Faits:
A. M._ a travaillé comme manoeuvre sur différents chantiers en Suisse dès 1987, notamment pour des activités de coffrage dans des tunnels. Il était assuré contre les accidents et maladies professionnelles par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accident (CNA).
Le 23 décembre 2003, cette dernière a été informée de l'hospitalisation de M._ en raison d'une maladie des voies respiratoires, du 15 au 20 décembre 2003. Il a subi une biopsie à ciel ouvert, avec thoracotomie latérale droite, le 16 décembre 2003. Les diagnostics de fibrose interstitielle non spécifique et hémosidérose du parenchyme du poumon droit, ainsi que de plaque fibreuse de la plèvre pariétale droite ont été posés (rapport du 24 décembre 2003 de l'Institut central des hôpitaux valaisans). Le 22 juillet 2004, la CNA l'a déclaré inapte à tous les travaux de construction souterrains avec exposition aux poussières de quartz.
M._ a été à nouveau hospitalisé du 19 au 22 décembre 2004, à l'Hôpital Y._. Les docteurs R._, U._ et A._, médecins à l'Hôpital Y._, y ont constaté une lésion nodulaire spiculée du lobe supérieure gauche et, à titre secondaire, notamment, un status après thoracotomie droite et syndrome douloureux chronique au niveau de l'hémithorax droit (rapport du 27 décembre 2004). Une expertise médicale a été confiée aux docteurs L._ et E._, médecins au Centre hospitalier X._. Dans un rapport du 12 décembre 2005, ces derniers ont notamment posé les diagnostics de silicose pulmonaire et ganglionnaire médiastinale, plaque pleurale de nature asbestosique et artériopathie des membres inférieurs. Les résultats des examens pratiqués suggéraient une pneumoconiose de nature professionnelle, constituée d'une silicose et très probablement d'une asbestose associée. Une atteinte respiratoire modérée en découlait, pouvant être comparée à une invalidité de 50 % et permettant un travail avec des efforts physiques légers, essentiellement en position assise. Il n'était pas nécessaire de maintenir un traitement spécifique pour les atteintes pulmonaires, sous réserve d'un contrôle après sevrage des bronchodilatateurs/corticoïdes prescrits jusqu'alors.
A la suite de cette expertise, la CNA a reconnu le caractère de maladie professionnelle des atteintes pulmonaires dont souffrait l'assuré. Elle a alloué des prestations à ce titre, en particulier des indemnités journalières pour une incapacité de travail de 50 % attestée par le docteur C._, médecin traitant de l'assuré.
Dans un rapport du 23 février 2006, le docteur H._, spécialiste en médecine du travail et médecine interne, de la division de médecine du travail de la CNA, a proposé l'octroi d'une indemnité pour une atteinte à l'intégrité de 25 %. La CNA a mis fin au versement des indemnités journalières et a alloué une rente fondée sur un taux d'invalidité de 28 %, dès le 1er avril 2006; elle a également alloué une indemnité pour une atteinte à l'intégrité de 25 % (décision du 11 mai 2006 et décision sur opposition du 27 juillet 2006).
B. L'assuré a recouru devant le Tribunal des assurances du canton du Valais, en concluant à l'octroi d'une rente fondée sur un taux d'invalidité de 50 % au moins et d'une indemnité pour une atteinte à l'intégrité de 55 %. En cours de procédure, il a notamment produit un rapport du docteur C._ daté du 5 janvier 2006 [recte: 2007] et faisant état d'une dégradation de l'état de santé de l'assuré. Le Tribunal des assurances du canton du Valais a rejeté le recours par jugement du 15 novembre 2007.
Parallèlement à la procédure ouverte devant la juridiction cantonale, l'assuré a annoncé à la CNA, par lettre du 7 février 2007, qu'il était victime d'une rechute ou de séquelles tardives. La CNA a ordonné plusieurs mesures d'instruction, dont il ressort que le docteur C._ a diagnostiqué, dans un rapport du 14 mai 2007, un cancer bronchique du lobe supérieur gauche. La CNA a reconnu l'origine professionnelle de cette atteinte maladive et a pris en charge le traitement médical. Par décision du 15 novembre 2007, elle a modifié le taux de la rente allouée à l'assuré, en le portant à 100 % avec effet dès le 1er février 2007.
C. M._ a interjeté un recours en matière de droit public contre le jugement du 15 novembre 2007. Il en a demandé l'annulation, en concluant à l'octroi d'une rente de l'assurance-accidents fondée sur un taux d'invalidité de 50 % au moins pour la période du 1er avril 2006 au 31 janvier 2007, et d'une indemnité pour une atteinte à l'intégrité de 55 %, sous suite de dépens. Il demande en outre que les frais de procédure soient mis à la charge de l'Etat du Valais.
L'intimée a conclu au rejet du recours. Elle a précisé qu'une partie des conclusions du recourant était devenue sans objet, au motif qu'elle avait décidé, le 22 février 2008, de lui allouer une indemnité pour une atteinte à l'intégrité de 55 %. Cette indemnité complétait celle qui avait déjà été versée, de manière à prendre en considération la péjoration de l'état de santé annoncée à titre de rechute ou de séquelle tardive. Par acte du 26 février 2008, M._ a retiré sa conclusion relative à l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité.
L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur l'étendue du droit à une rente de l'assurance-accidents pour la période du 1er avril 2006 au 31 janvier 2007.
2. Le recourant demande l'édition du dossier complet de l'assurance-invalidité, à titre de moyen de preuve. Il n'y a pas lieu d'accéder à cette demande, pour les motifs déjà exposés par la juridiction cantonale, à laquelle la même requête avait été adressée. Il convient, sur ce point, de renvoyer au jugement entrepris (consid. 2).
Ce jugement expose, par ailleurs, les règles légales et la jurisprudence pertinentes, relatives à la notion d'invalidité et à la manière de fixer le taux d'invalidité. Il convient également d'y renvoyer sur ces points (consid. 3a).
3. Le recourant conteste le taux d'invalidité de 28 % fixé par la juridiction cantonale. Il rappelle que l'atteinte à la santé dont il souffre l'empêche de travailler dans un milieu comportant des poussières. La juridiction cantonale s'était fondée pour l'essentiel sur une évaluation de la capacité de travail résiduelle par le docteur H._, qui ne prenait pas en considération cette «interdiction formelle de tout contact avec quelque poussière que ce soit». En outre, les médecins de X._ avaient évalué son taux d'invalidité à 50 %, en considérant que seuls pouvaient être effectués des travaux légers essentiellement en position assise, avec interdiction absolue du contact avec de la poussière. Enfin, la seule évolution de la maladie, entraînant une incapacité de travail et de gain de 100 % quelques mois après la décision contestée, rend invraisemblable une invalidité limitée à 28 % à l'époque de la décision sur opposition litigieuse.
4. 4.1 Le recourant oppose les constatations des docteurs L._ et E._, à celles du docteur H._. Mais en réalité, le docteur H._ a évalué le taux d'atteinte à l'intégrité et la capacité de travail résiduelle de l'assuré en se fondant, pour l'essentiel, sur les résultats des examens pratiqués par ses confrères de X._. Ses déterminations convergent donc largement avec celles des docteurs L._ et E._. Ces médecins ont précisé que les tests respiratoires effectués démontraient une atteinte respiratoire modérée; «ce résultat [pouvait] être comparé à une invalidité de 50 %» et permettait un travail avec des efforts physiques légers essentiellement en position assise. Comme l'ont souligné à juste titre les premiers juges, l'«invalidité» de 50 % à laquelle il est fait référence dans ce contexte correspond à la limitation de la capacité respiratoire de l'assuré; il s'agit d'une invalidité dite «médico-théorique» qui ne correspond pas au taux d'invalidité déterminant pour établir le droit à une rente de l'assurance-accidents. Ce dernier dépend en revanche étroitement de la capacité résiduelle de travail de l'assuré, à propos de laquelle les rapports des docteurs L._ et E._, d'une part, et celui du docteur H._, d'autre part, ne divergent que sur un point : le docteur H._ n'a pas posé pour exigence que l'activité professionnelle soit exercée en position essentiellement assise. Cette divergence ne revêt toutefois pas une importance déterminante (cf. consid. 4.2 infra).
4.2 En se fondant à juste titre, compte tenu de ce qui précède, sur les constatations des docteurs L._, E._ et H._, la juridiction cantonale a fixé le revenu que le recourant pouvait encore réaliser, malgré l'atteinte pulmonaire dont il souffrait. Elle s'est référée, sur ce point, à l'Enquête suisse sur la structure des salaires 2004, publiée par l'Office fédéral de la statistique, comme l'admet la jurisprudence en pareil cas (cf. <ref-ruling> consid. 3b p. 76). Après avoir notamment procédé à un abattement de 20 % par rapport au salaire ressortant de ces données statistiques, afin de tenir dûment compte des circonstances personnelles et professionnelles telles que les limitations liées au handicap, à l'âge, aux années de service ou au taux d'activité (cf. <ref-ruling> consid. 5 p. 78), elle a considéré que le recourant pouvait réaliser, dans un marché du travail équilibré, un revenu annuel de 46'932 fr.
L'abattement de 20 % pris en considération par les premiers juges accorde suffisamment de poids aux limitations physiques du recourant, en particulier à son inaptitude à travailler dans un milieu poussiéreux, y compris si l'on tient compte de la nécessité de travailler en position essentiellement assise. Dans ce contexte, on précisera que les médecins n'ont pas interdit tout contact avec quelque poussière que ce soit, mais ont déclaré l'assuré inapte à travailler dans un milieux poussiéreux, ce qui est tout de même moins restrictif. Il s'ensuit que le calcul effectué par la juridiction cantonale pour établir le revenu que pouvait réaliser le recourant, au moment de la décision sur opposition litigieuse, malgré les atteintes pulmonaires dont il souffrait, ne prête pas flanc à la critique. Il n'en va pas différemment des constatations relatives au revenu de 64'080 fr. qu'il aurait pu réaliser sans invalidité, toujours d'après les premiers juges; le recourant ne soulève d'ailleurs aucun grief sur ce point. Un taux d'invalidité de 27 % résulte d'une comparaison entre ces revenus, de sorte que les conclusions du recourant tendant à l'octroi d'une rente fondée sur un taux d'invalidité supérieur à 28 %, dès le 1er avril 2006, sont mal fondées. L'évolution vers un taux d'invalidité de 100 % en quelques mois seulement n'est pas invraisemblable, l'apparition d'un cancer bronchique pouvant expliquer cette dégradation soudaine.
5. 5.1 Dans un premier temps, le recourant a conclu à l'octroi d'une indemnité pour une atteinte à l'intégrité de 55 %. Il a par la suite retiré cette conclusion, devenue sans objet par suite de la décision de l'intimée du 22 février 2008. Il convient néanmoins d'examiner sommairement quel succès le recourant pouvait espérer lorsqu'il a pris ses conclusions initiales, ce qui pourrait avoir une influence sur la répartition des frais et dépens (<ref-law> en relation avec l'art. 72 de la loi de procédure civile fédérale, du 4 décembre 1947; <ref-ruling> consid. 2a p. 374).
5.1.1 Le jugement entrepris expose les bases légales et la jurisprudence relatives à l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité, y compris la jurisprudence relative aux tables d'indemnisation des atteintes à l'intégrité selon la LAA, établies par la division médicale de la CNA (consid. 4). Il convient d'y renvoyer sur ces points.
5.1.2 La table 10 d'indemnisation des atteintes à l'intégrité selon la LAA prévoit qu'en cas de séquelles pulmonaires d'accidents ou de maladies professionnelles, une diminution de 33, 3 % de la fonction respiratoire correspond à une atteinte à l'intégrité de 5 %; d'après la même table, une diminution de la fonction respiratoire de 100 % entraîne une atteinte à l'intégrité de 80 %. Les docteurs L._ et E._ ont constaté une invalidité médico-théorique de 50 %, compte tenu des tests de la fonction respiratoire qu'ils ont fait passer à l'assuré. Pour sa part, le docteur H._, en prenant pour référence les résultats de ces tests, est parvenu à des conclusions quasiment identiques, puisqu'il considère que ces résultats correspondent à une limitation fonctionnelle de 33,5 à 50 %. Il a proposé de retenir un taux d'atteinte à l'intégrité de 25 %, correspondant à une limitation fonctionnelle de 50 %, en précisant que ce taux incluait déjà la dégradation probable de l'état de santé de l'assuré.
Même si, a posteriori, le docteur H._ semble s'être montré relativement restrictif dans l'admission d'une telle dégradation probable, les premiers juges se sont fondés sur des avis médicaux probants pour fixer le taux d'atteinte à l'intégrité, de sorte que le recourant n'avait que peu de chances d'obtenir gain de cause en contestant le jugement entrepris sur ce point. Dans ce contexte, il convient de préciser que contrairement à l'avis du recourant, l'intimée avait de bons motifs de tenir l'état de santé de l'assuré pour stabilisé et de statuer sur le droit à l'indemnité pour atteinte à l'intégrité dans la décision sur opposition du 27 juillet 2006. Le médecin traitant de l'assuré décrivait à l'époque une situation stationnaire, sur le plan bronchopulmonaire, sans dégradation ni amélioration objective clinique et fonctionnelle de la fonction respiratoires dans les derniers mois (rapport du 28 août 2006 du docteur C._).
6. Vu ce qui précède, le recourant ne peut pas prétendre de dépens à la charge de l'intimée et supportera les frais de justice (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF; consid. 5.1 supra).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton du Valais et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 25 novembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Métral