Sachverhalt:
A.
An der Generalversammlung der X._ Holding SA (Beklagte, Beschwerdeführerin) vom 9. Juni 2010 wurden A._, B._ sowie C._ als Verwaltungsräte nicht wiedergewählt, und angestrebte Neuwahlen von Verwaltungsratsmitgliedern kamen nicht zustande. Nach dem Rücktritt von D._ aus dem Verwaltungsrat der Beklagten anlässlich der Sitzung vom 15. Juni 2010 setzte sich dieser bis zur ausserordentlichen Generalversammlung vom 6. September 2010 nur noch aus den kollektivzeichnungsberechtigten Verwaltungsräten E._ und F._ zusammen. An der Generalversammlung vom 6. September 2010, welche A._ mit Schreiben vom 13. Juni 2010 gestützt auf <ref-law> verlangt hatte, wurden G._, H._, A._, I._, B._, J._ sowie C._ neu bzw. wieder in den Verwaltungsrat gewählt. Am 5. August 2010 erfolgte ein erster Kontakt zwischen Rechtsanwältin Z._, die für die Beklagte handelte, und Rechtsanwalt K._ von der Anwaltskanzlei Y._ Rechtsanwälte (Klägerin, Beschwerdegegnerin) betreffend auszuführender Arbeiten für die Beklagte.
Mit Schreiben vom 9. September 2010 kündigte die Beklagte das allfällig bestehende Auftragsverhältnis mit der Klägerin mit sofortiger Wirkung. E._ und F._ wurden im Handelsregister am 9. März 2011 als kollektivzeichnungsberechtigte Verwaltungsräte der Beklagten gelöscht.
B.
B.a. Mit Klage vom 30. Mai 2011 beantragte die Klägerin dem Handelsgericht des Kantons Zürich, die Beklagte sei zu verpflichten, ihr Fr. 78'582.40 zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 3. November 2010 zu bezahlen (Ziff. 1) und es sei in der Betreibung Nr. qqq des Betreibungsamts Nyon, Zahlungsbefehl vom 14. April 2011, der Rechtsvorschlag zu beseitigen und ihr für diesen Betrag die definitive Rechtsöffnung zu erteilen (Ziff. 2); unter Kosten- und Entschädigungsfolge zu Lasten der Beklagten (Ziff. 3).
B.a.a. Die Klägerin führte zur Begründung ihrer Klage aus, A._ habe die Beklagte bis zu seiner Nichtwiederwahl praktisch ohne Einschränkungen geführt, weshalb es dem verbleibenden Verwaltungsrat nach seinem Ausscheiden ein Anliegen gewesen sei, die bestehenden, teilweise undurchsichtigen Geschäftsstrukturen der Beklagten von unabhängiger Seite durchleuchten zu lassen. Deshalb sei die L._ AG damit betraut worden, die frühere Unternehmensführung zu überprüfen und zu analysieren. Aufgrund der Erkenntnisse aus dem Bericht der L._ AG habe sich der Verwaltungsrat entschieden, das Verhalten der bisherigen Unternehmensführung, insbesondere jenes von A._, auch unter strafrechtlichen Aspekten überprüfen zu lassen, weshalb die Klägerin mandatiert worden sei. Die anwaltliche Tätigkeit habe insbesondere Rechtsberatung, Beurteilung strafrechtlicher Vorgänge, Ausarbeitung von Strafanzeige (n) sowie Unterstützung bei der Kommunikation und der Strategieführung umfasst. Es seien Leistungen im Wert von insgesamt Fr. 78'582.40 (inkl. MWST) erbracht worden. Das Stundenhonorar habe Fr. 500.-- betragen.
B.a.b. Die Beklagte beantragte mit Klageantwort vom 14. Oktober 2011, die Klage sei abzuweisen und die Rechtsöffnung in der Betreibung Nr. qqq des Betreibungsamts Nyon sei zu verweigern.
Sie machte im Wesentlichen geltend, nach dem Rücktritt D._ aus dem Verwaltungsrat sei das durch die Statuten und das Organisationsreglement der Beklagten vorgesehene Quorum von mindestens drei Verwaltungsräten nicht mehr erfüllt gewesen. Der Verwaltungsrat der Beklagten sei damit in der Zeit vom 15. Juni 2010 bis 6. September 2010 und somit während des von der Klägerin behaupteten Mandatsverhältnisses nicht mehr gehörig bestellt und beschlussfähig gewesen. Das Mandat mit der Klägerin sei deshalb nicht rechtsgültig zustande gekommen. Während der Zeit des "Putsches" sei die Geschäftsführung der Beklagten über das sogenannte "Kleine Komitee" erfolgt, dem u.a. E._, F._ und Rechtsanwältin Z._ angehört hätten. Sie bestritt die Honorarforderung auch im Quantitativen. Schliesslich sei das angebliche Mandat betreffend Strafanzeige nicht in ihrem Interesse gewesen, wie sich auch aus der Einstellungs- bzw. Nichtanhandnahmeverfügung des juge d'instruction du canton de vaud vom 10. November 2010 ergebe.
B.b. Mit Beschluss und Urteil vom 12. Juli 2013 erkannte das Handelsgericht des Kantons Zürich, Ziffer 2 des klägerischen Rechtsbegehrens werde als durch Rückzug erledigt abgeschrieben und die Beklagte werde unter Kostenfolge verpflichtet, der Klägerin Fr. 78'582.40 zuzüglich Zins zu 5 % seit 13. November 2010 zu bezahlen. Im Mehrbetrag (Zins) wurde die Klage abgewiesen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, das Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 12. Juli 2013 sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Klägerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 10. Oktober 2013 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>. Für Beschwerden gegen Urteile kantonaler Handelsgerichte besteht kein Streitwerterfordernis (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 69). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keiner Bemerkung Anlass. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist - unter Vorbehalt einer hinlänglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht der Beschwerdeführerin (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4 S. 400; <ref-ruling> E. 1.1 S. 105). Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren selbstständig tragenden Begründungen, die je für sich den Ausgang des Rechtsstreits besiegeln, so hat die Beschwerdeführerin darzulegen, dass jede von ihnen Recht verletzt, andernfalls kann mangels genügender Begründung auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 535).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Die beschwerdeführende Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 511 f.; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 351, 393 E. 7.1 S. 398, 462 E. 2.4 S. 466). Soweit sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_470/2009 vom 18. Februar 2010 E. 1.2).
3.
Die Beschwerdegegnerin stützt ihre Honorarforderung im Umfang von Fr. 73'827.55 auf eine von den beiden Verwaltungsräten F._ und E._ (sowie Rechtsanwalt K._) unterzeichnete Schuldanerkennung.
3.1. Wie bereits vor der Vorinstanz behauptet die Beschwerdeführerin, die Schuldanerkennung sei ungültig wegen "Handlungsunfähigkeit bzw. Beschlussunfähigkeit" des damaligen Verwaltungsrats.
3.1.1. Sie macht geltend, Art. 17 Ziff. 1 ihrer Statuten und Art. 3 Abs. 2 ihres Organisationsreglements schrieben einen Verwaltungsrat aus mindestens drei Mitgliedern vor. Diese Bestimmungen seien im massgeblichen Zeitraum mit lediglich den Verwaltungsräten E._ und F._ nicht eingehalten gewesen. Damit sei der Verwaltungsrat nicht beschlussfähig gewesen. Die nicht gehörige Zusammensetzung des Verwaltungsrats sei auch von Bedeutung für die externe Willenskundgabe der Gesellschaft. <ref-law> spreche von den "zur Vertretung befugten Personen" und verweise damit auf <ref-law>. Letztere Bestimmung verweise ausdrücklich auf die "Statuten oder das Organisationsreglement" der Gesellschaft; damit habe der Gesetzgeber zum Ausdruck gebracht, dass auch die externe Vertretung letztlich auf einer gehörigen internen Bestellung der Organe beruhen müsse. Indem die Vorinstanz trotzdem von der Beschluss- und Vertretungsfähigkeit der damaligen zwei Verwaltungsräte ausgegangen sei, habe sie Art. 718 und Art. 718a OR verletzt.
3.1.2. Es kann offen bleiben, ob Statuten und Organisationsreglement eine "Beschlussfassung" auch ermöglichen, wenn der Verwaltungsrat entgegen Art. 17 Ziff. 1 der Statuten aus nur einem Mitglied (oder zwei) besteht, wie die Vorinstanz angenommen hat. Denn es geht hier nicht um die Frage einer gültigen Beschlussfassung im Verwaltungsrat, eine Frage die - wie die Vorinstanz richtig erkannt hat - in Art. 21 der Statuten geregelt ist. Vielmehr ist zu entscheiden, ob die beiden Verwaltungsräte die Beschwerdegegnerin gültig verpflichten konnten, somit um eine Frage der Vertretungsmacht.
3.1.3. In der Aktiengesellschaft vertritt der Verwaltungsrat die Gesellschaft nach aussen. Bestimmen die Statuten oder das Organisationsreglement nichts anderes, so steht die Vertretungsbefugnis jedem Mitglied einzeln zu (<ref-law>). Gemäss <ref-law> kann der Verwaltungsrat die Vertretung einem oder mehreren Mitgliedern oder Dritten übertragen. Die zur Vertretung der Gesellschaft befugten Personen sind ins Handelsregister einzutragen (<ref-law>). Durch die Publikation im Handelsregister teilt die Gesellschaft gegen aussen mit, wer sie vertreten kann; damit sind Handlungen der gemäss Handelsregistereintrag zur Vertretung ermächtigten Personen der Gesellschaft zuzurechnen und zwar unabhängig davon, ob die entsprechenden Organe die gesellschaftsinternen Kompetenz- und Handlungsrichtlinien beachtet haben (Urteil 4A_357/2007 vom 8. April 2008 E. 4.2).
Die Statuten der Beschwerdeführerin regeln die Vertretungsbefugnis der Gesellschaft in Art. 20, wobei dessen Absatz 2 (nahezu wortwörtlich) mit <ref-law> übereinstimmt.
3.1.4. Die damaligen (einzigen) Verwaltungsräte E._ und F._ waren im Handelsregister als Kollektivzeichnungsberechtigte eingetragen. Sie konnten die Beschwerdeführerin demnach gemeinsam verpflichten. Dabei kann die Beschwerdeführerin mit ihrem Hinweis auf "die zur Vertretung befugten Personen" in <ref-law> bzw. auf "die Statuten oder das Organisationsreglement" in <ref-law> nichts ableiten. Denn <ref-law> regelt die Vertretungsbefugnis. Der Vorbehalt einer von der gesetzlichen Regelung - Vertretungsbefugnis durch jeden einzelnen Verwaltungsrat - abweichenden Bestimmung in den Statuten oder dem Organisationsreglement, bezieht sich daher nur auf diese Regelung der Vertretungsbefugnis und nicht auf irgendwelche Statutenbestimmungen zur Zusammensetzung des Verwaltungsrats oder zur Art, wie dieser Beschlüsse fasst. Darüber hinaus regelt Art. 20 der Statuten der Beschwerdeführerin die Vertretung eben gerade nicht in Abweichung der gesetzlichen Regelung. Entscheidend ist somit, dass die nicht gehörige bzw. nicht statutengemässe Zusammensetzung des Verwaltungsrats entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin keinen Einfluss auf die gegen aussen wirkende Vertretungsmacht der Verwaltungsräte hatte.
3.2. Die Beschwerdeführerin macht sodann geltend, die Schuldanerkennung binde sie nicht, da die Verwaltungsräte E._ und F._ nicht im Interesse der Gesellschaft gehandelt hätten und dieser Interessenkonflikt der Beschwerdegegnerin bekannt bzw. für sie erkennbar gewesen sei.
3.2.1. Nach <ref-law> sind die zur Vertretung befugten Personen ermächtigt, im Namen der Aktiengesellschaft alle Rechtshandlungen vorzunehmen, die der Gesellschaftszweck mit sich bringen kann. Diese Vorschrift wird zum Schutz gutgläubiger Dritter weit ausgelegt. Unter Rechtshandlungen, die der Gesellschaftszweck mit sich bringen kann, sind nicht bloss solche zu verstehen, die der Gesellschaft nützlich sind oder in ihrem Betrieb gewöhnlich vorkommen; erfasst sind vielmehr ebenfalls ungewöhnliche Geschäfte, sofern sie auch nur möglicherweise im Gesellschaftszweck begründet sind, d.h. durch diesen zumindest nicht geradezu ausgeschlossen werden. Vertretungshandlungen, die durch den Gesellschaftszweck nicht mehr gedeckt sind, sind für die Gesellschaft somit allenfalls nicht verbindlich (<ref-ruling> E. 3a S. 323; Urteil 4A_357/2007 vom 8. April 2008 E. 4.2 mit Hinweisen).
Bei einem Konflikt zwischen den Interessen der juristischen Person und jenen des handelnden Organs ist grundsätzlich davon auszugehen, dass die Vertretungsbefugnis nach dem mutmasslichen Willen der juristischen Person stillschweigend jene Geschäfte ausschliesst, welche sich als interessen- bzw. pflichtwidriges Vertreterhandeln erweisen. Eine stillschweigende Beschränkung der Vertretungsbefugnis kann aber dem gutgläubigen Dritten nicht entgegengehalten werden. Der Interessenkonflikt vermag die Vertretungsmacht nur zu begrenzen, wenn er für den Dritten erkennbar war oder dieser ihn wenigstens bei gebührender Sorgfalt hätte erkennen müssen (<ref-ruling> E. 3a S. 363; Urteile 4A_232/2008 vom 27. März 2009 E. 4.1.1 und 4C.93/2007 vom 13. August 2007 E. 2.3.1; je mit Hinweisen). Ist kein Interessenkonflikt in diesem Sinn erkennbar, soll sich der Vertragspartner auf die Vertretungsbefugnis gemäss Handelsregistereintrag verlassen können. Die Aufmerksamkeit, die vom Vertragspartner hinsichtlich eines möglichen Interessenkonflikts verlangt werden kann, hängt von der Art des abgeschlossenen Rechtsgeschäfts ab (Urteil 4A_232/2008 vom 27. März 2009 E. 4.1.2).
3.2.2. Die Beschwerdeführerin führt aus, im Zeitpunkt der Schuldanerkennung, d.h. frühestens am 3. September 2010 und (höchstens) drei Tage vor der ausserordentlichen Generalversammlung vom 6. September 2010 hätte die Beschwerdegegnerin nicht gutgläubig sein können. Allen Beteiligten sei klar gewesen, dass E._ und F._ durch Zuwahl neuer Verwaltungsräte ihre Macht im Verwaltungsrat einbüssen würden. Der Umstand, dass die Schuldanerkennung den beiden Verwaltungsräten unmittelbar vor der ausserordentlichen Generalversammlung vom 6. September 2010 zur Unterschrift vorgelegt wurde, zeige, dass es lediglich darum gegangen sei, der Beschwerdegegnerin zulasten der Beschwerdeführerin eine bessere prozessuale Ausgangslage zu verschaffen.
3.2.3. Damit behauptet die Beschwerdeführerin einen Interessenkonflikt hinsichtlich der Ausstellung der Schuldanerkennung an sich und nicht hinsichtlich die der Schuldanerkennung zugrunde liegenden Forderungen (vgl. Urteil 4C.93/2007 vom 13. August 2007 E. 3.1). Sie begründet aber nicht, Entsprechendes bereits vor der Vorinstanz geltend gemacht zu haben. Zwar legt sie unter Hinweis auf ihre Duplik dar, im kantonalen Verfahren vorgebracht zu haben, E._ und F._ hätten nicht im Interesse der Gesellschaft gehandelt und rügt, dass die dazu angebotenen Beweise nicht abgenommen wurden. Die genannten Vorbringen beziehen sich aber nicht auf den Zeitpunkt der Schuldanerkennung und die Umstände bei deren Unterzeichnung bzw. dass gerade das Ausstellen einer Schuldanerkennung für erbrachte Anwaltsleistungen nicht im Interesse der Gesellschaft gewesen sei; vielmehr legte die Beschwerdeführerin an den von ihr zitierten Stellen in der Duplik die internen Vorgänge beim "Putsch" anlässlich der Generalversammlung vom 9. Juni 2010 und in der Zeit danach dar. Auch aus dem angefochtenen Urteil ergibt sich nicht, dass die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren entsprechende substanziierte Vorbringen gemacht hätte. Die Voraussetzungen für eine Ergänzung des Sachverhalts (vgl. E. 2.2) sind daher nicht gegeben. Entsprechend stösst auch der Vorwurf einer Verletzung von <ref-law> durch die Nichtabnahme verschiedener Zeugenbeweise ins Leere.
Weitere Einwände gegen die Gültigkeit der Schuldanerkennung hat die Beschwerdeführerin nicht erhoben. Es ist somit von einer gültigen Schuldanerkennung auszugehen.
3.3. Mit einer Schuldanerkennung erklärt der Anerkennende dem Anerkennungsempfänger, dass er ihm gegenüber eine Schuld hat. Es handelt sich also um eine rechtsgeschäftliche Erklärung. Eine Schuldanerkennung bewirkt die Umkehr der Beweislast. Der Gläubiger muss weder den Rechtsgrund seiner Forderung, noch die Verwirklichung anderer als der in der Urkunde aufgeführten Bedingungen beweisen. Es obliegt dem Schuldner, der die Schuld bestreitet zu beweisen, welches der Rechtsgrund der Forderung ist, und darzulegen, dass dieser Rechtsgrund nicht gültig ist, zum Beispiel weil der Anerkennung überhaupt kein Rechtsgrund zugrunde liegt oder dieser nichtig (Art. 19 und Art. 20 OR), rechtsungültig oder simuliert (<ref-law>) ist. Der Schuldner kann sich grundsätzlich auf sämtliche Einreden und Einwendungen (Erfüllung, Nichterfüllung, Verjährung etc.) berufen, die sich gegen die anerkannte Schuld richten (<ref-ruling> E. 3.2 S. 272 f; Urteile 4A_152/2013 vom 20. September 2013 E. 2.3; 4A_757/2011 vom 3. April 2012 E. 2.1; 4A_119/2010 vom 29. April 2010 E. 2.1; je mit Hinweisen). Nur ausnahmsweise ist mit der Schuldanerkennung eine zusätzliche Abrede verbunden, dass der Schuldner bezüglich der anerkannten Schuld auf bestimmte Einreden verzichte. Ein solcher Einredeverzicht ist nicht leichthin anzunehmen und muss eindeutig sein, da er für den Schuldner von grosser Tragweite ist (BGE 65 II 66 E. 8b S. 82). Die Beweislast für eine derartige Einredebeschränkung trägt der Gläubiger (Urteile 4C.69/2007 vom 21. Juni 2007 E. 6.3 und 4C.214/2006 vom 19. Dezember 2006 E. 4.3.2; je mit Hinweisen).
Die Vorinstanz ging somit entgegen der Rüge der Beschwerdeführerin zu Recht davon aus, dass die vorliegende Schuldanerkennung zu einer Umkehr der Beweislast führt. Soweit die Beschwerdeführerin sodann vorbringt, die Schuldanerkennung führe nicht zu einer selbstständigen Verpflichtung, sondern sei rein deklaratorisch, d.h. bestätige lediglich die Höhe der von der Beschwerdegegnerin gestellten Forderung, kann auf ihre Rüge mangels hinreichender Begründung nicht eingetreten werden. Im Übrigen ist aufgrund des eindeutigen Wortlauts der Erklärung klar von einer Schuldanerkennung auszugehen. Von Bedeutung wäre einzig, ob diese auch einen Einredeverzicht enthält. Die Vorinstanz liess diese Frage jedoch offen.
4.
Die Vorinstanz legte dar, Rechtsgrund der Schuldanerkennung sei ein von Rechtsanwältin Z._ am 5. August 2010 der Beschwerdegegnerin erteilter, gültiger entgeltlicher Auftrag gewesen, in dessen Rahmen das Verhalten der bisherigen Unternehmensführung, insbesondere jenes von A._, unter strafrechtlichen Aspekten zu überprüfen war. Dabei sei ein Stundenhonorar von Fr. 500.-- vereinbart worden.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht die Ungültigkeit des Auftrags geltend. Es sei nicht nachgewiesen, dass Rechtsanwältin Z._ befugt und bevollmächtigt gewesen sei, einen Mandatsvertrag mit der Beschwerdegegnerin abzuschliessen. Zudem habe sie sich in einem Interessenkonflikt befunden, da sie die persönliche Anwältin von Verwaltungsrat E._ gewesen sei. Wie bereits hinsichtlich der Schuldanerkennung beruft sich die Beschwerdeführerin erneut darauf, dass die Verwaltungsräte E._ und F._ nicht im Interesse der Gesellschaft gehandelt hätten und verweist auf die von ihr mit der Duplik vorgebrachten internen Vorgänge nach dem "Putsch" vom 9. Juni 2010. Nicht mehr bestritten wird der Inhalt des Auftrages, namentlich, dass ein Stundenhonorar von Fr. 500.-- vereinbart wurde.
4.2. Die Beschwerdeführerin macht zwar geltend, sie habe bereits vorinstanzlich eine rechtsgültige Mandatierung durch Rechtsanwältin Z._ bestritten. Weder in der Beschwerde noch an der dort angegebenen Stelle in der Duplik substanziierte sie dies jedoch. Es ist daher fraglich, ob überhaupt eine genügende Rüge vorliegt. Dies kann aber offen bleiben; es ist nämlich nicht entscheidend, ob Rechtsanwältin Z._ am 5. August 2010 mit gültiger Vollmacht gehandelt hat. Denn, nach den das Bundesgericht bindenden Feststellungen der Vorinstanz, haben die beiden Verwaltungsräte E._ und F._ am 13. August 2010 im Zusammenhang mit dem erteilten Auftrag eine Vollmacht zuhanden der Beschwerdegegnerin unterzeichnet. Ein allenfalls vollmachtloses Handeln von Rechtsanwältin Z._ wäre somit spätestens damit genehmigt worden. Davon könnte nur dann nicht ausgegangen werden, wenn die beiden Verwaltungsräte ihrerseits die Beschwerdeführerin nicht verpflichten konnten, wie dies von der Beschwerdeführerin behauptet wird.
Die Vorinstanz hielt zu diesem bereits bei ihr vorgebrachten Einwand fest, werde ein Vertrag namens und mit Wirkung für die Gesellschaft abgeschlossen, werde diese dadurch berechtigt und verpflichtet. Dass ein Vertrag gegebenenfalls nicht im Interesse der vertretenen Gesellschaft liegen könnte, ändere daran nichts. Solange eine Handlung innerhalb des objektiv verstandenen Gesellschaftszwecks liege, werde die Gesellschaft verpflichtet. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin zu verschiedenen internen Vorgängen erwiesen sich von daher als irrelevant für ihre Klage. In anderem Zusammenhang führte sie sodann aus, selbst wenn ein Machtkampf zwischen verschiedenen Aktionärsgruppen um die Besetzung des Verwaltungsrats stattfand, belege das noch nicht, dass nicht (auch) im (allenfalls vermeintlichen) Interesse der Gesellschaft gehandelt wurde. Grundsätzlich dürfe angenommen werden, dass Aktionäre als Teilhaber einer Gesellschaft neben ihren persönlichen, auch die Interessen der Gesellschaft wahren wollen, wobei allenfalls unterschiedliche Ansichten darüber bestehen könnten, wie bzw. mit welcher Zusammensetzung des Verwaltungsrats dies zu erreichen sei. Wenn sich bereits die einzelnen Mitglieder des Verwaltungsrats uneins seien, was im Interesse der Gesellschaft liege und was nicht, könne dieses Wissen erst recht nicht Aussenstehenden zugemutet werden. Auch wenn man davon ausgehen würde, dass das "kleine Komitee" nicht im Interesse der Beschwerdeführerin gehandelt habe, sei nicht ersichtlich, inwiefern die Beschwerdegegnerin davon hätte Kenntnis haben sollen. Der Vertrag sei gültig zustande gekommen und binde die Beschwerdeführerin.
Mit diesen Erwägungen setzt sich die Beschwerdeführerin nicht genügend auseinander. Sie verweist erneut auf den bestehenden Machtkampf zwischen den verschiedenen Aktionärsgruppen. Dabei übergeht sie jedoch, dass das Bestehen eines solchen von der Vorinstanz nicht verneint wurde. Auf die weitere Begründung, dies belege aber noch nicht, dass das Handeln einer Gruppe gegen die Interessen der anderen (auch) ohne weiteres ein Handeln gegen die Gesellschaftsinteressen beinhaltete, geht die Beschwerdeführerin nicht ein. Dass im Nachhinein eine Aktionärsgruppe durch Neubestellung des Verwaltungsrats die Oberhand gewinnt, beweist nicht, dass das nunmehr durch diese definierte Gesellschaftsinteresse auch das von Dritten zu berücksichtigende objektive Gesellschaftsinteresse darstellt. Zu Recht unbestritten blieb in diesem Zusammenhang auch, dass die Mandatierung einer auf Strafrecht spezialisierten Anwaltskanzlei zur Prüfung allfälliger strafrechtlicher Vorwürfe innerhalb des Gesellschaftszwecks lag. Schliesslich setzt sich die Beschwerdeführerin auch insofern nicht rechtsgenüglich mit dem angefochtenen Urteil auseinander, als dieses ausführte, dass selbst wenn das Verhalten der beiden Verwaltungsräte gegen das objektive Gesellschaftsinteresse verstossen hätte, nicht dargelegt worden sei, wie solches für den Dritten erkennbar war.
Mit der Vorinstanz ist somit davon auszugehen, dass Rechtsanwältin Z._ am 5. August 2010 der Beschwerdegegnerin rechtswirksam einen Auftrag erteilte, in dessen Rahmen das Verhalten der bisherigen Unternehmensführung der Beschwerdeführerin, insbesondere jenes von A._, unter strafrechtlichen Aspekten zu überprüfen war.
5.
Die Beschwerdeführerin bestreitet sodann, dass das Honorar im eingeklagten Betrag von Fr. 78'582.40 im Quantitativen ausgewiesen sei.
5.1.
5.1.1. Die Vorinstanz ging für den Betrag von Fr. 73'827.55 gestützt auf die Schuldanerkennung davon aus, dass die Beschwerdeführerin den Beweis für das Nichtbestehen der Forderung trägt (vgl. E. 3.3). Sie hielt sodann - für das Bundesgericht verbindlich (vgl. Urteil 4A_225/2013 vom 14. November 2013 E. 1.3.1, zur Publikation vorgesehen) - fest, die Beschwerdeführerin habe nicht bestritten, dass die anwaltliche Tätigkeit der Beschwerdegegnerin Rechtsberatung, Beurteilung strafrechtlicher Vorgänge, Ausarbeitung von Strafanzeige (n), Unterstützung bei der Kommunikation sowie die Strategieführung umfasst habe und die wesentlichen Arbeitsprodukte vorlägen. Bestritten werde lediglich für eine Vielzahl der Fälle "in programmatische (r) und standardisierte (r) Art und Weise (...), dass der behauptete Aufwand der jeweils in Rechnung gestellten Minuten (i) effektiv erbracht und (ii) angemessen und notwendig gewesen" sei. Diese Bestreitung sei angesichts der von der Beschwerdegegnerin schlüssig behaupteten Leistungen zu wenig substanziiert. Im Übrigen könne die Beschwerdeführerin mit der Edition der von ihr verlangten Urkunden durch die Beschwerdegegnerin deren Nichterbringen der Leistungen nicht beweisen und mit der Schuldanerkennung habe sie überdies die Angemessenheit der klägerischen Aufwendungen anerkannt.
5.1.2. Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, ist nicht geeignet, die vorinstanzliche Beurteilung als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen. Dass die Behauptungs- und Beweislast bei ihr liegt, wurde bereits begründet (vgl. E. 3.3). Die Beschwerdeführerin legt dar, welche Urkunden sie vorinstanzlich zur Edition beantragt hat und rügt, mit ihrer antizipierten Beweiswürdigung habe die Vorinstanz die Beweise willkürlich gewürdigt. Ihre Rüge bezieht sich somit nur auf die vorinstanzliche Beweiswürdigung. Auf die vorinstanzliche Feststellung, wonach bereits ihre Behauptungen zu wenig substanziiert seien, geht sie nicht ein. Dabei übergeht sie, dass sie - um den Begründungsanforderungen zu genügen (vgl. E. 2.1) - mit konkreten Aktenhinweisen darlegen müsste, wo sie entgegen den Feststellungen der Vorinstanz welche substanziierten Behauptungen vorgebracht hat. Indem sie dies unterlässt, liegt keine genügende Rüge vor, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann. Darüber hinaus werden auch mit ihren Ausführungen zur Beweiswürdigung die Rügeerfordernisse nicht eingehalten. Aus dem angefochtenen Urteil geht hervor, dass die Vorinstanz in mehrfacher Hinsicht begründet hat, weshalb sie auf die von der Beschwerdeführerin beantragte Urkundenedition verzichtet hat. Die Beschwerdeführerin müsste darlegen, dass alle diese Begründungen den Verzicht nicht zu stützen vermögen (vgl. E. 2.1). Sie erwähnt zwar in ihrer Beschwerde die Feststellung der Vorinstanz, wonach sie mit der Schuldanerkennung auch die Angemessenheit der Aufwendungen der Beschwerdegegnerin anerkannt habe, setzt sich aber auch damit nicht auseinander.
Die vorinstanzliche Beurteilung wäre im Übrigen ohnehin nicht zu beanstanden gewesen. Das Handelsgericht hat zwar allgemein offen gelassen, ob die Schuldanerkennung (insgesamt) einen Einredeverzicht enthalte (vgl. E. 3.3 a.E.), ging aber bezüglich der Angemessenheit des getätigten Aufwandes davon aus, dass ein solcher vorlag. Die Beschwerdeführerin hat mit der Schuldanerkennung den Betrag von Fr. 73'827.55 "vorbehaltlos" anerkannt. Eine derartige Erklärung macht nur Sinn, wenn damit allfällige Einwände der Klientin zum Umfang der Bemühungen bzw. zu deren Angemessenheit beseitigt werden sollen.
5.2. Im Betrag von Fr. 4'754.85 ist der eingeklagte Betrag nicht durch die Schuldanerkennung gedeckt. Für diese Honorarforderung ist die Beschwerdegegnerin behauptungs- und beweisbelastet.
5.2.1. Diese Rechnung betrifft nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz das Führen von Telefonaten sowie den Empfang, das Studium und das Verfassen von verschiedenen Schreiben im Zeitraum zwischen dem 2. und dem 13. September 2010 sowie Barauslagen (Fotokopien, Porti, Fax, Telefon) im Betrag von Fr. 269.--. Die einzelnen Arbeiten hat die Beschwerdegegnerin umschrieben durch Angabe des Datums, der Art der Tätigkeit (z.B. Telefonat), die Dauer und den Adressaten (z.B. Telefon mit dem juge d'instruction). Damit hat die Vorinstanz angenommen, die Beschwerdegegnerin sei ihrer Pflicht zur substanziierten Behauptung nachgekommen.
Zur Bestreitung durch die Beschwerdeführerin stellte die Vorinstanz fest, diese habe bestritten, dass der behauptete Aufwand betreffend Telefonate (i) effektiv erbracht und (ii) notwendig und angemessen gewesen sei. Bezüglich dem behaupteten Empfang und dem Studium eines Schreibens des juge d'instruction und Abklärungen durch Rechtsanwalt K._ vom 7. September 2010 sowie dem Verfassen eines Antwortschreibens an den juge d'instruction am 7. September 2010, habe sie bestritten, dass der behauptete Aufwand von 24 Minuten bzw. 1 Stunde 30 Minuten (i) effektiv erbracht und (ii) notwendig und angemessen gewesen sei. Dass das Antwortschreiben verfasst wurde, habe sie jedoch eingeräumt. Zu den von der Beschwerdegegnerin zwischen dem 9. und dem 13. September 2010 detailliert behaupteten Tätigkeiten sowie zu den Barauslagen habe die Beschwerdeführerin überhaupt keine Stellung genommen bzw. lediglich mit dem Satz "vorerst keine Bemerkungen" geantwortet. Damit mangle es an substanziierten Bestreitungen der durch die Beschwerdegegnerin behaupteten Leistungen durch die Beschwerdeführerin, wobei festzuhalten sei, dass die Beschwerdegegnerin den Beweis für die behaupteten Leistungen ohnehin erbracht habe.
5.2.2. Gemäss <ref-law> ist der Beauftragte verpflichtet, auf Verlangen jederzeit über seine Geschäftstätigkeit Rechenschaft abzulegen. Aus dieser Bestimmung wird abgeleitet, dass er bei der Rechnungstellung nach Zeitaufwand gemäss seiner Rechenschaftspflicht Angaben über die erbrachten Bemühungen machen muss. Die Umschreibung der erbrachten Leistung muss so detailliert sein, dass sie überprüfbar ist (Urteil 4P.28/1996 vom 1. Juli 1997 E. 4.b/aa). Dem Richter steht hinsichtlich der Anforderungen an die Detaillierung einer Rechnung ein Ermessensspielraum zu. Das Bundesgericht erachtete eine Beurteilung des kantonalen Gerichts, welche Tätigkeitsrapporte mit Angabe von Datum, in Stichworten geleistete Arbeiten und den jeweiligen Zeitaufwand als genügend erachtete, obwohl sie keine Aufteilung nach einzelnen Tätigkeiten (in einem umfassenden Mandat) enthielten, als nicht willkürlich, da sie eine gewisse Überprüfung der geleisteten Arbeit ermöglichten (Urteil 4P.28/1996 vom 1. Juli 1997 E. 4b/bb). Angesichts dieser zur materiellen Rechnungslegungspflicht entwickelten Grundsätze ist die vorinstanzliche Bejahung einer genügenden prozessualen Substanziierung durch die Beschwerdegegnerin nicht zu beanstanden.
Entscheidend ist daher, ob mit der Vorinstanz davon ausgegangen werden kann, dass die Beschwerdeführerin die Behauptungen der Beschwerdegegnerin nicht hinreichend bestritten hat. Doch dazu äussert sich die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde nicht. Sie begnügt sich vielmehr damit, erneut nur eine willkürliche Beweiswürdigung (<ref-law>) und eine Verletzung des Beweisführungsanspruchs im Sinne von <ref-law> und <ref-law> zu rügen. Damit mangelt es an einer genügenden Rüge und auf die entsprechenden Ausführungen, die namentlich die grundsätzlichen Überlegungen der Vorinstanz zum Beweis des Umfangs des anwaltlichen Aufwands betreffen, ist nicht einzutreten.
Davon abgesehen, hat die Vorinstanz für die Substanziierung der Bestreitung keine überhöhten Anforderungen gestellt, ebenso wenig ist sie bei der Würdigung der Beweise in Willkür verfallen: Hat sich der anwaltliche Aufwand in einem Schriftstück niedergeschlagen, kann die Klientin ebenso wie das Gericht den dafür notwendigen Zeitaufwand schätzen. Diesfalls gehört zur Substanziierung der Bestreitung, dass die Klientin den ihrer Meinung nach korrekten Zeitaufwand angibt. Vorliegend betrifft dies vor allem das von der Beschwerdegegnerin verfasste Schreiben an den juge d'instruction vom 7. September 2010, da dieses zeitmässig den grössten Aufwand dargestellt hat. Dabei hielt die Vorinstanz fest, die Beschwerdeführerin habe abschliessend erklärt, das besagte Schreiben habe nicht in ihrem Interesse gelegen. Damit ging die Vorinstanz zu Recht von einer ungenügenden pauschalen Bestreitung aus. Eine Beurteilung aufgrund eines Schriftstücks ist nicht möglich, soweit es sich um den von der Beschwerdegegnerin behaupteten Zeitaufwand für Telefonate und die im Zusammenhang mit dem Schreiben des juge d'instruction vom 7. September 2010 getätigten Abklärungen handelt; entgegen der Vorinstanz kann diesbezüglich keine substanziierte Bestreitung durch die Klientin verlangt werden. Indessen ist die vorinstanzliche Würdigung, die Beschwerdegegnerin habe den entsprechenden Aufwand erstellt, nicht willkürlich. Die Beschwerdeführerin hatte dazu die Edition von Telefonprotokollen durch die Beschwerdegegnerin verlangt, was die Vorinstanz abgelehnt hat. Die Vorinstanz durfte jedoch willkürfrei davon ausgehen, dass auch mit den Telefonprotokollen der Aufwand bzw. dessen Angemessenheit nicht bewiesen werden könne. Sie hielt zutreffend fest, die Überprüfung der Angemessenheit der Dauer eines Telefonats anhand einer meistens äusserst summarisch abgefassten Telefonnotiz sei nicht möglich, da in einer solchen lediglich das Resultat bzw. die Eckpunkte eines Gesprächs und nicht dessen chronologischer Verlauf wiedergegeben werde. Der Beweis eines Telefonats mit einer Drittperson könnte letztlich nur mit der Einvernahme des Gesprächspartners geführt werden. Ob ein solcher Beweis im konkreten Fall überhaupt möglich ist, hängt von den Umständen ab. Geht es - wie vorliegend - nur um kurze Telefonate, dürfte dies vor allem nach längerer Zeit auszuschliessen sein. Ist ein strikter Beweis aber aus objektiven Gründen nicht möglich oder nicht zumutbar, kann das Gericht den Aufwand - da es sich letztlich um blosse Parteibehauptungen handelt - in analoger Anwendung von <ref-law> schätzen. Dies betrifft sowohl das Ausmass als auch die Leistung als solche, wie das Bundesgericht in anderen Bereichen schon mehrfach erkannt hat (vgl. <ref-ruling> E. 2b/aa S. 276 f.; vgl. auch Urteile 4A_338/2011 vom 14. Dezember 2011 E. 2.2, 4C.142/2005 vom 15. Juni 2006 E. 5.1). Die fraglichen Telefonate fanden alle kurz vor bzw. nach der Generalversammlung vom 6. September 2010 statt. Indem die Vorinstanz darauf abstellte, dass es sich um blosse Folgearbeiten im Anschluss an die mit der Schuldanerkennung grundsätzlich anerkannten Tätigkeiten handelte und diese daher als ausgewiesen erachtete, hat sie ihr im Rahmen von <ref-law> zukommendes Ermessen nicht überschritten.
6.
6.1. Die Vorinstanz verneinte schliesslich auch eine Schlechterfüllung des Auftrags. Die Beschwerdegegnerin habe ihre strafrechtliche Beurteilung entsprechend dem ihr erteilten Auftrag hinsichtlich des Sachverhalts im Wesentlichen auf den Bericht der L._ AG abstellen dürfen und habe auch darauf hingewiesen, dass sie den ihr unterbreiteten Sachverhalt nicht selber überprüfen konnte. Eine weitergehende Abmahnungspflicht habe ebenfalls nicht bestanden. Sodann sei der Vorwurf einer ungenügend substanziierten Strafanzeige, seinerseits nicht genügend substanziiert, da nicht aufgezeigt werde, an welchen Stellen die Strafanzeige entsprechende Schwächen aufweise. Es reiche nicht aus, auf die Einstellungsverfügung des Instruktionsrichters zu verweisen, zumal diese eine nur summarische Begründung enthalte und ergangen sei, nachdem die Beschwerdeführerin im Anschluss an die Neubestellung des Verwaltungsrats an der Generalversammlung vom 6. September 2010 eine Desinteresseerklärung abgegeben habe. Die Strafanzeige sei auch nicht überstürzt eingereicht worden. Schliesslich könne eine Schlechterfüllung auch nicht mit dem behaupteten Vorgehen der Beschwerdegegnerin gegen die Interessen der Beschwerdeführerin begründet werden. Sie habe ihren Auftrag von den damaligen Organen und der damaligen Vertreterin erhalten. Der Umstand, dass die Verantwortlichkeit von A._ betont und hervorgehoben wurde, führe nicht zum Schluss, dass die strafrechtliche Beurteilung insgesamt nicht objektiv gewesen sei. Der Beschwerdeführerin könne auch nicht vorgeworfen werden, ihre Arbeit nach dem 6. September 2010 nicht sofort eingestellt zu haben, sei doch unbestritten geblieben, dass sie mit dem damals noch im Amt stehenden Verwaltungsratspräsidenten F._ Rücksprache genommen habe.
6.2. Die Rügen der Beschwerdeführerin beziehen sich nur noch auf die Würdigung der Mängel der Strafanzeige und des interessenwidrigen Handelns.
Ob die Vorinstanz an die Substanziierung der Mängel der Strafanzeige zu hohe Anforderungen stellte und damit <ref-law> verletzte, wie die Beschwerdeführerin geltend macht, kann offen bleiben. Entscheidend ist, dass die Vorinstanz entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin willkürfrei davon ausgehen konnte, dass mit der Tatsache der Einstellung der Nachweis einer mangelhaften Strafanzeige und damit einer sorgfaltswidrigen Arbeit der Beschwerdegegnerin nicht erbracht wurde, zumal die Beschwerdeführerin eine Desinteresseerklärung abgegeben hatte.
Soweit die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin erneut ein Handeln gegen die Interessen der Gesellschaft bzw. im alleinigen Interesse der Verwaltungsräte E._ und F._ vorwirft, kann auf die Ausführungen zur Vertretungsmacht bei der Auftragserteilung verwiesen werden (E. 4.2). Auch wenn der Beschwerdegegnerin im Laufe der Mandatsausführung der Machtkampf zwischen den verschiedenen Aktionärsgruppen bewusster geworden sein mag als bei der Auftragserteilung, wie die Beschwerdeführerin geltend macht, ändert dies nichts daran, dass das Handeln einer Gruppe gegen die Interessen der anderen nicht (auch) ohne weiteres ein Handeln gegen die Gesellschaftsinteressen beinhaltet.
7.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Reitze