Sachverhalt:
A.
Y._ (1970) und X._ (1968) heirateten am 19. Dezember 1996. Die Ehe blieb kinderlos. Die Ehefrau hat vier voreheliche Kinder.
B.
Die Parteien leben seit dem 1. Oktober 2005 getrennt. Am 28. November 2011 leitete der Ehemann beim Richteramt Olten-Gösgen das Scheidungsverfahren ein. Gemäss Eheschutzurteil vom 14. November 2005 bezahlt der Ehemann der Ehefrau gegenwärtig monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'500.--, zuzüglich Kinderzulagen.
C.
Mit Verfügung vom 6. Februar 2012 verpflichtete die Amtsgerichtspräsidentin den Ehemann im Rahmen des Scheidungsverfahrens zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses an die Ehefrau von Fr. 2'000.--. Mit Verfügung vom 16. Mai 2012 verpflichtete sie den Ehemann zur Leistung eines weiteren Vorschusses von Fr. 1'500.--, zahlbar in monatlichen Raten von Fr. 400.--, wobei ihm gleichzeitig Frist gesetzt wurde für die schriftliche Begründung der Scheidungsklage. Diese reichte er am 13. Juli 2012 ein. Die Ehefrau reichte ihre Klageantwort am 19. Oktober 2012 ein. Am 24. Oktober 2012 stellte die Ehefrau den Antrag, der Ehemann sei zu verpflichten, ihr einen weiteren Prozesskostenvorschuss von Fr. 7'000.-- zu leisten; eventualiter sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Die Amtsgerichtspräsidentin entschied am 21. Januar 2013 wie folgt:
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege der Ehefrau wird insofern bewilligt, als sie von der Kostenvorschusspflicht befreit wird. Im Übrigen wird das Gesuch abgewiesen.
3. Der Ehemann hat der Ehefrau letztmals einen Parteikostenvorschuss von Fr. 2'500.--, zahlbar in monatlichen Raten à Fr. 400.--, zu bezahlen.
Gleichzeitig wies die Amtsgerichtspräsidentin ein Gesuch der Ehefrau um Abänderung der Unterhaltsbeiträge während der Dauer des Verfahrens ab.
D.
Gegen diesen Entscheid erhob die Ehefrau am 1. Februar 2013 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Solothurn. Sie beantragte, in Ziff. 2 sei der zweite Satz und in Ziff. 3 sei "letztmalig" zu streichen. Ihr Antrag auf einen weiteren Prozesskostenvorschuss von Fr. 7'000.-- sei gutzuheissen, eventualiter die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Auch für das obergerichtliche Verfahren sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Weiter beantragte sie die aufschiebende Wirkung, welche indes mit Präsidialverfügung vom 6. Februar 2013 verweigert wurde.
Das Obergericht wies die Beschwerde und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mit Urteil vom 6. März 2013 ab und es auferlegte der Ehefrau die Verfahrenskosten inkl. Parteientschädigung zugunsten des Ehemanns.
E.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 8. April 2013 ist die Ehefrau an das Bundesgericht gelangt und sie beantragt, das Urteil vom 6. März 2013 sei aufzuheben. Die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese sei anzuweisen, die Beschwerde vom 1. Februar 2013 mit zutreffender Kognition zu prüfen und neu zu urteilen. Eventualiter sei reformatorisch zu entscheiden und der Beschwerdegegner zu verpflichten, ihr einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 7'000.-- zu bezahlen, resp. (sub) eventualiter sei ihr die unentgeltliche Prozessführung für das erstinstanzliche Verfahren zu gewähren. Für das bundesgerichtliche Verfahren beantragt sie ebenfalls die unentgeltliche Rechtspflege.
In seiner Vernehmlassung vom 3. Juni 2013 schliesst der Ehemann auf Abweisung unter Kosten- und Entschädigungsfolge, wobei über die unentgeltliche Rechtspflege nach richterlichem Ermessen zu entscheiden sei. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 216; <ref-ruling> E. 1 S. 117; je mit Hinweisen).
1.2. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>) betreffend einen Prozesskostenvorschuss (sog. Provisio ad litem) und subsidiär unentgeltliche Rechtspflege.
Die Pflicht des Staates, der mittellosen Partei für einen nicht aussichtslosen Prozess die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist subsidiär gegenüber der familienrechtlichen Unterhalts- und Beistandspflicht. Der Anspruch auf einen Prozesskostenvorschuss gegenüber dem Ehegatten geht demnach dem Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege vor (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 674). Vorliegend ist damit in erster Linie der Anspruch der Beschwerdeführerin auf einen Prozesskostenvorschuss zu prüfen; auf das subsidiäre Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist gegebenenfalls später zurückzukommen.
1.3. Der Entscheid über die Prozesskostenvorschusspflicht stellt eine während dem Scheidungsverfahren angeordnete vorsorgliche Massnahme (<ref-law>) und einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> (vgl. zuletzt Urteil 5D_30/2013 vom 15. April 2013 E. 1; <ref-ruling> E. 2.2 S. 431) in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit dar. Die gesetzliche Streitwertgrenze ist nicht erreicht (<ref-law>). Der von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Ausnahmetatbestand der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) ist nicht gegeben, weshalb die Beschwerde bezüglich Prozesskostenvorschuss als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> entgegenzunehmen ist. Die Frage des zulässigen Beschwerdewegs ist im Übrigen insofern ohne Belang, als im Zusammenhang mit vorsorglichen Massnahmen ohnehin nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-law> bzw. <ref-law>).
1.4. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>).
Für Verfassungsrügen gilt unabhängig von der Beschwerdeart das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2, <ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.
Die Beschwerdeführerin kritisiert, ihr rechtliches Gehör (<ref-law>) sei in mehrfacher Hinsicht verletzt worden, indem sie das Opfer formeller Rechtsverweigerung geworden sei.
Diese Rüge ist vorweg zu prüfen, da wegen der formellen Natur des Anspruchs auf rechtliches Gehör dessen Verletzung ungeachtet der Erfolgsaussichten in der Sache selbst zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197; <ref-ruling> E. 2.2 S. 190).
2.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe im angefochtenen Entscheid offengelassen, ob auf ihre (kantonale) Beschwerde einzutreten sei, weil sie in ihrer Beschwerdeschrift nicht angegeben habe, auf welchen in <ref-law> genannten Beschwerdegrund sie sich berufe. Die Vorinstanz habe dann aber keinen formellen Nichteintretensentscheid gefällt, sondern die Beschwerde "abgewiesen, soweit darauf eingetreten werde". Damit sei sie als Beschwerdeführerin im Ungewissen gelassen worden, ob auf ihre kantonale Beschwerde überhaupt eingetreten worden sei.
Diese Rüge geht ins Leere. Indem die Vorinstanz sich mit der Angelegenheit materiell auseinandergesetzt hat, ist sie (jedenfalls faktisch) eingetreten, was sich auch im Dispositiv spiegelt. Insofern lässt sich nicht von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs bzw. von Rechtsverweigerung sprechen. Soweit die Beschwerdeführerin gleichzeitig eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung resp. Willkür rügt, kommt dem keine selbständige Bedeutung zu (<ref-ruling> E. 5 S. 136 mit weiteren Hinweisen).
2.2. Die weiteren Punkte, in denen die Beschwerdeführerin eine formelle Rechtsverweigerung geltend macht, fallen nicht in den Bereich des rechtlichen Gehörs, sondern betreffen die behaupteterweise falsche Auslegung von <ref-law> durch die Vorinstanz (nachfolgend E. 3) sowie die Sachverhaltsfeststellung (E. 4).
3.
Die Beschwerdeführerin rügt sinngemäss, die Vorinstanz habe einen zu strengen Massstab an die Begründungsdichte der kantonalen Beschwerde angelegt. Diese sei von einer "Rügepflicht", d.h. einer qualifizierten Begründungspflicht im Sinne des Rügeprinzips nach <ref-law> und <ref-law> ausgegangen, was unter <ref-law> nicht rechtens sei, da im Anwendungsbereich dieser Bestimmung weniger hohe Begründungsanforderungen gälten. Die Rüge ist nur unter Willkürgesichtspunkten zulässig, da auf die Beschwerde in Zivilsachen im Zusammenhang mit der unentgeltlichen Rechtspflege, wo eine freie Kognition gegeben wäre, vorliegend nicht einzutreten sein wird (vgl. nachfolgend E. 6; zur beschränkten Kognition bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde: E. 1.3, 1.4).
3.1. <ref-law> (Beschwerde) und <ref-law> (Berufung) verlangen übereinstimmend, dass die Rechtsmitteleingabe "schriftlich und begründet" einzureichen ist.
Gemäss Rechtsprechung handelt es sich bei der Begründung um eine gesetzliche, von Amtes wegen zu prüfende Zulässigkeitsvoraussetzung. Fehlt sie, so tritt das obere kantonale Gericht auf das Rechtsmittel nicht ein. Das gilt für die Berufung gleichermassen wie für die Beschwerde (Urteil 5A_82/2013 vom 18. März 2013 E. 3.2, mit weiteren Hinweisen).
3.2. Zu <ref-law> hat das Bundesgericht ausgeführt, Begründen im Sinne der genannten Vorschrift bedeute, dass aufzuzeigen sei, inwiefern der angefochtene Entscheid als fehlerhaft erachtet werde. Dieser Anforderung genügt der Berufungskläger nicht, wenn er lediglich auf die vor der ersten Instanz vorgetragenen Vorbringen verweist, sich mit Hinweisen auf frühere Prozesshandlungen zufrieden gibt oder den angefochtenen Entscheid in allgemeiner Weise kritisiert. Die Begründung muss hinreichend genau und eindeutig sein, um von der Berufungsinstanz mühelos verstanden werden zu können. Dies setzt voraus, dass der Berufungskläger im Einzelnen die vorinstanzlichen Erwägungen bezeichnet, die er anficht, und die Aktenstücke nennt, auf denen seine Kritik beruht (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 375).
3.3. In der Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO] vom 28. Juni 2006 wurde festgehalten: "Für die Anforderungen an die Beschwerdebegründung gilt das zur Berufung Gesagte" (BBl 2006 7221 ff., S. 7378).
Auch in der Lehre wird mehrheitlich vertreten, dass für Berufung und Beschwerde dieselben formellen Begründungsanforderungen gelten sollen (Spühler, in: Basler Kommentar zur ZPO, Basel 2010, N 4 zu <ref-law>; Leuenberger/Uffer-Tobler, Schweizerisches Zivilprozessrecht, Bern 2010, N 12.68; Gasser/Rickli, ZPO Kurzkommentar, Zürich/ St. Gallen 2010, N 4 zu <ref-law> (welche von "Begründungslast" sprechen); Hungerbühler, in: DIKE-Kommentar zur ZPO, Brunner/ Gasser/Schwander [Hrsg.], Zürich/St. Gallen 2011, N 21 zu <ref-law> (mit Hinweis darauf, dass Noven gemäss <ref-law> ausgeschlossen seien); Jeandin, Code de procédure civile commenté, Bohnet/Haldy/Jeandin/Schweizer/Tappy [éd.], Bâle 2011, N 2 und 4 zu <ref-law>).
Teilweise hält die Lehre indes dafür, an die Beschwerde seien strengere Begründungsanforderungen zu stellen als an die Berufung. So wird vertreten, dass aus der Beschwerdeschrift insbesondere die gemäss <ref-law> geltend gemachten Beschwerdegründe sowie die sich aus den entsprechenden Rügen ergebenden Anträge hervorgehen müssen, damit auf die Beschwerde eingetreten werden kann (Reich, in: Stämpflis Handkommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Baker&McKenzie [Hrsg.], Bern 2010, N 8 zu <ref-law>; Freiburghaus/Afheldt, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 2. Aufl., Zürich/Basel/Genf 2013, N 14 und 15 zu <ref-law>). Reich (a.a.O.) ergänzt, dass gegenüber den bisherigen kantonalen Nichtigkeitsbeschwerden und -klagen geringere Anforderungen an die Rügepflicht gälten und verweist im Übrigen ebenfalls auf die Ausführungen zur Berufung gemäss <ref-law>. Freiburghaus/Afheldt fordern weiter, dass in der Beschwerdebegründung dargelegt wird, worauf der Beschwerdeführer seine Legitimation stützt, inwieweit er beschwert ist und an welchen Mängeln der angefochtene Entscheid leidet. Sie sprechen hierbei von einer Rügepflicht im Beschwerdeverfahren, wobei allerdings nicht die relativ strengen Anforderungen im Sinne der Rechtsprechung zu <ref-law> gelten könnten. Ferner seien die angerufenen Beweismittel zu benennen. Blosse Verweise auf Vorakten seien unzureichend. Bei der Konkretisierung der inhaltlichen Anforderungen an die Beschwerdebegründung solle schliesslich berücksichtigt werden, ob die betreffende Partei anwaltlich vertreten sei oder nicht. Bei anwaltlicher Vertretung rechtfertige sich eine gewisse Strenge, wobei sie auf <ref-ruling> E. 2.4 zum bundesgerichtlichen Verfahren verweisen (Freiburghaus/Afheldt, a.a.O., N 15 zu <ref-law>). Noch weiter geht Sterchi, der grundsätzlich für die Beschwerde eine im Vergleich zur Berufung einlässlichere Begründung fordert (siehe ausführlich Sterchi, in: Berner Kommentar zur ZPO, Band II, Bern 2012, N 14 und 17-19 zu <ref-law>).
Diesen Gegenmeinungen ist gemeinsam, dass die Angabe des im konkreten Fall angerufenen Beschwerdegrundes verlangt wird. Im Übrigen weichen aber auch diese Autoren - mit Ausnahme von Sterchi - inhaltlich nicht wesentlich von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Berufungsbegründung ab (vorstehend E. 3.2).
3.4. Die Frage braucht vorliegend nicht abschliessend beantwortet zu werden, da nach dem oben Gesagten für die Beschwerde mindestens dieselben Begründungsanforderungen gelten, wie für die Berufung. Die Beschwerdeführerin zeigt nicht rechtsgenüglich (<ref-law>) auf, inwiefern sie diesen nachgekommen wäre. Ist aber nicht einmal die Erfüllung der Berufungsvoraussetzungen dargetan, erübrigen sich weitere Ausführungen über die Begründungsanforderungen der Beschwerde.
Die Beschwerdeführerin kann auch daraus nichts zu ihren Gunsten ableiten, dass die Vorinstanz im angefochtenen Urteil von "Rügepflicht" gesprochen hat. Aus dem Zusammenhang ist klar, dass die Vorinstanz die "Begründungspflicht" im Sinne von <ref-law> meinte.
4.
Die Beschwerdeführerin hält es weiter für willkürlich, dass die Vorinstanz keine "eigenen Überlegungen" zur Frage angestellt habe, ob ein einfacher Fall vorliege (der eine Kürzung des Anwaltshonorars resp. des beantragten Prozesskostenvorschusses rechtfertige). Dabei habe sie bereits in ihrer kantonalen Beschwerde die Feststellung der erstinstanzlichen Richterin - es handle sich um einen einfachen Fall resp. ein Prozesskostenvorschuss von total Fr. 6'000.-- reiche aus - ausdrücklich als willkürlich gerügt. Die Vorinstanz sei darauf nicht eingegangen.
Die Beschwerdeführerin ist dahingehend zu verstehen, dass ihr ein höherer Prozesskostenvorschuss hätte zugesprochen werden sollen und die Vorinstanz zu Unrecht die Angelegenheit nicht mit voller Kognition geprüft habe. Die Rüge ist wiederum nur unter dem Blickwinkel der Willkür zu prüfen (vgl. E. 1.3, E. 1.4).
4.1. Dieerstinstanzliche Richterin hatte ihren Entscheid damit begründet, dass die Verhältnisse einfach seien und demzufolge der Aufwand nicht allzu gross sein könne. Ein Betrag von (weiteren) Fr. 2'500.-- erscheine als angemessen, da Fr. 6'000.-- (das Total der insgesamt zugesprochenen Prozesskostenvorschüsse) üblicherweise dem Aufwand in komplizierten Verhältnissen entspreche. Überdies sei die 21-seitige Klageantwort der Beschwerdeführerin übermässig und daher nicht der ganze Aufwand zu ersetzen.
Die Vorinstanz gab diese Argumente im angefochtenen Urteil wieder. Sie hob weiter hervor, dass sich gemäss Feststellung der Amtsgerichtspräsidentin im Scheidungsverfahren voraussichtlich nur die Frage des nachehelichen Unterhalts stellen werde. Anschliessend ging die Vorinstanz auf die Kritik der Beschwerdeführerin ein und befand, dass diese keine genügende Willkürrüge erhoben habe.
4.2. Entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin hat die Vorinstanz demnach das betreffende Vorbringen geprüft. Soweit sie rügt, dass die Vorinstanz dabei ihre Kognition nicht ausgeschöpft habe, übersieht sie, dass die Feststellung, es handle sich um eine einfache Angelegenheit, eine Sachverhaltsfeststellung darstellt. Die Sachverhaltskontrolle ist bei der Beschwerde beschränkt auf offensichtliche Unrichtigkeit (<ref-law>). Dem Vorwurf der Willkür in Bezug auf die Kognition ist damit der Boden entzogen.
4.3. Im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann das Bundesgericht Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Verletzung verfassungsmässiger Rechte beruhen; ansonsten legt es seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den diese festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 und 2 BGG).
Wie ausgeführt, macht die Beschwerdeführerin Willkür geltend. Sie wiederholt vor Bundesgericht, was sie (in knapperer Form) bereits vor der Vorinstanz dargelegt hat. In der Kritik an ihrer 21-seitigen Klageantwort sieht sie einen Angriff auf eine pflichtgemässe Rechtsvertretung. Ihre Lebensumstände seien alles andere als gewöhnlich, was auf die Frage der Unterhaltsbeiträge einen Einfluss haben werde und in der Klageantwort entsprechend zu beleuchten gewesen sei. Mit dem zugesprochenen Parteikostenvorschuss ergebe sich in Berücksichtigung des tatsächlich angefallenen anwaltlichen Aufwandes ein Stundenansatz zugunsten des Anwalts von Fr. 95.20. An anderer Stelle führt sie zudem aus, dass sie in Brasilien aufgewachsen sei und die deutsche Sprache nicht genügend beherrsche.
Weshalb ihre Umstände "alles andere als gewöhnlich" wären und was die Angelegenheit so kompliziert machen soll, legt die Beschwerdeführerin indes nicht dar. Dass die Sache rechtlich kompliziert sei, behauptet sie nicht. Schliesslich bestreitet sie auch die Feststellung nicht, dass üblicherweise in einem komplizierten Verfahren ein Aufwand von Fr. 6'000.-- anfalle.
4.4. Mithin ist keine Willkür dargetan, wenn die Vorinstanz davon ausging, dass ein weiterer Prozesskostenvorschuss von Fr. 2'500.-- angemessen sei, umso mehr als den kantonalen Instanzen in diesem Bereich Ermessen zukommt.
5.
Als willkürlich rügt die Beschwerdeführerin sodann sinngemäss, dass im angefochtenen Urteil der gewährte (reduzierte) Prozesskostenvorschuss als letztmalig bezeichnet worden ist. Dafür bestehe keine gesetzliche Grundlage. Die Richterin habe nicht wissen können, wie viel Zeit noch verstreichen werde, bis das Verfahren abgeschlossen sei. Zudem verfüge der Beschwerdegegner über Vermögen. Es sei daher unverständlich, weshalb die Geltendmachung eines zukünftigen Prozesskostenvorschusses verunmöglicht werden solle.
5.1. Im Kontext betrachtet ist offensichtlich, dass die erstinstanzliche Richterin mit der Verwendung des Begriffes "letztmals" verdeutlichen wollte, dass ihrer Ansicht nach der zugesprochene Prozesskostenvorschuss den gebührenden Aufwand in einem solchen Fall decken müsste und der beim Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin darüber hinaus angefallene Aufwand als übermässig zu qualifizieren sei. Die Verwendung des Wortes ist demnach auf die aktuelle Lage bezogen und schliesst künftige Entwicklungen nicht aus. Gegen die Ablehnung eines allfälligen zukünftigen Vorschussgesuchs stünde der Beschwerdeführerin überdies ein Rechtsmittel zur Verfügung. Vor diesem Hintergrund ist keine Willkür ersichtlich.
5.2. Auf die Frage der dem Beschwerdegegner gewährten Ratenzahlung ist nicht einzugehen, da die Beschwerdeführerin hier keine konkrete Rüge erhebt (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).
Zusammenfassend ergibt sich, dass die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Bezug auf die Provisio ad litem abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann.
6.
Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin, durch die "willkürliche Annahme, dass der erstinstanzlich zugesprochene Prozesskostenvorschuss genüge", sei eine Prüfung ihres Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege unterblieben. Vor diesem Hintergrund beantragt sie eventualiter, ihr sei durch das Bundesgericht die unentgeltliche (erstinstanzliche) Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren.
Der die unentgeltliche Rechtspflege abweisende Entscheid ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 403). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). In dieser geht es um eine Scheidung, mithin eine Zivilsache, die keiner Streitwertgrenze unterliegt (Art. 72 Abs. 1 und Art. 74 BGG). Die Beschwerdeführerin ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist (<ref-law>) ist eingehalten. Anders als für die Provisio ad litem wäre somit in Bezug auf den vorinstanzlichen Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (mit grundsätzlich freier Kognition des Bundesgerichts gemäss <ref-law>).
Wie vorstehend aufgezeigt (E. 4.3, E. 4.4), durfte aber vorliegend die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, dass der Prozesskostenvorschuss genügt. Die Frage der unentgeltlichen Rechtspflege im Scheidungsverfahren ist angesichts ihrer Subsidiarität (vgl. vorstehend E. 1.2) demzufolge gegenstandslos. Soweit sich die Beschwerdeführerin gegen den vorinstanzlichen Entscheid betreffend unentgeltliche Rechtspflege richtet, ist auf die Beschwerde demnach nicht einzutreten.
7.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>) und sie hat den Beschwerdegegner für die Stellungnahme im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen. Die vorstehenden Erwägungen zeigen auf, dass die Beschwerde von Beginn weg keinen Erfolg haben konnte, weshalb es an den Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In Bezug auf die Provisio ad litem für das Scheidungsverfahren wird die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen. Diese wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
In Bezug auf das subsidiäre Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Scheidungsverfahren wird auf die Beschwerde nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 250.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann