Sachverhalt:
A.
Die Eheleute A.A._ (geb. 1967) und B.A._ (geb. 1973) heirateten 2004 und wurden Eltern der gemeinsamen Tochter C.A._ (geb. 2006). A.A._ hat fünf voreheliche Kinder, drei (volljährige) Kinder leben in U._, zwei Kinder kamen mit ihr in die Schweiz, D._ (geb. 1995) und E._ (geb. 1997).
B.
Am 6. September 2012 beantragte A.A._ beim Bezirksgericht Willisau den Erlass von Eheschutzmassnahmen. Mit Entscheid vom 21. Januar 2014 erklärte das Bezirksgericht Willisau die Parteien als berechtigt, nach Aufhebung des gemeinsamen Haushalts weiterhin und für unbestimmte Zeit getrennt zu leben (Ziff. 1). Die gemeinsame Tochter C.A._ unterstellte es der Obhut von B.A._ (Ziff. 2) und erteilte ihm im Sinne von <ref-law> die Weisung, sich zu einer spezialisierten Fachperson in Erziehungsberatung zu begeben (Ziff. 3). Weiter regelte das Bezirksgericht Willisau das Besuchsrecht von A.A._ (Ziff. 4) und hielt die für C.A._ bereits errichtete Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB aufrecht (Ziff. 5). Die weitergehenden oder anderslautenden Anträge der Parteien wies das Bezirksgericht Willisau ab (Ziff. 6). Die Parteien hatten die Gerichtskosten je zur Hälfte und ihre eigenen Parteikosten je selbst zu bezahlen. Aufgrund der A.A._ bewilligten unentgeltlichen Rechtspflege ging ihr hälftiger Gerichtskostenanteil zu Lasten des Staates und ihre Rechtsvertreterin wurde von der Bezirksgerichtskanzlei Willisau entschädigt (Ziff. 7).
C.
Gegen diesen Entscheid erhob A.A._ beim Kantonsgericht des Kantons Luzern am 3. Februar 2014 Berufung und beantragte die Aufhebung der Ziff. 2, 3, 4, 6 und 7 bzw. die Zuteilung der gemeinsamen Tochter C.A._ unter ihre Obhut und die Regelung der damit zusammenhängenden Folgen (Besuchsrecht von B.A._ sowie dessen Verpflichtung zu Unterhaltsbeiträgen für sie persönlich und das Kind). Mit Urteil vom 24. Oktober 2014 wies das Kantonsgericht des Kantons Luzern die Berufung ab (Ziff. 1). A.A._ gewährte es die unentgeltliche Rechtspflege (Ziff. 2). Zudem bestätigte es die bezirksgerichtliche Kostenverlegung. Die Gerichts- und Beweiskosten des Berufungsverfahrens hatten die Parteien wiederum je hälftig und ihre eigenen Kosten selbst zu tragen (Ziff. 3).
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 10. Dezember 2014 beantragt A.A._ (Beschwerdeführerin) dem Bundesgericht, das Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Luzern vom 24. Oktober 2014 aufzuheben, die gemeinsame Tochter C.A._ unter ihre Obhut zu stellen und die Sache zur Neubeurteilung der übrigen Trennungsfolgen (Besuchsrecht, Unterhaltsbeiträge) an das Bezirksgericht Willisau zurückzuweisen. Zudem ersucht die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
Am 19. Januar 2015 stellte B.A._ (Beschwerdegegner) ein Gesuch um superprovisorische Anordnung eines Ferienbesuchsrechts für die erste Februarwoche 2015. Mit Verfügung vom 20. Januar 2015 ist das Bundesgericht auf dieses Gesuch mangels Zuständigkeit nicht eingetreten.
Mit Schreiben vom 10. Februar 2015 reicht der Beschwerdegegner dem Bundesgericht zwei erstinstanzliche Entscheide (Entscheid des Bezirksgerichts Willisau vom 29. Januar 2015 betreffend vorsorgliche Massnahmen; Entscheid des Bezirksgerichts Kulm vom 28. Januar 2015 betreffend eine Sistierung des Besuchsrechts) ein.
Es sind die kantonalen Akten, in der Sache jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Eheschutzentscheid, mithin ein Endentscheid in einer Zivilsache (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG; zur Qualifikation als Endentscheid <ref-ruling> E. 4 S. 395 f.). Vor Bundesgericht strittig ist noch die Obhutszuteilung über die gemeinsame Tochter C.A._ sowie die Anordnung einer Vertretung des Kindes; die Beschwerde ist deshalb streitwertunabhängig zulässig. Die Beschwerdeführerin ist als unterlegene Partei des vorinstanzlichen Verfahrens zur Beschwerde berechtigt (Art. 76 Abs. 1 lit. a und b BGG). Auf die fristgerecht erhobene Beschwerde ist insofern einzutreten.
1.2. Eheschutzmassnahmen gemäss <ref-law> sind vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1 S. 668; <ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich des Willkürverbots gemäss <ref-law> gerügt werden. Auch die Anwendung von Bundesgesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von <ref-law> nur auf Willkür hin (Urteil 5A_261/2009 vom 1. September 2009 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darstellung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Will die Beschwerdeführerin die Verletzung des Willkürverbots rügen, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus ihrer eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Das Vorbringen von Tatsachen und Beweismitteln, die erst nach dem angefochtenen Entscheid zutage getreten oder entstanden sind (sog. echte Noven), kann von vorneherein nicht durch das weitergezogene Urteil veranlasst worden sein und ist im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Der Bericht der Beiständin von C.A._ über deren angeblich nach dem Entscheid der Vorinstanz verschlechterten Gemütsverfassung stellt ein echtes Novum dar und ist daher für das Bundesgericht unbeachtlich. Zudem nimmt das Bundesgericht keine neuen Beweise ab, weswegen das entsprechende Editionsbegehren unzulässig und darauf nicht einzutreten ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 295 f.; Urteil 5A_339/2009 vom 29. September 2009 E. 2.4; je mit Hinweisen). Ebenfalls echte Noven und daher unbeachtlich sind die vom Beschwerdegegner eingereichten Entscheide des Bezirksgerichts Willisau und des Bezirksgerichts Kulm vom 29. resp. 28. Januar 2015.
2.
Strittig ist vorliegend die Obhutszuteilung über die gemeinsame Tochter C.A._.
2.1. Das mit der "Regelung des Getrenntlebens" (Marginalie zu <ref-law>) befasste Eheschutzgericht trifft nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses die nötigen Massnahmen, wenn die Ehegatten minderjährige Kinder haben (<ref-law>).
2.2. Am 1. Juli 2014 sind die neuen Bestimmungen zur gemeinsamen elterlichen Sorge in Kraft getreten. Aus der gemeinsamen elterlichen Sorge kann ein Elternteil jedoch nicht das Recht ableiten, das Kind auch tatsächlich zur Hälfte betreuen zu können (Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Elterliche Sorge] vom 16. November 2011, BBl. 2011 9077, Ziff. 1.5.2 S. 9094). Das Gericht kann nach wie vor einem Elternteil die alleinige Obhut zuteilen. Die hierzu von der Praxis zum bisherigen Recht zur Zuteilung der Obhut im Eheschutz wie auch der alleinigen elterlichen Sorge bei Scheidung entwickelten Kriterien bleiben anwendbar (Urteile 5A_46/2015 vom 26. Mai 2015 E. 4.4.2 und 4.4.3; 5A_266/2015 vom 24. Juni 2015 E. 4.2.2.1; INGEBORG SCHWENZER/MICHELLE COTTIER, in: Basler Kommentar Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N. 4 und 5 zu <ref-law>).
2.3. Nach der Rechtsprechung hat das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere den Wünschen der Eltern. Vorab muss die Erziehungsfähigkeit der Eltern geklärt werden. Ist diese bei beiden Elternteilen gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und dazu bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Elternteile diese Voraussetzungen ungefähr in gleicher Weise, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, namentlich die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 180 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 209; Urteile 5A_46/2015 vom 26. Mai 2015 E. 4.4.2; 5A_972/2013 vom 23. Juni 2014 E. 3, in: FamPra.ch 2014 S. 1025 f.; 5A_319/2013 vom 17. Oktober 2013 E. 2.1, in: FamPra.ch 2014 S. 179 f.; 5A_157/2012 vom 23. Juli 2012 E. 3.1, in: FamPra.ch 2012 S. 1096 f.).
2.4. Bei der Beurteilung der für die Obhutszuteilung massgebenden Kriterien verfügt das Sachgericht über grosses Ermessen (<ref-ruling> E. 2 und E. 3 S. 319; Urteile 5A_266/2015 vom 24. Juni 2015 E. 4.2.2.2; 5A_848/2014 vom 4. Mai 2015 E. 2.1.2). Auf Willkürbeschwerde hin greift das Bundesgericht deshalb nur ein, wenn das Sachgericht grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn es Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn es umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Der Ermessensentscheid muss sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E.1 S. 99 mit weiteren Hinweisen).
2.5.
2.5.1. Die Vorinstanz hat zur Frage der Erziehungsfähigkeit der Parteien als Ergänzung zu dem von der Erstinstanz eingeholten Zuteilungsbericht einen weiteren Zuteilungsbericht eingeholt. Die Beschwerdeführerin rügt - wie bereits vor der Vorinstanz - formelle Mängel des zweiten Zuteilungsberichts. Die Vorinstanz hat sich mit der formellen Kritik der Beschwerdeführerin am zweiten Zuteilungsbericht von F._ eingehend auseinandergesetzt und dargelegt, weshalb auf den ersten und zweiten Zuteilungsbericht abgestellt werden kann. Mit der Begründung der Vorinstanz setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander. Sie wiederholt vielmehr die bereits vor der Vorinstanz erhobene Kritik und zeigt nicht auf, inwiefern die Vorinstanz mit dem Abstellen auf den zweiten Zuteilungsbericht das Willkürverbot verletzt haben soll. Weder ist zu beanstanden, dass die Zweitgutachterin zur Erstellung des Zuteilungsberichts Einblick in den Zuteilungsbericht der Erstgutachterin hatte noch dass sie im Rahmen der Ergänzung des Zuteilungsberichts mit der Beschwerdeführerin keinen Kontakt mehr aufgenommen hatte, da sich die Gutachterin im Rahmen der Ergänzung mit dem Familiensystem des Beschwerdegegners befasste. Das rechtliche Gehör ist ein prozessualer Anspruch, welcher die Beschwerdeführerin im Rahmen ihrer Stellungnahme zu den Ergänzungen der Zweitgutachterin wahrnehmen konnte. Inwiefern der zweite Zuteilungsbericht in sich selbst widersprüchlich sein soll, zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf. Ebenso wenig legt sie dar, inwiefern die Feststellungen der Vorinstanz zur Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin bezüglich der beiden älteren Kinder in formeller Hinsicht die Verwertbarkeit des zweiten Zuteilungsberichts beeinflussen könnten. Die formellen Rügen der Beschwerdeführerin am zweiten Zuteilungsbericht erweisen sich als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist.
2.5.2.
2.5.2.1. In formeller Hinsicht rügt die Beschwerdeführerin weiter, dass der Tochter C.A._ keine Prozessvertretung bestellt worden sei. C.A._ sei die schwächste Partei im Prozess und die Vorinstanz hätte ihr zwingend von Amtes wegen eine Prozessvertretung bestellen müssen.
2.5.2.2. Die Beiständin von C.A._ informierte die Vorinstanz mit Eingabe vom 25. September 2014, dass sie dem Familiengericht Kulm am 18. September 2014 beantragt hatte, eine Verfahrensbeistandschaft für C.A._ zu bestellen. In der Folge prüfte die Vorinstanz von Amtes wegen, ob für C.A._ eine Prozessvertretung anzuordnen sei. Sie sah von der Anordnung einer Prozessvertretung ab, mit der Begründung, im Zuge der beiden kantonalen Verfahren seien umfangreiche, insbesondere gutachterliche Abklärungen vorgenommen worden, in welche das betroffene Kind involviert gewesen sei. Auch vor Kantonsgericht sei es angehört worden. Mit einem Brief habe sich C.A._ persönlich an das Gericht gewandt und habe ihre Meinung kundgetan. Das Verfahren stehe kurz vor dem Abschluss und die Meinung von C.A._ sei genügend in den Prozess eingebracht worden.
2.5.2.3. Nach <ref-law> ordnet das Gericht wenn nötig die Vertretung des Kindes an und bezeichnet als Beistand eine in fürsorgerischen und rechtlichen Fragen erfahrene Person. Das Gericht hat von Amtes wegen zu prüfen, ob das Kind durch einen Beistand vertreten werden muss, insbesondere in den in Art. 299 Abs. 2 lit. a bis c ZPO genannten Situationen. Jedoch selbst in den Fällen nach <ref-law> hat das Gericht weder automatisch einen Beistand zu bezeichnen noch ist es verpflichtet, hierüber eine formelle Entscheidung zu treffen; vielmehr handelt es sich um eine Möglichkeit, die im Ermessen des Gerichts liegt (Urteile 5A_744/2013 vom 31. Januar 2014 E. 3.2.3; 5A_465/2012 vom 18. September 2012 E. 4.1.2 mit Hinweisen). Beantragt hingegen das urteilsfähige Kind die Ernennung eines Beistandes, hat das Gericht diesem Antrag zu entsprechen (<ref-law>; 5A_744/2013 vom 31. Januar 2014 E. 3.2.3 mit Hinweisen). Mit den Erwägungen der Vorinstanz setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander. Sie zeigt damit auch nicht auf, inwiefern nach mehrmaliger Anhörung von C.A._ das Kindeswohl im vorliegenden Verfahren nicht hinreichend gewahrt worden wäre und damit die Vorinstanz willkürlich von der Anordnung einer Prozessvertretung für C.A._ abgesehen hätte. Auf die Rüge ist nicht einzutreten.
2.6.
2.6.1. Bei der Beurteilung der Frage der Obhutszuteilung legte die Vorinstanz ihren Fokus auf die Zuteilungskriterien der Erziehungsfähigkeit, die Betreuungsmöglichkeiten und den Kindeswillen.
Hinsichtlich der Erziehungsfähigkeit kam die Vorinstanz zum Schluss, dass keine der Parteien voll erziehungsfähig sei, erachtete aber gestützt auf die beiden Zuteilungsberichte die Erziehungsfähigkeit beim Beschwerdegegner besser gewahrt. Sie führte aus, bei der Beschwerdeführerin sei zwar von einer warmherzigen emotionalen Person auszugehen, die aber bei einer mittelfristigen Perspektive C.A._ nicht die notwendigen Leitlinien und Strukturen für ein eigenverantwortliches Erwachsenenleben bieten könne. Aus den missglückten Erfahrungen mit ihren vorehelichen Kindern dürften entsprechende Rückschlüsse gezogen werden. Der Beschwerdegegner vermöge seiner Tochter auf der emotionalen Ebene weniger zu bieten als die Beschwerdeführerin, er laufe aber angesichts seiner Verwurzelung in Beruf und Familie nicht Gefahr, mit C.A._ kleinkindlich umzugehen oder sie gar als emotionalen Partnerersatz an seiner Seite zu wissen. Bezüglich letzterem Gesichtspunkt sei nicht zu verkennen, dass die Beschwerdeführerin sowohl von der beruflichen und familiären Seite her wenig verankert sei und C.A._ für sie zu viel des Lebenssinns und -inhalts darstellen könnte. Darauf deute die Tendenz, ihre Tochter "kleinkindlich" zu behandeln; dies werde auf die Dauer nicht möglich sein, da sich C.A._ ohnehin von der Mutter werde ablösen wollen und müssen. In dieser Beziehung sei die eher vernunftgeprägte Seite des Beschwerdegegners mit seinem strukturierten Leben von Vorteil. Die Zweitgutachterin habe das Spannungsfeld zwischen emotionaler Zuwendung und Strukturiertheit insofern auf den Punkt gebracht, als zu einer gesunden emotionalen Entwicklung unabdingbar eine differenzierte und anregende Förderung und adäquate Forderung der geistigen Fähigkeiten gehörten.
Zur Möglichkeit und Fähigkeit der Parteien zur persönlichen Betreuung hielt die Vorinstanz fest, der Beschwerdeführerin, die keiner Erwerbstätigkeit in grösserem Umfang nachgehe, komme diesbezüglich ein Vorteil zu. Der Beschwerdegegner sei jedoch bei seiner Bereitschaft zu behaften, sein Arbeitspensum auf 60-80 % zu reduzieren. Der Beschwerdegegner werde zwar auch mit einem eingeschränkten Pensum C.A._ nicht vollumfänglich betreuen können. Seine Mutter könne jedoch entsprechende Betreuungsaufgaben übernehmen. Sie sei befähigt, bereit dazu und habe C.A._ bereits zu Zeiten des gemeinsamen Zusammenlebens der Parteien immer wieder betreut. Der Beschwerdegegner könne zudem auch einen Mittagstisch organisieren oder C.A._ könne bei Nachbarn essen gehen. Damit sei Gewähr geboten, dass C.A._ umfassend und ihrem Wohl entsprechend betreut werden könne. Angesichts des Umstands, dass sie bereits die Primarschule besuche, sei sie weniger abhängig von der persönlichen Betreuung eines Elternteils. Durch einen Mittagstisch im Dorf oder durch die Betreuung bei Nachbarn eröffne sich für C.A._ auch die Möglichkeit, mit anderen Kindern in Kontakt zu kommen und nicht auf einen Elternteil fixiert zu sein.
Schliesslich hielt die Vorinstanz zur Willensäusserung von C.A._ fest, diese habe sich für eine Obhutszuweisung an die Mutter ausgesprochen. Der im Zeitpunkt der diversen Anhörungen noch nicht acht Jahre alt gewesenen C.A._ sei jedoch die Urteilsfähigkeit zur Obhutsfrage abzusprechen. Im ergänzenden Gutachten habe die Zweitgutachterin geäussert, dass C.A._ von der Mutter in den Elternkonflikt miteinbezogen werde und es insbesondere auffällig sei, dass diese das Kind mit ihrer Anwältin sprechen lasse. Ein Kind in einem Loyalitätskonflikt wie dem vorliegenden, verursacht durch die Streithaltung beider Eltern, sowie dem Ausgesetztsein ungefilterter Emotionen durch die Mutter, könne nur sehr erschwert einen gesunden eigenen Willen bilden. Das Schreiben, welches C.A._ selber der Vorinstanz am 12. September 2014 durch die Anwältin der Mutter habe einreichen lassen, erwecke in seiner Gesamtheit den Eindruck einer klaren Fremdbestimmung.
2.6.2. Mit der Begründung der Vorinstanz setzt sich die Beschwerdeführerin nur ansatzweise auseinander. Sie zählt einige Aspekte der Zuteilung der Obhut auf, die ihrer Ansicht nach von der Vorinstanz hätten anders gewichtet werden müssen oder nicht berücksichtigt worden sein sollen, zeigt aber nicht auf, inwiefern bei der Prüfung der Zuteilungskriterien verfassungsmässige Rechte verletzt bzw. Tatsachen willkürlich festgestellt worden wären. Damit setzt sie einfach ihre Gewichtung der Zuteilungskriterien dem Entscheid der Vorinstanz entgegen. Dabei verkennt sie, dass wichtigstes Zuteilungskriterium die Erziehungsfähigkeit bildet, und die von ihr stärker gewichteten Zuteilungskriterien erst sekundär in eine Gesamtbeurteilung einzubeziehen sind. Inwiefern die Vorinstanz indessen bei der Beurteilung der Erziehungsfähigkeit der Parteien in Willkür verfallen sein soll, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Insbesondere verstösst es nicht gegen das Willkürverbot, wenn die Vorinstanz die erzieherischen Leistungen der Beschwerdeführerin mit Bezug auf ihre vorehelichen Kinder D._ und E._ in die Beurteilung ihrer Erziehungsfähigkeit miteinbezogen hat. Diesbezüglich hat die Vorinstanz festgestellt, dass die Beschwerdeführerin mit den beiden älteren Kindern, die im Berufs- und Alltagsleben nicht hätten richtig Fuss fassen können, erhebliche Probleme gehabt habe und habe, und es Gefährdungsmeldungen seitens der Behörden gegeben habe. Gemäss Gutachten sei die Beschwerdeführerin offensichtlich nicht in der Lage, eigene Anteile an den Problemen der älteren Kinder zu sehen, und die Schwierigkeiten von D._ und E._ seien keineswegs alleine auf die Entwurzelung aus ihrem Heimatland zurückzuführen. Die Beschwerdeführerin habe es bezüglich ihres Sohnes verpasst, in der Schule Präsenz und Zuverlässigkeit zu zeigen, und es unterlassen, dessen Beistand eigenaktiv auf Unterstützungsmöglichkeiten anzusprechen. Dabei habe sich die Gutachterin nicht von den Verhaltensweisen der beiden Halbgeschwister von C.A._ leiten lassen, sondern auf die fehlende Kooperation der Beschwerdeführerin verwiesen. Aus den Akten ergibt sich denn auch, dass für beide Kinder eine Beistandschaft errichtet sowie D._ zeitweilig fremdplatziert werden musste, E._ eine Fremdplatzierung drohte und er verhaltensauffällig ist. Gestützt darauf ist es nicht willkürlich anzunehmen, dass die Beschwerdeführerin trotz ihrer warmherzigen emotionalen Art nicht in der Lage ist, C.A._ mittelfristig die notwendigen Leitlinien und Strukturen für ein eigenverantwortliches Erwachsenenleben bieten zu können, und das Kindeswohl mittel- und langfristig beim Beschwerdegegner besser gewahrt ist, selbst wenn seine Erziehungsfähigkeit gemäss beiden Zuteilungsberichten ebenfalls nicht vollständig gegeben ist. Daran ändert auch nichts, dass allenfalls die persönliche Betreuung bei der Beschwerdeführerin vorteilhafter wäre. Gemäss Feststellungen der Vorinstanz kann die Betreuung aber auch beim Beschwerdegegner durch Reduktion seines Arbeitspensums sowie mit Hilfe seiner Mutter gewährleistet werden. Dabei hat die Vorinstanz nicht verkannt, dass das Arbeitspensum bislang noch nicht reduziert worden ist, sondern der Beschwerdegegner dieses erst noch zu reduzieren haben wird. Dazu kommt, wie die Vorinstanz richtig ausführt, dass die persönliche Betreuung bei einem schulpflichtigen Kind nicht mehr im gleichen Masse zu gewichten ist wie bei einem Kleinkind. Inwiefern die Vorinstanz die Willensäusserung von C.A._ zu wenig gewürdigt haben soll, erläutert die Beschwerdeführerin nicht und ist denn auch nicht ersichtlich, setzt sich die Vorinstanz mit der Willensäusserung von C.A._ doch auf mehr als zweieinhalb Seiten detailliert auseinander. Rechtsprechungsgemäss geht die Vorinstanz davon aus, dass einem Kind von weniger als acht Jahren die Urteilsfähigkeit hinsichtlich der Frage der Obhutszuteilung abzusprechen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 556 f.; Urteile 5A_119/2010 vom 12. März 2010 E. 2.1.3; 5A_482/2007 vom 17. Dezember 2007 E. 3.1; 5C.293/2005 vom 6. April 2006, E. 4.2, in: FamPra.ch 2006 S. 760). Zudem ist es nicht willkürlich anzunehmen, dass C.A._ bei den gegebenen Umständen einem Loyalitätskonflikt ausgesetzt ist und sie deshalb in der Willensbildung beeinträchtigt ist. Die Beeinträchtigung in der freien Willensbildung kommt denn auch in dem von C.A._ selbst verfassten Schreiben zum Ausdruck, dessen Wortwahl nicht einem achtjährigen Kind entspricht und dessen Inhalt teilweise im Widerspruch zu den gutachterlichen Feststellungen zum Verhältnis von C.A._ zum Beschwerdegegner steht. Zusammengefasst ist nicht ersichtlich und wird von der Beschwerdeführerin nicht nachvollziehbar aufgezeigt, inwiefern die Vorinstanz die Zuteilungskriterien willkürlich beurteilt hätte, dabei verfassungsmässige Rechte verletzt oder den Sachverhalt in unhaltbarer Weise festgestellt haben sollte, sodass sich der Ermessensentscheid der Vorinstanz als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen würde. Es besteht daher für das Bundesgericht keinen Anlass, in den Ermessensentscheid der Vorinstanz einzugreifen.
2.6.3.
2.6.3.1. Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, die Vorinstanz habe sich mit ihrer begründeten Kritik am Erstgutachten nicht auseinandergesetzt und es unterlassen, das Erstgutachten kritisch zu würdigen.
2.6.3.2. Aus <ref-law> ergibt sich die Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen (<ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 3a S. 51; je mit Hinweisen). Dabei ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; je mit Hinweisen).
2.6.3.3. Aus dem vorinstanzlichen Entscheid ergibt sich, dass die Vorinstanz sich mit den dort wiedergegebenen Kritikpunkten der Beschwerdeführerin am Erstgutachten auseinander gesetzt und die Berichterstattung der Erstgutachterin über die Obhutszuteilung als im Wesentlichen umfassend und in sich stimmig bezeichnet hat. Die Beschwerdeführerin führt in der Beschwerdeschrift nicht aus, mit welchen von ihr erhobenen Kritikpunkten sich die Vorinstanz nicht auseinandergesetzt und dadurch <ref-law> verletzt haben soll; der Verweis auf die von ihr erhobene Berufung vom 3. Februar 2014, in welcher sie sich nochmals ausführlich mit dem Erstgutachten auseinandergesetzt haben will, ist unzulässig. Aus dem Umstand, dass die Vorinstanz in Ergänzung zum Erstgutachten einen weiteren Zuteilungsbericht eingeholt hat, hat sie zudem zum Ausdruck gebracht, dass sie sich mit der Kritik der Beschwerdeführerin am Erstgutachten durchaus auseinandergesetzt und dieses kritisch gewürdigt hat.
3.
3.1. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Sie hat die Gegenpartei jedoch für das bundesgerichtliche Verfahren nicht zu entschädigen, da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.
3.2. Dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden. Wie die vorstehenden Erwägungen aufzeigen, muss die über weite Strecken appellatorische Beschwerde als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden. Damit erfüllt ihr Gesuch die Voraussetzungen für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht (<ref-law>) und ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juli 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Griessen