Sachverhalt:
A.
Der 1977 geborene E._ war ab Februar 2009 als Projektleiter bei der H._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Als er am 27. September 2010 auf einer Baustelle ein Fenster kontrollierte, prallte ein Fensterflügel gegen seinen Kopf. Der gleichentags aufgesuchte Hausarzt stellte die Diagnosen "vegetative Dystonie und Commotio" und attestierte eine volle Arbeitsunfähigkeit. Nach einigen Tagen nahm der Versicherte die Arbeit wieder auf. Er wurde aber in der Folge phasenweise und in unterschiedlichem Ausmass erneut arbeitsunfähig geschrieben. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Es fanden verschiedene medizinische Abklärungen statt. Vom 6. Juli bis 21. September 2011 hielt sich E._ sodann zur stationären Rehabilitation in der Klinik X._ auf. In deren Austrittsbericht vom 26. September 2011 wurde auf nurmehr psychisch bedingte Beschwerden geschlossen. Mit Verfügung vom 23. November 2011 stellte die SUVA die Heilbehandlung und das Taggeld per 1. Dezember 2011 ein und verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente sowie auf eine Integritätsentschädigung. Sie begründete dies damit, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 27. September 2010. Die vom Krankenpflegeversicherer des E._ hiegegen vorsorglich eingereichte Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA mit Entscheid vom 27. Januar 2012 ab.
B.
Beschwerdeweise beantragte E._, die SUVA sei zu verpflichten, ab 1. Dezember 2011 weiter Heilbehandlung zu gewähren und Taggeld auszurichten; eventuell sei ein polydisziplinäres Gerichtsgutachten einzuholen. Das Sozialversicherungsgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 16. September 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt E._ sein vorinstanzliches Leistungsbegehren erneuern; eventuell sei die Sache zur Einholung eines polydisziplinären Gutachtens an die Vorinstanz resp. an die SUVA zurückzuweisen oder sei vom Bundesgericht ein solches Gutachten einzuholen.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer aus dem Unfall vom 27. September 2010 ab 1. Dezember 2011 weiterhin Anspruch auf Leistungen der Unfallversicherung hat. Er beantragt konkret Heilbehandlung und Taggeld.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, zutreffend dargelegt. Das betrifft nebst den massgeblichen Beweisgrundsätzen namentlich die zu beachtenden kausalen Zusammenhänge. Danach setzt die Leistungspflicht eines Unfallversicherers gemäss UVG voraus, dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) ein natürlicher und ein adäquater Kausalzusammenhang besteht. Dabei spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt. Sind die geklagten Beschwerden natürlich unfallkausal, aber nicht organisch objektiv ausgewiesen, so ist die Adäquanz hingegen besonders zu prüfen. Hiefür ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind gegebenenfalls weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Hat die versicherte Person beim Unfall eine Verletzung erlitten, welche die Anwendung der sog. Schleudertrauma-Rechtsprechung rechtfertigt, so sind hiebei die mit <ref-ruling> eingeführten und durch <ref-ruling> präzisierten Kriterien massgebend. Ist diese Rechtsprechung nicht anwendbar, so sind grundsätzlich die Adäquanzkriterien, welche für psychische Fehlentwicklungen nach einem Unfall entwickelt wurden (sog. Psycho-Praxis; <ref-ruling>), anzuwenden (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 250 f. mit Hinweisen).
3.
Im vorinstanzlichen Verfahren war noch der Zeitpunkt von Fallabschluss und Adäquanzprüfung streitig.
Nach Gesetz und Rechtsprechung ist der Fall unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung abzuschliessen, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes der versicherten Person mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind (<ref-law>; <ref-ruling>E. 3 und 4 S. 112 ff.). Dabei bestimmt sich der Gesichtspunkt der namhaften Besserung des Gesundheitszustandes namentlich nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit (<ref-ruling> E. 4.3 S. 115). Im Zeitpunkt des Fallabschlusses ist der Unfallversicherer zweifellos auch befugt, die Adäquanzfrage zu prüfen (<ref-ruling>; Urteil 8C_377/2013 vom 2. Oktober 2013 E. 7.2).
Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung stehen nicht zur Diskussion. Sodann kann nach Lage der medizinischen Akten mit dem kantonalen Gericht verlässlich ausgeschlossen werden, dass eine Fortsetzung der ärztlichen Behandlung noch eine namhafte Besserung erwarten liess. Das wird in der Beschwerde auch nicht substanziiert in Frage gestellt.
4.
Der angefochtene Entscheid befasst sich im Weiteren mit der Frage, ob die noch geklagten Beschwerden mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalls vom 27. September 2010 zu erklären sind.
4.1. Die Vorinstanz hat dies als erstes hinsichtlich der angegebenen Beschwerden im Bereich der Halswirbelsäule (HWS) und des geklagten Tinnitus verneint.
Bezüglich der erstgenannten Beschwerden wird dies, nach Lage der medizinischen Akten zu Recht, nicht in Frage gestellt. Der Versicherte macht aber geltend, der Tinnitus sei organisch objektiv ausgewiesen.
Die Rechtsprechung umschreibt den Begriff der organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge - als Differenzierungsmerkmal für das Erfordernis einer Adäquanzprüfung - wie folgt: Objektivierbar sind Untersuchungsergebnisse, die reproduzierbar und von der Person des Untersuchenden und den Angaben des Patienten unabhängig sind. Von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen kann somit erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 251). Dies gilt auch bei einem Tinnitus (<ref-ruling>).
Der Versicherte beruft sich zur Stützung seines Standpunktes namentlich auf den Untersuchungsbericht des Otorhinolaryngologen Dr. med. M._ vom 16. Januar 2013. Dieser schliesst zwar auf einen cochleo-synaptischen Tinnitus mittleren Schweregrades. Aus dem Untersuchungsbericht geht aber hervor, dass Dr. med. M._ diese Diagnose gestützt auf die mittels Reintonaudiogramm, Fragebogen und der VAS-Skala der subjektiven Lautheit erhobenen Tinnitus-Charakteristika sowie das erhobene audiometrische Muster gestellt hat. Ein bildgebend/apparativer Nachweis, welcher ein Absehen von der besonderen Adäquanzprüfung gestatten würde, ist damit nicht erbracht (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 5.9 S. 256 ff.).
Aus der Beschwerde wird nicht klar, ob sich der Versicherte auch auf den otoneurologischen Untersuchungsbericht des Dr. med. P._ von der Abteilung Arbeitsmedizin der SUVA vom 27. Juli 2011 berufen will. Dr. med. P._ hielt indessen lediglich fest, der Versicherte habe einen inzwischen fast verschwundenen Tinnitus erwähnt. Der Arzt sah sich nicht veranlasst, diesbezüglich Befunde zu erheben oder eine Diagnose zu stellen. Erst recht äusserte er sich nicht zu Organizität und Kausalität eines solchen Leidens. Sein Bericht lässt mithin keine Schlüsse auf eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge als Erklärung für den Tinnitus zu. Anhaltspunkte für eine solche Unfallfolge ergeben sich im Übrigen auch nicht aus den restlichen medizinischen Akten.
4.2. Zur Diskussion steht weiter die von Dr. med. P._ im Bericht vom 27. Juli 2011 diagnostizierte und als unfallkausal beurteilte commotio labyrinthi. Die Vorinstanz hat erwogen, diese führe nicht zu relevanten Beschwerden und stelle keine invalidisierende Unfallfolge dar. In der Tat bestätigt und begründet Dr. med. P._ in seinem Bericht überzeugend, dass diesem Befund im privaten und beruflichen Alltag praktisch keine Bedeutung zukommt, weil die Gleichgewichtsfunktion als Ganzes ausgezeichnet ist. Die aus der commotio labyrinthi resultierenden Störungen des Gleichgewichtsfunktionssystems sind nicht erheblich und bewirken weder einen Integritätsschaden noch eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Auch eine besondere Behandlung erachtet der Arzt als nicht notwendig. Festzuhalten bleibt, dass Dr. med. P._ zwar versicherungsinterner Arzt ist. Aus den übrigen medizinischen Akten ergeben sich aber keine Anhaltspunkte, welche - im Sinne von <ref-ruling> E. 4.4 S. 469 f. - auch nur geringe Zweifel an seiner fachärztlichen Beurteilung zu begründen vermöchten. Das gilt entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung auch für den Bericht des Dr. med. M._ vom 16. Januar 2013, zumal sich dieser weder zur Arbeitsfähigkeit noch zu einer allfälligen Integritätseinbusse äussert.
Nach dem Gesagten bewirkt die commotio labyrinthi keine für einen weiteren Leistungsanspruch aus der Unfallversicherung relevanten Beschwerden. Daher kann die Frage, ob sie organisch objektiv nachgewiesen ist, offen bleiben.
4.3. Der Versicherte macht weiter geltend, an neuropsychologischen Einschränkungen zu leiden. Zudem sei ein psychoorganisches Syndrom diagnostiziert worden. Auch hiefür ist aber nach Lage der Akten kein organisch objektivierbarer Gesundheitsschaden ausgewiesen. Dass Dr. med. M._ im Bericht vom 16. Januar 2013 Mikroläsionen erwähnt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise, zumal sich der Facharzt hiebei offensichtlich nicht auf bildgebend/apparativ erhobene Befunde stützen kann.
4.4. Mit dem kantonalen Gericht ist sodann in antizipierter Beweiswürdigung von weiteren medizinischen Abklärungen abzusehen, da diese keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen. Anzufügen bleibt, dass die Vorinstanz entgegen der Auffassung des Versicherten die medizinischen Akten, einschliesslich des Berichtes des Dr. med. M._ vom 16. Januar 2013, in nicht zu beanstandender Weise in ihre Beweiswürdigung einbezogen und dies in ihrem Entscheid auch dargelegt hat.
5.
Demnach lassen sich die allenfalls für weitere Leistungen aus dem Unfall vom 27. September 2010 relevanten Beschwerden nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge erklären. Der adäquate Kausalzusammenhang zum Unfall vom 27. September 2010 lässt sich daher nicht ohne besondere Prüfung bejahen. Dabei muss die Frage nach der natürlichen Unfallkausalität nicht beantwortet werden, wenn diese Prüfung ergibt, dass es an der Adäquanz fehlt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 472). Das kantonale Gericht hat dies zutreffend erkannt. Richtig ist auch, dass die Frage, ob bei der Adäquanzprüfung allenfalls nach der Psycho-Praxis vorzugehen wäre, offen gelassen werden kann, wenn selbst die Anwendung der für die versicherte Person in der Regel und sicher auch hier günstigeren Schleudertrauma-Praxis zur Verneinung des adäquaten Kausalzusammenhangs führt (SVR 2010 UV Nr. 3 S. 11, 8C_283/2009 E. 9 Ingress).
Die Vorinstanz hat eine solche Adäquanzprüfung vorgenommen. Sie ist zum Ergebnis gelangt, dass ein mittlerer Unfall im engeren Sinn vorliege und von den praxisgemäss zusätzlich zu berücksichtigenden Kriterien nur eines, und zwar in nicht besonders ausgeprägter Weise, erfüllt sei, was zur Verneinung des adäquaten Kausalzusammenhangs führe. Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Würdigung von Sach- und Rechtslage. Sie entspricht in allen Teilen Gesetz und Praxis (vgl. <ref-ruling>; SVR 2010 UV Nr. 25 S. 100, 8C_897/2009 E. 4.5). Das stellt der Beschwerdeführer denn auch nicht in Frage. Fehlt es demnach am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 27. September 2010 und den noch geklagten relevanten Beschwerden, wurde ein weiterer Leistungsanspruch zu Recht verneint. Die Beschwerde ist abzuweisen.
6.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Dezember 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz