Faits:
A.
X._, ressortissant indien né en 1967, a épousé le 27 mars 2009 à Tiana (Espagne) Y._, ressortissante suisse née en 1959 et originaire de la commune de Z._ (BE). L'inscription du mariage au registre de l'état civil de Tiana a été attestée par une apostille, conformément à la Convention de la Haye du 5 octobre 1961 supprimant l'exigence de la légalisation des actes publics étrangers (RS 0.172.030.4).
X._ est entré en Suisse le 25 août 2009. Le même jour, il a sollicité la délivrance d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial. A une date indéterminée, les époux ont requis de l'autorité de surveillance de l'état civil du canton de Berne la reconnaissance et la transcription de leur mariage.
Après avoir requis de X._ différentes pièces (dont la transcription du mariage sur le plan suisse ou une copie du certificat de famille suisse), le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le SPOP) a informé l'intéressé le 3 février 2011 de son intention de refuser l'octroi de l'autorisation de séjour demandée, en l'absence de transcription de son mariage en Suisse par l'office d'état civil compétent, et de lui impartir un délai pour quitter le pays.
Le 15 juin 2011, le SPOP a rendu la décision correspondante.
Le 8 juillet 2011, le Service de l'état civil et des naturalisations du canton de Berne a informé Y._ qu'il ressortait de certaines pièces que X._ était marié en Inde (mariage religieux selon l'usage local). Ce dernier devait donc apporter la preuve que son mariage en Inde avait été dissous avant son union avec Y._.
B.
X._ a recouru contre la décision du SPOP auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: le Tribunal cantonal).
Le 6 octobre 2011, le juge instructeur a suspendu la cause jusqu'à ce que le Service de l'état civil et des naturalisations du canton de Berne se prononce sur la demande de reconnaissance et de transcription du mariage du prénommé.
Après avoir été interpellé à ce sujet par le juge instructeur, X._ lui a fait savoir, le 15 mars 2012, qu'il était en attente de documents complémentaires devant lui parvenir d'Inde, tels que requis par le Service de l'état civil et des naturalisations du canton de Berne. Le 20 mars 2012, X._ a confirmé au juge instructeur avoir transmis les documents en question.
Après avoir repris le traitement de la cause, le Tribunal cantonal a rejeté le recours par arrêt du 21 juin 2012.
C.
A l'encontre de ce jugement, X._ forme un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire. Outre à l'octroi de l'effet suspensif, il conclut à titre principal à l'annulation de l'arrêt entrepris et à la délivrance d'une autorisation de séjour, subsidiairement à ce qu'il soit donné ordre "au Service de l'état civil et des naturalisations du canton de Berne d'entreprendre toutes les démarches nécessaires afin que le mariage célébré le 27 mars 2011 (recte: 2009) à Tiana, en Espagne, entre X._ et Y._, soit reconnu sur le plan suisse" et à ce qu'il soit ordonné par la suite "au Service de la population du canton de Vaud de délivrer une autorisation de séjour au sens de l'art. 42 al. 1 LEtr à X._". A titre plus subsidiaire, il requiert, outre l'annulation de l'arrêt entrepris, la suspension de la cause jusqu'à droit connu dans la procédure en reconnaissance de mariage actuellement pendante auprès du Service de l'état civil et des naturalisations du canton de Berne et, le cas échéant, le renvoi du dossier à l'autorité précédente pour qu'elle rende une nouvelle décision. Toutes ces conclusions sont adoptées sous suite de frais et dépens.
Le SPOP renonce à se déterminer sur le recours. Le Tribunal cantonal fait de même en se référant aux considérants de l'arrêt attaqué. L'Office fédéral des migrations conclut au rejet du recours.
Par ordonnance du 27 août 2012, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 p. 472).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions dans le domaine du droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179).
Le recourant fonde son droit à une autorisation sur l'art. 42 al. 1 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (RS 142.20; LEtr), du fait de son mariage avec une citoyenne suisse. Il invoque en outre le droit au respect de la vie familiale, tel que protégé par l'art. 8 CEDH, en faisant valoir, d'une part, qu'il vit avec son épouse suisse et, d'autre part, que la relation en question est stable et durable. Ces circonstances sont potentiellement de nature à lui conférer un droit à une autorisation de séjour. Il s'ensuit que le recours est recevable sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, étant précisé que le point de savoir si le recourant dispose effectivement d'un tel droit relève du fond et non de la recevabilité (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179).
Dès lors que le recours en matière de droit public est recevable, le recours constitutionnel subsidiaire portant sur les mêmes griefs ne l'est pas (cf. <ref-law> a contrario).
1.2. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (cf. <ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un Tribunal supérieur (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Déposé en temps utile (cf. <ref-law>) et dans les formes requises (cf. <ref-law>) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>, le recours en matière de droit public est par conséquent recevable.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte, notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 7.4 p. 230), ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévues à l'<ref-law> seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergeant de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 3 p. 104).
2.2. En l'espèce, le recourant fait état de multiples faits ne ressortant nullement de l'arrêt entrepris. Il complète et modifie librement les faits retenus par la dernière instance cantonale ce qui, comme cela vient d'être exposé, n'est pas admissible devant le Tribunal fédéral. La Cour de céans vérifiera donc l'application du droit fédéral sur le seul vu des faits consignés par le Tribunal cantonal.
3.
D'après l'art. 42 al. 1 LEtr, le conjoint d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité à condition de vivre en ménage commun avec lui. Le recourant a épousé une Suissesse en Espagne et il n'est pas contesté qu'il cohabite avec elle. La question qui se pose est celle des conséquences en droit des étrangers du fait que le mariage célébré en Espagne n'a pas été transcrit dans les registres d'état civil suisses.
3.1.
3.1.1. L'art. 32 al. 1 de la loi fédérale du 18 décembre 1987 sur le droit international privé (LDIP; RS 291) prévoit qu'une décision ou un acte étranger concernant l'état civil est transcrit dans les registres de l'état civil en vertu d'une décision de l'autorité cantonale de surveillance en matière d'état civil; la transcription est autorisée lorsque les conditions fixées aux art. 25 à 27 LDIP sont remplies (al. 2). Selon l'<ref-law>, chaque canton institue une autorité de surveillance en matière d'état civil. Cette autorité a notamment pour attribution de décider de la reconnaissance et de la transcription des faits d'état civil survenus à l'étranger (<ref-law>). Conformément à l'art. 23 al. 1 1ère phrase de l'ordonnance fédérale du 28 avril 2004 sur l'état civil (OEC; RS 211.112.2), les décisions et actes d'état civil étrangers sont enregistrés sur décision de l'autorité de surveillance du canton d'origine de la personne concernée. Avant d'opérer la transcription, cette autorité procède à un contrôle formel et matériel de l'acte dressé à l'étranger (cf. arrêt 5A.3/2007 du 27 février 2007 consid. 2; voir aussi, pour ce qui est du droit français, Sabine Corneloup, Maîtrise de l'immigration et célébration du mariage, in Mélanges en l'honneur de Paul Lagarde, 2005, p. 207 ss, spéc. p. 225 s.).
3.1.2. S'agissant de la reconnaissance du mariage, l'<ref-law> prévoit qu'"un mariage valablement célébré à l'étranger est reconnu en Suisse". L'alinéa 2 de cette norme énonce que si la fiancée ou le fiancé sont suisses ou si tous deux ont leur domicile en Suisse, le mariage célébré à l'étranger est reconnu, à moins qu'ils ne l'aient célébré à l'étranger dans l'intention manifeste d'éluder les dispositions sur l'annulation du mariage prévues par le droit suisse.
L '<ref-law> vise en tout cas les causes de nullité absolue du mariage, au sens de l'<ref-law>, au nombre desquelles figure (ch. 1) le fait qu'au moment de la célébration, le mariage précédent n'avait pas été dissous par le divorce ou par le décès du conjoint précédent (cf. Bernard Dutoit, Droit international privé suisse, 4e éd. 2005, nos 8 s. ad <ref-law>; Paul Volken, in Zürcher Kommentar, 2e éd. 2004, no 23 ad <ref-law>).
L'<ref-law>, interdisant la reconnaissance des décisions étrangères contraires à l'ordre public suisse matériel, qui s'applique aussi à la transcription d'un acte étranger dans les registres d'état civil (<ref-law>), peut toujours être invoqué par l'autorité qui applique d'office l'<ref-law> (cf. arrêt 5A.6/1996 du 19 avril 1996 consid. 2b, in Praxis 1997 no 11 p. 48; Volken, op. cit., no 23 ad <ref-law>; Dutoit, op. cit., no 7 ad <ref-law>; Andrea Büchler/Stefan Fink, Eheschliessungen im Ausland, FamPra.ch 2008 p. 51; Thomas Geiser/Marc Busslinger, in Ausländerrecht, 2e éd. 2009, no 14.27 p. 670). Dans tous les cas, il s'agit de prendre en compte uniquement l'ordre public atténué de la reconnaissance (<ref-ruling> consid. 4a p. 630; Volken, op. cit., no 27 ad <ref-law>).
De jurisprudence et pratique constantes, la Suisse considère comme contraire à l'ordre public le mariage bigame et refuse de procéder à l'inscription du second mariage dans les registres d'état civil (<ref-ruling> consid. 2 p. 7 s.; Büchler/Fink, op. cit., p. 57; Geiser/Busslinger, op. cit., no 14.27 p. 670; Simon Othenin-Girard, La réserve d'ordre public en droit international privé suisse: personnes - famille - successions, 1999, ch. 671 ss).
La problématique de la nullité des actes étrangers se pose pour l'essentiel s'agissant d'Etats qui ne connaissent pas les mêmes restrictions au mariage que le droit suisse (voir les exemples donnés par Dutoit, op. cit., no 7 ad <ref-law>). L'existence d'un tel régime juridique, différent de celui prévalant en Suisse, permet de donner toute sa portée à la notion de fraude manifeste de l'<ref-law>. En Espagne, comme en Suisse, le mariage ne peut avoir lieu entre des personnes déjà mariées. Comme c'est le cas en Suisse, le mariage polygamique contracté par un ressortissant espagnol à l'étranger est nul, en raison du lien conjugal antérieur non dissous (cf. Commission Internationale de l' é tat Civil, Guide pratique international de l'état civil, disponible à l'adresse www.ciec1.org [consulté le 22 mai 2013], état avril 2010, ch. 8.1.5).
3.1.3. Selon la jurisprudence, un mariage entaché de nullité selon le droit suisse ne saurait être inscrit provisoirement dans les registres d'état civil en attendant l'issue d'une action en nullité. Un tel procédé restreindrait en effet d'une manière inadmissible le pouvoir d'examen attribué à l'autorité de surveillance. Il comporterait en outre le risque que des mariages entachés de nullité soient conclus à l'étranger uniquement dans le but que le conjoint étranger retire certains avantages de son mariage avec un conjoint suisse, au moins entre la conclusion du mariage et le constat de sa nullité. Il est encore à craindre que, dans certains cas, l'autorité ne s'abstienne tout simplement d'intenter l'action en nullité (<ref-ruling> consid. 2 p. 7 s.). Il en va toutefois différemment en cas de simples doutes quant à la validité dudit mariage au regard du droit suisse. Dans sa directive no 10.07.12.01 du 5 décembre 2007, intitulée "Abus lié à la législation sur les étrangers: refus de célébrer de l'officier de l'état civil/inscription des jugements d'annulation/reconnaissance et transcription d'unions étrangères" (disponible à l'adresse www.bj.admin.ch/content/bj/fr/home/themen/gesellschaft/ zivilstand / weisungen/weisungen_mai07.html [consulté le 22 mai 2013]; état: 1er janvier 2011), l'Office fédéral de l'état civil a traité la question de l'inscription dans les registres suisses des mariages conclus à l'étranger. Sous le titre "Refus de reconnaissance en cas de fraude", le chiffre 4.2 de ladite directive a la teneur suivante:
"En cas de doutes fondés d'abus et dans le cadre de l'instruction du dossier de transcription, l'autorité cantonale de surveillance de l'état civil compétente entendra les époux ou partenaires et refusera de reconnaître les mariages ou partenariats contractés dans le seul but de contourner les règles sur l'admission et le séjour des étrangers, qui sont contraires à l'ordre public suisse.
A cet égard, les mêmes principes qu'en matière de célébration du mariage et d'enregistrement du partenariat s'appliquent. Seul un abus manifeste permet de refuser la transcription.
Pour des raisons de sécurité du droit, il est indiqué que l'autorité cantonale de surveillance de l'état civil appelée à transcrire l'union en cause, ordonne sa transcription, invite l'autorité cantonale compétente à agir en annulation, et bloque simultanément la divulgation et l'utilisation des données jusqu'à droit connu au niveau de la procédure judiciaire d'annulation.
En effet, seul un tribunal peut annuler une union formellement célébrée.
D'un autre côté, il y a lieu d'éviter que des personnes mariées ou liées par un partenariat enregistré puissent contracter une nouvelle union en Suisse, durant la procédure judiciaire d'annulation, pour aboutir éventuellement à une situation de bigamie.
L'ordre de transcription avec blocage simultané devra faire l'objet d'une décision formelle, avec indication des voies de recours, à notifier aux parties. A noter qu'un éventuel recours n'a pas d'effet suspensif.
Dès l'entrée en force du jugement civil, l'annulation de l'union est inscrite, respectivement le blocage des données levé dans l'hypothèse où le tribunal n'annule pas l'union en cause. Il y a lieu de veiller que le jugement soit en tous les cas communiqué à l'autorité cantonale de surveillance de l'état civil, même si le mariage ou partenariat en cause n'est pas annulé."
3.2. Pour leur part, les autorités de police des étrangers peuvent examiner à titre préjudiciel la question de la reconnaissance d'un acte étranger (cf. <ref-law>; arrêt 2A.162/1994 du 12 décembre 1994 consid. 2c; cf. aussi arrêt 2C_210/2007 du 5 septembre 2007 consid. 2.3, in SJ 2008 I p. 153 et p. 165, où le Tribunal fédéral, dans une affaire de droit des étrangers, a considéré comme douteux que le mariage célébré à l'étranger puisse être reconnu en Suisse et transcrit à l'état civil, sans pourtant trancher définitivement la question). Elles sont toutefois liées par la décision y relative rendue par les services compétents de l'état civil, sauf si ce prononcé est radicalement nul (arrêt 2A.94/1999 du 2 juin 1999 consid. 1c; Geiser/Busslinger, op. cit., no 14.33).
3.3. En l'espèce, il n'est pas contesté que le recourant a épousé une ressortissante suisse en Espagne. La réalité de ce fait n'est pas remise en cause par les autorités précédentes. Ce qui donne lieu à discussion, en revanche, c'est l'existence d'un éventuel motif de nullité pour contrariété à l'ordre public. Le Tribunal fédéral ignore néanmoins tout, l'arrêt entrepris étant muet sur ce point, des éléments de fait à la base de la suspicion de polygamie, telle qu'elle semble fonder les réticences de l'autorité de surveillance en matière d'état civil du canton de Berne, pourtant saisie de la requête d'inscription depuis plusieurs années et qui n'a apparemment toujours pas tranché la question. Dans la mesure, toutefois, où l'existence d'un mariage valable constitue l'une des conditions d'application de l'art. 42 al. 1 LEtr, le Tribunal cantonal ne pouvait, à défaut de décision de l'autorité compétente en matière d'état civil, faire complètement abstraction du mariage jusqu'à preuve du contraire valablement conclu à l'étranger et refuser, pour ce motif, l'autorisation de séjour fondée sur le droit au regroupement familial. L'autorité précédente avait d'autant moins de raisons de procéder de la sorte qu'il s'agit d'un mariage conclu dans un Etat européen qui voit dans l'existence d'une union antérieure non dissoute le même obstacle au mariage que le droit suisse. Une telle circonstance ne saurait rester sans effets du point de vue du droit des étrangers. Dans de telles circonstances, le Tribunal cantonal devait soit suspendre la cause jusqu'à droit connu sur la transcription dans les registres d'état civil suisses (ce qu'il a fait dans un premier temps, avant de reprendre le traitement du dossier), soit procéder lui-même et d'office à l'examen de la question pour trancher de manière préjudicielle (cf. consid. 3.2 ci-dessus) la problématique de la contrariété à l'ordre public. Le recours doit donc être admis en ce sens.
Au surplus, eu égard aux circonstances particulières de l'espèce, le Tribunal cantonal fera application de l'art. 17 LEtr et autorisera le recourant à demeurer en Suisse jusqu'à droit connu sur sa requête d'autorisation de séjour tirée du droit au regroupement familial.
4.
Au vu de ce qui précède, il n'est nul besoin de trancher la question de savoir si le recourant peut se prévaloir de l'art. 8 par. 1 CEDH pour s'opposer à la séparation d'avec son épouse et obtenir ainsi une autorisation de séjour. La solution retenue par le Tribunal cantonal, tendant à faire totalement abstraction du mariage jusqu'à preuve du contraire valablement conclu à l'étranger, paraît toutefois peu compatible avec la portée à reconnaître à cette disposition conventionnelle. Il est vrai que, selon la jurisprudence, les fiancés ou les concubins ne sont en principe pas habilités à invoquer cette disposition, à moins que le couple n'entretienne depuis longtemps des relations étroites et effectives et qu'il n'existe des indices concrets d'un mariage sérieusement voulu et imminent (cf. arrêt 2C_1035/2012 du 21 décembre 2012 consid. 5.1). En l'espèce, on ignore depuis quand les conjoints entretiennent des relations suivies. Il n'est toutefois pas contesté que cela fait quatre ans qu'ils sont mariés et vivent ensemble, de tels faits ne pouvant demeurer sans conséquences dans le cadre de l'application de l'art. 8 par. 1 CEDH.
5.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être admis dans le sens des considérants et l'affaire renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Il se justifie de ne pas percevoir de frais de justice (cf. <ref-law>). Le recourant qui obtient gain de cause a droit à des dépens (cf. <ref-law>). Le Tribunal fédéral renonce à fixer le montant des dépens devant l'autorité précédente (cf. <ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours en matière de droit public est admis. L'arrêt attaqué est annulé. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton de Vaud pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
Le canton de Vaud versera au recourant la somme de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Il n'est pas prélevé de frais judiciaires.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 6 juin 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Vianin