Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen führt seit 2006 ein Strafverfahren gegen Rechtsanwalt Dr. X._. Am 16. Oktober 2012 erhielt sie von dessen ehemaligem Chauffeur, Z._, auf elektronischem Weg verschiedene Daten. Am 1. März 2013 reichte X._ Strafanzeige gegen Z._ ein. Dabei warf er auch Staatsanwalt Y._, der das Verfahren gegen ihn führt, strafbares Verhalten vor. Es sei zu prüfen, ob Y._ zum einen Z._ dazu angestiftet habe, das Berufsgeheimnis zu verletzen, und zum anderen das Amtsgeheimnis verletzt habe.
B.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen überwies die Strafanzeige an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen, damit diese über die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen Y._ entscheide. Die Anklagekammer gab dem Untersuchungsamt St. Gallen und Y._ Gelegenheit zur Stellungnahme. Davon machte Y._ mit Eingabe vom 15. März 2013 Gebrauch. Am 10. April 2013 entschied die Anklagekammer, die Ermächtigung werde nicht erteilt.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._, es sei der Entscheid der Anklagekammer aufzuheben und die Ermächtigung zur Durchführung eines Strafverfahrens gegen Y._ zu erteilen; eventuell sei der Entscheid der Anklagekammer aufzuheben und die Sache an diese zurückzuweisen.
Y._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Anklagekammer und das Untersuchungsamt verzichten auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 3. September 2013 nimmt X._ nochmals Stellung.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272), gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht nach Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG grundsätzlich zulässig ist. Eine Ausnahme von der Zulässigkeit der Beschwerde nach <ref-law> besteht nicht, zumal <ref-law>, wonach Entscheide über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von Behördenmitgliedern oder von Bundespersonal von der Beschwerdemöglichkeit ausgenommen sind, nur auf die obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden anwendbar ist (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f. mit Hinweis). Die übrigen Voraussetzungen für das Eintreten auf die Beschwerde sind ebenfalls erfüllt.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
3.
3.1. Gemäss <ref-law> können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt. Diese Bestimmung bietet den Kantonen die Möglichkeit, die Strafverfolgung sämtlicher Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden von einer Ermächtigung abhängig zu machen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 275).
Im Kanton St. Gallen besteht eine solche Ermächtigungsregelung für die Eröffnung von Strafverfahren gegen Behördemitglieder oder Mitarbeitende des Kantons und der Gemeinden. Davon ausgenommen sind Widerhandlungen gegen die Vorschriften über den Strassenverkehr. Zuständig für den Entscheid ist - vorbehältlich der hier nicht gegebenen Zuständigkeit des Kantonsrates - die Anklagekammer (Art. 17 Abs. 2 lit. b Satz des Einführungsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 3. August 2010 zur Schweizerischen Straf- und Jugendstrafprozessordnung; Urteil 1C_339/2012 vom 16. Januar 2013 E. 1.1).
3.2. Das Ermächtigungserfordernis soll Behördenmitglieder vor mutwilliger Strafverfolgung schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherstellen. Dabei darf vorausgesetzt werden, dass eine Kompetenzüberschreitung oder ein gemessen an den Amtspflichten missbräuchliches Verhalten oder ein sonstiges Verhalten, das strafrechtliche Konsequenzen zu zeitigen vermag, in minimaler Weise glaubhaft erscheint, mithin genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 277 und E. 2.7.2 S. 279 f.; Urteil 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 3.1).
4.
Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, es seien keine konkreten Anhaltspunkte dafür gegeben, dass sich der Beschwerdegegner der versuchten Anstiftung zur Verletzung des Berufsgeheimnisses und/oder der Verletzung des Amtsgeheimnisses strafbar gemacht haben könnte. Nur vage Hinweise auf ein möglicherweise strafbares Verhalten ohne konkrete Verdachtsmomente vermöchten die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung nicht zu rechtfertigen. Die Voraussetzungen für die Erteilung der Ermächtigung seien daher nicht gegeben.
5.
Der Beschwerdeführer macht geltend, der vorinstanzliche Entscheid sei ungenügend begründet, was eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör nach <ref-law> darstelle.
Die - ihrer formellen Natur wegen vorab zu behandelnde - Rüge ist nicht berechtigt. Die Vorinstanz hat hinsichtlich beider zur Diskussion stehenden Straftatbestände hinreichend klar und ausführlich dargelegt, weshalb sie einen Tatverdacht, der die Ermächtigung zur Strafuntersuchung zu begründen vermöchte, verneint. Dass sie dabei nicht sämtliche Vorbringen des Beschwerdeführers ausdrücklich behandelt, sondern sich auf die nach ihrer Beurteilung entscheidrelevanten Gesichtspunkte beschränkt hat, verletzt den Gehörsanspruch nicht.
6.
Der Anstiftung zur Verletzung des Berufsgeheimnisses macht sich grundsätzlich schuldig, wer den Träger eines Berufsgeheimnisses vorsätzlich dazu bestimmt, dieses zu verletzen (vgl. Art. 24 in Verbindung mit <ref-law>).
6.1. Als (allfällige) Verletzung des Berufsgeheimnisses steht die Herausgabe von Daten durch Z._ an die Staatsanwaltschaft zur Diskussion.
Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, der Sachverhalt, den Z._ dem Beschwerdegegner übermittelt habe, stehe offenbar (zumindest weitgehend) im Zusammenhang mit der gegen den Beschwerdeführer hängigen Strafuntersuchung. Der Beschwerdegegner sei deshalb grundsätzlich verpflichtet und gesetzlich auch berechtigt, hierüber Untersuchungen vorzunehmen. Aufgrund der Vorbringen des Anzeigers, der Beilagen dazu sowie der Stellungnahme des Beschwerdegegners seien konkrete Verdachtsmomente dafür zu verneinen, dass sich dieser wegen Anstiftung zur Verletzung des Berufsgeheimnisses strafbar gemacht haben könnte.
6.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, das kantonale Gericht hätte keine Beweiswürdigung vornehmen dürfen. Es ist indessen zulässig, ja geboten, die vorhandenen Beweise zu den für das Ermächtigungsverfahren massgeblichen Fragestellungen zu würdigen. Der Vorinstanz kann zudem nicht vorgeworfen werden, sie habe hiebei der eigentlichen Strafuntersuchung vorgegriffen. Vielmehr hat sie sich auf die ihr zustehende Beurteilung, ob ein die Ermächtigung rechtfertigender minimaler Tatverdacht vorliegt, beschränkt. Sie hat hiebei auch nicht etwa einzig auf die Angaben des Beschwerdegegners abgestellt. Der diesbezüglich erhobene Vorwurf geht daher ebenfalls fehl. Das gilt erst recht, soweit Willkür gerügt wird. Dem Beschwerdeführer kann auch nicht gefolgt werden, soweit er zumindest sinngemäss geltend macht, der Beschwerdegegner hätte mittels Unterlagen klar und eindeutig nachweisen müssen, dass kein Tatverdacht bestehe. Das verstiesse denn auch klar gegen die Unschuldsvermutung.
6.3. Unter Berufung auf drei E-Mails vom 16. und 23. Oktober sowie 18. Dezember 2012 wird vorgebracht, der Beschwerdegegner habe sich mehr als seltsam verhalten. Der Beschwerdeführer will damit offenbar dessen Amtsausübung in dieser Sache allgemein in Frage stellen. Aus den E-Mails ergeben sich indessen keine Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten des Beschwerdegegners. Der Beschwerdeführer äussert denn auch lediglich Vermutungen. Ein Tatverdacht lässt sich damit nicht begründen. Gleiches gilt, soweit der Beschwerdeführer die - von der Vorinstanz angenommene - Anonymität eines Telefonanrufs in Frage stellt und mutmasst, der Beschwerdegegner habe ab Ende 2011 um Identität und berufliche Funktion von Z._ gewusst. Hinweise auf ein strafbares Verhalten des Beschwerdegegners ergeben sich auch nicht aus den Ausführungen des Beschwerdeführers zu möglichen weiteren Gesprächen und zu allfälligen Absichten von Z._ sowie zur Berichterstattung in der Presse. Sodann vermögen entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung die E-Mails von Oktober und Dezember 2012 nicht den Verdacht zu begründen, der Beschwerdeführer habe eine Anstiftung zur Verletzung des Berufsgeheimnisses versucht und wolle dies nun verheimlichen.
6.4. Der Beschwerdeführer bezieht sich im Weiteren auf die vorinstanzliche Erwägung zu einer von ihm als wesentlich erachteten E-Mail vom 10. Februar 2012. Diese hatte Z._ an eine Drittperson gesendet. Das kantonale Gericht hat hiezu erkannt, nebst anderem spreche auch der Zeitraum von acht Monaten zwischen der E-Mail und der Einreichung der Unterlagen im Oktober 2012 dagegen, dass der Beschwerdegegner zu letzterem angestiftet habe. Der Beschwerdeführer äussert hiezu letztinstanzlich nur Mutmassungen, welche keinen Verdacht auf strafbares Verhalten zu begründen vermögen. Das gilt namentlich auch, soweit er vorbringt, die E-Mail vom 10. Februar 2012 deute darauf hin, dass der Beschwerdegegner damals versucht haben könnte, Z._ zu einer Verletzung des Berufsgeheimnisses anzustiften.
6.5. Geltend gemacht wird schliesslich, der Beschwerdegegner habe Z._ per E-Mail Straffreiheit zugesichert. Die entsprechende E-Mail datiert indessen vom 18. Dezember 2012. Sie vermag schon deshalb nicht einen Verdacht zu begründen, der Beschwerdegegner habe zu der bereits im Oktober 2012 erfolgten Datenübergabe angestiftet. Entsprechendes ergibt sich im Übrigen auch nicht aus dem Inhalt der E-Mail.
6.6. Es bestehen demnach keine auch nur minimalen Hinweise für ein strafbares Verhalten des Beschwerdegegners. Vielmehr deutet alles darauf hin, dass Z._ die Daten aus eigenem Antrieb, und ohne vom Beschwerdegegner dazu bestimmt worden zu sein, der Staatsanwaltschaft zugestellt hat.
7.
Das Amtsgeheimnis verletzt grundsätzlich, wer ein Geheimnis offenbart, das ihm in seiner Eigenschaft als Mitglied einer Behörde oder als Beamter anvertraut worden ist, oder das er in seiner amtlichen oder dienstlichen Stellung wahrgenommen hat (vgl. <ref-law>).
7.1. In der Strafanzeige vom 1. März 2013 wurde hiezu auf eine E-Mail verwiesen, welche Z._ dem Beschwerdeführer am 16. Oktober 2012 gesendet hat. Es wurde geltend gemacht, gemäss dieser E-Mail habe der Beschwerdegegner gleichentags mit Z._ gesprochen und ihm hiebei Auskunft über das gegen den Beschwerdeführer laufende Strafverfahren erteilt.
7.2. Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, die E-Mail vermöge für sich allein keinen Tatverdacht für eine Amtsgeheimnisverletzung zu begründen. Dagegen spreche insbesondere die vom Beschwerdegegner gleichentags über das Gespräch verfasste Aktennotiz. Zudem sei vom Beschwerdegegner glaubhaft dargelegt worden, dass Z._ den Namen der in der E-Mail erwähnten Drittperson in das Gespräch eingebracht habe und er, der Beschwerdegegner, hierauf keine dem Amtsgeheimnis unterliegenden Gesichtspunkte offenbart habe. Berücksichtigt werden könne überdies, dass im Zusammenhang mit dem gegen den Beschwerdeführer hängigen Strafverfahren im November 2011 öffentlich vor einem Kreisgericht verhandelt worden sei. Zudem sei in den Jahren 2011 und 2012 verschiedentlich in der Presse über den der Strafuntersuchung zugrunde liegenden Sachverhalt berichtet worden.
7.3. Der Beschwerdeführer wendet im Wesentlichen ein, was ein angezeigter Staatsanwalt in der Vernehmlassung darlege, könne nicht massgeblich sein. Ein hinreichender Tatverdacht müsse sich aus den in der Anzeige vorgebrachten Umstände und den vorgelegten Aktenstücken ergeben. Nur wenn der Angezeigte unmissverständlich darlegen oder gar belegen könne, dass die Anzeige unzutreffend sei, könne unter Umständen von einem mangelnden hinreichenden Tatverdacht ausgegangen werden. Das sei hier nicht der Fall. Auch eine Aktennotiz des Beschwerdegegners über ein Telefongespräch sei nicht relevant, könne doch davon ausgegangen werden, dass ein Staatsanwalt, sofern er sich strafbar verhalten habe, dies nicht in einer Aktennotiz kundig machen würde. Auch bei einem Staatsanwalt dürfe davon ausgegangen werden, dass er sich nicht selber belaste. Hinzu komme, dass der Beschwerdegegner gemäss der E-Mail weitere Angaben zum Verfahren gemacht habe.
Auch bei diesen Einwänden geht der Beschwerdeführer mithin davon aus, der Angezeigte habe das Fehlen jeglichen Tatverdachts und damit seine Unschuld zu beweisen. Das ist wie bereits erwähnt nicht zulässig. Es gilt vielmehr aufgrund der bekannten Umstände zu prüfen, ob ein hinreichender Tatverdacht gegeben ist. Dies hat das kantonale Gericht in nicht zu beanstandender Weise verneint. Die Würdigung der Aktennotiz überzeugt, zumal letzterer echtzeitlicher Charakter zukommt. Aber auch die E-Mail vom 16. Oktober 2012 selber ist nicht geeignet, einen Tatverdacht zu begründen. Sie enthält Ausführungen, mit welchen Z._ offensichtlich den Beschwerdeführer zu beeindrucken, allenfalls auch zu beeinflussen versuchte. Diese Ausführungen sind in weiten Teilen recht mehrdeutig und betreffen zudem eher allgemeine Gesichtspunkte des Verfahrens. Das gilt auch für die vom Beschwerdeführer hervorgehobenen Aussagen. Wenn das kantonale Gericht zum Ergebnis gelangt ist, mit der E-Mail werde kein Tatverdacht auf Amtsgeheimnisverletzung begründet, ist dies daher rechtmässig.
7.4. Der Beschwerdeführer beruft sich sodann auf eine E-Mail vom 17. Oktober 2012, in welcher sich der Beschwerdegegner zu einer Verjährungsfrist geäussert hat. Es erscheint zweifelhaft, ob dieses erst letztinstanzlich angebrachte Vorbringen prozessual zulässig ist. Das braucht aber nicht abschliessend beantwortet zu werden, da die E-Mail ohnehin keinen Tatverdacht zu begründen vermag. Der Beschwerdeführer mutmasst denn auch lediglich, was mit dieser Aussage gemeint sein resp. darunter verstanden werden könnte. Daraus ergeben sich keine Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten. Die vorinstanzliche Beurteilung wird daher auch unter diesem Gesichtswinkel nicht in Frage gestellt.
7.5. Zusammenfassend besteht betreffend Amtsgeheimnisverletzung ebenfalls kein Tatverdacht. Die Ermächtigung zur Strafverfolgung wurde daher auch diesbezüglich zu Recht verweigert. Die Beschwerde ist abzuweisen.
8.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Untersuchungsamt des Kantons St. Gallen und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Lanz