Erwägungen:
1. Das Haftgericht des Kantons Solothurn hiess mit Urteil vom 13. Februar 2009 den Antrag der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn gut und ordnete gegen X._ die Untersuchungshaft für drei Monate an, d.h. vom 9. Februar 2009 bis am 8. Mai 2009. Der dringende Tatverdacht betreffend Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz sei gegeben und es liege Fortsetzungsgefahr vor. Gegen dieses Urteil führt X._ mit Eingabe vom 9. März 2009 Beschwerde in Strafsachen.
2. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn beantragte in ihrer Vernehmlassung vom 18. März 2009 die Abweisung der Beschwerde. Gleichzeitig teilte sie dem Bundesgericht mit, dass die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt den Gerichtsstandt Basel-Stadt zur Verfolgung und Beurteilung von X._ betreffend das solothurnische Verfahren anerkannt hat. Die Zuführung des Beschuldigten an den Kanton Basel-Stadt werde nicht verlangt und X._ sei aus der Untersuchungshaft entlassen worden.
3. Mit Schreiben vom 25. März 2009 ersuchte das Bundesgericht die Parteien, sich zur Frage der Gegenstandslosigkeit und der Kostenregelung zu äussern; die Beschwerde sei durch die Haftentlassung wohl gegenstandslos geworden. Das Haftgericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn liessen sich dazu nicht vernehmen. Der Beschwerdeführer stellt den Antrag, das Verfahren sei als gegenstandslos geworden abzuschreiben. Er beantragt eine Parteientschädigung.
4. Mit der am 18. März 2009 erfolgten Haftentlassung des Beschwerdeführers ist die vorliegende Beschwerde gegen das Urteil des Haftgerichts des Kantons Solothurn gegenstandslos geworden. Wird ein Rechtsstreit gegenstandslos oder fällt er mangels rechtlichen Interesses dahin, entscheidet das Bundesgericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrunds (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen. Lässt sich dieser nicht feststellen, so sind allgemeine prozessrechtliche Kriterien heranzuziehen: Danach wird jene Partei kosten- und entschädigungspflichtig, welche das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst hat oder in welcher die Gründe eingetreten sind, die dazu geführt haben, dass der Prozess gegenstandslos geworden ist (vgl. <ref-ruling> E. 4a).
Im vorliegenden Fall legte die Staatsanwaltschaft nicht dar, aus welchem Grund der Beschwerdeführer am 18. März 2009 aus der Untersuchungshaft entlassen worden ist. Ohne genaue Kenntnis des Haftentlassungsgrundes lässt sich der mutmassliche Prozessausgang nicht feststellen. Nach dem oben Ausgeführten wird der Kanton Solothurn grundsätzlich kostenpflichtig. Somit hat der Kanton Solothurn dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Kosten sind bei diesem Ausgang des Verfahrens keine zu erheben (<ref-law>).

Demnach verfügt der Präsident:
1. Die Beschwerde im Verfahren 1B_68/2009 wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Solothurn hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4. Diese Verfügung wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und dem Haftgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Mai 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli