Faits :
A.
A._, ressortissant étranger, a déposé une demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) le 3 avril 1998. L'office AI a refusé de lui octroyer une rente (décision du 30 novembre 2000). Le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui: Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud) et le Tribunal fédéral ont rejeté les recours successifs formés par l'assuré (jugement cantonal du 6 décembre 2001 et arrêt I 179/02 du 23 janvier 2003).
L'intéressé a déposé une deuxième demande de prestations le 10 octobre 2003 que l'administration a à nouveau rejetée (décision du 24 mars 2006, confirmée par décision sur opposition du 30 janvier 2008).
L'assuré a fait parvenir une troisième demande à l'office AI le 15 avril 2011. L'administration a rendu une décision le 29 mai 2013, par laquelle elle a nié le droit de l'intéressé à des prestations de l'assurance-invalidité.
B.
A._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal du canton de Vaud qui a admis le recours; il a réformé la décision en ce sens que l'assuré a droit à une rente entière d'invalidité dès le 1 er avril 2011. La juridiction cantonale a également transmis la cause à l'office AI pour le calcul de la rente et des intérêts dus sur les arriérés (jugement du 26 mars 2015).
C.
L'administration interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation; elle conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement. Elle sollicite également l'octroi de l'effet suspensif au recours.
Le tribunal cantonal s'est exprimé sur le recours par écriture du 19 juin 2015. A._ conclut au rejet du recours et de la demande d'effet suspensif, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé.

Considérant en droit :
1.
Bien que selon le dispositif de l'acte entrepris, la cause est transmise à l'office AI pour qu'il calcule le montant de la rente et des intérêts dus sur les arriérés, il ne s'agit pas d'une décision incidente au sens de l'<ref-law> car la juridiction cantonale a statué définitivement sur le droit de l'intimé à une rente d'invalidité (ch. II du dispositif du jugement). Le recours est donc recevable puisqu'il est dirigé contre un jugement final (cf. <ref-law>; arrêt 9C_684/2007 du 27 septembre 2007 consid. 1.1 in SVR 2008 IV n° 39 p. 131).
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public (<ref-law>), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (<ref-law>) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (<ref-law>). Il examine en principe seulement les griefs motivés (<ref-law>) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>).
3.
En instance fédérale, le litige porte uniquement sur la date à laquelle a pris naissance le droit de l'intimé à une rente entière d'invalidité, à savoir au 1 er avril 2011 comme l'a fixé le tribunal cantonal ou au plus tôt le 1 er octobre 2011 comme le prétend l'office recourant.
4.
4.1. La juridiction cantonale a considéré que le droit à la rente avait pris naissance le 1 er avril 2011, en application des art. 88a al. 2 et 88 bis al. 1 let. a RAI. L'atteinte à la santé déterminante remplissait les critères de gravité particulière depuis l'année 2011, de sorte qu'après trois mois, elle permettait d'accroître le droit aux prestations. Le droit à la rente prenait naissance le 1 er avril 2011, soit dès le mois au cours duquel l'assuré avait présenté la demande de prestations ayant conduit à la décision entreprise.
4.2. Invoquant une violation du droit fédéral, l'administration reproche aux premiers juges d'avoir appliqué les art. 88a al. 2 et 88 bis al. 1 let. a RAI. Elle soutient que le début du droit à la rente est survenu au plus tôt le 1 er octobre 2011, en vertu de l'<ref-law>. Elle fait valoir que dans la mesure où aucune rente d'invalidité n'avait été octroyée avant que l'intimé ne fût mis au bénéfice d'une rente entière par la juridiction cantonale, les art. 88a al. 2 et 88 bis al. 1 let. a RAI ne s'appliquaient pas. Selon elle, ces dispositions sont étroitement liées à des cas de révisions de rente alors qu'en l'espèce, il s'agit d'un premier octroi de prestations.
5.
5.1. L'<ref-law> prévoit les effets dans le temps d'une modification du droit aux prestations, si la capacité de gain de l'assuré ou sa capacité d'accomplir les travaux habituels s'est dégradée. Ce changement est déterminant pour l'accroissement du droit aux prestations de l'assuré dès qu'il a duré trois mois sans interruption notable. Selon la jurisprudence, ce délai s'applique, à l'occasion d'une procédure de révision (<ref-law>), dans le cadre d'une modification du droit à une rente précédemment allouée ou lorsqu'une rente échelonnée dans le temps est accordée à titre rétroactif (cf. <ref-ruling> consid. 2d p. 417). Cette disposition ne s'applique pas tant qu'un droit à la rente n'est pas ouvert au regard des conditions de l'<ref-law> (cf. arrêt I 179/01 du 10 décembre 2001 consid. 3b; Meyer/Reichmuth, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 3e éd. 2014, n. 35 ad art. 28).
Quant à l'<ref-law>, il règle le moment à partir duquel la modification en cause prend effet si la révision est demandée par l'assuré. L'augmentation prend effet au plus tôt dès le mois où la demande est présentée.
5.2. L'<ref-law> prévoit les conditions d'octroi de la rente. Entre autres exigences, l'assuré a droit à une rente s'il a présenté une incapacité de travail d'au moins 40 % en moyenne durant une année sans interruption notable (let. b). L'<ref-law> établit le moment où naît le droit à la rente, soit au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations.
Ces dispositions s'appliquent également en cas de nouvelle demande à la suite d'un refus de prestation s. En d'autres termes, lors du dépôt d'une nouvelle demande à la suite d'un premier refus de prestations de l'assurance-invalidité, la naissance du droit à la rente reste subordonnée aux conditions prévues aux art. 28 et 29 LAI (cf. <ref-ruling> consid. 5.3 p. 7 et arrêt 9C_901/2012 du 21 mai 2013 consid. 6).
5.3. En l'espèce, comme le relève l'office recourant, l'intimé ne percevait aucune prestation de l'assurance-invalidité au moment où il a déposé la troisième demande de rente. Par conséquent et contrairement à ce qu'a retenu la juridiction cantonale, l'art. 88 bis al. 1 let. a RAI ne trouve pas application puisqu'il concerne les cas d'augmentation de prestations, ce qui suppose qu'une rente ait déjà été allouée. Or on ne se trouve pas dans le cadre d'une révision de rente, mais bien face à une nouvelle demande faisant suite à une décision précédente de refus de rente. Il s'agit dès lors de faire application de l'<ref-law>. Da ns la mesure où l'assuré a déposé sa demande de prestations le 15 avril 2011, le droit à la rente d'invalidité ne pouvait naître au plus tôt que six mois plus tard, soit à compter du 1 er octobre 2011.
L'argumentation de la juridiction cantonale et de l'intimé n'y change rien. Le fait que la capacité de gain de l'intimé avait baissé par le passé ne joue pas de rôle dès lors qu'elle n'avait pas conduit à l'octroi d'une prestation. Quant à la jurisprudence citée par l'assuré (arrêt 9C_67/2015 du 23 juin 2015 consid. 2.2), elle se rapporte aux états de faits à comparer en cas de nouvelle demande par analogie à la situation en cas de révision, et non pas au moment de la naissance du droit aux prestations.
5.4. En ce qui concerne les conditions de l'<ref-law>, le jugement entrepris ne comprend aucune constatation y relative. Il convient d'office de compléter l'état de fait pertinent (consid. 2 supra) au lieu de renvoyer la cause à l'instance inférieure, puisque le Tribunal fédéral est en mesure de le faire vu le dossier complet à sa disposition. Il ressort des rapports médicaux recueillis par l'administration au cours de la troisième procédure administrative que l'intimé présentait une incapacité de travail dans l'activité exercée avant l'atteinte à la santé en tout cas depuis 2009. Le docteur B._, spécialiste en médecine interne, a fait état d'une situation globale physique catastrophique depuis sa prise en charge en 2009, et attesté une incapacité totale de travail continue depuis lors (rapport du 19 juillet 2011). Aussi, la condition posée par l'<ref-law> était-elle réalisée à l'échéance de la période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations, soit au 1 er octobre 2011. Par conséquent, le droit à la rente entière d'invalidité doit lui être reconnu à partir de cette date.
Le jugement entrepris doit être réformé en ce sens, ce qui conduit à l'admission du recours.
6.
Le présent arrêt rend sans objet la demande d'effet suspensif présentée par l'administration.
7.
Les frais judiciaires sont mis à la charge de l'intimé (<ref-law>).
L'issue du litige n'a en revanche pas d'incidence sur la répartition des frais et dépens de première instance, qui ont été mis à la charge de l'office AI (cf. <ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. Le chiffre II du dispositif du jugement du 26 mars 2015 du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, est réformé en ce sens que l'assuré a droit à une rente entière de l'assurance-invalidité à partir du 1 er octobre 2011. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 18 septembre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
La Greffière : Flury