Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Entscheid vom 19. Mai 2009 des Berner Obergerichts, das eine Nichtigkeitsklage des Beschwerdeführers gegen die erstinstanzliche Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung an den Beschwerdegegner für Fr. 6'000.-- abgewiesen hat,
in die (das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Verfassungsbeschwerde abweisende) Verfügung des Bundesgerichts vom 9. Juni 2009 samt Aufforderung an den Beschwerdeführer zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.--,
in die Bestätigung der Bundesgerichtskasse, wonach der Vorschuss fristgerecht geleistet worden ist,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Entscheid des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass einzig der Beschwerdeführer zur Verfassungsbeschwerde legitimiert ist (<ref-law>), weil der angefochtene Entscheid ausschliesslich diesem gegenüber ergangen ist,
dass sodann in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Entscheid vom 19. Mai 2009 im Wesentlichen erwog, der Beschwerdeführer habe im erstinstanzlichen Verfahren zum Rechtsöffnungsgesuch schriftlich Stellung genommen, zu Recht habe der Rechtsöffnungsrichter auf eine mündliche Anhörung des Beschwerdeführers und seiner Tochter A._ verzichtet, weil deren Vorbringen für die Frage der Rechtsöffnung irrelevant seien,
dass das Obergericht weiter erwog, die Rechtsöffnungsforderung (zum Voraus fälliges Schulgeld für das Jahr 2007/2008) beruhe auf dem vom Beschwerdeführer unterzeichneten Ausbildungsvertrag für seine Tochter, der einen provisorischen Rechtsöffnungstitel darstelle, die Kündigung dieses Vertrags durch den Beschwerdeführer könne (mangels Einhaltung der dreimonatigen Kündigungsfrist) erst auf das Ende des 2. Semesters des Schuljahres 2007/2008 wirksam sein, für die noch ausstehenden Schulkosten dieses Schuljahres sei daher die provisorische Rechtsöffnung zu Recht erteilt worden,
dass sich der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht mit den entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen auseinandersetzt,
dass der Beschwerdeführer erst recht nicht anhand dieser Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen aufzeigt, inwiefern der Entscheid des Obergerichts vom 19. Mai 2009 verfassungswidrig sein soll,
dass es insbesondere nicht genügt, vor Bundesgericht die bereits vom Obergericht widerlegte Rüge der Gehörsverweigerung zu wiederholen, statt auf die diesbezüglichen obergerichtlichen Erwägungen einzugehen,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juni 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann