Sachverhalt:
A.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt erklärte A._ mit Urteil vom 1. September 2014 der mehrfachen ungetreuen Geschäftsbesorgung (Bereicherungsabsicht), der mehrfachen Urkundenfälschung, des mehrfachen Vergehens gegen das Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer und des mehrfachen Vergehens gegen das Gesetz über die direkten Steuern des Kantons Basel-Stadt für schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von 240 Tagessätzen zu Fr. 660.--, mit bedingtem Strafvollzug und unter Auferlegung einer Probezeit von zwei Jahren. Vom Vorwurf der mehrfachen Erschleichung einer falschen Beurkundung sprach es ihn frei. Dieses Urteil focht A._ mit Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt an. Das Berufungsverfahren ist hängig.
B.
Am 23. Februar 2015 beantragte A._ den Ausstand der (damaligen) Instruktionsrichterin des Berufungsverfahrens, Marie-Louise Stamm. Als Verfahrensleiter dieses Ausstandsverfahrens wurde der Präsident des Appellationsgerichts, Claudius Gelzer, eingesetzt. Mit Eingabe vom 31. März 2015 stellte A._ auch gegen Claudius Gelzer ein Ausstandsgesuch. Mit Entscheid vom 20. Juli 2015 wies das Appellationsgericht das Ausstandsgesuch gegen Claudius Gelzer ab. Mit Entscheid vom 3. August 2015 wies das Appellationsgericht (unter Mitwirkung von Claudius Gelzer) auch das Ausstandsgesuch gegen Marie-Louise Stamm ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 1. September 2015 beantragt A._ in der Hauptsache, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 20. Juli 2015 sei aufzuheben und Claudius Gelzer sei als Berufungsrichter für das Strafverfahren wegen Befangenheit auszuschliessen (Verfahren 1B_291/2015).
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 3. September 2015 beantragt A._ in der Hauptsache, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 3. August 2015 sei aufzuheben und Marie-Louise Stamm sei als Berufungsrichterin für das Strafverfahren wegen Befangenheit auszuschliessen (Verfahren 1B_301/2015).
Die Vorinstanz beantragt, die Beschwerden seien abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Claudius Gelzer beantragt ebenfalls, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne (Verfahren 1B_291/2015). Marie-Louise Stamm stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung (Verfahren 1B_301/2015).
Der Beschwerdeführer hält in weiteren Eingaben an seinem Standpunkt und an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Bei den angefochtenen Entscheiden handelt es sich um selbständig eröffnete Zwischenentscheide über Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Das Appellationsgericht hat jeweils als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zu den Beschwerden befugt.
1.2. Das Bundesgericht vereinigt mehrere Verfahren, wenn diese in einem engen sachlichen Zusammenhang stehen, namentlich wenn sie die gleichen Parteien sowie ähnliche oder gleiche Rechtsfragen betreffen. Diese Voraussetzungen sind im vorliegenden Fall erfüllt. Es rechtfertigt sich daher, die beiden Beschwerden gestützt auf <ref-law> in sinngemässer Anwendung von <ref-law> (SR 273) zu vereinigen und in einem einzigen Entscheid zu beurteilen.
1.3.
1.3.1. Gegenstand der angefochtenen Entscheide bilden einzig die vom Beschwerdeführer gegen Dr. Claudius Gelzer und Marie-Louise Stamm gestellten Ausstandsbegehren. Die Beschwerden sind nur im Rahmen des Streitgegenstands zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 189). Auf ausserhalb des Streitgegenstands liegende Anträge, Rügen und weitere Vorbringen des Beschwerdeführers kann daher von vorneherein nicht eingetreten werden.
Nicht einzutreten ist insbesondere auf den Antrag des Beschwerdeführers, Claudius Gelzer als Berufungsrichter auszuschliessen, da vorliegend nur dessen Mitwirkung am Ausstandsverfahren gegen Marie-Louise Stamm Verfahrensgegenstand bildet. Klarstellend ist indes festzuhalten, dass die Mitwirkung von Claudius Gelzer am Ausstandsverfahren dessen spätere Mitwirkung am Berufungsverfahren nicht per se ausschliesst (vgl. Niklaus Schmid, Handbuch des Schweizerischen Strafprozessrechts, 2. Aufl. 2013, N. 515 f.).
1.3.2. Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen der angefochtenen Entscheide auseinandersetzt. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Das bedingt aber, dass auf die Beschwerden überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllen.
Der Beschwerdeführer übt über weite Strecken der Beschwerden appellatorische Kritik an den angefochtenen Entscheiden, indem er lediglich seine eigene Sicht der Dinge darstellt, ohne sich substanziiert mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinanderzusetzen und darzulegen, inwiefern die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz willkürlich oder ihre rechtlichen Ausführungen unzutreffend sein sollten.
1.3.3. Unter diesen Vorbehalten (E. 1.3.1 und 1.3.2 hiervor) ist auf die Beschwerden einzutreten.
2.
Die Vorinstanz hat sich zu Recht zur Beurteilung der gegen einzelne Mitglieder des Berufungsgerichts gerichteten Ausstandsgesuche für zuständig erklärt (vgl. <ref-law>). Nach der Rechtsprechung sind die gerichtsinterne Fallzuteilung und Spruchkörperbildung im Einzelfall nach objektiven Kriterien vorzunehmen, soweit das massgebende Verfahrensrecht - wie im Kanton Basel-Stadt - keine einschlägigen Regelungen enthält (vgl. Gerold Steinmann, St. Galler Kommentar BV, 3. Aufl. 2014, Art. 30 N. 13). Dies ist, wie die Vorinstanz in den angefochtenen Entscheiden eingehend dargelegt hat, vorliegend erfolgt.
Der Umstand, dass der Beschwerdeführer gegen den das Ausstandsverfahren gegen Marie-Louise Stamm leitenden Instruktionsrichter Claudius Gelzer ebenfalls ein Ausstandsgesuch gestellt hat, hinderte diesen nicht daran, das Ausstandsverfahren gegen Marie-Louise Stamm weiterzuführen und am Ausstandsentscheid vom 3. August 2015 mitzuwirken (vgl. <ref-law>).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt, Claudius Gelzer habe bereits bei einem Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 21. Oktober 2011 in einem ihn betreffenden Steuerverfahren mitgewirkt und sei deshalb befangen. Gleich verhalte es sich bei Marie-Louise Stamm, die an einem Beschwerdeentscheid vom 11. Januar 2012 in einem ihn betreffenden Verfahren mitgewirkt habe.
3.2. Die Vorinstanz hat erwogen, im Verfahren von 2011, an welchem Claudius Gelzer als Verwaltungsrichter mitgewirkt habe, habe der Beschwerdeführer als Vertreter zweier Rekurrenten die Vorladung in einem steuerrechtlichen Verfahren angefochten. Bei diesem Rekurs sei es einzig um prozessuale Fragen wie etwa jene der Zusammenlegung der Verfahren zweier Steuersubjekte gegangen. Über materielle Fragen des Steuerrechts sei in diesem Verfahren ebenso wenig befunden worden wie über strafrechtliche Fragen. Es liege keine Vorbefassung im Sinne von <ref-law> vor.
Gleich verhalte es sich mit Bezug auf Marie-Louise Stamm. Das damalige Beschwerdeverfahren habe eine Beschwerde des Beschwerdeführers gegen eine Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft vom 17. Mai 2011 betroffen. Gegenstand dieser Verfügung sei ein durch den Beschwerdeführer eingeleitetes Verfahren gewesen, mit welchem er der Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt unredliches Verhalten (insb. Amtsmissbrauch, Urkundenfälschung im Amt) vorgeworfen habe. Das nunmehr strittige Berufungsverfahren betreffe andere Beschuldigte, andere Handlungen und andere Straftatbestände. Aus dem Beschwerdeentscheid vom 11. Januar 2012 gehe in keiner Weise hervor, dass sich Marie-Louise Stamm mit den im Berufungsverfahren zu prüfenden Vorwürfen gegen den Beschwerdeführer befasst habe.
Eine Vorbefassung von Marie-Louise Stamm ergebe sich auch nicht daraus, dass sie in anderen, (auch) das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer betreffenden Beschwerdefällen in Vertretung des Instruktionsrichters verfahrensleitende Anordnungen (Fristansetzungen) getroffen habe, denn hierfür habe sie sich inhaltlich nicht mit den Beschwerdeverfahren auseinandersetzen müssen. Entscheidend sei, dass Marie-Louise Stamm in diesen Fällen nicht Teil des entscheidenden Beschwerdegerichts gewesen sei.
3.3. Gemäss <ref-law> tritt eine Person insbesondere dann in den Ausstand, wenn sie in einer anderen Stellung, insbesondere als Mitglied einer Behörde, in der gleichen Sache tätig war (vgl. lit. b), oder wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte (lit. f).
Der Ausstandsgrund der Vorbefassung gemäss <ref-law> setzt voraus, dass die in der Strafbehörde tätige Person bereits in einem früheren Stadium des Verfahrens in einer anderen Stellung mit der gleichen Strafsache befasst war. Massgeblich für die Annahme einer ausstandsbegründenden Vorbefassung ist, ob die beiden Behörden, in denen jemand in der gleichen Sache gewirkt hat, in aufeinanderfolgenden und organisatorisch getrennten Funktionen der Rechtsprechung gehandelt haben. Eine gleiche Sache ist anzunehmen bei Identität der betroffenen Parteien, des Verfahrens und der zur Beantwortung stehenden (Rechts-) Fragen (vgl. Andreas J. Keller, in: Donatsch/Hansjakob/Lieber [Hrsg], Kommentar zur StPO, 2. Aufl. 2014, Art. 56 N. 15 ff. ).
Ist die Gerichtsperson in derselben Stellung mit der gleichen Sache mehrfach befasst, liegt kein Fall der Vorbefassung im Sinne von <ref-law> vor. Eine Mehrfachbefassung in diesem Sinn kann aber im Rahmen des Auffangtatbestands von <ref-law> relevant werden, so wenn zu erwarten ist, die Person habe sich in Bezug auf einzelne Fragen bereits in einem Mass festgelegt, dass das Verfahren im späteren Verfahrensabschnitt nicht mehr als offen erscheint (Markus Boog, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Art. 56 N. 28). Die Mitwirkung an verfahrensleitenden Entscheiden oder an Entscheiden über vorsorgliche Massnahmen stellt keine unzulässige Mehrfachbefassung dar, da prozessuale Anordnungen einem anderen Zweck dienen als der Entscheid in der Sache (Boog, a.a.O., Art. 56 N. 33).
3.4. Die Ausführungen der Vorinstanz sind zutreffend. Eine gleiche Sache ist, wie dargelegt, anzunehmen bei Identität der betroffenen Parteien, des Verfahrens und der zur Beantwortung stehenden (Rechts-) Fragen. Der Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 21. Oktober 2011, an welchem Claudius Gelzer mitgewirkt hat, und der Beschwerdeentscheid vom 11. Januar 2012, an welchem Marie-Louise Stamm mitgewirkt hat, ergingen in anderen Angelegenheiten. Eine Vorbefassung im Sinne von <ref-law> liegt nicht vor.
Ebenso wenig begründet die Tatsache, dass Marie-Louise Stamm in (das Strafverfahren des Beschwerdeführers betreffenden) Beschwerdeverfahren in Vertretung des Instruktionsrichters Fristansetzungen verfügt hat, nach dem Gesagten eine unzulässige Mehrfachbefassung im Sinne von <ref-law>.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer lastet sowohl Claudius Gelzer als auch Marie-Louise Stamm Verfahrensfehler an; dies stelle einen Ablehnungsgrund dar. Insbesondere habe Marie-Louise Stamm am 25. Februar 2015 zu Unrecht eine Verfahrenstrennung (Abtrennung des Verfahrens eines anderen mutmasslichen Mittäters) verfügt.
4.2. Die Vorinstanz hat erwogen, die Tätigkeit von Claudius Gelzer bei der Instruktion des Ausstandsverfahrens gegen Marie-Louise Stamm sei objektiv und nachvollziehbar begründet. Auch bei Marie-Louise Stamm könne nicht von einem krassen Versäumnis oder Mangel gesprochen werden. Daran ändere nichts, dass das Bundesgericht die von Marie-Louise Stamm angeordnete Verfahrenstrennung in der Zwischenzeit aufgehoben habe.
4.3. Wird der Ausstandsgrund aus materiellen oder prozessualen Rechtsfehlern abgeleitet, so sind diese nur wesentlich, wenn sie besonders krass sind und wiederholt auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken; andernfalls begründen sie keinen hinreichenden Anschein der Befangenheit (<ref-ruling> E. 2.3 S. 146; Urteil 1B_11/2013 vom 11. März 2013 E. 2). Allgemeine Verfahrensverstösse sind im dazu vorgesehenen Rechtsmittelverfahren zu rügen (vgl. <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 f.), was der Beschwerdeführer in Bezug auf die von Marie-Louise Stamm verfügte Verfahrenstrennung auch (mit Erfolg) getan hat (siehe sogleich E. 4.5).
4.4. Es ist nicht ersichtlich, dass Claudius Gelzer Verfahrensfehler begangen hätte. Es liegt insoweit kein Ausstandsgrund vor.
4.5.
4.5.1. Soweit Marie-Louise Stamm betreffend stellt sich die Sach- und Rechtslage wie folgt dar: Neben dem Beschwerdeführer wurden erstinstanzlich zwei weitere Beschuldigte als Mittäter verurteilt. Marie-Louise Stamm als (damalige) Instruktionsrichterin des Berufungsverfahrens erachtete sich gegenüber einem der beiden mutmasslichen Mittäter des Beschwerdeführers als befangen und trennte dieses Verfahren mit Verfügung vom 25. Februar 2015 ab; das Verfahren gegen den Beschwerdeführer und den anderen mutmasslichen Mittäter führte Marie-Louise Stamm weiter. Mit Urteil 1B_86/2015 und 1B_105/2015 vom 21. Juli 2015 hiess das Bundesgericht die vom Beschwerdeführer (und dem anderen mutmasslichen Mittäter) dagegen erhobene Beschwerde gut, hob die verfügte Verfahrenstrennung auf und wies das Appellationsgericht an, einen unbefangenen Verfahrensleiter einzusetzen, der das Verfahren gegen die drei Beschuldigten führt. Mit Verfügung vom 19. August 2015 setzte das Appellationsgericht Claudius Gelzer als Verfahrensleiter der vereinigten Berufungsverfahren ein.
Mit der Wiedervereinigung der Berufungsverfahren fällt eine Mitwirkung von Marie-Louise Stamm als Berufungsrichterin ausser Betracht, da sie sich gegenüber einem der Beschuldigten als befangen erklärt hat. Die Vorinstanz hat im Ausstandsverfahren gegen Marie-Louise Stamm denn auch zu Recht einzig geprüft, ob allfällige Amtshandlungen von Marie-Louise Stamm aus ihrer instruktionsrichterlichen Tätigkeit bis zum Urteil des Bundesgerichts vom 21. Juli 2015 aufzuheben und zu wiederholen sind (vgl. <ref-law>). Dies hat die Vorinstanz verneint, da der Verfahrensfehler von Marie-Louise Stamm keinen Ausstandsgrund darstelle.
4.5.2. Dies ist zutreffend. Als Ablehnungsgründe kommen, wie dargelegt, nur besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Versäumnisse und Mängel in Betracht. Die von Marie-Louise Stamm am 25. Februar 2015 verfügte Verfahrenstrennung wurde zwar vom Bundesgericht am 21. Juli 2015 im Rechtsmittelverfahren aufgehoben. Von einem gravierenden Verfahrensfehler von Marie-Louise Stamm, der einer schweren Amtspflichtverletzung nahekommt und ihren Ausstand verlangt, kann insoweit jedoch keine Rede sein.
5.
Zusammenfassend hat die Vorinstanz zu Recht geschlossen, es lägen keine Ausstandsgründe gemäss <ref-law> vor. Die Beschwerden sind abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Damit wird das vom Beschwerdeführer im Verfahren 1B_291/2015 gestellte Gesuch um Verfahrenssistierung gegenstandslos. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 1B_291/2015 und 1B_301/2015 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Oktober 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner