Fatti:
Fatti:
A. F._, nato nel 1959, di professione economista, è stato alle dipendenze, in qualità di direttore, della P._ SA dal 1° novembre 2002 al 31 luglio 2003, data per la quale gli è stato disdetto il rapporto di lavoro per forte riduzione dell'attività e sua probabile liquidazione. Dal mese di novembre 2002 al 25 settembre 2003 egli è stato iscritto, in tale funzione e con diritto di firma individuale, a registro di commercio.
L'8 agosto 2003 l'interessato si è annunciato al collocamento alla ricerca di un impiego a tempo pieno come direttore di azienda o contabile. A seguito della cessazione dell'attività da parte della predetta società, F._ è stato da essa riassunto il 20 agosto 2003 per liquidare le ultime pratiche amministrative.
In data 27 agosto 2003 l'Ufficio regionale di collocamento (URC) di Lugano ha sottoposto il caso alla Sezione del lavoro del Cantone Ticino, Ufficio giuridico, esprimendo dubbi a proposito dell'idoneità al collocamento dell'istante dal momento che quest'ultimo, nonostante avesse in precedenza negato di essere "membro di società", risultava essere sempre iscritto quale direttore della P._ SA oltre che membro del consiglio di amministrazione con firma collettiva a due di una certa G._ SA nonché amministratore unico di una T._ SA, entrambe con sedi a L._.
Esperiti i propri accertamenti, la Sezione cantonale del lavoro, mediante decisione del 31 ottobre 2003, ha dichiarato l'interessato idoneo al collocamento a far tempo dall'8 agosto 2003 "considerata la disponibilità dichiarata e non essendoci mai stati interessi preponderanti nelle società sopraccitate". Il provvedimento è stato sostanzialmente confermato l'11 marzo 2004 anche in seguito all'opposizione interposta dal Segretariato di Stato dell'economia (seco), il quale, oltre a contestare la competenza del servizio cantonale ad esprimersi su una questione - a sua mente - inerente al diritto alle indennità di disoccupazione anziché all'idoneità al collocamento, osservava che l'assicurato poteva pretendere le indennità di disoccupazione solo dal 26 settembre 2003, ossia ad avvenuto stralcio dal registro di commercio dell'iscrizione quale direttore di P._ SA.
Dal 29 febbraio 2004 F._ non è più iscritto alla disoccupazione, avendo trovato un nuovo impiego dal 1° marzo 2004.
Dal 29 febbraio 2004 F._ non è più iscritto alla disoccupazione, avendo trovato un nuovo impiego dal 1° marzo 2004.
B. Avverso la decisione amministrativa il seco si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, il quale, dopo avere riconosciuto la competenza della Sezione del lavoro a statuire sulla fattispecie, ha respinto il gravame per pronuncia del 13 dicembre 2004.
B. Avverso la decisione amministrativa il seco si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, il quale, dopo avere riconosciuto la competenza della Sezione del lavoro a statuire sulla fattispecie, ha respinto il gravame per pronuncia del 13 dicembre 2004.
C. Il seco interpone ricorso di diritto amministrativo al Tribunale federale delle assicurazioni, al quale domanda, in accoglimento del gravame, l'annullamento del giudizio di prime cure e la negazione del diritto alle indennità disoccupazione dall'8 agosto 2003 al 25 settembre 2003. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi.
La Sezione cantonale del lavoro ha rinunciato a presentare osservazioni, mentre F._, interpellato in qualità di cointeressato, protestate spese e ripetibili, ha proposto con il patrocinio dell'avv. Gianfranco Barone l'integrale reiezione del ricorso.

Diritto:
Diritto:
1. In ordine, si tratta preliminarmente di esaminare la competenza dell'URC a sottoporre per decisione la questione all'Ufficio giuridico della Sezione del lavoro, rispettivamente di verificare la competenza di quest'ultimo a statuire sulla fattispecie in lite, ritenuto che, in caso negativo, potrebbe realizzarsi un motivo di nullità del provvedimento, rilevabile d'ufficio, che renderebbe superflua la verifica del merito (<ref-ruling> seg., 119 V 314 consid. 3b, 114 V 327 consid. 4b; Häfelin/Müller, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4a ed., pag. 198 seg.).
1.1 Giusta l'<ref-law>, i servizi cantonali, fra le altre cose, oltre a consigliare i disoccupati e ad adoperarsi per collocarli (lett. a), verificano l'idoneità al collocamento dei disoccupati (lett. d). Per l'art. 85b cpv. 1, prima e seconda frase, LADI (nella versione applicabile in concreto, in vigore dal 1° luglio 2003 [<ref-ruling> consid. 3.2]), i Cantoni istituiscono uffici regionali di collocamento e affidano loro compiti del servizio cantonale. Per parte sua, l'<ref-law> dispone che il servizio competente effettua un colloquio di consulenza e di controllo con ogni assicurato almeno una volta al mese e che durante il colloquio esamina l'idoneità e la disponibilità al collocamento dell'assicurato.
1.2 A livello cantonale, il Regolamento della legge sul rilancio dell'occupazione e sul sostegno ai disoccupati (RL/TI 10.1.4.1.1) stabilisce che l'Ufficio di collocamento è competente, per il tramite degli URC, fra le altre cose, per la consulenza e il collocamento dei disoccupati (art. 2a lett. a) e per eseguire le prescrizioni di controllo della LADI (art. 2a lett. d). Giusta l'art. 2c lett. a del predetto Regolamento cantonale, l'Ufficio giuridico della Sezione del lavoro è competente per decidere in merito all'idoneità al collocamento e in genere i casi sottoposti per esame dagli URC ai sensi dell'art. 85 cpv. 1 lett. d LADI. Tali disposizioni cantonali, entrate in vigore il 5 novembre 2003, ossia precedentemente all'emanazione della decisione su opposizione della Sezione del lavoro, risultano applicabili al caso di specie (cfr. la sentenza del 9 marzo 2005 in re S., C 94/04, consid. 4.4).
1.3 In tali condizioni, la procedura seguita dall'URC di Lugano e dall'Ufficio giuridico non si rivela censurabile, la domanda di esame formulata dal primo e la decisione su opposizione del secondo essendo state espressamente circoscritte alla verifica dell'idoneità al collocamento di F._. Nulla muta a tale conclusione la circostanza che il Segretariato ricorrente, soprattutto in sede cantonale, abbia qualificato la vertenza in esame quale lite (principalmente) afferente il diritto all'indennità di disoccupazione - e, in quanto tale, di competenza della preposta cassa di disoccupazione (<ref-law>; riservata tuttavia la facoltà per la Cassa stessa di sottoporre il caso al servizio cantonale per decisione qualora sia dubbio segnatamente se l'assicurato abbia diritto alle prestazioni [<ref-law>]) - per il fatto che l'assicurato in parola avrebbe assunto, anche dopo il suo licenziamento, una posizione analoga a quella di un datore di lavoro.
A prescindere dal fatto che anche l'idoneità al collocamento costituisce comunque un presupposto del diritto all'indennità di disoccupazione (art. 8 lett. f in relazione con l'<ref-law>, nella versione in vigore dal 1° luglio 2003 [<ref-ruling> consid. 1.2; cfr. pure sentenze del 10 gennaio 2005 in re R., C 181/04, consid. 1.2, e del 20 settembre 2004 in re L., C 34/04, consid. 1.2), il cui esame, per espressa volontà del legislatore, è stato demandato al servizio cantonale, va osservato che la questione relativa alla situazione dell'assicurato in una posizione paragonabile a quella di un datore di lavoro, il quale, benché formalmente licenziato da una società, continua a determinare le decisioni del datore di lavoro o a influenzarle in maniera decisiva, può assumere una doppia valenza sia dal profilo materiale che da quello formale della competenza. Essa questione può così da un lato essere di rilievo per valutare l'aspetto della controllabilità e computabilità della perdita di lavoro (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2, 123 V 237 segg. consid. 7b/bb; DLA 2004 no. 24 pag. 262 consid. 2) e in quanto tale sfuggire alla competenza del servizio cantonale giusta l'art. 85 cpv. 1 lett. d LADI. Dall'altro, essa può tuttavia incidere anche sull'idoneità al collocamento dell'assicurato nella misura in cui è suscettibile di restringerne la disponibilità in ragione degli impegni persistenti o delle prospettive di reimpiego (RDAT 1994 I no. 79 pag. 205; DLA 1992 no. 11 pag. 125, 1980 no. 41 pag. 100; cfr. pure le sentenze del 7 giugno 2004 in re C., C 87/02, consid. 5.2 in fine e 6, e del 20 ottobre 2000 in re C., C 26/00, consid. 1, in cui il Tribunale federale delle assicurazioni ha rilevato che "Il lavoratore in posizione professionale analoga a quella di un datore di lavoro non ha in via di massima diritto, ritenuta l'inidoneità al collocamento, a indennità di disoccupazione"; Nussbaumer, Arbeitslosenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], cifra marg. 221; Rubin, Assurance-chômage, Droit fédéral, Survol des mesures de crise cantonales, Procédure, Delémont 2005, pag. 92, secondo il quale, tuttavia, in presenza di un rischio di elusione dell'art. 31 cpv. 3 lett. c LADI, il diritto all'indennità di disoccupazione è escluso senza che si debba ulteriormente esaminare l'idoneità al collocamento). Donde la competenza dell'Ufficio giuridico della Sezione del lavoro quantomeno nella misura in cui, come si avvera in casu (cfr. ad es. il messaggio di posta elettronica del 17 febbraio 2004, inviato dal funzionario della Cassa cantonale disoccupazione, D._, alla Sezione del lavoro confermante l'effettuazione, da parte della Cassa, degli ulteriori accertamenti per la determinazione del diritto alle prestazioni assicurative), ha limitato il suo esame a una verifica dell'idoneità al collocamento.
1.4 Tale conclusione si giustifica infine anche alla luce della più recente giurisprudenza di questa Corte che, come rettamente rilevato dai primi giudici, ha visto il Tribunale federale delle assicurazioni entrare nel merito di una vertenza in cui il servizio cantonale, al quale l'URC aveva sottoposto il caso per verificare l'idoneità al collocamento, aveva respinto il diritto alle indennità dell'assicurato in considerazione della sua posizione paragonabile a quella di un datore di lavoro (SVR 2004 AlV no. 15 pag. 46).
1.4 Tale conclusione si giustifica infine anche alla luce della più recente giurisprudenza di questa Corte che, come rettamente rilevato dai primi giudici, ha visto il Tribunale federale delle assicurazioni entrare nel merito di una vertenza in cui il servizio cantonale, al quale l'URC aveva sottoposto il caso per verificare l'idoneità al collocamento, aveva respinto il diritto alle indennità dell'assicurato in considerazione della sua posizione paragonabile a quella di un datore di lavoro (SVR 2004 AlV no. 15 pag. 46).
2. Oggetto della disamina è pertanto il tema di sapere se F._, limitatamente al periodo contestato dal seco (8 agosto - 25 settembre 2003), poteva, come hanno ritenuto i primi giudici, essere considerato idoneo al collocamento.
2.1 Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, cui si rinvia, l'autorità giudiziaria cantonale ha correttamente esposto le norme legali (art. 8 cpv. 1 lett. f, <ref-law>) disciplinanti la materia, rammentando in particolare come il disoccupato sia da ritenere idoneo al collocamento se è disposto, capace e autorizzato ad accettare un'occupazione adeguata e a partecipare a provvedimenti di reintegrazione (<ref-law>).
2.2 Al giudizio cantonale può quindi essere fatto riferimento pure per quanto concerne l'enunciazione dei principi giurisprudenziali vigenti in materia. Così, i primi giudici hanno pertinentemente rammentato che l'idoneità al collocamento comprende due elementi: da un lato, l'assicurato deve essere in grado di fornire un lavoro - più particolarmente di esercitare un'attività lucrativa salariata - senza essere impedito per ragioni inerenti alla sua persona; dall'altro, egli deve essere disposto ad accettare un'occupazione adeguata ai sensi dell'<ref-law>, ciò che implica non solo la volontà di assumere una simile attività quando l'occasione si presenta, ma pure una disponibilità sufficiente per quanto riguarda il tempo che egli può consacrare ad un impiego offerto e per quel che concerne il numero dei potenziali datori di lavoro (<ref-ruling> consid. 6a, 123 V 216 consid. 3 con riferimento).
2.3 Per quanto riguarda la disponibilità temporale a svolgere attività lavorativa, il Tribunale federale delle assicurazioni ha già sentenziato che un assicurato che per motivi familiari o personali non può o non vuole offrire ad un datore di lavoro tutta la disponibilità normalmente esigibile non può di principio essere considerato idoneo al collocamento. L'idoneità va pertanto ammessa con molto riserbo nel caso in cui, a causa per esempio di altri obblighi o circostanze personali particolari, un assicurato desidera svolgere un'attività lucrativa solo durante determinate ore della giornata o della settimana. Un disoccupato dev'essere infatti considerato inidoneo al collocamento nel caso in cui la scelta dei posti di lavoro è talmente limitata da rendere alquanto incerta la possibilità di trovare un impiego (<ref-ruling> consid. 3, 120 V 388 consid. 3a con riferimenti; cfr. pure DLA 1991 no. 2 pag. 20 consid. 3a, 1977 no. 27 pag. 141). Determinanti sono a tal proposito le prospettive concrete di trovare un'occupazione sul mercato generale del lavoro concernente il richiedente, tenuto conto della situazione congiunturale concreta e di tutte le ulteriori circostanze, in particolare anche del tipo di attività svolta (DLA 1991 no. 3 pag. 24 consid. 3a; cfr. pure sentenza del 7 giugno 2004 in re C., C 87/02, consid. 6.2).
2.4 Secondo giurisprudenza, il lavoratore in posizione professionale analoga a quella di un datore di lavoro non ha in via di massima diritto, ritenuta l'inidoneità al collocamento, a indennità di disoccupazione (cfr. ad es. le sentenze citate del 7 giugno 2004 in re C., consid. 6.3, e del 20 ottobre 2000 in re C., consid. 1). Ciò vale segnatamente quando l'assicurato intende intraprendere un'attività indipendente e se le pratiche per avviare simile attività sono talmente avanzate da impedire in sostanza l'esercizio di ogni altro lavoro (<ref-ruling> consid. 1a e riferimenti; DLA 1993/1994 no. 30 pag. 216 consid. 3b).
Se, per contro, l'interessato può esercitare tale attività al di fuori dell'orario normale di lavoro, egli è da ritenere idoneo al collocamento. Il fatto che l'assicurato cerchi di attuare un'attività indipendente è infatti di per sé conciliabile con l'obbligo di ridurre il danno, se egli intraprende sforzi sufficienti per trovare un impiego. Ciò si avvera segnatamente per quelle attività di natura transitoria, limitate nel tempo, che comportano investimenti minimi (DLA 2002 no. 5 pag. 55 consid. 2b e dottrina citata). Così, il Tribunale federale delle assicurazioni, in una recente sentenza, ha avuto modo di dichiarare idoneo al collocamento un assicurato in relazione all'attività indipendente da lui svolta dopo il suo licenziamento, ritenuto che quest'ultima attività configurava la conclusione (e non già la continuazione) di quella precedente (di direttore) e tendeva, tramite la messa a punto di alcuni progetti già avviati e la vendita di "know how", alla copertura dei debiti contratti con gli investitori (sentenza citata del 7 giugno 2004 in re C.).
2.5 L'autorità giudiziaria cantonale ha infine correttamente evidenziato la distinzione concettuale tra idoneità al collocamento e perdita di lavoro computabile (<ref-law>), rilevando in particolare come l'idoneità al collocamento non sia soggetta a graduazioni e come di conseguenza se anche la disponibilità di un assicurato, dopo avere questi svolto un'attività lucrativa dipendente a tempo pieno, dovesse unicamente conciliarsi con un'occupazione a tempo parziale, l'idoneità al collocamento dell'interessato possa comunque essere ammessa nel quadro di una perdita di lavoro parziale (<ref-ruling> consid. 2, 125 V 59 consid. 6c/aa).
2.5 L'autorità giudiziaria cantonale ha infine correttamente evidenziato la distinzione concettuale tra idoneità al collocamento e perdita di lavoro computabile (<ref-law>), rilevando in particolare come l'idoneità al collocamento non sia soggetta a graduazioni e come di conseguenza se anche la disponibilità di un assicurato, dopo avere questi svolto un'attività lucrativa dipendente a tempo pieno, dovesse unicamente conciliarsi con un'occupazione a tempo parziale, l'idoneità al collocamento dell'interessato possa comunque essere ammessa nel quadro di una perdita di lavoro parziale (<ref-ruling> consid. 2, 125 V 59 consid. 6c/aa).
3. 3.1 Alla luce di quanto precede, il Tribunale federale delle assicurazioni non ravvisa seri motivi per dipartirsi dalla valutazione espressa dalla Sezione del lavoro e dal Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino. Se infatti questa Corte ha ammesso l'idoneità al collocamento nella vertenza appena ricordata al consid. 2.4, tale conclusione può e deve imporsi anche nel caso di specie, ritenuto che F._ - che non è (stato) né socio (fondatore) né azionista della P._ SA o della sua holding e che per il resto ha effettivamente cessato la sua attività di direttore già il 31 luglio 2003 benché il suo stralcio da registro di commercio sia stato richiesto per un disguido a lui non imputabile soltanto il 24 settembre 2003 (cfr. la dichiarazione di stessa data dell'amministratore unico H._; a proposito della prevalenza del momento di uscita effettiva rispetto a quello di pubblicazione nel Foglio ufficiale svizzero di commercio o di cancellazione a registro di commercio cfr. <ref-ruling> nonché DLA 2000 no. 34 pag. 176) -, senza che tale eventualità gli fosse stata ventilata in precedenza, dopo il licenziamento è stato semplicemente riassunto "su chiamata" (previo avviso telefonico) per liquidare le ultime pratiche amministrative della datrice di lavoro che ormai aveva cessato la sua attività. Egli ha di conseguenza limitato il proprio intervento ad alcune ore il mese (8 ore a settembre, 40 ore ad ottobre, 24 ore a novembre con una rimunerazione di fr. 80.- all'ora) e ha annunciato il reddito conseguito quale guadagno intermedio. Tale attività poteva essere considerata di natura transitoria e compatibile con l'assunzione di un'occupazione adeguata a tempo pieno. Questa conclusione è del resto confermata dal fatto che già nel corso del mese di marzo 2004 l'interessato avrebbe reperito un lavoro che gli ha permesso di uscire dalla disoccupazione (cfr. DLA 2000 no. 15 pag. 76 consid. 3).
3.2 Nulla mutano a tale valutazione le allegazioni del Segretariato ricorrente che ha incentrato il proprio ricorso, come già in sede cantonale, sulla natura abusiva delle indennità di disoccupazione richieste, e più precisamente sul fatto che F._, anche dopo il suo licenziamento, avrebbe assunto una posizione analoga a quella di un datore di lavoro presso la P._ SA (cfr. <ref-ruling> consid. 7b/bb con riferimenti).
A tal proposito va comunque ricordato che, conformemente alla giurisprudenza sviluppata in materia di indennità per lavoro ridotto (art. 31 cpv. 3 lett. c LADI), non è ammissibile negare, in modo generico, a impiegati che esercitano mansioni dirigenziali il diritto alle prestazioni per il solo fatto che essi abbiano potere di firma e siano iscritti nel registro di commercio (<ref-ruling>). Piuttosto di attenersi in maniera rigorosa alla posizione formale dell'organo in questione, per giudicare la situazione delle persone non facenti parte del consiglio di amministrazione occorre stabilire l'estensione del potere decisionale in funzione delle circostanze concrete (DLA 2004 no. 22 pag. 198 consid. 3.2).
Ora, in considerazione dell'insieme delle circostanze sopra descritte, il fatto che l'interessato, anche in seguito al suo licenziamento effettivo dalla funzione di direttore, peraltro motivato dalla contrazione dell'attività della società datrice di lavoro, sia stato da essa riassunto in ragione delle conoscenze acquisite nel periodo precedente per portare a termine le ultime pratiche, non è sufficiente per considerare abusiva la sua domanda di prestazioni, la sua situazione differenziandosi in particolare da quella di chi invece, nonostante il proprio licenziamento, viene incaricato di una liquidazione societaria mantenendo una posizione di amministratore unico e di azionista (in questo senso ad es. la sentenza del 14 luglio 2003 in re C, C 83/03; cfr. pure DLA 2002 no. 28 pag. 183). Con l'avvenuto licenziamento per il 31 luglio 2003, F._ ha in altri termini perso quella posizione che in precedenza gli aveva permesso di influenzare in maniera determinante la gestione societaria.
3.3 Con riferimento alla posizione di amministratore rivestita per conto delle altre due società (G._ SA e T._ SA), la Sezione cantonale del lavoro ha infine già avuto modo di rilevare - senza che siano ravvisabili indizi concreti atti a mettere in dubbio tali indicazioni - come tale attività, peraltro già parallelamente svolta quando l'interessato si trovava ancora ad agire quale direttore di P._ SA, non pregiudicasse la sua idoneità al collocamento (su questo tema cfr. pure SVR 2004 AlV no. 15 pag. 46).
3.4 In tali condizioni, la pronuncia cantonale merita di essere tutelata, mentre il ricorso di diritto amministrativo dev'essere disatteso in quanto infondato.
3.4 In tali condizioni, la pronuncia cantonale merita di essere tutelata, mentre il ricorso di diritto amministrativo dev'essere disatteso in quanto infondato.
4. Vertendo sull'assegnazione o il rifiuto di prestazioni assicurative, la presente procedura è gratuita (art. 134 OG). Soccombente in causa, il Segretariato insorgente dovrà versare a F._, assistito da un legale, fr. 2'000.- a titolo di ripetibili (art. 159 OG; SVR 1995 AHV no. 70 pag. 214).

Per questi motivi, il Tribunale federale delle assicurazioni pronuncia:
Per questi motivi, il Tribunale federale delle assicurazioni pronuncia:
1. Il ricorso di diritto amministrativo è respinto.
1. Il ricorso di diritto amministrativo è respinto.
2. Non si percepiscono spese giudiziarie.
2. Non si percepiscono spese giudiziarie.
3. Il seco verserà a F._ la somma di fr. 2'000.- (comprensiva dell'imposta sul valore aggiunto) a titolo di indennità di parte per la procedura federale.
3. Il seco verserà a F._ la somma di fr. 2'000.- (comprensiva dell'imposta sul valore aggiunto) a titolo di indennità di parte per la procedura federale.
4. La presente sentenza sarà intimata alle parti, al Tribunale cantonale delle assicurazioni, Lugano, e a F._.