Sachverhalt:
A.
A._ und B._ heirateten am XX. XX.XXXX. Sie haben einen gemeinsamen Sohn, C._, geboren am XX. XX.XXXXX. Am 2. April 2009 machte A._ beim Bezirksgericht Meilen ein Scheidungsverfahren anhängig. Sie beantragte dem Gericht, die Ehe zu scheiden und die Nebenfolgen zu regeln. Dem schloss sich B._ offenbar an. Mit Urteil vom 19. April 2012 schied das Bezirksgericht Meilen die Ehe und stellte den Sohn C._ unter die elterliche Sorge von B._. Es regelte die übrigen Kinderbelange (Besuchsrecht, Beistandschaft, Kindesunterhaltsbeiträge) sowie den Vorsorgeausgleich, das Güterrecht und die Kosten- und Entschädigungsfolgen. Einen nachehelichen Unterhalt legte das Bezirksgericht nicht fest.
B.
Am 29. Mai 2012 gelangte A._ mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Sie verlangte im Wesentlichen die Zuteilung der elterlichen Sorge an sie und stellte detaillierte Anträge bezüglich des Besuchsrechts, der Besuchsbeistandschaft und des Kindesunterhalts. Zudem verlangte sie die Festsetzung von nachehelichem Unterhalt. Das Obergericht bestätigte mit Urteil vom 6. November 2012 die Zuteilung der elterlichen Sorge an den Vater, die Besuchsrechtsregelung, die Anordnung einer Beistandschaft und den Kindesunterhalt. Soweit A._ die Festsetzung nachehelichen Unterhalts forderte, trat das Obergericht auf die Berufung nicht ein. Im Übrigen hielt es fest, dass das erstinstanzliche Urteil bezüglich Scheidungspunkt, Güterrecht, Vorsorgeausgleich und Kosten rechtskräftig geworden ist.
C.
Gegen dieses Urteil gelangt A._ (Beschwerdeführerin) mit Beschwerde an das Bundesgericht. Sie verlangt im Wesentlichen die Zuweisung des Sorgerechtes über den Sohn an sie und eine detaillierte Regelung des Besuchsrechts des Vaters. Weiter sei B._ (Beschwerdegegner) zur Leistung von Kindesunterhalt zu verpflichten, eine Besuchsbeistandschaft zu errichten und der Kostenpunkt neu zu regeln. Eventuell sei die Sache zur Ergänzung des Sachverhaltes an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
D.
Die Beschwerdeführerin hatte ein Gesuch um aufschiebende Wirkung gestellt, dem der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 3. Januar 2013 entsprach.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das auf Rechtsmittel hin letztinstanzlich über Nebenfolgen der Scheidung und damit in einer Zivilsache entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, 75 und 90BGG). Strittig sind sowohl vermögensrechtliche als auch nicht vermögensrechtliche Fragen, weshalb die Beschwerde ohne Streitwerterfordernis gegeben ist (<ref-ruling> E. 2b S. 495). Die im Übrigen fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Vorbringen. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 749). Das Bundesgericht legt zudem seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig und damit willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252 mit Hinweisen) oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG zustande gekommen ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Die Sachverhaltsfeststellung beziehungsweise Beweiswürdigung erweist sich dabei nur dann als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234).
Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Diese prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; Rügeprinzip). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung oder Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
1.3. Die Beschwerde richtet sich zur Hauptsache gegen die Würdigung der Erziehungsfähigkeit der Eltern und gegen die Beurteilung der Gefährdung des Kindeswohls bei einer Zuweisung des Kindes an den Vater. Die Beschwerdeführerin macht eine Verletzung des in Kinderbelangen geltenden Untersuchungsgrundsatzes (Art. 296 ZPO), willkürliche Sachverhaltsfeststellungen und eine Verletzung des Grundsatzes der Verhältnismässigkeit geltend. Diese Rügen sind grundsätzlich zulässig; auf die Willkürrüge kann indessen nur unter den erwähnten Voraussetzungen eingetreten werden (E. 1.2 ). Bezüglich der Rüge der Unverhältnismässigkeit fehlt es schliesslich in der Beschwerdeschrift an jeglicher Begründung; darauf ist nicht einzutreten.
2.
2.1. Zusammenfassend hat die Vorinstanz - wie schon die erste Instanz - festgestellt, dass das für die Kinderzuteilung in erster Linie massgebliche Kriterium der Erziehungsfähigkeit klar zu Gunsten einer Zuweisung der elterlichen Sorge an den Beschwerdegegner spreche, insbesondere was dessen Bereitschaft zur Zusammenarbeit mit dem nicht sorgeberechtigten Elternteil angehe. Dem angefochtenen Entscheid sind aber auch ausführliche Überlegungen zur Frage der Stabilität der Lebensverhältnisse des Kindes zu entnehmen. Die kantonalen Instanzen haben sich dabei in erster Linie auf das gerichtliche Gutachten abgestützt. Sie haben sich aber auch gründlich mit dem von der Beschwerdeführerin eingereichten Parteigutachten und den weiteren umfangreichen Akten auseinandergesetzt.
2.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Feststellung, sie versuche die Bindung zwischen dem Kind und dem Beschwerdegegner zu verhindern, sei aktenwidrig. Sie verweist hierzu aber ausschliesslich auf einige wenige Protokollseiten. Sie übersieht dabei, dass die kantonalen Instanzen ihre Erkenntnis nicht bloss auf einzelne Protokollstellen stützen, sondern auf ihr ganzes Verhalten seit der Trennung der Parteien und auf ihr Verhalten im vorliegenden Verfahren. Sie unterlässt es auch, im Einzelnen auszuführen, inwiefern die Vorinstanz diese Aktenstellen übersehen bzw. falsch wahrgenommen haben soll. Eine Aktenwidrigkeit läge nur vor, wenn das Gericht sich mit einer Sachverhaltsfeststellung in einen Widerspruch zu den Akten gesetzt hat, sei es, dass es die entsprechenden Aktenstellen übersehen oder ihneneinenanderen als denwirklichen Inhalt beigemessen hat, sei es, dass esirrtümlich davon ausgegangen ist, eine Tatsache sei aktenmässig belegt, obwohl die Akten in Wirklichkeit darüber keinen Aufschluss geben. Aktenwidrigkeit liegt mit anderen Worten nur vor, wenn das Gericht bei der Beweiswürdigung von unrichtigen tatsächlichen Prämissen ausgeht. Das Ergebnis und die Art und Weise der Beweiswürdigung sowie die darin liegenden Wertungen sind nicht Gegenstand der Rüge einer Aktenwidrigkeit, sondern einzig Tatsachenfeststellungen, die von keiner weiteren Würdigung abhängen, weil sie mit den Akten unvereinbar sind (<ref-ruling> E. 3.6 f. S. 49 f.). Inwieweit das vorliegend zutreffen soll, hat die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerdeschrift aber gar nicht im Einzelnen dargelegt. Sie stellt vielmehr ihre eigene Sichtweise jener des Gerichts entgegen. Das ist aber bloss Kritik an der Beweiswürdigung und nicht die Begründung einer Aktenwidrigkeit. Die Rüge der Aktenwidrigkeit ist somit nicht ausreichend dargetan, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
2.3.
2.3.1. Auch bezüglich der Frage, wie konkret die Beschwerdeführerin Anhaltspunkte für einen sexuellen Missbrauch des Kindes durch den Beschwerdegegner vorgebracht hat, verkennt die Beschwerdeführerin die Bedeutung einer Aktenwidrigkeit. Ihre Ausführungen beschränken sich darauf, die Würdigung ihrer Vorbringen durch die Vorinstanz zu kritisieren. Sie legt aber in keiner Weise dar, inwiefern die Vorinstanz ihre Vorbringen oder Aktenstücke übersehen oder nicht entsprechend ihrem wirklichen Inhalt wahrgenommen habe. Sie wertet bloss die Vorwürfe anders.
2.3.2. Soweit sie in der Würdigung der von ihr vorgebrachten Behauptungen durch die Vorinstanz Willkür sehen will, kann ihr nicht gefolgt werden. Auch wenn der Vorwurf eines sexuellen Missbrauchs niemals auf die leichte Schulter genommen werden darf, genügen die in der Beschwerdeschrift vorgebrachten Beobachtungen in keiner Weise, um einen hinreichend begründeten Verdacht zu begründen, der weitere umfangreiche Abklärungen notwendig machen würde. Zur Feststellung, dass dieser Vorwurf nicht begründet ist, gelangt die Vorinstanz, nachdem sie sich mit den Vorhaltungen der Beschwerdeführerin fundiert auseinandergesetzt hat. Insbesondere stützt sie sich diesbezüglich sowohl auf die Ausführungen des gerichtlich bestellten Gutachters als auch auf diejenigen im Parteigutachten der Beschwerdeführerin. Die diesbezügliche Würdigung der Vorinstanz ist nicht nur willkürfrei, sondern auch überzeugend.
2.3.3. Die Beschwerdeführerin sieht sodann im Umstand, dass die Vorinstanz neben den vorhandenen gutachterlichen Äusserungen keine weiteren Abklärungen getroffen hat, eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes. Es ist unbestritten, dass in Kinderbelangen bei familienrechtlichen Verfahren der Untersuchungsgrundsatz gilt (Art. 296 ZPO). Dies kann dazu führen, dass das befasste Sachgericht gegebenenfalls weitere Beweise zu erheben, namentlich eine erneute Anhörung durchzuführen oder ein weiteres Gutachten einzuholen hat; massgeblich ist dabei, ob neue Erkenntnisse zu erwarten oder ob die Ergebnisse der früheren Untersuchungen nach wie vor aktuell sind (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 555). Soweit sich die tatsächlichen Verhältnisse nicht wesentlich verändert haben, ist im Zusammenhang mit der Kinderzuteilung insbesondere eine erneute Anhörung durch das obere kantonale Gericht nicht erforderlich (Urteile 5C.19/2002 vom 15. Oktober 2002 E. 2.1). Die Beschwerdeführerin unterlässt es aber vorliegend darzulegen, warum die getroffenen Erhebungen nicht mehr aktuell sein sollen und welche weiteren Abklärungen das Obergericht hätte vornehmen müssen. Wer sich auf den Untersuchungsgrundsatz beruft bzw. eine Verletzung desselben geltend macht, muss jedoch aufzeigen, welche weiteren Erhebungen das Gericht hätte vornehmen müssen. Auch hier kommt die Beschwerdeführerin ihrer Begründungspflicht nicht nach. Sie beschränkt sich vielmehr auf eine appellatorische Kritik an der Sachverhaltswürdigung der Vorinstanz, lässt sie doch selbst in ihrer Beschwerdeschrift ausführen, die Vorinstanz interpretiere "den Sachverhalt auf ihre eigene Weise". Zudem entfällt jede Bedeutung des Untersuchungsgrundsatzes, wenn der Sachverhalt erstellt ist. Hat sich das Gericht wie vorliegend ein abschliessendes Urteil über einen bestimmten Sachverhalt gebildet, gibt es nichts mehr zu untersuchen (s. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735).
2.3.4. Im Weiteren kritisiert die Beschwerdeführerin das Gutachten von D._. Sie wirft ihm vor, mit dem Kind nur einen kurzen Kontakt gehabt und Feststellungen getroffen zu haben, die nicht mit jenen der Betreuungspersonen übereinstimmen. Dabei verkennt sie, dass sich die Vorinstanz ausführlich mit dem Gutachten auseinandergesetzt hat und dass das Gutachten nicht ausschliesslich auf der Anhörung des Kindes beruht. Vielmehr stützt es sich auch auf die umfangreichen Prozessakten. Die erste Instanz - und ihr folgend auch die Vorinstanz - gründeten ihre Entscheide zudem nicht ausschliesslich auf das Gutachten von D._, sondern ebenso auf eigene Feststellungen und Vorfälle im Verlaufe des erstinstanzlichen Verfahrens sowie auf Berichte der Kinderbeiständin, der Kinderprozessvertreterin und der Besuchsbegleiterin. Zudem setzten sich beide kantonalen Instanzen auch ausführlich mit dem privaten, von der Beschwerdeführerin eingereichten Bericht eines von ihr zugezogenen Kinderpsychiaters auseinander. Unter diesen Umständen ist nicht zu beanstanden, dass der gerichtliche Gutachter das Kind nur während einer Stunde angehört hat. Dass nicht das ganze Umfeld des Kindes die gleichen Wahrnehmungen getroffen hat, liegt in der Natur der Sache und kann den gutachterlichen Ausführungen keinen Abbruch tun.
2.3.5. Schliesslich kritisiert die Beschwerdeführerin die von der Vorinstanz auf Grund des gerichtlich bestellten Gutachtens und der weiteren Sachverhaltsfeststellungen vorgenommene Würdigung der Erziehungsfähigkeit beider Eltern. Auch hier begnügt sich die Beschwerdeführerin allerdings wiederum damit, ihre eigene Sicht darzustellen. Soweit sie in diesem Zusammenhang weitere Beweise anbietet, verkennt sie das Wesen des Beschwerdeverfahrens vor Bundesgericht. Es geht nicht darum, den Sachverhalt neu aufzurollen. Das Bundesgericht kann - wie eingangs dargelegt - den Sachverhalt nicht neu würdigen. Es ist vielmehr an die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz gebunden (E. 1.2 ).
2.4. Es ergibt sich somit, dass die Zuteilung der elterlichen Sorge an den Beschwerdegegner in keiner Weise zu beanstanden ist. Das Urteil des Obergerichts ist vielmehr in diesem Punkt zu bestätigen und die Beschwerdeführerin dringt mit ihrem Hauptanliegen nicht durch.
3.
Die Ausführungen in der Beschwerdeschrift zum Besuchsrecht beschränken sich auf dessen Regelung für den Fall, dass die Zuteilung der elterlichen Sorge an die Beschwerdeführerin erfolgen würde. Demgegenüber äussert sich diese in keiner Weise zur Regelung ihres eigenen Besuchsrechts für den Fall, dass es bei der Zuteilung der Sorge an den Beschwerdegegner bleibt. Nachdem sich nunmehr die Zuteilung an den Beschwerdegegner als bundesrechtskonform erweist, sind die entsprechenden Ausführungen in der Beschwerdeschrift gegenstandslos. Dies gilt auch bezüglich der Beistandschaft und des Kindesunterhalts.
4.
Die Beschwerde erweist sich insgesamt als unbegründet und ist abzuweisen. Die Beschwerdeführerin wird damit kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist zwar bezüglich der Beschwerde selbst kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (Art. 68 Abs. 1 BGG), er musste aber zum Gesuch um aufschiebende Wirkung Stellungnehmen. Diese Kosten sind zur Hauptsache geschlagen worden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Mai 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn