Erwägungen:
1.
X._ stellte am 17. September 2012 in dem gegen ihn gerichteten Strafverfahren ein Ausstandsbegehren gegen die Staatsanwältin Y._. Diese überwies die Akten mit einer Stellungnahme an die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Mit Eingabe vom 27. September 2012 bekräftigte X._ zuhanden der III. Strafkammer sein Ausstandsbegehren und verlangte gleichzeitig den Ausstand von Oberrichter A._, B._, C._, D._ und E._. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich stellte mit Verfügung vom 5. Oktober 2012 die Stellungnahme der Staatsanwältin X._ zur Vernehmlassung zu.
Mit Beschluss vom 19. Oktober 2012 wies die I. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich das Ausstandsgesuch gegen die Oberrichter A._, B._ und C._ ab. Im Übrigen trat die I. Strafkammer auf das Ausstandsgesuch nicht ein.
Mit Beschluss vom 14. Januar 2013 schrieb die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich das Ausstandsverfahren gegen Staatsanwältin Y._ zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt ab. Die Strafkammer führte zusammenfassend aus, die geltend gemachte Befangenheit der Staatsanwältin werde mit ihrem Verhalten im Zusammenhang mit einer geplanten und bislang noch nicht durchgeführten Einvernahme des Gesuchstellers begründet. Nachdem die Staatsanwaltschaft mittlerweile einen anderen Staatsanwalt mit der Untersuchung gegen den Gesuchsteller betraut habe, sei das Ausstandsgesuch gegenstandslos geworden.
2.
2.1. Mit Eingabe vom 12. November 2013 erhob X._ Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. Oktober 2012. Am 24. November 2012 ergänzte er seine Beschwerde.
2.2. Am 26. November 2012 erhob X._ ausserdem Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der I. Strakammer vom 19. Oktober 2012.
2.3. Mit Eingabe vom 15. Februar 2013 erhob X._ Beschwerde gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 14. Januar 2013.
2.4. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Bei der angefochtenen Verfügung der III. Strafkammer vom 5. Oktober 2012, mit welcher der Beschwerdeführer zur Einreichung einer Stellungnahme eingeladen wurde, handelt es sich um einen Zwischenentscheid. Dieser ist nur anfechtbar, falls er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirkt (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen kann und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart (<ref-law>).
Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach <ref-law> erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 4, je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer macht hinsichtlich der Beschwerdevoraussetzungen nach <ref-law> überhaupt keine Ausführungen. Das Vorliegen dieser Voraussetzungen ist im Übrigen auch nicht ersichtlich. Da der Beschwerdeführer nicht darlegt, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen von <ref-law> erfüllt sein könnten, ist auf die Beschwerde gegen die Verfügung vom 5. Oktober 2012 mangels einer hinreichenden Begründung im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Ob die weiteren Eintretensvoraussetzungen gegeben sind, kann daher offen bleiben.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
4.1. Im Beschluss vom 19. Oktober 2012 prüfte die I. Strafkammer das Ausstandsgesuch mit Blick auf Art. 56 lit. a, b und f StPO. Dabei verneinte es eine unzulässige Vorbefassung bzw. Mehrfachbefassung sowie das Vorliegen von Umständen, welche den Eindruck erwecken könnten, die Meinungsbildungen der Richter seien im konkreten Fall nicht mehr offen. Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich auseinander und vermag mit seiner meist appellatorischen Kritik nicht aufzuzeigen, inwiefern die I. Strafkammer das Ausstandsbegehren gegen die Oberrichter in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise abgewiesen haben sollte. Die Beschwerde gegen den Beschluss der I. Strafkammer vom 19. Oktober 2012 genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.2. Mit Beschluss vom 14. Januar 2013 schrieb die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich das Ausstandsverfahren gegen Staatsanwältin Y._ zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt ab. Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung der III. Strafkammer, die zur Abschreibung des Verfahrens führte, nicht auseinander. Aus seiner hauptsächlich appellatorischen Kritik ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde gegen die Beschluss vom 14. Januar 2013 genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
5.
Die Beschwerden gegen die Verfügung bzw. Beschluss der III. Strafkammer vom 5. Oktober 2012 und 14. Januar 2013 sowie gegen den Beschluss der I. Strafkammer vom 19. Oktober 2012 erweisen sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. und III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juli 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli