Erwägungen:
1.
X._ und Y._ reichten am 16. Februar 2013 die Steuererklärung 2012 ein. Vor dem Steuergericht des Kantons Solothurn blieben die Abzugsmöglichkeiten für Mehrkosten von ca. Fr. 600.-- für die Verpflegung im Rahmen einer Umschulung sowie von Fahrkosten zugunsten des behinderten Kindes strittig; diese wurden mangels hinreichender Belege kantonal letztinstanzlich am 10. Juni 2013 nicht zugelassen. X._ beantragt vor Bundesgericht, den Entscheid des Steuergerichts zu prüfen, da er damit nicht einverstanden sei und ihm das Steuergericht als befangen erscheine.
2.
Die Eingabe erweist sich als offensichtlich unzulässig und kann ohne Weiterungen durch den Präsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden:
2.1. Die Beschwerdeschrift betrifft sowohl die Staats- als auch die direkte Bundessteuer 2006, weshalb praxisgemäss zwei separate Dossiers eröffnet wurden. Da sich diese auf den gleichen Entscheid beziehen und denselben Sachverhalt betreffen, können die Verfahren vereinigt werden.
2.2.
2.2.1. Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein. Die beschwerdeführende Partei hat gezielt auf die für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz einzugehen. Dabei sind nur Vorbringen (Begehren und Begründung) zulässig, die sich auf den Streitgegenstand beziehen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 - 2.3).
2.2.2. Das Steuergericht hat die vom Steuerpflichtigen erhobenen Einwände geprüft und dargelegt, warum die von ihm gewünschten Abzüge nicht zugelassen werden könnten (mangelnde Belege, anderweitige Berücksichtigung). Der Beschwerdeführer wiederholt stichwortartig, was er vor der Vorinstanz vorgebracht hat; mit deren Begründung setzt er sich indessen in keiner Weise auseinander, weshalb seine Eingabe den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht genügt. Er legt auch nicht dar, inwiefern die Mitglieder des Steuergerichts befangen gewesen sein sollen.
2.3. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Zwar hat er um unentgeltliche Rechtspflege ersucht, doch war seine Eingabe in der vorliegenden Form zum Vornherein aussichtslos (<ref-law>); im Übrigen ist der Beschwerdeführer nach den unbestritten gebliebenen Ausführungen der Vorinstanz nicht bedürftig. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Die Verfahren 2C_635/2013 und 2C_636/2013 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
3.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.2. Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 400.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonalen Steuergericht Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar