Faits :
Faits :
A. Depuis 1986, X._ loue un appartement de deux pièces propriété de Y._ SA en liquidation. Par transaction du 7 avril 1994 passée devant l'Autorité régionale de conciliation, les parties ont fixé le loyer mensuel à 710 fr. plus charges, compte tenu d'un taux hypothécaire de 5,5 %, d'un indice suisse des prix à la consommation (ci-après: IPC) de 138.8 points ainsi que de frais d'entretien arrêtés au 31 décembre 1993.
A. Depuis 1986, X._ loue un appartement de deux pièces propriété de Y._ SA en liquidation. Par transaction du 7 avril 1994 passée devant l'Autorité régionale de conciliation, les parties ont fixé le loyer mensuel à 710 fr. plus charges, compte tenu d'un taux hypothécaire de 5,5 %, d'un indice suisse des prix à la consommation (ci-après: IPC) de 138.8 points ainsi que de frais d'entretien arrêtés au 31 décembre 1993.
B. Le 1er mai 2003, le locataire a saisi l'Autorité régionale de conciliation suite au refus de la bailleresse de lui accorder une diminution de loyer motivée par la baisse du taux hypothécaire à 3,5 %, partiellement compensée par l'augmentation de l'IPC. La conciliation n'ayant pas abouti, celui-là a ouvert action contre celle-ci devant le Tribunal de district de Neuchâtel. Après qu'un premier jugement du 9 août 2004 a été annulé par arrêt de la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal neuchâtelois du 24 mars 2005, le Tribunal de district a, par jugement du 28 mars 2006, fixé le loyer dû dès le 1er juillet 2003 à 526 fr. 90.
Statuant sur recours de la bailleresse par arrêt du 12 décembre 2006, la Cour de cassation civile a cassé le jugement du 28 mars 2006 et fixé le loyer à 600 fr. dès le 1er juillet 2003. En résumé, elle a retenu que le loyer fixé en 1994, corrigé en fonction des variations du taux hypothécaire et de l'IPC survenues depuis lors, correspondait à 600 fr. Puis, contrairement au Tribunal de district, elle a jugé que le locataire n'avait pas apporté la preuve que ce loyer était supérieur aux loyers usuels en 2003; en particulier, elle a estimé que diverses statistiques des offices fédéral et cantonal de la statistique ainsi que l'enquête de structure sur les loyers 1996 dans le canton de Neuchâtel, produites par le locataire, ne fournissaient pas de données satisfaisant aux exigences de l'<ref-law>.
Statuant sur recours de la bailleresse par arrêt du 12 décembre 2006, la Cour de cassation civile a cassé le jugement du 28 mars 2006 et fixé le loyer à 600 fr. dès le 1er juillet 2003. En résumé, elle a retenu que le loyer fixé en 1994, corrigé en fonction des variations du taux hypothécaire et de l'IPC survenues depuis lors, correspondait à 600 fr. Puis, contrairement au Tribunal de district, elle a jugé que le locataire n'avait pas apporté la preuve que ce loyer était supérieur aux loyers usuels en 2003; en particulier, elle a estimé que diverses statistiques des offices fédéral et cantonal de la statistique ainsi que l'enquête de structure sur les loyers 1996 dans le canton de Neuchâtel, produites par le locataire, ne fournissaient pas de données satisfaisant aux exigences de l'<ref-law>.
C. Parallèlement à un recours en réforme, X._ (le recourant) interjette le présent recours de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut entre autres à la cassation de l'arrêt attaqué, sous suite de frais et dépens.
Par décision incidente du 14 février 2007, la Cour de céans a rejeté la demande d'assistance judiciaire également déposée par le recourant, pour le motif qu'il n'était pas dans le besoin.
Y._ SA en liquidation (l'intimée) n'a pas été invitée à déposer une réponse.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (<ref-law>).
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (<ref-law>).
2. Conformément à la règle de l'art. 57 al. 5 OJ, il convient de traiter le recours de droit public avant le recours en réforme.
2. Conformément à la règle de l'art. 57 al. 5 OJ, il convient de traiter le recours de droit public avant le recours en réforme.
3. Le recours de droit public constitue une voie de recours extraordinaire et indépendante, servant au contrôle des actes étatiques cantonaux sous l'angle spécifique de leur constitutionnalité. Il n'est ouvert que s'il n'existe pas d'autre voie de droit au Tribunal fédéral (art. 84 al. 2 OJ).
En l'espèce, le recourant se plaint d'une violation des art. 9 et 35 Cst. dans l'application des <ref-law>, notamment de l'<ref-law> et de l'<ref-law>. Il reproche essentiellement à l'autorité cantonale d'avoir jugé que les différentes données qu'il avait produites étaient insuffisantes au regard des exigences légales pour déterminer le loyer usuel dans le quartier en vue de l'application de la méthode absolue de calcul du loyer; il ne lui reproche par contre pas d'avoir mal interprété ces données. Sa critique ne concerne donc pas l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits, mais l'application du droit fédéral; à son avis, les exigences que l'autorité cantonale déduit du droit fédéral seraient insoutenables.
La valeur litigieuse de la présente cause dépasse le seuil de 8'000 fr., de sorte que la voie du recours en réforme est ouverte pour se plaindre de la violation du droit fédéral (art. 43 et 46 OJ) et le recourant a d'ailleurs déposé une telle écriture. Il s'ensuit que le présent recours de droit public est irrecevable.
La valeur litigieuse de la présente cause dépasse le seuil de 8'000 fr., de sorte que la voie du recours en réforme est ouverte pour se plaindre de la violation du droit fédéral (art. 43 et 46 OJ) et le recourant a d'ailleurs déposé une telle écriture. Il s'ensuit que le présent recours de droit public est irrecevable.
4. Compte tenu de l'issue du litige, les frais seront mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 156 al. 1 OJ). Il n'y a en revanche pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à déposer une réponse.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
1. Le recours est irrecevable.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. La présente décision est communiquée en copie aux parties et à la Cour de Cassation civile du Tribunal cantonal neuchâtelois.
Lausanne, le 15 mai 2007
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le président: La greffière: