Ausschaffungshaft gemäss Art. 13b ANAG, hat sich ergeben:
A.- A._, geb. 22. Februar 1979, ist angeblich Staatsangehöriger von Liberia. Im Jahre 1997 stellte er erfolglos drei Asylgesuche in der Schweiz. Nach eigener Darstellung reiste er am 15. März 1999 erneut illegal in die Schweiz ein und ersuchte wiederum um Asyl. Am 15. April 1999 trat das Bundesamt für Flüchtlinge auf dieses vierte Gesuch nicht ein und forderte A._ auf, die Schweiz bis zum 29. April 1999 zu verlassen. Gleichzeitig entzog es einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. Am 15. Juni 1999 trat die Schweizerische Asylrekurskommission auf eine gegen den Nichteintretensentscheid des Bundesamtes gerichtete Beschwerde nicht ein, und am 28. Juli trat es auch nicht auf ein Revisionsgesuch ein.
Am 28. September 1999 wurde A._ im Kanton Solothurn wegen Verdachts der Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz in Untersuchungshaft genommen. Aus dieser Haft wurde er am 10. Dezember 1999 entlassen und dem Amt für öffentliche Sicherheit, Ausländerfragen, des Kantons Solothurn zugeführt. Dieses verfügte am 13. Dezember 1999 die Ausschaffungshaft bis längstens zum 10. Februar 2000. Am 14. Dezember 1999 prüfte und bestätigte das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Ausschaffungshaft.
B.- Mit handschriftlicher Eingabe in englischer Sprache vom 15. Dezember 1999 wendet sich A._ an das Bundesgericht.
Er macht sinngemäss geltend, es sei nicht fair und verstosse gegen die Menschenrechte, ihn für weitere zwei Monate zu inhaftieren.
Das Verwaltungsgericht und das Amt für öffentliche Sicherheit, Ausländerfragen, des Kantons Solothurn schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement hat sich innert Frist nicht vernehmen lassen. A._ nahm die Gelegenheit nicht wahr, sich nochmals zur Sache zu äussern.
C.- Mit Schreiben vom 29. Dezember 1999 forderte das präsidierende Mitglied der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts den Präsidenten des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn auf, bis spätestens zum 3. Januar 2000 das Protokoll der Haftrichterverhandlung einzureichen, was auch gelte, falls bloss handschriftliche Notizen vorlägen. Mit Schreiben vom 30. Dezember 1999 teilte der Gerichtsschreiber des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn dem Bundesgericht mit, unmittelbar im Anschluss an die Parteiverhandlung würden die Aussagen im teilweise vorbereiteten Urteilsentwurf festgehalten. Darauf werde in den nachfolgenden Erwägungen Bezug genommen, und das Urteil werde dem Ausländer mündlich eröffnet und gleichzeitig in schriftlicher Ausfertigung ausgehändigt. Es erübrige sich daher nach Ansicht des Verwaltungsgerichts, den Akten ein separat angefertigtes Protokoll beizufügen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu Art. 4 aBV erschöpft sich der Anspruch auf rechtliches Gehör nicht darin, dass sich die Parteien zur Sache äussern und Beweisanträge stellen können. Das rechtliche Gehör ist nur dann gewahrt, wenn das Gericht die Ausführungen und Eingaben auch tatsächlich zur Kenntnis nimmt und pflichtgemäss würdigt. Dafür besteht aber nur Gewähr, wenn die Ausführungen und Eingaben der Parteien und allfälliger Dritter (Zeugen, Sachverständige usw. ) zu Protokoll genommen werden. Dies bedeutet allerdings nicht, dass insbesondere sämtliche Parteiäusserungen zu protokollieren sind. Das Protokoll kann sich auf die für die Entscheidfindung im konkreten Fall wesentlichen Punkte beschränken. In diesem Umfang besteht eine Protokollierungspflicht nicht nur aus der Sicht der Parteien, sondern auch der am Entscheid beteiligten Richter, namentlich wenn bestimmte Verfahrensschritte dem Präsidenten oder einem delegierten Richter obliegen (<ref-ruling> E. 4a). Es kann hier offen bleiben, ob im vorliegenden Fall Art. 4 aBV oder Art. 29 Abs. 2 nBV anwendbar ist, ergibt sich doch für die hier zu beantwortende Frage der Protokollierungspflicht kein Unterschied.
Eines Protokolls bedarf es sodann auch im Hinblick auf die allenfalls zum Entscheid angerufene obere Instanz. Gemäss Art. 13c Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142. 20) sind die Rechtmässigkeit und die Angemessenheit der ausländerrechtlichen Administrativhaft spätestens nach 96 Stunden durch eine richterliche Behörde aufgrund einer mündlichen Verhandlung zu überprüfen. Gegen den letztinstanzlichen kantonalen Haftentscheid kann Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht geführt werden. Die-sem Umstand muss bei der Gestaltung des kantonalen Verfahrens und Urteils Rechnung getragen werden (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 371 f.). Insbesondere ist über die Verhandlung ein schriftliches Protokoll zu erstellen (<ref-ruling> E. 1).
Zweck dieser Protokollierungspflicht ist es, sicherzustellen, dass das Bundesgericht die Sachverhaltsfeststellungen der kantonal letztinstanzlichen Gerichtsbehörde überprüfen kann, soweit ihm dies in Anwendung von Art. 105 Abs. 2 OG zusteht. Gemäss dieser Bestimmung ist das Bundesgericht an die Feststellung des Sachverhaltes gebunden, wenn - wie hier - eine richterliche Behörde als Vorinstanz den Sachverhalt nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen erhoben hat. Ob eine solche Ausnahme vorliegt, muss das Bundesgericht aber überprüfen können. Ausgeschlossen ist sodann die Berücksichtigung neuer tatsächlicher Vorbringen bzw. nachträglicher Veränderungen des Sachverhalts (<ref-ruling> E. 3a, mit Hinweisen), was das Bundesgericht ebenfalls beurteilen können muss. Ohne Protokoll der Haftrichterverhandlung ist dies selbst dann nicht möglich, wenn einzelne Aussagen direkt in die Urteilsbegründung integriert werden, da damit bereits ein Interpretationsvorgang verbunden ist und sich diesfalls weder die Vollständigkeit der Aussagen noch deren ursprünglicher Gehalt als solcher überprüfen lassen.
Im Übrigen findet diese bundesrechtliche Protokollierungspflicht im kantonalen solothurnischen Recht ihre Entsprechung. Die Verordnung über Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht vom 14. Mai 1996 äussert sich dazu zwar nicht. Hingegen verweist § 58 des Gesetzes vom 15. November 1970 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen (Verwaltungsrechtspflegegesetz) für das Verfahren vor den Verwaltungsgerichtsbehörden ergänzend sinngemäss auf die Vorschriften der Zivilprozessordnung unter dem Vorbehalt besonderer Vorschriften der Spezialgesetzgebung. Nach § 65 der Zivilprozessordnung vom 11. September 1966 führt der Gerichtsschreiber über jede Verhandlung ein Protokoll. Dass diese Vorschrift für die gerichtliche Überprüfung von ausländerrechtlicher Administrativhaft nicht gelten sollte, ist nicht ersichtlich.
b) Im vorliegenden Fall findet sich in den Akten kein Protokoll der Haftrichterverhandlung vom 14. Dezember 1999. Gemäss dem Schreiben des Gerichtsschreibers des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 30. Dezember 1999 wurde ein solches auch nicht geführt, sondern die Aussagen des Beschwerdeführers wurden direkt in die Begründung des Haftrichterurteils aufgenommen. In der Tat befindet sich in der zweiten Erwägung des angefochtenen Entscheids eine entsprechende Zusammenfassung. Auch wenn mit dem urteilenden Richter und dem beteiligten Gerichtsschreiber alle Personen, welche das zuständige Gericht bilden, an der fraglichen Gerichtsverhandlung anwesend waren und unmittelbar von den Aussagen der Parteien Kenntnis nehmen konnten, genügt dies, wie dargelegt, aber jedenfalls im Hinblick auf die Beschwerdemöglichkeit vor dem Bundesgericht nicht, um ein eigentliches Protokoll zu ersetzen.
c) Das Bundesgericht hat über den Mangel fehlender Protokolle im Zusammenhang mit der ausländerrechtlichen Administrativhaft ausnahmsweise dann hinweggesehen, wenn der Ausländer das Fehlen des Protokolls nicht rügte, keine Sachfragen strittig waren, deren Klärung ein solches Protokoll voraussetzten, und sich auch nicht die Frage stellte, ob unzulässige neue tatsächliche Vorbringen geltend gemacht wurden (<ref-ruling> E. 1; unveröffentlichte Urteile vom 16. März 1998 i.S. B._ und vom 22. Juni 1995 i.S. C._). Diese Voraussetzungen gelten auch im vorliegenden Fall. Sodann dürfen allfällige Unklarheiten in tatsächlicher Hinsicht, die auf das Fehlen des Protokolls zurückgehen, sich nicht zulasten des Beschwerdeführers auswirken. So oder so wird das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn indessen aufgefordert, über künftige Verhandlungen in Fällen ausländerrechtlicher Administrativhaft ein angemessenes Protokoll zu erstellen, ansonsten künftig Rückweisungen oder die Auferlegung der Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens in Betracht gezogen werden müssten.
Die Protokollierungspflicht ist für das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn im Übrigen nicht neu. Abgesehen von <ref-ruling> E. 1 hat das Bundesgericht vom Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn bereits im Fall D._ (Urteil des Bundesgerichts vom 15. Oktober 1999) unter Hinweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung ein Protokoll verlangt, wobei damals wenigstens Handnotizen eingereicht werden konnten.
2.- a) Die zuständige Behörde kann einen Ausländer in Ausschaffungshaft nehmen, soweit die Voraussetzungen von Art. 13b ANAG erfüllt sind. Danach ist erforderlich, dass ein erstinstanzlicher, nicht notwendigerweise auch rechtskräftiger Weg- oder Ausweisungsentscheid vorliegt (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 61; <ref-ruling> ff.), dessen Vollzug (z.B. wegen fehlender Reisepapiere) noch nicht möglich, jedoch absehbar ist (<ref-ruling> E. 3a S. 374, 377 E. 2a S. 379). Zudem muss einer der in Art. 13b Abs. 1 ANAG genannten Haftgründe bestehen (<ref-ruling> E. 3a S. 374, 377 E. 3a S. 381; <ref-ruling> E. 1 S. 3). Nach Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG kann Ausschaffungshaft insbesondere verfügt werden, wenn konkrete Anzeichen befürchten lassen, dass sich der Ausländer der Ausschaffung entziehen will (Gefahr des Untertauchens). Das trifft namentlich zu, wenn der Ausländer bereits einmal untergetaucht ist, behördlichen Anordnungen keine Folge leistet, durch erkennbar unglaubwürdige und widersprüchliche Angaben die Vollzugsbemühungen der Behörden erschwert oder sonst wie klar zu erkennen gibt, keinesfalls in sein Herkunftsland zurückkehren zu wollen (<ref-ruling> E. 3b/aa S. 375). Bei einem straffälligen Ausländer ist eher als bei einem unbescholtenen davon auszugehen, er werde in Zukunft behördliche Anordnungen missachten (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2b S. 198).
b) Gegenstand des Entscheids des Haftrichters ist einzig die Rechtmässigkeit und Angemessenheit der Haftanordnung (vgl. Art. 13c Abs. 2 ANAG). Vor dem Bundesgericht stellt sich damit lediglich die Frage der Rechtmässigkeit der Haft (vgl. Art. 104 lit. a und c OG). Namentlich ist das Bundesgericht in keiner Weise (auch nicht als Beschwerdeinstanz) zuständig, Asylbegehren zu beurteilen (vgl. insbes. Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 OG). Auch den Wegweisungsentscheid kann es nur dann überprüfen, wenn er offensichtlich rechtswidrig ist (vgl. Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 OG sowie <ref-ruling> E. 2c).
Der Beschwerdeführer gelangt teilweise, insbesondere im Zusammenhang mit der angeblichen Unzumutbarkeit einer Ausreise nach Liberia, mit Argumenten an das Bundesgericht, die den Asyl- bzw. Wegweisungsentscheid betreffen. Insoweit kann auf die Eingabe somit nicht eingetreten werden, zumal die dem Beschwerdeführer auferlegte Wegweisung nicht offensichtlich rechtswidrig ist. Auch die behaupteten Geschehnisse in Guinea im Zusammenhang mit dem Bruder des Beschwerdeführers sind im vorliegenden Verfahren nicht massgeblich.
3.- a) Gegen den Beschwerdeführer liegt ein - sogar rechtskräftiger - Wegweisungsentscheid des Bundesamts für Flüchtlinge vor, dessen Vollzug zurzeit mangels Reisepapieren nicht möglich ist, von den Behörden aber angestrebt wird. Die kantonalen Behörden stützen die fragliche Ausschaffungshaft auf den Haftgrund der Untertauchensgefahr. In der Begründung des angefochtenen Urteils wird dazu Bezug genommen auf den gegen den Beschwerdeführer bestehenden Verdacht der Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und die entsprechende Untersuchungshaft, auf die widersprüchlichen Angaben des Beschwerdeführers zu seiner Herkunft sowie auf den Umstand, dass er auf keinen Fall in sein Heimatland zurückkehren wolle. Das Amt für öffentliche Sicherheit, Ausländerfragen, des Kantons Solothurn führt zusätzlich aus, der Beschwerdeführer sei bereits einmal untergetaucht.
b) Es ist nicht ersichtlich, dass der Beschwerdeführer seit seiner letzten Einreise untergetaucht ist. Bis zum Revisionsentscheid der Asylrekurskommission vom 28. Juli 1999 scheint er jedenfalls über seinen Rechtsvertreter erreichbar gewesen zu sein. In einer Telefon- und Aktennotiz des Amts für öffentliche Sicherheit, Ausländerfragen, vom 18. Juni 1999 wird sodann ausdrücklich ausgeführt, der Beschwerdeführer sei zwar "immer unterwegs", erscheine aber jeweils zur Auszahlung der Fürsorgeleistungen. Auch in einer weiteren Handnotiz vom 3. September 1999 ist festgehalten, der Beschwerdeführer sei "noch da", namentlich bei den Auszahlungen. Hingegen lässt sich den Akten entnehmen, dass der Beschwerdeführer am 14. August 1998 nach einem früheren Asylentscheid verschwunden bzw. als vermisst gemeldet worden war.
c) Der Beschwerdeführer ist am 28. September 1999 wegen Verdachts des Verstosses gegen das Betäubungsmittelgesetz und Kollusionsgefahr in Untersuchungshaft genommen worden. Gemäss dem angefochtenen Entscheid sowie der Verfügung des Amts für öffentliche Sicherheit, Ausländerfragen, vom 13. Dezember 1999 wird ihm der Handel mit rund 80 Gramm Kokain vorgeworfen, wobei dies, soweit ersichtlich, in den fremdenpolizeilichen Akten durch kein Dokument der Strafverfolgung erstellt ist. Am 10. Dezember 1999 ist der Beschwerdeführer aus der Untersuchungshaft wieder entlassen worden, nachdem der zuständige Sachbearbeiter den Untersuchungsrichter nicht mehr über den Stand der Ermittlungen informiert hatte. Wieweit sich dieses Strafverfahren - mit Blick auf Art. 13a lit. e in Verbindung mit Art. 13b Abs. 1 lit. b ANAG - im Hinblick auf die Feststellung von Untertauchensgefahr gemäss Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG würdigen lässt, kann offen bleiben. Aus dem Asylentscheid vom 15. April 1999 geht jedenfalls hervor, dass der Beschwerdeführer bereits früher zweimal wegen Betäubungsmitteldelikten verurteilt worden ist.
d) Das Verwaltungsgericht scheint aus dem Umstand, dass der Beschwerdeführer bei der Befragung durch das Amt für öffentliche Sicherheit, Ausländerfragen, vom 10. Dezember 1999 wie bereits früher behauptet hat, er stamme aus Liberia, könne aber durch seinen Bruder Papiere für eine Einreise nach Guinea erhalten, ein widersprüchliches Verhalten abzuleiten. Gemäss der Zusammenfassung der Befragung durch das Verwaltungsgericht im angefochtenen Entscheid soll der Beschwerdeführer aber auch ausgesagt haben, in Guinea würden etwa zwei Millionen Liberianer leben. Ob insofern ein Zusammenhang besteht, kann mangels Protokolls nicht nachvollzogen werden, weshalb dieser Umstand nicht zulasten des Beschwerdeführers gewürdigt werden darf.
Indessen ist die allgemeine Feststellung des Verwaltungsgerichts, der Beschwerdeführer habe "wiederholt bezüglich seiner Herkunft widersprüchliche Angaben gemacht", nicht zu beanstanden. Das Verwaltungsgericht verweist dazu ausdrücklich auf den Asylentscheid vom 15. April 1999, worin festgehalten ist, der Beschwerdeführer habe sich zu seiner Herkunft widersprüchlich, unsubstantiiert und tatsachenwidrig geäussert und verheimliche seine wahre Identität. Im Übrigen haben die Behörden die notwendigen Schritte unternommen, um die Herkunft das Beschwerdeführers genauer abzuklären; namentlich wurde am 29. Oktober 1999 ein Sprachtest durchgeführt, dessen Ergebnis freilich noch aussteht.
e) Gemäss dem angefochtenen Urteil soll der Beschwerdeführer vor dem Verwaltungsgericht ausgesagt haben, "Monrovia sei ... für ihn viel zu gefährlich, er würde getötet oder ins Gefängnis gesteckt; ... lieber bleibe er im Gefängnis hier in der Schweiz; .. grundsätzlich wolle er nicht in der Schweiz bleiben". Das Verwaltungsgericht schliesst aus dieser etwas wirren (oder unklar wiedergegebenen) Aussage, der Beschwerdeführer wolle auf keinen Fall in sein Heimatland zurückkehren. So wie die Aussage im angefochtenen Entscheid erscheint, ist diese Folgerung aber nicht zulässig; die Aussage kann auch bedeuten, dass der Beschwerdeführer die Verhältnisse in einem schweizerischen denjenigen in einem liberianischen Gefängnis vorzieht. Was er vor dem Verwaltungsgericht genau gesagt hat, lässt sich erneut mangels Protokolls nicht überprüfen.
In seiner Beschwerdeschrift an das Bundesgericht führt der Beschwerdeführer freilich aus, nicht nach Liberia zurückkehren zu können und es vorzuziehen, im Gefängnis zu bleiben, um zu sterben, als nach Liberia zu gehen und sofort zu sterben ("Now frankly speaking, I cannot go back to Liberia, and I prefer to stay in prison to die, then go to Liberia and die now. "). Aus der klaren Aussage, nicht nach Liberia zurückkehren zu können, lässt sich nunmehr tatsächlich schliessen, dass der Beschwerdeführer dazu auch nicht bereit ist. Insofern kann die entsprechende tatsächliche Feststellung des Verwaltungsgerichts aufgrund der Beschwerdeschrift vor Bundesgericht nicht als offensichtlich unrichtig beurteilt werden.
f) Wie das Amt für öffentliche Sicherheit, Ausländerfragen, in seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht ausführt, war der Beschwerdeführer während der Untersuchungshaft sehr kooperativ. Er habe um Hilfe gebeten, baldmöglichst nach Afrika zurückzukehren. Mit Hilfe seines Bruders wollte er einen Laissez-passer organisieren, woraufhin der Beschwerdeführer zweimal mit seinem angeblichen Bruder telefonieren konnte. An der Verhandlung vor dem Verwaltungsgericht soll der Beschwerdeführer ausgesagt haben, "sein Bruder sei in Guinea in Schwierigkeiten geraten, als er dort versuchte, für ihn ein Laissez-passer zu bekommen". Diese Darstellung, die erneut nicht protokolliert ist, wird durch die Beschwerdeschrift an das Bundesgericht immerhin bestätigt, worin der Beschwerdeführer angibt, sein Bruder sei im Zusammenhang mit der Beschaffung eines Reisepapieres für ihn in Guinea zu drei Jahren Haft verurteilt worden. Dieser Wechsel im Verhalten des Beschwerdeführers ist zumindest seltsam und lässt sich wenigstens als Anhaltspunkt dafür würdigen, dass der Beschwerdeführer nicht wirklich kooperativ ist und eine gewisse Bereitschaft zeigt, die Behörden zu täuschen.
Ein weiterer entsprechender Anhaltspunkt findet sich im Festnahmerapport vom 28. September 1999. Darin ist festgehalten, der Beschwerdeführer habe sich gegen die Anhaltung zur Wehr gesetzt, wobei es zu einem Handgemenge gekommen sei. Auch dies weist darauf hin, dass er sich nicht ohne weiteres behördlichen Anordnungen und Handlungen zu unterziehen bereit ist.
g) Zusammenfassend ergibt sich, dass die Folgerungen des Verwaltungsgerichts teilweise auf unvollständigen und nicht genügend gesicherten tatsächlichen Feststellungen beruhen, wobei namentlich das Fehlen eines Protokolls der Haftrichterverhandlung zum Ungenügen der Sachverhaltsfeststellung beiträgt. Das Bundesgericht kann indessen die tatsächlichen Feststellungen, soweit es in Anwendung von Art. 105 Abs. 2 OG nicht daran gebunden ist, überprüfen (Art. 105 Abs. 1 OG) und damit auch gestützt auf die vorliegenden Akten und die Rechtsschriften, namentlich die Ausführungen des Beschwerdeführers in seiner Beschwerdeschrift selber, ergänzen (vgl. <ref-ruling> E. 2e). Diese Unterlagen lassen wenigstens die Feststellung zu, dass es sich beim Beschwerdeführer - jedenfalls aus früheren Strafverfahren - um einen Straftäter handelt, dass er sich wiederholt widersprüchlich verhalten hat, dass er sich gegenüber den Behörden nicht wirklich kooperativ zeigt und sich auch schon gegen behördliche Handlungen gewehrt hat bzw. schon einmal untergetaucht ist. Auch wenn nicht auf alle vom Verwaltungsgericht angeführten Gründe abgestellt werden kann, rechtfertigt sich damit insgesamt die Folgerung doch, der Beschwerdeführer würde sich der Ausschaffung entziehen. Der Haftgrund der Untertauchensgefahr erweist sich daher im Ergebnis als erstellt.
4.- a) Der Beschwerdeführer wendet sich schliesslich auch gegen die Dauer der angeordneten Haft. Insbesondere macht er geltend, mit den verfügten zwei Monaten Ausschaffungshaft insgesamt auf bereits fünf Monate Inhaftierung zu kommen. Sinngemäss beruft er sich dabei auf den Grundsatz der Verhältnismässigkeit.
b) Der Beschwerdeführer scheint noch immer die strafprozessuale Untersuchungshaft nicht von der ausländerrechtlichen Ausschaffungshaft unterscheiden zu können. Es ist daher festzuhalten, dass es sich bei der abgesessenen Untersuchungshaft um eine Massnahme der Strafverfolgung handelte, die auf einer anderen gesetzlichen Grundlage beruhte, einem anderen Zweck, nämlich eben der Strafverfolgung, diente und inzwischen beendet ist. Im vorliegenden Verfahren geht es demgegenüber um fremdenpolizeiliche und damit administrative Haft zwecks Vollzugs der dem Beschwerdeführer auferlegten Wegweisung. Nach Art. 13b Abs. 2 ANAG darf Ausschaffungshaft erstmalig höchstens drei Monate dauern. Die Festlegung der Haftdauer auf zwei Monate im vorliegenden Fall erweist sich unter Berücksichtigung der gegebenen Umstände nicht als unverhältnismässig. Mit der Ausschaffung wird die Haft im Übrigen jederzeit beendet, allenfalls auch vor Ablauf der vorläufig festgelegten Haftdauer von zwei Monaten. Es liegt am Beschwerdeführer selber, das Nötige dazu beizutragen.
5.- a) Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
b) Bei diesem Verfahrensausgang würde der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Es rechtfertigt sich jedoch mit Blick auf seine finanziellen Verhältnisse, von der Erhebung einer Gerichtsgebühr abzusehen (Art. 153a Abs. 1 OG). Hingegen stellt sich vorliegend ernsthaft die Frage, ob dem Kanton Solothurn nicht die Kosten aufzuerlegen sind, weil das Verwaltungsgericht es unterliess, ein Protokoll zu erstellen und gerade auch deshalb - wie sich zeigt - für das Bundesgericht ein erheblicher Mehraufwand entstand (Art. 156 Abs. 6 OG). Indessen kann es vorderhand nochmals bei einer klaren War-nung sein Bewenden haben. Sollte sich jedoch wiederholen, dass bei einem weiteren Fall wiederum kein angemessenes Protokoll erstellt wird, könnte wohl von einer Rückweisung oder einer allfälligen Kostenauflage nicht mehr abgesehen werden (vgl. E. 1c).
c) Das Amt für öffentliche Sicherheit, Ausländerfragen, des Kantons Solothurn wird ersucht, sicherzustellen, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Es werden keine Kosten erhoben.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für öffentliche Sicherheit, Ausländerfragen, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 6. Januar 2000
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: