Sachverhalt:
A. Mit Eingabe vom 30. April 2008 liess S._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde gegen einen Einspracheentscheid der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft (nachfolgend: Mobiliar) vom 31. März 2008 (betreffend Einstellung der UVG-Leistungen [Heilbehandlung, Taggeld] mangels rechtsgenüglichen Kausalzusammenhangs auf Ende August 2007) erheben. Der durch die Rechtsanwältin Christina Keller, Zürich, eingereichten Rechtsvorkehr lag eine von S._ unterschriebene, auf ein IV-Verfahren Bezug nehmende "Vollmacht mit Substitutionsbefugnis" vom 11. April 2008 bei. Am 9. Mai 2008 forderte das kantonale Gericht S._ sowie Christina Keller verfügungsweise auf, innert zehn Tagen ab Erhalt der Verfügung eine sich auf den vorliegenden UVG-Prozess beziehende Vertretungsvollmacht einzureichen, andernfalls auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Am 30. Mai 2008 legte Christina Keller eine am 16. Mai 2008 von S._ visierte Vollmacht betreffend das "UVG-Verfahren (Unfall vom 7. April 2007)" auf. Zugleich wurde um Wiederherstellung der am 26. Mai 2008 abgelaufenen und infolge gesundheitlicher Gründe nicht eingehaltenen Frist zur Einreichung der korrekten Vollmacht ersucht. Mit Eingabe vom 2. Juni 2008 brachte die Rechtsanwältin ein Zeugnis des Dr. med. W._, Spezialarzt FMH für Innere Medizin, vom 31. Mai 2008 bei. Das kantonale Gericht trat mit Beschluss vom 30. Juni 2008 auf das Fristwiederherstellungsgesuch ein, wies dieses ab und trat auf die Beschwerde androhungsgemäss nicht ein. Im Rahmen einer Eventualbegründung wurde überdies festgehalten, dass es hinsichtlich der beantragten Weiterausrichtung einer Rente an einem Anfechtungsobjekt fehle, weshalb auch aus diesem Grunde auf die Rechtsvorkehr nicht eingetreten werde könne.
B. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Beschlusses vom 30. Juni 2008 sei dem Fristwiederherstellungsgesuch stattzugeben und das kantonale Gericht zu verpflichten, auf die Beschwerde einzutreten.
Während die Mobiliar auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Anfechtungsobjekt ist letztinstanzlich der Beschluss des kantonalen Gerichts vom 30. Juni 2008, mit welchem das Gesuch des Beschwerdeführers um Wiederherstellung der mit Verfügung vom 9. Mai 2008 angesetzten Frist zur Nachreichung einer korrekten Vertretungsvollmacht gestützt auf Art. 60 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law> abgewiesen (Dispositiv-Ziffer 1) und auf die Beschwerde nicht eingetreten worden ist (Dispositiv-Ziffer 2). Es handelt sich dabei um einen das vorinstanzliche Verfahren abschliessenden Endentscheid im Sinne von <ref-law>, gegen welchen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen steht (vgl. zur kantonalgerichtlichen Verfügung betreffend Nichtwiederherstellung der Rechtsmittelfrist: Urteile [des Bundesgerichts] 9C_753/2007 vom 29. August 2008 E. 1.1 und 1.2 sowie 5A_729/2007 vom 29. Januar 2008 E. 1; zum vorinstanzlichen Nichteintretensentscheid: <ref-ruling> E. 1.1 S. 76). Da die übrigen allgemeinen Prozessvoraussetzungen (Art. 42, Art. 82 ff., Art. 100 Abs. 1 BGG) erfüllt sind, ist auf die Rechtsvorkehr einzutreten.
2. Im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist die Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts in tatsächlicher Hinsicht dahingehend eingeschränkt, dass es die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen kann, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 lit. a und b BGG prüft das Bundesgericht demgegenüber grundsätzlich frei. Die ausnahmsweise uneingeschränkte bundesgerichtliche Sachverhaltskontrolle gemäss <ref-law> (vgl. auch <ref-law>) gelangt in casu nicht zur Anwendung, betrifft die vorliegende Rechtsstreitigkeit doch zwar grundsätzlich den Sozialversicherungszweig der Unfallversicherung nach UVG, erfasst aber nicht die - für eine Anwendung der Ausnahmeregelung erforderliche - "Zusprechung oder Verweigerung" von Geldleistungen (vgl. MARKUS SCHOTT, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008, N. 28 ff. zu Art. 97; SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, N. 29 zu Art. 97).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht zu Recht das mit Eingabe vom 30. Mai 2008 (samt Ergänzung vom 2. Juni 2008 [unter Beilage des Zeugnisses des Dr. med. W._ vom 31. Mai 2008]) gestellte Gesuch des Beschwerdeführers um Wiederherstellung der Frist zur Einreichung der erforderlichen Vertretungsvollmacht abgewiesen hat und auf die gegen den Einspracheentscheid der Mobiliar vom 31. März 2008 erhobene Beschwerde nicht eingetreten ist. Einigkeit herrscht unter den Verfahrensbeteiligten in tatsächlicher Hinsicht darüber, dass die dem Beschwerdeführer und der Rechtsanwältin Christina Keller mit vorinstanzlicher Verfügung vom 9. Mai 2008 gesetzte Frist am 26. Mai 2008 abgelaufen und folglich mit Eingabe vom 30. Mai 2008 nicht gewahrt worden ist.
4. Die Vorinstanz hat das Gesuch um Fristwiederherstellung auf der Basis des <ref-law> (in Verbindung mit <ref-law>) beurteilt.
4.1 Nach <ref-law>, welcher auf Grund der Verweisungsnorm des <ref-law> grundsätzlich auch auf das Rechtspflegeverfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht sinngemäss Anwendung findet (vgl. auch E. 4.2 hiernach), wird, falls die gesuchstellende Person oder ihre Vertretung unverschuldeterweise abgehalten worden ist, binnen Frist zu handeln, diese wieder hergestellt, sofern unter Angabe des Grundes innert dreissig Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachgeholt wird.
4.2 Nach der Rechtsprechung sind neue Verfahrensvorschriften vorbehältlich anders lautender Übergangsbestimmungen grundsätzlich mit dem Tag des In-Kraft-Tretens sofort und in vollem Umfang anwendbar (<ref-ruling> E. 2.2. S. 115 mit Hinweisen). <ref-law> enthält eine in diesem Zusammenhang einschlägige übergangsrechtliche Regelung formeller Natur: Gemäss dieser Norm hatten die Kantone ihre Bestimmungen über die Rechtspflege dem ATSG, namentlich dessen Art. 56 bis 61, innerhalb von fünf Jahren nach seinem In-Kraft-Treten - bis spätestens 31. Dezember 2007 - anzupassen; bis dahin galten die bisherigen kantonalen Vorschriften. Davon erfasst ist unter der Marginalie "Beschwerdefrist" <ref-law>, welcher in Abs. 2 die Art. 38 bis 41 ATSG - und damit auch die Normierung bezüglich der Wiederherstellung der Frist - für sinngemäss anwendbar erklärt. In <ref-ruling> hat das Eidgenössische Versicherungsgericht erkannt, dass der Fristenstillstand gemäss <ref-law> auf (mehrmonatige) Beschwerdefristen während der Übergangsfrist nach <ref-law> solange keine Anwendung fand, bis die kantonalen Regelungen dies in Anpassung des ATSG entsprechend vorsahen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 327 f.).
4.2.1 Vor In-Kraft-Treten des ATSG waren die Bestimmungen der Art. 20 bis 24 VwVG im kantonalen Rechtspflegeverfahren kraft bundesrechtlicher Verweise nicht nur auf dem Gebiete der AHV/IV (<ref-law> und <ref-law>, je in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung; nachfolgend: aArt.), sondern auch der EO (aArt. 29 EOG), der Familienzulagen in der Landwirtschaft (aArt. 22 Abs. 3 FLG; vgl. ZAK 1992 S. 154) und seit In-Kraft-Treten des aArt. 9a ELG am 1. Januar 1998 auch der EL anwendbar. Auf diesen Gebieten galt mit <ref-law> auf kantonaler Ebene ebenfalls eine im Übrigen verglichen mit <ref-law> (sowohl in der bis 31. Dezember 2006 gültig gewesenen wie auch in der seither geltenden Fassung) identische Fristwiederherstellungsordnung, sodass insoweit das Bundessozialversicherungsrecht keinen Raum liess für eine abweichende kantonalrechtliche Regelung (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 97 mit Hinweisen [zum Fristenstillstand gemäss <ref-law> und <ref-law>]).
4.2.2 Dies im Gegensatz zu den Gebieten der obligatorischen Unfallversicherung (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 326 f.), der Militärversicherung (vgl. aArt. 104 bis 106 MVG), der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (Art. 86 f. KVG) und der Arbeitslosenversicherung (vgl. zu den letzten beiden Bereichen <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 366 f.), wo vor In-Kraft-Treten des ATSG eine bundesrechtliche Verweisungsnorm fehlte, wonach die Bestimmungen über die Fristen gemäss VwVG auch im kantonalen Beschwerdeverfahren Geltung beanspruchten. Hier konnten die Kantone folglich eine von <ref-law> abweichende - allenfalls darüber hinausgehende - Regelung betreffend die Fristwiederherstellung treffen (vgl. für den Kanton Zürich: § 199 des Gerichtsverfassungsgesetzes des Kantons Zürich vom 13. Juni 1976 [GVG; LS 211.1] in Verbindung mit Art. 12 des Gesetzes über das Sozialversicherungsgericht vom 7. März 1993 [GSVGer; LS 212.81]), welche gegebenenfalls bis zum Ablauf der fünfjährigen Übergangsfrist von <ref-law> oder bis zur vorzeitigen Anpassung der kantonalen Vorschriften anwendbar blieb (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 97 mit Hinweisen [zum Fristenstillstand gemäss <ref-law>]; Urteil [des Eidg. Versicherungsgerichts] U 162/96 vom 17. Juli 1997 E. 3b und c, in: SVR 1998 UV Nr. 10 S. 25). Infolge des in <ref-law> enthaltenen Verweises besteht - jedenfalls in Zusammenhang mit der Beschwerdefrist gemäss <ref-law> (vgl. E. 4.3.2 hiernach) - spätestens für sich diesbezüglich nach dem 1. Januar 2008 verwirklichende Sachverhalte kein Raum mehr für abweichende kantonalrechtliche Fristbestimmungen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 323 f. mit Hinweisen; Urteil [des Eidg. Versicherungsgerichts] U 308/03 vom 26. August 2005 E. 4.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: RKUV 2005 Nr. U 565 S. 448).
Auf den konkret zu beurteilenden Fall findet folglich, wie das kantonale Gericht richtig erkannt hat, grundsätzlich die Regelung zur Fristwiederherstellung nach <ref-law> - und nicht diejenige gemäss § 199 GVG/ZH in Verbindung mit Art. 12 GSVGer/ZH (vgl. dazu auch Urteil [des Eidg. Versicherungsgerichts] U 435/05 vom 18. April 2006 E. 3 [zu <ref-law> in der bis 31. Dezember 2006 in Kraft gestandenen Fassung]) - Anwendung.
4.3 Fraglich ist allerdings, ob die in <ref-law> enthaltenen Vorgaben zur Fristwiederherstellung, welche auf Grund des Verweises in <ref-law> unmittelbar nur für die mit der Beschwerdeerhebung verbundene Frist massgebend sind, für die im vorliegenden Verfahren zu prüfende Konstellation der zur Einreichung einer rechtsgültigen Vertretungsvollmacht angesetzten Frist ebenfalls gelten.
4.3.1 Gemäss den in <ref-law> festgehaltenen - seit 1. Januar 2008 für die kantonalen Gerichte verbindlichen (vgl. E. 4.2 hievor) - Verfahrensregeln, muss die Beschwerde eine gedrängte Darstellung des Sachverhalts, ein Rechtsbegehren und eine kurze Begründung enthalten. Genügt sie diesen Anforderungen nicht, so setzt das Versicherungsgericht der Beschwerde führenden Person eine angemessene Frist zur Verbesserung und verbindet damit die Androhung, dass sonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird. Es ist mithin eine Nachfrist anzusetzen, wenn die Beschwerde den in der Bestimmung genannten Anforderungen nicht genügt. Der Anwendungsbereich der Nachfristansetzung erstreckt sich zum einen auf die in <ref-law> ausdrücklich erfassten Elemente. Aus dem in lit. a des <ref-law> verankerten Grundsatz des einfachen Verfahrens (bzw. dem daraus abgeleiteten Verbot des überspitzten Formalismus; <ref-ruling> E. 4b, 5 und 6 S. 417 ff.; Kieser, ATSG-Kommentar, Zürich/Basel/Genf 2003, N. 21 und 46 zu Art. 61) ist zudem zu folgern, dass diese auch bei weiteren formellen Eintretensvoraussetzungen, die nachträglich noch erfüllt werden können, vorzunehmen ist. Darunter fällt namentlich die fehlende Vollmacht im Falle eines als solchen deklarierten Vertretungsverhältnisses (in diesem Sinne auch Kieser, a.a.O., N. 46 zu Art. 61; ders., Das Verwaltungsverfahren in der Sozialversicherung, Zürich 1999, N. 335). Diese Betrachtungsweise entspricht im Übrigen der vor dem Bundesgericht geltenden verfahrensrechtlichen Ordnung (<ref-law>), welche - noch unter Herrschaft des Art. 30 Abs. 2 OG - als Ausdruck eines aus dem Verbot des überspitzten Formalismus fliessenden allgemeinen prozessualen Rechtsgrundsatzes, der auch im kantonalen Verfahren Geltung beanspruche, qualifiziert wurde (<ref-ruling> E. 6a S. 419 f. mit Hinweisen).
4.3.2 Ist die Ansetzung einer Frist zur Nachreichung der fehlenden Vertretungsvollmacht nach dem Gesagten unter die in <ref-law> geregelte Nachfristansetzung bei ausstehenden formellen Eintretensvoraussetzungen zu subsumieren, stellt sich im Weiteren die Frage, ob darauf die Fristbestimmungen der Art. 38 bis 41 ATSG kraft der in <ref-law> enthaltenen Verweisungsnorm ebenfalls Anwendung finden. Da die betreffende Nachfrist gegebenenfalls auch über die gesetzliche Rechtsmittelfrist hinausgeht bzw. ihre Ansetzung sogar erst nach Beendigung der Beschwerdefrist erfolgt (<ref-ruling> E. 6a S. 419), wird sie im Regelfall nicht bzw. nur teilweise durch die Beschwerdefrist gemäss <ref-law> konsumiert (zur - hier nicht abschliessend zu führenden - Diskussion, ob die Nachfrist definitionsgemäss überhaupt vor Ablauf der Rechtsmittelfrist beginnen kann: KIESER, ATSG-Kommentar, a.a.O., N. 47 zu Art. 61 mit Hinweisen). Dennoch ist sie, weil zur Verbesserung von formellen Mängeln der Beschwerdeschrift angesetzt und daher in einem unmittelbaren Zusammenhang zur Beschwerdeeinreichung stehend, in einem erweiterten Sinne zur gesetzlichen Rechtsmittelfrist zu zählen und untersteht deshalb ebenfalls dem Verweis von <ref-law> (vgl. auch KIESER, ATSG-Kommentar, a.a.O., N. 45 zu Art. 61). Ob die in <ref-law> enthaltenen Fristbestimmungen generell - über die eigentliche Beschwerdeerhebung hinaus - für das kantonale Rechtsmittelverfahren Geltung beanspruchen können, bedarf vor diesem Hintergrund keiner endgültigen Klärung (bejahend: KIESER, ATSG-Kommentar, a.a.O., N. 14 zu Art. 60 und N. 5 zu Art. 61 [insbesondere unter Hinweis auf das zentrale Anliegen des Gesetzgebers, die Fristbestimmungen mit Einführung des ATSG einheitlich zu ordnen; BBl 1999 4596 ff.]; ULRICH MEYER-BLASER, Die Rechtspflegebestimmungen des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts [ATSG], in: HAVE 2002 S. 331 f.)
5. 5.1 Mit Verfügung vom 9. Mai 2008 hat das kantonale Gericht den Beschwerdeführer und dessen mutmassliche Rechtsvertreterin gestützt auf §§ 15, 18 Abs. 3 und 28 GSVGer/ZH (in Verbindung mit §§ 34 Abs. 1 und 38 der Zivilprozessordnung vom 13. Juni 1976 [ZPO; LS 271]) unter Androhung von Säumnisfolgen aufgefordert, innert zehn Tagen ab Erhalt der Verfügung eine sich auf das vorliegende UVG-Verfahren beziehende Vertretungsvollmacht beizubringen.
5. 5.1 Mit Verfügung vom 9. Mai 2008 hat das kantonale Gericht den Beschwerdeführer und dessen mutmassliche Rechtsvertreterin gestützt auf §§ 15, 18 Abs. 3 und 28 GSVGer/ZH (in Verbindung mit §§ 34 Abs. 1 und 38 der Zivilprozessordnung vom 13. Juni 1976 [ZPO; LS 271]) unter Androhung von Säumnisfolgen aufgefordert, innert zehn Tagen ab Erhalt der Verfügung eine sich auf das vorliegende UVG-Verfahren beziehende Vertretungsvollmacht beizubringen.
5.2 5.2.1 Die angeschriebene Rechtsanwältin Christina Keller legte die entsprechende Vollmacht erst mit Eingabe vom 30. Mai 2008 und damit unbestrittenermassen verspätet auf (vgl. E. 3 in fine hievor). Zugleich wurde um Gewährung der Wiederherstellung der Frist ersucht. Am 2. Juni 2008 erfolgte mit der Einreichung des Zeugnisses des Dr. med. W._ vom 31. Mai 2008 (betreffend der vom 26. bis 29. Mai 2008 dauernden krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit der Christina Keller) eine Ergänzung des Fristwiederherstellungsgesuchs.
5.2.2 In Nachachtung der in <ref-law> enthaltenen prozessualen Anforderungen wurde somit rechtzeitig - innert dreissig Tagen nach Wegfall des geltend gemachten Hindernisses (Krankheit der Rechtsanwältin) - unter Angabe des Grundes um Fristwiederherstellung ersucht und die versäumte Rechtshandlung (Nachreichung der Vertretungsvollmacht für das UVG-Verfahren) nachgeholt. Die Vorinstanz ist mithin zu Recht auf das Gesuch eingetreten.
5.2.2 In Nachachtung der in <ref-law> enthaltenen prozessualen Anforderungen wurde somit rechtzeitig - innert dreissig Tagen nach Wegfall des geltend gemachten Hindernisses (Krankheit der Rechtsanwältin) - unter Angabe des Grundes um Fristwiederherstellung ersucht und die versäumte Rechtshandlung (Nachreichung der Vertretungsvollmacht für das UVG-Verfahren) nachgeholt. Die Vorinstanz ist mithin zu Recht auf das Gesuch eingetreten.
5.3 5.3.1 Krankheit kann ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis sein, doch muss die Erkrankung derart sein, dass die rechtsuchende Person oder ihre Vertretung durch sie davon abgehalten wird, selber innert Frist zu handeln oder doch eine Drittperson mit der Vornahme der Handlung zu beauftragen (Urteil [des Bundesgerichts] 2C_401/2007 vom 21. Januar 2008 E. 3.3). Voraussetzung ist, dass die körperliche, geistige oder psychische Beeinträchtigung jegliches auf die Fristwahrung gerichtetes Handeln wie etwa den Beizug eines (Ersatz-)Vertreters verunmöglichte (Urteil [des Eidg. Versicherungsgerichts] P 47/06 vom 4. Dezember 2006 E. 5.2 mit Hinweisen). Die Erkrankung hört auf, ein unverschuldetes Hindernis im Sinne von <ref-law> zu sein, sobald es für den Betroffenen objektiv und subjektiv zumutbar wird, die Rechtshandlung selber vorzunehmen oder die als notwendig erkennbare Interessenwahrung an einen Dritten zu übertragen (<ref-ruling> E. 2a S. 87 mit Hinweisen; <ref-ruling>). Eine Wiederherstellung zugelassen wurde etwa bei einem an einer schweren Lungenentzündung erkrankten und hospitalisierten Versicherten oder bei einer Person, die wegen schwerer nachoperativer Blutungen massive zerebrale Veränderungen aufwies, intellektuell stark beeinträchtigt und daher während der gesamten Rechtsmittelfrist weder fähig war, selber Beschwerde zu erheben, noch sich bewusst werden konnte, dass sie jemanden mit der Interessenwahrung hätte betrauen sollen (BGE <ref-ruling> E. 2a S. 255 f. mit Hinweisen; in HAVE 2007 S. 317 zusammengefasstes Urteil [des Eidg. Versicherungsgerichts] C 272/03 vom 9. Juli 2004 E. 2.2). Nicht gewährt wurde die Wiederherstellung dagegen in Fällen eines immobilisierten rechten Armes bzw. einer schweren Grippe, wo keine objektiven Anhaltspunkte dafür bestanden und dies auch nicht weiter belegt wurde, dass der Rechtsuchende nicht imstande gewesen wäre, trotz der Behinderung fristgerecht zu handeln oder nötigenfalls einen Vertreter mit der Interessenwahrung zu betrauen (BGE <ref-ruling> E. 2a S. 256 mit Hinweisen; Urteil [des Bundesgerichts] 2C_401/2007 vom 21. Januar 2008 E. 3.3). Bedeutsam für die Frage, ob Krankheit im Sinne eines unverschuldeten Hindernisses die Partei von eigenem fristgerechten Handeln oder der Beauftragung eines Dritten abgehalten hat, ist vor allem die letzte Zeit der Rechtsmittelfrist, weil die gesetzliche Regelung jedermann dazu berechtigt, die notwendige Rechtsschrift erst gegen das Ende der Frist auszuarbeiten und einzureichen. Erkrankt die Partei eine gewisse Zeit vor Fristablauf, so ist es ihr in aller Regel möglich und zumutbar, ihre Interessen selber zu verteidigen oder die Dienste eines Dritten in Anspruch zu nehmen; erkrankt die Partei dagegen ernsthaft gegen das Ende der Frist, so wird sie im Allgemeinen nicht in der Lage sein, selber zu handeln oder einen Dritten zu beauftragen, weshalb in solchen Fällen die Wiederherstellung zu gewähren ist (BGE <ref-ruling> E. 2a S. 256 in fine mit Hinweis).
Für die Frage des unverschuldeten Hindernisses macht es grundsätzlich keinen Unterschied, ob die Verhinderung die Anwältin oder den Anwalt oder aber die Klientschaft selber trifft, haben sich Erstere doch so zu organisieren, dass die Fristen im Falle einer Verhinderung trotzdem gewahrt bleiben. Das geschieht durch umgehende Bestellung eines Substituten oder bei fehlender Substitutionsvollmacht dadurch, dass die Klientin oder der Klient sogleich veranlasst wird, selbst zu handeln oder eine andere Anwältin oder einen anderen Anwalt aufzusuchen. Daher endet die unverschuldete Verhinderung der Anwaltschaft und beginnt die Wiederherstellungsfrist zu laufen, sobald die Anwältin oder der Anwalt in die Lage kommt, entweder die versäumte Prozesshandlung selbst nachzuholen oder damit einen geeigneten Substituten zu beauftragen oder aber die Klientin oder den Klienten auf die Notwendigkeit der Fristeinhaltung aufmerksam zu machen. In diesem einschränkenden Sinne ist auch BGE 51 II 450 zu verstehen, wo einem infolge schwerer Lungenentzündung gänzlich arbeitsunfähigen Anwalt die binnen zehn Tagen nach erfolgter Genesung verlangte Wiedereinsetzung gewährt wurde (<ref-ruling> E. 2a S. 87 f. mit diversen Hinweisen).
5.3.2 Die Wiederherstellung beurteilt sich grundsätzlich nach Massgabe der Gesuchsbegründung (<ref-ruling> E. 2b S. 88 mit Hinweisen). Aus der diesbezüglichen Eingabe vom 30. Mai 2008 samt der am 2. Juni 2008 nachgereichten Bescheinigung des Dr. med. W._ (vom 31. Mai 2008) geht hervor, dass Christina Keller während des Zeitraums vom 26. bis 29. Mai 2008 - und damit auch am letzten Tag der Frist zur Einreichung der Vertretungsvollmacht (26. Mai 2008) - krankheitsbedingt eine vollständige Arbeitsunfähigkeit attestiert wurde. Der letztinstanzlichen Beschwerdeschrift ist sodann zu entnehmen, dass Grund hierfür eine Magen-Darm-Grippe mit den entsprechenden Symptomen (Erbrechen und Durchfall, starke Kopfschmerzen, Müdigkeit) war. Dem Beschwerdeführer ist in Anbetracht dieser Umstände allenfalls zugutezuhalten, dass Christina Keller sich auf Grund der Grippeerkrankung ausserstande sah, selber die ihr vom Beschwerdeführer am 22. Mai 2008 übergebene Vollmacht am letzten Tag der ihr angesetzten Frist dem kantonalen Gericht weiterzuleiten, zumal es sich dabei um die akuteste Krankheitsphase gehandelt haben dürfte. Es ist indessen nicht einsehbar - eine gänzliche Handlungsunfähigkeit im Sinne der vorgenannten Beispiele aus der Rechtsprechung bestand offenkundig nicht -, weshalb sie nicht einmal in der Lage gewesen sein sollte, mittels eines kurzen Telefonats einen ihren Büropartner bzw. eine Hilfsperson mit der Aufgabe zu betrauen. Selbst wenn, wie letztinstanzlich vorgebracht, eine allfällige Substitution bereits aus dem Grunde nicht realisierbar war, als beide assoziierten Anwälte zum betreffenden Zeitpunkt berufs- bzw. ferienbedingt ausser Hause weilten, und die Anwaltskanzlei über kein Sekretariat verfügt - wogegen jedoch die Tatsache spricht, dass der vorinstanzliche Entscheid von einer zum Empfang berechtigten Drittperson entgegengenommen worden war -, hätte zumindest die Möglichkeit bestanden, den nicht verhinderten Beschwerdeführer, welcher auf Grund der ihm ebenfalls zugegangenen gerichtlichen Verfügung vom 9. Mai 2008 um die Vollmachtsproblematik wusste, aufzufordern, die ausstehende Bevollmächtigung rechtzeitig beizubringen (allenfalls in Form des ihm ausgehändigten Doppels) oder eine solche mündlich zu Protokoll zu geben (vgl. <ref-law>/ZH in Verbindung mit § 28 GSVGer/ZH). Die blosse Bescheinigung der Arbeitsunfähigkeit vermag nicht zu belegen, dass der Zustand der Rechtsanwältin am 26. Mai 2008 sogar die diesbezügliche, wenig arbeitsintensive Benachrichtigung der Klientschaft ausgeschlossen hätte.
Ein unverschuldetes Hindernis im Sinne des <ref-law> kann somit für den - entgegen den Vorbringen der Beschwerdegegnerin (in deren Vernehmlassung vom 16. Oktober 2008) rechtsprechungsgemäss im vorliegenden Zusammenhang grundsätzlich massgebenden (vgl. E. 5.3.1 hievor) - letzten Tag der Frist am 26. Mai 2008 nicht angenommen werden, weshalb das kantonale Gericht das Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Einreichung der Vertretungsvollmacht zu Recht abgewiesen hat. Androhungsgemäss ist es sodann auf die Beschwerde mangels Vorliegens der formellen Voraussetzungen im Sinne des gehörig ausgewiesenen Vertretungsverhältnisses nicht eingetreten. Auch diese Vorgehensweise ist nicht zu beanstanden, bestand für das hier relevante UVG-Verfahren für den Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung (vom 30. April 2008) doch weder eine stillschweigende, sich aus den Umständen ergebende Bevollmächtigung der Rechtsanwältin - im vorangegangenen Einspracheverfahren hatte die Gewerkschaft Unia, Sektion B._, den Beschwerdeführer vertreten -, noch hatte bereits eine genügende Vertretungsvollmacht vorgelegen. Namentlich war die Zustellung der UV-Akten an die Anwältin im Anschluss an den Erlass des Einspracheentscheids (vom 31. März 2008) gemäss den letztinstanzlichen Ausführungen der Beschwerdegegnerin ohne entsprechende schriftliche Bevollmächtigung erfolgt. Die für das IV-Verfahren ausgestellte Vollmacht deckt entgegen der Argumentation des Beschwerdeführers nicht ohne weiteres auch die im UVG-Prozess vorzunehmenden Rechtshandlungen ab.
Ungeachtet der Frage, welcher Gegenstand vorinstanzlich Anfechtungsobjekt bildete, erweist sich der angefochtene Entscheid damit als rechtens.
6. Dem Prozessausgang entsprechend hat der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 65 Abs. 4 lit. a in Verbindung mit <ref-law>). Eine Parteientschädigung zugunsten der Beschwerdegegnerin wird, da sie als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauter Organisation in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, gemäss <ref-law> nicht gesprochen (Urteil [des Bundesgerichts] 8C_606/2007 vom 27. August 2008 E. 11 mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Januar 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Fleischanderl