Sachverhalt:
A.a Mit Verfügung vom 3. Oktober 1997 sprach die IV-Stelle Bern dem 1952 geborenen H._ für die Zeit vom 1. Juni 1995 bis 31. August 1996 eine befristete halbe Rente zu. Diese Beurteilung wurde im Rechtsmittelverfahren durch das Verwaltungsgericht des Kantons Bern (Entscheid vom 30. April 2002; das Verfahren war längere Zeit sistiert) und das Eidgenössische Versicherungsgericht (Urteil vom 3. Juni 2003, I 418/02) bestätigt. Die beiden gerichtlichen Instanzen gingen davon aus, dem Versicherten sei die Ausübung einer leichten, wechselbelastenden, ausschliesslich sitzend auszuübenden Tätigkeit ganztägig zumutbar, wobei zusätzliche Pausen (im Umfang von höchstens zwei Stunden pro Tag) notwendig seien, so dass eine Arbeitsunfähigkeit von 75 % verbleibe. Auf dieser Grundlage bezifferte das Eidgenössische Versicherungsgericht den Invaliditätsgrad mit 35.5 %.
A.a Mit Verfügung vom 3. Oktober 1997 sprach die IV-Stelle Bern dem 1952 geborenen H._ für die Zeit vom 1. Juni 1995 bis 31. August 1996 eine befristete halbe Rente zu. Diese Beurteilung wurde im Rechtsmittelverfahren durch das Verwaltungsgericht des Kantons Bern (Entscheid vom 30. April 2002; das Verfahren war längere Zeit sistiert) und das Eidgenössische Versicherungsgericht (Urteil vom 3. Juni 2003, I 418/02) bestätigt. Die beiden gerichtlichen Instanzen gingen davon aus, dem Versicherten sei die Ausübung einer leichten, wechselbelastenden, ausschliesslich sitzend auszuübenden Tätigkeit ganztägig zumutbar, wobei zusätzliche Pausen (im Umfang von höchstens zwei Stunden pro Tag) notwendig seien, so dass eine Arbeitsunfähigkeit von 75 % verbleibe. Auf dieser Grundlage bezifferte das Eidgenössische Versicherungsgericht den Invaliditätsgrad mit 35.5 %.
A.b Am 5./14. August 2003 liess der Versicherte durch Dr. med. B._, Allgemeine Medizin FMH, sinngemäss eine Neuanmeldung vornehmen. Die IV-Stelle verneinte zunächst mit Verfügung vom 16. April 2004 einen Rentenanspruch. Nachdem der Versicherte ein Schreiben von Dr. med. P._, Chirurgie FMH, vom 3. Mai 2004 eingereicht hatte, hob die Verwaltung ihre Verfügung jedoch wieder auf und ordnete zusätzliche Abklärungen an (Einspracheentscheid vom 30. Juli 2004). In der Folge wies sie das Rentengesuch - nach Beizug weiterer Unterlagen und Einholung eines Gutachtens des Spital Z._, Rheumaklinik und Institut für Physikalische Medizin, vom 3. April 2005 - mit Verfügung vom 25. Mai 2005 und Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2005 wiederum ab. Auf Beschwerde hin hob das Verwaltungsgericht des Kantons Bern den Einspracheentscheid auf und wies die Sache zur Ergänzung der Abklärungen an die IV-Stelle zurück (Entscheid vom 24. Februar 2006). Die Verwaltung holte daraufhin ein interdisziplinäres Gutachten von Dr. med. L._, Innere Medizin und Rheumaerkrankungen FMH, und Dr. med. E._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 15./16. Januar 2007 ein. Anschliessend verneinte sie nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren mit Verfügung vom 19. April 2007 erneut einen Rentenanspruch.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern ab (Entscheid vom 11. Februar 2008). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens liess der Versicherte insbesondere Schreiben des Dr. med. B._ vom 26. März 2007 und des Dr. med. P._ vom 1. Mai 2007 auflegen.
C. H._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit dem Rechtsbegehren, es seien der vorinstanzliche Entscheid und die Verwaltungsverfügung vom 19. April 2007 aufzuheben und die Sache "zur Neubeurteilung des Anspruchs" an die IV-Stelle zurückzuweisen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
D. Mit Verfügung vom 27. Mai 2008 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung abgewiesen.

Erwägungen:
1. 1.1 Im Verfahren vor Bundesgericht kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dementsprechend legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2 Tatsächlicher Natur und damit im dargestellten Rahmen grundsätzlich verbindlich sind insbesondere die Feststellungen zur Arbeits(un)fähigkeit, welche das kantonale Gericht gestützt auf medizinische Untersuchungen trifft (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398). Zu den in diesem Zusammenhang frei zu prüfenden Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 BGG zählen namentlich die Missachtung der bundesrechtlichen Anforderungen an beweiskräftige medizinische Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 3 S. 352 ff.), der Pflicht zu inhaltsbezogener, umfassender, sorgfältiger und objektiver Beweiswürdigung (Art. 61 lit. c ATSG; <ref-ruling> E. 4.1 S. 400) sowie des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 61 lit. c ATSG).
2. 2.1 Am 1. Januar 2008 sind die Änderungen des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung (IVG) und anderer Erlasse wie des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2006 (5. IV-Revision, AS 2007 5129 ff.) in Kraft getreten. Auf den vorliegenden Fall sind noch die früheren Gesetzesfassungen anwendbar (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220 mit Hinweisen).
2.2 Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über die Voraussetzungen und den Umfang des Rentenanspruch (Art. 28 Abs. 1 IVG in der seit 1. Januar 2004 geltenden Fassung), die Aufgabe des Arztes oder der Ärztin im Rahmen der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> E. 4 S. 99 f.; <ref-ruling> E. 4 S. 261 mit Hinweisen) sowie den Beweiswert und die Würdigung ärztlicher Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 3a S. 352; vgl. auch <ref-ruling> E. 1c S. 160) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Richtig sind auch die vorinstanzlichen Erwägungen zum Vorgehen der Verwaltung (und im Beschwerdefall des Gerichts) bei der Anspruchsbeurteilung nach einer Neuanmeldung (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 77; <ref-ruling> E. 4b S. 200; <ref-ruling> E. 2b S. 115).
3. Umstritten und für die Beurteilung entscheidend ist in der hier gegebenen Konstellation, ob sich der Invaliditätsgrad zwischen dem Erlass der Verfügung vom 3. Oktober 1997 (letztinstanzlich bestätigt durch das Urteil vom 2. Juni 2003, I 418/02) und derjenigen vom 19. April 2007 in anspruchserheblicher Weise verändert hat.
3.1 Das Eidgenössische Versicherungsgericht äusserte sich in seinem Urteil vom 3. Juni 2003 eingehend zum Zumutbarkeitsprofil (bezogen auf Oktober 1997). Es gelangte zum Ergebnis, der Versicherte könne eine leichte, wechselbelastende, ausschliesslich sitzend auszuübende Tätigkeit ganztägig mit zusätzlichen Pausen (von höchstens zwei Stunden pro Tag) ausüben, so dass eine Arbeitsfähigkeit von 75 % verbleibe. Es stützte sich dabei insbesondere auf den Austrittsbericht der Rehaklinik vom 2. Mai 1997, die Stellungnahme des SUVA-Kreisarzt-Stellvertreters Dr. med. M._ vom 14. Juli 1997 und die Stellungnahme des Spitals Y._ vom 15. Juli 1998. Überdies bezog es später erstellte Berichte in die Würdigung ein (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 102 mit Hinweisen). Auf dieser Grundlage ermittelte das Gericht gestützt auf die Werte der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE), unter Berücksichtigung eines Prozentabzugs (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481 mit Hinweisen) von 15 %, ein Invalideneinkommen von Fr. 34'581.-. Bei einem Valideneinkommen von Fr. 53'542.- (festgesetzt aufgrund der Angaben der Arbeitgeberin) ergab sich ein Invaliditätsgrad von 35.5 %.
3.2 Wie das kantonale Gericht zutreffend erkannt hat, muss das Invalideneinkommen auch bezogen auf den nunmehr zu beurteilenden Zeitraum bis 19. April 2007 gestützt auf statistische Werte ermittelt werden, da der Beschwerdeführer zwischenzeitlich keiner Erwerbstätigkeit nachgegangen ist. Geringfügige Veränderungen innerhalb statistischer Daten bilden keinen Revisionsgrund (<ref-ruling> E. 7.3 S. 548) und haben deshalb auch im Neuanmeldungsverfahren unberücksichtigt zu bleiben. Umstände, welche eine veränderte Bemessung des Prozentabzugs zu bewirken vermöchten, sind nicht ersichtlich. Weil auch das Valideneinkommen nach wie vor ausgehend von der zuletzt ausgeübten Tätigkeit - unter Berücksichtigung der allgemeinen Lohnentwicklung - festgesetzt werden muss, kann, wie die Vorinstanz mit Recht darlegt, aus den rein erwerblichen Faktoren keine anspruchserhebliche Veränderung abgeleitet werden. Eine solche müsste sich somit aus dem Gesundheitszustand und der daraus abzuleitenden Arbeitsfähigkeit ergeben.
3.3 Das kantonale Gericht für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (E. 1.2 hiervor) festgestellt, der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers - einschliesslich der Arbeitsfähigkeit - habe während des zu beurteilenden Zeitraums vom 3. Oktober 1997 bis 19. April 2007 keine anspruchsrelevante Veränderung erfahren. Diese Einschätzung wird durch das Gutachten von Dr. med. L._ und Dr. med. E._ gestützt. Sie lässt sich mit Blick auf die Vorbringen in der Beschwerdeschrift weder als offensichtlich unrichtig bezeichnen noch bildet sie das Ergebnis einer Rechtsverletzung nach Art. 95 BGG: Das Vorliegen der von Dr. med. P._ (im Sinne einer Diagnose) und Dr. med. B._ (im Sinne einer möglichen Ursache des Schmerzsyndroms) postulierten Sudeck'schen Dystrophie der Weichteile wird nicht nur im Gutachten des Dr. med. L._ vom 15. Januar 2007, sondern auch bereits - mit ausführlicher Begründung - in demjenigen des Spital Z._ vom 3. April 2005 verneint. Die Vorinstanz konnte daher zulässigerweise von weiteren Abklärungen zu diesem Punkt absehen. Die in der Beschwerdeschrift geltend gemachten, am 4. Februar 2008 neu festgestellten Beschwerden im Bereich des linken Fusses betreffen nicht mehr den hier zu beurteilenden Zeitraum bis 19. April 2007. Die Untersuchung bei Dr. med. E._ dauerte gemäss dessen Vermerk auf dem Gutachten 75 Minuten, nicht bloss eine halbe Stunde (vgl. zu diesem Gesichtspunkt Urteil I 1094/06 vom 14. November 2007, E. 3.1.1). Inhaltlich wird die Expertise den rechtsprechungsgemässen Anforderungen gerecht, so dass die Vorinstanz auf sie abstellen durfte. Die Beschwerde ist daher abzuweisen.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse Schweizerischer Baumeisterverband und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. August 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger