Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1973) stammt aus Nigeria. Das Bundesamt für Migration trat am 9. Juli 2009 auf sein Asylgesuch nicht ein und wies ihn weg. Das Bundesverwaltungsgericht bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin am 16. Juli 2009. Die Wegweisung konnte wegen des Ausschaffungsstopps nach Nigeria nicht vollzogen werden.
B. Am 8. September 2011 wurde X._ polizeilich angehalten und tags darauf in Ausschaffungshaft genommen (Haftverfügung vom 9. September, genehmigt am 12. September 2011). Diese wurde mit Zustimmung des Haftgerichts des Kantons Solothurn in der Folge zwei Mal verlängert (Haftverfügungen vom 5. Dezember 2011 bzw. 2. März 2012 , genehmigt am 8. Dezember 2011 bis zum 8. März 2012 bzw. am 5. März 2012 bis zum 8. Juni 2012). Mit Urteil vom 30. März 2012 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde von X._ gegen den Verlängerungsentscheid vom 5. März 2012 ab; es erachtete seine Eingabe als "offensichtlich" unbegründet und lehnte deshalb auch sein Gesuch um Verbeiständung ab.
C. X._ beantragt vor Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn aufzuheben und ihn umgehend aus der Ausschaffungshaft zu entlassen; eventuell sei die Sache "zur vollständigen Sachverhaltsabklärung" an die Vorinstanz zurückzuweisen. X._ macht geltend, er leide an einer chronischen Lungenkrankheit und an einer Hyperventilation, welche unter starkem psychischen Druck, wie er mit der Ausschaffungshaft und dem drohenden Sonderflug bestehe, zu Atemstörungen führe; dies stelle eine unmenschliche Behandlung dar, weshalb die Haft zu beenden sei. Seine Rückkehr könne nicht zwangsweise erfolgen, da für ihn damit gravierende gesundheitliche Probleme verbunden wären; der Wegweisungsvollzug dürfe demnach, weil nicht absehbar, auch nicht mit einer Zwangsmassnahme sichergestellt werden.
Das Verwaltungsgericht, das Haftgericht und das Departement des Innern des Kantons Solothurn beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Migration teilte am 26. April 2012 mit, dass vorgesehen sei, X._ im Mai 2012 mittels eines nationalen Sonderflugs nach Nigeria zurückzuführen; es sei am 20. April 2012 um das hierfür erforderliche Ersatzreisepapier nachgesucht worden.
D. Mit Verfügung vom 16. April 2012 hat der Abteilungspräsident den Wegweisungsvollzug (Rückflug) für die Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens ausgesetzt.

Erwägungen:
1. Wurde ein erstinstanzlicher Weg- oder Ausweisungsentscheid eröffnet, kann die zuständige Behörde den betroffenen Ausländer zur Sicherstellung von deren Vollzug unter anderem in Ausschaffungshaft nehmen, wenn das Bundesamt mangels Papieren (vgl. <ref-law> [SR 142.31]) auf sein Asylgesuch nicht eingetreten ist (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 1; <ref-ruling> ff., 377 ff.) oder sein bisheriges Verhalten darauf schliessen lässt, dass er sich der Ausschaffung entziehen will bzw. er sich behördlichen Anordnungen widersetzt (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 bzw. Ziff. 4 AuG; <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 mit Hinweisen). Der Wegweisungsentscheid muss nicht rechtskräftig sein; es genügt, dass dessen Vollzug (z.B. wegen fehlender Papiere) noch nicht möglich, jedoch absehbar erscheint. Der Vollzug darf nicht aus rechtlichen oder tatsächlichen Gründen undurchführbar sein (vgl. Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG) und muss mit dem nötigen Nachdruck verfolgt werden (Art. 76 Abs. 4 AuG: "Beschleunigungsgebot"). Die Haft als Ganzes hat verhältnismässig zu sein (vgl. auch das Urteil des EGMR Jusic gegen Schweiz vom 2. Dezember 2010 [4691/06], §§ 67 ff., insbesondere § 73). Die ausländerrechtlich begründeten Festhaltungen dürfen zusammen eine maximale Haftdauer von sechs Monaten nicht überschreiten (Art. 79 Abs. 1 AuG [in der Fassung vom 18. Juni 2010]). Eine Verlängerung ist mit Zustimmung der kantonalen richterlichen Behörde um höchstens zwölf Monate möglich, wenn die betroffene Person mit der zuständigen Behörde nicht kooperiert (Art. 79 Abs. 2 lit. a AuG [in der Fassung vom 18. Juni 2010]) oder sich die Übermittlung der für die Ausreise erforderlichen Unterlagen durch einen Staat verzögert, der nicht dem Schengenverbund angehört (Art. 79 Abs. 2 lit. b AuG [in der Fassung vom 18. Juni 2010]; Art. 15 Abs. 5 und 6 der zum Schengen-Besitzstand gehörenden Richtlinie 2008/115/EG des Europäischen Parlaments und des Rats vom 16. Dezember 2008 über gemeinsame Normen und Verfahren in den Mitgliedstaaten zur Rückführung illegal aufhältiger Drittstaatsangehöriger, "Rückführungsrichtlinie", ABl. L 348 vom 24. Dezember 2008 S. 98).
2. 2.1 Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (vgl. Art. 42 Abs. 2, 97 Abs. 1 und 106 Abs. 2) - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist mit anderen Worten nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn ihm diese nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.5 S. 314; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Der Beschwerdeführer bestreitet - zu Recht - weder, dass er im Rahmen eines asylrechtlichen Nichteintretensentscheids (rechtskräftig) aus der Schweiz weggewiesen worden ist, noch dass aufgrund seines bisherigen Verhaltens (Untertauchen vor der Zuführung auf der nigerianischen Vertretung, Weigerung in seine Heimat zurückzukehren usw.) ein Haftgrund besteht. Er weist ausschliesslich darauf hin, dass sein Gesundheitszustand kritisch sei (Hyperventilation und chronische Lungenkrankheit) und dazu führen müsse, dass seine Haft beendet werde; eine zwangsweise Ausschaffung per Sonderflug - wie sie bei ihm nötig sei - verstärke seine Symptome und könne "gravierende gesundheitliche Probleme" nach sich ziehen; es werde ihm in Verletzung des Verbots unmenschlicher Behandlung "offensichtlich" zugemutet, im Falle eines mit Muskelkrämpfen verbundenen Hyperventilationsproblems "Todesängste erdulden zu müssen".
2. 2.1 Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (vgl. Art. 42 Abs. 2, 97 Abs. 1 und 106 Abs. 2) - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist mit anderen Worten nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn ihm diese nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.5 S. 314; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Der Beschwerdeführer bestreitet - zu Recht - weder, dass er im Rahmen eines asylrechtlichen Nichteintretensentscheids (rechtskräftig) aus der Schweiz weggewiesen worden ist, noch dass aufgrund seines bisherigen Verhaltens (Untertauchen vor der Zuführung auf der nigerianischen Vertretung, Weigerung in seine Heimat zurückzukehren usw.) ein Haftgrund besteht. Er weist ausschliesslich darauf hin, dass sein Gesundheitszustand kritisch sei (Hyperventilation und chronische Lungenkrankheit) und dazu führen müsse, dass seine Haft beendet werde; eine zwangsweise Ausschaffung per Sonderflug - wie sie bei ihm nötig sei - verstärke seine Symptome und könne "gravierende gesundheitliche Probleme" nach sich ziehen; es werde ihm in Verletzung des Verbots unmenschlicher Behandlung "offensichtlich" zugemutet, im Falle eines mit Muskelkrämpfen verbundenen Hyperventilationsproblems "Todesängste erdulden zu müssen".
2.2 2.2.1 Seine Ausführungen überzeugen nicht: Die kantonalen Behörden haben sich während des Festhaltungsvollzugs seiner gesundheitlichen Probleme angenommen und deren Auswirkungen abklären lassen. Der Vertrauensarzt hat am 21. Dezember 2011 bestätigt, dass der Beschwerdeführer vom medizinischen Standpunkt aus als reise- und flugfähig zu gelten habe. Es liege eine Atemregulationsstörung vor, welche ihn bei grosser, panikartiger Nervosität einen unwiderstehlichen Drang verspüren lasse, intensiv zu atmen. Die dadurch ausgelösten Veränderungen im Körper könnten zu Muskelverkrampfungen und Pulsbeschleunigung führen, welche geeignet seien, ein von aussen betrachtet spektakuläres, beeindruckendes Ausmass anzunehmen und subjektiv als lebensbedrohlich empfunden würden; für den damit vertrauten Mediziner sei die Störung indessen harmlos und der Anfall gut behandelbar; er empfehle lediglich, den verantwortlichen Reisebegleiter auf das Hyperventilationsrisiko aufmerksam zu machen. Aus dem Gutachten des Bürgerspitals Solothurn vom 30. November 2011 ergibt sich nichts anderes: Danach atmet der Beschwerdeführer "in unbeobachteten Situationen völlig normal" und kann mit anderen Gefängnisinsassen auch Tischtennis spielen. Die Atemnot mit Begleitsymptomen trete in Gegenwart von Amtspersonen auf oder in der medizinischen Diagnostik. Hier habe der Patient "einen veritablen Hyperventilationsanfall demonstriert mit Oppressionsgefühl, krampfartigen Spasmen der Hände, Schwindel und Kollapsneigung". Diesen Umständen kann - wie die Vorinstanzen unter Hinweis auf die entsprechende bundesgerichtliche Praxis zu Recht ausgeführt haben - im Rahmen des Haftvollzugs Rechnung getragen werden; sie rechtfertigen keine Haftbeendigung. Nur wenn die Hafterstehungsfähigkeit durch die gesundheitlichen Probleme infrage gestellt wäre bzw. der Wegweisungsvollzug deshalb nicht mehr möglich erschiene, hätten die kantonalen Behörden die sich hieraus ergebenden Konsequenzen zu ziehen und die Festhaltung des Beschwerdeführers zu beenden.
2.2.2 Weitere Abklärungen hierzu erübrigen sich derzeit: Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was die Feststellungen der Vorinstanzen bzw. die entsprechenden medizinischen Einschätzungen als offensichtlich unzutreffend erscheinen liesse (vgl. <ref-law>). Aus den Akten ergibt sich, dass dem Beschwerdeführer wiederholt ermöglicht wurde, freiwillig - unter allfälliger Begleitung durch eine medizinische Fachperson - in die Heimat zurückzukehren, was er jedoch abgelehnt hat. Er will entgegen seiner Ausreisepflicht die Schweiz nicht verlassen und hat sich dem Zugriff der Behörden entzogen, sodass er heute zwangsweise mittels Sonderflug ausgeschafft werden muss. Die entsprechenden Konsequenzen hat er zu tragen. Der Flug wird durch medizinisches Fachpersonal begleitet werden, Gegenstand einer unabhängigen Beobachtung bilden, welche den verfassungs- und konventionskonformen Vollzug der Ausschaffung sicherstellt, und im Rahmen des Bundesgesetzes vom 20. März 2008 über die Anwendung polizeilichen Zwangs und polizeilicher Massnahmen im Zuständigkeitsbereich des Bundes (Zwangsanwendungsgesetz [ZAG; SR 364]) erfolgen (vgl. KÜNZLI/KIND, Menschenrechtliche Vorgaben bei der Zwangsausschaffung ausländischer Staatsangehöriger, in: Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht 2010/ 2011, S. 25 ff.; GÖTSCHMANN/PERLER/GUGGER BRUCKDORFER, Umsetzung der Rückführungsrichtlinie in der Schweiz - Aufbau eines Monitoring der zwangsweisen Rückführungen, in: Achermann et al [Hrsg.], a.a.O., S. 117 ff.). Nach dessen Art. 24 muss eine festgehaltene oder transportierte Person durch eine medizinisch geschulte Person überwacht werden, wenn eine ärztliche Beurteilung - wie hier - ergeben hat, dass mit gesundheitlichen Komplikationen zu rechnen ist. Die zwangsweise Rückführung von Personen auf dem Luftwege ist von den zuständigen Behörden jeweils aufgrund der konkreten Umstände vorzubereiten (<ref-law>). Personen, die auf dem Luftwege zwangsweise rückgeführt werden, müssen zudem durch besonders ausgebildete Personen begleitet sein (<ref-law>). Unter diesen Umständen kann nicht gesagt werden, dass der Beschwerdeführer während der Haft oder (prospektiv) bei seiner Ausschaffung wegen seiner gesundheitlichen Probleme einer unmenschlichen Behandlung ausgesetzt wäre bzw. sein wird. Es liegt an seinem weiteren Verhalten, welche Zwangsmittel während der Ausschaffung konkret einzusetzen sein werden.
2.2.2 Weitere Abklärungen hierzu erübrigen sich derzeit: Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was die Feststellungen der Vorinstanzen bzw. die entsprechenden medizinischen Einschätzungen als offensichtlich unzutreffend erscheinen liesse (vgl. <ref-law>). Aus den Akten ergibt sich, dass dem Beschwerdeführer wiederholt ermöglicht wurde, freiwillig - unter allfälliger Begleitung durch eine medizinische Fachperson - in die Heimat zurückzukehren, was er jedoch abgelehnt hat. Er will entgegen seiner Ausreisepflicht die Schweiz nicht verlassen und hat sich dem Zugriff der Behörden entzogen, sodass er heute zwangsweise mittels Sonderflug ausgeschafft werden muss. Die entsprechenden Konsequenzen hat er zu tragen. Der Flug wird durch medizinisches Fachpersonal begleitet werden, Gegenstand einer unabhängigen Beobachtung bilden, welche den verfassungs- und konventionskonformen Vollzug der Ausschaffung sicherstellt, und im Rahmen des Bundesgesetzes vom 20. März 2008 über die Anwendung polizeilichen Zwangs und polizeilicher Massnahmen im Zuständigkeitsbereich des Bundes (Zwangsanwendungsgesetz [ZAG; SR 364]) erfolgen (vgl. KÜNZLI/KIND, Menschenrechtliche Vorgaben bei der Zwangsausschaffung ausländischer Staatsangehöriger, in: Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht 2010/ 2011, S. 25 ff.; GÖTSCHMANN/PERLER/GUGGER BRUCKDORFER, Umsetzung der Rückführungsrichtlinie in der Schweiz - Aufbau eines Monitoring der zwangsweisen Rückführungen, in: Achermann et al [Hrsg.], a.a.O., S. 117 ff.). Nach dessen Art. 24 muss eine festgehaltene oder transportierte Person durch eine medizinisch geschulte Person überwacht werden, wenn eine ärztliche Beurteilung - wie hier - ergeben hat, dass mit gesundheitlichen Komplikationen zu rechnen ist. Die zwangsweise Rückführung von Personen auf dem Luftwege ist von den zuständigen Behörden jeweils aufgrund der konkreten Umstände vorzubereiten (<ref-law>). Personen, die auf dem Luftwege zwangsweise rückgeführt werden, müssen zudem durch besonders ausgebildete Personen begleitet sein (<ref-law>). Unter diesen Umständen kann nicht gesagt werden, dass der Beschwerdeführer während der Haft oder (prospektiv) bei seiner Ausschaffung wegen seiner gesundheitlichen Probleme einer unmenschlichen Behandlung ausgesetzt wäre bzw. sein wird. Es liegt an seinem weiteren Verhalten, welche Zwangsmittel während der Ausschaffung konkret einzusetzen sein werden.
2.3 2.3.1 Der Beschwerdeführer kritisiert, ihm sei von der Vorinstanz zu Unrecht die unentgeltliche Verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit seiner Eingabe verweigert worden. Der entsprechende Einwand ist berechtigt: Das Bundesgericht hat für die ausländerrechtliche Administrativhaft entschieden, dass wegen der besonderen Situation ausländerrechtlich festgehaltener Personen (Eingriffsschwere, Fähigkeit, sich im Verfahren zu Recht zu finden usw.) im Haftverlängerungsverfahren einem bedürftigen Häftling grundsätzlich der unentgeltliche Rechtsbeistand nicht (mehr) verweigert werden darf, selbst wenn der Fall keine besonderen Schwierigkeiten rechtlicher oder tatsächlicher Natur stellt bzw. klar erscheint; das Erfordernis der fehlenden Aussichtslosigkeit müsse - so die Praxis - bei einem Freiheitsentzug von einer gewissen Intensität bzw. Dauer sachgerecht relativiert und das Kriterium der Erfolgsaussichten differenziert betrachtet werden, um den Anforderungen von Art. 5 Ziff. 4 EMRK an eine faire richterliche Haftprüfung angemessen Rechnung zu tragen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 99 ff.; <ref-ruling> ff., 275 E. 3 S. 276 ff.). Dies hat nicht nur für die erstinstanzliche obligatorische richterliche Haftprüfung zu gelten, sondern auch für ein allfälliges Rechtsmittelverfahren, falls der Betroffene vor dem Haftrichter ohne sein Verschulden nicht bereits anwaltlich vertreten war. Der bedürftige inhaftierte Ausländer hat gestützt auf <ref-law> und Art. 5 Ziff. 4 EMRK (bzw. Art. 13 Abs. 4 der Rückführungsrichtlinie) einen Anspruch darauf, bei der Haftverlängerung losgelöst von den Erfolgsaussichten seiner Argumente mindestens einmal vor einer richterlichen Behörde auf sein Gesuch hin anwaltlich beraten bzw. vertreten zu werden.
2.3.2 Im vorliegenden Fall befand sich der Beschwerdeführer bei der umstrittenen Verlängerung bereits seit sechs Monaten in Haft, ohne dass er in den jeweiligen Verfahren von einer anwaltlichen Verbeiständung hätte profitieren können. Auch bei der (erstinstanzlichen) richterlichen Prüfung durch das Haftgericht des Kantons Solothurn am 5. März 2012 war er nicht anwaltlich vertreten, obwohl das Vertretungsverhältnis der Verfügung des Departements des Innern vom 2. März 2012 entnommen werden konnte. Unter diesen Umständen hätte dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Verbeiständung zumindest für das kantonale Beschwerdeverfahren entsprochen werden müssen, auch wenn sein Fall klar lag und seine Eingabe im Resultat als aussichtslos zu gelten hatte. Aufgrund des angefochtenen kantonalen Urteils war die Beschwerde an das Bundesgericht in der Sache selber ihrerseits aussichtslos; weil der Beschwerdeführer - losgelöst hiervon - im Kanton einen Anspruch auf Verbeiständung vor einer richterlichen Behörde geltend machen konnte, ist seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das vorliegende Verfahren in Anwendung <ref-law> nicht (mehr) zu entsprechen.
3. Die Beschwerde ist somit teilweise gutzuheissen, die Ziffer 3 des Dispositivs (unentgeltliche Verbeiständung) des angefochtenen Urteils aufzuheben und die Sache in diesem Punkt zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen; im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen. Es rechtfertigt sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 2. Satz und <ref-law>). Der Kanton Solothurn hat den Beschwerdeführer im Rahmen von dessen Obsiegen angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer unterliegt, wird sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit der Begehren abgewiesen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und Ziffer 3 des Dispositivs (unentgeltlicher Rechtsbeistand) des angefochtenen Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 30. März 2012 aufgehoben. Die Sache geht diesbezüglich zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. 2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Der Kanton Solothurn hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 600.-- auszurichten.
2.3 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Mai 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar