Sachverhalt:
A. NZZ Online berichtete am 19. Dezember 2003, der ehemalige Stabschef der Nationalen Alarmzentrale solle wegen ungetreuer Amtsführung angeklagt werden. Der Eidgenössische Untersuchungsrichter sei zum Schluss gekommen, dass der Staatsbeamte mit der Auftragsvergabe an eine Firma, deren Verwaltungsrat er gewesen sei, öffentliche Interessen verletzt habe. Finanziell habe er jedoch nicht profitiert.
B. Der ehemalige Stabschef, X._, wendet sich mit Eingabe vom 23. Dezember 2003 an die Anklagekammer des Bundesgerichts und beantragt, es sei festzustellen, dass die Information der Presse durch den Eidgenössischen Untersuchungsrichter rechtswidrig gewesen sei. Gegen diesen sei ein Verfahren wegen Verletzung des Amtsgeheimnisses gemäss <ref-law> zu eröffnen (act. 1).
Der Eidgenössische Untersuchungsrichter beantragt in seiner Vernehmlassung vom 13. Januar 2004, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Eventuell sei sie abzuweisen (act. 4).
Im zweiten Schriftenwechsel halten die Parteien mit Eingaben vom 26. Januar und 10. Februar 2004 an ihren Anträgen fest (act. 7 und 9).

Die Kammer zieht in Erwägung:
1. Soweit der Beschwerdeführer beantragt, es sei gegen den Eidgenössischen Untersuchungsrichter ein Strafverfahren zu eröffnen, ist darauf nicht einzutreten. Dafür ist die Anklagekammer nicht zuständig.
2. Eine Beschwerde an die Anklagekammer gemäss Art. 214 Abs. 1 BStP ist gegen Amtshandlungen (und überdies wegen Säumnis) des Eidgenössischen Untersuchungsrichters zulässig. Es stellt sich die Frage, ob eine Pressemitteilung eine Amtshandlung im Sinne von Art. 214 Abs. 1 BStP darstellt oder nicht.
Das Gesetz spricht nicht von "Untersuchungshandlungen", sondern von "Amtshandlungen" (französisch: opérations; italienisch: operazioni). Dies liesse den Schluss zu, dass Art. 214 Abs. 1 BStP weit auszulegen und auf die Beschwerde gegen eine Pressemitteilung deshalb einzutreten sein könnte. In den Verhandlungen der Expertenkommission für die Bundesstrafprozessreform 1926/1927 wurde denn auch ausgeführt, dass "alles, was der Untersuchungsrichter tut oder unterlässt", mit einer Beschwerde an die Anklagekammer angefochten werden könne (Peter Bösch, Die Anklagekammer des Schweizerischen Bundesgerichts (Aufgaben und Verfahren), Zürcher Dissertation 1978, S. 74 mit Hinweis).
Andererseits spricht jedoch einiges dafür, Art. 214 Abs. 1 BStP restriktiver auszulegen und die Zulässigkeit einer Beschwerde gegen eine Pressemitteilung des Untersuchungsrichters zu verneinen. Der Untersuchungsrichter verweist zur Begründung seines Antrags auf Nichteintreten zunächst zu Recht darauf, dass es sich bei einer Pressemitteilung nicht um eine Verfügung handle (act. 4 S. 2). Art. 214 Abs. 2 BStP spricht jedoch ausdrücklich davon, dass zur Beschwerde nach Abs. 1 legitimiert sei, wer durch eine "Verfügung" einen Nachteil erlitten habe. Der Gesetzgeber versteht unter Amtshandlungen Akte, welche die Strafuntersuchung vorantreiben und auf diese Weise die Rechtsstellung des Beschuldigten berühren. Pressemitteilungen gehören nicht dazu. Im Übrigen kann sich der Beschuldigte gegen den Untersuchungsrichter, der Pressemitteilungen abgibt, auf zivil- und strafrechtlichem Weg zur Wehr setzen. Der Untersuchungsrichter kann sich der Verletzung des Amtsgeheimnisses oder einer Ehrverletzung strafbar gemacht haben; allenfalls besteht für den Betroffenen ein Anspruch auf Berichtigung oder Genugtuung (vgl. Niklaus Schmid, in: Donatsch/Schmid, Kommentar zur Strafprozessordnung des Kantons Zürich, Loseblattsammlung, Zürich 1996, § 34 N 19). Es ist denn auch zu berücksichtigen, dass sich bei der Prüfung der Rechtmässigkeit einer Pressemitteilung schwierige Tat- und Rechtsfragen stellen können, für deren Beurteilung das beförderlich zu behandelnde und deshalb eher summarische Beschwerdeverfahren gemäss Art. 214 BStP ungeeignet ist.
Gesamthaft gesehen sind Pressemitteilungen eines Eidgenössischen Untersuchungsrichters mit Beschwerde gemäss Art. 214 BStP nicht anfechtbar. Art. 13 EMRK steht dieser Auffassung nicht entgegen. Soweit die Möglichkeit besteht, sich gegen allfällige Grundrechtsverletzungen durch Pressemitteilungen auch auf andere Weise als allein mittels Aufsichtsbeschwerde zur Wehr zu setzen, erfordert die Garantie eines wirksamen Rechtsschutzes nicht, zusätzlich eine Beschwerde an ein unabhängiges Gericht zuzulassen (vgl. <ref-ruling> E. 1b). Wie bereits gesagt, stehen einem Betroffenen in der Schweiz hinreichende zivil- und strafrechtliche Möglichkeiten zur Verfügung, um sich gegen eine seiner Ansicht nach rechtswidrige Pressemitteilung zu wehren.
Aus den genannten Gründen ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3. Die Anklagekammer entscheidet nicht nur über Beschwerden im Sinne von Art. 214 BStP, sondern übt überdies die allgemeine Aufsicht über die Voruntersuchung aus (Art. 11 BStP). Soweit keine beschwerdefähigen Amtshandlungen - sondern z.B. Pressemitteilungen - zur Diskussion stehen, kann die Anklagekammer somit nötigenfalls aufsichtsrechtlich einschreiten. Die Aufsichtsbeschwerde stellt allerdings kein Rechtsmittel dar (vgl. Robert Hauser/Erhard Schweri, Schweizerisches Strafprozessrecht, 5. Auflage, Basel 2002, § 94 N 6), weshalb die Rechtssuchenden keinen Anspruch darauf haben, dass sich die Aufsichtsbehörde mit der ihr unterbreiteten Angelegenheit befasst (<ref-ruling> E. 1b/bb). Im vorliegenden Fall gibt die vom Beschwerdeführer erhobene Kritik, er sei durch die Mitteilung in der Presse "überrumpelt" worden, der Anklagekammer Anlass, Folgendes anzumerken: Der leitende Untersuchungsrichter hat am 11. Juni 2002 über das Problem der "Medienorientierungen" ein ausführliches Vademecum erstellt. Darin hat er sich unter anderem auch zu der vom Beschwerdeführer aufgeworfenen Frage geäussert, ob der Betroffene vorgängig über eine Pressemitteilung informiert werden sollte oder nicht. Der leitende Untersuchungsrichter hat in dem Vademecum ausdrücklich festgehalten, eine schriftliche Medienorientierung sei nach Möglichkeit vorgängig den Parteien zur Stellungnahme zuzustellen, wobei ein Anspruch auf Berücksichtigung der Stellungnahme allerdings nicht bestehe. Dadurch kann verhindert werden, dass der Betroffene durch die Mitteilung in der Presse "überrumpelt" wird (ebenso Repertorio di giurisprudenza patria 128/1995 S. 297 Nr. 91). Es ist zwar unbekannt, aus welchem Grund dieses Vorgehen im vorliegenden Fall nicht gewählt worden ist. Aber immerhin liegen klare interne Richtlinien vor, auf deren Einhaltung inskünftig - auch vom leitenden Untersuchungsrichter - zu achten sein wird. Es besteht unter diesen Umständen kein Anlass für aufsichtsrechtliche Massnahmen.
4. Da nicht gesagt werden kann, der Beschwerdeführer habe das Rechtsmittel leichtfertig erhoben, ist in Anwendung von Art. 219 Abs. 3 BStP auf eine Kostenauflage zu verzichten.

Demnach erkennt die Kammer:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Eidg. Untersuchungsrichteramt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. März 2004
Im Namen der Anklagekammer
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: