Faits :
A.
A._ a travaillé du 1 er février 2006 au 31 août 2007 pour la société B._ SA. Durant cette période, il a été affilié pour la prévoyance professionnelle auprès de la fondation Winterthur Columna Sammelstiftung 2. Säule, aujourd'hui Columna Fondation collective Client Invest, Winterthur (ci-après: la fondation). Le 11 mai 2007, B._ SA a avisé la fondation de la sortie de l'assuré avec effet au 31 août 2007, en indiquant qu'il disposait d'une pleine capacité de travail.
Depuis le 1 er avril 2011, A._ qui souffrait de schizophrénie paranoïde, a été mis au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité, par décision de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité du 6 juillet 2011. L'administration a considéré qu'à l'issue du délai de carence d'une année, le 1 er septembre 2008, la capacité de travail de l'assuré était nulle dans toute activité et l'invalidité totale (cf. aussi le rapport du Service médical régional Suisse romande [SMR] du 17 février 2011).
B.
Par demande datée du 22 décembre 2012, A._ a assigné la fondation en paiement d'une rente entière d'invalidité à partir d'une date qui restait à fixer par le tribunal, assortie d'intérêts moratoires à 5 % par année, devant la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève. A l'appui de ses conclusions, il a produit notamment des rapports des médecins dont l'avis avait été requis précédemment par l'assurance-invalidité. Ainsi, la doctoresse C._, spécialiste FMH en médecine interne et ancien médecin traitant, a indiqué que le patient présentait dès le mois de janvier 2007 des symptômes développés préalablement d'une affection psychiatrique évolutive et chronique, très évocatrice de psychose, qui expliquait ses échecs au travail (rapport du 18 octobre 2012). Le docteur D._, spécialiste en médecine générale et médecin traitant, a certifié que son patient souffrait d'un problème psychiatrique invalidant dont la première manifestation avait débuté en 2007 pendant son activité de technicien informatique (rapport du 5 juillet 2012). Enfin, le docteur E._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie et médecin traitant, a fixé à "2007 date fin stage (chômage) " le moment à partir duquel A._ avait présenté une incapacité entière de travail (rapport du 30 janvier 2011). La Chambre des assurances sociales de la Cour de justice genevoise a fait verser le dossier de l'assurance-invalidité à la procédure, puis entendu le docteur E._, le 16 janvier 2014. Statuant le 16 octobre suivant, elle a débouté l'assuré de ses conclusions.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal. A titre principal, il en requiert la réforme en ce sens que "l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité de A._ est survenue alors qu'il était assuré auprès de COLUMNA Fondation Collective Client Invest, Winterthur". Il conclut également au renvoi de la cause à l'institution de prévoyance pour examen des autres conditions d'octroi d'une rente d'invalidité en sa faveur et pour calcul du montant de celle-ci. Il demande subsidiairement le renvoi de la cause pour complément d'instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle de la part de l'intimée. Cette prétention dépend tout d'abord du point de savoir si l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité était déjà survenue (à 20 % au moins) avant la fin des rapports de prévoyance le 30 septembre 2007 (compte tenu de la période d'assurance prolongée d'un mois prévue par l'<ref-law>).
1.2. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales sur le droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire et étendue (lorsque, comme en l'espèce, le règlement de prévoyance déterminant ne s'écarte pas de la notion d'invalidité de la LAI [consid. 6 in fine du jugement entrepris, non contesté par les parties]). Il rappelle également les principes jurisprudentiels sur la notion d'incapacité de travail et la survenance de celle-ci, en relation avec le double critère de la connexité matérielle et temporelle entre l'incapacité de travail et l'invalidité exigé par la jurisprudence pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance à laquelle était affiliée l'intéressé (<ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 275 et les arrêts cités). Il suffit d'y renvoyer.
1.3. Les constatations de la juridiction cantonale relatives à l'incapacité de travail résultant d'une atteinte à la santé (survenance, degré, durée, pronostic) relèvent d'une question de fait et ne peuvent être examinées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint dans la mesure où elles reposent sur une appréciation des circonstances concrètes du cas d'espèce (cf. art. 97 al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF). Les conséquences que tire l'autorité cantonale de recours des constatations de fait quant à la connexité temporelle sont en revanche soumises au plein pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (cf. arrêt 9C_98/2013 du 4 juillet 2013 consid. 2.3, in SVR 2014 BVG n° 1 p. 1 et les références).
2.
Considérant que l'institution de prévoyance n'était pas liée par l'évaluation de l'invalidité de l'assurance-invalidité - ce qui n'est pas contesté par les parties -, les premiers juges ont nié que l'incapacité de travail ayant conduit à l'invalidité du recourant fût survenue durant la période où celui-ci était assuré auprès de l'intimée. Ils ont constaté qu'il n'existait aucune attestation médicale d'une incapacité de travail qui avait été établie à l'époque. Le premier certificat médical faisant état d'une incapacité de travail du recourant remontait à mai 2008; il avait été rédigé par la doctoresse C._, selon laquelle le recourant ne l'avait pas consultée entre le 15 janvier 2007 et le 30 mai 2008 (avis du 27 janvier 2014). Le docteur D._ avait ensuite fait état d'une incapacité de travail depuis le 21 septembre 2010, date à partir de laquelle il avait suivi l'assuré. Selon lui, le lien entre l'aggravation de l'état de santé du patient et la fin des rapports de travail n'était que probable. Quant aux conclusions du docteur E._, elles ne pouvaient pas être suivies, de l'avis des premiers juges, parce qu'il n'avait pas fixé avec précision la survenance de l'incapacité de travail, l'indication de la fin du stage organisé par l'assurance-chômage pouvant se rapporter à l'activité pour le compte de la société B._ SA, mais également à l'emploi qu'exerçait l'assuré dans le cadre du chômage en mai 2008. Par ailleurs, l'appréciation du psychiatre relative à une incapacité totale de travail depuis 2007 reposait sur un raisonnement scientifique fondé sur des hypothèses et des généralités médicales, ce qui ne suffisait pas à établir, au degré de la vraisemblance prépondérante, que la date de la survenance de l'incapacité de travail devait être fixée pendant les rapports de prévoyance. Ses indications étaient de surcroît contradictoires, le moment déterminant étant fixé une fois à la "fin du stage" et l'autre fois durant les rapports de travail.
La juridiction cantonale a également nié l'existence d'éléments objectifs qui auraient démontré une influence des troubles psychiques sur la capacité de travail de l'assuré pendant son activité au service de la société B._ SA. Les crises de boulimie mentionnées par le docteur E._ n'étaient pas avérées, ni n'avaient à ses yeux d'influence sur la capacité de travail. Aucune répercussion sur la capacité de travail n'avait par ailleurs pu être constatée. Si la doctoresse C._ avait fait état de propos de son patient qui avaient pu par la suite être interprétés comme les premiers symptômes de la schizophrénie, ce n'était pas l'apparition de la maladie qui était déterminante du point de vue de la prévoyance professionnelle, mais bien l'incapacité de travail que l'atteinte avait pu entraîner, que le médecin traitant n'avait précisément pas attestée. Enfin, les explications de l'ancien employeur du recourant, selon lesquelles le rendement et l'efficacité de celui-ci avaient été insuffisants, pouvaient certes être interprétées comme une baisse de la performance assimilable à une incapacité de travail. Ce seul renseignement ne suffisait cependant pas à retenir une incapacité de travail, dont les causes et l'envergure n'étaient au demeurant pas établies. Dans ces circonstances, les premiers juges sont arrivés à la conclusion qu'il n'était pas démontré au degré de la vraisemblance prépondérante que l'incapacité de travail qui avait conduit à l'invalidité du recourant était survenue durant la période où il avait été assuré auprès de l'intimée.
3.
Le recourant se plaint d'une appréciation arbitraire des preuves, qui n'aurait pas été effectuée de manière globale et reviendrait à violer le principe de la libre appréciation des preuves et l'<ref-law>. Il reproche à la juridiction cantonale d'avoir écarté l'avis du docteur E._, qui aurait selon lui fixé à la fin du mois d'août la date de la survenance de l'incapacité de travail déterminante.
3.1. Contrairement à ce que prétend tout d'abord le recourant, on ne décèle aucun parti pris de la part des premiers juges dans l'appréciation qu'ils ont faites des constatations et conclusions du docteur E._. Loin de confondre les dires du psychiatre avec ceux de son patient, ils se sont fondés sur les déclarations du médecin du 16 janvier 2014, relatives à l'incapacité totale de travail et au début de l'atteinte à la santé. Ils en ont déduit que le psychiatre s'est prononcé sur le début de l'incapacité de travail survenue "dès la fin de son stage" (avant tout) en fonction des indications du recourant, ce qui ne paraît pas manifestement inexacte à la lecture du procès-verbal d'audience. Le médecin a en effet exposé que les descriptions de son patient indiquaient qu'il avait été de plus en plus inadapté notamment dans le cadre professionnel (p. 2 du procès-verbal du 16 janvier 2014) et que les symptômes décrits lui paraissaient suffisamment intensifs et importants pour démontrer une santé psychique hautement altérée, ne permettant pas d'attendre de l'assuré, la régularité, l'assiduité et la fiabilité attendues d'un employé (p. 3 du procès-verbal). Le médecin a également précisé ne pouvoir se prononcer qu'à titre rétroactif et donc formuler des hypothèses (p. 2 du procès-verbal). Or même si celles-ci reposent sur l'expérience et les connaissances du psychiatre, son appréciation reste une attestation rétroactive de l'incapacité de travail, établie près de quatre ans après la fin des rapports de prévoyance.
3.2. Cela étant, la juridiction cantonale a surtout mis en évidence que le docteur E._ avait procédé à une fixation rétrospective de la date du début de l'incapacité de travail, sans toutefois faire état d'un élément objectif pertinent, et documenté en temps réel, pour appuyer son raisonnement. Sur ce point, le recourant invoque en vain l'existence de quatre éléments objectifs susceptibles de fonder l'appréciation du psychiatre traitant.
Ni le voyage du recourant à l'étranger (du 1er juin 2009 au 13 septembre 2010) pour y chercher sans succès une activité lucrative près de deux ans après la fin des rapports de travail - qualifié d'errance par le psychiatre traitant, qui y a vu une illustration du caractère inadéquat du comportement de son patient, ni l'incapacité de travail établie par la doctoresse C._, à partir du 29 mai 2008, ne permettent d'attester une incapacité de travail antérieure au 30 septembre 2007, comme le voudrait le recourant.
Quant à la nature particulière de l'affection dont celui-ci est atteint (troisième élément objectif, selon le recourant), elle n'a pas été ignorée par la juridiction cantonale, puisqu'elle s'est dite consciente du fait que les personnes atteintes de schizophrénie vivaient parfois une forme de déni de leur maladie, avec la conséquence qu'elles ne consultaient pas de médecin et qu'aucun arrêt de travail ne leur était alors attesté. Elle a cependant considéré que la nature particulière de la pathologie ne permettait pas une dérogation aux exigences en matière de preuve. Ce faisant, les premiers juges n'ont pas méconnu la jurisprudence relative aux éléments à prendre en considération lorsqu'il s'agit d'examiner le moment de la survenance de l'incapacité de travail déterminante chez un assuré atteint de schizophrénie. Selon l'arrêt B 63/04 du 28 décembre 2004 consid. 3.3.1 (RSAS 2005 p. 433 et RSAS 2006 p. 36), il convient de tenir compte, si ces éléments sont médicalement attestés dans le cas d'espèce, du déni de l'intéressé face à sa pathologie schizophrénique, ainsi que du fait que le médecin traitant ne reconnaît pas l'existence d'une telle maladie pendant longtemps. Mais pour que les constatations médicales ultérieures sur la survenance de l'incapacité de travail, déterminée de manière rétrospective, puissent être suivies, il faut encore que les effets négatifs de l'atteinte psychiatrique sur la capacité de travail pendant les rapports de prévoyance soient attestés en temps réel (arrêt cité consid. 3.3.3. ab initio).
Or c'est précisément cette attestation qui fait défaut en l'espèce. La seule pièce - invoquée par le recourant à titre de quatrième élément objectif - qui pourrait être interprétée comme un indice de la baisse de rendement et, partant, de la capacité de travail du recourant pendant la période déterminante est le courrier de B._ SA du 20 octobre 2010 à l'assurance-invalidité. L'ancien employeur y indique avoir dû mettre un terme au contrat de travail pour le 31 août 2007 "car le rendement et l'efficacité n'étai[en]t plus en phase avec les exigences du poste". Outre que ce document contredit l'indication de l'ancien employeur dans l'avis de sortie à la fondation (du 11 septembre 2007), selon laquelle le recourant jouissait de son entière capacité de travail, il ne contient aucune mention de la cause de l'inadéquation du rendement et de l'efficacité, ni de l'étendue de la baisse de rendement. Cette pièce ne suffit dès lors pas à attester que la diminution du rendement ou de la capacité de travail du recourant était due à la pathologie psychiatrique. Pour le même motif - un lien avéré en temps réel entre la baisse de rendement et l'atteinte à la santé fait défaut -, les conditions auxquelles la jurisprudence admet qu'il peut être renoncé à l'exigence d'une attestation médicale en temps réel de l'incapacité de travail pour établir une diminution déterminante de la capacité de rendement du point de vue du droit de la prévoyance professionnelle ne sont pas réalisées (sur ces conditions, arrêt 9C_394/2012 du 18 juillet 2012 consid. 3.1 et les arrêts cités).
3.3. On ajoutera qu'à l'inverse de ce que prétend le recourant, l'avis du docteur E._ relatif à la survenance de l'incapacité de travail n'est pas confirmé par les docteurs C._ et D._. La première a attesté une incapacité de travail totale depuis le 29 mai 2008 seulement (certificat du même jour; rapport du 14 août 2008, tandis que le second a fait état d'une incapacité de travail totale depuis le mois de septembre 2010 (rapport non daté transmis à l'office AI au mois de janvier 2011). Le recourant n'a consulté la doctoresse C._ qu'à trois reprises en 2006 et 2007 pour une pharyngite et une grippe; le médecin n'a pas établi alors de certificat médical. Certes, la doctoresse C._ a précisé rétrospectivement dans son rapport du 18 octobre 2012 que certains propos du recourant lors d'une consultation le 15 janvier 2007 évoquaient déjà des manifestations pathologiques, compte tenu de l'évolution ultérieure de son affection psychiatrique. Cette constatation ne porte toutefois pas sur une éventuelle diminution de la capacité de travail (à hauteur de 20 % au moins) pendant la période déterminante.
Au contraire, il ressort des indications de la doctoresse C._ qu'en janvier 2007, elle n'avait pas particulièrement été frappée par l'aspect général de son patient, qui lui avait mentionné être fatigué, stressé et très surveillé dans l'entreprise. A l'inverse, à la consultation suivante, le 30 mai 2008, elle a remarqué la physionomie très sombre du patient, qui se sentait incapable de retourner dans le poste où il avait été placé par l'assurance-chômage et devait exécuter des tâches inadéquates. Ce n'est qu'à cette date-là (et non en janvier 2007) que la doctoresse C._ a constaté des "symptômes évidents de dépression grave, avec des éléments persécutoires récidivants", voyant l'assuré en consultation à dix reprises ultérieures en raison de son "état inquiétant". Au vu de ces observations, il apparaît que l'ancien médecin traitant n'a pas remarqué de répercussions de l'atteinte à la santé sur le comportement de son patient au niveau professionnel avant le mois de mai 2008, où celui-ci s'est dit incapable d'envisager un retour au travail. Pour le reste, il n'y a pas lieu de revenir sur les raisons qui ont amené la juridiction cantonale à écarter le rapport de la doctoresse F._ du SMR, que le recourant ne remet pas en cause.
3.4. Il suit de ce qui précède que le grief du recourant à l'encontre du choix des premiers juges de ne pas suivre les conclusions du docteur E._ quant à la date de la survenance de l'incapacité de travail "à la fin du stage organisé par l'assurance-chômage" est mal fondé. Il n'est dès lors pas nécessaire d'examiner plus avant si, par cette indication, le médecin entendait la fin du mois de septembre 2007 ou de mai 2008.
En tout état de cause, il ressort de l'extrait du compte individuel de la Caisse cantonale genevoise de compensation que le recourant a bénéficié d'indemnités de l'assurance-chômage du mois de septembre 2007 au mois de juin 2008, puis de septembre 2008 à février 2009. Il a par ailleurs suivi des mesures mises en place par l'Office cantonal de l'emploi de mi-novembre à mi-décembre 2007, puis du 23 au 29 mai 2008 (renseignements dudit office du 13 décembre 2010). Si on peut admettre au regard des constatations de la doctoresse C._ (consid. 3.3 supra) que le recourant n'a apparemment pas pu mener à terme la mesure mise en oeuvre par l'assurance-chômage en mai 2008 en raison de sa maladie psychique, tel n'est pas le cas pour les suites immédiates de la fin des rapports de travail en août 2008, dès lors que l'assuré était inscrit au chômage et percevait des indemnités journalières, sans qu'une limitation de sa capacité de travail fût établie de septembre 2007 à mai 2008.
4.
En faisant encore valoir que la solution retenue par les premiers juges dans l'arrêt entrepris n'est pas celle qui est la plus vraisemblable, le recourant oppose sa propre appréciation des faits à celle des premiers juges; il énumère toute une série de faits et indices qui fonderaient sa prétention, mais ne démontre pas en quoi leur point de vue découlerait d'une appréciation manifestement inexacte ou arbitraire des faits. A cet égard, on rappellera que le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par les premiers juges que dans la mesure où celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain. Il n'y a pas arbitraire du fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou serait même préférable (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51, 305 consid. 4.4 p. 319; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379 s.; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 22).
5.
En conclusion, il n'y a pas lieu de s'écarter des constatations de la juridiction cantonale sur le fait que l'incapacité de travail déterminante n'est pas survenue durant les rapports de prévoyance. Aussi, la question d'une éventuelle interruption subséquente de la connexité temporelle, niée par le recourant, n'a pas à être examinée.
Le recours, mal fondé, doit être rejeté.
6.
Compte tenu de l'issue du litige, il convient de mettre les frais judiciaires à la charge du recourant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 29 juin 2015
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
La Greffière : Indermühle