Erwägungen:
1.
1.1. X._ (geb. 1977) stammt aus dem Irak. Er durchlief im Jahr 2012 erfolglos ein Asylverfahren, kam der rechtskräftigen Wegweisung indessen nicht nach. Im Juli 2012 und Januar 2013 war er in Handgreiflichkeiten gegen andere Asylsuchende verwickelt. Mit Strafbefehl vom 25. März 2013 wurde er in diesem Zusammenhang unter anderem wegen einfacher Körperverletzung und Drohung verurteilt.
1.2. Das Amt für Arbeit und Migration nahm X._ am 22. Januar 2013 in Ausschaffungshaft, deren Verlängerung das Landgerichtspräsidium Uri (als Zwangsmassnahmengericht) am 10. Oktober 2013 bis zum 22. April 2014 genehmigte. Mit Urteil vom 10. Januar 2014 hiess das Obergericht des Kantons Uri die hiergegen gerichtete Beschwerde teilweise gut, hob den Entscheid des Landgerichtspräsidiums auf und wies die Sache "zur unverzüglichen Durchführung einer mündlichen Verhandlung" an das Landgerichtspräsidium zurück, wobei es die beantragte sofortige Haftentlassung ablehnte. Nach mündlicher Anhörung von X._ bestätigte das Landgerichtspräsidium die Haftverlängerung erneut "bis zur Ausschaffung bzw. Ausreise des Antragsstellers, längstens jedoch bis 22. April 2014".
1.3. Der Beschwerdeführer ist gegen die Entscheide des Obergerichts vom 10. Januar 2014 und des Landgerichtspräsidiums vom 20. Januar 2014 am 1. Februar 2014 mit dem sinngemässen Antrag an das Bundesgericht gelangt, ihn aus der Haft zu entlassen.
2.
2.1. Mit dem angefochtenen Urteil wies das Obergericht des Kantons Uri die Sache zur Neubeurteilung - nach mündlicher Anhörung des Beschwerdeführers - an die Erstinstanz zurück. Hierbei handelt es sich um einen Zwischenentscheid (<ref-ruling> E. 1 S. 315; <ref-ruling> E. 1.2, 212 E. 1.2). Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, die - wie hier - weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen, kann nur an das Bundesgericht gelangt werden, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken (<ref-law>) oder falls die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen kann (<ref-law>). Es ist an den Beschwerdeführenden darzutun, dass und inwiefern die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich erscheint (<ref-ruling> E. 1.2).
2.2. Das Obergericht hat das bei ihm eingereichte Rechtsmittel in einem formellen Punkt gutgeheissen und zu neuem Entscheid nach mündlicher Anhörung zurückgewiesen. Implizit prüfte es dabei auch die Zulässigkeit der Haftverlängerung, indem es dem Haftentlassungsgesuch nicht entsprach und davon ausging, dass der angefochtene Entscheid trotz des festgestellten formellen Fehlers zulässig erscheine. Aus dem obergerichtlichen Rückweisungsentscheid entsteht dem Beschwerdeführer insofern ein nicht wieder gutzumachender Nachteil, als er sich weiterhin in Haft befindet und das Obergericht - trotz Beschleunigungsgebots (vgl. zu diesem <ref-ruling> E. 2 und Art. 5 Abs. 4 EMRK; JENS MEYER-LADEWIG, EMRK, Handkommentar, 3. Aufl. 2011, N. 86 zu Art. 5) - nicht weniger als 2 1/2 Monate brauchte, um die entsprechende Eingabe zu behandeln, sodass es sich rechtfertigt, sowohl das Urteil des Obergerichts vom 10. Januar 2014 als auch der gestützt darauf ergangene Entscheid des Landgerichtspräsidiums vom 20. Januar 2014 als Anfechtungsobjekte zuzulassen. Das erneute Durchlaufen des kantonalen Instanzenzugs erwiese sich bei der dargelegten Ausgangslage als nutzlose Formalität (vgl. <ref-ruling> E. 1 und das Urteil 1C_519/2012 vom 14. August 2013 E. 1 mit Hinweisen).
3.
3.1. Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist dabei in gezielter Form auf die für das Ergebnis massgeblichen Ausführungen der Vorinstanz einzugehen (<ref-ruling> E. 2.1 - 2.3).
3.2. Der Beschwerdeführer kritisiert den Asylentscheid und wünscht, dass dieser überprüft werde; er will in der Schweiz verbleiben und eine weitere Chance erhalten. Verfahrensgegenstand vor Bundesgericht bildet indessen ausschliesslich die Rechtmässigkeit der angeordneten Ausschaffungshaft zur Sicherung des Vollzugs der Wegweisungsverfügung (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 197 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 220; <ref-ruling> E. 2b). Mit dieser Problematik setzt sich der Beschwerdeführer nicht sachbezogen auseinander: Er verweist lediglich auf die bereits ausgestandene Dauer seiner administrativen Festhaltung, legt aber nicht in Auseinandersetzung mit den Ausführungen in den angefochtenen Entscheiden dar, inwiefern diese die bundesgerichtliche Praxis missachten und die einschlägigen Bestimmungen verletzen würden.
4.
4.1. Das Verfahren vor dem Haftrichter dient nicht der Überprüfung des Wegweisungsentscheids oder von anderen den Ausländer zur Ausreise verpflichtenden Anordnungen. Der Haftrichter hat sich grundsätzlich nur zu vergewissern, ob (überhaupt) ein Weg- oder Ausweisungsentscheid vorliegt. Bloss wenn der Wegweisungsentscheid offensichtlich unzulässig, d.h. geradezu willkürlich bzw. nichtig erscheint, darf bzw. muss er die Haftgenehmigung verweigern, da der Vollzug einer in diesem Sinne rechtswidrigen Anordnung nicht mit einer ausländerrechtlichen Zwangsmassnahme sichergestellt werden kann (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 198 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2 S. 58; <ref-ruling> E. 2c). Der Beschwerdeführer bestreitet weder die Wegweisung, noch legt er dar, inwiefern andere Annahmen in den angefochtenen Entscheiden (Untertauchensgefahr, Beschleunigungsgebot, Vollziehbarkeit des Wegweisungsentscheids usw.) Bundesrecht verletzen würden. Seine Eingabe ist im einzig Verfahrensgegenstand bildenden Punkt nicht den gesetzlichen Anforderungen genügend begründet (<ref-law>).
4.2. Eine (offensichtliche) Verletzung von Bundesrecht ist auch nicht ersichtlich: Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig weggewiesen worden. Die Rückführung ist an seinem bisherigen Verhalten gescheitert (Ausschaffungsversuch vom 11. Juni 2013). Selbst vor Bundesgericht erklärt er, auf keinen Fall freiwillig in seine Heimat zurückzukehren. Unter diesen Umständen ist nur eine Ausschaffung per Sonderflug denkbar, was einen zusätzlichen Organisationsaufwand erforderlich macht, den sich der Beschwerdeführer wegen seiner Weigerung zu kooperieren, selber zuzuschreiben hat. Es besteht beim ihm - aufgrund des grundsätzlich für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhalts (<ref-law>) - die hinreichend konkretisierte Gefahr, dass er sich ohne die ausländerrechtlich begründete Festhaltung den Behörden für den Vollzug der Wegweisung nicht zur Verfügung halten wird (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; BGE <ref-ruling> E. 3.1).
4.3. Zwar ist eine ausländerrechtliche Festhaltung grundsätzlich nur bis zu sechs Monaten zulässig (Art. 79 Abs. 1 AuG), doch kann sie um höchstens zwölf Monate verlängert werden, wenn die betroffene Person - wie hier - nicht mit der zuständigen Behörde kooperiert oder sich die Übermittlung der für die Ausreise erforderlichen Unterlagen durch einen Nichtschengen-Staat verzögert (Art. 79 Abs. 2 AuG). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass und inwiefern eine mildere Massnahme (Meldepflicht, Eingrenzung usw.) geeignet wäre, sicherzustellen, dass er sich den Behörden für den Vollzug der Wegweisung tatsächlich zur Verfügung halten wird. Sollte fristgerecht kein Sonderflug organisiert werden können, wird es am Amt für Arbeit und Migration sein, von Amtes wegen, bei einer Haftverlängerung oder auf ein Haftentlassungsgesuch des Beschwerdeführers hin zu prüfen, ob der Vollzug der Wegweisung nach wie vor als absehbar im Sinne von Art. 5 EMRK gelten kann, wogegen wiederum der Rechtsmittelweg beschritten werden könnte (vgl. HUGI YAR, Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser, Ausländerecht, 2. Aufl. 2009, N. 10.8 u. 10.29 ff.).
5.
5.1. Da die Beschwerde nach dem Gesagten keine sachbezogenen Rügen enthält, ist darauf durch den Präsidenten als Einzelrichter im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
5.2. Es rechtfertigt sich, keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 2. Satz BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).
5.3. Das Amt für Arbeit und Migration wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar