Sachverhalt:
A. K._ hat bei der Visana die obligatorische Krankenpflegeversicherung abgeschlossen. Mit Schreiben vom 12. April 2000 setzte die Visana ihrem Mitglied zum wiederholten Mal eine Frist zur Bezahlung der für die Monate Mai 1999 bis April 2000 geschuldeten Prämien in der Höhe von insgesamt Fr. 2397.20, einschliesslich der Mahnkosten von Fr. 50.-. Gleichzeitig stellte die Kasse in Aussicht, nach unbenutztem Ablauf der Mahnfrist den Rechtsweg zu beschreiten; dabei würden sämtliche im Zeitpunkt der Betreibung offenen Beträge erfasst und weitere Bearbeitungskosten seien geschuldet. Am 17. Mai 2000 leitete sie gegen den Versicherten die Betreibung für die ausstehenden Prämien der Monate Mai 1999 bis Mai 2000 im Betrag von Fr. 2542.80 sowie für Mahnkosten in der Höhe von Fr. 55.- und für Bearbeitungskosten von Fr. 250.- ein. Den dagegen erhobenen Rechtsvorschlag beseitigte die Visana mit Verfügung vom 19. Juli 2000, woran sie mit Einspracheentscheid vom 26. Oktober 2000 festhielt.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern am 18. Januar 2001 teilweise gut. Es erteilte die Rechtsöffnung lediglich im Umfang von Fr. 2647.20. Dieser Betrag umfasst die vorgängig gemahnten Prämienausstände (Fr. 2347.20), die angekündigten Mahnkosten (Fr. 50.-) sowie die geltend gemachte Bearbeitungsgebühr (Fr. 250.-).
C. Die Visana führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, den vorinstanzlichen Entscheid aufzuheben.
K._ beantragt in der Stellungnahme vom 9. April 2001 neben der Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde die Auflösung des Versicherungsverhältnisses. Das Bundesamt für Sozialversicherung, Abteilung Krankenversicherung (seit 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit), verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Am 2. März 2005 führte das Eidgenössische Versicherungsgericht eine publikumsöffentliche Beratung durch.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Der Versicherte hat den kantonalen Entscheid nicht innerhalb der Frist von 30 Tagen gemäss Art. 106 Abs. 1 OG durch Verwaltungsgerichtsbeschwerde angefochten. Er kann deshalb im letztinstanzlichen Verfahren kein Begehren im Sinne eines Antrages stellen, der über den durch die Verwaltungsgerichtsbeschwerde bestimmten Streitgegenstand (<ref-ruling> Erw. 2a, 117 V 295 Erw. 2a) hinausgeht. Das verwaltungsgerichtliche Beschwerdeverfahren kennt - von hier nicht bestehenden spezialgesetzlichen Ausnahmen abgesehen - das Institut der Anschlussbeschwerde nicht (<ref-ruling> Erw. 1 mit Hinweis). Auf das Begehren des Beschwerdegegners, es sei über die Auflösung der Versicherungsverhältnisses zu befinden, ist deshalb nicht einzutreten.
2. Da keine Versicherungsleistungen streitig sind, hat das Eidgenössische Versicherungsgericht nur zu prüfen, ob der vorinstanzliche Entscheid Bundesrecht verletzt, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt worden ist (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
3. Die Vorinstanz hat die Rechtsöffnung nur für jenen Teil der in Betreibung gesetzten Prämienforderungen erteilt, die von der Kasse vorgängig gemahnt worden sind. Zur Begründung verweist das kantonale Gericht auf <ref-law> (in der bis Ende 2002 gültig gewesenen, hier anwendbaren Fassung; <ref-ruling> Erw. 1, 121 V 366 Erw. 1b; nunmehr <ref-law>). Die Beschwerdeführerin bestreitet, dass diese Verordnungsbestimmung zwingend eine Mahnung fälliger Prämien verlangt, ehe für diese das Vollstreckungsverfahren eingeleitet werden darf. Darüber hinaus stellt die Versicherung die Rechtmässigkeit der Bestimmung in Frage, insbesondere verstosse sie gegen betreibungsrechtliche Grundsätze.
4. Nach der Rechtsprechung kann das Eidgenössische Versicherungsgericht Verordnungen des Bundesrates grundsätzlich, von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen abgesehen, auf ihre Rechtmässigkeit hin überprüfen. Bei (unselbstständigen) Verordnungen, die sich auf eine gesetzliche Delegation stützen, prüft es, ob sie sich in den Grenzen der dem Bundesrat im Gesetz eingeräumten Befugnisse halten. Wird dem Bundesrat durch die gesetzliche Delegation ein sehr weiter Spielraum des Ermessens für die Regelung auf Verordnungsebene eingeräumt, muss sich das Gericht auf die Prüfung beschränken, ob die umstrittenen Verordnungsvorschriften offensichtlich aus dem Rahmen der dem Bundesrat im Gesetz delegierten Kompetenzen herausfallen oder aus andern Gründen verfassungs- oder gesetzwidrig sind. Es kann jedoch sein eigenes Ermessen nicht an die Stelle desjenigen des Bundesrates setzen und es hat auch nicht die Zweckmässigkeit zu untersuchen. Die vom Bundesrat verordnete Regelung verstösst allerdings dann gegen das Willkürverbot oder das Gebot der rechtsgleichen Behandlung (Art. 9 und Art. 8 Abs. 1 BV), wenn sie sich nicht auf ernsthafte Gründe stützen lässt, wenn sie sinn- oder zwecklos ist oder wenn sie rechtliche Unterscheidungen trifft, für die sich ein vernünftiger Grund nicht finden lässt. Gleiches gilt, wenn die Verordnung es unterlässt, Unterscheidungen zu treffen, die richtigerweise hätten berücksichtigt werden sollen (<ref-ruling> Erw. 2.1.1, 129 II 164 Erw. 2.3, 129 V 271 Erw. 4.1.1, 329 Erw. 4.1, je mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> Erw. 4.3).
5. Alt <ref-law> (in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung) lautet in den drei amtssprachlichen Fassungen (Art. 9 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 21. März 1986 über die Gesetzessammlungen und das Bundesblatt; SR 170.512) wie folgt:
"Bezahlen Versicherte fällige Prämien oder Kostenbeteiligungen trotz Mahnung nicht, hat der Versicherer das Vollstreckungsverfahren einzuleiten."
"Si, malgré sommation, l'assuré ne paie pas les primes ou participations aux coûts échues, l'assureur doit engager une procédure de poursuite."
"Se, nonostante diffida, l'assicurato non paga premi o partecipazioni ai costi scaduti, l'assicuratore deve promuovere una procedura esecutiva."
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass der bis Ende 2002 in Kraft gewesene alt <ref-law> abgesehen von einer redaktionellen Änderung je in der französischen ("en dépit" an Stelle von "malgré") und italienischen Fassung (am Ende des Absatzes: "prevedono" anstatt "contemplano") wortwörtlich in den neuen <ref-law> überführt worden ist.
5.1 Der Wortlaut ist insoweit klar, als dass ein Vollstreckungsverfahren zwingend einzuleiten ist, wenn die versicherte Person fällige Prämien oder Kostenbeteiligungen trotz Mahnung nicht beglichen hat. Hingegen ist er nicht eindeutig hinsichtlich der Frage, ob - so die Überzeugung der Vorinstanz - das Vollstreckungsverfahren umgekehrt auch nur eingeleitet werden kann, wenn die fälligen Ausstände vorgängig gemahnt worden sind, oder - so im Ergebnis die Auffassung der Beschwerdeführerin - fällige Forderungen auch ohne spezielle Zahlungserinnerung direkt in Betreibung gesetzt werden können. Der vom Verordnungsgeber gewählte Satzaufbau gibt hierzu keine eindeutige und unmissverständliche Antwort.
5.2 Indessen wäre die Bestimmung ohne die gleichzeitige Verpflichtung des Versicherers, sämtliche fälligen Prämien und Kostenbeteiligungen zwingend zu mahnen, ihres Sinnes beraubt. Denn diesfalls wäre letztlich der Entscheid, ob eine fällige Forderung auf dem Betreibungsweg durchgesetzt werden soll oder nicht, dem Versicherungsträger anheim gestellt: Mahnt er, muss er bei ausgebliebener Zahlung zwingend das Vollstreckungsverfahren einleiten; verzichtet er auf die Zahlungserinnerung, muss er die Ausstände auch nicht auf dem Betreibungsweg vollstrecken und allfällige Krankheitskosten und Prämienausstände gingen damit zu Lasten der Versichertengemeinschaft.
Dies widerspricht aber der gesetzlichen Zahlungspflicht des Versicherten (Art. 61 und 64 KVG), welche mit Blick auf die in der sozialen Krankenversicherung geltenden Grundsätze der Gegenseitigkeit und der Gleichbehandlung der Versicherten (<ref-law>) auf der anderen Seite vom Krankenversicherer verlangt, Ausstände einzufordern (vgl. EVGE 1967 S. 11 Erw. 3b; bestätigt in RSKV 1973 Nr. 178 S. 155 Erw. 3).
5.3 Anhaltspunkte, die für eine letztlich der Konzeption der sozialen Krankenpflegeversicherung zuwiderlaufende Lesart von alt <ref-law> sprechen könnten, sind den (weiteren) bei der Auslegung zu berücksichtigenden Gesichtspunkten (vgl. dazu <ref-ruling> Erw. 4b/aa mit Hinweisen) nicht zu entnehmen.
6. Nachdem feststeht, dass alt <ref-law> das Mahnen fälliger Prämien und Kostenbeiträge vor Einleitung des Vollstreckungsverfahrens zwingend vorschreibt, ist dessen Verfassungs- und Gesetzmässigkeit zu prüfen.
6.1 Die Erfüllung der Prämienzahlungs- und der Kostenbeteiligungspflicht durch die Versicherten ist - wie bereits erwähnt - für die Finanzierung der Krankenpflegeversicherung (<ref-law>) und damit den Gesetzesvollzug unentbehrlich. <ref-law> (in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung; nunmehr: <ref-law>) bestimmt, dass die gemäss <ref-law> vollstreckbaren Verfügungen und Einspracheentscheide, die auf Geldzahlung oder Sicherheitsleistung gerichtet sind, vollstreckbaren Urteilen im Sinne von <ref-law> gleichstehen. Ansonsten finden sich keine weiteren Bestimmungen zur Durchsetzung der Geldforderungen; auch keine solchen, die den Bundesrat ausdrücklich ermächtigen, die Vollstreckung näher auf Verordnungsebene zu regeln (<ref-ruling> Erw. 6c). Indessen ist er in <ref-law> allgemein beauftragt, Ausführungsbestimmungen zu erlassen.
6.2 Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat bereits an anderer Stelle entschieden, dass auf Grund dieser Gesetzeslage neben der Zwangsvollstreckung nach SchKG in der KVV keine weiteren Formen des Vollzugszwangs eingeführt werden dürfen (<ref-ruling>, insbesondere 272 ff. Erw. 6).
Die im SchKG geregelte Ordnung der Zwangsvollstreckung von Geldforderungen verlangt für die Erteilung der Rechtsöffnung nur, dass die betriebene Forderung fällig ist (Staehelin/Bauer/Staehelin [Hrsg.], Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, SchKG I, Art. 1-87, Basel 1998, N 39 zu Art. 80 und N 77 zu Art. 82, je mit Hinweisen). Alt <ref-law> bestimmt dagegen, dass fällige Prämien und Kostenbeteiligungen erst nach vorgängiger Mahnung der Zwangsvollstreckung nach SchKG zugeführt werden dürfen. Damit wird jedoch keine neue Form der Zwangsvollstreckung geschaffen, sondern es werden lediglich deren Modalitäten für Prämien und Kostenbeteiligungen näher umschrieben. Der Gläubiger ist gefordert, neben dem geltend gemachten Ausstand dessen Mahnung durch Urkunde nachzuweisen, es sei denn, beides werde von der Gegenpartei ausdrücklich anerkannt oder wenn beides notorisch oder gerichtsnotorisch ist (in diesem Sinne ebenso bei zur Vollstreckung anstehenden suspensiv bedingten Forderungen: Peter Stücheli, Die Rechtsöffnung, Diss. Zürich 2000, S. 116 und 203; Staehelin/Bauer/Staehelin, a.a.O., N 44 zu Art. 80). Macht die Verwaltungsbehörde dagegen von der weitaus häufiger anzutreffenden Möglichkeit Gebrauch, einen im Rahmen des von ihr eingeleiteten Betreibungsverfahrens erhobenen Rechtsvorschlag selbst als ordentlicher Richter im Sinne von <ref-law> zu beseitigen (<ref-ruling> Erw. 2b, 128 III 41 Erw. 2; Pra 2003 Nr. 31 S. 159 Erw. 4; vgl. Roth, Die Krankenkasse als Rechtsöffnungsrichterin in eigener Sache, in: Festschrift 75 Jahre Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz, Basel 2000, S. 235, sowie grundsätzlich Amonn/Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 7. Aufl. 2003, § 19 Rz 15 u. 15a), wird sie dies ebenfalls nur tun dürfen, falls vorgängig gemahnt worden ist. Alt <ref-law> verstösst entgegen der von der Beschwerdeführerin vertretenen Auffassung ebenso wenig gegen betreibungsrechtliche Grundsätze. Zwar mag darin ein gewisser Widerspruch zur für privatrechtliche Rechtsverhältnisse geltenden Regelung erblickt werden, wonach die Mahnung einer fälligen Forderung im Rechtsöffnungsverfahren nur dann von selbstständiger Bedeutung ist, wenn Verzugszinsen im Streit stehen (Art. 102 in Verbindung mit <ref-law>; vgl. <ref-ruling> Erw. 3.2). In Frage steht indessen die öffentlichrechtliche "Zwangsversicherung" und das KVG schreibt keine analoge Anwendung des OR oder einzelner seiner Bestimmungen vor.
6.3 Das Versicherungsobligatorium zeichnet sich dadurch aus, dass die versicherungspflichtige Person bei einem Versicherungsträger nach <ref-law> ungeachtet der persönlichen wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit zwingend im vom Gesetzgeber näher definierten obligatorischen Umfang angeschlossen sein muss und die entsprechenden Prämien (<ref-law>) wie auch Kostenbeteiligungen (<ref-law>) zu tragen hat (Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, Rz 331 und 342).
Wenn der Bundesrat mit Rücksicht auf das Versicherungsobligatorium bei fälligen Prämien oder Kostenbeteiligungen in alt <ref-law> eine Mahnung verlangt, ehe der Versicherungsträger zur Vollstreckung schreitet, ist darin insbesondere im Hinblick auf die den Kassen offen stehende Möglichkeit, sich selber im Anerkennungsprozess gemäss <ref-law> die Rechtsöffnung zu erteilen, ein vernünftiger Grund zu erblicken. Als willkürlich kann diese Bestimmung nicht bezeichnet werden, auch wenn sich die vom Bundesrat getroffene Regelung im Einzelfall ausnahmsweise als wenig zweckmässig erweisen mag, etwa wenn sich die versicherte Person aus grundsätzlichen Überlegungen von vornherein einer Prämienzahlung verweigert. Der mit einem solchen Prozedere verbundene, im Allgemeinen eher geringfügige Mehraufwand der Kassen ist hinzunehmen.
6.4 Gesamthaft gesehen ist die vorgängige Mahnung gemäss alt <ref-law> durch die allgemeine, einen weiten Spielraum des Ermessens für die Regelung auf Verordnungsebene einräumende Delegationsnorm von <ref-law> gedeckt. Weder fällt die Verordnungsbestimmung offensichtlich aus dem Rahmen der dem Bundesrat im Gesetz delegierten Kompetenz noch ist sie aus anderen Gründen verfassungs- oder gesetzwidrig. Dem Verordnungsgeber wäre es jedoch nicht verwehrt, die Bestimmung differenzierter auszugestalten, so dass Fälle, in denen das vorbehaltlose Mahnerfordernis von vornherein einen Leerlauf produziert, davon ausgenommen sind.
7. Allenfalls könnte die Berufung eines Versicherten auf die Durchführung des Mahnverfahrens, von welchem die Kasse infolge Sinnlosigkeit abgesehen hat, im Einzelfall als rechtsmissbräuchlich qualifiziert werden mit der Folge, dass eine der Betreibung vorangehende Mahnung als überflüssig erachtet werden könnte. Indessen war es vorliegend nicht der Beschwerdegegner, der sich auf die fehlende Mahnung berufen hat, sondern das kantonale Gericht, welches das Recht von Amtes wegen angewendet hat.
8. Was die Mahngebühren anbelangt, so wendet die Beschwerdeführerin zu Recht ein, dass die vorinstanzliche Feststellung, wonach im Betreibungsverfahren neben den im Schreiben vom 12. April 2000 ausgewiesenen Mahnkosten von Fr. 50.- unter demselben Titel weitere Fr. 55.- eingefordert worden seien, offenkundig aktenwidrig ist. Richtig ist, dass die Betreibung Mahnkosten in der Höhe von insgesamt Fr. 55.- erfasst, was aber nach wie vor (Fr. 5.-) mehr ist, als mit dem letzten Mahnungsschreiben vom 12. April 2000 geltend gemacht worden ist.
Zwar darf der Versicherer eine angemessene Entschädigung einfordern, wo die versicherte Person unnötige Kosten schuldhaft verursacht hat. Dafür ist jedoch eine ausdrückliche Rechtsgrundlage in den Versicherungsbedingungen erforderlich (<ref-ruling> Erw. 2c/bb). Diese findet sich vorliegend in Ziff. 4.6 Bst. c der seit 1999 geltenden Allgemeinen Versicherungsbedingungen, wonach die Kosten des Betreibungsverfahrens und andere Spesen den säumigen Versicherten auferlegt werden und bei einer Mahnung oder Betreibung eine Umtriebsentschädigung erhoben wird. Indessen verhält sich die Versicherung treuwidrig, wenn sie - wie vorliegend - bei der Androhung der Betreibung die bisher aufgelaufenen Mahnkosten auf Fr. 50.- festlegt, um anschliessend ohne ersichtlichen Grund im Betreibungsverfahren diesen Betrag zu erhöhen. Denn Anhaltspunkte, dass dem Schreiben vom 12. April 2000 weitere Mahnschritte gefolgt sein könnten, sind den Akten nicht zu entnehmen. Entsprechendes wird von der Beschwerdeführerin denn auch nicht behauptet. Von den Mahnkosten abzugrenzen sind übrigens die mit dem Betreibungsdossier zusammenhängenden weiteren Unkosten, welche der Versicherungsträger mit Fr. 250.- separat ausgewiesen hat.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Auf den anschlussweise gestellten Antrag des Beschwerdegegners auf Auflösung des Versicherungsverhältnisses wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt und mit dem geleisteten Kostenvorschuss verrechnet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zugestellt.
Luzern, 2. März 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der I. Kammer: Der Gerichtsschreiber: