Faits :
A.
Le 3 juillet 2013, A._ (née en 1988) a déposé auprès de l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte des Montagnes et du Val-de-Ruz (ci-après : APEA), une requête de mesures superprovisionnelles tendant à la suspension du droit de visite de B._ (né en 1971) sur l'enfant qu'il ont eu ensemble hors mariage, C._, né le 6 novembre 2009, invoquant un soupçon de violence du père, après avoir constaté une griffure sur le visage de l'enfant.
Par ordonnance du 5 juillet 2013, l'APEA a suspendu provisoirement le droit de visite du père sur l'enfant.
Lors de l'audience du 11 juillet 2013, les parents sont convenus d'un droit de visite du père par l'intermédiaire d'un Point échange.
Une curatrice a été désignée à l'enfant le 15 juillet 2013.
B.
Le 16 mars 2014, après avoir constaté que l'enfant présentait une griffure sur la joue après un week-end chez le père, la mère a requis de l'APEA qu'elle suspende immédiatement le droit de visite du père et, après audition des parties, qu'elle mette en place un Point rencontre.
Par décision de mesures provisionnelles du 24 mars 2014, l'APEA a déclaré qu'il n'y avait pas lieu de statuer en urgence et a convoqué les parties à une audience. Lors de cette audience, les parties sont convenues que le droit de visite du père s'exercerait provisoirement par l'intermédiaire d'un Point rencontre.
B.a. Le 19 novembre 2014, l'APEA a révoqué l'ordonnance de mesures superprovisionnelles du 5 juillet 2013 et dit que le droit de visite du père s'exercerait par l'intermédiaire d'un Point échange un week-end sur deux du samedi matin au dimanche soir.
B.b. Par arrêt du 4 février 2015, la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a rejeté le recours interjeté le 16 décembre 2014 par la mère.
C.
Par acte du 5 mars 2015, A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle requiert l'octroi de l'effet suspensif à son recours et d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire. Elle demande, à titre subsidiaire, que des mesures provisionnelles soient rendues en ce sens que le droit de visite du père sur l'enfant s'exerce dans le cadre d'un Point rencontre dans l'hypothèse où son recours ne serait pas muni de l'effet suspensif. Au fond, elle conclut à l'annulation de la décision de l'APEA du 19 novembre 2014, à ce qu'une expertise pédopsychiatrique de l'enfant soit ordonnée et au renvoi de la cause à l'APEA.
Invités à se déterminer sur les demandes d'effet suspensif et de mesures provisionnelles, l'Office de protection de l'enfant et le père s'y sont opposés. Ce dernier a en outre requis d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire.
D.
Par ordonnance du 20 mars 2015, le Président de la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a rejeté les requêtes d'effet suspensif et de mesures provisionnelles.
Des réponses au fond n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt attaqué rendu par la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal neuchâtelois rejette le recours interjeté par la mère contre la décision de l'APEA du 19 novembre 2014 révoquant la suppression du droit de visite ordonnée le 5 juillet 2013 et fixant le droit aux relations personnelles du parent non marié qui n'a pas la garde de l'enfant, à raison d'un week-end sur deux, par l'intermédiaire d'un Point échange. Le présent recours est ainsi dirigé contre une décision finale (<ref-law>) prise en application de normes de droit public en matière de protection de l'enfant, à savoir dans une matière connexe au droit civil (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF; arrêt 5A_756/2013 du 9 janvier 2014 consid. 1), rendue par un tribunal supérieur en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Interjeté en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>) par une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et qui a un intérêt à l'annulation ou à la modification de l'arrêt attaqué (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable au regard de ces dispositions.
1.2.
1.2.1. Le recours en matière civile des <ref-law> étant une voie de réforme (<ref-law>), si le Tribunal fédéral admet le recours, il peut en principe statuer lui-même sur le fond (<ref-law>), en sorte que le recourant ne peut pas se borner à demander l'annulation de la décision attaquée et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale; il doit également, sous peine d'irrecevabilité, prendre des conclusions sur le fond du litige. Il n'est fait exception à l'exigence de conclusions réformatoires que lorsque le Tribunal fédéral, en cas d'admission du recours, ne serait de toute manière pas en situation de statuer lui-même sur le fond et ne pourrait que renvoyer la cause à l'autorité cantonale pour complément d'instruction (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 383; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 489 s.; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 139). Il appartient au recourant de démontrer que le Tribunal fédéral ne serait pas en mesure de statuer lorsque cela ne ressort pas sans autre de la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 3.2; arrêt 4A_402/2011 du 19 décembre 2011 consid. 1.1).
De surcroît, les conclusions réformatoires doivent être déterminées et précises, c'est-à-dire indiquer exactement quelles modifications sont demandées (Fabienne Hohl, Procédure civile, tome II, 2ème éd., 2010, n° 2871 p. 510). Des conclusions claires et précises sont un élément essentiel dans une procédure judiciaire, tant pour la partie adverse que pour le juge, et il ne saurait subsister de doute à leur sujet. Il y a donc lieu de se montrer strict en la matière, ce d'autant plus qu'il est en règle générale aisé de satisfaire à cette exigence formelle (arrêt 5A_913/2014 du 5 février 2015 consid. 1.2).
1.2.2. En l'espèce, on recherche en vain dans l'acte de recours des conclusions réformatoires, a fortiori précises. La recourante se limite en effet à prendre des conclusion cassatoires et en renvoi de la cause, selon l'<ref-law> ( sic! ). Elle ne précise pas l'étendue ou les modalités du droit de visite qu'il conviendrait d'attribuer au père, alors qu'elle était parfaitement en mesure de le faire. Il n'est en outre pas possible de déterminer le droit de visite sollicité par la mère à la lecture de son mémoire de recours, dès lors qu'elle expose à plusieurs reprises qu'elle souhaite que ce droit de visite s'exerce dans le cadre d'un Point échange, ce qui est précisément ordonné par la décision de l'APEA du 19 novembre 2014 dont elle demande l'annulation. La recourante n'expose pas non plus en quoi la Cour de céans serait empêchée de réformer elle-même la décision querellée, justifiant l'absence de conclusions réformatoires. Dans le cas d'espèce, la recourante était à l'évidence en mesure de prendre une conclusion réformatoire et le droit de visite qu'elle juge acceptable n'étant manifestement pas reconnaissable à la lecture de son recours ou de l'arrêt entrepris, voire du rapprochement des deux actes, les conclusions du recours sont irrecevables.
1.2.3. Par surabondance, la recourante ne s'en prend pas à l'arrêt cantonal entrepris, mais conclut à l'annulation de la décision de première instance et au renvoi de la cause à l'APEA en vertu du CPC - au demeurant inapplicable devant le Tribunal fédéral -, en sorte que, faute d'attaquer l'arrêt de l'autorité cantonale qui a statué immédiatement avant le Tribunal fédéral en revoyant librement les faits et le droit, ces conclusions sont de toute manière irrecevables, à cet égard également (<ref-law>; Florence Aubry Girardin, Commentaire de la LTF, 2ème éd., 2014, n° 17 ad <ref-law>).
1.3. Dans ses conclusions, la recourante sollicite en outre que le Tribunal fédéral ordonne la mise en oeuvre d'une expertise pédopsychiatrique. Or, il n'appartient pas au Tribunal fédéral, comme dernière instance de recours, d'instruire pour la première fois les faits, notamment en ordonnant, comme le requiert la recourante, la mise en oeuvre d'une expertise de l'enfant (<ref-ruling> consid. 2 p. 104, <ref-ruling> consid. 4.3 p. 551 s.; arrêt 2C_135/2015 du 5 mars 2015 consid. 4.3). Le Tribunal fédéral est un juge du droit et non du fait, en sorte que des mesures probatoires ne sont ordonnées qu'exceptionnellement dans une procédure de recours devant le Tribunal fédéral; il statue et conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2 p. 104; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 551 s.; arrêt 5A_663/2013 du 5 novembre 2013 consid. 1.4; cf. supra consid. 2). Il n'y a pas de motif de faire exception à cette règle en l'occurrence, à tout le moins, la recourante ne le démontre pas. La conclusion tendant à la mise en oeuvre d'une expertise pédopsychiatrique est donc également irrecevable.
1.4. Eût-il fallu considérer les conclusions de la recourante comme recevables que le recours aurait de toute manière dû être déclaré irrecevable pour les motifs qui suivent ( cf. infra consid. 3 à 6).
2.
Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'<ref-law>, le Tribunal fédéral ne traite que les questions qui sont soulevées et discutées devant lui par les parties (<ref-ruling> consid. 2 p. 89; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 60), à moins que la violation du droit ne soit manifeste (arrêt 4A_399/2008 du 12 novembre 2011 consid. 2.1 non publié in <ref-ruling>). En ce qui concerne la violation des droits fondamentaux et, de manière générale, des droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2 p. 639 s.), le Tribunal fédéral n'en connaît que si le grief a été expressément soulevé et motivé de façon claire et détaillée par le recourant, en indiquant précisément quelle disposition constitutionnelle ou légale a été violée et en démontrant, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation ("principe d'allégation", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 310 s.; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 234).
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été constatés d'une manière manifestement inexacte (<ref-law>), ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de la décision attaquée que s'il démontre que l'autorité cantonale a versé dans l'arbitraire (art. 9 Cst.; arrêt 5A_911/2014 du 9 janvier 2015 consid. 2.2), grief qu'il doit motiver en se conformant aux exigences du principe d'allégation (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252), sous peine d'irrecevabilité. Le recourant ne peut donc pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 261 s.).
3.
La recourante s'en prend à l'établissement des faits, estimant que l'autorité précédente aurait dû retenir une série de dix faits qu'elle énumère. Cependant, la recourante se limite à alléguer ces événements, sans expliciter son reproche, en particulier sans exposer en quoi ces faits seraient pertinents pour le sort de la cause, ni soulever le grief d'arbitraire (art. 9 Cst.). Ce faisant, elle se borne à présenter sa propre version des faits et à rediscuter la manière dont l'autorité cantonale a apprécié les preuves, sans démontrer en quoi l'appréciation opérée par l'autorité cantonale serait manifestement insoutenable. La critique relative à l'établissement inexact des faits est ainsi d'emblée irrecevable (<ref-law>; cf. supra consid. 2).
4.
La recourante soulève le grief de violation de l'art. 11 Cst., considérant que des mesures s'avéraient nécessaires pour protéger son fils contre un "risque potentiel d'atteinte à son intégrité physique". Elle se borne néanmoins à rendre compte de la teneur de cette disposition et à affirmer que l'autorité cantonale aurait violé celle-ci. Cette argumentation ne répond manifestement pas à l'exigence minimale de motivation d'un grief de nature constitutionnelle (<ref-law>; cf. supra consid. 2), de sorte qu'elle est irrecevable.
5.
La recourante critique ensuite, d'une manière peu compréhensible, l'exercice du droit de visite du père par l'intermédiaire du Point rencontre. Elle présente cependant sa propre version de la cause, singulièrement en se basant sur les faits tels qu'elle les a complétés dans son premier grief ( cf. supra consid. 3), et substitue son appréciation à celle de l'autorité précédente. La recourante ne soulève au demeurant - même implicitement - la violation d'aucune disposition légale et conclut à l'exercice d'un droit de visite par l'intermédiaire d'un Point échange - à l'instar de ce qu'a confirmé la décision entreprise -, en sorte que l'on peine à comprendre la critique, qui est ainsi irrecevable (<ref-law>; cf. supra consid. 2).
6.
Enfin, la recourante présente une argumentation relative à l'expertise pédopsychiatrique qu'elle requiert à la Cour de céans. Dès lors qu'il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'ordonner des mesures probatoires ( cf. supra consid. 1.3), la recourante pouvait se plaindre devant la Cour de céans que l'autorité précédente a violé son droit à l'administration des preuves en ne donnant pas suite à son offre de preuve (art. 29 al. 2 Cst.), ce qu'elle ne fait toutefois pas, même de manière implicite (<ref-law>; cf. supra principe d'allégation, consid. 2). La recourante se borne en effet à solliciter la mesure probatoire sans émettre de critique sur l'arrêt cantonal entrepris. Son argumentation relative à l'expertise pédopsychiatrique est ainsi irrecevable.
7.
En définitive, le recours doit être déclaré irrecevable. Le recours étant manifestement dépourvu de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire est rejetée (<ref-law>).
S'agissant des frais judiciaires, il se justifie, à titre exceptionnel, de déroger à la règle générale et mettre ceux-ci non pas à la charge de la recourante elle-même, mais à celle de son mandataire, en raison des manquements figurant dans le mémoire (<ref-law>; Bernard Corboz, Commentaire de la LTF, 2ème éd., 2014, n° 19 ad <ref-law>). Ainsi, l'avocat a pris des conclusions exclusivement cassatoires, a fortiori à l'encontre de la décision de première instance, et sollicite une mesure probatoire, alors que le Tribunal fédéral est une instance de réforme et de recours; il semble par ailleurs ignorer que la procédure applicable devant le Tribunal fédéral est régie par la LTF ( cf. supra consid. 1.2 et 1.3). L'avocat n'a en outre soulevé aucun grief de manière conforme à l'exigence minimale de motivation ( cf. supra consid. 3 à 6). Un tel mémoire, rédigé par un avocat inscrit au barreau, s'apparente à une demande grossièrement dépourvue de chance de succès (<ref-ruling> consid. 2 p. 207), à laquelle le mandataire devait renoncer.
L'intimé, qui n'a pas été invité à répondre sur le fond, mais a obtenu gain de cause sur les requêtes d'effet suspensif et de mesures provisionnelles, a droit à l'allocation de dépens pour ses déterminations concernant ces aspects (<ref-law>). L'indemnité de dépens est également mise à la charge de l'avocat ( BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, 2 ème éd., 2014, n° 44 ad <ref-law>). La requête de l'intimé d'octroi de l'assistance judiciaire est ainsi sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du mandataire de la recourante.
4.
Une indemnité de 200 fr., à verser à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge du mandataire de la recourante.
5.
La demande d'assistance judiciaire de l'intimé est sans objet.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Office de protection de l'enfant et à la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 29 avril 2015
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Gauron-Carlin