Faits:
A.
Par avis publié au Bulletin officiel du canton du Valais le 13 juillet 2012, l'administration communale de Bagnes a mis à l'enquête publique la demande déposée par C._ pour "la démolition et la reconstruction d'une habitation avec agrandissement, parking enterré et la création de forages géothermiques sur la parcelle n° 2149 [du registre foncier communal] (projet selon art. 3 et 30 LC) ". Cette publication mentionnait un délai de 30 jours pour former opposition.
Le projet n'ayant pas suscité d'opposition, le Conseil communal de Bagnes a délivré l'autorisation de construire sollicitée, par décision du 24 août 2012.
Le 4 septembre 2012, A._ et B._, propriétaires d'une parcelle voisine, ont déclaré faire opposition à ce projet, affirmant que le délai légal y relatif de 30 jours pour ce faire partait de la pose des gabarits le 20 août 2012, au lieu du jour de la publication dans le Bulletin officiel. Par décision du 2 octobre 2012, le Conseil communal de Bagnes a déclaré l'opposition irrecevable pour cause de tardiveté. Le Conseil d'Etat du canton du Valais a rejeté le recours formé par les intéressés contre la décision communale d'irrecevabilité, par décision du 28 novembre 2012. A._ et B._ ont interjeté recours contre cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal), qui l'a rejeté en tant que recevable, par arrêt du 28 mars 2013. Elle a considéré en substance que la publication dans le Bulletin officiel était conforme à l'art. 37 de la loi cantonale sur les constructions du 8 février 1996 (LC; RSVS 705.1).
B.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent principalement au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du 28 mars 2013 en ce sens que le permis de démolir et de construire délivré le 24 août 2012 est nul, subsidiairement annulé. A titre subsidiaire, ils concluent à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision au sens des considérants.
Invités à déposer des observations, le Tribunal cantonal et le Conseil d'Etat valaisan renoncent à se déterminer, alors que la Commune de Bagnes et l'intimé concluent au rejet du recours. Les recourants ont renoncé à répliquer.
Par ordonnance du 23 mai 2013, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif présentée par les recourants.

Considérant en droit:
1.
Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions (<ref-law>), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée.
Les recourants ont pris part à la procédure de recours devant le Tribunal cantonal (<ref-law>). En tant que propriétaires d'une parcelle directement voisine du projet, A._ et B._ sont particulièrement touchés par l'arrêt attaqué confirmant l'irrecevabilité de leur opposition à un projet de construction, qu'ils tiennent en particulier pour non conforme à l'art. 75b Cst. Ils peuvent ainsi se prévaloir d'un intérêt personnel et digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué. Ils ont dès lors qualité pour agir au sens de l'<ref-law>.
Les autres conditions de recevabilité sont par ailleurs réunies, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière sur le fond.
2.
Les recourants reprochent au Tribunal cantonal d'avoir appliqué de manière arbitraire l'art. 37 LC régissant la procédure en matière d'enquête publique.
2.1. Appelé à revoir l'interprétation d'une norme cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - même préférable - paraît possible (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560). Dans ce contexte, le recourant est soumis aux exigences accrues de motivation de l'<ref-law>.
2.2. Les recourants soutiennent d'abord que l'avis paru dans le Bulletin officiel est trompeur et ne correspond pas à la "nature du projet" au sens de l'art. 37 let. b LC.
2.2.1. Selon la jurisprudence cantonale, une autorisation de construire délivrée au terme d'une procédure d'enquête publique ne peut plus être remise en cause, du moins lorsque les plans étaient suffisamment explicites et que l'avis d'enquête publique contenait les éléments objectivement nécessaires (RVJ 1990 consid. 2a p. 40).
Le contenu de cet avis est réglé par l'art. 37 LC, aux termes duquel la publication doit contenir le nom du requérant et de l'auteur du projet (let. a), la désignation exacte de la parcelle (numéro, plan et nom local), les coordonnées de la carte topographique, le nom du propriétaire et la nature du projet (let. b), l'affectation de la zone et l'indication des dispositions spéciales relatives à la construction pour les plans d'aménagement détaillés ou les plans de quartier (let. c), l'indication que le projet comporte des dérogations par rapport à la législation en vigueur, notamment à l'article 24 LAT (let. d), l'indication du lieu et de la date du dépôt du dossier et de la possibilité de faire opposition avec mention du délai d'opposition (let. e).
En l'espèce, le Tribunal cantonal a considéré que la description figurant dans le Bulletin officiel correspondait strictement au projet dont le plan de coupe A-A ou celui de façade ouest illustre exactement la démolition du seul chalet préexistant sur la parcelle n° 2149, sa reconstruction dans le même gabarit de hauteur que l'ancien avec l'adjonction d'un deuxième corps en décalé en façade est, corps de chalet individuel mesurant 213,15 m 2 de surface habitable, que complète un niveau de parking enterré pour quatre véhicules avec accès en sous-sol à la parcelle n° 2151. Il en a déduit qu'il y avait concordance entre la description du projet dans le Bulletin officiel et sa délimitation dans les plans que tenait à disposition le bureau communal.
Si la description du projet telle qu'est formulée dans l'avis de mise à l'enquête est imprécise, l'argumentation du Tribunal cantonal ne paraît pas manifestement contraire au sens et au but de l'art. 37 let. b LC. Les recourants ne démontrent pas que la solution retenue par l'instance précédente aurait été adoptée sans motifs objectifs. Ils soutiennent qu'ils ne pouvaient pas déduire de l'avis d'enquête la construction d'une deuxième habitation mitoyenne à celle qui allait être reconstruite après démolition du chalet sis sur la parcelle n° 2149. Cela ne permet toutefois pas de retenir que le Tribunal cantonal aurait appliqué la disposition précitée de manière arbitraire, dans la mesure où l'adjonction d'un second corps de chalet mitoyen peut être raisonnablement comprise dans l'expression "reconstruction avec agrandissement". Le grief doit donc être écarté.
2.3. Les recourants font ensuite valoir que l'avis d'enquête n'indiquait pas que le projet comportait des dérogations à la réglementation en vigueur et ne satisfaisait ainsi pas aux exigences de l'art. 37 let. d LC. La publication au Bulletin officiel mentionne dans une parenthèse que le projet était "selon art. 3 et 30 LC". Les articles précités traitent respectivement du droit acquis et du principe des dérogations. Les recourants soutiennent qu'un lecteur ne peut comprendre qu'un projet "selon art. 3 et 30 LC" est en réalité un projet dont la réalisation ne sera possible que si des dérogations sont accordées.
La cour cantonale a jugé que cette formule satisfaisait à l'art. 37 let. d LC qui veut que la publication indique que le projet comporte des dérogations par rapport à la législation en vigueur, ce que permettait de constater la simple lecture des plans joints au dossier. Cette indication était donc de nature à inciter le lecteur de la publication, tout particulièrement le voisin, de se rendre compte par lui-même de ce que pouvait comporter un projet dont le libellé correspondait à celui exigé par l'art. 37 LC.
Les recourants ne parviennent pas à démontrer que l'appréciation de la cour cantonale est insoutenable. Il est vrai que la mention "selon art. 3 et 30 LC" n'indique pas l'existence de dérogations de manière aussi évidente que lorsque le terme "dérogation" apparaît expressément dans l'avis d'enquête, formulation qui a été faite pour d'autres projets publiés le même jour dans le Bulletin officiel concernant la même commune. Si cette manière de procéder est discutable, elle ne permet toutefois pas de retenir que le Tribunal cantonal aurait appliqué l'art. 37 let. d LC de manière arbitraire, dans la mesure où l'indication que le projet comporte des dérogations figure dans l'avis de mise à l'enquête, certes de manière peu explicite; un voisin attentif pouvait se renseigner sur le contenu de la mention litigieuse.
2.4. Les recourants dénoncent encore le fait que les gabarits ont été posés après l'expiration du délai de mise à l'enquête publique. Ils se plaignent d'une application arbitraire de l'art. 38 de l'ordonnance sur les constructions du 2 octobre 1996 (OC; RSVS 705.100).
2.4.1. Conformément à l'art. 38 al. 1 OC, l'autorité compétente peut exiger la pose de gabarits pour indiquer l'implantation et les dimensions extérieures de la construction ou de l'installation projetée. Les gabarits doivent, notamment aux angles du bâtiment, indiquer la hauteur des façades (intersection de la façade avec la ligne de toiture et inclinaison de cette ligne). L'alinéa 2 de cette disposition prévoit qu'en l'absence d'opposition et sous réserve de décision contraire de l'autorité compétente, les gabarits doivent être enlevés à l'expiration du délai d'enquête publique. Quant à l'alinéa 3, il dispose que lorsqu'au moment de l'enquête publique d'un projet, les gabarits ne sont pas posés de manière réglementaire, ou diffèrent de manière essentielle des plans de construction, le défaut doit être corrigé et une nouvelle publication indiquant un nouveau délai d'opposition doit avoir lieu.
L'art. 15 let. a du règlement de construction de la commune de Bagnes de décembre 1999 prévoit que pour les constructions nouvelles et les agrandissements la pose de gabarits peut être exigée à la demande des voisins ou de la commune dès l'ouverture de l'enquête publique. Le délai d'enquête n'est pas prolongé.
2.4.2. En l'occurrence, le Tribunal cantonal a jugé que l'usage qu'a fait le Conseil communal de la faculté d'ordonner la mise en place de gabarits n'interfère pas sur l'application des prescriptions régissant la publication d'une demande; l'appréciation que peut avoir le voisin de la pose de gabarits par rapport à celle qu'il doit déduire de la lecture des plans s'il les consulte à temps n'est pas de nature à justifier son omission de faire opposition dans le délai. Dès lors que l'examen des plans, dessinés à 1/100 ème, permettait de se rendre compte des volumes projetés par rapport aux immeubles voisins et au terrain naturel, la mise en place de gabarits n'était pas de nature à faire courir un nouveau délai équivalent à celui de l'enquête publique, ce que précise d'ailleurs l'art. 15 let. a du règlement communal.
Les recourants soutiennent que si l'autorité communale opte pour la pose de gabarits, elle doit la mettre en oeuvre conformément au but et à l'esprit de la disposition légale, donc avant l'expiration du délai d'opposition au projet.
2.4.3. A teneur de l'art. 22 al. 1 LAT, aucune construction ou installation ne peut être créée ou transformée sans autorisation de l'autorité compétente. Il appartient ainsi au constructeur de présenter une demande de permis de construire contenant les plans et calculs nécessaires suivant le projet concerné; quant au droit cantonal, il règle les détails de la procédure, notamment la question d'une éventuelle mise en place de gabarits (Alexander Ruch, in Commentaire LAT, 2010, n. 43 ad art. 22). Afin d'assurer l'information des milieux intéressés, la demande de permis de construire doit être publiée; si cette publication n'intervient qu'après l'octroi de l'autorisation, elle ne remplit pas sa fonction et contrevient ainsi au droit fédéral (Ruch, op. cit., n. 45 ad art. 22).
A la différence de certaines lois cantonales (cf. Peter Hänni, Planungs-, Bau und besonderes Umweltschuztrecht, 5 ème édition 2008, p. 330), l'art. 38 OC ne prescrit pas la pose systématique de gabarits avant l'ouverture de l'enquête publique. La jurisprudence cantonale a d'ailleurs rappelé que, sauf disposition communale contraire, une telle mesure est une question d'opportunité qui relève du pouvoir discrétionnaire des autorités concernées et l'on ne saurait donc en déduire un droit subjectif en faveur l'intéressé (RVJ 2003 p. 45 consid. 3b). Le caractère dispositif de l'art. 38 OC ne signifie cependant pas encore que, lorsque l'autorité compétente a exigé le "profilement", une telle mesure demeure sans conséquence juridique. En effet, lorsque la pose de gabarits a été ordonnée, cela signifie que l'autorité considérait cette mesure comme étant nécessaire à la procédure d'enquête publique. Or si cette procédure s'est déroulée sans mise en place de gabarit, le délai pour former opposition n'a pas pu commencer à courir (<ref-ruling> consid. 3b p. 26; Hänni, op. cit., p. 332; Z EN-RUFFINEN/GUY-ECABERT, Aménagement du territoire, construction, expropriation, 2001, n° 918 p. 402; NICOLAS MICHEL, Droit public de la construction, 1997, n° 1469 p. 291). L'art. 38 al. 3 1 ère hypothèse OC est conforme à ce principe puisqu'il impose un nouveau délai d'opposition lorsque les gabarits n'ont pas été posés "de manière réglementaire", à savoir lorsqu'ils n'ont pas été placés alors qu'ils auraient dû l'être. En outre, en prescrivant que les gabarits doivent être enlevés "à l'expiration du délai d'enquête", l'art. 38 al. 2 OC insiste sur l'importance d'une coïncidence chronologique entre publication et pose des gabarits.
En interprétant l'art. 38 OC de manière restrictive, sans le placer dans le contexte général de l'enquête publique et sans tenir compte du but d'information inhérent à la pose de gabarits, la cour cantonale a violé de manière manifeste le sens et le but de la disposition en question. Le résultat auquel elle est parvenue doit être qualifié d'arbitraire et l'arrêt cantonal annulé.
3.
Par conséquent, il y a lieu d'admettre le recours, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs traitant de la violation des art. 9 et 75b Cst. L'arrêt attaqué et la décision du Conseil d'Etat du 28 novembre 2012 sont annulés. Le vice entachant la procédure de mise à l'enquête a empêché les recourants de faire valoir leurs droits, de sorte qu'il entraîne l'annulation de l'autorisation de construire délivrée le 31 août 2012 ainsi que de la décision du 2 octobre 2012 du Conseil communal déclarant l'opposition des recourants tardive. La cause est renvoyée au Conseil communal pour qu'il entre en matière sur l'opposition formée par les recourants le 4 septembre 2012 et examine la pertinence des motifs soulevés (<ref-law>).
4.
Aucun frais ne peut être mis à la charge de la commune de Bagnes (<ref-law>); les frais judiciaires sont donc supportés pour moitié par l'intimé (art. 66 al. 1 et 5 LTF). Les recourants, qui obtiennent gain de cause avec l'aide d'un avocat, ont droit à des dépens, à la charge de l'intimé et de la Commune de Bagnes (art. 68 al. 1 et 2 et art. 66 al. 5 par renvoi de l'<ref-law>). La cause sera renvoyée à l'instance précédente pour qu'elle statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé, de même que la décision du Conseil d'Etat du 28 novembre 2012 ainsi que l'autorisation de construire du 31 août 2012. La cause est renvoyée au Conseil communal de Bagnes pour nouvelle décision au sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires pour la procédure fédérale, arrêtés à 1'000 francs, sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Une indemnité de dépens de 2'500 francs est allouée aux recourants, à la charge de l'intimé et de la Commune de Bagnes, pris solidairement entre eux.
4.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour qu'il statue sur les frais et les dépens de la procédure cantonale.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, à la Commune de Bagnes, au Conseil d'Etat du canton du Valais et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 7 février 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Tornay Schaller