Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Das Appellationsgericht Basel-Stadt stellte mit Verfügung vom 20. März 2015 ein Verfahren gegen den Beschwerdeführer wegen Verjährung und ohne Kosten ein. Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, das Appellationsgericht solle ihm die korrekten Unterlagen zustellen und einen Entscheid über seine Entschädigungsforderung treffen.
Nachdem das Verfahren gegen den Beschwerdeführer wegen Verjährung eingestellt wurde, hat er zur Hauptsache kein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids. Insoweit ist er zum vorliegenden Rechtsmittel nicht legitimiert (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer reicht im Übrigen selber ein Schreiben der Vorinstanz vom 25. März 2015 ein, wonach er "im Nachtrag zur Verfügung vom 20. März 2015 die vergessen gegangenen Eingaben des Strafgerichts" erhalte. Seine Behauptung, diese Sendung sei immer noch unvollständig gewesen, vermag er nicht zu belegen.
In Bezug auf die Entschädigung macht der Beschwerdeführer "Kosten der Wohnsitzbescheinigung sowie den Aufwand zur Besorgung dieser Wohnsitzbescheinigung" geltend. Was es mit dieser Bescheinigung auf sich hat, erklärt er nicht. In diesem Punkt genügt die Eingabe den Anforderungen von <ref-law> nicht.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Statthalterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Mai 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Monn