Sachverhalt:
A.
Z._ war bis zum 29. Februar 2012 Juristischer Sekretär der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich. Am 27. Februar 2012 wurde er vom Leitenden Oberstaatsanwalt beauftragt, ein Memorandum zur Frage zu überarbeiten, ob gegen Nationalrat Christoph Blocher eine Strafuntersuchung zu eröffnen sei. Z._ stellte das Memorandum am 4. März 2012 fertig und empfahl, gegen Christoph Blocher eine Strafuntersuchung zu eröffnen. Am 7. März 2012 kamen mehrere Personen der Strafverfolgungsbehörden des Kantons Zürich zu einer Sitzung zusammen. An dieser Sitzung kam man zum Schluss, dass gegen Christoph Blocher eine Strafuntersuchung zu eröffnen sein werde. Am 8. März 2012 sandte Oberstaatsanwalt Martin Bürgisser, der an der genannten Sitzung teilgenommen hatte, Z._ eine E-Mail, welche unter anderem folgenden Wortlaut hatte: "Gerne informiere ich dich, dass das Gremium gestern entschieden hat, gemäss auch deiner Empfehlung weiter zu verfahren. Fortsetzung folgt. Wenn auch nicht gleich morgen."
B.
Am 7. November 2012 ersuchte der Leitende Oberstaatsanwalt das Obergericht des Kantons Zürich, über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen Martin Bürgisser wegen Amtsgeheimnisverletzung zu entscheiden. Mit Beschluss vom 20. Dezember 2012 erteilte die III. Strafkammer des Obergerichts der Oberstaatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung von Martin Bürgisser nicht.
C.
Gegen den Beschluss des Obergerichts hat Christoph Blocher am 24. Januar 2013 Beschwerde ans Bundesgericht erhoben. Er beantragt, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich bzw. ein noch zu ernennender ausserkantonaler Staatsanwalt sei zu ermächtigen, gegen Martin Bürgisser eine Strafuntersuchung anhand zu nehmen, d.h. zu prüfen, ob eine Strafuntersuchung zu eröffnen sei oder nicht. Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Oberstaatsanwaltschaft hat in ihrer Vernehmlassung keinen Antrag gestellt. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdeführer und der Beschwerdegegner haben im weiteren Schriftenwechsel an ihren Anträgen festgehalten.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272), gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht nach Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG grundsätzlich zulässig ist. Eine Ausnahme von der Zulässigkeit der Beschwerde nach <ref-law> besteht nicht, zumal <ref-law>, wonach Entscheide über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von Behördenmitgliedern oder von Bundespersonal von der Beschwerdemöglichkeit ausgenommen sind, nur auf die obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden anwendbar ist (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f. mit Hinweis).
1.2. Zur Beschwerde ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c).
Der Straftatbestand der Verletzung des Amtsgeheimnisses (<ref-law>) dient nicht nur der Wahrung öffentlicher Interessen, sondern schützt auch die Privatsphäre des Bürgers, soweit es um geheimhaltungsbedürftige Informationen von Privatpersonen geht (Urteil 1C_344/2012 vom 31. Oktober 2012 E. 2.3). Sofern das Versenden der E-Mail durch den Beschwerdegegner als Verletzung des Amtsgeheimnisses einzustufen wäre, wäre der Beschwerdeführer als vom offenbarten Geheimnis in seiner Privatsphäre Betroffener durch die Straftat unmittelbar in seinen Rechten verletzt und im Sinne von <ref-law> (SR 312.0) geschädigte Person. Demzufolge könnte er sich gemäss <ref-law> an einem allfälligen Strafverfahren gegen den Beschwerdegegner als Straf- oder Zivilkläger beteiligen (vgl. Urteil 1C_344/2012 vom 31. Oktober 2012 E. 2.1 f.). Das Ergebnis der Überprüfung des angefochtenen Entscheids kann sich demzufolge auf die rechtliche oder tatsächliche Stellung des Beschwerdeführers auswirken, so dass ihm im Falle des Obsiegens ein praktischer Nutzen entsteht. Damit kann er durch den angefochtenen Entscheid als besonders berührt und in schutzwürdigen (eigenen) Interessen betroffen gelten (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 284). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist somit nach <ref-law> beschwerdeberechtigt.
1.3. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, so dass auf die Beschwerde vorbehaltlich zulässiger und genügend begründeter Rügen einzutreten ist.
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe drei offensichtlich unrichtige und damit willkürliche Sachverhaltsannahmen getroffen.
Die beschwerdeführende Partei kann die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts nur rügen, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-law>) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
Soweit der Beschwerdeführer in genügender Weise begründet, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsdarstellung willkürlich sein oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen sollte, sind seine tatsächlichen Vorbringen für den Ausgang des vorliegenden Verfahrens nicht entscheidend, weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist.
3.
Gemäss <ref-law> können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt. Diese Bestimmung bietet den Kantonen die Möglichkeit, die Strafverfolgung sämtlicher Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden von einer Ermächtigung abhängig zu machen (<ref-ruling> E. 2.1). Nach § 148 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG; LS 211.1) setzt im Kanton Zürich die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen Beamte gemäss <ref-law> wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen eine Ermächtigung des Obergerichts voraus. Vorbehalten bleibt § 38 Abs. 1 des Kantonsratsgesetzes vom 5. April 1981 (KRG; LS 171.1), wonach die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen Mitglieder des Regierungsrats, des Obergerichts, des Verwaltungsgerichts und des Sozialversicherungsgerichts für im Amt begangene Verbrechen oder Vergehen eine Ermächtigung des Kantonsrats voraussetzt. Mit diesen kantonalen Bestimmungen, die gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung den bundesrechtlichen Anforderungen (namentlich <ref-law>) Rechnung tragen, sollen Staatsbedienstete vor mutwilliger Strafverfolgung geschützt werden (<ref-ruling> E. 2.2 f. S. 275 ff.). In verfassungskonformer Auslegung von <ref-law> dürfen in solchen Ermächtigungsverfahren - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.).
4.
Die Vorinstanz begründete die Verweigerung der Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung mit dem Fehlen eines hinreichenden Tatverdachts im Sinne von <ref-law>. Der Beschwerdeführer macht geltend, es bestehe ein strafrechtlich relevanter Anfangsverdacht, dass der Beschwerdegegner das Amtsgeheimnis verletzt habe. Damit rügt er eine Verletzung von <ref-law> i.V.m. <ref-law> durch die Vorinstanz.
4.1. Nach <ref-law> eröffnet die Staatsanwaltschaft eine Strafuntersuchung, wenn ein hinreichender Tatverdacht besteht. Gemäss <ref-law> verfügt sie die Nichtanhandnahme, wenn feststeht, dass die fraglichen Straftatbestände oder die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt sind. Der Entscheid über die Eröffnung oder Nichtanhandnahme einer Strafuntersuchung hat sich nach dem Grundsatz "in dubio pro duriore" zu richten. Dieser fliesst aus dem Legalitätsprinzip (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 91). Er bedeutet, dass eine Nichtanhandnahme durch die Staatsanwaltschaft grundsätzlich nur bei klarer Straflosigkeit bzw. offensichtlich fehlenden Prozessvoraussetzungen angeordnet werden darf. Klare Straflosigkeit liegt vor, wenn es sicher ist, dass der Sachverhalt unter keinen Straftatbestand fällt. Bei der Beurteilung dieser Frage verfügen die zuständigen Behörden über einen gewissen Spielraum, den das Bundesgericht mit Zurückhaltung überprüft (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 91). Im Zweifelsfall - wenn die Sach- und/oder die Rechtslage nicht von vornherein klar sind - ist eine Untersuchung zu eröffnen (<ref-ruling> E. 7 S. 226 f.).
4.2. Die Vorinstanz hatte sich bei der Beurteilung der Frage, ob ein hinreichender Tatverdacht im Sinne von <ref-law> besteht, ebenfalls nach dem Grundsatz "in duobio pro duriore" zu richten, zumal es sich beim Beschwerdegegner nicht um ein Mitglied der obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden handelt und die Vorinstanz bei ihrem Entscheid demzufolge nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigen durfte. Sofern zum Zeitpunkt des Ermächtigungsentscheids die Sach- und/oder Rechtslage nicht von vornherein klar waren, durfte die Vorinstanz die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht mit der Begründung verweigern, es fehle an einem hinreichenden Tatverdacht im Sinne von <ref-law>.
4.3. Nach <ref-law> begeht eine Amtsgeheimnisverletzung, wer ein Geheimnis offenbart, das ihm in seiner Eigenschaft als Mitglied einer Behörde oder als Beamter anvertraut worden ist, oder das er in seiner amtlichen oder dienstlichen Stellung wahrgenommen hat.
4.3.1. Wie die Vorinstanz ausgeführt hat und vom Beschwerdegegner nicht bestritten wird, handelte es sich bei der Information, wonach die an der Sitzung vom 7. März 2012 beteiligten Personen zum Schluss gekommen sind, gegen den Beschwerdeführer werde eine Strafuntersuchung zu eröffnen sein, um ein Geheimnis im Sinne von <ref-law>, welches der Beschwerdegegner in seiner amtlichen Stellung wahrgenommen hat. Zu prüfen ist, ob der Beschwerdegegner diese Information am 8. März 2012 mit dem Versenden der E-Mail an Z._ im Sinne von <ref-law> unzulässigerweise offenbart haben könnte.
4.3.2. Ein Geheimnis offenbart, wer es einer dazu nicht ermächtigten Drittperson zur Kenntnis bringt oder dieser die Kenntnisnahme zumindest ermöglicht. Keine Amtsgeheimnisverletzung liegt hingegen vor, wenn die Offenbarung gegenüber einer ermächtigten Person erfolgt ( STEFAN TRECHSEL/HANS VEST, in: Schweizerisches Strafgesetzbuch Praxiskommentar, 2. Auflage, 2013, N. 8 zu Art. 320).
Z._ ist seit dem 1. März 2012 nicht mehr bei der Oberstaatsanwaltschaft und vom Kanton Zürich angestellt. Er hat das im Hinblick auf die Sitzung vom 7. März 2012 verfasste Memorandum drei Tage vor der Sitzung abgegeben und damit den ihm vom Leitenden Oberstaatsanwalt erteilten Auftrag abgeschlossen. An der Sitzung vom 7. März 2012 hat er nicht (mehr) teilgenommen. Unter diesen Umständen ist - ohne den Strafuntersuchungsbehörden und allenfalls dem Strafrichter vorzugreifen - durchaus denkbar, dass Z._ hinsichtlich der Information, wonach die an der Sitzung vom 7. März 2012 beteiligten Personen zum Schluss gekommen sind, gegen den Beschwerdeführer werde eine Strafuntersuchung zu eröffnen sein, als nicht ermächtigte Drittperson gilt. An dieser Einschätzung ändert nichts, dass er an der Vorbereitung der Sitzung vom 7. März 2012 insofern beteiligt gewesen ist, als er das erwähnte Memorandum verfasst und die Einleitung einer Strafuntersuchung gegen den Beschwerdeführer empfohlen hat sowie dass er in seiner neuen Funktion in einem anderen Kanton ebenfalls an das Amtsgeheimnis gebunden ist. Unerheblich ist auch, dass Z._ Geheimnisse, die er in seiner amtlichen Stellung bei der Oberstaatsanwaltschaft wahrgenommen hat, auch nach Beendigung des amtlichen Verhältnisses nicht offenbaren darf (vgl. <ref-law>), zumal er das an der Sitzung vom 7. März 2012 Besprochene möglicherweise eben nicht (mehr) in amtlicher Stellung, sondern als unbefugte Drittperson wahrgenommen hat.
Es kann demzufolge nicht gesagt werden, das Versenden der genannten E-Mail an Z._ durch den Beschwerdegegner erfülle den objektiven Tatbestand von <ref-law> klarerweise nicht. Nicht massgebend ist in dieser Hinsicht, wie sehr das reibungslose Funktionieren der Verwaltung und Rechtspflege sowie die Inte-ressen des Beschwerdeführers im konkreten Fall tatsächlich beeinträchtigt worden sind und ob Z._ - wovon die Vorinstanz nicht ausging - die dem Amtsgeheimnis unterstehende Information weiterverbreitet hat.
4.3.3. Dass es dem Beschwerdegegner hinsichtlich der mutmasslichen Verletzung des Amtsgeheimnisses am Vorsatz gefehlt haben könnte oder dass für sein Handeln Rechtfertigungsgründe bestanden hätten, ist weder dargetan noch ersichtlich.
4.4. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Vorinstanz die Ermächtigung zur Strafverfolgung des Beschwerdegegners nicht mit der Begründung verweigern durfte, es fehle an einem hinreichenden Tatverdacht im Sinne von <ref-law>. Andere Gründe, welche die Nichterteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung rechtfertigen könnten, sind nicht ersichtlich.
5.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Der Oberstaatsanwaltschaft ist die Ermächtigung zur Strafverfolgung des Beschwerdegegners zu erteilen. Die Frage, ob die Strafuntersuchung durch einen Staatsanwalt des Kantons Zürich oder einen ausserkantonalen Staatsanwalt zu führen sein wird, ist nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens und wird von den zuständigen Behörden zu beantworten sein. Die Sache ist zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz und zur weiteren Behandlung an die Oberstaatsanwaltschaft zurückzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdegegner kostenpflichtig und er hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (vgl. Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG)

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der angefochtene Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. Dezember 2012 aufgehoben. Der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich wird die Ermächtigung zur Strafverfolgung des Beschwerdegegners erteilt. Die Sache wird an die Vorinstanz zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens sowie an die Oberstaatsanwaltschaft zur weiteren Behandlung zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle