Erwägungen:
1. Gegen einen am 1. April 2010 betreffend Ablehnungsbegehren gegen die Gerichtspräsidentin 14 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen ergangenen Beschluss der Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern führt X._ der Sache nach Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht. Sinngemäss beantragt er, der Beschluss sei aufzuheben.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Vernehmlassungen zur Beschwerde einzuholen.
2. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. in diesem Zusammenhang auch <ref-ruling> E. 2 S. 315 sowie 134 II 349 E. 3 S. 351 f.; <ref-ruling> insb. E. 1.4 S. 254). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer schildert und kritisiert ausführlich das dem angefochtenen Beschluss zugrunde liegende Strafverfahren. Sodann nennt er die Gründe, weshalb er die Gerichtspräsidentin 14 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen, gemäss deren Urteil vom 9. März 2010 er erstinstanzlich verurteilt worden ist, ablehnt. Dabei kritisiert er auch den angefochtenen Beschluss auf ganz allgemeine Weise. Er legt indes nicht im Einzelnen dar, inwiefern dessen Begründung bzw. der Beschluss im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Mangels einer hinreichenden Begründung ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Gerichtspräsidentin 14 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Mai 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp