Sachverhalt:
A.
A._, geb. xx.xx.2012, ist die Tochter der nicht miteinander verheirateten Eltern X._ und Y._. Sie steht unter der elterlichen Sorge von Y._. Die Vormundschaftsbehörde B._ regelte mit Beschluss vom 25. Juni 2012 das Besuchsrecht dahin gehend, dass X._ seine Tochter wöchentlich drei Mal für jeweils drei Stunden bei Y._ besuchen könne.
B.
Am 5. Dezember 2012 meldete X._ der Vormundschaftsbehörde B._ eine Gefährdung seiner Tochter. Die unverzüglich eingeleiteten Vorabklärungen der Vormundschaftsbehörde ergaben keine Hinweise auf eine akute Gefährdung des Kindeswohls. Nach dem 1. Januar 2013 führte die neue Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Leimental ("KESB") das Verfahren weiter. Mit Schreiben vom 25. März 2013 beantragte X._ sinngemäss, dass den Eltern die gemeinsame elterliche Sorge zu übertragen und der persönliche Verkehr dergestalt neu zu regeln sei, dass er sein Kind an drei vollen Tagen die Woche betreuen dürfe. Im weiteren Verfahren erklärte er sich damit einverstanden, dass ein Beistand eingesetzt werde. Auch auf ein begleitetes Besuchsrecht werde er sich einlassen, wenn er seine Tochter vermehrt sehen könne. Mit Entscheid vom 4. April 2013 errichtete die KESB Leimental eine Erziehungsbeistandschaft für A._ und setzte C._ als Beiständin ein. X._s Gesuch um Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge wies sie ab. Mit gleichzeitig ergangenem Entscheid der Referentin der KESB wurde der persönliche Verkehr vorsorglich neu geregelt.
C.
Gegen den Entscheid der KESB gelangte X._ mit Beschwerde an das Kantonsgericht Basel-Landschaft. Er beantragte, es sei
"A. Die akute Gefährdung von A._ durch die Aggressivität der Mutter Frau Y._ festzustellen und der Gefahr mit geeigneten Sofortmassnahmen abzuhelfen.
B. Herrn X._s Besuchsrecht erheblich zu erweitern.
C. Das Sorgerecht für die Tochter A._ zu mindestens 50% auf den Vater zu übertragen."
Mit Urteil vom 17. Juli 2013 wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten werden konnte.
D.
Gegen das Urteil des Kantonsgerichts gelangt X._ (Beschwerdeführer) mit Eingabe vom 26. August 2013 (Datum der Postaufgabe) an das Bundesgericht. In der Sache hält er sinngemäss an dem fest, was er vor dem Kantonsgericht verlangt hatte (s. Bst. C). Ausserdem ersucht der Beschwerdeführer um Einsicht in "sämtliche vertrauliche Unterlagen", einschliesslich der Dokumente, welche die KESB am 9. Juli 2013 vorgelegt hatte, sowie um Zustellung des Protokolls der Sitzung des Kantonsgerichts vom 17. Juli 2013. Mit Eingaben vom 9. und 30. September 2013 sowie vom 11. und 22. Oktober 2013 ergänzte der Beschwerdeführer sein Rechtsmittel mit umfangreichen Unterlagen. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einem Verfahren auf dem Gebiet des Kindesschutzes, mithin in einer öffentlich-rechtlichen Streitigkeit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Es handelt sich um eine nichtvermögensrechtliche Angelegenheit, so dass keine Streitwertbeschränkung besteht (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Was die Eingaben vom 26. August und vom 9. September 2013 angeht, ist die Beschwerdefrist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Die weiteren Eingaben sind demgegenüber unbeachtlich, denn eine Ergänzung der Beschwerde ist im Verfahren betreffend Zivilsachen nach Ablauf der Beschwerdefrist nicht möglich (s. Urteil 5A_77/2013 vom 14. Juni 2013 E. 6.3).
1.2. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit sich der Beschwerdeführer darin über den Entscheid der KESB beklagt, denn Anfechtungsobjekt vor Bundesgericht ist einzig der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Von vornherein unbeachtlich für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren sind auch die Geschehnisse, die sich den Schilderungen des Beschwerdeführers zufolge nach dem Datum des angefochtenen Entscheids (17. Juli 2013) zugetragen haben sollen. Solche echten Noven sind vor Bundesgericht unzulässig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.).
1.3. Der Ordnung halber ist festzuhalten, dass Y._ als Mutter sowohl von den beantragten Kindesschutzmassnahmen als auch im Streit um das Sorgerecht direkt in ihrer Rechtsstellung betroffen ist. Sie ist im vorliegenden Beschwerdeverfahren deshalb Beschwerdegegnerin. Demgegenüber kommt der KESB Leimental als verfügender Behörde vor Bundesgericht keine Parteistellung zu. Sie war auch im kantonalen Beschwerdeverfahren nur Vorinstanz und konnte dort nicht als Partei auftreten (s. Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7086). An dieser Rechtslage ändert nichts, dass das Kantonsgericht die KESB als Beschwerdegegnerin und Y._ als Beigeladene bezeichnet. Das Rubrum und Ziffer 4 des Urteilsspruchs, den das Bundesgericht am 29. Oktober 2013 versandt hat, ist gestützt auf <ref-law> entsprechend zu berichtigen.
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). In der Begründung der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 749 mit Hinweisen).
3.
Als "schwere Verletzung der wesentlichen Verfahrensrechte" rügt der Beschwerdeführer, dass ihm Unterlagen, welche die KESB dem Kantonsgericht am 9. Juli 2013 vorgelegt haben soll, "bis zum heutigen Tag" nicht ausgehändigt worden seien. Soweit er damit eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) geltend macht, vermag er allein mit seinen vagen Vorwürfen nichts auszurichten. Einen konkreten staatlichen Akt, mit dem das Kantonsgericht ihm die angeblich "vertraulichen" Dokumente vorenthalten hätte, nennt der Beschwerdeführer nicht, noch behauptet er, dass er sich vor dem angefochtenen Entscheid nicht zur Sache hätte äussern können. Im Übrigen erschöpft sich das verfassungsmässig garantierte Akteneinsichtrecht darin, die Akten am Ort der urteilenden Behörde einzusehen, sich Notizen davon zu machen und Fotokopien anzufertigen bzw. anfertigen zu lassen, sofern der Behörde daraus nicht ein unverhältnismässiger Aufwand entsteht (<ref-ruling> E. 2b S. 10; <ref-ruling> E. 2b S. 112). Einen Rechtsanspruch auf "Aushändigung" von Verfahrensakten verschafft <ref-law> dem Rechtsunterworfenen grundsätzlich nicht.
4.
Soweit der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht daran festhält, dass die akute Gefährdung des Kindeswohls festzustellen sei, ist auf seine Beschwerde nicht einzutreten. Zunächst fehlt es in der Beschwerdeschrift an einer konkreten Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid. Die Vorinstanz hat mit einlässlicher Begründung und Hinweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 6.5 S. 218 f.; vgl. auch <ref-ruling> E. 7b S. 429) dargelegt, dass ein Feststellungsbegehren nur zulässig ist, wenn keine Leistungsbegehren möglich sind. Im Übrigen ist dem Kantonsgericht darin beizupflichten, dass das Feststellungsbegehren keine selbständige Bedeutung hat, sondern im Leistungsbegehren des Beschwerdeführers, Kindesschutzmassnahmen anzuordnen, bereits enthalten ist.
Was die beantragten "Sofortmassnahmen" angeht, hat sich das Kantonsgericht sehr wohl auch dazu geäussert, dass die KESB ausreichende Abklärungen getroffen hat und warum es - wie die KESB - eine akute erhebliche Gefährdung des Kindeswohls, die eine über die bereits getroffenen Massnahmen hinausgehende behördliche Intervention gebieten würde, für "nicht ersichtlich" hielt. Mit all diesen Argumenten setzt sich der Beschwerdeführer in keiner Weise auseinander. Insofern genügt seine Eingabe auch in dieser Hinsicht den Anforderungen an eine Beschwerdeschrift nicht. Daran ändert auch seine Beschwerdeergänzung vom 9. September 2013 nichts, in der er mit weitschweifigen Ausführungen seine ganze Geschichte mit der Beschwerdegegnerin ausbreitet. In tatsächlicher Hinsicht ist das Bundesgericht an die kantonalen Feststellungen gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann der Beschwerdeführer nur rügen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>). Hierzu genügt es nicht, den Sachverhalt aus eigener Sicht zu schildern und blosse Behauptungen aufzustellen.
5.
Die Beschwerdeschrift kann dahin gehend verstanden werden, dass der Kläger die gemeinsame elterliche Sorge verlangt. Es ist ihm offenbar bewusst, dass dies nach geltendem Recht einen gemeinsamen Antrag der Eltern mit einer genehmigungsfähigen Vereinbarung über die Betreuungsanteile und die Verteilung der Unterhaltskosten voraussetzt (<ref-law>). Ein solcher gemeinsamer Antrag liegt nicht vor. Zu Recht haben die kantonalen Instanzen das Begehren um gemeinsame elterliche Sorge schon aus diesem Grund abgewiesen.
Der Beschwerdeführer beharrt darauf, es sei die "unverzügliche Anwendung des neuen Gesetzes anzuordnen", aus dem ihm ein Anspruch auf gemeinsame elterliche Sorge erwachse. Zwar trifft es zu, dass das Parlament am 21. Juni 2013 eine Gesetzesänderung beschlossen hat und die Referendumsfrist bezüglich dieses Beschlusses am 10. Oktober 2013 abgelaufen ist. Diese Gesetzesrevision sieht vor, dass die Kindesschutzbehörde die gemeinsame elterliche Sorge auch auf Antrag eines Elternteils gegen den Willen des andern verfügen kann, sofern nicht zur Wahrung des Kindeswohls an der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter festzuhalten oder die alleinige Sorge dem Vater zu übertragen ist (s. <ref-law> der Referendumsvorlage vom 21. Juni 2013, BBl 2013 4766). Diese Neuerung ist aber noch nicht in Kraft und die Behörden und Gerichte haben sich an das geltende Recht zu halten und nicht künftiges anzuwenden, wie schon das Kantonsgericht zutreffend festhält. Schliesslich beruft sich der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang auf "internationale Abkommen". Hierzu genügt es jedoch nicht, wenn er ohne Hinweis auf ein für die Schweiz verbindliches und hier unmittelbar anwendbares Regelwerk einfach auf nicht näher bezeichnete "europäische Abkommen und der UNO" verweist, "die sich mit dem Wohl des Kindes und der rechtlichen Einstellung in der gesamten westlichen Welt" befassen.
Im Übrigen schreibt, wie soeben erwähnt, auch das neue, noch nicht in Kraft stehende Recht genau wie der geltende <ref-law> vor, dass die gemeinsame elterliche Sorge mit dem Kindeswohl vereinbar sein muss. Das Kantonsgericht hat das Begehren auch unter diesem Gesichtspunkt geprüft und ist zum Schluss gekommen, unter den gegebenen Umständen widerspreche die gemeinsame elterliche Sorge augenscheinlich dem Kindeswohl. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den diesbezüglichen vorinstanzlichen Erwägungen wiederum nicht auseinander. Namentlich zeigt er nicht auf, inwiefern die vorinstanzliche Feststellung offensichtlich unrichtig (<ref-law>) ist, wonach sich die Eltern in keiner Art und Weise über die Betreuung und den Umgang mit der gemeinsamen Tochter einig sind. Der angefochtene Entscheid erweist sich auch in dieser Hinsicht als bundesrechtskonform. Die Beschwerde ist unbegründet.
6.
Sinngemäss stellt der Beschwerdeführer eine Anzahl prozessualer Anträge, mit denen er die Beiziehung bestimmter Akten verlangt. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, erweisen sich diese Akten für das bundesgerichtliche Verfahren aber als bedeutungslos, so dass auf die entsprechenden Begehren nicht weiter einzutreten ist.
7.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde somit als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die sich zur Beschwerde nicht zu vernehmen hatte, ist keine Parteientschädigung geschuldet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, und der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Leimental schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn