Faits :
A.
A.X._ et B.X._, époux domiciliés dans le canton de Neuchâtel, ont été taxés définitivement pour l'impôt fédéral direct (ci-après: IFD), ainsi que pour les impôts cantonaux et communaux (ci-après: ICC) de la période fiscale 2003 le 11 novembre 2004. Les décomptes finaux du 24 novembre 2004 faisaient état de montants à acquitter s'élevant à 1'221 fr., respectivement 14'444 fr. 70.
Le 28 novembre 2005, deux actes de défaut de biens ont été établis à l'issue de poursuites dirigées contre B.X._ pour les impôts impayés, soit 1'451 fr. 95, respectivement 16'239 fr. 75. A la suite de la faillite de celui-ci, le Service des contributions du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des contributions) a vu ses créances reconnues dans le tableau de distribution du 7 avril 2009.
Le 12 août 2013, ayant requis sans succès de B.X._ le paiement des créances susmentionnées, ledit service a fixé la part due par A.X._ sur les arriérés d'impôts, soit 582 fr. 60 pour l'IFD et 6'253 fr. 40 pour l'ICC de la période fiscale 2003.
Le Service des contributions a, par décision du 29 octobre 2013, rejeté les réclamations de l'intéressée, qui estimait que la prescription du droit de percevoir l'impôt était atteinte pour l'IFD et les ICC.
B.
Par arrêt du 31 octobre 2014, le Tribunal cantonal de la Cour de droit public de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours de A.X._. Il a jugé en substance que la prescription de 20 ans de l'<ref-law> s'appliquait aux créances fiscales constatées par un acte de défaut de biens, à l'exclusion des délais des art. 121 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'impôt fédéral direct (LIFD ou la loi sur l'impôt fédéral direct; RS 642.11) respectivement 187 de la loi neuchâteloise du 21 mars 2000 sur les contributions directes (LCdir; RS/NE 631.0). Que la poursuite ait été engagée uniquement à l'encontre de B.X._ n'empêchait pas l'<ref-law> de s'appliquer également à son épouse. Le fait que celle-ci n'était plus débitrice solidaire des arriérés totaux d'impôts, compte tenu de l'insolvabilité de son époux, n'était pas pertinent, puisque le fisc ne réclamait à A.X._ que sa part d'impôt. Dès lors, le droit de percevoir l'IFD et les ICC dus par celle-ci pour la période fiscale 2003 n'était pas prescrit.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, principalement, d'annuler l'arrêt du 31 octobre 2014 du Tribunal cantonal et de constater que les créances d'impôts réclamées par le Service des contributions sont prescrites; subsidiairement, de renvoyer la cause à l'autorité précédente ou à l'autorité de première instance pour une nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle invoque une violation du droit fédéral relatif à la prescription et une application arbitraire du droit cantonal.
Le Service des contributions, le Tribunal cantonal et l'Administration fédérale des contributions concluent au rejet du recours, sous suite de frais.
Par ordonnance du 19 décembre 2014, le Président de la IIe Cour de droit public a jugé que la requête d'effet suspensif était sans objet.
A.X._ s'est encore prononcée par écriture du 14 avril 2015.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal cantonal a rendu une seule décision valant tant pour l'impôt fédéral direct que pour les impôts cantonal et communal, ce qui est en principe admissible (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 262 ss). Par souci d'unification par rapport à d'autres cantons dans lesquels deux décisions sont rendues, la Cour de céans a toutefois ouvert deux dossiers, l'un concernant l'impôt cantonal et communal (2C_1098/2014) et l'autre l'impôt fédéral direct (2C_1099/2014). Comme l'état de fait est identique et que les questions juridiques se recoupent, les deux causes seront néanmoins jointes et il sera statué dans un seul arrêt (<ref-law> et 24 de la loi de procédure civile fédérale du 4 décembre 1947 [PCF; RS 273]).
2.
2.1. Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>) ne tombant pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'<ref-law>. La voie du recours en matière de droit public est partant ouverte, conformément aux <ref-law> et 73 al. 1 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes (LHID ou la loi sur l'harmonisation fiscale; RS 642.14), dès lors qu'il porte sur la prescription du droit de percevoir l'impôt, soit une matière harmonisée (<ref-law>).
2.2. Les autres conditions de recevabilité des art. 42 et 82 ss LTF sont au surplus remplies, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2.3. Cependant, selon un principe général de procédure, les conclusions en constatation de droit ne sont recevables que lorsque des conclusions condamnatoires ou formatrices sont exclues. Sauf situations particulières, les conclusions constatatoires ont donc un caractère subsidiaire (cf. <ref-ruling> consid. 1.7 p. 123; <ref-ruling> consid. 4 p. 122 et les arrêts cités). Dans la mesure où la recourante conclut, parallèlement à l'annulation de l'arrêt du 31 octobre 2014 du Tribunal cantonal, à ce qu'il soit constaté que les créances d'impôts réclamées sont prescrites, elle formule une conclusion constatatoire qui est irrecevable.
3.
D'après l'<ref-law>, le Tribunal fédéral applique le droit d'office. Il examine en principe librement l'application du droit fédéral, ainsi que la conformité du droit cantonal harmonisé et de son application par les instances cantonales aux dispositions de la loi fédérale sur l'harmonisation fiscale.
Cependant, lorsque les dispositions de la loi sur l'harmonisation fiscale laissent une certaine marge de manoeuvre aux cantons, l'examen de l'interprétation du droit cantonal est limité à l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2 p. 209); les griefs doivent alors être motivés conformément aux exigences accrues de l'<ref-law>. Cette disposition reprend le principe d'allégation (Rügeprinzip), selon lequel l'acte de recours doit, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et préciser en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 232). Le recourant ne saurait se contenter de soulever de vagues griefs ou de renvoyer aux actes cantonaux. Le Tribunal fédéral n'a pas à vérifier de lui-même si l'acte entrepris est en tous points conforme au droit et à l'équité (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 314 et les arrêts cités).
4.
Le litige porte sur la question de la fin de la solidarité entre époux et sur le délai de prescription du droit de percevoir l'IFD et les ICC; il s'agit plus précisément de déterminer quelle disposition en matière de prescription est applicable, l'<ref-law> ou les dispositions topiques de droit fiscal, lorsqu'un époux est insolvable.
I. Impôt fédéral direct
5.
5.1. A teneur de l'<ref-law>, la créance constatée par un acte de défaut de biens se prescrit par 20 ans à compter de la délivrance de l'acte de défaut de biens.
Selon l'art. 121 al. 1 et 3 LIFD, les créances d'impôt se prescrivent par cinq ans à compter de l'entrée en force de la taxation (prescription relative); la prescription est acquise dans tous les cas après dix ans à compter de la fin de l'année au cours de laquelle la taxation est entrée en force (prescription absolue). La prescription est suspendue ou interrompue aux conditions prévues à l'art. 120 al. 2 et 3 LIFD (cf. <ref-law>). Ainsi, un nouveau délai de prescription commence notamment à courir lorsque l'autorité prend une mesure tendant à fixer ou faire valoir la créance d'impôt et en informe le contribuable ou une personne solidairement responsable avec lui du paiement de l'impôt; lorsque dure la solidarité fiscale, la mesure fait partir un nouveau délai de prescription à l'encontre du débiteur, ainsi que de la personne solidairement responsable (cf. <ref-law> par renvoi de l'<ref-law>). Selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, toutes les mesures des autorités portées à la connaissance du contribuable et tendant à recouvrer la créance fiscale, de même que de simples lettres ou injonctions interrompent le délai de prescription (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 67 s.; <ref-ruling> consid. 3.4.3 p. 281 s.; <ref-ruling> consid. 2c p. 3). Il s'agit plus généralement de tout acte officiel, c'est-à-dire également de réquisitions de poursuite et de toute autre mesure du droit des poursuites (arrêt 2C_58/2015 et 2C_59/2015 du 23 octobre 2015 consid. 6.2).
5.2. Le Tribunal fédéral vient de se prononcer sur une affaire similaire (arrêt 2C_58/2015 précité). Il a rappelé que la solidarité prend fin ex lege, notamment lorsque l'un des époux est insolvable (art. 13 al. 1, 2 e phrase, LIFD); puis, il a jugé que l'insolvabilité qui mettait fin à la solidarité entre les époux devait être reconnue dès l'instant où étaient établis des éléments qui attestaient de l'incapacité durable du débiteur de remplir ses obligations financières, soit un acte de défaut de biens (à tout le moins définitif), l'ouverture de la faillite, etc. (consid. 5.2). En l'occurrence, la solidarité entre les époux avait pris fin à la date de l'acte de défaut de biens définitif reçu par le Service des contributions (consid. 5.3). Le Tribunal fédéral a de plus considéré que le délai de prescription de 20 ans de l'<ref-law> ne s'appliquait pas à la personne solidairement responsable du paiement de l'impôt. A son égard, les délais de prescription ordinaires de la LIFD devaient seuls être pris en considération (consid. 6.1). Si, avant la fin de la solidarité fiscale, toute mesure tendant à fixer ou faire valoir la créance d'impôt dirigée contre l'un ou l'autre des conjoints faisait partir un nouveau délai de prescription pour les deux conjoints (responsabilité solidaire [cf. <ref-law>, par renvoi de l'<ref-law>]), après la fin de la solidarité seuls les actes dirigés à l'encontre du conjoint solvable devaient être pris en compte pour la prescription des dettes fiscales de celui-ci. L'acte de défaut de biens délivré à l'encontre de la personne poursuivie interrompait encore la prescription à l'égard de la personne solidairement responsable (consid. 6.2).
5.3.
5.3.1. En l'espèce, le Service des contributions a requis la poursuite à l'encontre de l'époux de la recourante; il s'est alors vu délivrer un acte de défaut de biens pour l'IFD de la période fiscale 2003 daté du 28 novembre 2005. Le dossier ne dit pas si cet acte était provisoire ou définitif (sur cette notion, cf. INGRID JENT-SORENSEN, Basler Kommentar, 2e éd., n° 14; ad <ref-law>; JÜRG WERNLI, in: Kurzkommentar SchKG, 2e éd. n° 8 ad <ref-law>; cf., en outre, arrêt 2C_58/2015 précité consid. 5.2). Le montant total de l'IFD de la période fiscale en cause s'élevait à 1'221 fr. et celui l'acte de défaut de biens à 1'451 fr. 95 (soit vraisemblablement l'impôt dû auquel se sont ajoutés les frais de poursuite). Cela signifie donc qu'il n'y avait pas de biens à réaliser et que, partant, l'acte de défaut de biens était définitif ( cf. INGRID JENT-SORENSEN, op. cit., n° 15 ad <ref-law> et arrêt 2C_58/2015 précité consid. 5.3). Comme mentionné dans l'arrêt de référence, cela suffisait pour reconnaître l'insolvabilité des époux (art. 13 al. 1, 2 e phrase LIFD). Par conséquent, la solidarité entre la recourante et son époux pour l'IFD de la période fiscale 2003 a pris fin le 28 novembre 2005.
Si par impossible l'acte de défaut de biens en cause était provisoire, il ressort du dossier (<ref-law>) que le fisc a produit "courant 2007" ses créances dans la faillite de l'époux. Le Service des contributions devait dès lors reconnaître, au plus tard à la date de cette production, l'insolvabilité du mari de la recourante et, partant, la fin à la solidarité des époux pour l'IFD de la période fiscale 2003.
L'Administration fédérale des contributions souligne que l'insolvabilité de l'un des conjoints, et l'extinction de la solidarité qui en découle, n'est prise en considération que sur requête du contribuable; elle cite, à cet égard, différents auteurs (cf. CHRISTINE JACQUES, in Yersin/Noël [éd.], Commentaire romand, Impôt fédéral direct, 2008, n° 10 ad <ref-law>; PETER LOCHER, Kommentar zum DBG, I. Teil, 2001, n° 16 ad <ref-law>; RICHNER/FREI/KAUFMANN, Handkommentar zum DBG, 2003, n° 10 ad <ref-law>; GREMINGER/BÄRTSCHI, in Zweifel/Athanas [éd.], Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer [DBG] Art. 1-82, 2e éd. 2008, n° 4 ad <ref-law>). Il découle, toutefois, de l'arrêt 2C_58/2015 susmentionné (consid. 5.2 et 5.3) qu'est déterminant, à cet égard, le moment où le fisc prend connaissance de l'insolvabilité du conjoint concerné et, partant, de la fin de la solidarité. Cet arrêt implique que, dès lors que le fisc sait qu'un conjoint est insolvable, il doit agir en conséquence et qu'une demande tendant à la prise en compte de cette fin de solidarité est superflue.
5.3.2. La décision de taxation définitive pour l'IFD de la période fiscale 2003 a été émise le 11 novembre 2004 et est entrée en force trente jours plus tard. Le délai de prescription absolue a donc commencé à courir début 2005 (<ref-law>), de sorte qu'il est arrivé à échéance au 31 décembre 2014.
Au surplus, la prescription relative de cinq ans est aussi acquise que l'on prenne en considération l'acte de défaut de bien du 28 novembre 2005 ou la production dans la faillite opérée "courant 2007". Les bordereaux définitifs du 11 novembre 2004 n'ont pas été attaqués et sont donc entrés en force à l'échéance du délai de réclamation. Ce délai a été valablement interrompu à l'égard de l'épouse par les divers actes intervenus envers son mari jusqu'à, et y compris, l'acte de défaut de biens du 28 novembre 2005 respectivement la production dans la faillite "courant 2007". Le nouveau délai de cinq ans, qui a commencé à courir à ce moment-là, est arrivé à échéance en novembre 2010 respectivement courant 2012, sans qu'aucun acte à l'encontre de l'épouse ne l'ait interrompu. Ce n'est, en effet, que le 12 août 2013 que le Service des contributions est intervenu auprès de la recourante relativement à sa part d'impôts pour la période fiscale 2003, soit alors que les délais de prescription relatifs de cinq ans de l'<ref-law> et de prescription absolue de l'<ref-law> étaient atteints.
5.4. Ainsi, le droit de percevoir la somme de 582 fr. 60 pour l'IFD de la période fiscale 2003 est prescrit. Le recours est admis en tant qu'il concerne cet impôt.
II. Impôts cantonaux et communaux
6.
La loi sur l'harmonisation fiscale traite de la prescription du droit de percevoir l'impôt à son art. 47 al. 2. Le droit cantonal en fait de même à l'art. 187 LCdir. Cependant, la loi sur l'harmonisation fiscale laisse les législateurs cantonaux déterminer les cas dans lesquels la prescription est suspendue ou interrompue. Surtout, à la différence de la loi sur l'impôt fédéral direct, elle ne contient pas de disposition relative à la solidarité entre les époux (cf. <ref-ruling> consid. 4b p. 146; arrêt 2P.201/2005 du 13 janvier 2006 consid. 2.2). Elle ne règle donc pas la question de savoir si les époux répondent solidairement du paiement de l'impôt et s'il existe des situations mettant fin à la responsabilité solidaire (arrêt 2C_58/2015 et 2C_59/2015 précité consid. 7). A ce propos, le canton de Neuchâtel a repris les règles de l'<ref-law> à l'art. 15 al. 1 LCdir/NE.
L'extinction de la solidarité entre époux n'étant pas une matière harmonisée, mais une question de droit cantonal, il n'est pas possible d'en invoquer la violation en tant que telle devant le Tribunal fédéral (<ref-law> e contrario). Comme le relève la recourante, il est néanmoins possible de faire valoir que l'application du droit cantonal consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire (art. 9 Cst.). Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law> (cf. consid. 3). En l'espèce, le mémoire de la recourante ne remplit pas ces conditions. Il présente, en effet, une motivation unique pour l'IFD et les ICC. Il se contente d'exposer son point de vue quant à la prescription du droit de percevoir l'impôt, mais ne démontre pas la raison pour laquelle l'arrêt attaqué serait arbitraire. Partant, le recours doit être déclaré irrecevable en tant qu'il concerne les ICC.
7.
Compte tenu de ce qui précède, le recours est admis en tant qu'il concerne l'IFD de la période fiscale 2003 (2C_1099/2014), le droit de percevoir cet impôt étant prescrit. L'arrêt attaqué est annulé en ce qu'il concerne l'IFD et la cause renvoyée au Service des contributions afin qu'il constate la prescription et émette un nouveau bordereau en conséquence.
Le recours est irrecevable en tant qu'il a trait aux ICC (2C_1098/2014) de la période fiscale 2003.
Succombant en la cause 2C_1098/2014, la recourante supportera les frais judiciaires qui s'y rapportent (<ref-law>). Le canton de Neuchâtel, dont l'intérêt patrimonial est en jeu, doit supporter ceux de la cause 2C_1099/2014 (<ref-law>).
La recourante a droit à une indemnité de dépens pour la procédure où elle obtient gain de cause à charge du canton de Neuchâtel (<ref-law>). Ce canton n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal, afin qu'il fixe à nouveau les frais et dépens de la procédure qui s'est déroulée devant lui (art. 67 et 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 2C_1098/2014 et 2C_1099/2014 sont jointes.
2.
Le recours est admis en tant qu'il concerne l'impôt fédéral direct de la période fiscale 2003 (2C_1099/2014), le droit de percevoir cet impôt étant prescrit. L'arrêt du 31 octobre 2014 du Tribunal cantonal est annulé en ce qu'il concerne l'impôt fédéral direct et la cause renvoyée au Service des contributions afin qu'il constate la prescription et émette un nouveau bordereau en conséquence.
3.
Le recours est irrecevable en tant qu'il a trait aux impôts cantonaux et communaux de la période fiscale 2003 (2C_1098/2014).
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à raison de 1'500 fr. à la charge de la recourante et de 500 fr. à la charge du canton de Neuchâtel.
5.
Le canton de Neuchâtel versera à la recourante une indemnité de 500 fr. à titre de dépens réduits.
6.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal, afin qu'il fixe à nouveau les frais et dépens de la procédure qui s'est déroulée devant lui.
7.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service des contributions et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, ainsi qu'à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 1er décembre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : Jolidon