Sachverhalt:
A. X._ und Y._ sind die geschiedenen Eltern von Z._ (geb. 11. März 1984) und V._ (geb. 14. Mai 1986). Aus einer anderen Verbindung hat Y._ noch einen zweiten Sohn namens W._ (geb. 22. September 2002). Die Tochter V._ ist schwerstbehindert. Sie bedarf intensiver Betreuung und Pflege. Von Mai 2007 bis November 2011 lebte sie im Wohnheim des Vereins insieme Oberwallis in A._; seit Dezember 2011 wohnt sie in einem von diesem Verein betriebenen Wohnheim in B._.
B. B.a Bis zu ihrer Mündigkeit stand V._ gemäss Scheidungsurteil vom 4. Januar 2001 unter der elterlichen Sorge ihrer Mutter. Diesem Urteil zufolge hat X._ seiner Tochter "bis zum Lebensende" einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 800.-- zu bezahlen.
B.b Im Jahr 2008 informierte das Interkommunale Vormundschaftsamt des Bezirkes Östlich-Raron ("Vormundschaftsamt") die Eltern über die Prüfung einer vormundschaftlichen Massnahme. Am 30. Oktober 2008 fand vor dem Vormundschaftsamt eine Sitzung statt. Y._ erklärte sich bereit, die elterliche Sorge für V._ weiterhin zu übernehmen. X._ war damit nicht einverstanden; er wollte selbst Vormund werden. Gemäss Protokoll waren sich die Eltern aber darin einig, dass V._ zu entmündigen und entweder zu bevormunden oder wieder unter die elterliche Sorge zu stellen sei.
B.c Mit Schreiben vom 23. Dezember 2008 stellte X._ beim Vormundschaftsamt "Antrag auf Bestellung einer neutralen und kompetenten Person als Vormund für V._". Überdies sei im Sitzungsprotokoll zu vermerken, dass er Klärung verlangt habe, wie es um V._s Einkünfte, Unterhaltsbeiträge und Vermögen stehe. Am 10. Februar 2009 fällte das Vormundschaftsamt seinen Entscheid. Es entmündigte V._ und stellte sie unter die elterliche Sorge von Y._. X._ räumte es weiterhin die Besuchs- und Ferienrechte gemäss Scheidungsurteil vom 4. Januar 2001 sowie das Recht auf Information und Auskunft im Sinne von <ref-law> ein. Weiters verfügte das Amt, über V._s Vermögen sei bis zum 31. Mai 2009 ein Inventar aufzunehmen und Y._ habe dem Vormundschaftsamt alle zwei Jahre, erstmals per 31. Dezember 2010, Auszüge von V._s Konti einzureichen.
C. C.a Gegen diesen Entscheid reichte X._ am 23. März 2009 beim Bezirksgericht Brig, Östlich-Raron und Goms Berufung ein. Er beantragte, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei eine neutrale Drittperson als Vormund für seine Tochter zu benennen (Ziff. 1). Es sei ihm das Recht zuzuerkennen, sich mit Bezug auf V._s finanzielle Verhältnisse direkt bei den involvierten Personen bzw. Stellen zu erkundigen, namentlich bei den beteiligten Leistungserbringern (Invalidenversicherung, Ergänzungsleistungen u. dgl.) und bei der Institution, wo sich V._ jeweilen aufhält (Ziff. 2). Weiter verlangte der Vater, der Vormund sei zu verpflichten, umfassende Rechenschaft über V._s finanzielle Verhältnisse für die Zeit seit ihrer Mündigkeit (14. Mai 2004) einzuholen bzw. abzulegen, insbesondere über Einnahmen und Ausgaben, allfällige Einnahmenüberschüsse sowie über das zwischenzeitlich daraus geäufnete Mündelvermögen; eventualiter sei für den Fall, dass das Amt des Vormundes Y._ übertragen werden sollte, ein neutraler Beistand einzusetzen, der die beantragten Abklärungen für die Zeit von V._s Mündigkeit bis zur Anordnung der Vormundschaft vorzunehmen und Rechenschaft abzulegen hat. Ferner seien in diesem Fall Massnahmen zum Schutze des Mündelvermögens anzuordnen (Ziff. 3). Schliesslich sei der Vormund zu verpflichten, jährlich Bericht zu erstatten und detailliert Rechenschaft abzulegen, insbesondere über Einnahmen und Ausgaben, zwischenzeitliche Veränderungen, allfällige Einnahmenüberschüsse sowie das zwischenzeitlich daraus geäufnete Mündelvermögen (Ziff. 4).
C.b In der Folge führte das Bezirksgericht einen Schriftenwechsel und am 12. November 2009 eine Parteiverhandlung durch. Schliesslich erachtete es sich aber als sachlich nicht zuständig und überwies die Akten mit Verfügung vom 6. Juli 2010 an die Vormundschaftskammer des Bezirks Östlich-Raron. Diese bestätigte am 8. März 2011 den Entscheid des Vormundschaftsamtes vom 10. Februar 2009. Die Begehren Ziff. 1 und 2 betreffend die Bestellung eines neutralen Vormunds und das direkte Auskunftsrecht wies die Vormundschaftskammer ab; auf die Begehren Ziff. 3 und 4 betreffend die Rechenschaftsablegung für die Zeit seit V._s Mündigkeit und die jährliche Berichterstattung und Rechenschaftsablegung trat sie mangels sachlicher Zuständigkeit nicht ein.
D. Gegen diesen Entscheid legte X._ am 7. April 2011 Berufung beim Kantonsgerichts Wallis ein. Er wiederholte seine Rechtsbegehren an die Vormundschaftskammer (Bst. C.a). Hinsichtlich der Ernennung eines neutralen Vormunds stellte er zusätzlich den Eventualantrag, die Sache zu diesem Zweck an das Vormundschaftsamt zurückzuweisen. Den Antrag betreffend die Verpflichtung des Vormunds zur umfassenden Rechenschaftsablegung über V._s finanzielle Verhältnisse seit ihrer Mündigkeit (vgl. "Ziff. 3" in Bst. C.a) ergänzte er dahingehend, dass der Vormund bzw. der eventualiter einzusetzende Beistand zu verpflichten sei, die sich aus den beantragten Abklärungen ergebenden Ansprüche von V._ geltend zu machen und durchzusetzen. Hinsichtlich des Nichteintretensentscheids der Vormundschaftskammer (s. Bst. C.b) ersuchte er darum, das Berufungsverfahren eventualiter an die Vormundschaftskammer zurückzuweisen, damit diese das Verfahren an das Kantonsgericht Wallis überweise. Das Kantonsgericht Wallis wies die Berufung ab, soweit es darauf eintrat (Urteil vom 18. Oktober 2011).
E. E.a Mit Beschwerde vom 18. November 2011 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 18. Oktober 2011, Ziff. 1, 2 und 4 des Entscheids der Vormundschaftskammer des Bezirks Östlich-Raron vom 8. März 2011 sowie Ziff. 1 des Entscheids des Interkommunalen Vormundschaftsamts des Bezirks Östlich-Raron vom 10. Februar 2009 aufzuheben und die Sache an das Vormundschaftsamt zurückzuweisen, verbunden mit der Anweisung, eine neutrale Drittperson als Vormund für V._ zu ernennen (Anträge Nr. 1-3). Im Weiteren wiederholt er seinen Antrag, wonach ihm ein direktes Auskunftsrecht zuzuerkennen sei (Antrag Nr. 4; vgl. "Ziff. 2" in Bst. C.a). In seinem Antrag Nr. 5 betreffend die Verpflichtung des Vormunds zur umfassenden Rechenschaftsablegung über V._s finanzielle Verhältnisse seit ihrer Mündigkeit wiederholt er, was er bereits vor dem Kantonsgericht beantragt hatte (vgl. "Ziff. 3" in Bst. C.a sowie Bst. D). Schliesslich wiederholt er auch das Begehren, wonach der Vormund zur jährlichen Berichterstattung und Rechenschaftsablegung zu verpflichten sei (Antrag Nr. 6; vgl. "Ziff. 4" in Bst. C.a). In prozessualer Hinsicht ersucht er darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
E.b Auf Einladung hin, sich zum Gesuch um aufschiebende Wirkung vernehmen zu lassen, beantragte Y._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) dessen Abweisung. In ihrer Eingabe vom 1. Dezember 2011 äusserte sie sich unaufgefordert auch zur Sache und reichte ein paar Schriftstücke ein. Das Kantonsgericht teilt mit, es nehme nicht Stellung. Mit Verfügung vom 16. Dezember 2011 erkannte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu.
E.c In ihrer Stellungnahme zur Sache vom 25. Februar 2012 schliesst die Beschwerdegegnerin sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde und lässt dem Bundesgericht weitere Dokumente zukommen. Das Vormundschaftsamt äusserte sich nicht zum Ausgang des Verfahrens. Das Kantonsgericht verwies auf den angefochtenen Entscheid. Die Vernehmlassungen wurden den Parteien zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 216; <ref-ruling> E. 1 S. 117, je mit Hinweisen).
1.2 Binnen Frist ficht der Beschwerdeführer den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz über die Ernennung eines Vormundes und andere vormundschaftliche Massnahmen an, also einen öffentlich-rechtlichen Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht und eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit zum Gegenstand hat (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6, Art. 75, 90 und 100 BGG).
1.3 Der Beschwerdeführer wehrt sich zur Hauptsache dagegen, dass die Beschwerdegegnerin zu V._s Vormundin ernannt bzw. die entmündigte Tochter wieder unter die elterliche Sorge ihrer Mutter gestellt wird. Dass er in dieser Angelegenheit auch zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt wäre, ergibt sich entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, aber nicht schon aus <ref-law>, wonach jedermann, der ein Interesse hat, die Wahl des Vormundes als gesetzeswidrig anfechten kann. Das Recht zur Beschwerde an das Bundesgericht richtet sich allein nach dem Bundesgerichtsgesetz. Es setzt namentlich voraus, dass der Beschwerdeführer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (<ref-law>). Diese Voraussetzungen sind erfüllt. Als Vater ist der Beschwerdeführer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt. Er hat ein schutzwürdiges Interesse an der Klärung der Frage, ob die Ernennung der Beschwerdegegnerin zur Vormundin rechtens ist. Auf die Beschwerde ist somit grundsätzlich einzutreten.
1.4 In rechtlicher Hinsicht sind im ordentlichen Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>), das heisst es prüft behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) mit freier Kognition. Hingegen legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann die Beschwerdeführerin lediglich einwenden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2. S. 252 mit Hinweisen), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Urteil 5A_374/2020 vom 9. Juli 2010 E. 1), insbesondere auf der Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift (<ref-ruling>, E. 1.4.3 S. 255). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von <ref-law>, die dem Richter geradezu ins Auge springen (<ref-ruling>, E. 1.4.3 S. 255).
Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt ausserdem das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2. Streitig ist zur Hauptsache die Frage, ob die Beschwerdegegnerin geeignet sei, wieder die elterliche Sorge über ihre entmündigte Tochter V._ auszuüben. Der Beschwerdeführer stellt diesbezüglich den Antrag, das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben (Antrag Nr. 1), allenfalls verbunden mit dem Begehren, die Sache an das Vormundschaftsamt zurückzuweisen, damit dieses eine neutrale Drittperson als Vormund ernenne (Antrag Nr. 2). Weil das Bundesgericht im Falle einer Gutheissung der Beschwerde V._s neuen Vormund ohnehin nicht selbst wählen könnte, erweist sich dieser blosse Aufhebungs- und Rückweisungsantrag im vorliegenden Fall als ausreichend (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.).
2.1 Die so genannte fortgesetzte, erstreckte oder verlängerte elterliche Sorge tritt nach <ref-law> bei der Entmündigung mündiger Kinder in der Regel an die Stelle der Vormundschaft. Die Eltern haben keinen Anspruch auf die Übertragung des Sorgerechts (HÄFELI, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch, 4. Aufl. 2010, N 29 zu <ref-law>). Vielmehr setzt auch die erstreckte elterliche Sorge voraus, dass die Eltern zur Ausübung des Sorgerechts geeignet erscheinen (Urteil 5A_710/2011 vom 14. Dezember 2011 E. 4.1.2; 5A_291/2010 vom 1. Juni 2010 E. 3; JULMY, Die elterliche Gewalt über Entmündigte, Freiburg 1991, S. 50 ff.). Oberster Massstab ist dabei - wie überhaupt im Vormundschaftsrecht - die Wahrung des Wohls des Schutzbedürftigen. Die Eignung der Eltern ist demzufolge nur dann gegeben, wenn diese in ihrer Person die Verwirklichung des Wohls ihres Kindes zu garantieren scheinen (vgl. DISCHLER, Die Wahl des geeigneten Vormundes, 1984, S. 118; ähnlich JULMY, a.a.O., S. 51). Bei der Bestellung des Vormunds besteht in Analogie zum Verwandtenvorrecht (<ref-law>) allerdings eine Vermutung, dass dem entmündigten Kind mit der Unterstellung unter die elterliche Sorge am besten gedient sei, und aufgrund der Subsidiarität des Vormundschaftsrechts ein Vorrang der Eltern, wenn die erstreckte elterliche Sorge eine gleichwertige Lösung zur Vormundschaft ist (Urteil 5A_710/2011 vom 14. Dezember 2011 E. 4.1.1; 5A_291/2010 vom 1. Juni 2010 E. 3 mit Hinweisen). Stellt sich die Frage der fortgesetzten elterlichen Sorge allerdings im Kontext geschiedener Eltern, so kommt nach der Rechtsprechung jedenfalls die gemeinsame elterliche Sorge beider Eltern nicht mehr in Frage; vielmehr ist dem entmündigten Kind diesfalls in aller Regel ein Vormund zu bestellen (Urteil 5A_710/2011 vom 14. Dezember 2011 E. 4.1.2).
Mit Blick auf ihren Entscheid hat sich die Vormundschaftsbehörde zunächst alle notwendigen Informationen zu verschaffen, die zur Beurteilung der Eignung der Eltern relevant sind (vgl. DISCHLER, a.a.O., S. 47). Ob der Sachverhalt richtig und vollständig abgeklärt wurde, ist eine Tatfrage bzw. eine Frage der Beweiswürdigung; diesbezüglich kann das Bundesgericht nur bei schweren Fehlern einschreiten (E. 1.4). Frei prüft es demgegenüber die Rechtsfrage, ob gestützt auf die festgestellten Fakten die Eignung zu bejahen oder zu verneinen sei. Auf den einmal gefällten Entscheid betreffend die erstreckte elterliche Sorge kann die Vormundschaftsbehörde nachträglich zurückkommen; ebenso kann sie diesen abändern, wobei es hierfür nicht etwa ein Verschulden der Eltern braucht, sondern blosses Ungenügen ausreicht (s. Urteil 5A_710/2011 vom 14. Dezember 2011 E. 4.1.2; 5A_291/2010 vom 1. Juni 2010 E. 3; vgl. auch Urteil 5A_7/2010 vom 19. Februar 2010 E. 2.1 sowie <ref-law>). Bei alledem ist zu beachten, dass die Vormundschaftsbehörde in diesem Bereich über ein grosses Ermessen verfügt (<ref-law>; Urteil 5A_710/2011 vom 14. Dezember 2011 E. 4.1.2). Solche Ermessensentscheide überprüft das Bundesgericht mit Zurückhaltung. Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Rechtsprechung und Lehre anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie Umstände nicht in Betracht gezogen hat, die hätten beachtet werden müssen. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 51 und 130 III 571 E. 4.3 S. 576, je mit Hinweisen).
2.2 Das Kantonsgericht hält fest, die Beschwerdegegnerin verfüge aufgrund ihrer familiären Verhältnisse, der beruflichen Ausbildung als Krankenschwester und der Nähe des Wohnsitzes sowie der bis anhin gemachten Erfahrungen über die notwendigen Voraussetzungen und Fähigkeiten, die für die persönliche Betreuung ihrer schwerstbehinderten Tochter erforderlich sind. Auch der Beschwerdeführer habe ausdrücklich erklärt, dass die Beschwerdegegnerin für die persönlich-medizinische Betreuung kompetent und geeignet ist. Diese Voraussetzungen seien entgegen dessen Darstellung auch in Bezug auf die Wahrung von V._s Vermögensinteressen gegeben, zumal es lediglich um die Verbuchung von Einnahmen und Ausgaben gehe und nicht um die Verwaltung eines grossen Vermögens, was seitens des Beschwerdeführers auch nicht behauptet werde; ebenso wenig mache dieser geltend, dass eine erhebliche Veränderung der Vermögensverhältnisse anstünde. Ernsthafte Gründe für eine Interessenkollision seien unter diesen Umständen nicht gegeben. Zudem böten die angeordnete Aufnahme eines Inventars und die Kontrolle der Jahresrechnungen alle zwei Jahre hinlänglichen Schutz des Kindesvermögens.
2.3 Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, er habe stets geltend gemacht, dass die faktische Verwaltung von V._s Vermögen durch die Beschwerdegegnerin nicht korrekt erfolgt sei. Weil sich diese weigere, vollständig Auskunft zu geben und zu Unrecht einbehaltene bzw. bezogene Beträge zurückzugeben, fehle ihr die nötige Vertrauenswürdigkeit und bestehe die Gefahr weiterer Interessenkonflikte. Das Kantonsgericht habe sich mit diesen Vorbringen nicht befasst und sei dadurch in Willkür verfallen. Insbesondere habe es die Beweisergebnisse aus dem Instruktionsverfahren vor dem Bezirksgericht (s. Bst. C) überhaupt nicht beachtet, obwohl er sich auf diese berufen und die mangelnde Eignung der Beschwerdegegnerin als Vormundin geltend gemacht habe. Darin liege eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. eine Rechtsverweigerung. Nach der Darstellung des Beschwerdeführers soll die Beschwerdegegnerin dem Bezirksgericht trotz entsprechender Aufforderungen nur unvollständige Angaben über die finanziellen Verhältnisse ihrer Tochter seit deren Mündigkeit (Mai 2004) gemacht haben. Das bezirksgerichtliche Verfahren habe ergeben, dass V._ ihre Lebenshaltungskosten seit September 2005 vollumfänglich mit den Invalidenrenten, Ergänzungsleistungen und Hilflosenentschädigungen aus ihrem eigenen Bankkonto bestreiten konnte. Daher könne es gar keine Ausgaben mehr gegeben haben, die mit den Unterhaltsbeiträgen hätten gedeckt werden müssen, die er zwischen Mai 2004 und Januar 2009 in der Höhe von insgesamt Fr. 45'600.-- der Beschwerdegegnerin direkt bezahlt habe. Trotzdem weigere sich die Beschwerdegegnerin, diesen Betrag auf V._s Konto zu überweisen. Auch die Hilflosenentschädigungen habe sie teilweise selbst vereinnahmt, ohne darüber abzurechnen. Dazu kämen weitere namhafte Beträge, welche die Beschwerdegegnerin V._s Konto belastet habe, ohne diese Bezüge rechtfertigen zu können. Wenn das Kantonsgericht einen Interessenkonflikt der Beschwerdegegnerin schliesslich allein deshalb verneine, weil V._s finanzielle Verhältnisse nicht kompliziert seien, argumentiere es willkürlich, denn auf die Komplexität der Vermögensverwaltung komme es nicht an.
2.4 Die Art und Weise, wie sich das Kantonsgericht mit einer pauschalen Aussage über die Eignung und Kompetenz der Beschwerdegegnerin begnügt, erweckt in Anbetracht der Vorbringen des Beschwerdeführers in der Tat Bedenken.
2.4.1 Die blosse Tatsache, dass die Beschwerdegegnerin in der Zeit, als es an einer gesetzlichen Vertretung gänzlich fehlte, über V._s finanzielle Belange nicht so gründlich und sauber Buch führte, wie der Beschwerdeführer es sich als Gemeindekassier vielleicht gewünscht hätte, ist für sich allein genommen zwar noch kein Grund, ihr die Eignung als gesetzliche Vertreterin abzusprechen. Es darf nicht vergessen werden, dass die familienrechtlichen Unterhaltsbeiträge, über deren Verwendung bzw. Verbleib sich der Beschwerdeführer sorgt, grundsätzlich nicht dazu dienen, ein "Mündelvermögen" anzuhäufen. Vielmehr sind diese Alimente, genauso wie die Leistungen der Sozialversicherungen, zuallererst dazu bestimmt, verbraucht zu werden, und zwar zur Deckung von V._s laufenden Bedürfnissen. Ebenso ist zu beachten, dass den Eltern die Eignung zur gesetzlichen Vertretung in finanziellen Belangen nicht ohne Not abzusprechen ist, wenn die Einkommens- und Vermögensverhältnisse - wie hier - nicht besonders kompliziert sind und es im Wesentlichen, wie auch der Beschwerdeführer einräumt, um die Verbuchung von Einnahmen und Ausgaben geht, ohne dass ein eigentliches "Vermögen" zu verwalten wäre. Allein daraus folgt aber keineswegs, dass die zuständige Behörde sich im Hinblick auf den finanziellen Aspekt der erstreckten elterlichen Sorge nicht die erforderlichen Informationen verschaffen müsste, die zur Beurteilung der Eignung von Bedeutung sind. Vielmehr kommt im Rahmen der Eignungsprüfung gerade der Fähigkeit zur Vermögensverwaltung im besten Interesse des Schutzbefohlenen besondere Bedeutung zu. Der Grund hierfür liegt darin, dass das Amt der Eltern zeitlich nicht befristet ist, die Vermögensverwaltung sich der behördlichen Kontrolle weitgehend entzieht und die Weisungsbefugnis der vormundschaftlichen Behörden grundsätzlich entfällt (JULMY, a.a.O., S. 98 ff. und 129 ff.; DERSELBE, Quelques aspects pratiques de l'autorité parentale prolongée [art. 385 al. 3 CC] en rapport avec l'autorité tutélaire, in: Revue fribourgeoise de jurisprudence 1996, S. 20 ff.; vgl. Urteil 5A_291/2010 vom 1. Juni 2010 E. 3).
2.4.2 Unter anderem wies der Beschwerdeführer das Kantonsgericht gestützt auf die im Recht liegenden Unterlagen darauf hin, dass die Beschwerdegegnerin in der Zeit von 2006 bis 2008 von V._s Konto unter dem Titel "Miete" regelmässig Geldbeträge zwischen Fr. 200.-- und Fr. 600.--, insgesamt Fr. 7'200.--, an U._, den Vater ihres jüngsten Kindes W._, überwiesen hatte. Weshalb V._ für die gelegentlichen Besuchsaufenthalte bei der Beschwerdegegnerin einen "Mietzins" hätte bezahlen müssen, habe diese nicht begründet. Das Kantonsgericht setzt sich mit diesem Vorbringen überhaupt nicht auseinander. Dazu hatte es aber allen Grund: Die Beschwerdegegnerin erklärt ausdrücklich, der Unterhaltsbeitrag für ihre Tochter von monatlich Fr. 800.-- sei ihr auf ihr eigenes Konto überwiesen worden. Nachdem aber in einem Kinderunterhaltsbeitrag praxisgemäss auch ein Wohnkostenanteil für das Kind enthalten ist, liegt nicht ohne Weiteres auf der Hand, weshalb die Beschwerdegegnerin noch zusätzlich einer speziellen Entschädigung für "Miete" in der Höhe von monatlich ca. Fr. 300.-- bedurft hätte. Mit Blick auf die Prüfung der Eignung der Beschwerdegegnerin als Inhaberin der erstreckten elterliche Sorge hätte das Kantonsgericht der geltend gemachten Auffälligkeit in erkennbarer Weise nachgehen müssen. Ähnlich verhält es sich mit den Vorbringen des Beschwerdeführers, die Beschwerdegegnerin habe von V._s Konto einen Betrag von insgesamt Fr. 6'435.35 an sich selbst überwiesen, ohne diese Bezüge plausibel rechtfertigen zu können, und diesem Konto Arztrechnungen im Betrag von Fr. 2'574.80 sowie Ausgaben für Hilfsmittel in der Höhe von Fr. 4'855.80 belastet, obwohl diese Kosten von der Krankenkasse und der Invalidenversicherung übernommen wurden; der Nachweis der angeblich erfolgten Rückvergütungen sei nie erfolgt.
2.4.3 Gerade die Unfähigkeit eines Elternteils, über Bezüge zu Lasten seines zu entmündigenden erwachsenen Kindes Rechenschaft abzulegen, ist aber ein Umstand, welcher der Unterstellung des Kindes unter die fortgesetzte elterliche Sorge dieses Elternteils entgegenstehen kann (s. Urteil 5A_710/2011 vom 14. Dezember 2011 E. 4.2). Dessen ungeachtet äussert sich das Kantonsgericht mit keinem Wort dazu, weshalb es sich gerade im vorliegenden Fall erübrigt hätte, der Kritik des Beschwerdeführers an der Buchhaltung der Beschwerdegegnerin nachzugehen. Zwar kann ein Gericht im Sinne einer so genannten vorweggenommenen (antizipierten) Beweiswürdigung auf die Abnahme weiterer Beweise verzichten, wenn es zur Überzeugung gelangt, ein bestimmter Sachverhalt sei als erwiesen zu betrachten und weitere Beweismassnahmen vermöchten an diesem Ergebnis nichts mehr zu ändern. Daran ändert sich auch nichts unter der Herrschaft der Untersuchungsmaxime (Urteil 5A_361/2010 vom 10. September 2010 E. 4.2.1; 5C.22/2005 vom 13. Mai 2005 E. 2.2, publ. in: FamPra.ch 2005, S. 951 f.). Dass das Kantonsgericht über hinreichende Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung verfügt hätte und aus diesem Grund nicht näher auf die verschiedenen Vorbringen des Beschwerdeführers eingegangen ist, lässt der angefochtene Entscheid jedoch nicht erkennen. Der blosse Hinweis auf V._s einfache finanzielle Verhältnisse vermag schon aus den dargelegten Gründen (E. 2.4.1) nicht zu überzeugen.
2.5 Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als begründet, soweit der Beschwerdeführer dem Kantonsgericht vorwirft, es habe sich mit den geltend gemachten Unregelmässigkeiten nicht befasst und damit den rechtserheblichen Sachverhalt nicht richtig bzw. nicht vollständig abgeklärt. Der angefochtene Entscheid gibt Anlass zur Befürchtung, dass das Kantonsgericht im Rahmen der Prüfung der elterlichen Sorge die Bedeutung unterschätzt hat, die der Fähigkeit der Eltern zur Wahrung der Vermögensinteressen des entmündigten Kindes auch in einfachen Einkommens- und Vermögensverhältnissen zukommt. Damit ist aber keineswegs gesagt, dass die Beschwerdegegnerin zur Führung des Amtes der elterlichen Sorge über V._ nicht geeignet wäre. Vielmehr wird das Interkommunale Vormundschaftsamt des Bezirkes Östlich-Raron den Sachverhalt bezüglich der übergangenen Vorbringen ergänzend abzuklären haben. Dem weiteren Vorwurf, das Kantonsgericht habe im Berufungsverfahren gewisse Rügen ignoriert und damit "eine Rechtsverweigerung begangen", kommt keine eigenständige Bedeutung zu.
3. Der Beschwerdeführer verlangt auch vor Bundesgericht, es sei ihm ein direktes Auskunftsrecht zuzuerkennen und der einzusetzende Vormund sei zur umfassenden Rechenschaftsablegung über V._s finanzielle Verhältnisse seit ihrer Mündigkeit zu verpflichten (Anträge Nrn. 4 und 5, s. Bst. E.a). Hinsichtlich des zuletzt erwähnten Begehrens erscheint fraglich, ob es in Anbetracht der teilweisen Gutheissung der Beschwerde (E. 2) nicht gegenstandslos geworden ist, zumal das Vormundschaftsamt in der Hauptsache ohnehin einen neuen Entscheid zu treffen haben wird. Die Frage kann aber offenbleiben, wie sich aus den folgenden Erwägungen ergibt:
3.1 Das Kantonsgericht erwog, da der Beschwerdeführer vor dem Vormundschaftsamt keine den Berufungsanträgen 3 und 4 entsprechenden Anträge gestellt habe, fehle darüber der Entscheid des Vormundschaftsamtes; aus diesem Grund sei auf diese Berufungsanträge nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer wendet ein, er habe die Anträge betreffend Auskunftsrecht und Abklärung der Verhältnisse zwischen Mündigkeit und Entmündigung schon anlässlich der Anhörung vom 30. Oktober 2008 vor dem Vormundschaftsamt (Bst. B.b) gestellt und später auch beanstandet, dass seine Begehren nicht protokolliert worden waren. Die Einsetzung eines neutralen Beistands zu verlangen, habe er zu diesem Zeitpunkt noch gar keinen Anlass gehabt, da er zunächst um Einsetzung eines neutralen Vormunds ersucht habe. Im Übrigen habe erst das Instruktionsverfahren vor dem Bezirksgericht (Bst. C.b) die Unregelmässigkeiten in der Vermögensverwaltung der Beschwerdegegnerin zutage gefördert. Von ihm zu verlangen, "er solle halt wieder von vorn beginnen", wäre nicht nur krass "verfahrensunökonomisch", sondern würde auch "diametral gegen die Interessen des Mündels verstossen". Im Ergebnis basiere das Nichteintreten auf die Berufungsanträge Ziff. 3 und 4 auf einer offensichtlich falschen Sachverhaltsfeststellung und erweise sich selbst als willkürlich.
3.2 Weder die Vormundschaftskammer noch das Kantonsgericht ist auf die streitigen Rechtsbegehren eingetreten. Mithin fehlt es diesbezüglich an einem materiellen kantonalen Entscheid. Unter diesen Umständen kann auch das Bundesgericht in der Sache selbst nicht entscheiden. Insofern ist auf die Anträge Nr. 4 und 5 nicht einzutreten. Immerhin rügt der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdebegründung aber, das Kantonsgericht sei auf seine Berufungsanträge zu Unrecht nicht eingetreten (s. E. 3.1). Diese Rüge ist nun zu prüfen.
3.2.1 Das Rechtsmittelverfahren vor dem Kantonsgericht unterstand, auch wenn der Entscheid der Vormundschaftskammer am 3. März 2011 eröffnet wurde, nicht der am 1. Januar 2011 in Kraft getretenen Schweizerischen Zivilprozessordnung vom 19. Dezember 2008 (ZPO, SR 272). Zwar betrifft der vormundschaftliche Entscheid eine Angelegenheit der freiwilligen Gerichtsbarkeit. In solchen Angelegenheiten regelt die ZPO das Verfahren vor den kantonalen Instanzen jedoch nur für gerichtliche Anordnungen (<ref-law>). Entgegen dem, was der angefochtene Entscheid glauben machen will, gilt die ZPO also nicht für Verfahren, die - wie im vorliegenden Fall - in die Zuständigkeit einer kantonalen Verwaltungsbehörde, hier der Vormundschaftsbehörde fallen (Urteil 5A_582/2011 vom 3. November 2011 E. 3.3 mit Hinweis). Immerhin bleibt es den Kantonen im Rahmen des Zivilgesetzbuches unbenommen, auch solche Verfahren der ZPO zu unterstellen (Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7257). Diesfalls wenden die Kantone die Vorschriften der ZPO aber nicht als Bundesrecht, sondern als kantonales Recht an (Urteil 4A_375/2008 vom 18. November 2008 E. 2.1 mit Hinweisen). Auch wenn die Walliser Gesetzgebung für das Verfahren vor dem Kantonsgericht die Vorschriften der Schweizerischen Zivilprozessordnung für anwendbar erklären sollte, ist die Frage, ob und gegebenenfalls unter welchen Voraussetzungen das Kantonsgericht bezüglich der Berufungsanträge 3 und 4 auf einer Ausschöpfung des Instanzenzuges beharren durfte oder auf diese Begehren hätte eintreten müssen, daher eine solche des kantonalen Rechts.
3.2.2 Unter Vorbehalt der kantonalen verfassungsmässigen Rechte (<ref-law>), der kantonalen Bestimmungen über die politische Stimmberechtigung der Bürgerinnen und Bürger und über Volkswahlen und -abstimmungen (<ref-law>) und des interkantonalen Rechts (<ref-law>) ist die Verletzung des kantonalen Rechts kein Beschwerdegrund. Der Beschwerdeführer kann lediglich die Rüge erheben, die Anwendung des kantonalen Rechts durch die Vorinstanz verletze das Bundesrecht im Sinne von <ref-law> - namentlich das Willkürverbot (<ref-law>) oder andere verfassungsmässige Rechte - oder das Völkerrecht im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 466; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.). Soweit die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht wird, gilt - wie bereits erwähnt - das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; E. 1.4).
3.2.3 Der Beschwerdeführer beanstandet den Nichteintretensentscheid des Kantonsgerichts zwar als willkürlich (E. 3.1). Dass das Kantonsgericht, indem es eine Verkürzung des Instanzenzuges bezüglich der streitigen Rechtsbegehren nicht akzeptierte, eine einschlägige Verfahrensvorschrift willkürlich angewendet hätte, behauptet er jedoch nicht einmal. Stattdessen wirft er dem Kantonsgericht eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung (E. 3.1). Auch diese Rüge vermag jedoch nicht zu überzeugen: Selbst wenn der Beschwerdeführer die streitigen Anträge schon vor dem Vormundschaftsamt gestellt haben sollte und diese entgegen seinem schriftlichen Insistieren nachträglich nicht protokolliert worden sein sollten, tut er jedenfalls nicht in einer dem Rügeprinzip genügenden Weise dar, welche Vorschriften durch die Nichtberücksichtigung seines Protokollberichtigungsgesuchs verletzt worden wären. Im Ergebnis kann das Bundesgericht auf die Beschwerde auch insofern nicht eintreten, als darin geltend gemacht wird, das Kantonsgericht hätte auf die Berufungsanträge 3 und 4 eintreten müssen.
4. Gestützt auf die vorstehenden Erwägungen ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und zur ergänzenden Tatsachenfeststellung und neuem Entscheid an das Interkommunale Vormundschaftsamt des Bezirks Östlich-Raron zurückzuweisen (<ref-law>). Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, die Gerichtsgebühr vor Bundesgericht den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen, wobei hinsichtlich des Verfahrens um Erteilung der aufschiebenden Wirkung keine Gerichtskosten ausgeschieden werden, und die Parteikosten wettzuschlagen, so dass jede Partei die eigenen Parteikosten für das bundesgerichtliche Verfahren selbst trägt (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird das Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 18. Oktober 2011 aufgehoben. Die Sache wird zu neuem Entscheid an das Interkommunale Vormundschaftsamt des Bezirks Östlich-Raron zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3. Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Interkommunalen Vormundschaftsamt des Bezirks Östlich-Raron und dem Kantonsgericht des Kantons Wallis, I. zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn