Fatti:
A.
A.a. Nell'ambito di una procedura di misure a protezione dell'unione coniugale, il 20 marzo 2013 A._ e B._ hanno concluso una transazione giudiziale in cui, tra l'altro, hanno deciso che i figli C._ e D._ sarebbero stati affidati alla madre e regolamentato il diritto di visita paterno (ogni settimana alternativamente il sabato o la domenica dalle ore 9 alle 20, così pure tutti i mercoledì dalle ore 15 alle 20). Il Pretore aggiunto di Bellinzona ha omologato l'accordo e ha stralciato la causa dal ruolo.
A.b. Con istanza 5 luglio 2013 A._ ha chiesto la modifica della disciplina del diritto di visita paterno affinché gli incontri avvenissero in modo sorvegliato. Al contraddittorio del 22 agosto 2013 i coniugi si sono accordati nel senso che il diritto di visita sarebbe stato esercitato senza sorveglianza una mezza giornata alla settimana, di regola il sabato pomeriggio dalle ore 14 alle 18. Il 10 settembre 2013 A._ ha presentato un'istanza cautelare, rimproverando al marito di non rispettare gli orari delle visite e di recarsi al bar durante gli incontri con i figli per bere birra e chiedendo nuovamente che le relazioni personali fosseroesercitate in modo sorvegliato " presso il Punto di incontro, alla presenza di personale specializzato ". Dopo il contraddittorio avvenuto il 10 ottobre 2013, con decisione cautelare 24 ottobre 2013 il Pretore aggiunto ha "ripristinato" un diritto di visita libero, da esercitarsi una mezza giornata alla settimana, di regola il sabato pomeriggio dalle ore 14 alle 18 (dispositivo n. 1).
B.
Con sentenza 15 novembre 2013 la I Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto l'appello presentato da A._ avverso la decisione cautelare pretorile (dispositivo n. 1), nonché la sua richiesta di gratuito patrocinio (dispositivo n. 3).
C.
Con ricorso in materia civile 22 novembre 2013 A._ ha adito il Tribunale federale, postulando in via cautelare (e supercautelare) di istituire un diritto di visita sorvegliato e nel merito di annullare il dispositivo n. 1 della decisione 24 ottobre 2013 del Pretore aggiunto ed i dispositivi n. 1 e 3 della sentenza 15 novembre 2013 del Tribunale d'appello. La ricorrente ha pure chiesto la concessione del gratuito patrocinio per la sede federale.
Con decreto 25 novembre 2013 la richiesta di misure cautelari è stata respinta. Non sono state chieste osservazioni al ricorso.

Diritto:
1.
1.1. Nella misura in cui il ricorso in materia civile è rivolto contro la decisione 24 ottobre 2013 del Pretore aggiunto, esso si appalesa di primo acchito inammissibile poiché in concreto può unicamente essere impugnata la sentenza dell'ultima istanza cantonale (v. <ref-law>).
1.2. La sentenza 15 novembre 2013 del Tribunale d'appello conferma il diniego di istituire in via provvisionale una sorveglianza del diritto di visita paterno. Tale decisione, di natura cautelare, si inserisce in una procedura principale di modifica di misure a protezione dell'unione coniugale. Essa non è perciò finale, ma incidentale (v. <ref-ruling> consid. 1.2 con rinvio; <ref-ruling> consid. 1.1), come ammesso dalla stessa ricorrente. Un ricorso contro decisioni pregiudiziali e incidentali, notificate separatamente dal merito e che non concernono la competenza e la ricusazione, è ammissibile se possono causare un pregiudizio irreparabile (<ref-law>; la variante dell'<ref-law> non è applicabile in concreto, v. sentenza 4A_36/2012 del 26 giugno 2012 consid. 1.1). È irreparabile unicamente quel pregiudizio che nemmeno una decisione favorevole nel merito riesce a cancellare completamente. Tale pregiudizio deve inoltre essere di natura giuridica; un inconveniente semplicemente di fatto o economico come l'estensione della durata della procedura o dei suoi costi, è insufficiente (<ref-ruling> consid. 6 con rinvii; <ref-ruling> consid. 1.2.1 con rinvii; <ref-ruling> consid. 1.1). Incombe al ricorrente l'onere di allegare e dimostrare che la decisione incidentale sia suscettibile di causargli un danno irreparabile, a meno che tale eventualità appaia evidente di primo acchito (DTF <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 2.3.1). Nella presente fattispecie la ricorrente non spende una parola in proposito. Appare tuttavia evidente che il diniego di istituire una sorveglianza del diritto di visita paterno potrebbe causare un pregiudizio irreparabile nel senso dell'<ref-law>.
La via d'impugnazione di decisioni incidentali segue essenzialmente quella della vertenza di fondo (<ref-ruling> consid. 1.4). Nel caso concreto il merito della controversia concerne una procedura di modifica di misure a protezione dell'unione coniugale, quindi una causa civile di natura non pecuniaria (atteso che verte unicamente sulla disciplina delle relazioni personali), contro la quale è aperta la via del ricorso in materia civile (<ref-law>). Il tempestivo (<ref-law>) rimedio è stato interposto dalla parte soccombente dinanzi all'autorità inferiore (<ref-law>) contro una decisione emanata dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>).
Il ricorso in materia civile ha carattere riformatorio (<ref-law>). Ne segue che in linea di principio il ricorrente deve formulare una conclusione sul merito della vertenza e non può limitarsi a chiedere l'annullamento della decisione impugnata; le conclusioni devono comunque essere interpretate alla luce della motivazione del gravame (<ref-ruling> consid. 1.3 con rinvii; sentenza 4A_688/2011 del 17 aprile 2012 consid. 2 con rinvii, non pubblicato in <ref-ruling>). Nella fattispecie concreta la ricorrente si limita a postulare l'annullamento dei dispositivi n. 1 e 3 della sentenza d'appello. Dalla motivazione del rimedio emerge tuttavia in modo chiaro che ella chiede la riforma di tale sentenza nel senso di accogliere sia il suo appello (e di istituire perciò in via provvisionale una sorveglianza delle relazioni personali tra padre e figli) sia la sua istanza di gratuito patrocinio.
Nella misura in cui è rivolto contro la sentenza d'appello e nell'ottica dei criteri esaminati, il ricorso in materia civile appare quindi in linea di principio ammissibile.
1.3. Contro le decisioni in materia di misure cautelari il ricorrente può unicamente prevalersi della violazione di diritti costituzionali (<ref-law>). Secondo l'<ref-law> il Tribunale federale esamina la violazione di questi diritti soltanto se tale censura è stata sollevata e motivata. Ciò significa che il ricorrente deve indicare in modo chiaro e dettagliato con riferimento ai motivi della decisione impugnata in che modo sarebbero stati violati i suoi diritti costituzionali (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 6).
Il Tribunale federale fonda inoltre la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (<ref-law>) e nell'ambito dei ricorsi sottoposti alle limitazioni dell'<ref-law>, il ricorrente può unicamente ottenere la rettifica o il complemento degli accertamenti di fatto se dimostra una violazione dei suoi diritti costituzionali da parte dell'autorità cantonale. Gli art. 95, 97 e 105 cpv. 2 LTF non si applicano dunque direttamente, poiché non sono dei diritti costituzionali (DTF <ref-ruling> consid. 7.1; <ref-ruling> consid. 4.1). Tuttavia l'applicazione dell'<ref-law> porta praticamente al medesimo risultato: il Tribunale federale corregge gli accertamenti di fatto unicamente se sono arbitrari e hanno un'influenza sull'esito della causa (sentenza 5A_845/2012 del 2 ottobre 2013 consid. 1.2.1).
Per giurisprudenza invalsa l'arbitrio è ravvisabile solo quando la decisione impugnata risulti manifestamente insostenibile, in contraddizione palese con la situazione effettiva, gravemente lesiva di una norma o di un chiaro e indiscusso principio giuridico o in contrasto intollerabile con il sentimento di giustizia e di equità. La decisione dev'essere inoltre arbitraria anche nel suo risultato e non solo nella sua motivazione. Non si è inoltre in presenza d'arbitrio per il semplice fatto che anche un'altra soluzione potrebbe entrare in linea di conto o sarebbe addirittura preferibile (<ref-ruling> consid. 2.4 con rinvii). Il ricorrente che lamenta una violazione del divieto dell'arbitrio non può limitarsi a criticare la decisione impugnata come in una procedura d'appello, dove l'autorità di ricorso gode di cognizione libera, opponendo semplicemente la propria opinione a quella dell'autorità cantonale (<ref-ruling> consid. 3).
1.4. Non possono essere addotti nuovi fatti o nuovi mezzi di prova, a meno che ne dia motivo la decisione impugnata, ciò che la parte ricorrente deve debitamente esporre nel proprio gravame (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1). Al gravame sono allegate due lettere, prodotte per la prima volta dinanzi al Tribunale federale. La loro produzione in questa sede è inammissibile, poiché essa non si è giustificata solo a seguito dell'emanazione della sentenza d'appello, né la ricorrente pretende il contrario.
2.
2.1. Nella sua sentenza 15 novembre 2013 il Tribunale d'appello ha precisato che un intervento cautelare sulla disciplina del diritto di visita deve apparire impellente e non incidere più di quanto occorra per proteggere il bene oggettivo dei figli. Il fatto che in concreto il padre abbia consumato birra durante un incontro con i figli non è banale, dati i suoi pesanti trascorsi di etilismo. Nei due mesi precedenti quell'episodio il padre ha tuttavia consumato alcolici con moderazione, come confermato dal suo medico curante al Pretore aggiunto sulla base degli esami da lui condotti. Non risulta inoltre, né la madre pretende, che tale singola mancanza abbia avuto ripercussioni sui figli. Secondo la Corte cantonale l'istituzione di una sorveglianza del diritto di visita non appare quindi né urgente né proporzionale. Essa ha tuttavia ammonito il padre " nel senso che per il suo stato di salute gli è vietato bere alcolici quando incontra i figli e che, dovesse trasgredire la consegna, potrà vedersi limitare o condizionare le sue relazioni personali con i bambini ".
2.2. La ricorrente lamenta un accertamento dei fatti incompleto, nonché un'errata applicazione dell'<ref-law>. Afferma che la Corte cantonale nel suo giudizio avrebbe omesso di accertare che la grave alcolemia del padre ha giustificato nel maggio 2013 un suo ricovero coatto, che egli non ha preso seri provvedimenti per guarire da detta alcolemia malgrado si fosse impegnato in tal senso, e che il suo stato di salute rappresenta una minaccia per il bene di due bambini in tenera età che non avrebbero "alcuna abitudine a trascorrere del tempo con il papà". A dire della ricorrente, tali elementi giustificherebbero l'adozione in via cautelare di un diritto di visita sorvegliato, un semplice ammonimento risultando invece insufficiente.
Dalla lettura della sentenza d'appello risulta in modo chiaro che la Corte cantonale non ha omesso di accertare le predette circostanze, ma ha valutato che, per la sua decisione, altri fatti rivestissero un'importanza preponderante (v. supra consid. 2.1). Laddove pretende che il Tribunale di appello avrebbe dimenticato di tenere conto di alcune circostanze, la ricorrente non critica quindi l'accertamento dei fatti (e nella limitata misura in cui le sue censure sono effettivamente volte contro l'accertamento dei fatti, esse hanno carattere appellatorio, disattendono le rigorose esigenze di motivazione di cui all'<ref-law> e sono pertanto inammissibili; supra consid. 1.3), ma sconfina nel loro apprezzamento giuridico, che pertiene al diritto.
In diritto la ricorrente si limita però a dolersi della violazione dell'<ref-law>. Ribadito che in concreto è applicabile la limitazione dei motivi di ricorso prevista dall'<ref-law> (supra consid. 1.3), la censura - che non solleva alcuna violazione di un diritto costituzionale - si appalesa pertanto inammissibile.
3.
3.1. Il Tribunale d'appello ha inoltre valutato che, a prescindere dalla situazione finanziaria verosimilmente difficile dell'appellante, il beneficio del gratuito patrocinio non potesse entrare in linea di conto atteso che l'appello appariva fin dall'inizio senza possibilità di buon esito (<ref-law> [RS 272]).
3.2. Secondo la ricorrente la Corte cantonale sarebbe incorsa nell'arbitrio. Afferma che, alla luce "della reale situazione di fatto (grave alcolemia del padre, continuità del consumo di bevande alcoliche, assenza di presa a carico da parte di professionisti) e del reale bisogno di protezione di due bambini di 2 e 4 anni", la predetta valutazione del Tribunale d'appello violerebbe "il diritto di una madre di invocare l'<ref-law>S, e di farne verificare l'applicazione in sede di ricorso".
Secondo l'<ref-law> ha diritto al gratuito patrocinio chiunque sia sprovvisto dei mezzi necessari (lett. a ) e la cui domanda non appaia priva di probabilità di successo (lett. b). La giurisprudenza sviluppata in merito alla nozione di assenza di probabilità di successo nell'ambito dell'<ref-law> va tenuta in considerazione per interpretare l'<ref-law>. Secondo tale giurisprudenza, p riva di probabilità di successo è una domanda le cui prospettive di successo sono nettamente inferiori a quelle di insuccesso, e che di conseguenza non possono essere definite serie. Se le prospettive di successo e di insuccesso si equivalgono, oppure le prime sono soltanto lievemente inferiori alle seconde, la domanda non può dirsi priva di probabilità di successo. Decisivo è sapere se una parte che dispone dei mezzi finanziari necessari affronterebbe un processo: chi non è disposto ad affrontare a proprie spese un processo non deve poterlo fare soltanto perché la procedura è gratuita. L'esistenza di sufficienti probabilità di successo va giudicata sommariamente in base alle condizioni al momento dell'introduzione della richiesta (<ref-ruling> consid. 2.2 con rinvii).
Atteso che in concreto la ricorrente censura soltanto una violazione dell'<ref-law>, la decisione del Tribunale d'appello di negarle il gratuito patrocinio può unicamente essere esaminata sotto il profilo dell'arbitrio (<ref-law>; supra consid. 1.3; v. sentenza 5A_858/2012 del 4 febbraio 2013 consid. 3.3.1).
Ora, nella misura in cui sia sufficientemente motivata - la ricorrente si limita infatti in sostanza ad affermare che fosse suo diritto presentare appello per tutelare l'incolumità dei propri figli, ma non spiega perché il requisito della probabilità di esito favorevole di tale rimedio sarebbe stato adempiuto (al proposito v. sentenza 5D_158/2013 del 24 settembre 2013 consid. 3 con rinvii) - la censura di violazione dell'<ref-law> va respinta per i motivi che seguono.
Dalla lettura della sentenza cantonale emerge che, con il suo appello, la ricorrente si è lamentata del fatto che il Pretore aggiunto avrebbe trascurato la lunga dipendenza alcolica del padre e sottovalutato la necessità di una sua totale astinenza. La ricorrente non ha però contestato l'accertamento del Giudice di prime cure secondo il quale nei due mesi precedenti il già citato incontro con i figli, durante il quale il padre ha consumato birra, non vi era stato alcun abuso di alcool da parte di quest'ultimo ed ella non ha nemmeno preteso che tale episodio avesse avuto ripercussioni sui figli. L'appello, in altre parole, non conteneva alcun solido argomento per dimostrare che - contrariamente a quanto ritenuto dal Pretore aggiunto - si giustificasse l'istituzione immediata, già in via provvisionale, di una sorveglianza del diritto di visita che il padre può esercitare una mezza giornata alla settimana. Nelle circostanze appena descritte non si può perciò affermare che fosse manifestamente insostenibile ritenere che le prospettive di successo dell'appello apparivano nettamente inferiori a quelle di insuccesso. Il diniego del gratuito patrocinio da parte della Corte cantonale non risulta quindi arbitrario.
4.
Da quanto precede discende che il ricorso va respinto nella ridotta misura in cui risulta ammissibile. La domanda di assistenza giudiziaria della ricorrente va respinta, a prescindere dalla sua asserita indigenza, atteso che il suo ricorso non aveva fin dall'inizio probabilità di esito favorevole (<ref-law>). Le spese giudiziarie sono pertanto poste a suo carico (<ref-law>). Non si assegnano ripetibili all'opponente, che non è stato invitato a presentare una risposta al ricorso e non è quindi incorso in spese della sede federale.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria della ricorrente è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico della ricorrente.
4.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla I Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.