Sachverhalt:
A. Gegen die Y._ AG laufen zwei Betreibungen der Schweizerischen Eidgenossenschaft, vertreten durch die Eidgenössische Steuerverwaltung (Nr. 1 und 2), und drei Betreibungen der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich (Nr. 3, 4 und 5). Unter Inanspruchnahme der Stadtpolizei A._ vollzog das Betreibungsamt A._ am 2. Februar 2012 die Pfändung (Nr. 6). Zu diesem Zweck liess es in Abwesenheit von X._ die Wohnung an der Strasse W._ in A._ öffnen. Später am gleichen Tag pfändete es im Amtslokal in Anwesenheit von X._ den Betrag von Fr. 8'616.80.--.
B. B.a Mit Eingabe vom 13. Februar 2012 erhob X._ beim Bezirksgericht Zürich als unterer kantonaler Aufsichtsbehörde Beschwerde. Er beantragte festzustellen, dass die Wohnungsöffnung willkürlich und rechtsmissbräuchlich erfolgt sei, und das Betreibungsamt anzuweisen, dass "künftig ein anderer Betreibungsbeamter, und zwar ein Jurist", sich mit seinen Angelegenheiten zu beschäftigen habe. In prozessualer Hinsicht verlangte er, das Verfahren bis zum Entscheid des Bundesgerichts in einem noch hängigen Verfahren zu sistieren (s. Urteil 5A_859/2011 vom 21. Mai 2012). Weiter stellte er das Gesuch, das Betreibungsamt A._ vorsorglich anzuweisen, ihm den durch das Schul- und Sportdepartement der Stadt A._ an das Betreibungsamt A._ gezahlten Betrag von ca. Fr. 8'600.00 unverzüglich zurückzubezahlen.
B.b Mit Beschluss vom 14. Februar 2012 wies das Bezirksgericht das Sistierungsgesuch ab. Am 6. März 2012 setzte es X._ eine Frist von zehn Tagen, um zu den Vernehmlassungen des Betreibungsamts A._ und des Betreibungsbeamten Z._ vom 5. März 2012 Stellung zu nehmen, verbunden mit dem Hinweis, dass die Beilagen zur Vernehmlassung auf telefonische Voranmeldung bei der Gerichtskanzlei zur Einsicht aufliegen würden. X._ ersuchte darauf um eine Erstreckung der Frist zur Stellungnahme und verlangte, die Vernehmlassungsbeilagen des Betreibungsamtes seien ihm postalisch zuzustellen. Am 27. März 2012 bewilligte das Bezirksgericht eine letztmalige Fristerstreckung bis zum 17. April 2012 und lehnte eine Zusendung der Akten mit Verweis auf die Verfügung vom 6. März 2012 ab. Mit Eingabe vom 16. April 2012 (Datum der Postaufgabe) ersuchte X._ das Bezirksgericht um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters und um Ansetzung einer kurzen Nachfrist für die Stellungnahme. Das Bezirksgericht wies beide Anträge ab und setzte X._ eine Notfrist von drei Tagen, um sich zu den Vernehmlassungen schriftlich zu äussern (Verfügung vom 17. April 2012). Nachdem er den Empfang dieser Verfügung am 2. Mai 2012 bestätigt hatte, wandte sich X._ am 3. Mai 2012 erneut an das Bezirksgericht mit der Frage, weshalb die Verfügung vom 17. April 2012 nicht angefochten werden könne bzw. nicht mit einer Rechtsmittelbelehrung versehen sei.
B.c Mit Beschluss vom 30. Mai 2012 wies das Bezirksgericht Zürich die Beschwerde und das Gesuch um Rückzahlung ab. Vergeblich wehrte sich X._ hiergegen vor dem Obergericht des Kantons Zürich als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde. Dieses wies seine Beschwerde mit Urteil vom 4. Juli 2012 ab.
C. Mit Beschwerde vom 5. August 2012 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt den Antrag, das Vorgehen des Betreibungsamtes A._ vom 2. Februar 2012 nichtig zu erklären (Ziffer 1). Weiter sei festzustellen, dass der Wohnungseinbruch vom 2. Februar 2012 rechtsmissbräuchlich war (Ziffer 2). Die gepfändeten Fr. 8'600.--, die ihm gehören würden, seien ihm unverzüglich zurückzubezahlen (Ziffer 3). Eventualiter sei festzustellen, dass dieser Betrag nur im Widerspruchsverfahren geltend gemacht werden könne (Ziffer 4). Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer für das Verfahren vor Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich in der Hauptsache gegen einen Entscheid der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, der die Beurteilung einer Pfändung zum Gegenstand hat. Der Entscheid unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Das Rechtsmittel ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze zulässig (<ref-law>). Es richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 und 90 BGG). Wie der Beschwerde zu entnehmen ist, erhebt der Beschwerdeführer selbst Anspruch auf den Betrag von Fr. 8'616.80, den das Betreibungsamt in den Betreibungen gegen die Y._ AG gepfändet hat. Insofern ist er im Sinne von <ref-law> zur Beschwerde berechtigt.
1.2 Zwar nicht den Rechtsbegehren, aber doch der Beschwerdebegründung lässt sich entnehmen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 414 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 210), dass der Beschwerdeführer den Entscheid des Obergerichts auch angreift, soweit er die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch das Bezirksgericht bestätigt. Auch diesbezüglich liegt ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid vor (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung handelt es sich dabei um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131), und zwar auch dann, wenn der Armenrechtsentscheid - wie hier - zusammen mit dem Endentscheid in der Hauptsache ergangen ist (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). Hier ist die Beschwerde in Zivilsachen in der Hauptsache zulässig (E. 1.1). Deshalb unterliegt auch das Verfahren betreffend die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege der Beschwerde in Zivilsachen. Das gleiche Rechtsmittel steht gegen den angefochtenen Entscheid daher auch offen, soweit er die unentgeltliche Rechtspflege zum Gegenstand hat.
1.3 Auf die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 2 lit. a i.V.m. <ref-law>) eingereichte Beschwerde ist also grundsätzlich einzutreten.
2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich des Bundesverfassungsrechts sowie von Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). In diesem Bereich wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und im Einzelnen aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll im Schriftsatz mit seiner Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die er als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Bei alledem ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann nur vorgebracht werden, er sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (<ref-law>), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist (Botschaft, BBl 2001 IV 4338; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398), oder er beruhe auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Soweit die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht wird, gilt das Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen prüft. Auf ungenügend begründete Rügen und appellatorische Kritik am festgestellten Sachverhalt tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
Der Beschwerdeführer führt auch den Mitarbeiter des Betreibungsamtes A._ Z._ als Beschwerdegegner auf. Soweit er sich vor Bundesgericht dagegen wehrt, dass das Obergericht die Abweisung des Ausstandsgesuchs betreffend Z._ (Sachverhalt Bst. B.a) schützt, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, denn diesbezüglich fehlt es gänzlich an Ausführungen (<ref-law>).
3. Der Beschwerdeführer ist der Meinung, das Bezirksgericht als untere kantonale Aufsichtsbehörde habe wesentliche Parteirechte, insbesondere das rechtliche Gehör verletzt. Er beklagt sich darüber, dass das Obergericht den bezirksgerichtlichen Entscheid schützt. Ihrer formellen Natur wegen sind diese Vorwürfe zuerst zu prüfen.
3.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Verfügung vom 17. April 2012, mit welcher das Bezirksgericht unter anderem sein Gesuch um Fristerstreckung abwies und ihm eine Notfrist von drei Tagen ansetzte, habe "als Ganzes keine Rechtswirkung" entfaltet, weil sie nicht mit einer Rechtsmittelbelehrung versehen gewesen sei. Daher habe er keine Veranlassung gehabt, sich binnen der Notfrist vernehmen zu lassen, umso weniger, als er das Bezirksgericht mit Schreiben vom 3. Mai 2012 aufgefordert habe, ihm die Verfügung mit entsprechender Rechtsmittelbelehrung nochmals zuzustellen.
Bereits das Obergericht hält zutreffend fest, dass eine Eröffnung ohne Rechtsmittelbelehrung nicht schlechthin nichtig oder "rechtsunwirksam" ist. Aus dem Grundsatz, dass einer Partei aus einer mangelhaften Eröffnung keine Nachteile erwachsen dürfen, folgt vielmehr, dass dem beabsichtigten Rechtsschutz auch dann Genüge getan ist, wenn eine objektiv mangelhafte Eröffnung trotz des Mangels ihren Zweck erreicht. Das bedeutet nichts anderes, als dass im Einzelfall zu prüfen ist, ob die betroffene Partei durch den gerügten Eröffnungsmangel tatsächlich irregeführt und dadurch benachteiligt worden ist. In diesem Sinne findet die Berufung auf Formmängel ihre Grenzen am Grundsatz von Treu und Glauben, der auch in diesem prozessualen Bereich gilt (<ref-ruling> E. 2a S. 97).
Wie seine Eingabe vom 3. Mai 2012 zeigt, war der Beschwerdeführer selbst der Meinung, die Verfügung vom 17. April 2012 könne angefochten werden. Es kann also nicht gesagt werden, der Beschwerdeführer sei durch den Eröffnungsmangel irregeführt worden. Schon unter diesem Gesichtspunkt ist nicht ersichtlich, inwiefern dem Beschwerdeführer wegen der fehlenden Rechtsmittelbelehrung ein Nachteil erwachsen wäre. Dazu kommt, dass das Obergericht die Anliegen des Beschwerdeführers geprüft hat. Hinsichtlich der Ansetzung der Notfrist gelangt es zur Erkenntnis, die streitige Verfügung sei nicht anfechtbar gewesen, weil sie für den Beschwerdeführer mit keinem nicht leicht wiedergutzumachenden Nachteil verbunden war. Anders verhalte es sich mit der Abweisung des Fristerstreckungsgesuchs; eine Beschwerde dagegen wäre jedoch abzuweisen, da der Beschwerdeführer in seinem Fristerstreckungsgesuch keine zureichenden Gründe für die von ihm verlangte weitere Fristerstreckung genannt habe. Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Fehl geht insbesondere der Vorwurf des Beschwerdeführers, es sei willkürlich und unverhältnismässig, ihm binnen einer Notfrist von drei Tagen eine Stellungnahme zur sechzig Seiten umfassenden Eingabe des Betreibungsamtes A._ zuzumuten. Der Umfang dieser Eingabe musste dem Beschwerdeführer bereits am Tag bekannt sein, als ihm diese zugestellt worden war, das heisst am 20. März 2012. Vor allem aber durfte er nicht auf eine weitere Fristerstreckung vertrauen, nachdem ihn das Bezirksgericht mit Verfügung vom 27. März 2012 ausdrücklich darauf hingewiesen hatte, die Frist werde "allerletztmals" bis zum 17. April 2012 erstreckt. Daran ändert sich auch nichts durch den Umstand, dass er einen Tag vor Ablauf der erstreckten Frist ein Armenrechtsgesuch stellte, denn darin liegt kein hinreichender Grund für eine Fristerstreckung. War der Beschwerdeführer tatsächlich der Auffassung, er sei auf einen (unentgeltlichen) Rechtsbeistand angewiesen, so hätte er seit dem 20. März 2012 Zeit gehabt, sich darum zu kümmern. Einen Grund, damit bis zum 16. April 2012 zuzuwarten, macht er nicht geltend; ein solcher ist auch nicht ersichtlich. Von einer Nichtigkeit oder einer Gehörsverletzung kann unter diesen Umständen keine Rede sein.
3.2 Weiter erachtet es der Beschwerdeführer als "rechtsmissbräuchlich", dass die kantonalen Instanzen für die Erstellung von Fotokopien der Vernehmlassungsbeilagen einen "Kostenvorschuss" von Fr. 1.-- pro Kopie von ihm verlangten.
Das Obergericht hat dazu erwogen, auch die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vermöchte keinen Anspruch auf kostenlose Kopien zu begründen. Die Anfertigung von Kopien sei eine Verwaltungstätigkeit, für die gemäss der Gebührenverordnung des Obergerichts Rechnung zu stellen sei. Im Übrigen hätte der Beschwerdeführer auf der Gerichtskanzlei ungehindert sämtliche Akten einsehen und sich vor Ort Notizen machen können. In seiner Eingabe an das Bundesgericht begnügt sich der Beschwerdeführer mit der Behauptung, "die insgesamt Fr. 60.-- für die ihm gemäss Akteneinsichtsrecht zustehenden Kopien" nicht bezahlen zu können. Inwiefern die vorinstanzlichen Erwägungen rechtsfehlerhaft sein sollen und weshalb ein Anspruch auf Zustellung von "Gratiskopien" der besagten Unterlagen bestünde, lässt sich der Beschwerde an das Bundesgericht nicht entnehmen und ist auch nicht ersichtlich. Insbesondere erschöpft sich das verfassungsmässig garantierte Akteneinsichtrecht grundsätzlich darin, die Akten am Ort der urteilenden Behörde einzusehen, sich Notizen davon zu machen und Fotokopien anzufertigen bzw. anfertigen zu lassen, sofern der Behörde daraus nicht ein unverhältnismässiger Aufwand entsteht (<ref-ruling> E. 2b S. 112 mit Hinweisen). Entsprechend verstösst es nach der Rechtsprechung auch nicht gegen das Gleichbehandlungsprinzip, wenn kantonale Behörden die Akten nur den im Anwaltsregister eingetragenen Rechtsanwälten, nicht aber privaten Beschwerdeführern herausgeben (<ref-ruling> E. 3 S. 8 f., bestätigt in Urteil 5A_349/2009 vom 23. Juni 2009 E. 3.4). Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht erstmals geltend macht, eine ungestörte Einsichtnahme vor Ort sei nicht möglich gewesen, trägt er eine neue Tatsache vor. Er tut jedoch nicht dar, inwiefern erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gegeben hätte (<ref-law>). Das Vorbringen ist unbeachtlich (BGE <ref-ruling> E. 3 S. 395).
4. In der Sache dreht sich der Streit zum einen um die Wohnungsöffnung vom 2. Februar 2012 (s. Sachverhalt Bst. A).
4.1 Anlass zur Beschwerde gibt die vorinstanzliche Erwägung, der Beschwerdeführer habe in seiner Beschwerdeschrift an das Obergericht erstmals vorgetragen, an einer Verwaltungsratssitzung schriftlich und mündlich seinen Austritt aus dem Verwaltungsrat der Y._ AG angekündigt und dies dem Handelsregisteramt ordnungsgemäss mitgeteilt zu haben. Gleiches gelte hinsichtlich des Vorbringens, er habe den Briefkasten aufgelöst und könne daher keine Post der Y._ AG mehr entgegennehmen. Das Obergericht erklärt, hierbei handele es sich um neue Vorbringen, die im Beschwerdeverfahren nicht mehr zu hören seien. Zugleich führt es aus, selbst wenn man diesen Vorbringen "Beachtung schenken dürfte", vermöchten sie nichts zu Gunsten des Beschwerdeführers zu bewirken, denn wegen der Publizitätswirkung des Handelsregisters komme es alleine darauf an, was in diesem eingetragen sei. Dies ergebe sich aus <ref-law> sowie aus der Handelsregisterverordnung vom 17. Oktober 2007 (HRegV; SR 221.411). Das Betreibungsamt A._ sei nicht verpflichtet gewesen, über die Konsultation der Handelsregistereinträge hinaus weitere Nachforschungen zu betreiben.
4.2 Unzutreffend ist zunächst die Annahme des Beschwerdeführers, dass es im Verhältnis zum Betreibungsamt für die Wirkung des Handelsregisters auf "die im Tagebuch eingetragenen Sachverhalte" ankäme und das Betreibungsamt verpflichtet gewesen wäre, beim Handelsregisteramt nachzufragen, ob hinsichtlich der Y._ AG noch nicht publizierte Einträge zu berücksichtigen wären. Denn nach der Rechtsprechung haben die Betreibungsbehörden nicht zu prüfen, ob die im Handelsregister erfolgten Eintragungen und Löschungen gerechtfertigt seien oder nicht. Vielmehr ist für sie der Registerstand massgebend (<ref-ruling> E. 4 S. 6; <ref-ruling> S. 98 mit Hinweisen). Deshalb kommt es auch nicht darauf an, ob die Eintragung dem Willen des Eingetragenen entsprach oder nicht (BGE 48 III 201 S. 202). Vom geschilderten Grundsatz ist nicht einmal dann eine Ausnahme zu machen, wenn eine Eintragung oder Löschung auf einem offenbaren Irrtum beruht (BGE 30 I 759 S. 760 f.). Im Übrigen ist anzumerken, dass sich die dargelegte Bindung der Betreibungsbehörden an den Stand des Handelsregisters nicht aus der Publizitätswirkung des Handelsregisters gemäss <ref-law> ergibt, denn die Betreibungsorgane sind nicht als Dritte im Sinne dieser Vorschrift zu verstehen; als solche gelten nur die am Privatrechtsverkehr beteiligten (natürlichen oder juristischen) Personen, unter Einschluss der Handelsgesellschaften (BGE 59 III 178 S. 180, bestätigt in Urteil 7B.154/2006 vom 21. November 2006 E. 2.2). Vielmehr geht es darum, dass die Betreibungsbehörden nicht das Recht in Anspruch nehmen sollen, einen bestehenden Registereintrag als in seinen betreibungsrechtlichen Wirkungen nicht mehr gültig, oder umgekehrt eine erfolgte Löschung als betreibungsrechtlich unwirksam zu erklären, was unweigerlich zu Kompetenzkonflikten und Komplikationen aller Art führen müsste (BGE 30 I 759 S. 760).
4.3 Sodann kann auch offenbleiben, ob die streitigen Vorbringen im Beschwerdeverfahren vor Obergericht tatsächlich neu waren. Denn für die Frage, ob in den Betreibungen gegen die Y._ AG am 2. Februar 2012 an der Strasse W._ in A._ die Pfändung vollzogen werden durfte, spielt es keine Rolle, dass der Beschwerdeführer sein Ausscheiden aus dem Verwaltungsrat der Y._ AG angekündigt und dem Handelsregisteramt "ordnungsgemäss" mitgeteilt haben will. Ebenso wenig kommt es darauf an, dass er angeblich den Briefkasten aufgelöst hat und daher keine Post der Y._ AG mehr entgegennehmen konnte, wie er dies behauptet. Massgebend ist vielmehr, dass eine Aktiengesellschaft als juristische Person gemäss <ref-law> zwingend und ausschliesslich an ihrem im Handelsregister eingetragenen Sitz zu betreiben ist (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 199). Die Bestimmung des Sitzes der Gesellschaft zählt zum absolut notwendigen Inhalt der Statuten einer Aktiengesellschaft (<ref-law>). Im Handelsregister wird als Sitz der Name der politischen Gemeinde eingetragen (<ref-law>). Zudem wird das Rechtsdomizil der Gesellschaft eingetragen (<ref-law>). Das ist die Adresse, unter der die Gesellschaft an ihrem Sitz erreicht werden kann, mit folgenden Angaben: Strasse, Hausnummer, Postleitzahl und Ortsnamen (<ref-law>). Hat die Aktiengesellschaft am Ort ihres statutarischen Sitzes kein Domizil, muss ins Handelsregister eingetragen werden, bei wem sich am Ort des Sitzes das Domizil befindet (c/o-Adresse; <ref-law>).
Nun beruft sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht aber lediglich darauf, schon im Pfändungsverfahren vom 25. Februar 2011 geltend gemacht zu haben, dass sich das Domizil nicht mehr an der im Handelsregister eingetragenen Adresse befinde, und dem Handelsregisteramt bereits am 5. Januar 2011 bekannt gegeben zu haben, dass er aus dem Verwaltungsrat der Y._ AG zurückgetreten sei. Hingegen macht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht geltend, dass er das Amt auch über die behauptete Auflösung des Briefkastens bzw. die Kündigung des Domizils der Y._ AG an der Strasse W._ in A._ informiert oder das Obergericht ein entsprechendes Vorbringen im angefochtenen Entscheid zu Unrecht nicht berücksichtigt oder als neues Vorbringen aus dem Recht gewiesen hätte. Unter diesen Umständen kann offenbleiben, ob das Bezirksgericht als untere kantonale Aufsichtsbehörde aufgrund seiner Pflicht, den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen (<ref-law>), Anlass gehabt hätte, sich beim Handelsregisteramt danach zu erkundigen, ob mit Bezug auf das Rechtsdomizil der Y._ AG eine Mutation pendent sei. Dass dies jemals der Fall war, ist im Übrigen auch nicht anzunehmen, zumal die Y._ AG auch heute noch mit Sitz in A._ und Rechtsdomizil an der besagten Adresse im Handelsregister des Kantons Zürich eingetragen ist. Schliesslich ist festzuhalten, dass eine Aktiengesellschaft es auch gar nicht in der Hand hätte, sich allein durch die Löschung ihrer Adresse im Handelsregister einem gegen sie erhobenen Zwangsvollstreckungsverfahren zu entziehen (<ref-ruling> E. 4.2.3. S. 200). Wie sich aus den zitierten Vorschriften der Handelsregisterverordnung ergibt, müsste bei einer Löschung des Rechtsdomizils im Handelsregister eine c/o-Adresse als Ersatzdomizil eingetragen werden. Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde hinsichtlich der Wohnungsöffnung vom 2. Februar 2012 somit als unbegründet.
5. Der Beschwerdeführer stellt sich weiterhin auf den Standpunkt, der gepfändete Betrag von Fr. 8'616.80 gehöre ihm und sei ihm unverzüglich zurückzubezahlen. Soweit er zur Begründung seines entsprechenden Rechtsbegehrens auf frühere Eingaben und "auf die einzureichende Stellungsnahme ... gegen die Eingabe des Betreibungsamtes" verweist, genügt er den Anforderungen von <ref-law> (E. 2) von vornherein nicht, denn solche Verweise vermögen die Begründung in der Rechtsschrift selbst nicht zu ersetzen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 387 f.; <ref-ruling> E. 1d S. 201). Ebenso wenig reicht es hierzu aus, wenn sich der Beschwerdeführer unter Hinweis auf die Rechnungstellung mit der Behauptung begnügt, das Guthaben habe nichts mit der Y._ AG zu tun. Das in diesem Zusammenhang gestellte Eventualbegehren, es sei festzustellen, dass der streitige Betrag nur im Widerspruchsverfahren geltend gemacht werden könne, ist vor Bundesgericht neu und daher unzulässig (<ref-law>). Im Übrigen lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen, dass sich das Betreibungsamt oder die kantonalen Aufsichtsbehörden einem Widerspruchsverfahren nach <ref-law> in irgendeiner Weise in den Weg gestellt hätten. Nicht gefolgt werden kann dem Beschwerdeführer jedoch, soweit er der Ansicht ist, das Betreibungsamt müsse das Widerspruchsverfahren von sich aus einleiten. Vielmehr ist es nach Massgabe von <ref-law> am Dritten, also am Beschwerdeführer, seinen Anspruch beim Betreibungsamt anzumelden.
6. Zu prüfen bleibt, wie es sich mit der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch das Bezirksgericht verhält.
6.1 Das Obergericht kommt unter Hinweis auf seine Erwägungen zum Schluss, die vor Bezirksgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers seien als aussichtslos zu qualifizieren. Überdies hält es fest, dass ein beim Bundesgericht hängiges Beschwerdeverfahren des Beschwerdeführers betreffend einen angeblichen Wohnungseinbruch vom 25. Februar 2011 für sich allein seine Begehren betreffend die Vorfälle aus dem Jahr 2012 keinesfalls als aussichtsreich erscheinen lasse.
6.2 Seiner Beurteilung legt das Obergericht die in <ref-law> enthaltene Vorschrift zugrunde, die es gestützt auf <ref-law> in Verbindung mit § 18 des zürcherischen Einführungsgesetzes zum SchKG vom 26. November 2007 (LS 281) und § 83 des zürcherischen Gesetzes über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess vom 10. Mai 2010 (GOG/ZH LS 211.1) sinngemäss anwendet. Verweist das kantonale Recht auf die sinngemässe Anwendung der ZPO, so gelangt diese nicht als Bundesrecht, sondern als kantonales Recht zur Anwendung (Urteil 5A_804/2011 vom 15. März 2012 E. 3.2.1). Demnach ist die Frage, unter welchen Voraussetzungen der Beschwerdeführer Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege hat, grundsätzlich eine solche des kantonalen Rechts. Unter Vorbehalt von hier nicht gegebenen Ausnahmen (Art. 95 lit. c-e BGG) ist die Verletzung des kantonalen Rechts im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht kein Beschwerdegrund. Diesbezüglich kann lediglich gerügt werden, die Anwendung des kantonalen Rechts durch die Vorinstanz verletze das Bundesrecht im Sinne von <ref-law> - namentlich das Willkürverbot (<ref-law>) oder andere verfassungsmässige Rechte wie den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) - oder das Völkerrecht im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 466; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.). Soweit die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht wird, gilt - wie erwähnt - das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; E. 2).
6.3 Diesen Anforderungen genügt die Beschwerde nicht. Dass das Obergericht die Minimalanforderungen des in <ref-law> garantierten Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege verkannt hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Er rügt aber, die Abweisung seines Armenrechtsgesuches sei "unhaltbar und willkürlich". Was die Anspruchsvoraussetzung der fehlenden Aussichtslosigkeit seiner Rechtsbegehren angeht, beruft sich der Beschwerdeführer darauf, das Bundesgericht habe in seinem Urteil 5A_859/2011 vom 21. Mai 2012 betreffend die Vorfälle vom 25. Februar 2011 den obergerichtlichen Entscheid aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurückgewiesen, weshalb seine Begehren im vorliegenden Prozess keineswegs als so aussichtslos erschienen, wie dies das Obergericht darstelle. Der Beschwerdeführer übersieht offensichtlich, dass das Bundesgericht im Verfahren 5A_859/2011 lediglich die Beschwerde der Y._ AG teilweise gutgeheissen, seine eigene Beschwerde jedoch vollumfänglich abgewiesen hat. Er tut in keiner Weise dar, warum es für die Beurteilung der Erfolgsaussichten seiner im vorliegenden Prozess vor Bezirksgericht gestellten Begehren darauf ankäme, dass eine andere Person in einem anderen Prozess vor Bundesgericht teilweise obsiegte. Andere Gründe, weshalb das Obergericht das kantonale Recht hinsichtlich der fehlenden Aussichtslosigkeit in Verletzung von Bundes- oder Völkerrecht im Sinne von Art. 95 lit. a f. BGG angewendet hätte, trägt der Beschwerdeführer nicht vor. Es bleibt deshalb bei der vorinstanzlichen Erkenntnis, dass es an der zur Gewährung des Armenrechts erforderlichen Voraussetzung der fehlenden Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren mangelt. Damit kann offenbleiben, ob der Beschwerdeführer zur Wahrung seiner Rechte überhaupt auf die gerichtliche Bestellung eines Rechtsbeistandes angewiesen gewesen wäre.
7. Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Als unterliegende Partei hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Den Beschwerdegegnern steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Betreibungsamt A._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: V. Monn