Sachverhalt:
A.
Med. pract. A._ erhielt am 11. Mai 2006 eine Bewilligung zur selbstständigen ärztlichen Tätigkeit im Kanton Aargau. Ein wegen unzulässiger Abgabe von Ritalin angehobenes Disziplinarverfahren endete nach durchgeführtem Rechtsmittelverfahren mit Beschluss des Regierungsrates des Kantons Aargau (nachfolgend: Regierungsrat) vom 19. Januar 2011 mit einem Verweis und einer Busse von Fr. 2'500.--.
B.
B.a. Nach Durchführung von Inspektionen in der Familienpraxis von A._ am 28. Oktober 2011 und am 8. November 2011 eröffnete das Departement Gesundheit und Soziales (DGS) des Kantons Aargau, handelnd durch die Kantonsapothekerin und den Kantonsarzt, ein weiteres Disziplinarverfahren.
Am 4. Mai 2012 erliess das DGS folgende Verfügung:
"1. (...)
2. Wegen fehlender Vertrauenswürdigkeit wird A._, Praktischer Arzt, (...), gemäss Art. 36 Abs. 1 lit. b i.V.m. 38 MedBG die Berufsausübungsbewilligung zur fachlich selbstständigen ärztlichen Tätigkeit im Kanton Aargau entzogen.
3. (...)
4. Wegen Verletzung von Berufspflichten nach <ref-law> (Verletzung Selbstdispensationsverbot, fehlende Betäubungsmittelkontrolle und nicht gesetzeskonforme Lagerung von Betäubungsmitteln) wird gegen A._ eine Busse von Fr. 5'000.-- ausgesprochen.
5. - 10. (...) "
B.b. A._ focht diese Verfügung beim Regierungsrat an, worauf die aufschiebende Wirkung der Beschwerde wieder hergestellt wurde.
Am 17. Oktober 2012 wies der Regierungsrat die Beschwerde ab und forderte A._ auf, seine fachlich selbstständige ärztliche Tätigkeit im Kanton Aargau innert zwei Monaten ab Rechtskraft dieses Entscheids einzustellen.
B.c. A._ erhob am 26. November 2012 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau (nachfolgend: Verwaltungsgericht) mit den Anträgen, den Beschluss des Regierungsrates vom 17. Oktober 2012 aufzuheben und das Disziplinarverfahren mit einem Verweis nach Art. 43 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2006 über die universitären Medizinalberufe (Medizinalberufegesetz, MedBG; SR 811.11) abzuschliessen; eventualiter sei eine Busse auszusprechen.
Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde am 4. Juli 2013 ab.
C.
A._ erhebt am 24. September 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und das Disziplinarverfahren mit einem Verweis nach <ref-law> abzuschliessen. Eventualiter sei das Disziplinarverfahren mit einer vom Bundesgericht in der Höhe zu bestimmenden Busse nach <ref-law> abzuschliessen. Subeventualiter sei das Disziplinarverfahren dahingehend abzuschliessen, dass die Berufsausübungsbewilligung mit einer Auflage zu versehen sei. Diese sei dahingehend festzusetzen, dass er - A._ - in regelmässigen Abständen seine Buchhaltung und seine Betäubungsmittelkontrolle gegenüber der Bewilligungsbehörde offenzulegen habe. Subsubeventualiter sei die Angelegenheit zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht beantragt A._, der Beschwerde sei superprovisorisch die aufschiebende Wirkung zu erteilen und es sei eine mündliche Parteiverhandlung anzuordnen.
Das Verwaltungsgericht verzichtet ausdrücklich auf Vernehmlassung. Das Departement Gesundheit und Soziales beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ist mit Präsidialverfügung vom 3. Oktober 2013 gegenstandslos erklärt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil unterliegt als verfahrensabschliessender, kantonal letztinstanzlicher Gerichtsentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. <ref-law>, <ref-law>, <ref-law>); ein Ausschlussgrund im Sinn von <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerde ist zulässig.
1.2. Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Er ist durch das angefochtene Urteil besonders berührt und hat an dessen Aufhebung ein schutzwürdiges Interesse. Die Beschwerdelegitimation gemäss <ref-law> ist damit gegeben.
1.3. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde (vgl. Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). Die Verletzung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht bildet keinen eigenständigen Rügegrund; sie wird nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür geprüft (<ref-ruling> E. 6.1 S. 172 f.; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 318; je mit Hinweisen). Diesbezüglich gilt, wie generell in Bezug auf die Verletzung von Grundrechten, eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Die Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden, ist gleichzusetzen mit der Willkürrüge (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252); diese ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (<ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
3.
Zunächst ist der Verfahrensantrag auf Durchführung einer mündlichen Parteiverhandlung zu behandeln.
Gemäss <ref-law> und <ref-law> ist das Verfahren vor dem Bundesgericht grundsätzlich schriftlich. Die Durchführung einer mündlichen Parteiverhandlung gemäss <ref-law> liegt im Ermessen des Abteilungspräsidenten oder der Abteilungspräsidentin. Ein Anspruch darauf kann sich ausnahmsweise aus <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ergeben. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Bundesgericht als einzige Instanz entscheidet und Rechte im Sinn von Art. 6 Ziff. 1 EMRK betroffen sind (Urteile 8F_2/2013 vom 19. Juli 2013 E. 2.1; 8C_202/2013 vom 28. Mai 2013 E. 1.1; 8C_112/2013 vom 2. Mai 2013 E. 2.1); im Normalfall obliegt jedoch die Wahrung des Anhörungsrechts nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK den unteren Gerichtsinstanzen. Die beschwerdeführende Partei muss die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung vor der ersten gerichtlichen Instanz verlangen, ansonsten dieses Recht verwirkt (Urteil 2C_349/2012 vom 18. März 2013 E. 3.3). Die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK bedarf praxisgemäss eines klaren Parteiantrags; ein blosser Antrag auf Befragung zum Zweck der Beweisabnahme genügt nicht (<ref-ruling> E. 5.2 S. 147; 229 E. 4.3 und 4.4 S. 236 f.; 331 E. 2.3 S. 333). Der Beschwerdeführer hat vor der Vorinstanz nicht um Durchführung einer öffentlichen Verhandlung ersucht; er macht dies auch nicht geltend. Sein Anliegen, nun vor Bundesgericht seine Sicht des Sachverhalts mündlich darlegen zu dürfen, erscheint damit verspätet, soweit es sich auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK stützt.
4.
Streitgegenstand bildet die Frage, ob die Vorinstanz den Entzug der Bewilligung zur selbstständigen ärztlichen Tätigkeit und die Auferlegung der Busse von Fr. 5'000.-- zu Recht bestätigt hat.
4.1. Die selbstständige Tätigkeit als Arzt oder Ärztin bedarf einer Bewilligung des Kantons, auf dessen Gebiet sie ausgeübt wird (<ref-law>). Die Bewilligung wird erteilt, wenn die gesuchstellende Person ein entsprechendes eidgenössisches Diplom besitzt (<ref-law>) und vertrauenswürdig ist sowie physisch und psychisch Gewähr für eine einwandfreie Berufsausübung bietet (<ref-law>). Die Bewilligung wird entzogen, wenn ihre Voraussetzungen nicht mehr erfüllt sind oder nachträglich Tatsachen festgestellt werden, auf Grund derer sie hätte verweigert werden müssen (<ref-law>).
4.2. Selbstständig tätige Arztpersonen halten sich zudem an die in <ref-law> normierten Berufspflichten, deren Verletzung durch Disziplinarmassnahmen gemäss <ref-law> sanktioniert werden kann. Gemäss der Generalklausel von <ref-law> (vgl. dazu Urteil 2C_901/2012 vom 30. Januar 2013 E. 3.2) üben sie ihren Beruf sorgfältig und gewissenhaft aus; sie halten sich an die Grenzen der Kompetenzen, die sie im Rahmen der Aus-, Weiter- und Fortbildung erworben haben. <ref-law> sieht neben der Verwarnung (lit. a), dem Verweis (lit. b) und der Busse bis zu 20'000 Franken (lit. c) ein (befristetes) Verbot der selbstständigen Berufsausübung für längstens sechs Jahre (lit. d) und ein definitives Verbot der selbstständigen Berufsausübung für das ganze oder einen Teil des Tätigkeitsspektrums (lit. e) vor.
4.3. Die Bewilligungspflicht nach <ref-law> und die Berufspflichten nach <ref-law> richten sich an Personen, welche einen universitären Medizinalberuf selbstständig ausüben. Beide Rechtsinstitute haben den Schutz der öffentlichen Gesundheit zum Ziel. Der Inhalt der Berufspflichten überschneidet sich teilweise mit den Voraussetzungen für die Bewilligungserteilung, indem ihnen das Element der Vertrauenswürdigkeit implizit zugrunde gelegt ist: Durch die mehrfache und gravierende Verletzung von Berufspflichten kann die Vertrauenswürdigkeit im Sinn von <ref-law> zerstört werden. Der Verlust der Vertrauenswürdigkeit kann also, muss aber nicht aus der Verletzung von Berufspflichten resultieren.
Mit den Disziplinarmassnahmen nach <ref-law> sollen Verfehlungen im Zusammenhang mit der selbstständigen beruflichen Tätigkeit retrospektiv sanktioniert werden. Dies gilt auch für das disziplinarische Verbot der selbstständigen Berufsausübung nach Art. 43 Abs. 1 lit. d und e MedBG: Es kann nur ausgesprochen werden, wenn Berufspflichten, Vorschriften des MedBG oder zugehörige Ausführungsvorschriften verletzt worden sind. Im Gegensatz dazu stellt der Entzug der Bewilligung zur selbstständigen Berufsausübung nach <ref-law> eine prospektive Massnahme dar, weshalb er auch als "Sicherungsentzug" bezeichnet wird ( JEAN-FRANÇOIS DUMOULIN, in: Medizinalberufegesetz [MedBG], Kommentar, 2009, N. 4 zu <ref-law>). Die Unterscheidung zwischen Administrativ- und Disziplinarmassnahmen kommt beispielsweise auch im Anwaltsrecht vor (vgl. <ref-ruling> E. 7.2 S. 429).
Ein Verbot der selbstständigen Berufsausübung nach Art. 43 Abs. 1 lit. d und e MedBG gilt auf dem gesamten Gebiet der Schweiz; es setzt jede Bewilligung zur selbstständigen Berufsausübung ausser Kraft (<ref-law>). Demgegenüber wirkt der Entzug der Bewilligung nach <ref-law> nur in dem Kanton, in dem sie ausgestellt wurde. Zudem hat der Entzug der Bewilligung keine zeitliche Wirkung: Sofern die Voraussetzungen nach Art. 36 Abs. 1 und 2 MedBG erfüllt sind, kann erneut eine Bewilligung zur selbstständigen Berufsausübung erteilt werden; dies allerdings nur, wenn kein Verbot nach Art. 43 Abs. 1 lit. d und e MedBG wirksam ist.
4.4. Der Begriff "vertrauenswürdig" wird in der Botschaft vom 3. Dezember 2004 zum MedBG (BBl 2005 173, Ziff. 2.6 S. 226 zu Art. 36 E-MedBG) mit "gut beleumdet bzw. allgemein vertrauenswürdig" präzisiert. Der Begriff des Leumunds ist weder von der Rechtsprechung noch von der Rechtswissenschaft jemals definiert worden. Das Bundesgericht hat schon früh festgehalten, seine Tragweite müsse sich aus dem Sinn und Zweck des Rechtssatzes, der ihn verwendet, und aus der Stellung der Vorschrift im System der gesetzlichen Ordnung ergeben (<ref-ruling> E. 5 S. 110). Ein Lexikoneintrag unter dem Artikel "Leumund" lautet "der persönliche Ruf eines Menschen" und verweist auf den Artikel "Bescholtenheit", wo vermerkt ist: "schlechter Leumund, Verrufenheit, Verächtlichkeit. Bescholten ist, wen die öffentliche Meinung als sittenlos oder unsittlich brandmarkt" ( PETER METZGER, Schweizerisches juristisches Wörterbuch, 2005). Im allgemeinen Sprachgebrauch schillert die Bedeutung des Begriffs "Leumund" zwischen "Ansehen, Autorität, [guter] Name/Ruf, Image, Rang, Status, Stellung; (bildungsspr.) : Nimbus, Renommee, Reputation, [Sozial]prestige" (Duden, Das Synonymwörterbuch, 4. Aufl. 2007). Der Leumund umfasst nicht nur die strafrechtliche Unbescholtenheit, sondern auch die Einhaltung finanzieller Verpflichtungen gegenüber privaten Gläubigern und dem Gemeinwesen (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.1, in dem vom strafrechtlichen und betreibungsrechtlichen Leumund die Rede ist). Aufgrund seiner heterogenen Bedeutungsstruktur ist der Begriff des Leumunds wenig geeignet, den Sinn der Vertrauenswürdigkeit gemäss <ref-law> zu erhellen. Es kann daraus nur (aber immerhin) abgeleitet werden, dass die Ehrenhaftigkeit der Medizinalperson angesprochen ist. Welches Verhalten dafür relevant ist, muss mit Blick auf den massgeblichen Kontext, hier also die öffentliche Gesundheit, ermittelt werden. Dieser Kontext besteht im Kern aus gesundheitspolizeilichen Anliegen, geht aber etwas weiter. Denn der Schutzzweck des Erfordernisses der Vertrauenswürdigkeit besteht nicht nur im (unmittelbaren) Wohl der einzelnen Patientinnen und Patienten, sondern auch darin, deren kollektives Vertrauen zu rechtfertigen und zu erhalten. Die in der Botschaft zum MedBG verwendete (zu Beginn dieser Erwägung zitierte) Formulierung "allgemein vertrauenswürdig" weist darauf hin, dass das für die Vertrauenswürdigkeit relevante Verhalten nicht auf die berufliche Tätigkeit in konkreten Fällen (beispielsweise auf die Heilbehandlung als solche) beschränkt ist. Umgekehrt kann nicht jedes (tadelnswerte) Verhalten für die Beurteilung der Vertrauenswürdigkeit herangezogen werden, sondern nur jenes, das einen Bezug zur selbstständigen Tätigkeit im medizinischen Sektor aufweist. Die Ausübung dieser Tätigkeit setzt voraus, dass der Bewilligungsinhaber bzw. Gesuchsteller in der Lage ist, einen Praxisbetrieb zu führen und dafür die Verantwortung zu tragen. Deswegen ist für die Beurteilung der Vertrauenswürdigkeit auch jenes Verhalten massgeblich, welches mit den unternehmerischen Funktionen im Zusammenhang steht, soweit es Auswirkungen auf das öffentliche Gesundheitswesen haben kann.
4.5. Nach der Rechtsprechung sind an die Vertrauenswürdigkeit im Sinn von <ref-law> hohe Anforderungen zu stellen (Urteil 2C_68/2009 vom 14. Juli 2009 E. 2.3). Wie in vergleichbaren Fällen, so etwa der Löschung aus dem kantonalen Anwaltsregister (Art. 9 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte [Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61]) ist auch das Verhalten ausserhalb der eigentlichen Berufstätigkeit massgebend, wobei namentlich die charakterliche Eignung der betreffenden Person zu berücksichtigen ist (Urteile 2C_165/2011 vom 24. Juni 2011 E. 6.3; 2C_860/2010 vom 2. März 2011 E. 3.2.3; 2C_68/2009 vom 14. Juli 2009 E. 7.1).
Praxisgemäss muss zudem die Vertrauenswürdigkeit nicht nur im Verhältnis des Bewilligungsinhabers (bzw. Gesuchstellers) zu den Patienten, sondern auch zu den Behörden erfüllt sein (Urteile 2C_389/2012 vom 12. November 2012 E. 7.1; 2C_57/2010 vom 4. Dezember 2010 E. 5.3; 2C_68/2009 vom 14. Juli 2009 E. 5; 2C_191/2008 vom 24. Juni 2008 E. 5.2; 2C_58/2008 vom 14. April 2008 E. 2.3). Mit Blick auf das in E. 4.4 zum massgeblichen Kontext Gesagte ist allerdings zu differenzieren, um welche Behörden es geht: Im Zusammenhang mit Medizinalberufen ist in erster Linie erforderlich, dass die Vertrauenswürdigkeit im Verhältnis zu den Gesundheitsbehörden bejaht werden kann. Dagegen sind Probleme mit anderen Behörden wie etwa Steuerämtern - vorbehältlich strafbaren Verhaltens - für die Vertrauenswürdigkeit hier von geringerer Relevanz.
4.6. Der Beschwerdeführer hat das vorinstanzliche Urteil insgesamt angefochten, differenziert jedoch bei der Formulierung der Eventualanträge nicht zwischen den angefochtenen Anordnungen. In diesem Zusammenhang ist darauf hinzuweisen, dass der Entzug der Bewilligung zwar im Rahmen eines Disziplinarverfahrens angeordnet wurde, selbst jedoch keinen Disziplinarentscheid darstellt. Die Unterscheidung ist u.a. bedeutsam, weil eine Disziplinarmassnahme im Beschwerdefall - insbesondere aus Verhältnismässigkeitsgründen - durch eine mildere Massnahme ersetzt werden kann. Diese Möglichkeit besteht bei Fehlen der Bewilligungsvoraussetzungen nach Art. 36 Abs. 1 und 2 MedBG nicht, wie aus dem Wortlaut und der systematischen Stellung von <ref-law> hervorgeht.
Die Anträge, einen Verweis, eventualiter eine Busse auszusprechen, sind daher so zu deuten, dass anstelle der Busse von Fr. 5'000.-- ein Verweis, eventualiter eine reduzierte Busse ausgesprochen werden soll. Das Begehren, dem Beschwerdeführer die Bewilligung unter einer Auflage zu belassen, wird unter dem Aspekt der Verhältnismässigkeit des Bewilligungsentzugs geprüft, weil sich der Beschwerdeführer auf <ref-law> beruft, was nicht von vornherein als unzulässig erscheint.
5.
Die Vorinstanz bestätigt die Busse von Fr. 5'000.-- mit der Begründung, der Beschwerdeführer habe gegen das Verbot der Selbstdispensation verstossen. Zudem habe er Betäubungsmittel nicht vorschriftsgemäss gelagert und keine Betäubungsmittelkontrolle geführt. Die Höhe der Busse sei mit Blick auf den Erlös, der aus dem unzulässigen Verkauf der Medikamente zu erwarten sei, vertretbar.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz. Er macht geltend, er habe keine systematische Erstabgabe von Medikamenten betrieben. Die Vorinstanz habe sich nicht mit den Besonderheiten seines Falls (Praxisgrösse, Tätigkeit als Notarzt) auseinandergesetzt. Den Fotos und Medikamentenlisten komme in Anbetracht der Besonderheiten des Falls keine Aussagekraft zu. Eine unzulässige Medikamentenabgabe sei nur in Einzelfällen erfolgt.
Die Vorinstanz hat einlässlich dargelegt, dass der Beschwerdeführer über einen Medikamentenvorrat verfügte, welcher auch im Vergleich zu Arztpraxen mit Selbstdispensationsbewilligung äusserst umfangreich war. Dies war anlässlich der Inspektionen festgestellt und mittels Fotos und Medikamentenlisten dokumentiert worden. Entgegen dem Vorbringen des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz die Notarzttätigkeit berücksichtigt. Sie erwog jedoch, ein beträchtlicher Teil der Medikamente sei nicht für den Akutbereich bestimmt gewesen und es sei nahezu ausgeschlossen, dass der Beschwerdeführer Medikamente in den gelagerten Sorten und Mengen ausserhalb der Öffnungszeiten der umliegenden Apotheken (also zu Notfallzwecken) habe absetzen können. Zudem habe der Beschwerdeführer selbst eingeräumt, den Patienten "schon immer" Medikamente mitgegeben zu haben, in der Annahme, dies sei erlaubt. Eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung ist nicht erkennbar.
5.2. Der Beschwerdeführer behauptet, er habe entgegen der Darstellung der Vorinstanz die Betäubungsmittel gesetzeskonform gelagert. Unbefugte Dritte hätten sich ohne Gewaltanwendung zu keinem Zeitpunkt Zutritt zu den Betäubungsmitteln verschaffen können. Zudem habe er die Betäubungsmittelkontrolle stets nach gesetzlichen Vorgaben geführt.
Nach den Feststellungen der Vorinstanz wurden sowohl bei der ersten als auch bei der zweiten Inspektion Betäubungsmittel in nicht abschliessbaren Schränken vorgefunden. Die Vorinstanz hielt fest, dass der Raum, in dem sich die Schränke befanden, abschliessbar war. Der Beschwerdeführer bestreitet diese Darstellung nicht. Seine Rüge betrifft in Bezug auf die Aufbewahrung der Betäubungsmittel die rechtliche Würdigung des Sachverhalts. Das Gleiche gilt für die Betäubungsmittelkontrolle (Buchführung betreffend Betäubungsmittel).
5.3. Schliesslich moniert der Beschwerdeführer, die Darstellung der Vorinstanz, wonach das erste Disziplinarverfahren eine unzulässige Selbstdispensation zum Gegenstand gehabt habe, sei klar falsch. Im Entscheid des Regierungsrates vom 19. Januar 2011 sei es einzig um die direkte Betäubungsmittelabgabe (Ritalin) ohne entsprechende Bewilligung gegangen.
Der Entscheid des Regierungsrates vom 19. Januar 2011 befindet sich nicht bei den Akten. Es kann jedoch offen bleiben, mit welcher Begründung der Regierungsrat die unzulässige Abgabe von Ritalin (in Reduktion der vom DGS auferlegten Busse) sanktioniert hat. Sofern die Selbstdispensation nicht Gegenstand jenes Verfahrens war, würde dies lediglich bedeuten, dass im aktuellen Disziplinarverfahren anstelle von "erneuter unzulässiger Selbstdispensation" von "erneuter unzulässiger Medikamentenabgabe" oder von "unzulässiger Selbstdispensation" gesprochen werden müsste. Dieser minimale Unterschied ist im vorliegenden Kontext nicht rechtserheblich.
5.4. Der Beschwerdeführer rügt nicht ausdrücklich, die Vorinstanz habe die Verletzung von Berufspflichten im Sinn von <ref-law> zu Unrecht bejaht. Die Vorinstanz hat ohne Willkür (vgl. E. 2.1) erwogen, dass der Beschwerdeführer durch die systematische Medikamentenabgabe das in § 44 Abs. 1 des Gesundheitsgesetzes des Kantons Aargau vom 20. Januar 2009 (GesG; SAR 301.100) normierte Selbstdispensationsverbot verletzt habe, da er nicht über eine Ausnahmebewilligung nach § 44 Abs. 2 GesG verfügte. Willkürfrei bzw. korrekt ist auch die Erwägung der Vorinstanz, der Beschwerdeführer habe durch seine Vorgehensweise bei der Lagerung von Betäubungsmitteln und der diesbezüglichen Buchführungspflicht gegen § 30 der Heilmittel- und Betäubungsmittelverordnung des Kantons Aargau vom 11. November 2009 (HBV; SAR 351.115) sowie gegen Art. 44 Abs. 4, Art. 54 Abs. 1 und Art. 64 Abs. 2 der Betäubungsmittelkontrollverordnung vom 25. Mai 2011 (BetmKV; SR 812.121.1) verstossen. Diese Widerhandlungen stellen eine Verletzung von Berufspflichten im Sinn von Art. 40 lit. a MEdBG dar, denn rechtsprechungsgemäss können für die Konkretisierung der Pflicht zur sorgfältigen und gewissenhaften Berufsausübung auch andere Normen beigezogen werden, welche die Tätigkeit der betroffenen Medizinalperson regeln und ihr ein bestimmtes Verhalten vorschreiben (Urteil 2C_901/2012 vom 30. Januar 2013 E. 3.3). Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Verletzung von Berufspflichten bejaht und die Busse von Fr. 5'000.-- bestätigt hat. Eine mildere Massnahme drängt sich in Ermangelung einer substanziierten Begründung seitens des Beschwerdeführers nicht auf.
6.
Die Vorinstanz begründet den Entzug der Bewilligung mit der fehlenden Vertrauenswürdigkeit des Beschwerdeführers.
6.1. Gestützt auf das Führungszeugnis des Bundesamts für Justiz in Bonn hielt die Vorinstanz folgende, in Deutschland ausgesprochene Verurteilungen fest:
- Amtsgericht Koblenz, 14. November 1983: Freiheitsstrafe von sieben Monaten (mit Bewährung, schliesslich erlassen) wegen eigenmächtiger Abwesenheit von der Truppe, Beleidigung in zwei Fällen und Nötigung eines Vorgesetzten;
- Amtsgericht München, 7. Juli 1997: Geldstrafe von 160 Tagessätzen à DM 70.-- wegen Vorenthaltens von Arbeitsentgelt in 19 Fällen sowie Steuerhinterziehung in 19 Fällen;
- Amtsgericht München, 22. November 2002: Freiheitsstrafe von neun Monaten (mit Bewährung) wegen Vorenthaltens und Veruntreuens von Arbeitsentgelt in 46 Fällen und Beleidigung in vier Fällen sowie Verletzung der Buchführungspflicht in drei Fällen;
- Amtsgericht München, 6. September 2004: Ein Jahr Freiheitsstrafe (mit Bewährung, als Gesamtfreiheitsstrafe, schliesslich erlassen) wegen Beitragsvorenthaltung in 30 sachlich zusammentreffenden Fällen;
- Amtsgericht München, 9. November 2006: Freiheitsstrafe von acht Monaten (mit Bewährung) wegen Ehrverletzungsdelikten.
Weiter erwog die Vorinstanz, der Beschwerdeführer sei im Schweizerischen Strafregister bis zum 20. Juni 2012 nicht verzeichnet. Das Bezirksgericht Bremgarten habe ihn am 16. Juli 2012 wegen mehrfachen widerrechtlichen Umgangs mit Betäubungsmitteln durch Medizinalpersonen zu einer Geldstrafe von 120 Tagessätzen à Fr. 910.-- (bedingt) und zu einer Busse von Fr. 5'000.-- verurteilt. Dieses Urteil gehe auf die Abgabe von 4'600 Ritalintabletten an einen Patienten im Rahmen einer Suchtbehandlung zurück; es sei nicht rechtskräftig.
Der Beschwerdeführer habe im Rahmen einer analogen Gesuchseinreichung im Kanton Zürich die Frage, ob er bis zu diesem Datum schon in einem anderen Kanton/Staat ein Gesuch um Berufsausübungsbewilligung gestellt habe, ohne dass es zu einer Bewilligungserteilung gekommen sei, wahrheitswidrig verneint.
Im Fall des verstorbenen Patienten C._ hätten zwei voneinander unabhängige Gutachter in der unterbliebenen histologischen Untersuchung bei der Entfernung eines Melanoms eine Sorgfaltswidrigkeit erblickt.
Zwischen dem 1. Januar 2010 und 24. April 2012 weise der Beschwerdeführer 72 Betreibungen mit einem Gesamtbetrag von Fr. .... auf. Darunter würden sich insbesondere zahlreiche Betreibungen der Ausgleichskasse B._ sowie mehrere des kantonalen Steueramts und der Finanzverwaltung Bremgarten befinden. Am 19. Juni 2012 habe das Bezirksgericht Bremgarten über den Beschwerdeführer als Inhaber einer Familienpraxis den Konkurs eröffnet.
Die Ausgleichskasse B._ habe am 20. März 2012 Strafanzeige gegen den Beschwerdeführer wegen Zweckentfremdung von Arbeitnehmerbeiträgen eingereicht. In diesem Zeitpunkt seien Sozialversicherungsbeiträge in der Höhe von Fr. .... ausstehend gewesen.
Der Beschwerdeführer habe in seiner Arztpraxis mehrmals Schreiben aufgelegt, in welchen er seine Patienten zur finanziellen Beteiligung an der Praxis aufgefordert habe.
Im Rahmen der vom DGS in Auftrag gegebenen psychiatrischen Expertise der Universitären psychiatrischen Dienste Bern vom 21. Februar 2012 sei beim Beschwerdeführer keine psychiatrische Krankheit im engeren Sinn diagnostiziert worden. Die Persönlichkeitsstruktur werde als histrionisch, dissozial und narzisstisch akzentuiert beschrieben; die psychiatrische Gewähr zur Berufsausübung als Arzt sei aus Sicht der Gutachter gegeben.
Der Branchenverband santésuisse habe im Rahmen der Wirtschaftlichkeitsprüfungen für die Statistikjahre 2010 und 2011 keine Einigung mit dem Beschwerdeführer erzielt, weshalb ein Schlichtungsverfahren bei der paritätischen Vertrauenskommission eingeleitet worden sei. Dort seien am 7. Mai 2012 und am 21. März 2013 Klagen zahlreicher Krankenversicherer, vertreten durch santésuisse, wegen Polypragmasie (Überarztens) eingegangen und die Rückzahlung von Geldbeträgen sowie der Ausschluss des Beschwerdeführers von der Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenversicherung beantragt worden. Am 10. April 2013 hätten 49 Krankenversicherer, vertreten durch santésuisse, beim aargauischen Versicherungsgericht als Schiedsgericht nach <ref-law> Klage gegen den Beschwerdeführer wegen Polypragmasie erhoben und Geldbeträge zurückgefordert.
6.2. Die Vertrauenswürdigkeit ist durch die soeben (vgl. E. 5.4) bestätigte Verletzung von Berufspflichten beeinträchtigt, wenngleich die zugrunde liegenden Tatsachen diese für sich genommen noch nicht zu zerstören vermögen. Entsprechend den in E. 4.4 und 4.5 dargelegten Grundsätzen wird die Vertrauenswürdigkeit des Beschwerdeführers durch jene Vorkommnisse ernsthaft in Frage gestellt, welche im Zusammenhang mit seiner selbstständigen Tätigkeit als Arzt stehen.
Die in Deutschland erwirkten Verurteilungen liegen einige Zeit zurück, weshalb sie zu relativieren sind. Die wiederholten Ehrverletzungsdelikte und Straftaten betreffend Lohn- und Beitragszahlungen sind gleichwohl nicht ohne Bedeutung. Auch das (erste) Disziplinarverfahren im Kanton Aargau fällt negativ ins Gewicht, zumal nur wenig später ein weiteres Disziplinarverfahren (erledigt mit vorliegendem Urteil, vgl. E. 5.3) angehoben wurde. Hinzu kommen ein beim aargauischen Versicherungsgericht hängiges Schiedsverfahren, in dem santésuisse 49 Krankenversicherer als Kläger vertritt, ein (nicht rechtskräftiges) Strafurteil (dem der gleiche Sachverhalt zugrunde liegt wie dem ersten Disziplinarverfahren) und die Vorwürfe seitens der Ausgleichskasse B._, wobei in dieser Sache bis zum Zeitpunkt des angefochtenen Urteils kein Strafverfahren eingeleitet wurde. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass Sozialversicherungsbeiträge in grosser Höhe ausstehend sind. Entgegen seinem Vorbringen beschlägt diese Tatsache seine Berufsausübung durchaus: Von einer selbstständig tätigen Arztperson wird erwartet, dass sie eine Praxis einwandfrei führt (vgl. E. 4.4 am Ende). Unregelmässigkeiten im Umgang mit dem Personal wirken sich auf das Funktionieren des Gesundheitswesens und damit indirekt auch auf das Wohl der Patientinnen und Patienten aus. Ein Arzt, der Sozialversicherungsbeiträge seiner Angestellten zweckentfremdet, ist nicht vertrauenswürdig; erst recht nicht, wenn dies - wie hier - zum wiederholten Mal geschieht. Von besonderer Relevanz sind schliesslich die Bestrebungen des Beschwerdeführers, von seinen Patienten Darlehen zu erhalten oder diese zu einer Beteiligung am Kapital einer zu gründenden Aktiengesellschaft für den Betrieb der Arztpraxis zu bewegen. Neben einem undatierten Schreiben mit unbestimmtem Adressatenkreis richtete der Beschwerdeführer das folgende, im Oktober 2011 datierte Schreiben an seine Patientinnen und Patienten:
"Sehr geehrte Patientin,
sehr geehrter Patient,
ich habe ein vielleicht etwas ungewöhnliches Anliegen, da ich aber vor vielen Jahren in Deutschland in ähnlicher Situation bereits einmal sehr gute Erfahrungen damit gemacht habe, traue ich mich auch jetzt und hier.
Um den Praxisumzug und die weitere Praxisentwicklung (ja auch zu Ihrem Vorteil) ohne Unterbruch gewährleisten zu können, benötige ich mehr Kapital als ich selber derzeit zur Verfügung habe.
Leider ist der Umgang mit den Banken seit 2 Jahren für ein kleineres mittelständisches Unternehmen mit hoher Wachstumsrate, wie wir es darstellen, ausgesprochen zäh.
(...)
Beteiligen Sie sich doch - bewusst auch mit kleineren Beträgen - an Ihrer Arztpraxis!
Ab 2000.- CHF mit einer Laufzeit von ein bis drei Jahren (also überschaubar), Zins zwischen 4 und 7 % (also dtl. mehr als Sie selbst bei Ihrer Bank erhalten), fixer Darlehensvertrag.
Sie können mich direkt in der Praxis ansprechen oder über (...) erreichen.
Mit freundlichen Grüssen"
Mit diesem Verhalten hat der Beschwerdeführer das Vertrauen seiner Patientinnen und Patienten missbraucht, wobei er dies nach eigenen Angaben bereits in Deutschland praktizierte. Er war und ist sich seiner Verantwortung als selbstständig tätiger Arzt offensichtlich nicht bewusst. Das Schreiben zeigt klar, dass der Beschwerdeführer dieser Funktion und den Erwartungen, die damit verbunden sind, nicht gerecht zu werden vermag.
Die Gesamtheit der hier erwähnten (relevanten) Verfehlungen führt dazu, dass dem Beschwerdeführer die Vertrauenswürdigkeit abgesprochen werden muss. Es kann daher offen bleiben, ob die gutachterlich bestätigte Sorgfaltswidrigkeit bei der Behandlung eines Patienten die Vertrauenswürdigkeit - wie von der Vorinstanz angenommen - ebenfalls beeinflusst.
7.
Der Beschwerdeführer rügt, der Entzug der Bewilligung zur selbstständigen ärztlichen Tätigkeit verstosse gegen die Wirtschaftsfreiheit gemäss <ref-law>. Der Eingriff entbehre eines öffentlichen Interesses und sei unverhältnismässig.
7.1. Der Beschwerdeführer begründet das seiner Meinung nach fehlende öffentliche Interesse an der Massnahme damit, die Vertrauenswürdigkeit sei gegeben. Nachdem diese Bewilligungsvoraussetzung verneint worden ist, trifft die Rüge ins Leere. Zudem ist das öffentliche Interesse am Entzug einer Berufsausübungsbewilligung, deren Voraussetzungen nicht mehr gegeben sind, evident; andernfalls wäre es zwecklos, die Ausübung des Berufs zu reglementieren.
7.2. Das Verhältnismässigkeitsprinzip gebietet, dass eine Grundrechtseinschränkung zur Erreichung des angestrebten Ziels geeignet und erforderlich sowie für die betroffene Person zumutbar sein muss (<ref-ruling> E. 4.3 S. 224). Der Zweck, welcher Art. 36 und 38 MedBG zugrunde liegt, besteht hauptsächlich im Schutz der Patientinnen und Patienten, mittelbar aber auch im Schutz des Gesundheitssystems, weil die Qualität der Leistungserbringer (zusammen mit anderen Faktoren) die Effizienz des Systems sicherstellt (vgl. auch DUMOULIN, a.a.O., N. 4 zu <ref-law>).
7.2.1. Der Entzug der Bewilligung zur selbstständigen ärztlichen Tätigkeit ist offensichtlich geeignet, das Regelungsziel zu erreichen. Durch die Massnahme werden Patienten und Patientinnen insbesondere vor jenen Verfehlungen geschützt, die sich der Beschwerdeführer als Unternehmer hat zuschulden kommen lassen. Zudem wird damit ein (weitergehender) Schaden am Ansehen des Gesundheitssystems verhindert.
7.2.2. Was die Erforderlichkeit der Massnahme betrifft, hat der Gesetzgeber diese Frage vorab entschieden: Anders als im Bereich der Disziplinarmassnahmen, in dem ein Verbot der selbstständigen Berufsausübung befristet oder definitiv und diesfalls beschränkt auf ein Tätigkeitsgebiet ausgesprochen werden kann (vgl. <ref-law>), sieht das Gesetz im Fall des Fehlens von Bewilligungsvoraussetzungen zum Schutz der öffentlichen Gesundheit kein milderes Mittel als den (definitiven) Bewilligungsentzug vor (vgl. E. 4.3; Urteil 2C_389/2012 vom 12. November 2012 E. 7.2; vgl. auch MARTIN BRUNNSCHWILER, Bewilligungspflicht und Bewilligungserteilung, in: Das neue Medizinalberufegesetz [MedBG], 2008, S. 72; Botschaft vom 3. Dezember 2004 zum Medizinalberufegesetz, BBl 2005 173 Ziff. 2.6 S. 228 zu Art. 38 E-MedBG; a.M. DUMOULIN, a.a.O., N. 15 zu <ref-law>).
Das Element der Vertrauenswürdigkeit ist distinkt: Entweder sie ist gegeben, oder sie fehlt bzw. ist abhanden gekommen. Die Pflicht zur Einhaltung des Verhältnismässigkeitsprinzips beschränkt sich im Rahmen von <ref-law> darauf, die Vertrauenswürdigkeit (bzw. die Gewähr für eine einwandfreie Berufsausübung) nicht leichtfertig zu verneinen. Für die Anordnung einer Auflage als mildere Massnahme im Vergleich zum Bewilligungsentzug gibt es keine gesetzliche Grundlage. Der Hinweis des Beschwerdeführers auf <ref-law> ist unbehelflich, da diese Bestimmung nur eine Kompetenznorm zugunsten der Kantone darstellt. In Ermangelung einer entsprechenden Rüge (vgl. E. 2.1) erübrigt es sich zu prüfen, ob der Kanton Aargau davon Gebrauch gemacht hat. In der Botschaft zum MedBG (BBl 2005 173 228) findet sich kein Hinweis darauf, dass <ref-law> zu Verhältnismässigkeitszwecken eingeführt worden wäre (so aber DUMOULIN, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>). Als Gründe für eine kantonale Regelung nach <ref-law> nennt die Botschaft fachliche, zeitliche oder räumliche Beschränkungen, z. B. im Zusammenhang mit der medizinischen Unterversorgung gemäss <ref-law> (BBl 2004 228). <ref-law> ist daher entgegen der erwähnten Lehrmeinung (vgl. DUMOULIN, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>) nicht als "Ausweichnorm" zu <ref-law> konzipiert (implizit auch BRUNNSCHWEILER, a.a.O., S. 76, der Einschränkungen und Auflagen nach <ref-law> im Sinn flankierender Massnahmen als kumulierbar mit Disziplinarmassnahmen nach <ref-law> erachtet). Die Kantone sollen mit <ref-law> die Möglichkeit erhalten, die "Verteilung" der Bewilligungen bzw. der mit Bewilligung ausgeübten Tätigkeiten auf ihrem Gebiet nach ihren Bedürfnissen zu steuern. Aber auch eine eingeschränkte oder unter Auflagen erteilte Bewilligung im Sinn von <ref-law> bedingt, dass die Bewilligungsvoraussetzungen erfüllt sind.
7.2.3. Der Entzug der Bewilligung ist auch zumutbar, denn das öffentliche Interesse am Schutz der Patientinnen und Patienten und an einem intakten Gesundheitswesen ist höher zu gewichten als das private Interesse des Beschwerdeführers, weiterhin als selbstständig tätiger Arzt praktizieren zu dürfen. Die Verfehlungen des Beschwerdeführers sind so gravierend, dass er den Eingriff zu dulden hat. Dies umso mehr, als ihm nach Entzug der kassenärztlichen Zulassung in Deutschland eine zweite Chance in der Schweiz geboten wurde, die er nicht zu nutzen wusste. Der Entzug der Bewilligung ist vor diesem Hintergrund zumutbar, zumal dem Beschwerdeführer die ärztliche Tätigkeit in einem Anstellungsverhältnis weiterhin erlaubt ist.
7.3. Zusammenfassend erweist sich der Entzug der Bewilligung als verhältnismässig.
8.
Das Subsubeventualbegehren des Beschwerdeführers, die Angelegenheit zur weiteren Abklärung der Verhältnisse an die Vorinstanz zurückzuweisen, ist mit Blick auf die sorgfältige und umfassende Darstellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz abzuweisen.
9.
Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich, dass die Vorinstanz den Entzug der Bewilligung zur selbstständigen ärztlichen Tätigkeit und die Auferlegung der Busse von Fr. 5'000.-- zu Recht bestätigt hat. Die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>); eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner