Sachverhalt:
A. A.a Die 1956 geborene D._ war bei der Hotela bis 31. Dezember 2007 in der Krankentaggeldversicherung nach KVG für ein Taggeld von Fr. 83.- mit einer Wartefrist von 30 Tagen versichert. Sie arbeitete bis 31. Juli 2002 als Zimmermädchen in einem Motel und bezog ab 1. August 2002 Arbeitslosentaggelder. Seit November 2003 war sie in einem Beschäftigungsprogramm des Arbeitsamtes Winterthur in einer Papiermanufaktur tätig (befristeter Einsatz vom 10. November 2003 bis 6. Februar 2004). Ab 8. Dezember 2003 war sie arbeitsunfähig gemeldet. Nach Angaben des Dr. med. E._, Spezialarzt FMH für Pneumologie und Innere Medizin, im Bericht vom 22. Dezember 2003 litt D._ an chronischem unspezifischen nicht allergischen Asthma bronchiale, anamnestisch mittelschwerer bronchialer Hyperreagibilität und schwerer Adipositas. Die Arbeitslosenkasse stellte die Taggeldleistungen nach Erschöpfung des Fortzahlungsanspruches von 30 Taggeldern im Krankheitsfall (<ref-law>) auf den 6. Januar 2004 ein.
A.b Die Hotela erbrachte bis 31. Mai 2004 Taggeldzahlungen. Mit unangefochten gebliebener Verfügung vom 27. Mai 2004 stellte sie diese per 1. Mai 2004 ein, bezahlte aber in der Folge die Taggelder bis Ende Mai 2004. Am 12. Januar 2005 verfügte sie gestützt auf die Stellungnahme ihres Vertrauensarztes, sie leiste ab 1. Juni 2004 keine Taggelder mehr und verzichte auf die Rückforderung der vom 1. Januar 2004 bis 31. Mai 2004 ausgerichteten Taggelder. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie mit Entscheid vom 21. April 2005 ab.
A.c Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid KV.2005.00045 vom 30. Juni 2006 in dem Sinne gut, dass der Einspracheentscheid aufgehoben und die Sache an die Hotela zurückgewiesen wurde, damit sie nach erfolgten Abklärungen zum Erwerbsausfall und gegebenenfalls zur Arbeitsfähigkeit neu über den Krankentaggeldanspruch ab 1. Juni 2004 entscheide.
A.d Hotela und D._ erhoben gegen den kantonalen Entscheid beim Eidgenössischen Versicherungsgericht (seit 1. Januar 2007 Bundesgericht) Verwaltungsgerichtsbeschwerde; die Hotela beantragte im Verfahren K 96/06 die Bestätigung des Einspracheentscheides und D._ im Verfahren K 144/06 die Verpflichtung der Hotela zur Erbringung der vertraglich vereinbarten Krankentaggeldleistungen ab 1. Juni 2004.
A.e Nach Vereinigung der Verfahren wies das Bundesgericht die Verwaltungsgerichtsbeschwerden mit Urteil vom 5. März 2007 ab. Es stellte fest, dass die Vorinstanz mit Grund zum Schluss gelangt war, es sei nicht ausreichend geklärt, ob, in welchem Umfang und für welche Tätigkeiten im massgebenden Zeitraum zwischen Leistungseinstellung (1. Januar 2004) und Einspracheentscheid (21. April 2005) eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit vorlag; sie habe die Hotela zu Recht dazu verhalten, ergänzende versicherungsexterne Abklärungen zu veranlassen, da nicht erstellt war, dass die Versicherte als Zimmermädchen seit spätestens 1. Januar 2004 wieder voll arbeitsfähig bzw. in Bezug auf die Reduktion des Übergewichts ihrer Schadenminderungspflicht nicht nachgekommen war; ebenso war nicht ausgewiesen, dass sie ab Januar 2004, insbesondere aber ab 1. Juli 2004, vollständig arbeitsunfähig war.
A.f Die Hotela beauftragte das Zentrum X._ mit einer interdisziplinären Abklärung (Gutachten vom 8. Oktober 2007; pneumologisches Teilgutachten vom 27. August 2007). Mit Verfügung vom 11. November 2008 hielt sie - unter Verzicht auf die Rückforderung bereits ausbezahlter Taggelder - an der Leistungseinstellung per 1. Januar 2004 fest. D._ erhob Einsprache. Die Hotela forderte sie auf, zu beweisen, dass sie weiterhin eine Erwerbstätigkeit ausüben würde. Nach Stellungnahmen der Versicherten (vom 18. März und 7. April 2009) lehnte die Hotela die Leistungspflicht mit Einspracheentscheid vom 14. Mai 2009 wiederum ab.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 19. Februar 2010 ab, weil D._ der Gegenbeweis zu der von der Rechtsprechung statuierten Vermutung, dass sie ohne Erkrankung weiterhin arbeitslos wäre, nicht gelungen sei. Damit fehle es an einem Erwerbsausfall für einen weiterführenden Taggeldanspruch.
C. D._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid der Vorinstanz sei aufzuheben und der vorausgesetzte Erwerbsausfall zu bejahen; die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Auflage, ein Obergutachten zur Frage der Arbeitsfähigkeit anzuordnen und sodann neu über den Taggeldanspruch ab 1. Juni 2004 zu entscheiden.
Die Hotela beantragt Abweisung der Beschwerde, Vorinstanz und Bundesamt für Gesundheit verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Art. 3 des Reglementes der Krankentaggeldversicherung der Hotela (Ausgabe 01.2001) sieht in Übereinstimmung mit der bundesrechtlichen Regelung (Art. 72 und 73 KVG) vor, dass das Taggeld grundsätzlich dazu dient, Verdienstausfälle teilweise oder ganz zu ersetzen. Personen ohne Einkommen haben keinen Versicherungsschutz.
1.1 In der Taggeldversicherung nach KVG muss die versicherte Person eine durch den Versicherungsfall verursachte finanzielle Erwerbseinbusse ausweisen. Der entgangene Verdienst beurteilt sich nach der Erwerbseinbusse während der Arbeitsunfähigkeitsperiode, für die Taggeld beansprucht wird. Es kommt mithin darauf an, ob die versicherte Person Erwerbseinkommen erzielt bzw. was sie verdient hätte, wenn sie nicht arbeitsunfähig geworden wäre.
1.2 Durch Krankheit entgangene Einkünfte können auch der Verlust von Ersatzeinkommen in Form entgangener Arbeitslosenentschädigung sein. Die arbeitslose Person, die arbeitsunfähig wird und den Anspruch nach <ref-law> erschöpft hat, erleidet mangels Vermittlungsfähigkeit (<ref-law>) eine Einkommenseinbusse im Umfang der entgangenen Arbeitslosenentschädigung. Diese ist durch das Taggeld nach KVG auszugleichen, sofern eine entsprechende Deckung vorhanden ist (<ref-law>; <ref-ruling> S. 154; RKUV 1998 Nr. KV 43 S. 420 E. 3a) (Zusammenfassung der Rechtsprechung mit zahlreichen Hinweisen in GEBHARD EUGSTER, Vergleich der Krankentaggeldversicherung nach KVG und nach VVG, in: Adrian von Kaenel [Hrsg.], Krankentaggeldversicherung: Arbeits- und versicherungsrechtliche Aspekte, Zürich 2007, S. 80). Grundsätzlich reduziert sich der Taggeldanspruch auf die wegen fehlender Vermittlungsfähigkeit entgangene Arbeitslosenentschädigung (<ref-law>) bzw. das entgangene kantonale Arbeitslosentaggeld (GEBHARD EUGSTER, Bundesgesetz über die Krankenversicherung, 2010, S. 499, mit zahlreichen Hinweisen auf alt- und neurechtliche Rechtsprechung und Praxis). Auf das Arbeitslosentaggeld ist nur so lange abzustellen, als nicht angenommen werden muss, die versicherte Person hätte aller Wahrscheinlichkeit nach eine neue Stelle antreten können, wenn sie nicht krank gewesen wäre (RSKV 1983 Nr. K 526 S. 81).
1.3 Ist der Anspruch auf Arbeitslosentaggelder erschöpft, endet auch der Taggeldanspruch nach KVG, es sei denn, die versicherte Person vermag im Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachzuweisen, dass sie ohne Krankheit eine Stelle gehabt hätte (Urteil 9C_332/2007 vom 29. Mai 2008 E. 2; Urteil K 121/06 vom 16. August 2007 E.2).
1.4 Für den Krankentaggeldanspruch von Arbeitslosen sind zwei Eventualitäten zu unterscheiden: Wenn die versicherte Person die Arbeitsstelle durch Kündigung in einem Zeitpunkt verliert, da sie bereits zufolge Krankheit arbeitsunfähig ist, so ist zu vermuten, dass sie - Gegenbeweis vorbehalten - eine Erwerbstätigkeit ausüben würde, wenn sie nicht krank wäre (1). Wird sie nach dem Eintritt der Arbeitslosigkeit arbeitsunfähig, so ist zu vermuten, dass sie - Gegenbeweis vorbehalten - auch ohne Krankheit erwerbslos wäre (2) (Urteil 9C_332/2007 vom 29. Mai 2008 E. 2; EUGSTER, a.a.O., S. 499 f., mit zahlreichen Hinweisen).
2. 2.1 Die Arbeitslosenkasse verfügte am 28. Januar 2004 die Einstellung der Taggeldleistungen mit der Begründung, der Anspruch nach <ref-law> auf das volle Taggeld dauere längstens bis zum 30. Tag nach Beginn der ganzen oder teilweisen Arbeitsunfähigkeit, welcher auf den 6. Januar 2004 gefallen sei. Die Versicherte habe für die Krankentage ab dem 7. Januar 2004 bis zum Nachweis ihrer erneuten Arbeitsfähigkeit keinen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung.
2.2 Da die Beschwerdegegnerin das Krankentaggeld trotz Einstellung ab 1. Januar 2004 bis zum 31. Mai 2004 ausgerichtet und erklärt hat, auf die Rückforderung ausbezahlter Taggelder zu verzichten, ist lediglich der Krankentaggeldanspruch ab 1. Juni 2004 streitig.
3. 3.1 Die Vorinstanz kam zum Schluss, es fehle am Erwerbsausfall als Anspruchsvoraussetzung für einen weiterführenden Krankentaggeldanspruch, weil der Gegenbeweis zur Vermutung, dass die Beschwerdeführerin ohne Erkrankung weiterhin arbeitslos gewesen wäre (oben E. 1.4), nicht gelungen sei. Im Zeitpunkt der Einstellung der Taggeldleistungen (6. Januar 2004) habe sie noch über einen Restanspruch von 31 Arbeitslosentaggeldern verfügt. Mit der Auszahlung der Krankentaggelder bis 31. Mai 2004 sei dieser Verdienstausfall mehr als kompensiert.
3.2 Die Beschwerdeführerin bringt vor, sie sei ab 10. November 2003 im Rahmen eines auf drei Monate befristeten städtischen Arbeitsprojektes in der Firma Y._ beschäftigt gewesen; deshalb sei sie als Versicherte zu betrachten, die über Erwerbseinkommen verfügt habe, als sie ab 8. Dezember 2003 arbeitsunfähig wurde; sie habe die Beschäftigungsmassnahme aufgrund einer massiven Verschlechterung des Gesundheitszustandes aufgeben müssen und sei darum der Fallgruppe zuzuordnen, bei der die Vermutung gelte, dass ohne Eintritt der Arbeitsunfähigkeit auch weiterhin eine Erwerbstätigkeit ausgeübt würde. Die Beschwerdegegnerin habe deshalb den Erwerbsausfall zu entschädigen.
3.3 Diese hält daran fest, da die Beschwerdeführerin schon arbeitslos geworden sei, bevor die Arbeitsunfähigkeit attestiert worden sei, habe die Vermutung zu gelten, dass sie auch keiner Erwerbstätigkeit nachgehen würde, wenn sie nicht erkrankt wäre. Bei der Tätigkeit in der Papiermanufaktur habe es sich um ein Beschäftigungsprogramm der Arbeitslosenversicherung gehandelt. Die Programmteilnahme ändere nichts am Status der Arbeitslosigkeit. Die Beschwerdeführerin habe den notwendigen Gegenbeweis zur Vermutung der Erwerbslosigkeit nicht erbracht.
4. Zu prüfen ist, ob die Beschäftigungsmassnahme in der Papiermanufaktur als Ausübung einer Erwerbstätigkeit im Sinne des KVG-Taggeldrechts zu berücksichtigen ist.
4.1 Zweck der Beschäftigungsmassnahmen der Arbeitslosenversicherung (zum Ganzen ausführlich THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Bd. Soziale Sicherheit, 2. Aufl. 2007, S. 2393 Rz. 707-721; ferner Kreisschreiben des SECO über die Arbeitsmarktlichen Massnahmen [AMM], Januar 2009, Rz. G1-G12) ist die berufliche Wiedereingliederung der Versicherten in den Arbeitsprozess. Es handelt sich dabei immer um zeitlich befristete Arbeitsgelegenheiten, die jederzeit zu Gunsten einer zumutbaren Arbeitsstelle beendet werden müssen. Die Beschäftigungsmassnahmen erhalten finanzielle Unterstützung der Arbeitslosenversicherung und können mit einem Kursteil kombiniert sein. Die ausgeübten Tätigkeiten müssen grundsätzlich ausserhalb privatwirtschaftlicher Tätigkeit und im öffentlichen Interesse liegen. Die vorübergehende Beschäftigung ist entsprechend ihrem Zweck im Verhältnis zu den anderen arbeitsmarktlichen Massnahmen und zu einer Zwischenverdiensttätigkeit subsidiärer Natur und kommt erst in Frage, wenn den Versicherten keine zumutbare Beschäftigung zugewiesen werden kann und keine andere arbeitsmarktliche Massnahme angezeigt ist. Sie ist damit ultima ratio. Die versicherte Person ist zur Teilnahme verpflichtet, bei ungerechtfertigter Ablehnung einer solchen droht ihr eine Einstellung in der Anspruchsberechtigung. Die Versicherten stehen mit dem Organisator des Beschäftigungsprogramms nicht in einem Arbeitsvertragsverhältnis, sondern in einem Vertragsverhältnis sui generis. Es wird zwischen der Amtsstelle, dem Einsatzbetrieb und der versicherten Person eine Zielvereinbarung abgeschlossen. Bei den im Rahmen von Beschäftigungsmassnahmen ausgeübten Tätigkeiten handelt es sich nicht um ALV-beitragspflichtige Beschäftigungen, sondern die teilnehmenden Versicherten werden mit Taggeldern und Auslagenersatz entschädigt. Die Arbeitslosenversicherung erstattet den Organisationen die nachgewiesenen notwendigen Kosten für die Durchführung von Beschäftigungsmassnahmen.
4.2 Nach dieser Beschreibung (z.B. jederzeit erzwingbare Aufgabe zugunsten einer Arbeitstätigkeit, Subsidiarität zu Zwischenverdienst, Finanzierung der Massnahme und Entschädigung der Teilnehmenden durch die Arbeitslosenversicherung; kein Arbeitsvertrag mit dem Organisator) kann zumindest aus der Sicht der Krankentaggeldversicherung bei einem Beschäftigungsprogramm von einer Erwerbstätigkeit nicht die Rede sein. Im Gegenteil stützt der Umstand, dass die Beschwerdeführerin nach eineinhalb Jahre ununterbrochen dauernder Arbeitslosigkeit erst einmal in diese arbeitsmarktliche Massnahme eintrat, die Vermutung, dass sie - ohne Erkrankung im Moment der Erschöpfung des Restanspruches (nach 31 Bezugstagen ab dem 6. Januar 2004) - weiterhin keine Erwerbstätigkeit ausüben würde. Hinweise auf die Ausrichtung eines kantonalen Arbeitslosentaggeldes (oben E. 1.2) finden sich keine. Dass die Beschwerdegegnerin die Einstellung bereits auf den 1. Januar 2004 verfügt hat, ändert im Resultat nichts, da sie bis Ende Mai 2004 Taggelder ausgerichtet und auf die Rückforderung verzichtet hat. Ob allenfalls in einem späteren Zeitpunkt bis zur Kündigung der Krankentaggeldversicherung auf 31. Dezember 2007 ein Anspruch wieder auflebte (der Sachverhalt ist überprüfbar bis zum Einspracheentscheid am 14. Mai 2009), ist nicht vorgebracht und nachgewiesen.
5. Da der Erwerbsausfall mit Recht verneint wurde, ist für den Entscheid über den Leistungsanspruch nicht zu prüfen, ob die Stellungnahmen der Beschwerdegegnerin zu medizinischen Sachfragen allen formellen Erfordernissen (rechtliches Gehör und Begründungspflicht) genügten. Die Argumente der Vorinstanz dafür, warum die erst in einer späten Phase des Verfahrens herangezogene neue Begründung der Leistungsverweigerung keinen rechtlich relevanten Verstoss gegen den Vertrauensgrundsatz darstellt, hat die Beschwerdeführerin in der letztinstanzlichen Eingabe akzeptiert.
6. Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Kosten (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7)

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. August 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Borella Schmutz