Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Die Revision eines bundesgerichtlichen Entscheides ist nur im Rahmen der in Art. 136 und 137 OG (sowie Art. 139a OG) abschliessend aufgezählten Revisionsgründe zulässig, wobei das Revisionsgesuch in den Fällen von Art. 136 OG binnen 30 Tagen vom Eingang der schriftlichen Ausfertigung des Entscheides und in den Fällen des Art. 137 OG binnen 90 Tagen von der Entdeckung des Revisionsgrundes, frühestens jedoch vom Eingang der schriftlichen Ausfertigung des bundesgerichtlichen Entscheides oder vom Abschluss des Strafverfahrens an beim Bundesgericht anhängig gemacht werden muss (Art. 141 Abs. 1 lit. a und b OG).
b) Der Gesuchsteller beruft sich auf den Revisionsgrund von Art. 137 lit. b OG, wobei er sich auf einen Arztbericht vom 5. Oktober 2000 stützt. Er hat diesen Bericht frühestens am 6. Oktober 2000 erhalten, weshalb die Revisionsfrist von 90 Tagen am 7. Oktober 2000 zu laufen begonnen hat und unter Berücksichtigung des Fristenstillstandes vom 18. Dezember 2000 bis 1. Januar 2001 (Art. 34 Abs. 1 lit. c in Verbindung mit Art. 135 OG) am 19. Januar 2001 abgelaufen ist. Auf das Revisionsgesuch vom 8. Januar 2001, welches den Anforderungen von Art. 140 OG entspricht, ist daher einzutreten.
2.- Nach Art. 137 lit. b in Verbindung mit Art. 135 OG ist die Revision eines Urteils des Eidgenössischen Versicherungsgerichts u.a. zulässig, wenn der Gesuchsteller nachträglich neue erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die er im früheren Verfahren nicht beibringen konnte. Als "neu" gelten Tatsachen, welche sich bis zum Zeitpunkt, da im Hauptverfahren noch tatsächliche Vorbringen prozessual zulässig waren, verwirklicht haben, jedoch dem Revisionsgesuchsteller trotz hinreichender Sorgfalt nicht bekannt waren. Die neuen Tatsachen müssen ferner erheblich sein, d.h. sie müssen geeignet sein, die tatbeständliche Grundlage des angefochtenen Urteils zu verändern und bei zutreffender rechtlicher Würdigung zu einer andern Entscheidung zu führen. Beweismittel haben entweder dem Beweis der die Revision begründenden neuen erheblichen Tatsachen oder dem Beweis von Tatsachen zu dienen, die zwar im früheren Verfahren bekannt gewesen, aber zum Nachteil des Gesuchstellers unbewiesen geblieben sind. Sollen bereits vorgebrachte Tatsachen mit den neuen Mitteln bewiesen werden, so hat der Gesuchsteller auch darzutun, dass er die Beweismittel im früheren Verfahren nicht beibringen konnte. Entscheidend ist ein Beweismittel, wenn angenommen werden muss, es hätte zu einem andern Urteil geführt, falls der Richter im Hauptverfahren davon Kenntnis gehabt hätte. Ausschlaggebend ist, dass das Beweismittel nicht bloss der Sachverhaltswürdigung, sondern der Sachverhaltsermittlung dient. Es genügt beispielsweise nicht, dass ein neues Gutachten den Sachverhalt anders bewertet; vielmehr bedarf es neuer Elemente tatsächlicher Natur, welche die Entscheidungsgrundlage als objektiv mangelhaft erscheinen lassen. Für die Revision eines Entscheides genügt es nicht, dass der Gutachter aus den im Zeitpunkt des Haupturteils bekannten Tatsachen andere Schlussfolgerungen zieht als das Gericht. Auch ist ein Revisionsgrund nicht schon gegeben, wenn das Gericht bereits im Hauptverfahren bekannte Tatsachen möglicherweise unrichtig gewürdigt hat. Notwendig ist vielmehr, dass die unrichtige Würdigung erfolgte, weil für den Entscheid wesentliche Tatsachen nicht bekannt waren oder unbewiesen geblieben sind (<ref-ruling> Erw. 2 und 293 Erw. 2a, 108 V 171 Erw. 1; vgl. auch <ref-ruling>).
3.- a) Das Revisionsgesuch stützt sich auf einen Bericht vom 5. Oktober 2000, mit welchem Dr. med. A._ zu einem vom Rechtsvertreter des Gesuchstellers aufgestellten Fragenkatalog Stellung genommen hat. Neben Angaben zu den subjektiven und objektiven Befunden sowie den Diagnosen enthält der Bericht nähere Ausführungen zur Kausalität der bestehenden Beschwerden, welche sich dahin zusammenfassen lassen, dass die festgestellten Gesundheitsschädigungen mit überwiegender Wahrscheinlichkeit alleinige Folge der Lyme-Borreliose (bzw. des Zeckenbisses) bilden und keine unfallfremden Faktoren bestehen, welche für die heutigen Beschwerden mit überwiegender Wahrscheinlichkeit ursächlich sind. Nach Auffassung von Dr. med. A._ beruht das Gutachten von Prof. Dr. C._ insofern auf falschen Annahmen, als auch ein korrekt behandeltes Erythema migrans zur Dissemination und damit zu einem Krankheitsstadium II oder III führen kann, Sehstörungen bereits früh im Krankheitsverlauf auftreten können, Konzentrations- und Gedächtnisstörungen sehr wohl zur Lyme-Borreliose gehören, auch wenn Liquoruntersuchungen, MRI und neuropsychologische Beurteilungen normal ausfallen, und das fehlende Ansprechen auf die Therapie (mit Rocephin) kein Beweis für eine andere Diagnose ist. Des Weiteren wird gerügt, das Gutachten von Prof. Dr. C._ erwähne nur Fakten und Argumente, die gegen einen Kausalzusammenhang sprächen und enthalte keine umfassende Würdigung des Sachverhalts. Insbesondere sei es unterlassen worden, die serologischen Befunde der Lyme-Borreliose zu interpretieren und das Krankheitsgeschehen im gesamten Verlauf und unter Berücksichtigung der medizinischen Literatur zu würdigen. Im Übrigen wird festgestellt, dass der gleiche, für einen Kausalzusammenhang zwischen dem Zeckenbiss bzw. der Lyme-Borreliose und den festgestellten Gesundheitsschädigungen sprechende Sachverhalt bereits bei der Begutachtung im Jahre 1997 bestanden habe und schon aufgrund der damals vorhanden gewesenen medizinischen Erkenntnisse hätte bejaht werden müssen.
b) Im Revisionsgesuch vom 8. Januar 2001 wird das Vorliegen revisionsbegründender neuer Tatsachen und Beweismittel damit begründet, dass
-die von Prof. Dr. C._ gestellten Diagnosen einer
Adipositas, chronischen Bursitis olecrani rechts sowie
einer chronischen Hepatitis C von Dr. med. A._
nicht hätten bestätigt werden können;
-die bestehenden gesundheitlichen Störungen nach Auffassung
von Dr. med. A._ dem typischen Verlaufsprofil
der Lyme-Borreliose entsprächen;
-gemäss neuer medizinischer Erkenntnisse selbst bei einer
adäquaten antibiotischen Behandlung eine Erregerdissemination
vor Beginn der Behandlung möglich, ja sogar typisch
sei;
-entgegen der Auffassung von Prof. Dr. C._ neue
medizinische Erkenntnisse klar darauf hindeuteten, dass
ein Therapieversagen nicht damit erklärt werden könne,
dass die Beschwerden auf andere Ursachen zurückzuführen
seien;
-die Aussage von Prof. Dr. C._, wonach Sehstörungen
im Frühstadium einer Borreliose ungewöhnlich seien, nach
neuer medizinischer Erkenntnis falsch sei;
-der fehlende Nachweis von Konzentrations- und Gedächtnisstörungen
mittels Liquoruntersuchungen, MRI und neuropsychologischen
Untersuchungen nach heutiger Erkenntnis
die Regel bilde und nicht darauf schliessen lasse, dass
keine Borrelien-Infektion vorliege;
-Dr. med. A._ festgestellt habe, dass die serologischen
Befunde von Prof. Dr. K._ in der bisherigen
Beurteilung unberücksichtigt geblieben seien.
Nach Auffassung des Gesuchstellers muss aufgrund dieser neuen medizinischen Erkenntnisse zwingend gefolgert werden, dass im Zeitpunkt der Urteilsfindung Tatsachen und Zusammenhänge objektiv falsch gewürdigt worden seien, dies aufgrund von Erkenntnissen, die - wären sie damals richtig berücksichtigt worden - zu einem andern Entscheid geführt hätten. Es handle sich somit um neue Tatsachen und Beweismittel, die der Gesuchsteller im Hauptverfahren nicht gekannt habe und auch nicht habe kennen bzw. beibringen können.
4.- a) Weder im Revisionsgesuch vom 8. Januar 2001 noch im Bericht von Dr. med. A._ vom 5. Oktober 2000 werden neue Tatsachen genannt, welche die Entscheidungsgrundlagen des Hauptverfahrens als objektiv mangelhaft erscheinen liessen. Dass Dr. med. A._ Ende 2000 einzelne der von Prof. Dr. C._ im Jahre 1997 erhobenen Diagnosen nicht bestätigen konnte, lässt nicht schon darauf schliessen, dass die Sachverhaltsfeststellung, wie sie dem Urteil vom 28. September 1999 zugrunde lag, mangelhaft war. Dies umso weniger als Dr. med. A._ ausdrücklich festhält, dass sich der medizinische Sachverhalt seit 1997 nicht wesentlich geändert hat. Mit der Feststellung, dass der Kausalzusammenhang schon aufgrund des damals bekannten Sachverhalts und der damaligen medizinischen Erkenntnisse hätte bejaht werden müssen, verneint Dr. med. A._ sinngemäss, dass neue Sachverhaltselemente, die unbekannt waren oder zum Nachteil des Gesuchstellers unbewiesen geblieben sind, oder auch nur neue wissenschaftliche Erkenntnisse vorliegen, die zu einer andern Beurteilung zu führen vermöchten. Die Ausführungen im Bericht von Dr. med. A._ erschöpfen sich in einer andern Würdigung des an sich feststehenden und im Wesentlichen gleichgebliebenen Sachverhalts. Sie betreffen nicht die Sachverhaltsermittlung, sondern allein die Sachverhaltswürdigung, was nach dem Gesagten selbst dann nicht Gegenstand einer Revision bilden kann, wenn die Schlussfolgerungen im Gutachten von Prof. Dr. C._ und die richterliche Beurteilung unrichtig sein sollten. Es liegen nicht nur keine neuen erheblichen Tatsachen, sondern auch keine neuen Beweismittel für Tatsachen vor, die im früheren Verfahren bekannt gewesen, zum Nachteil des Gesuchstellers aber unbewiesen geblieben sind. Das Revisionsgesuch ist damit unbegründet. Im Übrigen hatte der Gesuchsteller die vom Unfallversicherer im Abklärungsverfahren vorgesehene Einholung eines Gutachtens von Dr. med. A._ ausdrücklich abgelehnt und sich in der Folge mit der Begutachtung durch Prof. Dr. C._ einverstanden erklärt. Er hat es sich daher selber zuzuschreiben, dass die abweichende Meinung von Dr. med. A._ nicht in die richterliche Beurteilung Eingang gefunden hat.
b) Da es an einem Revisionsgrund fehlt, hat sich das Eidgenössische Versicherungsgericht zur Kritik von Dr. med. A._ am Gutachten von Prof. Dr. C._ nicht näher zu äussern. Immerhin rechtfertigen sich zuhanden des Gesuchstellers folgende Feststellungen. Dass sich Prof. Dr. C._ nicht näher mit der Bedeutung der im Gutachten erwähnten serologischen Befunde auseinander gesetzt hat, lässt sich schon deshalb nicht beanstanden, weil diesen Befunden erfahrungsgemäss nur begrenzte Bedeutung beizumessen ist, wie auch Dr. med. A._ annimmt. Wenn dieser Arzt den Ausführungen im Gutachten von Prof. Dr. C._ entgegen hält, auch ein korrekt behandeltes Erythema migrans könne zu einer Dissemination der Krankheitserreger führen und das fehlende Ansprechen auf die Therapie sei kein Beweis gegen eine Borreliose, so ist zu bemerken, dass es sich bei den entsprechenden gutachterlichen Ausführungen lediglich um zusätzliche Argumente handelte und das Versagen der Therapie zwar nicht notwendigerweise gegen einen Kausalzusammenhang spricht, sicher aber auch nicht für einen solchen. Schliesslich ist festzustellen, dass sich das Urteil vom 28. September 1999 nicht allein auf das - auf einer eingehenden stationären und mehreren konsiliarischen Untersuchungen beruhende - Gutachten von Prof. Dr. C._ stützte, sondern in Würdigung der gesamten medizinischen Akten erfolgte. Mit den in den Akten enthaltenen weiteren Arztberichten setzt sich der Bericht von Dr. med. A._ in keiner Weise auseinander. Hiezu hätte aber umso mehr Anlass bestanden, als Dr. med. A._ entgegen mehreren anderen Ärzten das Vorhandensein unfallfremder Faktoren verneint.
5.- Das Revisionsverfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens gehen die Kosten zu Lasten des Gesuchstellers (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I.Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
II.Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Gesuchsteller
auferlegt und mit dem geleisteten Kostenvorschuss
verrechnet.
III.Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht
des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für
Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 9. April 2001
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer:
Die Gerichtsschreiberin: