Sachverhalt:
A.
Der 1953 geborene A._ bezieht wegen der Beeinträchtigung seiner Sehfähigkeit seit 1979 eine Hilflosenentschädigung und seit 1997 eine ganze Rente der Invalidenversicherung. Im Rahmen des Pilotversuchs "Assistenzbudget" sprach ihm die dafür zuständige IV-Stelle des Kantons St. Gallen ein monatliches Assistenzgeld, maximal bestehend aus der Assistenzpauschale von Fr. 300.- und dem Assistenzbudget von Fr. 1'080.-, ab 1. April 2007 zu (Verfügung vom 7. März 2007); gleichzeitig sistierte sie die Hilflosenentschädigung. Nachdem am 1. Januar 2012 die 6. IV-Revision mit den gesetzlichen Bestimmungen über den Assistenzbeitrag in Kraft getreten war, prüfte die IV-Stelle des Kantons Zürich einen Anspruch des A._ auf diese neue Leistung. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach sie ihm mit Verfügung vom 20. Juli 2012 einen Assistenzbeitrag von monatlich durchschnittlich Fr. 300.95 und jährlich maximal Fr. 3'611.40 ab 1. September 2012 zu, wobei sie auf den gleichen Zeitpunkt das bisherige Assistenzgeld aufhob und ankündigte, die Hilflosenentschädigung von monatlich Fr. 464.- wieder auszurichten.
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die dagegen erhobene Beschwerde in dem Sinne gut, als es die Verfügung "vom 19. Dezember 2012" aufhob und die Sache an die Verwaltung zurückwies, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und neu verfüge. Weiter stellte es in Bezug auf das Assistenzbudget " (Verfügung vom 7. März 2012) " fest, dass dieses bis 31. Dezember 2012 weiter zu gewähren sei, gegebenenfalls unter Berücksichtigung der ab 1. September 2012 wieder ausgerichteten Hilflosenentschädigung (Entscheid vom 31. Januar 2014).
C.
Die IV-Stelle des Kantons Zürich beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 31. Januar 2014 sei aufzuheben und die Verfügung vom 20. Juli 2012 zu bestätigen; eventualiter sei die Sache zur materiellen Beurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Ferner ersucht sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen beantragt, diese sei in "Bezug auf den Teilentscheid betreffend der Weiterausrichtung des Assistenzbudgets bis zum 31. Dezember 2012" gutzuheissen.

Erwägungen:
1.
Im Dispositiv des angefochtenen Entscheids ist von Verfügungen vom 7. März und 19. Dezember 2012, die sich nicht in den Unterlagen der IV-Stelle finden, die Rede. Dabei handelt es sich offensichtlich um ein Versehen, das vom Bundesgericht ohne Weiteres zu korrigieren ist: Anfechtungsobjekt im vorinstanzlichen Verfahren ist die Verfügung vom 20. Juli 2012; darauf beziehen sich auch die Erwägungen und Anordnungen des kantonalen Gerichts.
2.
2.1. Die IV-Stelle hat zutreffend erkannt, dass der angefochtene Entscheid zwei Komponenten enthält: Soweit damit der bisherige Anspruch auf Assistenzgeld bis zum 31. Dezember 2012 bejaht wird, handelt es sich um einen Endentscheid, der direkt anfechtbar ist (Art. 90 in Verbindung mit <ref-law>).
2.2. Gemäss dem im Rahmen der 6. IV-Revision auf den 1. Januar 2012 in Kraft getretenen <ref-law> haben Versicherte, denen eine Hilflosenentschädigung der IV nach Artikel 42 Absätze 1-4 ausgerichtet wird, die zu Hause leben und volljährig sind, Anspruch auf einen Assistenzbeitrag.
Für Teilnehmerinnen und Teilnehmer am Pilotversuch «Assistenzbudget» enthält lit. b der Schlussbestimmungen der Änderung vom 18. März 2011 (6. IV-Revision, erstes Massnahmenpaket; nachfolgend: SchlBest IVG) folgende Regelungen: Versicherte, die im Monat vor Inkrafttreten dieser Änderung Anspruch auf Leistungen nach der Verordnung vom 10. Juni 2005 über den Pilotversuch «Assistenzbudget» (AS 2005 3529, 2008 129, 2009 3171) hatten und die Voraussetzungen nach Artikel 42quatererfüllen, haben Anspruch auf einen Assistenzbeitrag, ohne ihn geltend machen zu müssen (lit. b Abs. 1 SchlBest). Sie erhalten die Leistungen nach der genannten Verordnung, bis die IV-Stelle den Umfang des Assistenzbeitrags nach Artikel 42sexies verfügt hat, längstens jedoch während zwölf Monaten nach Inkrafttreten dieser Änderung (lit. b Abs. 2 SchlBest).
2.3. Das kantonale Gericht hat dem Versicherten das bisherige Assistenzgeld bis zum 31. Dezember 2012 zugesprochen mit der Begründung, bis zu diesem Zeitpunkt sei die Verfügung betreffend den Assistenzbeitrag zwar ergangen, aber noch nicht in Rechtskraft erwachsen. Hinsichtlich dieses Erfordernisses hat es auf die Botschaft vom 24. Februar 2010 zur Änderung des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung (6. IV-Revision, erstes Massnahmenpaket; BBl 2010 1817) verwiesen, wonach "die bisherige Leistung aus dem Pilotversuch weiter ausgerichtet" werde, solange "die benötigten Hilfeleistungen nicht ermittelt sind und der Assistenzbeitrag nicht rechtskräftig verfügt ist" (BBl 2010 1912).
Die IV-Stelle hält diese Auslegung von lit. b Abs. 2 SchlBest für unzutreffend. Sie ist der Auffassung, in Anwendung von <ref-law> (SR 831.201) habe sie das Assistenzgeld zu Recht ab dem 1. September 2012 aufgehoben.
2.4. Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zugrunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden. Die Gesetzesauslegung hat sich vom Gedanken leiten zu lassen, dass nicht schon der Wortlaut die Norm darstellt, sondern erst das an Sachverhalten verstandene und konkretisierte Gesetz. Gefordert ist die sachlich richtige Entscheidung im normativen Gefüge, ausgerichtet auf ein befriedigendes Ergebnis der ratio legis. Dabei befolgt das Bundesgericht einen pragmatischen Methodenpluralismus und lehnt es namentlich ab, die einzelnen Auslegungselemente einer hierarchischen Ordnung zu unterstellen. Insbesondere bei jüngeren Gesetzen sind auch die Gesetzesmaterialien zu beachten, wenn sie auf die streitige Frage eine klare Antwort geben und dem Richter damit weiterhelfen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 446 f.; <ref-ruling> E. 4.4 S. 461).
2.5.
2.5.1. Nach dem Wortlaut von lit. b Abs. 2 SchlBest IVG besteht Anspruch auf das bisherige Assistenzgeld, "bis die IV-Stelle über den Umfang des Assistenzbeitrags nach Artikel 42sexies verfügt hat" ("jusqu'à ce que l'office AI ait déterminé l'étendue de la contribution"; "sino al momento in cui l'ufficio AI determina l'entità del diritto al contributo"). Dass die Rechtskraft der Verfügung erforderlich ist, ergibt sich daraus nicht.
2.5.2. Über das bereits Genannte (E. 2.3) hinaus lässt sich der Botschaft entnehmen (BBl 2010 1912), dass der Pilotversuch bis Ende Dezember 2011 befristet war, und dass nach dessen Abschluss die Versicherten "ohne Unterbruch Leistungen zur Finanzierung der benötigten Hilfeleistungen erhalten" sollten. In Bezug auf die hier interessierende Frage nach der Erforderlichkeit der Rechtskraft fehlen weitere Ausführungen. Sodann wird in der italienischen Version der Botschaft, abweichend von der deutschen und französischen Fassung, lediglich von einer "decisione formale" gesprochen (FF 2010 1696). Schliesslich gab lit. b SchlBest IVG in der parlamentarischen Beratung keinen Anlass zur Diskussion.
2.5.3. Sinn und Zweck von lit. b Abs. 2 SchlBest IVG war somit, die bisherigen Leistungen nicht bereits auf den 1. Januar 2012 aufzuheben, sondern solange auszurichten, bis sich die IV-Stelle hinreichende Klarheit über den Anspruch auf Assistenzbeitrag verschaffen konnte. Dieses Vorgehen ermöglichte anderseits den Versicherten, die bisherige Assistenz lückenlos und ohne Abstriche bis zum Erlass einer Verfügung über den neuen Anspruch weiterzubeziehen. Hingegen ist nicht anzunehmen, dass der Gesetzgeber beabsichtigte, das Assistenzgeld gemäss Pilotversuch grundsätzlich bis Ende 2012 weiterzuführen, hätte er doch sonst die Weiterausrichtung nicht entweder bis zum Verfügungserlass oder bis zur Höchstgrenze ("längstens", "au plus", resp. "al massimo") von zwölf Monaten vorgesehen und somit im Sinne einer Alternative befristet. Sodann ist auch nicht davon auszugehen, dass der versicherten Person die Möglichkeit eröffnet werden sollte, mit der blossen Ergreifung eines Rechtsmittels (zumindest) die Verlängerung des bisherigen Anspruchs zu erwirken.
2.5.4. Dem Gesetzgeber war bewusst, dass der Assistenzbeitrag - u.a. als Folge der beabsichtigten Kostenneutralität bei der Einführung dieser Leistung - tendenziell geringer ausfällt als das Assistenzgeld während des Pilotversuchs (vgl. BBl 2010 1836 f. Ziff. 1.1.3, 1839 Ziff. 1.2.2, 1865 Ziff. 1.3.4). Teilnehmer am Pilotversuch mussten daher unter der neuen Rechtslage mit verminderten Zahlungen rechnen. Nach <ref-law> erfolgt die Herabsetzung oder Aufhebung der Renten, der Hilflosenentschädigungen und der Assistenzbeiträge in der Regel vom ersten Tag des zweiten der Zustellung der Verfügung folgenden Monats an (vgl. auch <ref-ruling>). Somit wird im Anwendungsbereich dieser Bestimmung für die Wirkung der Leistungsanpassung an den Erlass resp. die Zustellung und nicht an die Rechtskraft der Verfügung angeknüpft. Zwar geht es hier nicht um die Anpassung eines Assistenzbeitrags, sondern um die Überführung des bisherigen Assistenzgeldes in den gesetzlich neu eingeführten Assistenzbeitrag. Indessen steht in beiden Konstellationen die Leistung für behinderungsbedingte Assistenz im Fokus, weshalb sie in Bezug auf die zeitlichen Folgen vergleichbar sind. Dass die Anpassung im einen Fall auf einem veränderten Sachverhalt und im anderen auf einer Revision der Rechtsgrundlagen beruht, ist in diesem Zusammenhang ohne Belang. Es rechtfertigt sich daher, <ref-law> für die Auslegung von lit. b Abs. 2 SchlBest IVG resp. für die Beantwortung der Frage nach der Notwendigkeit der Rechtskraft heranzuziehen. Dabei kann offenbleiben, ob die Aufhebung der bisherigen Leistung bereits auf Anfang des Folgemonats hätte erfolgen können (vgl. <ref-law>), wie die Verwaltung vorbringt.
2.6. In Gesamtbetrachtung der verschiedenen Aspekte der Auslegung (E. 2.5) ist der Standpunkt der Vorinstanz in Bezug auf das Erfordernis einer rechtskräftigen Verfügung nicht haltbar. Diesbezüglich ist die Beschwerde begründet; es bleibt bei der von der Verwaltung verfügten Aufhebung des bisherigen Assistenzgeldes auf den 1. September 2012.
3.
3.1. Soweit der angefochtene Entscheid den Assistenzbeitrag gemäss <ref-law> betrifft, handelt es sich um einen Rückweisungsentscheid, der nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> ein zulässiges Anfechtungsobjekt bildet. Danach ist die Beschwerde zulässig, wenn der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
3.2. Das kantonale Gericht hat erwogen, dass die Verfügung der IV-Stelle vom 20. Juli 2012 den Anforderungen an die sich aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör ergebende Begründungspflicht nicht genüge. Dieser Mangel werde auch durch den beiliegenden, mit dem standardisierten Abklärungsinstrument "FAKT2" erstellten Bericht über die Abklärung vom 20. März 2012 (nachfolgend: FAKT) nicht beseitigt, zumal dieser unübersichtlich und nicht selbsterklärend sei. Überdies fehle es an einer gemäss Rz. 6011 des Kreisschreibens des Bundesamtes für Sozialversicherungen über den Assistenzbeitrag (KSAB;http://www.bsv.admin.ch/vollzug/documents/index/category:34/lang:deu) erforderlichen Selbstdeklaration des Hilfebedarfs durch die versicherte Person. Immerhin liege die Selbstdeklaration Assistenzbudget vom 27. Juni 2006 bei den Akten. In Anbetracht der erheblichen Abweichungen dazu werde im FAKT nicht hinreichend begründet, weshalb sich die darin enthaltene Einschätzung so stark von den früheren Selbstangaben unterscheide.
3.3. Der Eintretensgrund von <ref-law> fällt hier ohne Weiteres ausser Betracht.
3.4. Das Bundesgericht hat im Urteil 8C_217/2014 vom 12. Mai 2014 (<ref-ruling>), das eine im Wesentlichen vergleichbare Beschwerde betraf, in Erinnerung gerufen, dass Rückweisungsentscheide mit verbindlichen Vorgaben zur neuen Beurteilung für die betroffene Behörde einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> darstellen. Dieser Grundsatz gilt allerdings nur, soweit der Rückweisungsentscheid materiellrechtliche Anordnungen enthält. Erschöpft er sich in der Feststellung einer Verletzung des rechtlichen Gehörs (hier der Begründungspflicht) und weist er die Sache zu deren Behebung an die Verwaltung zurück, ohne dass damit Anweisungen materiellrechtlicher Art verbunden sind, entsteht der Behörde kein irreversibler Nachteil und eine Anfechtbarkeit entfällt (<ref-ruling> E. 4.2 S. 286 mit Hinweisen).
3.5. Die Beschwerdeführerin wird durch den vorinstanzlichen Entscheid angewiesen, die Ermittlung des Assistenzbeitrags verfügungsweise detaillierter aufzuzeigen und dabei insbesondere zur Notwendigkeit einer Selbstdeklaration des Hilfebedarfs durch den Versicherten Stellung zu nehmen. Dabei bleibt es ihr unbenommen, die Grundsätze zur Beweiskraft des Abklärungsinstruments "FAKT2", wie sie im (zur Publikation vorgesehenen) Urteil 9C_648/2013 vom 17. Oktober 2014 festgehalten wurden (a.a.O., E. 3.2), zu berücksichtigen. Es ist nicht ersichtlich und wird auch nicht dargelegt, inwiefern damit die Rechts- und Sachlage sich als unverrückbar präsentieren und der angefochtene Entscheid verbindliche Anweisungen über die materiellrechtliche Behandlung des Falles enthalten soll (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 286 f.).
Sodann setzte sich das Bundesgericht bereits in <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 287 f. mit den Vorbringen der Beschwerdeführerin auseinander und legte dar, weshalb sie nicht standhalten. Darauf wird verwiesen; diesbezüglich erübrigen sich weitere Ausführungen.
3.6. Nach dem Gesagten sind die Voraussetzungen der Anfechtbarkeit nach <ref-law> zu verneinen. Soweit sich die Beschwerde auf den Assistenzbeitrag gemäss <ref-law> resp. die vorinstanzliche Rückweisung bezieht, ist sie unzulässig.
4.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das - in der Beschwerde nicht begründete - Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
5.
Die Gerichtskosten sind den Parteien entsprechend dem Ausgang des Verfahrens aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat für das bundesgerichtliche Verfahren Anspruch auf eine (reduzierte) Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 31. Januar 2014 wird aufgehoben, soweit er den Anspruch auf das bisherige Assistenzgeld betrifft.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden zu Fr. 300.- der Beschwerdeführerin und zu Fr. 200.- dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. November 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann