Sachverhalt:
A. Der 1948 geborene S._ zog sich bei einem Unfall vom 13. Juni 1987 eine Pilon tibial-Fraktur zu, welche medizinische Massnahmen erforderte (Osteosynthese) und zu Arbeitsunfähigkeit führte. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als obligatorischer Unfallversicherer erbrachte in diesem Zusammenhang Leistungen. Sie kam auch für eine OSG-Arthrose rechts auf, welche sich in der Folge entwickelte. Am 6. Januar 1999 wurde eine Schraubenarthrodese des OSG rechts vorgenommen. Danach traten jedoch weiterhin Beschwerden auf. Die SUVA führte weitere medizinische Abklärungen durch. Anschliessend erklärte sie mit Schreiben vom 27. Januar 2003, die vorübergehenden Leistungen (Heilkosten und Taggeld) seien mit dem 1. September 2002 eingestellt worden. Mit Verfügung vom 1. April 2003 sprach sie dem Versicherten eine Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 14% (ab 1. September 2002) und eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 15% zu. Daran wurde mit Einspracheentscheid vom 16. Oktober 2003 festgehalten.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden ab (Entscheid vom 19. März 2008, versandt am 21. April 2008). Das Verfahren war zwischenzeitlich im Hinblick auf das laufende IV-Verfahren (vgl. Urteil I 921/07 vom 16. Oktober 2006) sistiert worden. Das kantonale Gericht nahm unter anderem ein Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) vom 10. Mai 2005 zu den Akten.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei "festzustellen, dass der Beschwerdeführer wegen der Unfälle vom 13.6.1987 und 23.12.2002 zu 100% erwerbsunfähig ist, und es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, dem Beschwerdeführer die entsprechenden Leistungen (Rente für 100%-ige Invalidität, Integritätsentschädigung, Heilbehandlung usw.) zu erbringen, evtl. sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen". In prozessualer Hinsicht wird die Vereinigung des vorliegenden Verfahrens mit dem Prozess 8C_400/2008 sowie die Sistierung beider Verfahren im Hinblick auf ein drittes verlangt.
Mit der Beschwerdeschrift werden eine medizinische Beurteilung von Dr. med. U._, Innere Medizin FMH, speziell Rheumakrankheiten, vom 12. Dezember 2005 (sie war der Vorinstanz aus dem Parallelverfahren bekannt) sowie zwei Schreiben der Klinik Y._ vom 23. August 2006 (Hand- und Fusszentrum) und 5. Mai 2008 (Zentrum für Fusschirurgie) eingereicht.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Strittig und zu prüfen ist der Anspruch auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung und in diesem Rahmen die Frage, welche gesundheitlichen Beeinträchtigungen auf den Unfall vom 13. Juni 1987 zurückzuführen sind. Die Beurteilung beschränkt sich auf den Zeitraum bis zum Erlass des Einspracheentscheids vom 16. Oktober 2003 (<ref-ruling> E. 1.2 S. 446 mit Hinweisen). Deshalb rechtfertigt sich die vom Beschwerdeführer verlangte Sistierung mit Blick auf am 5. August 2005 aufgetretene Spätfolgen nicht. Auch von einer Vereinigung des vorliegenden Verfahrens mit dem Prozess 8C_400/2008, welcher ein anderes Unfallereignis betrifft, ist abzusehen. Soweit im vorliegenden Verfahren Leistungen für Folgen des Unfalls vom 23. Dezember 2002 verlangt werden, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, da der entsprechende Entscheid der Vorinstanz Gegenstand des Prozesses 8C_400/2008 bildet.
2. Umstritten ist, welche der über den 1. September 2002 hinaus bestehenden Beschwerden auf das Ereignis vom 13. Juni 1987 zurückgehen.
2.1 Den Akten ist zu entnehmen, dass nach dem Unfall vom 13. Juni 1987 eine Osteosynthese durchgeführt wurde. Die Materialentfernung erfolgte im September 1988. In der Folge entwickelte sich eine Arthrose des OSG rechts. Am 6. Januar 1999 wurde der Versicherte erneut operiert (Schraubenarthrodese des OSG und Spongiosaplastik). Der weitere Verlauf war komplikationslos. Am 30. Oktober 2001 wurde das Osteosynthesematerial entfernt. Der SUVA-Kreisarzt Dr. med. H._ hielt am 9. Januar 2002 fest, der Patient sei aufgrund der OSG-Arthrodese bezüglich Geh- und Stehfähigkeit eingeschränkt. Funktionell ungünstig seien für ihn vor allem das Treppengehen und das Besteigen von Leitern sowie in weniger ausgeprägtem Rahmen das längere Arbeiten in kniender Stellung. Günstig wäre es, wenn der Patient in einer vorwiegend stehenden und gehenden Arbeit zwischendurch sitzen könnte. Gestützt auf diese Beurteilung ging die SUVA im Einspracheentscheid vom 16. Oktober 2003 davon aus, der Versicherte könne vom unfallbedingten Befund her eine wechselbelastende, teilweise sitzende Arbeit ohne grössere Anforderungen an die Geh- und Stehfähigkeit ganztags mit voller Leistung ausüben. Auf dieser Basis wurde die Invalidenrente von 14% berechnet. Die vom Versicherten überdies angegebenen Rückenschmerzen sowie mögliche psychische Beschwerden bezeichneten SUVA und Vorinstanz als nicht unfallkausal.
2.2 Der Beschwerdeführer lässt geltend machen, er leide - neben den durch SUVA und Vorinstanz als unfallkausal bezeichneten Beschwerden am rechten Fuss - auch an invalidisierenden Rückenbeschwerden. Diese führe er auf den Unfall zurück. Er könne sich dabei auf das Gutachten von Dr. med. U._ stützen. Wenn die SUVA einen anderen Standpunkt vertrete, sei sie angesichts der diesbezüglich widersprüchlichen Aktenlage gehalten, ein entsprechendes Gutachten einzuholen.
2.3 Wie das kantonale Gericht dargelegt hat, gab der Versicherte anlässlich der kreisärztlichen Untersuchung vom 9. Januar 2002 erstmals an, er leide auch an Rückenschmerzen. Das Unfallereignis vom 13. Juni 1987 lag damals mehr als 14 Jahre zurück. Der Kreisarzt Dr. med. H._ gelangte zum Ergebnis, die Wirbelsäulenbeschwerden könnten nicht in Zusammenhang mit der OSG-Arthrodese gebracht werden. Insbesondere stellten sie auch keine Folge einer posttraumatischen Fehlhaltung dar. Diese Einschätzung wird durch Dr. med. B._, Innere Medizin/Rheumatologie FMH, insofern geteilt, als der Arzt erklärt, nachdem die Rückenschmerzen erst viele Jahre nach dem Unfall aufgetreten seien, könnten sie nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf den Unfall zurückgeführt werden (Bericht vom 2. April 2002). In gleicher Weise äussert sich Dr. med. W._, Innere Medizin, speziell Rheumatologie FMH, in seiner Stellungnahme vom 12. März 2003. Das MEDAS-Gutachten vom 10. Mai 2005 bestätigt die Aussagen von Dr. med. B._ und Dr. med. W._ und bezeichnet die daran vorgebrachte Kritik als medizinisch nicht nachvollziehbar. Dr. med. U._ hält in seiner medizinischen Beurteilung vom 12. Dezember 2005 zwar fest, die belastungsabhängigen Kreuzschmerzen (lumbospondylogenes Syndrom) hätten ihre Ursache - neben krankheitsbedingten degenerativen Veränderungen - auch in einer Fehlbelastung mit sekundärer Dysbalance des Beckengürtels infolge der Fussverletzung rechts. Diese Stellungnahme vermag jedoch die gegenteilige Auffassung der erwähnten Ärzte nicht in einer Weise in Frage zu stellen, welche zusätzliche Abklärungen erfordern würde. Insbesondere setzt sich Dr. med. U._ weder mit den anderslautenden Einschätzungen auseinander noch begründet er seine Kausalitätsbeurteilung mit Blick auf den Zeitraum von mehr als 14 Jahren, welcher zwischen dem Unfallereignis und dem Auftreten der fraglichen Beschwerden liegt. Unter diesen Umständen ist der vorinstanzlichen Beurteilung zu folgen, wonach der natürliche Kausalzusammenhang nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt ist und weitere Abklärungen keine zusätzlichen Erkenntnisse versprechen. SUVA und kantonales Gericht haben daher einen Leistungsanspruch des Beschwerdeführers zu Recht nur bezüglich der Fussbeschwerden bejaht und ansonsten verneint.
3. Die Berechnung der Ansprüche für die anerkanntermassen unfallkausalen gesundheitlichen Beeinträchtigungen (Invalidenrente von 14%; Integritätsentschädigung von 15%) wird in der Beschwerdeschrift nicht beanstandet.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Anträge auf Verfahrensvereinigung und -sistierung werden abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Oktober 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger