Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Hinwil (Einzelgericht im summarischen Verfahren) erteilte der Stadt A._, vertreten durch Alimentenhilfe Region Ost, in der gegen X._ eingeleiteten Betreibung (Nr. ..., Betreibungsamt A._) am 13. September 2012 definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 5'850.-- (nebst näher bestimmten Zinsen und Kosten); im Mehrbetrag wurde das Rechtsöffnungsbegehren abgewiesen.
B.
Gegen den Rechtsöffnungsentscheid gelangte X._ am 31. Dezember 2012 an das Obergericht des Kantons Zürich, welches auf die Beschwerde am 13. März 2013 infolge verspäteter Leistung des Kostenvorschusses von Fr. 300.-- nicht eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 21. April 2013 führt X._ Beschwerde in Zivilsachen. Der Beschwerdeführer verlangt im Wesentlichen die Aufhebung des Nichteintretensbeschlusses des Obergerichts und das Eintreten auf das Rechtsmittel.
Das Obergericht auf eine Stellungnahme verzichtet.
Die Stadt A._, vertreten durch die Alimentenhilfe Region Ost, als Beschwerdegegnerin hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Beschluss des Obergerichts, welches auf die Beschwerde gegen die Erteilung der Rechtsöffnung nicht eingetreten ist. Der Entscheid über die Rechtsöffnung beschlägt das Zwangsvollstreckungsrecht und stellt zugleich eine vermögensrechtliche Angelegenheit dar (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 und 1.3). Die gesetzliche Streitwertgrenze wird vorliegend nicht erreicht (<ref-law>).
1.2. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern sich vorliegend eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellen soll (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 356). Die Beschwerde in Zivilsachen gegen den letztinstanzlich ergangenen Entscheid (<ref-law>) ist nicht gegeben. Die fristgemäss erhobene Eingabe ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen.
1.3. Mit Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
2.
Das Obergericht hat festgehalten, dass dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 12. Februar 2013 eine einmalige Nachfrist von 5 Tagen angesetzt worden sei, um den mit Verfügung vom 18. Januar 2013 auferlegten Kostenvorschuss von Fr. 300.-- zu bezahlen. Die Nachfristverfügung habe der Beschwerdeführer am 20. Februar 2013 entgegengenommen, so dass die Nachfrist am 25. Februar 2013 abgelaufen sei. Der Kostenvorschuss sei mit "Einzahlungs- und Buchungsdatum" vom 26. Februar 2013 und damit verspätet geleistet worden.
3.
Anlass zur Verfassungsbeschwerde gibt der Entscheid des Obergerichts, mit welchem auf die Beschwerde wegen verspäteter Leistung des Kostenvorschusses nicht eingetreten wurde. Unbestritten steht fest, dass die Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses (<ref-law>) am 25. Februar 2013 abgelaufen ist. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht sinngemäss eine Verletzung von verfassungsmässigen Rechten (<ref-law>) vor, weil es den Kostenvorschuss als verspätet bzw. die Beschwerde als unzulässig erachtet habe.
3.1. Gemäss <ref-law> ist die Frist für eine Zahlung an das Gericht eingehalten, wenn der Betrag spätestens am letzten Tag der Frist zugunsten des Gerichts der Schweizerischen Post übergeben oder einem Post- oder Bankkonto in der Schweiz belastet worden ist. Die Regelung entspricht <ref-law> (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur ZPO, BBl. 2006 7221, Ziff. 5.9.3, S. 7308; vgl. <ref-law>, <ref-law>). Die Beweislast für die Rechtzeitigkeit der Kostenvorschusszahlung sowie allgemein der Beschwerdeerhebung trägt der Rechtsuchende (vgl. u.a. TAPPY, in: Code de procédure civile commenté, 2011, N. 8, 18 f. zu <ref-law>; Urteil 9C_564/2012 vom 12. September 2012 E. 2 mit Hinw., in: SVR 2013 IV Nr. 4 S. 8).
3.2. Das Obergericht hat den 26. Februar 2013 als "Einzahlungs- und Buchungsdatum" für den Kostenvorschuss bezeichnet. Es hat dabei auf den Auszug aus der Gerichtsbuchhaltung verwiesen, worin der Kostenvorschuss mit "Eingangsdatum", "Buchungsdatum" und "Einzahlungsdatum" vom 26. Februar 2013 eingetragen ist. Weiter hat sich die Vorinstanz auf den Auszug seines Postfinance-Kontos gestützt; aus der in den kantonalen Akten liegenden Seite (des mehrseitigen Dokuments) lässt sich die Gutschrift des Kostenvorschusses mit Valuta per 26. Februar 2013 entnehmen. Der Beschwerdeführer hält demgegenüber fest, dass die Bezahlung des Kostenvorschusses am 25. Februar 2013 seinem Bankkonto belastet worden sei.
3.2.1. Weder im angefochtenen Entscheid noch in den kantonalen Akten gibt es einen Anhaltspunkt in tatsächlicher Hinsicht, dass das vom Obergericht erwähnte "Einzahlungsdatum" vom 26. Februar 2013 bedeute, der Betrag sei an diesem Tag (am Postschalter oder anlässlich einer Überweisung aus dem Ausland) der Schweizerischen Post übergeben worden. Soweit das Obergericht auf den 26. Februar 2013 als Datum abgestellt hat, an welchem der Betrag auf dem Konto des Gerichts "eingegangen" bzw. die Kontobewegung eingetragen (Buchungstag) oder seinem Konto gutgeschrieben (Valutatag) worden ist, kann es nichts für die Verspätung des Kostenvorschusses ableiten. Nicht der Eingang des Zahlungsauftrages ist gemäss <ref-law> massgebend, sondern der Valutatag der Belastung auf dem Post- oder Bankkonto des Zahlungspflichtigen (vgl. Cavelti, in: Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren [VwVG], 2008, N. 21 zu <ref-law>).
3.2.2. Bei einer Post- oder Banküberweisung muss im Fall, dass der Kostenvorschuss nicht innert der angesetzten Frist dem Gericht gutgeschrieben worden ist, das Gericht den Vorschusspflichtigen zum Nachweis auffordern, dass der Betrag am letzten Tag der Frist seinem Post- oder Bankkonto in der Schweiz (oder desjenigen seines Vertreters) belastet worden ist. Dieses Vorgehen wird in der Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001 vorgezeichnet (BBl. 2001 4202, Ziff. 4.1.2.5, S. 4298, vgl. wörtlich die französisch- und italienischsprachige Fassung, FF 2001 4000, S. 4097, bzw. FF 2001 3764, S. 3856). Es wird in der Lehre zu Recht bestätigt ( TREZZINI, in: Commentario al Codice di diritto processuale civile svizzero, 2011, S. 603) und - auch von der Vorinstanz in anderen Fällen - praktiziert (Urteil PS120165 des Obergerichts des Kantons Zürich vom 25. Oktober 2012 E. 3b; Urteil C-2140/2010 des Bundesverwaltungsgerichts vom 20. Juni 2011 E. 11.2).
3.2.3. Aus den kantonalen Akten geht nicht hervor, dass das Obergericht den Beschwerdeführer aufgefordert hätte, den ihm obliegenden Nachweis der rechtzeitigen Vorschussleistung dadurch zu erbringen, dass er die Belastungsbestätigung vorlegt. Dies drängt sich indessen auf, wenn - wie im vorliegenden Fall - der Kostenvorschuss ein Tag nach Ablauf der angesetzten Frist dem Konto des Gerichts gutgeschrieben wurde. Der Anspruch, von den staatlichen Behörden nach Treu und Glauben behandelt zu werden (<ref-law>), garantiert hier dem Beschwerdeführer, dass die Vorinstanz die Rückfrage zum Belastungszeitpunkt vornimmt. Das Obergericht musste am Fehlen der Rechtzeitigkeit Zweifel haben und wäre aus diesem Grund verpflichtet gewesen, den (anwaltlich nicht vertretenen) Beschwerdeführer dazu vorgängig anzuhören (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 16 f.; Urteil 5P.113/2005 vom 13. September 2006 E. 3.1). Im Übrigen wurde der Beschwerdeführer weder in der Kostenvorschussverfügung vom 18. Januar 2013 noch in der Verfügung betreffend Nachfrist vom 12. Februar 2013 bereits im voraus zum entsprechenden Nachweis innert Frist aufgefordert (vgl. Urteil 5A_636/2010 vom 2. November 2010 zur Praxis des Bundesgerichts mit entsprechendem Hinweis in der Verfügung zur Nachfristansetzung). Mit den verfassungsmässigen Rechten des Beschwerdeführers ist demnach nicht vereinbar, wenn das Obergericht die Rechtzeitigkeit des Kostenvorschusses gemäss <ref-law> verneint hat.
3.3. Die Rückweisung der Angelegenheit an das Obergericht, um den Belastungszeitpunkt durch Aufforderung zur Erbringung des Nachweises abzuklären, ist im konkreten Fall nicht erforderlich. Der Beschwerdeführer hat seiner Eingabe an das Bundesgericht den Auszug seines Kontos bei der Bank Z._ AG und den Beleg mit den Transaktionsdetails beilegt. Daraus geht hervor, dass die Belastung via e-banking mit Valuta per 25. Februar 2013 durchgeführt worden ist. Die vom Beschwerdeführer vorgelegten Beweismittel zum Nachweis, dass der Betrag am letzten Tag der vom Obergericht angesetzten Frist seinem Bankkonto belastet worden sei, sind im bundesgerichtlichen Verfahren zulässig, weil der vorinstanzliche Entscheid Anlass zum Vorbringen gegeben hat (<ref-law>). Der Kontoausdruck eines Post- oder des Bankkontos, welcher die Belastung bestätigt, ist zum Nachweis der Rechtzeitigkeit geeignet ( FREI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 21 zu <ref-law>), wenn daraus ersichtlich ist, dass die Verarbeitung des Zahlungsauftrages und die damit verbundene Belastung tatsächlich spätestens am letzten Tag der Frist geschehen ist (Urteil 1F_34/2011 vom 17. Januar 2012 E. 2.3.2, in: RtiD 2012 II Nr. 36 S. 179 f.). Der Beschwerdeführer bringt mit der vorgelegten Transaktionsbestätigung und dem Kontoauszug den hinreichenden Beweis, dass die Belastung des Vorschussbetrages am letzten Tag der Frist - am 25. Februar 2013 - und damit rechtzeitig im Sinne von <ref-law> erfolgt ist.
4.
Der Verfassungsbeschwerde ist Erfolg beschieden. Der Beschluss des Obergerichts vom 13. März 2013 ist aufzuheben. Die Sache ist im Sinne der Erwägung, dass der Kostenvorschuss des Beschwerdeführers rechtzeitig geleistet wurde, zur Weiterbehandlung zurückzuweisen.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben. Eine Parteientschädigung an den anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdeführer ist nicht zu leisten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfassungsbeschwerde wird gutgeheissen und der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 13. März 2013 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägung, dass der Kostenvorschuss des Beschwerdeführers rechtzeitig geleistet wurde, zur Weiterbehandlung zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Levante