Erwägungen:
1.
A._ erhob am 19. November 2014 Strafanzeige gegen B._, Mitarbeiter des Sozialamtes der Stadt Zürich, sowie gegen "Allfällig Dritte involvierte" wegen "Amtsmissbrauch (<ref-law>), Unterlassung (<ref-law>), Nötigung (<ref-law>), Urkundendelikte (<ref-law>), Betrug (<ref-law>), Vermögensschädigung (<ref-law>), Verstoss gegen Sozialhilfegesetzgebung, Veruntreuung". Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich überwies mit Verfügung vom 9. Januar 2015 ein Gesuch der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl betreffend Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung an das Obergericht des Kantons Zürich. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte mit Beschluss vom 7. April 2015 der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung nicht. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, der Strafanzeige lasse sich nur entnehmen, dass der Gesuchsteller mit den Entscheiden der Sozialhilfebehörde nicht einverstanden sei. Objektive Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten seien keine ersichtlich.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 13. Mai 2015 (Postaufgabe 15. Mai 2015) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 7. April 2015. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Eine Beschwerde gegen einen Entscheid ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung beim Bundesgericht einzureichen (<ref-law>). Als gesetzliche Frist ist die Beschwerdefrist nicht erstreckbar (<ref-law>). Dem Gesuch um Gewährung einer Nachfrist zur Einreichung einer verbesserten Beschwerdeschrift kann demnach nicht entsprochen werden.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen weitschweifigen Ausführungen nicht aufzuzeigen, inwiefern die III. Strafkammer seine Strafanzeige in rechts- oder verfassungswidriger Weise gewürdigt haben sollte, als sie zum Schluss kam, dass sich aus der Eingabe kein Anfangsverdacht ergebe. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- oder verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Die vorliegende Eingabe erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bzw. amtliche Verbeiständung abzuweisen ist (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage ist indessen zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Mai 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli