Sachverhalt:
A. K._, Jahrgang 1977, und B._, Jahrgang 1975, heirateten am 14. Juni 1997. Sie wurden Eltern eines Sohnes und einer Tochter, geboren in den Jahren 1998 und 2003. Auf gemeinsames Begehren der Ehegatten schied das Bezirksgericht Frauenfeld die Ehe. Es teilte die elterliche Sorge über die beiden Kinder der Mutter zu und regelte die weiteren Kinderbelange. Was den Unterhalt der Familie angeht, verpflichtete das Bezirksgericht den Ehemann zu Zahlungen an die Ehefrau von monatlich Fr. 200.-- bis zum 30. Juni 2019 für sie persönlich und von monatlich je Fr. 700.-- nebst allfälligen Zulagen für die beiden Kinder bis zu deren Eintritt in das volle Erwerbsleben und längstens bis zur Mündigkeit. Es entschied über die weiteren vermögensrechtlichen Scheidungsfolgen. Das Urteil vom 18. Februar 2009 wurde den Parteien am 18. Mai 2009 zugestellt und blieb unangefochten.
B. K._ klagte am 24. Juli 2009 auf Abänderung des Scheidungsurteils und dabei auf angemessene Herabsetzung seiner Unterhaltsbeiträge an die geschiedene Ehefrau und seine Kinder. Er ersuchte um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes. Die Vizepräsidentin des Bezirksgerichts Frauenfeld wies das Gesuch wegen Aussichtslosigkeit der Abänderungsklage ab (Verfügung vom 12. November 2009). Den von K._ dagegen erhobenen Rekurs wies das Obergericht des Kantons Thurgau ab (Entscheid vom 22. Dezember 2009).
C. K._ (fortan: Beschwerdeführer) beantragt dem Bundesgericht, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen und in der Person des unterzeichneten Anwalts einen unentgeltlichen Rechtsbeistand zu gewähren. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Angefochten ist die kantonal letztinstanzliche Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im Abänderungsprozess. Auf die Beschwerde kann grundsätzlich eingetreten werden (Urteil 5A_396/2009 vom 5. August 2009 E. 1.2, nicht veröffentlicht in <ref-ruling>). Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 9 und Art. 29 Abs. 3 BV (S. 4 Ziff. 4 der Beschwerdeschrift). Das Bundesgericht prüft eine Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das bedeutet, dass Rügen zu erheben sind und klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234). Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren voneinander unabhängigen Begründungen, ist jede von ihnen - wie bis anhin (<ref-ruling> E. 3 S. 17) - unter Nichteintretensfolge als verfassungswidrig zu rügen (<ref-ruling> E. 6.3 S. 120 f.).
2. Streitig sind die Erfolgsaussichten der Abänderungsklage. Die Abänderung setzt im Falle des Ehegattenunterhalts eine erhebliche und dauernde Veränderung der Verhältnisse (<ref-law>) und im Falle des Kinderunterhalts eine erhebliche Veränderung der Verhältnisse (Art. 134 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>) voraus. Das Obergericht hat die Abänderungsklage des Beschwerdeführers mit mehreren selbstständigen Begründungen als aussichtslos beurteilt.
2.1 Das Obergericht ist erstens davon ausgegangen, der geltend gemachte Wegzug des Beschwerdeführers nach Italien und der damit verbundene Verlust des Anspruchs auf Arbeitslosengelder bedeute keine Veränderung der Verhältnisse im Gesetzessinne. Die Rückkehr des Beschwerdeführers in seine Heimat sei bereits Thema an der Hauptverhandlung im Scheidungsprozess gewesen und schon vor der Rechtskraft des Scheidungsurteils erfolgt. Sie hätte deshalb noch im Scheidungsverfahren selbst oder mit Berufung gegen das Scheidungsurteil geltend gemacht werden können (E. 4c/aa-bb S. 4 f. des angefochtenen Entscheids). Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, weder das Scheidungsgericht im Zeitpunkt des Urteils noch er selber bis zum Ablauf der Berufungsfrist hätten gewusst, wie sich seine wirtschaftlichen Verhältnisse nach der Rückkehr in seine Heimat entwickeln würden, namentlich ob sie sich erheblich und dauernd verschlechtern würden. Deswegen habe das Scheidungsgericht keinen Grund gehabt, andere als die im Urteilszeitpunkt gegebenen Verhältnisse zu berücksichtigen, und auch er habe deshalb keinen Anlass gehabt, das Scheidungsurteil mit Berufung anzufechten (S. 5 ff. Ziff. 6-8 der Beschwerdeschrift).
2.2 Das Obergericht hat zweitens dafürgehalten, die behaupteten Veränderungen der Verhältnisse erwiesen sich im Übrigen ohnehin nicht als erheblich und dauerhaft, habe der Beschwerdeführer an der Anhörung im Abänderungsprozess doch selbst geltend gemacht, wenn es ihm besser gehe und die Behandlung der Ärzte in Sizilien anschlage, könne er sich vorstellen, wieder in die Schweiz zu kommen, um hier Geld zu verdienen. Auch die vom Beschwerdeführer geltend gemachte Arbeitsunfähigkeit infolge Krankheit sei - sofern sie überhaupt rechtsgenüglich nachgewiesen würde - keine dauerhafte Veränderung. Es sei im Gegenteil anzunehmen, dass die psychischen Probleme des Beschwerdeführers vorab mit dem Scheidungsverfahren zusammenhingen. Letztlich scheine der Beschwerdeführer offensichtlich einfach nicht mehr bereit zu sein, seiner geschiedenen Ehefrau Unterhaltsbeiträge zu bezahlen (E. 4c/cc S. 5 des angefochtenen Entscheids). Der Beschwerdeführer äussert sich zu dieser Beurteilung der Abänderungsvoraussetzungen nirgends erkennbar (<ref-law>).
2.3 Das Obergericht hat drittens der Vorinstanz beigepflichtet, dass der Wegzug ins Ausland zum jetzigen Zeitpunkt eine selbstverschuldete Verschlechterung der wirtschaftlichen Verhältnisse darstelle, nachdem der Beschwerdeführer in der Schweiz bis Oktober 2010 noch Anspruch auf Arbeitslosentaggelder gehabt hätte. Es könne in dieser Hinsicht auf die angefochtene Verfügung hingewiesen werden (E. 4c/cc S. 5/6 des angefochtenen Entscheids). Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, die Rechtsauffassung des Obergerichts wie auch des Bezirksgerichtsvizepräsidiums treffe nicht zu. Zum Beweis legt er ein Schreiben der Unia Arbeitslosenkasse vom 11. Januar 2010 vor, wonach bei Arbeitsunfähigkeit die Arbeitslosenentschädigung nur maximal bis zum 30. Tag der Arbeitsunfähigkeit ausgerichtet werde, d.h. im vorliegenden Fall bis zum 30. April 2009. Der Beschwerdeführer offeriert den Verfasser des Schreibens als Zeugen, der bestätigen könne, dass ihm der Inhalt des Schreibens damals nur deshalb nicht mitgeteilt worden sei, weil die Unia Arbeitslosenkasse von seiner Rückkehr nach Italien Kenntnis erhalten habe. Die Bestätigung der Unia Arbeitslosenkasse sei zu berücksichtigen, weil sie klar aufzeige, dass die Annahmen der Vorinstanzen offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich seien, und <ref-law> verletzten (S. 8 f. Ziff. 9 der Beschwerdeschrift). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Echte Noven, d.h. erst nach dem angefochtenen Entscheid eingetretene Tatsachen oder erstellte Beweisurkunden sind stets unzulässig (<ref-ruling> E. 2 S. 344; <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229). Das zum Beweis eingereichte Schreiben der Unia Arbeitslosenkasse trägt das Datum vom 11. Januar 2010, wurde damit nach dem angefochtenen Entscheid vom 22. Dezember 2009 erstellt und kann deshalb als echtes neues Beweismittel nicht berücksichtigt werden. Soweit es eine Tatsache belegen soll, die am 30. April 2009 und damit vor dem angefochtenen Entscheid vom 22. Dezember 2009 eingetreten ist, wäre das Vorbringen dieser neuen Tatsache zulässig, wenn der angefochtene Entscheid dazu Anlass gegeben hätte. Die Voraussetzung ist nicht erfüllt, hat doch das Obergericht lediglich die Ansicht des Bezirksgerichtsvizepräsidiums (E. 5b/bb S. 6) bestätigt, so dass der Beschwerdeführer seine heutigen Einwände bereits in seinem Rekurs vor Obergericht hätte vorbringen müssen. Dass er sich dazu in seiner Rekursschrift vom 3. Dezember 2009 geäussert habe, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Auf die mit unzulässigen neuen Vorbringen und Beweismitteln begründeten Verfassungsrügen kann in diesem Punkt nicht eingetreten werden.
2.4 Das Obergericht hat viertens auf Grund der Akten die Feststellung des Bezirksgerichtsvizepräsidiums (E. 5c/bb S. 7 f.) als zutreffend bezeichnet, dass der Beschwerdeführer nicht wegen einer Depression, sondern wegen einer Überdehnung der Halswirbelsäule bis 30. April 2009 arbeitsunfähig gewesen sei und dass die Bescheinigung der Psychiatrieeinrichtung "Casa di Cura D'Anna" vom 7. Mai 2009 keine Arbeitsunfähigkeit belege. Veränderte Verhältnisse könnten somit auch nicht mit einer nach dem Scheidungszeitpunkt eingetretenen Verschlechterung des gesundheitlichen Zustands begründet werden (E. 4c/cc S. 6 des angefochtenen Entscheids). Der Beschwerdeführer behauptet das Gegenteil und reicht zum Beleg eine ärztliche Bestätigung vom 11. Januar 2010 ein (S. 7 f. Ziff. 9 der Beschwerdeschrift). Das Vorbringen ist wiederum neu, so dass auf das in E. 2.3 Gesagte verwiesen und auf die Verfassungsrügen nicht eingetreten werden kann.
2.5 Von den vier Gründen, die das Obergericht für die Aussichtslosigkeit der Abänderungsklage angeführt hat, ficht der Beschwerdeführer einen Grund überhaupt nicht an und zwei Gründe mit unzulässigen Rügen. Kann sich der obergerichtliche Entscheid damit auf drei nicht oder formell nicht genügend angefochtene Begründungen stützen, ist die weitere Begründung nicht zu prüfen und auf die Beschwerde insgesamt nicht einzutreten.
3. Aus den dargelegten Gründen erweist sich die Beschwerde als unzulässig. Der Beschwerdeführer wird kostenpflichtig (<ref-law>), nicht hingegen entschädigungspflichtig, da keine Vernehmlassung eingeholt wurde und der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegende Kanton in der Regel auch keine Parteientschädigung zugesprochen erhält (<ref-law>). Dass jede Begründung, die einen Entscheid zu tragen vermag, angefochten werden muss, war unter Herrschaft der Bundesrechtspflege von 1943 und ist nach dem geltenden Bundesgerichtsgesetz ständige und veröffentlichte Praxis und durfte dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers nicht unbekannt sein. Die vorstehenden Erwägungen belegen, dass die Begehren des Beschwerdeführers von Beginn an keine Aussichten auf Erfolg haben konnten. Dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege darf wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren nicht entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Mai 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl von Roten