Faits:
A. P._, né en 1956, est au bénéfice d'une rente de l'assurance-invalidité et de prestations complémentaires, fédérales et cantonales depuis le 1er octobre 1996. Le 13 mars 2001, il a épousé M._, née en 1967. Sur requête de l'Office cantonal genevois des personnes âgées (OCPA) du 13 août 2004, il a produit les attestations de salaire de sa femme pour 2002, 2003 et 2004.
Par décisions du 31 janvier 2005, toutes adressées à P._, l'OCPA a procédé à un nouveau calcul des prestations complémentaires fédérales et cantonales à partir du 1er mars 2001 en tenant compte des gains d'activité de l'épouse, selon les justificatifs remis, et lui a demandé le remboursement de la somme de 71'662 fr. en restitution des prestations complémentaires indûment perçues du 1er mars 2001 au 31 janvier 2005.
Depuis le 24 avril 2007, les époux ont vécu séparés. Par jugement du 12 juin 2007, le Tribunal de première instance de la République et canton de Genève, statuant d'accord entre les parties sur mesures protectrices de l'union conjugale, a autorisé les époux à se constituer une demeure séparée et attribué à P._ la jouissance exclusive du domicile conjugal.
Par décisions du 20 juin 2007, l'OCPA a informé chacun des époux qu'à la suite de leur séparation, il y avait lieu d'interrompre le calcul des prestations selon le barème pour couple. Le 29 juin 2007, il a avisé M._ que son mari et elle étaient co-débiteurs de l'obligation de restituer les prestations indûment perçues pendant la période du 1er mars 2001 au 31 janvier 2005 conformément aux décisions de restitution du 31 janvier 2005 et qu'à ce jour le montant à restituer s'élevait à 54'208 fr. dont il y avait lieu de convenir des modalités de remboursement. Le 15 juillet 2007, M._ a informé l'OCPA qu'elle ignorait tout de la demande de restitution du 31 janvier 2005 et du montant réclamé de 54'208 fr., affirmant qu'aucun courrier ne lui avait été adressé jusque-là à ce sujet et que cette dette ne la concernait pas.
Le 3 août 2007, l'OCPA a envoyé à M._ copie de la demande de restitution de 71'662 fr. du 31 janvier 2005, en l'informant qu'il y avait déjà un arrangement de paiement en cours avec son mari et que le solde du compte à ce jour était de 52'208 fr. Il lui proposait un plan de remboursement de cette somme par acomptes mensuels de 500 fr. dès août 2007.
Sur requête de M._ du 23 août 2007, qui affirmait qu'elle n'avait jamais eu connaissance des décisions du 31 janvier 2005 fixant le détail des prestations à restituer en ce qui concerne la période du 1er mars 2001 au 31 janvier 2005 et qu'elle n'avait donc pu former opposition ni demander à bénéficier d'une remise de l'obligation de restituer, l'OCPA lui a fait parvenir copie de celles-ci par lettre du 23 octobre 2007. Par lettre du 12 novembre 2007, celle-ci l'a invité à se déterminer sur sa demande de remise de l'obligation de restituer les prestations indûment perçues pendant cette période.
Par décision du 29 février 2008, l'OCPA a refusé d'entrer en matière sur la demande de remise du 23 août 2007, au motif qu'elle était tardive faute d'avoir été déposée dans le délai de trente jours à compter de l'entrée en force des décisions de restitution du 31 janvier 2005 et qu'en date du 31 janvier 2005, M._ habitait encore avec son époux et qu'il lui appartenait ainsi de se tenir informée de la situation, d'autant plus que le calcul des prestations était basé sur un barème pour couple tenant compte des revenus des deux époux. Le 25 mars 2008, M._ a formé opposition contre cette décision. Par décision du 3 juin 2008, le Service des prestations complémentaires (SPC) de la République et canton de Genève, qui a remplacé l'OCPA depuis le 1er mai 2008, a rejeté l'opposition.
B. Le 4 juillet 2008, M._ a formé recours contre la décision sur opposition du 3 juin 2008 devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en concluant, sous suite de dépens, à son annulation et à l'admission de sa demande de remise du 23 août 2007.
Le 24 septembre 2008, la juridiction cantonale a entendu les parties en audience de comparution personnelle.
Par jugement du 28 janvier 2009, le Tribunal cantonal des assurances sociales a déclaré le recours recevable (ch. 1 du dispositif), l'a admis et a annulé la décision de l'OCPA du 29 février 2008 et celle du SPC du 3 juin 2008 (ch. 2 du dispositif), le SPC étant condamné à verser à M._ une indemnité de dépens de 2'500 fr. à titre de participation à ses frais et dépens (ch. 3 du dispositif).
C. Le Service des prestations complémentaires de la République et canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation. Il invite le Tribunal fédéral à dire et constater que M._ est solidairement responsable de la dette en restitution des prestations complémentaires fédérales indûment versées à son époux P._, figurant dans les décisions du 31 janvier 2005, et à confirmer le refus de remise du 29 février 2008 confirmé sur opposition le 3 juin 2008 en ce qui concerne M._ en sa qualité de codébitrice solidaire avec son conjoint vis-à-vis du SPC.
M._ conclut, sous suite de dépens, au rejet du recours. Elle demande à bénéficier de l'assistance judiciaire gratuite. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. 1.1 La deuxième Cour de droit social du Tribunal fédéral est compétente pour connaître d'un recours en matière de droit public dans le domaine des prestations complémentaires (art. 35 let. f du Règlement du Tribunal fédéral du 20 novembre 2006, introduite par le ch. I de l'ordonnance du 24 novembre 2008, en vigueur depuis le 1er janvier 2009).
1.2 Le SPC a qualité pour former un recours en matière de droit public dans le domaine des prestations complémentaires régies par le droit fédéral. Cette qualité doit en revanche lui être déniée pour ce qui est des prestations complémentaires de droit cantonal (<ref-ruling> consid. 2.2 et 2.3 p. 56 s.).
Aussi, en tant que le recourant demande à ce que l'intimée soit reconnue codébitrice des prestations complémentaires indûment perçues sans préciser la part du solde afférent à celles relevant du droit fédéral, sa conclusion devrait déjà, pour ce seul motif, être déclarée irrecevable.
2. 2.1 Les premiers juges ont considéré à titre préalable que le SPC, avant de statuer sur la demande de remise, aurait dû notifier à M._ une décision de restitution, ce qu'il n'avait pas fait. Toutefois, selon eux, seul le bénéficiaire des prestations complémentaires allouées indûment était soumis à l'obligation de restituer, soit in casu l'époux de l'intimée, de sorte que M._ ne pouvait être tenue à restitution du trop-perçu du vivant de son époux; aussi, était-ce en violation flagrante des dispositions légales que le SPC avait rendu sa décision, et celle-ci devait être annulée. Tel qu'il doit être compris, le jugement attaqué nie la question d'une éventuelle remise de l'obligation de restituer puisque celle-ci n'existe pas s'agissant de M._.
2.2 Le recourant fait valoir que les décisions de restitution du 31 janvier 2005 ont été valablement notifiées à M._ à cette époque, voire au plus tard fin juin 2007, moment à partir duquel elle a pu en tout état de cause en prendre connaissance et demander notamment la remise de l'obligation de restituer. D'autre part, il allègue que l'intimée, en sa qualité d'épouse d'un assuré bénéficiaire de prestations complémentaires, est codébitrice solidaire de la dette en restitution de son époux sous l'angle de l'<ref-law>.
3. 3.1 Aux termes de l'<ref-law>, les prestations indûment touchées doivent être restituées. La restitution ne peut être exigée lorsque l'intéressé était de bonne foi et qu'elle le mettrait dans une situation difficile (sur la question du droit pertinent ratione temporis, voir <ref-ruling> consid. 5.2 p. 319 s.). Dans la mesure où la demande ne peut être traitée sur le fond que si la décision de restitution est entrée en force, la remise et son étendue font l'objet d'une procédure distincte (cf. <ref-law>; arrêts P 59/06 du 5 décembre 2007 et P 63/06 du 14 mars 2007, consid. 3). Intrinsèquement, une remise de l'obligation de restituer n'a de sens que pour la personne tenue à restitution.
3.2 Selon l'<ref-law>, sont soumis à l'obligation de restituer:
a. le bénéficiaire des prestations allouées indûment ou ses héritiers;
b. les tiers ou les autorités à qui ont été versées des prestations en espèces pour qu'elles soient utilisées conformément à leur but, au sens de l'<ref-law> ou des dispositions des lois spéciales, à l'exception du tuteur;
c. les tiers ou les autorités à qui ont été versées après coup des prestations indues, à l'exception du tuteur.
3.3 En l'espèce, l'art. 2 al. 1 let. b et c OPGA n'entre pas en ligne de compte, M._ ne pouvant être considérée comme un tiers au sens de ces dispositions, l'hypothèse de l'autorité ne se posant pas. Au regard de l'<ref-law>, il convient d'examiner si l'intimée doit être considérée comme la bénéficiaire des prestations allouées indûment du 1er mars 2001 au 31 janvier 2005 ou celle qui a effectivement perçu les prestations pendant cette période (UELI KIESER, ATSG Kommentar, 2ème éd. 2009, ch. 23 ad <ref-law>; arrêt 9C_564/2009 du 22 janvier 2010, consid. 6.5), et si elle est soumise à ce titre à l'obligation de restituer.
4. 4.1 Les ressortissants suisses qui ont leur domicile et leur résidence habituelle en Suisse et qui remplissent une des conditions prévues aux art. 2a à 2d doivent bénéficier de prestations complémentaires si les dépenses reconnues par la loi sont supérieures aux revenus déterminants (<ref-law>, dans sa teneur en vigueur selon la loi du 19 mars 1965, applicable ratione temporis).
Ont droit aux prestations au sens de l'<ref-law> les invalides qui ont droit à une demi-rente ou à une rente entière de l'AI (<ref-law>, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2003), respectivement à une rente de l'AI (let. a, dans sa teneur en vigueur à partir du 1er janvier 2004), qui pourraient prétendre à son octroi s'ils avaient accompli la durée de cotisation minimale requise à l'<ref-law> et remplissaient les conditions d'assurance au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), qui ont droit à une allocation pour impotent de l'AI (art. 2c let. c LPC, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2003) et sont âgés d'au moins 18 ans (let. c, dans sa teneur en vigueur dès le 1er janvier 2004), qui reçoivent des indemnités journalières de l'AI sans interruption pendant six mois au moins (art. 2c let. d LPC). Ont droit aux prestations au sens de l'<ref-law> les époux séparés et les personnes divorcées qui perçoivent une rente complémentaire de l'AVS ou de l'AI (<ref-law>).
4.2 Ainsi, l'invalide ayant droit à une rente de l'AI ou qui pourrait prétendre à son octroi a un droit propre à la rente et un droit autonome aux prestations complémentaires (arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] P 39/86 du 25 novembre 1988, consid. 2b in RCC 1989 p. 241). Tel n'est pas le cas, en revanche, de la personne pour laquelle un assuré perçoit une rente complémentaire, laquelle n'a aucun droit propre à des prestations complémentaires (ERWIN CARIGIET, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, 1ère éd. 1995, p. 102; arrêt mentionné ci-dessus P 39/86 du 25 novembre 1988, consid. 2b et 2d in RCC 1989 p. 241 s.), hormis l'hypothèse de la séparation ou du divorce. La novelle du 6 octobre 2006, entrée en vigueur le 1er janvier 2008 et qui a abrogé la LPC du 19 mars 1965, n'a rien changé sur ce point (ERWIN CARIGIET, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, 2ème éd. 2009, p. 114 s.).
4.3 Au regard de l'<ref-law>, seul P._, qui pendant la période du 1er mars 2001 au 31 janvier 2005 avait un droit propre à des prestations de l'AI et un droit autonome à des prestations complémentaires, doit être considéré comme le bénéficiaire des prestations allouées indûment durant cette période; partant, il est soumis à ce titre à l'obligation de restituer. En revanche, l'intimée, même si elle a pu jouer un rôle dans le calcul des prestations complémentaires, n'avait aucun droit à une rente de l'AI ni aucun droit propre ou autonome à des prestations complémentaires; elle n'est donc pas la bénéficiaire des prestations allouées indûment pendant cette période. Ainsi, M._ n'est pas une personne soumise à l'obligation de restituer selon l'<ref-law>. La question de la remise de l'obligation de restituer ne saurait dès lors se poser en ce qui la concerne. En ce sens, la solution retenue par les premiers juges doit être confirmée. Le recours est mal fondé de ce chef.
4.4 La question, posée pour la première fois en instance fédérale par le recourant, de savoir s'il peut rechercher l'intimée au titre de l'<ref-law> en tant que débitrice solidaire de sa créance en restitution de prestations indues envers son époux, doit être tranchée par la négative, car cela reviendrait à étendre le champ des personnes tenues à restitution au sens de l'<ref-law> tel que décrit plus haut (supra, consid. 3).
5. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). L'intimée, qui obtient gain de cause, a droit à une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>). Sa requête d'assistance judiciaire est dès lors sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée la somme de 2'800 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 26 février 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner