la forme prévue par la loi (art. 90 al. 1 OJ), le recours est recevable.
Sous réserve d'exceptions non réalisées en l'espèce, le recours de droit public n'est qu'une voie de cassation et ne peut tendre qu'à l'annulation de la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 1b; <ref-ruling> consid. 1c). Dans la mesure où les conclusions du recourant ne se limitent pas à cela, elles sont donc irrecevables.
b) Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés par l'acte de recours (art. 90 al. 1 let. b OJ; <ref-ruling> consid. 3c; <ref-ruling> consid. 1c; <ref-ruling> consid. 1c, 534 consid. 1b).
2.- a) Invoquant le droit à un tribunal indépendant et impartial, garanti aussi bien par l'art. 6 par. 1 CEDH que par l'art. 30 al. 1 Cst. , le recourant soutient que le Tribunal du travail du canton du Valais n'est pas un tribunal indépendant en raison du mode d'élection des juges et du greffier.
b) Le recourant semble voir un premier obstacle à l'indépendance du tribunal valaisan dans le fait que ses membres sont nommés par le Conseil d'Etat de ce canton.
Un tribunal ne perd pas son indépendance pour le seul motif que ses membres - comme cela est courant dans tous les pays d'Europe - sont désignés par le pouvoir législatif ou par le pouvoir exécutif. Pour que l'autorité judiciaire perde son indépendance, il faudrait de surcroît qu'elle se trouve, en fait ou en droit, dans une position subordonnée par rapport à un autre pouvoir de l'Etat, impliquant qu'elle ait à suivre, pour trancher le cas relevant de sa compétence, des instructions ou des injonctions émanant d'un autre pouvoir.
Lorsque le tribunal, dans l'exercice de son activité juridictionnelle, ne peut recevoir aucune instruction ou injonction d'un autre pouvoir et qu'il n'est tenu que d'appliquer le droit, son indépendance ne peut être mise en doute.
Ce principe est unanimement admis aussi bien par la jurisprudence actuelle (arrêt du 3 octobre 2000 publié in RDAT 2001 I 9 33, consid. 4b; arrêt non publié du 13 janvier 2000 dans la cause 1P.585/1999, consid. 4; arrêt non publié du 19 février 1999 dans la cause 1P.15/1999, consid. 4a; pour un cas de droit valaisan: <ref-ruling> consid. 4a) que par la doctrine (Mark E. Villiger, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention, 2ème éd., p. 263 n. 417; Haefliger/Schürmann, Die Europäische Menschenrechtskonvention und die Schweiz, 2e éd., p. 167 s.; Alfred Kölz, Commentaire de la Constitution fédérale de la Confédération Suisse du 29 mai 1874, n. 47 ad art. 58 aCst. ; Frowein/Peukert, Europäische Menschenrechtskonvention, 2ème éd., p. 251 n. 126; Auer/Malinverni/Hottelier, Droit constitutionnel suisse, vol. II, n. 1199).
Que les membres (juges et greffiers) du Tribunal du travail valaisan soient nommés pour une période déterminée par le Conseil d'Etat ne suffit pas pour conclure que cette juridiction n'est pas indépendante. Le recourant ne tente pas de démontrer - d'une manière répondant aux exigences de motivation de l'art. 90 al. 1 let. b OJ - que ce tribunal pourrait recevoir des instructions ou des injonctions du Conseil d'Etat ou que ce dernier pourrait faire pression sur lui dans le but de l'influencer. Ce premier grief est donc infondé.
c) Que le Tribunal du travail comprenne des employeurs et des travailleurs ne suffit pas pour mettre en doute son indépendance, dès lors que sa composition, considérée dans son ensemble, apparaît équitable (<ref-ruling> consid. 2b et la jurisprudence européenne citée). Le Tribunal du travail valaisan est composé d'un président, juriste de formation, d'un assesseur travailleur et d'un assesseur employeur; cette composition est équilibrée et ne permet pas de mettre en doute l'indépendance du Tribunal (question déjà évoquée dans l'arrêt non publié du 26 février 2001 dans la cause 4P.261/2000, consid. 3b/aa).
d) Le recourant fait valoir principalement que le greffier est un fonctionnaire du Service social de protection des travailleurs et des relations du travail.
Il invoque à ce sujet l'<ref-ruling> ss. Cette jurisprudence n'est toutefois pas transposable en l'espèce.
Dans le cas cité, il s'agissait d'une amélioration foncière dont le principe avait été approuvé par le gouvernement bernois; il a été jugé qu'il n'était pas acceptable que le secrétaire soit un fonctionnaire de l'administration cantonale, susceptible de se trouver face à un conflit de loyauté à l'égard de son chef de département (<ref-ruling> consid. 5d p. 266).
Le litige d'espèce, selon les explications concordantes des parties, oppose un particulier (le recourant) à une association de droit privé ayant son siège dans le canton de Vaud. On ne voit pas en quoi un tel litige du travail, à caractère strictement privé, mettrait en jeu les intérêts du gouvernement valaisan ou plus spécialement du Service social de protection des travailleurs et des relations du travail.
Pour un tel différend, le fait que le greffier soit un fonctionnaire cantonal ne permet en rien de mettre en doute l'indépendance du tribunal.
Le recourant semble conscient de la fragilité de son argumentation, puisqu'il essaie de la renforcer en invoquant le fait que l'activité de l'intimé est subventionnée.
Il ne démontre cependant pas que l'issue du litige pourrait avoir une influence sur le montant de la subvention; il ne tente pas non plus d'expliquer en quoi le sort de la querelle pourrait avoir un effet défavorable pour le service administratif dont dépend le greffier. Surtout, on ne parvient pas à discerner quel intérêt politique pourrait être en jeu, s'agissant d'un litige pécuniaire d'importance modeste entre deux particuliers.
Dès lors - comme on l'a vu - que les juges peuvent être nommés par le Conseil d'Etat, on ne voit pas pourquoi le greffier ne pourrait pas l'être également. Qu'il soit rattaché administrativement à un service de l'Etat ne poserait un problème que s'il pouvait recevoir des instructions ou des injonctions sur les jugements souhaités par l'administration (ce qui n'est pas allégué) ou s'il pouvait se trouver, d'une manière concevable, devant un conflit de loyauté en raison de son activité pour l'administration (ce qui n'est pas davantage démontré). Comme il n'apparaît pas que le Conseil d'Etat ou le service administratif cité aient eu un quelconque intérêt à l'issue du litige, que le fonctionnaire ait pu être mis sous pression par ses supérieurs hiérarchiques ou qu'il ait pu ressentir un conflit de loyauté à leur égard, toute apparence de dépendance est exclue et le grief est infondé.
e) Invoquant l'interdiction de l'arbitraire prévue par l'art. 9 Cst. , le recourant soutient que le droit cantonal aurait été violé arbitrairement pour le cas où l'on admettrait que le Tribunal du travail n'est pas un juge indépendant et impartial. Comme la solution inverse a été retenue, ce grief est dépourvu de tout fondement sans qu'il soit nécessaire de l'examiner plus avant.
Mis à part son grief - infondé - selon lequel le Tribunal du travail ne serait pas un tribunal indépendant, le recourant ne conteste pas que le droit cantonal ne prévoit aucun recours contre le jugement du Tribunal du travail, pour le motif que la valeur litigieuse n'atteint pas le seuil de 8000 fr. En l'absence de grief constitutionnel, il n'y a pas à se pencher sur cette question de procédure cantonale.
Ainsi, la décision attaquée ne viole pas les droits constitutionnels invoqués.
3.- Il suit de là que le recours doit être rejeté.
La procédure est gratuite, puisque la valeur litigieuse, selon la prétention du demandeur à l'ouverture de l'action (<ref-ruling>), ne dépasse pas 30 000 fr. (art. 343 al. 2 et 3 CO). Cette règle vaut pour tous les degrés de juridiction, y compris la procédure de recours de droit public devant le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 6a). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimé, qui n'est pas intervenu dans la procédure devant le Tribunal fédéral.

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours;
2. Dit qu'il n'est pas perçu de frais judiciaires;
3. Communique le présent arrêt en copie aux mandataires des parties et au Juge III du district de Sion.
_
Lausanne, le 10 janvier 2002 ECH
Au nom de la Ie Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président,
Le Greffier,