Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1958, niederländische Staatsangehörige) und Z._ (geb. 1962, deutscher Staatsangehöriger) heirateten am xxxx 2007 in Deutschland. Aus der Ehe gingen keine Kinder hervor.
B. Am 24. Oktober 2012 ersuchte X._ um den Erlass von Eheschutzmassnahmen. Der zuständige Amtsgerichtspräsident des Richteramts Solothurn-Lebern stellte mit Urteil vom 14. Dezember 2012 das Getrenntleben der Parteien per 31. Oktober 2012 fest und er verpflichtete Z._, der Ehefrau ab 1. November 2012 monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'100.-- zu bezahlen.
C. Gegen diesen Entscheid erhob Z._ Berufung an das Obergericht des Kantons Solothurn und er verlangte, die Unterhaltsbeiträge seien auf maximal Fr. 550.-- zu reduzieren und bis längstens 30. September 2013 zu befristen. X._ schloss auf Abweisung der Begehren.
Mit Urteil vom 21. Februar 2013 hiess das Obergericht die Berufung teilweise gut. Das Gericht bestätigte den Unterhaltsbeitrag in der Höhe von Fr. 1'100.-- ab 1. November 2012, befristete diesen aber bis 31. Dezember 2013.
D. Mit Postaufgabe vom 7. März 2013 hat X._ (Beschwerdeführerin) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen eingereicht. Sie beantragt, der von Z._ (Beschwerdegegner) zu leistende Unterhaltsbeitrag sei in Bestätigung des erstinstanzlichen Urteils unbefristet zuzusprechen.
Das Bundesgericht hat die Akten, in der Sache selbst aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten sind die Fr. 30'000.-- übersteigenden vermögensrechtlichen Folgen einer kantonal letztinstanzlich entschiedenen Zivilsache (Art. 51 Abs. 4, Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die Beschwerdefrist (<ref-law>) ist ebenfalls eingehalten, womit die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist.
1.2 Weil Eheschutzentscheide vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> darstellen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 397), kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
Eine willkürliche Beweiswürdigung liegt vor, wenn das Gericht offensichtlich Sinn und Tragweite eines Beweismittels verkannt oder ohne zureichenden Grund ein Beweismittel, das einen anderen Entscheid herbeiführen könnte, nicht zur Kenntnis genommen hat oder aufgrund der festgestellten Grundlagen zu unhaltbaren Schlüssen gekommen ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9).
1.3 Im Übrigen dürfen bei der Beschwerde in Zivilsachen keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (<ref-law>). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3 S. 395).
2. Die Vorinstanz ging für die Berechnung des Unterhaltsbeitrages von den nachfolgend dargestellten finanziellen Verhältnissen der Parteien aus.
2.1 Die Beschwerdeführerin ist gelernte Coiffeuse, arbeitet aber seit 30 Jahren nicht mehr auf dem Beruf. Vor der Heirat und dem Umzug in die Schweiz war sie in Deutschland zu 50% als Lagermitarbeiterin tätig. Heute arbeitet sie als Reinigungskraft bei der R._ AG in A._ mit einem durchschnittlichen Pensum von 40% und erzielt ein Einkommen von Fr. 1'770.--. Damit hat sie gemäss Vorinstanz während des ehelichen Zusammenlebens ihren Lebensunterhalt selber verdient bzw. einen wesentlichen Beitrag an den gemeinsamen Haushalt beigesteuert. Ihren Bedarf setzte die Vorinstanz in Übereinstimmung mit der ersten Instanz auf Fr. 2'608.-- fest.
Der Beschwerdegegner ist bei der Firma T._ in B._ mit einem 100%-Pensum angestellt. Er verfügt über ein Einkommen von Fr. 5'417.--. Sein Bedarf beträgt Fr. 4'055.--). Diese Feststellungen zu den finanziellen Verhältnissen sind vorliegend nicht (mehr) umstritten.
Das Obergericht wandte die zweistufige Berechnungsmethode an, indem es den Bedarf beider Parteien dem Gesamteinkommen gegenübergestellt und anschliessend eine (hälftige) Überschussteilung vorgenommen hat. Dies führte zum Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'100.--.
2.2 Anders als der Amtsgerichtspräsident nahm die Vorinstanz schliesslich auf die kurze Dauer der Ehe und die gemäss Gericht auch während dem ehelichen Leben bewahrte finanzielle Selbständigkeit der Parteien Bezug sowie darauf, dass keine gesundheitlichen Einschränkungen belegt seien, und hielt dafür, dass die Beschwerdeführerin ihr Arbeitspensum ausdehnen wolle und könne. Daraus folgernd befristete die Vorinstanz den Unterhaltsbeitrag bis Ende 2013.
3. Die Beschwerdeführerin beanstandet den angefochtenen Entscheid in mehrfacher Hinsicht.
3.1 Generell rügt die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz ohne Not und ohne sachliche Gründe in das Ermessen des erstinstanzlichen Richters eingegriffen habe. Die Beschwerdeschrift erschöpft sich diesbezüglich aber in appellatorischen Ausführungen, ohne dass eine Verfassungsrüge erhoben wird (vgl. vorstehend E. 1.2). Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Der Vollständigkeit halber sei darauf verwiesen, dass mit der Berufung gemäss <ref-law> unrichtige Rechtsanwendung (lit. a) oder unrichtige Feststellung des Sachverhaltes (lit. b) geltend gemacht werden kann. Die Berufungsinstanz verfügte somit über eine uneingeschränkte Prüfungsbefugnis in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 375), was die Ermessensausübung einschloss.
3.2 Die Beschwerdeführerin macht sodann eine Verletzung von <ref-law> geltend, indem die Vorinstanz auf das vom Beschwerdegegner erst vor dem Obergericht gestellte und damit unzulässige Rechtsbegehren, der Unterhaltsbeitrag sei zeitlich zu beschränken, eingetreten sei. Auch in diesem Zusammenhang erhebt sie keine substanziierte Willkürrüge. Ohnehin würde die Einschränkung eines Begehrens kein neues Rechtsbegehren darstellen (vgl. beispielsweise Urteil 2D_39/2009 vom 5. November 2009, E. 2.2 mit Hinweis). Der Beschwerdegegner hatte vor der ersten Instanz beantragt, auf die Zusprechung eines Unterhaltsbeitrages ganz zu verzichten, und der Antrag auf zeitliche Befristung war eine Einschränkung dieses Begehrens.
3.3 Weiter kritisiert die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe zu Unrecht auf neue Tatsachen und Beweismittel abgestützt, welche der Beschwerdegegner erst im Berufungsverfahren vorgebracht habe (so die Behauptung, die Ehe sei unwiederbringlich zerrüttet und die Wiederaufnahme des gemeinsamen Haushalts nicht zu erwarten); sie ruft dabei wiederum <ref-law> an.
Wie bereits ausgeführt, können nur Verfassungsrügen (namentlich Willkür) geprüft werden. Die Beschwerdeführerin belässt es aber auch hier bei der blossen Darlegung ihrer eigenen Sicht, ohne detailliert aufzuzeigen, wo die Vorinstanz in Willkür verfallen sein soll. Mithin fehlt es an einer genügenden Substanziierung (vgl. vorstehend E. 1.2). Sie legt insbesondere nicht dar, wovon die Vorinstanz hätte ausgehen müssen, aus welchen Beweisen sie das herleitet und inwiefern dies für das Urteil hätte wesentlich sein müssen.
3.4 Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin die Feststellungen des Obergerichts als willkürlich, dass ihre Sehbehinderung blosse Parteibehauptung sei und im Übrigen durch eine Operation wieder zu 100% hergestellt werden könne.
Das Vorgehen der Vorinstanz, gestützt auf allgemeine Informationen aus dem Internet und ohne medizinische Diagnose oder Beizug einer sachverständigen Person, darauf zu schliessen, dass eine Operation des grauen Stars (im konkreten Fall) unbedenklich sei und die Sehkraft wieder hergestellt werden könne, mag fragwürdig sein. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe zudem Aussagen ihrerseits im erstinstanzlichen Verfahren unberücksichtigt gelassen, wonach ihr der Arzt von einer Operation abgeraten habe. Weiter wendet sie ein, der Beschwerdegegner habe ihre beeinträchtigte Sehkraft nie bestritten, weshalb es willkürlich sei, wenn das Obergericht die gesundheitlichen Einschränkungen als nicht belegt erachtet habe.
Wie es sich damit verhält, kann offen bleiben, weil jedenfalls nicht dargetan ist, dass die (angeblich oder tatsächlich) beeinträchtigte Sehkraft ihre Chancen auf dem Arbeitsmarkt schmälert. Wie die Beschwerdeführerin zutreffend ausführt, ging der erstinstanzliche Richter - anders als das Obergericht - von einer massiv eingeschränkten Sehkraft aus. Gleichzeitig hielt er jedoch fest, dass zwar nicht auszuschliessen, aber ungewiss sei, ob dies bei der Suche nach einer neuen Anstellung hinderlich sein könnte. Angeknüpft daran wäre es an der Beschwerdeführerin gelegen, vor Obergericht einen Kausalzusammenhang zwischen der beeinträchtigten Sehkraft und der eingeschränkten Eigenversorgungskapazität aufzuzeigen und zu belegen. Nachdem sie dies im vorinstanzlichen Verfahren nicht getan hat, was sie auch nicht behauptet, kann im bundesgerichtlichen Verfahren nicht darauf zurückgekommen werden (<ref-law>). Vor diesem Hintergrund ist keine Willkür ersichtlich, wenn die Vorinstanz zum Schluss gekommen ist, die behaupteten Sehschwierigkeiten seien nicht belegt resp. würden die Beschwerdeführerin nicht bei der Arbeitssuche behindern, weshalb sie ihre Arbeit ausdehnen und ab 2014 vollständig für ihren eigenen Unterhalt sorgen könne.
3.5 Soweit die Beschwerdeführerin die vom Obergericht angesetzte Übergangsfrist kritisiert, macht sie keine Willkür geltend, weshalb darauf nicht einzutreten ist. Überdies kam auch der erstinstanzliche Richter zum Schluss, dass von der Beschwerdeführerin eine Ausweitung der Erwerbstätigkeit "grundsätzlich verlangt werden kann", ihr aber ein sofortiger ("überstürzter") Stellenwechsel mit der Aufnahme eines erweiterten oder gar vollen Pensums nicht zumutbar sei. Wie die Vorinstanz ging also auch er von einer blossen Übergangsfrist aus, bis die Beschwerdeführerin ihre volle Eigenversorgungskapazität erreicht haben müsste.
3.6 Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4. Auf das Gesuch um vorzeitige Vollstreckung, welches die Beschwerdeführerin auf den (im bundesgerichtlichen Verfahren nicht anwendbaren) <ref-law> abstützt, ist nicht einzutreten. Die Beschwerdeführerin sei darauf hingewiesen, dass der Beschwerde in Zivilsachen keine aufschiebende Wirkung zukommt (vgl. <ref-law>), weshalb der obergerichtliche Entscheid längst vollstreckbar gewesen wäre.
5. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, zeigen doch die vorstehenden Erwägungen auf, dass die Beschwerde von Beginn weg keinen Erfolg haben konnte (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. April 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann