Sachverhalt:
A. Die Strafgerichtspräsidentin Basel Stadt verurteilte X._ am 25. Januar 2008 wegen einfacher Körperverletzung, übler Nachrede, mehrfacher Beschimpfung, mehrfachen Missbrauchs einer Fernmeldeanlage, mehrfacher Drohung und mehrfacher versuchter Nötigung zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von 180 Tagessätzen zu Fr. 55.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren sowie zu einer Busse von Fr. 1'000.-- (Ersatzfreiheitsstrafe 10 Tage). In Bezug auf den Schuldspruch der mehrfachen Beschimpfung gemäss Anklagepunkt I.2.b befreite sie ihn von Strafe. Die gegen ihn erhobenen Zivilforderungen hiess sie teilweise oder dem Grundsatz nach gut. Im Übrigen verwies sie diese auf den Zivilweg.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies die Appellation X._s am 3. Juni 2009 ab und bestätigte das erstinstanzliche Urteil.
B. X._ gelangt mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er verlangt die Aufhebung des angefochtenen Urteils, seine Freisprechung vom Vorwurf der einfachen Körperverletzung, die Abweisung der Zivilforderungen sowie eine Neuregelung der Kostenfolgen. Ferner ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
C. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer wendet sich ausschliesslich gegen den Schuldspruch wegen einfacher Körperverletzung. Er macht geltend, entgegen der Auffassung der Vorinstanz in rechtfertigender Putativnotwehr gehandelt zu haben. Der Beschwerdegegner habe die verbale und tätliche Auseinandersetzung mit ihm gesucht. Aufgrund seiner Todesdrohungen, seines Hinweises darauf, eine Waffe bei sich zu haben, und seiner bedrohlichen Handbewegungen unter der Kleidung habe er davon ausgehen müssen, umgehend mit einer Waffe angegriffen zu werden. In dieser Situation habe er sich nur noch mit zwei gezielten Faustschlägen ins Gesicht des Angreifers zu wehren gewusst. Die Vorinstanz habe den rechtserheblichen Sachverhalt offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> festgestellt.
1.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung zugrunde (<ref-law>). Diese kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.4.1). Die entsprechende Rüge prüft das Bundesgericht gemäss <ref-law> nur insoweit, als in der Beschwerde explizit vorgebracht und substanziiert dargelegt wird, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3).
1.2 Die Vorinstanz führt aus, den Schlägen des Beschwerdeführers sei eine wechselseitige verbale Auseinandersetzung mit anschliessendem tätlichen Konflikt vorausgegangen, in deren Rahmen sich die Kontrahenten gegenseitig beschimpft und bespuckt hätten (angefochtener Entscheid, S. 3). Eine Notwehrsituation, auch im Sinne einer Putativnotwehrlage, könne dabei nicht angenommen und dem Beschwerdeführer auch keine rechtfertigende Situation im Sinne von Art. 13 i.V.m. <ref-law> zugute gehalten werden. Seine Aussage, wonach ihn der Beschwerdegegner mit einer Waffe bedroht habe, sei auch unter Berücksichtigung der Angaben des Zeugen Z._ nicht glaubhaft. Abgesehen davon, dass dessen Schilderungen sich im Laufe des Verfahrens verändert hätten, weshalb darauf nicht abgestellt werden könne, sei doch festzuhalten, dass weder dieser noch einer der anderen Zeugen etwas von einer Waffe, geschweige denn von einer Schusswaffe, gehört oder gesehen hätten. Der Beschwerdegegner habe eine solche im Übrigen auch nicht auf sich getragen. Es sei deshalb davon auszugehen, dass dieser nicht mit einer Waffe gedroht habe und der Beschwerdeführer im Moment, als er massiv zugeschlagen habe, auch nicht im Glauben gewesen sei, sein Leben sei infolge eines drohenden Angriffs gefährdet. Dies bestätigten denn auch seine Aussagen anlässlich der ersten Einvernahme. Danach habe ihn der Beschwerdegegner vorne an der Brust gepackt und die rechte Hand aufgezogen, um ihn zu schlagen. Er, der Beschwerdeführer, habe deshalb mit links abgewehrt und blitzschnell eine rechts/links Kombination an die Kinnspitze des Beschwerdegegners geschlagen. Wenn nun aber der Beschwerdegegner die Brust des Beschwerdeführers gepackt habe und mit der anderen Hand im Begriff gewesen sei zuzuschlagen, so bleibe keine weitere Hand übrig, um eine Waffe zu behändigen und zu betätigen. Von einem drohenden Angriff mit einer Waffe könne daher entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers nicht ausgegangen werden (vgl. angefochtenen Entscheid, S. 6).
1.3 Was der Beschwerdeführer gegen die Beweiswürdigung der Vorinstanz vorbringt, vermag deren Verfassungsmässigkeit nicht in Frage zu stellen. Mit seiner Kritik beschränkt er sich darauf, den Nachweis des Sachverhalts im Wesentlichen unter Wiedergabe der bereits im kantonalen Verfahren vertretenen Standpunkte zu bestreiten und darzulegen, wie die vorhandenen Beweise - insbesondere die Aussagen des Zeugen Z._, die sich seiner Ansicht nach mit seinen eigenen zu einem schlüssigen Ganzen zusammenfügten - richtigerweise zu würdigen gewesen wären. Mit andern Worten stellt er der Beweiswürdigung der Vorinstanz lediglich seine eigene Sicht der Dinge gegenüber. Die blosse Darlegung der eigenen Sichtweise des Geschehens ist indessen nicht geeignet, Willkür darzutun. Denn Willkür liegt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht schon vor, wenn eine andere Lösung oder Würdigung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn das Beweisergebnis offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offenkundigen Fehler beruht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.4; <ref-ruling> E. 1.2 mit weiteren Hinweisen). Dass und inwiefern das vorinstanzliche Beweisergebnis mit vernünftigen Gründen schlechterdings nicht mehr vertretbar sein sollte, zeigt der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde indessen nicht auf, und solches ist auch nicht ersichtlich. Die Beschwerde erweist sich daher als unbegründet, soweit sie den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 und <ref-law> überhaupt zu genügen vermag.
1.4 Steht fest, dass keine Notwehrsituation vorlag und sich der Beschwerdeführer über das Vorliegen eines rechtswidrigen Angriffs auch nicht irrte, fällt eine Anwendung von Art. 13 i.V.m. <ref-law> ausser Betracht. Die Ausführungen des Beschwerdeführers zur rechtlichen Würdigung gehen an der Sache vorbei, weil sie sich nicht auf den vom Appellationsgericht willkürfrei festgestellten Sachverhalt beziehen, sondern auf seine eigene Darstellung des Geschehens. Im Übrigen macht er zu Recht nicht geltend, dass die Vorinstanz die genannten Bestimmungen bundesrechtswidrig angewendet haben sollte. Es bleibt damit beim Schuldspruch wegen einfacher Körperverletzung.
1.5 Die Anträge des Beschwerdeführers auf Abweisung der Zivilforderungen und Neuregelung der Kostenfolgen sind abzuweisen, da diese nur mit der Freisprechung begründet werden, es aber bei der Verurteilung des Beschwerdeführers bleibt.
2. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit nicht stattgegeben werden (<ref-law>). Damit trägt der Beschwerdeführer die Kosten (<ref-law>). Seiner finanziellen Lage ist mit einer herabgesetzten Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Dezember 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Arquint Hill