Fatti:
A. A.A._, cittadino del Kosovo, è entrato una prima volta in Svizzera nel marzo 1990 per richiedere asilo. Con decreto d'accusa del 9 ottobre 1990, egli è stato condannato alla pena di 10 giorni di detenzione, sospesi condizionalmente con un periodo di prova di 2 anni e all'espulsione dal territorio elvetico per 3 anni, per aggressione. La sua domanda d'asilo è stata respinta in ultima istanza il 22 agosto 1991; una settimana più tardi, ha lasciato la Svizzera.
Nel novembre 1991, A.A._ si è sposato nel proprio Paese d'origine con la cittadina elvetica B._. A seguito del matrimonio, il 25 marzo 1993 il presidente del Tribunale penale cantonale ha sospeso la misura dell'espulsione decretata nei suoi confronti. Il 21 maggio successivo, l'interessato è stato posto al beneficio di un permesso di dimora per vivere con la moglie.

Con decisione del 28 novembre 1996, confermata in ultima istanza dal Tribunale federale con sentenza 2A.19/1998 del 20 novembre 1998, l'allora Sezione degli stranieri del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha respinto la domanda di rinnovo del permesso di dimora presentata da A.A._, considerando dati gli estremi per riconoscere che il matrimonio con B._ era fittizio. Il 1° giugno 2000, l'interessato ha lasciato la Svizzera.
B. Il 9 luglio 2000, dopo che A.A._ aveva dichiarato che la relazione con la moglie B._ era in realtà sincera ed effettivamente vissuta, l'autorità dipartimentale lo ha autorizzato a rientrare in Svizzera e gli ha rilasciato un nuovo permesso di dimora per permettergli di vivere insieme a lei.
Con decreto d'accusa del 2 marzo 2001, il Procuratore pubblico lo ha condannato a 90 giorni di detenzione e all'espulsione dal territorio elvetico durante 3 anni, pene entrambe sospese condizionalmente con un periodo di prova di 2 anni, per coazione sessuale. A seguito di tale condanna, il 25 marzo 2004 egli è stato inoltre formalmente ammonito dalla sezione dei permessi e dell'immigrazione.
Dopo aver presentato domanda in tal senso nel giugno 2005 e nel luglio 2006, ricevendo risposta negativa, il 19 settembre 2007 A.A._ ha infine ottenuto un permesso di domicilio.
C. Con sentenza del 20 gennaio 2011, il Giudice civile competente ha sciolto per divorzio il matrimonio tra i coniugi A.A._ e B._.
Il 5 maggio 2011, A.A._ si è sposato in Kosovo con la connazionale C.A._. Con domanda depositata presso l'Ambasciata svizzera in Kosovo il 6 settembre 2011, C.A._ ha chiesto il rilascio di un visto di entrata in Svizzera per lei e per i figli D.A._ (1996) e E.A._ (1998) a scopo di ricongiungimento con il marito rispettivamente padre A.A._. Il 1° novembre 2011, l'Ambasciata ha trasmesso la menzionata domanda alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino, accompagnata dalle seguenti informazioni:
"a) les époux sont mariés traditionnellement depuis 16 ans (voir déclaration signée en annexe); b) les enfants ainsi que leur mère ont confirmé que leur père/mari venait leur rendre visite 1 à 2 fois par année; c) la mère ainsi que leurs enfants ont vécu de manière ininterrompue dans la famille de leur mari respectivement de leur père; d) dans la tradition kosovare la femme est considérée comme mariée (traditionnellement) lorsqu'elle emménage dans la maison de sa belle-famille; e) monsieur A.A._ à régularisé son séjour en Suisse au travers de son mariage avec B._. Aucun enfant n'est né de cette union; f) durant son mariage avec madame B._, il a eu 2 enfants, nés en 1996 et 1998, avec sa femme traditionnelle au Kosovo; g) la femme suisse ne se serait jamais rendue au Kosovo malgré les fréquents séjours de son mari. Les enfants ne l'auraient même jamais rencontrée; h) E.A._, l'ainé, ne saurait pas si son père a une autre femme en Suisse; i) il est dans ce cas clair que monsieur A.A._ a mené une double vie conjugale dans le but d'obtenir un titre de séjour durable en Suisse; sitôt ce dernier obtenu, il a divorcé de sa femme suisse et demandé le regroupement familial pour sa vraie famille restée au Kosovo (...)".
Invitato dalla Sezione della popolazione a indicare se avesse mantenuto stretti rapporti coi figli e la loro madre da quando egli è in Svizzera, il 28 febbraio 2012 A.A._ ha da parte sua dichiarato:
"(... ) Dalla nascita dei miei figli D.A._ (1996) e E.A._ (1998) mi sono sempre recato nel paese di loro residenza (Kosovo) in visita e questo almeno due volte all'anno se non di più (comunque sempre d'estate e tra Natale e Capodanno); oltre a ciò ho sempre avuto e ho dei contatti telefonici regolari (almeno due volte a settimana). Ho sempre versato nella mani della madre dei miei figli - e ora mia moglie - tutto quanto mi riusciva possibile per il mantenimento di figli e madre; si può calcolare una media di almeno fr. 300.-- al mese. Negli ultimi anni ho purtroppo avuto un periodo di cassa integrazione, ciò che ha limitato le mie possibilità finanziarie. Fortunatamente ora, sempre per lo stesso datore di lavoro, ho ripreso a lavorare a tempo pieno, ciò che mi permette di aumentare il mio sostegno finanziario a moglie e figli".
Constatato in sostanza che egli aveva sottaciuto dei fatti essenziali per ottenere il rinnovo del permesso di dimora e il rilascio del permesso di domicilio, il 5 marzo 2012 la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha revocato il permesso di domicilio di A.A._, intimandogli di lasciare il territorio elvetico entro il 30 aprile 2012.
Tale provvedimento è stato confermato su ricorso, dapprima dal Consiglio di Stato, con decisione del 13 giugno successivo, quindi dal Tribunale cantonale amministrativo, con sentenza del 20 dicembre 2012.
D. Quest'ultimo giudizio è stato impugnato davanti al Tribunale federale con "ricorso di diritto pubblico" (recte: ricorso in materia di diritto pubblico) del 5 febbraio 2013, chiedendone l'annullamento.
Il Tribunale amministrativo ha confermato le motivazioni e le conclusioni della propria sentenza. Ad essa hanno di fatto rinviato anche la Sezione della popolazione e l'Ufficio federale della migrazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio di questa Corte.
Diritto:
1. Presentata in tempo utile (art. 44 segg. in relazione con l'<ref-law>) dal destinatario della decisione querelata (<ref-law>), l'impugnativa è nella fattispecie ammissibile quale ricorso in materia di diritto pubblico ai sensi degli art. 82 segg. LTF, in quanto concerne la revoca di un permesso che avrebbe altrimenti ancora effetti giuridici (art. 83 lett. c n. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.2.1 pag. 4).
2. 2.1 Con ricorso in materia di diritto pubblico può tra l'altro venire censurata la violazione del diritto federale (<ref-law>). In via generale, confrontato con una motivazione conforme all'<ref-law>, il Tribunale federale applica il diritto d'ufficio (<ref-law>); esso non è vincolato né agli argomenti fatti valere nel ricorso né ai considerandi sviluppati dall'istanza precedente (<ref-ruling> consid. 1.4.1 pag. 254). Esigenze più severe valgono tuttavia in relazione alla denuncia della violazione di diritti fondamentali. Il Tribunale federale esamina infatti simili censure solo se l'insorgente le ha sollevate in modo preciso (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 246).
Nella fattispecie il gravame rispetta solo in parte i requisiti esposti. Nella misura in cui sono disattesi, esso va quindi considerato inammissibile.
2.2 Per quanto riguarda i fatti, il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>). Esso può scostarsene solo se è stato eseguito in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario, profilo sotto il quale viene esaminato anche l'apprezzamento delle prove agli atti (<ref-ruling> consid. 4.2 pag. 560; sentenza 2C_959/2010 del 24 maggio 2011 consid. 2.2). A meno che non ne dia motivo la decisione impugnata, non possono nemmeno essere addotti nuovi fatti o nuovi mezzi di prova (<ref-law>).
Dato che il ricorrente non li mette validamente in discussione - attraverso una motivazione conforme all'<ref-law>, che ne dimostri l'arbitrarietà -, i fatti che emergono dal giudizio impugnato vincolano il Tribunale federale anche nel caso concreto (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 246; 133 Il 249 consid. 1.2.2 pag. 252). Nel contempo, rilevato che davanti al Tribunale federale possono essere addotti nuovi fatti e nuovi mezzi di prova soltanto se ne dà motivo la decisione impugnata (<ref-law>), aspetto che competeva all'insorgente sostanziare, i documenti prodotti per la prima volta in questa sede non possono essere considerati e vanno estromessi dall'incarto.
3. La procedura concerne la revoca del permesso di domicilio di cui beneficiava il ricorrente dal 19 settembre 2007, provvedimento confermato da ultimo dal Tribunale cantonale amministrativo dopo aver tra l'altro considerato che il ricorrente avesse sottaciuto dei fatti essenziali nell'ambito del rilascio della sua autorizzazione di domicilio.
3.1 Giusta l'art. 63 cpv. 1 lett. a in relazione con l'art. 62 lett. a LStr, norma che non è però applicabile nel caso di stranieri che soggiornano in Svizzera regolarmente e ininterrottamente da oltre 15 anni (art. 63 cpv. 2 LStr), il permesso di domicilio può essere revocato quando lo straniero ha fornito, durante la procedura d'autorizzazione, indicazioni false o taciuto fatti essenziali.
3.2 In base all'art. 62 lett. a LStr, sono considerati essenziali non solo gli aspetti riguardo ai quali l'interessato è espressamente interrogato, ma anche quelli di cui deve conoscere la rilevanza ai fini della decisione sulla concessione del permesso richiesto; per giurisprudenza costante, così è di regola sia per l'esistenza di figli che si trovano all'estero che per il fatto che la comunione tra i coniugi sulla quale si fonda il diritto di soggiorno non è (più) realmente vissuta (sentenze 2C_682/2012 del 7 febbraio 2013 consid. 4.1; 2C_375/2012 del 3 settembre 2012 consid. 3.1 e 2C_299/2012 del 6 agosto 2012 consid. 4.1). L'interessato non è inoltre liberato dall'obbligo di informare nemmeno quando, dando prova di diligenza, le autorità avrebbero potuto accertare esse stesse i fatti determinanti (sentenze 2C_682/2012 del 7 febbraio 2013 consid. 4.1; 2C_299/2012 del 6 agosto 2012 consid. 4.1; 2C_811/2010 del 23 febbraio 2011 consid. 4.1); in via di principio, queste ultime sono infatti tenute a svolgere ulteriori accertamenti in merito alle condizioni per il rilascio di un permesso solamente quando siano circostanze specifiche al caso concreto ad imporlo (sentenze 2C_211/2012 del 3 agosto 2012 consid. 3.1; 2C_595/2011 del 24 gennaio 2012 consid. 3.4 e 2C_403/2011 del 2 dicembre 2011 consid. 3.3.3).
3.3 Il silenzio in merito a un fatto o l'informazione errata devono essere infine finalizzati all'ottenimento dell'autorizzazione di soggiorno o di domicilio richiesta (sentenze 2C_15/2011 del 31 maggio 2011 consid. 4.2.1 e 2C_60/2008 del 9 giugno 2008 consid. 2.2.1). Per ammettere una simile intenzione non è in ogni caso necessario che lo straniero sia sicuro dell'importanza degli stessi; come già detto, è in effetti sufficiente che egli ne dovesse riconoscere la loro rilevanza (sentenze 2C_633/2009 del 22 marzo 2010 consid. 3.1 e 2C_651/2009 del 1° marzo 2010 consid. 4.1).
4. Applicando l'art. 63 cpv. 1 lett. a in relazione con l'art. 62 lett. a LStr, la Corte cantonale ha confermato la revoca del permesso di domicilio in discussione dopo aver tra l'altro constatato che, durante il matrimonio con B._, il ricorrente aveva stretto un rapporto affettivo duraturo anche con la sua attuale moglie, da cui aveva avuto due figli, mai segnalati alle autorità in nessuna delle diverse procedure riguardanti il suo permesso di dimora rispettivamente di domicilio.
4.1 Anche se non lo fa a chiare lettere, sottolineando più volte la durata della sua permanenza in Svizzera il ricorrente pare innanzitutto invocare l'applicazione dell'art. 63 cpv. 2 LStr, che non permette la revoca di un permesso di domicilio sulla base delle norme in concreto richiamate nel caso in cui lo straniero soggiorni in Svizzera in maniera regolare e ininterrotta da oltre 15 anni. A torto, tuttavia. Come manifestamente risulta dai fatti accertati dal Tribunale cantonale amministrativo (precedenti consid. A-C), egli non può in effetti far valere nessun soggiorno regolare ed ininterrotto in Svizzera di una durata di oltre 15 anni.
A tal riguardo va infatti rilevato che il suo soggiorno durante la procedura d'asilo, conclusasi negativamente, non può essere considerato (<ref-ruling> consid. 4.6 pag. 16 seg.); che, in base alla giurisprudenza, il primo regolare soggiorno successivo al matrimonio con B._ si è formalmente concluso con la revoca del permesso di dimora, il 28 novembre 1996 (<ref-ruling> consid. 4.2 segg. pag. 12 segg.); che anche la revoca del permesso di domicilio, che ha posto di nuovo una formale fine ad una permanenza regolare in Svizzera, è intervenuta il 5 marzo 2012, ovvero a 11 anni dal ritorno nel nostro Paese, il 9 luglio 2000 (<ref-ruling> consid. 4.2 segg. pag. 12 segg.).
4.2 Vano è nel contempo però anche il suo tentativo di sostenere di non avere in casu taciuto fatti essenziale giusta l'art. 62 lett. a LStr.
Secondo la chiara giurisprudenza indicata, che non fa per nulla dipendere l'applicazione di questa norma dal riconoscimento ufficiale dei figli, la nascita di D.A._ (1996) e E.A._ (1998), dei quali il ricorrente non ha per altro mai sostenuto di non essere padre, costituiva infatti un aspetto di cui egli non poteva non riconoscere la rilevanza e che sarebbe stato pertanto all'evidenza tenuto a segnalare alle autorità competenti:
sia nell'ambito delle diverse procedure riguardanti il rilascio e il rinnovo del permesso di dimora che lo hanno riguardato dal 1996 in avanti;
sia di quelle volte al riconoscimento di un permesso di domicilio, che gli è stato infine concesso il 19 settembre 2007, sempre e ancora in ragione del rapporto matrimoniale che lo legava a B._ (sentenze 2C_287/2012 del 2 novembre 2012 consid. 3.2; 2C_299/2012 del 6 agosto 2012 consid. 4.3; 2C_552/2011 del 15 marzo 2012 consid. 4.3; 2C_360/2011 del 18 novembre 2011 consid. 4.1).
4.3 Tenuto conto di quanto precede, il motivo di revoca di cui all'art. 63 cpv. 1 lett. a in relazione con l'art. 62 lett. a LStr è pertanto senza dubbio adempiuto.
Di conseguenza, non occorre nemmeno approfondire se il permesso di domicilio del ricorrente potesse essere revocato anche per gli ulteriori motivi addotti dai Giudici cantonali, ovvero: da un lato, per aver celato la relazione extraconiugale intrattenuta almeno dal 1995 con la madre dei suoi due figli (sentenza 2C_595/2011 del 24 gennaio 2012 consid. 3.5); dall'altro, a causa del sussistere delle condizioni per il riconoscimento di un matrimonio fittizio, questione sulla quale - pur non essendo a conoscenza né della relazione di cui sopra, né della nascita dei figli D.A._ e E.A._ - questa stessa Corte si era per altro espressa in modo affermativo nel giudizio 2A.19/1998 del 20 novembre 1998.
5. Condivisibile è infine la conclusione secondo cui il provvedimento preso dalla Sezione della popolazione non viola nemmeno il principio della proporzionalità, che pure occorre in questi casi rispettare (art. 96 LStr; <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 381).
5.1 Dopo avere fatto un breve rientro nel proprio Paese, a seguito della sentenza del Tribunale federale 2A.19/1998 del 20 novembre 1998, il ricorrente è giunto nuovamente in Svizzera nel luglio del 2000 e vi risiede pertanto stabilmente da oltre un decennio. Come correttamente rilevato dalla Corte cantonale, nonostante il suo soggiorno in Svizzera vada considerato di lunga durata, bisogna tuttavia rilevare che il medesimo - così come per altro quello precedente, negli anni '90 (sentenza 2A.19/1998 del 20 novembre 1998 consid. 4) - è stato favorito da un comportamento contrario alla legge (sentenze 2C_211/2012 del 3 agosto 2012 consid. 3.4; 2C_15/2011 del 31 maggio 2011 consid. 6.2 e 2C_478/2010 del 17 novembre 2010 consid. 5 non pubblicato in <ref-ruling>).
5.2 Sebbene abitasse in Svizzera, il ricorrente ha inoltre mantenuto legami stretti con il suo Paese d'origine. Nel Kosovo è infatti nato, è cresciuto e ha vissuto prima dell'arrivo in Svizzera, all'età di 26 anni; nel medesimo Paese risiedono poi l'attuale moglie, con la quale intrattiene un legame affettivo da molto tempo, e i figli avuti dalla stessa, che ha mantenuto finanziariamente e dai quali si è recato costantemente più volte all'anno, per le vacanze (sentenze 2C_552/2011 del 15 marzo 2012 consid. 4.3; 2C_595/2011 del 24 gennaio 2012 consid. 4 e 2C_205/2010 del 16 luglio 2010 consid. 3.4).
5.3 Sempre, come rilevato dal Tribunale amministrativo, nemmeno il ricorrente contesta infine che, nonostante le normali difficoltà di adattamento che egli dovrà affrontare una volta rientrato, l'esperienza lavorativa maturata in questi anni in Svizzera potrà comunque essergli d'aiuto anche dal punto di vista di un suo reinserimento professionale.
6. Per quanto precede, nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza (<ref-law>). Non si assegnano ripetibili ad autorità vincenti (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico del ricorrente.
3. Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché all'Ufficio federale della migrazione.