Sachverhalt:
A. X._ (Ehemann) und Y._ (Ehefrau; beide geb. 1978) heirateten im Jahr 2006. Sie wurden Eltern eines Sohnes (geb. 2006). Y._ hat zudem eine Tochter (geb. 1997) aus einer früheren Beziehung. Seit April 2008 leben die Ehegatten getrennt.
B. B.a Die Folgen des Getrenntlebens mussten insbesondere in Bezug auf die elterliche Obhut und das Besuchsrecht gerichtlich geregelt werden (Eheschutzverfahren):
B.b Mit Verfügung vom 24. April 2008 stellte das Kantonsgericht Schaffhausen den Sohn für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut der Mutter.
Sodann nahm es Vormerk von der Vereinbarung der Ehegatten, wonach das Besuchsrecht einvernehmlich geregelt, die Betreuungsaufgaben hälftig geteilt, das Kind die Wochenenden abwechselnd bei der Mutter und beim Vater und die Ferienregelung von Fall zu Fall geregelt werden sollten. Für den Konfliktfall räumte das Kantonsgericht dem Vater ein Besuchs- und Ferienrecht jeweils am ersten und dritten Wochenende jedes Monats und während drei Ferienwochen ein.
B.c Mit Verfügung vom 26. November 2008 änderte das Kantonsgericht das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters gemäss seiner früheren Verfügung vom 24. April 2008 ab. Es gewährte dem Vater ein Besuchsrecht am ersten und dritten Samstag jeden Monats. Über ein weitergehendes Besuchsrecht sollten sich die Parteien in direkter Absprache einigen. Sodann verpflichtete das Eheschutzgericht den Vater, einen Kinderunterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 800.-- zu bezahlen.
B.d Am 28. Juli 2009 regelte das Kantonsgericht das Besuchs- und Ferienrecht wiederum wie ursprünglich in der Verfügung vom 24. April 2008 (vgl. Lit. B.b oben). Es reduzierte den vom Vater zu leistenden Kinderunterhaltsbeitrag auf Fr. 250.-- pro Monat und ernannte dem Kind einen Beistand im Sinne von <ref-law>.
B.e Am 25. Februar 2010 ersuchte der Ehemann das Kantonsgericht um Abänderung der Eheschutzmassnahmen. Er verlangte, ihm die elterliche Obhut über seinen Sohn zuzuteilen und das Besuchs- und Ferienrecht neu zu regeln. Die Ehefrau widersetzte sich diesem Gesuch.
Mit Schreiben vom 19. März 2010 beauftragte das Eheschutzgericht den Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst A._ (nachfolgend KJPD), ein Gutachten zu erstellen. Am 1. Oktober 2010 erstattete der KJPD dem Eheschutzgericht sein Gutachten.
Nachdem die Ehefrau zwischenzeitlich (vgl. Lit. C unten) das Scheidungsverfahren eingeleitet hatte, schrieb das Kantonsgericht dieses (Eheschutz-)Verfahren mit Verfügung vom 24. November 2010 als gegenstandslos ab und überwies seine Akten dem Scheidungsgericht.
C. Am 6. Dezember 2010 (Gesuch um Durchführung des Sühnevorstands vom 18. August 2010) leitete die Ehefrau beim Kantonsgericht Schaffhausen das Scheidungsverfahren ein.
Mit vorsorglicher Massnahme vom 17. Januar 2011 beliess das Kantonsgericht die elterliche Obhut über den gemeinsamen Sohn bei der Mutter und hielt im Weiteren fest, die Eheschutzverfügung vom 28. Juli 2009 (Besuchs- und Ferienrecht, Beistandschaft) gelte unverändert.
Mit Urteil vom 8. Juli 2011 schied das Kantonsgericht die Ehegatten und regelte die Nebenfolgen der Scheidung. Was die Kinderbelange betrifft, teilte es die elterliche Sorge über den gemeinsamen Sohn der Mutter zu. Es gewährte dem Vater ein Besuchsrecht jeweils am Mittwoch von 10.00 Uhr (bzw. ab Kindergartenende) bis 17.00 Uhr, am ersten und dritten Wochenende jeden Monats (von Freitag, 17.00 Uhr bis Sonntag, 18.00 Uhr) und ein Ferienrecht von vier Wochen pro Jahr und jährlich abwechselnd an Pfingsten und am 25. Dezember beziehungsweise an Ostern und am 26. Dezember. Die Beistandschaft gemäss <ref-law> erhielt das Kantonsgericht aufrecht und es verpflichtete den Vater zur Zahlung eines Kinderunterhaltsbeitrags von Fr. 800.-- pro Monat.
D. Gegen dieses Urteil des Kantonsgerichts erhob X._ am 13. September 2011 soweit die Zuteilung der elterlichen Sorge (und damit zusammenhängend das Besuchs- und Ferienrecht sowie die Kinderunterhaltspflicht) betreffend Berufung an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Er verlangte, die elterliche Sorge für den gemeinsamen Sohn sei ihm zuzuteilen, Y._ ein Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen (im Umfang, wie es das Kantonsgericht ihm gewährt hatte, vgl. Lit. C oben) und sie zu verpflichten, einen Kinderunterhaltsbeitrag von Fr. 800.-- pro Monat zu leisten. Mit Eingabe vom 1. September 2012 beantragte er zusätzlich, dem Vater von Y._ ein Kontaktverbot zu seinem Sohn aufzuerlegen.
Mit Entscheid vom 2. November 2012 wies das Obergericht sowohl die Berufung (Ziff. 1 des Dispositivs) als auch den Antrag auf ein Kontaktverbot (Ziff. 2 des Dispositivs) ab. Es auferlegte X._ die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 2'500.--, befreite ihn jedoch aufgrund der gewährten unentgeltlichen Rechtspflege vorläufig von der Zahlung dieser Kosten (Ziff. 3 des Dispositivs). Sodann bestimmte es die von ihm zu leistende Parteientschädigung und die Honorare der beiden unentgeltlichen Rechtsvertreter (Ziff. 4 - 6 des Dispositivs).
E. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner Beschwerde in Zivilsachen vom 7. Dezember 2012, die Ziff. 1, 2 und 3 des obergerichtlichen Entscheids vom 2. November 2012 seien aufzuheben und es sei die Sache zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Eventualiter sei ihm die alleinige elterliche Sorge über den gemeinsamen Sohn zuzuteilen und Y._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) zu einem angemessenen Kinderunterhaltsbeitrag zu verpflichten.
Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Bundesgericht hat die Vorakten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist der Endentscheid eines oberen Gerichts, das auf Rechtsmittel hin kantonal letztinstanzlich über Nebenfolgen der Scheidung und damit in einer Zivilsache entschieden hat (Art. 90, Art. 75 und Art. 72 Abs. 1 BGG). Strittig sind sowohl vermögensrechtliche als auch nicht vermögensrechtliche Fragen, weshalb die Beschwerde ohne Streitwerterfordernis gegeben ist (<ref-ruling> E. 2b S. 495). Die im Übrigen fristgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig.
1.2 Die Beschwerde richtet sich zur Hauptsache gegen die Würdigung des eingeholten Gerichtsgutachtens und gegen die Abweisung weiterer Beweisanträge, insbesondere auf Einholung eines neuen oder ergänzenden Gerichtsgutachtens und auf Anhörung des Kindes. Sollte das Bundesgericht die Auffassung des Beschwerdeführers teilen, könnte es in der Sache nicht entscheiden, weil zuerst ein neues Gerichtsgutachten veranlasst, das Kind angehört oder weitere Beweise abgenommen und der Sachverhalt neu festgestellt werden müsste. Der im Hauptantrag gestellte Aufhebungs- und Rückweisungsantrag des Beschwerdeführers genügt deshalb den formellen Anforderungen (Art. 42 Abs. 1 und Art. 107 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.).
1.2 Die Beschwerde richtet sich zur Hauptsache gegen die Würdigung des eingeholten Gerichtsgutachtens und gegen die Abweisung weiterer Beweisanträge, insbesondere auf Einholung eines neuen oder ergänzenden Gerichtsgutachtens und auf Anhörung des Kindes. Sollte das Bundesgericht die Auffassung des Beschwerdeführers teilen, könnte es in der Sache nicht entscheiden, weil zuerst ein neues Gerichtsgutachten veranlasst, das Kind angehört oder weitere Beweise abgenommen und der Sachverhalt neu festgestellt werden müsste. Der im Hauptantrag gestellte Aufhebungs- und Rückweisungsantrag des Beschwerdeführers genügt deshalb den formellen Anforderungen (Art. 42 Abs. 1 und Art. 107 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.).
1.3 1.3.1 Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. zu <ref-law> aber E. 1.3.3 unten) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 1.3 S. 584).
1.3.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig und damit willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 638) oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> zustande gekommen ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
Die Sachverhaltsfeststellung beziehungsweise Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234).
1.3.3 Die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) prüft das Bundesgericht insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; Rügeprinzip). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Auf rein appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung oder Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356).
2. 2.1 Dem Bundesgericht beantragt der Beschwerdeführer auch die Aufhebung der Ziff. 2 des obergerichtlichen Urteils (Abweisung des Gesuchs um ein Kontaktverbot des Vaters der Beschwerdegegnerin zum Sohn der Parteien; vgl. Lit. D oben). In der Beschwerdebegründung äussert sich der Beschwerdeführer mit keinem Wort zu diesem Thema.
Fehlt es diesem Antrag demnach von vornherein an einer Begründung, ist insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG).
2.2 Der Beschwerdeführer erklärt eingangs seiner Beschwerde seine Eingaben "an die Vorinstanzen zum integrierenden Bestandteil dieser Beschwerde" (Ziff. 4 der Beschwerde).
Die Begründung der vor Bundesgericht erhobenen Beschwerde muss in der Beschwerdeschrift enthalten sein. Pauschale Verweisungen auf Rechtsschriften in anderen Verfahren sind unzulässig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 258; <ref-ruling> E. 1.3 S. 306).
3. Da das Kantonsgericht sein Urteil am 8. Juli 2011 gefällt und den Parteien anschliessend versandt hat, ist das Obergericht für das Rechtsmittel und Rechtsmittelverfahren zu Recht von der Anwendbarkeit der am 1. Januar 2011 in Kraft getretenen Schweizerischen Zivilprozessordnung (SR 272; ZPO) ausgegangen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 131 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 129 f.). Die Prüfung von prozessualen Fragen des erstinstanzlichen Verfahrens musste nach bisherigem Verfahrensrecht erfolgen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 3).
4. 4.1 Strittig ist die vom Scheidungsgericht vorzunehmende Zuteilung der elterlichen Sorge des im Juli 2006 geborenen Sohnes der Parteien.
4. 4.1 Strittig ist die vom Scheidungsgericht vorzunehmende Zuteilung der elterlichen Sorge des im Juli 2006 geborenen Sohnes der Parteien.
4.2 4.2.1 Gemäss Art. 133 Abs. 1 und 2 ZGB teilt das Scheidungsgericht die elterliche Sorge einem Elternteil zu und berücksichtigt dabei alle für das Kindeswohl massgebenden Umstände.
4.2.2 Für die Zuteilung der elterlichen Sorge im Scheidungsverfahren hat das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern. Den Bedürfnissen der Kinder ist entsprechend ihrem Alter, ihren Neigungen und ihrem Anspruch auf elterliche Fürsorglichkeit, Zuwendung und Erziehung bestmöglich zu entsprechen. Als wesentliche Kriterien kommen in Betracht: Die persönlichen Beziehungen der Eltern zu den Kindern, die Erziehungsfähigkeiten der beiden Elternteile, die Möglichkeit und Bereitschaft, die Kinder persönlich zu betreuen und zu pflegen (vor allem bei Kleinkindern und im obligatorischen Schulalter stehenden Kindern) sowie die Bereitschaft, den Kontakt mit dem anderen Elternteil zu fördern. Es ist unter Berücksichtigung sämtlicher Umstände diejenige Lösung zu treffen, welche die für eine harmonische Entfaltung der Kinder in körperlicher, seelischer und geistiger Hinsicht notwendige Stabilität der Verhältnisse gewährleistet (<ref-ruling> E. 5.3 S. 181; <ref-ruling> E. 3 S. 354 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 319; <ref-ruling> E. 4a S. 209).
Bei ungefähr gleicher Erziehungs- und Betreuungsfähigkeit beider Eltern kommt dem Kriterium der Stabilität der Verhältnisse besonderes Gewicht zu (Urteil 5A_591/2008 vom 24. Oktober 2008 E. 5.1, in: FamPra.ch 2009 S. 241). Ferner ist zu beachten, dass Geschwister nach Möglichkeit nicht getrennt werden sollen (BGE <ref-ruling> E. 2 S. 319).
4.2.3 Weil dem Gericht bei der Zuteilung der elterlichen Sorge ein erhebliches Ermessen zukommt (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 3 S. 355), übt das Bundesgericht bei der Überprüfung solcher Entscheide eine gewisse Zurückhaltung (vgl. <ref-ruling> E. 2.1.1 S. 305; <ref-ruling> E. 3a S. 141).
5. 5.1 Gemäss den obergerichtlichen Feststellungen betreuten die Parteien ihren Sohn seit der Trennung (April 2008) bis Oktober 2010 zu gleichen Teilen. Einzig während des Aufenthalts der Beschwerdegegnerin in der Psychiatrischen Klinik B._ im Februar/März 2009 und von November 2009 bis Ende Februar 2010 betreute der Beschwerdeführer seinen Sohn sowie die Tochter der Beschwerdegegnerin alleine. Danach betreuten beide Elternteile den Sohn wiederum ungefähr zu gleichen Teilen. Seit Oktober 2010 betreut hauptsächlich die Beschwerdegegnerin den Sohn.
Die Beschwerdegegnerin arbeitet in einem Pensum von 50% jeweils am Donnerstag und Freitag ganztags und jeden zweiten Mittwoch einige Stunden. Zudem geht sie am Montagnachmittag in die Therapie in der Psychiatrischen Klinik B._.
Der (im Zeitpunkt des obergerichtlichen Urteils) 6 Jahre alte Sohn lebt bei der Beschwerdegegnerin und ihrer bald 15-jährigen Tochter aus einer früheren Beziehung. Er besucht mittlerweile das zweite Kindergartenjahr. Am Donnerstag und Freitag geht er nach dem Kindergarten - wie auch am Montagnachmittag - in die Kindertagesstätte. Den Mittwochnachmittag (bis 17 Uhr) sowie jedes zweite Wochenende verbringt er beim Vater, der in einem Pensum von 70% arbeitet.
5.2 Das Obergericht hat gestützt auf das Gutachten des KJPD vom 1. Oktober 2010 erwogen, beide Elternteile hätten eine gute Beziehung zu ihrem Sohn und verfügten beide über die nötigen erzieherischen Fähigkeiten.
Die Beschwerdegegnerin könne trotz ihrer 50%-Anstellung die persönliche Betreuung ihres Sohnes gut wahrnehmen. Die teilweise Betreuung des Kindes durch die Kindertagesstätte sei gemäss dem Gutachten des KJPD nicht abträglich, sondern fördere dessen Entwicklung von sozialen Kompetenzen. Sodann habe sich die gesundheitliche Situation der Beschwerdegegnerin deutlich und anhaltend stabilisiert, was aus dem Bericht ihres Psychotherapeuten vom 5. Oktober 2011 und ihrer Hausärztin vom 4. Oktober 2011 hervorgehe. Deshalb bestehe kein Anlass, an der Betreuungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin zu zweifeln.
Was die Betreuungsfähigkeit des Beschwerdeführers betrifft, hat das Obergericht darauf hingewiesen, dessen Wohn- und Berufssituation habe sich stabilisiert. Jedoch habe er trotz flexibler Arbeitszeiten und dem Entgegenkommen des Arbeitgebers bezüglich seines Arbeitspensums gewisse Schwierigkeiten, seinen Sohn während seiner Arbeitszeiten kindgerecht zu betreuen.
Schliesslich hat das Obergericht darauf verwiesen, in den letzten zwei Jahren habe schwergewichtig die Beschwerdegegnerin den Sohn betreut. Bei ihr lebe er in stabilen Strukturen, besuche den Kindergarten und die Kindertagesstätte. Im gleichen Haushalt wohne auch seine Halbschwester, die für ihn eine wichtige Bezugsperson sei. Die Lebensverhältnisse seien demnach bei der Beschwerdegegnerin stabil und hätten sich bewährt.
5.3 Im Ergebnis teilte das Obergericht die elterliche Sorge über den Sohn der Beschwerdegegnerin zu, da sie über bessere Betreuungsmöglichkeiten verfüge und so auch die für die Entwicklung des Kindes notwendige Stabilität der Verhältnisse gewährleistet sei.
6.1 6.1.1 Der Beschwerdeführer macht vor Bundesgericht eine Verletzung der Untersuchungsmaxime geltend, weil das Obergericht keine eigenen Abklärungen zur Frage der elterlichen Sorge vorgenommen habe, sondern lediglich auf ein für einen anderen Zweck (Zuteilung der elterlichen Obhut) erstelltes Gutachten, das überdies im Urteilszeitpunkt zwei Jahre alt gewesen sei, abgestellt habe (Ziff. 7d, 7e und 7g der Beschwerde).
6.1.2 Zudem habe das Obergericht auch seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, weil es die von ihm offerierten Beweise ("Unterlagen und Zeugen") nicht abgenommen habe (Ziff. 7j der Beschwerde). Der Beschwerdeführer macht damit eine Verletzung seines Beweisführungsanspruchs (<ref-law>) geltend.
Wendet der Beschwerdeführer vor Bundesgericht eine Verletzung seines Beweisführungsanspruchs ein und ergibt sich aus dem angefochtenen Entscheid nicht, dass er die fraglichen Tatsachen behauptet und prozesskonform dazu Beweise angeboten hat, ist dies in der Beschwerdeschrift detailliert darzulegen und mit Aktenhinweisen zu belegen (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 196).
Diese Anforderungen kommt der Beschwerdeführer nicht nach, begnügt er sich doch mit dem pauschalen Verweis, er sei nicht zum Beweis zugelassen worden. Darauf ist demnach von vornherein nicht einzutreten.
6.2 Das Obergericht hat festgehalten, das Gutachten des KJPD vom 1. Oktober 2010 sei differenziert und unterscheide klar zwischen elterlicher Obhut und elterlicher Sorge. Das Gutachten sei transparent, nachvollziehbar, überprüfbar, objektiv und trenne klar zwischen Befund und Interpretation. Die Gutachter hätten auch die psychischen Schwierigkeiten der Beschwerdegegnerin im Gutachten berücksichtigt und seien zum Schluss gekommen, eine Neubeurteilung der Betreuungssituation sei erforderlich, sofern bei der Beschwerdegegnerin ein schwerer krisenhafter Einbruch auftreten sollte. Das Obergericht hat erwogen, Hinweise auf einen solchen Einbruch bestünden nicht. Es sei entgegen dem Antrag des Beschwerdeführers nicht angezeigt, ein neues oder ergänzendes Gutachten einzuholen.
6.2 Das Obergericht hat festgehalten, das Gutachten des KJPD vom 1. Oktober 2010 sei differenziert und unterscheide klar zwischen elterlicher Obhut und elterlicher Sorge. Das Gutachten sei transparent, nachvollziehbar, überprüfbar, objektiv und trenne klar zwischen Befund und Interpretation. Die Gutachter hätten auch die psychischen Schwierigkeiten der Beschwerdegegnerin im Gutachten berücksichtigt und seien zum Schluss gekommen, eine Neubeurteilung der Betreuungssituation sei erforderlich, sofern bei der Beschwerdegegnerin ein schwerer krisenhafter Einbruch auftreten sollte. Das Obergericht hat erwogen, Hinweise auf einen solchen Einbruch bestünden nicht. Es sei entgegen dem Antrag des Beschwerdeführers nicht angezeigt, ein neues oder ergänzendes Gutachten einzuholen.
6.3 6.3.1 Nach <ref-law> erforscht das Gericht bei Kinderbelangen in familienrechtlichen Angelegenheiten den Sachverhalt von Amtes wegen. Die Untersuchungsmaxime verpflichtet das Gericht, von sich aus alle Elemente in Betracht zu ziehen, die entscheidwesentlich sind, und unabhängig von den Anträgen der Parteien Beweise zu erheben.
<ref-law> schreibt dem Gericht indessen nicht vor, mit welchen Mitteln der Sachverhalt abzuklären ist. Ebenso wenig erfasst diese Bestimmung die Art der Erhebung von Beweismitteln; wenn der massgebliche Sachverhalt sich auf andere Weise abklären lässt, verstösst demzufolge auch der Verzicht auf ein bestimmtes Gutachten nicht gegen Bundesrecht. Die Untersuchungsmaxime schliesst sodann eine vorweggenommene Beweiswürdigung nicht aus: Verfügt das Gericht über genügende Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung, kann es auf weitere Beweiserhebungen verzichten (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735; Urteil 5A_361/2010 vom 10. September 2010 E. 4.2, in: FamPra.ch 2011 S. 218).
6.3.2 Die antizipierte Beweiswürdigung ist Teil der Beweiswürdigung, die vom Bundesgericht nur auf Willkür (<ref-law>) hin überprüft werden kann (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 374; vgl. E. 1.3.2 f. oben).
6.3.2 Die antizipierte Beweiswürdigung ist Teil der Beweiswürdigung, die vom Bundesgericht nur auf Willkür (<ref-law>) hin überprüft werden kann (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 374; vgl. E. 1.3.2 f. oben).
6.4 6.4.1 Was den Verzicht auf ein neues oder ergänzendes kinderpsychiatrisches Gutachten betrifft, erweist sich die vom Obergericht vorgenommene antizipierte Beweiswürdigung nicht als willkürlich:
6.4.2 Dem Sachverständigen sind bloss Sach- und keine Rechtsfragen zu unterbreiten. Die Beantwortung von Rechtsfragen obliegt zwingend dem Gericht (<ref-ruling> E. 4.4.1 S. 269; <ref-ruling> E. 5.4.1 S. 345).
Für die Zuteilung der Obhut an einen Elternteil im Eheschutzverfahren gelten grundsätzlich die gleichen Kriterien wie im Scheidungsfall für die Zuteilung der elterlichen Sorge (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 180 f.; Urteil 5A_444/2008 vom 14. August 2008 E. 3.1, auszugsweise in: FamPra.ch 2009 S. 252). Das Gutachten des KJPD vom 1. Oktober 2010 behandelt deshalb die für die Zuteilung der elterlichen Sorge massgeblichen Sachfragen (wie Erziehungsfähigkeit, persönliche Beziehungen der Eltern zum Kind, etc.; vgl. ausführlich S. 11 ff. des Gutachtens).
6.4.3 Was den Einwand des Beschwerdeführers betrifft, das Gutachten vom 1. Oktober 2010 sei im Zeitpunkt des obergerichtlichen Urteils zwei Jahre alt und damit veraltet gewesen, entzieht sich die Frage des Kindeswohls einer starren Beurteilung und ist stets im Hinblick auf die aktuellen Verhältnisse zu beantworten. Dies kann dazu führen, dass das befasste Sachgericht gegebenenfalls weitere Beweise zu erheben, namentlich ein weiteres Gutachten einzuholen hat. Massgeblich ist dabei, ob neue Erkenntnisse zu erwarten oder ob die Ergebnisse der früheren Untersuchungen nach wie vor aktuell sind (Urteile 5A_138/2012 vom 26. Juni 2012 E. 4, in: FamPra.ch 2012 S. 1171; 5A_591/2008 vom 24. Oktober 2008 E. 3.2, in: FamPra.ch 2009 S. 241).
Das Obergericht ist zum Ergebnis gelangt, die Ausführungen im Gutachten des KJPD vom 1. Oktober 2010 seien nach wie vor aktuell und massgebend. Was den Hinweis des Beschwerdeführers auf den gesundheitlichen Zustand der Beschwerdegegnerin betrifft (Ziff. 7f und 7h der Beschwerde), hat das Obergericht ausgeführt, die psychischen Schwierigkeiten und der in der Vergangenheit erfolgte Drogenkonsum der Beschwerdegegnerin seien nicht neu, sondern im Gutachten bereits berücksichtigt worden. Das Obergericht hat diesbezüglich auch auf den Bericht vom 5. Oktober 2011 des Psychotherapeuten der Beschwerdegegnerin hingewiesen. Dieser Bericht führt aus, dass es zu einer deutlichen Stabilisierung in praktisch allen Lebensbereichen gekommen sei und sich während der Behandlung keine Hinweise auf einen pathologischen Alkohol-, Tabletten- oder Drogenmissbrauch ergeben hätten. Sodann bestätige auch der Bericht vom 4. Oktober 2011 der Hausärztin der Beschwerdegegnerin diese Einschätzung.
6.4.4 Liegen demnach seit dem Gutachten vom 1. Oktober 2010 keine neuen Erkenntnisse oder veränderten Umstände vor und äussert sich das Gutachten vom 1. Oktober 2010 zu den nach wie vor massgeblichen Verhältnissen, durfte das Obergericht auf ein weiteres Gutachten verzichten (vgl. auch <ref-ruling> E. 2b S. 201).
Erweist sich demnach die antizipierte Beweiswürdigung des Obergerichts als willkürfrei, liegt in ihr keine Verletzung der Untersuchungsmaxime.
7. 7.1 Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, das Obergericht habe es entgegen seinem Antrag unterlassen, seinen Sohn anzuhören.
7. 7.1 Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, das Obergericht habe es entgegen seinem Antrag unterlassen, seinen Sohn anzuhören.
7.2 7.2.1 Gemäss <ref-law> wird das Kind durch das Gericht oder eine beauftragte Drittperson in geeigneter Weise persönlich angehört, sofern sein Alter oder andere wichtige Gründe nicht dagegen sprechen.
Mit dieser Regelung ist die Anhörungspflicht gemäss <ref-law> praktisch unverändert in die neue Zivilprozessordnung überführt worden, sodass ohne Weiteres auf die zu <ref-law> entwickelte Rechtsprechung abgestellt werden kann (Urteil 5A_397/2011 vom 14. Juli 2011 E. 2.1, in: FamPra.ch 2011 S. 1031).
7.2.2 Im Sinne einer bundesgerichtlichen Richtlinie kommt die Anhörung ab dem vollendeten sechsten Altersjahr in Frage. Dieses Schwellenalter, ab dem eine Anhörung grundsätzlich in Frage kommt, ist jedoch zu unterscheiden von der kinderpsychologischen Erkenntnis, dass formallogische Denkoperationen erst ab ungefähr elf bis dreizehn Jahren möglich sind und auch die sprachliche Differenzierungs- und Abstraktionsfähigkeit erst ab diesem Alter entwickelt ist. Vor diesem Alter geht es bei der Kindesanhörung einzig darum, dass sich das urteilende Gericht ein persönliches Bild machen kann und über ein zusätzliches Element bei der Sachverhaltsfeststellung und Entscheidfindung verfügt. Die genannten Alterslimiten sind sodann nicht schematisch anzuwenden, sondern es ist auf den jeweiligen Entwicklungsstand des Kindes abzustellen.
Auch nach dem Wortlaut von <ref-law> stehen die Anhörung des Kindes durch das Gericht selbst und jene durch eine beauftragte Drittperson auf gleicher Stufe. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung soll zwar das Gericht die Anhörung in der Regel selbst vornehmen und sie jedenfalls nicht systematisch an Dritte delegieren. Ebenso wenig sollen aber die vom Gesetz gewährten Spielräume unnötig beschränkt werden: Während der Anhörung durch das urteilende Gericht der Vorzug der Unmittelbarkeit innewohnt, wird dieses oft über weniger spezifische Ausbildung und Erfahrung verfügen als eine Fachperson. So oder anders ist eine Anhörung um der Anhörung willen zu vermeiden. Insbesondere ist von wiederholten Anhörungen abzusehen, wo dies für das Kind eine unzumutbare Belastung bedeuten würde, was namentlich bei akuten Loyalitätskonflikten der Fall sein kann, und überdies keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären oder der erhoffte Nutzen in keinem vernünftigen Verhältnis zu der durch die erneute Befragung verursachten Belastung stünde. Diesfalls hat das Gericht bei seinem Entscheid auf die Ergebnisse der Anhörung durch die Drittperson abzustellen. Dabei kann es sich auch um ein Gutachten handeln, das in einem anderen Verfahren in Auftrag gegeben worden ist. Ausschlaggebend muss sein, dass es sich beim Dritten um eine unabhängige und qualifizierte Fachperson handelt, dass das Kind zu den entscheidrelevanten Punkten befragt worden ist und dass die Anhörung beziehungsweise deren Ergebnis aktuell ist (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 3 f. S. 554 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 555 ff.; Urteil 5A_397/2011 vom 14. Juli 2011 E. 2.3 f., in: FamPra.ch 2011 S. 1031).
7.2.3 Vor dem oberen kantonalen Gericht ist keine erneute Anhörung erforderlich, wenn sich die tatsächlichen Verhältnisse seit der letzten Anhörung nicht wesentlich verändert haben (Urteil 5A_138/2012 vom 26. Juni 2012 E. 4 mit Hinweisen, in: FamPra.ch 2012 S. 1171).
7.2.3 Vor dem oberen kantonalen Gericht ist keine erneute Anhörung erforderlich, wenn sich die tatsächlichen Verhältnisse seit der letzten Anhörung nicht wesentlich verändert haben (Urteil 5A_138/2012 vom 26. Juni 2012 E. 4 mit Hinweisen, in: FamPra.ch 2012 S. 1171).
7.3 7.3.1 Der Sohn der Parteien (geb. Juli 2006) war bei Einleitung des obergerichtlichen Berufungsverfahrens (September 2011) fast fünfeinhalb Jahre alt. Im Zeitpunkt des obergerichtlichen Urteils (November 2012) war er gut sechs Jahre alt.
Der KJPD hatte im Rahmen seiner Begutachtung vom 1. Oktober 2010 den Sohn der Parteien zwei Mal gesehen (einmal zusammen mit dem Beschwerdeführer, einmal mit der Beschwerdegegnerin), beobachtet (insbesondere auch im Verhältnis zu den beiden Elternteilen) und mit ihm einen Entwicklungstest durchgeführt. Wie bereits das Kantonsgericht hat auch das Obergericht gestützt auf diese Anhörung des Kindes und die darauf aufbauenden Feststellungen der Gutachter geschlossen, dass beide Elternteile unbestrittenermassen (S. 17 des angefochtenen Entscheids) eine gute Beziehung zu ihrem Sohn haben.
Das Obergericht ist zum Schluss gekommen, es bestünden im Vergleich zum Gutachtenszeitpunkt keine veränderten Verhältnisse, die eine (erneute) Anhörung des Kindes im Berufungsverfahren rechtfertigen würden.
7.3.2 Soweit der Beschwerdeführer diesen Tatsachenfeststellungen entgegenhält, sein Sohn sträube sich jeweils bei der Rückkehr zu seiner Mutter, verstecke sich und reagiere äusserst ungehalten und aggressiv, begnügt er sich mit appellatorischer Kritik. Dasselbe gilt, soweit er vorbringt, es sei auffällig gewesen, dass sein Sohn anlässlich des Termins beim Kinder- und Jugendpsychiater nicht mit Frauenfiguren habe spielen wollen. Darauf ist nicht einzutreten (vgl. E. 1.3.2 f. oben).
7.3.3 Das Obergericht hat demnach im Ergebnis nicht gegen Bundesrecht verstossen, wenn es von der erneuten Anhörung des Sohnes der Parteien abgesehen hat, auch wenn dieser die Altersschwelle von sechs Jahren im späteren Verlauf des Berufungsverfahrens überschritten hat (vgl. auch Urteil 5A_43/2008 vom 15. Mai 2008 E. 4.3).
8. Bei diesem Ergebnis erübrigt es sich, auf die Frage der Besuchsrechtsregelung und Kinderunterhaltspflicht (wie auch auf die obergerichtliche Kosten- und Entschädigungsregelung) einzugehen, da der Beschwerdeführer diese nicht selbstständig angefochten hat, sondern nur für den Fall, dass sich seine Beschwerde gegen die Zuteilung der elterlichen Sorge als begründet erweisen sollte.
9. Aus den dargelegten muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird kostenpflichtig (<ref-law>), nicht hingegen entschädigungspflichtig, da das Bundesgericht keine Vernehmlassungen eingeholt hat (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, verdeutlichen doch die vorstehenden Erwägungen, dass die gestellten Begehren von Beginn an keinen Erfolg haben konnten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Februar 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Bettler