Sachverhalt:
A. K._, geboren 1958, war als Hilfsarbeiter bei der Firma X._ angestellt und bei der Schweiz. Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch für Berufs- und Nichtberufsunfälle sowie Berufskrankheiten versichert. Im Dezember 1989 verunfallte er mit dem eigenen Personenwagen im ehemaligen Jugoslawien und zog sich dabei eine Kopfverletzung zu. Am 26. Juli 1990 wurde im Kantonsspital Y._ eine Exhärese des Nervus frontalis rechts durchgeführt. Am 30. Januar 1991 stellte die SUVA die Versicherungsleistungen (Heilbehandlung, Taggeld) ein.
Im März/April 2001 suchte K._ gestützt auf Arztberichte, welche eine posttraumatische Epilepsie erwähnten, erneut um Versicherungsleistungen nach. Die SUVA holte beim Schweiz. Epilepsie-Zentrum EPI ein Gutachten ein und lehnte einen Leistungsanspruch mit der Begründung ab, dass die Beschwerden psychischer Natur seien und nicht in einem rechtserheblichen (adäquaten) Kausalzusammenhang mit dem versicherten Unfall stünden (Verfügung vom 17. Dezember 2002). Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 28. März 2003 fest. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit Entscheid vom 3. Juli 2003 ab. Auf eine weitere Eingabe vom 28. Dezember 2003 trat das Gericht nicht ein (Entscheid vom 9. März 2004).
Am 6. Februar 2006 liess K._ die SUVA um Revision bzw. Wiedererwägung u.a. des Einspracheentscheids vom 28. März 2003 ersuchen, nachdem ihm die IV-Stelle für Versicherte im Ausland mit Wirkung ab 1. Oktober 2005 eine ganze Rente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 100 % zugesprochen hatte (Verfügung vom 24. November 2005). Unter Hinweis auf die in Rechtskraft erwachsenen kantonalen Entscheide trat die SUVA auf das Begehren mit Verfügung vom 16. März 2006 nicht ein. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie ab, soweit sie darauf eintrat (Einspracheentscheid vom 8. Juni 2006).
B. Die von K._ eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden einschliesslich des Begehrens um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Einsprache- und das Beschwerdeverfahren ab (Entscheid vom 10. Oktober 2006).
C. Mit Beschwerde an das Bundesgericht lässt K._ sinngemäss beantragen, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids seien die Verfügungen und Einspracheentscheide der SUVA revisions- bzw. wiedererwägungsweise aufzuheben und es sei die SUVA zu verpflichten, ihm aus dem Unfall vom 23. Dezember 1989 weiterhin die gesetzlichen Leistungen, zuzüglich Zins von 5 %, zu erbringen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die SUVA zurückzuweisen oder seien vom Bundesgericht zusätzliche medizinische Abklärungen (namentlich eine neuropsychologische Untersuchung) insbesondere zum adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den bestehenden gesundheitlichen Beeinträchtigungen anzuordnen. Ferner sei ihm für das Verfahren vor der SUVA, dem kantonalen Verwaltungsgericht und dem Bundesgericht die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren.
Die SUVA beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit (BAG) verzichtet auf Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Dieses Gesetz ist auf die nach seinem Inkrafttreten eingeleiteten Verfahren des Bundesgerichts anwendbar, auf ein Beschwerdeverfahren jedoch nur dann, wenn auch der angefochtene Entscheid nach dem Inkrafttreten dieses Gesetzes ergangen ist (<ref-law>). Da der kantonale Gerichtsentscheid vor dem 1. Januar 2007 erlassen wurde, richtet sich das Verfahren nach dem bis 31. Dezember 2006 in Kraft gestandenen Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) vom 16. Dezember 1943 (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. Mit dem angefochtenen Entscheid vom 10. Oktober 2006 hat das kantonale Gericht den Einspracheentscheid vom 8. Juni 2006 bestätigt, mit dem die SUVA ein wiedererwägungs- bzw. revisionsweises Zurückkommen auf die rechtskräftige Ablehnung des Leistungsanspruchs (Einspracheentscheid vom 28. März 2003) und die Gewährung der unentgeltliche Verbeiständung für das Verfügungs- und Einspracheverfahren abgelehnt hat. Im vorliegenden Verfahren ist daher lediglich zu prüfen, ob der Unfallversicherer zu Recht ein Zurückkommen auf den Einspracheentscheid abgelehnt hat. Gegenstand des Verfahrens bildet ferner der Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung.
3. 3.1 Gemäss einem in <ref-law> verankerten allgemeinen Grundsatz des Sozialversicherungsrechts kann der Versicherungsträger auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Dieses Zurückkommen liegt - beim Fehlen eigentlicher Revisionsgründe (vgl. <ref-law>) - im Ermessen des Versicherungsträgers. Es besteht demnach kein gerichtlich durchsetzbarer Anspruch auf Wiedererwägung. Verfügungen, mit denen das Eintreten auf ein Wiedererwägungsgesuch abgelehnt wird, sind grundsätzlich weder beschwerde- noch einspracheweise anfechtbar (<ref-ruling> E. 4.1 S. 52 mit Hinweisen).
3.2 Nachdem die SUVA auf das Wiedererwägungsgesuch vom 6. Februar 2006 nicht eingetreten ist, fehlt es diesbezüglich an einem anfechtbaren Entscheid, weshalb die Vorinstanz in diesem Punkt zu Recht auf die Beschwerde nicht eingetreten ist. Dies auch deshalb, weil der Einspracheentscheid vom 28. März 2003 Gegenstand gerichtlicher Überprüfung gebildet hatte (Entscheide des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 3. Juli 2003 und 9. März 2004) und formell rechtskräftige Verfügungen und Einspracheentscheide nur in Wiedererwägung gezogen werden können, wenn sie nicht Gegenstand materieller richterlicher Beurteilung waren (<ref-ruling> E. 2c S. 469 mit Hinweisen).
4. 4.1 Gemäss <ref-law> müssen formell rechtskräftige Verfügungen und Einspracheentscheide in Revision gezogen werden, wenn die versicherte Person oder der Versicherungsträger nach deren Erlass erhebliche neue Tatsachen entdeckt oder Beweismittel auffindet, deren Beibringung zuvor nicht möglich war. Als neu gelten nach der sinngemäss anwendbaren Rechtsprechung zur Revision von Gerichtsentscheiden (Art. 137 lit. b OG) Tatsachen, welche sich zwar vor Erlass der formell rechtskräftigen Verfügung oder des Einspracheentscheids verwirklicht haben, dem Gesuchsteller trotz hinreichender Sorgfalt jedoch nicht bekannt waren. Die Tatsachen müssen zudem entscheidend sein, d.h. sie müssen geeignet sein, die tatbeständliche Grundlage der Verfügung oder des Einspracheentscheids zu verändern und bei zutreffender Würdigung zu einer anderen Entscheidung zu führen. Neue Beweismittel haben entweder dem Beweis der die Revision begründenden neuen entscheidenden Tatsachen oder dem Beweis von Tatsachen zu dienen, die zwar bekannt gewesen, zum Nachteil des Gesuchstellers aber unbewiesen geblieben sind. Sollen bereits vorgebrachte Tatsachen mit neuen Mitteln bewiesen werden, hat der Gesuchsteller auch darzutun, dass er die Beweismittel im früheren Verfahren nicht beibringen konnte. Entscheidend ist ein neues Beweismittel, wenn anzunehmen ist, es hätte zu einem andern Entscheid geführt, wenn hievon bereits im Verfügungs- oder Einspracheverfahren Kenntnis bestanden hätte. Ausschlaggebend ist, dass das Beweismittel nicht bloss der Sachverhaltswürdigung, sondern der Sachverhaltsfeststellung dient. Es genügt daher nicht, dass ein neues Gutachten den Sachverhalt anders wertet; vielmehr bedarf es neuer Elemente tatsächlicher Natur, welche die Entscheidungsgrundlagen als objektiv mangelhaft erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 5b S. 358 mit Hinweisen; Kieser, ATSG-Kommentar, N 10 ff. zu Art. 53).
4.2 Im Hinblick darauf, dass der Einspracheentscheid vom 28. März 2003 Gegenstand gerichtlicher Überprüfung gebildet hatte, ist nicht zu beanstanden, dass die SUVA auf das Revisionsgesuch nicht eingetreten ist (vgl. auch <ref-ruling> E. 2b S. 121 sowie Kieser, a.a.O., N 15 zu Art. 53). Darüber hinaus hat die SUVA das Vorliegen eines Revisionsgrundes zu Recht verneint. Es kann diesbezüglich auf die Erwägungen im Urteil gleichen Datums betreffend das Revisionsgesuch gegen die kantonalen Entscheide vom 3. Juli 2003 und 9. März 2004 verwiesen werden (U 23/07).
5. 5.1 Zu bestätigen ist der kantonale Entscheid auch, soweit damit die Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltliche Verbeiständung für das Verfügungs- und Einspracheverfahren und das Begehren um unentgeltliche Verbeiständung im Beschwerdeverfahren abgewiesen wurden. Sowohl im Verwaltungsverfahren (<ref-law>) als auch im Beschwerdeverfahren (<ref-law>) setzt der Anspruch u.a. voraus, dass das Verfahren nicht als aussichtslos erscheint. Als aussichtslos sind nach der Rechtsprechung zu Art. 4 aBV und Art. 152 OG Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und praktisch auszuschliessen ist, dass ihnen auch nur teilweise entsprochen werden kann (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 mit Hinweisen). Diese Regeln sind auch im Rahmen von <ref-law> und Art. 61 lit. f. ATSG anwendbar (<ref-ruling> E. 4.1 S. 201; Kieser, a.a.O., N 21 zu Art. 37, N 90 zu Art. 61). Wenn die Vorinstanz die Begehren im Lichte dieser Rechtsprechung als aussichtslos beurteilt hat, so verstösst dies nicht gegen Bundesrecht.
5.2 Wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerdebegehren kann dem Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung auch für das letztinstanzliche Verfahren nicht entsprochen werden (Art. 152 Abs. 2 OG; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135, 128 I 225 E. 2.5.3 S. 236 mit Hinweis).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Begehren um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 2. Kammer als Versicherungsgericht, und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 6. September 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: