Fatti:
A.
Il 25 ottobre 2012 il Pretore di Lugano ha rigettato in via provvisoria l'opposizione che A._ aveva dichiarato contro il precetto esecutivo xxx dell'Ufficio di Lugano fattogli notificare per fr. 15'000.-- dalla B._SA; il precetto indicava come titolo del credito "accettazione di debito del 20 giugno 2012, C._Sagl". Il 19 novembre 2012 A._ ha promosso un'azione di disconoscimento del debito davanti al medesimo Pretore; in seguito, all'udienza di discussione, ha presentato un'azione di rendiconto in via riconvenzionale. La B._SA si è opposta a entrambe le azioni. Il Pretore ha respinto l'azione di disconoscimento del debito e dichiarato inammissibile quella riconvenzionale con giudizio del 30 aprile 2013.
Il successivo appello dell'attore è stato respinto dalla II Camera civile del Tribunale di appello ticinese con sentenza del 22 luglio 2013.
B.
A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso sussidiario in materia costituzionale del 31 luglio 2013 con il quale chiede, oltre alla concessione dell'effetto sospensivo, l'annullamento della sentenza cantonale e l'accoglimento dell'azione di disconoscimento del debito. La convenuta propone di respingere il ricorso con un breve scritto del 7 agosto 2013. L'autorità cantonale non ha preso posizione.
L'effetto sospensivo è stato disposto in via superprovvisionale.

Diritto:
1.
La contestazione riguarda una causa civile (<ref-law>), il cui valore litigioso è inferiore a fr. 30'000.-- (<ref-law>). È pertanto proponibile il ricorso sussidiario in materia costituzionale, ad esclusione di quello in materia civile (<ref-law>). Esso è ammissibile: è presentato dalla parte soccombente nella sede cantonale (<ref-law>), è tempestivo (art. 100 cpv. 1 e 117 LTF) ed è volto contro una sentenza finale (art. 90 e 117 LTF) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 e 114 LTF).
Anche la breve risposta della convenuta è ammissibile. Durante lo scambio degli scritti l'attore ha messo in dubbio i poteri di rappresentanza della persona che ha firmato l'atto, che non è avvocato (cfr. <ref-law>), ma il suo operato è stato ratificato dall'amministratore unico della società anonima con dichiarazione del 18 settembre 2013.
2.
Per la motivazione del ricorso sussidiario in materia costituzionale l'<ref-law> rimanda all'<ref-law>. Quando è fatta valere la violazione di diritti fondamentali è richiesta una motivazione puntuale e precisa, analoga a quella che l'art. 90 cpv. 1 lett. b OG prescriveva per il ricorso di diritto pubblico. Il ricorso deve indicare in modo chiaro, senza rinvii ad altri atti, i diritti che si pretendono violati e spiegare in cosa consiste la violazione; critiche appellatorie non sono ammesse (<ref-ruling> consid. 1.3.1; 134 Il 244 consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2).
3.
Il Pretore ha stabilito che il riconoscimento del 20 giugno 2012 costituisce valida causa del debito "siccome funzionale alla convenzione fiduciaria sottoscritta a suo tempo tra le parti (doc. 4) " e ha accertato che l'attore non è riuscito a dimostrare che l'atto fosse condizionato a un rendiconto. Il primo giudice non ha preso in considerazione l'esistenza del rapporto di mandato più esteso, sostenuta dall'attore e contestata dalla convenuta, poiché la convenzione prodotta a sostegno di tale tesi (doc. 5) non è stata firmata dalle parti. Il Pretore ha rifiutato alcune prove offerte dall'attore (l'interrogatorio di sé stesso e di un testimone e una perizia).
La sentenza cantonale inizia col riassumere le regole concernenti il ruolo delle parti nell'azione di disconoscimento del debito, in particolare nell'eventualità in cui il creditore si prevale di un riconoscimento nel senso dell'<ref-law>. In tale caso, vi si legge, il debitore ha "l'onere di sostanziare la causa dell'obbligazione" e di provare ch'essa è "nulla (art. 19 e 20 CO), invalidata (<ref-law>), simulata (<ref-law>) o perenta". La Corte cantonale stabilisce in seguito che il Pretore non ha violato il diritto alla prova, poiché quelle offerte, invece di dimostrare che la causa alla base del riconoscimento del 20 giugno 2012 fosse viziata per uno dei suddetti motivi, "si prefiggono di chiarire i contorni del mandato allargato che sarebbe stato conferito dall'attore alla convenuta e la questione del rendiconto". Da ultimo l'autorità cantonale costata che l'attore insiste sul suo diritto al rendiconto senza confrontarsi con le considerazioni di merito del Pretore, ciò che rende le argomentazioni d'appello irricevibili; esse sarebbero comunque inconsistenti perché "sprovviste del benché minimo riscontro istruttorio agli atti".
4.
La tesi centrale del ricorso è che l'autorità cantonale, scostandosi dalla <ref-ruling> consid. 3.2, abbia dimenticato di considerare l'eccezione di inesecuzione del contratto nel "catalogo" dei mezzi difensivi che l'<ref-law> mette a disposizione del debitore. Su di essa si fondano in primo luogo le censure di carattere formale, con le quali l'attore si prevale del diritto di essere sentito garantito dall'<ref-law> Egli sostiene che la Corte ticinese ha violato questa norma per difetto di motivazione, omettendo di spiegare le ragioni per le quali ha escluso che il debitore potesse prevalersi dell'eccezione d'inadempimento. Inoltre, rifiutando di assumere le prove atte a suffragare l'eccezione, nell'errata convinzione che fossero irrilevanti per il giudizio, l'autorità cantonale avrebbe leso anche il diritto alla prova.
4.1. Per l'<ref-law> la motivazione di una decisione va formulata in modo tale da permettere alle parti di impugnarla con cognizione di causa; l'autorità deve permettere loro di capire le ragioni che stanno alla base del giudizio, spiegando almeno brevemente le argomentazioni decisive che l'hanno indotta a decidere in un senso piuttosto che in un altro, senza essere tuttavia tenuta a pronunciarsi in modo esplicito ed esaustivo su tutti gli argomenti proposti dalle parti (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 4.1).
Nelle cause che hanno per oggetto pretese rette dal diritto privato federale il diritto alla prova è disciplinato dall'<ref-law>, ragione per cui una sua violazione va fatta valere prevalendosi di tale norma. Sennonché un'eccezione si impone quando - come nella fattispecie - è unicamente possibile censurare la violazione di diritti costituzionali (<ref-law>) e una violazione dell'<ref-law> non può perciò, contrariamente a quella dell'<ref-law>, essere esaminata liberamente (cfr. con riferimento all'<ref-law> le sentenze 5A_725/2010 del 12 maggio 2011 consid. 3.1, in RNRF 94/2013 pag. 63, e 5A_193/2008 del 13 maggio 2008 consid. 3.1). Il diritto delle parti all'assunzione delle prove proposte in modo proceduralmente corretto è mitigato dalla facoltà del giudice di apprezzarle anticipatamente in modo non arbitrario e di rifiutare quindi quelle non idonee a dimostrare i fatti allegati o a modificare il convincimento scaturito dalle prove già assunte (<ref-ruling> consid. 5.3; <ref-ruling> consid. 3).
4.2. La motivazione della sentenza impugnata, riassunta al consid. 3, illustra con chiarezza le ragioni per le quali l'appello dell'attore è stato respinto o dichiarato irricevibile. L'eccezione di inesecuzione non è menzionata in modo esplicito. È tuttavia evidente ch'essa non è stata trattata perché l'attore la riferiva solo al rapporto contrattuale che la Corte cantonale ha definito il "mandato allargato" (doc. 5), non alla convenzione fiduciaria che entrambe le istanze ticinesi hanno considerato essere la causa del credito (doc. 4). È per coerenza con questa impostazione che non sono state assunte, perché inutili, le prove proposte dall'attore. La sentenza impugnata, come detto (consid. 3), spiega infatti che con esse l'attore si proponeva di chiarire "i contorni del mandato allargato che sarebbe stato conferito dall'attore alla convenuta e la questione del rendiconto". L'attore non impugna per arbitrio questo apprezzamento anticipato.
Le censure di violazione del diritto di essere sentito sono pertanto infondate.
5.
Nel merito l'attore rimprovera all'autorità cantonale di avere applicato arbitrariamente l'<ref-law>, omettendo appunto di considerare l'eccezione d'inesecuzione ch'egli aveva formulato in prima e seconda istanza e che la controparte non aveva contestato.
Anche questa censura è infondata. L'attore ha ragione laddove afferma che la <ref-ruling> stabilisce che nel contesto dell'<ref-law> il debitore può di principio prevalersi di tutte le obiezioni ed eccezioni atte a invalidare la causa del debito, quindi anche dell'eccezione di inesecuzione del contratto (consid. 3.2). È vero anche che la sentenza cantonale non menziona quest'ultimo mezzo di difesa. I giudici ticinesi non avevano però nessuna necessità di soffermarsi su tale aspetto, dal momento che, come detto, l'attore eccepiva l'inesecuzione del "mandato allargato", non del contratto fiduciario posto a fondamento del credito. In altre parole, il richiamo giurisprudenziale contestato è incompleto, ma non ha avuto nessun influsso sul giudizio.
L'attore non propone altre censure in merito; non contesta il rimprovero di non essersi confrontato con le argomentazioni del Pretore, né adduce arbitrio nell'apprezzamento delle prove.
6.
Il ricorso si avvera pertanto infondato. Le spese seguono la soccombenza (<ref-law>). Alla parte convenuta, che non è stata patrocinata da un avvocato, non sono assegnate ripetibili (<ref-ruling> consid. 4).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico del ricorrente. Non si assegnano ripetibili.
3.
Comunicazione alle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.