Faits :
A.
X._ (1978), ressortissante de la République de Côte d'Ivoire, est mère de deux enfants.
Son fils, né d'une précédente union, est de nationalité ivoirienne et réside en Côte d'Ivoire. Sa fille, née en 2006 de la relation avec un ressortissant français avec lequel elle vit en union libre en France, est de nationalité française et habite chez ses parents.
B.
Par décision du 7 mai 2010, l'Office fédéral des migrations a prononcé à l'encontre de X._ une interdiction d'entrée valable du 7 mai 2010 au 6 mai 2019.
Cette autorité a retenu que, en commettant des infractions à la loi fédérale du 3 octobre 1951 sur les stupéfiants et les substances psychotropes (LStup; RS 812.121), en séjournant illégalement en Suisse et en s'adonnant illégalement à la prostitution, elle avait porté atteinte à la sécurité et à l'ordre publics.
C.
Par arrêt du 8 août 2013, le Tribunal administratif fédéral a admis le recours de X._ contre la décision de l'Office fédéral des migrations susmentionnée.
Dans son jugement, il a notamment considéré que l'intéressée pouvait se prévaloir des droits conférés par l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses États membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681) et que, comme elle ne représentait pas une menace réelle et actuelle pour l'ordre et la sécurité publics, la mesure prise à son encontre devait être levée avec effet immédiat.
D.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Département fédéral de justice et police conteste l'applicabilité de l'ALCP au cas d'espèce et demande, par conséquent, au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 8 août 2013.
Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à déposer des observations. Invitée à répondre au recours et à élire un domicile de notification en Suisse (<ref-law>), X._ (ci-après: l'intimée) n'a pas donné suite à cette invitation.

Considérant en droit :
1.
1.1. Dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue dans une cause de droit public par le Tribunal administratif fédéral (art. 82 let. a et 86 al. 1 let. a LTF), le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) par le Département fédéral de justice et police, qui a un intérêt digne de protection à l'annulation de la décision attaquée (<ref-law>; arrêt 2C_401/2012 du 18 septembre 2012 consid. 1.2).
1.2. En outre, même s'il s'agit d'un acte rédigé par le Département fédéral de justice et police et non par un étranger à l'encontre duquel l'interdiction d'entrée a été prononcée, le présent recours, qui dénonce une fausse application de l'ALCP, ne tombe pas sous le coup de l'art. 83 let. c ch. 1 LTF (sur cette question, cf. l'arrêt 2C_1092/2013 du 4 juillet 2014 consid. 1 et les références citées). Le recours est donc en principe recevable en tant que recours ordinaire selon l'<ref-law>.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral applique d'office le droit fédéral (<ref-law>). Toutefois, à moins que la décision attaquée ne contienne des vices juridiques manifestes, il s'en tient aux arguments juridiques soulevés (cf. art. 42 al. 1 et 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 105; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 254). Par ailleurs, il n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées et en quoi la correction du vice serait susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-law>), faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans l'acte attaqué (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 104 et les arrêts cités). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté devant le Tribunal fédéral à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
3.
La décision litigieuse de l'Office fédéral des migrations est datée du 7 mai 2010; elle est donc antérieure à l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2011, de la novelle du 18 juin 2010 (RO 2010 5925) ayant modifié l'art. 67 LEtr.
3.1. Conformément aux principes généraux concernant l'application ratione temporis du droit (cf. <ref-ruling> consid. 7.4.5 p. 417; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 27 et les arrêts cités), en cas de changement de législation, sont en principe applicables les dispositions légales en vigueur lors de la réalisation de l'état de fait qui doit être apprécié juridiquement et qui a des conséquences juridiques, sous réserve d'une réglementation transitoire contraire. Un changement de loi intervenu au cours d'une procédure de recours devant un tribunal administratif n'a donc pas à être pris en considération, à moins qu'une application immédiate du nouveau droit s'impose pour des motifs impératifs, par exemple pour des raisons d'ordre ou de sécurité publics ou pour la sauvegarde d'intérêts publics prépondérants; il peut notamment en aller ainsi lorsque le recours porte sur une décision fondée sur un comportement passé mais qui a des conséquences durables dans le futur; dans une telle hypothèse, la jurisprudence admet, selon les circonstances, que le tribunal saisi puisse confirmer la décision querellée sur la base du nouveau droit (cf. <ref-ruling> consid. 5.3.2 p. 522 et les arrêts cités; arrêt 2C_318/2012 du 22 février 2013 consid. 3.2 non publié dans l'<ref-ruling>).
3.2. Dans le cas particulier, même si elle est fondée sur le comportement de l'intimée antérieur au 1er janvier 2011, la décision litigieuse règle un état de choses durable en interdisant à l'intéressée d'entrer en Suisse pendant neuf ans pour préserver l'ordre et la sécurité publics. Par ailleurs, le nouvel art. 67 LEtr s'inscrit dans les modifications que la Suisse s'est engagée à mettre en oeuvre avant le 12 janvier 2011 pour reprendre l'acquis de Schengen; cet engagement comprend notamment l'obligation pour notre pays - et non plus seulement comme jusqu'à présent la faculté - de prononcer une interdiction d'entrée en Suisse dans les cas visés à l'alinéa 1 de la nouvelle teneur de l'art. 67 LEtr (cf. Message du 18 novembre 2009 sur le développement de l'acquis de Schengen, in: FF 2009 8043, spécialement p. 8044, 8051 et 8057). Quant à l'art. 67 al. 2 let. a et al. 3 LEtr, sa nouvelle mouture se distingue de la précédente en ce qu'elle plafonne par défaut à cinq ans la durée de la mesure d'interdiction d'entrée en Suisse, à moins que l'étranger en cause ne constitue une menace grave pour la sécurité et l'ordre publics. Dans ces conditions, il faut admettre que les premiers juges pouvaient, comme ils l'ont fait, décider d'appliquer au présent cas l'art. 67 LEtr dans sa nouvelle version (cf. arrêt 2C_318/2012 du 22 février 2013 consid. 3.3 non publié dans l'<ref-ruling>).
4.
4.1. A teneur de l'art. 67 al. 2 let. a LEtr, l'Office fédéral peut interdire l'entrée en Suisse à un étranger lorsque ce dernier a attenté à la sécurité et à l'ordre publics en Suisse ou à l'étranger ou les a mis en danger. L'alinéa 3 de cette disposition précise que l'interdiction d'entrée est prononcée en principe pour une durée maximale de cinq ans (première phrase), mais que cette durée peut être plus longue lorsque la personne concernée constitue une menace grave pour la sécurité et l'ordre publics (seconde phrase). L'art. 96 al. 1 LEtr prévoit d'autre part que, en exerçant leur pouvoir d'appréciation, les autorités compétentes tiennent compte des intérêts publics, de la situation personnelle de l'étranger, ainsi que de son degré d'intégration.
Aux termes de son art. 2 al. 2, la LEtr n'est toutefois applicable aux ressortissants des États membres de la Communauté européenne et aux membres de leur famille que dans la mesure où l'ALCP n'en dispose pas autrement ou lorsque ladite loi contient des dispositions plus favorables.
4.2. L'ALCP ne réglemente pas en tant que telle l'interdiction d'entrée. C'est donc l'art. 67 LEtr qui est applicable (cf. art. 24 de l'ordonnance fédérale du 22 mai 2002 sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes entre, d'une part, la Confédération suisse et, d'autre part, l'Union européenne et ses États membres, ainsi qu'entre les États membres de l'Association européenne de libre-échange [OLCP; RS 142.203]).
Cependant, dès lors qu'une mesure d'interdiction d'entrée en Suisse restreint le droit à la libre circulation des personnes, qui comprend en principe le droit d'entrée sur le territoire d'un autre Pays contractant (<ref-law> en relation avec l'<ref-law>), l'interdiction signifiée à une personne qui peut se prévaloir de l'ALCP doit aussi se conformer à l'<ref-law>, selon lequel le droit de demeurer en Suisse pour y exercer une activité lucrative ne peut être limité que par des mesures d'ordre ou de sécurité publics (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 125).
4.3. Conformément à la jurisprudence rendue en rapport avec l'<ref-law>, les limites posées au principe de la libre circulation des personnes doivent s'interpréter de manière restrictive. Ainsi, le recours par une autorité nationale à la notion d'"ordre public" pour restreindre cette liberté suppose, en dehors du trouble de l'ordre social que constitue toute infraction à la loi, l'existence d'une menace réelle et d'une certaine gravité affectant un intérêt fondamental de la société (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 20; arrêt 2C_238/2012 du 30 juillet 2012 consid. 2.3). La seule existence d'antécédents pénaux ne permet donc pas de conclure (automatiquement) que l'étranger constitue une menace suffisamment grave pour l'ordre et la sécurité publics. Il faut procéder à une appréciation spécifique du cas, portée sous l'angle des intérêts inhérents à la sauvegarde de l'ordre public, qui ne coïncide pas obligatoirement avec les appréciations à l'origine des condamnations pénales. Autrement dit, ces dernières ne sont déterminantes que si les circonstances les entourant laissent apparaître l'existence d'une menace actuelle et réelle et d'une certaine gravité pour l'ordre public (cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 20; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 24). Il n'est pas nécessaire d'établir avec certitude que l'étranger commettra d'autres infractions à l'avenir pour prendre une mesure d'éloignement à son encontre; inversement, ce serait aller trop loin que d'exiger que le risque de récidive soit nul pour que l'on renonce à une telle mesure. En réalité, ce risque ne doit pas être admis trop facilement et il faut l'apprécier en fonction de l'ensemble des circonstances du cas, en particulier au regard de la nature et de l'importance du bien juridique menacé, ainsi que de la gravité de l'atteinte qui pourrait y être portée. L'évaluation de ce risque sera d'autant plus rigoureuse que le bien juridique menacé est important (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 20; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 499 s. et les références citées).
Par conséquent, pour pouvoir faire l'objet d'une interdiction d'entrée en application de l'art. 67 al. 2 let. a LEtr, il faut que la personne qui peut se prévaloir de l'ALCP représente une menace d'une certaine gravité pour l'ordre et la sécurité publics de nature à la priver de son droit de demeurer en Suisse au sens de l'<ref-law>.
5.
Dans la décision attaquée, le Tribunal administratif fédéral a relevé que l'intimée, ressortissante d'un pays tiers, dispose d'un droit dérivé à la libre circulation en sa qualité de mère d'une citoyenne d'un État membre de l'UE, titulaire d'un droit originaire à la libre circulation des personnes.
Une fois admise l'applicabilité de l'Accord sur la libre circulation des personnes, il a ensuite constaté qu'en l'absence de tout nouvel élément ou indice propre à démontrer que l'intimée continuait à présenter une sérieuse menace pour l'ordre et la sécurité publics au sens de l'<ref-law>, l'éloignement de Suisse de celle-ci ne se justifiait pas.
Contrairement à ce que soutient le Tribunal administratif fédéral, le Département recourant est de l'avis que l'Accord sur la libre circulation des personnes - qui contient des normes comme l'<ref-law>, plus favorable à l'intimée par rapport au droit interne (art. 2 al. 2 LEtr) - n'est pas applicable au cas d'espèce.
6.
6.1. Le Tribunal administratif fédéral a relevé que l'intimée, ressortissante de la République de Côte d'Ivoire, dispose d'un droit dérivé à la libre circulation. Pour arriver à ce résultat, il a fondé son jugement directement sur la jurisprudence de la Cour de justice des Communautés européennes (CJCE), devenue entre-temps la Cour de justice de l'Union européenne (CJUE), en matière de libre circulation des personnes et notamment sur l'arrêt CJCE du 19 octobre 2004 C-200/02 (Zhu et Chen c. Secretary of State for the Home Department, Rec. 2004 I-9925).
En se référant au point n. 20 dudit arrêt, il a en effet observé que, même si elle est encore en bas âge, la fille de l'intimée peut se prévaloir d'un droit originaire à la libre circulation et que, par conséquent, sa mère doit également pouvoir se prévaloir de l'ALCP, dans la mesure où la décision d'interdiction d'entrée la prive de la possibilité, le cas échéant, de suivre sa fille lors d'éventuels déplacements de celle-ci en Suisse.
6.2. Comme déjà observé dans le récent arrêt 2C_1092/2013 du 4 juillet 2014, qui traite d'un cas tout à fait similaire, le point de vue de l'autorité attaquée ne peut pas être partagé.
6.2.1. Selon l'arrêt Zhu et Chen, l'article 18 CE et la directive 90/364/CEE du Conseil du 28 juin 1990 relative au droit de séjour confèrent un droit de séjour de durée indéterminée au ressortissant mineur en bas âge d'un État membre qui est couvert par une assurance-maladie appropriée et qui est à la charge d'un parent, lui-même ressortissant d'un État tiers, dont les ressources sont suffisantes pour que le premier ne devienne pas une charge pour les finances publiques de l'État membre d'accueil (arrêt Zhu et Chen, point 41). Ces dispositions permettent en même temps au parent qui a la garde de cet enfant de séjourner avec lui dans l'État membre d'accueil (arrêt Zhu et Chen, point 46 s; arrêts 2C_606/2013 du 4 avril 2014 consid. 3.2 et 2C_253/2012 du 11 janvier 2013 consid. 4).
6.2.2. Bien que le Tribunal fédéral se soit déjà rallié à la jurisprudence mentionnée (arrêt 2C_606/2013 du 4 avril 2014 consid. 3 et les références citées), on ne saurait toutefois assimiler la situation de l'intimée à celle des requérantes dans l'arrêt Zhu et Chen.
Dans cet arrêt, il était question de savoir si une ressortissante d'un pays tiers, mère d'une ressortissante d'un État membre de l'UE en bas âge dont elle avait la garde, disposait du droit de séjourner avec sa fille dans l'État membre d'accueil, alors que dans le cas d'espèce une telle question ne se pose pas.
Au vu des faits constatés dans l'arrêt attaqué, qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>), il résulte en effet que la fille de l'intimée vit en France (avec ses parents), non en Suisse, et qu'elle n'envisage pas non plus de venir s'y établir.
6.2.3. Au moins pour le cas d'espèce, cette raison permet aussi d'exclure que l'intimée puisse se prévaloir de l'ALCP sur d'autres bases.
L'admission d'un droit dérivé à la libre circulation suppose en effet que la personne qui en dispose à titre originaire ait elle-même fait usage des libertés garanties par l'ALCP ce qui - toujours selon les constatations de fait qui ressortent de la décision attaquée - n'est pas le cas pour la fille de l'intimée (A TF 136 II 241 consid. 11.3 p. 247 s; <ref-ruling> consid. 3.4.1 p. 129; arrêts 2C_1092/2013 du 4 juillet 2014 consid. 6.2.3; 2C_1233/2012 du 14 décembre 2012 consid. 3; 2C_96/2012 du 18 septembre 2012 consid. 2.1.2 et 2C_354/2011 du 13 juillet 2012 consid. 2.2; Alvaro Borghi, La libre circulation des personnes entre la Suisse et l'UE, 2010, § 436 ss).
6.2.4. Dans le même contexte, il faut enfin observer qu'à la reconnaissance d'un droit dérivé à la libre circulation, et donc d'un droit d'entrée sur le territoire d'un autre Pays contractant (<ref-law> en relation avec l'<ref-law>), s'oppose aussi le fait que l'inti-mée n'est manifestement pas un membre de la famille au sens de l'art. 3 par. 2 let. b annexe I ALCP. En effet, elle n'est pas une ascendante à la charge de sa fille, qui est née en 2006 et qui n'est d'ailleurs pas non plus un "travailleur" (arrêts 2C_1092/2013 du 4 juillet 2014 consid. 6.2.3 et 2C_33/2007 du 14 mars 2008 consid. 2.2.2).
6.3. Il suit de ce qui précède que l'intimée ne dispose pas d'un droit dérivé à la libre circulation en sa qualité de mère d'une citoyenne française et que l'application de l'<ref-law>, sur la base duquel l'interdiction d'entrée prononcée à son encontre a été annulée par le Tribunal administratif fédéral, n'était donc pas justifiée.
7.
7.1. Le recours en matière de droit public doit, par conséquent, être admis. L'arrêt attaqué doit être annulé et la cause renvoyée au Tribunal administratif fédéral afin qu'il se détermine à nouveau - le cas échéant, après avoir ordonné des nouvelles mesures d'instruction - sur la question de la licéité de l'interdiction d'entrée, notamment sous l'angle du droit interne.
7.2. Aucun dépens ne sera alloué (art. 68 al. 1 et 3 LTF). L'intimée, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF).
7.3. Malgré une demande du Tribunal fédéral dans ce sens, l'intimée n'a pas élu de domicile en Suisse. Conformément à l'<ref-law>, le présent arrêt ne lui est donc pas notifié et elle en est seulement avisée par écrit (cf. arrêts 2C_201/2011 du 7 octobre 2011 consid. 6 et 2D_18/2009 du 22 juin 2009).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt du 8 août 2013 est annulé et la cause est renvoyée au Tribunal administratif fédéral afin qu'il rende une nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
Le présent arrêt est communiqué au Département fédéral de justice et police, à l'Office fédéral des migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III. L'exemplaire destiné à l'intimée est conservé au dossier, à sa disposition, et une copie à titre d'information lui est adressée par pli postal ordinaire.
Lausanne, le 18 juillet 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Le Greffier :
Zünd Savoldelli