Nach Einsicht
in die Beschwerde nach Art. 72ff. BGG (Postaufgabe: 8. Juli 2009; Eingang beim Bundesgericht: 13. Juli 2009) gegen den Entscheid vom 4. Juni 2009 der Psychiatrie-Rekurskommission Basel-Stadt, die einen Rekurs der Beschwerdeführerin gegen ihre (am 28. Mai 2009 auf Grund von <ref-law> angeordnete) fürsorgerische Freiheitsentziehung abgewiesen und die ärztliche Klinikleitung ermächtigt hat, die Beschwerdeführerin ohne neuen Entscheid längstens bis zum 18. Juni 2009 in der Klinik zurückzubehalten,

in Erwägung,
dass die Beschwerde nach Art. 72ff. BGG zum Vornherein unzulässig ist, soweit die Beschwerdeführerin die Eröffnung von Strafverfahren beantragt, weil die kantonalen Strafverfolgungsbehörden für die Behandlung dieser Begehren zuständig sind,
dass die Beschwerde auch insoweit unzulässig ist, als die Beschwerdeführerin Feststellungen hinsichtlich der Zeit ab Oktober 2009 und die Zusprechung von Schadenersatz beantragt, weil diese Begehren nicht Gegenstand des (auf die Überprüfung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung beschränkten) kantonalen Verfahrens bilden konnten und daher auch nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens sein können,
dass sodann die Zulässigkeit der Beschwerde nach Art. 72ff. BGG ein Rechtsschutzinteresse voraussetzt, d.h. ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des Entscheids vom 4. Juni 2009 (<ref-law>),
dass die Beschwerdeführerin wegen der im Zeitpunkt der Einreichung ihrer Beschwerde bereits beendigten fürsorgerischen Freiheitsentziehung (auf Grund des Entscheids vom 4. Juni 2009) durch diese Massnahme nicht mehr beschwert ist und daher kein Interesse mehr an der Aufhebung des erwähnten Entscheids besitzt (<ref-ruling>),
dass die Beschwerdeführerin denn auch (nebst ihren erwähnten unzulässigen Anträgen) Begehren auf Feststellung von (angeblich in der Vergangenheit begangenen) Verletzungen von Art. 5 EMRK stellt sowie festgestellt haben will, dass ein "willkürlicher Freiheitsentzug" stattgefunden habe,
dass indessen das blosse Interesse an der Feststellung der behaupteten Widerrechtlichkeit der (auf Grund des angefochtenen Entscheids nicht mehr bestehenden) fürsorgerischen Freiheitsentziehung kein hinreichendes Rechtsschutzinteresse begründet,
dass nämlich nach <ref-law> die Möglichkeit einer Schadenersatz- und Genugtuungsklage gegeben ist und im Rahmen der Anspruchsvoraussetzung der widerrechtlichen Freiheitsentziehung die behaupteten Rechtsverletzungen richterlich überprüft würden, wodurch auch dem Erfordernis der wirksamen Beschwerdemöglichkeit bei einer nationalen Instanz im Sinne von Art. 13 EMRK Genüge getan ist (<ref-ruling> E. 1c S. 258 mit Hinweisen),
dass somit auf die - mangels Rechtsschutzinteresses offensichtlich unzulässige - Beschwerde nicht einzutreten ist (<ref-law>),
dass keine Gerichtskosten erhoben werden, weshalb sich das Gesuch um Kostenerlass als gegenstandslos erweist,
dass in den Fällen des <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, den Gesundheitsdiensten A._ und der Psychiatrie-Rekurskommission Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann