Sachverhalt:
A. X._ und Y._ heirateten 1996. Aus dieser Ehe ging im Jahre 1998 die Tochter Z._ hervor. Im Jahr 2006 reichte Y._ beim Bezirksgericht Winterthur ein gemeinsames Scheidungsbegehren ein. Die Ehe wurde schliesslich mit Urteil vom 28. Februar 2011 der Einzelrichterin im ordentlichen Verfahren des Bezirkes Winterthur geschieden. Im Rahmen der Regelung der Nebenfolgen stellte die Einzelrichterin die gemeinsame Tochter der Parteien unter die elterliche Sorge von Y._ (Ziff. 2), entzog ihm aber die Obhut über die Tochter (Ziff. 3); ferner ordnete sie an, der mit Verfügung des Bezirksgerichts Winterthur vom 10. April 2007 im Sinne einer vorsorglichen Massnahme gegenüber X._ angeordnete Entzug der Obhut bleibe aufrechterhalten (Ziff. 4). Sodann bestellte sie dem Kind Z._ einen Beistand im Sinn von <ref-law> (Ziff. 5a) und ordnete an, die mit Beschluss der Vormundschaftsbehörde vom 23. August 2005 errichtete Besuchsrechtsbeistandschaft bleibe bestehen, und übertrug dem Beistand bestimmte Aufgaben (Ziff. 5b und c). Im Weiteren regelte sie das Besuchsrecht der Eltern gegenüber ihrer Tochter (Ziff. 6).
B. Mit Urteil vom 11. Mai 2011 wies das Obergericht des Kantons Zürich die von X._ gegen die Ziffern 2, 4, 5 und 6 des erstinstanzlichen Entscheides erhobene Berufung ab.
C. X._ (Beschwerdeführerin) hat gegen das ihr am 13. Mai 2011 zugestellte Urteil am 14. Juni 2011 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und die Sache zur Neuregelung der Kinderbelange an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher (<ref-law>) kantonaler Endentscheid (<ref-law>) betreffend nicht vermögensrechtliche Nebenfolgen der Ehescheidung und damit eine Zivilsache im Sinn von <ref-law>. Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit gegeben. Auf die im Übrigen fristgerecht eingereichte Beschwerde (<ref-law>) ist grundsätzlich einzutreten.
1.2 Die Beschwerdeführerin verlangt einzig, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie beruft sich in ihrer Eingabe an das Bundesgericht namentlich auch auf eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Anspruch auf Beweisführung), weil eine Befragung der minderjährigen Tochter durch das Gericht unterblieben ist. Wird die Beschwerde in diesem Punkt gutgeheissen, ist das Bundesgericht nicht in der Lage, den Rechtsstreit durch ein Urteil in der Sache zu erledigen. Ein blosser Rückweisungsantrag ist damit zulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 135 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383).
1.3 In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides darzulegen, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) zustande gekommen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein.
2. Das Obergericht hat im Zusammenhang mit der elterlichen Sorge und der Obhut über die gemeinsame Tochter der Parteien geprüft, ob sich ihre Befragung durch das Gericht im Lichte von <ref-law> aufdrängt. Es hat schliesslich auf das Gutachten von Dr. A._ aus dem Jahr 2010 abgestellt und von einer persönlichen Befragung der Tochter durch das Gericht abgesehen.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Obergericht habe den erforderlichen Sachverhalt nicht korrekt festgestellt, weil es angesichts des ihr gegenüber geäusserten Wunsches der nunmehr 13-jährigen Tochter, zu ihr ins Wallis zu ziehen, die Tochter nicht erneut selbst befragt, sondern einfach auf das Gutachten abgestellt habe. Mit der Weigerung, die Tochter durch das Gericht anzuhören, habe das Obergericht überdies das rechtliche Gehör verletzt.
2.1 Der erstinstanzliche Entscheid datiert vom 28. Februar 2011. Im kantonalen Berufungsverfahren richtete sich die Anhörung der Tochter somit nicht mehr nach <ref-law>, sondern nach <ref-law> (<ref-law>). Danach ist das Kind durch das Gericht oder durch eine beauftragte Drittperson in geeigneter Weise persönlich anzuhören, sofern sein Alter oder andere wichtige Gründe nicht dagegen sprechen. Mit dieser Regelung ist die Anhörungspflicht gemäss <ref-law> praktisch unverändert in die neue Zivilprozessordnung überführt worden, sodass ohne Weiteres auf die zu <ref-law> entwickelte Rechtsprechung abgestellt werden kann.
2.2 Die Anhörung ist Ausfluss der Persönlichkeit des Kindes und somit ein höchstpersönliches Recht. Sobald das Kind urteilsfähig ist, nimmt es seinen Anspruch selbst wahr; ab diesem Stadium erhält der Gehörsanspruch die Komponente eines persönlichen Mitwirkungsrechts, welches das Kind insbesondere berechtigt, die Anhörung auch im Verfahren seiner Eltern zu verlangen, soweit es davon betroffen ist. Daneben dient die Anhörung unabhängig vom Alter des Kindes der Ermittlung des Sachverhalts, weshalb die Eltern die Anhörung des Kindes aufgrund ihrer Parteistellung als Beweismittel anrufen können (<ref-ruling> E. 1.1 S. 554 f).
2.3 Hinsichtlich des Ausschlussgrundes des Alters hat das Bundesgericht mit Bezug auf die Kinderzuteilung festgehalten, dass die Anhörung im Sinn einer Richtlinie ab dem vollendeten sechsten Altersjahr infrage kommt, soweit diese als Beweismittel beantragt ist (<ref-ruling> E. 1.2.3 f. S. 557). Im erwähnten Entscheid hat das Bundesgericht auch auf die kinderpsychologische Literatur verwiesen, wonach formallogische Denkoperationen erst ab ungefähr elf bis dreizehn Jahren möglich sind und auch die sprachliche Differenzierungs- und Abstraktionsfähigkeit erst ab ungefähr diesem Alter entwickelt ist (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 556 f.). Indes kann, so das Bundesgericht weiter, einerseits die Kindesanhörung auch zwischen sechs und elf bis dreizehn Jahren ein wertvolles Element bei der Feststellung des in Kinderbelangen von Amtes wegen zu ermittelnden Sachverhaltes bilden und sind andererseits die genannten Alterslimiten nicht schematisch anzuwenden, sondern ist auf den jeweiligen Entwicklungsstand des Kindes abzustellen (Urteil 5C.149/2006 vom 10. Juli 2006 E. 1.2, in: FamPra.ch 2006 S. 978).
2.4 Auch nach dem Wortlaut von <ref-law> stehen die Anhörung des Kindes durch den Richter selbst und jene durch eine beauftragte Drittperson auf gleicher Stufe. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung soll zwar der Richter die Anhörung in der Regel selbst vornehmen und sie jedenfalls nicht systematisch an Dritte delegieren; ebenso wenig sollen aber die vom Gesetz gewährten Spielräume unnötig beschränkt werden: Während der Anhörung durch den urteilenden Richter der Vorzug der Unmittelbarkeit innewohnt, wird dieser oft über weniger spezifische Ausbildung und Erfahrung verfügen als eine Fachperson (<ref-ruling> E. 2a und 2b). So oder anders ist eine Anhörung um der Anhörung willen zu vermeiden. Insbesondere ist von wiederholten Anhörungen abzusehen, wo dies für das Kind eine unzumutbare Belastung bedeuten würde, was namentlich bei akuten Loyalitätskonflikten der Fall sein kann, und überdies keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären oder der erhoffte Nutzen in keinem vernünftigen Verhältnis zu der durch die erneute Befragung verursachten Belastung stünde (Entscheide 5P.322/2003 vom 18. Dezember 2003 E. 3.2, in: FamPra.ch 2004, S. 711; 5C.247/2004 vom 10. Februar 2005 E. 6.3.2). Diesfalls hat der Richter bei seinem Entscheid auf die Ergebnisse der Anhörung durch die Drittperson abzustellen. Dabei kann es sich auch um ein Gutachten handeln, das in einem anderen Verfahren in Auftrag gegeben worden ist. Ausschlaggebend muss sein, dass es sich beim Dritten um eine unabhängige und qualifizierte Fachperson handelt, dass das Kind zu den entscheidrelevanten Punkten befragt worden ist und dass die Anhörung bzw. deren Ergebnis aktuell ist (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3-5)
2.5 Im vorliegenden Fall ist unbestritten, dass die Tochter der Parteien aufgrund ihres Alters grundsätzlich durch das Gericht anzuhören gewesen wäre. Dem angefochtenen Urteil zufolge stützte sich bereits die erstinstanzliche Richterin auf das Gutachten von Dr. A._ vom 14. Juli 2010, welcher die Tochter der Parteien mehrmals persönlich, teils in Gegenwart eines Elternteils, mehrmals aber auch ohne Beisein der Eltern, angehört hat. Im Weiteren ist dem angefochtenen Urteil zu entnehmen, dass Z._ sehr empfindlich auf Veränderungen in ihrem Umfeld und auf Konflikte ihrer Eltern reagiert und unter dem Zerwürfnis ihrer Eltern sehr leidet. Auffällig ist, so der Gutachter, die gleichsam mathematische Sorgfalt, mit welcher Z._ sich zur Aufteilung der Obhut unter ihren Eltern ausspricht; sie möchte ein "doppeltes Lottchen" für beide Eltern sein und "Ruhe haben". Nach den Beobachtungen des Wohngruppenleiters ist es für Z._ ein Problem, wenn beide Eltern an einem Eltern-Anlass teilnehmen. Sie spüre den Konflikt und reagiere mit Unruhe und Unsicherheit. Nach Ansicht des Gutachters kann dem Kind mit einem raschen Ende des Prozesses gedient werden.
Aufgrund der beschriebenen Ergebnisse des Gutachtens, insbesondere der Bemerkung, wonach die Tochter nunmehr ihre Ruhe haben will und sehr unter dem Loyalitätskonflikt leidet, hat das Obergericht ohne Verletzung von Bundesrecht unter dem Aspekt des Kindeswohls davon absehen dürfen, Z._ ein weiteres Mal persönlich anzuhören; dieser Entscheid war umso mehr gerechtfertigt, als zwischen dem Gutachten (14. Juli 2010) und dem Urteil des Obergerichts (11. Mai 2011) nicht einmal ein Jahr verstrichen war. Soweit die Anhörung der Tochter von der Beschwerdeführerin zur Ermittlung des Sachverhalts beantragt worden ist, gilt es zu berücksichtigen, dass sich der Gutachter gegen eine Zuteilung der elterlichen Sorge an die Mutter ausgesprochen und auch eine Übertragung der elterlichen Obhut an die Beschwerdeführerin als nicht dem Kindeswohl entsprechend angesehen hat. Damit kann es nicht allein darauf ankommen, dass die Tochter offenbar nunmehr zu ihrer Mutter ins Wallis ziehen möchte. Das Obergericht hat aufgrund konkreter, durch ein Fachgutachten ermittelter tatsächlicher Umstände angenommen, die Übertragung der elterliche Sorge bzw. der Obhut allein an die Beschwerdeführerin sei mit dem Kindeswohl nicht zu vereinbaren. Inwiefern diese Schlussfolgerung gegen Bundesrecht verstossen soll, wird nicht einmal ansatzweise erörtert. Ist das Obergericht aber rechtskonform zu seinem Schluss gelangt, erweist es sich auch nicht als bundesrechtswidrig, wenn dem angeblich geäusserten Wunsch der Tochter nicht Rechnung getragen wird, zumal die Willensäusserung, sollte sie denn tatsächlich so erfolgt sein, dem Kindeswohl der Tochter widerspricht (vgl. dazu: LINUS CANTIENI, Gemeinsame elterliche Sorge nach Scheidung, 2007, S. 23). Abgesehen davon hat sich die Tochter kaum ein Jahr zuvor für eine mathematische Aufteilung der Obhut ausgesprochen. Im Gesamtzusammenhang betrachtet ist somit unwahrscheinlich, dass es sich bei der kaum ein Jahr später erfolgten gegenteiligen Willensäusserung um einen dem Alter der Tochter entsprechenden festen Willensentschluss handelt, der überdies von einer stärkeren emotionalen Bindung zur Mutter getragen ist (<ref-ruling> E. 3). Auch im Lichte dieser Überlegungen war das Obergericht unter dem Aspekt des von Amtes wegen festzustellenden Sachverhalts bzw. des Beweisführungsanspruchs der Beschwerdeführerin (<ref-law>) nicht gehalten, die Tochter erneut anzuhören. Es hat vielmehr aufgrund der geschilderten Umstände ohne Willkür annehmen dürfen, sein Entscheid werde durch eine weitere Befragung nicht geändert. Eine Bundesrechtsverletzung liegt somit nicht vor.
3. Soweit die Beschwerdeführerin die fehlende Ernennung eines Beistandes für ihre Tochter gestützt auf <ref-law> beanstandet, übersieht sie einerseits, dass diese Bestimmung mit dem Inkrafttreten der ZPO am 1. Januar 2011 ausser Kraft gesetzt worden ist (Anhang 1 Ziff. II 3 der Zivilprozessordnung vom 19. Dezember 2008, mit Wirkung seit 1. Januar 2011; AS 2010 S. 1739; BBl 2006 S. 7221) und somit vom Obergericht nicht mehr anzuwenden war (<ref-law>). Anderseits wird nicht dargelegt, inwiefern einschlägige Bestimmungen der ZPO (Art. 299 und Art. 300 ZPO) im vorliegenden Fall die Ernennung eines Beistandes zwingend erheischt hätten. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (E. 1.3).
4. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist jedoch für das bundesgerichtliche Verfahren keine Entschädigung zuzusprechen, da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.
5. Angesichts der offensichtlichen Aussichtslosigkeit des Beschwerdeverfahrens kann dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nicht entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden