Sachverhalt:
A. Am 10. September 2007 reichte X._ ein Asylgesuch in der Schweiz ein. Das Bundesamt für Migration lehnte das Asylgesuch am 4. März 2008 ab. Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht am 13. Mai 2009 ab.
Am 13. Oktober 2009 wies das Bundesamt für Migration ein Gesuch um Wiedererwägung des Wegweisungsvollzugs ab und stellte fest, dass der Entscheid vom 4. März 2008 rechtskräftig und vollstreckbar ist. Am 16. Oktober 2009 schrieb das Bundesverwaltungsgericht eine Beschwerde, die sich gegen eine Zwischenverfügung des Bundesamtes für Migration vom 7. September 2009 im Wiedererwägungsverfahren richtete, als gegenstandslos geworden ab. Mit Urteil vom 10. November 2009 stellte das Bundesverwaltungsgericht indessen die Nichtigkeit des Wiedererwägungsentscheids des Bundesamtes für Migration vom 13. Oktober 2009 fest und schrieb das dagegen gerichtete Beschwerdeverfahren als gegenstandslos geworden ab, weil es sich nicht um ein Wiedererwägungs-, sondern um ein Revisionsverfahren handelte, das im vorliegenden Fall in die Zuständigkeit des Bundesverwaltungsgerichts fiel.
B. Am 18. November 2009 reichte X._ beim Bundesverwaltungsgericht ein Revisionsgesuch ein. Das Bundesverwaltungsgericht verfügte am 1. Dezember 2009, dass der Vollzug der Wegweisung bis zum Abschluss des Verfahrens ausgesetzt wird und die Gesuchstellerin dessen Ausgang in der Schweiz abwarten kann.
Am 9. März 2010 ersuchte X._ unter Hinweis auf das Arbeitsverbot und ihre Benachteiligungen in verschiedenen Bereichen (Sozialhilfe, Besitz eines N-Ausweises) um beschleunigte Behandlung des Revisionsgesuchs. Das Bundesverwaltungsgericht teilte ihr am 3. Mai 2010 mit, dass ihr Revisionsgesuch im Rahmen der gesetzten Prioritäten behandelt werde. Angesichts der grossen Anzahl pendenter vorrangiger Verfahren könne kein genauer Zeitpunkt für den Verfahrensabschluss genannt werden.
Mit Eingabe vom 14. Juli 2011 ersuchte X._ um eine Entscheidung bis zum 30. August 2011. Andernfalls müsste sie Rechtsverzögerungsbeschwerde erheben.
C. Am 29. August 2011 reichte X._ beim Bundesgericht Rechtsverzögerungsbeschwerde ein.
Die Zweite öffentlich-rechtliche Abteilung trat auf die Beschwerde mit Urteil vom 30. August 2011 nicht ein und überwies die Eingabe vom 29. August 2011 an die Verwaltungskommission des Bundesgerichts als administrative Aufsichtsbehörde über das Bundesverwaltungsgericht.
Das Bundesverwaltungsgericht hat sich mit Eingabe vom 30. September 2011 zur Aufsichtsanzeige vernehmen lassen.

Erwägungen:
1. Die Rechtsprechung ist von der Aufsicht des Bundesgerichts ausgenommen (Art. 2 Abs. 2 Aufsichtsreglement des Bundesgerichts, AufRBGer; SR 173.110.132). Im Rahmen seiner Kompetenzen als Aufsichtsbehörde überprüft das Bundesgericht, ob der Geschäftsgang vor der beaufsichtigten Instanz dem ordentlichen Geschäftsablauf entspricht. Ob eine Rechtsverweigerung oder eine Rechtsverzögerung vorliegt, prüft das Bundesgericht dabei nach den gleichen Grundsätzen, welche die Rechtsprechung im Rechtsmittelverfahren entwickelt hat (<ref-ruling> E. 2).
1.1 Als Minimalanforderung an ein rechtsstaatliches Verfahren gewährleistet <ref-law> den Erlass eines Entscheides innerhalb einer angemessenen Frist. Die Angemessenheit der Dauer bestimmt sich nicht absolut. Sie ist im Einzelfall unter Berücksichtigung der gesamten Umstände zu beurteilen und in ihrer Gesamtheit zu würdigen. Dabei sind insbesondere die Art des Verfahrens und die konkreten Umstände einer Angelegenheit wie Umfang und Bedeutung des Verfahrens, das Verhalten der betroffenen Privaten und der Behörden, die Bedeutung für die Betroffenen sowie die für die Sache spezifischen Entscheidungsabläufe zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 5.1).
1.2 Für die Rechtsuchenden ist es unerheblich, auf welche Gründe eine übermässige Verfahrensdauer zurückzuführen ist; entscheidend ist ausschliesslich, dass die Behörde nicht oder nicht fristgerecht handelt. Bei der Feststellung einer übermässigen Verfahrensdauer ist daher zu prüfen, ob sich die konkreten Umstände, die zur Verlängerung des Verfahrens geführt haben, objektiv rechtfertigen lassen (<ref-ruling> E. 2a).
2. Im vorliegenden Fall hat das Bundesverwaltungsgericht am 1. Dezember 2009 verfügt, dass der Vollzug der Wegweisung bis zum Abschluss des Verfahrens ausgesetzt wird und die Gesuchstellerin dessen Ausgang in der Schweiz abwarten kann. Weitere Instruktionsmassnahmen sind seither nicht ergangen. Das Bundesverwaltungsgericht ist somit während 21 Monaten untätig geblieben, während deren es das Instruktionsverfahren nicht weitergeführt hat.
2.1 Im Asyl- und Ausländerwesen ist über eine grosse Anzahl von Fällen zu entscheiden. Chronische Überlastung bewahrt jedoch nicht vor dem Vorwurf der Rechtsverzögerung (BGE <ref-ruling> E. 5.2). Dies gilt auch für die Beschwerdebehörde, die zwangsläufig gewisse Prioritäten zu setzen hat. Dabei steht ihr naturgemäss ein grosser Ermessensspielraum zu. Die Aufsichtsbehörde greift nur ein, wenn der äussere Gang des Verfahrens dem ordentlichen Geschäftsablauf offensichtlich nicht mehr entspricht. Aufgrund der Vielzahl der Verfahren, welche die Behörde gleichzeitig zu behandeln hat, sind gewisse Zeiten, während deren ein Verfahren ruht, normal und nicht zu beanstanden. Solche Phasen müssen allerdings auf nachvollziehbaren Gründen beruhen und dürfen eine den Umständen des Falles angemessene Dauer nicht überschreiten. In der bisherigen Praxis des Bundesgerichts als administrative Aufsichtsbehörde ist ein Verfahren, das ohne objektiven Grund während 28 Monaten nicht aktiv weitergeführt worden ist (12T_3/2007), als nicht mehr ordnungsgemäss betrachtet worden. Ebenso hat das Bundesgericht schon einzelne inaktive Perioden im Instruktionsverfahren von einem Jahr, gefolgt von einer weiteren inaktiven Periode von sieben Monaten oder inaktive Perioden von zehn Monaten oder siebeneinhalb Monaten, um bei einer Behörde im Ausland Erkundigungen einzuholen, als unzulässig lange bezeichnet, wenn nicht besondere Umstände vorliegen (12T_1/2007, E. 4.1 und 4.3).
2.2 Das Bundesverwaltungsgericht weist in seiner Vernehmlassung darauf hin, an der Sitzung der Abteilung V vom 4. Januar 2011 sei als Zielvorgabe beschlossen worden, sämtliche Verfahren mit Eingangsdatum im und vor dem Jahre 2007 sowie den Grossteil der Verfahren aus dem Jahre 2008 (sogenannte Altfälle) bis Ende 2011 zu erledigen. An der gleichen Sitzung sei folgende Prioritätenordnung der im Jahre 2011 zu behandelnden Fälle verabschiedet worden:
1. Verfahren mit kurzen gesetzlichen Behandlungsfristen;
2. Verfahren mit Eingangsdatum vor 2009;
3. Ausserordentliche Verfahren;
4. Andere prioritär zu behandelnde Fälle;
5. Offensichtlich begründete bzw. unbegründete Beschwerden;
6. Übrige Verfahren.
Das vorliegende Revisionsgesuch sei der dritten Prioritätsstufe zuzuordnen. Zuvor seien von der vorsitzenden Richterin noch zwölf Verfahren mit Eingangsdatum vor 2009 zu behandeln. Im hier interessierenden Revisionsverfahren bilde die Staatsangehörigkeit die Kernfrage. Mit dem Urteil vom 13. Mai 2009 habe das Bundesverwaltungsgericht festgestellt, dass die Anzeigerin nicht die eritreische Staatsangehörigkeit besitze, sondern Staatsbürgerin von Äthiopien sei. Eritreischen Staatsangehörigen, die das Land illegal verliessen, drohten bei einer Rückkehr asylrelevante Nachteile. Fallkonstellationen mit äthiopischen und eritreischen Berührungspunkten gehörten zu den schwierigsten Sachverhaltsfeststellungen. Mit dem Revisionsgesuch vom 18. November 2009 habe die Anzeigerin eine am 31. Juli 2009 ausgestellte eritreische Identitätskarte eingereicht. Zu diesem Beweisstück stehe eine forensische Abklärung im Raum. In rechtlicher Hinsicht sei zudem die von den Abteilungen des Bundesverwaltungsgerichts noch nicht entschiedene Frage zu beurteilen, ob nachträglich entstandene Beweise für vorbestandene Tatsachen bedeutsam sein könnten. Gefahr sei keine im Verzug. Die von der Anzeigerin beklagten Bedingungen träfen alle Gesuchstellenden in einem hängigen Revisionsverfahren. Eine vorrangige Behandlung des hier fraglichen Revisionsverfahrens würde gegen die Rechtsgleichheit verstossen; durch Androhung von aufsichtsrechtlichen Rechtsmitteln dürfe keine vorrangige Erledigung willkürlich gewählter Verfahren erzwungen werden.
2.3 Die vom Bundesverwaltungsgericht aufgestellte Prioritätenliste als solche ist nachvollziehbar und daher aufsichtsrechtlich nicht zu beanstanden. Dem Bundesverwaltungsgericht ist namentlich darin beizupflichten, dass neben den Verfahren mit kurzen gesetzlichen Behandlungsfristen vor allem die alten Asylfälle rasch abzubauen sind.
2.4 Der vom Bundesverwaltungsgericht geltend gemachte Aufwand zur notwendigen Klärung von tatsächlichen und rechtlichen Fragen bedeutet, dass für das hier fragliche Revisionsverfahren ein gewisser Zeitbedarf veranschlagt wird. Mit der notwendigen Arbeit ist indessen noch nicht begonnen worden. Eine inaktive Periode von 21 Monaten ist unbesehen allfälliger anderer ebenfalls überzeitiger Verfahren grundsätzlich zu lange.
2.5 Im hängigen Revisionsverfahren geht es einzig um ein neues Beweismittel, das die asylsuchende Anzeigerin zur rechtskräftig entschiedenen Frage ihrer Nationalität eingereicht hat. Die neue eritreische Identitätskarte datiert vom 31. Juli 2009, während das rechtskräftige Urteil am 13. Mai 2009 ergangen ist. Auf das Revisionsverfahren finden gemäss <ref-law> die Bestimmungen des BGG Anwendung. In öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind zumindest nach dem ausdrücklichen Wortlaut von <ref-law> neue Tatsachen und Beweismittel, die im früheren Verfahren nicht beigebracht werden konnten, ausgeschlossen, wenn diese erst nach dem Entscheid entstanden sind. Eritreische Identitätskarten weisen gemäss der Stellungnahme des Bundesverwaltungsgerichts zudem keine Sicherheitszeichen auf. Gemäss den Feststellungen des Bundesverwaltungsgerichts im rechtskräftigen Entscheid vom 13. Mai 2009 (Erwägung 4.3) hatte die asylsuchende Anzeigerin im rechtskräftigen Verfahren lediglich die Fotokopie der Identitätskarte ihres angeblichen Vaters einreichen können. Dies reichte auch zusammen mit anderen Beweismitteln nicht aus. Das BVGer stellte damals fest, dass solche Dokumente ohne Weiteres unrechtmässig erworben sein können und daher nur einen geringen Beweiswert hätten. All diese Umstände weisen keine Besonderheiten auf, die es vertretbar machen, 21 Monate verstreichen zu lassen, ohne mit der Bearbeitung des Falles zu beginnen. Eine allfällige forensische Abklärung der neu eingereichten Identitätskarte ändert daran nichts.
2.6 Der Geschäftsgang kann im vorliegenden Verfahren somit nicht als ordnungsgemäss bezeichnet werden. Er entspricht den rechtsstaatlichen Anforderungen an eine Behandlung innert angemessener Frist nicht.
Das Bundesverwaltungsgericht ist demzufolge aufzufordern, das Verfahren beförderlich zu Ende zu führen. Wenn nötig sind organisatorische Massnahmen zu treffen, um einen verzögerungsfreien Ablauf der Verfahren zu sichern.
3. Mangels Parteistellung sind Begehren um unentgeltliche Rechtspflege im Aufsichtsverfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Es wird festgestellt, dass das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht zu lange dauert.
2. Das Bundesverwaltungsgericht wird aufgefordert, das Verfahren beförderlich abzuschliessen und zügig einen Entscheid zu fällen.
3. Es werden keine Kosten erhoben und keine Entschädigungen zugesprochen.
4. Dieser Entscheid wird dem Bundesverwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt. Der Anzeigerin wird eine Orientierungskopie zugestellt.
Lausanne, 21. Dezember 2011
Im Namen der Verwaltungskommission
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Generalsekretär
Lorenz Meyer Paul Tschümperlin