Erwägungen:
1. X._ (geb. 1980) stammt aus der Türkei. Er reiste nach eigenen Angaben am 19. Dezember 2011 illegal in die Schweiz ein, wo seine nach islamischem Brauch angetraute Ehefrau und seine Tochter Asyl erhalten hatten. X._ wurde gleichentags angehalten. Die Einwohnerdienste der Einwohnergemeinde Bern wiesen ihn aus der Schweiz weg, ordneten die sofortige Vollstreckung seiner Wegweisung an und nahmen ihn in Ausschaffungshaft. Das Kantonale Zwangsmassnahmengericht prüfte diese am 21. Dezember 2011 und genehmigte sie bis zum 18. März 2012. Die Einzelrichterin am Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies eine von X._ hiergegen gerichtete Beschwerde am 29. Dezember 2011 ab. Dieser ist gegen deren Entscheid am 5. Januar 2012 an das Bundesgericht gelangt.
2. 2.1 Seine Eingabe erweist sich in der vorliegenden Form als offensichtlich unzulässig und kann deshalb ohne Weiterungen durch den Präsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG erledigt werden: Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist dabei in gezielter Form auf die für das Ergebnis massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz einzugehen (<ref-ruling> E. 2.1 - 2.3).
2.2 Der Beschwerdeführer kritisiert die von seiner Frau gegen ihn erhobenen Vorwürfe, sie mit dem Tod bedroht zu haben. Solche Beschuldigungen könne er auf keinen Fall akzeptieren. Er weist darauf hin, dass er in der Schweiz in der Nähe seiner Tochter leben wolle. Mit den Ausführungen der Vorinstanz zur Zulässigkeit der Ausschaffungshaft, die allein Verfahrensgegenstand bildet, setzt er sich mit keinem Wort auseinander. Weder die von ihm sinngemäss aufgeworfene Bewilligungs- und Wegweisungsfrage noch die Zulässigkeit des gegen ihn eingeleiteten polizeilichen Ermittlungsverfahrens können im Haftverfahren dem Bundesgericht zur Prüfung unterbreitet werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 220; <ref-ruling> E. 2b).
2.3 Da nicht ersichtlich ist, inwiefern der angefochtene Entscheid im Rahmen des zulässigen Verfahrensgegenstands Bundesrecht verletzen könnte, erübrigt es sich, dem Beschwerdeführer, wie von ihm sinngemäss beantragt, für das vorliegende Verfahren einen Anwalt beizugeben, und rechtfertigt es sich, auf seine Beschwerde nicht einzutreten, obwohl es sich um eine Laieneingabe handelt: Der Beschwerdeführer ist illegal in die Schweiz eingereist und erstinstanzlich weggewiesen worden. Aufgrund seiner Erklärung, auf keinen Fall in die Türkei zurückkehren, sondern hier bei seiner Tochter bleiben zu wollen, sowie der Tatsache, dass er obdach- und mittellos ist, besteht eine hinreichend konkretisierte Gefahr, dass er sich ohne die ausländerrechtlich begründete Festhaltung den Behörden für den Vollzug der Wegweisung nicht zur Verfügung halten wird (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> E. 3.1). Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind - insbesondere der Vollzug seiner Wegweisung (strafprozessuale Massnahmen vorbehalten) zurzeit als absehbar bezeichnet werden kann (vgl. Art. 80 Abs. 6 AuG; <ref-ruling> E. 4.1.3) und keine Anhaltspunkte dafür bestehen, dass sich die Behörden nicht weiterhin mit Nachdruck um diesen bemühen werden (Art. 76 Abs. 4 AuG) -, verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht. Der Beschwerdeführer kann seine Haft verkürzen, indem er bei der Beschaffung der für seine Ausreise erforderlichen Papiere mit den Behörden zusammenarbeitet.
3. Es rechtfertigt sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Einwohnerdienste der Einwohnergemeinde Bern werden ersucht, dafür besorgt zu sein, dass dem Beschwerdeführer der vorliegende Entscheid korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichterin, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Januar 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar