Sachverhalt:
A.
T._ erlitt im Jahr 1998 einen Unfall. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als zuständiger obligatorischer Unfallversicherer gewährte vorübergehend Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Im Januar 2005 meldete T._ der SUVA gesundheitliche Beschwerden als Rückfall/Spätfolge zum Unfall von 1998. Der Versicherer verneinte einen Leistungsanspruch mit der Begründung, die Beschwerden seien nicht unfallkausal (Verfügung vom 6. November 2008 und Einspracheentscheid vom 12. März 2009). Das wurde vom Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 3. Juni 2010 bestätigt. T._ führte dagegen Beschwerde beim Bundesgericht. Dieses hiess die Beschwerde teilweise gut, hob den Entscheid vom 3. Juni 2010 auf und wies die Sache zur ergänzenden medizinischen Abklärung und zum neuen Entscheid über die kantonale Beschwerde an die Vorinstanz zurück (Urteil 8C_577/2010 vom 25. Oktober 2010).
B.
Das Versicherungsgericht holte ein medizinisches Gutachten vom 29. März/2. Mai 2012 ein. Gestützt darauf verneinte es eine Leistungspflicht des Unfallversicherers für die gemeldeten Beschwerden. Es wies die Beschwerde ab und überband der SUVA die Kosten der Expertise im Betrag von Fr. 6'733.- (Entscheid vom 4. Dezember 2012).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die SUVA, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben, soweit er sie zur Bezahlung der Gutachterkosten verpflichte.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt hat, indem es die Kosten des von ihm eingeholten medizinischen Gutachtens der Beschwerdeführerin auferlegte.
2.1. Das Bundesgericht hat sich im jüngst ergangenen Urteil 8C_984/2012 vom 6. Juni 2013 (zur Publikation vorgesehen) mit der Frage befasst, wer die Kosten eines gerichtlich angeordneten Gutachtens im Verfahren der Unfallversicherung zu tragen hat. Es hat erkannt, dass in sinngemässer Anwendung der gemäss <ref-ruling> für Verfahren der Invalidenversicherung geltenden Grundsätze die Kosten einer Expertise, welche das kantonale Gericht bei festgestellter Abklärungsbedürftigkeit in einem Verfahren der Unfallversicherung anstelle einer Rückweisung einholt, dem Unfallversicherer auferlegt werden können, wenn die Abklärungsergebnisse aus dem Verfahren vor dem Versicherungsträger in rechtserheblicher Weise nicht ausreichend beweiswertig sind, zur Durchführung der vom Gericht als notwendig erachteten Beweismassnahme an sich eine Rückweisung in Frage käme, eine solche indessen mit Blick auf die Wahrung der Verfahrensfairness entfällt (vgl. Urteil 8C_984/2012 E. 4.3 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 4.4.1 und 4.4.2 S. 263 ff.).
2.2. Zu prüfen ist, aus welchem Grund die Vorinstanz das Gerichtsgutachten eingeholt hat.
2.2.1. Umstritten war, ob die von der Versicherten im Januar 2005 gemeldeten gesundheitlichen Beschwerden in einem - für einen Leistungsanspruch nach UVG erforderlichen - kausalen Zusammenhang zum Unfall vom 1998 stehen. Der Unfallversicherer hat dies verneint, was mit Entscheid des kantonalen Gerichts vom 3. Juni 2010 bestätigt wurde. Verneint wurde dabei namentlich auch das Vorliegen einer organisch objektiv ausgewiesenen natürlich kausalen Folge des Unfalls von 1998.
2.2.2. Das Bundesgericht hat im hierauf ergangenen Urteil 8C_577/2010 erwogen, die im Verfahren vor dem Unfallversicherer eingeholten Arztberichte seien widersprüchlich. Mehrere liessen auf eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge schliessen. Demgegenüber werde eine solche vom berichterstattenden SUVA-Arzt verneint. Welche dieser widersprüchlichen Auffassungen zutreffe, lasse sich aufgrund der vorhandenen medizinischen Akten nicht verlässlich beurteilen. Unter diesen Umständen sei eine ergänzende Abklärung mittels eines vom kantonalen Gericht zu veranlassenden neurologisch-orthopädischen Gutachtens erforderlich. Dem hat die Vorinstanz in der Folge mit der Einholung der Gerichtsexpertise vom 29. März/2. Mai 2012 entsprochen.
2.2.3. Aus dem Gesagten erhellt, dass das Gutachten angeordnet wurde, weil die Abklärungsergebnisse aus dem Verfahren vor dem Unfallversicherer in rechtserheblichen Punkten widersprüchlich und nicht ausreichend beweiswertig waren. Einer Rückweisung an den Versicherer stand entgegen, dass es nicht um die notwendige Erhebung einer bisher vollständig ungeklärten Frage und auch nicht lediglich um eine Klarstellung, Präzisierung oder Ergänzung von gutachtlichen Ausführungen ging. Mithin war das Gutachten vom Gericht einzuholen (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.1.3 und 4.4.1.4 S. 264 f.). Die Kosten für die Expertise wurden daher zu Recht der SUVA auferlegt. Daran ändert nichts, dass die Gerichtsexpertise nicht bereits im ersten kantonalen Verfahren, sondern erst auf Anordnung des Bundesgerichts hin eingeholt wurde. Die Beschwerde ist demnach abzuweisen.
3.
Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, T._ und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Juni 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz