Faits:
A. L'Aéroport International de Genève (ci-après: l'AIG) est un établissement de droit public autonome jouissant de la personnalité juridique. Il est organisé selon la loi cantonale genevoise sur l'Aéroport International de Genève du 10 juin 1993 (LAIG; RS-GE H 3 25). Selon l'art. 4 du statut du personnel de l'AIG (ci-après: le statut du personnel), tous les membres du personnel sont liés à l'AIG par des rapports de droit public.
Le Syndicat suisse des services publics (SSP/VPOD; ci-après: le syndicat) est une association qui regroupe le personnel des administrations, institutions et entreprises communales, cantonales et fédérales, ainsi que des entreprises et institutions mixtes et privées d'utilité publique. Il est organisé en régions dont celle de Genève, laquelle est composée de groupes. Les collaborateurs de l'AIG qui sont membres du syndicat font partie du groupe AIG.
Le 13 octobre 2006, le Conseil d'administration de l'AIG a adopté un règlement sur la gestion du temps de travail pour le personnel de l'AIG (ci-après: le RTT), dont l'entrée en vigueur a été fixée au 1er janvier 2007. Selon l'art. 44 al. 2 RTT, applicable aux membres du personnel n'exerçant pas un travail continu, ceux-ci bénéficiaient en principe d'au moins 26 dimanches de congé par année civile, vacances comprises. La même règle valait également pour les membres du personnel exerçant un travail continu (art. 51 al. 1 RTT).
Le 15 février 2007, la direction de l'AIG s'est adressée au Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) afin notamment d'obtenir des précisions quant à l'interprétation de certaines dispositions du RTT au regard de la loi fédérale sur le travail dans l'industrie, l'artisanat et le commerce (loi sur le travail; LTr) et de ses ordonnances d'application, les ordonnances 1 (OLT1) et 2 (OLT2) relatives à la loi sur le travail du 10 mai 2000. En particulier, la demande portait sur l'interprétation de l'art. 12 al. 1 OLT2 - applicable au personnel au sol du secteur de la navigation aérienne (art. 47 al. 1 OLT2) -, selon lequel le travailleur bénéficie d'au moins 26 dimanches de congé par année civile (1ère phrase). A cet égard, la direction de l'AIG était d'avis que les 26 dimanches de congé par année civile comprenaient les dimanches coïncidant avec les vacances des travailleurs.
Par courrier du 13 avril 2007, le seco a confirmé l'interprétation de l'art. 12 al. 1 OLT2 exposée par l'AIG.
Le 29 août 2008, le syndicat a déposé une plainte devant l'Office cantonal de l'inspection et des relations du travail du canton de Genève (ci-après: l'OCIRT) en sa qualité d'autorité cantonale chargée de l'exécution de la LTr et de ses ordonnances d'exécution. Il concluait à ce que l'OCIRT ordonne à l'AIG de modifier le RTT en ce sens qu'en principe, les membres du personnel bénéficient d'au moins 26 dimanches de congé par année civile, vacances non comprises (art. 44 al. 2 RTT), la même règle s'appliquant également aux collaborateurs visés à l'art. 51 al. 1 RTT.
Invité à se déterminer sur cette dénonciation, l'AIG a invité le seco à prendre position sur le mode de calcul du nombre de dimanches de congé par année civile auxquels ont droit les membres du personnel de l'AIG.
Le seco s'est déterminé le 7 novembre 2008. D'une part, il est revenu sur son opinion exprimée dans sa lettre adressée à l'AIG le 13 avril 2007, en ce sens que selon lui, les 26 dimanches de congé par année civile auxquels ont droit les travailleurs ne comprenaient pas les dimanches coïncidant avec les vacances. D'autre part, il était d'avis que, pour connaître le nombre de dimanches de congé dus en plus des dimanches coïncidant avec les vacances, il y avait lieu de faire un calcul au prorata du nombre de semaines de travail effectif durant l'année civile. La formule proposée pour fixer le nombre total de dimanches de congé (nbD) était la suivante:
26 dimanches de congé x semaines travaillées* + dim. de vacances= nbD
52 semaines
(* = 52 semaines - vacances)
Par décision du 16 décembre 2008, l'OCIRT a ordonné à l'AIG de corriger les art. 44 al. 2 et 51 al. 1 RTT dans le sens des prescriptions légales et de lui soumettre le RTT modifié pour approbation. Il a considéré que les dimanches coïncidant avec les vacances devaient être ajoutés aux 26 dimanches de congé selon la formule de calcul suivante:
26 dimanches + dimanches de vacances = nbD
B. L'AIG et le syndicat ont recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif du canton de Genève.
Par une nouvelle décision du 25 février 2009, l'OCIRT a annulé sa décision précédente du 16 décembre 2008 et ordonné à l'AIG de corriger les art. 44 al. 2 et 51 al. 1 RTT dans le sens des prescriptions légales, telles qu'exposées et explicitées dans les considérants, et de lui soumettre le RTT modifié pour approbation. Il a considéré que les dimanches coïncidant avec les vacances des membres du personnel ne devaient pas être portés au compte des dimanches de congé légaux. En outre, pour connaître le nombre des dimanches de congé légaux, il fallait effectuer un calcul au prorata des semaines de travail effectif durant l'année civile selon la formule suivante:
26 dimanches de congé x semaines travaillées* + dim. de vacances= nbD
52 semaines
*) 52 semaines - vacances
Le syndicat et l'AIG ont retiré leurs recours contre la décision du 16 décembre 2008. En revanche, le syndicat a recouru contre la nouvelle décision du 25 février 2009 en demandant son annulation. Il concluait à ce que le tribunal administratif ordonne à l'AIG de modifier les art. 44 al. 2 et 51 al. 1 RTT en ce sens que le membre du personnel bénéficie d'au moins 26 dimanches de congé par année civile, vacances non comprises.
Par jugement du 26 janvier 2010, la juridiction cantonale a rejeté le recours dont elle était saisie.
C. Le syndicat interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement dont il demande l'annulation, sous suite de frais et dépens. Principalement, il conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement motivé. Subsidiairement, il prend les conclusions suivantes:
Dire et constater que les 26 dimanches de congé visés par l'art. 12 OLT2 ne comprennent pas les dimanches intervenant durant les vacances;
Ordonner à l'AIG de modifier le RTT de la manière suivante:
"Le membre du personnel bénéficie d'au moins 26 dimanches de congé par année civile, vacances non comprises" (art. 44 al. 2 RTT);
"Ces périodes de repos doivent inclure au moins 26 dimanches de 06h00 à 16h00, vacances non comprises" (art. 51 al. 1 RTT).
L'AIG conclut à l'irrecevabilité du recours en matière de droit public et au rejet du recours constitutionnel subsidiaire, sous suite de dépens.
De son côté, l'OCIRT propose la confirmation du jugement attaqué et de sa décision du 25 février 2009, sous suite de dépens.

Considérant en droit:
1. En premier lieu, il convient de définir l'objet du litige en procédure fédérale.
1.1 Par sa conclusion au fond, le recourant demande que le Tribunal fédéral constate que les 26 dimanches de congé visés à l'art. 12 OLT2 ne comprennent pas les dimanches coïncidant avec les vacances et qu'il ordonne à l'AIG de modifier les art. 44 al. 2 et 51 al. 1 RTT en ce sens que les membres du personnel bénéficient d'au moins 26 dimanches de congé par année civile, vacances non comprises. Cela étant, il reprend la même conclusion qu'il avait formulée dans sa plainte à l'OCIRT, le 29 août 2008. Or, sur ce point, cet office lui a pleinement donné raison par sa décision du 25 février 2009, puisqu'il a ordonné à l'AIG de modifier les dispositions en cause du RTT, en ce sens que les dimanches qui coïncident avec les vacances des membres du personnel ne devaient pas être portés au compte des dimanches de congé légaux. La juridiction cantonale a confirmé cette manière de voir par le jugement attaqué et l'AIG indique dans sa réponse aux recours que les art. 44 al. 2 et 51 al. 1 RTT ont été depuis lors modifiés conformément à l'ordre de l'OCIRT. Ces dispositions, qui ont été approuvées par l'OCIRT, ont désormais la teneur suivante:
En principe, le membre du personnel bénéficie d'au moins 26 dimanches de congé par année civile, vacances non comprises (art. 44 al. 2 RTT); les périodes de repos (des membres du personnel exerçant un travail continu) doivent inclure au moins 26 dimanches de 06h00 à 16h00, vacances non comprises (art. 51 al. 1, 3ème phrase, RTT).
Cela étant, le litige ne porte plus sur le RTT, en particulier sur la teneur de ses art. 44 al. 2 et 51 al. 1.
1.2 Le litige concerne en revanche le mode de calcul du nombre des dimanches de congé auxquels ont droit les membres du personnel en plus de ceux qui coïncident avec les vacances. Ce point est traité dans les considérants de la décision de l'OCIRT du 25 février 2009, auxquels renvoie son dispositif. Celui-ci contient en effet l'injonction à l'AIG de modifier les dispositions en cause du RTT "dans le sens des prescriptions légales, telles qu'exposées et explicitées dans les considérants". L'OCIRT a considéré, en se fondant sur les déterminations du seco du 7 novembre 2008, que le nombre de dimanches de congé légaux (soit les dimanches ne coïncidant pas avec les vacances) devait être obtenu en effectuant un calcul au prorata du nombre de semaines de travail effectif durant l'année civile. De son côté, le recourant soutient que le nombre de dimanches de congé légaux est de 26 quel que soit le nombre de semaines de travail effectif durant l'année civile. Le litige porte donc sur l'interprétation donnée par l'OCIRT aux art. 44 al. 2 et 51 al. 1 RTT.
2.1 2.1.1 L'art. 89 al. 1 let. c LTF soumet la qualité pour recourir à la condition que l'intéressé ait un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée. L'intérêt digne de protection consiste en l'utilité pratique que l'admission du recours apporterait au recourant, en lui évitant de subir un préjudice de nature économique, idéale, matérielle ou autre que la décision attaquée lui occasionnerait. L'intérêt invoqué ne doit pas être juridiquement protégé mais peut être un intérêt de fait (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 651; cf. aussi <ref-ruling> consid. 6.1 p. 150; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 404 s. et les arrêts cités).
Quant à la qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire, elle est soumise à la condition qu'il existe un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>). Dans les deux cas (recours en matière de droit public et recours constitutionnel subsidiaire), le recourant doit avoir un intérêt actuel et pratique à son recours (ATF 2C_823/2009 du 19 octobre 2010 consid. 1.3.1; arrêt 2C_899/2008 du 18 juin 2009 consid. 1.2, non publié in <ref-ruling>; en ce qui concerne le recours de droit public et le recours de droit administratif sous le régime de l'OJ, cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 286 s.), et cela également lorsqu'il s'agit de personnes, d'organisations et d'autorités auxquelles une loi fédérale accorde un droit de recours (art. 89 al. 2 let. d LTF; cf. ALAIN WURZBURGER, in: Commentaire de la LTF, 2009, n. 43 ad art. 89), comme les associations de travailleurs en vertu de l'art. 58 LTr.
2.1.2 En l'occurrence, le recourant n'a pas un intérêt actuel et pratique à ce que le Tribunal fédéral se prononce sur l'interprétation à donner aux art. 44 al. 2 et 51 al. 1 RTT en l'absence d'un litige concret au sujet du nombre de dimanches de congé auxquels ont droit les membres du personnel de l'AIG au cours de l'année civile. On relèvera que selon l'art. 74 du statut du personnel, en liaison avec l'art. 63 RTT, les litiges individuels relatifs à l'application du RTT sont examinés par la commission de recours du personnel de l'AIG, dont les décisions peuvent être attaquées devant le Tribunal administratif du canton de Genève (art. 75 du statut du personnel).
A défaut d'un intérêt actuel et pratique, le recours en matière de droit public et le recours constitutionnel subsidiaire sont donc irrecevables.
3. 3.1 Quoi qu'il en soit, même à supposer qu'il existe un intérêt actuel pratique au recours en matière de droit public, celui-ci doit être déclaré irrecevable pour un autre motif.
Les parties sont d'accord qu'il s'agit en l'occurrence d'un litige en matière de rapports de travail de droit public. Or, selon l'art. 83 let. g LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de rapports de travail de droit public qui - comme en l'espèce - concernent une contestation non pécuniaire et ne touchent pas à la question de l'égalité des sexes. A cet égard, on ne saurait partager le point de vue du recourant, selon lequel le recours en matière de droit public est recevable en vertu de l'<ref-law> en tant que la contestation soulève une question juridique de principe. En effet, la disposition légale invoquée concerne exclusivement les contestations pécuniaires lorsque la valeur litigieuse est inférieure aux montants déterminants fixés à l'<ref-law>, à savoir 15'000 fr. pour les contestations en matière de rapports de travail de droit public (let. b; cf. ALAIN WURZBURGER, op. cit., n. 93 et 100 ad art. 83). Le Tribunal fédéral ne saurait statuer sur une question juridique de principe si le recours est exclu en vertu de l'art. 83 let. g LTF.
3.2 Quant au recours constitutionnel subsidiaire, il devrait être déclaré mal fondé indépendamment du fait qu'il n'existe pas d'intérêt actuel et pratique au recours.
3.2.1 Le syndicat justifie sa qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire en invoquant l'art. 58 LTr aux termes duquel les associations des employeurs et des travailleurs intéressés ont également qualité pour recourir contre les décisions des autorités cantonales et fédérales.
L'art. 89 al. 2 let. d LTF confère la qualité pour former un recours en matière de droit public à toute organisation à laquelle la législation fédérale accorde expressément le droit de recours, ce qui est le cas des associations d'employeurs ou de travailleurs en vertu de l'art. 58 LTr (en ce qui concerne la qualité de ces associations d'interjeter un recours de droit administratif en vertu de l'ancien art. 103 let. c OJ, cf. BENOÎT BOVAY, in: Commentaire LTr, Geiser/Von Kaenel/Wyler [éd.], Berne 2005, n. 1 ad art. 58), pour autant bien sûr qu'il subsiste un intérêt actuel et pratique (arrêt 2C_570/2009 du 1er mars 2010 consid. 1.1). En revanche, il est douteux que l'art. 58 LTr confère directement à une association d'employeurs ou de travailleurs le droit de former un recours constitutionnel subsidiaire en l'absence d'un droit de recours spécial comparable à l'art. 89 al. 2 let. d LTF. Certes, comme sous le régime du recours de droit public, une association peut être admise à recourir pour défendre les intérêts juridiquement protégés de ses membres par la voie d'un recours constitutionnel subsidiaire. Il s'agit alors d'un recours dit "corporatiste" ou "égoïste" qui est recevable pour autant notamment que l'association ait pour but statutaire la défense des intérêts de ses membres et que ces intérêts soient communs à la majorité ou au moins à un grand nombre d'entre eux (en ce qui concerne le recours en matière de droit public, ATF 1C_17/2010 du 8 septembre 2010 consid. 1.1; pour le recours de droit public, <ref-ruling> consid. 2.1 p. 200; cf. JEAN-MAURICE FRÉSARD, in: Commentaire de la LTF, n. 15 ad art. 115). Il appartient à l'association recourante d'établir que la majorité ou au moins un grand nombre de ses membres est touchée par la décision attaquée, à défaut de quoi le recours est irrecevable (arrêt 2P.36/1996 du 12 novembre 1996 consid. 1d, non publié in <ref-ruling>).
En l'espèce, le recourant est une association au sens des <ref-law>, qui regroupe le personnel des administrations, institutions et entreprises communales, cantonales et fédérales, ainsi que des entreprises et institutions mixtes et privées d'utilité publique. Son but est de sauvegarder et de promouvoir les intérêts professionnels, économiques, sociaux, politiques et culturels du personnel travaillant dans les services publics. Il est notoire que le syndicat est une association présente dans toute la Suisse qui compte plusieurs milliers de membres. Les membres qui sont concernés par le présent litige sont seulement ceux qui travaillent au service de l'AIG. Le recourant n'indique pas combien de personnes sont touchées et rien ne permet de considérer que celles-ci représentent la majorité ou au moins un grand nombre de ses membres.
Cela étant, il est douteux que le recourant ait qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire, que ce soit en vertu de l'art. 58 LTr ou selon les règles applicables au recours dit "corporatiste" ou "égoïste".
3.2.2 Ce point peut toutefois être laissé indécis vu le sort réservé aux griefs sur le fond.
Le recours constitutionnel subsidiaire n'est ouvert que pour se plaindre de la violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'examine que les griefs invoqués et motivés de façon détaillée par la partie recourante (<ref-law> et 106 al. 2 en liaison avec l'<ref-law>); l'auteur du recours doit indiquer quel droit constitutionnel aurait été violé et montrer, par une argumentation circonstanciée, en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 4 p. 47; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 444).
3.2.2.1 Sous l'angle constitutionnel, le recourant se plaint d'abord d'une violation de l'art. 29 al. 2 Cst. en alléguant que le jugement attaqué n'est pas motivé en ce qui concerne le point litigieux.
La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu, consacré à l'art. 29 al. 2 Cst., le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Pour répondre à ces exigences, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision; elle n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les arguments invoqués par les parties (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 236; <ref-ruling> consid. 2b p. 102 s.).
En l'occurrence, le grief du recourant est mal fondé. En effet, le jugement attaqué indique, certes brièvement mais de manière suffisamment claire pour que son destinataire puisse le contester utilement, les motifs pour lesquels il a retenu une interprétation plutôt qu'une autre. Le recourant reproche à la juridiction cantonale de s'être référée uniquement à la logique pour motiver sa solution. On ne voit cependant pas qu'une conclusion fondée sur un raisonnement logique ne satisferait pas à l'exigence de motivation découlant du droit d'être entendu.
3.2.2.2 Le recourant invoque par ailleurs la protection contre l'arbitraire découlant de l'art. 9 Cst., mais il ne démontre pas suffisamment en quoi le jugement attaqué est arbitraire, de sorte que le recours ne satisfait pas aux conditions de motivation posées à l'<ref-law> et 106 al. 2 en liaison avec l'<ref-law>. Ce grief est donc irrecevable.
4. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).
5. L'intimé, qui obtient gain de cause, et l'OCIRT ont conclu au versement d'une indemnité de dépens.
5.1 En règle générale, aucuns dépens ne sont alloués à la Confédération, aux cantons, aux communes ou aux organisations chargées de tâches de droit public lorsqu'ils obtiennent gain de cause dans l'exercice de leurs attributions officielles (<ref-law>). L'<ref-law> s'applique également dans le domaine de la fonction publique, selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral (DTA 2009 p. 311, 8C_340/2009 consid. 5; arrêts 8C_283/2010 du 20 mai 2010 consid. 6, 8C_952/2009 du 18 mai 2010 consid. 4, 8D_3/2009 du 23 mars 2010 consid. 5, 8D_7/2009 du 10 mars 2010 consid. 4, 8D_4/2009 du 3 mars 2010 consid. 8, 8C_356/2009 du 20 février 2010 consid. 5, 1C_88/2007 du 26 novembre 2008 consid. 3, 1C_142/2007 du 13 septembre 2007 consid. 9). Peu importe que l'entité publique ait ou non recouru aux services d'un avocat ou qu'elle ait agi par son propre service juridique.
Cela étant, l'OCIRT n'a pas droit à des dépens.
5.2 Dans l'<ref-ruling>, le Tribunal fédéral a jugé que la collectivité qui est touchée dans son intérêt patrimonial en tant qu'employeur n'est pas dispensée des frais judiciaires. Elle ne bénéficie donc pas de l'exonération de l'<ref-law> prévue pour les collectivités publiques et les organisations chargées de tâches de droit public. Comme le souligne CORBOZ (op. cit., no 28 ad <ref-law>), l'absence de droit aux dépens (selon <ref-law>) n'est pas la contrepartie de l'exonération des frais prévue à l'<ref-law> : il n'y a pas de lien véritable entre les deux règles et l'<ref-law> procède bien plutôt de la volonté de ne pas dissuader le justiciable de recourir contre des décisions étatiques, par crainte du risque de devoir supporter des dépens. Peu importe que l'entité publique ait ou non un intérêt patrimonial à la cause. Ainsi, une entité publique qui n'est pas dispensée des frais judiciaires, en raison de son intérêt patrimonial au litige, ne peut en principe obtenir des dépens; ce qui est décisif c'est qu'elle agisse dans le cadre de ses attributions officielles (arrêt 8C_151/2010 du 31 août 2010 consid. 6.2; THOMAS GEISER, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, n°19 ss ad <ref-law>; CORBOZ, ibidem). C'est le cas de l'intimé. Dans le cas particulier, il n'y a pas lieu de s'écarter de la règle générale susmentionnée. L'intimé n'indique d'ailleurs aucune circonstance qui justifierait une exception. Sa prétention à des dépens doit ainsi être écartée.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public est irrecevable.
2. En tant qu'il est recevable, le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal administratif du canton de Genève.
Lucerne, le 7 décembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd