Sachverhalt:
A. A.a Der 1975 geborene, als kaufmännischer Angestellter ausgebildete S._ arbeitete von August 2000 bis Ende Dezember 2001 als Kundendienstleiter im Medikamentenvertrieb und ab November 2002 als EDV-Lehrer anfänglich in einem Pensum von 30 % und seit 1. Januar 2004 halbtags. Am 12. Juni 2003 meldete er sich unter Angabe multipler gesundheitlicher Leiden (rheumatische Schmerzen im Bereich der Wirbelsäule und des Beckens, Bein- und Knieprobleme, Magenbeschwerden) bei der Invalidenversicherung zum Bezug einer Rente an. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau klärte die erwerblichen und medizinischen Verhältnisse ab; dazu veranlasste sie auch eine medizinische Begutachtung durch die Klinik X._ (Expertise vom 25. November 2004 mitsamt Bericht einer Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit EFL vom 27. Oktober 2004 und einer psychiatrischen Zusatzbeurteilung des Psychiatriezentrums Y._ vom 9. August 2004). Mit Verfügung vom 5. Januar 2005 und Einspracheentscheid vom 1. März 2005 lehnte sie den Anspruch des S._ auf Invalidenrente ab, weil er keine Erwerbseinbusse erleide.
A.b Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies die AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau ab (Entscheid vom 2. August 2005).
A.c S._ erhob Verwaltungsgerichtsbeschwerde und beantragte, die Sache sei unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids zur weiteren Abklärung an die Verwaltung zurückzuweisen; eventualiter seien ihm die "gesetzlichen Leistungen der Eidgenössischen Invalidenversicherung zuzusprechen".
A.d Mit Urteil I 639/05 vom 8. Mai 2006 wies das Eidgenössische Versicherungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Es hielt fest, dass die beschwerdeführerischen Vorbringen nicht stichhaltig waren. Mit der Vorinstanz ging es gestützt auf das Gutachten der Klinik X._ davon aus, dass der Versicherte in der im Zeitpunkt des Einspracheentscheids ausgeübten Erwerbstätigkeit als EDV-Lehrer wie auch in jeglichen anderen entsprechenden Beschäftigungen zu mindestens 90 % arbeitsfähig war (E. 3.4).
A.e Am 19. September 2006 wandte sich S._ mit einer Neuanmeldung an die IV-Stelle und beantragte Wiedereröffnung des Gesuchsverfahrens und Prüfung, ob nicht Anspruch auf berufliche Massnahmen bestehe (insbesondere auch zur Vermeidung einer künftigen Invalidität). Die IV-Stelle veranlasste eine Begutachtung in der Psychiatrischen Klinik Y._. Diese ergab eine Arbeitsunfähigkeit von 0 % bis 10 % aufgrund einer ängstlich vermeidenden Persönlichkeitsstörung (Gutachten vom 2. Februar 2007). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren wies die IV-Stelle mit Verfügungen vom 9. November 2007 den Anspruch auf eine Invalidenrente wegen eines zu tiefen Invaliditätsgrades von 10 % ab, denjenigen auf berufliche Massnahmen darum, weil S._ angemessen eingegliedert sei und die Erwerbsfähigkeit durch eine Umschulung nicht verbessert werden könne.
A.f Mit Entscheid vom 13. August 2008 bestätigte das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht das Fehlen eines Leistungsanspruchs.
A.g Am 5. November 2009 meldete sich S._ erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an und reichte das von seinem Rechtsvertreter in Auftrag gegebene neurologische und psychiatrische Gutachten der Dres. med. M._, FMH Neurologie, und H._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 14. November 2009 ein. Diese kamen zum Schluss, bei S._ liege aus gesamtmedizinischer Sicht eine Beeinträchtigung der Arbeits- und Leistungsfähigkeit vor, die zur Folge habe, dass er einem Arbeitgeber in der freien Marktwirtschaft nicht zumutbar sei. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens trat die IV-Stelle mit Verfügung vom 29. März 2010 auf die Neuanmeldung nicht ein, weil aufgrund des Gutachtens eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes nicht ausgewiesen sei und nicht annähernd glaubhaft gemacht werde, dass sich die tatsächlichen Verhältnisse wesentlich verändert hätten.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht mit Entscheid vom 7. Juli 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, der vorinstanzliche Entscheid vom 7. Juli 2010 sowie die Nichteintretensverfügung der IV-Stelle vom 29. März 2010 seien aufzuheben und die Sache an die Verwaltung zurückzuweisen, damit diese das Leistungsbegehren materiell prüfe und erneut darüber verfüge.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Dabei legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2. Streitig und zu prüfen ist das vorinstanzlich als rechtens beurteilte Nichteintreten der Verwaltung auf das Leistungsbegehren vom 5. November 2009 mangels Glaubhaftmachung einer anspruchserheblichen Änderung seit der letzten verfügten materiellrechtlichen Leistungsprüfung und Rentenverweigerung am 9. November 2007.
2.1 Im kantonalen Entscheid werden die gesetzlichen Voraussetzungen des Eintretens auf eine Neuanmeldung nach früherer rechtskräftiger Leistungsverweigerung oder rückwirkend befristeter Zusprechung einer Invalidenrente (<ref-ruling>), insbesondere das Erfordernis der Glaubhaftmachung einer anspruchserheblichen Änderung gemäss Art. 87 Abs. 4 in Verbindung mit Abs. 3 IVV (vgl. hinten E. 2.2 - 2.4), zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.2 Die Eintretensvoraussetzung gemäss Art. 87 Abs. 3 und 4 IVV soll verhindern, dass sich die Verwaltung immer wieder mit gleichlautenden und nicht näher begründeten Rentengesuchen befassen muss (<ref-ruling> E. 5.3.1 S. 112). Die Rechtskraft der früheren Verfügung steht einer neuen Prüfung so lange entgegen, wie der seinerzeit beurteilte Sachverhalt sich in der Zwischenzeit nicht verändert hat. Die Verwaltung verfügt bei der Beurteilung der Eintretensvoraussetzungen über einen gewissen Spielraum. So wird sie zu berücksichtigen haben, ob die frühere Verfügung nur kurze oder schon längere Zeit zurückliegt, und an die Glaubhaftmachung dementsprechend mehr oder weniger hohe Anforderungen stellen (<ref-ruling> E. 2b S. 114, 262 E. 3 S. 264; SVR 2007 IV Nr. 40 S. 135 E. 4.3, I 489/05).
2.3 Das gegenüber dem im Sozialversicherungsrecht sonst üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5b S. 360) herabgesetzte Beweismass des "Glaubhaftmachens" im Sinne von <ref-law> unterliegt weniger strengen Anforderungen als im Zivilprozessrecht (im Einzelnen Urteil 9C_68/2007 vom 19. Oktober 2007 E. 4.4.1 mit Hinweisen); es genügt, dass für das Vorhandensein des geltend gemachten rechtserheblichen Sachumstandes wenigstens gewisse Anhaltspunkte bestehen, auch wenn durchaus noch mit der Möglichkeit zu rechnen ist, bei eingehender Abklärung werde sich die behauptete Änderung nicht erstellen lassen (SZS 2009 S. 397, 9C_286/2009 E. 2.2.2; Urteil 9C_68/2007 vom 19. Oktober 2007 E. 4.4.1; je mit Hinweisen). Erheblich ist eine Sachverhaltsänderung, wenn angenommen werden kann, der Anspruch auf eine Invalidenrente (oder deren Erhöhung) sei begründet, falls sich die geltend gemachten Umstände als richtig erweisen sollten (SVR 2003 IV Nr. 25 S. 76 E. 2.2 und 2.3, I 238/02; 2002 IV Nr. 10 S. 25 E. 1c/aa, I 724/99).
2.4 In erster Linie ist es Sache der versicherten Person, substanzielle Anhaltspunkte für eine allfällige neue Prüfung des Leistungsanspruchs darzulegen. Wenn die der Neuanmeldung beigelegten ärztlichen Berichte so substanziiert sind, dass sich eine neue Prüfung aufgrund weiterer Erkenntnisse allenfalls rechtfertigen würde, ist die IV-Stelle zur Nachforderung weiterer Angaben dann verpflichtet, wenn den - für sich allein genommen nicht Glaubhaftigkeit begründenden - Arztberichten konkrete Hinweise entnommen werden können, wonach möglicherweise eine mit weiteren Erhebungen erstellbare rechtserhebliche Änderung vorliegt (zum Ganzen SZS 2009 S. 397, 9C_286/2009 E. 2.2.3).
2.5 Ob eine anspruchserhebliche Änderung im Sinne von <ref-law> glaubhaft gemacht ist, ist eine vom Bundesgericht nur unter dem Blickwinkel von <ref-law> überprüfbare Tatfrage. Frei zu beurteilende Rechtsfrage ist hingegen, wie hohe Anforderungen an das Glaubhaftmachen im Sinne von <ref-law> zu stellen sind (Urteil 9C_68/2007 vom 19. Oktober 2007 E. 4.1; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 692/06 vom 19. Dezember 2006 E. 3.1).
3. 3.1 Der kantonale Entscheid enthält zum Gesundheitszustand, wie er sich im Zeitpunkt der eine Rente ablehnenden Verfügung vom 9. November 2007 darbot, die Feststellung, dass aus psychiatrischer Sicht damals lediglich eine Arbeitsunfähigkeit von 0 % bis 10 % für alle Tätigkeiten aufgrund einer (ängstlich) vermeidenden Persönlichkeitsstörung ausgewiesen war (Administrativgutachten Psychiatrische Klinik Y._ vom 2. Februar 2007). Der Beschwerdeführer bezeichnet diese Sachverhaltsdarstellung als korrekt.
3.2 Im Rahmen des am 5. November 2009 angehobenen Neuanmeldungsverfahrens hat die Verwaltung keine eigenen Abklärungen getroffen, sondern sich nach Rücksprache mit dem RAD auf das vom Beschwerdeführer in Auftrag gegebene neurologische und psychiatrische Gutachten der Dres. med. M._ und H._ vom 14. November 2009 abgestützt. Nach den Feststellungen der Vorinstanz hat der Beschwerdeführer damit keine seit November 2007 eingetretene Verschlechterung des Gesundheitszustands glaubhaft zu machen vermocht. Dr. med. H._ habe anlässlich der Begutachtung im November 2009 eine Persönlichkeitsstörung gemischt mit narzisstischen, unreifen, vermeidend ängstlichen und passiv aggressiven Zügen, eine Dysthymie, Status nach schwerer depressiver Episode 2005 und mittelgradiger depressiver Episode 2007 sowie eine anhaltend somatoforme Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren diagnostiziert. Bei der Dysthymie handle es sich um eine chronische, wenigstens mehrere Jahre andauernde depressive Verstimmung, welche definitionsgemäss nicht die Schwere einer Depression erreiche und nicht invalidisierend im Sinne des Gesetzes sein könne. Neu seit November 2007 sei die Diagnose einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung. Eine solche sei allerdings nur ausnahmsweise invalidisierend. Vielmehr bestehe die Vermutung, dass sie oder ihre Folgen mit einer zumutbaren Willensanstrengung überwindbar sei. Ähnlich wie sie gelte auch die Fibromyalgie als eine psychische Erkrankung. Diese sei bereits Thema bei der Leistungsbeurteilung im Jahre 2007 gewesen, als Prof. Dr. med. E._, FMH Physikalische Medizin und Rehabilitation, im Schreiben vom 9. Juli 2007 eine generalisierte Myotendinose erwähnte. Im Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 13. August 2008 sei diese Myotendinose im Rahmen einer Tendomyopathie bzw. einer Fibromyalgie beurteilt und als nicht invalidisierend bezeichnet worden. Bereits damals habe das Gericht geprüft, ob eine Ausnahmesituation vorliege und ausnahmsweise von der Invalidisierung eines psychischen Gesundheitsschadens auszugehen sei, was es verneint habe. Diesbezüglich ergäben sich weder aus dem Gutachten des Dr. med. H._ noch aus den Ausführungen des Beschwerdeführers massgebliche Veränderungen. Dieser habe sich zudem bereits während den früheren Beurteilungen über Rücken-, Nacken-, Schultergürtel- und Muskelschmerzen beklagt. Ebenso die Konzentrationsschwierigkeiten seien nichts Neues. Auch die objektiven Befunde der psychiatrischen Begutachtungen von Februar 2007 und November 2009 unterschieden sich kaum. Die Gutachter Dres. med. M._ und H._ hätten denn auch keine Verschlechterung des Gesundheitszustandes seit 2007 erwähnt. Die Verwaltung habe die vom Beschwerdeführer eingereichten Gutachten richtigerweise als eine andere Beurteilung des gleichen Sachverhaltes qualifiziert, was für die Glaubhaftmachung nicht genüge. Sie sei daher (und aus weiteren Gründen, siehe hinten E. 4) zu Recht nicht auf die Neuanmeldung eingetreten.
3.3 Der Beschwerdeführer rügt, mit der Verneinung der Eintretensvoraussetzungen sei die Vorinstanz von deutlich überspannten Anforderungen an die Glaubhaftmachung im Sinne von <ref-law> ausgegangen, womit ihre Feststellung auf einer Rechtsverletzung beruhe und letztinstanzlich zu korrigieren sei. Überdies sei die vorinstanzliche Würdigung der medizinischen Akten willkürlich (<ref-law>). Dazu führt er unter anderem aus, die Gutachter Dres. med. M._ und H._ seien in der Konsensbesprechung zum Schluss gekommen, dass aus gesamtmedizinischer Sicht eine Beeinträchtigung der Arbeits- und Leistungsfähigkeit vorliege, die zur Folge habe, dass der Beschwerdeführer einem allfälligen Arbeitgeber in der freien Marktwirtschaft nicht zumutbar sei. Im Vordergrund würden heute die rehabilitativen Massnahmen stehen, sei es in stationärem oder halbstationärem Rahmen und vor allen Dingen im geschützten Arbeitsbereich. Für den Beschwerdeführer besagt dies mit anderen Worten, dass die Gutachter ihn für vollständig arbeitsunfähig halten und der Auffassung seien, er müsse umgehend in einer psychiatrischen Klinik oder einem ambulanten psychiatrischen Dienst behandelt werden. Dieser Schluss ist zu weit gezogen. Wie Dr. med. H._ ausgeführt hat, kann eine definitive Beurteilung der Arbeitsfähigkeit aus psychiatrischer Sicht nicht vorgenommen werden, weil die Behandlungsmöglichkeiten noch nicht ausgeschöpft sind. Ein akuter stationärer Behandlungsbedarf lässt sich aus seinen sämtlichen Ausführungen nicht ableiten. In diesem Zusammenhang ist auch festzuhalten, dass die vom Beschwerdeführer letztinstanzlich vorgebrachte These, er leide an einer "Double Depression" (Depression und zusätzlich Dysthymie), schon insofern nicht überzeugt, als Dr. med. H._ keine solche diagnostiziert und auch nicht beschrieben hat. Im Gegenteil hat er angegeben, dass "sich beim Exploranden aktuell keine depressive Symptomatik" biete.
4. Vor dem Hintergrund der Akten und mit Blick auf die beweisrechtlichen Anforderungen (vorne E. 2.3) hat das kantonale Gericht keinen zu hohen Massstab an die Glaubhaftmachung im Sinne von <ref-law> gestellt und damit Bundesrecht verletzt. Es hat berücksichtigt, dass der Verwaltung bei der Beurteilung der Glaubhaftmachung ein Ermessens- und Beurteilungsspielraum zusteht, welcher von der angerufenen Gerichtsinstanz zu respektieren ist (Urteil 9C_286/2009 vom 28. Mai 2009 E. 3.2.3). Wenn sich der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang auf das Urteil 9C_312/2009 vom 18. September 2009 beruft, ist anzumerken, dass es das Bundesgericht in jenem Fall als willkürlich bezeichnet hat, wenn trotz der Hinweise verschiedener Ärzte auf eine psychische Problematik ohne fachärztlich-psychiatrische Exploration Anhaltspunkte für das Vorhandensein einer anspruchserheblichen Änderung verneint werden. Hier ist diese Exploration aber mehrmals erfolgt und sind seit der letzten Verfügung nur zwei und nicht vier Jahre vergangen. Es ist keine eigentlich neue Diagnose hinzugetreten. Die vorinstanzliche Feststellung, eine Persönlichkeitsstörung sei bereits in den früheren psychiatrischen Begutachtungen erwähnt worden, ist nicht offensichtlich unrichtig: In den Beurteilungen der Psychiatrischen Klinik Y._ vom 9. August 2004 und 2. Februar 2007 wurde eine ängstlich vermeidende Persönlichkeitsstörung (ICD-10 F60.6) diagnostiziert. Die beiden Gutachten sind fundiert und überzeugen. Sie sprechen von einer ängstlich vermeidenden Persönlichkeitsstörung, jedoch nur leichten Grades. Beide sehen kein besonders geartetes depressives Geschehen. Im Gutachten von 2007 finden sich verschiedene Hinweise auf Inkonsistenzen beim Beschwerdeführer (geklagte Rückenschmerzen, die bei Fremdbeobachtung verschwinden; behauptete Schwierigkeiten mit der deutschen Sprache). Das Privatgutachten des Dr. med. H._ vermag kein anderes Resultat herbeizuführen. Zum einen wird dort eine "Persönlichkeitsstörung gemischt (ICD-10 F61.0) mit narzisstischen, unreifen, vermeidend ängstlichen und passiv aggressiven Zügen" diagnostiziert. Das ist aber im Wesentlichen die gleiche Diagnose, die bereits in den erwähnten Gutachten der Jahre 2004 und 2007 gestellt worden ist. Anhaltspunkte für das Vorhandensein einer anspruchserheblichen Änderung finden sich nicht. Zwar ist im Gutachten des Dr. med. H._ von einer schweren Persönlichkeitsstörung die Rede; der Beschwerdeführer schildert seinen Lebens- und Tagesablauf aber nicht so, dass der Eindruck entsteht, es liege in hohem Masse eine Vermeidung sozialer Aktivitäten vor. Wie die Vorinstanz im Zusammenhang mit der somatoformen Schmerzstörung mit Recht erwogen hat, spricht gegen eine inzwischen eingetretene Invalidisierung eines psychischen Gesundheitsschadens neben anderem, dass der Beschwerdeführer nach wie vor Kontakte zu seinem Freundeskreis hat. Er gibt an, gerne zu lesen, macht Waldspaziergänge und sieht regelmässig fern. Als Hobby nennt er den Computer, er betreue das "Bischofszeller Forum" und sei dort für die Administration zuständig. Dass er es in den zwei Jahren geschafft hat, den Zigarettenkonsum von zwei bis drei Paketen täglich vollständig einzustellen (was letztinstanzlich nicht bestritten ist), zeigt, dass er durchaus in der Lage ist, eine erhebliche Willensanstrengung auf sich zu nehmen. Er fährt weiterhin Auto und nach wie vor konnten keine organischen, namentlich neurologischen Ursachen für die geklagten Schmerzen gefunden werden. Vielmehr hielt Dr. med. M._ fest, dass aus neurologischer Sicht keine Beschränkung der Arbeitsfähigkeit bestehe und gegenüber Dr. med. H._ erwähnte der Beschwerdeführer, er habe diese Schmerzen seit Jahren, auch leide er seit Langem an einem hochfrequenten Tinnitus beidseits. Es sei seit seiner Jugend so, dass er immer wieder schwarz sehe, sich schuldig und wertlos fühle, weil er nichts zu Stande gebracht habe. Gegen eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes spricht auch die Konstanz der Therapie, so besucht der Beschwerdeführer seit rund zweieinhalb Jahren einmal pro Woche den Psychiater Dr. med. A._ und musste seit 2007 auch nicht mehr in einer psychiatrischen Klinik hospitalisiert werden.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Oktober 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Schmutz