Erwägungen:
1. Mit Urteil vom 8. August 2011 ist das Bundesgericht auf eine von X._ betreffend Nichterteilung des Gemeindebürgerrechts erhobene Beschwerde nicht eingetreten (Verfahren 1C_324/2011).
Mit Eingabe vom 23. September 2011, die am 26. September 2011 beim Bundesgericht eingetroffen ist, ersucht X._ um Revision des genannten Urteils, nachdem er auf seine Eingabe vom 15. September 2011 hin gemäss Schreiben vom 20. September 2011 auf die gesetzlichen Revisionsvoraussetzungen nach <ref-law> aufmerksam gemacht worden ist.
2. Die Aufhebung oder Abänderung eines wie hier in Rechtskraft erwachsenen Bundesgerichtsurteils ist nur bei Vorliegen eines Revisionsgrundes möglich.
Der Gesuchsteller kritisiert das genannte bundesgerichtliche Urteil ganz allgemein. Er unterlässt es allerdings dabei, sich auf einen der gesetzlichen Revisionsgründe (<ref-law>) zu berufen, worauf er gemäss Schreiben vom 20. September 2011 hingewiesen worden ist. Was er mit seiner Eingabe vorbringt, beschränkt sich im Wesentlichen auf eine appellatorische Kritik an der dem Urteil zugrunde liegenden rechtlichen Würdigung. Solche Kritik ist jedoch im Revisionsverfahren nicht zu hören. Der Gesuchsteller wäre gehalten gewesen, in seiner Eingabe einen Revisionsgrund darzulegen, was er indes unterlassen hat.
Nichts anderes ergibt sich, soweit er in seiner Eingabe vom 15. September 2011 offenbar monieren will, Bundesrichter Aemisegger, welcher das angefochtene bundesgerichtliche Urteil als präsidierendes Mitglied im Einzelrichterverfahren nach <ref-law> unterzeichnet hat, habe als Schaffhauser das bundesgerichtliche Verfahren zugunsten der am zugrunde liegenden kantonalen Verfahren beteiligten Schaffhauser Behörden unfair geführt. Hierin könnte allenfalls eine Befangenheitsrüge erblickt werden, welche der Gesuchsteller im Rahmen des Revisionsgrundes nach <ref-law> vortragen könnte. Doch ist auch eine solche Rüge durch nichts belegt. Der Gesuchsteller hat es denn auch unterlassen, sich in seiner Revisionseingabe vom 23. September 2011 ausdrücklich auf den Revisionsgrund von <ref-law> zu berufen.
Auf das Revisionsgesuch ist daher ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) nicht einzutreten.
Weitere Eingaben in dieser Sache, insbesondere weitere Revisionsgesuche, werden in Zukunft ohne Antwort abgelegt.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach wird erkannt:
1. Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller, dem Bürgerrat der Stadt Schaffhausen sowie dem Regierungsrat und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Oktober 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp