Sachverhalt:
A. B._ (Ehemann) und K._ (Ehefrau) heirateten am 17. Juni 1994. Beide Ehegatten stammen aus dem ehemaligen Jugoslawien. Sie wurden Eltern der Kinder X._, geboren am 29. Oktober 1995, und Y._, geboren am 16. November 2001. Seit September 1996 leben die Ehegatten getrennt. Es wurde ein Ehetrennungsprozess mit anschliessendem Abänderungsverfahren durchgeführt. Die Ehefrau erhob am 5. November 1999 ein erstes Scheidungsbegehren, zog dieses aber am 19. September 2000 wieder zurück. Gleichentags verlangte sie erneut die Scheidung der Ehe und stellte Anträge bezüglich der Scheidungsfolgen. Der Ehemann bestritt die Zulässigkeit der Scheidungsklage der Ehefrau unter Hinweis auf seine eigene Scheidungsklage, die bereits seit Mitte 1999 in Sremska Mitrovica (Serbien) hängig sei. In der Sache stellte er Eventualbegehren.
B. Die Bezirksgerichtskommission Arbon schied die Ehe der Parteien und regelte die Scheidungsfolgen (Urteil vom 21. Mai 2002). Der Ehemann legte dagegen Berufung ein und erneuerte seine Haupt- und Eventualanträge. Der Obergerichtspräsident ordnete die Durchführung des schriftlichen Verfahrens ohne Berufungsverhandlung an. In getrennten Eingaben je vom 13. Februar 2003 reichte die Ehefrau ihre Berufungsantwort ein und erhob Anschlussberufung. Innert Frist zur Beantwortung der Anschlussberufung stellte der Ehemann dem Obergericht weitere Belege zu. Die Ehefrau nahm zu diesen Belegen am 5. März 2003 und am 8. April 2003 schriftlich Stellung. Das Obergericht des Kantons Thurgau wies die Berufung, soweit darauf eingetreten konnte, und die Anschlussberufung ab. Es schied die Ehe der Parteien und regelte die Scheidungsfolgen (Urteil vom 12. Juni 2003). Mit Schreiben vom 24. Oktober 2003 stellte die Obergerichtskanzlei dem Ehemann - auf dessen Verlangen - die ihm versehentlich nicht mitgeteilte Berufungsantwort vom 13. Februar 2003 sowie die Eingaben der Ehefrau vom 5. März 2003 und vom 8. April 2003 zu.
C. Der Ehemann hat gegen das obergerichtliche Urteil vom 12. Juni 2003 eidgenössische Berufung eingelegt und staatsrechtliche Beschwerde erhoben. Mit der staatsrechtlichen Beschwerde wegen formeller und materieller Rechtsverweigerung beantragt er dem Bundesgericht zur Hauptsache die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Die Ehefrau schliesst auf Abweisung, soweit auf die staatsrechtliche Beschwerde eingetreten werden könne. Beide Parteien ersuchen um unentgeltliche Rechtspflege. Das Obergericht hat ebenfalls die Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde angetragen, soweit auf sie eingetreten werden könne.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör erblickt der Beschwerdeführer darin, dass ihm das Obergericht von der Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin keine Kenntnis gegeben habe. Der Sachverhalt ist unbestritten, die Rüge indessen verspätet.
Verfahrensmässig steht fest, dass die Beschwerdegegnerin in ihrer Anschlussberufungsschrift vom 13. Februar 2003 darauf aufmerksam gemacht hat, dass sie "die Berufungsantwort und die Begründung der Anschlussberufung absichtlich in zwei separaten Rechtsschriften" erstatte (S. 2 Ziff. 1). Der Beschwerdeführer hatte damit von Beginn an davon Kenntnis, dass in den Akten auch eine Berufungsantwort vorhanden sein musste, und er hat im weiteren Verlauf des Verfahrens das Obergericht mindestens noch zwei Mal angeschrieben (Anschlussberufungsantwort vom 27. Februar 2003 und Eingabe vom 17. März 2003), bevor das Urteil am 12. Juni 2003 gefällt wurde. In Anbetracht dessen wäre es dem Beschwerdeführer zumutbar gewesen und hätte von ihm nach Treu und Glauben erwartet werden müssen, dass er sich nach dem Verbleib der Berufungsantwort erkundigt, ein Gesuch um Ansetzung der Frist zur Berufungsreplik stellt oder sonstwie in geeigneter Art die Obergerichtskanzlei auf ihr Versäumnis hinweist. Den kantonalen Akten lässt sich nicht entnehmen, dass der Beschwerdeführer irgendetwas in dieser Richtung vorgekehrt hätte. Erst einen Tag nach Erhalt des obergerichtlichen Urteils hat der Beschwerdeführer vor Obergericht mit Schreiben vom 22. Oktober 2003 bemängelt, er habe die Berufungsantwort nicht erhalten, die in der Anschlussberufungsschrift ausdrücklich erwähnt worden sei.
Nach dem Gesagten hätte der Beschwerdeführer den heute geltend gemachten Verfahrensmangel im Rahmen seiner prozessualen Sorgfaltspflichten rechtzeitig im kantonalen Verfahren beheben lassen können. Mit seiner Rüge der Verweigerung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) ist er vor Bundesgericht deshalb nicht mehr zu hören (vgl. <ref-ruling> E. 2b/aa S. 375; <ref-ruling> E. 1b S. 230).
2. In verfahrensmässiger Hinsicht ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer keine Kenntnis von den Stellungnahmen erhalten hat, die die Beschwerdegegnerin am 5. März 2003 und am 8. April 2003 zu den von ihm eingereichten Belegen erstattet hatte. In der unterbliebenen Zustellung der beiden Stellungnahmen erblickt der Beschwerdeführer eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Er beruft sich dabei auf mehrere gegen die Schweiz ergangene Urteile des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) und leitet daraus einen Anspruch ab, sämtliche zu den Akten gegebenen Schreiben der Gegenpartei und der Behörden vor Erlass des Urteil wenigstens zur Kenntnisnahme mitgeteilt zu erhalten.
2.1 Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör ergibt sich nicht, dass eine Beschwerdeantwort in jedem Falle von Bundesrechts wegen dem Rekurrenten zugestellt werden müsste. Diese Pflicht besteht höchstens, wenn in der Beschwerdeantwort neue erhebliche Gesichtspunkte geltend gemacht werden (<ref-ruling> E. 4a S. 304 und seither zum Replikrecht: <ref-ruling> E. 3 S. 3; <ref-ruling> E. 4b S. 314; <ref-ruling> E. 3f/dd S. 83). Erheblich ist ein neuer Gesichtspunkt unter anderem dann, wenn die entscheidende Behörde darauf abzustellen gedenkt (vgl. HAEFLIGER, Alle Schweizer sind vor dem Gesetze gleich, Bern 1985, S. 137 f.). Aus nachstehenden Gründen kann offen bleiben, ob in dieser Frage aus der EMRK abgeleitete über die verfassungsmässigen Ansprüche hinausgehen (vgl. dazu SCHÜRMANN, Das Urteil des EGMR i.S. F.R. gegen die Schweiz vom 8. [recte: 28.] Juni 2001, in: Internationales Zivilprozess- und Verfahrensrecht 2, Zürich 2003, S. 73 ff., und SENN, Besprechung des Urteils des EGMR i.S. Ziegler gegen die Schweiz vom 21. Februar 2002, in: AJP 2003 S. 862 ff., je mit weiteren Nachweisen).
2.2 In ihrer Eingabe vom 5. März 2003 hat die Beschwerdegegnerin zu Belegen Stellung genommen, die der Beschwerdeführer mit seiner Anschlussberufungsantwort zur Beurteilung seiner Leistungsfähigkeit eingereicht hatte. In erster Instanz wurde dem Beschwerdeführer das bezogene Arbeitslosengeld von monatlich Fr. 3'242.-- als tatsächliches Einkommen und nach Ablauf von zwölf Monaten sein früher erzielter Arbeitsverdienst von Fr. 4'060.-- als hypothetisches Einkommen angerechnet (E. 2b und 3 S. 51 f.). Unter Hinweis auf SUVA-Taggeldabrechnungen für den Monat Februar 2003 machte der Beschwerdeführer veränderte Verhältnisse geltend, wonach er zufolge Unfalls arbeitsunfähig sei und angesichts der konjunkturellen Lage innert absehbarer Frist keine Stelle mehr finden könne.
Die Beschwerdegegnerin hat zu diesen Vorbringen ausgeführt, der Beschwerdeführer übersehe bei seiner "Lohnabrechnung", dass die Taggelder der Krankenversicherung für jeden Kalendertag ausbezahlt würden, während die Taggelder der Arbeitslosenversicherung nur für jeden Werktag vergütet würden. Gehe man von durchschnittlich 30 Kalendertagen pro Monat aus, ergebe sich eine Summe von Fr. 3'250.--. Davon seien einzig noch die Quellensteuern von rund Fr. 100.-- abzuziehen, womit dem Beschwerdeführer auch während seiner vollständigen Arbeitsunfähigkeit ein Nettoeinkommen von rund Fr. 3'150.-- verbleibe (S. 2 der Eingabe vom 5. März 2003). Im angefochtenen Urteil heisst es zu den vom Beschwerdeführer eingereichten Belegen, die SUVA-Taggelder würden für jeden Kalendertag ausgerichtet, was einem durchschnittlichen monatlichen Einkommen von Fr. 3'303.25 bzw. Fr. 3'184.-- nach Abzug der Quellensteuern (3.5 %) entspreche. Selbst wenn der Beschwerdeführer nach wie vor SUVA-Taggelder beziehen würde, was allerdings nicht ausgewiesen sei, würde sich sein Einkommen auf knapp Fr. 3'200.-- pro Monat belaufen (E. 5c/bb S. 28).
Abgesehen davon, dass das Obergericht anders als die Beschwerdegegnerin mit genauen Zahlen gerechnet und nicht abgerundet hat, zeigt die Gegenüberstellung eine praktisch wörtlich übereinstimmende Würdigung der vom Beschwerdeführer eingereichten Belege in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht. Die Entscheiderheblichkeit der Ausführungen, die die Beschwerdegegnerin in ihrer Eingabe vom 5. März 2003 gemacht hat, kann unter diesen Umständen nicht verneint werden. Die Nichtzustellung der Eingabe vom 5. März 2003 hat deshalb den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt. Dahingestellt bleiben kann, inwieweit sich auch die Eingabe vom 8. April 2003 im angefochtenen Urteil niedergeschlagen hat. Immerhin hat das Obergericht unter dem Zwischentitel "Ergebnisse" sowohl die Stellungnahme der Beschwerdegegnerin vom 5. März 2003 als auch diejenige vom 8. April 2003 ausdrücklich erwähnt (E. 2d und e S. 8).
2.3 Die Beschwerdegegnerin hält dagegen, die staatsrechtliche Beschwerde sei insgesamt als rechtsmissbräuchlich und trölerisch im Sinne von Art. 36a Abs. 2 OG zu betrachten. Ihrer und der Ansicht des Obergerichts nach muss die Rüge der Verweigerung des rechtlichen Gehörs zudem verworfen werden. Die Einwände sind unbegründet:
2.3.1 Es mag zutreffen, dass sich der Beschwerdeführer mit allen Mitteln gegen eine Beurteilung der Ehescheidungssache durch die schweizerischen Gerichte zur Wehr setzt und dass nicht alle seine Vorbringen restlos zu überzeugen vermögen. Indessen ist der Zuständigkeitsstreit auch vor dem Hintergrund der Regelung der Kinderbelange zu sehen, die der Beschwerdeführer zumindest im Eventualstandpunkt stets auch vor den schweizerischen Gerichten mitangefochten hat. Angesichts der auf dem Spiele stehenden Interessen kann nicht gesagt werden, der Beschwerdeführer verhalte sich rechtsmissbräuchlich, weil er gegen das zweitinstanzliche Sachurteil eidgenössische Berufung eingelegt und staatsrechtliche Beschwerde erhoben hat. Ein nachgerade auf Obstruktion angelegtes Prozessverhalten des Beschwerdeführers wird zudem nur ungenügend belegt. Die von der Beschwerdegegnerin aufgelisteten Rechtsmittel (S. 4 f.), die der Beschwerdeführer bisher eingereicht hat, waren zwar nur in einem Fall erfolgreich, führten aber alle zu einer ganzen oder teilweisen Überprüfung der angefochtenen Urteile in der Sache. Insgesamt kann nicht von einem Anwendungsfall "querulatorischer oder rechtsmissbräuchlicher Prozessführung" (Art. 36a Abs. 2 OG) ausgegangen werden (vgl. zum Begriff: <ref-ruling> E. 4 S. 88 ff.).
2.3.2 Die Beschwerdegegnerin und das Obergericht machen weiter geltend, die Rüge der Verweigerung des rechtlichen Gehörs sei unbegründet, weil der Beschwerdeführer selbst keinen Anspruch auf Replik erhebe und namentlich nicht behaupte, in den nicht zugestellten Eingaben würden neue und erhebliche Gesichtspunkte vorgebracht. Es ist richtig, dass der Beschwerdeführer aus den erwähnten Urteilen des EGMR einen bedingungslosen Anspruch auf Kenntnis sämtlicher Verfahrensstücke herleitet und sich deshalb nur am Rande mit der Frage befasst, inwiefern die Vorbringen der Beschwerdegegnerin neu und erheblich sind. Indessen würden die formellen Anforderungen an die Beschwerdebegründung überspitzt formalistisch angewendet (vgl. z.B. <ref-ruling> E. 2 S. 114 f.), wenn das Bundesgericht Ausführungen dazu verlangte, was sich - bezogen auf eine konkrete Rüge - unmittelbar aus dem angefochtenen Urteil selbst ergibt. Gemäss E. 5c/bb S. 28 des obergerichtlichen Urteils hat der Beschwerdeführer die Auszahlung von SUVA-Taggeldern für die Zeit vom 6. bis 16. Februar 2003 belegt. Diese Belege haben damit einen neuen - nach Ausfällung des erstinstanzlichen Urteil vom 21. Mai 2002 eingetretenen - Sachverhalt betroffen, so dass auch die Vorbringen der Beschwerdegegnerin vom 5. März 2003 dazu zwangsläufig als neu gelten müssen. Deren Erheblichkeit wiederum folgt ohne weiteres aus dem angefochtenen Urteil selbst (E. 5c/bb S. 28; vgl. E. 2.2 soeben). Die abweichende Sicht der Beschwerdegegnerin und des Obergerichts vermögen daran nichts zu ändern.
2.3.3 Soweit die Beschwerdegegnerin in diesem Zusammenhang das Novenrecht des Beschwerdeführers in Frage stellen will, muss sie auf § 229 ZPO/TG verwiesen werden, wonach dem Berufungskläger - hier: dem Beschwerdeführer - eine Verwirkungsfrist von zwanzig Tagen angesetzt wird, um zur Anschlussberufung seinerseits Anträge zu stellen und allfällige Noven geltend zu machen (Abs. 1 Satz 2). Die Bestimmung wiederholt das - von einer allfälligen Kosten- und Entschädigungspflicht abgesehen - uneingeschränkte Novenrecht in den Berufungseingaben (§ 230 ZPO/TG). Die neuen Beweismittel des Beschwerdeführers, zu denen die Beschwerdegegnerin am 5. März 2003 hat Stellung nehmen können, wurden vom Obergericht denn auch zugelassen und bei der Urteilsfindung diskussionslos berücksichtigt.
2.4 Die festgestellte Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (E. 2.2 soeben) führt zur Aufhebung des angefochtenen Urteils, ungeachtet der Erfolgsaussichten der staatsrechtlichen Beschwerde in der Sache selbst (<ref-ruling> E. 4d S. 132). Eine ausnahmsweise zulässige Heilung des Verfahrensmangels vor Bundesgericht fällt ausser Betracht, zumal sie eine freie Überprüfung des Sachverhalts wie auch der Rechtslage voraussetzte (<ref-ruling> E. 3d/aa S. 437). Diese Voraussetzung ist nicht erfüllt im Verfahren der vorliegenden staatsrechtlichen Beschwerde, zumal die Prüfungsbefugnis in der Sache auf Willkür beschränkt ist, und auch nicht im gleichzeitig hängigen Verfahren der eidgenössischen Berufung, in dem die Feststellungen grundsätzlich unüberprüfbar sind (Art. 63 f. OG), die die Höhe des tatsächlich erzielten Einkommens (z.B. <ref-ruling> E. 3a S. 99) und die Möglichkeit betreffen, ein höheres Einkommen zu erzielen (z.B. <ref-ruling> E. 4c/bb S. 7).
2.5 Aus den dargelegten Gründen muss die staatsrechtliche Beschwerde gutgeheissen werden, soweit darauf einzutreten ist.
3. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer keine Gerichtskosten zu tragen und Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 1 und 2 OG). Der Grund für die Aufhebung des Urteils liegt zwar in einem Versehen bzw. Irrtum der Obergerichtskanzlei. Die Beschwerdegegnerin hat jedoch ausdrücklich - selbst in der Frage der Gehörsverweigerung - auf Abweisung bzw. Nichteintreten geschlossen, obgleich sie sich einer Äusserung - gerade in der Frage der Gehörsverweigerung - auch hätte enthalten können. Unter diesen Umständen ist sie als unterliegend zu betrachten und wird kosten- und entschädigungspflichtig (vgl. MESSMER/IMBODEN, Die eidgenössischen Rechtsmittel in Zivilsachen, Zürich 1992, S. 35 bei/in Anm. 19). Mit Blick auf die offenkundige Gehörsverweigerung konnte ihr Beschwerdeantrag von Beginn an nicht als Erfolg versprechend gelten, so dass ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Begehren abgewiesen werden muss. Ihre Bedürftigkeit ist allerdings ausgewiesen, weshalb sich die Parteientschädigung, die dem Beschwerdeführer zusteht, als uneinbringlich erweisen könnte. Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann ohne weiteres entsprochen werden (Art. 152 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 12. Juni 2003 wird aufgehoben.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, und es wird ihm Rechtsanwalt Dr. Peter Kreis, als amtlicher Vertreter bestellt. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen. Für den Fall der Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung wird Rechtsanwalt Dr. Peter Kreis, aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 1'000.-- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2004
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: