Sachverhalt:
A. Der 1945 geborene J._ war als Kranführer der Firma B._ bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als am 8. März 1991 ein Arbeitskollege einen Sturz des Versicherten verhindern konnte, ihm dabei aber die rechte Achsel ausrenkte. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses; der Versicherte konnte seine bisherige Tätigkeit am 6. Januar 1992 wieder voll aufnehmen.
Am 10. Mai 2001 liess J._, nunmehr Kranführer bei der Firma C._ einen Rückfall melden. Nach medizinischen Abklärungen sprach die SUVA ihm daraufhin mit Verfügung vom 25. Februar 2003 eine Integritätsentschädigung aufgrund einer Integritätseinbusse von 15 % zu. Während die Versicherung mit Verfügung vom 27. Januar 2005 die Ausrichtung einer Invalidenrente noch ablehnte, sprach sie dem Versicherten mit Verfügung vom 15. Juni 2005 eine Invalidenrente ab 1. März 2003 gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 23 % zu. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2005 fest, sprach dem Versicherten aber Taggeldleistungen für die Jahre 2002 und 2003 zu.
B. Die von J._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 1. Februar 2007 gut, hob den Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2005 auf und wies die Sache zwecks ergänzender Abklärungen im Sinne der Erwägungen und zur neuerlichen Verfügung über die Leistung an die SUVA zurück.
C. Mit Beschwerde beantragt die SUVA sinngemäss, es sei, soweit die Invalidenrente betreffend, der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2005 zu bestätigen.
J._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, eventuell sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Das BGG unterscheidet in Art. 90 bis 93 zwischen End-, Teil- sowie Vor- und Zwischenentscheiden und schafft damit eine für alle Verfahren einheitliche Terminologie.
Ein Endentscheid ist ein Entscheid, der das Verfahren prozessual abschliesst (<ref-law>), sei dies mit einem materiellen Entscheid oder Nichteintreten, z.B. mangels Zuständigkeit. Der Teilentscheid ist eine Variante des Endentscheids. Mit ihm wird über eines oder einige von mehreren Rechtsbegehren (objektive und subjektive Klagehäufung) abschliessend befunden. Es handelt sich dabei nicht um verschiedene materiellrechtliche Teilfragen eines Rechtsbegehrens, sondern um verschiedene Rechtsbegehren. Vor- und Zwischenentscheide sind alle Entscheide, die das Verfahren nicht abschliessen und daher weder End- noch Teilentscheid sind; sie können formell- und materiellrechtlicher Natur sein. Materiellrechtliche Zwischenentscheide sind unter den alternativen Voraussetzungen von Art. 93 lit. a oder b BGG anfechtbar. Namentlich mit der Voraussetzung gemäss lit. b ("wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde") kann dem prozessökonomischen Anliegen Rechnung getragen werden, welches bisher mit der Qualifikation von Entscheiden über materielle Teilfragen als Teilendentscheide verfolgt wurde. Ein Rückweisungsentscheid schliesst das Verfahren nicht ab und ist somit nach der Regelung des BGG kein Endentscheid. Auch Rückweisungsentscheide, mit denen eine materielle Grundsatzfrage entschieden wird, sind keine Teilentscheide im Sinne von <ref-law>, da es sich dabei nicht um Entscheide über Begehren handelt, die unabhängig von den anderen Fragen beurteilt werden können. Es handelt sich dabei um Zwischenentscheide, die (nur, aber immerhin) unter den Voraussetzungen von <ref-law> selbstständig angefochten werden können (<ref-ruling> E. 4.1 und 4.2 S. 480; Urteil des Bundesgerichts 8C_37/2007 vom 8. Januar 2008, E. 2.1).
1.2 Voraussetzung für die selbstständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden ist gemäss <ref-law> zunächst, dass sie selbstständig eröffnet worden sind. Erforderlich ist sodann alternativ, dass der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b; <ref-ruling> E. 5.1 S. 482; erwähntes Urteil 8C_37/2007, E. 2.2).
1.3 Die Vorinstanz hat mit ihrem Entscheid unter Aufhebung des Einspracheentscheids vom 31. Oktober 2005 die Sache zur weiteren Abklärung an die Beschwerdeführerin zurückgewiesen. Damit ist ein Rückweisungsentscheid gemäss E. 1.1 gegeben, welcher als Zwischenentscheid nur gestützt auf die Voraussetzungen von <ref-law> anfechtbar ist. Die SUVA konnte bei Einreichung ihrer Beschwerde am 26. März 2007 (Postaufgabe) noch nicht wissen, dass die langjährige Praxis im Sozialversicherungsverfahren, wonach ein (kantonaler) Rückweisungsentscheid einen Endentscheid darstellte (<ref-ruling> E. 3.1 S. 479 mit Hinweisen), nach Inkrafttreten des BGG nicht weitergeführt würde, da der die Rechtslage klärende <ref-ruling> erst am 25. Juli 2007 erging. Insbesondere konnte sie nicht wissen, dass weitere Eintretenserfordernisse verlangt werden. Falls sie darum gewusst hätte, hätte sie diese allenfalls überzeugend darlegen können, wovon im Sinne einer rechtsschonenden Einführung des neuen Bundesrechtspflegegesetzes auszugehen ist. Es ist somit auf die Beschwerde der SUVA einzutreten (erwähntes Urteil 8C_37/2007, E. 2.3).
2. 2.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Die SUVA hat in ihrem Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2005 die Grundsätze und Bestimmungen über den Anspruch auf eine Invalidenrente (<ref-law>), die Bemessung des Invaliditätsgrades aufgrund eines Einkommensvergleiches (<ref-law>) und der Aufgabe der medizinischen Fachpersonen bei der Beurteilung der Frage, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten eine versicherte Person noch arbeitsfähig ist (<ref-ruling>), zutreffend wiedergegeben. Darauf wird verwiesen.
Ergänzend ist anzumerken, dass es für den Beweiswert eines Arztberichtes entscheidend ist, ob der Bericht für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Fachperson begründet sind (<ref-ruling> E. 3a 352).
4. Die Beschwerdeführerin hat die Rückweisung der Sache zwecks weiterer Abklärungen und zur neuerlichen Verfügung über die Taggeldleistungen nicht angefochten. Streitig und zu prüfen ist demgegenüber, ob die Vorinstanz zu Recht die Sache zu weiteren Abklärungen und zur neuerlichen Verfügung über die Rentenleistungen an die SUVA zurückgewiesen hat.
5. 5.1 Es ist zu Recht allseits unbestritten, dass für die Bemessung der Invalidität einzig von den somatischen Unfallfolgen im Bereich der Schulter auszugehen ist, da die depressive Symptomatik nicht in einem rechtsgenüglichen Kausalzusammenhang zum Unfallereignis steht.
5.2 Das kantonale Gericht begründete die Rückweisung damit, dass die SUVA für die Bemessung der Invalidität zu Unrecht vom Zumutbarkeitsprofil der Dres. med. Z._ und W._ vom Bereich Innere Medizin der medizinischen Universitätspoliklinik des Spitals X._ vom 29. April 2004 ausgegangen sei. Die von diesen Ärzten postulierte 100-%ige Arbeitsfähigkeit in einer leichten abwechslungsreichen nicht repetitiven manuellen Tätigkeit, ohne Überkopfarbeiten mit einem Traglimit von 5-10 Kilogramm sei nicht vereinbar mit dem Untergutachten der rheumatologischen Universitätsklinik Y._ vom 31. März 2004. Gemäss den Ärzten des Spitals Y._ müsste eine angepasste Tätigkeit die Möglichkeit bieten, den rechten Arm zu 50 % zu entlasten. Wie die Beschwerdeführerin zu Recht ausführt, kann dieser Interpretation des rheumatologischen Untergutachtens nicht gefolgt werden: Postuliert wird aus rheumatologischer Sicht eine volle Arbeitsfähigkeit in einer leichten Tätigkeit, sowie eine 50-%ige Arbeitsfähigkeit (mit Steigerungspotential) in einer mittelschweren Tätigkeit mit Entlastungsmöglichkeiten des rechten Armes und mit Vermeiden von Überkopfarbeiten sowie von wiederholtem Heben von Lasten über 15 Kilogramm. Ein Widerspruch zwischen dem Hauptgutachten und dem rheumatologischen Untergutachten ist demnach nicht ersichtlich.
5.3 Entgegen der Ansicht der SUVA führt dies indessen nicht zu einer Gutheissung der Beschwerde, da weitere Abklärungen aus folgendem Grund unumgänglich erscheinen: Wie der Versicherte zu Recht darauf hinweist, ist nicht nachvollziehbar, weshalb er einerseits aus somatischer Sicht in seinem angestammten Beruf als Kranführer dauerhaft voll arbeitsunfähig sein soll, andererseits für ihn gemäss dem Zumutbarkeitsprofil Tätigkeiten, die zwar noch als leicht zu bezeichnen, aber letztlich körperlich belastender als seine angestammte Tätigkeit als Kranführer sind, in Frage kommen sollen. Dieser Widerspruch wird durch das Gutachten der Dres. med. Z._ und W._ nicht aufgelöst. Insbesondere ist nicht ersichtlich, ob die Gutachter davon ausgingen, die Tätigkeit als Kranführer sei schwerer als aus der Arbeitsplatzbeschreibung vom 13. Januar 2005 (die, da nach dem Gutachten erstellt, den Gutachter nicht vorgelegen haben konnte) hervorgeht, oder ob das Zumutbarkeitsprofil durch weitere Einschränkungen, die gerade die Tätigkeit als Kranführer ausschliessen, ergänzt werden müsste. Das kantonale Gericht hat somit im Ergebnis zu Recht erkannt, dass für die Bemessung der Invalidität nicht ohne weiteres vom Gutachten der Dres. med. Z._ und W._ ausgegangen werden kann und die Sache zu genaueren Abklärungen, welche Tätigkeiten dem Beschwerdegegner aus somatischer Sicht noch zumutbar sind, an die SUVA zurückgewiesen.
6. Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5). Bei diesem Verfahrensausgang wird das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Prozessführung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat dem Beschwerdegegner für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. April 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Widmer Holzer