Sachverhalt:
A. Die 1962 geborene P._ arbeitete seit Januar 1998 als kaufmännische Angestellte bei der Firma S._ AG und war dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 8./22. Februar 2001 liess sie der SUVA melden, sie sei am 28. November 1999 im Fussballstadion in X._ in eine Eisenabschrankung getreten. Dabei habe sie sich am rechten Knie verletzt. Seither leide sie unter immer wieder auftretenden Knieschmerzen. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht, richtete - bei wechselnder Arbeitsunfähigkeit - Taggelder aus und kam für die medizinische Versorgung auf. Diese umfasste unter anderem drei operative Eingriffe durch Dr. med. F._, Chirurgie FMH (arthroskopische Untersuchung mit Debridement der Knorpelstellen am 1. März 2001; Resektion Narbenneurom am 18. Juli 2001; Sekundärnaht am 22. August 2001). Am 4. Juli 2002 nahm Dr. med. T._, Chirurgie FMH, eine erneute Operation vor (Neuromexzision und Venencaping). Die SUVA holte Berichte des Dr. med. M._, Innere Medizin/Rheumatologie FMH, vom 19. August 2002 und des Dr. med. T._ vom 20. September 2002 ein.
Am 26. Juli 2003 teilte die Versicherte der SUVA mit, neuerliche Untersuchungen am rechten Knie hätten die Notwendigkeit eines weiteren chirurgischen Eingriffs ergeben. Dieser fand am 13. August 2003 statt (Arthroskopie und Shaving der Patella, lateraler Retinaculumrelease, Neuromresektion und subfasziale Verlagerung). Der operierende Arzt Dr. med. T._ stellte die Diagnosen eines Neuromrezidivs des Ramus infrapatellaris rechts sowie einer Chondromalazie retropatellär rechts. Die SUVA holte in der Folge verschiedene Berichte des Dr. med. I._, Chirurgie FMH, sowie eine Stellungnahme der Universitätsklinik A._, Orthopädie, vom 14. Januar 2004 ein. Am 1. März 2004 liess sie den Versicherten durch den Kreisarzt Dr. med. O._ untersuchen. Tags darauf teilte die Anstalt der Versicherten mit, sie werde Leistungen in Form von Heilbehandlung und Taggeldern ausrichten. Nach weiteren Abklärungen hielt die SUVA mit Verfügung vom 4. November 2005 sinngemäss fest, das Taggeld für die ab 13. August 2003 ausgewiesene Arbeitsunfähigkeit berechne sich auf der Basis des unmittelbar davor erzielten Lohnes. An dieser Beurteilung wurde - nach einer ärztlichen Abschlussuntersuchung durch den Kreisarzt Dr. med. O._ vom 30. Januar 2006 - mit Einspracheentscheid vom 14. März 2006 festgehalten.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau ab (Entscheid vom 28. Februar 2007, eröffnet am 18. Juni 2007). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens liess die Versicherte unter anderem Schreiben des Dr. med. I._ vom 2. Mai 2006, des Dr. med. C._ vom 16. Mai 2006, des Dr. med. T._ vom 17. Mai 2006 und des Dr. med. M._ vom 18. Mai 2006 einreichen.
C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde führen. Sie stellt das Rechtsbegehren, es sei die SUVA zu verpflichten, das Taggeld basierend auf dem Einkommen der Beschwerdeführerin vor dem Unfall vom 28. November 1998 auszurichten (Fr. 143.95 je Tag, zuzüglich seit 2003 erfolgte gesetzliche Erhöhungen) und die ausstehende Differenz für die Zeit ab 13. August 2003 bis 30. Juni 2006 nachzuzahlen, zuzüglich Verzugszins von 5 % jeweils ab dem 1. des folgenden Monats für die einzelnen monatlichen Taggelder. Eventuell sei die Angelegenheit zu neuem materiellem Entscheid an die Vorinstanz bzw. die SUVA zurückzuweisen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Gegen den vorinstanzlichen Entscheid ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) zulässig. Mit dieser kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht (einschliesslich Verfassungsrecht) und von Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Für eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> bleibt in dieser Konstellation kein Raum. Die Rechtsschrift vom 20. August 2007 ist vollumfänglich als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu behandeln.
2. Streitig und zu prüfen ist der Taggeldanspruch für die ab 13. August 2003 bestehende Arbeitsunfähigkeit und in diesem Rahmen die Höhe des Taggeldes.
2.1 Taggelder und Renten werden nach dem versicherten Verdienst bemessen (<ref-law>). Als versicherter Verdienst für die Bemessung der Taggelder gilt der letzte vor dem Unfall bezogene Lohn (<ref-law>). Gemäss <ref-law> erlässt der Bundesrat Bestimmungen über den versicherten Verdienst in Sonderfällen, namentlich bei langdauernder Taggeldberechtigung (lit. a), Berufskrankheiten (lit. b), Versicherten, die nicht oder noch nicht den berufsüblichen Lohn erhalten (lit. c) sowie Versicherten, die unregelmässig beschäftigt sind (lit. d).
2.2 Auf Verordnungsstufe bestimmt <ref-law>, der versicherte Verdienst entspreche - bis zum Höchstbetrag gemäss <ref-law> - dem nach der Bundesgesetzgebung über die AHV massgebenden Lohn mit bestimmten Abweichungen. Grundlage für die Bemessung der Taggelder bildet der letzte vor dem Unfall bezogene Lohn, einschliesslich noch nicht ausbezahlter Lohnbestandteile, auf die ein Rechtsanspruch besteht (<ref-law>). <ref-law> legt den massgebenden Lohn für das Taggeld in Sonderfällen fest. Gemäss Abs. 8 dieser Bestimmung ist bei Rückfällen der unmittelbar zuvor bezogene Lohn, mindestens aber ein Tagesverdienst von 10 Prozent des Höchstbetrages des versicherten Tagesverdienstes massgebend, ausgenommen bei Rentnern der Sozialversicherung. Die Bestimmung ist gesetzmässig (RKUV 2006 Nr. U 570 S. 74 E. 1.5.1, U 357/04). Die Anwendung von <ref-law> hängt nicht davon ab, ob der vor dem Unfall erzielte Lohn höher war als derjenige unmittelbar vor dem Rückfall oder ob es sich umgekehrt verhält.
2.3 Ein Rückfall wird definiert als das Wiederaufflackern einer vermeintlich geheilten Krankheit, welche zu ärztlicher Behandlung und/oder zu (weiterer) Arbeitsunfähigkeit führt (<ref-ruling> E. 2c S. 296; RKUV 2006 Nr. U 570 S. 74 E. 1.5.2, U 357/04; 2005 Nr. U 557 S. 388 E. 3.2, U 244/04). <ref-law> gelangt zur Anwendung, wenn der (Grund-)Fall zunächst abgeschlossen werden konnte, sei es mit oder ohne Zusprechung einer Rente (RKUV 2006 Nr. U 570 S. 74 E. 1.5.2, U 357/04, mit Hinweis). Der Fallabschluss hat in Form einer Verfügung zu erfolgen, wenn und solange die (weitere) Erbringung erheblicher Leistungen zur Diskussion steht (<ref-ruling> E. 4 S. 417; <ref-law>). Erlässt der Versicherer stattdessen nur ein einfaches Schreiben, erlangt dieses in der Regel jedenfalls dann rechtliche Verbindlichkeit, wenn die versicherte Person nicht innerhalb eines Jahres Einwände erhebt (<ref-ruling>). Standen zu einem bestimmten Zeitpunkt keine Leistungen mehr zur Diskussion, kann ein Rückfall auch vorliegen, ohne dass der versicherten Person mitgeteilt wurde, der Versicherer schliesse den Fall ab und stelle seine Leistungen ein. In dieser Konstellation ist entscheidend, ob zum damaligen Zeitpunkt davon ausgegangen werden konnte, es werde keine Behandlungsbedürftigkeit und/oder Arbeitsunfähigkeit mehr auftreten. Dies ist im Rahmen einer ex-ante-Betrachtung unter Berücksichtigung der konkreten Umstände zu beurteilen. Dabei kommt der Art der Verletzung und dem bisherigen Verlauf eine entscheidende Rolle zu: Lag ein vergleichsweise harmloser Unfall mit günstigem Heilungsverlauf vor, welcher nur während relativ kurzer Zeit einen Anspruch auf Leistungen begründete, wird tendenziell eher von einem stillschweigend erfolgten Abschluss auszugehen sein als nach einem kompliziert verlaufenen Heilungsprozess. So hat das Bundesgericht in einem Fall, in welchem die versicherte Person nach einem Unfall nur während rund eines Monats Leistungen beanspruchte und sich erst mehr als zwei Jahre später wieder beim Unfallversicherer meldete, einen Rückfall angenommen (Urteil U 263/06 vom 23. Juli 2007, E. 4.1). Andererseits ist der Leistungsanspruch unter dem Aspekt des Grundfalls und nicht unter demjenigen eines Rückfalls zu prüfen, wenn die versicherte Person während der leistungsfreien Zeit weiterhin an den nach dem Unfall aufgetretenen Beschwerden gelitten hat (vgl. Urteil U 344/03 vom 9. Dezember 2004, E. 3.3 am Anfang) bzw. wenn Brückensymptome gegeben sind, die das Geschehen über das betreffende Intervall hinweg als Einheit kennzeichnen. Dies setzt nicht zwingend eine durchgängige ärztliche Behandlung voraus (Urteil U 12/06 vom 6. Juni 2006, E. 4.3 und 4.3.2).
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin zog sich am 28. November 1999 eine Kontusion des rechten Knies zu. Da die Beschwerden anhielten, liess Dr. med. C._ schliesslich im Dezember 2000 eine Untersuchung im Röntgeninstitut Baden durchführen. Zudem veranlasste er weitere Behandlungen. Nach dem ersten operativen Eingriff vom 1. März 2001 (arthroskopische Untersuchung mit Debridement der Knorpelstellen) entwickelte sich zunächst ein Kniegelenkserguss, der sich jedoch zurückbildete. Der operierende Arzt Dr. med. F._ attestierte der Patientin ab 31. März 2001 wieder volle Arbeitsfähigkeit. Wegen Verdachts auf ein Narbenneurom musste jedoch am 18. Juli 2001 erneut ein Eingriff vorgenommen werden. Dieser führte zu einer klaffenden offenen Wurde, die am 22. August 2001 mit einer Sekundärnaht versorgt wurde. Ab 12. September 2001 bestand gemäss Bericht des Dr. med. F._ vom 21. September 2001 wieder volle Arbeitsfähigkeit. Der Arzt ging davon aus, die Behandlung im Herbst 2001 abschliessen zu können. Nachdem die Patientin erneut über massive Schmerzen im Kniegelenksbereich geklagt hatte, erfolgte am 3. Dezember 2001 die Überweisung an Dr. med. R._, Orthopädische Chirurgie FMH, und anschliessend an Dr. med. T._. Dieser stellte klinisch ein Neurom des Ramus infrapatellaris des Nervus saphenus rechts mit einem exquisiten Tinelphänomen und Ausstrahlungen nach lateral fest. Weil andere Behandlungsversuche weiterhin erfolglos blieben, nahm Dr. med. T._ am 4. Juli 2002 eine neuerliche Operation vor (Neuromexzision und Venencaping). Die Fadenentfernung erfolgte am 19. Juli 2002. Dr. med. M._ hielt in seinem Bericht vom 19. August 2002 fest, subjektiv sei der Erfolg der Operation durch die Patientin noch nicht beurteilbar wegen der Narbenschmerzen. Objektiv fänden sich reizlose Narbenverhältnisse. Die Wiederaufnahme der Arbeit zu 100 % sei auf 25. Juli 2002 vorgesehen gewesen. Die Unfallbehandlung bei ihm, Dr. med. M._, sei abgeschlossen. Die gegenwärtige Behandlung bestehe im "Abwarten des weiteren Verlaufes". Dr. med. T._ erklärte in einem handschriftlichen Zwischenbericht vom 20. September 2002, seitens des rechten Knies liege ein guter Verlauf vor und der Abschluss sei diesbezüglich am 12. August 2002 erfolgt. Zurzeit laufe eine Abklärung des linken Knies bei Verdacht auf Meniskusganglion. Wie aus diesen ärztlichen Stellungnahmen deutlich wird, betrachtete Dr. med. T._ die Behandlung des rechten Knies am 12. August 2002 aus der Sicht des operierenden Arztes als abgeschlossen. Dr. med. M._ wies jedoch am 19. August 2002 auf fortbestehende Schmerzen hin und erklärte, der weitere Verlauf müsse abgewartet werden. In seinem der Vorinstanz eingereichten Schreiben vom 18. Mai 2006 hält Dr. med. M._ fest, er habe die Behandlung bei sich selbst - er sei nur für die Fadenentfernung zuständig gewesen - als beendet erachtet, nicht jedoch die Unfallbehandlung generell. Laut dem ebenfalls im kantonalen Verfahren aufgelegten Brief des Dr. med. T._ vom 17. Mai 2006 waren die Beschwerden am rechten Knie nach der Neuromoperation vom 4. Juli 2002 für einige Monate deutlich besser; völlige Beschwerdefreiheit wurde jedoch nie erreicht. Entsprechende Nachkontrollen unterblieben zunächst, weil andere gesundheitliche Probleme im Vordergrund standen (Probleme am linken Knie [nach Lage der Akten erfolgte im Herbst 2002 eine Operation]; Hospitalisation aus psychischen Gründen).
3.2 Nach dem Gesagten führte das Ereignis vom 28. November 1999 zu Beschwerden im Bereich des rechten Knies, welche längere Zeit anhielten. Weil die konservativen Behandlungen keinen bleibenden Erfolg zeitigten, wurden im Jahr 2001 drei operative Eingriffe durchgeführt. Trotz positiver Prognose traten die Beschwerden jeweils wieder auf, weshalb schliesslich die Überweisung an Dr. med. T._ erfolgte. Dieser Arzt nahm nach erfolgloser Behandlung mittels Ergotherapie am 4. Juli 2002 eine neuerliche Operation vor. Er beurteilte den Eingriff als erfolgreich. Seinen Aussagen wie auch denjenigen von Dr. med. M._, der die Fadenentfernung vornahm, ist jedoch zu entnehmen, dass eine vollständige Beschwerdefreiheit in der Folge nicht erreicht wurde. Wenn Nachkontrollen unterblieben, hatte dies seinen Grund in anderen gesundheitlichen Problemen, deren Behandlung als vordringlich erschien. Da die SUVA den Fallabschluss lediglich intern vornahm und die Versicherte nicht darüber orientierte, hatte diese keinen Anlass, Einwände zu erheben. Den Schreiben des Dr. med. T._ vom 17. Mai 2006 und des Dr. med. M._ vom 18. Mai 2006 kann die Beweiskraft nicht mit der Begründung abgesprochen werden, sie seien im Hinblick auf die prozessuale Verwendung abgefasst worden. Der von der Rechtsprechung als Entscheidungshilfe bei der Beweiswürdigung anerkannte Grundsatz, wonach den "Aussagen der ersten Stunde" tendenziell grösseres Gewicht beizumessen ist als späteren Angaben, welche durch ein laufendes Verfahren beeinflusst sein können (vgl. RKUV 2004 Nr. U 524 S. 546, U 326/03), gilt für Aussagen Dritter, beispielsweise der behandelnden Ärzte, nicht (Urteil I 814/03 vom 5. April 2004, E. 2.4.2). Unter diesen Umständen ist davon auszugehen, dass die Versicherte auch nach der Operation vom 4. Juli 2002 und dem aus Sicht des operierenden Arztes am 12. August 2002 vorgenommenen Abschluss der Behandlung weiterhin an unfallbedingten Schmerzen im rechten Knie litt. Wird neben dieser ärztlich bestätigten Fortdauer der Beschwerden auch der vorangegangene komplizierte Heilungsverlauf mitberücksichtigt, konnte während des Zeitraums bis zur Geltendmachung weiterer Leistungen im Juli 2003 nicht mit hinreichender Zuverlässigkeit angenommen werden, die Unfallfolgen seien geheilt, wie es die Definition des Rückfalls (E. 2.3 hiervor am Anfang) verlangt. Die Operation vom 13. August 2003 ist daher dem durch das Ereignis vom 28. November 1999 ausgelösten Grundfall zuzuordnen und nicht als Rückfall zu behandeln. Dementsprechend findet <ref-law> keine Anwendung.
4. Da <ref-law> nicht anwendbar ist, berechnet sich das umstrittene Taggeld für die Zeit ab 13. August 2003 nach der allgemeinen Regel von <ref-law>, also auf der Basis des vor dem Unfall vom 28. November 1999 bezogenen Lohns. Die Sache ist an die SUVA zurückzuweisen, damit sie den Taggeldanspruch auf dieser Grundlage neu festlege. In diesem Zusammenhang wird auch über den von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Verzugszins zu befinden sein.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten sind der SUVA als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (<ref-law>). Sie hat der Beschwerdeführerin überdies eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 28. Februar 2007 und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) vom 14. März 2006 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über den Taggeldanspruch ab 13. August 2003 neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2500.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. August 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger