Faits:
A.
A.a. X._, né en octobre 1955, exerçait depuis 1983 une activité professionnelle à titre indépendant. En 1992, il a conclu avec la société d'assurance Y._ SA une police de prévoyance comprenant entre autres une assurance en cas d'incapacité de gain, sous la forme d'une rente annuelle maximale de 36'000 fr.; celle-ci devait être versée après un délai d'attente de vingt-quatre mois, jusqu'au 1 er avril 2021 au plus tard. A défaut de paiement des primes, le contrat s'éteignait à l'échéance du délai fixé par sommation préalable.
En août 1997, l'assuré a été victime d'un accident de la circulation. Il n'a pas pu reprendre son activité professionnelle à 100 %. Dans un rapport du 12 novembre 1998, l'expert médical A._ a jugé que l'état du patient était stabilisé et a fixé à 30,5 % le taux d'invalidité médico-théorique permanente liée à l'accident. Dans un rapport ultérieur du 4 septembre 2003, l'expert a retenu une incapacité de travail de 50 % tenant compte des seuls troubles somatiques; il précisait qu'en tout état de cause, la capacité de travail ne dépasserait pas ce pourcentage.
A.b. Le 23 mars 2002, l'assuré a déposé une demande de prestations d'assurance invalidité (AI) auprès de l'Office cantonal de l'assurance invalidité (OCAI). Le 2 juin 2005, ce dernier a refusé toute rente au motif que l'assuré n'avait pas connu de perte au niveau de son chiffre d'affaires, malgré l'aggravation constatée de son état de santé. Saisi d'une opposition, l'OCAI a confirmé sa position le 19 février 2007.
Statuant par arrêt du 13 mai 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a modifié la décision de l'OCAI et accordé à l'assuré une demi-rente d'invalidité entre mars 2001 et août 2002, puis une rente entière dès septembre 2002; il a reconnu l'existence d'une invalidité permanente partielle (50 %) dès le mois de mars 1998, puis totale dès le 2 septembre 2002.
Cet arrêt a été déféré au Tribunal fédéral, qui l'a rejeté en date du 23 mars 2009 (9C_510/2008).
A.c. Entre le 1 er septembre 2002 et le 30 septembre 2006, la compagnie d'assurance a versé à l'assuré des demi-rentes trimestrielles. Durant cette même période, l'assuré a payé les primes d'assurance à concurrence de la moitié des montants convenus.
Le 18 septembre 2006, la société d'assurance a informé l'assuré que les rentes trimestrielles ne seraient à nouveau versées qu'après réception de documents permettant de déterminer clairement la perte de gain, ou réception d'une nouvelle décision de l'OCAI; à défaut d'obtenir les documents requis dans un délai échéant le 1 er novembre 2006, elle classerait le dossier et demanderait la restitution des prestations versées en trop. L'assuré était en outre invité à régler au plus vite les primes réclamées afin d'éviter une libération de la police. Le 3 mai 2007, la compagnie d'assurance a accordé à l'assuré un délai de quatorze jours pour payer les primes échues s'il entendait éviter la transformation de son assurance. Par courrier du 4 septembre 2007, elle a informé l'assuré qu'en raison du non-paiement ou du paiement partiel de l'arriéré de primes, son assurance avait été modifiée; elle lui a transmis une nouvelle police ne prévoyant aucune prestation en cas d'incapacité de gain.
Le 4 septembre 2009, l'assuré a signalé à la compagnie d'assurance qu'il avait été mis au bénéfice d'une rente d'invalidité; il lui a demandé de verser les prestations dues selon sa police d'assurance. La société d'assurance a refusé, en faisant valoir que l'incapacité de gain n'était plus assurée depuis le 1 er avril 2007.
B.
B.a. Le 6 août 2010, l'assuré a ouvert action contre la compagnie d'assurance devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Selon ses dernières conclusions du 18 novembre 2011, il requérait le paiement de 278'381 fr. pour la période du 1 er septembre 2002 au 30 octobre 2011, à titre d'indemnisation de son incapacité de gain et de remboursement des primes payées en trop; il demandait en outre le paiement d'une rente mensuelle de 3'000 fr. à compter du 1 er novembre 2011 jusqu'au 30 mars 2021 au plus tard, pour autant que dure son incapacité de gain. La société d'assurance a conclu au déboutement de l'assuré; elle a notamment soulevé l'exception de prescription.
Par jugement du 2 février 2012, le Tribunal a retenu la prescription et rejeté l'action sans se prononcer sur les autres questions litigieuses, dont en particulier celle de la suppression du droit de l'assuré à des indemnités pour perte de gain à partir du 1 er avril 2007.
B.b. L'assuré a interjeté appel. Statuant par arrêt du 19 octobre 2012, la Chambre civile de la Cour de justice a considéré que les prétentions émises par l'assuré étaient prescrites et que la société d'assurance n'avait pas commis un abus de droit en soulevant l'exception de prescription. En conséquence, elle a rejeté l'appel et confirmé le rejet de l'action.
Les considérants de l'arrêt peuvent succinctement se résumer comme il suit: l'invalidité permanente de l'assuré avait été objectivement établie au plus tard le 4 septembre 2003, par le rapport d'expert daté du même jour. Le délai de prescription de deux ans prévu à l'<ref-law> (loi fédérale sur le contrat d'assurance; RS 221.229.1) avait donc commencé à courir au plus tard ce jour-là. La prescription avait été interrompue par les versements trimestriels effectués dès septembre 2002 jusqu'en septembre 2006. Un nouveau délai de prescription biennal avait commencé à courir le 1 er octobre 2006 pour expirer le 1 er octobre 2008, à défaut d'acte interruptif. La prétention en paiement des prestations d'assurance était donc prescrite. Quant au remboursement des primes versées en trop, il était régi par les règles sur l'enrichissement illégitime. Le délai de prescription d'un an avait commencé à courir le 13 mai 2008, date à laquelle le Tribunal des assurances sociales avait reconnu l'invalidité totale de l'assuré; il était arrivé à échéance le 13 mai 2009 sans avoir été interrompu. Ainsi, toutes les prétentions de l'assuré étaient prescrites lorsqu'il avait ouvert action le 6 août 2010.
C.
Par-devant le Tribunal fédéral, l'assuré (ci-après: le recourant) interjette un recours en matière civile, concluant à l'annulation de l'arrêt d'appel, au rejet de l'exception de prescription et au renvoi de la cause à l'autorité de première instance afin qu'elle statue sur le fond du litige.
La compagnie d'assurance (ci-après: l'intimée) conclut au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué. L'autorité précédente se réfère à son arrêt.

Considérant en droit:
1.
Le recourant se plaint d'une violation de l'<ref-law> relatif à la prescription des créances dérivant du contrat d'assurance.
Il convient de rappeler les règles du Code des obligations, avant d'exposer le régime spécial institué par l'<ref-law>.
1.1. Sauf disposition contraire, les créances se prescrivent par dix ans (<ref-law>). Ce délai court dès que la créance est exigible (<ref-law>). A défaut de terme stipulé ou résultant de la nature de l'affaire, l'obligation est exigible immédiatement (cf. <ref-law>).
Un délai de prescription plus court, soit cinq ans, s'applique aux redevances périodiques (<ref-law>). Sont visées les prestations dont le débiteur est tenu à époques régulières, en vertu du même rapport d'obligation. Chacune des prestations doit pouvoir être exigée de façon indépendante; il n'est toutefois pas nécessaire que les prestations soient toutes de la même importance et que leur montant soit par avance exactement déterminé (<ref-ruling> consid. 3c).
Les rentes viagères sont des redevances périodiques au sens de l'<ref-law> et se prescrivent donc par cinq ans dès qu'elles sont exigibles. En outre, l'<ref-law> prévoit que le rapport juridique de base ( Stammrecht, Grundforderung, Forderungsrecht im Ganzen ) qui fonde ces rentes viagères ou "autres prestations périodiques analogues" est lui-même sujet à prescription, laquelle commence à courir dès le jour d'exigibilité de la première prestation impayée; le délai est celui de l'<ref-law>, soit dix ans (<ref-ruling> consid. 3b; STEPHEN V. BERTI, Zürcher Kommentar, 3 e éd. 2002, n os 6-8 et 25-26 ad <ref-law>). Il s'agit ainsi d'éviter que le rapport juridique générant le droit à de telles prestations périodiques, chacune prescriptible par cinq ans, continue à exister alors même qu'il n'est l'objet d'aucune exécution pendant plusieurs années (<ref-ruling> consid. 2 p. 502). La prescription du rapport de base supprime le droit à toute prestation périodique, y compris celles qui n'étaient pas encore prescrites en vertu de l'<ref-law> (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3b p. 452).
1.2. En matière de contrat d'assurance, l'exigibilité revêt un sens particulier: la créance qui résulte d'un tel contrat est échue quatre semaines après le moment où l'assureur a reçu les renseignements de nature à lui permettre de se convaincre du bien-fondé de la prétention (<ref-law>). Le législateur a considéré qu'ainsi définie, l'exigibilité ne pouvait constituer le point de départ adéquat de la prescription ( ERNST A. THALMANN, Die Verjährung im Privatversicherungsrecht, 1940, p. 110 s.; JEAN-BENOÎT MEUWLY, La durée de la couverture d'assurance privée, 1994 [cité ci-après: Durée], p. 252-254). Il s'agissait notamment d'éviter que l'assuré puisse influer sur le processus de prescription (arrêt 5C.237/2004 du 23 mars 2005 consid. 2.1; MEUWLY, Durée, p. 238). En conséquence, le législateur a adopté un autre critère comme point de départ de la prescription: selon l'<ref-law>, "les créances qui dérivent du contrat d'assurance se prescrivent par deux ans à dater du fait d'où naît l'obligation" ( "nach Eintritt der Tatsache, welche die Leistungspflicht begründet", "dal fatto su cui è fondata l'obbligazione" ). La créance peut ainsi se prescrire avant d'être exigible (Stephan Fuhrer, Schweizerisches Privatversicherungsrecht [cité ci-après: Privatversicherungsrecht], 2011, p. 394 ss nn. 15.7 ss). La LCA renvoie par ailleurs au Code des obligations pour toutes les questions qu'elle ne règle pas (<ref-law>).
La doctrine déplore l'imprécision du dies a quo tel que défini à l'<ref-law>, tout en reconnaissant qu'il est difficile d'appréhender en une seule formule diverses créances (prestations d'assurance, primes de l'assuré, etc.) de contrats concernant des types d'assurances très variés ( MEUWLY, Durée, p. 249; cf. aussi THALMANN, op. cit., p. 107). Elle observe, entre autres, qu'il est fait référence à un seul "fait" dont découle l'obligation, alors qu'en soi, de nombreuses étapes conduisent à la prise en charge du cas d'assurance; se pose en outre la question de savoir si l'expression "obligation" ( Leistungspflicht, obbligazione ) vise le rapport d'obligation en tant que tel ou l'objet de ce rapport, soit les prestations d'assurance ( MEUWLY, Durée, p. 223-225).
Au terme d'une évolution, la jurisprudence a précisé que le "fait d'où naît l'obligation" ne se confond pas nécessairement avec la survenance du sinistre - même s'il s'agit de la cause première de l'obligation d'indemnisation. Selon le type d'assurance envisagée, la prestation de l'assureur n'est due que si le sinistre engendre un autre fait précis. Ainsi, en matière d'assurance accident, le contrat peut prévoir une couverture en cas d'invalidité; ce n'est alors pas l'accident comme tel, mais la survenance de l'invalidité qui donne lieu à l'obligation de payer des prestations (<ref-ruling> consid. 7a; <ref-ruling> consid. 2b p. 454). Seule une prétention qui a déjà pris naissance peut être atteinte par la prescription (<ref-ruling> consid. 2d p. 48). Le moment déterminant pour le départ de la prescription est donc celui où sont réunis tous les éléments constitutifs fondant le devoir de prestation ( Leistungspflicht ) de l'assureur (<ref-ruling> consid. 2b p. 271). Il s'ensuit que la notion de "fait d'où naît l'obligation" varie selon les diverses catégories d'assurances, et selon le type de prétention en cause (<ref-ruling> consid. 2b p. 270; 4A_645/2010 du 23 février 2011 consid. 2.2.2, rés. in JdT 2012 II 135). Dans l'assurance invalidité, la prescription commence à courir lorsque l'invalidité est acquise, sans égard au moment où l'assuré en a eu connaissance (ATF <ref-ruling> consid. 2b p. 455).
En bref, pour connaître le "fait d'où naît l'obligation", et partant le point de départ de la prescription, il faut analyser le contrat d'assurance et déterminer quel est le sinistre assuré, respectivement quels éléments constitutifs doivent être réunis pour que l'assureur ait l'obligation d'indemniser l'assuré - sans égard aux déclarations et actes que doit faire la partie qui invoque une prétention (cf. par ex. KARL SPIRO, Die Begrenzung privater Rechte durch Verjährungs-, Verwirkungs- und Fatalfristen [cité ci-après: Begrenzung], vol. I, 1975, p. 67 s.).
1.3.
1.3.1. Dans le cas concret, les conditions contractuelles telles qu'énoncées dans l'arrêt attaqué sont les suivantes:
Le recourant a souscrit une assurance en cas d'incapacité de gain qui lui confère, à l'issue d'un délai d'attente de 24 mois, le droit à une rente annuelle de 36'000 fr. jusqu'au 1 er avril 2021.
Selon les conditions générales d'assurance (CGA),
- il y a incapacité de gain lorsque, par suite de maladie - pouvant être constatée sur la base de signes objectifs médicaux - ou d'accident, l'assuré est hors d'état d'exercer sa profession ou toute autre activité conforme à sa position sociale, à ses connaissances et à ses aptitudes (art. 50).
- les rentes sont accordées proportionnellement au degré de l'incapacité de gain, pour autant que l'assuré subisse à cause de son incapacité de gain une perte de gain ou un autre préjudice pécuniaire équivalent. Si l'incapacité de gain est d'au moins deux tiers, les prestations entières sont accordées. Une incapacité de moins d'un quart ne donne droit à aucune prestation (art. 55).
1.3.2. La Cour de justice s'est fondée sur la prémisse que l'assuré avait souscrit une assurance invalidité, après avoir rappelé que l'invalidité, au sens de l'<ref-law>, est une atteinte définitive à l'intégrité corporelle, qui diminue la capacité de travail. En conséquence, elle a déterminé à quel moment l'invalidité était acquise, retenant la date d'un rapport de l'expert médical, soit le 4 septembre 2003. Elle a considéré que cet instant marquait le point de départ de la prescription.
1.3.3. Le recourant reproche aux juges cantonaux d'avoir fait une interprétation erronée du type d'assurance convenue. Selon lui, l'obligation d'indemniser découlerait non pas de l'invalidité, mais de la conjonction d'autres éléments, à savoir l'incapacité d'exercer sa profession en raison d'une maladie ou d'un accident, une perte de gain découlant de cette incapacité, et l'écoulement d'un délai d'attente de deux ans. Or, ces conditions n'auraient été réunies que le 23 mars 2009, date à laquelle le Tribunal fédéral a validé la méthode utilisée par le Tribunal cantonal des assurances sociales pour fixer la perte de gain. Le délai de prescription n'aurait commencé à courir qu'à cette date.
1.3.4. Le recourant a raison sur le premier point: ce n'est pas l'invalidité comme telle qui était assurée. D'après les conditions contractuelles mentionnées dans l'arrêt attaqué, l'obligation de verser la rente naît objectivement lorsque l'assuré, par suite d'un accident ou d'une maladie, se trouve hors d'état d'exercer sa profession ou une autre activité analogue (art. 50 CGA) et qu'il subit de ce fait une perte de gain ou un autre préjudice pécuniaire équivalent (art. 55 CGA). Un délai d'attente de deux ans doit en outre être respecté. La perte de gain n'a toutefois pas d'incidence sur l'étendue de l'indemnité, fixée forfaitairement, et susceptible de varier en proportion du degré d'incapacité.
Ceci dit, l'exigence d'une perte de gain effective n'a pas pour effet de repousser le point de départ de la prescription au 23 mars 2009. L'obligation d'indemniser ne prend naissance, au sens de l'<ref-law>, que si l'assuré subit objectivement une perte de gain; en revanche, le moment auquel cette perte est démontrée et chiffrée est sans importance. La preuve de la perte de gain dépend en particulier du comportement de l'assuré; cet élément ne saurait influer sur le départ de la prescription. Or, le recourant lui-même ne nie pas que la perte de gain existait objectivement dès avant sa constatation dans la procédure AI; il fait observer, en se référant à l'arrêt du Tribunal cantonal des assurances sociales, qu'il a subi une perte de gain de 50% dès mars 1998, puis de 80 % dès l'automne 2002.
Il s'ensuit que la réalisation des éléments générant l'obligation d'indemniser se situe à une date encore antérieure à celle du 4 septembre 2003, retenue par la Cour de justice; les éléments constitutifs - y compris la perte de gain - étaient vraisemblablement déjà réalisés au mois de septembre 2002, lorsque la compagnie d'assurance a commencé à verser des indemnités.
1.4. Quoi qu'il en soit, la cour cantonale a considéré que l'écoulement d'un délai de deux ans entre octobre 2006 et octobre 2008 éteignait tout droit à des prestations d'assurance. C'est en définitive ce raisonnement qui a conduit à l'admission de l'exception de prescription; or, une telle analyse ne saurait être suivie.
Le Tribunal fédéral appliquant le droit d'office, il n'est pas lié par les motifs invoqués par le recourant pour contester la prescription (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2). La question qui va être discutée ci-dessous (consid. 2) a fait l'objet de publications récentes, que les parties, singulièrement l'intimée en tant que professionnelle de la branche, ne sauraient ignorer; il n'y a donc pas lieu de leur donner une nouvelle possibilité de se déterminer.
2.
2.1. Dans un arrêt de 1985 (<ref-ruling> consid. 2), le Tribunal fédéral a dû se prononcer sur la prescription d'une action intentée le 27 octobre 1980, tendant au paiement d'une rente dès le 1 er mars 1978, date à laquelle avait débuté une incapacité de gain pour cause d'invalidité. L'assureur soutenait, en se référant à l'<ref-law>, que le rapport juridique donnant droit aux rentes était prescriptible, et que la LCA fixait le délai de prescription à deux ans. L'autorité de céans a souligné que dans le régime ordinaire du Code des obligations, le rapport juridique de base se prescrivait par dix ans (<ref-law>), et que l'assimilation de la police d'assurance à un contrat de rentes périodiques au sens de l'<ref-law> ne serait donc d'aucun secours à l'assureur. L'application d'un délai de prescription absolue de deux ans, dans des cas d'assurances pour incapacité de gain dans des limites de temps définies, aboutirait à un traitement de faveur injustifié, même au regard de l'<ref-law>. En définitive, le Tribunal fédéral a confirmé la décision cantonale, qui allouait la rente à compter du 27 octobre 1978, soit deux ans avant l'introduction de l'action. Cet arrêt a été interprété de diverses façons. Il fait en tout cas clairement apparaître que chaque rente pour incapacité de gain se prescrit par deux ans (cf. résumé d'en-tête) et qu'il est exclu d'appliquer ce bref délai à la prescription du rapport de base.
En 2004 (arrêt 5C.168/2004 du 9 novembre 2004), le Tribunal fédéral a été saisi d'un litige où l'assuré, après avoir souscrit une assurance en cas d'incapacité de gain, prétendait au paiement de rentes d'invalidité dès le 1 er janvier 1999, alors qu'il avait ouvert action le 21 septembre 2001. Le Tribunal fédéral a distingué deux types de prescription: celle concernant le rapport de base, qui fondait le droit à percevoir des rentes, et celle touchant les rentes périodiques elles-mêmes. Comme créances, ces dernières étaient soumises à la prescription biennale de l'<ref-law>. En revanche, cette disposition, vu sa lettre claire, ne visait pas le rapport de base, qui n'était techniquement pas une créance. Celui-ci était dès lors soumis au délai ordinaire décennal de l'<ref-law>, qui commençait à courir dès le premier arriéré (<ref-law>). Dans le cas jugé, ce délai n'était de loin pas écoulé lorsque l'action avait été introduite.
2.2. Parallèlement, le Tribunal fédéral a dû se prononcer sur la prescription d'indemnités journalières.
L'<ref-ruling> se rapportait à une assurance prévoyant le versement d'indemnités journalières à deux conditions: d'une part, l'existence d'une incapacité de travail causée par une maladie et attestée par un médecin; d'autre part, l'écoulement d'un délai d'attente de 14 jours. Le Tribunal fédéral, en se référant à THALMANN (op. cit., p. 169), a jugé que le moment où ces deux éléments constitutifs étaient réalisés marquait le départ du délai de prescription biennal de l'<ref-law> et ce, pour l'ensemble des indemnités journalières dues pendant la période d'incapacité assurée. Sauf solution divergente découlant clairement du contrat, il fallait considérer le système des indemnités journalières comme un tout, soumis à un délai de prescription unique.
L'ATF 127 a été confirmé dans un arrêt de 2010 concernant également une assurance d'indemnités journalières en cas de maladie (arrêt 4A_532/2009 du 5 mars 2010 consid. 2.4).
2.3. La solution retenue en matière d'indemnités journalières a été critiquée en doctrine. D'aucuns soulignent que THALMANN (op. cit., p. 169), auquel se réfère l'<ref-ruling>, entendait effectivement traiter les indemnités comme un tout, mais faisait débuter la prescription à la fin de la période de couverture. Plusieurs auteurs font en outre observer que les conditions contractuelles prévues pour le versement de la première indemnité doivent aussi être réalisées pour les indemnités suivantes, et que cet élément reste à vérifier quotidiennement. L'incapacité est sujette à des variations; en outre, l'assuré peut mourir. Il serait préférable de considérer que les indemnités journalières se prescrivent de manière individuelle, chaque jour constituant un fait nouveau dont découle l'obligation de l'assureur de verser l'indemnité prévue ( MEUWLY, La prescription des créances d'assurance privée [...], PJA 2003 p. 312 s.; SPIRO, Verjährung von Krankentaggeldansprüchen [cité ci-après: Verjährung], REAS 2002 p. 121; VINCENT BRULHART, Justification de l'<ref-law> [...], PJA 2001 p. 1105; cf. aussi ROLAND BREHM, L'assurance privée contre les accidents, 2001, p. 365 n. 840). Il est aussi relevé qu'en pratique, la solution adoptée à l'<ref-ruling> revient à consacrer une prescription de deux ans du rapport de base, ce qui est contradictoire avec les <ref-ruling> et 5C.168/2004 ( CHRISTOPH K. GRABER, in Basler Kommentar, Versicherungsvertragsgesetz, Nachführungsband, 2012, p. 163 s.; FUHRER, Anmerkungen zu privatversicherungsrechtlichen Entscheiden des Bundesgerichts [cité ci-après: Anmerkungen], REAS 2010 p. 262 s.).
S'agissant précisément de la prescription du rapport de base, des auteurs admettent que cette question n'est pas réglée par la LCA et qu'en vertu du renvoi de l'<ref-law>, la règle générale de l'<ref-law>, assortie du délai de prescription décennal de l'<ref-law>, peut trouver application ( FUHRER, Privatversicherungsrecht, p. 402 nn. 15.37-15.39; SPIRO, Verjährung, p. 122 [après avoir soutenu que le rapport de base se prescrivait par deux ans, in Begrenzung, p. 802 note infrapaginale 17]; THALMANN, op. cit., p. 123 s. et p. 169 [en matière de rentes uniquement, à l'exclusion des indemnités journalières en cas d'incapacité temporaire]). Plusieurs commentateurs de l'<ref-law> évoquent la jurisprudence sans véritablement se prononcer, en faisant des interprétations divergentes de l'<ref-ruling> ( KILLIAS/WIGET, in Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 2 e éd. 2012, n° 5a ad <ref-law>; PASCAL PICHONNAZ, in Commentaire romand, 2e éd. 2012, n° 4 i.f. ad <ref-law>; ROBERT K. DÄPPEN, in Basler Kommentar, 5e éd. 2011, n° 2 ad <ref-law>; BERTI, op. cit., n° 18 ad <ref-law>; cf. aussi BREHM, op. cit., p. 364 n. 836). D'autres, non sans appeler une réforme de la LCA, estiment qu'il est critiquable de réintroduire le délai décennal de l'<ref-law> en recourant à l'<ref-law> ( GRABER, op. cit., p. 163 s.; BRULHART, Droit des assurances privées, 2008, p. 399 s.), ou que l'application de l'<ref-law> conduit à des solutions inadéquates ( MEUWLY, Durée, p. 414-416 et PJA 2003 p. 321 s.).
2.4. Il faut encore relever que dans le cadre d'un projet de révision totale de la LCA, le Conseil fédéral a fait la proposition de réforme suivante en matière de prescription: chaque prestation d'assurance périodique devait se prescrire par cinq ans à compter de la date de son échéance, tandis que la créance totale se prescrivait par dix ans à compter de la date du sinistre (cf. art. 64 al. 2 du projet, FF 2011 7216). Le Message (FF 2011 7152) se référait expressément à l'<ref-law> (RS 831.40), lequel soumet les prestations périodiques à un délai de prescription quinquennal et les autres créances à un délai décennal, tout en déclarant applicables les art. 129 à 142 CO; la jurisprudence en déduit que le droit de percevoir les rentes comme tel se prescrit dans le délai ordinaire de dix ans dès le jour de l'exigibilité du premier terme demeuré impayé, conformément à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3 et les réf. citées).
Cela étant, au mois de décembre 2012, le Conseil national a renvoyé le projet au Conseil fédéral, en l'invitant à élaborer une nouvelle réforme de la LCA limitée aux points nécessaires, incluant une prolongation appropriée des délais de prescription (BO 2012 CN 2203-2213).
2.5. Dans le cas concret, sont en cause des rentes versées en cas d'incapacité de gain après un délai d'attente de 24 mois, et susceptibles de l'être jusqu'à ce que l'assuré ait atteint l'âge de 65 ans et demi.
Il n'y a pas de motif de déroger à la jurisprudence rendue dans des cas semblables, selon laquelle chaque rente découlant du contrat d'assurance contre l'incapacité de gain se prescrit par deux ans (supra, consid. 2.1). Ces rentes sont des prestations périodiques au sens de l'<ref-law>, qui prévoit une prescription individuelle pour chaque redevance. En outre, l'incapacité de gain, qui fonde le droit à la rente, doit être réalisée constamment; or, elle est susceptible de varier ou de disparaître (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 503, qui fait une réflexion semblable à propos de l'invalidité). Ainsi, le "fait d'où naît l'obligation" de l'assureur se répète constamment. Ces considérations vont dans le même sens que la doctrine récente.
En l'occurrence, le recourant prétend au paiement d'une demi-rente complémentaire pour la période du 1 er septembre 2002 au 30 septembre 2006, puis d'une rente complète dès le 1 er octobre 2006, date à laquelle la compagnie d'assurance a interrompu tout versement. L'action a été introduite le 6 août 2010.
Il n'est pas nécessaire d'examiner si le versement d'une demi-rente entre 2002 et 2006 a éventuellement interrompu la prescription à l'égard du solde de rente qui est réclamé pour cette même période - ce que conteste l'intimée. De toute façon, les paiements ont cessé le 1 er octobre 2006. Il n'est pas établi qu'entre cette date et l'ouverture de l'action le 6 août 2010, il y ait eu un acte interruptif pertinent. Il faut dès lors conclure que le recourant peut tout au plus prétendre à une rente pour les deux ans qui précèdent l'ouverture de l'action, ainsi que pour la période postérieure. Le recourant a donc partiellement raison, en ce sens que ses prétentions - pour autant qu'elles existent - n'étaient pas entièrement prescrites quand l'action a été introduite.
Quant à la prescription du rapport de base, il faut également s'en tenir au principe que si le mécanisme particulier de l'<ref-law> doit trouver application, on ne saurait lui appliquer le délai très court de l'<ref-law>, mais bien celui de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2). Dans l'ensemble, la doctrine ne contredit pas ce point de vue. L'extinction du rapport de base est une question particulière, qui ne découle pas ex lege de l'<ref-law> et a nécessité l'introduction d'une règle spéciale dans le CO; de la même manière, il faut admettre que cette question n'est pas non plus traitée par l'<ref-law>, qui énonce une règle générale. Pour le surplus, il n'y a pas à discuter plus avant la question de savoir si les rentes d'incapacité de gain, notamment celle du cas concret, sont assimilables à des rentes viagères. Il apparaît en effet que de toute façon, le délai de prescription de dix ans depuis le premier arriéré n'était pas atteint lorsque l'action a été introduite. Cela étant, l'on ne peut que rejoindre la doctrine lorsqu'elle appelle une clarification de la question dans la loi.
2.6. Ce n'est pas le lieu ici de répondre aux critiques doctrinales concernant un autre type d'assurance, soit les indemnités journalières en cas de maladie; l'on se limitera ainsi à quelques remarques succinctes. S'agissant d'assurances en cas d'incapacité temporaire, prévoyant le versement d'indemnités pour un délai relativement bref, fréquemment limité à 720 jours, l'on peut difficilement admettre une analogie avec la rente viagère au sens de l'<ref-law>. C'est une autre question que de déterminer quel est le "fait d'où naît l'obligation de l'assureur" pour ce type d'assurance, respectivement de savoir si l'on peut continuer à traiter l'indemnisation convenue comme un tout et, dans l'affirmative, si la prescription doit commencer à courir dès la première ou la dernière indemnité exigible.
3.
3.1. Le recourant plaide que l'exception de prescription relève de l'abus de droit. L'intimée, qui avait interrompu le versement des rentes suite à la décision négative de l'OCAI, était intéressée à l'issue de la procédure en matière d'assurance invalidité. Tant que celle-ci durait, le recourant n'avait pas de raison d'entreprendre des démarches pour interrompre la prescription, d'autant que des courriers de l'intimée lui donnaient la garantie que sa situation serait réexaminée une fois connue la décision définitive en matière d'AI.
3.2. Le débiteur commet un abus de droit en se prévalant de la prescription lorsqu'il a astucieusement dissuadé le créancier d'agir en temps utile, ou même lorsque sans mauvaise intention, il a adopté un comportement propre à faire renoncer le créancier à entreprendre des démarches juridiques dans le délai de prescription; au regard d'une appréciation raisonnable, fondée sur des critères objectifs, le retard à agir doit apparaître compréhensible. Le comportement du débiteur doit être en relation de causalité avec le retard du créancier (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 4a).
3.3. Dans sa lettre du 18 septembre 2006, l'intimée subordonnait le versement de nouvelles rentes à la production de documents établissant la perte de gain ou à la production d'une nouvelle décision de l'OCAI. Elle précisait que si les documents requis n'étaient pas produits le 1 er novembre 2006, elle classerait le dossier et demanderait la restitution des prestations versées en trop; le recourant ne pouvait donc être dans l'incertitude. Il importe peu qu'en avril 2007, l'intimée ait éventuellement encore réservé la possibilité de revoir sa décision si le recours contre la décision de l'OCAI devait aboutir à l'octroi d'une rente. En effet, le 4 septembre 2007, après un premier avertissement effectué le 3 mai 2007, l'intimée a écrit au recourant que le contrat qui les liait avait été transformé en raison du non-paiement des primes et qu'il ne lui donnait plus droit à des prestations en cas d'incapacité de gain. On ne saurait donc retenir que l'intimée aurait d'une quelconque manière retenu le recourant d'agir dans les délais. Il s'ensuit le rejet du grief.
4.
La Chambre civile a jugé, en se référant à l'<ref-ruling> consid. 6.2, que la prétention en remboursement des primes payées à tort relevait de l'enrichissement illégitime (<ref-law>) et qu'elle était en l'occurrence prescrite. Ce point de l'arrêt attaqué n'est pas remis en cause. Il n'y a pas à y revenir.
5.
En définitive, le recours est partiellement admis, dans la mesure évoquée au considérant 2.5 ci-dessus. L'arrêt attaqué doit être annulé et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour suite de la procédure.
Chaque partie n'obtient que partiellement gain de cause. En conséquence, chacune supportera la moitié des frais judiciaires. Les dépens seront compensés (art. 66 et 68 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis.
2.
L'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à la Chambre civile de la Cour de justice pour suite de la procédure.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis par moitié à la charge de chacune des parties.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 18 mars 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti