Sachverhalt:
A. Die 1979 geborene U._, als Callagentin und kaufmännische Sachbearbeiterin tätig gewesen, erlitt am 12. März 2004 einen Verkehrsunfall, bei welchem sie sich eine Distorsion der Halswirbelsäule zuzog. Unter Hinweis auf die Unfallfolgen meldete sie sich am 14. März 2005 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Luzern ermittelte einen Invaliditätsgrad von 18 Prozent und lehnte das Gesuch mit Verfügung vom 12. März 2007 ab.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies die dagegen erhobene Beschwerde ab, wobei es von einem Invaliditätsgrad von 39 Prozent ausging (Entscheid vom 4. September 2008).
C. U._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr, nach Aufhebung von strittiger Verfügung und angefochtenem Entscheid, mit Wirkung ab März 2005 eine ganze, eventuell eine Dreiviertels- oder eine halbe Invalidenrente zuzusprechen.
IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Streitig ist, ob die Beschwerdeführerin Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung hat. Das kantonale Gericht hat die zur Beurteilung des Leistungsanspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
1.2 Der Beurteilung von Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) liegt der Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesen kann das Bundesgericht von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG; ohne Beschwerden gemäss Art. 97 Abs. 2 BGG und Art. 105 Abs. 3 BGG).
Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (unter anderem) Bundesrecht verletzt (Art. 95 lit. a BGG), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Zu den Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 lit. a BGG gehört auch die unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen (Urteil 9C_40/2007 vom 31. Juli 2007 E. 1; Ulrich Meyer, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 25, 36 und 59 zu Art. 105; Hansjörg Seiler, in: Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2007, N. 24 zu Art. 97) und die Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes als einer wesentlichen Verfahrensvorschrift (Meyer, a.a.O., N. 60 zu Art. 105; Urteil 8C_364/2007 vom 19. November 2007 E. 3.3). Hingegen unterbleibt eine freie Überprüfung des vorinstanzlichen Entscheides in tatsächlicher Hinsicht.
2. 2.1 Das kantonale Gericht hat nach Würdigung des medizinischen Dossiers festgehalten, die Beschwerdeführerin sei aus somatischer Sicht für leichte, wechselbelastende Tätigkeiten grundsätzlich vollständig arbeitsfähig. Infolge erhöhten Pausenbedarfs sei die Leistungsfähigkeit aber um ein Viertel eingeschränkt. Es bestehe also eine organisch begründete Arbeitsfähigkeit von 75 Prozent. Eine psychische Begleiterkrankung liege, bis auf eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung, nicht vor. Die von der Rechtsprechung im Zusammenhang mit der somatoformen Schmerzstörung formulierten Erheblichkeitskriterien führten nach Zumutbarkeitsgesichtspunkten nicht zur Anerkennung einer zusätzlichen Arbeitsunfähigkeit.
2. 2.1 Das kantonale Gericht hat nach Würdigung des medizinischen Dossiers festgehalten, die Beschwerdeführerin sei aus somatischer Sicht für leichte, wechselbelastende Tätigkeiten grundsätzlich vollständig arbeitsfähig. Infolge erhöhten Pausenbedarfs sei die Leistungsfähigkeit aber um ein Viertel eingeschränkt. Es bestehe also eine organisch begründete Arbeitsfähigkeit von 75 Prozent. Eine psychische Begleiterkrankung liege, bis auf eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung, nicht vor. Die von der Rechtsprechung im Zusammenhang mit der somatoformen Schmerzstörung formulierten Erheblichkeitskriterien führten nach Zumutbarkeitsgesichtspunkten nicht zur Anerkennung einer zusätzlichen Arbeitsunfähigkeit.
2.2 2.2.1 Die Beschwerdeführerin lässt zunächst einwenden, die Beurteilung des Rheumatologen Dr. J._ vom 27. Februar und 6. April 2006, wonach sie - wegen eines zervikozephalen Symptomenkomplexes bzw. Schmerzyndroms sowie einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung - in der Tätigkeit einer Callagentin ganz arbeitsunfähig, in einer wechselbelastenden Büroarbeit hingegen vollständig arbeitsfähig sei (bzw. einer Einschränkung von bloss 25 Prozent wegen vermehrten Pausenbedarfs unterliege), stelle sich als nicht haltbar dar; die in einem Callcenter anfallenden Belastungen (stundenlanges Sitzen) fielen in ähnlicher Weise auch bei allgemeiner Büroarbeit an. Dementsprechend erweise sich die hierauf abgestützte vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung als willkürlich.
Dem ist nicht beizupflichten. Da die Tätigkeit einer Callagentin keinerlei Bewegungsfreiheit erlaubt, die Ausübung einer Sachbearbeiterfunktion hingegen in weitaus höherem Mass leidensorientiert entlastend ausgestaltet werden kann, erscheint es nicht offensichtlich unrichtig, dass die Vorinstanz die zitierte ärztliche Angabe für die Bestimmung der Arbeitsunfähigkeit übernommen hat (vgl. oben E. 1.2).
2.2.2 Im Rahmen der Streitfrage nach dem Vorliegen einer psychischen Begleiterkrankung lässt die Versicherte vortragen, einerseits sei das vom kantonalen Gericht als massgebende Entscheidungsgrundlage beigezogene Gutachten des Psychiaters Dr. I._ vom 10. Juli 2006 nicht überzeugend; die dort attestierte fehlende Krankheitseinsicht dürfe nicht mit einem fehlenden Befund gleichgesetzt werden. Anderseits sprächen die Fallumstände insgesamt dafür, dass die auch vom Psychiater diagnostizierte anhaltende somatoforme Schmerzstörung nicht überwindbar sei (vgl. <ref-ruling> mit Hinweisen).
Die in der Beschwerdeschrift aufgeworfenen Fragen beschränken sich auf eine rein appellatorische Kritik am psychiatrischen Gutachten und am angefochtenen Entscheid, lassen aber die vorinstanzliche Feststellung nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen, wonach die Kriterien für eine ausnahmsweise invalidisierende Wirkung einer somatoformen Schmerzstörung nicht oder nur in sehr geringer Ausprägung erfüllt sind. Die mit dieser Diagnose begründete, von Psychiater angenommene Arbeitsunfähigkeit von 36 % (80%-Pensum mit 20 % Leistungsreduktion) ist daher invalidenversicherungsrechtlich nicht ausschlaggebend.
2.3 Insgesamt ergibt sich, dass die vorinstanzliche Feststellung, es bestehe eine zurechenbare Arbeitsfähigkeit im Umfang von 75 Prozent, zumindest nicht offensichtlich unrichtig ist.
3. 3.1 Im Hinblick auf die Invaliditätsbemessung ging die Vorinstanz trotz methodischer Bedenken bezüglich der von der Verwaltung genutzten Datenquelle (Salärempfehlungen des Kaufmännischen Vereins) davon aus, das Valideneinkommen (hypothetisches Einkommen ohne Gesundheitsschaden) betrage Fr. 54'132.- (2005). Zur Bemessung des Invalideneinkommens stellte sie auf den Zentralwert der im gesamten Produktionssektor bezahlten Löhne für einfache Tätigkeiten in der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) des Bundesamtes für Statistik ab; unter anderem unter Berücksichtigung eines "leidensbedingten Abzugs" (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481; <ref-ruling>) von 10 Prozent ergebe sich so bei einem Pensum von 75 Prozent für das Jahr 2005 ein anrechenbares Einkommen von Fr. 33'160.-. Der Invaliditätsgrad liege somit bei (gerundeten) 39 Prozent, was nicht zu einer Invalidenrente berechtige.
3.2 Aufgrund des nicht stark einschränkenden medizinischen Anforderungsprofils sind zunächst entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin keine höheren Anforderungen an den Grad der Konkretisierung zumutbarer Verweisungstätigkeiten (im kaufmännischen Sektor) zu stellen.
3.3 Die Beschwerdeführerin rügt sodann das Vorgehen des kantonalen Gerichts, zwar den Umstand zu kritisieren, dass die Verwaltung für die Bemessung des Valideneinkommens auf Salärempfehlungen eines Berufsverbandes abgestellt hat, es sodann aber ohne nähere Einlassungen beim betreffenden Wert bewenden zu lassen mit dem Hinweis, der Beizug von Daten der LSE führe nicht zu einem anderen Ergebnis. Darin liege eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Die Beschwerdeführerin verfüge über einen Sekundarschulniveau entsprechenden Abschluss nach dem 10. Schuljahr. Später habe sie nicht nur als Callagentin gearbeitet, sondern während einiger Zeit auch eine Tätigkeit als Sachbearbeiterin ausgeübt. Sie habe also Kenntnisse im kaufmännischen Bereich, so dass der ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erzielbare Lohn nach Anforderungsniveau 3 der LSE ("Berufs- und Fachkenntnisse vorausgesetzt") zu bestimmen sei. Aufgrund der entsprechenden Frauenlöhne im Sektor Dienstleistungen errechne sich ein Valideneinkommen von Fr. 58'812.-. Werde dieser Wert dem Einkommensvergleich zugrunde gelegt, resultiere ein rentenberechtigender Invaliditätsgrad.
Wird diesem Vorbringen folgend davon ausgegangen, dass die Beschwerdeführerin mit ihrer Ausbildung ein Valideneinkommen erzielen könnte, das dem Anforderungsniveau 3 entspricht, so gilt dasselbe für das Invalideneinkommen; die Versicherte ist in Büro-Berufen, die den ärztlich definierten Anforderungen bezüglich Haltungswechseln gerecht werden (vgl. den Bericht des Dr. J._ vom 6. April 2006), im genannten Rahmen arbeitsfähig und kann insoweit die gleiche Tätigkeit ausüben wie als Gesunde.
4. 4.1 Weitere Parameter der Invaliditätsbemessung liegen nicht im Streit (zum Rügeprinzip: <ref-ruling> E. 1a S. 349 mit Hinweis).
4.2 Mit Blick auf die Identität der Bemessungsgrundlage (oben E. 3.3; vgl. dazu RKUV 2006 Nr. U 568 S. 67 E. 2.2) entspricht die ärztlich attestierte Einschränkung von 25 Prozent, unter zusätzlicher Berücksichtigung eines Abzugs von 10 Prozent, dem Invaliditätsgrad. Dieser beträgt somit 32,5 Prozent. Aufgrund dessen kann die Beschwerdeführerin keine Invalidenrente beanspruchen (Art. 28 Abs. 1 IVG).
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Oktober 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub