Sachverhalt:
A. Anlässlich der ordentlichen Gemeindeversammlung der Gemeinde Freienbach vom 16. April 2010 stimmten die Stimmberechtigten unter Traktandum 7 dem Sachgeschäft "Baukredit Werkhof/Entsorgung/Kunstschaffende, Schwerzi/Freienbach" zu. Das Geschäft umfasste u.a. die Verlegung der Hauptsammelstelle für die Entsorgung und des Werkhofes Gwatt Pfäffikon in die Schwerzi Freienbach und einen Mietvertrag mit der Y._ AG über dreissig Jahre. Mit dieser Zustimmung wurde das Geschäft der Urnenabstimmung zum Entscheid überwiesen. An der Urnenabstimmung vom 13. Juni 2010 nahmen die Stimmberechtigten das Geschäft an.
Im Laufe der Versammlung vom 16. April 2010 hatte X._ einen Rückweisungsantrag gestellt. Dieser Antrag wurde als unzulässiger Ablehnungsantrag qualifiziert. Die vom Antragsteller dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz am 16. Juli 2010 ab. In der Folge wies auch das Bundesgericht die Beschwerde von X._ ab (Urteil 1C_373/2010 vom 21. Februar 2011, in: ZBl 112/2011 S. 382).
B. Am 7. Juni 2011 reichte X._ dem Gemeinderat Freienbach die "Einzelinitiative für die Beibehaltung der Hauptsammelstelle Gwatt in Pfäffikon" ein. Er begründete sein Initiativbegehren wie folgt:
"Seit der Volksabstimmung vom 13.6.2010 haben sich die Voraussetzungen für die Verlegung der Hauptsammelstelle nach Freienbach wesentlich verändert. Insbesondere sind erhebliche neue Sachverhalte bezüglich dieses Geschäfts aufgetaucht, ein aktueller Bedarfsnachweis fehlt, und die Verhältnismässigkeit ist angesichts der finanziellen Lage der Gemeinde Freienbach nicht gegeben (...)
Dieser neuen Sachlage muss im öffentlichen Interesse Rechnung getragen werden.
Deshalb reiche ich Ihnen hiermit meine Einzelinitiative ein, welche eine Kosteneinsparung von rund Fr. 35 Mio. mittels Beibehaltung der Hauptsammelstelle Gwatt in Pfäffikon bezweckt und die Kündigung des Vertrags mit der Y._ AG auf den nächstmöglichen Termin.
Ich ersuche Sie, meine Initiative entgegenzunehmen, eine entsprechende Abstimmungsvorlage auszuarbeiten und diese den Stimmbürgern innert Jahresfrist zur Abstimmung vorzulegen."
Mit Beschluss vom 30. Juni 2011 qualifizierte der Gemeinderat Freienbach die Initiative als Wiederholungsinitiative und erklärte sie gestützt auf § 8 Abs. 2 GOG als unzulässig.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz wies die von X._ erhobene Beschwerde am 8. Februar 2012 ab. Es führte aus, der Gemeinderat habe das Initiativbegehren als unzulässige Wiederholungsinitiative qualifizieren dürfen und es lägen keine neuen Tatsachen vor.
C. Gegen diesen Entscheid des Verwaltungsgerichts hat X._ beim Bundesgericht am 8. März 2012 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> erhoben. Er beantragt die Aufhebung des Verwaltungsgerichts- und des Gemeinderatsentscheids sowie die Gültigerklärung seiner Initiative. Darüber hinaus ersucht er darum, ein zusätzliches Beweismittel nachreichen zu können. Am 15. März 2012 reichte der Beschwerdeführer den angekündigten Bericht "Schadstoffe und deren mögliche Schadstoffpotentiale auf dem Schwerzi-Areal in Freienbach" ein.
Der Gemeinderat beantragt mit seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. In einer weitern Stellungnahme vom 14. Mai 2012 hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest und reicht weitere Unterlagen ein. Schliesslich hat er dem Bundesgericht am 11. Juli 2012 zusätzliche "Beweismittel zur Altlastenproblematik" zukommen lassen.

Erwägungen:
1. Die allgemeinen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass (vgl. Art. 82 lit. c, Art. 88, Art. 89 Abs. 1, Art. 100 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde im Sinne von <ref-law> ist zulässig. Mit Blick auf den Devolutiveffekt des kantonalen Beschwerdeverfahrens ist auf das Begehren um Aufhebung des Gemeinderatsentscheids nicht einzutreten; dieser gilt allerdings als inhaltlich mitangefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
Das Bundesgericht überprüft die Anwendung des kantonalen Rechts mit freier Kognition (<ref-law>). Dazu gehört auch das im vorliegenden Fall angewandte Gesetz über die Organisation der Gemeinden und Bezirke (GOG; Gesetzessammlung 152.100).
Der Beschwerdeführer ersuchte in seiner Beschwerde darum, zusätzliche Beweismittel nachträglich einreichen zu dürfen. Am 15. März 2012 liess er dem Bundesgericht den von Martin Forter und Harald Friedl verfassten Bericht "Schadstoffe und deren mögliche Schadstoffpotentiale auf dem Schwerzi-Areal in Freienbach" und am 11. Juli 2012 den von denselben Experten erstellten Bericht "Stellungnahme zu den bisherigen Untersuchungsberichten gemäss AltlV von Basler & Hofmann zum DOW-Areal in Freienbach" zukommen. Diese Berichte sind dem Bundesgericht unaufgefordert und nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereicht worden. Es handelt sich um neue Beweismittel, die nach <ref-law> unzulässig sind.
Schliesslich stellt der Beschwerdeführer den Antrag, es sei von Seiten des Bundesgerichts zu veranlassen, dass das Attest des kantonalen Amts für Umwelt (AfU), wonach "keine Sanierungs- und Überwachungspflicht" für das DOW-Areal in der Schwerzi Freienbach bestehe, auf Vollständigkeit und Richtigkeit überprüft und allenfalls ergänzt werde. Diese nicht näher belegte Äusserung des AfU bildet nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Auf den Antrag ist nicht einzutreten.
2. Der Gemeinderat und das Verwaltungsgericht haben ihre Entscheide auf § 8 des Gesetzes über die Organisation der Gemeinden und Bezirke abgestützt. Diese Bestimmung hat folgenden Wortlaut:
§ 8 - Initiativrecht
1 Initiativbegehren sind dem Gemeinderat schriftlich einzureichen. Der Gemeinderat tritt auf ein Initiativbegehren nicht ein, wenn es sich nicht auf einen Gegenstand bezieht, zu dessen Behandlung die Gemeindeversammlung zuständig ist, der Grundsatz der Einheit der Materie nicht gewahrt ist, dem Bundes- oder kantonalen Recht widerspricht oder einen unmöglichen Inhalt aufweist.
2 Der Gemeinderat kann auch Initiativbegehren als unzulässig erklären, wenn sie sich als Wiederholung eines innert zwei Jahren von der Gemeindeversammlung behandelten Geschäftes darstellen und keine neuen Tatsachen vorliegen, die eine nochmalige Behandlung rechtfertigen. (...)
4 Erachtet der Gemeinderat das Initiativbegehren als zulässig, so legt er es mit seinem Antrag oder seinem Gegenvorschlag spätestens innert Jahresfrist der Gemeindeversammlung vor. (...)
Das Verwaltungsgericht legte im angefochtenen Entscheid dar, dass es sich beim Begehren des Beschwerdeführers um eine Wiederholungsinitiative handle und keine relevanten neuen Tatsachen im Sinne von § 8 Abs. 2 GOG vorlägen.
2.1 Der Beschwerdeführer zieht nicht ernsthaft in Zweifel, dass sein Initiativbegehren als Wiederholungsinitiative zu bezeichnen ist. Anlässlich der ordentlichen Gemeindeversammlung der Gemeinde Freienbach vom 16. April 2010 stimmten die Stimmberechtigten der Verlegung der Hauptsammelstelle für die Entsorgung und des Werkhofes Gwatt in die Schwerzi Freienbach zu. An der Urnenabstimmung vom 13. Juni 2010 wurde in diesem Sinne entschieden. Mit dem umstrittenen Initiativbegehren verlangt der Beschwerdeführer die Beibehaltung der Hauptsammelstelle Gwatt Pfäffikon und die Ablehnung der Verlegung in die Schwerzi Freienbach. Das Initiativbegehren vom 7. Juni 2011 stellt somit eine Wiederholungsinitiative im Sinne von § 8 Abs. 2 GOG dar.
Der Beschwerdeführer bestreitet auch nicht, dass er seine Initiative innert der von § 8 Abs. 2 GOG vorgesehenen zweijährigen Frist eingereicht hat (vgl. Peter Gander, Die Volksinitiative im Kanton Schwyz, in: ZBl 91/1990 S. 378, 401 f.). Er macht nicht geltend, die Sperrfrist verstosse gegen übergeordnetes Recht, sei mit der Garantie der politischen Rechte gemäss <ref-law> nicht vereinbar und verletze seine politischen Rechte (vgl. Hangartner/Kley, Die demokratischen Rechte in Bund und Kantonen der Schweizerischen Eidgenossenschaft, 2000, S. 822 ff.; Alfred Kölz, Die Zulässigkeit von Sperrfristen für kantonale Volksinitiativen, in: ZBl 102/2001 S, 169, 179 ff.; Etienne Grisel, Initiative et référendum populaires, 3. Auflage, 2004, S. 205 N 504 ff.).
2.2 Das Verwaltungsgericht verneinte das Vorliegen von neuen Tatsachen gemäss § 8 Abs. 2 GOG. Demgegenüber macht der Beschwerdeführer geltend, dass "für die Stimmbürger objektiv relevante neue Informationen" bestanden hätten, als er seine Initiative einreichte.
2.2.1 Unter diesem Titel weist der Beschwerdeführer vorerst hin auf den fehlenden Bedarf einer Verlegung der Sammelstelle von Gwatt in Pfäffikon in die Schwerzi Freienbach, die effektiv massiv höheren Gesamtkosten der Verlegung gegenüber einer Beibehaltung der Sammelstelle und die Verflechtungen zwischen dem Gemeinderat bzw. einzelner Mitglieder mit der Vertragspartnerin. Diese Vorbringen vermögen keine neuen Tatsachen zu belegen. Die Frage des Bedarfs für eine Verlegung der Sammelstelle bildete bereits Gegenstand der Botschaft zur Gemeindeversammlung vom 16. April 2010 und wurde anlässlich der Gemeindeversammlung diskutiert (vgl. Urteil vom 21. Februar 2010 E. 4.3). Das trifft auch auf die mit dem Projekt anfallenden Kosten zu (vgl. Urteil vom 21. Februar 2010 E. 4.1 und 4.3). Gewisse Verflechtungen zwischen Gemeinderat und privaten Firmen, das persönliche Interesse eines Gemeinderatsmitglieds und mögliche Interessenkonflikte waren bereits zur Zeit der Gemeindeversammlung bekannt (vgl. Urteil vom 21. Februar 2010 E. 6).
2.2.2 Der Beschwerdeführer weist zur Hauptsache darauf hin, dass auf dem heutigen Gelände in der Schwerzi Freienbach am 17. Dezember 1971 ein Grossbrand grosse Teile der Fabrikations- und Lagerhallen der damaligen Gurit-Werke zerstört hatte. Entsprechend den damals produzierten und gelagerten Materialien sei wahrscheinlich, dass sich beachtliche Altlasten mit einer breiten Schadstoffpalette auf dem Gelände befinden, insbesondere auch mit Dioxin angereicherte Materialien.
Diese Vorbringen des Beschwerdeführers stellen keine neue Tatsache dar. Der Grossbrand liegt vierzig Jahre zurück. Dessen Auswirkungen, die vom Amt für Umwelt als nicht gravierend bezeichnet worden sein sollen, sind unklar. Es liegen keine belegten und gesicherten Erkenntnisse über eine wesentliche Belastung mit kontaminierten Materialien auf dem Schwerzi-Areal vor. Der Beschwerdeführer äussert lediglich den Verdacht, dass der Standort auf dem Schwerzi-Areal sanierungsbedürftig sei und daher möglicherweise schon bald im Sinne der Altlastenverordnung eine mit hohen Kosten für das Gemeinwesen verbundene Sanierung vorgenommen werden müsse. Er rügt zudem eine Reihe von Verstössen gegen das Umweltschutzrecht. Er übersieht dabei, dass das vorliegende Verfahren wegen Verletzung von politischen Rechten nicht die Prüfung von umweltschutzrechtlichen Fragen zum Gegenstand hat. Der blosse Verweis des Beschwerdeführers auf das Vorliegen einer möglichen Altlastproblematik und einen entsprechenden Abklärungsbedarf kann somit nicht als neue Tatsache im Sinne von § 8 Abs. 2 GOG betrachtet werden.
2.3 Weiter rügt der Beschwerdeführer eine Missachtung der Kostenrelevanz seiner Vorbringen. Er nimmt Bezug auf den Mietvertrag, den die Gemeinde mit der Y._ AG bezüglich der Hallen 111 und 222 geschlossen hat. Dieser sei für den Fall einer Altlastensanierung auf die für die Gemeinde anfallenden Kosten hin zu prüfen und es seien die entsprechenden Rechte und Pflichten der Gemeinde förmlich festzuhalten.
Der Beschwerdeführer lässt ausser acht, dass der Mietvertrag mit der Y._ AG bereits Gegenstand der Beschlüsse der Stimmberechtigten aus dem Jahre 2010 bildete. Vorgesehen war schon damals eine Vertragsdauer von dreissig Jahren mit Verlängerungsoption. Die Umsetzung dieser Beschlüsse durch Abschluss eines Mietvertrags ist keine neue Tatsache und kann nicht ohne Weiteres durch eine Wiederholungsinitiative in Frage gestellt werden. Das Verwaltungsgericht hat denn auch festgestellt, dass eine Initiative den Rechtszustand nicht verändert, dass ihr keine aufschiebende Wirkung zukommt und dass sie die Umsetzung der getroffenen Beschlüsse nicht hemmt. Daran vermag die Befürchtung des Beschwerdeführers nichts zu ändern, dass erhebliche Sanierungskosten auf die Gemeinde zukommen könnten. Die Ungültigerklärung der umstrittenen Initiative verletzt daher auch in dieser Hinsicht die politischen Rechte des Beschwerdeführers nicht.
2.4 Schliesslich bringt der Beschwerdeführer vor, § 8 GOG gebiete die Ungültigerklärung einer Wiederholungsinitiative nicht, sondern erlaube auch dann, wenn sie innert zwei Jahren eingereicht werde, deren Entgegennahme und Folgegebung. Das dem Gemeinderat eingeräumte Ermessen sei im öffentlichen Interesse, nach den Regeln von Treu und Glauben und entsprechend dem rechtlichen Gehör (Art. 5 Abs. 2, Art. 9 und Art. 29 Abs. 2 BV) wahrzunehmen. Mit diesen Grundsätzen sei die Ungültigerklärung seiner Initiative nicht vereinbar. Es sei dem Gemeinderat allein darum gegangen, sein eigenes, von den Stimmberechtigten beschlossenes Projekt nicht zu gefährden.
Es trifft zu, dass § 8 Abs. 2 GOG die Zulassung einer Wiederholungsinitiative auch dann ermöglicht, wenn diese innert zwei Jahren seit den entsprechenden Beschlüssen der Stimmberechtigten eingereicht wird. Dem Gemeinderat kommt beim Entscheid über die Zulässigkeit einer solchen Initiative ein weiter Ermessenspielraum zu. Er hat sein Ermessen pflichtgemäss auszuüben. Dabei darf davon ausgegangen werden, dass § 8 Abs. 2 GOG eine Sperrfrist vorsieht und dieser mit entsprechender Ungültigerklärung einer Initiative Nachachtung verschafft werden darf. Sie bezweckt, generell-abstrakten Normen oder Beschlüssen eine gewisse Kontinuität zu sichern (vgl. Urteil 1P.406/1990 vom 26. Juni 1991 E. 3e, in: ZBl 93/1992 S. 18). Die Sperrfrist von lediglich zwei Jahren lässt eine Blockierung der Gesetzgebung nicht befürchten, weil der ordentliche Gesetzgebungsweg nicht ausgeschlossen wird und nach Ablauf der Sperrfrist neue Initiativbegehren grundsätzlich wiederum möglich sind (vgl. Kölz, a.a.O., S. 180; Grisel, a.a.O., S. 205 N 506; <ref-ruling> E. 2c S. 159). Initiativen, die kurz vor Ablauf der Sperrfrist eingereicht werden oder die nur in geringem Ausmass der Sperrwirkung entgegenstehen, kann allenfalls mit einer Teilgültigerklärung entgegen gekommen werden (vgl. Hangartner/Kley, a.a.O., S. 825 N 2073). Umgekehrt kann nicht gesagt werden, dass Initiativen allein deshalb zugelassen werden sollen, weil sie aus der Sicht der Initianten einem überwiegenden öffentlichen Interesse entspricht. Denn es darf davon ausgegangen werden, dass Initiativen im Hinblick auf die beabsichtigte Beschlussfassung durch die Stimmberechtigten grundsätzlich öffentliche Interessen verfolgen.
Vor diesem Hintergrund darf berücksichtigt werden, dass der Beschwerdeführer seine Initiative schon ein Jahr nach der Gemeindeversammlung und der Urnenabstimmung eingereicht hat. Der Beschluss der Stimmberechtigten umfasste unterschiedliche Teile, die zusammengenommen ein grösseres Ganzes bildeten. Daran sollte nicht vorschnell etwas geändert werden. Die Initiative brachte vorerst nichts Neues, das zu einer beschleunigten Neubeurteilung durch die Stimmberechtigten Anlass gab. Die beim Verwaltungsgericht vorgebrachten Befürchtungen über eine Altlastenproblematik rufen in erster Linie nach sachdienlichen Abklärungen anstelle neuer politischer Auseinandersetzungen. Die vom Beschwerdeführer zur Unterstützung seiner Initiative vorgebrachten Vorteile und Interessen - Abwehr eines grossen finanziellen Schadens, Verhinderung von Sachzwängen, Beschränkung eines politischen Fiaskos und Bewahrung vor unabsehbaren Folgen - brauchten von den Behörden nicht geteilt zu werden.
Bei dieser Sachlage kann nicht gesagt werden, dass der Gemeinderat sein Ermessen nicht pflichtgemäss ausgeübt habe und die Ungültigerklärung der Initiative die politischen Rechte des Beschwerdeführers verletze.
3. Demnach ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das sinngemäss gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung wird damit gegenstandslos. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Gemeinderat von Freienbach wird keine Parteientschädigung zugesprochen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gemeinderat Freienbach und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Juli 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Steinmann