Sachverhalt:
A. Der türkische Staatsangehörige X._, geb. 1958 in A._, wurde ab 1980 wegen politischer Aktivitäten in seinem Heimatland polizeilich gesucht. Ende 1992 löste Interpol Ankara gegen ihn ferner eine internationale Fahndung aus wegen drei Tötungsdelikten, an denen er zwischen 1978 und 1981 beteiligt gewesen sei. Im Jahre 1996 wurde X._ auch in der Schweiz im automatisierten Fahndungssystem RIPOL zur Verhaftung ausgeschrieben.
Im August 1998 konnte X._ nach Italien flüchten, wo er politisches Asyl erhielt. Die türkischen Behörden stellten in der Folge zwei Auslieferungsbegehren, die mit Urteilen des Corte di Appello di Reggio Calabria vom 26. Februar 1999 und 14. Dezember 1999 abgewiesen wurden. Dem zweiten Urteil ist zu entnehmen, dass das italienische Gericht die Auslieferung ablehnte, weil es die Beteiligung von X._ an den Straftaten als ungenügend nachgewiesen erachtete, politische und ideologische Hintergründe der Delikte vermutete und nicht für ausgeschlossen hielt, dass die Straftaten mit der Todesstrafe geahndet würden.
Die heutige Ehefrau von X._, Y._, floh im Jahre 2000 mit der gemeinsamen Tochter Z._ in die Schweiz; beide erhielten hier Asyl.
Am 18. Dezember 2001 wurde die Ausschreibung von X._ im RIPOL auf Anordnung des Bundesamtes für Justiz (BJ) gelöscht, weil die angeblich begangenen Straftaten als nach schweizerischem Recht mittlerweile verjährt erachtet wurden.
B. Am 20. Dezember 2003 gelangte X._ ebenfalls in die Schweiz und ersuchte am 18. Februar 2004 um Asyl. Das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (BFF; heute Bundesamt für Migration [BFM]) meldete dies dem Bundesamt für Justiz, welches seinerseits am 20. Februar 2004 Interpol Ankara mitteilte, X._ halte sich in der Schweiz auf; es erachte allerdings die ihm zur Last gelegten Straftaten als verjährt. Interpol Ankara antwortete gleichentags, die Fahndung werde aufrecht erhalten und die Straftaten verjährten erst am 22. Januar 2008, weshalb darum ersucht werde, X._ in Auslieferungshaft zu nehmen. Mit Schreiben vom 15. Juli 2004 hielt Interpol Ankara an seiner Sichtweise und am Haftbegehren fest und übermittelte Dokumente des türkischen Justizministeriums, in denen die Tatbeteiligung von X._ an den Tötungsdelikten in der Form von Aktenauszügen beschrieben wurde. Am 13. August 2004 erneuerte Interpol Ankara das Ersuchen ohne Erfolg; das Bundesamt für Justiz hielt am 17. August 2004 definitiv an seiner Auffassung fest, wonach zufolge Verjährung keine Auslieferungshandlungen in Frage kämen. Am 18. August 2004 informierte es das Bundesamt für Flüchtlinge über seine Aktivitäten und regte im Falle eines positiven Asylentscheids an, X._ generell-abstrakt über die Gefährdungslage zu informieren, ohne aber auf das konkrete türkische Ersuchen Bezug zu nehmen.
Mit Entscheid vom 25. Oktober 2004 gewährte das Bundesamt für Flüchtlinge X._ in der Schweiz Asyl. Der Entscheid enthielt insbesondere den folgenden Passus:
"Wir weisen Sie jedoch ausdrücklich darauf hin, dass die Anerkennung als Flüchtling lediglich für die Schweiz gilt. Unser Land verfügt nur über sehr beschränkte Einwirkungsmöglichkeiten, sollten Sie im Ausland im Rahmen eines Straf- bzw. Auslieferungsverfahrens behördlichen Massnahmen ausgesetzt sein".
Am 29. Dezember 2004 erhielt X._ im Weiteren ein Reisedokument für ausländische Personen.
C. Am 27. Mai 2006 wurde X._ beim Grenzübertritt nach Lörrach/Bundesrepublik Deutschland von den deutschen Behörden festgenommen und in Auslieferungshaft gesetzt. Auf ein darauf folgendes türkisches Auslieferungsbegehren erklärte das Oberlandesgericht Karlsruhe die Auslieferung von X._ wegen eingetretener Strafverfolgungsverjährung bzw. fehlendem hinreichendem Tatverdacht mit Beschluss vom 12. Februar 2007 für unzulässig und hob die Auslieferungshaft auf. X._ erhielt für die 261 Hafttage keine Entschädigung.
D. Mit Eingabe vom 23. Mai 2007 stellten X._, Y._ und Z._ beim Eidgenössischen Finanzdepartement (EFD; nachfolgend Finanzdepartement) ein Begehren um Schadenersatz und Genugtuung. Zur Begründung machten sie im Wesentlichen geltend, die schweizerischen Behörden wären verpflichtet gewesen, X._ über das türkische Auslieferungsbegehren und dessen Ablehnung durch das Bundesamt für Justiz zu informieren. X._ hätte sich nicht ins Ausland begeben, wenn er Kenntnis vom internationalen Festnahme- und Auslieferungsbegehren der Türkei gehabt hätte.
Mit Verfügung vom 28. Januar 2008 wies das Finanzdepartement das Begehren um Leistung von Schadenersatz und Genugtuung ab. Es hielt fest, dass ein Kausalzusammenhang zwischen der behaupteten Amtspflichtverletzung und dem geltend gemachten Schaden fehle. X._ habe auch ohne Warnung durch die Schweizer Behörden Grund zur Annahme gehabt, dass im Ausland weiterhin nach ihm gefahndet werde (Auslieferungsverfahren in Italien, Hinweis im Asylentscheid) und bei Auslandreisen das Risiko der Verhaftung bestehe.
E. Hiergegen führten X._, Y._ und Z._ beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde mit den Begehren, für erlittene Auslieferungshaft eine Entschädigung von Fr. 104'400.-- (261 Tage à Fr. 400.--) zu bezahlen, für Anwaltskosten Fr. 6'501.--, für Reiseauslagen Fr. 2'400.-- und für Telefonkosten Fr. 960.-- zu vergüten und Genugtuungsbeträge von Fr. 20'000.-- (an X._) bzw. je Fr. 10'000.-- (an Y._ und Z._) auszurichten.
Mit Urteil vom 13. November 2009 hiess das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde gut, hob die angefochtene Verfügung auf und wies die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Finanzdepartement zurück. Es hielt sowohl die natürliche Kausalität als auch die Adäquanz für gegeben und verneinte ein (konkurrierendes) Selbstverschulden von X._. Die Schweizer Behörden hätten zudem widerrechtlich gehandelt, denn das Unterlassen der Orientierung von X._ über das türkische Haft- und Auslieferungsbegehren stelle eine Amtspflichtverletzung dar.
F. Das Finanzdepartement führt mit Eingabe vom 15. Dezember 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Es beantragt, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und das Begehren um Schadenersatz und Genugtuung kostenfällig abzuweisen. Zur Begründung führt das Finanzdepartement aus, das Bundesverwaltungsgericht habe den Sachverhalt offensichtlich falsch festgestellt, indem es das behördliche Verhalten zu Unrecht als kausal für den Schaden erachtet habe. Im Weitern habe es auch Bundesrecht verletzt, weil es den Behörden ein widerrechtliches Verhalten und eine Amtspflichtverletzung vorgeworfen habe.
G. Die Beschwerdegegner beantragen, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Sie stellen zudem das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beiordnung des beigezogenen Rechtsanwalts.
Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der bei ihm eingereichten Beschwerden von Amtes wegen (<ref-law>).
1.1 Die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts (<ref-law>) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Ein Ausschlussgrund gemäss <ref-law> liegt nicht vor, und die Streitwertgrenze von <ref-law> auf dem Gebiet der Staatshaftung ist überschritten. Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren jedoch nicht ab, sondern weist die Angelegenheit zu neuem Entscheid an das Finanzdepartement zurück; es handelt sich daher nicht um einen Endentscheid, sondern bloss um einen Zwischenentscheid (vgl. Art. 90 und 93 BGG). Gegen derartige Entscheide steht die Beschwerde an das Bundesgericht nur offen, wenn entweder die Voraussetzungen von Art. 92 oder diejenigen von <ref-law> erfüllt sind. <ref-law> lässt die Anfechtung eines Zwischenentscheids beim Bundesgericht zu, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte. Einen solchen Nachteil erachtet die Rechtsprechung als gegeben, wenn die Behörde, an welche die Angelegenheit zurückgewiesen wird, durch den Rückweisungsentscheid dazu verhalten wird, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu erlassen, die sie selber nicht anfechten und zur oberinstanzlichen Überprüfung bringen könnte (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483 f.). In dieser Situation ist hier das Finanzdepartement. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist deshalb zulässig.
1.2 Das Finanzdepartement stützt seine Beschwerdeberechtigung auf <ref-law>. Danach sind insbesondere die Departemente des Bundes zur Beschwerde befugt, wenn der angefochtene Akt die Bundesgesetzgebung in ihrem Aufgabenbereich verletzen kann. Die Beschwerdegegner bestreiten, dass diese Voraussetzung erfüllt ist. Sie argumentieren, das Finanzdepartement rüge die falsche Anwendung von Vorschriften über die internationale Rechtshilfe in Strafsachen. Diese Bestimmungen gehörten nicht zu seinem Aufgabenbereich, sondern fielen in den Zuständigkeitsbereich des Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartements, welches keine Beschwerde erhoben habe. Auf die Beschwerde des Finanzdepartements sei deshalb nicht einzutreten.
Gemäss Art. 2 Abs. 1 der Verordnung vom 30. Dezember 1958 zum Verantwortlichkeitsgesetz (SR 170.321) fallen Verfügungen über Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gegen den Bund im Sinne von Art. 10 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördemitglieder und Beamten (Verantwortlichkeitsgesetz, VG; SR 170.32) in die Zuständigkeit des Finanzdepartements. Zum Aufgabenbereich dieses Departements gehört damit nicht nur die Anwendung der Vorschriften des Verantwortlichkeitsgesetzes, sondern auch sämtlicher weiterer im Zusammenhang mit Verantwortlichkeitsansprüchen gegen den Bund nach Art. 10 Abs. 1 VG angerufenen Bundesvorschriften. Eine andere Sichtweise wäre sachwidrig und unzweckmässig, weil die Zuständigkeit auf Bundesebene oft unklar wäre und sich der Bund in vielen Verantwortlichkeitsverfahren gar nicht durch das in Haftungsfragen zuständige Finanzdepartement, sondern durch ein anderes Departement vertreten lassen müsste. Je nach dem gerade im Vordergrund stehenden Sachbereich könnte die departementale Zuständigkeit im Verlaufe des gleichen Verfahrens sogar wechseln. Art. 2 Abs. 1 Satz 2 der Verordnung zum Verantwortlichkeitsgesetz sieht vor, dass das Finanzdepartement eine Vernehmlassung der Amtsstelle einholt, in deren Geschäftsbereich sich der anspruchsbegründende Sachverhalt ereignet hat. Diese Regelung soll die Koordination auf der Ebene der Bundesverwaltung gewährleisten. Sie stellt zudem klar, dass die weitere Bearbeitung - ungeachtet des Sachbereichs, der im Zusammenhang mit Haftungsansprüchen betroffen ist - in den Aufgabenbereich des Finanzdepartements fällt. Dessen Beschwerdelegitimation kann deshalb nicht mit Fug in Zweifel gezogen werden.
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Rügen betreffend die Sachverhaltsfeststellung müssen deshalb aufzeigen, dass der Sachverhalt im erwähnten Sinn offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252) festgestellt worden ist und dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
2. 2.1 Gemäss Art. 3 Abs. 1 VG haftet der Bund für Schaden, den einer seiner Angestellten in Ausübung seiner Tätigkeit Dritten widerrechtlich zufügt, ohne dass auf das Verschulden des Angestellten etwas ankommt. Bei widerrechtlicher Verletzung in ihrer Persönlichkeit durch einen schuldhaft handelnden Angestellten des Bundes haben Dritte im Weiteren Anspruch auf Leistung einer Geldsumme als Genugtuung, wenn die Schwere der Verletzung es rechtfertigt und diese nicht anders wieder gutgemacht worden ist (Art. 6 Abs. 2 VG).
2.2 Der Begriff der Widerrechtlichkeit nach Art. 3 Abs. 1 VG deckt sich mit demjenigen von Art. 41 OG (<ref-ruling> E. 4 d/bb S. 582). Danach ergibt sich die Widerrechtlichkeit nach der massgebenden objektiven Widerrechtlichkeitstheorie daraus, dass entweder ein absolutes Recht des Geschädigten beeinträchtigt wird, ohne dass ein Rechtfertigungsgrund vorliegt (sog. Erfolgsunrecht), oder dass ein schädigender Eingriff (z.B. eine Vermögensschädigung) durch Verstoss gegen eine Norm bewirkt wird, die nach ihrem Zweck vor derartigen Schäden schützen soll (sog. Handlungsunrecht; <ref-ruling> E. 4.1 S. 318; <ref-ruling> E. 4c S. 481, je mit Hinweisen). Auch eine Unterlassung kann widerrechtlich sein, allerdings nur dann, wenn eine Schutzvorschrift (Verhaltensnorm) den Angestellten des Bundes zum Handeln verpflichtete oder die Unterlassung ausdrücklich sanktioniert (<ref-ruling> E. 4.1 S. 317 f., mit Hinweisen). Wird die Haftung des Bundes mit einer Unterlassung begründet, so haftet der Bund somit bloss, wenn seine Angestellten eine sog. Garantenpflicht oder Garantenstellung innehatten (<ref-ruling> E. 4d/ff S. 583; <ref-ruling> E. 4.1 S. 317). Wird die Haftung aus einem Rechtsakt (oder einem Verfahren, das in einen Rechtsakt mündet) abgeleitet, so liegt eine haftungsbegründende Widerrechtlichkeit nicht bereits vor, wenn sich dieser später als unrichtig, gesetzwidrig oder gar willkürlich erweist. Eine solche Widerrechtlichkeit ist erst dann gegeben, wenn der Angestellte eine für die Ausübung seiner Funktion wesentliche Pflicht, eine wesentliche Amtspflicht, verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 318; <ref-ruling> S. 164).
2.3 Die Haftung des Bundes setzt im Weiteren voraus, dass das Verhalten des Bundesangestellten bei der Ausübung einer amtlichen Tätigkeit natürlich und adäquat kausal für den behaupteten Schaden war. Die natürliche Kausalität ist gegeben, wenn ein Handeln Ursache im Sinne einer nicht wegzudenkenden Bedingung (conditio sine qua non) für den Eintritt des Schadens ist. Ob dies zutrifft, ist eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 2.2 S. 718, auch zum Folgenden). Rechtsfrage ist dagegen, ob zwischen der Ursache und dem Schadenseintritt auch ein adäquater Kausalzusammenhang besteht. Dies ist dann der Fall, wenn die Ursache nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und der allgemeinen Lebenserfahrung geeignet ist, einen Erfolg von der Art des eingetretenen herbeizuführen (<ref-ruling> E. 5b S. 345). Der adäquate Kausalzusammenhang fehlt oder ist unterbrochen, wenn eine Schadensursache gegenüber einer anderen völlig in den Hintergrund tritt (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 524). Entscheidend ist dabei die Intensität der beiden Kausalzusammenhänge; erscheint der eine bei wertender Betrachtung als derart intensiv, dass er den anderen gleichsam verdrängt und als unbedeutend erscheinen lässt, wird eine sogenannte Unterbrechung des andern angenommen (<ref-ruling> E. 4b S. 524). Besteht die schädigende Handlung in einer Unterlassung, geht es um einen hypothetischen Kausalverlauf, für den nach den Erfahrungen des Lebens und dem gewöhnlichen Lauf der Dinge eine überwiegende Wahrscheinlichkeit sprechen muss. Die wertenden Gesichtspunkte der Adäquanz fliessen dabei schon bei der Feststellung des hypothetischen Kausalverlaufs ein, weshalb es in der Regel nicht sinnvoll ist, den angenommenen hypothetischen Geschehensablauf auch noch auf seine Adäquanz zu überprüfen. Die Feststellungen des Sachrichters im Zusammenhang mit Unterlassungen sind daher entsprechend der allgemeinen Regel über die Verbindlichkeit der Feststellungen zum natürlichen Kausalzusammenhang für das Bundesgericht bindend (<ref-ruling> E. 2.3 S. 719). Nur wenn die hypothetische Kausalität ausschliesslich gestützt auf die allgemeine Lebenserfahrung - und nicht gestützt auf Beweismittel - festgestellt wird, unterliegt sie als Rechtsfrage der freien bundesgerichtlichen Überprüfung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 719; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.5 S. 311, mit Hinweisen).
3. 3.1 Das Finanzdepartement rügt, das Bundesverwaltungsgericht habe den Sachverhalt offensichtlich falsch festgestellt und zu Unrecht angenommen, der Beschwerdegegner 1 wäre nicht in die Bundesrepublik Deutschland ausgereist, wenn er vom Bundesamt für Justiz über das türkische Fahndungsersuchen informiert worden wäre; richtig besehen fehle ein solcher Zusammenhang und entfalle die vom Bundesverwaltungsgericht bejahte Kausalität zwischen dem behördlichen Verhalten (Nichtinformation) und dem schädigenden Ereignis (Verhaftung in Deutschland), zumal der Beschwerdegegner 1 als politischer Aktivist und nach den Geschehnissen um seine Flucht und Anerkennung als Flüchtling habe wissen müssen, dass er bei Auslandreisen Gefahr laufe, in Auslieferungshaft genommen zu werden.
3.2 Die Beschwerdegegner halten dafür, die Vorinstanz habe die Vorbringen sorgfältig abgewogen und den Sachverhalt, auch die hypothetischen Elemente, im Rahmen ihres Ermessens festgestellt. Die Spekulationen des Finanzdepartements seien nicht geeignet, die Feststellungen der Vorinstanz als offensichtlich unrichtig erscheinen zu lassen. Vielmehr bestehe kein Anlass zu einer Überprüfung.
3.3 Das Bundesverwaltungsgericht hat im Zusammenhang mit dem hypothetischen Kausalverlauf festgehalten, der Beschwerdegegner 1 wäre nicht nach Deutschland gereist, wenn er gewusst hätte, dass sein Heimatstaat immer noch international nach ihm fahnden lasse. Nachdem er 1998 in Italien und 2004 in der Schweiz wegen politischer Verfolgung Asyl erhalten habe, habe er nicht damit rechnen müssen, als anerkannter Flüchtling und noch sechseinhalb Jahre nach der Verweigerung seiner Auslieferung an die Türkei durch ein italienisches Gericht von seinem Heimatland in Drittländern strafrechtlich verfolgt zu werden. Zwar hätten die Fälle G._ und H._ - insbesondere letzterer, in dem ein schweizerisch-türkischer Doppelbürger im Oktober 2003 in Deutschland in Auslieferungshaft genommen und erst Mitte Februar 2004 wieder auf freien Fuss gesetzt worden sei - in den Schweizer Medien hohe Wellen geworfen und auch zu parlamentarischen Vorstössen geführt, wobei namentlich die Informationspraxis der schweizerischen Behörden beleuchtet und diskutiert worden sei. Der Beschwerdegegner 1, der am 20. Dezember 2003 in die Schweiz eingereist sei, hätte über die Vorfälle somit wohl grundsätzlich orientiert sein und Parallelen zu seiner Situation herstellen können. Bei einem sprachunkundigen Flüchtling wie ihm könne jedoch nicht davon ausgegangen werden, dass er sich schon kurz nach seiner Ankunft über diese Geschehnisse informiert habe, umso weniger, als er im neuen Gastland zunächst habe um Asyl ersuchen müssen und nicht an Auslandreisen habe denken können. Aber selbst wenn er oder die schon hier lebenden Familienangehörigen über die Fälle G._ und H._ im Bild gewesen wären, hätten sie aufgrund der Medienberichte annehmen können, dass das Bundesamt für Justiz seine Informationspraxis anpasse und inskünftig in derartigen Fällen informiere. Im Übrigen habe die generell-abstrakte Formulierung der Warnung im Asylentscheid den Beschwerdegegner 1 zu wenig deutlich auf die Gefahr hingewiesen. Im Ergebnis sei lediglich auf den für anerkannte Flüchtlinge im Ausland fehlenden konsularischen Schutz durch die Schweizer Behörden aufmerksam gemacht worden. Eine Erkundigung beim Bundesamt für Polizei vor Antritt der Auslandreise wäre zudem wohl ohne Ergebnis geblieben, wie der vom Bundesgericht in <ref-ruling> beurteilte Sachverhalt aufzeige. Dem Beschwerdegegner 1 liesse sich daher auch nicht Untätigkeit anlasten.
3.4 Der hier zu beurteilende Sachverhalt unterscheidet sich von den von der Vorinstanz zum Vergleich herangezogenen beiden Fällen (G._ und H._) wesentlich. Wohl ging es in diesen Vergleichsfällen auch um türkische Staatsangehörige, die in der Schweiz als Flüchtlinge Asyl erhalten hatten und später bei Auslandreisen aufgrund internationaler Fahndungsersuchen in Auslieferungshaft genommen wurden. Beide lebten allerdings schon sehr lange unbehelligt in der Schweiz, hatten sich integriert und waren schliesslich eingebürgert worden. Dass ihr ehemaliges Heimatland weit über ein Jahrzehnt nach ihrer Flucht (im einen Fall 14 Jahre, im andern 15 Jahre danach) internationale Haftbefehle gegen sie erliess und anschliessend während Jahren die Auslieferung anstrengte, blieb ihnen verborgen. Sie wurden insbesondere von den Schweizer Behörden über die hier eingereichten Auslieferungsersuchen, denen keine Folge gegeben wurde, nicht informiert. Als sie ins Ausland reisten, waren sie ahnungslos und wurden dort (der eine in Deutschland, der andere in Slowenien) für sie völlig überraschend in Auslieferungshaft versetzt. Im zweiten Fall, in dem Schadenersatzansprüche gegen den Bund gestellt worden und letztinstanzlich vom Bundesgericht zu beurteilen waren, gelangte dieses daher zum Ergebnis, die Schweizer Behörden hätten das bei ihnen angehobene Auslieferungsverfahren förmlich abschliessen und den Betroffenen dergestalt über die internationale Fahndung informieren sollen; dieser habe nicht damit rechnen können und müssen, er werde im Ausland strafrechtlich verfolgt (Urteil 2A.212/2006 vom 9. Oktober 2006, in Pra 2007 Nr. 54 S. 360).
Hier verhält es sich jedoch grundlegend anders: Der Beschwerdegegner 1 wurde schon vor seiner Flucht nach Italien im Jahre 1998 international ausgeschrieben und polizeilich gesucht. Er wurde im Folgejahr in Italien aufgrund eines türkischen Auslieferungsbegehrens festgesetzt und blieb über ein halbes Jahr in Auslieferungshaft. Während dieser Zeit musste er sich gegen zwei türkische Auslieferungsgesuche zur Wehr setzen; diese wurden vom Corte di Apello di Reggio Calabria mit Urteilen vom 26. Februar und 14. Dezember 1999 abgewiesen. Damit war der Beschwerdegegner 1 aus eigener Erfahrung darüber im Bilde, dass ihn sein Heimatstaat entschlossen und hartnäckig auch im Ausland bzw. international verfolgte. Als politisch engagierte Person (Vorsitzender des Vereins Emekder und Mitglied der nicht zugelassenen türkischen kommunistischen Partei), die sich zur Flucht ins Ausland gezwungen gesehen hatte, war er sodann zweifellos interessiert am Schicksal der weiteren politischen Flüchtlinge aus der Türkei und verfügte auch über bestimmte Quellen im Ausland. Er erhielt Kenntnis von der Flucht seiner nachmaligen (politisch ebenfalls aktiv gewesenen) Ehefrau und der gemeinsamen Tochter in die Schweiz im Jahre 2000 und konnte Ende 2003 seinerseits die Weiterreise in die Schweiz organisieren, wo er im Jahre 2004 ein weiteres Asylverfahren anhob, also die Flüchtlingsproblematik aktualisiert wieder aufrollte. Zu dieser Zeit berichteten die Schweizer Medien prominent über die erwähnten Fälle G._ und H._, was ihm und seinen Familienangehörigen nicht verborgen bleiben konnte, auch wenn sie möglicherweise - wie die Vorinstanz vermutet hat - damals andere Prioritäten und auch Sprachprobleme hatten. Sie mussten dennoch realisiert haben, dass die Türkei in Fällen mit politischem Hintergrund selbst noch nach über zehn Jahren seit der Flucht ins Ausland international fahnden liess und die Auslieferung beantragte. Zu Recht weist das Finanzdepartement ausserdem auf den Passus im Asylentscheid betreffend die fehlende internationale Schutzwirkung der Asylgewährung in der Schweiz hin (vgl. oben Sachverhalt lit. B). Der Beschwerdegegner 1 wurde darauf aufmerksam gemacht, dass die Schweiz gegen Straf- und Auslieferungsverfahren im Ausland kaum Schutz zu bieten vermöchte, womit ihm zugleich in Erinnerung gerufen wurde, dass sich im Ausland diesbezüglich Probleme ergeben könnten. Vor diesem Hintergrund konnte und durfte der Beschwerdegegner 1 auch nach seiner Übersiedlung in die Schweiz und der Asylgewährung im Oktober 2004 nicht davon ausgehen, er werde im Ausland nicht mehr verfolgt. Vielmehr trifft gerade das Gegenteil zu. Die diesbezüglichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz sind lückenhaft und in ihrer Gesamtheit qualifiziert unrichtig.
Die weiteren in diesem Zusammenhang gewürdigten Umstände ändern an diesem Ergebnis nichts. Die relativ lange Zeitspanne zwischen den Auslieferungsentscheiden in Italien und der Deutschland-Reise des Beschwerdegegners 1 von rund sechseinhalb Jahren konnte diesen und seine Ehefrau nach den oben dargestellten Geschehnissen und Erfahrungen sowie den bekannten Informationen nicht zur Annahme verleiten, die Türkei habe die internationale Fahndung (bereits) aufgegeben. Die Beschwerdegegner konnten aus den Medienberichten um die Fälle G._ und H._ auch nicht schliessen, die schweizerischen Behörden hätten die Informationspraxis für international ausgeschriebene Flüchtlinge so geändert, dass diesen jedes Risiko abgenommen sei. Vielmehr ist in der Berichterstattung und nach parlamentarischen Anfragen auch im Parlament recht vage geblieben, in welchen Fällen und in welcher Form die Behörden etwas zu unternehmen gedächten. Endlich konnte der Beschwerdegegner 1 aus der Ausstellung von Reisepapieren nach der Asylgewährung, im Dezember 2004, auch nicht ableiten, Auslandreisen seien gefahrlos möglich. Zwar wird einem Flüchtling ein Reiseausweis verweigert, wenn er wegen eines Verbrechens oder Vergehens im automatisierten Polizeifahndungssystem RIPOL zur Verhaftung ausgeschrieben ist (vgl. Art. 13 Abs. 1 lit. e der Verordnung vom 27. Oktober 2004 über die Ausstellung von Reisedokumenten für ausländische Personen, RDV; SR 143.5; in der damals geltenden Fassung [AS 2004 4577]). Die Ausschreibung im RIPOL war indessen Ende 2001 wegen Verjährung der zur Last gelegten Straftaten nach Schweizer Recht gelöscht worden. Selbst wenn der Beschwerdegegner 1 über diese Detailvorschriften im Bild war, was offen bleiben kann, durfte er die Aushändigung von Reisepapieren nicht als behördliche Bestätigung risikoloser Auslandreisen verstehen. Die Vorinstanz hat diesbezüglich - zu Recht - festgehalten (E. 3.4.5 des angefochtenen Urteils), aus der Löschung im RIPOL könne nicht auf das Fehlen eines internationalen Fahndungsaufrufs geschlossen werden.
3.5 Aus dem Ausgeführten ergibt sich, dass der Beschwerdegegner 1 über das internationale türkische Fahndungsersuchen informiert war und wissen musste, dass sein ehemaliges Heimatland selbst nach der Asylgewährung in der Schweiz und der Aushändigung von Reisepapieren wahrscheinlich weiterhin daran festhalten würde. Er musste sich der Gefährdungssituation bei Auslandreisen bewusst sein. Wenn er trotzdem im Mai 2006 die Grenze nach Deutschland überschritt, um im benachbarten Lörrach einen Bekannten zu besuchen, so hat er dies offenkundig nicht - wie in den Vergleichsfällen - ahnungslos getan; vielmehr geschah dies wahrscheinlich in der Hoffnung, der Abstecher ins grenznahe Ausland sei unkompliziert und nicht mit grossen Formalitäten verbunden und werde insbesondere keine Personenüberprüfung in internationalen Registern oder gar eine Festnahme auslösen, so dass das Risiko in Kauf genommen werden könne. Bei dieser sich aufdrängenden Würdigung der gesamten massgeblichen Umstände ist es unhaltbar, wie die Vorinstanz davon auszugehen, der Beschwerdegegner 1 sei sich der Gefahr nicht bewusst gewesen und hätte den Grenzübertritt nach Deutschland bei entsprechender Information durch die Schweizer Behörden im Jahre 2004 unterlassen. Ist aber deren zurückhaltende Informationspraxis nicht der wahre Grund für den Entschluss zur Auslandreise gewesen, fehlt es am (hypothetischen) Kausalzusammenhang zwischen der Unterlassung, die den Bundesbehörden vorgeworfen wird, und dem Schaden, den der Beschwerdegegner 1 zufolge seiner Festnahme und -haltung im Nachbarland erlitten hat. Die Haftungsvoraussetzungen von Art. 3 Abs. 1 VG sind somit nicht gegeben. Dies führt zur Abweisung des Schadenersatzbegehrens, ohne dass die weiteren Voraussetzungen geprüft zu werden brauchen. Analoges gilt für den geltend gemachten Genugtuungsanspruch: Es fehlt an der Kausalität zwischen der behaupteten Unterlassung der Bundesbehörden und der angeblich erlittenen Persönlichkeitsverletzung. Damit erübrigen sich Überlegungen dazu, wie die Behörden nach dem Eingang des türkischen Auslieferungsersuchens korrekterweise hätten vorgehen müssen, wenn der Beschwerdegegner 1 nicht bereits um die Gefahr, im Ausland in Auslieferungshaft versetzt zu werden, gewusst hätte.
4. 4.1 Die Beschwerde erweist sich somit als begründet. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Verfügung des Finanzdepartements vom 28. Januar 2008 zu bestätigen.
4.2 Bei diesem Ergebnis werden die Beschwerdegegner grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Sie haben allerdings ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung unter Beiordnung von Fürsprecher Willi Egloff als Rechtsbeistand gestellt, dem entsprochen werden kann, da die Voraussetzungen zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (vgl. <ref-law>) erfüllt sind. Die Vorinstanz hat den Beschwerdegegnern mit Verfügung vom 29. April 2008 gestützt auf entsprechende Belege ebenfalls die unentgeltliche Rechtspflege gewährt, doch ist das Gesuch gegenstandslos geworden, weil die Beschwerdegegner obsiegt haben. Mit dem vorliegenden Ergebnis wird die Vorinstanz über die Kostenfolgen neu zu befinden haben. Die Angelegenheit ist zu diesem Zweck an sie zurückzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, das angefochtene Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 13. November 2009 aufgehoben und die Verfügung des Eidgenössischen Finanzdepartements vom 28. Januar 2008 bestätigt.
2. Den Beschwerdegegnern wird für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
a) es werden keine Gerichtskosten erhoben.
b) Fürsprecher Willi Egloff, Bern, wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand bestellt und für das Verfahren vor dem Bundesgericht mit Fr. 3'000.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
3. Die Angelegenheit wird zur Neuregelung der Kostenfolgen im vorinstanzlichen Verfahren an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
4. Dieses Urteil wird dem Eidgenössischen Finanzdepartement, den Beschwerdegegnern und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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