Art. 30 Abs. 1 BV (Ausstand), hat sich ergeben:
A.-X._ ist Kläger in einem beim Handelsgericht Zürich hängigen Forderungsstreit gegen die Versicherung B._. Er leitet seinen Anspruch gegen die Versicherung aus einem Verkehrsunfall ab, der bei ihm ein Schleudertrauma verursacht und zu einer dauernden Teilinvalidität geführt habe.
Am 29. Februar 2000 stellte X._ ein Ablehnungsbegehren gegen Handelsrichter A._. Die Befangenheit des Handelsrichters begründete er zunächst mit dessen Stellung bei der Versicherung C._, welche eine Geschäftspolitik betreibe, die sich gegen die berechtigten Interessen von Geschädigten richte; er bezeichnete als fraglich, ob der Handelsrichter als für Personenschäden zuständiges Mitglied der Direktion dieser Versicherungsgesellschaft nicht schon grundsätzlich in allen Fällen dieser Art befangen sei. Jedenfalls ergebe sich die Befangenheit des Handelsrichters im vorliegenden Verfahren aus dem vermutlich von ihm gemachten Vorschlag eines medizinischen Experten, der durch seine versicherungsfreundliche Extremhaltung bei der Beurteilung von Halswirbelsäulen-Distorsionstraumen bekannt sei, sowie durch die Fragestellung im Rahmen der Zeugeneinvernahmen, von denen er als Kläger den Eindruck gehabt habe, als wäre sie von einem zweiten Rechtsbeistand der Beklagten vorgenommen worden.
B.- Die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich wies das Ablehnungsbegehren mit Beschluss vom 26. April 2000 ab, soweit darauf eingetreten werden konnte. Die Verwaltungskommission stellte fest, es sei seit dem Beweisauflagebeschluss vom 19. Oktober 1998 bekannt, dass Handelsrichter A._ als Richter am Verfahren beteiligt sei. Der Kläger habe seinen Einwand verspätet vorgebracht und könne daher aus der Stellung des Handelsrichters bei der Winterthur Versicherung nichts mehr ableiten; auch materiell wäre diesem Einwand zudem nicht statt zu geben. Bezüglich des Verhaltens des Handelsrichters im Prozess hielt das Obergericht fest, Handelsrichter A._ habe sich entgegen der durch nichts belegten Vermutung des Gesuchstellers zum beanstandeten Expertenvorschlag nicht geäussert. Seine Fragen an die Zeugin Y._ seien nicht unqualifiziert und auch seine Frage bezüglich der medizinischen Einschätzung des Gesundheitszustandes des Klägers an eine Wirtin lasse nicht auf Befangenheit schliessen; die Frage nach dem Kontext eines Schreibens an den Zeugen Z._ betreffe schliesslich einen wesentlichen Punkt und auch wenn in diesem Zusammenhang der Hinweis auf eine Praxis im Rahmen des Beweisverfahrens überflüssig sei, so ergebe sich daraus jedenfalls kein Hinweis auf Befangenheit.
C.-X._ hat gegen den Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich vom 26. April 2000 staatsrechtliche Beschwerde eingereicht. Er beruft sich auf Art. 30 Abs. 1 BV und stellt das Rechtsbegehren, es sei in Aufhebung des angefochtenen Beschlusses festzustellen, dass Handelsrichter A._ im Verfahren HG 960505 in Sachen X._ c. Versicherung B._ kein unabhängiger und unparteiischer Richter im Sinne von Art. 30 Abs. 1 BV sei und deshalb aus dem Verfahren auszuscheiden habe.
D.-Handelsrichter A._ erklärt in seiner Stellungnahme, er sei auch nach Auseinandersetzung mit den Vorbringen des Beschwerdeführers gewissenhaft unbefangen in der in Frage stehenden Sache und auch grundsätzlich in Handelsgerichtsangelegenheiten.
Die Versicherung B._ schliesst in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Das Obergericht des Kantons Zürich verzichtet auf Vernehmlassung und erklärt unter Verweis auf § 63 des kantonalen Gerichtsverfassungsgesetzes, dass der Beschwerdeführer sich in Kenntnis der Problematik für das Handelsgericht entschieden habe.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-Die staatsrechtliche Beschwerde ist nach konstanter Rechtsprechung kassatorischer Natur, das heisst es kann damit allein die Aufhebung des angefochtenen Entscheids verlangt werden (<ref-ruling> E. 4a S. 332).
Ausnahmsweise kann das Bundesgericht über die blosse Aufhebung eines als verfassungswidrig erkannten Entscheides hinaus positive Anordnungen oder Feststellungen treffen, wenn nämlich die Aufhebung allein nicht ausreicht, den verfassungsmässigen Zustand wiederherzustellen. Da die kantonale Behörde nach einer Kassation ihres Entscheides an die Erwägungen des Bundesgerichtsurteils gebunden ist (<ref-ruling>), sind Ausnahmen von der kassatorischen Natur der Beschwerde nicht leichthin zu bejahen (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 332 f.). Im Zusammenhang mit dem Anspruch auf ein unabhängiges Gericht wurde eine positive Anordnung etwa als erforderlich erachtet, wenn die kantonale gesetzliche Verfahrensordnung dem Beschwerdeführer für die in Frage stehende Streitsache keine den Anforderungen der Bundesverfassung bzw. der EMRK genügende Institution zur Verfügung stellte (<ref-ruling> E. 4b/bb S. 333 mit Hinweisen). Damit lässt sich der Fall einer mangelhaften Besetzung des Gerichts wegen Befangenheit eines Richters nicht vergleichen; zur Herstellung der verfassungsmässigen Ordnung genügt hier die Kassation des Entscheides, mit dem kantonal letztinstanzlich das Ablehnungsbegehren abgewiesen wird. Soweit der Beschwerdeführer mehr verlangt, als die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, kann auf seine Beschwerde nicht eingetreten werden.
2.-Nach der Garantie des verfassungsmässigen Richters gemäss Art. 30 Abs. 1 BV (Art. 58 Abs. 1 aBV) und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Liegen bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vor, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, so ist die Garantie verletzt (<ref-ruling> E. 3a S. 73). Dabei müssen einerseits die kantonalen Bestimmungen über die Organisation und die Zusammensetzung der Gerichte die Unabhängigkeit und Unvoreingenommenheit gewährleisten und insbesondere verhindern, dass einem Richter mehrere Funktionen derart übertragen werden, dass er sich über eng verbundene Sach- und Rechtsfragen in verschiedenen Stadien desselben Prozesses mehrmals auszusprechen hat (<ref-ruling> E. 3a S. 122 f.). Anderseits kann der Anschein der Befangenheit durch Erklärungen eines Richters vor oder während des Prozesses entstehen, wenn daraus bei objektiver Betrachtung auf eine vorgefasste Meinung über den Ausgang des Streits geschlossen werden kann (<ref-ruling> E. 3a S. 122 mit Hinweis).
a) Der Beschwerdeführer leitet die Befangenheit des von ihm abgelehnten Handelsrichters zunächst aus dessen beruflicher Stellung bei einer Versicherungsgesellschaft ab.
Er bestreitet dabei nicht, dass ihm die Beteiligung dieses nebenamtlichen Richters spätestens seit dem 19. Oktober 1998 bekannt ist. Nach der Rechtsprechung sind aber, wie das Obergericht im angefochtenen Urteil zutreffend darlegt, Ablehnungsgründe so früh wie möglich, das heisst bei erster Gelegenheit nach Kenntnis, geltend zu machen; ein verspätetes Vorbringen verstösst gegen Treu und Glauben und führt zur Verwirkung (<ref-ruling> E. 2 S. 123, 119 Ia 221 E. 5 S. 228 f.). Inwiefern das Obergericht diesen Grundsatz verkannt haben soll, wenn es das Ablehnungsbegehren vom 29. Februar 2000 - mehr als ein Jahr nach Kenntnis - als verspätet und das Begehren als verwirkt erachtete, ist der Rechtsschrift des Beschwerdeführers nicht zu entnehmen (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Seine Behauptung, die genaue Stellung des nebenamtlichen Richters im Betrieb der Versicherung C._ sei ihm erst seit kurzem bekannt, ist jedenfalls nicht geeignet, eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte darzutun. Nach Kenntnis der Identität des mitwirkenden Handelsrichters oblag es dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer, sich bei Zweifeln über dessen Unbefangenheit aufgrund der hauptberuflichen Tätigkeit nach sämtlichen Umständen zu erkundigen, die ihm in diesem Zusammenhang wesentlich schienen. Soweit der Beschwerdeführer als Grund für sein Ablehnungsbegehren die hauptberufliche Stellung des nebenamtlichen Richters in einer Versicherungsgesellschaft anführt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3a S. 123 f.), hat das Obergericht Art. 30 BV und Art. 6 EMRK nicht verletzt, indem es den Einwand als verspätet und damit als verwirkt nicht zuliess.
b) Der Beschwerdeführer begründet die Befangenheit des nebenamtlichen Handelsrichters sodann mit dessen Verhalten anlässlich der Beweisverhandlung vom 23. und
25. Februar 2000. Er macht sinngemäss geltend, die von ihm beanstandeten Fragen des nebenamtlichen Richters an Zeugen liessen bei objektiver Betrachtung auf eine vorgefasste Meinung über den Ausgang des Streits schliessen.
Er leitet eine Vorbefassung insbesondere aus den Fragen an die Zeugin Y._ über deren Einschätzung seines gesundheitlichen Zustandes und die Fragen an den Zeugen Z._ über die Interpretation eines Schreibens ab.
aa) Zunächst ergibt sich der Anschein der Befangenheit für den Beschwerdeführer aus der Frage des nebenamtlichen Richters an die Zeugin Y._ zu deren Einschätzung seines Gesundheitszustands. Obwohl die Gegenpartei diese Zeugin nicht zur gesundheitlichen Situation angerufen habe und sie sich als Wirtin auch beim besten Willen nicht zur Intensität des Kausalzusammenhangs habe äussern können, habe sie der Handelsrichter gefragt, ob sie noch wisse, welcher der beiden Unfälle eigentlich dafür ausschlaggebend gewesen sei, dass der Kläger die begonnenen Arbeiten für die Zeugin nicht mehr habe weiterführen können. Nach Ansicht des Beschwerdeführers lässt sich die Frage des Handelsrichters nur so erklären, dass dieser aufgrund der Antworten des behandelnden Arztes eine Herabsetzung des Schadenersatzes wegen einer vor dem zweiten Unfall allenfalls bestehenden konstitutionellen Prädisposition als nicht mehr in Betracht fallend erachtete und mit seiner Frage versuchte, dieses Beweisergebnis zu korrigieren.
Nach der vom Beschwerdeführer zitierten Protokollstelle hatte der Handelsrichter auf die Aussage der Zeugin Bezug genommen, wonach der Beschwerdeführer die begonnenen Architekturarbeiten wegen des Unfalls nicht mehr habe weiterführen können, wobei die Zeugin ihre Aussage präzisiert und in "wegen der Unfälle" korrigiert habe.
Der Richter wollte wissen, ob die Zeugin sagen könne, welcher der beiden Unfälle für die Niederlegung der Arbeit eigentlich ausschlaggebend gewesen sei. Auf Intervention des Anwalts des Beschwerdeführers, dass das nicht Beweisthema und keine Frage sei, die ein nicht-medizinischer Zeuge beantworten könne, stellte der Handelsrichter klar, dass es ihm um die Wahrnehmung der Zeugin darüber gehe, was ihr über die Unfälle gesagt worden sei.
Der Beschwerdeführer bemerkt selbst, dass die Frage des Handelsrichters - hätte die Zeugin sie beantworten können - für die Würdigung der Sachlage von Bedeutung hätte sein können, indem er auf den Zusammenhang mit der Frage der konstitutionellen Prädisposition hinweist. Dass sich die Beantwortung der Frage nicht nur als Bestätigung des bisherigen Beweisverfahrens, das nach der Würdigung des Beschwerdeführers zu seinen Gunsten ausfiel, sondern allenfalls zu seinen Lasten hätte auswirken können, begründet in objektiver Betrachtung keinen Anschein der Befangenheit. Der Beschwerdeführer behauptet im Übrigen nicht und es ist auch nicht ersichtlich, dass die Frage nach dem massgebenden Prozessrecht schlechterdings unzulässig gewesen wäre. Bei objektiver Betrachtungsweise kann aus der Frage an die Zeugin Y._ entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers ein Anschein der Befangenheit des Handelsrichters nicht hergeleitet werden.
bb) Nach Ansicht des Beschwerdeführers hat der Handelsrichter überdies mit einer Bemerkung zur Praxis seiner Arbeitgeberin den Anschein der Voreingenommenheit erweckt. Im Zusammenhang mit der Interpretation eines vom Zeugen Z._ mitunterzeichneten Schreibens der beklagten Versicherung B._ verwies der Handelsrichter darauf, dass in der Phase, in der das Schreiben verfasst worden war, nicht die letzte Wahrheit bekannt gewesen sei und dass er aus seiner eigenen Praxis wisse, dass Lösungsvorschläge in diesem Zusammenhang mit vielen Unsicherheiten behaftet und daher üblicherweise als unpräjudizielle Lösungsvorschläge zu verstehen seien. Er fragte den Zeugen deshalb, ob das in Frage stehende Schreiben in dem Kontext zustande gekommen sei, wie er ihn geschildert hatte. Auf Intervention des Anwalts des Klägers formulierte der Vorsitzende die Frage dahin, ob sich der Zeuge noch erinnern könne, in welchem Umfeld das Schreiben entstanden sei.
Willenserklärungen und damit auch das in Frage stehende Schreiben sind nach konstanter Praxis im Rahmen des Vertrauensprinzips nicht allein nach ihrem Wortlaut, sondern im gesamten Zusammenhang zu interpretieren, in dem sie entstanden sind (<ref-ruling> E. 1b S. 198).
Die Frage nach dem Kontext, in dem das Schreiben der Versicherung B._ verfasst worden war, kann daher nicht als überflüssig angesehen werden und wurde denn auch vom Vorsitzenden des Handelsgerichts trotz Intervention des Anwalts des Beschwerdeführers mit anderer Formulierung unbeanstandet zugelassen. Dass der Handelsrichter seine Fragestellung aus seiner eigenen Praxiserfahrung begründete und seine aufgrund des bisherigen Beweisverfahrens gewonnene Erkenntnis einfliessen liess, wonach das Schreiben in einer bestimmten Phase verfasst worden sein dürfte, lässt bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit nicht entstehen. Insbesondere lässt sich der subjektive Eindruck des Beschwerdeführers, dass es sich um eine Suggestivfrage gehandelt habe, auch hier nicht objektiv nachvollziehen.
3.-Es ergibt sich, dass die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann. Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Er hat überdies die anwaltlich vertretene Gegenpartei, die sich hat vernehmen lassen, für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.-Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.-Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.-Der Beschwerdeführer hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien sowie dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 11. August 2000
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: