Faits:
A.
A.a. Mme A.X._, née en 1970, et M. B.X._, né en 1967, se sont mariés à Chêne-Bougeries (GE) le 18 août 1994, sous le régime de la séparation de biens.
Le couple a quatre enfants: C._, devenu majeur en 2010, D._, né en 1995, ainsi que E._ et F._, nés en 2000.
Les conjoints se sont séparés à la fin de l'année 2010. Depuis lors, M. B.X._ ne s'est acquitté d'aucune contribution d'entretien en faveur de sa famille.
A.b. La situation financière des parties se résume ainsi:
A.b.a. M. B.X._ est historien d'art de formation. Il exerce à plein temps une activité d'indépendant dans le domaine de la vente et de l'expertise d'oeuvres d'art.
Son épouse critique essentiellement le montant du revenu qui lui est imputé, sans contester le montant de ses charges:
Entre mai 2011 et décembre 2012, le revenu de M. B.X._ a été arrêté à 2'310 fr.; ses charges incompressibles ont quant à elles été fixées à 2'285 fr. (1'200 fr. [entretien de base OP] + 600 fr. [loyer] + 485 fr. [assurance-maladie] ).
Dès janvier 2013, son revenu mensuel a été fixé à 4'500 fr. pour des charges incompressibles de 2'785 fr.
A compter du mois de septembre 2013, le revenu de M. B.X._ a été porté à 8'000 fr., somme tenant compte de la mise en location de sa villa secondaire située à G._ (France), pour un loyer de 3'500 fr. Ses charges ont été arrêtées à 5'500 fr.
A.b.b. Le revenu et les charges de Mme A.X._ ne sont pas critiqués.
Celle-ci est employée à temps partiel auprès de la " Fondation H._ "; elle exerce en outre une fonction d'administratrice au sein de la société I._ SA. En 2011 et 2012, elle a réalisé, à ce double titre, un salaire mensuel net moyen de 4'427 fr. et 5'921 fr. 15. Depuis le 1er janvier 2013, son salaire mensuel net se chiffre à 4'900 fr., étant précisé que son activité au sein de la " Fondation H._ " a été augmentée à 80% et que ses honoraires d'administratrice auprès de la société I._ SA ont été drastiquement réduits.
Les charges mensuelles de Mme A.X._ s'élèvent à 6'375 fr. entre le 1er janvier et le 31 août 2013, puis à 6'735 fr. à compter du 1er septembre 2013, compte tenu d'une charge fiscale de 360 fr. par mois.
A.b.c. Aux dires des parties, durant les dernières années de la vie commune, l'entretien de la famille a été essentiellement assumé par l'épouse, au moyen d'une avance d'hoirie et de la réalisation de divers éléments de fortune.
B.
Le 4 mai 2012, Mme A.X._ a introduit une procédure de mesures protectrices de l'union conjugale devant le Tribunal de première instance du canton de Genève.
Par jugement du 25 septembre 2012, la juridiction a notamment attribué la garde des enfants mineurs à l'épouse (ch. 2), aménagé un droit de visite en faveur du mari (ch. 3) et condamné celui-ci au versement d'une contribution à l'entretien de la famille de 2'500 fr. à compter du 1er mai 2011 (ch. 4), montant fondé sur un revenu hypothétique de 7'000 fr.
Le 10 mai 2013, statuant sur appel de l'époux, la Cour de justice a annulé et réformé le ch. 4 précité et fixé la contribution d'entretien à 1'635 fr. par mois entre le 1er janvier 2013 et le 31 août 2013, puis à 2'300 fr. par mois à compter du 1er septembre 2013, les allocations familiales étant dues en sus, montant fondé sur un revenu hypothétique de 4'500 fr., puis 8'000 fr.
C.
C.a. Agissant le 13 juin 2013 par la voie du recours en matière civile, Mme A.X._ conclut à l'annulation de l'arrêt rendu par la Cour de justice et à la condamnation de son époux au versement d'une contribution à l'entretien de la famille de 2'300 fr. à compter du 1er mai 2011. A l'appui de ses conclusions, la recourante invoque l'arbitraire dans l'établissement des faits et dans l'application du droit fédéral.
La recourante sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Appelés à se déterminer, la Cour de justice se réfère aux considérants de son arrêt tandis que l'intimé conclut à la confirmation de l'arrêt attaqué et au rejet de la requête d'assistance judiciaire.
C.b. M. B.X._ a également interjeté un recours en matière civile le 14 juin 2013. Son recours a toutefois été déclaré irrecevable par arrêt du 20 août 2013, faute de paiement de l'avance de frais dans le délai imparti (5A_451/2013).

Considérant en droit:
1.
La décision de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 ss CC) est une décision finale (<ref-ruling> consid. 4), rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF), par une autorité de dernière instance cantonale statuant sur recours (art. 75 LTF), dans une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4 LTF, art. 74 al. 1 let. b LTF). Le recours a été interjeté dans le délai légal (art. 46 al. 3 et 100 al. 1 LTF), par la partie qui a succombé dans ses conclusions devant l'instance précédente (art. 76 al. 1 LTF), de sorte qu'il est recevable au regard de ces dispositions.
2.
La décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (<ref-ruling> consid. 5.1, 585 consid. 3.3), de sorte que la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de ses droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant ( "principe d'allégation ", art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 3.2 et les arrêts cités).
3.
La recourante ne remet pas en cause le montant total du revenu imputé à son mari par la cour cantonale, à savoir 8'000 fr. Elle s'en prend exclusivement à la date à partir de laquelle celui-ci est en mesure de le réaliser, reprochant à la juridiction l'arbitraire dans l'établissement des faits et l'application du droit fédéral.
3.1. Les magistrats cantonaux ont avant tout retenu qu'à l'époque de la séparation, le standard de vie de chacun des membres de la famille consistait en la couverture de ses dépenses personnelles. La juridiction a ensuite distingué trois périodes:
Entre les mois de mai 2011 et décembre 2012, la cour cantonale a retenu que le revenu mensuel net moyen de l'intimé s'élevait à 2'310 fr. environ. L'imputation à l'intéressé d'un revenu hypothétique plus élevé - à savoir de manière rétroactive - ne pouvait être envisagée, les bénéfices qu'il retirait de son activité d'indépendant étant demeurés relativement constants durant les années qui avaient précédé et suivi la séparation. Compte tenu de ses dépenses mensuelles admissibles, à savoir 2'285 fr. par mois, l'on ne pouvait exiger de l'intéressé une contribution à l'entretien de sa famille pour la période considérée.
Dès le 1 er janvier 2013, la cour cantonale a retenu que l'intimé pouvait percevoir un salaire de 4'500 fr., montant que l'intéressé affirmait lui-même être en mesure de réaliser. Ses charges, arrêtées à 2'785 fr., lui laissaient un disponible de 1'715 fr. par mois. Relevant que les créditrentiers supportaient un déficit mensuel de 1'475 fr. et appliquant la méthode du minimum vital avec répartition de l'excédent à raison de 2/3 en faveur de l'épouse et des enfants, les magistrats cantonaux ont arrêté la contribution à l'entretien de la famille à 1'635 fr. par mois.
A compter du 1 er septembre 2013, le revenu de l'intimé a été arrêté à 8'000 fr. par mois. La cour cantonale a renoncé à cet égard à examiner s'il serait objectivement possible pour l'intéressé d'exercer une activité lui permettant de réaliser un revenu mensuel net de 7'000 fr., comme l'avait retenu la première instance. Les magistrats ont en revanche considéré qu'à compter de cette dernière date, l'intimé avait disposé d'un certain délai lui permettant de mettre en location l'immeuble dont il était propriétaire en France, ce pour un montant de 3'500 fr. par mois, tout en prenant à bail un appartement de dimension adéquate pour recevoir ses enfants à J._. Le montant du loyer imputé a été fixé sur la base des loyers proposés par le site internet de la commune de K._ pour des logements de surfaces et de caractéristiques équivalentes. Tenant compte d'une charge fiscale (965 fr.) ainsi que du loyer d'un appartement suffisamment spacieux (2'700 fr.), la cour cantonale a arrêté les charges de l'époux à 5'500 fr., montant qui lui laissait un disponible mensuel de 2'500 fr. Notant enfin que le déficit mensuel de la famille s'élevait à 1'835 fr., la juridiction cantonale a arrêté la contribution d'entretien à la famille à 2'300 fr., chacun de ses membres pouvant ainsi maintenir son précédent train de vie et les enfants bénéficier d'un complément d'entretien de l'ordre de 165 fr., sans léser le minimum vital du débirentier.
3.2. La recourante ne critique pas les méthodes de calcul adoptées par la cour cantonale pour fixer le montant des contributions, ni le montant du revenu global de 8'000 fr. imputé à son époux. Mais elle soutient que celui-ci devrait se voir imputer un tel revenu pour l'année précédant le dépôt de la requête de mesures protectrices déjà et qu'il devrait ainsi être condamné à verser une contribution à l'entretien de la famille de 2'300 fr. dès le 1er mai 2011. Elle souligne à cet égard que c'est volontairement que son époux refuserait de réaliser l'intégralité de son potentiel de gain avant le 1er janvier 2013, ce alors qu'il en aurait les capacités et la possibilité, qu'il dispose d'une formation d'historien de l'art et d'une pleine capacité de travail. Il serait ainsi arbitraire de considérer qu'il ne serait pas en mesure de réaliser un revenu mensuel de 4'500 fr. avant le mois de janvier 2013, tout comme il serait également arbitraire de lui accorder un délai supplémentaire pour mettre en location la villa dont il est propriétaire en France, son époux ayant volontairement renoncé à la mise en location de ce bien alors qu'il connaissait pourtant les difficultés financières de la famille. Le raisonnement des juges cantonaux procéderait ainsi de l'arbitraire dans l'application de l'art. 173 al. 3 CC et dans l'établissement des faits.
3.2.1. L'intimé soutient que son épouse disposerait d'une fortune personnelle (sociétés familiales, villas et appartement) dont il conviendrait également de tenir compte, ainsi que la juridiction l'avait fait à son égard s'agissant de sa résidence secondaire. Il affirme de surcroît que la mise en location de sa villa ne serait pas envisageable: non seulement il ne pourrait plus y recevoir ses enfants le week-end pour l'exercice de son droit de visite, mais le loyer retenu par la cour cantonale aurait été établi de manière erronée, la commune de G._ étant située à 1h de J._ et ses loyers incomparables à la ville prise pour référence de K._, qui se situe à la frontière même. Quant aux délais d'adaptation fixés par la cour cantonale, le recourant prétend qu'ils demeurent dans le cadre de sa libre appréciation, sans qu'un quelconque arbitraire ne puisse lui être reproché.
3.3.
3.3.1. Pour fixer la contribution d'entretien, le juge doit en principe tenir compte du revenu effectif du débirentier. Il peut toutefois lui imputer un revenu hypothétique supérieur. Il s'agit alors d'inciter l'intéressé à réaliser le revenu qu'il est en mesure de se procurer et que l'on peut raisonnablement exiger qu'il l'obtienne afin de remplir ses obligations (<ref-ruling> consid. 4a; arrêts 5A_99/2011 du 26 septembre 2011 consid. 7.4.1, non publié aux <ref-ruling> mais in FamPra.ch 2012 228; 5A_18/2011 du 1er juin 2011 consid. 3.1.1; 5A_290/2010 du 28 octobre 2010 consid. 3.1, publié in SJ 2011 I 177). Un certain délai est en principe laissé à la personne concernée pour se réinsérer professionnellement, délai qui doit être fixé en fonction des circonstances concrètes du cas particulier (cf. <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 5). Lorsque le juge procède à la détermination du revenu d'une personne en appréciant les indices concrets à sa disposition, il détermine toutefois son revenu effectif ou réel; il s'agit d'une question de fait (arrêt 5A_778/2012 consid. 5.3.2).
3.3.2. De jurisprudence constante, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2.2.2); il ne suffit pas qu'une solution différente apparaisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.1 et les références).
3.4.
3.4.1. Contrairement à ce que soutient la recourante, l'on ne saurait reprocher à la cour cantonale une application arbitraire de l'art. 173 al. 3 CC en refusant d'imputer un revenu hypothétique rétroactif à l'intimé à compter du 1er mai 2011. Comme la juridiction cantonale l'a en effet établi, les revenus de l'intéressé, certes faibles, ont été constants (environ 2'300 fr.) avant et après la séparation des parties, intervenue fin 2010, sans que la recourante ne le conteste. Cette situation correspondait d'ailleurs à ce que les parties avaient convenu entre elles durant la vie commune dès lors que l'entretien de la famille était alors essentiellement assumé par l'épouse (consid. A.b.c), sans que celle-ci s'en soit jamais plainte.
3.4.2. La question de savoir si la cour cantonale a ensuite imputé à l'intimé un revenu hypothétique ou déterminé son revenu effectif sur la base d'indices peut être laissée ouverte dès lors que son montant n'est pas remis en cause par la recourante. Reste cependant à déterminer si c'est arbitrairement que la juridiction cantonale a laissé à l'époux un délai de huit mois à compter du dépôt de la requête de mesures protectrices (mai 2012) pour lui permettre de réaliser un revenu supérieur de 4'500 fr. (à compter du mois de décembre 2012), respectivement de près d'un an et demi pour mettre en location sa villa (à compter du mois de septembre 2013) et obtenir ainsi un revenu définitif de 8'000 fr., montant total qui n'est pas contesté par la recourante.
La juridiction cantonale a en l'espèce affirmé qu'aucun élément du dossier ne permet de tenir pour vraisemblable que l'intimé serait en mesure de réaliser, avant le 1er janvier 2013, un revenu supérieur à celui articulé par ses soins, à savoir 4'500 fr. Comme rappelé plus haut, la recourante ne critique pas ce dernier montant. Celle-ci remarque en revanche à juste titre qu'aucune explication n'est avancée par les magistrats cantonaux pour retenir que ledit revenu ne pourrait être perçu antérieurement déjà, si ce n'est les allégations de l'intimé - dont on ignore la teneur. Force est ainsi d'admettre que l'on ignore totalement les éléments sur lesquels la juridiction cantonale s'est fondée pour retenir l'échéance du 1er janvier 2013, échéance qui aménage à l'intimé un délai d'adaptation de huit mois, qui, objectivement, apparaît particulièrement long compte tenu du fait que les parties sont séparées depuis la fin 2010 déjà et que l'intéressé ne peut ignorer les difficultés financières de la famille.
Quant au délai de dix-sept mois octroyé pour mettre en location la villa dont l'intimé est propriétaire en France, il est manifestement hors de toute proportion. Si l'intéressé doit certes s'organiser pour trouver un locataire et lui-même prendre à bail un logement adéquat, l'on ne saurait admettre, sans arbitraire, qu'un laps de temps de dix-sept mois lui soit nécessaire pour ce faire.
3.4.3. Les griefs propres de l'intimé (mise en location de sa résidence secondaire, montant du loyer retenu pour celle-ci, prise en compte de la fortune personnelle de la recourante) ne peuvent être retenus dans le cadre du présent recours. Comme il le reconnaît lui-même, il convenait qu'il maintienne à cet égard son recours en matière civile (5A_451/2013).
3.4.4. Il s'ensuit que le raisonnement cantonal apparaît arbitraire quant aux délais d'adaptation aménagés à l'intimé pour augmenter son revenu effectif. La cause doit en conséquence être renvoyée à la Cour de justice pour instruction et nouvelle décision au sens des considérants.
4.
En conclusion, le recours est partiellement admis, l'arrêt cantonal annulé et la cause retournée à la cour cantonale pour instruction et nouvelle décision au sens des considérants. La requête d'assistance judiciaire de la recourante est admise (art. 64 al. 1 LTF), les frais judiciaires sont répartis par moitié entre les parties et les dépens compensés (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour instruction et nouvelle décision au sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est admise et Me Dominique Levy lui est désigné comme avocat d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis pour moitié à la charge de l'intimé et pour moitié à la charge de la recourante, la part des frais de justice de celle-ci étant provisoirement supportée par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Les dépens sont compensés.
5.
La Caisse du Tribunal fédéral versera au mandataire de la recourante une indemnité de 1'250 fr. à titre d'honoraires d'avocat d'office.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 21 janvier 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: de Poret Bortolaso