Sachverhalt:
A.
A.a. Y._ war vom 20. Februar 2006 bis 31. März 2008 bei der Firma A._ AG als Chauffeur angestellt. Zu dieser Zeit war er bei der B._ Sammelstiftung 2. Säule vorsorgeversichert.
Mit Verfügung vom 24. Oktober 2012 sprach die eidgenössische Invalidenversicherung (IV) Y._ mit Wirkung ab 1. Oktober 2011 eine ganze Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 90 % zu.
Mit Schreiben vom 10. Oktober 2012 lehnte die B._ ein Gesuch um Ausrichtung einer Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge mit der Begründung ab, aufgrund der vorliegenden medizinischen Unterlagen sei der Kläger vom 10. Oktober 2007 bis zum 31. März 2008 "erwerbsunfähig ", wobei ab dem 1. April 2008 keine relevante Einschränkung der Arbeitsfähigkeit mehr bestanden habe. Gemäss dem IV-Vorbescheid sei eine anhaltende erhebliche Arbeitsunfähigkeit erst ab dem 6. Oktober 2010 festgehalten. Der zeitliche Zusammenhang zwischen dem 1. April 2008 und dem 6. Oktober 2010 sei unterbrochen, weshalb die B._ gestützt auf Art. 23 BVG für den Vorsorgefall nicht zuständig sei.
A.b. Im Nachgang zu diesem Schreiben setzte sich Y._ mit der X._ AG in Verbindung. Diese nahm Einsicht in die IV-Akten und verlangte von Y._ eine Auflistung seiner Arbeitsverhältnisse sowie der jeweiligen Vorsorgeeinrichtungen. Mit Schreiben vom 31. Oktober 2012 teilte die X._ dem Kläger mit, er sei am 6. Oktober 2010 in keinem Arbeitsverhältnis gestanden und somit auch bei keiner Vorsorgeeinrichtung versichert gewesen. Das Schreiben der B._ vom 10. Oktober 2012 sei somit korrekt.
Mit Schreiben vom 17. Dezember 2012 gelangte Y._, nunmehr vertreten durch Rechtsanwalt Dr. iur. Bruno Häfliger, mit dem Gesuch an die X._, es sei Kostengutsprache für die Prüfung einer Klage gegen die B._ vor dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau zu erteilen.
Mit Schreiben vom 18. Dezember 2012 lehnte die X._ dieses Gesuch ab mit der Begründung, die Klage sei aussichtslos.
B.
Am 15. Januar 2013 reichte Y._ beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau Klage gegen die B._ ein und stellte die Klageschrift der X._ zu.
Gleichzeitig verlangte er von der X._ erneut eine Kostengutsprache sowie die Einsetzung von Dr. Marc Hürzeler als Schiedsrichter i.S.v. Art. 6 Abs. 8 lit. c der Allgemeinen Versicherungsbedingungen der X._ im Bestreitungsfall. Die X._ lehnte die Kostengutsprache mit Schreiben vom 25. Januar 2013 erneut ab, stimmte jedoch dem Vorschlag des Klägers zur Einsetzung des Schiedsrichters zu.
Der Schiedsrichter unterbreitete den Parteien mit Schreiben vom 14. März 2013 die Rahmenbedingungen des Schiedsverfahrens. Beide Parteien akzeptierten diese.
Am 13. September 2013 erliess der Schiedsrichter einen Schiedsentscheid mit folgendem Dispositiv:
"1.Die Klage wird abgewiesen.
2. Die Kosten des Schiedsgerichts gehen gemäss Kostengutsprache vom 1. März 2013 zu Lasten der Beklagten, die ausserordentlichen Kosten sind wettgeschlagen.
3. Der Beklagten wird unverbindlich nahe gelegt, den Kläger für die hypothetischen Parteikosten des IV-Beschwerdeverfahrens im Rahmen eines Zeitaufwandes von 9 Stunden zu entschädigen."
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt die X._ AG dem Bundesgericht folgende Anträge:
"1. Es sei die Beschwerde gutzuheissen.
2. Ziff. 2 und 3 des Schiedsurteils vom 12. September 2013 seien aufzuheben.
3. Es sei die aufschiebende Wirkung der Beschwerde anzuordnen.
4. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Beschwerdegegners auch für das Schiedsverfahren."
Y._ beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, soweit Eintreten. Gleichzeit verlangt er für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege einschliesslich der Beiordnung von Rechtsanwalt Dr. iur. Bruno Häfliger als unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 13. November 2013 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 250; <ref-ruling> E. 1).
1.1. Der Schiedsentscheid vom 12. September 2013 betrifft eine Streitigkeit zwischen zwei Parteien, die beide ihren Sitz bzw. Wohnsitz in der Schweiz haben (und auch beim Abschluss der Schiedsvereinbarung hatten; <ref-law> [SR 291]). Für die Rechtsmittelordnung sind somit die Bestimmungen über die interne Schiedsgerichtsbarkeit (3. Teil ZPO) anzuwenden. Interne Schiedsentscheide sind unter den Voraussetzungen der Art. 389 bis 395 ZPO anfechtbar, soweit die Parteien keine Vereinbarung im Sinne von <ref-law> abgeschlossen haben, mit der sie die Geltung dieser Bestimmungen ausschlossen und die Anwendung der Bestimmungen des 12. Kapitels des IPRG vereinbarten. Nachdem dies vorliegend nicht der Fall ist und die Parteien keine Beschwerdemöglichkeit an ein kantonales Gericht im Sinne von <ref-law> vereinbart haben, steht gegen den Endschiedsspruch (<ref-law>) vom 12. September 2013 die Beschwerde an das Bundesgericht als einzige Rechtsmittelinstanz nach den Bestimmungen von <ref-law> offen (<ref-law>), soweit es sich dabei qualitativ um einen Schieds entscheid handelt.
1.2.
1.2.1. Die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law> ist nur zulässig gegen Schieds entscheide (<ref-ruling> E. 4 S. 599; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 203). Dabei bestimmt sich nicht nach der äusseren Bezeichnung, sondern ausschliesslich nach dem Inhalt der schiedsgerichtlichen Anordnung, ob es sich um einen anfechtbaren Entscheid i.S. der genannten Bestimmungen handelt (<ref-ruling> E. 4 S. 599; <ref-ruling> E. 2.3.3 S. 205).
1.2.2. Die Beschwerdeführerin verlangt in ihrer Beschwerde u.a. die Aufhebung von Ziff. 3 des angefochtenen Schiedsspruchs, mit welcher der Beschwerdeführerin "unverbindlich nahe gelegt" wird, den Beschwerdegegner "für die hypothetischen Parteikosten des IV-Beschwerdeverfahrens im Rahmen eines Zeitaufwandes von 9 Stunden zu entschädigen". Aus der Formulierung dieser Dispositiv-Ziffer ergibt sich, dass es sich dabei nicht um eine schiedsgerichtliche Anordnung, sondern um einen unverbindlichen Vorschlag handelt. Dispositiv-Ziffer 3 weist mithin nicht die Qualität eines anfechtbaren Schiedsentscheids i.S. von <ref-law> i.V.m. <ref-law> auf. Auf die Beschwerde ist somit mangels tauglichen Anfechtungsobjekts nicht einzutreten, soweit sie sich gegen Dispositiv-Ziffer 3 des angefochtenen Schiedsentscheids richtet.
2.
Soweit die Beschwerdeführerin die Kostenverteilung in Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids anficht, ruft sie die Rügegründe gemäss Art. 393 lit. c und e ZPO an.
2.1. Die Beschwerdegründe gegen einen Schiedsspruch sind beschränkter als gegen ein staatliches Urteil; sie sind im Gesetz abschliessend aufgezählt (<ref-law>). Mit einer Schiedsbeschwerde kann nicht gerügt werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht im Sinne von <ref-law>, handle es sich um solches auf Verfassungs- oder auf Gesetzesstufe (Urteile 4A_424/2011 vom 2. November 2011 E. 1.3; 4A_254/2011 vom 5. Juli 2011 E. 5.1). Das Bundesgericht prüft sodann nur die Beschwerdegründe, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden (<ref-law>). Diese Anforderung entspricht der für die Verletzung von Grundrechten vorgesehenen Rügepflicht (<ref-law>); dabei gelten nach wie vor die strengen Begründungsanforderungen, die das Bundesgericht unter der Herrschaft von Art. 90 Abs. 1 lit. b aOG stellte (<ref-ruling> E. 5). Der Beschwerdeführer muss die einzelnen Beschwerdegründe, die nach seinem Dafürhalten erfüllt sind, benennen; es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, danach zu forschen, welcher Beschwerdegrund nach <ref-law> mit den einzelnen erhobenen Rügen geltend gemacht werden soll, wenn dies vom Beschwerdeführer nicht präzisiert wird. Sodann hat der Beschwerdeführer im Detail aufzuzeigen, warum die angerufenen Beschwerdegründe erfüllt sind, wobei er mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz anzusetzen hat (vgl. <ref-ruling> E. 1c; ferner: <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287; <ref-ruling> E. 3.3; s. zum Ganzen Urteil 4A_424/2011 vom 2. November 2011 E. 1.3 mit Hinweisen). Unbeachtlich sind blosse Verweise auf die Akten; inwiefern die angerufenen Beschwerdegründe gegeben sein sollen, ist in der Beschwerdeschrift selber darzulegen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 400; <ref-ruling> E. 1d; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3 S. 85).
2.2.
2.2.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, der Schiedsrichter habe im Schiedsurteil ihr Rechtsbegehren, wonach die Kosten des Schiedsverfahrens dem Beschwerdegegner aufzuerlegen sowie der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zuzusprechen seien, nicht beurteilt und damit eine formelle Rechtsverweigerung begangen. Das Schiedsurteil verweise zwar auf das Schreiben der Beschwerdeführerin vom 1. März 2013. Dieses Schreiben dürfe jedoch nicht losgelöst vom Schreiben vom 19. Februar 2013 betrachtet werden, welches eine Kostengutsprache im Sinne eines Vorschusses gemäss <ref-law> darstelle. Vielmehr sei sowohl in der Schiedsklageantwort als auch in der Duplik der Antrag gestellt worden, dass über die Kosten- und Entschädigungsfolgen zu entscheiden sei. Im Übrigen habe auch der Beschwerdegegner mit Schreiben vom 8. August 2013 beantragt, dass die Kosten vorerst bei der Beschwerdeführerin einzufordern seien, da die heutige finanzielle Situation des Beschwerdegegners die Übernahme der Kosten des Schiedsverfahrens nicht möglich mache. Der Beschwerdegegner habe weder in der Schiedsklage, noch in der Replik und im Schreiben vom 8. August 2013 geltend gemacht, dass die Kosten definitiv von der Beschwerdeführerin zu tragen seien. Der zugesicherte Vorschuss der Schiedsverfahrenskosten im Sinne von <ref-law> gemäss den Schreiben der Beschwerdeführerin vom 19. Februar 2013 und 1. März 2013 entbinde den Schiedsrichter nicht davon, einen Entscheid über die Kosten- und Entschädigungsfolgen zu fällen.
2.2.2. Gemäss <ref-law> kann gegen einen internen Schiedsspruch eingewendet werden, das Schiedsgericht habe über Streitpunkte entschieden, die ihm nicht unterbreitet worden seien, oder es habe Rechtsbegehren unbeurteilt gelassen. Bei der im zweiten Halbsatz erwähnten Unterlassung der Beurteilung eines Rechtsbegehrens (Entscheid infra petita ) handelt es sich um einen Fall formeller Rechtsverweigerung. Dieser Rügegrund bezieht sich auf einen Schiedsspruch, der unvollständig ist, weil das Schiedsgericht Rechtsbegehren unbeurteilt gelassen hat, die ihm von den Parteien unterbreitet wurden. Gestützt auf <ref-law> kann indessen nicht geltend gemacht werden, das Schiedsgericht habe die Streitsache nicht unter allen rechtlichen Aspekten geprüft (<ref-ruling> E. 4a); ebensowenig lässt sich daraus ein Anspruch auf Begründung des Schiedsentscheids ableiten (Urteil 4A_635/2012 vom 10. Dezember 2012 E. 4.2).
2.2.3. Die Rüge, die Vorinstanz habe die Begehren der Beschwerdeführerin um Verlegung der Partei- und Gerichtskosten unbeurteilt gelassen, ist unbegründet. Mit der Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen Schiedsspruchs hat der Schiedsrichter der Beschwerdeführerin die Gerichtskosten auferlegt und die Parteikosten ("ausserordentlichen Kosten") wettgeschlagen. Mit dieser klaren Kostenregelung hat der Schiedsrichter die Begehren um Kostenverlegung beurteilt. Ein Entscheid infra petita liegt nicht vor.
Der Hinweis auf das Schreiben vom 1. März 2013, in welchem die Beschwerdeführerin gegenüber dem Schiedsrichter erklärt, dieser könne seine Aufwendungen "zum vereinbarten Stundenansatz von Fr. 250.-- in Rechnung stellen ", stellt eine Begründung der getroffenen Kostenregelung dar. Mit dem Rügegrund von <ref-law> kann die Begründung eines beurteilten Rechtsbegehrens nicht in Frage gestellt werden.
2.3.
2.3.1. Die Beschwerdeführerin macht sodann geltend, die Kostenauferlegung und das Wettschlagen der ausserordentlichen Kosten seien willkürlich erfolgt. Gemäss schweizerischer Auffassung, die in der ZPO verankert ist (<ref-law>), habe die unterliegende Partei grundsätzlich die Verfahrenskosten zu tragen und die obsiegende Partei Anspruch auf Entschädigung. Diese Verteilregel entspreche auch der allgemeinen Usanz in der Schiedsgerichtsbarkeit. Vorliegend seien keine Gründe ersichtlich, von dieser Verteilregel abzuweichen.
2.3.2. Gemäss <ref-law> kann gegen den Schiedsspruch vorgebracht werden, er sei im Ergebnis willkürlich, weil er auf offensichtlich aktenwidrigen tatsächlichen Feststellungen oder auf einer offensichtlichen Verletzung des Rechts oder der Billigkeit beruht (zum Ganzen Urteil 4A_424/2011 vom 2. November 2011 E. 2.1). Dieser Beschwerdegrund wurde aus dem früheren Konkordat (Art. 36 lit. f KSG) übernommen (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7405 Ziff. 5.25.8 zu Art. 391 des Entwurfs). Die Umschreibung des Willkürtatbestandes in <ref-law> bzw. Art. 36 lit. f KSG stimmt mit dem Begriff der Willkür überein, den das Bundesgericht zu Art. 4 aBV bzw. <ref-law> entwickelt hat (<ref-ruling> E. 3.4 S. 48). Die Tatbestände, hinsichtlich derer Willkür im genannten Sinne geltend gemacht werden kann, sind jedoch eingeschränkt. Eine Einschränkung der Willkürrüge betrifft Tatsachenfeststellungen. Es kann einzig offensichtliche Aktenwidrigkeit vorgebracht werden; diese ist nicht mit willkürlicher Beweiswürdigung gleichzusetzen. Offensichtlich aktenwidrige tatsächliche Feststellungen im Sinne von <ref-law> trifft das Schiedsgericht dann, wenn es sich infolge Versehens mit den Akten in Widerspruch gesetzt hat, sei es, dass es Aktenstellen übersehen oder ihnen einen anderen als den wirklichen Inhalt beigemessen hat, sei es, dass es irrig davon ausgegangen ist, eine Tatsache sei aktenmässig belegt, während die Akten in Wirklichkeit darüber keinen Aufschluss geben. Aktenwidrigkeit liegt nur vor, wenn der Richter bei der Beweiswürdigung von unrichtigen tatsächlichen Prämissen ausgeht; das Ergebnis und die Art und Weise der Beweiswürdigung sowie die darin liegenden Wertungen sind nicht Gegenstand der Willkürrüge, sondern einzig Tatsachenfeststellungen, die von keiner weiteren Würdigung abhängen, weil sie mit den Akten unvereinbar sind (<ref-ruling> E. 3.6 und 3.7 S. 49 f.; Urteile 4A_454/2011 vom 27. Oktober 2011 E. 2.2; 4A_424/2011 vom 2. November 2011 E. 2.1).
Mit offensichtlicher Verletzung des Rechts gemäss <ref-law> ist - als weitere Einschränkung - nur eine Verletzung des materiellen Rechts gemeint und nicht eine solche des Verfahrensrechts (<ref-ruling> E. 3.4 S. 48; <ref-ruling> E. 2 S. 352; Urteile 4A_649/2012 vom 13. Mai 2013 E. 2.2.2; 5A_73/2012 vom 26. März 2012 E. 1.4). Vorbehalten bleiben in Analogie zur Rechtsprechung zu <ref-law> Prozessfehler, die den prozessualen Ordre public verletzen, so beispielsweise das Recht auf einen unabhängigen und unparteiischen Experten oder die Beachtung des Grundsatzes der res iudicata, einschliesslich bezüglich eigener, früherer Teilentscheide des gleichen Schiedsgerichts (Berger/Kellerhals, International and Domestic Arbitration in Switzerland, 2. Aufl. 2010, N. 1717 sowie Michael Mráz, in: Basler Kommentar, 2. Aufl. 2013, N. 89 zu <ref-law>, welche zu Recht darauf hinweisen, dass der konsequente Ausschluss elementarer prozessualer Prinzipien unter <ref-law> einen geringeren Schutz zur Folge hätte, als ihn die Parteien unter <ref-law> geniessen).
2.3.3. Die Rüge, die Vorinstanz habe eine willkürliche Kostenregelung getroffen, zielt damit ins Leere, handelt es sich doch bei der Verteilung der Partei- und Gerichtskosten um eine Frage des Verfahrensrechts und nicht des materiellen Rechts. Mit <ref-law> kann keine Verletzung des Verfahrensrechts geltend gemacht werden. Dass die getroffene Kostenregelung gleichsam gegen den prozessualen Ordre public verstösst, macht die Beschwerdeführerin zu Recht nicht geltend.
3.
Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit auf sie einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Da nicht von der Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung auszugehen ist, wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Schiedsgericht mit Sitz in Basel schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Februar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni