hat sich ergeben:
A.- Mit Entscheid vom 20. August 2001 beschloss die Fürsorgekommission der politischen Gemeinde G._, der von ihr mit Fürsorgeleistungen unterstüzten X._ die Differenz zwischen dem Mietzins der von ihr effektiv bewohnten Wohnung von Fr. 1'020.-- und dem Mietzins einer durch die Gemeinde gemieteten, ihr vorgeschlagenen Wohnung von Fr. 680.--, ausmachend Fr. 340.--, nicht mehr auszurichten.
Mit Entscheid vom 19. Oktober 2001 trat das Departement für Finanzen und Soziales auf zwei dagegen eingelegte Rekurse nicht ein. Mit Verfügung vom 28. September 2001 setzte das Amt für AHV und IV des Kantons Thurgau die monatliche Ergänzungsleistung gestützt auf den höheren Mietzins von X._ von Fr. 325.-- um Fr. 445.-- auf Fr. 770.-- herauf. Infolgedessen kürzte die Fürsorgekommission mit Entscheid vom 17. Oktober 2001 die bisherige monatliche Fürsorgeleistung von Fr. 978. 70 um den Betrag von Fr. 445.-- auf Fr. 533. 70. Gegen diesen Entscheid erhob X._ Rekurs beim Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau.
Am 1. November 2001 erliess das Departement für Finanzen und Soziales eine Zwischenverfügung, gemäss welcher X._ bis zum 21. November 2001 einen Kostenvorschuss von Fr. 600.-- zu leisten habe. Gegen diese Zwischenverfügung erhob X._ am 2. November 2001 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, leistete aber am 7. November 2001 den Kostenvorschuss.
Am 28. November 2001 entschied das Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau in der Sache selbst und wies den Rekurs gegen die Verfügung der Fürsorgekommission vom 17. Oktober 2001 ab, soweit es darauf ein- trat. Auch gegen diesen Entscheid erhob X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Dieses vereinigte mit Entscheid vom 12. Dezember 2001 die beiden Beschwerdeverfahren, trat auf die Beschwerde betreffend Kostenvorschusspflicht nicht ein und wies die Beschwerde betreffend Fürsorgeleistungen ab.
B.- Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts hat X._, vertreten durch A._, am 22. Dezember 2001 beim Bundesgericht Beschwerde erhoben. Mit Schreiben vom 8. Januar 2002 teilte der Abteilungspräsident ihrem Vertreter mit, die Beschwerdeschrift genüge den Anforderungen an die Begründung einer staatsrechtlichen Beschwerde nicht, und räumte ihm die Gelegenheit ein, bis zum 31. Januar 2002 seine Eingabe zu verbessern. Mit Schreiben vom 9. Januar (Postaufgabe 11. Januar) 2002 beantragt X._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Fürsorgebehörden von G._ ihr gegenüber ab 1. November 2001 zu einer monatlichen Fürsorgeleistung von Fr. 938.-- zu verpflichten; zudem sei von jeglicher Kostenpflicht Abstand zu nehmen und eine Kostenvorschusspflicht als nicht angebracht zu bestätigen.
Die Fürsorgekommission G._ beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei; eventualiter sie als gegenstandslos abzuschreiben. Das Departement für Finanzen und Soziales sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragen, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Gegen den angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen, sich auf kantonales Recht stützenden Entscheid steht auch im Bund kein anderes Rechtsmittel zur Verfügung. Die staatsrechtliche Beschwerde ist daher zulässig (Art. 84 Abs. 2 und Art. 86 Abs. 1 OG). Die Beschwerdeführerin ist durch den angefochtenen Entscheid in ihren rechtlich geschützten Interessen betroffen und damit zur Erhebung der staatsrechtlichen Beschwerde legitimiert (vgl. Art. 88 OG).
b) Die staatsrechtliche Beschwerde muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurzgefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Das Bundesgericht untersucht nicht von Amtes wegen, ob ein kantonaler Hoheitsakt verfassungswidrig ist, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2 S. 3/4, 119 Ia 197 E. 1d S. 201). Der Beschwerdeführer hat sich mit der Begründung im angefochtenen Entscheid im Einzelnen auseinander zu setzen und zu erklären, welches geschriebene oder ungeschriebene verfassungsmässige Individualrecht verletzt worden sein soll. Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling>). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, kann der Beschwerdeführer sich nicht damit begnügen, den angefochtenen Entscheid einfach als falsch oder willkürlich zu bezeichnen und ihm seine Sicht der Dinge gegenüberzustellen; er hat vielmehr anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzulegen, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 4b S. 11/ 12).
Auch die verbesserte Beschwerdeschrift vom 9. Januar 2002 sowie die noch innerhalb der Beschwerdefrist nachgereichte Eingabe vom 30. Januar 2002 genügen diesen Begründungsanforderungen über weite Strecken nicht; insoweit ist auf die Ausführungen der Beschwerdeführerin nicht weiter einzugehen.
c) Auf die unverlangte, nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereichten Eingaben vom 11. Februar 2002 und vom 14. März 2002 ist nicht einzugehen, da kein zweiter Schriftenwechsel angeordnet worden ist.
2.- Das Verwaltungsgericht ist auf die Beschwerde, soweit sie die Kostenvorschusspflicht für das Verfahren vor dem Departement für Finanzen und Soziales betraf, nicht eingetreten.
Inwiefern dieser Nichteintretensentscheid gegen die Bundesverfassung verstossen sollte, ist weder dargetan noch ersichtlich. Auf diesen Punkt ist daher nicht weiter einzugehen.
3.- a) Soweit den Eingaben der Beschwerdeführerin überhaupt taugliche Rügen zu entnehmen sind, bemängelt sie, dass die Fürsorgebehörde ihr den Unterstützungsbeitrag um Fr. 445.-- gekürzt hat, nachdem das Amt für AHV und IV des Kantons Thurgau in Berücksichtigung der höheren Wohnkosten ihren Ergänzungsleistungsanspruch um diesen Betrag erhöht und neu auf Fr. 770.-- pro Monat festgesetzt hatte.
Aus den Berechnungsblättern des Fürsorgeamtes für die Festsetzung des Unterstützungsbetrages geht hervor, dass die Fürsorgebehörde - gemäss den Richtlinien der Schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe (SKOS-Richtlinien) - eine Bedarfsrechnung erstellt und anschliessend von diesem Bedarf die Einkünfte der Hilfsbedürftigen in Abzug bringt, darunter die Ergänzungsleistungen. Gegen dieses System an sich bringt die Beschwerdeführerin keine taugliche Rüge vor. Es ist aber systemkonform, wenn der Unterstützungsbeitrag, nachdem die Ergänzungsleistung um Fr. 445.-- gestiegen ist, um diesen Betrag tiefer ist.
Dies führt im Ergebnis dazu, dass die Berücksichtigung der höheren Mietkosten durch das Amt für AHV und IV der Beschwerdeführerin frankenmässig nicht zugute kommt, da das Fürsorgeamt bei seiner Berechnung des Bedarfes nach wie vor als Mietkosten nicht die aktuelle Miete von Fr. 1'020.-- eingesetzt hat, sondern die Mietkosten einer von der Wohnsitzgemeinde gemieteten Wohnung für Fr. 680.--, die sie der Beschwerdeführerin zur Verfügung stellen würde.
Das Amt für AHV und IV des Kantons Thurgau richtet die Ergänzungsleistungen gestützt auf das Bundesgesetz über Ergänzungsleistungen zur Alters- Hinterlassenen- und Invalidenversicherung vom 19. März 1965 (ELG; SR 831. 30) sowie dem thurgauischen Gesetz vom 25. August 1971 über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (Thurgauer Rechtsbuch 831. 3) aus. Gemäss § 4 des thurgauischen Ergänzungsleistungsgesetzes wird der tatsächliche Mietzins einschliesslich der Nebenkosten bis zu den jeweiligen Höchstbeträgen gemäss Art. 5 Abs. 1 lit. b ELG als Ausgabe anerkannt. Dieser Höchstbetrag gemäss Art. 5 Abs. 1
lit. b ELG beträgt heute für Alleinstehende Fr. 13'200.-- pro Jahr, d.h. Fr. 1'100.-- pro Monat (Art. 2 der Verordnung 01 über Anpassungen bei den Ergänzungsleistungen zur AHV/IV vom 18. September 2000, SR 831. 307).
Das Fürsorgeamt ist grundsätzlich nicht verpflichtet, bei der Berechnung des fürsorgerischen Unterstützungsbedarfs den Mietzins einer hilfsbedürftigen Person in gleicher Weise zu berücksichtigen wie die AHV/IV-Behörden.
Insbesondere ist grundsätzlich nicht zu beanstanden, dass das Fürsorgeamt bei der Berechnung des Unterstützungsanspruchs nicht generell auf den Mietzins der konkret bewohnten Wohnung abstellt, sondern allenfalls auf den Mietzins einer kostengünstigeren Wohnung, die für die hilfsbedürftige Person noch zumutbar ist. Im vorliegenden Fall handelt es sich bei der von der Beschwerdeführerin bewohnten Wohnung um eine 3 1/2-Zimmerwohnung mit Garagenplatz. Die Wohnung, auf die sich der vom Fürsorgeamt akzeptierte Mietzins in der Höhe von Fr. 680.-- bezieht, ist eine von der politischen Gemeinde G._ gemietete 2 1/2-Wohnung. Im vorliegenden Fall ist nicht einsehbar, inwieweit der Bezug einer solchen 2 1/2-Zimmerwohnung für die Beschwerdeführerin nicht zumutbar sein sollte. Es ist daher nicht zu beanstanden, dass die Fürsorgebehörde der Berechnung des Bedarfes der Beschwerdeführerin nur die Kosten dieser günstigeren Wohnung zugrundelegt.
Inwieweit dadurch die Bundesverfassung verletzt sein soll, wird nicht dargetan und ist auch nicht ersichtlich.
b) Das Verwaltungsgericht hat der Beschwerdeführerin die Kosten des Beschwerdeverfahrens auferlegt sowie die Kostenauflage durch das Departement für Soziales und Sicherheit bestätigt, weil es sowohl den Rekurs als auch die Beschwerde
als trölerisch qualifiziert hat. Inwieweit es durch diese Kostenauflage bzw. durch die Bestätigung der vom Departement verfügten Kostenauflage die Bundesverfassung verletzt haben sollte, ist weder dargetan noch ersichtlich; ebensowenig die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung für das Beschwerdeverfahren vor Verwaltungsgericht.
4.- Die offensichtlich unbegründete staatsrechtliche Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Da die Beschwerde zudem als von vornherein aussichtslos gelten muss, ist das sinngemäss gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (Art. 152 OG). Bei diesem Verfahrensausgang hat die unterliegende Beschwerdeführerin die - mit Blick auf ihre finanziellen Verhältnisse tief angesetzten - Gerichtskosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 153 und Art. 153a OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 400.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.- Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Fürsorgekommission G._ sowie dem Departement für Finanzen und Soziales und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 27. März 2002
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: