Erwägungen:
1. Die türkische Staatsangehörige X._ heiratete im November 2003 in ihrer Heimat einen in der Schweiz niedergelassenen Landsmann. Im Januar 2004 reiste sie in die Schweiz ein und erhielt im Rahmen des Familiennachzugs eine Aufenthaltsbewilligung. Im Juni 2005 zog sie ihre nicht vom Ehemann stammende Tochter Y._, geboren 1998, nach. Die Eheleute trennten sich Ende August 2006; der gemeinsame Haushalt wurde am 27. Dezember 2006 auch eheschutzrichterlich aufgehoben.
Mit Verfügung vom 5. Februar 2007 lehnte das Ausländeramt des Kantons Schaffhausen die Verlängerung der abgelaufenen Bewilligungen von X._ und ihrer Tochter ab und wies sie aus dem Kanton weg. Der gegen diese Verfügung erhobene Rekurs an den Regierungsrat des Kantons Schaffhausen blieb erfolglos, und am 12. Juni 2009 wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen die gegen den regierungsrätlichen Rekursentscheid vom 23. Oktober 2007 erhobene Beschwerde ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 18. Juli (Postaufgabe 20. Juli) 2009 beantragen X._ und Y._ dem Bundesgericht, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, ihre Aufenthaltsbewilligungen zu verlängern, eventualiter die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerinnen erheben sowohl Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als auch subsidiäre Verfassungsbeschwerde; letztere steht nur offen, soweit erstere unzulässig ist (vgl. Art. 113 BGG). Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit eines Rechtsmittels von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 188 oben).
2.2 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss Art. 83 lit. c BGG unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2), betreffend die Wegweisung (Ziff. 4) sowie betreffend Abweichungen von den Zulassungsvoraussetzungen (Ziff. 5; bis Ende 2007 betreffend Ausnahmen von den Höchstzahlen).
Die Beschwerdeführerinnen können keinen Anspruch aus einer landesrechtlichen Norm ableiten. Namentlich kann sich die Beschwerdeführerin 1 nicht auf Art. 17 Abs. 2 ANAG (der hier noch zur Anwendung kommt; vgl. Art. 126 Abs. 1 AuG) berufen, lebt sie doch schon seit Sommer 2006, nach einem ehelichen Zusammenleben von gut zweieinhalb Jahren, nicht mehr mit ihrem niedergelassenen Ehemann zusammen. Sodann ergeben sich auch aus der Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (Begrenzungsverordnung, BVO) keine Bewilligungsansprüche (<ref-ruling> E. 2.2 S. 284; s. im Übrigen Art. 83 lit. c Ziff. 5 BGG). Dass sich ein Anspruch nicht aus Art. 8 EMRK ableiten lässt, soweit dieser das Recht auf Achtung des Familienlebens garantiert, hat das Obergericht zutreffend festgestellt; es kann hierzu vollumfänglich auf E. 4b seines Entscheids verwiesen werden. Die Beschwerdeführerinnen wollen Art. 8 ERMK zusätzlich auch insofern anrufen, als er das Recht auf Achtung des Privatlebens gewährleistet; die Kriterien, die die Rechtsprechung diesbezüglich hinsichtlich der Anerkennung eines Bewilligungsanspruchs entwickelt hat, sind indessen im Falle der Beschwerdeführerinnen offensichtlich nicht erfüllt (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286 f.).
Der Entscheid des Obergerichts kann nicht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden.
2.3 Zur Verfassungsbeschwerde ist nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. b BGG). Da die Beschwerdeführerinnen - wie gesehen - keinen Rechtsanspruch auf (Verlängerung der) Aufenthaltsbewilligungen haben, sind sie durch den angefochtenen Entscheid nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen, und es fehlt ihnen im Prinzip die Legitimation zur Verfassungsbeschwerde, soweit sie die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligungen als solche bemängeln wollen (vgl. <ref-ruling>).
Berechtigt wären die Beschwerdeführerinnen trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst zur Rüge, ihnen zustehende Verfahrensgarantien, namentlich der Anspruch auf rechtliches Gehör, seien verletzt worden. Nicht zu hören sind dabei aber Vorbringen, die im Ergebnis auf die Überprüfung des Sachentscheids abzielen, wie die Behauptung, dass die Begründung des angefochtenen Entscheids unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen sei oder sich nicht mit sämtlichen Argumenten auseinandersetze oder dass die Parteivorbringen willkürlich gewürdigt worden seien; ebenso wenig ist der Vorwurf zu hören, der Sachverhalt sei unvollständig oder sonstwie willkürlich festgestellt und Beweisanträge seien wegen willkürlicher antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt worden (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 313; <ref-ruling> E. 1.4 S. 222; <ref-ruling> E. 7b S. 94; <ref-ruling> E. 1c S. 236; zur Weiterführung dieser so genannten "Star-Praxis" unter der Herrschaft des Bundesgerichtsgesetzes s. <ref-ruling> E. 6.2 S. 198 f.).
Die Beschwerdeführerinnen rügen eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör bzw. des Fairnessprinzips, weil sie nicht persönlich (mündlich) angehört worden seien; diesbezüglich liege hinsichtlich der Beschwerdeführerin 2 zusätzlich eine Verletzung von Art. 12 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (UNO-Kinderrechtekonvention, KRK; SR 0.107) vor. Das Obergericht hat die Situation beider Beschwerdeführerinnen unter verschiedensten Aspekten umfassend geprüft und kam aufgrund einer antizipierten Beweiswürdigung zum Schluss, eine mündliche Anhörung erübrige sich, weil sich keine relevanten neuen Erkenntnisse ergeben würden. Diese Würdigung kann das Bundesgericht auch unter dem Titel rechtliches Gehör bzw. Art. 12 KRK nach dem vorstehend Ausgeführten nicht überprüfen.
Die Voraussetzungen, auf die Beschwerde zumindest als subsidiäre Verfassungsbeschwerde einzutreten, sind mithin nicht erfüllt.
2.4 Da sich die Beschwerde in jeder Hinsicht als offensichtlich unzulässig erweist (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG), ist darauf im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.5 Mit diesem Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.6 Da die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG).
Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG), dem Verfahrensausgang entsprechend, den Beschwerdeführerinnen bzw. der Beschwerdeführerin 1 aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin 1 auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführerinnen, dem Ausländeramt, dem Regierungsrat und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juli 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller