Sachverhalt:
A. Die 1987 geborene S._ absolvierte ab 11. August 2003 eine Berufslehre beim Hotel X._ und war in dieser Eigenschaft bei der Hotela Versicherungen AG (nachfolgend: Hotela) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 10. Februar 2005 stiess sie beim Inline-Skating mit einem Auto zusammen und erlitt ein Knietrauma rechts mit Partialruptur des medialen Seitenbandes sowie eine subtotale Ruptur des vorderen Kreuzbandes (VKB). Die Hotela kam für die Heilbehandlung auf und richtete Taggelder aus. Im August 2006 wurde beschlossen, dass eine VKB-Operation durchzuführen sei. S._ konnte sich jedoch aus beruflichen Gründen noch nicht auf einen Operationstermin festlegen.
Seit 15. April 2007 war S._ als Servicefachangestellte für das Hotel Y._ tätig und fortan bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Gemäss Schadenmeldung UVG vom 7. Dezember 2007 streckte sie am 21. November 2007 beim Aufsteigen auf ein Pferd das rechte Knie durch und erlitt dabei einen Kreuzbandriss und einen Meniskusanriss. Ein Knie-MRI vom 27. November 2007 zeigte eine komplette VKB-Ruptur rechts. Am 4. Januar 2008 wurde im Kreisspital Z._ eine Knieoperation durchgeführt (arthroskopische VKB-Ersatzplastik rechts, mittleres Patellarsehnendrittel). Mit Verfügung vom 16. Mai 2008 verneinte die AXA ihre Leistungspflicht im Zusammenhang mit den Kniebeschwerden mit der Begründung, sie seien auf einen Rückfall zum Unfall vom 10. Februar 2005 zurückzuführen, während das Ereignis vom 21. November 2007 nicht als Unfall qualifiziert werden könne und das Leiden auch nicht auf eine unfallähnliche Körperschädigung zurückgehe. Die dagegen von der Hotela geführte Einsprache lehnte sie ab (Einspracheentscheid vom 2. September 2009).
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau wies die von der Hotela dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 7. Juli 2010).
C. Die Hotela lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einreichen mit dem Rechtsbegehren, die AXA sei anzuweisen, im Zusammenhang mit dem Ereignis vom 21. November 2007 die gesetzlichen Leistungen zu erbringen.
Die AXA beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. S._ lässt sich nicht vernehmen und das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389 mit Hinweisen; Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf Leistungen der Unfallversicherung im Allgemeinen (<ref-law>), zum Unfallbegriff (<ref-law>), zum Unfallbegriffsmerkmal der Ungewöhnlichkeit des äusseren Faktors (<ref-ruling>, 130 V 117) und zum Begriff der unfallähnlichen Körperschädigungen, die auch ohne ungewöhnliche äussere Einwirkung Unfällen gleichgestellt sind (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling>) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Es ist letztinstanzlich zu Recht unbestritten geblieben, dass die Versicherte am 21. November 2007 jedenfalls keinen Unfall im Sinne von <ref-law> erlitten hat. Einigkeit besteht auch darüber, dass sie sich an diesem Tag eine VKB-Ruptur am rechten Knie, und damit eine Bandläsion im Sinne von <ref-law>, zugezogen hat. Umstritten ist einzig, ob diese Läsion auf einen schädigenden äusseren Faktor im Sinne der Rechtsprechung zu den unfallähnlichen Körperschädigungen (vgl. E. 2 hiervor) zurückzuführen ist, was bejahendenfalls eine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin nach sich ziehen würde.
3.1 Die schädigende äussere Einwirkung kann dabei in einer körpereigenen Bewegung bestehen. Das Erfordernis des äusseren schädigenden Faktors ist indessen dann nicht erfüllt, wenn das erstmalige Auftreten der Schmerzen mit einer blossen Lebensverrichtung einhergeht, auch wenn die versicherte Person diese zu beschreiben in der Lage ist. Gemäss Rechtsprechung ist für die Bejahung eines äusseren auf den menschlichen Körper schädigend einwirkenden Faktors stets ein Geschehen verlangt, dem ein gewisses gesteigertes Gefährdungspotenzial innewohnt. Dies ist der Fall, wenn die zum einschiessenden Schmerz führende Tätigkeit im Rahmen einer allgemein gesteigerten Gefahrenlage vorgenommen wird, wie dies etwa für viele sportliche Betätigungen zutreffen kann. Der äussere Faktor mit erheblichem Schädigungspotenzial ist sodann auch zu bejahen, wenn die in Frage stehende Lebensverrichtung einer mehr als physiologisch normalen und psychologisch beherrschten Beanspruchung des Körpers, insbesondere seiner Gliedmassen, gleichkommt. Deswegen fallen einschiessende Schmerzen als Symptome einer Schädigung nach <ref-law> ausser Betracht, wenn sie allein bei der Vornahme einer alltäglichen Lebensverrichtung auftreten, ohne dass ein davon unterscheidbares äusseres Moment hineinspielt. Wer also lediglich beim Aufstehen, Absitzen, Abliegen, der Bewegung im Raum, Handreichungen usw. einen einschiessenden Schmerz erleidet, welcher sich als Symptom einer Schädigung nach <ref-law> herausstellt, kann sich nicht auf das Vorliegen einer unfallähnlichen Körperschädigung berufen. Die physiologische Beanspruchung des Skelettes, der Gelenke, Muskeln, Sehnen und Bänder stellt keinen äusseren Faktor dar, dem ein zwar nicht ungewöhnliches, jedoch gegenüber dem normalen Gebrauch der Körperteile gesteigertes Gefährdungspotenzial innewohnen muss (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 470).
3.2 3.2.1 Im MRI-Bericht vom 27. November 2007 wird festgestellt, die Versicherte habe ein "Klöpfen" im rechten Knie gespürt, als sie beim Besteigen eines Pferdes das rechte Knie durchgestreckt habe. Dr. med. B._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Leitender Arzt, Kreisspital Z._, gibt in seinem Schreiben vom 29. November 2007 an, beim Aufsteigen auf ein Pferd mit etwas Schwung habe die Versicherte einen Knall bzw. Riss, unmittelbar gefolgt von Schmerzen über dem medialen Gelenkskompartiment verspürt, so dass sie das Bein nicht mehr habe belasten können. Die Versicherte selber schildert den genauen Unfallhergang am 19. Dezember 2007 folgendermassen: "Beim Aufsteigen auf ein Pferd habe ich das Bein durchgestreckt. Dabei verspürte ich einen starken Schmerz im rechten Knie und konnte es nicht mehr belasten." Der Hausarzt Dr. med. H._, Allgemeine Medizin FMH, beschreibt ein Verdrehen des rechten Knies beim Aufsteigen (Bericht vom 26. Dezember 2007). Nach den Angaben des erstbehandelnden Dr. med. P._, Assistenzarzt Chirurgie, Kreisspital Z._, vom 28. Dezember 2007 soll die Versicherte beim Aufsteigen auf ein Pferd ein "Klöpfen" im rechten Knie gespürt haben.
3.2.2 Das kantonale Gericht hat erwogen, es sei überwiegend wahrscheinlich davon auszugehen, dass die Versicherte bei einem gewöhnlichen Aufstieg auf ein Pferd ohne abrupte Bewegungen plötzlich einen Knall (Riss des Kreuzbandes) gehört und danach starke Schmerzen verspürt habe. Die Beschreibung des Hergangs durch den Hausarzt vermöge diesen Eindruck nicht umzustossen. Es leuchte nicht ein, wie man ein Bein, welches am Rumpf des Pferdes mit einem Steigbügel quasi feststecke, verdrehen könne. Vielmehr überzeuge die sonst konstant wiedergegebene Aussage der Versicherten, wonach sie sich auf das Pferd geschwungen habe und das rechte Knie gestreckt gewesen sei. Von einer ruckartigen Drehbewegung mit einer gewissen Unkontrollierbarkeit sei nirgends die Rede. Ein ausserhalb des Körpers liegendes, objektiv feststellbares, sinnfälliges, unfallähnliches Ereignis sei nicht nachgewiesen, womit das Kriterium des äusseren Faktors nicht gegeben sei.
3.2.3 Die Hotela versucht in ihrer Eingabe ans kantonale Gericht wie auch in der letztinstanzlich eingereichten Beschwerde den Vorgang vom 21. November 2007 zu präzisieren. Sie vermutet, die Versicherte sei mit dem rechten Fuss in den Steigbügel gestiegen, habe sich mit dem linken Fuss abgestossen und gleichzeitig "mit den Händen am Sattel klammernd" nach oben gezogen, um dann bei gestrecktem rechtem Bein "das linke Bein mit Schwung in den Sattel" zu hieven. Als sie das rechte Bein gestreckt und den Knall im rechten Knie gehört habe, sei für kurze Zeit ihr ganzes Körpergewicht "im Steigbügel, also im rechten Bein unter voller Belastung des rechten Knies" gewesen. Das Aufsteigen auf ein Pferd werde möglichst rasch und kraftvoll ausgeführt, beinhalte eine Vielzahl nicht alltäglicher Bewegungen wie Strecken, Festhalten, Drehen, Ausbalancieren des Gleichgewichts, die den gesamten Körper, namentlich "das Knie des Beines, welches sich im Steigbügel befindet", in bedeutender Weise belasteten und könne entgegen der Auffassung der Vorinstanz keinesfalls mit alltäglichen Lebensverrichtungen verglichen werden.
3.3 Die Beschwerdegegnerin wendet gegen die präzisierende Schilderung des Ereignisses durch die Hotela zu Recht ein, dass diese nicht auf Angaben der Reiterin selber basieren. Es kann dahingestellt bleiben, ob die Versicherte von rechts, und damit zuerst mit dem rechten Fuss im Steigbügel, aufs Pferd gestiegen ist, obwohl bereits die Vorinstanz darauf hingewiesen hat, dass ein Pferd üblicherweise von links, zunächst also mit dem linken Fuss im Steigbügel, bestiegen wird. Fest steht jedenfalls aufgrund der Angaben der Versicherten, dass der Schmerz im Knie beim Durchstrecken des rechten Beins aufgetreten ist, ohne dass sie dabei das Knie verdreht hätte, wie dies einzig vom Hausarzt in seinem Bericht vom 26. Dezember 2007 vermerkt wird. Das Durchstrecken des Knies stellt allerdings eine alltägliche Lebensverrichtung dar. Aus den Akten ergeben sich zudem keine Hinweise auf einen Grund zur besonderen Eile der Versicherten beim Aufstieg oder auf andere Umstände, die für ein gesteigertes Gefährdungspotential sprechen würden. Somit fehlt es an einem einwirkenden äusseren Faktor. Eine unfallähnliche Körperschädigung ist demzufolge mit AXA und Vorinstanz zu verneinen, weshalb das kantonale Gericht die Ablehnung einer Leistungspflicht durch die Beschwerdegegnerin zu Recht bestätigt hat.
4. Ob und allenfalls zu welchen Teilen die Knieschädigung auf das Unfallereignis vom 10. Februar 2005 zurückzuführen ist, muss in diesem Verfahren nicht geklärt werden.
5. Die unterliegende, in Verfolgung von Vermögensinteressen handelnde und damit nicht unter den Ausnahmetatbestand von <ref-law> fallende Hotela hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>; <ref-ruling>). Als Organisation mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben hat die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegende AXA keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>; Urteil 8C_606/2007 E. 11 mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, S._, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Dezember 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Berger Götz