Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1965 geborene, zuletzt als Tiefbauarbeiter tätig gewesene M._ bezog gestützt auf die Verfügung der IV-Stelle Bern vom 6. Juni 2001 ab 1. August 1997 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze Invalidenrente (nebst Zusatzrente für die Ehefrau und Kinderrenten) der Invalidenversicherung (IV). Zudem richtete ihm die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) für die verbleibenden Folgen eines am 22. August 1996 erlittenen Autounfalls aus der obligatorischen Unfallversicherung (UV) nebst einer Integritätsentschädigung ab 1. April 1999 eine Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 100 % und eine Hilflosenentschädigung für eine Hilflosigkeit mittleren Grades aus.
A.b. Im Zeitraum vom 15. September 2010 bis 4. März 2011 liess die IV-Stelle M._ im Rahmen einer Beweisaufnahme vor Ort überwachen. Gestützt auf den Observationsbericht vom 16. Mai 2011 sistierte sie zunächst mit Verfügung vom 1. Dezember 2011 die IV-Rentenzahlungen. Mit Verfügung vom 15. März 2012 eröffnete sie dem Versicherten sodann, die IV-Rente werde auf das Ende des der Verfügungszustellung folgenden Monats revisionsweise aufgehoben. Sie begründete dies damit, gemäss dem Observationsbericht und den getroffenen medizinischen Abklärungen habe sich der Gesundheitszustand derart gebessert, dass keine rentenbegründende Invalidität mehr vorliege.
Mit Verfügung vom 3. Mai 2012 und Einspracheentscheid vom 17. August 2012 hob auch die SUVA die von ihr ausgerichtete Invalidenrente und Hilflosenentschädigung revisionsweise auf.
B.
Beschwerdeweise beantragte M._, es sei die Verfügung der IV-Stelle vom 15. März 2012 aufzuheben und weiterhin eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei die Sache zum neuen Entscheid an die Verwaltung zurückzuweisen. Weiter ersuchte er darum, es sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. In der Folge hob die IV-Stelle die Verfügung vom 15. März 2012 lite pendente auf und erliess am 2. Juli 2012 eine neue Verfügung, lautend auf Rentenaufhebung per 1. September 2010. Sie stellte dem Gericht entsprechend Antrag. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern kündigte dem Versicherten hierauf eine mögliche Schlechterstellung an. Dieser hielt an der Beschwerde fest. Mit Verfügung vom 13. September 2012 wies das Gericht die Gesuche betreffend unentgeltliche Rechtspflege und aufschiebende Wirkung ab. Mit Entscheid vom 6. März 2013 wies es sodann die Beschwerde ab und änderte die Verfügung vom 15. März 2012 dahin gehend ab, dass die bisherige ganze Rente per 31. August 2010 aufgehoben werde.
Mit einem weiteren Entscheid vom gleichen Tag wies das Verwaltungsgericht auch die von M._ gegen den Einspracheentscheid der SUVA vom 17. August 2012 erhobene Beschwerde ab.
C.
M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei weiterhin eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur Durchführung der beantragten Beweismassnahmen und zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz resp. an die Verwaltung zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht ersucht.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 17. Juni 2013 lässt M._ erklären, an Beschwerde und Gesuch betreffend unentgeltliche Rechtspflege werde festgehalten.
D.
M._ lässt auch gegen den vorinstanzlichen Entscheid betreffend UV Beschwerde erheben. Über diese entscheidet das Bundesgericht mit heutigem Urteil im Verfahren 8C_310/2013.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 317 f. mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2 S. 129 mit Hinweisen). Trotzdem obliegt es der Beschwerde führenden Partei, sich in ihrer Beschwerde sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen ( Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 584; je mit Hinweisen). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Letztinstanzlich streitig und zu prüfen ist, ob die seit 1. August 1997 ausgerichtete Invalidenrente zu Recht per 31. August 2010 aufgehoben wurde.
Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf eine Invalidenrente der IV, zur Aufgabe von Arzt und Ärztin bei der Invaliditätsbemessung, zur revisionsweisen Erhöhung, Herabsetzung oder Aufhebung der Rente infolge erheblicher Änderung des Invaliditätsgrades und zur rückwirkenden Herabsetzung oder Aufhebung der Rente bei unrechtmässiger Erwirkung oder bei Verletzung der Meldepflicht zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die zu beachtenden beweisrechtlichen Regeln, namentlich im Hinblick auf ärztliche Berichte und Gutachten sowie auf Observationsergebnisse. Darauf wird verwiesen.
3.
Ob eine revisionsrechtlich relevante Änderung eingetreten ist, beurteilt sich gemäss dem angefochtenen Entscheid in zeitlicher Hinsicht durch Vergleich der Verhältnisse bei Erlass der Rentenverfügung vom 6. Juni 2001 einerseits und bei Erlass der Revisionsverfügung vom 15. März 2012 anderseits. Das ist zu Recht nicht umstritten.
Gleiches gilt für die vorinstanzliche Beurteilung, wonach die Verwaltung bei der Rentenzusprechung davon ausging, es liege ein gravierender psychischer Gesundheitsschaden vor, welcher eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bewirke.
4.
Das kantonale Gericht ist sodann zum Ergebnis gelangt, im Zeitpunkt der Observation und damit auch bei Erlass der Revisionsverfügung vom 15. März 2012 habe kein psychischer Gesundheitsschaden mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit mehr vorgelegen. Es begründet dies namentlich damit, zwar sei umstritten, ob der Teil der Überwachung, welcher in einem Casino stattgefunden habe, den Beschwerdeführer oder eine andere Person beschreibe. Das könne aber offen gelassen werden. Denn bereits die Ergebnisse der restlichen, unstreitig den Versicherten betreffenden Observation gestatteten zusammen mit den schlüssigen und voll beweiskräftigen fachärztlichen Beurteilungen des Psychiaters Dr. med. K._ vom Regionalen Ärztlichen Dienst der IV (RAD) vom 24. November 2011 und 29. Februar 2012 den verlässlichen Schluss, dass kein Gesundheitsschaden mit Einfluss auf die Arbeits- und Leistungsfähigkeit mehr vorliege.
4.1. Mit der gleichen Begründung hat die Vorinstanz in ihrem weiteren Entscheid vom 6. März 2013 die revisionsweise Aufhebung der UV-Rente bestätigt. Der Beschwerdeführer erhebt hier wie dort die nämlichen Einwände.
4.1.1. Das Bundesgericht hat dazu im dortigen Urteil in E. 4.1 - 4.4 Folgendes erwogen:
"Die vorinstanzliche Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen und überzeugenden Würdigung der Observationsergebnisse und der medizinischen Akten. Hervorzuheben ist, dass die Überwachung am Flughafen Zürich, welche unstreitig dem Beschwerdeführer galt, gezeigt hat, dass dieser ohne irgendwelche Anzeichen einer Behinderung in der Lage war, sich im Flughafenareal zu bewegen, mit Begleitpersonen, aber auch mit Bedienpersonal in einem Restaurant zu kommunizieren, für Rauchpausen unbegleitet das Flughafengebäude zu verlassen und dabei auch mit dem Handy zu telefonieren. Auf diese Überwachungsergebnisse ist abzustellen. Gleiches gilt hinsichtlich der weiteren Feststellung im Observationsbericht, wonach der Beschwerdeführer anschliessend in der Lage gewesen sei, ohne Begleitung die Passkontrolle zu durchlaufen und einen Flug in den Kosovo zu bestehen. Diese Observationsergebnisse stehen in krassem Widerspruch zu dem mutistisch anmutenden, Hilflosigkeit und eine Unfähigkeit zur Kommunikation demonstrierenden Verhalten, welches der Beschwerdeführer gezeigt hat, als ihn Dr. med. K._ am 16. Mai 2011 psychiatrisch untersuchte. Der Psychiater hat diese Diskrepanz im Bericht vom 24. November 2011 und der ergänzenden Beurteilung vom 29. Februar 2012 überzeugend gewürdigt. Seine fachärztliche Einschätzung, wonach diagnostisch die Vortäuschung einer Krankheit und damit kein die Arbeitsfähigkeit einschränkendes Leiden mehr vorliege, hat die Vorinstanz zu Recht als beweiswertig beurteilt. Was der Beschwerdeführer vorträgt, vermag kein anderes Ergebnis zu rechtfertigen. Den Einwand, die Observation im Casino habe nicht dem Beschwerdeführer gegolten, hat das kantonale Gericht wie dargelegt in nicht zu beanstandender Weise berücksichtigt. Aus den Aussagen des Dr. med. K._ geht sodann hervor, dass dieser sich bereits durch die Ergebnisse der Überwachung am Flughafen und die durch ihn durchgeführte Untersuchung hinreichend in der besagten Diagnose bestätigt sah. Das Vorbringen des Beschwerdeführers und zweier seiner Verwandten, diese hätten ihn an den Flughafen begleitet und dort eine fremde Person darum gebeten, ihn während des Flugs zu betreuen, ist nicht glaubwürdig. Sie steht im Übrigen auch im Widerspruch zu der Aussage der Ehefrau des Beschwerdeführers, wonach sie diesen jeweils auf den Flugreisen in den Kosovo begleite. Dem Bericht des behandelnden Arztes, Dr. med. A._, vom 16. Februar 2012 lassen sich ebenfalls keine Anhaltspunkte entnehmen, welche Zweifel an der fachärztlichen Beurteilung des Dr. med. K._ zu begründen vermöchten. Vielmehr ergeben sich daraus Anhaltspunkte für eine im Verlauf eingetretene Besserung des psychischen Gesundheitszustandes. Das hat die Vorinstanz zutreffend erkannt und entspricht auch der Auffassung des Dr. med. K._ gemäss dessen Beurteilung vom 29. Februar 2012. Hinzu kommt, dass Dr. med. A._, anders als vom kantonalen Gericht offenbar angenommen, Allgemeinmediziner und nicht Psychiater ist. Das lässt seine Aussagen erst recht als ungeeignet erscheinen, um die fachärztliche Beurteilung des Dr. med. K._ zur psychischen Befindlichkeit in Frage zu stellen.
Gerügt wird sodann, Versicherer und Vorinstanz hätten den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör und den Untersuchungsgrundsatz verletzt sowie eine willkürliche Beweiswürdigung vorgenommen, indem sie die beantragten Beweismittel (Zeugeneinvernahmen; Einholung eines psychiatrischen Gutachtens) nicht abgenommen hätten. Auch dieser Einwand geht fehl. Das kantonale Gericht hat zu Recht erkannt, dass sich der rechtsrelevante Sachverhalt genügend aus den vorhandenen Akten ergibt und weitere Abklärungen keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen. Entgegen der in der Beschwerde weiter vertretenen Auffassung ist der angefochtene Entscheid auch hinreichend begründet.
Es bleibt damit dabei, dass kein psychisches Leiden, welches die Arbeitsfähigkeit einschränkt, mehr besteht."
4.1.2. Das Bundesgericht konnte bei der dargelegten, Geldleistungen der UV betreffenden Beurteilung den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt frei überprüfen (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG; Urteil 8C_310/2013 E. 1). Es ist dabei wie dargelegt zum Ergebnis gelangt, dass die Einwände des Versicherten unbegründet sind und die vorinstanzliche Beurteilung rechtens ist. Das hat erst recht im vorliegenden Verfahren zu gelten, in welchem dem Bundesgericht nur eine eingeschränkte Überprüfung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen zusteht (E.1 hievor), sich aber abgesehen davon die gleichen sachverhaltlichen und rechtlichen Fragen stellen.
4.2. Es bleibt damit dabei, dass kein psychisches Leiden mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit mehr besteht. Ein anderer rentenrelevanter Gesundheitsschaden steht hier wie im Verfahren 8C_310/2013 nicht zur Diskussion. Der Beschwerdeführer macht auch nicht geltend, es liege ein im UV-Verfahren unbeachtliches Leiden vor, welches gegebenenfalls für die IV-Rente relevant wäre.
5.
Die Vorinstanz hat weiter erwogen, mit der damit eingetretenen wesentlichen Änderung der medizinischen Verhältnisse liege ein Revisionsgrund vor. Es bestehe keine Invalidität mehr, weshalb kein Rentenanspruch mehr gegeben sei. Eine eigentliche Invaliditätsbemessung sei unter diesen Voraussetzungen nicht erforderlich.
Liegt kein die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigendes Leiden mehr vor, kann mit dem kantonalen Gericht geschlossen werden, die rentenbegründende Invalidität sei dahingefallen. Denn Letztere setzt u.a. eine gesundheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit voraus. Soweit der Beschwerdeführer beanstandet, es hätte noch eine eigentliche Invaliditätsbemessung im Sinne eines Einkommensvergleichs erfolgen müssen, kann ihm daher ebenfalls nicht gefolgt werden. Entgegen seiner Auffassung liegt kein Verstoss gegen <ref-law> und <ref-law> vor. Die Invalidenrente wurde daher zu Recht aufgehoben.
6.
Das kantonale Gericht hat den Zeitpunkt, auf welchen die Rentenaufhebung wirksam werden soll, auf den 31. August 2010 vorverlegt. Diese Beurteilung wird nicht beanstandet und gibt keinen Anlass zu Weiterungen. Es bleibt damit auch diesbezüglich beim angefochtenen Entscheid.
7.
Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. August 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz