Erwägungen:
1.
1.1. A._ hat die Steuererklärung für das Jahr 2011 trotz zweifacher Mahnung nicht eingereicht, weshalb die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt ihn amtlich eingeschätzt hat. Am 16. Januar 2013 trat die Steuerverwaltung auf eine sinngemässe Einsprache - weil verspätet - nicht ein. Die kantonalen Rechtsmittelinstanzen schützten diesen Entscheid, wogegen A._ am 5. Mai 2014 an das Bundesgericht gelangte mit dem Ersuchen, alle "Forderungen des Appellationsgerichts des Kantons BS als nicht zumutbar zu erkennen" und dessen Urteil vom 15. April 2014 "rückgängig zu machen".
1.2. Mit Schreiben vom 7. Mai 2014 wurde er darüber informiert, dass seine Beschwerdebegründung den gesetzlichen Anforderungen nicht genügen dürfte, er diese während der Beschwerdefrist aber noch verbessern könne. Am 27. Mai 2014 bestätigte A._, an seiner Eingabe festhalten zu wollen und darum zu ersuchen, dass sein Fall "nochmals" geprüft werde.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG (SR 173.110) haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Es ist darin in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Nicht unmittelbar gerügt werden kann die Missachtung von kantonalem Gesetzesrecht, sondern allein die Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>). Beruht ein Entscheid auf kantonalem Recht, kann im Wesentlichen bloss geltend gemacht werden, dessen Anwendung verstosse gegen verfassungsmässige Rechte, wobei die entsprechenden Rügen qualifiziert zu begründen sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.3 S. 521 f.; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 466).
2.2. Wird eingewendet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich, müssen die Beschwerdeführenden darlegen, dass und inwiefern er - im Resultat und nicht nur in der Begründung - offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5). Die Begründung muss sachbezogen sein. Die beschwerdeführende Partei hat gezielt auf die für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz einzugehen. Dabei sind nur Vorbringen (Begehren und Begründung) zulässig, die sich auf den Streitgegenstand beziehen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 - 2.3).
2.3. Der Beschwerdeführer legt in seinen Eingaben in keiner Weise dar, inwiefern das angefochtene Urteil vom 15. April 2014 Bundesrecht verletzen würde. Er begnügt sich damit, darum zu ersuchen, seinen Fall noch einmal zu prüfen, womit seine Beschwerde den gesetzlichen Vorgaben nicht entspricht. Soweit er darum ersucht, die Steuern seien ihm zu erlassen, hat das Appellationsgericht ihn darauf hingewiesen, dass diese Frage nicht Verfahrensgegenstand bilde und er diesbezüglich erst mit einem Erlassgesuch an die zuständige Behörde zu gelangen habe. Der Beschwerdeführer verkennt, dass das Bundesgericht keine allgemeine Aufsichts- oder Verwaltungsbehörde ist und nur im Rahmen der im Gesetz geregelten Verfahren und Formen handeln kann.
3.
Auf die vorliegende Eingabe ist ohne Weiterungen nicht einzutreten; dies kann durch den Präsidenten im Verfahren nach <ref-law> geschehen. Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Verfahrenskosten zu tragen (<ref-law>); es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juni 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar