Sachverhalt:
A. B._ (Ehemann), Jahrgang 1947, und K._ (Ehefrau), Jahrgang 1965, heirateten am xxxx 1996 in Las Vegas. Aus ihrer Ehe ging die gemeinsame Tochter I._ hervor, geboren am xxxx 1996. Die Ehefrau reichte am 18. Juli 2005 ein Gesuch um Eheschutz ein. An der Verhandlung vom 30. November 2005 schlossen die Ehegatten eine Teilvereinbarung über das Getrenntleben, die gerichtlich genehmigt wurde. Sie bestätigten darin die Aufhebung des gemeinsamen Haushalts ab 3. April 2005, stellten die gemeinsame Tochter unter die Obhut ihrer Mutter und regelten den persönlichen Verkehr zwischen dem Kind und seinem Vater. Strittig blieb, ob und in welchem Betrag der Ehemann an die Ehefrau und an das Kind für die Dauer des Getrenntlebens Unterhalt zu zahlen hat.
B. Der Gerichtspräsident im Kreis III Aarberg-Büren-Erlach verpflichtete den Ehemann, ab 3. April 2005 monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 761.-- für das Kind und von Fr. 783.-- für die Ehefrau zu bezahlen. Das Gesuch des Ehemannes um unentgeltliche Prozessführung wies er ab (Entscheid vom 24. August 2006). Das Obergericht des Kantons Bern wies den Rekurs des Ehemannes gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung ab, hiess dessen Appellation teilweise gut und setzte den Kindesunterhaltsbeitrag auf Fr. 600.-- monatlich herab (Entscheid vom 21. Mai 2007). Die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts wies die Beschwerde des Ehemannes ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 5A_423/2007 vom 5. Dezember 2007).
C. Mit Gesuch vom 18. Februar 2008 beantragt der Ehemann dem Bundesgericht die Revision des Urteils 5A_423/2007 vom 5. Dezember 2007. Innert Frist hat er ein Zustellungsdomizil in der Schweiz bezeichnet und den Kostenvorschuss bezahlt. In seiner Eingabe vom 13. März 2008 ist der Ehemann nochmals auf einzelne Punkte seines Gesuch sowie auf die Frage eingegangen, ob ihm die unentgeltliche Rechtspflege gewährt werden müsste. Er hat sein Revisionsgesuch mit Eingabe vom 30. April 2008 ergänzt und zum Beweis zusätzlich Steuerbelege nachgereicht. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Der Gesuchsteller beruft sich auf <ref-law>, wonach die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden kann, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind (S. 2 ff. Ziff. 1 des Gesuchs). Der Gesuchsteller hat Beschwerdeanträge mit Bezug auf die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und den Entscheid des Obergerichts über das Eheschutzgesuch gestellt sowie um Befreiung von der Bezahlung der Gerichtskosten für das Beschwerdeverfahren ersucht (S. 16 f. Ziff. V der Beschwerdeschrift). Das Bundesgericht ist in seinem Urteil 5A_423/2007 auf die Anträge eingegangen (E. 2-6 betreffend Eheschutzverfahren und -entscheid sowie E. 7 und 8 betreffend unentgeltliche Rechtspflege) und hat die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist. Kosten wurden keine erhoben. Mit Blick darauf ist weder ersichtlich noch dargetan, welcher Antrag unbeurteilt geblieben sein könnte. Der geltend gemachte Revisionsgrund ist nicht gegeben.
2. Der Gesuchsteller beruft sich auf <ref-law>, wonach die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden kann, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (S. 2 ff. Ziff. 1 des Gesuchs).
2.1 Der Revisionsgrund lautet wörtlich gleich wie Art. 136 lit. d des Bundesrechtspflegegesetzes von 1943 (OG; BS 3 531). Die bisherige Rechtsprechung kann fortgeführt werden. Danach liegt ein Versehen nur vor, wenn das Gericht eine Tatsache oder ein bestimmtes Aktenstück übersehen oder mit einem falschen Wortlaut wahrgenommen hat. Ausserdem kann der Revisionsgrund nur angerufen werden, wenn "erhebliche Tatsachen" unberücksichtigt geblieben sind, d.h. Tatsachen, die zugunsten des Gesuchstellers zu einer anderen Entscheidung geführt hätten, wenn sie berücksichtigt worden wären. Der Revisionsgrund ist nicht erfüllt, wenn das Gericht die fraglichen Aktenstellen und Vorbringen zwar berücksichtigt, aber nicht so gewürdigt und beurteilt hat, wie der Gesuchsteller es wünscht und im Beschwerdeverfahren beantragt hatte. Ebenso wenig besteht Anlass zur Aufhebung des Urteils, wenn das Bundesgericht Umstände, die sich aus den Akten ergaben, deshalb nicht ausdrücklich erwähnte, weil sie nicht entscheiderheblich waren (Urteile 4F_1/2007 vom 13. März 2007, E. 6.1, und 1F_10/2007 vom 2. Oktober 2007, E. 4.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 5b S. 358; <ref-ruling> E. 3 S. 18 f.).
2.2 Zum Einkommen der Beschwerdegegnerin hat das Bundesgericht festgehalten, da die Beschwerdegegnerin ein volles Arbeitspensum leiste und zusätzlich die heute elfjährige Tochter betreue, sei ihr eine weitergehende Erwerbstätigkeit tatsächlich nicht möglich, geschweige denn zumutbar. Es könne deshalb nicht beanstandet werden, die Geschäftstätigkeit der G._ GmbH ausschliesslich dem Beschwerdeführer anzurechnen (E. 6.2 des Urteils 5A_423/2007). Soweit der Gesuchsteller lediglich eine davon abweichende Beurteilung verlangt, ist die Revision unzulässig. Seine Vorbringen (vgl. Bst. B S. 2 und Bst. G S. 4 des Gesuchs) und Belege (PJ 2-3) hat das Bundesgericht nicht übersehen, sondern im Beschwerdeverfahren für unbeachtlich erklärt, weil bereits das Obergericht deren Zulässigkeit im Appellationsverfahren betreffend Ehegattenunterhalt unangefochten verneint hatte (E. 4.3 des Urteils 5A_423/2007).
2.3 Als unzulässig erweisen sich die Vorbringen gegen die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens (Bst. A S. 2 des Gesuchs), zumal sich das Bundesgericht ausdrücklich mit dem Grundsatz (E. 5.2 und E. 5.3) und dessen Anwendung befasst hat (E. 6.3 des Urteils 5A_423/2007). Da die Ehegatten die Scheidung beabsichtigen, ist im Eheschutzverfahren nicht entscheiderheblich, in welchem Umfang das heutige Renteneinkommen wegen Teilinvalidität im Jahre 2012 in eine Altersrente umgewandelt werden wird (Bst. E S. 3 des Gesuchs). Die Begründung belegt zudem, dass der Gesuchsteller hier Tatsachen vorbringt, die ihm erst nach der Beschwerdeerhebung vor Bundesgericht am 14. Juli 2007 durch die Rentenverfügung vom 28. November 2007 bekannt geworden sind. Er erhebt damit keine Versehensrüge (vgl. E. 4.4 hiernach).
2.4 Zu den anrechenbaren Schulden im eigenen Bedarf hat der Gesuchsteller in der Beschwerde nur unzulässige Rügen erhoben (E. 6.4 Abs. 1 des Urteils 5A_423/2007), deren formelle Verbesserung im Revisionsverfahren unzulässig ist. Übersehen hat das Bundesgericht die Vorbringen und Belege nicht. Zum Kredit in Spanien (Bst. C S. 3 des Gesuchs) kann ergänzt werden, dass zum Bedarf grundsätzlich nur diejenigen regelmässig abbezahlten Schulden hinzuzurechnen sind, die die Ehegatten für den gemeinsamen Lebensunterhalt aufgenommen hatten (vgl. <ref-ruling> E. 2a/bb S. 292 mit Hinweisen). Im Rahmen der Bedarfsrechnung hat das Bundesgericht auch berücksichtigt, dass der Gesuchsteller sein Besuchsrecht nicht ausübt (E. 6.4 Abs. 2 des Urteils 5A_423/2007). Soweit der Gesuchsteller diesen Sachverhalt heute abweichend gewürdigt wissen will (Bst. D S. 3 des Gesuchs), ist er nicht zu hören.
2.5 Das Bundesgericht hat auch versucht, dem Gesuchsteller den Unterschied zwischen dem Eheschutz- und dem Scheidungsverfahren darzustellen (E. 5.1 des Urteils 5A_423/2007). Auf die Scheidungskonvention (Bst. B S. 3 und PJ 4), die Vorschläge zur Deckung des Kinderunterhalts nach der Scheidung (Bst. D S. 6) und den behaupteten Ehebruch (Bst. F S. 3 des Gesuchs) ist nicht mehr zurückzukommen. Auf Gesagtes kann verwiesen werden.
2.6 Was die gerichtlich genehmigte Teilvereinbarung vom 30. November 2005 angeht, hat das Bundesgericht darauf hingewiesen, die Vorbringen und Ausführungen in der Beschwerdeschrift beruhten auf einem Missverständnis (E. 5.2 des Urteils 5A_423/2007). Der Gesuchsteller wiederholt seinen Standpunkt mit den schon früher erhobenen unhaltbaren Vorwürfen, er habe eine Teilvereinbarung mit sechs Ziffern nie abgeschlossen (Bst. H S. 4 f. des Gesuchs). Er vermag damit ein Versehen nicht zu begründen. Zur Klärung sei festgestellt, dass das Obergericht nicht auf eine Teilvereinbarung mit sechs Ziffern abgestellt hat, sondern den Eheschutzentscheid mit sechs Ziffern im Wortlaut wiedergegeben hat. Gemäss Ziff. 1 des Eheschutzentscheids haben sich die Parteien in der Teilvereinbarung in drei Ziffern über die Aufhebung des gemeinsamen Haushalts, die Zuteilung der Obhut über das Kind an die Gesuchsgegnerin und das Besuchs- und Ferienrecht geeinigt. Die vierte Ziffer der Teilvereinbarung enthält die Feststellung, dass über die weiteren Punkte des Eheschutzverfahrens, insbesondere in Bezug auf die Unterhaltsbeiträge keine Lösung gefunden werden konnte. Darüber hat das Amtsgericht den Eheschutzentscheid gefällt, nämlich über den Kindesunterhalt (Ziff. 2), den Ehegattenunterhalt (Ziff. 3) sowie über die Gerichtskosten, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und die Parteikosten (Ziff. 4-6; vgl. die Wiedergabe und Erklärung in E. I/8 und E. II/1-2 S. 2 f. des Entscheids des Obergerichts vom 21. Mai 2007). Auch das Obergericht ist von der unstreitig geschlossenen Teilvereinbarung mit vier Ziffern und einem Eheschutzentscheid mit sechs Ziffern ausgegangen.
2.7 Insgesamt ist der Revisionsgrund im Sinne von <ref-law> nicht gegeben.
3. Der Gesuchsteller beruft sich auf <ref-law>, wonach die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts wegen Verletzung der Europäischen Menschenrechtskonvention (SR 0.101, EMRK) verlangt werden kann, wenn die Revision notwendig ist, um die Verletzung zu beseitigen (S. 6 f. Ziff. 3 des Gesuchs). Der Gesuchsteller bezieht den Revisionsgrund auf seine Rügen der Verletzung wesentlicher Verfahrensgarantien, insbesondere der Teilnahme am Verfahren und der Gerichtssprache (E. 2-4 des Urteils 5A_423/2007). Der geltend gemachte Revisionsgrund setzt voraus, dass der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte in einem endgültigen Urteil festgestellt hat, dass die EMRK oder Protokolle dazu verletzt worden sind (lit. a), dass eine Entschädigung nicht geeignet ist, die Folgen der Verletzung auszugleichen (lit. b), und dass die Revision notwendig ist, um die Verletzung zu beseitigen (lit. c). Die drei Voraussetzungen müssen kumulativ ("und") erfüllt sein. Fehlt es hier an der Feststellung einer EMRK-Verletzung, ist der Revisionsgrund nicht anwendbar (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 188; <ref-ruling> E. 2a-c S. 484 f.).
4. Der Gesuchsteller beruft sich auf <ref-law>, wonach die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts in Zivilsachen verlangt werden kann, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind (S. 5 f. Ziff. 2 des Gesuchs).
4.1 Der Revisionsgrund stimmt inhaltlich mit dem bisherigen Art. 137 lit. b OG überein, der die Revision zulässt, wenn der Gesuchsteller nachträglich neue erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die er im früheren Verfahren nicht beibringen konnte. Die bisherige Rechtsprechung kann fortgeführt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 47; <ref-ruling> E. 1.2 S. 50).
4.2 Als "neu" gelten Tatsachen, die sich bis zum Zeitpunkt, da im Hauptverfahren noch tatsächliche Vorbringen prozessual zulässig waren, verwirklicht haben, jedoch dem Gesuchsteller trotz hinreichender Sorgfalt nicht bekannt waren (<ref-ruling> E. 1 S. 171; <ref-ruling> E. 2 S. 141; vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.3 S. 50).
Die Voraussetzung trifft auf die belegten Vorbringen nicht zu, dass sich die Gesundheit des Gesuchstellers auf Grund eines Vorfalls vom 30./31. Januar 2008 massiv verschlechtert habe (PJ 15 ff.) und dass es gemäss einem Schreiben vom 16. Januar 2008 nicht möglich sein soll, die Ende 2007 in der Schweiz auslaufende Versicherung in Spanien zu erneuern (PJ 18 f.).
Beide Sachverhalte haben sich erst nach dem Urteil des Bundesgerichts 5A_423/2007 vom 5. Dezember 2007 verwirklicht, dessen Revision verlangt wird, und betreffen damit sog. echte Noven, die die Revision nicht zu begründen vermögen (<ref-ruling> E. 2b S. 64). Sie gestatten hingegen unter den gesetzlichen Voraussetzungen eine Klage auf Abänderung des rechtskräftigen Entscheids für die Zukunft (<ref-ruling> E. 1 S. 386), wie sie für Eheschutzmassnahmen in <ref-law> ausdrücklich vorgesehen ist. Es handelt sich um ein neues Verfahren auf Begehren eines Ehegatten vor der nach kantonalem Recht sachlich zuständigen Behörde (vgl. <ref-ruling> E. 1c S. 25). Der geltend gemachte Revisionsgrund ist somit nicht gegeben, was die Vorbringen über den Gesundheitszustand und die Versicherungsdeckung ab 2008 betrifft.
4.3 Die neuen Tatsachen gemäss <ref-law> müssen ferner erheblich sein, d.h. sie müssen geeignet sein, die tatbeständliche Grundlage des angefochtenen Urteils zu verändern und bei zutreffender rechtlicher Würdigung zu einer andern Entscheidung zu führen (<ref-ruling> E. 1 S. 171; <ref-ruling> E. 2 S. 141 vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.3 S. 50).
Die Voraussetzung trifft auf die belegten Vorbringen nicht zu, dass die Eidgenössische Invalidenversicherung mit Verfügung vom 28. November 2007 für die Bestimmung des Invaliditätsgrades auf ein durchschnittliches Jahreseinkommen des Gesuchstellers von Fr. 15'912.-- abgestellt hat (PJ 5 ff.), dass die Schweizerische Ausgleichskasse mit Verfügung vom 14./16. Januar 2008 das beitragsbestimmende Einkommen des Gesuchstellers für die Jahre 2006 und 2007 auf Fr. 10'800.-- und Fr. 11'800.-- festgelegt hat (PJ 11 ff.) und dass die Steuerbehörden von einem vergleichbaren Einkommen des Gesuchstellers und von dessen Angaben zum Ertrag und Vermögen der G._ GmbH ausgegangen sind (Gesuchsergänzung vom 30. April 2008 mit Steuerbelegen).
Die Steuerbehörde ermittelt die Steuerfaktoren anhand der Steuererklärung des Gesuchstellers selbst oder im Falle einer Ermessensveranlagung durch Schätzung, die den Steuerpflichtigen zwar voll, aber auch nicht höher erfassen soll, als es seinen tatsächlichen Verhältnissen entspricht (vgl. BGE 72 I 42 E. 2 S. 46 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 461 f.). Die Ausgleichskasse stützt sich ebenfalls auf die Angaben des Gesuchstellers zu seinem Einkommen (Selbstdeklaration) oder nimmt - wie hier teilweise (PJ 11) - eine amtliche Einschätzung vor, die in Anbetracht der beschränkten Abklärungsbefugnis nach einer abstrakten und schematischen Methode erfolgt (z.B. gestützt auf Vergleichswerte mit Prozentzuschlägen) und indirekt bezweckt, den Versicherten zu motivieren, im eigenen Interesse seinen Pflichten nachzukommen (<ref-ruling> E. 5b S. 90 f.). Die Invalidenversicherung wiederum stellt auf ein theoretisch erzielbares Einkommen aus zumutbarer Tätigkeit ab ("bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage" gemäss Art. 16 des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts, ATSG, SR 830.1; vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 276; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 70 f.), d.h. zur Hauptsache auf Einkommens- und/oder Betätigungsvergleiche (<ref-ruling> E. 2 S. 136 f.; <ref-ruling> E. 3.4 S. 348 f.). Demgegenüber darf das Eheschutzgericht - anders als die Steuerbehörde und die Ausgleichskasse - nicht ausschliesslich auf das tatsächliche Leistungsvermögen des Unterhaltspflichtigen abstellen, sondern hat im Interesse der Unterhaltsberechtigten weitergehend zu prüfen, ob und in welchem Umfang dem Unterhaltspflichtigen die Erzielung eines höheren als des wirklich erzielten Einkommens tatsächlich möglich und zumutbar ist, und zwar - anders als die Invalidenversicherung und teilweise die Ausgleichskasse - bezogen auf den konkreten Einzelfall und dessen sämtliche Umstände (<ref-ruling> Nr. 2 und E. 5.2 des Urteils 5A_423/2007). Auf Grund der unterschiedlichen Methoden mit verschiedenen Zweckbestimmungen kann die Einkommensermittlung im Steuer- und Sozialversicherungsrecht für das Unterhaltsrecht nur beschränkt massgebend sein. Die Kenntnis der neu belegten Vorbringen hätte das Bundesgericht deshalb im Rahmen der ihm zustehenden Willkürprüfung (E. 6.1 des Urteils 5A_423/2007) nicht veranlassen können, die obergerichtliche Feststellung des Einkommens zu beanstanden und eine Entscheidung zu Gunsten des damaligen Beschwerdeführers und heutigen Gesuchstellers zu fällen. Mangels Erheblichkeit vermag das von Steuerbehörden und Sozialversicherungen angenommene Einkommen des Gesuchstellers eine Revision gemäss <ref-law> nicht zu begründen.
4.4 Schliesslich belegt der Gesuchsteller mit der Verfügung der Eidgenössischen Invalidenversicherung vom 28. November 2007, dass ihm rückwirkend ab 1. März 2004 bis 30. November 2007 eine monatliche Rente von Fr. 555.-- bis Fr. 581.-- und ab 1. Dezember 2007 eine monatliche Rente von Fr. 581.-- zusteht (PJ 5 ff.). Es handelt sich dabei um eine vorbestandene Tatsache, die erst mit der - mehrere Jahre zurückwirkenden - Rentenverfügung bewiesen werden konnte. Der Gesuchsteller hat das Beweismittel nicht bereits im früheren Verfahren beibringen können, weil es damals noch nicht vorlag. Unter diesen Voraussetzungen hat das Eidgenössische Versicherungsgericht einen Revisionsgrund im Sinne von Art. 137 lit. b OG stets zugelassen (Urteile I 168/00 vom 13. Juni 2001, E. 3c, und I 272/97 vom 7. Oktober 1997). Gleichwohl kann hier das Revisionsbegehren des Gesuchstellers nicht gutgeheissen werden. Wie er selber hervorhebt, wird die neu festgesetzte Rente von Fr. 581.-- zusätzlich zur bereits bezogenen Rente von Fr. 625.-- monatlich ausbezahlt (S. 3 lit. E des Gesuchs und S. 2 der Gesuchsergänzung). Die Berücksichtigung der IV-Rente erhöhte die Leistungsfähigkeit und infolgedessen die Unterhaltspflicht des Gesuchstellers. Den angestrebten Erfolg, von Unterhaltsleistungen befreit zu werden, könnte die Gutheissung des Revisionsbegehrens dem Gesuchsteller somit nicht verschaffen. Sein Revisionsgesuch erweist sich deshalb in diesem Punkt mangels rechtlich schutzwürdigen Interesses als unzulässig (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 190).
4.5 Aus den dargelegten Gründen kann auch der Revisionsgrund gemäss <ref-law> nicht bejaht werden.
5. Das Revisionsgesuch muss insgesamt abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Der Gesuchsteller wird damit kostenpflichtig (<ref-law>). Seinem sinngemäss gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden, da der Gesuchsteller den Kostenvorschuss innert Frist geleistet hat und in seinem Begleitschreiben die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege weder begründet noch belegt (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Mai 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli von Roten