Sachverhalt:
Mit Verfügung vom 29. November 2011 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich der 1958 geborenen, als selbständige Podologin erwerbstätigen A._ mit Wirkung ab Oktober 2011 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zu. Im Oktober 2012 leitete die Verwaltung eine Rentenrevision ein und hob in der Folge unter Hinweis auf die am 1. Januar 2012 in Kraft getretenen Schlussbestimmungen zur 6. IV-Revision die bisher ausgerichtete halbe Invalidenrente auf Ende April 2013 hin ersatzlos auf (Verfügung der IV-Stelle vom 13. März 2013).
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die von A._ dagegen eingereichte Beschwerde mit Entscheid vom 31. Oktober 2013 gut, hob die Renteneinstellungsverfügung vom 13. März 2013 auf und verpflichtete die IV-Stelle zur Weiterausrichtung der halben Invalidenrente.
Die IV-Stelle führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und Bestätigung der verfügten Renteneinstellung; eventuell sei die Sache an die Verwaltung zurückzuweisen. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Während A._, insbesondere unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid, auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Auf das Gesuch der IV-Stelle um aufschiebende Wirkung der Beschwerde kann nicht eingetreten werden, weil es mit keinem Wort begründet wurde.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (Art. 95 lit. a BGG), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
Gemäss lit. a Abs. 1 der Schlussbestimmungen zur 6. IV-Revision (erstes Massnahmenpaket) vom 18. März 2011 (SchlBest. IV 6/1; AS 2011 5659) werden Renten, die bei pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage gesprochen wurden, innerhalb von drei Jahren nach Inkrafttreten dieser Änderung (am 1. Januar 2012) überprüft; sind die Voraussetzungen nach Art. 7 ATSG nicht erfüllt, so wird die Rente herabgesetzt oder aufgehoben, auch wenn die Voraussetzungen von Art. 17 Abs. 1 ATSG nicht erfüllt sind. Diese Bestimmung ist verfassungs- und EMRK-konform (<ref-ruling>). Nach der Rechtsprechung ist die in lit. a Abs. 1 SchlBest. IV 6/1 vorgesehene Rentenherabsetzung oder -aufhebung nicht auf vor dem 1. Januar 2008 zugesprochene Renten beschränkt (wie die Vorinstanz zu Unrecht annimmt). Wurde indessen eine zu überprüfende Invalidenrente bereits in Beachtung der einschlägigen Rechtsprechung zu den pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage gesprochen, bleibt kein Raum für ein Rückkommen unter dem Titel der dargelegten Schlussbestimmung (<ref-ruling>).
4.
Die ursprüngliche Rentenverfügung vom 29. November 2011 stützte sich auf die psychiatrische Abklärung des RAD-Arztes Dr. C._, welcher eine Somatisierungsstörung mit u.a. unklaren rezidivierenden Diarrhöen (ICD-10 F45.0), eine leichte depressive Episode (ICD-10 F32.0) sowie ein chronisches Müdigkeitssyndrom (ICD-10 G93.3; Chronic Fatigue Syndrome [CFS]) diagnostiziert, die sog. Foerster-Kriterien herangezogen und eine hälftige Arbeitsunfähigkeit sowohl in der angestammten als auch in einer anderen leidensangepassten Erwerbstätigkeit bescheinigt hatte (spezialärztlicher Untersuchungsbericht vom 11. August 2011). Zutreffend stellt die Vorinstanz fest, dass mithin die halbe Invalidenrente seinerzeit "ohne Zweifel" aufgrund eines medizinisch diffusen Beschwerdebildes im Sinne von lit. a Abs. 1 SchlBest. IV 6/1 zuerkannt wurde. Eine darauf gestützte (voraussetzungslose) Neuprüfung der Rente fällt dennoch von vornherein ausser Betracht, weil sie unter Berücksichtigung der einschlägigen Rechtspraxis zu den unklaren Leiden (<ref-ruling> und seitherige Urteile) zugesprochen wurde (E. 3 hievor in fine).
5.
Stellt sich die Frage nach einer Herabsetzung oder Aufhebung einer Invalidenrente, bildet die (geänderte) Rente als solche Streitgegenstand, nicht die rechtliche Begründung für die Anpassung der Leistung. Revision (Art. 17 ATSG), Wiedererwägung (Art. 53 Abs. 2 ATSG) oder Überprüfung nach lit. a Abs. 1 SchlBest. IV 6/1 stellen nicht verschiedene Streitgegenstände dar, sondern verschiedene rechtliche Begründungen für den Streitgegenstand "Abänderung des Rentenanspruchs". Hat der Versicherungsträger die Rente mit einer unzutreffenden Begründung herabgesetzt oder aufgehoben, führt aber die richtige Begründung zum nämlichen Ergebnis, so ist deshalb die Verfügung zu bestätigen (Urteil 9C_121/2014 vom 3. September 2014 E. 3.2.2, worin die im Urteil 9C_654/2013 vom 21. Januar 2014 E. 4 in fine offen gelassene Frage, ob die Rechtsprechung zur substituierten Begründung auch im Zusammenhang mit einer - wie hier - fehlgeschlagenen Anwendung der SchlBest. zur 6. IV-Revision zum Tragen kommt, bejaht wurde; SVR 2011 IV Nr. 20 S. 53, 9C_303/2010 E. 4.3; Urteil 9C_460/2013 vom 18. März 2014 E. 5).
6.
Der beschwerdeführenden IV-Stelle ist darin beizupflichten, dass das kantonale Gericht (auch) die Frage nach einer Wiedererwägung, d.h. nach einer Bestätigung der Rentenaufhebung mittels der substituierten Begründung zweifelloser Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenverfügung vom 29. November 2011 (implizit) verneint hat. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid nämlich erwogen, "Hinweise, dass der damalige Rentenentscheid aus medizinischer Sicht falsch gewesen ist, ergeben sich keine". Diese Schlussfolgerung zog sie, nachdem sie (bloss) ausgeführt hatte, dass RAD-Arzt Dr. C._ "im Rahmen einer versicherungsmedizinischen Gesamtwürdigung der Situation und insbesondere der noch vorhandenen Ressourcen" unter Bejahung des Foerster-Kriteriums eines mehrjährigen, chronifizierten Krankheitsverlaufs mit unveränderter oder progredienter Symptomatik zu seiner Einschätzung einer 50%igen Arbeitsunfähigkeit gelangt sei. Rechtsprechungsgemäss ist indessen diesem Kriterium keine ausschlaggebende Bedeutung beizumessen, weil der angesprochene Verlauf bei Somatisierungsstörungen als diagnosespezifisch (ICD-10 F45.0) zu gelten hat (Urteil 8C_195/2008 vom 16. Dezember 2008 E. 7.3). So gesehen hat das kantonale Gericht keine Feststellungen darüber getroffen, ob Umstände gegeben sind, welche die Bewältigung des syndromalen Leidens behindern (wofür u.a. die psychiatrische Abklärung des RAD-Arztes heranzuziehen ist). Diese unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen stellt eine Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 lit. a BGG dar (E. 2 hievor). Dazu kommt, dass die entscheidwesentliche Frage, ob einer versicherten Person unter Aufbringung allen guten Willens die Überwindung ihrer Schmerzen und die Verwertung ihrer verbleibenden Arbeitskraft zumutbar ist, rechtlicher Natur ist, die nicht von der Arztperson, sondern vom Rechtsanwender zu beantworten ist (<ref-ruling> E. 2.2.5. S. 356 oben).
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde begründet, der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, welche die Wiedererwägungserfordernisse prüfen und der Beschwerdegegnerin vorgängig (erstmals) die Möglichkeit einräumen wird, zur Frage der substituierten Begründung Stellung zu nehmen (SVR 2010 IV Nr. 19 S. 58, 9C_272/2009 E. 4.1; Urteil 8C_1027/2009 vom 17. August 2010 E. 2.2).
7.
Umständehalber werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 31. Oktober 2013 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und der Ausgleichskasse des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. September 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Attinger