Par ces motifs, la Présidente de la Ire Cour de droit civil:
1. N'entre pas en matière sur le recours.
2. Met les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., à la charge du recourant.
3. Communique le présent arrêt aux parties et à la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève.
Lausanne, le 13 juillet 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo