Faits:
Faits:
A. A._, né en 1968, de nationalité angolaise, père d'un enfant, est arrivé pour la première fois en Suisse en 1990. Au bénéfice d'un permis de réfugié, il a exercé une activité lucrative en qualité d'aide de cuisine du mois de juin 1991 au mois de septembre 1992, avant de retourner et d'effectuer un bref séjour dans son pays d'origine. Depuis le 31 juillet 1993, il réside en Suisse de façon permanente. Il a occupé divers emplois de courte durée avant de présenter, le 18 décembre 1998, une demande tendant à l'octroi d'une rente de l'assurance-invalidité. A l'appui de sa requête, il alléguait souffrir de schizophrénie et de paranoïa depuis 1996.
Par décision définitive et exécutoire du 30 avril 1998, l'Office fédéral des réfugiés a prononcé le renvoi de A._, en lui impartissant à cet effet un délai échéant le 30 juin 1998. L'Office cantonal des requérants d'asile du canton de Vaud l'a toutefois autorisé à résider dans le canton jusqu'à nouvel avis.
L'Office AI pour le canton de Vaud a requis le point de vue du docteur G._, médecin traitant et alors chef de Clinique chez X._, lequel a diagnostiqué une schizophrénie paranoïde et attesté une incapacité de travail entière depuis le 20 mars 1998 (rapport du 21 juin 1999).
Le 3 avril 2000, le docteur C._, chef de clinique adjoint à l'Hôpital Y._, a communiqué à l'office AI les rapports relatifs à trois hospitalisations accomplies dans cet établissement durant les périodes des 19 au 27 mars, 18 au 30 mai et 17 juin au 1er juillet 1997. Ces rapports indiquaient les diagnostics de troubles mentaux et troubles du comportement liés à l'usage du cannabis, troubles psychotiques avec hallucinations au premier plan, ainsi que troubles mentaux et du comportement liés à l'utilisation de l'alcool.
L'intéressé a séjourné en outre à diverses reprises (du 20 au 31 mars 1998, du 25 au 29 novembre 1999, du 15 au 21 août et du 23 au 27 novembre 2000, du 12 au 13 juin et du 17 au 19 juillet 2001, ainsi que du 9 au 13 août 2001) à l'hôpital Z._.
L'office AI a confié une expertise au docteur S._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 10 juin 2001, ce médecin a posé le diagnostic suivant :
Axe I Troubles mentaux et trouble du comportement liés à l'utilisation d'alcool, de cannabis (autres?) avec troubles psychotiques, hallucinations au 1er plan (DD : schizophrénie paranoïde peu probable)
Abus et dépendance à l'alcool, actuellement en rémission partielle
Abus et dépendance au haschisch
Abus et dépendance à la cocaïne en rémission partielle
Non ou mauvaise observance du traitement
Axe II Personnalité immature à traits histrioniques
Axe III Nihil
Axe IV Difficultés économiques et administratives (Permis F) - renvoi pendant en Angola, situation affective "peu claire".
L'expert a attesté une incapacité de travail de 100 % « éventuellement », par intermittence durant la période du mois de mars 1997 au mois de mars 1998, et une capacité entière après cette période.
Se fondant sur les conclusions de l'expert, l'office AI a rendu une décision, le 16 octobre 2001, par laquelle il a rejeté la demande de prestations, motif pris que l'intéressé ne subissait pas d'atteinte invalidante de nature à diminuer sa capacité de travail dans son activité habituelle.
Se fondant sur les conclusions de l'expert, l'office AI a rendu une décision, le 16 octobre 2001, par laquelle il a rejeté la demande de prestations, motif pris que l'intéressé ne subissait pas d'atteinte invalidante de nature à diminuer sa capacité de travail dans son activité habituelle.
B. A._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud. Celui-ci a confié une expertise au docteur V._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 9 juillet 2003, l'expert a attesté une incapacité de travail entière depuis le mois d'avril 1999 dans toute activité, en raison d'une schizophrénie paranoïde et d'un syndrome de dépendance à des substances psycho-actives multiples (cannabis, cocaïne, alcool), avec utilisation épisodique.
Par jugement du 7 janvier 2004, la juridiction cantonale a annulé la décision attaquée et renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il statue sur le droit de A._ à une rente d'invalidité à partir du 1er avril 2000, en examinant si les conditions d'assurance (durée minimale de cotisation, domicile) étaient réalisées à cette date, compte tenu de la décision de renvoi dont l'intéressé était frappé.
Par jugement du 7 janvier 2004, la juridiction cantonale a annulé la décision attaquée et renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il statue sur le droit de A._ à une rente d'invalidité à partir du 1er avril 2000, en examinant si les conditions d'assurance (durée minimale de cotisation, domicile) étaient réalisées à cette date, compte tenu de la décision de renvoi dont l'intéressé était frappé.
C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation partielle, en demandant au Tribunal fédéral des assurances de constater que l'intéressé présentait déjà une atteinte à la santé invalidante avant son arrivée en Suisse.
L'intimé conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer sur celui-ci.
Par écriture du 13 septembre 2004, l'office AI s'est exprimé sur la réponse de l'intimé.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales du 6 octobre 2000 (LPGA) est entrée en vigueur le 1er janvier 2003, entraînant la modification de nombreuses dispositions légales dans le domaine de l'assurance-invalidité. Cependant, le cas d'espèce reste régi par les dispositions de la LAI en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits (<ref-ruling> consid. 1). En outre, le Tribunal fédéral des assurances apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue (<ref-ruling> consid. 1b).
Pour les mêmes motifs, les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852) ne sont pas non plus applicables.
Pour les mêmes motifs, les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852) ne sont pas non plus applicables.
2. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimé est invalide dans une mesure suffisante pour ouvrir droit à une rente et, le cas échéant, depuis quelle date.
2.1 Selon l'article 28 LAI, l'assuré a droit à une rente s'il est invalide à quarante pour cent au moins (al. 1). Pour l'évaluation de l'invalidité, le revenu du travail que l'invalide pourrait obtenir en exerçant l'activité qu'on peut raisonnablement attendre de lui, après exécution éventuelle de mesures de réadaptation et compte tenu d'une situation équilibrée du marché du travail, est comparé au revenu qu'il aurait pu obtenir s'il n'était pas invalide (al. 2).
Selon l'<ref-law>, l'invalidité est réputée survenue dès qu'elle est, par sa nature et sa gravité, propre à ouvrir droit aux prestations entrant en considération. Ce moment doit être déterminé objectivement, d'après l'état de santé; des facteurs externes fortuits n'ont pas d'importance. Il ne dépend en particulier ni de la date à laquelle une demande a été présentée, ni de celle à partir de laquelle une prestation a été requise, et ne coïncide pas non plus nécessairement avec le moment où l'assuré apprend, pour la première fois, que l'atteinte à sa santé peut ouvrir droit à des prestations d'assurance (<ref-ruling> consid. 3a et les références; VSI 2001 p. 149 consid. 2a).
En ce qui concerne le droit à une rente, la survenance de l'invalidité se situe au moment où celui-ci prend naissance, conformément à l'<ref-law>, soit dès que l'assuré présente une incapacité de gain durable de quarante pour cent au moins (variante I) ou dès qu'il a présenté, en moyenne, une incapacité de travail de quarante pour cent au moins pendant une année sans interruption notable (variante II), mais au plus tôt le premier jour du mois qui suit le dix-huitième anniversaire de l'assuré (<ref-law>; RCC 1984 p. 464 s. consid. 1).
2.2 La juridiction cantonale a jugé que l'invalidité de l'intimé était suffisante pour ouvrir droit à une rente entière à partir du 1er avril 2000, soit à l'expiration d'un délai d'une année à compter de la survenance, au mois d'avril 1999, d'une incapacité de travail complète et durable. Les premiers juges se sont fondés pour cela sur les conclusions du docteur V._, selon lesquelles A._ présente, depuis le mois d'avril 1999, une incapacité de travail entière dans toute activité, en raison d'une schizophrénie paranoïde et d'un syndrome de dépendance à des substances psycho-actives multiples (cannabis, cocaïne, alcool), avec utilisation épisodique (rapport d'expertise judiciaire du 9 juillet 2003). Ce faisant, la juridiction cantonale a écarté l'appréciation du docteur S._ qui avait nié l'existence, depuis le mois de mars 1998, de toute incapacité de travail due à une atteinte à la santé psychique, en indiquant que l'intéressé ne faisait pas tout ce qu'on était en droit d'exiger de lui pour mettre en valeur sa capacité de travail, en particulier s'abstenir de consommer diverses drogues. En effet, les premiers juges ont considéré que le rapport du docteur S._ n'avait pas pleine valeur probante, du moment que l'expert avait omis de prendre en considération diverses périodes d'hospitalisation à l'hôpital Z._, ainsi que les diagnostics posés à ces occasions.
De son côté, l'office recourant ne conteste plus que A._ souffre d'une atteinte à la santé psychique entraînant une incapacité de gain suffisante pour ouvrir droit à une rente d'invalidité. Toutefois, il remet en cause le jugement cantonal en faisant valoir que l'invalidité est survenue avant l'arrivée en Suisse de l'intéressé.
2.3 En l'occurrence, il n'y a pas lieu de revenir sur l'opinion des premiers juges selon laquelle l'atteinte à la santé psychique dont souffre l'intimé entraîne une incapacité de travail entière dans toute activité et, partant, une incapacité de gain suffisante pour ouvrir droit à une rente entière d'invalidité. D'ailleurs, ce point ne fait plus l'objet d'une controverse entre les parties, puisque l'office recourant admet aujourd'hui que l'intéressé présente une atteinte à la santé suffisante pour ouvrir droit à une telle prestation. En effet, selon les conclusions soigneusement motivées du docteur V._, l'existence d'une maladie mentale sous la forme d'une schizophrénie paranoïde empêche l'intimé d'exercer toute activité lucrative. Il est vrai que celui-ci présente également un syndrome de dépendance à des substances psycho-actives multiples (cannabis, cocaïne, alcool), avec utilisation épisodique. Cependant, l'expert a écarté le diagnostic posé lors des premières hospitalisations, qui était celui de troubles mentaux et troubles du comportement liés à l'utilisation d'alcool et de cannabis, avec troubles psychotiques, hallucination, au premier plan. Certes, de son côté, le docteur S._ a indiqué que le diagnostic de schizophrénie paranoïde était peu probable ou cette affection suffisamment compensée pour ne plus entraîner de diminution de la capacité de travail dans des activités peu qualifiées (rapport du 10 juin 2001). Toutefois, comme l'ont constaté les premiers juges, cet avis médical ne tient pas compte de quatre périodes d'hospitalisation à l'hôpital Z._, ni du diagnostic de schizophrénie paranoïde posé à cette occasion.
2.4 Une fois admise l'existence d'une atteinte à la santé psychique entraînant une incapacité de gain entière, il convient de déterminer le moment de la naissance du droit éventuel à une rente d'invalidité.
Le trouble psychique constaté étant indubitablement une affection de nature évolutive (cf. rapport d'expertise du docteur V._ du 9 juillet 2003), il y a lieu d'examiner à quel moment l'intimé a présenté, en moyenne, une incapacité de travail de quarante pour cent au moins pendant une année sans interruption notable (<ref-law>).
Se fondant sur les conclusions du docteur V._ selon lesquelles l'intéressé présente une incapacité de travail entière dans toute activité depuis le mois d'avril 1999, la juridiction cantonale a fixé au 1er avril 2000 la naissance du droit éventuel à une rente d'invalidité. Or, les arguments de l'office recourant tendant à démontrer au contraire que l'invalidité propre à ouvrir droit à une rente est survenue avant l'arrivée en Suisse de l'intéressé ne sont pas de nature à mettre en cause le jugement attaqué. En particulier, ni le fait que la maladie a entraîné une détérioration progressive de la personnalité depuis 1997 ni l'allégation qu'une incapacité de travail sensible est apparue à partir du mois de mars de cette année-là, ne sont de nature à démontrer que la survenance d'une invalidité propre à ouvrir droit à une rente a précédé l'arrivée en Suisse de l'intéressé. Quant au fait que celui-ci a été victime d'une chute suivie d'un traumatisme cranio-cérébral en 1986 et qu'il présentait déjà des troubles psychiques lorsqu'il était domicilié en Angola, il ne permet pas d'inférer que ces troubles ont été à l'origine d'une incapacité de travail et de gain significative avant l'arrivée en Suisse. Enfin, on ne saurait se rallier à l'argument du recourant selon lequel l'affection dont souffre l'intimé l'aurait empêché d'exercer une activité lucrative en Suisse. Sur le vu de l'extrait du compte individuel des cotisations payées par A._, il apparaît en effet que celui-ci, lors de son premier séjour en Suisse, a exercé une activité lucrative de manière ininterrompue du mois de juin 1991 au mois de septembre 1992. Après son retour en Suisse le 31 juillet 1993, l'activité professionnelle a été moins régulière, entrecoupée de périodes de chômage pendant lesquelles l'intéressé a perçu des indemnités. Cette instabilité professionnelle n'est toutefois pas un élément suffisant pour conclure à l'existence d'une incapacité de travail au sens de la LAI en l'absence de documents médicaux attestant d'une incapacité avant les premières hospitalisations en 1997. La situation socio-professionnelle de l'intimé (absence de formation professionnelle, connaissances limitées de la langue française, statut de requérant d'asile) apparaît bien plutôt comme la cause de l'instabilité professionnelle.
Cela étant, il n'y a pas de raison de s'écarter de l'opinion des premiers juges - fondée sur les conclusions de l'expert judiciaire - selon laquelle l'intimé subit une incapacité de travail entière dans toute activité depuis le mois d'avril 1999, de sorte que le droit éventuel à une rente d'invalidité a pris naissance le 1er avril 2000. La juridiction cantonale était dès lors fondée à annuler la décision de refus de prestations du 16 octobre 2001 et - comme les parties n'avaient pas eu l'occasion de se déterminer sur ce point - à renvoyer la cause à l'office AI pour qu'il statue sur le droit de A._ à une rente d'invalidité à partir du 1er avril 2000, en examinant si les conditions d'assurance (durée minimale de cotisation, domicile) étaient réalisées à cette date, compte tenu de la décision de renvoi concernant l'intéressé. Le recours se révèle ainsi mal fondé.
Cela étant, il n'y a pas de raison de s'écarter de l'opinion des premiers juges - fondée sur les conclusions de l'expert judiciaire - selon laquelle l'intimé subit une incapacité de travail entière dans toute activité depuis le mois d'avril 1999, de sorte que le droit éventuel à une rente d'invalidité a pris naissance le 1er avril 2000. La juridiction cantonale était dès lors fondée à annuler la décision de refus de prestations du 16 octobre 2001 et - comme les parties n'avaient pas eu l'occasion de se déterminer sur ce point - à renvoyer la cause à l'office AI pour qu'il statue sur le droit de A._ à une rente d'invalidité à partir du 1er avril 2000, en examinant si les conditions d'assurance (durée minimale de cotisation, domicile) étaient réalisées à cette date, compte tenu de la décision de renvoi concernant l'intéressé. Le recours se révèle ainsi mal fondé.
3. L'intimé, qui obtient gain de cause, est représenté par le professeur B._ et le docteur R._, médecin chef, respectivement chef de clinique adjoint chez X._. Si, à l'instar d'un avocat, ses mandataires sont particulièrement qualifiés pour le représenter, rien n'indique, en revanche, que cette représentation a lieu contre honoraires (cf. consid. 7 non publié de l'arrêt <ref-ruling>, 108 V 271 consid. 2), l'absence de conclusion tendant à l'octroi de dépens permettant plutôt de présumer le contraire. Il n'y a dès lors pas lieu à l'allocation de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice ni accordé de dépens.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice ni accordé de dépens.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 23 mai 2005
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre: Le Greffier: