Sachverhalt:
A.
K._ bezieht seit Jahren Ergänzungsleistungen (EL), zuerst zur Invalidenrente der Invalidenversicherung, dann zur Altersrente der AHV. Am 19. April 2011 verfügte die Gemeinde X._, Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV, einen Auszahlungsstopp ab dem folgenden Monat wegen unklarer Wohnsituation des Bezügers, was sie mit Einspracheentscheid vom 30. Juni 2011 bestätigte.
B.
Die Beschwerde des K._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. März 2013 ab.
C.
K._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den hauptsächlichen Rechtsbegehren, Gerichtsentscheid und Einspracheentscheid seien aufzuheben, und es seien bei der Berechnung der Höhe der Zusatzleistungen zur AHV ab dem 1. Mai 2011 anerkannte Ausgaben für den Mietzins einer Wohnung und die damit zusammenhängenden Nebenkosten in der Höhe des gesetzlichen Maximalbetrags für alleinstehende Personen zu berücksichtigen; eventualiter sei die Sache an die Durchführungsstelle zur Abklärung und zum Erlass einer neuen Verfügung zurückzuweisen.
Das kantonale Sozialversicherungsgericht und die Gemeinde X._ verzichten auf eine Vernehmlassung, desgleichen das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV).
K._ hat Unterlagen zum Beleg seiner Bedürftigkeit als Voraussetzung für die beantragte unentgeltliche Rechtspflege eingereicht.
D.
Die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat am 10. Dezember 2013 eine publikumsöffentliche Beratung durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Anknüpfungspunkt für die örtliche Zuständigkeit zur Prüfung der Anspruchsberechtigung sowie die Berechnung und Auszahlung der Ergänzungsleistungen ist der Wohnsitz und der gewöhnliche Aufenthalt (Art. 4 Abs. 1 i.V.m. Art. 21 Abs. 1 ELG, §§ 2 ff. des zürcherischen Gesetzes vom 7. Februar 1971 über die Zusatzleistungen zur eidgenössischen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung [Zusatzleistungsgesetz; ZLG]; OS 831.3). Ihren gewöhnlichen Aufenthalt hat eine Person an dem Ort, an dem sie während längerer Zeit lebt, selbst wenn diese Zeit zum Vornherein befristet ist (<ref-law>). Niemand kann an mehreren Orten zugleich seinen Wohnsitz haben (<ref-law>). Der einmal begründete Wohnsitz einer Person bleibt bestehen bis zum Erwerbe eines neuen Wohnsitzes (<ref-law>).
Das kantonale Gericht hat offengelassen, ob der Beschwerdeführer ab 1. Mai 2011 nach wie vor Wohnsitz in der Gemeinde X._ hatte, da ihm auch bei Bejahung der Frage keine Mietzinsausgaben nach Art. 10 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 ELG anzurechnen wären. Trifft das zu, resultiert nach unbestrittener Feststellung der Vorinstanz kein Ausgabenüberschuss und folglich kein Anspruch auf Zusatzleistungen (Art. 9 Abs. 1 ELG).
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1 und Art. 61 lit. c ATSG) in Bezug auf seine Wohnsituation. U.a. bringt er wie schon vor der Vorinstanz vor, er wohne bei seiner Lebenspartnerin in deren Einfamilienhaus in X._; wegen deren laufender Scheidung sei dies jedoch nur während vier Tagen in der Woche möglich. Die restlichen drei Tage lebe er in seiner Wohnung in dem im Kanton Aargau gelegenen Y._.
3.
Nach Art. 10 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 ELG werden bei alleinstehenden Personen der Mietzins einer Wohnung und die damit zusammenhängenden Nebenkosten bis zum jährlichen Höchstbetrag von 13'200 Franken als Ausgabe anerkannt.
3.1. Die Vorinstanz hat zur Begründung, weshalb selbst bei (nachgewiesenem) Wohnsitz in der Gemeinde X._ eine Anrechnung von Mietzinsausgaben für das Wohnen im Einfamilienhaus der Lebenspartnerin ausser Betracht fällt, ausgeführt, von wenigen hier nicht interessierenden Ausnahmen bezüglich Anrechnung von Eigenmietwerten abgesehen sei der Nachweis zu erbringen, dass diese Ausgaben auch tatsächlich getätigt worden seien. Der Beschwerdeführer stelle nicht in Abrede, dass ihm in der Gemeinde X._ unter keinem Titel Wohnkosten entstünden bzw. entstanden seien. Insoweit er unentgeltlich habe wohnen können, wären ihm hierfür im Rahmen von Einnahmen die entsprechenden (Natural-) Zuwendungen im Sinne von anderen wiederkehrenden Leistungen (Art. 11 Abs. 1 lit. d ELG) als Einnahmen anzurechnen gewesen, da es sich dabei weder um Verwandtenunterstützung nach Art. 11 Abs. 3 lit. a ELG i.V.m. <ref-law> noch um private Leistungen mit ausgesprochenem Fürsorgecharakter gemäss Art. 11 Abs. 3 lit. c ELG gehandelt habe. Der Beschwerdeführer mache geltend, das Haus seiner Lebensgefährtin sei ein Objekt mit sehr hohem Eigenmietwert, das er hälftig mitbenutze. Die ihm daraus anzurechnende Naturalzuwendung des entgeltfreien Wohnens würde sogar den in Art. 10 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 ELG angegebenen maximalen Mietzinsabzug bei alleinstehenden Personen von Fr. 13'200.- übersteigen.
3.2. Der Beschwerdeführer bringt wie schon im kantonalen Verfahren vor, das Haus seiner Lebenspartnerin stehe in deren Eigentum. Somit sei ihm nach der Rechtsprechung (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts P 42/06 vom 2. November 2006 E. 5.1.1 und 5.1.2) der anteilige Eigenmietwert als Mietzinsausgabe anzurechnen. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz handle es sich im Übrigen beim unentgeltlichen Wohnen bei der Lebenspartnerin in der Gemeinde X._ um eine nach Art. 11 Abs. 3 lit. c ELG nicht anrechenbare private Leistung mit ausgesprochenem Fürsorgecharakter, jedenfalls soweit diese finanzielle Unterstützung seine Hilfeleistungen in Form von Arbeit im Haushalt und im Garten übersteige. Schliesslich begründe die Vorinstanz nicht, auf Grund welchen Sachverhalts das unentgeltliche Wohnen in der Gemeinde X._ bei den Einnahmen als wiederkehrende Leistungen im Sinne von Art. 11 Abs. 1 lit. d ELG anzurechnen wäre.
3.3.
3.3.1. Im erwähnten Fall P 42/06 hatte der (entmündigte) EL-Bezüger mit seiner Mutter zusammen gewohnt. Diese hatte an der Wohnliegenschaft ein Nutzniessungsrecht. Dem Sohn waren in der EL-Berechnung bei den anerkannten Ausgaben Bruttomietzinsen angerechnet worden, obschon er effektiv keine Miete bezahlte und ohne dass es darauf angekommen wäre, ob in diesem Verzicht der Mutter private Leistungen mit ausgesprochenem Fürsorgecharakter im Sinne von Art. 3c Abs. 2 lit. c aELG (heute: Art. 11 Abs. 3 lit. c ELG) zu erblicken waren. Mangels einer gesetzlichen Unterhaltspflicht der Mutter war die Unentgeltlichkeit des Wohnens auch nicht bei den Einnahmen nach Art. 3c Abs. 1 aELG (heute: Art. 11 Abs. 1 ELG) in Anschlag zu bringen (E. 5.1.1). Im Sinne dieser Rechtsprechung sieht Rz. 3237.02 der Wegleitung des BSV über die Ergänzungsleistungen zur AHV und IV (WEL, in der ab 1. April 2011 gültigen Fassung) vor, dass eine Mietzinsausgabe auch in Fällen anzuerkennen ist, in denen versicherte Personen bei nahen Verwandten zu einem Vorzugspreis oder unentgeltlich wohnen können.
Im Unterschied zu dem im Urteil P 42/06 vom 2. November 2006 beurteilten Sachverhalt und zu dem in Rz. 3237.02 WEL geregelten (zweiten) Tatbestand besteht zwischen dem Beschwerdeführer und seiner Lebenspartnerin keine (enge) verwandtschaftliche Beziehung.
3.3.2. Die Vorinstanz hat den ausgesprochenen Fürsorgecharakter der Unentgeltlichkeit des Wohnens bei der Lebenspartnerin im Sinne von Art. 11 Abs. 3 lit. c ELG verneint, ohne diesbezügliche Tatsachenfeststellungen zu treffen. Ob sie damit Bundesrecht verletzt hat, wie der Beschwerdeführer sinngemäss rügt, kann offenbleiben. Nach der auch in der Beschwerde erwähnten Rechtsprechung haben nur diejenigen Leistungen ausgesprochenen Fürsorgecharakter, die freiwillig und auf Zusehen hin gewährt werden und jedes Mal oder zumindest periodisch der Hilfsbedürftigkeit des Bezügers angepasst werden (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts P 60/01 vom 7. August 2002 E. 1 mit Hinweisen; ZAK 1986 S. 67, P 4/84 E. 2a). Diese Voraussetzung ist mit Bezug auf den Umstand, dass der Beschwerdeführer seiner Lebenspartnerin keine Miete bezahlen muss, nicht gegeben. Weder die von ihm erwähnten Präjudizien des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen noch die zitierte Lehrmeinung (Ralph Jöhl, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, SBVR/Band XIV, 2. Aufl. 2007, S. 1702) geben zu einer anderen Betrachtungsweise Anlass.
3.3.3. Wird - nach dem bisher Gesagten trotzdem - eine Mietzinsausgabe für das Wohnen im Einfamilienhaus der Lebenspartnerin angerechnet, ist im Gegenzug deren Verzicht auf Bezahlung eines Entgelts als "andere wiederkehrende Leistungen" im Sinne von Art. 11 Abs. 1 lit. d ELG zu berücksichtigen (vgl. auch SVR 2010 EL Nr. 1 S. 1, 9C_202/2009 E. 3.2 und 5.1, wonach bei einem dinglichen oder obligatorischen Nutzniessungs- und Wohnrecht von Einkünften aus unbeweglichem Vermögen nach Art. 11 Abs. 1 lit. b ELG auszugehen ist). Grundsätzlich ist daraus, dass die Aufzählung der Tatbestände nicht anrechenbarer Einnahmen in Art. 11 Abs. 3 lit. a-f ELG abschliessend ist (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts P 60/01 vom 7. August 2002 E. 1 mit Hinweisen), zu folgern, dass alle übrigen Leistungen Dritter, die einen substanziellen Beitrag, nicht notwendigerweise in Form finanzieller Mittel, an die Bestreitung der Lebenshaltungskosten der EL-ansprechenden oder -beziehenden Person darstellen, zu berücksichtigen sind, es sei denn, sie lassen sich keinem der in Art. 11 Abs. 1 lit. a-h ELG geregelten Sachverhalte zuordnen. Dies entspricht auch Sinn und Zweck der Ergänzungsleistungen, nämlich der angemessenen Deckung des Existenzbedarfs bedürftiger Rentner der Alters- und Hinterlassenen- sowie der Invalidenversicherung (<ref-ruling> E. 5.2.3 S. 268; SVR 2011 EL Nr. 4 S. 11, 9C_329/2010 E. 3.1). Dementsprechend sind nach Rz. 3455.01 WEL grundsätzlich alle wiederkehrenden Leistungen, die nicht unter Art. 11 Abs. 3 ELG fallen, vollumfänglich als Einnahmen anzurechnen, gleichgültig, ob es sich um Geld- oder um Naturalleistungen handelt. Darunter fällt auch der (regelmässige) Verzicht des Vermieters bzw. Eigentümers einer Wohnung oder eines Hauses auf die Bezahlung eines Entgelts (Miete) für die Benützung der Liegenschaft, insbesondere fürs Wohnen. Dabei ist in betraglicher Hinsicht der im Wohnsitzkanton geltende (ungekürzte) steuerrechtliche Mietwert massgebend (vgl. Art. 12 Abs. 1 ELV und <ref-ruling>).
Gemäss Beschwerdeführer ist davon auszugehen, dass die - ihm als Einnahme anzurechnende - Hälfte des Mietwerts der Wohnliegenschaft seiner Lebenspartnerin (Art. 16c ELV; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts P 42/06 vom 2. November 2006 E. 5.1.2 mit Hinweisen) den maximal zulässigen Mietzinsabzug von Fr. 13'200.- nach Art. 10 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 ELG übersteigt. Verhält es sich so, resultierte womöglich selbst bei einer nur anteilsmässigen Anrechnung (Hälfte des Mietwerts, davon 4/7 entsprechend 4 von 7 Wochentagen) kein Ausgabenüberschuss, wenn ausschliesslich das wöchentlich zeitweilige Wohnen in X._ bei der Partnerin in die EL-Berechnung miteinbezogen würde.
4.
4.1. In Bezug auf das Domizil in Y._, wo der Beschwerdeführer wohnt, wenn er sich nicht bei seiner Lebenspartnerin in X._ aufhält, wird im angefochtenen Entscheid zutreffend die Gerichts- und Verwaltungspraxis erwähnt, wonach Mietzinsen für eine zweite Wohnung an einem anderen Ort im Rahmen des gesetzlichen Höchstbetrages nur dann abzugsfähig sind, wenn sie für die betreffende Person aus beruflichen oder gesundheitlichen Gründen unentbehrlich ist (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts P 72/03 vom 2. März 2005 E. 4.2 mit Hinweisen; Rz. 3231.02 WEL). Dies trifft auf den geltend gemachten laufenden Scheidungsprozess seiner Lebenspartnerin als Grund dafür, dass er nicht die ganze Zeit mit ihr zusammen wohnen könne, offensichtlich nicht zu. Zudem kann gemäss Vorinstanz nicht davon gesprochen werden, die Wohnung in Y._ sei zur Erzielung eines Erwerbseinkommens notwendig gewesen. Soweit im Übrigen der Beschwerdeführer neu vorbringt, er habe in der Gemeinde X._ zum EL-Mietzinsmaximum keine Wohnung finden können, tut er nicht dar, inwiefern die behauptete Tatsache erst durch den vorinstanzlichen Entscheid rechtswesentlich geworden ist (<ref-law>; SVR 2011 EL Nr. 6 S. 17, 9C_972/2009 E. 4.2; Urteil 5A_79/2008 vom 6. August 2008 E. 2.5).
4.2. Der Beschwerdeführer wohnt, wie er darlegt, von Donnerstag Abend bis Montag Mittag bei seiner Lebenspartnerin in X._; dies - unbestrittenermassen - kostenlos. Ab Montag Mittag bis Donnerstag Abend hält er sich nach seinen Angaben in Y._/AG auf, wo er über eine Büro-Wohnung verfügt. Die diesbezüglichen Kosten belaufen sich, inkl. Nebenkosten, auf 1'400 Franken pro Monat.
Aus den Akten erhellt, dass der Beschwerdeführer verschiedene Versionen vorgetragen hat, weshalb er der Büro-Wohnung in Y._ bedarf. Das kantonale Gericht hat die verschiedenen Vorbringen nur teilweise wiedergegeben. Insbesondere fehlt eine Würdigung der geltend gemachten Gründe, was eine Tatfrage ist. Insoweit ist der Sachverhalt vom Bundesgericht gestützt auf <ref-law> zu ergänzen:
4.2.1. In seinem Schreiben vom 28. Dezember 2009 an die Gemeinde X._ hielt der Beschwerdeführer fest, dass er aus Kostengründen von Montagmittag bis Donnerstagabend sein Büro mit Wohngelegenheit (von Z._) nach Y._ habe verlegen müssen, um seine gewonnenen und zukünftigen Kunden in dieser Region zu bearbeiten. Von Donnerstagabend bis Montagmittag bearbeite er wie bisher zukünftige Kunden in Zürich und lebe bei seiner Lebenspartnerin in der Gemeinde X._. Da diese mit einer Scheidung belastet sei, möchte der Anwalt, dass er auf eine Adressänderung verzichte. Der Beschwerdeführer war denn auch 2012 immer noch an der Strasse A._, ebenfalls Gemeinde X._, angemeldet. In einem (ersten) Schreiben vom 18. Januar 2010 wiederholte er, dass er die Wohnung in Y._ aus Kostengründen für seine berufliche Tätigkeit und zu Wohnzwecken für den kürzeren Arbeitsweg zu seinen zukünftigen Kunden in der Zentralschweiz gemietet habe. In einem zweiten Schreiben vom 18. Januar 2010 betonte er nochmals, dass er seinen Arbeitsplatz nach Y._ verlegt habe, um seine Arbeitszeit zu verkürzen. Nur diese Lösung ermögliche ihm, seine Tätigkeit in den aufgeführten Kantonen nebst Zürich nachzugehen. Nach Erlass der (negativen) Verfügung vom 19. April 2011 gelangte er am 9. Mai 2011 an die Gemeinde X._, um ihr zu sagen, dass er sich wegen der laufenden Scheidung seiner Lebenspartnerin an der dortigen Adresse nicht anmelden könne. Er verbringe seine Zeit von Donnerstagnachmittag bis Montagmittag sowie sämtliche Feiertage und Ferien mit wenigen Ausnahmen bei dieser. Im Weiteren liess er die Gemeinde X._ - mittels eines Schreibens der S._ vom 30. Mai 2011 - wissen, dass er die Wohnung in Y._ benötige, um für den Rest der geschäftlichen Aufbauphase näher bei den zukünftigen Kunden zu sein. Am 4. Juni 2011 teilte der Beschwerdeführer mit, dass er die Räume im Kanton Aargau nur für den Aufbau seiner Programme gemietet habe. In der Beschwerde an das kantonale Sozialversicherungsgericht vom 23. August 2011 führte er ebenfalls aus, dass er sich aus geschäftsstrategischen Gründen in Y._ aufhalte und die Ergänzungsleistungen für die dortige Miete benötige. Mit Schreiben vom 21. September 2012 - nunmehr rechtlich vertreten - wurde erstmals geltend gemacht, der Anwalt der Lebenspartnerin habe davon abgeraten, während des Scheidungsverfahrens die ganze Woche bei dieser zu wohnen. In der vorinstanzlichen Eingabe vom 18. Oktober 2012 wurde nochmals darauf hingewiesen, dass der Beschwerdeführer wegen der laufenden Scheidung der Lebenspartnerin nur an vier Tagen in der Woche bei dieser wohnen könne.
4.2.2. Dem Gesagten lässt sich entnehmen, dass Y._ in erster Linie der Geschäftstätigkeit des Beschwerdeführers dient. Indes kann, wie die Vorinstanz richtig erwogen hat, nicht davon gesprochen werden, dass diese Wohnung zur Erzielung eines Erwerbseinkommens notwendig war. Dass die Wohnung notwendig ist, weil der Beschwerdeführer nur vier Tage bei der Lebenspartnerin wohnen kann, ist unglaubwürdig. Solches wurde erst im Verlaufe des vorinstanzlichen Verfahrens ins Spiel gebracht. Anfänglich war nie von (teilweiser) "materieller (Wohn-) Unmöglichkeit" bei der Lebenspartnerin die Rede, sondern bloss davon, sich an der dortigen Adresse nicht anmelden zu können. Mit anderen Worten sollte über den Akt des Wohnens bei der Lebenspartnerin nicht offiziell "informiert" werden, worauf der Beschwerdeführer denn auch verzichtete; so blieb er an der Strasse A._ angemeldet. Der Akt des Wohnens selber wurde jedoch nicht relativiert. Bei sich widersprechenden Angaben der versicherten Person ist auf die Beweismaxime hinzuweisen, wonach die sogenannten spontanen "Aussagen der ersten Stunde" in der Regel unbefangener und zuverlässiger sind als spätere Darstellungen, die bewusst oder unbewusst von nachträglichen Überlegungen versicherungsrechtlicher Art beeinflusst sein können (<ref-ruling> E. 2a S. 47). Dies gilt hier umso mehr, als nicht einleuchtet, weshalb sich die "materielle (Wohn-) Unmöglichkeit" just auf drei Tage beläuft, in welchem Umfang der Beschwerdeführer seinen Geschäften im Kanton Aargau nachgeht, sämtliche Feiertage und Ferien er aber wiederum bei seiner Lebenspartnerin verbringt. Insgesamt erscheint die "materielle (Wohn-) Unmöglichkeit" als vorgeschoben, zumal der Beschwerdeführer auch zu keinem Zeitpunkt die Hintergründe des scheidungstaktischen Verhaltens dargelegt hat.
Mithin kann die Wohnung in Y._ nicht als Ausgabe berücksichtigt werden, und zwar auch nicht unter dem Titel der Austauschbefugnis (vgl. SVR 2011 EL Nr. 1 S. 1, 9C_36/2010 E. 4.1 und 4.2 mit Hinweisen), wie die Vorinstanz - im Ergebnis - richtig erkannt hat.
5.
Verletzt nach dem Gesagten der vorinstanzliche Entscheid kein Bundesrecht, ist auch der Antrag auf Zusprechung einer Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren abzuweisen.
6.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten ist umständehalber zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Dezember 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Fessler