Sachverhalt:
A.
X._ erstattete am 23. Mai 2012 bei der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich Strafanzeige gegen Dr. med. dent. Y._. Sie macht geltend, sie habe sich zu Dr. Y._ in Behandlung begeben, um sich sog. Veneers anbringen zu lassen. Dabei handelt es sich um Keramikschalen, welche mit Spezialkleber auf die zuvor leicht angeschliffenen Zähne geklebt werden. Später habe sich ergeben, dass anstelle der vereinbarten Veneers Teilkronen oder sogar Vollkronen eingesetzt worden seien, wofür die Zähne viel mehr als für Veneers - teilweise fast vollständig - abgeschliffen würden. Dies stelle einen massiven Eingriff in ihre körperliche Integrität dar und erfülle den Tatbestand der vorsätzlichen schweren Körperverletzung. Am 12. Juni 2012 ergänzte X._ ihre Strafanzeige und führte aus, Dr. Y._ habe bewusst Veneers auf die Rechnungen und auf alle anderen Unterlagen geschrieben, womit zusätzlich die Tatbestände der Urkundenfälschung und des Betruges erfüllt seien.
B.
Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich erliess am 17. Januar 2013 eine Nichtanhandnahmeverfügung. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich am 17. Juni 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt X._, die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft sowie den Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich aufzuheben und die Sache an die Staatsanwaltschaft zurückzuweisen.
D.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Y._ reichte keine Vernehmlassung ein, und das Obergericht des Kantons Zürich verzichtet darauf. X._ wurde das Replikrecht gewährt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen und des Bundesstrafgerichts (Art. 80 Abs. 1 BGG). Anfechtungsobjekt ist einzig der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 17. Juni 2013. Soweit die Beschwerdeführerin die Aufhebung der staatsanwaltlichen Nichtanhandnahmeverfügung verlangt, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
1.2. Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Nach Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG wird der Privatklägerschaft ein rechtlich geschütztes Interesse zuerkannt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann. Dies setzt grundsätzlich voraus, dass die Privatklägerin bereits adhäsionsweise Zivilforderungen geltend gemacht hat. Bei Nichtanhandnahme oder Einstellung der Strafuntersuchung wird auf dieses Erfordernis verzichtet. In diesen Fällen muss im Verfahren vor Bundesgericht aber dargelegt werden, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann, sofern dies (etwa aufgrund der Natur der untersuchten Straftat) nicht ohne Weiteres aus den Akten ersichtlich ist (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.4; je mit Hinweisen). Hinsichtlich allfälliger Zivilansprüche äussert sich die Beschwerdeführerin lediglich in der Strafanzeige vom 23. Mai 2011 (recte : 23. Mai 2012). Dort führt sie aus, dass sie wünsche, am Verfahren beteiligt zu sein und "weiter [...] Schadensersatzansprüche sowie Genugtuung vorgesehen" seien (Strafanzeige datiert vom 23. Mai 2011, S. 3). Damit hat sie - in diesem Verfahrensstadium - ihre Zivilansprüche ausreichend geltend gemacht. Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde legitimiert.
2.
2.1. Die Vorinstanz erwägt, dass die Staatsanwaltschaft zu Recht keine Untersuchung wegen schwerer Körperverletzung eröffnet habe. Hinsichtlich des Tatbestandes der einfachen Körperverletzung habe die Beschwerdeführerin bereits im Frühling 2011 genügend konkrete Kenntnis über das Abschleifen und die Veränderung der Zähne gehabt, um einen entsprechenden Strafantrag zu stellen. Bereits in einem Schreiben an die Beschwerdegegnerin 2 vom 11. März 2011 habe die Beschwerdeführerin erwähnt, dass sie stark unter der Veränderung der Zähne leide, wobei auch von möglichen "bleibenden Schäden" die Rede gewesen sei. Auch in einer anderen, am 12. Mai 2011 gegen die Beschwerdegegnerin 2 gerichteten Strafanzeige wegen Verletzung des Berufsgeheimnisses habe die Beschwerdeführerin geltend gemacht, dass die Behandlung nicht lege artis durchgeführt worden sei. Somit sei der am 23. Mai 2012 sinngemäss gestellte Strafantrag nicht rechtzeitig erfolgt.
2.2. Die Beschwerdeführerin rügt, sie habe erstmals aufgrund der im März 2012 erstellten Röntgenbilder erkennen können, dass Kronen anstelle von Veneers aufgesetzt worden seien. Damit sei an ihr eine komplett andere, viel invasivere Operation ausgeführt worden als vereinbart. Der alleinige Umstand, dass die Behandlung aus ihrer Wahrnehmung ästhetisch unbefriedigend gewesen sei und sie unter Schmerzen gelitten habe, begründe noch keine Kenntnis der Straftat. Die dreimonatige Antragsfrist habe daher nach Erstellung und Erläuterung der Röntgenbilder zu laufen begonnen, so dass die Strafanzeige am 23. Mai 2012 rechtzeitig erfolgt sei.
2.3. Gemäss Art. 31 StGB erlischt das Antragsrecht nach Ablauf von drei Monaten. Die Frist beginnt mit dem Tag, an welchem der antragsberechtigten Person der Täter bekannt wird, was auch die Kenntnis der Straftat voraussetzt. Solange aufgrund der Sachlage unklar ist, ob überhaupt ein Delikt begangen wurde, kann die Frist nicht zu laufen beginnen. Die Antragsfrist beginnt mithin erst, wenn der berechtigten Person die objektiven und subjektiven Tatbestandselemente bekannt sind. Die Antragsfrist kann erst beginnen, wenn die berechtigte Person diese Umstände kennt. "Bekannt" im Sinne von Art. 31 StGB sind Tat und Täter nicht schon, wenn die antragsberechtigte Person gegen jemanden einen Verdacht hegt. Erforderlich ist vielmehr eine sichere, zuverlässige Kenntnis, die ein Vorgehen gegen den Täter als aussichtsreich erscheinen lässt und die antragsberechtigte Person gleichzeitig davor schützt, wegen falscher Anschuldigung oder übler Nachrede belangt zu werden (Urteile des Bundesgerichts 6P.13/2007 vom 20. April 2007 E. 5.1; 6B_210/2008 vom 5. August 2008 E. 1.1; 6B_396/2008 vom 25. August 2008 E. 3.3.3; je mit Hinweisen). Was die betroffene Person wusste, ist eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 4.2.3; Urteil des Bundesgerichts 6B_100/2013 vom 17. Juni 2013 E. 1.2; je mit Hinweisen). Ob ihre Kenntnis ausreichend ist, um einen Strafantrag stellen zu können, ist hingegen eine Rechtsfrage.
2.3.1. Die Beschwerdeführerin beklagte sich im Frühling 2011 über die "Veränderung der Zähne" und mögliche "bleibende Schäden". Ebenfalls erwähnte sie, dass die Behandlung nicht lege artis durchgeführt worden sei. Entgegen den Erwägungen der Vorinstanz kann allein daraus nicht der Schluss gezogen werden, dass sie bereits zu diesem Zeitpunkt ausreichende Kenntnis darüber hatte, dass ihre Zähne zur Einsetzung von Teil- oder Vollkronen angeblich beinahe vollständig abgeschliffen wurden. Auch die Befestigung von Veneers bedingt nämlich eine "Veränderung" der Zähne. Wie jede andere zahnärztliche Behandlung kann diese unsachgemäss erfolgen und zu Leiden und bleibenden Schäden führen. Über die konkret durchgeführte Behandlung besagen derartige Aussagen nichts. Sie lassen nicht auf eine sichere und zuverlässige Kenntnis einer Straftat im Sinne von Art. 31 StGB schliessen.
2.3.2. Bereits im Verfahren vor der Staatsanwaltschaft reichte die Beschwerdeführerin zwei Kostenvoranschläge (vom 20. September und 1. November 2010) und eine Rechnung (vom 14. Dezember 2010) ein. Offeriert wurden die "Rekonstruktion des Oberkiefers mittels 2 Kronen und 12 Veneers" sowie "2 zusätzliche Veneers im Unterkiefer Zahn 42, 32". Fakturiert wurden acht "Veneer indirekt", fünf "VMK mit Porzellanstufe oder Vollkeramik" und fünfzehn "prov. Kunststoffkronen direkt". Insgesamt wurden somit acht Veneers und zwanzig Kronen in Rechnung gestellt. Dem stehen die vierzehn Veneers und zwei Kronen der eingereichten Offerten gegenüber. Daraus ergibt sich, dass insgesamt achtzehn Kronen mehr und sechs Veneers weniger als ursprünglich offeriert in Rechnung gestellt wurden. Zur Frage, wann die Beschwerdeführerin von der Rechnung vom 14. Dezember 2010 Kenntnis erhielt, hat die Vorinstanz keine Feststellung getroffen. Ebenfalls hat sie sich nicht mit der Frage auseinandergesetzt, ob aufgrund dieser Rechnung die Beschwerdeführerin eine ausreichende Kenntnis über die behauptete Tat erlangt hat, um einen Strafantrag stellen zu können. In diesem Punkt genügt der angefochtene Entscheid den Anforderungen von Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG nicht. Die Sache ist zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3.
Zu den Tatbeständen der Urkundenfälschung und des Betrugs erwägt die Vorinstanz, dass die Vorbringen der Beschwerdeführerin in der Strafanzeige zu wenig substanziiert waren. In der Beschwerdebegründung würde eine detaillierte Auseinandersetzung mit der Rechnung vom 14. Dezember 2010 sowie ein Vergleich mit den offerierten Leistungen fehlen, und es werde nicht dargelegt, wie die Beschwerdegegnerin 2 sich unrechtmässig bereichert haben soll. Die Beschwerdeführerin wendet ein, dass Veneers abgemacht und abgerechnet worden seien. Jedoch seien Teil- und Vollkronen eingesetzt worden. Die Rechnung entspreche nicht den tatsächlichen Gegebenheiten und sei verfälscht. Die Beschwerdeführerin verkennt, dass in der beanstandeten Rechnung zwanzig Kronen aufgeführt wurden (siehe oben, E. 2.3.2). Ihre Sachverhaltsdarstellung, wonach Veneers anstelle von Kronen fakturiert wurden, ist nicht nachvollziehbar. Damit vermag sie den vorinstanzlichen Schluss, wonach ein ausreichender Anfangsverdacht zur Eröffnung einer Strafuntersuchung nicht bestand, nicht zu erschüttern. Zu Recht bestätigt die Vorinstanz in diesem Punkt die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft.
4.
Die Beschwerde ist in Bezug auf den Tatbestand der einfachen Körperverletzung teilweise gutzuheissen. Der angefochtene Beschluss ist aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführerin sind reduzierte Kosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Kanton Zürich hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Entschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdegegnerin 2 ist keine Entschädigung zuzusprechen, da ihr im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der angefochtene Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 17. Juni 2013 wird in Bezug auf den Tatbestand der einfachen Körperverletzung aufgehoben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Der Beschwerdeführerin werden Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- auferlegt.
3.
Der Kanton Zürich hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Januar 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Moses