Sachverhalt:
A. Der 1975 geborene Z._ war als Maschinist an einer Betonanlage in der Firma Y._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 10. Dezember 2003 erlitt er am frühen Morgen auf dem Weg zur Arbeit einen Verkehrsunfall. Der von ihm gelenkte Opel prallte, auf dem zweiten Überholstreifen der Autobahn fahrend, in einen zuvor auf Glatteis ins Schleudern geratenen und bei der Mittelleitplanke quer zur Fahrbahn zum Stillstand gekommenen Personenwagen. Dessen Lenker wurde beim Aufprall des Opel vom eigenen Auto, das er verlassen hatte, weggeschleudert, und erlitt schwere Verletzungen, welchen er noch am selben Morgen erlag. Z._ seinerseits wurde notfallmässig ins Spital X._ überführt, wo eine Commotio cerebri, eine Thoraxkontusion sowie Schürfwunden im Gesicht diagnostiziert wurden. Am folgenden Tag konnte Z._ das Spital wieder verlassen (Austrittsbericht vom 11. Dezember 2003). Der Unfall wurde der SUVA am 15. Dezember 2003 gemeldet. Z._ nahm die Arbeit am 26. Januar 2004 zu 50 % und am 3. Februar 2004 voll wieder auf. Die Heilbehandlung endete am 2. Februar 2004. Ab April 2004 traten erneut Beschwerden auf, welche der Versicherte der SUVA am 12. Mai 2005 als Folge des Verkehrsunfalls vom 10. Dezember 2003 melden liess. Die SUVA verneinte ihre Leistungspflicht hiefür mit der Begründung, die Beschwerden seien ausschliesslich psychischer Natur und stünden nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 10. Dezember 2003 (Verfügung vom 11. April 2005). Hiegegen erhoben Z._, die Öffentliche Krankenkasse Basel (nachfolgend: ÖKK) als sein obligatorischer Krankenpflegeversicherer, die Pensionskasse der Firma Y._ AG (nachfolgend: Pensionskasse) als sein Vorsorgeversicherer im Unfallzeitpunkt und die Winterthur Versicherungen als Krankentaggeldversicherer je Einsprache. Mit Einspracheentscheid vom 10. Januar 2006 hielt die SUVA an der Verfügung vom 11. April 2005 fest.
B. Hiegegen führten Z._, die ÖKK und die Pensionskasse je Beschwerde. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt zog die Akten der Invalidenversicherung, bei der sich Z._ im Februar 2005 zum Leistungsbezug angemeldet hatte, bei und führte in den Verfahren einen doppelten Schriftenwechsel durch. Mit drei Entscheiden vom 7. November 2006 hiess es die Beschwerden gut, hob den Einspracheentscheid vom 10. Januar 2006 auf und wies die Sache zu ergänzenden medizinischen Abklärungen und zur neuen Verfügung über den Leistungsanspruch im Sinne der Erwägungen an den Unfallversicherer zurück.
C. Die SUVA erhebt - inhaltlich identische - Verwaltungsgerichtsbeschwerden (Verfahren U 2/07, U 3/07 und U 4/07) auf Aufhebung der drei kantonalen Entscheide.
Z._ lässt auf Abweisung der ihn betreffenden Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen und um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung für die Gerichtskosten ersuchen (U 2/07). Die Abweisung der sie betreffenden Verwaltungsgerichtsbeschwerden beantragen auch die Pensionskasse (U 3/07) und die ÖKK (U 4/07). Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Stellungnahme zu den Verwaltungsgerichtsbeschwerden.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Die angefochtenen Entscheide sind indessen vorher ergangen, weshalb sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG) richtet (Art. 132 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. Da den drei Verwaltungsgerichtsbeschwerden derselbe Sachverhalt zu Grunde liegt und sich die gleichen Rechtsfragen stellen, rechtfertigt es sich, die drei Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-ruling> E. 1 S. 126 und 192 E. 1 S. 194, je mit Hinweisen).
3. Die SUVA hatte vorinstanzlich noch die Legitimation der Pensionskasse zur kantonalen Beschwerde bestritten. Das kantonale Gericht hat deren Rechtsmittelbefugnis im angefochtenen Entscheid (U 4/07) bejaht und sich dabei auf RKUV 2006 Nr. U 580 S. 186 (U 36/05 und U 38/05) gestützt. Ob diese Beurteilung zutrifft, wäre im Lichte des in <ref-ruling> und in dem noch nicht publizierten Urteil U 148/06 vom 28. August 2007 Gesagten grundsätzlich näher zu betrachten, kann aber vorliegend offen bleiben, da die drei von der SUVA angefochtenen Entscheide im Dispositiv allesamt gleich lauten, hier nicht mit unterschiedlichem Ergebnis beurteilt werden und das Verfahren betreffend die Pensionskasse keine Kostenfolgen zeitigt.
4. Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind in den angefochtenen Entscheiden zutreffend dargelegt. Es betrifft dies namentlich den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers nebst dem natürlichen Kausalzusammenhang erforderlichen adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden bei klar ausgewiesenen organischen Unfallfolgen (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen), bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (<ref-ruling>), bei Schleudertraumen der Halswirbelsäule (HWS) ohne organisch (hinreichend) nachweisbare Folgeschäden (<ref-ruling>), bei dem Schleudertrauma äquivalenten Verletzungen (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) und bei Schädel-Hirntraumen (vgl. <ref-ruling>). Darauf wird verwiesen. Hervorzuheben ist, dass nach der so genannten Schleudertraumapraxis, anders als im Falle einer psychischen Fehlentwicklung nach Unfall, bei der Prüfung der unfallbezogenen Kriterien auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird, weil es hier nicht entscheidend ist, ob Beschwerden eher als organischer und/oder psychischer Natur beurteilt werden (<ref-ruling> E. 6a S. 367 und 369 E. 4b S. 382 f.).
5. 5.1 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, im Zeitpunkt des Erlasses des Einspracheentscheides vom 10. Januar 2006 hätten keine klar ausgewiesenen organischen Unfallfolgen mehr vorgelegen. Hingegen sei gemäss den medizinischen Akten von einer natürlich unfallkausalen psychischen Problematik auszugehen. Die Frage, ob diese auch in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 10. Dezember 2003 stehe, sei gemäss den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Regeln zu prüfen, da das für Verletzungen, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis rechtfertigten, typische bunte Beschwerdebild nicht aufgetreten sei und ohnehin die psychischen Probleme als dominant zu betrachten wären.
Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten richtig. Es wird hiegegen einzig von der Pensionskasse eingewendet, die Adäquanz sei nach der Schleudertrauma-Praxis zu prüfen. Dies ist mit der Vorinstanz, auf deren Erwägungen verwiesen wird, zu verneinen. Im Übrigen erkennt die Pensionskasse richtig, dass die Frage nach der anwendbaren Methode für die Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs offen bleiben kann, wenn dieser auch gemäss den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen zu bejahen ist. Ob dies zutrifft, ist umstritten und im Folgenden zu prüfen.
5.2 Rechtsprechungsgemäss ist für die Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs im Einzelfall zu verlangen, dass dem Unfallereignis eine massgebende Bedeutung für die Entstehung einer psychisch bedingten Erwerbsunfähigkeit zukommt. Dies trifft dann zu, wenn es eine gewisse Schwere aufweist oder mit anderen Worten ernsthaft ins Gewicht fällt (<ref-ruling> E. 7 S. 141 mit Hinweisen).
Für die Beurteilung dieser Frage ist an das Unfallereignis anzuknüpfen, wobei - ausgehend vom augenfälligen Geschehensablauf - zwischen banalen bzw. leichten Unfällen einerseits, schweren Unfällen anderseits und schliesslich dem dazwischen liegenden mittleren Bereich unterschieden wird. Während der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel bei schweren Unfällen ohne weiteres bejaht und bei leichten Unfällen verneint werden kann, lässt sich die Frage der Adäquanz bei Unfällen aus dem mittleren Bereich nicht aufgrund des Unfallgeschehens allein schlüssig beantworten. Es sind weitere, objektiv fassbare Umstände, welche unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehen oder als direkte bzw. indirekte Folgen davon erscheinen, in eine Gesamtwürdigung einzubeziehen. Je nachdem, wo im mittleren Bericht der Unfall einzuordnen ist und abhängig davon, ob einzelne dieser Kriterien in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sind, genügt zur Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs ein Kriterium oder müssen mehrere herangezogen werden (<ref-ruling> E. 6 S. 138 ff.). Als wichtigste Adäquanzkriterien gelten (<ref-ruling> E. 6c/aa S. 140):
- besonders dramatische Begleitumstände oder besondere
Eindrücklichkeit des Unfalls;
- die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen,
insbesondere ihre erfahrungsgemässe Eignung, psychische Fehl-
entwicklungen auszulösen;
- ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung;
- körperliche Dauerschmerzen;
- ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich ver-
schlimmert;
- schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen;
- Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit.
5.3 Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 10. Dezember 2003 den schwereren Unfällen im mittleren Bereich zugeordnet. Dies hätte zur Folge, dass für die Bejahung der Adäquanz ein einziges, nicht notwendigerweise in besonders ausgeprägter Weise erfülltes Kriterium genügen würde (<ref-ruling> E. 6c/bb S. 140; E. 5.2 hievor). Begründet wird die Einstufung der Unfallschwere damit, dass der Unfall sich nicht bei Tageslicht ereignete, der Versicherte selber Kopfverletzungen erlitt, ein Unfallbeteiligter den Tod fand und der Aufprall auf das stehende Fahrzeug mit hoher Geschwindigkeit erfolgte.
Die Vorinstanz kam sodann zum Ergebnis, das Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalles sei, sogar in ausgeprägter Form, gegeben und bejahte entsprechend den adäquaten Kausalzusammenhang. Als wesentliche Gesichtspunkte für die Erfüllung des Kriteriums werden im angefochtenen Entscheid u.a. erwähnt: die Heftigkeit des Zusammenstossens der Fahrzeuge, dass sich die Kollision bei Dunkelheit ereignete und dass das Ereignis den Tod einer Person zur Folge hatte.
5.3.1 Die SUVA wendet in grundsätzlicher Hinsicht ein, die Vorinstanz habe damit die Schwere des Unfalles teils anhand von Faktoren bestimmt, welche dann nochmals auf der Ebene der Adäquanzkriterien und somit zweifach gewichtet worden seien.
Der Einwand ist berechtigt. Die Schwere des Unfalles bestimmt sich nach dem augenfälligen Geschehensablauf (<ref-ruling> E. 6 Ingress S. 139) und nicht nach den Kriterien, welche bei der Beurteilung der Adäquanz bei mittelschweren Unfällen Beachtung finden (vgl. Urteil U 503/05 vom 17. August 2006, E. 3.1 und 3.2). Zu prüfen ist im Rahmen einer objektivierten Betrachtungsweise, ob der Unfall eher als leicht, als mittelschwer oder als schwer erscheint, wobei im mittleren Bereich gegebenenfalls eine weitere Differenzierung nach der Nähe zu den leichten oder schweren Unfällen erfolgt. Massgebend ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (vgl. RKUV 1999 Nr. U 335 S. 207 E. bb), nicht jedoch Folgen des Unfalles oder Begleitumstände, die nicht direkt dem Unfallgeschehen zugeordnet werden können. Derartigen dem eigentlichen Unfallgeschehen nicht zuzuordnenden Faktoren ist gegebenenfalls bei den Adäquanzkriterien Rechnung zu tragen. Dies gilt etwa für die - ein eigenes Kriterium bildenden - Verletzungen, welche sich die versicherte Person zuzieht, aber auch für - unter dem Gesichtspunkt der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls zu prüfende - äussere Umstände, wie eine allfällige Dunkelheit im Unfallzeitpunkt oder Verletzungs- resp. gar Todesfolgen, die der Unfall für andere Personen nach sich zieht. Soweit die Rechtsprechung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts (seit 1. Januar 2007: Bundesgericht) nicht zwischen dem eigentlichen Unfallgeschehen und den davon zu trennenden Faktoren unterschied, indem wiederholt die Verletzungen der versicherten Person bereits bei der Beurteilung der Unfallschwere erwähnt wurden (vgl. aus jüngerer Zeit etwa SVR 2007 UV Nr. 26 S. 86, E. 5.1, U 339/06; Urteile U 297/06 vom 24. August 2007, E. 4.2, U 460/06 vom 18. Juli 2007, E. 3.6, U 568/06 vom 29. Juni 2007, E. 3.1, U 373/06 vom 29. Juni 2007, E. 4.1, U 439/06 vom 29. Mai 2007, E. 4.2.1, und U 366/06 vom 23. Mai 2007, E. 5.1), gilt es dies richtig zu stellen.
5.3.2 Im vorliegenden Fall haben demnach entgegen den angefochtenen Entscheiden der Umstand, dass sich der Unfall nicht bei Tageslicht ereignete, sowie die Verletzungen des Versicherten und die Todesfolge für den weiteren Unfallbeteiligten bei der Beurteilung der Unfallschwere ausser Acht zu bleiben. Im Ergebnis ändert dies indessen nichts. Denn der Unfall vom 10. Dezember 2003 ist selbst ohne Berücksichtigung dieser Faktoren aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufes den schwereren Unfällen im mittleren Bereich zuzuordnen. Dies gilt auch im Lichte des von der Beschwerdeführerin erwähnten Urteils U 334/03 vom 15. November 2004 und ungeachtet dessen, ob die Geschwindigkeit des Wagens des Versicherten beim Zusammenprall mit dem stehenden Fahrzeug nun, wie von der Vorinstanz gestützt auf die polizeilichen Angaben angenommen, 100 - 110 km/h oder aber weniger betrug. Dass die Aufprallgeschwindigkeit, wie die SUVA geltend macht, deutlich unter dem von der Vorinstanz angenommenen Wert lag, ist jedenfalls mit Blick auf die vorhandenen Angaben zum Unfallhergang nicht wahrscheinlich. Die erhebliche Wucht des Aufpralls wird denn auch dadurch dokumentiert, dass das stehende Fahrzeug gegen den weiteren Unfallbeteiligten gestossen wurde und ihn wegschleuderte, wobei er sich tödliche Verletzungen zuzog.
5.3.3 Aufgrund des Zusammenspiels verschiedener Faktoren, wie Dunkelheit und Glatteis im Unfallzeitpunkt, Verletzungen des Versicherten u.a. am Kopf, Tod eines Unfallbeteiligten, welche im Einzelnen allenfalls nicht genügen würden, rechtfertigt es sich insgesamt, das Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls mit der Vorinstanz als erfüllt zu betrachten. Hieran vermögen die Einwände der SUVA nichts zu ändern. Dass der Versicherte erst Stunden nach dem Unfall vom Tod des weiteren Unfallbeteiligten erfuhr, bedeutet nicht, dass dieser Umstand nicht berücksichtigt werden darf. Dies liesse sich allenfalls unter dem Gesichtspunkt eines Schreckereignisses rechtfertigen. Im vorliegenden Fall war diese tragische Unfallfolge objektiv geeignet, den Versicherten unter dem Gesichtswinkel des Verschuldens zu belasten. Ob die dadurch hervorgerufenen Schuldgefühle letztlich juristisch begründet waren oder nicht, ist entgegen der von der SUVA vertretenen Auffassung nicht ausschlaggebend.
Ein einzelnes erfülltes Kriterium genügt bei der hier gegebenen Unfallschwere zur Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs (vgl. E. 5.2 und 5.2.3 hievor) zwischen dem Unfall vom 10. Dezember 2003 und den bestehenden psychischen Beschwerden. Es kann daher offen bleiben, ob das besagte Kriterium, wie von der Vorinstanz angenommen, sogar in besonders ausgeprägter Weise erfüllt ist. Die Adäquanzbeurteilung in den angefochtenen Entscheiden ist somit im Ergebnis richtig.
6. Ausgehend von den genannten kausalen Zusammenhängen hat die Vorinstanz die Sache zu ergänzenden Abklärungen an die SUVA zurückgewiesen.
6.1 Die Sachverhaltsergänzung soll zum einen die in den vorliegenden psychiatrischen Stellungnahmen uneinheitlich beantwortete Frage klären, welchen Schweregrad die unfallbedingten psychischen Beeinträchtigungen aufweisen und (mit Blick auch auf die Frage des Fallabschlusses nach Art. 19 Abs. 1 UVG) welche Heilbehandlung zu deren namhafter Besserung erforderlich ist. Dies ist nicht umstritten.
6.2 Das kantonale Gericht hat sodann angeordnet, sofern im weiteren Verlauf kognitive Störungen persistierten, jedoch die anderen psychiatrischerseits diagnostizierten Beschwerdebilder abgeklungen sein sollten, habe die SUVA nochmals durch einen Neurologen abklären zu lassen, ob dafür unfallkausale organische Hirnschädigungen verantwortlich seien.
Hiegegen wendet sich die Beschwerdeführerin zu Recht. Gestützt auf das überzeugende neurologische Gutachten des Dr. med. S._ vom 24. März 2005, dessen Beweiskraft von keiner Seite begründet in Frage gestellt wird, ist eine - gegebenenfalls unfallbedingte - hirnorganische Schädigung als Ursache für die bestehenden Beschwerden unwahrscheinlich. Dies gilt gemäss Dr. med. S._ auch unter Berücksichtigung der von ihm für wahrscheinlich erachteten und mittels andernorts durchgeführter neuropsychologischer Testung bestätigten Hirnleistungsdefizite. Dass eine erneute neurologische Untersuchung nunmehr eine unfallbedingte hirnorganische Schädigung ergeben sollte, kann zuverlässig verneint werden. Aus dem psychiatrischen Gutachten der Frau Dr. med. G._ vom 10. Oktober 2005, auf welches das kantonale Gericht zur Begründung der umstrittenen Abklärungsanordnung verweist, ergibt sich nichts anderes. Namentlich hat die Psychiaterin für den Fall, dass kognitive Beschwerden bei einem Rückgang der psychischen Problematik persistieren sollten, entgegen den vorinstanzlichen Erwägungen nicht eine ergänzende neurologische, sondern eine neuropsychologische Untersuchung empfohlen. Von einer solchen Abklärung wären aber ohnehin keine neuen Erkenntnisse zu erwarten, welche den zuverlässigen Schluss auf eine unfallkausale hirnorganische Schädigung gestatten würden. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerden sind mithin in diesem Punkt begründet.
7. Die Verfahren sind kostenfrei (Art. 134 OG). Der Versicherte ist als überwiegend obsiegend zu betrachten, weshalb ihm die SUVA eine Parteientschädigung auszurichten hat (Art. 159 in Verbindung mit Art. 135 OG). Die Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerden in einem vergleichsweise untergeordneten Teilpunkt rechtfertigt keine andere Regelung. Die verfahrensbeteiligten Versicherer haben ungeachtet des Prozessausgangs keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 159 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 135 OG).

erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren U 2/07, U 3/07 und U 4/07 werden vereinigt.
2. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerden werden teilweise gutgeheissen. Die Entscheide des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 7. November 2006 werden aufgehoben, soweit damit die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt verpflichtet werden soll, eine ergänzende neurologische Untersuchung durchzuführen. Im Übrigen werden die Verwaltungsgerichtsbeschwerden abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Die Beschwerdeführerin hat den Versicherten für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2000.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 19. November 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz