Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 28. November 2001 (U 207/99) wies das Eidgenössische Versicherungsgericht (heute: I und II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts) die von P._ erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen einen Leistungen der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) betreffenden Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 7. Mai 1999 ab.
B. P._ (nachstehend: Gesuchsteller oder Versicherter) lässt am 13. Juli 2007 unter Hinweis auf im Dezember 2006 aufgetretene epileptische Störungen um Revision dieses letztinstanzlichen Urteils ersuchen. Sein gleichzeitig gestelltes Begehren um unentgeltliche Verbeiständung zieht er nach ergangener Aufforderung zur Erbringung des Bedürftigkeitsnachweises am 19. September 2007 zurück.
Die SUVA äussert sich zur Sache und gelangt zum Schluss, dass "die Voraussetzungen für eine Urteilsrevision zumindest zur Zeit ... nicht gegeben" sind. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das Revisionsverfahren ist nach dem am 1. Januar 2007 erfolgten (AS 2006 S. 1205, 1243) Inkrafttreten des Bundesgesetzes über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (Bundesgerichtsgesetz [BGG]; SR 173.110) eingeleitet worden, weshalb es sich nach diesem Gesetz richtet (<ref-law>; in <ref-ruling> nicht publizierte E. 1 des Urteils 6F_1/2007 vom 9. Mai 2007; Urteil 8F_1/2007 vom 9. Oktober 2007).
2. 2.1 Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>; vgl. Art. 38 OG). Eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zugrundeliegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der im Gesetz abschliessend aufgeführten Revisionsgründe (<ref-law>; vgl. Art. 136 ff. OG) vorliegt. Ein solcher Revisionsgrund ist ausdrücklich geltend zu machen, wobei es nicht genügt, das Vorliegen eines solchen zu behaupten. Der geltend gemachte Revisionsgrund ist im Revisionsgesuch unter Angabe der Beweismittel darzulegen, wobei dargetan werden muss, weshalb er gegeben und inwiefern gestützt darauf das Dispositiv des früheren Urteils abzuändern sein soll (Urteil 2A.526/2001 vom 29. April 2002, E. 3.1). An dieser in Anwendung des OG ergangenen Rechtsprechung ist auch unter der Herrschaft des BGG festzuhalten (Urteil 8F_3/2007 vom 16. August 2007).
2.2 Der Gesuchsteller ruft den Revisionsgrund von <ref-law> an. Danach kann die Revision in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten verlangt werden, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid - mithin dem Urteil, um dessen Revision ersucht wird - entstanden sind. Als in diesem Sinne neu gelten Tatsachen, welche sich bis zum Zeitpunkt, da im Hauptverfahren noch tatsächliche Vorbringen prozessual zulässig waren, verwirklicht haben, jedoch der um Revision ersuchenden Person trotz hinreichender Sorgfalt nicht bekannt waren; es handelt sich somit um unechte Noven; die Geltendmachung echter Noven, also von Tatsachen, die sich erst nach Ausfällung des Urteils, das revidiert werden soll, zugetragen haben, ist ausgeschlossen (Seiler/von Werth/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, Rz. 75 zu Art. 123). Die zu dem mit dem ersten Satzteil von <ref-law> praktisch gleich lautenden, per Ende 2006 aufgehobenen Art. 137 lit. b OG ergangene Rechtsprechung behält auch unter der Herrschaft des BGG ihre Gültigkeit (Urteil 9F_4/2007 vom 23. August 2007 E. 2 mit Hinweis). Laut dieser Gerichtspraxis sind Tatsachen erheblich, die geeignet sind, die tatbeständliche Grundlage des angefochtenen Urteils zu verändern und bei zutreffender rechtlicher Würdigung zu einem andern Ergebnis zu führen (<ref-ruling> E. 5 S. 204 f. mit Hinweis; Urteil 9F_4/2007 vom 23. August 2007).
3. 3.1 In seinem Urteil vom 28. November 2001 ist das damalige Eidgenössische Versicherungsgericht zum Schluss gelangt, der Nachweis einer hirnorganischen Schädigung, welche als Erklärung für die noch vorhandenen gesundheitlichen Probleme in Frage kommen könnte, sei nicht erbracht worden und liesse im Übrigen bezüglich der Ursächlichkeit des Verkehrsunfalles vom 5. September 1994 auch keine Schlüsse zu. In zeitlicher Hinsicht war die damalige Überprüfungsbefugnis begrenzt durch den Einspracheentscheid der SUVA vom 26. März 1997 (<ref-ruling> E. 1.2 S. 4, 167 E. 1 S. 169 und 354 E. 1 S. 356, je mit Hinweis).
3.2 Als Revisionsgrund werden im Gesuch vom 13. Juli 2007 epileptische Störungen genannt, welche im Dezember 2006 erstmals aufgetreten seien. Gemäss der mit dem Revisionsgesuch eingereichten Stellungnahme des Neurologen Dr. med. M._ vom 20. April 2007 klagt der Gesuchsteller seit Ende November 2006 über starke, unwillkürliche Zuckungen des rechten Beines, weniger auch des rechten Arms. Dr. med. M._ ist auf Grund seiner Untersuchungen der Ansicht, dass der elekroencephalographische Befund ein epileptisches Geschehen faktisch beweise; diese epileptische Aktivität sei "vermutlich Spätfolge der erlittenen Gehirnverletzung bei Zustand nach Unfall am 05.09.1994".
4. Entgegen der Darstellung im Revisionsgesuch kann aus dem Bericht des Dr. med. M._ vom 20. April 2007 nicht ohne weiteres geschlossen werden, dass ein neu aufgetretenes epileptisches Geschehen vorliegt, das auf eine organische Verletzung des Hirns zurückzuführen ist. Dr. med. M._ spricht nur von einer vermutlichen Spätfolge einer Gehirnverletzung.
4.1 Will der Gesuchsteller Spätfolgen des Unfalles vom 5. September 1994 geltend machen, hätte er sich zunächst direkt an die SUVA zu wenden, welche gegebenenfalls die noch erforderlichen Abklärungen treffen und gestützt auf die dabei gewonnenen Erkenntnisse über ihre Leistungspflicht befinden müsste. Erst im Jahr 2006 aufgetretene Spätfolgen in Form epileptischer Erscheinungen konnten nicht Gegenstand des Urteils des damaligen Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 28. November 2001 bilden und bieten daher als solche von vornherein keinen Anlass für eine Revision dieses Urteils.
4.2 Ob überhaupt ein epileptisches Geschehen vorliegt, was die SUVA in ihrer Vernehmlassung vom 5. Februar 2008 zumindest in Frage stellt, müsste allenfalls genauer geklärt werden. Dies fällt indessen nicht in den Zuständigkeitsbereich des Bundesgerichts im Rahmen eines Revisionsverfahrens gegen das Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 28. November 2001. Dem im Revisionsgesuch gestellten Eventualbegehren, wonach durch das Gericht weitere ärztliche Abklärungen zu veranlassen seien oder die Sache an die SUVA zu verweisen sei, um die notwendigen Abklärungen an die Hand zu nehmen und die gesetzlichen Leistungen zu bestimmen, kann im bundesgerichtlichen Revisionsverfahren nicht Folge gegeben werden. Es ist Sache des Versicherten, dafür besorgt zu sein, dass notwendige Abklärungen von der dafür zuständigen Instanz getätigt werden.
4.3 Sollten weitere Abklärungen - sei es der SUVA oder auch anderweitigen Ursprungs - den Verdacht auf ein epileptisches Geschehen erhärten oder eine entsprechende Diagnose gar bestätigen, blieben die von Dr. med. M._ als Ursache vermutete Hirnschädigung und gegebenenfalls deren Zusammenhang mit dem versicherten Unfallereignis vom 5. September 1994 zu prüfen. Erst wenn die ganze Kausalkette (Unfall vom 5. September 1994 - Hirnschädigung - epileptische Störungen) als erstellt gelten kann, kann eine erneute Leistungspflicht der SUVA überhaupt in Betracht fallen.
5. Das Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 28. November 2001 regelt die Verhältnisse abschliessend für die Zeit bis zum Erlass des Einspracheentscheids vom 26. März 1997. Nicht auszuschliessen ist, dass sich im Rahmen der genaueren Klärung der für eine allfällige weitere - oder erneute - Leistungspflicht der Unfallversicherung erforderlichen Voraussetzungen im eben dargelegten Sinne (E. 4 hievor) Erkenntnisse ergeben, welche für die Anspruchsberechtigung des Versicherten auch vor diesem Zeitpunkt von Bedeutung sind. Gegebenenfalls kann sich dieser erneut mit einem Revisionsbegehren ans Bundesgericht wenden. Auf Grund des Berichts des Dr. med. M._ vom 20. April 2007 allein bleiben zu viele Fragen offen, als dass er sich eignen könnte, die tatbeständliche Grundlage des letztinstanzlichen Urteils des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 28. November 2001 zu verändern und bei zutreffender rechtlicher Würdigung zu einer anderen Entscheidung zu führen, mithin eine Revision dieses Urteils zu begründen. Nichts anderes hat für die beiden im Laufe des Verfahrens beigebrachten Kurzatteste des Spitals I._, Italien, vom 14. Dezember 2007 und 22. Januar 2008 zu gelten.
6. Die Gerichtskosten werden dem Gesuchsteller als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Juli 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl