Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) ist Inhaber mit Einzelunterschrift des seit dem 26. Februar 2001 im Handelsregister eingetragenen Einzelunternehmens Consulting A._ (Einzelunternehmen). Am 28. August 2001 wurde die A._ GmbH (GmbH) in das Handelsregister eingetragen. A._ hielt vom Stammkapital von Fr. 20'000.-- einen Stammanteil von Fr. 19'000.-- und besass als Geschäftsführer Einzelunterschrift. B._ war weiterer Gesellschafter mit einem Stammanteil von Fr. 1'000.--, wirkte jedoch in keiner Art und Weise bei der GmbH mit und hatte keine Zeichnungsberechtigung. Die GmbH verfügte über keine Angestellten. Der Beschwerdeführer gab im kantonalen Verfahren an, die GmbH gegründet zu haben, um grössere Aufträge entgegen zu nehmen. Diese seien dann allerdings durch Unterakkordanten ausgeführt worden. Das Einzelunternehmen habe vor allem Bauleitungen und Beratung betrieben. A._ erstellte sowohl für die GmbH als auch für das Einzelunternehmen Pläne für Innenausbauten oder Möbel, wobei er gemäss der Feststellung der Vorinstanz selber nicht unterschied, ob er für die GmbH oder das Einzelunternehmen arbeitete.
Die X._ AG (Beschwerdegegnerin) hatte im Jahre 2002 im Y._ als Subunternehmerin der GmbH eine Akustikdecke eingebaut. Das Kantonsgericht des Kantons Wallis entschied am 5. Dezember 2006, dass die GmbH der Beschwerdegegnerin für diese Arbeiten Fr. 30'000.-- nebst Zins sowie Fr. 4'160.-- Parteientschädigung und Rückerstattung von Gerichtskosten, insgesamt Fr. 34'610.-- nebst Zins, schulde.
Am 18. April 2007 wurde im Zusammenhang mit dem Betreibungsverfahren für diese Forderung der Konkurs über die GmbH eröffnet. Im Rahmen des Konkurses meldete die Beschwerdegegnerin die obgenannte Forderung an, die kolloziert wurde. In der Folge trat das Konkursamt Brig allfällige Ansprüche aus Verantwortlichkeit nach <ref-law> an die Beschwerdegegnerin ab.
B.
Mit Klage vom 16. Dezember 2008 beantragte die Beschwerdegegnerin dem Bezirksgericht Brig, Östlich-Raron und Goms, der Beschwerdeführer sei zu verpflichten, ihr Fr. 34'610.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 5. Februar 2004 auf dem Betrag von Fr. 30'000.-- und Zins zu 5 % auf dem Betrag von Fr. 4'610.-- seit dem 5. Januar 2007 zu bezahlen. Mit Urteil vom 23. Februar 2011 wies das Bezirksgericht die Klage ab.
Gegen dieses Urteil erhob die Beschwerdegegnerin Berufung an das Kantonsgericht des Kantons Wallis, das die Klage mit Urteil vom 14. Januar 2013 vollumfänglich guthiess.
C.
Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Kantonsgerichts vom 14. Januar 2013 aufzuheben und die Verantwortlichkeitsklage der Beschwerdegegnerin abzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz liess sich vernehmen, ohne einen Antrag zu stellen.
Mit Präsidialverfügung vom 19. April 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Sodann übersteigt der Streitwert (Fr. 34'610.--) die Grenze nach <ref-law>. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinlänglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) - grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.1). Die Begründung der Beschwerde hat in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen. Der blosse Verweis auf Ausführungen in andern Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Eskann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Überdies ist in der Beschwerde darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3).
Mit Blick auf diese Grundsätze kann auf die eigene, frei gehaltene Sachverhaltsdarstellung des Beschwerdeführers in den Ziffern II.1.-4. der Beschwerdeschrift nicht abgestellt werden.
3.
Nach <ref-law> (in der hier noch anwendbaren, bis 31. Dezember 2007 in Kraft gewesenen Fassung) gelten für die Verantwortlichkeit der bei der Gründung der Gesellschaft mitwirkenden oder mit der Geschäftsführung oder der Kontrolle betrauten Personen sowie der Liquidatoren die Bestimmungen des Aktienrechts.
Die Mitglieder des Verwaltungsrates und alle mit der Geschäftsführung oder mit der Liquidation befassten Personen sind sowohl der Gesellschaft als den einzelnen Aktionären und Gesellschaftsgläubigern für den Schaden verantwortlich, den sie durch absichtliche oder fahrlässige Verletzung ihrer Pflichten verursachen (<ref-law>). Die Voraussetzungen einer Haftung aus aktienrechtlicher Verantwortlichkeit sind demnach das Vorliegen eines Schadens, einer Pflichtverletzung, des natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen Schaden und Pflichtverletzung sowie eines Verschuldens (<ref-ruling> E. 4.1, 564 E. 4.2).
Nach <ref-law> müssen die Mitglieder des Verwaltungsrates, sowie Dritte, die mit der Geschäftsführung befasst sind, ihre Aufgaben mit aller Sorgfalt erfüllen und die Interessen der Gesellschaft in guten Treuen wahren. Die gesetzlich normierte Treuepflicht verlangt, dass die Mitglieder des Verwaltungsrates ihr Verhalten am Gesellschaftsinteresse ausrichten. Für die Sorgfalt, die der Verwaltungsrat bei der Führung der Geschäfte der Gesellschaft aufzuwenden hat, gilt ein objektiver Massstab. Die Verwaltungsräte sind zu aller Sorgfalt verpflichtet und nicht nur zur Vorsicht, die sie in eigenen Geschäften anzuwenden pflegen (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3a S. 56). Das Verhalten eines Verwaltungsratsmitglieds wird deshalb mit demjenigen verglichen, das billigerweise von einer abstrakt vorgestellten, ordnungsgemäss handelnden Person in einer vergleichbaren Situation erwartet werden kann (<ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweis).
4.
Nach den Feststellungen der Vorinstanz erhielt der Beschwerdeführer als Inhaber des Einzelunternehmens zwischen dem 9. März 2004 und dem 24. März 2005 (folglich ab Einleitung der Betreibung respektive des Erstprozesses durch die Beschwerdegegnerin gegen die GmbH) den Betrag von Fr. 155'701.25 von der GmbH. Konkret veranlasste der Beschwerdeführer als einzelzeichnungsberechtigter und für den finanziellen Bereich allein zuständiger Gesellschafter und Geschäftsführer der GmbH, dass 13 Beträge von insgesamt Fr. 155'701.25 an das Einzelunternehmen, d.h. an ihn persönlich, überwiesen wurden. Für diese Bezüge hinterlegte der Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren lediglich Rechnungen des Einzelunternehmens an die GmbH. Gemäss diesen stellte das Einzelunternehmen der GmbH in der Zeit von Februar 2004 bis März 2005 insgesamt zwischen 1487 bis 1600 Arbeitsstunden inkl. Spesen in Rechnung. Die Vorinstanz erwog, da keine Arbeitsrapporte, schriftlichen Verträge, Vereinbarungen, Aktennotizen, Offerten oder allenfalls Auftragsbestätigungen existierten und der Beschwerdeführer zudem nicht unterschieden habe, ob er für die GmbH oder die Einzelfirma arbeite, sei eine Überprüfung der Rechtmässigkeit der vom Einzelunternehmen in Rechnung gestellten Beträge unmöglich. Sie befand, durch das "Zwischenschieben" der GmbH und der Fakturierung seiner eigenen Leistungen im Stundenlohn durch das Einzelunternehmen an die GmbH habe der Beschwerdeführer das Geschäftsrisiko einseitig auf die GmbH verschoben, während seine Einzelfirma "ungeniert voll einkassiert" habe.
An anderer Stelle hielt die Vorinstanz fest, den Jahresrechnungen des Einzelunternehmens sei zu entnehmen, dass dieses in den Jahren 2003 und 2004 keinen Erlös aus Innenausbauten deklariert habe, jedoch aus Planung und Beratung Fr. 130'175.-- (2003) resp. Fr. 174'418 (2004). Im Jahre 2005 hingegen habe das Einzelunternehmen einen Erlös aus Innenausbauten von Fr. 15'578.--, aus Beratung und Planung von Fr. 207'223.-- und aus Möbelhandel von Fr. 294'184.-- deklariert. Genau umgekehrt verhalte es sich bei der GmbH. Diese habe im 2004 noch einen Erlös von Fr. 421'972.05 und 2005 nur noch einen solchen von Fr. 6'496.80 erzielt.
Die Vorinstanz erwog, durch das vom Beschwerdeführer praktizierte Vorgehen sei der Konkurs der GmbH über kurz oder lang unausweichlich geworden. Sie schloss, so handle kein verantwortungsbewusster Geschäftsführer einer GmbH. Der Beschwerdeführer habe durch seine Vorgehensweise in gröbster Art gegen die Sorgfalts- und Treuepflicht, die ihm als Geschäftsführer der GmbH oblegen sei, verstossen.
Sodann befand die Vorinstanz, der Beschwerdeführer habe "ungültige Selbstkontraktionen vorgenommen". Denn er habe immer allein entschieden und gleichzeitig als Geschäftsführer der GmbH und als Inhaber der Einzelfirma gehandelt. Die Interessenkollision sei damit vorprogrammiert gewesen. Die entsprechenden Rechtsgeschäfte seien daher allesamt ungültig, und die Bezüge des Einzelunternehmens seien unrechtmässig erfolgt. Ohne die rechtswidrigen Bezüge - so der Schluss der Vorinstanz - hätte die GmbH Aktiven im Umfang von Fr. 155'701.25 mehr gehabt, die es ihr ermöglicht hätten, die Forderung der Beschwerdegegnerin zu begleichen und den eigenen Konkurs zu vermeiden.
5.
Der Beschwerdeführer macht eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts geltend. Er beanstandet die Erwägung der Vorinstanz, wonach "[o]hne die rechtswidrigen Bezüge von A._ die GmbH Aktiven im Umfange von Fr. 155'701.25 mehr gehabt hätte, die es ihr auch ermöglicht hätten, die Forderung der Klägerin vollumfänglich zu begleichen...". Damit - so der Beschwerdeführer - verneine die Vorinstanz, dass das Einzelunternehmen überhaupt verrechenbare Leistungen für die GmbH erbracht habe, was eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung sei. Denn das erstinstanzliche Gericht sei zum Schluss gekommen, dass den Überweisungen ausgewiesene Gegenleistungen des Einzelunternehmens gegenüber stünden.
Auf diese Sachverhaltsrüge kann mangels hinreichender Begründung nicht eingetreten werden (vgl. Erwägung 2.2). Eine offensichtliche Unrichtigkeit der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung kann nicht bloss mit einer anderslautenden Schlussfolgerung der Erstinstanz aufgezeigt werden, zumal das erstinstanzliche Urteil von der Beschwerdegegnerin - erfolgreich - mit Berufung angefochten wurde. Eine andere Begründung dafür, dass die beanstandete Ausführung der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sein soll, liefert der Beschwerdeführer nicht.
Im Übrigen hat die Vorinstanz nicht festgestellt, dass der Beschwerdeführer überhaupt keine Leistungen für die GmbH erbracht hat. Sie erblickte das sorgfaltswidrige Handeln des Beschwerdeführers denn auch nicht im Umstand, Zahlungen ohne jegliche Gegenleistung ausgerichtet zu haben. Vielmehr rügte sie, dass durch das Dazwischenschalten der GmbH das Geschäftsrisiko einseitig auf diese verschoben worden sei, und dass den Bezügen Konditionen zugrunde gelegen hätten, die nur der Einzelfirma zugute gekommen seien und von einem im Interesse der GmbH handelnden Geschäftsführer nicht ausgehandelt worden wären. Zudem sei eine Überprüfung der Rechtmässigkeit der Bezüge mangels entsprechender Unterlagen und mangels Unterscheidung, ob für die Einzelfirma oder die GmbH gearbeitet worden sei, nicht möglich.
6.
Der Beschwerdeführer bestreitet, dass ein unzulässiges Selbstkontrahieren vorgelegen habe. Indem die Vorinstanz von einem solchen ausgegangen sei, habe sie <ref-law> verletzt.
6.1. Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts ist das Kontrahieren eines Vertreters mit sich selbst grundsätzlich unzulässig, weil es regelmässig zu Interessenkollisionen führt und somit vom Gesellschaftszweck nicht erfasst wird. Selbstkontrahieren hat deshalb die Ungültigkeit des betreffenden Rechtsgeschäftes zur Folge, es sei denn, die Gefahr einer Benachteiligung des Vertretenen sei nach der Natur des Geschäftes ausgeschlossen oder der Vertretene habe den Vertreter zum Vertragsschluss mit sich selbst besonders ermächtigt oder das Geschäft nachträglich genehmigt. Die gleichen Regeln gelten auch für die Doppelvertretung zweier Vertragsparteien durch ein und denselben Vertreter sowie die gesetzliche Vertretung juristischer Personen durch deren Organe. Auch in diesen Fällen bedarf es einer besonderen Ermächtigung oder einer nachträglichen Genehmigung durch ein über- oder nebengeordnetes Organ, wenn die Gefahr einer Benachteiligung besteht (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 3a S. 363 mit Hinweisen).
6.2. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, bei den fraglichen Geschäften des Einzelunternehmens mit der GmbH habe keine Gefahr einer Benachteiligung bestanden, da den Überweisungen ausgewiesene Leistungen gegenüber gestanden hätten, die er (der Beschwerdeführer) zuvor für die Auftraggeber der GmbH erbracht habe. Er stützt sich für diese Behauptung wiederum auf Ausführungen im - aufgehobenen - erstinstanzlichen Urteil und auf zusätzliche Sachverhaltselemente, die vorinstanzlich nicht festgestellt sind. Darauf kann nicht abgestellt werden (vgl. Erwägung 2.2). Abgesehen davon verkennt der Beschwerdeführer, dass die Vertretungsmacht des Selbstkontrahierenden bloss dann ausnahmsweise doch besteht, wenn die Gefahr einer Benachteiligung des Vertretenen nach der Natur des Geschäftes ausgeschlossen ist, und nicht bereits aufgrund des Umstandes, dass überhaupt eine Gegenleistung vereinbart wurde oder der für einzelne Arbeiten des Beschwerdeführers verrechnete Stundenansatz angemessen gewesen sein soll. Nun ist aber, wenn - wie vorliegend - ein Gesellschaftsorgan für sich selbst mit der durch ihn vertretenen Gesellschaft ein Rechtsgeschäft abschliesst, regelmässig ein direkter und intensiver Interessenkonflikt gegeben (vgl. dazu PETER BÖCKLI, Schweizer Aktienrecht, 4. Aufl. 2009, S. 1796 Rz. 643). Dass die vom Beschwerdeführer in Personalunion als Geschäftsführer der GmbH einerseits und als Inhaber des Einzelunternehmens andererseits getätigten Geschäfte zwischen der GmbH und dem Einzelunternehmen ausnahmsweise gültig wären, weil ihrer Natur nach die Gefahr einer Benachteiligung der GmbH ausgeschlossen gewesen sein soll, ist daher nicht anzunehmen und macht der Beschwerdeführer auch nicht geltend. Seine Rüge ist mithin unbegründet, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann.
7.
Weiter rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law>. Er ist der Auffassung, es wäre Sache der Beschwerdegegnerin gewesen, zu beweisen, dass das Einzelunternehmen die der GmbH in Rechnung gestellten Dienstleistungen nicht erbracht habe, dass der Stundenansatz von Fr. 95.-- unangemessen sei und generell, dass der Beschwerdeführer durch sein Geschäftsmodell der GmbH einen Schaden zugefügt habe. Diesen Beweis sei die Beschwerdegegnerin schuldig geblieben.
7.1. Es trifft zu, dass der Ansprecher im Verantwortlichkeitsprozess das Vorliegen eines Schadens, einer Pflichtverletzung und des zwischen diesen bestehenden Kausalzusammenhangs zu beweisen hat (vgl. <ref-ruling> E. 2d S. 183 f.). Gemäss dem Urteil der Vorinstanz steht fest, dass der Beschwerdeführer als allein entscheidender Geschäftsführer der GmbH in erheblichem Umfang Beträge an sich selbst als Inhaber des Einzelunternehmens ausbezahlt hat, deren Fehlen schliesslich im Zusammenhang mit der in Betreibung gesetzten Forderung der Beschwerdegegnerin den Konkurs der GmbH bewirkte. Wenn der Beschwerdeführer diese Bezüge mit angeblichen adäquaten Leistungen des Einzelunternehmens für die GmbH rechtfertigen will, obwohl er beim Abschluss der den Bezügen zugrunde liegenden Geschäfte - zufolge Selbstkontrahierens - in einem eklatanten Interessenkonflikt gestanden hat (vgl. Erwägung 6.2), so ist es an ihm, darzutun, dass seine Vorgehensweise dennoch im Gesellschaftsinteresse lag, und damit zu widerlegen, dass er seine Sorgfalts- und Treuepflicht verletzte (vgl. Urteil 4C.155/2002 vom 9. September 2002 E. 2.3).
7.2. Gemäss der Vorinstanz hinterlegte der Beschwerdeführer für die getätigten Bezüge lediglich Rechnungen des Einzelunternehmens an die GmbH, in denen jeweils eine Anzahl Stunden inkl. Spesen aufgeführt war. Da aber keine Arbeitsrapporte, schriftlichen Verträge, Vereinbarungen, Aktennotizen, Offerten oder allenfalls Auftragsbestätigungen existierten und der Beschwerdeführer zudem nicht unterschieden hatte, ob er für die GmbH oder die Einzelfirma arbeitete, war eine Überprüfung der Rechtmässigkeit der vom Einzelunternehmen in Rechnung gestellten Beträge gemäss der Vorinstanz unmöglich. Der Beschwerdeführer widerspricht dem und verweist auf die vier Kisten Geschäftsunterlagen, die er ins Recht gelegt habe und anhand derer eine Überprüfung möglich sein soll. Das Vorbringen ist unbehelflich, da es nicht Sache des Gerichts sein kann, ohne entsprechende konkrete Parteibehauptungen in den vier Kisten Geschäftsunterlagen nach sachdienlichen Tatsachen zu suchen. Vielmehr obliegt es den Parteien, hinreichend substanziierte Tatsachenbehauptungen aufzustellen und mit präzisen Angaben die diesbezüglichen Geschäftsunterlagen als Belege dafür zu bezeichnen. Dass er solches im kantonalen Verfahren getan hätte, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Ohnehin verbliebe auf jeden Fall das vom Beschwerdeführer selbst zu vertretende Hindernis für eine Überprüfung der Rechnungen, dass er nämlich nicht unterschied, ob er für die GmbH oder das Einzelunternehmen arbeitete.
7.3. Der Beschwerdeführer beanstandet die Bemerkung der Vorinstanz, es erstaune dennoch, dass das Einzelunternehmen der GmbH 85 Arbeitsstunden zu Fr. 95.-- in Rechnung gestellt habe für lediglich die Lieferung von 168 Stühlen und 42 Tischen ins Z._ in K._. Die Bemerkung war nicht ausschlaggebend für das Urteilsergebnis, illustriert aber dennoch die Zweifel der Vorinstanz an der Fundiertheit der Rechnungsstellung des Einzelunternehmens. Der Beschwerdeführer versucht sie mit neuen Behauptungen zu rechtfertigen, mit denen er indessen allesamt nicht gehört werden kann (vgl. Erwägung 2.2).
7.4. Sodann hilft es dem Beschwerdeführer nicht weiter, wenn er einmal mehr die erste Instanz zitiert, die den Stundenansatz von Fr. 95.-- als angemessen beurteilt habe. Es ist jedenfalls nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz davon ausging, dass sich der Interessenkonflikt gerade auch bezüglich der Festsetzung des Stundenansatzes im Sinne einer Benachteiligung der GmbH manifestierte.
7.5. Was der Beschwerdeführer unter dem Titel einer Verletzung von <ref-law> vorbringt, ist demnach nicht zielführend. Eine solche Rechtsverletzung ist nicht auszumachen.
Es bleibt daher bei der Beurteilung der Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer mit seiner Vorgehensweise nicht im Interesse der GmbH handelte und seine Sorgfalts- und Treuepflicht als Geschäftsführer der GmbH verletzte.
8.
Schliesslich bestreitet der Beschwerdeführer, dass der Gesellschaft ein Schaden entstanden sei. Er argumentiert, ein solcher könne zum vornherein ausgeschlossen werden, weil das Einzelunternehmen für die bezogenen Vergütungen die entsprechenden Gegenleistungen vorgängig erbracht habe. Ohne die vorausgehenden Dienstleistungen des Einzelunternehmens für die GmbH hätte letztere die Aufträge für die externen Auftraggeber nicht ausführen und in Rechnung stellen können. Es wäre demnach kein Geld auf das Konto der GmbH geflossen, und dieselbe hätte gemäss dem Beschwerdeführer auch nicht über die Aktiven von Fr. 155'701.25 verfügen können. Somit habe auch "die Frage des Selbstkontrahierens [...] keinen Einfluss auf den Vermögensstand der GmbH". Selbst wenn die GmbH den Beschwerdeführer ohne vertragliche Grundlage bezahlt hätte, stünde diesem - wie er selber ausführt - aufgrund der von ihm erbrachten Leistungen gestützt auf <ref-law> ein Anspruch gegen die GmbH zu.
Die Behauptung, die GmbH hätte ohne die vorgängigen Dienstleistungen des Einzelunternehmens die Aufträge für die externen Auftraggeber nicht ausführen und in Rechnung stellen können, ist neu und findet im angefochtenen Urteil keine Stütze. Sie kann daher nicht berücksichtigt werden, ebenso wenig die darauf aufgebaute Argumentation des Beschwerdeführers (<ref-law>). Im Übrigen zeigt diese Verteidigung gerade die vom Beschwerdeführer geschaffene problematische Situation auf, dass er nicht unterschied, ob er für die GmbH oder das Einzelunternehmen arbeitete. Wenn die GmbH die Aufträge mit den Dritten abschloss und die damit einhergehenden Pflichten und Risiken übernahm, hatten ihr grundsätzlich auch die bezahlten Honorare zugute zu kommen.
9.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Wallis, I. zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Mai 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz