Sachverhalt:
A. X._ und seine Ehefrau Y._ meldeten sich im März 2001 von A._ nach B._, USA, ab. Aufgrund von Hinweisen über Aufenthalte im eigenen Haus in A._ verlangte das Einwohneramt der Gemeinde A._ von den Eheleuten in den Jahren 2005 und 2006 näheren Aufschluss über ihren tatsächlichen Aufenthalt. Nachdem die erhaltenen Auskünfte nicht eindeutig auf einen Auslandwohnsitz schliessen liessen, stellte der Gemeinderat von A._ unter Hinweis auf die Postzustellung, den Festnetzanschluss, die Thurgauer Kontrollschilder und weitere Indizien mit Verfügung vom 18. Januar 2007 fest, die Eheleute X._ und Y._ hätten ihren Lebensmittelpunkt in A._ und hiess sie, sich innert fünf Tagen beim Einwohneramt A._ anzumelden.
B. Hiergegen erhoben X._ und Y._ erfolglos Rekurs beim Departement für Justiz und Sicherheit und anschliessend Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Sie machten geltend, ihren Wohnsitz auf den Bahamas zu haben, was die Thurgauer Behörden nun auch im Blick auf eine Verbrauchsübersicht für Wasser und Strom, ärztliche Behandlungen und die Wartung eines Fahrzeuges als unglaubhaft erachteten. Als Postadresse hatten die Eheleute ihre Adresse in A._ angegeben. Da das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 19. Dezember 2007 dort am 16. Januar 2008 nicht zugestellt werden konnte, liess es der Präsident des Verwaltungsgerichts am _ im Amtsblatt des Kantons Thurgau veröffentlichen, was er den Eheleuten X._ und Y._ am 17. März 2008 mitteilte (Eingang des Schreibens von diesen handschriftlich vermerkt am 2. April 2008).
C. Am 21. April 2008 gelangten X._ und Y._ mit einem Fax an das Bundesgericht und beschwerten sich gegen das verwaltungsgerichtliche Erkenntnis. In der Begründung machten sie geltend, sie hielten sich nur zeitweise in A._ auf. Ihr Lebensmittelpunkt befinde sich auf den Bahamas. Im Weiteren teilten sie mit, dass sie die gleiche Eingabe gleichzeitig per Post übermitteln würden. Dieses Schreiben ging am 28. Mai 2008 beim Bundesgericht ein, worauf ein Beschwerdeverfahren eröffnet wurde.
In der Folge gelangten die Beschwerdeführer noch mit weiteren Schreiben an das Bundesgericht, worin sie namentlich ausführten, es sei für sie unmöglich, von den Bahamas aus so Beschwerde zu erheben, dass das Schreiben rechtzeitig der Schweizerischen Post zugehe. Die zuständige Botschaft sei in Montreal, Kanada, und die Schweiz verfüge zwar über ein Konsulat in Nassau, einer Insel der Bahamas-Gruppe, doch sei die lokale Post "absolut unzuverlässig".
D. Nachdem die Beschwerdeführer aufgefordert worden waren, ein schweizerisches Zustelldomizil zu bezeichnen, teilten sie am 31. Oktober 2008 mit, Mitteilungen könnten "an die gewohnte Adresse in A._" gesandt werden.
E. Nach Aufforderung zur Akteneinreichung orientierte die Einwohnergemeinde A._ am 9. Juli 2009, die Beschwerdeführer hätten sich am 22. Dezember 2008 persönlich am Schalter des Einwohneramtes angemeldet. Daraufhin erhielten die Beschwerdeführer Gelegenheit, darzulegen, inwiefern sie noch ein Interesse an der Behandlung der Beschwerdesache hätten und gegebenenfalls ihre Beschwerde zurückzuziehen. Dieses Schreiben vom 19. August 2009 liessen sie unbeantwortet. In der Folge wurden sie aufgefordert, bis zum 9. Oktober 2009 einen Kostenvorschuss einzubezahlen. Am 8. Oktober 2009 reichten sie ein Fristverlängerungsgesuch ein, worauf ihnen eine Nachfrist bis zum 9. November 2009 gewährt wurde. An diesem Tag beantragten die Beschwerdeführer mit allgemeinen Hinweisen auf ihre ungünstige wirtschaftliche Situation die unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid des kantonalen Verwaltungsgerichts (<ref-law>) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Eine Ausnahme nach dem Katalog von <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig. Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und sind durch den angefochtenen Entscheid beschwert (Art. 89 Abs. 1 lit. a und b BGG).
2. Die Beschwerdebefugnis setzt weiter ein schutzwürdiges eigenes Interesse voraus (<ref-law>). Das bedeutet insbesondere, dass der Beschwerdeführer aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids einen praktischen Nutzen ziehen können muss (<ref-ruling> E. 1.3 S. 252, 133 II 353 E. 3 S. 356). Dieses Interesse muss aktuell, d.h. im Zeitpunkt der Einreichung der Beschwerde und auch noch bei ihrer Beurteilung durch das Bundesgericht gegeben sein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 3 S. 84; <ref-ruling> E. 1 S. 673). Fehlt ein aktuelles Interesse schon im Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung, so ist auf die Beschwerde (unter Vorbehalt bestimmter, hier nicht gegebener Ausnahmegründe) nicht einzutreten. Fällt es im Laufe des bundesgerichtlichen Verfahrens dahin, so wird die Beschwerde gegenstandslos und vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben.
3. Eine Beschwerde muss - auch hinsichtlich der Legitimationsvoraussetzungen (<ref-ruling> E. 1 S. 121) - hinreichend begründet wer-den (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdeführer hat deshalb darzutun, inwiefern er ein praktisches und aktuelles Interesse an der Anfechtung eines Entscheids hat, wenn dies nicht auf der Hand liegt (<ref-ruling> E. 3 S. 357).
Während der Rechtshängigkeit der Beschwerdesache vor dem Bundesgericht haben sich die Beschwerdeführer in A._ wieder angemeldet (Schreiben der Einwohnergemeinde A._ vom 9. Juli 2009 mit Wohnsitzbescheinigungen für beide Beschwerdeführer). Inwiefern die Beschwerdeführer nach erfolgter Anmeldung noch ein aktuelles praktisches Interesse an der Anfechtung der Verpflichtung zur Anmeldung haben können, ist nicht ersichtlich. Die Beschwerdeführer sind deshalb aufgefordert worden, darzulegen, inwiefern noch ein solches Interesse bestehe. Sie sind dieser Aufforderung nicht nachgekommen. Mithin ist davon auszugehen, dass sie nach der offenbar aus freien Stücken erfolgten Anmeldung kein aktuelles Interesse an der Beurteilung ihrer Beschwerde mehr haben. Die Beschwerde ist daher wegen Dahinfallens des schutzwürdigen Interesses im Verlaufe des Verfahrens gegenstandslos geworden und vom Geschäftsverzeichnis abzuschreiben.
4. Wird ein Verfahren gegenstandslos, so ist über die Gerichtskosten mit summarischer Begründung aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes zu befinden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Dabei muss es bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Lässt diese keinen eindeutigen Schluss zu, so können auch allgemeine prozessrechtliche Kriterien herangezogen werden. Danach wird jene Partei kostenpflichtig, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst hat oder in welcher die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit geführt haben (<ref-ruling> E. 4a S. 494). Hier sind die Geschehnisse etwas verworren und die postalischen Möglichkeiten unklar geblieben, weshalb der mutmassliche Ausgang des Beschwerdeverfahrens offen bleiben kann. Das Verfahren haben die Beschwerdeführer veranlasst, und sie haben mit ihrem Verhalten (Anmeldung) auch dafür gesorgt, dass es gegen-standslos geworden ist. Nach allgemeinen Prozessrechtsgrundsätzen haben sie daher die Gerichtskosten unter solidarischer Haftung zu tragen (Art. 65 und 66, insbes. Abs. 5 BGG).
5. Die Beschwerdeführer haben kurz vor der Beurteilung, am letzten Tag der Nachfrist, noch ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gestellt. Damals war das Verfahren bereits gegenstandslos und die Beschwerde aussichtslos geworden, was die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ausschliesst (<ref-law>). Ausserdem haben die Beschwerdeführer das Gesuch erst am letzten Tag der Nachfrist gestellt, ohne zugleich ihre wirtschaftliche Situation mit ausreichenden Belegen darzutun, was praxisgemäss die Abweisung des Gesuchs zur Folge hat (Urteile 2C_758/2008, E. 2.2.2; 2C_560/2009, E. 2.2). Das Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird als gegenstandslos geworden vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. November 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Zähndler