Sachverhalt:
A.
Die 1965 geborene R._ meldete sich am 30. September 2005 bei der IV-Stelle des Kantons St. Gallen zum Leistungsbezug an. Nach verschiedenen Abklärungen verneinte diese mit Verfügungen vom 10. September 2007 einen Leistungsanspruch. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hob diese Verfügungen mit Entscheid vom 29. Mai 2009 auf, worauf die IV-Stelle bei der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) ein polydisziplinäres Gutachten vom 21. September 2010 einholte. Gestützt darauf sprach sie R._ mit Verfügung vom 16. August 2011 und Wirkung ab 1. Januar 2010 eine Viertelsrente zu.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 5. September 2013 teilweise gut. Dabei bestätigte es die Höhe der Rente im Widerspruch zum von der IV-Stelle im Vernehmlassungsverfahren Vorgetragenen, wonach in Abänderung der Verfügung gar keine Invalidenrente zugesprochen werden dürfe. Sodann setzte es den Rentenbeginn neu auf den 1. Januar 2009 fest.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, in Aufhebung des kantonalen gerichtlichen Entscheids sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese R._ die Möglichkeit zum Beschwerderückzug gewähre.
Während R._ auf Abweisung der Beschwerde schliessen lässt, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
Soweit die Versicherte die Beschwerdelegitimation der IV-Stelle in Abrede stellt, ist ihr entgegenzuhalten, dass mit der in Satz 1 von <ref-law> statuierten fehlenden Bindung der Vorinstanz an die Parteibegehren der Gesetzgeber die Verwirklichung des objektiven Rechts über das subjektive Rechtsschutzinteresse gestellt hat, weshalb es der IV-Stelle letztinstanzlich gestattet sein muss, ein bereits erstinstanzlich gestelltes Begehren zum Prozessthema zu erheben, selbst wenn es für die versicherte Person einer Verschlechterung gegenüber dem von der IV-Stelle selbst Verfügten gleichkommt (<ref-ruling> E. 2 S. 340 ff.). Da auch die weiteren Prozessvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
3.
Sollte die Beschwerde in der Sache gutgeheissen und dadurch die Versicherte schlechtergestellt werden als auf Grund der Verfügung vom 16. August 2011, müsste die Angelegenheit - wie beantragt - zur Durchführung des Verfahrens nach <ref-law> an die Vorinstanz zurückgewiesen werden (Näheres dazu a.a.O., <ref-ruling> E. 6 S. 343 f.).
4.
Im Rahmen der Invaliditätsbemessung - namentlich bei der Ermittlung von Gesundheitsschaden, Arbeitsfähigkeit und Zumutbarkeitsprofil sowie bei der Festsetzung von Validen- und Invalideneinkommen - sind zwecks Abgrenzung der für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Tatsachenfeststellungen von den letztinstanzlich frei überprüfbaren Rechtsanwendungsakten der Vorinstanz weiterhin die kognitionsrechtlichen Grundsätze heranzuziehen, wie sie in <ref-ruling> E. 3 S. 397 ff. für die bis 31. Dezember 2006 gültig gewesene Fassung von Art. 132 des seither aufgehobenen OG entwickelt wurden:
Soweit die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es um eine Rechtsfrage; dazu gehören auch Folgerungen, die sich auf medizinische Empirie stützen, zum Beispiel die Vermutung, dass eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung oder ein vergleichbarer ätiologisch unklarer syndromaler Zustand mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar sei (<ref-ruling> mit Hinweisen; SVR 2008 IV Nr. 8 S. 24, I 649/06 E. 3.2 am Ende [Urteil I 649/06 vom 13. März 2007]). Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt sodann zunächst, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (oder ein damit vergleichbarer syndromaler Zustand) vorliegt, und bejahendenfalls sodann, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist hingegen, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (Urteil 8C_705/2013 vom 23. Dezember 2013 mit Hinweis u.a. auf SVR 2008 IV Nr. 23 S. 72 E. 2.2 [Urteil I 683/06 vom 29. August 2007]).
5.
Streitig ist, ob die psychischen Beschwerden der Versicherten einen invalidisierenden Gesundheitsschaden zu begründen vermögen.
5.1. Die Vorinstanz hat bei ihrer Beurteilung der gesundheitlichen Einschränkungen - wie übrigens die IV-Stelle beim Erlass der Verfügung vom 16. August 2011 auch noch - vollumfänglich auf das MEDAS-Gutachten vom 21. September 2010 abgestellt. Danach leidet die Versicherte an einer mittelgradigen bis schweren depressiven Episode mit somatischen Symptomen, an persistierenden Schmerzen und endgradiger Bewegungseinschränkung bei Status nach beidseitiger Implantation eines künstlichen Hüftgelenks 02/05 bei kongenitaler Hüftdysplasie beidseits, radiologisch unauffälliger Implantatlage ohne Hinweis auf Lockerung, einem lumbovertebralen Schmerzsyndrom mit leichter klinischer Symptomatik und geringen radiologisch feststellbaren degenerativen Veränderungen im unteren LWS-Abschnitt bei einer Beinlängenverkürzung links von 2 cm, generalisierten Tendomyosen panvertebral und an den Extremitäten mit vegetativen Begleitbeschwerden und einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung mit psychischen und somatischen Anteilen. Für eine körperlich eher leichtere, rückenadaptierte Tätigkeit ohne ausgesprochene Belastungen der Beine mit häufigem Gehen und Treppensteigen schätzten die Gutachter die Versicherte auf 50 % arbeitsfähig ein. Gestützt auf diese Einschätzung gelangte die Vorinstanz zum gleichen Ergebnis wie die IV-Stelle im verwaltungsinternen Verfahren, nämlich, dass ein Invaliditätsgrad vorliege, der einen Anspruch auf eine Viertelsrente begründe.
5.2. Obwohl die IV-Stelle in Absprache mit dem RAD-Arzt zunächst selbst darauf abgestellt hatte, beanstandet sie nunmehr wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren das MEDAS-Gutachten: Soweit darin eine psychische Komorbidität erheblicher Schwere, Intensität und Dauer in Form einer über den mittleren Schweregrad hinausgehenden depressiven Störung diagnostiziert werde, sei dies nicht nachvollziehbar; insbesondere lasse sich dies nicht aus dem von Dr. med. K._ anlässlich des psychiatrischen Konsiliums erhobenen psychopathologischen Befund ableiten; mehr als eine mittelgradige depressive Episode sei objektiv nicht ausgewiesen, weshalb auch nicht eine psychische Komorbidität erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer vorliege; sei eine solche nicht ausgewiesen, müsse rechtsprechungsgemäss von einer Überwindbarkeit der Schmerzen ausgegangen werden, solange nicht weitere, erschwerende Umstände hinzukämen, wie sie in <ref-ruling> E. 2.2.3 aufgezählt seien; solche seien vorliegend indessen nicht hinreichenden gegeben.
5.3. Dem ist mit der Vorinstanz zunächst entgegenzuhalten, dass die gutachterliche Einschätzung auf einer die Krankengeschichte einschliessenden, auf einer persönlichen Exploration beruhenden Gesamtbeurteilung beruht, welche nicht nur gemäss Ausführungen der Vorinstanz, sondern auch gemäss Einschätzung des RAD-Arztes vom 19. Oktober 2010 als ausführlich, schlüssig und nachvollziehbar gewertet wurde. Auch stellte der Experte nicht etwa allein auf die Ergebnisse der Depressionsfremdbeurteilungsskalen Hamilton und MADRS ab, nach welchen von einer im unteren Bereich einer schweren bzw. dem oberen Bereich einer mässig schweren depressiven Störung auszugehen sei. Sodann mag es durchaus zutreffen, dass der Experte nicht sämtliche der für die Diagnosestellung einer schweren depressiven Episode möglichen Symptome als erfüllt betrachtete. Dies ist aber auch nicht erforderlich. Er erkannte neben dem Verlust des Selbstwertgefühls, Gefühlen von Wertlosigkeit, Libidoverlust, Durchschlafstörungen und Müdigkeit auch eine gedrückte Stimmung mit eingeengter Affektmodulation auf Kränkungen und Verluste und damit durchaus verschiedene Anhaltspunkte, die für eine solche Diagnose sprechen können. Auch erklärte er nachvollziehbar, weshalb seine Diagnose im Vergleich zu jener des behandelnden Psychiaters vom 23. März 2009, welcher noch von einer mittelschweren depressiven Störung ausgegangen war, abweiche und zeigte dabei auf, dass dies nicht allein in einer unterschiedlichen Gewichtung unverändert gebliebener Gesamtumstände begründet sei. Wenn daher die Versicherte anlässlich der rund 90 Minuten dauernden Untersuchung keinen eigentlichen Konzentrationsabfall zeigte, sich sodann offenbar nach wie vor in die Lage versetzt sieht, ihre beiden schulpflichtigen Kinder in einem eigenständigen Haushalt hinreichend zu versorgen und darüber hinaus kein Suizidrisiko auszumachen ist, vermag dies die von Dr. med. K._ getroffene, von den weiteren an der Begutachtung der MEDAS beteiligten Ärzten mitgetragene Einschätzung nicht zu erschüttern, zumal diese Gesichtspunkte von Dr. med. K._ ebenfalls erkannt und in die Überlegungen mit einbezogen worden sind. Die Störung stufte er als mittel- bis schwergradig, nicht aber ausschliesslich schwer ein, umgekehrt aber eben auch nicht lediglich als leicht bis mittelgradig oder ausschliesslich mittelgradig. Wenn er die psychische Komorbidität von der Schwere, Intensität und Dauer her gesamthaft als erheblich bezeichnet, lässt sich dies mit Blick auf seine weiteren Ausführungen dazu letztinstanzlich nicht beanstanden.
Insgesamt erscheint die von der Vorinstanz auf der Grundlage dieses Gutachtens getroffene Tatsachenfeststellung zum Schweregrad der depressiven Episode nicht als offenkundig unrichtig, d.h. willkürlich, was aber erforderlich wäre, damit diese letztinstanzlich erfolgreich in Frage gestellt werden könnte.
5.4. Damit liegt eine psychische Komorbidität vor, die für sich allein durchaus invalidisierenden Charakter haben und damit die Schmerzbewältigung verhindern kann.
Dass die Vorinstanz dies unter Bezugnahme auf die gutachterlichen Ausführungen in concreto bejahte, ist nicht zu beanstanden, womit auch nicht entscheidend ist, dass darüber hinaus nicht sämtliche der von der Rechtsprechung für alternativ heranziehbar erklärten (weiteren) Kriterien zur Beurteilung, ob eine Schmerzsymptomatik als noch für überwindbar zu betrachten ist (dazu: <ref-ruling> E. 2.2 S. 353 ff.), erfüllt sind. Soweit psychosoziale Faktoren (Mehrfachbelastung, finanzielle und existenzielle Probleme, Familiensituation, Arbeitsmarktängste) mitwirken, kann nicht gesagt werden, ihnen käme beim aktuellen Beschwerdebild eine derart tragende Rolle zu, dass ohne diese von einer gänzlichen Überwindbarkeit der Schmerzen auszugehen wäre. Der Gutachter hielt dazu fest, unter Ausschluss dieser Faktoren sei die Versicherte von ihrer psychischen Verfassung her besehen objektiv in der Lage, trotz ihrer subjektiv erlebten Schmerzen einer Arbeit zu 50 % nachzugehen. Darauf ist abzustellen.
5.5. Da die Beschwerdeführerin die weiteren Erwägungen der Vorinstanz zum daraus ableitbaren Invaliditätsgrad und dem Beginn des Rentenanspruchs nicht näher in Frage stellt, hat es mit diesen Ausführungen sein Bewenden. Die Beschwerde ist abzuweisen.
6.
Die Gerichtskosten sind ausgangsgemäss der Beschwerdeführerin zu überbinden (<ref-law>), welche darüber hinaus der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu leisten hat (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, der Ausgleichskasse des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. April 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Grünvogel