Faits:
A.
Depuis novembre 2011, le Ministère public de la République et canton de Genève instruit une enquête pour escroquerie et blanchiment d'argent contre A._, B._ et C._; au cours de l'instruction, deux autres personnes ont été mises en prévention, soit D._ et E._. La banque X._ s'est constituée partie plaignante dans ladite procédure. Le 18 novembre 2011, un mandat d'amener a été délivré à l'encontre de A._.
Sur recours - contre lequel le Procureur s'est pourvu en vain auprès du Tribunal fédéral (cause 1B_724/2012 du 3 décembre 2012) -, A._ a obtenu la délivrance d'un sauf-conduit en vue d'une audience le 24 janvier 2013, ainsi qu'un droit d'accès au dossier à l'issue de cette séance (arrêt cantonal du 21 novembre 2012). Le 3 avril 2013, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a admis le recours interjeté par A._ contre les décisions du Ministère public lui accordant un accès très limité au dossier (29 janvier 2013) et lui refusant l'octroi d'un sauf-conduit pour l'audience prévue le 14 mars 2013 (1 er février 2013).
Le 8 avril 2013, A._ a déposé, en parallèle à son recours contre une ordonnance de dépôt du 28 mars 2013, une demande de récusation à l'encontre du Procureur en charge de l'instruction. Ce dernier s'y est opposé.
B.
Par arrêt du 28 mai 2013, la Chambre pénale de recours a déclaré irrecevable le recours contre l'ordonnance de dépôt et a rejeté la requête de récusation. Elle a en substance retenu que A._ avait identifié au début du mois de février 2013 les motifs dont il se prévalait dans sa requête de récusation, puisqu'il en faisait déjà mention dans ses recours du 1 er et du 7 février 2013. N'ayant alors pas déposé de demande de récusation, il ne pouvait plus s'en prévaloir. Quant au comportement adopté ultérieurement par le Ministère public, la cour cantonale a estimé que celui-ci n'avait plus commis d'erreur susceptible de conduire à une telle sanction, ayant en particulier le droit de convoquer les autres prévenus sans A._ ou son conseil tant qu'une audience de confrontation permettrait ensuite de garantir les droits du prévenu.
C.
Le 12 juin 2013, A._ forme un recours en matière pénale, concluant à l'annulation de l'arrêt cantonal, à la récusation du Procureur, réservant "l'instruction par l'instance cantonale sur l'annulation des actes d'instruction". Subsidiairement, il requiert le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision, sous réserve de "l'instruction par [celle-ci] sur l'annulation des actes d'instruction". Le recourant conteste le caractère tardif de sa demande de récusation et reproche notamment au Ministère public l'absence de convocation entre novembre 2011 et septembre 2012, le refus de toute consultation du dossier et de l'octroi d'un sauf-conduit en septembre 2012 et les procédures qui s'en sont suivies, la tenue durant seulement trois heures d'une audience le 24 janvier 2013, l'accès ensuite très restreint accordé au dossier malgré deux demandes, le nouveau refus d'un sauf-conduit pour la séance du 14 mars 2013, le défaut de communication de l'annulation de ladite séance et le prononcé d'une ordonnance de dépôt notifiée le 4 avril 2013 sans indiquer qu'il n'était pas obligé de s'y soumettre.
La Chambre pénale, ainsi que le Ministère public ont renoncé à formuler des observations.

Considérant en droit:
1.
Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, une décision incidente relative à la récusation d'un magistrat pénal peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, qui a formulé la requête de récusation, a qualité pour recourir (<ref-law>). Il a agi dans le délai de trente jours (<ref-law>) contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>).
2.
Le recourant se plaint d'un établissement arbitraire des faits (<ref-law>).
2.1. Le Tribunal fédéral fonde en principe son raisonnement juridique sur les faits retenus par l'autorité précédente (cf. <ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>. Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid 5.2.2 p. 322 s.). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> c. 4.3.1 p. 198; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 134 et les arrêts cités).
2.2. Le recourant se plaint que l'autorité précédente n'ait pas fait état de l'arrêt cantonal rendu le 10 janvier 2013, dont la motivation permettrait de comprendre les circonstances qui prévalaient à ce moment-là et qui expliqueraient l'absence de requête de récusation formée préalablement au 8 avril 2013.
Il sied de rappeler dans quel contexte cet arrêt a été rendu. Le 28 novembre 2012, le Ministère public a déposé un recours auprès du Tribunal fédéral contre l'arrêt de la Chambre pénale de recours du 21 novembre 2012 qui l'invitait à accorder un sauf-conduit limité au recourant afin de permettre une audition de celui-ci, puis immédiatement après, de lui laisser consulter le dossier selon des modalités à fixer. Toujours en date du 28 novembre 2012, le Procureur a ordonné la comparution du recourant le 24 janvier 2013, sans lui octroyer de sauf-conduit. C'est contre ce mandat que le recourant a formé le recours ayant abouti à la décision cantonale du 10 janvier 2013. Or, dans l'intervalle, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours du Ministère public (cause 1B_724/2012 du 3 décembre 2012). Ce dernier a alors délivré, le 13 décembre 2012, un sauf-conduit limité à la séance du 24 janvier 2013. C'est en substance ce qu'a constaté l'autorité cantonale dans son arrêt du 10 janvier 2013, précisant en particulier que, vu le sauf-conduit obtenu, les craintes du recourant relatives à l'émission d'un nouveau mandat d'amener pendant le délai de suspension du précédent étaient "infondées, voire inadmissibles". Elle a encore relevé qu'elle ne voyait pas d'injonctions figurant dans l'arrêt du 21 novembre 2012 qui n'auraient pas été respectées par le Procureur.
L'arrêt invoqué est donc limité à l'absence de risque d'arrestation lors de la séance du 24 janvier 2013. En revanche et contrairement à ce que soutient le recourant, il n'y est donné aucune assurance quant au déroulement de la procédure à venir, notamment sur le comportement que devrait tenir le Procureur à son égard. Ce dernier a d'ailleurs, à peine quelques jours après, démontré qu'il entendait poursuivre la ligne de conduite suivie jusqu'alors. Ainsi, il n'a donné au recourant qu'un accès limité au dossier le 29 janvier 2013, puis lui a refusé un second sauf-conduit le 1 er février 2013, décisions contre lesquelles le recourant a recouru, faisant état dans ses mémoires de ses griefs à l'encontre du comportement adopté par le Ministère public depuis le début de la procédure (cf. consid. 3.4.1 du jugement attaqué). S'inscrivant dans la continuité des jugements du 21 novembre 2012 et du 3 décembre 2012, l'arrêt du 10 janvier 2013 n'apporte aucun élément nouveau et ainsi, la cour cantonale n'a pas procédé de manière arbitraire en ne le mentionnant pas.
2.3. Le recourant reproche ensuite à la cour cantonale d'avoir retenu que le Procureur aurait annulé l'audience du 14 mars 2013 en raison de son fax du 13 mars 2013 l'informant qu'il ne comparaîtrait pas le lendemain, faute d'avoir obtenu un sauf-conduit. Or, selon le recourant, cette séance aurait été renvoyée le 12 mars 2013 déjà, sans que le magistrat ne l'en ait averti.
Après avoir refusé l'octroi d'un second sauf-conduit en date du 1 er février 2013, le Ministère public a convoqué, par mandat du 18 février 2013, le recourant pour être entendu en qualité de prévenu le 14 mars 2013 . Selon le fax du 12 mars 2013, le Procureur a annoncé aux conseils de deux des autres prévenus que l'audience du 14 mars 2013 "avec le prévenu A._" était annulée, car il lui avait refusé un sauf-conduit; cette information a également été transmise en copie à la Chambre pénale de recours. L'avocat du recourant a adressé le 13 mars 2013 un fax au Procureur afin de l'avertir qu'en l'absence de sauf-conduit, son mandant ne comparaîtrait pas le 14 mars 2013 et a requis en conséquence l'annulation de ladite séance. Le 14 mars 2013, le mandataire du recourant s'est à nouveau adressé au Ministère public, accusant réception de la "simple copie d'une page de communication adressée [le 12 mars 2013] par fax aux conseils des autres parties", mais non à lui-même, alors qu'elle concernait pourtant l'annulation de l'audience de comparution de son client.
Même si le fax du 13 mars 2013 du recourant (allégué adressé à 15h30) est parvenu au Ministère public antérieurement à l'envoi, ce même jour, de la copie de sa communication du 12 mars 2013 (reçue par son mandataire à 15h35 le 13 mars 2013), cette dernière semble dans tous les cas n'avoir pas été adressée directement au recourant, manière de faire qui n'est pas exempte de toute critique au regard du principe d'égalité des armes. Cependant, vu le mandat d'amener rendu à l'encontre du recourant, l'absence de sauf-conduit - motif invoqué par le Procureur à l'appui de l'annulation - et la procédure de recours pendante y relative, tant le magistrat que le recourant savaient pertinemment et préalablement même au 12 mars 2013 que le second ne se présenterait pas le 14 mars 2013 en l'absence de sauf-conduit. En conséquence et même si l'annulation de la séance ne résulte vraisemblablement pas directement du fax du recourant, il n'y a pas lieu de retenir une constatation arbitraire des faits de la part de l'autorité précédente.
3.
Le recourant conteste avoir déposé de manière tardive sa demande de récusation. S'il reconnaît s'être interrogé sur les intentions du Procureur à son égard lors de ses recours du 1er et du 7 février 2013, il soutient en revanche que les circonstances qui prévalaient à ce moment-là n'auraient pas justifié d'un point de vue objectif de retenir une apparence de prévention en raison des considérants figurant dans l'arrêt du 10 janvier 2013. Le recourant n'aurait donc pas renoncé à son droit de demander la récusation du magistrat et la requête déposée le 8 avril 2013 - soit quelques jours après la réception de l'arrêt du 3 avril 2013 statuant sur ses recours du 1er et du 7 février 2013, ainsi que de la notification le 4 avril 2013 de l'ordonnance de dépôt - ne saurait donc être considérée comme tardive.
3.1. Conformément à l'<ref-law>, la récusation doit être demandée sans délai, dès que la partie a connaissance du motif de récusation. Celui qui omet de se plaindre immédiatement de la prévention d'un magistrat et laisse la procédure se dérouler sans intervenir agit contrairement à la bonne foi et voit son droit se périmer (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 4; <ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 21 et les références). Il est en effet contraire aux règles de la bonne foi de garder ce moyen en réserve pour ne l'invoquer qu'en cas d'issue défavorable ou lorsque l'intéressé se serait rendu compte que l'instruction ne suivait pas le cours désiré (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 124; <ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 609; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 449 et les arrêts cités; arrêt 4A_110/2012 du 9 octobre 2012 consid. 2.1.2; CR CPP VERNIORY, Bâle 2011, no 5 et 6 ad. <ref-law>). Dès lors, même si la loi ne prévoit aucun délai particulier, il y a lieu d'admettre que la récusation doit être demandée aussitôt, c'est-à-dire dans les jours qui suivent la connaissance de la cause de récusation (arrêts 1B_202/2013 du 23 juillet 2013 consid. 2.2.1; 1B_203/2011 du 18 mai 2011 consid. 2.1). Il convient de prendre en compte les circonstances d'espèce. Ainsi, selon notamment la fréquence des actes d'instruction, on peut se montrer plus large dans le temps de réaction lorsque le moment déterminant intervient dans une phase moins active de la procédure (CR CPP VERNIORY, op. cit., no 8 ad <ref-law>).
3.2. En l'occurrence, le raisonnement de la Chambre pénale de recours tendant à retenir que les éventuels motifs de prévention étaient connus au début février 2013 ne prête pas le flanc à la critique. Le recourant ne conteste d'ailleurs pas en avoir été conscient à ce moment-là, puisqu'il en a déjà fait état dans ses mémoires de recours du 1er et du 7 février 2013 relatifs au droit d'accès au dossier et au refus d'un second sauf-conduit, se demandant alors si le Procureur ne cherchait pas à l'écarter du dossier. Il mentionnait notamment l'absence de convocation pendant douze mois, son audition durant seulement trois heures le 24 janvier 2013 après que le magistrat avait dû lui octroyer un sauf-conduit, l'accès extrêmement limité au dossier après l'audience, les procédés du Ministère public qui portaient atteinte à l'unité et l'équité de la poursuite, au principe de l'égalité des armes, à son droit de participer aux actes de procédure, ainsi que de faire valoir ses moyens de défense (cf. consid. 3.4.1 du jugement entrepris). Statuant le 3 avril 2013, la Chambre pénale de recours a examiné si les circonstances - antérieures à février 2013 - justifiaient les décisions prises par le Procureur à cette époque. Le fait de donner raison au recourant - et d'une manière très critique pour le Ministère public - sur les deux questions soulevées ne vient que confirmer les faits relevés par le recourant à l'appui de ses recours, mais ne permet en aucun cas de retenir de nouveaux griefs à l'encontre du Procureur.
Dès lors, son seul argument pour justifier l'absence de requête de sa part en février 2013 réside dans le prononcé du 10 janvier 2013. Or, il a été démontré ci-dessus que ce jugement ne permettait pas d'expliquer le défaut de réaction de sa part à ce moment-là (cf. consid. 2.2). Il est en particulier rappelé l'enchaînement temporel rapide des actes de procédure le concernant (prononcé du 10 janvier 2013, puis droit d'accès limité le 29 janvier 2013, refus d'un sauf-conduit le 1er février 2013). Le Procureur ne l'a ainsi pas laissé dans l'ignorance de la ligne de conduite qu'il entendait continuer à suivre. Il apparaît que les motifs d'une possible prévention étaient identifiés dès février 2013 et, dès lors, le recourant n'avait aucune raison d'attendre le prononcé du 3 avril 2013 pour agir. Cela vaut d'autant plus que les griefs principaux invoqués à l'appui de la demande de récusation ont trait au comportement adopté par le Ministère public à cette époque.
Partant, l'autorité précédente n'a pas violé le droit fédéral en retenant que le recourant avait vu se périmer le droit de se prévaloir des éléments antérieurs à février 2013.
4.
Le recourant se plaint d'une violation des art. 30 Cst., 6 CEDH et 56 let. f CPP. Il soutient que les violations répétées des garanties essentielles de procédure commises par le Procureur à son encontre forment un ensemble de circonstances objectives justifiant l'apparence de prévention de ce magistrat.
4.1. La garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH permet d'exiger la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à faire naître un doute sur son impartialité (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 144; <ref-ruling> consid. 2b p. 198; <ref-ruling> consid. 3a p. 73). Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du juge est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 144 s. et les arrêts cités).
Les motifs de récusation mentionnés à l'<ref-law> concrétisent ces garanties. Ils imposent en particulier la récusation d'un magistrat lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention (let. f). Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres a à e de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 428; IV 142 consid. 2.1 p. 144).
Dans la phase de l'enquête préliminaire et de l'instruction, les principes applicables à la récusation du ministère public sont ceux qui ont été dégagés à l'égard des juges d'instruction avant l'introduction du Code de procédure pénale. Selon l'<ref-law>, le ministère public est l'autorité investie de la direction de la procédure jusqu'à la mise en accusation. A ce titre, il doit veiller au bon déroulement et à la légalité de la procédure (<ref-law>). Durant l'instruction il doit établir, d'office et avec un soin égal, les faits à charge et à décharge (<ref-law>); il doit statuer sur les réquisitions de preuves et peut rendre des décisions quant à la suite de la procédure (classement ou mise en accusation), voire rendre une ordonnance pénale pour laquelle il assume une fonction juridictionnelle. Dans ce cadre, le ministère public est tenu à une certaine impartialité même s'il peut être amené, provisoirement du moins, à adopter une attitude plus orientée à l'égard du prévenu ou à faire état de ses convictions à un moment donné de l'enquête. Cela est en particulier le cas lorsqu'il décide de l'ouverture d'une instruction (qui suppose l'existence de soupçons suffisants au sens de l'<ref-law>) ou lorsqu'il ordonne des mesures de contrainte. Tout en disposant, dans le cadre de ses investigations, d'une certaine liberté, le magistrat reste tenu à un devoir de réserve. Il doit s'abstenir de tout procédé déloyal, instruire tant à charge qu'à décharge et ne point avantager une partie au détriment d'une autre (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 145 et les arrêts cités).
On ne saurait en particulier admettre systématiquement la récusation d'un procureur au motif qu'il aurait déjà rendu dans la même cause des décisions annulée par l'autorité de recours. D'une part en effet, des actes de procédure qui se révèlent par la suite erronés ne fondent pas en soi une apparence objective de prévention; seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs du magistrat, peuvent fonder une suspicion de partialité, pour autant que les circonstances dénotent que le juge est prévenu ou justifient à tout le moins objectivement l'apparence de prévention. D'autre part, la jurisprudence considère que le magistrat appelé à statuer à nouveau après l'annulation d'une de ses décisions est en général à même de tenir compte de l'avis exprimé par l'instance supérieure et de s'adapter aux injonctions qui lui sont faites. Seules des circonstances exceptionnelles permettent dès lors de justifier une récusation dans de tels cas, lorsque, par son attitude et ses déclarations précédentes, le magistrat a clairement fait apparaître qu'il ne sera pas capable de revoir sa position et de reprendre la cause en faisant abstraction des opinions qu'il a précédemment émises (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 146 et les références citées).
4.2. En l'espèce, s'agissant des circonstances objectives autres que celles existantes et relevées dans les deux recours déposés en février 2013, le recourant en mentionne trois : les modalités de l'annulation de l'audience du 14 mars 2013, l'ordonnance de dépôt notifiée le 4 avril 2013 et l'arrêt du 3 avril 2013 de la Chambre pénale (cf. mémoire de recours ad 2.1.2.4 et 2.1.2.5).
En ce qui concerne ce dernier, il a déjà été établi que l'autorité examinait alors les faits ayant amené le Procureur à rendre ses décisions du 29 janvier et du 1 er février 2013. Les considérants de cet arrêt ne peuvent en conséquence pas être invoqués pour démontrer une possible prévention du Procureur pour une période ultérieure. Il semble en outre que, postérieurement à ce prononcé, le Ministère public se soit conformé aux injonctions de la Chambre pénale de recours, ainsi que l'a relevé l'autorité précédente dans le jugement entrepris.
Quant à l'ordonnance de dépôt notifiée le 4 avril 2013 et contrairement à ce que soutient le recourant, aucun reproche ne peut être fait au Procureur qui a mentionné dans son courrier un renvoi exprès à l'<ref-law> (cf. arrêt entrepris consid. C.a); cette indication est clairement suffisante en l'espèce dès lors que le recourant est assisté par un mandataire professionnel.
En définitive, seules les circonstances entourant l'annulation de l'audience du 14 mars 2013 sont susceptibles de venir appuyer une possible apparence de prévention de la part du Procureur à l'égard du recourant. Cette façon de procéder - peu transparente - s'inscrit toutefois dans la continuité de la volonté patente du Ministère public de pouvoir, cas échéant, se prévaloir du mandat d'amener à l'encontre du recourant. Celui-ci ne l'ignore d'ailleurs pas, ayant toujours agi de manière à s'en protéger. Cet événement se situe en outre antérieurement au prononcé du 3 avril 2013, à la suite duquel, l'instruction semble avoir repris un cours ordinaire. Dès lors, il ne peut être déduit de cet unique acte du Procureur ni une violation particulièrement lourde ou répétée de ses devoirs, ni que celui-ci ne saurait à l'avenir se conformer aux injonctions données par l'autorité de recours. Au demeurant, si cette attitude avait paru à ce point choquante au recourant, il n'aurait pas attendu près d'un mois pour s'en prévaloir.
4.3. En conséquence, la Chambre pénale de recours n'a pas violé le droit fédéral en rejetant la requête de récusation.
5.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Le recourant qui succombe supporte les frais de la présente procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Procureur Marc Tappolet et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 15 août 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf