Sachverhalt:
A.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt verurteilte X._ am 20. Juni 2014 wegen mehrfachen Diebstahls zu einer bedingten Geldstrafe von 150 Tagessätzen zu Fr. 20.--. Auf die dagegen gerichtete Berufung von X._ trat das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 5. Januar 2015 nicht ein.
B.
X._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, der Entscheid vom 5. Januar 2015 sei aufzuheben und das Obergericht (recte: Appellationsgericht) anzuweisen, auf die Berufung einzutreten. Sie ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.
C.
Das Appellationsgericht und die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt beantragen die Abweisung der Beschwerde. X._ nimmt dazu Stellung.

Erwägungen:
1.
1.1. Rechtsschriften an das Bundesgericht sind in einer Amtssprache abzufassen und haben die Begehren, deren Begründung mit Angabe der Beweismittel und die Unterschrift zu enthalten (<ref-law>). Unterschreibt eine Person in fremdem Namen, muss sie für das betreffende bundesgerichtliche Verfahren vertretungsbefugt sein. Dies spielt in Zivil- und Strafsachen eine Rolle, wo die Parteien gemäss <ref-law> nur von Anwälten und Anwältinnen vertreten werden können, die nach dem Bundesgesetz vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) oder nach einem Staatsvertrag berechtigt sind, Parteien vor schweizerischen Gerichtsbehörden zu vertreten. Hier genügt nur die Unterschrift einer vertretungsbefugten Person. Wer nicht als Anwalt zugelassen ist, kann nicht gültig in Vertretung eines Anwalts unterzeichnen (Urteil 5A_179/2009 vom 29. Mai 2009 E. 2.2; Laurent Merz, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 34 zu <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling>). Die genannten Voraussetzungen sind vorliegend erfüllt. Die Beschwerdeschrift wurde von Rechtsanwalt A._ unterzeichnet. Rechtsanwalt Werner Greiner erteilte ihm gleichentags eine Substitutionsvollmacht.
1.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe Bundesrecht verletzt, indem sie auf ihre Berufung nicht eintrat. Zu dieser Rüge ist sie im bundesgerichtlichen Verfahren jedenfalls berechtigt. Unbekümmert um die Legitimation in der Sache selbst kann die Verletzung von Verfahrensrechten geltend gemacht werden, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 2 S. 250; je mit Hinweisen).
2.
2.1. Die Vorinstanz erwägt, die Berufung sei frist- und formgerecht angemeldet worden. Weiter sei unbestritten, dass im Namen der Beschwerdeführerin fristgerecht eine Berufungserklärung eingereicht worden sei. Diese Rechtsschrift habe allerdings nicht die Unterschrift des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin oder einer anderen zu deren Vertretung berechtigten Person getragen. Vielmehr sei sie von einer Kanzleimitarbeiterin des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin unterzeichnet worden. Dieser Mangel sei innerhalb einer Nachfrist nicht heilbar gewesen. Die Einreichung einer Berufungserklärung, welche lediglich die Unterschrift einer nicht unterschriftsberechtigten Person trägt, sei dem Fall einer fehlenden oder lediglich kopierten Unterschrift gleichzusetzen. In beiden Fällen fehle die gültige Unterzeichnung der vor Fristablauf eingereichten Berufungserklärung. Es bestehe keine Gerichtspraxis, wonach solche bewusst vorgenommenen Mängel innerhalb einer Nachfrist geheilt werden könnten. Eine solche Nachfrist wäre mit dem zwingenden Charakter der gesetzlichen Frist zur Einreichung der Berufungserklärung nur vereinbar, wenn die rechtsgültige Berufungserklärung noch innerhalb der Berufungsfrist nachgereicht werden könnte. Im vorliegenden Fall sei die nicht rechtsgültig unterzeichnete Berufungserklärung erst kurz vor Ablauf der gesetzlichen Frist der Post übergeben worden. Eine Nachfrist unter Einhaltung der Frist zur Berufungserklärung sei daher nicht mehr möglich gewesen. Eine Korrektur des Mangels nach Fristablauf sei nur noch unter den Voraussetzungen von <ref-law> möglich. Diese seien aber nicht erfüllt, da der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin nicht aufzeigen könne, dass ihn am Versäumnis kein Verschulden treffe. Die ferienbedingte Abwesenheit könne nicht als unverschuldetes Hindernis betrachtet werden. Das Fehlverhalten des Rechtsvertreters habe sich die Beschwerdeführerin anrechnen zu lassen. Auf ihre Berufung könne daher nicht eingetreten werden.
2.2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe ihr keine Nachfrist angesetzt, um die Rechtsschrift mit eigenhändiger Unterschrift ihres Rechtsvertreters nachzureichen. Da dieser den Mangel innerhalb der angesetzten Frist zur Wahrung des rechtlichen Gehörs behoben habe, trete die Vorinstanz zu Unrecht nicht auf die Berufung ein.
2.3.
2.3.1. Die Partei, die Berufung angemeldet hat, reicht dem Berufungsgericht innert 20 Tagen seit der Zustellung des begründeten Urteils eine schriftliche Berufungserklärung ein (<ref-law>). Schriftliche Eingaben sind zu datieren und zu unterzeichnen (<ref-law>). Die Verteidigung der beschuldigten Person ist Anwältinnen und Anwälten vorbehalten, die nach dem Anwaltsgesetz berechtigt sind, Parteien vor Gerichtsbehörden zu vertreten (<ref-law>).
2.3.2. Gegen das erstinstanzliche Urteil vom 20. Juni 2014 meldete der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin am 30. Juni 2014 die Berufung an, worauf am 8. August 2014 das schriftlich begründete Urteil per Gerichtsurkunde versandt wurde. Dieses nahm der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin am 11. August 2014 in Empfang, womit die Frist für die Berufungserklärung bis zum 1. September 2014 lief. Am 28. August 2014 reichte er die Berufungserklärung ein, welche der Vorinstanz am 29. August 2014 zuging. Die nur von einer Kanzleiangestellten des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin unterzeichnete Berufungserklärung genügt den Formerfordernissen unbestrittenermassen nicht (vgl. Entscheid S. 4 E. 1.2).
2.4.
2.4.1. Zu prüfen ist, ob die Vorinstanz berechtigt war, die Berufung wegen fehlender rechtsgültiger Unterzeichnung der Berufungserklärung mit Nichteintreten zu erledigen, ohne eine Nachfrist zur Verbesserung anzusetzen.
2.4.2. <ref-law> verbietet überspitzten Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung. Eine solche liegt vor, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und den Rechtssuchenden den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt. Wohl sind im Rechtsgang prozessuale Formen unerlässlich, um die ordnungsgemässe und rechtsgleiche Abwicklung des Verfahrens sowie die Durchsetzung des materiellen Rechts zu gewährleisten. Nicht jede prozessuale Formstrenge steht demnach mit <ref-law> im Widerspruch. Überspitzter Formalismus ist nur gegeben, wenn die strikte Anwendung der Formvorschriften durch keine schutzwürdigen Interessen gerechtfertigt ist, zum blossen Selbstzweck wird und die Verwirklichung des materiellen Rechts in unhaltbarer Weise erschwert oder verhindert (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9; <ref-ruling> E. 5.4.1 S. 183 f.; Urteile 6B_730/2013 vom 10. Dezember 2013 E. 1.3.1; 6B_503/2011 vom 7. Februar 2012 E. 3.1; je mit Hinweisen).
Im Strafprozessrecht ergibt sich das Verbot des überspitzten Formalismus aus Art. 3 Abs. 2 lit. a und b StPO, wonach die Strafbehörden namentlich den Grundsatz von Treu und Glauben sowie das Verbot des Rechtsmissbrauchs zu beachten haben (vgl. Niklaus Oberholzer, Grundzüge des Strafprozessrechts, 3. Aufl. 2012, N. 578).
2.4.3. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung bedeutet es keinen überspitzten Formalismus, vom Bürger zu verlangen, dass er seine Rechtsschriften eigenhändig unterzeichnet oder von einem bevollmächtigten und nach einschlägigem Verfahrensrecht zugelassenen Vertreter unterzeichnen lässt (<ref-ruling> E. 2a S. 22; <ref-ruling> E. 3 und 4b S. 171 ff. mit Hinweisen). Jedoch ist zu beachten, dass die Vorschriften des Zivilprozess-, Strafprozess- und Verwaltungsverfahrensrechts der Verwirklichung des materiellen Rechts zu dienen haben, weshalb die zur Rechtspflege berufenen Behörden verpflichtet sind, sich innerhalb des ihnen vom Gesetz gezogenen Rahmens gegenüber den Rechtssuchenden so zu verhalten, dass deren Rechtsschutzinteresse materiell gewahrt werden kann. Behördliches Verhalten, das einer Partei den Rechtsweg verunmöglicht oder verkürzt, obschon auch eine andere gesetzeskonforme Möglichkeit bestanden hätte, ist mit <ref-law> nicht vereinbar. Dementsprechend entschied das Bundesgericht, dass ein Gericht oder dessen Kanzlei verpflichtet ist, die betreffende Partei auf den Mangel aufmerksam zu machen und dessen Verbesserung zu verlangen, wenn bei einer Rechtsmittelerklärung ein sofort erkennbarer Formfehler wie das Fehlen einer gültigen Unterschrift festgestellt wird und die Rechtsmittelfrist noch nicht verstrichen ist. Wenn der Mangel der Unterschrift so früh erkannt worden ist, dass die betreffende Partei den Fehler bei entsprechendem Hinweis innert Frist hätte verbessern können, verletzt das Stillschweigen der Behörden <ref-law> (noch zu Art. 4 aBV: BGE <ref-ruling> E. 4c S. 174 f. mit Hinweisen). In <ref-ruling> präzisierte das Bundesgericht diese Praxis und hielt fest, es sei unerheblich, ob die Behörde den Mangel tatsächlich feststelle. Vielmehr sei sie grundsätzlich verpflichtet, den Verfasser einer Rechtsmittelschrift auf das Fehlen der Unterschrift aufmerksam zu machen, solange die noch verfügbare Zeit bis zum Ablauf der Rechtsmittelfrist ausreiche, um den Mangel zu beheben (a.a.O. E. 2b S. 24; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 5a S. S. 417 f.).
2.4.4. Das Eidgenössische Versicherungsgericht vertrat demgegenüber die Auffassung, in gewissen Konstellationen sei es nicht willkürlich, dass das kantonale Gericht keine Nachfrist ansetzt, wenn auf einer Beschwerde eine rechtsgenügende Unterschrift fehlt. Grundlage dieser Rechtsprechung bildete der Umstand, dass gemäss dem damals in Kraft stehenden Bundesgesetz vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (Bundesrechtspflegegesetz, OG; BS 3 531) alle für das Bundesgericht bestimmten Rechtsschriften die Unterschrift des Beschwerdeführers oder seines Vertreters zu enthalten hatten (Art. 30 Abs. 1 OG; Art. 108 Abs. 2 OG i.V.m. Art. 132 OG) und dass Art. 108 Abs. 3 OG es nach Ablauf der Rechtsmittelfrist nicht zuliess, andere Mängel als Unklarheiten im Begehren oder in der Begründung zu beheben. Eine Nachfristansetzung zur Verbesserung war im Falle der fehlenden Unterschrift nicht möglich (vgl. <ref-ruling> E. 5a f. S. 418 mit zahlreichen Hinweisen).
2.4.5. Mit der auf den 15. Februar 1992 in Kraft gesetzten revidierten Bestimmung von Art. 30 Abs. 2 OG (AS 1992 288) wurde diese prozessuale Formstrenge für das Verfahren vor Bundesgericht gelockert (vgl. Botschaft vom 18. März 1991 zur Änderung des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege [...], BBl 1991 II 514 Ziff. 41). Fehlte auf einer Rechtsschrift die Unterschrift einer Partei oder eines zugelassenen Vertreters, fehlten dessen Vollmacht oder die vorgeschriebenen Beilagen, oder war der Unterzeichner als Vertreter nicht zugelassen, so war nach dieser revidierten Bestimmung eine angemessene Frist zur Behebung des Mangels anzusetzen mit der Androhung, dass die Rechtsschrift sonst unbeachtet bleibe. Demnach hatte das Bundesgericht den Verfasser einer nicht oder von einer nicht als Vertreter zugelassenen Person unterzeichneten Rechtsschrift in jedem Fall auf den Mangel aufmerksam zu machen; selbst wenn die gesetzliche Rechtsmittelfrist abgelaufen war, musste dem Verfasser der nicht gültig unterzeichneten Rechtsschrift eine Frist zur nachträglichen Unterzeichnung angesetzt werden. Diese Regelung gründete auf dem Gedanken, dass jeder rigorose Formalismus zu vermeiden ist, die erwähnten Mängel folglich nicht direkt zu einem Nichteintreten führen, sondern innert einer Nachfrist beseitigt werden können. Prozessuale Formstrenge sollte dort gemildert werden, wo sie sich nicht durch schutzwürdige Interessen rechtfertigt (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 5c S. 418 f. mit Hinweisen).
2.4.6. Mit Blick auf die genannten Überlegungen, welche der erwähnten Gesetzesänderung zugrunde lagen, entschied das Bundesgericht, kantonale Gerichte handelten gegen Treu und Glauben, wenn sie ein nicht oder von einer nicht zur Vertretung berechtigten Person unterzeichnetes Rechtsmittel als unzulässig beurteilten, ohne eine kurze, gegebenenfalls auch über die gesetzliche Rechtsmittelfrist hinausgehende Nachfrist für die gültige Unterzeichnung anzusetzen. Es sei nicht verfassungswidrig, wenn das kantonale Gericht bei Einlegung eines Rechtsmittels auf der Unterschrift des Beschwerdeführers oder seines Vertreters bestehe. Hingegen habe es bei fehlender gültiger Unterschrift eine angemessene Frist zur Behebung des Mangels anzusetzen. Denn die Möglichkeit der Nachfristansetzung, wie sie in Art. 30 Abs. 2 OG für das Verfahren vor Bundesgericht enthalten sei, sei Ausdruck eines aus dem Verbot des überspitzten Formalismus fliessenden allgemeinen prozessualen Rechtsgrundsatzes, der auch im kantonalen Verfahren Geltung habe (vgl. <ref-ruling> E. 6a S. 419 mit Hinweisen; vgl. auch Urteile 2D_64/2014 vom 2. April 2015 E. 5.3; 1C_39/2013 vom 11. März 2013 E. 2.3; 2P.278/1999 vom 17. April 2000 E. 4c).
2.4.7. In der Folge präzisierte das Bundesgericht, der Anspruch auf eine Nachfrist bestehe nur bei unfreiwilligen Unterlassungen, weil sonst eine andere Regelwidrigkeit in Form der Nichtbeachtung der Frist zugelassen würde (<ref-ruling> E. 4b S. 255 f.). Ausgenommen von der Nachfristansetzung sind somit Fälle des offensichtlichen Rechtsmissbrauchs. Auf einen solchen Missbrauch läuft es etwa hinaus, wenn ein Anwalt eine bewusst mangelhafte Rechtsschrift einreicht, um sich damit eine Nachfrist für die Begründung zu erwirken (Urteil 1P.254/2005 vom 30. August 2005 E. 2.5 mit Hinweisen; vgl. auch Urteile 6B_51/2015 vom 28. Oktober 2015 E. 2; 6B_902/2013 vom 28. Oktober 2013 E. 3).
2.4.8. Das geltende Bundesgerichtsgesetz enthält eine Bestimmung, welche Art. 30 Abs. 2 OG im Wesentlichen entspricht. Fehlen die Unterschrift der Partei oder ihrer Vertretung, deren Vollmacht oder die vorgeschriebenen Beilagen oder ist die Vertretung nicht zugelassen, so wird eine angemessene Frist zur Behebung des Mangels angesetzt mit der Androhung, dass die Rechtsschrift sonst unbeachtet bleibt (<ref-law>; vgl. ANNETTE DOLGE, in: Spühler/ Aemisegger/Dolge/Vock, Praxiskommentar BGG, 2. Aufl. 2013, N. 47 f. zu <ref-law>).
2.4.9. Es besteht keine Veranlassung, von der dargelegten bundesgerichtlichen Rechtsprechung abzuweichen und sie bei der Anwendung der Strafprozessordnung nicht zu beachten (vgl. Urteil 1B_194/2012 vom 3. August 2012 E. 2.1).
Dass sich der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin rechtsmissbräuchlich verhalten hätte, ist nicht ersichtlich. Der Formfehler bestand nicht in der fehlenden Begründung der Eingabe, sondern bloss in der fehlenden rechtsgültigen Unterschrift. Zudem reichte er die Berufungserklärung drei Tage vor dem Ablauf der Frist ein. Demnach liegen keine Hinweise vor, dass der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin bewusst von einer rechtsgültigen Unterschrift absah, um eine Nachfrist zu erwirken (vgl. oben E. 2.4.7). Folglich hätte die Vorinstanz ihn auf den Mangel aufmerksam machen müssen. Hierfür wäre genügend Zeit verblieben, weil die Berufungserklärung der Vorinstanz am 29. August 2014 zuging und die Frist erst am 1. September 2014 ablief (vgl. oben E. 2.3.2). Andernfalls hätte die Vorinstanz dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin eine kurze über die gesetzliche Rechtsmittelfrist hinausgehende Nachfrist für die gültige Unterzeichnung der Berufungserklärung ansetzen müssen. Der kantonale Nichteintretensentscheid ist aufzuheben. Weil der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin bereits eine Rechtsschrift mit eigenhändiger Unterschrift nachgereicht hat (Beschwerde S. 5), erübrigt sich die Ansetzung einer Nachfrist. Die Vorinstanz hat im neuen Verfahren zu prüfen, ob auch die übrigen Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind, und gegebenenfalls auf die Berufung einzutreten.
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Basel-Stadt hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>). Die Entschädigung ist praxisgemäss dem Rechtsvertreter zuzusprechen. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 5. Januar 2015 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin, Rechtsanwalt Werner Greiner, für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Dezember 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Andres