Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss vom 18. Mai 2012 des Obergerichts des Kantons Zürich, das auf eine Beschwerde des Beschwerdeführers gegen die erstinstanzliche Gutheissung der Einsprache des Beschwerdegegners gegen den vom Beschwerdeführer für eine Forderung von Fr. 373.20 (nebst Zins) erwirkten Arrest und gegen die Aufhebung dieses Arrests nicht eingetreten ist,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Beschluss des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Beschluss vom 18. Mai 2012 erwog, entgegen der Vorschrift des <ref-law> enthalte die Beschwerde des Beschwerdeführers keine hinreichende Begründung, der Beschwerdeführer setze sich nicht einmal ansatzweise mit den erstinstanzlichen Erwägungen auseinander, wonach der - <ref-law> verletzende - Vollstreckungsbescheid des Amtsgerichts Hünfeld (Deutschland) keinen definitiven Rechtsöffnungstitel im Sinne des Arrestgrundes von <ref-law> darstelle, im Übrigen wäre die Beschwerde, wäre sie zulässig, einerseits in Anbetracht des offensichtlich zutreffenden erstinstanzlichen Entscheids und anderseits bereits wegen der mangelnden Spezifizierung der Arrestgegenstände im Arrestbegehren abzuweisen,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass er erst recht nicht anhand dieser Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert aufzeigt, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den Beschluss des Obergerichts vom 18. Mai 2012 verletzt sein sollen,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und das präsidierende Abteilungsmitglied zuständig ist,

erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 100.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien (dem Beschwerdeführer auf dem Weg der internationalen Rechtshilfe) und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Füllemann