Erwägungen:
1. Am 19. Februar 2007 erteilte die Abteilung Tagesbetreuung des Erziehungsdepartements des Kantons Basel-Stadt der "X._ GmbH" bzw. P._ als verantwortlicher Leiterin eine bis zum 1. November 2007 befristete Bewilligung zur Führung eines Tagesheims (Kinderkrippe). Am 7. Juni 2007 entzog sie diese Bewilligung per 30. Juni 2007, verfügte die Schliessung des Tagesheims auf den genannten Termin und entzog einem allfälligen Rekurs die aufschiebende Wirkung. Die "X._ GmbH" focht diese Anordnung am 13. Juni 2007 beim Vorsteher des Erziehungsdepartements an, welcher die verlangte Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung mit Verfügung vom 26. Juni 2007 ablehnte. Der gegen diese Zwischenverfügung erhobene Rekurs wurde vom Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) mit Urteil vom 13. November 2007 abgewiesen.
2. Die X._ GmbH führt mit Eingabe vom 27. Dezember 2007 beim Bundesgericht sowohl Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als auch subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 13. November 2007 aufzuheben und ihr im hängigen Rekursverfahren gegen die Verfügung vom 7. Juni 2007 die aufschiebende Wirkung zu gewähren bzw. diese wieder herzustellen.
Das Verwaltungsgericht schliesst unter Hinweis auf die Erwägungen seines Urteils auf Abweisung der Beschwerde, während das Erziehungsdepartement beantragt, das Verfahren als gegenstandslos abzuschreiben, eventuell die Beschwerde abzuweisen.
3. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid einer oberen kantonalen Gerichtsbehörde in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, welche unter keinen der Ausschlussgründe gemäss <ref-law> fällt und insoweit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt. Inhaltlich handelt es sich um einen Zwischenentscheid über die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung, der als solcher einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken und daher gemäss <ref-law> beim Bundesgericht sofort gesondert angefochten werden kann, wobei aber - in Abweichung von <ref-law> - einzig die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte zulässig ist (<ref-law>). Die vorliegende Eingabe ist damit als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen. Für die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde besteht kein Raum (vgl. <ref-law>), weshalb auf dieses Rechtsmittel nicht einzutreten ist.
4. 4.1 Die am 19. Februar 2007 erteilte und mit Verfügung vom 7. Juni 2007 per 30. Juni 2007 wieder entzogene Betriebsbewilligung war bis zum 1. November 2007 befristet. Das mit dem Rekurs gegen den Bewilligungsentzug gestellte Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ist, wie das Erziehungsdepartement in seiner Vernehmlassung zutreffend bemerkt, schon mit dem Ablauf der Geltungsdauer der Bewilligung formell gegenstandslos geworden. Für einen Weiterbetrieb des Tagesheimes über das genannte Datum hinaus müsste eine neue Bewilligung erteilt werden, was ausserhalb des Gegenstands des Rekursverfahrens läge und insoweit auch nicht durch eine vorsorgliche Massnahme vorweggenommen werden kann.
4.2 Die Beschwerde gegen die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung für das Rekursverfahren vor dem Erziehungsdepartement ist zudem dadurch vollends hinfällig geworden, dass die genannte Rekursinstanz - wie aus den eingereichten kantonalen Akten hervorgeht - in der Zwischenzeit dieses Verfahren durch einen (abschlägigen) Sachentscheid abgeschlossen hat (Entscheid des Departementsvorstehers vom 14. Dezember 2007). Falls der Streitfall an das Verwaltungsgericht weitergezogen worden sein sollte, wäre es Sache dieses Gerichts, über allfällige vorsorgliche Massnahmen neu zu befinden.
4.3 Die vorliegende Beschwerde ist daher wegen Gegenstandslosigkeit als erledigt abzuschreiben, wofür gemäss <ref-law> der Instruktionsrichter zuständig ist.
5. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind, da die Beschwerde nach dem Gesagten grundsätzlich schon im Zeitpunkt ihrer Erhebung gegenstandslos war und weil die in erster Linie erhobene Rüge der Unverhältnismässigkeit zudem keinen nach <ref-law> zulässigen Beschwerdegrund darstellt (Hansjörg Seiler, in: Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, Rz 18 zu Art. 98), der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach verfügt der Instruktionsrichter:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt abgeschrieben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Diese Verfügung wird der Beschwerdeführerin und dem Erziehungsdepartement sowie dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Instruktionsrichter: Der Gerichtsschreiber:
Hungerbühler Häberli