Sachverhalt:
A.
A._ erlitt am 27. Januar 2005, am 18. Oktober 2005 und am 5. Juli 2010 Strassenverkehrsunfälle. Alle drei wurden durch Lenkerinnen von Personenwagen verursacht, deren Halter bei der Versicherung X._ AG eine Motorfahrzeughaftpflichtversicherung abgeschlossen hatten.
A._ vertritt den Standpunkt, dass sie aufgrund der drei Auffahrunfälle, bei welchen sie sich je eine Distorsion (Trauma) der Halswirbelsäule zugezogen habe, bis heute gesundheitlich beeinträchtigt und erheblich eingeschränkt sei. Gestützt auf Art. 58 i.V.m. <ref-law> sei die Versicherung X._ AG hierfür zivilrechtlich verantwortlich. Vor der allfälligen Einleitung eines entsprechenden Haftpflichtprozesses benötige die Berufungsklägerin zur Abklärung der Beweis- und Prozessaussichten verbindliche fachliche Informationen zur medizinischen Situation im Hinblick auf die Unfallkausalität der Beschwerden, deren Umfang und Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit im Beruf und Haushalt sowie die übrigen Lebensbereiche. Hierzu erscheine ein unabhängiges polydisziplinäres Gutachten in den Fachdisziplinen Psychiatrie, Rheumatologie, Neurologie inkl. Neuropsychologie und Innere Medizin als geeignet.
B.
B.a. Am 13. Februar 2013 gelangte A._ an das Bezirksgericht Winterthur und stellte ein Begehren um vorsorgliche Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zur Frage der medizinischen Dauerfolgen der am 27. Januar 2005, am 18. Oktober 2005 und am 5. Juli 2010 erlittenen Unfälle. Als Bestandteil ihres Begehrens reichte A._ einen zweiseitigen Fragenkatalog ein.
Mit Verfügung vom 4. April 2013 trat das Bezirksgericht auf das Begehren von A._ nicht ein.
B.b. Dagegen legte A._ Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich ein.
Mit Urteil vom 7. Juni 2013 wies das Obergericht die Berufung ab und bestätigte die Verfügung des Bezirksgerichts.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt A._ dem Bundesgericht folgende Anträge:
"1. Es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 7.6.2013 aufzuheben.
2. Es sei gemäss Eingabe vom 13.2.2013 an das Bezirksgericht Winterthur im Rahmen der vorsorglichen Beweisabnahmen ein gerichtliches medizinisches Gutachten zu den Folgen der von der Beschwerdeführerin am 21.1.2005, am 18.10.2005 und am 5.7.2010 erlittenen Unfälle erstellen zu lassen.
3. Eventualiter sei die Vorinstanz oder das Bezirksgericht Winterthur anzuweisen, ein solches Gutachten in Auftrag zu geben."
Die Versicherung X._ AG beantragt Abweisung der Beschwerde, während die Vorinstanz auf eine Vernehmlassung verzichtet hat.
Die Parteien reichten Replik und Duplik ein.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Rechtsmittelentscheid eines oberen kantonalen Gerichts (Art. 113, Art. 114 i.V.m. <ref-law>), ist innert der Beschwerdefrist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>) von der mit ihren Rechtsbegehren unterlegenen Partei (<ref-law>) eingereicht worden. Bei der Streitsache handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>) mit einem Streitwert von weniger als Fr. 30'000.--, womit die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig (<ref-law>) und die Eingabe der Beschwerdeführerin stattdessen als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) entgegenzunehmen ist.
1.2. Beim vorliegend angefochtenen Entscheid über vorsorgliche Beweisführung handelt es sich um einen Entscheid i.S. von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1 S. 46; <ref-ruling> E. 2 S. 639). Dagegen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Damit erübrigt sich die Prüfung, ob sich vorliegend eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) stellt und damit die Beschwerde in Zivilsachen trotz eines Streitwerts von weniger als Fr. 30'000.-- ausnahmsweise zulässig ist. Denn unabhängig davon, ob die Eingabe der Beschwerdeführerin als Beschwerde in Zivilsachen oder als Verfassungsbeschwerde entgegengenommen wird, ist die Kognition des Bundesgerichts jedenfalls auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte beschränkt (Art. 98, Art. 116 BGG), worauf auch die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerdeschrift hinweist.
1.3. Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444 f.; je mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres aus dem rechtlichen Gehör fliessenden Rechts auf Beweis (<ref-law>, Art. 6 EMRK), indem die Vorinstanz ihr Gesuch um vorsorgliche Beweisführung abgewiesen hat.
Diese Rüge verfängt nicht: Weder <ref-law> noch Art. 6 EMRK gewähren einen Anspruch auf vorsorgliche Beweisführung; vielmehr geht das Institut der vorsorglichen Beweisführung nach <ref-law> über die verfassungsrechtlichen Vorgaben hinaus. Aus <ref-law> bzw. Art. 6 EMRK kann die Beschwerdeführerin zum Vornherein keinen Anspruch auf vorsorgliche Begutachtung ableiten.
3.
Die Beschwerdeführerin macht sodann eine willkürliche Anwendung von <ref-law> geltend.
3.1. Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Praxis nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint. Willkür in der Rechtsanwendung liegt nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 2.1 S. 211; je mit Hinweisen).
3.2. <ref-law> regelt die vorsorgliche Beweisführung. Nach Abs. 1 lit. b nimmt das Gericht jederzeit Beweis ab, wenn die gesuchstellende Partei eine Gefährdung der Beweismittel oder ein schutzwürdiges Interesse glaubhaft macht.
3.2.1. Gemäss der bundesrätlichen Botschaft wird mit dem Begriff des schutzwürdigen Interesses in <ref-law> auf die Möglichkeit Bezug genommen, eine vorsorgliche Beweisführung auch zur Abklärung der Beweis- und Prozessaussichten durchzuführen. Diese Möglichkeit soll dazu beitragen, aussichtslose Prozesse zu vermeiden (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7221, S. 7315; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 81; Urteil 4A_225/2013 vom 14. November 2013 E. 2.2.1, zur Publikation vorgesehen).
3.2.2. Zur Glaubhaftmachung eines schutzwürdigen Interesses an einer vorsorglichen Beweisführung genügt die blosse Behauptung eines Bedürfnisses, Beweis- und Prozessaussichten abzuklären, freilich nicht. Eine vorsorgliche Beweisführung kann nur mit Blick auf einen konkreten materiellrechtlichen Anspruch verlangt werden, hängt doch das Interesse an einer Beweisabnahme vom Interesse an der Durchsetzung eines damit zu beweisenden Anspruchs ab (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 81; Urteil 4A_225/2013 vom 14. November 2013 E. 2.2.2, zur Publikation vorgesehen). Die Gesuchstellerin, die sich auf <ref-law> stützt, muss daher glaubhaft machen, dass ein Sachverhalt vorliegt, gestützt auf den ihr das materielle Recht einen Anspruch gegen die Gesuchsgegnerin gewährt, und zu dessen Beweis das abzunehmende Beweismittel dienen kann (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 81; Urteil 4A_225/2013 vom 14. November 2013 E. 2.2.2, zur Publikation vorgesehen). Lediglich für Tatsachen, die mit dem vorsorglich abzunehmenden Beweismittel bewiesen werden sollen, kann keine eigentliche Glaubhaftmachung verlangt werden, denn sonst würde der Zweck von <ref-law>, die vorprozessuale Abklärung von Beweisaussichten zu ermöglichen, vereitelt. Stellt das abzunehmende Beweismittel das einzige dar, mit dem die Gesuchstellerin ihren Anspruch beweisen kann, muss es genügen, dass sie das Vorliegen der anspruchsbegründenden Tatsachen lediglich substanziiert behauptet (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 82; Urteil 4A_225/2013 vom 14. November 2013 E. 2.2.2, zur Publikation vorgesehen).
Die Anforderungen an die Glaubhaftmachung dürfen freilich nicht überspannt werden, geht es doch beim Verfahren der vorsorglichen Beweisabnahme noch nicht um die Prüfung der Begründetheit des Hauptanspruchs (Urteil 4A_225/2013 vom 14. November 2013 E. 2.2.2, zur Publikation vorgesehen). Abgesehen von der Glaubhaftmachung eines Hauptsacheanspruchs bzw. der schlüssigen und substanziierten Behauptung der anspruchsbegründenden Tatsachen, die durch das vorsorglich beantragte Beweismittel bewiesen werden sollen, sind an das Bestehen eines schutzwürdigen Interesses keine hohen Anforderungen zu stellen. Ein solches wäre namentlich etwa dann zu verneinen, wenn das beantragte Beweismittel untauglich ist, muss doch das vorsorglich abgenommene Beweismittel in einem allfälligen Hauptprozess verwertet werden können. Ebenfalls kein Interesse an einer vorsorglichen Beweisführung besteht sodann, wenn es der gesuchstellenden Partei lediglich darum geht, ein bereits vorliegendes, beweistaugliches Gutachten mit einem weiteren Gutachten in Frage zu stellen (Urteil 4A_225/2013 vom 14. November 2013 E. 2.2.2, zur Publikation vorgesehen).
3.3. Die Vorinstanz hielt zunächst fest, dass das von der Beschwerdeführerin beantragte Gutachten zum Beweis eines allfälligen Schadens und als Mittel zum Nachweis der natürlichen Kausalität grundsätzlich tauglich wäre. Dennoch verneinte sie in der Folge ein schutzwürdiges Interesse der Beschwerdeführerin an einer vorsorglichen Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zur Frage der medizinischen Dauerfolgen der am 27. Januar 2005, am 18. Oktober 2005 und am 5. Juli 2010 erlittenen Unfälle. Dabei unterschied sie zwischen den beiden Unfällen aus dem Jahr 2005 und dem Unfall vom Juli 2010:
3.3.1.
3.3.1.1. In Bezug auf die Unfälle vom Januar und Oktober 2005 verwies die Vorinstanz auf ein polydisziplinäres Gutachten der Medizinischen Abklärungsstation des Spitals Y._ vom 4. September 2007 (im Folgenden: MEDAS-Gutachten). Gemäss den Feststellungen im angefochtenen Entscheid ist dieses im Rahmen eines sozialversicherungsrechtlichen Verfahrens erstellt worden und äussert sich umfassend zu den Unfällen vom 27. Januar 2005 und vom 18. Oktober 2005. Es beantworte einen umfangreichen Fragenkatalog, der in etwa demjenigen entspreche, den die Beschwerdeführerin im erstinstanzlichen Verfahren zu Handen der gerichtlich zu bestellenden Sachverständigen vorgelegt habe. Zudem basiere es auf einer vollständigen Anamneseerhebung sowie einer gründlichen, von der Vorinstanz als massgeblich erachteten neurologischen, orthopädischen, psychiatrischen und internistischen Untersuchung. Die von den Gutachtern gemachten Ausführungen und gezogenen Schlüsse seien aufgrund der Akten nachvollziehbar. Nach Auffassung der Vorinstanz verfüge die Beschwerdeführerin mit dem MEDAS-Gutachten somit bereits über ein taugliches Mittel zur Abklärung ihrer Beweis- und Prozesschancen, womit ein schutzwürdiges Interesse an einer vorsorglichen Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zur Frage der medizinischen Dauerfolgen der im Jahr 2005 erlittenen Unfälle entfalle.
3.3.1.2. Gegen diese Erwägungen bringt die Beschwerdeführerin im Wesentlichen vor, dass das Gericht im Rahmen eines Verfahrens der vorsorglichen Beweisführung keine Beweiswürdigung vorzunehmen habe, was die Vorinstanz aber getan habe, indem sie die Nachvollziehbarkeit und Schlüssigkeit des MEDAS-Gutachtens betone.
Diese Kritik geht an der Sache vorbei. Die Vorinstanz hat das Bestehen eines schutzwürdigen Interesses an der vorsorglichen Erstellung eines weiteren Gutachtens zutreffend verneint mit der Begründung, es liege bereits ein taugliches Gutachten vor:
3.3.1.3. Dass das vorliegende MEDAS-Gutachten nicht tauglich wäre, in einem allfälligen Hauptprozess als gerichtliches Gutachten i.S. von <ref-law> berücksichtigt zu werden, macht die Beschwerdeführerin zu Recht nicht geltend. In der Lehre wird die (zutreffende) Auffassung vertreten, dass der Zivilrichter ein Gutachten, das von einer anderen Behörde in Auftrag gegeben und in einem anderen Verfahren erstattet wurde (z.B. ein im Strafverfahren eingeholtes verkehrstechnisches Gutachten oder eine von einem Sozialversicherungsträger veranlasste medizinische Expertise), als gerichtliches Gutachten beiziehen darf. Die Beweistauglichkeit solcher Fremdgutachten wird dadurch nicht in Frage gestellt, dass den Parteien diesbezüglich im Hauptprozess das rechtliche Gehör zu gewähren ist, wozu ausser einer Stellungnahme zum Inhalt des Fremdgutachtens (<ref-law>) auch die Möglichkeit gehört, sich nachträglich noch zur Person des Gutachters (<ref-law>) zu äussern und Ergänzungsfragen (<ref-law>) zu stellen (Alfred Bühler, Gerichtsgutachten: Beweismass und Beweiswürdigung, in: Fellmann/Weber [Hrsg.], HAVE, Der Haftpflichtprozess, Tücken der gerichtlichen Schadenerledigung, 2006, S. 81 f.; ders., Die Beweiswürdigung, in: Leuenberger [Hrsg.], Der Beweis im Zivilprozess, 2000, S. 84; Lucrezia Glanzmann-Tarnutzer, Der Beweiswert medizinischer Erhebungen im Zivil-, Straf- und Sozialversicherungsprozess, AJP 2005, S. 76; Massimo Pergolis, Medizinische Privat- und Gerichtsgutachten, in: Fellmann/Weber [Hrsg.], HAVE, Der Haftpflichtprozess, Tücken der gerichtlichen Schadenerledigung, 2006, S. 140). Fremdgutachten sind mithin ebenso beweistauglich wie die vom Zivilrichter selbst eingeholten Gutachten, wobei sich ihre Beweiskraft selbstverständlich nach dem Grundsatz der freien Beweiswürdigung (<ref-law>) richtet und ein neues Gutachten zu denselben Gutachterfragen angeordnet werden kann, wenn die Feststellungen und Schlussfolgerungen eines Fremdgutachtens einer kritischen Würdigung nicht standhalten (Bühler, Gerichtsgutachten: Beweismass und Beweiswürdigung, a.a.O., S. 82; a.M. Markus Schmid, Das sozialversicherungsgerichtliche Beweismittel im Haftpflichtprozess, in: Riemer-Kafka [Hrsg.], Beweisfragen im sozialversicherungsrechtlichen Verfahren, 2013, S. 153, welcher sozialversicherungsrechtlichen Gutachten nicht die gleiche Beweistauglichkeit wie Gerichtsgutachten nach <ref-law> zumessen will).
3.3.1.4. Gemäss den Feststellungen der Vorinstanz beantwortet das bereits vorliegende MEDAS-Gutachten im Wesentlichen jene Fragen, welche die Beschwerdeführerin in ihrem Gesuch formuliert hat. Dass die Medizinische Abklärungsstation des Spitals Y._ befangen wäre (Art. 183 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), macht die Beschwerdeführerin nicht geltend. Die Vorinstanz ist damit zu Recht zur Auffassung gelangt, dass bereits ein taugliches Gutachten in Bezug auf die Unfälle aus dem Jahr 2005 vorliege und die Beschwerdeführerin damit kein schutzwürdiges Interesse an der vorsorglichen Erstellung eines weiteren Gutachtens hat.
3.3.2.
3.3.2.1. In Bezug auf den Unfall vom 5. Juli 2010 führte die Vorinstanz aus, dass das MEDAS-Gutachten vom 4. September 2007 zur Abwägung der Prozessrisiken nicht genüge. Dennoch verneinte die Vorinstanz ein schutzwürdiges Interesse an einer vorsorglichen Begutachtung. Bezüglich des Unfalles vom Juli 2010 lägen nämlich ein ärztlicher Bericht vom 10. November 2010, ein Physiotherapiebericht vom 7. Juli 2011 sowie ein unfallanalytisches Gutachten der Beschwerdegegnerin vom 15. Februar 2011 vor. Diese Unterlagen ermöglichen es der Beschwerdeführerin nach Auffassung der Vorinstanz, die Beweis- und Prozessaussichten hinsichtlich des dritten Unfalles abzuschätzen. Das von der Beschwerdeführerin beantragte Gutachten sei hierfür nicht erforderlich.
3.3.3. Mit diesen Erwägungen verkennt die Vorinstanz den Zweck und die Voraussetzungen der vorsorglichen Beweisführung nach <ref-law>. Sie übersieht, dass die vorsorgliche Beweisführung nach <ref-law> nicht bloss eine vage Abschätzung der Prozesschancen ermöglichen soll, sondern eine eigentliche Abklärung der Prozessaussichten im Allgemeinen und der Beweisaussichten im Besonderen (<ref-ruling> E. 2.5). Eine hinreichende Klärung der Prozessaussichten kann dabei aber nur mit der vorsorglichen Abnahme von Beweismitteln erreicht werden, welche zum Beweis der anspruchsbegründenden Tatsache tauglich sind und sich auch eignen, im Beweisverfahren eines allfälligen Hauptprozesses eine tragende Rolle zu spielen. Dies gilt ganz besonders, wenn solche Klärung eine Expertise erfordert (<ref-ruling> E. 2.5 mit Hinweisen). Nur so lassen sich aussichtslose Prozesse vermeiden, sei dies durch Förderung der Bereitschaft der Gesuchstellerin, auf Klageerhebung zu verzichten, oder aber der Bereitschaft beider Parteien, sich zu vergleichen.
Dass ein polydisziplinäres Gutachten für den vorliegend in Frage kommenden Haftpflichtprozess ein taugliches Beweismittel sein wird, hat die Vorinstanz zu Recht bejaht. Bei den bereits vorhandenen ärztlichen Berichten handelt es sich beweisrechtlich betrachtet um blosse Privatgutachten (<ref-ruling> E. 3 b/dd), welche nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung als Bestandteil der Parteivorbringen und nicht als eigentliche Beweismittel gelten (<ref-ruling> E. 3.4 S. 87 f.; <ref-ruling> E. 2.5; vgl. auch <ref-ruling> E. 3f/bb S. 82 f.; <ref-ruling> E. 3 b/dd). Sie genügen daher nicht, um die Prozesschancen zuverlässig abklären zu können. Demgegenüber strebt die Beschwerdeführerin ein gerichtliches Gutachten i.S. von <ref-law> an. Ein schutzwürdiges Interesse an der vorsorglichen Abnahme eines solchen Gutachtens lässt sich daher nicht willkürfrei verneinen, sofern die Beschwerdeführerin glaubhaft gemacht hat, dass ein Sachverhalt vorliegt, gestützt auf den ihr das materielle Recht einen Anspruch gegen die Beschwerdegegnerin gewährt.
3.3.4. Die Rüge der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe <ref-law> willkürlich angewendet, ist somit teilweise begründet und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben, soweit die Vorinstanz das Begehren um vorsorgliche Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zur Frage der medizinischen Dauerfolgen des am 5. Juli 2010 erlittenen Unfalles abgewiesen hat.
Den vorinstanzlichen Feststellungen lässt sich indessen nicht entnehmen, ob die Beschwerdeführerin den Sachverhalt, aus dem sie einen Anspruch gegenüber der Beschwerdegegnerin ableitet, auch hinreichend glaubhaft gemacht hat (vgl. oben E. 3.2.2). Ein reformatorischer Entscheid (<ref-law>) ist mithin nicht möglich, womit die Sache zur Prüfung dieser Voraussetzungen und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen ist.
Bei der allfälligen Anordnung eines Gutachtens zur Frage der medizinischen Dauerfolgen des am 5. Juli 2010 erlittenen Unfalles wird die Vorinstanz darauf zu achten haben, dass die von der Beschwerdeführerin vorgeschlagenen Gutachterfragen entsprechend angepasst werden und die beiden Unfälle aus dem Jahr 2005, für welche bereits ein taugliches Gutachten besteht, nicht einbeziehen. Die Beschwerdegegnerin kann dabei durch eigene Fragen oder durch Zusatz- und Ergänzungsfragen ihren eigenen Standpunkt in das Verfahren einbringen, wobei das Gericht dafür zu sorgen hat, dass der durch das Gesuch definierte Prozessgegenstand gewahrt bleibt und nicht durch Ergänzungsfragen erweitert wird. Bei polydisziplinären Gutachten kann sich die Beschwerdegegnerin sodann dazu äussern, welche Fachdisziplinen aufgenommen werden sollen. Der endgültige Entscheid über die Formulierung der Fragen sowie - bei polydisziplinären Gutachten - über die Bestimmung der Fachdisziplinen liegt stets beim Gericht (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 36). Dies gilt ebenso für die Auswahl des Gutachters: Die Parteien können dem Gericht diesbezüglich zwar Vorschläge unterbreiten und gegenüber in Frage kommenden Kandidaten Ausstandsgründe vorbringen (Art. 183 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), die definitive Wahl des Gutachters und dessen Ernennung ist jedoch Sache des Gerichts. Das Gericht hat mit der Bestimmung der Gutachterfragen, der Fachdisziplinen und der Auswahl des Gutachters für die Beweistauglichkeit des Gutachtens zu sorgen.
Die Kosten für das Verfahren und ein allfälliges Gutachten wird gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung die Gesuchstellerin (hier also die Beschwerdeführerin) zu tragen haben (<ref-ruling> E. 4). Blosse Zusatz- oder Erläuterungsfragen, die Bestandteil der von der Gesuchstellerin verlangten Beweisführung bilden, lösen keine Kostenpflicht der Gesuchsgegnerin aus (dazu eingehend <ref-ruling> E. 4 S. 34 ff.).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens, bei dem keine der Parteien vollumfänglich durchdringt, scheint es gerechtfertigt, die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte auferlegt und keine Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird das angefochtene Urteil aufgehoben, soweit das Begehren um vorsorgliche Beweisabnahme in Form eines gerichtlichen Gutachtens zur Frage der medizinischen Dauerfolgen des am 5. Juli 2010 erlittenen Unfalles abgewiesen wurde. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni