Faits:
A. Du 1er décembre 2007 au 31 juillet 2008, Y._ a travaillé, en qualité de préparateur d'une exposition et d'un ouvrage sur la "collection ..., pour le compte de X._, membre du comité de la Société A._.
Le contrat de travail liant les parties a été négocié, dès le mois d'octobre 2007, par messagerie électronique. Y._ a préparé un projet de contrat de travail, qu'il a soumis, en précisant qu'il n'était pas un spécialiste en la matière (sous-entendu du droit du travail et des assurances sociales) à X._ qui l'a jugé trop compliqué et qui lui a retourné un projet remanié. Celui-ci évoquait un salaire de 5'600 fr. brut par mois pour un poste de 60% pendant 5 mois avec les précisions suivantes:
"Monsieur Y._ est assuré par l'entreprise X._ selon les réglementations en vigueur, à savoir: a) AVS/AI/APG, 100% pour Monsieur Y._; b) LPP, 100% pour Monsieur Y._; c) Accident au lieu et hors du lieu de travail, 100% pour Monsieur Y._."
Ce contrat a été signé. Il a par la suite été prolongé de trois mois et a pris fin le 31 juillet 2008.
B. Par demande du 23 octobre 2008, Y._ a conclu notamment à ce que X._ soit condamné à lui payer le montant de 6'979 fr. 20 net avec intérêts à 5% dès le 1er mai 2008 au titre de cotisations sociales impayées (part due par l'employeur) et 2'332 fr. 40 brut avec les mêmes intérêts dès la même date pour des vacances non prises en nature.
S'agissant des vacances, le recourant a finalement acquiescé à concurrence de 2'022 fr. 35 brut, mais il a conclu au rejet de la demande pour les cotisations sociales.
Par jugement du 17 août 2009, le Tribunal des prud'hommes du district de Neuchâtel a condamné X._ à verser à Y._ une somme de 6'240 fr. 40 net avec intérêts à 5% l'an dès le 1er août 2008 à titre de restitution des cotisations sociales déduites à tort (part de l'employeur) et à un reliquat après acquiescement de 130 fr. 10 brut pour les vacances non prises. Il a considéré en bref que s'il y avait bien apparemment un accord des parties sur le fait que Y._ prendrait seul en charge l'intégralité des cotisations sociales (part employeur et part travailleur), un tel accord serait nul, et que de ce fait le contrat litigieux devait être interprété dans un sens conforme à la législation impérative en la matière, de sorte que X._ devait à Y._ les cotisations sociales impayées, à charge pour ce dernier de payer lui-même les assureurs sociaux concernés.
Saisi d'un recours de X._, la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal de Neuchâtel l'a rejeté, par arrêt du 22 janvier 2010.
C. X._ exerce un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt cantonal du 22 janvier 2010. Le recourant requiert l'effet suspensif durant la procédure devant le Tribunal fédéral et conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à ce que le Tribunal fédéral rejette, sur le fond, la demande de Y._, tout en donnant acte de son acquiescement du paiement relatif aux vacances non prises. Il invoque une violation de l'interdiction de l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst.
L'intimé conclut au rejet de la requête portant sur l'effet suspensif et, sur le fond, au rejet du recours.
Le 1er mars 2010, par ordre de la Présidente de la Ire Cour de droit civile du Tribunal fédéral, l'effet suspensif a été accordé au recours à titre superprovisoire, en ce sens qu'aucune mesure d'exécution de la décision attaquée ne pourra être prise jusqu'à ce qu'il soit statué sur la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit:
1. 1.1 Devant l'autorité précédente, le litige portait sur une somme de 6'370 fr. 50 (6'240 fr. 40 à titre de restitution des cotisations sociales et 130 fr. 10 pour les vacances non prises), entièrement contestée. La valeur litigieuse minimale requise par l'<ref-law> n'étant pas atteinte, le recours en matière civile n'était pas ouvert, étant précisé que l'on ne se trouve dans aucun des cas prévus par l'<ref-law>. C'est donc à juste titre que le recourant a interjeté un recours constitutionnel subsidiaire, puisque le recours ordinaire ne lui était pas ouvert (<ref-law>).
1.2 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions libératoires et qui a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision (<ref-law>), le recours déposé dans le délai (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, est en principe recevable, puisqu'il est dirigé contre un arrêt final (art. 117 et 90 LTF) rendu par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>).
1.3 Le recours subsidiaire ne peut être interjeté que pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Le Tribunal fédéral ne peut examiner la violation d'un droit de rang constitutionnel que si le grief a été invoqué et suffisamment motivé dans l'acte de recours (art. 117 et 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 444).
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que s'ils ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 al. 2 et 116 LTF), ce que la partie recourante doit invoquer avec précision (art. 117 et 106 al. 2 LTF). En conséquence, il n'est pas possible de prendre en considération l'exposé des faits figurant aux pages 3 à 7 du recours interjeté contre l'arrêt cantonal. Aucun fait nouveau ou preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision attaquée (art. 117 et 99 al. 1 LTF).
1.5 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 117 et 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 117 et 99 al. 2 LTF).
2. 2.1 Selon les constatations cantonales, le contrat signé par les parties évoque le seul salaire brut, soit un montant de 5'600 fr. par mois pour un poste de 60%. L'autorité précédente a retenu que ce salaire devait assurer à l'intimé un revenu net de 4'102 fr. 20 (soit 4'100 fr. en chiffres ronds). Elle a établi que ce dernier montant a effectivement été crédité mensuellement, que l'employé a reçu des fiches de salaires faisant état de cette somme et qu'il ne s'en est jamais plaint. La cour cantonale a observé que le contrat répète trois fois que les cotisations sont "100% Monsieur Y._". Elle a jugé que, bien que le procédé soit illégal, ce libellé indique clairement que l'employé prend à sa charge les 100% des cotisations sociales découlant du contrat, soit un montant de 1'500 fr. (chiffres ronds) correspondant à la part des cotisations sociales due par l'employé (750 fr. en chiffres ronds) et à celle devant être supportée par l'employeur (750 fr. en chiffres ronds). Indiquant qu'aucune pièce du dossier ne semble indiquer que des versements ont été effectués aux assureurs sociaux, la cour cantonale a signalé que, la clause contractuelle illégale étant nulle, l'employé aurait pu réclamer le double du montant de la condamnation en première instance, soit la part des cotisations due par l'employeur et celle due par l'employé.
2.2 Invoquant une violation de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.), le recourant soutient que l'arrêt attaqué ignore de nombreux faits illustrant la réelle et commune intention des parties, qu'il contient des incohérences insoutenables et qu'il aboutit enfin à un résultat choquant.
2.2.1 Se plaçant sur le terrain de l'interprétation subjective du contrat litigieux, le recourant considère que le sens littéral de celui-ci est en complète contradiction avec les pièces ponctuant les négociations au sujet de la convention. Selon lui, il ressortirait du message électronique de l'intimé du 11 octobre 2007, ainsi que du projet de contrat, daté du 17 décembre 2007, rédigé par l'intimé, que celui-ci aurait indiqué que le montant de 5'600 fr. (4'100 fr. salaire net + 750 fr. part employé + 750 fr. part patronale) représenterait les dépenses globales à la charge de l'employeur, ce qui conduirait à comprendre différemment la clause contractuelle faisant supporter à l'employé les 100% des cotisations sociales. Selon le recourant, l'employeur prendrait ainsi à sa charge les cotisations patronales (750 fr.) et le salaire brut de l'intimé (qui se monterait en réalité à 4'850 fr., y compris 750 fr. correspondant à la part des cotisations sociales supportée par l'employé). Ainsi, l'imputation de la part patronale sur le montant de 5'600 fr. n'aurait pas eu pour effet de la faire assumer par l'intimé.
L'argumentation tombe à faux. Si les documents en question font bien référence aux coûts générés par l'engagement de l'intimé, donc également aux cotisations sociales (part de l'employé et part de l'employeur), ils ne contiennent aucun indice permettant de conclure sans équivoque que l'employeur entendait supporter toutes les dépenses liées à cet engagement, donc y compris les cotisations patronales. Les pièces désignées par le recourant semblent plutôt mettre en évidence le souci de l'intimé d'avoir un salaire brut proche de 5'500 fr., afin de ne pas voir son allocation chômage diminuée une fois arrivé au terme de son activité au service du recourant.
Le recourant soutient que le caractère prédominant de la rémunération nette ressort des déclarations des parties en audience (intégrées dans le jugement du Tribunal des prud'hommes et dont le recourant reproduit un extrait dans son mémoire). Autrement dit, il affirme que les parties ont mis en exergue uniquement la question du salaire net (4'100 fr.), ce qui montre bien qu'elles n'entendaient pas se lier par un salaire brut de 5'600 fr., cette somme ne représentant que le montant des dépenses totales supportées par l'employeur.
Certes, dans les déclarations tenues en audience, les parties se sont prononcées au sujet de la rémunération nette. Plusieurs autres éléments - exposés ci-après - montrent cependant que les parties se sont également mises d'accord sur un salaire brut de 5'600 fr. L'argument central de la thèse du recourant consiste à dire que le "véritable" salaire brut convenu par les parties se monterait à 4'850 fr. Ce montant n'a cependant jamais été mentionné, ne serait-ce qu'une seule fois, par les parties. Le contrat de travail liant celles-ci ne comporte que la mention du salaire brut (5'600 fr. pour un poste à 60%). L'intimé a communiqué son souci de conserver un salaire brut proche de 5'500 fr. afin de ne pas voir diminuer ses allocations de chômage futures au terme de son activité au service de l'employeur (cf. supra). Certes, les juges cantonaux ont établi que les parties étaient tombées d'accord pour assurer à l'intimé un revenu net de 4'100 fr. Pour obtenir ce montant, celles-ci sont bien parties d'une rémunération brute de 5'600 fr. et en ont déduit l'entier des cotisations sociales (part employé et part employeur). A noter que le recourant n'agit d'ailleurs lui-même pas de manière différente dans son argumentation lorsqu'il parle d'un salaire brut de 4'850 fr. Pour obtenir cette somme, il reprend simplement le montant des cotisations sociales (part employé) calculé sur le salaire brut de 5'600 fr. (soit 750 fr.), auquel il ajoute la rémunération nette de 4'100 fr.; il ne part nullement du salaire net pour "reconstruire", sur cette base, un salaire brut (qui se serait alors révélé inférieur au montant de 4'850 fr.). Au regard de ces éléments, on ne saurait reprocher à la cour cantonale d'avoir apprécié l'ensemble des preuves de façon insoutenable en retenant que la réelle et commune intention des parties portait à la fois sur un salaire net de 4'100 fr. et sur un salaire brut de 5'600 fr., et qu'elles ont décidé de mettre l'entier des cotisations sociales à la charge de l'employé.
2.2.2 Le recourant insiste sur le fait que les données factuelles sur lesquelles s'appuie la cour cantonale font abstraction de "certaines évidences". Expliquant que la notion de "salaire brut" s'entend du salaire net (en l'espèce: 4'100 fr.) auquel on ajoute les cotisations sociales à charge de l'employé (en l'espèce: 750 fr.), il en déduit qu'en l'occurrence le salaire brut de l'intimé se monte bien à 4'850 fr., et non pas à 5'600 fr., de sorte que l'imputation de la part patronale des cotisations sociales sur ce dernier montant n'a pas eu pour effet de la faire assumer par l'intimé. L'argumentation du recourant, qui joue sur les mots, est sans consistance. Les parties peuvent parfaitement s'entendre, comme en l'espèce, sur la définition du salaire brut promis à l'employé, en convenant qu'il convient d'en déduire les cotisations d'assurances sociales dans leur totalité, celles du travailleur et celles incombant également à l'employeur. C'est précisément dans ce cas de figure que le Tribunal fédéral a jugé que la clause correspondante était illicite et donc nulle, l'employeur ne pouvant imputer sur le salaire brut ainsi convenu les cotisations sociales de droit public lui incombant légalement, en plus de celles que le travailleur supporte de par la loi (<ref-ruling> consid. 4 p. 435 s.).
2.2.3 Le recourant revient à la charge en relevant que la décision cantonale, qui confirme que l'employé possède une créance contre l'employeur portant sur les cotisations patronales déduites du salaire brut, revient à augmenter la rémunération nette de l'employé, alors même que les parties se sont mises d'accord sur un salaire net de 4'100 fr. Selon lui, seul un salaire brut de 4'850 fr. permettrait de conserver le salaire net convenu. On comprend que le recourant reproche à la cour cantonale de s'être fondée sur le salaire brut, et non le salaire net, pour trancher le litige, une fois admis l'illicéité de la clause contractuelle litigieuse. Il a été indiqué ci-dessus (cf. consid. 2.1.1) que c'est sur la base d'une appréciation des preuves exempte d'arbitraire que la cour cantonale a établi que la réelle et commune intention des parties était de fixer un salaire brut de 5'600 fr., ainsi qu'un salaire net de 4'100 fr. La nullité partielle du contrat (<ref-law>) - qui s'imposait en raison du caractère illicite de la clause contractuelle faisant supporter l'entier des cotisations sociales à l'employé - a alors obligé la cour cantonale à rechercher ce dont les parties seraient convenues de bonne foi si elles avaient envisagé la possibilité de la nullité partielle. En d'autres termes, l'autorité précédente, déterminant la volonté hypothétique des parties (<ref-ruling> consid. 4b p. 41; <ref-ruling> consid. 2b p. 163 s. et les références) est arrivée à la conclusion qu'il convenait de prendre comme référence le salaire brut mentionné dans le contrat signé par celles-ci. La recherche de la volonté hypothétique des parties est une question de droit (<ref-ruling> consid. 4b p. 41). Or, le recourant n'indique pas la norme de droit qui aurait été violée arbitrairement et il ne fournit aucune motivation circonstanciée, en rapport avec cette norme, qui permettrait de comprendre en quoi celle-ci aurait été appliquée de façon arbitraire (cf. supra consid. 1.3). Le grief est dès lors irrecevable.
2.2.4 Concernant les affirmations de la cour cantonale selon lesquelles l'employeur n'aurait effectué aucun versement aux assureurs sociaux, le recourant considère qu'elles sont en flagrante contradiction avec les pièces au dossier.
On peut lui donner raison sur ce point, les versements en question ressortant des attestations annexées dans le dossier cantonal. L'intimé reconnaît d'ailleurs lui-même que "les pièces déposées lors de la première audience par le recourant montrent le versement aux assurances sociales des cotisations". Ce seul constat ne suffit toutefois pas à conclure à une violation de l'art. 9 Cst. Le grief tiré de l'appréciation arbitraire des preuves ne peut en effet être pris en considération que si son admission est de nature à modifier le sort du litige, ce qui n'est pas le cas lorsqu'il vise une constatation de fait n'ayant aucune incidence sur l'application du droit (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; arrêt 4P.305/2001 du 18 mars 2002, consid. 2a). En l'espèce, la constatation de fait erronée de l'autorité cantonale n'a aucune incidence sur le sort de la cause. Certes, les cotisations patronales ont été versées aux assureurs sociaux. Il n'en demeure pas moins que, selon le contrat signé entre les parties, ces cotisations ont été amputées sur le salaire brut de 5'600 fr. promis à l'employé dans le contrat. Or, la jurisprudence considère comme illicites et donc nulles les clauses d'un contrat de travail qui permettent à l'employeur d'imputer sur le salaire brut convenu les cotisations sociales de droit public lui incombant légalement, en plus de celles que le travailleur supporte de par la loi. Les retenues faites à ce titre sur le salaire à verser n'ont aucun fondement juridique. L'employé conserve dès lors une créance de salaire égale au montant des cotisations patronales que son employeur a retenues sans droit (<ref-ruling> consid. 4 p. 435 s.). Le grief est mal fondé.
2.2.5 Enfin, le recourant n'explique pas, avec une motivation circonstanciée (cf. supra consid. 1.3), en quoi la décision cantonale heurterait de manière choquante le sentiment de justice et de l'équité, si bien qu'il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur ce grief auquel le recourant ne semble d'ailleurs pas vouloir donner une portée propre, indépendante des autres griefs déjà examinés.
2.3 Il résulte des considérants qui précèdent que le recours doit être déclaré mal fondé, dans la mesure où il est recevable. Le Tribunal fédéral s'étant prononcé sur le recours, la requête d'effet suspensif présentée par le recourant le 25 février 2010, et qui a été accordée à titre superprovisoire, devient sans objet.
Compte tenu de l'issue du litige, les frais et dépens sont mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 600 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimé une indemnité de 1'100 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 8 avril 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Piaget