Faits:
A.
Par arrêté du 27 juillet 2011 publié dans la Feuille d'avis officielle du canton de Genève du 3 août 2011, le Conseil d'Etat du canton de Genève a fixé au 27 novembre 2011 la date d'une votation cantonale pour laquelle le corps électoral genevois avait la possibilité de voter électroniquement par Internet.
Par actes des 1er et 21 novembre 2011, A._, électeur dans le canton de Genève, a formé deux recours auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) concernant la procédure de vote électronique mise en oeuvre pour la votation du 27 novembre 2011. Il a conclu principalement à l'annulation de la votation du 27 novembre 2011 et subsidiairement à la suspension de l'exercice du vote électronique pour la votation du 27 novembre 2011 et pour tout futur scrutin tant que les prescriptions prévues par l'art. 60 al. 6 de la loi sur l'exercice des droits politiques du 15 octobre 1982 (LEDP; RSG A 5 05) n'auraient pas été édictées. Il a développé une argumentation relative aux risques existant en matière de sécurité informatique. Le 19 décembre 2011, A._ a retiré sa conclusion en annulation de la votation du 27 novembre 2011, vu le résultat du scrutin, et a indiqué maintenir ses recours pour le surplus.
Par arrêt du 21 août 2012, la Cour de justice, composée des Juges B._, C._, D._, E._ et F._, a déclaré irrecevables les recours, en raison de l'absence de grief concret dirigé contre le système mis en place. Le Tribunal fédéral a annulé l'arrêt du 21 août 2012 en tant qu'il déclare le recours irrecevable et a renvoyé la cause à la cour cantonale pour qu'elle statue sur le fond (arrêt 1C_477/2012 du 27 mars 2013).
B.
Par acte du 9 avril 2013, A._ a sollicité la récusation des Juges cantonaux ayant statué sur ses recours des 1er et 21 novembre 2011, au motif qu'ils ont procédé à une qualification des griefs relevant du fond et non de la forme, en prononçant un jugement définitif, dans lequel les argument de fond ont été sommairement évalués avant même que les preuves aient été administrées. Par arrêt du 17 mai 2013, la Délégation des Juges de la Cour de justice en matière de récusation a rejeté la demande de récusation et déclaré irrecevables les autres conclusions prises par A._. Elle a considéré en substance que les motifs de récusation avancés avaient essentiellement trait à des erreurs de procédure et d'appréciation, ce qui ne suffisait pas à fonder objectivement un soupçon de prévention.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt attaqué et de récuser les Juges cantonaux B._, C._, D._, E._ et F._ pour la suite de la procédure. Il conclut subsidiairement au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision.
La Délégation des Juges de la Cour de justice en matière de récusation s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Les Juges B._, C._, D._, E._ et F._ s'en rapportent à justice.
Par ordonnance du 5 juin 2013, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif, présentée par le recourant.

Considérant en droit:
1.
Dirigé contre une décision rendue en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité de dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF), le recours en matière de droit public a été déposé en temps utile (<ref-law>), par le destinataire de la décision attaquée qui a succombé devant l'autorité précédente et qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>). La décision attaquée est une décision incidente, prise et notifiée séparément du fond, portant sur une demande de récusation des juges. Par conséquent, elle peut faire l'objet d'un recours immédiat devant le Tribunal de céans (<ref-law>). Il y a donc lieu d'entrer en matière sur le fond.
2.
Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant reproche à la Cour de justice de ne pas lui avoir donné la possibilité de se déterminer par rapport aux observations des Juges dont la récusation est demandée. Il se plaint à cet égard d'une violation du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Il se prévaut également d'une violation du droit à la constatation exacte des faits (<ref-law>), dans la mesure où l'arrêt attaqué retient qu'il y a eu un échange des écritures.
2.1. Selon les art. 29 al. 2 Cst., les parties ont le droit d'être entendues. Cela comprend notamment le droit pour une partie à un procès de prendre connaissance de toute argumentation présentée au tribunal et de se déterminer à son propos, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement susceptible d'influer sur le jugement à rendre. Il appartient en effet aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier contient des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Toute prise de position ou pièce nouvelle versée au dossier doit ainsi être communiquée aux parties pour leur permettre de décider si elles veulent ou non faire usage de leur faculté de se déterminer (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 197; CourEDH, arrêt Schaller-Bossert contre Suisse du 28 octobre 2010 § 39 s.).
Toutefois, dans un arrêt du 15 novembre 2012, la CourEDH a considéré que l'on pouvait, sans violer l'art. 6 CEDH, attendre d'un mandataire professionnel qu'il connaisse la jurisprudence du Tribunal fédéral publiée aux <ref-ruling> et s'y conforme en déposant des observations complémentaires ou en demandant un délai à cet effet lorsqu'il reçoit les observations de la partie adverse pour information (arrêt de la CourEDH Joos contre Suisse du 12 novembre 2012, 43245/07, § 30 ss.; ATF 138 IV 484 consid. 2 p. 486).
2.2. En l'espèce, le 7 mai 2013, la cour cantonale a transmis au recourant une copie des prises de position des juges, avec la formule "pour information", en précisant que la cause était gardée à juger. Cet avis n'a pas empêché l'intéressé d'adresser un courrier spontané pour se déterminer sur lesdites observations, le 14 mai 2013. L'arrêt attaqué y fait d'ailleurs référence. Dans ces conditions, le recourant ne peut se plaindre ni d'une violation de son droit d'être entendu, ni d'une constatation insoutenable des faits.
3.
Dans un second grief d'ordre formel, le recourant fait valoir une constatation arbitraire des faits (<ref-law>). Il énumère différents éléments de l'arrêt de la Cour de justice du 21 août 2012, qui seraient propres à démontrer que les Juges avaient déjà procédé à une qualification de ses griefs au fond. Il reproche à l'instance précédente de ne pas avoir mentionné ces éléments et de ne pas les avoir discutés. Il se plaint également d'une violation de l'obligation de motiver (art. 29 al. 2 Cst.).
3.1. Le Tribunal fédéral fonde en principe son raisonnement juridique sur les faits retenus par l'autorité précédente (cf. <ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>. Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid 5.2.2 p. 322 s.).
En l'espèce, le recourant relève huit passages de l'arrêt du 21 août 2012, qui seraient propres à justifier la demande de récusation. Six de ces extraits se rapportent au considérant 9 de l'arrêt précité qui traite du caractère abstrait des griefs avancés par le recourant. Le septième passage mis en évidence par l'intéressé traite de l'avertissement formel qui lui a été adressé et selon lequel tout nouveau recours de sa part, formulé de manière identique, l'exposera à une amende pour emploi abusif des procédures. Le dernier extrait cité par l'intéressé concerne l'appréciation anticipée des preuves opérée par la Cour de justice qui a renoncé à une comparution personnelle des parties et à l'audition de témoins. Vu le raisonnement qui suit (cf. infra consid. 4.2), ces éléments ne sont pas susceptibles d'avoir une incidence sur l'issue de la procédure. Le grief de l'établissement arbitraire des faits doit donc être rejeté.
3.2. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. implique notamment pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision. Selon la jurisprudence, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 270; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 236).
En l'occurrence, la cour cantonale a retenu que l'intéressé faisait valoir qu'en date du 21 août 2012 les Juges avaient "évalué sommairement ses arguments de fond, sans avoir administré les preuves concernant les faits allégués" et qu'ils avaient "ainsi procédé à une qualification des griefs négative, qui préjuge de l'administration des preuves demandées (audition des témoins et appréciation des pièces produites par les parties) ". On ne peut reprocher à la cour cantonale d'avoir résumé les critiques du recourant de la sorte - sans les détailler -, dans la mesure où la motivation de l'arrêt attaqué, certes brève, permet de comprendre pour quelles raisons l'instance précédente a rejeté la demande de récusation (cf. infra consid. 4.2). La motivation de l'instance précédente n'a d'ailleurs pas échappé au recourant, qui est précisément à même d'attaquer la décision sur ce point. Le grief de la violation de l'obligation de motiver doit donc également être écarté. Dans la mesure où le recourant critique la pertinence des motifs de l'instance précédente, il soulève une question de fond qui sera examinée ci-après.
4.
Sur le fond, le recourant se plaint d'une violation des art. 30 al. 1 Cst., 6 par. 1 CEDH et 15A al. 1 let. f de la loi cantonale sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 (LPA/GE; RSG E 5 10). Il reproche aux magistrats d'avoir procédé à une appréciation anticipée des preuves ainsi que d'avoir déjà évalué sommairement et de façon péremptoire ses arguments de fond dans l'arrêt du 21 août 2012.
4.1. La garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH permet, indépendamment du droit de procédure cantonal, de demander la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité; elle vise à éviter que des circonstances extérieures à l'affaire puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat, mais seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles du plaideur ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 3).
L'art. 15A al. 1 let. f LPA/GE a la portée d'une clause générale et prévoit que les juges doivent se récuser s'ils peuvent être prévenus de toute autre manière [que les motifs énumérés à l'art. 15A al. 1 let. a à e LPA/GE], notamment en raison d'un rapport d'amitié ou d'inimitié avec une partie ou son représentant.
Selon la jurisprudence, des décisions ou des actes de procédure qui se révèlent par la suite erronés ne fondent pas en soi une apparence objective de prévention; seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs du magistrat, peuvent fonder une suspicion de partialité, pour autant que les circonstances dénotent que le juge est prévenu ou justifient à tout le moins objectivement l'apparence de prévention. Le magistrat appelé à statuer à nouveau après l'annulation d'une de ses décisions est en général à même de tenir compte de l'avis exprimé par l'instance supérieure et de s'adapter aux injonctions qui lui sont faites. Seules des circonstances exceptionnelles permettent dès lors de justifier une récusation dans de tels cas, lorsque, par son attitude et ses déclarations précédentes, le magistrat a clairement fait apparaître qu'il ne sera pas capable de revoir sa position et de reprendre la cause en faisant abstraction des opinions qu'il a précédemment émises (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 146 et les arrêts cités).
4.2. En l'espèce, l'instance précédente a considéré que les griefs invoqués à l'appui de la demande de récusation avaient essentiellement trait à des erreurs de procédure et d'appréciation, ce qui ne suffisait pas à fonder objectivement un soupçon de prévention, ce d'autant moins que, conformément à l'arrêt du Tribunal fédéral du 27 mars 2013, les Juges devront entrer en matière et examiner les griefs du recourant.
Les huit phrases extraites de l'arrêt du 21 août 2012, dont se prévaut le recourant, ne permettent pas de faire apparaître que les magistrats en question ne seront pas capables de revoir leur position et de reprendre la cause en faisant abstraction des considérations précédemment émises. En effet, six de ces phrases sont extraites du considérant 9 de l'arrêt précité qui traite du caractère abstrait des griefs avancés par le recourant. Or, en retenant que les griefs n'étaient pas formulés de manière concrète, les Juges cantonaux prénommés ont uniquement procédé à une qualification très sommaire des arguments du recourant dans la perspective de déclarer irrecevable son recours. Ils n'ont cependant pas véritablement traité du contenu matériel desdits griefs et de leur éventuel bien-fondé. En particulier, ils n'ont pas discuté la question de savoir si les normes cantonales en matière de droits politiques avaient été violées.
Le septième passage cité par l'intéressé relatif à l'avertissement formel selon lequel tout nouveau recours de la part du recourant, formulé de manière identique, l'exposera à une amende pour emploi abusif des procédures n'est pas non plus susceptible de faire objectivement redouter une quelconque partialité de la part des Juges cantonaux prénommés. En effet, cette appréciation faisait suite à une erreur de procédure administrative et ne préjuge pas de l'examen des arguments de fond que feront les Juges prénommés lorsqu'ils entreront en matière.
Enfin, le fait que dans l'arrêt du 21 août 2012 les Juges ont procédé à une appréciation anticipée des preuves et considéré que "les positions [étaient] tranchées et [que] ni une comparution personnelle des parties ni l'audition de témoins ne serait de nature à éclairer davantage la Chambre de céans pour statuer sur le litige" n'empêche pas les magistrats professionnels, lorsqu'ils reprendront la cause et entreront en matière, de procéder à une nouvelle appréciation des preuves. Cet élément n'est à tout le moins pas susceptible de faire naître un soupçon de prévention à l'égard des juges concernés.
4.3. En définitive, aucun des motifs avancés par le recourant, pris séparément ou dans leur ensemble, ne permet objectivement de retenir une apparence de prévention des Juges cantonaux. Les circonstances exceptionnelles permettant de justifier une récusation des Juges appelés à statuer à nouveau après l'annulation d'une de leurs décisions ne sont pas remplies en l'espèce. Dans ces conditions, il y a lieu de constater que la garantie du juge impartial a été respectée, de sorte que c'est à bon droit que la Délégation des Juges de la Cour de justice en matière de récusation a rejeté la demande de récusation. Le recours est par conséquent rejeté.
5.
Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, aux Juges cantonaux B._, C._, D._, E._, F._ et à la Délégation des Juges de la Cour de justice en matière de récusation.
Lausanne, le 29 août 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Tornay Schaller