Zusatzversicherung, hat sich ergeben:
A.- Der seit dem 1. September 1995 bei der Kranken- und Unfallversicherung Y._ (nachstehend: Y._) in den Kategorien Basis (obligatorische Krankenversicherung), Complementa Plus, Optima Plus, Denta und Natura versicherte M.F._ begab sich am 6. August 1998 wegen Problemen in der Schulter für eine Operation in die Klinik H._ in Zürich. An die dort entstandenen Kosten von Fr. 13'940. 60 bezahlte die Y._ gemäss Abrechnung vom 29. Januar 1999 Fr. 2'077. 50. Von der Differenz anerkannte M.F._ den Selbstbehalt von Fr. 97.50; bezüglich des Rests führten Verhandlungen zu keinem Erfolg.
B.- In teilweiser Gutheissung der Klage von M.F._, mit der er von der Y._ Fr. 11'765. 60 plus Verzugszins verlangt hatte, verurteilte das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn die Beklagte am 13. Juli 2000, dem Kläger Fr. 11'735. 50 zuzüglich 5 % Zins seit dem
8. März 1999 zu bezahlen.
C.- Die Beklagte beantragt dem Bundesgericht mit Berufung, die Klage sei in Abänderung des Urteils des Versicherungsgerichts vollumfänglich abzuweisen.
Der Kläger schliesst auf Abweisung der Berufung, soweit auf diese eingetreten werden kann. Das Versicherungsgericht hat unter Hinweis auf seine Urteilsbegründung und die Akten auf Gegenbemerkungen verzichtet.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Dem Eintreten auf die Berufung gegen das von einem Versicherungsgericht gefällte Urteil steht nichts entgegen (<ref-ruling>; <ref-ruling> E. 3d S. 330; nur in einem hier nicht interessierenden Bereich bezüglich des Eintretens abweichend <ref-ruling> E. 2 S. 463 f.). Auch der erforderliche Streitwert (Art. 46 OG) ist erreicht.
2.- Das Versicherungsgericht hat den am 1. September 1995 abgeschlossenen Versicherungsvertrag nach dem Vertrauensprinzip ausgelegt und entschieden, der Kläger habe davon ausgehen dürfen, er könne den Arzt und das Spital in der ganzen Schweiz frei wählen. Die Beklagte macht geltend, das vom Versicherungsgericht ermittelte Auslegungsergebnis nach dem Vertrauensprinzip, bzw. der Unklarheitenregel sei falsch.
Einerseits verweise die Versicherungspolice von 1995 bloss auf die Versicherungsbedingungen, in denen darauf hingewiesen werde, dass sie nur Leistungen bezahlen müsse, die von genehmigten Einrichtungen erbracht worden seien. Weil es damals Spitallisten noch nicht gab, habe es bloss faktisch keine Einschränkung gegeben. Andererseits dürfe nicht auf einen Prospekt aus dem Jahre 1994 abgestellt werden, und sie habe mit ihrer Klageantwort den Beweis erbracht, dass dem Kläger die Einschränkung der Wahl im Januar und Februar 1998 mitgeteilt worden sei.
a) Die vorab zu entscheidende Frage, ob die Beklagte den vom Kläger eingeklagten Betrag gestützt auf den Versicherungsvertrag schuldet, richtet sich im Bereich der Zusatzversicherungen nach Privatrecht (Art. 12 Abs. 2 und 3 KVG, SR 832. 10; <ref-ruling> E. 2b).
Das Versicherungsgericht stellt für das Bundesgericht verbindlich fest (Art. 63 Abs. 2 OG; <ref-ruling> E. II/5a S. 368; <ref-ruling> E. 4b S. 22 unten), die Beklagte habe den Optima-Plus Versicherten in der ganzen Schweiz die freie Arzt- und Spitalwahl gewährt, obwohl im Ingress der Besonderen Versicherungsbedingungen für die Kategorie "Optima Plus" (nachstehend: BVB) von der "Wahlbeschränkung der Einrichtung" die Rede sei und Art. 3.1 BVB ebenfalls auf die "genehmigten Einrichtungen" verweise. Auch habe die Beklagte von der Möglichkeit der Einschränkung der freien Wahl erst im Januar und Februar 1998 Gebrauch gemacht, nachdem im Kanton Solothurn mit der Erstellung von Spitallisten begonnen worden sei. Weiter wird im angefochtenen Urteil festgestellt, die Versicherung "Optima Plus" sei vor der Einführung des Produkts "Ultra" das Maximalangebot der Beklagten gewesen und diese habe dem Kläger von sich aus erst nach dem 1. Januar 1999 einen Vertrag angeboten, der ihm die freie Wahl in der ganzen Schweiz ermöglicht hätte. Schliesslich stellt das Versicherungsgericht auch verbindlich fest, der Kläger habe an der Instruktionsverhandlung glaubhaft gemacht, er habe entsprechend dem früheren Zustand auch anlässlich des Vertragsschlusses vom 1. September 1995 die freie Wahl versichert haben wollen.
Die Ermittlung des Willens der Parteien nach dem Vertrauensprinzip verlangt, dass Verträge und Willensäusserungen der Parteien vom Wortlaut ausgehend so auszulegen sind, wie sie von einem vernünftigen Adressaten nach Massgabe der festgestellten Umstände in guten Treuen verstanden werden durften und mussten. Hier ist namentlich auf die BVB abzustellen, die auch systematisch ausgelegt werden dürfen (<ref-ruling> E. II/5a S. 368; <ref-ruling> E. 4b S. 22 unten; <ref-ruling> E. 2). Gelangt man mittels Auslegung nach dem Vertrauensprinzip zu klaren Ergebnissen, braucht entgegen der Ansicht des Klägers die subsidiäre Unklarheitenregel nicht bemüht zu werden (<ref-ruling> E. 1b S. 158; <ref-ruling> E. 2d S. 124). Das ist hier der Fall:
b) Die Vorinstanz hat ihre Ansicht, der Kläger habe darauf vertrauen dürfen, er könne frei wählen, ohne Verletzung von Bundesrecht in rechtlicher Hinsicht doppelt abgestützt.
Ein Prospekt aus dem Jahre 1994, der nach Ansicht der Vorinstanz für den Abschluss der Versicherung vom 1. September 1995 massgebend war, sichert mit der Formulierung "in der ganzen Schweiz" sinngemäss die freie Arzt- und Spitalwahl zu.
Das Versicherungsgericht hat auch die bis anfangs 1998 gelebte Vertragswirklichkeit im gleichen Sinn gewürdigt (lit. a Abs. 2 hiervor).
Weil sowohl im Ingress ("Wahlbeschränkung der Einrichtung") als auch in Art. 3.1 ("in einer genehmigten Einrichtung") die Möglichkeit der Einschränkung der Wahlfreiheit klar vorbehalten ist, hat die Beklagte ohne Verletzung des Versicherungsvertrages ihre Leistungen auf Behandlungen in Einrichtungen beschränkt, die auf der Spitalliste stehen, wie sie zu Recht geltend macht. Dass die Beklagte die Einschränkung im Januar oder Februar 1998 angekündigt hat, wird von der Vorinstanz festgestellt und ist denn auch belegt.
Der Kläger wendet zwar ein, er sei anfangs 1998 nur mit Massensendungen über die Einschränkung aufmerksam gemacht worden und habe keine Spitalliste erhalten. Damit gibt er aber zu, dass er erkennen konnte und angesichts sowohl des Ingresses der BVB als auch deren Art. 3.1 erkennen musste, dass die Beklagte die Wahl der Leistungserbringer einschränken durfte. Daraus folgt zwingend, dass der Kläger die Einschränkung umgehend hätte ablehnen müssen, falls er der Meinung gewesen wäre, ihm stehe die Wahlfreiheit noch immer zu.
Sein Schweigen muss ihm als Einverständnis angerechnet werden (Art. 1 Abs. 2 und Art. 6 OR; <ref-ruling> E. 3a S. 69 f., 123 III 53 E. 5a S. 59 f.). Dass er sich statt einer entsprechenden Reaktion mehr als fünf Monate später einer Operation in einer nicht auf der Spitalliste stehenden Einrichtung unterzog, weist im Ergebnis ebenfalls darauf hin, dass auch er seit Anfang 1998 wusste, bzw. wissen musste, dass die Beklagte die Wahlfreiheit ohne Verletzung der BVB einschränken durfte. Für den Zeitraum nach anfangs 1998 behauptet die Beklagte somit zu Recht, der Kläger sei bezüglich der Wahlfreiheit nicht in seinem Vertrauen zu schützen. Offen bleiben kann, ob der Inhalt der BVB dem Kläger schon seit dem 1. September 1995 als bekannt hätte angerechnet werden müssen (vgl.
BGE <ref-ruling> E. 2c/aa a.E. S. 123).
c) Besteht nach diesem Zwischenergebnis keine Pflicht der Beklagten, dem Kläger aus Vertrag die Kosten der Operation im August 1998 zu ersetzen, ist weiter zu prüfen, ob dafür andere Gründe bestehen.
3.- Das Versicherungsgericht hat entschieden, die Beklagte habe die Bestandesgarantie gemäss <ref-law> verletzt. Weil der Kläger seinen Arzt und sein Spital vor Inkrafttreten des KVG am 1. Januar 1996 frei habe wählen dürfen und ihm erst ab Januar 1999 Verträge mit freier Arzt- und Spitalwahl angeboten worden seien, müsse die Beklagte die eingeklagte Differenz grundsätzlich bezahlen. Die Beklagte wendet ein, die Bestandesgarantie sei im vorliegenden Fall gar nicht betroffen; jedenfalls sei sie schon mit dem Produkt Optima Plus gewahrt. Sie rügt weiter, die freie Arzt- und Spitalwahl sei nicht durch eine Anpassung der Versicherungsbedingungen an das neue Recht eingeschränkt worden; dies sei vielmehr Folge davon, dass im Kanton Solothurn erstmals anfangs 1998 Spitallisten erstellt worden seien, die im Übrigen jederzeit abgeändert werden dürften.
a) <ref-law> verpflichtet die Krankenversicherer, ihren Versicherten binnen eines Jahres nach Inkrafttreten des neuen Krankenversicherungsrechts eine Versicherung anzubieten, mit der mindestens der gleiche Leistungskatalog versichert ist, wie unter der Herrschaft des alten Rechts. Der Gesetzgeber wollte sicherstellen, dass diese Revision nicht zu einem Abbau des Versicherungsschutzes führt (Bestandesgarantie); der Versicherte soll von den früher vertraglich zugesicherten Leistungen weiterhin profitieren können und insoweit vor einer Verschlechterung seiner Versicherungsdeckung bewahrt werden (<ref-ruling> E. 1a/aa S. 46 f., 434 E. 3 S. 435; Botschaft des Bundesrates über die Revision der Krankenversicherung vom 6. November 1991, BBl.
1992 I S. 93, 214 Mitte und 290 f.; U. Kieser, Die Neuordnung der Zusatzversicherung zur Krankenversicherung, Eine Würdigung der übergangsrechtlichen Bestimmung von <ref-law>, AJP/PJA 1997, S. 13 f. bei Fn 25 bis 29). Muss der Krankenversicherer mit Rücksicht auf die Bestandesgarantie einen neuen Vertrag offerieren, sind die Versicherungsbedingungen des alten Vertrages mit denjenigen des neuen nach Massgabe des jeweils geltenden Gesetzesrechts zu vergleichen (P. Streit, Assurances complémentaires selon la loi sur le contrat d'assurance (LCA): expériences et perspectives, in:
Sécurité sociale 1997, S. 225 links unten; R. Spira, Le nouveau régime de l'assurance-maladie complémentaire, SVZ 63/1995 S. 195 f.).
Diese Bestandesgarantie kommt in der Regel dann zum Tragen, wenn ein über den obligatorischen Standard (<ref-law>) hinausgehender Versicherungsvertrag dem neuen Recht anzupassen ist. Denn <ref-law> ist eine übergangsrechtliche Bestimmung, wie aus der Überschrift des zweiten Kapitels der Schlussbestimmungen ("Übergangsrecht") und aus <ref-law> klar hervorgeht. Somit kann die Bestandesgarantie in jedem Fall erst eine Rolle spielen, wenn sich der versicherte Leistungskatalog durch das neue Recht zu Ungunsten des nach altem Recht Versicherten verändert hat (<ref-ruling> E. 1a, 1b und 3 a.A.; A. Maurer, Verhältnis obligatorische Krankenversicherung und Zusatzversicherung, in: LAMal - KVG, Receuil de travaux, Genf 1997, S. 725 f.; derselbe, Das neue Krankenversicherungsrecht, S. 137; Kieser, a.a.O. S. 13 bei Fn 23 f.; Spira, a.a.O.
S. 194 f.).
b) Im vorliegenden Fall wird weder geltend gemacht noch ist ersichtlich, dass das seit dem 1. Januar 1996 geltende Recht eine Änderung des am 1. September 1995 geschlossenen Versicherungsvertrages bewirkt hätte. Zwar erachtet der Kläger die Bestandesgarantie als verletzt, macht aber nicht geltend, das neue Recht habe eine Änderung des bestehenden Vertrages notwendig gemacht. Er verweist einzig darauf, dass die Beklagte ihm einen Vertrag mit freier Wahl erst anfangs 1999 anbot. Wohl behauptet er, die Beklagte habe ihm einen neuen Vertrag anbieten müssen, leitet die Anbietungspflicht aber einzig aus den Umständen ab, dass die Beklagte die Wahlfreiheit anfangs 1998 eingeschränkt und erst ein Jahr später eine Versicherung mit Wahlfreiheit angeboten hat. Das sind aber sachfremde Argumente: Zum einen war die Beklagte auf Grund der Revision des KVG rechtlich nicht verpflichtet, dem Kläger an Stelle der am 1. September 1995 geschlossenen eine neue Versicherung anzubieten. Zum anderen hätte die Beklagte gestützt auf den bestehenden Vertrag die Wahlmöglichkeit schon vor Inkrafttreten des KVG einschränken können mit der Folge, dass die Bestandesgarantie offensichtlich nicht betroffen gewesen wäre. Damit ist gleichzeitig aber auch belegt, dass die erfolgte Einschränkung nichts mit der Revision des KVG zu tun hat. Die Beklagte hat bloss ein aus dem Vertrag fliessendes Recht wahrgenommen; hätte sie ihr Recht nicht ausgeübt, wäre niemand auf die Idee gekommen, <ref-law> könnte betroffen sein. Die Bestandesgarantie ist mangels eines übergangsrechtlichen Bezuges nicht verletzt.
4.- Der Kläger macht offenbar für den Fall des Obsiegens der Beklagten erfolglos geltend, ein Vertrag ohne freie Arzt- und Spitalwahl würde ihm keinen Mehrwert bringen, den es zu versichern lohne. Erstens gibt er in anderem Zusammenhang selber zu, dass zumindest die Mehrkosten für die Hotellerie gedeckt sind. Zweitens ist unerfindlich, inwiefern die bezüglich der Einschränkung der Wahlmöglichkeit klar formulierten BVB Anlass für aufsichtsrechtliche Massnahmen hätten geben können (Art. 21 und 98 Abs. 1 und 2 KVG; Art. 3 Abs. 3 der V über die Inkraftsetzung und Einführung des KVG, SR 832. 10; Art. 13, 24 ff. und 28 ff. KVV, SR 832. 102; vgl. Art. 1, 4 lit. f, Art. 7 und 30 VAG, SR 961. 01). Drittens kann nicht gesagt werden, dem Kläger sei mit irreführenden oder unüblichen Versicherungsbedingungen der (z. B. in der Vertragsüberschrift) versprochene Versicherungsschutz faktisch entzogen worden (Art. 8 lit. a und b UWG, SR 241; <ref-ruling> E. 3, 119 II 443 E. 1).
5.- Die Vorinstanz hat entschieden, die weiteren Einwände der Beklagten, der Kläger habe es versäumt, von ihr eine Kostengutsprache zu verlangen und ihr nach Art. 14 der Allgemeinen Versicherungsbedingungen für die Zusatz-Krankenversicherung (mit subsidiärer Unfalldeckung) gemäss dem VVG (Ausgabe 1997) den Spitalaufenthalt zu melden und damit den Deckungsanspruch verwirkt, vermöchten am Ergebnis nichts zu ändern. Dringt die Beklagte nach den vorstehenden Erwägungen mit der Berufung durch, kommt auf ihre weiteren Einwendungen, namentlich zur angeblich unterlassenen Meldung und zur fehlenden Begründung im Urteil, nichts an. Auch die Vorbringen des Klägers, mit denen er die Argumente der Beklagten entkräften will, vermögen am gefundenen Resultat nichts zu ändern.
Das Gleiche gilt für die vom Kläger erläuterten Abrechnungsmodalitäten im interkantonalen Verhältnis.
6.- Bei diesem Ergebnis dringt die Berufung durch und der unterliegende Kläger wird kosten- und grundsätzlich auch entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG). Da die nicht anwaltlich vertretene Beklagte keinen Aufwand geltend macht, der über das zur Wahrung der eigenen Interessen erforderliche Mass hinausgeht, kann ihr keine Parteientschädigung zugesprochen werden (<ref-ruling> E. 5b mit Hinw.). Über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens kann das Bundesgericht nicht befinden (Art. 157 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- In Gutheissung der Berufung wird das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 13. Juli 2000 aufgehoben und die Klage abgewiesen.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Kläger auferlegt.
3.- Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.- Die Akten werden zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
5.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 21. Dezember 2000
Im Namen der II. Zivilabteilung des
SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: