Faits:
A.
A.a. I._ a été engagé au service de l'État de Genève du 1er avril 2001 au 31 décembre 2008. Il a ensuite été engagé au service X._ par le département du territoire, dès le 1er janvier 2009. Le 1er décembre 2009, il a été nommé fonctionnaire. A la fin de l'année 2009, X._ a été transféré au département Y._ à l'occasion des remaniements départementaux.
Le 12 avril 2010, le Groupe de confiance - institué par l'art. 4 de l'ancienne version du règlement relatif à la protection de la personnalité à l'État de Genève du 18 juin 2008 - a recommandé à O._, secrétaire générale de Y._, l'ouverture d'une enquête administrative à l'encontre de I._ afin de vérifier si le comportement reproché à ce dernier par certains membres de son service pouvait constituer des atteintes à la personnalité, voire du harcèlement psychologique. Le Groupe de confiance exposait qu'il avait été contacté, dès le mois d'octobre 2009, par des personnes travaillant auprès de X._. Au total, cinq personnes, sur les sept collaborateurs et collaboratrices que comptait ce service, hormis le directeur, avaient souhaité être entendues par ledit groupe. Lors des entretiens menés, ces personnes avaient évoqué, de la part de I._, des marques de dénigrement et de manque de respect, relevant d'atteintes possibles à la personnalité, tant au niveau des relations interprofessionnelles qu'à celui des relations professionnelles. Toujours selon le Groupe de confiance, cette situation avait eu des répercussions sur l'état de santé de plusieurs personnes, qui évoquaient des migraines, des maux de ventre, de dos, des insomnies et un stress important. Ces collaborateurs faisaient état de réticence, voire de peur, à l'idée de se rendre au travail.
Par arrêté du 1er juin 2010, le Conseil d'État a ordonné l'ouverture d'une enquête administrative à l'encontre de I._ et confié la conduite de celle-ci à A._, juge à la Cour de justice. Celui-ci a entendu sept témoins, tous collaborateurs de X._. I._ a également été entendu par l'enquêteur. Le 1er octobre 2010, celui-ci a rendu son rapport au Conseil d'État.
Au cours d'un entretien qui s'est tenu le 1er novembre 2010 en présence de membres de la direction des ressources humaines (DRH), la secrétaire générale de Y._ a informé I._ et son conseil qu'un complément d'enquête serait demandé en raison de l'apparition de faits nouveaux (doléances de collaborateurs concernant notamment l'organisation du travail, l'attribution des tâches, l'information et la mise à l'écart d'une collaboratrice à la suite de son audition). S'adressant le même jour au Conseil d'État, I._ a demandé que le rapport d'enquête lui soit communiqué immédiatement. En cas de refus, une décision munie des voies de droit devait être rendue.
Par décision du 3 novembre 2010, le Conseil d'État a refusé de communiquer le rapport d'enquête à I._ jusqu'à l'établissement complet des faits par l'enquêteur. En effet, par arrêté du même jour, le Conseil d'État a ordonné un complément d'enquête portant sur les faits à la base des nouvelles plaintes émises à l'encontre de I._ et invité l'enquêteur à établir tous les autres faits répréhensibles pouvant apparaître au cours de l'enquête complémentaire. Il a par ailleurs suspendu provisoirement l'intéressé de sa fonction, mais avec maintien du traitement.
A.b. Le 17 novembre 2010, I._ a sollicité du Conseil d'État la récusation de l'enquêteur. Le Conseil d'État a rejeté cette demande le 7 décembre 2010. I._ a recouru, mais il a été débouté successivement par la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (jugement du 1 er février 2011) et par le Tribunal fédéral (arrêt du 1 er juillet 2011; cause 8C_217/2011).
A.c. La procédure d'enquête a été interrompue entre les mois de novembre 2010 et mai 2011. L'enquêteur a procédé à de nouvelles auditions à partir du mois de juin 2011. Il a rendu un nouveau rapport le 30 septembre 2011, en précisant que ledit rapport était la refonte du précédent, qu'il complétait sur les faits nouveaux. Il annulait et remplaçait de facto le rapport du mois d'octobre 2010. I._ a été invité à se déterminer. Par lettre du 25 octobre 2011, il a demandé à prendre connaissance du rapport établi en octobre 2010, ce que le Conseil d'État a refusé par décision du 9 novembre 2011.
Le 14 novembre 2011, I._ s'est déterminé sur le rapport d'enquête du mois de septembre 2011. Il a demandé la suspension de la procédure dans l'attente du recours qu'il se proposait de déposer contre la décision du Conseil d'État du 9 novembre 2011. Il se plaignait, en outre, de ce que l'enquêteur n'avait pas donné suite à sa demande d'audition de B._, de C._ et de D._, secrétaire adjoint auprès de Y._.
Par arrêté du 30 novembre 2011, le Conseil d'État, se fondant sur le rapport d'enquête administrative du 30 septembre 2011, a révoqué avec effet immédiat I._.
B.
B.a. Le 21 novembre 2011, I._ a recouru contre le refus du Conseil d'État de lui communiquer le premier rapport établi par l'enquêteur (cause A/3942/2011).
B.b. Le 16 janvier 2012, il a également recouru contre la décision de révocation du Conseil d'État (cause A/95/2012). Il a conclu, principalement, à l'annulation de cet arrêté. Subsidiairement, il a demandé l'ouverture d'une instruction complète impliquant notamment l'audition de toutes les personnes déjà entendues dans le cadre de l'enquête administrative, ainsi que l'audition de B._, C._ et D._. A défaut, il a conclu à la condamnation de l'État de Genève au paiement de la somme de 62'303 fr. 35 (salaires dus pendant la période d'un congé ordinaire à partir du mois de décembre 2011, moins le salaire déjà versé pour la période du 1 er au 9 décembre) et de la somme de 408'575 fr. 70 (indemnité pour licenciement contraire au droit), toutes deux avec intérêts à 5 % l'an dès le 9 décembre 2011.
Les deux causes introduites successivement ont été jointes. Sur réquisition du juge délégué, le Conseil d'État a versé au dossier le premier rapport de l'enquêteur. En outre, le 21 mai 2012, le juge délégué a entendu plusieurs témoins en présence des parties, soit en particulier B._, C._ et D._.
B.c. Statuant le 20 novembre 2012, la Chambre administrative de la Cour de justice a déclaré irrecevable le recours du 21 novembre 2011, au motif que la décision finale avait été rendue et que l'intéressé avait pu faire valoir ses moyens dans le cadre du recours interjeté contre la décision de révocation. Elle a rejeté le recours du 16 janvier 2012 et confirmé ainsi la décision de révocation du Conseil d'État.
C.
I._ interjette un recours en matière de droit public. Il conclut, principalement, à l'annulation de la décision attaquée en tant qu'elle concerne sa révocation, ainsi que de l'arrêté du Conseil d'État du 30 novembre 2011, et demande au Tribunal fédéral de dire qu'il est toujours fonctionnaire de l'État de Genève pour la période postérieure au 9 décembre 2011. Subsidiairement, il conclut derechef à la condamnation de l'État de Genève à lui verser, respectivement, les sommes de 62'303 fr. 35 et de 408'575 fr. 70, toutes deux avec intérêts à 5 % l'an dès le 9 décembre 2011.
Le Conseil d'État conclut au rejet du recours.

Considérant en droit:
1.
Le jugement entrepris a été rendu en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Il porte sur une contestation de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion prévu par cette disposition n'entre pas en considération. Le seuil requis de la valeur litigieuse est par ailleurs largement dépassé (<ref-law>). La voie du recours en matière de droit public selon les <ref-law> est donc ouverte pour contester la décision attaquée.
2.
Les premiers juges ont considéré que dans la procédure de révocation, le Conseil d'État avait doublement violé le droit d'être entendu du recourant. D'une part, il n'avait pas donné suite à sa demande d'entendre B._, C._ et D._. D'autre part, il avait refusé de lui communiquer le premier rapport d'enquête. La juridiction cantonale a toutefois considéré qu'une annulation de la décision attaquée pour ces motifs ne se justifiait pas. En effet, l'apport à la procédure du premier rapport d'enquête, ainsi que les auditions par le juge délégué des trois personnes sus-nommées n'avaient pas apporté d'éléments déterminants pour l'issue du litige. La lecture dudit rapport n'avait révélé aucune différence substantielle avec le second rapport, ce dernier ne contenant que des ajouts au premier, liés au complément d'enquête. Le recourant avait eu la possibilité de se déterminer dans des conclusions après enquête, aussi efficacement qu'il aurait pu le faire avant le prononcé de l'arrêté du Conseil d'État. Par conséquent, quand bien même la juridiction cantonale n'était pas habilitée à revoir l'opportunité de la décision attaquée, un renvoi à l'autorité administrative aurait constitué une vaine formalité et retardé inutilement l'issue de la procédure. Par conséquent, les deux violations du droit d'être entendu retenues devaient être considérées comme réparées devant l'autorité judiciaire cantonale, en application du principe de l'économie de la procédure.
3.
3.1. Invoquant l'art. 29 al. 2 Cst., le recourant soutient que les violations du droit d'être entendu constatées par la Cour de justice auraient nécessairement dû conduire celle-ci à renvoyer la cause au Conseil d'État. En effet, la Cour de justice n'est pas habilitée, selon le droit cantonal, à statuer en opportunité. Son pouvoir d'examen était donc plus étroit que celui du Conseil d'État. Une réparation des deux vices de procédure était d'emblée exclue.
3.2. L'intimé soutient de son côté que c'est à tort que les premiers juges ont vu des violations du droit d'être entendu dans son refus de communiquer le rapport initial de l'enquêteur et dans le refus de celui-ci d'auditionner les trois personnes en question.
4.
4.1. En l'espèce, on peut effectivement se demander si le droit d'être entendu du recourant a été violé du seul fait que le Conseil d'État a refusé d'entendre ces trois personnes. En effet, le droit de faire administrer des preuves découlant du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) n'empêche pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion (voir par exemple <ref-ruling> consid. 5.3 p. 236 et les arrêts cités). Le refus d'une offre de preuve n'est donc pas nécessairement synonyme d'une violation du droit d'être entendu. Par ailleurs, on peut de la même manière se demander si le premier rapport de l'expert ne devait pas être considéré comme une pièce interne qui ne devait pas nécessairement être accessible, dans la mesure où il pouvait être considéré comme un pré-rapport ou un simple projet (voir cependant à ce sujet PIERRE MOOR/ ETIENNE POLTIER, Droit administratif, vol. II, 3 ème éd. 2011, p. 327 s. et les auteurs cités). Les questions soulevées ici peuvent toutefois demeurer indécises.
4.2. En effet, selon la jurisprudence, une violation du droit d'être entendu est considérée comme réparée lorsque l'intéressé jouit de la possibilité de s'exprimer librement devant une autorité de recours pouvant contrôler librement l'état de fait et les considérations juridiques de la décision attaquée, à condition toutefois que l'atteinte aux droits procéduraux de la partie lésée ne soit pas particulièrement grave, de sorte qu'il n'en résulte aucun préjudice pour le justiciable (<ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 197; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 204). Or la procédure administrative genevoise prévoit que le recours à la Cour de justice a un effet dévolutif complet et que celle-ci dispose d'un libre pouvoir d'examen en fait et en droit (cf. art. 61 et 66 ss de la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 [LPA/GE; RS/GE E 5 10]), permettant une réparation d'une violation du droit d'être entendu, comme le Tribunal fédéral a eu l'occasion de souligner à réitérées reprises dans plusieurs autres affaires genevoises (arrêts 2C_66/2013 du 7 mai 2013 consid. 3.2.3, 2D_46/2012 du 16 janvier 2013 consid. 4.2.2, 2D_47/2012 du 12 décembre 2012 consid. 3.2 et 2D_25/2012 du 6 novembre 2012 consid. 3.2.2). Par ailleurs, les irrégularités relevées par la juridiction cantonale n'atteignent pas le seuil de gravité qui aurait empêché celle-ci d'y remédier. Enfin, le recourant a eu accès au premier rapport de l'enquêteur. Les personnes dont il avait vainement demandé l'audition dans la procédure administrative ont été entendues. Le recourant s'est déterminé dans des conclusions motivées du 2 juillet 2012. Dans ces conditions, à supposer que le droit d'être entendu du recourant ait été violé, cette violation devrait être considérée comme valablement guérie devant la juridiction précédente.
4.3. La présente affaire se distingue des arrêts 8C_449/2011 et 8C_53/2012, tous deux du 6 juin 2012, cités par le recourant. Dans ces affaires, il s'agissait de violations graves du droit d'être entendu ou au moins, pour l'une d'entre elle, d'une violation "d'une certaine gravité". La juridiction cantonale (le Tribunal cantonal jurassien) ne prétendait pas que le vice aurait pu être réparé dans la procédure judiciaire, compte tenu de sa jurisprudence en la matière (voir Revue jurassienne de jurisprudence [RJJ] 1995 p. 336 ss).
4.4. En conclusion, le grief tiré d'une violation de l'art. 29 al. 2 Cst. se révèle mal fondé.
5.
5.1. Au chapitre des sanctions disciplinaires, l'art. 16 al. 1 de la loi générale relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissements publics médicaux du 4 décembre 1997 (LPAC; RS/GE B 5 05) prévoit ceci:
1 Les fonctionnaires et les employés qui enfreignent leurs devoirs de service, soit intentionnellement soit par négligence, peuvent faire l'objet, selon la gravité de la violation, des sanctions suivantes:
a) prononcé par le supérieur hiérarchique, en accord avec sa hiérarchie:
1 o le blâme;
b) prononcées, au sein de l'administration cantonale, par le chef du département ou le chancelier d'État, d'entente avec l'office du personnel de l'État; au sein des services centraux et des greffes du pouvoir judiciaire, par le secrétaire général du pouvoir judiciaire; au sein de l'établissement, par le directeur général:
2 o la suspension d'augmentation du traitement pendant une durée déterminée,
3 o la réduction de traitement à l'intérieur de la classe;
c) prononcées, à l'encontre d'un fonctionnaire, au sein de l'administration cantonale, par le Conseil d'État; au sein des services centraux et des greffes du pouvoir judiciaire, par la commission de gestion du pouvoir judiciaire; au sein de l'établissement par le conseil d'administration:
4 o le retour au statut d'employé en période probatoire pour une durée maximale de 3 ans,
5 o la révocation.
5.2. Le recourant reproche aux premiers juges d'avoir appliqué arbitrairement cette disposition et violé le principe de proportionnalité en confirmant la révocation - qui plus est avec effet immédiat - prononcée par le Conseil d'État. Selon lui, la volonté de l'État de Genève de mettre un terme à son engagement reposait sur des motifs relevant de l'organisation du travail et des rapports interpersonnels entre un supérieur hiérarchique et ses subordonnés, plutôt que sur des motifs disciplinaires. Les circonstances du cas d'espèce étaient totalement différentes des cas dans lesquels la jurisprudence recourt à la sanction disciplinaire infamante qu'est la révocation.
5.3. Sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal ou communal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 466). Autrement dit, le Tribunal fédéral ne revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal et communal que sous l'angle de l'arbitraire. Il ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain, ce qu'il appartient au recourant de démontrer par une argumentation qui réponde aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 351 s.; <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254 et les références).
5.4. Dans le domaine des mesures disciplinaires, la révocation est certes la sanction la plus lourde. Elle est l'ultima ratio. Elle implique une violation grave ou continue des devoirs de service. Il peut s'agir d'une violation unique spécialement grave, soit d'un ensemble de transgressions dont la gravité résulte de leur répétition. L'importance du manquement doit être appréciée à la lumière des exigences particulières qui sont liées à la fonction occupée. Toute violation des devoirs de service ne saurait cependant être sanctionnée par la voie de la révocation disciplinaire. Cette mesure revêt, en effet, l'aspect d'une peine et présente un caractère plus ou moins infamant. Elle s'impose surtout dans les cas où le comportement de l'agent démontre qu'il n'est plus digne de rester en fonction (arrêt 8C_203/2010 du 1 er mars 2011 consid. 3.5).
5.5. En l'espèce, il ressort des constatations du jugement attaqué que le recourant n'était à l'évidence pas apte à diriger un service de l'État. Il avait des difficultés à communiquer avec ses subordonnés. Ces difficultés se manifestaient par une incapacité à répondre posément - et même à répondre tout court - aux doléances de ses collaborateurs concernant notamment le mauvais fonctionnement du service ou la souffrance de certains d'entre eux. Il s'emportait souvent, au lieu d'adopter une attitude constructive et respectueuse de leur personnalité. Ses colères et ses emportements ont créé un climat de peur et un malaise qui ont gravement porté atteinte à la confiance nécessaire que les collaborateurs devaient avoir à l'égard de leur direction et qui ont été jusqu'à menacer la santé de certains d'entre eux. Ces lacunes graves dans la communication, ajoutées à une absence d'informations claires de l'intéressé sur ses présences et ses absences, à la rareté des séances du personnel, ont rendu difficile la collaboration entre les membres du service eux-mêmes et favorisé chez eux un sentiment d'isolement. L'organisation et la répartition du travail ont souffert de ces manquements, qui ont plongé certains employés dans un véritable désarroi quant à leur mission, ainsi qu'à une sous-occupation de collaborateurs nouvellement engagés, ce qui a nui gravement aux intérêts de l'État.
Ces faits vont nettement au-delà d'un simple conflit relationnel entre un employé et son supérieur hiérarchique ou d'un problème d'organisation du travail. Il convient de souligner, par ailleurs, que le recourant exerçait une fonction dirigeante. A cela s'ajoute que le comportement répréhensible s'est étendu sur une assez longue période. En retenant que les faits en question relevaient de la voie disciplinaire et qu'ils étaient suffisamment graves pour justifier une révocation, les premiers juges n'ont pas fait une application insoutenable de l'art. 16 LPAC. Le principe de proportionnalité, qui se confond ici avec le grief d'arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 158), n'a dès lors pas été violé. Quant au caractère immédiat de la révocation, il est inhérent à ce type de mesure et il n'apparaît en tout cas pas non plus critiquable sous l'angle de l'arbitraire.
6.
Vu ce qui précède, le recours se révèle mal fondé.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Bien qu'obtenant gain de cause, la partie intimée n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lucerne, le 28 octobre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: von Zwehl