Sachverhalt:
A.
Die 1963 geborene B._ hat seit 1. Dezember 2005 bei einem Invaliditätsgrad von 43 % Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung (Urteil 9C_742/2009 vom 25. Februar 2010; Verfügungen vom 23. April und 4. Mai 2010). Mit Mitteilungen vom 16. August 2007 und 27. Oktober 2009 gewährte die IV-Stelle Bern der Versicherten Arbeitsvermittlung in Form von Beratung und Unterstützung bei der Stellensuche; ab 22. Januar 2010 erfolgten diesbezüglich erste konkrete Massnahmen. Am 7. Januar, 27. März, 23. November und 16. Dezember 2010 sowie 15. September und 2. November 2011 ersuchte B._ um Durchführung einer "Referenzerarbeitung" resp. eines Arbeitstrainings und um Erlass einer begründeten Verfügung. Mit Verfügung vom 19. Dezember 2011 bestätigte die IV-Stelle den weiteren Anspruch auf Stellenvermittlung.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern - nach Festlegung des Streitgegenstandes auf die Frage nach einem Anspruch auf Integrationsmassnahmen nach <ref-law> - mit Entscheid vom 12. August 2013 ab.
C.
B._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, es seien die Verfügung vom 19. Dezember 2011 und der Entscheid vom 12. August 2013 aufzuheben und die beruflichen Massnahmen und Integrationsmassnahmen, welche über die laufende Arbeitsvermittlung hinausgehen, fortzusetzen; es sei insbesondere ein Arbeitstraining durchzuführen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
Die Vorinstanz hat unter Verweis auf das Gutachten der Reha-Klinik X._ vom 10. August 2005, das auch dem Urteil 9C_742/2009 vom 25. Februar 2010 zugrunde lag, festgestellt, der Versicherten sei eine halbschichtige Tätigkeit mit leichter Belastung zumutbar. Folglich hat sie die Anspruchsvoraussetzung einer seit mindestens sechs Monaten auch in allfälliger Verweistätigkeit bestehenden Arbeitsunfähigkeit von mindestens 50 % als erfüllt betrachtet. Weiter ist sie der Auffassung, es fehlten indessen eindeutige Anhaltspunkte für die Erforderlichkeit von Beschäftigungsmassnahmen und es bestünden keine Hinweise, wonach die Realisierung der Restarbeitsfähigkeit von der vorgängigen Durchführung sozial-rehabilitativer Massnahmen abhängig sei. Entsprechend sei der Versicherten Arbeitsvermittlung gemäss <ref-law> zuerkannt worden, was die Eingliederungsfähigkeit voraussetze. Zudem arbeite sie seit Jahren als Zeitungsverträgerin, aktuell in einem Pensum von täglich eineinhalb Stunden während sechs Wochentagen; das zeige die grundsätzlich vorhandene Fähigkeit, eine Tätigkeit im ersten Arbeitsmarkt zu bekleiden. Demzufolge hat das kantonale Gericht einen Anspruch auf Integrationsmassnahmen nach <ref-law> mangels Notwendigkeit verneint. Sodann hat das kantonale Gericht dem Ausgang des Verfahrens entsprechend der Versicherten die Gerichtskosten auferlegt und einen Anspruch auf Parteientschädigung verneint.
3.
3.1. Vorab ist auf die Rüge einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör resp. der Begründungspflicht durch die Vorinstanz einzugehen. Diese hat die als wesentlich und erstellt erachteten Tatsachen und die daraus gezogenen rechtlichen Schlüsse nachvollziehbar dargelegt. Darin kann keine Verletzung der aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> sowie <ref-law> (SR 830.1) und <ref-law> abgeleiteten Prüfungs- und Begründungspflicht (Urteil 5A_368/2007 vom 18. September 2007 E. 2; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.3 S. 357 ff.) oder des Grundsatzes der Waffengleichheit (Art. 6 Ziff. 1 EMRK) erblickt werden (Urteil 9C_215/2010 vom 20. April 2010 E. 3). Entscheidend ist, dass es den Parteien möglich ist, das vorinstanzliche Erkenntnis - unter Berücksichtigung der Kognition des Bundesgerichts ( HANSJÖRG SEILER und andere, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 9 f. zu <ref-law>) - sachgerecht anzufechten (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 1a S. 181). Dies trifft hier zu.
3.2.
3.2.1. Versicherte, die seit mindestens sechs Monaten zu mindestens 50 Prozent arbeitsunfähig (<ref-law>) sind, haben Anspruch auf Integrationsmassnahmen zur Vorbereitung auf die berufliche Eingliederung (Integrationsmassnahmen), sofern dadurch die Voraussetzungen für die Durchführung von Massnahmen beruflicher Art geschaffen werden können (<ref-law>). Als Integrationsmassnahmen gelten gezielte, auf die berufliche Eingliederung gerichtete (a) Massnahmen zur sozial-beruflichen Rehabilitation und (b) Beschäftigungsmassnahmen (<ref-law>).
Anspruch auf Massnahmen zur sozialberuflichen Rehabilitation haben Versicherte, die in Bezug auf Massnahmen beruflicher Art noch nicht eingliederungsfähig sind (Art. 4 quater Abs. 2 IVV [SR 831.201]). Als Massnahmen zur sozialberuflichen Rehabilitation gelten Massnahmen zur Gewöhnung an den Arbeitsprozess, zur Förderung der Arbeitsmotivation, zur Stabilisierung der Persönlichkeit und zum Einüben sozialer Grundfähigkeiten (Art. 4 quinquies Abs. 1 IVV).
Anspruch auf Beschäftigungsmassnahmen haben Versicherte, deren Eingliederungsfähigkeit in Bezug auf Massnahmen beruflicher Art verloren zu gehen droht (Art. 4 quater Abs. 3 IVV). Als Beschäftigungsmassnahmen gelten Massnahmen zur Aufrechterhaltung einer Tagesstruktur für die Zeit bis zum Beginn von Massnahmen beruflicher Art oder bis zu einem Stellenantritt auf dem freien Arbeitsmarkt (Art. 4 quinquies Abs. 2 IVV).
3.2.2. Die vorinstanzliche Feststellung betreffend die Arbeits (un) fähigkeit (E. 2) ist weder offensichtlich unrichtig, noch beruht sie auf einer Rechtsverletzung. Sie bleibt daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1). Zu prüfen ist, ob die umstrittene Massnahme (vgl. Urteil 9C_801/2011 vom 10. Oktober 2012 E. 1) für die berufliche Eingliederung resp. für die Durchführung von Massnahmen beruflicher Art (namentlich Arbeitsvermittlung gemäss <ref-law>) erforderlich ist.
3.2.3. Die Vorinstanz hat zutreffend erwogen, die Optimierung der Instrumente für die berufliche Wiedereingliederung gemäss <ref-law> fokussiere wesentlich auf psychisch kranke Versicherte, auch wenn der Anspruch nicht auf solche Personen beschränkt sei. Indessen ist die Art der gesundheitlichen Beeinträchtigungen für die Verneinung des Anspruchs auf Integrationsmassnahmen nicht ausschlaggebend (gewesen), weshalb die diesbezüglichen Ausführungen der Beschwerdeführerin ins Leere zielen. Weiter verhält sich die Versicherte widersprüchlich, wenn sie auf dem Anspruch auf Arbeitsvermittlung beharrt und gleichzeitig ihre Eingliederungsfähigkeit bestreitet, ist doch diese für die Arbeitsvermittlung vorauszusetzen (vgl. <ref-law> und Art. 4 quater Abs. 2 IVV). Soweit sie einen drohenden Verlust der Eingliederungsfähigkeit (Art. 4 quater Abs. 3 IVV) geltend macht, fallen höchstens Massnahmen zur Aufrechterhaltung einer Tagesstruktur (Art. 4 quinquies Abs. 2 IVV) in Betracht.
Das kantonale Gericht hat verbindlich (E. 1) festgestellt, aus dem psychiatrischen Teilgutachten (E. 2) ergäben sich keine eindeutigen Anhaltspunkte für die Erforderlichkeit von Massnahmen zur Aufrechterhaltung einer Tagesstruktur, zur Angewöhnung an den Arbeitsprozess, zum Aufbau der Arbeitsmotivation, zur Stabilisierung der Persönlichkeit oder zum Einüben sozialer Grundfähigkeiten, zumal darin u.a. auf "Elemente von guter Lebensbewährung in vieler Hinsicht" hingewiesen werde. Die behandelnde Psychiaterin Dr. med. H._ habe die Eignung allfälliger Integrationsmassnahmen zumindest in Frage gestellt. Die Versicherte arbeite seit Jahren als Zeitungsverträgerin, aktuell in einem Pensum von täglich eineinhalb Stunden während sechs Wochentagen. Diesbezüglich bestünden keine Hinweise auf ein spezielles Entgegenkommen des Arbeitgebers, im Gegenteil liessen die Arbeitszeugnisse auf gute Leistungen und sozial-adäquates Verhalten im Rahmen des bestehenden Arbeitsverhältnisses schliessen.
Angesichts dieser Umstände ist in der Tat nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz Bundesrecht verletzt haben soll, indem sie die Erforderlichkeit von Integrationsmassnahmen verneint hat. Zwar bekleidet die Versicherte lediglich ein Teilpensum von neun Stunden pro Woche und ist es ihr bislang nicht gelungen, ihre Restarbeitstätigkeit vollständig auszuschöpfen. Dass sie dafür einer Integrationsmassnahme bedarf, ergibt sich aber weder aus der E-Mail des Stellenvermittlers vom 18. Oktober 2010 (vgl. E. 3.2.4) noch aus anderen Unterlagen oder Umständen. Dass die Arbeitsvermittlung bislang ohne Erfolg blieb, genügt für eine solche Annahme nicht. Weiter macht die Versicherte zu Recht nicht geltend, über keine Tagesstruktur zu verfügen, ist sie doch regelmässig in einem Pensum von rund 22 % beschäftigt. Aus den Arbeitszeugnissen vom 15. März und 18. November 2010 ergibt sich, dass sie dabei zuverlässig, pünktlich, aufgeschlossen, freundlich und hilfsbereit ist und mit Vorgesetzten wie Kunden angemessen kommuniziert. Damit sind Arbeitsmotivation und soziale Grundfähigkeiten ausgewiesen, auch wenn die Arbeit als Zeitungsverträgerin keine eigentliche "Teamarbeit" ist. Schliesslich gilt es nicht, aus einer (längeren) vollständigen Arbeitslosigkeit in die Erwerbstätigkeit einzusteigen, sondern die Arbeitstätigkeit von rund 22 % auf 50 % zu erhöhen.
3.2.4. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz einen Anspruch auf Integrationsmassnahmen nach Art. 14a Abs. 1 und 2 IVG zu Recht verneint. Davon unberührt bleibt indessen die Frage, ob ein "Arbeitstraining" im Rahmen eines Einarbeitungszuschusses im Sinne von <ref-law> gewährt werden könnte. Sie bildet nicht Gegenstand dieses Verfahrens; ein allfälliger Anspruch ist von der IV-Stelle von Amtes wegen zu prüfen.
3.3.
3.3.1. Die obsiegende Beschwerde führende Person hat Anspruch auf Ersatz der Parteikosten. Diese werden vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen (<ref-law>).
Trotz Unterliegens der Beschwerdeführerin in der Sache kann ihr im Rahmen von <ref-law> eine Parteientschädigung zugesprochen werden, soweit die Beschwerdegegnerin die Kosten verursacht hat. Dieser allgemeine Rechtsgrundsatz, wonach jene Partei für die Kosten des Verfahrens aufzukommen hat, welche es bewirkt hat, gelangt auch bei der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und der daraus abgeleiteten Verpflichtung zur Entscheidbegründung (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188; 229 E. 5.2 S. 236) zur Anwendung (SVR 2003 AlV Nr. 2 S. 4, C 313/01 E. 1d, nicht publ. in: <ref-ruling>). Dabei ist massgebend, dass der Partei Kosten entstehen, die ihr ohne die Verletzung der Begründungspflicht nicht entstanden wären (<ref-ruling> E. 3 S. 248; SVR 2010 IV Nr. 51 S. 157, 9C_363/2009 E. 3.3; SVR 2010 IV Nr. 40 S. 126, 9C_1000/2009 E. 2.2; Urteile 9C_68/2012 vom 30. März 2012 E. 3.1; 9C_429/2010 vom 9. Juli 2010 E. 2.2). Es sind keine Gründe ersichtlich, diese Regelung nicht auch analog auf die Gerichtskosten des vorinstanzlichen Verfahrens (vgl. <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 61 f.) anzuwenden (vgl. SVR 2010 IV Nr. 51 S. 157, 9C_363/2009 E. 3.3 und Dispositiv-Ziff. 4).
3.3.2. Die Vorinstanz hat zutreffend festgestellt, aus der Verfügung vom 19. Dezember 2011 erhelle nicht ohne weiteres, ob damit über die anbegehrte Integrationsmassnahme im Sinne von <ref-law> mitbefunden und der entsprechende Anspruch (implizite) verneint worden sei. Sie hat offengelassen, wie es sich damit verhält, weil sie eine Ausdehnung des Streitgegenstandes ohnehin für gerechtfertigt gehalten hat.
In der Verfügung wurde ausgeführt, das Zumutbarkeitsprofil sei klar und unbestritten; weitere Abklärungsmassnahmen seien daher nicht angezeigt. Es bestehe lediglich Anspruch auf die Beratung und Unterstützung bei der Stellensuche. Die Mitteilung schliesse das Verfahren nicht ab; allfällige weitere Leistungsansprüche würden noch geprüft. Aus dem Verweis auf Abklärungsmassnahmen lässt sich schliessen, dass über die umstrittene Leistung allenfalls unter dem Titel "Arbeitsversuch" (vgl. <ref-law>) entschieden wurde. Trotz mehrfachen Ersuchens der Versicherten um Erlass einer begründeten Verfügung ist nicht ersichtlich, inwiefern Integrationsmassnahmen nach <ref-law> Gegenstand der Verfügung vom 19. Dezember 2011 gebildet haben sollten, zumal eine diesbezügliche Begründung auch nicht ansatzweise erkennbar ist. Das Vorgehen der IV-Stelle ist somit als klare Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör zu werten (Art. 49 Abs. 1 und 3 ATSG und Art. 29 Abs. 1 und 2 BV; vgl. auch E. 3.1).
3.3.3. Zwar ist nicht von vornherein auszuschliessen, dass die Versicherte auch gegen eine genügend begründete, anspruchsverneinende Verfügung Beschwerde geführt hätte (vgl. Urteil 9C_429/2010 vom 9. Juli 2010 E. 2.3), hat sie doch auch den vorinstanzlichen Entscheid an das Bundesgericht weitergezogen. Anderseits steht dies nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit fest, zumal eine überzeugende Begründung möglich gewesen wäre (vgl. E. 3.2, dabei namentlich E. 3.2.4); zudem war die Beschwerdeführerin gezwungen, Beschwerde zu erheben, um (nachträglich) überhaupt einen - rechtsgenüglich begründeten - Entscheid über ihr Begehren zu erlangen (vgl. SVR 2010 IV Nr. 51 S. 157, 9C_363/2009 E. 3.3). Daher ist die IV-Stelle für das vorinstanzliche Verfahren kostenpflichtig. In diesem Punkt ist die Beschwerde begründet.
4.
Die Gerichtskosten sind den Parteien entsprechend dem Ausgang des Verfahrens aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat für das bundesgerichtliche Verfahren Anspruch auf eine (reduzierte) Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Dipositiv-Ziffern 3 und 4 des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 12. August 2013 werden aufgehoben. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden zu Fr. 500.- der Beschwerdeführerin und zu Fr. 300.- der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Februar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann