Sachverhalt:
A. Die 1987 geborene S._ studiert seit 2007 Jurisprudenz an der Universität Zürich. Im Dezember 2009 meldete sie sich wegen den Folgen eines am 23. Oktober 2008 erlittenen Auffahrunfalles bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich holte nebst weiteren Abklärungen ein polydisziplinäres (internistisches, rheumatologisches und psychiatrisches) Gutachten der Ärztlichen Begutachtungsinstitut GmbH (ABI), vom 26. Oktober 2010 ein. S._ liess sich zudem am 10./17. Januar 2011 durch Frau Dr. phil. O._, Neuropsychologisches Ambulatorium, untersuchen (Bericht vom 24. Januar 2011). Mit Verfügung vom 3. Februar 2011 verneinte die IV-Stelle nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren den Anspruch auf berufliche Massnahmen sowie auf eine Invalidenrente.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde, mit welcher S._ die Gewährung der gesetzlichen Leistungen, insbesondere einer Invalidenrente, sowie die Erstattung der Kosten der neuropsychologischen Abklärung bei Frau Dr. phil. O._ durch die IV-Stelle beantragen liess, wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 18. September 2012 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids seien ihr, allenfalls nach Durchführung medizinischer Abklärungen, die gesetzlichen Leistungen, insbesondere eine Invalidenrente auszurichten und die IV-Stelle sei zu verpflichten, ihr die Kosten der neuropsychologischen Abklärung zu vergüten.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Replikweise lässt S._ an ihren Rechtsbegehren festhalten. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 317 f. mit Hinweis). Trotzdem obliegt es der Beschwerde führenden Partei, sich in ihrer Beschwerde sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 584; je mit Hinweisen).
1.2 Im Rahmen des Replikrechts kann sich die Beschwerdeführerin zur Vernehmlassung äussern. Auf die darüber hinausgehenden Ausführungen braucht im Urteil nicht eingegangen zu werden, wobei rechtliche Rügen gestützt auf die Rechtsanwendung von Amtes wegen geprüft werden können.
1.3 Im Rahmen der Invaliditätsbemessung betreffen die Feststellung des Gesundheitsschadens, d.h. die Befunderhebung, die gestützt darauf gestellte Diagnose und die ärztliche Stellungnahme zum noch vorhandenen Leistungsvermögen oder (bei psychischen Gesundheitsschäden) zur Verfügbarkeit von Ressourcen der versicherten Person sowie die auf Grund der medizinischen Untersuchungen gerichtlich konstatierte Arbeits(un)fähigkeit Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398), welche sich nach der dargelegten Regelung der Kognition einer Überprüfung durch das Bundesgericht weitgehend entziehen.
2. 2.1 Streitig und - im Rahmen der dargelegten Kognition - zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht mit der Verneinung des Anspruchs auf Leistungen der Invalidenversicherung Bundesrecht verletzt hat.
2.2 Die hiefür massgebenden Rechtsgrundlagen, namentlich die gesetzlichen Bestimmungen und die von der Rechtsprechung entwickelten Grundsätze zum Begriff der Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) und der Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>) sowie zu den Voraussetzungen und zum Umfang des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs.1 und 2 IVG) sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt worden. Richtig sind auch die Ausführungen zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3 S. 352 mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
3. Das kantonale Gericht hat in pflichtgemässer Würdigung der medizinischen Aktenlage, namentlich gestützt auf das als voll beweiskräftig eingestufte polydisziplinäre Gutachten des ABI vom 26. Oktober 2010 sowie auf den durch die Beschwerdeführerin eingeholten Bericht der neuropsychologischen Abklärung bei Frau Dr. phil. O._ vom 24. Januar 2011 mit einlässlicher und nachvollziehbarer Begründung erkannt, dass die Beschwerdeführerin aus rheumatologischer Sicht als Studentin eine 20%ige Leistungseinschränkung aufweise, wohingegen aus psychiatrischer und allgemein-internistischer Sicht eine Einschränkung in der Arbeitsfähigkeit zu verneinen sei. Was die im Bericht der Frau Dr. phil. O._ vom 24. Januar 2011 festgehaltenen neuropsychologischen Funktionsstörungen in Form von Konzentrations-, Gedächtnis-, Merkfähigkeits- und Lernfähigkeitsstörungen sowie Affektlabilität anbelangt, hielt die Vorinstanz fest, diese Beschwerden seien zwar klinisch fassbar, nicht jedoch hinreichend organisch im Sinne einer strukturellen Veränderung nachgewiesen. Das Schädel-MRI vom 22. Oktober 2009 habe einen normalen Befund ergeben, der Neurostatus sei weitgehend unauffällig und es fehlten Anhaltspunkte für neurologische Ausfälle im Sinne eines messbaren Defektzustandes. Die Vorinstanz hat des Weiteren geprüft, ob die diagnostizierte Schmerzstörung im vorliegenden Fall ausnahmsweise eine Invalidisierung zu begründen vermöge. Sie hat indessen die dazu erforderlichen Voraussetzungen einer psychischen Komorbidität von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer und der von der Praxis alternativ dazu umschriebenen Kriterien, welche eine adäquate Schmerzbewältigung objektiv konstant und intensiv behindern können (<ref-ruling> E. 4.1 und 136 V 279 E. 3.2.3, je mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 354 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 50 f.), als nicht erfüllt erachtet, zumal sich auch aus dem Privatgutachten keine diesbezüglichen Anhaltspunkte ergaben.
4. Zu prüfen sind zunächst die Einwendungen der Beschwerdeführerin betreffend medizinischer Aktenlage:
4.1 Was die allgemeine Kritik am Gutachten des ABI vom 26. Oktober 2010 im Sinne der fehlenden Waffengleichheit bei der MEDAS-Problematik anbelangt, hat das Bundesgericht in <ref-ruling> bestätigt, dass die Beauftragung einer MEDAS verfassungskonform sowie rechtsprechungsgemäss auch mit der EMRK vereinbar sei (E. 2.1 bis 2.3 S. 229 ff.) und dass nach altem Verfahrensstand eingeholte Gutachten ihren Beweiswert nicht per se verlören, sondern im Rahmen einer gesamthaften Prüfung des Einzelfalls zu entscheiden sei, ob das abschliessende Abstellen auf die vorhandenen Beweisgrundlagen vor Bundesrecht standhalte (E. 6 S. 266).
4.2 Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid aufgezeigt, dass die rheumatologische und psychiatrische Beurteilung des ABI die Anforderungen der Rechtsprechung an ein Gutachten erfüllen, und dargelegt, dass auf die diesbezügliche Diagnosestellung und attestierte Arbeitsfähigkeit durch das ABI abgestellt werden kann. Diese Feststellungen zählen zur vorinstanzlichen Sachverhaltsermittlung, welche einer Überprüfung durch das Bundesgericht regelmässig entzogen ist.
4.3 Soweit die Beschwerdeführerin wiederum rügt, dass weder eine neurologische noch eine neuropsychologische Abklärung vorgenommen wurde, ist ihr insoweit Recht zu geben, als Ziff. 4.2.8. des ABI-Gutachtens vom 26. Oktober 2010 klarerweise eine neuropsychologische Abklärung seitens des ABI oder der Beschwerdegegnerin erfordert hätte, wurde dort doch ausdrücklich festgehalten, in Anbetracht der für die Explorandin subjektiv sehr starken Einbusse in Bezug auf ihre kognitive Leistungsfähigkeit im Vergleich zum Zustand vor dem Unfall sollten diesbezüglich objektive Untersuchungen im Sinne einer neurologischen und/oder neuropsychologischen Abklärung durchgeführt werden, um eventuell gezielte unterstützende therapeutische Massnahmen anbieten zu können. Mangels einer entsprechenden Abklärung hat die Beschwerdeführerin das Privatgutachten der Frau Dr. phil. O._ vom 24. Januar 2011 erstellen und zu den Akten geben lassen. Die Vorinstanz hat dieses in die Würdigung der Aktenlage miteinbezogen und sich bezüglich der Behandlungsaussichten der Beschwerden als Überwindbarkeitskriterium zu Recht darauf abgestützt. Dementsprechend hat die Beschwerdeführerin - entgegen der Auffassung der Vorinstanz - Anspruch auf Ersatz der Auslagen der von ihr veranlassten neuropsychologischen Abklärung. Die Beschwerde ist diesbezüglich teilweise gutzuheissen und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die Entschädigung der IV-Stelle an die Beschwerdeführerin für die neuropsychologische Abklärung festsetze.
5. 5.1 Zur Annahme einer Invalidität braucht es in jedem Fall ein medizinisches Substrat, das (fach)ärztlicherseits schlüssig festgestellt wird und nachgewiesenermassen die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit wesentlich beeinträchtigt. Weder aus somatischer noch aus psychiatrischer Sicht konnten die Gutachter in casu jedoch mit den Schmerzangaben der Explorandin korrelierende Befunde erheben, welche deren Beschwerdebild hinreichend erklärten. Auf der Grundlage der zur somatoformen Schmerzstörung ergangenen Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 353 ff.), die bezüglich der Folgen von milden Verletzungen der HWS (Schleudertrauma; <ref-ruling>) ebenfalls zur Anwendung gelangt, ist denn auch regelmässig von der Überwindbarkeit der entsprechenden Schmerzproblematik auszugehen.
5.2 Die Vorinstanz hat gestützt auf das Gutachten des ABI vom 26. Oktober 2010 und das neuropsychologische Privatgutachten der Frau Dr. phil. O._ vom 24. Januar 2011 einlässlich dargelegt, dass die Voraussetzungen, deren es bedürfte, um die - nur in Ausnahmefällen anzunehmende - Unzumutbarkeit einer willentlichen Leidensüberwindung und eines Wiedereinstiegs in den Arbeitsprozess zu bejahen (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 281 f. mit Hinweisen), vorliegend nicht gegeben sind, zumal Frau Dr. phil. O._ selber auf noch nicht ausgeschöpfte Behandlungsmöglichkeiten hinweist. Sie hat daher das Vorliegen eines invalidisierenden Gesundheitsschadens und den Anspruch auf berufliche Massnahmen sowie auf eine Invalidenrente verneint.
5.3 In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was den vorinstanzlichen Entscheid als offensichtlich unrichtig oder rechtsverletzend im Sinne von <ref-law> erscheinen liesse. Soweit das kantonale Gericht in antizipierter Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 4b S. 94) von einer Rückweisung zu ergänzenden medizinischen Abklärungen absah, ist dies im Rahmen der bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis ebenfalls nicht zu beanstanden. Bezüglich dem Einwand, die unterschiedliche Behandlung von Menschen, die an einem pathogenetisch-ätiologisch unklaren Beschwerdebild leiden, gegenüber solchen, deren Leiden bildgebend wiedergegeben werden könne, entbehre einer wissenschaftlich bedeutsamen Grundlage und beruhe auf einem diskriminierenden Krankheitsbegriff, ist schliesslich auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu verweisen, welche diese Kritik mehrfach als nicht stichhaltig qualifiziert hat (vgl. SVR 2012 IV Nr. 32 S. 127, 9C_776/2010; Urteil 8C_413/2012 vom 22. August 2012 E. 5 mit Hinweisen).
5.4 Zusammenfassend ist die Beschwerde bezüglich des geltend gemachten Anspruchs auf Leistungen der Invalidenversicherung abzuweisen.
6. Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten werden den Parteien entsprechend dem Verfahrensausgang auferlegt (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid wird insoweit aufgehoben, als darin der Anspruch auf Ersatz der Auslagen für die neuropsychologische Abklärung verneint wird. Die Sache wird zu diesbezüglich neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden zu Fr. 400.- der Beschwerdeführerin und zu Fr. 100.- der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. April 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Kopp Käch