Erwägungen:
1.
Die Helvetia Nostra erhob gegen ein von X._ am 20. November 2012 für den Neubau eines Einfamilienhauses in Lenzerheide eingereichtes Baugesuch Einsprache. Am 20. Dezember 2012 trat die Gemeinde Vaz/Obervaz auf die Einsprache nicht ein und bewilligte das Vorhaben unter Auflagen.
Hiergegen wandte sich die Helvetia Nostra mit einer Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Dessen 5. Kammer trat mit Urteil vom 19. Februar 2013 auf die Beschwerde nicht ein und auferlegte die auf Fr. 1'033.-- bestimmten Gerichtskosten der Beschwerdeführerin. Gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil gelangte die Helvetia Nostra mit Beschwerde vom 18. März 2013 ans Bundesgericht.
Gemäss Schreiben vom 14. Juli 2013 hat die Beschwerdegegnerin das Baugesuch zurückgezogen.
2.
2.1. Durch den Rückzug des Baugesuchs ist die vorliegende Beschwerde gegenstandslos geworden. Sie ist daher als erledigt abzuschreiben (<ref-law>), wobei mit summarischer Begründung über die Prozesskosten zu entscheiden ist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
Die Beschwerdeführerin hält dafür, allfällige Verfahrenskosten seien der Bauherrschaft aufzuerlegen. Die übrigen Verfahrensbeteiligten haben sich zur Kostenfrage nicht geäussert.
2.2. Die Verfahrenskosten werden derjenigen Partei auferlegt, die sie verursacht hat (Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG). Demgemäss rechtfertigt es sich, der Beschwerdegegnerin die Kosten der durch den Baugesuchsrückzug gegenstandslos gewordenen Rechtsmittelverfahren aufzuerlegen. Aufgrund des Rückzugs des Baugesuchs in einem frühen Stadium des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die diesbezüglichen Kosten auf eine reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 300.-- festzusetzen (<ref-law> analog).
Mit Blick auf das soeben Gesagte, den Baugesuchsrückzug und das Verursacherprinzip, steht der - ohnehin nicht anwaltlich vertretenen - Beschwerdegegnerin keine Parteientschädigung zu.
Die Beschwerdeführerin ihrerseits ist nicht anwaltlich vertreten und hat daher praxisgemäss ebenfalls keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung.
Ebenso steht der in ihrem amtlichen Wirkungskreis tätigen Gemeinde keine Parteientschädigung zu (<ref-law>; s. dazu <ref-ruling>).
3. Wie ausgeführt, ist das vorliegende Verfahren mit dem Baugesuchsrückzug gegenstandslos geworden.
Durch die am 22. Mai 2013 ergangenen Urteile des Bundesgerichts betreffend Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra und unmittelbare Anwendbarkeit der Art. 75b und 197 Ziff. 9 BV (<ref-ruling>, 263 und 271) ist die Basis des dem bundesgerichtlichen Verfahren zugrunde liegenden verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 19. Februar 2013 und des ursprünglichen kommunalen Entscheids vom 20. Dezember 2012 massgebend verändert worden, was selbstredend Auswirkungen auf deren Kostenregelungen zur Folge hat.
Hinsichtlich des verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahrens ist es angezeigt, dass das Bundesgericht die diesbezügliche Kostenregelung wie in früheren Fällen sogleich selber neu trifft. Nachdem die Beschwerdegegnerin ihr Baugesuch zurückgezogen hat, rechtfertigt es sich, ihr die verwaltungsgerichtlichen Kosten, gemäss Urteil vom 19. Februar 2013 ausmachend Fr. 1'033.--, aus denselben Gründen wie die bundesgerichtlichen Kosten aufzuerlegen. Sodann steht der Beschwerdeführerin auch für das kantonale Verfahren keine Parteientschädigung zu, da sie auch damals nicht anwaltlich vertreten war.
Auf welche Weise die Gemeinde Vaz/Obervaz den nunmehrigen Abschluss des kommunalen Baubewilligungs- und Einspracheverfahrens im Kostenpunkt gemäss ihren Verfahrenstarifen zu regeln haben wird, lässt sich hier nicht abschätzen. Die Sache geht daher insoweit zurück an die Gemeinde.

Demnach wird erkannt:
1.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_305/2013 wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
Es wird festgestellt, dass der am 20. Dezember 2012 ergangene kommunale Baubewilligungs- und Einspracheentscheid sowie das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 19. Februar 2013 gegenstandslos geworden sind. Die Sache geht zurück an die Gemeinde Vaz/Obervaz zur Prüfung der Kostenfrage hinsichtlich des nunmehrigen Abschlusses des kommunalen Verfahrens.
2.
Der Beschwerdegegnerin X._ werden die auf Fr. 1'033.-- festgesetzten verwaltungsgerichtlichen Kosten und die bundesgerichtlichen Kosten von Fr. 300.-- auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Vaz/Obervaz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Oktober 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp