Sachverhalt:
A. Am 14. Mai 2007 erhob S._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde gegen eine Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 4. April 2007, ohne den angefochtenen Verwaltungsakt der Eingabe beizulegen. Am 21. Mai 2007 forderte das kantonale Gericht ihn verfügungsweise zu dessen Nachreichung sowie zur Beschwerdeverbesserung (Rechtsbegehren und Begründung) innert zehn Tagen ab Erhalt der Verfügung auf, andernfalls auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Nachdem die am 23. Mai 2007 als Gerichtsurkunde versandte Verfügung vom 21. Mai 2007 mit dem Vermerk "nicht abgeholt" an das Sozialversicherungsgericht retourniert worden war, trat dieses mit Beschluss vom 20. Juni 2007 auf die Beschwerde des S._ mangels rechtzeitiger Beschwerdeverbesserung nicht ein.
B. Mit Eingabe vom 27. Juli 2007 liess S._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Aufhebung des Beschlusses vom 20. Juni 2007 sowie die Wiederherstellung der mit Verfügung vom 21. Mai 2007 angesetzten Frist zur Verbesserung der Beschwerdeschrift vom 14. Mai 2007 beantragen. Das Sozialversicherungsgericht trat auf das Gesuch ein und wies dieses mit Beschluss vom 30. August 2007 ab.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei seinem Fristwiederherstellungsgesuch vom 27. Juli 2007 stattzugeben.
Die IV-Stelle des Kantons Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Anfechtungsobjekt ist letztinstanzlich einzig der Beschluss des kantonalen Gerichts vom 30. August 2007, mit welchem das gestützt auf den - im Verfahren vor dem Sozialversicherungsgericht kraft § 12 des zürcherischen Gesetzes über das Sozialversicherungsgericht vom 7. März 1993 [GSVGer; OS 212.81]) anwendbaren - § 199 des Gerichtsverfassungsgesetzes des Kantons Zürich vom 13. Juni 1976 (GVG; OS 211.1; vgl. E. 3.2 hernach) gestellte Gesuch des Beschwerdeführers um Wiederherstellung der mit Verfügung vom 21. Mai 2007 angesetzten Frist zur Nachbesserung seiner Eingabe vom 14. Mai 2007 abgelehnt worden ist. Die vorinstanzliche Zuständigkeit zur materiellen Beurteilung des erwähnten Fristwiederherstellungsgesuchs ergibt sich dabei aus Art. 61 Satz 1 des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 (SR 830.1) in Verbindung mit § 200 GVG/ZH. Letztgenannte Bestimmung des kantonalen Rechts sieht die Möglichkeit vor, eine - wie hier - während des Verfahrens versäumte Frist bei Erfüllen der materiellen Voraussetzungen auch noch nach Mitteilung des Endentscheids (hier: Nichteintretensentscheid vom 20. Juni 2007) und selbst nach Eintritt der Rechtskraft desselben wiederherzustellen (vgl. Robert Hauser/Erhard Schweri, Kommentar zum zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetz, Zürich 2002, Rz. 5 zu § 199 und Rz. 1 zu § 200).
1.2 Der angefochtene Beschluss vom 30. August 2007 ist als ein das kantonale Verfahren abschliessender Endentscheid im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren. Es liegt somit ein zulässiges Anfechtungsobjekt vor, gegen welches die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen steht (vgl. - zu einer kantonalgerichtlichen Verfügung betreffend Nichtwiederherstellung der Rechtsmittelfrist - das Urteil des Bundesgerichts 5A_729/2007 vom 29. Januar 2008, E. 1). Da die übrigen allgemeinen Prozessvoraussetzungen (Art. 42, Art. 82 ff., Art. 100 Abs. 1 BGG) erfüllt sind, ist auf das Rechtsmittel grundsätzlich einzutreten. Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht indessen nur, soweit solche Rügen in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>; qualifizierte Rügepflicht); die Begründungsanforderungen sind insoweit die gleichen wie früher bei der staatsrechtlichen Beschwerde nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 30 f.; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2 S. 591 f.; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287; <ref-ruling> E. 2 S. 639 f.).
2. 2.1 Im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist die Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts in tatsächlicher Hinsicht dahingehend eingeschränkt, dass es die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen kann, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>; Ausnahme: Beschwerden gemäss <ref-law> [<ref-law>]).
2.2 Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 lit. a und b BGG prüft das Bundesgericht grundsätzlich frei, einschliesslich die Frage, ob die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt, insbesondere den Grundsatz der derogatorischen Kraft des Bundesrechts verletzt (<ref-law>; vgl. auch Hansjörg Seiler/Nicolas von Werdt/Andreas Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, N 21 zu Art. 95). Im Übrigen prüft das Bundesgericht die Handhabung des kantonalen Rechts - vorbehältlich der in Art. 95 lit. c und d BGG genannten Fälle - bloss auf Willkür hin (<ref-law>). Willkürlich ist ein Entscheid rechtsprechungsgemäss nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 153; <ref-ruling> E. 5.1 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f., je mit Hinweisen).
3. Im vorinstanzlichen Entscheid werden der für die Beurteilung des Fristwiederherstellungsgesuchs massgebende, mit Art. 60 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law> vereinbare (Urteil H. des Eidg. Versicherungsgerichts vom 18. April 2006, U 435/05) § 1099 GVG/ZH (vgl. E. 1.1 hievor) sowie der - mangels abweichender kantonalrechtlicher Normen hier anwendbare, mit dem seit 1. Januar 2007 in Kraft stehenden <ref-law> (wie auch mit <ref-law> und <ref-law>) auf Bundesebene nunmehr ins Gesetzesrecht überführte - Grundsatz, wonach die Zustellung einer eingeschriebenen Sendung spätestens am siebenten Tag nach dem (ersten) erfolglosen Zustellungsversuch als erfolgt gilt (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 51 f.; <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 399; <ref-ruling> E. 2a/aa S. 34,123 III 492, 119 II 147 E. 2 S 149, 119 V 89 E. 4b/aa S. 94, je mit Hinweisen), zutreffend wiedergegeben. Ebenfalls richtig dargelegt hat die Vorinstanz, dass die Zustellungsfiktion nur zum Tragen kommen kann, wenn die Zustellung eines behördlichen Aktes mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zu erwarten war respektive der Adressat damit hatte rechnen müssen (BGE <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 399) und diesem nach erfolglosem Zustellungsversuch tatsächlich eine postalische Abholungseinladung mit Fristangabe ordnungsgemäss in seinen Briefkasten oder sein Postfach gelegt wurde (<ref-ruling> E. 1b S. 61). Darauf wird verwiesen. Beizufügen ist, dass der Beweis der Tatsache und des Datums der Zustellung von Verfügungen rechtsprechungsgemäss der zustellenden Behörde obliegt (<ref-ruling> E. 2a S. 402, 117 V 261 E. 3b S. 264, je mit Hinweisen). Im Rahmen eines begründeten Prozessrechtsverhältnisses wird dabei - anders als im Rahmen der Massenverwaltung - der volle Beweis verlangt (<ref-ruling> E. 2b S. 402; <ref-ruling> E. 3b S. 6; vgl. etwa auch Urteil 9C_639/2007 vom 25. Februar 2008). Dieser wird in der Regel durch postalischen Versand der Verfügungen/Urteile als Gerichtsurkunde oder in anderer Weise gegen Empfangsbestätigung erbracht. Wird weder der Adressat noch eine andere empfangsberechtigte Person angetroffen und ist daher eine Abholungseinladung auszustellen, gilt rechtsprechungsgemäss eine - widerlegbare - Vermutung, dass der oder die Postangestellte den Avis ordnungsgemäss in den Briefkasten oder ins Postfach des Empfängers gelegt hat und das Zustelldatum im Zustellbuch korrekt eingetragen worden ist. Mit andern Worten findet bezüglich der Ausstellung der Abholungseinladung eine Umkehr der Beweislast in dem Sinne statt, als im Falle der Beweislosigkeit der Entscheid zu Ungunsten des Empfängers ausfällt, der den Erhalt der Abholungseinladung - aus welchen Gründen auch immer - bestreitet (vgl. <ref-ruling> S. 117; vgl. ferner Urteile 4A.250/2008 vom 18. Juni 2008, E. 3.2.2 mit Hinweis; C 171/05 vom 16. September 2005, E. 4.2 mit weiteren Hinweisen, publ. in: SVR 2006 AlV Nr. 10 S. 37 f. mit Hinweisen; 2A.339/2006 vom 31. Juli 2006, E. 4.2; I 505/00 vom 30. März 2001, E. 4b; 1P.455/2000 vom 20. Oktober 2000, E. 1c; unveröffentlichte Urteile 5P.61/1999 vom 22. April 1999, E. 3b [mit Hinweis auf Jean-Francois Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, 1990/1992, N. 1.11 zu Art. 32 OG] und I 311/98 vom 21. Oktober 1998, E. 1).
4. 4.1 In tatsächlicher Hinsicht ist unbestritten, dass die fristansetzende Verfügung vom 21. Mai 2007 am 23. Mai 2007 als Gerichtsurkunde an den Beschwerdeführer versandt worden war, diesem jedoch nicht direkt durch die Poststelle der Wohngemeinde hatte zugestellt werden können und auch nicht innert der siebentägigen Abholungsfrist vom Adressaten dort abgeholt worden war. Aktenkundige und allseits anerkannte Tatsache ist zudem, dass die Sendung unter dem Datum 24. Mai 2007 in der Zustellliste der Post vermerkt ist. Aufgrund dieser Sachlage war das kantonale Gericht im Nichteintretensentscheid vom 20. Juni 2007 zum Schluss gelangt, in Anwendung der Zustellungsfiktion sei das Zustelldatum der Verfügung vom 21. Mai 2007 auf den 31. Mai 2007 zu fingieren (Ablauf der siebentägigen Abholungsfrist); damit habe die angesetzte, in der Folge unbenutzt verstrichene zehntägige Nachbesserungsfrist am 1. Juni 2007 zu laufen begonnen und am Montag, 11. Juni 2007 geendet.
4. 4.1 In tatsächlicher Hinsicht ist unbestritten, dass die fristansetzende Verfügung vom 21. Mai 2007 am 23. Mai 2007 als Gerichtsurkunde an den Beschwerdeführer versandt worden war, diesem jedoch nicht direkt durch die Poststelle der Wohngemeinde hatte zugestellt werden können und auch nicht innert der siebentägigen Abholungsfrist vom Adressaten dort abgeholt worden war. Aktenkundige und allseits anerkannte Tatsache ist zudem, dass die Sendung unter dem Datum 24. Mai 2007 in der Zustellliste der Post vermerkt ist. Aufgrund dieser Sachlage war das kantonale Gericht im Nichteintretensentscheid vom 20. Juni 2007 zum Schluss gelangt, in Anwendung der Zustellungsfiktion sei das Zustelldatum der Verfügung vom 21. Mai 2007 auf den 31. Mai 2007 zu fingieren (Ablauf der siebentägigen Abholungsfrist); damit habe die angesetzte, in der Folge unbenutzt verstrichene zehntägige Nachbesserungsfrist am 1. Juni 2007 zu laufen begonnen und am Montag, 11. Juni 2007 geendet.
4.2 4.2.1 Im vorinstanzlich - nach erstmaliger tatsächlicher Kenntnisnahme der Verfügung vom 21. Mai 2007 am 13. Juli 2007 [Erhalt des Nichteintretensentscheids] rechtzeitig - eingereichten Fristwiederherstellungsgesuch hatte der Gesuchsteller einzig geltend gemacht, er habe für die fragliche Gerichtsurkunde nie eine postalische Abholungseinladung erhalten und aus diesem Grund von der verfügungsweisen Fristansetzung vom 21. Mai 2007 unverschuldeterweise nicht Kenntnis nehmen und fristgerecht darauf reagieren können. Für die Richtigkeit dieser Sachverhaltsdarstellung spreche, dass er als redliche und zuverlässige Person keinerlei Anlass gehabt habe, die Annahme (resp. Abholung) der eingeschriebenen Postsendung zu verweigern; ausser während seiner Dialyse-Behandlungen (dreimal wöchentlich) sei er denn auch grundsätzlich zu Hause. Auch der Umstand, dass er den Nichteintretensentscheid vom 20. Juni 2007 umgehend auf der Post abgeholt habe, zeuge von seiner kooperativen Einstellung.
4.3 Das kantonale Gericht hielt dafür, mit seinen Ausführungen vermöge der Gesuchsteller den - aufgrund der rechtsprechungsgemäss vermuteten Avisierung ihm obliegenden - Nachweis für den Nichterhalt einer Abholungseinladung nicht zu erbringen; namentlich begründeten die Vorbringen keine Zweifel an der Richtigkeit der Darstellung der Post (gemäss Schreiben vom 27. Juli 2007), wonach die fragliche Sendung durch eine als zuverlässig geltende Mitarbeiterin avisiert wurde; in der Zustellliste der Post sei die Gerichtsurkunde denn auch unter dem Datum 24. Mai 2007 eingetragen. Es sei daher davon auszugehen, dass dem Gesuchsteller an jenem Tag tatsächlich eine Abholungseinladung in den Briefkasten gelegt wurde. Damit erweise sich - so die implizite Schlussfolgerung des kantonalen Gerichts - die im Nichteintretensentscheid vom 20. Juni 2007 dargelegte Berechnung der siebentägigen Abholungsfrist und der mit Verfügung vom 21. Mai 2007 angesetzten zehntägigen Nachbesserungsfrist (1. bis 11. Juni 2007) ohne Weiteres als richtig und bleibe für eine Fristwiederherstellung kein Raum.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer rügt zu Recht nicht, die vorinstanzliche Tatsachenfeststellung des Erhalts der Abholungseinladung (am 24. Mai 2007) sei offensichtlich unrichtig (<ref-law>). Soweit er darin das Ergebnis einer willkürlichen (<ref-law>) oder anderweitig rechtsfehlerhaften, insbesondere den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) missachtende Beweiswürdigung erblickt, kann ihm nicht beigepflichtet werden. Im Rahmen freier Beweiswürdigung (<ref-law>) hat die Vorinstanz unter Bezugnahme auf die rechtserheblichen Akten sowie in Auseinandersetzung mit den Einwänden des Beschwerdeführers sachlich begründet, weshalb sie die Sachverhaltsdarstellung der Post als erwiesen und den Nachweis des im Fristwiederherstellungsgesuch einzig unter Berufung auf die Redlichkeit des Versicherten und die möglichen Versehen in den postalischen Abläufen behaupteten Gegenteils als nicht erbracht erachtet. Von Willkür oder einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör kann diesbezüglich nicht die Rede sein. Nicht als willkürlich erscheint das Beweisergebnis der Vorinstanz auch im Lichte der letztinstanzlich erstmals vorgebrachten Tatsachenbehauptung des Beschwerdeführers, an seiner Wohnadresse befänden sich insgesamt sieben Briefkästen von insgesamt sieben verschiedenen Mietern, weshalb ohne Weiteres möglich sei, dass die Postbotin die Abholungseinladung versehentlich in einen nicht dem Beschwerdeführer gehörenden Briefkasten warf und der fälschlicherweise bediente Adressat diese Abholungseinladung übersehen oder aus einem andern Grund nicht dem Beschwerdeführer übergeben habe. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich so zugetragen ist, ist als sehr gering einzustufen, da der Briefkasten des Beschwerdeführers gemäss dem in den Akten liegenden Foto klar und deutlich beschriftet ist und sich durch seine Position in der Gesamtanordnung der sieben Briefkästen besonders hervorhebt; im Übrigen handelt es sich bei mindestens fünf der verbleibenden sechs Mieter nicht um Privatpersonen, sondern um Firmen, die den Posteingang tendenziell mit erhöhter Sorgfalt prüfen und von denen in besonderem Masse erwartet werden kann, dass sie eine nicht an sie adressierte Abholungseinladung für eine Gerichtsurkunde ordnungsgemäss weiterleiten (vgl. etwa auch Urteil 5A_729/2007 vom 29. Januar 2008, E. 4.2 in fine).
5.2 Unbegründet ist des Weitern die Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe von ihm in rechtsverletzender, gegen den Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung (<ref-law>; einschliesslich Rechtsverweigerungsverbot) verstossender Weise einen strikten Nachweis des Nichterhalts der Abholungseinladung verlangt, welcher bezüglich negativer Tatsachen bekanntlich nicht erbracht werden könne. Das kantonale Gericht hat ausdrücklich festgehalten, es sei nicht "mit überwiegender Wahrscheinlichkeit dargetan, dass die Zustellung der Abholungseinladung unterblieben ist", mithin gerade nicht einen vollen Beweis verlangt. Damit ist die Vorinstanz jedenfalls nicht in Willkür verfallen, und es kann offen gelassen werden, ob für die Widerlegung der rechtsprechungsgemässen Vermutung der korrekten postalischen Übermittlung der Abholungseinladung bundesrechtlich (<ref-law>) ein strengeres Beweismass gilt oder nicht.
5.3 Selbst wenn davon auszugehen wäre, dass - wie der Beschwerdeführer behauptet - der Nichterhalt der Abholungseinladung "genauso wahrscheinlich" ist wie deren ordnungsgemässe Ausstellung und Übermittlung, folgte daraus nicht, dass der Zustellungsfiktion die Anwendung zu versagen ist. Vielmehr läge diesfalls Beweislosigkeit vor, zumal (zu Recht) von keiner Seite geltend gemacht wird, von zusätzlichen Abklärungen seien neue, rechtserhebliche Erkenntnisse zu erwarten. Nach dem unter E. 3 hievor dargelegten Grundsätzen über die Beweislastumkehr bezüglich der Zustellung der Abholungseinladung hat die Folgen der Beweislosigkeit der Beschwerdeführer zu tragen. Inwiefern diese bundesrechtliche Beweisregel als solche verfassungsmässige Rechte verletzen soll, wird in der Beschwerde nicht substantiiert dargetan (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>), weshalb sich diesbezügliche gerichtliche Ausführungen erübrigen.
5.4 Mangels qualifizierter Rüge einer willkürlichen oder sonst verfassungswidrigen Auslegung und Anwendung des kantonalzürcherischen Verfahrensrechts (<ref-law>) nicht zu prüfen ist hier, ob die Vorinstanz im Lichte der im fraglichen Zustellungszeitraum gültig gewesenen kantonalen Bestimmungen und der hierzu ergangenen kantonalen Gerichtspraxis willkürfrei und ohne Verletzung von Treu und Glauben (<ref-law>) bereits nach einem erfolglosem Zustellungsversuch die Zustellungsfiktion zur Anwendung bringen durfte (vgl. - bezüglich der Praxis des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich - Urteile 1P.404/2006, vom 12. September 2006, E. 3.4 mit Hinweis; 2A.467/2004 vom 31. August 2004, E. 2.1; Pra 2002 Nr. 100 S. 579, E. 2.2, 2A.234/2001). Das Bundesrecht jedenfalls lässt einen erfolglosen Zustellungsversuch als Voraussetzung dafür, dass die ordnungsgemässe Ausstellung der Abholungseinladung im Sinne einer widerlegbaren Vermutung unterstellt und die Zustellung bei fehlendem Nachweis des Nichterhalts des Avis auf das Ende der siebentägigen Abholfrist fingiert werden darf, genügen (<ref-law>; <ref-law> und <ref-law>).
5.5 Nach dem Gesagten hält die vorinstanzliche Feststellung, wonach dem Beschwerdeführer am 24. Mai 2007 ordnungsgemäss eine Abholungseinladung ausgestellt und in seinen Zugriffsbereich übermittelt wurde, unter dem Blickwinkel von Art. 105 Abs. 2 und Art. 95 lit. a BGG stand, sodass der Anwendung der Zustellungsfiktion nichts entgegen steht und die daraus gezogenen rechtlichen Schlüsse der Vorinstanz vollumfänglich zu bestätigen sind.
6. Die zu erhebenden Gerichtskosten (<ref-law>) sind ausgangsgemäss vom Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Ausgleichskasse des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. August 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Amstutz