Erwägungen:
1.
Angefochten ist unter anderem der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 29. Juli 2013, mit dem das Obergericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung als gegenstandslos abgeschrieben hat, dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege verweigert hat, auf die Beschwerde gegen das Urteil vom 2. Mai 2013 betreffend Rechtsvorschlag wegen mangelnden neuen Vermögens sowie auf die Beschwerde gegen das Schreiben (Verfügung) vom 4. April 2013 nicht eingetreten ist. Der Beschwerdeführer ersucht beim Bundesgericht sinngemäss um Aufhebung des angefochtenen Urteils ("Rechtsverzögerungs-/Rechtsverweigerungsbeschwerde vom 1.07.2013"). Ferner ersucht er um aufschiebende Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten, soweit sie sich gegen andere als den ausschliesslich letztinstanzlichen (<ref-law>) Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 29. Juli 2013 richtet.
2.1. Das Obergericht hat erwogen, gegen das vorliegend angefochtene Urteil vom 2. Mai 2013 betreffend Rechtsvorschlag wegen fehlenden neuen Vermögens stehe kein Rechtsmittel offen (Art. 265a Abs. 1 letzter Halbsatz SchKG). Eine Beschwerde nach ZPO sei daher ausgeschlossen. Vielmehr habe der Schuldner Klage auf Bestreitung neuen Vermögens einzureichen (<ref-law>); darauf sei er in der Rechtsmittelbelehrung hingewiesen worden. Dementsprechend sei auf die Beschwerde nicht einzutreten. Mit Bezug auf die Verfügung vom 4. April 2013 hat das Obergericht bemerkt, wie die Vorinstanz ausgeführt habe, sei diese Verfügung am 6. April 2013 bei der Abholpoststelle eingetroffen und gelte daher gemäss <ref-law> als am 7. Tag nach dem Eintreffen bei der Poststelle und somit als am 13. April 2013 zugestellt. Mit seiner Eingabe vom 5. Juli 2013 habe der Beschwerdeführer die zehntägige Beschwerdefrist verpasst. Die Frage, ob die angefochtene Verfügung mit einer Rechtsmittelbelehrung hätte versehen sein müssen, könne offenbleiben, da der Beschwerdeführer in seinem Vertrauen darauf ohnehin nicht zu schützen gewesen wäre: Eine korrekte Rechtsmittelbelehrung sei kein Gültigkeitserfordernis für die Eröffnung der Verfügung. Das bedeute, dass die Rechtsmittelfrist trotz fehlender Belehrung zu laufen begonnen habe. Die Zustellung eines neuen Entscheids mit ordnungsgemässer Rechtsmittelbelehrung erübrige sich. Da der Beschwerdeführer als äusserst erfahrene Prozesspartei gelte, sei davon auszugehen, ihm sei bestens bekannt gewesen, welches Rechtsmittel und innert welcher Frist er dieses habe ergreifen müssen. Die verspätete Einreichung seines Rechtsmittels sei nicht auf Unkenntnis über das Rechtsmittel und seine Frist, sondern auf das mehrfach angewendete Vorgehen betreffend Postlagerung von Sendungen zurückzuführen. Allein die Tatsache, dass er schliesslich das richtige Rechtsmittel eingelegt habe, zeige, dass er nicht als unerfahren gelte. Er habe somit die ihm von der Vorinstanz angesetzte Frist unbenutzt verstreichen lassen, weshalb die Vorinstanz korrekterweise androhungsgemäss vorgegangen sei. Die Eingabe des Beschwerdeführers sei auch nicht als Rechtsverweigerungs- oder Rechtsverzögerungsbeschwerde zu werten, da sie sich gegen die vorinstanzlichen Entscheide vom 4. April und 2. Mai 2013 richte, weshalb sie im ersten Fall innert 10 Tagen zu erheben gewesen wäre und im zweiten gar kein Rechtsmittel bestanden habe.
2.2. In der subsidiären Verfassungsbeschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein sollen. (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234).
2.3. Der Beschwerdeführer geht in seiner Beschwerde nicht nachvollziehbar auf die Erwägungen der Vorinstanz ein und zeigt nicht auf, inwiefern das Obergericht seine verfassungsmässigen Rechte verletzt haben soll. Insbesondere wird auch nicht erörtert, inwiefern das Obergericht mit der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege angesichts der offensichtlich aussichtslosen Beschwerde verfassungsmässige Rechte des Beschwerdeführers verletzt haben könnte. Auf die ungenügend begründete und damit offensichtlich unzulässige Verfassungsbeschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren (Art. 117 i.V.m. <ref-law>) durch das präsidierende Mitglied der Abteilung unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (<ref-law>) nicht einzutreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen offensichtlicher Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (<ref-law>).
4.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zbinden