Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen das Urteil vom 6. Juli 2011 des Obergerichts des Kantons Zürich, das eine Beschwerde des (im kantonalen Verfahren anwaltlich vertretenen) Beschwerdeführers gegen die erstinstanzliche Erteilung der definitiven Rechtsöffnung an die Beschwerdegegnerin für Fr. 20'800.-- (nebst Zins und Kosten) ebenso abgewiesen hat wie das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege,
in die Gesuche des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren,
in die Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerdegegnerin, die sich (im Gegensatz zum Obergericht) der aufschiebenden Wirkung widersetzt und ihrerseits um unentgeltliche Rechtspflege (einschliesslich Rechtsverbeiständung) ersucht,

in Erwägung,
dass gegen das in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangene Urteil des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Urteil vom 6. Juli 2011 erwog, die Rechtsöffnungsforderung (Unterhaltsbeiträge für die gemeinsame Tochter der Parteien) beruhe auf einem rechtskräftigen Abänderungsurteil des Bezirksgerichts Hinwil vom 19. Oktober 2006 und daher auf einem definitiven Rechtsöffnungstitel im Sinne von <ref-law>, der Beschwerdeführer erhebe den Einwand einer zwischen den Parteien abgeschlossenen mündlichen Vereinbarung betreffend den Untergang der durch den Rechtsöffnungstitel ausgewiesenen Forderung, für eine solche Vereinbarung wäre indessen ein strikter Gegenbeweis durch völlig eindeutige Urkunden zu erbringen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3a S. 503),
dass das Obergericht weiter erwog, diesen Beweis erbringe der Beschwerdeführer nicht, die von ihm angerufenen Protokollstellen bestätigten ebenso wenig wie ein SMS eine Vereinbarung des Inhalts, wonach die Unterhaltsregelung gemäss Urteil vom 19. Oktober 2006 nach dem beidseitigen Parteiwillen aufgehoben werden solle, der definitive Rechtsöffnungstitel werde somit nicht durch völlig eindeutige Urkunden entkräftet, im Übrigen wäre die behauptete mündliche Vereinbarung der Parteien für die Tochter ohnehin nicht verbindlich, weshalb diese ohne Weiteres auf Erfüllung ihres Unterhaltsanspruchs aus dem Abänderungsurteil vom 19. Oktober 2006 klagen könnte, schliesslich könne dem Beschwerdeführer in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Beschwerde die unentgeltliche Rechtspflege nicht gewährt werden,
dass zwar der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege als Verletzung der Grundsätze der Gleichbehandlung und der Waffengleichheit rügt und die angenommene Aussichtslosigkeit bestreitet,
dass er jedoch mit diesen Vorbringen nicht nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert anhand der obergerichtlichen Erwägungen aufzeigt, inwiefern das Urteil des Obergerichts vom 6. Juli 2011 verfassungswidrig sein soll,
dass sodann der Beschwerdeführer mit seinen übrigen Vorbringen Verfassungsverletzungen nicht einmal geltend macht und erst recht nicht nach den erwähnten Anforderungen dartut, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen verletzt sind,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass mit dem Beschwerdeentscheid das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos wird,
dass dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht gewährt werden kann (<ref-law>),
dass jedoch der Beschwerdegegnerin, deren Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (nicht aussichtslose Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung) zu gewähren und ihr Rechtsanwältin Dr. Tamara Nüssle beizuordnen ist (<ref-law>),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>) und die Beschwerdegegnerin für die Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu entschädigen hat (<ref-law>),
dass der Vertreterin der Beschwerdegegnerin im Falle der Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung ein Honorar aus der Bundesgerichtskasse auszurichten ist (<ref-law>),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und ihr Rechtsanwältin Dr. Tamara Nüssle als Rechtsbeiständin für das bundesgerichtliche Verfahren beigegeben.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen. Im Falle der Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung wird Rechtsanwältin Dr. Tamara Nüssle aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 500.-- ausgerichtet.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. August 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Füllemann