Faits:
A.
A.a. C._ a été engagé à partir du 1 er avril 2003 et à titre provisoire en qualité de surveillant-maître d'atelier à l'établissement d'exécution des peines de X._. Par arrêté du Conseil d'État du 15 décembre 2004, il a été nommé à cette fonction dès le 1 er janvier 2005. Le 11 juillet 2008, il s'est vu délivrer le certificat d'examen professionnel d'agent de détention et a obtenu à partir du 1 er juillet 2008 le poste d'adjoint responsable des ateliers de X._. Il a ensuite occupé, à partir du 1 er janvier 2009, le poste de responsable ad interim des ateliers du Service pénitentiaire de l'établissement Y._, regroupant les trois établissements de détention du canton de Neuchâtel. Il a toutefois été réintégré dans la fonction de surveillant-chef adjoint dans le domaine cellulaire de X._ le 4 juillet 2011, après que Y._ a clarifié les missions et les attributions de l'ensemble du personnel, à la suite de l'évasion de cet établissement d'un dangereux détenu le 27 juin 2011.
A.b. Par courrier du 31 janvier 2012, le directeur de X._ a confirmé la teneur d'un entretien qu'il avait eu le 20 janvier précédent avec C._ et au cours duquel il avait rappelé à ce dernier le concept de Y._ concernant les services de piquet. Ce rappel faisait suite à une intervention du médecin de garde lors du week-end du 14 au 15 janvier 2012. Ce jour-là, C._ était le surveillant-chef adjoint de piquet et il avait omis d'annoncer cette intervention au directeur de piquet, comme l'exigeait le concept précité. A cette occasion, il a aussi été rappelé à l'intéressé que les entretiens avec les détenus concernant un problème de comportement devaient se dérouler uniquement en parloir et non en cellule.
A.c. Le dimanche 24 juin 2012, alors que C._ qui était de piquet ce jour-là venait de quitter l'établissement, il a été contacté par téléphone à 17 h 20 par J._, centraliste de service. Ce dernier a déclaré avoir informé C._ qu'une bagarre avait éclaté à 16h35 entre deux détenus, en indiquant que la situation était sous contrôle. Après avoir demandé si sa présence sur place était nécessaire et reçu une réponse négative, C._ a donné l'ordre de consigner les faits au rapport journalier et de veiller à ce que les deux protagonistes ne se croisent pas lors de la distribution des repas au self-service. Il est apparu en début de soirée que l'un des détenus avait fait usage d'un couteau à beurre.
Informé le lendemain de ces faits, le directeur de X._ a demandé des explications par courriel à C._, qui a répondu, par courriel également, être surpris d'apprendre que la situation était plus grave que celle qui lui avait été décrite, à savoir, affirmait-il, une "engueulade de plus". Ce même jour, le directeur a relaté par écrit ces faits à la cheffe de Y._. Il déclarait ne pas comprendre que l'intéressé n'ait pas cherché à obtenir des informations supplémentaires relativement à cette altercation. En effet, le lendemain matin, à l'arrivée du personnel en service, personne n'était au courant de la situation et les deux détenus impliqués s'étaient retrouvés libres de se rendre à la salle du déjeuner avec tous les risques que cela comportait. Selon le directeur, les précautions d'usage auraient imposé, d'une part, que les protagonistes fussent isolés en cellule jusqu'à leur audition et que la direction prît une décision sur la suite à donner à l'affaire et, d'autre part, que les informations aient été transmises de manière claire via la centrale pour la nuit et le tableau d'affichage pour la relève du lendemain. C._ a été convoqué par la cheffe de Y._ pour un entretien qui a eu lieu le 28 juin suivant en présence du directeur de l'établissement. Le fonctionnaire a estimé n'avoir rien à se reprocher, car il ne savait pas qu'il y avait eu une bagarre. On ne lui aurait parlé que d'une simple "chamaillerie" entre détenus. J._, ainsi que M._, R._, et H._, tous trois également agents de détention, ont été entendus.
A.d. Le 4 juillet 2012, le Conseil d'État a pris une décision de suspension provisoire à l'égard de C._. Celui-ci a recouru par écriture du 13 juillet 2012.
A.e. Le 20 août 2012, le chef du service des ressources humaines a informé C._ de l'intention du Conseil d'État de prononcer à son encontre l'une des mesures prévues à l'art. 48 de la loi cantonale neuchâteloise sur le statut de la fonction publique du 28 juin 1995 (LSt; RS/NE 152.510), à savoir le renvoi, le blâme assorti d'une menace de renvoi ou encore le déplacement de l'intéressé dans un poste d'agent de détention. C._ s'est déterminé le 7 septembre 2012. Il a derechef contesté avoir commis une faute. Le surveillant centraliste l'avait certes informé qu'une altercation s'était produite, mais en précisant que la situation était sous contrôle. À aucun moment, il n'avait été question d'une bagarre ni d'une arme blanche. Par décision du 26 septembre 2012, le Conseil d'État a mis fin aux rapports de service de C._ avec effet au 31 décembre 2012, conformément à l'art. 48 al. 2 LSt. Il a retiré l'effet suspensif à un recours éventuel. Enfin, il a annulé la décision de suspension provisoire du 4 juillet 2012 en précisant que C._ était libéré de son obligation de travailler.
B.
C._ a recouru devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel. Il a conclu à l'annulation de la décision du 26 septembre 2012 et à sa réintégration. Subsidiairement, il a conclu au renvoi de la cause au Conseil d'État pour nouvelle décision.
Statuant le 11 décembre 2012, la Cour de droit public a rejeté le recours.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, C._ demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal et, principalement, d'ordonner sa réintégration, subsidiairement, de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des motifs.
Agissant au nom du Conseil d'État, le Service des ressources humaines conclut au rejet du recours.

Considérant en droit:
1.
Le jugement entrepris a été rendu en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Dans la mesure où la contestation porte sur l'annulation d'une décision de résiliation des rap-ports de travail, elle est de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération (voir par exemple les arrêts 8C_902/2012 du 18 septembre 2013 consid. 1 et 8C_907/2010 du 8 juillet 2011 consid. 1.1). La valeur litigieuse, qui porte sur plusieurs mois de salaire, dépasse par ailleurs le seuil requis de 15'000 fr. (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF). La voie du recours en matière de droit public selon les <ref-law> est donc ouverte pour contester la décision attaquée.
2.
Pour le surplus, interjeté en temps utile (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF), le recours en matière de droit public est recevable.
3.
3.1. Le recourant se plaint d'une constatation manifestement inexacte des faits. Il reproche aux premiers juges d'avoir retenu, contrairement à ses dires, qu'il avait été informé par téléphone qu'une bagarre avait éclaté entre deux détenus. Il avait toujours affirmé, quant à lui, que le centraliste avait fait état d'une "engueulade", d'une "chamaillerie" ou, tout au plus, d'une "altercation" ou encore d'un "incident" entre deux détenus. Selon lui, il est même douteux qu'il y ait eu véritablement bagarre ce jour-là.
3.2. La partie recourante qui veut s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 187). Si la partie recourante se plaint d'une constatation manifestement inexacte des faits (<ref-law>), ce qui revient à se plaindre d'une forme d'arbitraire, elle doit motiver son grief conformément aux exigences strictes de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62).
3.3. La critique du recourant ne répond pas à ces exigences. Elle met en avant certains faits (heure à laquelle le recourant a quitté l'établissement; lors de l'appel, le surveillant centraliste n'avait pas connaissance de l'ensemble des faits; absence d'enregistrement des appels sortant de l'établissement, etc.), sans démontrer précisément en quoi ils permettraient de nier l'existence même d'une bagarre (en dépit des déclarations concordantes des agents de détention) et le fait qu'il en a été informé de manière précise. Sur ce dernier point la juridiction cantonale pouvait, comme elle l'a fait, accorder foi aux déclarations de J._ entendu à deux reprises et dont les déclarations - contrairement à celles du recourant - n'ont pas varié. Il n'est donc pas possible, sur la base de l'argumentation présentée, de constater que la cour cantonale aurait apprécié arbitrairement les preuves (sur cette notion: cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560) ou qu'elle aurait établi un état de fait insoutenable.
4.
Le recours peut être formé pour violation du droit suisse tel qu'il est délimité à l'<ref-law>, soit le droit fédéral (let. a), y compris le droit constitutionnel, le droit international (let. b), les droits constitutionnels cantonaux (let. c), les dispositions cantonales sur le droit de vote des citoyens ainsi que sur les élections et votations populaires (let. d) et le droit intercantonal (let. e). Sauf dans les cas expressément cités par ces dispositions, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral - en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 69; <ref-ruling> consid. 3 p. 351 et la jurisprudence citée). A cet égard, le Tribunal fédéral n'examinera le moyen tiré de la violation d'une norme de rang constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise (<ref-law>).
5.
5.1. Le Conseil d'État et la Cour de droit public fondent le licenciement du recourant sur l'art. 45 LSt qui, sous le chapitre "Cessation des rapports de service" et le titre marginal "Renvoi pour justes motifs ou raisons graves" prévoit que si des raisons d'inaptitude, de prestations insuffisantes, de manquements graves ou répétés aux devoirs de service ou d'autres raisons graves ne permettent plus la poursuite des rapports de service, l'autorité qui a nommé peut ordonner le renvoi d'un titulaire de fonction publique (al. 1). Sous réserve d'un licenciement avec effet immédiat, l'autorité de nomination prononce le renvoi du titulaire de fonction publique et lui notifie la décision moyennant un préavis de trois mois pour la fin d'un mois (art. 48 LSt.). L'art. 46 LSt prévoit cependant que, lorsque les faits reprochés au titulaire de fonction publique dépendent de sa volonté ou lorsque les exigences de la fonction ne sont pas remplies à satisfaction, le chef de service doit en avertir par écrit l'intéressé après l'avoir entendu et lui fixer un délai raisonnable pour s'améliorer; il lui en suggère autant que possible certains moyens (al. 1); faute d'amélioration constatée dans le délai imparti, le chef de service transmet le dossier à l'autorité de nomination avec ses observations (al. 2); il en informe par écrit l'intéressé en mentionnant les faits ou omissions qui lui sont reprochés (al. 3).
5.2. Les justes motifs de renvoi des fonctionnaires ou d'employés de l'État peuvent procéder de toutes circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, excluent la poursuite des rapports de service, même en l'absence de faute. De toute nature, ils peuvent relever d'événements ou de circonstances que l'intéressé ne pouvait éviter, ou au contraire d'activités, de comportements ou de situations qui lui sont imputables (voir par exemple l'arrêt 8C_780/2012 du 11 février 2013 consid. 5.2.1 et les références citées).
5.3.
5.3.1. Le recourant se plaint d'une violation arbitraire des art. 45 ss LSt et d'un abus du pouvoir d'appréciation par les juges précédents. Il soutient qu'il ne pouvait pas être renvoyé sans que soit mise en oeuvre la procédure d'avertissement préalable au sens de l'art. 46 LSt.
5.3.2. Le concept du service de piquet de X._ prévoit un piquet cellulaire constitué du surveillant-chef et de surveillants-chefs adjoints. Le piquet cellulaire est appelé par le surveillant de service en dehors des heures de bureau a) en cas de situations particulières; b) pour des questions concernant les détenus, notamment des questions médicales; c) en cas de pannes d'installations importantes. Le piquet cellulaire doit obligatoirement avertir le piquet de direction dans un certain nombre de cas énumérés dans le concept, notamment en cas de "bagarres" (ch. 4) ou encore, par exemple, en cas d'intervention du médecin de garde/SMUR (ch. 10). La juridiction cantonale retient à ce propos que lorsqu'il a été informé du fait qu'une bagarre avait éclaté entre deux détenus dans un secteur de l'établissement, le recourant s'est contenté d'informations données spontanément par le centraliste, à savoir que tout était rentré dans l'ordre. Il n'a pas demandé des précisions sur le déroulement des événements.
5.3.3. Il est évident qu'une telle attitude passive ne correspond pas aux règles du concept qui imposaient au recourant de demander des explications et d'avertir le piquet de direction. Il n'est guère contestable que la légèreté avec laquelle il a traité l'information aurait pu conduire le lendemain à une situation potentiellement dangereuse et dégénérer à nouveau en violence. Compte tenu de l'avertissement (toutefois sans caractère disciplinaire) donné au recourant pour des faits semblables quelques mois auparavant, il n'était pas insoutenable d'admettre que la répétition d'un tel comportement était constitutif d'un motif de renvoi au sens de l'art. 45 Lst. Comme le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de le constater, le non respect d'une consigne, qui serait de peu de gravité dans un autre contexte professionnel, prend une toute autre dimension dans un établissement pénitentiaire, dès lors qu'il peut avoir des conséquences sur la sécurité des détenus ou du personnel de détention (cf. arrêt 8C_780/2012 du 11 février 2013 consid. 5.2.3).
5.4.
5.4.1. Se référant à la jurisprudence cantonale et fédérale rendue à propos de l'art. 46 LSt, les premiers juges ont considéré que la procédure de l'avertissement préalable n'est pas indispensable lorsque le seul intérêt du service motive le renvoi (cf. arrêts 2P.116/2006 du 16 août 2006 et 1P.774/1999 du 14 février 2000) ou lorsque, compte tenu de la fonction en cause, de la nature des faits reprochés au titulaire et de la personnalité de celui-ci, on ne peut vraisemblablement pas s'attendre à ce que le comportement incriminé ou les prestations insuffisantes s'améliorent, de manière à assurer durablement la bonne marche du service (Recueil de jurisprudence neuchâteloise [RJN] 1997 p. 218; cf. également arrêt 8C_369/2012 du 22 août 2012 consid. 4.3). Les premiers juges ont considéré à ce propos que le recourant, qui avait soutenu dans son recours du 13 juillet 2012 (dirigé contre la mesure de suspension dont il était l'objet) qu'il jouissait d'une certaine marge de manoeuvre s'agissant de l'obligation d'avertir le piquet de direction, en dépit des directives impératives figurant dans le concept, avait démontré qu'il n'avait toujours pas compris le sens de sa mission. Toujours selon la juridiction cantonale, le Conseil d'État pouvait donc sérieusement douter de son aptitude à assumer la charge d'agent de détention. Dans de telles conditions, un avertissement formel au sens de l'art. 46 LSt n'était pas nécessaire.
5.4.2. Le recourant ne discute pas cette jurisprudence. Il prétend qu'il n'a jamais contesté son devoir d'informer le piquet de direction si une bagarre éclatait au sein de l'établissement. S'il a parlé d'une marge de manoeuvre, c'est uniquement en présence d'un incident ne relevant pas des cas mentionnés dans la directive des services de piquet (dans l'écriture en question, le recourant affirmait qu'on lui avait été indiqué par téléphone qu'il s'était agi d'une simple "peccadille"). Il n'en reste pas moins que, loin de reconnaître la gravité des faits, le recourant a toujours tenté - à tort au vu des témoignages recueillis - de minimiser la portée de l'information qu'il avait reçue. Il ne paraît pas avoir apprécié à sa mesure la portée du rappel des consignes signifié oralement le 20 janvier 2012 et confirmé par écrit le 31 juillet suivant. Le Conseil d'État pouvait effectivement douter de son l'aptitude à les respecter scrupuleusement. Comme il l'a relevé dans sa décision, le maintien du recourant dans ses fonctions était de nature à entraver la bonne marche d'un établissement pénitentiaire de sécurité élevée.
5.5. Dans ces conditions, la résiliation des rapports de service, sans avertissement préalable au sens de l'art. 46 LSt, n'est pas non plus insoutenable et, partant, échappe au grief d'arbitraire.
6.
Le recourant se prévaut du principe le proportionnalité. Ce principe, bien que de rang constitutionnel, ne constitue pas un droit constitutionnel avec une portée propre. Aussi bien, lorsque, comme en l'espèce, il est invoqué en relation avec l'application du droit cantonal (en dehors du domaine de protection d'un droit fondamental spécial), le Tribunal fédéral n'intervient-il, en cas de violation du principe de proportionnalité, que si la mesure de droit cantonal est manifestement disproportionnée et qu'elle viole simultanément l'interdiction de l'arbitraire; autrement dit, le grief se confond avec celui de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.2.2 et 4.3 p. 158; arrêt 8C_901/2010 du 16 mai 2011 consid. 6.2). En l'espèce, le licenciement, qui d'ailleurs faisait suite, on l'a vu, à un avertissement, n'apparaît pas manifestement contraire au principe de proportionnalité.
7.
Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
8.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public.
Lucerne, le 3 décembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: von Zwehl