Faits:
A. D._ a travaillé en qualité de juriste au service de l'Association X._. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Genevoise Assurances (ci-après: la Genevoise).
Le 22 juin 1999, elle a été victime d'un accident de la circulation: alors qu'au volant de sa voiture, elle était arrêtée à l'entrée d'un giratoire pour céder le passage, un autre véhicule a heurté l'arrière de sa voiture. Dans un rapport du 16 août 1999, le docteur A._ a fait état d'un «coup du lapin» à la colonne cervicale. La Genevoise a pris en charge le cas.
L'assurée a subi une incapacité de travail entière du 11 octobre au 3 novembre 1999 et de 50% du 4 au 14 novembre 1999. Elle a cessé toute activité professionnelle à partir du 1er février 2002.
Un CT-scan effectué le 28 février 2002 a révélé l'existence d'une fracture non consolidée, correspondant à une pseudarthrose, de l'apophyse épineuse de D6. La Genevoise a alors recueilli l'avis du docteur E._, spécialiste en chirurgie orthopédique (rapports des 15 mars et 7 mai 2002) et requis l'avis de son médecin-conseil, le docteur M._ (rapport du 25 juin 2002). En outre, elle a confié une expertise pluridisciplinaire aux médecins du Centre Y._(rapport du 27 août 2003). De son côté, l'assurée a produit une expertise des docteurs N._ et B._, médecins à la Clinique Z._ (rapport du 31 mai 2004).
Par décision du 2 février 2007, la Zurich, Compagnie d'Assurances (ci-après: la Zurich), qui avait repris entre-temps les activités de la Genevoise, a supprimé le droit de D._ à des prestations à partir du 1er septembre 2001. Saisie d'oppositions de l'intéressée et de Concordia, Assurance suisse de maladie et accidents SA (ci-après: Concordia), la Zurich les a partiellement admises en ce sens que la suppression des prestations a été reportée au 31 juillet 2003 (décision du 13 août 2007).
B. L'assurée et Concordia ont recouru contre cette décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, lequel a joint les causes et rejeté les recours par jugement du 14 octobre 2008.
C. D._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale afin qu'elle ordonne une expertise médicale portant sur les conséquences et l'étendue des suites de l'accident du 22 juin 1999 sur son état de santé.
La Zurich conclut au rejet du recours, tandis que Concordia et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 13 août 2007, à supprimer le droit de la recourante à des prestations d'assurance à partir du 31 juillet 2003.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (<ref-law>).
2. Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète la jurisprudence au sujet de la relation de causalité entre des plaintes et un traumatisme de type « coup du lapin » ou un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou encore un traumatisme cranio-cérébral, sans preuve d'un déficit organique objectivable. En particulier, il reproduit les précisions de jurisprudence apportées dans l'arrêt <ref-ruling>. Il suffit donc de renvoyer au jugement attaqué.
3. 3.1 La juridiction cantonale a considéré que l'assurée ne présentait plus, après le 31 juillet 2003, de déficit organique objectivable en relation de causalité naturelle avec l'accident du 22 juin 1999. Se fondant sur les conclusions des médecins de Y._ (rapport du 27 août 2003) et sur celles des docteurs N._ et B._ (rapport du 31 mai 2004), elle est d'avis que l'existence d'une fracture de l'apophyse épineuse de D6 et d'un rapport de causalité naturelle entre une telle lésion et l'accident n'est que possible, ce qui n'est pas suffisant pour établir l'existence d'un fait au degré de la vraisemblance prépondérante.
De son côté, la recourante allègue que la fracture en D6, diagnostiquée le 28 février 2002, est due à l'accident et qu'elle est certainement à l'origine de la douleur lombaire qu'elle ressent encore. Elle invoque pour cela les conclusions des docteurs E._ (rapports des 15 mars et 7 mai 2002) et M._ (rapport du 25 juin 2002), lesquelles seraient au moins en grande partie partagées par les docteurs N._ et B._.
3.2 Le point de vue de la recourante est mal fondé. Comme l'ont relevé les premiers juges, les experts N._ et B._ ont indiqué que la fracture de l'apophyse épineuse de D6 n'était qu'éventuellement en rapport de causalité avec l'accident. Celui-ci avait seulement joué un rôle déclenchant en ce qui concerne les douleurs cervicales et le statu quo sine devait être considéré comme atteint plusieurs mois avant l'établissement de l'expertise. Quant aux conclusions du docteur E._, elles n'établissent pas non plus un rapport de causalité naturelle entre la fracture en D6 et l'événement du 22 juin 1999. D'une part, en effet, ce médecin admet l'existence d'un tel lien au motif que les symptômes sont apparus après l'accident, ce qui revient à se fonder sur l'adage «post hoc, ergo propter hoc», lequel ne permet pas, selon la jurisprudence, d'établir l'existence d'un rapport de causalité naturelle (<ref-ruling> consid. 2b/bb p. 341 s.; RAMA 1999 no U 341 p. 408 s., consid. 3b). D'autre part, comme l'ont relevé les premiers juges, il ne prend pas en considération une IRM réalisée le 11 août 2000 qui n'a révélé aucune anomalie au niveau cervical et dorsal. Certes, le docteur M._, médecin-conseil de l'intimée, a considéré comme probable l'existence d'une pseudarthrose de l'apophyse épineuse de D6. Cependant, ce médecin ne se prononce pas explicitement en ce qui concerne l'existence éventuelle d'un rapport de causalité avec l'accident mais il insiste sur son caractère déclenchant chez une personne atteinte d'une fibromyalgie et d'une affection de nature oncologique, ainsi que sur la limitation dans le temps du facteur déclenchant (rapport du 25 juin 2002).
Vu ce qui précède, il n'y a pas lieu, sans qu'il soit nécessaire de compléter l'instruction, comme le demande la recourante, de mettre en cause le point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel l'intéressée ne présentait plus, après le 31 juillet 2003, de déficit organique objectivable en relation de causalité naturelle avec l'accident du 22 juin 1999.
Pour le reste, les premiers juges étaient fondés, en l'occurrence, à nier l'existence d'une relation de causalité naturelle et adéquate entre les plaintes sans déficit organique objectivable persistant après le 31 juillet 2003 et l'accident. Renvoi soit à cet égard au jugement cantonal, lequel n'est d'ailleurs pas contesté sur ce point par la recourante.
Cela étant, le recours se révèle mal fondé.
4. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, à Concordia, Assurance suisse de maladie et accidents et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 3 juin 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd