Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1. Eine Beschwerde ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen (<ref-law>). Sie ist spätestens am letzten Tag der Frist zu Handen des Bundesgerichts der Schweizerischen Post zu übergeben (<ref-law>).
Der angefochtene Entscheid wurde dem Beschwerdeführer am 13. November 2010 ausgehändigt. Die Beschwerde musste deshalb, um rechtzeitig zu sein, spätestens am 13. Dezember 2010 der Schweizerischen Post übergeben worden sein.
Die Beschwerde wurde indessen am 13. Dezember 2010 erst der Deutschen Post übergeben und ging denn auch erst am 16. Dezember 2010 bei der Schweizerischen Post ein. Sie ist verspätet.
Dem Beschwerdeführer nützt nichts, dass er die Beschwerde vorab am 13. Dezember 2010 per Fax dem Bundesgericht eingereicht hat. Bedarf eine Eingabe der Schriftform, genügt die Einreichung per Fax zur Wahrung der Frist nicht (Urteil 1C_295/2010 vom 15. Juni 2010; <ref-ruling> E. 4).
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren einer verspäteten Beschwerde von vornherein aussichtslos sind. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner 2 ist keine Entschädigung auszurichten, weil er vor Bundesgericht keine Umtriebe hatte.

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, Kriminal- und Anklagekommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Dezember 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Wiprächtiger C. Monn