Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Am 20. Januar 2003 verurteilte das Strafgericht Basel-Stadt X._ (geb. 1941) wegen mehrfacher sexueller Handlungen mit einem Kind, mehrfacher versuchter sexueller Handlungen mit einem Kind, mehrfacher sexueller Nötigung, mehrfacher versuchter sexueller Nötigung sowie Entziehens von Unmündigen zu einer unbedingten Gefängnisstrafe von 12 Monaten. Es erachtete es als erwiesen, dass X._ diese Handlungen im August 2002 zum Nachteil von A. Y._ begangen hatte. X._ bestreitet die Vorwürfe.
Das Strafgericht erklärte ausserdem drei bedingte Vorstrafen von insgesamt 21 Monaten Gefängnis und zwei Tagen Haft für vollziehbar; darunter eine Freiheitsstrafe von 18 Monaten wegen mehrfacher, teilweise versuchter Sexualdelikte gegen Kinder.
Das Appellationsgericht Basel-Stadt bestätigte am 24. Mai 2004 dieses Urteil. Abweichend vom Strafgericht ging es von einer einmaligen (statt mehrfachen, teilweise versuchten) sexuellen Nötigung aus. Die Strafe beliess es unverändert. Für den Nachweis des in Frage gestellten Alters von A. Y._ stützte es sich auf ein Altersgutachten des Instituts für Rechtsmedizin der Universität Bern vom 24. Dezember 2002, wonach dieser zur Tatzeit "mit grosser Wahrscheinlichkeit" weniger als 16 Jahre alt gewesen sei.
Auf staatsrechtliche Beschwerde von X._ hob das Bundesgericht am 3. Dezember 2004 das Urteil des Appellationsgerichts auf, da erhebliche Zweifel am Alter von A. Y._ bestünden. Der auf das Altersgutachten gestützte Schluss, das Kind sei "mit grosser Wahrscheinlichkeit" jünger als 16 Jahre gewesen, reiche für eine Verurteilung nicht aus. Dies verletze die Unschuldsvermutung und den Grundsatz "in dubio pro reo" (1P.474/2004).
Das erneut mit der Sache befasste Appellationsgericht holte ein Ergänzungsgutachten ein und liess durch die Staatsanwaltschaft die Eltern von A. Y._ einvernehmen. Anlässlich der Gerichtsverhandlung vom 10. Juni 2005 spielte es Auszüge der Videobefragung A. Y._s vom 26. August 2002 ab, befragte X._ und gab seinem Verteidiger sowie der Staatsanwältin Gelegenheit zum Vortrag. Mit Urteil vom gleichen Tag bestätigte es den früheren Schuldspruch.
Das erneut mit der Sache befasste Appellationsgericht holte ein Ergänzungsgutachten ein und liess durch die Staatsanwaltschaft die Eltern von A. Y._ einvernehmen. Anlässlich der Gerichtsverhandlung vom 10. Juni 2005 spielte es Auszüge der Videobefragung A. Y._s vom 26. August 2002 ab, befragte X._ und gab seinem Verteidiger sowie der Staatsanwältin Gelegenheit zum Vortrag. Mit Urteil vom gleichen Tag bestätigte es den früheren Schuldspruch.
B. Gegen das Urteil vom 10. Juni 2005 führt X._ staatsrechtliche Beschwerde. Er beantragt dessen Aufhebung und die Rückweisung zur Neubeurteilung.
Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer ist durch den angefochtenen Entscheid in seinen rechtlich geschützten Interessen betroffen (Art. 88 OG). Er macht die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend (Art. 84 Abs. 1 lit. a OG). Dazu ist er befugt. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten, unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägungen.
1.2 Der Beschwerdeführer hat am 29. September 2005 eine Beschwerdeergänzung eingereicht. Sie kann keine Berücksichtigung finden, da sie nach Ablauf der Beschwerdefrist von 30 Tagen eingereicht wurde.
1.3 Das Bundesgericht hob das erste Urteil des Appellationsgerichts auf, weil es das Alter A. Y._s von unter 16 Jahren zur Tatzeit nicht als mit hinreichender Gewissheit nachgewiesen erachtete. A. Y._s Geburtsdatum ist für die Verurteilung wegen sexuellen Handlungen mit einem Kind unter 16 Jahren rechtserheblich (Art. 187 Ziff. 1 StGB).
1.3 Das Bundesgericht hob das erste Urteil des Appellationsgerichts auf, weil es das Alter A. Y._s von unter 16 Jahren zur Tatzeit nicht als mit hinreichender Gewissheit nachgewiesen erachtete. A. Y._s Geburtsdatum ist für die Verurteilung wegen sexuellen Handlungen mit einem Kind unter 16 Jahren rechtserheblich (Art. 187 Ziff. 1 StGB).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt, er habe A. Y._ keine Frage stellen können.
Diese Rüge hat er bereits im ersten Verfahren vor Appellationsgericht (Urteil vom 24. Mai 2004, Seite 6 ff., Ziff. 2) und vor Bundesgericht vorgebracht (Urteil 1P.474/2004 vom 3. Dezember 2004, E. 1.2 am Ende). Auf das Vorbringen war nicht einzutreten, weil es nicht hinreichend begründet war (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Die Sache beurteilt sich im vorliegenden Verfahren gleich, weshalb auf die Rüge nicht einzutreten ist.
2.2 Der Beschwerdeführer bringt vor, die Eltern von A. Y._ hätten den Strafantrag zurückgezogen. Daher ist der Schuldspruch wegen Entziehens von Unmündigen aufzuheben bzw. das Strafmass zu reduzieren.
Nach Art. 31 Abs. 1 StGB kann der Berechtigte seinen Strafantrag zurückziehen, solange das Urteil erster Instanz nicht verkündet ist. Das Urteil des Strafgerichts datiert vom 20. Januar 2003. Die Eltern haben ihren Strafantrag am Ende der Einvernahme vom 21. Februar 2005 zurückgezogen. Da das erstinstanzliche Urteil mehr als zwei Jahre vor diesem Zeitpunkt verkündet wurde, trifft der Schluss des Appellationsgerichts zu, wonach der Rückzug des Strafantrags prozessual verspätet und damit unbeachtlich ist (angefochtenes Urteil S. 6). Eine Verletzung von Verfassungsrecht ist nicht ersichtlich.
2.3 Der Beschwerdeführer fragt, warum sein Antrag auf Einvernahme von D._ und E._ als Zeugen abgelehnt worden sei.
Falls dies als Rüge zu verstehen ist, legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern seine verfassungsmässigen Rechte beeinträchtigt wären (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Er setzt sich nicht mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinander, wonach die beantragten Zeugenaussagen weder das wirkliche Alter von A. Y._ geändert, noch den Beschwerdeführer ermächtigt hätten, sich auf die falsche Altersangabe zu verlassen. Es ist auch nicht ersichtlich, dass das Appellationsgericht durch diese vorweggenommene Beweiswürdigung in Willkür verfallen wäre (<ref-ruling> E. 4a S. 211).
2.4 Der Beschwerdeführer macht geltend, "viele Einvernahmen und Protokolle" seien falsch. Er bezeichnet aber keine konkreten Stellen.
Es ist im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde nicht Sache des Bundesgerichts, die Akten nach Anhaltspunkten durchzusehen, welche die Rüge des Beschwerdeführers stützen könnten. Aus dessen Begründungspflicht folgt, dass er die Aktenstelle selber genau zu bezeichnen hat (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Da er dies unterlässt, ist auf die Rüge nicht einzutreten.
Es ist im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde nicht Sache des Bundesgerichts, die Akten nach Anhaltspunkten durchzusehen, welche die Rüge des Beschwerdeführers stützen könnten. Aus dessen Begründungspflicht folgt, dass er die Aktenstelle selber genau zu bezeichnen hat (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Da er dies unterlässt, ist auf die Rüge nicht einzutreten.
3. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die im zweiten Verfahren vor Appellationsgericht erhobenen Beweise:
3.1 Er richtet sich gegen die Aussagen von Vater und Mutter B. und C. Y._, ihr Sohn A. Y._ sei am 1. Januar 1987 geboren. Die Eltern hätten an diesem Datum festhalten müssen, um ihre früheren Angaben gegenüber der Einwohnerbehörde zu bestätigen; sie hätten "vielleicht" bei den Behörden in der Schweiz den 1. Januar 1987 angegeben, weil sie keine Papiere gehabt hätten.
Bei der Beweiswürdigung steht dem kantonalen Gericht ein weiter Ermessensspielraum zu. Das Bundesgericht prüft diese bloss auf Willkür hin. Es greift nur ein, wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offenkundigen Versehen beruht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 1b S. 30).
Das Appellationsgericht hat die Eltern durch die Staatsanwaltschaft einvernehmen lassen und dem Beschwerdeführer durch die Anwesenheit seines Verteidigers das rechtliche Gehör gewährt. Es erwog, die Aussagen der Eltern seien glaubhaft, da sie keine Rachegedanken gegen den Beschwerdeführer hegten und die Angaben des Vaters über die Geburtstage seiner Frau und fünf Kinder mit den Eintragungen bei den Einwohnerdiensten Basel-Stadt übereinstimmten. Eine Geburt am 1. Januar sei gleich wahrscheinlich wie an einem anderen Tag.
Die Würdigung des Appellationsgerichts ist aufgrund der genannten Umstände nicht willkürlich. Der Beschwerdeführer vermag keinen Grund nachzuweisen, wieso an den Aussagen der Eltern zu zweifeln wäre. Sein Vorbringen, die Eltern hätten "vielleicht" gegenüber der Einwohnerbehörde ein falsches Datum angegeben, stellt eine blosse Mutmassung dar. Gestützt darauf kann nicht angenommen werden, dass die Eltern dem Gericht unter Strafdrohung falschen Zeugnisses (Art. 307 StGB; act. 1027, 1033) ein unzutreffendes Geburtsdatum genannt haben.
Nach dem Gesagten ist die Beweiswürdigung des Appellationsgerichts nicht offensichtlich unhaltbar und die Willkürrüge somit unbegründet.
3.2 Der Beschwerdeführer bringt vor, das Altersgutachten genüge für einen Schuldspruch nicht, da die Wahrscheinlichkeit, dass A. Y._ zur Tatzeit noch nicht 16-jährig gewesen sei, nur 50 bis 75 Prozent betrage und die Altersbeurteilung wegen seiner Herkunft und Lebensbedingungen unsicher sei.
Im Ergänzungsgutachten vom 27. Januar 2005 räumen die Gutachter ein, dass ein exakter Altersnachweis nicht möglich ist. Über den Einfluss von Herkunft und Lebensbedingungen führen sie aus, eine Verzögerung der Knochenreifung A. Y._s sei aufgrund seiner Zugehörigkeit zu einer sozioökonomisch schwachen Bevölkerungsgruppe nicht auszuschliessen. Andererseits zeige eine Studie, dass härtere Lebensbedingungen keine relevanten Verzögerungen bewirkten. Die Formel "mit grosser Wahrscheinlichkeit" bedeute in Zahlen, dass A. Y._ die Altersgrenze von 16 Jahren zur Tatzeit mit einer Wahrscheinlichkeit von deutlich über 50, eher 75 Prozent noch nicht überschritten hatte. Insgesamt machen die Gutachter deutlich, dass sie das Alter bloss schätzen und den Einfluss von Herkunft und Lebensbedingungen auf die Alterung nicht eindeutig bestimmen können.
Die ergänzenden Ausführungen vermögen die im Gutachten angegebene Wahrscheinlichkeit nicht zu erhöhen, weshalb dieses als alleiniger Nachweis für das Alter nicht ausreicht. Entscheidend ist jedoch nicht die isolierte Betrachtung des Altersgutachtens, sondern eine Gesamtwürdigung aller Indizien für das Geburtsdatum von A. Y._.
3.3 Das Appellationsgericht hat ein zweites Verfahren durchgeführt, ergänzende Beweise erhoben und die gesamten Umstände nochmals gewürdigt. Es kam zum Schluss, dass am Geburtsdatum vom 1. Januar 1987 "keinerlei Zweifel" bestünden.
Als Beweiswürdigungsregel besagt der aus der Unschuldsvermutung (Art. 32 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 2 EMRK) abgeleitete Grundsatz "in dubio pro reo", dass sich der Strafrichter nicht von einem für den Angeklagten ungünstigen Sachverhalt überzeugt erklären darf, wenn bei objektiver Betrachtung Zweifel bestehen, ob sich der Sachverhalt so verwirklicht hat. Die Maxime ist verletzt, wenn der Strafrichter an der Schuld des Angeklagten hätte zweifeln müssen. Dabei sind bloss abstrakte und theoretische Zweifel nicht massgebend, weil solche immer möglich sind und absolute Gewissheit nicht verlangt werden kann. Es muss sich um erhebliche und nicht zu unterdrückende Zweifel handeln, d.h. um solche, die sich nach der objektiven Sachlage aufdrängen. Bei der Frage, ob angesichts des willkürfreien Beweisergebnisses erhebliche und nicht zu unterdrückende Zweifel hätten bejaht werden müssen und sich der Sachrichter vom für den Angeklagten ungünstigen Sachverhalt nicht hätte überzeugt erklären dürfen, greift das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung ein, da der Sachrichter diese in Anwendung des Unmittelbarkeitsprinzips zuverlässiger beantworten kann (Urteil 1P.428/2003 vom 8. April 2004, E. 4.2; <ref-ruling> E. 2a S. 41).
3.4 In der Begründung des ersten Urteils führte das Appellationsgericht das Altersgutachten (act. 736-739) an, wonach A. Y._s Alter im August 2002 "mit grosser Wahrscheinlichkeit" unter 16 Jahren lag. Ergänzend stützte es sich auf die Aussage A. Y._s, wonach der Beschwerdeführer sein Alter (gemeint: unter 16 Jahren) kannte (act. 393). Zudem wirkte A. Y._ nach der Einschätzung des Appellationsgerichts erheblich jünger als 16 Jahre. Festgehalten ist sein damaliges Aussehen auf der Videoaufnahme vom 26. August 2002 (act. 403a), welche sich das Appellationsgericht in beiden Verfahren angesehen hat.
Im zweiten Verfahren traten folgende Indizien für das Geburtsdatum vom 1. Januar 1987 hinzu oder erscheinen erstmals in der Urteilsbegründung:
- Die im erwähnten Gutachten ausgedrückte "grosse Wahrscheinlichkeit" liegt gemäss Ergänzungsgutachten (act. 1014) deutlich über 50, eher bei 75 Prozent.
- Die Aussagen von A. Y._s Eltern, wonach er am 1. Januar 1987 in einem Spital eines Dorfes, das zur Stadt Péja im Kosovo gehöre, geboren und in einem Stadtteil von Péja angemeldet worden sei (act. 1028, 1034). Das Appellationsgericht erachtete die Zeugen als glaubwürdig. Sie hegten keine Rachegedanken gegenüber dem Beschwerdeführer, weil sie den Strafantrag wegen Entziehens von Unmündigen zurückgezogen hätten.
- Die amtliche Eintragung des Geburtsdatums 1. Januar 1987 bei den Basler Behörden (act. 1041).
- Der Vater hat anlässlich der Befragung vom 21. Februar 2005 die Geburtstage seiner Frau und fünf Kinder angegeben. Ausser A. Y._ ist keines dieser Familienmitglieder an einem 1. Januar geboren. Die Angaben des Vaters stimmen mit jenen der Basler Einwohnerbehörde überein (act. 1032, 1041-1045).
- Der Beschwerdeführer ist einschlägig vorbestraft wegen Sexualdelikten mit Kindern. In den Akten finden sich zudem weitere Hinweise, wonach der Beschwerdeführer pädophil sei. Dies bedeutet nach dem Appellationsgericht, dass sich der Beschwerdeführer nicht für A. Y._ interessiert hätte, wenn dieser älter als 16 Jahre gewesen wäre.
- Der Beschwerdeführer hat in der Verhandlung vom 10. Juni 2005 ausgesagt, A. Y._ sei jetzt 18 Jahre alt gewesen (act. 1067). Nach dem Appellationsgericht hat er damit unbewusst bestätigt, dass A. Y._ zur Tatzeit unter 16 Jahre alt war und der Beschwerdeführer dies wusste.
Das Appellationsgericht hat im zweiten Verfahren die Beweise erweitert (Befragung der Eltern, Erkundigung bei den Einwohnerbehörden, Einholung eines Ergänzungsgutachtens, erneute Durchführung einer mündlichen Gerichtsverhandlung) und neu gewürdigt, so dass der Schuldspruch nunmehr breiter abgestützt ist. Bei der Würdigung sämtlicher, auch der neu erhobenen Beweise verletzt die Ansicht des Appellationsgerichts, A. Y._ sei zur Tatzeit ohne Zweifel unter 16 Jahre alt gewesen, kein Verfassungsrecht. Der Grundsatz "in dubio pro reo" wurde nicht verletzt.
Das Appellationsgericht hat im zweiten Verfahren die Beweise erweitert (Befragung der Eltern, Erkundigung bei den Einwohnerbehörden, Einholung eines Ergänzungsgutachtens, erneute Durchführung einer mündlichen Gerichtsverhandlung) und neu gewürdigt, so dass der Schuldspruch nunmehr breiter abgestützt ist. Bei der Würdigung sämtlicher, auch der neu erhobenen Beweise verletzt die Ansicht des Appellationsgerichts, A. Y._ sei zur Tatzeit ohne Zweifel unter 16 Jahre alt gewesen, kein Verfassungsrecht. Der Grundsatz "in dubio pro reo" wurde nicht verletzt.
4. Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege (Art. 152 Abs. 1 OG). Seine Bedürftigkeit ergibt sich aus den Akten. Es kann dahingestellt bleiben, ob die Beschwerde als aussichtslos bezeichnet werden müsste: Angesichts der offensichtlichen Uneinbringlichkeit ist von einer Gerichtsgebühr abzusehen (Art. 154 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es wird keine Gerichtsgebühr erhoben.
2. Es wird keine Gerichtsgebühr erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Dezember 2005
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: