Faits:
A. Par contrat du 15 novembre 2007, soumis au droit suisse, la société X._ Sàrl, responsable financière de l'équipe professionnelle de cyclisme W._, a engagé le coureur cycliste professionnel Y._ pour une durée de deux ans à compter du 1er janvier 2008. La rémunération du coureur cycliste a été fixée à 275'000 euros pour 2008 et à 340'000 euros pour 2009.
X._ Sàrl a résilié ledit contrat avec effet immédiat par lettre recommandée du 23 juillet 2008, au motif qu'un rapport médical, annexé à cette lettre, faisait apparaître des anomalies dans les valeurs de l'urine et du sang prélevés sur le coureur cycliste à l'occasion d'un contrôle interne effectué par l'équipe. Selon elle, il y avait là de sérieux indices d'une stimulation de la moelle osseuse consécutive à l'administration d'EPO exogène.
B. Le 1er septembre 2008, Y._, se fondant sur la clause compromissoire insérée dans le contrat, a déposé une requête d'arbitrage auprès du Tribunal Arbitral du Sport (TAS) afin d'obtenir quelque 5,7 millions d'euros d'indemnités en application des art. 49, 328 et 337c CO.
X._ Sàrl a conclu au rejet de la demande et, reconventionnellement, à l'octroi d'une indemnité d'un million d'euros à titre de réparation du tort moral.
Par sentence du 15 juin 2009, le TAS, admettant partiellement la demande, a condamné X._ Sàrl à payer à Y._ la somme de 654'166,67 euros avec intérêts à 5% dès le 27 novembre 2008, autorisé la publication de la sentence par ses soins et décidé de transmettre celle-ci à l'Union Cyclise Internationale (UCI). Il a mis 75% des frais d'arbitrage à la charge de X._ Sàrl, condamné cette dernière à verser 25'000 fr. de dépens à Y._ et rejeté toutes autres ou plus amples conclusions des parties. En résumé, le TAS a considéré que l'employeur avait résilié de manière injustifiée le contrat de travail liant les parties, sur la base d'une simple suspicion de dopage et sans avoir mis en oeuvre la procédure préalable ad hoc prévue dans le contrat.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, X._ Sàrl demande au Tribunal fédéral d'annuler la sentence du 15 juin 2009. Elle reproche au TAS d'avoir violé son droit d'être entendue.
L'intimé conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, au rejet de celui-ci. Le TAS propose le rejet du recours.
D. Postérieurement au dépôt de son recours, X._ Sàrl a formé une demande de révision visant la même sentence.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral est saisi d'un recours en matière civile et d'une demande de révision connexes visant la même sentence arbitrale. Conformément à la règle générale, à laquelle il n'y a pas de raison de déroger en l'espèce, le recours en matière civile sera traité en priorité (cf. <ref-ruling> consid. 1).
2. Dans le domaine de l'arbitrage international, le recours en matière civile est recevable contre les décisions de tribunaux arbitraux aux conditions prévues par les art. 190 à 192 LDIP (art. 77 al. 1 LTF).
Le siège du TAS se trouve à Lausanne. L'une des parties au moins (en l'occurrence, les deux) n'avait pas son domicile en Suisse au moment déterminant. Les dispositions du chapitre 12 de la LDIP sont donc applicables (art. 176 al. 1 LDIP).
La recourante est directement touchée par la sentence attaquée, puisque celle-ci la condamne à verser une somme d'argent à l'intimé. Elle a ainsi un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que cette sentence n'ait pas été rendue en violation de l'art. 190 al. 2 let. d LDIP, ce qui lui confère la qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF).
Déposé dans les 30 jours suivant la notification de la sentence attaquée (art. 100 al. 1 LTF), le recours, qui satisfait aux exigences formelles posées par l'art. 42 al. 1 LTF, est recevable.
3. Pour contester la recevabilité du recours, l'intimé soutient que la recourante a valablement renoncé à recourir contre la sentence du TAS. Il invoque, à ce propos, un passage de la clause arbitrale dans lequel les parties déclarent, en substance, vouloir se soumettre expressément à la sentence, de bonne foi et fidèlement (traduction du texte anglais faite par le conseil de l'intimé). En soi, rien ne s'opposerait, en l'occurrence, à la prise en considération de cette prétendue renonciation au recours, puisqu'elle n'est pas opposée ici au sportif, mais à son ex-employeur (<ref-ruling> consid. 4). Toutefois, les termes utilisés dans le passage invoqué par l'intimé ne satisfont nullement aux conditions de forme fixées par l'art. 192 al. 1 LDIP et la jurisprudence y relative (<ref-ruling> consid. 3 et les références) pour admettre l'existence d'une renonciation valable au recours.
Il y a lieu, partant, d'entrer en matière.
4. 4.1 Comme unique grief, la recourante reproche au TAS d'avoir violé son droit d'être entendue. Plus précisément, elle lui fait grief de n'avoir tenu aucun compte de la lettre que son conseil de l'époque avait adressée au TAS le 12 juin 2009, postérieurement à l'audience du 29 avril 2009, et des pièces qui y étaient jointes. Ces pièces, souligne-t-elle, révélaient, en particulier, l'existence de nouvelles directives techniques adoptées le 9 mai 2009 par l'Agence Mondiale Antidopage (AMA) au sujet de l'EPO (TD2009EPO) et entrées en vigueur le 31 mai 2009. Or, selon la recourante, la stimulation de la moelle osseuse de l'intimé causée par l'administration d'EPO exogène devait être tenue pour avérée au regard de ces nouvelles directives, ce que confirmaient les autres pièces produites. Dès lors, le licenciement immédiat du coureur cyclise s'en trouvait justifié a posteriori, puisque l'employeur, qui avait résilié le contrat sur la base de soupçons de dopage, était parvenu à établir la réalité de ceux-ci. Aussi le TAS aurait-il dû prendre en considération ces nouveaux éléments de preuve qui étaient de nature à modifier l'issue du litige.
4. 4.1 Comme unique grief, la recourante reproche au TAS d'avoir violé son droit d'être entendue. Plus précisément, elle lui fait grief de n'avoir tenu aucun compte de la lettre que son conseil de l'époque avait adressée au TAS le 12 juin 2009, postérieurement à l'audience du 29 avril 2009, et des pièces qui y étaient jointes. Ces pièces, souligne-t-elle, révélaient, en particulier, l'existence de nouvelles directives techniques adoptées le 9 mai 2009 par l'Agence Mondiale Antidopage (AMA) au sujet de l'EPO (TD2009EPO) et entrées en vigueur le 31 mai 2009. Or, selon la recourante, la stimulation de la moelle osseuse de l'intimé causée par l'administration d'EPO exogène devait être tenue pour avérée au regard de ces nouvelles directives, ce que confirmaient les autres pièces produites. Dès lors, le licenciement immédiat du coureur cyclise s'en trouvait justifié a posteriori, puisque l'employeur, qui avait résilié le contrat sur la base de soupçons de dopage, était parvenu à établir la réalité de ceux-ci. Aussi le TAS aurait-il dû prendre en considération ces nouveaux éléments de preuve qui étaient de nature à modifier l'issue du litige.
4.2 4.2.1 Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par les art. 182 al. 3 et 190 al. 2 let. d LDIP, n'a en principe pas un contenu différent de celui consacré en droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 1b; <ref-ruling> consid. 1a p. 347). Ainsi, il a été admis, dans le domaine de l'arbitrage, que chaque partie avait le droit de s'exprimer sur les faits essentiels pour le jugement, de présenter son argumentation juridique, de proposer ses moyens de preuve sur des faits pertinents et de prendre part aux séances du tribunal arbitral (<ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 4c p. 643).
S'agissant du droit de faire administrer des preuves, il faut qu'il ait été exercé en temps utile et selon les règles de forme applicables (ATF <ref-ruling> consid. 1b p. 389).
La jurisprudence a également déduit du droit d'être entendu un devoir minimum pour l'autorité d'examiner et de traiter les problèmes pertinents (<ref-ruling> consid. 2b). Ce devoir, qui a été étendu à l'arbitrage international (121 III 331 consid. 3b p. 333), est violé lorsque, par inadvertance ou malentendu, le tribunal arbitral ne prend pas en considération des allégués, arguments, preuves et offres de preuve présentés par l'une des parties et importants pour la décision à rendre. Il incombe à la partie soi-disant lésée d'établir, d'une part, que le tribunal arbitral n'a pas examiné certains éléments de fait, de preuve ou de droit qu'elle avait régulièrement avancés à l'appui de ses conclusions et, d'autre part, que ces éléments étaient de nature à influer sur le sort du litige (<ref-ruling> consid. 5.2 et les arrêts cités).
4.2.2 Il appert des explications, dûment étayées, fournies par le TAS dans sa réponse au recours, que le cabinet de l'ancien conseil de la recourante a reçu la sentence par fax du 15 juin 2009 à 17 h 08 et que la susdite lettre, datée du 12 juin 2009, n'a en fait été envoyée au TAS que le 15 juin 2009 à 20 h 12. Ainsi, toutes les pièces dont se prévaut la recourante pour justifier après coup la résiliation immédiate du contrat de travail de l'intimé ont été adressées au TAS postérieurement à la communication de la sentence attaquée. Dès lors, le reproche fait à l'autorité de jugement de ne pas avoir pris en considération ces éléments de preuve confine à la témérité.
Pour le surplus, il convient d'observer qu'à la fin de l'audience du TAS, chaque partie a déclaré que son droit d'être entendue avait été respecté et qu'elle n'avait aucune objection à formuler sur la manière dont l'audience s'était déroulée.
Il suit de là que l'unique grief formulé par la recourante se révèle dénué de tout fondement. Le présent recours ne peut, dès lors, qu'être rejeté, ce qui rend sans objet la demande d'effet suspensif pendante.
5. La recourante, qui succombe, devra payer les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF) et verser des dépens à l'intimé (art. 68 al. 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 9'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimé une indemnité de 10'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal Arbitral du Sport (TAS).
Lausanne, le 13 octobre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo