Sachverhalt:
A.
Der am 1. April 1947 geborene K._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und wohnt in Kosovo. Mit Antrag vom 19. März 2012 (eingegangen am 30. April 2012) meldete er sich bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) zum Bezug einer "Altersrente für Personen mit Wohnsitz ausserhalb der Schweiz" an. Mit Verfügung vom 14. August 2012 teilte ihm die SAK mit, er hätte grundsätzlich einen Anspruch auf eine ordentliche Altersrente als einmalige Abfindung in der Höhe von Fr. 31'207.-, da aber das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde, müsse sein Antrag dennoch abgewiesen werden. Auf Einsprache hin hielt die SAK mit Einspracheentscheid vom 18. Oktober 2012 an der Abweisung des Anspruches fest.
B.
Mit Schreiben vom 31. Oktober 2012 teilte K._ der SAK mit, er erhebe "keine Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht in St. Gallen", ziehe seine Einsprache gegen die Verfügung vom 14. August 2012 zurück und beantrage, dass seine Altersrente in Form einer einmaligen Abfindung überwiesen werde. Diese Eingabe leitete die SAK ans Bundesverwaltungsgericht weiter, welches die Eingabe als Beschwerde entgegennahm. Mit Entscheid vom 13. Juni 2013 hiess das Bundesverwaltungsgericht diese gut, hob den Einspracheentscheid vom 18. Oktober 2012 auf und sprach K._ eine einmalige Abfindung in der Höhe von Fr. 31'207.- zu. In der Begründung führte es aus, dass das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen auf kosovarische Staatsangehörige weiter anwendbar sei.
C.
Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 13. Juni 2013 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 18. Oktober 2012 zu bestätigen.
K._ reichte der SAK ein Banküberweisungsformular und weitere Dokumente ein (welche die SAK ans Bundesgericht weiterleitete), lässt sich weiter aber nicht vernehmen. Auch das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist - wozu auch Unvollständigkeit gehört (Urteil 9C_395/2009 vom 16. März 2010 E. 2.4) - oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Gemäss <ref-law> in der bis Ende 2011 gültigen Fassung haben Schweizer Bürger, Ausländer und Staatenlose Anspruch auf Alters- und Hinterlassenenrenten (Abs. 1). Ausländer sowie ihre Hinterlassenen ohne Schweizer Bürgerrecht sind nur rentenberechtigt, solange sie ihren Wohnsitz und gewöhnlichen Aufenthalt (<ref-law>) in der Schweiz haben. Dieses Erfordernis ist von jeder Person, für die eine Rente ausgerichtet wird, einzeln zu erfüllen. Vorbehalten bleiben die besonderen bundesrechtlichen Vorschriften über die Rechtsstellung der Flüchtlinge und der Staatenlosen sowie abweichende zwischenstaatliche Vereinbarungen, insbesondere mit Staaten, deren Gesetzgebung den Schweizer Bürgern und ihren Hinterlassenen Vorteile bietet, die denjenigen dieses Gesetzes ungefähr gleichwertig sind (Abs. 2). Den Ausländern, die ihren Wohnsitz im Ausland haben und mit deren Heimatstaat keine zwischenstaatliche Vereinbarung besteht, sowie ihren Hinterlassenen können die gemäss den Artikeln 5, 6, 8, 10 oder 13 bezahlten Beiträge rückvergütet werden. Der Bundesrat regelt die Einzelheiten, insbesondere das Ausmass der Rückvergütung (Abs. 3).
Bei Personen, die mehrere sich ablösende Staatsangehörigkeiten besessen haben, ist für die Rentenberechtigung die Staatsangehörigkeit während des Rentenbezugs massgebend. Diese Regelung ist in Art. 18 Abs. 2 bis AHVG eingefügt worden, der am 1. Januar 2012 in Kraft getreten ist (AS 2011 4745).
3.
Wie das Bundesgericht in <ref-ruling> entschieden hat, ist das Abkommen vom 8. Juni 1962 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der ehemaligen (Sozialistischen) Föderativen Volksrepublik Jugoslawien über Sozialversicherung (kurz: Sozialversicherungsabkommen; SR 0.831.109.818.1) ab 1. April 2010 nicht weiter auf kosovarische Staatsangehörige anzuwenden. Dem Urteil lag der Fall eines 1977 geborenen kosovarischen Staatsangehörigen mit Wohnsitz in Kosovo zu Grunde, dessen Gesuch auf Rückvergütung der AHV-Beiträge das Bundesverwaltungsgericht unter Hinweis auf die Weiteranwendung des Sozialversicherungsabkommens abgewiesen hatte.
Die bundesgerichtliche Rechtsprechung lässt sich ohne weiteres auf den hier zu beurteilenden Fall übertragen:
3.1. Der Beschwerdegegner hat in seiner Anmeldung für eine Altersrente auf die Frage nach den "Staatsangehörigkeit (en) " ausschliesslich "Kosovar" angegeben. Seine kosovarische Staatsangehörigkeit geht zudem aus der der Anmeldung zur Altersrente beigelegten Heiratsurkunde vom 16. März 2012 sowie der gleichentags ausgestellten Geburtsurkunde hervor. Eine Doppelbürgerschaft liess der Beschwerdegegner ein einziges Mal in einem Schreiben eines früheren Vertreters unter Hinweis auf den Entscheid C-4828/2010 des Bundesverwaltungsgerichts vom 7. März 2011 geltend machen. Diese Behauptung hat er indes nie wiederholt, auch nicht im vorliegenden Verfahren, und zudem nie belegt. Ohnehin ist der Verweis auf eine unbelegte Doppelbürgerschaft im Zusammenhang mit dem erwähnten Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts unerheblich, weil das Bundesgericht den dort vertretenen Automatismus oder den Grundsatz, dass Personen aus dem Kosovo neben der Staatsangehörigkeit des Kosovos auch die serbische Staatsangehörigkeit besitzen, verworfen hat (<ref-ruling> E. 12.2 S. 285).
3.2. Was die zeitliche Geltung des Sozialversicherungsabkommens im Verhältnis zu Kosovo bis zum 31. März 2010 betrifft, ist für die Zusprache einer Altersrente der Eintritt des Versicherungsfalles, also das Erreichen des Rentenalters (Geburtstag) massgebend. Das Bundesgericht hat diese Handhabung, die mit dem auf den 1. Januar 2012 eingeführten Art. 18 Abs. 2 bis AHVG (vgl. E. 2) eine definitive Klärung erfahren hat, mit Urteil 9C_53/2013 vom 6. August 2013 E. 3.3 bestätigt (vgl. auch Urteil 9C_278/2013 vom 3. September 2013 E. 5.2).

3.3. Der Beschwerdegegner erreichte am 1. April 2012 das ordentliche Rentenalter von 65 Jahren (<ref-law>), mithin in einem Zeitpunkt, in welchem das fragliche Sozialversicherungsabkommen im Verhältnis zu Kosovo nicht mehr anwendbar war. Demnach verfügt er über keinen Anspruch auf eine Altersrente und auch nicht auf eine - ehemals mögliche - Abfindung (vgl. Art. 7 lit. a des Sozialversicherungsabkommens). Die Rückvergütung der Beiträge ist vorbehalten. Der Anspruch verjährt mit dem Ablauf von fünf Jahren seit dem Versicherungsfall (Art. 7 der Verordnung über die Rückvergütung der von Ausländern an die Alters- und Hinterlassenenversicherung bezahlten Beiträge; RV-AHV; SR 831.131.12), wobei es sich entgegen dem Wortlaut um eine Verwirkungsfrist handelt (Urteil 9C_847/2008 vom 21. August 2009 E. 1 mit weiteren Hinweisen).
4.
Bei dieser Sach- und Rechtslage ist die Beschwerde der SAK begründet. Entsprechend gehen die Gerichtskosten zu Lasten des Beschwerdegegners (<ref-law>).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 13. Juni 2013 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Ausgleichskasse SAK vom 18. Oktober 2012 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Januar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Helfenstein