Sachverhalt:
A. Am 15. Oktober 2007 stellte X._ (im Folgenden: Beschwerdeführer) beim Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirks Zürich ein Begehren um Verarrestierung des Kontos Z._ sowie bis zu 450'000 Aktien der Firma S._ bei der Bank R._ in A._ zur Deckung diverser Zivilforderungen von insgesamt Fr. 70'195.24 zuzüglich Zinsen und Kosten gegenüber Y._ (im Folgenden: Beschwerdegegner). Mit Verfügung vom 18. Oktober 2007 wies der Einzelrichter das Ersuchen ab, u.a. mit der Begründung, der Beschwerdeführer habe nicht ausgeführt, in welcher Beziehung der Beschwerdegegner zu den zu verarrestierenden Vermögenswerten stehe, weshalb der Arrestgegenstand nicht glaubhaft gemacht worden sei.
Der vom Beschwerdeführer dagegen beim Obergericht des Kantons Zürich (II. Zivilkammer) eingereichte Rekurs blieb erfolglos. Mit Beschluss vom 15. November 2007 wurde das Rechtsmittel abgewiesen.
B. Mit Eingabe vom 7. Dezember 2007 hat der Beschwerdeführer die Sache an das Bundesgericht weitergezogen. Er beantragt, die Verfügung des Bezirksgerichts sowie der Beschluss des Obergerichts seien aufzuheben.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Entscheid über das Arrestbegehren ist ein Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG und stellt eine vorsorgliche Massnahme nach Art. 98 BGG dar. Mit Bezug auf vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 98 BGG) und darf das Bundesgericht das Recht nicht von Amtes wegen anwenden (Art. 106 Abs. 1 BGG), sondern aufgrund des für vorsorgliche Massnahmen geltenden Rügeprinzips nur insofern eine Prüfung vornehmen, als in der Beschwerdeschrift gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG entsprechende Rügen vorgebracht und begründet worden sind (<ref-ruling> E. 1 und 2).
1.2 Die von Art. 106 Abs. 2 BGG geforderte Substanziierung der Vorbringen ist mit derjenigen identisch, wie sie für die frühere staatsrechtliche Beschwerde gemäss Art. 84 aOG gegolten hat. Gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b aOG war in jenem Verfahren darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden waren. In diesem Sinn prüfte das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene Rügen, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintrat (<ref-ruling> E. 2 S. 591 f.).
1.3 Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f. mit Hinweisen).
1.4 Von vornherein nicht eingetreten werden kann auf den Antrag, den Entscheid des Einzelrichters aufzuheben, denn gemäss Art. 90 BGG bildet nur der Entscheid des Obergerichts Anfechtungsobjekt.
2. 2.1 Die Vorinstanz hat - zusammengefasst - erwogen, der Arrest werde vom Richter des Ortes bewilligt, wo die Vermögenswerte sich befänden, wenn der Gläubiger glaubhaft mache, dass seine Forderung bestehe, ein Arrestgrund vorliege und Vermögensgegenstände vorhanden seien, die dem Schuldner gehörten (Art. 272 Abs. 1 SchKG). Wolle der Gläubiger Vermögensgegenstände mit Arrest belegen, die formell auf den Namen eines Dritten lauteten, müsse er zusätzlich glaubhaft machen, dass jene rechtlich in Wirklichkeit Eigentum des Schuldners seien; eine blosse Behauptung genüge dazu nicht (<ref-ruling> E. 2 und 3; <ref-ruling> E. 6). Das Bundesgericht weise daraufhin, dass ein Verzicht auf diese Beweisanforderung Dritte der Willkür des Gläubigers aussetzen würde und präzisiere, dass nach Art. 272 Abs. 1 Ziff. 3 SchKG der Arrestgläubiger in seinem Begehren daher nicht nur die Vermögenswerte angeben solle, die er mit Arrest beschlagen lassen wolle, sondern auch deren Zugehörigkeit zum Vermögen des Schuldners glaubhaft zu machen habe, wenn diese dem Anschein nach - so etwa aufgrund der Bezeichnung des Bankkontos oder -depots - Dritten gehörten. Die Angabe des Dritten erscheine unter diesen Umständen unerlässlich, d.h. damit der Arrest überhaupt durchführbar sei, müsse zumindest der Name des Dritten angegeben werden und es genüge insofern nicht, wenn ein Arrestbegehren betreffend alle Vermögenswerte des Schuldners und solcher, die auf den Namen des Dritten lauteten, gestellt werde (<ref-ruling> E. 4a).
In tatsächlicher Hinsicht hat das Obergericht ausgeführt, in seiner Rekursschrift führe der Beschwerdeführer unter Ziff. III "Vermögenswerte des Beschwerdegegners" aus, das zu verarrestierende Konto des Z._ mit der Nr. yyyy bei der Bank R._ existiere und sei im Namen der staatsanwaltschaftlichen Ermittlungen bekannt geworden. Nach Auskunft der Staatsanwaltschaft würden sich bis zu 450'000 Aktien auf dem betreffenden Konto befinden. Als Treuhänder des Trusts fungiere ein sogenannter Herr W._. Weitere Angaben gingen weder aus der Rekurseingabe noch aus dem Arrestbegehren vom 15. Oktober 2007 hervor. Damit lege der Beschwerdeführer jedoch in keiner Weise dar, in welcher Beziehung der Beschwerdegegner zum genannten Konto bzw. dem Z._ stehe. Ein Verweis auf angebliche Ermittlungen der Staatsanwaltschaft genüge nicht, zumal nicht einmal dargelegt worden sei, aus welchem der zahlreichen gegen den Beschwerdegegner geführten Verfahren die Angaben herrühren sollten. Insbesondere auch dem beigelegten Urteil des Landesgerichts Düsseldorf vom 2. Juli 1999, mit welchem der Beschwerdegegner zu einer Freiheitsstrafe verurteilt worden sei, sei nicht zu entnehmen, welchen Zusammenhang der genannte Trust zum Beschwerdegegner haben könnte. Der Beschwerdegegner erscheine nicht einmal als Treuhänder, sodass auch daraus nicht auf eine wirtschaftliche Berechtigung des Beschwerdegegners am genannten Trust bzw. Konto bei der Bank R._ geschlossen werden könnte. Der Rekurs sei demzufolge ohne Prüfung der weiteren Arrestvoraussetzungen abzuweisen.
2.2 Der Beschwerdeführer trägt als Haupteinwand vor, das Obergericht habe Art. 272 Abs. 1 Ziff. 3 SchKG, wonach dem Schuldner gehörende Vermögensgegenstände verarrestiert werden könnten, zu eng ausgelegt. Damit sei ein Gläubiger praktisch nie in der Lage, die geforderten Belege zu erbringen, um eine Verarrestierung zu erreichen. Der Beschwerdegegner habe Vermögensstraftaten zulasten zahlreicher Anleger begangen und die erlangten Gelder derart zur Seite geschafft, dass eine detaillierte Darlegung der Berechtigung nicht möglich sei.
Der Beschwerdeführer rügt wohl, das Obergericht sei zu Unrecht davon ausgegangen, dass keine wirtschaftliche Berechtigung dargelegt worden sei. Es wird damit jedoch keine Verfassungsverletzung geltend gemacht. Selbst wenn darin eine sinngemässe Rüge des Willkürverbots zu erblicken wäre, wäre der Beschwerdeführer mit dieser rein appellatorischen Rüge seiner Substanziierungspflicht nicht ansatzweise nachgekommen (E. 1.2 hiervor). Namentlich führt der Beschwerdeführer in keiner Weise aus, worin die wirtschaftliche Berechtigung des Beschwerdegegners an den fraglichen Vermögenswerten bestehen solle - abgesehen davon, dass im Verfahren vor Bundesgericht ohnehin keine Noven präsentiert werden könnten (Art. 99 Abs. 1 BGG). Soweit der Beschwerdeführer abschliessend behauptet, vor den Vorinstanzen dargelegt zu haben, dass im Rahmen der gegen den Beschwerdegegner geführten Ermittlungen festgestellt worden sei, dass dieser am genannten Konto berechtigt sei, ist er darauf hinzuweisen, dass im Verfahren vor Bundesgericht generelle Verweisungen auf frühere Rechtsschriften unzulässig sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 400; <ref-ruling> E 2b S. 318); zudem führt der Beschwerdeführer nicht an, wo er solches dargelegt hat und - gegebenenfalls - inwiefern die Vorinstanz in willkürlicher Weise nicht darauf eingegangen ist. Auf die Beschwerde kann somit nicht eingetreten werden.
3. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung an den Beschwerdegegner entfällt, da er nicht zur Vernehmlassung aufgefordert wurde.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Februar 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett