Sachverhalt:
A. Die Y._ AG (Beschwerdegegnerin) betreibt ein Netz von elektrischer Energie in sechzig Gemeinden der Kantone C._ und E._ sowie in F._. A. und B. X._ (Beschwerdeführer) sind Gesamteigentümer der Parzelle 111._, Z._weg 9 und 9a in D._. Die Parzellen Z._weg 1 und 1a, 5 und 5a, 7 und 7a, 9 und 9a sowie 11 und 11a verfügen über keinen eigenen Hausanschluss an das Verteilnetz der Beschwerdegegnerin. Sie werden über den Hausanschlusszählerkasten auf der Parzelle Z._weg 3 und 3a mit Strom versorgt. Am 5. September 2004 kam es in diesem Hausanschlusszählerkasten zu einem Neutralleiterunterbruch. Dies führte zu einer Überspannung in der Hausinstallation und zu einer Überlastung verschiedener Elektrogeräte in den Wohnhäusern Z._weg 1 bis 11a. Infolgedessen wurden insbesondere verschiedene Elektrogeräte der Beschwerdeführer beschädigt.
B. Am 18. Oktober 2005 erhoben die Beschwerdeführer beim Bezirksgerichtspräsidium Arlesheim Klage gegen die Beschwerdegegnerin und beantragten, diese sei zu verpflichten, ihnen Fr. 8'457.70 nebst Zins zu 5 % seit 5. Januar 2005 zu bezahlen. Das Verfahren wurde vorerst auf die Haftungsfrage beschränkt. Mit Urteil vom 15. Mai 2009 wies die Gerichtspräsidentin des Bezirksgerichts Arlesheim die Klage ab.
Dagegen appellierten die Beschwerdeführer an das Kantonsgericht des Kantons Basel-Landschaft mit dem Antrag, das Urteil der Bezirksgerichtspräsidentin aufzuheben und festzustellen, dass die Beschwerdegegnerin für die im Zusammenhang mit dem am 5. September 2004 durchgebrannten Neutralleiter entstandenen Schäden einzustehen habe. Die Sache sei demgemäss zwecks Instruktion des Verfahrens betreffend die Schadenssumme an das Bezirksgericht Arlesheim zurückzuweisen. Mit Urteil vom 1. Juni 2010 wies das Kantonsgericht, Abteilung Zivil- und Strafrecht, die Appellation ab.
C. Die Beschwerdeführer beantragen mit Beschwerde in Zivilsachen, das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts sowie das Urteil der Bezirksgerichtspräsidentin aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die Beschwerdegegnerin für die im Zusammenhang mit dem am 5. September 2004 durchgebrannten Neutralleiter entstandenen Schäden einzustehen habe. Die Sache sei zwecks Instruktion des Verfahrens betreffend die Schadenssumme an das Bezirksgericht Arlesheim zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin stellt den Antrag, auf die Beschwerde nicht einzutreten. Eventualiter sei die Beschwerde vollständig abzuweisen und das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts sowie das Urteil der Bezirksgerichtspräsidentin zu bestätigen. Die Vorinstanz begehrt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
D. Mit Präsidialverfügung vom 29. September 2010 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1.1).
1.1 In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich nur gegeben, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>). Vorliegend beträgt der Streitwert lediglich Fr. 8'457.70, weshalb sich die Beschwerde in Zivilsachen insofern als unzulässig erweist.
Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag nicht, ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist sehr restriktiv auszulegen. Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4; <ref-ruling> E. 1.2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.1 und 1.2 S. 495 f.). Eine solche liegt hingegen vor, wenn ein dringendes Bedürfnis besteht, dass eine umstrittene Rechtsfrage, die zu einer erheblichen Rechtsunsicherheit führt, höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit Rechtssicherheit herzustellen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 399; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4; <ref-ruling> E. 2.4 S. 648 f.). Eine neue Rechtsfrage kann vom Bundesgericht sodann beurteilt werden, wenn dessen Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann, namentlich wenn von unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4). Damit Fälle als gleichartig angesehen werden können, genügt es nicht, dass sich dieselbe Rechtsfrage in weiteren Verfahren stellen wird. Die zu beurteilende Streitsache muss überdies geeignet sein, die Frage auch mit Bezug auf die anderen Fälle zu klären. Diese Voraussetzung ist nicht erfüllt, wenn entscheidrelevante Eigenheiten bestehen, die bei den anderen Fällen in der Regel nicht gegeben sind (Urteil 4A_290/2009 vom 12. August 2009 E. 2.1). Die neue Rechtsfrage muss zudem von ihrem Gewicht her von grundlegender Bedeutung sein (Urteil 4A_437/2008 vom 10. Februar 2009 E. 1.2 mit Hinweis). Zu berücksichtigen ist weiter, ob die Streitwertgrenze im Zusammenhang mit der umstrittenen Rechtsfrage überhaupt je erreicht werden kann (BGE <ref-ruling> E. 1.2 S. 117 f., 267 E. 1.2.3 S. 271).
Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-law>).
1.2 Die Beschwerdeführer machen geltend, es würden sich vorliegend zwei Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung stellen: Erstens sei fraglich, ob eine Netzwerkbetreiberin durch die vertragliche Lieferung von Strom eine Gefahrenquelle schaffe, zu deren Sicherung sie aufgrund einer aus <ref-law> herzuleitenden vertraglichen Nebenpflicht, namentlich einer Schutzpflicht, verpflichtet sei. Konkret sei ungeklärt, ob die Beschwerdegegnerin aufgrund einer vertraglichen Nebenpflicht verpflichtet sei, die Strombezüger über die "Gefahr einer Neutralleiterhavarie durch das Anschliessen von Unterhaltungselektronik, Computern und anderen elektrischen Geräten mit Netzteilen" zu informieren. Zweitens stelle sich die Frage, ob die Eigentums- und Verantwortlichkeitsgrenze, wie sie in Art. 2 Abs. 2 der Verordnung über elektrische Niederspannungsinstallationen (NIV; SR 734.27) definiert sei, durch die Plombierung des Hausanschlusszählerkastens durch die Beschwerdegegnerin in dem Sinne verschoben werde, dass die Beschwerdegegnerin für den hinter den Plomben liegenden Bereich verantwortlich sei.
1.3 Es ist weder dargetan noch ersichtlich, dass den aufgeworfenen Fragen grundsätzliche Bedeutung zukommt. Bei der zweiten Frage handelt es sich um eine gewöhnliche Frage der Anwendung einer klaren Verordnungsbestimmung auf einen konkreten Einzelfall. Auch bezüglich der ersten Frage, ob ein Stromlieferungsvertrag, wie ihn die Parteien abgeschlossen haben, die aus <ref-law> abgeleitete Nebenpflicht der Netzwerkbetreiberin umfasst, die Strombezüger über die Gefahr einer Neutralleiterhavarie zu informieren, sind die Anforderungen der Rechtsprechung an eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung nicht erfüllt (vgl. Erwägung 1.1). Es ist in keiner Weise dargetan, dass bezüglich der aufgeworfenen Frage eine erhebliche Rechtsunsicherheit, etwa infolge unterschiedlicher Praxen in den Kantonen, bestünde. Ein dringendes Bedürfnis nach einer höchstrichterlichen Beurteilung ist nicht ersichtlich, zumal sich diese Frage selten stellen dürfte und auch nicht anzunehmen ist, dass sie, sofern sie sich wieder einmal stellen sollte, mit Blick auf den erforderlichen Streitwert kaum jemals dem Bundesgericht zur Prüfung unterbreitet werden könnte.
Ebenso wenig handelt es sich um eine neue Rechtsfrage, die vom Bundesgericht beurteilt werden müsste, damit dem entsprechenden Entscheid im Hinblick auf zahlreiche gleichartige Fälle, die von unteren Instanzen zu beurteilen wären, wegleitenden Charakter zukäme. Die Beschwerdeführer zeigen nicht auf, dass viele gleichartige Fälle zur Beurteilung anstehen würden, sondern führen im Gegenteil aus, nach Auskunft des Rechtsdienstes des Eidgenössischen Starkstrominspektorats gebe es in diesem Bereich keinen Präzedenzfall. Sodann kann auch den Beilagen 4-7 der Beschwerde nicht entnommen werden, dass sich die Fälle von Neutralleiterunterbrüchen, verursacht durch Oberschwingungen, im Bereich der Hausinstallationen häufen würden. Die Beschwerdeführer verweisen ferner auf ein angeblich grosses Medienecho, legen aber einzig einen Bericht der Basler Zeitung über die Verhandlung vor der Vorinstanz ins Recht. Daraus kann die grundsätzliche Bedeutung des vorliegenden Falles nicht abgeleitet werden. Im BAZ-Artikel ist vielmehr die Rede von einem "seltenen Ereignis".
Demnach ist keine der in der Erwägung 1.1 genannten Konstellationen gegeben und es ist den Beschwerdeführern nicht gelungen aufzuzeigen, dass eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung zu beurteilen wäre. Die Beschwerde in Zivilsachen erweist sich demnach auch im Hinblick auf <ref-law> als unzulässig.
2. Eine Entgegennahme der Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde scheidet aus, da die Beschwerdeführer grösstenteils keine verfassungsmässigen Rechte als verletzt rügen, wie dies mit der Verfassungsbeschwerde ausschliesslich zulässig wäre (<ref-law>). Einzig im Zusammenhang mit der Kritik der Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz machen sie eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend, genügen aber den diesbezüglichen strengen Begründungsanforderungen nicht (Art. 117 i.V.m. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 3.1 und 3.2).
So beanstanden sie die Feststellung der Vorinstanz als willkürlich, wonach gestützt auf die gerichtliche Expertise die Kausalität zwischen den Oberschwingungen und dem eingetretenen Schaden nicht eindeutig nachgewiesen sei. Die Expertise G._ vom 21. Oktober 2008 vermutet als Ursache für den Neutralleiterunterbruch vom 5. September 2004 das Zusammenwirken von verschiedenen Umständen. Die Ursachen lägen "im Bereich des Hausanschlusszählerkastens: Standort und Konstruktion, Korrosion am und im Kasten, Alter der Anlage, fehlende Wartung, Zunahme von Belastungen und die daraus resultierenden Neutralleiterströme als Folge der Computerisierung." Wenn die Vorinstanz angesichts dieser Ausführungen des Experten festhielt, die gerichtliche Expertise spreche sich bezüglich der Schadensursache nicht klar für einen durch Oberschwingungen verursachten Neutralleiterunterbruch aus, verfiel sie nicht in Willkür. Die Beschwerdeführer verfehlen jedenfalls die qualifizierten Begründungsanforderungen an eine Willkürrüge, wenn sie einfach behaupten, die vier vom Experten zuerst genannten Ursachen würden ausscheiden, da die Beschwerdegegnerin auf Seite 18 der Klageantwort vom 23. Oktober 2006 angeblich anerkannt habe, dass die Installation der Beschwerdeführer nicht fehlerhaft und der Aussenzählerkasten auch nicht übermässig feucht gewesen sei. Aus jenen Ausführungen der Beschwerdegegnerin folgt indessen keineswegs zwingend der Wegfall der vier vom Experten genannten Ursachen. An besagter Stelle in der Klageantwort beantragte die Beschwerdegegnerin gleichzeitig die Anordnung einer Expertise. Demnach sind die vom Experten getroffenen Feststellungen zum Zustand der Hausinstallation und zum Hausanschlusszählerkasten massgebend. Mit dem blossen Hinweis auf die vor Erstattung der Expertise gemachten Ausführungen in der Klageantwort vermögen die Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich aufzuzeigen, dass das Abstellen auf die Angaben des Experten und die daraus gezogenen Folgerungen der Vorinstanz willkürlich wären.
Auch der im Weiteren als willkürlich beanstandeten (Eventual-)Erwägung der Vorinstanz, es könne nicht gesagt werden, dass eine allgemein gehaltene Information zu den potenziellen Gefahren von Oberschwingungen den Schaden mit überwiegender Wahrscheinlichkeit hätte entfallen lassen, halten die Beschwerdeführer blosse appellatorische Kritik entgegen, auf die ebenfalls nicht eingetreten werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
Da die Beschwerdeführer mit ihren Willkürrügen nicht in klarer Weise darlegen, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar wäre, genügen sie den Begründungsanforderungen einer subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht, weshalb ihre Eingabe auch nicht als solche entgegengenommen werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 400).
3. Demnach ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Beschwerdeführer in solidarischer Haftbarkeit kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Die durch ihren Rechtsdienst handelnde Beschwerdegegnerin beantragt eine Umtriebsentschädigung nach richterlichem Ermessen. Nach der Praxis des Bundesgerichts wird einer nicht anwaltlich vertretenen Partei grundsätzlich keine Parteientschädigung zugesprochen (<ref-ruling> E. 4 S. 446). Eine sogenannte Umtriebsentschädigung wird praxisgemäss nur unter besonderen Umständen gewährt und setzt namentlich voraus, dass die Interessenwahrung einen hohen Arbeitsaufwand notwendig macht, welcher den Rahmen dessen überschreitet, was die einzelne Person üblicher- und zumutbarerweise auf sich zu nehmen hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 116; <ref-ruling> E. 5 S. 304; <ref-ruling> E. 5b S. 519 f.). Diese Voraussetzung ist vorliegend nicht dargetan, weshalb kein Anspruch auf Entschädigung besteht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Es wird keine Partei- oder Umtriebsentschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivil- und Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin:
Klett Sommer