Sachverhalt:
A. Am 13. Januar 2011 wurde der albanische Staatsangehörige X._ in Basel wegen des Verdachts der qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz verhaftet.
Mit Schreiben vom 1. März 2011 beantragte sein Verteidiger der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt (im Folgenden: Staatsanwaltschaft), verschiedene Aufzeichnungen betreffend eine Wohnung in Basel, welche zum Betäubungsmittelhandel benutzt worden sein soll, aus den Strafakten zu entfernen und unter separatem Verschluss zu halten oder gegebenenfalls zu vernichten.
Ausserdem beantragte der Verteidiger der Staatsanwaltschaft, es sei im Zusammenhang mit einer anderen Wohnung in Basel, welche ebenfalls zum Betäubungsmittelhandel benutzt worden sein soll, zu dokumentieren, wie es dazu gekommen sei, dass ein Detektiv am 17. Januar 2010 einen Hinweis erhalten habe, wonach im Laufe des Nachmittags jenes Tages eine grössere Menge eines Streckmittels angeliefert werden solle.
Mit Entscheid vom 3. März 2011 wies die Staatsanwaltschaft diese Anträge ab.
B. Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde wies der Appellationsgerichtspräsident des Kantons Basel-Stadt am 20. Mai 2011 ab.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, das Urteil des Appellationsgerichtspräsidenten sei aufzuheben. Dementsprechend seien im gegen den Beschwerdeführer geführten Strafverfahren verschiedene Aufzeichnungen sofort zu vernichten bzw. aus den Akten zu entfernen und unter separatem Verschluss zu halten. Eventualiter sei die Angelegenheit zum neuen Entscheid an den Appellationsgerichtspräsidenten zurückzuweisen.
D. Der Appellationsgerichtspräsident und die Staatsanwaltschaft haben sich je vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
X._ hat zu den Vernehmlassungen Stellung genommen. Er hält an der Beschwerde fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
1.2 Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist nach <ref-law> zulässig.
1.3 Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a i.V.m. lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt.
1.4 Der angefochtene Entscheid stellt unstreitig einen Zwischenentscheid gemäss <ref-law> dar.
Auf <ref-law> beruft sich der Beschwerdeführer nicht. Dass diese Eintretensvoraussetzung, die in Strafsachen restriktiv auszulegen ist (<ref-ruling> E. 3.2 S. 292), gegeben sein könnte, ist auch nicht offensichtlich. Sie ist deshalb nicht weiter zu prüfen (<ref-ruling> E. 2.4.1 f. S. 633; Urteile 1B_294/2008 vom 27. Mai 2009 E. 1.5; 5A_27/2008 vom 20. Mai 2008 E. 3).
Nach der Rechtsprechung soll sich das Bundesgericht in der Regel nur einmal mit der gleichen Streitsache befassen müssen. Ein Zwischenentscheid ist daher nach <ref-law> nur ausnahmsweise anfechtbar, sofern ein konkreter rechtlicher Nachteil droht, der auch durch einen für den Rechtsuchenden günstigen Endentscheid nachträglich nicht mehr behoben werden könnte. Dabei ist es nicht nötig, dass sich der Nachteil schon im kantonalen Verfahren beheben lässt. Es genügt, wenn er in einem anschliessenden bundesgerichtlichen Verfahren beseitigt werden kann. Die blosse Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens stellt lediglich einen tatsächlichen Nachteil und keinen solchen rechtlicher Natur dar (<ref-ruling> E. 1.2 S. 263; <ref-ruling> E. 2.1 f. S. 190 f.; je mit Hinweisen).
Nach ständiger Rechtsprechung haben Zwischenentscheide, welche die Beweisführung betreffen, keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Art zur Folge (<ref-ruling>; Urteil 1P.711/2000 vom 23. Januar 2001 E. 2a; je mit Hinweisen).
Im zu beurteilenden Fall geht es darum, ob bestimmte Beweise, welche für die Beteiligung des Beschwerdeführers am Drogenhandel sprechen, einem Verwertungsverbot unterliegen. Die Vorinstanz verneint dies, was der Beschwerdeführer als bundesrechtswidrig rügt. Die Staatsanwaltschaft hat am 12. Mai 2011 Anklage erhoben. Die erstinstanzliche Verhandlung hat noch nicht stattgefunden. Sollte die erste Instanz ein Verwertungsverbot verneinen und den Beschwerdeführer schuldig sprechen, könnte er dagegen Berufung beim Appellationsgericht erheben. Bestätigte dieses den Schuldspruch, könnte der Beschwerdeführer dagegen Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> führen. Das Bundesgericht könnte sich dann zur Frage des Beweisverwertungsverbots äussern. Bejahte es ein solches, wäre der für den Beschwerdeführer mit dem angefochtenen Entscheid entstandene Nachteil beseitigt. Dieser stellt somit keinen solchen rechtlicher Natur dar. Zwar führte dieses Vorgehen zu einer Verlängerung des Verfahrens. Dabei handelt es sich nach der dargelegten Rechtsprechung jedoch lediglich um einen Nachteil tatsächlicher Art.
2. Auf die Beschwerde wird deshalb nicht eingetreten.
Da sie aussichtslos war, kann das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law> nicht bewilligt werden. Unter den gegebenen Umständen - der Beschwerdeführer befindet sich seit über 8 Monaten in Haft - rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Appellationsgerichtspräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri