Sachverhalt:
A. A.a Der 1937 geborene Sprachwissenschafter Prof. Dr. phil. A._ war teilzeitlich als Privatdozent an der Universität X._ tätig und wurde diesbezüglich in Form von Lehrauftragsentschädigungen entlöhnt. Der Schweizerische Nationalfonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung (SNF) sprach ihm für das Projekt "Y._" für den Zeitraum vom 1. Oktober 1995 bis 30. September 1999 einen Forschungsbeitrag von insgesamt Fr. 434'692.- zu. Davon wurden Fr. 285'000.- als "Salär" bzw. "persönlicher Beitrag an den Lebensunterhalt des Gesuchstellers" bezeichnet. Für die seit jeher ausgeübte Tätigkeit als Lehrbeauftragter entrichtete die Universität X._ als Arbeitgeberin paritätische Sozialversicherungsbeiträge. Demgegenüber qualifizierte die Ausgleichskasse des Kantons Zürich A._ hinsichtlich seiner Forschungstätigkeit im Rahmen des genannten Nationalfonds-Projekts als Selbständigerwerbenden und verpflichtete ihn u.a. mit Nachtragsverfügungen vom 10. Mai 2001 zur Bezahlung persönlicher Beiträge auf den für den Lebensunterhalt bestimmten Bezügen von Seiten des SNF für die Jahre 1996 bis 1999.
Während der Rechtshängigkeit der dagegen erhobenen Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich (d.h. pendente lite) kam die Ausgleichskasse auf ihre Verfügungen vom 10. Mai 2001 zurück und ersetzte diese durch neue Nachtragsverfügungen vom 6. Juni 2001, in welchen die Beitragsforderung gegenüber A._ gestützt auf eine Steuermeldung vom 31. Mai 2001 reduziert wurde.
A.b Das Sozialversicherungsgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 18. August 2005 (Verfahren AB.2002.00473) ab (recte hiess es sie teilweise gut) und stellte fest, dass A._ aus selbständiger Erwerbstätigkeit Beiträge in der am 6. Juni 2001 pendente lite verfügten Höhe schulde.
A.c Mit Urteil H 151/05 vom 2. Mai 2007 hiess das Bundesgericht die hiegegen eingereichte Verwaltungsgerichtsbeschwerde, mit welcher A._ sinngemäss die Berücksichtigung abzugsfähiger Unkosten geltend gemacht hatte, gut, hob den vorinstanzlichen Entscheid vom 18. August 2005 und die Nachtragsverfügungen der Ausgleichskasse vom 10. Mai sowie 6. Juni 2001 für die Beitragsjahre 1996 bis 1999 auf und stellte fest, dass A._ für die im genannten Zeitraum bezogenen Beiträge an den Lebensunterhalt nicht als Erwerbstätiger beitragspflichtig ist (Dispositiv-Ziffer 1). Überdies hielt das Bundesgericht fest, das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich werde über eine Parteientschädigung für das kantonale Verfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses zu befinden haben (Dispositiv-Ziffer 5).
B. Am 31. Mai 2007 liess A._ durch Rechtsanwalt Dr. E._, der ihn im seinerzeitigen kantonalen Verfahren (ab 1. September 2003) vertreten hatte, beim Sozialversicherungsgericht beantragen, es sei hiefür eine Parteientschädigung von Fr. 25'757.90 zuzüglich Zins zu 5 % ab 18. August 2005 zuzusprechen. Mit Entscheid vom 6. Juni 2007 sprach das Gericht eine Parteientschädigung von Fr. 3600.- (einschliesslich Barauslagen und Mehrwertsteuer) zulasten der Ausgleichskasse zu.
C. A._ führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag, er sei für die vorinstanzliche anwaltliche Vertretung mit Fr. 10'829.05 zu entschädigen. Zudem beantragt er für seine persönlichen Kosten und Umtriebe im kantonalen Verfahren eine "Abfindung" in der Höhe von Fr. 3000.-. Schliesslich ersucht er um Zusprechung einer Parteientschädigung von Fr. 1200.- für das letztinstanzliche Verfahren.
Ausgleichskasse und Vorinstanz verzichten auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde ans Bundesgericht.

Erwägungen:
1. Der hier angefochtene Entscheid des kantonalen Gerichts vom 6. Juni 2007 setzt die Parteientschädigung für das (mit abweisendem Entscheid desselben Gerichts vom 18. August 2005 erledigte) Verfahren AB.2002.00473 fest, in welchem der Beschwerdeführer aufgrund des bundesgerichtlichen Urteils H 151/05 vom 2. Mai 2007 (<ref-ruling>) als obsiegende Partei gilt. Es handelt sich um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>. Da auch die übrigen formellen Gültigkeitserfordernisse gegeben sind, ist auf die Beschwerde ans Bundesgericht grundsätzlich einzutreten.
Von vornherein nicht eingetreten werden kann auf den letztinstanzlich erstmals gestellten Antrag, das kantonale Gericht habe dem Beschwerdeführer über die Vertretungskosten hinaus für die persönlichen Kosten und Umtriebe im vorinstanzlichen Verfahren eine Parteientschädigung ("Abfindung") von Fr. 3000.- zu leisten. Ein derartiges neues Begehren ist gemäss <ref-law> unzulässig, wobei offen bleiben mag, ob der Beschwerdeführer damit etwas "Neues" im Sinne von anderes ("aliud") oder im Sinne von mehr ("plus") verlangt (vgl. hiezu Ulrich Meyer, Basler Kommentar, N. 60/61 zu <ref-law>).
2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht sowie von kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. a und c BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an; es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 1 und 2 BGG).
3. 3.1 Nach <ref-law> (in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law>) bestimmt sich das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren in AHV-Beitragsstreitigkeiten vor dem kantonalen Versicherungsgericht unter Vorbehalt von <ref-law> nach kantonalem Recht. Es hat den in lit. a-i aufgezählten Anforderungen zu genügen. <ref-law> hält fest, dass die obsiegende Beschwerde führende Person Anspruch auf Ersatz der Parteikosten hat; diese werden vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen.
Gemäss dieser Regelung beurteilt sich nach Bundesrecht, ob und unter welchen Voraussetzungen ein Anspruch auf Parteientschädigung für das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren in Beitragsstreitigkeiten der Alters- und Hinterlassenenversicherung besteht. Demgegenüber richtet sich die Höhe der Parteientschädigung in den Schranken des Bundesrechts nach kantonalem Recht, dessen Anwendung vom Bundesgericht praktisch nur auf Willkür hin überprüft wird; diese vor dem Inkrafttreten des ATSG geltende Rechtslage (<ref-ruling> E. 3a) wurde durch <ref-law> nicht geändert (SVR 2006 ALV Nr. 15 S. 52 E. 4.2 [C 223/05]; Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, N. 102 zu Art. 61).
Laut § 34 Abs. 3 des Gesetzes über das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich vom 7. März 1993 (GSVGer/ZH; LS 212.81) bemisst sich die Höhe der gerichtlich festzusetzenden Entschädigung nach der Bedeutung der Streitsache, der Schwierigkeit des Prozesses und dem Mass des Obsiegens, jedoch ohne Rücksicht auf den Streitwert. Die kantonale Regelung stimmt also mit <ref-law> überein.
3.2 Weder die genannte bundesrechtliche noch die wiedergegebene kantonale Bestimmung erwähnen den Umfang der Arbeitsleistung oder den Zeitaufwand des Anwalts. Indessen sind diese Kriterien auch ohne ausdrückliche Nennung bedeutsam für die Höhe der Parteientschädigung (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 87). Diese stellt «Ersatz der Parteikosten» dar, welche massgeblich vom tatsächlichen und notwendigen Vertretungsaufwand bestimmt wird. Die Bedeutung der Streitsache ist aber ohnehin weniger gut messbar als die Schwierigkeit des Prozesses auf der Grundlage des tatsächlichen Arbeitsaufwandes. Diesem Bemessungskriterium kommt denn auch seit jeher vorrangige Bedeutung zu (<ref-ruling> E. 4c S. 126; vgl. auch Ueli Kieser, a.a.O., S. 631 oben). Bei der Frage nach dem notwendigen Vertretungsaufwand dürfen die Gerichte auch in Betracht ziehen, dass der Sozialversicherungsprozess im Unterschied zum Zivilprozess von der Untersuchungsmaxime beherrscht wird, wodurch in vielen Fällen die Arbeit des Rechtsvertreters erleichtert wird. Diese sollte nur insoweit berücksichtigt werden, als sich der Anwalt bei der Erfüllung seiner Aufgabe in einem vernünftigen Rahmen hält unter Ausschluss nutzloser oder sonstwie überflüssiger Schritte (<ref-ruling> E. 4b S. 87 mit Hinweisen).
3.3 Über die bundesrechtlichen Anforderungen hinaus ist die Höhe der Parteientschädigung - wie erwähnt - lediglich unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbotes zu prüfen (E. 3.1 hievor). Dies gilt insbesondere in Bezug auf den vom kantonalen Versicherungsgericht angewendeten Tarif.
Eine Entschädigung ist dann willkürlich, wenn sie eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkürliche Rechtsanwendung liegt nicht schon vor, wenn eine andere Lösung in Betracht zu ziehen oder sogar vorzuziehen wäre. Zudem muss nicht nur die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar sein (SVR 2006 ALV Nr. 15 S. 53 E. 4.3 [C 223/05], 2002 ALV Nr. 3 S. 6 E. 4a [C 130/99]; vgl. auch <ref-ruling> E. 2 Ingress S. 61, 129 I 8 E. 2.1 S. 9, je mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung kann das durchschnittliche Anwaltshonorar pro Stunde je nach kantonaler Anwaltsgebühren-Regelung willkürfrei innerhalb einer relativ weiten Bandbreite von Fr. 180.- bis Fr. 320.- pro Stunde, einschliesslich Mehrwertsteuer, festgelegt werden (SVR 2007 UV Nr. 33 S. 113 E. 5.2 [U 571/06], 2006 ALV Nr. 15 S. 53 E. 4.3 [C 223/05], 2002 ALV Nr. 3 S. 6 E. 4c [C 130/99]).
4. 4.1 In seinem Urteil H 151/05 vom 2. Mai 2007 erkannte das Bundesgericht auf Verordnungswidrigkeit der bisherigen Verwaltungspraxis im Zusammenhang mit Forschungsbeiträgen des Schweizerischen Nationalfonds und hielt fest, dass die den Forschern ausgerichteten Zuwendungen des SNF, ob sie nun als Stipendien oder Forschungsbeiträge bezeichnet werden und darin ein persönlicher Beitrag an den Lebensunterhalt mitenthalten ist oder nicht, kein AHV-beitragspflichtiges Erwerbseinkommen darstellen (<ref-ruling>). Von diesem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses leitet Rechtsanwalt Dr. E._, der im Verlaufe des seinerzeitigen vorinstanzlichen Verfahrens die Rechtsvertretung des Beschwerdeführers übernommen hatte, offenbar (im Nachhinein) eine starke Erhöhung des Schwierigkeitsgrades des Prozesses ab. Anders liesse es sich nämlich kaum erklären, dass der Anwalt in seiner Eingabe vom 20. Dezember 2003 (für Aktenstudium vor der Verhandlung, vorinstanzliche Gerichtsverhandlung vom 2. September 2003, anschliessendes Rechts- und Aktenstudium, Besprechungen mit dem Klienten, Ausgleichskasse, Bundesamt für Sozialversicherungen, Nationalfonds und Universität X._, Eingaben ans Sozialversicherungsgericht Zürich bis Dezember 2003) noch einen zeitlichen Vertretungsaufwand von "16 Std. (à Fr. 250.-)" geltend gemacht hatte und im krassen Gegensatz dazu am 31. Mai 2007 den "Aufwand der Rechtsvertretung im kantonalen Verfahren" (ohne nähere Angaben) auf nunmehr "100.35 Arbeitsstunden à Fr. 250.-" bezifferte (obwohl nach Dezember 2003 lediglich eine eineinhalbseitige Vernehmlassung vom 8. November 2004 zur Stellungnahme der vorinstanzlich beigeladenen Universität X._ sowie einige Schreiben betreffend Ferienabwesenheit des Rechtsvertreters zu verfassen waren).
4.2 Es ist von Bundesrechts wegen nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz mit Bezug auf die Schwierigkeit des Prozesses offenkundig nicht von einer überdurchschnittlich komplexen Beitragsstreitigkeit ausgegangen ist. Es trifft zwar zu, dass der Beschwerdeführer nicht nur als im erstinstanzlichen Verfahren obsiegende Partei zu betrachten ist, sondern letztinstanzlich auch eine Änderung der Verwaltungspraxis zur beitragsrechtlichen Qualifikation von Zuwendungen des Nationalfonds erstritten hat. Mit der Verordnungsbestimmung von <ref-law>, gegen welche die bisherige Praxis der AHV-Behörden verstiess, weil nämlich überhaupt kein Erwerbseinkommen vorliegt, hat sich indessen der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers gerade nicht auseinandergesetzt. In seiner Eingabe vom 20. Dezember 2003 wandte er sich zunächst gegen die Qualifikation der Tätigkeit im Rahmen des SNF-Forschungsprojekts als selbständige Erwerbstätigkeit und machte in der Hauptsache geltend, der Beschwerdeführer sei auch diesbezüglich als unselbständig Erwerbstätiger zu betrachten; eventuell seien bei der Ermittlung der Beiträge aus selbständiger Erwerbstätigkeit abzugsfähige Unkosten zu berücksichtigen, subeventuell seien diese Beiträge wegen wirtschaftlicher Unzumutbarkeit der Beitragsentrichtung auf den Mindestbeitrag herabzusetzen. Das vorinstanzliche Verfahren drehte sich denn auch ausschliesslich um die Frage, ob die Forschungstätigkeit im Rahmen des SNF-Projekts Tätigkeit aus selbständiger oder unselbständiger Erwerbstätigkeit darstelle. Unter diesen Umständen vermag der blosse Hinweis auf die erfochtene Praxisänderung jedenfalls allein keine erhöhte Schwierigkeit des Prozesses darzutun. Das Kriterium der Bedeutung der Streitsache hat mit Blick darauf, dass nach <ref-law> und auch § 34 Abs. 3 GSVGer/ZH der Streitwert ausdrücklich keinen Einfluss auf die Höhe der Parteientschädigung haben soll, ohnehin wenig Gewicht (E. 3.1 und 3.2 hievor).
Der vom kantonalen Gericht im hier angefochtenen Entscheid vom 6. Juni 2007 der Parteientschädigung zugrundegelegte "angebrachte" Vertretungsaufwand von insgesamt 12 Stunden (4 Stunden für Instruktion und Aktenstudium, 4 Stunden für die Verhandlung vom 2. September 2003, 3 Stunden für die Eingabe vom 20. Dezember 2004 und eine Stunde für die Stellungnahme vom 8. November 2004) vermag vor dem Willkürverbot (E. 3.1) ebenso standzuhalten wie der angewandte Tarif von Fr. 200.- pro Stunde (zuzüglich Mehrwertsteuer; E. 3.3), was mit den geltend gemachten Barauslagen von Fr. 923.65 zum vorinstanzlich festgelegten Parteikostenersatz von Fr. 3600.- führt.
5. Die Gerichtskosten werden dem Beschwerdeführer als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1100.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. März 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Attinger