Sachverhalt:
A.
A.a. Der tunesische Staatsangehörige A._ (geb. XX.XX.1960) reiste rechtswidrig in die Schweiz ein und heiratete am XX.XX.1983 eine Schweizer Bürgerin. Gestützt auf die Heirat wurde ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt. A._ ist Vater von fünf Kindern, wovon vier aus der Ehe hervorgingen (B._, geb. XX.XX.1983; C._, geb. XX.XX.1987; D._, geb. XX.XX.1993; E._, geb. XX.XX.1996) und über das Schweizer Bürgerrecht verfügen.
A.b. A._ war seit der Einreise in die Schweiz nie über längere Zeit erwerbstätig. Nach eigenen Angaben betätigte er sich nach der Geburt seiner Kinder bis zur Scheidung als Hausmann. Zwischendurch hatte er Teilzeitanstellungen und bezog Arbeitslosentaggelder, bis er im Februar 1993 ausgesteuert war. Am 27. Februar 1996 wurden die Ehegatten für die Dauer eines Jahres gerichtlich getrennt. Mit Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 25. Juni 1997 wurde die Ehe geschieden. Die Kinder wurden unter die elterliche Gewalt der Mutter gestellt und A._ wurde unterhaltspflichtig. Aufgrund der Beziehung zu seinen Kindern wurde ihm die Aufenthaltsbewilligung zuletzt bis zum 31. Dezember 2008 verlängert.
Auch nach der Scheidung gelang es A._ nicht, im Arbeitsmarkt Fuss zu fassen, wobei er in den letzten Jahren allerdings zumindest teilweise im sekundären Arbeitsmarkt tätig war. Seit September 1997 wird A._ von der Sozialhilfe unterstützt. Die bis zum 22. November 2012 bezogenen Unterstützungsleistungen belaufen sich auf Fr. 427'946.95.
A.c. Während seiner Anwesenheit in der Schweiz wurde A._ mehr als zwanzigmal straffällig und wurde wegen ausländerrechtlichen Widerhandlungen, Diebstahls, Nötigung, einfacher Körperverletzung, Drohung, Sachbeschädigung, Hausfriedensbruchs, Strassenverkehrsdelikten, Vergehen gegen das Waffengesetz und Übertretungen des Betäubungsmittelgesetzes sowie Vergehen gegen dasselbe bestraft. Die höchste Strafe (Gefängnisstrafe von sechs Monaten zuzüglich einer Busse von Fr. 400.--) wurde ihm wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand mit Urteil des Bezirksgerichts Winterthur vom 5. Februar 1991 auferlegt. Letztmals strafrechtlich sanktioniert wurde A._ mit Urteil der Einzelrichterin des Bezirksgerichts Winterthur vom 28. Juni 2010 wegen Vergehen gegen das Betäubungsmittelgesetz und damit zu 240 Stunden gemeinnütziger Arbeit verpflichtet.
A.d. Die Fremdenpolizei bzw. das Migrationsamt des Kantons Zürich verwarnte A._ mit Schreiben vom 6. September 1985, 16. Februar 1988, 26. April 1991, 15. Februar 1993, 29. November 1999, 28. April 2000 und 13. September 2006 und drohte schwerer wiegende Konsequenzen an, sollte er erneut zu Klagen Anlass geben. Die Niederlassungsbewilligung wurde A._ aufgrund der wiederholten Straffälligkeit verweigert. Mit Schreiben vom 2. Juni 2008 teilte ihm die Sicherheitsdirektion (Migrationsamt) des Kantons Zürich überdies mit, dass eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (über den 31. Dezember 2008 hinaus) lediglich bewilligt werden könne, wenn er bis zu diesem Zeitpunkt einer existenzsichernden Tätigkeit nachgehe, keine Sozialhilfe mehr beanspruchen müsse und zudem nicht erneut verurteilt werde.
B.
Mit Verfügung vom 3. März 2010 wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich das Gesuch vom 25. November 2008 um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ ab und setzte ihm Frist zum Verlassen der Schweiz bis zum 1. Juni 2010. Die dagegen von A._ ergriffenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 7. Juni 2013 beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 15. Mai 2013 aufzuheben, das Migrationsamt des Kantons Zürich anzuweisen, dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern, eventualiter die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem stellt er die Begehren, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, aber auf die Einholung von Vernehmlassungen verzichtet.
D.
Mit Verfügung vom 21. Juni 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. <ref-law> schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundesrecht noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht. Für das Eintreten genügt, wenn die betroffene Person in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein solcher Anspruch besteht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f.).
1.2.
1.2.1. Der Beschwerdeführer macht unter anderem einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 50 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG, Ausländergesetz; SR 142.20) geltend. Dazu ist Folgendes zu bemerken: Bis zur Scheidung im Jahre 1997 wurde dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung gestützt auf die Ehe mit einer Schweizer Bürgerin gemäss Art. 7 des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer [ANAG] verlängert. Die damals und bis 31. Dezember 2007 geltende Ausländergesetzgebung enthielt keine dem heutigen Art. 50 AuG entsprechende Bestimmung, wonach der abgeleitete Anspruch des Ehegatten auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (Art. 42 AuG) nach Auflösung der Ehe unter bestimmten Voraussetzungen weiter besteht. Mit der Scheidung im Jahre 1997 ist der aus der Ehe abgeleitete Anwesenheitsanspruch des Beschwerdeführers somit endgültig erloschen. Wie die kantonalen Behörden ausführen, wurde dem Beschwerdeführer in der Folge die Aufenthaltsbewilligung mit Rücksicht auf seine Beziehung zu den vier (damals) minderjährigen Kindern nach freiem Ermessen (Art. 4 ANAG) verlängert, letztmals bis zum 31. Dezember 2008.
Da der Beschwerdeführer das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung am 25. November 2008 gestellt hat, ist vorliegend - wovon auch die Vorinstanz ausgeht - grundsätzlich das am 1. Januar 2008 in Kraft getretene neue Ausländergesetz anzuwenden (Art. 126 Abs. 1 AuG). Der nacheheliche Härtefall gemäss Art. 50 AuG knüpft indessen ausdrücklich an den aus der ehelichen Gemeinschaft abgeleiteten Anwesenheitsanspruch an und spricht von einem Weiterbestehen des Anspruchs. Ist dieser - wie hier im Jahre 1997 - bereits untergegangen, kann der Anspruch nach Art. 50 AuG regelmässig nicht wieder aufleben (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 350). Insofern kommt Art. 50 AuG vorliegend nicht zur Anwendung.
1.2.2. Mit Blick auf sein Verhältnis zu seinen Kindern macht der Beschwerdeführer zudem einen Anspruch auf Anwesenheit gestützt auf Art. 8 EMRK geltend. Wie bereits die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, sind drei Kinder allerdings bereits volljährig und fallen nicht mehr unter den Schutz des Familienlebens. Da die jüngste Tochter (geb. XX.XX.1996) noch minderjährig ist und über das Schweizer Bürgerrecht, d.h. über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz verfügt, kann der Beschwerdeführer in vertretbarer Weise einen Bewilligungsanspruch gestützt auf die Beziehung zu diesem Kind geltend machen (so genannter "umgekehrter Familiennachzug"; vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146 mit Hinweisen). Damit erweist sich die Beschwerde als zulässig. Ob die Voraussetzungen des angeblichen Rechtsanspruchs vorliegend erfüllt sind, ist eine Frage der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 287, 305 E. 2.5 S. 315).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist (<ref-ruling> E. 7.1 S. 51; <ref-ruling> E. 4.2 S. 560) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 bzw. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314 mit Hinweisen), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung oder der Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356.).
2.
2.1. Art. 8 EMRK gewährt grundsätzlich keinen Anspruch auf Aufenthalt in einem Konventionsstaat, kann aber verletzt sein, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme zur Trennung von Familienmitgliedern führt und damit das Familienleben vereitelt wird (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 249; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 146 f., 153 E. 2.1; Urteil des EGMR Gezginci gegen Schweiz vom 9. Dezember 2010 [16327/05], § 54, in: Plaidoyer 2011/1 S. 56; Plädoyer 2011/1 S. 65; AJP 2011 S. 560). Unter dem Schutz von Art. 8 EMRK steht in erster Linie die Kernfamilie, das heisst das Zusammenleben minderjähriger Kinder mit ihren Eltern (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146). Der Elternteil, der sich für das Zusammenleben mit seinen Kindern auf Art. 8 EMRK beruft, muss an sich über das Sorge- bzw. Obhutsrecht verfügen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 290 f. mit Hinweisen).
Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, ist zu berücksichtigen, dass der nicht sorge- bzw. obhutsberechtigte ausländische Elternteil die familiäre Beziehung mit seinem Kind von vornherein nur in beschränktem Rahmen pflegen kann, nämlich durch Ausübung des ihm eingeräumten Besuchsrechts. Um dieses wahrnehmen zu können, ist es in der Regel nicht erforderlich, dass der ausländische Elternteil dauerhaft im selben Land wie das Kind lebt und dort über ein Anwesenheitsrecht verfügt. Unter dem Gesichtspunkt des Anspruchs auf Familienleben (Art. 8 Ziff. 1 EMRK sowie <ref-law>) ist es grundsätzlich ausreichend, wenn das Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her ausgeübt werden kann, wobei allenfalls die Modalitäten des Besuchsrechts entsprechend auszugestalten sind. Gemäss der ständigen bisherigen Rechtsprechung des Bundesgerichts kann ein weitergehender Anspruch nur dann in Betracht fallen, wenn in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zum Kind besteht, diese Beziehung wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte und das bisherige Verhalten des Ausländers in der Schweiz zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 319 mit Hinweisen; Urteil 2C_652/2013 vom 17. Dezember 2013 E. 3.2, zur Publikation vorgesehen).
2.2. Das Scheidungsurteil vom 25. Juni 1997 räumte dem Beschwerdeführer ein Besuchsrecht von einem Nachmittag pro Monat ein, wobei das Besuchsrecht durch einen Erziehungsbeistand begleitet werden sollte. Mit undatiertem, mit der Rekursschrift vom 6. April 2010 an den Regierungsrat eingereichtem gemeinsamen Schreiben bestätigten die Kinder, sie hätten ein gutes Verhältnis zu ihrem Vater, telefonierten zwei- bis dreimal pro Woche mit ihm und sähen ihn mindestens einmal im Monat. Ein besonders intensiver Kontakt zur jüngsten Tochter, die im Übrigen am XX.XX.2014 volljährig wird, lässt sich daraus nicht entnehmen. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, wie die angeblich enge Beziehung zur Tochter konkret ausgestaltet und gelebt wird. Die blosse Behauptung, er habe bis zum heutigen Tag ein intaktes Familienleben, vermag unter den vorliegenden Umständen eine enge affektive Beziehung zum jüngsten Kind nicht hinreichend zu belegen. Da die beiden zusätzlichen Erfordernisse für eine Bewilligungserteilung an den nicht sorgeberechtigten Elternteil offensichtlich nicht erfüllt sind, hat die Vorinstanz zwar schliesslich die Frage der Qualifikation der affektiven Vater-Tochter-Beziehung offen gelassen. In wirtschaftlicher Hinsicht fehlt es unbestrittenermassen an einer besonders engen Beziehung zur Tochter, nachdem der Beschwerdeführer nie Unterhaltsbeiträge für seine Kinder geleistet hat. Weiter kann aufgrund seiner wiederholten Straffälligkeit auch von einem tadellosem Verhalten nicht die Rede. Die Voraussetzungen für eine Bewilligungserteilung an den ausländischen Elternteil, der bloss über ein Besuchsrecht verfügt, sind demnach nicht gegeben. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was diesen Schluss zu erschüttern vermöchte.
2.3. Weiter macht der Beschwerdeführer sinngemäss geltend, dass er gestützt auf den Schutz seines Privatlebens (Art. 8 EMRK) Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung habe. Er ist im Jahre 1983 im Alter von 23 Jahren in die Schweiz eingereist und lebt somit seit dreissig Jahren hier. Diese Aufenthaltsdauer genügt allein jedoch noch nicht, um ein Anwesenheitsrecht aus dem Schutz des Privatlebens gestützt auf Art. 8 EMRK ableiten zu können. Für einen entsprechenden Anspruch bedarf es nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung besonders intensiver, über eine normale Integration hinausgehender Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. vertiefter sozialer Beziehungen zum ausserfamiliären bzw. ausserhäuslichen Bereich. In der Regel genügen hierfür eine lange Anwesenheit und die damit verbundene normale Integration nicht (<ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 2c S. 384 ff.; THOMAS HUGI YAR, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten - Ausländerrechtliches rund um die Ehe- und Familiengemeinschaft, in: Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht, 2012/2013, 2013, S. 31 ff., dort S. 37 f. mit zahlreichen Hinweisen).
Der Beschwerdeführer hat sich hier der Aufenthaltsdauer entsprechend sprachlich integriert und vermochte wohl auch gewisse soziale Kontakte zu knüpfen. Dies genügt jedoch nicht, um im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zum Schutz des Privatlebens über einen Bewilligungsanspruch in Anwendung von Art. 8 EMRK zu verfügen (vgl. ZÜND/HUGI YAR, Aufenthaltsbeendende Massnahmen im schweizerischen Ausländerrecht, insbesondere unter dem Aspekt des Privat- und Familienlebens, in: EuGRZ 40/2014 S. 1 ff., dort S. 11 N. 35; Urteil 2C_266/2009 vom 2. Februar 2010). Auch der Umstand, dass zu seinem Heimatland, wo er immerhin geboren ist und die prägenden Kindheits- und Jugendjahre verbracht hat, angeblich keine engen Verbindungen mehr bestehen, räumt dem Beschwerdeführer keinen Anspruch auf Verbleib in der Schweiz ein. Nach dem durch die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellten Sachverhalt (vgl. <ref-law>) ist der Beschwerdeführer in der Schweiz keineswegs überdurchschnittlich integriert. Im Gegenteil lassen die trotz verhängter Strafen und sieben fremdenpolizeilicher Verwarnungen wiederholte Straffälligkeit - wenn auch im Bereich der Kleinkriminalität - sowie die seit 1997 andauernde Sozialhilfeabhängigkeit, ohne dass in absehbarer Zeit mit einer positiven Entwicklung gerechnet werden kann, vielmehr eine mangelhafte Integration in die hiesigen Verhältnisse erkennen. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was diese Feststellung als willkürlich erscheinen liesse. Eine Berufung auf den Schutz des Privatlebens nach Art. 8 EMRK fällt damit ausser Betracht.
2.4. Kann sich der Beschwerdeführer weder auf einen bundesrechtlichen noch auf einen staatsvertraglichen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung berufen, besteht im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren kein Anlass, eine Verhältnismässigkeitsprüfung vorzunehmen.
3.
Entgegen den Ausführungen in der Beschwerdeschrift wurde der Beschwerdeführer im Übrigen nicht ausgewiesen (Art. 10 ANAG). Im Zeitpunkt der erstinstanzlichen Verfügung war ohnehin bereits das neue Ausländergesetz in Kraft, das die altrechtliche Ausweisung nicht kennt. Ausgangspunkt des Verfahrens ist vielmehr die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung wegen Sozialhilfeabhängigkeit gemäss Art. 62 lit. e AuG, wobei der Beschwerdeführer - wie dargelegt - über keinen Anwesenheitsanspruch verfügt. Gegen die Nichtverlängerung der Ermessensbewilligung steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht offen (vgl. <ref-law>). Insoweit kann auf die Eingabe daher nicht eingetreten werden.
4.
4.1. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.2. Dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann nicht entsprochen werden, da die Rechtsbegehren angesichts der zutreffenden vorinstanzlichen Erwägungen von vornherein aussichtslos waren (<ref-law>). Der Beschwerdeführer wird somit kostenpflichtig (<ref-law>). Seiner finanziellen Lage wird indessen bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, dem Regierungsrat des Kantons Zürich, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Mai 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Dubs