Faits :
A.
Ressortissant libanais né en 1970, X._ a épousé en 2004 à Vevey Y._, ressortissante suisse. L'intéressé a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour pour regroupement familial, laquelle a été régulièrement renouvelée.
Les époux se sont séparés en 2008. Aucun enfant n'est né de cette union. X._ vit en ménage commun avec une ressortissante marocaine sans statut légal en Suisse, dont il a fait la connaissance en 2007 et avec laquelle il a eu une fille, née le 25 février 2009. X._ est également père d'un enfant prénommé Z._, né à Genève le 22 décembre 1999 et dont la mère est une ressortissante tunisienne titulaire d'une autorisation d'établissement. L'intéressé a reconnu cet enfant le 19 octobre 2011.
X._ a été condamné le 10 février 2005 à 10 jours d'emprisonnement avec sursis pour recel et le 28 décembre 2010 à une peine pécuniaire avec sursis pour infraction à la législation sur les étrangers.
B.
B.a. Le 3 février 2011, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a informé X._ qu'il était favorable au renouvellement de son autorisation de séjour tout en attirant son attention sur le fait que cette autorisation était soumise à l'approbation de l'Office fédéral des migrations (devenu le Secrétariat d'Etat aux migrations depuis le 1er janvier 2015; ci-après: le SEM). Il a cependant refusé de mettre l'intéressé au bénéfice d'une autorisation d'établissement. Par arrêt du 4 août 2011, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par X._ contre le refus d'octroi d'une autorisation d'établissement.
B.b. Par décision du 1er décembre 2011, le SEM a refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour de l'intéressé et a prononcé son renvoi de Suisse. Par arrêt du 22 mai 2015, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours formé par X._ contre la décision du SEM.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, outre l'effet suspensif, d'annuler l'arrêt du 22 mai 2015 et de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
Par ordonnance du 1er juillet 2015, le Président de la IIe Cour de droit public a accordé l'effet suspensif au recours.
Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à prendre position sur le recours. Le SEM a conclu au rejet de celui-ci.

Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Le recourant invoque l'art. 50 al. 1 LEtr selon lequel, après dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité subsiste dans certains cas. Il invoque également, sous l'angle de l'art. 8 CEDH, son droit à entretenir une relation avec son enfant qui est titulaire d'une autorisation d'établissement en Suisse. Dès lors qu'il n'est pas d'emblée exclu que les conditions de ces dispositions soient remplies, il convient d'admettre le droit de recourir sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, étant précisé que le point de savoir si le recourant peut effectivement bénéficier d'un droit à séjourner en Suisse relève du fond et non de la recevabilité (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179; arrêt 2C_14/2014 du 27 août 2014 consid. 1 non publié in <ref-ruling>).
1.2. Pour le surplus, le recours est dirigé contre un arrêt final (cf. <ref-law>) rendu par le Tribunal administratif fédéral (cf. <ref-law>). Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>) par le destinataire de l'arrêt entrepris qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>), le recours est recevable.
1.3. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il examine en principe librement l'application du droit fédéral. Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104; arrêt 2C_634/2014 du 24 avril 2015 consid. 1.2).
2.
2.1. En vertu de l'art. 40 LEtr, les autorisations prévues aux art. 32 à 35 et 37 à 39 LEtr sont octroyées par les cantons. Les compétences de la Confédération sont réservées notamment en matière de procédure d'approbation (art. 99). La loi ne règle pas elle-même la procédure d'approbation, mais autorise, en vertu de l'art. 99 LEtr, le Conseil fédéral à déterminer "les cas dans lesquels les autorisations de courte durée, de séjour ou d'établissement, ainsi que les décisions préalables des autorités cantonales du marché du travail sont soumises à l'approbation du SEM", qui peut refuser son approbation ou limiter la portée de la décision cantonale. Dans sa version en vigueur jusqu'au 31 août 2015, l'art. 85 al. 1 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201) prévoyait:
"Le SEM a la compétence d'approuver l'octroi et le renouvellement des autorisations de séjour et de courte durée, ainsi que l'octroi de l'établissement, lorsque
a. il estime qu'une procédure d'approbation est nécessaire pour certaines catégories de personnes afin d'assurer une pratique uniforme de la loi;
b. il exige que l'approbation lui soit soumise dans un cas d'espèce;
c. l'octroi préalable de l'autorisation d'établissement doit avoir lieu conformément à l'art. 34, al. 3 et 4, LEtr;
d. l'autorisation d'exercer une activité lucrative est octroyée pour quatre mois au maximum au sens de l'art. 19, al. 4, let. a".
Dans un arrêt publié récent (<ref-ruling>; cf. également l'arrêt 2C_634/2014 du 24 avril 2015), le Tribunal fédéral a jugé que, dans l'exercice de son pouvoir de surveillance, le SEM pouvait émettre des directives administratives aux fins de concrétiser les dispositions de la LEtr et de fixer à l'attention des autorités d'exécution cantonales les cas à lui soumettre pour approbation (<ref-ruling> consid. 4.3). En revanche, lorsque l'octroi d'un titre de séjour reposait sur la décision d'une autorité judiciaire cantonale, la réglementation de l'art. 85 al. 1 let. a et b OASA ne répondait pas aux principes applicables en matière de délégation législative. En effet, les cas qui nécessitaient l'approbation n'étaient pas suffisamment décrits aux lettres a et b de cette disposition; le Conseil fédéral avait ainsi procédé à une sous-délégation que la loi ne prévoyait pas (cf. art. 48 al. 2 de la loi du 21 mars 1997 sur l'organisation du gouvernement et de l'administration [LOGA; RS 172.010]). Le procédé était inadmissible, dès lors qu'il laissait au Secrétariat d'Etat le soin de définir les cas dans lesquels une procédure d'approbation était nécessaire (<ref-ruling> consid. 4.4; arrêt 2C_401/2015 du 12 novembre 2015 consid. 2.1).
Par ailleurs, afin d'exclure que le SEM puisse, par le biais de la procédure d'approbation, court-circuiter une procédure judiciaire en refusant d'approuver l'octroi d'un titre de séjour proposé conformément à une décision rendue par une autorité de recours cantonale contre laquelle le SEM pouvait recourir directement jusqu'au Tribunal fédéral, il a également été jugé que, dans un tel cas, c'était cette voie de droit qui devait être utilisée par le SEM et non pas la procédure d'approbation (cf. art. 89 al. 2 et 111 LTF; ATF 141 169 consid. 4.4; arrêts 2C_401/2015 du 12 novembre 2015 consid. 2.1 et 2C_634/2014 du 24 avril 2015 consid. 3.2).
2.2. En l'espèce, l'arrêt du Tribunal cantonal du 4 août 2011 a rejeté le recours interjeté par le recourant contre la décision du Service cantonal lui refusant l'octroi d'une autorisation d'établissement. La décision du Tribunal cantonal ne portait toutefois pas sur la question de la prolongation de l'autorisation de séjour du recourant, laquelle fait l'objet de la présente procédure. Il s'ensuit que la jurisprudence précitée (supra consid. 2.1) n'est pas applicable, de sorte que le Service cantonal pouvait soumettre le dossier au SEM pour approbation en application de l'art. 85 al. 3 OASA.
3.
Invoquant l'art. 9 Cst., le recourant se plaint d'arbitraire dans l'établissement des preuves.
3.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. <ref-law>). Le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>), ce que la partie recourante doit démontrer d'une manière circonstanciée, conformément aux exigences de motivation de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). La notion de "manifestement inexacte" correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 450).
3.2. Le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir "déduit des pièces et éléments fournis par le recourant des conclusions négatives" et d'avoir méconnu certaines informations importantes, qui étaient établies par les pièces versées à la procédure. A cet égard, il invoque que le fait qu'il ait émargé à l'aide sociale en 2008 était une situation unique, laquelle a été causée par les frais de l'hospitalisation de son épouse. Contrairement à ce que semble soutenir le recourant, l'instance précédente ne retient pas le contraire, mais relève, à juste titre, que le recourant a prétendu qu'il avait commencé à rembourser l'aide sociale dont il avait bénéficié, sans toutefois produire aucune pièce à ce sujet. Le recourant reproche encore à l'autorité précédente de ne pas avoir tenu compte du fait que les poursuites à son encontre seraient toutes éteintes. Dans la mesure où l'instance précédente n'a pas retenu en défaveur du recourant que celui-ci aurait des poursuites, on ne voit pas en quoi l'instance précédente aurait procédé à une appréciation arbitraire des preuves à cet égard.
Le grief d'arbitraire dans l'appréciation des preuves doit donc être rejeté.
3.3. De plus, le recourant critique certains faits retenus dans l'arrêt attaqué sans exposer concrètement en quoi les conditions de l'<ref-law> seraient réunies. En réalité, le recourant s'en prend essentiellement à l'appréciation juridique des faits effectuée par l'autorité précédente, question sur laquelle il sera revenu ci-dessous. Le Tribunal de céans se limitera donc à examiner si le droit fédéral a été correctement appliqué par le Tribunal administratif fédéral sur la base des faits ressortant de l'arrêt entrepris.
4.
Selon l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 LEtr subsiste si l'union conjugale a duré au moins trois ans et que l'intégration est réussie. Ces deux conditions sont cumulatives (<ref-ruling> consid. 3.5.3 p. 295; <ref-ruling> consid. 3.3.3 p. 119).
4.1. En l'espèce, la réalisation de la condition de durée de l'union conjugale n'est pas litigieuse. Concernant le point de savoir si le recourant peut se prévaloir d'une intégration réussie, l'arrêt attaqué retient notamment qu'un certain doute subsiste quant à la réalité de l'activité professionnelle que le recourant prétend exercer pour la société "A._ Sàrl", établie à Libreville (Gabon). Il ressort en effet des investigations effectuées par l'instance précédente que la société "A._ Sàrl" n'est pas connue dans les milieux de la vente de véhicules d'occasion à Libreville et que certains éléments du "contrat de travaille (sic) " du 30 juin 2014 produit par le recourant permettent de mettre en doute son authenticité. De plus, le recourant n'a jamais été en mesure de produire la moindre pièce qui attesterait du versement d'un revenu, se contentant de dire que son salaire a toujours été versé "de mains en mains." L'instance précédente retient également que les revenus que le recourant a déclarés pour les années 2012, 2013 et 2014 apparaissent durablement insuffisants pour assurer son indépendance financière ainsi que celle de son amie et de ses deux enfants. Sous l'angle financier, le recourant a contracté des dettes auprès de la famille de son épouse, d'amis et auprès de son "employeur" et n'a pas remboursé les prestations de l'assistance sociale qu'il a perçues en 2008. Enfin, le recourant a été condamné pénalement à deux reprises. Compte tenu de ces éléments et en particulier de la situation financière durablement déficitaire du recourant durant ces dernières années, l'arrêt attaqué arrive à la conclusion que l'intégration de l'intéressé ne saurait être qualifiée de réussie au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr. Le recourant conteste cette appréciation.
4.2. Le principe de l'intégration doit permettre aux étrangers dont le séjour est légal et durable de participer à la vie économique, sociale et culturelle de la Suisse (art. 4 al. 2 LEtr). D'après l'art. 77 al. 4 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201), un étranger s'est bien intégré, au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, notamment lorsqu'il respecte l'ordre juridique suisse et les valeurs de la Constitution fédérale (let. a) et qu'il manifeste sa volonté de participer à la vie économique et d'apprendre la langue nationale parlée au lieu de domicile (let. b). Selon l'art. 4 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 sur l'intégration des étrangers (OIE; RS 142.205), la contribution des étrangers à l'intégration se manifeste notamment par le respect de l'ordre juridique et des valeurs de la Constitution fédérale (let. a), par l'apprentissage de la langue nationale parlée sur le lieu de domicile (let. b), par la connaissance du mode de vie suisse (let. c) et par la volonté de participer à la vie économique et d'acquérir une formation (let. d). L'adverbe "notamment", qui est employé tant à l'art. 77 al. 4 OASA qu'à l'<ref-law> illustre le caractère non exhaustif des critères d'intégration qui sont énumérés par ces dispositions et met aussi en exergue le fait que la notion "d'intégration réussie" doit s'examiner à l'aune d'une appréciation globale des circonstances (arrêt 2C_352/2014 du 18 mars 2015 consid. 4.2 et les références citées). Dans l'examen de ces critères d'intégration, les autorités compétentes disposent d'un large pouvoir d'appréciation que le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec retenue (cf. art. 54 al. 2 et 96 al. 1 LEtr et <ref-law>; arrêts 2C_352/2014 du 18 mars 2015 consid. 4.2 et 2C_14/2014 du 27 août 2014 consid. 4.6.1, non publié in <ref-ruling>, et les références citées).
4.3. Selon la jurisprudence, il n'y a pas d'intégration réussie lorsque l'étranger n'exerce pas d'activité lucrative qui lui permette de couvrir ses besoins et qu'il dépend des prestations sociales pendant une période relativement longue (arrêt 2C_352/2014 du 18 mars 2015 consid. 4.3 et les références citées). A l'inverse, le fait pour une personne de ne pas avoir commis d'infractions pénales et de pourvoir à son revenu sans recourir à l'aide sociale ne permet pas à lui seul de retenir une intégration réussie (arrêts 2C_352/2014 du 18 mars 2015 consid. 4.3 et 2C_14/2014 du 27 août 2014 consid. 4.6.1, non publié in <ref-ruling>, et les références citées). Des périodes d'inactivité de durée raisonnable n'impliquent pas forcément une absence d'intégration professionnelle (arrêts 2C_352/2014 du 18 mars 2015 consid. 4.3; 2C_749/2011 du 20 janvier 2012 consid. 3.3 et 2C_427/2011 du 26 octobre 2011 consid. 5.3). Il n'est pas indispensable que l'étranger fasse montre d'une carrière professionnelle requérant des qualifications spécifiques; l'intégration réussie au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr n'implique en effet pas nécessairement la réalisation d'une trajectoire professionnelle particulièrement brillante au travers d'une activité exercée sans discontinuité. L'essentiel en la matière est que l'étranger subvienne à ses besoins, n'émarge pas à l'aide sociale et ne s'endette pas (arrêts 2C_352/2014 du 18 mars 2015 consid. 4.3; 2C_749/2011 du 20 janvier 2012 consid. 3.3 et 2C_427/2011 du 26 octobre 2011 consid. 5.3). L'intégration réussie d'un étranger qui est actif professionnellement en Suisse, dispose d'un emploi fixe, a toujours été financièrement indépendant, se comporte correctement et maîtrise la langue locale ne peut être niée qu'en la présence de circonstances particulièrement sérieuses (arrêts 2C_352/2014 du 18 mars 2015 consid. 4.3; 2C_930/2012 du 10 janvier 2013 consid. 3.1; 2C_749/2011 du 20 janvier 2012 consid. 3.3 et 2C_839/2010 du 25 février 2011 consid. 7.1.2). L'absence de liens sociaux très étroits en Suisse n'exclut pas non plus d'emblée l'existence d'une intégration réussie, de même que l'absence de vie associative (arrêt 2C_352/2014 du 18 mars 2015 consid. 4.3 et les références citées).
4.4. En l'espèce, le fait que le recourant parle couramment le français et qu'il apparaisse intégré socialement en Suisse, où il vit depuis 2005 sont des éléments qui plaident en sa faveur. En outre, il est vrai que, comme il le soutient et comme le relève d'ailleurs l'instance précédente, les infractions pénales qu'il a commises sont de faible importance. Elles ne permettraient pas à elles seules de nier l'intégration du recourant.
L'instance précédente s'est essentiellement fondée sur l'absence d'intégration du recourant du point de vue professionnel et financier. Le recourant ne peut dès lors être suivi lorsqu'il reproche au Tribunal administratif fédéral de s'être fondé uniquement sur le fait qu'il ait eu recours aux prestations de l'aide sociale en 2008. En ce qui concerne son intégration professionnelle, le recourant estime que l'instance précédente a fait preuve d'une "sévérité excessive."
4.5. Il ressort des faits constatés par l'instance précédente que le recourant a toujours déclaré être employé de la société "A._ Sàrl", établie à Libreville (Gabon). Or, à la suite d'une enquête menée par le Tribunal administratif fédéral, il s'est avéré que l'en-tête du contrat de travail fourni par le recourant ne correspondait pas à celui d'une Sàrl établie au Gabon et que le numéro de téléphone n'existait pas à Libreville. L'intéressé a expliqué que le numéro était ancien, qu'il travaillait en réalité pour un associé de la société "A._ Sàrl" à Cotonou (Bénin) et qu'il percevait des commissions, de sorte que sa relation professionnelle à la société "A._ Sàrl" s'apparentait plutôt à un mandat qu'à un contrat de travail. En outre, selon les décisions de taxation fiscale du recourant, celui-ci a perçu un revenu de 20'162 fr. en 2012 et de 20'200 fr. en 2013. Il ressort par ailleurs des informations fournies par la Caisse cantonale vaudoise de compensation que, depuis 2011, l'intéressé a été taxé sur la base d'un revenu annuel de 13'200 fr. Dans ces conditions, l'instance précédente pouvait conclure que ses revenus étaient nettement inférieurs à ses charges, que celui-ci avait lui-même estimées à 3'967 fr. par mois. Compte tenu de l'ensemble de ces circonstances, on ne peut reprocher à l'arrêt attaqué d'avoir considéré que le recourant ne disposait pas d'un emploi fixe lui permettant d'être indépendant financièrement. A cela s'ajoute qu'il a des dettes et qu'il n'a pas remboursé l'aide sociale.
Au vu de ce qui précède et en particulier du fait qu'un doute subsiste quant à la réalité de l'activité professionnelle du recourant, que les revenus qu'il a déclarés ne lui permettent au demeurant pas de couvrir ses charges et d'assurer une indépendance financière, qu'il a contracté des dettes et qu'il ne s'est pas toujours conformé à l'ordre public, l'instance précédente n'a pas violé le droit fédéral en jugeant que l'intégration du recourant ne saurait être qualifiée de réussie au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr.
5.
Le recourant estime ensuite que l'autorité précédente a méconnu l'art. 50 al. 1 let. b LEtr.
5.1. Selon l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint et des enfants à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 subsiste si la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures. Selon la jurisprudence, l'admission d'un cas de rigueur personnel survenant après la dissolution de la communauté conjugale suppose que, sur la base des circonstances d'espèce, les conséquences pour la vie privée et familiale de la personne étrangère liées à ses conditions de vie après la perte du droit de séjour découlant de la communauté conjugale (art. 42 al. 1 et 43 al. 1 LEtr) soient d'une intensité considérable (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 395). Le Tribunal fédéral a mis en lumière un certain nombre de situations dans lesquelles la poursuite du séjour en Suisse peut s'imposer, qui ne sont toutefois pas exhaustives (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 395; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 3 s.; arrêt 2C_497/2014 du 26 octobre 2015 consid. 4.1). De telles raisons peuvent en particulier découler d'une relation digne de protection avec un enfant qui a le droit de séjourner en Suisse (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 319 et les références citées; arrêt 2C_318/2013 du 5 septembre 2013 consid. 3.3).
S'agissant de la réintégration sociale dans le pays de provenance, l'art. 50 al. 2 LEtr exige qu'elle semble fortement compromise (ATF <ref-ruling> consid. 5.3). La question n'est donc pas de savoir s'il est plus facile pour la personne concernée de vivre en Suisse ou à l'étranger, mais uniquement d'examiner si, en cas de retour dans le pays d'origine, les conditions de la réintégration sociale, au regard de la situation personnelle, professionnelle et familiale de l'étranger, seraient gravement compromises (cf. arrêts 2C_459/2015 du 29 octobre 2015 consid. 5.1 et 2C_873/2013 du 25 mars 2014 consid. 4.1, non publié in <ref-ruling> et les références citées).
5.2. En l'espèce, l'autorisation de séjour du recourant - qui fait l'objet de la présente procédure - était fondée sur son mariage avec une ressortissante suisse, dont il est séparé depuis 2008. Le fils du recourant, né en 1999 et titulaire d'une autorisation d'établissement, - que l'intéressé a reconnu le 19 octobre 2011 - n'est pas l'enfant de son épouse suisse. Sa mère est une ressortissante tunisienne titulaire d'une autorisation d'établissement. Dans ces conditions, la relation entre le recourant et son fils ne constitue pas une raison personnelle majeure en lien avec la dissolution du lien conjugal et ne saurait être considérée comme étant liée "à ses conditions de vie après la perte du droit de séjour découlant de la communauté conjugale" (cf. <ref-ruling> p. 395 consid. 3.1; arrêt 2C_497/2014 du 26 octobre 2015 consid. 4.2). Le recourant ne peut donc pas se prévaloir de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr sous cet angle.
En ce qui concerne la réintégration du recourant dans son pays d'origine, l'instance précédente a jugé, à bon droit, que celle-ci n'était pas fortement compromise. Le recourant invoque la "situation politique difficile" dans son pays. Ce faisant, il ne démontre cependant pas en quoi sa réintégration sociale, au regard de sa situation personnelle, serait gravement compromise, étant précisé que l'intéressé a vécu jusqu'à l'âge de 24 ans au Liban et a donc passé son enfance, son adolescence et une partie de sa vie d'adulte dans son pays, où vivent encore des membres de sa famille et dans lequel il est retourné à deux reprises.
Le grief de violation de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr doit partant être rejeté.
6.
Le recourant invoque enfin une violation de l'art. 8 CEDH et se prévaut de sa relation avec son fils Z._.
6.1. L'art. 8 CEDH ne confère en principe pas un droit à séjourner dans un Etat déterminé. Le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut toutefois entraver sa vie familiale et porter ainsi atteinte à cette disposition (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 147 et les arrêts cités). Il n'y a toutefois pas atteinte à la vie familiale si l'on peut attendre des membres de la famille qu'ils réalisent leur vie de famille à l'étranger; l'art. 8 CEDH n'est pas a priori violé si le membre de la famille jouissant d'un droit de présence en Suisse peut quitter ce pays sans difficultés avec l'étranger auquel a été refusée une autorisation de séjour (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 147, <ref-ruling> consid. 2.1 p. 155). En revanche, si le départ du membre de la famille pouvant rester en Suisse ne peut d'emblée être exigé sans autres difficultés, il convient de procéder à la pesée des intérêts prévue par l'art. 8 par. 2 CEDH. Celle-ci suppose de tenir compte de l'ensemble des circonstances et de mettre en balance l'intérêt privé à l'obtention d'un titre de séjour et l'intérêt public à son refus (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 147 et les références citées). Dans la pesée des intérêts, il faut également tenir compte de l'intérêt de l'enfant à maintenir des contacts réguliers avec ses parents, ainsi que l'exige l'art. 3 de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (CDE; RS 0.107). Les dispositions de la convention ne font toutefois pas de l'intérêt de l'enfant un critère exclusif, mais un élément d'appréciation dont l'autorité doit tenir compte lorsqu'il s'agit de mettre en balance les différents intérêts en présence (cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 321; arrêts 2C_497/2014 du 26 octobre 2015 consid. 5.1 et 2C_851/2014 du 24 avril 2015 consid. 4.2).
6.2. Selon la jurisprudence, le parent qui n'a pas l'autorité parentale ni la garde de l'enfant ne peut d'emblée entretenir une relation familiale avec celui-ci que de manière limitée, en exerçant le droit de visite dont il bénéficie. Or, il n'est en principe pas nécessaire que, dans l'optique de pouvoir exercer son droit de visite, le parent étranger soit habilité à résider durablement dans le même pays que son enfant. Sous l'angle du droit à une vie familiale (cf. art. 8 par. 1 CEDH et art. 13 al. 1 Cst.), il suffit en règle générale que le parent vivant à l'étranger exerce son droit de visite dans le cadre de séjours de courte durée, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 319). Le droit de visite d'un parent sur son enfant ne doit en effet pas nécessairement s'exercer à un rythme bimensuel et peut également être organisé de manière à être compatible avec des séjours dans des pays différents (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 147). Un droit plus étendu ne peut le cas échéant exister qu'en présence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique, lorsque cette relation ne pourrait pratiquement pas être maintenue en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent, et que l'étranger a fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable (cf. <ref-ruling> p.148; <ref-ruling> consid. 2.2 et les arrêts cités).
6.3. En l'occurrence, l'instance précédente retient que le recourant "entretient apparemment des relations régulières avec son fils". Il convient néanmoins de relever que le recourant n'a reconnu son fils, né en 1999, que le 19 octobre 2011, soit quelques jours après avoir reçu le courrier du SEM l'informant de son intention de ne pas renouveler son autorisation de séjour. Dans ces circonstances, on peut douter de la réalité des liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif entre le recourant et son fils. Cette question peut cependant demeurer indécise en l'espèce, dans la mesure où l'intéressé ne remplit pas les deux autres critères susmentionnés. En effet, selon les faits constatés par l'autorité précédente, le recourant ne s'est acquitté que très occasionnellement de la contribution d'entretien qu'il s'était engagé à verser à son fils par convention du 23 mars 2012. C'est en vain qu'il se prévaut de versements élevés mais occasionnels et ce malgré des périodes financièrement difficiles. L'instance précédente a relevé à juste titre que le recourant n'avait effectué que trois versements de 300 fr., respectivement de 350 fr., pour la période allant du 5 septembre 2013 au 12 août 2014. Deux montants plus élevés - de 1'000 fr. le 15 septembre 2014 et de 2'000 fr. le 18 septembre 2014 - ont été versés par le recourant postérieurement à l'ordonnance du Tribunal administratif fédéral du 11 septembre 2014 dans laquelle il avait relevé le faible engagement financier du recourant en faveur de son fils et invité le recourant à se déterminer à cet égard. L'instance précédente pouvait dès lors légitimement en conclure que, selon toute vraisemblance, ces derniers versements n'avaient été opérés que pour les seuls besoins de la cause. Pour le surplus, c'est également en vain que le recourant invoque le fait qu'il aurait pu obtenir une diminution du montant de la pension alimentaire due à son fils en raison de la baisse de ses revenus. D'une part, si tel avait été le cas, il aurait dû demander une modification du montant de la contribution d'entretien, ce qu'il n'a pas fait. D'autre part, le fait qu'il ait été en mesure de verser les montants plus élevés susmentionnés à quelques jours d'intervalle tend plutôt à démontrer qu'il n'a pas toujours entrepris les efforts nécessaires afin de s'acquitter régulièrement des pensions alimentaires dues à son fils tel que l'exige la jurisprudence. A cela s'ajoute, que le recourant a été condamné pénalement à deux reprises.
6.4. Dans ces conditions, le recourant ne présentant pas de lien économique fort avec son fils et ne pouvant se targuer d'un comportement irréprochable, l'instance précédente n'a pas violé l'art. 8 CEDH en confirmant le refus d'approbation à la prolongation de son autorisation de séjour.
7.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Succombant, le recourant doit supporter les frais de la procédure fédérale (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III ainsi qu'au Service de la population et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 9 décembre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : Thalmann