Sachverhalt:
A.
Mit Baugesuch vom 12. November 2012 beantragte X._ die Erteilung einer Baubewilligung für den Neubau eines Einfamilienhauses auf Parzelle 2124, in der Fraktion Fuldera, Gemeinde Val Müstair. Innert der Auflagefrist erhob der Verein Helvetia Nostra Einsprache. Mit Entscheid vom 20. Dezember 2012 wies die Baubewilligungsbehörde die Einsprache ab und erteilte die Baubewilligung.
B.
Auf die dagegen erhobene Beschwerde der Helvetia Nostra trat das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden am 19. Februar 2013 nicht ein. Es entschied, Helvetia Nostra sei zur Beschwerdeführung nicht legitimiert. Im Übrigen ging das Verwaltungsgericht davon aus, dass Art. 75b BV und seine Übergangsbestimmungen (Art. 197 Ziff. 9 BV) erst nach nach dem 1. Januar 2013 anwendbar seien. Daraus ergebe sich, dass auch in Gemeinden wie Val Müstair, in denen die kritische Grenze von 20% Zweitwohnungen überschritten sei, im Jahr 2012 noch Baubewilligungen für Zweitwohnungen nach bisherigem Recht erteilt werden könnten.
C.
Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid hat die Helvetia Nostra am 18. März 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht erhoben. Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid in dem Sinne zu ändern, dass die dem Projekt des Beschwerdegegners erteilte Baubewilligung aufgehoben werde.
D.
Am 22. Mai 2013 fällte das Bundesgericht die ersten Leitentscheide: Es bejahte die Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra (<ref-ruling>) sowie die direkte Anwendbarkeit von Art. 75b BV und Art. 197 Ziff. 9 BV ab dem 11. März 2012 (<ref-ruling> und 263).
E.
Mit Verfügung vom 4. Juli 2013 wurde dem Beschwerdegegner, der Gemeinde und dem Verwaltungsgericht Gelegenheit zur Stellungnahme eingeräumt. Gemäss Schreiben vom 1. November 2013 hat der Beschwerdegegner X._ sein Baugesuch zurückgezogen.

Erwägungen:
1.
Durch den Rückzug des Baugesuchs ist die vorliegende Beschwerde gegenstandslos geworden. Sie ist daher als erledigt abzuschreiben (Art. 32 Abs. 2 BGG), wobei mit summarischer Begründung über die Prozesskosten zu entscheiden ist (Art. 72 BZP in Verbindung mit Art. 71 BGG).
Die Verfahrenskosten werden derjenigen Partei auferlegt, die sie verursacht hat (Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG). Demgemäss rechtfertigt es sich, dem Beschwerdegegner die Kosten der durch den Baugesuchsrückzug gegenstandslos gewordenen Rechtsmittel aufzuerlegen. Aufgrund des Rückzugs des Baugesuchs in einem frühen Stadium des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die diesbezüglichen Kosten auf eine reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 300.-- festzusetzen (Art. 66 Abs. 2 BGG).
2.
Durch die am 22. Mai 2013 ergangenen Urteile des Bundesgerichts betreffend Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra und unmittelbare Anwendbarkeit der Art. 75b und 197 Ziff. 9 BV (<ref-ruling>, 263 und 271) ist die Basis des dem bundesgerichtlichen Verfahren zugrunde liegenden verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 19. Februar 2013 und des ursprünglichen kommunalen Entscheids vom 20. Dezember 2012 massgebend verändert worden, was Auswirkungen auf deren Kostenregelungen zur Folge hat.
2.1. Hinsichtlich des verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahrens ist es angezeigt, dass das Bundesgericht die diesbezügliche Kostenregelung wie in früheren Fällen sogleich selber neu trifft (vgl. Urteil 1C_270/2013 vom 10. Oktober 2013). Nachdem der Beschwerdegegner sein Baugesuch zurückgezogen hat, rechtfertigt es sich, ihm die verwaltungsgerichtlichen Kosten, die nach dem Urteil vom 19. Februar 2013 Fr. 1'033.--, aus denselben Gründen wie die bundesgerichtlichen Kosten aufzuerlegen.
2.2. Da die Beschwerdeführerin weder vor Bundesgericht noch vor Verwaltungsgericht anwaltlich vertreten war, hat sie praxisgemäss keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung.
2.3. Die Sache wird an die Gemeinde zurückgewiesen, um die Kosten des Baubewilligungs- und Einspracheverfahrens neu zu verlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_280/2013 wird als gegenstandslos abgeschrieben.
Es wird festgestellt, dass der am 20. Dezember 2012 ergangene kommunale Baubewilligungs- und Einspracheentscheid sowie das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 19. Februar 2013 gegenstandslos geworden sind.
Die Sache geht zurück an die Gemeinde Val Müstair zur Prüfung der Kostenfragen hinsichtlich des nunmehrigen Abschlusses des kommunalen Verfahrens.
2.
Dem Beschwerdegegner X._ werden die auf Fr. 1'033.- festgesetzten verwaltungsgerichtlichen Kosten und die bundesgerichtlichen Kosten von Fr. 300.- auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Val Müstair und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. November 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Haag