<ref-law> (Staatshaftung aus ärztlicher Tätigkeit), hat sich ergeben:
A.- A._ (Beschwerdegegner) ist Arzt für Allgemeinmedizin. Er betreibt gemeinsam mit seiner Frau in .............. (Deutschland) eine Landarztpraxis. Bei einem Fahrradunfall in der Schweiz verletzte er sich am linken Fuss. Er wurde am 3. August 1991 in der Notfallabteilung des X._ Spitals untersucht und am gleichen Tag wieder entlassen mit der Empfehlung, den Bruch nicht operieren, sondern konservativ behandeln zu lassen und sich nach Ablauf von 4 Wochen einer Nachkontrolle zu unterziehen. Anlässlich dieser Kontrolle erkannten die Ärzte in Deutschland, dass das Gelenk beim Fersenbeinbruch erheblich in Mitleidenschaft gezogen worden war, was die Ärzte des X._ Spitals übersehen und deshalb von einem operativen Eingriff abgeraten hatten. Die deutschen Ärzte rieten von einer Operation ab, da das Risiko nach Ablauf von 4 Wochen zu hoch sei. Das zuständige Versorgungsamt Darmstadt bescheinigte dem Beschwerdegegner in der Folge eine 50%ige, ab 25. August 1993 eine 30%ige Gehbehinderung wegen schmerzhafter Funktionsminderung am linken Fuss.
B.- Mit Klage vom 19. Mai 1995 beantragte der Beschwerdegegner dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, die X._ Spitalstiftung (Beschwerdeführerin) zur Zahlung von mindestens Fr. 2'317'319. 95 Schadenersatz und Genugtuung zu verurteilen, vorbehältlich abgeänderter Klagesumme infolge veränderter Wechselkurse. Diese Summe setzte der Beschwerdegegner im Laufe des Verfahrens auf Fr. 1'669'457.-- zuzüglich noch zu bestimmender Anwaltskosten herab. Das Verwaltungsgericht stellte mit Urteil vom 31. August 1998 zunächst fest, dass allfällige Ansprüche des Beschwerdegegners im Zusammenhang mit der ärztlichen Behandlung im X._ Spital nicht verjährt seien. Mit Urteil vom 15. Februar 2000 verpflichtete es sodann die Beschwerdeführerin, dem Beschwerdegegner eine Genugtuung von Fr.
16'700.-- nebst 5% Zins ab 3. August 1991 bis zum Zeitpunkt der Auszahlung zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage ab.
Es gelangte zum Ergebnis, dass zwar ein Kunstfehler vorliege, welcher die Heilungschancen verringert habe. Die verantwortlichen Ärzte hätten bei richtiger Diagnose pflichtgemäss eine Operation verordnet, die mit erheblicher Wahrscheinlichkeit zu einem im Vergleich zum heutigen verbesserten Gesundheitszustand geführt hätte. Einen ersatzpflichtigen Schaden hat der Beschwerdegegner indessen nach Auffassung des Verwaltungsgerichts nicht erlitten.
C.- Sowohl die Beschwerdeführerin als auch der Beschwerdegegner haben staatsrechtliche Beschwerde erhoben.
Die Beschwerdeführerin beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts betreffend Ziff. 1 Satz 1 des Urteilsdispositivs aufzuheben. Das Verwaltungsgericht und der Beschwerdegegner schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-Die Stiftung X._ Spital ist eine private Organisation, die gestützt auf die Art. 26 und 27 des bernischen Spitalgesetzes (BSG 812. 11) öffentliche Aufgaben wahrnimmt, insbesondere das Kantons- und Universitätsspital führt (Merkli/Aeschlimann/Herzog, Kommentar zum Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege im Kanton Bern, Bern 1997, N 5 zu Art. 87 VRPG, S. 641 f.). Das X._ Spital gehört demnach zu den öffentlichen Spitälern; sein Hauptträger ist der Staat Bern (BVR 1994 316, S. 318). Die Haftung aus fehlerhafter Behandlung in diesem Spital richtet sich folglich nach der kantonalen Haftungsordnung des öffentlichen Rechts (<ref-ruling> E. 2 S. 179, 122 I 153 E. 2e S. 156).
2.- a) Die staatsrechtliche Beschwerde ist ein Rechtsmittel zum Schutze verfassungsmässiger Rechte der Bürger gegen Übergriffe der Staatsgewalt (Art. 88 Abs. 1 lit. a OG).
Solche Rechte stehen grundsätzlich nur Privaten zu, nicht dagegen dem Staat als Inhaber hoheitlicher Gewalt. Öffentlichrechtliche Körperschaften sind - abgesehen von der hier nicht in Frage stehenden Beschwerde wegen Verletzung der Autonomie oder Bestandesgarantie - zur staatsrechtlichen Beschwerde nur legitimiert, wenn sie nicht hoheitlich auftreten, sondern sich auf dem Boden des Privatrechts bewegen oder sonstwie durch einen staatlichen Akt wie eine Privatperson betroffen werden, z.B. als Eigentümer von Finanz- oder Verwaltungsvermögen oder als Steuer- oder Gebührenpflichtige (<ref-ruling> E. 2a S. 219 f.). Nicht unter diese Ausnahme fallen Streitigkeiten aus öffentlichem Haftpflichtrecht.
Ein Kanton oder eine Gemeinde ist nicht legitimiert zur staatsrechtlichen Beschwerde gegen einen kantonalen Entscheid, der die Körperschaft zu einer Entschädigung aufgrund kantonaler Verantwortlichkeitsbestimmungen verurteilt (<ref-ruling> E. 2 S. 175).
b) Nichts anderes gilt für privatrechtlich organisierte Körperschaften oder Anstalten, die mit der Erfüllung öffentlicher Aufgaben betraut werden. Für sie gilt bloss eine weitere - hier allerdings nicht in Frage stehende - Ausnahme: sie können staatsrechtliche Beschwerde auch gegen kantonale Hoheitsakte erheben, mit denen ihnen zusätzliche Aufgaben übertragen werden sollen (<ref-ruling> E. 2b S. 220 f.).
3.- Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Willkürverbots und des Anspruchs auf rechtliches Gehör. Dazu ist sie nach dem Gesagten nicht legitimiert, auch nicht hinsichtlich der angerufenen Verfahrensgarantie (formelle Rechtsverweigerung). Diese Rüge steht ihr nach der Rechtsprechung nur offen, wenn sie in engem Zusammenhang mit jener einer Verletzung der Autonomie oder Bestandesgarantie steht (BGE 120 I a 95 E. 2 S. 100, 121 I 218 E. 4a S. 223).
Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Auf die staatsrechtlichen Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.-Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.-Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht (Verwaltungsrechtliche Abteilung) des Kantons Bern, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 31. August 2000
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: