Faits:
A.
C._ percevait une rente de l'assurance-invalidité. Elle a requis une allocation pour impotent en octobre 2004; elle arguait avoir besoin d'aide pour accomplir divers actes ordinaires ainsi que d'accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie (questionnaire du 4 octobre 2004). L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a reconnu le droit de l'assurée à une allocation pour impotence moyenne depuis le mois de janvier 2003 au moins (attestation et décision des 3 mars et 23 novembre 2004). L'intéressée a encore sollicité différents moyens auxiliaires (demandes des 28 juin 2007 ainsi que 30 mars et 7 juillet 2011) et a obtenu la transformation de son véhicule (pédalier; pommeau de direction), une barre d'appui et une planche pour salle de bain, un scooter électrique, une barre latérale de redressement ainsi qu'une orthèse (communications des 2 octobre 2007, 8 août 2011 et 17 janvier 2012) dès lors que son état de santé (hémiparésie droite séquellaire à une encéphalite survenue en 1950; troubles arthrosiques dégénératifs et de surcharge) se détériorait (rapport du docteur L._, médecin traitant spécialiste FMH en médecine interne générale, du 20 juillet 2011). La Caisse interprofessionnelle AVS de la Fédération des Entreprises Romandes (ci-après: la caisse) a reconnu le droit de C._ à une allocation de l'AVS pour impotence moyenne à partir du mois de février 2012 (décision du 24 janvier 2012) dans la mesure où elle avait accédé à l'âge de la retraite.
La caisse a par l'intermédiaire de l'office AI entrepris une procédure de révision du droit à l'allocation pour impotent. L'assurée a fait état d'une péjoration de la situation (questionnaire du 16 février 2012). L'administration a conduit une enquête à domicile, dont il ressort que l'allocation pour impotence ne se justifiait plus (rapport du 22 mars 2012). La caisse a considéré que l'impotence avait été atténuée par la mise en place de divers moyens auxiliaires mais que demeurait le besoin d'aide pour accomplir deux actes ordinaires (manger; se déplacer et entretenir des contacts) de sorte que seul subsistait le droit à une allocation pour impotence faible (décision du 8 juillet 2012, confirmée sur opposition le 3 septembre suivant).
B.
C._ a saisi la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, d'un recours visant à l'annulation de la décision et au maintien de l'allocation pour impotence moyenne; elle soutenait que ni les conditions d'une révision ni celles d'une reconsidération n'étaient remplies et que la valeur probante du rapport d'enquête à domicile était nulle; elle se référait à l'avis de son médecin traitant qui, en sus des séquelles de l'hémiparésie droite, mentionnait l'évolution négative d'une lombarthrose avec syndrome radiculaire L5/6, de lombo-sciatalgies L5 et d'une cardiopathie valvulaire nécessitant une aide permanente à domicile (rapport des 11 et 20 septembre 2012). L'administration a conclu au rejet du recours.
Les parties de même que l'infirmière ayant réalisé l'enquête à domicile ont été auditionnées pendant la procédure (procès-verbaux du 29 avril 2013).
Le tribunal cantonal a admis le recours (jugement du 10 juin 2013). Il a annulé la décision et maintenu le droit à une allocation pour impotence moyenne; il estimait que le rapport d'enquête contenait une erreur manifeste concernant le besoin d'aide pour l'acte de manger de sorte qu'il pouvait s'en écarter. Il a aussi constaté que l'assurée avait besoin d'aide pour accomplir trois autres actes ordinaires.
C.
La caisse recourt contre ce jugement. Elle en requiert l'annulation. Elle sollicite en outre l'octroi de l'effet suspensif au recours.
L'assurée conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens, et demande à être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (<ref-law>), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (<ref-law>) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (<ref-law>). Il examine en principe seulement les griefs motivés (<ref-law>) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
Est en l'occurrence litigieux le maintien du droit de l'intimée à une allocation pour impotence moyenne dans le cadre de la procédure de révision, au sens de l'<ref-law>, entreprise par la caisse recourante au début de l'année 2012. Étant donné les considérants et le dispositif de l'acte attaqué, les griefs et les conclusions de l'administration ainsi que les exigences de motivation et d'allégation prévues à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 550; Florence Aubry Girardin, Commentaire de la LTF, n° 25 ad <ref-law>), il s'agit en particulier de déterminer si le tribunal cantonal a arbitrairement apprécié le rapport d'enquête à domicile dont il nie la valeur probante et l'aide dont l'assurée a besoin pour accomplir divers actes ordinaires. Le jugement entrepris cite correctement les dispositions légales et la jurisprudence nécessaires à la résolution du litige. Il suffit donc d'y renvoyer.
3.
La caisse recourante reproche d'abord à la juridiction cantonale d'avoir arbitrairement dénié toute valeur au rapport d'enquête à domicile et de l'avoir par conséquent entièrement exclu de l'appréciation des preuves au seul motif qu'elle-même s'en était écarté sur la question particulière du besoin d'aide pour accomplir l'acte ordinaire de manger; elle estime que son analyse différente et favorable à l'assurée de l'acte mentionné ne permet pas de conclure à l'existence d'une erreur manifeste et partant à l'éviction dudit rapport dans sa globalité.
Ce raisonnement est fondé. Les premiers juges ont admis que les conclusions de l'enquête à domicile reposaient sur les indications fournies par l'intimée. S'agissant de l'acte ordinaire de manger, ils ont constaté que celle-ci avait reconnu pouvoir faire ses courses, cuisiner ce qu'elle souhaitait (excepté la viande, qu'elle n'appréciait de toute manière pas et ne se préparait par conséquent jamais) grâce à des outils adaptés à son handicap, préparer son assiette et manger sans aide. Ils ont encore relevé que l'assurée avait déclaré par la suite se sentir plus affectée dans son quotidien depuis qu'elle vivait seule en particulier pour peler, couper, nettoyer et cuire les aliments. Ces dernières indications (sur la portée des premières déclarations ou des déclarations de la première heure et des déclarations subséquentes, cf. notamment <ref-ruling> consid. 2a p. 47 et les références) ne remettent pas en cause les conclusions du rapport d'enquête qui, s'il ne décrit peut-être pas explicitement l'importance des difficultés rencontrées par l'intimée dans la réalisation de l'acte ordinaire de manger, en suggère fortement l'existence et l'ampleur par son allusion au handicap (elle pouvait utiliser partiellement sa petite main du côté droit) ou à la nécessité d'utiliser des outils adaptés et établit à satisfaction la capacité de l'assurée à s'en accommoder. Il ne ressort effectivement ni des informations récoltées auprès de l'intimée ni d'aucun document figurant au dossier que celle-ci doive se priver de certains aliments en raison de difficultés ou de l'impossibilité qu'elle aurait à les apprêter et nécessiterait par conséquent une aide régulière et importante. Le fait que l'administration ait retenu un besoin d'aide pour accomplir l'acte ordinaire de manger ne change absolument rien à ce qui précède. En effet, sa décision ne contient aucune motivation sur ce point. Cette constellation de faits étonnante aurait au contraire plutôt dû conduire le tribunal cantonal à se questionner sur la validité de la décision litigieuse par rapport à la pertinence des conclusions de l'enquête. Celui-ci ne pouvait donc - sous peine d'arbitraire - écarter les conclusions relatives à l'acte ordinaire de manger et encore moins en tirer argument pour exclure le rapport dans sa globalité.
4.
La caisse recourante fait fondamentalement grief à la juridiction cantonale d'avoir considéré que l'assurée avait besoin d'aide pour accomplir quatre actes ordinaires (manger; se déplacer; se laver; aller aux toilettes) au lieu des deux qu'elle-même avait retenus (manger; se déplacer et entretenir des contacts) et d'en avoir déduit un droit à une allocation pour impotence moyenne plutôt que faible; elle estime que, pour aboutir à ce résultat, les premiers juges se sont illégalement fondés sur des faits soi-disant notoires, se sont livrés à des conjectures relevant de la science médicale ou ont substitué leur propre avis à celui de spécialistes. Elle conteste en particulier l'appréciation des actes ordinaires d'aller aux toilettes et de se laver.
Ces griefs sont fondés. Il ressort effectivement de l'acte attaqué que le tribunal cantonal s'est essentiellement basé sur les secondes déclarations faites par l'intimée postérieurement à la réalisation de l'enquête à domicile (se laver lui prend beaucoup de temps; elle peut encore prendre sa douche, quoi que de manière bâclée; elle ressent des douleurs lorsqu'elle s'essuie après être allée aux toilettes) pour décider que celle-ci n'était plus en mesure d'accomplir, seule, les actes ordinaires de se laver et d'aller aux toilettes. L'autorité judiciaire mentionnée a aussi étayé son raisonnement avec les diagnostics évoqués durant la procédure par les médecins ou l'assurée elle-même (arthrose; tendinopathie de l'épaule gauche avec rupture partielle du sus-épineux; incontinence urinaire) et les répercussions de certains de ces diagnostics (douleurs) ainsi qu'avec les effets que ceux-ci sont censés engendrés sur la réalisation des actes ordinaires cités (l'aggravation des douleurs rend vraisemblable le fait qu'elle ne parvienne pas à se laver correctement ou à se nettoyer correctement après être allée aux toilettes; les actes d'hygiène corporelle à effectuer après être allée aux toilettes impliquent de manière notoire une sollicitation importante de l'épaule). L'argumentation de la juridiction cantonale n'est cependant pas soutenable conformément à ce qu'allègue l'administration. En effet, les premières déclarations de l'intimée à l'enquêtrice ne sauraient être mises en doute par les seules précisions apportées postérieurement (cf. <ref-ruling> cité), ni par les quelques remarques additionnelles des premiers juges dès lors que l'assurée ne nie pas l'exactitude de ses premières déclarations comme l'a du reste relevé le tribunal cantonal, que l'accomplissement plus difficile ou ralenti d'un acte ordinaire n'implique pas forcément une impotence (cf. arrêt I 25/85 du 11 juin 1985 in RCC 1986 p. 509 consid. 2b) comme l'a justement mentionné la caisse recourante, que les affections évoquées ainsi que leurs éventuelles répercussions étaient foncièrement connues de l'enquêtrice, que le degré de sévérité des troubles liés à l'arthrose tel que rapporté par la juridiction cantonale ne ressort pas des documents médicaux figurant au dossier, que le médecin traitant semble essentiellement associer l'incidence des diagnostics à l'acte ordinaire de se déplacer pour lequel le besoin d'aide a été admis, que l'incontinence urinaire et ses conséquences sont liées à l'acte de se déplacer et non à celui d'aller aux toilettes et que le type d'empêchement suscité par les douleurs en relation avec la tendinopathie de l'épaule n'a rien de notoire dans la mesure où on ignore tout de leur évolution ou de leur intensité qui n'ont pas été constatées médicalement. Au contraire, une prise en charge thérapeutique adéquate depuis l'époque de leur découverte laisse plutôt supposer un impact réduit. Dans ces circonstances, les premiers juges ne pouvaient - sous peine d'arbitraire - admettre le besoin d'aide pour accomplir les actes ordinaires de se laver et d'aller aux toilettes sur la base des motifs invoqués. Leur jugement doit par conséquent être annulé.
5.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être supportés par l'intimée (<ref-law>) qui ne saurait prétendre des dépens (<ref-law>). La caisse recourante n'y a pas droit même si elle obtient gain de cause (<ref-law>). L'assurée, qui a formé une demande d'assistance judiciaire, en remplit les conditions d'octroi (<ref-law>). Elle est cependant rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du tribunal si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (<ref-law>).
Le présent arrêt rend en outre sans objet la requête d'effet suspensif.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et le jugement rendu le 10 juin 2013 par la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, est annulé.
2.
L'assistance judiciaire est accordée à l'intimée. M e David Metzger est désigné comme avocat d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée. Ils sont provisoirement supportés par la caisse du Tribunal.
4.
Une indemnité de 1'500 fr., supportée provisoirement par la caisse du Tribunal, est allouée à M e David Metzger à titre d'honoraires.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 décembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Cretton