Erwägungen:
1. Der 1975 geborene X._, Staatsangehöriger von Sierra Leone, reiste 1999 illegal in die Schweiz ein und ersuchte hier erfolglos um Asyl. Am 10. Dezember 1999 heiratete er eine Schweizerin und erhielt in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung. Nachdem die Ehe bereits nach neun Monaten wieder geschieden worden war, lehnte die zuständige Migrationsbehörde die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies X._ weg. Anstatt auszureisen, heiratete dieser am 21. März 2003 abermals eine Schweizer Bürgerin. Mit dieser hat er zwei Kinder (geb. 2003 und 2008). Der Ehefrau wurde jedoch in der Zwischenzeit (per 1. Oktober 2007) das Getrenntleben bewilligt.
Mit Entscheid vom 18. November 2004 verweigerte das Ausländeramt des Kantons Thurgau die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung unter Hinweis auf die anhaltende Delinquenz von X._: Nebst mehreren anderen Straferkenntnissen war für die Bewilligungsverweigerung vor allem das Urteil des Bezirksgerichts Winterthur vom 25. August 2004 massgeblich, mit welchem X._ wegen versuchter Vergewaltigung, sexueller Nötigung, versuchtem Raub, Nötigung sowie mehrfachem Hausfriedensbruch zu einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren und zehn Monaten verurteilt worden war. Gegen die Nichterteilung der Aufenthaltsbewilligung führte X._ erfolgreich Beschwerde: Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wies das kantonale Ausländeramt am 30. November 2005 an, X._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, welche mit der Auflage des künftigen Wohlverhaltens verbunden ist.
Bereits kurze Zeit später delinquierte X._ erneut: Es ergingen Straferkenntnisse wegen häuslicher Gewalt sowie zahlreicher weiterer Delikte (diverse Tätlichkeiten, Störung der öffentlichen Ruhe und Ordnung, sexuelle Belästigung, Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte, Hausfriedensbruch sowie einfache Körperverletzung). Als Folge hiervon verweigerte das Migrationsamt des Kantons Thurgau mit Verfügung vom 29. Januar 2010 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ und es wies ihn aus der Schweiz weg. Mit Entscheid des Departementes für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau vom 7. Mai 2010 bzw. des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 1. September 2010 wurde diese Verfügung bestätigt.
2. Die von X._ hiergegen am 8. Oktober 2010 beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig, soweit sie sich gegen die angeordnete Wegweisung richtet (Art. 83 lit. c Ziff. 4 AuG). Gleiches gilt, soweit mit der Beschwerde (auch) die Verfügung des kantonalen Migrationsamts vom 29. Januar 2010 und der Beschwerdeentscheid des Departementes für Justiz und Sicherheit vom 7. Mai 2010 angefochten werden: Nach dem Prinzip des Devolutiveffekts wurden diese Entscheide prozessual durch das Urteil des Verwaltungsgerichtes des Kantons Thurgau vom 1. September 2010 ersetzt; Letzteres bildet alleiniger Anfechtungsgegenstand für den nachfolgenden Instanzenzug (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
3. Im Umfang als vorliegend - zulässigerweise - das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 1. September 2010 angefochten wird, erscheint die Beschwerde als offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> (mit summarischer Begründung als Ergänzung der zutreffenden Ausführungen der Vorinstanz) erledigt werden kann.
Soweit beschwerdeweise vorgebracht wird, das vorinstanzliche Urteil lasse den Alkoholismus des Beschwerdeführers unberücksichtigt, sind die Ausführungen aktenwidrig: Das Verwaltungsgericht hat die Alkoholproblematik des Beschwerdeführers sehr wohl gebührend gewürdigt und in seine Entscheidung miteinbezogen (E. 4.3.2 ff. des angefochtenen Entscheids). Ebenso wenig trifft es zu, dass die Vorinstanz nicht auf den Antrag eingegangen sei, das Verfahren zu sistieren, bis ein von der Strafjustiz in Auftrag gegebenes Gutachten des Institutes für Rechtsmedizin der Universität Zürich zum Ausmass der Alkoholabhängigkeit des Beschwerdeführers und der entsprechenden Folgen vorliege: Der Sistierungsantrag wurde im verwaltungsgerichtlichen Urteil behandelt und die Vorinstanz hat nachvollziehbar dargelegt, weshalb vom besagten Gutachtenauftrag von vornherein keine entscheidrelevanten Erkenntnisse für das ausländerrechtliche Beschwerdeverfahren zu erwarten seien (E. 1.2 i.V.m. E. 4.3.2 des angefochtenen Entscheids). Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht substantiiert auseinander. Entgegen seinen Behauptungen kann bei dieser Sachlage weder von einer willkürlichen Sachverhaltsfeststellung noch von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs die Rede sein. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich die hier streitige Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung sinngemäss als unverhältnismässig bezeichnet, ist er auf die diesbezüglichen Erwägungen des Verwaltungsgerichts zu verweisen, denen es nichts hinzuzufügen gibt.
4. Aus den genannten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten ist. Entsprechend diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (<ref-law>). Da die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (<ref-law> e contrario).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt und dem Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Karlen Zähndler