Sachverhalt:
A. A.a Der 1949 geborene S._ war ab 1972 als Ingenieur in der Firma A._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 5. August 1998 stürzte er mit seinem Motorrad bei einem Ausweichmanöver. Dabei zog er sich linksseitig Kontusionen an Ellbogen, Schulter und Hüfte mit zwei ausgedehnten Hämatomen im Bereich des proximalen Femur zu, was zu einer Arbeitsunfähigkeit führte. Es folgten nebst weiteren Behandlungsmassnahmen vier operative Eingriffe im Bereich der linken Hüfte (zuletzt am 13. Januar 2003). Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 27. Mai 2003 und Einspracheentscheid vom 28. November 2003 stellte sie die Leistungen auf den 30. Juni 2003 ein und verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Die von S._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 19. Oktober 2005 ab. Während des Gerichtsverfahrens hatte S._ am 22. Februar 2005 eine Schulterproblematik als Rückfall gemeldet. Die SUVA verneinte ihre Leistungspflicht hiefür mit Verfügung vom 25. April 2005 und Einspracheentscheid vom 30. September 2005. Dagegen reichte S._ ebenfalls Beschwerde ein, welche das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 7. September 2006 abwies. S._ erhob gegen beide kantonalen Gerichtsentscheide je Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesgericht vereinigte die Verfahren. Es hiess die Beschwerde gegen den Entscheid vom 19. Oktober 2005 teilweise gut, hob diesen und den Einspracheentscheid vom 28. November 2003 auf und wies die Sache an die SUVA zurück, damit diese ein versicherungsexternes medizinisches Gutachten einhole und über den Leistungsanspruch neu verfüge. Die Beschwerde gegen den Entscheid vom 7. September 2006 wies das Bundesgericht ab (Urteil vom 14. März 2007).
Die SUVA holte ein multidisziplinäres Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 22. April 2008 ein. Mit Verfügung vom 23. Juli 2008 und Einspracheentscheid vom 9. Oktober 2008 verneinte sie erneut jeglichen Anspruch aus dem Unfall vom 5. August 1998 über den 30. Juni 2003 hinaus. Zur Begründung führte sie aus, die noch geklagten Beschwerden seien nicht mit einem unfallbedingten Gesundheitsschaden zu erklären.
A.b Seit 1. August 1999 bezieht S._ eine (bis 30. April 2000 halbe, seit 1. Mai 2000 ganze) Invalidenrente der Schweizerischen Invalidenversicherung (IV).
B. Die von S._ gegen den Einspracheentscheid der SUVA vom 9. Oktober 2008 eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 17. August 2009 ab.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung von kantonalem Entscheid vom 17. August 2009, Einspracheentscheid vom 9. Oktober 2008 sowie Verfügung vom 23. Juli 2008 sei die SUVA zu verpflichten, auch nach dem 30. Juli 2003 sämtliche gesetzlichen Versicherungsleistungen zu erbringen. Zudem sei das kantonale Gericht anzuweisen, die SUVA zur Ausrichtung einer angemessenen Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren zu verpflichten.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Der Klarheit halber ist vorab festzuhalten, dass entgegen der Darstellung in der Beschwerde mit dem Urteil des Bundesgerichts vom 14. März 2007 der kantonale Gerichtsentscheid vom 19. Oktober 2005, nicht aber derjenige vom 7. September 2006 (betreffend Schulterbeschwerden als Rückfall), aufgehoben wurde (vgl. vorstehenden Sachverhalt).
3. Streitig ist, ob aus dem Unfall vom 5. August 1998 über den 30. Juni 2003 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht. Die massgeblichen Rechtsgrundlagen sind in den bisher ergangenen Entscheiden dargelegt. Das betrifft insbesondere den für einen Leistungsanspruch erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 181) sowie bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (<ref-ruling>) im Besonderen mit den zu beachtenden Beweisregeln.
4. Die SUVA ist im Einspracheentscheid vom 9. Oktober 2008 zum Ergebnis gelangt, die noch bestehenden Hüft- und Rückenbeschwerden seien nicht mit einer organischen Folge des Unfalls vom 5. August 1998 zu erklären. Das kantonale Gericht hat dies bestätigt. Ursächlich für die Persistenz der Beschwerden seien vielmehr Faktoren wie degenerative Veränderungen, eine Adipositas und eine ausgeprägte psychogene Komponente. Eine unfallkausale organisch nachweisbare Schädigung liege nicht vor.
4.1 Diese Beurteilung stützt sich auf das Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 22. April 2008. Darin wird zusammenfassend in Bezug auf die geklagten Rückenbeschwerden ausgeführt, dass die Beschwerden im Bereich der Lendenwirbelsäule (LWS) ein Jahr nach dem Unfall nicht mehr auf die hiebei erlittene Kontusion zurückzuführen gewesen seien. Ein Zusammenhang der noch geklagten linksseitigen Hüftbeschwerden zum Unfall sei nur möglich. Ein höherer Wahrscheinlichkeitsgrad könne bei Fehlen eines anatomisch-pathologischen Substrats und bei der damals gestellten Diagnose lediglich einer Kontusion nicht angenommen werden. Es müsse eine zusätzliche psychogene Komponente als Erklärung angenommen werden. Eine weitere Komponente sei die im Verlauf entstandene und durch psychogene Faktoren unterhaltene Adipositas.
Die Befunderhebungen und Folgerungen der Experten sind überzeugend begründet. Das Gutachten erfüllt auch sonst sämtliche Anforderungen an einen beweiswertigen Arztbericht (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 352), weshalb mit Versicherer und Vorinstanz darauf abzustellen ist. Demnach sind die noch geklagten Beschwerden nicht mit einer organischen Folge des Unfalls vom 5. August 1998 zu erklären und besteht unter diesem Gesichtspunkt kein weiterer Leistungsanspruch.
4.2 Was in der Beschwerde vorgetragen wird, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Namentlich kann aus der Aussage in der zusammenfassenden Beurteilung der Experten des medizinischen Zentrums X._, wonach die geklagten Schmerzen im Bereich der linken Hüfte "alleine mit organischen Befunden" nicht erklärt werden könnten, nicht auf einen unfallkausalen organischen Gesundheitsschaden geschlossen werden. Das ergibt sich bei genauer Betrachtung aus den fachärztlichen Teilgutachten und der Beantwortung der den Experten konkret gestellten Fragen. Dort wird ein solcher Gesundheitsschaden ausdrücklich verneint.
Der Versicherte macht sodann Beschwerden an der rechten Hüfte geltend. Aus dem Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 22. April 1998 ergibt sich indessen, dass der Beschwerdeführer gegenüber dem psychiatrischen Experten zwar angab, Schmerzen an der rechten Hüfte zu haben. Er präzisierte aber, diese träten nur ab und zu und bei besonderer Belastung auf. Gegenüber dem orthopädischen Gutachter erwähnte der Versicherte sodann, allerdings nur im Zusammenhang mit erschwertem Liegen bei Nacht, Schmerzen im Bereich des rechten Hüftknochens. Die auch an der rechten Hüfte durchgeführten Untersuchungen ergaben keine Anhaltspunkte für eine unfallbedingte Schädigung der rechten Hüfte. Wenn die fachärztlichen Experten in ihrer abschliessenden Beurteilung, wie in der Folge auch Versicherer und Vorinstanz, einer rechtsseitigen Hüftproblematik mit Blick auf die hier interessierende Frage einer (organischen) Unfallfolge keine weitere Bedeutung beigemessen haben, ist dies daher nicht zu beanstanden. Entgegen der Beschwerde war zur Klärung des medizinischen Sachverhalts auch kein Ergänzungsbericht der Experten des medizinischen Zentrums X._ erforderlich.
5. Umstritten ist sodann, ob ein Leistungsanspruch aufgrund einer unfallkausalen psychischen Gesundheitsstörung besteht.
5.1 Gemäss Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 22. April 2008 liegt eine mittelgradige depressive Episode mit somatischem Syndrom vor, welche die Arbeitsfähigkeit einschränkt.
Die SUVA hat ihre Leistungspflicht hiefür mit der Begründung verneint, es fehle am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen der psychischen Störung und dem Unfall vom 5. August 1998. Das kantonale Gericht hat dies bestätigt. Der Beschwerdeführer bejaht sowohl den adäquaten als auch den - von Versicherer und Vorinstanz offengelassenen - natürlichen Kausalzusammenhang.
5.2 Ausgangspunkt der Adäquanzbeurteilung bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (<ref-ruling> E. 6 S. 138 ff.). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07 E. 5.2 und 5.3.1).
SUVA und kantonales Gericht gehen von einem mittelschweren Unfall an der Grenze zu den leichten Unfällen aus. Diese Beurteilung ist entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung richtig. Der Versicherte stürzte, als er mit dem Motorrad einem Auto ausweichen musste, auf seine linke Körperseite, wobei er unter dem Motorrad (einer Yamaha 125 SR) zu liegen kam. Eine Kollision mit dem Auto fand nicht statt. Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass das Motorrad beim Unfall keine hohe Geschwindigkeit aufwies. Ein Zeuge sagte nämlich aus, er mit seinem Auto und der Versicherte auf dem Motorrad hätten ihre Fahrzeuge vor dem Unfall auf ca. 30 km/h verlangsamt und der Beschwerdeführer sei danach um eine Verkehrsinsel gefahren, als es - durch Fehlverhalten eines Drittwagenlenkers - zum Unfall gekommen sei. Dass das Motorrad, wie in der Beschwerde geltend gemacht wird, eine hohe Geschwindigkeit aufwies, ist demnach unwahrscheinlich. Gemäss den aufliegenden Fotografien wurde das Motorrad zudem nur leicht beschädigt. Das spricht ebenso gegen erhebliche Krafteinwirkungen beim Unfall wie der Umstand, dass der Versicherte laut Aussage des Zeugen nach dem Unfall in der Lage war, selber nach Hause zu gehen und sich anderntags am Arbeitsplatz einzufinden.
5.3 Bei der gegebenen Unfallschwere müssten von den weiteren massgeblichen Kriterien (<ref-ruling> E. 6c/aa S. 140) für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sein (<ref-ruling> E. 6c/bb S. 141). Das trifft gemäss SUVA und kantonalem Gericht nicht zu. Demgegenüber macht der Versicherte geltend, es seien sechs Kriterien in jeweils besonders ausgeprägter Weise erfüllt.
Im Einzelnen ergibt sich Folgendes:
5.3.1 Besonders dramatische Begleitumstände oder eine besondere Eindrücklichkeit des Unfalls liegen unstreitig nicht vor.
Das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen, insbesondere ihre erfahrungsgemässe Eignung, psychische Fehlentwicklungen auszulösen, ist mit Blick auf die hauptsächlich eingetretene Schädigung im Bereich der linken Hüfte zu verneinen. In der Beschwerde wird denn auch nicht weiter begründet, weshalb es erfüllt sein sollte.
Verlässliche Anhaltspunkte für eine ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert hat, liegen nicht vor. Das Kriterium ist demnach nicht gegeben. Dass nachträglich Zweifel an der medizinischen Indikation einzelner operativer Eingriffe geäussert wurden, verbunden mit der Vermutung, diese hätten allenfalls rein explorativen Charakter zur Verifizierung der geklagten Beschwerden gehabt, führt zu keinem anderen Ergebnis.
Aus persistierenden Beschwerden trotz durchgeführter Behandlungen und einer Arbeitsunfähigkeit darf noch nicht auf einen schwierigen Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen im Sinne des entsprechenden Kriteriums geschlossen werden (vgl. Urteil 8C_957/2008 vom 1. Mai 2009 E. 4.3.2 und, auch zum Folgenden, Urteil 8C_68/2009 vom 7. Mai 2009 E. 5.4 mit Hinweis). Es bedarf hiezu besonderer Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben. Derartige Gründe liegen nicht vor. Die erfolgten chirurgischen Eingriffe stellen entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung keine solchen Faktoren dar, mangelt es doch an Anhaltspunkten dafür, dass dadurch die Heilung der unfallbedingten Verletzungen erschwert wurde. Auch dieses Kriterium liegt somit nicht vor.
5.3.2 Die relevanten Kriterien sind demnach nicht in genügender Häufung gegeben, dass deswegen bei der gegebenen Unfallschwere der adäquate Kausalzusammenhang zu bejahen wäre. Hiefür müsste daher mindestens eines der verbleibenden drei Kriterien (ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung; körperliche Dauerschmerzen; Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit) in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Das trifft nicht zu. Zwar wurden über mehrere Jahre hinweg ambulante und stationäre Therapien, einschliesslich vier operativen Eingriffen an der linken Hüfte, durchgeführt. Den Akten lassen sich aber Unterbrüche zwischen einzelnen Behandlungsabschnitten entnehmen. Die Behandlungsmassnahmen richteten sich zudem auch auf nicht unfallbedingte Leiden. Letztere waren sodann zu einem nicht unerheblichen Teil mitverantwortlich für die geklagten Schmerzen und für die Arbeitsunfähigkeit. Die Kriterien liessen sich daher höchstens in der einfachen Form bejahen, was für die Bejahung der Adäquanz nicht genügt.
5.4 Nach dem Gesagten fehlt es an einem rechtserheblichen Zusammenhang zwischen dem Unfall vom 5. August 1998 und der psychischen Problematik. Versicherer und Vorinstanz haben daher zu Recht entschieden, dass sich auch unter diesem Gesichtspunkt kein Leistungsanspruch über den 30. Juni 2003 hinaus ergibt. Die Beschwerde ist somit abzuweisen, ohne dass noch auf die Frage der natürlichen Unfallkausalität des psychischen Gesundheitsschadens eingegangen werden müsste (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67, U 183/93 E. 3c; vgl. auch BGE 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 5.1).
6. Dem Ausgang des letztinstanzlichen Verfahrens entsprechend besteht kein Anlass, von der vorinstanzlichen Verlegung der Parteikosten abzuweichen.
7. Die Kosten des vorliegenden Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Februar 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz