Erwägungen:
1. X._ (geb. 1985) stammt nach eigenen Angaben aus Liberia. Er durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am 10. April 2008 in Ausschaffungshaft, welche der Haftrichter 8 am Haftgericht III Bern-Mittelland am 11. April 2008 prüfte und bis zum 9. Juli 2008 bestätigte. X._ ist hiergegen am 16. April 2008 mit dem sinngemässen Antrag an das Bundesgericht gelangt, er sei freizulassen.
2. Seine Eingabe erweist sich aufgrund der eingeholten Unterlagen als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden. Es erübrigt sich, zu prüfen, ob sie den Begründungsanforderungen von Art. 42 BGG genügt:
2.1 Das Bundesamt für Migration wies das Asylgesuch des Beschwerdeführers am 14. Dezember 2007 ab und hielt ihn an, das Land bis zum 8. Februar 2008 zu verlassen, was er nicht tat. Vom 6. März 2008 bis zum 9. April 2008 galt X._ als verschwunden; am 10. April 2008 musste er von den französischen Behörden rückübernommen werden. Der Beschwerdeführer verfügt in der Schweiz über keine Anwesenheitsberechtigung mehr und ist hier straffällig geworden (Vergehen gegen das Betäubungsmittelgesetz). Er hat erklärt, nicht bereit zu sein, in seine Heimat auszureisen und mit den Behörden zu kooperieren, da er in einem anderen Land ein "besseres Leben" führen wolle. Es besteht bei ihm somit "Untertauchensgefahr" im Sinne von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 i.V.m. Ziff. 4 AuG (SR 142.20; <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f.). Entgegen den Ausführungen im angefochtenen Entscheid ist der Haftgrund des asylrechtlichen Nichteintretensentscheids (Art. 76 Abs. 1 Ziff. 2 AuG) jedoch nicht gegeben: Das Bundesamt für Migration hat die Flüchtlingseigenschaft des Beschwerdeführers verneint und sein Gesuch abgewiesen; es erliess keinen Nichteintretensentscheid, der eine Inhaftierung erlauben würde (vgl. <ref-ruling> E. 3.2). Da der Haftrichter indessen das Vorliegen der "Untertauchensgefahr" zu Recht bejaht hat, verletzt der angefochtene Entscheid dennoch kein Bundesrecht: Es kann nicht davon ausgegangen werden, dass sich der Beschwerdeführer ohne Festhaltung den Behörden für den Vollzug seiner Wegweisung freiwillig zur Verfügung halten wird. Seine Ausschaffung ist absehbar; es liegen keine Anhaltspunkte dafür vor, dass die Behörden sich nicht zielstrebig hierum bemühen würden. Da der Beschwerdeführer aus Nigeria und nicht aus Liberia stammen könnte, soll er einer entsprechenden Expertendelegation vorgeführt werden.
2.2 Was der Beschwerdeführer gegen seine Festhaltung einwendet, überzeugt nicht: Soweit er geltend macht, bereit zu sein, in ein anderes Land zu reisen, ist nicht ersichtlich, wie er dies ohne Reisepapiere rechtmässig tun könnte. Zwar hat er versucht, sich illegal nach Frankreich abzusetzen, doch kann seine Wegweisung damit nicht als vollzogen gelten, da er wieder rückübernommen werden musste (vgl. das Abkommen vom 28. Oktober 1998 zwischen dem Schweizerischen Bundesrat und der Regierung der französischen Republik über die Rückübernahme von Personen mit unbefugtem Aufenthalt [SR 0.142.113.499]). Die Ausreise in ein anderes Land lässt eine Zwangsmassnahme nur dann dahin fallen, wenn sie mit einer legalen Einreise in dieses verbunden ist bzw. keine Rückübernahmepflichten für die Schweiz mehr bestehen (<ref-ruling> E. 4.2.2). Der Beschwerdeführer übersieht, dass er nicht im Rahmen eines Strafverfahrens inhaftiert wurde; er wird ausländerrechtlich festgehalten, um seine Ausschaffung sicherzustellen. Die Wegweisungsfrage kann im Haftprüfungsverfahren nicht mehr aufgeworfen werden; hierüber hat das Bundesamt für Migration rechtskräftig entschieden. Nur aufgrund gültiger Papiere ist es möglich, zu prüfen, ob der Wegweisungsvollzug in einen Drittstaat erfolgen kann (vgl. Art. 69 Abs. 2 AuG); dies setzt die Kooperation des Beschwerdeführers mit den schweizerischen Behörden voraus.
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Es rechtfertigt sich indessen aufgrund der Umstände (Bedürftigkeit, absehbarer Vollzug der Wegweisung), keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar