Sachverhalt:
A.
Die 1969 geborene, zuletzt als Dolmetscherin für Gerichts- und Verwaltungsbehörden sowie als Telefon-Dolmetscherin tätig gewesene S._ meldete sich im November 2009 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Sie machte geltend, seit Juli 2007 an einer schweren Depression mit Zwangsgedanken zu leiden. Die IV-Stelle des Kantons Zürich holte nebst weiteren Abklärungen ein psychiatrisches Gutachten des Dr. med. B._ und der Frau med. pract. E._ vom 23. Dezember 2010 ein. Die Versicherte legte nebst Berichten der behandelnden Ärzte eine von ihr veranlasste psychiatrische Expertise des PD Dr. med. H._ vom 26. April 2011 auf. Hiezu äusserten sich Dr. med. B._ und Frau med. pract. E._ mit Bericht vom 6. Juni 2011. Das veranlasste die Versicherte, eine Stellungnahme des PD Dr. med. H._ vom 9. September 2011 einzureichen. Sie legte überdies das von ihr eingeholte psychiatrische Gutachten der Frau Prof. Dr. med. W._ vom 7. November 2011 auf. Mit Verfügung vom 19. Januar 2012 verneinte die IV-Stelle einen Anspruch auf berufliche Massnahmen und auf eine Invalidenrente.
B.
S._ erhob hiegegen Beschwerde auf Zusprechung von Leistungen, eventuell Einholung eines psychiatrischen Obergutachtens. Im Beschwerdeverfahren legte sie u.a. weitere Stellungnahmen des PD Dr. med. H._ auf. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 20. September 2013 ab.
C.
S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei ihr rückwirkend und auch "weiterhin" eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei die Sache mit der Anordnung, ein psychiatrisches Obergutachten bei einer Universitätsklinik oder einer anderen kompetenten Stelle einzuholen, zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Weiter wird um unentgeltliche Rechtspflege ersucht.
Mit Eingabe vom 17. Dezember 2013 lässt S._ weitere Aktenstücke einreichen.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Die Eingabe vom 17. Dezember 2013 und ihre Beilagen sind nach Ablauf der Beschwerdefrist und ohne dass eine Vernehmlassung dazu Anlass gegeben hätte, eingereicht worden. Sie können daher nicht berücksichtigt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 Ingress S. 21; <ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47; je mit Hinweisen). Die Beilagen stellen im Übrigen auch neue Beweismittel dar, welche nach dem instanzenbezogenen Novenverbot unzulässig sind; denn es kann nicht gesagt werden, erst der vorinstanzliche Entscheid habe Anlass zu ihrer Einreichung gegeben (vgl. <ref-law>).
3.
Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine Invalidenrente der Invalidenversicherung.
Das kantonale Gericht hat die namentlich interessierenden Bestimmungen und Grundsätze zu den Begriffen Invalidität und Erwerbsunfähigkeit, zum nach dem Grad der Invalidität abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente, zum Rentenbeginn, zum Untersuchungsgrundsatz sowie zu den Anforderungen an beweiswertige ärztliche Berichte und Gutachten zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4.
Die Vorinstanz hat vorab erwogen, nachdem sich die Versicherte im November 2009 unter Hinweis auf ein seit 2007 bestehendes Leiden zum Leistungsbezug angemeldet habe, habe ein allfälliger Rentenanspruch frühestens am 1. Mai 2010 entstehen können. Dies wird nicht bestritten und gibt keinen Anlass zu Weiterungen. Gleiches gilt hinsichtlich der Erkenntnis des kantonalen Gerichts, wonach sich der massgebliche Beurteilungszeitraum bis zum Zeitpunkt des Erlasses der streitigen Verwaltungsverfügung vom 19. Januar 2012 erstreckt (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220).
5.
Als gegebenenfalls rentenbegründender Gesundheitsschaden steht ein psychisches Leiden zur Diskussion.
5.1. Das kantonale Gericht ist gestützt auf das psychiatrische Gutachten vom 23. Dezember 2010 und die ergänzende Stellungnahme vom 6. Juni 2011 des Dr. med. B._ und der Frau med. pract. E._ zum Ergebnis gelangt, im relevanten Zeitraum von Mai 2010 (frühester Beginn eines allfälligen Rentenanspruchs) bis Januar 2012 (Erlass der streitigen Verwaltungsverfügung) habe kein die Arbeitsfähigkeit in relevantem Ausmass einschränkendes psychisches Leiden bestanden. Bei der attestierten Arbeitsfähigkeit von 80 % im erlernten Beruf als kaufmännische Angestellte, als Dolmetscherin und in jeder angepassten Tätigkeit könne die Versicherte ohne Weiteres ein rentenausschliessendes Erwerbseinkommen erzielen. Gestützt auf die Berichte der psychiatrischen Klinik X._ vom 1. Juni und 27. Juli 2012 könne sodann nicht ausgeschlossen werden, dass sich der Gesundheitszustand der Versicherten seit Erlass der Verwaltungsverfügung vom 19. Januar 2012 verschlechtert habe und nunmehr ein invalidenversicherungsrechtlich relevantes psychisches Leiden vorliege. Dies sei von der IV-Stelle, an welche die Akten nach Rechtskraft des Gerichtsentscheides zu überweisen seien, zu prüfen.
Die Beschwerdeführerin vertritt unter Berufung auf die Privatgutachten H._ vom 26. April 2011 und W._ vom 7. November 2011, auf die ergänzenden Stellungnahmen des Privatgutachters PD Dr. med. H._ und auf Berichte der behandelnden Ärzte die Auffassung, bereits im zu beurteilenden Zeitraum liege ein rentenbegründendes psychisches Leiden vor; eventuell sei eine psychiatrische Oberexpertise erforderlich.
5.2. Aus den psychiatrischen Gutachten ergibt sich im Wesentlichen Folgendes:
Dr. med. B._ und Frau med. pract. E._ nennen im Gutachten vom 23. Dezember 2010 (nachfolgend: Gutachten B._) als Diagnose mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit eine rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig allenfalls leichte depressive Episode (IDC-10: F33.0). Die Experten führen sodann aus, in adaptierten Tätigkeiten sei aus psychiatrischer Sicht aktuell eine Arbeitsunfähigkeit von höchstens 20 % ausgewiesen. Unter adäquater psychiatrisch-psychotherapeutischer Behandlung sei mit einer weiteren Verminderung der Arbeitsunfähigkeit zu rechnen. Als adaptiert seien Tätigkeiten in der freien Wirtschaft zu betrachten, welche keine erhöhten Anforderungen an die Stress- und Frustrationstoleranz stellten. Die Tätigkeit als Dolmetscherin im strafrechtlichen Bereich sei grundsätzlich möglich. Eine Tätigkeit im geschützten Rahmen sei mit Sicherheit nicht erforderlich. Die Prognose sei insgesamt als günstig einzustufen.
PD Dr. med. H._ gelangt im Privatgutachten vom 26. April 2011 diagnostisch zum Ergebnis, die bestehenden Symptome erfüllten unzweifelhaft die Kriterien einer schweren Depression nach ICD-10: F32.2. Die Symptome entsprächen dem Bild der atypischen Depression gemäss DSM-IV. Der Facharzt führt weiter aus, die Versicherte leide seit 2007 an einer schweren und invalidisierenden Depression. Beginnend vor 2007 sei sie an einer Zwangsstörung erkrankt, welche heute abgeklungen sei. Aufgrund der erhobenen Befunde bestehe seit 2007 in jeglicher Tätigkeit eine Arbeitsunfähigkeit von 90 %. Eine Prognose sei in Anbetracht der Dauer der bestehenden Depression eher mit Reserve zu stellen. Anderseits zeige die Versicherte eine starke Motivation, wieder berufstätig zu werden, was prognostisch günstig sei.
Frau Prof. Dr. med. W._ diagnostiziert in der Privatexpertise vom 7. November 2011 eine schwere, therapieresistente Depression (ICD-10: F32.2). Sie hält fest, tatsächlich bestünden erhebliche Diskrepanzen zwischen der Beurteilung des PD Dr. med. H._ (und der behandelnden Psychiaterin) auf der einen Seite sowie des Dr. med. B._ und der Frau med. pract. E._ auf der anderen Seite. Nach genauer Durchsicht der schriftlichen Unterlagen und der eigenen eingehenden Untersuchung der Patientin schliesse sie sich der Beurteilung des PD Dr. med. H._ an. Zum noch gegebenen Leistungsvermögen äussert sich die Fachärztin dahingehend, zurzeit sei die Versicherte weder im angestammten noch in einem angepassten Beruf arbeitsfähig. Sie teile die Auffassung des PD Dr. med. H._, wonach das Ausmass der Arbeitsunfähigkeit seit 2007 mehr oder weniger gleich geblieben sei.
5.3.
5.3.1. Die Beurteilung sozialversicherungsrechtlicher Leistungsansprüche bedarf verlässlicher medizinischer Entscheidgrundlagen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Bei der Prüfung, ob Anspruch auf eine Invalidenrente besteht, sollen diese dem Versicherungsträger und im Beschwerdefall dem Gericht ermöglichen, zu beurteilen, inwieweit die Arbeitsfähigkeit gesundheitsbedingt beeinträchtigt ist und welche Tätigkeiten noch zumutbar sind (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 99 f. mit Hinweisen; Urteil 8C_371/2013 vom 28. November 2013 E. 4.4 mit weiterem Hinweis). Liegen hiezu keine verlässlichen ärztlichen Berichte vor, etwa weil ungeklärte Widersprüche bestehen, sind weitere Abklärungen erforderlich, ansonsten der Untersuchungsgrundsatz verletzt wird (vgl. SVR 2010 IV Nr. 41 S. 128, 8C_474/2009 E. 8.3 und E. 8.5; Urteil 8C_485/2013 vom 28. November 2013 E. 4.2 mit Hinweisen). Dieser gebietet dem Versicherungsträger und dem Sozialversicherungsgericht, den rechtserheblichen Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG).
5.3.2. Es gilt das Prinzip der freien Beweiswürdigung. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind. Ausschlaggebend für den Beweiswert ist grundsätzlich weder die Herkunft eines Beweismittels noch die Bezeichnung der eingereichten oder in Auftrag gegebenen Stellungnahme als Bericht oder Gutachten (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis; siehe auch <ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Dennoch hat es die Rechtsprechung mit dem Grundsatz der freien Beweiswürdigung als vereinbar erachtet, in Bezug auf bestimmte Formen medizinischer Berichte und Gutachten Richtlinien für die Beweiswürdigung aufzustellen. So darf das Gericht von Versicherungsträgern im Verfahren nach <ref-law> eingeholten, den Anforderungen der Rechtsprechung entsprechenden, Gutachten externer Spezialärzte vollen Beweiswert zuerkennen, solange "nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit" der Expertise sprechen (<ref-ruling> E. 4.4 S. 470 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3b/bb S. 353). Berichte behandelnder Haus- und Spezialärzte hingegen sind aufgrund deren auftragsrechtlicher Vertrauensstellung zu Patientin und Patient zurückhaltend zu gewichten (<ref-ruling> E. 3b/cc S. 353; SVR 2008 IV Nr. 2 S. 3, I 697/05 E. 4.2; Urteil 8C_787/2013 vom 14. Februar 2014 E. 3.3.2 mit weiteren Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.5 S. 470). Was Parteigutachten anbelangt, rechtfertigt der Umstand allein, dass eine ärztliche Stellungnahme von einer Partei eingeholt und in das Verfahren eingebracht wird, nicht Zweifel an ihrem Beweiswert (<ref-ruling> E. 3b/dd S. 353).
5.3.3. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen, welche das Bundesgericht nur im Rahmen von <ref-law> beurteilen kann. Das gilt auch hinsichtlich der konkreten Beweiswürdigung. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; SVR 2014 IV Nr. 1 S. 1, 9C_228/2013 E. 1.2; 2013 IV Nr. 40 S. 119, 8C_231/2013 E. 1; siehe auch <ref-ruling> E. 1.4 S. 68; <ref-ruling> E. 2 S. 25).
5.4.
5.4.1. Das kantonale Gericht hat das Gutachten B._ und die ergänzende Stellungnahme vom 6. Juni 2011 als vollumfänglich beweiswertig erachtet. Es führt zum abweichenden Privatgutachten H._ vom 26. April 2011 im Wesentlichen aus, dieses sei knapper abgefasst, namentlich bezüglich Anamnese. Zwar hätten Dr. med. B._ und Frau med. pract. E._ offenbar die diagnostische Einschätzung des PD Dr. med. H._ verkannt, indem sie davon ausgegangen seien, dieser habe sich alternativ auf die atypische Depression im Sinne von ICD-10: F32.8 berufen. Das sei aber nicht relevant, da die von PD Dr. med. H._ gestellte "Grunddiagnose" einer schweren Depression im Sinne von ICD-10: F32.23 nicht zu überzeugen vermöge. So wiesen Dr. med. B._ und med. pract. E._ in der Stellungnahme vom 6. Juni 2011 auf verschiedene in die Zukunft gerichtete Aktivitäten hin, welche dem massiven Vitalitätsverlust im Rahmen einer schweren Depression definitionsgemäss entgegenstünden. Das erscheine ohne Weiteres plausibel. PD Dr. med. H._ äussere sich denn auch nicht zur Vereinbarkeit der Diagnose einer schweren Depression mit diesen Aktivitäten. Soweit der Privatgutachter und die (hauptsächlich) behandelnde Ärztin die Aktivitäten der Beschwerdeführerin unter dem Gesichtswinkel von kurzzeitigen Besserungen im Rahmen einer atypischen Depression zu erklären versuchten, erscheine dies wenig überzeugend, zumal es der Versicherten im Sommer 2011 möglich gewesen sei, für über einen Monat in die Türkei zu reisen. Dr. med. B._ und Frau med. pract. E._ wiesen in der Stellungnahme vom 6. Juni 2011 auch zutreffend darauf hin, dass aufgrund der von PD Dr. med. H._ genannten Befunde der Eindruck bestehe, der Privatgutachter gewichte die geklagten Beschwerden zu stark. Die Vorinstanz hält weiter fest, mit Blick auf die übrigen medizinischen Akten sei auch die Aussage des PD Dr. med. H._, wonach psychosoziale Faktoren keine Rolle spielten, mit Zweifel behaftet. Es könne jedenfalls nicht ausgeschlossen werden, dass solche Belastungsfaktoren, welche invalidenversicherungsrechtlich irrelevant seien, in seine Beurteilung eingeflossen seien. Sodann vermöge mit Blick auf die echtzeitlichen Akten, aus welchen sich Besserungen und Therapieunterbrüche ergäben, auch die Einschätzung des Privatgutachters, wonach seit 2007 durchgehend eine schwere Depression bestehe, nicht zu überzeugen. Zusammenfassend vermöge das Gutachten H._ die Schlüssigkeit des Gutachtens B._ nicht in Frage zu stellen.
5.4.2. Die Vorinstanz stellt bei diesen Erwägungen namentlich auch auf eine eigene Interpretation der gutachterlichen Aussagen im Lichte anamnestischer Angaben ab. Ob sich dies auf eine fachärztliche Einschätzung stützen lässt, erscheint fraglich. Hinzu kommt, dass die weiteren Stellungnahmen des PD Dr. med. H._ und das Privatgutachten W._ vom 7. November 2011 zu berücksichtigen sind. Diese medizinischen Akten lagen Dr. med. B._ und Frau med. pract. E._ nicht vor. Das kantonale Gericht beschränkt sich auf die Feststellung, aus den Stellungnahmen des PD Dr. med. H._ ergäbe sich nichts Neues. Frau Prof. Dr. med. W._ schliesse sich dessen Auffassung an, ohne dies nachvollziehbar zu begründen; ihre Beurteilung stehe einem Abstellen auf das Gutachten B._ daher ebenfalls nicht entgegen. Dabei bleibt indessen unberücksichtigt, dass sich PD Dr. med. H._ in den besagten Stellungnahmen nochmals eingehend zur Einschätzung des Dr. med. B._ und der Frau med. pract. E._ und insbesondere auch zu der von diesen Fachärzten geäusserten Kritik an seiner Expertise vernehmen lässt. Sodann äussert sich Frau Prof. Dr. med. W._ in ihrer Expertise gestützt auf eine Würdigung der medizinischen Vorakten und der anamnestischen Angaben sowie auf eine eigene psychiatrische Exploration der Versicherten dezidiert und unter Angabe von Gründen zu Diagnose und Arbeitsfähigkeit. Es kann daher nicht gesagt werden, Frau Prof. Dr. med. W._ schliesse sich einfach nur der Auffassung des PD Dr. med. H._ an. Die Vorinstanz legt auch nicht dar, inwiefern die Einschätzung der Privatgutachterin nicht nachvollziehbar sein soll.
5.4.3. Die Widersprüche zwischen den fachärztlichen Einschätzungen sind damit nicht ausgeräumt. Damit lassen sich die Diagnosen und die Arbeitsfähigkeit aufgrund der vorhandenen medizinischen Akten nicht verlässlich beurteilen. Es bedarf weiterer psychiatrischer Abklärung. Indem das kantonale Gericht davon abgesehen hat, hat es den rechtserheblichen Sachverhalt ungenügend abgeklärt und somit den Untersuchungsgrundsatz verletzt. Dies führt dazu, dass der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Einholung eines psychiatrischen (Ober-) Gutachtens und zum neuen Entscheid über den Rentenanspruch an die Vorinstanz zurückzuweisen ist. In diesem Sinne ist die Beschwerde gutzuheissen.
6.
Bei diesem Verfahrensausgang ist die IV-Stelle kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. September 2013 aufgehoben. Die Sache wird zu ergänzender Abklärung und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. März 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz