Faits:
A.
Le 25 mai 2012, la commune de Y._ ( poursuivante ) a fait notifier à X._ ( poursuivi ) un commandement de payer la somme de 41'435 fr. 75 avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er mai 2009, au titre des impôts communaux 2006 et 2007 ( poursuite n° xxxx de l'Office des poursuites de la Gruyère ), qui a été frappé d'opposition. Celle-ci a été définitivement levée le 15 octobre 2012 par le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Gruyère. Le 26 mars 2013, la IIe Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a accueilli le recours du poursuivi et réformé le jugement de première instance en ce sens que « la mainlevée définitive de l'opposition [...] est refusée ».
B.
Le 12 juin 2013, la poursuivante a fait notifier au poursuivi un nouveau commandement de payer, portant sur la somme de 38'311 fr. 90 plus intérêts à 3 % l'an dès le 1er mai 2013, relatif aux impôts communaux 2005-2007 ( poursuite n° xxxx de l'office précité ); cet acte a été aussi frappé d'opposition.
Statuant le 13 août 2013, le Président a accordé la mainlevée définitive à concurrence de 10'417 fr. 10 plus intérêts à 3 % l'an dès le 1er mai 2013 (impôts communaux 2007 ) et de 1'181 fr. 15 (intérêts échus). La IIe Cour d'appel civil a, par arrêt du 5 novembre 2013, rejeté le recours du poursuivi dans la mesure de sa recevabilité.
C.
Par acte du 28 novembre 2013, le poursuivi interjette un « recours » au Tribunal fédéral contre cet arrêt; il conclut à ce que les créances pour lesquelles la mainlevée a été prononcée soient déclarées prescrites.
Des observations n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1.
La décision qui prononce la mainlevée définitive de l'opposition est en principe sujette au recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. a LTF, en relation avec les art. 80/81 LP: <ref-ruling> consid. 1.1). En l'espèce, la valeur litigieuse n'atteint cependant pas le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), et le recourant n'allègue pas (art. 42 al. 2 LTF) que la présente cause soulèverait une question juridique de principe (art. 74 al. 2 let. a LTF; cf. sur cette notion: <ref-ruling> consid. 1.2 et la jurisprudence cités). Partant, seul le recours constitutionnel subsidiaire au sens des art. 113 ss LTF est ouvert.
Les conditions de recevabilité sont remplies: le recours a été formé en temps utile (art. 100 al. 1 et 117 LTF) contre une décision finale (art. 90 et 117 LTF; <ref-ruling> consid. 1.4) prise par un tribunal supérieur statuant sur recours (art. 75 et 114 LTF); le poursuivi, qui a succombé devant la cour cantonale, a qualité pour recourir (art. 115 LTF).
2.
Comme l'a rappelé l'autorité cantonale, la procédure de mainlevée est un incident de la poursuite, dont l'objet n'est pas de constater la réalité de la créance en poursuite, mais uniquement l'existence d'un titre exécutoire (<ref-ruling> consid., 4.1.1 et les arrêts cités); le jugement de mainlevée ne sortit donc que des effets de droit des poursuites et ne fonde pas l'exception de chose jugée quant à l'existence de la créance litigieuse (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références). Le poursuivant peut dès lors, nonobstant le rejet d'une première requête, demander derechef la mainlevée (ici définitive) dans une nouvelle poursuite (arrêt 5A_696/2012 du 23 janvier 2013 consid. 4.1.2 et les citations; pour la doctrine récente: Amonn/Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 9e éd., 2013, § 19 n° 22 p. 142; Gilliéron, Poursuite pour dettes, faillite et concordat, 5e éd., 2012, n° 742; Marchand, Précis de droit des poursuites, 2e éd., 2013, p. 71 ch. 5). Il s'ensuit que c'est à juste raison que le recourant n'a pas repris en instance fédérale son « exception de chose jugée » attachée à l'arrêt du 26 mars 2013 ayant refusé la mainlevée ( cf. supra, let. A).
3.
3.1. Le recourant se plaint du rejet de sa « demande d'audience » par le premier juge.
3.2. Il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que l'intéressé aurait formé une telle requête en première instance (art. 118 LTF) - aucun grief tiré d'un état de fait arbitrairement lacunaire n'étant d'ailleurs soulevé (<ref-ruling> consid. 7.1 et les arrêts cités) - ou dénoncé ce prétendu refus dans son appel au Tribunal cantonal (art. 75 al. 1 et 114 LTF; cf. sur la règle de l'épuisement des griefs: arrêt 5D_139/2012 du 15 février 2013 consid. 3.2). Quoi qu'il en soit, ce moyen doit être écarté pour d'autres motifs.
Le recourant n'invoque pas, du moins de manière suffisamment claire, le droit à une audience publique garanti par les art. 6 § 1 CEDH et 30 al. 3 Cst. ( cf. à ce sujet: <ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 2.2 et la jurisprudence citée). Il n'expose pas davantage en quoi l'art. 256 al. 1 CPC, qui autorise le juge de la mainlevée à renoncer aux débats et à statuer sur pièces - norme que rappelait l'ordonnance du 24 juin 2013 invitant le poursuivi à se déterminer sur la requête -, aurait été arbitrairement appliqué (art. 106 al. 2 et 117 LTF; cf. sur les exigences de motivation: <ref-ruling> consid. 3.2).
4.
4.1. Sur le fond, le recourant s'en prend au « paragraphe 2) d) » de l'arrêt entrepris, dans lequel l'autorité précédente a réfuté son argumentation tirée de la prescription, en « invoquant le motif d'une nouvelle preuve irrecevable car il ne l'avai [t] pas contestée ». Or, il n'a pas pu contester « cette pièce » puisqu'il n'en avait pas connaissance et ne savait pas que le premier juge « allait l'utiliser pour rendre sa décision »; « cette pièce » n'a été produite « à aucun moment » par sa partie adverse à l'appui de sa (seconde) requête de mainlevée. Partant, il soutient que ses « droits fondamentaux » et ses « droits constitutionnels » ont été violés, dès lors qu'il n'a « jamais eu connaissance » des pièces au regard desquelles le premier juge a statué.
4.2. Sur ce point, la juridiction cantonale a constaté que le premier juge avait considéré que la créance d'impôts 2007 n'était pas prescrite, étant donné que l'avis de taxation afférent à ladite période avait été émis le 19 février 2009, le poursuivi n'ayant jamais contesté devant le premier juge la notification de l'avis de taxation; comme les allégations de faits et les preuves nouvelles sont irrecevables au stade du recours (art. 326 al. 1 CPC), le « grief est irrecevable », en tant que le poursuivi reproche au premier juge d'avoir admis que l'avis de taxation lui avait été notifié en février 2009.
Il ressort du dossier de première instance que la poursuivante a produit, dans le cadre de sa seconde requête de mainlevée du 18 juin 2013, un avis de taxation (d'office) pour l'impôt cantonal, communal et paroissial 2007, daté du 19 février 2009 ( pièce n° 9). Dans ses déterminations du 3 juillet 2013, le poursuivi s'est opposé à la mainlevée en faisant valoir que «[t] outes ces affaires ont déjà été jugées » par la IIe Cour d'appel civil le 26 mars 2013, mais il n'a pas expressément invoqué de griefs pris de la notification de l'avis de taxation 2007. Certes, l'ordonnance du 24 juin 2013 ( cf. supra, consid. 3.2) invite l'intéressé à se déterminer « sur la requête de mainlevée d'opposition ci-jointe », sans préciser que les pièces - en particulier l'avis précité - produites par la poursuivante lui auraient été communiquées ( cf. D. STAEHELIN, in : Basler Kommentar, SchKG I, 2e éd., 2010, n° 41 ad art. 84 LP; cf. sur le droit de consulter les pièces en cas de débats: arrêt du Tribunal cantonal des Grisons du 27 octobre 1992, in : PKG 1992 p. 143). Néanmoins, il disposait de la pièce en question lorsqu'il a déposé son recours cantonal ( i.e. 30 août 2013), se livrant à une comparaison des « deux documents fournis par la Commune concernant les avis de taxation 2006 et 2007», aux fins de critiquer la date de notification de ce dernier ( i.e. 19 février 2009). Par surcroît, il reconnaît lui-même, dans le présent mémoire, qu'elle faisait partie d'un « récépissé du 24 janvier 2013», intitulé « Récapitulation des pièces en vue de la mainlevée d'opposition » ( pièce n° 6), bordereau qui paraît avoir été produit à l'occasion de la procédure de recours relative à la première procédure de mainlevée ( cf. supra, let. A; cf. également le tampon apposé par le « Greffe TC »).
Il découle de ces considérations que le recourant avait en main l'avis de taxation contesté avant que le premier juge ne statue sur la nouvelle requête de mainlevée et, ainsi, pouvait invoquer en première instance déjà le moyen dont il s'est prévalu devant la juridiction précédente. En d'autres termes, le défaut de contestation de la notification de l'avis de taxation au stade idoine de la procédure est le résultat d'une position juridique erronée ( cf. supra, consid. 2), qui est imputable à l'intéressé lui-même. Le refus de l'autorité cantonale de connaître de ce moyen ne procède donc pas d'une violation de ses « droits constitutionnels ».
5.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité, aux frais de son auteur (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer; cela étant, il est superflu d'examiner si elle pourrait par ailleurs s'en voir accorder (art. 68 al. 3 LTF; cf. pour la négative: <ref-ruling> consid. 7, avec la jurisprudence citée).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 700 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la IIe Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lausanne, le 18 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
Le Greffier: Braconi