Art. 9 und 29 Abs. 2 BV (Zivilprozess), hat sich ergeben:
A.- C._ verkaufte am 4. Juli 1995 A._ 286 Inhaberaktien der D._ AG für insgesamt Fr. 43'300.--, zahlbar am 31. Dezember 1997. Der Verkäufer trat seine Forderungen aus dem Kaufvertrag am 9. Oktober 1997 an die B._ Ltd. ab, welche die Kaufpreisforderung in der Folge gegenüber A._ geltend machte. Dieser zahlte nicht, worauf die B._ Ltd. Betreibung einleitete und am 31. März 1998 provisorische Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 43'300.-- erhielt.
A._ erhob Aberkennungsklage gegen die B._ Ltd. mit der Begründung, zur Zahlungsverweigerung berechtigt zu sein, weil er eine den Kaufpreis übersteigende Verrechnungsforderung gegenüber C._ habe. Das Kantonsgericht Zug wies die Klage mit Urteil vom 10. Juni 1999 ab. Der Kläger appellierte an das Obergericht des Kantons Zug, das sein Rechtsmittel mit Urteil vom 4. September 2001 abwies und den Entscheid des Kantonsgerichts bestätigte.
B.- A._ hat das Urteil des Obergerichts mit staatsrechtlicher Beschwerde und Berufung beim Bundesgericht angefochten. Mit der vorliegenden Beschwerde beantragt er, das angefochtene Urteil aufzuheben.
Die Beschwerdegegnerin und das Obergericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Der Beschwerdeführer hat im kantonalen Berufungsverfahren zahlreiche neue Dokumente eingereicht, um damit den Bestand eines Verrechnungsanspruchs zu beweisen. Das Obergericht erklärte diese Schriftstücke jedoch aufgrund des Novenverbots für unbeachtlich. Zur Begründung hielt es fest, die Mehrzahl der Dokumente (Bilanzen, Jahresrechnungen, Protokolle) stamme aus den Jahren 1992 bis 1997 und betreffe die D._ AG, deren Geschäftsführer und Aktionär der Beschwerdeführer gewesen sei, weshalb ihm diese Dokumente bekannt gewesen seien und er sie schon früher hätte einreichen können. Das Obergericht erklärte zudem jene Dokumente, die sich auf Vorgänge nach der Zession beziehen, für unerheblich.
Schliesslich habe der Beschwerdeführer von jenen Dokumenten, welche die A._ Küchengeräte Vertriebs GmbH erstellt hatte oder die an sie gerichtet waren, als Geschäftsführer dieser Firma offensichtlich schon füher Kenntnis gehabt. Aus diesen Gründen liess das Obergericht die neuen Vorbringen des Beschwerdeführers an der Berufungsverhandlung unberücksichtigt.
b) Der Beschwerdeführer rügt eine Verweigerung des rechtlichen Gehörs im Sinne von <ref-law>. Er räumt zwar ein, dass das Obergericht einzelne neu eingereichte Unterlagen zu Recht zurückgewiesen hat. Dagegen läuft nach seiner Auffassung auf eine willkürliche Anwendung von § 205 der Zivilprozessordnung für den Kanton Zug vom 3. Oktober 1940 ([BGS 222. 1] nachfolgend: ZPO/ZG) hinaus, dass das Obergericht die Dokumente insgesamt zurückgewiesen hat, ohne danach zu unterscheiden, ob sie unter die in <ref-law>/ZG vorgesehene Ausnahme vom Novenverbot fallen. Ebenfalls willkürlich sei der Ausschluss bereits bekannter Akten, deren Bedeutung trotz aller Anstrengung erst gestützt auf neue Akten klar werde.
c) aa) Nach <ref-law>/ZG sind neue Begehren, neue tatsächliche Behauptungen, Bestreitungen, Einreden und Beweismittel nur zulässig, wenn eine Partei wahrscheinlich macht, dass sie jene früher entweder nicht gekannt oder trotz aller Anstrengungen nicht habe anrufen können. Dass diese Bestimmung als solche gegen den verfassungsmässigen Gehörsanspruch im Sinne von 29 Abs. 2 BV verstösst, bringt der Beschwerdeführer nicht vor. Die Nichtzulassung der neuen Beweismittel und Behauptungen vor Obergericht ist somit einzig unter dem Gesichtswinkel der willkürlichen Anwendung dieser Bestimmung abzuhandeln. Zu beachten gilt dabei, dass das Bundesgericht im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 1b mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer hat im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2a). Ferner sind in einer staatsrechtlichen Beschwerde wegen Verletzung des Willkürverbots neue tatsächliche und rechtliche Vorbringen grundsätzlich unzulässig (<ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 5a mit Hinweisen).
bb) Der Beschwerdeführer listet in der staatsrechtlichen Beschwerde einzelne Belege auf und bringt dazu vor, es stehe mit Sicherheit fest, dass er sie erst nach Abfassung der Berufungsschrift vom 13. Juli 1999 zur Kenntnis habe nehmen können. Dabei handelt es sich um folgende Dokumente:
- Klageschrift E._ AG vom 10. Dezember 1999- Konkursanzeige D._ AG- Schreiben des Konkursamts Zug betreffend Forderung der
F._ AG- Verfügung des Kantonsgerichts Zug vom 21. Oktober 1999- Vorladung zur zweiten Parteibefragung vom 2. November 1999- Verfügung des Kantonsgerichts Zug vom 29. November 1999- Protokoll der ordentlichen Generalversammlung der
D._ AG vom 9. September 1999 betreffend die Geschäftsjahre
1997 und 1998- Jahresrechnungen der D._ AG für 1997 und 1998
Von einer weiteren Reihe von Urkunden behauptet der Beschwerdeführer, deren Inhalt gehe zwar aus der Klageschrift der E._ AG vom 10. Dezember 1999 hervor, jedoch habe er sie selbst noch nicht zu Gesicht bekommen, da er nicht an jenem Prozess beteiligt sei.
Der Beschwerdeführer lässt die Erwägung des Obergerichts unangefochten, wonach Dokumente, die sich auf Vorgänge nach der Zession vom 9. Oktober 1997 beziehen, von vornherein unbeachtlich sind. Dennoch wirft er dem Obergericht als willkürliche Anwendung kantonalen Prozessrechts vor, derartige Belege ausser Acht gelassen zu haben. Insoweit ist auf seine Beschwerde nicht einzutreten. Im Übrigen zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, dass er vor Obergericht im Einzelnen dargelegt hat, welche neuen Akten, die er nicht früher gekannt haben will, sich auf Vorgänge bezogen, die sich vor dem Zeitpunkt der Zession abgespielt haben, und er unterlässt es, dem Bundesgericht mit Bezug auf die einzelnen Belege vorzutragen, welche prozesskonform geltend gemachten Gründe für die Verspätung das Obergericht willkürlich missachtet hätte. Da die staatsrechtliche Beschwerde in diesen Punkten den Begründunganforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG nicht genügt, ist insoweit nicht darauf einzutreten.
2.- a) Nach dem angefochtenen Urteil bestritt der Beschwerdefürer weder den Bestand noch die Höhe der Kaufpreisforderung für das Aktienpaket. Hingegen stellte er Schadenersatzforderungen gegenüber C._ zur Verrechnung. Er brachte vor, er selbst, C._, G._ und andere Personen hätten sich am 11. November 1994 in einer Partnervereinbarung zu einer einfachen Gesellschaft zusammengeschlossen mit dem Zweck, die H._ AG und deren Tochtergesellschaften E._ AG, I._ AG, K._ AG und D._ AG gemeinsam zu führen. Ab Ende 1996 habe C._ seine Pflichten aus der Partnervereinbarung verletzt, indem er sämtliche Aktien der E._ AG erworben und alsdann durch Kündigung der betreffenden Verträge die der I._ AG und der D._ AG eingeräumten Lizenzen entzogen habe, wodurch die Aktien der D._ AG vollständig entwertet worden seien.
b) Das Obergericht hielt keine der vom Beschwerdeführer behaupteten Pflichtverletzungen C._s für bewiesen.
Ausserdem betrachtete es die geltend gemachten Schadenspositionen als nicht hinreichend substanziiert. Der Beschwerdeführer habe zwar geltend gemacht, dass er zu Unrecht als Geschäftsführer der K._ AG entlassen und in der "neuen K._ AG" nicht mehr angestellt worden sei, wodurch er eine Lohneinbusse von monatlich Fr. 15'000.-- erlitten habe. Er habe seinen Lohnanspruch aber, sollte dieser denn bestehen, im Quantitativ nicht belegt. Bezüglich des zufolge des Konkurses der F._ AG (vormals K._ AG) angeblich entstandenen Schadens hob das Obergericht hervor, dass dieser Anspruch jedenfalls nicht gegenüber C._ bestehe. Zudem habe der Beschwerdeführer selbst nicht behauptet, im Konkurs dieser Gesellschaft leer ausgegangen zu sein. Das Obergericht hielt schliesslich fest, dass der Beschwerdeführer aus der behaupteten Herabsetzung des Aktienkapitals der D._ AG von Fr. 300'000.-- auf Null von vornherein nichts für seinen Standpunkt ableiten könne, da die Kapitalherabsetzung nach seiner Darstellung für das Geschäftsjahr 1998, mithin nach der Zession der Hauptforderung an die Beschwerdegegnerin erfolgt sei.
c) Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz in verschiedener Hinsicht willkürliche Tatsachenfeststellung vor. Entsprechende Rügen erhebt er sowohl mit Bezug auf die Ausführungen des Obergerichts zu den behaupteten Pflichtverletzungen C._s wie auch mit Bezug auf die Erwägung des Obergerichts, dass der Beschwerdeführer die geltend gemachten Schadenspositionen nicht substanziiert habe. Sollten sich die Rügen zum letztgenannten Themenkreis als unbegründet erweisen, kann offen bleiben, ob das Obergericht willkürfrei den Nachweis der behaupteten Pflichtverletzungen C._s als gescheitert betrachten durfte.
aa) Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht sei mit der Feststellung, eine Quantifizierung des im Konkurs der F._ AG erlittenen Schadens sei nicht erfolgt, in Willkür verfallen. Er habe die Forderungseingaben im Konkurs der Senendo für sich und für G._ (Fr. 119'876. 25 bzw. Fr. 76'319. 45) bereits vor erster Instanz eingereicht. Ausserdem habe er das Schreiben des Konkursamtes Zug der Noveneingabe beigelegt, woraus hervorgehe, dass die Forderung im Konkurs anerkannt worden sei.
Die Rüge ist unbegründet. Der Beschwerdeführer lässt ausser Acht, dass mit der Anerkennung einer Konkursforderung ein Schaden nicht ausgewiesen werden kann, solange nicht feststeht, in welchem Umfang die Forderung schliesslich gedeckt wurde. Ein Beleg, nach welchem die Forderung im Konkurs anerkannt wurde, taugt daher für sich allein nicht für den Schadensnachweis; erst recht nicht die Anmeldung im Konkurs. Soweit das Obergericht in diesem Zusammenhang überhaupt Tatsachenfeststellungen getroffen haben sollte, verfiel es jedenfalls nicht in Willkür.
bb) Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, das Obergericht habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör im Sinne von <ref-law> verletzt, indem es sich geweigert habe, seine Behauptung zu hören, dass durch die Herabsetzung des Aktienkapitals der D._ AG von Fr. 300'000.-- auf Null seine Aktien wertlos geworden seien.
Zur Begründung dieser Rüge beruft sich der Beschwerdeführer auf die gleichen Argumente, die er im Zusammenhang mit der Kritik an der Nichtzulassung der Noveneingabe durch das Obergericht vorgebracht hat. Die entsprechenden Einwände haben sich bereits als unbehilflich erwiesen (oben E. 1). Es kann auf das dazu Ausgeführte verwiesen werden.
3.- Aus diesen Gründen ist die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend ist die Gerichtsgebühr dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Er hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, Zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 31. Januar 2002
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: