Sachverhalt:
A. A.a X._ und seine Ehefrau sind Miteigentümer eines Einfamilienhauses in B._. In der unmittelbaren Umgebung ihres Grundstücks befinden sich drei weitere Liegenschaften. Eigentümer einer dieser Liegenschaften sind A._ und seine Ehefrau. Die Zufahrt vom öffentlichen Strassennetz zu diesen drei Einfamilienhäusern erfolgt über das Grundstück des Ehepaares X._ und ist mit einem Fuss- und Fahrwegrecht gesichert. Über die Ausdehnung und den genauen Verlauf dieser Grunddienstbarkeit liegt das Ehepaar X._ mit ihren Nachbarn seit rund einem Jahrzehnt in einem Streit, der vor verschiedenen Gerichtsinstanzen ausgetragen wurde. Das Bundesgericht wies mit Urteil 5A_434/2009 vom 31. August 2009 eine von den Eheleuten X._ erhobene Beschwerde gegen die Abweisung ihrer Eigentums- und Grenzscheidungsklage durch das Kantonsgericht von Graubünden ab.
Der Kantonsgerichtsausschuss von Graubünden hat X._ bereits am 5. Dezember 2007 in zweiter Instanz wegen übler Nachrede im Sinne von <ref-law> zum Nachteil von A._ zu einer Busse von Fr. 1'500.-- verurteilt. Eine hiegegen von X._ geführte Beschwerde hat das Bundesgericht mit Urteil 6B_226/2008 vom 31. Juli 2008 abgewiesen (vgl. E. 2.4).
A.b Mit Eingabe vom 30. Oktober 2008 erhob A._ beim Kreisamt Fünf Dörfer erneut Klage wegen Ehrverletzung gegen X._ und seine Ehefrau. Der Bezirksgerichtsausschuss Landquart erklärte X._ nach gescheiterter Sühneverhandlung mit Urteil vom 12. August 2009 der üblen Nachrede zum Nachteil von A._ schuldig und verurteilte ihn zu einer unbedingten Geldstrafe von 50 Tagessätzen zu je Fr. 110.--. Seine Ehefrau sprach er vom Vorwurf der Ehrverletzung frei. Das Begehren um Ausrichtung einer Genugtuung wies er ab.
Eine gegen diesen Entscheid erhobene Berufung wies das Kantonsgericht von Graubünden mit Urteil vom 14. Dezember 2009 ab.
B. X._ führt Beschwerde beim Bundesgericht, mit welcher er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der üblen Nachrede zum Nachteil von A._ freizusprechen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Prüfung seiner Schuldfähigkeit an die Vorinstanz zurückzuweisen.
C. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Dem zu beurteilenden Fall liegt ein "Offener Brief" des Beschwerdeführers vom 20. August 2008 an den Rechtsanwalt des Beschwerdegegners zugrunde, in welchem der Beschwerdegegner wiederholt als "mehrfacher Straftäter" sowie als "Krimineller" und "angeblicher Architekt" bezeichnet wird. Dem Brief sind die zwei Dokumente "Das wahre, wirkliche Gesicht der Bündner Justiz" und "Das Bermuda ?" beigelegt, in welchen die Äusserungen wiederholt werden (erstinstanzliches Urteil S. 5 f., 15; angefochtenes Urteil S. 9; ferner Akten des Bezirksgerichts act. XI Beilagen 11-13). Die kantonalen Instanzen gelangten zum Schluss, die im offenen Brief verwendeten Ausdrücke seien ehrverletzend (angefochtenes Urteil S. 10 ff.).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe die ihm vorgeworfenen Aussagen in demjenigen Zeitpunkt, in welchem er sie gemacht habe, in guten Treuen für wahr halten dürfen. Wenn er die Bezeichnungen "kriminell" und "rechtswidrig" bezogen auf den Beschwerdegegner nicht für wahr gehalten hätte, hätte er den Entscheid des Kantonsgerichts von Graubünden vom 5. Dezember 2007 nicht an das Bundesgericht weitergezogen. Er sei damals davon ausgegangen, seine Auffassung werde in letzter Instanz geschützt werden.
Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, das Urteil des Bundesgerichts 6B_226/2008 vom 31. Juli 2008 sei der Kanzlei seines Rechtsvertreters am 15. August 2008 zugegangen und am gleichen Tag an ihn weitergeleitet worden. Er habe erst mit der Kenntnisnahme dieses Urteils seine Wortwahl bezüglich den Beschwerdegegner nicht mehr in guten Treuen für wahr bzw. erlaubt halten dürfen. Allein aus dem Eingangsstempel des Rechtsvertreters auf dem Urteil sowie dem Datum des Begleitschreibens könne nicht mit Sicherheit abgeleitet werden, er habe die entsprechende Postsendung vor Abfassung des "Offenen Briefes" vom 20. August 2008 an den Rechtsanwalt des Beschwerdegegners erhalten und zur Kenntnis genommen. Soweit die Vorinstanz etwas anderes annehme, verfalle sie in Willkür (Beschwerde S. 3 ff.).
2.2 Die Vorinstanz nimmt an, das Kantonsgericht von Graubünden habe bereits in den vorangegangenen Urteilen festgehalten, dass der Beschwerdeführer seine Äusserungen nicht habe für wahr halten dürfen. Er habe nicht mit Gewissheit davon ausgehen dürfen, das Bundesgericht werde seine Rechtsauffassung schützen. Überdies deute der Eingangsstempel des Büros seines Rechtsanwalts vom 15. August 2008 auf dem bundesgerichtlichen Urteil stark darauf hin, dass dieses dem Beschwerdeführer bereits vor Versendung seines "Offenen Briefs" zugegangen sei, so dass er schon zu diesem Zeitpunkt vom Inhalt des Urteils Kenntnis erlangt habe (angefochtenes Urteil S. 16 f.).
2.3 Gemäss <ref-law> macht sich der üblen Nachrede schuldig, wer jemanden bei einem anderen eines unehrenhaften Verhaltens oder anderer Tatsachen, die geeignet sind, seinen Ruf zu schädigen, beschuldigt oder verdächtigt oder wer eine solche Beschuldigung oder Verdächtigung weiterverbreitet (vgl. auch <ref-law>).
Beweist der Beschuldigte, dass die von ihm vorgebrachte oder weiterverbreitete Äusserung der Wahrheit entspricht, so ist er nicht strafbar (<ref-law>). Der Wahrheitsbeweis ist erbracht, wenn die ehrverletzende Tatsachenbehauptung in ihren wesentlichen Zügen der Wahrheit entspricht. Verhältnismässig unbedeutende Übertreibungen und Ungenauigkeiten sind ohne Belang (BGE 71 IV 187 E. 2 S. 188). Reine Werturteile können nicht wahr oder unwahr sein. Ein Wahrheitsbeweis ist in Bezug auf diese daher ausgeschlossen. Soweit sich Werturteile erkennbar auf Tatsachenbehauptungen beziehen, sind sie dem Wahrheitsbeweis zugänglich. Desgleichen ist der Beschuldigte nicht strafbar, wenn er ernsthafte Gründe hatte, die Äusserung in guten Treuen für wahr zu halten. Der Gutglaubensbeweis setzt den Nachweis voraus, dass der Beschuldigte die ihm nach den Umständen und seinen persönlichen Verhältnissen zumutbaren Schritte unternommen hat, um die Richtigkeit seiner Äusserung zu überprüfen und sie für gegeben zu erachten (<ref-ruling> E. 3).
Der Beschuldigte wird zum Beweis nicht zugelassen und ist strafbar für Äusserungen, die ohne Wahrung öffentlicher Interessen oder sonst wie ohne begründete Veranlassung, vorwiegend in der Absicht vorgebracht oder verbreitet werden, jemandem Übles vorzuwerfen, insbesondere, wenn sich die Äusserungen auf das Privat- oder Familienleben beziehen (<ref-law>).
2.4 Der Beschwerdeführer behauptete bereits in einem am 8. Dezember 2005 an einer öffentlich zugänglichen Stelle ausgehängten und an verschiedene Drittpersonen weitergeleiten Schreiben, der Beschwerdegegner sei ein "rechtswidrig/krimineller Ausländer". In dem aufgrund dieses Sachverhalts eingeleiteten Ehrverletzungsprozess wurde der Antrag des Beschwerdeführers auf Zulassung zum Entlastungsbeweis im kantonalen Verfahren abgewiesen (vgl. <ref-law>/GR). Das Bundesgericht erkannte in seinem Entscheid 6B_226/2008 vom 31. Juli 2008 in Übereinstimmung mit den kantonalen Instanzen, das Wortschatzelement "kriminell" verweise auf ein strafbares Verhalten, und der Vorwurf, eine strafbare Handlung begangen bzw. sich rechtswidrig verhalten zu haben, sei ehrverletzend (Urteil 6B_226/2008 vom 31. Juli 2008 E. 4.2).
Der Beschwerdeführer beruft sich im zu beurteilenden Fall vor Bundesgericht auf den Entlastungsbeweis gemäss <ref-law>. Im erstinstanzlichen Verfahren hatte er keinen Antrag auf Zulassung zu diesem Beweis gestellt (erstinstanzliches Urteil S. 9). Bundesrechtlich ist das angefochtene Urteil nicht zu beanstanden. Nach der Rechtsprechung ist der Wahrheitsbeweis hinsichtlich des Vorwurfs, jemand habe eine strafbare Handlung begangen, grundsätzlich durch die entsprechende Verurteilung zu erbringen (<ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 4; zu den Ausnahmen von diesem Grundsatz <ref-ruling> E. 4.2). Einen Nachweis, dass der Beschwerdegegner wegen einer Straftat verurteilt worden wäre, hat der Beschwerdeführer nicht erbracht. Er macht auch gar nicht geltend, es sei je ein Strafverfahren gegen jenen anhängig gemacht worden. Er gründet seine Auffassung, der Beschwerdegegner habe "kriminell/rechtswidrig" gehandelt, einzig auf seine Interpretation des Sachverhalts in Bezug auf die Streitigkeiten über Ausdehnung und Verlauf der Grunddienstbarkeit. Aus dieser Betrachtungsweise lassen sich für den Beschwerdeführer aber auch keine zureichenden Gründe ableiten, die Äusserung in guten Treuen für wahr zu halten, zumal eine begründete Veranlassung für die Äusserung im Rahmen eines offenen Briefes nicht ersichtlich ist. Dies gilt umso mehr, als dem an den Rechtsvertreter des Beschwerdegegners verschickten Schreiben verschiedene kantonale Urteile vorausgingen, in welche eben diese Äusserungen als ehrverletzend taxiert wurden und in welchen festgehalten wurde, der Beschwerdeführer habe nicht an die Wahrheit seiner Behauptungen glauben dürfen (angefochtenes Urteil S. 16). Unter diesen Umständen kann dieser nicht für sich beanspruchen, er sei seiner Abklärungspflicht hinreichend nachgekommen. Der blosse Umstand, dass er die rechtliche Würdigung der kantonalen Instanzen nicht teilt und das letztinstanzliche kantonale Urteil mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht anficht, schafft keine ernsthaften Gründe dafür, seine Äusserung in guten Treuen für wahr zu halten.
Bei diesem Ergebnis kann offen bleiben, zu welchem Zeitpunkt der Beschwerdeführer vom Urteil des Bundesgerichts 6B_226/2008 vom 31. Juli 2008 Kenntnis erhielt.
Die Beschwerde ist in diesem Punkt unbegründet.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer wendet sich eventualiter gegen die Strafzumessung und rügt in diesem Zusammenhang eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Er beruft sich auf folgende Erwägung im erstinstanzlichen Urteil vom 12. August 2009:
"Und wenn der Angeklagte beanstandet, dass der Kläger seinen Geisteszustand in Frage stellt, so ist diesbezüglich darauf hinzuweisen, dass ein im Jahre 2006/2007 vor Kantonsgericht Graubünden geführtes Strafverfahren gegen X._, im Rahmen dessen ein psychiatrisches Gutachten über den Angeklagten erstellt worden war, wegen Unzurechnungsfähigkeit eingestellt worden war" (S. 26 E. II/5b)
Der Beschwerdeführer macht geltend, die kantonalen Instanzen hätten bei der Strafzumessung berücksichtigen müssen, dass er gemäss dem von der ersten Instanz erwähnten psychiatrischen Gutachten in Bezug auf die nachbarschaftlichen Streitigkeiten als nicht schuldfähig erklärt worden sei. Sein Verschulden könne daher nicht erheblich sein. Ausserdem habe er mit einer Fotodokumentation belegt, dass er vom Beschwerdegegner vor dem 20. August 2008 - durch Bewerfen mit Schnee und durch Herumfuchteln mit einem Knüppel - wiederholt erheblich provoziert worden sei, was gemäss <ref-law> strafmildernd hätte berücksichtigt werden müssen (Beschwerde S. 5 ff.).
3.2 Die Vorinstanz nimmt an, das Verschulden des Beschwerdeführers wiege nicht leicht. Er habe ausschliesslich in der Absicht gehandelt, den Beschwerdegegner in seiner Ehre zu verletzen. Straferhöhend wertet sie, dass er seinen "Offenen Brief" an mehrere Stellen versendet und bereits in ähnlicher Weise straffällig geworden sei. Strafmildernde oder -mindernde Umstände seien nicht ersichtlich. Der Beschwerdeführer sei weder schuldunfähig noch sei er im Sinne von <ref-law> durch das Verhalten der verletzten Person ernsthaft in Versuchung geführt worden, die Tat zu begehen (angefochtenes Urteil S. 18; vgl. auch erstinstanzliches Urteil S. 25 f.).
3.3 Der Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> garantiert, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Sie muss wenigstens kurz die Überlegungen nennen, von denen sie sich hat leiten lassen, und auf welche sich ihr Entscheid stützt. Dabei darf sie sich aber auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken und muss sich nicht ausdrücklich mit jeder tatsächlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinander setzen (vgl. <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2b).
Gemäss <ref-law> prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht sowie behauptete Mängel in der Sachverhaltsfeststellung nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde explizit vorgebracht und substantiiert begründet worden ist (<ref-ruling> E. 1.4).
Gemäss <ref-law> prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht sowie behauptete Mängel in der Sachverhaltsfeststellung nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde explizit vorgebracht und substantiiert begründet worden ist (<ref-ruling> E. 1.4).
3.4 3.4.1 Der Beschwerdeführer nimmt Bezug auf eine Stelle im erstinstanzlichen Urteil, in welchem der Bezirksgerichtsausschuss auf ein in einem früheren Verfahren eingeholtes psychiatrisches Gutachten über den Beschwerdeführer verweist. Der Beschwerdeführer führt nicht näher aus, aus welchem Anlass das Gutachten im früheren Verfahren angeordnet wurde und zu welchen Schlüssen der Sachverständige gelangte. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, von sich aus in dieser Hinsicht Nachforschungen anzustellen. Der Zusammenhang, in welchem die erste Instanz auf das Gutachten verweist, lässt jedenfalls keinen Rückschluss auf eine allfällige Schuldunfähigkeit des Beschwerdeführers im zu beurteilenden Kontext zu. Die Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen in diesem Punkt nicht.
3.4.2 Gemäss <ref-law> mildert das Gericht die Strafe, wenn der Täter durch das Verhalten der verletzten Person ernsthaft in Versuchung geführt worden ist. Der Milderungsgrund gelangt nur zur Anwendung, wenn der Verletzte in einem Ausmass Anstoss zu der strafbaren Handlung gegeben hat, dass der Täter für seinen Entschluss, die Straftat zu begehen, nicht voll verantwortlich scheint. Das Verhalten des Verletzten muss so provozierend gewesen sein, dass selbst ein verantwortungsbewusster Mensch in der Situation des Täters Mühe gehabt hätte zu widerstehen (<ref-ruling> E. 1).
Der Strafmilderungsgrund von <ref-law> fällt vorab bei Sexualdelikten in Betracht. Im zu beurteilenden Kontext lässt sich aus der Handlungsweise des Beschwerdegegners keine ernsthafte Versuchung erblicken, welche den Beschwerdeführer in seine Verantwortlichkeit einschränkender Weise zu seinen ehrverletzenden Äusserungen veranlasst hätten. Das ergibt sich schon daraus, dass die Ehrverletzungen nicht unmittelbare Folge des Verhaltens des Beschwerdegegners waren, zumal er die fraglichen Anwürfe schon zu früheren Zeitpunkten an den Beschwerdegegner gerichtet hatte, so dass keine eigentliche Provokation vorliegt (vgl. auch <ref-law>).
Die Beschwerde erweist sich auch in diesem Punkt als unbegründet.
4. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang trägt der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Boog