Sachverhalt:
Mit Entscheid vom 22. Mai 2013 hat das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau in teilweiser Gutheissung der von M._ eingereichten Klage festgestellt, dass die von der der Stadt Baden angeordnete vorzeitige Pensionierung widerrechtlich ist, und die Stadt Baden verpflichtet, M._ eine Entschädigung in der Höhe von Fr. 55'000.- auszurichten. Gegen diesen Entscheid lässt die Stadt Baden mit Eingabe vom 21. August 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht führen und folgende Anträge stellen:
"1. Das Urteil des Verwaltungsgericht des Kantons Aargau vom 22. Mai 2013 sei aufzuheben und die Sache sei zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2. Unter den gesetzlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Beschwerdegegners."
Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden dürfe. M._ lässt beantragen, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 133 mit Hinweisen).
2.
2.1. Die Beschwerdeschrift hat u.a. ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), darf sich der Beschwerdeführer grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung bzw. Rückweisung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen. Der Beschwerdeführer hat demnach anzugeben, welche Punkte des Entscheids angefochten und welche Abänderung des Dispositivs beantragt werden. Grundsätzlich ist ein materieller Antrag erforderlich; Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur neuen Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f. mit Hinweisen).
2.2. Die Beschwerdeführerin beantragt in ihrer Eingabe vom 21. August 2013 lediglich die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz. Einen materiellen Antrag stellt sie nicht. Damit genügt der Antrag den in E. 2.1 hievor dargelegten Grundsätzen klar nicht und macht die Beschwerde unzulässig. Dass das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde nicht selbst in der Lage wäre, ein Urteil zu fällen, und die Streitsache an die Vorinstanz zurückweisen müsste, geht aus dem angefochtenen Entscheid nicht hervor und wird auch in der Beschwerde nicht in rechtsgenüglicher Weise dargetan, wird doch nicht hinreichend begründet, weshalb das Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen sei.
2.3. Demnach ist auf die - offensichtlich unzulässige - Beschwerde im vereinfachten Verfahren (<ref-law>) nicht einzutreten.
3.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. November 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Kopp Käch