Art. 10 und 29 BV (Haft; unentgeltliche Verbeiständung), hat sich ergeben:
A.- Der deutsche Staatsangehörige X._ wurde am 10. März 2001 in Basel festgenommen und mit Verfügung des Haftrichters vom 13. März 2001 wegen Verdachts mehrfachen Diebstahls sowie wegen Flucht- und Fortsetzungsgefahr in Untersuchungshaft genommen. Seit dem 28. Mai 2001 befindet er sich im vorzeitigen Strafvollzug. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt erhob am 28. Mai 2001 gegen X._ sowie gegen A._ und B._ Anklage wegen gewerbs- und bandenmässigen Diebstahls, gegen die Angeklagten A._ und X._ ausserdem wegen mehrfachen Verweisungsbruchs.
Mit Eingabe vom 7. Juni 2001 stellte X._ ein Gesuch um Entlassung aus der Haft bzw. dem vorzeitigen Strafvollzug. Der Präsident des Strafgerichts Basel-Stadt wies das Gesuch am 19. Juni 2001 ab, weil die Staatsanwaltschaft eine unbedingte Strafe von 12 Monaten beantragt habe und Fluchtgefahr zu bejahen sei. Gegen diesen Entscheid erhob X._ Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Mit Urteil vom 31. Juli 2001 wies das Appellationsgericht die Beschwerde ab und auferlegte X._ die Kosten des Verfahrens von Fr. 400.--.
B.- X._ liess dagegen am 24. August 2001 durch seinen Anwalt staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht einreichen. Er stellt folgende Rechtsbegehren:
"1. Es sei das Urteil des Beschwerdegegners 2 vom 31. Juli 2001 aufzuheben.
Dementsprechend sei der Beschwerdeführer unmittelbar
aus dem vorzeitigen Strafvollzug zu entlassen.
2. Eventualiter sei der Entscheid des Beschwerdegegners
2 vom 31. Juli 2001 im Kostenpunkt aufzuheben
und der Beschwerdegegner 2 anzuweisen, den
Unterzeichnenden für seine vorinstanzlichen Bemühungen
als unentgeltlichen Verteidiger zu entschädigen.
3. Unter o/e-Kostenfolge zu Lasten der Beschwerdegegner.
Eventualiter sei dem Beschwerdeführer die unentgeltliche
Prozessführung und Verbeiständung mit dem
Unterzeichnenden als Advokaten zu bewilligen.. "
C.- Der Präsident des Strafgerichts Basel-Stadt liess sich nicht vernehmen. Die Staatsanwaltschaft und das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt beantragen unter Verzicht auf Gegenbemerkungen die Abweisung der Beschwerde.
D.- Das Strafgericht hatte am 13. August 2001 X._ im Sinne der Anklage schuldig gesprochen und zu einer unbedingten Gefängnisstrafe von 12 Monaten sowie zu 10 Jahren Landesverweisung verurteilt. X._ hat gegen dieses Urteil die Appellation erklärt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Mit einer staatsrechtlichen Beschwerde, die sich gegen die Abweisung eines Gesuchs um Entlassung aus der Haft bzw. dem vorzeitigen Strafvollzug richtet, kann in Abweichung vom Grundsatz der kassatorischen Natur der Beschwerde nicht nur die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, sondern ausserdem die Entlassung aus der Haft bzw. dem vorzeitigen Strafvollzug verlangt werden (<ref-ruling> E. 4b/aa S. 332 f.; <ref-ruling> E. 1d S. 80; <ref-ruling> E. 1a S. 297).
Die in der vorliegenden Beschwerde gestellten Hauptanträge sind daher zulässig.
b) Für den Fall der Abweisung der Hauptanträge wird mit einem Eventualbegehren verlangt, das angefochtene Urteil sei im Kostenpunkt aufzuheben und das Appellationsgericht sei anzuweisen, den Anwalt des Beschwerdeführers für seine Bemühungen im kantonalen Beschwerdeverfahren als unentgeltlichen Verteidiger zu entschädigen. Bei staatsrechtlichen Beschwerden wegen Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege oder Verbeiständung gilt keine Ausnahme von der kassatorischen Natur der Beschwerde (<ref-ruling> E. 1 S. 32; <ref-ruling> E. 1b S. 326 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 2; <ref-ruling> E. 1 S. 3). Auf das Begehren, das Appellationsgericht sei anzuweisen, den Anwalt des Beschwerdeführers für seine Bemühungen im kantonalen Beschwerdeverfahren zu entschädigen, ist demnach nicht einzutreten.
2.- Der Beschwerdeführer macht geltend, die Abweisung seines Gesuchs um Entlassung aus der Haft bzw. dem vorzeitigen Strafvollzug verletze das in <ref-law> gewährleistete Recht auf persönliche Freiheit.
a) Bei staatsrechtlichen Beschwerden, die gestützt auf das verfassungsmässige Recht der persönlichen Freiheit wegen Fortdauer der Haft oder Ablehnung eines Haftentlassungsgesuchs erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffs die Auslegung und Anwendung des entsprechenden kantonalen Rechts frei. Soweit jedoch reine Sachverhaltsfeststellungen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht grundsätzlich nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Instanz willkürlich sind (<ref-ruling> E. 3a S. 35, 268 E. 2d S. 271, je mit Hinweisen).
b) Gemäss § 69 der Strafprozessordnung des Kantons Basel-Stadt (StPO) ist die Anordnung oder Aufrechterhaltung der Untersuchungshaft zulässig, wenn die angeschuldigte Person einer mit Freiheitsstrafe bedrohten Tat dringend verdächtig ist und überdies Flucht-, Kollusions- oder Fortsetzungsgefahr besteht. Der Beschwerdeführer beanstandet zu Recht nicht, dass das Appellationsgericht die allgemeine Haftvoraussetzung des dringenden Tatverdachts bejahte. Hingegen wirft er der kantonalen Instanz vor, sie habe in verfassungswidriger Weise angenommen, es bestehe Fluchtgefahr.
c) aa) Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts braucht es für die Annahme der Fluchtgefahr eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass sich der Angeschuldigte, wenn er in Freiheit wäre, der Strafverfolgung und dem Vollzug der Strafe durch Flucht entziehen würde. Die Schwere der drohenden Strafe darf als ein Indiz für Fluchtgefahr gewertet werden.
Sie genügt jedoch für sich allein nicht, um den Haftgrund zu bejahen. Vielmehr müssen die konkreten Umstände des betreffenden Falles, insbesondere die gesamten Verhältnisse des Angeschuldigten, in Betracht gezogen werden (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 4a, je mit Hinweisen).
bb) Im angefochtenen Entscheid wird ausgeführt, der ausländische Beschwerdeführer lebe mit seiner Frau und seinem Kind in München und sei offenbar einzig zur Verübung von Verbrechen in die Schweiz gereist, wo er über keine gefestigten und dauerhaften Beziehungen verfüge. Die Gefahr, er werde sich bei einer Haftentlassung der hiesigen Strafjustiz durch Flucht entziehen, sei im Hinblick auf die vom Staatsanwalt beantragte unbedingte Gefängnisstrafe von 12 Monaten demnach evident. Der Beschwerdeführer wende ein, es bestehe keine Gefahr der Vereitelung der Strafvollstreckung, da er mit einer bedingten Freiheitsstrafe von sechs bis neun Monaten zu rechnen habe. Dieser Einwand sei unzutreffend und zudem unbehelflich. Zum einen werde die Möglichkeit der Ausfällung einer lediglich bedingt vollziehbaren Freiheitsstrafe grundsätzlich nicht berücksichtigt, ebenso wenig die Möglichkeit, im Falle der Abwesenheit des Angeklagten ein Kontumazurteil zu fällen. Zum anderen sei eine bedingte Freiheitsstrafe angesichts der umfangreichen einschlägigen Vorstrafen des Beschwerdeführers keineswegs "sehr wahrscheinlich".
cc) In der staatsrechtlichen Beschwerde wird im Zusammenhang mit der Frage der Fluchtgefahr vor allem das Urteil des Strafgerichts vom 13. August 2001 kritisiert, mit dem dieses gegen den Beschwerdeführer eine unbedingte Gefängnisstrafe von 12 Monaten und gegen die beiden anderen Angeklagten bedingt vollziehbare Gefängnisstrafen von 12 bzw. 15 Monaten ausgefällt hatte. Es wird ausgeführt, der Beschwerdeführer sei als einziger der drei Angeklagten zu einer unbedingten Freiheitsstrafe verurteilt worden, obwohl sein Tatbeitrag weit geringer gewesen sei als jener der beiden anderen Angeklagten. Das Appellationsgericht habe im hier angefochtenen Entscheid die Haftbeschwerde als von vornherein aussichtslos eingestuft, so dass "auch seitens des Strafgerichts keine bedingte Freiheitsstrafe mehr" habe ausgesprochen werden können. Das Urteil des Strafgerichts vom 13. August 2001 sei "als krass stossend und willkürlich zu bezeichnen, da die einzelnen Angeklagten nicht ungleicher hätten beurteilt werden können und der Gleichheitssatz aufs Gröbste verletzt" worden sei.
Diese Vorbringen sind unbehelflich. Es geht hier nicht um die Überprüfung des erstinstanzlichen Strafurteils, sondern um die Beurteilung der Frage, ob im angefochtenen Haftbeschwerdeentscheid die Fluchtgefahr ohne Verletzung der Verfassung bejaht werden konnte. Dies trifft zu. Das Appellationsgericht war mit Grund der Ansicht, sowohl mit Rücksicht auf die persönlichen Verhältnisse des Beschwerdeführers als auch im Hinblick auf die Schwere der drohenden Strafe bestünden gewichtige Indizien für eine Fluchtgefahr.
In der staatsrechtlichen Beschwerde wird nichts vorgebracht, was geeignet wäre, die oben (E. 2c/bb) angeführten Überlegungen der kantonalen Instanz als sachlich nicht vertretbar erscheinen zu lassen. Werden die gesamten Verhältnisse des Beschwerdeführers in Betracht gezogen, so verletzte das Appellationsgericht das verfassungsmässige Recht auf persönliche Freiheit nicht, wenn es den Haftgrund der Fluchtgefahr als gegeben erachtete.
d) Sodann rügt der Beschwerdeführer, die Aufrechterhaltung der Haft bzw. des vorzeitigen Strafvollzuges sei unverhältnismässig. Er begründet dies - ebenso wie in seiner an das Appellationsgericht gerichteten Beschwerde - vor allem damit, es sei bereits jetzt der Tendenz Rechnung zu tragen, dass kurze Freiheitsstrafen bis zu einem Jahr, wenn es nach dem Willen des Nationalrates gehe, in Zukunft nicht mehr vollzogen werden sollten.
aa) Eine Haftdauer ist dann unverhältnismässig, wenn sie die mutmassliche Dauer der zu erwartenden Freiheitsstrafe übersteigt. Der Haftrichter darf die Haft nur solange erstrecken, als ihre Dauer nicht in grosse Nähe der zu erwartenden Strafe rückt (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 5a; <ref-ruling> E. 2b).
bb) Im angefochtenen Entscheid wurde zur Frage der Verhältnismässigkeit der Haft ausgeführt, der Beschwerdeführer befinde sich seit dem 10. März 2001 und damit seit rund 4 Monaten in Haft. In Anbetracht der beantragten Gefängnisstrafe von 12 Monaten rücke die Haftdauer noch nicht in grosse Nähe der im Falle eines Schuldspruchs zu erwartenden Freiheitsstrafe. Offensichtlich abwegig sei der Einwand des Beschwerdeführers, es sei im Hinblick auf die bevorstehende Gesetzesrevision im Bund sowie angesichts kriminologischer Erkenntnisse bereits heute auf die Ausfällung vollziehbarer kurzer Freiheitsstrafen zu verzichten.
Diese Erwägungen des Appellationsgerichts sind nicht zu beanstanden. Es ist klar, dass bei der Beurteilung der Verhältnismässigkeit der Haft nicht schon jetzt auf Überlegungen abgestellt werden kann, welche im Hinblick auf eine Gesetzesrevision geäussert wurden. Was die Dauer der bisher erstandenen Haft angeht, so kann auch heute noch nicht gesagt werden, diese sei bereits in grosse Nähe der zu erwartenden Strafe gerückt. Die kantonalen Instanzen sind indes gehalten, das Strafverfahren so rasch als möglich zum Abschluss zu bringen.
Nach dem Gesagten verletzte das Appellationsgericht die Verfassung nicht, wenn es die vom Beschwerdeführer gegen die Ablehnung des Gesuchs um Entlassung aus der Haft bzw.
dem vorzeitigen Strafvollzug erhobene Beschwerde abwies. Die staatsrechtliche Beschwerde ist somit im Hauptpunkt abzuweisen.
3.- Der Beschwerdeführer hat für diesen Fall das Eventualbegehren gestellt, der angefochtene Entscheid sei im Kostenpunkt aufzuheben, da die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung gegen <ref-law> verstosse.
a) Nach dem in dieser Vorschrift garantierten Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, der hinsichtlich der Voraussetzungen dem aus Art. 4 aBV abgeleiteten Anspruch entspricht, hat eine bedürftige Partei in einem für sie nicht aussichtslosen Verfahren Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung (<ref-ruling> E. 4a S. 274; <ref-ruling> E. 2a mit Hinweisen).
Das Appellationsgericht hat im angefochtenen Entscheid die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers nicht verneint.
Es lehnte dessen Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung deshalb ab, weil die Beschwerde von Anfang an keine Aussicht auf Erfolg gehabt habe.
b) Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese.
Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde (<ref-ruling> E. 4b S. 275 mit Hinweisen).
Bei der Beurteilung der Aussichtslosigkeit von Haftbeschwerden darf nach ständiger Praxis des Bundesgerichts kein allzu strenger Massstab angelegt werden. Da die Haft einen schwerwiegenden Eingriff in das Recht der persönlichen Freiheit darstellt, sind Haftbeschwerden nur dann als aussichtslos einzustufen, wenn die Verlustgefahr so offensichtlich ist, dass ein wohlhabender Beschwerdeführer vernünftigerweise auf eine Haftbeschwerde verzichtet hätte (Urteil des Bundesgerichts vom 26. Juni 1998, auszugsweise publiziert in Plädoyer 4/98 S. 60). Dies war bei der Haftbeschwerde, die der Beschwerdeführer dem Appellationsgericht unterbreitet hatte, nicht der Fall. Die Ablehnung seines Gesuchs um unentgeltliche Verbeiständung verstiess demnach gegen <ref-law>. Die Beschwerde erweist sich daher bezüglich der Kostenauflage als begründet.
4.- Nach dem Gesagten ist die staatsrechtliche Beschwerde in Bezug auf den Eventualantrag gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann, und der angefochtene Entscheid ist insoweit aufzuheben, als dem Beschwerdeführer darin Kosten auferlegt wurden. Hinsichtlich der Hauptanträge ist die Beschwerde abzuweisen.
Da der Beschwerdeführer nur in einem Nebenpunkt obsiegt, kann davon abgesehen werden, den Kanton Basel-Stadt zur Leistung einer Parteientschädigung zu verpflichten, zumal dem Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gemäss Art. 152 OG entsprochen werden kann.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, soweit darauf eingetreten werden kann, und das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 31. Juli 2001 wird insoweit aufgehoben, als dem Beschwerdeführer darin Kosten auferlegt wurden.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.- Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt:
a) Es werden keine Kosten erhoben;
b) Advokat Dr. Nicolas Roulet, Basel, wird als amtlicher Anwalt des Beschwerdeführers bezeichnet und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Präsidenten des Strafgerichts, der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 10. September 2001
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: