Sachverhalt:
A.
Am 30. September 2011 beschloss die Sozialbehörde der Stadt Kloten die Weiterführung der laufenden wirtschaftlichen Hilfe des 1953 geborenen B._ mit monatlich Fr. 1'817.30 (Fr. 735.- für den Grundbedarf für den Lebensunterhalt, Fr. 700.- anteilsmässiger Mietzins, Fr. 382.30 für die obligatorische Krankenversicherung) ab 1. Oktober 2011 bis auf Weiteres, unter Anrechnung sämtlicher Einnahmen; weitere Gesundheitskosten würden als zusätzliche Unterstützung gewährt. Die Behörde hielt ferner fest, dass seit 1. Mai 2011 im Rahmen der laufenden Unterstützung ein Mietzins von Fr. 700.- übernommen werde. Im dagegen erhobenen Rekurs forderte B._ im Wesentlichen, der anteilsmässige Mietzins sei seit der ersten Antragstellung am 25. September 1999 auf der Basis der tatsächlichen Mietkosten und/oder gemäss den vertraglichen Vereinbarungen, wonach er Fr. 1'200.- für den Mietzins bezahle, zu veranschlagen. Sodann seien ihm für den Grundbedarf - rückwirkend für die gesamte Dauer seiner Fürsorgeabhängigkeit - Fr. 960.- auszurichten. Mit Beschluss vom 2. Februar 2012 wies der angerufene Bezirksrat Bülach die Rechtsvorkehr im Sinne der Erwägungen ab.
B.
Die hiegegen eingereichte Beschwerde, in deren Rahmen B._ auch um die Durchführung einer mündlichen und öffentlichen Verhandlung ersuchte, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 6. Dezember 2012 ab, soweit es darauf eintrat. Eine öffentliche Verhandlung fand nicht statt.
C.
B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt u.a., in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Angelegenheit an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit dieses eine mündliche und öffentliche Parteiverhandlung und Beratung durchführe. Gleichzeitig stellt er ein Ausstandsbegehren und ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die Vorinstanz und die Sozialbehörde schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Soweit sich der angefochtene Entscheid auf Quellen des kantonalen Rechts stützt, welche nicht in Art. 95 lit. c-e BGG genannt werden, beschränkt sich die Überprüfung durch das Bundesgericht demgegenüber thematisch auf die erhobenen und begründeten Rügen (<ref-law>) und inhaltlich auf die Frage, ob die Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Im Vordergrund steht dabei eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere des Willkürverbots nach <ref-law>. Was die Feststellung des Sachverhalts anbelangt, kann gemäss <ref-law> nur gerügt werden, diese sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2 S. 145 mit Hinweis).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Erlass an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53 mit Hinweisen).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer beantragt den Ausstand "aller Gerichtspersonen der I. und II. sozialrechtlichen Abteilung" wegen des Anscheins der Befangenheit.
2.2. Das Bundesgericht hat bereits mehrfach festgestellt - zuletzt mit Urteil vom 3. Januar 2013 (Verfahren 8C_752/2012 mit weiterem Hinweis) -, dass auf das in gleichlautender Form gestellte Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers infolge Unzulässigkeit nicht einzutreten ist. Nicht anders ist bezüglich des vorliegenden Ersuchens zu verfahren. An diesem Ergebnis würde auch die seitens des Beschwerdeführers angekündigte Einleitung einer Strafanzeige und/oder aufsichtsrechtlicher Schritte gegen die Mitglieder der I. sozialrechtlichen Abteilung nichts ändern, vermöchte doch auch eine solche Handlungsweise den Ausstand der betroffenen Gerichtspersonen nicht zu rechtfertigen. Es bestünde andernfalls die Gefahr des Rechtsmissbrauchs und der Möglichkeit, dass die am Recht stehende Person mit einem derartigen Vorgehen in verfassungswidriger Weise und aus sachfremden Gründen ihre Richterinnen und Richter gewissermassen auswählen könnte (u.a. Urteil [des Bundesgerichts] 1P.514/2002 vom 13. Februar 2003 E. 2.5 mit diversen Hinweisen).
3.
In formellrechtlicher Hinsicht macht der Beschwerdeführer des Weitern geltend, das kantonale Gericht habe Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt, indem es keine öffentliche Verhandlung durchgeführt habe.
3.1. Nach Art. 6 Ziff. 1 Satz 1 EMRK hat jede Person ein Recht darauf, dass über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen oder über eine gegen sie erhobene strafrechtliche Anklage von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht in einem fairen Verfahren, öffentlich und innerhalb angemessener Frist verhandelt wird. Vorliegend sind zivilrechtliche Ansprüche im Sinne dieser Norm streitig (<ref-ruling> E. 2a S. 50 f.; Urteil [des Bundesgerichts] 8C_124/2009 vom 3. April 2009 E. 3). Gemäss dem erwähnten Leiturteil hat das kantonale Gericht, dem es primär obliegt, die Öffentlichkeit der Verhandlung zu gewährleisten, bei Vorliegen eines klaren und unmissverständlichen Parteiantrags grundsätzlich eine öffentliche Verhandlung durchzuführen (<ref-ruling> E. 3 S. 54 f.). Ein während des ordentlichen Schriftenwechsels gestellter Antrag gilt als rechtzeitig (<ref-ruling>). Dem aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK abgeleiteten Anspruch auf deren Abhaltung ist Genüge getan, wenn die rechtsuchende Person mindestens vor einer Instanz in einer öffentlichen Verhandlung gehört wird (Urteil [des Bundesgerichts] 8C_390/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.1 mit Hinweisen).
3.2. Der Grundsatz der Öffentlichkeit bezieht sich sowohl auf die Partei- als auch auf die Publikums- und Presseöffentlichkeit. Er umfasst u.a. den Anspruch des Einzelnen, seine Argumente dem Gericht mündlich in einer öffentlichen Sitzung vortragen zu können. Dagegen gilt das Öffentlichkeitsprinzip nicht für die Beratung des Gerichts; diese kann unter Ausschluss der Öffentlichkeit geführt werden (<ref-ruling> E. 2c S. 51 f.; Urteil [des Bundesgerichts] 8C_390/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.3 mit Hinweisen). Der Öffentlichkeitsgrundsatz beinhaltet keinen Anspruch darauf, dass bestimmte Beweismittel öffentlich und in Anwesenheit der Parteien abgenommen werden. Die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung setzt daher im Sozialversicherungsprozess einen - im erstinstanzlichen Verfahren zu stellenden - ausdrücklichen oder zumindest konkludenten Parteiantrag voraus, aus dem klar und unmissverständlich hervorgehen muss, dass eine konventionskonforme Verhandlung mit Publikums- und Presseanwesenheit durchgeführt werden soll. Wird lediglich eine persönliche Anhörung oder Befragung, ein Parteiverhör, eine Zeugeneinvernahme oder die Durchführung eines Augenscheins verlangt, darf das Gericht daraus schliessen, dass es der antragstellenden Person um die Abnahme bestimmter Beweismittel und nicht um die Durchführung einer Verhandlung mit Publikums- und Presseanwesenheit geht (<ref-ruling> E. 3a S. 55; Urteil [des Bundesgerichts] 8C_648/2012 vom 29. November 2012 E. 3.2 mit Hinweisen).
In einem neueren Entscheid hat das Bundesgericht festgehalten, ein Antrag auf "persönliche Anhörung" schliesse den Antrag auf eine mündliche (öffentliche) Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK mit ein, sofern es der gesuchstellenden Person nicht um eine Befragung im Sinne einer Beweisabnahme, sondern um die Darlegung ihres persönlichen Standpunkts zum Beweisergebnis vor einem unabhängigen Gericht geht (Urteil 2C_100/2011 vom 10. Juni 2011 E. 2). In einem weiteren Urteil hat das Bundesgericht festgestellt, ein Antrag auf eine mündliche Verhandlung, welche nach den anwendbaren (kantonalen) Normen öffentlich sein müsse, sei zumindest sinngemäss als Antrag auf eine öffentliche Verhandlung auszulegen (Urteil 2C_370/2010 vom 26. Oktober 2010 E. 2.7, in: Pra 2011 Nr. 25 S. 171; zum Ganzen: Urteile [des Bundesgerichts] 8C_648/2012 vom 29. November 2012 E. 3.2 und 8C_390/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.3 mit Hinweisen).
3.3.
3.3.1. Der Antrag auf Durchführung einer mündlichen und öffentlichen Gerichtsverhandlung wurde in der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift und damit rechtzeitig gestellt (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 56; Urteil [des Bundesgerichts] 8C_842/2009 vom 26. Januar 2010 E. 4.1). Er liegt zudem in klar und unmissverständlich formulierter Weise vor. Insbesondere brachte der Beschwerdeführer darin zum Ausdruck, dass ihm an der Darlegung seines persönlichen Standpunktes vor einem unabhängigen Gericht gelegen war. Sein Begehren geht mithin übereinen blossen Beweisantrag hinaus und es liegt kein Verzicht auf eine konventionskonforme öffentliche Verhandlung vor.
3.3.2. In diesem Lichte sind die Voraussetzungen für einen Verzicht auf die vom Beschwerdeführer vorinstanzlich ausdrücklich beantragte Durchführung einer öffentlichen Verhandlung nicht gegeben. Weder ist der Antrag schikanös, noch läuft er dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwider. Sodann kann im vorliegenden Fall auch nicht von hoher Technizität gesprochen werden, welche eine Ablehnung der beantragten Verhandlung zu rechtfertigen vermöchte. Zu beurteilen ist, ob und in welcher Form die Voraussetzungen für einen Anspruch des Beschwerdeführers auf Sozialhilfe erfüllt sind. Damit liegt ein Streit vor, der keine Ausnahme von der Pflicht, eine öffentliche Verhandlung durchzuführen, begründet.
Indem die Vorinstanz unter diesen Umständen von der beantragten öffentlichen Verhandlung abgesehen hat, wurde der in Art. 6 Ziff. 1 EMRK gewährleisteten Verfahrensgarantie nicht Rechnung getragen. Es ist daher unumgänglich, die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es den Verfahrensmangel behebt und die vom Beschwerdeführer verlangte öffentliche Verhandlung durchführt. Danach wird es über die Beschwerde materiell neu befinden (<ref-ruling> E. 4 S. 284; Urteil [des Bundesgerichts] 8C_390/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 3.2).
4.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die unterliegende Beschwerdegegnerin hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung gegenstandslos. Trotz des auf Grund der angeordneten Rückweisung (teilweisen) Obsiegens steht ihm, da nicht anwaltlich vertreten, keine Parteientschädigung nach <ref-law> zu.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 6. Dezember 2012 aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über die Beschwerde gegen den Beschluss des Bezirksrates Bülach vom 2. Februar 2012 neu entscheide.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Juli 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Fleischanderl