Sachverhalt:
A. Das Obergericht des Kantons Thurgau befand X._ mit Entscheid vom 8. März 2007 zweitinstanzlich der Freiheitsberaubung zum Nachteil von A._ für schuldig. Es verurteilte ihn zu einer bedingten Geldstrafe von 30 Tagessätzen zu Fr. 90.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren. Vom Vorwurf der Entführung sprach das Obergericht X._ frei.
B. Die von X._ erhobene Beschwerde in Strafsachen hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 17. März 2008 teilweise gut und wies die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurück (Urteil 6B_430/2007).
C. Mit Entscheid vom 4. September 2008 sprach das Obergericht des Kantons Thurgau X._ vom Vorwurf der Entführung und Freiheitsberaubung frei. Ein von ihm gestelltes Begehren um Ausrichtung von Schadenersatz und Genugtuung wies es mit Beschluss vom 1. Februar 2010 zweitinstanzlich ab.
D. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben, und der Kanton Thurgau sei zu verpflichten, ihm Schadenersatz in der Höhe von Fr. 280'588.-- nebst Zins zu 5% seit dem 1. Dezember 2004 sowie eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 30'000.-- nebst Zins zu 5% seit dem 1. November 2004 zuzusprechen.
E. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Nach § 65 des Gesetzes [des Kantons Thurgau] vom 30. Juni 1970 / 5. November 1991 über die Strafrechtspflege (StPO; RB 312.1) kann der Angeschuldigte bei Einstellung der Untersuchung und bei gerichtlichem Freispruch gegenüber dem Staat Schadenersatz und gegebenenfalls Genugtuung beanspruchen, wenn er infolge des Strafverfahrens ungesetzlich oder unverschuldet ernstliche Nachteile, insbesondere einen Freiheitsentzug erlitten hat (Abs. 1). Keinen solchen Anspruch besitzt der Angeschuldigte, wenn er durch verwerfliches oder leichtfertiges Verhalten begründeten Anlass zum Strafverfahren oder zu den schädigenden Massnahmen gegeben hat (Abs. 2).
1.2 Die Forderungen betreffend Schadenersatz und Genugtuung haben insoweit einen Zusammenhang mit dem Strafverfahren, als sie ihren Rechtsgrund in einem (rechtmässigen oder rechtswidrigen) Verhalten der Strafverfolgungsbehörden und dem daraus entstandenen Schaden bzw. der dadurch bewirkten seelischen Unbill haben. Der Sache nach handelt es sich um Haftungsansprüche gegen den Kanton Thurgau, mithin um auf kantonales öffentliches Recht gestützte vermögensrechtliche Ansprüche. Sie unterliegen daher grundsätzlich der dafür vorgesehenen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne der <ref-law>. Für deren Behandlung ist die strafrechtliche Abteilung zuständig (Art. 30 Abs. 1 lit. c Ziff. 1 und Art. 33 des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 [BGerR; SR 173.110.131]; <ref-ruling> E. 1.1.2 S. 46 mit Hinweisen).
1.3 Nach dem Gesagten steht für die Geltendmachung von Staatshaftungsansprüchen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zur Verfügung. Deren Ergreifung setzt einen Streitwert von mindestens Fr. 30'000.-- voraus (<ref-law>), der hier erreicht ist.
2. Dem Beschwerdeführer wurde im Oktober 2003 durch das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau die Bewilligung erteilt, als Leiter des Kleinheims "Haus D._" in B._ Pflegekinder zu betreuen. Am 31. Oktober 2004 beförderte er trotz heftiger Gegenwehr A._, welche für rund zwei Wochen in das von ihm geleitete Heim eingewiesen worden war, in sein Auto, um sie von B._ nach C._ zu fahren. Während seine Ehefrau das Fahrzeug steuerte, hielt er A._ mit Gewalt auf dem Rücksitz fest. Im Laufe der Auseinandersetzung zwischen dem Beschwerdeführer und A._ zog sich diese - mutmasslich verursacht durch den Sicherheitsgurt - insbesondere eine grosse Hautschürfung an der Halsbasis zu. Von A._ ging zum damaligen Zeitpunkt keine akute Selbst- oder Fremdgefährdung aus. Die Verlegung nach C._ hatte der Beschwerdeführer vorgängig mit dem Beistand von A._ abgesprochen. Zuständig zur Abänderung der rechtskräftigen Heimeinweisung bzw. zur Anordnung der Umplatzierung wäre jedoch der Gemeinderat als Vormundschaftsbehörde am Wohnsitz von A._ respektive allenfalls die Sozialvorsteherin oder der Sozialvorsteher gewesen. Der Beschwerdeführer unterlag diesbezüglich einem Irrtum (Urteil 6B_430/2007 vom 17. März 2008 E. 2, 3 und 5).
Nach erfolgter Rückweisung an die Vorinstanz wurde der Beschwerdeführer in Anwendung von <ref-law> (Irrtum über die Rechtswidrigkeit) mit Entscheid vom 4. September 2008 vom Vorwurf der Freiheitsberaubung und Entführung freigesprochen.
2.1 Die Vorinstanz erwägt betreffend die beantragte Entschädigung, die gegenüber A._ angewendete Gewalt sei unter zivilrechtlichen Gesichtspunkten als Widerhandlung gegen die Persönlichkeitsrechte zu werten. Die Art und Weise sowie die Dauer der unrechtmässigen Einwirkung müssten als ausgesprochen verwerflich qualifiziert werden. Der Beschwerdeführer habe die Eröffnung der Strafuntersuchung und die Anordnung der Untersuchungshaft selbst verschuldet, weshalb ihm jeglicher Anspruch auf Schadenersatz und Genugtuung abgehe (angefochtener Entscheid S. 3 ff.).
2.2 Der Beschwerdeführer rügt insbesondere eine Verletzung des Willkürverbots nach <ref-law> sowie (sinngemäss) einen Verstoss gegen die Unschuldsvermutung gemäss <ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK. Er bringt vor, die Vorinstanz habe nicht ausgeführt, inwiefern er in strafrechtlicher Hinsicht qualifiziert schuldhaft gehandelt haben soll. Hätte die Vorinstanz den Sachverhalt sorgfältig geprüft, hätte sie nicht zum Schluss kommen dürfen, dass seine Handlungen ausgesprochen verwerflich gewesen seien. Die Vorinstanz habe nicht begründet, durch welche Handlungen A._ in ihrer Persönlichkeit verletzt worden sei. Er habe keine übermässige Gewalt angewendet. Willkürlich sei auch, wenn die Vorinstanz erkennen lasse, dass eine Verurteilung wegen Tätlichkeiten hätte erfolgen müssen. Er habe keinerlei Handlungen vorgenommen, welche die Einleitung einer Strafuntersuchung oder die Anordnung von Untersuchungshaft während sieben Tagen gerechtfertigt hätten (Beschwerde S. 7 ff.).
2.2 Der Beschwerdeführer rügt insbesondere eine Verletzung des Willkürverbots nach <ref-law> sowie (sinngemäss) einen Verstoss gegen die Unschuldsvermutung gemäss <ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK. Er bringt vor, die Vorinstanz habe nicht ausgeführt, inwiefern er in strafrechtlicher Hinsicht qualifiziert schuldhaft gehandelt haben soll. Hätte die Vorinstanz den Sachverhalt sorgfältig geprüft, hätte sie nicht zum Schluss kommen dürfen, dass seine Handlungen ausgesprochen verwerflich gewesen seien. Die Vorinstanz habe nicht begründet, durch welche Handlungen A._ in ihrer Persönlichkeit verletzt worden sei. Er habe keine übermässige Gewalt angewendet. Willkürlich sei auch, wenn die Vorinstanz erkennen lasse, dass eine Verurteilung wegen Tätlichkeiten hätte erfolgen müssen. Er habe keinerlei Handlungen vorgenommen, welche die Einleitung einer Strafuntersuchung oder die Anordnung von Untersuchungshaft während sieben Tagen gerechtfertigt hätten (Beschwerde S. 7 ff.).
2.3 2.3.1 Gemäss <ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK gilt jede Person bis zur rechtskräftigen Verurteilung als unschuldig. Nach der Rechtsprechung verstösst es gegen Verfassung und Konvention, in der Begründung des Entscheids, mit dem ein Freispruch oder eine Verfahrenseinstellung erfolgt und dem Angeschuldigten Kosten auferlegt werden oder eine Entschädigung verweigert wird, diesem direkt oder indirekt vorzuwerfen, er habe sich strafbar gemacht bzw. es treffe ihn ein strafrechtliches Verschulden. Dagegen ist es mit Verfassung und Konvention vereinbar, einem nicht verurteilten Angeschuldigten die Kosten zu überbinden, wenn er in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise - d.h. im Sinne einer analogen Anwendung der sich aus <ref-law> ergebenden Grundsätze - gegen eine geschriebene oder ungeschriebene Verhaltensnorm, die aus der gesamten schweizerischen Rechtsordnung stammen kann, klar verstossen und dadurch das Strafverfahren veranlasst oder dessen Durchführung erschwert hat (<ref-ruling> E. 3b S. 155, 119 Ia 332 E. 1b S. 334; je mit Hinweisen). Wird eine Kostenauflage wegen Verletzung des Grundsatzes der Unschuldsvermutung angefochten, so prüft das Bundesgericht frei, ob der Text des Kostenentscheids direkt oder indirekt den Vorwurf einer strafrechtlichen Schuld enthält (<ref-ruling> E. 2f S. 175 f. mit Hinweis).
2.3.2 Die Begründung des angefochtenen Beschlusses verstösst nicht gegen die Unschuldsvermutung. Die Vorinstanz qualifiziert das Verhalten des Beschwerdeführers unmittelbar vor und während der Fahrt von B._ nach C._ allein unter zivilrechtlichen Gesichtspunkten als widerrechtliche Verletzung der Persönlichkeitsrechte von A._. Sie weist zwar darauf hin, dass Tätlichkeiten im Raum gestanden hätten, ohne jedoch dem Beschwerdeführer vorzuwerfen, er habe sich ein strafbares Verhalten zu Schulden kommen lassen. Vielmehr legt die Vorinstanz ihm zur Last, den Verdacht strafbarer Handlungen in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise geschaffen respektive Anlass zur Eröffnung der Strafuntersuchung und Anordnung von Untersuchungshaft gegeben zu haben. Auch wirft sie ihm vor, gegen die kantonalen Richtlinien des Departements für Finanzen und Soziales betreffend Zwangsmassnahmen verstossen zu haben. Mithin liegt im Ergebnis keine strafrechtliche Missbilligung vor. Der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte hat Formulierungen wie "nach Lage der Akten wäre der Betroffene [...] verurteilt worden" oder "war auch mit bei weitem überwiegender Wahrscheinlichkeit mit einer Verurteilung zu rechnen" als blosse Schuldprognosen und nicht als Schuldfeststellungen qualifiziert und eine Verletzung der Unschuldsvermutung verneint (vgl. Wolfgang Peukert, in: Europäische Menschenrechtskonvention, EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, N. 272 ff. zu Art. 6 EMRK). Deshalb hält die vorinstanzliche Begründung im Lichte der erwähnten Rechtsprechung vor der Unschuldsvermutung stand.
2.3.2 Die Begründung des angefochtenen Beschlusses verstösst nicht gegen die Unschuldsvermutung. Die Vorinstanz qualifiziert das Verhalten des Beschwerdeführers unmittelbar vor und während der Fahrt von B._ nach C._ allein unter zivilrechtlichen Gesichtspunkten als widerrechtliche Verletzung der Persönlichkeitsrechte von A._. Sie weist zwar darauf hin, dass Tätlichkeiten im Raum gestanden hätten, ohne jedoch dem Beschwerdeführer vorzuwerfen, er habe sich ein strafbares Verhalten zu Schulden kommen lassen. Vielmehr legt die Vorinstanz ihm zur Last, den Verdacht strafbarer Handlungen in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise geschaffen respektive Anlass zur Eröffnung der Strafuntersuchung und Anordnung von Untersuchungshaft gegeben zu haben. Auch wirft sie ihm vor, gegen die kantonalen Richtlinien des Departements für Finanzen und Soziales betreffend Zwangsmassnahmen verstossen zu haben. Mithin liegt im Ergebnis keine strafrechtliche Missbilligung vor. Der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte hat Formulierungen wie "nach Lage der Akten wäre der Betroffene [...] verurteilt worden" oder "war auch mit bei weitem überwiegender Wahrscheinlichkeit mit einer Verurteilung zu rechnen" als blosse Schuldprognosen und nicht als Schuldfeststellungen qualifiziert und eine Verletzung der Unschuldsvermutung verneint (vgl. Wolfgang Peukert, in: Europäische Menschenrechtskonvention, EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, N. 272 ff. zu Art. 6 EMRK). Deshalb hält die vorinstanzliche Begründung im Lichte der erwähnten Rechtsprechung vor der Unschuldsvermutung stand.
2.4 2.4.1 Nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür untersucht das Bundesgericht, ob der Angeschuldigte in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise gegen eine geschriebene oder ungeschriebene Verhaltensnorm klar verstossen und durch sein Benehmen das Strafverfahren veranlasst oder dessen Durchführung erschwert hat. Insofern steht nicht mehr der Schutzbereich der Bestimmungen von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK in Frage, welche den guten Ruf des Angeschuldigten gegen den direkten oder indirekten Vorwurf einer strafrechtlichen Schuld schützen wollen. Die Voraussetzungen der Kostenauflage werden vielmehr durch die Vorschriften der kantonalen Strafprozessordnungen umschrieben. Insoweit greift ausschliesslich <ref-law> Platz, wonach die betreffenden Gesetzesbestimmungen nicht willkürlich angewendet werden dürfen. Diese Grundsätze gelten über die Auferlegung von Kosten hinaus auch für die Frage der Verweigerung einer Entschädigung (<ref-ruling> E. 2f S. 175 f. mit Hinweis; vgl. zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f. mit Hinweisen).
2.4.2 Der Beschwerdeführer räumt ausdrücklich ein, A._ trotz Gegenwehr in sein Auto verbracht und nach C._ gefahren zu haben. Während der Fahrt habe er sie wiederholt mit Gewalt am Verlassen des Fahrzeugs hindern müssen (Beschwerde S. 5 f.). Darüber hinaus ist der Sachverhalt massgebend, den die Vorinstanz in ihrem Entscheid vom 8. März 2007 festgestellt hat und der dem bundesgerichtlichen Rückweisungsentscheid vom 17. März 2008 zu Grunde liegt (<ref-ruling> E. 2 S. 335 f. mit Hinweisen). Danach wurde A._ vom Beschwerdeführer und dessen Ehefrau (welche Erstere an den Haaren packte) in das Fahrzeug befördert. Im Laufe der rund einstündigen Fahrt zog sich A._ verschiedene Verletzungen, insbesondere eine grosse Hautschürfung an der Halsbasis, zu. Der vermeintlich zuständige Beistand gab seine Zustimmung zum Transport von B._ nach C._. Darüber, dass sich A._ in der Folge gegen die Verlegung wehrte, wurde er nicht orientiert. Zwangsmassnahmen hatte er nicht angeordnet, und von A._ ging im fraglichen Zeitpunkt keine akute Selbst- oder Fremdgefährdung aus (Urteil 6B_430/2007 vom 17. März 2008 E. 2 bis 4).
2.4.3 Die Vorinstanz schätzt die gegenüber A._ angewendete Gewalt als Verletzung der Persönlichkeitsrechte ein. Dies ist verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden. Der Grundsatz "neminem laedere" ist ein allgemeines Rechtsprinzip und findet u.a. in <ref-law> eine Konkretisierung. Die Bestimmungen von <ref-law> räumen allgemein Schutz vor widerrechtlicher Persönlichkeitsverletzung ein. Wer in seiner Persönlichkeit widerrechtlich verletzt wird, kann zu seinem Schutz gegen jeden, der an der Verletzung mitwirkt, das Gericht anrufen und die vom Gesetz vorgesehenen Mittel ergreifen. Eine Kostenauflage respektive die Verweigerung einer Entschädigung wegen zivilrechtlich schuldhaften Verhaltens kann sich grundsätzlich auf das Persönlichkeitsrecht stützen. Zu den anerkannten Teilbereichen des Persönlichkeitsrechts gehören ein physischer, psychischer und sozialer Schutzbereich (ANDREAS MEILI, in: Basler Kommentar, ZGB I, 3. Aufl. 2006, N. 16 ff. zu <ref-law>). Das zivilrechtliche Persönlichkeitsrecht wird in weitem Rahmen über das Strafrecht hinaus geschützt.
Die Vorinstanz gelangt unter Hinweis auf den erstinstanzlichen Entscheid zum Ergebnis, dass das persönlichkeitsverletzende Verhalten des Beschwerdeführers als ausgesprochen verwerflich zu qualifizieren sei, weshalb ein anspruchsausschliessender Grund im Sinne von § 65 Abs. 2 StPO/TG vorliege (angefochtener Beschluss S. 4 f.).
2.4.4 Der Beschwerdeführer macht insbesondere geltend, es sei willkürlich, allein auf die Vorfälle während der Fahrt von B._ nach C._ abzustellen, ohne die "gesamten Umstände insbesondere auch in den Tagen vor dem Ereignis bzw. in den Stunden vor dem Ereignis angemessen" zu berücksichtigen (Beschwerde S. 12). Dieses nicht genügend substanziierte Vorbringen genügt der qualifizierten Rügepflicht (<ref-law>) nicht und vermag keine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts aufzuzeigen. Soweit der Beschwerdeführer behauptet, die Vorinstanz lege nicht dar, welche Handlungen als persönlichkeitsverletzend eingestuft würden (Beschwerde S. 12 f.), ist seine Rüge unbegründet. Die Vorinstanz verweist diesbezüglich auf ihre früheren Feststellungen im Urteil vom 8. März 2007, was entgegen dem Dafürhalten des Beschwerdeführers nicht zu beanstanden ist. Entsprechendes gilt auch für seine Behauptung, die Vorinstanz führe nicht aus, inwiefern seine Handlungen als ausgesprochen verwerflich gälten (Beschwerde S. 15; vgl. angefochtenen Beschluss S. 5). Seine Argumentation, wonach er die Fahrzeugtüre auf der fraglichen Fahrt nicht abgeschlossen und deshalb keine übermässige Gewalt angewendet habe, ist nicht nachvollziehbar. Unter Willkürgesichtspunkten kann offenbleiben, wie es sich betreffend die körperlichen Einwirkungen auf A._ mit einem indirekten Verbotsirrtum respektive mit einer gerechtfertigten Persönlichkeitsverletzung verhält (vgl. erstinstanzlicher Entscheid S. 14 f.). Dass der Beschwerdeführer die von ihm angewendete Gewalt mit der Zustimmung des Beistands ausgeübt hätte, wird von ihm nicht behauptet.
Der Beschwerdeführer vermag nicht darzutun, und es ist auch nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz das kantonale Recht (§ 65 Abs. 2 StPO/TG) willkürlich angewendet und dadurch das Willkürverbot (<ref-law>) verletzt haben soll. Ebenso wenig zeigt er eine Verletzung des rechtlichen Gehörs auf (Beschwerde S. 11). Die Vorinstanz war nicht gehalten, jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich zu widerlegen. Weshalb die vom Beschwerdeführer angeführten Umstände (frühere Schwierigkeiten zwischen ihm und A._ sowie deren behaupteter Hang zu Übertreibungen) relevant sein sollten, zeigt er nicht auf, und solches ist auch nicht erkennbar. Deshalb konnte die Vorinstanz sie in ihren Erwägungen ausklammern, ohne die Begründungspflicht und den Anspruch auf Begründung zu verletzen (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677 mit Hinweisen).
2.4.5 Der Schluss der Vorinstanz, wonach A._, indem sie gegen ihren Willen und gewaltsam von B._ nach C._ verbracht wurde, durch den Beschwerdeführer in ihren Persönlichkeitsrechten im Sinne von <ref-law> verletzt wurde, der Beschwerdeführer unter zivilrechtlichen Gesichtspunkten widerrechtlich gehandelt und demnach die Untersuchung durch verwerfliches oder leichtfertiges Verhalten im Sinne von § 65 Abs. 2 StPO/TG adäquat kausal verursacht hat, hält der bundesgerichtlichen Rechtskontrolle Stand. Die Vorinstanz kann, ohne in Willkür zu verfallen, dem Beschwerdeführer die Ausrichtung einer Entschädigung respektive Genugtuung verweigern.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Faga