Sachverhalt:
A. Die 1970 geborene S._ erlitt im Jahr 1989 einen Hirnstamminsult. Aufgrund eines linksseitigen Hemisyndroms sowie residueller neurologischer und neuropsychologischer Ausfälle und wegen einer - später abgeklungenen - posttraumatischen Belastungsstörung ist sie seit 1994 teilweise arbeitsunfähig. Die IV-Stelle des Kantons Bern sprach ihr mit Wirkung ab Februar 1995 eine halbe Invalidenrente zu (Verfügung vom 4. März 1998). Verschiedene Leistungsrevisionen ergaben jeweils keine rentenbeeinflussende Änderung des Invaliditätsgrades (Mitteilung der IV-Stelle des Kantons Bern vom 28. Januar 1999, Mitteilungen der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 31. Januar 2001 und vom 26. April 2005, Mitteilung der IV-Stelle des Kantons Aargau vom 10. November 2006). Aufgrund einer weiteren Überprüfung des Leistungsanspruchs in medizinischer und erwerblicher Hinsicht stellte die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügung vom 16. Januar 2009 fest, die Versicherte wäre - als Mutter von drei 1999, 2001 und 2004 geborenen Kindern - im hypothetischen Gesundheitsfall je hälftig im Haushalt und erwerblich tätig. Auf dieser Grundlage ergebe sich (bei einer Einschränkung im Haushalt von 19 Prozent und in einer leidensangepassten Erwerbstätigkeit von 50 Prozent) ein nicht rentenbegründender Invaliditätsgrad von 10 Prozent, weshalb die halbe Rente auf Ende Februar 2009 aufgehoben wurde.
B. In ihrer Antwort auf die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ging die IV-Stelle von einem Gesamtinvaliditätsgrad von 26 Prozent aus. Das kantonale Gericht wies die Beschwerde ab (Entscheid vom 23. Februar 2010).
C. S._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids und der strittigen Verfügung, weiterhin eine Viertelsrente der Invalidenversicherung auszurichten; eventuell seien ergänzende psychiatrische Abklärungen anzuordnen. Ausserdem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Vorinstanz, IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten darauf, eine Vernehmlassung einzureichen.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von <ref-law> erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Mit Blick auf die so umschriebene Kognition ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen Bundesrecht verletzt, einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung.
2. 2.1 Das kantonale Gericht erkannte, die IV-Stelle habe in der strittigen Verfügung vom 16. Januar 2009 die seit Februar 1995 laufende halbe Invalidenrente der Beschwerdeführerin zu Recht aufgehoben (<ref-law>; Art. 87, 88a und 88bis IVV), da sich die Grundlagen der Invaliditätsbemessung seit der letztmaligen Leistungsbestätigung im Jahr 2006 (vgl. <ref-ruling>) leistungserheblich verändert hätten.
2.1.1 Die Aufhebung der Invalidenrente folgt aus der erstmaligen Zugrundelegung der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung. Das kantonale Gericht erwog, der Abklärung der Leistungsfähigkeit im Haushalt vom 14. Juni 2007 folgend sei von einer hypothetischen Erwerbstätigkeit und Tätigkeit im Haushalt von je 50 Prozent auszugehen. Die Einschränkung im letzteren Aufgabenbereich liege bei 18,75 Prozent, auf das effektive Pensum umgelegt bei 9,38 Prozent. Im erwerblichen Bereich bestehe eine Einschränkung des Leistungsvermögens um 50 Prozent; ausgehend davon ermittelte die Vorinstanz durch Einkommensvergleich einen Invaliditätsgrad von 33,6 Prozent, was bezogen auf den Anteil der erwerblichen Tätigkeit (halbes Pensum) einen Teilinvaliditätsgrad von 17 Prozent ergebe. Der Gesamtinvaliditätsgrad belaufe sich mithin auf - nicht rentenbegründende - 26 Prozent.
2.1.2 Letztinstanzlich sind die Massgeblichkeit der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung (<ref-law>, <ref-law>; <ref-ruling>; <ref-ruling>, 393; <ref-ruling>) und - im Rahmen dieser Bemessungsart - die Anteile der Erwerbstätigkeit und der Tätigkeit im Aufgabenbereich Haushalt (je 50 Prozent; <ref-ruling> E. 6 S. 485; <ref-ruling> E. 5.1.1 S. 52 mit Hinweis) nicht umstritten. Die Beschwerdeführerin macht jedoch geltend, die Vorinstanz habe eine Verschlechterung ihres Gesundheitszustandes verkannt und die Auswirkungen einer Doppelbelastung von Erwerb und Haushalt zu Unrecht ausser Acht gelassen.
2.1.2 Letztinstanzlich sind die Massgeblichkeit der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung (<ref-law>, <ref-law>; <ref-ruling>; <ref-ruling>, 393; <ref-ruling>) und - im Rahmen dieser Bemessungsart - die Anteile der Erwerbstätigkeit und der Tätigkeit im Aufgabenbereich Haushalt (je 50 Prozent; <ref-ruling> E. 6 S. 485; <ref-ruling> E. 5.1.1 S. 52 mit Hinweis) nicht umstritten. Die Beschwerdeführerin macht jedoch geltend, die Vorinstanz habe eine Verschlechterung ihres Gesundheitszustandes verkannt und die Auswirkungen einer Doppelbelastung von Erwerb und Haushalt zu Unrecht ausser Acht gelassen.
2.2 2.2.1 Wie das kantonale Gericht richtig festgestellt hat, kann nicht nur die Veränderung des Gesundheitszustandes einen Revisionsgrund im Sinne von <ref-law> bilden, sondern auch die Veränderung der erwerblichen Auswirkungen des Gesundheitsschadens oder die Wandlung des Aufgabenbereichs (<ref-ruling> E. 3.5 S. 349). Obwohl letztinstanzlich nicht mehr gerügt, ist von Amtes wegen (<ref-law>) zu prüfen, ob im Rahmen der strittigen Verfügung vom 16. Januar 2009 eine Neubewertung des Status (als Erwerbstätige bzw. als im Aufgabenbereich Haushalt Tätige) als Revisionsgrund berücksichtigt werden durfte. Denn bereits die Verhältnisse im Zeitpunkt der Mitteilung der IV-Stelle des Kantons Aargau vom 10. November 2006 - das heisst der letzten auf einer vollständigen materiellen Prüfung des Rentenanspruchs beruhenden rechtskräftigen Verfügung (<ref-ruling>; zur Gleichsetzung von Verfügung und Mitteilung in diesem Zusammenhang SVR 2010 IV Nr. 4 S. 7 E. 3.1, 9C_46/2009) - haben ein entsprechendes Vorgehen nahegelegt; die drei Kinder der Versicherten wurden 1999, 2001 und 2004 geboren.
2.2.2 Die Vorinstanz erwog dazu, die familiäre Situation der Versicherten habe sich seit der letzten Revision nicht mehr verändert. Die Beschwerdeführerin hätte bereits zu jener Gelegenheit nicht mehr als vollständig erwerbstätig eingestuft werden dürfen. Dies sei zu ihren Gunsten trotzdem geschehen. Eine Beibehaltung der bisherigen Qualifizierung unter dem Titel des Vertrauensschutzes erscheine nicht gerechtfertigt, da die Beschwerdeführerin keine für sie nachteiligen Dispositionen getroffen habe, die ohne Nachteil nicht rückgängig gemacht werden könnten. Jedenfalls sei die Neuqualifizierung mit der substituierten Begründung der Wiedererwägung (<ref-law>) zulässig, da bereits die Abklärungen anlässlich der vorangehenden Revision ergeben hätten, dass die Versicherte als Mutter von drei Kindern im Gesundheitsfall lediglich einer Erwerbstätigkeit zu 50 Prozent nachgehen würde.
2.2.3 Referenzzeitpunkt im Sinne von <ref-ruling> ist die Mitteilung der IV-Stelle des Kantons Aargau vom 10. November 2006. Die Umstände, welche für die Festlegung der hypothetischen Anteile von Erwerb einerseits und Tätigkeit im Aufgabenbereich anderseits massgebend sind, haben sich im Zeitraum bis zur strittigen Verfügung vom 16. Januar 2009 nicht mehr verändert. In der vorliegenden Konstellation steht dies einer Leistungsrevision jedoch nicht von vornherein entgegen: Faktoren, die an sich für eine Änderung des Status bezüglich Erwerb und Tätigkeit im Aufgabenbereich sprechen würden, schlagen sich gegebenenfalls nicht sofort in einer neuen Qualifizierung nieder, solange dies mit Blick auf andere einschlägige Umstände, beispielsweise das eheliche Zusammen- oder Getrenntleben, nicht angezeigt ist. Sieht die Verwaltung mit guten Gründen davon ab, etwa bei Geburt eines Kindes unmittelbar eine Statusänderung vorzunehmen, so begibt sie sich dadurch nicht a priori der Möglichkeit, mit dieser Begründung später noch eine Leistungsrevision durchzuführen.
2.2.4 In den vorangegangenen Revisionsverfahren kann indessen kein Grund für eine (vorläufige) Nichtberücksichtigung der Änderungen in der familiären Situation ausgemacht werden. Spätestens nach der Geburt des dritten Kindes 2004 drängte sich - selbst unter Berücksichtigung einer mit der im Juli 2006 erfolgten Scheidung allenfalls einhergehenden wirtschaftlichen Zwangslage - eine Neubeurteilung der Statusfrage auf. Die Beschwerdegegnerin bezeichnete die Einstufung als Vollerwerbstätige auch nach Geburt mehrerer Kinder in der vorinstanzlichen Beschwerdeantwort denn auch selber als nicht nachvollziehbar. Wäre eine Berücksichtigung der veränderten Umstände jedenfalls im Revisionsverfahren des Jahres 2006 zwingend gewesen, stellte die familiäre Situation insoweit hinsichtlich der strittigen Verfügung keine revisionsrelevante Neuerung mehr dar. Folglich ist eine materielle Revision an sich ausgeschlossen. Indessen kann, wie das Bundesgericht jüngst bestätigt hat (Urteil 9C_303/2010 vom 5. Juli 2010 E. 4), die Beschwerdeinstanz eine unrichtige Revisionsverfügung mit der substituierten Begründung der Wiedererwägung schützen, sofern die Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (<ref-ruling>). Die zweifellose Unrichtigkeit (<ref-law>; vgl. dazu etwa Urteil I 222/02 vom 19. Dezember 2002 E. 3.2) einer Beibehaltung des Vollerwerbstätigenstatus hätte eine Wiedererwägung der früheren rechtskräftigen Verwaltungsverfügung gerechtfertigt. Das kantonale Gericht durfte somit die erstmalige Anwendung der gemischten Bemessungsmethode unter diesem Titel bestätigen. Gesichtspunkte des Vertrauensschutzes spielen hierbei keine selbständige Rolle: Die Abwägung zwischen dem öffentlichen Interesse an der materiell richtigen Durchführung des Leistungsrechts der Invalidenversicherung und einem berechtigten Vertrauen der versicherten Person auf eine Weitergewährung staatlicher Leistungen richtet sich allein nach den Vorgaben des <ref-law>, sofern der Versicherungsträger nach seinem Ermessen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 52; Urteil 8C_866/2009 vom 27. April 2010) beschliesst, wiedererwägungsweise auf die formell rechtskräftige Verfügung zurückzukommen, oder sofern - wie hier der Fall - eine Verfügung mit der entsprechend substituierten Begründung geschützt wird.
2.2.4 In den vorangegangenen Revisionsverfahren kann indessen kein Grund für eine (vorläufige) Nichtberücksichtigung der Änderungen in der familiären Situation ausgemacht werden. Spätestens nach der Geburt des dritten Kindes 2004 drängte sich - selbst unter Berücksichtigung einer mit der im Juli 2006 erfolgten Scheidung allenfalls einhergehenden wirtschaftlichen Zwangslage - eine Neubeurteilung der Statusfrage auf. Die Beschwerdegegnerin bezeichnete die Einstufung als Vollerwerbstätige auch nach Geburt mehrerer Kinder in der vorinstanzlichen Beschwerdeantwort denn auch selber als nicht nachvollziehbar. Wäre eine Berücksichtigung der veränderten Umstände jedenfalls im Revisionsverfahren des Jahres 2006 zwingend gewesen, stellte die familiäre Situation insoweit hinsichtlich der strittigen Verfügung keine revisionsrelevante Neuerung mehr dar. Folglich ist eine materielle Revision an sich ausgeschlossen. Indessen kann, wie das Bundesgericht jüngst bestätigt hat (Urteil 9C_303/2010 vom 5. Juli 2010 E. 4), die Beschwerdeinstanz eine unrichtige Revisionsverfügung mit der substituierten Begründung der Wiedererwägung schützen, sofern die Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (<ref-ruling>). Die zweifellose Unrichtigkeit (<ref-law>; vgl. dazu etwa Urteil I 222/02 vom 19. Dezember 2002 E. 3.2) einer Beibehaltung des Vollerwerbstätigenstatus hätte eine Wiedererwägung der früheren rechtskräftigen Verwaltungsverfügung gerechtfertigt. Das kantonale Gericht durfte somit die erstmalige Anwendung der gemischten Bemessungsmethode unter diesem Titel bestätigen. Gesichtspunkte des Vertrauensschutzes spielen hierbei keine selbständige Rolle: Die Abwägung zwischen dem öffentlichen Interesse an der materiell richtigen Durchführung des Leistungsrechts der Invalidenversicherung und einem berechtigten Vertrauen der versicherten Person auf eine Weitergewährung staatlicher Leistungen richtet sich allein nach den Vorgaben des <ref-law>, sofern der Versicherungsträger nach seinem Ermessen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 52; Urteil 8C_866/2009 vom 27. April 2010) beschliesst, wiedererwägungsweise auf die formell rechtskräftige Verfügung zurückzukommen, oder sofern - wie hier der Fall - eine Verfügung mit der entsprechend substituierten Begründung geschützt wird.
2.3 2.3.1 Hinsichtlich des massgebenden Gesundheitszustandes ging die Vorinstanz davon aus, bisher habe eine Einschränkung der Leistungsfähigkeit um 50 Prozent bestanden, dies infolge einer mittelschweren Hirnfunktionsstörung, welche eine Einschränkung insbesondere des Gedächtnisses, der Aufmerksamkeit und der Konzentration sowie eine erhöhte Ermüdbarkeit nach sich ziehe (vgl. den im Rahmen des im Februar 2005 eingeleiteten Revisionsverfahrens eingeholten Bericht des Allgemeinmediziners Dr. M._ vom 21. April 2005). Die strittige Revisionsverfügung basiere auf den Berichten des Dr. M._ vom 8. März 2007 sowie der Neurologin Dr. Z._ und der Psychologin lic. phil. V._ vom 16. Mai 2008, welche hinsichtlich des Gesundheitszustandes, aufgrund dessen eine leichte Tätigkeit halbtags zumutbar sei, übereinstimmten. In einem weiteren Bericht vom 20. August 2009 hielten Dr. Z._ und lic. phil. V._ fest, die im September 2007 begonnene Behandlung habe gezeigt, dass die Konzentrationsfähigkeit unter Druck und Stress stärker beeinträchtigt sei als anfänglich angenommen. Dissoziationen hätten zugenommen und Migräneattacken seien häufiger aufgetreten. Die Arbeitsfähigkeit habe sich um 20 Prozentpunkte vermindert. Die Vorinstanz erwog, aus diesen Einschätzungen sei nicht auf eine überwiegend wahrscheinlich eingetretene Verschlechterung des Gesundheitszustandes zu schliessen. Vielmehr entstehe der Eindruck, dass es sich um eine andere Folgenbeurteilung hinsichtlich des gleichen Gesundheitszustandes handle. Daher sei weiterhin eine hälftige Arbeitsunfähigkeit anzunehmen.
Im Weiteren verwarf die Vorinstanz das auf <ref-ruling> verweisende Argument der Beschwerdeführerin, infolge der Beanspruchung im Haushalt reduziere sich das Leistungsvermögen im erwerblichen Bereich. Zwar werde die Versicherte als alleinerziehende Mutter mit drei kleinen Kindern stark gefordert; jedoch könne nicht von einer offenkundigen und das normale Mass überschreitenden Belastung gesprochen werden, wie sie beispielsweise bei der Betreuung eines behinderten Kindes auftreten würde. Ein zusätzlicher Abzug sei demnach nicht gerechtfertigt.
2.3.2 Die Beschwerdeführerin wendet ein, die vorinstanzliche Feststellung der Arbeitsfähigkeit stütze sich allein auf die Einschätzung des Hausarztes, es bestehe eine unveränderte Arbeitsunfähigkeit von 50 Prozent, und übergehe den aktuelleren, von einer Neurologin und einer Psychologin erstellten Bericht vom 16. Mai 2008, worin zunächst zwar eine Arbeitsfähigkeit von 50 Prozent angegeben, diese aber unter Berücksichtigung der familiären Situation auf blosse 20 Prozent veranschlagt werde. Aus dem weiteren Bericht derselben Fachpersonen vom 20. August 2009 ergebe sich infolge einer inzwischen eingetretenen Verschlechterung des Gesundheitszustandes ein Absinken der Arbeitsfähigkeit auf 30 Prozent. Aufgrund der Belastung durch Haushalt und Kinderbetreuung erfahre die Beschwerdeführerin als alleinerziehende Mutter eine zusätzliche Einschränkung ihres Leistungsvermögens, die anhand der Umstände im Einzelfall in Form eines "Wechselwirkungsabzugs" von 15 Prozent vom Invalideneinkommen zu berücksichtigen seien.
2.3.3 Der nach Abschluss des Verwaltungsverfahrens eingereichte neurologische und psychologische Bericht vom 20. August 2009 ist in die Beurteilung miteinzubeziehen, da er Rückschlüsse auf den im relevanten Zeitraum gegebenen Sachverhalt erlaubt (vgl. <ref-ruling> E. 1b in fine S. 366; SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43 E. 2.2.2.3, I 514/06). In diesem Dokument werden die im Bericht vom 16. Mai 2008 gemachten Angaben präzisiert. Damals hatten die Therapeutinnen Dr. Z._ (Neurologin) und lic. phil. V._ (Psychologin) unter anderem auf den 1989 erfolgten Hirnstamminsult zurückzuführende neurologische (leichtes motorisches linksseitiges Hemisyndrom mit beinbetonter Schwäche) und neuropsychologische Defizite (im Bereich Gedächtnis, Aufmerksamkeit und Konzentration), eine posttraumatische Belastungsstörung mit Somatisierungstendenz und depressiver Entwicklung nach Misshandlung durch den Stiefvater im Kindes- und Jugendlichenalter sowie Migräne diagnostiziert. Diese Feststellungen stimmen hinsichtlich der somatischen Befunde im Wesentlichen mit den Angaben des Allgemeinmediziners Dr. M._ vom 8. März 2007 überein. Dr. Z._ und lic. phil. V._ führten weiter aus, bei Aufnahme der Therapie Ende September 2007 habe die Patientin an einer mittelgradigen depressiven Episode gelitten, die sich unter veränderter Medikation eindeutig gebessert habe. Stressoren führten jedoch sehr schnell zu Rückfällen. Die Einschränkung des Konzentrations- und Auffassungsvermögens hänge vermutlich mit der hirnorganischen Störung zusammen. In der Therapie gehe es um eine Stabilisierung des Gesamtzustandes, damit die aktuelle Leistungsfähigkeit in Haushalt, Kinderbetreuung und Beruf erhalten werden könne. Eine Verarbeitung des traumatischen Hintergrundes sei vorsichtig anzugehen, da der Stabilisierungsprozess ansonsten gefährdet werde. Im Bericht derselben Fachpersonen vom 20. August 2009 wird wiederum betont, die Belastbarkeit sei beträchtlich eingeschränkt; es erscheine denn auch wichtig, dass die Patientin (wie bei der aktuell ausgeübten Reinigungstätigkeit in einem Kindergarten) nie länger als eine bis zwei Stunden am Stück arbeiten müsse. Unter innerem und äusserem Druck werde die Konzentrationsfähigkeit stärker behindert als dies von den Berichterstatterinnen zu Beginn der Behandlung wahrgenommen worden sei. Die Dissoziationen - ein typisches Symptom bei komplexen traumatischen Störungen - und Migräneanfälle seien gehäuft aufgetreten. Eine Überforderung könnte den Zustand weiter destabilisieren. Ähnliche Feststellungen betreffend die begrenzte Belastbarkeit wurden schon früher getroffen (Berichte der Abteilung für Neuropsychologische Rehabilitation am Spital I._ vom 20. Juli 1994 und des Dr. F._ vom 20. August 1998).
Die Vorinstanz hat diesen Ausführungen, an deren Beweiswert nicht zu zweifeln ist, keine Bedeutung beigemessen. Ihre der hausärztlichen Einschätzung vom März 2007 folgende Beurteilung, es bestehe eine Arbeitsfähigkeit im Umfang von 50 Prozent, übersieht das Folgende. Nach der Rechtsprechung ist nicht nur arbeitsunfähig, wer gesundheitsbedingt die bisherige Tätigkeit nicht mehr oder nur noch beschränkt ausüben kann, sondern auch die Person, welcher eine weitere Verrichtung ihrer Berufsarbeit nur unter der Gefahr möglich ist, ihren Gesundheitszustand zu verschlimmern (<ref-ruling> E. 3.1 S. 345 mit Hinweisen; SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143 E. 3.3, 9C_127/2008). Dies gilt nicht nur für eine tatsächlich ausgeübte Arbeit. Auch die Bezeichnung der grundsätzlich zumutbaren Verweisungstätigkeiten (vgl. <ref-law>) sowie des Umfangs, in welchem die verbliebene Leistungsfähigkeit verwertet werden kann, steht unter dem Vorbehalt, dass im Realisierungsfall keine gesundheitliche Gefährdung zu gewärtigen ist. Die Ausführungen der therapierenden Fachpersonen zeugen indessen von einem ausgeprägt labilen Zustand der Beschwerdeführerin. Daraus ergibt sich, dass eine über eine Auslastung von 30 Prozent (bezogen auf ein Vollzeitpensum) hinausgehende erwerbliche Beschäftigung mit dem erheblichen Risiko einer Verschlimmerung des Gesundheitsschadens verbunden wäre. Ein Widerspruch zur Beurteilung des Dr. M._ vom 8. März 2007 besteht nicht; Dr. Z._ und lic. phil. V._ wiesen darauf hin, dass der "psychiatrische Anteil der Erkrankung und vor allem der traumatische Hintergrund" nicht Thema der hausärztlichen Behandlung bildeten. Die im Bericht vom 20. August 2009 (gegenüber der ursprünglichen Einschätzung vom 16. Mai 2008) geänderte Stellungnahme über den Grad der Beeinträchtigung wird unter Bezugnahme auf die Natur des Gesundheitsschadens und auf den Therapieverlauf einleuchtend begründet. Angesichts der Kombination von neurologischen, neuropsychologischen und psychischen Einschränkungen ist daher von einer Arbeitsfähigkeit von 30 Prozent auszugehen.
Nicht entscheidungsrelevant ist hingegen die weitergehende Einschätzung von Dr. Z._ und lic. phil. V._, soweit sie ausführen, "nebst dem Aufwand für den Haushalt und die Kinderbetreuung" könne der Beschwerdeführerin "nicht mehr als eine 20 %-Tätigkeit ausser Haus zugemutet werden". In diese Festlegung fliessen offenkundig (nicht zum versicherten Risiko gehörende) Gesichtspunkte der praktischen Vereinbarkeit der verschiedenen Tätigkeitsbereiche mit ein.
2.3.4 Die Vornahme des beschwerdeweise verlangten "Wechselwirkungsabzugs" gemäss <ref-ruling> rechtfertigt sich nicht. Entgegen der Aussage im Arztbericht vom 20. August 2009, die Festlegung der Arbeitsfähigkeit auf höchstens 30 Prozent verstehe sich "ohne Berücksichtigung der Belastung durch Haushalt und Kinderbetreuung", wird im Kontext mit den übrigen Ausführungen deutlich, dass das zumutbare erwerbsbezogene Leistungsvermögen (insbesondere unter dem Aspekt der drohenden Verschlimmerung der gesundheitlichen Beeinträchtigung) auch mit Blick auf die Doppelbelastung eingeschätzt wurde. Wechselwirkungen sind nur dann zu berücksichtigen, wenn die entsprechende spezifische Leistungsminderung in den vorhandenen Arzt- und (Haushalts-)Abklärungsberichten nicht hinreichend gewürdigt worden ist (vgl. <ref-ruling> E. 7.3.2 S. 13).
2.3.5 Die im Zeitraum von Frühjahr 2007 (vgl. den Bericht des Dr. M._ vom 8. März 2007) bis Frühsommer 2008 eingetretene Verschlechterung des Gesundheitszustandes muss auch hinsichtlich der Haushaltführung berücksichtigt werden. Die diesbezügliche Abklärung datiert noch vom Juni 2007. Die Vorinstanz hat - entsprechend ihrer Auffassung, es handle sich bei den Einschätzungen von Dr. Z._ und lic. phil. V._ lediglich um eine andere Beurteilung eines unveränderten Zustandes - keine Nachführung der Haushaltabklärung veranlasst (vgl. <ref-law>). Indessen kann auf eine entsprechende Ergänzung der Entscheidungsgrundlagen mit Blick auf die übrigen Parameter der Invaliditätsbemessung verzichtet werden. Bei psychischen Beeinträchtigungen kommt den ärztlichen Einschätzungen über die Leistungsfähigkeit im Haushalt eine besondere Bedeutung zu (SVR 2004 IV Nr. 28 S. 87, I 311/03). Die für den erwerblichen Bereich ausgewiesene Veränderung der Arbeitsfähigkeit - von vormals 50 auf 30 Prozent - darf freilich nicht tel quel auf den Haushaltbereich übertragen werden; dort wirkt sich eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes naturgemäss weit weniger stark aus: Im Allgemeinen unterscheidet sich die Haushaltarbeit von Erwerbstätigkeiten strukturell dadurch, dass sich erstere etappenweise erledigen und frei einteilen lässt, und dass - allenfalls unter Inkaufnahme eines erhöhten Zeitaufwandes - schadenmindernde Vorkehren hinsichtlich der Art und Weise der Erledigung sowie der Haushaltorganisation und -ausstattung getroffen werden können. Gesundheitliche Einschränkungen kommen dadurch vielfach weniger stark zum Tragen (Urteil I 595/03 vom 30. Juli 2004 E. 3.2.1). Angesichts der zutreffenden Berechnung des kantonalen Gerichts, wonach bei Zugrundelegung einer Arbeitsfähigkeit von 30 Prozent im erwerblichen Bereich ein Gesamtinvaliditätsgrad von 39 Prozent resultiert, wird aber ohne Weiteres klar, dass unter Berücksichtigung der von den therapierenden Fachpersonen geschilderten aktuellen gesundheitlichen Verfassung der Beschwerdeführerin auch im Aufgabenbereich Haushalt jedenfalls ein Gesamtinvaliditätsgrad von 40 Prozent ausgewiesen ist.
Die Beschwerdeführerin hat somit Anspruch auf eine Viertelsrente.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt die IV-Stelle die Gerichtskosten (<ref-law>). Ausserdem hat sie der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht ist demzufolge gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. Februar 2010 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 16. Januar 2009 werden dahingehend abgeändert, dass der Beschwerdeführerin mit Wirkung ab März 2009 eine Viertelsrente zusteht.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle des Kantons Zürich auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hat die Gerichtskosten und die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren neu festzusetzen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. August 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub