Faits :
A.
Une enquête pénale est instruite contre A._ pour lésions corporelles simples, contrainte, menaces, voies de fait, injure et dommages à la propriété pour des faits commis en 2012, 2013 et 2014.
Dans le cadre de cette instruction, le Ministère public de la République et canton de Genève a confié une expertise à B._, psychiatre, afin de déterminer si le prévenu était apte à prendre part aux débats. N'ayant pas réussi à rencontrer A._ et après avoir obtenu l'autorisation de procéder sur la seule base des informations que les proches et les soignants lui communiqueraient, l'expert a rendu son rapport le 31 mars 2015. Selon les conclusions de celui-ci, le prévenu n'était pas apte à participer aux débats sur le plan mental sauf s'il pouvait être accompagné par des intervenants médico-soignants, voire, si besoin, brièvement hospitalisé avant et après les débats.
Dans son rapport du 27 avril 2015, la police a fait état de son intervention du 31 mars 2015 à la suite d'un conflit auquel prenait part A._. Ce dernier, ayant perdu le contrôle de lui-même, a donné des coups de pieds aux agents afin de ne pas être saisi et lancé des assiettes; il a été décidé de l'hospitaliser de façon non volontaire et son audition n'a ainsi pas pu être effectuée.
Le 8 juin 2015, le Procureur a informé B._ de son intention d'ordonner une expertise psychiatrique et de la demande de récusation émise par le prévenu à son encontre. Par ordonnance du 16 juin 2015, le Ministère public a confirmé le mandat d'expertise et s'est en substance opposé à la requête de récusation. A cet égard, il a considéré que l'expert n'était pas intervenu à un "autre titre", que l'expertise requise était un complément de la première et qu'au vu des nouveaux faits constatés dans le rapport d'avril 2015, il fallait agir avec célérité, étant ainsi contraire à l'intérêt public de confier le mandat à un autre expert.
B.
Après un échange d'écritures, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a, par arrêt du 9 septembre 2015, déclaré irrecevable la requête de récusation dans la mesure où elle faisait grief à B._ d'avoir déjà expertisé le prévenu dans une autre procédure en 2011, la considérant comme tardive. L'autorité cantonale est en revanche entrée en matière sur la demande s'agissant du reproche fait à l'expert d'être déjà intervenu dans la procédure en cours en rendant l'expertise du 31 mars 2015, mais l'a rejetée.
C.
Par acte du 12 octobre 2015, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à son annulation, à la récusation de B._ et à la nomination d'un autre expert psychiatre. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente afin qu'elle procède à cette désignation. Il sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invité à se déterminer, l'intimé s'est en substance référé à ses précédentes déterminations. La juridiction cantonale a renvoyé à ses considérants et le Ministère public a conclu au rejet du recours. Le 24 novembre 2015, le recourant a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, les décisions incidentes de dernière instance cantonale portant sur une demande de récusation d'un expert dans une cause pénale peuvent immédiatement faire l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, auteur de la demande de récusation rejetée, a qualité pour recourir selon l'art. 81 al. 1 LTF. Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile et les conclusions qui y sont prises sont recevables (art. 107 al. 2 LTF). Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.
Dans un premier grief, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir considéré sa requête de récusation, en tant qu'elle concernait le grief fait à l'expert de l'avoir déjà expertisé en 2011, comme tardive. Il soutient que cet élément ne pouvait être isolé de ceux soulevés ultérieurement, notamment en lien avec le rapport du 31 mars 2015.
2.1. Conformément à l'art. 58 al. 1 CPP - disposition également applicable lorsque la requête tend à la récusation d'un expert (arrêt 1B_754/2012 du 23 mai 2013 consid. 3.1) -, la récusation doit être demandée sans délai, dès que la partie a connaissance du motif de récusation, c'est-à-dire dans les jours qui suivent la connaissance de la cause de récusation (arrêt 1B_72/2015 du 27 avril 2015 consid. 2.1 et les arrêts cités), sous peine de déchéance (<ref-ruling> consid. 8.4.3 p. 275 et les arrêts cités). Il est en effet contraire aux règles de la bonne foi de garder ce moyen en réserve pour ne l'invoquer qu'en cas d'issue défavorable ou lorsque l'intéressé se serait rendu compte que l'instruction ne suivait pas le cours désiré (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 124).
2.2. En l'espèce, il a été établi de manière incontestée que le recourant a été averti le 11 novembre 2014 par le Ministère public que l'intimé serait mandaté à des fins d'expertise dans le but de déterminer si le prévenu était capable de prendre part aux débats (art. 114 CPP) et qu'une expertise psychiatrique pourrait être, dans un second temps, ordonnée. Dans ce même courrier, le Procureur a expressément rappelé que le psychiatre mandaté avait déjà procédé dans une procédure antérieure relative au recourant et a imparti un délai à ce dernier pour se déterminer sur des éventuels motifs de récusation. Pourtant, le recourant ne s'est alors pas opposé à cette nomination (cf. son courrier du 21 novembre 2014). C'est donc en connaissance de cause - tant par rapport à la personne que du possible moyen à soulever - qu'il a renoncé à faire valoir comme motif de récusation la participation de l'intimé au rapport d'expertise de février 2011.
De plus, toujours en raison du courrier du 11 novembre 2014, le recourant ne peut pas prétendre que ce motif de récusation ne serait apparu qu'au moment de la notification du rapport de mars 2015 faisant référence à celui de février 2011. Cela vaut d'autant plus que sa requête de récusation du 21 mai 2014 [recte 2015] n'a pas été déposée à la suite de la réception de cette pièce (cf. envoi du 1er avril 2015 par le Ministère public), mais après celle de l'avis du Procureur de mandater l'intimé pour une expertise psychiatrique conformément à l'annonce du 11 novembre 2014 (cf. le courrier du 11 mai 2015).
Partant, c'est à juste titre que la Chambre pénale de recours a considéré que la requête de récusation déposée en mai 2015 et se fondant sur la participation du psychiatre au rapport de février 2011 était tardive (art. 58 al. 1 CPP). Ce grief doit donc être rejeté.
3.
Le recourant se plaint ensuite d'une violation des art. 56 let. b et f CPP. Il reproche également à la cour cantonale d'avoir retenu une appréciation a contrario de l'art. 56 al. 4 CP.
3.1. Selon l'art. 56 al. 4 CP, si l'auteur a commis une infraction au sens de l'art. 64 al. 1 CP, l'expertise doit être réalisée par un expert qui n'a pas traité l'auteur ni ne s'en est occupé d'une quelconque manière. Les infractions listées à l'art. 64 al. 1 CP sont l'assassinat, le meurtre, la lésion corporelle grave, le viol, le brigandage, la prise d'otage, l'incendie, la mise en danger de la vie d'autrui ou une autre infraction passible d'une peine privative de liberté maximale de cinq ans au moins par laquelle l'auteur a porté ou voulu porter gravement atteinte à l'intégrité physique, psychique ou sexuelle d'autrui.
La cour cantonale a relevé que le prévenu n'était pas mis en cause pour l'une des graves infractions susmentionnées, ce que le recourant ne conteste pas. L'art. 56 al. 4 CP ne lui est donc d'aucune utilité dans la présente cause, faute d'être applicable.
3.2. L'art. 56 let. a à f CPP - applicable aux experts en vertu du renvoi de l'art. 183 al. 3 CPP - énumère les différents motifs de récusation.
3.2.1. Selon l'art. 56 let. b CPP, toute personne exerçant une fonction au sein d'une autorité pénale est tenue de se récuser lorsqu'elle a agi à un autre titre dans la même cause, en particulier comme membre d'une autorité, conseil juridique d'une partie, expert ou témoin.
La notion de "même cause" au sens de l'art. 56 let. b CPP s'entend de manière formelle, c'est-à-dire comme la procédure ayant conduit à la décision attaquée ou devant conduire à celle attendue. Elle n'englobe en revanche pas une procédure distincte ou préalable se rapportant à la même affaire au sens large, soit au même ensemble de faits et de droits concernant les mêmes parties (arrêts 1B_137/2013 du 17 mai 2013 consid. 3.2; 6B_621/2011 du 19 décembre 2011 consid. 2.3.1 et les références citées). Ainsi, une "même cause" au sens de l'art. 56 let. b CPP implique une identité de parties, de procédure et de questions litigieuses (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 91 s.; <ref-ruling> consid. 2d p. 237 s.). Le cas de récusation visé par cette disposition présuppose aussi que le magistrat en question ait agi à "un autre titre", soit dans des fonctions différentes (arrêts 1B_137/2013 du 17 mai 2013 consid. 3.2; 6B_621/2011 du 19 décembre 2011 consid. 2.3.2 et les références citées). En particulier, la garantie du juge impartial ne commande pas la récusation d'un juge au simple motif qu'il a, dans une procédure antérieure - voire dans la même affaire (arrêt 4A_151/2012 du 4 juin 2012 consid. 2.2) -, tranché en défaveur du requérant (<ref-ruling> consid. 4.2.2.2 p. 466; <ref-ruling> consid. 1 p. 279); la jurisprudence considère en effet que le magistrat appelé à statuer à nouveau après l'annulation d'une de ses décisions est en général à même de tenir compte de l'avis exprimé par l'instance supérieure et de s'adapter aux injonctions qui lui sont faites (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 146; <ref-ruling> consid. 2b p. 410).
Il n'en va pas différemment de l'expert judiciaire qui n'a été sollicité qu'à ce titre; le fait qu'il doive se prononcer une seconde fois à raison de faits nouveaux ou nouvellement connus ne saurait justifier une récusation (arrêt 1B_45/2015 du 29 avril 2015 consid. 2.3).
3.2.2. L'art. 56 let. f CPP impose la récusation "lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention".
Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres a à e de l'art. 56 CPP. Elle concrétise les droits déduits de l'art. 29 al. 1 Cst. garantissant l'équité du procès et assure au justiciable une protection équivalente à celle découlant de l'art. 30 al. 1 Cst. s'agissant des exigences d'impartialité et d'indépendance requises d'un expert. Les parties à une procédure ont donc le droit d'exiger la récusation d'un expert dont la situation ou le comportement sont de nature à faire naître un doute sur son impartialité. Cette garantie tend notamment à éviter que des circonstances extérieures à la cause puissent influencer une appréciation en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective est établie, car une disposition interne de l'expert ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale. Seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 125; <ref-ruling> consid. 2.1.2 p. 435 s.; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 144).
3.2.3. En l'occurrence, le recourant soutient en substance que l'intimé aurait des préjugés sur son état mental vu l'expertise de mars 2015, se baserait sur un rapport établi en sa défaveur en février 2011 (la procédure y relative ayant abouti à sa condamnation pénale) et connaîtrait déjà la problématique découlant de la présente procédure; ce dernier élément, ainsi que la volonté du Ministère public de procéder rapidement ne permettraient pas de garantir une objectivité maximale sur les questions qui seraient posées à l'expert.
Toutefois, il y a lieu de distinguer les deux expertises requises dans la présente cause. La première se limitait à l'examen de la possible aptitude du recourant à assister aux débats, question sans lien avec les infractions poursuivies. Au demeurant, le recourant, qui ne prétend plus que l'expert n'aurait pas voulu le voir, n'a pas remis en cause les conclusions auxquelles a alors abouti le second et ne soutient d'ailleurs pas que celles-ci lui seraient défavorables. Quant à la seconde expertise, elle tend à examiner l'état psychique du recourant au moment des faits qui lui sont reprochés et à indiquer si une possible diminution de responsabilité doit être retenue, puis, le cas échéant, à expliquer quelles seraient les possibles conséquences - notamment en matière de mesures - qui pourraient en découler. L'expert est ainsi sollicité pour se prononcer sur des problématiques distinctes, ne reposant notamment pas sur les mêmes circonstances et ayant des buts différents. Sans autre explication, on ne voit dès lors pas ce qui démontrerait une possible prévention de l'intimé du fait de la réalisation de la première expertise (cf. art. 56 let. f CPP). Une telle conclusion ne résulte en tout cas pas des éventuels éléments communs aux deux expertises (cf. notamment l'anamnèse). Cette possible connaissance permet avant tout - par ailleurs aussi dans l'intérêt du recourant - de garantir tant le principe de célérité (art. 5 CPP) que celui d'économie de procédure, mais ne préjuge en revanche pas des conclusions à venir; cela vaut d'autant plus au regard des faits dénoncés postérieurement à l'expertise de mars 2015. Un motif de récusation ne découle pas non plus de la qualité en laquelle est appelé à intervenir l'intimé. En effet, il est fait appel à ses services au même titre que celui qui prévalait pour la première expertise, à savoir en tant qu'expert judiciaire (cf. art. 56 let. b CPP).
Au vu de ces considérations et en l'absence de motif permettant de retenir une apparence de prévention, la Chambre pénale de recours pouvait, sans violer le droit fédéral, rejeté la demande de récusation formée par le recourant.
4.
Il s'ensuit que le recours est rejeté.
Dans la mesure où le recours paraissait d'emblée voué à l'échec, la requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Au vu des circonstances, il se justifie cependant de renoncer exceptionnellement à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). L'intimé ne concluant pas à l'obtention d'une indemnité de dépens, il n'y a pas lieu de lui en allouer (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 10 décembre 2015
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Fonjallaz
La Greffière : Kropf