Sachverhalt:
A. A.a X._ ist Vater der im 1991 geborenen Tochter A._ aus erster Ehe. Aus seiner zweiten Ehe mit Y._ stammt der im 1997 geborene Sohn B._.
A.b Mit Urteil vom 2. Juli 2007 schied das Kantonsgericht Schaffhausen die Ehe von Y._ und X._. Es stellte B._ unter die elterliche Sorge der Mutter und räumte X._ ein am ersten und dritten Wochenende jeden Monats auszuübendes Besuchsrecht sowie ein zweiwöchiges Ferienbesuchsrecht ein. Sodann verpflichtete das Kantonsgericht X._, der Mutter an den Unterhalt von B._ jeweils zum voraus zahlbare monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 400.-- zuzüglich allfälliger Kinder- oder Ausbildungszulagen zu entrichten, wobei auch die Indexierung des Beitrages vorgesehen wurde. Schliesslich regelte das Gericht die Aufteilung der beruflichen Vorsorgeguthaben und genehmigte die bereits vollständig durchgeführte güterrechtliche Auseinandersetzung.
B. Dagegen gelangte X._ mit kantonaler Berufung an das Obergericht des Kantons Schaffhausen und beantragte die Zuteilung von B._ an ihn, eine der Kinderzuteilung entsprechende Regelung des Besuchsrechts der Mutter und deren Verpflichtung zu einem Unterhaltsbeitrag für B._. Für das kantonale Berufungsverfahren ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege und Bestellung eines amtlichen Rechtsbeistandes. Mit Verfügung vom 6. März 2008 wies der Präsident des Obergerichts des Kantons Schaffhausen das Gesuch wegen Aussichtslosigkeit der Berufung ab.
C. X._ gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht mit dem Antrag, die Verfügung des Präsidenten des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 6. März 2008 aufzuheben, ihm (dem Beschwerdeführer) die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Berufungsverfahren zu bewilligen und ihm einen amtlichen Rechtsbeistand zu bestellen. Auch für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Der Präsident des Obergerichts des Kantons Schaffhausen hat unter Hinweis auf die Erwägungen des angefochtenen Urteils auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher (<ref-law>) Entscheid betreffend unentgeltliche Rechtspflege. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1), dessen ungeachtet, ob er während des Hauptverfahrens, zusammen mit dessen Endentscheid oder nach diesem ergangen ist (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007, E. 1.2).
1.2 Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. Diese betrifft einen kantonalen Entscheid betreffend Ehescheidung und damit eine Zivilsache im Sinn von <ref-law>. Da im Wesentlichen nicht vermögensrechtliche Aspekte der Ehescheidung betroffen sind, liegt eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache vor (5D_60/2007 vom 9. August 2007, E. 1.2; Urteil 5 A_108/2007 vom 11. Mai 2007, E. 1.2). Ist die Beschwerde in der Hauptsache gegeben, steht sie auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid offen. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann eine Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), zu dem laut der Begriffsbestimmung des BGG auch das Verfassungsrecht gehört. Gerügt werden kann ferner eine Verletzung des Völkerrechts (<ref-law>).
2. 2.1 Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat nach <ref-law> Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2c mit Hinweisen).
2.2 Die Prozesschancen sind in vorläufiger und summarischer Prüfung des Prozessstoffes abzuschätzen, wobei es im Rechtsmittelverfahren um die Erfolgsaussichten des Rechtsbehelfs geht (Haefliger, Alle Schweizer sind vor dem Gesetze gleich, Bern 1985, S. 167 f. Ziffer 6). Die Frage lautet, ob das Rechtsmittel offenbar prozessual unzulässig oder aussichtslos ist (BGE 60 I 179 E. 1 S. 182; 78 I 193 E. 2 S. 195). Dass der angefochtene Entscheid oder das vorinstanzliche Verfahren an einem Mangel leidet, genügt für die Bejahung der Erfolgsaussichten nicht; entscheidend ist allein, ob das Rechtsmittel voraussichtlich gutgeheissen werden muss (vgl. Poudret/Sandoz-Monod, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, V, Bern 1992, N. 5 zu Art. 152 OG, S. 123).
2.3 Zur Begründung der Erfolgschancen der gegen das erstinstanzliche Urteil erhobenen Berufung hatte der Beschwerdeführer vor dem Präsidenten des Obergerichts geltend gemacht, das Kantonsgericht habe bei der Kinderzuteilung den Grundsatz verletzt, dass Geschwister nicht getrennt werden sollen, und habe sich überdies geweigert, die Tochter A._ des Beschwerdeführers aus erster Ehe zu befragen. Der Präsident des Obergerichts hat dafürgehalten, dem Beschwerdeführer sei darin beizupflichten, dass auch Halbgeschwister wie A._ und B._ in der Regel nicht getrennt werden sollten. Nach der Rechtsprechung habe indes das Wohl des Kindes Vorrang vor allen Überlegungen und Wünschen der Eltern, wobei auch dem Wunsch des Kindes Rechnung zu tragen sei. Bei vorläufiger Betrachtung sei aufgrund der Akten auch unter Berücksichtigung des Wunsches von B._, alles möge so bleiben wie es ist, die Zuteilung der elterlichen Obhut an die Mutter nicht zu beanstanden. Diese Zuteilung habe sich bewährt; sie biete B._ trotz der 80%igen Berufstätigkeit seiner Mutter gute Betreuungsalternativen sowie stabile Verhältnisse und es seien keine die Erziehungsfähigkeit der Mutter in Zweifel ziehende Umstände aktenkundig. An dieser Beurteilung ändere auch die momentane Arbeitslosigkeit des Beschwerdeführers nichts, zumal die volle Erwerbstätigkeit ohnehin nur ein Kriterium von mehreren für die Zuteilung der Obhut an die Mutter gewesen sei und der Beschwerdeführer aufgrund seines Alters und seiner beruflichen Möglichkeiten im Gastgewerbe in absehbarer Zeit wieder erwerbstätig und damit nicht mehr verfügbar sein werde. Damit aber könne dem Grundsatz, dass Geschwister nicht getrennt werden sollen, keine entscheidende Bedeutung zukommen. Im Scheidungsverfahren seien keine Anordnungen über das Kind des Beschwerdeführers aus erster Ehe zu treffen, weshalb der Tochter des Beschwerdeführers aus erster Ehe auch nicht Gelegenheit zu geben sei, die Zukunft durch eine Anhörung im Sinn von <ref-law> und Art. 12 KRK mitzugestalten.
Hinsichtlich der vom Beschwerdeführer beantragten Erweiterung des Besuchs- und Ferienrechts (Unterbringung von B._ beim Beschwerdeführer während 3 Tagen in der Woche sowie fünf Wochen Ferien) für den Fall, dass B._ der Mutter zugeteilt werde, hat der Präsident erwogen, das Kantonsgericht gehe davon aus, dass die bisher unter der Woche praktizierten Wechsel zwischen Vater und Mutter gemäss nachvollziehbaren, vom Beschwerdeführer überdies nicht bestrittenen Angaben der Mutter Unruhe in das Leben des bald 10-jährigen Kindes bringe und zu Schwierigkeiten führe, so dass diese Lösung nicht weiterzuführen sei, sondern beständigere Verhältnisse geschaffen werden müssten. Der Präsident gelangt daher zum Schluss, die vom Kantonsgericht praktizierte Festsetzung des Besuchsrechts im üblichen Rahmen sei nicht zu beanstanden, so dass der Berufung auch insoweit keine Aussicht auf Erfolg beschieden sei.
Der von der ersten Instanz festgesetzte Unterhaltsbeitrag von Fr. 400.-- pro Monat für B._ berücksichtige einerseits, dass es sich bei dieser Unterhaltsleistung um eine langfristige Verpflichtung handle; anderseits sei dem Beschwerdeführer aufgrund seines Alters, seiner Erfahrung im Gastgewerbe und der kurzen Dauer seiner Arbeitslosigkeit zumutbar, bei gutem Willen in absehbarer Zeit eine vergleichbare Beschäftigung zu finden, weshalb im Sinn eines hypothetischen Einkommens von seinem zuletzt im Gastgewerbe erzielten Einkommen auszugehen sei. Deshalb hat die Berufung des Beschwerdeführers nach Ansicht des Präsidenten auch insoweit keine Aussicht auf Erfolg.
Gestützt auf diese Überlegungen erachtete der Präsident die Berufung insgesamt als aussichtslos, und wies deshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.
2.4 Der Beschwerdeführer macht geltend, als Verletzung von Art. 12 KRK rüge er in der Berufung, dass seine Tochter aus erster Ehe im Scheidungsverfahren nicht angehört worden sei. Zwar habe das Kantonsgericht B._ befragt, doch sei ein für die Zuteilung des Kindes wesentlicher Punkt, nämlich die Beziehung von B._ zu seiner Halbschwester A._, ausgeklammert geblieben. Diese Beziehung sei aussergewöhnlich eng, weshalb die Vormundsschaftsbehörde den Parteien vorgeschlagen habe, dass B._ 2 Tage pro Woche beim Vater verbringe, wobei sich B._ mehrfach dahingehend geäussert habe, er möchte mehr als zwei Tage bei seinem Vater bleiben. Die Befragung von A._ sei daher geboten. Die Berufung sei daher zu Unrecht als aussichtslos bezeichnet worden.
Mit Bezug auf den Unterhaltsbeitrag habe er die Annahme des Kantonsgerichts angefochten, er werde in seinem Alter wohl bald wieder eine volle Arbeitsstelle finden, und die auf dieser Feststellung basierende Ordnung des Unterhaltsbeitrages in Frage gestellt. Auch insoweit könne die Berufung nicht als aussichtslos bezeichnet werden.
2.5 Der Präsident des Obergerichts hat in seiner Verfügung die materielle Prüfung der elterlichen Sorge praktisch vorweggenommen, was sich als nicht unproblematisch erweist. Sodann lässt sich im Rahmen der summarisch vorzunehmenden Prüfung der Aussichtslosigkeit auch nicht verbindlich verneinen, dass der Tochter des Beschwerdeführers aus erster Ehe im Rahmen des Scheidungsverfahrens ihres Vaters gestützt auf <ref-law> und Art. 12 KRK ein Recht auf Anhörung zukommt. Die Tochter ist von der im Scheidungsurteil getroffenen Regelung der elterliche Sorge bezüglich B._ zumindest insoweit betroffen, als sich ihre Beziehung zum Halbbruder erheblich verändern wird. Abgesehen davon geht es mit der Befragung der Tochter gerade darum, abzuklären, ob nicht das hier allein massgebende Wohl von B._ eine andere als die von der ersten Instanz vorgenommene Regelung der elterlichen Sorge erheischt. Der Beschwerdeführer weist in diesem Zusammenhang auf die sehr innige Beziehung zwischen den beiden Halbgeschwistern hin, die in der Tat allenfalls den Entscheid über die elterliche Sorge beeinflussen könnte. Im Rahmen der summarischen Prüfung der Erfolgsaussichten der Berufung kann jedenfalls nicht gesagt werden, das Rechtsmittel sei insoweit aussichtslos. Da überdies eine andere Regelung der Obhut eine Neuregelung des Besuchsrechts und allenfalls auch eine Neufestsetzung der Unterhaltsbeiträge zur Folge hätte, verstösst die Auffassung des Präsidenten, die Berufung sei als Ganzes aussichtslos, gegen <ref-law>.
3. Die angefochtene Verfügung ist aufzuheben. Die Angelegenheit ist zur Prüfung der weiteren Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4. Dem Kanton Schaffhausen können keine Gerichtskosten auferlegt werden (<ref-law>). Hingegen hat er den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>), womit das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und die Verfügung des Obergerichts des Kantons Schaffhausen, der Präsident, vom 6. März 2008 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Prüfung der weiteren Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Der Kanton Schaffhausen hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Zbinden