Sachverhalt:
A.
Am 25. November 2008 ordnete die Vormundschaftsbehörde Niederbipp über X._ auf deren eigenes Begehren eine Beistandschaft ohne Einkommens- und Vermögensverwaltung an. Anlässlich der Prüfung und Genehmigung des Berichts der Beiständin A._ vom 20. März 2013 passte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Oberaargau die bisherige Beistandschaft den neuen gesetzlichen Grundlagen an. Am 22. April 2013 entschied sie dabei, soweit vor Bundesgericht noch streitig, wie folgt:
"2. Für X._ wird eine Vertretungsbeistandschaft gemäss <ref-law> i.V.m. einer Vermögensverwaltung gemäss <ref-law> angeordnet.
3. Die Beiständin wird im Rahmen der Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung die folgenden Aufgaben übertragen,
a) X._ bei der Erledigung der finanziellen Angelegenheiten zu vertreten, insbesondere ihr Einkommen und ihr Vermögen zu verwalten;
b) X._ beim Erledigen der administrativen Angelegenheiten zu vertreten, insbesondere auch im Verkehr mit Behörden, Ämtern, Banken, Post, (Sozial-) Versicherungen, sonstigen Institutionen und Privatpersonen."
B.
Gegen diesen Entscheid reichte X._ am 21. Mai 2013 bei der KESB Oberaargau Beschwerde ein. Diese leitete die Beschwerde am 23. Mai 2013 an das Obergericht des Kantons Bern weiter. Am 22. Juli 2013 wies das Obergericht des Kantons Bern die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 16. September 2013 wendet sich X._ (Beschwerdeführerin) ans Bundesgericht. Sie verlangt, den Entscheid des Obergerichtes des Kantons Bern vom 22. Juli 2013 sowie den Entscheid der KESB Oberaargau vom 22. April 2013 aufzuheben. Eventualiter sei die Angelegenheit zur näheren Prüfung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Das Gesuch um aufschiebende Wirkung hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 27. September 2013 abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen letztinstanzlichen Endentscheid über die Anordnung einer Beistandschaft (<ref-law>) und damit um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Ziff. 6 lit. b BGG). Der Streit ist nicht vermögensrechtlicher Natur (Urteil 5A_645/2010 vom 27. Dezember 2010 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Die Beschwerde ist unter Berücksichtigung der Gerichtsferien rechtzeitig eingereicht worden (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Sie ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist damit grundsätzlich einzutreten.
Nicht eingetreten werden kann auf die Beschwerde, soweit die Aufhebung des Entscheids der KESB Oberaargau vom 22. April 2013 verlangt wird. Gegenstand der Beschwerde in Zivilsachen kann nur der Entscheid der Vorinstanz sein (<ref-law>).
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>). Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin kann die Feststellung des Sachverhalts rügen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 351, 398 E. 7.1, 466 E. 2.4).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin ist der Meinung, dass das vorinstanzliche Urteil ihrem verfassungsrechtlichen Anspruch auf einen begründeten Entscheid nicht genüge.
<ref-law> verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 3a S. 51, 242 E. 2; je mit Hinweisen). Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 4.3 S. 540; <ref-ruling> E. 3.2 S. 236; <ref-ruling> E. 2b S. 102 f.; je mit Hinweisen). Diesem Anspruch genügt das vorinstanzliche Urteil voll und ganz. Mit dem allgemein gehaltenen Hinweis der Beschwerdeführerin auf die mangelnde Tiefe des Urteils lässt sich keine Verletzung von <ref-law> begründen. Ebenso wenig ist es zu beanstanden, wenn sich das Obergericht in seinem Urteil auf den Entscheid der Vorinstanz bezieht.
3.2. Die Beschwerdeführerin sieht ihren Anspruch auf rechtliches Gehör ferner dadurch verletzt, dass die KESB auf Antrag der Beiständin entschieden habe, ohne die Beschwerdeführerin vorgängig anzuhören. Es sei nicht ersichtlich, wie genau die Einkommens- und Vermögensverhältnisse von der Beiständin thematisiert worden seien, und sie selbst sei in keiner Weise über die Konsequenzen und die rechtliche Bedeutung aufgeklärt worden.
Auf diese Rüge ist nicht einzutreten. Die Beschwerdeführerin macht nämlich nicht geltend, dass sie die gleiche Rüge bereits vor Obergericht vorgetragen hätte. Untersteht ein Vorbringen im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen - wie der Vorwurf der Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) - aber dem Rügeprinzip (E. 2.1), so ergibt sich aus dem Erfordernis der Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheids (<ref-law>), dass die Beschwerdeführerin die ihr bekannten rechtserheblichen Einwände der Vorinstanz nicht vorenthalten darf, um sie erst nach dem Ergehen eines ungünstigen Entscheides im anschliessenden Rechtsmittelverfahren zu erheben (<ref-ruling> E. 2 S. 640). Vielmehr muss sie sich in der Beschwerde an das Bundesgericht mit den Erwägungen der letzten kantonalen Instanz zu einer Rüge auseinandersetzen, die sie bereits vor dieser letzten kantonalen Instanz erhoben hat.
3.3. Überhaupt nicht begründet hat die Beschwerdeführerin schliesslich die behauptete Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips (<ref-law>). So tut die Beschwerdeführerin nicht dar, inwiefern die Verfassung ihr einen besseren Schutz gewährt, als dies bei korrekter Handhabung der gesetzlichen Bestimmungen über den Erwachsenenschutz (vgl. dazu E. 6) der Fall ist.
4.
4.1. Unter dem Titel "Willkürliche, bzw. unvollständige Sachverhaltsfeststellung" wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz vor, die Sachlage in Bezug auf eine nötige Massnahme im Sinne einer Einkommens- und Vermögensverwaltung nicht geprüft zu haben. Namentlich habe es kein Gespräch zwischen ihr und der Beiständin gegeben. Die KESB habe lediglich aufgrund der Ausführungen der Beiständin entschieden. Sie, die Beschwerdeführerin, verfüge weder über einen Betreibungsregistereintrag noch habe sie ansonsten Schulden zu verzeichnen. Die Beiständin erwähne in keiner Weise, dass sie habe intervenieren müssen. Auch seien der Beschwerdeführerin zugewandte Personen, wie beispielsweise der abgeschiedene Ehemann, welcher ihr seit Jahren bei den administrativen Belangen helfe, nicht beigezogen oder zumindest befragt worden. Wenn sie, die Beschwerdeführerin, sich dahin gehend geäussert habe, dass ihr die Beiständin in administrativen Dingen helfe, sei damit keine entsprechende Erweiterung der Beistandschaft gemeint gewesen. Vielmehr sei sie der Ansicht gewesen, dass diese Hilfestellung im Rahmen der zum damaligen Zeitpunkt erfolgten Einlieferung in die psychiatrische Klinik für eine kurze Zeit von der bereits bestehenden Beistandschaft erfasst sei. Faktisch sei es so gewesen, dass die Beiständin die Briefe der Post entgegengenommen und ungeöffnet an sie weitergeleitet habe. Dass die Unterstützung des Ex-Ehemannes nicht mehr möglich sein soll, sei ein offensichtliches Missverständnis zwischen ihr und der Beiständin. So habe der Ex-Ehemann beispielsweise erst kürzlich die Steuererklärung 2012 für die Beschwerdeführerin ausgefüllt. Die Zusammenarbeit mit der eingesetzten Beiständin gestalte sich als schwierig.
4.2. Mit diesen Ausführungen vermag die Beschwerdeführerin keine Willkür bei der Feststellung des Sachverhalts darzutun. Dafür genügt es nicht, wenn die Beschwerdeführerin den Sachverhalt aus ihrer Sicht schildert und anders als die Vorinstanz bewertet (E. 2.2). Zwar mag es zutreffen, dass es zu Unstimmigkeiten und Missverständnissen zwischen der Beschwerdeführerin und ihrer Beiständin gekommen ist. Diese Missverständnisse aber sind für den Ausgang des Verfahrens unerheblich. Sind die Voraussetzungen für eine Vertretungsbeistandschaft erfüllt, ist diese auch anzuordnen, wenn die Beschwerdeführerin diese Massnahme für unnötig erachtet (vgl. E. 6.1). Ein Antrag auf eine andere Beiständin ist nicht zu beurteilen. Was die Beschwerdeführerin als Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung vorträgt, läuft im Wesentlichen darauf hinaus, dass sie ihre Schutzbedürftigkeit anders als die Vorinstanz einschätzt.
5.
5.1. Nach <ref-law> gilt für den Erwachsenenschutz das neue Recht, sobald die Änderung vom 19. Dezember 2008 in Kraft getreten ist. Dies war am 1. Januar 2013 der Fall (AS 2011 725). Die bis zu diesem Zeitpunkt angeordneten Massnahmen fallen spätestens mit Ablauf von drei Jahren, das heisst am 31. Dezember 2015, dahin, sofern die Erwachsenenschutzbehörde sie nicht in eine Massnahme des neuen Rechts überführt hat (<ref-law>). Vorliegend hat die KESB die Berichterstattung der Beiständin zum Anlass genommen, die bisherige Verbeiständung auf eigenes Begehren (a<ref-law>) durch eine Vertretungsbeistandschaft gemäss <ref-law> in Verbindung mit einer Vermögensverwaltung gemäss <ref-law> zu ersetzen (s. Sachverhalt Bst. A).
5.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet zu Recht nicht, dass die KESB das Recht, ja so sogar die Pflicht hatte, sich im Zusammenhang mit der Berichterstattung der Beiständin zum Schicksal der altrechtlichen Verbeiständung auf eigenes Begehren (a<ref-law>) zu äussern. Dabei konnte die KESB auch zum Schluss kommen, dass die bisherigen Massnahmen nicht genügen. Entsprechend war die KESB nicht gezwungen, die Beistandschaft auf eigenes Begehren nach altem Recht (a<ref-law>) in eine Begleitbeistandschaft nach neuem Recht (<ref-law>) umzuwandeln (vgl. Ruth E. Reusser, in: Basler Kommentar, Erwachsenenschutzrecht, 2012, N 19 zu <ref-law>). Um neu eine Vertretungsbeistandschaft (<ref-law>) anzuordnen, bedurfte es weder eines Antrags der Beschwerdeführerin noch ihrer Beiständin. Umstritten ist im vorliegenden Zusammenhang denn auch nur, ob die angeordnete Massnahme nötig ist.
6.
6.1. Zentrales Anliegen des neuen Erwachsenenschutzrechts ist das Selbstbestimmungsrecht. Dieses Anliegen drückt sich unter anderem im weitgehenden Verzicht auf gesetzlich umschriebene, starre Massnahmen zum Schutz hilfsbedürftiger Menschen aus. Stattdessen hat die Erwachsenenschutzbehörde "Massnahmen nach Mass" zu treffen, das heisst solche, die den Bedürfnissen der betroffenen Person entsprechen (<ref-law>). Es gilt der Grundsatz "Soviel staatliche Fürsorge wie nötig, so wenig staatlicher Eingriff wie möglich" (vgl. Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7017).
Als mildeste Massnahme sieht das Gesetz die Begleitbeistandschaft vor (<ref-law>). Diese kann nur mit Zustimmung der hilfsbedürftigen Person angeordnet werden und zielt darauf, dieser für die Erledigung bestimmter Angelegenheiten begleitende Unterstützung zu gewähren. Demgegenüber wird eine Vertretungsbeistandschaft (<ref-law>) angeordnet, wenn die hilfsbedürftige Person bestimmte Angelegenheiten nicht selbst erledigen kann und deshalb vertreten werden muss. Diese Form der Beistandschaft kann auch gegen den Willen der hilfsbedürftigen Person angeordnet werden. Auch diese Massnahme schränkt aber die Handlungsfähigkeit der verbeiständeten Person nicht ein, sofern die Erwachsenenschutzbehörde nicht eine andere Anordnung trifft (<ref-law>). Im vorliegenden Fall liegt keine solche Anordnung vor, weshalb die Beschwerdeführerin trotz Vertretungsbeistandschaft ihre volle Handlungsfähigkeit behält. Die gleichen Regeln gelten für die Vermögensverwaltung, die im Gesetz als besondere Form der Vertretungsbeistandschaft ausgestaltet ist (<ref-law>).
6.2. Die KESB kann eine behördliche Massnahme nur anordnen, wenn diese erforderlich und geeignet ist (<ref-law>). Daraus folgt, dass keine Vertretungsbeistandschaft angeordnet werden darf, wenn für die Bedürfnisse der hilfsbedürftigen Person eine Begleitbeistandschaft genügt. Auch so bleibt die Wahl der richtigen Massnahme ein Ermessensentscheid (<ref-law>), der stark von der genauen Kenntnis des Sachverhalts abhängt. Das Bundesgericht übt bei der Überprüfung solcher Entscheide eine gewisse Zurückhaltung: Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, das heisst wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 671 mit Hinweisen).
Davon kann im vorliegenden Fall keine Rede sein. Nach der unbestrittenen Auffassung der Vorinstanz hat die alkoholabhängige Beschwerdeführerin keine Einsicht in ihre Krankheit; entsprechend fehlt es auch an den Voraussetzungen für eine Erfolg versprechende Therapie. Es muss befürchtet werden, dass sich die Situation drastisch verschlechtert, wenn die Beschwerdeführerin, die im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils fürsorgerisch untergebracht war, wieder in ihr altes Umfeld zurückkehrt. Dagegen kommen auch die guten Vorsätze der Beschwerdeführerin nicht auf. Ebenso wenig taugen ihre Hinweise darauf, dass sie in der Vergangenheit ihre Angelegenheiten selbst erledigt hat. Das Erwachsenenschutzrecht zielt nicht auf Bestrafung. Entsprechend spielt es für die Anordnung einer Massnahme des Erwachsenenschutzes grundsätzlich keine Rolle, wozu die Beschwerdeführerin in der Vergangenheit in der Lage war, wenn für die Erwachsenenschutzbehörde klar ist, dass dies in Zukunft anders aussieht.
6.3. Nicht zu hören ist die Beschwerdeführerin mit dem Hinweis auf ihren Ex-Ehemann, der für sie die Steuererklärung 2012 ausgefüllt habe. Dabei handelt es sich um eine neue Tatsache, die das Bundesgericht nicht berücksichtigen kann (<ref-law>). Die Vorinstanz selbst ging willkürfrei davon aus, dass die Personen, die die Beschwerdeführerin in der Vergangenheit unterstützt haben, dazu nicht mehr in der Lage sind (E. 4.2). Sollte sich daran in Zukunft etwas ändern, bleibt es der Beschwerdeführerin unbenommen, der KESB die Aufhebung der Vertretungsbeistandschaft bzw. deren Umwandlung in eine Begleitbeistandschaft zu beantragen.
7.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB Oberaargau und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn