Sachverhalt:
A. Mit Erziehungsverfügung vom 26. Februar 2010 wurde A.X._, geb. 11. Juli 1998, wegen Diebstahls (<ref-law>) und Hausfriedensbruchs (<ref-law>) zu einer persönlichen Leistung von einem Halbtag verpflichtet.
Gegen diese Verfügung erhob A.X._, vertreten durch seinen Vater B.X._ als Inhaber der elterlichen Sorge, Einsprache ans Bezirksgericht Winterthur.
Mit Präsidialverfügung vom 1. Juni 2010 wies das Bezirksgericht Winterthur das Gesuch von A.X._ um Ernennung eines amtlichen Verteidigers ab.
Mit Urteil vom 3. Juni 2010 sprach das Bezirksgericht Winterthur A.X._ vom Vorwurf des Diebstahls frei. Hingegen erklärte es ihn des Hausfriedensbruchs für schuldig, sah aber von einer Bestrafung ab.
B. A.X._, handelnd durch seinen Vater B.X._, erhob gegen die Präsidialverfügung des Bezirksgerichts Winterthur vom 1. Juni 2010 Rekurs ans Obergericht des Kantons Zürich mit dem Antrag, ihm sei ein amtlicher Verteidiger zu bestellen.
Mit Beschluss vom 5. Juli 2010 wies das Obergericht den Rekurs ab.
C. Mit Beschwerde in Strafsachen vom 13. September 2010 beantragt A.X._, handelnd durch seinen Vater B.X._, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben, und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter habe das Bundesgericht in der Sache selbst zu entscheiden. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Obergericht verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Die Jugendstaatsanwaltschaft stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung. In seiner Replik hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1. Anfechtungsobjekt bildet der Beschluss der Vorinstanz vom 5. Juli 2010, mit welchem das Begehren des Beschwerdeführers um Einsetzung einer amtlichen Verteidigung abgewiesen wurde. Hierbei handelt es sich um einen selbstständig eröffneten, kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid, welcher einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann (<ref-ruling> E. 1.1 S. 131; Urteil des Bundesgerichts 1B_306/2008 vom 15. Januar 2009 E. 1, in: Pra 2009 Nr. 72 S. 483). Der Zwischenentscheid kann mit Beschwerde in Strafsachen angefochten werden, soweit dieses Rechtsmittel, wie vorliegend der Fall, auch gegen den Endentscheid erhoben werden kann. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten. Gemäss Art. 29 Abs. 3 des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 (BGerR; SR 173.110.131) ist die I. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts für die Behandlung der Beschwerde zuständig.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, ab 2011 müsse gemäss Art. 24 lit. e der Schweizerischen Jugendstrafprozessordnung vom 20. März 2009 (JStPO; AS 2010 1573) mit dem Randtitel "Notwendige Verteidigung" die oder der Jugendliche verteidigt werden, wenn die Jugendanwältin oder der Jugendanwalt beziehungsweise die Jugendstaatsanwaltschaft an der Hauptverhandlung persönlich auftrete. Auf die Schwere des Vorwurfs und die Komplexität des Verfahrens werde es nicht mehr ankommen. Vorliegend stünden weder das Prinzip der Rechtssicherheit noch das Verbot der Rückwirkung einer vorzeitigen Anwendung des neuen Rechts und damit des "Prinzips der gleich langen Spiesse" entgegen. Demzufolge sei es unzulässig gewesen, seinem Gesuch um amtliche Verteidigung nicht zu entsprechen. Sich noch auf geltendes Recht zu stützen, welches in naher Zukunft nicht mehr in Kraft sein werde, verstosse gegen den Grundsatz von Treu und Glauben und die Rechtssicherheit.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, ab 2011 müsse gemäss Art. 24 lit. e der Schweizerischen Jugendstrafprozessordnung vom 20. März 2009 (JStPO; AS 2010 1573) mit dem Randtitel "Notwendige Verteidigung" die oder der Jugendliche verteidigt werden, wenn die Jugendanwältin oder der Jugendanwalt beziehungsweise die Jugendstaatsanwaltschaft an der Hauptverhandlung persönlich auftrete. Auf die Schwere des Vorwurfs und die Komplexität des Verfahrens werde es nicht mehr ankommen. Vorliegend stünden weder das Prinzip der Rechtssicherheit noch das Verbot der Rückwirkung einer vorzeitigen Anwendung des neuen Rechts und damit des "Prinzips der gleich langen Spiesse" entgegen. Demzufolge sei es unzulässig gewesen, seinem Gesuch um amtliche Verteidigung nicht zu entsprechen. Sich noch auf geltendes Recht zu stützen, welches in naher Zukunft nicht mehr in Kraft sein werde, verstosse gegen den Grundsatz von Treu und Glauben und die Rechtssicherheit.
2.2 2.2.1 Wird ein Erlass, der noch nicht in Kraft ist, bereits wie geltendes Recht angewendet, so spricht man von positiver Vorwirkung. Eine solche positive Vorwirkung widerspricht dem Gesetzmässigkeitsprinzip gemäss <ref-law> und ist daher grundsätzlich unzulässig (HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5. Aufl. 2006, Rz. 346 ff.).
Das Bundesgericht hat ausdrücklich festgehalten, dass die am 1. Januar 2011 in Kraft tretende Schweizerische Strafprozessordnung vom 5. Oktober 2007 (StPO; AS 2010 1881) keine Vorwirkung entfaltet und zwar auch nicht zugunsten der beschuldigten Person (Urteile 6B_901/2008 vom 23. Februar 2009 E. 2.3 und 6B_700/2009 vom 26. November 2009 E. 2.2.3). Gleiches hat für die ebenfalls am 1. Januar 2011 in Kraft tretende Schweizerische Jugendstrafprozessordnung zu gelten.
Demzufolge kann der Beschwerdeführer aus seinem Hinweis auf Art. 24 lit. e der künftigen Schweizerischen Jugendstrafprozessordnung nichts zu seinen Gunsten ableiten. Ebenso wenig verstösst die Anwendung geltenden Rechts gegen den Grundsatz von Treu und Glauben und die Rechtssicherheit.
2.2.2 Dass er nach geltendem Recht - das heisst gestützt auf Art. 40 Abs. 2 des Bundesgesetzes über das Jugendstrafrecht vom 20. Juni 2003 (JStG; SR 311.1) - Anspruch auf eine Pflichtverteidigung hätte, wird vom Beschwerdeführer demgegenüber zu Recht nicht behauptet:
Gemäss <ref-law> bestellt die zuständige Behörde dem Jugendlichen einen amtlichen Verteidiger, wenn es die Schwere der Tat erfordert (lit. a), der Jugendliche und seine gesetzlichen Vertreter zur Verteidigung offensichtlich nicht im Stande sind (lit. b) oder sie den Jugendlichen für mehr als 24 Stunden in Untersuchungshaft nimmt oder seine vorsorgliche Unterbringung anordnet (lit. c).
Die Vorinstanz führt zutreffend aus, dass eine Straftat im Bagatellbereich zur Diskussion steht, bei welcher sich keine schwierigen tatsächlichen und rechtlichen Fragen stellen. Wie seine Eingaben zeigen, ist der Vater des Beschwerdeführers zudem in der Lage, seinen Sohn rechtsgenügend zu verteidigen. Untersuchungshaft oder die vorsorgliche Unterbringung wurden nicht angeordnet.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (<ref-law> e contrario). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Jugendstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. November 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Stohner