Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Zirkular-Erledigungsbeschluss vom 9. Juni 2010 des Obergerichts des Kantons Zürich, das auf eine Nichtigkeitsbeschwerde des Beschwerdeführers gegen die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung an die Beschwerdegegnerin für Fr. 873.-- (nebst Zins) sowie für Fr. 200.-- nicht eingetreten ist,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Zirkular-Erledigungsbeschluss des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass die Verfassungsbeschwerde zum Vornherein unzulässig ist, soweit der Beschwerdeführer Schadenersatzforderungen geltend macht, weil dieses Begehren weder Gegenstand des kantonalen Rechtsöffnungsverfahrens sein konnte noch Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens bilden kann,
dass sodann in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Zirkular-Erledigungsbeschluss vom 9. Juni 2010 erwog, der Beschwerdeführer habe den ihm gemäss Art. 49 GebVO zum SchKG auferlegten Kostenvorschuss von Fr. 225.-- innert der ihm mit Verfügung vom 17. Mai 2010 angesetzten, von der am 20. Mai 2010 erfolgten Zustellung an laufenden Frist von 10 Tagen nicht geleistet, weshalb androhungsgemäss auf die Nichtigkeitsbeschwerde nicht einzutreten sei,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass er erst recht nicht anhand dieser Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert aufzeigt, inwiefern der angefochtene Zirkular-Erledigungsbeschluss vom 9. Juni 2010 verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann