Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn verurteilte A.X._ mit Strafbefehl vom 4. Februar 2011 wegen Steuerbetrugs und Urkundenfälschung zu einer bedingten Geldstrafe von 80 Tagessätzen zu Fr. 190.--. Sie warf A.X._ u.a. vor, Lohnzahlungen an seine Ehefrau, Leasingkosten für einen VW Sharan und eine Reise nach Vietnam in den Jahresrechnungen der X._ Treuhand AG für die Geschäftsjahre 2000 bis 2005 zu Unrecht als Geschäftsaufwand verbucht zu haben. A.X._ erhob gegen den Strafbefehl Einsprache.
B.
B.a. Das Amtsgericht Olten-Gösgen sprach A.X._ am 14. September 2011 bezüglich der Lohnzahlungen an seine Ehefrau des mehrfachen Steuerbetrugs und der mehrfachen Urkundenfälschung schuldig. Es auferlegte ihm eine bedingte Geldstrafe von 80 Tagessätzen zu Fr. 190.--. Von den übrigen Vorhalten sprach es ihn frei. Gegen dieses Urteil führten A.X._ Berufung und die Staatsanwaltschaft Anschlussberufung.
B.b. Das Obergericht des Kantons Solothurn erklärte A.X._ am 27. September 2012 bezüglich der Verbuchung der Vietnamreise wegen Steuerbetrugs (begangen am 25. Oktober 2006) schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingten Geldstrafe von 10 Tagessätzen zu Fr. 330.--. Im Übrigen sprach es ihn von den Vorwürfen des mehrfachen Steuerbetrugs und der mehrfachen Urkundenfälschung frei.
A.X._ ist Verwaltungsrat und Geschäftsführer der X._ Treuhand AG. Das Obergericht stellt im Zusammenhang mit den Freisprüchen u.a. fest, der Personenwagen VW Sharan sei grundsätzlich ein Geschäftsfahrzeug gewesen, welches von A.X._ und seiner Ehefrau auch privat genutzt worden sei. Die Leasingkosten für die Jahre 2000 und 2001 seien in der Buchhaltung der X._ Treuhand AG als Geschäftsaufwand verbucht worden.
C.
Die Staatsanwaltschaft führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, das Urteil vom 27. September 2012 aufzuheben und die Sache zur Verurteilung wegen mehrfachen Steuerbetrugs an das Obergericht zurückzuweisen.
D.
Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung. A.X._ stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde.
E.
Die Beschwerde von A.X._ gegen den Entscheid des Obergerichts vom 27. September 2012 bildet Gegenstand des separaten Verfahrens 6B_1/2013.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen den Freispruch vom Vorwurf des Steuerbetrugs bezüglich der unterlassenen Ausscheidung eines Privatanteils für die private Nutzung des VW Sharan. Sie argumentiert, bei Auslagen, die nur teilweise geschäftsmässig begründet seien, sei buchhalterisch zwingend ein Privatanteil auszuscheiden, ansonsten die Buchhaltung falsch sei. Bei der Ausscheidung des Privatanteils als solcher gehe es nicht um eine Ermessensfrage. Ein Ermessensspielraum bestehe erst bei der Festlegung der konkreten Höhe des Privatanteils. Werde die Ausscheidung des Privatanteils zu Unrecht nicht vorgenommen, sei die Buchhaltung inhaltlich unwahr und der objektive Tatbestand des Steuerbetrugs erfüllt. Die Vorinstanz wende Art. 186 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG; SR 642.11) falsch an. Das von ihr herangezogene Abgrenzungskriterium sei nicht praktikabel.
1.2. Die Vorinstanz erwägt, die Kosten für den VW Sharan seien auf dem Konto 6160 (Leasing VW Sharan) und damit auf dem sachangemessenen Konto verbucht worden (Urteil E. 4a S. 19). Die Rechtsprechung unterscheide in strafrechtlicher Hinsicht grundsätzlich zwischen Auslagen, die klar privater Natur seien, und solchen, welche grundsätzlich geschäftlich bedingt seien und dabei einen Privatanteil enthielten. Im ersten Fall läge bei einem Eingang dieser Auslagen in die Geschäftsbuchhaltung regelmässig ein strafrechtlich relevanter Sachverhalt vor, wogegen im zweiten Fall dies zu verneinen sei (Urteil E. 5b S. 20). Die Auslagen für den VW Sharan seien grundsätzlich geschäftsmässig begründet gewesen, was auch vonseiten der Steuerbehörde anerkannt worden sei. Das Fahrzeug sei wegen seiner Ladekapazität für Akten- und Personentransporte und daher sowohl für den geschäftlichen als auch den familiären Gebrauch gut geeignet gewesen. Es sei entsprechend dem Beweisergebnis auch für beide Zwecke genutzt worden. In welchem Umfang die Kosten des Fahrzeugs als geschäftsbedingt zu betrachten und in welchem Umfang sie als privat zu qualifizieren seien, stelle eine Ermessensfrage dar. Bei dieser Ausgangslage sei eine inhaltlich unwahre Buchhaltung und Erfolgsrechnung zu verneinen (Urteil E. 5c S. 20).
2.
2.1. Den Tatbestand des Steuerbetrugs gemäss <ref-law> erfüllt, wer zum Zwecke einer Steuerhinterziehung gefälschte, verfälschte oder inhaltlich unwahre Urkunden wie Geschäftsbücher, Bilanzen, Erfolgsrechnungen oder Lohnausweise und andere Bescheinigungen Dritter zur Täuschung gebraucht. Eine Steuerhinterziehung begeht in objektiver Hinsicht unter anderem, wer als Steuerpflichtiger bewirkt, dass eine Veranlagung zu Unrecht unterbleibt oder dass eine rechtskräftige Veranlagung unvollständig ist (<ref-law>).
In subjektiver Hinsicht setzt der Steuerbetrug ein vorsätzliches Handeln voraus, wobei auch der Eventualvorsatz strafbar ist (Art. 333 Abs. 1 i.V.m. Art. 12 Abs. 1 und 2 StGB). Erforderlich ist zudem, dass der Täter die zumindest möglicherweise falsche Urkunde zum Zwecke, d.h. in der Absicht verwendet, die Steuerbehörde in einen Irrtum über die für die Veranlagung massgebenden Tatsachen zu versetzen (Urteil 6B_453/2011 vom 20. Dezember 2011 E. 5.2). Der Tatbestand des Steuerbetrugs ist bereits mit der Einreichung der unechten oder unwahren Urkunde beim Steueramt in der Absicht der Steuerhinterziehung vollendet. Der Eintritt eines Erfolgs etwa im Sinne einer unvollständigen Veranlagung ist nicht erforderlich (Urteile 6B_453/2011 vom 20. Dezember 2011 E. 5.2; 6S.147/2003 vom 30. April 2005 E. 2.4.1).
2.2. Ob eine Jahresrechnung inhaltlich unwahr im Sinne von <ref-law> ist, beurteilt sich nach den gleichen Grundsätzen wie bei der Falschbeurkundung nach <ref-law> (in diesem Sinne <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 3; Xavier Oberson, Droit fiscal suisse, 4. Aufl. 2012, N. 52 S. 596 f.; Pietro Sansonetti, in: Commentaire romand, Impôt fédéral direct, 2008, N. 29 zu <ref-law>; Richner/Frei/Kaufmann/Meuter, Handkommentar zum DBG, 2. Aufl. 2009, N. 36 und 38 zu <ref-law>; siehe auch Andreas Donatsch, in: Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer [DBG], Bd. I/2b, Zweifel/Athanas [Hrsg.], 2. Aufl. 2008, N. 27 ff. zu <ref-law>). Eine falsche Buchung erfüllt den Tatbestand der Falschbeurkundung, wenn dabei die zivilrechtlichen Buchungsvorschriften und -grundsätze verletzt werden, die errichtet worden sind, um die Wahrheit der Erklärung und damit die erhöhte Glaubwürdigkeit der Buchführung zu gewährleisten. Solche Grundsätze werden namentlich in den gesetzlichen Bestimmungen über die ordnungsgemässe Rechnungslegung des Aktienrechts und in den Vorschriften der <ref-law> aufgestellt, die den Inhalt bestimmter Schriftstücke näher festlegen (<ref-ruling> E. 8.1; <ref-ruling> E. 2b). Die Erfolgsrechnung ist inhaltlich unwahr, wenn Einnahmen nicht verbucht werden (<ref-ruling> E. 2c). Gleiches gilt, wenn Auslagen, die offensichtlich privater Natur sind, als geschäftsbedingt ausgewiesen oder wenn Lohnzahlungen auf einem sachfremden Aufwandkonto verbucht werden (BGE <ref-ruling> E. 2c; Urteil 6B_453/2011 vom 20. Dezember 2011 E. 5.6 und 5.7 mit Hinweisen).
2.3. Die Vorinstanz und die Parteien berufen sich auf das Urteil 6B_453/2011 vom 20. Dezember 2011. Das Bundesgericht bestätigte darin seine frühere Rechtsprechung, wonach die Erfolgsrechnung falsch ist, wenn private Auslagen als geschäftsbedingter Aufwand ausgewiesen werden (E. 5.5). Es präzisierte seine Praxis dahingehend, dass es sich dabei um offensichtlich private Aufwendungen handeln muss, da die Frage, ob und in welchem Umfang eine Auslage angesichts des Gesellschaftszwecks noch geschäftsbedingt ist, in gewissen Grenzfällen diskutabel sein kann, was nicht zu einer Verurteilung wegen Steuerbetrugs führen soll (E. 5.6). Bezüglich der damals zu beurteilenden Geburtstagsfeier ging das Bundesgericht davon aus, die Buchhaltung sei inhaltlich unwahr, wenn es sich dabei auch um einen privaten Anlass gehandelt habe, da die Ausscheidung eines Privatanteils gänzlich unterblieben sei (E. 5.7.1).
Der Verzicht auf die Ausscheidung eines Privatanteils führt nach dieser Rechtsprechung grundsätzlich dazu, dass die Jahresrechnung inhaltlich unwahr ist. Dies ist der Fall, wenn mit einer Geburtstagsfeier im Zusammenhang stehende Kosten vollständig über die Gesellschaft abgerechnet werden und die Ausscheidung eines Privatanteils unterbleibt. Unerheblich ist, dass das Ereignis oder der Anlass auch eine geschäftliche Komponente hatte.
2.4.
2.4.1. Bezüglich der privaten Nutzung von Geschäftsfahrzeugen bestehen im Steuerrecht klare Regeln. Der in der Unternehmung mitarbeitende (Haupt-) Aktionär einer Aktiengesellschaft gilt als unselbständigerwerbend. Er kann die private Nutzung des Geschäftsfahrzeugs als vom Arbeitgeber nicht in Geldform entrichtete Gehaltsnebenleistung deklarieren. Übernimmt der Arbeitgeber sämtliche Kosten und hat der Arbeitnehmer lediglich die Benzinkosten für grössere Privatfahrten am Wochenende oder in den Ferien zu bezahlen, so hat der Arbeitnehmer in der Praxis seit Inkrafttreten des neuen Lohnausweises pro Monat 0,8 % des Kaufpreises, mindestens aber Fr. 150.-- pro Monat als Einkommen zu versteuern, wenn er das Geschäftsfahrzeug auch privat benutzen darf (vgl. dazu die Wegleitung der Schweizerischen Steuerkonferenz [SSK] und der Eidgenössischen Steuerverwaltung [ESTV] vom 20. Januar 2010 zum Ausfüllen des Lohnausweises bzw. der Rentenbescheinigung, S. 7; für den Kanton Solothurn auch Steuerpraxis 2006 Nr. 6 zur Einführung des neuen Lohnausweises, Ziff. 2.4; Erich Bosshard/Simone Mösli, Der neue Lohnausweis, 2007, S. 46 f.; siehe zu den möglichen Grenzen der Pauschalmethode bei Luxusautos oder zu mehr als 50 % privat genutzten Fahrzeugen zudem das Merkblatt Nr. 03 der ESTV vom 1. Januar 2008 [Vereinfachungen bei Privatanteilen/Naturalbezügen/Personalverpflegung], S. 9 und 12 ff., betreffend die Regelung bei der MWST; vgl. für die Handhabung bei Selbständigerwerbenden auch die Merkblätter N 1 / 2007, N 1 / 2001 und N 1 / 1993 der ESTV). Bei Leasingfahrzeugen tritt anstelle des Kaufpreises der im Leasingvertrag festgehaltene Barkaufpreis des Fahrzeugs, eventuell der im Leasingvertrag angegebene Objektpreis (Wegleitung, a.a.O., N. 21 S. 7). Neben dieser pauschalen Ermittlung des Privatanteils besteht auch die Möglichkeit der effektiven Erfassung der Privatnutzung mittels eines Bordbuches (Wegleitung, a.a.O., N. 23 S. 7). Die steuerrechtliche Ausscheidung eines Privatanteils ist namentlich auch notwendig, wenn der Arbeitnehmer über ein eigenes Privatfahrzeug verfügt und den Geschäftswagen lediglich ausnahmsweise als Zweitfahrzeug privat verwendet (Bosshard/Mösli, a.a.O., S. 48). Bei einer nicht als Lohn deklarierten Privatnutzung des Geschäftsfahrzeugs (durch einen Aktionär) liegt grundsätzlich eine verdeckte Gewinnausschüttung bzw. eine geschäftsmässig nicht begründete Zuwendung an Dritte vor, weshalb die Steuerbehörde bei der Gesellschaft im entsprechenden Umfang eine Gewinnaufrechnung vornehmen kann (vgl. Art. 58 Abs. 1 lit. b al. 5 DBG). Die private Nutzung von Geschäftsfahrzeugen durch Aktionäre, Verwaltungsräte, Gesellschafter und diesen nahestehenden Personen ist in der Steuererklärung der Gesellschaft zudem auf dem entsprechenden Einlageblatt offenzulegen. Die Einlageblätter sind keine Urkunden im Sinne von <ref-law> (Richner/Frei/Kaufmann/Meuter, a.a.O., N. 31 zu <ref-law>; Donatsch, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>).
2.4.2. Dient ein Fahrzeug sowohl geschäftlichen als auch privaten Zwecken, liegt eine inhaltlich unwahre Urkunde vor, wenn die Kosten für die Anschaffung des Fahrzeugs in der Erfolgsrechnung im vollen Umfang als Geschäftsaufwand verbucht werden. Eine sowohl geschäftliche als auch private Nutzung ist bereits gegeben, wenn ein Aktionär das Geschäftsfahrzeug am Feierabend und/oder am Wochenende für private Zwecke nutzt. Wird der private Gebrauch nicht als Lohn deklariert und wird hierfür buchhalterisch auch kein Privatanteil ausgeschieden, ist die Jahresrechnung inhaltlich unwahr, da private Auslagen zu Unrecht als geschäftsbedingt ausgewiesen werden. Der von der Vorinstanz vertretenen Auffassung, wonach ein Steuerbetrug im Ergebnis nur denkbar wäre, wenn das Fahrzeug ausschliesslich privat genutzt wird, kann nicht gefolgt werden. Die Beschwerdeführerin weist zutreffend darauf hin, dass auch bei einer teilweise privaten Nutzung buchhalterisch zwingend ein Privatanteil ausgeschieden werden muss. Hierbei geht es nicht um eine Ermessensfrage. Das handelsrechtliche Ermessen greift erst, wenn es um die Festsetzung der Höhe des Privatanteils geht. Unterbleibt die Ausscheidung eines Privatanteils, werden Ausgaben privater Art zu Unrecht als geschäftsbedingt dargestellt. Dies verstösst gemäss der Rechtsprechung gegen die zivilrechtlichen Buchungsvorschriften und -grundsätze (vgl. BGE <ref-ruling>).
2.4.3. Zu beachten ist allerdings, dass mit dem Tatbestand des Steuerbetrugs - als im Vergleich zur blossen Steuerhinterziehung qualifiziertes Delikt - nach dem Willen des Gesetzgebers Taten von einer gewissen Schwere geahndet werden sollen. Damit von einer sowohl geschäftlichen als auch privaten Nutzung und folglich von einer Falschaussage in der Jahresrechnung gesprochen werden kann, muss der Gebrauch des Geschäftsfahrzeugs für private Zwecke von einer gewissen Erheblichkeit sein. Dies ist zu verneinen, wenn die Anschaffung eines Geschäftsfahrzeugs durch eine Aktiengesellschaft geschäftsmässig klar begründet und die private Nutzung des Fahrzeugs im Vergleich zur geschäftlichen Nutzung von sehr untergeordneter Bedeutung war. Davon wäre beispielsweise auszugehen, wenn der betroffene Aktionär über ein eigenes Privatfahrzeug verfügt und er ein Geschäftsfahrzeug, das in grossem Umfang oder zumindest regelmässig geschäftlichen Zwecken dient, wenige Male im Jahr für kleine Fahrten als Zweitfahrzeug nutzte. Zwar geht die Lehre davon aus, dass steuerrechtlich auch in solchen Fällen ein Privatanteil ausgeschieden werden muss (dazu oben Bosshard/Mösli, a.a.O., S. 48). Bei einer solchen, im Verhältnis zur geschäftlichen Nutzung vernachlässigbar geringen Privatnutzung liegt jedoch noch keine inhaltlich unwahre Urkunde vor, wenn dies unterbleibt. Die Verletzung der steuerrechtlichen Regeln geht nicht zwingend mit einer Falschbeurkundung einher.
2.5. Die Vorinstanz stellt fest, der VW Sharan sei gemäss den Steuerbehörden grundsätzlich ein Geschäftsfahrzeug gewesen, das von den Ehegatten X._ aber auch privat genutzt worden sei. Sie präzisiert nicht explizit, in welchem Umfang das Fahrzeug privaten Zwecken diente. Aus ihren Erwägungen ergibt sich insgesamt jedoch, dass die private Nutzung nicht bloss von untergeordneter Bedeutung war. Sie erwähnt einerseits, die Ehegatten X._ hätten zusätzlich über zwei weitere Fahrzeuge verfügt, die auf ihren privaten Namen eingelöst waren (Urteil E. 2a S. 18). Andererseits nimmt sie auf die Feststellungen des Steuergerichts Bezug (Urteil E. 3c S. 19 und E. 5c S. 20). Danach handelte es sich bei den beiden privaten Fahrzeugen der Ehegatten X._ um ein Veteranenfahrzeug mit Jahrgang 1971 (Beschwerdegegner) und einen Jaguar (Ehefrau des Beschwerdegegners). Der ausgesprochen familienfreundliche VW Sharan habe vorwiegend der Ehefrau des Beschwerdegegners gedient (kant. Akten act. 418 f.). Dies deutet darauf hin, dass der VW Sharan regelmässig auch privat genutzt wurde. Bei dieser Sachlage ist entgegen der Auffassung der Vorinstanz von einer inhaltlich unwahren Erfolgsrechnung auszugehen, da die Auslagen für den VW Sharan fälschlicherweise als vollumfänglich geschäftsbedingt ausgewiesen wurden.
3.
3.1. Der Beschwerdegegner macht in seiner Stellungnahme geltend, seitens der X._ Treuhand AG sei im Steuerveranlagungsverfahren für die teilweise private Nutzung des VW Sharan eine Aufrechnung von 12 % des Kaufpreises anerkannt worden. Folglich sei ein Privatanteil ausgeschieden worden. Die Staatsanwaltschaft erwarte offenbar eine Ausscheidung eines Privatanteils für die einzelnen Leasingraten. Der VW Sharan sei im Jahre 1998 für eine Dauer von 36 Monaten geleast worden. Steuerrechtlich wäre auch eine einmalige Pauschalausscheidung für die Übernahme des wirtschaftlichen Wertes per 1998 zulässig gewesen. Mithin stehe nicht fest, in welchem Jahr ein entsprechender Privatanteil hätte verbucht werden müssen. Buchhalterisch seien beide Lösungen vertretbar (act. 11 S. 5 f. und Ziff. 2 S. 7).
3.2. Die Einwände des Beschwerdegegners sind unbegründet. Die Vorinstanz geht davon aus, es sei in der Buchhaltung der X._ Treuhand AG für den VW Sharan kein Privatanteil ausgeschieden worden. Die vom Beschwerdegegner angesprochene Aufrechnung erfolgte durch die Steuerbehörde für die Geschäftsjahre 2000 und 2001. Die später von den Steuerbehörden vorgenommene Aufrechnung kann für die Frage, ob die der Steuerverwaltung eingereichte Jahresrechnung der X._ Treuhand AG inhaltlich unwahr ist, nicht entscheidend sein.
Der Beschwerdegegner kann sich auch nicht darauf berufen, die X._ Treuhand AG hätte theoretisch im Jahre 1998 eine einmalige Pauschalausscheidung vornehmen können, wenn dies unterblieb. Entscheidend ist, dass die Gesellschaft buchhalterisch weder für die einzelnen Leasingraten noch zu Beginn des Leasings für den Wert des Fahrzeugs einen Privatanteil ausschied und die Auslagen (Leasingkosten) für den VW Sharan damit als vollumfänglich geschäftsbedingt ausgewiesen wurden. Dass es sich bei den Fahrzeugkosten teilweise um Lohnauslagen handelte, macht der Beschwerdegegner zu Recht nicht geltend, da die Kosten nicht als solche deklariert wurden.
3.3. Auf die weiteren Einwände des Beschwerdegegners betreffend das Anklageprinzip (act. 11 S. 2-5) und das Fehlen der subjektiven Tatbestandsvoraussetzungen (act. 11 S. 8) braucht an dieser Stelle nicht eingegangen zu werden.
4.
Die Beschwerde ist gutzuheissen und die Angelegenheit zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdegegner als unterliegende Partei kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdeführerin ist keine Entschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der angefochtene Entscheid bezüglich des Freispruchs vom Vorwurf des Steuerbetrugs aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juli 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld