Faits:
A. A.a B._, né en 1910, est décédé le 26 mai 2004. Le défunt laissait pour héritiers son fils Louis, né en 1938, qu'il avait eu avec sa première épouse, décédée en 1999, ainsi que sa seconde épouse, A._, une ressortissante française, née en 1942, avec qui il s'était marié le 4 octobre 1999, à l'âge de 89 ans, sous le régime de la communauté de biens, et qui était auparavant la compagne de son second fils, prénommé D._, décédé en 1997. Tant ce mariage que la succession de B._ ont donné lieu à des procédures, dont certaines n'ont pas encore été liquidées, qui opposent, en particulier, C._, formellement exhérédé par feu son père, à A._, sa belle-mère.
A.b La société anonyme X._ est propriétaire d'un immeuble sis à Genève, à l'endroit indiqué dans sa raison sociale. C._ en est l'actionnaire majoritaire et l'administrateur unique. A._ prétend avoir acquis par donation de feu son mari la propriété de 24 des 50 actions de ladite société. Celle-ci lui dénie toutefois la qualité d'actionnaire.
A une date indéterminée, X._ a remis à bail à A._ un appartement de six pièces situé au deuxième étage de l'immeuble en question. Le loyer mensuel, charges non comprises, a été fixé en dernier lieu à 2'300 fr.
A.c Par avis du 13 juillet 2004, la Société privée de gérance, agissant pour le compte de la bailleresse, a imparti à la locataire un délai de 30 jours pour s'acquitter des loyers échus à cette date, en la menaçant de résilier le bail si elle ne s'exécutait pas dans ce délai.
Dans deux courriers des 20 juillet et 11 août 2004 adressés à la représentante de la bailleresse, le conseil de la locataire a fait valoir le caractère abusif du congé en expliquant que le défaut de paiement du loyer était la conséquence du refus de la bailleresse de verser les dividendes à ses actionnaires.
Par avis officiel du 24 août 2004, la représentante de la bailleresse a résilié le bail de A._ pour le 31 octobre 2004, les loyers échus n'ayant pas été payés dans le délai comminatoire.
B. B.a Le 24 septembre 2004, la locataire (ci-après: la défenderesse) a saisi la Commission de conciliation d'une requête en contestation du congé. La tentative de conciliation n'a pas abouti et la cause a été portée, le lendemain, devant le Tribunal des baux et loyers.
De son côté, la bailleresse (ci-après: la demanderesse) a déposé, le 26 novembre 2004, une requête en évacuation qu'elle a soumise ensuite au Tribunal des baux et loyers, après que la Commission eut tenté sans succès de concilier les parties.
Les deux procédures ont été jointes.
Par jugement du 7 avril 2005, le Tribunal des baux et loyers a déclaré valable le congé litigieux et ordonné à la défenderesse d'évacuer immédiatement l'appartement occupé par elle.
B.b Saisie par la défenderesse, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers a rendu, le 6 mars 2006, un arrêt au terme duquel elle a confirmé le jugement de première instance.
Les juges d'appel ont estimé, en résumé, que les conditions d'application de l'<ref-law> étaient réalisées en l'espèce. Selon eux, en effet, à supposer que la locataire ait à tout le moins rendu vraisemblable sa qualité d'actionnaire de la bailleresse - question qui a été laissée indécise -, elle n'avait pas invoqué de manière suffisamment claire la compensation dans le délai de grâce, se contentant d'opposer à la bailleresse le caractère abusif de la résiliation. De surcroît, la défenderesse n'avait pas chiffré sa créance compensante, constituée, selon elle, des dividendes non versés, ni démontré l'exigibilité de cette créance, supposé qu'elle en fût titulaire. La cour cantonale a encore relevé que la défenderesse n'avait pas démontré, ni même allégué, avoir agi contre la société bailleresse, et non contre C._, en vue d'obtenir une pièce, tel le rapport de gestion, qui lui eût permis de rendre vraisemblable son droit à un éventuel bénéfice, ni avoir entrepris une quelconque démarche pour toucher sa part de dividendes à laquelle elle prétend avoir droit. Ainsi, l'impossibilité de déterminer la créance invoquée en compensation résultait de l'inaction de la défenderesse.
Sans doute, poursuit la cour cantonale, un congé donné pour défaut de paiement du loyer pourrait-il être jugé abusif si l'état de gêne du locataire avait pour origine un comportement fautif du bailleur. In casu, la défenderesse perd toutefois de vue, en soutenant que le congé lui a été donné à l'initiative de l'autre actionnaire de la demanderesse, qu'elle était en premier lieu liée à cette dernière par un contrat de bail, lequel lui imposait des obligations telles que le paiement du loyer. A cet égard, le fait qu'elle aurait pu disposer des moyens financiers nécessaires au paiement du loyer si le bénéfice de la demanderesse avait été distribué ne concerne pas cette relation contractuelle. En outre, comme la défenderesse le concède elle-même, ce n'est pas la bailleresse qui aurait éventuellement provoqué ses difficultés financières, mais un autre actionnaire. La demanderesse s'est contentée de résilier le contrat de bail parce que le loyer n'était plus versé, si bien qu'aucun comportement abusif ne peut lui être reproché.
C. La défenderesse interjette un recours en réforme. Dans ses conclusions principales, elle invite le Tribunal fédéral à:
" Principalement
...
...
3.-
Annuler l'arrêt rendu le 6 mars 2006 par la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Annuler l'arrêt rendu le 6 mars 2006 par la Cour de justice de la République et canton de Genève.
4.-
Dire que l'arriéré de loyer réclamé par la SI à A._ est compensé par la créance de dividendes de A._ envers la SI, moyennant quoi le congé prononcé par l'intimée doit être annulé.
5.-
Dire que A._ est autorisée à faire valoir cette compensation pour les loyers à venir.
Dire que A._ est autorisée à faire valoir cette compensation pour les loyers à venir.
6.-
Si par impossible le Tribunal fédéral ne devait pas faire droit aux conclusions prises sous chiffres 4 et 5 ci-dessus, dire que la résiliation prononcée par avis du 24 août 2004 est abusive, qu'en conséquence cette résiliation est nulle, et
que A._ est autorisée à demeurer dans l'appartement qu'elle occupe dans les locaux de la SI.
que A._ est autorisée à demeurer dans l'appartement qu'elle occupe dans les locaux de la SI.
...
Si mieux n'aime le Tribunal fédéral
... 10.-
Retourner la cause à l'instance cantonale pour complément d'instruction, conformément à l'<ref-law>, ceci afin d'établir, avec la collaboration de l'intimée:
- la qualité d'actionnaire de A._ dans la SI ainsi que l'importance de sa participation, cas échéant par le biais de son droit à la succession non encore partagée de son défunt mari, B._;
- la part revenant à A._, en sa qualité d'actionnaire de la SI, des bénéfices non encore distribués de celle-ci.
11.-
Inviter l'instance cantonale, une fois l'instruction complétée, à se prononcer une nouvelle fois sur la validité du congé prononcé par l'intimée.
..."
La défenderesse a requis, en outre, sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire. Par décision du 9 juin 2006, la Ire Cour civile a rejeté la requête et invité la défenderesse à verser une avance de frais de 4'000 fr. L'intéressée s'est exécutée en temps utile.
La demanderesse n'a pas été invitée à déposer une réponse au recours.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Emanant de la partie qui a succombé dans ses conclusions et dirigé contre une décision finale rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 48 al. 1 OJ) sur une contestation civile dont la valeur litigieuse dépasse le seuil de 8'000 fr. (art. 46 OJ; cf. <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1), le recours en réforme est en principe recevable, puisqu'il a été interjeté en temps utile (art. 54 al. 1 OJ en liaison avec l'art. 34 al. 1 let. a OJ) et dans les formes requises (art. 55 OJ).
2. Sous chiffres 17 à 24 de son mémoire de recours, la défenderesse mentionne "des faits omis par la Cour de justice". Elle se borne à les énoncer et à indiquer les éléments de preuve censés les corroborer, en observant, à titre liminaire, que "ces faits ont été régulièrement allégués par [elle] devant les deux instances cantonales", mais sans préciser ni où ni comment. Les conditions d'application des art. 63 al. 2 et 64 OJ ne sont, dès lors, pas réalisées dans le cas présent.
De même, la défenderesse méconnaît le pouvoir d'examen de la juridiction fédérale de réforme lorsqu'elle énumère, sous chiffre 26 de son mémoire de recours, un certain nombre de circonstances, avec références à diverses pièces du dossier cantonal, en vue d'établir que la question - laissée ouverte par la Chambre d'appel - de sa qualité d'actionnaire de la demanderesse, à ses yeux fondamentale, aurait dû être tranchée par l'affirmative.
3. En premier lieu, la défenderesse reproche à la cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law>.
3.1 Aux termes de cette disposition, le juge établit d'office les faits et apprécie librement les preuves; les parties sont tenues de lui présenter toutes les pièces nécessaires à l'appréciation du litige. Le principe d'instruction ainsi posé n'est pas une maxime officielle absolue, mais une maxime inquisitoire sociale dont le but est de protéger la partie réputée la plus faible et d'assurer l'égalité des parties, ainsi que d'accélérer la procédure. C'est dire que le juge ne doit pas instruire d'office le litige lorsqu'une partie renonce à expliquer sa position. En revanche, il doit interroger les parties et les informer de leur devoir de collaboration et de production des pièces; il n'est tenu de s'assurer que les allégations et offres de preuve sont complètes que s'il a des motifs objectifs d'éprouver des doutes sur ce point. L'initiative du juge ne va pas au-delà de l'invitation faite aux parties de mentionner leurs moyens de preuve et de les présenter. La maxime inquisitoire prévue par le droit du bail ne permet pas d'étendre à bien plaire l'administration des preuves et de recueillir toutes les preuves possibles (<ref-ruling> consid. 4a p. 238). Au surplus, la maxime inquisitoire sociale ne modifie pas la répartition du fardeau de la preuve (arrêt 4C.185/2003 du 14 octobre 2003, consid. 2.1).
3.1 Aux termes de cette disposition, le juge établit d'office les faits et apprécie librement les preuves; les parties sont tenues de lui présenter toutes les pièces nécessaires à l'appréciation du litige. Le principe d'instruction ainsi posé n'est pas une maxime officielle absolue, mais une maxime inquisitoire sociale dont le but est de protéger la partie réputée la plus faible et d'assurer l'égalité des parties, ainsi que d'accélérer la procédure. C'est dire que le juge ne doit pas instruire d'office le litige lorsqu'une partie renonce à expliquer sa position. En revanche, il doit interroger les parties et les informer de leur devoir de collaboration et de production des pièces; il n'est tenu de s'assurer que les allégations et offres de preuve sont complètes que s'il a des motifs objectifs d'éprouver des doutes sur ce point. L'initiative du juge ne va pas au-delà de l'invitation faite aux parties de mentionner leurs moyens de preuve et de les présenter. La maxime inquisitoire prévue par le droit du bail ne permet pas d'étendre à bien plaire l'administration des preuves et de recueillir toutes les preuves possibles (<ref-ruling> consid. 4a p. 238). Au surplus, la maxime inquisitoire sociale ne modifie pas la répartition du fardeau de la preuve (arrêt 4C.185/2003 du 14 octobre 2003, consid. 2.1).
3.2 3.2.1 Selon la défenderesse, la cour cantonale aurait violé l'<ref-law> en laissant ouverte la question de sa qualité d'actionnaire. Il n'en est rien. Les juges d'appel ont, en effet, volontairement renoncé à administrer des preuves sur ce point, parce qu'ils ne l'ont pas considéré comme juridiquement pertinent pour la solution du litige.
3.2.2 Toujours sous l'angle de l'<ref-law>, la défenderesse déplore ensuite que la Chambre d'appel se soit contentée d'observer que la créance invoquée par elle en compensation n'était "ni chiffrée, ni déterminable", tout en refusant d'instruire plus avant cette question. Elle affirme avoir produit toutes pièces utiles à ce sujet et formulé devant les deux instances cantonales des conclusions tendant à la fourniture des pièces manquantes. Dès lors, en considérant qu'il n'incombait pas à la juridiction spécialisée en matière de baux d'éclaircir ce point et en reprochant à la défenderesse de n'avoir pas introduit une action séparée en reddition de comptes, les juges genevois auraient violé, non seulement la disposition citée, mais encore les principes de l'économie de la procédure et de la gratuité.
Ces deux derniers principes ne relèvent pas du droit privé fédéral. Par conséquent, la défenderesse n'est pas recevable à en invoquer la violation par la voie du recours en réforme (cf. art. 43 al. 1 et 55 al. 1 let. c OJ).
Pour le reste, le recours n'est pas suffisamment motivé dans la mesure où son auteur fait simplement état, sans plus amples précisions, de pièces qui n'auraient pas été prises en considération par la Chambre d'appel et de conclusions prises devant les juridictions cantonales aux fins d'obtenir la production de ces pièces.
Au demeurant, ces pièces, selon la défenderesse, lui auraient permis de chiffrer et de déterminer son droit au dividende. Cependant, comme on l'exposera plus loin, que l'intéressée puisse faire valoir son droit à un dividende n'implique pas encore qu'elle ait été titulaire d'une créance compensante au moment où elle a été mise en demeure de payer son loyer (cf. consid. 4.2 ci-après).
4. La défenderesse fait valoir qu'elle a éteint sa dette par voie de compensation (<ref-law>) dans le délai de grâce qui lui avait été fixé.
4.1 La compensation n'a lieu qu'autant que le débiteur fait connaître au créancier son intention de l'invoquer (<ref-law>).
4.1.1 Pour que la dette soit éteinte par voie de compensation en temps utile, il est donc nécessaire, dans la procédure de l'<ref-law>, que le locataire l'invoque avant l'expiration du délai de grâce (<ref-ruling> consid. 6b/bb).
Le débiteur doit exprimer clairement son intention de compenser. La déclaration doit permettre à son destinataire de comprendre, en fonction des circonstances, quelle est la créance compensée et quelle est la créance compensante. Si le débiteur ne précise pas quelle est la créance compensée et quelle est la créance compensante, sa déclaration est incomplète et, par voie de conséquence, dépourvue d'effet (arrêt 4C.174/1999 du 14 juillet 1999, consid. 2b, publié in SJ 2000 I p. 78).
Savoir s'il y a eu ou non une déclaration de compensation pendant le délai de grâce est une question de fait (arrêt 4C.8/2006 du 29 mars 2006, consid. 4.2). En revanche, dire si la déclaration de compensation faite durant ce délai est suffisante, au regard de l'<ref-law> et de la jurisprudence y afférente, est une question d'interprétation de la manifestation de volonté unilatérale émise par la partie qui soulève l'objection de compensation (cf. <ref-law>). Comme telle, cette question relève du droit.
4.1.2 Il est constant que les courriers des 20 juillet et 11 août 2004, censés valoir déclarations de compensation, ont été adressés à la bailleresse avant l'expiration du délai comminatoire de 30 jours fixé par lettre du 13 juillet 2004.
Selon la Chambre d'appel, la locataire se serait contentée d'y opposer à la bailleresse le caractère abusif de la résiliation, sans formuler clairement son intention de compenser les arriérés de loyer. Il est exact que le texte des deux lettres susmentionnées, reproduit in parte qua sous chiffres 39 et 40 de l'acte de recours, ne contient pas le terme de "compensation". Cette circonstance n'est cependant pas décisive. Il en appert, à tout le moins et sans équivoque, que la défenderesse refuse de payer le loyer parce qu'elle estime abusif de la part de la demanderesse d'en réclamer le paiement alors qu'elle n'a pas versé à l'actionnaire-locataire les dividendes qui lui sont dus.
4.2 Force est ainsi d'admettre, contrairement à l'avis de la Chambre d'appel, que la compensation a été valablement invoquée en l'espèce. Il reste à vérifier si les conditions de la compensation étaient réalisées au moment où celle-ci a été invoquée.
C'est le lieu de rappeler que le droit de compenser suppose l'exigibilité de la créance compensante (Nicolas Jeandin, Commentaire romand, n. 11 ad <ref-law>). Cette créance consiste, en l'espèce, dans le dividende de la société immobilière revêtant la qualité de bailleresse. En vertu de l'<ref-law>, tout actionnaire a droit à une part proportionnelle du bénéfice résultant du bilan, pour autant que la loi ou les statuts prévoient sa répartition entre les actionnaires. C'est l'assemblée générale qui a le droit inaliénable de fixer le dividende (<ref-law>). Encore faut-il qu'un bénéfice résulte du bilan ou que des réserves aient été constituées à cet effet (<ref-law>). En outre, l'organe de révision doit avoir présenté à l'assemblée générale un rapport sur le résultat de sa vérification de la proposition concernant l'emploi du bénéfice (art. 728 al. 1 et 729 al. 1 CO). La créance de dividende est, en principe, exigible dès que son montant a été fixé (Peter Forstmoser/Arthur Meier-Hayoz/Peter Nobel, Schweizerisches Aktienrecht, p. 493, n. 62 ad § 40).
Dans le cas particulier, il n'est pas établi que l'assemblée générale de la société demanderesse ait fixé des dividendes pour les exercices antérieurs à celui durant lequel la défenderesse a cessé de payer son loyer. Cette dernière note d'ailleurs elle-même, à cet égard, sous chiffre 34 de son acte de recours, pour le déplorer, que des assemblées générales de cette société n'ont pas pu être tenues en raison de l'obstruction de C._. Il suit de là que la défenderesse n'était pas titulaire, en 2004, d'une créance de dividendes exigible qu'elle aurait pu compenser avec la créance d'arriérés de loyers de la demanderesse.
En écartant l'objection de compensation, la cour cantonale a, dès lors, rendu une décision dont le résultat, sinon les motifs, est conforme au droit fédéral.
Le grief tiré de la violation de l'<ref-law> apparaît ainsi dénué de fondement.
5. A l'appui de son recours en réforme, la défenderesse reproche enfin à la Chambre d'appel de n'avoir pas annulé le congé incriminé, alors qu'il contrevenait aux règles de la bonne foi (<ref-law>).
5.1 La disposition citée est applicable, à titre exceptionnel, lorsque la résiliation du bail a pour cause la demeure du locataire (David Lachat, Commentaire romand, n. 10 ad <ref-law>). Le droit du bailleur de résilier le bail s'oppose alors à celui du locataire d'être protégé contre une résiliation abusive. Le juge ne peut annuler le congé litigieux que si celui-ci est inadmissible au regard de la jurisprudence relative à l'abus de droit et à la bonne foi; il faut des circonstances particulières pour que le congé soit annulé (<ref-ruling> consid. 4a p. 33). Tel sera le cas, par exemple, quand le bailleur, lors de la fixation du délai comminatoire, réclame au locataire une somme largement supérieure à celle en souffrance, sans être certain du montant effectivement dû (<ref-ruling> consid. 4b p. 33 s.). Le congé sera également tenu pour contraire aux règles de la bonne foi si le montant impayé est insignifiant (<ref-ruling> consid. 4b p. 33), si l'arriéré a été réglé très peu de temps après l'expiration du délai comminatoire, alors que le locataire s'était jusqu'ici toujours acquitté à temps du loyer, ou si le bailleur résilie le contrat longtemps après l'expiration de ce délai (Lachat, ibid.; Pierre Wessner, L'obligation du locataire de payer le loyer et les frais accessoires, in 9e Séminaire sur le droit du bail, Neuchâtel 1996, p. 24).
C'est au destinataire du congé de démontrer que celui-ci contrevient aux règles de la bonne foi, en particulier que le motif invoqué par le bailleur n'est qu'un prétexte (<ref-ruling> consid. 3c; Lachat, op. cit., n. 9 ad <ref-law>). Le caractère abusif ou non de la résiliation s'apprécie au moment où l'auteur du congé manifeste sa volonté de mettre un terme au contrat (arrêt 4C.176/2004 du 8 septembre 2004, consid. 2.1).
Le motif pour lequel un congé est donné relève des constatations de fait (<ref-ruling> consid. 2b p. 486; <ref-ruling> consid. 3b p. 462).
5.2 En soi, il n'y a rien d'abusif à résilier le bail d'un locataire qui ne paie plus son loyer (arrêt 4C.35/2004 du 27 avril 2004, consid. 3.2.2). Aussi la défenderesse n'est-elle pas recevable à soutenir, comme elle le fait sous chiffre 46 de son mémoire de recours, que la demanderesse n'avait aucun intérêt digne de protection à résilier son bail.
Pour le surplus, ce n'est pas le lieu d'examiner les reproches que la défenderesse formule à l'adresse de C._ dans le contexte de la liquidation de la succession de feu B._.
Enfin, la défenderesse n'a pas emprunté les voies légales spécifiques qui lui eussent permis d'obtenir, notamment, la convocation (forcée) des assemblées générales de la demanderesse (cf. <ref-law>; <ref-ruling>) et, partant, la fixation des dividendes auxquelles elle prétend avoir droit. Aussi excipe-t-elle en vain de l'abus de droit pour remédier aux conséquences de son inaction.
6. Cela étant, le présent recours ne peut qu'être rejeté. Son auteur, qui s'est vu refuser le bénéfice de l'assistance judiciaire, devra, dès lors, payer l'émolument judiciaire afférent à la procédure fédérale. En revanche, il n'aura pas à indemniser son adverse partie, celle-ci n'ayant pas été invitée à déposer une réponse.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 4'000 fr. est mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève.
Lausanne, le 14 août 2006
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
La juge présidant: Le greffier: