Faits:
A.
A.a. Arguant souffrir des suites d'un accident survenu dans le cadre de son travail d'aide-jardinier le 23 septembre 1983, G._, né en 1953, a déposé une demande de prestations auprès de la Commission cantonale genevoise de l'assurance-invalidité (ci-après: la commission AI) le 12 août 1985. Les avis médicaux réunis durant la procédure font principalement état d'une spondylose L4-L5 bilatérale structurelle sans listhésis, d'une ancienne maladie de Scheuermann dorso-lombaire, de côtes cervicales bilatérales et d'un problème de somatisation avec état dépressif réactionnel (rapport d'expertise de l'Hôpital X._ du 12 juin 1986). L'administration en a déduit une incapacité totale de travail et le droit de l'assuré à une rente entière depuis le 1er septembre 1984 (décision du 28 octobre 1988).
A.b. Ce droit a été maintenu inchangé par la commission AI (communication du 24 novembre 1989), par la Commission cantonale genevoise de recours (décision du 5 juillet 1996), puis par l'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après: l'OAI-E; communication du 13 avril 1999) à la fin des trois premières procédures de révision en raison d'un état de santé stationnaire. Il a été supprimé par l'OAI-E à l'occasion de la quatrième procédure de révision dans la mesure où l'intéressé avait recommencé à travailler à plein temps comme maçon dès le 1er mars 2002 (décision du 27 avril 2004). Cette décision a été confirmée par l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI; décision sur opposition du 16 juillet 2004).
A.c. G._ s'est derechef annoncé à l'office AI le 6 mars 2006, en évoquant les séquelles totalement incapacitantes d'un accident survenu dans le cadre de ses nouvelles activités le 5 juillet 2004. Ses médecins traitants ont été consultés. Le docteur H._, médecin praticien, a évoqué un état dépressif, un syndrome de stress post-traumatique et un polytraumatisme (distorsion cervicale; différentes contusions du genou, lombaire [tassement de L4] et cérébrale [diminution de l'audition]; fracture de la tête humérale droite) prohibant la reprise du métier d'ouvrier de chantier (rapport du 27 mars 2006); la doctoresse K._, spécialiste en psychiatrie, a attesté une incapacité totale de travail due à un épisode dépressif (dont l'intensité n'était pas précisée), un état de stress post-traumatique et un syndrome douloureux somatoforme persistant (rapport du 22 septembre 2006). L'administration a encore confié la réalisation d'un examen bi-disciplinaire à son Service médical régional (SMR). Les docteurs S._, spécialiste en chirurgie orthopédique, et B._, spécialiste en psychiatrie, ont fait état de cervico-dorso-lombalgies sur trouble dégénératif, d'une gonarthrose bilatérale, d'une obésité, d'une stéato-fibrose hépatique, d'une hypoacousie, d'un status après fracture-tassement de L4, d'une dysthymie et d'une majoration des symptômes physiques pour des raisons psychologiques autorisant l'exercice d'un métier adapté, à plein temps, depuis le mois de janvier 2005 du point de vue somatique et depuis le mois de novembre 2007 sur le plan psychiatrique (rapport du 18 décembre 2007). L'office AI a informé l'assuré que, compte tenu des renseignements obtenus, il envisageait de lui reconnaître le droit à une rente entière pour la période comprise entre les 1er janvier 2005 et 31 janvier 2008 (projet de décision du 29 mai 2008). Il a entériné son intention le 18 juin 2009.
B.
L'intéressé a porté la cause devant la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, concluant au maintien de son droit aux prestations au-delà du 1er février 2008. S'appuyant sur l'avis de ses médecins traitants (cf. rapport du département de psychiatrie de l'Hôpital X._ du 20 juillet 2009), il s'estimait toujours totalement incapable de travailler en raison de pathologies psychiatriques et pneumologiques. L'administration a requis plus d'informations relatives aux pathologies mentionnées et, étant donné les documents médicaux produits, a d'abord conclu au rejet du recours, puis à l'annulation de la décision et au renvoi de la cause pour instruction complémentaire. Les parties ont maintenu leurs positions respectives lors de déterminations ultérieures et continué à produire de nombreux documents détaillant la situation médicale. Au regard des avis médicaux divergents, le tribunal cantonal a procédé à une expertise par le truchement des doctoresses D._, spécialiste en psychiatrie, et E._, spécialiste en rhumatologie. Les expertes ont rendu des rapports séparés et, sur demande de la juridiction cantonale, des conclusions générales. La première a diagnostiqué des troubles dépressif récurrent actuellement en rémission, de la personnalité narcissique décompensé et douloureux somatoforme persistant entraînant une diminution de la capacité de travail de 25% (rapport du 19 août 2011). La seconde a évoqué des troubles dégénératifs du rachis lombaire et cervical et une rupture du tendon du sus-épineux de l'épaule droite permettant l'exercice, à 100%, d'une activité adaptée (rapport du 20 août 2011). Elles ont retenu ensemble une incapacité totale de travail, quelle que soit l'activité envisagée (lettre du 14 septembre 2011). L'office AI a contesté la valeur de l'expertise et exigé la réalisation d'une autre évaluation médicale tandis que G._ s'est opposé à tout acte complémentaire d'instruction. D'accord avec les remarques de l'administration, le tribunal cantonal a décidé de compléter les données médicales, en mandatant le docteur M._, spécialiste en psychiatrie. Selon l'expert, le syndrome douloureux somatoforme persistant et le trouble dépressif récurrent (épisodes moyens et sévères, indépendants du syndrome douloureux) observés avaient généré une incapacité de travail de 40% entre les mois de juillet 2004 et de septembre 2008, de 100% entre les mois d'octobre 2008 et de décembre 2010 et engendraient une incapacité de travail de 40% dès le mois de janvier 2011 (rapport du 22 mai 2013). L'assuré n'a soulevé aucune critique à l'égard de l'expertise alors que l'administration a contesté l'analyse du caractère invalidant du syndrome douloureux.
La juridiction cantonale a annulé la décision litigieuse en tant qu'elle limitait les prestations au 31 janvier 2008 et admis le droit de l'intéressé à une rente entière pour la période comprise entre les 1er octobre 2008 et 31 décembre 2010 en fonction de la répercussion sur la capacité de travail du seul trouble dépressif tel qu'attesté par le dernier expert psychiatre (jugement du 8 novembre 2013).
C.
G._ recourt contre ce jugement dont il demande l'annulation en tant qu'il n'octroie pas de rente d'invalidité pour les périodes de juillet 2004 à septembre 2008 et dès janvier 2011. Il conclut sous suite de frais et dépens à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité pour les périodes mentionnées ou au renvoi du dossier au tribunal cantonal pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Il sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.

Considérant en droit:
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (cf. <ref-law>) interjeté pour violation du droit fédéral (comprenant les droits fondamentaux) au sens de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il statue sur la base des faits retenus par la juridiction précédente (<ref-law>) qu'il peut rectifier ou compléter d'office si des lacunes et erreurs manifestes apparaissent aussitôt (<ref-law>). Il n'examine en principe que les griefs allégués et motivés (<ref-law>) surtout s'il portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant n'est habilité à critiquer la constatation des faits influant sur le sort du litige que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
Est litigieux le droit à une rente d'invalidité dans le cadre d'une nouvelle demande de prestations ou, en d'autres termes, le point de savoir si - par analogie avec l'<ref-law> (cf. <ref-law>; voir également <ref-ruling> consid. 5 p. 110 ss; <ref-ruling> consid. 3.5.2 p. 350 sv.; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 75 ss) - le taux d'invalidité du recourant a subi une modification notable depuis la décision du 16 juillet 2004 et justifie désormais l'attribution d'une rente. Compte tenu des critiques que l'assuré a émises contre le jugement cantonal (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 550; voir également Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 25 ad <ref-law>), il s'agit singulièrement de déterminer si les premiers juges ont correctement apprécié le caractère invalidant du trouble douloureux diagnostiqué et évalué le degré d'invalidité. Le jugement attaqué cite les principes jurisprudentiels nécessaires à la résolution du litige. Il suffit d'y renvoyer.
3.
3.1. L'assuré fait grief au tribunal cantonal d'avoir arbitrairement apprécié divers critères permettant de déterminer si le syndrome douloureux somatoforme persistant retenu avait un caractère invalidant, ou pas, et d'en avoir déduit qu'il était capable de surmonter les conséquences du trouble cité et de se réinsérer dans le monde du travail par un effort de volonté raisonnablement exigible.
3.2. Il apparaît d'une manière générale que le recourant se borne à opposer sa propre appréciation des faits et des preuves à celle de la juridiction cantonale sans présenter aucun autre élément concret susceptible d'étayer clairement son point de vue ou réfuter celui des premiers juges.
Il n'est singulièrement pas suffisant de mentionner certains passages de l'anamnèse psychosociale de la dernière expertise, dans lesquels il avait notamment prétendu s'être isolé depuis la survenance de l'accident ou ne plus entretenir de contacts avec l'extérieur, ses enfants ou ses amis, pour démontrer une perte d'intégration sociale niée par le tribunal cantonal en raison de la persistance de relations avec son ex-épouse et avec un ami qui le véhiculait. Outre le fait que l'appréciation de la juridiction cantonale est corroborée par les constatations du docteur M._, ce qui n'est pas le cas des déclarations de l'assuré, et que l'expert a attesté le caractère évasif et contradictoire de ces déclarations, on relèvera effectivement que le maintien des relations évoquées suffit à montrer l'absence de perte d'intégration sociale, d'autant plus que ce critère s'analyse en relation avec toutes les manifestations de la vie (cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 70 ss et les références).
L'argumentation du recourant relative à l'état psychique cristallisé n'est pas plus pertinente que son analyse du critère précédent dès lors que, pour pouvoir aboutir à la conclusion que ledit critère n'était pas rempli, le tribunal cantonal a fondé son raisonnement sur les constatations de l'expert psychiatre pour qui le tableau douloureux paraissait certes figé mais l'état psychique à proprement parler était encore évolutif puisque l'histoire clinique montrait des variations de l'humeur. La seule référence au sens commun, qui permettrait de déduire un état psychique cristallisé d'un trouble dépressif sans rémission depuis dix ans, n'est d'aucune utilité à l'assuré dans la mesure où son argument repose sur une prémisse erronée. Le docteur M._ a en effet décrit avec précision une évolution, et non une constance ou une stabilité, des troubles de l'humeur, qualifiés par ailleurs de réactionnels et liés à des facteurs de stress extérieurs (refus de prestations d'invalidité, problèmes conjugaux et familiaux).
Il en va pareillement des critiques dirigées contre la constatation d'une discordance entre le substrat objectif et les plaintes du recourant. Il est effectivement vain d'affirmer que diverses limitations fonctionnelles découlant des troubles somatiques et psychiques ont été décrites par les médecins consultés dès lors que l'existence de telles limitations n'a jamais été contestée et que celles-ci démontrent justement la discordance évoquée en attestant que l'assuré est tout à fait apte à exercer une activité adaptée malgré la vision erronée qu'il a de sa maladie.
Il ressort aussi de l'acte attaqué que les premiers juges ne se sont pas contentés de se référer à l'un ou l'autre des critères pour nier le caractère invalidant du syndrome douloureux somatoforme persistant retenu mais que leur conclusion concernant la capacité de l'assuré à produire l'effort de volonté nécessaire à la reprise d'une activité adaptée résulte d'une appréciation de tous les critères analysés (cf. jugement cantonal consid. 7), contrairement à ce que soutient le recourant. On ajoutera à cet égard que l'appréciation globale de la situation à laquelle fait allusion l'assuré s'entend de l'appréciation de l'imprégnation des constatations médicales par les critères cités et non de l'appréciation de sa situation personnelle ou professionnelle.
On relèvera encore que, contrairement à ce qu'a dit la juridiction cantonale, on peut douter que le critère des affections corporelles chroniques soit rempli dans la mesure où, exception faite des conséquences traumatiques des accidents qui se sont toujours résorbées, les seules pathologies somatiques mentionnées lors de la dernière expertise sont essentiellement des troubles dégénératifs du rachis qui n'empêchaient pas l'exercice d'une activité adaptée. Il en va de même du processus maladif s'étendant sur plusieurs années puisque celui-ci n'était de loin pas figé et qu'il a varié selon les circonstances de la vie, comme on l'a déjà dit.
Quoi qu'il en soit, au regard de ce qui précède, on ne peut pas faire grief au tribunal cantonal d'avoir abouti à un résultat arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 319).
4.
4.1. Le recourant reproche aussi aux premiers juges d'avoir procédé à une évaluation incorrecte de son degré d'invalidité. Il considère que sa capacité résiduelle de travail ne saurait excéder 60% dans une activité adaptée conformément à la conclusion du docteur M._ et que les autorités administrative et judiciaire qui se sont exprimées ont confondu les notions de «diminution de rendement» et d'«abattement sur le salaire statistique».
4.2. Cette argumentation est infondée. Il n'y a effectivement pas de raisons de revenir sur la capacité résiduelle de travail retenue par le docteur M._ dès lors que les conclusions de l'expert à cet égard ont été écartées par la juridiction cantonale au terme de l'appréciation des critères jurisprudentiels conférant à un trouble somatoforme douloureux un caractère invalidant et que, comme déjà constaté, les arguments développés par l'assuré à ce propos ne remettent pas en question le jugement cantonal (cf. consid. 3). Par ailleurs, s'il est exact que l'office intimé et le tribunal cantonal ont utilisé l'expression «baisse de rendement» au lieu du mot «abattement», il ressort de la feuille de calcul qui a servi de base à la décision administrative litigieuse et à l'acte attaqué qu'il s'agit bien de la réduction supplémentaire du revenu d'invalide qui était visée par le taux de 10% évoqué par le recourant. Pour le surplus, le seul fait pour le recourant de rappeler ses circonstances personnelles ou professionnelles - en particulier des limitations fonctionnelles importantes dont on a vu qu'elles permettaient d'exercer une activité adaptée à plein temps, un trouble dépressif persistant dont on a vu qu'il fluctuait en fonction des circonstances de la vie, des difficultés linguistiques qui n'ont pas été un obstacle à la réalisation d'actes nécessitant une certaine capacité d'expression telles que des expertises ou l'absence de formation qui n'exclut nullement l'existence sur un marché équilibré du travail de nombreuses activités n'en exigeant pas, pas plus que l'usage de la force - et d'en déduire un taux de réduction supérieur à celui retenu ne démontre pas que la juridiction cantonale aurait violé le droit en confirmant le taux fixé par l'office intimé (cf. <ref-ruling>).
5.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'assuré (<ref-law>) qui ne peut prétendre des dépens (<ref-law>). L'assistance judiciaire lui est toutefois accordée puisqu'il en remplit les conditions (art. 64 al. 1 et 2 LTF); il est rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du tribunal, s'il devient ultérieurement en mesure de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée au recourant. M e Marc Mathey-Doret est désigné comme avocat d'office.
3.
Les frais judiciaires arrêtés à 800 fr. sont mis à la charge du recourant. Ils sont provisoirement supportés par la caisse du Tribunal.
4.
Une indemnité de 2800 fr. est allouée à M e Marc Mathey-Doret à titre d'honoraires. Elle est provisoirement supportée par la caisse du Tribunal.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 avril 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Cretton