Sachverhalt:
A.
X._ (Kläger und Beschwerdeführer) verkaufte seinem Sohn Y._ (Beklagter) 90 % der Aktien der A._ AG. Teil dieser Vereinbarung ist eine lebenslange Rente in umstrittener Höhe (Fr. 2'200.-- oder Fr. 4'000.--). Nachdem der Beklagte von der Generalbevollmächtigten des Klägers informiert worden war, dieser sei nicht Willens oder fähig, verschiedenen Zahlungsverpflichtungen nachzukommen, unterzeichneten die Parteien am 14. Dezember 2010 eine Vereinbarung. Diese hält unter anderem fest, der Beklagte sei nach Absprache mit der Generalbevollmächtigten berechtigt, Zahlungen direkt vorzunehmen und mit der dem Kläger zustehenden Rente zu verrechnen.
B.
Es kam zwischen den Parteien bezüglich der Rentenleistungen zum Streit. Im Schlichtungsverfahren, für das dem Kläger die unentgeltliche Prozessführung bewilligt wurde, konnte keine Einigung erzielt werden. Daraufhin suchte dieser auch für das Gerichtsverfahren um unentgeltliche Rechtspflege nach. Dieses Gesuch wies der Zivilgerichtspräsident Basel-Stadt am 26. März 2013 mangels Bedürftigkeit des Gesuchstellers und Erfolgsaussichten der Klage ab. Auch das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt erkannte am 3. Juli 2013, der Kläger sei nicht mittellos. Es wies dessen Beschwerde ohne Prüfung der Prozessaussichten der Klage ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht im Wesentlichen, ihm für das Verfahren vor dem Zivil- und dem Appellationsgericht die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen. Da zu seinem Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung keine Vernehmlassungen eingingen, hat das Bundesgericht diesem am 10. Oktober 2013 stattgegeben. Der Beschwerdeführer ersucht auch für das Verfahren vor Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege. Vernehmlassungen in der Sache wurden nicht eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Zwischenentscheid, mit dem die unentgeltliche Rechtspflege letztinstanzlich verweigert wurde. Derartige Zwischenentscheide können einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 131; <ref-ruling> E. 2a S. 210 mit Hinweisen), so dass die Beschwerde an das Bundesgericht offen steht. Der Rechtsweg von Zwischenentscheiden folgt grundsätzlich jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.), und der Streitwert bestimmt sich nach den Begehren, die vor der Instanz streitig geblieben sind, wo die Hauptsache hängig ist (<ref-law>). In der Hauptsache handelt es sich um eine Zivilsache, deren Streitwert den für eine Beschwerde in Zivilsachen erforderlichen Betrag von Fr. 30'000.-- erreicht (<ref-law>).
2.
Die Vorinstanz ging davon aus, der Beschwerdegegner habe glaubhaft dargelegt, dass er dem Beschwerdeführer von November 2011 bis Dezember 2012 gesamthaft Fr. 49'706.75 überwiesen habe, entweder als Direktzahlungen auf Konten des Beschwerdeführers, als Direktzahlungen an Gläubiger des Beschwerdeführers oder als Überweisungen auf ein zugunsten des Beschwerdeführers eingerichtetes Dispokonto.
2.1. Die Vorinstanz hielt fest, die Zahlungen würden durch zahlreiche Bank- und Rechnungsbelege objektiviert. Der Beschwerdeführer wende zwar ein, Rechnungen, die der Beklagte nach eigenem Gutdünken zu bezahlen behaupte, dürften für die Frage der Bedürftigkeit nicht berücksichtigt werden und die entsprechenden Zahlungen sollten einzig verhindern, dass der Kläger ein Gerichtsverfahren anhebe. Dieser bestreite in der Folge aber weder den Eingang der Zahlungen noch die Verwendung des Geldes zur Bestreitung der notwendigen Ausgaben substanziiert. Er mache vielmehr geltend, dass es sich bei den Zahlungen um freiwillige Leistungen des Beklagten handle. Als Einnahmen seien aber nur Zahlungen anrechenbar, auf die der Beschwerdeführer Anspruch habe und die auch in Zukunft periodisch ausgerichtet würden.
2.2. Diesen Einwand verwarf die Vorinstanz. Sie erkannte, es seien sämtliche effektiv vorhandenen Mittel zu berücksichtigen. Die monatliche AHV-Rente von Fr. 1'846.-- sowie die durchschnittlichen monatlichen Zahlungen des Beklagten von Fr. 3'550.48 ergäben ein Einkommen vom insgesamt Fr. 5'396.48 und im Vergleich zu den (mit Blick auf die tieferen Lebenshaltungskosten am deutschen Wohnsitz des Beschwerdeführers grosszügig berechneten) Ausgaben von Fr. 2'930.-- einen Überschuss bei einer voraussichtlichen Prozessdauer von 12 Monaten von Fr. 29'597.76. Damit sei der Beschwerdeführer in der Lage, die bei einem Streitwert von Fr. 30'000.-- zu erwartenden Gerichtskosten (Fr. 3'000.--) sowie die Anwaltskosten (je rund Fr. 3'500.-- zuzüglich Auslagen und Mehrwertsteuer) zu tragen. Aus der blossen Möglichkeit, dass der Beklagte in Zukunft keine Leistungen mehr erbringen könnte, lasse sich keine gegenwärtige Bedürftigkeit ableiten.
3.
Nach <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die für die Prozessführung erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Wer diese Bedingungen erfüllt, hat auch Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand, soweit dies zur Wahrung der Rechte notwendig ist (<ref-law>). Dieselben Voraussetzungen gelten für das Verfahren vor Bundesgericht (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Mit diesen Regeln wird der verfassungsrechtliche Anspruch nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.1 S. 133) auf Gesetzesstufe gewährleistet, weshalb die zu <ref-law> ergangene Rechtsprechung auch insoweit einschlägig ist (vgl. Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7302, Ziff. 5.8.4 zu Art. 115 E-ZPO; Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4304 Ziff. 4.1.2.10 zu Art. 60 E-BGG).
3.1. Als aussichtslos sind nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218; <ref-ruling> E. 5 S. 616; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.).
3.2. Bedürftig ist ein Gesuchsteller, der die Leistung der erforderlichen Prozess- und Parteikosten nur erbringen kann, wenn er die Mittel angreift, deren er zur Deckung des Grundbedarfs für sich und seine Familie bedarf (<ref-ruling> E. 5.1 S. 223 mit Hinweisen). Prozessarmut ist mithin gegeben, wenn die betreffende Person nicht über die notwendigen Mittel (Einkommen und Vermögen) verfügt, um ohne erhebliche Beeinträchtigung ihrer Existenz für die Prozesskosten aufzukommen (Botschaft ZPO, BBl 2006 7301, Ziff. 5.8.4 zu Art. 115 E-ZPO). Die unentgeltliche Rechtspflege kann demgegenüber verweigert werden, wenn der Gesuchsteller die anfallenden Gerichts- und Anwaltskosten in absehbarer Zeit aus Einkommensüberschüssen zu bezahlen vermag (<ref-ruling> E. 3a S. 9).
3.2.1. Zur Prüfung der Bedürftigkeit sind sämtliche Umstände im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuches zu würdigen; die entscheidende Behörde hat insbesondere zu berücksichtigen, welche Mittel binnen welcher Frist aufzubringen sind. Massgebend ist die gesamte wirtschaftliche Situation zur Zeit der Gesuchstellung; das heisst, es ist einerseits sämtlichen finanziellen Verpflichtungen des Gesuchstellers Rechnung zu tragen, und es sind anderseits nicht nur die Einkünfte, sondern auch die Vermögenssituation des Gesuchstellers beachtlich (<ref-ruling> E. 3a S. 181; <ref-ruling> E. 5.1 S. 223 f.).
3.2.2. Um unnütze Ausgaben zu vermeiden, hat die Behörde im öffentlichen Interesse den Sachverhalt zwar von Amtes wegen abzuklären (Urteile des Bundesgerichts 5P.426/2002 vom 17. Januar 2003 E. 4.2 publ. in: Pra 92/2003 Nr. 170 S. 927; 4P.316/1994 vom 19. Mai 1995 E. 4a, publ. in: AJP 1995 S. 1206). Sie hat in diesem Rahmen allenfalls unbeholfene Rechtsuchende auf die Angaben hinzuweisen, die sie zur Beurteilung des Gesuches benötigt (<ref-ruling> E. 3a S. 181). Der Untersuchungsgrundsatz entbindet die gesuchstellende Person aber nicht davon, ihre finanzielle Situation schlüssig darzulegen (<ref-law>; Botschaft ZPO, BBl 2006 7303, Ziff. 5.8.4 zu Art. 117 E-ZPO). Ihr obliegt es mithin, ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich auch zu belegen. Dabei dürfen um so höhere Anforderungen an eine umfassende und klare Darstellung der finanziellen Situation durch den Gesuchsteller selbst gestellt werden, je komplexer diese Verhältnisse sind. Verweigert ein Gesuchsteller die zur Beurteilung seiner aktuellen Gesamtsituation erforderlichen Angaben oder Belege, so kann die Bedürftigkeit verneint werden (<ref-ruling> E. 3a S. 181 f.; Urteil des Bundesgerichts 4A_319/2013 vom 31. Juli 2013 E. 2.2).
3.2.3. Hinsichtlich der Voraussetzung der Bedürftigkeit für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Verfahren prüft das Bundesgericht frei, ob die Kriterien zu deren Bestimmung im Sinne von <ref-law> und <ref-law> zutreffend gewählt worden sind; die tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Behörden können dagegen nur nach Massgabe von Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG überprüft werden. Mit Bezug auf die Beweiswürdigung ist die Prüfung für die Frage der Bedürftigkeit mithin auf Willkür beschränkt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 223 mit Hinweis).
4.
Der Beschwerdeführer macht geltend, es sei nicht nachvollziehbar, dass die Vorinstanz davon ausgehe, er habe die Zahlungen des Beklagten nicht bestritten. Dass ihm Fr. 49'706.-- zur Verfügung gestanden hätten, stelle eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts und eine Verletzung von <ref-law> und <ref-law> dar. Nicht einmal der Beklagte selbst behaupte, er habe dem Beschwerdeführer direkt diesen Betrag überwiesen.
4.1. Für das Bestreiten gelten nach Auffassung des Beschwerdeführers nicht so strenge Anforderungen wie für das Substanziieren von Behauptungen. Bestreitungen seien so zu konkretisieren, dass die Gegenpartei veranlasst werde, den ihr obliegenden Beweis zu führen. Der Beschwerdeführer habe sogar ausdrücklich dargelegt, der Beklagte hätte bei jeder Zahlung im Detail nachweisen müssen, dass diese im Interesse des Beschwerdeführers und mit Zustimmung der Generalbevollmächtigten erfolgt sei. Sofern jemand Tilgung einer Forderung behaupte und dafür Belege für Zahlungen an Dritte vorlege, könne dies der Gläubiger gar nicht anders bestreiten, als dass er darauf hinweise, die Zahlung sei nicht an ihn oder nicht in seinem Interesse erfolgt. Die Bestreitung sei hinreichend substanziiert. Da im Verfahren betreffend die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege der Untersuchungsgrundsatz gelte, würde zudem selbst eine mangelhafte Bestreitung nicht bedeuten, dass die Behauptungen der Gegenpartei als anerkannt gälten. Aus den Unterlagen des Beklagten ergebe sich klar, dass die Zahlungen nicht an den Beschwerdeführer geleistet worden seien.
4.2. Direktzahlungen an Dritte stünden zudem dem Beschwerdeführer nicht tatsächlich zur Verfügung. Sie ermöglichten nicht die Bezahlung von Anwaltskosten und hätten nicht berücksichtigt werden dürfen. Die Vorinstanz führe selbst aus, es seien die wirtschaftlichen Verhältnisse im Zeitpunkt der Gesuchstellung massgebend. Zu diesem Zeitpunkt habe der Beschwerdeführer ein negatives Kontoguthaben ausgewiesen. Alle davor erfolgten Zahlungen seien irrelevant, da sie sich nicht im Vermögen niedergeschlagen hätten. Nach der Einreichung der Klage fänden sich nur wenige Zahlungen, soweit man auf die Behauptungen des Beklagten abstellen wollte. Angeblich in der Vergangenheit erfolgte Zahlungen dürften nicht als gleichmässiges zukünftiges Einkommen angerechnet werden. Dies gelte insbesondere auch für den Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung im Appellationsverfahren. Der Hauptprozess werde schliesslich nur geführt, weil der Beklagte bestreite, überhaupt irgendwelche Zahlungen leisten zu müssen.
4.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, der Hauptprozess dürfe nicht in die Prüfung der Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege vorverlagert werden. Es gehe im Hauptprozess aber gerade darum, ob der Beklagte die Zahlungen geleistet habe oder nicht. Der Beklagte habe eine umfangreiche Stellungnahme auf das Begehren um unentgeltliche Rechtspflege eingereicht. Es könne nicht erwartet werden, dass der Beschwerdeführer vor Erlangung der unentgeltlichen Rechtspflege ohne Kostendeckung bereits den Hauptprozess führe.
5.
Direktzahlungen an Dritte, auf die der Gesuchsteller keinen Einfluss hat, können nicht unbesehen als relevantes Einkommen angerechnet werden. Dienen sie beispielsweise der Tilgung unverzinslicher Darlehensschulden des Gesuchstellers, verbessert sich dadurch zwar dessen finanzielle Situation. Es führt aber (namentlich bei einer allfälligen Überschuldung) nicht zwingend dazu, dass Mittel frei werden, die zur Bestreitung der Prozesskosten herangezogen werden könnten. Andererseits sind für die Prozessarmut nicht nur Zahlungen zu berücksichtigen, die direkt an den Gesuchsteller selbst erfolgen und über die er frei verfügen kann. Werden mit den Direktzahlungen an Dritte Forderungen bezahlt, die aus der Deckung des Grundbedarfs entstehen, muss der Gesuchsteller insoweit die eigenen Einkünfte (im zu beurteilenden Fall die AHV-Rente) nicht heranziehen, so dass die Prozesskosten daraus bestritten werden könnten.
5.1. Massgebend ist, ob die Zahlungen erlauben, die Prozesskosten zu tragen. Es obliegt dem Beschwerdeführer, dem Gericht die notwendigen Informationen zukommen zu lassen, um dies zu beurteilen. Vor diesem Hintergrund ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Bestreitungen des Beschwerdeführers als nicht hinreichend substanziiert bezeichnet. Mit Blick auf die Prozessarmut müsste der Beschwerdeführer dartun, weshalb durch die Direktzahlungen an Dritte keine eigenen Mittel zur Deckung der Prozesskosten frei werden. Er hat nach den Feststellungen der Vorinstanz selbst ausgeführt, die Zahlungen des Beklagten dienten einzig dem Zweck zu verhindern, dass er ein Gerichtsverfahren anheben könne. Dies impliziert, dass Zahlungen erfolgt sind, die einen Einfluss auf die Prozessarmut haben. Wenn der Beschwerdeführer diesbezüglich keine detaillierteren Angaben macht, kann über die Prozessarmut nicht entschieden werden und kommt er seiner Mitwirkungsobliegenheit nicht hinreichend nach.
5.2. Im Hauptprozess geht es darum, welche Verpflichtungen der Beklagte gegenüber dem Beschwerdeführer eingegangen ist und ob er diese korrekt erfüllt hat. Für die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung ist aber nicht massgebend, ob Zahlungen an Dritte eine korrekte Erfüllung darstellen, sondern ob sie dazu führen, dass der Beschwerdeführer Mittel zur Bestreitung der Prozesskosten freimachen kann. Diese Frage unterscheidet sich von den zentralen Fragen des Hauptprozesses. Es geht nicht darum, diesen vorwegzunehmen. Inwieweit der Beschwerdeführer im Hauptprozess seine Bestreitungen zu substanziieren hat, hängt von den Behauptungen des Beklagten ab und ist für den Nachweis der Bedürftigkeit nicht massgeblich. Dafür müsste der Beschwerdeführer dartun, dass er trotz der Zahlungen des Beklagten die Einkünfte, die ihm selbst zugehen, zur Bestreitung seines Grundbedarfs verwenden muss und dass es nicht in seiner Macht steht, daran (beispielsweise durch Vermeidung nicht den Grundbedarf betreffender Forderungen) etwas zu ändern. Es geht um die Frage, wie der Beschwerdeführer sein Leben gestaltet und den Lebensunterhalt bestreitet. Das ist nicht Thema des Hauptprozesses. Um diesbezüglich Auskunft geben zu können, bedarf der Beschwerdeführer keines Rechtsbeistands.
5.3. Unbehelflich ist der Verweis auf die momentan negativen Kontostände, zumal der Beschwerdeführer nicht nachvollziehbar macht, weshalb die behaupteten Zahlungen, die zusammen mit dem eigenen Einkommen des Beschwerdeführers den Grundbedarf weit übersteigen, es ihm nicht erlaubten, Vermögen zu bilden. Auch dass die Vorinstanz auf den Durchschnitt der letzten Jahre abstellt, ist nicht zu beanstanden. Der Beschwerdeführer behauptet vor Bundesgericht zwar, er habe die Klage eingereicht, weil der Beklagte seine Zahlungen eingestellt habe. Er zeigt aber nicht hinreichend auf, woraus im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuches hätte geschlossen werden müssen, der Beklagte werde Art und Umfang der Zahlungen in Zukunft ändern. Wenn der Beschwerdeführer vor Bundesgericht selbst geltend macht, nur wenige der behaupteten Zahlungen beträfen die Zeit nach Klageeinleitung, kann nicht von einer Einstellung der Zahlungen ausgegangen werden. Sollte der Beklagte in Zukunft seine Zahlungen einstellen oder substanziell verringern, steht es dem Beschwerdeführer frei, mit Blick auf die veränderten Verhältnisse ein neues Gesuch um unentgeltliche Prozessführung zu stellen (<ref-ruling> E. 3b S. 9).
6.
Damit ist im Ergebnis nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Prozessarmut verneinte. Da der Beschwerdeführer weder vor Appellations- noch vor Bundesgericht nachvollziehbar dargelegt hat, weshalb durch die Direktzahlungen keine Mittel zur Bestreitung der Prozesskosten frei werden, waren die ergriffenen Rechtsmittel von vornherein aussichtslos, so dass mangels Erfolgsaussichten kein Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung besteht. Damit kann offen bleiben, ob der Beklagte seine Zahlungen inzwischen reduziert hat, wie der Beschwerdeführer behauptet. Die Beschwerde ist insgesamt abzuweisen, ebenso wie das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht. Der Beschwerdeführer wird kostenpflichtig. Da in der Sache keine Vernehmlassungen eingeholt wurden und zur aufschiebende Wirkung keine eingingen, schuldet der Beschwerdeführer keine Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung für das Verfahren vor Bundesgericht wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. November 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak