Faits :
A.
A._, né en 1967, a présenté le 13 avril 2010 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Les médecins de la Clinique B._ ont attesté une incapacité de travail de 100 % du 23 décembre 2009 au 5 août 2010 (rapport du 30 juillet 2010) et de 50 % dès le 6 août 2010 (rapports des 8 octobre et 23 décembre 2010), tout en mettant l'accent dans un rapport du 6 février 2012 sur l'importante composante psychosomatique. La doctoresse C._, auprès de laquelle l'assuré est en traitement depuis novembre 2011, a posé dans un rapport du 15 mars 2012 les diagnostics de schizophrénie paranoïde ([CIM-10] F20.0) et de dépendance à l'alcool, actuellement abstinent (F10.20), et attesté une incapacité de travail de 100 % dès août 2010. Dans une expertise psychiatrique du 1er octobre 2012, le docteur D._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) n'a retenu aucun diagnostic sur le plan psychiatrique avec répercussion sur la capacité de travail et posé le diagnostic sans répercussion sur la capacité de travail de dysthymie (F34.1). Le SMR, dans un rapport du 18 octobre 2012, a conclu à une pleine capacité de travail dans une activité adaptée aux limitations somatiques depuis août 2010, ce dont l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a informé A._ dans un préavis du 5 février 2013 de refus de rente d'invalidité et de mesures professionnelles. Dans ses observations, l'assuré a produit une prise de position de la doctoresse C._ du 5 décembre 2012, qui considérait qu'un troisième avis psychiatrique paraissait nécessaire. Par décision du 19 mars 2013, l'office AI a confirmé le refus de rente d'invalidité et de mesures professionnelles pour les motifs exposés dans son préavis.
B.
A._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant, sous suite de frais et de dépens, à sa réforme en ce sens qu'il était mis au bénéfice d'une rente entière d'invalidité, à titre subsidiaire à son annulation, la cause étant renvoyée à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision. Produisant un document du 19 avril 2013 dans lequel la doctoresse C._ contestait les conclusions du docteur D._, il requérait la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique, en proposant qu'elle soit confiée au docteur E._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie à V._).
L'office AI a conclu au rejet du recours. A._ a déposé ses observations.
Par arrêt du 10 juin 2014, la juridiction cantonale a rejeté le recours et confirmé la décision de l'office AI du 19 mars 2013.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et de dépens, à son annulation, la cause étant renvoyée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud pour instruction complémentaire dans le sens des considérants et nouvelle décision. Il demande à être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées, sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
1.2. Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'<ref-ruling> consid. 3 p. 397 s. s'appliquent pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application du droit par cette dernière (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité précédente sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité - dans la mesure où elle dépend d'une évaluation de la personne concrète, de son état de santé et de ses capacités fonctionnelles - relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398).
2.
Le litige porte sur le point de savoir si le recourant a droit à une rente d'invalidité. Les premiers juges ont considéré qu'en l'absence d'éléments objectivement vérifiables - de nature clinique ou diagnostique - susceptibles de mettre en doute l'appréciation du docteur D._, la mesure d'instruction supplémentaire requise par l'assuré ne se justifiait pas et qu'il y avait donc lieu de suivre les conclusions de l'expert, l'avis divergent de la doctoresse C._ n'étant manifestement pas suffisant pour imposer quelconque complément. Le recourant fait valoir qu'ils ont procédé à une appréciation arbitraire des preuves en accordant pleine valeur probante à l'expertise du docteur D._, dont il affirme qu'elle a été effectuée de manière incomplète, sans tenir compte des circonstances du cas d'espèce. Se référant à l'avis de la doctoresse C._ en ce qui concerne le diagnostic de schizophrénie paranoïde, singulièrement à son attestation du 19 avril 2013 relative à l'incidence du traitement médicamenteux sur l'appréciation de l'expert, il reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas pris position sur ce document et allègue qu'une instruction complémentaire est nécessaire sur le plan psychiatrique.
3.
3.1. Le jugement entrepris expose correctement les règles applicables à la solution du litige, de sorte qu'on peut y renvoyer.
3.2. Selon la jurisprudence, l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5: <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 4 s.; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 s.). S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves et de l'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; SPÜHLER/AEMISEGGER/DOLGE/VOCK, BGG-Komm., 2ème éd., art. 97 n° 1 avec la réf.).
4.
4.1. S'agissant de l'appréciation des preuves, le recourant reprend pour l'essentiel les mêmes griefs soulevés devant la juridiction cantonale. En tant qu'il critique les éléments sur lesquels se sont fondés les premiers juges sur le plan médical, il s'agit d'une argumentation appellatoire qui n'est en principe pas valable devant le Tribunal fédéral (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 3 p. 104 s.; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 246 et l'arrêt cité).
4.2. De toute manière, les griefs du recourant sur l'appréciation de la juridiction cantonale relative à l'avis de la doctoresse C._ se révèlent infondés. Ses affirmations ne permettent pas de considérer que le jugement entrepris soit insoutenable dans sa motivation en ce qui concerne le diagnostic de schizophrénie paranoïde posé par ce médecin. Les premiers juges ont considéré que du point de vue diagnostique, les conclusions de la doctoresse C._ quant à la réalisation des critères de cette affection apparaissaient d'emblée sujettes à caution. En effet, aucun des nombreux psychiatres traitants ayant suivi l'assuré depuis 2003 n'avait évoqué une pathologie de cette gravité, l'intéressé n'ayant au demeurant jamais fait l'objet d'une hospitalisation en milieu spécialisé. En outre, il serait pour le moins singulier, en présence d'une atteinte à la santé aussi grave, que le recourant ait pu déployer une activité lucrative durant près de dix ans sans aucun effet incapacitant jusqu'en 2009, respectivement 2010, étant rappelé que celui-ci avait été en mesure de reprendre une activité lucrative dans le courant de l'année 2011 - certes au taux de 50 % - ce qui apparaissait difficilement exigible de la part d'une personne souffrant de schizophrénie paranoïde, même sur une courte durée.
4.2.1. L'argumentation du recourant selon laquelle l'appréciation des premiers juges ne repose sur aucun avis médical ni aucun élément probant au dossier n'est pas fondée. Tel que motivé, le jugement entrepris se fonde sur les observations du docteur D._ dans son rapport du 1er octobre 2012. L'expert a indiqué pour ce qui concerne le diagnostic de schizophrénie paranoïde que malgré différentes consultations psychiatriques, il s'agissait de la première constatation de ce type de diagnostic, que paradoxalement aucune hallucination n'était retracée, sans élément habituel du cortège symptomatique de ce type de diagnostic que sont les échos de la pensée, vols de pensée, barrages, pauvreté du discours, que les idées de persécution n'étaient pas discutées d'un point de vue différentiel, qu'il n'y avait aucune prise de distance par rapport au discours de l'assuré et aucune référence aux autres rapports médicaux psychiatriques. Ne constatant aucun critère-symptôme CIM-10 anamnestique ou clinique de ce type de diagnostic (tout comme la doctoresse F._ dans son rapport du 6 février 2012), le docteur D._ s'est ainsi éloigné de l'appréciation de la doctoresse C._.
4.2.2. Le recourant fait valoir que tout comme le docteur D._, l'autorité intimée n'a pas pris en considération les circonstances très particulières du cas, à savoir le fait pour un migrant d'avoir été soumis à des tortures dans son pays, puis d'être arrivé en Suisse où il a immédiatement travaillé. Il affirme que ce parcours inédit était tout à fait propre à entraîner un retard dans le développement de troubles psychiatriques, respectivement l'identification de certains de ces troubles. Toutefois, sur le plan médical, cette affirmation n'est pas prouvée ni rendue vraisemblable, le recourant n'ayant pas produit - même devant la juridiction cantonale - de pièces médicales à son appui.
4.3. Les griefs du recourant ne sont pas non plus fondés en ce qui concerne l'appréciation de la juridiction cantonale relative à l'expertise du docteur D._.
4.3.1. S'agissant de la valeur probante accordée par les premiers juges à cette expertise, on peut renvoyer au jugement entrepris. Ainsi, le rapport du 1er octobre 2012 résultait d'une analyse complète des pièces du dossier mises à disposition de l'expert et d'un examen clinique effectué le 27 septembre 2012 sur la personne de l'assuré. Le docteur D._ avait exposé de manière concise et objective les raisons l'ayant conduit à écarter les diagnostics retenus par ses confrères et à poser celui de "dysthymie" et, tout en discutant les points litigieux, avait fait état de conclusions cohérentes eu égard aux observations relatées.
4.3.2. Le recourant fait valoir que le docteur D._, non seulement ne s'est entretenu qu'une seule fois avec lui et n'a aucunement préparé la mission d'expertise de concert avec l'intéressé, mais n'a aucunement pris en considération le fait qu'il prenait des médicaments contre la schizophrénie paranoïde prescrits par la doctoresse C._. Il affirme qu'en l'absence de vérifications complémentaires telles qu'un dosage de neuroleptiques ou une prise de sang, il est impossible d'exclure que la raison pour laquelle l'examen clinique psychiatrique du docteur D._ n'a pas montré de signe de dépression majeure, de décompensation psychotique, d'anxiété généralisée incapacitante, de trouble de personnalité morbide, de syndrome douloureux somatoforme persistant incapacitant ni de limitation fonctionnelle psychiatrique, résidait dans la prise régulière de médicaments, ce dont a fait état la doctoresse C._ dans son avis du 19 avril 2013.
4.3.3. Avec la juridiction cantonale, on ne saurait faire grief à l'expert de ne s'être entretenu qu'à une seule reprise avec l'intéressé, un tel procédé apparaissant usuel dans le contexte d'une mission d'expertise, tandis que l'opportunité de plusieurs entrevues peut légitimement être laissée à l'appréciation de l'expert. Quant à l'argumentation du recourant relative à la préparation de la mission d'expertise par le docteur D._, elle est tardive, attendu qu'elle aurait pu être invoquée déjà en procédure administrative puis en procédure cantonale, et n'est pas propre à remettre en cause l'appréciation de l'autorité précédente.
4.3.4. Les premiers juges ont admis que l'expert n'avait que très brièvement mentionné le traitement médicamenteux préconisé par ses confrères, sans en discuter l'adéquation. Ils ont considéré que ce point ne saurait limiter la valeur probante du rapport du docteur D._, du fait que les éléments médicaux essentiels à la fixation des droits de l'assuré en matière AI (diagnostics et capacité de travail) avaient été exhaustivement analysés. Il n'apparaît pas que le jugement entrepris soit arbitraire sur ce point. Dans son avis du 11 mars 2013, le SMR a indiqué qu'il était inexact de dire que le docteur D._ n'avait pas pris connaissance du traitement et de ses "effets potentiels", attendu que ledit traitement (Médicament G._ 5 mg/jour; Médicament H._ 10 mg le soir) était mentionné dans le rapport de la doctoresse C._ du 15 mars 2012 que le docteur D._ citait expressément en page 2 de son rapport d'expertise du 1er octobre 2012. Au demeurant, la doctoresse C._, dans son avis du 19 avril 2013, n'a pas fait état d'éléments objectivement vérifiables qui auraient été ignorés par l'expert et soient suffisamment pertinents pour remettre en cause les conclusions du docteur D._ selon lesquelles l'examen psychiatrique du 27 septembre 2012 n'avait pas mis en évidence de maladie psychiatrique responsable d'une atteinte à la capacité de travail de longue durée. Sur le vu de l'avis du SMR du 11 mars 2013, qui confirme son rapport précédent du 18 octobre 2012, il convient d'admettre que les conclusions de l'expert sont dûment motivées (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232; <ref-ruling> consid. 11.1.3 p. 469; <ref-ruling> consid. 3a p. 352). Ainsi, les premiers juges pouvaient, sans violer le droit fédéral, accorder pleine valeur probante au rapport d'expertise du docteur D._ du 1er octobre 2012.
4.4. L'argumentation du recourant n'est pas propre à remettre en cause l'appréciation anticipée des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale. L'avis de la doctoresse C._ ne saurait l'emporter sur l'appréciation du docteur D._, étant rappelé que les médecins traitants sont généralement enclins, en cas de doute, à prendre parti pour leur patient en raison de la relation de confiance qui les unissent à ce dernier (ATF <ref-ruling> consid. 3b/cc p. 353). Les premiers juges pouvaient, sans qu'on puisse leur reprocher une appréciation arbitraire des preuves, considérer qu'une instruction complémentaire n'était pas nécessaire sur le plan psychiatrique. La Cour de céans est liée par les constatations de la juridiction cantonale en ce qui concerne l'atteinte à la santé et la capacité de travail (supra, consid. 1.2). Les griefs du recourant ne permettent pas de considérer que les premiers juges, en constatant l'absence d'éléments objectivement vérifiables - de nature clinique ou diagnostique - permettant de retenir vraisemblablement le diagnostic de schizophrénie paranoïde ou d'une autre affection sur le plan psychiatrique et en retenant une capacité de travail de 100 % dans une activité respectant les limitations fonctionnelles de l'assuré dès août 2010, ont établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Le recours est mal fondé.
5.
Vu le sort du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). Il ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>). Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci est accordée au recourant, son attention étant attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
L'assistance judiciaire est accordée au recourant et Me Christophe Piguet lui est désigné comme avocat d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4.
Une indemnité supportée provisoirement par la caisse du Tribunal de 2'800 fr. est allouée à Me Christophe Piguet à titre d'honoraires.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 février 2015
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Wagner