Sachverhalt:
A. Der 1954 geborene, im Kosovo lebende G._ bezog ab 1. Dezember 1997 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 68 % eine ganze Rente der Invalidenversicherung samt Kinderrenten. Im Februar 2004 leitete die IV-Stelle für Versicherte im Ausland aufgrund der geänderten Rechtslage seit Anfang Jahr, wonach neu bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 60 % und weniger als 70 % Anspruch auf eine Dreiviertelrente besteht, ein Revisionsverfahren ein. Gestützt auf die Stellungnahme ihres Ärztlichen Dienstes zu den von G._ eingereichten ärztlichen Berichten und Attesten setzte die IV-Stelle mit Verfügung vom 2. September 2004 die ganze Rente mit Wirkung ab 1. November 2004 auf eine Dreiviertelrente herab. Mit Einspracheentscheid vom 16. Februar 2005 bestätigte die Verwaltung die Leistungsherabsetzung.
B. Die Beschwerde des G._ wies das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 12. Juni 2007 ab.
C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, Gerichtsentscheid und Einspracheentscheid seien aufzuheben und es sei ihm auch nach dem 31. Oktober 2004 eine ganze Invalidenrente auszurichten; eventualiter sei ein rheumatologisches und psychiatrisches Gutachten einzuholen, unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung.
Die IV-Stelle für Versicherte im Ausland beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das seit 1. Januar 2007 bestehende Bundesverwaltungsgericht war zuständig zum Entscheid über die im März/April 2005 bei der Eidgenössischen Rekurskommission der AHV/IV für die im Ausland wohnenden Personen anhängig gemachte Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der IV-Stelle für Versicherte im Ausland vom 16. Februar 2005 betreffend die Herabsetzung der ganzen Rente auf eine Dreiviertelrente mit Wirkung ab 1. November 2004 (Art. 31 und 33 lit. d VVG sowie Art. 53 Abs. 2 VGG [SR 173.32] in Verbindung mit <ref-law>).
2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Urteil 9C_294/2007 vom 10. Oktober 2007 E. 2 mit Hinweis; vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft das Bundesgericht frei, ob der vorinstanzliche Entscheid von einem richtigen Verständnis der Rechtsbegriffe ausgeht sowie die Subsumption des Sachverhalts unter die Rechtsnormen (Urteil 9C_68/2007 vom 19. Oktober 2007 E. 2.2; Seiler/von Werdt/Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz [BGG], N 13 zu Art. 97).
3.1 3.1.1 Nach <ref-law> in der bis 31. Dezember 2003 gültig gewesenen Fassung bestand bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 66 2/3 Prozent Anspruch auf eine ganze Rente. Bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 50 Prozent - und nach Abs. 1bis, in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2003, in Härtefällen von mindestens 40 Prozent - betrug der Anspruch ein Zweitel und bei einem solchen von mindestens 40 Prozent ein Viertel einer ganzen Rente. Im Rahmen der am 1. Januar 2004 in Kraft getretenen Änderung des IVG gemäss Bundesgesetz vom 21. März 2003 (4. IV-Revision; AS 2003 3837 ff.) ist die Rentenabstufung verfeinert und die Härtefallrente gestrichen worden. Neu bestimmt <ref-law>, dass bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 70 Prozent Anspruch auf eine ganze Rente besteht. Bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 60 Prozent beträgt der Rentenanspruch drei Viertel, von mindestens 50 Prozent ein Zweitel und bei einem solchen von mindestens 40 Prozent ein Viertel einer ganzen Rente.
Nach lit. f der Schlussbestimmungen der Änderung vom 21. März 2003 (4. IV-Revision) werden laufende ganze Renten bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 66 2/3 Prozent nach Inkrafttreten dieser Gesetzesänderung für alle jene Rentenbezügerinnen und Rentenbezüger weitergeführt, welche zu diesem Zeitpunkt das 50. Altersjahr zurückgelegt haben. Alle anderen ganzen Renten bei einem Invaliditätsgrad unter 70 Prozent werden innerhalb eines Jahres nach dem Inkrafttreten dieser Gesetzesänderung einer Revision unterzogen.
3.1.2 Gemäss dem kraft <ref-law> und <ref-law> auch im Bereich der Invalidenversicherung anwendbaren <ref-law> wird die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben, wenn sich der Invaliditätsgrad einer Rentenbezügerin oder eines Rentenbezügers erheblich ändert. Nach der zu <ref-law> (in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2002) ergangenen, nach wie vor gültigen Rechtsprechung gibt Anlass zur Rentenrevision jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen seit Zusprechung der Rente, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Anspruch zu beeinflussen. Insbesondere ist die Rente nicht nur bei einer wesentlichen Änderung des Gesundheitszustandes, sondern auch dann revidierbar, wenn die erwerblichen Auswirkungen des an sich gleich gebliebenen Gesundheitszustandes sich erheblich verändert haben (<ref-ruling> E. 3.5 S. 349 mit Hinweisen). Dagegen stellt die bloss unterschiedliche Beurteilung der Auswirkungen eines im Wesentlichen unverändert gebliebenen Gesundheitszustandes auf die Arbeitsfähigkeit für sich allein genommen keinen Revisionsgrund im Sinne von <ref-law> und <ref-law> dar (SVR 2004 IV Nr. 5 S. 13 E. 2 [I 574/02]; AHI 2002 S. 65 E. 2 [I 82/01]; ZAK 1987 S. 37 E. 1a; Urteil I 543/04 vom 26. Januar 2004 E. 2.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 2b S. 372).
3.2 Bei lit. f zweiter Satz der Schlussbestimmungen der Änderung vom 21. März 2003 handelt es sich nicht um eine materielle Revision im Sinne von <ref-law>, sondern allein um eine übergangsrechtlich begründete Anpassung der laufenden Renten an die mit der 4. IV-Revision eingeführte neue Rentenabstufung gemäss <ref-law>. Dem Normzweck entsprechend sollen ganze Renten bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 66 2/3 Prozent und weniger als 70 Prozent bei Bezügerinnen und Bezügern, die am 1. Januar 2004 das 50. Altersjahr noch nicht vollendet haben, nicht kraft Gesetz ab diesem Zeitpunkt auf eine Dreiviertelrente herabgesetzt werden, ohne dass geprüft wird, ob die tatsächlichen und rechtlichen Voraussetzungen hiefür gegeben sind. Je nach Ergebnis der Prüfung ist die Rente entsprechend anzupassen, allenfalls sogar aufzuheben. Dabei ist in zeitlicher Hinsicht <ref-law> anwendbar (SVR 2006 IV Nr. 36 S. 132 E. 2.2 [I 313/04]; Urteil I 462/06 vom 1. November 2006 E. 5).
4. Die Vorinstanz hat die von der Beschwerdegegnerin verfügte Herabsetzung der ganzen Rente auf eine Dreiviertelrente mit folgender Begründung bestätigt: Die IV-Stelle habe den der Rentenzusprechung mit Verfügung vom 23. September 2002 zugrunde liegenden Invaliditätsgrad von 68 % fehlerfrei ermittelt. Die trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung zumutbare Arbeitsfähigkeit habe sie gestützt auf das MEDAS-Gutachten vom 15. März 1999 festgelegt. Die Expertise sei nachvollziehbar und umfassend. Der Einkommensvergleich sei rechtskonform durchgeführt worden. Die späteren ärztlichen Berichte enthielten keine genügend begründeten Hinweise auf eine rentenrelevante Verschlechterung des Gesundheitszustandes oder sie seien nicht geeignet, eine solche mit dem erforderlichen Beweisgrad nachzuweisen. Dies treffe insbesondere auf die Berichte des Dr. med. R._ zu, wonach der Beschwerdeführer seit 1999 an einer depressiven Störung leide und somit vollständig arbeitsunfähig sei. Zusammenfassend sei festzuhalten, dass die IV-Stelle im angefochtenen Einspracheentscheid den Sachverhalt umfassend abgeklärt und rechtlich korrekt gewürdigt habe. Die eventualiter beantragte Einholung eines rheumatologischen und psychiatrischen Gutachtens erübrige sich.
5. Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes. Die nach dem MEDAS-Gutachten vom 15. März 1999 verfassten ärztlichen Berichte und Atteste enthielten entgegen der Auffassung der Vorinstanz hinreichende Anhaltspunkte für eine seitherige Verschlechterung des Gesundheitszustandes. Der rechtserhebliche Sachverhalt sei nicht genügend abgeklärt.
5.1 Nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> prüft die IV-Stelle die Begehren, nimmt die notwendigen Abklärungen vor und holt die erforderlichen Auskünfte ein. Diese Vorschrift gilt aufgrund von Art. 3 lit. dbis VwVG auch für die IV-Stelle für Versicherte im Ausland. Das Bundesverwaltungsgericht stellt den Sachverhalt von Amtes wegen unter Mitwirkung der Parteien fest (Untersuchungsgrundsatz). Es erhebt die dazu notwendigen Beweise und würdigt diese frei (<ref-law> sowie Art. 12 f. VwVG und <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 1c S. 160). Welche konkreten Abklärungsmassnahmen in gesundheitlicher und beruflich-erwerblicher Hinsicht für eine rechtsgenügliche Sachverhaltsermittlung geboten sind, lässt sich angesichts der Besonderheiten jedes einzelnen Falles nicht allgemein sagen (Urteil I 281/06 vom 24. Juli 2006 E. 3.2.1). Gelangt die Verwaltung oder das Gericht zur Überzeugung, die Akten erlaubten die richtige und vollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts oder eine behauptete Tatsache sei für die Entscheidung der Streitsache nicht von Bedeutung, kann sie oder es auf die Erhebung weiterer Beweise verzichten. In dieser antizipierten Beweiswürdigung kann keine Gehörsverletzung und auch kein Verstoss gegen den Untersuchungsgrundsatz erblickt werden (<ref-ruling> E. 4b S. 94, 122 V 157 E. 1d S. 162; Urteile I 46/07 vom 29. Oktober 2007 E. 3.3, I 801/06 vom 5. Oktober 2007 E. 6.2.1 und I 106/07 vom 24. Juli 2007 E. 4.1).
5.2 Das MEDAS-Gutachten vom 15. März 1999, auf welches das kantonale Gericht zur Hauptsache abgestellt hat, war sechs Jahre vor dem den Prüfungszeitraum begrenzenden Einspracheentscheid vom 16. Februar 2005 (<ref-ruling> E. 2 S. 354) erstellt worden. Bereits diese zeitliche Distanz rief einer vertieften Abklärung des Gesundheitszustandes sowie dessen Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit (Urteil I 462/06 vom 1. November 2006 E. 6.1). Eine solche fand jedoch nicht statt. Die Beschwerdegegnerin holte lediglich bei ihrem Ärztlichen Dienst Stellungnahmen zu den zahlreichen vom Versicherten eingereichten ärztlichen Berichten und Attesten ein. Bei diesen Stellungnahmen handelt es sich um Berichte im Sinne von <ref-law>. Solche sind keine medizinischen Gutachten im Sinne von <ref-law> und auch keine Untersuchungsberichte gemäss <ref-law>. Ihre Funktion besteht im Wesentlichen darin, den medizinischen Sachverhalt zusammenzufassen und zu würdigen. Den Berichten nach <ref-law> kann zwar nicht jegliche Aussen- oder Beweiswirkung abgesprochen werden (Urteil 9C_341/2007 vom 16. November 2007 E. 4.1 mit Hinweisen). In Anbetracht der langen sechsjährigen Zeitspanne seit der MEDAS-Begutachtung durfte die IV-Stelle indessen nicht allein gestützt auf die Stellungnahmen ihres Ärztlichen Dienstes eine aufgrund der vom Versicherten eingereichten ärztlichen Berichte und Atteste mögliche gesundheitliche Veränderung verneinen. Indem sie keine fachärztlichen Untersuchungen vornehmen liess, erhob sie die rechtserheblichen Tatsachen unvollständig. Die darauf gestützte vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung erfolgte somit in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes.
5.3 Nach dem Gesagten sind weitere medizinische Abklärungen (polydisziplinäre Begutachtung einschliesslich einer psychiatrischen Untersuchung) durch die IV-Stelle für die Beurteilung des streitigen Umfangs des Rentenanspruchs unabdingbar. Die Beschwerde ist somit im Eventualstandpunkt begründet.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist demzufolge gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird dahingehend gutgeheissen, dass der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 12. Juni 2007 und der Einspracheentscheid vom 16. Februar 2005 aufgehoben werden und die Sache an die IV-Stelle für Versicherte im Ausland zurückgewiesen wird, damit sie nach ergänzenden Abklärungen im Sinne der Erwägungen über den Anspruch des Beschwerdeführers auf eine Rente der Invalidenversicherung ab 1. November 2004, den Umfang des Anspruchs sowie die Dauer und die Höhe der Leistung neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, der Schweizerischen Ausgleichskasse und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Januar 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler