Faits:
A.
A._, né en 1974, célibataire, travaille depuis le 1er août 2007 en qualité d'informaticien pour le compte de la société B._ S.A., à un taux de 100%. Son lieu de travail se situe à C._ dans le canton de Vaud. Il habite dans cette commune depuis le 1er mai 2008. Il loue un appartement de trois pièces, dont le loyer mensuel s'élève à 1'270 fr. Il occupe seul cet appartement et y détient une ligne téléphonique fixe.
Le 1er mai 2008, A._ s'est inscrit comme résident secondaire à C._, en déclarant maintenir son domicile principal à D._, dans le canton du Valais. L'intéressé a indiqué que, depuis le décès de son père le 14 mai 1998, il y était copropriétaire d'un appartement de trois pièces et demie, dans lequel vivait sa mère.
Le 23 avril 2012, le Service financier de la commune de C._ a adressé à A._ un questionnaire aux fins de déterminer son domicile fiscal. L'intéressé a indiqué qu'il retournait à D._ plusieurs fois par semaine, ainsi que chaque week-end et durant les vacances. Il se déplaçait au moyen des transports publics et de sa voiture privée. Il a précisé que ses proches habitaient tous en Valais et qu'il n'avait ni connaissances ni amis à C._.
Le 8 juin 2012, l'Administration cantonale des impôts du canton de Vaud (ci-après: l'Administration fiscale vaudoise) a invité son homologue valaisanne à renoncer à l'assujettissement illimité du contribuable en Valais au 1er janvier 2012.
B.
Par décision du 15 janvier 2013, l'Administration fiscale vaudoise a fixé le domicile fiscal du contribuable à C._e au 1er janvier 2012. Le 7 février 2012 [recte 2013], le Service cantonal des contributions du canton du Valais (ci-après: le Service cantonal valaisan) a confirmé maintenir l'assujettissement illimité de A._ en Valais, dans la commune de D._.
Par arrêt du 12 août 2013, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours de A._ contre la décision du 15 janvier 2013. Statuant sur la base de la jurisprudence découlant de l'art. 127 al. 3 Cst., le Tribunal cantonal a jugé que le contribuable devait être intégralement assujetti aux impôts dans le canton de Vaud.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 12 août 2013 et de fixer son domicile fiscal à D._ pour l'année 2012.
Invité à se déterminer, le Service cantonal valaisan retient que le domicile fiscal du recourant se trouve dans le canton du Valais. L'Administration fiscale vaudoise conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Le Tribunal cantonal se réfère à l'arrêt attaqué et l'Administration fédérale des contributions renonce à déposer des observations, s'en remettant à l'appréciation du Tribunal fédéral.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 133).
Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu dans une cause de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) sans qu'aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> ne soit réalisée (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 312 à propos des recours en matière de double imposition depuis l'entrée en vigueur de la LTF). Déposé en temps utile (<ref-law>), par le destinataire de la décision attaquée qui a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celle-ci (<ref-law>), le présent recours est recevable comme recours en matière de droit public. Il s'ensuit l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>).
2.
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
Les deux pièces déposées par le recourant, datées du 9 septembre 2013 respectivement du 11 septembre 2013, et qui sont postérieures à l'arrêt attaqué, sont partant irrecevables.
3.
Le recourant soutient que l'instance précédente a apprécié les preuves de manière arbitraire.
3.1. Une décision est arbitraire lorsqu'elle contredit clairement la situation de fait, lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. De plus, il ne suffit pas que les motifs de l'arrêt attaqué soient insoutenables, encore faut-il que ce dernier soit arbitraire dans son résultat. Il n'y a en outre pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle de l'autorité intimée paraît concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 379 s.; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 5).
Lorsque la partie recourante - comme c'est le cas en l'espèce - s'en prend à l'appréciation des preuves et à l'établissement des faits, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 7 p. 82; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560).
3.2. Le recourant soutient que le Tribunal cantonal a fait preuve d'arbitraire, en n'admettant pas qu'il rentrait en Valais non seulement les week-ends et durant les vacances, mais aussi plusieurs fois par semaine. Selon le recourant, l'instance précédente n'aurait pas tenu compte des déclarations concordantes de sa mère, E._, d'une voisine de sa mère, F._, de son beau-frère, G._, de son frère, H._, de sa soeur, K._ et du médecin de sa mère, Dr. L._. Tous ont affirmé que le recourant retournait à D._ plusieurs fois par semaine, les week-ends compris.
En l'occurrence, le Tribunal cantonal n'a pas omis ces déclarations. Il a considéré que celles-ci permettaient d'établir que le recourant passait la plupart de ses week-ends et de ses vacances en Valais. L'instance précédente a toutefois retenu que, s'agissant des prétendus déplacements à D._ du recourant durant la semaine, les déclarations n'emportaient pas sa conviction, vu l'absence de preuves venant confirmer cet élément. Elle a relevé que le compteur kilométrique du véhicule de l'intéressé ne permettait pas de retenir qu'en plus des week-ends et des vacances, le recourant effectuait des trajets entre D._ et C._ durant la semaine. Le recourant n'était pas non plus parvenu à produire les quittances ou billets de train démontrant qu'il se déplaçait en transports publics. Enfin, s'agissant de l'attestation fournie par le recourant quant au covoiturage allégué entre C._ et D._, le Tribunal cantonal a considéré qu'elle était très imprécise et ne permettait pas de déterminer la fréquence de tels trajets, ni si le véhicule utilisé était celui du recourant. Or, dans la présente procédure, le recourant ne tente pas de réfuter l'appréciation de cette pièce par le Tribunal cantonal. Partant, en tant qu'elle est dûment motivée et fondée sur des éléments pertinents, l'appréciation des preuves opérée par l'instance précédente quant au fait qu'il n'était pas démontré que le recourant rentrait en Valais non seulement les week-ends, mais aussi durant la semaine échappe au grief d'arbitraire. Le grief soulevé par le recourant doit donc être rejeté.
4.
Le principe de l'interdiction de la double imposition (art. 127 al. 3 Cst.) s'oppose à ce qu'un contribuable soit concrètement soumis, par deux ou plusieurs cantons, sur le même objet et pendant la même période à des impôts analogues (double imposition effective) ou à ce qu'un canton excède les limites de sa souveraineté fiscale et, violant des règles de conflit jurisprudentielles, prétende prélever un impôt dont la perception est de la seule compétence d'un autre canton (double imposition virtuelle) (ATF <ref-ruling>45 consid. 2.1 p. 147; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 306 ss; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 311).
Ces conditions sont réalisées en l'espèce, dans la mesure où le domicile fiscal du recourant, pour l'année 2012, a été fixé dans le canton de Vaud, alors que le Service cantonal valaisan a confirmé maintenir l'assujettissement illimité du recourant dans le canton du Valais durant la même période. Il appartient donc au Tribunal fédéral de déterminer quel est le canton compétent pour l'imposition en 2012.
5.
5.1. Selon la jurisprudence du Tribunal fédéral relative à la double imposition (cf. art. 127 al. 3 Cst.), le domicile fiscal (principal) d'une personne physique exerçant une activité lucrative dépendante se trouve au lieu où elle réside avec l'intention de s'y établir durablement (cf. aussi, pour le domicile fiscal cantonal, art. 3 al. 2 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes; LHID; RS 642.14), soit le lieu où la personne a le centre de ses intérêts personnels. Ce lieu se détermine en fonction de l'ensemble des circonstances objectives et non sur la base des seules déclarations du contribuable, qui ne peut pas choisir librement son domicile fiscal (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 305 s.). Dans ce contexte, le domicile politique ne joue aucun rôle décisif: le dépôt des papiers et l'exercice des droits politiques ne constituent, au même titre que les autres relations de la personne assujettie à l'impôt, que des indices propres à déterminer le domicile fiscal (cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 35 s.; arrêt 2C_918/2011 du 12 avril 2012 consid. 3.1).
Si une personne séjourne alternativement à deux endroits, ce qui est notamment le cas lorsque le lieu de travail ne coïncide pas avec le lieu de résidence habituelle, son domicile fiscal se trouve au lieu avec lequel elle a les relations les plus étroites (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 149 s.). Pour le contribuable exerçant une activité lucrative dépendante, le domicile fiscal se trouve en principe à son lieu de travail, soit au lieu à partir duquel il exerce quotidiennement son activité lucrative, pour une longue durée ou pour un temps indéterminé, en vue de subvenir à ses besoins. Cependant, pour le contribuable marié dont le lieu de travail ne correspond pas au lieu de résidence de la famille, les liens créés par les rapports personnels et familiaux l'emportent en général sur ceux tissés au lieu de travail; pour cette raison, ces personnes sont imposables en principe au lieu de résidence de la famille (cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 36; arrêts 2C_92/2012 du 17 août 2012 consid. 4.2, in StR 67/2012 p. 833; 2C_918/2011 du 12 avril 2012 consid. 3.2).
S'agissant de contribuables célibataires, la jurisprudence considère que les parents et les frères et soeurs peuvent, selon les circonstances, être assimilés au conjoint et aux enfants. Toutefois, les critères qui conduisent le Tribunal fédéral à désigner non pas le lieu où le contribuable travaille, mais celui où réside sa famille comme domicile fiscal doivent être appliqués de manière particulièrement stricte, dans la mesure où les liens avec les parents et la fratrie sont généralement plus distants que ceux existant entre époux et enfants. Le Tribunal fédéral considère ainsi que les relations du contribuable célibataire avec ses parents sont en général moins étroites, lorsque celui-ci a plus de trente ans et qu'il réside sur son lieu de travail de manière ininterrompue depuis plus de cinq ans (cf. <ref-ruling> consid. 2b/bb p. 57; arrêts 2C_728/2012 du 28 décembre 2012 consid. 3.2; 2C_918/2011 du 12 avril 2012 consid. 3.2).
En présence d'un contribuable de plus de trente ans qui exerce une activité lucrative dépendante au lieu où il séjourne pendant la semaine, on présume qu'il y a son domicile fiscal principal. Cette présomption peut être renversée si le contribuable rentre régulièrement, au moins une fois par semaine, au lieu de résidence des membres de sa famille et qu'il parvient à démontrer qu'il entretient avec ceux-ci des liens particulièrement étroits et jouit dans ce même lieu d'autres relations personnelles et sociales (cf. arrêts 2C_250/2012 du 29 août 2013 consid. 2.3, in StE 2013 A 24.21 Nr. 27; 2C_518/2011 du 1er février 2012 consid. 2.2; 2C_397/2010 du 6 décembre 2010 consid. 2.3, in RDAF 2011 II 127).
5.2. En l'espèce, le recourant était âgé de 38 ans en 2012, qui correspond à la période fiscale litigieuse. Depuis le 1er mai 2008, il exerce une activité dépendante à plein temps à C._, où il occupe un appartement de trois pièces. Il faut donc présumer que son domicile fiscal principal se trouve à C._.
5.3. Il convient par conséquent de déterminer si le recourant peut se prévaloir de liens suffisamment forts avec le canton du Valais pour renverser cette présomption.
Le recourant fait valoir plusieurs arguments qui, selon lui, tendent à démontrer qu'il entretient des liens étroits avec le canton du Valais. L'intéressé a grandi à D._, où il a effectué sa scolarité obligatoire puis obtenu un certificat de capacité de mécanicien en automobiles. Il indique avoir maintenu à D._ tous ses contacts amicaux et sociaux avec ses camarades d'enfance. C'est dans cette région que vivent les membres de sa famille. Le recourant déclare être copropriétaire de la maison familiale située à D._. Il affirme s'y rendre régulièrement afin d'aider sa mère qui souffre d'une cardiopathie hypertensive et rythmique sévère, d'une insuffisance rénale chronique et d'une polyarthrose. Il lui prodiguerait les soins médicaux nécessaires et l'assisterait dans les tâches administratives et ménagères. Le recourant ajoute qu'il participe à différentes activités sociales et associatives de la ville de D._. C'est de là aussi qu'il se rendrait chez le médecin et chez le garagiste.
En l'espèce, si le recourant entretient des liens étroits avec D._, où il rentre chaque fin de semaine et durant les vacances, ces liens ne sont, selon les faits constatés dans l'arrêt attaqué et qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>), pas plus intenses que ceux d'une personne célibataire qui passe ses fins de semaine et son temps libre chez ses parents. Il apparaît certes que le recourant aide sa mère, âgée et gravement malade, lorsqu'il rentre à D._. Le Tribunal cantonal relève cependant qu'il n'est pas établi que le recourant est le seul à lui apporter du soutien. Par ailleurs, le recourant n'a pas réussi à démontrer qu'en plus des week-ends et des vacances, il séjournerait à D._ durant la semaine (cf. supra consid. 3.2). Il faut dès lors en déduire que la mère du recourant parvient à se passer de son aide durant la semaine, lorsqu'il travaille à C._. Dans ces conditions, le soutien que le recourant apporte à sa mère doit être qualifiée d'occasionnel (cf. arrêts 2C_728/2012 précité consid. 4.1; 2P.171/2005 du 25 janvier 2006 consid. 3.4). S'agissant ensuite des activités sociales et associatives locales que fait valoir le recourant, notamment celles exercées auprès de la paroisse de D._, il ne s'agit que d'activités de fin de semaine que l'intéressé pratique à D._ parce qu'il s'y rend de toute façon pour voir sa mère. Quant au médecin et au garagiste qu'il fréquente à D._, il est courant de conserver ces relations en cas de déménagement dans un autre canton tant que la distance géographique et la fréquence relative avec laquelle il est nécessaire d'y recourir le permettent (cf. arrêts 2C_728/2012 précité consid. 4.; 2C_178/2011 du 2 novembre 2011 consid. 3.4). L'intéressé loue en outre un appartement de trois pièces à C._ pour un loyer mensuel de 1'270 fr., avec une ligne téléphonique, ce qui dépasse la taille d'un simple pied-à-terre destiné aux seuls besoins de la profession (cf. arrêt 2C_397/2010 précité consid. 2.4.3). Enfin, le recourant travaille à C._ depuis août 2007 auprès du même employeur et habite dans cette commune depuis le 1er mai 2008. Il paraît donc difficile de croire qu'il n'y ait tissé aucune relation sociale (cf. arrêt 2C_518/2011 précité consid. 2.4).
5.4. Au vu de ce qui précède, il faut constater que le recourant ne démontre nullement avoir des contacts si étroits avec le canton du Valais que la présomption selon laquelle le domicile fiscal des contribuables célibataires exerçant une activité lucrative dépendante est au lieu de leur travail s'en trouverait renversée. On ne voit donc pas qu'en considérant que son domicile fiscal se trouvait dans le canton de Vaud pour la période fiscale 2012, le Tribunal cantonal ait violé le droit fédéral.
6.
Le recourant invoque une violation de l'égalité de traitement (art. 8 Cst.).
6.1. Une décision ou un arrêté viole le principe de l'égalité de traitement consacré à l'art. 8 al. 1 Cst. lorsqu'il établit des distinctions juridiques qui ne se justifient par aucun motif raisonnable au regard de la situation de fait à réglementer ou qu'il omet de faire des distinctions qui s'imposent au vu des circonstances (<ref-ruling> consid. 5.4 p. 213).
6.2. Le recourant reproche au Tribunal cantonal de s'être écarté de la jurisprudence rendue dans trois affaires cantonales. De manière générale, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les précédents dont il n'a pas eu à connaître (cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 34). Au demeurant, la jurisprudence cantonale ne saurait l'emporter sur les arrêts du Tribunal fédéral. Or les arrêts cités par le recourant, datant respectivement du 20 décembre 1995 et du 21 novembre 2003, dans lesquels le Tribunal cantonal a jugé que le domicile fiscal devait être arrêté dans le canton de résidence des parents lorsque le contribuable y rentrait chaque week-end pour s'occuper de la famille, ont été rendus avant l'arrêt du Tribunal fédéral 2P.171/2005 du 25 janvier 2006. Dans cette affaire, la Cour de céans a jugé que l'aide apportée le week-end par un contribuable à ses parents doit être considérée comme " purement occasionnelle " lorsque la famille parvient à s'en passer durant la semaine. Cette jurisprudence a été confirmée dans l'arrêt 2C_728/2012 du 28 décembre 2012 concernant l'assistance apportée en fin de semaine par un contribuable à sa soeur atteinte de trisomie 21. Selon le Tribunal fédéral, une telle situation relève de l'entraide familiale en ce que la personne assistée ne requiert pas la présence soutenue du contribuable (arrêt 2C_728/2012 précité consid. 4.1).
La situation du recourant n'est pas non plus comparable à celle qui a été traitée à l'arrêt du Tribunal cantonal FI.2011.0075 du 14 septembre 2012. En effet, il s'agissait alors d'une contribuable qui passait plus de la moitié de son temps dans le canton de domicile de ses parents, où elle exerçait une activité artistique qui, selon le Tribunal cantonal, était plus qu'un simple passe-temps. Le cas d'espèce se distingue ainsi nettement de la situation exposée ci-dessus.
La jurisprudence cantonale dont se prévaut le recourant ne lui est donc d'aucun secours.
6.3. Enfin, le recourant considère que sa situation n'est pas comparable à celles visées dans les arrêts du Tribunal fédéral 2C_728/2012 du 28 décembre 2012 et 2P.171/2005 du 25 janvier 2006, de sorte qu'un traitement différent devrait lui être réservé. Selon le recourant, à la différence de son propre cas, ces affaires portent sur un soutien occasionnel apporté à la famille uniquement en fin de semaine. C'est toutefois sans arbitraire que les juges cantonaux ont constaté que le recourant était seulement parvenu à rendre vraisemblable qu'il retournait chaque week-end dans le canton du Valais, mais non qu'il s'y rendait régulièrement en semaine également (cf. supra consid. 3.2). Sur ce point, la situation du recourant n'est donc pas différente de celle visée dans les arrêts précités.
6.4. Le grief du recourant tiré de la violation de l'égalité de traitement doit donc être rejeté.
7.
Partant, l'arrêt attaqué, en tant qu'il confirme la décision de fixer le domicile fiscal du recourant à C._ avec effet au 1er janvier 2012, ne peut être que confirmée. Le recours doit donc être rejeté. Cela signifie également que les autorités valaisannes n'ont pas le droit de taxer le recourant pour la période fiscale 2012.
Succombant, le recourant doit supporter un émolument judiciaire (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Administration cantonale des impôts du canton de Vaud, au Service cantonal des contributions du canton du Valais, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 12 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor