Sachverhalt:
A.
Mit Zahlungsbefehl vom 20. Juni 2014 liess B._ A._ für Frauen- und Kinderalimente vom 1. August 2013 bis 30. Juni 2014 betreiben. Die Betreibungsforderung beträgt Fr. 22'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 15. Januar 2014 (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts U._). Als Forderungsurkunde legte B._ das Urteil 3B 11 38 des Obergerichts des Kantons Luzern vom 8. September 2011 betreffend ein Verfahren nach Art. 175 und 179 ZGB ins Recht. In diesem Urteil bestimmte das Obergericht die Höhe der Alimente. Ausserdem stellte es fest, dass die von A._ "geschuldeten Unterhaltspflichten im Zeitraum von Februar 2010 bis Mitte April 2011 im Umfang von Fr. 18'146.45 verrechnungsweise erfüllt sind".
B.
Nachdem A._ gegen den Zahlungsbefehl Rechtsvorschlag erhoben hatte, wandte sich B._ mit einem Rechtsöffnungsgesuch an das Bezirksgericht Kriens. Am 27. November 2014 erteilte ihr die dortige Einzelrichterin die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 22'000.-- nebst 5 % Zins seit 15. Januar 2014.
C.
A._ gelangte mit Beschwerde ans Kantonsgericht Luzern und verlangte sinngemäss, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und das Rechtsöffnungsgesuch abzuweisen. Das Kantonsgericht befand, B._ könne für die Zeit nach Eintritt der Volljährigkeit der Kinder keine Kinderalimente mehr geltend machen. Da der Sohn C._ am 27. November 2013 volljährig geworden sei, könne B._ für dessen Unterhaltsanspruch nur für die Zeit vom 1. August bis 1. November 2013 die definitive Rechtsöffnung erteilt werden. Entsprechend hiess das Kantonsgericht das Rechtsmittel von A._ teilweise gut. Es erteilte B._ die definitive Rechtsöffnung für Fr. 15'000.-- nebst 5 % Zins seit 15. Januar 2014 (Urteil vom 3. März 2015).
D.
Mit Eingabe vom 27. April 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er hält dem Rechtsöffnungsgesuch eine Verrechnungsforderung in der Höhe von Fr. 18'146.45 entgegen (vgl. Bst. A) und stellt sinngemäss das Begehren, B._ (Beschwerdegegnerin) die Rechtsöffnung zu verweigern. Mit Verfügung vom 28. April 2015 liess der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung dem Beschwerdegegner mitteilen, dass sein Antrag, das vorliegende Verfahren 5D_72/2015 mit dem Verfahren 5A_942/2014 zu vereinigen, gegenstandslos ist, weil das zuletzt genannte Verfahren mit Urteil vom 14. April 2015 abgeschlossen worden sei. Überdies ersucht der Beschwerdeführer darum, ihm das Recht zur Replik auf Stellungnahmen der Beschwerdegegnerin und auf eine allfällige Vernehmlassung des Kantonsgerichts einzuräumen. Nachdem keine Vernehmlassungen eingeholt wurden, ist auch dieser Antrag gegenstandslos.

Erwägungen:
1.
Die rechtzeitig eingereichte Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer vermögensrechtlichen Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 Bst. a, 75, 90 und 100 BGG). Der Streit um die definitive Rechtsöffnung ist rein vollstreckungsrechtlicher Natur. Der Richter prüft einzig, ob die in Betreibung gesetzte Forderung auf einem vollstreckbaren Urteil beruht. Die materiellrechtliche Frage, was es mit dem Schuldverhältnis zwischen Schuldner und Gläubiger auf sich hat, ist nicht Gegenstand richterlicher Beurteilung (Urteil 5D_213/2013 vom 23. Januar 2014 E. 1.3; vgl. sinngemäss <ref-ruling> E. 1.2 S. 472). Daran ändert auch der Umstand nichts, dass der Beschwerdeführer der definitiven Rechtsöffnung eine Verrechnungsforderung entgegenhält, als deren Rechtsgrund er eine "Miete" ausgemacht haben will. Massgeblich ist deshalb nicht die gesetzliche Streitwertgrenze in mietrechtlichen Fällen von Fr. 15'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. a BGG), sondern der allgemeine Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Dieser aber ist hier nicht erreicht. Dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG) stellt, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Das Bundesgericht kann die Eingabe daher nur als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegennehmen (<ref-law>).
2.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen substantiiert darlegen, worin die Verletzung besteht (Rügeprinzip; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) berufen will, kann sich demnach nicht darauf beschränken, den vorinstanzlichen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Er muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dartun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 4b S. 11 f.).
3.
Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer darin Anträge stellt und Rügen vorträgt, die mit dem Gegenstand des vorliegenden Rechtsöffnungsverfahrens nichts zu tun haben. Das gilt zunächst für die Begehren, mit denen der Beschwerdeführer die Leistung von Unterhaltsbeiträgen an die Beschwerdegegnerin vorsorglich einstellen und im Scheidungsprozess die güterrechtliche Auseinandersetzung in ein separates Verfahren verweisen lassen will, sowie für den in diesem Zusammenhang erhobenen Vorwurf, die Luzerner Justiz habe diese Anträge nie behandelt und bzw. "falsch nur in die Zukunft entschieden". An verschiedenen Stellen seines Schriftsatzes beklagt sich der Beschwerdeführer zumindest sinngemäss auch darüber, dass es einem Eingriff in sein Existenzminimum gleichkomme, wenn der Beschwerdegegnerin nun die Rechtsöffnung erteilt werde. Auf welche Summe Geldes der Beschwerdeführer angewiesen ist, um seinen Notbedarf zu bestreiten, wird das Betreibungsamt zu ermitteln haben, wenn es nach Empfang des Fortsetzungsbegehrens die Pfändung zu vollziehen hat (Art. 89 ff., insbes. <ref-law>). Im Verfahren der Rechtsöffnung befindet der Richter lediglich über die Beseitigung des Rechtsvorschlags (s. Randtitel zu <ref-law>).
4.
Anlass zur Beschwerde gibt der Betrag von Fr. 18'146.45, der nach der Meinung des Beschwerdeführers von der Beschwerdegegnerin "weiterhin geschuldet" ist und "gegen ihre finanziellen Forderungen verrechnet" gehört.
4.1. Beruht die Forderung - wie hier - auf einem vollstreckbaren Entscheid eines schweizerischen Gerichts, so kann der Schuldner die definitive Rechtsöffnung nur abwenden, wenn er durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Entscheids getilgt oder gestundet ist (<ref-law>). Hierfür hat der Schuldner den vollen Beweis anzutreten. Ein blosses Glaubhaftmachen genügt nicht (<ref-ruling> E. 3a S. 503). Nach dem Wortlaut von <ref-law> hat der Schuldner diesen Beweis durch Urkunden zu erbringen. Das sind Schriftstücke, die sich auf die Betreibungsforderung beziehen und anhand derer der Rechtsöffnungsrichter prüfen kann, ob die Schuld im konkreten Fall getilgt oder gestundet wurde (Daniel Staehelin, Basler Kommentar, 2. Auflage 2010, N 4 zu <ref-law>). Will sich der Schuldner auf die Tilgung durch Verrechnung mit einer Gegenforderung berufen, so muss diese Gegenforderung ihrerseits durch ein gerichtliches Urteil oder durch eine vorbehaltlose Schuldanerkennung belegt sein, die mindestens zur provisorischen Rechtsöffnung berechtigen würde (<ref-ruling> E. 4 S. 100, bestätigt in Urteil 5P.458/2004 vom 28. Februar 2005 E. 3.3).
4.2. Das Kantonsgericht verweist zum einen auf das Urteil 3B 11 38 vom 8. September 2011, auf dem auch die Betreibungsforderung beruht. Darin stelle das damalige Obergericht fest, dass die vom Beschwerdeführer geschuldeten Unterhaltspflichten im Zeitraum von Februar 2010 bis Mitte April 2011 im Umfang von Fr. 18'146.45 verrechnungsweise erfüllt sind (s. Sachverhalt Bst. A). Für den Fall, dass dieser Betrag nicht bereits zur Verrechnung gebracht worden sein sollte, könnte er auch heute noch mit Unterhaltsforderungen verrechnet werden, so die weitere Erkenntnis der Vorinstanz. Hierzu müsste der Beschwerdeführer allerdings darlegen und durch Urkunden beweisen, dass er seit seinem Auszug aus der ehelichen Wohnung sämtlichen Unterhaltsverpflichtungen nachgekommen ist. Aus den urkundlichen Belegen müsse auch hervorgehen, welche Unterhaltsbeiträge (für wen und für welche Zeitperiode) getilgt wurden. Nur so könnte nachvollziehbar geprüft werden, ob die richterlich festgesetzten Frauen- und Kinderalimente getilgt worden sind und der im Urteil vom 8. September 2011 genannte Betrag von Fr. 18'146.45 bereits ganz, teilweise oder überhaupt noch nicht zur Verrechnung gekommen ist; ebenso, ob die Beschwerdegegnerin Alimente teilweise doppelt kassiert habe, wie vom Beschwerdeführer behauptet.
Das Kantonsgericht kommt zum Schluss, was der Beschwerdeführer an Dokumenten vorgelegt habe, genüge diesen Anforderungen "in keiner Weise" und sei "zum Teil auch untauglich". So könne beispielsweise nicht mittels eines Verweises auf das Veranlagungs-Protokoll der Steuerbehörden belegt werden, dass im Jahre 2010 Unterhaltsbeiträge in der Höhe von Fr. 22'546.-- geleistet worden sind oder dass sich die Beschwerdegegnerin den Betrag von Fr. 17'582.-- für das Wohnrecht anrechnen lassen müsse. Nach der Aktenlage sei nicht belegt, dass der Beschwerdeführer gegenüber der Beschwerdegegnerin eine verrechenbare Gegenforderung besitzt, die in einem Verfahren betreffend die definitive Rechtsöffnung berücksichtigt werden könnte.
4.3. Von vornherein unbegründet ist die Rüge des Beschwerdeführers, der angefochtene Entscheid genüge den verfassungsmässigen Anforderungen an die Begründungspflicht nicht und verletze seinen Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> und Art. 6 Ziff. 3 EMRK. Gewiss muss die Behörde ihren Entscheid dergestalt abfassen, dass sich der Betroffene über seine Tragweite Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Aus dem Gehörsanspruch folgt aber nicht, dass sich die Behörde zu allen Punkten einlässlich äussern und jedes einzelne Vorbringen widerlegen muss (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> a.a.O., 133 III 439 E. 3.3 S. 445). Zu begründen ist vielmehr das Ergebnis des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Partei berührt. Die Begründung ist also nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen (Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1). Eingedenk dessen ist dem Kantonsgericht keine Verfassungswidrigkeit vorzuwerfen. Der angefochtene Entscheid bringt sehr wohl zum Ausdruck, warum das Kantonsgericht die Einwendung der verrechnungsweisen Tilgung verwirft. Ob es dies zu Recht getan hat, ist nicht eine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern eine solche der Rechtsanwendung.
4.4. Der Beschwerdeführer wirft dem Kantonsgericht vor, "willkürlich inkonsequent" die Rechtsöffnung für Alimente zu erteilen, ohne die Verrechnung von Fr. 18'146.45 zuzulassen, die sich aus dem Urteil vom 8. September 2011 ergebe. Soweit er meint, die Vorinstanz setze sich über das Urteil vom 8. September 2011 bzw. über die dort festgestellte verrechnungsweise Erfüllung der Unterhaltspflichten hinweg, ist seine Befürchtung unbegründet. Dem angefochtenen Entscheid zufolge beschlägt die hier fragliche Betreibung, in der die Parteien über die Beseitigung des Rechtsvorschlags streiten, einzig Unterhaltsbeiträge vom 1. August 2013 bis 30. Juni 2014 (s. Sachverhalt Bst. A). Die Unterhaltspflichten, die laut Urteil vom 8. September 2011 im Umfang von Fr. 18'146.45 verrechnungsweise erfüllt sind, betreffen hingegen den Zeitraum von Februar 2010 bis Mitte April 2011. Angesichts dessen kann nicht gesagt werden, dass sich das Kantonsgericht mit der erteilten definitiven Rechtsöffnung nicht an die gerichtlich festgestellte verrechnungsweise Erfüllung gehalten hätte.
4.5. Der Beschwerdeführer vermag aber auch nichts auszurichten, soweit er weiterhin bestreitet, dass eine Verrechnung von Fr. 18'146.45 überhaupt "je stattgefunden hat". So beruft er sich darauf, dass die Beschwerdegegnerin weder ein rechtskräftiges Urteil noch Belege beibringen könne, die beweisen, dass der erwähnte Betrag bereits berücksichtigt wurde. Zugleich klagt er unter Anrufung verschiedener Verfassungsnormen, die Vorinstanz erfinde willkürlich, einseitig und ohne haltbare Rechtsgrundlage "eine unhaltbare neue Anforderung", indem sie von ihm eine tabellarische Übersicht über sämtliche geschuldeten Unterhaltsbeiträge und korrespondierenden Zahlungen fordere. Als "schlicht faktenwidrig" bezeichnet der Beschwerdeführer ausserdem die vorinstanzliche Sichtweise, wonach der Verweis auf das Veranlagungs-Protokoll der Steuerbehörden nicht zum Beweis geleisteter Unterhaltszahlungen taugt (vgl. E. 4.2). Bei alledem verkennt der Beschwerdeführer die rechtliche Tragweite des Urteils 3B 11 38 vom 8. September 2011. Das zeigen die nachfolgenden Erwägungen.
Dass das besagte obergerichtliche Urteil in Rechtskraft erwachsen ist, stellt der Beschwerdeführer nicht in Abrede. Ebenso wenig macht er geltend, dass die Vorinstanz den fraglichen Urteilsspruch, wonach die "geschuldeten Unterhaltspflichten im Zeitraum von Februar 2010 bis Mitte April 2011 im Umfang von Fr. 18'146.45 verrechnungsweise erfüllt sind" (s. Sachverhalt Bst. A), unzutreffend wiedergegeben hätte. Indessen irrt sich der Beschwerdeführer, wenn er meint, das Urteil 3B 11 38 vom 8. September 2011 verschaffe ihm im Betrage von Fr. 18'146.45 eine zur Zahlung fällige Gegenforderung, auf deren Verrechnung mit der Betreibungsforderung er sich im vorliegenden Rechtsöffnungsverfahren berufen könnte. Der Rechtsspruch, den das Obergericht am 8. September 2011 wie oben zitiert formuliert hat, begründet keine Pflicht der Beschwerdegegnerin, dem Beschwerdeführer eine Geldsumme von Fr. 18'146.45 zu bezahlen. Das Urteil erschöpft sich in der - rechtskräftigen - Feststellung, dass in der besagten Höhe zwischen den Parteien (bereits) eine Verrechnung erfolgt ist. Dies und nichts anderes ist gemeint, wenn das Obergericht konstatiert, dass die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers "verrechnungsweise erfüllt" sei. Die Feststellung der erfolgten Verrechnung setzt freilich voraus, dass die Beschwerdegegnerin im Betrage von Fr. 18'146.45 in der Schuld des Beschwerdeführers stand (<ref-law>). Wie sich aus der Begründung des Urteils vom 8. September 2011 ergibt, hatte sich die Beschwerdegegnerin damit einverstanden erklärt, dass der Beschwerdeführer nachweislich bezahlte Hypothekarzinsen und Nebenkosten für die Zeit nach seinem Auszug aus der ehelichen Liegenschaft mit seiner Unterhaltspflicht verrechnet. Gestützt auf diese (implizite) Schuldanerkennung hielt das damalige Obergericht des Kantons Luzern zu Gunsten des Beschwerdeführers den erwähnten Betrag für erwiesen (s. Erwägung 5 des Urteils 3B 11 38 des Obergerichts des Kantons Luzern vom 8. September 2011) und stellte es in seinem Urteilsspruch die Verrechnung fest. Geht aber aus einem rechtskräftigen Urteil hervor, dass die Verrechnung im Betrage von Fr. 18'146.45 bereits berücksichtigt wurde, so bedeutet dies, dass beide an der Verrechnung beteiligten Forderungen - also auch diejenige des Beschwerdeführers gegen die Beschwerdegegnerin - im Umfang ihrer Verrechnung getilgt und damit erloschen sind (<ref-law>). Deshalb kann der Beschwerdeführer allein aus dem obergerichtlichen Urteil 3B 11 38 vom 8. September 2011 keine (weitere) Verrechnung herleiten, die in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Weggis-Greppen die Beseitigung des Rechtsvorschlages zu verhindern vermöchte.
4.6. Angesichts dieser Rechtslage kann offenbleiben, unter welchen Voraussetzungen der Betrag von Fr. 18'146.45 "auch heute noch mit Unterhaltsforderungen verrechnet werden" könnte. Die diesbezüglichen Ausführungen des Kantonsgerichts sind denn auch nur hypothetischer Natur. Dementsprechend braucht auch das Bundesgericht nicht zu erörtern, welche Bewandtnis es mit den Anforderungen an den Beweis hat, den das Kantonsgericht vom Beschwerdeführer für den Fall fordert, dass der fragliche "Betrag nicht bereits zur Verrechnung gebracht worden sein sollte". Denn es steht eben rechtskräftig fest, dass eine Verrechnung im Umfang dieses Betrages bereits erfolgt, in den Worten des Beschwerdeführers "gerichtlich zugelassen worden" ist. Der guten Ordnung halber sei trotzdem klargestellt, dass nach der klaren gesetzlichen Regelung von <ref-law> nicht die Beschwerdegegnerin als Gläubigerin, sondern der Beschwerdeführer als Schuldner entsprechende Urkunden zum Beweis vorlegen müsste, wenn er in der hier streitigen Betreibung für Unterhaltsforderungen von August 2013 bis Juni 2014 der definitiven Rechtsöffnung mit der Einwendung entgehen wollte, die Schuld sei durch Verrechnung getilgt. Um sich auf eine Tilgung durch Verrechnung im Betrage von Fr. 18'146.45 berufen zu können, müsste er also durch Urkunden beweisen, dass ihm in der vorliegenden Betreibung nach wie vor in der besagten Höhe eine zur Zahlung fällige Forderung gegen die Beschwerdegegnerin zusteht. Wie ausführlich dargelegt, taugt allein der Hinweis auf das Urteil 3B 11 38 vom 8. September 2011 dazu nicht (s. E. 4.4).
5.
Nach dem Gesagten setzt sich das Kantonsgericht nicht dem Vorwurf der Verletzung verfassungsmässiger Recht aus, wenn es zum Schluss kommt, der Beschwerdeführer habe keine verrechenbare Gegenforderung belegt, die im Rahmen des definitiven Rechtsöffnungsverfahrens berücksichtigt werden könnte. Andere Gründe, weshalb der angefochtene Entscheid mit seinen verfassungsmässigen Rechten nicht vereinbar ist, trägt der Beschwerdeführer nicht vor. Insbesondere macht er auch nicht geltend, dass die Beschwerdegegnerin für den inzwischen volljährigen Sohn C._ überhaupt keine Alimente mehr auf dem Betreibungsweg durchsetzen kann. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Der Beschwerdeführer unterliegt. Er hat für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: V. Monn