Erwägungen:
1. Das Departement des Innern des Kantons Solothurn lehnte am 15. Oktober 2008 ein Gesuch von X._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung bzw. um Erteilung der Niederlassungsbewilligung ab. Gegen diese Verfügung erhob X._ am 30. Oktober 2008 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Dessen Präsident verfügte am 3. November 2008, der Beschwerde werde keine aufschiebende Wirkung erteilt (Ziff. 3 des Verfügungsdispositivs). Ziff. 3 dieser Zwischenverfügung focht X._ am 17. November 2008 mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht an.
Mit Verfügung vom 5. Januar 2009 ordnete der Vizepräsident des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn neu an, der Beschwerde werde aufschiebende Wirkung erteilt und der Beschwerdeführer könne den Ausgang des Verfahrens in der Schweiz als Jahresaufenthalter abwarten. In derselben Verfügung ersuchte er das Bundesgericht um Abschreibung des Verfahrens 2C_836/2008, wobei die Verfügung Äusserungen im Hinblick auf die Kostenregelung enthält.
Mit Verfügung des präsidierenden Mitglieds der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 14. Januar 2009 wurden der Beschwerdeführer und das Departement des Innern des Kantons Solothurn zur Stellungnahme eingeladen. Das Departement beantragt Abschreibung des Verfahrens, wobei es im Hinblick auf die Kostenregelung zur ausländerrechtlichen Situation des Beschwerdeführers Stellung nimmt. Dieser stellt die Anträge, Ziff. 3 der angefochtenen Verfügung sei aufzuheben, der Kanton Solothurn sei zu verpflichten, ihm eine Entschädigung für die Anwaltskosten im bundesgerichtlichen Verfahren zu entrichten, es sei keine Gerichtsgebühr zu erheben und im Übrigen sei die "Verwaltungsgerichtsbeschwerde" abzuschreiben.
2. Mit der Verfügung des Vizepräsidenten des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 5. Januar 2009 ist der vor dieser Instanz hängigen Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt worden; einer Aufhebung der Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens bildenden Ziff. 3 der ursprünglichen Verfügung vom 3. November 2008 bedarf es, anders als der Beschwerdeführer offenbar meint, nicht. Das bundesgerichtliche Verfahren ist mithin gegenstandslos geworden; es kann durch Entscheid des Instruktionsrichters bzw. des Abteilungspräsidenten abgeschrieben werden (Art. 32 Abs. 1 und 2 BGG), wobei dieser mit summarischer Begründung über die Gerichtskosten und die Höhe einer allfälligen Parteientschädigung entscheidet (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
Die Vorinstanz ist auf ihre ursprüngliche Verfügung zurückgekommen und anerkennt konkludent, dass Gründe vorliegen, die dafür sprechen, der kantonalen Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Was sie gerade im Zeitraum zwischen dem 3. November 2008 und dem 5. Januar 2009 zu einer neuen Einschätzung der Situation geführt hat, lässt sich, selbst in Berücksichtigung ihrer Äusserungen sowie derjenigen des Departements des Innern zur Kostenfrage, schon darum nicht erkennen, weil die erste Verfügung keine Begründung enthielt. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich, den Beschwerdeführer im Hinblick auf die Kostenregelung als obsiegende Partei zu betrachten. Mithin sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG), und der Kanton Solothurn ist zu verpflichten, dem durch einen Rechtsanwalt vertretenen Beschwerdeführer die durch den Rechtsstreit verursachten notwendigen Kosten zu ersetzen (<ref-law>).

Demnach verfügt der Präsident:
1. Das Verfahren wird abgeschrieben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Solothurn wird verpflichtet, dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- zu bezahlen.
4. Diese Verfügung wird dem Beschwerdeführer, dem Departement des Innern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Januar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller