A.- Der 1970 geborene S._ war Inhaber der Firma A._ und bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) freiwillig gegen Unfälle versichert. Am 21. Juni 1995 wurde er in einen Verkehrsunfall verwickelt, als er als Lenker eines Personenwagens frontal mit einem unvermittelt von links seine Fahrbahn überquerenden Auto zusammenprallte. Dr. med. A._, welchen der Versicherte nach der Primärversorgung im Spital X._ aufsuchte, diagnostizierte im Bericht vom 15. September 1995 ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS). Die SUVA kam für die Heilbehandlung auf und richtete Taggelder aus. Am 14. September 1995 wurde S._ vom Kreisarzt Dr. med. B._ untersucht, der zur Auffassung gelangte, dass nichtsomatische Beschwerdeursachen eine Rolle spielten. Am 18. Januar 1996 bestätigte er, dass die persistierenden Beschwerden keinem fassbaren klinischen Korrelat zugeordnet werden könnten. Vom 31. Januar bis 29. März 1996 hielt sich der Versicherte zur Behandlung der anhaltenden Beschwerden in der Klinik Z._ auf (Austrittsbericht vom 19. April 1996 mit neuropsychologischem Bericht vom 26. Februar 1996 und Bericht über ein neurologisches Konsilium vom 5. Februar 1996). Am 11. Juli 1996 erfolgte eine spezialärztliche Untersuchung durch Dr. med. C._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie, SUVA-Ärzteteam Unfallmedizin. Auf Grund der fachärztlichen Angaben stellte die SUVA die bisher gewährten Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld) auf den 31. August 1996 ein (Verfügung vom 27. August 1996). Nachdem der Versicherte Einsprache erhoben hatte, gingen bei der Anstalt ein zuhanden der Invalidenversicherung erstatteter Bericht des Prof. E._, Neuropsychologisches Institut, vom 23. Dezember 1996, ein Bericht des Psychiaters Dr. H._ vom 6. Januar 1997, welchem ein Bericht über ein am Institut für Nuklearmedizin, Spital Y._, durchgeführtes SPECT des Cerebrums vom 11. November 1996 beigelegt war, sowie ein Bericht über eine MRI-Untersuchung der HWS und des Schädels an der Orthopädischen Klinik W._ Y._ vom 6. März 1997 ein. Schliesslich erstattete die behandelnde Ärztin Frau Dr. D._ am 9. April 1997 Bericht. Mit Entscheid vom 14. Mai 1997 wies die SUVA die Einsprache ab. Sie stellte fest, dass keine organischen Unfallfolgen mehr vorlägen, während die psychische Fehlentwicklung in keinem adäquaten Kausalzusammenhang zum versicherten Unfallereignis stehe.
B.- S._ liess Beschwerde führen mit den Anträgen, der Einspracheentscheid sei aufzuheben und die SUVA sei zu verpflichten, ihm die gesetzlichen Leistungen, namentlich Taggelder für die Zeit vom 1. September 1996 bis 30. April 1997 sowie Heilbehandlung, zu erbringen. Mit Entscheid vom 10. Juni 1999 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab.
C.- Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt S._ die vorinstanzlich gestellten Rechtsbegehren erneuern; zusätzlich beantragt er, die SUVA sei zu verhalten, über den Renten- und den Integritätsentschädigungsanspruch zu befinden.
Die SUVA und das Bundesamt für Sozialversicherung verzichten auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- In der Verfügung vom 27. August 1996, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 14. Mai 1997, hat die SUVA die Versicherungsleistungen auf den 31. August 1996 eingestellt. Davon ausdrücklich erfasst waren nur die bisher gewährten Leistungen, wie aus dem Verfügungstext klar hervorgeht ("Wir stellen daher unsere Versicherungsleistungen, Taggelder sowie Heilkosten, mit dem Datum vom 31. August 1996 ein"). Über den Anspruch auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung wurde demgegenüber seitens der SUVA nicht verfügt. Soweit der Beschwerdeführer beantragt, die SUVA sei zu verpflichten, über den Invalidenrenten- und Integritätsentschädigungsanspruch zu befinden, fehlt es an einem Anfechtungsgegenstand und damit an einer Sachurteilsvoraussetzung, weshalb in diesen Punkten auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht einzutreten ist (<ref-ruling> Erw. 1b, 118 V 313 Erw. 3b, je mit Hinweisen).
2.- Die Vorinstanz hat die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers zunächst vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (<ref-ruling> Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, 117 V 360 Erw. 4a) zutreffend dargelegt. Darauf kann verwiesen werden. Zu ergänzen ist, dass auch bei Schleudermechanismen der HWS zuallererst die medizinischen Fakten, wie die fachärztlichen Erhebungen über Anamnese, objektiven Befund, Diagnose, Verletzungsfolgen, unfallfremde Faktoren, Vorzustand usw. die massgeblichen Grundlagen für die Kausalitätsbeurteilung durch Verwaltung und Gerichtsinstanzen bilden. Das Vorliegen eines Schleudertraumas wie seine Folgen müssen somit durch zuverlässige ärztliche Angaben gesichert sein. Trifft dies zu und ist die natürliche Kausalität - auf Grund fachärztlicher Feststellungen in einem konkreten Fall - unbestritten, so kann der natürliche Kausalzusammenhang ebenso aus rechtlicher Sicht als erstellt gelten, ohne dass ausführliche Darlegungen zur Beweiswürdigung nötig wären (<ref-ruling> Erw. 2b aa).
3.- Auf Grund der Arztberichte steht fest, dass der Beschwerdeführer beim Verkehrsunfall vom 21. Juni 1995 ein Schleudertrauma der HWS oder zumindest eine äquivalente Verletzung (Distorsion der HWS) erlitten hat, die aus rechtlicher Sicht einem "klassischen Schleudertrauma" gleichgestellt ist (RKUV 2000 Nr. U 359 S. 29). Ebenso ist auf Grund der medizinischen Unterlagen ausgewiesen, dass über den 31. August 1996 hinaus Folgen dieser Verletzung vorlagen, weshalb davon ausgegangen werden kann, dass die beim Unfall erlittene Distorsionsverletzung zumindest eine Teilursache für die über Ende August 1996 hinaus anhaltenden (psychischen) Beschwerden bildet, was für die Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs im Sinne der vorstehenden Darlegungen (Erw. 2 hievor) genügt. Der Umstand, dass sich die anhaltenden Beschwerden klinisch sowie mit Bild gebenden Methoden nicht objektivieren liessen, zunehmend psychische Beschwerden im Vordergrund standen und SUVA-Arzt Dr. med. C._ gestützt auf die spezialärztliche Untersuchung vom 11. Juli 1996 einen psychogenen Nackenschmerz diagnostizierte, ist mit Bezug auf die Frage nach dem natürlichen Kausalzusammenhang nicht entscheidend. Denn die mit <ref-ruling> geänderte Rechtsprechung bezieht sich gerade auf Unfälle mit Schleudertraumen der HWS ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle. Soweit in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde hinsichtlich des Fehlens organischer Befunde geltend gemacht wird, SUVA-Arzt Dr. C._ sei aus fachlichen Gründen nicht in der Lage gewesen, eine zuverlässige Beurteilung der Unfallfolgen vorzunehmen, ist dem Versicherten entgegenzuhalten, dass er wiederholt neurologisch und neuropsychologisch abgeklärt wurde, ohne dass die Beschwerden objektiviert werden konnten.
4.- Zu prüfen bleibt, ob die über Ende August 1996 hinaus anhaltenden, die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigenden Beschwerden in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall stehen. Diese Beurteilung ist mit der Vorinstanz unter dem Gesichtspunkt einer psychischen Fehlentwicklung vorzunehmen. Denn den ärztlichen Feststellungen zufolge sind die zum typischen Beschwerdebild eines Schleudertraumas (oder einer Distorsionsverletzung) der HWS gehörenden Beeinträchtigungen im vorliegenden Fall zwar teilweise gegeben, treten im Vergleich zur ausgeprägten psychischen Problematik aber ganz in den Hintergrund (<ref-ruling> Erw. 2a). Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers trifft es nicht zu, dass sich die psychische Destabilisierung erst lange Zeit nach dem Unfall eingestellt hat. Kreisarzt Dr. med. B._ hielt bereits im Bericht vom 14. September 1995 - weniger als drei Monate nach dem Unfall - fest, dass nichtsomatische Beschwerden eine Rolle spielten, und im Austrittsbericht der Klinik Z._ vom 19. April 1996 wurden nach zweimonatiger Behandlung dringendst psychosomatische Begleitung und Betreuung empfohlen, weil eine gewisse Symptom-Verstärkung aus unfallfremden Gründen nicht ausgeschlossen werden konnte.
a) Die Vorinstanz hat die Rechtsprechung zur Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen einem Unfall und der in der Folge eingetretenen psychischen Fehlentwicklung mit Einschränkung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit in Erw. 3b des angefochtenen Entscheides zutreffend wiedergegeben. Es wird darauf verwiesen.
b) Ausgehend von einem mittelschweren Unfall hat das kantonale Gericht in Anwendung der nach der Rechtsprechung (<ref-ruling> Erw. 6c aa) massgebenden Kriterien festgestellt, dass weder ein einzelnes unfallbezogenes Kriterium in besonders ausgeprägter Weise gegeben sei, noch mehrere Kriterien erfüllt seien, weshalb es die Adäquanz des Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis und den persistierenden Beschwerden verneinte. Dieser Beurteilung ist beizupflichten. Was der Versicherte hiegegen einwendet, vermag zu keinem anderen Ergebnis zu führen. Richtig ist, dass er eine Verletzung erlitten hat, die erfahrungsgemäss geeignet ist, eine psychische Fehlentwicklung auszulösen. Die weiteren unfallbezogenen Kriterien sind jedoch allesamt nicht gegeben. Der Unfall ereignete sich weder unter dramatischen Begleitumständen noch ist er als besonders eindrücklich zu bezeichnen. Körperliche Dauerschmerzen liegen nicht vor, und von einer ungewöhnlich langen Dauer der Behandlung der somatischen Unfallfolgen, einer ärztlichen Fehlbehandlung oder einem schwierigen Heilungsverlauf mit erheblichen Komplikationen kann nicht die Rede sein. Schliesslich liegt auch keine lang dauernde physisch bedingte Arbeitsunfähigkeit vor. Soweit der Beschwerdeführer aus gesundheitlichen Gründen rund zwei Jahre arbeitsunfähig war, ist dies grösstenteils auf psychische Gründe zurückzuführen.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen,
soweit darauf einzutreten ist.
II. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversiche-
rungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für
Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 14. April 2000
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: