Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 9. März 2006 verneinte die IV-Stelle des Kantons Thurgau den Anspruch der K._ auf eine Rente der Invalidenversicherung, was sie mit Einspracheentscheid vom 22. November 2006 bestätigte. Mit Verfügung vom 23. November 2006 wies die IV-Stelle das Gesuch der Versicherten um unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren ab. Die von Rechtsanwalt Marc Spescha namens und im Auftrag von K._ gegen beide Verwaltungsakte erhobene Beschwerde hiess die AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 14. Mai 2007 teilweise gut. Sie hob den Einspracheentscheid vom 22. November 2006 auf und wies die Sache zur Ergänzung der Akten und anschliessender Neuverfügung im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück (Dispositiv-Ziffer 1), wobei sie der Versicherten eine Parteientschädigung von Fr. 750.- und ihrem Anwalt als unentgeltlichem Rechtsvertreter eine Entschädigung zu Lasten des Staates von Fr. 600.- zusprach (Dispositiv-Ziffer 2). Auf die von Rechtsanwalt Marc Spescha im Namen und im Auftrag von K._ sowie in eigenem Namen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten betreffend die verweigerte unentgeltliche Rechtspflege für das Einspracheverfahren sowie die Höhe der Parteientschädigung und damit zusammenhängend des Honorars für die unentgeltliche Verbeiständung im vorinstanzlichen Verfahren trat die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts nicht ein (Urteil 9C_352/2007 vom 6. November 2007 [<ref-ruling>]).
B. Nach weiteren Abklärungen teilte die IV-Stelle des Kantons Thurgau mit Vorbescheid vom 21. August 2008 K._ mit, sie habe ab 1. Januar 2003 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 64 % Anspruch auf eine Rente. Mit Schreiben vom 31. Oktober 2008 an den Rechtsvertreter der Versicherten hielt die IV-Stelle unter Hinweis auf den Entscheid der AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau vom 14. Mai 2007 daran fest, dass im Einspracheverfahren kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung bestehe. Mit Verfügung vom 13. November 2008 sprach die IV-Stelle K._ für die Zeit vom 1. Januar bis 31. Dezember 2003 eine halbe Rente und ab 1. Januar 2004 eine Dreiviertelsrente samt zwei Kinderrenten zu.
C. K._ und Rechtsanwalt Marc Spescha führen gemeinsam Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Die Versicherte beantragt, der Entscheid der AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau (seit 1. Januar 2008: Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht) vom 14. Mai 2007 sei insofern aufzuheben, als ihr auch für das Einspracheverfahren Rechtsanwalt Marc Spescha als unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellt und vollumfänglich entschädigt werde, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Rechtsanwalt Spescha beantragt, Dispositiv-Ziffer 2 des Entscheids vom 14. Mai 2007 sei aufzuheben und ihm für das kantonale Beschwerdeverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2245.45 zuzusprechen.
Die IV-Stelle stellt keinen Antrag zur Beschwerde, während das kantonale Versicherungsgericht auf deren Abweisung schliesst, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Anfechtungsobjekt des vorliegenden Verfahrens bilden die - in der Sache unangefochtenen - Verfügungen vom 13. November 2008, mit welcher der Beschwerdeführerin für die Zeit vom 1. Januar bis 31. Dezember 2003 eine halbe Rente und ab 1. Januar 2004 eine Dreiviertelsrente zugesprochen wurde. Zusammen mit diesem Endentscheid können die vorangegangenen Zwischenentscheide betreffend die hier streitige Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Einspracheverfahren sowie die Höhe der Parteientschädigung und damit zusammenhängend des Honorars für die unentgeltliche Verbeiständung im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren gemäss Entscheid der AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau vom 14. Mai 2007 angefochten werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 in fine S. 648 und Urteil 9C_567/2008 vom 30. Oktober 2008 E. 4.2).
2. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist berechtigt, wer u.a. durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG). Verlangt ist somit, dass die Beschwerde führende Person über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt (lit. b) und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht (lit. c). Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers oder der Beschwerdeführerin durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann. Die Voraussetzungen von Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG hängen eng zusammen; es kann insoweit an die zur Legitimationspraxis bei der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach Art. 103 lit. aOG entwickelten Grundsätze (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 242; <ref-ruling> E. 2a S. 51 f.) angeknüpft werden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 413; Urteil 1C_437/2007 vom 3. März 2009 E. 2.1).
2.1 Die Beschwerdeführerin ficht die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Einspracheverfahren (Ziff. 1 der Rechtsbegehren) an. Dazu ist sie legitimiert (<ref-law>; SVR 2007 UV Nr. 16, U 63/04 E. 2.1 in initio; vgl. auch <ref-law> und Urteil 2P.76/2005 vom 27. Juni 2006 E. 2.1).
2.2 Der Rechtsvertreter der Versicherten bestreitet selber, in eigenem Namen und allein die vorinstanzlich festgesetzte Parteientschädigung (Fr. 750.-) sowie das Honorar als unentgeltlicher Rechtsbeistand (Fr. 600.-) für das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren gemäss Dispositiv-Ziffer 2 des Entscheids vom 14. Mai 2007. Er beantragt insgesamt eine Parteientschädigung von Fr. 2245.45 (gemäss Kostennote vom 6. Juni 2007; Ziff. 2 der Rechtsbegehren) für volles Obsiegen resp. eine teilweise Parteienentschädigung und «Vergütung für unentgeltliche Verbeiständung» in dieser Höhe (Ziff. 11 der Begründung). Er rügt im Wesentlichen, die Entschädigung von Fr. 1350.- sei bei einem aufgrund der Bedeutung und der Schwierigkeit der Streitsache notwendigen zeitlichen Aufwand von gut zehn Stunden und einem nach dem einschlägigen kantonalen Recht nicht als überhöht zu bezeichnenden Stundenansatz von Fr. 200.- willkürlich und auch unverhältnismässig tief. Seine Berechtigung zur Anfechtung der vorinstanzlichen Festsetzung der Parteientschädigung sowie des Honorars als unentgeltlicher Rechtsbeistand begründet der Rechtsvertreter der Versicherten damit, der Entschädigungsanspruch stehe ihm direkt zu; zudem sei er von der Höhe der beiden Entschädigungen berührt und habe ein schutzwürdiges Interesse an der Änderung der angefochtenen Regelung.
2.2.1 Wo die Verhältnisse es rechtfertigen, wird der Beschwerde führenden Person ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bewilligt (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht steht der gesuchstellenden Partei zu. Diese ist jedoch nicht berechtigt, die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes anzufechten. Dazu ist nur der Rechtsvertreter selber legitimiert (<ref-ruling> E. 1 S. 155; Urteile 9C_951/2008 vom 20. März 2009 E. 1 und 5D_88/2008 vom 14. August 2008 E. 1; Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2008, N. 109 zu <ref-law>). Dessen schutzwürdiges Interesse ergibt sich daraus, dass er bei einem zu tief festgesetzten Honorar seinem Mandanten oder seiner Mandantin nicht zusätzlich Rechnung stellen darf (SVR 2008 MV Nr. 2, M 2/06 E. 5.3.3; vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 325 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 12; Walter Fellmann/Gaudenz G. Zindel und andere, Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2005, N. 149 zu <ref-law>). Die Entschädigung wird dem unentgeltlichen Rechtsbeistand persönlich zugesprochen (Seiler und andere, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 39 zu <ref-law>).
Der Rechtsvertreter der Versicherten ist somit berechtigt, das von der Vorinstanz zugesprochene Honorar als unentgeltlicher Rechtsbeistand im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren anzufechten, soweit es um die Bemessung der Entschädigung, insbesondere den von der Vorinstanz als notwendig und geboten erachteten Zeitaufwand sowie den angewendeten Stundenansatz geht.
2.2.2 Obsiegt die Partei, welcher die unentgeltliche Verbeiständung bewilligt worden ist, teilweise, besteht lediglich im Umfang des Unterliegens Anspruch (des Rechtsvertreters) auf Entschädigung im Rahmen der unentgeltlicher Verbeiständung. Im Umfang des Obsiegens besteht hingegen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>). Dieser Anspruch steht nicht dem Rechtsvertreter, sondern der Partei selber zu (nicht veröffentlichtes Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts H 314/93 vom 19. September 1994 E. 3b; Seiler und andere, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist deshalb nicht der Rechtsvertreter, sondern nur die Partei selber legitimiert, eine (behaupteterweise) zu tiefe Parteientschädigung anzufechten (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 529/05 vom 21. Dezember 2005 E. 1; vgl. auch Urteil 2P.76/2005 vom 27. Juni 2006 E. 1.1). Denn das Honorar, welches der Klient seinem Anwalt schuldet, ist rechtlich unabhängig von der Höhe der vom Gericht zugesprochenen Parteientschädigung. Das gilt auch dann, wenn die Partei eine andere Gewichtung von Obsiegen und Unterliegen mit entsprechender Auswirkung auf die Anteile Parteientschädigung/Entschädigung zufolge unentgeltlicher Verbeiständung beantragt (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 63/04 vom 3. Oktober 2006, publiziert in: SVR 2007 UV Nr. 16 S. 53, E. 2.3). Zwar mag faktisch auch der Rechtsvertreter an einer höheren Parteientschädigung interessiert sein, namentlich auch an einer höheren Gewichtung des Anteils des Obsiegens, weil er diesbezüglich von der Partei nach auftragsrechtlichen Regeln ein Honorar verlangen kann, während er sich als unentgeltlicher Rechtsbeistand mit der gerichtlich zugesprochenen Entschädigung begnügen muss und nicht vom Klienten ein Zusatzhonorar verlangen darf. Eine solche bloss indirekte Besserstellung genügt jedoch im Rahmen der hier zur Diskussion stehenden Beschwerdelegitimation «pro Adressat» nicht für die Annahme eines besonderen, schutzwürdigen Interesses (vgl. <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 3.5 S. 565). Hinzu kommen spezifisch anwaltsrechtliche Gründe: Ein Rechtsanwalt hat jeden möglichen Interessenkonflikt mit seinem Mandanten oder seiner Mandantin zu vermeiden (<ref-law>; Urteil 2P.318/ 2006 vom 27. Juli 2007 E. 11.1; Fellmann/Zindel und andere, a.a.O., N. 92 zu <ref-law>; vgl. auch Andreas Baumann, Interessenkonflikte des Rechtsanwaltes, in: Festschrift 100 Jahre Aargauischer Anwaltsverband, 2005, S. 444). Er hat gegebenenfalls sein persönliches Interesse gegenüber denjenigen seiner Klientschaft zurückzustellen (<ref-ruling> E. 4.6.3 S. 238; Walter Fellmann in: Berner Kommentar, 4. Aufl. 1992, N. 23 ff. zu <ref-law>). Dies gilt auch bei bewilligter unentgeltlicher Rechtsvertretung. Würde man dem Anwalt die Befugnis zugestehen, die Höhe der seinem Klienten zugesprochenen Parteientschädigung, namentlich die Gewichtung von Obsiegen und Unterliegen, anzufechten, so bestünde die Gefahr eines Interessenkonflikts; denn der Klient könnte gerade umgekehrt ein Interesse daran haben, dass der Anteil des Obsiegens nicht höher bemessen wird, weil er diesbezüglich riskiert, dem Anwalt ein zusätzliches Honorar bezahlen zu müssen. Daraus folgt, dass das Interesse des unentgeltlichen Rechtsbeistandes an einem möglichst grossen Umfang des Obsiegens gegenüber dem Interesse der von ihm vertretenen bedürftigen Partei, keine eigenen Anwaltskosten bezahlen zu müssen, zurückzutreten hat und nicht als schutzwürdig im Sinne von <ref-law> anerkannt werden kann.
Der Rechtsvertreter der Versicherten ist somit nicht berechtigt, die vorinstanzliche Parteikostenregelung in Bezug auf das Verhältnis zwischen Obsiegen und Unterliegen und insofern die Höhe der seiner Mandantin zugesprochenen Parteientschädigung anzufechten. Insoweit kann auf seine Beschwerde nicht eingetreten werden.
3.1 3.1.1 Die Bemessung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes für das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht beurteilt sich nach kantonalem Recht. Das Bundesgericht schreitet nur ein, wenn dessen Auslegung und Anwendung zu einer Verletzung von Bundesrecht führt (<ref-law>), insbesondere gegen das Willkürverbot nach <ref-law> verstösst (Urteil 9C_951/2008 vom 20. März 2009 E. 5.3 mit Hinweisen; Seiler und andere, a.a.O., N. 21 und 22 zu <ref-law>). Wer Willkür in der Rechtsanwendung rügt, hat darzutun, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 6 S. 397). Auf diesen Anforderungen nicht genügende, sich in appellatorischer Kritik erschöpfende Vorbringen ist nicht einzutreten (Urteil 2C_634/2008 vom 11. März 2009 E. 2.4).
3.1.2 Die Festsetzung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsbeistandes muss in der Regel nicht oder dann lediglich summarisch begründet werden. Eine Begründungspflicht besteht, wenn dieser eine Kostennote einreicht und das Gericht die Entschädigung abweichend davon auf einen bestimmten nicht der Praxis entsprechenden Betrag festsetzt (Urteil 1P.284/2002 vom 9. August 2002 E. 2.4.1; SVR 2000 IV Nr. 11 S. 31, I 308/98 E. 3b). Akzeptiert es einzelne Posten aus der Kostennote, setzt es aber andere herab, hat es zu jeder Reduktion zumindest kurz auszuführen, aus welchem konkreten Grund die Aufwendungen oder Auslagen als unnötig betrachtet werden (Urteil 6B_464/2007 vom 12. November 2007 E. 2.1; Urteil 9C_951/2008 vom 20. März 2009 E. 5.2).
3.2 Das kantonale Gericht hat die Aufhebung des Einspracheentscheids vom 22. November 2006 und die Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zur weiteren Abklärung und zu neuer Verfügung über den Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Rente als teilweises Obsiegen betrachtet und hierfür eine Parteientschädigung von Fr. 750.- zugesprochen. Für den unterliegenden Teil der Beschwerde (Antrag auf Ausrichtung einer ganzen Rente ausgehend von einer Arbeitsunfähigkeit von 100 %, welche aber nicht ausgewiesen ist) hat es eine Entschädigung im Rahmen der bewilligten unentgeltlichen Rechtsverbeiständung von Fr. 600.- als angemessen erachtet (E. 5 des angefochtenen Entscheids). In ihrer Vernehmlassung weist die Vorinstanz darauf hin, die Versicherte resp. ihr Rechtsvertreter hätten erstmals in der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid vom 14. Mai 2007 (Verfahren 9C_352/2007) den anwaltlichen Aufwand beziffert und eine Kostennote eingereicht.
Der Rechtsvertreter der Versicherten bringt vor, bei einem Mindestansatz von Fr. 200.- in der Stunde bedeute eine Entschädigung von insgesamt Fr. 1350.- (einschliesslich Auslagen und Mehrwertsteuer), dass die Beschwerde mit einem zeitlichen Aufwand von 6,2 Stunden hätte bewältigt werden müssen. Dies sei selbst für einen spezialisierten Anwalt unmöglich. Es komme dazu, dass ein zweiter Schriftenwechsel durchgeführt worden sei. Der tatsächliche und detailliert belegte Zeitaufwand von 10 Stunden und 10 Minuten gemäss Kostennote vom 6. Juni 2007 sei in Anbetracht der Bedeutung und der Schwierigkeit der Streitsache für die erfolgreiche Wahrung der Interessen der fremdsprachigen und rechtsunkundigen Versicherten unerlässlich gewesen. Eine Entschädigung von Fr. 1350.- bei einem nach dem einschlägigen kantonalen Recht nicht als überhöht zu bezeichnenden Stundenansatz von Fr. 200.- sei willkürlich und auch unverhältnismässig tief.
3.3 Das kantonale Gericht hat weder den notwendig und gebotenen zeitlichen Vertretungsaufwand noch den angewendeten Tarif für beide Entschädigungen noch das Verhältnis Obsiegen/Unterliegen angegeben. Bei Stundenansätzen von Fr. 200.- (Parteientschädigung) und Fr. 180.- (Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes; <ref-ruling> E. 7 S. 159) ergibt sich ein anerkannter zeitlicher Aufwand von 7,08 (3,75 [Fr. 750.-/Fr. 200.-] + 3,33 [Fr. 600.-/Fr. 180.-]) Stunden sowie ein rund hälftiges Obsiegen. Bei dieser Berechnung ist zu beachten, dass die Vorinstanz bei der Festsetzung des Honorars des Rechtsvertreters der Versicherten als unentgeltlicher Rechtsbeistand im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren das Unterliegen in der Frage der unentgeltlichen Verbeiständung für das Einspracheverfahren nicht berücksichtigt hat. Es hat, wie seine Begründung klar zeigt, die Parteientschädigung und die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes lediglich bezogen auf die Rentenfrage festgesetzt. Dies wird indessen nicht gerügt. Unter Berücksichtigung des diesbezüglichen - zu den 3,33 Stunden hinzuzählenden - Aufwandes kann aber das von der Vorinstanz festgesetzte Honorar des Rechtsvertreters der Versicherten als unentgeltlicher Rechtsbeistand im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren nicht als willkürlich bezeichnet werden.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin beantragt unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren. Nachdem die vorinstanzliche Beschwerde gutgeheissen wurde, würde sich für das Einspracheverfahren an sich nicht mehr die Frage der unentgeltlichen Verbeiständung, sondern der Parteientschädigung stellen. Das ändert allerdings am Beurteilungsmassstab nichts. Nach <ref-law> werden im Einspracheverfahren in der Regel keine Parteientschädigungen ausgerichtet. Eine Ausnahme von dieser Regel liegt dann vor, wenn der Einsprecher oder die Einsprecherin im Falle des Unterliegens Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung hätte (<ref-ruling> E. 2.2 S. 572).
4.2 Gemäss <ref-law>, nach <ref-law> und <ref-law> auch im Verwaltungsverfahren der Invalidenversicherung anwendbar, wird der gesuchstellenden Person ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bewilligt, wo die Verhältnisse es erfordern. Die sachliche Gebotenheit einer anwaltlichen Verbeiständung ist nur in Ausnahmefällen zu bejahen. Es müssen sich schwierige rechtliche oder tatsächliche Fragen stellen und eine Interessenwahrung durch Verbandsvertreter, Fürsorgestellen oder andere Fach- und Vertrauensleute sozialer Institutionen ausser Betracht fallen (<ref-ruling> E. 4.1 in fine S. 201). Von Bedeutung ist auch die Fähigkeit der versicherten Person, sich im Verfahren zu Recht zu finden (<ref-ruling> E. 4b S. 35). Mit Blick darauf, dass das Verfahren vom Untersuchungsgrundsatz beherrscht wird, die IV-Stelle also den rechtserheblichen Sachverhalt unter Mitwirkung der Parteien zu ermitteln hat (<ref-law>), drängt sich eine Verbeiständung nur in Ausnahmefällen auf (<ref-ruling> E. 4.1 S. 201; <ref-ruling> E. 4c S. 36; Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts U 310/05 vom 26. Januar 2006 E. 3.2 und I 812/05 vom 24. Januar 2006 E. 4.3).
4.3 Die Vorinstanz hat die Notwendigkeit einer (unentgeltlichen) anwaltlichen Vertretung im Einspracheverfahren mit der Begründung verneint, der Sachverhalt sei weder kompliziert noch stelle sich eine schwierige Rechtsfrage. Zudem werde die Beschwerdeführerin seit längerer Zeit durch die Sozialhilfebehörde der Stadt X._ unterstützt. Es sei gerichtsnotorisch, dass Sozialämter grösserer Ortschaften über im Sozialversicherungsrecht kundige Sachbearbeiter verfügten, die ohne weiteres in der Lage gewesen wären, im Einspracheverfahren die streitige Restarbeitsfähigkeit geltend zu machen.
4.4 Die Beschwerdeführerin rügt die vorinstanzlichen Erwägungen unter verschiedenen Aspekten als bundesrechtswidrig. Dazu ist Folgendes zu sagen:
4.4.1 Es trifft nicht zu, dass die Erforderlichkeit einer anwaltlichen Vertretung im Einspracheverfahren grundsätzlich anzunehmen sei und den Regelfall bilde. Die gegenteilige Auffassung (vgl. Kieser, a.a.O., N. 21 zu <ref-law>) hat das Eidg. Versicherungsgericht im Urteil I 746/06 vom 8. November 2006 E. 3.1 in fine verworfen. Nichts anderes ergibt sich aus <ref-ruling>. Gegenteils wurde in diesem Urteil auf den klaren Willen des (historischen ATSG-)Gesetzgebers hingewiesen, an die sachliche Gebotenheit der unentgeltlichen Verbeiständung mit Blick auf die bisherige Praxis im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungsverfahren einen «sehr strengen Massstab» anzulegen (<ref-ruling> E. 5.1.3 in initio S. 204).
Mit der Berufung auf <ref-law> sodann wird übersehen, dass die geltende Rechtsprechung zum Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungsverfahren sich gerade auch auf diese Verfassungsbestimmung stützt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 200). Mit dem Hinweis auf das Urteil 2P.295/2006 vom 23. Januar 2007 betreffend die unentgeltliche Verbeiständung in einem kantonalen ausländerrechtlichen Verwaltungsverfahren, vermag die Beschwerdeführerin im Übrigen nicht darzutun, inwiefern diese Rechtsprechung verfassungswidrig sein oder deren Anwendung im konkreten Fall Bundesrecht verletzen soll (Art. 95 lit. a und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
Schliesslich trifft zwar zu, dass als unentgeltlicher Rechtsbeistand im Sinne von <ref-law> grundsätzlich nur patentierte Anwältinnen und Anwälte zugelassen sind (<ref-ruling>). Daraus kann indessen nicht geschlossen werden, die Behörden der Sozialhilfe böten nicht Gewähr für die erforderliche Unabhängigkeit. Unklar bleiben im Übrigen die Ausführungen in der Beschwerde zum Konnex zwischen Sozialhilfeabhängigkeit, fehlender Integration und ausländerrechtlicher Stellung und dessen Relevanz für die Frage der Gebotenheit einer anwaltlichen Vertretung im Einspracheverfahren.
4.4.2 Hingegen wird die mit Gerichtsnotorietät begründete Annahme der Vorinstanz, die Sozialhilfebehörde verfüge über kundige Sachbearbeiter, welche für die Versicherte im Einspracheverfahren die streitige Restarbeitsfähigkeit hätten geltend machen können, zu Recht in Frage gestellt. Die erste einen Rentenanspruch verneinende Verfügung vom 9. März 2006 war u.a. auch dem zuständigen Sozialdienst der Stadt X._ zugestellt worden. Dieser hatte somit Kenntnis vom IV-Verfahren. Es wird von keiner Seite geltend gemacht und es bestehen auch keine Hinweise in den Akten, dass die Sozialhilfebehörde sich anerbot, die Vertretung im Einspracheverfahren zu übernehmen, was auch im Interesse der Stadt X._ gewesen wäre, wie die Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung ausführt, die Beschwerdeführerin dies jedoch ablehnte. Unter diesen Umständen kann ihr aber nicht zum Vorwurf gemacht werden, sie habe von der Möglichkeit der fachkundigen Vertretung durch den Sozialdienst im Einspracheverfahren nicht Gebrauch gemacht. Soweit die Vorinstanz die Gebotenheit der unentgeltlichen Verbeiständung mit dem Hinweis auf eine genügende Unterstützung durch den Sozialdienst der Stadt X._ verneint hat, kann ihr daher nicht beigepflichtet werden.
Unbestritten verfügt die aus dem Land Y._ stammende, 2000 in die Schweiz eingereiste Beschwerdeführerin über schlechte Deutschkenntnisse. Ebenfalls ausser Frage steht, dass sie in rechtlichen Belangen völlig hilflos ist. Aus den Akten ergibt sich weiter, dass die im April 2000 eingegangene Ehe mit einem Schweizer bereits im Mai 2001 gerichtlich getrennt wurde. Eine Unterstützung im Verfahren durch den sprachkundigen Ehemann konnte daher realistischer weise nicht erwartet werden. Auf Geheiss der Sozialhilfebehörde nahm sie eine erwerbliche Tätigkeit von 50 % auf. Die Umstände, die zur Trennung der Ehe geführt hatten, haben offenbar die psychische Gesundheit der Versicherten beeinträchtigt. Sie hat Angst, der Ehemann könnte ihr die gemeinsame Tochter wegnehmen. Zu den psychischen Problemen mit Angst und Depression kommen auch Herzmuskelbeschwerden, welche ihrerseits den psychischen Gesundheitszustand beeinträchtigen können (vgl. Gutachten Dr. med. F._ vom 2. September 2005 und 27. Januar 2008, Bericht Spital Y._ vom 24. Januar 2002 sowie Case Report vom 10. August 2007). Es besteht somit ein als komplex zu bezeichnendes Beschwerdebild, dessen Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit von der IV-Stelle anfänglich offensichtlich unterschätzt worden waren. Dies sowie die nicht leicht zu verstehende gemischte Methode der Invaliditätsbemessung und deren Anwendung (<ref-law> und <ref-ruling>) gaben der im Einspracheverfahren streitigen Frage des Umfangs des Rentenanspruchs eine erhöhte Komplexität, welche eine anwaltliche Vertretung als sachlich geboten erscheinen liessen. Die gegenteilige Auffassung der Vorinstanz verletzt Bundesrecht.
Nachdem die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid teilweise erfolgreich war, steht auch fest, dass die Einsprache nicht als aussichtslos betrachtet werden konnte. Auch die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin ist ausgewiesen. Damit sind die Voraussetzungen für die unentgeltliche Verbeiständung bzw. eine Parteientschädigung (E. 4.1) im Einspracheverfahren erfüllt. Die Sache ist an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit sie über die Höhe der Entschädigung verfüge.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend haben der Rechtsvertreter der Versicherten und die IV-Stelle je zur Hälfte die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die obsiegende Versicherte hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>). Ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist demzufolge gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde von Rechtsanwalt Spescha wird nicht eingetreten, soweit sie sich gegen die Bewertung des Obsiegens und insofern gegen die Höhe der Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren richtet; im Übrigen wird sie abgewiesen. Die Beschwerde von K._ wird gutgeheissen. Der Entscheid der AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau vom 14. Mai 2007 wird in Bezug auf die unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren aufgehoben und die Sache an die IV-Stelle des Kantons Thurgau zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen darüber neu verfüge
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden je zur Hälfte der IV-Stelle des Kantons Thurgau (Fr. 500.-) und Rechtsanwalt Spescha (Fr. 500.-) auferlegt.
3. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2000.- zu entschädigen.
4. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht hat die Kosten für das vorinstanzliche Verfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses neu zu verlegen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Mai 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler