Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1983) stammt aus Sri Lanka und kam am 21. Oktober 1988 mit seiner Mutter und seinen Geschwistern zum Vater in die Schweiz. Er heiratete am 24. März 2006 eine Landsfrau. Aus der Beziehung gingen drei Kinder hervor (geb. 2006 und 2007). Die Ehe wurde am 29. November 2011 geschieden und die elterliche Sorge der Mutter übertragen. Seit dem 13. April 2012 ist A._ mit einer Schweizer Bürgerin verheiratet; die beiden haben einen gemeinsamen Sohn (geb. 2010), der über die schweizerische Staatsbürgerschaft verfügt.
A.b. A._ machte sich in der Schweiz wiederholt strafbar und wurde zuletzt mit Urteil vom 4. April 2012 zu einer Freiheitsstrafe von 30 Monaten verurteilt (Betrug, Veruntreuung, betrügerischer Missbrauch einer Datenverarbeitungsanlage, Urkundenfälschung, Fälschen von Ausweisen usw.). Seit seiner Anwesenheit ist er insgesamt zu rund 72 Monaten Freiheitsentzug verurteilt worden. Seit dem 6. Februar 2008 befand A._ sich im Strafvollzug, dem er sich vom 25. Februar 2008 bis 5. Mai 2010 durch Flucht entzog. Ab dem 3. Juli 2012 trat er den vorzeitigen Strafvollzug an. Am 11. April 2014 ist A._ aus diesem entlassen worden.
B.
B.a. Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern (MIP) lehnte es am 29. September 2011 ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern, was die Polizei- und Militärdirektion mit Entscheid vom 12. Februar 2013 auf Beschwerde hin bestätigte. Die Direktion ging aufgrund der wiederholten Straffälligkeit und der Unverbesserlichkeit von A._ davon aus, dass trotz dessen familiärer Beziehungen ein überwiegendes Sicherheitsinteresse daran bestehe, dass er das Land verlasse. Mit den heimischen Gebräuchen sei er über seine Familie und die tamilische Diaspora, in der er sich vorrangig bewegt habe, vertraut; seiner derzeitigen Gattin und dem gemeinsamen, sich noch in einem anpassungsfähigen Alter befindenden Kind sei es gegebenenfalls zumutbar, ihm nach Sri Lanka zu folgen, da die Ehefrau ursprünglich ebenfalls von dort stamme.
B.b. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die hiergegen gerichtete Beschwerde am 14. März 2014 ab, hielt das Amt für Migration und Personenstand indessen an, beim Bundesamt für Migration (seit 1. Januar 2015: Staatssekretariat für Migration) ein Verfahren auf vorläufige Aufnahme einzuleiten; dementsprechend hob es die Anordnung auf, wonach A._ die Schweiz am Tag der Entlassung aus der Haft verlassen müsse: Das Bundesamt für Migration habe am 26. August 2013 beschlossen, nach zwei Inhaftierungen von Rückkehrern Wegweisungsvollzüge nach Sri Lanka vorläufig auszusetzen. Aufgrund der "plausiblen Vorbringen" von A._, er sei aufgrund seiner Herkunft und dem Umstand, dass zwischen seiner Familie und der LTTE (finanzielle) Verbindungen bestanden hätten, einer realen Gefährdung ausgesetzt, stelle sich - ausserhalb der Problematik der Verhältnismässigkeit der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung - die Frage nach einer allfälligen Unmöglichkeit bzw. Unzulässigkeit des Wegweisungsvollzugs, weshalb es sich rechtfertige, diesbezüglich ein Verfahren einzuleiten und eine genauere Abklärung durch die Bundesbehörden zu veranlassen (vgl. Art. 83 Abs. 6 in Verbindung mit Abs. 7 AuG [SR 142.20]).
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern insofern aufzuheben, als seine Beschwerde abgewiesen worden sei; er beanstandet ausdrücklich nicht die in Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids angeordnete Antragsstellung beim Staatssekretariat für Migration. A._ macht geltend, der angefochtene Entscheid sei wegen seiner Ehe, seinem familiären Verhältnis zu seinem (Schweizer) Kind und wegen seiner drei Kinder aus der früheren Beziehung unverhältnismässig. Es sei ihm nicht möglich, in seiner Heimat Fuss zu fassen, da er dort über kein Beziehungsnetz mehr verfüge und nur Tamilisch spreche. Er habe keine Beziehung mehr zu seinem Heimatland. Eine Eingliederung in den dortigen Arbeitsmarkt sei aufgrund sprachlicher und gesundheitlicher Probleme "mit erheblichen Schwierigkeiten" verbunden. Er sei mangelhaft sozialisiert, aber durchaus integriert. Im Übrigen sei sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden, da entgegen seinen Anträgen kein aktuelles psychiatrisches Gutachten eingeholt worden sei; dies müsse vor Bundesgericht nachgeholt oder die Sache hierzu an die Vorinstanz zurückgewiesen werden.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern und das Staatssekretariat für Migration beantragen, die Beschwerde abzuweisen.
A._ hat replikweise an seinen Anträgen und Ausführungen festgehalten.
D.
Mit Verfügung vom 1. Mai 2014 hat der Abteilungspräsident der Eingabe antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen gegen (1) Entscheide, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>), (2) gegen Entscheide bezüglich der vorläufigen Aufnahme sowie (3) gegen Entscheide über die Wegweisung (Art. 83 lit. c Ziff. 3 und 4 BGG). Anders verhält es sich, wenn - wie hier - in vertretbarer Weise geltend gemacht wird, es bestehe gestützt auf den Schutz des Privat- und Familienlebens (Art. 8 EMRK bzw. <ref-law>) bzw. in Anwendung von Art. 42 AuG (Ehe mit einer Schweizer Bürgerin) ein potenzieller Bewilligungsanspruch. In diesem Fall bildet die Frage, ob die entsprechenden Voraussetzungen gegeben sind, Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 2.5 S. 315; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f.).
1.2. Soweit der Beschwerdeführer (implizit) den Wegweisungsentscheid mitanfechten wollte, wäre auf die diesbezüglich einzig zulässige subsidiäre Verfassungsbeschwerde mangels einer rechtsgenügenden Beschwerdebegründung nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> ff.; Urteil 2C_804/2013 vom 3. April 2014 E. 1.3.1). Bezüglich der mit der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung verbundenen Wegweisung (Art. 64 Abs. 1 lit. c AuG) behauptet der Beschwerdeführer nicht mehr, diese verletze Art. 3 EMRK oder ein anderes besonderes verfassungsmässiges Recht (vgl. <ref-ruling> ff.). Auf die Problematik ist deshalb nicht weiter einzugehen, zumal das Verwaltungsgericht den Migrationsdienst angehalten hat, im Hinblick auf die allenfalls bestehenden vollzugshindernden Probleme ein Verfahren beim Staatssekretariat für Migration einzuleiten. Der Beschwerdeführer ist durch den angefochtenen Entscheid diesbezüglich nicht belastet (vgl. <ref-law>); er macht auch nicht geltend, dass die entsprechenden Aspekte von der Vorinstanz zu Unrecht nicht berücksichtigt bzw. unzuständigkeitshalber dem Staatssekretariat überlassen worden seien.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>) und kann diesen - soweit entscheidrelevant - nur berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (<ref-law>). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft - mit anderen Worten willkürlich - erscheint (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3).
2.2. Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Sachverhaltsfeststellung und der Beweiswürdigung der Vorinstanz nicht verfassungsbezogen auseinander. Er stellt über weite Strecken lediglich seine Einschätzungen denjenigen im angefochtenen Entscheid gegenüber, ohne darzulegen, inwiefern diese als offensichtlich unhaltbar zu gelten hätten. Es ist dem vorliegenden Entscheid deshalb der Sachverhalt zugrunde zu legen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat. Soweit der Beschwerdeführer beanstandet, es sei im kantonalen Verfahren zu Unrecht kein psychiatrisches Gutachten eingeholt worden, legt er nicht dar, inwiefern die diesbezügliche antizipierte Beweiswürdigung (vgl. hierzu <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweis; Urteil 2C_734/2014 vom 2. Februar 2015 E. 2.2) der Vorinstanz willkürlich sein könnte; das ist auch nicht ersichtlich: In den verschiedenen Strafverfahren wurde kein solches in Auftrag gegeben; auch aus den ausländerrechtlichen Akten ergeben sich keinerlei Hinweise darauf, dass insofern weitere Abklärungen geboten wären. Der entsprechende Beweisantrag ist abzuweisen.
3.
3.1. Die Aufenthaltsberechtigung im Rahmen einer gelebten Ehe mit einer Schweizerin kann beendet werden, wenn die ausländische Person zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe, d.h. zu einer solchen von mehr als einem Jahr, verurteilt worden ist (Art. 51 Abs. 1 i.V.m. Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. b AuG; <ref-ruling> E. 4.2 S. 381; <ref-ruling> E. 2) oder wenn sie in schwerwiegender Weise gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz oder im Ausland verstossen hat bzw. diese gefährdet (Art. 63 Abs. 1 lit. b AuG). Das ist praxisgemäss der Fall, wenn sie durch ihre Handlungen besonders hochwertige Rechtsgüter verletzt oder in Gefahr bringt oder sie sich von strafrechtlichen Massnahmen nicht beeindrucken lässt und damit zeigt, dass sie auch künftig weder gewillt noch fähig erscheint, sich an die Rechtsordnung zu halten, was jeweils im Rahmen einer Gesamtbetrachtung geprüft werden muss (<ref-ruling> E. 2, 31 E. 2, 145 E. 2; <ref-ruling> E. 3 S. 302 ff.; Urteile 2C_562/2011 vom 21. November 2011 E. 3.2 und 2C_310/2011 vom 17. November 2011 E. 5). Die genannten Widerrufsgründe gelten auch für Bewilligungen ausländischer Personen, die sich seit mehr als 15 Jahren ununterbrochen und ordnungsgemäss in der Schweiz aufhalten (vgl. Art. 63 Abs. 2 AuG).
3.2.
3.2.1. Die aufenthaltsbeendende Massnahme muss verhältnismässig sein (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 4.3 u. 4.5). Dies ergibt sich einerseits aus Art. 96 AuG andererseits aus Art. 8 Ziff. 2 EMRK. Ins Gewicht fallen dabei namentlich die Schwere des Delikts und des Verschuldens des Betroffenen, der seit der Tat vergangene Zeitraum, das Verhalten des Ausländers während diesem, der Grad seiner Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die ihm und seiner Familie drohenden Nachteile (<ref-ruling> E. 4.3; vgl. auch das Urteil des EGMR i.S. Trabelsi gegen Deutschland vom 13. Oktober 2011 [Nr. 41548/06], Ziff. 53 ff. bezüglich der Ausweisung eines in Deutschland geborenen, wiederholt straffällig gewordenen Tunesiers). Die Aufenthaltsberechtigung einer ausländischen Person, die sich seit langer Zeit hier aufhält, soll aus Gründen der Verhältnismässigkeit nur mit Zurückhaltung widerrufen oder nicht verlängert werden. Bei wiederholter bzw. schwerer Straffälligkeit ist dies jedoch selbst dann nicht ausgeschlossen, wenn sie hier geboren ist und ihr ganzes bisheriges Leben im Land verbracht hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 33, 16 E. 2.2.1 S. 19; <ref-ruling> E. 4.3 S. 381 und das Urteil 2C_562/2011 vom 21. November 2011 E. 3.3 [Widerruf der Niederlassungsbewilligung eines hier geborenen 43-jährigen Türken]). Bei schweren Straftaten und bei Rückfall bzw. wiederholter Delinquenz besteht regelmässig ein wesentliches öffentliches Interesse daran, die Anwesenheit eines Ausländers zu beenden, der die Sicherheit und Ordnung in dieser Weise beeinträchtigt (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 und 2.5; das Urteil 2C_903/2010 vom 6. Juni 2011 E. 3.1, nicht publ. in <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 4.4.2 S. 190).
3.2.2. Neben der Dauer des Aufenthalts und dem Alter bei der Einreise ist bei der Interessenabwägung auch der bisherige, nach dem nationalen Recht mehr oder weniger gefestigte Aufenthaltsstatus von Bedeutung (Urteil 2C_573/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 3.3 mit Hinweis auf das Urteil des EGMR Jeunesse gegen Niederlande vom 3. Oktober 2014 [Nr. 12738/10] § 108). Die Schranken der Verhältnismässigkeit sind bei der Nichtverlängerung einer Aufenthaltsbewilligung in der Regel weniger hoch als beim Widerruf einer Niederlassungsbewilligung (vgl. das Urteil 2C_91/2014 vom 18. Dezember 2014 E. 5.1). Hinsichtlich der familiären Verhältnisse sind neben der Dauer der ehelichen Beziehung alle Gesichtspunkte von Bedeutung, die Rückschlüsse auf die Intensität der Ehe zulassen, namentlich die Geburt und das Alter allfälliger Kinder sowie die Kenntnis der Tatsache, dass die Beziehung wegen der Straftaten unter Umständen nicht in der Schweiz würde gelebt werden können (<ref-ruling> E. 4.3 S. 381 f.; Urteil 2C_685/2014 vom 13. Februar 2015 E. 5.3).
4.
4.1. Ausgangspunkt und Massstab zur Beurteilung des Verschuldens und der ausländerrechtlichen Interessenabwägung bildet die vom Strafgericht verhängte Sanktion (Urteil 2C_295/2009 E. 5.3 nicht publ. in <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 216). Was der Beschwerdeführer hiergegen vorbringt, überzeugt nicht: Richtig ist, dass die Verurteilung zu einer "längerfristigen Freiheitsstrafe" (vgl. zum entsprechenden Begriff: Urteil 2C_685/2014 vom 13. Februar 2015 E. 4) den ausländerrechtlichen Widerrufsgrund bildet; weshalb es als eine unzulässige "doppelte Verwertung" zu gelten habe, wenn die strafrechtlichen Überlegungen zum Verschulden bei der Interessenabwägung zusätzlich mitberücksichtigt werden, ist nicht ersichtlich. Tatsache ist, dass der Beschwerdeführer seit seiner Jugend immer wieder und zusehends schwerer straffällig geworden ist. Ging es anfangs um kleinere Vermögens- und SVG-Delikte (Fahren trotz Führerausweisentzugs); gefährdete er in der Folge durch sein Handeln auch Dritte an Leib und Leben: Mit Urteil des Kreisgerichts IV Aarwangen vom 4. August 2004 wurde er unter anderem wegen bandenmässigen Diebstahls, mehrfacher Sachbeschädigung, Hinderung einer Amtshandlung und mehrfacher (teilweise grober) Verletzung von Verkehrsregeln zu 16 Monaten Gefängnis und einer Busse verurteilt. Der Beschwerdeführer, der sich auf der Flucht befand, entzog sich mit massiv übersetzter Geschwindigkeit einer Polizeikontrolle, wobei er, so das Strafurteil, "auf der Strasse beinahe alles" machte, "was irgendwie gefährlich war"; er habe mit einer erheblichen Skrupel- und Rücksichtslosigkeit bei seiner Flucht die Gefährdung unbeteiligter Dritter in Kauf genommen (Geschwindigkeit gegen 200 km/h, rabiater, wiederholter Spurwechsel usw.). Das Obergericht des Kantons Aargau verurteilte ihn am 23. August 2007 seinerseits unter anderem wegen Gehilfenschaft zu versuchtem Raub zu einer Freiheitsstrafe von zehn Monaten und einer Busse. Bei dieser Tat zeigte er keine Hemmungen, auch an Taten mitzuwirken, die sich unmittelbar gegen Personen und deren Integrität richten (Überfall auf eine Kioskverkäuferin mit einer Co2-Pistole, dem sich diese dadurch entzog, dass sie sich hinter dem Verkaufstresen in Sicherheit brachte). Schliesslich musste der Beschwerdeführer am 4. April 2012 wegen mehrfachen Betrugs sowie Versuchs dazu, mehrfacher Veruntreuung, mehrfachen Fälschens von Ausweisen, mehrfachen Führens eines Motorfahrzeugs ohne Ausweis zu 30 Monaten Freiheitsstrafe verurteilt werden. Dabei wies das Regionalgericht Berner Jura-Seeland darauf hin, dass dem Beschwerdeführer alles egal gewesen sei, solange er seinen luxuriösen Lebensstandard habe aufrechterhalten und sich in Freiheit bewegen können. Seine Beweggründe seien rein egoistischer Natur gewesen; es sei ihm dabei in keiner Weise darum gegangen, seine Familie und insbesondere seine Kinder finanziell zu unterstützen; auch seine Flucht aus dem Strafvollzug könne - entgegen seinen Behauptungen - nicht in diesem Zusammenhang gesehen werden.
4.2. Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass sich der Beschwerdeführer zwar inzwischen seit 24 Jahren in der Schweiz aufhält, doch hat er sich hier nicht zu integrieren vermocht, sondern ist immer wieder straffällig geworden. Entgegen seinen Darlegungen kann er weder als sozialisiert noch integriert gelten. Wie sich aus den Akten ergibt, hat er in erster Linie Kontakte in der sri-lankischen Diaspora. Die Schule hat er nicht abgeschlossen, da er von dieser - wegen seines schwierigen Verhaltens - im letzten Schuljahr hatte ausgeschlossen werden müssen. Wie er selber geltend macht, hat er "seit seiner Jugend einen grossen Teil seines Lebens im Jugendheim, im Gefängnis oder aber auf der Flucht verbracht", weshalb er kein breites soziales Netz noch eine regelmässige Erwerbstätigkeit aufweisen könne. Er verfügt weder über einen Berufsabschluss noch hat er sich, von Gelegenheitsjobs in der Baubranche abgesehen, ernsthaft um Arbeit bemüht. Soweit er darauf hinweist, einen Unfall erlitten zu haben und heute auf entsprechende Umschulungsmassnahmen setzen zu wollen, tut er - wie bereits die Vorinstanz bemerkt hat - kein tragbares Zukunftsprojekt dar. In einer Gesamtsicht ist von einer ausgeprägten Unverbesserlichkeit und von einer gescheiterten beruflichen wie sozialen Integration auszugehen. Der Beschwerdeführer ist wiederholt und notorisch straffällig geworden und liess sich weder von den Strafurteilen noch den entsprechenden -vollzügen beeindrucken; auch eine ausländerrechtliche Verwarnung mit Hinweis darauf, dass seine Bewilligung nicht verlängert würde, falls er weiter delinquieren sollte, vermochte ihn nicht dazu zu bewegen, sich an die hiesigen gesellschaftlichen Regeln und Vorgaben zu halten. Weder Strafuntersuchungen, Probezeiten, Bewährungsfristen noch Verurteilungen konnten ihn eines Besseren belehren. Dasselbe gilt für die von ihm angerufenen familiären Beziehungen. Sein Hinweis auf eine "schwere Jugend" wurde bereits in den jeweiligen Strafurteilen mitberücksichtigt. Die ihm jeweils straf- wie ausländerrechtlich gebotenen Chancen, doch noch Fuss zu fassen, nutzte er nicht. Wegen seiner Uneinsichtigkeit, die sich auch aus seiner Flucht aus dem Strafvollzug und dem Umstand ergibt, dass ihm wiederholt die vorzeitige Entlassung aus diesem verweigert werden musste, besteht bei ihm - wie die kantonalen Instanzen willkürfrei annehmen durften - eine hohe Rückfallgefahr, die ausländerrechtlich rechtfertigt, seine Aufenthaltsbewilligung zum Schutz der Öffentlichkeit nicht mehr zu verlängern.
4.3.
4.3.1. Zwar hat der Beschwerdeführer als Ausländer der "zweiten Generation" zu gelten, bei welcher die Beziehungen zum Heimatstaat oft nicht mehr sehr eng sind, doch ändert dies vorliegend nichts an der Zulässig- bzw. Verhältnismässigkeit der Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung: Der Beschwerdeführer ist mit 5 Jahren in die Schweiz gekommen und hier eingeschult worden; die Annahme der Vorinstanz, dass er mit den heimatlichen Verhältnissen und der tamilischen Sprache dennoch hinreichend vertraut ist, um gegebenenfalls in die Heimat zurückkehren zu können, ist nachvollziehbar. Der Beschwerdeführer bestreitet dies zwar, belegt aber in keiner Weise, inwiefern die entsprechende Beweiswürdigung willkürlich bzw. aktenwid-rig wäre: Nach eigenen Angaben hat er sich bereits ferienhalber in Sri Lanka aufgehalten und hier vorab Kontakte zu Landsleuten gepflegt. Im Rahmen seines Gesuchs um bedingte Entlassung aus dem Strafvollzug hat er geltend gemacht, dass er gewillt sei, die Schweiz zu verlassen und in seinem Heimatland Sri Lanka ein neues Leben anzufangen (vgl. die Verfügung der Abteilung Straf- und Massnahmenvollzug vom 28. Mai 2013). Somit ging er offenbar selber davon aus, dass sich ihm bei einer Rückkehr in die Heimat keine unüberwindbaren Hindernisse stellen sollten. Es kann deshalb nicht gesagt werden, dass ihn nichts anderes als die blosse Staatsangehörigkeit mehr mit dieser verbinden würde (vgl. ANDREAS ZÜND/THOMAS HUGI YAR, Aufenthaltsbeendende Massnahmen im schweizerischen Ausländerrecht, insbesondere unter dem Aspekt des Privat- und Familienlebens, in: EuGRZ 1/2013 S. 1 ff., dort N. 4 mit Hinweisen auf die Praxis des UN-Ausschusses für Menschenrechte zu Art. 12 des Uno-Pakts II [SR 0.103.2]).
4.3.2. Das Bundesgericht verkennt nicht, dass bei einem allfälligen Vollzug der Wegweisung - über deren Zulässigkeit nach dem Vollzugsstopp aus dem Sommer 2013 und dessen Beendigung im Juni 2014 das Staatssekretariat für Migration wird entscheiden müssen (vgl. die Medienmitteilung des EJPD/BFM vom 26. Mai 2014 "Berichte zu den Verhaftungen von zwei Asylsuchenden in Sri Lanka liegen vor") - der Beschwerdeführer seine familiären Beziehungen allenfalls nur noch unter erschwerten Bedingungen wird leben können. Dies war mit Blick auf die Strafvollzüge bzw. verschiedenen Untersuchungshaften jedoch bereits bisher der Fall. Die drei Kinder aus seiner ersten Beziehung stehen unter dem ausschliesslichen Sorgerecht der Mutter; der Beschwerdeführer verfügt über kein Besuchsrecht. Dass er jüngst brieflich bzw. besuchsweise wieder einzelne Kontakte mit ihnen aufgenommen hat und sein Verhältnis zu deren Mutter sich nunmehr "freundschaftlicher" gestalten soll, ändert hieran nichts. Bereits im Jahr 2007 lebte er nicht mehr mit dieser und den Kindern zusammen; er wohnte vielmehr bereits damals bei einem Freund (so das Urteil des Obergerichts Aargau vom 23. August 2007); inzwischen hatte er kaum oder keine Beziehungen zu ihnen.
4.3.3. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zur Ausübung eines Besuchsrechts in der Regel nicht erforderlich (vgl. das Urteil 2C_547/2014 vom 5. Januar 2015 E. 3.2). Unter dem Gesichtswinkel des Anspruchs auf Familienleben (Art. 8 Ziff. 1 EMRK sowie <ref-law>) genügt, wenn das Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her ausgeübt werden kann, wobei allenfalls dessen Modalitäten entsprechend anzupassen sind (<ref-ruling>5 E. 2.2 S. 319). Ein weitergehendes Recht fällt in Betracht, wenn in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zu den Kindern besteht, diese wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte und das bisherige Verhalten des Ausländers in der Schweiz zu keinerlei namhaften Klagen Anlass gegeben hat (<ref-ruling>5 E. 2.2 S. 319; <ref-ruling> E. 3c S. 5; zum Element des tadellosen Verhaltens in der Interessenabwägung <ref-ruling> E. 4.3 S. 151 f.; Urteil 2C_547/2014 vom 5. Januar 2015 E. 3.2). Diese Voraussetzungen sind hier nicht erfüllt.
4.4.
4.4.1. Der Beschwerdeführer ist seit dem 13. April 2012 mit einer Schweizerin verheiratet; aus der Beziehung zu ihr ist 2010 ein gemeinsamer Sohn hervorgegangen. Aufgrund des verbindlich festgestellten Sachverhalts ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer diese Beziehungen - soweit im Strafvollzug möglich - gelebt hat (Briefverkehr, Besuche, Telephon). Die aufenthaltsbeendende Massnahme erweist sich indessen dennoch als verhältnismässig und entspricht mit Blick auf seine Unverbesserlichkeit einem "herausragenden sozialen Bedürfnis" bzw. einer "fairen" Interessenabwägung im Sinne der Rechtsprechung des EGMR (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.2 S. 336) : Dem Beschwerdeführer wurde nie die Niederlassung erteilt. Trotz seiner langen Anwesenheit verfügte er immer nur über eine zeitlich beschränkte Aufenthaltsbewilligung. Seine schweizerische Gattin, welche ursprünglich ebenfalls aus Sri Lanka stammt, musste bereits bei Aufnahme ihrer Beziehung mit dem Beschwerdeführer damit rechnen, dass sie diese wegen dessen bisherigen Verhaltens nicht ohne Weiteres in der Schweiz würde leben können. Hieran ändert nichts, dass die Eheleute während der Flucht aus dem Strafvollzug, ein Kind gezeugt haben und der Beschwerdeführer aufgrund der Ehe mit dessen Mutter nach wie vor über das Sorgerecht verfügt. Das Kindesinteresse, wenn möglich mit beiden Elternteilen in der Schweiz aufwachsen zu können, kann in der Interessenabwägung nur dann überwiegen, wenn im Wesentlichen ausschliesslich Gründe der Zuwanderungssteuerung den privaten Interessen bereits anwesenheitsberechtigter Personen gegenüber stehen, nicht indessen, wenn es zusätzlich - wie hier - darum geht, die öffentliche Sicherheit und Ordnung vor der Gefahr weiterer (gewichtiger) Straftaten zu schützen (vgl. <ref-ruling> ff.).
4.4.2. Die Gattin des Beschwerdeführers kann diesem, falls die Wegweisung vollzogen werden sollte, mit dem gemeinsamen Kind, welches sich noch in einem anpassungsfähigen Alter befindet, nach Sri Lanka folgen, auch wenn ihnen dies nicht leicht fallen sollte: Wie bereits dargelegt, hat der Beschwerdeführer im Herbst 2013 erklärt, im Falle einer vorzeitigen Beendigung des Strafvollzugs freiwillig nach Sri Lanka ausreisen und dort ein neues Leben beginnen zu wollen; dabei dürfte er auch an seine Kernfamilie gedacht haben, zu der er gemäss eigenen Angaben weiterhin enge Beziehungen pflegt, auf die er sich zur Begründung der Notwendigkeit einer weiteren Anwesenheit im Land beruft. Seine Gattin und sein Kind können im Übrigen so oder anders in der Schweiz verbleiben. In diesem Fall wird der Beschwerdeführer bei fortbestehendem Bewilligungsanspruch um die Neuerteilung einer Bewilligung nachsuchen können, sobald davon auszugehen ist, dass er sich in seiner Heimat bewährt hat und von ihm keine Gefahr mehr für die hiesige Sicherheit und Ordnung ausgeht (vgl. die Urteile 2C_1170/2012 vom 24. Mai 2013 E. 3 u. 4; 2C_487/2012 vom 2. April 2013 E. 3 - 5).
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet; sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Für diesen Fall ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Dem Gesuch kann wegen Aussichtslosigkeit der Eingabe nicht entsprochen werden: Aufgrund der detaillierten Interessenabwägung im angefochtenen Entscheid, der Akten und der vorab appellatorischen Begründung in der Beschwerdeschrift hatte diese keine ernsthaften Aussichten auf Erfolg (<ref-law>). Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. März 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar