Sachverhalt:
A. A.a A._ ist am 4. September 2006 in B._ im Alter von 66 Jahren gestorben. Er hinterliess ein namhaftes Nachlassvermögen, über welches er mit öffentlicher Urkunde vom 14. Juli 2005 verfügte. Unter anderem setzte er Y._ (Beschwerdegegner) als Willensvollstrecker ein. Weiter richtete er für die Fürsorge und Betreuung sowie für die partnerschaftliche Zuwendung während seiner Krankheit ein Vermächtnis von Fr. 1'700'000.-- an X._ (Beschwerdeführerin) aus. Er stellte das Vermächtnis unter die Bedingung, dass die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt seines Todes noch immer seine Partnerin und Betreuerin sei. Mit letztwilliger Verfügung vom 12. August 2005 hob er das Vermächtnis an die Beschwerdeführerin auf und vermachte ihr stattdessen eine Eigentumswohnung in C._ und Fr. 400'000.--. Er verwies auf die Bedingung gemäss seiner letztwilligen Verfügung vom 14. Juli 2005.
A.b Mit Beschwerde vom 7. März 2008 liess die Beschwerdeführerin beim Bezirksgericht D._ die Absetzung des Beschwerdegegners sowie die Ausrichtung des Vermächtnisses beantragen. Mit Verfügung vom 7. Mai 2008 wies der Einzelrichter im summarischen Verfahren die Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war. Er begründete seinen Entscheid in der Hauptsache damit, der Beschwerdegegner gehe davon aus, dass die Beschwerdeführerin seit 1999 mit E._ an verschiedenen Domizilen in der Schweiz eine umfassende Wohn- und Lebensgemeinschaft praktiziert habe und auch heute noch praktiziere. Bei diesem gegebenen Sachverhalt habe das Legat nach dem erklärten Willen des Erblassers klarerweise zu entfallen. Die unterbliebene Ausrichtung des Vermächtnisses liege somit nicht in der Untätigkeit des Beschwerdegegners begründet. Die Kognitionsbefugnis der Aufsichtsbehörde sei beschränkt und die Überprüfung der Vorkehrungen des Beschwerdegegners auf dessen rechtliche Richtigkeit sei nicht Aufgabe der Aufsichtsbehörde, sondern vom Zivilrichter im ordentlichen Verfahren vorzunehmen. Die Frage, ob die Beschwerdeführerin tatsächlich in einer Lebensgemeinschaft lebe, sei materieller Natur, weshalb sie nicht mit Hilfe einer Aufsichtsbeschwerde beantwortet werden könne. Die Gerichtsgebühr wurde auf Fr. 17'000.-- und die Parteientschädigung an den Beschwerdegegner auf Fr. 8'000.-- festgesetzt.
B. Der von der Beschwerdeführerin dagegen beim Obergericht des Kantons Zürich eingereichte Rekurs hatte keinen Erfolg. Mit Beschluss vom 12. August 2008 wurde das Rechtsmittel abgewiesen, soweit darauf einzutreten war. Die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen in der angefochtenten Verfügung vom 7. Mai 2008 wurde bestätigt (Ziff. 2). Die zweitinstanzliche Gerichtsgebühr wurde auf Fr. 25'000.-- festgesetzt (Ziff. 3). Die Beschwerdeführerin wurde verpflichtet, dem Beschwerdegegner eine Prozessentschädigung von Fr. 20'000.-- zu bezahlen (Ziff. 5).
C. Die Beschwerdeführerin hat mit Eingabe vom 19. September 2008 hiergegen Beschwerde beim Bundesgericht eingereicht. Sie beantragt, die Dispositiv-Ziffer 3 aufzuheben und die obergerichtliche Gebühr auf höchstens Fr. 5'000.-- festzusetzen. Auch die Dispositiv-Ziffer 5 sei aufzuheben und die Prozessentschädigung an den Beschwerdegegner sei auf höchstens Fr. 5'000.-- festzusetzen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.1 Anlass zum vorliegenden Verfahren bildet die Aufsichtsbeschwerde gegen den Willensvollstrecker, mit der dessen Absetzung und die unverzügliche Ausrichtung des der Beschwerdeführerin vom Erblasser letzwillig zugedachten Vermächtnisses verlangt wurde. Der Beschwerde in Zivilsachen unterliegen gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 BGG auch öffentlich-rechtliche Entscheide, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, insbesondere der Entscheid - wie vorliegend - über die Aufsicht des Willensvollstreckers. Die Beschwerdeführerin ersucht um Herabsetzung der vorinstanzlich festgelegten Gerichtskosten von Fr. 25'000.-- und der Parteientschädigung von Fr. 20'000.-- auf je Fr. 5'000.--, also um eine Reduktion von insgesamt Fr. 35'000.--. Vor der Vorinstanz waren noch weit höhere Begehren streitig (<ref-law>). Der gesetzliche Streitwert von 30'000 Franken gemäss <ref-law> wird jedenfalls erreicht, so dass gegen den letztinstanzlichen Endentscheid die Beschwerde in Zivilsachen zulässig ist (<ref-law>/ZH i.V.m. <ref-law>; <ref-law>).
1.2 Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>). Kantonales Recht ist - unter Vorbehalt von Art. 95 lit. c und d BGG - vom Bundesgericht grundsätzlich nicht zu überprüfen. Das Obergericht hat sich bei der Festsetzung der Gerichts- und Parteikosten auf die kantonale Verfahrensordnung (ZPO und GVG) sowie auf das verfassungsrechtliche Äquivalenzprinzip abgestützt. Dieses konkretisiert das Verhältnismässigkeitsprinzip und das Willkürverbot (Art. 5 Abs. 2 sowie Art. 8 und 9 BV) für den Bereich der Kausalabgaben (<ref-ruling> E. 2.3 S. 228). Die Frage der Verhältnismässigkeit kann ausserhalb des Schutzbereichs spezieller Grundrechte nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots geprüft werden (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158).
Es kann somit geltend gemacht werden, die falsche Anwendung von kantonalem Recht habe eine Verletzung von Bundesrecht zur Folge und verletze insbesondere das Willkürverbot von <ref-law> oder andere verfassungsmässige Rechte (<ref-ruling> E. 2.3 S. 466). Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung besteht eine qualifizierte Rügepflicht hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
1.3 Nach der bundesgerichtlichen Praxis liegt Willkür vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148 mit Hinweisen).
1.4 Insoweit die Beschwerdeführerin dem Obergericht vorwirft, es habe seine exorbitanten Beträge nicht eingehend begründet, geht ihre Rüge fehl, denn sie konnte den angefochtenen Entscheid ohne weiteres anfechten (<ref-ruling> E. 3.3 S. 445 mit Hinweisen).
2. 2.1 Im angefochtenen Beschluss wird ausgeführt, der Vorderrichter habe für die Bemessung des Streitwerts auf den Wert des Legats abgestellt. Führten Erben Beschwerde, stelle die Kammer praxisgemäss auf den Wert des Nachlasses ab, obwohl das wirtschaftliche Interesse des Erben regelmässig nur auf einen Bruchteil dieses Werts gerichtet sei. Davon bei der Beschwerde einer Vermächtnisnehmerin abzuweichen, bestehe kein Grund. Die Beschwerde erhebe im Resultat stets die gesamte Abwicklung des Nachlasses zum Streitgegenstand. Insbesondere sei die Absetzung des Willensvollstreckers, wie sie die Beschwerdeführerin beantragt habe, auch aufgrund der Beschwerde eines Vermächtnisnehmers denkbar. Mangels übereinstimmender Angaben sei der Streitwert zu schätzen (<ref-law>/ZH). Mit Blick auf die namhafte Beteiligung an einem börsenkotierten Unternehmen im Nachlass sei ermessensweise von einem Streitwert von 50 Mio. Franken auszugehen.
Die Vorinstanz fährt fort, die nach allgemeinen Regeln (§ 4 Abs. 1 i.V.m. § 7 und § 13 Abs. 1 GebV) berechnete Gerichtsgebühr beliefe sich damit mindestens auf Fr. 210'000.--. Das sei unangemessen. Die Gerichtsgebühr sei mit Blick auf das verfassungsrechtliche Äquivalenzprinzip und in Anwendung von § 2 Abs. 1 und § 4 Abs. 2 GebV auf Fr. 25'000.-- zu ermitteln. Die Prozessentschädigung sei unter Ausschöpfung der Reduktionsmöglichkeiten auf Fr. 20'000.-- festzusetzen (§ 3 Abs. 1, § 7 und § 12 Abs. 1 AnwGebV). Die erstinstanzliche Gerichtsgebühr sei im Resultat angemessen, die erstinstanzliche Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen sei deshalb zu bestätigen.
2.2 Die Beschwerdeführerin trägt vor, die Annahme eines Streitwertes sei willkürlich im Sinne von <ref-law>, denn mit dem Antrag auf Absetzung des Willensvollstreckers werde keine Klage vermögensrechtlicher Natur erhoben, sondern der Aufsichtsbehörde eine Ordnungsmassnahme kraft Aufsichtsrechts beantragt, nämlich die Aufhebung der dem Willensvollstrecker zustehenden Verwaltungsbefugnisse (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 379). Das Bundegericht habe im Zusammenhang mit der freien Prüfung einer Berufung die Frage offen gelassen, ob im Verfahren betreffend die Absetzung eines Willensvollstreckers ein Streitwert bestehe. Das Obergericht hätte richtigerweise für die Gerichtsgebühr § 4 Abs. 3 GebV anwenden müssen. Danach werde die Gebühr, wenn keine vermögensrechtlichen Interessen im Streit stünden, auf Grund des tatsächlichen Streitinteresses, des Zeitaufwands und der Schwierigkeit des Falles festgesetzt. Diese Bestimmung sehe ferner einen Rahmen vor, innerhalb dessen sich die Gebühr grundsätzlich zu bewegen habe, nämlich bis höchstens Fr. 13'000.-- . Was die Anwaltsentschädigung anbelange, sehe § 3 Abs. 5 AnwGebV eine maximale Entschädigung von in der Regel Fr. 16'000.-- vor.
2.3 In <ref-ruling> S. 386 hat das Bundesgericht im Zusammenhang mit der Prüfung des Streitwerts für die Berufung (Art. 46 OG) die Frage aufgeworfen und offen gelassen, ob dem Streit um die Absetzung des Willensvollstreckers vermögensrechtlicher Charakter zukomme oder nicht. Es hat ausgeführt, es gehe, wenn auch nicht Bestand und Grösse von Erbanteilen oder anderer Ansprüche materiellrechtlicher Art betroffen seien, um erbrechtliche Verhältnisse. Angesichts der Grösse der Erbschaft sei der Streitwert erreicht. Es könne daher dahingestellt bleiben, ob die Sache als vermögensrechtlich oder nicht vermögensrechtlich angesehen werde. Die Frage, ob bei freier Prüfung von einer vermögensrechtlichen Angelegenheit zu sprechen wäre, kann auch im vorliegenden Fall dahingestellt bleiben. Die Annahme des Obergerichts, es liege eine vermögensrechtliche Streitigkeit vor, ist jedenfalls nicht willkürlich. Dies ist vorliegend umso weniger der Fall, als die Beschwerdeführerin aufsichtsrechtlich nicht nur die Absetzung des Willensvollstreckers, sondern eventualiter auch die unverzügliche Ausrichtung des Vermächtnisses verlangt hat.
2.4 Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, selbst wenn von einem Streitwert auszugehen sei, müsse das Ergebnis als willkürlich bezeichnet werden, weil nicht von der Höhe des gesamten Nachlasses, sondern von der Höhe des Vermächtnisses auszugehen sei. Das Obergericht hat begründet, weshalb auch aufgrund der Beschwerde eines Vermächtnisnehmers vom Wert des Nachlasses auszugehen sei. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit der diesbezüglichen Begründung der Vorinstanz nicht auseinander, so dass darauf nicht eingetreten werden kann. Im Übrigen legt sie auch nicht dar, dass und inwiefern Gebühr und Entschädigung willkürlich hoch ausgefallen sein sollen, wenn das Vermächtnis Grundlage der Streitwertberechnung wäre.
3. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin wird damit kostenpflichtig (<ref-law>). Die Zusprechung einer Parteientschädigung an den Beschwerdegegner entfällt, da er nicht zur Vernehmlassung aufgefordert wurde (vgl. <ref-law>)

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Dezember 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett