Faits:
A. Le 29 avril 2007, une élection s'est déroulée dans la commune de Vernier (GE) pour la désignation des trois membres du conseil administratif (exécutif). Ont été élus Thierry Apothéloz et Yvan Rochat. Les autres candidats n'ayant pas obtenu la majorité requise, un second tour a été organisé le 3 juin 2007. Thierry Cerutti, candidat du parti "Mouvement Citoyens Genevois", a été élu à cette occasion. Cependant, par arrêt du 5 février 2008, le Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif) a admis les deux recours formés contre cette élection et il l'a annulée. Il a considéré que le scrutin en cause n'était pas l'expression fidèle et sûre de la volonté des électeurs, au sens de l'art. 34 Cst., en raison de plusieurs irrégularités. Le recours en matière de droit public que Thierry Cerutti a formé contre cet arrêt a été rejeté par la Cour de céans (arrêt 1C_123/2008 du 29 mai 2008).
B. Par arrêté du 18 juin 2008, publié dans la Feuille d'avis officielle du canton de Genève (ci-après: FAO) du 20 juin 2008, le Conseil d'Etat du canton de Genève a fixé au 28 septembre 2008 "la date du second tour de scrutin pour l'élection d'un membre du Conseil administratif de la commune de Vernier". Cet arrêté se référait à "l'élection complémentaire" annulée du 3 juin 2007 et impartissait un délai au 11 août 2008 à midi pour le dépôt des candidatures, en précisant ce qui suit: "seuls peuvent déposer une liste les partis politiques, autres associations ou groupements qui ont participé au premier tour".
Le 26 juin 2008, la section genevoise du parti de l'Union Démocratique du Centre (ci-après: UDC-GE) et Ruth Kälin − membre de l'UDC-GE, citoyenne de Vernier et conseillère municipale de cette commune − ont recouru contre cet arrêté auprès du Tribunal administratif. Elles soutenaient en substance que l'élection du 28 septembre ne devait pas être considérée comme un second tour, de sorte que la règle de l'art. 100 al. 2 de la loi cantonale sur l'exercice des droits politiques (LEDP; RS/GE A 5 05) − selon laquelle seuls les partis ayant participé au premier tour pouvaient déposer des listes − ne trouvait pas application. De plus, l'arrêté contesté violait l'art. 34 Cst. car il ne permettait pas de prendre en compte le "changement de choix" des électeurs depuis le 29 avril 2007. Le Tribunal administratif a rejeté le recours par arrêt du 1er juillet 2008. Il a considéré que l'élection du 3 juin 2007, qui a été annulée et qui devait être répétée, était bien un second tour, de sorte que l'art. 100 al. 2 LEDP s'appliquait.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, Ruth Kälin et l'UDC-GE demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt ainsi que l'arrêté du Conseil d'Etat du 18 juin 2008 et d'inviter le Conseil d'Etat à "convoquer les électeurs de la commune de Vernier pour le premier tour d'une élection complémentaire au Conseil administratif pour raison de vacance, au sens de l'art. 103 al. 5 LEDP". Elles requièrent en outre l'effet suspensif. Le Tribunal administratif a renoncé à présenter des observations. La Commune de Vernier s'est déterminée; elle conclut au rejet du recours. Le Conseil d'Etat a présenté des observations et conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. Il précise que l'UDC-GE n'a pas déposé de liste dans le délai imparti par l'arrêté du 18 juin 2008.
D. Par ordonnance du 19 août 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit:
1. En vertu de l'art. 82 let. c LTF, le Tribunal fédéral connaît des recours en matière de droit public concernant le droit de vote des citoyens ainsi que les élections et votations populaires.
1.1 La qualité pour recourir dans le domaine des droits politiques appartient à toute personne disposant du droit de vote dans l'affaire en cause (<ref-law>), même si elle n'a aucun intérêt juridique personnel à l'annulation de l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 174; <ref-ruling> consid. 1 p. 292; <ref-ruling> consid. 1 p. 192; <ref-ruling> consid. 1 p. 139; 357 consid. 2a p. 360 et les références). Citoyenne active dans la commune de Vernier, la recourante Ruth Kälin a donc la qualité pour agir.
1.2 Ont également cette qualité les partis politiques et les organisations à caractère politique formées en vue d'une action précise − tel que le lancement d'un référendum ou d'une initiative − pour autant qu'ils soient constitués en personne morale, qu'ils exercent leur activité dans la collectivité publique concernée par la votation en cause et qu'ils recrutent principalement leurs membres en fonction de leur qualité d'électeurs (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 175; <ref-ruling> consid. 1.3 p 292; <ref-ruling> consid. 1a p. 337; <ref-ruling> consid. 1b p. 153; arrêt 1P.451/2006 du 28 février 2007, consid. 1.4 publié in PJA 2007 p. 902 et les arrêts cités.). L'UDC-GE est un parti constitué en association au sens des <ref-law> et il exerce son activité notamment dans la commune de Vernier, si bien que la qualité pour agir doit également lui être reconnue.
1.3 Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours est recevable au regard des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF.
2. Dans un grief d'ordre formel qu'il convient en principe de trancher en premier lieu, les recourantes se plaignent d'une violation de leur droit d'être entendues en raison d'un défaut de motivation de l'arrêt querellé. Elles reprochent en substance au Tribunal administratif d'avoir omis de statuer sur des griefs qu'elles avaient valablement présentés. Dans la mesure où les griefs en question se confondent avec les moyens présentés à l'appui de leur recours en matière de droit public, il y a lieu exceptionnellement de trancher ceux-ci avant d'examiner la question du droit d'être entendu.
3. Selon les recourantes, le Tribunal administratif aurait violé les art. 100, 103 al. 5 et 182 LEDP en considérant que l'élection du 28 septembre 2008 était convoquée en application de l'art. 182 LEDP et qu'il s'agissait d'un second tour au sens de l'art. 100 LEDP. Elles soutiennent que ce scrutin devait être considéré comme une nouvelle élection à la suite d'une vacance au sens de l'art. 103 al. 5 LEDP.
3.1 Le recours peut être formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>) − y compris les droits constitutionnels (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4132) − ainsi que pour violation de dispositions cantonales sur le droit de vote des citoyens et sur les élections et votations populaires (art. 95 let. c et d LTF). Saisi d'un recours pour violation des droits politiques, le Tribunal fédéral revoit librement l'interprétation et l'application du droit fédéral et du droit constitutionnel cantonal, ainsi que des dispositions de rang inférieur qui sont étroitement liées au droit de vote ou en précisent le contenu et l'étendue. Il n'examine en revanche que sous l'angle de l'arbitraire l'interprétation d'autres règles du droit cantonal. En présence de deux interprétations également défendables, il s'en tient en général à celle retenue par la plus haute autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 4 p. 131 et les arrêts cités).
3.2 Les dispositions litigieuses de la LEDP ont la teneur suivante:
Titre II Votations et élections
Chapitre II Elections majoritaires
Section 1 Système majoritaire
Art. 100 Second tour
1Si un second tour de scrutin est nécessaire pour compléter l'élection, il a lieu dans les 5 semaines suivant le premier tour.
2 Dans ce second tour, seuls peuvent déposer une liste les partis politiques, autres associations ou groupements qui ont participé au premier tour.
Section 2 Types d'élections majoritaires
§ 3 Conseillers administratifs, maires et adjoints
Art. 103 Mode et date
[...]
Vacance
5 En cas de vacance, le nouveau magistrat est élu pour la fin de la période administrative de quatre ans.
Titre III Voies de recours et sanctions pénales
Art. 182 Second scrutin
Si, à la suite d'un recours, un second scrutin est nécessaire, le Conseil d'Etat en fixe la date.
3.3 On pourrait considérer que l'art. 100 al. 2 LEDP est lié au droit de vote et qu'il en précise le contenu, dans la mesure où il restreint l'accès au second tour. Cette question peut cependant demeurer indécise, dès lors que cette norme n'a de toute façon pas été violée et que son application ne porte pas atteinte à l'art. 34 Cst. (cf. infra consid. 3.4 et 4.2). Pour le surplus, les autres dispositions mentionnées ci-dessus ne sont pas étroitement liées au droit de vote et elles n'en précisent pas le contenu ou l'étendue, de sorte que leur interprétation par l'autorité intimée doit être examinée sous l'angle de l'arbitraire (art. 9 Cst.; pour une définition de l'arbitraire cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 17). Appelé à revoir l'interprétation d'une norme sous cet angle, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution − éventuellement plus judicieuse − paraît possible (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 260 s. et les arrêts cités).
3.4 En l'occurrence, il ressort des pièces déposées par les parties − notamment des extraits de la Feuille d'avis officielle du canton de Genève − que le scrutin du 29 avril 2007 était le premier tour de l'élection du conseil administratif de Vernier et que l'UDC-GE n'a pas participé à ce premier tour (FAO du 13 avril 2007 p. 4). Comme seuls deux candidats ont été élus − alors que trois sièges étaient à pourvoir − un second tour devait être organisé dans un délai de cinq semaines, conformément à l'art. 100 al. 1 LEDP. Tel était l'objet de l'arrêté du Conseil d'Etat du 2 mai 2007 "fixant au dimanche 3 juin 2007 la date de l'élection complémentaire d'un membre du Conseil administratif de la commune de Vernier" (FAO du 4 mai 2007 p. 2). Cette formulation est malheureuse, dans la mesure où la législation cantonale réserve l'expression "élection complémentaire" aux scrutins organisés à la suite d'une vacance (cf. art. 103 al. 6 et 111 LEDP). Il en va d'ailleurs de même de la législation fédérale (art. 56 de la loi fédérale sur les droits politiques [LDP; RS 161.1]). Il est toutefois évident que l'élection du 3 juin 2007 n'avait pas un tel objet, mais qu'il s'agissait bien d'un second tour pour l'élection du troisième membre du conseil administratif. Ce second tour a été organisé dans le délai de cinq semaines prévu par l'art. 100 al. 1 LEDP et, conformément à l'art. 100 al. 2 LEDP, l'arrêté susmentionné précisait que seuls pouvaient déposer une liste les partis politiques, autres associations ou groupements qui ont participé au premier tour. En conformité avec cette règle, l'UDC-GE n'a pas présenté de liste pour ce second tour (FAO du 16 mai 2007 p. 2).
L'élection du 3 juin 2007 ayant été annulée, le Conseil d'Etat devait fixer la date d'un "second scrutin" conformément à l'art. 182 LEDP. C'est ce qu'il a fait par arrêté du 18 juin 2008 "fixant au dimanche 28 septembre 2008 la date du second tour de scrutin pour l'élection d'un membre du Conseil administratif de la commune de Vernier" (FAO du 20 juin 2008 p. 2). Bien que l'intitulé de l'arrêté ne le précise pas, il s'agit en réalité du "second scrutin" du second tour, ce qui ressort de la suite du texte qui se réfère à l'annulation de "l'élection complémentaire" (recte: du second tour) du 3 juin 2007.
3.5 La rédaction maladroite des arrêtés des 4 mai 2007 et 18 juin 2008 n'était pas de nature à induire les recourantes en erreur, dès lors que celles-ci connaissent manifestement le système électoral genevois et qu'elles sont représentées par un mandataire professionnel. Par conséquent, elles ne sauraient soutenir de bonne foi que l'objet du "second scrutin" du 28 septembre 2008 n'était pas un second tour.
Dans la mesure où il s'agit d'un "second scrutin", c'est l'art. 182 LEDP qui s'applique pour sa convocation. Or, contrairement à l'art. 100 al. 1 LEDP, cette disposition ne prévoit pas que l'élection doit avoir lieu dans un délai déterminé. On peut toutefois attendre du Conseil d'Etat qu'il fixe la date de ce scrutin dans un délai raisonnable, ce qu'il a fait en l'occurrence. En effet, l'arrêt de la Cour de céans confirmant l'annulation du second tour a été notifié le 6 juin 2008, de sorte qu'il n'apparaissait pas déraisonnable de fixer le scrutin après l'été, en réservant le mois de septembre pour la campagne électorale. L'art. 182 LEDP n'a donc pas été appliqué de manière arbitraire.
Contrairement à ce que soutiennent les recourantes, l'art. 100 al. 1 LEDP ne trouve pas application, dès lors que l'art. 182 LEDP est une lex specialis en ce qui concerne la fixation de la date du "second scrutin". Il n'était donc aucunement nécessaire que ce scrutin soit fixé dans les cinq semaines suivant le scrutin annulé, ce qui serait au demeurant illusoire compte tenu de la durée des procédures de recours. Quant à l'art. 103 al. 5 LEDP, il est étranger à l'objet du présent litige, qui ne concerne pas un cas de vacance d'un magistrat. De plus, il n'y a pas lieu d'appliquer cette disposition lorsqu'une élection est annulée, ce cas de figure étant régi par l'art. 182 LEDP. En revanche, la règle de l'art. 100 al. 2 s'applique, dans la mesure où l'objet du "second scrutin" est clairement un second tour (cf. supra consid. 3.3). Ainsi, cette disposition a été appliquée correctement et les autres normes mentionnées ci-dessus n'ont pas été appliquées de façon arbitraire, de sorte que ce grief doit être rejeté.
4. Les recourantes se plaignent également d'une violation de l'art. 34 Cst., au motif que l'arrêt querellé priverait les citoyens de la possibilité d'exprimer un "changement de choix politique" qui pourrait être intervenu depuis l'élection du 29 avril 2007.
4.1 L'art. 34 al. 1 Cst. garantit de manière générale et abstraite les droits politiques, que ce soit sur le plan fédéral, cantonal ou communal. Selon l'art. 34 al. 2 Cst., qui codifie la jurisprudence du Tribunal fédéral établie sous l'empire de la Constitution fédérale du 29 mai 1874, cette garantie protège la libre formation de l'opinion des citoyens et des citoyennes et l'expression fidèle et sûre de leur volonté (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 108; <ref-ruling> consid. 2a p. 58; <ref-ruling> consid. 3 p. 141, 187 consid. 3a p. 190). Cette disposition consacre la liberté de vote, dont la jurisprudence a notamment déduit le droit pour chaque citoyen de participer à une élection, comme électeur ou candidat, s'il remplit les exigences requises (<ref-ruling> consid. 2a p. 443), le droit de voter dans le secret et à l'abri de toute pression ou influence extérieure (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 132; <ref-ruling> consid. 2a p. 73) et le droit d'exiger qu'aucun résultat ne soit reconnu s'il n'exprime pas la libre volonté du corps électoral (<ref-ruling> consid. 7.2 p. 199; <ref-ruling> consid. 4b p. 71; <ref-ruling> consid. 3 p. 141). De plus, les élections ne doivent pas se résumer à une confirmation des forces politiques en présence; les électeurs doivent au contraire pouvoir se former une opinion sur la base la plus libre et la plus complète possible (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 132; <ref-ruling> consid. 5 p. 192; <ref-ruling> consid. 2a p. 444).
4.2 La règle de l'art. 100 al. 1 LEDP est claire et n'est pas sujette à interprétation: un parti qui n'a pas participé au premier tour ne peut pas déposer une liste au second tour. Cette règle n'a pas été remise en cause par la jurisprudence et elle ne fait pas l'objet de critiques de la part de la doctrine (cf. Yvo Hangartner/Andreas Kley, Die demokratischen Rechte in Bund und Kantonen des Schweizerischen Eidgenossenschaft, Zurich 2000, p. 622; Pierre Garrone, L'élection populaire en Suisse - Etude des systèmes électoraux et de leur mise en oeuvre sur le plan fédéral et dans les cantons, Bâle 1991, p. 174 et 204). Elle n'apparaît au demeurant pas en contradiction avec les droits politiques tels qu'ils sont définis par la jurisprudence susmentionnée.
Il n'y a pas lieu de remettre en question l'application de cette règle lorsque le second tour a été annulé et qu'il doit être répété. La loi cantonale applicable en l'espèce ne prévoit pas que le "second scrutin" doit être ouvert à tous et rien de tel ne peut être déduit de l'art. 34 Cst. Au demeurant, lorsqu'une élection doit être répétée, il apparaît compréhensible de se replacer dans la situation qui prévalait lors du scrutin annulé. Or, comme ce scrutin était un second tour, les règles y relatives trouvent application.
Les recourantes ne sauraient être suivies lorsqu'elles affirment que cette solution consacre un "déni de démocratie" au motif que les électeurs seraient restreints dans leur choix. En effet, s'il est usuel que certains électeurs changent d'opinion entre deux scrutins, les systèmes électoraux adoptés en Suisse veulent que ces changements s'expriment lors des élections ordinaires et non pas en cours de législature, sous réserve des cas exceptionnels de vacance. Ainsi, en s'abstenant de participer au premier tour de l'élection litigieuse, l'UDC-GE ne pouvait pas ignorer qu'elle devrait attendre la fin de la période administrative de quatre ans pour présenter un candidat, sauf si un siège devenait vacant en cours de législature. En définitive, le fait que les changements de rapports de force politiques se concrétisent en principe lors des élections ordinaires, soit à la fin de la période administrative, ne porte aucunement atteinte à la liberté de vote au sens de l'art. 34 Cst. Ce grief doit donc être rejeté.
5. Il convient encore d'examiner le grief de violation du droit d'être entendu en raison d'un défaut de motivation de l'arrêt attaqué.
5.1 Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment le droit pour chacun d'exiger qu'un jugement ou une décision défavorable à sa cause soit motivé. Cette garantie tend à donner à la personne touchée les moyens d'apprécier la portée du prononcé et de le contester efficacement, s'il y a lieu, devant une instance supérieure. Elle tend aussi à éviter que l'autorité ne se laisse guider par des considérations subjectives ou dépourvues de pertinence; elle contribue, par là, à prévenir une décision arbitraire. L'objet et la précision des indications à fournir dépend de la nature de l'affaire et des circonstances particulières du cas; néanmoins, en règle générale, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée (<ref-ruling> consid. 2b p. 109; voir aussi <ref-ruling> consid. 2b p. 102, <ref-ruling> consid. 2c p. 372, <ref-ruling> consid. 2a p. 149). L'autorité n'est pas tenue de discuter de manière détaillée tous les arguments soulevés par les parties; elle n'est pas davantage astreinte à statuer séparément sur chacune des conclusions qui lui sont présentées. Elle peut se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige; il suffit que le justiciable puisse apprécier correctement la portée de la décision et l'attaquer à bon escient (<ref-ruling> consid. 2a/aa p. 17; <ref-ruling> consid. 2c p. 372; <ref-ruling> consid. 2a p. 149; <ref-ruling> consid. 1a p. 181 et les arrêts cités).
5.2 Devant le Tribunal administratif, les recourantes soutenaient en substance que l'élection du 28 septembre 2008 ne pouvait pas être qualifiée de second tour car elle n'avait pas été convoquée dans le délai de cinq semaines prévu par la loi. Elles affirmaient donc qu'il s'agissait d'une élection complémentaire au sens de l'art. 103 al. 5 LEDP. Elles se plaignaient en outre d'une violation de l'art. 34 Cst. Il est vrai que le Tribunal administratif a traité ces griefs de façon particulièrement sommaire. Il a néanmoins répondu sur les points essentiels, en rappelant que l'élection du 3 juin 2007 constituait un second tour, que le délai de cinq semaines ne s'appliquait pas pour un "second scrutin" selon l'art. 182 LEDP et qu'il ne pouvait pas être question d'une élection complémentaire. Ces éléments étaient suffisants pour permettre aux destinataires de l'arrêt querellé de comprendre les motifs ayant guidé l'autorité et pour attaquer la décision à bon escient. Le Tribunal administratif n'était pas tenu de répondre à tous les griefs développés par les recourantes dans une écriture par ailleurs peu structurée, ce d'autant moins que l'essentiel de leur argumentaire reposait sur la prémisse manifestement erronée que le scrutin litigieux n'était pas un second tour. Il y a donc lieu de considérer que l'arrêt attaqué satisfait aux exigences minimales de motivation découlant de l'art. 29 al. 2 Cst.
6. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Avec l'entrée en vigueur de la LTF, la pratique consistant à renoncer au prélèvement d'un émolument judiciaire en matière de droit de vote des citoyens a été abandonnée (<ref-ruling> consid. 4 p. 142 s.). Les recourantes, qui succombent, doivent donc supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>). La pratique qui prévalait en matière de recours de droit public et qui consistait à allouer des dépens aux collectivités ne disposant pas d'une infrastructure administrative et juridique suffisante pour procéder sans l'assistance d'un avocat a également été abandonnée (<ref-ruling> consid. 7 p. 119), de sorte qu'il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à la Commune de Vernier (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1000 fr., sont mis à la charge de l'Union Démocratique du Centre, Genève (UDC-GE) et de Ruth Kälin.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des recourantes et de la Commune de Vernier, ainsi qu'au Conseil d'Etat et au Tribunal administratif du canton de Genève.
Lausanne, le 9 septembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener