Sachverhalt:
A. X._, 1967 geboren und aus Marokko stammend, kam im Oktober 1996 in die Schweiz. Am 29. November 1996 verheiratete er sich mit der 1948 geborenen Schweizer Bürgerin Y._. In der Folge erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung.
B. In Anbetracht der Ehe stellte X._ am 30. Januar 2002 ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung.
Die Eheleute unterzeichneten am 5. Dezember 2002 die gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten und stabilen ehelichen Gemeinschaft zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Sie nahmen davon Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens die Trennung oder Scheidung beantragt werde und die eheliche Gemeinschaft nicht mehr bestehe, und dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könne.
Am 21. Januar 2003 wurde X._ eingebürgert und erwarb die Bürgerrechte des Kantons Luzern und der Gemeinde Escholzmatt.
C. Im Mai 2003 lernte X._ eine Schweizerin kennen und ging mit ihr eine Beziehung ein. Im Juni 2003 kam es zur Trennung der Ehe. Nach einer Vereinbarung vom 23. November 2003 wurde die Trennung mit Gültigkeit ab 25. Juli 2003 auf unbestimmte Zeit vorgesehen.
Das Bundesamt für Migration (Bundesamt) leitete am 7. September 2007 ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung ein. X._ äusserte sich verschiedentlich, ebenso seine Ehefrau, seine neue Partnerin und Personen aus dem gemeinsamen Bekanntenkreis. Der Kanton Luzern als Heimatkanton erteilte die Zustimmung zur Nichtigerklärung der Einbürgerung.
Das Bundesamt erklärte die Einbürgerung von X._ am 7. Dezember 2007 für nichtig.
D. X._ gelangte in der Folge an das Bundesverwaltungsgericht. Dieses wies dessen Beschwerde am 18. Februar 2010 ab. Im Wesentlichen kam es aufgrund der gesamten Umstände zum Schluss, dass die Einbürgerung im Sinne des Bürgerrechtsgesetzes erschlichen wor-den sei.
E. Gegen diesen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts hat X._ am 24. März 2010 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Er beantragt die Aufhebung der Entscheide der Vorinstanz und des Bundesamtes. Er rügt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör und des Bürgerrechtsgesetzes und macht im Wesentlichen geltend, im Zeitpunkt der Unterzeichnung der gemeinsamen Erklärung und der Einbürgerung habe noch eine echte eheliche Gemeinschaft bestanden.
Das Bundesamt und das Bundesverwaltungsgericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil, ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG), betrifft die Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung gestützt auf Art. 27 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0) und somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>. Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss <ref-law> erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
2. Der Beschwerdeführer rügt vorerst eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, weil weder seine Ehefrau noch ein nicht näher bezeichneter Zeuge einvernommen worden sei.
Diese Rüge erweist sich von vornherein als unbegründet. Das Bundesverwaltungsgericht hat dargelegt, dass die genannten Personen schon im Rahmen der Abklärungen zum Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung die Stabilität der ehelichen Beziehung bescheinigt hätten und dass die Ehefrau im Verfahren vor dem Bundesamt zu Worte gekommen sei. Bei dieser Sachlage hätten diese Personen in antizipierter Beweiswürdigung und ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs nicht nochmals einvernommen werden müssen. Der Beschwerdeführer legt entgegen den Anforderungen von <ref-law> nicht dar, dass und weshalb die Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz offensichtlich unrichtig oder auf einer Rechtsverletzung gemäss <ref-law> beruhen sollte. Er tut auch nicht dar, dass diese Personen gegenüber den bereits vorgebrachten Äusserungen Neues vorbringen könnten.
3. Die Rechtsprechung hat die Voraussetzungen für den erleichterten Erwerb des Schweizer Bürgerrechts und für die Nichtigerklärung eines solchen Erwerbs sowie die beweisrechtlichen Anforderungen für den Nachweis einer Erschleichung des Bürgerrechts in allgemeiner Weise umschrieben (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2 und 3 S. 164 mit Hinweisen). Das Bundesverwaltungsgericht ist zutreffend von diesen Umschreibungen ausgegangen.
Gemäss <ref-law> kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einer Schweizer Bürgerin ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit der Schweizer Bürgerin lebt. Das Bundesgericht geht davon aus, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von <ref-law> nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern das Vorliegen einer tatsächlichen Lebensgemeinschaft voraussetzt. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist (<ref-ruling> E. 2.3.1). Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern (<ref-ruling> E. 2 S. 484).
Nach <ref-law> kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt daher nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115).
In verfahrensrechtlicher Hinsicht richtet sich die erleichterte Einbürgerung nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021). Danach gilt der Untersuchungsgrundsatz, wonach die Behörde den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen hat (<ref-law>). Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.). Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig (<ref-ruling> E. 3.2 S. 486).
Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehrung der Beweislast (<ref-ruling> E. 3.2 S. 486). Der Betroffene muss nicht den Beweis des Gegenteils erbringen. Vielmehr genügt der Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerung (vgl. dazu allgemein OSCAR Vogel/Karl Spühler/Myriam Gehri, Grundriss des Zivilprozessrechts, 8. Aufl. 2006, S. 263, Rz. 51; FRITZ GYGI, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 1983, S. 283 f.). Dem Gesagten zufolge liegt die Beweislast dafür, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von <ref-law> im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung nicht oder nicht mehr besteht, bei der Verwaltung. Es genügt deshalb, dass der Betroffene einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit der Schweizer Ehepartnerin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und dass er diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder der Betroffene kann darlegen, aus welchem Grund er die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als sie die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit der Schweizer Ehepartnerin auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (Bundesgerichtsurteile 5A.22/2006 vom 13. Juli 2006 E. 2.3; 5A.18/2006 vom 28. Juni 2006 E. 2.3).
4. Aufgrund dieser Erwägungen erweist sich der Einwand des Beschwerdeführers als unbegründet, die Stabilität der Ehe könne nicht gestützt auf die Umstände der Trennung rückwirkend in Frage gestellt werden bzw. der Schluss von der Trennung auf die zuvor bestandene Stabilität sei von vornherein unzulässig. Wie das Bundesverwaltungsgericht zutreffend darlegt (E. 8.2.1), ist es zulässig und angebracht, von den Umständen der späteren Trennung auf die Qualität der früheren ehelichen Gemeinschaft zu schliessen. Unter diesem Gesichtswinkel können auch Umstände, die im Zusammenhang mit der Eheschliessung geprüft worden sind, in einem neuen Licht erscheinen. Insoweit darf aufgrund von bekannten Tatsachen als Vermutungsbasis auf unbekannte Tatsachen als Vermutungsfolge geschlossen werden. Ein solcher Schluss kann umgestossen werden, wenn plausible Gründe für die frühere Stabilität angegeben oder ausserordentliche, zum raschen Zerfall der Ehe führende Ereignisse genannt werden können.
Vor diesem Hintergrund ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer am 5. Dezember 2002 die gemeinsame Erklärung unterzeichnet hat und am 21. Januar 2003 eingebürgert worden ist. Vier Monate danach ist er im Mai 2003 mit einer Schweizerin eine Beziehung eingegangen und hat danach Ende Juni 2003 seiner Ehefrau per SMS mitgeteilt, dass es nicht wieder zu ihr zurückkommen wolle. Schliesslich ist die Ehe mit Wirkung ab 25. Juli 2003 für unbestimmte Zeit getrennt worden.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann nicht gesagt werden, zur neuen Bekanntschaft und zur plötzlichen Krise der Ehe sei es erst deutlich nach der Einbürgerung gekommen. Es liegen dazwischen lediglich vier Monate. Der Beschwerdeführer musste sich bewusst sein, dass die Aufnahme einer ausserehelichen Beziehung unmittelbare Konsequenzen auf seine Ehe haben würde. Er ist sie unter Preisgabe seiner bisherigen Ehe eingegangen. In diesen Umständen kann ein starkes Indiz erblickt werden, dass die Ehe schon zum Zeitpunkt der Einbürgerung nicht mehr stabil gewesen ist (vgl. Urteil 1C_52/2009 vom 4. August 2009 E. 3.2). Nach der Rechtsprechung kann ein Hinweis auf den fehlenden Willen der Ehegatten, die eheliche Gemeinschaft aufrecht zu erhalten, im Umstand liegen, dass kurze Zeit nach der Einbürgerung ein Scheidungs- oder Trennungsverfahren eingeleitet wird. Solche Folgerungen werden im vorliegenden Fall durch weitere Gegebenheiten verstärkt. Nach dem angefochtenen Entscheid (E. 8.2.2) sind von Seiten des Beschwerdeführers keine ernsthaften Versuche unternommen worden, die Ehe zu retten bzw. die Trennung zu verhindern. Der Beschwerdeführer stellt dies nicht in Abrede. Bereits Ende Juni 2003 gab der Beschwerdeführer, nachdem er im Mai 2003 zur Rede gestellt worden war, bekannt, nicht mehr zu seiner Ehefrau zurückkehren zu wollen. Er hat diese Mitteilung nicht persönlich überbracht, sondern sie per blossem SMS übermittelt. Ferner ist die Trennung sehr rasch vereinbart worden. Der Umstand, dass nicht die Scheidung, sondern nur eine Trennung eingeleitet worden und dass die Vereinbarung erst im November 2003 unterzeichnet worden ist, ändert an der abrupten Trennung nichts. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers hat das Bundesverwaltungsgericht dem Umstand, dass seine Ehefrau 19 Jahre älter ist, keine entscheidende Bedeutung zugemessen. Gleichwohl kann es nicht als üblich betrachtet werden, dass der Beschwerdeführer im Oktober 1996 von Marokko in die Schweiz gelangte und bereits im November 1996 seine 19 Jahre ältere Ehefrau heiratete.
Bei dieser Sachlage liegt gesamthaft gesehen der Schluss nahe, dass die Ehe des Beschwerdeführers schon vor der Bekanntschaft und bereits im Zeitpunkt der Einbürgerung nicht mehr stabil und auf die Zukunft ausgerichtet war. Der Beschwerdeführer vermag nichts anzuführen, das diesen Schluss entkräften und das die Ernsthaftigkeit der bisherigen Ehe belegen könnte.
In Würdigung all dieser Umstände ist mit dem Bundesverwaltungsgericht davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer die Einbürgerung im Sinne der Rechtsprechung zum Bürgerrechtsgesetz erschlichen hat.
An dieser Beurteilung vermag schliesslich auch der Einwand des Beschwerdeführers nichts zu ändern, die Nichtigerklärung sei wegen des späten Zeitpunkts unverhältnismässig. Wie bereits die Vorinstanz dargelegt hat (E. 8.2.3), ist der Entscheid des Bundesamtes im Rahmen der vom Bürgerrechtsgesetz festgelegten Zeitspanne ergangen. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern bei dieser Sachlage Überlegungen der Rechtssicherheit zu einem andern Schluss führen könnten. Ebenso wenig kann der Beschwerdeführer aus der Dauer des vorinstanzlichen Verfahrens etwas zu seinen Gunsten ableiten.
5. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Steinmann