Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. A.X._ zog mit ihrer Tochter B.X._, geb. 1992, im März 1999 nach Bremgarten/AG. Am 26. Oktober 1999 meldete sie sich bei der dortigen Einwohnerkontrolle rückwirkend auf den 30. September 1999 nach Dietikon/ZH ab, nachdem sie ihre Wohnung wegen Mietausständen auf richterlichen Befehl hatte räumen müssen.
In der Folge überliess A.X._ ihre Tochter B.X._ einer Pflegefamilie in Dietikon, kümmerte sich kaum mehr selber um sie und war häufig unerreichbar. Am 26. Januar 2000 errichtete die Vormundschaftsbehörde der Stadt Dietikon deshalb für B.X._ eine Vertretungsbeistandschaft gemäss <ref-law>.
In der Folge überliess A.X._ ihre Tochter B.X._ einer Pflegefamilie in Dietikon, kümmerte sich kaum mehr selber um sie und war häufig unerreichbar. Am 26. Januar 2000 errichtete die Vormundschaftsbehörde der Stadt Dietikon deshalb für B.X._ eine Vertretungsbeistandschaft gemäss <ref-law>.
B. Mit Unterstützungsanzeige vom 24. Februar 2000 teilte der Kanton Zürich dem Kanton Aargau mit, dass B.X._ seit dem 20. Oktober 1999 in einer Pflegefamilie platziert sei und dafür Fürsorgeleistungen bewilligt worden seien; dafür habe der Kanton Aargau als Wohnsitzkanton dem Aufenthaltskanton Zürich gemäss den gesetzlichen Vorschriften Ersatz zu leisten.
B. Mit Unterstützungsanzeige vom 24. Februar 2000 teilte der Kanton Zürich dem Kanton Aargau mit, dass B.X._ seit dem 20. Oktober 1999 in einer Pflegefamilie platziert sei und dafür Fürsorgeleistungen bewilligt worden seien; dafür habe der Kanton Aargau als Wohnsitzkanton dem Aufenthaltskanton Zürich gemäss den gesetzlichen Vorschriften Ersatz zu leisten.
C. In seiner dagegen erhobenen Einsprache vom 8. März 2000 machte der Kanton Aargau geltend, dass der Unterstützungswohnsitz von B.X._ nicht in Bremgarten, sondern in Dietikon liege. Nachdem der anschliessende Briefwechsel zu keiner Einigung führte, wies der Kanton Zürich die Einsprache am 22. Juni 2000 ab.
C. In seiner dagegen erhobenen Einsprache vom 8. März 2000 machte der Kanton Aargau geltend, dass der Unterstützungswohnsitz von B.X._ nicht in Bremgarten, sondern in Dietikon liege. Nachdem der anschliessende Briefwechsel zu keiner Einigung führte, wies der Kanton Zürich die Einsprache am 22. Juni 2000 ab.
D. Dagegen führte der Kanton Aargau am 14. Juli 2000 Beschwerde beim Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 25. April 2003 ab.
D. Dagegen führte der Kanton Aargau am 14. Juli 2000 Beschwerde beim Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 25. April 2003 ab.
E. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 26. Mai 2003 an das Bundesgericht beantragt der Kanton Aargau, der Entscheid des Departements sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass B.X._ ihren Unterstützungswohnsitz zusammen mit demjenigen ihrer Mutter seit dem 1. Oktober 1999 in Dietikon begründet habe.
Der Kanton Zürich und das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.1 Nach Art. 34 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 24. Juni 1977 über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG; SR 851.1) unterliegt der angefochtene Beschwerdeentscheid des Departements der Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht. Aus dem in Art. 33 und Art. 34 ZUG vorgesehenen Rechtspflegesystem ergibt sich auch, dass die betroffenen Kantone unter den allgemeinen Voraussetzungen zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde legitimiert sind (vgl. Art. 103 OG). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde des im Verfahren vor dem Departement unterlegenen Kantons Aargau ist deshalb einzutreten.
1.2 Der Beschwerdeführer kann mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde eine Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, sowie die unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts rügen (Art. 104 lit. a und b OG). Im vorliegenden Fall kann das Bundesgericht, da als Vorinstanz nicht eine richterliche Behörde entschieden hat, auch die Feststellung des Sachverhalts von Amtes wegen überprüfen (Art. 105 OG).
1.3 Das Bundesgericht wendet im Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde das Recht von Amtes wegen an, wobei es grundsätzlich an die Parteibegehren, nicht aber an die vorgebrachten Begründungen gebunden ist (Art. 114 Abs. 1 OG). Es kann die Beschwerde auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den angefochtenen Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 150 f.; <ref-ruling> E. 1b S. 268, mit Hinweisen).
1.3 Das Bundesgericht wendet im Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde das Recht von Amtes wegen an, wobei es grundsätzlich an die Parteibegehren, nicht aber an die vorgebrachten Begründungen gebunden ist (Art. 114 Abs. 1 OG). Es kann die Beschwerde auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den angefochtenen Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 150 f.; <ref-ruling> E. 1b S. 268, mit Hinweisen).
2. 2.1 Bedürftige werden von ihrem Wohnkanton unterstützt (Art. 115 erster Satz BV). Der Bund regelt die Ausnahmen und Zuständigkeiten (Art. 115 zweiter Satz BV). Dabei kann er insbesondere den Rückgriff auf einen früheren Wohnkanton oder den Heimatkanton regeln (so noch ausdrücklich Art. 48 Abs. 2 aBV).
Das Zuständigkeitsgesetz präzisiert in dem durch die Verfassung vorgegebenen Rahmen, welcher Kanton für die Fürsorge zuständig ist, und es regelt den Ersatz von Unterstützungskosten unter den Kantonen (vgl. Art. 1 Abs. 1 und 2 ZUG). Die Unterstützung eines Schweizer Bürgers obliegt dem Wohnkanton (<ref-law>). Hat der Bedürftige keinen Unterstützungswohnsitz, so wird er vom Aufenthaltskanton unterstützt (<ref-law>). Der Wohnkanton vergütet dem Aufenthaltskanton, der einen Bedürftigen im Notfall unterstützt, die Kosten der notwendigen und der in seinem Auftrag ausgerichteten weiteren Unterstützung sowie die Kosten der Rückkehr des Unterstützten an den Wohnort (<ref-law>). Hat der Unterstützte in der Schweiz keinen Wohnsitz, so vergütet der Heimatkanton dem Aufenthaltskanton die Kosten der Unterstützung (<ref-law>). Die Begriffe des Aufenthalts-, Wohn- und Heimatkantons sind solche des Bundesrechts (Urteil des Bundesgerichts 2A.420/1999 vom 2. Mai 2000).
2.2 Der Bedürftige hat seinen Unterstützungswohnsitz in dem Kanton, in dem er sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält. Dieser Kanton wird als Wohnkanton bezeichnet (<ref-law>). Die polizeiliche Anmeldung gilt als Wohnsitzbegründung, wenn nicht nachgewiesen ist, dass der Aufenthalt schon früher oder erst später begonnen hat oder nur vorübergehender Natur ist (<ref-law>). Als Aufenthalt gilt die tatsächliche Anwesenheit in einem Kanton; dieser wird als Aufenthaltskanton bezeichnet (<ref-law>). Wer aus dem Wohnkanton wegzieht, verliert den bisherigen Unterstützungswohnsitz (<ref-law>). Ist der Zeitpunkt des Wegzugs zweifelhaft, so gilt derjenige der polizeilichen Abmeldung (<ref-law>). Die Behörden dürfen einen Bedürftigen nicht veranlassen, aus dem Wohnkanton wegzuziehen, widrigenfalls der Unterstützungswohnsitz am bisherigen Wohnort unter bestimmten gesetzlichen Rahmenbedingungen bestehen bleibt (<ref-law>).
Das unmündige Kind teilt, unabhängig von seinem Aufenthaltsort, den Unterstützungswohnsitz der Eltern oder jenes Elternteils, unter dessen Gewalt es steht (<ref-law>). Wenn die Eltern keinen gemeinsamen zivilrechtlichen Wohnsitz haben, teilt es den Unterstützungswohnsitz jenes Elternteils, bei dem es wohnt (<ref-law>). Es hat in Ausnahmefällen einen eigenen Unterstützungswohnsitz, so unter anderem am Sitz der Vormundschaftsbehörde, wenn es unter Vormundschaft steht, und am letzten Unterstützungswohnsitz nach Art. 7 Abs. 1 und 2 ZUG, wenn es dauernd nicht bei den Eltern oder einem Elternteil wohnt (Art. 7 Abs. 3 lit. a und c ZUG).
2.3 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung dient der Unterstützungswohnsitz der Bestimmung des fürsorgepflichtigen Gemeinwesens. Dieses kann nur ein Kanton (bzw. eine Gemeinde) sein, zu dem der Bedürftige dauernde persönliche Beziehungen unterhält und wo er tatsächlich wohnt, d.h. sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält (<ref-law>). Für die Begründung des Unterstützungswohnsitzes ist die körperliche Anwesenheit des Betroffenen im Allgemeinen unabdingbar (Werner Thomet, Kommentar zum Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [ZUG], 2. Aufl. Zürich 1994, Rz. 89), ist es fürsorgerisch doch unzweckmässig, ein Gemeinwesen als Unterstützungswohnsitz zu bezeichnen, in dem der Bedürftige sich gar nie aufgehalten oder das er ohne Rückkehrabsicht verlassen hat. Im Gegensatz zum zivilrechtlichen Wohnsitz (vgl. <ref-law>) bleibt der einmal begründete Unterstützungswohnsitz nicht bis zum Erwerb eines neuen bestehen; er endet vielmehr mit dem Wegzug aus dem Wohnkanton (<ref-law>). Selbst wenn der Bedürftige diesen verlässt, um sich in einem anderen Kanton niederzulassen, nach kurzer Zeit aber bereits wieder an seinen früheren Wohnort zurückkehrt, bleibt der Unterstützungswohnsitz nicht erhalten; er wird vielmehr allenfalls neu begründet (unveröffentlichtes Urteil des Bundesgerichts 2A.57/1995 vom 4. Juli 1995; Thomet, a.a.O., Rz. 149).
2.3 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung dient der Unterstützungswohnsitz der Bestimmung des fürsorgepflichtigen Gemeinwesens. Dieses kann nur ein Kanton (bzw. eine Gemeinde) sein, zu dem der Bedürftige dauernde persönliche Beziehungen unterhält und wo er tatsächlich wohnt, d.h. sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält (<ref-law>). Für die Begründung des Unterstützungswohnsitzes ist die körperliche Anwesenheit des Betroffenen im Allgemeinen unabdingbar (Werner Thomet, Kommentar zum Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [ZUG], 2. Aufl. Zürich 1994, Rz. 89), ist es fürsorgerisch doch unzweckmässig, ein Gemeinwesen als Unterstützungswohnsitz zu bezeichnen, in dem der Bedürftige sich gar nie aufgehalten oder das er ohne Rückkehrabsicht verlassen hat. Im Gegensatz zum zivilrechtlichen Wohnsitz (vgl. <ref-law>) bleibt der einmal begründete Unterstützungswohnsitz nicht bis zum Erwerb eines neuen bestehen; er endet vielmehr mit dem Wegzug aus dem Wohnkanton (<ref-law>). Selbst wenn der Bedürftige diesen verlässt, um sich in einem anderen Kanton niederzulassen, nach kurzer Zeit aber bereits wieder an seinen früheren Wohnort zurückkehrt, bleibt der Unterstützungswohnsitz nicht erhalten; er wird vielmehr allenfalls neu begründet (unveröffentlichtes Urteil des Bundesgerichts 2A.57/1995 vom 4. Juli 1995; Thomet, a.a.O., Rz. 149).
3. 3.1 Die bedürftige unmündige B.X._ war im hier massgeblichen Zeitpunkt der Fremdplatzierung nicht bevormundet, sondern unterstand - selbst während der später errichteten Vertretungsbeistandschaft gemäss <ref-law> - grundsätzlich weiterhin der elterlichen Gewalt bzw. Sorge ihrer Mutter. Damit leitete sich ihr Unterstützungswohnsitz nicht vom Sitz der Vormundschaftsbehörde, sondern vom Unterstützungswohnsitz ihrer Mutter ab (vgl. Art. 7 Abs. 1 und Abs. 3 lit. a ZUG). Selbst wenn davon ausgegangen wird, dass B.X._, die ständig bei einer Pflegefamilie lebt, wobei der Kontakt zur Mutter seit längerer Zeit abgebrochen zu sein scheint oder jedenfalls nur noch sporadisch besteht, im Sinne von <ref-law> dauernd nicht bei den Eltern oder einem Elternteil wohnte, ist gemäss dieser Bestimmung der letzte Unterstützungswohnsitz ihrer Mutter massgeblich. Nach der dargestellten verfassungsrechtlichen und gesetzlichen Regelung hat der Kanton Zürich gegenüber dem Kanton Aargau demnach nur dann einen Anspruch auf Ersatz der Unterstützungskosten, wenn B.X._ bzw. deren Mutter A.X._ im massgeblichen Zeitpunkt der Fremdplatzierung noch über Unterstützungswohnsitz im Kanton Aargau verfügten.
3.2 Die Mutter A.X._ hatte ihren Unterstützungswohnsitz bis Ende September 1999 in Bremgarten. Bereits am 6. September 1999 beantragte die Jugend- und Familienberatung Bremgarten die Ergreifung von Kindesschutzmassnahmen. Am 19. Oktober 1999 liess der Vermieter der Wohnung in Bremgarten das Wohnungsschloss auswechseln und am 27. Oktober 1999 die Wohnung räumen. Am 26. Oktober 1999 meldete sich A.X._ rückwirkend auf den 30. September 1999 aus Bremgarten ab. Am 29. Oktober 1999 wurde ihr im Sinne einer vorsorglichen Massnahme die elterliche Gewalt entzogen, wobei diese Massnahme bereits am 2. November 1999 wieder aufgehoben wurde, nachdem sich ergeben hatte, dass A.X._ und B.X._ nicht mehr in Bremgarten wohnten.
Wann genau A.X._ und B.X._ nach Dietikon umzogen, ist nicht erstellt. Unbestritten ist jedoch, dass sie zunächst bei einem Bekannten der Mutter vorübergehend Aufnahme fanden und dass die Vermietung einer Wohnung im gleichen Hause in Aussicht stand, der entsprechende Vertrag vorerst wegen Auslandabwesenheit des Vermieters aber nicht abgeschlossen werden konnte. Bekannt ist auch, dass sich A.X._ ungefähr Mitte Oktober 1999 bei der Einwohnerkontrolle Dietikon nach den Voraussetzungen für eine Anmeldung erkundigte und dort Ende Oktober 1999 mit ihren Papieren erschien, die Anmeldung aber anscheinend - offenbar mangels Vorliegens eines Mietvertrags - nicht vollzogen wurde. Die Einwohnerkontrolle hat A.X._ in der Folge jedoch mehrmals aufgefordert, ihre Anwesenheit zu regeln. A.X._ brachte ihre Tochter B.X._ Ende Oktober 1999 zunächst im Sinne einer Tagesmutterstruktur bei einer Familie in Dietikon unter. Nach Aussage der späteren Beiständin von B.X._ übernachtete diese am 9. November 1999 zum letzten Mal bei ihrer Mutter, seit dem 20. Oktober 1999 - und damit vor der zwischenzeitlichen vorsorglichen Kindesschutzmassnahme der Gemeinde Bremgarten - habe die Unterbringung bei der Tagesfamilie aber den Charakter einer Dauerplatzierung erhalten. In einem nicht genau bekannten Zeitpunkt zerstritt sich A.X._ mit ihrem Gastgeber und musste dessen Wohnung verlassen, woraufhin offenbar auch der Vermieter nicht mehr bereit war, ihr eine eigene Wohnung zu vermieten. Am 26. Januar 2000 errichtete die Vormundschaftsbehörde der Stadt Dietikon für B.X._ eine Vertretungsbeistandschaft gemäss <ref-law>. A.X._ ist es in der Folge nicht gelungen, in Dietikon eine Wohnung zu finden. Im April 2000 brach der Kontakt zu ihr ab.
3.3 Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass A.X._ ihren Unterstützungswohnsitz in Bremgarten durch Abmeldung und Wegzug verlor und anfänglich die Absicht hatte, sich in Dietikon dauernd niederzulassen. Dafür spricht der Versuch, sich eine eigene Wohnung zu mieten, sich bei der dortigen Einwohnerkontrolle anzumelden sowie für die Tochter eine Tagesstruktur aufzubauen. Auch wenn unklar ist, weshalb der Anmeldungsversuch scheiterte bzw. ob die Einwohnerkontrolle Dietikon die Anmeldung überhaupt verweigern durfte, ging selbst sie davon aus, dass sich A.X._ dort niederlassen wollte, hätte sie diese doch sonst nicht mehrfach aufgefordert, sich nunmehr unter Vorlage aller Papiere anzumelden. Dass die Wohnungsmiete nachträglich gescheitert ist und dass A.X._ zumindest einen Teil ihrer Möbel in Bremgarten zurückliess, spricht beides nicht gegen die Absicht des dauernden Verbleibens in Dietikon. Den ersten Umstand konnte sie anfänglich nicht kennen, und der zweite liegt nur schon darin begründet, dass sie zunächst keinen Raum hatte, um ihre Möbel unmittelbar weiterzuverwenden.
Dies alles verkennt die Vorinstanz an sich nicht. Sie anerkennt sogar im Gegenteil, dass A.X._ ihren Unterstützungswohnsitz in Bremgarten aufgegeben hat. Sie ist indessen der Auffassung, A.X._ habe in Dietikon keinen neuen Unterstützungswohnsitz begründet, weil sie dort keine Wohnung fand und auch sonst keine hinreichende Beziehungsnähe zur neuen Gemeinde entstanden sei. Nun ist es an sich im vorliegenden Verfahren nicht entscheidend, ob ein neuer Unterstützungswohnsitz begründet worden ist oder nicht. Massgeblich für die Rückerstattungspflicht ist einzig, ob der alte Unterstützungswohnsitz in Bremgarten beendet wurde oder nicht. Nach <ref-law> geht ein solcher verloren, wenn jemand aus dem Wohnkanton wegzieht, wobei im Zweifel der Zeitpunkt der polizeilichen Abmeldung den Ausschlag gibt. A.X._ hat sich am 26. Oktober 1999 rückwirkend auf den 30. September 1999 aus Bremgarten abgemeldet und spätestens Mitte Oktober 1999 Bremgarten auch tatsächlich verlassen. Damit hat sie den dortigen Unterstützungswohnsitz verloren, und zwar unabhängig vom Bestehen eines neuen (vgl. E. 2.3) bzw. namentlich davon, ob sie in Dietikon einen neuen begründet hat. Schliesslich gibt es keine Hinweise dafür, dass der Kanton Aargau gegen das Verbot der Abschiebung gemäss <ref-law> verstossen hätte. Damit ist jedenfalls der Kanton Aargau nicht ersatzpflichtig.
3.4 Im Übrigen bestünde keine Gesetzeslücke, hätte A.X._ in Dietikon keinen neuen Unterstützungswohnsitz begründet, sondern es würde die Vorschrift von <ref-law> greifen, wonach ein Bedürftiger vom Aufenthaltskanton unterstützt wird, wenn er keinen Unterstützungswohnsitz hat, verbunden mit der allfälligen Ersatzpflicht des Heimatkantons nach <ref-law>. Mehrere Umstände sprechen aber doch dafür, dass A.X._ trotz der Tatsache, dass sie keine eigene Wohnung fand, aufgrund ihrer Absicht, sich dort niederzulassen, gemäss <ref-law> wenigstens vorübergehend in Dietikon Unterstützungswohnsitz begründet hat und diesen während der hier massgeblichen Fremdplatzierung der Tochter B.X._ dort hatte. Darüber braucht freilich im vorliegenden Verfahren nicht definitiv befunden zu werden.
3.4 Im Übrigen bestünde keine Gesetzeslücke, hätte A.X._ in Dietikon keinen neuen Unterstützungswohnsitz begründet, sondern es würde die Vorschrift von <ref-law> greifen, wonach ein Bedürftiger vom Aufenthaltskanton unterstützt wird, wenn er keinen Unterstützungswohnsitz hat, verbunden mit der allfälligen Ersatzpflicht des Heimatkantons nach <ref-law>. Mehrere Umstände sprechen aber doch dafür, dass A.X._ trotz der Tatsache, dass sie keine eigene Wohnung fand, aufgrund ihrer Absicht, sich dort niederzulassen, gemäss <ref-law> wenigstens vorübergehend in Dietikon Unterstützungswohnsitz begründet hat und diesen während der hier massgeblichen Fremdplatzierung der Tochter B.X._ dort hatte. Darüber braucht freilich im vorliegenden Verfahren nicht definitiv befunden zu werden.
4. Der Entscheid der Vorinstanz, B.X._ habe im Unterstützungszeitraum Unterstützungswohnsitz im Kanton Aargau gehabt, verletzt somit Bundesrecht und ist aufzuheben. Gleichzeitig ist festzustellen, dass der Kanton Zürich keinen Kostenersatzanspruch gegenüber dem Kanton Aargau betreffend B.X._ hat.
Gemäss diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem unterliegenden Kanton Zürich aufzuerlegen, um dessen Vermögensinteressen es geht (Art. 156 Abs. 1 und 2, Art. 153 und 153a OG). Eine Parteientschädigung wird nicht verlangt und ist mit Blick auf Art. 159 Abs. 2 OG auch nicht geschuldet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. 1.1 Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird gutgeheissen, und der Entscheid des Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartements vom 25. April 2003 wird aufgehoben.
1.2 Es wird festgestellt, dass der Kanton Zürich keinen Kostenersatzanspruch gegenüber dem Kanton Aargau betreffend B.X._ hat.
1.2 Es wird festgestellt, dass der Kanton Zürich keinen Kostenersatzanspruch gegenüber dem Kanton Aargau betreffend B.X._ hat.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Kanton Zürich auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Kanton Zürich auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2003
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Gerichtsschreiber: