Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1955 geborene B._ war neben einer selbstständigen Erwerbstätigkeit als bildende Künstlerin teilzeitlich bei der Jugendmusikschule Q._ als Klavierlehrerin angestellt und in dieser Eigenschaft bei der "Winterthur" Schweizerische Versicherungsgesellschaft (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch gegen die Folgen von Unfall und Berufskrankheit versichert. Nach einem am 11. Dezember 1998 erlittenen Auffahrunfall begab sie sich am 16. Dezember 1998 erstmals in Behandlung bei Dr. med. Z._, Allgemeine Medizin FMH, der eine HWS-Distorsion im Sinne eines Schleudertraumas diagnostizierte. Die Winterthur holte Angaben über den Unfallhergang ein und liess ein unfallmechanisches Gutachten des Dipl. Ing. S._ vom 5. Juli 1999 erstellen sowie eine biomechanische Beurteilung durch Prof. Dr. med. W._, Rechtsmedizin FMH, vom 27. August 1999 vornehmen. Zudem zog sie Verlaufsberichte des Dr. med. Z._ bei. Anschliessend stellte sie mit Verfügung vom 15. Oktober 1999 ihre Leistungen per 30. September 1999 ein mit der Begründung, die heutigen Beschwerden stünden in keinem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis. Nachdem die Versicherte dagegen Einsprache erhoben hatte, zog die Winterthur weitere Berichte des Dr. med. R._, Neurologie FMH, sowie der Chiropraktorin Dr. E._ bei und holte Stellungnahmen ihrer beratenden Ärzte Dr. med. H._, Chirurgie FMH, vom 11. Februar 2000 und 18. Juni 2002 sowie Dr. med. C._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 17. Juli 2002 ein. Die Versicherte hatte ihrerseits ein der Eidgenössischen Invalidenversicherung erstattetes Gutachten des Zentrums A._ vom 3. Juli 2001 einreichen lassen. Ausserdem vorgesehene Begutachtungen in der rheumatologischen Klinik X._ (im November 2000) und in der Klinik Y._ (im Juli 2002) fanden nach Interventionen des Vertreters der Versicherten nicht statt. Mit Entscheid vom 26. Juli 2002 wies die Winterthur die Einsprache ab. Sie hielt fest, die über den 30. September 1999 hinaus fortbestehenden Beschwerden stünden weder in natürlichem noch in adäquatem Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis.
A. Die 1955 geborene B._ war neben einer selbstständigen Erwerbstätigkeit als bildende Künstlerin teilzeitlich bei der Jugendmusikschule Q._ als Klavierlehrerin angestellt und in dieser Eigenschaft bei der "Winterthur" Schweizerische Versicherungsgesellschaft (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch gegen die Folgen von Unfall und Berufskrankheit versichert. Nach einem am 11. Dezember 1998 erlittenen Auffahrunfall begab sie sich am 16. Dezember 1998 erstmals in Behandlung bei Dr. med. Z._, Allgemeine Medizin FMH, der eine HWS-Distorsion im Sinne eines Schleudertraumas diagnostizierte. Die Winterthur holte Angaben über den Unfallhergang ein und liess ein unfallmechanisches Gutachten des Dipl. Ing. S._ vom 5. Juli 1999 erstellen sowie eine biomechanische Beurteilung durch Prof. Dr. med. W._, Rechtsmedizin FMH, vom 27. August 1999 vornehmen. Zudem zog sie Verlaufsberichte des Dr. med. Z._ bei. Anschliessend stellte sie mit Verfügung vom 15. Oktober 1999 ihre Leistungen per 30. September 1999 ein mit der Begründung, die heutigen Beschwerden stünden in keinem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis. Nachdem die Versicherte dagegen Einsprache erhoben hatte, zog die Winterthur weitere Berichte des Dr. med. R._, Neurologie FMH, sowie der Chiropraktorin Dr. E._ bei und holte Stellungnahmen ihrer beratenden Ärzte Dr. med. H._, Chirurgie FMH, vom 11. Februar 2000 und 18. Juni 2002 sowie Dr. med. C._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 17. Juli 2002 ein. Die Versicherte hatte ihrerseits ein der Eidgenössischen Invalidenversicherung erstattetes Gutachten des Zentrums A._ vom 3. Juli 2001 einreichen lassen. Ausserdem vorgesehene Begutachtungen in der rheumatologischen Klinik X._ (im November 2000) und in der Klinik Y._ (im Juli 2002) fanden nach Interventionen des Vertreters der Versicherten nicht statt. Mit Entscheid vom 26. Juli 2002 wies die Winterthur die Einsprache ab. Sie hielt fest, die über den 30. September 1999 hinaus fortbestehenden Beschwerden stünden weder in natürlichem noch in adäquatem Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hiess die dagegen erhobene Beschwerde gut, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die Winterthur zurück, damit diese über die gesetzlichen Ansprüche neu verfüge (Entscheid vom 11. Mai 2004). In seinen Erwägungen hielt das Gericht fest, ein Dahinfallen des natürlichen Kausalzusammenhangs sei namentlich in neuropsychologischer-neurologischer Hinsicht zu verneinen, und die Adäquanz des Kausalzusammenhangs bezüglich der über den 1. Oktober 1999 hinaus andauernden Beschwerden sei zu bejahen. Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens hatte das kantonale Gericht schriftliche Beweisauskünfte des Zentrums A._ vom 11. Oktober 2003 und des Dr. med. R._ vom 30. März 2004 eingeholt, zu welchen die Parteien jeweils Stellung nahmen. Die Winterthur hatte ausserdem Beurteilungen des Dr. med. H._ vom 11. und des Dr. med. C._ vom 12. November 2003 einreichen lassen.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hiess die dagegen erhobene Beschwerde gut, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die Winterthur zurück, damit diese über die gesetzlichen Ansprüche neu verfüge (Entscheid vom 11. Mai 2004). In seinen Erwägungen hielt das Gericht fest, ein Dahinfallen des natürlichen Kausalzusammenhangs sei namentlich in neuropsychologischer-neurologischer Hinsicht zu verneinen, und die Adäquanz des Kausalzusammenhangs bezüglich der über den 1. Oktober 1999 hinaus andauernden Beschwerden sei zu bejahen. Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens hatte das kantonale Gericht schriftliche Beweisauskünfte des Zentrums A._ vom 11. Oktober 2003 und des Dr. med. R._ vom 30. März 2004 eingeholt, zu welchen die Parteien jeweils Stellung nahmen. Die Winterthur hatte ausserdem Beurteilungen des Dr. med. H._ vom 11. und des Dr. med. C._ vom 12. November 2003 einreichen lassen.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt die Winterthur die Aufhebung des kantonalen Entscheids beantragen.
B._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Das kantonale Gericht hat zutreffend dargelegt, dass die materiellrechtlichen Bestimmungen des am 1. Januar 2003 und damit nach dem Erlass des Einspracheentscheids vom 26. Juli 2002 in Kraft getretenen Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 nicht anwendbar sind, weshalb die Anspruchsbeurteilung nach der bis Ende 2002 gültig gewesenen Regelung zu erfolgen hat (<ref-ruling> Erw. 1.2, 169 Erw. 1, 356 Erw. 1). Richtig sind auch die vorinstanzlichen Erwägungen über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfallereignis und eingetretenem Schaden (<ref-ruling> Erw. 3.1, 406 Erw. 4.3.1, 119 V 337 Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, je mit Hinweisen) sowie dessen späteres Dahinfallen (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 327 f. Erw. 3b), die überdies erforderliche Adäquanz des Kausalzusammenhangs (<ref-ruling> Erw. 3.2, 405 Erw. 2.2, 125 V 461 Erw. 5a mit Hinweisen), insbesondere bei psychischen Unfallfolgen (<ref-ruling> ff. Erw. 6) und bei Unfällen mit einem Schleudertrauma der Halswirbelsäule ohne organisch (hinreichend) nachweisbare Funktionsausfälle (<ref-ruling> ff. Erw. 6), die Abklärung des Sachverhaltes (Art. 47 Abs. 1 und 3 UVG) sowie den Beweiswert medizinischer Stellungnahmen und Gutachten (<ref-ruling> Erw. 3a). Darauf wird verwiesen.
1.2 Verweigert die versicherte Person die Mitwirkung an einer vom obligatorischen Unfallversicherer angeordneten Abklärungsmassnahme, so ist dieser gemäss <ref-law> (in der bis Ende 2002 gültig gewesenen Fassung) berechtigt, einen Entscheid auf Grund der Akten zu fällen. In diesem verfahrensmässigen Rahmen kann der Versicherer von der versicherten Person selbst veranlasste und eingereichte Berichte über Tatsachen, die er wegen fehlender Mitwirkung der versicherten Person nicht überprüfen kann, frei würdigen und allenfalls unberücksichtigt lassen (RKUV 2002 Nr. U 457 S. 222 f. Erw. 5c).
1.2 Verweigert die versicherte Person die Mitwirkung an einer vom obligatorischen Unfallversicherer angeordneten Abklärungsmassnahme, so ist dieser gemäss <ref-law> (in der bis Ende 2002 gültig gewesenen Fassung) berechtigt, einen Entscheid auf Grund der Akten zu fällen. In diesem verfahrensmässigen Rahmen kann der Versicherer von der versicherten Person selbst veranlasste und eingereichte Berichte über Tatsachen, die er wegen fehlender Mitwirkung der versicherten Person nicht überprüfen kann, frei würdigen und allenfalls unberücksichtigt lassen (RKUV 2002 Nr. U 457 S. 222 f. Erw. 5c).
2. 2.1 Das kantonale Gericht erachtete es als mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erwiesen, dass die Versicherte anlässlich des Unfalls vom 11. Dezember 1998 ein Distorsionstrauma der HWS erlitten hat, dass das nach derartigen Verletzungen nicht selten beobachtete und deshalb von der Rechtsprechung als typisch bezeichnete "bunte" Beschwerdebild (vgl. <ref-ruling> Erw. 1, 117 V 360 Erw. 4b) auch über den 30. September 1999 hinaus vorlag und dass die andauernden Beschwerden in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis standen. Die Vorinstanz stützte sich dabei insbesondere auf das Gutachten des Zentrums A._ vom 3. Juli 2001 und die ergänzende Beweisauskunft vom 11. Oktober 2003, den Bericht der Chiropraktorin Dr. E._ vom 6. Mai 2002 sowie den Bericht des Dr. med. R._ vom 26. März 2002 und dessen Beweisauskunft vom 30. März 2004.
2.2 Die Beschwerdeführerin macht demgegenüber geltend, unmittelbar nach dem Unfall habe die Versicherte im Unfallprotokoll eine Verletzung ausdrücklich verneint, und es seien keine Befindlichkeitsstörungen festgestellt worden. Eine Arztkonsultation sei erst fünf Tage nach dem Unfall erfolgt. Am Unfalltag (11. Dezember 1998) und in der nachfolgenden Zeit bis zu den Weihnachtsferien sei die Beschwerdegegnerin in der Lage gewesen, sowohl anspruchsvolle Aktivitäten im künstlerischen Bereich (Vorbereitung und Durchführung einer Vernissage) als auch die Tätigkeit als Klavierlehrerin fortzusetzen. Ihre Angaben über den Zeitpunkt des Auftretens von Befindlichkeitsstörungen stellten lediglich unüberprüfbare Parteibehauptungen dar. Die erste ärztliche Untersuchung am 16. Dezember 1998 habe röntgenologisch keine Auffälligkeiten an der HWS ergeben. Vom Arzt festgestellte Bewegungseinschränkungen und Druckdolenzen seien im Zusammenhang mit bereits vor dem Unfall bestehenden Rückenproblemen zu sehen. Die in einzelnen medizinischen Stellungnahmen enthaltene Aussage, vor dem Unfall hätten keine entsprechenden Symptome vorgelegen, beruhe nicht auf eigenen Wahrnehmungen der betreffenden Ärzte und sei unzutreffend. Ausserdem müsse berücksichtigt werden, dass zusätzlich eine für HWS-Verletzungen nicht typische Symptomatik vorliege, als deren noch nicht geklärte Ursache eine unfallfremde psychische Störung wahrscheinlich sein dürfte.
2.3 Nach Lage der Akten sass die Versicherte am Steuer ihres vor einem Fussgängerstreifen stehenden Personenwagens, als ein anderes Auto von hinten auf diesen auffuhr. Dr. med. Z._, welchen die Beschwerdegegnerin fünf Tage nach dem Unfall erstmals aufgesucht hatte, stellt in seinem Bericht vom 24. Dezember 1998 die Diagnose einer HWS-Distorsion, dies bei einem Beschleunigungsmechanismus ohne Kopfanprall. Sofort nach dem Unfall oder innerhalb weniger Stunden danach seien Schwindel, Benommenheit/Verwirrung (später Konzentrationsstörungen) sowie Kopf- und Nackenschmerzen, letztere mit Ausstrahlung in die Schultern und den rechten Arm, aufgetreten. Diese Symptome hätten anlässlich der Erstkonsultation immer noch vorgelegen, wobei zusätzlich Einschränkungen der HWS-Beweglichkeit und Druckdolenzen sowie ein beeinträchtigter psychischer Zustand (nervös, gespannt, Fehlleistungen) festgestellt worden seien. Vor dem Unfall habe die Versicherte an gelegentlichen Rückenbeschwerden gelitten, sei aber voll leistungsfähig gewesen. Diese Feststellungen des erstbehandelnden Arztes sind mit den später erstellten Berichten, insbesondere denjenigen des Neurologen Dr. med. R._ und dem Gutachten des Zentrums A._ vom 3. Juli 2001 (mit Ergänzung vom 11. Oktober 2003), vereinbar. Letzteres enthält auch eine Darstellung der Aktivitäten der Versicherten in der Zeit nach dem Unfall, welche die Behauptung, diese habe ihre beiden beruflichen Tätigkeiten ohne Beeinträchtigung ausüben können, deutlich relativiert. Die medizinischen Akten, welche die Grundlage der Kausalitätsbeurteilung bilden (<ref-ruling> Erw. 2b/aa), enthalten damit eine ausreichende Basis, um sowohl das Vorliegen eines Schleudertraumas der HWS (bzw. einer diesem gleichgestellten Verletzung) als auch das bald danach erfolgte Auftreten der zum "typischen" Beschwerdebild gehörenden Symptome als erstellt zu betrachten. Daran ändern auch das unfallanalytische Gutachten vom 5. Juli 1999 und die biomechanische Beurteilung vom 27. August 1999 nichts. Denn es entspricht nicht der Gerichtspraxis zu Schleudertrauma-Fällen, die in erster Linie auf Grund medizinischer Fakten und ärztlicher Einschätzung zu beurteilende natürliche Kausalität mit Überlegungen zur Auffahrgeschwindigkeit und der dabei auf das Auto der versicherten Person übertragenen Energie in Frage zu stellen (RKUV 2003 Nr. U 489 S. 359 Erw. 3.2 mit zahlreichen Hinweisen). Ebenso wenig erfordert der Umstand, dass in den Akten zusätzliche gesundheitliche Beeinträchtigungen erwähnt werden, welche gemäss dem Gutachten des Zentrums A._ vom 3. Juli 2001 in keinem Zusammenhang mit dem Unfall stehen, zusätzliche Abklärungen. Diesbezüglich kann mit der Vorinstanz davon ausgegangen werden, dass es sich um unfallfremde Erscheinungen handelt. Dies bleibt jedoch ohne Einfluss auf die Beurteilung der zum typischen Beschwerdebild gehörenden Symptomatik. Das kantonale Gericht gelangte demnach mit Recht zum Ergebnis, ein Dahinfallen des natürlichen Kausalzusammenhangs infolge Zeitablaufs per 30. September 1999 sei namentlich in neuropsychologischer-neurologischer Hinsicht zu verneinen.
2.4 Unter den gegebenen Umständen kann auch die Tatsache, dass es die Versicherte ablehnte, sich den von der Beschwerdegegnerin in Aussicht genommenen Untersuchungen durch das Spital D._ (im November 2000) und die Klinik Y._ (im Juli 2002) zu unterziehen, nicht zu einer abweichenden Beurteilung führen. Diesbezüglich ist zu beachten, dass die vorhandenen medizinischen Unterlagen nicht ausschliesslich von Ärzten stammen, welche die Beschwerdegegnerin aus eigenem Antrieb aufgesucht hat. Vielmehr wurde das Gutachten des Zentrums A._ im Auftrag der Eidgenössischen Invalidenversicherung erstattet. Die für den Fall einer Verletzung der Mitwirkungspflicht vorgesehene Rechtsfolge eines Entscheides auf Grund der Akten (Erw. 1.2 hievor) führt vorliegend zum bereits dargelegten Ergebnis, wonach sowohl das Vorliegen eines Schleudertraumas der HWS als auch das baldige Auftreten der typischen Beschwerden als hinreichend nachgewiesen zu gelten haben. Den vorhandenen Berichten und Stellungnahmen ist im Lichte der durch die Rechtsprechung entwickelten Kriterien (<ref-ruling> Erw. 3) mit Bezug auf alle zu beurteilenden Fragen hinreichender Beweiswert beizumessen, sodass auf weitere Untersuchungen verzichtet werden kann.
2.4 Unter den gegebenen Umständen kann auch die Tatsache, dass es die Versicherte ablehnte, sich den von der Beschwerdegegnerin in Aussicht genommenen Untersuchungen durch das Spital D._ (im November 2000) und die Klinik Y._ (im Juli 2002) zu unterziehen, nicht zu einer abweichenden Beurteilung führen. Diesbezüglich ist zu beachten, dass die vorhandenen medizinischen Unterlagen nicht ausschliesslich von Ärzten stammen, welche die Beschwerdegegnerin aus eigenem Antrieb aufgesucht hat. Vielmehr wurde das Gutachten des Zentrums A._ im Auftrag der Eidgenössischen Invalidenversicherung erstattet. Die für den Fall einer Verletzung der Mitwirkungspflicht vorgesehene Rechtsfolge eines Entscheides auf Grund der Akten (Erw. 1.2 hievor) führt vorliegend zum bereits dargelegten Ergebnis, wonach sowohl das Vorliegen eines Schleudertraumas der HWS als auch das baldige Auftreten der typischen Beschwerden als hinreichend nachgewiesen zu gelten haben. Den vorhandenen Berichten und Stellungnahmen ist im Lichte der durch die Rechtsprechung entwickelten Kriterien (<ref-ruling> Erw. 3) mit Bezug auf alle zu beurteilenden Fragen hinreichender Beweiswert beizumessen, sodass auf weitere Untersuchungen verzichtet werden kann.
3. Zu prüfen bleibt die Adäquanz des Kausalzusammenhangs.
3.1 Hat die versicherte Person, wie hier, beim Unfall ein Schleudertrauma der HWS oder eine diesem äquivalente Verletzung (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 Erw. 2) erlitten, richtet sich die Adäquanzbeurteilung in der Regel nach den in <ref-ruling> Erw. 6a formulierten Grundsätzen. Eine Ausnahme gilt dann, wenn die zum typischen Beschwerdebild einer solchen Verletzung gehörenden Beeinträchtigungen zwar teilweise vorliegen, im Vergleich zur psychischen Problematik aber ganz in den Hintergrund treten. Trifft dies zu, sind für die Adäquanzbeurteilung die in <ref-ruling> Erw. 6c/aa mit Bezug auf Unfälle mit psychischen Folgeschäden formulierten Grundsätze massgebend (<ref-ruling> Erw. 2a mit Hinweisen). Dieser Rechtsprechung liegt der Sachverhalt zu Grunde, dass sehr bald nach dem Unfall, gleichsam an diesen anschliessend, die psychische Problematik derart überwiegt, dass die mit dem Schleudertrauma einhergehenden gesundheitlichen Beeinträchtigungen (buntes Beschwerdebild) völlig in den Hintergrund treten. Soll die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> Erw. 2a in einem späteren Zeitpunkt angewendet werden, ist die Frage, ob die psychische Problematik die übrigen Beschwerden nach einem Unfall mit Schleudertrauma der HWS (bzw. Schädel-Hirntrauma) ganz in den Hintergrund treten lässt, nicht auf Grund einer Momentaufnahme zu entscheiden. Vielmehr ist in einem solchen Fall zu prüfen, ob im Verlaufe der ganzen Entwicklung vom Unfall bis zum Beurteilungszeitpunkt die physischen Beschwerden gesamthaft nur eine sehr untergeordnete Rolle gespielt haben und damit ganz in den Hintergrund getreten sind. Nur wenn dies zutrifft, ist die Adäquanz nach der Rechtsprechung zu den psychischen Unfallfolgen (<ref-ruling>) zu beurteilen (RKUV 2002 Nr. U 465 S. 439 Erw. 3b).
3.2 Im Lichte dieser Grundsätze hat das kantonale Gericht mit Recht die zu den Unfällen mit Schleudertrauma entwickelte Praxis, welche nicht zwischen psychischen und physischen Anteilen differenziert (<ref-ruling> Erw. 6a), zur Anwendung gebracht. Es bestehen keine hinreichenden Anhaltspunkte dafür, dass eine vom typischen Beschwerdebild unabhängige psychische Komponente im Verlauf des gesamten zu berücksichtigenden Zeitraums in weit überwiegendem Masse für die relevanten Beschwerden verantwortlich gewesen wäre.
3.3 Im Rahmen der für die Belange der Adäquanzbeurteilung vorzunehmenden Kategorisierung (<ref-ruling> Erw. 6a) ist das Ereignis vom 11. Dezember 1998 den mittelschweren Unfällen im Grenzbereich zu den leichten zuzuordnen. Die Adäquanz des Kausalzusammenhangs ist demzufolge zu bejahen, falls ein einzelnes der in die Beurteilung einzubeziehenden unfallbezogenen Kriterien (besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzung; ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung; Dauerbeschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit; <ref-ruling> Erw. 6a) in besonders ausgeprägter Weise erfüllt ist oder die zu berücksichtigenden Kriterien insgesamt in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sind (<ref-ruling> f. Erw. 6b). Dabei ist in Anwendung der spezifisch zum Schleudertrauma der HWS entwickelten Adäquanzprüfung praxisgemäss auf eine Unterscheidung zwischen psychischen und physischen Anteilen zu verzichten (<ref-ruling> Erw. 6a). Unter diesem Vorzeichen hat die Vorinstanz mit Recht festgestellt, die relevanten unfallbezogenen Kriterien seien in gehäufter Weise erfüllt. Insbesondere wurden die Kriterien der Dauerschmerzen, der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung, des schwierigen Heilungsverlaufs sowie des erheblichen Ausmasses der unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit richtigerweise bejaht. Dem Unfall vom 11. Dezember 1998 kommt somit massgebende Bedeutung für die relevanten, über den 30. September 1999 hinaus bestehenden Beschwerden zu. Dementsprechend ist der kantonale Entscheid korrekt.
3.3 Im Rahmen der für die Belange der Adäquanzbeurteilung vorzunehmenden Kategorisierung (<ref-ruling> Erw. 6a) ist das Ereignis vom 11. Dezember 1998 den mittelschweren Unfällen im Grenzbereich zu den leichten zuzuordnen. Die Adäquanz des Kausalzusammenhangs ist demzufolge zu bejahen, falls ein einzelnes der in die Beurteilung einzubeziehenden unfallbezogenen Kriterien (besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzung; ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung; Dauerbeschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit; <ref-ruling> Erw. 6a) in besonders ausgeprägter Weise erfüllt ist oder die zu berücksichtigenden Kriterien insgesamt in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sind (<ref-ruling> f. Erw. 6b). Dabei ist in Anwendung der spezifisch zum Schleudertrauma der HWS entwickelten Adäquanzprüfung praxisgemäss auf eine Unterscheidung zwischen psychischen und physischen Anteilen zu verzichten (<ref-ruling> Erw. 6a). Unter diesem Vorzeichen hat die Vorinstanz mit Recht festgestellt, die relevanten unfallbezogenen Kriterien seien in gehäufter Weise erfüllt. Insbesondere wurden die Kriterien der Dauerschmerzen, der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung, des schwierigen Heilungsverlaufs sowie des erheblichen Ausmasses der unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit richtigerweise bejaht. Dem Unfall vom 11. Dezember 1998 kommt somit massgebende Bedeutung für die relevanten, über den 30. September 1999 hinaus bestehenden Beschwerden zu. Dementsprechend ist der kantonale Entscheid korrekt.
4. Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG). Die obsiegende Beschwerdegegnerin hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zugestellt.
Luzern, 7. Dezember 2004
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer: Der Gerichtsschreiber: