Faits:
A. Par décision du 18 février 2005, l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après : l'office AI) a révisé le droit à la rente dont F._ était titulaire et mis fin aux prestations allouées, avec effet dès le 1er avril 2005. Il a rejeté l'opposition de l'assuré par décision sur opposition du 15 juin 2005, notifiée le 17 juin suivant. Sous le titre «moyens de droit», l'office AI a précisé que cette décision sur opposition pouvait faire l'objet d'un recours devant le Tribunal cantonal jurassien, dans les 30 jours à compter de sa notification; il a également indiqué que selon la loi fédérale sur la procédure administrative, les délais fixés en jours ne couraient pas du 7ème jour avant Pâques au 7ème jour après Pâques inclus (a), du 15 juillet au 15 août inclus (b) et du 18 décembre au 1er janvier inclus (c).
B. Le 17 août 2005, F._ a saisi le Tribunal cantonal jurassien d'un recours contre la décision sur opposition du 15 juin 2005.
Par jugement du 8 décembre 2005, la juridiction cantonale a déclaré le recours irrecevable. Elle a considéré que les règles relatives à la suspension des délais du 15 juillet au 15 août, citées par l'office AI, n'étaient pas applicables et que le droit cantonal pertinent ne prévoyait aucune période de suspension des délais, de sorte que le recours était tardif.
C. F._ interjette un recours de droit administratif contre ce jugement. Il en demande l'annulation et conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle entre en matière sur le recours contre la décision sur opposition du 15 juin 2005, sous suite de frais et dépens.
L'office AI conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur la recevabilité du recours interjeté par F._ contre la décision sur opposition rendue le 15 juin 2005 par l'office AI. Il s'agit plus particulièrement de déterminer si le délai de recours contre cette décision a été suspendu du 15 juillet au 15 août 2005, comme le soutient le recourant, ou s'il est arrivé à échéance après 30 jours, sans suspension, comme l'a admis la juridiction cantonale.
2. 2.1 La loi fédérale du 6 octobre 2000 sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA) est entrée en vigueur le 1er janvier 2003. Elle coordonne le droit fédéral des assurances sociales, notamment en fixant les normes d'une procédure uniforme et en réglant l'organisation judiciaire dans ce domaine (<ref-law>). Les dispositions générales de procédure se trouvent au chapitre 4. La section 2 de ce chapitre (<ref-law>) contient les règles de procédure en matière d'assurances sociales et règle à l'art. 38 le calcul et la suspension des délais. Aux termes de l'alinéa 4 de cette disposition, les délais en jours ou en mois fixés par la loi ou par l'autorité ne courent pas :
a) du 7ème jour avant Pâques au 7ème jour après Pâques inclusivement;
b) du 15 juillet au 15 août inclusivement;
c) du 18 décembre au 1er janvier inclusivement.
Ces périodes de féries sont identiques à celles définies par l'<ref-law> pour les délais fixés en jours par la loi ou par l'autorité. En effet, le législateur n'a pas voulu créer, pour la partie générale du droit des assurances sociales, un régime de suspension des délais fondamentalement différent de celui de la PA, dont il s'est inspiré (<ref-ruling> sv. consid. 4.3).
2.2 Le contentieux fait l'objet de la section 3 du chapitre 4 de la LPGA (art. 56 ss). Les art. 56 al. 1 et 60 al. 1 LPGA disposent que les décisions sur opposition et celles contre lesquelles la voie de l'opposition n'est pas ouverte sont sujettes à recours, dans les trente jours suivant leur notification. Les art. 38 à 41 sont applicables par analogie (<ref-law>).
3. Les premiers juges ont considéré que le droit de procédure cantonal ne comportait aucune disposition relative à la suspension des délais et qu'il demeurait applicable, conformément à l'<ref-law>, pendant une période transitoire courant jusqu'au 31 décembre 2007.
3.1 La LPGA impose aux cantons d'adapter leur législation dans un délai de 5 ans à partir de son entrée en vigueur. Dans l'intervalle, les dispositions cantonales en vigueur restent applicables (<ref-law>). Cette réglementation transitoire vise les normes cantonales de procédure et leur adaptation aux art. 56 à 61 LPGA. Elle autorise les cantons à maintenir et à appliquer sans changement leurs propres normes de procédure, même contraires à la LPGA, pendant un délai de 5 ans échéant le 31 décembre 2007 (<ref-ruling> consid. 5.1, 323 consid. 5.2). L'<ref-law> ne revêt toutefois aucune portée lorsque les exigences de procédure posées par la LPGA sont l'expression d'un principe général du droit des assurances sociales ou reprennent des règles déjà posées par des dispositions de droit fédéral antérieures à la LPGA. En effet, il n'y a pas lieu de laisser un délai aux cantons pour adapter leur procédure à la nouvelle loi, là où le droit fédéral précédemment en vigueur ne laissait pas place à une réglementation cantonale divergente (SVR 2004 EL n. 2 p. 6 consid. 2.3 [arrêt du 4 septembre 2003, P 23/03] relatif à la perception de frais de procédure en cas de recours téméraire ou interjeté à la légère; cf. également arrêt B. du 29 juillet 2005, I 547/04, consid. 2, arrêt I. du 31 mai 2005, I 456/04, consid. 2 et arrêt F. du 14 avril 2005, I 245/04, consid. 2 [droit aux dépens pour une procédure de recours en matière d'assurance-invalidité]; arrêt M. et S. AG du 10 août 2004, K 121/03, consid. 2.2 [qualité pour recourir]; arrêt M. du 13 février 2004, C 259/03, consid. 2 [reformatio in pejus]; arrêt X. du 16 octobre 2003, H 110/03, consid. 2 [maxime inquisitoire]). La portée exacte de l'<ref-law> dépend donc, notamment, de la réglementation fédérale existant avant l'entrée en vigueur de la LPGA dans la branche du droit des assurances sociales en cause.
3.1 La LPGA impose aux cantons d'adapter leur législation dans un délai de 5 ans à partir de son entrée en vigueur. Dans l'intervalle, les dispositions cantonales en vigueur restent applicables (<ref-law>). Cette réglementation transitoire vise les normes cantonales de procédure et leur adaptation aux art. 56 à 61 LPGA. Elle autorise les cantons à maintenir et à appliquer sans changement leurs propres normes de procédure, même contraires à la LPGA, pendant un délai de 5 ans échéant le 31 décembre 2007 (<ref-ruling> consid. 5.1, 323 consid. 5.2). L'<ref-law> ne revêt toutefois aucune portée lorsque les exigences de procédure posées par la LPGA sont l'expression d'un principe général du droit des assurances sociales ou reprennent des règles déjà posées par des dispositions de droit fédéral antérieures à la LPGA. En effet, il n'y a pas lieu de laisser un délai aux cantons pour adapter leur procédure à la nouvelle loi, là où le droit fédéral précédemment en vigueur ne laissait pas place à une réglementation cantonale divergente (SVR 2004 EL n. 2 p. 6 consid. 2.3 [arrêt du 4 septembre 2003, P 23/03] relatif à la perception de frais de procédure en cas de recours téméraire ou interjeté à la légère; cf. également arrêt B. du 29 juillet 2005, I 547/04, consid. 2, arrêt I. du 31 mai 2005, I 456/04, consid. 2 et arrêt F. du 14 avril 2005, I 245/04, consid. 2 [droit aux dépens pour une procédure de recours en matière d'assurance-invalidité]; arrêt M. et S. AG du 10 août 2004, K 121/03, consid. 2.2 [qualité pour recourir]; arrêt M. du 13 février 2004, C 259/03, consid. 2 [reformatio in pejus]; arrêt X. du 16 octobre 2003, H 110/03, consid. 2 [maxime inquisitoire]). La portée exacte de l'<ref-law> dépend donc, notamment, de la réglementation fédérale existant avant l'entrée en vigueur de la LPGA dans la branche du droit des assurances sociales en cause.
3.2 3.2.1 La jurisprudence a déduit de la réglementation transitoire de l'<ref-law> que les lois cantonales de procédure prévoyant d'autres périodes de suspension des délais que celles réservées par l'<ref-law> (en relation avec l'<ref-law>), ou ne prévoyant pas de suspension des délais, demeuraient en principe applicables jusqu'à leur adaptation à la LPGA, mais au plus tard jusqu'au 31 décembre 2007 (<ref-ruling> consid. 5.2, auquel s'est référée la juridiction cantonale; voir également <ref-ruling>, consid. 4.2 non publié au Recueil officiel [arrêt du 26 août 2005, U 308/03]). Ces arrêts portaient sur des litiges relatifs à des prestations de l'assurance-accidents obligatoire. La LAA, tout comme la LACI ou la LAMal, dans leur teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002, ne comportaient pas de disposition relative à la suspension des délais de recours devant les juridictions cantonales, ni ne renvoyaient sur ce point à l'<ref-law>. Les cantons étaient donc libres de prévoir des périodes de suspension différentes de celles retenues par le législateur fédéral à l'<ref-law>, ou d'exclure de telles périodes de suspension des délais. Depuis l'entrée en vigueur de la LPGA, qui règle la question de manière uniforme aux art. 38 al. 4 et 60 al. 2 LPGA, ils disposent d'un délai de 5 ans pour adapter leur législation, conformément à l'<ref-law>.
3.2.2 Contrairement au droit fédéral relatif à l'assurance-accidents, l'assurance-chômage et l'assurance-maladie, la législation sur l'assurance-vieillesse et survivants, l'assurance-invalidité, les prestations complémentaires à l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité, les allocations pour perte de gain et les allocations familiales dans l'agriculture, telle qu'en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002, déclarait les art. 20 à 24 PA applicables au contentieux devant les juridictions cantonales de recours (cf. anciens <ref-law>, 81 LAI, 29 LAPG, 22 al. 3 LFA, 9a LPC; RO 1952 p. 849 et 1055, 1972 p. 2547, 1996 p. 2497, 1997 p. 2958). Dans ces branches du droit des assurances sociales, la législation fédérale ne laissait donc pas de place, déjà avant l'entrée en vigueur de la LPGA, à l'application de normes de procédure cantonales excluant la suspension des délais fixés en jours par l'autorité ou par la loi, pour les périodes du 7ème jour avant Pâques au 7ème jour après Pâques inclusivement, du 15 juillet au 15 août inclusivement et du 18 décembre au 1er janvier inclusivement. De ce point de vue, l'entrée en vigueur de la LPGA n'a pas modifié la situation, de sorte que le délai transitoire réservé par l'<ref-law> pour l'adaptation du droit cantonal ne revêt aucune portée (cf. consid. 3.1 supra). Dans les domaines de l'assurance-vieillesse et survivants, de l'assurance-invalidité, des prestations complémentaires à l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité, des allocations pour perte de gain et des allocations familiales dans l'agriculture, l'<ref-law> est directement applicable, comme l'était précédemment l'<ref-law>, lorsque le droit cantonal de procédure ne comporte aucune disposition relative à la suspension des délais ou pose une réglementation différente de celle prévue par le droit fédéral (voir également Jean Métral, à propos des arrêts U 268/03 et I 723/04 du 26 août 2005, in : REAS 2005 p. 353 sv.).
Il n'y a pas lieu de tirer une autre conclusion de l'<ref-ruling> consid. 5, dans lequel le Tribunal fédéral des assurances mentionne, certes, la réglementation transitoire prévue par l'<ref-law> dans un litige relatif à la computation d'un délai de recours en matière d'assurance-invalidité, mais constate finalement que le droit cantonal pertinent ne diverge pas de la réglementation prévue par l'<ref-law>. Dans un tel cas de figure, l'entrée en vigueur de la LPGA ne change rien, en effet, à l'application principale et prioritaire du droit cantonal conforme à la LPGA pour la procédure de recours devant le tribunal cantonal des assurances (cf. <ref-ruling> sv. consid. 2.1).
3.3 Vu ce qui précède, le délai de 30 jours dont disposait F._ pour recourir contre la décision sur opposition du 15 juin 2005 de l'office AI a été suspendu du 15 juillet au 15 août 2005 inclusivement. Le point de savoir si le droit cantonal jurassien renvoie au droit fédéral en ce qui concerne la suspension des délais, comme le soutient le recourant, ou s'il s'écarte du droit fédéral sur ce point, comme l'a retenu la juridiction cantonale, peut être laissé ouvert. En effet, la juridiction cantonale aurait dû, le cas échéant, laisser inappliquée une norme de procédure cantonale contraire au droit fédéral, l'<ref-law> ne trouvant pas à s'appliquer à la question de la suspension du délai de recours contre une décision en matière d'assurance-invalidité.
Compte tenu de la date de notification de la décision litigieuse, le 17 juin 2005, et de la suspension du délai de recours du 15 juillet au 15 août inclusivement, celui-ci est arrivé à échéance le 18 août 2005. Le recours interjeté devant la juridiction cantonale a été remis à un bureau de La Poste suisse la veille de l'échéance du délai, de sorte qu'il est recevable.
4. Le recourant a invoqué le droit à la protection de sa bonne foi, en raison des informations sur les périodes de suspension des délais contenues dans la décision sur opposition litigieuse. Cette question est sans objet, puisque le recours interjeté devant les premiers juges a été déposé dans le délai utile.
5. Le recourant obtient gain de cause, de sorte qu'il peut prétendre des dépens à la charge de l'intimé (art. 159 al. 1 OJ). La procédure est onéreuse (art. 134 OJ a contrario), de sorte que les frais de justice sont mis à la charge de l'intimé, conformément à l'art. 156 al. 1 OJ.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, du 8 décembre 2005 est annulé, l'affaire étant renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour décision sur le fond.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge de l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura.
3. L'avance de frais effectuée par le recourant, d'un montant de 500 fr., lui est restituée.
4. L'intimé versera au recourant la somme de 2000 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
5. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 8 mars 2006
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
La Présidente de la Ire Chambre: Le Greffier: