Sachverhalt:
A.
A.a. Im Juni 2012 reichte Y._ (geb. 1972, Staatsangehöriger von Portugal) gegen seine Ehefrau X._ (geb. 1980, Staatsangehörige von Brasilien) und gegen das während der Ehe geborene Kind Z._ (geb. 2005) eine Klage auf Anfechtung der Vaterschaft ein. Die Eheleute leben seit 2012 getrennt; gemäss Trennungsvereinbarung ist das Kind in der Obhut der Mutter.
A.b. Das zuständige Bezirksgericht Dietikon wies mit Verfügung vom 16. Juli 2012 ein im Anfechtungsverfahren vom Ehemann eingereichtes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ab.
B.
B.a. Hiergegen erhob der Ehemann am 27. Juli 2012 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Er beantragte sowohl für das erstinstanzliche als auch für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Prozessführung.
Das Obergericht forderte die Ehefrau zur Stellungnahme auf, worauf diese mit Eingabe vom 27. August 2012 auf Abweisung der Beschwerde schloss und ihrerseits ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das obergerichtliche Verfahren stellte. Beide Seiten reichten weitere Schriften ein.
B.b. Mit Urteil vom 11. April 2013 hiess das Obergericht die Beschwerde gut und gewährte dem Ehemann die unentgeltliche Rechtspflege für das erstinstanzliche Verfahren. Die Gerichts- und Parteikosten für das kantonale Beschwerdeverfahren auferlegte das Obergericht der Ehefrau (Ziffern 4 bis 6 des Urteilsdispositivs); ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies es wegen Aussichtslosigkeit ab (Ziffer 3).
C.
Gegen dieses Urteil ist die Ehefrau an das Bundesgericht gelangt. Sie beantragt, die Ziffern 3 bis 6 des angefochtenen Entscheides seien unter Kosten- und Entschädigungsfolgen aufzuheben und die Vorinstanz sei anzuweisen, darüber neu zu befinden. Im Übrigen sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) betreffend unentgeltliche Rechtspflege. Der die unentgeltliche Rechtspflege abweisende Entscheid ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 403). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). In dieser geht es um die Anfechtung der Vaterschaft, mithin eine Zivilsache, die keiner Streitwertgrenze unterliegt (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 BGG). Die Beschwerdeführerin ist im angefochtenen Entscheid als Partei aufgeführt und ihr wurden Kosten auferlegt; sie ist damit gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die Beschwerdefrist (<ref-law>) ist eingehalten, womit die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist. Nicht vom bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren betroffen ist das Kind, welches zwar ebenfalls Partei des Hauptverfahrens, jedoch nicht durch den angefochtenen Entscheid beschwert ist.
1.2. Das Bundesgericht überprüft frei, ob der Anspruch auf Gewährung des Armenrechts missachtet worden ist, während die Prüfungsbefugnis bezüglich Sachverhaltsfeststellungen auf Willkür beschränkt ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 14). Diese zu <ref-law> entwickelte Rechtsprechung gilt auch unter <ref-law> (zuletzt Urteil 5A_952/2012 vom 13. Februar 2013 E. 3.2). Im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen (<ref-law>) kann das Bundesgericht die Beschwerde auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (zu den Voraussetzungen der Motivsubstitution: <ref-ruling> E. 4 S. 252 mit Hinweis).
2.
Beim obergerichtlichen Verfahren, welches zum streitigen Urteil führte, handelt es sich (vgl. vorstehend B.a) um ein vom Ehemann eingeleitetes Beschwerdeverfahren (Art. 121 i.V.m. <ref-law>), nachdem der erstinstanzliche Richter dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Anfechtungsverfahren abgewiesen hatte. Verfahrensgegenstand war damit die unentgeltliche Rechtspflege des Ehemanns. Die Vorinstanz hiess die Beschwerde des Ehemanns gut und gewährte ihm die unentgeltliche Rechtspflege für das Hauptverfahren.
Das von der Beschwerdeführerin für dieses kantonale Beschwerdeverfahren eingereichte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies die Vorinstanz hingegen wegen Aussichtslosigkeit ab. Die Frage, ob die Ehefrau bedürftig sei, prüfte die Vorinstanz nicht. Gleichzeitig auferlegte sie der Ehefrau sämtliche Gerichts- und Parteikosten für das den Ehemann betreffende Beschwerdeverfahren.
3.
3.1. Das obergerichtliche Verfahren unterstand der Schweizerischen Zivilprozessordnung (<ref-law> [SR 272]), welche das Verfahren betreffend unentgeltliche Rechtspflege in den Art. 117 ff. regelt.
3.2. Beim Verfahren um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege handelt es sich um ein Verfahren zwischen dem Gesuchsteller und dem Staat. Die Gegenpartei des Hauptprozesses ist im Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege nicht förmlich Partei (Botschaft zur ZPO vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7221 ff., S. 7303). Zwar sieht <ref-law> vor, dass die Gegenpartei angehört werden kann; denn oft vermag sie zur Abklärung der Vermögens- und Einkommensverhältnisse sowie vor allem der Erfolgsaussichten beizutragen. Dies ist aber gerade nicht Ausdruck einer Parteistellung, fehlt doch ein schutzwürdiges Interesse, sich in das Verhältnis zwischen dem Gesuchsteller und dem Staat einzumischen, das durch die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gestaltet wird. Demgemäss räumt die ZPO der Gegenpartei der um unentgeltliche Rechtspflege ersuchenden Partei grundsätzlich auch kein Rechtsmittel gegen den entsprechenden Entscheid ein (<ref-law>; vgl. Botschaft zur ZPO, a.a.O., S. 7303). Dies entspricht im Übrigen auch der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (siehe zuletzt Urteil 5A_29/2013 vom 4. April 2013 E. 1.1). Anders ist dies nur, wenn die unentgeltliche Rechtspflege eine Befreiung von der Sicherheitsleistung für die Parteientschädigung umfassen soll (Art. 119Abs. 3 Satz 3 ZPO; vgl. Botschaft, a.a.O., S. 7303), was, so weit ersichtlich, indessen nicht Thema des angefochtenen Entscheides war.
Das bedeutet, dass der Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren keine Parteistellung zukam (in diesem Sinne auch das zur Publikation vorgesehene Urteil 4A_237/2013 vom 8. Juli 2013 E. 4.2). Folglich können ihr hierfür auch keine Kosten - weder Gerichtskosten noch Parteientschädigung - auferlegt werden.
3.3. Somit ist festzustellen, dass die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie der Beschwerdeführerin Kosten auferlegt hat für ein Verfahren, in welchem diese nicht förmlich Partei war.
Insofern ist die Beschwerde gutzuheissen und die Ziffern 5 und 6 des angefochtenen Urteils sind aufzuheben. Dasselbe gilt für Ziffer 4 des Urteils, worin die Höhe der Entscheidgebühr festgesetzt wurde.
4.
4.1. Bei diesem Ergebnis wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos, soweit es die Befreiung von Gerichtskosten betrifft. Das Gesuch bleibt hingegen in Bezug auf eine allfällige Entschädigung ihrer Auslagen im vorinstanzlichen Verfahren, namentlich der Anwaltskosten, relevant.
4.2. Gemäss <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn (a) sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und (b) ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Die unentgeltliche Rechtspflege umfasst dabei sowohl eine Befreiung von den Gerichtskosten als auch die Entschädigung eines allfälligen unentgeltlichen Rechtsbeistandes (Art. 118 Abs. 1 lit. b und c ZPO).
Mit dem Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> (analog <ref-law>; vgl. Urteil 5A_897/2012 vom 13. Februar 2013 E. 2.1 mit Hinweis) soll eine nicht über genügend finanzielle Mittel verfügende Partei in den Stand versetzt werden, zur Durchsetzung ihrer Rechte einen Prozess zu führen, und es soll ihr, gleich wie einer vermögenden Partei, der Zugang zum Gericht ungeachtet ihrer Bedürftigkeit möglich sein. Die Aufgabe des Staates beschränkt sich darauf, den Einzelnen dann zu unterstützen, wenn er ohne diese Unterstützung eines Rechts verlustig ginge oder sich gegen einen als unzulässig erachteten Eingriff nicht wehren könnte (zur Publikation vorgesehenes Urteil 2C_1132/2012 vom 13. Mai 2013 E. 4.2). Die gesuchstellende Person kann sodann nur ein Recht auf unentgeltliche Rechtspflege geltend machen, wenn und soweit ihr überhaupt entschädigungspflichtiger Aufwand anfällt.
4.3. Wie dargelegt wurde, war die Beschwerdeführerin nicht Partei des Gesuchsverfahrens um unentgeltliche Rechtspflege betreffend den Ehemann, sondern sie wurde nur im Rahmen der fakultativen Anhörung gemäss <ref-law> zu einer Stellungnahme eingeladen. Wenn sie sich nicht geäussert hätte, wäre sie keiner Rechte verlustig gegangen. Hat sie von der (freiwilligen) Äusserungsmöglichkeit Gebrauch gemacht, steht ihr deshalb für dieses Verfahren keine Parteientschädigung zu (vgl. zur Begründung des fehlenden Entschädigungsanspruchs auch vorzitiertes Urteil 4A_237/2013 vom 8. Juli 2013 E. 4.2 mit Hinweisen). Entsprechend kann ihr hierfür keine unentgeltliche Rechtspflege gewährt werden. Damit stellt sich auch die Frage der Aussichtslosigkeit nicht.
Vor diesem Hintergrund ist die Beschwerde im Übrigen abzuweisen.
5.
Da die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht überwiegend obsiegt, sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Ihr steht für dieses Verfahren eine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Diese geht zu Lasten des Kantons Zürich. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird somit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird insofern gutgeheissen, als die Ziffern 4 bis 6 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 11. April 2013 aufgehoben werden.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, deren Ehemann und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. August 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann