Faits :
A. a
Le 1er juillet 2003, la police cantonale du commerce du Service de la promotion économique et du commerce du canton de Vaud a octroyé une licence de discothèque avec restauration pour un établissement dans l'immeuble sis rue B._ à Lausanne, à la société Y._ SA en liquidation, dont C._ était l'administrateur avec signature unique. Depuis le mois de juillet 2007, A._ est administrateur de cette société, qui a exploité la discothèque, successivement aux enseignes "Z._", "Le Z._", "Z._ X._ Klub" et "X._ Klub et Z._", jusqu'au 28 février 2010. Elle a été déclarée en faillite avec effet à partir du 9 septembre 2010.
La société X._ SA est inscrite au Registre du commerce depuis le 15 janvier 2010. Son siège est à Lausanne; elle a pour but: exploitation de café-restaurant, hôtel, discothèque; courtage sous toutes les formes. A._ en est l'administrateur unique. Elle exploite depuis le 1er mars 2010 le "X._ Klub et Z._" (ci-après: "Le X._"). Cet établissement est au bénéfice d'une licence d'exploitation provisoire pour une discothèque avec restauration depuis le 23 août 2010. L'autorisation d'exercer a été délivrée à A._, l'autorisation d'exploiter, à X._ SA. Le 24 août 2010, la Police du commerce a limité la capacité d'accueil de l'établissement "Le X._" à 105 personnes.
A. b
Lors d'un contrôle effectué dans la nuit du 23 mars au 24 mars 2010, les inspecteurs du Service de la police du commerce de la commune de Lausanne (ci-après: la Police communale) ont constaté plusieurs irrégularités dans la tenue de l'établissement, s'agissant notamment de l'affichage de la mise en garde légale concernant la vente d'alcool aux mineurs et des promotions pratiquées sur certaines bouteilles en fonction de l'heure. La Police communale a adressé un avertissement le 6 avril 2010 à Y._ SA et à A._. Elle a renoncé à dénoncer ces irrégularités. Selon un rapport du 30 juin 2010 de la Police communale, le 25 juin 2010 vers 00h45, dans le cadre d'un contrôle de l'établissement "Le X._", une personne mineure âgée de 17 ans consommait un alcool fort (vodka).
Par prononcé du Préfet du district de Lausanne du 13 juillet 2010, A._ a été reconnu coupable d'infraction à la loi fédérale du 21 juin 1932 sur l'alcool (LAlc; RS 680) et à la loi du 26 mars 2002 sur les auberges et les débits de boissons (LADB; RSV 935.31) et condamné à une amende de 300 fr. Le 19 juillet 2010, A._, ainsi que D._ et E._, tous deux présents à l'entrée de l'établissement, ont indiqué à la Police communale que la personne mineure présente le 25 juin 2010 était un client régulier, qui s'était toujours légitimé au moyen d'une pièce d'identité attestant qu'il avait plus de 19 ans. A la suite de l'opposition de A._, le Préfet a modifié son prononcé préfectoral dans le sens d'une réduction de l'amende à 150 fr. Le 30 novembre 2010, la Régie fédérale des alcools a prononcé un mandat de répression, fondé sur la violation de la loi sur l'alcool, à l'encontre de A._ pour avoir fait paraître des annonces publicitaires mentionnant des promesses d'avantages n'excluant pas expressément les boissons distillées et l'a condamné à une amende de 700 fr. Le 8 mai 2012, la Police du commerce a adressé à A._ et à X._ SA un sérieux avertissement, avec menace de fermeture de l'établissement. Elle a constaté l'organisation de spectacles de strip-tease sans autorisation, ainsi que des promotions prohibées sur les boissons alcooliques distillées. Elle a en outre relevé un dépassement, le 25 mars 2012, du niveau sonore autorisé susceptible de mettre en danger la santé des clients de l'établissement. Enfin, elle a mentionné une violation des horaires d'ouverture de police et de l'interdiction de fumer dans les lieux publics, constatée par la police le 19 mars 2012.
Selon un rapport établi le 13 novembre 2012 par la Police de Lausanne, le 10 novembre 2012 vers 3h10, l'établissement Le X._ aurait servi de l'alcool à une personne mineure, qui présentait lors du contrôle un taux d'alcoolémie de 1.24o/oo et qui s'était blessée à une main. Un agent de sécurité présent a déclaré avoir mis en garde la jeune fille mineure sur la consommation d'alcool fort. F._, épouse de A._, a indiqué lui avoir servi deux Smirnoff-Ice et a constaté qu'elle avait par ailleurs consommé deux ou trois verres de Vodka à la table où elle était assise avec un groupe de personnes. A raison de ces faits, le Préfet a, le 14 janvier 2013, reconnu A._ et F._ coupables d'infraction à la loi du 26 mars 2002 sur les auberges et les débits de boissons et les a condamnés à une amende de 200 fr. chacun. Cette décision est entrée en force.
B.
Le 15 février 2013, la Police du commerce a interdit à X._ SA et à A._ de servir et de vendre des boissons alcooliques du 18 mars 2013 au 26 avril 2013 dans la discothèque "Le X._".
Par acte du 13 mars 2013, X._ SA et A._ ont déposé un recours auprès du Tribunal cantonal du canton de Vaud contre la décision du 15 février 2013, dont ils demandent la réforme, en ce sens que seul un avertissement soit prononcé.
C.
Par arrêt du 21 octobre 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours interjeté par X._ SA et A._ contre la décision du 15 février 2013. Le Tribunal a estimé être suffisamment renseigné par les documents figurant dans le dossier et n'a pas donné suite aux compléments d'instruction requis. Le titulaire du droit d'exercer et son épouse avaient violé l'<ref-law> et l'art. 50 al. 1 let. c LADB malgré diverses mises en garde. Compte tenu de la gravité des faits reprochés, ainsi que de la répétition constatée des infractions à la LAlc, malgré un avertissement formel, la sanction consistant à interdire la vente d'alcool pendant 40 jours respectait le principe de la proportionnalité, d'autant que les manquements reprochés aux recourants ne concernaient pas uniquement la vente d'alcool à des mineurs, mais également, de manière plus générale, la violation répétée des dispositions de la LAlc.
D.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ SA et A._ demandent au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, de réformer l'arrêt rendu le 21 octobre 2013 en ce sens qu'un avertissement leur soit adressé, subsidiairement en ce sens que l'interdiction de vendre de l'alcool soit réduite à 10 jours. Ils demandent l'effet suspensif. Ils se plaignent de la constatation inexacte des faits et de la violation de leur droit d'être entendus. Ils reprochent à l'instance précédente d'avoir violé le principe de proportionnalité.
Par ordonnance du 16 janvier 2014, le Président de la IIe Cour de droit public a accordé l'effet suspensif.
La Police cantonale du commerce conclut au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
Formé contre une décision finale (<ref-law>) prise en matière de police du commerce par un tribunal supérieur de dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le présent recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public au sens des <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Les recourants étaient parties à la procédure devant le Tribunal cantonal, ils sont directement touchés par la décision attaquée, de sorte qu'ils ont un intérêt digne de protection à son annulation ou sa modification (<ref-law>). Malgré le fait que l'interdiction d'exploiter initiale était datée du 18 mars au 26 avril 2013, les recourants conservent un intérêt actuel au recours puisque les dates se rapportent uniquement à l'exécution de la mesure d'interdiction.
2.
Invoquant l'<ref-law>, les recourants se plaignent de ce que l'instance précédente a refusé de tenir une audience publique qui avait pour but de faire entendre le personnel de sécurité ainsi qu'une barmaid de l'établissement. En violant leur droit d'être entendu sur ce point, l'instance précédente aurait établi les faits de manière inexacte, accroissant ainsi la gravité des faits reprochés, alors que la correction des vices aurait pour effet de justifier une sanction sensiblement inférieure à celle qui a été prononcée.
2.1. Selon l'<ref-law>, le recours peut critiquer les constatations de fait à la double condition que les faits aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, qui comprend les droits constitutionnels, en particulier le droit d'être entendu, ce que la partie recourante doit motivé par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 511) et que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause, ce que la partie recourante doit aussi rendre vraisemblable.
2.2. L'instance précédente a refusé de procéder à l'audition des membres du personnel de sécurité parce qu'elle s'estimait suffisamment renseignée par les pièces figurant au dossier et ne voyait pas quels nouveaux éléments utiles à l'affaire qui n'auraient pas pu être exposés par écrit pourraient encore apporter les témoignages requis.
2.3. Les recourants se plaignent de l'absence d'"audience publique", tout en précisant que celle-ci avait pour but de faire entendre le personnel de sécurité ainsi qu'une barmaid de l'établissement, ainsi que du refus d'entendre des témoins. Ils soutiennent que l'audition du personnel de l'établissement aurait permis d'éviter que l'arrêt retienne de manière erronée s'agissant de la mineure ayant consommé de l'alcool que les recourants reconnaissaient " n'avoir pris aucune mesure pour limiter sa consommation d'alcool (vodka) à la table du groupe qu'elle accompagnait, alors qu'elle se trouvait dans un état d'ébriété avancée ".
Le grief est mal fondé dans la mesure où il est recevable. En effet, les recourants n'exposent nullement de quelles garanties de droit fédéral ou cantonal ils invoquent la violation. A supposer qu'il faille admettre qu'ils invoquent la violation de l'art. 29 al. 2 Cst., ils n'expliquent pas en quoi l'appréciation anticipée des offres d'audition de témoins par l'instance précédente serait arbitraire. Ils n'affirment pas non plus avoir dûment allégué en procédure cantonale qu'ils avaient pris des mesures pour limiter la consommation d'alcool de la mineur présente dans l'établissement, ce qu'ils n'ont du reste pas fait, comme le confirme la lecture de l'acte de recours déposé devant l'instance précédente, ni avoir dûment offert de prouver l'existence de telles mesures ainsi que leur teneur au moyen de l'audition des dits témoins.
2.4. Invoquant encore l'établissement manifestement inexact des faits, à l'appui de leur grief de violation du principe de proportionnalité, les recourants reprochent à l'instance précédente d'avoir retenu que la Police cantonale du commerce avait constaté que l'établissement avait une nouvelle fois fait paraître une offre au mois de mai 2013 comprenant des promesses de cadeaux ou d'autres avantages, n'excluant pas les boissons alcooliques. Ils n'exposent pas en quoi les conditions de l'<ref-law> seraient réunies à cet égard. Il n'est dès lors pas possible de s'écarter des faits retenus par l'instance précédente.
3.
En vertu de l'<ref-law>, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente.
A l'appui du même grief de violation du principe de proportionnalité, les recourants exposent qu'ils auraient cessé toute forme de publicité liée à l'alcool et qu'ils auraient mentionné sur le site internet de l'établissement que l'entrée était, dès le 1er janvier 2013, interdite aux personnes âgées de moins de dix-huit ans. Ces faits ne ressortent pas de l'arrêt attaqué, ils sont par conséquent irrecevables (<ref-law>).
4.
Les recourants se plaignent de la violation du principe de proportionnalité.
4.1. Le principe de la proportionnalité applicable notamment en matière de sanction administrative (cf. MOOR/POLTIER, Droit administratif, vol. II, 3e éd. 2011, p. 118) exige qu'une mesure restrictive soit apte à produire les résultats escomptés (règle de l'aptitude) et que ceux-ci ne puissent être atteints par une mesure moins incisive (règle de la nécessité); en outre, il interdit toute limitation allant au-delà du but visé et il exige un rapport raisonnable entre celui-ci et les intérêts publics ou privés compromis (principe de la proportionnalité au sens étroit, impliquant une pesée des intérêts - <ref-ruling> consid. 7.1 p. 123; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 438 s.; <ref-ruling> consid. 2c p. 221 ss et les arrêts cités).
4.2. Ils reprochent à l'instance précédente de n'avoir pas suffisamment pris en considération le fait que le mineur ayant donné lieu au constat du 25 juin 2010 avait exhibé une fausse carte d'identité. Ils soutiennent que les deux infractions qui leur sont reprochées reposent sur des faits bien moins graves que ceux qui ont donné lieu aux arrêts que l'instance précédente a cités pour examiner la proportionnalité de la sanction. En effet, contrairement aux affaires relatées par l'instance précédente, non seulement ils ont mis en place un service de sécurité mais encore ils n'ont connu que deux événements isolés. A cela s'ajoute que les établissements cités pour comparaison offraient un service sur la journée alors que leur établissement, qui comporte non seulement une discothèque mais également un restaurant, n'ouvre que le soir ce qui conduit à aggraver la sanction économique. Dite sanction les conduirait à la faillite.
Contrairement à ce qu'affirment les recourants, l'instance précédente a retenu dans les faits de l'arrêt attaqué que le mineur ayant donné lieu au constat du 25 juin 2010 faisait usage d'une fausse carte d'identité. Elle a donc dûment tenu compte de cette circonstance. Pour le surplus, les recourants perdent de vue que la Police cantonale du commerce et l'instance précédente ont retenu à leur charge non seulement deux ventes d'alcool à des mineurs, mais aussi plusieurs autres infractions (arrêt attaqué consid. 4a), ainsi que le prononcé d'un sérieux avertissement le 8 mai 2012 avec menace de fermeture de l'établissement. Ce dernier élément justifie à lui seul une sanction plus dure que celle de 30 jours de fermeture qui a déjà été confirmée par l'instance précédente dans une affaire dans laquelle aucun avertissement préalable n'avait été donné. Après cet avertissement, les recourants avaient connaissance des risques qu'ils encouraient, en particulier celui de faillite compte tenu des spécificités de leur établissement. Ceci ne les a pas dissuadés de persister dans des comportements enfreignant la loi fédérale sur l'alcool et la loi vaudoise sur les auberges et les débits de boissons. Dans ces conditions, le grief est rejeté.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Succombant, les recourants doivent supporter les frais de justice devant le Tribunal fédéral solidairement entre eux (art. 66 al. 1 et 5 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge des recourants, solidairement entre eux.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire des recourants, au Service de la promotion économique et du commerce, Police cantonale du commerce et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 23 juin 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Le Greffier :
Zünd Dubey