Sachverhalt:
A. X._ führt einen landwirtschaftlichen Betrieb im Kanton Aargau. Seit den Achtzigerjahren mäht er einmal jährlich Streueflächen, welche der Reservatszone der Hallwilerseelandschaft zugeordnet sind und im Eigentum der Gemeinde W._ stehen. Die Streue darf X._ zumeist behalten. Seit 1995 erhält er vom Departement Bau, Verkehr und Umwelt des Kantons Aargau, Abteilung Landschaft und Gewässer, pro gemähte Are Fr. 15.-- als Pflegebeiträge.
Nachdem X._ für das Mähen der Streueflächen in den Jahren 1995 und 1996 zusätzlich Ökobeiträge beantragt und erhalten hatte, forderte das Departement Finanzen und Ressourcen des Kantons Aargau, Abteilung Landwirtschaft, die Ökobeiträge im Betrag von Fr. 8'976.-- am 6. Februar 1998 zurück. Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
In den nachfolgenden Jahren meldete X._ die Streueflächen wiederum zum Bezug von Direktzahlungen an. Von 1998 bis 2005 wurden ihm für das Mähen von jeweils 3.4 Hektaren Beiträge in der Höhe von insgesamt Fr. 68'340.-- ausbezahlt.
B. Mit Verfügung vom 4. Dezember 2008 forderte die Abteilung Landwirtschaft die Beiträge zurück und auferlegte X._ wegen falscher Angaben zudem eine Sanktion von Fr. 8'797.--. Gegen diese Verfügung rekurrierte X._ erfolglos bei der Landwirtschaftlichen Rekurskommission des Kantons Aargau (nachfolgend Rekurskommission). Die gegen deren Urteil vom 28. Oktober 2009 erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 13. Dezember 2011 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 30. Januar 2012 beantragt X._ die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts und der unterinstanzlichen Entscheide.
Die Landwirtschaftliche Rekurskommission des Kantons Aargau und das Eidgenössische Volkswirtschaftsdepartement verzichten auf eine Vernehmlassung. Das Bundesverwaltungsgericht und das Bundesamt für Landwirtschaft schliessen auf Abweisung der Beschwerde, wobei das Bundesamt seine Stellungnahme explizit auf die Frage der Rückforderung der Direktzahlungen beschränkt.
D. Mit Präsidialverfügung vom 27. März 2012 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Entscheid über die Rückerstattung von Direktzahlungen gemäss Art. 171 des Bundesgesetzes vom 29. April 1998 über die Landwirtschaft (Landwirtschaftsgesetz, LwG; SR 910.1) und eine in diesem Zusammenhang auferlegte Sanktion. Es handelt sich um ein Urteil des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, gegen das die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht grundsätzlich zulässig ist (vgl. Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG). Ein gesetzlicher Ausschlussgrund liegt weder hinsichtlich der Rückforderung der Direktzahlungen noch der Auferlegung der Sanktion vor: Da Direktzahlungen Anspruchssubventionen darstellen, ist die Ausnahme gemäss <ref-law> nicht gegeben. Die Beschwerde ist somit zulässig.
Soweit der Beschwerdeführer die erst- und zweitinstanzlichen Entscheide anficht, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Diese Entscheide sind durch das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gelten als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
1.2 Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dabei prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389).
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2. Nach <ref-law> richtet der Bund Bewirtschaftern von bodenbewirtschaftenden bäuerlichen Betrieben unter der Voraussetzung des ökologischen Leistungsnachweises allgemeine Direktzahlungen, Ökobeiträge und Ethobeiträge aus. Die Direktzahlungen umfassen nach Art. 1 Abs. 1 der Verordnung vom 7. Dezember 1998 über die Direktzahlungen an die Landwirtschaft (Direktzahlungsverordnung, DZV; SR 910.13) allgemeine Direktzahlungen, Ökobeiträge und Ethobeiträge. Gemäss Art. 40 Abs. 1 lit. c DZV werden Beiträge für den ökologischen Ausgleich auf der landwirtschaftlichen Nutzfläche für Streueflächen gewährt. Bei den vorliegend zu beurteilenden Beiträgen handelt es sich somit um Ökobeiträge im Sinn von Art. 1 Abs. 3 lit. a DZV, welche dem Beschwerdeführer für das Mähen der Streueflächen in den Jahren 1998 bis 2005 ausgerichtet und mit Verfügung vom 4. Dezember 2008 wieder zurückgefordert worden waren.
2.1 Beitragsberechtigt für Direktzahlungen sind nach Art. 2 Abs. 1 lit a-c DZV Bewirtschafter, welche einen Betrieb führen, ihren zivilrechtlichen Wohnsitz in der Schweiz haben und über eine landwirtschaftliche Ausbildung verfügen. Zu Direktzahlungen berechtigt die landwirtschaftliche Nutzfläche (Art. 4 Abs. 1 DZV, mit vorliegend nicht relevanter Erwähnung ausgenommener Flächen).
2.1.1 Als Bewirtschafter oder Bewirtschafterin gilt gemäss Art. 2 Abs. 1 LBV die natürliche oder juristische Person oder die Personengesellschaft, die einen Betrieb auf eigene Rechnung und Gefahr führt.
2.1.2 Als landwirtschaftliche Nutzfläche gilt nach Art. 14 Abs. 1 der Verordnung vom 7. Dezember 1998 über landwirtschaftliche Begriffe und die Anerkennung von Betriebsformen (Landwirtschaftliche Begriffsverordnung, LBV; SR 910.91) die einem Betrieb zugeordnete, für den Pflanzenbau genutzte Fläche ohne die Sömmerungsfläche, die dem Bewirtschafter ganzjährig zur Verfügung steht. Dazu gehört gemäss Art. 14 Abs. 1 lit. c LBV die Streuefläche. Nach Art. 5 lit. c der Verordnung vom 24. Januar 1996 über Beiträge für besondere Leistungen im Bereiche der Ökologie und der Nutztierhaltung in der Landwirtschaft (Oeko-Beitragsverordnung, OeBV; AS 1996 1007, in Kraft vom 1. Januar 1996 bis 31. Dezember 1998) wurden keine Beiträge ausgerichtet für Flächen, die weder im Eigentum des Bewirtschafters noch von ihm gepachtet sind.
2.2 Nach <ref-law> werden Beiträge ganz oder teilweise zurückgefordert, wenn die Voraussetzungen, unter denen ein Beitrag gewährt wurde, nicht mehr erfüllt sind oder Auflagen oder Bedingungen nicht eingehalten werden (Abs. 1). Zu Unrecht bezogene Beiträge oder Vermögensvorteile sind unabhängig von der Anwendung der Strafbestimmungen zurückzuerstatten oder zu verrechnen (Abs. 2).
3. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil festgehalten, der Beschwerdeführer sei mangels Bewirtschafterstellung nicht berechtigt gewesen, die gemeindeeigenen Streueflächen für Ökobeiträge anzumelden. Der Beschwerdeführer ist demgegenüber der Ansicht, er sei als rechtmässiger Bewirtschafter der fraglichen Flächen anzusehen.
3.1 Nachdem die Flächen, für welche die Beiträge ausgerichtet wurden, unbestrittenerweise weder im Eigentum des Beschwerdeführers standen noch von ihm gepachtet wurden, ergibt sich für das Jahr 1998 ohne Weiteres, dass die Voraussetzungen für die Ausrichtung der Ökobeiträge nicht erfüllt waren (vgl. E. 2.1.2 am Ende).
3.2 Im Folgenden ist zu prüfen, ob die Ökobeiträge auch für die Jahre 1999 bis 2005 zurückgefordert werden durften.
3.2.1 Die Vorinstanz kam zum Schluss, der Beschwerdeführer habe die Grundstücke nicht auf eigene Rechnung und Gefahr bewirtschaftet. Er habe die Flächen lediglich einmal pro Jahr auf Anweisung hin zu mähen gehabt und zudem die - praktisch wertlose - Streue behalten dürfen. Die Vorinstanz liess dabei offen, ob es sich bei der zugrunde liegenden mündlichen Abrede zwischen dem Beschwerdeführer und der Gemeinde W._ um einen Auftrag oder um einen Werkvertrag handelte, und erachtete es als entscheidend, dass nicht von einer unentgeltlichen Gebrauchsüberlassung ausgegangen werden konnte.
3.2.2 Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers und der Vorinstanz spielt es keine Rolle, welches Rechtsverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und der Gemeinde W._ bestanden hat. Für die Beitragsberechtigung wird zwar vorausgesetzt, dass die Bearbeitung oder Nutzung des Grundstücks durch den Bewirtschafter berechtigterweise erfolgt (<ref-ruling> E. 3 und E. 4); dies aber ist vorliegend nicht bestritten.
Für die Frage, ob ein Landwirt als Bewirtschafter im Sinn von Art. 2 Abs. 1 LBV gelten kann, ist nicht die Art des Rechtsverhältnisses zwischen ihm und der Eigentümerin des Grundstücks massgeblich, sondern die Frage, wer das wirtschaftliche Risiko aus der Nutzung trägt. Im vorliegenden Fall hat die Vorinstanz den Beschwerdeführer zu Recht nicht als Bewirtschafter qualifiziert. Insbesondere kann der Beschwerdeführer nichts daraus ableiten, dass er auf einem Plan der Abteilung Landschaft und Gewässer vom 30. August 2006 für die fraglichen Flächen als "Bewirtschafter" eingetragen wurde. Dieser Begriff wird im kantonalen Recht nicht im Sinn von Art. 2 Abs. 1 LBV verwendet. So erwähnt das aargauische Dekret zum Schutze der Hallwilerseelandschaft vom 13. Mai 1986 (SAR 787.350) in § 4 Abs. 3 die "Bewirtschaftung der Streueflächen in den Reservatszonen". Die vorinstanzliche Feststellung, der Begriff des Bewirtschafters sei nicht im Sinn von Art. 2 Abs. 1 LBV verwendet worden, ist aufgrund der gesamten Umstände schlüssig. Die Rüge des Beschwerdeführers, er sei als Bewirtschafter zu qualifizieren, ist demnach unbegründet.
3.2.3 Entscheidend ist vorliegend, dass es sich bei den zu mähenden Flächen nicht um eine landwirtschaftliche Nutzfläche im Sinn von Art. 14 LBV handelt. Nach den schlüssigen Feststellungen der Rekurskommission obliegt die Pflege und der Unterhalt der fraglichen Flächen dem Kanton Aargau. Es ist aktenkundig, dass der Beschwerdeführer vom Departement Bau, Verkehr und Umwelt, Abteilung Landschaft und Gewässer, jährlich benachrichtigt wurde, wann er welche Flächen mähen durfte (vgl. Urteil der Rekurskommission vom 28. Oktober 2009 E. 4.2.2). Daraus ergibt sich, dass diese dem Beschwerdeführer nicht ganzjährig zur Verfügung standen. Die Voraussetzung einer landwirtschaftlichen Nutzfläche im Sinn von Art. 14 Abs. 1 LBV ist daher nicht erfüllt. Aus diesem Grund kann offen bleiben, ob die in der Reservatszone der Hallwilerseelanschaft gelegenen Streueflächen nicht zum vornherein von der landwirtschaftlichen Nutzfläche ausgenommen sind, weil der Pflegecharakter überwiegt (Art. 16 Abs. 2 lit. c LBV in Verbindung mit Art. 16 Abs. 1 lit. a LBV).
3.3 Im Ergebnis hat die Vorinstanz die Schlussfolgerung, wonach dem Beschwerdeführer für das Mähen der Streueflächen in den Jahren 1998 bis 2005 keine Ökobeiträge bzw. Direktzahlungen zugestanden haben, zu Recht bestätigt.
4. Die Vorinstanz stützt die Rückforderung der zu Unrecht ausgerichteten Beiträge auf die Rückerstattungsregelungen im Bundesgesetz vom 5. Oktober 1990 über Finanzhilfen und Abgeltungen (Subventionsgesetz, SuG; SR 616.1).
Der Beschwerdeführer beruft sich seinerseits auf die Richtlinie der Landwirtschaftsdirektorenkonferenz vom 27. Januar 2005 zur Kürzung der Direktzahlungen (Direktzahlungs-Kürzungsrichtlinie), wonach zu viel ausgerichtete Direktzahlungen von maximal drei Jahren zurückgefordert werden könnten. Zudem macht er die Verjährung der Rückzahlungsforderung geltend.
4.1 Das Subventionsgesetz gilt gemäss Art. 2 Abs. 1 SuG für alle im Bundesrecht vorgesehenen Finanzhilfen und Abgeltungen, insbesondere auch für solche in der Landwirtschaft (vgl. zur Anwendbarkeit des SuG betreffend Direktzahlungen in der Landwirtschaft Urteil 2A.48/1997 vom 7. Juli 1997 E. 3a). Ökobeiträge stellen Finanzhilfen im Sinn von Art. 3 Abs. 1 SuG dar. Das dritte Kapitel des Subventionsgesetzes ist gemäss Art. 2 Abs. 2 SuG anwendbar, soweit andere Bundesgesetze oder allgemeinverbindliche Bundesbeschlüsse nichts Abweichendes vorschreiben. Vorliegend sind der im 3. Kapitel enthaltene 3. Abschnitt "Zahlung und Rückforderung von Finanzhilfen und Abgeltungen", der 4. Abschnitt "Verjährung von Ansprüchen und Rechtspflege" sowie der 6. Abschnitt "Strafbestimmungen und verwaltungsrechtliche Sanktionen" auf ihre Anwendbarkeit zu prüfen, wobei gemäss <ref-law> die Artikel 37-39 SuG (Vergehen, Erschleichung eines Vorteils und Strafverfolgung) nicht anwendbar sind.
4.2 Die gesetzliche Grundlage für die Rückforderung der Ökobeiträge ist in <ref-law> zu sehen. Art. 30 SuG ist diesbezüglich nicht anwendbar, da <ref-law> eine abweichende Regelung trifft und als spezielles Recht ohnehin vorgeht.
Im Gegensatz zu dem, was die Vorinstanz und der Beschwerdeführer vorbringen, enthält Art. 70 Abs. 1 lit. a DZV keine Aussage zur Rückforderung unrechtmässig bezogener Beiträge. Für die Rückerstattung ist daher vorliegend auf <ref-law> abzustellen. Gestützt auf diese Bestimmung können alle unrechtmässig bezogenen Beiträge zurückgefordert werden, sofern sie nicht verjährt sind.
4.3 Im Folgenden ist zu prüfen, ob die Rückerstattungsforderung am 4. Dezember 2008 (Datum der Verfügung des Departements Finanzen und Ressourcen, Abteilung Landwirtschaft) verjährt war. In Bezug auf die Verjährung enthält das LwG keine Regelung, so dass die Bestimmungen des SuG zur Verjährung von Rückerstattungsansprüchen heranzuziehen sind. Der Anspruch auf Rückerstattung von Finanzhilfen und Abgeltungen verjährt gemäss Art. 32 Abs. 2 SuG ein Jahr, nachdem die verfügende oder den Vertrag abschliessende Behörde vom Rechtsgrund des Anspruchs Kenntnis erhalten hat, in jedem Fall aber zehn Jahre nach der Entstehung des Anspruchs. Gemäss Art. 33 SuG wird die Verjährung durch jede schriftliche Zahlungsaufforderung unterbrochen.
4.3.1 Der Beginn der einjährigen Frist setzt - wie bei <ref-law>, dem Art. 32 Abs. 2 SuG nachgebildet ist (Botschaft vom 15. Dezember 1986 zu einem Bundesgesetz über Finanzhilfen und Abgeltungen, BBl 1987 I 369 f. Ziff. 236.1) - voraus, dass der Gläubiger seinen Anspruch dem Grundsatz und Umfang nach sicher kennt, so dass er ihn mit Erfolg geltend machen kann (Urteil 2A.553/2002 vom 22. August 2003 E. 4.3 mit zahlreichen Hinweisen). Es genügt nicht, dass der Gläubiger von seinem Anspruch bei Anwendung der nach den Umständen gebotenen Aufmerksamkeit hätte Kenntnis haben können (<ref-ruling> E. 3a S. 57 f.). Angesichts der kurzen Dauer der Verjährungsfrist darf nicht leichthin angenommen werden, der Gläubiger sei über die massgebenden Sachverhaltselemente genügend im Bild gewesen, um den Anspruch durchsetzen zu können (BGE 74 II 30 E. 1a S. 34). Andererseits schiebt auch nicht jede im Einzelnen noch bestehende Unsicherheit über Anspruchselemente den Beginn des Fristenlaufs hinaus (Urteil 2A.553/2002 vom 22. August 2003 E. 4.3).
4.3.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Abteilung Landwirtschaft habe bereits am 8. November 2006 aufgrund der internen Mitteilung der Abteilung Landschaft und Gewässer von einem allfälligen unrechtmässigen Bezug von Direktzahlungen Kenntnis erhalten und aufgrund der EDV-mässigen Erfassung der landwirtschaftlichen Flächen im Kanton Aargau habe ihr zumindest das ungefähre Ausmass der Vermögenseinbussen bekannt sein müssen. Die Vorinstanz führt hierzu aus, anfänglich seien weder die betroffenen Beitragsjahre noch die Fläche hinreichend bekannt gewesen, und die Abteilung Landwirtschaft habe erst bei einer Unterredung vom 20. Februar 2008 das konkrete Ausmass der betroffenen Fläche erfahren. Zuvor sei stets von 300 anstelle von 340 Aren die Rede gewesen. Erst am 20. Februar 2008 sei der Anspruch bekannt gewesen.
4.3.3 Die Abteilung Landwirtschaft teilte dem Beschwerdeführer erstmals mit Schreiben vom 30. November 2006 mit, sie habe aufgrund einer internen Mitteilung von der Ausrichtung der Pflegebeiträge durch die Abteilung Landschaft und Gewässer erfahren. Gleichzeitig ersuchte sie den Beschwerdeführer um eine Stellungnahme bis am 10. Januar 2007. Im Lauf des nachfolgenden Schriftenwechsels erliess die Abteilung Landwirtschaft am 26. November 2007 eine Anzeige der Rückforderung an den Beschwerdeführer hinsichtlich der von 2000 bis 2005 ausbezahlten Ökobeiträge, wobei die Anzahl der Beitragsjahre und die Grösse der Flächen erheblich von den der Verfügung vom 4. Dezember 2008 zugrundeliegenden Daten abwich. Wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat, wurden die Anzahl der betroffenen Beitragsjahre und das korrekte Ausmass der Flächen erst anlässlich der Unterredung am 20. Februar 2008 bekannt. Die Vorinstanz ist somit zu Recht davon ausgegangen, dass die Abteilung Landwirtschaft ab diesem Zeitpunkt Kenntnis des Rückerstattungsanspruchs hatte.
4.3.4 Am 21. Mai 2008 erliess die Abteilung Landwirtschaft einen Vorbescheid in Form einer schriftlichen Mitteilung über die Rückerstattung von Fr. 68'340.--. Es ist zu prüfen, ob darin eine verjährungsunterbrechende Handlung erblickt werden kann.
Das Subventionsgesetz umschreibt den Begriff der schriftlichen Zahlungsaufforderung nicht näher. In der Botschaft wird dazu bloss ausgeführt, die Verjährung solle durch "jede schriftliche Einforderung" unterbrochen werden (BBl 1987 I 416). Im Allgemeinen gilt im öffentlichen Recht jede Handlung als verjährungsunterbrechend, mit der ein Verfahren in der erforderlichen Form vorangetrieben oder mit der eine Forderung auf geeignete Weise beim Schuldner geltend gemacht wird (vgl. dazu Urteile 1A.15/1997 vom 25. August 1997, in: ZBl 99/1998 S. 490 E. 3; 1A.315/1995 vom 10. September 1996, in: ZBl 98/1997 S. 526 E. 2b; ATTILIO GADOLA, Verjährung und Verwirkung im öffentlichen Recht, AJP 1995 S. 47 ff., insb. S. 54, mit zahlreichen Hinweisen; MICHAEL BEUSCH, Der Untergang der Steuerforderung, S. 299 ff.). Es finden sich keinerlei Anhaltspunkte, dass der Gesetzgeber mit dem Subventionsgesetz für die Verjährung von Rückerstattungsansprüchen ein grundlegend strengeres Regime einführen wollte. Vielmehr sollte nach den Erläuterungen in der Botschaft die bisherige Regelung von Art. 105 aLwG weitergeführt werden, laut der die Verjährung "durch jede Einforderungshandlung" unterbrochen wurde (Art. 105 Abs. 2 Satz 1 aLwG; BBl 1987 I 369 f. Ziff. 236.1; erwähntes Urteil 2A.301/1991 vom 26. November 1992 E. 4a). Gewiss begrenzt der Begriff der schriftlichen Zahlungsaufforderung den Kreis der Handlungen mit verjährungsunterbrechender Wirkung. Er ist jedoch in einem weiten, sich an den allgemeinen Regeln orientierenden Sinn auszulegen. Dies erscheint nicht zuletzt auch angesichts der kurzen Verjährungsfrist von einem Jahr gerechtfertigt (vgl. zum Ganzen Urteil 2A.553/2002 vom 22. August 2003 E. 4.7).
Im Vorbescheid vom 21. Mai 2008 wird die Forderung genau beziffert und begründet sowie dem Empfänger eine Frist von 20 Tagen gesetzt, innerhalb derer er Einwände anbringen oder einen rekursfähigen Entscheid verlangen kann. Dieses Schreiben ist daher als schriftliche Zahlungsaufforderung im Sinn von Art. 33 SuG zu betrachten. Die relative Verjährungsfrist, welche am 20. Februar 2008 zu laufen begonnen hat, wurde demnach am 21. Mai 2008 unterbrochen. Damit ist die einjährige Verjährungsfrist im Zeitpunkt der Verfügung vom 4. Dezember 2008 in jedem Fall eingehalten. Dies gilt selbst dann, wenn die Kenntnis der Behörde über den Anspruch bereits am 26. November 2007 angenommen würde, weil auch diesfalls die Verjährung rechtzeitig am 21. Mai 2008 unterbrochen wurde.
4.3.5 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Frage der Verjährung im öffentlichen Recht von Amtes wegen zu berücksichtigen, sofern das Gemeinwesen Gläubiger der Forderung ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 367 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 364; <ref-ruling>; Urteil 2C_724/2010 vom 27. Juli 2011 E. 6, in: StR 66/2011 S. 871).
Der Anspruch auf Rückerstattung einer zu Unrecht geleisteten Direktzahlung stellt einen Bereicherungsanspruch aus nicht verwirklichtem Zuwendungsgrund dar. Die absolute Verjährungsfrist beginnt daher zu laufen, sobald feststeht, dass sich der Zahlungsgrund nicht verwirklicht hat bzw. verwirklichen wird oder nicht mehr verwirklichen kann (<ref-ruling> E. 2a S. 21 f.). Im vorliegenden Fall ist der Rückerstattungsanspruch mit der Auszahlung der jeweiligen Beiträge entstanden, weil von vornherein keine Beitragsberechtigung bestand. Da Art. 33 SuG aufgrund seiner systematischen Stellung sowohl für die relative als auch für die absolute Verjährung gelten muss (vgl. auch <ref-ruling> E. 3e/aa S. 232 f.), wurde die zehnjährige Verjährungsfrist am 21. Mai 2008 unterbrochen (vgl. E. 4.3.4). Somit sind diejenigen Beiträge nicht verjährt, welche nach dem 21. Mai 1998 ausbezahlt wurden.
Aus den Akten geht nicht hervor, dass das Departement Finanzen und Ressourcen, Abteilung Landwirtschaft, in der Zeit bis zum 21. Mai 1998 Beiträge an den Beschwerdeführer ausgerichtet hätte; dies wird auch von ihm selbst nicht geltend gemacht. Es liegen somit keine Anhaltspunkte vor, wonach ein Teil der Rückforderung absolut verjährt wäre.
4.4 Nach dem Gesagten erweist sich die Rüge, die Rückforderung der zu Unrecht ausbezahlten Ökobeiträge sei verjährt, als unbegründet.
5. Es bleibt zu prüfen, ob die Vorinstanz zu Recht den Entscheid geschützt hat, mit welchem dem Beschwerdeführer eine Sanktion von Fr. 8'797.-- auferlegt wurde.
5.1 Die Vorinstanz stützt sich auf die Direktzahlungs-Kürzungsrichtlinie und führt aus, würden innert drei Jahren wiederholt falsche Angaben gemacht, so sei gemäss dieser Richtlinie zusätzlich zur Kürzung der Direktzahlungen eine Sanktion in der dreifachen Höhe der Differenz zwischen den falschen und den korrekten Angaben zu sprechen. Nach Art. 70 Abs. 1 lit. a DZV sei es unerheblich, ob die Falschangaben vorsätzlich oder fahrlässig erfolgten. Selbst wenn das Vorliegen eines Wiederholungsfalles verneint würde, könnte aufgrund des Umfangs der zu viel ausbezahlten Beträge immer noch eine Sanktion in der zweifachen Höhe der Differenz zwischen den falschen und den korrekten Angaben erfolgen und der Beschwerdeführer, welchem für die umstrittenen Streueflächen im Jahr 2005 Fr. 9'180.-- ausbezahlt worden seien, demnach mit Fr. 18'360.-- sanktioniert werden. Indem die Erstinstanz ihn bloss mit Fr. 8'797.-- gebüsst habe, was rund 15 Prozent der Gesamtsumme der ihm für das Beitragsjahr 2005 rechtmässig ausbezahlten Direktzahlungen entspreche, habe sie den Sanktionsrahmen nicht ausgeschöpft.
Der Beschwerdeführer nimmt zu diesen Ausführungen nicht direkt Stellung. Er führt jedoch generell in seiner Beschwerde aus, er habe nie Falschangaben gemacht und habe nie eine Täuschungsabsicht gehegt.
5.2 Gestützt auf <ref-law> sieht Art. 70 Abs. 1 lit. a DZV die Kürzung und Verweigerung von Beiträgen gemäss der Direktzahlungs-Kürzungsrichtlinie vor, wenn der Gesuchsteller vorsätzlich oder fahrlässig falsche Angaben macht. Demgemäss ist gegebenenfalls eine im Vergleich zum Anspruch niedrigere bzw. gar keine Auszahlung vorzunehmen. Der Fall, dass infolge falscher Angaben ein Anspruch auf Direktzahlungen verneint werden muss, ist jedoch in Art. 70 DZV nicht geregelt. Da vorliegend kein Anspruch auf Direktzahlungen besteht, bleibt für eine Kürzung kein Raum. Die auferlegte Sanktion von Fr. 8'797.-- kann sich somit nicht auf eine hinreichende gesetzliche Grundlage stützen. Die Beschwerde ist daher in diesem Punkt gutzuheissen und die Sanktion ist aufzuheben.
6. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts ist insoweit aufzuheben, als damit die Auferlegung der Sanktion von Fr. 8'797.-- bestätigt wurde. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer im Umfang des Unterliegens aufzuerlegen (<ref-law>). Es ist ihm eine reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der angefochtene Entscheid wird insoweit aufgehoben, als damit die Auferlegung der Sanktion von Fr. 8'797.-- bestätigt wurde. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten im Betrag von Fr. 3'000.-- werden im Umfang von Fr. 1'500.- dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, dem Bundesamt für Landwirtschaft und dem Eidgenössischen Volkswirtschaftsdepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. August 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner