Faits:
A. A.a X._ a été titulaire de la raison de commerce « A._ » du mois d'octobre 1997 au 14 novembre 2001. Le 24 août 1999, compte tenu des difficultés financières qu'il rencontrait, X._ a sollicité d'être mis au bénéfice d'un sursis concordataire, qui lui a été accordé le 22 novembre 1999 jusqu'au 22 mai 2000, puis jusqu'au 22 novembre 2001, après plusieurs prolongations.
A.b Le 16 juillet 2001, X._, B._, commissaire au sursis, et Y._ SA ont conclu une convention aux termes de laquelle la dernière nommée acquérait, pour le prix de 410'000 fr., l'intégralité des éléments d'actifs matériels et immatériels des magasins « A._ », de même que cette marque. Il était convenu que le transfert de propriété des fonds de commerce serait effectif dès le jour de la reprise, soit à la date de l'homologation du concordat. Il était de même prévu que les baux à loyer concernant les divers magasins seraient transférés à l'acheteur, dès le jour de reprise, à l'entière décharge du vendeur. Le transfert restait toutefois conditionné au consentement écrit de chacun des bailleurs concernés. Le transfert du bail des locaux de ... a été sollicité en date du 23 juillet 2001.
Par contrat du 16 juillet 2001, X._ a été engagé par Y._ SA, en qualité de directeur, aux côtés de C._.
Le 18 octobre 2001, le Président du Tribunal d'arrondissement de La Côte a homologué le concordat-dividende présenté par X._ à ses créanciers. En pratique, Y._ SA a repris l'exploitation des magasins « A._ » dès octobre 2001 et X._ a débuté son activité de directeur au même moment.
A.c X._ s'est trouvé en incapacité totale de travailler du 1er février 2002 au 15 mars 2003. Le 6 août 2002, il a été licencié avec effet immédiat. Les motifs du licenciement ont été contestés par courrier du 1er octobre 2002. X._ a ensuite connu une période de chômage, avant de reprendre une activité dans un restaurant self-service.
A.d Le 4 juillet 2002, le bailleur a informé X._ qu'il résiliait le bail du commerce, sis rue ..., à ..., pour le 31 août suivant. Sur demande du locataire, le bail a été résilié avec effet au 1er août 2002.
A.e Y._ SA et D._ SA ont signé, le 10 septembre 2002, un bail à loyer pour locaux commerciaux portant sur le magasin de .... Ce contrat prenait effet au 1er juin 2002 et prévoyait, par rapport au précédent contrat relatif à ces locaux, une augmentation de la surface louée et du loyer.
B. Le 1er avril 2003, X._ a ouvert action à l'encontre de Y._ SA en vue d'obtenir le paiement de 159'500 fr., avec intérêts à 5% l'an dès le 6 août 2002, sous déduction des indemnités journalières versées par la Compagnie E._.
La défenderesse a conclu au rejet de la demande et, reconventionnellement, au paiement par le demandeur de la somme de 15'963 fr.45, avec intérêts à 5% l'an dès le 25 septembre 2002.
Par jugement du 25 octobre 2006, la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois a considéré qu'aucun juste motif de licenciement immédiat n'était réalisé et que la résiliation du contrat de travail intervenue le 6 août 2002 était contraire à la loi. Elle a alloué au demandeur, sur la base de l'art. 337c al. 1 CO, un montant de 3'469 fr.05, avec intérêts à 5% dès le 31 mars 2003, à titre de manque à gagner pour la période du 1er octobre 2002 au 31 mars 2003, selon les conclusions du demandeur. La juridiction cantonale a en outre octroyé au demandeur une indemnité de 26'743 fr.05 - arrondie à 27'000 fr. -, avec intérêts à 5% dès le 31 mars 2003, fondée sur l'art. 337c al. 3 CO, laquelle indemnité correspond à trois mois de salaire. L'autorité cantonale a également alloué au demandeur une indemnité en réparation du tort moral subi, à concurrence de 8'000 fr., avec intérêts à 5% dès le 31 mars 2003. Toutes autres ou plus amples conclusions ont été rejetées.
Par arrêt du 2 mai 2007, la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours en nullité déposé par Y._ SA pour violation des règles essentielles de procédure, notamment des art. 146ss et 445 al. 1 ch. 2 CPC, 234 CPC et 8 CC. Alors que le grief de violation du droit à la preuve a été déclaré irrecevable, les autres griefs ont été jugés infondés.
C. Y._ SA interjette un recours en réforme au Tribunal fédéral contre le jugement du 25 octobre 2006. Elle se plaint d'une violation des art. 337 et 328 al. 1 CO et 8 CC et conclut à la réforme du jugement, en ce sens que les conclusions de la partie adverse soient rejetées. A titre subsidiaire, elle sollicite le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision.
X._ exerce, quant à lui, un recours en matière civile contre le même jugement. Il conclut principalement à l'annulation du jugement et subsidiairement à sa réforme en ce sens que Y._ SA lui doive paiement des sommes de 15'216 fr., 27'000 fr., 8'000 fr. et 9'000 fr., le tout portant intérêts à 5% l'an dès le 31 mars 2003.
Chaque partie a conclu au rejet des conclusions de la partie adverse.

Considérant en droit:
1. Comme l'acte attaqué a été rendu avant l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2007, de la loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110), la procédure reste régie par l'aOJ (art. 132 al. 1 LTF). Dès lors, le « recours en matière civile » interjeté par le demandeur sera traité comme un recours en réforme.
2. 2.1 Interjetés tant par le demandeur que par la défenderesse, qui ont tous les deux succombé - partiellement pour le demandeur - dans leurs conclusions, et dirigés contre une décision finale rendue en dernière instance cantonale - le recours en nullité étant exclu pour les griefs pouvant faire l'objet d'un recours en réforme au Tribunal fédéral (art. 444 al. 2 CPC/VD) - par un tribunal supérieur (art. 48 al. 1 OJ) sur une contestation civile dont la valeur litigieuse dépasse le seuil de 8'000 fr. (art. 46 OJ), les recours en réforme soumis à l'examen du Tribunal fédéral sont en principe recevables, puisqu'ils ont été déposés en temps utile (art. 54 al. 1 OJ) et dans les formes requises (art. 55 OJ).
2.2 Le recours en réforme est ouvert pour violation du droit fédéral, mais non pour violation directe d'un droit de rang constitutionnel (art. 43 al. 1 OJ) ou pour violation du droit cantonal (art. 55 al. 1 let. c in fine OJ; <ref-ruling> consid. 2c). L'acte de recours doit contenir les motifs à l'appui des conclusions; ils doivent indiquer succinctement quelles sont les règles de droit fédéral violées par la décision attaquée et en quoi consiste cette violation (art. 55 al. 1 let. c OJ).
Saisi d'un recours en réforme, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits contenus dans la décision attaquée, à moins que des dispositions fédérales en matière de preuve n'aient été violées, qu'il faille rectifier des constatations reposant sur une inadvertance manifeste (art. 63 al. 2 OJ) ou compléter les constatations de l'autorité cantonale parce que celle-ci n'a pas tenu compte de faits pertinents, régulièrement allégués et clairement établis (art. 64 OJ). Dans la mesure où une partie recourante présente un état de fait qui s'écarte de celui contenu dans la décision attaquée, sans se prévaloir avec précision de l'une des exceptions qui viennent d'être rappelées, il n'est pas possible d'en tenir compte (<ref-ruling> consid. 2.2, 136 consid. 1.4). Il ne peut être présenté de griefs contre les constatations de fait, ni de faits ou de moyens de preuve nouveaux (art. 55 al. 1 let. c OJ).
2.3 Au surplus, la juridiction de réforme ne peut aller au-delà des conclusions des parties; en revanche, elle n'est liée ni par les motifs développés dans les écritures (art. 63 al. 1 OJ; <ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 3.2.2), ni par l'argumentation juridique suivie par la cour cantonale (art. 63 al. 3 OJ; <ref-ruling> consid. 5, 136 consid. 1.4).
Sur le recours en réforme du demandeur:
3. Le demandeur soutient tout d'abord, en lien avec les prétentions en paiement du salaire, avoir restreint par inadvertance ses conclusions à la période s'étendant du 1er octobre 2002 au 31 mars 2003, puisqu'il entendait obtenir le paiement de l'intégralité du salaire qui lui était dû.
Dans ce grief, le demandeur ne se plaint pas, en dépit de la terminologie utilisée, d'une inadvertance manifeste dans la constatation des faits, mais se borne à discuter l'ampleur de ses prétentions, en indiquant que, lors de l'audience préliminaire, le juge instructeur aurait dû évoquer cette question, conformément aux art. 276ss CPC/VD. Il va sans dire qu'un tel moyen est irrecevable.
Lorsque, dans la deuxième partie de son grief, le demandeur prétend qu'il y a lieu de s'écarter de la présentation des salaires perçus pour les seuls mois d'octobre 2002 à mars 2003, il fonde son raisonnement sur des faits qui n'ont pas été retenus par la cour. Dans la mesure où le demandeur ne prend même pas la peine de se prévaloir de l'une des exceptions lui permettant de s'écarter des constatations cantonales, son argumentation est inadmissible.
Le demandeur revient, enfin, sur les frais liés au mandat confié à G._, en soutenant que le refus de prendre en considération de tels frais relève de l'arbitraire. Ce grief ne saurait valablement être examiné dans le cadre du présent recours. Au demeurant, c'est au terme d'une appréciation souveraine des preuves que les juges cantonaux ont arrêté que la teneur de l'annexe VII du rapport de l'expert F._ n'était pas à même d'apporter la preuve concrète du paiement par le demandeur de 9'000 fr. d'honoraires et qu'il n'était, de surcroît, pas établi que le mandat confié à G._ serait en rapport direct avec le licenciement immédiat du demandeur. Cela étant, l'argument consistant à soutenir, s'agissant du mandat confié à G._, que « le raisonnement des juges comporte une contradiction manifeste » n'a aucune consistance.
Pour le surplus, force est de constater que le demandeur ne dénonce aucune violation du droit fédéral.
Par conséquent, le recours en réforme interjeté par le demandeur ne peut qu'être rejeté pour autant qu'il soit recevable.
Sur le recours en réforme de la défenderesse:
4. La défenderesse fait état d'une violation de l'art. 337 CO. Elle estime que l'employé a gravement violé son obligation de fidélité et d'information, en ayant demandé au bailleur d'anticiper la résiliation du bail portant sur les locaux commerciaux de la rue ..., sans en référer à son employeur. Un tel comportement justifie, à son sens, un licenciement immédiat.
4.1 La cour cantonale a, tout d'abord, considéré que l'employeur ne pouvait se prévaloir, pour justifier le licenciement immédiat de son employé, de la non-ouverture d'une action en justice intentée au propriétaire pour le contraindre à accepter le transfert de bail. S'agissant ensuite de la résiliation anticipée d'un mois du contrat passé entre le bailleur et l'employé, les juges ont relevé que cette résiliation n'a pas fondamentalement modifié la situation de l'employeur et que, dans ces conditions, celui-ci ne pouvait prétendre avoir été ébranlé par le comportement du demandeur d'une telle façon qu'on ne pouvait lui imposer de poursuivre la collaboration avec l'employé. Dans ces circonstances, il a été arrêté que le licenciement immédiat du demandeur n'était pas justifié. La juridiction cantonale a en outre indiqué que ni le défaut d'ouverture d'action ni la résiliation anticipée du bail ne constituaient la cause principale de la rupture du lien de confiance entre travailleur et employeur, ce lien s'étant détérioré peu à peu, dès la fin de l'année 2001. Les magistrats ont ainsi retenu que la demande de résiliation anticipée a donné l'occasion, à la défenderesse, de mettre un terme à une collaboration jugée décevante, en raison d'une accumulation de faits survenus depuis octobre 2001. Ils ont enfin rappelé qu'une telle accumulation n'est pas suffisante pour justifier un licenciement immédiat.
4.2 Il est de jurisprudence que les faits invoqués à l'appui d'un renvoi immédiat doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave du travailleur justifie son licenciement immédiat; si le manquement est moins grave, il ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement (<ref-ruling> consid. 4.1, 213 consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2.1).
Le juge apprécie librement s'il existe de justes motifs (art. 337 al. 3 CO). Il applique les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC). A cet effet, il prendra en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position et la responsabilité du travailleur, le type et la durée des rapports contractuels, ainsi que la nature et l'importance des manquements (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 6a). Le Tribunal fédéral revoit avec réserve la décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou à l'inverse, lorsqu'elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 4.1, 213 consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1a, 351 consid. 4a).
4.3 Contrairement à ce que soutient la défenderesse, la cour cantonale n'a pas subordonné la « recevabilité » du licenciement immédiat à l'existence d'un dommage subi par l'employeur. Lorsque, dans son analyse, la cour relève que les intérêts économiques de l'employeur n'ont pas été gravement mis en péril, elle examine l'existence de justes motifs dans le cas particulier sous l'angle de l'importance du manquement constaté et non pas, comme insinué à tort par la défenderesse, sous l'angle du dommage subi en tant qu'hypothétique condition d'application de l'art. 337 CO. En cela, la critique de la défenderesse est infondée. Ce résultat s'impose d'autant plus que la cour cantonale a retenu que le comportement du demandeur n'a pas à ce point ébranlé la défenderesse qu'on ne pouvait lui imposer de poursuivre leur collaboration. De surcroît, la défenderesse ne critique pas la considération de la cour selon laquelle la résiliation anticipée du contrat ne constitue pas la cause principale de la rupture du lien de confiance, qui s'est détérioré peu à peu dès la fin de l'année 2001. Il convient enfin de relever que, lorsque la défenderesse affirme qu'il est contestable de considérer que l'employeur n'a subi aucun dommage en raison des agissements de l'employé, elle s'écarte des faits souverainement retenus, ce qui est inadmissible.
En tout état de cause, les divers critères examinés par l'autorité cantonale ne sont pas sujets à critique. Il n'apparaît en particulier pas que les magistrats auraient omis de tenir compte d'éléments importants ressortant du dossier ou auraient, au contraire, pris en considération des éléments dénués de pertinence. Enfin, leur argumentation n'aboutit pas à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante. Dans ces circonstances, l'instance cantonale n'a pas abusé de son large pouvoir d'appréciation en jugeant que le congé immédiat n'était pas justifié.
Le grief se révèle donc infondé, pour autant qu'il soit recevable.
5. La défenderesse reproche également à l'autorité cantonale d'avoir violé l'art. 328 CO, en ayant alloué au demandeur une indemnité à titre de réparation du tort moral subi.
5.1 L'autorité cantonale a retenu que le demandeur a fait l'objet de mobbing, non pas durant la période où il a effectivement travaillé au sein de la société, d'octobre 2001 à janvier 2002, mais à partir du moment où il s'est trouvé en incapacité de travail. Pour arriver à cette conclusion, les juges se sont fondés sur l'expertise du Dr H._, qui a notamment mis en avant la multiplication des démarches que l'employé a dû entreprendre pour faire reconnaître ses droits face à l'attitude hostile de l'employeur, qui, dès février 2002, avait pris la décision de licencier le demandeur. Pour justifier l'existence d'un harcèlement administratif, l'autorité cantonale a encore mis en exergue les nombreux courriers et appels téléphoniques concernant le transfert du bail du magasin de .... Sur ce point, l'instance cantonale a indiqué que la défenderesse ne s'est pas contentée de solliciter son employé, mais qu'elle a même cherché à rejeter sur celui-ci la responsabilité de l'échec de la procédure de transfert du bail.
5.2 A l'appui de son argumentation, la défenderesse soutient que la cour cantonale a admis que la dépression de l'employé survenue en février 2002 n'était pas due à l'employeur. Une telle affirmation est imprécise, puisqu'il a été retenu que le harcèlement subi par l'employé a contribué à aggraver son état de santé. Par ailleurs, quoi qu'en dise la défenderesse, l'autorité cantonale n'a pas omis de prendre en considération, dans sa pesée d'intérêt, le fait que l'employé était déjà fragilisé lorsqu'il a pris ses fonctions, puisque la cour a tenu compte, lors de la fixation du montant de l'indemnité, du fait que la défenderesse n'était pas entièrement responsable de la dégradation de l'état de santé de son employé.
La défenderesse soutient ensuite qu'elle n'a pas pu commettre des actes de mobbing sur un employé qui ne travaillait plus et avec lequel elle n'avait que des contacts très occasionnels. Elle prétend encore que son employé ne pouvait être exclu du monde du travail, car il n'y était plus en raison de sa maladie.
Dans sa démonstration, la défenderesse ne remet pas en cause les critères sur lesquels la cour a pris appui pour justifier l'existence d'une stratégie de mobbing. Elle ne revient en particulier pas sur la considération de la cour selon laquelle la multiplication des démarches que l'employé a dû entreprendre pour faire reconnaître ses droits et obtenir ses salaires, puis les indemnités journalières versées par l'assurance, ne pouvait que le pousser à l'erreur et l'exposer à provoquer lui-même son licenciement. La défenderesse passe également sous silence le fait que les diverses difficultés auxquelles le demandeur a été confronté sont survenues dès le moment où l'employeur avait pris la décision de le licencier. Il est en outre sans pertinence que l'employé était ou non en arrêt maladie, dès lors que la défenderesse ne conteste pas que le devoir de protection de la personnalité du travailleur, selon l'art. 328 al. 1 CO, prend en principe fin au moment de la cessation du rapport contractuel et que, durant la période considérée, les deux parties étaient encore contractuellement liées. L'expert - dont les considérations ont été entièrement reprises par la cour cantonale - a du reste clairement indiqué, au terme de son analyse, que la stratégie de mobbing avait atteint son but, à savoir exclure la victime du monde du travail - ce indépendamment de son arrêt maladie.
S'agissant des nombreux courriers et appels téléphoniques concernant le transfert du bail du magasin de ..., la défenderesse se contente d'affirmer qu'elle ne pouvait légitimement pas attendre la fin de l'incapacité de travail de l'employé pour effectuer les démarches nécessaires au transfert du bail. Il va sans dire qu'une telle argumentation, qui ne cherche même pas à établir que le contenu et la fréquence des courriers étaient impropres à constituer des actes de harcèlement, est insuffisante à démontrer une violation par la cour cantonale du droit fédéral.
6. La défenderesse se plaint enfin d'une violation de l'art. 8 CC. Elle considère que le refus de faire administrer une seconde expertise constitue une violation de son droit à la preuve consacré par la disposition de droit fédéral invoquée.
L'autorité cantonale a rejeté la requête de seconde expertise au motif que les critères justifiant son administration n'étaient, en l'espèce, pas réalisés. Il s'agit là manifestement d'une question de droit de procédure cantonal, ce qui n'a pas échappé à la défenderesse qui s'est expressément référée, dans son recours, aux art. 237 et 239 CPC/VD. Cette question a du reste été traitée dans le cadre du recours en nullité déposé devant la Chambre des recours, qui a jugé que le rejet de la requête tendant à une seconde expertise était justifié. Dans la mesure où cette question ne saurait être examinée, à nouveau, dans le cadre du présent recours en réforme, le moyen est irrecevable. En tout état de cause, la règle du droit à la preuve telle que découlant de l'art. 8 CC n'a pas été violée, puisque la défenderesse a pu faire administrer la preuve par expertise conformément à ses offres de preuves.
Le grief tombe donc manifestement à faux.
7. Il résulte des considérations qui précèdent que les deux recours doivent être rejetés dans la mesure de leur recevabilité.
8. La valeur litigieuse dépassant 30'000 fr., la procédure n'est pas gratuite (art. 343 al. 2 CO). Compte tenu de l'issue du litige, les frais sont répartis à raison d'une moitié à charge de chacune des parties. Quant aux dépens, ils sont compensés (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les recours sont rejetés dans la mesure où ils sont recevables.
2. Un émolument judiciaire de 4'000 fr. est mis par moitié à la charge de chacune des parties.
3. Les dépens sont compensés.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 22 janvier 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Corboz Crittin