Faits:
A.
A.a. A._ SA (ci-après: A._), à Genève, était une société active dans le domaine de l'informatique, qui avait pour but notamment la mise à disposition de personnel (ingénieurs et techniciens en informatique) au profit de sociétés clientes dans les locaux de celles-ci, cela pour le temps nécessaire à la réalisation d'une mission.
Par « contrat de collaboration » du 30 octobre 1998, conclu pour une durée indéterminée, A._ a confié à X._, en qualité d'ingénieur commercial, le soin de prospecter et de négocier des contrats de délégation de compétences, ainsi que des contrats de vente de licence et de prestations relatifs à l'offre yyy, et d'assurer la promotion des activités de A._ auprès de sociétés établies en Suisse. Le contrat pouvait être résilié par chacune des parties moyennant un préavis écrit d'un mois. La rémunération du prénommé, qui avait le titre de directeur commercial, était prévue à la commission, à raison de 30% de la marge nette sur chaque journée facturée pour la délégation, avec un plafonnement de 3'000 fr. mensuel par contrat de délégation, et à raison de 50% de la marge nette pour les contrats de licence ou rénovation yyy. A._ devait remettre à X._ un relevé mensuel des commissions acquises. Selon la convention, X._ pouvait formuler des offres aux clients, après avoir obtenu l'accord de A._, et signer des contrats au nom de celle-ci (lesquels devaient alors être contresignés par une personne autorisée de la société). L'identité des clients et fournisseurs de A._ était protégée par une clause de confidentialité s'étendant trois ans après la fin du contrat. Pendant la durée de l'accord, X._ s'était engagé, par une clause d'interdiction de concurrence, à ne pas déployer d'activité, directement ou indirectement, pour lui-même ou pour une autre société qui pourrait être concurrente de A._.
Le 9 mars 2000, un plan de rémunération spécifique, en fonction du nombre de personnes placées par le « consultant externe », a modifié le contrat du 30 octobre 1998 à partir du seuil de six personnes placées.
X._ a déclaré que, pendant les relations contractuelles, sa rémunération avait oscillé entre 250'000 fr. et 400'000 fr. par an.
A.b. Par lettre du 2 octobre 2001, A._ a résilié avec effet immédiat le contrat susmentionné « pour concurrence déloyale ».
X._ s'est opposé au congé par courrier du 9 octobre 2001 et s'est prévalu du préavis de résiliation d'un mois prévu contractuellement.
A._ et X._ ont par la suite été parties à plusieurs procédures les opposant.
Le 18 octobre 2001, A._ a déposé plainte pénale contre X._ pour gestion déloyale aggravée, violation de la loi contre la concurrence déloyale, violation du secret de fabrication et du secret commercial, vol et abus de confiance. La procédure a été finalement classée selon ordonnance de la Chambre d'accusation genevoise du 21 octobre 2005.
Une procédure relative à la taxe sur la valeur ajoutée a abouti à la condamnation de X._ à verser à A._ la somme de 18'533 fr.75 en capital.
A._ a également intenté une procédure civile en concurrence déloyale contre X._. Par arrêt du 12 février 2010, la Cour de justice du canton de Genève a notamment rejeté les prétentions de A._ fondées sur les prétendus agissements de X._ contraires à la loi contre la concurrence déloyale. Dans cette décision, les magistrats genevois ont retenu que les parties avaient été liées par un contrat d'agence au sens des <ref-law>.
B.
B.a. Le 4 octobre 2007, X._ (demandeur), après avoir fait notifier un commandement de payer à A._ - que celle-ci a frappé d'opposition - a ouvert action contre cette société (défenderesse) devant le Tribunal de première instance de Genève. Il a conclu au paiement par la défenderesse du total de 738'500 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 30 septembre 2001, somme se décomposant en 100'500 fr. à titre de rémunérations pour octobre, novembre et décembre 2001, 201'000 fr. à titre d'indemnité pour résiliation immédiate injustifiée du contrat d'agence, 402'000 fr. à titre d'indemnité de clientèle et 35'000 fr. à titre de commissions pour le mois de septembre 2001, libre cours étant laissé à la poursuite.
La défenderesse a conclu à sa libération.
Il est ressorti de l'instruction que la défenderesse a fondé la résiliation abrupte du contrat conclu le 30 octobre 1998 sur les événements décrits ci-dessous, qu'elle a qualifiés de double violation du devoir de fidélité.
- Le week-end du 20 mai 2000, X._, qui a affirmé que les décomptes des commissions ne lui avaient jamais été remis, a emporté à son domicile la documentation relative aux salaires des collaborateurs ainsi qu'un classeur contenant la facturation aux clients, ce qui a entraîné, le 22 mai 2000, la communication par A._ au précité d'un avertissement « pour faute grave ». Lorsqu'il a rapporté les documents, X._ a remis à A._ un relevé actualisé des commissions.
- A une date indéterminée du mois de septembre 2000, puis à nouveau le 30 septembre 2001, X._ a organisé deux « rencontres amicales » (garden parties) avec les collaborateurs de A._, auxquelles ont également été invités leurs femmes et enfants. La première rencontre s'est tenue au domicile de ses parents. X._, lorsqu'il a été entendu par la police, a déclaré que T._, administrateur-délégué de A._, a participé à ce cocktail et que, vu le succès de la journée et son écho favorable, A._ lui a remboursé un montant forfaitaire de 4'000 fr. sur les frais qu'il avait engagés pour organiser cette première garden party. La seconde rencontre s'est tenue au domicile de X._, à Morges, en présence d'une trentaine de personnes. Selon A._, les membres de la direction de la société n'ont pas été avertis de cette rencontre; un témoin a cependant affirmé que l'épouse de T._ avait passé un moment à cette garden party. Plusieurs autres témoins ont déclaré que X._ avait précisé à ses invités la nature de son statut d'indépendant, qu'il leur avait exposé vouloir mettre un terme à sa collaboration avec A._ et poursuivre pour son compte les activités de prospection qu'il menait, mais qu'il n'avait pas incité les employés de A._ à le suivre. Pour sa part, X._ a exposé qu'il avait remis aux invités qui le souhaitaient une carte de visite personnelle au nom de la société W._ Sàrl - active dans le commerce et la distribution d'applications informatiques - qu'il contrôlait par l'intermédiaire de ses parents et de sa compagne.
Entendu pendant les enquêtes, X._ a déclaré que lorsqu'il a commencé son activité pour A._, celle-ci n'avait qu'un employé mis à disposition d'un seul client; de 1998 à 2001, il a personnellement acquis vingt clients, notamment dans le domaine bancaire, et a placé 46 personnes auprès de différentes sociétés; lorsqu'il a quitté A._, il lui a laissé une dizaine de clients, dont L._, M._, N._, O._, P._, Q._ et R._.
Il a été retenu que X._ a perçu une rémunération de 12'000 fr. pour l'activité déployée d'octobre 1998 à décembre 1998, laquelle s'est élevée ensuite à 214'077 fr. en 1999, à 323'928 fr.80 en 2000 et à 268'328 fr. de janvier à septembre 2001.
Durant cette période, le chiffre d'affaires de A._ a considérablement augmenté, passant de 1'575'000 fr. en 1999 à 3'238'318 fr. en 2000 et à 4'936'132 fr. en 2001.
B.b. Le 31 décembre 2008, Z._ SA (ci-après: Z._), dont le siège est à Lausanne, a repris par suite de fusion les actifs et passifs de la défenderesse A._.
B.c. Par jugement du 20 septembre 2012, le Tribunal de première instance a condamné Z._ à payer à X._ les sommes de 100'500 fr. représentant les rémunérations dues jusqu'au terme légal de congé, de 201'000 fr. à titre d'indemnité pour congé abrupt injustifié et de 150'000 fr. correspondant à l'indemnité de clientèle, le tout avec intérêts à 5% l'an dès le 30 septembre 2001, l'opposition à la poursuite étant levée à due concurrence.
Le Tribunal de première instance a considéré comme injustifiée la résiliation immédiate du contrat d'agence, dès l'instant où le motif pris de l'organisation de la rencontre du 30 septembre 2001 n'était qu'un prétexte. Il s'est fondé en particulier sur l'arrêt rendu par la Cour de justice, le 12 février 2010, dans le cadre du procès en concurrence déloyale intenté par la mandante contre X._, arrêt d'après lequel il n'avait pas été établi que celui-ci aurait tenté de convaincre ses invités de rompre leurs relations de travail avec Z._. Le tribunal a encore pris en compte la déclaration effectuée en cours d'instance par le successeur du demandeur au sein de la défenderesse, lequel a affirmé qu'y avait été mise sur pied à l'encontre du demandeur « une chasse aux sorcières ». Admettant un revenu mensuel moyen de commissions de 33'500 fr. entre août et septembre 2001, le tribunal a retenu que la résiliation devait prendre effet pour le 31 décembre 2001, de sorte que le demandeur, mis à pied immédiatement le 2 octobre 2001, avait droit à ce titre à 100'500 fr. (3 x 33'500 fr.). Au vu de la croissance économique très importante obtenue par la défenderesse grâce à l'intervention efficace du demandeur, de tous les clients qu'il avait amenés, des nombreuses personnes qu'il avait placées auprès desdits clients, du prétexte fallacieux utilisé pour résilier son contrat et des procédures vaines que la défenderesse avait ouvertes à son endroit, le tribunal a alloué au demandeur une indemnité équivalant à six mois de rémunération, fondée sur l'<ref-law>, soit de 201'000 fr. (6 x 33'500 fr.). Le tribunal lui a enfin octroyé une indemnité pour la clientèle (<ref-law>), qu'elle a fixée ex aequo et bono à 150'000 fr.
B.d. Statuant sur l'appel formé par Z._, laquelle sollicitait le déboutement du demandeur, la Cour de justice genevoise, par arrêt du 22 février 2013, a annulé le jugement du 20 septembre 2012 et débouté X._ de toutes ses conclusions.
Constatant que la qualification de contrat d'agence pour l'accord conclu par les parties - retenue par la Cour de justice dans son arrêt du 12 février 2010 - était admise par ces dernières, l'autorité cantonale a jugé que la défenderesse était fondée à résilier l'accord du 30 octobre 1998 avec effet immédiat. Pour la cour cantonale, le demandeur, lié par une clause de non-concurrence, avait violé son devoir de fidélité en invitant à son domicile, sans informer préalablement les organes de la défenderesse, les personnes dont il avait la responsabilité dans sa position d'agent, du moment qu'il avait précisé à cette occasion aux collaborateurs de celle-ci avoir le projet de se mettre à son compte. Il avait en outre remis à ceux qui le souhaitaient la carte de visite de la société dont il avait le contrôle économique. Puisque le congé abrupt était justifié, le demandeur ne pouvait pas prétendre toucher une rémunération jusqu'à l'échéance du délai de congé légal ni a fortiori percevoir une indemnité au sens de l'<ref-law>, dont la cour cantonale a estimé de toute manière douteuse l'application en matière de contrat d'agence. Enfin, aucune indemnité pour clientèle n'entrait en ligne de compte si le contrat, comme dans le cas présent, avait été résilié pour un motif imputable à l'agent.
C.
X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Le recourant conclut principalement à l'annulation de cet arrêt et, cela fait, que l'intimée soit déboutée « de toutes autres ou contraires conclusions ». Subsidiairement, il requiert l'annulation de l'arrêt cantonal et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants, l'intimée devant être déboutée de toutes autres ou contraires conclusions.
Par ordonnance du 8 juillet 2013, la Ire Cour de droit civil a fait droit à la requête d'assistance judiciaire présentée par le recourant et lui a désigné les avocats Enrico Scherrer et Laurent Strawson comme avocats d'office.
L'intimée propose principalement l'irrecevabilité du recours, subsidiairement son rejet.

Considérant en droit:
1.
1.1. Interjeté par une partie qui a entièrement succombé dans ses conclusions en paiement et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>), dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (<ref-law>), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2. Le recours en matière civile se caractérise comme un recours en réforme (<ref-law>), de sorte que le recourant doit en principe prendre des conclusions sur le fond. A titre exceptionnel, il est admis que le recourant puisse se limiter à prendre des conclusions cassatoires lorsque le Tribunal fédéral, s'il accueillait le recours, ne serait pas en mesure de statuer lui-même sur le fond (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 383 et l'arrêt cité).
In casu, les conclusions principales du recourant, en raison de leur libellé ambigu, sont irrecevables. Celui-ci requiert en effet que sa partie adverse soit déboutée de « toutes autres ou contraires conclusions ». Comme l'intimée avait conclu, tant devant le Tribunal de première instance que devant la Cour de justice, au rejet entier des prétentions du recourant, on ne discerne plus les prétentions que ce dernier fait encore valoir devant le Tribunal fédéral. En revanche, les conclusions subsidiaires du recourant, qui tendent à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants, sont recevables. Si le présent recours devait être admis, la juridiction fédérale ne serait pas en mesure de statuer sur les prétentions du recourant, en particulier sur l'octroi d'une indemnité pour clientèle au sens de l'<ref-law>, faute de constatations précises de l'autorité cantonale en rapport avec les clients qui ont été amenés par le recourant à l'intimée et qui sont restés clients de celle-ci après la fin des relations contractuelles, ainsi que sur les profits que l'intimée en a retirés.
1.3. Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (<ref-law>). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 336) et apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 584). Le Tribunal fédéral n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 in fine p. 400/401).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (<ref-law>). La juridiction fédérale peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62), ou établies en violation du droit comme l'entend l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Il lui incombe alors d'indiquer de façon précise en quoi les constatations critiquées sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, à défaut de quoi le grief est irrecevable (<ref-ruling> ibidem).
2.
Le recourant fait grief aux magistrats genevois d'avoir violé l'<ref-law>, applicable par analogie aux rapports contractuels noués par les plaideurs en vertu du renvoi de l'<ref-law>. Il soutient que le reproche de commission d'actes de concurrence déloyale qui a motivé la lettre de congé immédiat du 2 octobre 2001 est totalement infondé. Rappelant qu'il a été blanchi de toute infraction de concurrence déloyale sur les plans pénal et civil, il allègue qu'on ne saurait le blâmer d'avoir organisé la rencontre du 30 septembre 2001, du moment que ce n'était pas la première rencontre de ce type qu'il mettait sur pied, qu'il n'avait pas caché cette rencontre à ses dirigeants et que l'organisation d'une telle réunion faisait partie de ses attributions. En outre, il ne saurait y avoir transgression de son devoir de fidélité du fait qu'il a informé les invités de son projet de fonder sa propre entreprise, dont l'activité ne devait de toute manière débuter qu'au terme des relations contractuelles. Quant au fait qu'il a pris à son domicile le week-end du 20 mai 2000 des documents comptables de l'intimée, le recourant affirme que la mandante n'avait pas établi de récapitulatif des commissions qui lui étaient dues et qu'il a donc emporté des livres de compte uniquement afin de vérifier l'exactitude des commissions qu'il avait acquises dans le cadre de son contrat. Il ajoute que l'avertissement qui lui a été communiqué après cet événement est injuste, puisque l'<ref-law> lui accorde le droit de consulter les pièces justificatives à partir desquelles les provisions sont calculées.
2.1. La cour cantonale a qualifié le rapport contractuel noué par les plaideurs de contrat d'agence au sens des <ref-law>. Cette qualification n'est à juste titre pas contestée. Il convient en conséquence de statuer sur les questions litigieuses à la lumière des dispositions relatives à ce contrat (cf. <ref-ruling> consid. 3 et les arrêts cités).
A teneur de l'<ref-law>, le mandant et l'agent peuvent, sans avertissement préalable, résilier immédiatement le contrat pour de justes motifs. Concernant la résiliation abrupte du contrat d'agence pour de tels motifs, l'<ref-law> renvoie aux dispositions relatives au contrat de travail. Parmi les normes régissant le contrat individuel de travail, l'<ref-law> prescrit que sont notamment considérées comme de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail.
Mesure exceptionnelle, la résiliation immédiate pour justes motifs doit être admise de manière restrictive. D'après la jurisprudence, les faits invoqués à l'appui d'un renvoi immédiat doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave du travailleur justifie son licenciement immédiat; si le manquement est moins grave, il ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 31, 213 consid. 3.1 p. 221; <ref-ruling> consid. 2.1).
Le juge apprécie librement s'il existe de justes motifs (art. 337 al. 3 in initio CO). Il applique les règles du droit et de l'équité (<ref-law>). A cet effet, il prendra en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position et les responsabilités du travailleur, le type et la durée des rapports contractuels, ainsi que la nature et l'importance des manquements (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 32; <ref-ruling> consid. 4a p. 354.
A raison de son obligation de fidélité, le travailleur est tenu de sauvegarder les intérêts légitimes de son employeur (<ref-law>) et, en particulier, de s'abstenir d'entreprendre tout ce qui pourrait lui nuire économiquement (<ref-ruling> consid. 3a p. 561). Le devoir de fidélité de l'agent est concrétisé spécialement à l'<ref-law>.
2.2. Selon l'<ref-law>, l'agent peut, sauf convention écrite prévoyant le contraire, travailler aussi pour d'autres mandants. Autrement dit, pendant la durée du contrat, l'agent n'exercera son activité de façon exclusive pour le mandant que si les parties en sont convenues.
Le contrat du 30 octobre 1998 ne contenait pas de clause contraignant le recourant à ne travailler que pour l'intimée, ce qui signifie que ce dernier pouvait aussi se mettre au service d'autres mandants. Mais il ne devait cependant pas travailler pour des concurrents de l'intimée, car le devoir de fidélité de l'agent l'empêche de travailler pour des concurrents de son mandant (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 521; cf. DOMINIQUE DREYER, in Commentaire romand, Code des obligations, vol. I, 2e éd. 2012, n° 14 ad <ref-law>; J OSEF HOFSTETTER, le mandat et la gestion d'affaires, TDPS, vol. VII, II, 1, 1994, § 23, p. 187 en bas). De toute manière, la convention précitée contenait une clause de prohibition de concurrence, d'après laquelle l'agent, pendant la durée de l'accord, s'était engagé à ne déployer aucune activité, directement ou indirectement, pour une société qui pourrait être concurrente de sa mandante.
Selon une jurisprudence récente rendue en droit du travail, le travailleur - dont le contrat contient une clause de prohibition de concurrence lui interdisant d'exercer une activité concurrente après sa démission - ne viole pas son devoir de fidélité si, envisageant avec d'autres de fonder une entreprise concurrente, il entreprend des préparatifs avant que le contrat de travail ne prenne fin, pour autant cependant qu'il ne commence pas à concurrencer son employeur, à débaucher des employés ou à détourner de la clientèle (<ref-ruling> consid. 2.3.5 p. 73/74).
Il sied donc de vérifier, à la lumière de ces principes jurisprudentiels et doctrinaux, si une violation du devoir de fidélité peut être reprochée au recourant.
2.3. Il a été retenu en fait (<ref-law>) que le recourant, au cours du week-end du 20 mai 2000, a emporté à son domicile, sans autorisation, des documents relatifs aux salaires des collaborateurs de l'intimée ainsi qu'un classeur contenant la facturation aux clients de celle-ci. La mandante lui a adressé le 22 mai 2000 un avertissement ̈pour faute grave ̈. L'intimée a vu ultérieurement dans ce comportement de l'agent une violation de son devoir de fidélité pouvant fonder la résiliation sans délai du contrat d'agence communiquée le 2 octobre 2001. La cour cantonale n'a pas examiné dans l'arrêt déféré s'il s'agissait bien là d'un juste motif de congé abrupt, sans doute parce qu'elle a admis que le second motif invoqué par l'intimée, dont il sera question ci-dessous, justifiait à lui seul une résiliation immédiate.
2.3.1. Le Tribunal fédéral admet que la partie qui résilie un contrat de travail en invoquant un juste motif ne dispose que d'un court délai de réflexion dès la connaissance des faits pour signifier la rupture immédiate des relations. Un délai de réflexion généralement de deux à trois jours est présumé approprié; un délai supplémentaire n'est accordé à celui qui entend résilier le contrat que si l'on se trouve en présence d'événements particuliers qui exigent dans le cas concret l'admission d'une exception à la règle (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 34 et les arrêts cités). S'il tarde à réagir, l'employeur est présumé renoncer au licenciement immédiat ( RÉMY WYLER, Droit du travail, 2e éd., 2008, p. 502 s.; pour le contrat d'agence: cf. DREYER, op. cit., n° 3 ad <ref-law>; SUZANNE WETTENSCHWILER, in Basler Kommentar, Obligationenrecht, vol. I, 5e éd. 2011, n° 3 ad <ref-law>).
2.3.2. Nonobstant l'avertissement qu'elle a donné au recourant le 22 mai 2000, l'intimée a poursuivi la collaboration avec lui jusqu'au 2 octobre 2001, soit pendant plus de seize mois. Elle est donc évidemment forclose à prétendre que ces faits connus rendaient tout d'un coup insupportable la poursuite des relations contractuelles entre parties à compter du 2 octobre 2001. La question ne mérite pas plus ample examen.
2.4. L'intimée a reproché au recourant d'avoir organisé le 30 septembre 2001 une rencontre à son domicile de Morges avec ses collaborateurs ainsi que leurs épouses et enfants. Au cours de ce cocktail, mis sur pied, d'après l'intimée, sans que les membres de sa direction en aient été avertis, le recourant aurait fait la promotion d'une société concurrente dont il avait le contrôle économique.
Il a été constaté définitivement que la rencontre incriminée avait été précédée une année plus tôt d'une première garden party regroupant également les collaborateurs de l'intimée et leurs familles. Le recourant a déclaré, sans être contredit, qu'un administrateur-délégué de la mandante y avait participé et que, satisfaite, du succès de la journée, celle-ci lui avait alloué une somme de 4'000 fr. au titre du remboursement des frais qu'il avait supportés.
Quant à la seconde rencontre du 30 septembre 2001, si l'intimée a prétendu que ses organes dirigeants n'y avaient pas été invités, un témoin a affirmé que l'épouse de l'administrateur-délégué, présent au premier cocktail, y avait passé un moment. Cette constatation relativise l'affirmation que la rencontre a été organisée à l'insu de la direction de l'intimée, dès l'instant où l'on voit mal les raisons d'inviter la femme d'un directeur si l'on cherche à cacher la rencontre aux organes qui dirigent la société.
Au cours de cette seconde rencontre, le recourant a précisé aux invités la nature de son statut d'indépendant, exposé qu'il voulait mettre un terme à sa collaboration avec l'intimée et poursuivre pour son compte les activités qu'il menait au profit de celle-ci.
En décrivant son statut d'indépendant à l'égard de l'intimée, le recourant n'a pas enfreint son devoir de fidélité, car l'agent, contrairement au travailleur, n'est pas subordonné au mandant (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 519).
Il est de jurisprudence que le travailleur, avant la fin de son contrat, peut entreprendre des préparatifs pour se mettre à son compte à l'issue des relations contractuelles. Cela doit valoir d'autant plus pour l'agent qui agit, à la différence du travailleur, à titre indépendant, sans être soumis au mandant par un rapport de dépendance étroit. Il a été retenu en fait que le recourant, avant d'être congédié, n'a pas débuté une activité pouvant concurrencer l'intimée ni approcher les clients de celle-ci pour les enjoindre à le suivre dans sa société. Et il n'a pas tenté de débaucher des employés. Il n'a remis une carte de visite de sa société qu'à ceux qui le souhaitaient, sans mettre en avant les avantages économiques qu'ils pourraient en retirer en se faisant engager par celle-ci.
Au vu du contexte des deux rencontres et des circonstances dans lesquelles s'est déroulée la seconde, il n'apparaît pas que l'organisation de la rencontre du 30 septembre 2001 ait pu constituer pour le recourant une violation de son devoir de fidélité.
Partant, il sied d'admettre que le congé immédiat communiqué au recourant le 2 octobre 2001 n'était pas justifié et que le grief de transgression de l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>, est fondé.
3.
La résiliation injustifiée du contrat d'agence a pour conséquence que le mandant doit réparer le dommage qu'il a causé à l'agent au sens de l'art. 337c al. 1 et 2 CO (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.1). Ainsi le travailleur a droit à des dommages-intérêts correspondant à ce qu'il aurait gagné si les rapports de travail avaient pris fin à l'échéance du délai de congé, sous imputation de ce qu'il a épargné par suite de la cessation du contrat ainsi que du revenu qu'il a tiré d'un autre travail ou du revenu auquel il a intentionnellement renoncé (<ref-law> en relation avec l'art. 337c al. 1 et 2 CO).
3.1. A teneur de l'art. 418q al. 2, 1e phrase, CO, lorsque le contrat a duré un an au moins, il peut être résilié moyennant un congé donné deux mois d'avance, pour la fin d'un trimestre de l'année civile. Dans cette hypothèse, les parties ne peuvent pas convenir d'un délai de résiliation plus court ( DREYER, op. cit., n° 1 ad <ref-law>; WETTENSCHWILER, op. cit., n° 1 ad <ref-law>).
En l'espèce, le contrat litigieux prévoyait que chacune des parties pouvait le résilier en tout temps avec un préavis écrit d'un mois. Comme l'accord a duré plus d'un an (i.e. du 30 octobre 1998 au 2 octobre 2001), cette clause est devenue illicite. Le congé ayant été donné le 2 octobre 2001, les effets de la résiliation ne pouvaient se produire, en vertu de l'<ref-law>, que pour le 31 décembre 2001.
3.2. Il faut ainsi déterminer ce que le recourant aurait gagné s'il avait été congédié dans le respect de la loi et s'il avait continué à travailler durant le délai de résiliation. Sont en principe déterminants les revenus hypothétiques qu'il aurait acquis pendant ce délai; on peut toutefois se fonder sur le revenu moyen de l'année précédente en tant qu'il est typique pour le rapport contractuel, mais en prenant en considération les variations saisonnières ainsi que les développements du chiffre d'affaires des derniers mois (cf. <ref-ruling> consid. 2b p. 17 et les références).
En l'occurrence, il n'est pas possible de savoir, sur la base des constatations factuelles de la cour cantonale, si le revenu du recourant pour l'année 2000, qui est 50% plus élevé que celui de l'année 1999, était en phase avec la hausse du chiffre d'affaires, qui a pour sa part plus que doublé entre 1999 et 2000.
Partant, la cause devra être retournée aux magistrats genevois pour qu'ils arrêtent ce que le recourant aurait gagné si les rapports contractuels avaient cessé à l'échéance du délai ordinaire de congé.
4.
Le renvoi de l'<ref-law> aux dispositions relatives au contrat de travail pour le cas où le contrat d'agence est résilié immédiatement pour de prétendus justes motifs englobe les <ref-law>, donc également l'indemnité spéciale instaurée par l'<ref-law> pour réparer toutes les atteintes à la personnalité provoquées par la résiliation abrupte injustifiée du contrat (<ref-ruling> consid. 4 p. 519; arrêt 4C.216/2002 du 19 septembre 2003, consid. 4.1; DREYER, op. cit., n° 2 ad <ref-law>; TERCIER/FAVRE/CONUS, Les contrats spéciaux, 4e éd. 2009, ch. 5818 p. 879).
Il appartiendra à la cour cantonale de fixer l'indemnité auquel le recourant a droit de ce chef
5.
Comme le contrat n'a pas été résilié pour un motif imputable au recourant, la cour cantonale devra enfin déterminer si ce dernier a droit à l'indemnité pour clientèle, au sens de l'<ref-law>, qu'il a sollicitée - prétention qu'elle n'a pas examinée au vu de la solution qu'elle a adoptée - et, dans l'affirmative, en calculer la quotité.
6.
En définitive, le recours doit être partiellement admis et l'arrêt attaqué annulé. La cause sera renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le recourant, qui plaide au bénéfice de l'assistance judiciaire, doit être considéré comme la partie qui obtient gain de cause. Les frais judiciaires seront mis à la charge de l'intimée, laquelle devra verser une indemnité à titre de dépens au recourant (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF). Si les dépens mis à la charge de l'intimée ne pouvaient pas être recouvrés, la caisse du Tribunal fédéral versera aux conseils du recourant une indemnité du même montant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis et l'arrêt attaqué est annulé.
2.
La cause est retournée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 8'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4.
L'intimée versera au recourant une indemnité de 9'000 fr. à titre de dépens. Cette somme sera payée aux conseils du recourant par la caisse du Tribunal fédéral au cas où les dépens ne pourraient pas être recouvrés.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 10 octobre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet