wird festgestellt und in Erwägung gezogen:
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1.- Mit Eingabe vom 28. Februar 2001 erhob A._ beim Bezirksgericht Z._ "Klage" gegen B._, den Betreibungsbeamten von X._, und verlangte, dieser sei wegen ungetreuer und unkorrekter Geschäftsführung und wegen Veröffentlichung des bezüglich seiner Person nicht korrekt geführten Betreibungsregisters "zu bestrafen und zur Rechenschaft zu ziehen", weil er am 25. August 2000 einer Drittperson einen Registerauszug über ihn ausgehändigt habe.
Der Präsident des Bezirksgerichts Z._ (als untere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen) wies die Beschwerde am 11. April 2001 ab. A._ zog den Entscheid an das Obergericht des Kantons Thurgau (obere kantonale Aufsichtsbehörde) weiter, das am 21. Mai 2001 die Beschwerde seinerseits abwies und A._ eine Verfahrensgebühr von Fr. 300.-- auferlegte.
Den Beschluss des Obergerichts nahm A._ am 9. Juni 2001 in Empfang. Mit einer vom 16. Juni 2001 datierten und am 19. Juni 2001 zur Post gebrachten Eingabe führt er (rechtzeitig) Beschwerde an die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts. Er verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids und erneuert das im kantonalen Verfahren gestellte Rechtsbegehren.
Das Obergericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Andere Vernehmlassungen sind nicht eingeholt worden.
2.- Die Betreibungsbeamten unterstehen (als kantonale Organe) nicht der Disziplinargewalt des Bundesgerichts, und die an einem Betreibungsverfahren Beteiligten haben keinen (bundesrechtlichen) Anspruch auf ihre disziplinarische Massregelung (<ref-ruling> E. 6 S. 46 mit Hinweisen). Aus dieser Sicht ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten. Zulässig ist diese einzig insofern, als der Beschwerdeführer die (auf Art. 20a Abs. 1 zweiter Satz SchKG beruhende) Gebührenauflage anficht.
3.- a) Das Obergericht bemerkt, es habe dem Beschwerdeführer schon in seinem Beschluss vom 17. Juli/2. August 2000 erklärt, die Nachpfändung sei ebenso wenig zu beanstanden wie der Umstand, dass das Betreibungsamt aus EDV-technischen Gründen hiefür eine neue Betreibungsgruppe gebildet habe. In einem Fall der in Frage stehenden Art müssten beide Betreibungsnummern im Register aufscheinen und es sei belanglos, ob es sich bei der einen um eine ursprüngliche und bei der andern um eine nachträgliche Pfändung handle. Falsch sei ferner die Auffassung des Beschwerdeführers, eine Betreibung sei in jedem Fall, d.h. auch ohne Rückzug durch den Gläubiger, zu löschen, sobald die ihr zugrunde liegende Forderung bezahlt sei. Abschliessend hält die Vorinstanz fest, dass die untere Aufsichtsbehörde die Rechtslage datailliert und verständlich dargelegt habe. Wenn der Beschwerdeführer sich ohne Begründung darauf versteife, das Betreibungsamt habe das Register nicht korrekt geführt und unrechtmässig Informationen über ihn an Dritte weitergegeben, sei dies mutwillig. Es rechtfertige sich daher, ihm im Sinne von Art. 20a Abs. 1 (zweiter Satz) SchKG eine Verfahrensgebühr aufzuerlegen.
b) Nach Art. 79 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) ist in der Beschwerdeschrift darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Bundesrecht verstossen soll, was eine Auseinandersetzung mit den Ausführungen der kantonalen Instanz voraussetzt. Die vorliegende Eingabe erfüllt diese Anforderungen nicht: Der Beschwerdeführer begnügt sich im Wesentlichen damit, zur Registrierung der Betreibungen Nrn. xxx und yyy seine eigene Sicht der Dinge vorzutragen. Namentlich befasst er sich nicht in einer Art. 79 Abs. 1 OG genügenden Form mit dem Vorwurf des Obergerichts, seine (ausschliesslich auf die Anordnung einer Disziplinarmassnahme gegenüber dem Betreibungsbeamten gerichtete) Beschwerde sei angesichts des Entscheids der unteren Aufsichtsbehörde (und des vorinstanzlichen Beschlusses vom 17. Juli/2. August 2000) mutwillig.

Demnach erkennt
die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer:
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1.- Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungsamt X._ und dem Obergericht des Kantons Thurgau als (oberer) kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 19. September 2001
Im Namen der Schuldbetreibungs- und Konkurskammer
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Das präsidierende Mitglied:
Der Gerichtsschreiber: