Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss <ref-law> gegen den Beschluss vom 15. März 2010 des Obergerichts des Kantons Thurgau, das einen Rekurs des Beschwerdeführers gegen seine erstinstanzliche Verpflichtung zu Kinder- (Fr. 800.--) und Frauenunterhaltsbeiträgen (Fr. 250.--) abgewiesen hat (Eheschutz),

in Erwägung,
dass das Obergericht erwog, das Rekursverfahren werde schriftlich durchgeführt, der Rekurs sei daher schriftlich zu begründen, die Nachreichung einer Rekursbegründung sei nach Ablauf der gesetzlichen Rekursfrist ausgeschlossen, in seiner Rekursschrift erkläre der Beschwerdeführer lediglich sein fehlendes Einverständnis mit dem erstinstanzlichen Entscheid, die erste Instanz sei indessen von den zahlenmässig nicht bestrittenen beidseitigen Einnahmen und Existenzminima ausgegangen und habe auf dieser Grundlage die erwähnten Unterhaltsbeiträge errechnet, der Beschwerdeführer sei zur Leistung von insgesamt Fr. 1'050.-- in der Lage und die Unterhaltsbeiträge seien offensichtlich ebenso korrekt wie deren Aufteilung,
dass die Beschwerde nach Art. 72ff. BGG nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (<ref-law>),
dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 1.4 S. 287),
dass auch Verfassungsrügen in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen sind (<ref-law>), dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287f.),
dass im vorliegenden Fall der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht nach den erwähnten Anforderungen auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass er erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand dieser Erwägungen aufzeigt, inwiefern der Beschluss des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 15. März 2010 verfassungswidrig sein soll, zumal einzig die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte offen stünde (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5 S. 396f.),
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Beschwerde in Anwendung von <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass das nachträgliche Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen ist (<ref-law>),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Mai 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann