Faits:
A.
Le 4 septembre 2012, X._ a déposé plainte pénale contre Y._ à la suite de deux épisodes de violences commis par ce dernier les 4 mars 2012 et 18 août 2012 durant leur relation. Elle lui reprochait des actes de lésions corporelles simples, contrainte, séquestration, enlèvement, tentative de viol et menaces.
B.
Par ordonnance pénale du 31 octobre 2012, le Ministère public de la République et Canton de Genève a condamné l'intéressé pour lésions corporelles simples et contrainte pour les faits qui se sont déroulés les 4 mars et 18 août 2012. A la même date, il a rendu une ordonnance de non-entrée en matière pour les lésions corporelles simples perpétrées le 4 mars 2012 au motif que le délai de plainte était échu, ainsi que pour les infractions de tentative de viol, menaces, séquestration et enlèvement, faute de charges suffisantes, vu les versions divergentes des parties et l'absence de témoignage.
C.
Par arrêt du 18 décembre 2012, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et Canton de Genève a rejeté le recours formé par X._ contre l'ordonnance de non-entrée en matière précitée ainsi que sa demande d'assistance judiciaire.
D.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale, à laquelle elle reproche une violation des articles 310 et 136 CPP ainsi qu'une application arbitraire de l'art. 20 RAJ/GE.
Invitée à se déterminer, la cour cantonale a renoncé à formuler des observations et le Ministère public a déclaré faire sienne l'argumentation retenue dans le jugement attaqué.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 142).
1.1. Aux termes de l'<ref-law>, a qualité pour former un recours en matière pénale quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (a) et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (b).
En particulier, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles (art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF). Constituent de telles prétentions celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des <ref-law>.
Au stade du classement, il n'est pas nécessaire que la partie plaignante ait déjà pris des conclusions civiles (<ref-ruling> consid. 1.3.1). Néanmoins, elle doit expliquer dans son mémoire quelles sont ces prétentions et en quoi la décision attaquée pourrait influencer négativement leur jugement, à moins que, compte tenu notamment de la nature de l'infraction alléguée, l'on puisse le déduire directement et sans ambiguïté (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 222 et les arrêts cités). L'<ref-law> exige en effet du recourant qu'il allègue les faits qu'il considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 47; <ref-ruling> consid. 1 p. 356, 249 consid. 1.1 p. 251).
1.2. Il ressort du jugement cantonal que le Ministère public a condamné Y._ pour les actes de contrainte et de lésions corporelles infligés à la recourante tant lors de l'altercation du 4 mars 2012 que du 18 août 2012. Ladite ordonnance est entrée en force. La recourante a obtenu satisfaction sur ce point. Il en résulte qu'elle ne peut plus se prévaloir d'un intérêt juridique à recourir contre l'arrêt cantonal en tant qu'il confirme la décision de classement pour ce qui concerne les lésions corporelles commises le 4 mars. Demeure réservée une éventuelle procédure en révision en raison du caractère contradictoire de ces deux décisions que la cour de céans ne peut revoir, faute d'épuisement des voies de droit (<ref-law>). En revanche, la décision de non-entrée en matière pour les autres infractions dénoncées de tentative de viol et de séquestration, qui constituent des infractions graves contre la liberté personnelle et l'intégrité sexuelle, est d'emblée de nature à influencer négativement le jugement des prétentions civiles en réparation du dommage et du tort moral que la recourante pourrait faire valoir contre l'intimé en raison des agressions prétendument subies. La recourante a donc la qualité pour agir sur la base de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF (1B_327/2012 du 20 février 2013 consid. 1) pour ces infractions.
2.
La recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.). Elle expose n'avoir eu accès à la déclaration du prévenu qu'après avoir interjeté recours le 12 novembre 2012, échéance du délai de recours de 10 jours contre l'ordonnance de non-entrée en matière du 31 octobre 2012, notifiée le 1er novembre.
2.1. Tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., le droit d'être entendu comprend, notamment, le droit pour le justiciable de prendre connaissance du dossier et de participer à l'administration des preuves essentielles ou, à tout le moins, de s'exprimer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 293; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 494; <ref-ruling> consid. 2b p. 56). En procédure pénale, l'accès au dossier est garanti aux parties de manière générale par l'<ref-law>. Avant de rendre une ordonnance de non-entrée en matière, le Ministère public n'a pas à en informer les parties et il n'a pas à leur donner la possibilité d'exercer leur droit d'être entendu, lequel sera assuré, le cas échéant, dans le cadre de la procédure de recours (arrêt 6B_4/2013 du 11 avril 2013 consid. 2.1 et réf. citées).
2.2. Il ressort du jugement querellé que, par un fax adressé au Ministère public le vendredi 9 novembre 2012, le conseil de la recourante a demandé à ce qu'on lui fasse parvenir la déclaration de Y._. Le lundi 12 novembre, le Ministère public a donné suite à la requête par fax transmis à 17h25 en l'étude dudit avocat (<ref-law>). La recourante a ainsi eu connaissance de la déposition du prévenu avant l'échéance du délai de recours. Elle ne prétend du reste pas le contraire. Si tant est qu'elle ait interjeté son recours avant d'avoir reçu la déclaration, comme elle l'affirme, elle pouvait encore le compléter en temps utile. Le grief est infondé.
3.
La recourante se plaint d'une violation de l'<ref-law>. Il incombait au Ministère public d'ouvrir une instruction pénale et d'enquêter, notamment en procédant à une confrontation des parties et à l'audition de témoins.
3.1. Selon l'<ref-law>, le Ministère public rend immédiatement une ordonnance de non-entrée en matière s'il ressort de la dénonciation ou du rapport de police que les éléments constitutifs de l'infraction ou les conditions à l'ouverture de l'action pénale ne sont manifestement pas réunis (let. a). Une non-entrée en matière peut ainsi se justifier pour des motifs qui tiennent aux faits. Il s'agit des cas où la preuve d'une infraction, à savoir la réalisation en fait de ses éléments constitutifs, n'est pas apportée par les pièces dont dispose le Ministère public (cf. PIERRE CORNU, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2011, n° 9 ad <ref-law>). Il faut que l'insuffisance de charge soit manifeste. En cas de doute sur l'existence d'une infraction ou sur la possibilité d'apporter ultérieurement la preuve qu'elle a été commise, la non-entrée en matière est exclue (Message relatif à l'unification du droit de la procédure pénale du 21 décembre 2005, FF 2006 1248).
Le principe "in dubio pro duriore" découle du principe de la légalité (art. 5 al. 1 Cst. et <ref-law> en relation avec les art. 319 al. 1 et 324 CPP; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 91). Il signifie qu'en principe, un classement ou une non-entrée en matière ne peuvent être prononcés par le Ministère public que lorsqu'il apparaît clairement que les faits ne sont pas punissables ou que les conditions de la poursuite pénale ne sont pas remplies. La procédure doit se poursuivre lorsqu'une condamnation apparaît plus vraisemblable qu'un acquittement ou lorsque les probabilités d'acquittement et de condamnation apparaissent équivalentes, en particulier en présence d'une infraction grave (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 91; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 288).
3.2. La Chambre pénale des recours a confirmé la décision de non-entrée en matière pour les infractions de tentative de viol, menaces, séquestration, prétendument commises lors de la dispute du 18 août 2012 en raison des versions divergentes des parties et en l'absence de témoins oculaires et de tout autre moyen de preuves tendant à étayer la version de la recourante. Les seuls témoins suggérés par celle-ci ne pouvaient que rapporter le récit qui leur avait été fait par elle-même. Il apparaissait ainsi que la réalisation des éléments constitutifs des infractions dénoncées n'était soutenue par aucun élément probant et que des enquêtes supplémentaires ne pourraient rien changer à ce constat. On ne voyait pas en quoi la photographie d'un chemisier déchiré, élément pris en compte par le Ministère public, serait propre à influencer cette appréciation. Il était manifeste que les probabilités d'un acquittement du mis en cause étaient largement plus élevées que les probabilités d'une condamnation.
3.3. Cette approche ne prête pas le flanc à la critique. La recourante se borne à réaffirmer qu'il y aurait lieu d'interroger des témoins et de prendre en considération la déchirure de son chemisier, sans toutefois exposer en quoi l'appréciation cantonale, fondée sur l'absence de témoin oculaire ou de tout autre moyen de preuve autre que des témoins indirects tendant à étayer sa version, violerait le principe in dubio pro duriore. La photographie d'un chemisier déchiré traduit certes le climat de violence dans lequel la dispute est intervenue, mais ne constitue pas à lui seul un élément suffisamment probant d'une infraction contre l'intégrité sexuelle, étant rappelé que l'intéressé a été condamné par ordonnance pénale pour lésions corporelles simples et contrainte également en raison des faits survenus le 18 août 2012. La recourante ne prétend pas avoir confié à des tiers le déroulement des événements et les atteintes qu'elle aurait subies, se bornant à dire que les agents de police qui l'ont rejointe dans le café où elle s'était réfugiée lui ont conseillé de déposer plainte pénale. Elle ne soutient pas davantage que le voisin qui a ouvert la porte de son appartement aurait été témoin des événements ou confident à un titre ou un autre. Elle fait seulement valoir qu'elle a prié en vain ce voisin de l'accueillir dans l'attente de la police. Comme le relève la cour cantonale, elle ne propose d'apporter aucun autre élément susceptible d'étayer les accusations de tentative de viol et de séquestration au sujet desquelles les versions des parties divergent. A cet égard, il y a lieu de relever que la plaignante se trouvait volontairement au domicile du mis en cause ce jour-là lorsque la dispute a éclaté. Elle prétend que son ami a refusé pendant un moment de lui donner les clés de la porte pour lui permettre de partir, ce que ce dernier conteste, relevant qu'il lui avait dit de reprendre ses affaires, tout comme il conteste les menaces de mort et la tentative de viol, expliquant que la recourante n'acceptait pas qu'il ait une nouvelle amie qui attendait un enfant de lui. Confrontée à des versions contradictoires et en l'absence de tout indice susceptible de corroborer les accusations de la plaignante, la cour cantonale pouvait, sans violer le droit fédéral, confirmer l'ordonnance de non-entrée en matière. Le grief doit être rejeté.
4.
Dénonçant une violation de l'art. 136 al. 1 let. c CPP, la recourante reproche à la cour cantonale de lui avoir refusé un défenseur d'office pour la procédure de recours. Elle fait valoir, outre son indigence et les conclusions civiles qu'elle entend formuler en tort moral, frais de défense et dommage matériel, que son action civile n'était pas dénuée de chances de succès et que la défense de ses intérêts nécessitait la désignation d'un conseil juridique gratuit.
4.1. Selon l'<ref-law>, la direction de la procédure accorde entièrement ou partiellement l'assistance judiciaire à la partie plaignante indigente (let. a) pour lui permettre de faire valoir ses prétentions civiles si l'action ne paraît pas vouée à l'échec (let. b). L'assistance judiciaire comprend: a. l'exonération d'avances de frais et de sûretés; b. l'exonération des frais de procédure; c. la désignation d'un conseil juridique gratuit, lorsque la défense des intérêts de la partie plaignante l'exige. La norme reprend ainsi les trois conditions cumulatives découlant de l'art. 29 al. 3 Cst., à savoir l'indigence, les chances de succès et le besoin d'être assisté. Le législateur a sciemment limité l'octroi de l'assistance judiciaire aux cas où le plaignant peut faire valoir des prétentions civiles. Il a ainsi tenu compte du fait que le monopole de la justice répressive est par principe exercé par l'Etat, de sorte que l'assistance judiciaire de la partie plaignante se justifie en priorité pour faire valoir ses conclusions civiles (cf. Message du 21 décembre 2005 relatif à l'unification du droit de la procédure pénale, FF 2006 1160).
4.1.1. Un procès est dépourvu de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre, et qu'elles ne peuvent donc être considérées comme sérieuses, de sorte qu'une personne raisonnable et de condition aisée renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'elle s'exposerait à devoir supporter; il ne l'est en revanche pas lorsque les chances de succès et les risques d'échec s'équilibrent à peu près, ou que les premières ne sont que légèrement inférieures aux secondes. L'élément déterminant réside dans le fait que l'indigent ne doit pas se lancer, parce qu'il plaide aux frais de la collectivité, dans des démarches vaines qu'une personne raisonnable n'entreprendrait pas si, disposant de moyens suffisants, elle devait les financer de ses propres deniers (cf. <ref-ruling> consid. 2.2.4 p. 218; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 133 ss). La situation doit être appréciée à la date du dépôt de la requête et sur la base d'un examen sommaire (<ref-ruling> consid. 5).
4.1.2. Selon les critères déduits de l'art. 29 al. 3 Cst. (resp. art. 4 aCst.) par la jurisprudence au sujet de la condition de la nécessité de la désignation d'un conseil juridique au lésé, il est considéré en règle générale que la procédure pénale ne nécessite que des connaissances juridiques modestes pour la sauvegarde des droits du lésé. Il s'agit essentiellement d'annoncer ses éventuelles prétentions en réparation de son dommage et de son tort moral ainsi que de participer aux auditions du prévenu, des témoins éventuels et de poser, cas échéant, des questions complémentaires. Un citoyen moyen devrait ainsi être en mesure de défendre lui-même ses intérêts de lésé dans une enquête pénale (<ref-ruling> consid. 2b/bb, repris dans le Message du 21 décembre 2005 relatif à l'unification de la procédure pénale, FF 2006 1160; <ref-ruling> consid. 4e). Cela vaut également pour la procédure de recours contre une décision de classement (ibidem, voir aussi arrêt 1B_26/2013 du 28 mai 2013 consid. 2.3). L'entrée en vigueur du CPP au 1er janvier 2011 n'a fondamentalement pas changé ces principes (arrêt 1B_26/2013 du 28 mai 2013 consid. 2.3). Dans l'appréciation de la nécessité d'une défense d'office, le Tribunal fédéral examine les intérêts en jeu, la complexité de la cause tant en fait qu'en droit, mais aussi les circonstances personnelles du demandeur, notamment son âge, sa situation sociale, sa formation, son état de santé, sa connaissance de la langue (<ref-ruling> consid. 4b/cc, arrêt 1B_26/2013 du 28 mai 2013 consid. 2.3, 1B_45/2012 du 8 juin 2012 consid. 4.5).
4.2. La cour cantonale a laissé indécise la preuve de l'indigence de la recourante en considération du fait qu'en toute hypothèse, les chances de succès paraissaient d'emblée très limitées au regard des développements qui précédaient. En outre, elle n'avait pas besoin d'un avocat compte tenu de sa formation, doctorante au sein d'une haute école, de son âge, de sa situation sociale, de ses connaissances linguistiques et de son état de santé ou de la complexité du cas, qui ne présentait aucune difficulté particulière à tous points de vue.
4.3. La recourante se borne à soutenir que les chances de succès ne sauraient être qualifiées de "très limitées" s'agissant d'infractions graves. La gravité de l'infraction ne constitue toutefois pas un critère suffisant à lui seul dans l'appréciation des chances de succès. Elle ne discute pour le surplus pas davantage cette condition. Dans le cas d'espèce, au vu des déclarations contradictoires des parties, qui n'étaient corroborées par aucun indice pour ce qui concernait les accusations de la plaignante, hormis le chemisier déchiré, la cour cantonale pouvait sans violer le droit fédéral considérer rétrospectivement que la cause était d'emblée dénuée de chances de succès. Le défaut de cette seule condition suffit à mettre en échec sa demande de désignation d'un conseil juridique gratuit.
Indépendamment des chances de succès de son recours, la recourante ne remplit pas non plus la condition de nécessité d'être assistée d'un défenseur comme l'a retenu la cour cantonale. Sur ce point, la recourante soutient que le contrôle judiciaire d'une ordonnance de non-entrée en matière apparaît raisonnable pour une victime LAVI, que la rédaction d'un recours n'est pas aisée pour un justiciable et que la circonstance qu'elle soit doctorante n'y change rien. Sa motivation revient à ériger un droit automatique à une défense gratuite pour former un recours, en contradiction avec la jurisprudence qui veut que l'octroi d'une défense d'office suppose une appréciation concrète de la situation tant au regard des difficultés que présente la cause que de la situation personnelle de la victime, et cela également pour le dépôt d'un recours. Or, la recourante ne discute ni les éléments sur lesquels l'autorité cantonale fonde son appréciation pour retenir que la cause ne présentait pas de difficulté particulière, ni ceux développés sur son aptitude personnelle à défendre ses droits. Sa critique, dépourvue de toute motivation en lien avec les motifs de la décision attaquée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1), est irrecevable sur ce point.
La cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en refusant à la recourante le bénéfice de la gratuité d'un défenseur.
5.
La recourante se plaint d'une application arbitraire de l'art. 20 du Règlement genevois sur l'assistance juridique et l'indemnisation des conseils juridiques et défenseurs d'office en matière civile, administrative et pénale (RAJ, RSG E 2 05.04). Elle estime choquant le montant de 200 fr. mis à sa charge par l'autorité cantonale pour sa requête en désignation d'un conseil d'office et d'assistance judiciaire.
5.1. La violation du droit cantonal ne constitue pas un motif de recours en tant que tel (cf. <ref-law>). La partie recourante peut uniquement se plaindre de ce que l'application du droit cantonal par l'autorité précédente consacre une violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law>, en particulier qu'elle est arbitraire (art. 9 Cst.; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 69; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 466; <ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 251). En matière d'application du droit cantonal, l'arbitraire et la violation de la loi ne sauraient être confondus; une violation de la loi doit être manifeste et reconnue d'emblée pour être considérée comme arbitraire (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 18).
5.2. Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire à la partie plaignante à une procédure pénale et l'étendue de cette assistance sont fixées à l'<ref-law>. La décision prise à ce sujet par la direction de la procédure peut faire l'objet d'un recours selon l'<ref-law>. Le sort des frais de la procédure de recours est réglé à l'<ref-law>, lequel prévoit en principe leur prise en charge par la partie qui succombe. Cette disposition ne prévoit aucune exception au caractère onéreux de cette procédure dans les contestations portant, comme en l'espèce, sur le refus de l'assistance judiciaire (arrêt 1B_259/2011 du 4 juillet 2011 consid. 3), sous réserve d'une disposition de droit cantonal plus favorable. Tel est le cas en droit cantonal genevois. Aux termes de l'art. 20 RAJ, en cas de refus d'octroi ou de retrait de l'assistance juridique, un émolument de 300 à 500 fr. au maximum peut être mis à la charge de la personne requérante ou bénéficiaire en cas de mauvaise foi ou de comportement téméraire. L'art. 20 RAJ érige en principe la gratuité dans les procédures de refus ou de retrait de l'assistance judiciaire, sous réserve de la mauvaise foi ou de la témérité (arrêt 1B_522/2011 du 23 novembre 2011 consid. 3.3.2 in fine).
5.3. La cour cantonale, en condamnant la recourante à un émolument de 200 fr. en application de l'<ref-law>, a arbitrairement omis d'appliquer l'art. 20 RAJ qui aurait dû la conduire à accorder la gratuité pour la procédure de refus d'assistance judiciaire, la mauvaise foi ou le comportement téméraire de la recourante ne ressortant pas dudit arrêt. En vertu de l'<ref-law>, il y a donc lieu de réformer celui-ci en ce sens qu'il est rendu sans frais pour le refus de nomination d'un défenseur.
6.
Il s'ensuit que le recours doit être admis partiellement et l'arrêt attaqué réformé, en ce sens qu'il est rendu sans frais pour ce qui est de la demande de désignation d'un défenseur d'office (<ref-law>). En ce qu'il concerne la demande d'assistance judiciaire, le recours était dénué de chances de succès: la requête d'assistance judiciaire devant le Tribunal fédéral doit donc être rejetée en application de l'<ref-law>. Au vu de la situation financière de la recourante, il est cependant renoncé à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1 seconde phrase LTF). En revanche, la recourante obtient gain de cause sur un point secondaire du recours, soit sur les frais judiciaires mis à sa charge par l'instance précédente. Pour cette raison, le canton de Genève lui versera des dépens réduits (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis partiellement et l'arrêt attaqué est réformé, en ce sens qu'il est rendu sans frais pour ce qui est de la demande de désignation d'un défenseur d'office.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Une indemnité de 800 francs est allouée à l'avocat de la recourante, à titre de dépens réduits, à la charge du canton de Genève.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 11 juillet 2013
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Mathys
La Greffière: Kistler Vianin