Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) ist der Vater von B._, geboren 1999. B._ steht unter der alleinigen elterlichen Sorge ihrer Mutter und wird beim Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst (KJPD) des Kantons Solothurn medizinisch behandelt.
B.
B.a. Der Beschwerdeführer ist mit der medizinischen Behandlung seiner Tochter nicht einverstanden. Er schrieb deshalb an die betreuende Psychotherapeutin, die behandelnden Ärzte und an die Chefärztin des Departements Kinder- und Jugendpsychiatrie. Am 18. Februar 2014 nahm die Chefärztin zu seinen Einwänden Stellung.
B.b. Mit Einschreibebrief vom 22. April 2014 an das Departement des Innern des Kantons Solothurn erhob der Beschwerdeführer eine als "Begründete Aufsichtsbeschwerde" überschriebene Beschwerde betreffend den KJPD und namentlich gegen die Chefärztin und die Psychotherapeutin. Er warf dem KJPD unter anderem eine Missachtung von Art. 275a ZGB und eine Verweigerung der darin erwähnten Rechte ab Februar 2014 vor und beantragte an erster Stelle, die Behandlung seiner Tochter sei dem KJPD zu entziehen.
B.c. Das Departement des Innern überwies die Eingabe des Beschwerdeführers als Beschwerde wegen Verletzung von Patienten- und Angehörigenrechten zuständigkeitshalber an die Solothurner Spitäler AG zur Weiterbehandlung (Verfügung vom 12. Mai 2014).
C.
C.a. Die Solothurner Spitäler AG äusserte sich mit Schreiben vom 2. Juli 2014 zu den Beschwerdegründen und setzte dem Beschwerdeführer eine Frist zur Stellungnahme (Verfügung vom 2. Juli 2014).
C.b. In seiner Einsprache vom 10. Juli 2014 verwahrte sich der Beschwerdeführer gegen die vorläufige Beurteilung seiner Einwände und betonte, dass es ihm ausschliesslich und primär um die Abwendung von potenziellen Schäden bei seiner Tochter gehe.
C.c. Die Solothurner Spitäler AG verweigerte dem Beschwerdeführer das Informations- und Anhörungsrecht zur medizinischen Behandlung seiner Tochter bis auf Weiteres (Verfügung vom 25. August 2014).
C.d. Der Beschwerdeführer beantragte dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Eingabe vom 3. September 2014, sein Begehren gehöre als eigentliche Aufsichtsbeschwerde behandelt, die Missstände im KJPD müssten objektiv, gründlich und unabhängig untersucht werden und Amtsmissbrauch bzw. anderweitiges strafbares Fehlverhalten gehörten geahndet. Er stelle Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege. Einen der Missstände begründete der Beschwerdeführer damit, dass Art. 275a ZGB nicht beachtet worden sei.
C.e. Das Verwaltungsgericht beanstandete die Verweigerung des Informations- und Anhörungsrechts gemäss der angefochtenen Verfügung vom 25. August 2014 nicht und erklärte sich für aufsichtsrechtliche Rügen als unzuständig. Es wies die Beschwerde ab (Dispositiv-Ziff. 1) und erhob für sein Verfahren VWBES.2014.377 keine Kosten (Dispositiv-Ziff. 2 des Urteils vom 15. Oktober 2014).
D.
Am 13. November 2014 hat der Beschwerdeführer eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Dispositiv-Ziff. 1 des verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 15. Oktober 2014 erhoben. Er ersucht um unentgeltlichen Rechtsbeistand und unentgeltliche Rechtspflege und erneuert in der Sache seine vor Verwaltungsgericht gestellten Begehren. Sollte das Verwaltungsgericht nicht vollumfänglich zuständig sein, gehöre die zuständige Behörde genannt und seine Beschwerde an diese gerichtet. Allfällige Prozesskosten seien den kollusiv verbündeten Rechtsdiensten des Departements des Innern und der Solothurner Spitäler AG aufzuerlegen. Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
E.
Auf Gefährdungsmeldung hin eröffnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Region Solothurn ein Verfahren zur Prüfung von Kindesschutzmassnahmen. Der Beschwerdeführer beteiligte sich am Verfahren und stellte ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, das die KESB abwies, soweit sie darauf eintrat (Entscheid vom 14. August 2014). Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht ab (Urteil vom 9. Oktober 2014, Verfahren VWBES.2014.378). Die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Verfahren ist Gegenstand des Beschwerdeverfahrens 5A_890/2014 vor Bundesgericht.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil (Bst. C.e oben) betrifft den Anspruch auf Auskunft und Information des Elternteils ohne elterliche Sorge (Art. 275a ZGB) und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG; Urteil 5A_295/2014 vom 14. August 2014 E. 1.1). Die Eingabe des Beschwerdeführers ist deshalb als Beschwerde in Zivilsachen zu behandeln und darauf grundsätzlich einzutreten.
2.
Vor Verwaltungsgericht hat der Beschwerdeführer gerügt, seine Eingabe vom 22. April 2014 an das Departement hätte als Aufsichtsbeschwerde behandelt werden müssen. Sie hätte nicht als Beschwerde wegen Verletzung von Patienten- und Angehörigenrechten an die Solothurner Spitäler AG zur Weiterbehandlung überwiesen werden dürfen. Das Verwaltungsgericht ist davon ausgegangen, die Eingabe sei zu Recht als Beschwerde wegen Verletzung von Patienten- und Angehörigenrechten beurteilt worden (E. II/2 S. 5 des angefochtenen Urteils). Dagegen richtet sich die vorliegende Beschwerde zur Hauptsache.
2.1. In rechtlicher Hinsicht gilt fallbezogen Folgendes:
2.1.1. Ob die Eingabe des Beschwerdeführers als Aufsichtsbeschwerde oder als Sachbeschwerde zu erfassen ist, beurteilt sich nach dem Streitgegenstand. Im Verwaltungsbeschwerdeverfahren sind die Beschwerdebegehren für die Bestimmung des Streitgegenstandes massgebend, zu dessen Konkretisierung aber zuweilen die Beschwerdebegründung herangezogen werden muss (Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 1983, S. 45 Ziff. 4.2; KÖLZ/HÄNER/BERTSCHI, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 3. Aufl. 2013, N. 688-689 S. 243; Urteil 2C_124/2013 vom 25. November 2013 E. 2.2.3). Allgemein kann gesagt werden, dass mit der begründeten Aufsichtsbeschwerde auf Tatsachen aufmerksam gemacht wird, die im öffentlichen Interesse ein Einschreiten gegen eine Behörde von Amtes wegen erfordern (Gygi, a.a.O., S. 221 Ziff. 3; Kölz/Häner/Bertschi, a.a.O., N. 764 S. 268; Urteil 2C_622/2013 vom 11. April 2014 E. 2.1). Im Gegensatz dazu wird mit der Sachbeschwerde eine konkrete Verfügung, die Rechte oder Pflichten einer Person berühren soll, in deren privatem Interesse angefochten. Stehen beide Beschwerden offen, gilt die Aufsichtsbeschwerde jedenfalls in der Praxis als subsidiär ( KÖLZ/ HÄNER/BERTSCHI, a.a.O., N. 777 S. 273, mit Hinweisen).
2.1.2. Eine unrichtige Bezeichnung des Rechtsmittels schadet dem Beschwerdeführer nicht. Seine Eingabe wird als das zulässige Rechtsmittel entgegengenommen, wenn sie die formellen Voraussetzungen erfüllt ( GYGI, a.a.O., S. 198 Ziff. 6.3). Die Umdeutung kann das Rechtsmittel aber nur als Ganzes erfassen und nicht dazu führen, dass das Rechtsmittel in zwei verschiedenen Verfahren behandelt wird (<ref-ruling> E. 1.2 S. 382; KÖLZ/HÄNER/BERTSCHI, a.a.O., N. 1774 S. 601).
2.1.3. Die Feststellungen des Verwaltungsgerichts zu den Vorbringen des Beschwerdeführers in kantonalen Eingaben wie Begehren und deren Begründung betreffen den Sachverhalt und sind für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Als offensichtlich unrichtig, d.h. als willkürlich (Art. 9 BV), erweist sich die Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
2.2. Gegen die Sachverhaltsfeststellung wendet der Beschwerdeführer ein, das Verwaltungsgericht stütze die Haltung der Solothurner Spitäler AG, indem es in seinen Erwägungen die Aktenlage einseitig und asymmetrisch sichte, interpretiere oder gar verfälsche und vor allem auf die Nacherzählung seiner Argumente durch die Solothurner Spitäler AG zurückgreife und nicht auf das Original bzw. seine Schriften. Die anschliessend vom Beschwerdeführer einzeln aufgegriffenen Punkte des angefochtenen Urteils - soweit die Rügen für den Ausgang des Verfahrens überhaupt entscheidend sind - lassen Willkür in der Sachverhaltsfeststellung nicht erkennen.
2.2.1. Verfahrensleitend ist der Einschreibebrief vom 22. April 2014 an das Departement, den der Beschwerdeführer mit "Begründete Aufsichtsbeschwerde" überschrieben hatte (Bst. B.b oben). Die Bezeichnung der Eingabe ist allerdings nicht entscheidend.
2.2.2. Wesentlich sind die Begehren, die der Beschwerdeführer als "Vorschläge" unterbreitet hat. Das erste Begehren lautet dahin, dass die Behandlung seiner Tochter dem KJPD zu entziehen sei. Erster Punkt der Begründung ist denn auch der Vorwurf, der KJPD missachte Art. 275a ZGB und verweigere ihm die darin erwähnten Rechte (Bst. B.b oben). Es trifft zwar zu, dass der Beschwerdeführer weitere Vorschläge unterbreitet und weitere Mängel gerügt hat, die losgelöst vom ersten Punkt durchaus auch als aufsichtsrechtliche Anzeigen hätten verstanden werden können. Unter Willkürgesichtspunkten ist aber nicht zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht diese weiteren Vorbringen im Sachzusammenhang mit den Rügen des Beschwerdeführers betreffend die medizinische Behandlung seiner Tochter und sein Informationsrecht gesehen hat.
2.2.3. Wie der Beschwerdeführer seine damaligen Vorbringen selber verstanden hat, kann willkürfrei seiner Einsprache vom 10. Juli 2014 entnommen werden, wo er unmissverständlich, aber auch einfühlbar erklärt hat, dass es ihm ausschliesslich und primär um die Abwendung von potenziellen Schäden bei seiner Tochter gehe (Bst. C.b oben). Dass der Beschwerdeführer davon heute nichts mehr wissen will und "einen falschen Kontext und Sinnzusammenhang" behauptet, belegt keine Willkür in der Sachverhaltsfeststellung, sondern lediglich seine Erkenntnis, dass er in der Sache erfolglos bleiben wird und auf den Erfolg einer Aufsichtsanzeige hoffen muss.
2.3. Aufgrund der willkürfreien und damit verbindlichen Feststellung der Vorbringen des Beschwerdeführers durfte das Verwaltungsgericht ohne Verletzung von Bundesrecht davon ausgehen, der Beschwerdeführer habe eine Sachbeschwerde erhoben und keine Aufsichtsbeschwerde. Es hat deshalb die bereits auf Stufe des Departements (Bst. B.c oben) erfolgte Umdeutung der als "Begründete Aufsichtsbeschwerde" bezeichneten Eingabe vom 22. April 2014 als Ganzes in eine Beschwerde wegen Verletzung von Patienten- und Angehörigenrechten zu Recht nicht beanstandet. Alle weiteren Rügen des Beschwerdeführers vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern und erweisen sich als nicht stichhaltig.
3.
Eltern ohne elterliche Sorge können gemäss Art. 275a Abs. 2 ZGB bei Drittpersonen, die an der Betreuung des Kindes beteiligt sind, in gleicher Weise wie der Inhaber der elterlichen Sorge Auskünfte über den Zustand und die Entwicklung des Kindes einholen. Das Verwaltungsgericht hat das Informationsrecht des Beschwerdeführers anerkannt, die Verweigerung dieses Rechts hinsichtlich der medizinischen Behandlung aber nicht beanstandet. Es ist davon ausgegangen, die Tochter des Beschwerdeführers sei urteilsfähig. Sie habe gemeinsam mit der sorgeberechtigten Mutter der medizinischen Behandlung durch den KJPD zugestimmt und gewünscht, dass der Beschwerdeführer als ihr Vater nicht weiter in ihre Behandlung miteinbezogen und ihm keine weitere Auskunft darüber mehr erteilt werden solle (E. II/3 S. 5 f. des angefochtenen Urteils).
3.1. Eine einseitige und unkritische Übernahme der Angaben der Solothurner Spitäler AG erblickt der Beschwerdeführer in der Feststellung des Verwaltungsgerichts, seine Tochter habe den Willen geäussert, dass er nicht über die weitere Behandlung informiert werden solle. Es ist richtig, dass die Solothurner Spitäler AG diese Feststellung gestützt auf das Schreiben der Chefärztin vom 18. Februar 2014 getroffen und dass das Verwaltungsgericht diese Angabe übernommen hat (E. I/2 S. 2 des angefochtenen Urteils). Eine derartige Willensäusserung seiner Tochter lässt sich dem zitierten Schreiben weder wörtlich noch sinngemäss entnehmen, wie der Beschwerdeführer das zutreffend hervorhebt. Für den Ausgang des Verfahrens ist die offensichtlich unrichtige Feststellung indessen aus nachstehendem Grund nicht entscheidend.
3.2. Streitig ist die Anwendung von Art. 275a ZGB mit der Marginalie "Information und Auskunft". Fallbezogen zeigt sich die rechtliche Ausgangslage wie folgt:
3.2.1. Elternteile, denen die elterliche Sorge für ihre Kinder nicht zusteht, sind von allen Entscheiden bezüglich des Kindes ausgeschlossen. Dass sich ihr Elternsein rechtlich gesehen auf einen Anspruch auf persönlichen Verkehr und auf eine Zahlpflicht für den Unterhalt des Kindes beschränkt, hat der Gesetzgeber als unbefriedigend empfunden. Seiner Ansicht nach sollte ein Elternteil am Wohlergehen des Kindes Anteil nehmen können, selbst wenn er nicht oder nicht mehr Inhaber der elterlichen Sorge ist. Der Gesetzgeber hat deshalb in Art. 275a ZGB neu ein Informations- und Auskunftsrecht für den Elternteil ohne elterliche Sorge geschaffen. Es umfasst die Rechte auf Benachrichtigung "über besondere Ereignisse im Leben des Kindes" (Art. 275a Abs. 1 ZGB), auf Anhörung "vor Entscheidungen, die für die Entwicklung des Kindes wichtig sind" (Art. 275a Abs. 1 ZGB) und auf Auskunft "über den Zustand und die Entwicklung des Kindes" (Art. 275a Abs. 2 ZGB). Die Rechte auf Benachrichtigung und Anhörung verpflichten in erster Linie den sorgeberechtigten Elternteil. Das Auskunftsrecht richtet sich gegen Drittpersonen, die an der Betreuung des Kindes beteiligt sind, und berechtigt dazu, bei diesen Drittpersonen in gleicher Weise wie der Inhaber der elterlichen Sorge Auskünfte einzuholen (vgl. die Erläuterungen des Bundesrats in der Botschaft über die Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Personenstand, Eheschliessung, Scheidung, Kindesrecht, Verwandtenunterstützungspflicht, Heimstätten, Vormundschaft und Ehevermittlung] vom 15. November 1995, BBl 1996 I 1, S. 160 Ziff. 244.2).
3.2.2. Das Informations- und Auskunftsrecht gemäss Art. 275a ZGB wird - wie jedes Recht - durch die Rechte des Anderen, hier namentlich durch die Persönlichkeitsrechte des Kindes beschränkt. Das Auskunftsrecht gemäss Art. 275a Abs. 2 ZGB im Besonderen darf nicht als Kontrollrecht missbraucht werden. Es geht nicht darum, dass ein Elternteil die Ausübung der elterlichen Sorge durch den andern kontrolliert und sich in dessen Erziehungsaufgabe einmischt (so die Erläuterungen des Bundesrats in der Botschaft, a.a.O., S. 161 Ziff. 244.2).
3.2.3. Das Informationsrecht ist somit kein Mitbestimmungsrecht und das Auskunftsrecht kein Kontrollrecht ( TUOR/SCHNYDER/RUMO-JUNGO, Das Schweizerische Zivilgesetzbuch, 13. Aufl. 2009, § 41 N. 26 und N. 27 S. 462 f.). Wird das Informations- und Auskunftsrecht gemäss Art. 275a ZGB zur Mitbestimmung in Kinderbelangen oder zur Kontrolle des Sorgerechtsinhabers missbraucht und damit pflichtwidrig ausgeübt, so kann es - wie jedes andere Recht - behördlich verweigert oder entzogen werden (Art. 275a Abs. 3 i.V.m. Art. 274 Abs. 2 ZGB; AFFOLTER, Informations-, Anhörungs- und Auskunftsrecht des nichtsorgeberechtigten Elters [Art. 275a ZGB], Zeitschrift für Vormundschaftswesen, ZVW 64/2009 S. 380 ff., S. 381).
3.3. Die rechtliche Ausgangslage bedeutet für den vorliegenden Fall Folgendes:
3.3.1. Unangefochten steht heute fest, dass die Tochter des Beschwerdeführers rund fünfzehn Jahre alt ist und dass keinerlei Anhaltspunkte bestehen, die gegen ihre Urteilsfähigkeit sprechen könnten. Sie und ihre Mutter als alleinige Inhaberin der elterlichen Sorge haben der medizinischen Behandlung beim KJPD zugestimmt.
3.3.2. Der Beschwerdeführer ist mit der medizinischen Behandlung seiner Tochter nicht einverstanden. Seine Schreiben an die seine Tochter betreuende Psychologin (Beilagen Nrn. 1 und 2) sowie seine Schreiben an die Chefärztin des KJPD (Beilagen Nrn. 3, 5 und 6) belegen zum einen, dass der Beschwerdeführer über die Behandlung seiner Tochter durch den KJPD, über den Grund der Behandlung und über die Art der Behandlung, namentlich über die seiner Tochter verabreichten Medikamente informiert ist. Zum anderen belegen diese Schreiben, dass es dem Beschwerdeführer unter dem Titel seines Informations- und Auskunftsrechts darum gegangen ist, die Richtigkeit und Angemessenheit der medizinischen Behandlung seiner Tochter, insbesondere die Medikation, mit den behandelnden und verantwortlichen Ärzten zu diskutieren und darüber selber zu entscheiden. Er hat der Psychotherapeutin Verbote erteilt (Schreiben vom 2. Februar 2014, Beilage Nr. 2), diese Verbote gegenüber der Chefärztin des KJPD wiederholt (Schreiben vom 2. Februar 2014, Beilage Nr. 3) und gefordert, die Betreuung seiner Tochter einem niedergelassenen Kinderpsychiater zu übergeben (Schreiben vom 27. Februar 2014, Beilage Nr. 5). Dazu ist der Beschwerdeführer - ungeachtet seiner verbalen Ausfälligkeiten - nicht berechtigt. Er hat sich Entscheidungsbefugnisse anmassen wollen, die ihm als Elternteil ohne elterliche Sorge nicht zustehen, und er hat sich in die medizinische Behandlung eingemischt, der seine Tochter und die Inhaberin der elterlichen Sorge zugestimmt haben. Unter diesem Blickwinkel erweist sich seine Ausübung der gesetzlichen Informations- und Auskunftsrechte als pflichtwidrig.
3.3.3. Im Ergebnis verletzt es deshalb kein Bundesrecht, dass das Verwaltungsgericht die Verweigerung der Auskunftserteilung durch das ärztliche Personal gegenüber dem Beschwerdeführer nicht beanstandet hat. Entgegen seiner Darstellung steht der Beschwerdeführer den seine Tochter behandelnden Ärzten und den Entscheiden seiner Tochter und der Sorgerechtsinhaberin nicht macht- und mittellos gegenüber. Glaubt er, die medizinische Behandlung widerspreche dem Wohl seiner Tochter, bleibt ihm die Möglichkeit, bei der zuständigen Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde eine Gefährdungsmeldung zu erstatten, was er auch getan hat. Das diesbezügliche Kindesschutzverfahren ist hängig (vgl. Bst. E oben).
4.
Der Beschwerdeführer hält dafür, das Verwaltungsgericht hätte auf seine aufsichtsrechtlichen Rügen und seine diesbezüglich stringente Beweisführung eingehen müssen. Der Vorwurf erweist sich als unberechtigt. Gemäss § 50 Abs. 2 lit. c des Gesetzes über die Gerichtsorganisation (GO; BGS 125.12) ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde in Fragen der Aufsicht über Behörden nicht zulässig. Die Aufsicht über Behörden, d.h. über die kantonale Verwaltung und die anderen Träger öffentlicher Aufgaben mit Ausnahme der Gerichte, obliegt dem Regierungsrat (§ 1 Abs. 4 des Gesetzes über die Organisation des Regierungsrates und der Verwaltung, Regierungs- und Verwaltungsorganisationsgesetz, RVOG; BGS 122.111). Zu Trägern öffentlicher Verwaltung gehört das kantonale Spital, das der Kanton in der Form einer Aktiengesellschaft im Sinne des Obligationenrechts unter der Firma «Solothurner Spitäler» betreibt (§ 7 und § 16 des Spitalgesetzes, SpiG; BGS 817.11). Ist das Verwaltungsgericht in Aufsichtsfragen nicht zuständig, bedeutet es keine Rechtsverweigerung (<ref-ruling> E. 3 S. 246), dass es auf die aufsichtsrechtlichen Rügen und die dazugehörigen Beweismittel ausdrücklich nicht eingetreten ist und sich zur Befangenheit der Aufsichtsinstanzen nicht abschliessend geäussert hat (E. II/4 S. 6 des angefochtenen Urteils). Unter diesen Umständen erweisen sich die vor Bundesgericht wiederholten Rügen und Begehren als unzulässig (<ref-ruling> E. 8.3 S. 530).
5.
Schliesslich rügt der Beschwerdeführer die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung im Verfahren vor Verwaltungsgericht. Kosten hat das Verwaltungsgericht nicht erhoben.
5.1. Das Verwaltungsgericht hat darüber nicht im angefochtenen Urteil vom 15. Oktober 2014, Verfahren VWBES.2014.377, sondern im früher ergangenen Urteil vom 9. Oktober 2014, Verfahren VWBES.2014.378, entschieden, zumal der Beschwerdeführer dort sein Gesuch für beide Verfahren gestellt hat. Der Zwischenentscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131) kann mit dem Endentscheid in der Sache angefochten werden (Art. 93 Abs. 3 BGG; VON WERDT, Die Beschwerde in Zivilsachen. Ein Handbuch für Beschwerdeführer und Beschwerdegegner, 2010, S. 43 Rz. 189).
5.2. Das Verwaltungsgericht hat dafürgehalten, in einem nicht komplizierten Verfahren könne der Beschwerdeführer seine Rechte zweifellos selbst wahren und sei nicht auf die Verbeiständung durch eine rechtskundige Person angewiesen. Die unentgeltliche Rechtspflege könne deshalb auch im vorliegenden Verfahren nicht bewilligt werden, weshalb das gestellte Gesuch abzuweisen sei. Zudem zeige die Beschwerdeschrift des Beschwerdeführers auch anschaulich, dass er zur Wahrung seiner Rechte selbständig im Stande und nicht auf die Hilfe eines Rechtsbeistandes angewiesen sei (E. II/3.2 S. 6 des Urteils vom 9. Oktober 2014, Verfahren VWBES.2014.378).
5.3. Das Gesetz über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen (Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRG; BGS 124.11) sieht in § 76 Abs. 1 vor, dass eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel für die Prozessführung verfügt, die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege verlangen kann, wenn der Prozess nicht als aussichtslos oder mutwillig erscheint, und dass sie die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands verlangen kann, wenn dies zur Wahrung der Rechte notwendig ist. Nach der bundesgerichtlichen Verfassungsrechtsprechung besteht ein Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, wenn die Interessen der Partei in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Droht das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der betroffenen Person einzugreifen, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten, sonst nur dann, wenn zur relativen Schwere des Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Gesuchsteller auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre (<ref-ruling> E. 2.2 S. 182).
5.4. Im Gegensatz zum Verwaltungsgericht geht der Beschwerdeführer nicht von einem einfachen Verfahren aus. Schwierigkeiten sieht er darin, dass laut Departement bisher noch keine Aufsichtsbeschwerde gegen die Solothurner Spitäler AG seit deren teilweisen Trennung vom Kanton erfolgt sei und somit selbst für das Departement unklar sei, welcher Behörde die Aufsicht jetzt überhaupt obliege. Es sei somit ein Präzedenzfall gegeben. Ihm als absolut rechtsunkundigen Laien werde zugemutet, die noch unbekannte Rechtslage bereits zu kennen.
5.5. Schwierigkeiten in rechtlicher Hinsicht vermögen die Vorbringen nicht zu belegen. Der Beschwerdeführer hat keine Aufsichtsbeschwerde erhoben, sondern eine Beschwerde an das Verwaltungsgericht. Er hat darin, eine Verweigerung seiner Informationsrechte als Elternteil ohne elterliche Sorge gerügt und zur Hauptsache geltend gemacht, das Departement hätte seine Eingabe als Aufsichtsbeschwerde und nicht als Beschwerde wegen Verletzung von Patienten- und Angehörigenrechten behandeln sollen. Alle diese Rügen hat der Beschwerdeführer derart formrichtig und klar erhoben, dass das Verwaltungsgericht gezwungen war, sich mit jeder Rüge zu befassen. Aus dem blossen Misserfolg seiner Beschwerde darf der Beschwerdeführer nicht auf die Notwendigkeit einer unentgeltlichen Verbeiständung schliessen. Die Verweigerung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands im kantonalen Verfahren verletzt kein Bundesrecht.
6.
Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird damit kostenpflichtig, nicht hingegen entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 3 BGG). Mit Rücksicht auf seine finanziellen Verhältnisse wird auf die Erhebung von Gerichtskosten ausnahmsweise verzichtet (Art. 66 Abs. 1 BGG). Soweit es die Befreiung von der Bezahlung der Gerichtskosten betrifft (Art. 64 Abs. 1 BGG), wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos. Sein weitergehendes Gesuch um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes muss abgewiesen werden, zumal dessen Notwendigkeit zur Rechtswahrung (Art. 64 Abs. 2 BGG) weder dargetan noch ersichtlich ist, belegen doch die Rügen vor Bundesgericht und die vorstehenden Erwägungen, dass der Beschwerdeführer durchaus in der Lage ist, seine Rechte selbst und ohne anwaltliche Unterstützung geltend zu machen (vgl. Urteil 5D_87/2013 vom 16. Juli 2013 E. 9).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Solothurner Spitäler AG und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten