Fatti:
A.
Il 20 agosto 1999 A.A._, alla guida dell'automobile della figlia C.A._, ha causato un incidente della circolazione in seguito al quale è rimasto parzialmente inabile al lavoro. Dal 1° settembre 2003 egli beneficia di rendite LAINF e AI per un grado di invalidità valutato inizialmente nel 50 %, poi 55 %. Il danno afferente al periodo precedente è stato coperto dall'assicurazione complementare retta dalla LAINF.
D._, assicuratore di responsabilità civile del veicolo della figlia, ha invece rifiutato di risarcire le ulteriori pretese fatte vale-re per perdita di guadagno dal 1° settembre 2003 al pensionamento, torto morale e spese legali pre-processuali.
B.
B.a. Il 21 ottobre 2004 A.A._ ha convenuto davanti al Pretore di Lugano la B._ SA (subentrata a D._) chiedendo che sia condannata a pagargli fr. 170'154.-- con interessi al 5 % dal 25 febbraio 2004. Con la replica ha aumentato la domanda di risarcimento a fr. 263'990, suddivisi in fr. 227'777.-- per la perdita di guadagno dal 1° settembre 2003 al pensionamento, fr. 29'160.-- per torto morale e fr. 7'053.-- per le spese legali pre-processuali. La convenuta ha chiesto la reiezione integrale dell'azione.
Il Pretore ha accolto la petizione, con sentenza del 9 agosto 2011, limitatamente a fr. 7'575.--, con interessi al 5 % dal 25 febbraio 2004, ossia fr. 7'500.-- a risarcimento del torto morale e fr. 75.-- delle spese legali pre-processuali.
B.b. Attore e convenuta hanno impugnato la sentenza del Pretore.
Il 19 giugno 2013 la II Camera civile del Tribunale di appello ticinese ha respinto l'appello principale dell'attore e accolto quello incidentale della convenuta, respingendo integralmente la petizione e ponendo spese e ripetibili a carico dell'attore.
C.
A.A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 21 agosto 2013. Chiede l'annullamento della sentenza cantonale e, in via principale, la condanna della B._ SA a pagargli fr. 227'225.35, oltre agli interessi del 5 % dal 20 agosto 1999, con il conseguente addossamento di spese e ripetibili di prima e seconda istanza; in via subordinata il rinvio degli atti all'autorità cantonale per nuovo giudizio nel senso dei considerandi.
La convenuta propone di respingere il ricorso con risposta del 14 ottobre 2013. L'autorità cantonale non si è pronunciata.

Diritto:
1.
Il ricorso è presentato dalla parte soccombente nella sede cantonale (<ref-law>), è tempestivo (<ref-law>) ed è volto contro una sentenza finale (<ref-law>) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa civile (<ref-law>) il cui valore litigioso supera fr. 30'000.-- (<ref-law>). Esso è pertanto ammissibile.
2.
Il Tribunale federale esamina d'ufficio l'applicazione del diritto federale (<ref-law>). Tuttavia, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione imposto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, il cui mancato rispetto conduce all'inammissibilità del gravame (<ref-law>), esso considera di regola solo gli argomenti proposti nell'atto di ricorso (<ref-ruling> consid. 1.1).
3.
La sentenza cantonale inizia con l'esame dell'appello incidentale della convenuta, il cui accoglimento avrebbe comportato la reiezione perlomeno parziale dell'appello principale. Il gravame verteva in particolare sull'eccezione derivata dall'art. 44 cpv. 1 della legge sull'assicurazione contro gli infortuni del 20 marzo 1981 (vLAINF; RS 832.20). La disposizione è stata abrogata il 1° gennaio 2003 dalla legge sulla parte generale del diritto delle assicurazioni sociali del 6 ottobre 2000 (LPGA; RS 830.1) ma la Corte cantonale l'ha applicata ugualmente poiché l'incidente della circolazione è accaduto il 20 agosto 1999.
3.1. L'art. 44 cpv. 1 vLAINF stabiliva che "l'assicurato a titolo obbligatorio ed i suoi superstiti possono far valere i diritti di responsabilità civile nei confronti del coniuge, degli ascendenti e discendenti e delle persone viventi con lui nella comunità domestica, solo se queste persone hanno provocato l'infortunio intenzionalmente o per negligenza grave".
Rifacendosi alla <ref-ruling> il Tribunale di appello ha ricordato che l'art. 44 cpv. 1 vLAINF istituiva un cosiddetto privilegio di responsabilità, del quale può prevalersi con successo l'assicuratore di responsabilità civile della figlia dell'attore, detentrice del veicolo e per nulla responsabile dell'incidente. L'autorità cantonale ha perciò accolto l'appello incidentale e respinto quello principale nella misura in cui l'attore chiedeva prestazioni di natura uguale secondo l'art. 43 cpv. 2 vLAINF, ovvero il risarcimento del danno per l'incapacità di guadagno permanente e del torto morale. La Corte ticinese ha in seguito osservato che il privilegio di responsabilità dell'art. 44 cpv. 1 vLAINF non era opponibile alla richiesta di risarcimento delle spese legali pre-processuali, poiché tale prestazione non è prevista dall'art. 43 cpv. 2 vLAINF; essa ha nondimeno respinto l'appello dell'attore anche su questo punto, per motivi in parte processuali in parte di merito..
3.2. La prima censura dell'attore riguarda la portata a suo giudizio errata attribuita dal Tribunale di appello all'art. 44 cpv. 1 vLAINF. Egli riproduce la massima della <ref-ruling> e sostiene che in tale occasione il Tribunale federale avesse inteso precisare la precedente <ref-ruling> secondo la quale la norma in questione concedeva "un privilegio di ricorso per gli assicuratori AVS e AI, ma non limitava l'azione diretta della parte lesa nei confronti dell'assicuratore".
Nella <ref-ruling> consid. 4, ripresa con precisione nella sentenza impugnata, il Tribunale federale aveva sciolto tutti i dubbi che potevano sussistere in merito all'interpretazione dell'art. 44 cpv. 1 vLAINF. Posto che l'assicuratore sociale subentra nei diritti del danneggiato contro il responsabile fino a concorrenza delle prestazioni versate, mentre per la parte rimanente del danno il danneggiato può agire direttamente, il Tribunale federale aveva chiarito che la norma interferiva con questo meccanismo nei confronti della cerchia di persone che vi sono elencate, a meno che esse abbiano agito per intenzione o negligenza grave, privando d'un canto l'assicuratore del predetto diritto di regresso, dall'altro il danneggiato dell'azione diretta per il danno residuo.
Gli argomenti dell'attore sono perciò manifestamente errati: l'art. 44 cpv. 1 vLAINF istituiva un privilegio sia di regresso, sia di responsabilità. L'attore fraintende il senso della <ref-ruling>, la quale, laddove menzionava il solo privilegio di regresso, si riferiva all'allora vigente <ref-law>. Anche questa disposizione, come l'art. 44 vLAINF, è del resto stata abrogata dalla LPGA. Dai materiali traspare con evidenza la volontà del legislatore di eliminare proprio il sempre più criticato privilegio di responsabilità che limitava l'azione diretta del danneggiato in forza dell'art. 44 vLAINF (Rapporto della Commissione del Consiglio nazionale del 26 marzo 1999, FF 1999 3896, 4026; notisi che, contrariamente a quanto osservavano i commissari, nella sentenza 4C.269/1998 del 26 novembre 1998 il Tribunale federale non aveva affatto approvato la prassi divergente del Tribunale commerciale zurighese; aveva semplicemente stabilito che in quel caso l'incidente della circolazione era stato causato dal conducente per negligenza grave, per cui il privilegio di responsabilità non poteva essere invocato).
3.3. Con una seconda censura l'attore afferma che il giudizio impugnato viola l'art. 44 cpv. 1 vLAINF anche perché l'assenza di identità tra le prestazioni assicurative e quelle poste in causa impedirebbe comunque alla convenuta di prevalersi del privilegio di responsabilità; spiega a questo proposito di non avere chiesto il risarcimento del danno già liquidato da un altro assicuratore sociale, ma solo della parte di perdita di guadagno e del torto morale rimasta scoperta.
Anche questa critica è infondata. L'attore dimentica l'art. 43 cpv. 2 vLAINF, citato con pertinenza dall'autorità cantonale, che parificava espressamente tanto la rendita d'invalidità al risarcimento dell'incapacità di guadagno (lett. c), quanto l'indennità per menomazione dell'integrità a quella di torto morale (lett. d). Ai fini dell'applicazione dell'art. 44 vLAINF era decisiva la natura di per sé uguale delle prestazioni; poco importava che l'assicuratore sociale risarcisse effettivamente o solo parzialmente il danno in questione (sentenza 4C.10/2001 del 7 agosto 2001, consid. 5a e rif.).
3.4. Come detto, la Corte cantonale ha respinto anche la richiesta di risarcimento delle spese legali pre-processuali. Davanti al Tribunale federale l'attore non affronta però questo tema.
4.
Tutta la parte rimanente dell'atto di ricorso è volta contro un breve considerando finale della sentenza impugnata, nel quale la Corte ticinese ha stabilito, "a titolo abbondanziale" e avallando l'apprezzamento delle prove effettuato dal Pretore, che la richiesta di risarcimento della perdita di guadagno dal 1° settembre 2003 al pensionamento andrebbe comunque respinta. Non è tuttavia necessario esaminarla. Qualora una decisione si fondi su due motivazioni alternative e indipendenti occorre contestarle entrambe, sotto pena d'inammissibilità, e il ricorso può essere accolto soltanto se sono fondate le critiche volte contro le due motivazioni (<ref-ruling> consid. 6.3 e rif.). Nel caso s'è visto che la motivazione principale della sentenza, imperniata sull'art. 44 cpv. 1 vLAINF, resiste alle critiche dell'attore; ciò basta per respingere il ricorso.
5.
Per le ragioni che precedono, il ricorso, nella misura in cui è ammissibile, è infondato.
Le spese seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 12 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 6'000.-- sono poste a carico del ricorrente, il quale rifonderà all'opponente fr. 7'000.-- a titolo di ripetibili della procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
Comunicazione alle parti e alla Seconda Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.