Erwägungen:
1.
Die Helvetia Nostra erhob gegen ein von der X._ AG am 10. August 2012 eingereichtes Baugesuch mit Eingabe vom 12. September 2012 Einsprache. Die Gemeinde Brienz/Brinzauls bewilligte das Vorhaben am 8./24. Oktober 2012 und wies gleichzeitig die Einsprache ab.
Hiergegen wandte sich die Helvetia Nostra ans Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Dessen 5. Kammer trat mit Urteil vom 4. Dezember 2012 auf die Beschwerde nicht ein und auferlegte die auf Fr. 1'033.-- bestimmten Gerichtskosten der Beschwerdeführerin.
Gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil gelangte die Helvetia Nostra mit Beschwerde vom 28. Januar 2013 ans Bundesgericht.
Gemäss Schreiben vom 11. Juli 2013 hat die Bauherrschaft ihr Baugesuch zurückgezogen.
2.
2.1. Durch den Rückzug des Baugesuchs ist die vorliegende Beschwerde gegenstandslos geworden. Sie ist daher als erledigt abzuschreiben (<ref-law>), wobei mit summarischer Begründung über die Prozesskosten zu entscheiden ist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
Die Parteien beantragen, die Verfahrenskosten der Bauherrschaft aufzuerlegen. Diese ersucht sodann, von einer Parteientschädigung an die Beschwerdeführerin sei abzusehen, während die Helvetia Nostra ihrerseits eine Entschädigung für das bundesgerichtliche wie auch für das kantonale Verfahren zugesprochen haben will.
2.2. Die Verfahrenskosten werden derjenigen Partei auferlegt, die sie verursacht hat (Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG). Demgemäss rechtfertigt es sich, der Beschwerdegegnerin die Kosten der durch den Baugesuchsrückzug gegenstandslos gewordenen Rechtsmittelverfahren aufzuerlegen. Aufgrund des Rückzugs des Baugesuchs in einem frühen Stadium des bundesgerichtlichen Verfahrens sind indes die diesbezüglichen Kosten auf eine reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 300.-- festzusetzen (<ref-law> analog).
Mit Blick auf das soeben Gesagte, den Baugesuchsrückzug und das Verursacherprinzip, steht der Beschwerdegegnerin, auch wenn anwaltlich vertreten, für das bundesgerichtliche Verfahren keine Parteientschädigung zu.
Sodann steht auch der in ihrem amtlichen Wirkungskreis tätigen Gemeinde keine Parteientschädigung zu (<ref-law>; s. dazu <ref-ruling>).
Anderseits hat die Beschwerdegegnerin die im bundesgerichtlichen Verfahren anwaltlich vertretene Helvetia Nostra mit Blick auf den erfolgten Baugesuchsrückzug angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Angesichts der grossen Anzahl ähnlicher Eingaben der Beschwerdeführerin rechtfertigt es sich, ihr eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 1500.-- zuzusprechen.
3. Wie ausgeführt, ist das vorliegende Verfahren mit dem Baugesuchsrückzug gegenstandslos geworden.
Durch die am 22. Mai 2013 ergangenen Urteile des Bundesgerichts betreffend Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra und unmittelbare Anwendbarkeit der Art. 75b und 197 Ziff. 9 BV (<ref-ruling>, 263 und 271) ist die Basis des dem bundesgerichtlichen Verfahren zugrunde liegenden verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 4. Dezember 2012 und des ursprünglichen kommunalen Entscheides vom 8./24. Oktober 2012 massgebend verändert worden, was selbstredend Auswirkungen auf deren Kostenregelungen zur Folge hat.
In Bezug auf Verfahren vor dem kantonalen Verwaltungsgericht, in denen die Helvetia Nostra nicht anwaltlich vertreten war, hat das Bundesgericht die verwaltungsgerichtlichen Kostenfolgen sogleich selber der erwähnten neuen Situation angepasst und neu die Bauherrschaft mit den - gemäss Verwaltungsgericht zunächst der Beschwerdeführerin überbundenen - Kosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens belastet.
Im vorliegenden Fall gilt es indes zu berücksichtigen, dass die Beschwerdeführerin bereits vor dem Verwaltungsgericht durch einen Rechtsbeistand vertreten war. In einem solchen Fall ist es angezeigt, dieses Gericht selber die sich aus der genannten veränderten Situation insgesamt ergebenden Kosten- bzw. Entschädigungsfolgen neu regeln zu lassen. Das Verwaltungsgericht wird bei der Neufestsetzung der Prozesskostenfolgen insbesondere auch dem Baugesuchsrückzug (und entsprechend, wie ausgeführt, kostenmässig ebenfalls dem Verursacherprinzip) sowie der neuen Rechtslage gemäss den bundesgerichtlichen Urteilen vom 22. Mai 2013 Rechnung zu tragen haben, ebenso dem Umstand, dass bereits die Beschwerde ans Verwaltungsgericht nach standardisierter Vorlage erfolgte.
Auf welche Weise die Kosten des kommunalen Baubewilligungs- und Einspracheverfahrens neu zu verlegen sind, ist dem Verwaltungsgericht zu überlassen. Diesem steht es frei, die Angelegenheit in diesem Punkt an die Gemeinde zurückzuweisen.

Demnach wird erkannt:
1.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_124/2013 wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
Es wird festgestellt, dass der am 8./24. Oktober 2012 ergangene kommunale Baubewilligungs- und Einspracheentscheid sowie das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 4. Dezember 2012 gegenstandslos geworden sind.
Die Sache geht zurück ans kantonale Verwaltungsgericht zur Neufestlegung der Kostenfolgen des verwaltungsgerichtlichen und des kommunalen Verfahrens im Sinne der Erwägungen.
2.
Der Beschwerdegegnerin X._ AG werden die bundesgerichtlichen Kosten von Fr. 300.-- auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Brienz/Brinzauls und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Oktober 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp