Erwägungen:
1.
Der 1978 geborene Kosovar A.A._ erhielt im August 2000 aufgrund seiner Heirat mit einer sich im Kanton Basel-Stadt aufhaltenden Kolumbianerin eine Aufenthaltsbewilligung, die nach Aufgabe der Ehegemeinschaft im März 2005 und der Scheidung am 8. Juni 2006 zuletzt bis zum 8. August 2007 verlängert wurde. Am 27. Juli 2006 heiratete er in seiner Heimat die 1986 geborene Landsfrau B.A._, die am 6. März 2007 in die Schweiz einreiste und ihrerseits eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Das Ehepaar hat vier Kinder, geboren 2007, 2009, 2011 und 2012.
Mit Verfügung vom 27. September 2007 verweigerte das Staatssekretariat für Migration (damals Bundesamt für Migration) die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A.A._ und verfügte seine Wegweisung. Das Bundesverwaltungsgericht wies die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde mit Urteil vom 29. Oktober 2011 rechtskräftig ab (eine Beschwerde an das Bundesgericht war nach <ref-law> unzulässig), worauf das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt mit Schreiben vom 2. November 2011 der Familie eine Ausreisefrist auf den 2. Februar 2012 ansetzte. A.A._ ersuchte am 13. Januar 2012 das Migrationsamt darum, es sei ihm und seiner Familie aufgrund eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Das Migrationsamt trat mit Verfügung vom 23. Januar 2012 auf das Gesuch nicht ein; den dagegen erhobenen Rekurs wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt am 3. Juli 2013 ab, soweit es darauf eintrat. Auch der gegen diesen Departementsentscheid erhobene Rekurs von A.A._ und B.A._ an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht blieb erfolglos, welches das Nichteintreten auf das Härtefallgesuch mit seinem Urteil vom 22. Dezember 2014 als rechtens wertete.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 11. Februar 2015 beantragen A.A._ und B.A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts sei aufzuheben; es sei die Angelegenheit an das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt mit der Anweisung, auf das Gesuch vom 13. Januar 2012 einzutreten, zurückzuweisen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.
2.1. Die Beschwerdeführer haben keinen Rechtsanspruch auf eine Härtefallbewilligung nach Art. 30 AuG (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 348 e contrario; Urteile 2C_104/2015 vom 31. Januar 2015 E. 2.2; 2C_1057/2014 vom 26. November 2014 E. 2.2 sowie 2C_702/2014 vom 19. August 2014 E. 2.2 mit weiteren Hinweisen), weshalb sie das Urteil des Appellationsgerichts nicht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. <ref-law>), sondern zu Recht mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, dem bei dieser Konstellation allein zur Verfügung stehenden bundesrechtlichen Rechtsmittel (<ref-law>) anfechten.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>); solche Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Zur Verfassungsbeschwerde ist berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Steht dem Ausländer kein Anspruch auf die beantragte ausländerrechtliche Bewilligung zu, ist er durch deren Verweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen, weshalb ihm die Legitimation zur Anfechtung des negativen Bewilligungsentscheids bzw. eines diesen bestätigenden Rechtsmittelentscheids in der Sache selbst fehlt (<ref-ruling>).
Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst ist der Ausländer allerdings zur Rüge berechtigt, ihm zustehende Verfahrensgarantien seien verletzt worden. Nicht zu hören sind dabei aber Vorbringen, die im Ergebnis auf die Überprüfung des Sachentscheids abzielen (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 313; <ref-ruling> E. 1.4 S. 222; <ref-ruling> E. 7b S. 94; <ref-ruling> E. 1c S. 236; zur Weiterführung dieser so genannten "Star-Praxis" unter der Herrschaft des Bundesgerichtsgesetzes s. <ref-ruling> E. 3.2 S. 436 f.; s. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 80; spezifisch zum Ausländerrecht <ref-ruling> E. 6.2 S. 198 f. und <ref-ruling> E. 2 S. 308).
2.2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze; auf die besonderen Begründungsanforderungen bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde ist bereits hingewiesen worden (E. 2.1). Die Begründung muss sachbezogen sein; die Beschwerde führende Partei muss die behauptete Rechtsverletzung in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen darlegen.
2.3. Ausgangspunkt des Verfahrens ist das Gesuch vom 13. Januar 2012, der Familie sei eine Härtefallbewilligung nach Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG (bzw. <ref-law>) zu erteilen. Da das Bundesverwaltungsgericht in seinem Urteil vom 29. Oktober 2011 die Bewilligungsverlängerung faktisch unter Härtefallgesichtspunkten geprüft hatte, wäre nach Auffassung der kantonalen Behörden auf das rund zwei Monate nach Eröffnung der bundesverwaltungsgerichtlichen Urteils gestellte Härtefallgesuch nur unter den Voraussetzungen eines Wiedererwägungstatbestands einzutreten gewesen. Dies wird von den Beschwerdeführern unter verfassungsrechtlichen Aspekten nicht gerügt, vielmehr gehen sie selber davon aus (namentlich Ziff. II.11 und II.22 der Beschwerdeschrift), dass auf ihr Härtefallgesuch nur einzutreten war, wenn sich die tatsächlichen Verhältnisse in Bezug auf die ausländerrechtliche Situation erheblich verändert haben sollten, sodass ein anderes Ergebnis ernsthaft in Betracht fiel (spezifisch für ausländerrechtliche Bewilligungen <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2.1; Urteil 2C_125/2014 vom 12. Februar 2014 E. 3; s. auch <ref-ruling> E. 4.3 S. 72 f. mit Hinweisen).
2.4.
2.4.1. Die Beschwerdeführer rügen, das Appellationsgericht habe ihnen in unzulässiger Weise den Instanzenzug verkürzt und damit Art. 29 Abs. 1 und 2 BV verletzt. Die Verletzung der Verfahrensgarantien soll darin liegen, dass die Vorinstanz des Appellationsgerichts, das Justiz- und Sicherheitsdepartement, Noven nicht berücksichtigt hatte, das Appellationsgericht dies als unzulässig bezeichnete, jedoch von einer Rückweisung an das Departement absah und die Noven selber mitberücksichtigte. Die Vorinstanz hat in E. 4.1 ihres Urteils diese Problematik dargestellt, jedoch begründet, warum im vorliegenden Fall, angesichts der Natur des Rechtsstreits und zudem unter Berücksichtigung beschwerdeführerischer Anträge und Ausführungen, eine Rückweisung nicht geboten erscheine. Die Beschwerdeführer lassen jegliche Auseinandersetzung mit diesen differenzierenden Darlegungen der Vorinstanz vermissen und kommen damit diesbezüglich ihrer Begründungspflicht (vgl. vorne E. 2.2) nicht nach.
2.4.2. Die Beschwerdeführer werfen dem Appellationsgericht weiter eine Kognitionsüberschreitung vor. Sie machen geltend, es habe eine materielle Prüfung der Härtefallproblematik vorgenommen und sei damit über den Verfahrensgegenstand (Pflicht des Migrationsamts, auf das Härtefallgesuch einzutreten) hinausgegangen; namentlich sei der Fall nicht der kantonalen Härtefallkommission unterbreitet worden. Diese Rüge ist nicht nachvollziehbar: Das Appellationsgericht hatte auch nach Auffassung der Beschwerdeführer zu prüfen, ob sich der Sachverhalt in einer Art geändert habe, dass ein anderes Ergebnis in Betracht falle und daher ein Eintreten auf das Härtefallgesuch geboten gewesen wäre. Genau dies und nicht mehr hat das Appellationsgericht in E. 4.2 seines Urteils getan. Es bleibt unerfindlich, worin eine Gehörsverweigerung liegen sollte; eine Verletzung von <ref-law> wird nicht nachvollziehbar dargetan.
2.4.3. Die Beschwerdeführer rügen schliesslich, durch den Nichteintretensentscheid des Migrationsamts bzw. das diesen bestätigende Urteil des Appellationsgerichts erlitten sie eine formelle Rechtsverweigerung. Sie behaupten, entgegen der Auffassung der Vorinstanz (E. 4.2 des angefochtenen Urteils) hätten sie mit ihren Vorbringen eine erhebliche Veränderung der im Hinblick auf Art. 30 Abs. 1 it. b AuG wesentlichen tatsächliche Verhältnisse aufgezeigt. Diese Rügen zielen im Ergebnis auf eine materielle Beurteilung der Bewilligungsfrage ab, wozu ihnen die Legitimation gemäss <ref-law> fehlt, weshalb sie damit auch im Wiedererwägungsverfahren grundsätzlich nicht zu hören sind (vgl. Urteile 2D_59/2011 vom 22. Oktober 2011 E. 2.2 zweiter Absatz sowie 2D_51/2010 vom 30. September 2010 E. 5 dritter Absatz).
2.5. Soweit die erhobenen Rügen unter dem Aspekt von <ref-law> überhaupt zulässig sind, entbehren sie einer hinreichenden Begründung. Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.6. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon darum nicht entsprochen werden, weil das Rechtsmittel aussichtslos erschien (<ref-law>).Die Gerichtskosten sind entsprechend dem Verfahrensausgang nach Massgabe von Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 erster Satz und Abs. 5 BGG den Beschwerdeführern aufzuerlegen.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wid abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Februar 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller