Faits:
A. D._, née en 1989, a travaillé depuis le 1er septembre 2007 en qualité d'apprentie assistante socio-éducative dans le secteur polyhandicap au service de la Fondation X._. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse Vaudoise (ci-après: la caisse).
Le 21 janvier 2009, l'employeur a informé la caisse que l'assurée avait contracté une tendinite à l'épaule gauche en portant une résidante victime d'une crise d'épilepsie le 13 janvier précédent. Dans un rapport du 21 janvier 2009, le docteur R._, spécialiste en médecine générale et médecin traitant de l'assurée, a posé le diagnostic de tendinopathie de la coiffe des rotateurs à gauche, avec tendomyose diffuse des rotateurs et élévateurs de l'épaule. Il a attesté une incapacité de travail entière depuis le 21 janvier 2009.
Interrogée par la caisse au sujet des circonstances exactes de l'événement du 13 janvier 2009, l'assurée a notamment relaté les faits suivants:
"Je procurais des soins à une résidante, lorsqu'elle s'est levée, elle a eu une crise d'épilepsie et je n'ai pas eu d'autre choix que de la porter jusqu'à son lit, ce qui m'a fait mal au bras gauche, à l'épaule".
L'intéressée a ajouté qu'elle avait ressenti pour la première fois des douleurs le jour même, mais qu'elle avait attendu une semaine avant de consulter un médecin. Par ailleurs, elle a répondu affirmativement à la question de savoir s'il s'agissait pour elle d'une activité habituelle.
L'employeur a informé la caisse que l'assurée avait repris son activité le 16 février 2009.
Par décision du 18 février 2009, la caisse a refusé la prise en charge du cas, motif pris que l'événement du 13 janvier précédent n'était pas un accident et que ses suites ne constituaient pas, par ailleurs, une lésion corporelle assimilée à un accident.
L'assurée a formé opposition contre cette décision en indiquant notamment que, si le transfert de patients à l'aide de mouvements bien coordonnés et spécifiques est une activité habituelle pour elle, cela n'est pas le cas en ce qui concerne l'événement du 13 janvier 2009, au cours duquel elle a dû porter seule dans son lit une patiente de 25 ans victime d'une crise d'épilepsie.
Par décision du 21 août 2009, la caisse a rejeté cette opposition. Elle a nié l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'événement du 13 janvier 2009 et la tendinopathie de la coiffe des rotateurs, étant donné que la douleur n'était pas apparue immédiatement et qu'une telle affection survient généralement à la suite d'une surcharge chronique de l'épaule.
B. D._ a recouru contre cette décision sur opposition devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud. A l'appui de son recours, elle a produit un rapport du docteur P._, spécialiste en chirurgie orthopédique (du 17 juillet 2009), lequel avait pratiqué, le 18 juin 2009, une intervention consistant en une arthroscopie de l'épaule gauche, une bursectomie sous-acromiale et une acromioplastie.
De son côté, la caisse a produit un rapport du 30 octobre 2009 établi par son médecin-conseil, le docteur O._, spécialiste en chirurgie orthopédique.
Après avoir ordonné une audience d'instruction le 24 mars 2010, la juridiction cantonale a admis le recours et réformé la décision sur opposition attaquée en ce sens que la caisse est tenue de prendre en charge les suites de l'événement du 13 janvier 2009 (jugement du 27 octobre 2010).
C. La caisse interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande la réforme en ce sens que l'intimée n'a pas droit à des prestations de l'assurance-accidents pour les suites de l'événement du 13 janvier 2009, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimée conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens.
De son côté, la juridiction cantonale déclare se référer purement et simplement à son jugement. Quant à l'Office fédéral de la santé publique, il a renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée a droit à des prestations de l'assurance-accidents (prestations pour soins et indemnités journalières) pour les suites de l'événement du 13 janvier 2009. Singulièrement, il s'agit d'examiner si l'événement en cause constitue un accident et, le cas échéant, s'il existe un lien de causalité entre celui-ci et l'atteinte à l'épaule gauche.
Lorsque le jugement entrepris porte sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets. En revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (arrêts 8C_39/2010 du 7 septembre 2010 consid. 2; 8C_584/2009 du 2 juillet 2010 consid. 4).
3. Le jugement attaqué expose de manière exacte et complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels concernant la notion d'accident (<ref-law>) et l'exigence d'un lien de causalité naturelle et adéquate entre l'atteinte à la santé et l'accident. Il suffit donc d'y renvoyer.
4. 4.1 La juridiction cantonale a reconnu le caractère accidentel de l'événement du 13 janvier 2009. Selon les premiers juges, le facteur extérieur extraordinaire réside dans le fait que l'assurée a dû supporter le poids de la patiente de manière subite et inattendue étant donné que celle-ci n'avait plus été victime d'une crise d'épilepsie depuis 10 ans. Pour éviter le pire, l'intéressée avait effectué un geste à haute énergie entraînant un mouvement réflexe non coordonné consistant à rattraper la résidante. Par ailleurs, la juridiction cantonale a réfuté le point de vue de la caisse, selon lequel l'événement devait être scindé en deux actions distinctes, à savoir le geste de retenir la résidante et celui de la porter dans son lit. En outre, étant donné le caractère subit et inattendu de la crise d'épilepsie, le tribunal cantonal est d'avis que le caractère extraordinaire de l'atteinte extérieure ne pouvait pas être nié du seul fait que l'assurée offrait déjà un bras de soutien à la résidante.
La recourante conteste le caractère extraordinaire de l'événement en cause. Selon elle, celui-ci comprend deux séquences: la première consistant à retenir la patiente évanouie avec le bras de soutien offert à cet effet et la seconde consistant à la porter dans son lit. Se référant à un arrêt du Tribunal fédéral des assurances U 220/05 du 22 mai 2006 consid. 4.1. et 4.2, la caisse est d'avis qu'il est justifié de distinguer les différents mouvements effectués par un assuré, afin d'examiner si le mouvement à l'occasion duquel est survenue la douleur avait ou non un caractère extraordinaire. Or, se fondant sur les indications de l'assurée dans la déclaration d'accident et lors de l'audience d'instruction du 24 mars 2010, la recourante soutient que la douleur est survenue au cours de la deuxième phase, c'est-à-dire lors du transport de la patiente dans son lit. Selon la recourante, il faut donc appliquer, en l'occurrence, les règles jurisprudentielles concernant le port de charges et examiner de cas en cas si l'effort doit être considéré comme extraordinaire, compte tenu de la constitution physique et des habitudes professionnelles ou autres de l'assuré. Dans le cas particulier, la caisse est d'avis que le port d'une patiente pesant 35,2 kg par une assistante socio-éducative formée au port de patients n'excède pas le cadre habituel de son activité professionnelle.
La recourante conteste le caractère extraordinaire de l'événement en cause. Selon elle, celui-ci comprend deux séquences: la première consistant à retenir la patiente évanouie avec le bras de soutien offert à cet effet et la seconde consistant à la porter dans son lit. Se référant à un arrêt du Tribunal fédéral des assurances U 220/05 du 22 mai 2006 consid. 4.1. et 4.2, la caisse est d'avis qu'il est justifié de distinguer les différents mouvements effectués par un assuré, afin d'examiner si le mouvement à l'occasion duquel est survenue la douleur avait ou non un caractère extraordinaire. Or, se fondant sur les indications de l'assurée dans la déclaration d'accident et lors de l'audience d'instruction du 24 mars 2010, la recourante soutient que la douleur est survenue au cours de la deuxième phase, c'est-à-dire lors du transport de la patiente dans son lit. Selon la recourante, il faut donc appliquer, en l'occurrence, les règles jurisprudentielles concernant le port de charges et examiner de cas en cas si l'effort doit être considéré comme extraordinaire, compte tenu de la constitution physique et des habitudes professionnelles ou autres de l'assuré. Dans le cas particulier, la caisse est d'avis que le port d'une patiente pesant 35,2 kg par une assistante socio-éducative formée au port de patients n'excède pas le cadre habituel de son activité professionnelle.
4.2 4.2.1 Dans l'arrêt U 220/05 du 22 mai 2006, invoqué par la recourante, le Tribunal fédéral des assurances avait à se prononcer sur le caractère accidentel, plus particulièrement sur l'existence d'un facteur extérieur extraordinaire, dans le cas d'une assistante à domicile qui avait ressenti une douleur aiguë à l'épaule gauche au moment où elle avait tenté de retenir une patiente qui s'affaissait. Les investigations médicales avaient révélé un conflit sous-acromial avec bursite sous-acromio-deltoïdienne et tendinite de la face bursale du tendon du sus-épineux sans signe de déchirure. Le Tribunal fédéral des assurances a constaté que l'assurée avait tenté de retenir la patiente en l'entourant de ses bras mais que, saisie d'une douleur aiguë à l'épaule gauche au moment d'effectuer ce geste, elle n'avait pas été en mesure de retenir complètement la patiente, laquelle était tombée au sol; l'assurée n'avait pas retenu son poids, mais c'était uniquement le mouvement de ses bras qui avait déclenché la douleur. Dans ces circonstances, le Tribunal fédéral des assurances a jugé que, si la condition du facteur dommageable extérieur était réalisée au travers du mouvement brusque effectué par l'assurée, celui-ci ne revêtait pas un caractère extraordinaire, du moment que ce mouvement - qui avait consisté à tendre rapidement les bras vers l'avant - faisait partie des gestes de la vie courante qui correspondent à une utilisation certes intense, mais normale de l'organisme, guère susceptibles de générer un risque de lésion accru.
Il ressort de cet arrêt qu'en réalité, le Tribunal fédéral des assurances n'a pas disséqué le geste effectué par l'assurée en divers mouvements mais qu'il a simplement retenu le seul mouvement qui ait été effectué par elle et qui a consisté à tendre rapidement les bras vers l'avant, l'intéressée n'étant pas parvenue à effectuer aucun autre mouvement pour retenir la patiente. En revanche, dans le cas qui nous intéresse, l'assurée est parvenue à retenir la patiente et à la porter dans son lit et le fait que, d'après les déclarations de l'intéressée, elle a ressenti la douleur au terme de l'action ne permet pas d'inférer que c'est le port de la patiente qui est l'unique mouvement déclenchant. Il faut bien plutôt considérer, à l'instar de la juridiction cantonale, que la disposition des lieux a obligé l'intimée à retenir la patiente et à la porter sur son lit dans un même mouvement.
4.2.2 Par ailleurs, la recourante conteste que ce mouvement ait eu un caractère réflexe et non coordonné. Alléguant que l'assurée tendait déjà son bras gauche afin d'offrir un appui à une patiente présentant un risque d'épilepsie connu, elle soutient que l'on se trouve en présence d'un geste de mobilisation d'une résidante nécessitant un soutien, soit une activité exercée et pratiquée habituellement par l'intéressée.
Ce point de vue est mal fondé. L'existence d'un facteur extérieur extraordinaire doit être admise lorsqu'un phénomène extérieur modifie de manière anormale le déroulement naturel d'un mouvement, ce qui a pour effet d'entraîner un mouvement non coordonné (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 118). Or, c'est précisément ce qui s'est passé en l'espèce: la patiente n'ayant plus subi de crises d'épilepsie depuis 10 ans, l'assurée lui a offert le bras gauche dans la seule intention de l'aider dans son déplacement et non pas de la porter. Son mouvement a toutefois été modifié par la perte de connaissance et la chute subite de la patiente, ce qui a eu pour effet d'entraîner un mouvement non coordonné. Un tel mouvement ne fait pas partie des gestes de la vie courante, correspondant à une utilisation normale de l'organisme, et il était ainsi de nature à générer un risque accru de lésion. Il s'ensuit que l'événement du 13 janvier 2009 constitue un accident au sens de l'<ref-law> en raison du caractère extraordinaire du facteur extérieur dommageable.
4.2.3 Par ailleurs, il n'y a pas de motif de s'écarter du point de vue des premiers juges, selon lequel il existe un lien de causalité naturelle et adéquate entre cet accident et la tendinopathie touchant l'épaule gauche. Au demeurant, la recourante ne conteste pas le jugement cantonal sur ce point.
4.3 Vu ce qui précède, le jugement entrepris n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
5. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). En outre, l'intimée, qui est représentée par l'avocat d'une assurance de protection juridique, a droit à une indemnité de dépens à la charge de la recourante (<ref-law>; <ref-ruling>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimée la somme de 2'000 fr. à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 2 novembre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd