Art. 9 und <ref-law> (Vollstreckung), hat sich ergeben:
A.- Die vier im Rubrum und nachfolgend als Beschwerdegegner bezeichneten Personen erhoben im Februar 2000 eine Klage gegen den Verein X._ (im Folgenden: Beschwerdeführer).
Am 6. Juli 2000 legten die Parteien ihre vereinsrechtliche Streitigkeit vergleichsweise bei. Der Gerichtspräsident 2 im Kreis W._ genehmigte den Vergleich und schrieb die Verfahren Z 00 183 und Z 00 844 infolgedessen als erledigt vom Protokoll ab.
Am 6. Oktober 2000 entsprach der ausserordentliche Gerichtspräsident im Kreis W._ einem Gesuch der Beschwerdegegner um Vollstreckung des gerichtlichen Vergleichs (Verfahren Z 00 1270). Der Beschwerdeführer erhob dagegen Appellation. Der Appellationshof (II. Zivilkammer) des Kantons Bern trat darauf nicht ein, weil der Appellant nicht nachweise, dass die Hauptsache appellabel war, und insbesondere keinen Einspruch erhoben habe, obwohl dieser eine Appellationsvoraussetzung darstelle (Entscheid vom 9. November 2000, Dossier 418/II/2000).
Am 30. Januar 2001 entsprach der ausserordentliche Gerichtspräsident im Kreis W._ einem weiteren Gesuch der Beschwerdegegner um Vollstreckung; auf deren Begehren, inzwischen gefasste Vereinsbeschlüsse nichtig zu erklären, trat er dabei nicht ein, stellte aber fest, dass der Beschwerdeführer bzw. dessen Vorstandsmitglieder ihre aus dem gerichtlichen Vergleich fliessenden Verpflichtungen nicht erfüllt hätten, und beauftragte eine Drittperson mit der Durchführung der im Vergleich vereinbarten ausserordentlichen Vereinsversammlung (Verfahren Z 00 1721). Gegen diesen Entscheid erhob der Beschwerdeführer Einspruch und legte Appellation ein. Betreffend Nichtigerklärung der inzwischen gefassten Vereinsbeschlüsse ist offenbar ein Verfahren hängig.
B.- Den Einspruch gegen den Vollstreckungsentscheid vom 30. Januar 2001 wies derausserordentliche Gerichtspräsident im Kreis W._ ab (Verfahren Z 01 196). Auf die vom Beschwerdeführer eingereichte Appellation trat der Appellationshof wegen Unzulässigkeit des Rechtsmittels nicht ein (Entscheid vom 8. Mai 2001, Dossier 127/II/2001). Auf die anschliessende staatsrechtliche Beschwerde trat die II. Zivilabteilung mangels Vorschussleistung nicht ein (Urteil vom 30. Juli 2001, 5P.207/2001).
C.- Die Appellation gegen den Vollstreckungsentscheid vom 30. Januar 2001 erklärte der Appellationshof für unzulässig, weil die Hauptsache nicht - weder der Vergleich noch der daraufhin erlassene Abschreibungsbeschluss - appellabel sei.
Er stellte fest, dass Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids (Nichteintreten auf die Anfechtung inzwischen gefasster Vereinsbeschlüsse) in Rechtskraft erwachsen sei (Entscheid vom 8. Mai 2001, Dossier 62/II/2001). Mit staatsrechtlicher Beschwerde wegen Verletzung von <ref-law> (Schutz vor Willkür) und <ref-law> (Verbot formeller Rechtsverweigerung) beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht zur Hauptsache die Aufhebung des Entscheids vom 8. Mai 2001. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Der prozessuale Antrag, die Verfahren gegen die Entscheide des Appellationshofs zu vereinigen, ist gegenstandslos geworden. Der Beschwerdeführer hat die gemäss Präsidialverfügung vom 10. Juli 2001 verlangte Erklärung unterlassen.
Androhungsgemäss hat die II. Zivilabteilung den geleisteten Kostenvorschuss dem vorliegenden Verfahren (5P. 206/2001) zugeordnet und ist auf die staatsrechtliche Beschwerde gegen den Entscheid im Dossier 127/II/2001 mangels Vorschussleistung nicht eingetreten (5P. 207/2001).
Anfechtungsobjekt ist allein der Entscheid des Appellationshofs vom 8. Mai 2001 im Dossier 62/II/2001. Auf die Rügen des Beschwerdeführers gegen den Vollstreckungsentscheid vom 30. Januar 2001 (z.B. S. 6 Ziffer 18) kann mangels Erschöpfung des Instanzenzugs nicht eingetreten werden (Art. 86 f. OG; <ref-ruling> E. 1a S. 258); eine Mitanfechtung ist zudem ausgeschlossen, weil die behaupteten Verletzungen des rechtlichen Gehörs und die Rügen der Willkür in der Rechtsanwendung mit kantonaler Nichtigkeitsklage hätten geltend gemacht werden können und die entsprechenden Nichtigkeitsgründe vom Appellationshof mit keiner engeren Kognition geprüft worden wären, als sie dem Bundesgericht im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde zusteht (Art. 359 Ziffer 3 ZPO: <ref-ruling> Nr. 15; Art. 360 Ziffer 2 ZPO: <ref-ruling> E. 2 S. 422; allgemein: <ref-ruling> E. 1a/aa S. 494). Rügen gegen das erste Vollstreckungsverfahren (z.B. S. 4 Ziffer 11), das mit Appellationsentscheid vom 9. November 2000 abgeschlossen worden ist (Dossier 418/II/00), sind verspätet (Art. 89 Abs. 1 OG). Desgleichen kann die am 28. Februar 2001 neu eingeleitete vereinsrechtliche Streitigkeit betreffend Nichtigerklärung von Vereinsbeschlüssen (vgl. Beschwerde-Beilage 9) nicht in das vorliegende Verfahren einbezogen werden, wie der Beschwerdeführer annimmt (z.B. S. 5 Ziffer 13).
Der ausserordentliche Gerichtspräsident ist auf das Begehren der Beschwerdegegner um Nichtigerklärung von Vereinsbeschlüssen nicht eingetreten, und der Appellationshof hat festgestellt, die entsprechende Dispositiv-Ziffer sei in Rechtskraft erwachsen. Durch den Entscheid zum Nachteil der Beschwerdegegner ist der Beschwerdeführer nicht beschwert (Art. 88 OG; <ref-ruling> E. 2a S. 121), so dass die augenscheinlich auf die Feststellung der Rechtskraft abzielenden Rügen unzulässig sind (z.B. S. 7 Ziffer 19).
2.- In der Sache rügt der Beschwerdeführer eine formelle Rechtsverweigerung unter mehreren Titeln: Einerseits genüge der angefochtene Entscheid den verfassungsmässigen Minimalanforderungen an die Begründung nicht und andererseits liege eine formelle Rechtsverweigerung (i.e.S.) darin, dass der Appellationshof einen Nichteintretensentscheid gefällt habe, statt den vor ihm angefochtenen Vollstreckungsentscheid zu prüfen. Der Appellationsentscheid sei zudem willkürlich, weil er ohne gesetzliche Grundlage gefällt worden sei, und die Trennung in einen "Vollstreckungsteil" und einen "Einspracheteil", obwohl eine vollumfängliche Anfechtung und Neubeurteilung erkennbar gewollt gewesen sei, erweise sich als überspitzt formalistisch (z.B. S. 6 f. Ziffern 17 und 19-21).
a) Gemäss der Begründung im angefochtenen Entscheid (E. 5 S. 3 f.) hat die Rechtsmittelordnung ihre gesetzliche Grundlage in <ref-law>. Danach entscheidet der Vollstreckungsrichter im summarischen Verfahren endgültig über alle in der Vollstreckung sich ergebenden Streitigkeiten und bestimmt die Höhe des gemäss den nachfolgenden Artikeln verlangten Schadenersatzes (Satz 1); eine Appellation ist nur zulässig, wenn gegen die Vollstreckung selbst nach Art. 409 Einspruch erhoben wird und die Hauptsache appellabel war oder wenn der streitige Schadenersatz den Betrag von Fr. 8'000.-- erreicht (Satz 2). Da Schadenersatz nicht in Frage steht, war die Zulässigkeit der Appellation nach der ersten Variante zu prüfen. Diese scheidet aus, weil die Hauptsache nicht appellabel ist, und zwar gemäss Verweis auf die Kommentatoren deswegen, weil der Vergleich den Verzicht auf jedes Rechtsmittel einschliesst (Leuch/Marbach/Kellerhals/Sterchi, Die Zivilprozessordnung für den Kanton Bern, 5.A. Bern 2000, N. 3b zu <ref-law>). An der Unzulässigkeit wegen fehlender Appellabilität in der Hauptsache ändert die Erhebung des Einspruchs nach <ref-law> nichts, weil gemäss klarem Gesetzeswortlaut die Zulässigkeit der Appellation eine appellable Hauptsache und die Erhebung des Einspruchs kumulativ voraussetzt (vgl. den zit. Kommentar, N. 6a zu <ref-law>).
b) Die Begründung des Appellationsentscheids ist so abgefasst, dass der Beschwerdeführer wie auch das Bundesgericht als Rechtsmittelinstanz sich über dessen Tragweite ein Bild machen können; der Appellationshof hat die Überlegungen genannt, von denen er sich hat leiten lassen und auf denen sein Entscheid beruht. Dieser erfüllt die verfassungsmässigen Minimalanforderungen an die Begründung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2b S. 102). Der angefochtene Entscheid wird inhaltlich durch die angeführten Kommentarstellen gestützt und erscheint deshalb von vornherein nicht als willkürlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3a S. 234; allgemein: <ref-ruling> E. 2b S. 56 und 60 E. 5a S. 70). Ist der Appellationshof unter diesem Blickwinkel zu Recht auf die Appellation nicht eingetreten, kann ihm auch keine formelle Rechtsverweigerung (i.e.S.) vorgehalten werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2a S. 441).
c) Schliesslich liegt kein Verstoss gegen das Verbot des überspitzten Formalismus darin, dass Gesuchs- und Einspruchsverfahren getrennt worden sind. Vollstreckungsgesuch (<ref-law>) und Einspruch des Gesuchsgegners gegen die Vollstreckung (Art. 409-413 ZPO) sind gesetzlich als voneinander getrennte Verfahren ausgestaltet; sie werden in der Regel aus prozessökonomischen Gründen in einem Verfahren verbunden (Leuch/Marbach/Kellerhals/Sterchi, N. 3a zu Art. 402 und N. 1 zu <ref-law>). Eine derartige Vereinigung ist hier nicht möglich gewesen, weil der Beschwerdeführer erst nach Erledigung des Vollstreckungsverfahrens dem Gericht am 31. Januar 2001 mitgeteilt hat, seine Eingabe sei als Einspruch entgegen zu nehmen (act. 42, Verfahren Z 00 1721).
Nach dem Entscheid über das Vollstreckungsgesuch ist die Voraussetzung nicht mehr gegeben, "dass sich das Einspruchsverfahren mit dem eigentlichen Vollstreckungsverfahren verbinden lässt und sich alsdann innerhalb des eigentlichen Vollstreckungsverfahren abspielen kann" (ZBJV 76/1940 S. 455); denn zu verbindende Verfahren müssen zumindest gleichzeitig vor demselben Gericht rechtshängig sein (vgl. dazu Leuch/Marbach/ Kellerhals/Sterchi, N. 3a und N. 5a zu <ref-law>; Kraft, Die gerichtliche Trennung und Vereinigung von Prozessen im zürcherischen Zivilprozess, Diss. Zürich 1959, S. 76 f.). Die Durchführung zweier Verfahren gründet somit nicht in einer verfassungswidrigen Formstrenge (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2a/bb S. 34), sondern hat ihre Ursache im Prozessverhalten des Beschwerdeführers selbst, der erst nach Abschluss des Gesuchsverfahrens (Z 00 1721) Einspruch erhoben hat, so dass ein getrenntes Einspruchsverfahren gemäss Art. 409 ff.
ZPO eröffnet werden musste (Z 01 196).
3.- Die staatsrechtliche Beschwerde bleibt aus den dargelegten Gründen ohne Erfolg. Der Beschwerdeführer wird kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'200.-- für das Verfahren 5P.206/2001 wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationshof (II. Zivilkammer) des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 27. August 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: