Erwägungen:
1. 1.1 Die Y._ AG in Liq. ist eine Rückversicherungsanstalt, die der Aufsicht des Bundesamts für Privatversicherung untersteht. Am 29. September 2000 entschied sie, keine neuen Rückversicherungsverträge mehr abzuschliessen, sondern das bestehende Geschäft auslaufen zu lassen. Die Aktionäre beschlossen am 10. August 2005, die Gesellschaft in Liquidation zu setzen. Daraufhin reichte diese am 14. Dezember 2005 beim Bundesamt ein Gesuch um Entlassung aus der Versicherungsaufsicht ein. Mit Verfügung vom 28. Juli 2006 wies das Bundesamt dieses Gesuch im Wesentlichen ab. Dagegen erhob die Y._ AG in Liq. am 14. September 2006 Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht. Am 10. Mai 2006 bzw. 18. Oktober 2007 verlangte die X._ AG beim Bundesamt, es sei ihr im Verfahren der Y._ AG Parteistellung und Akteneinsicht zu gewähren. Am 26. Oktober 2007 reichte sie beim Bundesverwaltungsgericht ein analoges Begehren für das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht ein. Mit als Teilentscheid bezeichnetem Entscheid vom 23. Januar 2008 wies das Bundesverwaltungsgericht das Gesuch der X._ AG um Gewährung der Parteistellung im Beschwerdeverfahren ab.
1.2 Gegen diesen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts erhob die X._ AG am 3. März 2008 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, der Entscheid sei aufzuheben, die Sache sei an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen und dieses sei anzuweisen, der X._ AG im Beschwerdeverfahren der Y._ AG in Liq. uneingeschränkt Parteistellung zuzuerkennen und Akteneinsicht und im Anschluss daran das rechtliche Gehör zu gewähren.
1.3 Am 29. Januar 2008, also noch vor Einreichung der Beschwerde der X._ AG beim Bundesgericht, wies das Bundesverwaltungsgericht die bei ihm hängige Beschwerde in der Sache ab, wovon die X._ AG offenbar bis zur Einreichung ihrer Beschwerde keine Kenntnis erhielt. Mit Schreiben vom 17. April 2008 informierte das Bundesverwaltungsgericht das Bundesgericht darüber, in der Zwischenzeit den Entscheid in der Sache gefällt zu haben.
1.4 Mit Verfügung vom 24. April 2008 setzte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts den Verfahrensbeteiligten Frist, sich zur Verfahrenserledigung durch Abschreibung wegen Gegenstandslosigkeit sowie zur Kostenregelung zu äussern.
1.5 Die X._ AG und das Bundesamt für Privatversicherungen wenden sich nicht gegen eine Abschreibung wegen Gegenstandslosigkeit, auch wenn das Bundesamt alternativ die Möglichkeit eines Nichteintretens erwägt. Die X._ AG stellt das Begehren, es sei in der Hauptsache zu entscheiden, ob ihr im Rahmen des aufsichtsrechtlichen Verfahrens Parteistellung und Akteneinsicht einzuräumen seien; überdies seien die Verfahrenskosten der Y._ AG in Liq. aufzuerlegen, und es sei diese zur Leistung einer Parteientschädigung an die X._ AG zu verpflichten. Die Y._ AG in Liq. hat sich innert Frist nicht vernehmen lassen.
2. 2.1 Zwar erscheint fraglich, ob es der Beschwerdeführerin bereits bei der Beschwerdeerhebung an einem rechtlichen Interesse fehlte oder ob dieses erst nachträglich dahin gefallen ist. Aus objektiver Sicht bestand an sich kein massgebliches Interesse an einer Anfechtung des Entscheides der Vorinstanz vom 23. Januar 2008, nachdem das Urteil in der Sache am 29. Januar 2008 erging und damit bereits gefällt war, als die Beschwerdeführerin am 3. März 2008 die Beschwerde beim Bundesgericht einreichte. Subjektiv hatte die Beschwerdeführerin vom Urteil in der Sache allerdings keine Kenntnis, weshalb sie davon ausgehen durfte, an der Einreichung der Beschwerde interessiert zu sein. Wie es sich damit verhält, kann aber offen bleiben. Kein einziger Verfahrensbeteiligter wendet sich gegen die Abschreibung des Rechtsstreites. Selbst das Bundesamt, das gewisse Zweifel an der Verfahrenserledigung äussert, erhebt ausdrücklich keine Einwendungen gegen die Abschreibung. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich, den Rechtsstreit als erledigt vom Geschäftsverzeichnis abzuschreiben.
2.2 Im Rahmen der Vernehmlassung zur Erledigung des Streites und zu den Kostenfolgen stellt die Beschwerdeführerin den Antrag, es sei ihr im Rahmen des aufsichtsrechtlichen Verfahrens, d.h. im Verfahren vor dem Bundesamt, Parteistellung und Akteneinsicht einzuräumen. Dieser Antrag ist aus doppeltem Grund unzulässig: Erstens wurde er bei Beschwerdeerhebung nicht gestellt und ist daher ohnehin verspätet. Zweitens bildete die Frage nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheides, weshalb der Antrag ausserhalb des Streitobjekts steht. Über das Gesuch der Beschwerdeführerin, es seien ihr im Aufsichtsverfahren Parteirechte zu gewähren, hat das Bundesamt nämlich nie förmlich verfügt. Im vorliegenden Verfahren ging es einzig um die Parteirechte im Beschwerdeverfahren vor der Vorinstanz.
2.3 Erklärt das Bundesgericht einen Rechtsstreit als erledigt, entscheidet es mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen (<ref-ruling> E. 2a S. 374). Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen. Vielmehr muss es bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt und unter Umständen der Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage präjudiziert werden. Lässt sich der mutmassliche Ausgang eines Verfahrens im konkreten Fall nicht ohne weiteres feststellen, ist auf allgemein zivilprozessrechtliche Kriterien zurückzugreifen. Danach wird in erster Linie jene Partei kosten- und entschädigungspflichtig, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geführt haben (SVR 1998 UV Nr. 11 S. 33 E. 6a mit Hinweisen).
2.4 Nach der Rechtsprechung ist für die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen nur dann auf den mutmasslichen Ausgang des Verfahrens abzustellen, wenn sich dieser ohne weiteres feststellen lässt. Das ist hier nicht der Fall. Schon die Zulässigkeit der Beschwerde erscheint fraglich. Entgegen der Bezeichnung als Teilentscheid fällt das angefochtene Urteil wohl kaum in den Anwendungsbereich von <ref-law>, sondern stellt eher einen Zwischenentscheid dar. Diesfalls unterstünde die Zulässigkeit der Beschwerde allerdings besonderen Voraussetzungen; namentlich wäre erforderlich, dass der Beschwerdeführerin durch den angefochtenen Entscheid ein nicht wieder gutzumachender Nachteil erwachsen würde (vgl. <ref-law>), was hier nicht offensichtlich ist. Ebenso wenig erscheint die eigentliche Hauptfrage in der Sache klar, ob nämlich der Beschwerdeführerin Parteistellung und Akteneinsicht im Beschwerdeverfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht hätte eingeräumt werden müssen. Die Frage bedürfte eingehender Prüfung und Abwägung und ist nicht liquid.
2.5 Für die Bestimmung der Kostenfolgen ist demnach auf das allgemeine Kriterium zurückzugreifen, wer das Verfahren vor dem Bundesgericht veranlasst hat. Das ist die Beschwerdeführerin. Am bundesgerichtlichen Verfahren überhaupt nicht beteiligt hat sich die Beschwerdegegnerin. Allerdings trifft die Beschwerdeführerin grundsätzlich kein Vorwurf, hatte sie doch vom ergangenen Endurteil der Vorinstanz in der Sache bei Erhebung der Beschwerde gegen den Teil- bzw. Zwischenentscheid keine Kenntnis. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich, von der Erhebung von Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren abzusehen und keine Parteientschädigungen zuzusprechen (vgl. Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 BGG).

Demnach verfügt der Einzelrichter:
1. Die Beschwerde wird als erledigt vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Diese Verfügung wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Müller Uebersax