Sachverhalt:
A. A.a X._ bearbeitete seit dem 1. Dezember 2000 als a.o. Untersuchungsrichter des Kantons Solothurn den äusserst umfangreichen Straffall "A._". Am 9. Juni 2004 ersuchte die Amtsgerichtspräsidentin die Staatsanwaltschaft, die Anklage vor Gericht zu vertreten. Diese antwortete am 21. Juni 2004, Staatsanwalt-Stellvertreter K._ übernehme die entsprechende Vertretung. Am 1. August 2005 traten das revidierte Gesetz über die Gerichtsorganisation (GO, BGS 125.12) und die revidierte Strafprozessordnung (StPO, BGS 321.1) des Kantons Solothurn in Kraft. Das Untersuchungsrichtermodell wurde durch das Staatsanwaltsmodell abgelöst und X._ zum Staatsanwalt gewählt. Die Amtsgerichtspräsidentin forderte die Staatsanwaltschaft am 12. Oktober 2005 auf, einen neuen Anklagevertreter zu benennen. Am 14. Oktober 2005 gab Oberstaatsanwalt Y._ bekannt, X._ werde nunmehr die Anklage vor Gericht vertreten.
A.b Nach verschiedenen Verzögerungen teilte die Amtsgerichtspräsidentin den Parteien am 7. Mai 2008 einen provisorischen Verhandlungsplan mit. Staatsanwalt X._ orientierte nach dem Erhalt dieses Plans Oberstaatsanwalt Y._ telefonisch darüber, dass sich die Hauptverhandlung voraussichtlich mit seinen Ferien überschneide. Dieser eröffnete ihm, dass er an der Gerichtsverhandlung teilzunehmen habe und seine Ferien nötigenfalls verschieben müsse. Allfällige Annullationskosten würden übernommen. Die Hauptverhandlung wurde definitiv auf Montag, 30. Juni 2008, bis Freitag, 11. Juli 2008, angesetzt; das Plädoyer der Staatsanwaltschaft auf den 8. Juli 2008. Danach, vom 9. bis zum 11. Juli 2008, sollten die Plädoyers der Verteidiger und eine allfällige Replik sowie Dupliken folgen. Für die Verhandlung vom 2. (Zeugeneinvernahmen), 9., 10. und 11. Juli 2008 galt folgender Hinweis: "Der Staatsanwaltschaft, den (übrigen) Beschuldigten und ihren Verteidigern ist das Erscheinen freigestellt". Am 2. Juli 2008 gab Staatsanwalt X._ im Gerichtssaal bekannt, dass er auf eine Replik verzichte, da er nach seinem Parteivortrag in die Ferien verreise und nicht mehr an der Verhandlung teilnehme. Nachdem Oberstaatsanwalt Y._ davon am 3. Juli 2008 aus der Zeitung erfahren hatte, rief er Staatsanwalt X._ an. Er erachtete es als vertretbar, nebst der Replik auch auf die Anwesenheit bei den Plädoyers der Verteidiger zu verzichten.
A.c Mit Beschluss vom 25. August 2008 eröffnete der Regierungsrat des Kantons Solothurn (nachfolgend: Regierungsrat) ein Disziplinarverfahren gegen Oberstaatsanwalt Y._ und Staatsanwalt X._. Die von ihm eingesetzte Disziplinaruntersuchungskommission (DUK) hielt in ihrem Bericht vom 18. März 2009 verschiedene Disziplinarfehler fest. Der Regierungsrat beschloss daraufhin am 31. März 2009:
3.1 Vom Bericht und Antrag der Disziplinaruntersuchungskommission vom 18. März 2009 wird Kenntnis genommen. Der Bericht bildet einen integrierenden Bestandteil dieses Beschlusses.
3.2 Es wird festgestellt, dass Oberstaatsanwalt Y._ und Staatsanwalt X._ die ihnen obliegenden Dienstpflichten mehrfach verletzt haben.
3.3 Als Disziplinarstrafe wird die Besoldung von Y._ in Lohnklasse 29 um zwei Erfahrungsstufen herabgesetzt, d.h. von Stufe 16 auf Stufe 14.
3.4 Als Disziplinarstrafe wird die Besoldung von X._ in Lohnklasse 25 um zwei Erfahrungsstufen herabgesetzt, d.h. von Stufe 16 auf Stufe 14.
3.5 Y._ und X._ haben Verfahrenskosten im Umfang von je 10'000 Franken innert 30 Tagen zu bezahlen.
B. Die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde von X._ schrieb das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 11. März 2010 ab, da das Disziplinarverfahren infolge Nichtwiederwahl des Betroffenen in seiner Funktion als Staatsanwalt mit dem Ende der Amtsperiode 2005/2009 gegenstandslos geworden sei (Dispositiv-Ziff. 1). Die Prozesskosten des Beschwerdeverfahrens in Höhe von Fr. 5'000.- auferlegte es - nach Massgabe des mutmasslichen Prozessausgangs - X._ (Dispositiv-Ziff. 2); sein Begehren um Zusprechung einer Parteientschädigung wurde abgewiesen (Dispositiv-Ziff. 3).
C. Mit dagegen erhobener Beschwerde lässt X._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids bezüglich der Dispositiv-Ziff. 2 und 3 seien die Kosten der Verfahren vor den kantonalen Instanzen dem Kanton Solothurn aufzuerlegen und sei ihm für das Verfahren vor den kantonalen Instanzen eine vom Bundesgericht festzusetzende Parteientschädigung zuzusprechen; eventualiter sei die Sache zur Festlegung der Parteientschädigung an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
Der Regierungsrat des Kantons Solothurn lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Vorinstanz verwies in ihrem Entscheid auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde als zulässiges Rechtsmittel. Mit Schreiben vom 24. März 2010 korrigierte sie diesen Hinweis insofern, als die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die statthafte Rechtsvorkehr darstelle. Der Beschwerdeführer macht geltend, zutreffendes Rechtsmittel sei die Beschwerde in Strafsachen.
1.2 Das Bundesgericht prüft die Art und Zulässigkeit des bei ihm eingereichten Rechtsmittels von Amtes wegen mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 2 S. 188; <ref-ruling> E. 1.1 S. 251; Urteil 1C_104/2008 vom 13. März 2008 E. 1.1, in: RtiD 2008 II S. 160).
1.2.1 Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, der nicht mit Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht weitergezogen werden kann (<ref-law>). Nach dem Konzept der Einheitsbeschwerde hängt der Rechtsmittelweg an das Bundesgericht vom Rechtsgebiet ab, auf welches die Rechtssache letztlich zurückgeht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 315). Die Streitsache betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis und damit eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Die in der Hauptsache gegebene Beschwerde ist auch bezüglich aller Nebenpunkte des Urteils zulässig, namentlich hinsichtlich Kostenentscheiden, soweit dafür keine besonderen Verfahrenswege vorgeschrieben sind (<ref-ruling> E. 1.1 S. 160 mit Hinweisen). Demnach ist nicht die Beschwerde in Strafsachen, sondern grundsätzlich - sofern deren Voraussetzungen im Einzelnen gegeben sind - die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten das zutreffende Rechtsmittel (vgl. auch Urteil 8C_596/2009 vom 4. November 2009 E. 1.1 [betr. Rückstufung eines kantonalen Angestellten mit Salärreduktion]).
1.2.2 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten steht offen, sofern keiner der gesetzlichen Ausschlussgründe (<ref-law>) vorliegt. Es handelt sich in casu offensichtlich um eine vermögensrechtliche Streitigkeit; der Ausschlussgrund von <ref-law> ist demnach nicht gegeben. Erforderlich ist somit, dass der Streitwert mindestens Fr. 15'000.- beträgt (<ref-law>) oder dass sich eine Frage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Letzteres hätte der Beschwerdeführer indessen substanziiert darlegen müssen (<ref-law>). Da er dies unterliess - der blosse Hinweis, dass die Unschuldsvermutung auch bei Disziplinarmassnahmen gelte, genügt dem Erfordernis der qualifizierten Rügepflicht nicht (BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 36 zu <ref-law>) -, entscheidet sich die Zulässigkeit der Beschwerde anhand der Streitwertgrenze gemäss <ref-law>.
1.2.3
1.2.3.1 Der Streitwert bemisst sich bei Beschwerden gegen Endentscheide nach den Begehren, wie sie vor Vorinstanz noch streitig waren, soweit darauf eingetreten werden konnte (<ref-law>; Urteile 8C_788/2009 vom 15. Dezember 2009 E. 3 Ingress und 2C_233/2009 vom 17. Juli 2009 E. 2.1, je mit Hinweis). Streitgegenstand im vorinstanzlichen Verfahren bildete die Feststellung der Dienstpflichtverletzung und die Disziplinarstrafe (Ziff. 3.2 und 3.4 des Regierungsratsbeschlusses vom 31. März 2009). Angefochten war sodann die Kosten- und Entschädigungsfolge, d.h. die auferlegten Verfahrenskosten im Betrag von Fr. 10'000.- sowie die (zufolge Unterliegens) nicht gewährte Parteientschädigung. Bei den Gerichtskosten und der Parteientschädigung handelte es sich um akzessorische Nebenansprüche im Sinn von <ref-law>. Nach dem diesbezüglich nicht angefochtenen Entscheid des kantonalen Gerichts (Dispositiv-Ziff. 1) wurde das Disziplinarverfahren und damit die verfügte Disziplinarstrafe und die Feststellung der Dienstpflichtverletzung gegenstandslos.
1.2.3.2 Fraglich erscheint, ob sich der Umstand der Gegenstandslosigkeit der Hauptsache auf die letztinstanzliche Streitwertberechnung auswirkt. Dies ist in Anbetracht des Wortlauts von <ref-law> grundsätzlich zu verneinen. Ein Streitgegenstand, welcher gegenstandslos wird, hat indessen regelmässig keinen Streitwert mehr (vgl. in diesem Sinne etwa FRANK/STRÄULI/MESSMER, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 1997, N. 5 zu § 18 mit Hinweisen). Ein genügender Streitwert gemäss <ref-law> läge vor diesem Hintergrund in casu daher nur vor, wenn die ursprünglich akzessorische Kostenfrage bei Gegenstandslosigkeit der Hauptsache zur selbstständig zu beurteilenden Hauptsache würde und selber das Streitwerterfordernis erfüllte. Prozesskosten haben regelmässig akzessorischen Charakter (<ref-ruling> E. 3 S. 143 f.; Urteil 4A_386/2008 vom 2. März 2009 E. 1.2.2; je mit Hinweisen), es sei denn, sie können selbstständig - unabhängig von der Hauptsache - geltend gemacht werden (Urteil 4A_241/2007 vom 18. September 2007 E. 2.2). Ein Nebenrecht hängt von einem Hauptanspruch ab; es besteht nur, wenn der Hauptanspruch besteht. Wird die Hauptsache gegenstandslos, bleiben die Kosten aber offen, kann ihnen definitionsgemäss keine Akzessorietät mehr zukommen. Da das Streitwerterfordernis vorliegend so oder anders erfüllt ist - der Beschwerdeführer machte mit seiner Kostennote vom 3. Februar 2010 für den bis zum 31. März 2009 entstandenen Aufwand eine Summe von allein rund Fr. 17'000.- geltend -, bedarf die Frage keiner abschliessenden Beurteilung und kann auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingetreten werden.
Die durch den Beschwerdeführer (zusätzlich) erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich vor diesem Hintergrund als hinfällig (<ref-law>), weshalb darauf nicht einzutreten ist.
2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287 f.). Mit rein appellatorischer Kritik setzt es sich nicht auseinander (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 mit Hinweisen). Die Feststellung des Sachverhalts und die Anwendung des kantonalen Rechts prüft es lediglich auf Willkür hin (<ref-law>). Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn ein Entscheid auf einem offensichtlichen Versehen beruht, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Auf dem Gebiet der Beweiswürdigung steht den kantonalen Behörden ein weiter Ermessensspielraum zu. Willkür in der Beweiswürdigung liegt vor, wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153; Urteil 6B_300/2007 vom 13. November 2007 E. 3.3; je mit Hinweisen).
3. Die Vorinstanz hat angenommen, dass mit der Nichtwiederwahl des Beschwerdeführers als Staatsanwalt das noch nicht rechtskräftige Disziplinarverfahren gegen ihn gegenstandslos geworden sei. Werde ein Verfahren gegenstandslos, entscheide das Gericht nach seinem Ermessen über die Tragung der Gerichts- und Parteikosten. Danach seien die Kosten jener Partei aufzuerlegen, welche die Gegenstandslosigkeit veranlasst habe; habe keine Partei die Gegenstandslosigkeit verursacht, so seien die Kosten derjenigen Partei aufzuerlegen, die nach der Aktenlage vermutlich unterlegen wäre. Könne dies nicht festgestellt werden, so werde diejenige Partei kostenpflichtig, die das Verfahren veranlasst habe. Vorliegend sei die Gegenstandslosigkeit durch den Ablauf der Amtsdauer des Beschwerdeführers herbeigeführt worden, was keiner Partei anzulasten sei. Massgeblich sei daher der mutmassliche Verfahrensausgang. Da sie davon ausging, der Beschwerdeführer wäre mutmasslich unterlegen, überband sie ihm die Kosten.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer macht vorerst geltend, materiell liege eine Strafsache gemäss Art. 6 EMRK vor. Er leitet dies insbesondere aus der Schwere der Sanktion ab, die klar pönalen Charakter habe. Massgeblich sei gemäss der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte (EGMR) die abstrakte Strafandrohung, nicht die konkret ausgesprochene Sanktion. Nach dem kantonalen Recht seien hohe Strafen angedroht, welchen nicht Bagatellcharakter zukomme. Bereits bei der Disziplinarstrafe der Herabsetzung der Besoldung allein - eine Strafe, die in ihrer Wirkung einer Geldstrafe gleichkomme - wäre eine vollumfängliche Streichung des Erfahrungszuschlages möglich. Möglich wäre zudem eine Rückstufung in Erfahrungsstufe 1. Der gesetzliche Rahmen hätte es somit erlaubt, den Beschwerdeführer mit einer Strafe von insgesamt mehreren Fr. 100'000.- zu bestrafen (rund Fr. 400'000.- bis Alter 63,5 des Beschwerdeführers, soweit ein jährlicher Stufenanstieg überhaupt wieder erfolgt wäre). Demzufolge komme die Unschuldsvermutung von Art. 6 Ziff. 2 EMRK und <ref-law> zur Anwendung. Indem das kantonale Gericht die Auferlegung der Verfahrenskosten mit dem mutmasslichen Ausgang des Disziplinarverfahrens begründet habe, sei gegen die Unschuldsvermutung verstossen worden.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer macht vorerst geltend, materiell liege eine Strafsache gemäss Art. 6 EMRK vor. Er leitet dies insbesondere aus der Schwere der Sanktion ab, die klar pönalen Charakter habe. Massgeblich sei gemäss der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte (EGMR) die abstrakte Strafandrohung, nicht die konkret ausgesprochene Sanktion. Nach dem kantonalen Recht seien hohe Strafen angedroht, welchen nicht Bagatellcharakter zukomme. Bereits bei der Disziplinarstrafe der Herabsetzung der Besoldung allein - eine Strafe, die in ihrer Wirkung einer Geldstrafe gleichkomme - wäre eine vollumfängliche Streichung des Erfahrungszuschlages möglich. Möglich wäre zudem eine Rückstufung in Erfahrungsstufe 1. Der gesetzliche Rahmen hätte es somit erlaubt, den Beschwerdeführer mit einer Strafe von insgesamt mehreren Fr. 100'000.- zu bestrafen (rund Fr. 400'000.- bis Alter 63,5 des Beschwerdeführers, soweit ein jährlicher Stufenanstieg überhaupt wieder erfolgt wäre). Demzufolge komme die Unschuldsvermutung von Art. 6 Ziff. 2 EMRK und <ref-law> zur Anwendung. Indem das kantonale Gericht die Auferlegung der Verfahrenskosten mit dem mutmasslichen Ausgang des Disziplinarverfahrens begründet habe, sei gegen die Unschuldsvermutung verstossen worden.
4.2 4.2.1 Eine "strafrechtliche Anklage" im Sinne des Art. 6 EMRK muss sich auf eine "Straftat" beziehen, also eine rechtswidrige Handlung, die den Tatbestand eines Strafgesetzes erfüllt. Jedoch unterliegt auch die Zuordnung einer rechtswidrigen Handlung zu einem anderen als dem strafrechtlichen Bereich, insbesondere dem des Disziplinarrechts, der Kontrolle des EGMR. Wenngleich Disziplinarverfahren in der Regel nicht dem Anwendungsbereich des Art. 6 EMRK unterstehen, ist stets zu prüfen, ob besondere Umstände vorliegen, welche die Anwendbarkeit ausnahmsweise gebieten (FROWEIN/PEUKERT, Europäische Menschrechtskonvention, 3. Aufl. 2009, N. 25 zu Art. 6 EMRK). Der EGMR prüft diese Frage nach den drei im Urteil Engel (Urteil Engel u.a. gegen Niederlande vom 8. Juni 1976, Serie A Bd. 22) entwickelten Kriterien. Massgeblich sind nach dieser Judikatur erstens die Zuordnung der Vorschrift im nationalen Recht, zweitens die wahre Natur der Widerhandlung sowie drittens die Art und Schwere der Sanktion (CHRISTOPH GRABENWARTER, Europäische Menschenrechtskonvention, 4. Aufl. 2009, S. 338 Rz. 17; FROWEIN/PEUKERT, a.a.O., N. 26 zu Art. 6 EMRK; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 317; <ref-ruling> E. 3a S. 380 f.; je mit Hinweisen).
4.2.2 Unbestrittenermassen spricht die Zuordnung zum Disziplinarrecht in casu gegen eine Anwendung von Art. 6 EMRK. Zu prüfen bleiben die beiden anderen Kriterien. Beim zweiten Kriterium, der Natur der Widerhandlung, kommt es auf die im Inhalt der anzuwendenden Regelung zum Ausdruck gebrachte Art des Vergehens an. Entscheidend für die Natur des Vergehens ist in erster Linie der Adressatenkreis einer Regelung. Richtet sich eine Regelung (zumindest potentiell) an die Allgemeinheit, spricht das für deren strafrechtlichen Charakter (GRABENWARTER, a.a.O., S. 338 Rz. 19; <ref-ruling> E. 2.2 S. 348; <ref-ruling> E. 3c/aa S. 381 f.; je mit Hinweisen). Vorliegend richtet sich das kantonale Disziplinarrecht an den beschränkten Kreis der staatlichen Angestellten. Könnte ein Verhalten allenfalls auch strafrechtlich statt disziplinarisch sanktioniert werden, indiziert dies die Anwendung von Art. 6 EMRK auch auf die Disziplinarmassnahme. Dem Beschwerdeführer wird eine Vernachlässigung seiner eigentlichen Berufspflichten als Staatsanwalt vorgeworfen, welche von ihrer Art her indessen nur mit einer spezifischen disziplinarischen Massnahme sanktioniert werden kann. Die Organe der EMRK haben denn auch stets gegen öffentlich-rechtliche Angestellte gerichteten Disziplinarmassnahmen die Wesensart einer strafrechtlichen Anklage abgesprochen. So wurde entschieden, dass eine Zwangspensionierung, obwohl es sich dabei um die schärfst mögliche Disziplinarmassnahme handle, eine charakteristische disziplinarische Strafe darstelle, die nicht mit einer strafrechtlichen Busse verglichen werden könne. Dies gelte selbst dann, wenn das inkriminierte Verhalten nicht nur Anlass für eine disziplinarische Massnahme gewesen wäre, sondern auch Elemente eines strafbaren Verhaltens enthalten hätte (Urteil Moullet gegen France vom 13. September 2007, Nr. 27521/04, CourEDH 2007-X S. 11). Ebenso wurde im Fall der disziplinarischen Entlassung eines Pfarrers der englischen Kirche wegen ungebührlichen Verhaltens entschieden. Einer derartigen Massnahme komme keine strafrechtliche Eigenheit zu, sondern sei typischerweise disziplinarischer Natur, welche das Ziel verfolge, den Respekt, der den Angehörigen einer bestimmten Berufsgruppe entgegengebracht werde, sicherzustellen. Wenn diese Disziplinarmassnahme für die betroffene Person auch finanzielle Auswirkungen zeitige, so sei dieser finanzielle Verlust nicht selber eine Sanktion, sondern stelle indirekte Folge der eigentlichen Sanktion dar (Entscheid der EKMR Tyler gegen Grossbritannien vom 5. April 1994, Nr. 21283/93, DR 77-B, S. 81 ff., S. 86). Auf die vom Beschwerdeführer geltend gemachten finanziellen Folgen der eigentlichen Disziplinarmassnahme, nämlich der Rückstufung, muss somit nicht weiter eingegangen werden.
Auch das zweite (und dritte) Kriterium sprechen somit gegen eine Anwendung von Art. 6 EMRK. Der Beschwerdeführer kann sich daher nicht auf die Unschuldsvermutung gemäss Art. 6 EMRK berufen.
5. Die Vorinstanz ging davon aus, die Gegenstandslosigkeit des Verfahrens sei durch den Ablauf der Amtsperiode 2005/09 herbeigeführt worden; dabei habe es sich um einen objektiven Umstand gehandelt, der keiner Partei anzulasten sei. Nach Ansicht des Beschwerdeführers ist die Gegenstandslosigkeit indessen durch den Beschwerdegegner verursacht worden. Die Nichtwiederwahl durch den Kantonsrat per 31. Juli 2009 sei darauf zurückzuführen, dass die Justizkommission ihn auf Grund des Regierungsratsbeschlusses vom 31. März 2009 nicht zur Wiederwahl vorgeschlagen habe. Dass Justizkommission und Kantonsrat in diesem Verfahren nicht Partei seien, vermöge an der Sache nichts zu ändern. Wesentlich sei, dass der Regierungsrat mit seinem Beschluss die Grundlage für die Nichtwiederwahl geschaffen und den Entscheidungsorganen (Justizkommission und Kantonsrat) zur Verfügung gestellt habe. Das kantonale Gericht habe dieses Faktum unrichtig gewürdigt. Ob die Würdigung durch die Vorinstanz unrichtig war, braucht nicht beurteilt zu werden. Erforderlich ist im vorliegenden Kontext, dass sie willkürlich wäre (E. 2 hiervor), was der Beschwerdeführer jedoch nicht darlegt.
6. 6.1 Weiter führt der Beschwerdeführer aus, allgemein gelte im Disziplinarrecht der Grundsatz, dass die Behörde die Dienstpflichtverletzung zu beweisen habe. Wenn eine Behörde trotz fehlenden Beweises einer objektiven Verfehlung und einer subjektiven Schuld eine Strafe - im konkreten Fall eine Verdachtsstrafe mittels Kostenentscheid - ausfälle, verletze sie mehrfach verfassungsmässige Rechte.
6.2 Mit dieser Argumentation wird verkannt, dass Gegenstand des Verfahrens nicht die Ausfällung einer Disziplinarstrafe bildet, sondern einzig der Kostenentscheid. Die Ausführungen in der Beschwerde zur Ermittlungs- und Beweisführungspflicht der Behörde in der Disziplinarstreitigkeit selber gehen daher an der Sache vorbei. Der Beschwerdeführer ist offenbar der Meinung, eine Kostenauflage lediglich nach Massgabe des mutmasslichen Prozessausgangs, ohne strikten Beweis einer Pflichtverletzung, sei grundsätzlich unzulässig. Grundlage für die von der Vorinstanz ausgesprochene Kostenauflage ist § 77 Abs. 1 des Gesetzes vom 15. November 1979 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen des Kantons Solothurn (VRG, BGS 124.11) in Verbindung mit § 103 Abs. 1 der kantonalen Zivilprozessordnung vom 11. September 1966 (ZPO, BGS 221.1). Danach entscheidet der Richter bei Gegenstandslosigkeit nach seinem Ermessen über die Kosten. Wenn die kantonale Praxis dabei - sofern keiner Partei die Gegenstandslosigkeit zuzurechnen ist - auf das mutmassliche Obsiegen abstellt, ist dies in keiner Hinsicht zu beanstanden. Auch das Bundesgericht stellt in den bei ihm gegenstandslos gewordenen Verfahren und bei vergleichbarer rechtlicher Grundlage (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) in erster Linie auf den mutmasslichen Prozessausgang ab (<ref-ruling> E. 2a S. 374 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 4a S. 494 f.; Urteil 1C_202/2008 vom 17. Dezember 2008 E. 6.2 mit Hinweisen; Verfügung 2C_201/2008 vom 14. Juli 2008 E. 2.3; CORBOZ, a.a.O., N. 37 zu <ref-law>; FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 9 zu <ref-law>; PHILIPP GELZER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 14 zu <ref-law>). Lässt sich der mutmassliche Ausgang eines Verfahrens im konkreten Fall auf Grund der Akten nicht ohne weiteres feststellen, ist auf weitere Kriterien wie die Verursachung der Gegenstandslosigkeit und die Veranlassung des Verfahrens zurückzugreifen (CORBOZ, a.a.O., N. 37 zu <ref-law>; Verfügung 2C_201/2008 vom 14. Juli 2008 E. 2.3). Dass vorliegend auf das dritte Kriterium, die Veranlassung des Verfahrens, hätte abgestellt werden müssen, wird nicht geltend gemacht und ist daher nicht zu prüfen.
7. 7.1 Die Vorinstanz hatte somit lediglich die mutmasslichen Prozessaussichten zu beurteilen und nicht über den materiellen Prozessausgang zu entscheiden. Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen. Vielmehr soll es bei einer knappen, summarischen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt werden (Gelzer, a.a.O., N. 14 zu <ref-law>; Verfügung 2C_201/2008 vom 14. Juli 2008 E. 2.3). Die summarische Beurteilung der Prozessaussichten eröffnet dem kantonalen Gericht einen gewissen Beurteilungsspielraum, in welchen das Bundesgericht selbst bei freier Prüfung der Rechtsfrage - im vergleichbaren Fall der Beurteilung der Prozessaussichten im Entscheid über die unentgeltliche Prozessführung - nur mit Zurückhaltung eingreift (Urteil 4A_336/2008 vom 2. September 2008 E. 2.1 mit Hinweisen). Vorliegend kommt hinzu, dass keine freie, sondern nur eine Willkürprüfung erfolgt.
7. 7.1 Die Vorinstanz hatte somit lediglich die mutmasslichen Prozessaussichten zu beurteilen und nicht über den materiellen Prozessausgang zu entscheiden. Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen. Vielmehr soll es bei einer knappen, summarischen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt werden (Gelzer, a.a.O., N. 14 zu <ref-law>; Verfügung 2C_201/2008 vom 14. Juli 2008 E. 2.3). Die summarische Beurteilung der Prozessaussichten eröffnet dem kantonalen Gericht einen gewissen Beurteilungsspielraum, in welchen das Bundesgericht selbst bei freier Prüfung der Rechtsfrage - im vergleichbaren Fall der Beurteilung der Prozessaussichten im Entscheid über die unentgeltliche Prozessführung - nur mit Zurückhaltung eingreift (Urteil 4A_336/2008 vom 2. September 2008 E. 2.1 mit Hinweisen). Vorliegend kommt hinzu, dass keine freie, sondern nur eine Willkürprüfung erfolgt.
7.2 7.2.1 Nach Auffassung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz mit ihrer Beurteilung der Prozessaussichten mehrfach das rechtliche Gehör (<ref-law>), das Legalitätsprinzip (Art. 5 Abs. 1 und Art. 29 Abs. 1 BV, Art. 5 Abs. 1 der Verfassung des Kantons Solothurn vom 8. Juni 1986 [KV, BGS 111.1]), das Willkürverbot (<ref-law>) und das Gebot von Treu und Glauben (<ref-law>) verletzt.
7.2.2 Das Legalitätsprinzip ist - abgesehen von seiner spezifischen Bedeutung im Strafrecht und im Abgaberecht - kein verfassungsmässiges Individualrecht, sondern ein Verfassungsgrundsatz, dessen Verletzung nicht selbstständig, sondern nur im Zusammenhang mit der Verletzung des Grundsatzes der Gewaltenteilung, der Rechtsgleichheit, des Willkürverbots oder eines speziellen Grundrechts gerügt werden kann (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158 f.; Urteile 1C_406/2008 vom 5. Februar 2009 E. 1.2.3, 2C_704/2007 vom 1. April 2008 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>, und 2C_212/2007 vom 11. Dezember 2007 E. 3.1).
7.2.3 <ref-law> statuiert einen Anspruch des Einzelnen, von den staatlichen Organen nach Treu und Glauben behandelt zu werden. Damit unterscheidet sich dieser grundrechtliche Anspruch vom allgemeinen Verfassungsgrundsatz des <ref-law>, wonach die staatlichen Organe nach Treu und Glauben zu handeln haben (CHRISTOPH ROHNER, in: St. Galler Kommentar zur schweizerischen Bundesverfassung, 2. Aufl. 2008, N. 42 zu <ref-law>; Urteil 1P.256/2004 vom 29. Juni 2004 E. 3.1). Eine Verletzung des grundrechtlichen Vertrauensschutzes (<ref-law>) substanziiert der Beschwerdeführer nicht. Seine einzige Bezugnahme auf <ref-law> erschöpft sich in der Rüge des widersprüchlichen Verhaltens und damit im Willkürvorwurf.
7.3 Zu prüfen bleiben mithin behauptete Verletzungen des Willkürverbots und des rechtlichen Gehörs.
7.3.1 Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs sieht der Beschwerdeführer zur Hauptsache darin begründet, dass ihm bei der Auswahl und Beauftragung von Prof. Dr. R._ durch den Regierungsrat keine Mitwirkungsrechte eingeräumt wurden. Die Vorinstanz nahm an, die Regierung habe die schriftliche Meinung von Prof. Dr. R._ als Grundlage für ihren Entscheid eingeholt, ob sie ein Disziplinarverfahren einleiten wolle. Habe es sich nicht um ein im Disziplinarverfahren eingeholtes Gutachten gehandelt, könnten zum vornherein keine Mitwirkungsrechte des Beschwerdeführers verletzt sein. Entsprechend äusserte sie sich auch nicht zur Kritik des Beschwerdeführers gegenüber der Person von Prof. Dr. R._. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern die Würdigung des kantonalen Gerichts willkürlich sein soll. Zwar macht er geltend, die vorinstanzliche Feststellung, wonach das "Statement R._" nur Grundlage für den Entscheid zur Einleitung des Disziplinarverfahrens gewesen sei, decke sich nicht mit den Akten. Er legt aber nicht dar, worin die angebliche Aktenwidrigkeit konkret besteht. Dies wäre aber für eine genügende Willkürrüge erforderlich (vgl. E. 2 hievor).
7.3.2 Sodann moniert der Beschwerdeführer wiederholt, dass das rechtliche Gehör verletzt worden sei, weil er zu einer neuen rechtlichen Begründung nicht habe Stellung nehmen können. Diesbezüglich ist Folgendes festzuhalten: Ein Anspruch auf rechtliches Gehör besteht, wenn eine Behörde ihren Entscheid mit einem Rechtsgrund zu unterlegen beabsichtigt, der im bisherigen Verfahren nicht herangezogen wurde, auf den sich die Parteien nicht berufen haben und mit dessen Erheblichkeit im konkreten Fall sie nicht rechnen konnten (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 278 mit Hinweisen). Da der Beschwerdeführer es unterlassen hat, substanziiert darzutun, inwiefern die entsprechenden Voraussetzungen in casu gegeben sein sollen, ist auf diese Rüge nicht weiter einzugehen.
7.3.3 Mehrmals macht der Beschwerdeführer ferner eine Gehörsverletzung durch ungenügende Begründung geltend. Allgemein folgt aus dem Gehörsanspruch, dass die Begründung eines Entscheids so abgefasst sein muss, dass die betroffene Person ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Dazu müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf welche sich ihr Entscheid stützt. Das bedeutet indessen nicht, dass sie sich ausdrücklich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 2b S. 102 f. mit Hinweisen). Vorliegend kommt entscheidwesentlich hinzu, dass Kostenentscheide nur summarisch zu begründen sind (E. 7.1 hievor). Diesen Anforderungen genügt der vorinstanzliche Entscheid.
7.3.4 Der Beschwerdeführer bemängelt des Weitern, dass die Vorinstanz die von ihm beantragten zusätzlichen Beweise nicht abgenommen und dadurch das rechtliche Gehör verletzt habe. Wie hievor erwähnt wurde (vgl. E. 6.2), ergeht der Prozesskostenentscheid auf Grund der vorliegenden Aktenlage und ohne weitere Beweisabnahmen.
7.3.5 Schliesslich beanstandet der Beschwerdeführer eine Verletzung des rechtlichen Gehörs durch ungenügende Begründung und Nichtabnahme von Beweisen im Disziplinarverfahren. Er listet angebliche, in diesem Zusammenhang begangene Fehler auf und rügt diese auf eine Weise, als ob das Bundesgericht auch den erstinstanzlichen Entscheid zu überprüfen vermöchte, was - abgesehen von gewissen Ausnahmen (sog. Dorénaz-Praxis; <ref-ruling> E. 2 S. 144; <ref-ruling> E. 8b S. 395; je mit Hinweisen) - nicht der Fall ist (<ref-law>). Vielmehr wäre darzutun, inwiefern das kantonale Gericht dadurch, dass im vorinstanzlichen Entscheid die Prozessaussichten trotz vermeintlicher formeller Fehler im Disziplinarverfahren negativ beurteilt wurden, den ihm zustehenden Beurteilungsspielraum willkürlich überschritten hat. Dies legt der Beschwerdeführer nicht substanziiert dar.
7.3.6 Der Beschwerdeführer vermag somit keine Verletzung des rechtlichen Gehörs aufzuzeigen.
7.4 Gemäss Beschluss des Regierungsrats vom 31. März 2009 stellt der Bericht der DUK vom 18. März 2009 integrierenden Bestandteil dar. Dieser Bericht wirft dem Beschwerdeführer folgende Pflichtverletzungen vor (S. 35):
"1. Festlegung des Ferienantritts in Kenntnis des Verhandlungsplans auf den Tag nach seinem Plädoyer, obwohl danach noch die Plädoyers der Verteidigung und die Möglichkeit zur Replik folgten und obwohl die Ferien problemlos einige Tage später hätten angetreten werden können.
2. Bekanntgabe des Verzichts auf die Replik am 2. Juli 2008, ohne die Plädoyers der Verteidiger in der darauf folgenden Woche abzuwarten und unter Hinweis auf die Abreise in die Ferien.
3. Unzureichende Orientierung des Oberstaatsanwalts über die eigenen Ferienplanung, die vorzeitige Abreise in die Ferien und die Abwesenheit während der letzten drei Verhandlungstage (anders als im Schreiben an das Amtsgericht vom 27. Mai 2008).
4. Abreise in die Ferien am 9. Juli 2008, obwohl an den drei letzten Verhandlungstagen (9.,10. und 11. Juli 2008) die Verteidiger noch ihre Plädoyers hielten und der Staatsanwaltschaft Gelegenheit zur Replik gegeben war, ohne sich um eine angemessene Vertretung der Staatsanwaltschaft zu kümmern.
Durch dieses Verhalten hat der Beschwerdeführer die jedem Staatsanwalt obliegende Pflicht verletzt, den staatlichen Strafanspruch optimal zu vertreten und durchzusetzen, den Vorbringen der Verteidiger wirksam zu begegnen und das Gericht vom eingeklagten Sachverhalt zu überzeugen. Ausserdem habe er der Justiz und der solothurnischen Staatsanwaltschaft Schaden zugefügt."
Durch dieses Verhalten hat der Beschwerdeführer die jedem Staatsanwalt obliegende Pflicht verletzt, den staatlichen Strafanspruch optimal zu vertreten und durchzusetzen, den Vorbringen der Verteidiger wirksam zu begegnen und das Gericht vom eingeklagten Sachverhalt zu überzeugen. Ausserdem habe er der Justiz und der solothurnischen Staatsanwaltschaft Schaden zugefügt."
7.5 7.5.1 Nach den Erwägungen der Vorinstanz wäre eine Dienstpflichtverletzung durch unzeitigen Ferienbeginn (d.h. die Vorwürfe gemäss Ziff. 1, 2 und 4 des DUK-Berichts) mutmasslich zu schützen gewesen. Laut <ref-law> habe der Staatsanwalt die Anklage vor Gericht zu vertreten. Diese grundsätzliche Vertretungspflicht sei nie in Frage gestanden. Es sei einzig darum gegangen, ob der Beschwerdeführer auch nach seinem Plädoyer noch hätte weiter anwesend sein müssen. Die gehörige Wahrung des Strafanspruchs des Staates hätte dies erfordert. Die Dienstpflichtverletzung sei auch unabhängig von einer allfälligen Gefährdung des staatlichen Strafanspruchs zu bejahen. Allein entscheidend sei, dass der Beschwerdeführer bis zum Schluss hätte anwesend sein müssen.
7.5.2 Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, auf Grund der Übergangsbestimmungen - § 122 Abs. 3 GO in Verbindung mit <ref-law> - wäre noch das bis 31. Juli 2005 geltende alte Recht anwendbar gewesen. Das kantonale Gericht habe stattdessen in willkürlicher Auslegung das neue Recht - <ref-law> in Verbindung mit § 75 Abs. 2 GO - angewendet. Während nach <ref-law> der Staatsanwalt die Anklage vor Gericht zu vertreten habe, sei gemäss dem bis zum 31. Juli 2005 geltenden Untersuchungsrichtermodell die Arbeit des Untersuchungsrichters grundsätzlich mit der Überweisung der Schlussverfügung an das Gericht abgeschlossen gewesen. In Strafsachen vor Amtsgericht sei der Staatsanwalt nur ausnahmsweise aufgetreten, nämlich gemäss § 73 Abs. 2 aGO "im Einverständnis mit dem Amtsgerichtspräsidenten". Die Amtsgerichtspräsidentin habe den Umfang der Teilnahmepflicht der Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 15. Mai 2008 und der Vorladung vom 16. Mai 2008 in dem Sinne bestimmt, als dieser das Erscheinen am 9., 10. und 11. Juli 2008 freigestellt worden war. Der Staatsanwaltschaft sei es damit - da altes Recht zur Anwendung gelangt sei - völlig frei gestanden, ob sie an der Verhandlung ab dem 9. Juli 2008 teilnehme oder nicht. Eine Dienstpflichtverletzung stehe demnach ausser Frage.
7.5.3 Ob altes oder neues Recht heranzuziehen ist, muss nicht abschliessend beurteilt werden. Die Vorinstanz hat zwischen der grundsätzlichen Verpflichtung zur Anklagevertretung (dem "Ob" der Teilnahme) und deren Umfang unterschieden. Sie begründete ihren Entscheid nicht damit, dass die Staatsanwaltschaft auf Grund von <ref-law> gesetzlich verpflichtet gewesen wäre, bis zum Schluss zu bleiben. Aus dieser Bestimmung leitete sie lediglich ab, dass eine generelle - auch seitens des Beschwerdeführers nicht bestrittene - Verpflichtung bestanden habe, den aussergewöhnlichen Fall vor Gericht zu vertreten. Umstritten sei nur die Teilnahme "für den weiteren Gang der Verhandlungen" gewesen. Mit ihrer Verfügung vom 15. Mai 2008 habe die Amtsgerichtspräsidentin ihm für die letzten drei Tage das Erscheinen freigestellt und damit kundgetan, dass aus Sicht des Gerichts seine weitere Anwesenheit nicht zwingend erforderlich war. Eine weitere Teilnahme sei der Staatsanwaltschaft dadurch aber "nicht verwehrt (gewesen); genau gleich wie ein vom Erscheinen dispensierter Verteidiger musste die Staatsanwaltschaft selber entscheiden, ob die gehörige Wahrung der von ihr zu vertretenden Interessen trotzdem die Anwesenheit an der Verhandlung erforderte". Die Vorinstanz ging somit nicht davon aus, dass auf Grund von <ref-law> eine konkrete gesetzliche Pflicht der Staatsanwaltschaft bestanden hätte, bis zum Schluss anwesend zu sein. Die Schlussfolgerung einer Pflichtverletzung bildete vielmehr Ergebnis einer Interessenabwägung. Zur gehörigen Wahrung des Strafanspruchs hätte sich der Beschwerdeführer für ein Verbleiben bis zum Schluss entscheiden müssen. Sie leitete somit den Disziplinarfehler nicht aus der Erfüllung eines gesetzlich bestimmt umschriebenen Tatbestandes ab, sondern aus einer mit der verantwortungsvollen Stellung als Staatsanwalt allgemein verbundenen Pflicht, eine mit dieser Stellung unvereinbare Handlung zu unterlassen. Entsprechend stösst der Beschwerdeführer auch mit seinen Ausführungen zur Verbotskenntnis ins Leere, zumal er in diesem Zusammenhang ebenfalls lediglich Fehlerhaftigkeit des Entscheids geltend macht. Fehlerhaftigkeit erfüllt die qualifizierten Anforderungen an Willkür indes nicht (vgl. E. 2 hievor).
7.5.4 Der Regierungsrat nahm an, die vorgeworfenen Pflichtverletzungen hätten eine (zumindest abstrakte) Gefährdung des staatlichen Strafanspruchs bewirkt. Ausserdem hätten sie dem Ansehen der solothurnischen Justiz geschadet; es bestehe ein öffentliches Interesse, dass die im Strafwesen tätigen Akteure, namentlich wenn sie in einer öffentlichen Hauptverhandlung aufträten, durch möglichst korrektes Verhalten dafür sorgten, dass das Vertrauen der Bevölkerung in die Strafbehörden gewahrt bleibe (Bericht der DUK vom 18. März 2009, E. 4.3.4). Es trifft zu, wie der Beschwerdeführer einwendet, dass die Vorinstanz die Pflicht, im vorliegenden Fall bis zum Schluss an der Hauptverhandlung teilzunehmen, nicht mit der - abstrakten oder konkreten - Gefährdung des staatlichen Strafanspruchs begründete. Vielmehr führt sie aus, auch wenn die Positionen der Verteidigung weitgehend bekannt gewesen seien, hätte erst nach Anhören der Plädoyers entschieden werden können, ob Anlass zu einer Replik bestanden hätte. Dies sei nicht nur dann der Fall, wenn seitens der Verteidigung Noven vorgebracht würden, sondern etwa auch, um grobe Verzerrungen richtigzustellen. Dabei gehe es u.a. darum, dass nur durch den mündlichen Vortrag die Öffentlichkeit, welche die Akten nicht kenne, kein falsches Bild erhielte. Die Vorinstanz hat mit dieser Begründungslinie im Vergleich zum Beschluss des Regierungsrats das Gewicht verstärkt auf den Aspekt gelegt, dass die konsequente Anklagevertretung bis zum Schluss insbesondere notwendig sei, um das Vertrauen der Öffentlichkeit in das Verfahren zu gewährleisten. Diese Würdigung ist nicht unhaltbar und damit nicht willkürlich (vgl. E. 2 hiervor).
7.6 Soweit sich der Beschwerdeführer sodann zum Vorwurf äussert, dem Ansehen der Justiz und der Staatsanwaltschaft geschadet zu haben, ist nicht weiter darauf einzugehen. Das kantonale Gericht hat unmissverständlich erkannt, dass die schuldhafte Dienstpflichtverletzung für die Anordnung disziplinarischer Massnahmen genüge; einer Schädigung bedürfe es nicht. Inwiefern die in der Folge dennoch getätigten Ausführungen zum Imageschaden (und dessen Bejahung) für den Entscheid der Vorinstanz, die Beschwerde wäre mutmasslich abzuweisen gewesen, von Bedeutung waren, ist nicht ersichtlich. Der Beschwerdeführer unterlässt es denn auch, Entsprechendes darzutun.
7.7 Ferner hielt die Vorinstanz dafür, dass die weitere im Beschluss der Regierung festgestellte Pflichtwidrigkeit - die ungenügende Information des Oberstaatsanwalts (vgl. Ziff. 3 des Berichts der DUK vom 18. März 2009; vorne E. 7.4) - mutmasslich ebenfalls zu bejahen gewesen wäre. Das kantonale Gericht konnte willkürfrei davon ausgehen, dass die Dienstpflicht des Beschwerdeführers auch die Befolgung von Weisungen des Oberstaatsanwalts umfasste und er letztere Pflicht verletzt hatte, indem er, ohne vorgängig den Oberstaatsanwalt entsprechend zu informieren, am 2. Mai 2008 in der Verhandlung bekanntgab, er werde ab dem 9. Juli 2008 nicht mehr anwesend sein; dies insbesondere vor dem Hintergrund, dass dieser ihm zuvor auf erste Anfrage beschieden hatte, er müsse seine Ferien verschieben und an der Verhandlung teilnehmen. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, erfüllt die Anforderungen an eine Willkürrüge nicht und erschöpft sich in appellatorischer Kritik.
7.8 Entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers trifft es schliesslich nicht zu, dass die Vorinstanz einzelne der im Beschluss des Regierungsrats angenommenen Dienstpflichtverletzungen verneint und daher ein jedenfalls teilweises Obsiegen resultiert hätte (vgl. E. 7.5.4 hievor). Insgesamt erachtete das kantonale Gericht gestützt auf eine summarische Prüfung die vom Regierungsrat ausgesprochene Sanktion vielmehr als nicht unangemessen. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung der Verhältnismässigkeit der Strafzumessung, weshalb der Kostenentscheid ebenfalls willkürlich sei. Konkret macht er einzig geltend, dass sein bisheriges Verhalten als Staatsanwalt seit Juni 1987 im Dienste seines Arbeitgebers nicht gewürdigt worden sei. Er substanziiert jedoch nicht, inwiefern dadurch die vom Regierungsrat verhängte Sanktion und damit auch die entsprechende Beurteilung der Prozessaussichten im vorinstanzlichen Kostenentscheid im Ergebnis klar unhaltbar und damit willkürbehaftet gewesen sein sollten.
7.8 Entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers trifft es schliesslich nicht zu, dass die Vorinstanz einzelne der im Beschluss des Regierungsrats angenommenen Dienstpflichtverletzungen verneint und daher ein jedenfalls teilweises Obsiegen resultiert hätte (vgl. E. 7.5.4 hievor). Insgesamt erachtete das kantonale Gericht gestützt auf eine summarische Prüfung die vom Regierungsrat ausgesprochene Sanktion vielmehr als nicht unangemessen. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung der Verhältnismässigkeit der Strafzumessung, weshalb der Kostenentscheid ebenfalls willkürlich sei. Konkret macht er einzig geltend, dass sein bisheriges Verhalten als Staatsanwalt seit Juni 1987 im Dienste seines Arbeitgebers nicht gewürdigt worden sei. Er substanziiert jedoch nicht, inwiefern dadurch die vom Regierungsrat verhängte Sanktion und damit auch die entsprechende Beurteilung der Prozessaussichten im vorinstanzlichen Kostenentscheid im Ergebnis klar unhaltbar und damit willkürbehaftet gewesen sein sollten.
7.9 7.9.1 Der Beschwerdeführer hatte bereits vor Vorinstanz geltend gemacht, er hätte schon ab dem 25. Juni 2008 krankgeschrieben werden müssen und sei deshalb ohnehin nicht mehr zur Arbeitsleistung verpflichtet gewesen. Somit habe er durch sein Verreisen in die Ferien auch keine Dienstpflichten verletzt, selbst wenn solche grundsätzlich bejaht würden. Das kantonale Gericht nahm gestützt auf die Akten - namentlich das eine Arbeitsunfähigkeit erst ab dem 21. August 2008 bescheinigende Arztzeugnis des PD Dr. med. W._ vom 27. August 2008 - sowie die Tatsache, dass der Beschwerdeführer den Oberstaatsanwalt nicht über seine gesundheitlichen Probleme informiert und in dem von ihm verfassten Factsheet vom 7. August 2008 ausgeführt hatte, wenn er gewusst hätte, dass seine Abwesenheit von den Medien derart aufgebauscht würde, hätte er seinen Ferienbeginn um drei weitere Tage hinausgeschoben, was ohne weiteres möglich gewesen wäre, an, dass der Beschwerdeführer gesundheitlich nicht derart beeinträchtigt gewesen sei, dass er nicht hätte bis zum Schluss an der Hauptverhandlung teilnehmen können. Seine Beweisanträge vom 4./25. Februar 2010 auf Einholung weiterer Berichte beim Hausarzt und bei PD Dr. med. W._ bzw. eines ärztlichen Gutachtens sowie auf Einvernahme der Ärzte wies es ab.
7.9.2 Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Betrachtungsweise kann die vorinstanzliche Beweiswürdigung auf Grund der Akten nicht als willkürlich qualifiziert werden. Der Beschwerdeführer legt denn auch nicht dar, inwiefern die Vorinstanz von Tatsachen ausgegangen wäre, die auf einem klaren Widerspruch zu den Akten oder offenkundigen Fehlern beruhten. Er verkennt klarerweise die Voraussetzungen, derer es zur Annahme von Willkür bedürfte. So führt er aus, insbesondere lasse sich "aus den beiden Arztberichten (...) gerade nicht zwingend und zweifelsfrei ableiten", dass er nicht schon vor dem 21. August 2008 arbeitsunfähig gewesen sei. Dies sei "nicht bloss nicht zwingend", sondern "nicht einmal überwiegend wahrscheinlich". Auch die weiteren vom Verwaltungsgericht angeführten Beweisumstände ergäben kein anderes Bild. Die Zeugenaussagen und die fehlende Krankschreibung Ende Juni/Anfang Juli 2008 stellten ebenso wenig wie die nicht erfolgte Information des Oberstaatsanwalts oder die Nichterwähnung der Krankheit im Factsheet vom 7. August 2008 "zwingende (und damit von vornherein zweifelsfreie) Indizien" dar. Willkür liegt jedoch nicht bereits vor, wenn ein einzelnes Element der Beweiswürdigung "nicht zwingend" ist. Vielmehr müsste die Annahme, dass der Beschwerdeführer an der Verhandlung arbeitsfähig war, "in klarem Widerspruch" zur tatsächlichen Situation gestanden haben. Dies ist offensichtlich nicht der Fall. Eine konkrete Aktenwidrigkeit und damit Willkür rügt der Beschwerdeführer einzig in Bezug auf die Annahme der Vorinstanz, er sei psychisch angespannt gewesen. Darauf muss nicht weiter eingegangen werden, da der entsprechende Umstand zu seinen Gunsten gesprochen hätte und für den Entscheid der Vorinstanz nicht ausschlaggebend war.
8. 8.1 Mit dem Entscheid des Regierungsrats vom 31. März 2009 wurden dem Beschwerdeführer Verfahrenskosten in Höhe von Fr. 10'000.- überbunden. Beschwerdeweise liess er vorinstanzlich auch diese Kostenauflage anfechten. Das kantonale Gericht nahm an, mit der Gegenstandslosigkeit des Disziplinarverfahrens sei die Grundlage für die Auferlegung von Kosten des Disziplinarverfahrens entfallen, da gemäss § 29 Abs. 2 des kantonalen Gesetzes vom 26. Juni 1966 über die Haftung des Staates, der Gemeinden, der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten und Arbeiter (Verantwortlichkeitsgesetz, VG; BGS 124.21) einem Beschuldigten nur im Falle einer Bestrafung Untersuchungskosten auferlegt werden dürften.
8. 8.1 Mit dem Entscheid des Regierungsrats vom 31. März 2009 wurden dem Beschwerdeführer Verfahrenskosten in Höhe von Fr. 10'000.- überbunden. Beschwerdeweise liess er vorinstanzlich auch diese Kostenauflage anfechten. Das kantonale Gericht nahm an, mit der Gegenstandslosigkeit des Disziplinarverfahrens sei die Grundlage für die Auferlegung von Kosten des Disziplinarverfahrens entfallen, da gemäss § 29 Abs. 2 des kantonalen Gesetzes vom 26. Juni 1966 über die Haftung des Staates, der Gemeinden, der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten und Arbeiter (Verantwortlichkeitsgesetz, VG; BGS 124.21) einem Beschuldigten nur im Falle einer Bestrafung Untersuchungskosten auferlegt werden dürften.
8.2 8.2.1 Der Beschwerdeführer rügt, damit habe die Vorinstanz unberücksichtigt gelassen, dass er in diesem Punkt - unabhängig von der Beschwerdegutheissung in der Sache selbst - mutmasslich obsiegt hätte. Die Untersuchungskosten seien nämlich vom Beschwerdegegner unzulässigerweise mit Personalkosten belegt worden (§ 2 Gebührentarif vom 24. Oktober 1979 [GebT, BGS 615.11]). Honorare stellten weder Auslagen noch Gebühren gemäss § 17 GebT dar. Die diesbezügliche Würdigung der Prozessaussichten erweise sich daher als willkürlich.
8.2.2 Wird das Disziplinarverfahren gegenstandslos, werden damit nicht auch die in diesem Verfahren gesprochenen Kosten gegenstandslos. Über diese ist vielmehr noch zu entscheiden. Davon ging im Prinzip auch die Vorinstanz aus. Ihre Begründung ("mit dem Wegfall der Disziplinarmassnahme entfällt damit auch die Grundlage für die Auferlegung von Kosten") läuft aber darauf hinaus, dass sie dennoch aus der Gegenstandslosigkeit der Hauptsache die Gegenstandslosigkeit der Verfahrenskosten ableitet. Diese Begründung ist willkürlich, da widersprüchlich. Das kantonale Gericht hätte vielmehr prüfen müssen, wie die Kosten zu belasten gewesen wären, wenn die Sache nicht gegenstandslos geworden wäre. Soweit der Regierungsrat die strittigen Verfahrenskosten zu Recht erhob, hätte sie diese - angesichts des mutmasslichen Prozessausgangs - ebenfalls dem Beschwerdeführer auferlegen müssen. Soweit jedoch die Kosten nach kantonalem Recht grundsätzlich nicht hätten erhoben werden dürfen, hätten sie unabhängig vom Unterliegen in der Hauptsache aufgehoben und bei der Beurteilung des Obsiegens berücksichtigt werden müssen. Indessen genügt es nicht, dass eine Begründung willkürlich ist, damit ein Entscheid aufzuheben ist. Vielmehr muss er auch im Ergebnis willkürlich sein (E. 2 hievor). Die Vorinstanz ging in ihrer Begründung davon aus, dass es sich bei den auferlegten Kosten um einen Anteil der Untersuchungskosten gemäss § 29 Abs. 2 VG handelte. Die Untersuchungskosten im Betrag von insgesamt Fr. 140'349.- setzten sich rund je zur Hälfte aus den Honoraren der beiden externen Mitglieder der DUK und den (intern verrechneten) Personalkosten der beiden internen Mitglieder zusammen. Der Gebührentarif unterscheidet zwischen Gebühren (§ 1, 3 und 17 ff.) und Auslagen (§ 2). Dies entspricht der allgemeinen Unterscheidung zwischen Gebühren und Kosten/Barauslagen, wobei die Gebühren das Entgelt für eine bestimmte, von der pflichtigen Person veranlasste bzw. verursachte Amtshandlung sind und den dem Gemeinwesen dadurch entstandenen Aufwand decken, während zu den Kosten oder Auslagen jene Aufwendungen zählen, die im Rahmen der Vornahme einer Amtshandlung tatsächlich angefallen sind. Die (Spruch- oder Gerichts-)Gebühr deckt daher die allgemeinen Aufwendungen der Behörde, insbesondere deren Personal- und Infrastrukturkosten. Daraus folgt, dass jene Kosten nicht als Barauslagen zu zählen sind, die aus einer gebührenpflichtigen Tätigkeit der Verwaltung erwachsen; vielmehr sind diese aus dem Gebührenerlös zu bestreiten. Nicht zu den Barauslagen gehören daher Kosten, die sich aus dem Beizug einer Privatperson zur Erfüllung einer angestammten Aufgabe der Behörden ergeben (KÖLZ/BOSSHART/RÖHL, Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 2. Aufl. 1999, N. 6 zu § 13; REBECCA HIRT, Die Regelung der Kosten nach st. gallischem Verwaltungsrechtspflegegesetz, 2004, S. 51 f.). Entsprechend wurde in der kantonalen Praxis schon entschieden, dass die Entschädigung für den Vorsitzenden einer Disziplinarkommission, welcher nicht der öffentlichen Verwaltung angehört, keine Barauslage, sondern eine Gebühr darstellt (vgl. den Hinweis bei Hirt, a.a.O., S. 52 bei Anm. 55 [auf einen Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen]). Wie es sich damit verhält, kann jedoch offenbleiben. Auch wenn davon auszugehen wäre, dass der dem Kanton entstandene Personalaufwand für die DUK nur im Rahmen der Gebühr auf den Beschwerdeführer überwälzt werden durfte, erweist sich der Kostenentscheid der Vorinstanz nicht als willkürlich. Gemäss § 17 Abs. 1 GebT beträgt der diesbezüglich zu veranschlagende Höchstansatz Fr. 5'000.-. § 3 Abs. 3 GebT sieht sodann vor, dass in besonders umfangreichen und zeitraubenden Fällen - die Voraussetzung ist hier offensichtlich erfüllt - die Gebühr bis zum Anderthalbfachen des Maximalansatzes erhöht werden kann, also bis Fr. 7'500.-. Folglich wäre lediglich im Ausmass von Fr. 2'500.- ein Ermessensmissbrauch durch Überschreitung des Gebührenrahmens vorgelegen. Auch wenn somit in diesem Umfang von einem Obsiegen des Beschwerdeführers - unabhängig vom Unterliegen in der Hauptsache - hätte ausgegangen werden müssen, wäre es angesichts der vergleichsweisen Bedeutung der Hauptsache nicht geradezu willkürlich gewesen, wenn die Vorinstanz die Kosten insgesamt dem Beschwerdeführer auferlegt hätte. Geringfügiges Obsiegen muss sich nicht zwingend niederschlagen.
9. Infolge Unterliegens hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Auf Grund des nicht unerheblichen Aufwands rechtfertigt sich ein Abweichen von dem in <ref-law> vorgesehen Kostenrahmen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner seinerseits kann keine Parteientschädigung beanspruchen (<ref-law>; vgl. Urteil 1C_279/2007 vom 25. März 2008 E. 3 mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. September 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Fleischanderl