Sachverhalt:
A.
Die B._ AG (nachfolgend: Vermieterin, Beschwerdegegnerin) ist seit 2009 Eigentümerin der Liegenschaft "C._", Strasse U._ in V._. Es handelt sich dabei um ein Wohn- und Geschäftshaus. In dessen Obergeschossen befinden sich Wohnungen, das Erdgeschoss besteht aus einer Bankfiliale, einem Restaurant und einem Ladenlokal. Das Ladenlokal ist - nach seinen Angaben seit 2005 - an A._ vermietet (nachfolgend: Mieter, Beschwerdeführer), der darin einen Kiosk betreibt. Die Vermieterin übernahm den mit dem Voreigentümer abgeschlossenen Mietvertrag bezüglich des Ladenlokals und zweier Garagenplätze zu denselben Konditionen. Gleichwohl wurden mit Wirkung ab 1. Oktober 2009 neue Mietverträge abgefasst, worin Kündigungsfristen von sechs Monaten (Ladenlokal) respektive drei Monaten (Garagenplätze) vorgesehen waren.
Im Zuge der Planung von Sanierungsarbeiten an der Liegenschaft wurde das Erdgeschoss neu konzipiert, wobei die Neugestaltung eine Bäckerei mit Café und ein Ladengeschäft anstelle des Restaurants und des Kiosks vorsieht. Mit Begleitschreiben vom 6. November 2012 und Formular vom 7. November 2012 kündigte die Vermieterin das Mietverhältnis mit dem Beschwerdeführer betreffend die Geschäftsräume und die Garagenplätze per 30. Juni 2013.
B.
Am 6. Dezember 2012 gelangte der Mieter an die Schlichtungsstelle für Miet- und Pachtverhältnisse See-Gaster und beantragte die Aufhebung der Kündigung, eventualiter die Erstreckung des Mietverhältnisses. Eine Einigung kam nicht zustande, worauf dem Mieter die Klagebewilligung ausgestellt wurde.
Mit Klage vom 16. April 2013 beantragte der Mieter dem Kreisgericht See-Gaster, die Kündigung sei aufzuheben. Eventualiter sei das Mietverhältnis für sechs Jahre zu erstrecken. Am 18. Juni 2013 erkannte das Kreisgericht, dass die Kündigung per 30. Juni 2013 rechtsgültig sei. Es erstreckte das Mietverhältnis "definitiv bis 31. Dezember 2013" unter Ausschluss einer weiteren Erstreckung.
Dagegen erhob der Mieter Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen. Er verlangte wiederum die Aufhebung der Kündigung, eventualiter die Rückweisung zur Erhebung der Beweise, zur korrekten Sachverhaltsfeststellung und zur Neuentscheidung, subeventualiter die Erstreckung um sechs Jahre. Mit Urteil vom 8. Januar 2014 wies das Kantonsgericht die Berufung ab.
C.
Der Mieter beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, den Entscheid des Kantonsgerichts vom 8. Januar 2014 und die missbräuchliche Kündigung der Geschäftsräume und der Garagenabstellplätze Nr. 19 und 20 an der Strasse U._, V._, per 30. Juni 2013 aufzuheben. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Erhebung der Beweise, zur korrekten Feststellung des Sachverhalts und zur Neuentscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventualiter sei das Mietverhältnis für die Dauer von sechs Jahren zu erstrecken.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Der Beschwerdeführer replizierte. Die Beschwerdegegnerin verzichtete auf Gegenbemerkungen.
Mit Präsidialverfügung vom 22. April 2014 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Sodann übersteigt der Streitwert bei einem Monatsmietzins von Fr. 1'600.-- die Grenze nach <ref-law> in mietrechtlichen Fällen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinlänglichen Begründung (Erwägung 2) - grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt (<ref-ruling> E. 2 S. 89). Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.8; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
2.2. Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (vgl. <ref-law>). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die beschwerdeführende Partei die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern. Die Replik ist vielmehr nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.3.4).
Soweit der Beschwerdeführer in seiner Replik darüber hinausgeht, können seine Ausführungen nicht berücksichtigt werden.
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.1). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Sachgericht erhebliche Beweismittel übersieht, augenscheinlich missversteht oder grundlos ausser Acht lässt, oder wenn es aus den vorliegenden Beweisen unhaltbare Schlüsse zieht (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.1). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.3). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2b).
Der Beschwerdeführer präsentiert eine eigene Sachverhaltsdarstellung. Darauf kann nach dem Gesagten nicht abgestellt werden. Auch kann der Beschwerdeführer im Folgenden nicht gehört werden, soweit er seine rechtliche Argumentation auf einen Sachverhalt stützt, der von den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht, ohne im Einzelnen hinreichend begründete Sachverhaltsrügen zu formulieren.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer ist der Meinung, die Kündigung sei rechtsmissbräuchlich im Sinne von <ref-law> und <ref-law>. Er rügt, die Vorinstanz habe diese Bestimmungen verletzt, indem sie das Gegenteil erkannte.
3.2. Eine ordentliche Kündigung setzt keine besonderen Kündigungsgründe voraus. Mieter und Vermieter sind grundsätzlich frei, den Mietvertrag unter Einhaltung der vertraglichen oder gesetzlichen Fristen und Termine zu beenden. Eine Schranke ergibt sich einzig aus dem Grundsatz von Treu und Glauben: Bei der Miete von Wohn- und Geschäftsräumen ist die Kündigung anfechtbar, wenn sie gegen diesen Grundsatz verstösst (<ref-law>). Allgemein gilt eine Kündigung als treuwidrig, wenn sie ohne objektives, ernsthaftes und schützenswertes Interesse und damit aus reiner Schikane erfolgt oder Interessen der Parteien tangiert, die in einem krassen Missverhältnis zueinander stehen. Der Umstand, dass die Kündigung für den Mieter eine Härte darstellt, genügt nicht; eine solche Härte ist nur im Hinblick auf eine Erstreckung des Mietverhältnisses relevant (vgl. <ref-law>). Es obliegt dem Empfänger der Kündigung zu beweisen, dass die Kündigung aus einem verpönten oder ohne schützenswerten Grund erfolgte; der Kündigende hat jedoch redlich zur Wahrheitsfindung beizutragen und die Kündigung auf Ersuchen hin zu begründen (vgl. <ref-law>). Ob eine Kündigung gegen Treu und Glauben verstösst, beurteilt sich in Bezug auf den Zeitpunkt, in welchem sie ausgesprochen wird. Fällt der Grund, aus welchem die Kündigung ausgesprochen wurde, in der Folge dahin, wird die Kündigung nicht nachträglich treuwidrig (<ref-ruling> E. 2.1 S. 62 mit weiteren Hinweisen).
Weder eine Kündigung im Hinblick auf (umfassende) Sanierungsarbeiten (vgl. <ref-ruling> E. 4) noch eine solche zwecks Änderung der bestehenden Nutzungsart (<ref-ruling> E. 3) stellt für sich einen Verstoss gegen Treu und Glauben dar. Auch rein ökonomische Motive des Vermieters einschliesslich des Ansinnens, durch eine Neuvermietung einen höheren Mietzins zu erzielen, sind nicht grundsätzlich verpönt (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3b/bb).
3.3.
3.3.1. Der Beschwerdeführer stützt seine Anfechtung auf ein angeblich widersprüchliches, treuwidriges Verhalten der Beschwerdegegnerin. Diese habe ihm konkludent zugesagt, er könne seinen Kiosk in der Liegenschaft weiterhin betreiben, müsse aber bezüglich des Grundrisses flexibel bleiben. Im Vertrauen auf diese Zusage habe er Investitionen getätigt. Die Beschwerdegegnerin bestritt im kantonalen Verfahren, eine derartige Zusage gemacht zu haben.
Konkret brachte der Beschwerdeführer vor, man habe ihm an einer "Nebenkostenversammlung vor mehr als zwei Jahren" das Verbleiben im Geschäftslokal konkludent zugesichert. In diesem Zusammenhang beantragte er die Anhörung von zwei langjährigen, ehemaligen Mietern als Zeugen. Bereits die erste Instanz verzichtete auf die Zeugenbefragung. Die Vorinstanz schützte dies, was der Beschwerdeführer als willkürlich sowie als Verletzung von <ref-law> und Art. 6 EMRK rügt.
3.3.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) gewährt den Parteien insbesondere das Recht, mit rechtzeitig und formrichtig angebotenen erheblichen Beweismitteln gehört zu werden (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.2). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Das Bundesgericht greift in eine antizipierte Beweiswürdigung nur ein, wenn sie willkürlich und damit offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4a), namentlich wenn sie eine prozessuale Vorschrift oder einen unumstrittenen Grundsatz des Beweisrechts krass verletzt oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen).
3.3.3. Die Vorinstanz würdigte die Parteivorbringen zur angeblichen konkludenten Zusicherung eingehend und gelangte zum Schluss, dem Beschwerdeführer sei der Nachweis nicht gelungen dafür, dass er anlässlich der besagten Versammlung eine Zusicherung erhalten habe, der Mietvertrag werde nicht gekündigt. Im Gegenteil habe er um eine mittelfristig bevorstehende Sanierung, die sein Ladenlokal und damit den Bestand des Mietvertrags voraussichtlich substanziell betreffen werde, gewusst.
Zur Abweisung des Beweisantrags auf Einvernahme der beiden Zeugen hielt die Vorinstanz im Wesentlichen fest, selbst wenn diese die vom Beschwerdeführer geschilderte Aussage vorbehaltlos würden bestätigen können, ergäbe sich keine andere Beurteilung. Davon abgesehen habe der Beschwerdeführer nicht substanziiert dargetan, was die Zeugen wo gehört bzw. wahrgenommen haben sollten, wenn in ihrem "Beisein" von der Beschwerdegegnerin etwas "konkludent versichert" worden sein sollte.
3.3.4. Die Vorinstanz ging demnach mit der Erstinstanz davon aus, die Befragung der Zeugen hätte keine entscheidrelevanten Erkenntnisse gebracht, welche die bereits gewonnene Überzeugung umstossen könnten. Die Weigerung, nicht erhebliche Beweise abzunehmen, stellt keine Verletzung von <ref-law> oder Art. 6 EMRK dar. Zudem widerlegt der Beschwerdeführer den vorinstanzlichen Vorhalt, dass die Zeugen nicht zu konkreten einschlägigen Behauptungen angerufen wurden, nicht, weshalb die Nichtabnahme des Zeugenbeweises auch aus diesem Grund statthaft ist. Schliesslich vermag der Beschwerdeführer mit seinen weitgehend appellatorischen Vorbringen nicht aufzuzeigen, dass die (antizipierte) Beweiswürdigung der Vorinstanz geradezu willkürlich wäre.
3.3.5. Demnach bleibt es dabei, dass dem Beschwerdeführer der Nachweis einer konkludenten Zusicherung der Vermieterin, es werde ihm nicht gekündigt, nicht gelungen ist. Der Vorwurf eines widersprüchlichen bzw. treuwidrigen Verhaltens der Beschwerdegegnerin entbehrt daher der tatsächlichen Grundlage, und die Kündigung verstösst insofern nicht gegen Treu und Glauben.
3.4. Der Beschwerdeführer hält die Kündigung auch deshalb für treuwidrig, weil für die Kündigung kein objektives, ernsthaftes oder schützenswertes Interesse bestehe. Mit seinen diesbezüglichen Ausführungen wiederholt er nahezu wörtlich seine Ausführungen in der Berufung, ohne sich mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen. Er verfehlt damit die Begründungsanforderungen (vgl. Erwägung 2.1). Ohnehin hielt die Vorinstanz zutreffend fest, dass die Beschwerdegegnerin mit dem Ansinnen, das Erdgeschoss umfassend zu sanieren und umzugestalten, einen legitimen Zweck verfolge. Es sei ihr als Eigentümerin unbenommen, dabei ein Konzept zugrunde zu legen, welches das Ladenlokal des Beschwerdeführers nicht weiterhin vorsehe, und es stehe ihr dabei auch frei, sich andere Vertragspartner zu suchen als frühere Mieter, deren Mietverträge korrekt aufgelöst worden seien. Auch dass infolge der getätigten Investitionen höhere Einnahmen erzielt werden könnten, sei ein legitimes Interesse. Diese Erwägungen sind bundesrechtlich nicht zu beanstanden (vgl. die Hinweise in Erwägung 3.2).
3.5. Die Vorinstanz hat nach dem Gesagten nicht gegen Bundesrecht verstossen, wenn sie die Missbräuchlichkeit der Kündigung verneinte.
4.
Der Beschwerdeführer wendet sich eventualiter gegen die Erstreckung des Mietverhältnisses um sechs Monate bis 31. Dezember 2013. Er verlangt eine Erstreckung um sechs Jahre.
4.1. Nach <ref-law> kann der Mieter die Erstreckung des Mietverhältnisses verlangen, wenn die Beendigung der Miete für ihn oder seine Familie eine Härte zur Folge hätte, die durch die Interessen des Vermieters nicht zu rechtfertigen wäre. Bei Geschäftsmieten kann eine Härte entstehen, wenn der Umzug innert der ordentlichen Kündigungsfrist nicht möglich ist, weil im neuen Mietobjekt zeitraubende Anpassungsarbeiten nötig sind, für die unter Umständen sogar behördliche Bewilligungen vorliegen müssen (Urteil 4A_62/2010 vom 13. April 2010 E. 6.1.1 mit Hinweisen).
Die Dauer der Erstreckung beträgt gemäss <ref-law> für Geschäftsräume höchstens sechs Jahre, wobei im Rahmen der Höchstdauer eine oder zwei Erstreckungen gewährt werden können.
Soweit die Erstreckung nicht nach <ref-law> ausgeschlossen ist, berücksichtigt die zuständige Behörde nach <ref-law> bei der Interessenabwägung insbesondere die Umstände des Vertragsschlusses und den Inhalt des Vertrags (lit. a), die Dauer des Mietverhältnisses (lit. b), die persönlichen, familiären und wirtschaftlichen Verhältnisse der Parteien und deren Verhalten (lit. c), einen allfälligen Eigenbedarf des Vermieters für sich, nahe Verwandte oder Verschwägerte sowie die Dringlichkeit des Bedarfs (lit. d) und überdies die Verhältnisse auf dem örtlichen Markt für Wohn- und Geschäftsräume (lit. e). Dabei ist der Zweck der Erstreckungsbestimmungen zu beachten, der darin besteht, die Folgen der Vertragsauflösung für die Mietpartei zu mildern, indem ihr mehr Zeit für die mit der Auflösung des Mietverhältnisses erforderliche Neuorientierung gelassen wird (<ref-ruling> E. 6; <ref-ruling> E. 3b S. 448). Nach der Rechtsprechung sind Suchbemühungen bereits im ersten Erstreckungsverfahren zu berücksichtigen (vgl. <ref-ruling> E. 4b; <ref-ruling> E. 3a; Urteil 4C.343/2004 vom 22. Dezember 2004 E. 4.2). Solche Bemühungen können jedoch nur beschränkt erwartet werden, wenn der Mieter die Kündigung mit Aussicht auf Erfolg angefochten hat (Urteile 4C.343/2004 vom 22. Dezember 2004 E. 4.2; 4C.155/2003 vom 3. November 2003 E. 4). <ref-law> regelt nicht, wie die aufgestellten Kriterien zu gewichten sind, und letztlich kann für den Entscheid nur massgebend sein, welche Interessen im Ergebnis der gesamthaften Gewichtung inwieweit überwiegen (Urteil 4A_420/2009 vom 11. Juni 2009 E. 3.2.1).
4.2. Bei der Festlegung der Art und Dauer der gewährten Erstreckung steht dem Richter innerhalb des gesetzlichen Rahmens ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 4b). Derartige Ermessensentscheide überprüft das Bundesgericht mit Zurückhaltung und greift nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen. Es greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, wenn sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen).
4.3. Die Vorinstanz verneinte, dass für den Beschwerdeführer eine Härte bestehe. Sie erwog, der Kiosk in V._ sei nicht der einzige vom Beschwerdeführer betriebene Standort; in einem Lokal in W._ bestehe seit längerem eine Erwerbsmöglichkeit. Zudem habe der Beschwerdeführer selbst behauptet, in der nahen Vergangenheit zwei Gelegenheiten für ein sofort verfügbares und ihm passendes Ladenlokal gehabt zu haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass "dies nun nicht mehr möglich sein solle", sei eher gering. Der geschiedene Beschwerdeführer müsse keine Unterhaltspflichten erfüllen. Die von ihm angeführte Möglichkeit der Betreuung einer Nichte im Rahmen eines Anstellungsverhältnisses sei grundsätzlich nicht zu berücksichtigen, da therapeutische Motive nicht Zweck des Mietvertrags gewesen seien und die Familie angesichts der stets im Raume stehenden Sanierung der Liegenschaft nicht auf Jahre hinaus auf diese Lösung hätte vertrauen können. Seit der Kündigung habe mehr als ein Jahr zur Verfügung gestanden, um eine Lösung zu finden. Nicht belegt seien schliesslich die behaupteten Investitionen des Beschwerdeführers in den Kiosk von angeblich Fr. 65'000.--, weshalb sich auch insofern keine Härte ergebe.
Für den Fall, dass eine Härte zu bejahen wäre, nahm die Vorinstanz eine eingehende Abwägung der Interessen der Parteien vor. Sie beachtete einerseits die aktuellen wirtschaftlichen Interessen der Beschwerdegegnerin und andererseits die Tatsache, dass die Suche nach einer limitiert umschriebenen Ersatzlokalität für den Beschwerdeführer nur eine von mehreren Möglichkeiten sei. Dabei nahm sie an, dass für den Beschwerdeführer alternativ der Wechsel in die Gastronomie und die Konzentration auf den Standort W._ zur Wahl stünden. Sie gelangte zusammenfassend zum Schluss, dass die Anordnung einer einmaligen, kurzen Erstreckung nicht zu beanstanden sei.
4.4. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die vorinstanzlichen Erwägungen, indem er dem Bundesgericht im Wesentlichen seine Argumentation aus dem kantonalen Verfahren unterbreitet, wobei er teilweise den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt ergänzt und Noven vorträgt. Soweit auf die entsprechenden Ausführungen angesichts ihrer appellatorischen Natur überhaupt eingetreten werden kann (vgl. Erwägung 2), ist dazu folgendes zu bemerken:
4.4.1. Der Beschwerdeführer beanstandet die Beurteilung, wonach für ihn keine Härte bestehe. Er argumentiert, er müsse finanziellen Verpflichtungen nachkommen. Dies sei ihm nur aufgrund der gesicherten Einnahmen aus dem Kiosk möglich. Durch eine Erstreckung hätte er länger Zeit, ein geeignetes Ersatzlokal zu finden, in dem er rentabel einen Kiosk betreiben könnte. Ohne geeignetes Ersatzlokal - so der Beschwerdeführer - wäre er in kürzester Zeit von der Sozialhilfe abhängig.
Diese Behauptungen finden keine Stütze im Sachverhalt des angefochtenen Entscheids. Der Beschwerdeführer reichte erst im Berufungsverfahren und damit verspätet einige Unterlagen zu seiner wirtschaftlichen Situation zu den Akten. Gemäss der Vorinstanz hätten sich die behaupteten wirtschaftlichen Verhältnisse mit diesen Unterlagen ohnehin nicht genügend verifizieren lassen. Dass der Kiosk in V._ gewinnbringend, das Lokal in W._ dagegen nur kostendeckend sei, blieb unbewiesen, ebenso wie sich die These einer fatalen Entwicklung der wirtschaftlichen Verhältnisse bei Aufgabe des Kiosks nicht erhärten liess. An diese tatsächliche Beurteilung ist das Bundesgericht gebunden, und der Beschwerdeführer kann nicht gehört werden, wenn er vor Bundesgericht erneut behauptet, seine wirtschaftliche Situation hänge vom weiteren Betrieb des Kiosks ab, und mit dessen Aufgabe sei seine Existenz gefährdet (vgl. Erwägung 2.3).
Unter Berufung auf <ref-law> macht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht geltend, er habe sich durch den abweisenden Entscheid der Vorinstanz gezwungen gesehen, den Standort in W._ aufzugeben. Er reicht dem Bundesgericht eine Kopie seines Kündigungsschreibens vom 12. Februar 2014 ein. Diese neue Tatsachenbehauptung und das dazu eingereichte neue Beweismittel sind unzulässig. Denn <ref-law> erlaubt es den Parteien nicht, sich auf Tatsachen zu berufen, die erst nach dem angefochtenen Urteil eingetreten sind (<ref-ruling> E. 2.1; Urteil 5A_115/2012 vom 20. April 2012 E. 4.2.2). Aus diesem Vorbringen kann daher von vornherein nichts zur Begründung einer Härte abgeleitet werden.
Es gelingt dem Beschwerdeführer mithin nicht, die Verneinung einer Härte durch die Vorinstanz als bundesrechtswidrig auszuweisen.
4.4.2. Nahm aber die Vorinstanz bundesrechtskonform an, dass die Beendigung der Miete für den Beschwerdeführer keine Härte zur Folge hat, erübrigte es sich grundsätzlich zu prüfen, ob eine solche durch die Interessen der Vermieterin zu rechtfertigen wäre. Jedenfalls kann aber der Vorinstanz kein Ermessensmissbrauch vorgeworfen werden, wenn sie bei ihrer gleichwohl vorgenommenen (hypothetischen) Interessenabwägung die wirtschaftlichen Interessen der Beschwerdegegnerin und insbesondere dasjenige daran, die geplanten Umbauarbeiten ungehindert an die Hand nehmen zu können, erheblich höher gewichtete als das Interesse des Beschwerdeführers an einem längeren Verbleib im Ladenlokal:
So verfügte der Beschwerdeführer bereits über ein anderes Lokal in W._, und es war bei entsprechenden Suchbemühungen durchaus realistisch, ein geeignetes Ersatzlokal zu finden. Die Vorinstanz hat auch berücksichtigt, dass das Mietverhältnis seit 2005 besteht, gleichzeitig aber zutreffend hervorgehoben, dass eine Änderung hin zu einem langjährigen, befristeten Vertrag ausdrücklich abgelehnt worden sei. Eine Sanierung der Liegenschaft sei absehbar gewesen. Der Beschwerdeführer habe von der Totalsanierung der Obergeschosse gewusst und mittelfristig mit einer Sanierung auch des Erdgeschosses rechnen müssen.
Der Beschwerdeführer hält dem wiederum entgegen, er habe aufgrund jener angeblichen Zusicherung darauf vertraut, im Mietobjekt bleiben zu können. Dies hilft ihm auch im vorliegenden Zusammenhang nicht weiter, da er eine solche Zusicherung nicht nachzuweisen vermochte (vgl. Erwägung 3.3).
Er hält sodann dafür, dass es trotz intensiver Suchbemühungen schwierig sei, ein geeignetes Ersatzobjekt zu finden, das die für einen rentablen Betrieb erforderlichen Anforderungen erfülle. Er wiederholt damit seine Vorbringen im kantonalen Verfahren, übergeht dabei aber, dass er gerade keine (erfolglosen) intensiven Suchbemühungen nachzuweisen vermochte.
Schliesslich erheischen die - ohnehin neuen und daher unzulässigen - Vorbringen im Zusammenhang mit der noch ausstehenden Baubewilligung der Beschwerdegegnerin keine abweichende Beurteilung. Die Vorinstanz ging durchaus davon aus, dass die Sanierungsarbeiten im Zeitpunkt der Hauptverhandlung noch nicht bewilligt waren. Gleichwohl konnte sie gewichtige wirtschaftliche Interessen der Beschwerdegegnerin namhaft machen, die gegen einen längeren Verbleib des Beschwerdeführers im Ladenlokal sprachen, so etwa, dass ansonsten die Fläche des Restaurants ungenutzt bliebe oder unattraktive Zwischenlösungen gesucht werden müssten. Der Beschwerdeführer entkräftet diese Erwägungen der Vorinstanz nicht. Die Vorinstanz durfte den Interessen der Beschwerdegegnerin ein überwiegendes Gewicht beimessen.
4.4.3. Der Beschwerdeführer beanstandet, dass ihm nur eine einmalige Erstreckung gewährt worden ist. Er behauptet erneut, trotz intensiver Suchbemühungen keine Ersatzlösung gefunden zu haben. Für das Bundesgericht ist aber nicht diese Behauptung, sondern die vorinstanzliche Feststellung verbindlich, dass er eher geringe Suchbemühungen nachgewiesen habe. Schliesslich wurde keine Härte festgestellt, weshalb es ohnehin bereits an dieser Voraussetzung für einen Anspruch auf Erstreckung mangelte.
4.5. Für das Bundesgericht besteht nach dem Gesagten kein Anlass, in die Ermessensausübung der Vorinstanz einzugreifen.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz