Sachverhalt:
A. S._ ist einziges Mitglied und war bis Februar 2004 Präsident des Verwaltungsrates der Firma Q._ AG. Laut dem Handelsregister ist die Firma im Bereich ... tätig und kann über Liegenschaften verfügen. S._ ist unter anderem (Mit-)Eigentümer der Liegenschaften X._ sowie Y._ und Z._. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen erkannte mit rechtskräftigem Entscheid vom 21. März 1996, diese drei Liegenschaften stellten Geschäftsvermögen dar; der daraus fliessende Ertrag sei beitragspflichtiges Einkommen. Während eines weiteren Beschwerdeverfahrens um AHV-Beiträge teilte S._ der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen am 15. März 2000 mit, er habe die selbständige Erwerbstätigkeit auf Ende Dezember 1999 altershalber aufgegeben. Die Sozialversicherungsanstalt hob die Registrierung als Selbständigerwerbender zu diesem Termin auf (Verfügungen vom 3. und 19. April 2000). Gestützt auf Steuermeldungen des Steueramtes sowie eigene Abklärungen qualifizierte die Sozialversicherungsanstalt S._ mit Bezug auf die Beitragsjahre 2001 und 2002 wiederum als Selbständigerwerbenden. Mit Beitragsverfügungen vom 27. November 2007 erhob die Verwaltung ausgehend von Einkommen über Fr. 32'600.- und Fr. 51'600.- Beiträge für Selbständigerwerbende (einschliesslich Verwaltungskosten) von Fr. 2'237.40 (2001) und Fr. 4'999.80 (2002).
S._ machte einspracheweise geltend, er habe drei Anlageliegenschaften zum Zweck des Vermögensertrags zur Altersvorsorge erworben. Die Liegenschaft X._ diene zugleich als Geschäftsliegenschaft der Q._ AG, welche hierfür einen Mietzins bezahle. Die Firma verwalte die Anlageliegenschaften im Auftragsverhältnis. Das Miteigentum an den betreffenden Liegenschaften sei seinem Privatvermögen zuzurechnen. Die Sozialversicherungsanstalt wies die Einsprache ab. Zur Begründung führte sie aus, vor Aufgabe der selbständigen Erwerbstätigkeit sei der Liegenschaftsertrag beitragsrechtlich als Erwerbseinkommen eingestuft worden. Die Liegenschaften seien nie aus dem Geschäftsvermögen in das Privatvermögen übertragen worden (Entscheid vom 6. Februar 2008).
B. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde gut und hob diesen auf (Entscheid vom 28. November 2008).
C. Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Verfügungen vom 27. November 2007 (recte: der Einspracheentscheid vom 6. Februar 2008) seien zu bestätigen.
S._ schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Beitragspflicht unterliegen grundsätzlich alle Einkünfte, die sich aus einer auf Erwerb gerichteten Tätigkeit (<ref-law>) ergeben, gleichgültig, ob diese im Haupt- oder Nebenberuf und ob sie regelmässig ausgeübt wird (Urteil H 301/01 vom 29. März 2005 E. 3.1). Die blosse Verwaltung des persönlichen Vermögens fällt nicht unter den Begriff der (selbständigen) Erwerbstätigkeit im Sinne von <ref-law> und <ref-law>. Der daraus resultierende reine Kapitalertrag unterliegt daher nicht der Beitragspflicht (<ref-ruling> E. 3.1 S. 253; <ref-ruling> S. 385).
1.2 Die Ausgleichskassen beurteilen ohne Bindung an die Steuermeldung aufgrund des AHV-Rechts, wer unter welchem Titel für ein von der Steuerbehörde gemeldetes Einkommen beitragspflichtig ist (vgl. aber <ref-law>). Allerdings sollen sich die Ausgleichskassen bei der Qualifikation gemeldeter Einkünfte in der Regel auf die Steuermeldungen verlassen und eigene nähere Abklärungen nur vornehmen, wenn sich ernsthafte Zweifel an deren Richtigkeit ergeben (<ref-ruling> E. 3.3 S. 253; <ref-ruling> E. 2c S. 83; SVR 1994 AHV Nr. 13 S. 31 E. 3c, H 29/93).
1.3 Strittig ist, ob die Erträge, welche der Beschwerdegegner aus der Vermietung der sich in seinem Eigentum respektive Miteigentum befindlichen Liegenschaften in den Jahren 2001 und 2002 erzielt hat, beitragspflichtiges Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit darstellen.
Dabei handelt es sich um eine Rechtsfrage, welche das Bundesgericht frei prüft (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 252). Das Bundesgericht legt seiner Beurteilung den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. 2.1 Das kantonale Gericht stellte fest, es sei unbestritten, dass der Beschwerdegegner die fraglichen Liegenschaften in den Jahren 1967, 1968 und 1970 in Miteigentum erworben habe. 1972, 1992 und 2003 habe er zusätzliche Miteigentumsanteile übernommen; nunmehr halte er die Liegenschaften X._ und Y._ in Alleineigentum und die Liegenschaft Z._ zu zwei Dritteln. Weiter ging die Vorinstanz davon aus, die Verwaltung habe die Vermögenserträge aus den betreffenden Liegenschaften für das Jahr 2000 als nicht (mehr) beitragspflichtig qualifiziert, mithin die Aufgabe der selbständigen Erwerbstätigkeit als Privatentnahme und die Liegenschaften neu als Privatvermögen eingestuft. Zwar erfasse die Rechtskraft einer Beitragsverfügung stets nur einen zeitlich abgeschlossenen Sachverhalt, weshalb es - mit der gebotenen Zurückhaltung - möglich sei, den Sachverhalt für spätere Perioden anders zu würdigen (<ref-ruling>). Die Mitteilung über die Aufgabe der selbständigen Erwerbstätigkeit stelle indessen ein gewichtiges Indiz für einen Wechsel vom Geschäfts- zum Privatvermögen und damit gegen die Beitragspflicht der Liegenschaftserträge der Jahre 2001 und 2002 dar. Die Vermietung von Immobilien gehöre "ausgesprochen zur üblichen Verwaltung privaten Anlagevermögens" (Urteil 2A.52/2003 vom 23. Januar 2004 E. 2.5). Auch unter Berücksichtigung der weiteren Umstände sei es überwiegend wahrscheinlich, dass die Liegenschaftserträge der Jahre 2001 und 2002 nicht auf gewerbsmässiger Tätigkeit beruhten und kein beitragspflichtiges Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit darstellten.
2.2 Die beschwerdeführende Verwaltung macht geltend, die umstrittenen Einkommen hätten auch hinsichtlich der Jahre 2001 und 2002 erwerblichen Charakter, da die Liegenschaften nie aus dem Geschäftsvermögen in das Privatvermögen übertragen worden seien; andernfalls wäre ein beitragspflichtiger Liquidationsgewinn angefallen. Vorliegend gehörten die Liegenschaften zum Geschäftsvermögen, weshalb S._ für die genannten Jahre Beiträge für Selbständigerwerbende bezahlen müsse. Der Ende 1999 vorgenommene Abgang als Selbständigerwerbender sei zu Unrecht anerkannt worden. Aus dem Umstand, dass deswegen für das Jahr 2000 keine Beiträge eingefordert worden seien, könne der Beschwerdegegner nichts zu seinen Gunsten ableiten.
2.3 Der Beschwerdegegner bringt vor, er sei rückwirkend auf Ende 1999 aus dem Register der Beitragspflichtigen gelöscht worden. Danach könne kein Geschäftsvermögen mehr bestanden haben. Eine spätere Zuweisung der Liegenschaften in das Geschäftsvermögen bedingte somit die Überführung vom Privat- in das Geschäftsvermögen, was nie erfolgt sei.
3. 3.1 Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hatte mit Entscheid vom 21. März 1996 festgestellt, die Liegenschaften befänden sich im Geschäftsvermögen des Beschwerdegegners. Aufgrund einer Mitteilung des Beitragspflichtigen vom 15. März 2000, wonach er die selbständige Erwerbstätigkeit aufgegeben habe, kam die Sozialversicherungsanstalt auf die bereits verfügten Beiträge aus selbständiger Erwerbstätigkeit zurück und stellte mit Verfügungen vom 3. und 19. April 2000 fest, die Registrierung werde rückwirkend auf Ende 1999 aufgehoben; die für das Beitragsjahr 2000 bereits bezahlten Beiträge würden zurückerstattet oder allenfalls mit offenen Forderungen verrechnet. In den hier strittigen Verfügungen vom 27. November 2007 ist die Verwaltung hingegen wieder davon ausgegangen, bei den Liegenschaftserträgen der Jahre 2001 und 2002 handle es sich um beitragspflichtige Einkünfte aus selbständiger Erwerbstätigkeit.
3.2 Verfügungen, die einen zeitlich abgeschlossenen Sachverhalt regeln, werden mit dem Eintritt der formellen Rechtskraft nur bezüglich dieses Sachverhaltes rechtsbeständig. Eine entscheidungserhebliche Änderung des Sachverhalts analog zu <ref-law> ist daher nicht erforderlich, damit hinsichtlich nachfolgender Beitragsperioden von der vorherigen Festlegung abgewichen werden kann. Ist die ursprüngliche Verfügung rechtsfehlerhaft, so hindert deren Beständigkeit die Verwaltung nicht, den Sachverhalt inskünftig rechtskonform zu würdigen. In Grenzfällen, in denen die Rechtsfehlerhaftigkeit nicht klar zutage tritt, ist der Sachverhalt indessen auch für die Zukunft nur mit Zurückhaltung anders zu würdigen (<ref-ruling> E. 7a S. 152; vgl. auch <ref-ruling>). Der Umstand, dass das kantonale Gericht am 21. März 1996 die Auffassung der Steuerverwaltung bestätigt hatte, die Verwaltung von Liegenschaften sei gewerbsmässige Tätigkeit, präjudiziert somit nicht die hier zu beurteilende Streitfrage. Dementsprechend war die Verwaltung entgegen der Auffassung des Beschwerdegegners anlässlich der hier strittigen Qualifikation der Liegenschaftserträge auch nicht an die Rückkommensverfügungen vom 3. und 19. April 2000 gebunden, in welchen sie vorübergehend davon abgesehen hatte, ein Einkommen aus selbständiger Tätigkeit anzunehmen.
4. Vorinstanz und Verwaltung gehen übereinstimmend davon aus, vor den - offenbar unbesehen auf eine blosse Deklaration des Beitragspflichtigen abgestützten - Verfügungen vom 3. und 19. April 2000 habe hinsichtlich der fraglichen Liegenschaften Geschäftsvermögen vorgelegen.
4.1 <ref-law> gleicht die AHV-beitragsrechtliche Umschreibung des Einkommens aus selbständiger Erwerbstätigkeit derjenigen des Steuerrechts an. Soweit das AHVG und die AHVV keine abweichende Regelung enthalten, unterliegen grundsätzlich alle steuerbaren Einkünfte aus selbständiger Erwerbstätigkeit auch der Beitragspflicht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 253 mit Hinweisen). So gelten nach <ref-law> Kapital- und Überführungsgewinne im Sinne des Bundessteuerrechts als Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 18 Abs. 2 Satz 2 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [SR 642.11]; Art. 8 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [SR 642.14]). Aufgrund des Prinzips der Parallelität der Verabgabung von Vermögensgewinn und Vermögensertrag wird der vor der Überführung erzielte Mietertrag aus Liegenschaften beitragsrechtlich gleich behandelt wie der Überführungsgewinn (<ref-ruling> E. 4.2 S. 255 mit Hinweis unter anderem auf Urteil H 210/06 vom 22. Juni 2007 E. 6.3).
4.1 <ref-law> gleicht die AHV-beitragsrechtliche Umschreibung des Einkommens aus selbständiger Erwerbstätigkeit derjenigen des Steuerrechts an. Soweit das AHVG und die AHVV keine abweichende Regelung enthalten, unterliegen grundsätzlich alle steuerbaren Einkünfte aus selbständiger Erwerbstätigkeit auch der Beitragspflicht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 253 mit Hinweisen). So gelten nach <ref-law> Kapital- und Überführungsgewinne im Sinne des Bundessteuerrechts als Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 18 Abs. 2 Satz 2 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [SR 642.11]; Art. 8 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [SR 642.14]). Aufgrund des Prinzips der Parallelität der Verabgabung von Vermögensgewinn und Vermögensertrag wird der vor der Überführung erzielte Mietertrag aus Liegenschaften beitragsrechtlich gleich behandelt wie der Überführungsgewinn (<ref-ruling> E. 4.2 S. 255 mit Hinweis unter anderem auf Urteil H 210/06 vom 22. Juni 2007 E. 6.3).
4.2 4.2.1 Eine Privatentnahme, also die Umwandlung von Geschäftsvermögen in Privatvermögen, ist grundsätzlich nicht von den dargelegten steuerlichen Folgen zu trennen. Gleich wie die Steuer auf dem Kapitalgewinn kann allenfalls die AHV-Beitragserhebung auf dem Kapitalgewinn aufgeschoben werden. Hingegen sind die laufenden Erträge aus den sich noch im Geschäftsvermögen befindlichen Liegenschaften AHV-beitragspflichtig (<ref-ruling> E. 5.2 S. 256).
4.2.2 Im zitierten <ref-ruling> war die Beitragspflicht von Erben zu beurteilen, welche ererbte Liegenschaften im Geschäftsvermögen belassen. Sinngemäss gleich zu behandeln ist die Sachlage, in welcher ein Unternehmer ein Geschäft aufgibt, vorerst ohne allfällige Kapitalgewinne aus dem Geschäftsvermögen zu versteuern. Wenn ein Steuerpflichtiger anlässlich der Geschäftsaufgabe mit den Steuerbehörden nicht über die stillen Reserven auf seinen zum Geschäftsvermögen gehörenden Liegenschaften abrechnet, ist grundsätzlich davon auszugehen, dass die Liegenschaften im Geschäftsvermögen verbleiben; durch blossen Zeitablauf kann die fragliche Liegenschaft nicht in das Privatvermögen übergehen (<ref-ruling> E. 6c/bb S. 126; Duss/Greter/von Ah, Die Besteuerung Selbständigerwerbender, Zürich 2004, S. 41).
4.3 Fragen der beitragsrechtlichen Qualifikation entscheiden sich nach den konkreten wirtschaftlichen Gegebenheiten (<ref-ruling> E. 1 S. 162; SVR 2009 AHV Nr. 9 S. 33 E. 2, 9C_219/2009). Liegenschaften bilden Alternativgüter, das heisst sie können sowohl zum Geschäfts- wie zum Privatvermögen gehören (Urteil 2A.52/2003 vom 23. Januar 2004 E. 2.3). Die im Bereich ... tätige Q._ AG kann laut Handelsregistereintrag zwar auch über Liegenschaften verfügen. Es ist aber nicht ersichtlich, dass die hier interessierenden Liegenschaften - ungeachtet der früheren Eigendeklaration des Beschwerdegegners - jemals tatsächlich der Geschäftstätigkeit dienten. Der Beschwerdegegner amtete nach der angeblichen Aufgabe seiner selbständigen Erwerbstätigkeit auf Ende 1999 unverändert bis Februar 2004 als Präsident des Verwaltungsrates und danach als (neben der Revisionsstelle) einziges formelles Organ der Aktiengesellschaft (Handelsregisterauszug vom 4. Februar 2008). Er ist insofern genauso als Unselbständigerwerbender einzustufen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling>) wie unter dem Gesichtspunkt, dass er sich selbst als Angestelltem einen (zwar geringen) AHV-pflichtigen Lohn auszahlte. Auch unabhängig von der Tätigkeit der Q._ AG erscheint der Beschwerdegegner mit Bezug auf die Bewirtschaftung der Liegenschaften nicht als Selbständigerwerbender: Vermietertätigkeit erhält erst dann betrieblichen Charakter, wenn sie die blosse Gebäudeverwaltung übersteigt. Der Beschwerdegegner beschränkte sich auf die Verwaltung des Grundeigentums, um daraus ein regelmässiges Einkommen zu erzielen. Dies gilt prinzipiell als private Vermögensverwaltung (zitiertes Urteil 2A.52/2003 E. 2.5). Wie die Vorinstanz zutreffend festhält, besass der Beschwerdegegner die Liegenschaften jahrzehntelang, ohne damit Handel zu betreiben; überdies wurde die Vermietertätigkeit nach den nicht offensichtlich unrichtigen Feststellungen des kantonalen Gerichts (vgl. oben E. 1.3) zumindest nicht überwiegend fremdfinanziert betrieben.
4.4 Stammen die Erträge der Liegenschaften X._ sowie Y._ und Z._ hinsichtlich der im Streit liegenden Beitragsjahre 2001 und 2002 nach dem Gesagten aus privater Vermögensverwaltung, so ist der Beschwerdegegner diesbezüglich nicht im Sinne von Art. 4 Abs. 1 und 8 f. AHVG beitragspflichtig.
5. Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner steht eine Parteientschädigung zu Lasten der Beschwerdeführerin zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 900.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Juni 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub