Sachverhalt:
A.
Der 1962 geborene R._ sel. war bei der Sammelstiftung Vita (nachfolgend: Sammelstiftung) für die berufliche Vorsorge versichert, als er 2010 verstarb. Er hinterliess u.a. seine Mutter S._ und seine Lebensgefährtin K._. Diese hatte er mit Mitteilung vom 8. Februar 2010 gegenüber der Sammelstiftung als begünstigte Person bezeichnet. Sowohl die Mutter als auch die Lebensgefährtin verlangten von der Sammelstiftung das Todesfallkapital; eine Einigung kam nicht zustande.
B.
Am 10. August 2011 erhob S._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Sammelstiftung mit dem Rechtsbegehren, diese sei zu verpflichten, ihr Fr. 171'509.10 nebst Zins zu 5 % seit 16. Juli 2010 zu bezahlen. Die Sammelstiftung und die zum Verfahren beigeladene K._ beantragten die Abweisung der Klage. Das Sozialversicherungsgericht hiess die Klage mit Entscheid vom 15. Mai 2013 in Bezug auf das Todesfallkapital vollständig und in Bezug auf die Zinsen teilweise gut.
C.
K._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, es sei der Entscheid vom 15. Mai 2013 aufzuheben und die Klage der S._ abzuweisen. Ferner ersucht sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde.
S._ lässt auf Abweisung des Rechtsmittels schliessen, soweit darauf einzutreten sei. Die Sammelstiftung und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Das Vorsorgereglement der Sammelstiftung vom November 2008 (Ausgabe 1/2009; nachfolgend: Vorsorgereglement) sieht in Ziff. 4.5.7 folgende, mit Art. 20a BVG in Einklang stehende Regelung vor:
"[Abs. 1] Anspruch auf die Todesfallkapitalien haben unabhängig vom Erbrecht:
a) der überlebende Ehegatte, bei dessen Fehlen
b) die rentenberechtigten Kinder, bei deren Fehlen
c) übrige natürliche Personen, die von der verstorbenen versicherten Person in erheblichem Masse unterstützt worden sind, oder die Person, die mit dieser in den letzten fünf Jahren bis zu ihrem Tod ununterbrochen eine eheähnliche Lebensgemeinschaft geführt hat oder die für den Unterhalt eines oder mehrerer gemeinsamer Kinder aufkommen muss, bei deren Fehlen
d) die übrigen Kinder, bei deren Fehlen
e) die Eltern, bei deren Fehlen
(...).
[Abs. 2 und 3] (...)
[Abs. 4] Begünstigte Personen gemäss lit. c werden nur dann in eine Verteilung mit einbezogen, wenn die Stiftung bis spätestens zum Zeitpunkt der Auszahlung des Todesfallkapitals vom Vorhandensein einer anspruchsberechtigten Person gemäss lit. c in Kenntnis gesetzt wurde. Ist dies nicht der Fall, besteht kein Anspruch auf das Todesfallkapital.
[Abs. 5] Massgebend für eine Auszahlung an die begünstigte Person sind in jedem Fall die Verhältnisse im Zeitpunkt des Todes der versicherten Person.
[Abs. 6] (...) "
2.2. Die Auslegung des Reglements einer privatrechtlichen Vorsorgeeinrichtung als vorformulierter Inhalt des Vorsorgevertrages geschieht nach dem Vertrauensprinzip. Dabei sind jedoch die den Allgemeinen Versicherungsbedingungen innewohnenden Besonderheiten zu beachten, namentlich die sogenannten Unklarheits- und Ungewöhnlichkeitsregeln. Nach diesen Auslegungsgrundsätzen gilt es, ausgehend vom Wortlaut und unter Berücksichtigung des Zusammenhanges, in dem eine streitige Bestimmung innerhalb des Reglements als Ganzes steht, den objektiven Vertragswillen zu ermitteln, den die Parteien mutmasslich gehabt haben. Dabei hat das Gericht zu berücksichtigen, was sachgerecht ist, weil nicht angenommen werden kann, dass die Parteien eine unvernünftige Lösung gewollt haben. Sodann sind mehrdeutige Wendungen in vorformulierten Vertragsbedingungen im Zweifel zu Lasten ihres Verfassers auszulegen (<ref-ruling> E. 6 S. 181; <ref-ruling> E. 2.2 S. 29).
2.3. Das Ergebnis der Auslegung nach dem Vertrauensgrundsatz und in Anwendung der Unklarheits- und Ungewöhnlichkeitsregel kann vom Bundesgericht als Rechtsfrage frei überprüft werden (ZBGR 88/2007 S. 478, 5C.282/2005 E. 4.1; Urteil 5C.150/2006 vom 6. November 2006 E. 2.4.1).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin bringt u.a. vor, der Verstorbene habe die Vorsorgegelder in die gemeinsam erworbene Liegenschaft investieren wollen. Dass nun dessen Mutter - nach Ausschlagung der Erbschaft - diese Kapitalien kassiere, führe zu einer ungerechtfertigten Überschuldung des Nachlasses bzw. Erhöhung ihrer eigenen Hypothekarbelastung bei der finanzierenden Bank.
Im Todesfall ausgerichtete Leistungen aus beruflicher Vorsorge bilden nicht Bestandteil des Nachlasses der verstorbenen versicherten Person (vgl. Art. 19 ff. BVG; <ref-ruling> E. 2.5 S. 310; <ref-ruling> E. 8 S. 220; HANS-ULRICH STAUFFER, Berufliche Vorsorge, 2. Aufl. 2012, S. 310 Rz. 855). Dem entsprechen die Bestimmungen von Ziff. 4.5.8 Abs. 2 und 3 Vorsorgereglement, wonach die Todesfallleistungen den anspruchsberechtigten Hinterlassenen einer versicherten Person auch dann zustehen, wenn sie deren Erbschaft ausschlagen, und allfällige nicht zur Auszahlung gelangende Leistungen nach Massgabe des Stiftungszwecks verwendet werden. Im Übrigen legt die Beschwerdeführerin ohnehin nicht substanziiert dar (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), inwiefern sie Gläubigerin des Verstorbenen gewesen sein soll (vgl. dazu etwa <ref-law>). Die Anspruchsberechtigung der S._ ist demnach nur in Bezug auf die Frage, ob die frühere Lebensgefährtin des Verstorbenen ein eigenes - gegebenenfalls vorangehendes (vgl. Ziff. 4.5.7 Abs. 1 lit. c und e Vorsorgereglement) - Recht auf das Todesfallkapital hat, zu prüfen. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin zu Erbenstellung und Rechtsmissbrauch der S._ sind in diesem Zusammenhang nicht von Belang, darauf ist mangels eines schutzwürdigen Interesses (<ref-law>) nicht weiter einzugehen.
3.2. Es steht fest und ist unbestritten, dass aus dem Vorsorgeverhältnis mit R._ sel. keine Rentenansprüche entstanden. Ein Anspruch der Beschwerdeführerin fällt lediglich mit Blick auf Ziff. 4.5.7 Abs. 1 lit. c Vorsorgereglement in Betracht. Die Vorinstanz hat verbindlich (E. 1) festgestellt, dass die eheähnliche Lebensgemeinschaft zwischen dem Verstorbenen und seiner Lebensgefährtin weniger als fünf Jahre gedauert habe und dass keine gemeinsamen Kinder vorhanden seien. Streitig und zu prüfen ist die Frage, ob die Beschwerdeführerin vom verstorbenen Versicherten "in erheblichem Masse" unterstützt wurde. Diesbezüglich hat das kantonale Gericht ebenfalls verbindlich (E. 1) festgestellt, die Beschwerdeführerin sei nach eigenen Angaben ab Mitte 2008, mithin während 22 Monaten unterstützt worden; Zahlungen ab Anfang 2009 seien aktenmässig ausgewiesen.
3.3.
3.3.1. Der verstorbene Versicherte hatte der Sammelstiftung die Begünstigung seiner Lebensgefährtin mittels vorgedrucktem Formular mitgeteilt. Auf dessen Rückseite befindet sich ein "Anhang", worin u.a. Folgendes vermerkt ist:
"Zur wirksamen Begünstigung der in erheblichem Masse unterstützten Person (unter lit. c) verlangt die Rechtsprechung unter anderem folgende Voraussetzungen, die im Zeitpunkt des Todes der versicherten Person kumulativ erfüllt sein müssen:
- Die begünstigte Person muss von der versicherten Person wirtschaftlich abhängig sein. Sie muss im Zeitpunkt des Todes und in den letzten Jahren davor in erheblichem Masse unterstützt worden sein. Diese Abhängigkeit kann in der Regel angenommen werden, wenn die versicherte Person für mehr als die Hälfte des Unterhalts der unterstützten Person aufgekommen ist. - Die Unterstützung muss regelmässig erfolgt sein und mindestens eine Dauer von 5 Jahren aufgewiesen haben."
Die Vorinstanz ist der Auffassung, damit habe die Sammelstiftung konkretisiert, welche Bedeutung sie dem Begriff der "erheblichen Unterstützung" beimesse. Mit Blick auf Art. 20a BVG sei eine restriktive Auslegung dieses Begriffs zulässig. Die Klausel sei eindeutig und unmissverständlich; davon sei bei der Auslegung der fraglichen Reglementsbestimmung auszugehen. Der Anspruch der Lebensgefährtin scheitere bereits am Umstand, dass die Unterstützung keine fünf Jahre gedauert habe.
3.3.2. Die "Klausel" auf dem vorgedruckten Mitteilungsformular bildet nicht Bestandteil des Vorsorgereglements. Auf dem Formular wird denn auch die Sammelstiftung nicht namentlich erwähnt; als dessen Verfasserinnen erscheinen indessen zwei Versicherungsgesellschaften, mit denen die Sammelstiftung Kollektiv-Lebensversicherungsverträge abschloss resp. abschliessen kann (vgl. Ziff. 1.5 Vorsorgereglement). Zwar ist es grundsätzlich zulässig, den Kreis der Begünstigten enger zu fassen als in Art. 20a BVG vorgesehen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 93; <ref-ruling> E. 3.2 S. 387 f.), dies muss aber im Reglement statuiert werden. Weiter ist nicht ersichtlich, wann dem Versicherten Kenntnis des Formulars gegeben worden war, und der Anspruch der Lebensgefährtin ist auch nicht reglementarisch von vornherein an die formelle Voraussetzung einer Begünstigungserklärung zu Lebzeiten (<ref-ruling> E. 4.5 S. 130) resp. der Benutzung des konkreten Formulars gebunden (vgl. Ziff. 4.5.7 Abs. 4 Vorsorgereglement). Unter diesen Umständen kann der Hinweis auf dem Mitteilungsformular höchstens als Manifestation dafür verstanden werden, wie die Sammelstiftung selber den Begriff der "erheblichen Unterstützung" interpretieren will, wobei allerdings ausdrücklich auf "die Rechtsprechung" verwiesen wird. Der Beschwerdeführerin ist daher beizupflichten, dass das Mitteilungsformular für eine rechtskonforme Auslegung der einschlägigen Reglementsbestimmung (E. 2.2) keine verbindliche Vorgabe enthält.
3.4.
3.4.1. In zeitlicher Hinsicht bildet die Dauer nach dem Wortlaut von Ziff. 4.5.7 Vorsorgereglement lediglich dann ein Tatbestandselement, wenn ein Anspruch mit einer eheähnlichen Lebensgemeinschaft (ohne gemeinsame Kinder) begründet wird, was hier nicht zutrifft. Darüber hinaus entbehrt indessen auch eine "erhebliche Unterstützung" als solche nicht eines zeitlichen Elements. Im Zusammenhang mit der Begünstigung erheblich unterstützter Personen - sei es mit Blick auf Ziff. 4.5.7 Abs. 1 lit. c Vorsorgereglement oder auf die gleich lautende Bestimmung von Art. 20a Abs. 1 lit. a BVG - ist es nicht sachgerecht, bloss einmalige oder vorübergehend während relativ kurzer Zeit ausgerichtete Leistungen zu berücksichtigen, geht es doch in der Tat (vgl. E. 3.3.1) darum, einen finanziellen Nachteil, den eine hinterlassene, wirtschaftlich von der versicherten Person (teilweise) abhängige Person erleidet, aufzufangen, d.h. einen sogenannten Versorgerschaden auszugleichen resp. abzumildern (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 103). Für die Annahme eines solchen ist - anders als etwa im Haftpflichtrecht (vgl. HEIERLI/SCHNYDER, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht, Bd. I, 5. Aufl. 2011, N. 8 zu <ref-law>) - nach Wortlaut sowie Sinn und Zweck von Art. 20a Abs. 1 lit. a BVG vorausgesetzt, dass die versicherte Person Unterstützungsleistungen tatsächlich erbrachte; zudem ist nach dem Gesagten aufgrund der ratio legis eine "erhebliche" Unterstützung nur anzunehmen, wenn die Leistungen über einen gewissen Zeitraum hinweg flossen. Hingegen gibt es keine Veranlassung, einen Versorgerschaden im genannten Sinn von vornherein erst bei mindestens fünfjähriger Dauer der Unterstützung anzunehmen; eine derartige Rechtsprechung ist denn auch nicht ersichtlich. Zwar wäre es zulässig, eine solche Restriktion (vgl. E. 3.4.3) reglementarisch vorzusehen (E. 3.3.2; <ref-ruling> E. 4 S. 101 f.), Anhaltspunkte dafür finden sich aber im Vorsorgereglement der Sammelstiftung nicht.
3.4.2. Im konkreten Fall wurde die Beschwerdeführerin vom verstorbenen Versicherten zwar regelmässig und auf unbestimmte Zeit, indessen während höchstens 22 Monaten unterstützt (E. 3.2). Fraglich und zu prüfen ist, ob diese Dauer dem soeben dargelegten zeitlichen Aspekt der Erheblichkeit genügt.
3.4.3. Die Dauer eines Konkubinates impliziert in verschiedenen Rechtsgebieten eine wirtschaftliche Unterstützung unter den Partnern, auch wenn sie dazu - anders als Ehegatten (vgl. <ref-law>) und eingetragene Partnerinnen und Partner (vgl. Art. 13 des Bundesgesetzes vom 18. Juni 2004 über die eingetragene Partnerschaft gleichgeschlechtlicher Paare [PartG; SR 211.231]) - nicht gesetzlich verpflichtet sind: Im Scheidungsrecht etwa kann das Konkubinat eines geschiedenen Ehegatten nach drei Jahren zur Sistierung des ihm zugesprochenen Unterhaltsbeitrages führen (<ref-ruling> E. 2.3.3 S. 161 mit Hinweisen). Im Bereich der Sozialhilfe wird bereits ein Konkubinat von mindestens zwei Jahren Dauer für stabil gehalten und demzufolge das Einkommen des nicht unterstützungsbedürftigen Konkubinatspartners für die Beurteilung der Bedürftigkeit des anderen berücksichtigt (<ref-ruling> E. 2.3.3 S. 161, mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 6.3 S. 135 und SKOS-Richtlinien).
Für die hier zu beantwortende Frage ist zwar nicht die Dauer des Konkubinats, sondern jene der Unterstützung massgebend. Dort geht es um eine umfassende Lebensgemeinschaft von zwei Personen mit grundsätzlich Ausschliesslichkeitscharakter, die sowohl eine geistig-seelische, als auch eine körperliche und eine wirtschaftliche Komponente aufweist und auch etwa als Wohn-, Tisch- und Bettgemeinschaft bezeichnet wird (FamPra.ch 2008 S. 944, 5A_81/2008 E. 5.1.2); hier allein um wirtschaftliche Versorgung (E. 3.4.1). Ebenso basiert die entsprechende Rechtsfolge dort auf einer (Tatsachen-) Vermutung, während hier die Anforderungen insofern strenger sind, als die Unterstützung nachweislich erfolgt sein muss; demgegenüber ist hier eine Art "Tatbeweis" im Sinne einer über die wirtschaftlichen Aspekte hinausgehenden, umfassenden Lebensgemeinschaft nicht erforderlich. Beiden Konstellationen ist jedoch immanent, dass die Beteiligten angesichts einer gefestigten Situation grundsätzlich darauf vertrauen dürfen, dass die Verhältnisse, namentlich in finanzieller Hinsicht, auch in Zukunft Bestand haben. Es ist daher gerechtfertigt, für die Qualifikation der Unterstützung als erheblich im Sinne von Art. 20a Abs. 1 lit. a BVG im zeitlichen Moment an die genannte Rechtsprechung anzuknüpfen, wobei offenbleiben kann, ob diesbezüglich die sozialhilfe- oder scheidungsrechtliche Betrachtung vorzuziehen ist (vgl. E. 3.5 hienach). Damit ist in der Regel eine Unterstützungsdauer von mindestens zwei Jahren vorauszusetzen. Auch angesichts des Umstandes, dass überlebende Ehegatten resp. eingetragene Partner oder Partnerinnen und rentenberechtigte Kinder (Art. 19 ff. BVG) ihre Ansprüche ohnehin nicht als unterstützte Personen gemäss Art. 20a Abs. 1 lit. a BVG begründen, erscheint diese Zeitspanne nicht zu lang.
3.5. Dieser für Art. 20a Abs. 1 lit. a BVG geltende zeitliche Massstab ist auch an die gleichlautende Bestimmung von Ziff. 4.5.7 Abs. 1 lit. c Vorsorgereglement anzulegen (E. 2.2). Nach dem Gesagten ist im konkreten Fall die Erheblichkeit der Unterstützung bereits mangels genügender Dauer (E. 3.4.2) zu verneinen, was einen Anspruch der Lebensgefährtin auf das Todesfallkapital ausschliesst. Weiterungen in Bezug auf die Frage nach dem Gehalt des Begriffs der "erheblichen Unterstützung" unter quantitativem Aspekt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 102; <ref-ruling> E. 5.1 S. 31 f.) erübrigen sich.
4.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die obsiegende Beschwerdegegnerin S._ hat Anspruch auf eine dem letztinstanzlichen Arbeitsaufwand entsprechende Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin S._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Januar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann