Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 5. Oktober 2009 sprach der Einzelrichter des Kreisgerichts St. Gallen X._, namentlich in Anwendung von Art. 115 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20), des rechtswidrigen Aufenthalts in der Schweiz für schuldig, verurteilte ihn zu einer Geldstrafe und einer Busse und auferlegte ihm die Verfahrenskosten.
Diesem Urteil lagen folgende Begebenheiten zugrunde: X._ stellte am 28. August 2000 ein Asylgesuch. Das Bundesamt für Flüchtlinge wies das Gesuch am 23. Juli 2002 ab. Die Asylrekurskommission wies am 30. Januar 2003 eine dagegen gerichtete Beschwerde ab. Das Ausländeramt des Kantons St. Gallen gab X._ Frist zur Ausreise bis zum 3. April 2003. Dieser verblieb in der Schweiz. Ein erstes Wiedererwägungsgesuch blieb beim Bundesamt erfolglos. Anlässlich von Befragungen in den Jahren 2004, 2006 und 2008 weigerte sich X._, Papiere zu beschaffen und freiwillig auszureisen. Im Mai 2008 heiratete er die Landsfrau Y._. Das gemeinsame Kind Z._ kam im Juni 2007 zur Welt. Mit Verfügung vom 19. Juni 2008 wies das Bundesamt für Migration ein neues Wiedererwägungsgesuch ab.
B. Gegen das Urteil des Einzelrichters legte X._ am 10. Januar 2010 beim Kantonsgericht St. Gallen Berufung ein. In materieller Hinsicht beantragte er unter Hinweis auf die Geburt der Tochter im Wesentlichen, von Schuld und Strafe freigesprochen zu werden. In formeller Hinsicht ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege, insbesondere darum, von einer Kostenvorschusspflicht befreit zu werden.
Mit Schreiben vom 26. Januar 2010 wies der Präsident der Strafkammer des Kantonsgerichts St. Gallen das Gesuch um Befreiung von einer Einschreibegebühr ab. Er wies darauf hin, dass nach Art. 225 des Strafprozessgesetzes von einer Einschreibegebühr nur abgesehen werden könne, wenn der Betroffene bedürftig ist und das Rechtsmittel nicht aussichtslos ist. In dieser Hinsicht zeige sich, dass sich der vorinstanzliche Richter mit der Sache eingehend auseinandergesetzt und zutreffende rechtliche Schlüsse gezogen habe und dabei auch Überlegungen geprüft habe, die nunmehr in der Appellation vorgebracht werden. Damit stehe fest, dass die Gewinnaussichten beträchtlich geringer seien als die Verlustgefahren. Daher fehle es an den Voraussetzungen für die Befreiung von der Einschreibegebühr. Der Kammerpräsident gewährte X._ eine Notfrist von zehn Tagen zur Bezahlung der Einschreibegebühr von Fr. 800.-- und fügte an, dass die Berufung als nicht eingelegt gelte, wenn die Frist nicht beachtet würde.
C. Gegen diese Verfügung hat X._ am 7. Februar 2010 beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen erhoben. Er stellt den Antrag, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und es sei das Kantonsgericht anzuweisen, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und insbesondere von einem Kostenvorschuss abzusehen. Er macht geltend, der angefochtene Entscheid verwehre ihm den verfassungs- und konventionsgemässen Zugang zu einem oberinstanzlichen Gericht und verletze überdies <ref-law>. Im Übrigen ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Kantonsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Die Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> ist zulässig; bei der angefochtenen Verfügung handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; vgl. <ref-ruling>, nicht publizierte E. 1.3 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131; <ref-ruling> E. 1.1 S. 283); der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert und hat die Beschwerde rechtzeitig erhoben.
2. Im angefochtenen Entscheid wird die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege mit der Aussichtslosigkeit der Berufung begründet. Es steht ausser Frage, dass der Beschwerdeführer bedürftig ist. Damit fragt sich ausschliesslich, ob im konkreten Verfahren die Behandlung der Berufung von den Erfolgschancen des Rechtsmittels abhängig gemacht werden durfte.
Der Beschwerdeführer bringt hiegegen zweierlei Rügen vor. Zum einen macht er geltend, die Verfügung des Präsidenten der Strafkammer verletze <ref-law> (nachfolgend E. 3). Zum andern rügt er, der abschlägige Bescheid sei mit <ref-law> und Art. 2 des Zusatzprotokolls Nr. 7 zur EMRK nicht vereinbar (nachfolgend E. 4).
3. 3.1 Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege (und auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand) wird auf unterschiedlichen Ebenen umschrieben.
Im angefochtenen Entscheid wird Bezug genommen auf das Strafprozessgesetz des Kantons St. Gallen (StP, Rechtssammlung 962.1). Nach dessen Art. 225 hat eine Einschreibegebühr zu bezahlen, wer in einer strafrechtlichen Angelegenheit ein Rechtsmittel einlegt (Abs. 1). Wird die Einschreibegebühr trotz einer Notfrist nicht bezahlt, gilt das Rechtsmittel als nicht eingelegt (Abs. 2). Der Präsident der Rechtsmittelinstanz kann auf Gesuch die Einschreibegebühr erlassen, wenn der Einleger bedürftig ist und das Rechtsmittel nicht aussichtslos ist. Aus Art. 225 StG ergibt sich somit, dass der Verzicht auf einen Kostenvorschuss u.a. davon abhängt, ob das eingelegte Rechtsmittel nicht als aussichtslos erscheint.
Nach <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint; soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Dieses Verfahrensgrundrecht gilt unabhängig vom Rechtsgebiet, gleichermassen auf erst- wie auch auf oberinstanzliche Verfahren. Auch der verfassungsmässige Anspruch hängt somit u.a. von der Nicht-Aussichtslosigkeit des Begehrens ab.
Nach Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK hat jede beschuldigte Person das Recht, sich selber zu verteidigen, sich durch einen Verteidiger seiner Wahl verteidigen zu lassen oder, falls ihr die Mittel zur Bezahlung fehlen, unentgeltlich den Beistand eines Verteidigers zu erhalten, wenn dies im Interesse der Rechtspflege erforderlich ist. Dieser spezifisch auf das Strafverfahren ausgerichtete Anspruch auf eine unentgeltliche Verbeiständung wird ergänzt durch die allgemeine Bestimmung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Diese gewährt einen Anspruch auf Zugang zu einem Gericht. Ein solcher kann beeinträchtigt werden durch hohe Gerichts- und Prozesskosten, ebenso durch hohe Kostenvorschüsse. Es ist als konventionskonform erachtet worden, in aussichtslos erscheinenden Angelegenheiten das gerichtliche Tätigwerden von der Leistung eines Kostenvorschusses abhängig zu machen (vgl. Frowein/Peukert, EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, Art. 6 N. 48, 68, 76 sowie 82). Auch wenn die Bestimmung für sich genommen keinen Anspruch auf ein Rechtsmittel einräumt, so wird der Zugang zu den bestehenden Rechtsmittelinstanzen auf diese Weise in hinreichendem Ausmass gewährleistet (vgl. Frowein/Peukert, a.a.O., Art. 6 N. 93 und 96).
3.2 Vorerst bringt der Beschwerdeführer vor, der angefochtene Entscheid sei ergangen, ohne dass der Kammerpräsident Kenntnis von Seite 2 seiner Berufung hatte. Diese sei von ihm vorerst nicht eingereicht und erst auf entsprechende Aufforderung von Seiten des Gerichts hin nachgereicht worden. Der angefochtene Entscheid sei allerdings bereits vor der Ergänzung und damit gestützt auf unvollständige Akten ergangen.
Der Beschwerdeführer belegt seine Behauptung mit keinerlei Unterlagen, insbesondere hat er nicht nachgewiesen, dass und wann er zu einer Ergänzung aufgefordert worden wäre und wann er diese tatsächlich eingereicht hat. Auf das neue tatsächliche Vorbringen kann daher aufgrund von Art. 97 Abs. 1 und Art. 99 BGG nicht eingetreten werden. Auch wenn das Vorbringen zu prüfen wäre, erwiese es sich als unbegründet. Der Seite 2 der Berufung kommt entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers für die Beurteilung der Prozessaussichten auf das Ganze genommen keine entscheidende Bedeutung zu. Es werden im Wesentlichen Beweisbegehren gestellt. Im Dossier des Beschwerdeführers bereits enthalten sind die Unterlagen des Bundesamtes und des Bundesverwaltungsgerichts. Es werden auf Seite 2 keine neuen Rügen erhoben oder neue verfassungsmässige oder konventionsrechtliche Garantien angerufen.
Bei dieser Sachlage kann nicht gesagt werden, der Kammerpräsident habe aufgrund von offensichtlich unvollständigen Akten und damit in Missachtung des Anspruchs auf ein gerechtes Verfahren entschieden.
3.3 Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann auch nicht gesagt werden, die angefochtene Verfügung sei materiell fehlerhaft und trage den vom Beschwerdeführer vorgebrachten Argumenten nicht Rechnung. Der Kammerpräsident konnte auf die Akten abstellen. Aus diesen geht die vom Beschwerdeführer angeführte Problematik mit hinreichender Klarheit hervor. Der abschlägige Wiedererwägungsentscheid des Bundesamtes für Migration vom 19. Juni 2009 nimmt auf die politische und wirtschaftliche Lage in der Republik Kongo Bezug und erwähnt ausdrücklich die schwierige Lage für besonders verletzliche Personen wie Kleinkinder. Die Geburt des gemeinsamen Kindes Z._, die schon eineinhalb Jahre zurückliegt, ist in den Akten mehrmals angesprochen worden. Vor dem Hintergrund der asylrechtlichen Entscheidungen (unter Einbezug der abschlägigen Wiedererwägungsentscheide) des Bundesamtes und der Asylrekurskommission bzw. des Bundesverwaltungsgerichts einerseits und in Anbetracht der vom Einzelrichter dargelegten strafrichterlichen Befugnis zur Überprüfung von solchen Entscheidungen hält die Auffassung des Kammerpräsidenten vor der Verfassung stand, dass die Gewinnaussichten eines Berufungsverfahren sehr gering und damit deutlich kleiner seien als die Gewinnaussichten. Damit erweist sich die Rüge der Verletzung von <ref-law> bzw. von Art. 6 EMRK in materieller Hinsicht als unbegründet.
3.4 Schliesslich rügt der Beschwerdeführer, der angefochtene Entscheid sei unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> unzureichend begründet. Die Rüge erweist sich als unbegründet. Der Kammerpräsident hat in hinreichender Weise dargelegt, dass gestützt auf den erstinstanzlichen Entscheid und den darin enthaltenen Erwägungen einerseits und der Berufungsschrift andererseits die Erfolgschancen als sehr gering einzustufen seien. In Anbetracht der dem Beschwerdeführer bekannten Fakten und Argumentationen konnte sich dieser ein hinreichendes Bild über die Gründe der Gesuchsabweisung bilden und den Entscheid denn auch in substantieller Weise anfechten. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass im angefochtenen Entscheid keine Ausführungen zur Dauer bzw. zur Periode des angeblich rechtswidrigen Aufenthalts enthalten sind. Der Strafrichter hat in seinem Urteil ausgeführt, wie es sich strafrechtlich bei sog. Dauerdelikten verhält, wenn die gesetzliche Grundlage im Laufe der Zeit ändert.
3.5 Daraus ergibt sich, dass der angefochtene Entscheid insoweit vor der Verfassung und der Konvention standhält, als die Aussichtslosigkeit der Berufung bejaht und vom Beschwerdeführer ein Kostenvorschuss einverlangt wird.
4. Somit ist zu prüfen, ob die auf die Aussichtslosigkeit gestützte Einforderung eines Kostenvorschusses mit <ref-law> bzw. mit Art. 2 des Protokolls Nr. 7 zur EMRK vereinbar ist.
Nach <ref-law> hat jede verurteilte Person das Recht, ein Urteil von einem höheren Gericht überprüfen zu lassen. In vergleichbarer Weise räumt Art. 2 des Protokolls Nr. 7 jeder Person, welche von einem Gericht wegen einer Straftat verurteilt worden ist, das Recht ein, das Urteil von einem übergeordneten Gericht nachprüfen zu lassen. Eine entsprechende Garantie enthält Art. 14 Abs. 5 UNO-Pakt II. Die Voraussetzungen für die Ausübung des Rechts, an eine höhere Instanz zu gelangen, richten sich nach dem einschlägigen (nationalen) Verfahrensrecht. Ein übergeordnetes Gericht, welche Rechtsfragen frei und Sachverhaltsfragen bloss unter eingeschränkter Kognition prüft, genügt den verfassungsmässigen und internationalen Garantien (<ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
Das Bundesgericht hat erkannt, dass die genannten Rechtsmittelgarantien Bund und Kantone nicht verpflichten, kostenlose Rechtsmittelverfahren vorzusehen. Es sei nicht zu beanstanden, wenn eine Rechtsmittelinstanz aufgrund des anwendbaren Prozessrechts einen Appellanten, dessen Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen worden ist, zur Leistung eines Kostenvorschusses verpflichtet (<ref-ruling> mit Hinweisen). Diese Praxis ist von der Lehre gebilligt worden (vgl. Regina Kiener, in: ZBJV139/2003 S. 736).
Daraus ergibt sich für das vorliegende Verfahren, dass der Kammerpräsident die genannten Rechtsmittelgarantien nicht dadurch verletzt hat, dass er das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen und vom Beschwerdeführer unter der Androhung der Abschreibung der Berufung einen Kostenvorschuss verlangte. Anders verhielte es sich lediglich, wenn gestützt auf das anwendbare Strafprozessrecht ein Fall von notwendiger Verteidigung vorliegen würde (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 99; <ref-ruling> E. 4 S. 285; zum Begriff der notwendigen Verteidigung <ref-ruling> E. 2.1 S. 352). Der Beschwerdeführer behauptet nicht und es ist nicht ersichtlich, dass im zugrunde liegenden Strafverfahren die Konstellation einer notwendigen Verteidigung vorliegen würde.
Damit erweist sich die Rüge der Verletzung von <ref-law> und Art. 2 des Protokolls Nr. 7 zur EMRK als unbegründet.
5. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Präsident der Strafkammer wird eingeladen, dem Beschwerdeführer eine neue Frist zur Leistung der Einschreibegebühr einzuräumen.
Der Beschwerdeführer hat um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Dem Gesuch kann unter Verzicht auf Kosten entsprochen werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Der Präsident der Strafkammer des Kantonsgerichts St. Gallen wird eingeladen, dem Beschwerdeführer eine neue Frist zur Leistung einer Einschreibegebühr einzuräumen.
3. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Kantonsgericht St. Gallen, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. März 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Steinmann