Sachverhalt:
A. Die 1996 geborene S._ leidet an einer Bewegungsstörung im Sinne einer ataktischen Cerebralparese und einer geistigen Behinderung. Die IV-Stelle des Kantons Aargau gewährte medizinische Massnahmen zur Behandlung des Geburtsgebrechens Ziff. 390 GgV Anhang, Sonderschulmassnahmen, Physiotherapie als medizinische Massnahme und Hilfsmittel (Schalenfussorthesen; Änderung an Konfektionsschuhen bzw. orthopädische Spezialschuhe; Rumpforthesen). Im Weitern wurde der Versicherten am 19. Juni 2007 eine Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit leichten Grades mit Wirkung ab 1. November 2005 zugesprochen. Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
Im Rahmen eines von Amtes wegen durchgeführten Revisionsverfahrens führte die IV-Stelle am 4. Mai 2010 eine Abklärung an Ort und Stelle durch (Bericht vom 11. Mai 2010). Sie teilte der Versicherten bzw. ihren Eltern mit, es bestehe unverändert Anspruch auf eine Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit leichten Grades (Mitteilung vom 20. Mai 2010). Da die Eltern der Versicherten damit nicht einverstanden waren, erliess die IV-Stelle am 9. Juni 2010 eine den Anspruch auf Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit leichten Grades bestätigende Verfügung.
B. Beschwerdeweise liess S._ das Rechtsbegehren stellen, es seien ihr die gesetzlich geschuldeten Leistungen, insbesondere eine Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit mittleren Grades zuzusprechen. Bezüglich Intensivpflegezuschlag sei die Sache an die IV-Stelle zur weiteren Sachverhaltsabklärung und Neubeurteilung zurückzuweisen. Es wurde geltend gemacht, dass schon seit Jahren eine Hilflosigkeit mittelschweren Grades bestehe; es sei deshalb nicht nur die Verfügung vom 9. Juni 2010 aufzuheben, sondern auch die rechtskräftige Verfügung vom 19. Juni 2007 in Wiedererwägung zu ziehen. Mit Entscheid vom 24. Mai 2011 hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Beschwerde teilweise gut, hob die Verfügung vom 9. Juni 2010 auf und wies die Sache zur Durchführung eines ordentlichen Abklärungsverfahrens sowie zur Festsetzung der Hilflosenentschädigung und eines allfälligen Intensivpflegezuschlags im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück. Auf den Antrag der Versicherten, die rechtskräftige Verfügung vom 19. Juni 2007 sei in Wiedererwägung zu ziehen, trat das kantonale Versicherungsgericht nicht ein.
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Verfügung vom 9. Juni 2010 zu bestätigen. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen.
D. Mit Verfügung vom 20. September 2011 hat die Instruktionsrichterin das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
E. S._ lässt Nichteintreten, eventualiter Abweisung der Beschwerde beantragen. Das kantonale Versicherungsgericht äussert sich (ausserhalb der eingeräumten Frist), ohne formell einen Antrag zu stellen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (vgl. Urteil 9C_684/2007 vom 27. Dezember 2007 E. 1.1 mit Hinweisen, in: SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131), um einen - selbstständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f. mit Hinweisen). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
1.2 Rechtsprechungsgemäss bewirkt ein Rückweisungsentscheid in der Regel keinen irreversiblen Nachteil im Sinne von <ref-law>, da der Rechtsuchende ihn später zusammen mit dem neu zu fällenden Endentscheid wird anfechten können (vgl. <ref-law>). Anders verhält es sich allerdings, wenn durch materiellrechtliche Anordnungen im Rückweisungsentscheid der Beurteilungsspielraum der unteren Instanz wesentlich eingeschränkt wird. Sodann ist für die Verwaltung bzw. den Versicherungsträger ein nicht wieder gutzumachender Nachteil gegeben, wenn diese durch den Rückweisungsentscheid gezwungen werden, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen. Auch diesfalls braucht nicht der Endentscheid abgewartet zu werden (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.; Urteil 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008 E. 1.2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR UV Nr. 31 S. 115; Urteil 8C_272/2011 vom 11. November 2011 E. 1.2 und 1.4; 9C_588/2010 vom 3. November 2010 E. 1.3).
1.3 Weist die Vorinstanz die Sache zu weiteren Abklärungen und anschliessender Neuverfügung an die IV-Stelle zurück, weil sie die Aktenlage im Rahmen der Beweiswürdigung als nicht schlüssig betrachtet, liegt praxisgemäss kein nicht wieder gutzumachender Nachteil vor (Urteil 8C_121/2011 vom 30. Juni 2011 E. 3.2). Die Vorinstanz hat der Beschwerdeführerin untersagt, aufgrund der vorhandenen Unterlagen zu verfügen, weil zwingend ein Bericht des RAD einzuholen sei, was die IV-Stelle bestreitet. Weiter hat sie die IV-Stelle verpflichtet für den Fall, dass der Bericht des RAD nichts Neues ergebe, aufgrund der vorhandenen Akten eine Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit mittleren Grades zuzusprechen, was die IV-Stelle für unzutreffend hält. Da die beschwerdeführende IV-Stelle bei dieser Sachlage gezwungen wird, eine ihrer Auffassung nach rechtswidrige Verfügung zu erlassen, ist die Eintretensvoraussetzung des <ref-law> erfüllt.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.2 Die auf medizinische Abklärungen und auf einen Abklärungsbericht an Ort und Stelle gestützten gerichtlichen Feststellungen über Einschränkungen der versicherten Person in bestimmten Lebensverrichtungen sind Sachverhaltsfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398 f.; Urteil 9C_410/2009 vom 1. April 2010 E. 3, in: SVR 2011 IV Nr. 11 S. 29). Tatsächlicher Natur ist auch die konkrete Beweiswürdigung (Urteil 9C_204/2009 vom 6. Juli 2009 E. 4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164).
3. Im angefochtenen Entscheid werden die Grundsätze über den Anspruch auf Hilflosenentschädigung (<ref-law>; Art. 42 Abs. 1 und 2 IVG; <ref-law>) sowie die Bestimmungen über die Revision der Hilflosenentschädigung von Amtes wegen (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law>) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt hinsichtlich der Voraussetzungen für den Anspruch auf einen Intensivpflegezuschlag im Sinne des <ref-law>. Darauf wird verwiesen.
4. Mit Verfügung vom 19. Juni 2007 sprach die IV-Stelle S._ eine Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit leichten Grades zu. Sie stützte sich dabei auf den Bericht über die Abklärung an Ort und Stelle vom 14. Mai 2007, wonach die Versicherte in den Bereichen "An-/Auskleiden", "Körperpflege" und "Fortbewegung/Pflege gesellschaftlicher Kontakte" auf regelmässige und erhebliche Dritthilfe angewiesen ist. Bei der revisionsweisen Überprüfung gelangte die IV-Stelle gestützt auf die am 4. Mai 2010 durchgeführte Abklärung an Ort und Stelle zum Ergebnis, es liege keine anspruchsbeeinflussende Änderung der Verhältnisse vor, und bestätigte den Anspruch auf eine Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit leichten Grades (Verfügung vom 9. Juni 2010).
5. 5.1 Das kantonale Gericht warf der IV-Stelle vor, sie habe im Rahmen des Revisionsverfahrens den Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) nicht konsultiert und damit gegen für sie verbindliche Weisungen - Rz. 8130 f. des Kreisschreibens über Invalidität und Hilflosigkeit in der Invalidenversicherung (KSIH) - verstossen. Zur Durchführung eines ordentlichen Abklärungsverfahrens wies es die Sache an die Verwaltung zurück.
5.2 Beschwerdeweise macht die IV-Stelle geltend, eine Anfrage beim Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) habe ergeben, dass es in ihrem Ermessen liege zu entscheiden, welche Fälle sie dem RAD unterbreitet. Im Weitern verweist sie auf die dem Antwortschreiben des BSV vom 29. Juni 2011 beiliegenden bundesamtlichen Ausführungen im IV-Rundschreiben Nr. 296 vom 5. Januar 2011. Danach hat das BSV im Rahmen der Einführung der RAD im Kreisschreiben über das Verfahren in der Invalidenversicherung (KSVI; gültig ab 1. Januar 2004) Kriterien für die Zuweisung der Dossiers an die RAD (Anhang V) erlassen; diese sind aufgrund der praktischen Erfahrungen und im Hinblick auf eine möglichst effiziente Nutzung der Ressourcen der RAD per 1. Januar 2008 aufgehoben und aus dem KSVI gestrichen worden. Gemäss dem Rundschreiben liegt es seit 1. Januar 2008 im Ermessen und in der Verantwortung der IV-Stellen, welche Dossiers sie zur Prüfung der medizinischen Anspruchsvoraussetzungen dem RAD unterbreiten. Wie sich dem Antwortschreiben des BSV vom 29. Juni 2011 zudem entnehmen lässt, war eine Anpassung der entsprechenden Bestimmungen des KSIH auf den 1. Januar 2012 vorgesehen. Auf die seit 1. Januar 2012 geänderte Fassung der Rz. 8130 f. KSIH weist auch das kantonale Gericht in seiner Vernehmlassung vom 19. Januar 2012 (Postaufgabe) hin.
5.3 Mit Wirkung auf den 1. Januar 2008 wurden einzig im KSVI die Kriterien für die Zuweisung der Dossiers an die RAD aufgehoben, während die einschlägigen Randziffern des KSIH keine Änderung erfuhren. Würde allein auf die damals unverändert beibehaltenen Rz. 8130 f. KSIH abgestellt, wäre die IV-Stelle deshalb weiterhin verpflichtet gewesen, das Dossier dem RAD zu unterbreiten. Indessen geht das BSV davon aus, seit 1. Januar 2008 liege es im Ermessen der IV-Stelle zu entscheiden, ob eine Konsultation des RAD erforderlich sei. Angesichts der bestehenden (im IV-Rundschreiben Nr. 296 anerkannten) rechtlichen Unsicherheiten betreffend die Zuweisung von Dossiers an die RAD scheint der im angefochtenen Entscheid enthaltene Vorwurf, die IV-Stelle hätte zwingend den RAD einbeziehen müssen, nicht gerechtfertigt. Eine Rückweisung aus diesem Grunde ist nicht angezeigt. Zudem steht fest und wird auch von der Vorinstanz nicht in Zweifel gezogen, dass der Abklärungsbericht der IV-Stelle die von der Rechtsprechung statuierten beweisrechtlichen Anforderungen (<ref-ruling> E. 6.2 S. 62) erfüllt; es kann deshalb ohne weiteres darauf abgestellt werden.
6. Es steht fest und ist unbestritten, dass die Versicherte in den Bereichen "An-/Auskleiden", "Körperpflege" und "Fortbewegung/Pflege gesellschaftlicher Kontakte" - wie bisher - auf regelmässige und erhebliche Dritthilfe angewiesen ist. Streitig und zu prüfen ist, ob sich der Grad der Hilflosigkeit insofern verändert hat, als sie zusätzlich der dauernden persönlichen Überwachung im Sinne des <ref-law> bedarf, womit sie Anspruch auf eine Entschädigung für mittelschwere Hilflosigkeit hätte.
6.1 Die Vorinstanz bejahte die Frage aufgrund der Aktenlage mit der Begründung, die Beschwerdegegnerin könne wegen geistiger Absenzen und des Risikos der Selbst- oder Drittgefährdung nicht den ganzen Tag alleine gelassen werden, sondern müsse dauernd persönlich überwacht werden.
Nach Auffassung der IV-Stelle ergeben sich weder die geistigen Absenzen noch das Gefährdungsrisiko aus den Akten. Sie macht geltend, die Vorinstanz verletze Bundesrecht, wenn sie die Überwachungsbedürftigkeit als erfüllt betrachte. Die Verhältnisse hätten sich seit der Verfügung vom 19. Juni 2007 nicht verändert; es bestehe deshalb weiterhin Anspruch auf eine Entschädigung für Hilflosigkeit leichten Grades.
6.2 Wie die IV-Stelle zu Recht vorbringt, finden sich in den Akten, entgegen dem angefochtenen Entscheid, keine Hinweise dafür, dass bei der Versicherten geistige Absenzen auftreten, welche dazu führen, dass sie nicht alleine gelassen werden kann, sondern dauernd persönlich überwacht werden muss (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2a S. 158; <ref-ruling> E. 4b S. 57; ZAK 1990 S. 44 E. 2c; Rz. 8035 KSIH). Vielmehr lässt sich dem Abklärungsbericht vom 11. Mai 2010 und dem Bericht der Heilpädagogischen Schule vom 14. Dezember 2009 entnehmen, dass sich die Versicherte im Wohnbereich, in der Schule und auf dem Pausenplatz selber orientieren und fortbewegen kann (die im Rahmen des Schulbetriebs gewährte allgemeine und kollektive Aufsicht gilt nicht als rechtlich relevante Hilflosigkeit: ZAK 1984 S. 354 E. 2c). Dass die Versicherte die Gefahren der Strasse nicht abschätzen kann, wird bei der Lebensverrichtung "Fortbewegung" berücksichtigt und darf im Rahmen der Überwachungsbedürftigkeit nicht nochmals ins Gewicht fallen (<ref-ruling> E. 1b S. 139 mit Hinweisen; ZAK 1990 S. 44 E. 2c; 1984 S. 354 E. 2c). Denn das Erfordernis der dauernden persönlichen Überwachung gemäss <ref-law> bezieht sich gerade nicht auf die alltäglichen Lebensverrichtungen, sondern umfasst (infolge des physischen, geistigen oder psychischen Zustandes der versicherten Person notwendige) Hilfeleistungen, die nicht bereits als direkte oder indirekte Hilfe in einem Bereich der alltäglichen Lebensverrichtung berücksichtigt werden (Urteil 9C_431/2008 vom 26. Februar 2009 E. 4.4.1, in: SVR 2009 IV Nr. 30 S. 85; Rz. 8035 KSIH).
Beizupflichten ist der IV-Stelle auch, wenn sie geltend macht, das Risiko einer Selbst- oder Drittgefährdung, wie es die Vorinstanz annehme, sei rein hypothetischer Natur. In den Akten fehlen entsprechende Anhaltspunkte, insbesondere im Bericht der Heilpädagogischen Schule vom 14. Dezember 2009 und im Bericht über die Abklärung an Ort und Stelle vom 11. Mai 2010. Ein Gefährdungspotential kann auch nicht darin erblickt werden, dass die Versicherte nach den Angaben der Kinderärztin (Bericht der Dr. med. K._, Fachärztin FMH für Pädiatrie, vom 12. November 2009) stets Sachen macht, welche Gleichaltrigen nicht einfallen, wie beispielsweise nach dem Duschen nass herumlaufen statt sich anziehen. Dass die Versicherte regelmässig Dritthilfe und Kontrolle beim Anziehen benötigt, wurde bereits im Rahmen der Lebensverrichtung "An-/Auskleiden" berücksichtigt. Vom beschriebenen Verhalten der Versicherten geht keine die dauernde persönliche Überwachung notwendig machende Gefahr für sie selbst oder Dritte aus (vgl. dazu auch Rz. 8035 KSIH).
6.3 Nach dem Gesagten ist die vorinstanzliche Feststellung der dauernden Überwachungsbedürftigkeit offensichtlich unrichtig. Da die Versicherte wie bis anhin (Abklärungsbericht vom 14. Mai 2007) in den Lebensverrichtungen "An-/Auskleiden", "Körperpflege" und "Fortbewegung/Pflege gesellschaftlicher Kontakte" auf regelmässige Dritthilfe angewiesen ist (Abklärungsbericht vom 11. Mai 2010), liegt keine revisionsbegründende Veränderung des Hilflosigkeitsgrades vor. Die den Anspruch auf eine Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit leichten Grades revisionsweise bestätigende Verfügung der IV-Stelle vom 9. Juni 2010 ist somit rechtens.
7. Ein Anspruch auf einen Intensivpflegezuschlag gemäss <ref-law> entfällt, weil die anspruchserhebliche Grenze einer zusätzlichen intensiven Betreuung von mindestens 4 Stunden pro Tag gemäss dem beweiskräftigen (vgl. E. 5.3 am Ende) Abklärungsbericht vom 11. Mai 2010 nicht erreicht wird (ermittelter Mehraufwand von 69 Minuten).
8. Bei diesem Verfahrensausgang hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 24. Mai 2011 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Januar 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann