Erwägungen:
1. Das Bezirksgericht Lenzburg ernannte mit Verfügung vom 12. November 2007 Fürsprecher Marc Siegenthaler als amtlicher Verteidiger von X._. Dagegen erhob X._ Beschwerde, welche die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau mit Entscheid vom 17. Dezember 2007 abwies. Auf eine gegen diesen Entscheid von X._ erhobene Beschwerde in Strafsachen trat das Bundesgericht mit Urteil vom 12. Februar 2008 nicht ein (Verfahren 1B_31/2008).
2. X._ focht mit Beschwerde vom 3. März 2008 erneut die Verfügung des Bezirksgerichts Lenzburg vom 12. November 2007 an. Die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau trat mit Entscheid vom 2. April 2008 auf die Beschwerde nicht ein. Sie führte zusammenfassend aus, dass X._ die neue Ablehnung seines amtlichen Verteidigers zuerst beim Gerichtspräsidium Lenzburg hätte geltend machen müssen.
3. X._ führt mit Eingabe vom 14. Mai 2008 Beschwerde in Strafsachen (Art. 78 ff. BGG) gegen den Entscheid der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennt die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Ist ein, wie hier, in Anwendung kantonalen Rechts ergangener Entscheid angefochten, bildet die Verletzung blossen kantonalen Rechts keinen selbständigen Beschwerdegrund. Vielmehr hat der Beschwerdeführer darzulegen, inwiefern der beanstandete Entscheid gegen verfassungsmässige Rechte, wie etwa das Willkürverbot oder den Anspruch auf rechtliches Gehör verstossen soll. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Nachdem mit Bundesgerichtsurteil 1B_31/2008 vom 12. Februar 2008 das Beschwerdeverfahren gegen die Verfügung des Bezirksgerichts Lenzburg vom 12. November 2007 rechtskräftig abgeschlossen wurde, legt der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern die Beschwerdekammer in Strafsachen die Verfassung oder die Konvention verletzt haben sollte, als sie auf die erneute Beschwerde vom 3. März 2008 gegen die Verfügung des Bezirksgerichts Lenzburg vom 12. November 2007 nicht eintrat; solches ist auch nicht ersichtlich. Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG ist somit auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
5. Angesichts der offensichtlichen Aussichtslosigkeit der vorliegenden Beschwerde kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Mit dem vorliegenden Entscheid ist das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Lenzburg und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Mai 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli