Faits:
A. Au terme de son apprentissage de dessinateur-géomètre (formation soutenue par l'assurance-invalidité), D._, né en 1958, a été engagé par le bureau d'ingénieurs X._ à partir de juillet 1997. En parallèle, il a créé sa propre entreprise de paysagiste ("Y._"), en 2002. Le 1er décembre 2003, alors qu'il avait complètement cessé de travailler depuis le 18 mars précédent en raison de problèmes dorsaux, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité.
Dans un rapport du 6 août 2004, le docteur B._, spécialiste en médecine interne, a fait état de la persistance d'un syndrome douloureux chronique (dont l'origine était difficilement identifiable), malgré une spondylodèse L4/L5 effectuée en février 2004; le syndrome rachidien lombaire limitait la capacité de travail à 30% comme paysagiste; celle-ci pouvait être portée à 60% dans une activité plus légère. Au terme d'une expertise requise par l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI), le docteur G._, rhumatologue, a conclu qu'au vu de l'intensité du syndrome algique, du handicap fonctionnel et de l'examen clinique, la capacité de travail de D._ était nulle dans toute activité lucrative (rapport du 22 juin 2005, complété le 8 septembre 2005). L'office AI a alors chargé son Service médical régional (SMR), d'un nouvel examen de l'assuré. Spécialiste en rhumatologie et médecine physique et rééducation auprès du SMR, le docteur P._ a diagnostiqué notamment des lombalgies chroniques non déficitaires dans un contexte de discopathies étagées et de troubles dégénératifs L5/S1, un status post spondylodèse L4/L5 et un status post fracture du poignet gauche avec arthrose secondaire. Selon lui, l'intensité du syndrome algique était insuffisant pour justifier une incapacité de travail totale; celle-ci devait être fixée à 50% dans l'activité de géomètre, la capacité de travail étant entière dans une activité adaptée tenant compte des limitations fonctionnelles décrites (rapport du 5 juillet 2006, complété le 20 octobre 2006).
Par décision du 15 mars 2007 (confirmant un projet de décision du 31 octobre précédent), l'office AI a rejeté la demande de prestations, motif pris de l'absence de toute incapacité de gain.
B. Statuant le 1er octobre 2007 sur le recours formé par l'assuré contre la décision administrative, le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, l'a rejeté.
C. D._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation en concluant principalement au renvoi de la cause au Tribunal cantonal jurassien pour instruction complémentaire sous forme d'une expertise judiciaire. A titre subsidiaire, il requiert l'octroi d'une rente entière d'invalidité. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
La Chambre des assurances du Tribunal cantonal jurassien et l'office AI concluent au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
En ce qui concerne plus particulièrement l'évaluation de l'invalidité, conformément aux principes relatifs au pouvoir d'examen développés par le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 3 p. 397 ss), les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398).
1.2 Les modifications de la LAI du 6 octobre 2006 (5ème révision de la LAI), entrées en vigueur le 1er janvier 2008, n'ont pas à être prises en considération dans le présent litige, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment de la réalisation de l'état de fait dont les conséquences juridiques font l'objet de la décision (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 4 et les arrêts cités).
2. Le litige porte sur le droit du recourant à des prestations de l'assurance-invalidité, singulièrement une rente. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence sur la notion d'invalidité et son évaluation, ainsi que les principes jurisprudentiels relatifs au rôle des médecins, en matière de preuve, pour déterminer l'invalidité, à la libre appréciation des preuves par le juge, qui oblige celui-ci à apprécier les preuves de manière consciencieuse, complète et objective, en indiquant les raisons pour lesquelles il se fonde sur tel ou tel avis médical et non pas un autre, et à la valeur probante des rapports médicaux. Il suffit donc d'y renvoyer.
3. 3.1 Alors que les docteurs G._ et P._ ont fait état de diagnostics identiques, leurs avis diffèrent quant aux répercussions des atteintes à la santé présentées par le recourant sur sa capacité de travail. L'expert G._ a conclu à une incapacité totale de travail dans toute activité, tandis que son confrère du SMR a retenu une incapacité de travail de 50% dans le métier de dessinateur-géomètre et de 0% dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles qu'il a décrites dans son rapport du 27 mars 2006 (telle la profession de dessinateur-géomètre dans la mesure où elle respecte les empêchements au niveau du rachis et du poignet; cf. complément d'expertise du 20 octobre 2006).
3.2 Pour déterminer le droit aux prestations du recourant, la juridiction cantonale s'est entièrement fondée sur l'appréciation du docteur P._, à laquelle elle a accordé pleine valeur probante. Elle a considéré en revanche que l'expertise du docteur G._ n'était pas convaincante parce que le médecin n'avait pas donné d'explication permettant de comprendre l'intensité des douleurs ressenties par le recourant, qu'il n'avait pas mis en évidence un syndrome d'amplification des plaintes établi par la suite par le docteur P._ à l'aide du test de Waddell et que ses conclusions quant à l'incapacité de travail étaient contredites par le docteur B._. Faisant siennes les conclusions du médecin du SMR, l'autorité cantonale de recours a constaté que l'assuré disposait d'une capacité de travail de 100% dans une activité adaptée. Elle a considéré que la profession de dessinateur-géomètre correspondait à une telle activité, puisqu'une personne exerçant ce métier n'avait pas à porter de charges, ni poser des gabarits.
De son côté, invoquant une appréciation arbitraire des preuves, le recourant reproche en substance aux premiers juges de s'être écartés des conclusions du docteur G._ en faveur de celles du docteur P._ et de n'avoir pas ordonné une expertise complémentaire pour départager les avis contradictoires des deux médecins.
4. 4.1 A la lecture des deux rapports médicaux en cause, on constate que les docteurs G._ et P._ ont fait des observations identiques lors de leur examen clinique en ce qui concerne les limitations au niveau du tronc et l'existence d'un tableau algique important. Alors que le premier médecin a déduit de ces constatations que le recourant n'était plus en mesure d'exercer une quelconque activité lucrative, son confrère du SMR est arrivé à une conclusion opposée (cf. aussi le complément d'expertise du 20 octobre 2006), puisqu'il a conclu à une capacité de travail de 100% dans une activité adaptée, à laquelle correspondait la profession de (dessinateur-) géomètre dans la mesure où elle respectait les limitations fonctionnelles décrites (en particulier, au niveau du rachis: pas de charge supérieure à 10kg, ni mouvements de flexion-extension répétés du tronc ou travail en porte-à-faux du tronc, ni position statique du rachis au-delà d'une heure). Ces appréciations diffèrent également en ce que le docteur P._ a retenu un syndrome d'amplification des plaintes, tandis que l'expert d'abord mandaté par l'intimé a expressément nié un tel syndrome, de même que tout signe d'exagération ou de simulation (complément du 8 septembre 2005).
4.2 Malgré ces divergences, on ne saurait reprocher aux premiers juges, comme le fait en vain le recourant, de s'être écartés des conclusions du docteur G._ relatives à l'incapacité totale de travail du recourant. Comme ils l'ont retenu à juste titre, l'appréciation de l'expert apparaît davantage motivée par les plaintes de l'assuré que par des éléments objectifs tirés de l'examen clinique et radiologique. Ainsi, si le médecin arrive à la conclusion que la capacité de travail de l'assuré est nulle dans toute activité "au vu de l'intensité du syndrome algique, de son handicap fonctionnel et de son examen clinique", les bilans radiologiques et cliniques ne mettent pas en évidence de troubles statiques ou de lésions inflammatoires, ni un syndrome radiculaire irritatif ou déficitaire. Pour retenir que le recourant souffre d'un "handicap conséquent", l'expert se réfère entièrement aux plaintes de l'assuré, sans mettre ses conclusions en rapport avec des constatations objectives.
Par ailleurs, l'appréciation du docteur G._ ne tient pas compte du fait - mis en évidence par le docteur P._ à la suite du docteur B._ - que le syndrome douloureux présenté par le recourant ne peut pas être entièrement expliqué par une cause anatomique ou pathologique, un trouble psychiatrique ayant été écarté tant par le docteur G._ que le docteur P._. Dans son rapport du 11 juillet 2003 (soit avant l'intervention chirurgicale de février 2004), le docteur B._ avait fait état de lombalgies chroniques qui n'étaient que partiellement expliquées par une instabilité segmentaire L4, sans qu'il pût "exclure formellement la présence d'éléments amplificateurs de la douleur d'origine extra-vertébrale". Le 6 août 2004, il a indiqué que le syndrome douloureux chronique persistait malgré la spondylodèse L4/L5 en février 2004, l'origine du syndrome étant difficilement identifiable. Selon le médecin du SMR, l'état radio-clinique de la colonne vertébrale n'expliquait pas l'importance du tableau algique que présentait l'assuré, alors que les signes de non-organicité selon Waddell parlaient en faveur d'une amplification des symptômes.
4.3 Pour motiver le grief tiré de l'appréciation arbitraire des preuves, le recourant s'en prend à la valeur probante du rapport du docteur P._. Son argumentation ne suffit toutefois pas à démontrer que les exigences posées par la jurisprudence à cet égard ne sont pas remplies. Ainsi, les imprécisions relevées par le recourant dans le rapport en cause (son âge au moment de l'expertise; le sexe de ses enfants) ne constituaient pas des éléments déterminants dans l'appréciation de la situation médicale par le médecin du SMR. Quant à la durée de marche maximale sans que le recourant ressente de douleurs (une heure), le docteur P._ a, à l'instar du docteur G._, fait état de promenades (avec ses chiens) d'une heure au maximum (deux à trois fois par jour). Le fait que le recourant semble revenir sur les indications données au médecin à l'époque de l'expertise, en alléguant que la promenade ne consistait en réalité qu'à ouvrir la porte du jardin ne suffit pas à mettre en doute les données recueillies par le médecin du SMR. Ensuite, le rapport en cause doit être considéré comme complet même si le docteur P._ n'a pas procédé à des investigations sur le plan psychiatrique. Ni l'entretien avec l'assuré, ni les examens effectués au SMR n'ont mis en évidence une problématique psychique, pas plus que les autres pièces médicales au dossier (le docteur G._ ayant du reste expressément nié l'existence d'éléments psycho-pathologiques). Le docteur P._ n'avait dès lors aucune raison de faire compléter l'examen rhumatologique par une expertise psychiatrique.
Enfin, contrairement à ce que voudrait le recourant, les avis des docteurs B._ (du 3 décembre 2004), H._ (du 20 novembre 2006) et A._ (du 13 avril 2007) ne sont pas susceptibles de remettre en cause les conclusions du docteur P._ sur la capacité résiduelle de travail du recourant. Comme l'a déjà retenu la juridiction cantonale, le rapport en question du docteur B._, qui atteste d'une incapacité de travail de 100% sans se référer à une activité spécifique, n'est pas probant faute de motivation suffisante. Quant à ceux des docteurs H._ et A._, ils ne portent pas sur la capacité de travail du recourant ou la limitation de celle-ci, de sorte que D._ ne saurait rien en tirer en sa faveur.
4.4 Compte tenu de ce qui précède, la juridiction cantonale était en droit de se rallier aux conclusions du docteur P._, auxquelles il y a lieu de reconnaître une pleine valeur probante, sans que les constatations qu'elle en tire quant à la capacité résiduelle de travail du recourant n'apparaissent manifestement inexactes ou insoutenables. L'appréciation (anticipée) des preuves à laquelle elle a procédé n'est par ailleurs pas contraire au droit fédéral, étant précisé qu'une appréciation des preuves ne saurait être considérée comme arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle de l'autorité de recours de première instance paraît concevable, voire même préférable; encore faut-il que la solution retenue par celle-ci apparaisse insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2b p. 56), ce qui n'est pas le cas en l'espèce.
5. 5.1 Dans un second moyen, le recourant conteste le revenu d'invalidité de 69'264 fr. retenu par la juridiction cantonale pour le calcul du degré d'invalidité selon la méthode de la comparaison des revenus. Il lui reproche de n'avoir pas tenu compte des conclusions du docteur P._, selon lesquelles il ne dispose que d'une capacité de travail de 50% dans son activité habituelle de géomètre et de n'avoir pas procédé à un abattement de 25%.
5.2 Se fondant sur l'expertise du médecin du SMR et des précisions qu'il a apportées le 20 octobre 2006, l'autorité cantonale de recours a constaté, d'une part, que la capacité de travail du recourant était entière dans une activité adaptée tenant compte des limitations fixées par le praticien et, d'autre part, que la profession de dessinateur-géomètre exercée par D._ au moment de la survenance de son atteinte à la santé correspondait à une telle activité. Il ressortait en effet des renseignements pris par l'intimé auprès d'un bureau de géomètre du canton du Jura que le port et la pose des gabarits ne faisaient pas partie des travaux confiés à un géomètre, mais aux entreprises de construction (rapport de l'office AI du 23 octobre 2006). Le docteur P._ avait par ailleurs retenu que dans l'éventualité où l'activité de géomètre respectait les limitations fonctionnelles qu'il avait mises en évidence dans son rapport du 5 juillet 2006, la capacité de travail de l'assuré était entière (complément du 20 octobre 2006). Il n'a pas, pour le surplus, fait état d'une diminution de rendement dans cette activité.
Reposant sur les informations complémentaires recueillies par l'intimé auprès d'un bureau de géomètre établi dans le Jura et du médecin du SMR, les constatations de fait de la juridiction cantonales quant à la capacité de travail entière du recourant dans sa profession de dessinateur-géomètre n'apparaissent pas manifestement inexactes ou contraires au droit au sens de l'<ref-law>. Le recourant ne le prétend du reste pas, se limitant à affirmer que le docteur P._ avait admis une capacité de travail de 50% dans l'activité de géomètre, sans prendre en considération les précisions apportées par la suite par le médecin.
Conformément à ces constatations, qui lient donc le Tribunal fédéral, le recourant doit être considéré comme apte à travailler à plein temps comme dessinateur-géomètre, activité qu'il avait exercée jusqu'à la survenance de ses problèmes de santé. En conséquence, il ne subit pas d'incapacité de gain au sens de la LAI, sans qu'il soit nécessaire, contrairement à ce qu'a retenu à tort la juridiction cantonale, de se référer aux salaires statistiques ESS (dont l'application relève d'une question de droit soumise au pouvoir d'examen libre du Tribunal fédéral [<ref-ruling> consid. 3.3 p. 399]). Les critiques du recourant liées à l'étendue de l'abattement prévu lors de l'utilisation des salaires statistiques (cf. <ref-ruling> consid. 5b/aa-cc p. 79) ne sont dès lors pas pertinentes.
Par conséquent, en tant qu'il constate que le recourant ne présente pas un taux d'invalidité suffisant pour ouvrir le droit à une rente d'invalidité ou des mesures de réadaptation professionnelles, le jugement entrepris n'est pas critiquable.
6. Vu ce qui précède, le recours se révèle mal fondé.
7. La procédure est onéreuse (<ref-law>). Le recourant a toutefois sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire, en requérant la dispense des frais judiciaires et la désignation d'un avocat d'office. Etant donné que D._ en remplit les conditions (<ref-law>), il y a lieu de lui accorder l'assistance judiciaire. Il est cependant rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du tribunal, s'il devient ultérieurement en mesure de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
3. Les frais judiciaires arrêtés à 500 fr. sont mis à la charge du recourant. Ils sont provisoirement supportés par la caisse du Tribunal.
4. Maître Mathias Eusebio, à Delémont, est désigné en tant qu'avocat d'office du recourant et une indemnité de 2500. fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) lui est allouée à titre d'honoraire et supportée provisoirement par la caisse du Tribunal.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 14 août 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless