Faits:
A. A.a A la suite d'une chute survenue le 18 octobre 2000 alors qu'il travaillait comme maçon, K._, né en 1955, a subi une fracture du poignet gauche et une fracture-tassement du mur antérieur de L1 avec fracture d'ostéophyte D12 stable. Le cas a été pris en charge par son assureur-accidents, la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents, qui lui a alloué par la suite une rente d'invalidité de 32 % à partir du 1er juin 2002, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 20 %. N'ayant pas repris d'activité lucrative en raison de douleurs dorso-lombaires, K._ a présenté, le 23 novembre 2001, une demande de prestations de l'assurance-invalidité que l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a rejetée par décision du 30 septembre 2003.
A.b Le 26 mai 2004, K._ a déposé une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité, sur laquelle l'office AI a refusé d'entrer en matière (décision du 19 janvier 2005, confirmée sur opposition le 29 janvier 2007). Sur recours de l'assuré, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (aujourd'hui, Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public) a annulé la décision sur opposition et renvoyé la cause à l'administration pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants (jugement du 18 mai 2009).
Conformément aux instructions de l'autorité judiciaire, l'office AI a confié une expertise pluridisciplinaire au Centre d'Expertise X._. Dans leur rapport du 29 janvier 2010, les docteurs J._, spécialiste FMH en médecine interne, et B._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, ont diagnostiqué, avec répercussion sur la capacité de travail, une spondylarthrite ankylosante depuis 2000, des lombalgies sur troubles statiques par modifications post traumatiques (fracture-tassement du mur antérieur) et dégénératives du rachis (arthrose interapophysaire postérieure, discopathie et ostéophytose de D12). Selon eux, l'assuré était totalement incapable de travailler dans son ancienne activité de maçon, mais disposait d'une capacité entière de travail, en dehors des poussées inflammatoires aiguës, dans toute activité légère adaptée (soit sans port de charges de plus de 10 à 15 kg). Le 29 juillet 2010, l'office AI a informé K._ qu'il envisageait de confirmer sa décision initiale et de rejeter sa demande de prestation, l'état de santé n'ayant pas évolué depuis 2003, comme l'avait établi l'expertise pluridisciplinaire.
K._ a contesté ce point de vue, en produisant un rapport du docteur H._, médecin-chef du Service de médecine physique et réadaptation de l'Hôpital Y._, du 10 septembre 2010, selon lequel la capacité de travail de l'assuré était de l'ordre de 30 à 40 % avec les limitations fonctionnelles décrites. Après avoir requis l'avis de son Service médical régional (SMR), l'office AI a, par décision du 8 février 2011, nié le droit de l'assuré à une rente d'invalidité.
B. Statuant le 7 août 2012 sur le recours formé par K._ contre cette décision, le Tribunal cantonal neuchâtelois, Cour de droit public, l'a rejeté.
C. K._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation en concluant, en substance, à l'octroi d'une rente entière de l'assurance-invalidité (fondée sur un taux d'invalidité de 70 % au minimum). Il sollicite également le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit:
1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>).
2. Au regard des conclusions du recourant, le litige porte sur son droit à une rente entière d'invalidité. A cet égard, le jugement entrepris expose de manière complète les règles légales et la jurisprudence applicables à la présente cause, si bien qu'il suffit d'y renvoyer.
3. En tant que le recourant se plaint tout d'abord d'une violation de son droit d'être entendu parce que la juridiction cantonale n'a pas donné suite à son offre de preuve relative à la mise en oeuvre d'une expertise impartiale et indépendante, son grief n'a pas de portée propre par rapport à celui tiré d'une appréciation arbitraire des preuves qu'il invoque également. L'assureur ou le juge peut effectivement renoncer à accomplir certains actes d'instruction sans que cela n'entraîne une violation du droit d'être entendu (sur cette notion en corrélation avec l'administration de preuves, cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 429, 119 Ib 492 consid. 5b/bb p. 505) s'il est convaincu, en se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 352), que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation (sur l'appréciation anticipée des preuves en général: <ref-ruling> consid. 3 p. 157; <ref-ruling> consid. 2 p. 428). L'argumentation du recourant sera donc traitée avec le fond du litige.
4. Le recourant reproche aux premiers juges d'avoir procédé à une constatation manifestement inexacte des faits pertinents, consécutive à une appréciation arbitraire des preuves. En substance, il leur fait grief d'avoir suivi exclusivement les conclusions des médecins du Centre X._, alors qu'elles entraient en totale contradiction avec les rapports médicaux établis par son médecin traitant, le docteur H._, ainsi que "d'autres spécialistes vers lesquels" celui-ci l'avait dirigé. Il invoque également une violation du droit fédéral relative à la détermination du degré d'invalidité et soutient qu'on ne saurait raisonnablement exiger de lui qu'il réintègre le marché du travail.
4.1 Examinant tour à tour la situation de l'assuré en septembre 2003 et en février 2011 à la lumière des pièces médicales au dossier, la juridiction cantonale a constaté, en se fondant sur l'expertise du Centre X._, que l'état de santé du recourant ne s'était pas aggravé de manière à influencer son droit à des prestations depuis 2003. En particulier, elle a indiqué les raisons pour lesquelles l'avis du docteur H._ ne permettait pas de s'écarter des conclusions de ses confrères J._ et B._.
4.2 Compte tenu de son pouvoir d'examen restreint (consid. 1 supra), il n'appartient pas au Tribunal fédéral de procéder une nouvelle fois à l'appréciation des preuves administrées, mais à la partie recourante d'établir en quoi celle opérée par l'autorité judiciaire de première instance serait manifestement inexacte ou incomplète, en quoi les faits constatés auraient été établis au mépris de règles essentielles de procédure. En se limitant pour l'essentiel à mentionner - sans les expliciter précisément - "les contradictions évidentes des différentes expertises et avis médicaux", le recourant n'établit nullement, au moyen d'une argumentation précise et étayée, le caractère insoutenable du raisonnement développé par les premiers juges. Lorsqu'une appréciation repose sur une évaluation médicale complète et approfondie, telle que l'expertise des docteurs J._ et B._, elle ne saurait être remise en cause au seul motif qu'un ou plusieurs médecins ont une opinion divergente. Ainsi, ne suffit-il pas d'affirmer simplement que l'avis des médecins mandatés par l'intimé s'opposait à celui d'autres spécialistes consultés par l'assuré. Encore faut-il faire état d'éléments objectivement vérifiables ayant été ignorés dans le cadre de l'expertise et suffisamment pertinents pour en remettre en cause les conclusions.
En l'occurrence, le recourant ne formule aucune critique sur le plan formel ou matériel à l'égard de l'expertise du Centre X._: il se contente d'affirmer qu'"il existait plus qu'un doute raisonnable", sans prétendre que des éléments cliniques ou diagnostiques essentiels auraient été ignorés par les docteurs J._ et B._. Il n'explique pas non plus en quoi le point de vue du docteur H._ ou des docteurs G._, C._ et N._ - dont il cite les noms sans se référer du tout au contenu de leur appréciation respective - serait mieux fondé objectivement que celui des experts ou justifierait, à tout le moins, la mise en oeuvre d'une expertise complémentaire, comme il le sollicite en instance fédérale. Son argumentation ne saurait dès lors être suivie.
4.3 En soutenant par ailleurs que la juridiction cantonale aurait violé le droit fédéral, en particulier l'<ref-law>, parce que "seul un travail à temps très partiel (30 à 40 %) dans une activité légère" serait exigible de sa part - ce qui ressortirait des faits qu'il allègue -, le recourant présente un grief de nature purement appellatoire. Il oppose en effet sa propre appréciation des faits relatifs à sa capacité de travail à celle des premiers juges, sans toutefois démontrer en quoi leur point de vue découlerait d'une appréciation manifestement inexacte des faits ou d'une application erronée du droit fédéral. C'est en vain, par ailleurs, qu'il cite un arrêt 9C_313/2207 du 9 janvier 2008, puisqu'il n'indique pas en quoi celui-ci serait applicable dans son cas.
4.4 En ce qui concerne, enfin, l'argumentation du recourant sur l'inexistence d'un "poste de travail vacant" qu'il pourrait prétendre et le caractère illusoire de sa réintégration sur le marché du travail, elle ne lui est d'aucun secours. Elle relève en effet d'une méconnaissance de la notion d'invalidité au sens de l'<ref-law> en relation avec l'<ref-law>. Lorsqu'il s'agit d'examiner dans quelle mesure un assuré peut encore exploiter économiquement sa capacité de gain résiduelle sur le marché du travail entrant en considération pour lui (<ref-law>), on ne saurait subordonner la concrétisation des possibilités de travail et des perspectives de gain à des exigences excessives. Il s'ensuit que pour évaluer l'invalidité, il n'y a pas lieu d'examiner la question de savoir si un invalide peut être placé eu égard aux conditions concrètes du marché du travail, mais uniquement de se demander s'il pourrait encore exploiter économiquement sa capacité résiduelle de travail lorsque les places de travail disponibles correspondent à l'offre de la main d'oeuvre (arrêt I 198/97 du 7 juillet 1998 consid. 3b et les références, in VSI 1998 p. 293).
C'est en vain également que le recourant se réfère à son âge (près de 55 ans au moment de l'expertise du Centre X._), puisqu'on ne saurait considérer qu'il est proche de l'âge ouvrant le droit à la rente de vieillesse, seuil à partir duquel la jurisprudence considère généralement qu'il n'existe plus de possibilité réaliste d'exploiter la capacité résiduelle de travail sur un marché du travail supposé équilibré (cf. arrêt 9C_651/2008 du 9 octobre 2009 consid. 6.2.2.2). On précisera à cet égard que dans un arrêt récent 9C_149/2011 du 25 octobre 2012 consid. 3.3, destiné à la publication, le Tribunal fédéral a jugé que le moment déterminant pour apprécier les chances d'un assuré proche de l'âge de la retraite de mettre en valeur sa capacité résiduelle de travail sur le marché de l'emploi correspond à celui où l'on constate que l'exercice (partiel) d'une activité lucrative est exigible du point de vue médical, soit dès que les documents médicaux permettent d'établir de manière fiable les faits y relatifs (en l'espèce, la date de l'expertise du Centre X._).
5. Il résulte de ce qui précède que le recours est en tous points mal fondé et doit être rejeté selon la procédure simplifiée de l'<ref-law>, sans qu'il y ait lieu d'ordonner un échange d'écritures.
6. 6.1 Vu l'issue du recours, les frais judiciaires devraient être mis à la charge du recourant qui succombe (<ref-law>); au vu des circonstances, il convient toutefois d'y renoncer exceptionnellement (art. 66 al. 1, deuxième phrase, LTF).
6.2 Comme le recours paraissait d'emblée dénué de chances de succès, le recourant ne saurait bénéficier de l'assistance judiciaire (cf. <ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 mars 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless