Sachverhalt:
A. Am 17. März 2008 erstattete X._ Anzeige gegen A._ wegen Tierquälerei. Mit Eingabe vom 20. Mai 2008 stellte er zudem Strafantrag wegen Drohung und mehrfacher übler Nachrede. Mit Strafbefehl vom 11. Mai 2009 verurteilte das Bezirksamt Baden A._ wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Tierschutzgesetz, mehrfacher Drohung und mehrfacher übler Nachrede.
B. Mit Schreiben vom 15. Mai 2009 ersuchte X._ das Bezirksamt Baden um Zustellung der seit dem 26. November 2008 eingegangenen Verfahrensakten. Diese wurden ihm in der Folge zugesandt. Mit Schreiben vom 3. Juni 2009 machte er das Bezirksamt Baden darauf aufmerksam, dass die Verteidigerakten von A._ fehlten und ersuchte um deren Nachsendung. Mit Schreiben vom 30. Juli 2009 teilte das Bezirksamt Baden X._ mit, dass die erbetenen Akten nicht mehr auffindbar seien.
C. Am 25. September 2009 erhob X._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau mit dem Antrag, das Bezirksamt Baden sei anzuweisen, die Verteidigerakten von A._ nachzureichen. Der Präsident der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts retournierte die Eingabe mit dem Hinweis, auf die Beschwerde könne voraussichtlich nicht eingetreten werden. Für eine allfällige Rechtsverweigerungsanzeige sei das Departement Volkswirtschaft und Inneres (DVI), Abteilung Strafrecht, als Aufsichtsinstanz zuständig.
Am 13. Oktober 2009 reichte X._ erneut Beschwerde an das Obergericht ein. Dieses trat am 2. Dezember 2009 auf das Rechtsmittel nicht ein.
D. Am 19. März 2010 wies das Bundesgericht die gegen den Nichteintretensentscheid des Obergerichts erhobene Beschwerde von X._ ab, soweit es darauf eintrat (1B_370/2009). Das Bundesgericht ging davon aus, die Rechtsweggarantie gemäss Art. 6 EMRK und <ref-law> sei nicht verletzt, weil der Beschwerdeführer die Möglichkeit habe, den Entscheid des DVI an ein kantonales Gericht weiterzuziehen. Auf die Beurteilung durch eine richterliche Behörde habe er gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> Anspruch (E. 2).
E. Am 31. März 2010 erhob X._, vertreten durch Rechtsanwalt Rempfler, Beschwerde beim DVI und beantragte, das Bezirksamt sei anzuweisen, ihm alle Verteidigerakten im abgeschlossenen Strafverfahren gegen A._ zuzustellen.
Mit Verfügung vom 12. April 2010 überwies das DVI die Beschwerde als Aufsichtsbeschwerde an den ersten Staatsanwalt. Dieser beauftragte das Bezirksamt Baden, die Akten zu rekonstruieren und sie X._ zuzustellen. Daraufhin teilte der erste Staatsanwalt X._ und dessen Vertreter mit Schreiben vom 30. April 2010 mit, das Aufsichtsverfahren sei erledigt und werde ohne Kostenfolgen abgeschrieben.
Dagegen wandte sich X._ am 5. Mai 2010 an das DVI. Er forderte einen formellen Beschwerdeentscheid und die Verteilung der Kosten.
Am 10. Mai 2010 teilte die Abteilung Strafrecht des DVI X._ und seinem Vertreter mit, im Rahmen eines Aufsichtsverfahrens habe der private Anzeigesteller keine Parteistellung. Daher werde die Behandlung einer Aufsichtsanzeige nicht mit einem formellen Entscheid abgeschlossen und auch keine Parteientschädigung ausgerichtet.
F. Am 14. Mai 2010 erhob X._, vertreten durch Rechtsanwalt Rempfler, Beschwerde ans Verwaltungsgericht. Er beantragte, das DVI sei anzuweisen, das mit Verwaltungsbeschwerde vom 31. März 2010 anhängig gemachte Verwaltungsverfahren mit einem formellen Entscheid inklusive Kostenverlegung abzuschliessen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des DVI. Am 29. November 2010 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
G. Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid hat X._ am 18. Februar 2011 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass das DVI das Verbot der Rechtsverweigerung verletzt habe. Der Kanton Aargau sei zu verpflichten, ihm eine Parteikostenentschädigung von Fr. 1'511.80 zu bezahlen und die Gerichtsgebühren auf die Staatskasse zu nehmen. Eventualiter sei die Sache an das Verwaltungsgericht zur Gutheissung der Rechtsverweigerungsbeschwerde zurückzuweisen.
H. Das Verwaltungsgericht und das DVI haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Auch das Bezirksamt Baden hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid des Verwaltungsgerichts in einem Verfahren betreffend die Einsichtnahme in Akten eines abgeschlossenen Strafverfahrens. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 82 f. mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe Anspruch auf eine Parteientschädigung für das verwaltungsgerichtliche Verfahren sowie auf die formelle Feststellung der Verletzung des Rechtsverweigerungsverbots im Urteilsdispositiv. Insoweit hat er ein aktuelles und schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids und ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Ob diese Ansprüche bestehen, ist eine Frage der Begründetheit der Beschwerde.
2. Das Verwaltungsgericht ging davon aus, dass gemäss § 10 des Aargauer Gesetzes über die Strafrechtspflege vom 11. November 1958 (in der Fassung vom 18. März 2008) eigentlich das Obergericht für Beschwerden gegen die Versagung der Akteneinsicht zuständig gewesen wäre (E. I.3.4 des angefochtenen Entscheids), und das Verwaltungsgericht auf eine Beschwerde gegen einen Aufsichtsentscheid des DVI grundsätzlich nicht eintreten könne. Allerdings sei das Obergericht auf die Beschwerde von X._ nicht eingetreten. Das Bundesgericht habe im Beschwerdeverfahren gegen diesen Nichteintretensentscheid festgestellt, dass der Beschwerdeführer Anspruch auf gerichtliche Beurteilung habe, soweit er eine formelle Rechtsverweigerung behaupte. Das Verwaltungsgericht trat deshalb auf die Rügen der Verletzung der Rechtsweggarantie (<ref-law>) und der Rechtsverweigerung (<ref-law>) ein (E. I.4.2 und I.4.3 des angefochtenen Entscheids).
Es ging davon aus, das DVI habe, gestützt auf die Erwägungen des Bundesgerichts, über das Akteneinsichtsgesuch des Beschwerdeführers entscheiden müssen; dieser Entscheid wäre gemäss § 26 Abs. 1 des Aargauer Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 4. Dezember 2007 (VRPG) als solcher zu bezeichnen und mit einer Rechtsmittelbelehrung zu eröffnen gewesen. Soweit der Beschwerdeführer den fehlenden formellen Entscheid beanstande, sei seine Rüge somit begründet. Allerdings seien die fehlenden Verteidigerakten dem Beschwerdeführer während des Verfahrens vor dem DVI zugestellt worden und sein Begehren dadurch gegenstandslos geworden. Insoweit hätte das DVI das Verfahren infolge Gegenstandslosigkeit förmlich abschreiben müssen (E. II.2.1 S. 8/9 des angefochtenen Entscheids).
Dagegen erachtete das Verwaltungsgericht die Beschwerde als unbegründet, soweit der Beschwerdeführer eine Parteientschädigung für das Verfahren vor DIV verlange (E. II.2.2 des angefochtenen Entscheids). Dieses habe als erstinstanzliche Verwaltungsbehörde gehandelt. In erster Instanz würden keine Verfahrenskosten erhoben und keine Parteikosten ersetzt (§ 31 Abs. 1 und § 32 Abs. 1 VRPG). Gleiches gelte für das Aufsichtsverfahren gemäss § 38 Abs. 3 VRPG. <ref-law> begründe keinen Anspruch auf einen Ersatz von Partei- und Vertretungskosten.
Das Verwaltungsgericht verzichtete auf eine Rückweisung der Sache an das DVI zur korrekten formellen Erledigung des Justizverwaltungsakts, weil dies zu einem prozessualen Leerlauf führen würde: Das DVI müsste mit der Rückweisung angewiesen werden, in einem förmlichen Prozessentscheid das Akteneinsichtsgesuch abzuschreiben und über die Verfahrenskosten in Anwendung von §§ 31 und 32 VRPG zu entscheiden; dies würde im Ergebnis nichts ändern (E. II.2.3 des angefochtenen Entscheids). Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde daher ab, auferlegte dem Beschwerdeführer die Gerichtskosten und sprach diesem keine Parteientschädigung zu.
3. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, er habe gestützt auf die Rechtsweggarantie von <ref-law> i.Vm. <ref-law> und Art. 6 EMRK Anspruch auf einen formellen, anfechtbaren Entscheid des DVI gehabt. Nachdem das Verwaltungsgericht die Rüge des Beschwerdeführers, wonach das DVI zu Unrecht einen anfechtbaren Entscheid verweigert habe, für begründet erachtet habe, hätte es die Beschwerde nicht abweisen und dem Beschwerdeführer nicht die Kosten auferlegen dürfen. Wenn das Verwaltungsgericht zur Vermeidung eines prozessualen Leerlaufs auf eine Rückweisung an das DVI verzichten wollte, so hätte es die Verletzung des Rechtsverweigerungsverbot zumindest im Urteilsdispositiv festhalten und die dem Beschwerdeführer im Verfahren vor Verwaltungsgericht angefallenen Anwaltskosten dem Kanton Aargau auferlegen müssen. Indem das Verwaltungsgericht von einer derartigen Feststellung und Prozesskostenverlegung abgesehen habe, habe es erneut eine Rechtsverweigerung begangen.
4. Zunächst ist festzuhalten, dass der Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren keine Parteientschädigung mehr für das Verfahren vor dem DVI geltend macht, sondern nur noch den Ersatz seiner Anwaltskosten im verwaltungsgerichtlichen Verfahren (in Höhe von Fr. 1'511.80) verlangt
Ferner steht nach dem Entscheid des Verwaltungsgerichts fest, dass das Verfahren vor DVI mit einem formellen Abschreibungsbeschluss hätte abgeschlossen werden müssen. Der Beschwerdeführer beharrt auch nicht mehr auf eine Rückweisung an das DVI zum Erlass eines solchen Abschreibungsbeschlusses. Er ist jedoch der Auffassung, das Verwaltungsgericht hätte die Rechtsverweigerung durch das DVI im Urteilsdispositiv feststellen müssen. Dementsprechend beantragt er eine solche Feststellung im Urteilsdispositiv des Bundesgerichts bzw. die Rückweisung an das Verwaltungsgericht.
Zu prüfen ist daher nur noch, ob das Verwaltungsgericht eine Rechtsverweigerung begangen hat, weil es keine Feststellung im Urteilsdispositiv getroffen hat (unten, E. 4.1). Ferner ist der verwaltungsgerichtliche Kostenentscheid auf seine Verfassungsmässigkeit zu prüfen (unten, E. 4.2).
4.1 Das Verwaltungsgericht ist auf die Beschwerde des Beschwerdeführers eingetreten. Es hat seine Rechtsverweigerungsrüge materiell behandelt und sie - wenn auch nur in den Urteilserwägungen und nicht im Dispositiv - für begründet erklärt. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern ihm durch dieses Vorgehen ein Nachteil entstanden ist (abgesehen von den nachfolgend zu behandelnden Kostenfolgen). Dies ist auch nicht ersichtlich.
Das Verwaltungsgerichts hat festgestellt, dass der Beschwerdeführer Anspruch auf einen förmlichen und anfechtbaren Entscheid über sein Akteneinsichtsbegehren hatte. Darauf kann sich dieser auch in Zukunft gegenüber den zuständigen kantonalen Behörden berufen, unabhängig davon, ob die Feststellung in den Erwägungen oder im Dispositiv des Entscheids erfolgte.
Insofern erweist sich der Vorwurf der Rechtsverweigerung als unbegründet.
4.2 Dagegen war es widersprüchlich und deshalb willkürlich, beim Kostenentscheid von einem vollständigen Unterliegen des Beschwerdeführers auszugehen, nachdem in den Erwägungen festgehalten worden war, seine Rechtsverweigerungsrüge sei begründet gewesen. Vielmehr hätte diesem Umstand bei der Kostenverteilung Rechnung getragen werden müssen.
Allerdings hatte der Beschwerdeführer keinen Anspruch auf vollständige Kostenbefreiung und auf Ersatz sämtlicher Anwaltskosten, nachdem er mit seinem Antrag auf Zusprechung einer Parteientschädigung für das Verfahren vor DVI unterlegen war.
In dieser Situation wäre die Sache an sich zu neuer Kostenverlegung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Um weitere Verfahren in dieser Sache zu vermeiden, erscheint es jedoch angezeigt, auf eine Rückweisung zu verzichten und den Kostenentscheid des Verwaltungsgerichts wie folgt abzuändern: Die Kosten des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens werden dem Beschwerdeführer nicht vollständig, sondern nur zur Hälfte (Fr. 407.50) auferlegt und ihm sind die Hälfte seiner Anwaltskosten vor Verwaltungsgericht (Fr. 755.90) zu ersetzen.
5. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen und der Kostenentscheid des Verwaltungsgerichts abzuändern. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen.
Der Beschwerdeführer obsiegt somit vor Bundesgericht teilweise (hinsichtlich des Kostenentscheids), weshalb ihm die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zur Hälfte aufzuerlegen sind und ihm eine reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen ist (Art. 66 und 68 BGG).
Dem Kanton Aargau können weder Gerichtskosten auferlegt noch eine Parteientschädigung zugesprochen werden (Art. 66 Abs. 4 und Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Dispositiv-Ziff. 2 und 3 des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau, 4. Kammer, vom 29. November 2010 werden wie folgt abgeändert:
2. Die verwaltungsgerichtlichen Verfahrenskosten, bestehend aus einer Staatsgebühr von Fr. 600.-- sowie der Kanzleigebühr und den Auslagen von Fr. 215.--, gesamthaft Fr. 815.--, werden dem Beschwerdeführer zur Hälfte (ausmachend Fr. 407.50) auferlegt.
3. Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das verwaltungsgerichtliche Verfahren mit Fr. 755.90 zu entschädigen.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer werden die (um die Hälfte reduzierten) Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- auferlegt.
3. Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksamt Baden, dem Departement Volkswirtschaft und Inneres sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. April 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Fonjallaz Gerber