Sachverhalt:
A. Der 1977 geborene B._ war in den Jahren 2005 und 2006 bei der Mutuel Assurances (nachfolgend: Mutuel) obligatorisch krankenpflegeversichert. Am 27. Mai 2005 reiste er zu seiner Familie in sein Heimatland X._. Dort wurde am 2. Juni 2005 eine Niereninsuffizienz diagnostiziert. Der Versicherte wurde umgehend alle zwei bis drei Tage der Dialyse unterzogen, letztmals am 3. September 2005. Über seinen Vertreter, ersuchte er am 2. September 2005 die Mutuel um Übernahme der Kosten einer in X._ bevorstehenden Nierentransplantation, wobei er ausführte, eine Rückkehr nach Y._ wäre für ihn in seinem Zustand zu anstrengend. Noch während der laufenden Abklärungen durch die Mutuel erfolgte in der Klinik A._ am 4. September 2005 die Nierentransplantation. Im Auftrag der Mutuel vom 19. Januar 2006 sowie gestützt auf eine weitere Nachfrage tätigte die Mondial Assistance, Wiesbaden (D), Abklärungen in X._, namentlich betreffend die Klinik A._, den operierenden Arzt und die Spitalrechnung. Aufgrund einer Vollmacht des Versicherten zur Einholung von weiteren Informationen zog die Mutuel am 24. November 2006 ergänzende Erkundigungen ein, die gemäss Mondial Assistance ergebnislos verliefen, weil weder die Klinik noch der befasste Arzt Auskünfte erteilten.
Mit Verfügung vom 25. April 2007 verneinte die Mutuel die Übernahme der in der Zeit vom 19. August 2005 bis am 19. März 2006 stattgefundenen Behandlungen und der Operation. Die Einsprache des Versicherten wies sie nach dem Einholen von Berichten ihrer Vertrauensärzte mit Entscheid vom 27. September 2007 ab.
B. Die von B._ dagegen erhobene Beschwerde mit den Begehren um Zusprache der im Zusammenhang mit der Nierentransplantation entstandenen Heilungskosten im Betrag von Fr. 63'370.85, nebst Zins zu 5 %, wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 27. November 2009 ab.
C. B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen sei die Verfügung vom 25. April 2007 aufzuheben und es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, die im Zusammenhang mit der Nierentransplantation vom 3. (recte: 4.) September 2005 entstandenen Heilungskosten nebst 5 % Zins im Gesamtbetrag von Fr. 63'370.85 zu übernehmen. Eventualiter sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die Sache zu ergänzenden Abklärungen an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen.
Die Mutuel schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichten.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>). Dabei ist insbesondere zu beachten, dass das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen anwendet (<ref-law>) und dass es in der rechtlichen Begründung auch von der Vorinstanz abweichen kann (Seiler/von Werdt/Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, N. 5 zu <ref-law> und N. 4 ff. zu <ref-law>).
2. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen über die Übernahme der Kosten von im Ausland erbrachten Leistungen aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (Art. 34 Abs. 1 und 2 KVG; <ref-law>) zutreffend dargelegt. Darauf kann verwiesen werden. Richtig ist insbesondere, dass eine Ausnahme vom Territorialprinzip gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> den Nachweis voraussetzt, dass ein Notfall vorliegt (<ref-law>) oder die - vom allgemeinen Leistungskatalog gemäss <ref-law> erfasste - medizinische Behandlung in der Schweiz nicht erbracht werden kann (<ref-law>).
3. Unbestritten ist, dass der Beschwerdeführer der Behandlung bedurfte und sich nicht zum Zweck der Behandlung ins Ausland begab. Streitig ist einzig, ob die Rückreise in die Schweiz "nicht angemessen" i.S.v. <ref-law> war. Die Angemessenheit der Rückreise beurteilt sich nach den gesamten Umständen des einzelnen Falles (Urteil K 7/02 vom 23. August 2002 E. 4). Dazu gehören die medizinische Zumutbarkeit der Rückreise, die Kosten der Rückreise im Verhältnis zu den Behandlungskosten, aber auch die Prüfung, ob die Behandlung in der Schweiz möglich gewesen wäre oder ob die Rückkehr eine Verzögerung der Behandlung und dadurch eine Verschlechterung des Gesundheitszustands nach sich gezogen hätte (Urteil K 69/04 vom 8. April 2005 E. 2).
4. Die Vorinstanz hat erwogen, es sei nicht medizinisch nachgewiesen, dass der Beschwerdeführer nicht reisefähig gewesen wäre.
4.1 Die Feststellung der Vorinstanz, die Aussagen des Vertrauensarztes Dr. med. C._ und von Prof. Dr. med. D._ in einem Bericht vom 23. Mai 2008, wonach eine Rückkehr unmöglich oder nicht zu empfehlen sei, beruhten nicht auf konkreten Untersuchungen des Beschwerdeführers, ist nicht offensichtlich unrichtig. Dass dem Vertrauensarzt Dr. med. C._ die Akten zur Verfügung standen, ändert daran nichts, da diese keinen konkreten Aufschluss über die Reisefähigkeit geben. Dabei gehen die Hinweise des Beschwerdeführers auf die Beweiskraft der RAD-Berichte an der Sache vorbei. In der Tat sind die hier vorliegenden unbegründeten Zeugnisse des Vertrauensarztes nicht mit einem detaillierten RAD-Untersuchungsbericht vergleichbar. Zudem wird die Annahme der Vorinstanz, der Transport wäre möglich gewesen, nicht nur durch allgemeine Aussagen gestützt, sondern auch durch den am 28. Januar 2008 erstellten Bericht von Dr. med. E._. Wohl ist im Lichte der Aussage von Prof. Dr. med. D._ davon auszugehen, dass ein Transport eher nicht zu empfehlen war; aber eine wirkliche Transportunfähigkeit ergibt sich daraus nicht.
4.2 Die Erwägungen der Vorinstanz zur Beweislast sind zutreffend. Hat der Versicherte zu vertreten, dass ein rechtserheblicher Umstand nicht bewiesen werden kann, so trägt er aufgrund seiner materiellen Beweislast die Folgen der Beweislosigkeit (Urteil K 62/05 vom 3. Oktober 2005 E. 4). Wohl hat der Versicherer nach <ref-law> eine Abklärungspflicht. Es trifft auch zu, dass die Abklärungen der Beschwerdegegnerin nicht primär die Transportfähigkeit betrafen. Aber die Abklärungspflicht des Versicherers bzw. der Untersuchungsgrundsatz hebt die Mitwirkungspflicht des Versicherten nicht auf, insbesondere in Bezug auf Tatsachen, welche nur dieser kennen kann (Urteil 9C_724/2009 vom 16. November 2009 E. 3.2.3.2). Es wäre somit primär Sache des Beschwerdeführers gewesen, ein medizinisches Zeugnis beizubringen, welches seine Transportunfähigkeit belegt. Im Nachhinein aufgrund der Akten eine solche Abklärung noch durch-zuführen, erscheint aussichtslos.
4.3 Das Argument, die Beschwerdegegnerin habe sich vorerst nur wegen der Kosten erkundigt (act. 2 S. 10 unten/11 oben), ändert nichts, und kann insbesondere auch keine Vertrauensgrundlage hinsichtlich der Kostenübernahme für die Operation darstellen, da diese bereits zu einem Zeitpunkt durchgeführt wurde, bevor die Anfrage vom 2. September 2005 überhaupt bei der Beschwerdegegnerin eintraf.
4.4 Es ist auch nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz die Aussage des Beschwerdeführers mitberücksichtigt hat, massgebend sei gewesen, dass er in X._ weniger lang auf eine Spenderniere habe warten müssen und dort Unterstützung durch seine Familie und diejenige des Nierenspenders gehabt habe.
4.5 Insgesamt ist es jedenfalls nicht offensichtlich unrichtig (E. 1), wenn die Vorinstanz davon ausgeht, die Transportunfähigkeit sei nicht erstellt.
5. Die Angemessenheit der Rückkehr beurteilt sich nicht allein nach der Transportfähigkeit, sondern auch nach anderen Kriterien (E.3), die hier aber ebenfalls nicht erfüllt sind.
5.1 Argumente bezüglich der Kosten der Rückreise im Verhältnis zu den Behandlungskosten werden nicht geltend gemacht und wären unbegründet, hat der Beschwerdeführer doch in der vorinstanzlichen Beschwerde selber angegeben, er sei mit einem Rückflugticket nach X._ gereist und habe beabsichtigt, in zwei Monaten zurückzukommen.
5.2 Ein weiteres Kriterium ist, ob die Rückkehr in die Schweiz einen Aufschub der Behandlung mit für den Beschwerdeführer gesundheitlich nachteiligen Folgen verursacht hätte (vgl. Urteil K 69/04 vom 8. April 2005 E. 2.3). Es ist unbestritten, dass die Transplantation auch in der Schweiz möglich gewesen wäre, aber mit längerer Wartezeit, wobei die Vorinstanz von einer durchschnittlichen Wartezeit von zwei Jahren ausgeht. Während dieser Zeit hätte der Beschwerdeführer dialysiert werden müssen, was sicher ein Nachteil gewesen wäre, der sich durch die vorgezogene Operation in X._ vermeiden liess. Indessen bringt der Beschwerdeführer nicht substantiiert vor, der Aufschub der Operation hätte zu einer unzumutbaren Verschlechterung seines gesundheitlichen Zustands geführt. Zudem überzeugt das Argument der Vorinstanz, jeder andere Nierenpatient in der Schweiz hätte ebenfalls eine ebensolche Wartezeit zu erdulden. Die Bestimmungen über die Auslandsbehandlung bezwecken, dass die Grundversicherung im Notfall im Ausland die gleichen Behandlungen übernimmt, die sie in der Schweiz übernehmen müsste. Sie sollen aber nicht dazu führen, dass Patienten dank der Auslandsbehandlung besser gestellt werden als sie bei einer Behandlung im Inland gestellt werden könnten. Das dient auch abstrakt der Vorbeugung von Missbräuchen, auch ohne dass im konkreten Fall dem Beschwerdeführer eine Missbrauchsabsicht unterstellt würde. Die subjektiv gut nachvollziehbaren Gründe, weshalb der Beschwerdeführer die Transplantation in X._ bevorzugte (familiäre Gründe und kürzere Wartezeit), können deshalb nicht ausschlaggebend sein.
6. Als Eventualantrag stellt der Beschwerdeführer das Begehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei an die Beschwerdegegnerin zur Feststellung zurückzuweisen, welche ärztlichen Verrichtungen auch ohne Transplantation notwendig gewesen wären und welche der Beschwerdegegnerin vorgelegten Rechnungen auf diese Verrichtungen zurückzuführen sind (act. 2 Ziff. 21).
6.1 Dieser Eventualantrag wurde vor der Vorinstanz nicht gestellt, fällt aber nicht unter das Novenverbot (<ref-law>), da es ein Minus ist gegenüber dem Hauptbegehren, was im Rahmen des Streitgegenstands zulässig ist. Streitgegenstand war die ganze verweigerte Behandlung ab 19. August 2005. Die Vorinstanz hat nicht ausdrücklich zwischen den einzelnen Rechnungen differenziert, ging aber offenbar stillschweigend davon aus, dass die Rückkehr bereits ab Datum der verweigerten Bezahlungen (d.h. ab 19. August) zumutbar gewesen wäre.
6.2 Diese Schlussfolgerung mag zwar zutreffen, ist aber aus einem rechtlichen Grund nicht rechtserheblich. Hinzuweisen ist auf die Aufklärungspflicht gemäss Art. 27 Abs. 1 und 2 ATSG, insbesondere in Bezug auf Auslandsbehandlungen (Urteil 9C_97/2009 vom 14. Oktober 2009 E. 3). Die Vorinstanz hat die Sache nicht unter diesem Aspekt beurteilt und auch keine entsprechenden Sachverhaltsfeststellungen gemacht. Diese kann aber das Bundesgericht selber aufgrund der Akten treffen (<ref-law>).
6.3 Aus den Akten ergibt sich, dass die Beschwerdegegnerin zunächst die Dialysebehandlung vorbehaltlos bezahlte, ohne den Versicherten darauf hinzuweisen, dass Auslandsbehandlungen nur bedingt übernommen werden. Der Sozialberater des Beschwerdeführers hat sich mit Schreiben vom 2. September 2005 nach der Übernahme der Kosten erkundigt. Gemäss Schreiben der Beschwerdegegnerin vom 21. September 2005 hat diese einen Voranschlag erbeten, um über eine eventuelle Kostenübernahme dieser Intervention ("de cette intervention") entscheiden zu können. Das bezog sich offensichtlich nur auf die Kosten der Transplantation als solcher. Die Beschwerdegegnerin hat auch dort nicht in Aussicht gestellt, dass sie die Kosten der Dialyse, die sie bis 19. August anstandslos bezahlt hatte, nicht mehr übernehmen werde. Hätte sie beabsichtigt, diese Kostenübernahme einzustellen, so hätte sie den Beschwerdeführer bzw. seinen Berater darauf aufmerksam machen müssen. Korrekterweise hätte sie also den Beschwerdeführer auffordern müssen, innert nützlicher Frist in die Schweiz zurückzukehren, andernfalls sie innert einer gewissen Zeit die weitere Kostenübernahme ablehnen werde. Weil sie das nicht getan hat, hat sie die Kosten zu übernehmen, die durch die Verletzung der Aufklärungspflicht entstanden sind.
6.4 Insoweit ist der Eventualantrag grundsätzlich begründet. Das bezieht sich aber nur auf die Kosten der weitergehenden Dialyse, nicht auf die Kosten der Transplantation selber, zumal dem Sozialberater des Beschwerdeführers aufgrund des Schreibens vom 2. September 2005 offenbar bekannt war, dass Auslandsoperationen nur bedingt übernommen werden und die Beschwerdegegnerin selber nur eine eventuelle Übernahme ("éventuelle prise en charge") angekündigt hatte. Nachdem der Beschwerdeführer selber sich vor Vorliegen einer Antwort der Beschwerdegegnerin am 4. September 2005 der Transplantation unterzogen hat, obwohl ihm bzw. mindestens seinem Berater offenbar bewusst war, dass die Kosten nicht unbedingt übernommen werden, kann auch nicht mehr festgestellt werden, welches die Kosten sind, die bei allseits korrektem Vorgehen angefallen wären. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich, ex aequo et bono einen Pauschalbetrag festzusetzen, der sich mit Fr. 7'000.- an die Grössenordnung der bis August 2005 bezahlten Dialysen anlehnt.
7. Die Gerichtskosten werden im Ausmass des teilweisen Unterliegens des Beschwerdeführers und der Beschwerdegegnerin auferlegt (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat dem Beschwerdeführer in diesem Umfang eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. In Abänderung des Entscheids des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 27. November 2009 und des Einspracheentscheids der Groupe Mutuel Assurances GMA SA vom 27. September 2007 wird die Beschwerdegegnerin verpflichtet, dem Beschwerdeführer im Zusammenhang mit seinem Nierenleiden im Jahre 2005 zusätzliche Behandlungskosten im Betrag von Fr. 7'000.- zuzüglich Zins zu 5 % ab 21. November 2007 zu ersetzen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Von den Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer Fr. 400.- und der Beschwerdegegnerin Fr. 100.- auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Mai 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Scartazzini