Sachverhalt:
A. Der 1940 geborene, N._ ist gelernter Schlosser und Schweisser. Er erlitt 1987 einen Herzinfarkt und musste sich einer Bypass-Operation unterziehen. Im Rahmen von Restrukturierungsmassnahmen verlor er 1991 seine Arbeitsstelle bei der Firma B._ AG und bezog daraufhin Arbeitslosenentschädigung. In durch die Firma X._ AG vermittelten temporären Arbeitsverhältnissen war er vom 1. Dezember 1994 bis 6. Januar 1995 für die Firma S._ AG, vom 17. Januar bis 17. Februar 1995 für die Firma C._ AG, vom 27. Februar bis 24. März 1995 für die Firma M._ AG und vom 8. Mai bis 12. Juni 1995 für die Firma H._ AG tätig. Infolge eines erneuten Herzinfarktes ist er seit 13. Juni 1995 als Schweisser vollständig und in einer körperlich leichten Tätigkeit zu 50 % arbeitsunfähig. Seit 1. Juni 1996 bezieht er eine halbe (Invaliditätsgrad: 63 %) und seit 1. Januar 1999 eine ganze Rente der Invalidenversicherung (Invaliditätsgrad: 100 %).
Am 30. September 2002 teilte die Stiftung 2. Säule VPDS (Verband der Personaldienstleister der Schweiz; heute: Stiftung 2. Säule swissstaffing) N._ mit, ein für eine Dauer von weniger als drei Monaten verpflichteter Mitarbeiter werde nicht Mitglied der Personalvorsorgestiftung. In den ihr übermittelten Verträgen sei vermerkt, dass seine Arbeitseinsätze drei Monate nicht überschreiten würden, wie dies auch aus der von ihm erstellten Liste hervorgehe. Unter diesen Umständen sei er der Stiftung nicht angeschlossen und habe er keinen Leistungsanspruch.
B. Am 19. Mai 2006 erhob N._ Klage gegen die Stiftung 2. Säule VPDS (Beklagte 1) und gegen die Vorsorgestiftung Manpower (Beklagte 2) mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte 1, eventualiter die Beklagte 2, sei zu verpflichten, ihm aus dem Vorsorgeverhältnis spätestens ab 1. Juni 1996 eine Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 63 % und ab 1. Januar 1999 eine ganze Rente auszurichten. Die Beklagte 1, eventualiter die Beklagte 2, sei zu verpflichten, ihn auf den frühstmöglichen Zeitpunkt von der Beitragspflicht zu befreien. Die Beklagte 1, eventualiter die Beklagte 2, sei zu verpflichten, auf den Invalidenleistungen einen Verzugszins von 5 % spätestens ab dem Zeitpunkt der Klageeinreichung zu bezahlen. Des Weitern ersuchte er um Bewilligung der unentgeltliche Verbeiständung. Mit Entscheid vom 24. April 2007 wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Klage und das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ab.
C. N._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und wiederholt das im kantonalen Verfahren gestellte Rechtsbegehren. Für den Fall der Abweisung der Beschwerde beantragt er, es sei ihm die unentgeltliche Verbeiständung für das vorinstanzliche Verfahren zu gewähren. Des Weitern ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für den letztinstanzlichen Prozess.
Die Stiftung 2. Säule swissstaffing und die Vorsorgestiftung Manpower schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Beschluss vom 8. Oktober 2007 hat das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) mangels Bedürftigkeit abgewiesen.

Erwägungen:
1. Nach Art. 2 BVG in der im Jahr 1995 gültig gewesenen und hier anwendbaren Fassung unterstehen der obligatorischen Versicherung Arbeitnehmer, die das 17. Altersjahr vollendet haben und bei einem Arbeitgeber einen Jahreslohn von mehr als Fr. 23'280.- (Art. 5 BVV 2 in der Fassung vom 23. November 1994) beziehen (Abs. 1). Der Bundesrat bestimmt, welche Arbeitnehmer aus besonderen Gründen nicht der obligatorischen Versicherung unterstellt sind (Abs. 2).
Gemäss Art. 1 Abs. 1 lit. b BVV2 in der bis 31. Dezember 2005 gültig gewesenen und hier anwendbaren Fassung (welche Norm dem heutigen Art. 1j Abs. 1 lit. b BVV2 entspricht) sind Arbeitnehmer mit einem befristeten Arbeitsvertrag von höchstens drei Monaten der obligatorischen Versicherung nicht unterstellt; im Falle der Verlängerung des Arbeitsverhältnisses über die Dauer von drei Monaten hinaus sind sie von dem Zeitpunkt an versichert, in welchem die Verlängerung vereinbart wurde.
2. 2.1 Die ins Recht gelegten Verträge zwischen dem Beschwerdeführer und der Firma X._ AG vom 1. Dezember 1994, 19. Januar, 20. Februar und 25. April 1995 sehen vor, dass der Arbeitseinsatz des Beschwerdeführers längstens drei Monate dauert und während dieser Zeit unter Einhaltung einer Kündigungsfrist von mindestens zwei Tagen von beiden Seiten gekündigt werden kann; wird der Einsatz anschliessend stillschweigend weitergeführt, gilt er als auf unbestimmte Zeit verlängert. Aus den Unterlagen ergibt sich, dass der Beschwerdeführer nur mit der Temporärfirma, der Firma X._ AG, in einem Arbeitsverhältnis stand, nicht mit den einzelnen Betrieben, bei welchen er eingesetzt war (vgl. auch Art. 19 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1989 über die Arbeitsvermittlung und den Personalverleih [Arbeitsvermittlungsgesetz; AVG]; Mitteilungen des BSV über die berufliche Vorsorge Nr. 87 vom 16. November 2005, Rz. 505, zur Bestimmung des am 1. Januar 2005 in Kraft getretenen Art. 2 BVV 2).
2.2 Mit der Vereinbarung einer maximalen Vertragsdauer sind die Firma X._ AG und der Beschwerdeführer befristete Verträge im Sinne von Art. 1 Abs. 1 lit. b BVV 2 eingegangen. Dass eine Kündigung vor Ablauf der vorgesehenen Maximalfrist zulässig war, vermag hieran nichts zu ändern (Rehbinder, Berner Kommentar, N 3 zu <ref-law>; <ref-ruling> E. 2a S. 350 f.). Massgebend ist, dass die Einsatzdauer, wenn sie nicht einvernehmlich verlängert wird, von selbst spätestens nach Ablauf der drei Monate endet. Die Vertragsbeendigung bedarf mithin keiner Willenserklärung; vielmehr tritt eine Vertragsverlängerung nur ein, wenn eine entsprechende, zumindest stillschweigende Willenserklärung abgegeben wird. Aus dem Rahmenarbeitsvertrag der Firma X._ AG ergibt sich nichts anderes. Entgegen dem in der Beschwerde zitierten Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 15. Mai 2003 (BV.2001.00045) kann ein unbefristeter Vertrag auch nicht daraus konstruiert werden, dass Art. 19 Abs. 4 AVG eine Kündigungsfrist nur für die unbefristeten Verträge ausdrücklich vorsieht. Aus den gesetzlichen Vorgaben kann nicht gefolgert werden, dass Maximaldauerverträge mit vorgängiger Kündigungsmöglichkeit unzulässig wären (Brühwiler, Auswirkungen des Bundesgesetzes über die Arbeitsvermittlung und den Personalverleih vom 6. Oktober 1989 [AVG] auf den temporären Arbeitsvertrag, in: SJZ 87/1991 S. 221 ff., 226; Andreas Ritter, Das revidierte Arbeitsvermittlungsgesetz und dessen Auswirkungen auf die betroffenen Wirtschaftszweige, Bern 1994, S. 143).
3. 3.1 Liegt ein befristetes Arbeitsverhältnis im Sinne von Art. 1 Abs. 1 lit. b BVV2 vor, ist zu prüfen, ob die in der Verordnung für die Unterstellung unter das Versicherungsobligatorium vorgesehene Schwelle von drei Monaten erreicht wird. Dabei ist mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass eine Versicherungspflicht auch besteht, wenn die Gesamtdauer der Einsätze für dieselbe Temporärfirma mehr als drei Monate beträgt (vgl. auch Mitteilungen des BSV über die berufliche Vorsorge Nr. 87 vom 16. November 2005, Rz. 505). Dies entspricht denn auch dem anwendbaren Reglement der Stiftung 2. Säule des Schweizerischen Verbandes der Unternehmungen für Temporärarbeit und private Arbeitsvermittlung SVUTA, welches in Art. 3 Abs. 2 vorsieht, dass der Begriff des Arbeitsvertrags im Bereich der temporären Arbeit der Dauer einer ununterbrochenen Anstellung entspricht, ermittelt aufgrund der kumulierten Arbeitswochen.
3.2 Ausgehend von den Stundenrapporten ermittelte die Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer während 66 Tagen bzw. 13 Wochen und einem Tag im Einsatz gestanden sei, nämlich bei der Firma S._ AG 21 Tage, bei der Firma C._ AG 24 Tage und bei der Firma M._ AG 21 Tage. Mit der Begründung, eine Versicherungspflicht hätte erst ab der 14. Woche bestanden, gelangte sie zum Ergebnis, dass der Beschwerdeführer der obligatorischen Versicherung zu Recht nicht unterstellt worden sei.
3.3 Entgegen der Vorgehensweise des kantonalen Gerichts sind für die Beantwortung der Frage, ob ein Arbeitsverhältnis von mehr oder weniger als drei Monaten vorliegt, nicht die geleisteten Arbeitstage massgebend, sondern die Kalendertage, -wochen oder -monate, für welche das Arbeitsverhältnis eingegangen worden ist (vgl. SVR 2007 BVG Nr. 2 S. 4 E. 5, B 105/05; Urteil B 54/04 vom 30. September 2005, E. 3.2 [mit Zusammenfassung in SZS 2006 S. 354]; vgl. auch Stauffer, Berufliche Vorsorge, Zürich 2005, S. 183 Rz. 474). Werden für die Ermittlung der Dauer des Arbeitsverhältnisses in diesem Sinne die Kalendertage zusammengezählt, resultiert ein drei Monate überschreitendes Total von 95 Tagen (Firma S._ AG: 37 Tage; Firma C._ AG: 32 Tage; Firma M._ AG: 26 Tage), so dass der Beschwerdeführer grundsätzlich am Ende des dritten Einsatzes bei der Firma M._ AG versicherungspflichtig gewesen wäre.
3.4 Da dem Einsatz bei der Firma M._ AG indessen ein längerer Arbeitsunterbruch von sechs Wochen (25. März bis 7. Mai 1995) folgte, stellt sich die Frage, ob die Dreimonatsfrist beim Einsatz in der Firma H._ AG am 8. Mai 1995 neu zu laufen begann. Ist dies zu bejahen, dauert die Versicherungspflicht nicht weiter und fällt der Eintritt der Arbeitsunfähigkeit (13. Juni 1995) auch nicht in die Nachdeckungsfrist gemäss Art. 10 Abs. 3 BVG.
3.5 Gemäss Art. 3 Abs. 2 des Reglements der Stiftung 2. Säule des Schweizerischen Verbandes der Unternehmungen für Temporärarbeit und private Arbeitsvermittlung SVUTA bleiben Temporärangestellte versichert, wenn die Arbeitsunterbrechung zwischen zwei Einsätzen während den ersten 6 Monaten 2 Wochen (und im hier nicht weiter interessierenden Fall ab dem 7. Monat 5 Wochen) nicht übersteigt. Diese der Abgrenzung, ob eine Verlängerung des vorangegangenen Einsatzes vorliegt, dienende Norm liegt auf der Linie der vom BSV herausgegebenen Mitteilungen über die berufliche Vorsorge Nr. 91 vom 6. April 2006, Rz. 529, wonach bei einer Unterbrechung zwischen zwei Arbeitseinsätzen von mehr als zwei Wochen der "Zähler" wieder auf "Null" gesetzt wird (vgl. auch ZAK 1985 S. 370). Anders zu entscheiden wäre, wenn - was hier nicht der Fall ist - ein rechtsmissbräuchlicher Kettenvertrag vorliegen würde, welcher bezweckte, die Anwendung der Bestimmungen über den Kündigungsschutz zu umgehen oder das Entstehen von Rechtsansprüchen, die von einer Mindestdauer des Arbeitsverhältnisses abhängen, zu verhindern (<ref-ruling> E. 6.2 S. 624 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 1c S. 48; vgl. auch Urteile 2P.26/2007 vom 28. Juni 2007, E. 3.6; 4C.22/2000 vom 27. Juni 2000, E. 2c [publ. in Pra 2001 Nr. 31 S. 197]; ARV 2001 S. 80 E. 2c, C 180/99; vgl. auch Mitteilungen über die berufliche Vorsorge Nr. 91 vom 6. April 2006, Rz. 529 in fine).
3.6 Da zwischen dem Einsatz bei der Firma M._ AG (27. Februar bis 24. März 1995) und demjenigen bei der Firma H._ AG (8. Mai bis 12. Juni 1995) sechs Wochen liegen, ist die Dauer der einzelnen Einsätze nach dem Arbeitsunterbruch wieder von Null an zu rechnen. Damit war der Beschwerdeführer der obligatorischen Versicherung bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit am 13. Juni 1995 nicht unterstellt und hat die Stiftung 2. Säule swissstaffing eine Leistungspflicht zu Recht verneint.
4. Soweit der Versicherte die am 13. Dezember 1995 errichtete Vorsorgestiftung Manpower ins Recht fassen will, wird auf die zutreffenden Erwägungen im kantonalen Entscheid verwiesen, wonach eine Leistungspflicht derselben schon deshalb ausser Betracht fällt, weil die Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, am 13. Juni 1995 eingetreten ist und somit zu einem Zeitpunkt, in welchem die Vorsorgestiftung Manpower noch gar nicht existiert hat.
5. Nicht zu beanstanden ist schliesslich auch, dass die Vorinstanz das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung mangels Bedürftigkeit abgewiesen hat, verfügte doch der Beschwerdeführer nach den unbestritten gebliebenen Feststellungen der Vorinstanz über ein Vermögen von über Fr. 50'000.- (vgl. zum fehlenden Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege im letztinstanzlichen Verfahren auch den Beschluss des Bundesgerichts vom 8. Oktober 2007).
6. Dem Prozessausgang entsprechend trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. April 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann