Sachverhalt:
A. G._ erlitt am 10. Juli 1999 einen Auffahrunfall. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als obligatorischer Unfallversicherer richtete für die Folgen dieses Ereignisses vom 13. Juli 1999 bis 28. Februar 2002 Taggelder aufgrund einer Arbeitsunfähigkeit von 100% im Gesamtbetrag von Fr. 107'599.- aus.
Die IV-Stelle Basel-Stadt sprach dem Versicherten mit Verfügung vom 24. November 2004 eine auf den Zeitraum vom 1. Juli 2000 bis 28. Februar 2002 befristete ganze Rente zu. Die Verfügung wurde später mit Einspracheentscheid vom 3. Juli 2006 bestätigt.
Mit Schreiben vom 2. August 2004 teilte die IV-Stelle der SUVA den Beschluss mit, welcher der Verfügung vom 24. November 2004 zugrunde lag. Gestützt auf diese Angaben forderte die SUVA mit Verfügung vom 10. November 2004 vom Versicherten einen Betrag von Fr. 29'099.- zurück. Zur Begründung wurde erklärt, das Zusammentreffen von UV-Taggeldern und IV-Rente während des Zeitraums vom 1. Juli 2000 bis 28. Februar 2002 habe zu einer Überentschädigung in dieser Höhe geführt. Auf Einsprache hin hielt die SUVA mit Entscheid vom 28. September 2007 an der Rückforderung fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt ab (Entscheid vom 21. Januar 2008).
C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es seien der vorinstanzliche Entscheid (soweit auf Abweisung der Beschwerde lautend) und der Einspracheentscheid vom 28. September 2007 aufzuheben.
Die SUVA schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist die Rückforderung von Leistungen, welche den Zeitraum von Juli 1999 bis Februar 2002 betreffen. Materiellrechtlich massgebend sind daher die vor dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) am 1. Januar 2003 gültig gewesenen Bestimmungen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 446 f.). Gemäss <ref-law> (in Kraft gewesen bis 31. Dezember 2002) werden, wenn keine Koordinationsregel dieses Gesetzes eingreift, Geldleistungen, ausgenommen Hilflosenentschädigungen, soweit gekürzt, als sie mit anderen Sozialversicherungsleistungen zusammentreffen und den mutmasslich entgangenen Verdienst übersteigen. Die Bestimmung ist insbesondere dann anwendbar, wenn Taggelder der Unfallversicherung mit Rentenleistungen der Invalidenversicherung zusammentreffen (<ref-ruling> E. 3 S. 28 f.). Die vorliegend gegebene Konstellation ist demnach, entgegen der in der Beschwerdeschrift vertretenen Auffassung, einer Kürzung zufolge Überentschädigung zugänglich. Unbehelflich ist auch die Behauptung, die SUVA habe den geforderten Betrag bereits von der IV-Stelle ausbezahlt erhalten, welche ihn ihrerseits mit der Rentennachzahlung verrechnet habe. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet der (allenfalls verrechenbare) Rückforderungsanspruch der SUVA.
2. Die Berechnung des Rückforderungsbetrags von Fr. 29'099.- ergibt sich aus der Verfügung vom 10. November 2004, welche mit dem Einspracheentscheid vom 28. September 2007 und dem angefochtenen kantonalen Gerichtsentscheid bestätigt wurde. Die SUVA ermittelte die Summe der SUVA-Taggelder von Fr. 107'599.- (Juli 1999 bis Februar 2002) und der IV-Rente von Fr. 55'652.- (Juli 2000 bis Februar 2002), total Fr. 163'251.-. Von diesem Betrag wurde der mutmasslich entgangene Verdienst vom 10. Juli 1999 bis 28. Februar 2002 von Fr. 134'152.- (1999: Fr. 24'458.- [Fr. 51'014 : 365 Tage x 175 Tage; 2000: Fr. 51'014.-; 2001: Fr. 50'343.-; 2002: Fr. 8337.- [Fr. 51'573.- : 365 Tage x 59 Tage]) subtrahiert. Der Beschwerdeführer bestreitet zu Recht weder die Höhe der Zahlungen noch jene des mutmasslich entgangenen Verdienstes. Methodisch ist die Ermittlung der Überentschädigung im Rahmen einer Globalrechnung korrekt (<ref-ruling>; RKUV 2000 Nr. U 376 S. 181 E. 2b, U 96/99).
3. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, die Rückerstattungsforderung sei verwirkt.
3.1 Laut <ref-law> (in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2002) verjährt der Rückforderungsanspruch mit dem Ablauf eines Jahres, nachdem der Versicherer davon Kenntnis erhalten hat, spätestens aber fünf Jahre nach der Leistung. Gemäss dem seit 1. Januar 2003 geltenden <ref-law> erlischt der Rückforderungsanspruch mit dem Ablauf eines Jahres, nachdem die Versicherungseinrichtung davon Kenntnis erhalten hat, spätestens aber mit dem Ablauf von fünf Jahren nach der Entrichtung der einzelnen Leistung.
3.2 Die einjährige Frist, bei welcher es sich um eine Verwirkungsfrist handelt, beginnt in dem Zeitpunkt zu laufen, in dem der Versicherer bei Beachtung der ihm zumutbaren Aufmerksamkeit hätte erkennen müssen, dass die Voraussetzungen für eine Rückerstattung bestehen. Dem Versicherer müssen alle im konkreten Einzelfall erheblichen Umstände zugänglich sein, aus deren Kenntnis sich der Rückforderungsanspruch dem Grundsatz nach und im Ausmass (Gesamtsumme der Forderung) gegenüber einem bestimmten Rückerstattungspflichtigen ergibt (RKUV 2000 Nr. U 376 S. 181 f. E. 2a, U 96/99; vgl. SVR 2004 AlV Nr. 5 S. 13 E. 4.3.1, C 17/03). Die SUVA erhielt durch die Mitteilung des Beschlusses vom 2. August 2004 Kenntnis von der Absicht der IV-Stelle, dem Versicherten für die Zeit von Juli 2000 bis Februar 2002 eine ganze IV-Rente zuzusprechen. Die einjährige Verwirkungsfrist begann frühestens in diesem Moment zu laufen. Sie wurde durch die Verfügung vom 10. November 2004 gewahrt (vgl. Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, Zürich 2003, S. 286, Art. 25 N 30, mit Hinweisen).
3.3 Die fünfjährige Verwirkungsfrist bemisst sich gemäss den zitierten Bestimmungen ab der Entrichtung der einzelnen Leistung. Bei rückwirkender Zusprechung einer IV-Rente wird die Frist grundsätzlich erst dann ausgelöst, wenn die Rentenverfügung in Rechtskraft erwächst (<ref-ruling> E. 3b/dd S. 490). Die Verfügung vom 10. November 2004 wurde somit in jedem Fall vor Ablauf der fünfjährigen Verwirkungsfrist erlassen.
3.4 Nach dem Gesagten ist der streitige Rückforderungsanspruch nicht verwirkt. Die Beschwerde ist abzuweisen.
4. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Oktober 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger