Sachverhalt:
A.
A._ war vom 1. Oktober 2004 bis 30. September 2005 für die Firma B._ AG, tätig und dadurch bei der Winterthur-Columna Stiftung für die berufliche Vorsorge (seit Februar 2009: AXA Stiftung Berufliche Vorsorge; Beschwerdegegnerin 1) berufsvorsorgeversichert. In der Folge bezog er von Oktober 2005 bis Ende April 2007 Taggelder der Arbeitslosenversicherung. Während seiner Anspruchsberechtigung war er bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Beschwerdegegnerin 2) obligatorisch berufsvorsorgeversichert.
Ab 1. April 2007 war A._ infolge Krankheit zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. Am 28. Januar 2008 meldete er sich bei der IV-Stelle des Kantons Freiburg zum Leistungsbezug an. Er gab an, die Spätfolgen einer im Alter von zwei Jahren erlittenen Kinderlähmung erlaubten es ihm nicht mehr, eine berufliche Tätigkeit auszuüben. Die IV-Stelle sprach ihm mit Verfügungen vom 10. März und 8. Juni 2011 ab 1. April 2007 eine Viertelsrente, ab 1. Juli 2007 eine halbe Rente und ab 1. Januar 2010 eine ganze Rente zu.
Mit Schreiben vom 15. September 2011 lehnte die Stiftung Auffangeinrichtung BVG das Gesuch um Invaliditätsleistungen mit der Begründung ab, der Beginn der relevanten Arbeitsunfähigkeit sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit vor dem Bezug von Arbeitslosentaggeld eingetreten, weshalb A._ zu diesem Zeitpunkt nicht bei der beruflichen Vorsorge für arbeitslose Personen versichert gewesen sei. Auch die AXA Stiftung Berufliche Vorsorge verneinte mit Schreiben vom 10. Januar 2012 ihre Leistungspflicht. Sie begründete dies damit, dass eine längerdauernde Arbeitsunfähigkeit echtzeitlich erst ab 1. April 2007 und somit nach Ende der Vorsorgeversicherung attestiert worden sei.
B.
Am 28. Februar 2012 liess A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Klage erheben und beantragen, die AXA Stiftung Berufliche Vorsorge sei zu verpflichten, ihm mit Wirkung ab 1. April 2007 eine Invalidenrente zu gewähren. Oder die Stiftung Auffangeinrichtung BVG sei zu verpflichten, ihm ab 1. April 2007 eine Invalidenrente zu gewähren. Bis zum Entscheid in der Hauptsache sei die Stiftung Auffangeinrichtung BVG zu verpflichten, ihm vorleistungsweise eine Invalidenrente zu gewähren. Mit Entscheid vom 13. Februar 2014 wies das Verwaltungsgericht die Klagen mangels invalidisierender Wirkung des Post-Polio-Syndroms (PPS) ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die AXA Stiftung Berufliche Vorsorge, eventualiter die Stiftung Auffangeinrichtung BVG zu verpflichten, ihm ab 1. April 2007 eine Invalidenrente zu gewähren.
Die AXA Stiftung Berufliche Vorsorge beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG, die Vorinstanz und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Entscheiderhebliche Feststellungen der Vorinstanz zur Art des Gesundheitsschadens (Befund, Diagnose etc.) und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, binden das Bundesgericht, soweit sie nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law> sowie Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 397). Dies gilt auch für den Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG; SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126 E. 4.1.1, 9C_182/2007). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über das Vorliegen einer invalidisierenden gesundheitlichen Beeinträchtigung und über den Zeitpunkt des Eintritts einer rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit erfolgt (SVR 2009 BVG Nr. 7 S. 22 E. 2.2, 9C_65/2008; Urteil 9C_670/2010 vom 23. Dezember 2010 E. 1.2).
2.
Da die Beschwerdegegnerinnen in das Verfahren der Invalidenversicherung nicht einbezogen wurden, sind sie an deren Rentenentscheid nicht gebunden (<ref-ruling>). Darum ist zunächst zu klären, ob der Beschwerdeführer im berufsvorsorgerechtlichen Sinne invalid ist.
3.
Vorinstanzlich machte der Versicherte geltend, beim PPS handle es sich wie bei der Cancer-related Fatigue (<ref-ruling>) um ein multidimensionales Syndrom. Für die geforderte Gleichbehandlung eines PPS nach <ref-ruling> verlangt das kantonale Gericht, dass die Beschwerdesymptomatik mit überwiegender Wahrscheinlichkeit durch eine organische Veränderung bedingt ist und nicht auf psychosomatischen Faktoren beruht. Von einer organischen Ursache, so die Vorinstanz weiter, könne dann ausgegangen werden, wenn das PPS in einem engen Zusammenhang mit chronischen Entzündungen stehe. Werde dagegen das PPS durch eine psychosomatische Entwicklung ausgelöst, müssten aus Gründen der Rechtsgleichheit die zum invalidisierenden Charakter somatoformer Schmerzstörungen entwickelten Grundsätze Anwendung finden. Im Falle des Versicherten lasse sich die während des Vorsorgeverhältnisses mit der Auffangeinrichtung BVG aufgetretene Erschöpfungs- und Schmerzsymptomatik nicht mit den somatischen Befunden erklären, sondern beruhe auf vorbestehenden Persönlichkeits- und psychosozialen Belastungsfaktoren, welchen aus psychiatrischer Sicht nicht Krankheitswert beizumessen sei. Daher sei das PPS in der vorliegend zu beurteilenden Ausprägung hinsichtlich seiner invalidisierenden Wirkung nicht anders zu behandeln als andere Erschöpfungszustände und Schmerzkrankheiten (Burn-out-Syndrom, Cronique fatigue syndrome, Fibromyalgie).
4.
Der Beschwerdeführer wendet im Wesentlichen ein, mit dem PPS würden die Spätfolgen nach erlittener Poliomyelitis benannt. Diese Spätfolgen hätten ihren Ursprung in einer organischen Erkrankung. Das Syndrom werde denn auch im ICD-10-Katalog nicht als F-Diagnose aufgeführt, sondern unter der Ziffer G14 umschrieben. Das PPS kenne, anders als pathogenetisch-ätiologisch unklare syndromale Beschwerdebilder ohne nachweisbare organische Ursache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 549 unten f. mit Hinweisen), eine klare organische Ursache, ohne die dieses Syndrom gar nicht diagnostiziert werden könne. Dass psychosoziale Faktoren und Stress die Immunität einer betroffenen Person schwächten und die Auslösung der Spätfolgen beschleunigen könnten und dass die Resistenz gegen die bekannten Spätfolgen je nach Persönlichkeitstyp unterschiedlich ausgeprägt sei, mache das PPS nicht zu einem unklaren, sondern, gleich wie Cancer-related Fatigue, zu einem multidimensionalen Beschwerdebild, von welchem die Mehrheit der Polio-Patienten in fortgeschrittenem Alter in mehr oder weniger ausgeprägtem Ausmass betroffen sei und welches von organischen wie auch von psychischen Faktoren beeinflusst werde.
5.
5.1. Der von der Vorinstanz vertretenen Auffassung, die invalidisierende Wirkung eines PPS beurteile sich sinngemäss nach der Rechtsprechung zu den anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen, kann nicht gefolgt werden. Das PPS hat eindeutig und stets eine klare organische Ursache zur Grundlage, ohne die dieses Syndrom gar nicht diagnostiziert werden könnte, nämlich eine durchgemachte Poliomyelitis als einer anerkannten neurologischen Krankheit. Daher ist eine analoge Anwendung der Rechtsprechung <ref-ruling> rechtlich ausgeschlossen. In der Rechtsprechung ist denn auch der Charakter des PPS als invalidisierende Krankheit seit jeher unbestritten (vgl. Urteile I 133/77 vom 25. Oktober 1977; I 509/99 vom 15. Februar 2001 E. 3; I 152/00 vom 26. April 2001 E. 2; I 112/02 vom 30. Dezember 2002 E. 2.2; U 12/04 vom 28. Juli 2004 E. 3.2; 9C_617/2008 vom 6. August 2009 E. 4.4; 9C_527/2011 vom 24. Januar 2012 E. 2.3; 8C_53/2013 vom 14. Juni 2013 E. 6.2). Daran ist festzuhalten. Gegenüber dem rechtlich entscheidenden und auch vor dem verfassungsmässigen Gebot (<ref-law>) der rechtsgleichen Behandlung bestehenden Gesichtspunkt einer durchgemachten schweren und lebensbedrohenden Krankheit vermag die vom kantonalen Gericht vertretene differenzierende Beurteilungsweise auch aus der Ueberlegung heraus nicht aufzukommen, dass es im vorliegend interessierenden Kontext kein Entweder-Oder gibt. Denn ob ein PPS direkte organmedizinisch (neuro-, pneumologisch, orthopädisch usw.) vermittelte Spätfolge der im Kindes- oder Jugendalter erlittenen Poliomyelitis ist oder indirekt, aus psychosozialen Belastungen heraus, über den Weg psychosomatischer Krankheitsmechanismen, entsteht, (re) aktiviert, verschlimmert oder unterhalten wird, wirft im Einzelfall, wie gerade die sorgfältige vorinstanzliche Beweiswürdigung zeigt, schwierigste Abgrenzungsfragen auf, denen medizinisch kaum oder jedenfalls nur mit übermässigem Abklärungsaufwand beizukommen ist. Diesem Gesichtspunkt einer praktikablen Versicherungsdurchführung darf durchaus Gewicht zuerkannt werden, zumal es sich beim PPS um ein Beschwerdebild handelt, das hierzulande im Verschwinden begriffen ist.
5.2. Wie bereits erwähnt, war der Beschwerdeführer ab 1. April 2007 infolge Krankheit zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. Die IV-Stelle sprach ihm mit Verfügungen vom 10. März und 8. Juni 2011 ab 1. April 2007 eine Viertelsrente, ab 1. Juli 2007 eine halbe Rente und ab 1. Januar 2010 eine ganze Rente zu. Nach der gesetzlichen Konzeption der Invalidenleistungen aus erster und zweiter Säule sind die Festlegungen der IV-Stelle bezüglich Entstehung, Höhe und Beginn des Rentenanspruches grundsätzlich für die Invalidenrente der obligatorischen beruflichen Vorsorge massgebend und verbindlich. Es besteht vorliegend kein Grund, davon abzuweichen.
6.
Demnach bleibt die Frage zu klären, bei welcher Berufsvorsorgeeinrichtung der Beschwerdeführer seinen Rentenanspruch geltend machen kann.
6.1. Anspruch auf Invalidenleistungen haben nach Art. 23 lit. a BVG Personen, die im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 40 % invalid sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert waren. Die obligatorische Versicherung beginnt gemäss Art. 10 Abs. 1 BVG mit dem Antritt des Arbeitsverhältnisses, für Bezüger von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung mit dem Tag, für den erstmals eine Arbeitslosenentschädigung ausgerichtet wird.
6.2. Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, welcher der Ansprecher bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, angeschlossen war (Art. 23 lit. a BVG). Die Leistungspflicht setzt einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich der Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit (Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf von zumindest 20 Prozent; <ref-ruling> E. 3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23; SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143 E. 2.3 mit Hinweisen, 9C_127/2008) und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus (<ref-ruling> E. 4.1 S. 275). Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, der zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen der gleiche ist wie derjenige, auf welchem die Erwerbsunfähigkeit beruht (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 22). Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war (BGE <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22 mit Hinweisen). Diese Grundsätze gelten sinngemäss auch, wenn eine Vorsorgeeinrichtung ihre Leistungspflicht mit der Begründung verneinen will, eine berufsvorsorgerechtlich bedeutsame Arbeitsunfähigkeit habe bereits vor Beginn des Vorsorgeverhältnisses bestanden und ohne wesentliche Unterbrechung bis zum Beginn der Versicherungsdeckung angedauert (Urteil 9C_273/2012 vom 20. November 2012 E. 4.1.2 mit Hinweis).
6.3.
6.3.1. Im Februar 2006 prägten ein hartnäckiges lumbospondylogenes Syndrom rechts zufolge aktivierter Fazettengelenksarthrose und migratorische Polyarthralgien das Beschwerdebild (Bericht Dr. med. C._, Facharzt FMH für Rheumatologie und Innere Medizin, Bern, vom 29. März 2007). Dr. med. D._, Facharzt für Neurochirurgie FMH, stellte im Gutachten vom 1. Oktober 2007 fest, zeitlich sei eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit wegen lumbaler Schmerzen und Beschwerden mit der Aussteuerung (2. Oktober 2007) durch die Arbeitslosenversicherung zusammengefallen. Aufgrund dieses Gutachtens stellte die AXA Krankentaggeldversicherung mit Schreiben vom 5. Oktober 2007 ihre Leistungen ein. Nach Intervention der behandelnden Ärzte und des Rechtsvertreters kam sie insbesondere gestützt auf die bildgebenden Untersuchungen des Inselspitals auf ihren Entscheid zurück und richtete das Taggeld lückenlos bis zur Ausschöpfung des Anspruches aus. Dr. med. E._, Facharzt für Allgemeine Medizin FMH, Poliostützpunkt, attestierte im Arztbericht vom 28. März 2008 eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit ab April 2007 und fügte bei, dass bereits ab 2005 eine solche von 20 bis 50 % bestanden habe, diese aber wegen selbstständiger Tätigkeit jedoch schwer quantifizierbar sei. Dr. med. E._ sprach damit den Umstand an, dass der Beschwerdeführer bei der B._ AG nicht im Betrieb unter Aufsicht gearbeitet hatte, sondern weitgehend selbstständig seinen Aufgaben nachgegangen war. Die Leistungseinschränkungen konnten so vom Arbeitgeber nicht festgestellt werden. Dr. med. F._, Facharzt für Allgemeine Innere Medizin FMH und Rheumatologie FMH, Beratung für Poliomyelitiker/innen, hielt den Versicherten in einer allgemein-medizinischen Beurteilung vom 9. Mai 2008 wegen der bestehenden Schmerzen, Beschwerden und Einschränkungen als Folgen nach durchgemachter Poliomyelitis für nicht mehr arbeitsfähig. Diese Beschwerden hätten bereits während der Untersuchung von Dr. med. D._ (Gutachten vom 1. Oktober 2007) bestanden. Im Rahmen des interdisziplinären Gutachtens der Gutachterstelle G._ zuhanden der IV-Stelle vom 9. Juli 2009 wurde die Frage nach dem Bestand einer medizinisch begründeten Arbeitsunfähigkeit von 20 % oder mehr dahin gehend beantwortet, dass das die Arbeitsfähigkeit limitierende lumbale Schmerzsyndrom im Jahre 2005 seinen Anfang genommen und sich danach progressiv verstärkt habe. Die Gutachter nahmen an, dass die Arbeitsunfähigkeit ebenfalls langsam angestiegen sei und wahrscheinlich bereits 2005 20 % überstiegen habe.
6.3.2. Nach dem Gesagten kann zwar nicht mit Sicherheit festgelegt werden, wann genau die Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf von zumindest 20 % eingetreten war, da echtzeitliche Arztzeugnisse oder Feststellungen des Arbeitgebers fehlen. Jedoch ist davon auszugehen, dass diese Grenze mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erst nach dem 3. Oktober 2005 erreicht wurde, ab welchem Datum der Beschwerdeführer bei der Beschwerdegegnerin 2 berufsvorsorgeversichert war. Der enge sachliche und zeitliche Zusammenhang zwischen der während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der eingetretenen Invalidität ist gegeben. Die Beschwerdegegnerin 2 schuldet deswegen Invalidenleistungen.
7.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdegegnerin 2 auferlegt (Art. 65 Abs. 4 lit. a in Verbindung mit <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 13. Februar 2014, soweit es die Klage gegen die Beschwerdegegnerin 2 abwies, aufgehoben.
2.
Die Beschwerdegegnerin 2 wird verpflichtet, dem Beschwerdeführer ab 1. April 2007 eine Invalidenrente zu bezahlen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin 2 auferlegt.
4.
Die Beschwerdegegnerin 2 hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
5.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteikosten des vorinstanzlichen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. September 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Schmutz