Sachverhalt:
A.
Die A._ SA (Klägerin; Beschwerdeführerin) ist eine Aktiengesellschaft nach <ref-law> mit Sitz in Freiburg. Sie bezweckt unter anderem die Beteiligung an Unternehmen im Pflege- und Gesundheitsbereich.
Die B._ AG (Beklagte; Beschwerdegegnerin) ist ebenfalls eine Aktiengesellschaft nach <ref-law> mit Sitz in Zürich. Sie bietet ihren Kunden vielfältige Kommunikationsdienstleistungen an. Namentlich unterstützt und betreut sie Unternehmen, die in der Öffentlichkeit stehen, darunter auch börsenkotierte Gesellschaften, bei ihren externen und internen Kommunikationsbedürfnissen.
An der Generalversammlung der A._ SA vom 9. Juni 2010 wurden drei der sechs Verwaltungsräte, nämlich C._, D._ sowie E._, als Verwaltungsräte nicht wiedergewählt, und angestrebte Neuwahlen von Verwaltungsratsmitgliedern kamen nicht zustande. Nach dem Rücktritt von F._ aus dem Verwaltungsrat anlässlich der Sitzung vom 15. Juni 2010 setzte sich dieser nur noch aus den kollektivzeichnungsberechtigten Verwaltungsräten G._ und H._ zusammen.
An der ausserordentlichen Generalversammlung vom 6. September 2010 wurden sieben zusätzliche Personen in den Verwaltungsrat gewählt, darunter die drei am 9. Juni 2010 abgewählten Verwaltungsräte.
Zwischen dem 9. Juni und dem 9. September 2010 verfügte die Klägerin über keine genügenden internen Ressourcen, um die Öffentlichkeitsarbeit eigenständig wahrnehmen zu können. Zur Unterstützung der internen und externen Unternehmenskommunikation war sie daher darauf angewiesen, eine professionelle externe Dienstleistungsanbieterin beizuziehen.
Am 14. Juli 2010 unterzeichneten die verbliebenen zwei Verwaltungsräte G._ und H._ für die Klägerin einen Zusammenarbeitsvertrag mit der Beklagten, in dem diese sich verpflichtete, die Klägerin in sämtlichen Belangen der externen und internen Kommunikation zu unterstützen. Im Vertrag wurden die wesentlichen Konditionen der Kommunikationsberatungstätigkeit der Beklagten geregelt und festgehalten, dass die Zusammenarbeit bereits am 9. Juni 2010 begonnen hatte. Gestützt auf diesen Vertrag liess die Beklagte der Klägerin für im Zeitraum vom 1. Juli bis 6. September 2010 erbrachte Leistungen drei Honorarrechnungen im Gesamtbetrag von Fr. 195'862.85 zukommen.
Am 3. September 2010 unterzeichneten G._ und H._ eine Schuldanerkennung, wonach die Beklagte basierend auf dem Zusammenarbeitsvertrag vom 14. Juli 2010 für die Klägerin Leistungen im genannten Gesamtbetrag erbracht hat und die Klägerin anerkennt, "die drei Rechnungen" vom 2. und vom 31. August 2010 sowie vom 3. September 2010 "vorbehaltlos zu schulden".
Mit Schreiben vom 9. September 2010 wurde der Zusammenarbeitsvertrag vom 14. Juli 2010 mit sofortiger Wirkung beendet. Mit Schreiben vom 5. Oktober 2010 erklärte die Klägerin sodann, dass sie die Schuldanerkennung vom 3. September 2010 anfechte bzw. widerrufe.
B.
Mit Klage vom 9. August 2011 beantragte die Klägerin dem Handelsgericht des Kantons Zürich, es sei festzustellen, dass die Forderungen in der Höhe von Fr. 195'862.85 nebst Zins zu 5 % seit 10. Dezember 2010, für die der Beklagten mit Entscheid des Juge de paix du district de Nyon vom 15. Juli 2011 im Verfahren KC11.014285 provisorische Rechtsöffnung erteilt wurde, nicht bestehen.
Zur Begründung ihrer Klage machte sie geltend, ihr Verwaltungsrat sei im Zeitraum vom 15. Juni 2010 bis zum 6. September 2010 nicht statuten- und reglementskonform zusammengesetzt und daher nicht beschlussfähig gewesen. Mit Blick auf diesen, der Beklagten bekannten Organisationsmangel im Verwaltungsrat sei weder der Zusammenarbeitsvertrag vom 14. Juli 2010 noch die Schuldanerkennung vom 3. September 2010 gültig zustandegekommen. Diese seien auch vom neu und statutenkonform bestellten Verwaltungsrat im Nachhinein nie genehmigt worden. Der Zusammenarbeitsvertrag und die Schuldanerkennung würden die Klägerin auch deshalb nicht binden, weil die Beklagte ihre Leistungen nicht im allgemeinen Gesellschaftsinteresse erbracht, sondern G._ und H._ bei ihren persönlichen Interessen um Machterhalt unterstützt habe. Sodann seien die von der Beklagten in den Rechnungen aufgeführten Leistungen nicht erbracht worden.
Mit Beschluss vom 29. Januar 2014 trat das Handelsgericht auf das Ausstandsgesuch der Klägerin, das diese gegen Handelsrichter Alexander Pfeifer gerichtet hatte, nicht ein. Das Gesuch sei verspätet gestellt worden, womit das Ablehnungsrecht verwirkt sei.
Mit Urteil vom gleichen Tag wies das Handelsgericht die Klage ab. Zudem hielt es fest, die mit Verfügung des Juge de paix du district de Nyon vom 15. Juli 2011 in der Betreibung Nr. xxx des Office des poursuites du district de Nyon (Zahlungsbefehl vom 28. März 2011) erteilte provisorische Rechtsöffnung für Fr. 195'862.85 nebst Zins zu 5 % seit 10. Dezember 2010, sei damit definitiv.
C.
Die Klägerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, den Beschluss sowie das Urteil des Handelsgerichts vom 29. Januar 2014 aufzuheben. Die Aberkennungsklage sei gutzuheissen. Es sei festzustellen, dass die Forderungen in der Höhe von Fr. 195'862.85 nebst Zins zu 5 % seit 10. Februar 2010, für die der Beschwerdegegnerin mit Entscheid des Juge de paix du district de Nyon vom 15. Juli 2011 im Verfahren KC11.014285 provisorische Rechtsöffnung erteilt wurde, nicht bestehen. Eventualiter sei die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten sei. Eventualiter sei die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und Neubeurteilung an das Handelsgericht zurückzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Die Parteien reichten Replik und Duplik ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschluss des Handelsgerichts vom 29. Januar 2014 erging am gleichen Tag wie das Urteil in der Sache. Der Spruchkörper variiert insofern, als am Beschluss anstelle des vom Ausstandsgesuch betroffenen Handelsrichters Alexander Pfeifer Handelsrichter Thomas Klein mitwirkte. Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren. Dagegen ist die Beschwerde zulässig (<ref-law>).
1.2. Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.4, 380 E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2). Da die Hauptsache vorliegend streitwertunabhängig anfechtbar ist (vgl. Erwägung 3.1), ist die Beschwerde in Zivilsachen auch gegen den Zwischenentscheid gegeben.
1.3. Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), darf sich die Beschwerdeführerin grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 490). Die Beschwerdeführerin beantragt jedoch betreffend den angefochtenen Beschluss einzig dessen Aufhebung. Einen materiellen Antrag stellt sie diesbezüglich nicht, was das Eintreten auf die Beschwerde in Frage stellt. Allerdings wird immerhin aus der Beschwerdebegründung ersichtlich, dass die Beschwerdeführerin weiterhin den Ausstand von Handelsrichter Alexander Pfeifer und die Neubeurteilung unter "gehöriger Besetzung" des Gerichts anstrebt. In Berücksichtigung dieser Ausführungen kann von einem hinreichenden Rechtsbegehren ausgegangen werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 136; <ref-ruling> E. 2 S. 236 f.).
1.4. Auf die Beschwerde ist demnach einzutreten, soweit sie sich gegen den Beschluss des Handelsgerichts vom 29. Januar 2014 richtet.
2.
Mit der Beschwerde gegen den Beschluss der Vorinstanz rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung von <ref-law> sowie von <ref-law> und Art. 6 EMRK.
2.1. Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, die also geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit hervorrufen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124, 433 E. 2.1.2 S. 436; <ref-ruling> E. 5.1 S. 125 je mit Hinweisen). Ein Anschein von Befangenheit kann sich aus dem Umstand ergeben, dass ein Richter zu einer Prozesspartei in einer besonderen Beziehung - namentlich einer solchen beruflicher Natur - steht oder stand (<ref-ruling> E. 4.3 und 5 S. 223 ff.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 124; <ref-ruling> E. 2.1.3 S. 436).
<ref-law> umschreibt die Ausstandsgründe für die Zivilgerichte auf Gesetzesebene. Ausstandsgesuche sind unverzüglich zu stellen, sobald die Partei vom Ausstandsgrund Kenntnis erhalten hat (vgl. <ref-law>).
Wer einen Ablehnungsgrund nicht unverzüglich nach dessen Kenntnisnahme geltend macht, verwirkt den Anspruch auf seine spätere Anrufung (BGE <ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 3.4 mit weiteren Hinweisen). Sind allerdings die Umstände, die den Anschein der Befangenheit bewirken, derart offensichtlich, dass der Richter von sich aus hätte in den Ausstand treten müssen, ist dies stärker zu gewichten als eine verspätete Geltendmachung (<ref-ruling> E. 4.3.2).
2.2. Die Vorinstanz hielt fest, die Mitwirkung von Handelsrichter Alexander Pfeifer sei der Beschwerdeführerin am 30. Oktober 2013 durch Empfang der entsprechenden Verfügung bekannt geworden. Mit Verfügung vom 19. November 2013, zugegangen am 20. November 2013, sei ihr sodann in einem Parallelverfahren die von Handelsrichter Alexander Pfeifer gleichentags abgegebene Ausstandserklärung mitgeteilt worden. Damit seien der Beschwerdeführerin die Zusammensetzung des Spruchkörpers am 30. Oktober 2013 und die Umstände eines allfälligen Ausstandsgrundes gegen Handelsrichter Alexander Pfeifer - spätestens - am 20. November 2013 bekannt gewesen. Das erst mit Eingabe vom 15. Januar 2014 - mithin acht Wochen nach Kenntnis der Gerichtsdelegation und des geltend gemachten Ausstandsgrundes - erhobene Ausstandsgesuch erweise sich damit als deutlich verspätet und sei verwirkt. Die vorgebrachten Ausstandsgründe liessen bei objektiver Betrachtung auch keine (gravierende) Befangenheit erkennen, die trotz Verspätung eine Berücksichtigung des Gesuchs erfordern würde.
2.3. Die Beschwerdeführerin bringt nichts dagegen vor, dass ihr Ausstandsgesuch als verspätet beurteilt wurde. Sie steht jedoch auf dem Standpunkt, die Verspätung schade nicht, da der geltend gemachte Ausstandsgrund von Amtes wegen hätte berücksichtigt werden müssen.
2.4. Dem kann nicht gefolgt werden. Die Beschwerdeführerin begründete vor der Vorinstanz die geltend gemachte Befangenheit von Handelsrichter Alexander Pfeifer im Wesentlichen damit, dass dieser in einem Parallelverfahren gegen die I._ AG in den Ausstand getreten sei, weil er nach eigenem Bekunden zwei Partner dieser Anwaltskanzlei kenne. So sei er mit Herrn Dr. J._ seit Jahren persönlich befreundet und mit Herrn Prof. Dr. K._ pflege er geschäftliche Beziehungen. Gemäss der Beschwerdeführerin soll die besagte Anwaltskanzlei auch im vorliegenden Verfahren eine "zentrale Rolle" spielen und habe dieselbe ein wirtschaftliches Interesse am Ausgang des vorliegenden Verfahrens. Hier gehe es über weite Strecken um denselben Grundsachverhalt und dieselben Rechtsfragen.
Der betroffene Handelsrichter Alexander Pfeifer gab in seiner Stellungnahme zum Ausstandsgesuch an, er sehe keinen Grund, um in den Ausstand zu treten, und er erachte sich als nicht befangen.
Wie das Bundesgericht bereits in einem anderen Parallelverfahren (Urteil 4A_617/2013 vom 30. Juni 2014 E. 4), in dem sich eine gleich gelagerte Ausstandsfrage stellte, darlegte, sind die Überlegungen der Beschwerdeführerin zu weit hergeholt, als dass daraus objektiv auf die Befangenheit oder auch nur den Anschein einer solchen von Handelsrichter Pfeifer im vorliegenden Verfahren zu schliessen wäre. Es kann nicht genügen, dass die Beschwerdegegnerin gewisse Kontakte zur besagten Anwaltskanzlei pflegte bzw. dass eine Anwältin der I._ AG im Umfeld des vorliegend zu beurteilenden Sachverhalts eine Rolle spielte, ohne dass dargetan ist, dass deswegen je nach Beurteilung des vorliegenden Falles die I._ AG mit direkten (wirtschaftlichen) Konsequenzen zu rechnen hätte. Mit dem was die Beschwerdeführerin gemäss dem angefochtenen Beschluss vorbrachte (vgl. dazu <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1), ist nicht glaubhaft gemacht, dass bei objektiver Betrachtung ein Anschein der Befangenheit angenommen werden könnte. Noch weniger liegt eine offensichtliche Befangenheit vor, so dass Handelsrichter Pfeifer von sich aus hätte in den Ausstand treten müssen und die Verspätung des Gesuchs hätte unberücksichtigt bleiben können.
Es könnte sich allenfalls fragen, ob Handelsrichter Pfeifer hier von sich aus in den Ausstand hätte treten müssen, falls das Urteil im vorliegenden Verfahren vor demjenigen im Parallelverfahren der Beschwerdeführerin gegen die I._ AG gefällt worden wäre. Diesfalls hätte Handelsrichter Pfeifer Rechtsfragen, die sich nach den Behauptungen der Beschwerdeführerin in beiden Verfahren gleich stellen sollen, mitentscheiden und allenfalls für das Urteil in Sachen der I._ AG präjudizieren können. Wie es sich damit verhält kann vorliegend indessen offen bleiben, da das Urteil in Sachen der I._ AG bereits am 22. Januar 2014, und damit vor demjenigen im vorliegenden Verfahren gefällt wurde.
Die Beschwerde gegen den Beschluss der Vorinstanz erweist sich mithin als unbegründet.
Beschwerde gegen das Urteil des Handelsgerichts
vom 29. Januar 2014
3.
3.1. Das angefochtene Urteil des Handelsgerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>). Gegen Entscheide der als einzige kantonale Instanzen im Sinne von <ref-law> urteilenden Handelsgerichte (<ref-law>) ist die Beschwerde an das Bundesgericht streitwertunabhängig gegeben (<ref-ruling> E. 1.2). Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher grundsätzlich zulässig.
3.2. Die Beschwerdegegnerin stellt das Rechtsschutzinteresse der Beschwerdeführerin in Abrede. Diese habe die streitgegenständliche Forderung am 7. März 2014, d.h. nach Vorliegen des (formell) rechtskräftigen Entscheids der Vorinstanz durch eine vorbehaltlose Zahlung von Fr. 260'344.05 an das Betreibungsamt Zürich 1 gemäss <ref-law> getilgt und damit implizite anerkannt. Sie habe die Beschwerde am 10. März 2014, d.h. nach ihrer vorbehaltlosen Tilgungs- und Anerkennungshandlung eingelegt. Es fehle ihr damit am Rechtsschutzinteresse für die Erhebung der Beschwerde. Auf diese sei nicht einzutreten.
Die Beschwerdeführerin bestätigt in der Replik, dass sie die entsprechende Zahlung geleistet hat, bestreitet aber, dass sie damit die Forderung anerkannt habe. Vielmehr habe sie unfreiwillig unter dem Zwang des Betreibungs- und Arrestverfahrens sowie unter dem von der Beschwerdegegnerin aufgebauten medialen Druck geleistet. Für den Fall der Gutheissung der Beschwerde, behalte sie sich die Rückforderung der an die Beschwerdegegnerin geleisteten Beträge vor.
Die Beschwerdegegnerin hält dem in der Duplik entgegen, die Beschwerdeführerin erkläre erstmals in der Replik, sie behalte sich die Rückforderung der geleisteten Beträge vor. Dieser Vorbehalt erfolge nach der Tilgungshandlung vom 7. März 2014 und sei daher unbeachtlich. Die Beschwerdeführerin lege die Voraussetzungen nicht dar, die sie zur angeblichen Rückforderung berechtigen würden. Namentlich seien die Voraussetzungen für eine Rückforderung gestützt auf <ref-law> oder <ref-law> nicht gegeben bzw. dargetan.
Die Beschwerdeführerin erstrebt mit der vorliegenden Beschwerde die Aberkennung einer Forderung, die sie bereits vor Erhebung der Beschwerde vorbehaltlos bezahlt hat. Ein aktuelles Rechtsschutzinteresse an der Beschwerde könnte ihr unter diesen Umständen nur zukommen, wenn sie bei Gutheissung der Beschwerde einen Rückforderungsanspruch erheben könnte. Dies erscheint mit Blick auf das Fehlen jeglichen Vorbehalts bei der Zahlung fraglich, muss hier aber nicht entschieden werden.
Zu den Eintretens- bzw. Sachurteilsvoraussetzungen zählt auch das Vorliegen eines aktuellen Rechtsschutzinteresses (<ref-law>). Zwar prüft das Bundesgericht von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1); jedoch muss die Eingabe von der beschwerdeführenden Partei auch bezüglich der Sachurteilsvoraussetzungen hinreichend begründet werden (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 121; <ref-ruling> E. 2 S. 403 f.). Die Beschwerdeführerin hat in der Beschwerde nichts zum Rechtsschutzinteresse ausgeführt, obwohl sie die streitgegenständliche Forderung am 7. März 2014, drei Tage vor der Beschwerdeergreifung am 10. März 2014, vorbehaltlos bezahlt hat. Ihre diesbezüglichen Ausführungen in der Replik sind zu unbestimmt, als dass ein Rückforderungsanspruch trotz Unterlassens jeglichen Vorbehalts bei der Zahlung als glaubhaft dargetan erscheint, soweit die entsprechenden Vorbringen überhaupt berücksichtigt und nicht als verspätet unbeachtet bleiben müssten, nachdem ein Beschwerdeführer auch ohne Einwand des Beschwerdegegners bereits bei der Beschwerdeerhebung Anlass hat, sich zu den Eintretensvoraussetzungen zu äussern (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.3.4). Ein aktuelles Rechtsschutzinteresse der Beschwerdeführerin bei der Beschwerdeergreifung ist nicht dargetan bzw. nicht ersichtlich.
Das führt zum Nichteintreten auf die Beschwerde, soweit sie sich gegen das Urteil der Vorinstanz in der Sache richtet. Selbst wenn jedoch auf die Beschwerde einzutreten wäre, erwiese sich diese als unbegründet, wie nachstehend (Erwägungen 4 und 5) dargelegt wird, wobei eine summarische Begründung ausreicht, da der vorliegende Fall über weite Strecken analog zu den bereits entschiedenen Parallelverfahren 4A_617/2013 und 4A_459/2013 zu beurteilen ist.
3.3. Die Beschwerdeführerin rügt auch die vorinstanzliche Kosten- und Entschädigungsregelung, wobei sie diese unabhängig vom Ausgang der Hauptsache anficht. Diesbezüglich lässt sich ihren Beschwerdeanträgen kein materieller, d.h. bezifferter Antrag auf Abänderung der vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsregelung entnehmen (vgl. dazu die Erwägung 1.3 vorne). Es kann vorliegend offen bleiben, ob dies ein Grund wäre, auch in diesem Punkt auf die Beschwerde nicht einzutreten (vgl. dazu die Urteile 4A_226/2014 vom 6. August 2014 E. 1.2, 4A_89/2014 vom 25. Februar 2014, 4A_12/2014 vom 6. März 2014 E. 2, 4A_410/2011 vom 11. Juli 2012 E. 1.2 und 4A_164/2011 vom 10. November 2011 E. 1.3.2; anders dagegen die Urteile 4A_375/2012 vom 20. November 2012 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling> und 4A_32/2013 vom 29. April 2013 E. 1.2). Denn die Rechtsbegehren sind jedenfalls unter Berücksichtigung der Beschwerdebegründung nach dem Vertrauensprinzip auszulegen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 136; <ref-ruling> E. 1.4.2; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2a). Hinsichtlich der Parteientschädigung lässt sich der Beschwerdebegründung entnehmen, dass die Beschwerdeführerin den Zuschlag von Fr. 3'000.-- beanstandet. Betreffend die Gerichtskosten wendet sie sich gegen deren Erhöhung aufgrund der Verursachung unnötiger Kosten und wegen des Ausstandsverfahrens. Da die Vorinstanz diese Erhöhung nicht konkret beziffert und den einzelnen Gründen für die Erhöhung zugewiesen hat, kann auch von der Beschwerdeführerin nicht ein bezifferter Antrag verlangt werden. Bezüglich der Kosten- und Entschädigungsregelung des angefochtenen Urteils ist daher auf die Beschwerde einzutreten.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin stellt die Gültigkeit sowohl des Zusammenarbeitsvertrags vom 14. Juli 2010 als auch der Schuldanerkennung vom 3. September 2010 in Abrede. Dies aus zwei Gründen: Zum einen hätten die Verwaltungsräte G._ und H._ nicht im Interesse der Gesellschaft gehandelt, sondern mit der Beauftragung der Beschwerdegegnerin Eigeninteressen (Sicherung ihrer eigenen Macht und Verhinderung der Rückkehr des abgewählten D._ in den Verwaltungsrat) verfolgt. Die Beschwerdegegnerin habe den Interessenkonflikt gekannt oder könne sich diesbezüglich nach den gesamten Umständen jedenfalls nicht auf ihren guten Glauben berufen. Zum andern seien der Zusammenarbeitsvertrag vom 14. Juli 2010 und die Schuldanerkennung vom 3. September 2010 ungültig, weil der Verwaltungsrat der Beschwerdeführerin nach dem Rücktritt von F._ nicht mehr statuten- und reglementskonform zusammengesetzt und somit nicht beschlussfähig gewesen sei, wovon die Beschwerdegegnerin gewusst habe. Der Verwaltungsrat habe die Beschwerdeführerin auch aus diesem Grund nicht gültig verpflichten können.
4.1.1. Letzteres Argument hat sich bereits in zwei Parallelverfahren als unzutreffend erwiesen (4A_459/2013 vom 22. Januar 2014 E. 3.1 und 4A_617/2013 vom 30. Juni 2014 E. 5.2) und greift auch hier nicht, was die Vorinstanz zutreffend erkannte.
4.1.2. Zum geltend gemachten Interessenkonflikt stellte die Vorinstanz fest, es sei unbestritten, dass die Beschwerdeführerin zwischen dem 9. Juni und dem 9. September 2010 über keine genügenden internen Ressourcen verfügte, um die Öffentlichkeitsarbeit selbständig wahrnehmen zu können. Sie sei daher, nur schon um den Informationspflichten und dem Kommunikationsbedarf nachzukommen, den eine börsenkotierte Gesellschaft zu erfüllen habe, darauf angewiesen gewesen, zur Unterstützung der Unternehmenskommunikation einen professionellen, externen Kommunikationsdienstleister beizuziehen. Die Beschwerdeführerin hält diese Feststellung "vor dem Hintergrund der damaligen Ereignisse" für nicht überzeugend. Die von der Beschwerdegegnerin verfassten Ad-Hoc-Mitteilungen hätten weniger der objektiven Information der Anleger gedient als vielmehr der Diskreditierung von D._. Die Beschwerdeführerin zeigt keine willkürlichen Feststellungen auf und vermag den korrekten Schluss nicht zu entkräften, dass die Beauftragung einer Kommunikationsfirma für die Unterstützung der Öffentlichkeitsarbeit nicht ausserhalb des Gesellschaftszwecks liegt, und die Beschwerdeführerin mangels interner Ressourcen dazu auf den Beizug einer externen Firma angewiesen war.
Die Vorinstanz konnte sodann keinen Konflikt zwischen den Interessen des Verwaltungsrats und denjenigen der Gesellschaft ausmachen, namentlich nicht aufgrund des von der Beschwerdeführerin behaupteten Machtkampfs zwischen den beteiligten Aktionärsgruppen um die Kontrolle der Beschwerdeführerin. Vielmehr hielt sie zutreffend fest, dass der Umstand, dass im betreffenden Zeitraum zwischen verschiedenen Aktionärsgruppen ein Machtkampf um die Besetzung des Verwaltungsrats stattgefunden haben mag, nicht bedeute, dass die geschäftsführenden Organe nicht - im allenfalls vermeintlichen - Interesse der Gesellschaft gehandelt hätten. Selbst wenn ein Interessenkonflikt der Organe der Beschwerdeführerin bestanden haben sollte, sei dieser der Beschwerdegegnerin weder bekannt gewesen noch hätte sie einen solchen erkennen müssen.
Die appellatorischen Ausführungen der Beschwerdeführerin vermögen an dieser Beurteilung nichts zu ändern. Der Konflikt bestand zwischen den sich konkurrierenden Aktionärsgruppen und nicht zwischen den Interessen der Organe und den objektiven Interessen der Gesellschaft. Jedenfalls war für die Beschwerdegegnerin als Dritte nicht erkennbar bzw. konnte und musste für sie nicht erkennbar sein, welche Zusammensetzung des Verwaltungsrats den objektiven Interessen der Gesellschaft am besten dienen würde. Da die Vorinstanz zutreffend zur Erkenntnis gelangt war, dass kein rechtsrelevanter Interessenkonflikt bestand, brauchte sie - entgegen der Rüge der Beschwerdeführerin - dazu und zur behaupteten Bösgläubigkeit kein Beweisverfahren durchzuführen. Denn die Frage, ob die Beschwerdegegnerin gutgläubig war oder nicht, stellt sich nur, wenn überhaupt von einem Mangel bzw. einem Interessenkonflikt auszugehen wäre.
Die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Verletzung von <ref-law>, <ref-law> und <ref-law> (mangels Durchführung eines Beweisverfahrens) sowie von <ref-law>, 718a OR und <ref-law> ist nicht dargetan. Die Vorinstanz ging zu Recht davon aus, dass die Vertretungsmacht der Verwaltungsräte G._ und H._ nicht zufolge eines rechtsrelevanten Interessenkonfliktes beschränkt war, und demnach der Zusammenarbeitsvertrag vom 14. Juli 2010 und die Schuldanerkennung vom 3. September 2010 rechtsgültig zustande kamen.
5.
5.1. Für den Fall, dass die Schuldanerkennung vom 3. September 2010 als gültig zustande gekommen betrachtet werden sollte, hält die Beschwerdeführerin daran fest, dass die Schuldanerkennung nicht zu einer Umkehr der Beweislast führe. Zu Unrecht: Die Vorinstanz ging vielmehr zutreffend und in Übereinstimmung mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung davon aus, dass die Schuldanerkennung zu einer Umkehr der Beweislast führte (<ref-ruling> E. 3.2 S. 273; ferner etwa die Urteile 4C.53/2001 vom 17. August 2001 E. 2b; 4A_617/2013 vom 30. Juni 2014 E. 6.3; 4A_459/2013 vom 22. Januar 2014 E. 3.3).
5.2. Die Beschwerdeführerin wandte gegen die Schuldanerkennung vom 3. September 2010 u.a. ein, dass die in den der Schuldanerkennung zu Grunde liegenden Rechnungen aufgeführten Leistungen im Gesamtbetrag von Fr. 195'862.85 nicht erbracht worden seien.
Die Vorinstanz gelangte in objektivierter Auslegung der Schuldanerkennung vom 3. September 2010 zum Ergebnis, dass der Wortlaut derselben keinen anderen Schluss zulasse, als dass die Beschwerdeführerin mit ihrer Erklärung auf die Einrede, die Beschwerdegegnerin habe die Leistungen nicht bzw. nicht in dem in Rechnung gestellten Umfang erbracht, verzichtet habe. Dabei erwog sie, der Schuldanerkennung vom 3. September 2010 sei zu entnehmen, dass die Beschwerdegegnerin für die Beschwerdeführerin basierend auf dem Zusammenarbeitsvertrag vom 14. Juli 2010 Leistungen in der Höhe von insgesamt Fr. 195'862.85 erbracht habe. Weiter anerkenne die Beschwerdeführerin, die Rechnungen vom 2. August 2010, vom 31. August 2010 und vom 3. September 2010, deren Höhe dem genannten Gesamtbetrag entspreche, vorbehaltlos zu schulden. Nachdem die Beschwerdeführerin im ersten Satz explizit bestätige, dass die Beschwerdegegnerin Leistungen in der genannten Höhe erbracht habe, erkläre sie im zweiten Satz, die Rechnungen in dieser Höhe vorbehaltlos zu schulden. Damit bringe sie zum Ausdruck, dass sie die durch die Beschwerdegegnerin erbrachten Leistungen ohne Vorbehalte akzeptiere und somit nicht nur die Schuld für die erbrachten Leistungen anerkenne, sondern gleichzeitig auch die Leistungen im genannten Umfang genehmige.
Dieser Auslegung ist Blick auf den Wortlaut der Schuldanerkennung, in dem sowohl die Leistungserbringung im konkreten Umfang von Fr. 195'862.85 bestätigt wird, als auch die dafür geschuldeten Rechnungsbeträge explizit "vorbehaltlos" anerkannt werden, ohne weiteres zu folgen. Demgegenüber überzeugt das von der Beschwerdeführerin vertretene Verständnis, wonach der Ausdruck "vorbehaltlos" als "reine Stilklausel" aufzufassen sei, nicht, und erheischt keine andere Beurteilung. Diese deckt sich im Übrigen mit derjenigen der analogen Formulierung der Schuldanerkennung im Fall 4A_459/2013 vom 22. Januar 2014 E. 5.1.2 und ist somit auch hier nicht zu beanstanden.
5.3. Da nach dem Gesagten die Erkenntnis der Vorinstanz, dass die Schuldanerkennung vom 3. September 2010 in Bezug auf die Leistungserbringung einen Einredeverzicht enthält, der bundesgerichtlichen Überprüfung standhält, erübrigt es sich, auf die Ausführungen der Beschwerdeführerin einzugehen, welche diese gegen die Eventualbegründung der Vorinstanz vorbringt, gemäss der die Einwendungen der Beschwerdeführerin gegen die Leistungserbringung nicht durchdringen würden, selbst wenn man insofern nicht von einem Einredeverzicht ausginge.
5.4. Zusammenfassend würde sich die Beschwerde gegen das Urteil der Vorinstanz in der Sache (Abweisung der Aberkennungsklage) als unbegründet erweisen, wenn darauf einzutreten wäre.
6.
Die Beschwerdeführerin beanstandet die Kosten- und Entschädigungsregelung des angefochtenen Urteils.
6.1. Die Vorinstanz auferlegte die Prozesskosten entsprechend dem Verfahrensausgang der unterliegenden Beschwerdeführerin. Dabei erhöhte sie die in Anwendung von § 4 Abs. 1 der Gebührenverordnung vom 8. September 2010 des Obergerichts des Kantons Zürich (GebV OG) ermittelte ordentliche Gerichtsgebühr gestützt auf § 4 Abs. 2 GebV OG um rund die Hälfte. Dies in Berücksichtigung des Zeitaufwandes des Gerichtes, insbesondere des unnötigen Aufwandes im Zusammenhang mit dem Sistierungsantrag der Beschwerdeführerin und im Hinblick auf die auf den 15. Mai 2012 anberaumte Vergleichsverhandlung einerseits und des im Zusammenhang mit dem Ausstandsbegehren verursachten Zeitaufwandes andererseits. Zudem erhöhte sie die Parteientschädigung um Fr. 3'000.-- für den Aufwand im Zusammenhang mit dem Sistierungsgesuch und die unnötige Vorbereitung der auf den 15. Mai 2012 anberaumten Vergleichsverhandlung sowie für den Mehraufwand im Zusammenhang mit dem Ausstandsbegehren. Die Erhöhung der Gerichtskosten und der Parteientschädigung wegen des unnötigen Aufwandes im Zusammenhang mit dem zu spät zurückgezogenen Sistierungsantrag und der zu spät mitgeteilten fehlenden Vergleichsbereitschaft, infolge derer die anberaumte Vergleichsverhandlung abgesetzt wurde, stützte die Vorinstanz auf <ref-law>.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law> und macht geltend, sie habe keine unnötigen Kosten im Sinne dieser Bestimmung verursacht.
6.2. Unnötige Prozesskosten hat zu bezahlen, wer sie verursacht hat (<ref-law>). Das betrifft die mit dem unnötigen Aufwand verbundenen Gerichtskosten und die Parteientschädigung (Gasser/Rickli, Kurzkommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 1 zu <ref-law>). Unnötiger Aufwand können insbesondere Mehrkosten sein, etwa wegen Säumnis, Weitläufigkeiten oder verspäteten Vorbringen (Gasser/Rickli, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>; Martin H. Sterchi, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 4 zu <ref-law>).
6.3. Vorliegend beruft sich die Vorinstanz auf unnötige Kosten, die durch verspätete bzw. zu kurzfristige Prozesshandlungen der Beschwerdeführerin verursacht wurden. Solche können nach dem vorstehend Gesagten unter den Begriff unnötiger Prozesskosten im Sinne von <ref-law> fallen. Die Beschwerdeführerin bestreitet, dass sie in diesem Sinne ihr Sistierungsgesuch verspätet zurückgezogen und ihre mangelnde Vergleichsbereitschaft zu kurzfristig mitgeteilt habe. Zu Unrecht:
6.3.1. Die Beschwerdeführerin hatte ihr Sistierungsgesuch damit begründet, dass je nach Ausgang des Rechtsöffnungsverfahrens das vorliegende Verfahren hinfällig werde, weshalb dieses bis zum rechtskräftigen Abschluss des Rechtsöffnungsverfahrens zu sistieren sei. Mit Blick auf diese Begründung des Sistierungsgesuchs wäre es der Beschwerdeführerin oblegen, umgehend nach Erhalt des Rechtsöffnungsentscheids und unbenutztem Ablauf der dagegen laufenden Beschwerdefrist den Rückzug des Sistierungsgesuchs zu erklären. Dazu brauchte ihr die Vorinstanz nicht Frist anzusetzen. Sie liess sich jedoch rund einen Monat Zeit, um den Rückzug zu erklären. Bei dieser Ausgangslage durfte die Vorinstanz den Aufwand, der in der Zwischenzeit durch die Behandlung des Sistierungsgesuchs entstanden war, als unnötig im Sinne von <ref-law> qualifizieren. Die Beschwerdeführerin hätte diesen Aufwand durch umgehende Rückzugserklärung vermeiden können.
Die Beschwerdeführerin wendet dagegen ein, sie hätte statt des Rückzugs auch den Beschluss über das Sistierungsgesuch abwarten können, in welchem Fall ihr die Vorinstanz keine Kosten gestützt auf <ref-law> hätte auferlegen können. Mit diesem Einwand ist weder entkräftet, dass sie durch die späte Mitteilung des Rückzugs unnötige Kosten verursacht hat noch ist gesagt, dass sie bei Beschlussfassung und Abweisung des Sistierungsgesuchs keine Kosten, wenn auch nicht solche gestützt auf <ref-law>, hätte tragen müssen.
6.3.2. Die Parteien wurden nach Eingang der Klageantwort vom 29. November 2011 auf den 15. Mai 2012 zu einer Vergleichsverhandlung vorgeladen. Am 7. Mai (eingegangen am 8. Mai) 2012 teilte die Beschwerdeführerin dem Gericht mit, dass eine Vergleichsverhandlung zum heutigen Zeitpunkt nicht zielführend sei und keine Vergleichsbereitschaft der Beschwerdeführerin bestehe. Daraufhin wurden die Vorladungen zur Vergleichsverhandlung abgenommen, wobei sowohl das Gericht als auch die Beschwerdegegnerin mit der Vorbereitung derselben schon begonnen hatten. Der dafür angefallene Aufwand bezeichnete die Vorinstanz wiederum als unnötige Prozesskosten im Sinne von <ref-law>.
Im Zeitpunkt der Mitteilung der fehlenden Vergleichsbereitschaft lag der Beschwerdeführerin bereits seit beinahe fünf Monaten die Klageantwort vor und wusste sie bereits seit über drei Monaten von der auf den 15. Mai 2012 anberaumten Vergleichsverhandlung. Wenn die Vorinstanz bei dieser Ausgangslage in der späten Mitteilung fehlender Vergleichsbereitschaft zumindest ein ordnungswidriges Verhalten erblickte, das bei Beachtung zumutbarer Sorgfalt hätte vermieden werden können, und deshalb die dadurch verursachten Kosten als unnötig im Sinne von <ref-law> qualifizierte, ist dies bundesrechtlich nicht zu beanstanden.
Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Vorbereitungshandlungen hätten zumindest indirekt auch im Rahmen der Urteilsfällung bzw. -begründung verwendet werden können, weshalb sie nicht unnötig gewesen seien. Dieses Argument betrifft nicht die Vermeidbarkeit dieser Kosten an sich, sondern die Frage, in welchem Umfang der Aufwand für die Vorbereitung der Vergleichsverhandlung allenfalls bei der späteren Beurteilung des Falles verwendbar und daher nicht gänzlich unnötig war. In welchem Ausmass unter diesem Titel von unnötigen Kosten auszugehen war, könnte das Bundesgericht nur unter Willkürgesichtspunkten überprüfen. Eine Willkürrüge liegt indessen nicht vor.
6.4. Schliesslich hat die Vorinstanz der Beschwerdeführerin entgegen deren Ansicht die Kosten im Zusammenhang mit dem Ausstandsgesuch nicht als unnötige Prozesskosten im Sinne von <ref-law> auferlegt, sondern als zusätzlichen Aufwand für den über das Ausstandsgesuch separat gefällten Beschluss. Darin wurde der Entscheid über die Kosten denn auch dem Endentscheid vorbehalten. Die auf der unzutreffenden Ansicht aufgebauten Rüge der Beschwerdeführerin, die auch in diesem Zusammenhang <ref-law> verletzt sieht, stösst daher ins Leere.
6.5. Demnach vermögen die Vorbringen gegen die Kosten- und Entschädigungsregelung des angefochtenen Urteils nicht durchzudringen.
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Ausgangsgemäss wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Oktober 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer