Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) schloss mit der XY._ AG mit Wirkung ab 1. Januar 2004 im Rahmen einer selbständigen Erwerbstätigkeit als Partner eines Consultingunternehmens einen Kollektiv-Krankentaggeldversicherungsvertrag nach VVG der X._ AG ab. Am 14. Juni 2004 meldete er eine seit dem 7. Juni 2004 bestehende 100%ige Arbeitsunfähigkeit aufgrund einer akuten Erschöpfungsdepression. Nach Ablauf der vertraglichen Wartefrist von 14 Tagen erhielt er vom 21. Juni 2004 bis zum 14. Februar 2006 Krankentaggeldleistungen. Danach bezog er nochmals Taggelder vom 10. Juli 2006 bis zum 29. Oktober 2006. Nach Auffassung der Versicherung war damit die maximale Leistungsdauer von 716 Tagen (730 Tage abzüglich die Wartefrist) ausgeschöpft. Der Kläger ist dagegen der Ansicht, bei der Arbeitsunfähigkeit ab dem 10. Juli 2006 handle es sich entgegen der Auffassung der Versicherung nicht um einen Rückfall, sondern um einen neuen Versicherungsfall mit neuer Leistungsdauer.
B.
Am 1. Dezember 2011 belangte der Kläger die XY._ AG und forderte Fr. 150'529.25 nebst Zins. In der Klageantwort wies die X._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) darauf hin, dass nicht die als Dienstleistungsgesellschaft einzig für die Abwicklung der Versicherungsgeschäfte zuständige XY._ AG Beklagte sei, sondern sie selbst als Trägerin der Taggeldversicherung nach VVG. Sie beantragte im Wesentlichen, die Klage abzuweisen, und verlangte widerklagweise Fr. 343'509.95 nebst Zins. In der Replik hielt der Kläger an seiner Forderung, die er nunmehr gegen die Beklagte richtete, fest und beantragte, die Widerklage abzuweisen. Mit der Duplik verlangte die Beklagte, es sei gerichtlich festzustellen, dass der Kläger eine Forderung von Fr. 33'034.-- anerkenne, und hielt im Übrigen an ihren Begehren fest. Mit Urteil vom 5. Februar 2013 trat das Versicherungsgericht des Kantons Aargau auf das Feststellungsbegehren der Beklagten mangels Feststellungsinteresses nicht ein (Dispositivziffer 2 am Ende) und wies sowohl die Leistungsbegehren des Klägers (Dispositivziffer 1) als auch diejenigen der Beklagten in der Widerklage (Dispositivziffer 2 am Anfang) zufolge Verjährung ab. Es erhob keine Verfahrenskosten (Dispositivziffer 3) und sprach dem Kläger eine Parteientschädigung von Fr. 5'071.-- zu (Dispositivziffer 4).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht im Wesentlichen, das Urteil des Versicherungsgerichts bezüglich der Klageabweisung (Dispositivziffer 1) und der Parteientschädigung (Dispositivziffer 4) aufzuheben. Er erneuert das in der Replik gestellte Begehren und verlangt für das kantonale Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 25'354.70. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, während das Versicherungsgericht unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Zwischen den Parteien ist umstritten, ob es sich bei der Arbeitsunfähigkeit ab dem 10. Juli 2006 um einen Rückfall oder um einen neuen Versicherungsfall handelt. Die Vorinstanz hat diese Frage offen gelassen. Sie nahm gestützt auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung an, die Leistungspflicht des Krankentaggeldversicherers werde grundsätzlich durch die ärztlich bescheinigte Arbeitsunfähigkeit und den Ablauf der vereinbarten Wartefrist ausgelöst. Damit beginne auch die Verjährungsfrist. Die für die Dauer der Krankheit geltend gemachten Taggelder verjährten gesamthaft in zwei Jahren ab diesem Zeitpunkt (<ref-ruling>). Die Vorinstanz erkannte, sofern es sich bei der Arbeitsunfähigkeit ab 10. Juli 2006 um eine neue Krankheit handle, habe die Verjährungsfrist für die daraus geschuldeten Taggelder am 24. Juli 2006 zu laufen begonnen, womit der Taggeldanspruch als ganzes am 24. Juli 2008 verjährt sei. Die Beschwerdegegnerin habe aber erst am 19. August 2008 erstmals auf die Einrede der Verjährung verzichtet, sofern diese nicht bereits eingetreten sei. Den für die Zeit vom 10. Juli bis 29. Oktober 2006 erfolgten Taggeldleistungen erkannte die Vorinstanz für einen Anspruch über die Maximaldauer von 716 Bezugstagen hinaus keine verjährungsunterbrechende Wirkung zu, da die Leistungen unter dem Titel Rückfall erfolgt seien. Da die Vorinstanz den Anspruch des Beschwerdeführers für verjährt hielt, ging sie auf die übrigen Einwände der Beschwerdegegnerin nicht ein.
1.1. Mit dem zur Publikation bestimmten Urteil 4A_20/2013 vom 15. Juli 2013 ist das Bundesgericht von der in <ref-ruling> begründeten Rechtsprechung bezüglich der Verjährung von Krankentaggeldern, die in der Lehre auf Kritik gestossen war (zur Publikation bestimmtes Urteil des Bundesgericht 4A_702/2012 vom 18. März 2013 E. 2.3 mit Hinweisen), abgekommen. Es erkannte, Taggeldforderungen verjährten, wenn der Versicherte fortlaufend Leistung von Taggeldern verlangen könne, mit der ärztlich bescheinigten Arbeitsunfähigkeit und dem Ablauf der Wartefrist nicht gesamthaft, sondern einzeln ab dem Tag, für den sie beansprucht würden (zit. Urteil 4A_20/2013 E. 4.1 und 4.2). Die Änderung der Rechtsprechung gründet darin, dass mit der ärztlich bescheinigten Arbeitsunfähigkeit und dem Ablauf der Wartefrist nur die Anfangsvoraussetzungen der Zahlungspflicht gegeben sind. Ob und in welchem Umfang sich daraus eine Leistungspflicht der Versicherung ergibt, ist aber noch offen, da noch nicht alle leistungsbegründenden Tatsachenelemente (namentlich der zukünftige Umfang der Arbeitsunfähigkeit) feststehen (zit. Urteil 4A_20/2013 E. 3.2). Die laufende Verjährung der einzelnen Taggelder rechtfertigte das Bundesgericht damit, dass diese nach ihrer Natur das laufende Einkommen des Versicherten ersetzen und daher fortlaufend gefordert und erbracht werden sollen (zit. Urteil 4A_20/2013 E. 4.1). Mit der Änderung der Rechtsprechung trug es der Kritik der neueren Lehre Rechnung (vgl. zit. Urteil 4A_702/2012 E. 2.3). Für eine Änderung sprach auch die Tatsache, dass die Lehre, auf die das Bundesgericht die bisherige Rechtsprechung gestützt hatte, eine Gesamtverjährung nicht ab Ablauf der Wartefrist, sondern erst ab dem Abschluss der Heilperiode angenommen hatte, unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Forderung aus der Taggeldversicherung nach dem Vertrag erst in diesem Zeitpunkt geltend gemacht werden kann (zit. Urteil 4A_20/2013 E. 3.3.1). Das Bundesgericht rechtfertigte die Rechtsprechungsänderung sodann auch mit Blick auf die Ungereimtheiten, die sich aus der alten Rechtsprechung in Bezug auf die Verjährungsunterbrechung ergeben hatten (zit. Urteil 4A_20/2013 E. 3.4). Der Einwand der Beschwerdegegnerin, es bestehe kein hinreichender Anlass für eine Rechtsprechungsänderung, ist vor diesem Hintergrund nicht stichhaltig. Dass Bundesgericht hat denn auch bereits im zit. Urteil 4A_702/2012 E. 2.6 in Frage gestellt, ob an der bisherigen Rechtsprechung festgehalten werden könne.
1.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, bei Annahme einer Einzelverjährung sei die Verjährung im Zeitpunkt der ersten Verjährungsverzichtserklärung noch nicht eingetreten gewesen, da er die Taggeldansprüche ab dem 29. Oktober 2006 geltend mache.
1.2.1. Es trifft zu, dass Taggeldansprüche für die Zeit nach dem 29. Oktober 2006 im Zeitpunkt der ersten Verjährungsverzichtserklärung vom 19. August 2008 noch nicht verjährt waren, da seit dem 29. Oktober 2006 noch keine zwei Jahre verstrichen waren (<ref-law>). Soweit die Aussage, der Beschwerdeführer mache nur Taggeldansprüche ab dem 29. Oktober 2006 geltend, nicht als Einschränkung der Klage zu verstehen ist, wovon mit Blick auf das unveränderte Rechtsbegehren nicht auszugehen ist, trifft die Behauptung, er mache nur Taggeldansprüche ab dem 29. Oktober 2006 geltend, aber nicht zu, denn in der Begründung seiner Klage beruft er sich nach den Feststellungen der Vorinstanz auf einen Anspruch für einen neuen Versicherungsfall mit Wirkung ab 1. Juli 2006 und einer Arbeitsunfähigkeit von 60 % und zieht von dem auf dieser Grundlage berechneten Anspruch für 716 Tage Leistungen der Beschwerdegegnerin im Betrag von Fr. 51'836.05 ab. Mit dieser Berechnungsweise sind auch die Ansprüche für einen neuen Versicherungsfall vor dem 29. Oktober 2006 Prozessthema, da der Beschwerdeführer gestützt darauf seinen Gesamtanspruch berechnet.
1.2.2. Indem die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer am 20. September 2006 mitgeteilt hat, sie anerkenne die Arbeitsunfähigkeit vom 10. Juli 2006; die Taggeldzahlung bis 12. September 2006 habe sie vorgenommen und mit ausstehenden Prämien verrechnet, hat sie keine Leistungspflicht aus einem neuen Versicherungsfall anerkannt. Dies musste auch dem Beschwerdeführer bewusst sein, da bei einem neuen Versicherungsfall eine neue Wartefrist zu laufen begonnen hätte. Falls kein Rückfall vorliegen sollte, kann der Beschwerdeführer aus der Anerkennung der Arbeitsunfähigkeit mit Blick auf die Verjährung nichts ableiten.
2.
Für die Zeit über zwei Jahre vor der Verjährungsverzichtserklärung kann der Beschwerdeführer bei Annahme eines neuen Versicherungsfalles über das bereits Erhaltene hinaus nichts mehr einfordern. Die übrigen geltend gemachten Taggeldansprüche waren bei der ersten Verjährungsverzichtserklärung noch nicht verjährt. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese die übrigen Einwände der Beschwerdegegnerin behandeln kann. Da die Vorinstanz dabei auch über die Parteientschädigung neu zu entscheiden hat, wird die Beschwerde insoweit gegenstandslos, zumal der Beschwerdeführer lediglich den Abzug wegen "beschränkter Fragestellung" beanstandet, und die Rückweisung zur Behandlung weiterer Fragen führt. Die Beschwerde erweist sich im Wesentlichen als begründet. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, die Ziffern 1 und 4 des angefochtenen Entscheides werden aufgehoben und die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'500.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak