Faits:
A.
Les époux H.X._ et F.X._ ont pris à bail dès le 1er janvier 2006 des locaux commerciaux destinés à l'exploitation d'un café-restaurant, au sein d'un immeuble situé à ... (VD). Le loyer mensuel était de 5'470 fr., charges comprises. L'immeuble était la propriété commune de trois personnes formant une communauté héréditaire. Il était administré par une exécutrice testamentaire, qui est morte le 16 mars 2006; cet événement n'a pas été annoncé au registre foncier.
Le 24 juin 2011, les locataires ont reçu un courrier dans lequel les bailleurs leur reprochaient en substance de n'avoir versé aucun loyer pour les mois de "novembre" à "juin"; l'arriéré de 43'760 fr. devait être payé dans un délai de 30 jours, faute de quoi le bail serait résilié en application de l'art. 257d CO.
Par avis séparés du 25 juillet 2011, réceptionnés par les locataires le jour suivant, les trois bailleurs/propriétaires communs ont résilié le contrat pour le 30 septembre 2011; ils invoquaient le non-paiement du loyer.
B.
B.a. Par requête du 25 août 2011, les locataires ont saisi l'autorité de conciliation du district de la Riviera; ils concluaient en substance au constat de la nullité du congé, subsidiairement à son annulation, plus subsidiairement à une prolongation de bail pour une durée de six ans.
Les bailleurs ont pour leur part demandé l'expulsion des locataires selon la procédure des cas clairs (art. 257 CPC), par requête du 11 octobre 2011 adressée au Juge de paix du district de la Riviera-Pays d'Enhaut.
Le 22 novembre 2011, la propriété de l'immeuble abritant le café-restaurant a passé à la société Z._ SA. Le contrat de vente du 18 novembre 2011 précisait qu'une procédure d'expulsion était en cours concernant le bail commercial.
La nouvelle propriétaire s'est annoncée aux locataires par courrier du 30 novembre 2011; elle leur a communiqué ses coordonnées bancaires pour le versement du "loyer mensuel", en précisant que "cette notification ne modifi[ait] rien à la résiliation de bail faite par les précédents propriétaires (procédure en cours reste valable) ".
Dans la procédure des cas clairs, une audience des débats s'est tenue le 6 décembre 2011. A cette occasion, l'administrateur de la nouvelle bailleresse a confirmé conclure à l'expulsion des locataires. Par décision du 12 décembre 2011, dont la motivation a été adressée aux parties le 30 décembre 2011, le juge de paix a déclaré irrecevable la requête d'expulsion, au motif que le cas n'était pas clair. Il existait un doute quant au point de savoir si les précédents bailleurs, qui formaient une communauté héréditaire, avaient qualité pour résilier le bail. En effet, le registre foncier mentionnait l'existence d'une exécutrice testamentaire, qui était en principe seule compétente pour résilier le contrat. Le décès de cette personne, née en 1910 selon le registre foncier, n'était alors pas prouvé. Aucun recours n'a été formé contre cette décision.
B.b. Par courrier du 20 janvier 2012, l'avocate de la bailleresse a fait grief aux locataires de n'avoir plus versé le "loyer mensuel" de 5'470 fr. depuis novembre 2010. Elle les a mis en demeure d'acquitter "l'intégralité des loyers impayés" dans un délai de 30 jours, faute de quoi leur "contrat sera[it] résilié avec effet immédiat".
Le 1er février 2012, l'agent d'affaires mandaté par les locataires a écrit qu'à sa connaissance, le solde des "loyers en souffrance" dus à la nouvelle bailleresse s'élevait à 13'128 fr. pour la période du 18 novembre 2011 au 31 janvier 2012. Le 2 février 2012, l'avocate de la partie adverse a confirmé que la mise en demeure portait sur les "loyers échus" à compter du 18 novembre 2011, soit sur la somme totale de 13'128 fr. Elle a ajouté qu'il "serait de bon ton" que les locataires s'acquittent également du "loyer" du mois de février sans qu'elle ne doive à nouveau les mettre en demeure.
Le 15 février 2012, le mandataire des locataires a annoncé le paiement du montant précité, qui rendait ainsi inefficace la mise en demeure du 20 janvier. Il a demandé confirmation de ces points. Le 27 février 2012, l'avocate de la bailleresse a accusé réception de 13'128 fr. et confirmé que les locataires s'étaient ainsi conformés à sa mise en demeure. Dans le même courrier, elle a toutefois sommé ceux-ci de payer le "loyer" de février 2012 dans un délai de 30 jours, en les menaçant de résilier le "contrat de bail" avec effet immédiat; elle a encore ajouté la phrase suivante: " Vous comprendrez aisément que je ne souhaite pas devoir procéder chaque mois à un avis comminatoire pour que vos mandants s'acquittent du loyer dû. "
Le 6 mars 2012, elle a constaté que les locataires "persist[ai]ent dans leur intention de ne pas payer le loyer pour les locaux qu'ils occup[ai]ent"; elle a procédé à une nouvelle mise en demeure pour le "loyer" de mars 2012, avec menace de "résilier" le "contrat de bail", en précisant que cette sommation ne remettait aucunement en cause la mise en demeure du 27 février 2012, laquelle concernait le "loyer" du mois de février 2012. Le mandataire des locataires a annoncé par courrier du 13 mars 2012 que les loyers de février et mars 2012 avaient été payés.
B.c. Dans le cadre de la procédure introduite par les locataires le 25 août 2011, les parties ont été assignées le 16 avril 2012 à une audience de conciliation fixée le 9 mai 2012. Lors de celle-ci, la bailleresse a notamment pris des conclusions en expulsion. La conciliation n'ayant pas abouti, une autorisation de procéder a été délivrée le 16 mai 2012 à chaque partie.
L'autorisation destinée aux locataires se réfère à leur requête du 25 août 2011, dont elle reprend les conclusions en constatation de la nullité du congé, subsidiairement en annulation, plus subsidiairement en prolongation de bail. Il est ensuite précisé qu'à l'audience, des conclusions reconventionnelles en paiement de 62'905 fr. ont été prises par "le défendeur", c'est-à-dire par la bailleresse.
L'autorisation de procéder délivrée à la bailleresse se réfère à la requête du 11 octobre 2011, dont elle reprend les conclusions en expulsion. Elle précise ensuite qu'en audience, des conclusions reconventionnelles en paiement de 62'905 fr. ont été prises par "le demandeur", c'est-à-dire par la bailleresse.
B.d. Le 18 juin 2012, la bailleresse a adressé une demande au Juge de paix du district de la Riviera-Pays d'Enhaut, dans laquelle elle concluait en substance à l'expulsion des locataires dans un délai de 20 jours dès la notification du jugement à intervenir.
Ce même 18 juin, les locataires ont déposé une demande devant le Tribunal des baux, dans laquelle ils invitaient cette autorité à constater la nullité du congé, subsidiairement à prononcer son annulation, plus subsidiairement à leur octroyer une prolongation de bail de six ans. Par prononcé du 5 juillet 2012, le Tribunal des baux a déclaré cette demande irrecevable au motif qu'elle n'était pas de sa compétence. Le 17 juillet 2012, les locataires ont déposé une demande contenant les mêmes conclusions devant le Juge de paix du district précité. Ils se prévalaient de la date du premier dépôt de la demande devant le Tribunal des baux (art. 63 CPC).
Le 25 juillet 2012, le juge de paix saisi a indiqué aux parties qu'il traiterait l'écriture du 17 juillet comme une réponse à la demande déposée par la bailleresse le 18 juin et que les conclusions reconventionnelles des locataires seraient examinées à titre préjudiciel lors du contrôle de la validité du congé fondé sur l'art. 257d CO.
Par décision finale du 15 mars 2013, le juge de paix a rejeté les conclusions prises par la bailleresse contre les locataires, selon demande du 18 juin 2012. Dans ses considérants en droit, il a rejeté le grief soulevé par les locataires quant à la prétendue irrecevabilité des conclusions en expulsion. Il a considéré que le congé donné par les précédents bailleurs respectait les conditions de l'art. 257d CO; toutefois, la nouvelle bailleresse, par l'intermédiaire de son avocate, avait adopté entre les mois de janvier et mai 2012 un comportement faisant inférer qu'elle renonçait à la résiliation du 25 juillet 2011 et que le bail conclu en 2006 était à ses yeux toujours en vigueur. Elle avait dès lors commis un abus de droit en requérant l'expulsion des locataires par voie reconventionnelle à l'audience de conciliation.
B.e. La bailleresse a déféré cette décision à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois. Par arrêt du 12 août 2013, cette autorité a admis la requête d'expulsion et ordonné aux locataires de quitter les locaux, faute de quoi l'huissier de paix procéderait à l'exécution forcée de la décision, cas échéant avec le concours des agents de la force publique. La cause a été renvoyée au juge de paix pour qu'il fixe un nouveau délai pour libérer les lieux. En droit, la cour a considéré que le congé ne pouvait pas être révoqué dès lors qu'il avait été valablement donné. Il restait à examiner si les parties avaient conclu un nouveau bail tacite. Une telle hypothèse ne pouvait pas être retenue en l'espèce. La bailleresse n'avait donc pas abusé de son droit en demandant l'expulsion des locataires.
C.
Les locataires saisissent le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile dans lequel ils concluent à la réforme de l'arrêt précité, en ce sens que les conclusions prises par la bailleresse au pied de sa demande du 18 juin 2012 sont rejetées.
La bailleresse conclut au rejet du recours. L'autorité précédente se réfère à son arrêt.
Le recours bénéficie de l'effet suspensif en vertu d'une ordonnance présidentielle du 27 novembre 2013.

Considérant en droit:
1.
Le recours peut être formé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). L'autorité de céans applique ce droit d'office, sous réserve des droits fondamentaux (art. 106 LTF). Elle apprécie librement la portée juridique des faits, sans être liée par l'argumentation des parties ou par les motifs de l'arrêt attaqué. Eu égard, toutefois, à l'exigence de motivation qu'impose l'art. 42 al. 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine d'ordinaire que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.2.1; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.4.1).
2.
2.1. Dans un premier grief, les recourants reprochent à la cour d'appel d'être entrée en matière sur les conclusions en expulsion alors que la bailleresse n'avait pas fait précéder sa demande par une requête de conciliation. L'une des conditions de recevabilité de l'action ferait ainsi défaut. La cour aurait de surcroît commis un déni de justice formel en ne traitant pas le grief soulevé par les locataires.
2.2. Contrairement à ce qu'affirment les recourants, l'arrêt attaqué ne retient pas que la bailleresse aurait déposé une requête en expulsion devant l'autorité de conciliation. Dans sa décision du 15 mars 2013, le juge de paix retient que la bailleresse a pris des conclusions reconventionnelles en expulsion à l'audience de conciliation du 9 mai 2012 (p. 7 et 17 i.f. -18). La cour d'appel ne dit pas le contraire lorsqu'elle fait état de conclusions en expulsion prises à l'audience de conciliation (arrêt du 12 août 2013, p. 15). Les parties relèvent des anomalies dans les autorisations de procéder, sans toutefois démontrer qu'il serait arbitraire de retenir en fait que des conclusions en expulsion ont été prises en audience. Dans la mesure où la procédure avait été initiée par les locataires, ces conclusions devaient être juridiquement qualifiées de conclusions reconventionnelles (cf. art. 209 al. 2 let. b CPC).
2.3.
2.3.1. L'autorité de conciliation a délivré une autorisation de procéder aussi bien aux locataires (demandeurs principaux) qu'à la bailleresse (défenderesse).
Au sein de la doctrine, certains auteurs sont d'avis que l'autorité de conciliation doit délivrer une autorisation de procéder au défendeur qui agit à titre reconventionnel, respectivement que celui-ci peut lui-même saisir le tribunal même si le demandeur principal s'abstient d'introduire une procédure au fond dans le délai prescrit par l'art. 209 al. 3 ou 4 CPC ( RAPOLD/FERRARI-VISCA, Die Widerklage nach der Schweizerischen Zivilprozessordnung, in PJA 2013 p. 394 s.; FRANÇOIS BOHNET, in CPC commenté, 2011, n os 7 et 11 ad art. 209 CPC; DAVID LACHAT, Procédure civile en matière de baux et loyers, 2011, p. 110 s.; MYRIAM GRÜTTER, Das vereinfachte Verfahren in seiner mündlichen Variante, in Jusletter du 14 novembre 2011, p. 8 note 43 en bas de page).
Pour d'autres auteurs, l'autorisation de procéder ne doit être délivrée qu'au demandeur principal. Si la litispendance prend fin parce qu'il s'abstient de déposer une demande au fond, la demande reconventionnelle tombe également ( LAURENT KILLIAS, in Berner Kommentar, 2012, n° 51 ad art. 224 CPC; DANIEL WILLISEGGER, in Basler Kommentar, 2 e éd. 2013, n° 39 ad art. 224 CPC; THOMAS SUTTER-SOMM, Das Schlichtungsverfahren der ZPO: Ausgewählte Problempunkte, in RSPC 2012 p. 84 s.; Brunner/Gasser/Schwander éd., Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], 2011, n° 23 ad art. 14 [Füllemann], n° 6 ad art. 209 [Egli] et n° 12 ad art. 224 CPC [Pahud]). Pour éviter une telle issue, le défendeur devrait lui-même introduire une procédure de conciliation, plutôt que de prendre des conclusions reconventionnelles; l'autorité de conciliation pourrait alors traiter conjointement les deux requêtes et délivrer une autorisation de procéder à chaque demandeur ( RAYMOND BISANG, in Le droit suisse du bail à loyer, Commentaire SVIT, 2011, p. 776, traduction française d'une contribution publiée in MRA 2010 p. 114 s.).
2.3.2. En première instance, les locataires ont plaidé l'irrecevabilité des conclusions en expulsion, en évoquant cette controverse doctrinale. Le juge de paix a répondu que celle-ci n'avait pas de conséquence dans le cas concret, puisque les locataires - i.e. les demandeurs principaux - avaient effectivement ouvert la procédure au fond dans le délai légal de 30 jours (art. 209 al. 4 CPC en relation avec l'art. 63 al. 1 CPC). Pour le surplus, des considérations liées à la norme de compétence vaudoise l'avaient conduit à traiter la bailleresse comme demanderesse et les locataires comme défendeurs. L'autorité compétente pour connaître de la procédure d'expulsion n'avait pas à trancher la question de la validité du congé, sauf à titre préjudiciel. Les locataires n'avaient subi aucun désavantage de leur position de défendeurs; au contraire, ils avaient été dispensés d'effectuer une avance de frais (jgt du 15 mars 2013, consid. II).
2.3.3. L'on cherche en vain, dans la réponse déposée en appel par les locataires, les signes d'une volonté de contester cette motivation et de rediscuter la recevabilité des conclusions en expulsion. Les recourants, du reste, se gardent de désigner le passage topique qui contiendrait leur grief. Ils ne sauraient dès lors reprocher à la cour cantonale de n'avoir pas traité cette question. Pour le surplus, l'argumentation du premier juge quant à la recevabilité des conclusions ne prête pas le flanc à la critique. L'on relèvera enfin que les recourants ne soulèvent, et n'ont précédemment soulevé aucun grief quant au déroulement de la procédure, notamment quant au point de savoir si les conclusions prises de part et d'autre étaient régies ou non par la même procédure. Il n'y a dès lors pas à examiner ces questions.
3.
3.1. Les locataires plaident que les parties ont convenu de révoquer la résiliation signifiée par les précédents propriétaires, ou qu'à tout le moins, elles ont conclu un nouveau bail par actes concluants.
3.2. Est tout d'abord examinée la thèse d'une révocation. La cour cantonale a jugé que le bail avait été valablement résilié et qu'il avait pris fin le 30 septembre 2011. Elle en a déduit que la bailleresse ne pouvait pas renoncer à la résiliation avec effet rétroactif, le congé étant irrévocable.
Les recourants ne contestent pas que le bail a valablement pris fin le 30 septembre 2011, de sorte que ce point est acquis. Quant à la conclusion qui en est tirée, elle est conforme à la jurisprudence; il s'avère en effet que la résiliation du bail, en tant qu'exercice d'un droit formateur, revêt un caractère univoque, inconditionnel et irrévocable (cf. <ref-ruling> consid. 3.3 p. 444; PETER HEINRICH, in Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 2 e éd. 2012, n° 2 ad art. 266-266f CO). Après sa réception, le congé ne peut donc pas être révoqué, y compris lorsqu'un changement de propriétaire est intervenu par la suite. En revanche, les parties peuvent convenir d'un nouveau bail (arrêts 4A_227/2010 du 1er juillet 2010 consid. 2.2; 4C.118/2004 du 28 juillet 2004 consid. 3.2, rés. in DB 2005 p. 24; Lachat, Le bail à loyer, 2008, p. 641 et note 97 en bas de page). Peu importe, dès lors, qu'un auteur ait envisagé la possibilité de reconnaître une révocation de l'acte formateur par convention de rétroactivité privée, tout en concédant qu'une telle construction ne serait pas conforme à la stricte logique juridique (cf. PIERRE ENGEL, Traité des obligations en droit suisse, 2 e éd. 1997, p. 32 s.). Au demeurant, le coeur du problème est de déterminer si la bailleresse a eu une attitude faisant inférer qu'elle acceptait de poursuivre, sous une forme ou une autre, une relation de bail avec les locataires.
3.3.
3.3.1. Selon la jurisprudence, la conclusion par actes concluants d'un nouveau bail consécutif à une résiliation suppose que durant une période assez longue, le bailleur se soit abstenu de faire valoir le congé, d'exiger la restitution de la chose louée et qu'il ait continué à encaisser régulièrement le loyer sans formuler aucune réserve. L'élément temporel n'est pas déterminant pour décider s'il y a bail tacite; il faut prendre en compte l'ensemble des circonstances du cas. La conclusion tacite d'un bail ne doit être admise qu'avec prudence (arrêts 4A_247/2008 du 19 août 2008 consid. 3.2.1, rés. in CdB 2008 p. 117/DB 2008 p. 54; 4C.441/2004 du 27 avril 2005 consid. 2.1, rés. in DB 2005 p. 15). L'on ne saurait retenir la conclusion d'un contrat tacite lorsque le bailleur ouvre une procédure d'expulsion peu après le moment où le contrat a selon lui valablement pris fin, quand bien même il encaisse des loyers sans faire de réserve expresse et notifie une augmentation de loyer à titre préventif, c'est-à-dire pour le cas où le congé ne serait pas valable (<ref-ruling> consid. 5).
3.3.2. Le premier juge a tenu le raisonnement suivant: après la vente de l'immeuble, l'acheteuse a manifesté dans un courrier du 30 novembre 2011 la volonté de se prévaloir de la résiliation signifiée par les précédents propriétaires. Elle a concrétisé cette intention en concluant à l'expulsion des locataires à l'audience du 6 décembre 2011, dans la procédure des cas clairs. Toutefois, celle-ci s'est clôturée par un prononcé d'irrecevabilité rendu le 30 décembre 2011, qui n'a fait l'objet d'aucun appel. Entre le 20 janvier et le 6 mars 2012, l'avocate de la bailleresse a alors sommé à plusieurs reprises les locataires de s'acquitter des "loyers" impayés, en se référant au "contrat" qui liait les parties, qu'elle menaçait de "résilier"; elle a accepté des versements à titre de "loyers". Cette mandataire professionnelle, dont on pouvait attendre qu'elle soit parfaitement précise, a utilisé un vocabulaire qui n'est de mise que dans une relation contractuelle existante. A aucun moment, l'avocate ne s'est plainte d'une occupation illicite des locaux; elle n'a fait aucune réserve en faveur de la résiliation du 25 juillet 2011, ni mentionné la volonté de la nouvelle propriétaire de se prévaloir des effets de cette résiliation, nonobstant l'irrecevabilité de la requête d'expulsion. Un tel comportement, qui est imputable à la bailleresse, ne peut être compris autrement que comme une renonciation à se prévaloir des effets de ladite résiliation. En bref, après avoir permis aux locataires d'admettre légitimement qu'elle considérait le bail de 2006 comme toujours valable, la bailleresse ne pouvait pas, sauf à verser dans l'abus de droit, prendre des conclusions reconventionnelles en expulsion à l'audience de conciliation (jgt du 15 mars 2013, p. 16-18).
La cour d'appel a adopté le point de vue contraire, qu'elle a justifié de la façon suivante: la procédure sommaire d'expulsion a certes abouti à une décision d'irrecevabilité le 30 décembre 2011. Toutefois, la procédure en contestation de congé et en prolongation de bail, qui avait été suspendue dans l'intervalle, a ensuite été reprise par la bailleresse sans désemparer - il y a eu convocation le 16 avril 2012 à une audience de conciliation le 9 mai 2012, au cours de laquelle la bailleresse a pris des conclusions en expulsion - et sans que cette partie ne montre une quelconque intention d'y renoncer. Elle avait du reste manifesté la volonté de se prévaloir du congé dans son courrier du 30 novembre 2011. Dans ce contexte, les courriers adressés entre janvier et mars 2012 ne peuvent pas être compris comme valant conclusion tacite d'un bail. La question de la validité du congé signifié le 25 juillet 2011 n'étant pas encore tranchée, la menace de résiliation contenue dans les courriers des 20 janvier, 27 février et 6 mars 2012 peut être interprétée en ce sens qu'elle vaut pour le cas où le premier congé ne serait pas tenu pour valable. Bien loin de l'admission tacite de l'existence d'un nouveau contrat, il s'agit en quelque sorte d'une démarche supplémentaire du propriétaire désireux de récupérer son bien (arrêt du 12 août 2013, p. 14 s.).
3.3.3. La terminologie employée dans ces deux décisions montre que les autorités cantonales ont interprété les déclarations et comportements des parties selon le principe de la confiance. Le Tribunal fédéral revoit librement cette interprétation (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 413).
En l'occurrence, la bailleresse (respectivement ses prédécesseurs) a rapidement agi après la date pour laquelle le congé avait été donné. Elle a tenté d'obtenir une expulsion par la voie "rapide" de la procédure des cas clairs, sans succès. Subsistait toutefois la procédure en contestation du congé. Pendant une telle procédure, les effets du congé sont en principe suspendus; le locataire peut en règle générale rester dans les locaux même si l'échéance de la résiliation est dépassée ( LACHAT, Le bail à loyer, p. 759; PETER HIGI, Zürcher Kommentar, 4 e éd. 1995, n° 56 ad art. 267 CO; cf. <ref-ruling> consid. 4a i.f., à propos d'une procédure en prolongation de bail). La bailleresse avait alors diverses possibilités. Elle pouvait prendre des conclusions reconventionnelles en expulsion dans la procédure initiée par les locataires, ou attendre l'issue de celle-ci pour décider des suites à donner, voire entreprendre sur-le-champ une nouvelle procédure en expulsion. Elle pouvait aussi renoncer à se prévaloir du congé. Pour déterminer si les locataires pouvaient de bonne foi conclure à une telle renonciation sur la base des courriers rédigés entre janvier et mars 2012, il faut tenir compte du contexte.
Le congé a été donné pour défaut de paiement des loyers. La nouvelle bailleresse, qui a acheté l'immeuble après cette résiliation, a rapidement manifesté la volonté de s'en prévaloir, tout d'abord par courrier du 30 novembre 2011, puis à l'audience du 6 décembre 2011. En janvier 2012, elle a reproché aux locataires de n'avoir rien payé depuis novembre 2010; ceux-ci n'ont pas contesté ce fait, présentant un décompte du montant qu'ils estimaient devoir depuis le transfert de propriété de l'immeuble. Par la suite, les locataires ont payé des loyers/indemnités à la bailleresse; toutefois, jusqu'en mars 2012 à tout le moins, ils l'ont fait avec retard, sur sommation et menace de la bailleresse. Dans ce contexte, les locataires qui persistaient à ne rien payer pour l'occupation des locaux pendant une procédure en contestation du congé fondé sur un défaut de paiement ne pouvaient pas, de bonne foi, s'attendre à ce que la nouvelle bailleresse veuille maintenir une relation contractuelle avec eux. Tout au plus l'échec de la bailleresse dans la procédure d'expulsion pouvait-il fournir une raison de renoncer à se prévaloir de la résiliation.
Le juge de paix a considéré que l'exigence du cas clair n'était pas réalisée (art. 257 al. 1 CPC), pour les motifs suivants: le congé avait été donné par les précédents bailleurs, membres d'une communauté héréditaire; or, le registre foncier mentionnait l'existence d'une exécutrice testamentaire née en 1910, qui était en principe seule compétente pour résilier le bail. La preuve de son décès au moment de la notification du congé n'avait pas été apportée par la bailleresse. Au vu des considérants de cette décision d'irrecevabilité, les locataires ne pouvaient pas de bonne foi déduire que la bailleresse allait renoncer à se prévaloir du congé. Vu la date de naissance de l'exécutrice testamentaire (1910), l'allégation de son décès au moment de la résiliation (2011) devait nécessairement leur paraître plausible. La discussion quant à la validité du congé restait donc ouverte. La perte du procès gouverné par la procédure sommaire ne préjugeait en rien du sort de la procédure en contestation du congé. C'est dans un tel contexte que la bailleresse, entre le 20 janvier et le 6 mars 2012, a rédigé des courriers dans lesquels elle menaçait les locataires de "résilier le contrat" s'ils persistaient à ne pas payer de "loyers" dans le délai imparti. La tournure employée pourrait certes faire accroire que les parties sont toujours liées par un contrat. En l'occurrence toutefois, la bailleresse avait encore confirmé sa volonté d'expulsion peu avant, soit le 6 décembre 2011; elle n'avait aucun motif de changer d'avis. Dès lors, les locataires ne pouvaient pas de bonne foi partir du principe que la bailleresse renonçait à se prévaloir du congé litigieux et acceptait d'entretenir une relation contractuelle avec eux; dans ces circonstances, une renonciation ne pouvait se faire que par un passé-expédient dans la procédure en contestation du congé.
En définitive, l'on peut certes déplorer que l'avocate brevetée ne se soit pas exprimée avec les précautions que l'on peut attendre d'un mandataire spécialisé, et qu'elle se soit abstenue de préciser que la menace de résiliation intervenait pour le cas où le congé signifié le 25 juillet 2011 serait déclaré nul ou annulé à l'issue de la procédure en cours. Il n'en demeure pas moins que cette imprécision ne prêtait pas à conséquence, dans les circonstances concrètes. En se présentant à l'audience de conciliation du 9 mai 2012, les locataires ne pouvaient pas, de bonne foi, considérer qu'ils étaient liés à la bailleresse par un nouveau contrat conclu tacitement.
Il s'ensuit le rejet du grief.
4.
En définitive, les recourants succombent. En conséquence, ils supporteront les frais et dépens de la présente procédure (art. 66 al. 1 et 5, art. 68 al. 1, 2 et 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Un émolument judiciaire de 5'000 fr. est mis à la charge des recourants, solidairement entre eux.
3.
Les recourants sont condamnés solidairement à verser à l'intimée une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 4 février 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti