Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1964, italienischer Staatsangehöriger) und Y._ (geb. 1960) wurden mit Urteil des Richteramtes Solothurn-Lebern vom 29. Juni 2012 geschieden. Das Gericht nahm Vormerk davon, dass der Sohn der Parteien volljährig ist, stellte die Tochter (geb. 1999) unter die elterliche Sorge der Mutter und verpflichtete X._ zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen. Beiden Parteien wurde in diesem Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
B.
B.a. Am 10. September 2012 erhob X._ Berufung an das Obergericht des Kantons Solothurn. Er verlangte namentlich eine Reduktion der Unterhaltsbeiträge und beanstandete, dass ihm von der ersten Instanz ein hypothetisches Einkommen angerechnet worden war. Auch für das Berufungsverfahren ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege.
B.b. Am 10. Dezember 2012 beantragte X._ eine dreimonatige Sistierung des Verfahrens, da er zwischenzeitlich stationär in einer psychiatrischen Klinik habe behandelt werden müssen, er arbeitsunfähig sei und im Übrigen noch Grundlagen für die Berechnung allfälliger Unterhaltsleistungen fehlen würden. Y._ widersetzte sich einer Sistierung.
C.
C.a. Mit Verfügung vom 18. Dezember 2012 bewilligte das Obergericht beiden Parteien für das Berufungsverfahren die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege.
C.b. Gleichzeitig lud es die Parteien für eine Instruktionsverhandlung vor, welche auf Mittwoch, 6. Februar 2013, angesetzt wurde. Es forderte die Parteien auf, Belege zu ihrer aktuellen Einkommens- und Bedarfssituation einzureichen, soweit sich die Verhältnisse verändert hätten. X._ liess am 5. Februar 2013 aktualisierte Unterlagen einreichen.
D.
D.a. Anlässlich der Instruktionsverhandlung vom 6. Februar 2013 führte das Obergericht Vergleichsverhandlungen mit den Parteien, wobei keine Einigung zu Stande kam.
D.b. Mit Verfügung vom selben Tag teilte das Obergericht mit: "Unter Hinweis auf die mündlichen Ausführungen anlässlich der Instruktionsverhandlung vom 6. Februar 2013 wird X._ in Aussicht gestellt, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu entziehen." Es setzte ihm Frist, um hierzu Stellung zu nehmen.
Mit Eingabe vom 20. März 2013 widersetzte sich X._ einem Entzug der unentgeltlichen Rechtspflege. Zudem beantragte er den Beizug weiterer Akten.
D.c. Hierauf entschied das Obergericht am 22. März 2013 was folgt: "Das Gesuch von X._, es sei ihm für das Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege samt der unentgeltlichen Verfahrensverbeiständung zu bewilligen, wird abgewiesen." Es forderte X._ zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.-- auf, ansonsten auf die Berufung nicht eingetreten werde.
E.
E.a. Gegen diesen Entscheid gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungs- und das bundesgerichtliche Verfahren. Überdies sei ihm die aufschiebende Wirkung zu gewähren.
E.b. Mit Verfügung vom 1. Mai 2013 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung gewährt, nachdem die Vorinstanz diesbezüglich auf eine Stellungnahme verzichtet hatte.
In der Sache präzisierte die Vorinstanz mit Vernehmlassung vom 6. August 2013, dass dem Beschwerdeführer in der angefochtenen Verfügung die unentgeltliche Rechtspflege "entzogen" worden sei.
F.
X._ erhielt seit Ende 2002 eine IV-Rente (zuerst eine halbe, von Ende 2004 bis Anfang 2012 eine ganze Rente).
Mit Verfügung vom 21. Dezember 2011 verneinte die IV-Stelle des Kantons Solothurn sodann einen weiteren Rentenanspruch, weil der Invaliditätsgrad nur noch 39% betrage. Auf Beschwerde hin hob das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn diese Verfügung mit Urteil vom 31. August 2012 auf. Es setzte die bisherige ganze IV-Rente von X._ ab 1. März 2012 auf eine Viertelsrente herab.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) betreffend unentgeltliche Rechtspflege. Der die unentgeltliche Rechtspflege abweisende oder entziehende Entscheid ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 403). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). In dieser geht es um die vermögensrechtlichen Nebenfolgen einer Scheidung, deren Streitwert den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Die Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 BGG) ist eingehalten, womit die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist.
1.2. Mit vorliegender Beschwerde können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Unter Vorbehalt des Bereichs der verfassungsmässigen Rechte wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Beschwerde daher auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (<ref-ruling> E. 4 S. 252 mit Hinweis).
2.
Der Beschwerdeführer rügt, der Entscheid vom 22. März 2013 verletze seinen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege (Art. 117 ZPO, Art. 29 Abs. 3 BV) und das Willkürverbot. Die Vorinstanz habe ihm die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt gehabt; nun habe dieselbe Instanz wenig später bei nicht veränderter Sach- und Aktenlage den gleichen Sachverhalt unterschiedlich beurteilt, was willkürlich sei. In materieller Hinsicht führt er zusammengefasst aus, dass sich seine Berufung gegen die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens richte; er sei nicht in der Lage solche Einkünfte zu generieren. Er arbeite gegenwärtig in der Stiftung Z._, welche der beruflichen und sozialen Eingliederung psychisch beeinträchtigter Personen diene. Er habe dort kein eigentliches Einkommen. Seit 2002 sei er in keinen Arbeitsprozess mehr integriert und stehe weiterhin in psychiatrischer Behandlung. Vom 14. September bis Oktober 2012 habe er sich erneut wegen Depressionen in stationäre Behandlung begeben müssen. Der Entscheid betreffend Erhalt der IV-Viertelsrente sei im Übrigen rechtskräftig. Er bemühe sich um Ergänzungsleistungen. Im Berufungsverfahren werde geklärt werden müssen, ob er real mehr erzielen könne, ansonsten entfalle die Anrechnung des hypothetischen Einkommens. Jedenfalls könne seine Berufung infolge der langen Abwesenheit vom Arbeitsprozess, der angeschlagenen Gesundheit u.a. nicht als aussichtslos bezeichnet werden. Die Bedürftigkeit sei im Übrigen gegeben.
3.
Das obergerichtliche Verfahren unterstand der Schweizerischen Zivilprozessordnung (Art. 405 Abs. 1 ZPO [SR 272]), welche das Verfahren betreffend unentgeltliche Rechtspflege in den Art. 117 ff. regelt. Der Gehalt von Art. 117 ZPO und Art. 29 Abs. 3 BV ist derselbe, wobei die Verfassungsbestimmung die Grundnorm darstellt; vorliegend ist die Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege verletzt, indes im Lichte von Art. 117 ff. ZPO zu behandeln (Urteil 5A_897/2012 vom 13. Februar 2013 E. 2.1).
3.1. Gemäss Art. 117 ZPO hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Vorliegend war die Voraussetzung der fehlenden Aussichtslosigkeit strittig. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (zum Begriff der Aussichtslosigkeit <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218; <ref-ruling> E. 3.7.3 S. 122; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 136; je mit Hinweisen).
3.2. Im Entscheid vom 18. Dezember 2012 hat die Vorinstanz die Erfolgsaussichten der Berufung geprüft und - was sich aus der Gutheissung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege ergibt - für ausreichend im Sinne oben erwähnter Gesetzesbestimmung und Rechtsprechung befunden. Selbstredend bejahte sie mit dem Entscheid ebenso die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers.
Wenn die Vorinstanz im Entscheid vom 22. März 2013 dann zum gegenteiligen Schluss kam, handelt es sich dabei - entgegen dem Wortlaut der Verfügung - nicht um die Abweisung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege, sondern um den Entzug der bereits gewährten unentgeltlichen Prozessführung. Dies bestätigte die Vorinstanz in der Vernehmlassung vom 6. August 2013. Der angefochtene Entscheid kann dabei nicht anders verstanden werden, als dass der Entzug ex tunc (d.h. rückwirkend ab Einreichung des Gesuchs) gelten solle. Etwas anderes ergibt sich auch nicht aus der Vernehmlassung.
Die Vorinstanz begründete den Entzug der unentgeltlichen Rechtspflege vom 22. März 2013 dabei einzig mit der Aussichtslosigkeit der Berufungsbegehren. Die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers wurde demgegenüber nicht verneint.
3.3. In Bezug auf die vorliegend strittige Aussichtslosigkeit hat das Bundesgericht bereits vor Inkrafttreten der ZPO in seiner Rechtsprechung verdeutlicht, dass das Armenrecht für die künftige Prozessführung entzogen werden kann, wenn sich das Begehren des Gesuchstellers im Laufe des Verfahrens nachträglich als aussichtslos erweist (<ref-ruling> E. 2 S. 37 f.).
Neu ist in Art. 120 ZPO der Grundsatz verankert, dass ein Gericht die unentgeltliche Rechtspflege entzieht, wenn der Anspruch darauf nicht mehr besteht oder nie bestanden hat. Der Entzug erfolgt grundsätzlich für die Zukunft (Botschaft zur ZPO vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7221 ff., S. 7303). Die Botschaft unterscheidet dabei nicht zwischen den beiden Voraussetzungen der Bedürftigkeit bzw. der fehlenden Aussichtslosigkeit.
Angesichts dessen kann an der früheren Rechtsprechung angeknüpft werden. Ein Entzug ist demnach grundsätzlich möglich, wenn sich die Prozessaussichten im Laufe des Verfahrens derart verschlechtern, dass sie als aussichtslos im Sinne der Rechtsprechung zu bezeichnen sind.
3.4. Der Beschwerdeführer rügt nun (vgl. E. 2), die Vorinstanz gehe in den beiden Verfügungen vom 18. Dezember 2012 resp. 22. März 2013 vom selben Sachverhalt aus, komme aber zu einem gegenteiligen Resultat. Mithin bestreitet er, dass überhaupt eine Verschlechterung seiner Prozessaussichten eingetreten sei.
Die Vorinstanz argumentiert in ihrem Entscheid vom 22. März 2013 mit dem Scheidungsurteil vom 29. Juni 2012, der Verfügung der IV-Stelle vom 21. Dezember 2011 sowie dem Urteil des Verwaltungsgerichts vom 31. August 2012, wobei sie zur Begründung der Aussichtslosigkeit vor allem auf letztgenanntes Urteil abstützt. Diese Beweismittel lagen der Vorinstanz bereits zum Zeitpunkt der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege am 18. Dezember 2012 vor. Den massgebenden Verwaltungsgerichtsentscheid hatte der Beschwerdeführer am 10. September 2012 (als Beilage 3 zu seiner Berufung) eingereicht.
Die Vorinstanz erwähnt keine nach dem ersten Entscheid erlangten Beweise. Eine Begründung, weshalb eine Neueinschätzung der Prozesschancen in diesem fortgeschrittenen Stadium des Verfahrens hätte gerechtfertigt sein sollen - und weshalb diese zu einem anderen Resultat führen sollte als noch am 18. Dezember 2013 - fehlt.
3.5. Entscheide über die unentgeltliche Rechtspflege erwachsen als Zwischenentscheide nicht in Rechtskraft, was allerdings nichts daran ändert, dass sowohl die betroffene Partei als auch die Instanz, welche den Entscheid erlassen hat, grundsätzlich daran gebunden ist (<ref-ruling> E. 4a S. 194 f.; <ref-ruling> E. 5.2.3 S. 484 und zuletzt Urteil 8C_3/2913 vom 24. Juli 2013 E. 3.5). Eine Neubeurteilung ist demnach nur unter der Voraussetzung einer nach dem ersten Entscheid erfolgten Veränderung der Verhältnisse - sei es in Bezug auf die Erfolgsaussichten oder die Bedürftigkeit - und nur für die Zukunft (ex nunc) zulässig (vgl. auch E. 3.3). Ein rückwirkender Entzug (ex tunc), wie dies die Vorinstanz vorsah, kann nur ausnahmsweise in Betracht kommen (beispielsweise wenn die unentgeltliche Rechtspflege durch das Vorlegen falscher Informationen unrechtmässig erlangt wurde, was indes nicht Thema des angefochtenen Entscheides war). In diesem Sinne ist auch die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu verstehen, wonach ein Entzug der unentgeltlichen Rechtspflege möglich ist, wenn sich die Begehren des Gesuchstellers nachträglich als aussichtslos erweisen (E. 3.3).
3.6. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich nicht, dass sich die Erfolgsaussichten des Beschwerdeführers im Berufungsverfahren seit der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege verändert, sprich verschlechtert hätten. Die Voraussetzungen für einen Entzug sind demnach nicht gegeben.
Entsprechend verletzte die Vorinstanz die aus Art. 117 ff. ZPO fliessenden Ansprüche des Beschwerdeführers, indem sie die ihm gewährte unentgeltliche Rechtspflege entzog.
Die Beschwerde ist gutzuheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Solothurn, Zivilkammer, vom 22. März 2013 ist aufzuheben.
4.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Dem obsiegenden Beschwerdeführer steht für das Verfahren vor Bundesgericht eine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Diese geht zu Lasten des Kantons Solothurn. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im letztinstanzlichen Verfahren wird somit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Solothurn, Zivilkammer, vom 22. März 2013 wird aufgehoben.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Solothurn hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird gegenstandslos.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. August 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann