Faits :
A.
A.a. Ressortissant congolais né en 1967, X._ est entré en Suisse le 11 janvier 2001 pour y déposer une demande d'asile. Celle-ci a été rejetée le 18 avril 2002 par l'Office fédéral des migrations, devenu le Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le Secrétariat d'Etat) le 1er janvier 2015.
Le 20 décembre 2002, X._ a épousé Y._, ressortissante suisse née en 1982. Deux enfants sont issus de cette union: A._, né en 2003, et B._, né en 2007. Par jugement de mesures protectrices de l'union conjugale du 22 octobre 2009, le Tribunal civil de la Sarine a autorisé les époux à vivre séparément, accordé à X._ un droit de visite sur ses enfants et astreint le prénommé au paiement de contributions d'entretien mensuelles de 450 fr. par enfant.
A.b. Par décision du 25 juillet 2013, le Secrétariat d'Etat a refusé de donner son approbation à la prolongation de l'autorisation de séjour de X._ et a prononcé son renvoi de Suisse. L'intéressé a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif fédéral. Statuant par arrêt du 4 février 2014, le Tribunal administratif fédéral a déclaré le recours irrecevable pour non-paiement de l'avance de frais. Cette décision est entrée en force.
A.c. Par décision du 27 novembre 2013, le Tribunal civil de la Sarine a prononcé le divorce des conjoints. Il a attribué l'autorité parentale et la garde des enfants à la mère et accordé un droit de visite à X._ à raison d'un week-end sur deux et les mercredis après-midi ainsi que quatre semaines de vacances par année. L'intéressé a également été astreint au paiement d'une contribution d'entretien mensuelle de 450 fr. pour A._ et de 400 fr. pour B._.
B.
Par acte du 1er mai 2014, X._ a sollicité le réexamen de la décision prononcée le 25 juillet 2013 à son encontre. A l'appui de sa demande, l'intéressé a fait valoir que la procédure pénale pour violation du devoir d'assistance ouverte à son encontre en 2012 avait été classée par ordonnance du 2 mai 2013, qu'il avait conclu une convention avec le Service de l'action sociale de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Service de l'action sociale) pour le versement de contributions d'entretien le 4 juillet 2013 et qu'en date du 9 décembre 2013, le Ministère public fribourgeois avait rendu une ordonnance de non-entrée en matière concernant la plainte du Service de l'action sociale pour violation de l'obligation d'entretien.
Le Secrétariat d'Etat a rejeté cette demande par décision du 15 août 2014. Il a considéré que X._ ne faisait valoir aucun fait nouveau et qu'il semblait en réalité requérir une autre appréciation juridique des faits connus en procédure ordinaire. Le recours interjeté par l'intéressé contre cette décision a été rejeté par le Tribunal administratif fédéral par arrêt du 12 mai 2015. Celui-ci a retenu que l'ordonnance de non-entrée en matière du 9 décembre 2013 rendue par le Ministère public fribourgeois et concernant la plainte du Service de l'action sociale pour violation de l'obligation d'entretien constituait un fait postérieur à la décision du 25 juillet 2013. Dans cette ordonnance, l'autorité pénale avait constaté que X._ avait honoré les engagements en matière de paiement des contributions d'entretien que l'intéressé avait pris envers le Service d'action sociale dans une convention conclue le 4 juillet 2013. Le Tribunal administratif fédéral a considéré qu'il s'agissait là d'un fait nouveau et pertinent lequel devrait être examiné en parallèle avec le jugement de divorce du 27 novembre 2013. Cet élément ne suffisait cependant pas à admettre que l'intéressé entretenait un lien économique particulièrement fort avec ses enfants. Le recourant ne pouvait au demeurant pas se prévaloir d'un comportement irréprochable.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sur mesures provisionnelles, à ce qu'il soit autorisé à demeurer en Suisse et à y exercer une activité lucrative jusqu'à droit connu sur son recours. Principalement, il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt du 12 mai 2015 et au renouvellement de son autorisation de séjour. Il requiert en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire limitée aux frais de la procédure.
Par ordonnance du 31 juillet 2015, le Président de la IIe Cour de droit public a rejeté la requête en mesure provisionnelles. Le 1er septembre 2015, le Tribunal fédéral a renoncé à demander une avance de frais et a informé le recourant qu'il serait statué ultérieurement sur sa demande d'assistance judiciaire.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à prendre position. Le Secrétariat d'Etat conclut au rejet du recours. Par courrier du 7 octobre 2015, X._ a produit une nouvelle pièce.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 p. 116).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions dans le domaine du droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
Le recourant invoque l'art. 8 CEDH sous l'angle de la protection de la vie familiale menée avec ses enfants suisses vivant auprès de leur mère. Ces circonstances sont potentiellement de nature à lui conférer un droit à une autorisation de séjour. Il s'ensuit que le recours est recevable sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, étant précisé que le point de savoir si le recourant dispose effectivement d'un tel droit relève du fond et non de la recevabilité (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179).
1.2. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue par le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>). Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (<ref-law>) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>, le recours en matière de droit public est par conséquent recevable.
2.
Aux termes de l'<ref-law>, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente.
En l'espèce, le recourant a produit une copie d'un procès-verbal d'audience du 17 septembre 2015 devant le Tribunal civil de la Sarine du canton de Fribourg, d'où il ressort que le jugement du divorce a été modifié en ce sens que l'autorité parentale sur A._ et B._ est exercée de manière conjointe. Il s'agit là d'une pièce nouvelle, postérieure à l'arrêt attaqué, que le Tribunal fédéral ne peut pas prendre en considération.
3.
En vertu de l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause.
En l'occurrence, le recourant fait valoir qu'il travaille de manière ininterrompue depuis le 1er décembre 2014, qu'il continue de verser 100 fr. au titre de pension alimentaire à ses enfants et qu'il contribue à leur entretien quotidien (par ex. frais nourriture, de déplacements, cotisations sportives, petites attentions). Dans la mesure où ces éléments ne ressortent pas des constatations de l'autorité précédente, sans que l'intéressé n'invoque ni ne démontre l'arbitraire dans l'établissement des faits, il n'en sera pas tenu compte. Dans la suite de son raisonnement, la Cour de céans se limitera en conséquence à vérifier l'application du droit au regard des seuls faits constatés dans l'arrêt attaqué.
4.
Le présent recours est dirigé contre l'arrêt du Tribunal administratif fédéral, rejetant le recours contre la décision du Secrétariat d'Etat prononcée à la suite d'une demande de réexamen. Lorsque l'autorité saisie d'une demande de réexamen entre en matière et rend une nouvelle décision au fond, cette dernière peut faire l'objet d'un recours pour des motifs de fond. Dans cette hypothèse, le litige a pour objet la décision sur réexamen et non pas la décision initiale (arrêt 2C_406/2013 du 23 septembre 2013 consid. 4.1 et les références citées). Dans une telle situation, le recourant doit se limiter à critiquer l'acte attaqué, en l'occurrence l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 12 mai 2015, et ne peut pas remettre en cause la décision initiale, à savoir celle du Secrétariat d'Etat du 25 juillet 2013 par laquelle l'autorité a refusé de donner son approbation à la prolongation de l'autorisation de séjour (cf. arrêt 2C_406/2013 du 23 septembre 2013 consid. 4.2). Le Tribunal de céans n'entrera donc pas en matière sur les critiques du recourant se rapportant à la décision entrée en force du 25 juillet 2013, en particulier lorsque celui-ci cherche à remettre en question la gravité des infractions commises.
Le litige porte ainsi uniquement sur la question de savoir si l'ordonnance de non-entrée en matière du 9 décembre 2013 rendue par le Ministère public fribourgeois concernant la plainte du Service de l'action sociale est un fait nouveau qui permet de renverser le résultat de la pesée des intérêts en faveur du recourant (arrêts 2C_1/2015 du 13 février 2015 consid. 4.1; 2C_406/2013 du 23 septembre 2013 consid. 4.2; 2C_968/2011 du 20 février 2012 consid. 4.3).
5.
Invoquant l'art. 8 CEDH, le recourant se prévaut de sa relation avec ses enfants et critique la pesée des intérêts effectuée par le Tribunal administratif fédéral. Il reproche à l'autorité précédente d'avoir nié l'existence d'un lien économique avec ses enfants et d'avoir retenu qu'il n'avait pas fait preuve d'un comportement irréprochable.
5.1. La question de l'application de l'art. 50 al. 1 let. a et b LEtr a été tranchée de manière définitive dans la procédure initiale ayant abouti à un arrêt d'irrecevabilité du Tribunal administratif fédéral rendu le 4 février 2014. Dans la présente procédure, le recourant n'invoque pas cette disposition, de sorte qu'il n'y pas lieu d'y revenir (cf. <ref-law>).
5.2. L'art. 8 CEDH ne confère en principe pas un droit à séjourner dans un Etat déterminé. Le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut toutefois entraver sa vie familiale et porter ainsi atteinte au droit au respect de la vie privée et familiale garanti par cette disposition (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 146 s. et les références citées). Il n'y a cependant pas atteinte à la vie familiale si l'on peut attendre des membres de la famille qu'ils réalisent leur vie de famille à l'étranger; l'art. 8 CEDH n'est pas a priori violé si le membre de la famille jouissant d'un droit de présence en Suisse peut quitter ce pays sans difficultés avec l'étranger auquel a été refusée une autorisation de séjour (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 146 s. et les références citées). En revanche, si le départ du membre de la famille pouvant rester en Suisse ne peut d'emblée être exigé sans autres difficultés, il convient de procéder à la pesée des intérêts prévue par l'art. 8 par. 2 CEDH. Celle-ci suppose de tenir compte de l'ensemble des circonstances et de mettre en balance l'intérêt privé à l'obtention d'un titre de séjour et l'intérêt public à son refus (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 155).
Selon la jurisprudence, le parent qui n'a pas l'autorité parentale ni la garde de l'enfant ne peut d'emblée entretenir une relation familiale avec celui-ci que de manière limitée, en exerçant le droit de visite dont il bénéficie. Or, il n'est en principe pas nécessaire que, dans l'optique de pouvoir exercer son droit de visite, le parent étranger réside durablement dans le même pays que son enfant et y dispose d'un droit de séjour. Sous l'angle du droit à une vie familiale (cf. art. 8 par. 1 CEDH), il suffit en règle générale que le parent vivant à l'étranger exerce son droit de visite dans le cadre de séjours de courte durée, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 319). Le droit de visite d'un parent sur son enfant ne doit en effet pas nécessairement s'exercer à un rythme bimensuel et peut également être organisé de manière à être compatible avec des séjours dans des pays différents (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 147). Selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral, un droit plus étendu ne peut le cas échéant exister qu'en présence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique, lorsque cette relation ne pourrait pratiquement pas être maintenue en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent, et que l'étranger a fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 147; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 319 et les références citées).
5.3. En l'occurrence, il ressort des constatations de l'autorité précédente, qui lient le Tribunal de céans (cf. <ref-law>), que le recourant entretient un lien affectif particulièrement fort avec ses enfants. Le maintien des liens affectifs en dépit de la rupture de l'union conjugale ne suffit cependant pas à justifier la prolongation de son autorisation de séjour. Comme l'a constaté le Tribunal administratif fédéral, l'intéressé n'a pas été régulier dans le versement de la contribution d'entretien due à ses enfants. Par jugement de mesures protectrices de l'union conjugale du 22 octobre 2009, le recourant a été astreint au paiement d'une contribution d'entretien mensuelle de 450 fr. par enfant. Selon l'état de fait retenu par l'autorité précédente, l'intéressé a versé 10'614 fr. 85 pour l'entretien de ses enfants en 2011 et 900 fr. en 2012. Entre le 1er février 2012 et le 28 février 2013, le recourant a cependant cessé tout versement au titre de contribution d'entretien. Depuis le mois de juillet 2013, le recourant a certes versé une contribution d'entretien mensuelle de 100 fr. par mois, conformément à un accord passé avec le Service de l'action sociale en date du 4 juillet 2013. Ce montant reste cependant largement en-deçà des 450 fr. par enfant fixés dans le jugement de mesures protectrices de l'union conjugale du 22 octobre 2009, de sorte que l'état de fait ne permet pas de retenir un lien économique particulièrement fort entre le recourant et ses enfants. Contrairement à ce que laisse entendre le recourant, la raison pour laquelle il ne s'acquitte pas de son dû n'est pas déterminante. Afin d'apprécier l'intensité du lien économique entre les intéressés, seul compte en définitive le fait que la pension ne soit pas versée. Cette question est appréciée de manière objective (arrêts 2C_797/2014 du 13 février 2015 consid. 4.4; 2C_794/2014 du 23 janvier 2015 consid. 3.3; 2C_173/2009 du 10 septembre 2009 consid. 4.2). Le Tribunal fédéral a certes admis qu'il convenait de distinguer la situation dans laquelle l'étranger ne contribuait pas à l'entretien de l'enfant faute d'avoir été autorisé à travailler, de celle dans laquelle il ne faisait aucun effort pour trouver un emploi (cf. arrêts 2C_420/2015 du 1er octobre 2015 consid. 2.4; 2A.516/1999 du 16 février 2000 consid. 4 bb). Les exigences relatives à l'étendue de la relation que l'étranger doit entretenir avec son enfant d'un point de vue affectif et économique doivent rester dans l'ordre du possible et du raisonnable (cf. arrêts 2C_420/2015 du 1er octobre 2015 consid. 2.4; 2C_1125/2014 du 9 septembre 2015 consid. 4.6.2). Outre que le recourant ne prétend pas avoir manqué à son obligation d'entretien faute d'avoir été autorisé à travailler, il ressort du dossier que l'intéressé n'a de toute évidence pas fait de l'entretien financier de ses enfants une priorité puisqu'il a préféré dépenser plus de 2'000 fr. à l'achat de stupéfiants, ce qui lui a valu une condamnation le 14 juin 2012 (cf. <ref-law>). Dans ces conditions, on ne peut admettre un lien familial fort d'un point de vue économique.
A cela s'ajoute que le recourant ne peut pas se prévaloir d'un comportement irréprochable. En effet, la décision initiale du 25 juillet 2013 fait état de deux condamnations pénales: l'une le 30 avril 2004 pour recel et escroquerie et l'autre le 14 juin 2012 pour infraction à la LStup. Le recourant se prévaut du temps écoulé depuis sa condamnation du 30 avril 2004. Certes, les condamnations pénales ne peuvent justifier indéfiniment une restriction du droit au regroupement familial; avec l'écoulement du temps et un comportement correct, les considérations de prévention générale liées à la sécurité et l'ordre publics perdent en importance (cf. arrêts 2C_1224/2013 du 12 décembre 2014 consid. 5.1.1; 2C_953/2013 du 16 septembre 2014 consid. 3.3; 2C_1163/2013 du 8 août 2014 consid. 4.2). L'écoulement du temps doit cependant s'accompagner à tout le moins d'un changement de comportement de l'intéressé, ce qui commence par le respect des décisions prononcées (cf. arrêts 2C_406/2013 du 23 septembre 2013 consid. 4.4.1; 2C_1170/2012 du 24 mai 2013 consid. 3.3). Or, force est de constater que la condamnation pénale du 30 avril 2004 n'a pas permis au recourant de modifier son comportement puisqu'il a été à nouveau condamné en 2012 pour l'achat de stupéfiants. Il ressort du reste de la décision du 25 juillet 2013 qu'en plus des condamnations pénales, le recourant a accumulé une dette d'aide sociale à hauteur de 20'912 fr. (état au 16 janvier 2012) et qu'il a fait l'objet de nombreuses poursuites et actes de défaut de bien datant de 2006 à 2012 pour un montant total de plus de 57'000 fr.
5.4. Il suit des considérations qui précèdent que le recourant ne présente pas de lien économique fort avec ses enfants et qu'il ne peut se targuer d'un comportement irréprochable. Contrairement à ce que prétend le recourant, on ne se trouve donc pas dans une des situations particulières où la jurisprudence admet, sous l'angle de la proportionnalité, que l'absence d'un critère peut être compensée par la réalisation d'autres conditions, soit l'existence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique, la durée du séjour, le degré d'intégration, l'intérêt des enfants, etc. (cf. arrêts 2C_728/2014 du 3 juin 2015 consid. 4.1; 2C_1125/2014 du 9 septembre 2015 consid. 4.4). C'est, dès lors, à juste titre que le Tribunal administratif fédéral a confirmé le refus de renouveler l'autorisation de séjour du recourant.
6.
Quant aux art. 3, 7 et 9 de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (CDE; RS 0.107) que le recourant a invoqués dans son recours, on ne voit pas en quoi ils seraient violés, ce que l'intéressé ne démontre du reste nullement. Le Tribunal fédéral a, au demeurant, déjà jugé que l'on ne pouvait déduire des dispositions de la convention aucune prétention directe à l'obtention d'une autorisation de séjour (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 321 et les références citées). L'intérêt des enfants doit en revanche être pris en compte lors de l'examen de la proportionnalité, tel que l'on vient de le voir (cf. supra consid. 5.4).
7.
Au vu de ce qui p récède, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Le recours étant manifestement dépourvu de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire limitée aux frais de la procédure est rejetée (<ref-law>). Par conséquent, les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant, mais ils seront fixés en tenant compte de sa situation financière (art. 66 al. 1 et 2 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au représentant du recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations et au Tribunal administratif fédéral.
Lausanne, le 21 décembre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : McGregor