Faits:
A. I._ est entrée au service de l'Hôpital Y._ en tant qu'employée de maison à temps complet le 3 mai 1976. A partir du 23 octobre 1989, elle a exercé la fonction d'aide-infirmière. Depuis le 1er mars 2002, son taux d'activité a été réduit à 90 pour cent.
Le 24 août 2005, la loi cantonale neuchâteloise sur l'Établissement hospitalier multisite cantonal (LEHM; RS NE 802.4) est entrée en vigueur. Les différents sites hospitaliers, dont l'Hôpital Y._, ont été regroupés au sein d'un seul et unique établissement, aujourd'hui dénommé Hôpital Z._.
Le 29 juin 2005, I._ a été victime d'une chute sur son lieu de travail, qui a entraîné une entorse ainsi qu'une fracture transverse de type Weber de la malléole du côté gauche. Au début de l'année 2006, elle a repris son travail à son taux habituel. Dès l'automne de la même année, elle a annoncé une rechute de l'accident. Le docteur R._, chirurgien-orthopédique, a établi des certificats médicaux les 14 septembre 2007 et 28 novembre 2007 qui attestaient une capacité de travail résiduelle de 60 pour cent dès le 12 septembre 2007. Le 29 novembre 2007, le département des ressources humaines de l'Hôpital Z._ a invité l'intéressée à remettre mensuellement les certificats d'incapacité de travail. Le docteur R._ a délivré un nouveau certificat le 15 février 2008, dans lequel il a déclaré que la capacité résiduelle de 60 pour cent demeurait valable jusqu'au dépôt d'une expertise médicale prévue en mai 2008 sur demande de l'assureur-accidents. Il a précisé qu'à l'avenir il n'établirait plus de nouveaux certificats.
Parallèlement, I._ a entrepris diverses démarches auprès de l'Hôpital Z._, en vue de faire reconnaître une responsabilité médicale en raison de prétendues erreurs dans le traitement qui lui avait été prodigué par l'Hôpital Y._ après son accident. Il s'en est suivi plusieurs échanges de correspondances entre les parties.
I._ n'a plus présenté de certificat médical postérieurement à l'attestation du 15 février 2008. Par lettre du 30 septembre 2008, la direction générale de l'Hôpital Z._ a contesté toute responsabilité pour le traitement encouru. Il a par ailleurs invité l'employée à produire jusqu'au 15 octobre 2008 un nouveau certificat médical justifiant l'incapacité de travail alléguée de 40 pour cent, ainsi que le rapport d'expertise en matière d'assurance-accidents qui avait été déposé entretemps. Il l'a avertie qu'une absence injustifiée, même à temps partiel comme en l'espèce, pouvait entraîner la résiliation de ses rapports de travail. Par lettre du 16 octobre 2008, l'employeur lui a fixé un ultime délai au 23 octobre 2008 pour satisfaire à ses obligations, en précisant qu'à défaut il serait obligé "de réévaluer la nécessité de la poursuite des rapports de travail". Par lettre reçue le même jour par l'employeur, I._ a expliqué que ni le docteur R._ ni l'expert ne se montraient prêts à établir un certificat médical et que, pour l'obtention d'une copie de l'expertise, l'employeur devait s'adresser directement à l'assureur-accidents. N'ayant pas reçu l'attestation demandée, l'Hôpital Z._, par lettre du 10 novembre 2008, a résilié le contrat de travail pour le 28 février 2009. I._ a interjeté un recours devant le conseil d'administration de l'établissement hospitalier Z._, qui l'a déboutée.
B. I._ a alors recouru devant le Tribunal administratif neuchâtelois en invoquant une résiliation abusive de son contrat de travail et en concluant au paiement d'une indemnité de 27'527 fr. 20 (plus la part proportionnelle au 13ème salaire et aux vacances, montant brut, avec intérêts à 5 pour cent l'an dès le 1er mars 2009).
Considérant le recours comme une action de droit administratif, le Tribunal administratif l'a rejetée, par jugement du 3 septembre 2009.
C. I._ forme un recours en matière de droit public. Elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et à l'admission de sa demande.
L'Établissement Z._ a conclu au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. La recourante était employée par un établissement de droit public, indépendant de l'État et doté de la personnalité juridique (art. 1er LEHM). Les rapports de travail du personnel de l'Hôpital Z._ sont régis par la Convention collective santé 21 (art. 9 LEHM) en corrélation avec les art. 1.1 et 1.5 de la convention. Les rapports de travail qui liaient les parties relèvent donc du droit public (cf. aussi ALAIN WURZBURGER, Commentaire LTF, 2009, n. 98 ad <ref-law>).
2. La voie du recours en matière de droit public selon les <ref-law> est en principe ouverte pour contester les décisions concernant les rapports de travail de droit public. La contestation étant de nature pécuniaire, le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. Pour que le recours soit recevable, il faut encore, en principe, que la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. soit atteinte (<ref-law>), ce qui est le cas en l'espèce.
3. 3.1 Les art. 3 ss de la convention collective précitée traitent de la fin des rapports de travail. L'art. 3.5 ch. 4 déclare notamment applicables, à titre de droit supplétif, les art. 336 à 336b CO (résiliation abusive).
3.2 Les dispositions précitées du Code des obligations s'appliquent à titre de droit cantonal supplétif (<ref-ruling> consid. 4 p. 220 et les références; arrêts 1C_404/2008 du 5 décembre 2008, consid. 2.2 et 1C_174/2007 du 16 octobre 2007 consid. 2.2). Selon l'<ref-law>, la violation du droit cantonal ne constitue en principe pas un motif de recours. Une telle violation peut en revanche être constitutive d'une violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law>, telle que l'interdiction de l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 466). Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 5.4 p. 148; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 17; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 219; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 178). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2a p. 41; arrêt 8C_176/2009 du 14 septembre 2009 consid. 5).
4. 4.1 La recourante soutient que son licenciement était abusif. Elle fait valoir que l'Établissement Z._ savait pertinemment qu'elle ne pouvait pas obtenir et fournir le certificat médical demandé. Elle allègue qu'elle a pris contact avec plusieurs médecins aux fins d'obtenir une confirmation de son incapacité de travail de 40 pour cent. Le docteur R._ ayant clairement indiqué qu'il n'établirait plus de certificat médical, elle s'est rendue chez le docteur N._, qui n'a pas été en mesure de lui délivrer une attestation et l'a renvoyée à s'adresser à son orthopédiste. Un autre médecin n'a pas non plus voulu fournir un certificat. Selon la recourante, c'est de manière arbitraire que les premiers juges ont considéré qu'elle n'avait pas fait tout ce qui était en son pouvoir pour obtenir ledit certificat. A son avis, l'Hôpital dans lequel elle a travaillé pendant des décennies aurait dû "prendre les devants" et faire lui-même appel à un orthopédiste pour qu'il donne une appréciation sur sa capacité de travail. L'Établissement Z._ aurait totalement manqué d'égards à son endroit, ce qui serait constitutif d'un licenciement abusif. S'agissant de l'expertise établie à l'intention de l'assureur-accidents, la recourante soutient qu'on ne saurait lui reprocher de ne pas l'avoir transmise à l'employeur, car elle ne l'avait pas en mains.
4.2 L'énumération prévue à l'<ref-law> - qui concrétise avant tout l'interdiction générale de l'abus de droit et en aménage les conséquences juridiques pour le contrat de travail - n'est pas exhaustive et un abus du droit de mettre un terme au contrat de travail peut également se rencontrer dans d'autres situations, qui apparaissent comparables, par leur gravité, aux cas expressément envisagés à l'<ref-law>. Le caractère abusif d'une résiliation peut découler non seulement de ses motifs, mais également de la façon dont la partie qui met fin au contrat exerce son droit. Même lorsqu'elle résilie un contrat de manière légitime, la partie doit exercer son droit avec des égards. En particulier, elle ne peut se livrer à un double jeu, contrevenant de manière caractéristique au principe de la bonne foi. Ainsi, une violation grossière du contrat, par exemple une atteinte grave au droit de la personnalité (cf. <ref-law>) dans le contexte d'une résiliation, peut faire apparaître le congé comme abusif. L'appréciation du caractère abusif d'un licenciement suppose l'examen de toutes les circonstances de l'espèce (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 117; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 538).
4.3 Dans le cas d'espèce, l'employeur a résilié le contrat de travail de I._ au motif qu'elle n'avait pas remis mensuellement un certificat médical justifiant son absence, comme le requiert l'article 8.6 de la convention collective. Cette résiliation a eu lieu le 10 novembre 2008 pour le 28 février 2009, après que l'employeur lui eut rappelé une première fois son obligation (lettre du 29 novembre 2007) et adressé deux rappels (30 septembre 2008 et 16 octobre 2008). L'intéressée a été avertie des conséquences qu'aurait le non-respect de ses obligations. Contrairement à ce que paraît croire la recourante, c'est au travailleur qu'il appartient d'apporter la preuve que son empêchement de travailler est dû à la maladie ou à l'accident (Christiane Brunner/Jean-Michel Bühler/Jean-bernard Waeber/Christian Bruchez, Commentaire du contrat de travail, 2004, ad art. 324a p. 110 n. 3; Pierre Tercier/Pascal G. Favre, Les contrats spéciaux, 2009, p. 517 n. 3505). C'est seulement si la force probante d'un certificat médical n'est pas absolue, qu'il revient à l'employeur d'apporter les éléments de preuve permettant de mettre en doute la véracité du certificat en question (Rémy Wyler, Droit du travail, 2008, p. 225). Or, la recourante, bien que dûment avertie, n'a pas été à même de justifier une incapacité de travail pour une période postérieure au mois de mai 2008. Si véritablement elle subissait une incapacité, il est peu vraisemblable qu'elle ait été dans l'impossibilité de la faire attester médicalement. On pouvait en tout cas exiger d'elle qu'elle fasse parvenir à l'employeur le rapport d'expertise réalisé à la demande de l'assureur-accidents. S'il ce rapport n'était pas (ou plus) en sa possession, il lui était aisé de s'en faire délivrer une copie par l'assureur. Nonobstant la durée des rapports de service, on ne saurait, dans ces circonstances, considérer que la manière dont l'intimé a exercé son droit confère au licenciement un caractère abusif. Sur ce point, ni l'appréciation des faits ni l'application du droit par la Cour cantonale ne peuvent être donc être qualifiées d'arbitraire.
5. 5.1 La recourante fait encore valoir que le manquement invoqué par l'employeur n'était en réalité qu'un simple prétexte. Selon elle, "le véritable motif de son licenciement réside dans le fait qu'elle a entrepris diverses démarches auprès de son employeur pour se plaindre du mauvais traitement médical" qui lui a été administré à l'Hôpital Y._ à la suite de l'accident dont elle a été victime.
5.2 En application de l'<ref-law>, il appartient, en principe, à la partie qui a reçu son congé de démontrer que celui-ci est abusif. En ce dernier domaine, certes, la jurisprudence a tenu compte des difficultés qu'il pouvait y avoir à apporter la preuve d'un élément subjectif, à savoir le motif réel de celui qui a donné le congé. Selon la jurisprudence, le juge peut présumer en fait l'existence d'un congé abusif lorsque l'employé parvient à présenter des indices suffisants pour faire apparaître comme non réel le motif avancé par l'employeur. Si elle facilite la preuve, cette présomption de fait n'a pas pour résultat d'en renverser le fardeau. Elle constitue, en définitive, une forme de "preuve par indices" (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 703).
5.3 En l'espèce, il n'y a pas d'indices qui corroboreraient les allégations de la recourante selon lesquelles il existerait un lien entre son licenciement et sa prétention en responsabilité. Le rapprochement dans le temps des prétentions émises par la recourante et le licenciement n'est à cet égard pas un indice suffisant. L'employeur a clairement distingué, dans sa lettre du 30 septembre 2008, la question de la responsabilité invoquée par la recourante et sa demande de certificat. Comme on l'a vu, il était en droit d'exiger la remise d'un tel document (ou une copie de l'expertise médicale). On est fondé à considérer que si l'intéressée s'était exécutée, l'employeur n'aurait pas résilié les rapports de travail. L'employeur a du reste fait preuve d'une certaine patience en adressant successivement deux rappels à l'employée. Le congé apparaît donc la réponse logique aux manquements de I._ à donner suite aux demandes de son employeur. Il s'agit d'un motif bien réel et non - comme le soutient la recourante - d'une mesure de représailles.
Quant aux allégations de la recourante selon lesquelles son licenciement aurait été prémédité et organisé "vu qu'à l'âge de sa retraite (elle) devra très vraisemblablement être à nouveau opérée", il s'agit de pures allégations, qu'aucun indice sérieux ne vient étayer.
6. De ce qui précède, il résulte que le recours est mal fondé.
Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante, qui supportera également ses propres dépens (art. 66 al. 1 ainsi que 68 al. 1 et 2 LTF). L'intimé n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel.
Lucerne, le 17 février 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung von Zwehl