Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Für den von ihm gegen die "V._" Rechtsschutz-Versicherungsgesellschaft (im folgenden: "V._") eingeleiteten Forderungsprozess ersuchte T._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Entscheid vom 16. Mai 2002 wies der Amtsgerichtspräsident I von Luzern-Stadt das Gesuch ab.
T._ rekurrierte an das Obergericht des Kantons Luzern, wobei er neben der Aufhebung des amtsgerichtlichen Entscheids den Ausstand dreier Oberrichter verlangte. Am 6. August 2002 wies das Obergericht (Justizkommission) das Ausstandsbegehren ab (Dispositiv-Ziffer 1) und entschied ferner, dass die Kosten mit dem Endentscheid verlegt würden (Dispositiv-Ziffer 2).
In der Sache entschied das Obergericht (Justizkommission) am 21. Oktober 2002. Es wies den Rekurs ab und bestätigte die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren gegen die "V._". Ebenso wies es das für das Rekursverfahren gestellte Armenrechtsgesuch ab und auferlegte T._ die Kosten des erst- und des zweitinstanzlichen Verfahrens, einschliesslich derjenigen für den Entscheid vom 6. August 2002 über das Ausstandsbegehren.
Mit Eingabe vom 23. November 2002 (Postaufgabe: 25. November 2002) führt T._ staatsrechtliche Beschwerde und verlangt, den Entscheid des Obergerichts vom 21. Oktober 2002 vollumfänglich und denjenigen vom 6. August 2002 bezüglich Dispositiv-Ziffer 2 (Kostenentscheid für das Ausstandsverfahren) aufzuheben.
Das Obergericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Mit Eingabe vom 19. Dezember 2002 hat sich der Beschwerdeführer - unaufgefordert - zur obergerichtlichen Vernehmlassung geäussert.
Mit Eingabe vom 19. Dezember 2002 hat sich der Beschwerdeführer - unaufgefordert - zur obergerichtlichen Vernehmlassung geäussert.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht zunächst Rechtsverweigerung vor, weil es das (auch) für das Ausstandsverfahren gestellte Armenrechtsgesuch gar nie behandelt habe. Die Rüge ist unbegründet: In Ziffer 2 des Rechtsspruchs seines Entscheids vom 6. August 2002 zum Ausstandsbegehren hatte das Obergericht bestimmt, dass die Kosten mit dem Endentscheid (über die in der gleichen Eingabe wie das Ausstandsbegehren gestellten Rekursanträge) verlegt würden, und in Dispositiv-Ziffer 2 des Entscheids vom 21. Oktober 2002 hat es ausdrücklich erklärt, das für das Rekursverfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege werde abgewiesen.
2.2 Zur Begründung dieses Entscheids hat die kantonale Rekursinstanz in Erw. 7 festgehalten, die Rekursbegehren, zu denen auch das (als Antrag Nr. 5 der Eingabe vom 31. Mai 2002 gestellte) Ausstandsbegehren zählte, seien von vornherein aussichtslos gewesen. Diese Feststellung ist wohl knapp, doch macht der Beschwerdeführer selbst nicht geltend, sie habe ihm nicht erlaubt, die staatsrechtliche Beschwerde in voller Kenntnis der Sache zu begründen (dazu <ref-ruling> E. 2b S. 102 f. mit Hinweisen). Die in diesem Zusammenhang erhobene Rüge der Gehörsverweigerung ist daher ebenfalls unbegründet.
2.3 Nach dem Gesagten braucht nicht erörtert zu werden, ob die vom Obergericht im Rechtsspruch vom 6. August 2002 getroffene Anordnung, die Kosten für den Entscheid über das Ausstandsbegehren mit dem Endentscheid zu verlegen, nicht bereits hatte erkennen lassen, dass die kantonale Rekursinstanz dafür hielt, die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege seien bezüglich des Ausstandsbegehrens nicht erfüllt und die entsprechenden Verfahrenskosten seien deshalb dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Es mag mit andern Worten offen bleiben, ob der Entscheid vom 6. August 2002 (im Kostenpunkt) nicht gesondert hätte angefochten werden müssen und die vorliegende Beschwerde insofern nicht allenfalls verspätet ist.
2.3 Nach dem Gesagten braucht nicht erörtert zu werden, ob die vom Obergericht im Rechtsspruch vom 6. August 2002 getroffene Anordnung, die Kosten für den Entscheid über das Ausstandsbegehren mit dem Endentscheid zu verlegen, nicht bereits hatte erkennen lassen, dass die kantonale Rekursinstanz dafür hielt, die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege seien bezüglich des Ausstandsbegehrens nicht erfüllt und die entsprechenden Verfahrenskosten seien deshalb dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Es mag mit andern Worten offen bleiben, ob der Entscheid vom 6. August 2002 (im Kostenpunkt) nicht gesondert hätte angefochten werden müssen und die vorliegende Beschwerde insofern nicht allenfalls verspätet ist.
3. 3.1 In der Sache wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht sowohl eine willkürliche Anwendung von § 130 Abs. 2 der Luzerner Zivilprozessordnung (ZPO) als auch einen Verstoss gegen <ref-law> vor. Er geht nicht davon aus, dass die unentgeltliche Rechtspflege nach dem kantonalen Recht unter leichteren Bedingungen oder in weitergehenderem Umfang gewährt werden könne, als es auf Grund der Verfassungsbestimmung der Fall ist. Die Beschwerde ist deshalb ausschliesslich unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> zu beurteilen, zumal in diesem Fall das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei prüfen kann, ob der Anspruch auf Gewährung des Armenrechts missachtet worden sei. Auf Willkür beschränkt ist die Prüfungsbefugnis indessen, soweit tatsächliche Feststellungen der kantonalen Instanz beanstandet werden (<ref-ruling> E. 3a S. 204 f. mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat von dem Sachverhalt auszugehen, der dem angefochtenen Entscheid zugrunde gelegt worden ist, es sei denn, der Beschwerdeführer weise nach, dass die kantonale Instanz verfassungswidrig unrichtige oder unvollständige tatsächliche Feststellungen getroffen hat (<ref-ruling> E. 5a S. 26). Ein derartiger Mangel ist hier nicht dargetan.
3.2 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege; soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist dabei, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen oder aber davon absehen würde: Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2.5.3 S. 236 mit Hinweisen).
3.2 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege; soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist dabei, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen oder aber davon absehen würde: Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2.5.3 S. 236 mit Hinweisen).
4. 4.1 Unter Berufung auf die am 25. Mai 1998 abgeschlossene Rechtsschutzversicherung verlangt der Beschwerdeführer mit der gegen die "V._" erhobenen Klage den Ersatz der Kosten, die ihm durch sozialversicherungsrechtliche Prozesse (betreffend IV- und Suva-Renten) erwachsen sind. Nach den Feststellungen des Obergerichts hatte er im Aussöhnungsgesuch vorgebracht, er habe seit 1992 wegen Rückenschmerzen tageweise aussetzen müssen und ab Sommer 1998 überhaupt nicht mehr arbeiten können, was zu seiner Entlassung geführt habe. Im Sommer 2000 sei ein IV-Gesuch abgelehnt worden, worauf er durch seinen Anwalt beim Verwaltungsgericht habe Beschwerde erheben lassen. Ausserdem sei bei der Suva eine Berufskrankheit angemeldet worden.
Dem Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 15. April 2002 hat die kantonale Rekursinstanz entnommen, dass Dr. med. N._ den Beschwerdeführer am 27. April 1998 wegen unklar generalisierter Myalgien und Arthralgien mit vegetativer Begleitsymptomatik zu 100% arbeitsunfähig erklärt und dass die Arbeitsunfähigkeit sich dann am 1. Februar 1999 auf 50% reduziert habe. Das Obergericht hält dafür, es sei unter den dargelegten Umständen davon auszugehen, dass es die vom genannten Arzt festgestellten Schmerzen bzw. die vom Beschwerdeführer geltend gemachten Rückenschmerzen gewesen seien, die zu den sozialversicherungsrechtlichen Verfahren geführt hätten, und dass somit in ihnen das den Rechtsfall auslösende Ereignis zu sehen sei. Da aber die diagnostizierte Krankheit schon vor Abschluss der Rechtsschutzversicherung (25. Mai 1998) bestanden habe, sei die Versicherungsdeckung, aus der der Beschwerdeführer seine Ansprüche gegen die "V._" ableite, wohl nicht gegeben. Auf Grund des Aussöhnungsbegehrens müsse davon ausgegangen werden, dass die sozialversicherungsrechtlichen Verfahren allein mit den angeblichen Rückenschmerzen begründet worden seien. Insgesamt seien die Erfolgsaussichten damit wesentlich geringer als die Verlustgefahren.
4.2 Was in der Beschwerde vorgebracht wird, ist nicht geeignet, die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für den gegen die "V._" eingeleiteten Prozess als verfassungswidrig erscheinen zu lassen: Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen des Obergerichts zu seinen gesundheitlichen Beschwerden, die den sozialversicherungsrechtlichen Verfahren zugrunde gelegen hätten, und zur Feststellung, dass jene bereits vor Abschluss der Rechtsschutzversicherung diagnostiziert gewesen seien, nicht auseinander. Zur Hauptsache beschränkt er sich darauf, unter Berufung auf von ihm eingeholte Berichte in appellatorischer Form seine eigene Sicht der Dinge vorzutragen. Soweit er dem Obergericht vorwirft, zu Unrecht kein Gutachten einer eidgenössisch diplomierten Versicherungsfachperson eingeholt zu haben, erklärt er nicht, worüber ein solcher Bericht sich hätte äussern sollen. Bei den Erklärungen der Versicherung "X._" (lic. iur. R._) vom 18. November 2002, die der Beschwerdeführer der vorliegenden Beschwerde beigelegt hat, handelt es sich um ein unzulässiges neues Vorbringen.
4.2 Was in der Beschwerde vorgebracht wird, ist nicht geeignet, die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für den gegen die "V._" eingeleiteten Prozess als verfassungswidrig erscheinen zu lassen: Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen des Obergerichts zu seinen gesundheitlichen Beschwerden, die den sozialversicherungsrechtlichen Verfahren zugrunde gelegen hätten, und zur Feststellung, dass jene bereits vor Abschluss der Rechtsschutzversicherung diagnostiziert gewesen seien, nicht auseinander. Zur Hauptsache beschränkt er sich darauf, unter Berufung auf von ihm eingeholte Berichte in appellatorischer Form seine eigene Sicht der Dinge vorzutragen. Soweit er dem Obergericht vorwirft, zu Unrecht kein Gutachten einer eidgenössisch diplomierten Versicherungsfachperson eingeholt zu haben, erklärt er nicht, worüber ein solcher Bericht sich hätte äussern sollen. Bei den Erklärungen der Versicherung "X._" (lic. iur. R._) vom 18. November 2002, die der Beschwerdeführer der vorliegenden Beschwerde beigelegt hat, handelt es sich um ein unzulässiges neues Vorbringen.
5. Der Beschwerdeführer vermag sodann auch nicht darzutun, dass das Obergericht insofern <ref-law> missachtet hätte, als es sein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Rekursverfahren abgewiesen hat. Die Verweigerung des Armenrechts ist nicht etwa mit der blossen Feststellung begründet worden, der Rekurs (einschliesslich Ausstandsbegehren) sei abzuweisen.
5. Der Beschwerdeführer vermag sodann auch nicht darzutun, dass das Obergericht insofern <ref-law> missachtet hätte, als es sein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Rekursverfahren abgewiesen hat. Die Verweigerung des Armenrechts ist nicht etwa mit der blossen Feststellung begründet worden, der Rekurs (einschliesslich Ausstandsbegehren) sei abzuweisen.
6. Die staatsrechtliche Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. So wie sie begründet worden ist, erschien sie von vornherein als aussichtslos. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist deshalb abzuweisen (vgl. Art. 152 Abs. 1 OG), und es ist ihm die Gerichtsgebühr aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht (Justizkommission) des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. April 2003
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: