Sachverhalt:
A.
A._ wurde 1967 geboren und stammt aus dem Kosovo. 1993 gelangte er in die Schweiz und reichte ein Asylgesuch ein, welches abgewiesen wurde. Nach Abschluss mehrerer Verfahren zur Prüfung einer vorläufigen Aufnahme wurde ihm eine Frist bis am 31. Mai 2000 gesetzt um auszureisen. Am 13. Juni 2000 kehrte er in den Kosovo zurück, kam wenige Monate später jedoch erneut in die Schweiz und heiratete hier am 17. Oktober 2000 die Schweizer Bürgerin B._ (geboren 1962). In der Folge erhielt er im Kanton Zug eine Aufenthaltsbewilligung.
Am 12. Januar 2004 beantragte A._ die erleichterte Einbürgerung nach Art. 27 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (BüG; SR 141.0). Im Rahmen des Einbürgerungsverfahrens unterzeichneten er und seine Ehegattin am 11. August 2004 eine Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Gleichzeitig nahmen sie unterschriftlich zur Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich ist, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt hat oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr besteht, und dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen kann. A._ wurde am 15. September 2004 erleichtert eingebürgert und erwarb die Bürgerrechte der Kantone St. Gallen und Zürich.
Am 1. September 2006 gelangte die Einwohnerkontrolle der Gemeinde Menzingen, wo die Ehegatten wohnten, an das Bundesamt für Migration (BFM) und teilte mit, A._ habe sich von seiner Ehefrau getrennt und sei am 30. Juni 2006 nach Unterägeri gezogen.
Im August 2006 teilte B._ dem BFM mit, A._ hege Scheidungsabsichten. Sein Verhalten, in seinen Effekten versteckte Unterlagen (Fotos und ein Liebesbrief) sowie die Ergebnisse einer von ihr in Auftrag gegebenen Observierung durch eine Privatdetektei während seines Kosovo-Aufenthalts im Juli 2006 liessen sie vermuten, dass er im Kosovo nach Brauch verheiratet sei und er seine dortige Ehefrau nun "offiziell" heiraten und in die Schweiz nachziehen lassen wolle.
Am 19. November 2008 reichte A._ eine Scheidungsklage gegen seine Ehefrau ein, die ihrerseits am 11. Dezember 2008 mit einer Widerklage reagierte. Am 18. Februar 2009 wurde die Ehe geschieden.
Noch vor der Einleitung des Scheidungsverfahrens hatte A._ mit der Kosovarin C._ (geboren 1975) ein Kind gezeugt. Dieses kam am 10. Oktober 2007 zur Welt und wurde von A._ am 25. August 2008 anerkannt. Am 1. Mai 2008 gelangte C._ zusammen mit dem Kind im Rahmen einer Kurzaufenthaltsbewilligung zur Vorbereitung der Ehe mit A._ in die Schweiz. Am 8. Juli 2010 erfolgte der Eheschluss, worauf C._ eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Zug erteilt wurde.
Vor dem Hintergrund dieser Ereignisse leitete das Bundesamt für Migration (BFM) ein Verfahren betreffend Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung ein. A._ erhielt Gelegenheit zur Stellungnahme.
Mit Verfügung vom 8. September 2009 erklärte das BFM die erleichterte Einbürgerung für nichtig. Eine von A._ hiergegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 3. Juli 2014 ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 11. August 2014 beantragt A._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts und die Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung seien aufzuheben. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das BFM beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Mit Präsidialverfügung vom 1. September 2014 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG). Auch die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, das Bundesverwaltungsgericht habe die Beweise willkürlich gewürdigt, indem es zum Schluss gekommen sei, die eheliche Gemeinschaft sei bereits im Zeitpunkt der Einbürgerung nicht mehr intakt gewesen. Zudem sei sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden, weil seine Anträge auf Befragung einer Reihe von Personen abgelehnt worden seien. Schliesslich sei die Frist von <ref-law> schon abgelaufen, denn die Einbürgerung liege mehr als neun Jahre zurück.
2.2.
2.2.1. Gemäss <ref-law> kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einem Schweizer Bürger ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit dem Schweizer Bürger lebt. <ref-law> setzt ferner in allgemeiner Weise voraus, dass der Bewerber in der Schweiz integriert ist (lit. a), die schweizerische Rechtsordnung beachtet (lit. b) und die innere und äussere Sicherheit der Schweiz nicht gefährdet (lit. c). Alle Einbürgerungsvoraussetzungen müssen sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch bei der Einbürgerung selbst erfüllt sein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 67 mit Hinweis).
2.2.2. Nach <ref-law> kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist. Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren. Über eine nachträgliche Änderung in seinen Verhältnissen, von der er weiss oder wissen muss, dass sie einer Einbürgerung entgegensteht, muss der Betroffene die Behörden unaufgefordert informieren. Diese Pflicht ergibt sich aus dem Grundsatz von Treu und Glauben gemäss <ref-law> sowie aus der verfahrensrechtlichen Mitwirkungspflicht nach <ref-law> (SR 172.021). Die Behörde darf sich ihrerseits darauf verlassen, dass die einmal erteilten Auskünfte bei passivem Verhalten des Gesuchstellers nach wie vor zutreffen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 67 f. mit Hinweisen).
2.2.3. In verfahrensrechtlicher Hinsicht gilt bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung der Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>). Es ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Im Wesentlichen geht es dabei um innere Vorgänge, die der Behörde oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind. Sie kann sich daher veranlasst sehen, von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) zu schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden. Der Betroffene ist auch im Verfahren betreffend die Nichtigerklärung bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig (<ref-ruling> E. 3 S. 165 f. mit Hinweisen).
Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehrung der Beweislast (<ref-ruling> E. 3.2 S. 486). Begründet die kurze Zeitspanne zwischen der erleichterten Einbürgerung einerseits und der Trennung oder Einleitung einer Scheidung andererseits die tatsächliche Vermutung, es habe schon bei der Einbürgerung keine stabile eheliche Gemeinschaft mehr bestanden, so muss der Betroffene deshalb nicht das Gegenteil beweisen. Es genügt, wenn er einen Grund anführt, der es als plausibel erscheinen lässt, dass er bei der Erklärung, wonach er mit seinem Schweizer Ehepartner in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebt, nicht gelogen hat. Bei diesem Grund kann es sich um ein ausserordentliches, nach der Einbürgerung eingetretenes Ereignis handeln, welches zum raschen Scheitern der Ehe führte, oder um das fehlende Bewusstsein des Gesuchstellers bezüglich bestehender Eheprobleme im Zeitpunkt der Einbürgerung (<ref-ruling> E. 3 S. 166 mit Hinweisen).
2.3. Zu prüfen ist nach dem Ausgeführten, ob der Beschwerdeführer im Zeitpunkt der Einbürgerung einen intakten Ehewillen besass und ob er auf das Fortbestehen einer stabilen ehelichen Gemeinschaft vertrauen durfte. Da der Beschwerdeführer am 27. April 2006, also 19.5 Monate nach der erleichterten Einbürgerung, eine eigene Wohnung bezog und kurz darauf ein Scheidungsverfahren einleitete, ging das Bundesverwaltungsgericht richtigerweise von der Vermutung aus, dass dies nicht zutraf.
Wenn der Beschwerdeführer rügt, die Frist zur Nichtigerklärung sei heute abgelaufen, übersieht er, dass insofern die Verfügung des BFM massgebend ist (vgl. <ref-law> sowie zur bis am 1. März 2011 geltenden Rechtslage Urteil 1C_336/2010 vom 28. September 2010 E. 3.2). Diese erfolgte innert Frist.
2.4. Das Verwaltungsgericht erwog, der Beschwerdeführer erkläre das Scheitern der Ehe mit der krankhaften Eifersucht seiner Ex-Ehegattin. Nach seiner Darstellung habe sie wegen dieser Eifersucht in einer psychiatrischen Klinik behandelt werden müssen und auch er selbst habe eine ärztliche Behandlung benötigt. Diese Erklärung erscheine indessen nicht plausibel. Soweit der Beschwerdeführer konkrete Angaben mache, beziehe er sich auf die Zeit nach dem 1. Mai 2006. An diesem Tag habe die Ex-Ehefrau einen Suizidversuch unternommen, weil der Beschwerdeführer ihr mitgeteilt habe, dass er sich von ihr trennen wolle. Es sei somit dieser durch den Trennungsentscheid ausgelöste Akt und nicht eine krankhafte Eifersucht gewesen, die zur Hospitalisierung geführt habe. Auch wenn das spätere Durchsuchen seiner Effekten und der Beizug einer Privatdetektei als überzogen erschienen, könne ein solches Verhalten vor diesem Hintergrund nicht als Ausdruck einer krankhaften Eifersucht gewertet werden. Die Behauptung, er selbst habe wegen der krankhaften Eifersucht seiner Ex-Ehefrau ärztlich behandelt werden müssen, belege der Beschwerdeführer nicht.
Im Übrigen sei das Misstrauen der Ex-Ehefrau durchaus gerechtfertigt gewesen. Im Juni 2006 habe sie bei den persönlichen Effekten des Beschwerdeführers einen Briefumschlag mit einem undatierten Liebesbrief gefunden. In diesem Umschlag sei gemäss ihrer Aussage auch ein Foto gelegen, das eine ungefähr 30-jährige blonde Frau auf einem Bett sitzend und in den Armen des Beschwerdeführers zeige. Gemäss der Auskunft der Ex-Ehefrau, die einige der mitfotografierten Gegenstände erkannt habe, stamme das Foto vom April 2006. Ein weiteres Foto, das die Ex-Ehefrau angeblich in der Agenda des Beschwerdeführers gefunden habe, zeige dieselbe junge Frau auf einem blumengeschmückten Doppelbett liegend. Gemäss Aufdruck auf der Rückseite stamme das Foto vom September 2003. Die Frau werde auch in einem Bericht der Privatdetektei erwähnt, welche die Ex-Ehefrau damit beauftragt habe, den Beschwerdeführer während seines Kosovo-Aufenthalts im Juli 2006 auf eine mögliche aussereheliche Beziehung zu überprüfen. Gemäss dem Bericht sei der Beschwerdeführer bei seiner Rückreise am Flughafen von Pristina mit einer blonden Frau erschienen, die eindeutig mit jener auf den erwähnten Fotos identisch sei, und habe sich dort von ihr innig verabschiedet. Ein Mitarbeiter der Privatdetektei habe zudem eine aus dem Heimatdorf des Beschwerdeführers stammende Person getroffen, die angegeben habe, die besagte Frau lebe im Haus des Vaters des Beschwerdeführers und würde im Dorf die "unverheiratete Frau" des Beschwerdeführers genannt.
Im Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht habe der Beschwerdeführer angegeben, es handle sich bei der jungen Frau um seine Cousine D._. Als Beilage habe er Fotos eingereicht, die sie zusammen mit ihrem Ehemann und ihrem Kind zeigen sollten. Er sei daraufhin mit Verfügung vom 27. November 2009 aufgefordert worden, die Personalien und die Wohnadresse dieser Cousine, von ihrem Ehemann und dem Kind bekannt zu geben und deren Personalien sowie die Verwandtschaftsverhältnisse mit beglaubigten Auszügen aus den Reisepässen und den öffentlichen Registern zu belegen. Alles, was der Beschwerdeführer daraufhin eingereicht habe, sei ein Bestätigungsschreiben einer D._ vom 12. November 2009, eine schlechte Kopie eines Studentenausweises sowie eine amtliche Bestätigung der kosovarischen Gemeinde Shterpce vom 18. Januar 2010, wonach eine D._, geboren am 10. Januar 1988, und ein E._, geboren am 7. Oktober 1983 erklärt hätten, dass sie seit dem Jahr 2007 in einer faktischen Lebensgemeinschaft lebten. Neben einer groben Verletzung seiner Mitwirkungspflicht sei dem Beschwerdeführer diesbezüglich vorzuhalten, dass diese D._ schon deshalb nicht die auf den von der Ex-Ehefrau edierten Fotos abgebildete Frau sein könne, weil sie gemäss der erwähnten amtlichen Bestätigung im Jahr 1988 geboren und somit im Jahr 2003, als der Grossteil der edierten Fotos aufgenommen wurde, erst 15 Jahre alt gewesen sei. Die Frau auf den Fotos sei jedoch mindestens zehn Jahre älter. Schliesslich habe sich im Verfahren um Bewilligung des Nachzugs der aktuellen Ehefrau des Beschwerdeführers gezeigt, dass diese aufs Haar der jungen Frau auf den Fotos gleiche.
2.5. Der Beschwerdeführer hält daran fest, dass die krankhafte Eifersucht der Ehefrau die Ehe zerstört habe, geht jedoch nicht weiter auf die vom Bundesverwaltungsgericht plausibel dargestellte Abfolge der Ereignisse ein. Weiter macht er geltend, das einzige Foto, das ihn gemeinsam mit seiner jetzigen Ehefrau zeige, stamme aus dem Jahr 2006. Das Foto, das seine jetzige Ehefrau ohne ihn zeige, stamme aus dem Jahr 2003, er habe es jedoch von ihr erst im Jahr 2006 geschenkt erhalten. Der von der Ex-Ehefrau angestellte Privatdetektiv sei nicht objektiv gewesen und habe einfach jene Ergebnisse geliefert, die seine Auftraggeberin von ihm verlangt habe. Wer der erwähnte Dorfbewohner sei, sei unbekannt.
2.6. Eine plausible Erklärung, wie es zum Scheitern einer bei der Einbürgerung angeblich noch intakten Ehe gekommen ist, ergibt sich aus den Ausführungen des Beschwerdeführers nicht. Die Erwägungen der Vorinstanz, wonach die psychischen Probleme der Ex-Ehefrau durch den Trennungswunsch des Beschwerdeführers ausgelöst worden sein dürften und nicht umgekehrt dieser Trennungswunsch aufgrund einer krankhaften Eifersucht entstand, ist nachvollziehbar. Dass das Misstrauen der Ex-Ehefrau nicht grundlos erscheint, ist ebenfalls nicht von der Hand zu weisen. Die in den Akten liegenden Fotos der erwähnten jungen Frau zeigen tatsächlich eine frappante Ähnlichkeit mit der jetzigen Ehefrau des Beschwerdeführers auf. Auch dieser scheint nun nicht mehr davon auszugehen, dass es sich dabei um seine Cousine handelt. Die zentrale Frage, wie es sich mit den von ihm vorgelegten Belegen zum Nachweis der Identität dieser Cousine verhält, lässt er nun offen.
Vor diesem Hintergrund erscheint die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nicht als willkürlich (<ref-law>). Auch ist nicht zu beanstanden, wenn das Bundesverwaltungsgericht in antizipierter Beweiswürdigung davon ausging, dass die weiteren vom Beschwerdeführer geforderten Befragungen am Ergebnis nichts ändern würden (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Oktober 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold