Sachverhalt:
A. Der 1962 geborene R._, deutscher Staatsangehöriger mit Wohnsitz in X._, war als Mitarbeiter der S._ AG, bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als er am 2. Dezember 2004 auf einer Baustelle der B._ AG, von einem Dach fiel. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Mit Verfügung vom 21. November 2008 und Einspracheentscheid vom 21. April 2009 sprach die Anstalt dem Versicherten für die Restfolgen des Unfalles eine (Komplementär-)Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 100 % und einem versicherten Jahresverdienst von Fr. 3'420.- und eine Integritätsentschädigung - vorerst für die Hörstörung - aufgrund einer Integritätseinbusse von 10 % zu. Bei der Berechnung des versicherten Verdienstes ging die SUVA davon aus, der Einsatzvertrag des Versicherten sei auf drei Wochen befristet gewesen.
B. Die von R._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 10. Februar 2010 in dem Sinne teilweise gut, als es den Einspracheentscheid der SUVA aufhob und die Sache zur Neuberechnung des versicherten Verdienstes im Sinne der Erwägungen an die Versicherung zurückwies. Dabei erwog das kantonale Gericht, der Einsatzvertrag des Versicherten sei auf drei Monate befristet gewesen.
C. Mit Beschwerde beantragt die SUVA die Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides.
Während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet, beantragt R._ die Abweisung der Beschwerde; die SUVA sei zu verpflichten, die Leistungen unter Zugrundelegung eines unbefristeten Arbeitsverhältnisses auszurichten. Gleichzeitig stellt R._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
D. Im Rahmen des ihnen vom Bundesgericht gewährten rechtlichen Gehörs haben sowohl die SUVA als auch R._ Stellung genommen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet weiterhin auf eine Vernehmlassung.
E. Das Bundesgericht hat am 15. Dezember 2011 eine publikumsöffentliche Beratung durchgeführt.

Erwägungen:
1. 1.1 Das BGG unterscheidet in Art. 90 bis 93 zwischen End-, Teil- sowie Vor- und Zwischenentscheiden und schafft damit eine für alle Verfahren einheitliche Terminologie. Ein Endentscheid ist ein Entscheid, der das Verfahren prozessual abschliesst (<ref-law>), sei dies mit einem materiellen Entscheid oder Nichteintreten, z.B. mangels Zuständigkeit. Der Teilentscheid ist eine Variante des Endentscheids. Mit ihm wird über eines oder einige von mehreren Rechtsbegehren (objektive und subjektive Klagehäufung) abschliessend befunden. Es handelt sich dabei nicht um verschiedene materiellrechtliche Teilfragen eines Rechtsbegehrens, sondern um verschiedene Rechtsbegehren. Vor- und Zwischenentscheide sind alle Entscheide, die das Verfahren nicht abschliessen und daher weder End- noch Teilentscheid sind; sie können formell- und materiellrechtlicher Natur sein. Voraussetzung für die selbstständige Anfechtbarkeit materiellrechtlicher Zwischenentscheide ist gemäss <ref-law> zunächst, dass sie selbstständig eröffnet worden sind. Erforderlich ist sodann alternativ, dass der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
1.2 Beim kantonalen Entscheid vom 10. Februar 2010 handelt es sich um einen Zwischenentscheid: Die Vorinstanz hob den Einspracheentscheid der SUVA vom 21. April 2009 auf und wies die Sache zur Neuberechnung des versicherten Verdienstes im Sinne der Erwägungen an die Versicherung zurück. Dabei stellte das kantonale Gericht für die Beschwerdeführerin verbindlich fest, dass der Einsatzvertrag des Versicherten auf drei Monate befristet war. Könnte die Beschwerdeführerin diesen Entscheid nicht vor Bundesgericht anfechten, so hätte dies zur Folge, dass sie unter Umständen gezwungen wäre, eine ihres Erachtens rechtswidrige, leistungszusprechende Verfügung zu erlassen. Diese könnte sie in der Folge nicht selber anfechten; da die Gegenpartei in der Regel kein Interesse haben wird, den allenfalls zu ihren Gunsten rechtswidrigen Endentscheid anzufechten, könnte der kantonale Vorentscheid nicht mehr korrigiert werden und würde zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil für die Verwaltung führen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.). Auf die Beschwerde der SUVA ist demnach einzutreten.
2. Der Beschwerdegegner hat selber keine Beschwerde erhoben. In seiner Beschwerdeantwort beantragt er jedoch, die SUVA sei zu verpflichten, den versicherten Jahresverdienst unter Annahme eines unbefristeten Arbeitsvertrages zu bestimmen.
2.1 Im Verfahren vor Bundesgericht gibt es keine Anschlussbeschwerde (<ref-ruling> E. 2.5). Wer mit dem angefochtenen Entscheid nicht einverstanden ist, muss diesen selbst innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) anfechten. Sodann kann das Bundesgericht nicht über die fristgerecht gestellten Rechtsbegehren der Parteien hinausgehen (<ref-law>). Gibt die Vorinstanz beiden Parteien teilweise Recht und erhebt nur eine Partei Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag, es sei ihr vollumfänglich Recht zu geben, so kann deshalb die andere Partei nicht im Rahmen der Vernehmlassung zu dieser Beschwerde wieder diejenigen Anträge stellen, bezüglich welcher die Vorinstanz ihr Unrecht gegeben hat. Auf den vom Beschwerdegegner gestellten Antrag wäre deshalb nicht einzutreten, soweit dieser über den Antrag auf Abweisung der Beschwerde hinausgeht.
2.2 Anders verhält es sich mit Bezug auf Rückweisungsentscheide der Vorinstanz, welche nur nach Massgabe von <ref-law> anfechtbar sind (vgl. auch Urteil 9C_756/2009 vom 8. Februar 2010 E. 4). Denn nach der gesetzlichen Konzeption ist die Anfechtung in diesem Fall fakultativ; die vor der Vorinstanz unterlegene Partei kann auf eine selbstständige Anfechtung des Rückweisungsentscheids verzichten und sich gegen das darin Entschiedene noch im Rahmen der Beschwerde gegen den Endentscheid wenden, soweit es sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>). Erhebt nun gegen einen Rückweisungsentscheid, der beiden Parteien teilweise Recht gibt, nur die eine Partei Beschwerde und erlässt daraufhin das Bundesgericht einen Endentscheid, so wird dadurch der anderen Partei die Möglichkeit genommen, das im vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid zu ihrem Nachteil Entschiedene anzufechten. Es ist ihr auch nicht möglich, eine bedingte Beschwerde für den Fall zu erheben, dass die Gegenpartei den Rechtsmittelweg einschlägt (<ref-ruling>). In dieser Konstellation muss demnach derjenigen Partei, welche den Rückweisungsentscheid nicht selbst angefochten hat, die Möglichkeit eingeräumt werden, in der Beschwerdevernehmlassung auch diejenigen Punkte zu thematisieren, bezüglich welcher sie vor der Vorinstanz unterlegen ist (vgl. Hansjörg Seiler, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in: Sozialversicherungsrechtstagung 2008, S. 9 ff., 38 f.). Dies muss umso mehr gelten, wenn die vor Vorinstanz teilweise unterlegene Partei mangels nicht wieder gutzumachenden Nachteils oder mangels Aufwandersparnis zur selbstständigen Anfechtung des Rückweisungsentscheides gar nicht berechtigt wäre.
2.3 Somit ist auch auf den Antrag des Beschwerdegegners, der versicherte Verdienst sei aufgrund eines unbefristeten Arbeitsvertrages zu ermitteln, einzutreten.
3. 3.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
3.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
4. Streitig und zu prüfen ist die Höhe des versicherten Verdienstes zur Bemessung der Rentenleistungen an den Versicherten.
5. 5.1 Nach <ref-law> werden Renten nach dem versicherten Verdienst bemessen (Abs. 1).
5.1.1 In zeitlicher Hinsicht ist in der Regel der innerhalb eines Jahres vor dem Unfall bezogene Lohn massgebend (<ref-law>, <ref-law>). Dauerte "das Arbeitsverhältnis" ("les rapports de travail"; "il rapporto di lavoro") nicht das ganze Jahr, so wird der in dieser Zeit bezogene Lohn auf ein volles Jahr umgerechnet (<ref-law>). <ref-law> sah in dem bis Ende 1997 gültig gewesenen Wortlaut vor, dass bei einem Versicherten, der eine Saisonbeschäftigung ausübt, die Umrechnung auf die normale Dauer dieser Beschäftigung beschränkt ist. Diese Bestimmung war auch auf Kurzaufenthalter anwendbar, wo von einer normalen Beschäftigungsdauer oft nicht gesprochen werden konnte (SVR 1994 UV Nr. 16 S. 46, U 40/94, E. 3a und b). Mit der auf den 1. Januar 1998 in Kraft getretenen Verordnungsänderung vom 15. Dezember 1997 (AS 1998 151) wurde der letzte Satz wie folgt neu gefasst: "Bei einer zum Voraus befristeten Beschäftigung bleibt die Umrechnung auf die vorgesehene Dauer beschränkt." ("En cas d'activité de durée déterminée, la conversion se limite à la durée prévue."; "Nel caso di un'attività temporanea la conversione è limitata alla durata prevista."). Die Neuformulierung übernahm die zur früheren Fassung von Satz 3 ergangene Rechtsprechung, wonach bei unterjährigen Arbeitsverhältnissen bei zum Voraus befristeter Tätigkeit keine Umrechnung auf ein volles Jahr erfolgte (RKUV 1998 S. 90; RKUV 2005 Nr. U 551 S. 299, U 307/04, E. 3.1, Urteile U 421/05 E. 2.3, U 16/01 E. 1b). Die frühere Praxis ist daher weiterhin beachtlich (RKUV 2005 Nr. U 535 S. 51, U 155/04, E. 4.2).
5.1.2 In sachlicher Hinsicht wird der massgebende Lohn grundsätzlich in <ref-law> definiert, welcher den versicherten Verdienst "im Allgemeinen" regelt. Danach gilt als versicherter Verdienst der nach der Bundesgesetzgebung über die AHV massgebende Lohn, einschliesslich Kinderzulagen (lit. b) und weiteren hier nicht relevanten Abweichungen (Abs. 2).
5.2 Bei den Tatbeständen gemäss Art. 22 Abs. 4 Satz 2 und 3 UVV handelt es sich um Abweichungen vom Grundsatz, dass der innerhalb eines Jahres vor dem Unfall bezogene Lohn für die Rentenberechnung massgebend ist (<ref-law> und <ref-law>). Damit auch unregelmässig beschäftigte Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer in den Genuss eines angemessenen Versicherungsschutzes gelangen, beauftragte der Gesetzgeber in <ref-law> den Bundesrat, für solche Personen Sonderbestimmungen zu erlassen (vgl. auch André Ottiger, Der prekäre Schutz der Frühinvaliden [junge Arbeitskräfte, Lehrlinge, Schnupperlehrlinge und Studenten] in der sozialen Unfallversicherung, in: Sozialversicherungsrechtstagung 2002, S. 65 ff. S. 71 f. mit Hinweis auf den Bericht der Expertenkommission für die Revision der Unfallversicherung vom 14. September 1973, S. 80). Von dieser Kompetenz hat der Bundesrat in den Art. 22 bis 24 UVV Gebrauch gemacht. Diese Sonderregeln verlangen einerseits, dass - bei unterjährigem Arbeitsverhältnis - der nicht während eines ganzen Jahres geflossene Lohn auf ein Jahreseinkommen umgerechnet wird (Satz 2), beschränken aber anderseits bei zum Voraus befristeten Beschäftigungen (bzw. bei Saisonniers in der früheren Fassung) die Umrechnung auf die Dauer der befristeten Beschäftigung (bzw. der normalen Dauer der Saisonbeschäftigung). Sie regeln die Frage, ob der Verdienst auf ein volles Jahr umzurechnen oder der effektiv erzielte Verdienst während der beabsichtigten Beschäftigungsdauer anzurechnen ist (RKUV 1992 Nr. U 148 S. 117, U 19/90, E. 5c). <ref-law> bildet eine Sonderregel sowohl im Verhältnis zu Satz 1 als auch zu Satz 2 des Absatzes, indem bei einer befristeten Beschäftigung weder der innerhalb eines Jahres vor dem Unfall bezogene Lohn massgebend (Satz 1) noch der bis zum Unfall bezogene Lohn auf ein Jahr umzurechnen ist (Satz 2). Als Sonderregel zu Satz 2 hat Satz 3 lediglich den für die Umrechnung massgebenden Zeitraum zum Gegenstand. <ref-law> knüpft an ein unterjähriges Arbeitsverhältnis an und legt als Rechtsfolge fest, dass der bislang bezogene Lohn auf ein Jahr umgerechnet wird. Wenn der folgende Satz 3 bloss noch ausführt, dass bei einer zum Voraus befristeten Beschäftigung die Umrechnung auf die vorgesehene Dauer dieser Beschäftigung beschränkt bleibt und die Rechtsfolge in dieser Form umschreibt, so wird damit an das Verhältnis angeknüpft, wie es zu Beginn von Satz 2 formuliert ist, nämlich an ein im Zeitpunkt des Unfalls bestehendes, noch nicht ein Jahr dauerndes Arbeitsverhältnis (Urteil U 421/05 E. 2.2 mit Hinweisen).
5.3 Bei unbefristeten unterjährigen Arbeitsverhältnissen wird vermutet, dass die versicherte Person ganzjährig zu den gleichen Bedingungen gearbeitet hätte, weshalb die Umrechnung nach <ref-law> auf zwölf Monate zu erfolgen hat. Diese Bestimmung ist anwendbar etwa bei Stellenwechsel, Aufnahme einer Erwerbstätigkeit und Wechsel von selbstständiger zu unselbstständiger Erwerbstätigkeit. Bei versicherten Personen, die nur einen zeitlich begrenzten Teil des Jahres erwerbstätig sind, erfolgt keine Umrechnung auf ein ganzes Jahr, sondern es gilt als Verdienst derjenige während der vereinbarten Dauer. Dieser ist etwa massgeblich bei Studierenden und Schülern, die nur ferienhalber arbeiten, und bei Selbstständigerwerbenden (z. B. Landwirte, Holzer usw.), die sporadisch unselbstständige Arbeit leisten (RKUV 1992 Nr. U 148 S. 117, U 19/90, E. 4c/aa, Urteil U 89/86 E. 3). Entscheidendes Kriterium für eine von <ref-law> abweichende Ermittlung des versicherten Verdienstes bildet die infolge zeitlich reduzierter Erwerbstätigkeit eingetretene Verdiensteinbusse, indem die versicherte Person während einer gewissen Zeitspanne innerhalb der für die Bestimmung des versicherten Verdienstes massgebenden Periode keine Einkünfte hatte (RKUV 1990 Nr. U 114 S. 387, U 90/89, E. 3c und d).
5.3 Bei unbefristeten unterjährigen Arbeitsverhältnissen wird vermutet, dass die versicherte Person ganzjährig zu den gleichen Bedingungen gearbeitet hätte, weshalb die Umrechnung nach <ref-law> auf zwölf Monate zu erfolgen hat. Diese Bestimmung ist anwendbar etwa bei Stellenwechsel, Aufnahme einer Erwerbstätigkeit und Wechsel von selbstständiger zu unselbstständiger Erwerbstätigkeit. Bei versicherten Personen, die nur einen zeitlich begrenzten Teil des Jahres erwerbstätig sind, erfolgt keine Umrechnung auf ein ganzes Jahr, sondern es gilt als Verdienst derjenige während der vereinbarten Dauer. Dieser ist etwa massgeblich bei Studierenden und Schülern, die nur ferienhalber arbeiten, und bei Selbstständigerwerbenden (z. B. Landwirte, Holzer usw.), die sporadisch unselbstständige Arbeit leisten (RKUV 1992 Nr. U 148 S. 117, U 19/90, E. 4c/aa, Urteil U 89/86 E. 3). Entscheidendes Kriterium für eine von <ref-law> abweichende Ermittlung des versicherten Verdienstes bildet die infolge zeitlich reduzierter Erwerbstätigkeit eingetretene Verdiensteinbusse, indem die versicherte Person während einer gewissen Zeitspanne innerhalb der für die Bestimmung des versicherten Verdienstes massgebenden Periode keine Einkünfte hatte (RKUV 1990 Nr. U 114 S. 387, U 90/89, E. 3c und d).
5.4 5.4.1 Zur Frage des versicherten Verdienstes im Fall eines überjährigen Arbeitsverhältnisses wurde in <ref-ruling> E. 3a und d ausgeführt, dass die Festlegung des Verdienstes auf dem Hintergrund einer möglichst angemessenen Entschädigung der berechtigten Person zu erfolgen hat. Es ist im Wesentlichen von der Natur des Arbeitsverhältnisses auszugehen. Eine entscheidende Rolle spielt die normale Dauer der Beschäftigung, welche sich nach der bisherigen oder beabsichtigten künftigen Ausgestaltung des Arbeitsverhältnisses in zeitlicher Hinsicht richtet. Als unregelmässig beschäftigt hat eine versicherte Person zu gelten, die über eine gewisse Zeitspanne keine gleichbleibende durchschnittliche Arbeitszeit aufweist. Nicht dazu zählen jedoch diejenigen Beschäftigten, die lediglich ausnahmsweise während einer beschränkten Zeitspanne nicht die für sie übliche Arbeitszeit ausweisen. So macht ein im Jahr vor dem Unfall bezogener unbezahlter Urlaub die Beschäftigung nicht zu einer unregelmässigen. Vielmehr komme, so der angeführte Grundsatzentscheid, wie bei den Saisonbeschäftigten oder denjenigen Arbeitnehmern, deren Anstellungsverhältnis noch nicht das ganze Jahr gedauert hat, der Grundsatz zum Tragen, dass auf die normale Dauer der Beschäftigung oder die Natur des Arbeitsverhältnisses abzustellen ist. Das Kriterium der normalen Beschäftigungsdauer, die aufgrund der bisherigen oder beabsichtigten künftigen Ausgestaltung des Arbeitsverhältnisses in zeitlicher Hinsicht festgestellt werden kann, ist geeignet, eine sachgerechte und rechtsgleiche Festsetzung des für die Rentenberechnung massgebenden Lohnes zu gewährleisten. Insbesondere ist es bei dieser Lösung unerheblich, ob nach einem Arbeitsunterbruch ein neues Arbeitsverhältnis begründet oder das bestehende weitergeführt wird.
5.4.2 Ohne Aufrechnung von Einkommenslücken im Jahr vor dem Unfall wurde dagegen im Fall eines Versicherten entschieden, der keine Berufslehre absolviert, schon früher in den verschiedensten Berufen und während mehr als einem Jahr vor dem Unfall ausschliesslich - mit längeren Unterbrüchen - als Temporärmitarbeiter tätig gewesen war. Aufgrund seiner Arbeitsbiographie konnte nicht angenommen werden, dass er lediglich deshalb temporär arbeitete, weil er keine geeignete Dauerstelle finden konnte. Deshalb wurde der versicherte Verdienst aufgrund des innerhalb eines Jahres vor dem Unfall effektiv bezogenen Lohnes und nicht durch Umrechnung des zur Zeit des Unfalles erzielten Lohnes auf ein Jahr festgesetzt (Urteil U 209/99 vom 9. November 2011 E. 2).
5.4.3 Diese Überlegungen sind auch wegleitend in Fällen, in denen die Bemessung aufgrund des innerhalb eines Jahres vor dem Unfall bezogenen Lohnes nicht in Betracht fällt. So wurde bei einem zur Zeit des Unfalles in einem unterjährigen befristeten Arbeitsverhältnis stehenden Versicherten deutlich festgehalten, dass eine zum Voraus befristete Beschäftigung (activité de durée déterminée, attività temporanea) nicht gleichzusetzen ist mit einem zum Voraus beschränkten Arbeitsverhältnis. Dieser Versicherte hatte seit Beginn der Lehre, teilweise in Temporärstellen, voll im Erwerbsleben als unselbstständig Erwerbender gestanden, unterbrochen lediglich wegen Militärdienst und Sprachaufenthalt. Da jegliche Anhaltspunkte dafür fehlten, dass er sich künftig entgegen seinem gesamten beruflichen Werdegang mit dem Abschluss des befristeten Saison-Arbeitsvertrages auf eine befristete Beschäftigung beschränken wollte, hätte die Umrechnung des erzielten Lohnes lediglich auf die Zeit des befristeten Einsatzes zu einem stossenden, mit der Regelung in <ref-law> (in der früheren und der geltenden Fassung) nicht beabsichtigten Ergebnis geführt. Die Umrechnung hatte demnach gestützt auf Satz 2 auf ein ganzes Jahr zu erfolgen (Urteil U 421/05 vom 10. Februar 2006 E. 3.1).
5.4.4 Bei der Prüfung der normalen Dauer der Beschäftigung sind die einschlägigen Bestimmungen des Ausländerrechts zu berücksichtigen (RKUV 1994 Nr. U 186 S. 82, U 88/93, E. 3d).
5.4.5 Damit ist für die Rentenbemessung sowohl von Versicherten, die im Zeitpunkt des Unfalles in einem überjährigen wie auch für solche, die in einem unterjährigen Arbeitsverhältnis stehen, die - im Rahmen eines oder mehrerer Arbeitsverhältnisse ausgeübte - normale Dauer der Beschäftigung massgeblich. Diese richtet sich nach der bisherigen oder beabsichtigten künftigen Ausgestaltung der Erwerbsarbeitsbiographie.
6. 6.1 Es steht fest und ist unbestritten, dass der Versicherte seine Tätigkeit bei der S._ AG am 29. November 2004, mithin lediglich vier Tage vor dem Unfall vom 2. Dezember 2004, aufgenommen hat. Unbestritten ist auch der Umstand, dass der Versicherte in der Zeit zwischen dem 3. Dezember 2003 und dem 28. November 2004 in der Schweiz keine versicherte Tätigkeit ausgeübt hat. Eine Rentenbemessung gestützt auf <ref-law> und <ref-law> fällt deshalb nicht in Betracht.
Während die SUVA von einer auf drei Wochen befristeten Anstellung des Versicherten ausgeht, schloss das kantonale Gericht auf eine Befristung des Vertrages auf drei Monate; der Versicherte ist seinerseits der Ansicht, der Arbeitsvertrag sei nicht gültig befristet gewesen und daher als unbefristet zu betrachten.
6.2 Am 25. November 2004 schloss der Versicherte mit der S._ AG einen Arbeitsvertrag ab. Gemäss diesem war ab dem 29. November 2004 ein Einsatz von ca. drei Wochen bei der B._ AG verabredet. Der Vertrag weist darüber hinaus noch folgende (kleiner gedruckte) Klausel auf:
"Dieser Vertrag ist auf maximal 3 Monate befristet. Dauert das Arbeitsverhältnis widererwarten länger, so wandelt sich dieser stillschweigend in einen unbefristeten Vertrag um."
Entgegen den Erwägungen der Vorinstanz kann aus dieser Klausel nicht geschlossen werden, gemäss dem wirklichen Willen der Parteien sei eine dreimonatige Anstellung vorgesehen gewesen. Der Sinn dieser Klausel besteht darin, dem Arbeitnehmer - sollte der Vertrag wider Erwarten über die ursprünglich vorgesehene Einsatzdauer hinaus verlängert werden - nach drei Monaten den besseren sozialen Schutz eines unbefristeten Vertrages zukommen zu lassen. Gegen die Annahme einer dreimonatigen Befristung spricht auch die Angabe der Arbeitgeberin in der Unfallmeldung vom 6. Dezember 2004; gemäss dieser war der Vertrag bis zum 17. Dezember 2004 befristet. Es erscheint wenig wahrscheinlich, dass die Arbeitgeberin der SUVA absichtlich eine zu kurze Befristung des Vertrages mitteilen wollte. Wie bereits das kantonale Gericht zutreffend erwogen hat, sind die über vier Jahre nach dem Unfall ausgestellten Bescheinigungen verschiedener Mitarbeiter der ehemaligen Arbeitgeberin wenig glaubwürdig. Somit ist mit der Beschwerdeführerin davon auszugehen, dass der am 25. November 2004 abgeschlossene Vertrag auf drei Wochen befristet war.
7. Vorinstanz und Verwaltung gingen davon aus, diese Befristung des Vertrages führe ohne weiteres zu einer Anwendung von <ref-law>. Nach der in E. 5.4 hievor erwähnten Rechtsprechung ist jedoch ein befristeter Arbeitsvertrag nicht in jedem Fall mit einer befristeten Beschäftigung im Sinne der erwähnten Norm gleichzusetzen.
7.1 <ref-law> geht von einem traditionellen Beschäftigungsmodell aus. Kennzeichnend für ein solches ist eine unbefristete Vollzeitbeschäftigung bei arbeitsrechtlich geregelten Beschäftigungsverhältnissen mit einem Arbeitsvertrag als Dreh- und Angelpunkt und dem Vorhandensein eines einzigen Arbeitgebers, der für alle dem Arbeitgeber obliegenden Pflichten zuständig ist. In den letzten Jahrzehnten etablierten sich indessen nicht nur auf dem europäischen (vgl. etwa das Grünbuch der Kommission der Europäischen Gemeinschaften "Ein moderneres Arbeitsrecht für die Herausforderungen des 21. Jahrhunderts" vom 22. November 2006), sondern auch auf dem schweizerischen Arbeitsmarkt zunehmend Nichtstandard-Arbeitsverträge, wie Teilzeitverträge, Abrufverträge, befristete Arbeitsverträge, Null-Stunden-Verträge, Verträge für Arbeitnehmer, die über Zeitarbeitsfirmen eingestellt werden, Freelance-Verträge u.a.m. So sind etwa Temporärarbeitsverträge, wie ihn der Beschwerdegegner abgeschlossen hat, in der Schweiz mehr als nur ein Randphänomen. Ein wichtiger Grund dafür sind der verstärkte globale Wettbewerbsdruck und das damit einhergehende wachsende Bedürfnis der Unternehmen nach flexibler Arbeit (vgl. etwa Myra Rosinger/Dragana Djurdjevic, Temporärarbeit in der Schweiz, Motive und Arbeitsmarktperspektiven, in: Die Volkswirtschaft 12/2007 S. 47 ff.). Gemäss einem von swissstaffing, dem Verband der Personaldienstleister in der Schweiz, im Februar 2008 herausgegebenen Bericht "Temporärarbeit in der Schweiz" (verfügbar unter http://www.swissstaffing.ch/documents/Publikation_de_00128_ 00.pdf) setzen Firmen temporär Arbeitende hauptsächlich ein, um Spitzen auszugleichen, um abwesendes Personal zu ersetzen, um keine neuen Festanstellungen tätigen zu müssen und um von der Suche nach geeignetem Personal entlastet zu sein (S. 16). Diesen Bedürfnissen der Wirtschaft steht auf Seiten der temporär Beschäftigten nur bedingt der Wunsch nach flexibler Beschäftigung gegenüber. Im Vordergrund steht die Absicht, die Chance auf eine Festanstellung zu steigern und den Einkommensausfall zwischen zwei verschiedenen Tätigkeiten zu überbrücken; berufliche Erfahrungen zu sammeln steht für ganz Junge im Vordergrund (S. 15). Der Grossteil der temporär Arbeitenden wechselt in ein stabiles Berufsverhältnis (ein Jahr nach der Befragung 74 %; S. 24). Im Bericht über die Situation im Bereich des Personalverleihs vom 9. Juni 2006 weist der Bundesrat denn auch auf die Brückenfunktion zwischen Erwerbslosigkeit und Erwerbstätigkeit hin (S. 11).
7.2 Unter Berücksichtigung dieser tatsächlichen Verhältnisse kann es nicht angehen, die Invalidenrente einer versicherten Person, die im Zeitpunkt des Unfalls von einem Personalverleiher temporär bei einem anderen Unternehmen eingesetzt war, grundsätzlich auf der Grundlage des während des vereinbarten befristeten Einsatzes erzielten Verdienstes zu bemessen. Eine solche Sichtweise würde diesen Personenkreis von einem angemessenen Versicherungsschutz ausschliessen. Sie verstösst auch insofern gegen das Äquivalenzprinzip (vgl. dazu etwa <ref-ruling> E. 2b S. 169), als ein Arbeitgeber, welcher aneinandergereiht befristet Arbeitnehmer beschäftigt, für die Berufsunfallversicherung Prämien in derselben Höhe zu entrichten hat wie ein Arbeitgeber welcher bei gleicher Lohnsumme nur festangestellte Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer beschäftigt. Verunfallt nun ein Arbeitnehmer, so löste dies im ersten Fall weitaus geringere Versicherungsleistungen aus als im zweiten. Ebenfalls ist es für die Summe der bezahlten Prämien unerheblich, ob der Lohn aus einem Arbeitseinsatz, oder aus mehreren Einsätzen in verschiedenen Einsatzbetrieben stammt. Da jedoch die verunfallte Person auch nicht überentschädigt werden soll, ist beim genannten Personenkreis im Einzelfall zu untersuchen, ob das befristete Arbeitsverhältnis bei einem Einsatzbetrieb im Sinne des in E. 5.4 Gesagten der normalen Beschäftigung der versicherten Person entspricht. Ist dies der Fall, so ist der versicherte Verdienst einzig aufgrund des befristeten Einsatzes zu bestimmen. Ist demgegenüber davon auszugehen, die versicherte Person würde normalerweise länger als die Einsatzdauer erwerbstätig sein, so entspricht diese längere Spanne der Dauer der "befristeten Beschäftigung" im Sinne von <ref-law> und der im Einsatzbetrieb erzielte Lohn ist demgemäss auf diese längere Dauer umzurechnen. Ergibt sich, dass die versicherte Person das ganze Jahr über arbeiten würde, so ist die Sonderregelung von <ref-law> nicht anwendbar; die Umrechnung des erzielten Verdienstes auf ein Jahreseinkommen wird in diesen Fällen gemäss Satz 2 von <ref-law> nicht eingeschränkt.
7.3 Es stellt sich die Frage, wie die normale Dauer der Beschäftigung im Sinne vorstehender Erwägung nachgewiesen werden kann. Blosse Absichtserklärungen der versicherten Person oder nach dem Unfall erstellte Bestätigungen potenzieller Arbeitgeber werden im Regelfall für den Nachweis nicht genügen. Demgegenüber lassen sich wichtige Indizien aus einer vollständigen - allenfalls auch im Ausland absolvierten - Erwerbsbiographie gewinnen. Ist aus dieser ersichtlich, dass die versicherte Person längere Zeiten keiner Erwerbstätigkeit nachging, so ist nicht davon auszugehen, dass die normale Beschäftigungsdauer dieser Person einer unbefristeten Tätigkeit entspricht. Arbeitete eine verunfallte Person vor dem Unfall durchschnittlich etwa vier Monate pro Jahr, so ist der während der befristeten Tätigkeit erzielte Lohn auf vier Monate umzurechnen. War demgegenüber die versicherte Person - wenn auch bei verschiedenen und allenfalls auch ausländischen Arbeitgebern - in den Jahren vor dem Unfall mehr oder weniger lückenlos erwerbstätig, so ist von einer unbefristeten Beschäftigung auszugehen. Bei ausländischen versicherten Personen ist zudem die Periode, auf die umgerechnet wird, stets auf jene Zeitspanne zu beschränken, während der diese ausländerrechtlich betrachtet in der Schweiz überhaupt erwerbstätig sein durfte.
8. 8.1 Das kantonale Gericht hat die Sache zur Neuberechnung des versicherten Verdienstes an die Beschwerdeführerin zurückgewiesen. Im Rahmen dieser Neuberechnung wird die SUVA im Sinne vorstehender Erwägungen - nach allfälligen weiteren Abklärungen zur Erwerbsbiographe des Beschwerdegegners - zu prüfen haben, welches die normale Beschäftigungsdauer des Versicherten gewesen wäre.
8.2 Die Beschwerde der SUVA ist demgemäss ohne Weiterungen im Sinne der Erwägungen abzuweisen. Insbesondere braucht im vorliegenden Verfahrensstadium nicht geprüft zu werden, ob der Beschwerdegegner allenfalls gestützt auf das Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) höhere Leistungen geltend machen kann. Ebenfalls braucht entgegen der Ansicht der SUVA in ihrer Stellungnahme vom 18. August 2011 vorliegend nicht untersucht zu werden, wie der versicherte Verdienst jener Personen zu bemessen ist, die mit anderen nicht-traditionellen Arbeitsverträgen angestellt sind. Es wäre indessen zweifellos wünschenswert, wenn sich der Verordnungsgeber dieser Problematik annehmen würde.
9. Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5). Sie hat dem Beschwerdegegner überdies eine Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>). Damit wird sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Dezember 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Holzer