Sachverhalt:
A. X._ ist Eigentümer des direkt am See liegenden und mit einem Chalet überbauten Grundstücks Nr. 223 in der Gemeinde Weggis. Er beabsichtigt, das Chalet abzubrechen und an dessen Stelle ein neues Einfamilienhaus zu bauen. Auf ein entsprechendes Baugesuch von X._ hin erteilte die Dienststelle Raumentwicklung, Wirtschaftsförderung und Geoinformation des Kantons Luzern (Dienststelle rawi) die raumplanungsrechtliche Ausnahmebewilligung für das Bauvorhaben auf dem ausserhalb der Bauzone liegenden Grundstück. Am 5. November 2008 erteilte der Gemeinderat Weggis die Baubewilligung und wies gleichzeitig die von Y._ sowie Z._, beide Eigentümer benachbarter Grundstücke, erhobenen Einsprachen gegen das Bauprojekt ab.
B. Gegen die Entscheide des Gemeinderats Weggis und der Dienststelle rawi gelangten Y._ und Z._ am 3. Dezember 2008 gemeinsam an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, welches mit Urteil vom 30. September 2009 auf die Beschwerde nicht eintrat, weil Y._ und Z._ nicht zur Beschwerde legitimiert seien. Eine von Y._ und Z._ dagegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hiess das Bundesgericht gut (Urteil 1C_500/2009 vom 1. Februar 2010). Es hob das Urteil des Verwaltungsgerichts auf und wies die Angelegenheit zu neuer Beurteilung an dieses zurück.
C. Am 20. April 2010 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die von Y._ und Z._ am 3. Dezember 2008 erhobene Beschwerde gut. Es stellte fest, dass das Bauvorhaben in der vorgesehenen Weise ausserhalb der Bauzone nicht bewilligt werden könne, und hob die Entscheide des Gemeinderats Weggis und der Dienststelle rawi auf.
D. Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. April 2010 hat X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Baubewilligung des Gemeinderats Weggis sowie die Bewilligung der Dienststelle rawi seien zu bestätigen.
E. Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde. Y._ und Z._ beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Gemeinderat Weggis teilt mit, dass nach seiner Beurteilung mit dem geplanten Ersatzbau hinsichtlich des Aspekts der Eingliederung eine Verbesserung erzielt würde. Die Dienststelle rawi verzichtet unter Hinweis auf die Vorakten auf eine Stellungnahme. Das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) beantragt die Abweisung der Beschwerde.
F. Im weiteren Schriftenwechsel halten der Beschwerdeführer und die Beschwerdegegner an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist als direkt Betroffener zur Beschwerde legitimiert (vgl. <ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde (vorbehältlich rechtsgenügender Rügen; Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>) einzutreten.
2. Das Grundstück des Beschwerdeführers liegt gemäss Zonenplan der Gemeinde Weggis im "übrigen Gebiet" und damit ausserhalb der Bauzone. Das geplante Bauprojekt entspricht somit unbestrittenerweise nicht dem Zweck der Nutzungszone, weshalb es nur unter den Voraussetzungen von Art. 24 ff. RPG (SR 700) bewilligt werden könnte (vgl. Art. 22 Abs. 2 lit. a RPG). Während die Bewilligungsbehörden für das geplante Bauprojekt gestützt auf Art. 24c RPG die ersuchte Baubewilligung erteilt hatten, kam die Vorinstanz zum Schluss, dass das Bauvorhaben nicht bewilligt werden könne. Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, die Vorinstanz habe damit Art. 24c RPG i.V.m. <ref-law> (SR 700.1) verletzt.
3. 3.1 Gemäss Art. 24c Abs. 1 RPG werden bestimmungsgemäss nutzbare Bauten und Anlagen ausserhalb der Bauzonen, die nicht mehr zonenkonform sind, in ihrem Bestand grundsätzlich geschützt (Art. 24c Abs. 1 RPG). Art. 24c RPG ist anwendbar auf Bauten und Anlagen, die seinerzeit in Übereinstimmung mit dem materiellen Recht erstellt oder geändert wurden, durch die nachträgliche Änderung von Erlassen oder Plänen jedoch zonenwidrig geworden sind (<ref-law>). "Seinerzeit" erstellte Bauten und Anlagen sind in erster Linie solche, die vor dem 1. Juli 1972 erstellt wurden (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 398). Solche Bauten und Anlagen können mit Bewilligung der zuständigen Behörde erneuert, teilweise geändert, massvoll erweitert oder wiederaufgebaut werden, sofern sie rechtmässig erstellt oder geändert worden sind. In jedem Fall bleibt die Vereinbarkeit mit den wichtigen Anliegen der Raumplanung vorbehalten (Art. 24c Abs. 2 RPG).
3.2 Der Bundesrat hat in <ref-law> die zulässigen Änderungen im Sinne von Art. 24c Abs. 2 RPG konkretisiert. Nach <ref-law> sind Änderungen zulässig, wenn die Identität der Baute oder Anlage einschliesslich ihrer Umgebung in den wesentlichen Zügen gewahrt bleibt. Verbesserungen gestalterischer Art sind zulässig. Ob die Identität der Baute im Wesentlichen gewahrt bleibt, ist gemäss <ref-law> unter Würdigung der gesamten Umstände zu beurteilen. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts zu Art. 24 Abs. 2 aRPG, welche weiterhin anwendbar ist (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 219), ist darauf abzustellen, ob die Änderung bei einer Gesamtbetrachtung von untergeordneter Natur ist. Die Wesensgleichheit der Baute muss hinsichtlich Umfang, äusserer Erscheinung sowie Zweckbestimmung gewahrt werden und es dürfen keine wesentlichen neuen Auswirkungen auf die Nutzungsordnung, Erschliessung und Umwelt geschaffen werden (<ref-ruling> E. 3a S. 218 f. mit Hinweisen).
3.3 Die Identität der Baute ist jedenfalls dann nicht mehr gewahrt, wenn die Bruttogeschossfläche innerhalb des bestehenden Gebäudevolumens um mehr als 60 Prozent erweitert wird (<ref-law>). Ist eine Erweiterung innerhalb des bestehenden Gebäudevolumens nicht möglich oder nicht zumutbar, so kann sie ausserhalb erfolgen. Die gesamte Erweiterung darf in diesem Fall weder 30 Prozent der zonenwidrig genutzten Fläche noch 100 m2 überschreiten, wobei die Erweiterungen innerhalb des bestehenden Gebäudevolumens nur halb angerechnet werden (<ref-law>).
3.4 Nach <ref-law> darf ein Gebäude wieder aufgebaut werden, wenn es im Zeitpunkt der Zerstörung oder des Abbruchs noch bestimmungsgemäss nutzbar war und an seiner Nutzung ein ununterbrochenes Interesse besteht. Ein Wiederaufbau liegt vor, wenn anstelle einer abgebrochenen oder zerstörten Baute oder Anlage eine neue errichtet wird. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung muss die neue Anlage dem alten Werk in Grösse und Nutzungsart ungefähr entsprechen. Sie darf daher höchstens eine teilweise Änderung mitumfassen (vgl. <ref-ruling> E. 3a). <ref-law> hält fest, dass das Gebäudevolumen nur so weit wieder aufgebaut werden darf, dass es die nach <ref-law> zulässigen Flächen umfassen kann, wobei <ref-law> im Falle eines Wiederaufbaus nicht anwendbar ist.
4. Vorliegend soll ein bestehendes Gebäude abgebrochen und wieder aufgebaut werden. Die Vorinstanz ging davon aus, dass das bestehende Wohnhaus ursprünglich rechtmässig erstellt und durch die nachträgliche Änderung von Erlassen oder Plänen zonenwidrig geworden ist, was von den Verfahrensbeteiligten nicht bestritten wird. Auch wird nicht bestritten, dass das Gebäude noch bestimmungsgemäss nutzbar ist und an seiner Nutzung ein ununterbrochenes Interesse besteht. Umstritten ist dagegen, ob mit der Realisierung des geplanten Bauprojekts die zonenwidrig genutzte Fläche um mehr als 30 % erweitert würde, was nach dem Gesagten per se dazu führen würde, dass es sich nicht um einen nach Art. 24c Abs. 2 RPG zulässigen Wiederaufbau handelte. Umstritten ist konkret, ob ein bestehender offener Autounterstand auf dem Grundstück mit einer Grundfläche von 21.6 m2 zur bestehenden nutzbaren Gesamtfläche zu zählen ist oder nicht.
4.1 Die Vorinstanz stellte diesbezüglich zunächst fest, dass sich auf dem Dach des auf zwei Seiten offenen Autounterstands ein eingeschossiger Gebäudeanbau befinde. Diese Konstruktion lasse den Autoabstellplatz als Element der gesamten Gebäudekonstruktion erkennen und nicht als isolierter, neben dem Wohngebäude stehender offener Autoeinstellplatz. Die Vorinstanz rechnete folglich die Fläche des Autounterstands zur bestehenden nutzbaren Gesamtfläche hinzu und kam zum Schluss, dass mit dem geplanten Bauprojekt die nutzbare Gesamtfläche um 28.4 % erweitert würde. Damit werde die quantitative Grenze von 30 % gemäss <ref-law> gewahrt, wenn auch nur knapp. Gleicher Ansicht wie die Vorinstanz ist in diesem Punkt der Beschwerdeführer.
4.2 Die Beschwerdegegner wenden dagegen ein, der offene Autounterstand dürfe nicht zur bestehenden nutzbaren Gesamtfläche dazugerechnet werden, weil er von der Wohnung her nicht direkt erschlossen sei und keine direkte Verbindung zur zonenwidrig genutzten Gebäudefläche bestehe. Überdies sei die Fläche des Autounterstands grösser als der darüber liegende eingeschossige Gebäudeanbau, was die Vorinstanz nicht beachtet habe. Zähle man die Fläche des bestehenden Autounterstands nicht zur bestehenden nutzbaren Gesamtfläche hinzu, führe die Realisierung des geplanten Bauprojekts zu einer Erweiterung der nutzbaren Gesamtfläche von 40.69 %, womit die quantitative Grenze der zulässigen Flächenerweiterung überschritten werde.
4.3 Das zur Stellungnahme eingeladene ARE äussert sich dahingehend, dass offene Bauteile im Flächenvergleich nach Art. 42 Abs. 3 lit. a und b RPV nicht fix einberechnet werden, sondern nach sachgerechter Beurteilung im Einzelfall angemessen berücksichtigt werden sollen. Ausdrücklich geregelt sei dies in seiner Vollzugsempfehlung zu Art. 24c RPG für neu geschaffene offene Bauteile. Das Gleiche müsse aber auch für bestehende offene Bauteile gelten. Ansonsten würde der Ersatz einer zweiseitig offenen Fläche durch einen geschlossenen Raum im Sinne der Flächenberechnung nach Art. 42 Abs. 3 lit. a und b RPV als neutral erscheinen, was nicht sachgerecht wäre. Im vorliegenden Fall wäre es nach Ansicht des ARE deshalb überzeugender, die Fläche des zweiseitig offenen Autounterstands nur zu einem im konkreten Fall festzulegenden Bruchteil (von vielleicht 3⁄4) an die bestehende nutzbare Gesamtfläche anzurechnen. Inhaltlich zum gleichen Resultat komme man, wenn man die Fläche des bestehenden Autounterstands zwar voll mitberücksichtigen, aber das Mass der zulässigen Erweiterung wegen des Umstands, dass der bisher offene Autounterstand in geschlossene Flächen überführt werden soll, angemessen reduzieren würde.
4.4 Wenn man entgegen der Empfehlung des ARE mit dem Beschwerdeführer und der Vorinstanz davon ausginge, dass die Fläche des auf zwei Seiten offenen Autounterstands voll zur bestehenden nutzbaren Gesamtfläche hinzuzurechnen wäre, würde die zonenwidrig genutzte Fläche mit der Realisierung des geplanten Bauprojekts nach verbindlicher Feststellung der Vorinstanz um 69.9 m2 bzw. 28.4 % erweitert, was gemäss <ref-law> nicht per se dazu führen würde, dass eine Bewilligung nach Art. 24c Abs. 2 RPG nicht erteilt werden könnte. Die Erweiterung der zonenwidrig genutzten Fläche wäre aber im Rahmen der von <ref-law> verlangten Würdigung der gesamten Umstände dennoch zu berücksichtigen. Kommen zu einer Erweiterung der zonenwidrig genutzten Fläche (von weniger als 30 %) nämlich noch weitere Umstände hinzu, welche die Identität der Baute oder Anlage einschliesslich ihrer Umgebung verändern, ist die Erweiterung der zonenwidrig genutzten Fläche bzw. das Mass dieser Erweiterung in die von <ref-law> verlangte Würdigung der gesamten Umstände einzubeziehen. Gleicher Ansicht ist im Ergebnis das ARE, wenn es unter Hinweis auf seine Vollzugsempfehlung zu Art. 24c RPG ausführt, dass das Mass der zulässigen Erweiterung angemessen reduziert werden müsse, wenn weitere, unter dem Aspekt der Wesensgleichheit massgebliche Aspekte der Identität einer Baute verändert würden.
4.5 Wie nachfolgend aufzuzeigen ist, führt vorliegend eine Würdigung der gesamten Umstände - unabhängig davon, ob mit dem Wiederaufbau des Gebäudes eine Erweiterung der zonenwidrig genutzten Fläche um nur 28.4 % oder mehr verbunden wäre - zum Ergebnis, dass mit der Realisierung des geplanten Bauprojekts die bestehende Baute nicht nur teilweise geändert bzw. massvoll erweitert würde (vgl. E. 5.1-5.6). Es kann daher offen bleiben, ob die Fläche des bestehenden auf zwei Seiten offenen Autounterstands nach <ref-law> ganz, teilweise oder gar nicht zur bestehenden nutzbaren Gesamtfläche zu zählen wäre. Immerhin kann festgehalten werden, dass, wenn man dem Vorschlag des ARE folgen und die Fläche des bestehenden Autounterstands zu 3⁄4 berücksichtigen würde, daraus eine Erweiterung der nutzbaren Gesamtfläche von 31.2 % resultierte, was dazu führen würde, dass es sich schon nach <ref-law> nicht mehr um einen nach Art. 24c Abs. 2 RPG zulässigen Wiederaufbau handelte.
5. Die Vorinstanz erachtete die Voraussetzungen für die Erteilung einer Bewilligung nach Art. 24c Abs. 2 RPG als nicht erfüllt, weil die Identität der Baute unter Würdigung der gesamten Umstände nicht im Wesentlichen gewahrt bleibe.
5.1 Die Vorinstanz führte dazu aus, die Bauherrschaft habe zwar glaubhaft bekräftigt, dass die bisherige Nutzungsweise als Zweitwohnsitz bzw. Wochenend- oder Ferienhaus nicht bzw. nicht in raumordnungsrelevanter Weise verändert werden solle, weshalb davon auszugehen sei, dass das projektierte Wohnhaus mit Bezug auf die Nutzungsweise die Identität wahre. Es müsse aber auch das äussere Erscheinungsbild des bestehenden und des geplanten Gebäudes gewürdigt werden. Ein Ersatzbau im Sinne von Art. 24c Abs. 2 RPG habe in gestalterischer Hinsicht in den wesentlichen Zügen die Identität des vorbestehenden Baukörpers zu wahren. Der Ersatzbau habe sich in Bezug auf die Gebäudeform und das Volumen am Altbau zu orientieren.
Beim bestehenden Gebäude handle es sich um ein Wohnhaus im traditionellen Chaletstil, welches über ein gemauertes Sockelgeschoss verfüge und zwei holzverkleidete Vollgeschosse sowie ein Dachgeschoss aufweise, wobei das Dach ein typisches Sattel- bzw. Giebeldach sei. Die Architektur des vorgesehenen Neubaus lasse dagegen jeglichen Bezug zum Chaletstil vermissen. Das Bauprojekt präsentiere sich als ein modernes dreigeschossiges Einfamilienhaus mit einem Flachdach. Damit werde deutlich, dass ein Gebäude geplant sei, das vom äusseren Erscheinungsbild her nicht auf die gleiche Stufe mit dem bestehenden Gebäude gestellt werden könne, und dass das vorgesehene Bauvorhaben die Grenzen der Wesensgleichheit sprenge. Das vorgesehene Einfamilienhaus lasse wesentliche Eckwerte der Identität, die für einen zulässigen Ersatzbau ausserhalb der Bauzone unabdingbar seien, ausser Acht. Damit stehe fest, dass das Bauvorhaben in der vorgesehenen Weise ausserhalb der Bauzone nicht bewilligt werden könne, weshalb Einwände bezüglich der Eingliederung der geplanten Baute unbehelflich seien und sich Ausführungen zu seitens der Bauherrschaft angeschnittenen weiteren baupolizeilichen Aspekten erübrigen würden.
5.2 Der Beschwerdeführer bezeichnet die Ausführungen der Vorinstanz zur Wesensgleichheit als formalistisch, pauschal und im Ergebnis unzutreffend. Die Vorinstanz berufe sich in ihren Erläuterungen zur Identität der bestehenden und der geplanten Baute auf eine zu enge Definition des Chaletstils. Durch die geplante Farbgestaltung erscheine auch der neue sichtbare Baukörper optisch als zweigeschossig mit einem darüberliegenden dunklen Attikageschoss. Die Vorinstanz scheine zu einem wichtigen Teil auch auf die Baumaterialien und Detailgestaltung abzustellen, wenn es dem Neubau die Wesensgleichheit mit dem bestehenden Bau vollständig abspreche. Angepasst werde zwar die Dachgestaltung. Dem Neubau die Wesensgleichheit allein aufgrund der Gestaltung des Daches abzusprechen widerspreche aber <ref-law>, wonach eine Gesamtwürdigung erforderlich sei. Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, der geplante Neubau gliedere sich besser in die Umgebung ein. Verbesserungen gestalterischer Art seien zulässig. Das Identitätserfordernis gehe nicht so weit, dass Verbesserungen ästhetischer Art verunmöglicht werden sollen. Die Eingliederung in die Umgebung sei ein wesentliches Element der Ästhetik einer Baute. Die Vorinstanz habe deshalb den Aspekt der Eingliederung zu Unrecht nicht berücksichtigt und damit ihr Ermessen ungerechtfertigterweise an die Stelle des Ermessens der Baubewilligungsbehörden gesetzt.
5.3 Für das ARE erscheint es vertretbar, bereits den Ersatz einer Baute im Chaletstil durch einen moderne Neubau an sich als Verletzung der Identität der Baute im Sinne von <ref-law> zu betrachten. Aber selbst wenn man weniger weit gehen wolle, müsse in diesem Wechsel des Stils zumindest eine Veränderung weiterer, unter dem Aspekt der Wesensgleichheit massgeblicher Aspekte der Identität gesehen werden, welche dazu führen müsste, dass mit dem Wiederaufbau keine oder höchstens eine geringfügige Erweiterung der Flächen verbunden werden dürfte.
5.4 Die Ausführungen der Vorinstanz zum veränderten äusseren Erscheinungsbild bzw. zur Architektur und zu der damit verbundenen Änderung der Identität der bestehenden Baute erscheinen überzeugend. Es wird daraus insbesondere ersichtlich, dass das geplante Bauprojekt bezüglich Gebäudeform, Stil und Gestaltung wesentlich vom bestehenden Gebäude abweicht. Dies zeigt auch ein Vergleich der Illustrationen des bestehenden und des geplanten Gebäudes, welche den Vorakten zu entnehmen sind.
Was der Beschwerdeführer hinsichtlich des Identitätserfordernisses vorbringt, vermag - soweit es sich dabei nicht ohnehin um nicht genügend begründete Rügen an der Sachverhaltsdarstellung durch die Vorinstanz handelt (vgl. Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) - nicht zu überzeugen. Die Vorinstanz hat ausgeführt, was sie unter einem typischen Chalet versteht, und dass bei einem Vergleich des bestehenden und des geplanten Gebäudes nur das bestehende die von ihr genannten Eigenschaften aufweise. Die Ausführungen des Beschwerdeführers zur Definition des Begriffs des Chalets sind deshalb unbehelflich. Die neue Dachgestaltung bildete für die Beurteilung der Änderung der Identität der Baute durch die Vorinstanz sodann nur einen (allerdings wesentlichen) Aspekt. Wie der Beschwerdeführer selber einräumt, unterscheidet sich die geplante Baute nicht nur bezüglich der Gebäudeform, sondern auch hinsichtlich des Gebäudevolumens, der Materialwahl und der Detailgestaltung von der bestehenden. Zu berücksichtigen ist im Hinblick auf das Identitätserfordernis ausserdem - wie bereits erwähnt - insbesondere auch der Umstand, dass die zonenwidrig nutzbare Gesamtfläche mit der Realisierung des geplanten Bauprojekts um (mindestens) 69.9 m2 bzw. 28.4 % erweitert würde (vgl. E. 4.4).
5.5 Unbehelflich ist auch der Einwand des Beschwerdeführers, es handle sich bei den Änderungen um zulässige Verbesserungen gestalterischer Art. <ref-law> sieht zwar vor, dass Verbesserungen gestalterischer Art bei Änderungen an Bauten und Anlagen, auf welche Art. 24c Abs. 2 RPG anwendbar ist, zulässig sind. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers lässt sich mit dem Hinweis auf angebliche Verbesserungen gestalterischer Art aber eine derart wesentliche Änderung des Gebäudes wie im vorliegenden Fall, mit welcher überdies eine Erweiterung der zonenwidrig nutzbaren Gesamtfläche um (mindestens) 69.9 m2 bzw. 28.4 % verbunden wäre, von vornherein nicht rechtfertigen. Dies zumal damit der Rahmen von Art. 24c Abs. 2 RPG gesprengt würde, wonach bestehende Bauten und Anlagen, welche unter diese Bestimmung fallen, nur erneuert, teilweise geändert, massvoll erweitert oder wiederaufgebaut werden können. Ob die bessere Eingliederung eines Gebäudes in die Umgebung in anderen Fällen unter gewissen Umständen als zulässige Verbesserung gestalterischer Art im Sinne von <ref-law> angesehen werden kann, kann vorliegend offen bleiben.
Weil der Hinweis des Beschwerdeführers auf angebliche Verbesserungen gestalterischer Art bzw. die Eingliederung der geplanten Baute in die Umgebung vorliegend nach dem Gesagten ohnehin nichts an der Bewilligungsfähigkeit des Bauprojekts nach Art. 24c Abs. 2 RPG i.V.m. <ref-law> zu ändern vermag, sind auch seine Ausführungen von vornherein unbehelflich, wonach die Beurteilung der Ästhetik eines Bauwerks und seiner Dachgestaltung - namentlich im Zusammenhang mit der Eingliederung eines Gebäudes in die unmittelbare Umgebung - ein Ermessensentscheid darstelle, weshalb es befremde, dass die Vorinstanz sich mit ihrem Urteil über die entsprechende Beurteilung der Gemeinde Weggis und der Dienststelle rawi hinweggesetzt und ihr Ermessen unrechtmässigerweise an die Stelle des Ermessens der Baubewilligungsbehörden gesetzt habe.
5.6 Unter Würdigung aller Umstände kann nicht gesagt werden, dass mit der Realisierung des geplanten Bauprojekts die Identität der bestehenden Baute im Wesentlichen gewahrt bleibe. Die mit dem Wiederaufbau verbundenen Änderungen sind bei einer Gesamtbetrachtung nicht von untergeordneter Natur, weshalb es sich nicht um einen zulässigen Wiederaufbau im Sinne von Art. 24c Abs. 2 RPG i.V.m. <ref-law> handelt. In der entsprechenden Schlussfolgerung der Vorinstanz, mit welcher das ARE gemäss seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht einverstanden ist, kann keine Bundesrechtswidrigkeit erblickt werden.
6. Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, das Urteil der Vorinstanz befremde umso mehr, als das Dach des neuen Gebäudes auf ausdrückliche Empfehlung der Dienststelle rawi in der nun beanstandeten Weise projektiert worden sei. Es frage sich, weshalb ein Bauherr, der intensiv mit den Behörden zusammenarbeite, sich an deren Vorgaben halte und sein Bauprojekt mehrmals entsprechend anpasse, vor der Rechtsmittelinstanz mit seinem Vorhaben letztendlich unterliegen könne. Er sei davon ausgegangen, dass den Vorschlägen der Dienststelle rawi als fachlich kompetente Behörde zu entsprechen sei.
Darin könnte eine sinngemässe Rüge der Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben (<ref-law>) erblickt werden. Soweit der Beschwerdeführer eine solche Rüge im Hinblick auf <ref-law> überhaupt genügend substanziiert begründet und darauf einzutreten ist, vermag er damit nicht durchzudringen. Wie die Vorinstanz zu Recht festgehalten hat, haben die Baubewilligungsbehörden ihre Positionen, die sie nach der Darlegung des Beschwerdeführers während der Projektphase eingenommen hatten, nicht verlassen. Der Beschwerdeführer kann sich im Rechtsmittelverfahren gegen die Entscheide der Gemeinde Weggis und der Dienststelle rawi nicht erfolgreich darauf berufen, er habe gutgläubig auf die Richtigkeit der Entscheide der Baubewilligungsbehörden vertraut, mit der Folge, dass ein anderslautender Entscheid der Rechtsmittelbehörde eine Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben darstelle.
7. Es ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegnern für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegnern für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Weggis, der Dienststelle Raumentwicklung, Wirtschaftsförderung und Geoinformation sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Mattle