Sachverhalt:
A.
A._ (Arbeitnehmer, Kläger, Beschwerdeführer) bildet mit seinen beiden Brüdern B._ und C._ eine Erbengemeinschaft im Nachlass ihres verstorbenen Vaters. Im Nachlass befinden sich die Aktien der Y._ AG (Arbeitgeberin, Beklagte, Beschwerdegegnerin). Die drei Brüder haben allesamt das nackte Eigentum an je einem Drittel der Aktien, während ihre Mutter die Nutzniessung daran inne hat und bis am 17. Mai 2011 Mitglied des Verwaltungsrates war. Mit Arbeitsvertrag für leitende Angestellte vom 18. September 2007 trat der Arbeitnehmer als "Manager eines Teiles der Finanzanlagen" in die Dienste der Arbeitgeberin ein.
In der Verwaltungsratssitzung der Arbeitgeberin vom 23. März 2011 - an welcher die Mutter des Arbeitnehmers, dessen Bruder B._ und der Verwaltungsratspräsident teilnahmen - wurde beschlossen, die gesamte "Finance Division" (Vermögensverwaltung) nunmehr dem Bruder C._ alleine anzuvertrauen. Zugleich wurde beschlossen, den Arbeitnehmer als neuen Geschäftsführer des Bereiches "Real Estate Development" vorzuschlagen. Dies teilte der Verwaltungsratspräsident dem Arbeitnehmer mit Schreiben vom 12. April 2011 mit, wobei er ihn darauf hinwies, dass er den Vorschlag des Verwaltungsrates annehmen oder ablehnen könne. Im Falle einer Ablehnung erwarte die Arbeitgeberin Alternativvorschläge. Ohne solche Vorschläge müsse der Arbeitnehmer damit rechnen, dass eine Beschäftigung bei der Arbeitgeberin nicht mehr weitergeführt werden könne. Mit E-Mail vom 29. April und 3. Mai 2011 wurde der Arbeitnehmer erneut auf diesen Umstand hingewiesen. Seitens des Arbeitnehmers erfolgte jedoch keine Zusage, weshalb das Arbeitsverhältnis in der Folge androhungsgemäss mit Schreiben vom 12. Mai 2011 per 31. August 2011 gekündigt wurde.
B.
B.a. Am 27. August 2012 reichte der Arbeitnehmer beim Arbeitsgericht Zürich Klage ein, mit welcher er eine Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung in der Höhe von Fr. 7'200.-- geltend machte. Mit Urteil vom 1. Februar 2013 wies das Arbeitsgericht Zürich die Klage ab.
B.b. Das Obergericht des Kantons Zürich wies mit Urteil vom 25. Juni 2013 die dagegen erhobene Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt der Kläger dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 25. Juni 2013 sei aufzuheben und die Klage gutzuheissen; eventualiter sei die Sache zwecks Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beklagte beantragt die Abweisung der Beschwerden, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Der Beschwerdeführer hat unaufgefordert eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 417 mit Hinweisen).
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Vorliegend erreicht indessen der Streitwert (Fr. 7'200.--) die Grenze von Fr. 15'000.-- (<ref-law>) nicht. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>).
2.
2.1. Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> ist restriktiv auszulegen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 495). Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4; <ref-ruling> E. 1.2 S. 117). Die Voraussetzung von <ref-law> ist hingegen erfüllt, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 236; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4). Die Frage muss von allgemeiner Tragweite sein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 269). Eine neue Rechtsfrage kann vom Bundesgericht beurteilt werden, wenn dessen Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann, namentlich, wenn von unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4). Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, hat der Beschwerdeführer in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-law>), ansonsten die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig ist (<ref-ruling> E. 2.2.2.1 S. 442).
2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, sowohl das Arbeitsgericht als auch das Obergericht hätten es abgelehnt, eine für die Beurteilung des Falles unverzichtbare Zeugenbefragung - die Befragung seiner Mutter, als ehemalige Verwaltungsrätin der Beschwerdegegnerin und als Nutzniesserin an allen Aktien alleinige Stimmberechtigte in der Generalversammlung - durchzuführen. In diesem Zusammenhang bzw. im Zusammenhang mit der vorinstanzlichen Beweiswürdigung würden sich zwei Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung stellen: Soweit ersichtlich, habe sich das Bundesgericht noch nie eingehend zur Frage geäussert, "ob die Einlegung eines Dokument (s), welches die Willensäusserung einer Person enthält, es rechtfertigt, auf die beantragte Zeugenaussage derselben Person zu verzichten, wenn geltend gemacht wird, die Willenserklärung sei unrichtig bzw. manipuliert". So sei es ebenfalls von grundsätzlicher Bedeutung, "ob im Zusammenhang mit Mobbingvorwürfen das Gericht taugliche Beweismittel überhaupt abweisen darf". Das Gericht habe bei Mobbingvorwürfen eine umfassende Abklärungspflicht und dürfe sich demnach nicht leichtfertig eine Meinung bilden. Dies insbesondere deshalb, weil ein Mobbingopfer auf alle verfügbaren Beweise und Indizien angewiesen sei, um seine Abwehr- oder Forderungsansprüche durchzusetzen.
2.3. Die Vorinstanz stellte fest, aus den Akten gehe eindeutig hervor, die Mutter sei mit dem Wechsel der Funktion des Beschwerdeführers innerhalb der Familienunternehmung einverstanden gewesen. Dies zeige sich zum einen aus dem Protokoll der Verwaltungsratssitzung vom 23. März 2011 und dem unterschriftlich bekräftigten Schreiben der Mutter vom 5. Mai 2011. Vor diesem Hintergrund erweise sich die pauschale Behauptung des Beschwerdeführers - seine Mutter wünsche den Verbleib in der Familienunternehmung - als unzutreffend, womit auf eine Zeugeneinvernahme der Mutter verzichtet werden könne. Der Verzicht der Vorinstanz auf die Zeugeneinvernahme der Mutter beruht auf antizipierter Beweiswürdigung, was der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdeschrift selber vorbringt. Diese ist - vorbehaltlich der Ausnahme von <ref-law> - der bundesgerichtlichen Überprüfung im Beschwerdeverfahren entzogen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 469 f.). Der Beschwerdeführer unterbreitet dem Bundesgericht somit keine Rechtsfragen, schon gar nicht solche von grundsätzlicher Bedeutung. Im Übrigen verkennt er, dass eine Kritik an der Beweiswürdigung des angefochtenen Entscheids sowohl im Rahmen einer Beschwerde in Zivilsachen als auch in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde geltend gemacht werden kann.
Das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> ist somit nicht dargetan, weshalb es an den Eintretensvoraussetzungen für die Beschwerde in Zivilsachen fehlt.
3.
Damit erweist sich die eventualiter erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde als zulässig (<ref-law>). Mit dieser kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>).
3.1. Bezüglich der Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 2 S. 591 f.).
3.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>); neue Tatsachen und Beweismittel sind grundsätzlich unzulässig (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Verletzung verfassungsmässiger Rechte beruht (Art. 116 i.V.m. <ref-law>). Wird Letzteres geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich, sein soll (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398, 585 E. 4.1 S. 588 f.; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer weicht in seiner Beschwerdebegründung von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab und erweitert diese, ohne eine rechtsgenügliche Sachverhaltsrüge zu erheben. Auf seine ergänzte und teilweise abgeänderte Sachverhaltsdarstellung kann nicht abgestellt werden.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe sein rechtliches Gehör verletzt und eine willkürliche antizipierte Beweiswürdigung vorgenommen, indem sie seine Mutter als beantragte Zeugin nicht einvernommen und demnach nicht berücksichtigt habe, dass es nicht ihrem Willen entsprochen habe, ihn aus der Familienunternehmung zu entlassen. Es sei vielmehr ihr Wille gewesen, dem Beschwerdeführer "für immer die Vermögensverwaltung zu überlassen". Die Befragung der Mutter hätte denn auch aufgezeigt, dass ihr mehrfach geäusserter Wunsch - welchen sie auch in dem von ihr unterzeichneten und am 11. Mai 2011 von B._ entwendeten Schreiben - dem Protokoll der Verwaltungsratssitzung widersprochen habe.
4.2. Die Vorinstanz verneinte die Missbräuchlichkeit der Kündigung. Sie stellte fest, es sei unbestritten, dass es zwischen den drei Brüdern immer wieder zu Konflikten bezüglich Anlageentscheidungen, Entscheidungskompetenzen und fachlichen Qualitäten gekommen sei. Aus dem Protokoll der Verwaltungsratssitzung vom 23. März 2011 und aus dem Schreiben der Mutter vom 5. Mai 2011 gehe jedoch eindeutig hervor, die Mutter sei mit dem Wechsel der Funktion des Beschwerdeführers innerhalb des Familienunternehmens einverstanden gewesen. Selbst wenn seine Mutter den Verbleib in der angestammten Position gewünscht hätte, habe der Beschwerdeführer keinen rechtlichen Anspruch auf eine Tätigkeit als Vermögensverwalter gehabt. Die Einvernahme der Mutter als Zeugin erübrige sich demnach.
Der Entschluss der Beschwerdegegnerin, die Vermögensverwaltung nur noch einer Person bzw. C._ anzuvertrauen und dem Beschwerdeführer eine andere Tätigkeit innerhalb des Familienunternehmens anzubieten, sei ein rein unternehmerischer Entscheid gewesen, der nicht zuletzt auch auf die wiederholt negative Performance des Beschwerdeführers zurückzuführen gewesen sei. So habe die Kündigung auch nicht mit dem Vorfall vom 11. Mai 2011 im Zusammenhang gestanden, da dem Beschwerdeführer die Kündigung unbestrittenermassen bereits mit Schreiben vom 12. April 2011 in Aussicht gestellt worden sei, falls dieser sich nicht zu einer Zusage zum neuen Anstellungsverhältnis durchzuringen vermöge. Die Vorbringen des Beschwerdeführers, wonach ein solcher Entscheid (nur) getroffen wurde, um C._ ein zusätzliches Einkommen zu verschaffen oder dem Beschwerdeführer seinen Anspruch auf einen Bonus zu vereiteln, seien unsubstanziiert. So sei auch nicht dargetan, die Brüder hätten den Beschwerdeführer gemobbt. Dafür würden keine Anhaltspunkte vorliegen. Die Beschwerdegegnerin habe sich vielmehr der Konfliktsituation der drei Brüder angenommen und durch die personelle Reorganisation die Situation zu entschärfen versucht.
4.3. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) gewährt den Parteien insbesondere das Recht, mit rechtzeitig und formrichtig angebotenen erheblichen Beweismitteln gehört zu werden (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 2.2 S. 505; <ref-ruling> E. 2b S. 56). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 2.1 S. 428 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht greift in eine antizipierte Beweiswürdigung nur ein, wenn sie willkürlich und damit offensichtlich unhaltbar ist, namentlich wenn sie eine prozessuale Vorschrift oder einen unumstrittenen Grundsatz des Beweisrechts krass verletzt oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211; <ref-ruling> E. 2 S. 61; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; je mit Hinweisen).
4.4. Diesen Begründungsanforderungen genügt der Beschwerdeführer nicht. Seine weitschweifigen Ausführungen erschöpfen sich weitgehend in unzulässiger appellatorischer Kritik. Er setzt sich mit den vorinstanzlichen Erwägungen kaum auseinander und legt insbesondere nicht dar, inwiefern die Vorinstanz bei der Beweiswürdigung in Willkür verfallen wäre. Er begnügt sich damit vorzubringen, der Entscheid, ihm eine andere Funktion zuzuteilen und ihn aus dem Familienunternehmen zu entlassen, habe nicht dem Willen der Mutter entsprochen und sei aus reinen Rachegründen seitens seiner Brüder erfolgt. Er führt jedoch nicht substanziiert aus, inwiefern die Einvernahme der Mutter die Überzeugung des Gerichts hätte ändern können und diese für den Ausgang des Verfahrens relevant gewesen wäre. Ohnehin verkennt der Beschwerdeführer die Feststellung der Vorinstanz, es ergebe sich nicht nur aus dem Protokoll der Verwaltungsratssitzung vom 23. März 2011, dass die Mutter mit dem Funktionswechsel des Beschwerdeführers einverstanden gewesen war, sondern auch aus ihrem Schreiben vom 5. Mai 2011, in welchem sie (erneut) ihre Zustimmung zur personellen Reorganisation gegeben und für den Fall der Ablehnung des Funktionswechsels durch den Beschwerdeführer, eine Kündigung seines Arbeitsvertrages in Erwägung gezogen hat.
Auf die Einvernahme der Mutter als Zeugin konnte die Vorinstanz ohne Willkür verzichten. Eine Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist weder dargetan noch ersichtlich.
5.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. November 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Reitze