Sachverhalt:
A. Die aus ... stammende S._ arbeitete ab 16. Dezember 1996 als Krankenschwester im Alters- und Pflegeheim M._. Vom 27. November bis 12. Dezember 1997 war sie zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. Am 15. Dezember 1997 kündigte ihr die Heimleitung fristlos wegen unbegründeten Fernbleibens vom Arbeitsplatz. Ab 16. Dezember 1997 bezog S._ - nach einer Wartezeit von 30 Tagen - Krankentaggelder aufgrund einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % bis 14. März 1998, von 50 % vom 15. bis 30. März 1998 und erneut von 100 % ab 21. August 1998. Ab 9. Februar 1999 unterzog sich S._ einer ambulanten Behandlung in der Psychiatrischen Universitätspoliklinik des Spitals X._. Es folgte ein stationärer Aufenthalt in der Psychiatrischen Klinik Y._ vom 23. März bis 9. April 1999. Im Dezember 1999 meldete sich S._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen sprach ihr die IV-Stelle Basel-Stadt mit Verfügungen vom 9. Januar 2003 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 81 % ab 1. Dezember 1998 eine ganze Rente, ab 1. Februar 2000 samt einer Zusatzrente für ihren Ehemann zu.
S._ war (auch nach ihrer Heirat am 22. Februar 2000) im Rahmen ihrer Tätigkeit als Krankenschwester im Alters- und Pflegeheim M._ bei der Stiftung Z._ berufsvorsorgeversichert gewesen. Diese lehnte ihr Gesuch um Ausrichtung einer Rente der beruflichen Vorsorge mit Schreiben vom 20. November 2003 und 1. Juli 2004 ab.
B. Am 12. Mai 2005 liess S._ beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt Klage gegen die Stiftung Z._ einreichen mit den Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihr eine Rente in noch zu bestimmender Höhe rückwirkend ab 1. Dezember 1998 auszurichten.
Das kantonale Gericht holte die Klageantwort ein, zog die IV-Akten bei, wozu die Parteien Stellung nehmen konnten, und führte einen zweiten Schriftenwechsel durch. Mit Entscheid vom 16. Oktober 2008 hiess es die Klage gut. Es verpflichtete die Beklagte, der Klägerin ab Dezember 1998, allenfalls nach Erschöpfung der Taggeldzahlungen, bis April 2006 eine ganze Rente und ab Mai 2006 eine halbe Rente auszurichten.
C. Die Stiftung Z._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 16. Oktober 2008 sei aufzuheben und die Klage abzuweisen, eventualiter die Sache zur Neubeurteilung an das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt zurückzuweisen.
S._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die am Recht stehende Vorsorgeeinrichtung war nicht ins IV-Verfahren einbezogen worden. Die invalidenversicherungsrechtliche Festsetzung des Invaliditätsgrades und des Zeitpunkts der Entstehung des Rentenanspruchs resp. des Beginns der Wartezeit (Art. 26 Abs. 1 BVG in Verbindung mit aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG, in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2007) sind daher für das Berufsvorsorgegericht nicht verbindlich (<ref-ruling>; Urteil 9C_689/2008 vom 25. Februar 2009 E. 1.2). Dies gilt nicht nur für den Obligatoriumsbereich, sondern auch für den Bereich der weitergehenden Vorsorge.
2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe Art. 14 Ziff. 1 des massgebenden Vorsorgereglements (Ausgabe 1997) nicht angewendet resp. nicht berücksichtigt, was eine Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>), insbesondere des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) darstelle. Diese Rüge ist unbegründet. Nach der erwähnten Bestimmung trifft der Stiftungsrat den Entscheid über das Bestehen von Invalidität nach Erwägen der Berichte des Arbeitgebers und der vom Stiftungsrat bezeichneten Ärzte. Er berücksichtigt die Entscheide der Sozialversicherungen. Art. 14 Ziff. 1 des Vorsorgereglements wird zwar im angefochtenen Entscheid nicht erwähnt. Dies ist jedoch insofern nicht von Bedeutung, als die Vorinstanz bei der Beurteilung der streitigen Leistungspflicht nicht zwischen obligatorischer und weitergehender Vorsorge unterschieden hat und somit für beide Bereiche vom selben Invaliditätsbegriff wie in der Invalidenversicherung ausgegangen ist. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern dies Bundesrecht verletzt, insbesondere einer bestimmten festen Praxis des Stiftungsrates widerspricht. Aus dem Nichteinbezug in das IV-Verfahren und der fehlenden Bindungswirkung der rentenrelevanten Feststellungen der IV-Stelle folgt im Besonderen nicht die Anwendbarkeit von Art. 14 Ziff. 1 des Vorsorgereglements im Obligatoriumsbereich.
3. 3.1 Der Anspruch auf Invalidenleistungen der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge setzt voraus, dass die Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich der Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) eingetreten ist (Art. 23 BVG in der bis 31. Dezember 2004 gültig gewesenen Fassung). Unter Arbeitsunfähigkeit ist die Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich zu verstehen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23 mit Hinweisen). Sie muss mindestens 20 Prozent betragen (SVR 2008 BVG Nr. 34, 9C_127/2008 E. 2.3 mit Hinweisen).
3.2 Mit der fristlosen Kündigung am 15. Dezember 1997 wurde das Arbeitsverhältnis als Krankenschwester im Alters- und Pflegeheim M._ faktisch und rechtlich aufgelöst (<ref-ruling> E. 3b S. 271). Unter Berücksichtigung der auch in Fällen einseitiger Vertragsauflösung zum Zuge kommenden einmonatigen Nachdeckungsfrist gemäss Art. 10 Abs. 3 BVG (Urteil 9C_689/2008 vom 25. Februar 2009 E. 2.3 mit Hinweis) endete das Vorsorgeverhältnis am 14. Januar 1998, bei Kündigung zur Unzeit im Sinne von Art. 336c Abs. 1 lit. b OR 30 Tage später. Die Vorinstanz hat festgestellt, die Klägerin sei wegen einer leichten bis mittelschweren depressiven Episode ab 18. November 1997 behandelt worden und es habe ab 27. November 1997 bis 14. März 1998 eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % bestanden. Entgegen den Vorbringen in der Beschwerde kann somit nicht davon gesprochen werden, die Vorinstanz habe den Zeitpunkt der berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit nach aArt. 23 BVG nicht geprüft und insoweit den rechtserheblichen Sachverhalt unvollständig festgestellt. Im Übrigen ist die vorinstanzliche Feststellung einer im November 1997 eingetretenen psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit nicht offensichtlich unrichtig und beruht auch nicht auf einer unhaltbaren Beweiswürdigung. Das Vorbringen, die medizinischen Akten böten keinerlei Hinweise, dass die depressive Erkrankung nicht mit einer zumutbaren Willensanstrengung überwindbar wäre und somit keine invalidenversicherungsrechtlich relevante Arbeitsunfähigkeit bestanden habe, stellt eine unzulässige appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung dar (Urteil 9C_882/2007 vom 11. April 2008 E. 5.1). In diesem Zusammenhang trifft zwar zu, dass Dr. med. I._ im Gutachten vom 24. März 2006 festhielt, es seien Persönlichkeitsstrukturen, welche dazu geführt hätten, dass die Explorandin erstmals 1997 psychisch dekompensiert habe. Er äusserte den Verdacht auf narzisstische Persönlichkeitszüge, welche Problematik in die Adoleszenz zurückgehe. Diese fachärztlichen Aussagen werfen in der Tat die Frage auf, ob die Gründe für die im November 1997 aufgetretene Arbeitsunfähigkeit nicht eher in der seit dem Heranwachsen mithin während der ganzen Berufstätigkeit als Krankenschwester bestandenen Persönlichkeitsstörung denn in der depressiven Störung lagen. Die Bejahung dieser Frage spräche gegen den invalidisierenden Charakter der Ursache der damaligen Arbeitsunfähigkeit, wie in der Beschwerde insoweit zu Recht unter Hinweis auf das Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 35/06 vom 27. September 2006 E. 3.2.3 eingewendet wird. Offensichtlich unrichtig ist die vorinstanzliche Annahme einer in erster Linie durch die rezidivierende depressive Störung bedingten Arbeitsunfähigkeit dewegen indessen nicht.
4. 4.1 Der Anspruch auf Invalidenleistungen der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge setzt weiter einen engen sachlichen Zusammenhang zwischen der während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich der Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus. Der Gesundheitsschaden, der zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, muss von der Art her im Wesentlichen der selbe sein, der der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 22).
4.2 Die Vorinstanz hat festgestellt, Arbeitsunfähigkeit im Sinne von aArt. 23 BVG und Invalidität seien beide auf den selben Gesundheitsschaden, nämlich eine Depression, zurückzuführen. Die vorwiegend appellatorischen Vorbringen in der Beschwerde vermögen nicht darzutun, inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig ist (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; Urteil 9C_802/2008 vom 22. Dezember 2008 E. 1.2.1). Die in einzelnen ärztlichen Berichten erwähnte posttraumatische Belastungsstörung ist in diesem Zusammenhang nicht von Bedeutung (vgl. aber nachstehend E. 5). Insoweit bestehen auch keine widersprüchlichen Aussagen, zu welchen sich die Vorinstanz im Rahmen freier Beweiswürdigung hätte äussern müssen (<ref-ruling> E. 3a S. 352).
5. 5.1 Der Anspruch auf Invalidenleistungen der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge setzt weiter einen engen zeitlichen Zusammenhang zwischen der während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich der Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus. Dieser Konnex ist unterbrochen, wenn die Leistungsansprecherin während einer bestimmten Zeit wieder arbeitsfähig ist resp. die Arbeitsfähigkeit wiedererlangt hat oder bei Wiederherstellung der Erwerbsfähigkeit (<ref-ruling> E. 5.1 S. 25). Massgebend ist die Arbeitsunfähigkeit resp. Arbeitsfähigkeit in einer der gesundheitlichen Beeinträchtigung angepassten zumutbaren Tätigkeit (<ref-ruling> E. 5.3 S. 27).
5.2 Das kantonale Gericht hat festgestellt, vom 27. November 1997 bis 31. März 1998 habe wegen einer Depression eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit (100 % bis 14. März und 50 % vom 15. bis 31. März 1998) bestanden. Mit Zeugnis vom 30. Oktober 1998 habe Dr. med. K._ ab 21. August 1998 wegen einer «depressiven Entwicklung» erneut eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit auf unbestimmte Zeit bescheinigt. Ab diesem Zeitpunkt seien bis mindestens Ende Januar 1999 wieder Krankentaggelder ausgerichtet worden. Es habe somit vom 27. November 1997 bis 31. März 1998 und danach wieder ab 21. August 1998 wegen eines depressiven Zustandes eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit bestanden. Daraus lasse sich schliessen, dass auch im Zeitraum April bis zum 20. August 1998 keine 100%ige Arbeitsfähigkeit habe vorliegen können. Ein relevanter Unterbruch der Arbeitsunfähigkeit müsse auch in Anbetracht der übrigen medizinischen Akten (insbesondere Bericht des Prof. Dr. med. H._ vom 22. Mai 2002 mit ergänzender Stellungnahme vom 12. Juli 2002 und Gutachten des Dr. med. I._ vom 24. März 2006) als unwahrscheinlich erachtet werden. Die von Dr. med. D._ am 9. März 1998 attestierte Arbeitsfähigkeit von 100 % ab 15. März 1998 habe sich als zu optimistische Prognose herausgestellt. Unter Berücksichtigung aller Gegebenheiten sei anzunehmen, dass die Klägerin seit November 1997 ohne relevanten Unterbruch in einem hohen Masse (mindestens 70 %) im angestammten Beruf und auch in Alternativtätigkeiten arbeitsunfähig gewesen sei. Der enge zeitliche Zusammenhang sei somit nicht unterbrochen worden. Zu berücksichtigen sei jedoch, dass sich gemäss Dr. med. I._ (Gutachten vom 24. März 2006 und präzisierende Stellungnahme vom 13. August 2007) der psychische Gesundheitszustand zwischen Frühsommer/ Sommer 2005 bis zur Untersuchung im Februar 2006 langsam, aber kontinuierlich verbessert habe. Ab diesem Zeitpunkt könne keine Arbeitsunfähigkeit von mehr als 50 % attestiert werden. Es sei auch anzunehmen, dass die Klägerin nach Beendigung der medikamentösen antidepressiven Behandlung Mitte März 1998 keine Antidepressiva mehr eingenommen habe, was gegen eine 100%ige Arbeitsfähigkeit in diesem Zeitraum spreche.
5.2 Das kantonale Gericht hat festgestellt, vom 27. November 1997 bis 31. März 1998 habe wegen einer Depression eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit (100 % bis 14. März und 50 % vom 15. bis 31. März 1998) bestanden. Mit Zeugnis vom 30. Oktober 1998 habe Dr. med. K._ ab 21. August 1998 wegen einer «depressiven Entwicklung» erneut eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit auf unbestimmte Zeit bescheinigt. Ab diesem Zeitpunkt seien bis mindestens Ende Januar 1999 wieder Krankentaggelder ausgerichtet worden. Es habe somit vom 27. November 1997 bis 31. März 1998 und danach wieder ab 21. August 1998 wegen eines depressiven Zustandes eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit bestanden. Daraus lasse sich schliessen, dass auch im Zeitraum April bis zum 20. August 1998 keine 100%ige Arbeitsfähigkeit habe vorliegen können. Ein relevanter Unterbruch der Arbeitsunfähigkeit müsse auch in Anbetracht der übrigen medizinischen Akten (insbesondere Bericht des Prof. Dr. med. H._ vom 22. Mai 2002 mit ergänzender Stellungnahme vom 12. Juli 2002 und Gutachten des Dr. med. I._ vom 24. März 2006) als unwahrscheinlich erachtet werden. Die von Dr. med. D._ am 9. März 1998 attestierte Arbeitsfähigkeit von 100 % ab 15. März 1998 habe sich als zu optimistische Prognose herausgestellt. Unter Berücksichtigung aller Gegebenheiten sei anzunehmen, dass die Klägerin seit November 1997 ohne relevanten Unterbruch in einem hohen Masse (mindestens 70 %) im angestammten Beruf und auch in Alternativtätigkeiten arbeitsunfähig gewesen sei. Der enge zeitliche Zusammenhang sei somit nicht unterbrochen worden. Zu berücksichtigen sei jedoch, dass sich gemäss Dr. med. I._ (Gutachten vom 24. März 2006 und präzisierende Stellungnahme vom 13. August 2007) der psychische Gesundheitszustand zwischen Frühsommer/ Sommer 2005 bis zur Untersuchung im Februar 2006 langsam, aber kontinuierlich verbessert habe. Ab diesem Zeitpunkt könne keine Arbeitsunfähigkeit von mehr als 50 % attestiert werden. Es sei auch anzunehmen, dass die Klägerin nach Beendigung der medikamentösen antidepressiven Behandlung Mitte März 1998 keine Antidepressiva mehr eingenommen habe, was gegen eine 100%ige Arbeitsfähigkeit in diesem Zeitraum spreche.
5.3 5.3.1 Es steht fest, dass Dr. med. D._, welcher die Beschwerdegegnerin seit November 1997 psychiatrisch behandelte, am 9. März 1998 eine Arbeitsfähigkeit von 50 % ab 15. März 1998 und wieder von 100 % ab 1. April 1998 bescheinigt hatte. Die Behandlung mit Antidepressiva hatte offenbar gewirkt. Sollte die Beschwerdegegnerin tatsächlich ab Mitte März 1998 die Medikamente nicht mehr eingenommen haben, wie die Vorinstanz ohne nähere Begründung angenommen hat, wäre unter dem Gesichtspunkt der Schadenminderungspflicht (Urteil 9C_937/2008 vom 23. März 2009 E. 4.2) jedenfalls eine darauf zurückzuführende Arbeitsunfähigkeit für die Frage der Unterbrechung des engen zeitlichen Zusammenhangs mit der später eingetretenen Invalidität nicht von Belang. Im Weitern steht fest, dass für die Zeit vom 1. April bis 20. August 1998 keine ärztlich attestierte Arbeitsunfähigkeit bestanden hatte. In diesen mehr als viereinhalb Monaten gelangten auch keine Krankentaggelder zur Ausrichtung. Am 21. August 1998 suchte die Beschwerdegegnerin ihren Hausarzt auf, welcher ihr am 30. Oktober 1998 wegen einer depressiven Entwicklung rückwirkend ab 21. August 1998 eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % bescheinigte. Ab 9. Februar 1999 unterzog sie sich einer ambulanten Behandlung in der Psychiatrischen Universitätspoliklinik des Spitals X._, welcher ein stationärer Aufenthalt in der Psychiatrischen Klinik Y._ vom 23. März bis 9. April 1999 folgte.
5.3.2 Aufgrund dieser Aktenlage bestehen zwar Zweifel daran, dass im Zeitraum vom 1. April bis 20. August 1998 eine erhebliche psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit bestand, wie die Vorinstanz festgestellt hat. Ebenso plausibel erschiene die Annahme einer grundsätzlich nicht eingeschränkten Arbeitsfähigkeit jedenfalls in einer der gesundheitlichen Beeinträchtigung angepassten zumutbaren Tätigkeit. Dies genügt indessen nicht, um sagen zu können, die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung sei offensichtlich unrichtig (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; Urteil 9C_637/2008 vom 6. Oktober 2008). Selbst wenn im Übrigen während der Zeit vom 1. April bis 20. August 1998 wieder volle Arbeitsfähigkeit bestanden haben sollte, bedeutete dies nicht zwingend die Bejahung eines wesentlichen Unterbruchs des engen zeitlichen Zusammenhangs. <ref-law> und <ref-law> sind entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht sinngemäss anwendbar, sondern haben lediglich den Charakter einer Richtschnur (<ref-ruling> E 3.2.1 S. 22; <ref-ruling> E. 2c/aa und bb S. 117 f.). Ebenfalls stellt der Umstand, dass die Vorinstanz wesentlich auch auf später verfasste fachärztliche Berichte abgestellt hat, keine unhaltbare Beweiswürdigung dar. Ärztlichen Berichten kann denn auch nicht allein deshalb der Beweiswert abgesprochen werden, weil und soweit sie sich retrospektiv zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit äussern, zu welchem Zwecke ja häufig insbesondere Aktengutachten erstellt werden. In diesem Zusammenhang kann auch nicht von einer Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes gesprochen werden (Art. 73 Abs. 2 BVG; Urteil 9C_339/2007 vom 5. März 2008 E. 5.1.2), wenn die Vorinstanz diesbezüglich auf weitere Abklärungen, von denen ohnehin keine verwertbaren neuen Erkenntnisse zu erwarten waren, verzichtet und den rechtserheblichen Sachverhalt als hinreichend abgeklärt erachtet hat. Schliesslich kann dem kantonalen Gericht auch keine Verletzung von Beweiswürdigungsregeln vorgeworfen werden. Bei der Würdigung der Berichte von Hausärzten darf und soll zwar der Erfahrungstatsache Rechnung getragen werden, dass diese mitunter im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung in Zweifelsfällen eher zugunsten ihrer Patienten aussagen (<ref-ruling> E. 3b/cc S. 353). Diese Rechtsprechung bedeutet indessen nicht, dass den Berichten von Hausärzten per se kein Beweiswert zukommen könnte. Ebenfalls verletzt die an den Bezug von Krankentaggeldern ab 21. August 1998 aufgrund einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % geknüpfte widerlegbare Tatsachenvermutung der Vorinstanz, es habe in der fraglichen Zeit eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit bestanden, weder den Grundsatz der freien Beweiswürdigung noch die Beweiswürdigungsregeln (<ref-ruling> E. 3a und b S. 352 ff.). Daran ändern allenfalls weniger strenge Anforderungen des Taggeldversicherers an den Nachweis einer leistungsbegründenden Arbeitsunfähigkeit - gemäss Beschwerdeführerin aufgrund der erheblich kleineren finanziellen Belastung - nichts. Somit verletzt auch die Bejahung des engen zeitlichen Zusammenhangs zwischen Arbeitsunfähigkeit nach aArt. 23 BVG und Invalidität durch die Vorinstanz Bundesrecht nicht.
6. Hingegen beruht die Feststellung der Vorinstanz einer Arbeitsunfähigkeit von mindestens 70 % während und insbesondere bei Ablauf der einjährigen Wartezeit nach aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG im November 1998 auf einer unhaltbaren Beweiswürdigung. Sie vermag sich zwar auf die Einschätzung in den Berichten des Prof. Dr. med. H._ vom 22. Mai 2002 und der Psychiatrischen Universitätspoliklinik des Spitals X._ vom 27. Juni 2000 zu stützen. Damals litt indessen die Beschwerdegegnerin neben der depressiven Störung und einer Persönlichkeitsstörung auch an einer posttraumatischen Belastungsstörung als Folge eines selber miterlebten schweren Erdbebens im August 1999 in ihrem Heimatland. Diese Störung war nicht von Dauer. Gemäss Dr. med. I._ zeigte die Belastungsstörung bei der Untersuchung vom 25. Februar 2006 keine Nachwirkungen mehr. Sie spielte für die Einschätzung der Arbeitsfähigkeit, welche er auf 50 % (vier Stunden am Tag) in einer angepassten Tätigkeit bezifferte, keine Rolle mehr (Gutachten vom 24. März 2006). Abgesehen von der posttraumatischen Belastungsstörung bestanden in Bezug auf Befund und Diagnosen keine wesentlichen Unterschiede zwischen der Expertise und den Berichten von Prof. H._ vom 22. Mai 2002 und der Psychiatrischen Universitätspoliklinik des Spitals X._ vom 27. Juni 2000. Das Krankheitsbild war im Wesentlichen gekennzeichnet durch eine rezidivierende depressive Störung und eine Persönlichkeitsstörung. Dr. med. D._, welcher die Beschwerdegegnerin seit November 1997 psychiatrisch behandelte, hatte im Attest vom 9. März 1998 eine Arbeitsfähigkeit von 50 % ab Mitte März 1998 und sogar von 100 % ab 1. April 1998 bescheinigt. Bei dieser Aktenlage kann zwingend von keiner höheren Arbeitsunfähigkeit als 50 % bei Ablauf der Wartezeit im November 1998 ausgegangen werden. Auf dieser Grundlage ergibt der vorinstanzliche Einkommensvergleich bei im Übrigen unveränderten Bemessungsfaktoren einen Invaliditätsgrad von 55 % (zum Runden <ref-ruling>). Die Beschwerdegegnerin hat somit ab Leistungsbeginn gemäss Dispositiv des angefochtenen Entscheids Anspruch auf eine Invalidenrente der beruflichen Vorsorge bei einem Invaliditätsgrad von 55 %. Für die durch die posttraumatische Belastungsstörung bedingte höhere Arbeitsunfähigkeit hat die Beschwerdeführerin nicht einzustehen (Urteil 9C_967/2008 vom 5. Januar 2009 E. 2.1 mit Hinweisen). Soweit der angefochtene Entscheid mehr zuspricht, verletzt er Bundesrecht.
7. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat indessen keine Kosten zu tragen, da ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entsprochen werden kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist. Die Beschwerdeführerin hat praxisgemäss keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>; Urteil 9C_1048/2008 vom 17. Februar 2009 E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird das Dispositiv des Entscheids des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 16. Oktober 2008 dahingehend abgeändert, dass die Beklagte der Klägerin ab 1. Dezember 1998, allenfalls nach Erschöpfung des Krankentaggeldanspruchs eine Invalidenrente der beruflichen Vorsorge aufgrund einer Erwerbsunfähigkeit von 55 % auszurichten hat.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden den Parteien je zur Hälfte (Fr. 250.-) auferlegt. Der auf die Beschwerdegegnerin fallende Anteil wird indes einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1400.- zu entschädigen.
4. Advokat Stephan Müller wird als unentgeltlicher Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1100.- aus der Gerichtskasse entschädigt.
5. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt hat die Parteientschädigung für das kantonale Verfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses neu festzusetzen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Juli 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler