Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Wegen angeblicher Fehler bei der Ausübung des Mandats als Anwalt in einem Forderungsprozess erhob S._ gegen T._ Klage. Dieser anerkannte die Klage im Umfang von Fr. 1'300.--, worauf er durch Urteil vom 14. Dezember 2001 bei seiner Erklärung behaftet und die Klage im Mehrbetrag abgewiesen wurde. In der Folge liess sich T._ von drei Gläubigern von S._ Forderungen im Gesamtbetrag von Fr. 1'217.75 abtreten, um diesen Betrag zur Verrechnung zu stellen. Am 11. Januar 2002 überwies er die Differenz von Fr. 82.25 auf das Konto von S._.
1.2 In der von S._ für den Betrag von Fr. 1'300.-- gegen ihn eingeleiteten Betreibung Nr. ... schlug T._ Recht vor. Der Präsident des Zivilgerichts Basel-Stadt erteilte am 8. April 2002 definitive Rechtsöffnung für den ganzen Forderungsbetrag, abzüglich Fr. 82.25, nebst Zins zu 5% seit 14. Dezember 2001 sowie Fr. 70.-- Kosten für den Zahlungsbefehl.
In teilweiser Gutheissung einer Beschwerde von T._ erkannte das Appellationsgericht (Ausschuss) des Kantons Basel-Stadt am 30. Juli 2002, dass S._ definitive Rechtsöffnung bewilligt werde für Fr. 497.75 nebst Zins zu 5% auf Fr. 1'300.-- für die Zeit vom 14. Dezember 2001 bis zum 11. Januar 2002, auf Fr. 1'217.75 für die Zeit vom 12. bis zum 14. Januar 2002 und auf Fr. 497.75 für die Zeit seit 15. Januar 2002 sowie für Fr. 30.-- Zahlungsbefehlskosten.
Der (berichtigte) Entscheid des Appellationsgerichts wurde S._ am 27. Dezember 2002 zugestellt. Mit einer vom 11. Januar 2003 datierten und am 13. Januar 2003 zur Post gebrachten Eingabe führt dieser (rechtzeitig) staatsrechtliche Beschwerde. Er ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.
2. Beruht die Betreibungsforderung auf einem vollstreckbaren Urteil, wird die definitive Rechtsöffnung erteilt, wenn nicht der Betriebene durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Urteils getilgt oder gestundet worden ist, oder die Verjährung anruft (<ref-law>).
2.1 Das Appellationsgericht hält dafür, der Beschwerdegegner habe nachgewiesen, dass er die in Betreibung gesetzte Forderung in der Höhe von Fr. 720.-- getilgt habe. Bei den Forderungen von Fr. 450.-- und Fr. 270.--, die er sich von der X._ AG bzw. vom Obergericht des Kantons Basel-Landschaft habe abtreten lassen und die er der Betreibungsforderung verrechnungsweise entgegenhalte, handle es sich um die Parteientschädigung und um die Gerichtskosten, zu deren Bezahlung der Beschwerdeführer durch Urteil des genannten Gerichts vom 17. Mai 2000 verpflichtet worden sei. Die Parteien seien sich darüber einig, dass dieses Urteil rechtskräftig sei.
2.2 Die beiden Verrechnungsforderungen, auf Grund derer das Appellationsgericht die Betreibungsforderung als teilweise getilgt betrachtet hat, beruhen nach dem Gesagten auf einem (rechtskräftigen) Gerichtsurteil. Die Vorbringen des Beschwerdeführers, die ausschliesslich die Verhältnisse bei einer durch Schuldanerkennung begründeten Forderung betreffen, stossen deshalb ins Leere. Auf die staatsrechtliche Beschwerde ist mithin nicht einzutreten.
2.2 Die beiden Verrechnungsforderungen, auf Grund derer das Appellationsgericht die Betreibungsforderung als teilweise getilgt betrachtet hat, beruhen nach dem Gesagten auf einem (rechtskräftigen) Gerichtsurteil. Die Vorbringen des Beschwerdeführers, die ausschliesslich die Verhältnisse bei einer durch Schuldanerkennung begründeten Forderung betreffen, stossen deshalb ins Leere. Auf die staatsrechtliche Beschwerde ist mithin nicht einzutreten.
3. Die Beschwerde erschien von vornherein als aussichtslos. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ist deshalb abzuweisen (vgl. Art. 152 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege [OG]), und es ist dem Beschwerdeführer die Gerichtsgebühr aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 600.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 600.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht (Ausschuss) des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. März 2003
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: