Sachverhalt:
A. A.a In einem Testament vom 13. März 2003 errichtete der 1912 geborene X._, der in A._ und B._ heimatberechtigt und in C._ wohnhaft war, eine Stiftung im Sinne der <ref-law> (Ziff. I der im Testament enthaltenen "Statuten"). Unter Ziff. III der "Statuten" bestimmte er Folgendes:
"Zweck der Stiftung ist:
Die Verwaltung und der weitere Ausbau der in Ziff. II genannten Investment-Gesellschaften mit dem Ziele: Den Nachkommen meiner Schwester Frau D._, ... insbesondere dem psychisch kranken und nicht zu einer Erwerbstätigkeit fähigen Sohn ... E._ z.Zt. F._ aber auch den Sohn G._ und der Tochter H._, zur Zeit F._, sowie Frau I._, deren Tochter K._, sowie deren allfälligen Nachkommen bei Erwerbsunfähigkeit durch Krankheit, Unfall, Invalidität, Arbeitslosigkeit etc. ein angemessenes Auskommen zu sichern.
Nach Prüfung aller Voraussetzungen kann vom Stiftungsrat Beihilfe zum Existenzaufbau (Studium, Schulung etc. gewährt werden."
In Ziff. IV der "Statuten" regelte der Stifter die Organisation wie folgt:
"Die Stiftungsorgane sind der Stiftungsrat und die Kontrollstelle.
Der Stiftungsrat setzt sich zusammen aus 3 Mitgliedern, und zwar aus zwei ständigen und einem nichtständigen Mitglied.
Als ständige Stiftungsmitglieder gehören den Stiftungsrat an
1. Herr L._, ...
2. Herr N._, ...
Als nichtständiges Mitglied des Stiftungsrates wird bestimmt:
Herr Y._, A._.
Die Amtszeit der ständigen Stiftungsräte ist unbefristet. Der nichtständige Stiftungsrat wird alle zwei Jahre durch die ständigen Stiftungsräte bestimmt. Sofern ein ständiger oder nichtständiger Stiftungsrat aus irgend einem Grund sein Mandat niederlegt, stirbt oder sonstwie handlungsunfähig wird, bestimmen die übrigen ständigen oder nicht ständigen Stiftungsräte seinen Nachfolger."
Nachdem X._ gestorben war, traten die drei testamentarisch bestimmten Stiftungsräte am 3. Mai 2004 zusammen und wählten L._ zum Präsidenten.
N._ erklärte am 30. Juli 2004 seinen sofortigen Rücktritt.
A.b L._ hielt am 2. Januar 2006 an der Strasse O._ in A._, dem Sitz der Stiftung, im Beisein seiner Ehefrau M._ und von P._ (als Protokollführer), jedoch in Abwesenheit von Y._ eine Sitzung des Stiftungsrates ab, an der er als Nachfolgerin von N._ seine Ehefrau zum ständigen Mitglied des Stiftungsrates wählte. Gleichzeitig wurde auf den nächsten Tag, den 3. Januar 2006, eine weitere Sitzung des Stiftungsrates anberaumt. An dieser Sitzung waren wiederum die erwähnten drei Personen anwesend, und es wurde als nicht ständiges Mitglied des Stiftungsrates R._ gewählt und ferner beschlossen, dass die Stiftung ins Handelsregister einzutragen sei. Mit Schreiben vom gleichen Tag wurde Y._ mitgeteilt, dass er nicht mehr nicht ständiges Mitglied des Stiftungsrates sei.
Die Stiftung wurde (erstmals) im Handelsregister ... eingetragen, wobei als Stiftungsräte L._ (mit Einzelunterschrift) sowie M._ und R._ (je mit Kollektivunterschrift) angeführt wurden.
B. Mit Eingabe vom 14. Juni 2006 reichte Y._ beim Bezirksgericht A._ gegen die X._ Stiftung Klage ein und beantragte,
- das Handelsregisteramt ... anzuweisen, die Stiftung zu löschen, allen falls M._ und R._ als Stiftungsräte zu löschen und ihn, Y._, als Stiftungsrat einzutragen,
- die Wahl von M._ und R._ als Stiftungsräte nichtig zu erklären, allenfalls aufzuheben, und
- festzustellen, dass er, Y._, Stiftungsrat sei.
In seiner Replik vom 22. Januar 2007 ergänzte Y._ das bezüglich des Handelsregistereintrags eventualiter gestellte Klagebegehren dahin, dass er mit Kollektivunterschrift zu zweien einzutragen sei und dass beim Eintrag von L._ die Berechtigung zur Einzelunterschrift durch eine solche zur Kollektivunterschrift zu zweien zu ersetzen sei.
Das Bezirksgericht wies mit Urteil vom 27. November 2007 das Handelsregisteramt an, die Stiftung zu löschen. Ferner wurde die Wahl von M._ und R._ in den Stiftungsrat aufgehoben und festgestellt, dass Y._ Stiftungsrat sei.
Die Stiftung erhob Berufung mit den Rechtsbegehren, den bezirksgerichtlichen Entscheid aufzuheben und die Klage vollumfänglich abzuweisen; eventuell sei festzustellen, dass sie, die Stiftung, keine Familienstiftung sei.
Das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich beschloss am 8. Juli 2008, dass auf den Berufungsantrag, festzustellen, dass die beklagte Stiftung keine Familienstiftung sei, nicht eingetreten werde. Im gleichzeitig gefällten Urteil bestätigte es den Entscheid des Bezirksgerichts.
C. Die X._ Stiftung beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. September 2008, Beschluss und Urteil des Obergerichts aufzuheben, die Klage abzuweisen und festzustellen, dass sie keine Familienstiftung sei.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.
D. Durch Präsidialverfügung vom 1. Oktober 2008 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1. Das Obergericht bezeichnet das Begehren der Beschwerdeführerin, festzustellen, dass sie keine (reine) Familienstiftung (sondern eine gemischte Familienstiftung) sei, insofern als unzulässig, als es als eigener Antrag gestellt werde. Wie schon das Bezirksgericht prüfte es die angesprochene Frage aus der Sicht der Zuständigkeit des Gerichts: Nach <ref-law> sind Familienstiftungen unter Vorbehalt des öffentlichen Rechts der Aufsichtsbehörde (<ref-law>) nicht unterstellt, und <ref-law> bestimmt, dass über Anstände privatrechtlicher Natur das Gericht entscheidet.
1.1 Beide kantonalen Instanzen qualifizierten die Beschwerdeführerin als Familienstiftung und kamen damit zum Ergebnis, dass sie zur Beurteilung der Klage des Beschwerdegegners zuständig seien. Das Bezirksgericht, auf dessen Erwägungen die Vorinstanz verweist, hatte festgehalten, von einer (reinen) Familienstiftung sei auszugehen, wenn eine Stiftung durch die Bindung ihres Vermögens an eine bestimmte Familie gekennzeichnet werde; ausschlaggebendes Unterscheidungskriterium sei die Konzentration des Destinatärkreises auf Angehörige einer bestimmten Familie. Unter Hinweis auf die Bezeichnung der Nachkommen von D._ sel. als ausschliessliche Destinatäre hatte das Bezirksgericht erklärt, es sei mit der Beschwerdeführerin geradezu exemplarisch eine (reine) Familienstiftung errichtet worden.
1.2 Nach wie vor macht die Beschwerdeführerin geltend, sie sei keine (reine) Familienstiftung. Den Entscheid des Obergerichts beanstandet sie insofern nicht, als dieses ihr entsprechendes Feststellungsbegehren für unzulässig bezeichnet hat, soweit es als selbständiger Antrag gestellt worden war. Sie erklärt unter Hinweis auf die testamentarische Stiftungsurkunde im Wesentlichen, ihr Zweck sei einerseits die Verwaltung und der weitere Aufbau der Investmentgesellschaften und andererseits die Erhaltung der gewidmeten Liegenschaften, die teilweise sehr alt seien und unter Heimatschutz stünden, für die Öffentlichkeit; es handle sich bei ihr deshalb um eine gemischte Familienstiftung, für die nicht die Gerichte, sondern die Stiftungsaufsichtsbehörden zuständig seien.
1.3 Diesen Vorbringen ist entgegenzuhalten, dass in der dem Zweck der Stiftung gewidmeten Ziff. III der testamentarisch festgelegten Statuten die Verwaltung und der weitere Ausbau der durch die Beschwerdeführerin gehaltenen Investmentgesellschaften ausdrücklich mit dem Ziel in Verbindung gebracht wurde, den genannten Personen aus der Verwandtschaft des Stifters ein angemessenes Auskommen zu sichern. Letzteres entspricht <ref-law>, wonach ein Vermögen mit einer Familie dadurch verbunden werden kann, dass zur Bestreitung der Kosten der Erziehung, Ausstattung oder Unterstützung von Familienangehörigen oder zu ähnlichen Zwecken eine Familienstiftung errichtet wird. Dass den Organen nicht nur die Verwaltung der dem Stiftungszweck gewidmeten Liegenschaften, sondern auch die Verwaltung und der Ausbau der Investmentgesellschaften zugewiesen wurde, lässt die Beschwerdeführerin noch nicht als gemischte Stiftung erscheinen (vgl. Hans Michael Riemer, Berner Kommentar, Die Stiftungen, Systematischer Teil N. 394, 396 [mit kritischen Ausführungen zu BGE 75 II 81 ff.] und 410).
Was sodann die von der Beschwerdeführerin als Stiftungszweck genannte Erhaltung historischer Gebäude zu Gunsten der Öffentlichkeit betrifft, ist zu bemerken, dass sich in den testamentarischen Bestimmungen zum Zweck der Stiftung (Ziff. III) nichts Derartiges findet. Nach Ziff. VI ist der Stiftungsrat dagegen ausdrücklich ermächtigt, Liegenschaften nicht nur zu kaufen, sondern auch zu verkaufen, wobei in diesem Zusammenhang wiederum ausdrücklich auf das in Ziff. III festgelegte "Ziel" hingewiesen wird, das strikte zu beachten sei. In Ziff. VI Abs. 3 (S. 6 des Testaments) ist ferner festgehalten, dass der Stiftungsrat beauftragt sei, die Liegenschaften - "unter Berücksichtigung allfälliger gesetzlicher Verordnungen" - als ständige Anlage zu erhalten. Von einer Erhaltung der Liegenschaften im Dienste der Allgemeinheit findet sich somit auch an dieser Stelle nichts. Die Erwähnung "allfälliger gesetzlicher Verordnungen" (über die Anlage von Kapital) bedeutet schliesslich unter anderem, dass der Stiftungsrat unrentable Liegenschaften verkaufen dürfte, ja unter Umständen sogar verkaufen müsste (dazu <ref-ruling> E. 2 S. 99 mit Hinweisen).
1.4 Dass das Bezirksgericht auf die Klage eintrat und das Obergericht dies geschützt hat, ist nach dem Gesagten nicht zu beanstanden.
2. In ihren weiteren Vorbringen befasst sich die Beschwerdeführerin mit den beiden Stiftungsratsbeschlüssen vom 2. und 3. Januar 2006 und ficht die obergerichtliche Annahme, diese seien nicht gültig zustande gekommen, an.
2.1 Die Vorinstanz weist darauf hin, dass mit dem 2. Januar für die Sitzung ein Tag gewählt worden sei, an dem viele Personen abwesend zu sein pflegten. Der Beschwerdegegner habe Fürsprecher S._, dem damaligen Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin, schriftlich mitgeteilt, er werde bis zum 4. Januar 2006 abwesend sein, was als Verschiebungsgesuch zu verstehen gewesen sei. In der Anwaltskanzlei von Fürsprecher S._ sei im Oktober 2005 eine Stiftungsratssitzung durchgeführt worden, wobei dieser Anwalt nach Darstellung der Beschwerdeführerin protokolliert habe. Zudem habe Fürsprecher S._ zu jener Zeit für die Beschwerdeführerin ein Beschwerdeverfahren geführt. Der Beschwerdegegner habe unter den dargelegten Umständen davon ausgehen dürfen, seine Mitteilung an den genannten Anwalt, er werde am 2. Januar 2006 verhindert sein, sei der Beschwerdeführerin gültig zugestellt gewesen. Die Vorinstanz erklärt ferner, zeitlicher Druck habe objektiv nicht bestanden, sei die Stelle des zweiten ständigen Stiftungsrates doch schon seit Juli 2004 vakant gewesen. Die Verschiebung der Sitzung auf einen Termin nach dem 4. Januar 2006 wäre möglich, zumutbar und zur Wahrung der Rechte des Beschwerdegegners geboten gewesen. Sei aber zur Sitzung nicht korrekt eingeladen bzw. sei ein berechtigtes Verschiebungsbegehren des Beschwerdegegners zu Unrecht übergangen worden, seien die in der betreffenden Sitzung gefassten Beschlüsse mangelhaft.
Die Vorinstanz hält dafür, dass letzteres auch dann der Fall wäre, wenn über die dargelegten Mängel bei der Einberufung der Sitzung hinweggesehen werden wollte: Seit dem Rücktritt von N._ auf den 30. Juli 2004 seien L._ und der Beschwerdegegner aufgerufen gewesen, ein neues ständiges Mitglied des Stiftungsrates zu wählen. Diese Pendenz habe am 2. Januar 2006 noch immer bestanden. Für den Fall einer Ersatzwahl in den Stiftungsrat habe der Stifter ausdrücklich vorgegeben, dass die verbleibenden zwei Mitglieder jene vornehmen sollten; werde vor Augen gehalten, dass der Stifter für den Normalfall die vollzählige Anwesenheit der drei amtierenden Stiftungsräte gefordert habe, müsse daraus geschlossen werden, dass erst recht bei einer Ersatzwahl die beiden verbleibenden an der Wahlsitzung anwesend sein müssten. Bleibe einer der beiden, entschuldigt oder unentschuldigt, der Sitzung fern, könne die Wahl nicht vorgenommen werden. L._ (allein) habe daher am 2. Januar 2006 nicht gültig eine Wahl treffen können. Der Beschwerdeführerin, die auf dem Standpunkt zu stehen scheine, selbst wenn der Beschwerdegegner an der fraglichen Sitzung teilgenommen hätte, wäre es zur Wahl von M._ zur Stiftungsrätin gekommen, da, wenn der Beschwerdegegner nicht zugestimmt hätte, sie durch Stichentscheid des Präsidenten (L._) gewählt worden wäre, sei nicht beizupflichten. Der Stifter habe bestimmt, dass Beschlüsse "mit Stimmenmehrheit" gefasst würden. Einstimmigkeit sei somit zwar nicht nötig, und auch ein Stichentscheid des Präsidenten, wie er allerdings nicht vorgesehen sei, sei nicht ausdrücklich verboten. Zur Vermeidung von Pattsituationen könne es sinnvoll sein, den Stichentscheid des Präsidenten vorzusehen, als allgemeine Regel könne dies jedoch nicht gelten. Auf den hier zu beurteilenden Fall würde es auf jeden Fall nicht passen. Der Stifter habe offenkundig bewusst einen Stiftungsrat von drei Mitgliedern eingesetzt. Würde dem Präsidenten der Stichentscheid zugestanden, könnte er eine vakante Stelle gegen den Willen des verbleibenden Mitglieds mit einer ihm genehmen Person besetzen und damit die Stiftung in der Folge faktisch alleine beherrschen. Im vorliegenden Fall, wo eine Vakanz während eineinhalb Jahren nicht behoben worden sei und mit dem Ablauf der zweijährigen Amtszeit des nicht ständigen Mitglieds des Stiftungsrates gleich zwei Stellen zu besetzen gewesen seien, treffe das noch zugespitzt zu. Faktisch habe L._ in der gegebenen Situation mit der Wahl seiner Ehefrau und mit der unmittelbar anschliessenden Wahl des dritten Stiftungsrates die Stiftung unter seine alleinige Kontrolle gebracht. Das widerspreche dem mutmasslichen Willen des Stifters, der die Zusammensetzung des Stiftungsrates eben nicht ins freie Belieben von L._ gestellt, sondern für mögliche Vakanzen immer die Mitwirkung einer zweiten Person vorgesehen habe. Bei einer fehlenden Einigung zwischen den beiden Mitgliedern des Stiftungsrates wäre die Sache im Sinne von <ref-law> dem Gericht zu unterbreiten gewesen.
Ausserdem hat die Vorinstanz unter Hinweis auf die mit dem Amt des Stiftungsrates verbundenen finanziellen Interessen dafür gehalten, L._ hätte bei der Wahl seiner Ehefrau in dieses Amt nicht mitwirken dürfen, sondern in den Ausstand treten müssen. Die Wahl von M._ sei auch aus dieser Sicht mit einem Mangel behaftet, was ebenso für die mit deren Stimme vorgenommene Wahl von R._ zum nicht ständigen Stiftungsrat gelte. Mangelhaft sei ferner auch die Anmeldung der Beschwerdeführerin zum Eintrag im Handelsregister, fehle doch nach dem Festgestellten die notwendige rechtsgültige Zweitunterschrift.
Unter Berufung auf die (vereinsrechtliche) Bestimmung von <ref-law> ist das Obergericht schliesslich zum Ergebnis gelangt, der Beschwerdegegner habe die strittigen Beschlüsse rechtzeitig angefochten.
2.2 Die Beschwerdeführerin macht unter Hinweis auf <ref-ruling> ff. und 471 ff. vorab geltend, sie sei seit Jahren voll funktionsfähig und eine Verlängerung der Amtszeit des Beschwerdegegners sei deshalb nicht notwendig gewesen. Diesem fehle unter den gegebenen Umständen ein rechtlich geschütztes Interesse an seiner Klage.
Der Stifter hat in der Stiftungsurkunde (seinem Testament) die erste Zusammensetzung des Stiftungsrates genau bestimmt und dabei auch den Beschwerdegegner - als nicht ständiges Mitglied mit einer Amtsdauer von zwei Jahren - namentlich erwähnt; seine weiteren Anordnungen schlossen auch die Möglichkeit einer Wiederwahl des Beschwerdegegners ein. In Ziff. IV der testamentarischen Statuten hat der Stifter ferner auch die Einzelheiten bei einer Ersatzwahl der ständigen Mitglieder und des nicht ständigen Mitglieds des Stiftungsrates geregelt. Für die Tätigkeit jeder Stiftung ist der Wille des Stifters entscheidend, was auch für die Zusammensetzung des Stiftungsrates (einschliesslich Absetzung, Zuwahl und Bestätigungswahl) gilt. Mit seiner Klage macht der Beschwerdegegner nichts anderes als die Beachtung des Stifterwillens bezüglich dieser personellen Zusammensetzung geltend. Ihm ein schützenswertes Interesse abzusprechen, geht nach dem Dargelegten nicht an.
2.3 Soweit die übrigen Beschwerdevorbringen sich überhaupt mit den Ausführungen des Obergerichts befassen, sind sie unbehelflich:
2.3.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei nicht einzusehen, weshalb entgegen <ref-law> der Stichentscheid des Präsidenten bei Wahlen hier nicht zulässig sein soll. Ihr Hinweis auf die aktienrechtliche Bestimmung stösst von vornherein ins Leere: Dort ist zwar von einem Stichentscheid bei Verwaltungsratsbeschlüssen die Rede, doch werden die Mitglieder des Verwaltungsrats - wie auch die Revisoren - durch die Generalversammlung gewählt (<ref-law>). Sodann ist zu bemerken, dass die Ausführungen im angefochtenen Entscheid insofern verwirrend sind, als die Vorinstanz - unter Hinweis auf die Regelung der Beschlussfassung im Allgemeinen - einerseits dafür hält, die Bestimmungen der Statuten schlössen aus, dass Einstimmigkeit nötig wäre, und andererseits erklärt, der Stifter habe für den Fall einer Vakanz vorgesehen, dass bei der Ersatzwahl immer eine zweite Person mitwirke und bei Uneinigkeit, d.h. bei fehlender Einstimmigkeit, die Sache im Sinne von <ref-law> dem Gericht zu unterbreiten sei. Von entscheidender Bedeutung für die von der Beschwerdeführerin angesprochene Frage der Zulässigkeit eines präsidialen Stichentscheids ist, dass der Stifter im Rahmen der Regeln zum Stiftungsrat (Ziff. IV der testamentarischen Statuten) ausdrücklich angeordnet hat, der nicht ständige Stiftungsrat werde (alle zwei Jahre) "durch die ständigen Stiftungsräte bestimmt" und im Falle eines Ausscheidens eines ständigen oder nicht ständigen Stiftungsrates "bestimm[t]en die übrigen ständigen oder nicht ständigen Stiftungsräte seinen Nachfolger". Wird zudem in Betracht gezogen, dass der Stifter (einzig) im Zusammenhang mit der Geschäftsführung (Ziff. VI der Statuten, S. 7 des Testaments) ausdrücklich festgelegt hat, die Beschlüsse würden "mit Stimmenmehrheit" gefasst, ergibt sich auch aufgrund eines Umkehrschlusses, dass die vorinstanzliche Betrachtungsweise nicht zu beanstanden ist.
2.3.2 Ebenso wenig geeignet, eine Verletzung von Bundesrecht darzutun, ist ferner das, was zu den Ausführungen des Obergerichts betreffend Durchführung der Sitzung vom 2. Januar 2006 trotz der vom Beschwerdegegner gemeldeten Abwesenheit bis 4. Januar 2006 vorgebracht wird. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich im Wesentlichen darauf, der Würdigung der Gegebenheiten durch die Vorinstanz ihre eigene Sicht der Dinge entgegenzuhalten. Statt sich mit den vorinstanzlichen Erwägungen zum Inhalt des beschwerdegegnerischen Schreibens vom 27. Dezember 2005 und zu den Wirkungen der Zustellung des Schreibens an Fürsprecher S._ auseinanderzusetzen und darzulegen, inwiefern sie gegen Bundesrecht verstossen sollen, begnügt sie sich mit dem Vorbringen, die Ferienabwesenheit des Beschwerdegegners sei ihr nicht bekannt gewesen. Unter den gegebenen Umständen ist von den durch das Obergericht im Zusammenhang mit der Durchführung der Stiftungsratssitzung vom 2. Januar 2006 festgehaltenen Mängeln auszugehen. Damit ist den Ausführungen der Beschwerdeführerin zu den Einzelheiten dieser Sitzung sowie zur Durchführung der Sitzung vom 3. Januar 2006 die Grundlage entzogen, so dass darauf nicht näher einzugehen ist.
2.3.3 Die Beschwerdeführerin hält dafür, Beschlüsse des Stiftungsrates seien auf dem Zivilweg nicht anfechtbar und die (analoge) Anwendung von <ref-law>, wonach Vereinsbeschlüsse binnen Monatsfrist anzufechten sind, verstosse gegen Bundesrecht. Vorab ist klarzustellen, dass das Obergericht die vom Beschwerdegegner erhobene Klage nicht etwa mit einer Anfechtungsklage im Sinne der genannten Bestimmung gleichgesetzt hat. Die Vorinstanz ging vielmehr zu Recht davon aus, es handle sich um eine Auseinandersetzung privatrechtlicher Natur bei einer Familienstiftung im Sinne von <ref-law>. In einem solchen Fall wirkt der Richter als Aufsichtsbehörde, und es stehen ihm die entsprechenden Kompetenzen zu, so dass die betreffenden Bestimmungen (Art. 83 Abs. 2 und 3 und <ref-law>) sinngemäss zur Anwendung gelangen (dazu Hans Michael Riemer, Berner Kommentar, Die Stiftungen, Systematischer Teil N. 120 ff.). Bei der Beurteilung der Frage, ob der Beschwerdegegner seine Klage rechtzeitig eingereicht bzw. ob er sein Klagerecht allenfalls verwirkt habe, liess die Vorinstanz sich von der für die Anfechtung von Vereinsbeschlüssen geltenden Frist von einem Monat (<ref-law>) leiten und gelangte auf diese Weise zum Schluss, die Klagefrist sei eingehalten worden. Inwiefern die sinngemässe Anwendung von <ref-law> auf den vorliegenden Fall oder die Anwendung dieser Bestimmung als solche gegen Bundesrecht verstossen soll, legt die Beschwerdeführerin nicht dar und ist auch nicht ersichtlich (zur analogen Anwendung vereinsrechtlicher Bestimmungen auf Stiftungen im Allgemeinen vgl. HANS MICHAEL RIEMER, Berner Kommentar, Die Vereine, Systematischer Teil N. 138).
Ob die am 2. und 3. Januar 2006 gefassten Stiftungsratsbeschlüsse nichtig oder anfechtbar seien bzw. dass im angefochtenen Entscheid nicht festgestellt worden sei, sie seien nichtig, ist in Anbetracht der von der Vorinstanz festgestellten Einhaltung der Anfechtungsfrist ohne Belang. Das von der Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang Vorgebrachte stösst daher ins Leere, so dass nicht näher darauf einzugehen ist.
2.3.4 Nach dem Ausgeführten bleibt es bei dem vom Obergericht festgehaltenen Mangel, der der trotz Abwesenheit des Beschwerdegegners am 2. Januar 2006 durchgeführten Sitzung und der dabei vollzogenen Wahl von M._ zur Stiftungsrätin anhaftet. Damit steht auch fest, dass die an der Sitzung vom 3. Januar 2006 durch die Eheleute L._ und M._ beschlossene Wahl von R._ als Nachfolger des Beschwerdegegners nicht gültig zustande kam.
Angesichts der Ungültigkeit der Wahl von M._ ist der Frage, ob L._ - analog zu der nach <ref-law> im Vereinsrecht geltenden Regel - bei dieser Wahl hätte in den Ausstand treten müssen, die Grundlage entzogen. Bemerkt sei immerhin, dass das Bundesgericht in einem eine Stockwerkeigentümergemeinschaft betreffenden Fall entschieden hat, aus der Sicht der erwähnten Bestimmung dürfe ein Stockwerkeigentümer am Beschluss teilnehmen, der seine Wahl zum Verwalter betreffe, nicht aber, wenn es um die Entlöhnung für dieses Amt gehe (<ref-ruling> E. 3.5 und 3.6 S. 486 f.).
2.3.5 In der Sitzung vom 3. Januar 2006 fassten die Eheleute L._ und M._ den Beschluss, die Stiftung in das Handelsregister eintragen zu lassen. Nach der Handelsregisterverordnung (HRegV; SR 221.411) - Art. 22 Abs. 2. in der Fassung, wie sie bis zum 31. Dezember 2007 galt, Art. 17 Abs. 1 lit. c in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung - ist die Anmeldung bei juristischen Personen der vorliegenden Art von zwei Personen zu unterzeichnen. Eine dieses Erfordernis erfüllende Anmeldung war angesichts der nicht gültig zustande gekommenen Wahl von M._ hier von vornherein nicht möglich. Dass die vom Obergericht angeordnete Löschung des Handelsregistereintrags (unabhängig von der Beurteilung der Gültigkeit der Wahl von M._) gegen Bundesrecht verstosse, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend.
3. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Da zur Beschwerde keine Vernehmlassungen eingeholt worden sind und der Beschwerdegegner sich zum Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht hat vernehmen lassen, sind jenem keine Kosten erwachsen, so dass die Zusprechung einer Parteientschädigung entfällt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel