Faits:
A. S._, ressortissante espagnole née en 1962, a travaillé en qualité d'aide de cuisine pour la clinique G._. Souffrant de problèmes pulmonaires et d'obésité, elle s'est trouvée en incapacité de travail depuis le mois de mars 2006, puis a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 6 novembre 2006.
Par décision du 22 février 2008, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a rejeté la demande. Dans le cadre du recours formé contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, le dossier a été complété par un rapport de l'Hôpital X._ du 11 mars 2008 ainsi que par un avis médical du SMR du 2 juin 2008. Le SMR a constaté que la capacité de travail de l'assurée restait entière dans une activité respectant ses limitations fonctionnelles (déplacements, port de charges de plus de 2 kg). Pendente lite, l'office AI a annulé sa décision. Le 17 juin 2008, le tribunal cantonal a rayé la cause du rôle et renvoyé celle-ci à l'office AI afin qu'il procède au calcul du taux d'invalidité de l'assurée.
Par décision du 28 janvier 2009, l'office AI a fixé le degré d'invalidité de S._ à 16,6 % et refusé en conséquence de la mettre au bénéfice de mesures d'ordre professionnel de l'AI.
B. S._ a recouru contre cette décision en concluant principalement à l'octroi de mesures d'ordre professionnel, subsidiairement à l'allocation d'une rente entière d'invalidité.
Par jugement du 21 avril 2009, la juridiction cantonale a porté le taux d'invalidité de l'assurée de 17 % à 21 %. Elle a dès lors admis le recours, annulé la décision administrative du 28 janvier 2009, et renvoyé la cause à l'office AI afin qu'il mette en oeuvre sans délai des mesures de réadaptation professionnelle. Par ailleurs, le tribunal cantonal a fixé l'indemnité de dépens à 2'500 fr. et l'émolument de justice à 750 fr.
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision du 28 janvier 2009. L'intimée conclut au rejet du recours, avec suite de dépens. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales en propose l'admission.
Par ordonnance du 30 octobre 2009, le Juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif au recours présentée par l'office AI.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le degré d'invalidité de l'intimée, sur le droit de cette dernière à des mesures d'ordre professionnel de l'AI, ainsi que sur le montant de l'indemnité de dépens arrêtée par le tribunal cantonal.
2. Dans sa décision du 28 janvier 2009, l'office recourant avait fixé le revenu d'invalide de la recourante en se fondant sur les données de l'Enquête suisse sur la structure des salaires (cf. <ref-ruling>). En application de la jurisprudence (cf. <ref-ruling> consid. 4.2.3 p. 481, 126 V 75), il a réduit le gain d'invalide de 10 %, aboutissant à un taux d'invalidité arrondi à 17 %.
Dans son jugement du 21 avril 2009, la juridiction cantonale a porté l'abattement de 10 à 15 %, ce qui a eu pour effet d'augmenter le degré d'invalidité de 17 à 21 %. Le tribunal des assurances a admis que la recourante pouvait ainsi prétendre des mesures d'ordre professionnel, dès lors que le taux de l'invalidité excédait le seuil de 20 % à partir duquel il existe en principe un droit à un reclassement dans une nouvelle profession (cf. <ref-ruling> consid. 2b pp. 110-111 et les références). En rappelant que la jurisprudence avait déjà reconnu le droit à de telles mesures en présence d'un degré d'invalidité de 17 % (arrêt I 324/00 du 5 juin 2001), le tribunal s'est demandé si la jurisprudence fixant la limite à 20 % conservait son actualité depuis la 5e révision de l'AI.
3. Le jugement attaqué n'a pas mis fin à la procédure administrative d'instruction de la demande et constitue ainsi une décision incidente. Dans la mesure où le taux d'invalidité a été fixé à 21 %, l'une des conditions mises à l'octroi de mesures d'ordre professionnel est désormais réalisée, de sorte que le jugement est susceptible de causer un préjudice irréparable au recourant appelé à financer ces mesures. Le recours est donc recevable en vertu de l'<ref-law>.
4. Le point de savoir si un coefficient de réduction doit ou non être appliqué au revenu d'invalide, lorsque ce dernier a été établi sur la base de statistiques de l'Enquête suisse sur la structure des salaires, constitue une question de droit que le Tribunal fédéral peut revoir librement. Contrairement à la situation qui prévalait jadis sous l'empire de l'OJ (art. 104 let. c), l'étendue de l'abattement (justifié dans un cas concret), qui constitue une question typique relevant du pouvoir d'appréciation, échappe désormais au pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (art. 95 et 97 LTF). Demeure réservé le cas où le recourant fait grief à la juridiction de recours de première instance d'avoir exercé son pouvoir d'appréciation de manière abusive, donc contraire au droit, par un excès positif (Ermessensüberschreitung) ou négatif (Ermessensunterschreitung) de ce pouvoir (arrêt 9C_721/2008 du 14 octobre 2008 consid. 1.3.2; arrêt 9C_382/2007 du 13 novembre 2007 consid. 4.1).
A l'appui de ses conclusions, l'office recourant conteste l'abattement de 15 % que le tribunal cantonal a appliqué aux statistiques salariales pour déterminer le revenu d'invalide de l'intimée. Il soutient que le tribunal a commis un abus de son pouvoir d'appréciation et fait preuve d'arbitraire en tenant compte de la nationalité étrangère de l'intimée, dès lors que cette dernière est intégrée depuis plus de trente ans en Suisse. A son avis, une réduction de 10 % seulement est justifiée dans le cas d'espèce, si bien que le degré d'invalidité de 17 % qui découle de la comparaison des revenus est insuffisant pour ouvrir droit à des mesures d'ordre professionnel.
Le point de vue du recourant est pertinent, car la nationalité espagnole de l'assurée ne joue, en pareilles circonstances, plus de rôle sur le marché du travail. Toutefois, indépendamment du caractère discutable du procédé entrepris par la juridiction cantonale de recours et des déclarations intempestives de sa Présidente à l'égard du recourant (cf. déterminations du 28 mai 2009), la voie suivie n'aboutit finalement pas à un résultat arbitraire, car la déduction opérée (15 % au lieu de 10 %) reste encore dans une fourchette compatible avec la pratique administrative et judiciaire en la matière. En d'autres termes, le recourant n'a pas démontré en quoi les premiers juges auraient violé le droit fédéral (<ref-law>) par un abus ou un excès (positif ou négatif) de leur pouvoir d'appréciation. Sur ce point, le recours est donc mal fondé et le taux d'invalidité de 21 % peut être confirmé.
5. Sur la base de ce degré d'invalidité, les premiers juges ont reconnu à l'intimée le droit à des mesures de réadaptation professionnelle et renvoyé le dossier à l'office recourant afin qu'il les mette en oeuvre.
La reconnaissance de ce droit est toutefois prématurée et ne saurait être confirmée en l'état. En effet, non seulement la nature des mesures n'a pas été arrêtée (le jugement attaqué est exemplatif), mais surtout les autres conditions mises à leur octroi (notamment le maintien ou l'amélioration de la capacité de gain de l'intimée, ou la question de savoir si ces mesures seraient propres à atteindre le but de réadaptation visé) n'ont pas encore été concrètement examinées. On rappellera qu'il n'existe pas un droit inconditionnel à obtenir de telles mesures (voir par ex. l'arrêt 9C_385/2009 du 13 octobre 2009). Il faut également relever que si une perte de gain de 20 % environ ouvre en principe droit à une mesure de reclassement dans une nouvelle profession (<ref-ruling> consid. 2b p. 110 et les arrêts cités; voir aussi ULRICH MEYER, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung, 2e éd., p. 191), la question reste ouverte s'agissant des autres mesures d'ordre professionnel prévues par la loi.
En pareilles circonstances, compte tenu du degré d'invalidité de 21 %, le Tribunal cantonal aurait dû renvoyer la cause au recourant afin qu'il examine toutes les conditions du droit éventuel de l'intimée à des mesures d'ordre professionnel. Le recours sera dès lors admis et le jugement attaqué réformé en ce sens.
6. Dans la mesure où le jugement entrepris doit être réformé, la question du montant des frais et dépens mis à la charge de l'office recourant en procédure cantonale devra faire l'objet d'une nouvelle décision du Tribunal cantonal.
7. L'intimée a conclu à la confirmation du jugement attaqué en tous ses points. Dès lors qu'elle succombe, elle doit supporter les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1 première phrase en relation avec l'<ref-law>) et n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 21 avril 2009 étant réformé en ce sens que la cause est renvoyée à l'office recourant afin qu'il examine toutes les conditions du droit éventuel de l'intimée à des mesures d'ordre professionnel puis rende une nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Il n'est pas alloué de dépens pour la procédure fédérale.
4. Le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève statuera à nouveau sur les frais et dépens de l'instance cantonale, au regard de l'issue du procès.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 31 mai 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud