A.- De 1974 à 1994, le demandeur Alain Driancourt a travaillé au service du Crédit Agricole Indosuez (défenderesse; ci-après: Indosuez), en qualité d'employé, puis de cadre et, enfin, de directeur adjoint de la succursale de Genève.
En septembre 1990, la société américaine Flexible Multicomputer Corp. (ci-après: Flexible) a assigné Indosuez devant les tribunaux du Texas (Etats-Unis d'Amérique) en paiement de 6 millions de dollars à titre de dommages-intérêts, plus 18 millions de dollars à titre de pénalité, du fait d'une prétendue promesse articulée par Alain Driancourt et non tenue au sujet d'un nouveau prêt. Le 3 novembre 1994, Alain Driancourt et Indosuez ont conclu une convention mettant fin à leurs rapports de travail, organisant une future collaboration sous forme de mandat et prévoyant le versement de 600 000 fr. à Alain Driancourt. Les parties ont déclaré, en outre, renoncer à faire valoir l'une envers l'autre toutes autres prétentions déduites du contrat de travail.
En mai 1996, Indosuez a prié Alain Driancourt de témoigner aux Etats-Unis ou en France voisine, dans la procédure judiciaire l'opposant à Flexible. Alain Driancourt s'y est refusé. Par acte du 20 août 1996, Indosuez l'a appelé en cause dans la procédure texane l'opposant à Flexible; elle a expliqué que son refus de témoigner la contraignait à agir de la sorte. Alain Driancourt avait préalablement, soit dès juin 1996 en tout cas, constitué pour sa défense Me Bruce Martindale, avocat au Texas (recte: l'Etude Baker et Mackenzie), qui a déposé, le 7 octobre 1996, devant le tribunal texan, une demande tendant à ce que soit prononcée l'irrecevabilité de l'appel en cause; il n'a pas été établi que d'autres actes de procédure auraient été accomplis pour le compte d'Alain Driancourt dans cette procédure.
Après suspension puis reprise de la procédure, la demande principale a finalement été retirée sans désistement d'instance, Flexible et Indosuez ayant trouvé un accord mettant fin à leur différend. Conséquemment, l'appel en cause dirigé par Indosuez contre Alain Driancourt a également été retiré sans désistement d'instance. Ces retraits ont été entérinés par ordonnances du juge texan du 23 avril 1998, lesquelles précisaient que les dépens de la procédure seraient supportés par chacune des parties.
B.- Par demande déposée le 7 octobre 1996, Alain Driancourt a ouvert action contre Indosuez devant la juridiction des prud'hommes du canton de Genève. Il a pris des conclusions visant l'appel en cause et tendant à faire constater l'incompétence du tribunal texan. Il a également invité la juridiction saisie à constater qu'en déposant un appel en cause devant le tribunal texan, Indosuez avait violé ses obligations contractuelles découlant de la convention du 3 novembre 1994, concluant dès lors à ce que la défenderesse fût condamnée à l'indemniser du dommage résultant de la violation de ladite convention à concurrence de 100 000 fr. Dans sa réponse, Indosuez a pris des conclusions tendant à faire constater l'incompétence du Tribunal des prud'hommes et, subsidiairement, à obtenir une suspension de la cause jusqu'à droit jugé aux Etats-Unis; elle a, d'autre part, déclaré invalider la convention du 3 novembre 1994 pour cause d'erreur essentielle et de dol.
Par jugement du 25 août 1997, le Tribunal des prud'hommes de Genève s'est déclaré incompétent pour connaître des conclusions du demandeur visant l'appel en cause et la compétence du tribunal texan. Il a, en revanche, admis sa compétence à raison de la matière pour connaître des autres conclusions du demandeur et a suspendu la cause jusqu'à droit jugé dans la procédure texane. Ce jugement a été confirmé le 13 mai 1998 par la Chambre d'appel des prud'hommes, qui a renvoyé la cause au Tribunal pour reprise de l'instruction, vu le retrait de la procédure texane intervenu dans l'intervalle, et décision sur le fond.
Le 6 novembre 1998, le demandeur a alors repris ses conclusions tendant à la constatation de la validité de la convention conclue avec Indosuez le 3 novembre 1994, à la constatation que, par cette convention, Indosuez avait renoncé à faire valoir toute prétention qui pourrait découler du contrat de travail, à la constatation que le dépôt de l'appel en cause violait ladite convention et à la condamnation d'Indosuez à l'indemniser "pour le dommage résultant" de cette violation. Devant le Tribunal, le demandeur a chiffré à 164 656 fr.60 le dommage dont il réclame réparation à la défenderesse.
Par jugement du 4 novembre 1999, le Tribunal des prud'hommes a débouté le demandeur de toutes les conclusions en paiement qu'il avait prises à l'encontre de son ancien employeur.
Le demandeur a appelé de ce jugement en reprenant ses seules conclusions condamnatoires. Il a soutenu que le total de son dommage pouvait être arrêté à 221 100 fr.95, dont il réclamait 164 656 fr.60 en conformité avec ses conclusions de première instance.
Par arrêt du 29 mai 2000, la Cour d'appel des prud'hommes du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance.
Constatant, en premier lieu, que le demandeur déduisait son dommage de l'appel en cause déposé à son encontre par la défenderesse le 20 août 1996 devant les tribunaux texans, la cour cantonale a tout d'abord exclu la prise en compte des honoraires d'avocat rémunérant l'activité déployée avant cette date ainsi que le travail effectué postérieurement à la clôture de la procédure américaine, intervenue le 23 avril 1998.
La Cour d'appel a estimé ensuite que les notes d'honoraires de l'Etude Baker et Mackenzie sont d'une manière générale, que ce soit pour la période du 1er septembre 1996 au 31 décembre 1997 ou pour la période postérieure, insuffisamment précises pour déterminer les honoraires afférents à la procédure d'appel en cause. Selon elle, le libellé de ces notes d'honoraires, qui font référence à des "consultations juridiques - Banque Indosuez", sans autres précisions, ne permet pas de constater quelles prestations précises auraient été facturées; en outre, les "time-sheet" produits, établis sur papier libre et sans signature, n'ont pas été confirmés par l'avocate entendue comme témoin; leur libellé et la quotité des honoraires qui en résulterait diffèrent d'ailleurs partiellement du montant finalement facturé, sans qu'aucune explication n'ait été fournie à ce sujet; enfin, ce montant ne saurait à l'évidence s'ajouter à celui des honoraires facturés, puisque le "time-sheet" n'en constitue que le justificatif horaire. Il en va de même s'agissant des trois versements effectués par le demandeur (11 000 fr. et deux fois 10 000 fr.), leur justification n'étant pas précisée. Enfin, la Cour d'appel a refusé d'évaluer le montant du dommage en application de l'<ref-law>, dès lors que le demandeur disposait des moyens de preuve nécessaires pour établir l'ampleur des frais consentis par lui dans la procédure d'appel en cause texane.
Dans ces conditions, la cour cantonale a pu se dispenser, à l'instar des premiers juges, d'examiner si et dans quelle mesure le dépôt de l'appel en cause par la défenderesse devant les tribunaux texans constituait ou non un acte illicite ou une violation de la convention conclue par les parties au moment de la cessation des rapports de travail.
C.- Alain Driancourt a formé un recours de droit public au Tribunal fédéral. Invoquant l'arbitraire dans l'appréciation des preuves à propos de cinq notes d'honoraires portant sur un total de 51 206 fr., il conclut à l'annulation de l'arrêt rendu par la Cour d'appel le 29 mai 2000.
L'intimée conclut au rejet du recours dans la mesure où il serait recevable. Quant à la cour cantonale, elle se réfère aux motifs énoncés dans son arrêt.

Considérant en droit :
1.- Le recourant a donc réclamé à l'intimée, son ex-employeur, la réparation du dommage qu'elle lui aurait fait subir en l'obligeant à mandater un avocat pour se défendre dans la procédure d'appel en cause ouverte par elle contre lui devant les tribunaux du Texas. Il critique, sous l'angle de l'arbitraire dans l'appréciation des preuves, la façon dont la cour cantonale a dénié tout caractère probant, quant au dommage subi, à cinq notes d'honoraires, établies par l'étude d'avocats genevoise associée à l'étude Baker et Mackenzie dès le 3 décembre 1996, et totalisant 51 206 fr.
Il ne s'en prend donc pas à l'appréciation que la Cour d'appel a faite des autres notes d'honoraires qu'il avait invoquées.
Selon le recourant, toute note d'honoraires qui établit de façon claire une activité s'inscrivant dans le cadre de l'appel en cause est pertinente et doit être retenue comme dommage. A cet égard, les cinq notes invoquées par lui seraient précises, chacune indiquant le montant facturé par le bureau de l'Etude de Genève et par celui de Dallas. L'activité du bureau de Dallas aurait été uniquement et exclusivement consacrée à la défense de ses intérêts dans la procédure d'appel en cause introduite contre lui par la défenderesse.
Trois faits le prouveraient:
- la seule activité judiciaire qui nécessitât le recours
à un avocat situé à Dallas était l'appel en
cause litigieux;
- l'activité du bureau de Dallas avait débuté, conformément
à la note d'honoraires du 3 décembre
1996, le 1er septembre 1996, soit quelques jours
après le dépôt de l'appel en cause; l'activité aurait
donc commencé avec et du fait de l'appel en
cause;
- l'avocate Valérie Delerue, entendue comme témoin
par la Cour d'appel, avait confirmé que "l'activité
du bureau de Dallas se rapportait à la procédure
américaine", ce qui ne serait pas contesté par
l'intimée ni par la Cour d'appel.
Pour le recourant, toutes les notes d'honoraires précitées comporteraient la précision nécessaire pour établir le dommage subi, car elles distinguent l'activité déployée dans le cadre de l'appel en cause par le bureau américain; les montants figurant sous cette rubrique sont, au demeurant, ceux qu'il a payés pour se défendre dans le cadre de cette procédure. Peu importeraient, dans cette optique, l'intitulé général de la note ("Consultations juridiques - Banque Indosuez") et le fait que le détail ainsi que le répertoire des prestations fournies par le bureau de Dallas n'y soient pas mentionnés, ce pour deux raisons:
- premièrement, le seul élément pertinent en l'espèce
est que soient séparées l'activité américaine,
entièrement consacrée à l'appel en cause, et l'activité
genevoise qui ne l'est pas, ce qui a été
fait;
- secondement, la Cour d'appel n'avait pas à sta- tuer sur la question de savoir si le montant des
notes d'honoraires se justifiait eu égard au tra-
vail fourni, car la seule mission qui lui était
assignée consistait à distinguer les postes rele- vant de l'appel en cause de ceux qui lui étaient
étrangers et à examiner la force probante des pre-
miers; or, les notes d'honoraires démarqueraient
et établiraient clairement les montants facturés
par le bureau de Dallas pour la procédure d'appel
en cause.
Aussi la Cour d'appel serait-elle tombée dans l'arbitraire en estimant que le recourant n'avait pas apporté à satisfaction de droit la preuve de son dommage, après avoir rejeté sans distinction et en bloc toutes les notes d'honoraires produites.
2.- a) Une jurisprudence constante reconnaît au juge du fait un large pouvoir dans le domaine de l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. b). Le Tribunal fédéral n'intervient, en conséquence, que si le juge cantonal a abusé de ce pouvoir, en particulier lorsqu'il parvient à des conclusions manifestement insoutenables (<ref-ruling> consid. 5, 100 Ia 468, 98 Ia 142 consid. 3a et les arrêts cités), lorsqu'il méconnaît des preuves pertinentes ou qu'il n'en tient arbitrairement pas compte (<ref-ruling>), lorsque des constatations de fait sont manifestement fausses (<ref-ruling>, 105 Ia 190 consid. 2a et les arrêts cités), enfin lorsque l'appréciation des preuves est tout à fait insoutenable (<ref-ruling> consid. 2, 108 Ia 195/196 consid. 4b et les arrêts cités). Il appartient au recourant d'établir la réalisation de ces conditions, en tentant de démontrer, par une argumentation précise, que la décision incriminée est insoutenable et ne trouve aucune assise dans le dossier (art. 90 al. 1 let. b OJ; <ref-ruling>/4 consid. 2a).
b) Il n'apparaît pas, en l'espèce, que la cour cantonale ait abusé de son large pouvoir d'appréciation des preuves et qu'elle soit parvenue à des conclusions manifestement insoutenables en jugeant que les notes d'honoraires litigieuses étaient insuffisamment précises pour déterminer quels honoraires se rapportaient à la procédure d'appel en cause. Sur le vu du libellé des notes d'honoraires invoquées, il n'y a rien d'insoutenable à retenir que des notes intitulées "Consultations juridiques - Banque Indosuez Genève", même si elles mentionnaient des honoraires du bureau de Dallas, ne suffisaient pas à établir que lesdites notes visaient la procédure d'appel en cause sur laquelle le recourant fondait son action. L'argumentation consistant à prétendre que l'activité du bureau de Dallas a été uniquement consacrée à la défense du recourant dans le cadre de l'appel en cause déposé contre lui est une pure affirmation de l'intéressé qui n'est étayée par aucun élément suffisamment probant pour que la cour cantonale ait dû nécessairement en tenir compte.
Comme la Cour d'appel a retenu, par ailleurs, qu'en dehors de la demande, déposée le 7 octobre 1996 par l'avocat constitué par le recourant au Texas en vue de faire prononcer l'irrecevabilité de l'appel en cause, il ne résultait pas du dossier que d'autres actes de procédure auraient été accomplis pour le compte du recourant dans cette procédure, c'est évidemment sans arbitraire qu'elle a pu mettre en doute le caractère probant des notes d'honoraires quant à leur relation avec l'appel en cause texan.
Il n'y a donc pas trace d'arbitraire dans la décision attaquée. Par conséquent, le recours ne peut qu'être rejeté avec suite de frais et dépens (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours;
2. Met un émolument judiciaire de 5500 fr. à la charge du recourant;
3. Dit que le recourant versera à l'intimée une indemnité de 6000 fr. à titre de dépens;
4. Communique le présent arrêt en copie aux mandataires des parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
_
Lausanne, le 26 janvier 2001 ECH
Au nom de la Ie Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président,
Le Greffier,