Faits:
A.
Depuis le 5 juillet 2012, le Ministère public de la Confédération (MPC) instruit une enquête pour blanchiment d'argent et faux dans les titres à l'encontre de quatre ressortissants ouzbeks, dont C._, "finance manager" de la société A._, et B._. Ces deux personnes ont été placées en détention provisoire le 30 juillet 2012.
Le 10 août 2012, une perquisition de différents coffres a eu lieu auprès de la banque X._, à Genève, notamment le "safe" xxx, rattaché au compte bancaire n o yyy de A._, et des documents ont été saisis. Le 14 août 2012, le MPC a procédé, en présence de C._ et de ses deux mandataires, à l'ouverture des pièces mises en sûreté à la suite de la perquisition. Au cours de cet examen, le MPC a mis sous scellés des documents - sous le n o _81 - qui pouvaient appartenir et/ou concerner D._, fille du Président de la République d'Ouzbékistan et alors représentante de la mission permanente de ce pays auprès de l'Organisation des Nations Unies (ONU).
Une seconde perquisition, qui a en particulier concerné les coffres n o vvv et uuu liés au compte bancaire n o ttt de la société E._ et pour lesquels B._ bénéficiait d'une procuration individuelle, a eu lieu le 23 août 2012 auprès de la banque susmentionnée. L'avocat de B._, alors présent, a requis ce même jour la mise sous scellés des documents trouvés dans le coffre vvv (n o _60), invoquant des motifs identiques à ceux indiqués ci-dessus. Quant aux pièces découvertes dans le "safe" ttt, elles n'ont été ouvertes par le MPC, devant B._ et son mandataire, que le 27 août 2012 et placées lors de cette séance sous scellés par le Procureur en raison de leurs possibles liens avec D._ (n o _62, n o _61, n o _162, n o _63, n o _64 et n o _65).
Par requêtes du 3, du 12 et du 17 septembre 2012, le MPC a déposé devant le Tribunal des mesures de contrainte du canton de Berne (Tmc) des demandes de levée des scellés et les parties - A._ et B._ - ont pu se déterminer à plusieurs reprises. La qualité de partie lui ayant été refusée dans ces procédures, la République d'Ouzbékistan a recouru au Tribunal fédéral, qui - après avoir suspendu les procédures devant le Tmc - a admis cette requête par arrêt du 10 janvier 2013 (cause 1B_588/2012). Dès le 25 janvier 2013, l'autorité précédente a donc ordonné de nouveaux échanges d'écritures entre les parties. La République d'Ouzbékistan, A._ et B._ ont notamment été invités le 29 juillet 2013 à se déterminer jusqu'au 9 août 2013 sur les informations - reçues par le MPC du Département fédéral des affaires étrangères (DFAE) - relatives à la fin de l'activité diplomatique de D._ le 9 juillet 2013 (cf. le courrier du DFAE du 10 juillet 2013), ainsi que sur celles adressées directement au premier juge (cf. le courrier du DFAE du 23 juillet 2013). Après prolongation du délai, les parties ont déposé leurs déterminations le 16 août 2013.
Par ordonnances du 21 août 2013, le Tmc a admis les trois requêtes de levée des scellés.
B.
Par actes du 23 septembre 2013, la République d'Ouzbékistan forme trois recours en matière pénale contre ces décisions, concluant à l'annulation de celles-ci, au rejet des demandes de levée de scellés des 3, 12 et 17 septembre 2012, ainsi qu'à la restitution des documents sous scellés n o _81 (cause 1B_332/2013), n o _60 (cause 1B_333/2013), n o _61, n o _161, n o _63 et n o _64 (cause 1B_334/2013). Elle sollicite également l'octroi de l'effet suspensif aux recours.
Invités à se déterminer, le MPC n'a pas formulé d'observations et le Tmc a conclu au rejet du recours. Quant à A._ (cause 1B_332/2013) et B._ (cause 1B_333/2013 et 1B_334/2013), ils ont appuyé les recours. Le 31 octobre 2013, la recourante a persisté dans ses conclusions.
Par ordonnances du 10 et du 15 octobre 2013, l'effet suspensif a été accordé dans les trois procédures.

Considérant en droit:
1.
Vu la connexité des causes et la similarité des recours, tant dans leurs motivations que dans leurs conclusions, il y a lieu de joindre les trois procédures.
2.
Conformément à l'art. 248 al. 3 CPP (RS 312.0), le Tmc statue définitivement sur la demande de levée des scellés. Le recours en matière pénale au Tribunal fédéral est ainsi directement ouvert (art. 80 al. 2 LTF).
2.1. A la suite de l'arrêt du 10 janvier 2013, la recourante a pu participer à la procédure de première instance (cause 1B_588/2012). Elle est particulièrement touchée par les décisions attaquées qui lèvent les scellés sur des documents où le nom de la Cheffe de sa mission permanente à l'ONU apparaissent et pour lesquels la recourante peut invoquer, en tant qu'Etat, les immunités et privilèges découlant de la Convention de Vienne du 18 avril 1961 sur les relations diplomatiques (Convention de Vienne, CVRD; RS 0.191.01), de la loi fédérale du 22 juin 2007 sur les privilèges, les immunités et les facilités, ainsi que sur les aides financières accordés par la Suisse en tant qu'Etat hôte (Loi sur l'Etat hôte, LEH; RS 192.12) et de son ordonnance d'application du 7 décembre 2007 (ordonnance sur l'Etat hôte, OLEH; RS 192.121). L'intéressée bénéficie ainsi d'un intérêt juridique à l'annulation des trois ordonnances entreprises (art. 81 al. 1 LTF). Elle peut en outre se prévaloir d'un dommage irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (arrêt 1B_595/2011 du 21 mars 2012 consid. 1 et les références, publié in Pra 2012 no 69 p. 467), dès lors que si les scellés sur les pièces potentiellement couvertes par les immunités diplomatiques devaient être levés, leur contenu serait divulgué.
2.2. Pour le surplus, les recours ont été formés en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et les conclusions présentées sont recevables (art. 107 al. 2 LTF). La procédure relative à la levée de scellés ne saurait être assimilée à une procédure de mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF et la recourante n'est donc pas limitée dans ses griefs, qui peuvent se rapporter au droit fédéral, constitutionnel et/ou international (art. 95 let. a et b LTF). Il y a donc lieu d'entrer en matière.
3.
La Suisse a conclu avec le Secrétaire général de l'ONU un accord sur les privilèges et immunités de cette organisation les 11 juin et 1er juillet 1946 (ci-après l'Accord; RS 0.192.120.1), qui garantit en substance les mêmes immunités et privilèges aux représentants des membres de l'ONU qu'aux agents diplomatiques (section IV dudit Accord). La République d'Ouzbékistan n'étant pas partie à ce traité, ni à la Convention sur les privilèges et immunités des Nations Unies du 13 février 1946 (RS 0.192.110.02; entrée en vigueur pour la Suisse le 25 septembre 2012), elle ne peut s'en prévaloir.
C'est donc la Convention de Vienne, qui codifie les principes du droit coutumier en matière d'immunités et privilèges des diplomates (<ref-ruling> consid. 5/c p. 501; Daillier/Forteau/Pellet, Droit international public, 8e éd. 2009, no 453, p. 825 s.; Pierre-Marie Dupuy, Droit international public, 7e éd. 2004, no 64, p. 61; Amadeo Perez, Le système des privilèges et immunités applicable aux organisations internationales en Suisse et aux délégations permanentes étrangères à Genève, 1997, p. 12 s.) et à laquelle tant la République d'Ouzbékistan que la Confédération suisse sont parties, qui est applicable par analogie pour les membres des missions permanentes auprès des organisations internationales, telle l'ONU (cf. également les courriers du DFAE du 10 et du 23 juillet 2013).
4.
Afin de garantir le respect de sa souveraineté (<ref-ruling> consid. 3.4.2 p. 98; DAILLIER/FORTEAU/PELLET, op. cit., n o 289, p. 497; ROBERT ZIMMERMANN, La coopération judiciaire internationale en matière pénale, 3 e éd. 2009, n o 693, p. 645), la recourante, en tant qu'Etat, est titulaire et bénéficie des immunités et privilèges découlant de la CVRD et de la loi sur l'Etat hôte, pouvant les invoquer notamment pour protéger ses biens, ainsi que ses agents diplomatiques, dont la Cheffe de sa mission permanente auprès de l'ONU (art. 29 ss CVRD, art. 2 al. 2 let. a LEH; arrêt 1B_588/2012 du 10 janvier 2013 consid. 2.2; ROBERT ZIMMERMANN, op. cit., n o 693, p. 645; DAILLIER/FORTEAU/PELLET, op. cit., n o 289, p. 497; PIERRE-MARIE DUPUY, op. cit., n o 118, p. 124 s.; AMADEO PEREZ, op. cit., p. 25, 33, 34 et 42). Elle est donc légitimée à s'en prévaloir à titre d'"autres motifs" au sens de l'art. 248 al. 1 CPP afin de s'opposer à la levée des scellés.
5.
La recourante reproche à l'autorité précédente une violation des art. 30 al. 2, 31 al. 1, 39 al. 2 CVRD, 2 al. 1 let. d et 3 al. 1 let. a et b LEH. Elle soutient en substance que l'inviolabilité des documents, de la correspondance et des biens de son agent diplomatique ne cesserait pas à la fin de l'activité de ce dernier et que si tel était le cas, les actes effectués pendant la mission resteraient couverts par cette protection.
5.1. Les agents diplomatiques - notamment le chef de la mission (art. 1 let. e CVRD) - bénéficient, durant leurs fonctions (cf. art. 39 al. 1 CVRD), de privilèges et immunités au sens de l'art. 3 al. 1 LEH, soit en particulier les immunités de juridiction et d'exécution. Cette protection s'étend à tous les types d'actes accomplis par le diplomate en fonction, y compris pour les infractions commises en dehors de l'exercice de ses activités officielles (cf. art. 31 1 ère phrase CVRD et art. 3 al. 1 let. b LEH; Daillier/Forteau/Pellet, op. cit., no 461, p. 837; Pierre-Marie Dupuy, op. cit., no 118/b, p. 127). Les immunités et privilèges dont bénéficie l'agent le prémunissent en particulier contre une arrestation ou une détention (cf. art. 29, 31 al. 3 CVRD et art. 3 al. 1 let. a LEH) et protègent ses documents, sa correspondance, ainsi que ses biens (cf. art. 30 al. 2, 31 al. 3 CVRD et 3 al. 1 let. a LEH; Daillier/Forteau/Pellet, op. cit., no 461, p. 836; Pierre-Marie Dupuy, op. cit., no 118/a, p. 125).
Selon l'art. 39 al. 2 CVRD, lorsque les fonctions d'une personne bénéficiant des privilèges et immunités prennent fin, ces privilèges - dont fait partie l'inviolabilité des documents, de la correspondance et des biens (cf. art. 3 al. 1 let. a LEH) - cessent normalement au moment où cette personne quitte le pays, ou à l'expiration d'un délai raisonnable qui lui aura été accordé à cette fin, mais ils subsistent jusqu'à ce moment, même en cas de conflit armé; toutefois, l'immunité subsiste en ce qui concerne les actes accomplis par cette personne dans l'exercice de ses fonctions comme membre de la mission. Vu la teneur claire de cette disposition, toute immunité et tout privilège cessent lorsque l'activité du diplomate prend fin. Par rapport aux actes antérieurs à la fin de sa mission, la protection perdure, selon la volonté expresse des Etats cocontractants, mais uniquement pour les actes - y compris délictueux - effectués dans le cadre de ses fonctions officielles (<ref-ruling> consid.5/d p. 501 s.; Robert Zimmermann, op. cit., no 694, p. 650; Pierre-Marie Dupuy, op. cit., no 118/b, p. 127; Amadeo Perez, op. cit., p. 65). Il en résulte donc que tous les autres actes - passés et futurs - de l'ancien agent ne sont plus couverts par les immunités et privilèges.
5.2. En l'espèce, il est incontesté que D._ était la Cheffe de la représentation permanente de la recourante à l'ONU au moment des perquisitions effectuées par le MPC (les 10 et 23 août 2012) et de ce fait, bénéficiait des privilèges et immunités - dont l'inviolabilité de ses documents et de sa correspondance - découlant de la CVRD et de l'art. 3 LEH. Il est également établi que les fonctions officielles de la diplomate auprès de l'ONU se sont achevées le 9 juillet 2013 (cf. la lettre du Ministre des affaires étrangères de la République d'Ouzbékistan du 9 juillet 2013).
A partir de cette date, la Cheffe de la mission permanente ne pouvait continuer à bénéficier des immunités et privilèges découlant de son ancien statut que pour les actes effectués pendant sa mission et en rapport avec ses tâches officielles. Or la recourante - qui se doit de collaborer au tri des documents dès lors qu'elle seule en connaît le contenu (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 229) - ne prétend pas que les pièces mises sous scellés seraient en lien avec de telles prérogatives. Elle ne remet en particulier pas en cause les constatations retenues par l'autorité précédente, basées notamment (1) sur les écritures de la recourante du 30 avril 2013 où cette dernière a examiné chaque scellé, y mentionnant même expressément que les scellés n o _62, n o _61, n o _63 et n o _81 n'étaient pas liés à l'activité étatique et (2) sur le courrier du DFAE du 10 juin 2013. Le premier juge a donc considéré avec raison que la recourante n'avait pas revendiqué la propriété desdites pièces, que leur contenu permettait de retenir que ces documents n'émanaient pas de la mission de la recourante ou de son Ministère des affaires étrangères, qu'ils ne leur étaient pas adressés et qu'ils ne touchaient pas son fonctionnement ou son activité officielle de représentation. Selon le Tmc, les pièces en cause concernaient en conséquence l'ancienne ambassadrice de la recourante à titre privé, respectivement financier ou commercial, conclusion qui s'imposait d'autant plus que les documents avaient été retrouvés dans des coffres dépendant d'une société commerciale.
Dès lors qu'après la fin de sa mission, l'ancienne diplomate ne bénéficie de l'immunité que pour les actes et/ou documents en lien avec ses activités officielles, c'est à juste titre que le Tmc a retenu que la recourante ne pouvait plus invoquer les immunités et privilèges résultant de la Convention de Vienne pour s'opposer à la levée des différents scellés concernant des documents privés.
Partant, ce grief doit être écarté.
6.
Invoquant une violation de l'art. 248 al. 3 CPP, la recourante reproche à l'autorité précédente - qui a rendu ses ordonnances en août 2013 - de ne pas avoir statué sur la base de la situation qui prévalait au moment du dépôt des trois requêtes de levée des scellés (septembre 2012); à ce moment-là, sa représentante auprès de l'ONU était encore au bénéfice de l'immunité absolue en matière pénale du fait de sa fonction diplomatique.
6.1. Selon l'art. 248 al. 3 CPP, si l'autorité pénale demande la levée des scellés, le Tmc statue définitivement sur la demande dans le mois qui suit son dépôt. Il s'agit d'un délai d'ordre qui peut être prolongé, notamment en raison de la quantité des pièces à examiner, de la complexité technique de l'évaluation et/ou si la procédure requiert l'avis d'un expert. En mentionnant cette durée, le législateur entendait rappeler que l'instruction pénale ne devait pas être bloquée par l'examen d'une demande de levée de scellés et qu'au contraire, tout devait être mis en oeuvre pour que l'autorité statue dans le délai indiqué (cf. Message du Conseil fédéral du 21 décembre 2005, FF 2006 1057, p. 1221; NICKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 2 e éd. 2013, n o 11 ad art. 248 CPP; JO PITTELOUD, Code de procédure pénale suisse (CPP), 2012, n o 575; CATHERINE CHIRAZI, in Commentaire romand CPP, 2011, n o 17 ad art. 248 CPP; THORMANN/BRECHBÜHL, in BSK StPO, 2011, n o 37 ad art. 248 CPP; Andreas J. Keller, in Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung (StPO), 2010, no 38 ad art. 248 CPP), afin notamment de respecter le principe de célérité (art. 5 al. 1 CPP).
6.2. En l'occurrence, il est incontesté que les ordonnances du 21 août 2013 du Tmc n'ont pas été rendues dans le mois suivant le dépôt des requêtes de levée des scellés (septembre 2012). Dans cette intervalle, le statut de la représentante de la recourante à l'ONU a évolué, puisque dès le 9 juillet 2013, elle ne pouvait plus prétendre aux immunités liées au statut d'agent diplomatique.
Contrairement cependant à ce que soutient la recourante, il ne résulte pas du délai de l'art. 248 al. 3 CPP que l'autorité appelée à statuer sur la requête de levée de scellés serait liée par la situation qui prévaut au moment du dépôt de cette demande. En effet, un tel raisonnement équivaudrait à dénier à toutes les parties - dont celles se prévalant de la mise sous scellés - le droit d'alléguer des circonstances ultérieures pour appuyer leurs positions. Or le Tribunal fédéral a rappelé qu'une personne qui obtient un statut diplomatique au cours d'un procès peut se prévaloir de l'immunité de juridiction à partir du moment de sa nomination, même si la litispendance a débuté antérieurement. En conséquence, afin d'assurer une application univoque de l'art. 31 CVRD, le moment déterminant pour examiner la qualité de l'intéressé doit correspondre à la date du prononcé du jugement (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 543). Cette solution se justifie d'autant plus en matière pénale où l'instruction de la cause n'est pas nécessairement stoppée du fait de la procédure de levée des scellés; des éléments tant à charge qu'en faveur de celui se prévalant des scellés peuvent être découverts et doivent pouvoir être invoqués dans la procédure devant le Tmc, autorité de contrôle qui peut en conséquence tenir compte des faits nouveaux. Enfin, il sied de relever que dans le cas spécifique de l'ancien agent diplomatique, celui-ci - respectivement son Etat accréditant - n'est pas dénué de toute protection puisqu'il peut, cas échéant, invoquer l'art. 39 al. 2 2 ème phrase CVRD (cf. consid. 5.1).
Au demeurant, la recourante n'invoque pas une violation du principe de célérité (art. 5 CPP), ni ne remet en cause les éléments mentionnés par l'autorité précédente pour expliquer le non-respect du délai imparti par l'art. 248 al. 3 CPP (procédure de recours, prolongations de délai et évolution du statut de la Cheffe de la mission de la recourante auprès de l'ONU). En particulier, le fait que le premier juge n'a pas statué peu après le dépôt des écritures des parties le 30 avril 2013 ne peut lui être reproché. En effet, il devait alors examiner une cause présentant une certaine complexité, notamment par rapport aux parties impliquées (dont un Etat) et au droit applicable.
6.3. La recourante reproche encore au Tmc une violation du principe de la bonne foi (art. 3 al. 2 let. a et b CPP), soutenant qu'elle était légitimée à s'attendre à une décision rendue sur la base de l'état de fait qui prévalait au moment du dépôt des requêtes de levée des scellés. Ce grief tombe à faux, dès lors que l'autorité précédente pouvait tenir compte d'éléments nouveaux pour statuer. Si la recourante semble aussi en substance lui reprocher d'avoir attendu que la situation de sa diplomate évolue, elle n'apporte pourtant aucun élément qui démontrerait que la juridiction précédente aurait été au courant de la requête de levée de l'immunité déposée le 24 mai 2013 par le MPC avant que ce dernier lui en adresse une copie le 15 juillet 2013. Il sied d'ailleurs de préciser qu'en déposant une telle requête, le Ministère public ne contourne pas la procédure de levée des scellés ainsi que le prétend la recourante, mais utilise la possibilité prévue à l'art. 32 CVRD, disposition selon laquelle, l'Etat accréditant peut renoncer à l'immunité de juridiction des agents diplomatiques.
6.4. La juridiction précédente n'a donc pas violé le droit fédéral en tenant compte de l'évolution des circonstances entre le dépôt des requêtes de levée des scellés et le moment où elle a statué. Partant, ce grief doit être écarté.
7.
Il s'ensuit que les trois recours doivent être rejetés. La recourante qui succombe supporte les frais de procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Les causes 1B_332/2013, 1B_333/2013 et 1B_334/2013 sont jointes.
2.
Les recours sont rejetés.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr. pour l'ensemble des procédures, sont mis à la charge de la recourante.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, aux mandataires des parties intéressées, au Ministère public de la Confédération et au Tribunal des mesures de contrainte du canton de Berne.
Lausanne, le 20 décembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf