Sachverhalt:
A.
A.a. Die Bundesanwaltschaft verurteilte X._ mit Strafbefehl vom 3. April 2012 wegen qualifizierter ungetreuer Geschäftsbesorgung (Art. 158 Ziff. 1 Abs. 1 und 3 StGB) zu einer bedingten Geldstrafe von 180 Tagessätzen zu Fr. 30.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren.
X._ erhob Einsprache, worauf die Bundesanwaltschaft am 22. November 2012 den Strafbefehl zusammen mit den Akten an das Bundesstrafgericht zur gerichtlichen Beurteilung überwies.
A.b. Die Strafkammer des Bundesstrafgerichts (Einzelrichterin) trat mit Verfügung vom 27. Februar 2013 auf die Einsprache mangels Gültigkeit nicht ein.
Die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts hob auf Beschwerde von X._ die Verfügung am 13. August 2013 auf und wies die Sache zur Durchführung des Hauptverfahrens an die Strafkammer zurück.
A.c. Die Strafkammer des Bundesstrafgerichts (Einzelrichterin) sprach X._ am 29. September 2014 in mehreren Anklagepunkten der mehrfachen Veruntreuung (<ref-law>) und der mehrfachen ungetreuen Geschäftsbesorgung (Art. 158 Ziff. 1 Abs. 1 und 3 StGB) schuldig und bestrafe ihn mit einer Freiheitsstrafe von 14 Monaten, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren. In weiteren Anklagepunkten sprach sie ihn frei beziehungsweise stellte sie das Verfahren ein.
B.
X._ erhebt Beschwerde mit dem Antrag, er sei ohne Kostenauflage und unter Zuerkennung einer Entschädigung freizusprechen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer bemängelt als Verletzung des "strafprozessrechtlichen Gebots der lückenlosen Darstellung des Verfahrensablaufs", dass die Vorinstanz im angefochtenen Urteil (S. 2 ff.) im Abschnitt "Prozessgeschichte" nicht festhält, wann Vermögenswerte der A._ AG beschlagnahmt wurden, wie hoch die beschlagnahmten Vermögenswerte waren und wann sie wieder freigegeben wurden. Es ist indessen nicht ersichtlich, welche Bestimmungen die Vorinstanz insoweit verletzt haben und inwiefern der Beschwerdeführer dadurch beschwert sein könnte.
Der Beschwerdeführer weist auf die Folgen der Beschlagnahme sowie der medialen Berichterstattung hin. Inwiefern die Vorinstanz in diesem Kontext Recht verletzt habe, legt er nicht dar und ist nicht ersichtlich.
2.
2.1. Mit Verfügung vom 1. September 2014 teilte die Einzelrichterin den Parteien mit, dass sie sich vorbehalte, die in der Anklageschrift als ungetreue Geschäftsbesorgung im Sinne von <ref-law> qualifizierten Sachverhalte gemäss Anklageziffern 2.1 und 2.4 auch unter dem Tatbestand der Veruntreuung im Sinne von <ref-law>, eventualiter unter dem Tatbestand der ungetreuen Geschäftsbesorgung im Sinne von <ref-law> zu prüfen. In der Hauptverhandlung dehnte die Einzelrichterin den Würdigungsvorbehalt hinsichtlich der Anklageziffern 2.1 und 2.4 auf den Tatbestand der Veruntreuung im Sinne von <ref-law> aus (siehe angefochtenen Entscheid E. 1.2.3 S. 15).
2.2. Um prüfen zu können, ob dem Beschwerdeführer tatsächlich die Gelegenheit zur Stellungnahme gemäss <ref-law> gewährt wurde, ersucht seine Verteidigerin in der Beschwerdeschrift darum, ihr die zitierte Verfügung sowie das Hauptverhandlungsprotokoll zur Einsichtnahme zu überlassen und ihr gestützt auf <ref-law> eine angemessene Frist zur Ergänzung der Beschwerdebegründung nach Erhalt der Unterlagen einzuräumen.
2.3. Das Bundesgericht räumt den beschwerdeführenden Parteien gemäss <ref-law> auf Antrag eine angemessene Frist zur Ergänzung der Beschwerdebegründung ein, wenn (a.) es eine Beschwerde auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen als zulässig erachtet und (b.) der aussergewöhnliche Umfang oder die besondere Schwierigkeit der Beschwerdesache eine Ergänzung erfordert. Eine Ergänzung der Beschwerdebegründung gemäss <ref-law> kommt mithin nur in Betracht, wenn die in lit. a und b genannten Voraussetzungen ("und") kumulativ erfüllt sind. <ref-law> betrifft besonders umfangreiche und/oder schwierige Fälle auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen, bei welchen die übliche Beschwerdefrist von 10 Tagen (<ref-law>) zu kurz ist ( AEMISEGGER/ FORSTER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, <ref-law> N. 2). Die vorliegende Beschwerde betrifft nicht das Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen.
3.
Die Vorinstanz ist der Auffassung, dass das am 1. Januar 2007 in Kraft getretene neue Recht hinsichtlich der angedrohten Sanktionen und der Vollzugsform abstrakt milder ist als das zur Zeit der inkriminierten Taten geltende Recht und daher "vorbehältlich eines anderen Ergebnisses bei der Strafzumessung" anwendbar ist (angefochtener Entscheid E. 1.4.5 S. 18). Der Beschwerdeführer macht ohne nähere Begründung geltend, dieser Vorbehalt widerspreche <ref-law>.
Der Einwand geht an der Sache vorbei. Die Vorinstanz wendet bei der Strafzumessung das neue Recht an, wie sich aus den zahlreichen Verweisen auf neurechtliche Bestimmungen in ihren Strafzumessungserwägungen ergibt (angefochtener Entscheid E. 3 S. 98 ff.).
4.
Die Vorinstanz weist darauf hin, laut Anklage soll der Beschwerdeführer die angeklagten Tathandlungen im Zeitraum 17. November 1999 (Anklageziffer 2.4) bis Ende 2001 (Anklageziffer 2.7) begangen haben (angefochtener Entscheid E. 1.5.2a S. 19). Der Beschwerdeführer macht sinngemäss geltend, diese Festlegung des Tatzeitraums sei unzutreffend.
Der Einwand geht an der Sache vorbei. Die Vorinstanz geht von Tathandlungen des Beschwerdeführers von Februar bis Oktober 2000 aus (siehe zum Beispiel angefochtener Entscheid S. 100).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer beantragte im vorinstanzlichen Verfahren mit Eingaben vom 7. Januar 2013 und vom 20. Februar 2013 die Einvernahmen von mehreren Personen als Zeugen. Diese würden ergeben, dass er die tatsächlichen Voraussetzungen für eine Verurteilung wegen Veruntreuung und ungetreuer Geschäftsbesorgung nicht erfüllt habe, da er in der A._ AG keine besondere Stellung innegehabt, keine Pflichten verletzt und weder einen Schaden bewirkt noch in Bereicherungsabsicht gehandelt habe. Die vorinstanzliche Verfahrensleitung wies die Beweisanträge mit begründeter Verfügung vom 11. Februar 2014 ab (Akten der Vorinstanz p. 75 280 001 ff.).
5.2. Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass er die fraglichen Beweisanträge in der Hauptverhandlung erneut gestellt habe, was gemäss <ref-law> möglich gewesen wäre. Er legt nicht dar, inwiefern die Abweisung der Beweisanträge Recht verletze.
5.3. Soweit der Beschwerdeführer die Einvernahme der genannten Zeugen im bundesgerichtlichen Verfahren beantragt, ist darauf wegen Unzulässigkeit eines solchen Begehrens nicht einzutreten.
6.
Die Revisionsstelle hielt in Bezug auf das Geschäftsjahr vom 28. April 1999 bis 31. Dezember 2000 fest, sie könne die Beteiligungen der A._ AG wegen der fehlenden Unterlagen und der unsicheren Zukunftsaussichten nicht abschliessend beurteilen. Dasselbe gelte für die Darlehen an Gruppengesellschaften (angefochtener Entscheid E. 2.2.7 S. 30/31). Der Beschwerdeführer macht geltend, damit sei der Nachweis eines Vermögensschadens nicht erbracht. Die Vorinstanz legt in E. 2.5.2g/cc und dd (angefochtener Entscheid S. 95) dar, worin in den Anklageziffern 2.7, 2.9 und 2.10, in welchen der Beschwerdeführer wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung schuldig gesprochen worden ist, der Vermögensschaden der A._ AG besteht. Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander.
7.
7.1. Der Beschwerdeführer wurde in Anklageziffer 2.1 mit Ausnahme des Vorwurfs des Einbehaltens eines Betrags von DEM 2'019'316.51 der Veruntreuung im Sinne von <ref-law> schuldig gesprochen. Die Vorinstanz legt ausführlich dar, was dem Beschwerdeführer in der Anklageziffer 2.1 vorgeworfen wird (angefochtener Entscheid E. 2.3.1a S. 31 f.) und welchen Sachverhalt sie als beweismässig erstellt erachtet (angefochtener Entscheid E. 2.3.1b S. 32 ff.), wobei sie sich teilweise auch auf die Aussagen des Beschwerdeführers stützt (angefochtener Entscheid E. 2.3.1b/bb S. 35 ff.). Die Vorinstanz begründet eingehend, weshalb das Verhalten des Beschwerdeführers gemäss Anklageziffer 2.1 den Tatbestand der Veruntreuung im Sinne von <ref-law> erfüllt (angefochtener Entscheid E. 2.4 S. 63 ff.). Dem Beschwerdeführer wird vorgeworfen, er habe als Geschäftsführer der B._ GmbH, Mannheim, Gelder von Anlegern entgegengenommen, die für die A._ AG beziehungsweise zur Beteiligung an einer Erhöhung des Aktienkapitals der A._ AG bestimmt gewesen seien, und er habe einen Teil dieser Gelder eigenmächtig und ohne Rechtsgrund an dritte Unternehmen überwiesen, unter anderem an die C._ Ltd.
Die Gelder der Anleger wurden auf Bankkonten der B._ GmbH einbezahlt und gelangten dadurch in deren Verfügungsbereich. Dies geschah im Einverständnis und mit dem Willen der Verantwortlichen der A._ AG, welche zeitweise - von Januar bis März 2000 - über keine Kapitaleinzahlungskonten verfügten. Nach der Auffassung der Vorinstanz entstand ab dem Zeitpunkt, als mit beidseitigem Einverständnis die vom Beschwerdeführer zur Weiterleitung an die A._ AG eingenommenen Gelder auf Konten der B._ GmbH einbezahlt und mit deren Vermögen vermischt wurden, ein Treuhandverhältnis zwischen den beiden Gesellschaften. Die B._ GmbH sei als Treunehmerin verpflichtet gewesen, diese Gelder für die A._ AG jederzeit zur Verfügung zu halten beziehungsweise auf die Kapitaleinzahlungskonten zu überweisen, wobei diese Pflicht konkret den Geschäftsführern der B._ GmbH zugekommen sei, zu welchen der Beschwerdeführer gehört habe (angefochtener Entscheid E. 2.4.3b S. 67).
Durch die Überweisung der Gelder der Einleger an dritte Unternehmen verletzte die B._ GmbH, handelnd durch ihre Geschäftsführer, unter anderem den Beschwerdeführer, nach der Auffassung der Vorinstanz ihre Treuepflicht gegenüber der A._ AG. Die Vorinstanz stellt fest, der Beschwerdeführer habe gewusst, dass es sich um Gelder von Personen handelte, die im Rahmen einer Aktienkapitalerhöhung der A._ AG Aktien zeichnen wollten, und dass er diese Gelder der A._ AG zuführen musste (angefochtener Entscheid E. 2.4.3e/aa S. 71). Der Beschwerdeführer handelte nach den weiteren Feststellungen der Vorinstanz in der Absicht, Dritte unrechtmässig zu bereichern, indem er die für die A._ AG bestimmten Gelder Dritten zukommen liess, die darauf keinen Anspruch hatten (angefochtener Entscheid E. 2.4.3e/bb S. 73 f.).
7.2. Der Beschwerdeführer stellt zu Anklageziffer 2.1 punktuell einige Tatsachenbehauptungen auf. Damit legt er nicht rechtsgenügend dar, inwiefern die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz willkürlich seien.
7.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, dass seine Verurteilung wegen Veruntreuung im Sinne von <ref-law> in Anklageziffer 2.1 Recht verletze. Er sei nicht Treunehmer. Sofern er ein solcher sein sollte, habe er nicht entgegen, sondern entsprechend den Weisungen und Wünschen der Treugeberin, d.h. der A._ AG, gehandelt, indem er Gelder an dritte Unternehmen überweisen liess. Diese Dritten hätten als "Schwestergesellschaften" der A._ AG auf die Erfüllung von Finanzierungszusagen gewartet, damit sie ihrerseits ihren Verpflichtungen bei der Anschaffung von neuen Maschinen und Anlagen nachkommen konnten.
Dass die Unternehmen, an welche der Beschwerdeführer die Gelder überweisen liess, allenfalls dem A._-Konzern angehörten und somit die Gelder im Konzern verblieben, entlastet den Beschwerdeführer nicht, da er wusste, dass die A._ AG, für welche die Gelder der Anleger zwecks Aktienzeichnung bestimmt waren, rechtlich selbständig ist (siehe angefochtenen Entscheid E. 2.4.3e/aa S. 71, 72). Der Beschwerdeführer konnte als erfahrener Geschäftsmann entgegen seinen Vorbringen nicht irrtümlich annehmen, es sei ihm erlaubt, die Gelder der Anleger, die im Rahmen einer Aktienzeichnung für die A._ AG bestimmt waren, kurzerhand an dritte Unternehmen zu überweisen, welche allenfalls demselben "Konzern", "Konglomerat", "Imperium" beziehungsweise "Topf" angehörten wie die A._ AG und das Geld zur Beschaffung von Maschinen etc. benötigten. Unerheblich ist in diesem Zusammenhang, dass die A._ AG nach der Darstellung des Beschwerdeführers einzig zum Zweck gegründet worden war, Investitionen und Expansionen der zum A._-"Imperium" gehörenden Gesellschaften zu finanzieren.
8.
Die Vorinstanz spricht den Beschwerdeführer in Anklageziffer 2.7 der qualifizierten ungetreuen Geschäftsbesorgung (Art. 158 Ziff. 1 Abs. 1 und 3 StGB) zum Nachteil der A._ AG im Schadensbetrag von EUR 50'000.-- schuldig. Sie legt ausführlich dar, welchen Sachverhalt sie insoweit als erwiesen erachtet (angefochtener Entscheid E. 2.3.7b S. 52 ff.) und weshalb und inwiefern die einzelnen Merkmale des Tatbestands der ungetreuen Geschäftsbesorgung erfüllt sind (angefochtener Entscheid E. 2.5.2a, d/ee, g/cc, h/bb S. 88 ff.). Der Beschwerdeführer setzt sich damit nicht substantiiert auseinander, indem er sich darauf beschränkt, die Verantwortung anderen Personen zuzuschieben.
9.
9.1. Die Vorinstanz verurteilt den Beschwerdeführer zu einer Freiheitsstrafe von 14 Monaten, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren. Sie begründet das Strafmass eingehend und bemisst die Strafe nach Massgabe der einschlägigen Bestimmungen und in Beachtung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Vorbringen nicht darzulegen, inwiefern die Vorinstanz bei der Strafzumessung Recht verletzt habe.
9.2. Die Vorinstanz verneint zu Recht aufrichtige Reue und ein strafmindernd zu berücksichtigendes Geständnis mit der Begründung, der Beschwerdeführer sei nach wie vor der Auffassung, er habe nichts Strafbares getan (angefochtener Entscheid E. 3.3 S. 101/102). Sie berücksichtigt zutreffend das grundsätzlich kooperative Aussageverhalten des Beschwerdeführers leicht strafmindernd. Sie berücksichtigt zu Recht in erheblichem Masse strafmindernd gemäss <ref-law>, dass seit den inkriminierten Taten sehr lange Zeit, nämlich nahezu die ganze Dauer der 15jährigen Verjährungsfrist, verstrichen ist und der Beschwerdeführer sich in dieser Zeit wohl verhalten hat (angefochtener Entscheid E. 3.4 S. 104).
9.3. Im Zeitpunkt der Ausfällung des angefochtenen Entscheids waren mehr als zwölf Jahre seit den ersten Ermittlungshandlungen gegen unbekannte Täterschaft im Juni 2002 verstrichen. Die Vorinstanz begründet ausführlich, dass und weshalb ein Zeitraum von mindestens 2 1⁄2 Jahren vom Beschwerdeführer und von seiner Verteidigerin zu verantworten ist, welche wiederholt richterliche Fristen verstreichen liess (angefochtener Entscheid E. 3.7 S. 109 f.). Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen Erwägungen nicht substantiiert auseinander. Damit ist seit dem Beginn der ersten Ermittlungshandlungen gegen unbekannte Täterschaft von einer Verfahrensdauer von 9 1⁄2 Jahren und seit der ersten Einvernahme des Beschwerdeführers im Oktober 2004 (siehe angefochtenen Entscheid E. 3.7.2 S. 108) von einer Verfahrensdauer von etwa 7 1⁄2 Jahren auszugehen. Die Vorinstanz legt ausführlich dar, weshalb diese Verfahrensdauer nicht überlange ist. Zufolge Gesetzesänderungen waren diverse Strafbehörden involviert. Das Verfahren wurde meist gegen fünf Beschuldigte geführt, wobei Rechtshilfeersuchen in 14 Staaten erforderlich waren und sich im Verfahren Akten im Umfang von 118 Bundesordnern anhäuften (siehe angefochtener Entscheid E. 3.7.2 S. 108 ff.). Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander.
10.
Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Gesuch ist abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war. Somit hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die bundesgerichtlichen Kosten von Fr. 1'600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesstrafgericht, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. April 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Näf