Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss vom 6. Juni 2013 des Kantonsgerichts von Graubünden, das (im Hinblick auf ein Rechtsöffnungsbegehren des Bezirksgerichts Y._ für Gerichtsgebühren von Fr. 1'315.-- aus einem Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer) für die Durchführung des Rechtsöffnungsverfahrens den Einzelrichter am Bezirksgericht A._ für zuständig erklärt hat,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Beschluss des Kantonsgerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Kantonsgericht im Beschluss vom 6. Juni 2013 erwog, es gehe vorliegend einzig um das vom Bezirksgericht Y._ gestellte Gesuch um Bestellung eines unabhängigen Gerichts nach Art. 40 Abs. 2 des Gerichtsorganisationsgesetzes, auf die Kritik des Beschwerdeführers am abgeschlossenen Strafverfahren und an den Behörden sei nicht einzugehen, im angestrebten Verfahren für ausstehende Gerichtskosten gegen einen im selben Gerichtssprengel wohnenden Schuldner könnten wegen des Eigeninteresses weder die präsidierenden Mitglieder des Bezirksgerichts Y._ noch andere Personen dieser Behörde als Rechtsöffnungsrichter wirken, wegen der Unmöglichkeit der Besetzung mit eigenen Richtern müsse die Justizaufsichtskammer des Kantonsgerichts das Gericht eines benachbarten Sprengels als zuständig erklären, die Zuständigkeit sei daher an den Einzelrichter in Rechtsöffnungsverfahren am Bezirksgericht A._ zu übertragen,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise auf die entscheidenden kantonsgerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass er erst recht nicht anhand dieser Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert aufzeigt, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den Beschluss des Kantonsgerichts vom 6. Juni 2013 verletzt sein sollen,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und das präsidierende Abteilungsmitglied zuständig ist,

erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Füllemann