Erwägungen:
1.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt erklärte A._ mit Urteil vom 1. September 2014 der mehrfachen ungetreuen Geschäftsbesorgung (Bereicherungsabsicht), der mehrfachen Urkundenfälschung, des mehrfachen Vergehens gegen das Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer und des mehrfachen Vergehens gegen das Gesetz über die direkten Steuern des Kantons Basel-Stadt für schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von 240 Tagessätzen zu Fr. 660.--, mit bedingtem Strafvollzug und unter Auferlegung einer Probezeit von zwei Jahren. Vom Vorwurf der mehrfachen Erschleichung einer falschen Beurkundung sprach es ihn frei. Dieses Urteil focht A._ mit Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt an. Das Berufungsverfahren ist hängig.
2.
Im Berufungsverfahren machte A._ diverse Eingaben. Mit Schreiben vom 22. Mai 2015 teilte ihm die Präsidentin des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt mit, allfällige weitere Eingaben würden abgelegt und im Zeitpunkt der Instruktion des Prozesses weiterverarbeitet.
Mit Eingabe vom 4. Juni 2015 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht mit den Anträgen, die Verfügung vom 22. Mai 2015 aufzuheben und das Appellationsgericht anzuweisen, seine Korrespondenz zu lesen, insbesondere auf seine Terminplanung für seinen Beruf und seine medizinische Betreuung Rücksicht zu nehmen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
3.
3.1. Soweit das Schreiben der Präsidentin des Appellationsgerichts vom 22. Mai 2015 überhaupt Verfügungscharakter hat, handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der nur anfechtbar ist, falls er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen kann und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart (<ref-law>). Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach <ref-law> erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 4; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer macht hinsichtlich der Beschwerdevoraussetzungen nach <ref-law> keinerlei Ausführungen; das Vorliegen dieser Voraussetzungen ist im Übrigen auch nicht ersichtlich. Auf die Beschwerde gegen die Verfügung vom 22. Mai 2015 ist daher mangels einer hinreichenden Begründung im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
4.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Appellationsgerichtspräsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juli 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Stohner