Sachverhalt:
A. A.a Die 1962 geborene N._ arbeitete seit Januar 2007 mit einem Teilpensum von 25 Prozent in der O._ AG, wo sie als Assistentin des CEO tätig war. Im Juli 2008 meldete sie sich wegen einer Lösungsmittel- und Nahrungsmittelintoleranz bei der Invalidenversicherung zum Bezug einer Rente an. Die IV-Stelle Bern führte medizinische und berufliche Abklärungen durch. Nachdem sich der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) für eine Begutachtung in der Medizinischen Abklärungsstation (MEDAS) am Spital X._ ausgesprochen hatte, teilte die IV-Stelle der Versicherten am 6. November 2008 ihre Absicht mit, ein entsprechendes Gutachten in Auftrag zu geben. Am 6. Januar 2009 gab die MEDAS N._ den Termin und das Programm der vorgesehenen Begutachtung sowie die Namen der drei dafür vorgesehenen Gutachter bekannt. Mit Eingabe vom 15. Januar 2009 erhob sie Einwände gegen die genannten Gutachter und bezeichnete die Begutachtung aus gesundheitlichen Gründen als unzumutbar. Mit Verfügung vom 23. Januar 2009 hielt die IV-Stelle an der angeordneten Abklärungsmassnahme fest, da kein schützenswerter Ausstands- oder Ablehnungsgrund vorliege. Zudem wies sie auf die Mitwirkungspflichten hin und drohte für den Fall einer Verweigerung die Beurteilung des Leistungsbegehrens aufgrund der Akten oder Nichteintreten an. Auf die dagegen erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 24. März 2009 nicht ein, da keine formellen Ausstandsgründe geltend gemacht worden seien. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil vom 28. Juli 2009 ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 8C_418/2009).
A.b Da N._ dem Aufgebot der MEDAS nicht nachkam, stellte die IV-Stelle nach Rücksprache mit dem RAD im Vorbescheid vom 18. Februar 2009 die Abweisung des Leistungsbegehrens in Aussicht. Die Versicherte wies in der Folge darauf hin, dass sie gesundheitsbedingt nicht in der Lage sei, an einer herkömmlichen Begutachtung teilzunehmen. Die IV-Stelle verneinte dies und lehnte mit Verfügung vom 20. April 2009 den Anspruch auf Invalidenrente ab.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 11. Februar 2010 ab.
C. N._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Durchführung weiterer medizinischer Abklärungen resp. materieller Würdigung an die IV-Stelle zurückzuweisen; eventuell seien ihr die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen. Subeventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese in rechtmässiger Besetzung nochmals materiell über die Streitsache befinde. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Die IV-Stelle, das Bundesamt für Sozialversicherungen und das Verwaltungsgericht verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführerin beantragt die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels. Ein solcher ist indessen nicht erforderlich (Art. 102 Abs. 3 BGG).
2. Den angefochtenen Entscheid erliess die sozialversicherungsrechtliche Abteilung des kantonalen Verwaltungsgerichts in Zweierbesetzung. Die Beschwerdeführerin bestreitet diese Zuständigkeit, da keine offensichtlich unbegründete Streitsache vorgelegen habe.
2.1 Die kraft Art. 1 Abs. 1 IVG auch bei Streitigkeiten betreffend eine Rente der Invalidenversicherung anwendbaren Rechtspflegebestimmungen des ATSG (SR 830.1; Art. 56 ff. ATSG) enthalten keine Vorschriften über die Zusammensetzung, insbesondere die (numerisch) richtige Besetzung der kantonalen Versicherungsgerichte. Die Regelung dieser Frage obliegt somit den Kantonen. Auslegung und Anwendung kantonalen Gesetzesrechts prüft das Bundesgericht - vorbehältlich der in Art. 95 lit. c und d BGG genannten Fälle - lediglich unter dem eingeschränkten Blickwinkel der Willkür (Art. 9 BV). Dagegen beurteilt sich frei und ohne Bindung an allfällige Vorbringen der Parteien, ob die - als vertretbar erkannte - Auslegung kantonaler Vorschriften mit der in Art. 30 Abs. 1 BV gewährleisteten Garantie eines durch Gesetz geschaffenen, zuständigen, unabhängigen und unparteiischen Gerichts und mit dem übrigen Bundesrecht vereinbar ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 338; SVR 2006 KV Nr. 31, K 139/04 E. 2.2 [in <ref-ruling> nicht publiziert]; BGE 9C_781/2008 vom 25. März 2009 E. 3.1).
2.2 Nach Art. 126 Abs. 3 (in der Fassung vom 17. September 2003) des Gesetzes des Kantons Bern vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG; BGS 155.21) beurteilt die Abteilung offensichtlich begründete und offensichtlich unbegründete Fälle in Zweierbesetzung. Die Auslegung der kantonalen Zuständigkeitsvorschrift durch die Vorinstanz ist nicht willkürlich. Das VRPG definiert nicht, was unter einem offensichtlich unbegründeten Fall zu verstehen ist. Als solcher kann eine Streitsache mit einem eindeutigen Sachverhalt und einer klaren Rechtslage betrachtet werden. Dass die Vorinstanz dazu auch den vorliegenden Fall zählte, bei dem sich die Frage der Zumutbarkeit einer medizinischen Begutachtung stellte und die Verwaltung wegen fehlender Mitwirkung bei den Abklärungsmassnahmen eine Beurteilung nach Lage der Akten vornahm, kann nicht als geradezu unhaltbar und damit als willkürlich betrachtet werden. Die mithin als vertretbar zu betrachtende Auslegung des kantonalen Prozessrechts ist mit den genannten Garantien der Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ebenfalls vereinbar, geben doch diese nicht Anspruch auf Beurteilung durch ein Kollegialgericht.
3. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt demgegenüber ein qualifiziertes Rügeprinzip. Das Bundesgericht prüft diese Verletzungen nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid die Grundrechte oder kantonales oder interkantonales Recht verletzt, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; die erhobenen Rügen müssen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften, insbesondere im kantonalen Verfahren eingereichte oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.2 S. 400 mit Hinweisen).
Diese Grundsätze verkennt die Beschwerdeführerin, soweit sie in der Beschwerdeschrift über weite Strecken unbesehen aus früheren Eingaben und Schriftstücken, dem vorinstanzlichen Entscheid und dem Rechtsgutachten von Prof. Dr. iur. M._ und Dr. iur. R._ vom 11. Februar 2010 zitiert.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) und des Anspruchs auf ein faires Verfahren (Art. 6 Ziff. 1 EMRK), weil ihr die Stellungnahme des medizinischen Dienstes der IV-Stelle vom 17. Februar 2009 bezüglich der Zumutbarkeit der geplanten medizinischen Begutachtung vor Erlass der Verfügung (recte: des Vorbescheids) vom 18. Februar 2009 nicht zugestellt worden sei, die Einladung zur Begutachtung zu kurzfristig ergangen sei und die Vorinstanz dem Rückweisungsantrag nicht stattgegeben habe.
4.2 Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, welcher in die Rechtsstellung einer Person eingreift. Dazu gehört insbesondere deren Recht, sich vor Erlass des in ihre Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 370 mit Hinweisen).
Das Recht, angehört zu werden, ist formeller Natur. Die Verletzung des rechtlichen Gehörs führt ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst zur Aufhebung der angefochtenen Verfügung. Es kommt mit anderen Worten nicht darauf an, ob die Anhörung im konkreten Fall für den Ausgang der materiellen Streitentscheidung von Bedeutung ist, d.h. die Behörde zu einer Änderung ihres Entscheides veranlasst wird oder nicht (<ref-ruling> E. 5.1 S. 390; <ref-ruling> E. 3d/aa S. 437).
Nach der Rechtsprechung kann eine - nicht besonders schwerwiegende - Verletzung des rechtlichen Gehörs ausnahmsweise als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Beschwerdeinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt wie die Rechtslage frei überprüfen kann (BGE <ref-ruling> E. 3d/aa S. 437). Die Heilung eines - allfälligen - Mangels soll aber die Ausnahme bleiben (<ref-ruling> E. 4a S. 183 mit Hinweisen).
4.3 Das kantonale Gericht hat der Beschwerdeführerin auf Ersuchen hin Akteneinsicht gewährt und ihr die Gelegenheit eingeräumt, sich dazu zu äussern, wovon diese mit Eingabe vom 21. Oktober 2009 Gebrauch gemacht hat. Im angefochtenen Entscheid hält das kantonale Gericht dazu fest, eine Verletzung des rechtlichen Gehörs sei in dieser Stellungnahme nicht mehr gerügt worden. Eine allfällige Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die IV-Stelle könne zudem als geheilt betrachtet werden. Dem ist vollumfänglich beizupflichten. Nach Einsichtnahme in die Akten hat die Beschwerdeführerin den vor Vorinstanz ursprünglich gestellten, auf Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zwecks Wahrung des rechtlichen Gehörs lautenden, Hauptantrag nicht mehr aufrecht erhalten. Auch nach Kenntnisnahme der Zumutbarkeitsbeurteilung des RAD-Arztes hielt sie jedoch an ihrer ablehnenden Haltung gegenüber der medizinischen Begutachtung durch die MEDAS fest. Der Rückweisungsantrag in der Eingabe vom 21. Oktober 2009 bezog sich ausdrücklich auf eine Begutachtung durch einen für TILT-Vaskulitis spezialisierten Facharzt. Von einem unfairen Verfahren kann unter diesen Umständen nicht die Rede sein.
5. Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen und von der Rechtsprechung entwickelten Grundsätze, namentlich diejenigen über die Rechtsfolgen bei schuldhafter Verweigerung einer ärztlichen Begutachtung im Rahmen des von der IV-Stelle durchzuführenden Abklärungsverfahrens (Art. 43 ATSG) zutreffend dargelegt. Hierauf wird verweisen.
6. 6.1 Das kantonale Gericht hat in für das Bundesgericht verbindlicher Weise festgestellt, dass die von der IV-Stelle angeordnete fachärztliche Begutachtung für eine abschliessende Beurteilung der gesundheitlichen Beeinträchtigung notwendig und für die Beschwerdeführerin überdies zumutbar sei. Anzumerken ist, dass die versicherte Person keinen bundesrechtlichen Anspruch hat, den medizinischen Sachverständigen auszuwählen (vgl. <ref-ruling> E. 6.5 S. 109).
6.2 Wer Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substanziiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen erfüllt sind. Soweit die Beschwerdeführerin eine unrichtige und unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts rügt, beschränkt sie sich darauf, entweder auf die vorinstanzlichen Eingaben oder auf die medizinischen Unterlagen zu verweisen, ohne im Einzelnen darzutun, inwiefern eine Verletzung im Sinne von Art. 97 BGG vorliegt. Damit vermag sie nicht durchzudringen. Die üblichen Untersuchungen einer MEDAS sind ohne konkret entgegenstehende Umstände generell als zumutbar im Sinne von Art. 43 Abs. 2 ATSG zu erachten (SVR 2007 IV Nr. 48 S. 156, I 988/06 E. 4.2). Die Feststellung der Vorinstanz, es bestünden weder medizinische noch persönliche Gründe, welche es rechtfertigen würden, der medizinischen Abklärung durch die beauftragte MEDAS fernzubleiben, erweist sich nicht als offensichtlich unrichtig, weil damit von der Versicherten - mit Blick auf das im Kurzgutachten des Dr. med. S._ beschriebene Krankheitsbild - nichts Unzumutbares verlangt wird (vgl. Art. 43 Abs. 2 ATSG). Soweit die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang eine Verletzung von Art. 8 Abs. 2 BV, Art. 14 EMRK und der Bestimmungen des Behindertengesetzes rügt, ist der Einwand unbegründet.
6.3 Auch der Einwand, den für die Begutachtung vorgesehenen, über einen Facharzttitel verfügenden Ärzten der MEDAS fehle es in Bezug auf das vorliegende Beschwerdebild an der Fachkompetenz, wird von der Beschwerdeführerin nicht näher begründet. Insbesondere ist nicht ersichtlich, weshalb beispielsweise Dr. med. S._ als Facharzt für Allgemeinmedizin, welcher die Versicherte laut den unbestritten gebliebenen Feststellungen der Vorinstanz behandelt, fachlich kompetenter sein soll, eine Untersuchung durchzuführen als die mit dem Gutachten beauftragten Internisten, Neurologen und Psychiater der MEDAS. Zudem kann erst nach Vorliegen des Gutachtens beurteilt werden, ob dieses den Beweisanforderungen entspricht, inhaltlich vollständig und im Ergebnis schlüssig ist, oder ob sich allenfalls ergänzende Abklärungen als notwendig erweisen. Die Rüge, die Gutachterstelle verfüge nicht über die für die Beurteilung des medizinischen Sachverhalts notwendigen Fachärzte, erweist sich somit ohnehin als verfrüht und stellt daher keine Entschuldigung für die Verweigerung einer Teilnahme an den vorgesehenen Abklärungen dar.
6.4 Die Vorinstanz hat die von der Versicherten auch nach Verstreichen der angesetzten angemessenen Bedenkzeit und nach Darlegung der nachteiligen Rechtsfolgen für den Säumnisfall weiterhin aufrecht erhaltene Weigerung, sich einer fachärztlichen Begutachtung durch die MEDAS zu unterziehen, zu Recht als schuldhafte Verletzung der Mitwirkungspflicht gemäss Art. 43 Abs. 2 ATSG gewertet und demzufolge aufgrund der vorhandenen (unvollständigen) Akten entschieden. Laut Rechtsprechung geht es nicht an, dass eine versicherte Person selbst eingeholte Arztberichte zu den Akten gibt und in der Folge den Versicherungsträger daran hindert, die darin festgehaltenen Ergebnisse zu überprüfen (vgl. Art. 43 Abs. 1 ATSG), indem er seinerseits medizinische Abklärungen vornimmt (vgl. RKUV 2002 Nr. U 457 S. 221, U 173/01 E. 5c). Es kann nicht im Belieben der versicherten Person stehen, einen Entscheid zu erzwingen, der sich ausschliesslich auf von ihr selbst eingeholte Stellungnahmen stützt. Die IV-Stelle kann daher bei ihrem Entscheid, den sie wegen fehlender Mitwirkung gestützt auf die Akten zu erlassen hat (Art. 43 Abs. 3 ATSG), die von der versicherten Person eingereichten Berichte, welche in freier Beweiswürdigung objektiv zu prüfen sind, allenfalls ausser Acht lassen. Weil die Aktenlage den Schluss auf eine rentenbegründende Einschränkung der erwerblichen Leistungsfähigkeit nicht zulässt, hat die IV-Stelle, bestätigt durch das Verwaltungsgericht, den Leistungsanspruch richtigerweise verneint.
7. Sobald die Beschwerdeführerin ihrer Mitwirkungspflicht nachkommt und sich der notwendigen Untersuchung unterzieht, wird die IV-Stelle eine neue Verfügung erlassen müssen, falls das Ergebnis der Begutachtung zusammen mit den bereits vorhandenen medizinischen Unterlagen einen Anspruch auf eine Invalidenrente ergeben sollte. Es wird der Versicherten alsdann unbenommen sein, ihre Ansprüche in diesem Verwaltungsverfahren erneut anzumelden.
8. Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG), da ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels der gemäss Art. 64 Abs. 1 BGG hierfür erforderlichen Voraussetzung der Nichtaussichtslosigkeit der Rechtsvorkehr nicht entsprochen werden kann.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. August 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer