Faits:
A. F._, né en 1969, a bénéficié d'indemnités de chômage et était, à ce titre, obligatoirement assuré contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 6 août 2003, alors qu'il marchait sur une plage de sable, il a fait un faux mouvement suivi d'une chute. Le docteur B._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a diagnostiqué des ruptures du ligament latéral interne et du ligament croisé antérieur, ainsi qu'une rupture probable du ménisque interne (rapport du 20 novembre 2003). Le 3 décembre 2003, il a procédé à une arthroscopie du genou gauche avec résection du ménisque interne et au nettoyage du ligament croisé antérieur résiduel.
La CNA a pris en charge le cas. Dans un rapport d'examen médical final du 7 février 2005, le docteur S._, médecin d'arrondissement de la CNA, a fait état, en ce qui concerne les seules séquelles de l'accident, d'une capacité de travail de 50 % au moins dans une activité de laborantin ou une autre activité sans sollicitation du genou gauche en flexion et n'exigeant pas la position debout sur une longue durée. Selon ce médecin, les déplacements en terrain inégal, dans les escaliers ou sur des échelles, ainsi que tout travail exigeant la position accroupie ou à genoux devaient être évités. Par ailleurs, le docteur S._ a fixé à 15 % le degré de l'atteinte à l'intégrité.
En raison d'affections étrangères à l'accident (trouble statique du dos et trouble somatoforme douloureux), l'assuré a bénéficié d'une rente entière de l'assurance-invalidité dès le mois d'août 2000, d'une demi-rente depuis le mois de novembre 2002 et de trois quarts de rente à partir du 1er janvier 2004.
Par décision du 15 juin 2005, confirmée sur opposition le 27 juillet suivant, la CNA a maintenu le droit de l'assuré à la prise en charge du traitement médical sous la forme de contrôles orthopédiques espacés et d'administration d'antalgiques pendant encore une année. Par ailleurs, elle a nié le droit de l'intéressé à une rente d'invalidité et lui a alloué une indemnité pour atteinte à l'intégrité d'un montant de 16'020 fr., fondée sur un taux de diminution de l'intégrité de 15 %. En ce qui concerne la capacité de travail dans une activité adaptée, la CNA a considéré, en résumé, que les suites de l'accident du 6 août 2003 n'entraînaient pas de diminution de la capacité résiduelle de 60 % attestée par les experts mandatés par l'assurance-invalidité.
B. Saisie d'un recours contre la décision sur opposition du 27 juillet 2005, la Chambre des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura l'a rejeté par jugement du 30 novembre 2006.
C. F._ interjette recours de droit administratif contre ce prononcé, dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de dépens, à l'octroi des « prestations légales découlant de la LAA », subsidiairement au renvoi de la cause à la CNA pour qu'elle procède à une instruction complémentaire sous la forme d'une expertise médicale. A l'appui de ses conclusions, le recourant produit un certificat de son médecin traitant, le docteur P._, du 11 janvier 2007.
La CNA conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit:
1. La loi sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 395).
2. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 27 juillet 2005, à nier le droit du recourant à une rente d'invalidité.
3. Par un premier moyen, le recourant fait valoir que le cas n'était pas stabilisé sur le plan médical, dès lors que le docteur E._, chirurgien orthopédiste, médecin à la « Klinik X._ », à M._, a prévu une nouvelle arthroscopie, le 29 janvier 2007, afin de pouvoir faire le point de la situation.
Aux termes de l'art. 19 al. 1, 1ère phrase, LAA, le droit à la rente prend naissance dès qu'il n'y a plus lieu d'attendre de la continuation du traitement médical une sensible amélioration de l'état de l'assuré et que les éventuelles mesures de réadaptation de l'assurance-invalidité ont été menées à terme.
En l'occurrence, il n'y a pas lieu de s'écarter du point de vue de l'intimée, confirmé par la juridiction cantonale, selon lequel l'état de santé du recourant était stabilisé dans la mesure exigée par l'<ref-law>. Dans un rapport du 6 janvier 2006, produit par la CNA à l'appui de sa réponse dans la procédure cantonale, le docteur C._, spécialiste en chirurgie, a nié l'existence d'une aggravation objective des séquelles de l'accident depuis l'établissement, le 7 février 2005, du rapport d'examen médical final par le docteur S._. En particulier, une IRM effectuée le 13 octobre 2005 avait permis d'exclure une ostéonécrose. Quant à la chondropathie modérée du condyle fémoral interne, elle n'avait pas d'incidence clinique, selon le docteur C._. Il ressort en outre de ce rapport qu'aucun traitement n'était apte à améliorer sensiblement l'état de l'assuré.
Cela étant, le seul fait que le docteur E._ a prévu une nouvelle arthroscopie afin de faire le point de la situation ne permet pas d'inférer qu'un traitement médical aurait apporté une amélioration sensible au moment - déterminant en l'occurrence (<ref-ruling> consid. 1b p. 366 et les références) - où la décision sur opposition litigieuse a été rendue.
4. Par un second moyen, le recourant conteste le point de vue de l'intimée et de la juridiction cantonale, selon lequel les suites de l'accident n'entraînent pas une diminution de la capacité résiduelle de travail de 60 % attestée par les experts mandatés par l'assurance-invalidité. A l'appui de ce grief, il invoque l'avis de son médecin traitant, le docteur P._, qui rapporte le point de vue du docteur E._ (rapport du 11 janvier 2007). Selon ces médecins, il existe une importante instabilité du genou gauche qui rend difficile voire dangereuse l'ancienne activité de maçon. En particulier, cette instabilité fait obstacle à la marche sur des échelles, ainsi qu'en terrain accidenté, de sorte que ces praticiens déconseillent le travail sur des toits.
Cette appréciation médicale n'est pas de nature à mettre en cause les conclusions de l'intimée et de la juridiction cantonale quant à la capacité de travail du recourant. Le docteur S._, sur l'avis duquel ceux-ci se sont fondés, est aussi d'avis que les tâches inhérentes à l'activité de maçon, comme les déplacements en terrain inégal, dans des escaliers ou sur des échelles, ainsi que tout travail exigeant la position accroupie ou à genoux, doivent être évitées. En revanche, ce médecin indique une capacité de travail de 50 % au moins dans une autre activité sans solicitation du genou gauche en flexion et évitant la position debout sur une longue durée (rapport du 7 février 2005). Aucun des médecins qui se sont prononcés sur l'état de santé de l'assuré ne contredit le point de vue du docteur S._, de sorte que le second grief du recourant apparaît également mal fondé sans qu'il soit nécessaire d'ordonner un complément d'instruction, comme le demande l'intéressé. Cela étant, il apparaît que les suites de l'accident n'entraînent pas une diminution de la capacité résiduelle de travail de 60 % (dans une activité adaptée) attestée par les experts mandatés par l'assurance-invalidité, de sorte que l'assuré ne peut prétendre une rente de l'assurance-accidents (cf. <ref-law>; voir aussi le calcul - non contesté - de l'intimée dans sa réponse au recours cantonal).
Le recourant ne conteste pas les autres points de la décision sur opposition confirmés par le jugement attaqué. En particulier, il ne remet pas en cause le taux de l'atteinte à l'intégrité de 15 % fixé par l'intimée.
Le jugement entrepris n'apparaît dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de droit administratif est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 14 décembre 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd