Sachverhalt:
A. S._ verletzte sich am 1. November 2007 bei der Arbeit am Handgelenk links (radiale, nach dorsal dislozierte, mehrfragmentäre Radiusfraktur). Die obligatorische Unfallversicherung erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld, Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung). Im Juli 2008 meldete sich S._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und durchgeführtem Vorbescheidverfahren sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Aargau mit Verfügung vom 6. September 2011 eine befristete ganze Rente vom 1. November 2008 bis 30. Juni 2010 zu.
B. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde der S._ änderte das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 31. Mai 2012 die Verfügung vom 4. März 2010 (recte: 6. September 2011) ab und sprach ihr für den Zeitraum vom 1. Januar 2009 bis 30. September 2010 eine ganze Invalidenrente zu.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt S._, der Entscheid vom 31. Mai 2012 sei aufzuheben und sie bereits ab dem 1. November 2008 bis 30. September 2010 zu berenten, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle und das kantonale Versicherungsgericht verzichten auf eine Stellungnahme und einen Antrag zur Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist einzig, ob die Beschwerdeführerin ab 1. November 2008 wie von der IV-Stelle verfügt, oder erst ab 1. Januar 2009 wie von der Vorinstanz entschieden, Anspruch auf eine bis Ende September 2010 befristete ganze Rente hat (<ref-law>). Dabei steht fest, dass sich die Versicherte im Juli 2008 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet hatte und die einjährige Wartezeit nach <ref-law> (in Kraft seit 1. Januar 2008) bzw. alt <ref-law> (in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2007) am 1. November 2007 (Unfallzeitpunkt) zu laufen begann und am 31. Oktober 2008 endete.
2. 2.1 Die Regelung der Entstehung des Rentenanspruchs und des Rentenbeginns haben im Rahmen der 5. IV-Revision gemäss Bundesgesetz vom 6. Oktober 2006 (AS 2007 5129 ff.) eine Änderung erfahren:
2.1.1 Bis 31. Dezember 2007 galt Folgendes: Der Rentenanspruch nach Artikel 28 entsteht frühestens in dem Zeitpunkt, in dem der Versicherte u.a. während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens zu 40 Prozent arbeitsunfähig (<ref-law>) gewesen war. Die Rente wird vom Beginn des Monats an ausgerichtet, in dem der Anspruch entsteht, jedoch frühestens von jenem Monat an, der auf die Vollendung des 18. Altersjahres folgt (aArt. 29 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 Satz 1 IVG). Meldet sich ein Versicherter mehr als zwölf Monate nach Entstehen des Anspruchs an, so werden die Leistungen in Abweichung von Artikel 24 Absatz 1 ATSG lediglich für die zwölf der Anmeldung vorangehenden Monate ausgerichtet (aArt. 48 Abs. 2 Satz 1 IVG).
2.1.2 Seit 1. Januar 2008 gilt demgegenüber: Anspruch auf eine Rente haben Versicherte, die u.a. während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens zu 40 Prozent arbeitsunfähig (<ref-law>) gewesen sind (<ref-law>). Der Rentenanspruch entsteht frühestens nach Ablauf von sechs Monaten nach Geltendmachung des Leistungsanspruchs nach Artikel 29 Absatz 1 ATSG, jedoch frühestens im Monat, der auf die Vollendung des 18. Altersjahres folgt. Die Rente wird vom Beginn des Monats an ausbezahlt, in dem der Rentenanspruch entsteht (Art. 29 Abs. 1 und 3 IVG).
2.2 Gemäss der bis 31. Dezember 2007 in Kraft gestandenen Regelung wäre der Anspruch der Beschwerdeführerin auf die (befristete) ganze Rente am 1. November 2008 (erster Tag nach Ablauf der Wartezeit; vgl. Rz. 2025 des Kreisschreibens über Invalidität und Hilflosigkeit in der Invalidenversicherung [KSIH, gültig ab 1. Januar 2012]) entstanden und wären ab diesem Zeitpunkt Leistungen auszurichten. Nach der seit 1. Januar 2008 geltenden Ordnung ist der Anspruch im Januar 2009 (sechs Monate nach der Anmeldung bei der Invalidenversicherung) entstanden, und ab diesem Monat sind Leistungen geschuldet.
3. Für die Auffassung der Vorinstanz (Anwendbarkeit von <ref-law> auch dann, wenn die einjährige Wartezeit nach <ref-law> bzw. alt <ref-law> vor dem 1. Januar 2008 begann und in diesem Zeitpunkt noch nicht abgelaufen war) spricht, dass früher wie heute das Wartezeiterfordernis eine Anspruchsvoraussetzung ist. Dementsprechend gilt die Invalidität bzw. der Versicherungsfall Invalidenrente erst mit der Entstehung des Rentenanspruchs als eingetreten (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1 und 2.2.4 S. 421 f.; SVR 2007 IV Nr. 7 S. 23, I 76/05 E. 1.1), und nicht bereits bei Beginn der Wartezeit, wie die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint. In diesem Zusammenhang ist nicht ersichtlich, inwiefern in Konstellationen wie der vorliegenden der (zufällige) Zeitpunkt des Verfügungserlasses zu Ungleichbehandlungen unter den Versicherten führen könnte. Vor Ablauf der Wartezeit konnte und kann auch weiterhin kein Rentenanspruch entstehen.
Die Beschwerdeführerin beruft sich zur Stützung ihres gegenteiligen Standpunktes (Massgeblichkeit der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Regelung, insbesondere alt <ref-law>) auf das vom BSV herausgegebene Rundschreiben Nr. 253 vom 12. Dezember 2007 sowie auf das Gleichbehandlungsgebot.
3.1 Es gibt keine spezielle übergangsrechtliche Regelung der Frage nach der Anwendbarkeit von <ref-law> (Entstehung des Rentenanspruchs frühestens nach Ablauf von sechs Monaten nach dessen Geltendmachung), wenn bei Inkrafttreten dieser Gesetzesbestimmung am 1. Januar 2008 die einjährige Wartezeit nach <ref-law> bzw. alt <ref-law> noch nicht abgelaufen ist. Es kommt daher der Grundsatz zum Tragen, wonach bei einer Änderung der Rechtsgrundlagen diejenigen massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220; Urteil 8C_606/2011 vom 13. Januar 2012 E. 3.1), was hier indessen nicht weiterhilft.
3.1 Es gibt keine spezielle übergangsrechtliche Regelung der Frage nach der Anwendbarkeit von <ref-law> (Entstehung des Rentenanspruchs frühestens nach Ablauf von sechs Monaten nach dessen Geltendmachung), wenn bei Inkrafttreten dieser Gesetzesbestimmung am 1. Januar 2008 die einjährige Wartezeit nach <ref-law> bzw. alt <ref-law> noch nicht abgelaufen ist. Es kommt daher der Grundsatz zum Tragen, wonach bei einer Änderung der Rechtsgrundlagen diejenigen massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220; Urteil 8C_606/2011 vom 13. Januar 2012 E. 3.1), was hier indessen nicht weiterhilft.
3.2 3.2.1 Zweck der Neuregelung in Bezug auf die Entstehung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und den Rentenbeginn ist, den Anreiz bei den Versicherten zu verstärken, sich möglichst frühzeitig, spätestens sechs Monate nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, bei der Invalidenversicherung anzumelden, insbesondere um Eingliederungsmassnahmen zu einem Zeitpunkt in die Wege leiten zu können, in dem die Wahrscheinlichkeit für deren Wirksamkeit noch bedeutend höher ist als später (Botschaft vom 22. Juni 2005 zur Änderung des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung [5. Revision], BBl 2005 S. 4459 ff., 4535 Ziff. 1.6.1.6 und 4568 zu <ref-law>). Die Neuerung führt grundsätzlich zu keiner Schlechterstellung, da bei rechtzeitiger Anmeldung die Rente wie schon vorher nach Ablauf der Wartezeit zur Ausrichtung gelangt (BBl, a.a.O.).
3.2.2 Im erwähnten Rundschreiben Nr. 253 hat die Aufsichtsbehörde ausgeführt, die Änderung brauche eine gewisse Übergangszeit u.a. auch deshalb, weil die versicherten Personen darüber bisher noch kaum informiert worden seien. Aus dem Grund sei die Regelung, wonach die Rente erst sechs Monate nach der Anmeldung gezahlt werden könne, nicht anwendbar, wenn die Wartezeit vor dem 1. Januar 2008 zu laufen begonnen habe und im Jahre 2008 erfüllt worden sei. In diesen Fällen genüge eine Anmeldung bis spätestens am 31. Dezember 2008. Die Rente könne dann abweichend vom neuen <ref-law> ab Ablauf der Wartezeit ausgerichtet werden.
Beim Rundschreiben Nr. 253 vom 12. Dezember 2007 handelt es sich um eine Verwaltungsweisung, welche für das Sozialversicherungsgericht zwar nicht verbindlich, von diesem aber zu berücksichtigen ist, wenn sie eine dem Einzelfall angepasste und gerecht werdende Auslegung der anwendbaren Bestimmungen zulässt (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 455; <ref-ruling> E. 6.2 S. 362; vgl. auch <ref-ruling> E. 8.1 S. 315).
Beim Rundschreiben Nr. 253 vom 12. Dezember 2007 handelt es sich um eine Verwaltungsweisung, welche für das Sozialversicherungsgericht zwar nicht verbindlich, von diesem aber zu berücksichtigen ist, wenn sie eine dem Einzelfall angepasste und gerecht werdende Auslegung der anwendbaren Bestimmungen zulässt (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 455; <ref-ruling> E. 6.2 S. 362; vgl. auch <ref-ruling> E. 8.1 S. 315).
3.3 3.3.1 Sinn und Zweck des im Rahmen der 5. IV-Revision geschaffenen <ref-law> (Entstehung des Rentenanspruchs frühestens nach Ablauf von sechs Monaten nach dessen Geltendmachung; vorne E. 3.2.1) sprechen für dessen grundsätzlich sofortige Anwendung auch in Fällen, wo die einjährige Wartezeit nach <ref-law> bzw. alt <ref-law> beim Inkrafttreten am 1. Januar 2008 noch nicht abgelaufen ist. Die Änderung ist jedoch einschneidend und wirkt sich namentlich dann zu Ungunsten der Versicherten aus, wenn in diesem Zeitpunkt bereits mehr als sechs Monate der Wartezeit vergangen sind mit der Folge, dass der Rentenanspruch nicht unmittelbar nach deren Ablauf entsteht. Die von der Aufsichtsbehörde im Rundschreiben Nr. 253 getroffene Regelung dient dazu, solche Fälle zu verhindern, was - jedenfalls unter der Annahme, dass von den Versicherten nicht vor dem 1. Januar 2008 Kenntnis von der Neuerung erwartet werden darf -, nicht gesetzwidrig erscheint.
3.3.2 Unter dem Gesichtspunkt des Gleichbehandlungsgebots (<ref-law>) ist indessen zu beachten, dass bei einem Eintritt der gesundheitlich bedingten Arbeitsunfähigkeit in den ersten fünf Monaten 2008 nach dem in solchen Fällen anwendbaren <ref-law> den betreffenden Versicherten nicht Zeit verbleibt, sich bis Ende Jahr bei der Invalidenversicherung anzumelden, um sofort nach Ablauf der einjährigen Wartezeit in den Genuss von Rentenleistungen zu kommen. Tritt etwa die Arbeitsunfähigkeit im Februar 2008 ein und meldet sich die versicherte Person erst im Dezember 2008 an, kann der Rentenanspruch frühestens im Juni 2009, d.h. vier Monate nach Ablauf der Wartezeit entstehen. Dies bedeutet eine Schlechterstellung gegenüber den vom Rundschreiben Nr. 253 erfassten Versicherten, bei denen eine Anmeldung bis spätestens am 31. Dezember 2008 ausreicht.
3.4 Es kann offenbleiben, ob eine Übergangsordnung, die nach der Dauer der Ende 2007 bereits zurückgelegten Wartezeit differenziert, am besten den Anforderungen von Verfassung und Gesetz genügte. Bei einer einheitlichen Regelung kann nach dem Gesagten jedenfalls die Anmeldefrist anspruchswahrend maximal bis Ende Juni 2008 erstreckt werden. Das Rundschreiben Nr. 253, soweit es eine Frist bis Ende 2008 vorsieht, ist somit gesetzeswidrig. Die vorliegend im Juli 2008 erfolgte Anmeldung war daher verspätet, weshalb in Anwendung von <ref-law> von einer Entstehung des Rentenanspruchs frühestens im Januar 2009 auszugehen ist. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, sie habe sich in Kenntnis und im Vertrauen auf das besagte Rundschreiben Nr. 253 vom 12. Dezember 2007 erst im Juli 2008 bei der Invalidenversicherung angemeldet.
Der vorinstanzliche Entscheid ist im Ergebnis zu bestätigen und die Beschwerde demzufolge abzuweisen.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat grundsätzlich die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwalt Stefan Galligani als Rechtsbeistand beigegeben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Stefan Galligani wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Oktober 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler