Ritenuto in fatto e considerando in diritto:
1. A._, titolare della ditta individuale "B._", gestisce dal 1993 l'esercizio pubblico situato nell'omonimo castello a Bellinzona, di proprietà dello Stato del Cantone Ticino.
L'attuale controversia verte sul suo diritto di continuare a occupare i locali in cui si trova il ristorante, la concessione rilasciatagli a tal scopo dallo Stato del Cantone Ticino essendo giunta a scadenza il 31 dicembre 2008.
2. Dopo aver adito senza successo l'Ufficio di conciliazione in materia di locazione, il 9 febbraio 2009 A._ si è rivolto alla Pretura del Distretto di Bellinzona chiedendo di accertare l'esistenza di un con-tratto di locazione "in ogni caso efficace dal 1° gennaio 2009" e l'inesistenza di una regolare disdetta e, in via subordinata, di concedere una protrazione del contratto di locazione fino al 31 dicembre 2011.
In accoglimento della corrispondente eccezione sollevata dallo Stato del Cantone Ticino, il 6 luglio 2009 il Pretore ha dichiarato l'istanza irricevibile per carenza di giurisdizione civile. Come già il Tribunale amministrativo cantonale nel quadro della controversia relativa al mancato rinnovo della concessione - sulla quale si è pronunciato anche il Tribunale federale nella sentenza del 1° febbraio 2010 (causa 2C_5/2009) - il Pretore ha infatti stabilito che X._ non è un bene patrimoniale soggetto alle regole del diritto civile bensì un bene demaniale sottratto all'uso comune, la cui utilizzazione è per principio soggetta alle regole del diritto pubblico e di cui lo Stato non può disporre liberamente, ciò che esclude la possibilità di concludere un contratto di locazione riguardo all'esercizio pubblico litigioso. "Al rapporto instauratosi fra le parti" - ha concluso il giudice - "soggiace in ultima analisi soltanto al diritto pubblico e - di riflesso - alla giurisdizione amministrativa ad esclusione di quella civile".
3. L'impugnativa interposta da A._ contro la pronunzia pretorile è stata respinta dalla II Camera civile del Tribunale d'appello con sentenza del 9 giugno 2010.
Nella prima parte della loro sentenza i giudici cantonali hanno rifiutato di assumere le prove già respinte dal Pretore, volte a dimostrare il comportamento contraddittorio dello Stato, che - a dire di A._ - avrebbe sempre trattato la relazione con lui al pari di un contratto di locazione: questo accertamento non serve infatti in alcun modo a chiarire il quesito dell'esistenza della giurisdizione civile, l'unico in discussione. Pure respinta la domanda di assunzione suppletoria di prove, intesa a far accertare circostanze avvenute nella primavera 2010, dopo l'emanazione del giudizio pretorile: l'<ref-law> vieta infatti di allegare nuovi fatti, prove ed eccezioni in sede di appello, e ciò vale anche nella procedura speciale per locazione (<ref-ruling> consid. 4 pag. 239).
L'alta Corte ticinese si è quindi chinata sul tema centrale della lite, quello della natura pubblica o privata dei rapporti giuridici insorti tra A._ e lo Stato del Canton Ticino, da cui dipende l'esistenza dell'asserita giurisdizione civile. Rammentati i criteri di distinzione tra beni patrimoniali, amministrativi e di uso comune, anche il Tribunale d'appello - come tutte le altre autorità che hanno esaminato la questione - ha stabilito che X._ non è un bene patrimoniale, soggetto alle regole del diritto civile, bensì un bene del demanio pubblico, e che "tale sua qualità esclude d'acchito ogni e qualsiasi conclusione di un contratto di locazione soggetto al Codice delle obbligazioni, poiché ogni e qualsiasi conclusione di un contratto avente per oggetto un bene del demanio pubblico soggiace al diritto pubblico".
Donde la reiezione della tesi secondo la quale quantomeno dal 1° gennaio 2009 esisterebbe un contratto di locazione. "Le controversie sorte tra le parti" - hanno precisato ancora una volta i magistrati ticinesi - "soggiacciono dunque esclusivamente al diritto pubblico e il giudice civile non è competente per dirimerle, neppure dopo la scadenza del contratto di concessione".
4. Il 16 agosto 2010 A._ è insorto dinanzi al Tribunale federale con un ricorso in materia civile onde ottenere il rinvio della causa all'autorità cantonale "affinché ordini i dovuti accertamenti di fatto ai sensi dell'<ref-law> e accetti le nova rifiutate, in applicazione dell'<ref-law>". Chiede inoltre che venga "accertata l'illegalità dell'<ref-law> rispetto agli <ref-law> e 5 CCS (oltre che 49 cpv. 1 CF) nel rifiutare sistematicamente e incondizionatamente tutti i nova, anche posteriori".
4.1 Contestualmente al gravame il ricorrente ha domandato la concessione dell'effetto sospensivo rispettivamente l'adozione di analoghe misure cautelari, intese a permettergli di continuare a occupare i locali durante la procedura ricorsuale, "al più tardi fino al 31 dicembre 2010".
Invitato a esprimersi su tale richiesta, lo Stato del Cantone Ticino ha proposto di respingerla, mentre il Tribunale d'appello non si è pronunciato, riconfermandosi nella pronunzia criticata. Nelle osservazioni del 31 agosto 2010 l'opponente ha in particolare evidenziato lo scopo dilatorio della procedura ricorsuale - volta appunto a permettere al ricorrente di continuare a occupare i locali fino al 31 dicembre 2010, quando in ogni caso cesserà la sua attività - e l'assenza di possibilità di successo del gravame. Le prove di cui il ricorrente chiede l'assunzione sono state infatti "rifiutate da tutte le istanze adite proprio per la loro ininfluenza nella determinazione della fattispecie. Appare quindi manifesto che le prove richieste non sarebbero suscettibili di modificare l'esito della causa e il ricorso dovrebbe essere dichiarato irricevibile anche per questo motivo".
4.2 Né lo Stato del Cantone Ticino né il Tribunale d'appello sono stati invitati a determinarsi ulteriormente sul merito del gravame.
5. Il Tribunale federale si pronuncia d'ufficio e con pieno potere d'esame sulla propria competenza e sull'ammissibilità del rimedio esperito (<ref-law>; <ref-ruling> consid.1 pag. 216 con rinvii).
Interposto tempestivamente (<ref-law>) dalla parte soccombente in sede cantonale (<ref-law>) contro una decisione finale (<ref-law>) pronunciata dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa che verte sulla questione di sapere se le pretese controverse - che il ricorrente fonda su di un contratto di locazione, con un valore litigioso superiore al limite posto dall'<ref-law> - attengono al diritto privato federale o al diritto pubblico, il ricorso in materia civile risulta ricevibile (<ref-ruling> consid. 1 pag. 485 seg.), ma solo sotto questo profilo.
6. Il rimedio deve infatti venir dichiarato inammissibile siccome privo di una motivazione conforme alle esigenze minime poste dalla legge e concretizzate dalla giurisprudenza, qui di seguito riassunte.
6.1 Tenuto conto dell'esigenza di motivazione di cui all'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, la cui mancata ottemperanza conduce all'inammissibilità del gravame (<ref-law>), il Tribunale federale esamina di regola solo le censure sollevate (<ref-ruling> consid. 1.1 pag. 104 seg.); non è tenuto a esaminare, come farebbe un'autorità di prima istanza, tutte le questioni giuridiche che si pongono se queste non sono più oggetto di discussione in sede federale. Nell'allegato ricorsuale occorre pertanto spiegare in modo conciso i motivi per i quali l'atto impugnato viola il diritto; la motivazione dev'essere riferita all'oggetto del litigio, così che si capisca perché e su quali punti la decisione contestata è impugnata (<ref-ruling> consid. 2.1 e 2.2). In altre parole, la parte ricorrente deve confrontarsi criticamente con i considerandi della decisione impugnata.
Qualora venga pure censurato l'accertamento dei fatti siccome incompleto o manifestamente inesatto (<ref-law>), la parte che se ne prevale non solo deve esporre in maniera circostanziata il motivo che la induce a ritenere adempiute queste condizioni, ma anche spiegare in quale modo l'eliminazione dell'asserito vizio può risultare determinante per l'esito della causa (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6.2).
Se i requisiti di motivazione appena descritti non sono ossequiati, il gravame va dichiarato inammissibile (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.3, 393 consid. 7.1).
6.2 In concreto, dinanzi al Tribunale federale il ricorrente non si confronta con la decisione cantonale sulla qualifica di X._ quale bene del demanio pubblico, ciò che "esclude d'acchito ogni e qualsiasi conclusione di un contratto di locazione soggetto al Codice delle obbligazioni".
Prevalendosi della violazione degli art. 274 e 274f cpv. 3 CO - la cui applicazione presuppone di per sé l'esistenza di una causa di natura civile - egli insiste piuttosto a chiedere l'assunzione dei mezzi di prova suscettibili di dimostrare il comportamento contraddittorio e contrario della buona fede del Cantone, che gli avrebbe lasciato credere di essere al beneficio di un contratto di locazione disciplinato dal diritto privato.
Come già esposto al consid. 3, le autorità giudiziarie ticinesi hanno rifiutato di assumere le prove richieste, poiché l'accertamento del comportamento del Cantone non sarebbe comunque di nessuna utilità ai fini del giudizio sull'esistenza della giurisdizione civile, unico oggetto della procedura in esame: appurata la natura demaniale del bene, è d'acchito escluso che su di esso possa essere sorto un rapporto di diritto civile.
Nel suo allegato il ricorrente non tenta nemmeno di contrastare questa considerazione né spiega in alcun modo quale sarebbe l'influsso dell'accertamento da lui richiesto sull'esito della causa. In particolare non indica per quale ragione l'asserito comportamento contraddittorio dello Stato permetterebbe, in pratica, di ammettere la stipulazione di un contratto di locazione avente per oggetto un bene del demanio pubblico.
Lo stesso vale per l'accertamento - oggetto della domanda di assunzione suppletoria di prove - dell'episodio verificatosi nella primavera 2010, quando un funzionario del Dipartimento delle finanze e dell'economia ha contattato il ricorrente per organizzare una manifestazione in agosto. Stando a quanto indicato dallo stesso ricorrente, la proposta è stata infatti ritirata. Non si vede, né il ricorrente si esprime al riguardo, quale sarebbe l'influsso di tale episodio sulla valutazione della giurisdizione civile.
6.3 In assenza di censure adeguatamente motivate e suscettibili di rimettere in discussione la motivazione principale della sentenza impugnata, il ricorso risulta interamente inammissibile, come preannunciato in ingresso al presente considerando.
7. Con l'evasione del gravame, l'istanza tendente al conferimento dell'effetto sospensivo è per finire divenuta priva d'oggetto.
8. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza (<ref-law>).
All'opponente, non patrocinato, non spetta nessuna indennità per ripetibili (<ref-ruling> consid. 4 pag. 446).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è inammissibile.
2. Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico del ricorrente.
3. Comunicazione alle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.