Sachverhalt:
A. Die 1953 geborene S._ arbeitete seit 1982 im Gastgewerbe. Ihre letzte Stelle als Chef de Service Frühstück in einem Hotel gab sie nach fast 14-jähriger Tätigkeit auf Ende Mai 2004 auf, ohne danach weiter einem Erwerb nachzugehen. Im August 2006 meldete sich S._ bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Nach Abklärungen teilte ihr die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Vorbescheid vom 3. August 2007 mit, es bestehe kein Rentenanspruch. Dagegen liess die Versicherte Einwände erheben. In der Folge wurde S._ im medizinischen Zentrum X._ gutachtlich abgeklärt (Expertise vom 13. Juni 2008). Mit Verfügung vom 6. Oktober 2008 wies die IV-Stelle das Leistungsbegehren ab.
B. Die Beschwerde der S._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 15. März 2010 ab.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 15. März 2010 und die Verfügung vom 6. Oktober 2008 seien aufzuheben und ihr ab 1. Januar 2006 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen, eventualiter die Sache an das kantonale Sozialversicherungsgericht oder an die IV-Stelle zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen, allenfalls nach weiteren medizinischen Abklärungen, zurückzuweisen. Auf die Beschwerdevorbringen wird, soweit erforderlich, in den Erwägungen eingegangen.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Die Vorinstanz hat eine Arbeitsfähigkeit von 100 % in einer leidensangepassten Tätigkeit gemäss Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 13. Juni 2008 festgestellt und gestützt darauf durch Einkommensvergleich (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) einen nicht anspruchsbegründenden Invaliditätsgrad von höchstens 14 % ermittelt (<ref-law>). Aufgrund der Beschwerdevorbringen stellt sich die Frage, ob diese Feststellung über die Arbeitsfähigkeit als einer Tatfrage (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 3.2 S. 397 unten ff.) Bundesrecht verletzt.
2. 2.1 Gemäss Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 13. Juni 2008 ist die Beschwerdeführerin in der zuletzt ausgeübten Tätigkeit im Frühstückservice nicht mehr arbeitsfähig. In einer behinderungsangepassten leichten wechselbelastenden Tätigkeit ohne repetitive und mehr als gelegentliche Belastung der Hand- und Fingergelenke nicht nur in der Grob- sondern auch in der Feinmotorik besteht eine Arbeitsfähigkeit von 100 %. Im rheumatologischen Teilgutachten vom 19. März 2008 waren als zusätzliche Einschränkungen "ohne Arbeiten über die Armhorizontale hinaus, ohne Kälte-, Hitze-und Nässeexposition" erwähnt worden. Die Einschätzung der Arbeitsfähigkeit durch das medizinische Zentrum X._ lautet somit dahin, dass die zuletzt ausgeübte Tätigkeit im Frühstückservice zwar nicht mehr zumutbar, die Beschwerdeführerin aber in einer behinderungsangepassten Tätigkeit 100 % arbeitsfähig sein soll. Als Chef de Service hatte die Beschwerdeführerin jedoch nicht als gewöhnliche Servierkraft gearbeitet. Gemäss den bei den Akten befindlichen Zeugnissen gehörten vielmehr Organisations- und Überwachungsaufgaben zu ihrem Pflichtenheft; ebenfalls hatte sie Aufgaben in der Mitarbeiterschulung und -betreuung wahrzunehmen. Es ist daher nicht einsehbar, dass die letzte jahrelang ausgeübte Tätigkeit als Chef de Service mit dem rheumatologischen Anforderungsprofil unvereinbar, die Beschwerdeführerin aber gleichzeitig in den mindestens ebenso belastenden manuellen Verweisungstätigkeiten voll arbeitsfähig sein soll. Das Gutachten des medizinischen Zentrums X._ ist somit im entscheidenden Punkt widersprüchlich, weshalb darauf rechtens nicht abgestellt werden darf (<ref-ruling> E. 3a S. 352). Die Arbeits(un)fähigkeit bedarf daher zwingend ergänzender Abklärungen.
2.2 Mit Bezug auf die ebenfalls bestrittene erwerbliche Verwertbarkeit der verbliebenen Arbeitsfähigkeit ist das trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung zumutbarerweise erzielbare Einkommen bezogen auf einen ausgeglichenen Arbeitsmarkt zu ermitteln (<ref-law>). Ein solcher Arbeitsmarkt ist gekennzeichnet durch ein gewisses Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage nach Arbeitskräften und weist einen Fächer verschiedenster Tätigkeiten auf, und zwar sowohl bezüglich der dafür verlangten beruflichen und intellektuellen Voraussetzungen wie auch hinsichtlich des körperlichen Einsatzes (<ref-ruling> E. 4b S. 276; ZAK 1991 S. 318, I 350/89, E. 3b). Dabei ist nicht von realitätsfremden Einsatzmöglichkeiten auszugehen. Es können nur Vorkehren verlangt werden, die unter Berücksichtigung der gesamten objektiven und subjektiven Gegebenheiten des Einzelfalles zumutbar sind (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 97/00 vom 29. August 2002 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Anderseits sind an die Konkretisierung von Arbeitsgelegenheiten und Verdienstaussichten keine übermässigen Anforderungen zu stellen (AHI 1998 S. 287, I 198/97, E. 3b; SVR 2008 IV Nr. 62, 9C_830/2007, E. 5.1).
Indem das kantonale Sozialversicherungsgericht ohne nähere Prüfung, ob das vielfältig medizinisch eingeschränkte Leistungsvermögen arbeitsmarktlich verwertbar sei, das Invalideneinkommen auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2006 des Bundesamtes für Statistik (LSE 06), ausgehend vom durchschnittlichen monatlichen Bruttolohn (Zentralwert) von Frauen in einfachen und repetitiven Tätigkeiten (Anforderungsniveau des Arbeitsplatzes 4) im privaten Sektor (Fr. 4'019.-; LSE 06 S. 25), ermittelt hat (<ref-ruling>), verletzt es Bundesrecht. Denn es geht nicht an, einer versicherten Person, welche im Rahmen der Wahrnehmung der Schadenminderungspflicht auf Hilfstätigkeiten - dem für sie in Betracht fallenden Teil des Arbeitsmarktes - verwiesen wird, den entsprechenden Tabellenlohn anzurechnen, wenn das Leistungsvermögen, wie rheumatologisch beschrieben, in einer Weise limitiert ist, dass manuelle Arbeiten kaum noch in den Anforderungen eines durchschnittlichen Betriebes genügender Weise geleistet werden können. Wenn eine Hilfsarbeiterin ihre Hand- und Fingergelenke weder repetitiv noch mehr als gelegentlich belasten darf, kann ihr nicht über die "behinderungsangepasste Tätigkeit" - im Falle der Beschwerdeführerin eine Leerformel - der durchschnittliche Hilfsarbeiterinnenlohn angerechnet werden. Dieser vom medizinischen Zentrum X._ verwendete, der vorinstanzlichen Tatsachenfeststellung zugrunde liegende Begriff bedarf im Falle der manuell erheblich eingeschränkten Beschwerdeführerin der arbeitsmarktlichen Konkretisierung durch die Fachleute der Berufsberatung (<ref-ruling> E. 2b S. 20), was bisher nicht geschehen ist und von der Beschwerdegegnerin nachzuholen sein wird. Den Ergebnissen wird bei der Ermittlung des Invalideneinkommens, bei der Wahl des Tabellenlohnes (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 483; RKUV 2001 Nr. U 439 S. 347, U 240/99; Urteil 9C_55+102/2007 vom 18. Oktober 2007 E. 5.3.2) oder beim Abzug vom Tabellenlohn (Kriterium "leidensbedingte Einschränkung"; <ref-ruling> E. 5b/aa-bb S. 79 f., 124 V 321 E. 3b/aa S. 323; vgl. Urteil 9C_469/2008 vom 18. August 2008 E. 5.2.2) Rechnung zu tragen sein. Das Alter von 53 Jahren ist nicht von Bedeutung.
3. Die Sache ist somit nicht spruchreif. Die tatsächlichen Grundlagen sind in Bezug auf die Arbeitsfähigkeit sowie deren Verwertbarkeit und damit für eine rechtskonforme Ermittlung des Invaliditätsgrades ungenügend (E. 2), was Bundesrecht verletzt (<ref-law>). Die IV-Stelle wird im Sinne der vorstehenden Erwägungen ergänzende Abklärungen vorzunehmen haben. Danach wird sie über den Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Invalidenrente neu verfügen.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die IV-Stelle die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 15. März 2010 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 6. Oktober 2008 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Verwaltung zurückgewiesen, damit sie nach Abklärungen im Sinne der Erwägungen über den Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Rente der Invalidenversicherung neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle des Kantons Zürich auferlegt.
3. Die IV-Stelle des Kantons Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hat die Gerichtskosten und die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren neu festzusetzen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Juli 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler