Sachverhalt:
A. Der 1978 geborene M._ ist bei der KPT Versicherung AG, Bern (KPT), obligatorisch krankenpflegeversichert. Er hielt sich ab 3. Februar 2002 mit Unterbrüchen auf verschiedenen Stationen der Psychiatrischen Dienste auf. Weil Prämien und Kostenbeteiligungen unbezahlt geblieben waren, verweigerte die KPT schliesslich die weitere Übernahme der Behandlungskosten. Die KPT und die Amtsvormundschaft des Kreises Y._, welche mit Beschluss vom 14. Juni 2004 für M._ eine kombinierte Beiratschaft gemäss Art. 395 Abs. 1 und 2 ZGB errichtet hatte, gelangten daraufhin mehrfach an die Gemeinde X._ mit dem Antrag auf Übernahme der während der Zeit von Februar 2002 bis Oktober 2004 fällig gewordenen Ausstände. Zur Begründung wurde erklärt, M._ habe während dieses Zeitraums in X._ Wohnsitz verzeichnet. Nachdem die Gemeinde X._ die Übernahme der Ausstände abgelehnt hatte, vermochte die Amtsvormundschaft die von der KPT gestellte Forderung von Fr. 17'959.55 mit Hilfe eines Vorschusses der neuen Wohnsitzgemeinde Z._ zu tilgen. Anschliessend wandte sie sich erneut an die Gemeinde X._ und verlangte von dieser die Erstattung des Betrags von Fr. 17'959.55.
Mit Verfügung vom 8. September 2006, gerichtet an die Amtsvormundschaft Y._, hielt die Gemeinde X._ fest, sie übernehme "keine Ausstände an nichtbezahlte Krankenkassen inklusive aller Nebenkosten für M._ (...) für die Zeit vom 17. Juni 2002 bis 11.10.2004 (Anmeldung in Z._)".
B. Mit einem als "Einsprache" bezeichneten Schreiben vom 21. September 2006 focht die Amtsvormundschaft Y._ die Verfügung vom 8. September 2006 an. Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden eröffnete ein Rechtsmittelverfahren mit M._, vertreten durch die Amtsvormundschaft Y._, als Rekurrent und der Gemeinde X._ als Rekursgegnerin. Mit Entscheid vom 2. Februar 2007 hiess das Gericht den Rekurs gut, hob die angefochtene Verfügung auf und verpflichtete die Gemeinde X._, der Amtsvormundschaft Fr. 17'959.55 zuzüglich 5 % Zins ab dem 7. April 2006 zu bezahlen.
C. Die Gemeinde X._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben.
M._, vertreten durch die Amtsvormundschaft Y._, beantragt vernehmlassungsweise die Abweisung der Beschwerde, eventualiter deren teilweise Gutheissung im Sinne einer Reduktion des durch die Gemeinde X._ zu bezahlenden Betrags auf Fr. 15'162.65 zuzüglich Zins zu 5 % ab dem 7. April 2006. Mit der Vernehmlassung werden zahlreiche neue Belege eingereicht.
In ihrer Replik vom 31. Januar 2008 hält die Beschwerdeführerin an den gestellten Anträgen fest.
D. Mit Verfügung der Instruktionsrichterin vom 11. Januar 2008 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Soweit der angefochtene Entscheid Quellen des kantonalen Rechts betrifft, welche nicht in Art. 95 lit. c-e BGG genannt werden, beschränkt sich die Überprüfung durch das Bundesgericht demgegenüber thematisch auf die erhobenen und begründeten Rügen (<ref-law>) und inhaltlich auf die Frage, ob die Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Was die Feststellung des Sachverhalts anbelangt, kann gemäss <ref-law> nur gerügt werden, diese sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1 S. 203 mit Hinweisen).
2. 2.1 Das kantonale Gericht hat erwogen, es sei strittig und zu entscheiden, ob M._ in der fraglichen Zeit (29. Januar 2002 bis 9. November 2004) in der Gemeinde X._ Wohnsitz gehabt habe. Falls dies zutreffe, sei klar und unbestritten, dass die Gemeinde X._ für die Ausstände bei den Krankenkassenbeiträgen aufzukommen habe. In der Folge prüfte die Vorinstanz die Wohnsitzfrage ausführlich. Schliesslich gelangte sie mit eingehender Begründung zum Ergebnis, der Rekurrent habe während der gesamten fraglichen Zeit vom 29. Januar 2002 bis zum 9. November 2004 in X._ Wohnsitz gehabt und die Gemeinde habe somit für die Ausstände der Versicherungsleistungen aufzukommen. Gestützt darauf verpflichtete das Gericht die Gemeinde X._, der Amtsvormundschaft den Betrag von Fr. 17'959.55 zu bezahlen.
2.2 In der Beschwerdeschrift werden folgende Rügen erhoben:
2.2.1 Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör nach <ref-law> erblickt die Beschwerdeführerin darin, dass die Vorinstanz ausschliesslich die Wohnsitzfrage prüfte und den Rekurs allein deshalb guthiess, weil der Beschwerdegegner im fraglichen Zeitraum in der Gemeinde X._ Wohnsitz gehabt habe. Das kantonale Gericht habe weder den Bestand noch den Grund und die Höhe der Forderung geprüft, obwohl die Beschwerdeführerin sich dieser auch dem Grunde nach widersetzt habe. So habe sie in ihrer Stellungnahme vom 27. Oktober 2006 ausdrücklich erklärt, sie wäre nur gegenüber dem Krankenversicherer oder einem Leistungsträger zur Bezahlung ausstehender Krankenversicherungsprämien verpflichtet gewesen. Überdies hätte die Höhe und Zusammensetzung der Forderung von Amtes wegen überprüft werden müssen. Im gleichen Zusammenhang wird eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes nach <ref-law> respektive, falls nicht von einer sozialversicherungsrechtlichen Streitsache auszugehen sei, nach Art. 13 lit. f [gemeint wohl: lit. a] in Verbindung mit Art. 37 des bis Ende 2006 in Kraft gestandenen Verwaltungsgerichtsgesetzes des Kantons Graubünden (VGG) geltend gemacht.
2.2.2 Gemäss den einschlägigen Bestimmungen des Bundesrechts (Art. 9 Abs. 1 und 2 KVV in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung respektive Art. 90 Abs. 3 und 4 KVV, in Kraft seit 1. Januar 2003) sowie des kantonalen Rechts (Art. 2 des Gesetzes über die Krankenversicherung und die Prämienverbilligung [KPVG, BR 542.100]; Art. 3 Abs. 1 der Verordnung zum Gesetz über die Krankenversicherung und die Prämienverbilligung [VozKPVG, BR 542.120]) bestehe eine Verpflichtung der Wohnsitzgemeinde zur Übernahme ausstehender Krankenversicherungsprämien nur bei kumulativer Erfüllung weiterer Voraussetzungen: Zahlungsrückstand gegenüber dem Krankenversicherer; Vorliegen eines Verlustscheins; Meldung des Krankenversicherers an die Wohnsitzgemeinde. Ein Zahlungsrückstand habe bei Erlass der Verfügung vom 8. September 2006 nicht bestanden, nachdem die Ausstände am 26. April 2006 beglichen worden seien. Das Vorliegen eines Verlustscheins und einer Meldung des Krankenversicherers seien nicht aktenkundig.
2.2.3 Selbst wenn die erwähnten Voraussetzungen allesamt erfüllt wären, bestünde eine Pflicht der Beschwerdeführerin zur Übernahme der Ausstände ausschliesslich gegenüber der Krankenkasse und nicht gegenüber dem Beschwerdegegner selbst. Dieser sei nicht aktivlegitimiert, um diese Beiträge gegenüber der Beschwerdeführerin geltend zu machen.
2.2.4 Ein Anspruch aus Sozialhilferecht (<ref-law>; <ref-law>; Art. 1 des bündnerischen Gesetzes über die Unterstützung Bedürftiger [Kantonales Unterstützungsgesetz, UG; BR 546.250]) bestehe nicht, da die Sozialhilfe nicht der Sanierung früherer Schulden diene. Ausserdem sei die fürsorgerechtliche Zuständigkeit der Beschwerdeführerin im massgebenden Zeitpunkt gar nicht gegeben gewesen.
2.2.5 Die Vorinstanz habe die Beschwerdeführerin zu Unrecht zur Entrichtung von Verzugszinsen verpflichtet.
3. 3.1 Im angefochtenen Entscheid wird mit ausführlicher und überzeugender Begründung dargelegt, dass und warum der Beschwerdegegner während des hier interessierenden Zeitraums vom 29. Januar 2002 bis 9. November 2004 in der Gemeinde X._ zivil- und sozialhilferechtlichen Wohnsitz verzeichnete. Auf die entsprechenden Erwägungen des kantonalen Gerichts kann vollumfänglich verwiesen werden.
3.2 Die Vorinstanz behandelte den fraglichen Anspruch auf Erstattung der Ausstände bei der KPT vollumfänglich als "normalen" Sozialhilfeanspruch. Ein solcher steht naturgemäss der bedürftigen Person zu. Auf der Basis dieser rechtlichen Auffassung hatte das kantonale Gericht keinen Anlass, die Frage der Aktivlegitimation einer näheren Prüfung zu unterziehen. Die Beschwerdeführerin weist jedoch mit Recht darauf hin, dass sich der streitige Anspruch nicht aus dem (in einem engen Sinn verstandenen) Sozialhilferecht ableiten lässt. Nach den vorinstanzlichen Feststellungen und der Aktenlage hatte der Beschwerdegegner während der fraglichen Zeit bei der Gemeinde X._ keinen Antrag auf Sozialhilfeleistungen gestellt. Die Übernahme bestehender Schulden ist jedoch gemäss den kantonalrechtlichen Grundlagen nicht Sache der Sozialhilfe. Im interkantonalen Verhältnis hält <ref-law> ausdrücklich fest, die von einem Gemeinwesen anstelle von Versicherten zu leistenden Mindestbeiträge an obligatorische Versicherungen gälten nicht als Unterstützungen. Ob und inwieweit eine Gemeinde verpflichtet ist, Ausstände gegenüber dem obligatorischen Krankenpflegeversicherer zu übernehmen, bestimmt sich nach der entsprechenden Spezialgesetzgebung (auch wenn letztlich wiederum Leistungen vorliegen, welche systematisch betrachtet der Sozialhilfe zuzuordnen sind).
4. 4.1 Der Versicherer hat das Vollstreckungsverfahren einzuleiten, wenn Versicherte fällige Prämien oder Kostenbeteiligungen trotz Mahnung nicht bezahlen. Wenn das Vollstreckungsverfahren mit der Ausstellung eines Verlustscheins endet, benachrichtigt der Versicherer die zuständige Sozialhilfebehörde. Vorbehalten bleiben kantonale Bestimmungen, welche eine vorhergehende Meldung an die für die Prämienverbilligung zuständige Behörde vorsehen (<ref-law> in der vom 1. Januar 2003 bis 31. Dezember 2005 gültig gewesenen Fassung). Nach Ausstellung eines Verlustscheins und Meldung an die Sozialhilfebehörde kann der Versicherer die Übernahme der Kosten für die Leistungen aufschieben, bis die ausstehenden Prämien, Kostenbeteiligungen, Verzugszinse und Betreibungskosten vollständig bezahlt sind. Sind diese bezahlt, hat der Versicherer die Kosten für die Leistungen während der Zeit des Aufschubes zu übernehmen (<ref-law> in der vom 1. Januar 2003 bis 31. Dezember 2005 gültig gewesenen Fassung). Eine Verpflichtung des Gemeinwesens, für die Prämienausstände aufzukommen, ergibt sich aus diesen bundesrechtlichen Bestimmungen nicht. Dasselbe gilt für die Vorgängernormen (Art. 9 Abs. 1 und 2 KVV in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung).
4.2 Gemäss Art. 2 KPVG haben die Gemeinden den Versicherern die uneinbringlichen Mitgliederbeiträge und Kostenbeteiligungen der Versicherungspflichtigen im Umfang des Leistungsobligatoriums zu ersetzen. Die Gemeinden besitzen für ihre Zahlungen das Rückgriffsrecht auf die Pflichtigen. Wie Art. 3 Abs. 1 VOzKPVG präzisierend festhält, gelten Prämien und Kostenbeteiligungen insbesondere dann als uneinbringlich, wenn ein Verlustschein vorliegt oder wenn die versicherungspflichtige Person Unterstützungshilfe gemäss kantonalem Unterstützungsgesetz erhält. Laut Abs. 2 derselben Bestimmung (in der bis Ende 2007 gültig gewesenen Fassung) sind uneinbringliche Prämien und Kostenbeteiligungen einschliesslich Verzugszinsen von jener Gemeinde zu übernehmen, in der die versicherungspflichtige Person zum Zeitpunkt der Zahlungsfälligkeit Wohnsitz beziehungsweise Aufenthalt hatte. Das kantonale Recht statuiert also eine Pflicht der Wohnsitzgemeinde (im Zeitpunkt der Zahlungsfälligkeit) zur Übernahme von Ausständen. Gläubiger dieser Forderung ist der Krankenversicherer. Eine andere (primäre) gesetzliche Grundlage für einen derartigen Anspruch ist nicht ersichtlich.
4.3 Nach dem Gesagten hat der Krankenversicherer unter bestimmten Voraussetzungen einen Anspruch auf Übernahme ausstehender Prämien und Kostenbeteiligungen durch die Wohnsitzgemeinde. Dieser Anspruch besteht jedenfalls dann, wenn für die Ausstände ein Verlustschein erwirkt wurde und der Versicherer anschliessend mit einer entsprechenden Forderung an die Gemeinde gelangt ist. Beides trifft hier zu, wie den letztinstanzlich eingereichten Belegen (Verlustscheine vom 21. August 2003 und 10. Januar 2006; Prämienübernahmegesuche der KPT an die Gemeinde X._ vom 6. Januar, 31. Januar und zweimal 21. März 2006) entnommen werden kann. Dabei handelt es sich - entgegen den Ausführungen in der Replik vom 31. Januar 2008 - nicht um gemäss <ref-law> unzulässige Noven. Vielmehr hätte die Gemeinde X._ als verfügende, beschwerdebeklagte Behörde die entsprechenden Unterlagen dem kantonalen Gericht einreichen müssen, soweit sie in ihrem Besitz waren, und die Vorinstanz wäre aufgrund des Untersuchungsgrundsatzes ihrerseits gehalten gewesen, Abklärungen zu treffen. Die Nachreichung der entsprechenden Beweismittel - zwecks Ergänzung der unvollständigen und damit rechtsfehlerhaften Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts durch das Bundesgericht - ist daher zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 456 f.; <ref-ruling> E. 1c S. 99; <ref-ruling> E. 1b S. 485, je mit Hinweisen). Unter diesen Umständen steht fest, dass mit dem letzten Prämienübernahmegesuch vom 26. März 2006 ein Anspruch der KPT gegen die Gemeinde X._ auf Erstattung der gesamten während der Zeit vom 29. Januar 2002 bis 9. November 2004 fällig gewordenen Prämien und Kostenbeteiligungen entstanden ist, soweit diese Gegenstand der Verlustscheine vom 21. August 2003 und 10. Januar 2006 bilden und soweit das damals geltende kantonale Recht eine Zahlungspflicht der Gemeinde statuierte. Wie hoch dieser Anspruch ausfällt, wird das kantonale Gericht, an welches die Sache ohnehin zurückgewiesen werden muss, noch zu ermitteln haben, falls dies für die Fallerledigung erforderlich ist.
4.4 Der Anspruch gegen die Gemeinde X._ steht zunächst der KPT als obligatorischem Krankenpflegeversicherer zu. Die Verfügung der Gemeinde vom 8. September 2006 war jedoch an die Amtsvormundschaft Y._ gerichtet. Der Rekurs beim kantonalen Gericht wurde ebenfalls durch die Amtsvormundschaft erhoben, wobei diese erklärte, sie handle "im Interesse unseres Klienten M._" und verlange Zahlung "auf das von unserem Amt verwaltete Konto von Herrn M._". Hätte das kantonale Gericht den streitigen Anspruch nicht allein unter sozialhilferechtlichen Aspekten (im engeren Sinn) geprüft, sondern die Normen des KPVG und der VOzKPVG zur Anwendung gebracht, wären die Fragen nach der Interpretation dieses Rechtsbegehrens (wer erhebt für wen oder in wessen Namen Rekurs?), der zutreffenden Parteibezeichnung sowie - nötigenfalls auf der Grundlage zusätzlicher Abklärungen - nach der Aktivlegitimation der Rekurrentin oder des Rekurrenten zu beantworten gewesen. Diese Punkte lassen sich aufgrund der Akten nicht mit hinreichender Zuverlässigkeit beurteilen, zumal das Bundesgericht prinzipiell keine originäre Auslegung kantonalen Rechts vorzunehmen hat. Dieses ist massgebend dafür, ob die Stadt Z._, indem sie über die Amtsvormundschaft die Ausstände bezahlte, gegenüber der Gemeinde X._ für deren Anteil (nach Art. 3 Abs. 2 VOzKPVG) rückgriffsberechtigt wurde. Bejahendenfalls wäre ausserdem zu beurteilen, ob der Rekurs, wie dies in der Vernehmlassung geltend gemacht und in der Replik bestritten wird, namens der oder für die Stadt Z._ erhoben wurde und/oder ob die Forderung in einer Weise an die Rekurs führende Partei übertragen wurde (und übertragen werden konnte), welche deren Aktivlegitimation begründete. Alternativ dazu stellt sich die Frage, ob die Aktivlegitimation der rekurrierenden Partei allenfalls direkt und rechtsgültig durch die letztinstanzlich eingereichte Abtretungserklärung der KPT vom 27. April 2006 begründet wurde (sei es im Sinne einer Zession der Forderung gegen die Beschwerdeführerin als solcher oder als Nebenrecht zur Prämienforderung [<ref-law>]). Diesfalls sowie im Falle eines Verfahrens zwischen zwei Gemeinden würde sich die Frage nach der Zuständigkeit der Vorinstanz und/oder dem anwendbaren Verfahren neu stellen. Die Sache ist - in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids - an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es diese Fragen, soweit für die Beurteilung des Rekurses erforderlich, prüfe.
5. Das Verfahren ist grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Aufgrund der besonderen Umstände (unvollständige und damit rechtsfehlerhafte Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz; unklare Parteiverhältnisse; grundsätzliche Kostenbefreiung von Gemeinwesen [<ref-law>]) ist indessen ausnahmsweise auf eine Kostenerhebung zu verzichten (<ref-law>). Die formell obsiegende Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 2. Februar 2007 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Rekurs vom 21. September 2006 neu entscheide.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Juli 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger