Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1.
Mit Schreiben vom 26. Oktober 2009, 20. April 2010 und 17. Dezember 2010 erhob Y._ gegen X._ Privatstrafklage wegen Verleumdung, eventualiter übler Nachrede. Das Obergericht des Kantons Zürich verurteilte X._ zweitinstanzlich wegen mehrfacher übler Nachrede zu einer bedingten Geldstrafe von 150 Tagessätzen zu Fr. 350.--, als Zusatzstrafe zu einem Strafbefehl, und zu einer Busse von Fr. 6'000.--. Vom Vorwurf der mehrfachen Verleumdung sprach es ihn frei. Es verpflichtete ihn, Y._ eine Genugtuung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen. Dessen Schadenersatzbegehren verwies es auf den Zivilweg.
Y._ führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Sache im Sinne der Beschwerde zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
X._ führt seinerseits Beschwerde in Strafsachen (Verfahren 6B_594/2013).
2.
2.1. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, sofern er ein aktuelles rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Beim Privatkläger wird in Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG zusätzlich verlangt, dass der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann und er die Zivilansprüche im Strafverfahren geltend macht.
Der Beschwerdeführer legt hinsichtlich seiner Beschwerdelegitimation dar, er habe die Bestrafung des Beschwerdegegners 2 wegen mehrfacher Verleumdung beantragt, sich als Privatkläger konstituiert und Zivilansprüche gestellt. Die Vorinstanz erkläre den Beschwerdegegner 2 wegen mehrfacher übler Nachrede schuldig, spreche ihn jedoch vom Vorwurf der mehrfachen Verleumdung frei. Damit habe er ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des für ihn nachteiligen Urteils.
Der Beschwerdeführer beantragte im kantonalen Verfahren - neben Prozessentschädigungen - Schadenersatz von Fr. 3'389.-- für Erwerbsausfall und Genugtuung von Fr. 2'500.--. Weil er seinen Erwerbsausfall nicht belegte, wurde das Schadenersatzbegehren auf den Zivilweg verwiesen. Die Genugtuung wurde ihm im geforderten Betrag zugesprochen (Urteil S. 3 f., 31 f., 34 f.; erstinstanzliches Urteil S. 2, 43 f., 46 f.). Es ist weder dargelegt noch ersichtlich, dass bzw. inwiefern eine andere rechtliche Würdigung der Taten seine Zivilansprüche beeinflussen könnte (vgl. <ref-law>). Folglich ist der Beschwerdeführer durch das angefochtene Urteil nicht beschwert.
2.2. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, sein Strafantragsrecht als solches sei beeinträchtigt worden (siehe Urteile 6B_413/2013 vom 3. Juni 2013 E. 3 und 1B_70/2011 vom 11. Mai 2011 E. 2.2.3; je mit Hinweis). Somit kann er auch aus Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 6 BGG nichts für seine Beschwerdebefugnis ableiten.
2.3. Ebenso wenig ist er nach der "Star-Praxis" zur Beschwerde legitimiert. Er rügt keine Verletzung von Verfahrensrechten, sondern kritisiert den Entscheid in der Sache (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 44; <ref-ruling> E. 3.2 S. 436 f.; je mit Hinweisen).
3.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens (<ref-law>).

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Oktober 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Schneider
Die Gerichtsschreiberin: Andres