Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 5. März 2009 wies das Richteramt Olten-Gösgen die Klage von A._ (Beschwerdeführer) gegen B._ (Beschwerdegegner) auf Bezahlung von Fr. 50'000.-- nebst Zins zu 5% seit 22. Dezember 2006 ab. Das Gericht erkannte, dass der Beschwerdeführer das von ihm behauptete Kommissionsverhältnis zwischen den Parteien nicht bewiesen habe.
Gegen dieses Urteil appellierte der Beschwerdeführer an das Obergericht des Kantons Solothurn. Dessen Präsident entzog mit Verfügung vom 27. August 2009 die bisher dem Beschwerdeführer gewährte unentgeltliche Rechtspflege mit der Begründung, die Appellation sei aussichtslos. Diese Verfügung blieb unangefochten.
Am 8. Oktober 2009 wurde der Beschwerdeführer aufgefordert, für das Verfahren vor Obergericht bis zum 29. Oktober 2009 einen Kostenvorschuss von Fr. 4'000.-- zu bezahlen, ansonsten auf die Appellation nicht eingetreten werde. Zwei Begehren um Fristerstreckung wurden dem Beschwerdeführer bewilligt. Am 16. Dezember 2009 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um nochmalige Erstreckung der Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses abgewiesen. Am 23. Dezember 2009 - innerhalb der Notfrist von <ref-law>/SO - stellte der Beschwerdeführer ein Gesuch um Wiedererwägung der Verfügung betreffend den Entzug der unentgeltlichen Rechtspflege, eventualiter um neue Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Infolge dieses Gesuchs beantragte er, die Verfügung zur Leistung des Kostenvorschusses bis zum Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege zu sistieren bzw. darauf zu verzichten. Ebenso sei zu verfahren betreffend den beklagtischen Antrag auf Sicherstellung der Parteikosten bzw. dieser sei anschliessend abzuweisen.
Am 24. Dezember 2009 verfügte der Präsident, dass das Gesuch vom 23. Dezember 2009 um Aussetzung der Notfrist gemäss der Verfügung vom 16. Dezember 2009 und "die übrigen Anträge" abgewiesen würden. Zur Begründung führte er aus, innerhalb der Notfrist von <ref-law>/SO könnten nur diejenigen Prozesshandlungen noch vorgenommen werden, auf die sich das abgewiesene Fristerstreckungsgesuch beziehe. Andere Prozesshandlungen oder Begehren seien unzulässig.
Am 19. Januar 2010 stellte der Präsident fest, dass der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss nicht bezahlt habe, weshalb das Obergericht über die angedrohte Säumnisfolge zu entscheiden habe.
B. Am 29. Januar 2010 erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht und beantragte, die Verfügung vom 24. Dezember 2009 sei aufzuheben. Die Vorinstanz sei anzuweisen, auf das Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege einzutreten und dieses folglich erneut zu prüfen. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren, unter Beigabe von Rechtsanwalt Lars Dubach als unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen wurde verzichtet.

Erwägungen:
1. Mit dem heutigen Entscheid in der Sache wird das Gesuch des Beschwerdeführers, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen, gegenstandslos.
2. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 216 mit Hinweisen).
2.1 Mit der angefochtenen Verfügung wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Aussetzung der Notfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses und um Wiedererwägung der Verfügung betreffend Entzug der unentgeltlichen Rechtspflege resp. um Neugewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen. Wird der beim Einreichen eines Rechtsmittels verlangte Vorschuss innert Frist nicht geleistet, ist die Streitsache abzuschreiben, sofern diese Folge - wie vorliegend - ausdrücklich angedroht worden ist (<ref-law>/SO). Mit Blick auf die Säumnisfolgen einer nicht fristgerechten Leistung des Kostenvorschusses handelt es sich bei der angefochtenen Verfügung um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Da es in der Hauptsache um eine Zivilsache mit einem Streitwert von Fr. 50'000.-- geht, ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.).
2.2 Die angefochtene Verfügung stützt sich auf kantonales Prozessrecht, konkret auf <ref-law>/SO: Verweigert der Richter eine Fristerstreckung, so kann der Gesuchsteller gemäss dieser Bestimmung innert einer zusätzlichen Frist von 8 Tagen, nachdem er von der Verweigerung Kenntnis erhalten hat, die Prozesshandlung noch vornehmen.
Die Anwendung des kantonalen Zivilprozessrechts kann vom Bundesgericht einzig unter dem Blickwinkel des Willkürverbots nach <ref-law> überprüft werden (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3 S. 351; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2.1.2.1), was entsprechende Rügen voraussetzt (<ref-law>).
Wird eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht gerügt, ist zu beachten, dass es nicht genügt, wenn der Beschwerdeführer einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; bei der Rechtsanwendungsrüge hat er vielmehr die Rechtsnorm, die qualifiziert unrichtig angewandt bzw. nicht angewandt worden sein soll, zu bezeichnen und anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem und offensichtlichem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.1 S. 18; <ref-ruling> E. 2a S. 3 f.). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1. S. 399). Willkür liegt nicht schon vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist. Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1, je mit Hinweisen).
2.3 Der Beschwerdeführer macht sinngemäss geltend, nach <ref-law>/SO könnten Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege jederzeit gestellt werden. Gemäss <ref-law> entfalle für diejenige Partei, die Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege habe, zudem die Pflicht zur Leistung eines Gerichtskostenvorschusses. Die Vorinstanz habe diese Vorschriften verletzt, indem sie es abgelehnt habe, die Notfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses auszusetzen und das Gesuch um Wiedererwägung der Verfügung betreffend Entzug der unentgeltlichen Rechtspflege resp. um Neugewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zu prüfen. Darin liege zugleich eine Verletzung von <ref-law> (und von Art. 6 Abs. 3 lit. c EMRK [gemeint ist wohl Art. 6 Abs. 1 EMRK, da es sich um ein Zivilverfahren handelt]) und des Willkürverbots nach <ref-law>.
2.4 Die Rüge ist unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann. Es trifft zwar zu, dass Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege grundsätzlich nicht fristgebunden sind und daher jederzeit angebracht werden können, was auch <ref-law>/SO ausdrücklich vorsieht. Ist allerdings die bedürftige Partei vorschusspflichtig, wie dies auf den Beschwerdeführer, dem mit Verfügung vom 27. August 2009 die unentgeltliche Rechtspflege entzogen worden war, zutraf, und will sie die für den Fall der nicht fristgerechten Bezahlung angedrohten Säumnisfolgen abwenden bzw. die Pflicht zur Leistung des Kostenvorschusses beseitigen, muss sie das Gesuch hierzu zwangsläufig innerhalb der für die Leistung des Kostenvorschusses gesetzten Frist stellen (Urteil 5P.40/2001 vom 12. März 2001 E. 5b/aa).
Der Beschwerdeführer hatte vorliegend während der ihm gewährten Fristerstreckungen zur Leistung des Kostenvorschusses hinreichend Zeit und Gelegenheit, um Wiedererwägung bzw. Neugewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nachzusuchen. Statt dessen begnügte er sich damit, mehrfach eine Fristerstreckung zur Leistung des Kostenvorschusses zu beantragen. Als er dies am 15. Dezember 2009 zum dritten Mal tat, konnte er aufgrund der klaren Bestimmung von <ref-law>/SO, wonach nur ausnahmsweise und nach Anhörung der Gegenpartei die gleiche Frist mehr als zweimal verlängert werden darf, nicht damit rechnen, dass seinem Antrag um Fristerstreckung abermals entsprochen werden würde. Vielmehr musste er sich bewusst sein, dass gestützt auf § 81 Abs. 2 und 3 ZPO/SO eine dritte Fristerstreckung abgelehnt und die Notfrist ausgelöst werden würde. Während der Notfrist war er aber mit seinem Gesuch insoweit ausgeschlossen, als er damit die Aussetzung der Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses bezweckte. Denn nach der willkürfreien vorinstanzlichen Auslegung von <ref-law>/SO kann innert der Notfrist nur noch diejenige Prozesshandlung vorgenommen werden, bezüglich derer die Fristerstreckung abgewiesen wurde, hier also die Leistung des Kostenvorschusses. Diese Regelung dient einem ordnungsgemässen Prozessablauf, könnte doch andernfalls die bedürftige Partei das Verfahren ständig mit neuen Wiedererwägungsgesuchen aufhalten. Der Beschwerdeführer tut auch nicht rechtsgenügend dar, dass die Vorinstanz <ref-law>/SO willkürlich angewendet habe, indem sie die Aussetzung der Notfrist ablehnte; diese Bestimmung sieht ihrem Wortlauf nach die Befreiung von der Kostenvorschusspflicht nur nach Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege vor, nicht bereits bei Bestehen eines möglichen Anspruchs auf solche (Erwägung 2.2 vorne).
Der Beschwerdeführer stellte sein Wiedererwägungs- bzw. Neugewährungsgesuch erst am 23. Dezember 2009 innerhalb der Notfrist, nachdem am 16. Dezember 2009 sein Antrag auf erneute (dritte) Fristerstreckung für ihn vorhersehbar abgewiesen worden war. Er berief sich darin auf das Vorliegen weiterer Zeugen, die angeblich das Bestehen eines Kommissionsverhältnisses belegen könnten und aufgrund deren Aussagen die Frage der Aussichtslosigkeit des Klagebegehrens im Rahmen der Wiedererwägung bzw. einer Neubeurteilung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege anders zu beurteilen sein soll. In diesem Zusammenhang ist darauf hinzuweisen, dass der Beschwerdeführer nicht rechtsgenügend begründet, weshalb er die "nun vorhandenen Zeugen", nicht vorher hätte anrufen können. Es ist namentlich nicht dargetan und auch in keiner Weise ersichtlich, dass er die (im Hinblick auf die Zeugen) angeblich "neue Faktenlage", die eine Wiedererwägung erheischt haben soll, nicht mit einem während der laufenden Frist zur Leistung des Kostenvorschusses gestellten Wiedererwägungsgesuch hätte vorbringen können. Statt dessen stellte er - wie schon ausgeführt - bloss mehrfach ein Gesuch um Erstreckung der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses. Sein Zuwarten mit dem Wiedererwägungs- bzw. Neugewährungsgesuch bis zur Auslösung der Notfrist erscheint deshalb als treuwidrig.
Unabhängig davon konnte der Beschwerdeführer nach dem vorstehend Dargelegten die Notfrist zur Leistung des Kostenvorschusses mit seinem während der Notfrist gestellten Gesuch nicht aufhalten. Vielmehr hätte er, um die Säumnisfolgen abzuwenden, den Kostenvorschuss zahlen müssen, worauf er denn mit der angefochtenen Verfügung vom 24. Dezember 2009, mit der die Vorinstanz sein Gesuch um Aussetzung der Notfrist ablehnte, auch sinngemäss hingewiesen wurde. Allenfalls hätte er auch die Möglichkeit gehabt, die Verfügung vor Ablauf der Notfrist beim Bundesgericht anzufechten und um Gewährung der aufschiebenden Wirkung zu ersuchen. Nachdem der Beschwerdeführer weder innerhalb der Notfrist zahlte noch die Verfügung mit einem Antrag um aufschiebende Wirkung anfocht, wurde er säumig. Mithin hat die Vorinstanz am 19. Januar 2010 zu Recht entschieden, dass das Gericht über die angedrohte Säumnisfolge zu entscheiden hat, mithin auf die Appellation nicht einzutreten sein wird.
Bei dieser Sachlage fehlt dem Beschwerdeführer ein Rechtsschutzinteresse, soweit er vorliegend rügt, dass sein Wiedererwägungsgesuch und sein Antrag um Neugewährung der unentgeltlichen Rechtspflege in der angefochtenen Verfügung vom 24. Dezember 2009 abgewiesen wurden, was zur Folge hat, dass auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten ist (vgl. <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3a/b, je mit Hinweisen). Eine Gutheissung der Beschwerde in diesem Punkt könnte für ihn nur von praktischem Nutzen sein, wenn die Vorinstanz die Notfrist zur Leistung des Kostenvorschusses wegen des gestellten Gesuchs zu Unrecht nicht ausgesetzt hätte, was nach der vorstehenden Beurteilung nicht der Fall ist, oder wenn der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss innerhalb der Notfrist bezahlt oder die aufschiebende Wirkung einer vor Fristablauf erhobenen Beschwerde an das Bundesgericht erwirkt hätte, und der Prozess vor Obergericht damit überhaupt seinen Fortgang nehmen könnte. Nur in diesem - hier aber nicht gegebenen - Fall hätte der Beschwerdeführer ein Interesse an der Beurteilung, ob die Vorinstanz mit ihrer Verfügung vom 24. Dezember 2009 sein Recht missachtet hat, jederzeit um unentgeltliche Rechtspflege nachzusuchen, wobei anzumerken ist, dass eine Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für künftig entstehende Prozesskosten (vgl. <ref-law>/SO) diesfalls auch denkbar wäre, wenn ein Kostenvorschuss - etwa mit Hilfe von trotz Bedürftigkeit aufgenommenen Darlehen - bereits bezahlt worden wäre.
Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, der vorinstanzliche Entscheid verstosse gegen <ref-law>/SO ist überdies schon deshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten, weil der Beschwerdeführer eine willkürliche Anwendung dieser Bestimmung nicht, jedenfalls nicht rechtsgenüglich dartut (Erwägung 2.2 vorne). Ebenso wenig legt der Beschwerdeführer hinreichend dar, dass die von ihm lediglich plakativ angerufenen Bestimmungen der Kantonsverfassung/SO (Art. 7, 8, 18 Abs. 3 und 22 lit. a) ihm Ansprüche gewährten, die durch die angefochtene Verfügung verletzt wären.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Damit hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Da dessen Rechtsbegehren von vornherein als aussichtslos erschien, ist das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren abzuweisen (<ref-law>). Da dem Beschwerdegegner im Zusammenhang mit dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden ist, ist ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. April 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Widmer