A.- Par décision du 27 avril 2001, la Caisse cantonale vaudoise de compensation (la caisse) a mis V._ au bénéfice d'une rente AVS, avec effet au 1er mai 2001, calculée sur la base d'un revenu annuel moyen déterminant de 24 720 fr., en fonction de l'échelle de rente 37.
B.- Par écriture du 31 mai 2001, V._ a recouru devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud contre cette décision dont il demandait l'annulation, en contestant qu'il présentât des lacunes de cotisation. Dans une écriture ultérieure, il a allégué, notamment, qu'il avait acquitté des cotisations AVS, au moyen de timbres, alors qu'il était étudiant à l'Université X._ (de 1956 à 1961).
Le 22 juin 2001, la cour cantonale a invité la caisse à lui faire parvenir le dossier de la cause et à se déterminer sur le recours jusqu'au 17 août 2001. Le 9 juillet 2001, celle-ci a conclu au rejet du recours, en indiquant qu'il appartenait à la Caisse cantonale genevoise de compensation de se déterminer sur l'inscription des cotisations afférentes aux études de V._ à l'Université X._.
Le 27 juillet 2001, la cour cantonale a imparti à l'assuré un délai au 7 septembre 2001 pour fournir explications et pièces complémentaires. Par lettre du 26 août 2001, V._ a présenté de nouvelles déterminations. Il a par ailleurs demandé à la cour cantonale de statuer rapidement sur le recours, après avoir rappelé que la cause était pendante depuis mai 2001.
Le 10 septembre 2001, le Tribunal des assurances a imparti à la caisse un délai au 1er octobre 2001 pour produire de nouvelles déterminations et pièces éventuelles.
C.- Par écriture du 8 novembre 2001, V._ a déposé devant le Tribunal fédéral des assurances un recours pour déni de justice. Il requiert le tribunal de constater que la durée de la procédure devant la juridiction cantonale est excessive. Par ailleurs, il sollicite la dispense des frais de justice au niveau fédéral et demande à la cour de céans de "retenir qu'une assistance judiciaire serait indispensable pour tout complément souhaitable".
Le Tribunal des assurances du canton de Vaud n'a pas présenté d'observations.

Considérant en droit :
1.- a) Le recourant invoque un retard injustifié par le Tribunal des assurances du canton de Vaud, qui est une autorité de dernière instance au sens de l'art. 98 let. g OJ (cf. art. 128 OJ). Le recours de droit administratif, qui peut en principe être formé dans ce cas en tout temps (art. 106 al. 2 OJ), était donc recevable au moment où il a été déposé.
b) Selon l'art. 29 al. 1 Cst. , toute personne a droit, dans la procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. Le principe de la célérité de la procédure découle également de l'art. 6 § 1 CEDH, qui n'offre toutefois pas, à cet égard, une protection plus étendue que l'art. 29 al. 1 Cst. (cf. FF 1997 I 183 sv.). Selon la jurisprudence rendue sous l'empire de l'art. 4 al. 1 aCst. , mais qui conserve toute sa valeur sous l'angle de l'art. 29 al. 1 Cst. , le caractère raisonnable de la durée de la procédure s'apprécie en fonction des circonstances particulières de la cause. Il faut prendre en considération l'ampleur et la difficulté de celle-ci, ainsi que le comportement du justiciable (<ref-ruling> consid. 2a et les références).
Dans l'appréciation de ces circonstances, il faut également tenir compte du fait qu'en matière d'assurances sociales, le législateur accorde une importance particulière à une liquidation rapide des procès (<ref-ruling> consid. 4a; voir l'<ref-law>).
c) En l'espèce, il s'est écoulé environ cinq mois entre le moment du dépôt du recours de droit cantonal et la date du recours de droit administratif. Pendant ce laps de temps, la cour cantonale a procédé à deux échanges d'écriture.
Cette durée paraît admissible, d'autant plus qu'elle est entrecoupée des féries judiciaires d'été. Par ailleurs, il était loisible au recourant de réduire la durée de la procédure en présentant ses écritures avant la fin des délais, en les limitant à l'essentiel et en gardant à l'esprit que le point litigieux porte sur les lacunes de cotisation AVS.
Dans ces circonstances, la durée de la procédure cantonale, encore pendante, est certainement raisonnable (comm. RAMA 1997 no U 286 p. 339) et le grief tiré d'un retard injustifié, à la limite de la témérité, mal fondé.
2.- a) Le recourant a demandé à être dispensé des frais de justice pour la procédure fédérale. De fait, s'agissant d'un recours pour déni de justice, la procédure est gratuite (arrêt non publié S. du 30 avril 2001, C 53/01).
b) Par ailleurs, le recourant a requis le tribunal de "retenir qu'une assistance judiciaire serait indispensable pour tout complément souhaitable". Si cette conclusion doit être interprétée comme une demande assistance judiciaire, limitée à la désignation d'un avocat d'office, sur le plan fédéral, elle doit être rejetée, dès lors que les conclusions du recourant étaient d'emblée dénuées de chances de succès (art. 152 al. 1 OJ; <ref-ruling> consid. 4a et les références). Si le recourant entend par là obtenir la nomination d'un avocat d'office pour la procédure cantonale, la cour de céans n'est pas compétente pour statuer sur une telle demande et elle ne saurait entrer en matière sur ce point.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances
prononce :
I. Le recours est rejeté.
II. Il n'est pas perçu de frais de justice.
III. Dans la mesure où elle est recevable, la requête d'assistance judiciaire est rejetée.
IV. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 18 décembre 2001
Au nom du
Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre :
La Greffière :