Faits:
A.
A.a. Médecin psychiatre de profession, C._ a travaillé en tant que chef de clinique adjoint pour le compte de l'Hôpital X._. Souffrant de troubles lombaires, il s'est adressé à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) qui l'a mis au bénéfice d'une rente entière fondée sur un degré d'invalidité de 90 % à compter du 1er mai 2002 (décision du 25 novembre 2002). Cette prestation a été supprimée par décision du 1er mai 2006, l'assuré ayant progressivement recouvré une capacité de travail de 80 % en tant que psychiatre indépendant.
A.b. Le 29 août 2007, C._ a demandé le réexamen de son droit à des prestations en raison d'une aggravation de son état de santé. Par décision du 11 août 2008, l'office AI l'a mis au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité à partir du 1er juin 2007 compte tenu d'un taux d'invalidité de 50 %. L'assuré ne s'est pas opposé à cette décision.
A.c. Le 2 décembre 2008, C._ a transmis à l'office AI un questionnaire tendant à l'augmentation de sa rente d'invalidité compte tenu d'une importante diminution de la mobilité. Après avoir recueilli l'avis des médecins traitants et celui de son Service médical régional (SMR), l'office AI a informé l'assuré que la mise en place d'une expertise pluridisciplinaire s'avérait nécessaire. Celle-ci devait être effectuée par le Centre d'observation médicale de l'assurance-invalidité de Y._. L'assuré a refusé de se soumettre à cette mesure. Il a produit une attestation médicale du 15 novembre 2010 cosignée par les docteurs D._, spécialiste FMH en médecine générale, O._, spécialiste FMH en rhumatologie auprès de l'Hopital Z._, F._, spécialiste FMH en anesthésie et antalgie auprès de Z._, B._, spécialiste FMH en pneumologie, R._, spécialiste FMH en neurologie et G._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, et les professeurs A._, spécialiste FMH en endocrinologie, U._, spécialiste FMH en néphrologie et hypertension auprès de Z._ et E._, chef de service auprès du Département de médecine interne de Z._, faisant état d'une capacité de travail résiduelle de 25 %. Par projet de décision du 17 février 2011, l'office AI a informé l'assuré qu'il comptait rejeter sa demande. Il lui a imparti un délai de trente jours pour revenir sur son refus de se soumettre à une expertise médicale en l'avertissant qu'à défaut son droit à une demi-rente d'invalidité serait maintenu. Malgré les objections formulées par l'assuré à l'encontre de ce projet et la production d'un nouveau rapport du 21 mars 2011 cosigné par les auteurs de l'attestation du 15 novembre 2010, l'office AI a, par décision du 19 avril 2011, confirmé le maintien du droit à une demi-rente d'invalidité.
B.
C._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, qui l'a débouté par jugement du 3 juin 2013.
C.
C._ interjette un "recours en matière de droit public et constitutionnel subsidiaire" contre ce jugement, dont il demande, sous suite de frais et dépens, principalement la réforme en ce sens qu'il est mis au bénéfice d'une rente d'invalidité entière dès le 1er décembre 2008. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision et/ou décision "dans le sens des considérants".

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité d'un degré supérieur à une demi-rente, respectivement sur le point de savoir si l'intimé était fondé à nier le droit du recourant à une augmentation de sa rente d'invalidité compte tenu du refus de celui-ci de se soumettre à une expertise médicale. Le jugement entrepris expose correctement les règles légales sur les notions d'incapacité de gain (art. 7 al. 1 et 2 LPGA) et d'invalidité (<ref-law> et <ref-law>), ainsi que les règles et principes jurisprudentiels en matière de révision du droit à la rente (<ref-law>) et relatifs à la valeur probante d'un rapport médical (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232, 133 V 450 consid. 11.1.3 p. 469, 125 V 351 consid. 3a p. 352). On peut ainsi y renvoyer.
On rappellera que conformément à son devoir de collaborer, l'assuré a l'obligation de se soumettre aux examens médicaux ou techniques qui se révèlent nécessaires à l'appréciation du cas et qui peuvent être raisonnablement exigés (<ref-law> en corrélation avec l'<ref-law>). Si l'assuré ou d'autres requérants refusent de manière inexcusable de se conformer à leur obligation de renseigner ou de collaborer à l'instruction, l'assureur peut se prononcer en l'état du dossier ou clore l'instruction et décider de ne pas entrer en matière. Il doit leur avoir adressé une mise en demeure écrite les avertissant des conséquences juridiques et leur impartissant un délai de réflexion convenable (<ref-law>). Le cas échéant, l'assureur pourra rejeter la demande présentée par l'intéressé en considérant que les faits dont celui-ci entend tirer un droit ne sont pas démontrés (cf. <ref-ruling> consid. 3b p. 264 et les références).
3.
Examinant tout d'abord les rapports des médecins traitants, les premiers juges ont retenu que ceux-ci ne permettaient pas de prendre clairement position quant à l'évolution de la situation médicale du recourant depuis la précédente décision du 11 août 2008. Il persistait, en particulier, une divergence d'opinion entre l'appréciation du docteur O._ résultant de ses rapports des 27 novembre 2008 et 25 mai 2009, faisant état d'une capacité de travail résiduelle de 50 % et celle des médecins traitants attestant une incapacité de travail de 75 % (cf. rapports des 15 novembre 2010 et 21 mars 2011), qu'on ne pouvait expliquer en l'état du dossier. Toujours selon les constatations des premiers juges, ces incertitudes méritaient d'être éclaircies par le biais d'une expertise médicale. En l'absence d'autre document permettant de se prononcer en toute connaissance de cause sur le droit litigieux, la juridiction cantonale est donc parvenue à la conclusion que le dossier n'était pas suffisamment instruit et que l'expertise médicale, telle que voulue par l'intimé, s'avérait justifiée. Les premiers juges ont considéré que cette mesure d'instruction avait été refusée de manière inexcusable par le recourant, lequel ne pouvait se retrancher derrière les qualifications de ses médecins traitants pour s'opposer à cette mesure. En ce qui concerne les exigences formelles de l'<ref-law>, l'autorité cantonale de recours a retenu que le comportement de l'intimé échappait à la critique, dès lors que dans son projet de décision du 17 février 2011, celui-ci avait prévenu l'assuré des conséquences juridiques s'il persistait dans son refus de se soumettre à la mesure d'instruction requise et lui avait imparti un délai de réflexion de trente jours pour revenir sur sa décision. Cela étant, les premiers juges ont indiqué qu'en l'état du dossier, ils ne pouvaient que maintenir le droit du recourant à une demi-rente d'invalidité.
4.
4.1. Par son argumentation, le recourant ne parvient pas à démontrer le caractère manifestement inexacte, voire arbitraire, des constatations des premiers juges selon lesquelles les rapports médicaux figurant au dossier ne permettaient pas de se prononcer en toute connaissance de cause sur le droit litigieux. Comme l'a relevé à juste titre la juridiction cantonale, les médecins traitants ont formulé leurs constatations de manière très générale, faisant certes état de "lésions graves et handicapantes, entraînant [des] limitations fonctionnelles" établies "en accord avec les exigences de la LPGA", mais ne précisant pas quel était l'impact respectif des différentes atteintes sur la capacité de travail, respectivement sur les limitations fonctionnelles. Ils n'expliquent par exemple pas en quoi les limitations fonctionnelles retenues par le docteur N._ du SMR lors de la précédente procédure administrative (cf. rapports des 30 janvier 2008 et 18 juillet 2008) se seraient aggravées. Le rapport du docteur D._ annexé à l'attestation médicale du 15 novembre 2010 n'apporte pas l'éclairage attendu. En ce qui concerne l'attestation du 21 mars 2011, il n'y a pas lieu de s'écarter de l'appréciation des premiers juges selon laquelle celle-ci ne permettait pas davantage de conclure à une aggravation de l'état de santé au point de rendre l'exercice de l'activité habituelle inexigible à un taux supérieur à 25 %. On constate, en effet, à la suite des premiers juges que ce rapport ne contient aucune explication concrète et objective à ce sujet.
Contrairement à ce que soutient le recourant, le fait que ce ne soit que grâce à une "médication radicale" qu'il a pu poursuivre son activité professionnelle à un taux se rapprochant de 50 % n'est pas décisif; les premiers juges ont, en effet, expressément indiqué - en s'écartant sur ce point de la motivation retenue par l'intimé - que le décompte des heures travaillées - lequel faisait apparaître un taux d'activité se rapprochant de 50 % -, ne saurait, à lui seul, remplacer les constatations objectives d'un expert médical neutre pour fixer le taux de capacité de travail résiduelle dans le cadre de la présente procédure. En l'espèce, il n'est pas non plus besoin d'élucider le point de savoir si l'activité que le recourant poursuivait au sein de son cabinet médical ne concernait que les consultations, sans les tâches administratives, ou les deux aspects de la profession, étant précisé que cette distinction ne ressort pas des rapports médicaux invoqués.
4.2. L'argumentation du recourant, selon laquelle le dossier médical ne contiendrait pas d'opinion contraire à celle de ses médecins traitants, ne peut pas non plus être suivie. S'il est vrai que l'opinion du docteur T._, spécialiste FMH en chirurgie et chirurgie d'urgence et médecin conseil de l'institution de prévoyance de l'ancien employeur à laquelle était affilié l'assuré, jugée minoritaire par les premiers juges a été écartée, le dossier médical comportait, en revanche, au moins une opinion divergente quant au degré de capacité de travail résiduelle à retenir que l'état du dossier ne permettait pas d'expliquer (cf. jugement entrepris p. 38 et supra consid. 3). Il n'y a, par ailleurs, pas lieu de s'écarter des constatations (implicites) de la juridiction cantonale selon lesquelles seule une expertise médicale permettait en l'état du dossier de lever les doutes persistants quant au taux d'incapacité de travail exigible. Quoi qu'en dise le recourant, il n'existe, en l'occurrence, aucune certitude qu'un complément d'instruction auprès des médecins traitants, qui ont pour certains eu l'occasion de s'exprimer à plusieurs reprises, aurait permis d'établir au degré de vraisemblance prépondérante l'existence d'une modification notable des circonstances propre à influencer de façon négative sa capacité de travail et de gain résiduelles telles que fixées lors de la décision du 11 août 2008. A ce stade de la procédure, on ne peut dès lors pas raisonnablement reprocher à l'intimé de ne pas avoir invité les médecins traitants à se prononcer une dernière fois avant de rendre sa décision.
4.3. Contrairement à ce qui a été retenu par la juridiction cantonale, le recourant conteste le fait que l'intimé a respecté les conditions formelles de l'<ref-law>. Selon lui, la mise en demeure écrite aurait dû intervenir avant le projet de décision du 17 février 2011. Ce point de vue ne peut être suivi. Il ressort tout d'abord des constatations de la juridiction cantonale que le recourant avait déjà été averti, le 6 août 2010 (soit plus de six mois avant que le projet de décision du 17 février 2011 ne soit rendu) des conséquences juridiques s'il persistait dans son refus de se soumettre à la mesure sollicitée. En outre, le projet de décision ne doit pas être confondu avec la décision qui met fin à la procédure administrative, qui - contrairement au projet de décision - constitue une décision au sens de l'<ref-law> (cf. arrêt 9C_115/2007 du 22 janvier 2008 consid. 5.2 et les références citées). Ainsi, si le recourant - qui a au demeurant disposé du temps nécessaire entre le projet de décision rendu le 17 février 2011 et la décision administrative sujette à recours du 19 avril 2011 pour revenir sur son refus - avait finalement décidé de se soumettre à l'expertise, l'intimé en aurait tenu compte dans sa décision finale.
4.4. Il s'ensuit que le recours se révèle mal fondé et doit être rejeté.
5.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant (<ref-law>) qui ne peut prétendre des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 14 octobre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Reichen