Faits:
A. Par jugement du 22 octobre 2008, rendu sur renvoi de la Cour de cassation du Tribunal cantonal neuchâtelois après cassation d'un précédent jugement, le Tribunal correctionnel du district de Boudry a condamné A.X._, pour actes d'ordre sexuel avec des enfants (art. 187 al. 1 aCP), contrainte et tentative de contrainte sexuelle (art. 189 et 21 aCP) et actes d'ordre sexuel sur une personne incapable de discernement ou de résistance (art. 191 aCP), à seize mois de réclusion avec sursis pendant quatre ans, conditionné à l'obligation de suivre un traitement médical.
B. Par arrêt du 16 décembre 2008, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal neuchâtelois a déclaré irrecevable le recours formé par A.X._ contre ce jugement.
C. Par mémoire personnel du 21 janvier 2009, A.X._ recourt au Tribunal fédéral contre cet arrêt, en concluant à son acquittement et à ce que le canton de Neuchâtel soit condamné à verser une indemnité à sa fille ainsi qu'à lui-même.
À titre préalable, il demande à être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire, en particulier à être pourvu d'un avocat d'office.
Le Tribunal fédéral n'a pas ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine exclusivement si, au regard des faits qu'elle a régulièrement constatés et du droit fédéral, l'autorité précédente a correctement statué sur les conclusions dont elle était saisie. Toute conclusion nouvelle est irrecevable (cf. <ref-law>).
En l'espèce, l'arrêt attaqué ne se prononce pas sur les demandes en paiement d'indemnités que, pour la première fois devant le Tribunal fédéral, le recourant formule contre le canton de Neuchâtel pour son propre compte et pour celui de sa fille. Ces chefs de conclusions sont dès lors irrecevables. Un avocat désigné d'office par le Tribunal fédéral ne pourrait soutenir le contraire avec la moindre chance de succès.
2. Le recourant se plaint d'avoir été jugé par un tribunal correctionnel formé d'un président et de deux jurés, alors que trois jurés avaient été tirés au sort à l'audience préliminaire. Il invoque ainsi un grief de composition irrégulière du tribunal de première instance. Il fait aussi valoir que les jurés du tribunal correctionnel n'ont pas donné leur avis séparément.
2.1 En vertu de l'art. 251 al. 2, 2ème phrase, du code de procédure pénale neuchâtelois (ci-après: CPP/NE; RS/NE 322.0), la cour de cassation pénale n'est pas liée par les moyens que les parties invoquent. Il s'ensuit qu'elle doit notamment relever d'office les violations de règles essentielles de la procédure, lorsqu'elles apparaissent comme des causes de nullité absolue (ALAIN BAUER/PIERRE CORNU, Code de procédure pénale neuchâtelois annoté, Neuchâtel 2003, n° 12 ad art. 251 CPP/NE p. 524). Le fait que le défenseur d'office du recourant en procédure cantonale n'a pas soulevé le grief de composition irrégulière dans le recours cantonal n'empêcherait dès lors peut-être pas un avocat désigné par le Tribunal fédéral de soutenir de manière recevable, devant la cour de céans, que le tribunal correctionnel a statué dans une composition manifestement irrégulière au regard des règles cantonales d'organisation judiciaire et que la cour cantonale a commis l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., en ne relevant pas d'office cette irrégularité. Il en va de même pour l'absence d'avis séparé des jurés.
2.2 L'art. 33 ch. 2 CPP/NE prévoit que les tribunaux correctionnels, qui sont compétents pour infliger les peines privatives de liberté d'un à cinq ans ainsi que les autres peines et mesures (cf. art. 43 CPP/NE), sont composés du président du tribunal de district et de deux jurés du district. Ainsi, à supposer qu'il soit recevable lors même qu'il n'a pas été soulevé en dernière instance cantonale, le moyen que le recourant veut prendre de la composition irrégulière du tribunal qui l'a jugé en première instance est en tout état de cause mal fondé. Il convient dès lors de le rejeter, sans qu'il soit nécessaire de désigner un avocat pour le développer plus avant.
2.3 Aucune disposition du code de procédure pénale neuchâtelois ou de la loi neuchâteloise d'organisation judiciaire (RS/NE 161.1) ne donne le droit aux parties de connaître le vote de chacun des magistrats et jurés qui ont pris part au jugement. Au contraire, l'art. 231 al. 1 CPP/NE prescrit que la délibération ait lieu en chambre du conseil, ce qui implique qu'elle est soumise au secret (cf. Bauer/Cornu, op. cit., n° 2 ad art. 231 CPP/NE p. 484). L'art. 226 al. 4 CPP/NE prévoit en outre que le jugement est signé seulement par le président et le greffier. Il est ainsi exclu que les magistrats et jurés fassent connaître leur avis personnel, d'une manière ou d'une autre. C'est pourquoi, à supposer qu'il soit recevable, le moyen que le recourant veut prendre de l'absence d'avis séparé ou de signature des jurés devrait lui aussi être rejeté, sans qu'il y ait lieu de désigner un avocat pour le développer plus avant.
3. Le recourant conteste les faits retenus à sa charge.
Le Tribunal fédéral n'est pas une cour d'appel. Il est lié par les faits constatés dans la décision attaquée, à moins que ceux-ci ne soient manifestement inexacts, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (cf. arrêt 6B_178/2007 du 23 juillet 2007 consid. 1.2, non publié aux <ref-ruling>, et la référence), ou qu'ils n'aient été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. art. 97 al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF).
Il n'y a pas arbitraire, au sens de l'art. 9 Cst., du seul fait qu'une autre solution est concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 5.4 p.148 et les arrêts cités). L'appréciation des preuves et, par là même, la constatation des faits ne sont arbitraires que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis sans raison sérieuse de tenir compte d'un moyen important et propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions manifestement insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9 et les arrêts cités).
Dans le cas présent, le recourant ne soutient pas que les constatations de fait de l'arrêt attaqué seraient arbitraires au sens qui vient d'être défini. Il ne fait que les critiquer, en invitant le Tribunal fédéral à substituer sa propre appréciation des preuves à celle de la cour cantonale, sans alléguer ni expliquer en quoi le raisonnement suivi par les juges du fait serait vicié et insoutenable. Purement appellatoires, de telles critiques sont irrecevables. En outre, les éléments du dossier ne permettraient à l'évidence pas à un avocat désigné par le Tribunal fédéral de faire valoir avec quelque chance de succès que les constatations de fait déterminantes du jugement du 16 mars 2005, qui ont lié la cour cantonale dans son arrêt de cassation du 23 novembre 2005, le tribunal correctionnel lorsqu'il a statué à nouveau le 22 octobre 2008 puis derechef la cour de cassation cantonale lorsqu'elle a rendu l'arrêt attaqué (cf. art. 253 CPP/NE; BAUER/CORNU, op. cit., n° 2 ad art. 253 CPP/NE p. 528), seraient arbitraires. Le Tribunal fédéral renvoie sur ce point aux motifs complets et convaincants de la cour cantonale, au considérant 3 de l'arrêt du 23 novembre 2005 (p. 326 s. du dossier cantonal).
En tant qu'ils s'en prennent aux constatations de fait, les moyens du recourant doivent dès lors être déclarés irrecevables, sans qu'il y ait lieu de désigner un avocat pour les développer plus avant. Le recours exercé personnellement par le recourant doit ainsi être rejeté dans la mesure où il est recevable.
4. Pour statuer sur la demande d'assistance judiciaire, dont l'octroi suppose l'existence de quelque chance de succès (cf. <ref-law>), il reste à examiner si un avocat désigné d'office par le Tribunal fédéral pourrait encore soulever, sans témérité, d'autres moyens que ceux invoqués par le recourant.
4.1 Les autorités cantonales ont correctement qualifié, au regard du droit pénal fédéral, les faits qu'elles ont régulièrement constatés. En particulier, c'est à bon droit qu'elles ont considéré qu'en proposant à sa fille, qui lui avait demandé de lui offrir un vélo pour son anniversaire, de faire l'amour avec lui, en récompense de quoi il lui achèterait un vélo, le recourant s'était rendu coupable de tentative de contrainte sexuelle (art. 189 et 21 aCP). Chez les enfants, en effet, l'infériorité cognitive et la dépendance émotionnelle et sociale peuvent induire une pression psychique extraordinaire et, partant, une soumission comparable à celle de la victime d'actes de violence qui abandonne toute résistance aux atteintes sexuelles. De jurisprudence constante, ce fait doit notamment être pris en considération en cas d'abus commis par celui qui détient l'autorité parentale dans le ménage de l'enfant, car les craintes d'une perte d'affection peuvent constituer directement une menace sérieuse. Dans de telles situations, la simple exploitation de la supériorité physique de l'adulte par rapport à l'enfant apparaît propre à manifester une agression physique et à remplir ainsi le critère de menace ou de violence au sens de l'<ref-law>, à condition que les circonstances concrètes rendent la soumission de l'enfant compréhensible (<ref-ruling> consid. 2b p. 99 s.; <ref-ruling> consid. 3b p. 159 s.). Dans les circonstances particulières de la présente cause, il est manifeste que c'est non seulement l'envie de sa fille de recevoir un vélo que le recourant a tenté d'exploiter pour amener celle-ci à faire l'amour avec lui, mais aussi sa supériorité d'adulte. Un recours portant sur la qualification des faits serait ainsi dénué de chances de succès.
4.2 Pour fixer la peine, le juge du fond dispose d'un large pouvoir d'appréciation. Il ne viole la loi pénale que s'il prononce une peine hors du cadre légal, s'il la fixe en considération d'éléments étrangers à l'<ref-law> ou sans tenir compte de critères pertinents au regard de cette disposition, ou s'il se montre à ce point sévère ou clément que l'on doive parler d'un abus du pouvoir d'appréciation (cf. <ref-ruling> consid. 6 p. 21). Le juge doit motiver sa décision (<ref-law>).
En l'espèce, vu les faits régulièrement constatés par les autorités cantonales et les motifs complets et convaincants pour lesquels elles ont fixé à seize mois de réclusion (avec sursis) la peine à prononcer (cf. jugement du 22 octobre 2008, consid. 7, p. 498 ss du dossier cantonal), il est exclu qu'un avocat désigné par le Tribunal fédéral puisse soutenir avec succès que la peine infligée au recourant est excessive.
Il s'ensuit qu'un recours exercé pour d'autres motifs que ceux invoqués par le recourant serait dénué de toute chance de succès, de sorte que la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (cf. <ref-law>, a contrario).
5. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de justice (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les demandes en dommages-intérêts sont irrecevables.
3. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 3 septembre 2009
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Favre Oulevey