Sachverhalt:
A.
I._ (geb. 1961) ist diplomierter Pflegefachmann und Behindertenbetreuer. Vom 15. August 1999 bis Ende Juli 2001 war er für die Klinik X._ tätig und (bis August 2001) durch die Sammelstiftung BVG der ELVIA Leben (heute: Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft) berufsvorsorgeversichert.
Wegen einer Angsterkrankung bezog I._ mit Wirkung ab Juni 2004 eine Viertelsrente und ab September 2004 eine ganze Rente der Invalidenversicherung (Verfügungen der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 5. Februar und 22. März 2007). Infolge einer Besserung des Gesundheitszustandes wurde die Invalidenrente auf Ende Mai 2010 hin aufgehoben (mit Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. August 2011 bestätigte Verfügung vom 13. April 2010).
B.
Am 21. Juli 2011 reichte I._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage ein mit dem Rechtsbegehren, die Vorsorgeeinrichtung sei zu verpflichten, ihm spätestens ab dem 18. März 2006 eine Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 100 Prozent, zuzüglich Zinsen, auszurichten.
Das kantonale Gericht hiess die Klage teilweise gut und verpflichtete die Vorsorgeeinrichtung, I._ für die Zeit vom 19. März 2006 bis 31. Oktober 2008 eine auf einem Invaliditätsgrad von 100 Prozent basierende Rente der beruflichen Vorsorge auszurichten, zuzüglich 5 Prozent Verzugszins ab dem 21. Juli 2011. Im Übrigen wies es die Klage ab (Entscheid vom 7. Juni 2013).
C.
Die Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventuell sei die Sache zur Vervollständigung des Sachverhaltes und neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
I._ beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, durch welche die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 aBVG; seit 1. Januar 2005: Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 2.6 S. 17). Dieser Grundsatz findet auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung, wenn Reglement oder Statuten nichts anderes vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 69). Für die Bestimmung der Leistungszuständigkeit ist eine erhebliche und dauerhafte Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich massgebend. Diese muss mindestens 20 Prozent betragen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23; Urteile 9C_98/2013 vom 4. Juli 2013 E. 4.1 [SVR 2014 BVG Nr. 1 S. 1], 9C_297/2010 vom 23. September 2010 E. 2.1 [SVR 2011 BVG Nr. 14 S. 51], 9C_772/2007 vom 26. Februar 2008 E. 3.2; Jürg Brühwiler, Obligatorische berufliche Vorsorge, in: Meyer [Hrsg.], Soziale Sicherheit, Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Band XIV, Basel 2007, S. 2042 Rz. 105).
1.2. Des Weiteren setzt der Anspruch auf Invalidenleistungen einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich einmonatiger Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und der späteren Invalidität voraus.
1.2.1. Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 22).
1.2.2. Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war. Eine nachhaltige, den zeitlichen Zusammenhang unterbrechende Erholung liegt grundsätzlich nicht vor, solange eine Arbeitsfähigkeit (von über 80 Prozent [vgl. oben E. 1.1]) weniger als drei Monate gedauert hat. Eine drei Monate oder länger andauernde (annähernd) vollständige Arbeitsfähigkeit (erwähntes Urteil 9C_98/2013 vom 4. Juli 2013 E. 4.1) unterbricht den zeitlichen Zusammenhang regelmässig, sofern sie eine dauerhafte Wiedererlangung der Erwerbsfähigkeit objektiv wahrscheinlich erscheinen lässt. Der zeitliche Zusammenhang kann daher trotz einer drei Monate und länger dauernden Tätigkeit gewahrt bleiben, wenn eine dauerhafte berufliche Wiedereingliederung unwahrscheinlich ist, etwa weil die Tätigkeit (allenfalls auch erst im Rückblick; vgl. unten E. 4.2.2 und 4.2.3) als Eingliederungsversuch zu werten ist (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22; Urteil 9C_169/2009 vom 1. Dezember 2009 E. 4 [SVR 2010 BVG Nr. 18 S. 70]).
2.
Entscheidungserhebliche Feststellungen der Vorinstanz zur Art des Gesundheitsschadens und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, binden das Bundesgericht, soweit sie nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law> und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 397). Dies gilt auch für den Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG; Urteil 9C_182/2007 vom 7. Dezember 2007 E. 4.1.1 [SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126]). Frei zu prüfende Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit erfolgt (Urteil 9C_91/2013 vom 17. Juni 2013 E. 4.3.2 mit Hinweisen [SVR 2013 BVG Nr. 49 S. 206]), und, ob diese Entscheidung auf einer genügenden Beweislage beruht (Urteil 9C_752/2008 vom 9. April 2009 E. 1.2 und 2.3).
3.
3.1. Das kantonale Gericht würdigte die medizinischen Akten und stellte fest, der Kläger habe seit 1997 erheblich an einer Angststörung gelitten. Phasenweise hinzutretende depressive Episoden änderten nichts daran, dass im Juni 2004 im Wesentlichen aus denselben psychischen Gründen eine Invalidität eingetreten sei, welche schon zur ersten längerdauernden Arbeitsunfähigkeit im Jahr 2000 geführt hätten. Daher sei die Leistungsvoraussetzung des engen sachlichen Zusammenhangs gegeben (E. 4.3.1 des angefochtenen Entscheids). Zu bejahen sei auch der zeitliche Konnex: Der Kläger sei ab dem Jahr 2000 (bis Mitte 2004) nie während längerer Zeit vollständig arbeitsfähig gewesen. Es gebe keine konkreten Anhaltspunkte dafür, der Kläger habe sein Arbeitspensum in der fraglichen Zeit aus nicht gesundheitlichen (etwa familiären oder arbeitsmarktlichen) Gründen auf 80 Prozent reduziert (E. 4.3.2). Es bestehe somit grundsätzlich Anspruch auf eine Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 100 Prozent (E. 4.3.3 und 4.5). Der Rentenbeginn sei zufolge Bezugs von Krankentaggeldern bis zum 19. März 2006 aufzuschieben (Art. 26 Abs. 2 BVG und Ziff. 4.3.5 des Reglements der Beklagten; E. 4.4.1). Nachdem der Kläger Mitte Oktober 2008 wieder vollständig arbeitsfähig geworden sei (psychiatrisches Gutachten des Dr. B._ vom 14. Oktober 2008), ende der Anspruch am 31. Oktober 2008 (vgl. Art. 38 BVG; E. 4.4.2).
3.2. Die beschwerdeführende Vorsorgeeinrichtung macht geltend, die vorinstanzliche Feststellung, der Beschwerdegegner sei seit dem Jahr 2000 stets zu mindestens 20 Prozent arbeitsunfähig gewesen, sei offensichtlich unrichtig (<ref-law>). Ausserdem sei der Untersuchungsgrundsatz (Art. 73 Abs. 2 BVG) verletzt.
4.
Strittig ist somit nur, ob während der Vorsorgeversicherung bei der Beschwerdeführerin (August 1999 bis August 2001 [einschliesslich Nachdeckung]) eine Arbeitsunfähigkeit eingetreten ist, die bis zum Eintritt der Invalidität nach Art. 26 Abs. 1 BVG (Mitte 2004) ohne längeren Unterbruch zu mindestens 20 Prozent fortbestand.
4.1. Aus den Akten ist ersichtlich, dass der Beschwerdegegner bereits von Oktober 1997 bis anfangs Januar 1998 arbeitsunfähig gewesen war. Es folgte indes eine knapp zweijährige Phase uneingeschränkten Leistungsvermögens bis Dezember 1999 (Bericht des Dr. U._, psychiatrisches Ambulatorium Y._, vom 22. Januar 2001), das heisst über den Beginn des Vorsorgeverhältnisses im August 1999 hinaus. Dies liess Raum für eine Versicherung des Invaliditätsrisikos (vgl. <ref-ruling>; Urteil B 35/05 vom 9. November 2005 E. 3; für die weitergehende Vorsorge vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 168).
4.2.
4.2.1. Die beschwerdeführende Vorsorgeeinrichtung bringt vor, das kantonale Gericht verkenne, dass zwischen den Berichten des behandelnden Psychiaters Dr. U._ ein offensichtlicher Widerspruch bestehe: Nachdem dieser im "echtzeitlichen" Bericht vom 17. August 2001 eine vollständige Arbeitsfähigkeit ab dem 2. August 2001 (mithin für die Zeit unmittelbar nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses bei der Klinik X._) bescheinigt habe, postuliere er in einem Jahre später erstellten Bericht vom 28. Mai 2004 eine durchgehende Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 Prozent seit dem Jahr 2000. Es sei willkürlich, nur auf den nachträglich verfassten Arztbericht abzustellen und die echtzeitlichen Einschätzungen ausser Acht zu lassen.
4.2.2. Die Rechtsprechung, wonach der Zeitpunkt des Eintritts der berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit grundsätzlich "echtzeitlich" nachgewiesen sein muss, schliesst eine Beweiskraft nachträglicher Annahmen und spekulativer Überlegungen aus (Urteil 9C_91/2013 vom 17. Juni 2013 E. 4.1.2 mit Hinweisen [SVR 2013 BVG Nr. 49 S. 206]). Hier ist unbestritten, dass der Verlauf der Krankheit "echtzeitlich" hinreichend dokumentiert ist. Was die Leistungseinschränkung angeht, so stellen retrospektive ärztliche Beurteilungen in gewissen Fällen eine wichtige Ergänzung der Beweisgrundlage dar. Gerade bei Krankheitsbildern mit ausgeprägt schwankendem Verlauf ist die Abfolge der Arbeits (un) fähigkeiten mitunter erst im Lichte von späteren Erkenntnissen zuverlässig beurteilbar.
4.2.3. Ab Frühjahr 2000, nach einer mehrmonatigen vollständigen Arbeitsunfähigkeit, wurde versucht, das Arbeitspensum des Beschwerdegegners - begleitet durch verhaltenstherapeutische Massnahmen - schrittweise zu steigern (Bericht des Dr. U._ vom 22. Januar 2001). Erst im Nachhinein stellte sich heraus, inwieweit Steigerungen des Pensums nachhaltig waren und inwieweit attestierte Arbeitsfähigkeiten (vorerst) bloss auf einen Arbeitsversuch hinausliefen (vgl. auch das Urteil 9C_569/2013 vom 18. Februar 2014 E. 5.2 a.E.). Im Bericht vom 28. Mai 2004 führte Dr. U._ aus, eine höhere (als 80-prozentige) Arbeitsbelastung habe eine Zunahme der Angstsymptome bewirkt. Somit vermag der (provisorische) Aussagegehalt des - nur gute zwei Wochen nach Antritt einer neuen Stelle abgegebenen - Attestes vom 17. August 2001 den Beweiswert der rückblickenden Einschätzung vom 28. Mai 2004 nicht zu kompromittieren.
Was den weiteren Verlauf der Arbeitsunfähigkeit im interessierenden Zeitraum bis 2004 angeht, so ist die auf Beweiswürdigung beruhende Feststellung des kantonalen Gerichts, der Beschwerdegegner sei in diesem Zeitraum stets zu mindestens 20 Prozent arbeitsunfähig geblieben, ebenfalls nicht offensichtlich unrichtig: In einem Bericht des Dr. U._ vom 30. September 2006 ist zu lesen, der Zustand des Beschwerdegegners habe sich stabilisiert, als er ab März 2002 zu 80 Prozent in einem Behindertenheim arbeitete (respektive - gemäss Auszug aus dem Individuellen Konto der IV - von April bis Dezember 2002 [auch] für eine Spitex-Organisation). Doch sei eine "Restsymptomatik an Beschwerden" erhalten geblieben. Daher stützt die anschliessende Formulierung, eine "Krankschreibung" des Patienten zu 20 Prozent sei nicht nötig gewesen, weil dieser von sich aus eine Anstellung zu 80 Prozent gewählt habe, durchaus die Auffassung, dass die Leistungsfähigkeit auch in den Jahren 2002 und 2003 nicht vollständig wiederhergestellt war. Dieser Schluss rechtfertigt sich auch aufgrund des Gutachtens des Arztes und Psychoanalytikers M._ vom 13. Januar 2006, wonach der Beschwerdegegner das 80 Prozent-Pensum "trotz fortwährend andauernder Panikattacken und Entfremdungsgefühlen" versah (S. 8). Anfangs 2004 verschlechterte sich die Symptomatik vor dem Hintergrund ehelicher Zerrüttung wieder (Bericht des Dr. U._ vom 30. September 2006; Gutachten M._, a.a.O.), so dass es zur Zusprechung einer Invalidenrente mit Wirkung ab Juni 2004 kam.
4.3. Des Weitern wendet die Beschwerdeführerin ein, die Vorinstanz habe nicht berücksichtigt, dass der Beschwerdegegner nach Beendigung der Anstellung bei der Klinik X._ andernorts zu 100 Prozent gearbeitet habe; die Kündigung dieser Stelle noch während der Probezeit sei nicht gesundheitsbedingt gewesen. Ausserdem habe er während Monaten Arbeitslosentaggelder aufgrund einer Vermittlungsfähigkeit von 100 Prozent bezogen. Dazu bringt der Beschwerdegegner zutreffend vor, dass für die Kündigung der ersten (vollzeitlichen) Beschäftigung nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses bei der Beschwerdeführerin bereits auf Ende der Probezeit (Oktober 2001) gesundheitliche Probleme zumindest mitverantwortlich gewesen sind (vgl. den Bericht des Dr. U._ vom 10. Dezember 2001 zuhanden der Arbeitslosenkasse; Probezeitqualifikation der Stiftung Z._ vom 18. Oktober 2001); die zuständige Arbeitslosenkasse ging denn auch nicht von einer selbstverschuldeten Arbeitslosigkeit aus (Aktenvermerk vom 18. Dezember 2001 ["gesundheitlich angeschlagen"]). Was schliesslich den Bezug von Arbeitslosenentschädigung (auf der Grundlage angenommener Vermittlungsfähigkeit) ab November 2001 angeht, bleibt darauf zu verweisen, dass dem praxisgemäss nicht die gleiche Bedeutung beigemessen wird wie Zeiten effektiver Erwerbstätigkeit (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22).
5.
Nach dem Gesagten beruhen die massgebenden Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz nicht auf offensichtlich unrichtiger Würdigung der Akten. Ebensowenig verletzt der angefochtene Entscheid die für die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit massgebenden Grundsätze (vgl. oben E. 2). Andere Leistungsvoraussetzungen sind nicht strittig; es besteht auch kein Anlass für eine Prüfung weiterer Punkte von Amtes wegen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; <ref-ruling> E. 4a S. 53).
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Die Ausnahmeregelung von <ref-law> ist nicht anwendbar, da die Vorsorgeeinrichtung in ihrem Vermögensinteresse handelt. Ausserdem bezahlt sie dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Februar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub