Faits:
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A. Après avoir travaillé durant plusieurs années dans la gestion de fortune pour de nombreuses banques et occupé, jusqu'au 13 juin 1983, un poste au sein de la direction de la banque Y._, A._ s'est mis à son compte, comme gérant indépendant. Il a alors incité plusieurs clients, dont il s'était occupé précédemment, à ouvrir un compte et un dépôt de titres auprès de la Banque Z._, devenue la Banque X._ (ci-après: la Banque). Il était lui-même déjà client de cette banque, pour son propre compte, d'une part, et pour le compte d'autrui, à titre fiduciaire, d'autre part.
En 1976, 1978 et 1980, A._ avait ouvert, en son nom mais sous les pseudonymes de "aa", "bb" et "cc", des comptes auprès de la Banque. Il gérait les deux premiers à titre fiduciaire pour des tiers. Pour ces comptes, A._ avait signé les conditions générales de la Banque qui prévoyaient, parmi d'autres clauses, un droit de gage général de la Banque sur les papiers-valeurs déposés, celle-ci se réservant le droit de réaliser les gages de gré à gré. Il était en outre stipulé une obligation du client de présenter toute contestation d'un extrait de décompte ou de dépôt immédiatement après la réception de l'avis correspondant, mais au plus tard dans le délai fixé par la Banque. Par ailleurs, A._ et la Banque avaient convenu, lors de l'ouverture du compte, de faire garder le courrier y relatif à la Banque, le courrier ainsi retenu étant considéré comme délivré à la date qu'il portait.
En 1983 et 1984, A._ a reçu le mandat de gérer des comptes ouverts par des tiers auprès de la Banque sous les pseudonymes de "dd", "ee" et "ff". Les conditions de ces dépôts étaient les mêmes que celles relatives aux comptes "aa", "bb" et "cc".
B._ a été engagé par la Banque le 1er juin 1979. Il a été responsable du département de gestion de fortune à compter du 1er janvier 1981, puis sous-directeur à compter du 1er janvier 1984. A fin février 1985, il a été licencié avec effet immédiat après la découverte, en décembre 1984, de plusieurs violations de ses obligations contractuelles vis-à-vis de la Banque. Il a été condamné pénalement pour avoir, en substance, fait octroyer des crédits lombards à des personnes ou sociétés qu'il entendait ainsi favoriser, alors qu'il savait ou devait savoir que les titres déposés ne représentaient pas de garantie suffisante.
Parmi les personnes favorisées figurait C._, actionnaire et animateur de la société américaine R._ Inc. et de sa filiale, S._ Company Inc., qui étaient censées explorer, puis exploiter des gisements d'or et au sujet desquelles il s'est avéré, lors de l'instruction pénale conduite contre B._, d'une part, qu'elles n'étaient pas en possession de tous les droits miniers, d'autre part, que C._, n'ayant pour seul objectif que de réaliser le plus vite possible un profit personnel, avait trompé les investisseurs sur la valeur réelle des sociétés.
Parmi les autres personnes ou sociétés favorisées figurait la société T._, appartenant à E._ et F._. Cette société a été mise au bénéfice d'un crédit garanti par le dépôt de diverses actions que B._ a permis de libérer ultérieurement alors que les crédits n'étaient pas remboursés.
E._ et F._ figuraient aussi parmi les administrateurs et actionnaires de la société U._, qui avait pour but la participation, diversifiée dans plusieurs secteurs économiques, dans d'autres sociétés. Il existait à Londres un marché hors bourse des actions U._, la valeur de ces titres étant publiée dans le journal économique "...".
U._ a connu des difficultés financières durant l'année 1985, principalement en raison de l'échec d'un projet d'investissement dans le secteur hôtelier. La valeur de ses actions a donc baissé durant ladite année et U._ a finalement été rachetée par la société V._.
Depuis octobre 1982, B._ avait placé des actions de U._ dans certains portefeuilles de clients de la Banque et il en avait acquis pour lui-même et pour sa compagne. Le premier portefeuille concerné était celui de "cc", soit le dépôt personnel de A._. Dès 1983, des actions U._ ont aussi été achetées pour les comptes "dd", "aa", "bb" et "ff".
Dans le cadre de ses activités professionnelles, A._ a occupé la fonction d'administrateur de plusieurs sociétés dont W._, à Genève. Au cours de l'année 1984, des titres W._ de A._ ont été déposés à la Banque sur le compte "aa".
En 1985 et après la découverte des agissements de B._, la plupart des comptes de A._ et de ses clients auprès de la Banque présentaient des débits.
Dans cette situation, tant A._ que la Banque (cette dernière en vertu de son droit de gage sur les titres dans les dépôts "dd", "ee" et "aa") ont cherché à vendre des titres, dont ceux de W._, de la manière la plus avantageuse. Une offre de N._ de 73 USD par titre W._ aurait été faite en 1985. Ces titres ont finalement été vendus à N._ au prix de 55 USD par titre à fin 1989.
Dès 1987, A._ et la Banque sont entrés en pourparlers. Les négociations ont échoué et A._ s'est fait céder les droits de ses propres clients contre la Banque.
Dès 1987, A._ et la Banque sont entrés en pourparlers. Les négociations ont échoué et A._ s'est fait céder les droits de ses propres clients contre la Banque.
B. Par demande du 9 novembre 1992, A._ a assigné la Banque en paiement de divers montants à titre de dommages-intérêts, en lui reprochant une mauvaise gestion de fortune.
La défenderesse a conclu à libération en niant toute obligation de gestion de fortune de sa part.
Par jugement du 23 octobre 2000, le Tribunal de première instance du canton de Genève a rejeté la demande.
Statuant par arrêt du 10 octobre 2003, sur appel du demandeur, la Cour de justice a confirmé ce jugement.
Statuant par arrêt du 10 octobre 2003, sur appel du demandeur, la Cour de justice a confirmé ce jugement.
C. Parallèlement à un recours en réforme, le demandeur a déposé un recours de droit public aux fins d'obtenir l'annulation de l'arrêt cantonal.
La défenderesse et intimée conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.
La cour cantonale se réfère aux motifs énoncés dans son arrêt.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Contrairement à ce que préconise le recourant, il y a lieu de traiter en premier lieu le recours de droit public, aucun motif ne justifiant de déroger à la règle générale de l'art. 57 al. 5 OJ.
1. Contrairement à ce que préconise le recourant, il y a lieu de traiter en premier lieu le recours de droit public, aucun motif ne justifiant de déroger à la règle générale de l'art. 57 al. 5 OJ.
2. Exercé en temps utile (art. 89 al. 1 OJ), dans la forme prévue par la loi (art. 90 al. 1 OJ), pour violation de droits constitutionnels des citoyens (art. 84 al. 1 let. a OJ), contre une décision finale prise en dernière instance cantonale, le recours de droit public soumis au Tribunal fédéral est recevable sous cet angle. Il ne le serait pas, en revanche, en vertu de l'art. 84 al. 2 OJ, si son auteur y soulevait des moyens relevant du recours en réforme.
Le recourant, qui a été débouté entièrement de ses conclusions au fond, a un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que la décision attaquée n'ait pas été adoptée en violation de ses droits constitutionnels; en conséquence, la qualité pour recourir doit lui être reconnue (art. 88 OJ).
Le recourant, qui a été débouté entièrement de ses conclusions au fond, a un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que la décision attaquée n'ait pas été adoptée en violation de ses droits constitutionnels; en conséquence, la qualité pour recourir doit lui être reconnue (art. 88 OJ).
3. Selon le recourant, il était arbitraire de retenir, sur la base des seules déclarations de B._, que celui-ci avait agi à son égard et envers ses clients sans dessein d'enrichissement illégitime. Lesdites déclarations seraient en "complète contradiction" avec la procédure pénale menée contre cette personne et avec l'expérience générale de la vie. La solution choisie par la cour cantonale serait en outre choquante dès lors que la même autorité admet par ailleurs que B._ avait agi dans le cadre d'une gestion sans mandat intéressée. Cette dernière constatation serait d'ailleurs inconciliable avec celle de l'absence de recherche d'enrichissement illégitime. La cour cantonale n'aurait pas tenté d'élucider l'objectif poursuivi par B._.
Puis, le recourant expose, en se fondant sur la procédure pénale instruite contre B._, que les amis de cette personne (E._ et F._, ainsi que leur société T._) ont été enrichis par elle de façon illégitime au détriment de la Banque. Il résulterait à l'évidence de ces faits que les mobiles de B._ à l'égard des portefeuilles gérés par A._ ne pouvaient être différents de ceux qui l'animaient vis-à-vis de la Banque. B._ n'aurait donc recherché, en plaçant des titres U._ dans lesdits portefeuilles, qu'un avantage patrimonial pour lui-même. En tout état de cause, même s'il avait cru en la valeur de ces titres, il a forcé leur placement massif, causant un préjudice économique considérable. La cour cantonale aurait donc dû appliquer les art. 41 et 55 CO.
3.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire prohibé par l'art. 9 Cst. ne résulte pas du fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable. Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une règle ou un principe juridique clair et indiscuté ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle est insoutenable, en contradiction évidente avec la situation de fait, si elle a été adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain; par ailleurs, il ne suffit pas que les motifs de la décision attaquée soient insoutenables; encore faut-il que celle-ci soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.1 et les arrêts cités). Pour se conformer à l'art. 90 al. 1 let. b OJ, celui qui forme un recours de droit public pour arbitraire doit démontrer par une argumentation précise que la décision attaquée repose sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables (<ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 1c). Il ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait dans une procédure d'appel (<ref-ruling> consid. 4b), ni se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 2b).
3.2 La cour cantonale, admettant que B._ avait agi sans mandat, a relevé qu'une gestion sans mandat pouvait être ratifiée expressément ou par actes concluants par le maître, mais que l'on ne saurait admettre la ratification tacite d'une gestion entreprise sciemment au détriment du maître. A cet égard, la cour cantonale a retenu qu'en l'espèce, B._ n'avait pas trompé intentionnellement A._ ou ses mandants en ce qui concerne les actions U._.
Contrairement à ce que soutient le recourant, la cour cantonale ne s'est pas fondée pour cela sur les seules déclarations de B._. Elle a relevé en outre que le dossier pénal établissait un comportement déloyal de celui-ci vis-à-vis de son employeur mais ne révélait aucune intention délictueuse à l'égard des acheteurs des titres précités. Le recourant ne fournit pas d'indices qui auraient dû conduire à une autre conclusion. Le simple fait que B._ avait eu un comportement pénalement répréhensible à l'égard de la Banque, son employeur, ne suffit pas en soi pour retenir qu'il ne pouvait avoir agi que de même à l'égard du recourant. La cour cantonale constate notamment que jusqu'en 1984, les titres U._, qui avaient été placés sans mandat initial sur les comptes de A._ ou sur ceux qu'il gérait, de 1982 à 1984, avaient produit des dividendes importants et avaient présenté de bonnes perspectives de rendement, ces titres, bien que traités hors bourse, faisant d'ailleurs l'objet d'un marché, publié dans le journal .... Elle mentionne également des indices montrant que B._ avait vraiment cru à la valeur de ces titres. Admettre, dans ces conditions, un défaut d'intention d'enrichissement illégitime n'avait rien d'arbitraire.
Le recourant estime que même si B._ avait cru, en son for intérieur, en la valeur des titres U._, il n'a pu agir que dans un dessein d'enrichissement illégitime pour lui-même ou ses amis E._ et F._, compte tenu du dommage énorme causé à A._ et aux portefeuilles qu'il gérait. Or, le seul fait que le recourant et ses propres clients ont subi une perte ne suffit pas à démontrer le dessein délictueux de B._ et la responsabilité de la Banque qu'il engageait.
Il s'ensuit le rejet de ce moyen dans la mesure où il est recevable.
3.3 Le recourant soutient que la cour cantonale a retenu arbitrairement, de façon implicite, que les titres U._ avaient une valeur correspondant aux montants payés par ses comptes pour les acquérir. Il ne serait pas possible d'admettre qu'il y ait eu équivalence entre la dette d'argent en francs suisses créée sur lesdits comptes et la valeur de ces titres hautement spéculatifs. Leur attribution aurait mis les comptes précités en danger. Ce mode de faire serait contraire aux règles de l'Association Suisse des Banquiers (ASB), lesquelles interdiraient d'attribuer des titres et de rendre des comptes débiteurs sans l'accord préalable exprès de l'ayant droit économique. Retenant que B._ avait agi dans le cadre d'une gestion d'affaires intéressée, la cour cantonale aurait dû par conséquent admettre qu'il y avait eu acte illicite et dommage patrimonial.
Le recourant se trompe de cible. La cour cantonale n'a pas retenu que A._ ou ses propres clients n'avaient pas subi de dommage patrimonial en relation avec les titres U._, mais que B._, engageant la défenderesse, n'avait pas cherché à tromper le recourant. Contrairement à ce qu'avance ce dernier tout au long de son recours, les juges cantonaux n'ont pas retenu que B._ avait agi dans le cadre d'une gestion d'affaires intéressée. Ils ont ensuite écarté la responsabilité de la banque dès lors que les actes de gestion commis par B._ avaient été ratifiés par A._. La question de savoir si les règles de l'ASB étaient ou non applicables en l'espèce est un problème de droit, que le recourant soulève d'ailleurs dans son recours en réforme, et qui sera traité, si besoin est, à l'occasion de l'examen de ce dernier recours.
En outre, l'existence d'une mise en danger du patrimoine par l'achat de titres U._, dont il est avéré qu'ils ont rapporté des dividendes élevés aux porteurs d'actions en 1984, n'est pas établie.
Il s'ensuit le rejet de ce moyen.
3.4 Dans un moyen qui se confond en partie avec celui tiré du prétendu arbitraire dans la constatation de l'absence d'enrichissement de B._, le recourant soutient qu'il est arbitraire de retenir que celui-ci n'avait pas voulu le tromper. Il estime que les indices retenus par la cour cantonale à ce sujet n'ont pas de poids face aux éléments de fait suivants :
- il résulterait de la plainte pénale de la Banque contre B._ que les procédés adoptés par celui-ci dans le dossier U._ sont semblables à ceux du dossier R._, où sa duplicité aurait été établie;
- les informations au sujet de la valeur économique des actions U._ provenaient d'un courtier londonien qui a été condamné pour de graves irrégularités à Londres en 1984 ;
- U._ aurait subi des pertes en 1984 et n'aurait pu obtenir de crédit auprès de la Banque sans la complicité de B._;
- la presse aurait relevé que des titres U._ avaient dû être vendus à des prix surfaits ;
- B._ aurait acquis ces titres pour le prix de 9 pences pour les placer dans les portefeuilles des clients de la Banque à des valeurs comprises entre 30, 46.7 et 57 pences en 1984;
- B._ a signé en 1983 un engagement de souscrire 21 millions d'actions U._;
- B._ a eu des contacts avec les dirigeants de U._. Il aurait participé à une tromperie à très grande échelle.
Le recourant déduit de son exposé de faits que B._ connaissait le fondement économique inexistant de U._ et qu'il aurait "forcément" trompé A._.
Ce moyen n'est pas mieux fondé que les précédents.
En premier lieu, il convient de relever que les termes de la plainte pénale déposée par la Banque contre son ancien cadre n'établissent aucun fait par eux-mêmes. En particulier, la circonstance que B._ a commis des actes illicites au détriment de la Banque en rapport avec les titres R._ ne suffit pas pour conclure qu'il en est allé de même pour les titres U._. Le verdict prononcé par la cour correctionnelle avec jury le 3 juin 1991 ne permet pas de retenir que, contrairement aux constatations de la cour cantonale, les actions U._ n'avaient pas la valeur pour laquelle elles étaient alors traitées. De même, les procédés de B._ vis-à-vis de A._ ne doivent pas nécessairement être appréciés de la même façon que les agissements de B._ à l'égard de son employeur. La cour cantonale le relève expressément et l'arbitraire de cette observation n'est pas démontré.
Ensuite, pour établir l'existence d'un prétendu arbitraire, le recourant n'hésite pas à colorer les faits à sa façon. Il ne démontre nullement que la valeur des titres U._ ait été surestimée. C'est en 1985 et non en 1983 ou 1984 que la société U._ a connu des difficultés financières. En 1984, la situation financière de U._ était bonne. Elle a permis de dégager un bénéfice net et de distribuer des dividendes. En 1985, en revanche, il y a eu des pertes qui ont obligé les dirigeants à restructurer la société.
Au demeurant, le recourant avait lui-même estimé que les pertes enregistrées sur les titres U._ pouvaient être considérées comme faisant partie des risques de la gestion - et non d'une tromperie -. La cour cantonale a retenu en fait cette opinion exprimée par A._, ce que ce dernier omet de rappeler ici.
Il n'y avait dès lors aucun arbitraire dans le fait de retenir que B._ n'avait pas voulu tromper A._ et le recours doit être rejeté sur ce point également.
Il n'y avait dès lors aucun arbitraire dans le fait de retenir que B._ n'avait pas voulu tromper A._ et le recours doit être rejeté sur ce point également.
4. Le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir appliqué l'<ref-law> de façon arbitraire. Il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur ce moyen, qui pouvait être présenté dans la procédure du recours en réforme (<ref-law>) et qui y a du reste été invoqué.
Il s'ensuit l'irrecevabilité du recours sur ce point.
Il s'ensuit l'irrecevabilité du recours sur ce point.
5. Le recourant soulève ensuite le grief de constatation arbitraire de la ratification des actes commis par B._ et de l'admission de la renonciation par A._ à des dommages-intérêts. Il se plaint à cet égard de l'application arbitraire de l'<ref-law>, lequel régit le fardeau de la preuve, ainsi que de l'art. 196 de la loi de procédure civile genevoise (LPC gen.). Pour les motifs exposés au sujet de la prétendue violation de l'<ref-law>, le recours est irrecevable en ce qui concerne la violation de l'<ref-law>.
Le moyen est également irrecevable dans la mesure où le recourant estime que, sur la base des éléments qu'elle retenait, la cour cantonale ne pouvait pas conclure à l'existence d'une ratification par actes concluants, seule une approbation expresse et écrite pouvant valoir ratification. En effet, savoir si la ratification de tels actes de gestion pouvait intervenir tacitement ou non est une question de droit qui devait être soulevée par la voie du recours en réforme.
Il peut être entré en matière dans la seule mesure où le recourant se plaint d'une appréciation arbitraire des preuves et de la violation de l'<ref-law> gen. qui sanctionne la libre appréciation des preuves.
Le recourant voit un indice contraire à la ratification dans le fait que B._ a déclaré que A._ n'avait pas approuvé ses acquisitions de titres U._ et qu'il lui avait donné l'ordre de les vendre. Or, la cour cantonale n'a pas ignoré ce fait, qu'elle relate, mais elle a aussi relevé que A._ n'avait pas exigé l'extourne pure et simple de ces achats. Le recourant se borne à prétendre qu'il n'y avait pas de marché pour ces titres, mais il ne démontre pas en quoi cette extourne eût été impossible.
Puis le recourant se réfère au témoignage de H._ qui a déclaré ne pas avoir donné d'instruction pour acheter les titres U._ ni ratifié ces achats. Là encore, la cour cantonale a rappelé les déclarations de ce témoin. Elle les a analysées en retenant que ledit témoin, bien que réticent à l'égard de ces achats, avait encaissé des dividendes et des bénéfices de revente des titres, avait conclu un contrat de crédit destiné à les financer et n'avait protesté que de nombreuses années plus tard, les titres ayant perdu de leur valeur. Le recourant ne démontre en rien le caractère arbitraire des constatations des juges cantonaux sur ce point. Il voit cependant un indice contraire à ceux retenus par la cour cantonale dans le fait que les actions U._ avaient été progressivement vendues et qu'aucune autre action n'avait été acquise par A._ ultérieurement. Or, cela n'est pas exact. Des actions U._ ont encore été achetées en juillet 1984 pour le compte "ff" .
Dans la faible mesure où il est recevable, le moyen examiné apparaît dénué de fondement.
Dans la faible mesure où il est recevable, le moyen examiné apparaît dénué de fondement.
6. Au sujet du reproche fait par A._ à la Banque de ne pas avoir vendu des titres W._ à N._ en 1985 au prix de 73 USD par titre, la cour cantonale a retenu, d'une part, qu'une certaine confusion semblait avoir régné au sujet de cette offre d'achat, d'autre part, que A._ avait souhaité patienter en vue d'obtenir une offre plus élevée.
Sur ce point et dans un dernier moyen, le recourant se plaint de la violation arbitraire de l'<ref-law>, la cour cantonale ayant selon lui inversé le fardeau de la preuve en n'exigeant pas de la Banque qu'elle prouve l'existence des instructions de A._ et en admettant que ces instructions avaient été données malgré l'absence de preuve.
Ce moyen est irrecevable, la violation du droit fédéral pouvant faire l'objet d'une recours en réforme (art. 84 al. 2 OJ).
Ce moyen est irrecevable, la violation du droit fédéral pouvant faire l'objet d'une recours en réforme (art. 84 al. 2 OJ).
7. Le recourant, qui succombe, devra supporter les frais de la procédure et verser des dépens à l'intimée (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ). Pour fixer le montant de ceux-ci, il sera tenu compte de ce que, pour une très large part, la longue réponse au recours consiste en un exposé de faits, inutile et sans référence à ceux retenus par la cour cantonale, la réponse, plus ou moins pertinente, aux arguments du recourant ne tenant que sur une dizaine de pages.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 25'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 25'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 20'000 fr. à titre de dépens.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 20'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 25 mai 2004
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
La juge présidant: Le greffier: