Erwägungen:
1.
1.1. Am 28. Mai 2014 verfügten die Sozialen Dienste der Stadt St. Gallen die rückwirkende Einstellung der Bevorschussung der vom Ehemann der Beschwerdeführerin an den Unterhalt der gemeinsamen Tochter zu leistenden Unterhaltsbeiträge per 31. Januar 2013 und forderten die von Februar 2013 bis April 2014 zu Unrecht geleisteten Zahlungen von Fr. 11'200.-- zurück. In dem von der Beschwerdeführerin dagegen eingeleiteten Rekursverfahren wies der Präsident des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege mit Verfügung vom 10. September 2015 ab. Der Präsident hat erwogen, nach unbestrittenen Sachverhaltsfeststellungen der ersten Instanz sei die Beschwerdeführerin auf die Pflicht hingewiesen worden, Änderungen des Zivilstandes mitzuteilen. Dass die Beschwerdeführerin von dieser Pflicht Kenntnis genommen habe, sei durch ihre Unterschriften auf den Dokumenten bestätigt worden. Entgegen ihrer Auffassung hätten sich mit dem Scheidungsurteil vom 10. Dezember 2012 die Voraussetzungen für die Pflicht des Ehemannes zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen gegenüber der Eheschutzmassnahme vom 6. September 2012 insofern verändert, als der Anspruch vom schweizerischen Wohnsitz des Verpflichteten abhängig geworden sei. Insoweit sei das Urteil geeignet gewesen, sich auf den Anspruch auf Bevorschussung auszuwirken. Die Beschwerdeführerin habe deshalb ihre Meldepflicht verletzt und der bevorschussenden Behörde damit erforderliche Auskünfte vorenthalten. Die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Drohungen und Einschüchterungen durch ihren Ex-Mann und insbesondere die angebliche Unkenntnis betreffend seinen Wohnsitz und über dessen Aufenthaltsort stellten kein Hindernis für die Meldung des Scheidungsurteils dar. Die Beschwerdeführerin habe sich angesichts der Bindung der Unterhaltsverpflichtung an den schweizerischen Wohnsitz ihres Ex-Mannes auch bewusst sein müssen, dass mit seinem Wegzug möglicherweise auch die Grundlage für eine Bevorschussung wegfallen werde. Dass die bevorschussende Behörde in der Lage sei, Abklärungen zur Frage des schweizerischen Wohnsitzes des Unterhaltsverpflichteten zu treffen, habe sie nach Bekanntwerden des Scheidungsurteils bewiesen. Der Präsident schloss daher, die Begehren der Beschwerdeführerin seien jedenfalls bei summarischer Prüfung als aussichtslos zu bezeichnen, und wies daher das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren ab.
1.2. Die Beschwerdeführerin hat diese Verfügung am 9. Oktober 2015 (Postaufgabe) beim Bundesgericht angefochten.
2.
2.1. Da in der vorliegenden vermögensrechtlichen Zivilsache (<ref-law>) der Streitwert von Fr. 30'000.-- nicht erreicht ist (<ref-law>), ist gegen den angefochtenen Entscheid nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegeben (<ref-law>). In der subsidiären Verfassungsbeschwerde ist die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>); es ist anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
2.2. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit den vorgenannten Erwägungen des angefochtenen Entscheids nicht rechtsgenügend auseinander, sondern wiederholt einfach ihren im kantonalen Verfahren eingenommenen Standpunkt, sie sei wegen der Einschüchterungsversuche ihres Ex-Mannes nicht in der Lage gewesen, dem Amt die erforderlichen Mitteilungen zukommen zu lassen. Auf die offensichtlich nicht hinreichend begründete Verfassungsbeschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren durch den Präsidenten der Abteilung (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 bzw. <ref-law>) unter Kostenfolge für die Beschwerdeführerin (<ref-law>) nicht einzutreten.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Oktober 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden