Sachverhalt:
A. Die X._ AG mit Sitz in Q._ (SZ) entwickelt Softwarelösungen und führt auf diesem Gebiet Beratungen, Schulungen und Seminare durch. Y._ ist alleiniger Aktionär und Mitarbeiter der Firma. Die Gemeinde Q._ stellte der X._ AG am 10. November 2006 gestützt auf die zuvor erfolgte rechtskräftige Veranlagung die Steuerrechnung 2005 zu. Danach hat die X._ AG für das Jahr 2005 eine reformierte Kirchensteuer von Fr. 99.05 und eine katholische von Fr. 545.35 zu bezahlen. Die gegen die Erhebung der erwähnten Kirchensteuern eingereichten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg.
B. Die X._ AG und Y._ beantragen dem Bundesgericht mit Beschwerde vom 24. Januar 2010 - Postaufgabe 27. Januar 2010 -, die genannte Gesellschaft nicht zur Bezahlung von Kirchensteuern für das Jahr 2005 zu verpflichten.
Die Kantonale Steuerkommission Schwyz stellt den Antrag, es sei auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit Y._ sie erhebe, und sie sei abzuweisen, soweit sie die X._ AG führe. Das Verwaltungsgericht und die Eidgenössische Steuerverwaltung haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Streitgegenstand bildet die Kirchensteuerpflicht der X._ AG. Diese Gesellschaft ist gemäss <ref-law> zur Erhebung der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das vorinstanzliche Urteil ohne weiteres legitimiert. Ein Ausschlussgrund nach <ref-law> ist nicht gegeben.
1.2 Die kantonale Steuerkommission sprach Y._ die Legitimation ab, die Kirchensteuerpflicht der X._ AG zu bestreiten. Sie trat deshalb auf seine Einsprache nicht ein. Im anschliessenden Verfahren beim Verwaltungsgericht erhob Y._ im eigenen Namen Beschwerde "nur gegen die Kostenentscheidung" der Steuerkommission und beantragte die Herabsetzung der auferlegten Kosten. Insoweit wies die Vorinstanz seine Beschwerde ab. Hiezu haben die Beschwerdeführer beim Bundesgericht weder einen Antrag gestellt noch Ausführungen gemacht (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Daher hat sich das Bundesgericht mit dem Kostenentscheid der Steuerkommission nicht weiter zu befassen. Soweit Y._ vor Bundesgericht nunmehr wieder im eigenen Namen die Kirchensteuerpflicht der X._ AG beanstanden will, ist ihm <ref-law> entgegenzuhalten. Denn er hat diesbezüglich nicht im eigenen Namen am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen (vgl. HANSJÖRG SEILER, in: Seiler/von Werdt/Güngerich, Stämpflis Handkommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2007, N. 13 zu <ref-law>; ALAIN WURZBURGER, in: Corboz et al., Commentaire de la LTF, 2009, N. 21 zu <ref-law>; BERNARD CORBOZ, ebenda, N. 9 zu <ref-law>; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, N. 3060). Auf die von Y._ persönlich erhobene Beschwerde ist deshalb nicht einzutreten.
1.3 Das Gleiche gilt für das Rechtsmittel der X._ AG, soweit diese einen Verstoss gegen die guten Sitten ins Feld führt, ohne dass ein Bezug zu einer entsprechenden Norm im Sinne von <ref-law> wie etwa <ref-law> besteht. Denn das Bundesgericht prüft nur Rechtsverletzungen (vgl. <ref-law>).
1.4 Im Übrigen sind die Rechtsmittelvoraussetzungen erfüllt. Mit den erwähnten Einschränkungen ist deshalb auf die - mit Blick auf den Fristenstillstand nach <ref-law> - rechtzeitig eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten der X._ AG (Beschwerdeführerin) einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin verlangt den Ausstand der Richter, die einer öffentlich-rechtlich anerkannten Kirche angehören. Diese hätten ein persönliches Interesse an der Aufrechterhaltung der Kirchensteuerpflicht juristischer Personen. Auch bestehe die Gefahr, dass sie einen Entscheid zuungunsten der Kirche als Sünde auffassen könnten.
2.2 <ref-law> enthält einen Katalog von Ausstandsgründen für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, welcher der gesetzlichen Gründe erfüllt sein soll. Sie nennt auch keine Umstände, die das behauptete persönliche Interesse der Richter am Verfahrensausgang oder religiöse Motive bei der Entscheidfindung näher zu belegen vermöchten (vgl. <ref-law>). Es entspricht im Gegenteil gefestigter Rechtsprechung, dass die Verbundenheit der Richter mit einem Kanton, ihre Zugehörigkeit zu einer Partei oder zu einer Kirche für sich allein keinen Ausstandsgrund bilden (Entscheid des Bundesgerichts 2P.133/1997 vom 17. Dezember 1997 E. 5c; vgl. auch <ref-ruling> E. 3 S. 53 f. und Urteile des Bundesgerichts 1P.385/2003 vom 23. Juli 2003 E. 3 sowie 8F_3/2008 vom 20. August 2008; BENJAMIN SCHINDLER, Die Befangenheit der Verwaltung, 2002, S. 126 ff. und 229; YVES DONZALLAZ, a.a.O., N. 575). Das Vorbringen der Beschwerdeführerin vermag daher den Ausstand von vornherein nicht zu begründen, weshalb kein Ausstandsverfahren nach <ref-law> durchgeführt zu werden braucht. Auf das gestellte Ausstandsbegehren ist vielmehr nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1 S. 279; Urteil des Bundesgerichts 2C_253/2007 vom 26. Juni 2007 E. 2).
3. 3.1 Die Vorinstanz stützt ihren Entscheid auf die §§ 1 bis 3 des Steuergesetzes des Kantons Schwyz vom 9. Februar 2000 (StG/SZ; SRSZ 172.200), nach denen die Kirchgemeinden von juristischen Personen Gewinn- und Kapital- sowie Quellensteuern erheben. Dabei setzen die Kirchgemeinden alljährlich den Steuerfuss in Prozenten der einfachen Steuer fest (§ 3 Abs. 2 StG/SZ). Die Vorinstanz verweist ebenfalls auf § 13 der Steuerbezugsverordnung des Regierungsrates des Kantons Schwyz vom 19. Dezember 2000 (SRSZ 172.212). Danach bestimmt sich bei juristischen Personen der Steuerfuss für die Kirchgemeindesteuer im Verhältnis der in der betreffenden Gemeinde wohnhaften Angehörigen der beiden Kantonalkirchen (Abs. 1). Juristische Personen mit konfessionellem Zweck haben Kirchgemeindesteuern ausschliesslich nach dem Steuerfuss der Kirchgemeinde dieser Konfession zu entrichten (Abs. 3).
Nach den vorinstanzlichen Feststellungen verfolgt die Beschwerdeführerin keinen konfessionellen Zweck, so dass sie sowohl der reformierten als auch der katholischen Kirchgemeinde Steuern zu entrichten habe. Diese Steuerpflicht ist nach Auffassung der Vorinstanz auch mit der Glaubens- und Gewissensfreiheit vereinbar. Sie bezieht sich dabei auf die langjährige Rechtsprechung des Bundesgerichts und fügt an, dass es eine rechtspolitische Grundsatzfrage bilde, ob juristische Personen zur Bezahlung von Kirchensteuern herangezogen werden sollen. Diese Frage sei von ihr nicht zu beantworten.
3.2 Die Beschwerdeführerin stellt die vorinstanzliche Anwendung des kantonalen Rechts nicht in Frage. Sie rügt hingegen, dass die massgeblichen kantonalen Bestimmungen gegen das Grundrecht der Religionsfreiheit gemäss Art. 15 der Bundesverfassung vom 18. April 1999 (BV; AS 1999 2556), Art. 9 EMRK und § 2 der Verfassung des eidgenössischen Standes Schwyz vom 23. Oktober 1898 (KV/SZ; SR 131.215) verstiessen. Sie verletzten ausserdem die Wirtschaftsfreiheit (<ref-law> und § 14 KV/SZ) und den Grundsatz der Rechtsgleichheit (<ref-law>).
4. 4.1 Die Frage, ob die Kirchensteuerpflicht juristischer Personen mit der Religionsfreiheit vereinbar sei, ist dem Bundesgericht seit der Verankerung dieses Grundrechts in Art. 49 der Bundesverfassung vom 29. Mai 1874 (aBV; AS I 1, 38) immer wieder vorgelegt worden. Es hat sie seit 1878 in ständiger Praxis bejaht (BGE 4 S. 533 ff.; <ref-ruling> mit zahlreichen Rechtsprechungshinweisen in E. 2a S. 470).
Aufgrund des eingetretenen gesellschaftlichen Wandels unterzog das Bundesgericht im Jahr 1976 seine Rechtsprechung einer eingehenden Überprüfung. Es setzte sich auch näher mit der an ihr geübten Kritik auseinander. Dabei gelangte es zum Schluss, dass sich zwar Gründe für eine Ordnung der Kirchensteuerpflicht auf rein personaler Grundlage anführen liessen; doch seien diese nicht geeignet, die Aufgabe der bisherigen Praxis zu rechtfertigen, die mit der herkömmlichen, bisher nicht grundsätzlich geänderten Rechtsnatur der öffentlich-rechtlichen Kirchgemeinden im Einklang stehe. Weiter mass es dem Einwand, hinter der juristischen Person stünden natürliche Personen, die durch die Besteuerung der Gesellschaft für Kultuszwecke indirekt in ihrer Glaubens- und Gewissensfreiheit verletzt sein könnten, bei kleineren Unternehmungen ein gewisses Gewicht zu. Es erklärte aber, dass derjenige, der einen Teil seines Vermögens rechtlich von seiner Person trenne und als juristische Person verselbständige, neben den Vorteilen dieser Gestaltung auch deren Nachteile in Kauf zu nehmen habe (BGE <ref-ruling> E. 3 ff. S. 472 ff.).
In einem weiteren Entscheid aus dem Jahr 2000 prüfte das Bundesgericht, ob die inzwischen in Kraft getretene neue Bundesverfassung vom 18. April 1999 eine Änderung der Rechtsprechung erfordere. Es stellte fest, dass <ref-law> zwar keine Regelung mehr enthalte, die Art. 49 Abs. 6 der Bundesverfassung von 1874 entspreche. Doch gehe zweifelsfrei aus den Materialien hervor, dass der Verfassungsgeber an der Kirchensteuerpflicht juristischer Personen nichts ändern und insbesondere das Bundesgericht nicht zur Aufgabe seiner bisherigen Praxis zwingen wollte. Dieses hob in seinem Entscheid ausserdem hervor, dass eine Änderung einer über hundertjährigen Praxis, auf die sich die öffentlich-rechtlichen anerkannten Kirchen eingestellt hätten, aus Gründen der Rechtssicherheit nur in Frage komme, wenn entsprechend gewichtige Gründe dafür vorlägen. Solche vermochte das Bundesgericht indessen nicht zu erkennen. Es sah deshalb keinen Anlass, seine Praxis zu ändern (<ref-ruling> ff.).
4.2 Gegen das 1976 ergangene Urteil des Bundesgerichts ist bei der Europäischen Kommission für Menschenrechte eine Beschwerde erhoben worden. Diese trat darauf nicht ein, da sich juristische Personen mit wirtschaftlichem Zweck nicht auf Art. 9 EMRK berufen könnten (Entscheid vom 27. Februar 1979, in: VPB 47/1983 Nr. 190 S. 579). Der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte hat sich mit der Frage bisher nicht befasst. Er hat in seiner Rechtsprechung indessen hervorgehoben, dass den Mitgliedstaaten bei der Regelung ihrer Beziehungen zu den Kirchen ein grosser Spielraum zukomme. Ein solcher bestehe insbesondere bei der Finanzierung der Kirchen und Religionsgemeinschaften. Denn in diesem Bereich bestünden auf europäischer Ebene keine allgemein anerkannten Grundsätze, weil diese Fragen eng mit der Geschichte und den Traditionen jedes einzelnen Staates verknüpft seien (Urteil des EGMR Alujer Fernandez gegen Spanien vom 14. Juni 2001, Recueil CourEDH 2001-VI S. 473).
5. Die Beschwerdeführerin übersieht nicht, dass das Bundesgericht die Kirchensteuerpflicht juristischer Personen bisher stets als verfassungsmässig erklärte. Sie macht jedoch geltend, diese Rechtsprechung müsse geändert werden. Die Erhebung einer Kirchensteuer von juristischen Personen ohne konfessionellen Zweck sei ein Relikt aus dem Mittelalter und diene in Wirklichkeit allein dazu, den Kirchen Millionenbeträge zukommen zu lassen. Dies sei umso stossender, als der Anteil der Bevölkerung, der einer Landeskirche angehöre, ständig abnehme. Die Beschwerdeführerin legt ausserdem besonderes Gewicht auf den Umstand, dass ihr einziger Aktionär und Mitarbeiter, der ein entschiedener Gegner der Kirchen sei, die Kirchensteuer persönlich überweisen müsse, was für ihn eine grosse Demütigung und Kränkung darstelle. Es sei deshalb unumgänglich, die persönliche Betroffenheit, welche die Kirchensteuerpflicht für die hinter der juristischen Person stehenden natürlichen Personen bewirke, zu berücksichtigen. Die Berufung auf die Religionsfreiheit dürfe nicht an der formalen Konstruktion der juristischen Person scheitern.
6. Das Bundesgericht hat seine Praxis zu ändern, wenn eine bessere Erkenntnis des Sinns der massgeblichen Bestimmungen, veränderte tatsächliche Verhältnisse oder gewandelte Rechtsanschauungen eine andere Lösung erfordern. Andernfalls ist die bisherige Rechtsprechung beizubehalten. Eine Praxisänderung muss sich auf ernsthafte sachliche Gründe stützen, die - im Interesse der Rechtssicherheit - umso gewichtiger sein müssen, je länger die als nicht mehr zeitgemäss erkannte Rechtsanwendung gehandhabt worden ist (<ref-ruling> E. 3 S. 8 mit Hinweisen).
Die bisherige Rechtsprechung, welche die Kirchensteuern juristischer Personen als zulässig erklärt, besteht - wie bereits erwähnt - seit über 130 Jahren. Die Kantone haben gestützt auf diese Praxis die Finanzierung der Kirchen und Religionsgemeinschaften geregelt. Ihre Änderung hätte deshalb erhebliche Auswirkungen. Da somit das Bundesgericht mit seiner Rechtsprechung den Weg dafür geebnet hat, dass heute eine grosse Mehrheit der Kantone die Kirchensteuerpflicht juristischer Personen kennt (vgl. <ref-ruling> E. 5d/aa S. 130 f. mit Hinweisen), kann es diesen Umstand bei seiner Entscheidfindung nicht ausser Acht lassen. Es ist in einer anderen Lage, als wenn es das erste Mal über die Zulässigkeit der Kirchensteuer juristischer Personen zu befinden hätte, und muss dem Gesichtspunkt der Rechtssicherheit das ihm gebührende Gewicht beimessen. Eine Praxisänderung ist zwar auch in dieser Situation nicht ausgeschlossen, doch müssen dafür besonders gewichtige Gründe vorliegen.
7. 7.1 Die Einwände, welche die Beschwerdeführerin gegen ihre Heranziehung zur Kirchensteuer vorbringt, sind keineswegs neu. Das gilt zunächst für ihre Kritik am Territorialprinzip, das der Erhebung der Kirchensteuern zugrunde liegt, sowie für die ins Feld geführten gewandelten Verhältnisse. Es ist nicht ersichtlich und wird von der Beschwerdeführerin auch nicht näher dargetan, dass sich seit den genannten beiden Entscheiden aus den Jahren 1976 und 2000 die Beziehungen zwischen den Kirchen und dem Staat in einer Weise geändert hätten, welche die Erhebung von Kirchensteuern juristischer Personen nicht länger als verfassungsmässig erscheinen liessen.
Auch das weitere Argument, die Heranziehung der Beschwerdeführerin zu Kirchensteuern berühre die Religionsfreiheit ihres Alleinaktionärs, ist nicht neu. Das Bundesgericht hat es bisher stets abgelehnt, bei der Besteuerung juristischer Personen die religiösen oder weltanschaulichen Überzeugungen der hinter diesen stehenden natürlichen Personen zu berücksichtigen. Ein solcher Durchgriff widerspräche dem Umstand, dass juristische Personen selbständige Steuersubjekte darstellten, die ein von den an ihnen beteiligten natürlichen Personen getrenntes Dasein führen (<ref-ruling> E. 5b S. 130; <ref-ruling> E. 4 S. 475 ff.). Die Beschwerdeführerin behauptet zwar, dass die Betroffenheit ihres Alleinaktionärs, der konfessionslos und ein entschiedener Gegner der Kirchen sei, besonders ausgeprägt erscheine. Sie bringt jedoch keine Umstände vor, die eine solche besondere Betroffenheit näher belegen würden. Im Übrigen erscheint der Betrag der erhobenen Kirchensteuern von Fr. 644.40 eher bescheiden. Besondere Gründe, die in Abkehr von der bisherigen Praxis den von der Beschwerdeführerin verlangten Durchgriff rechtfertigen könnten, sind jedenfalls weder dargetan noch ersichtlich.
7.2 Zum schliesslich geltend gemachten Argument, es sei mit der Rechtsgleichheit (<ref-law>) oder mit der Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>, § 14 KV/SZ) nicht vereinbar, Einzelunternehmer und als juristische Personen organisierte Unternehmen bei den Kirchensteuern unterschiedlich zu behandeln, hat das Bundesgericht ebenfalls bereits früher Stellung genommen. Es verwies darauf, dass die Ungleichbehandlung durchaus auf einem rechtlich relevanten Unterschied beruhe, weil sich lediglich natürliche Personen auf die Glaubens- und Gewissensfreiheit berufen könnten, hingegen nicht die juristischen Personen (BGE <ref-ruling> E. 5 S. 478 f.). Die Beschwerdeführerin bringt keine neuen Argumente vor, die heute zu einer anderen Beurteilung führen müssten.
8. 8.1 Die in der Beschwerde angeführten Gründe sind demnach nicht geeignet, eine Praxisänderung zu rechtfertigen. Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
8.2 Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 65 sowie Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer II, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. September 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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