Sachverhalt:
A.
Der serbische Staatsangehörige A.A._ wurde 1977 in Österreich geboren. In den Jahren 2002 bis 2008 wurde er dort mehrfach und in erheblichem Ausmass straffällig:
- Am 23. Mai 2002 wurde er wegen fahrlässiger Körperverletzung zu einer Geldstrafe von 40 Tagessätzen verurteilt;
- Am 20. bzw. am 26. April 2005 wurden gegen ihn zwei Geldstrafen in Höhe von 50 Tagessätzen resp. von 60 Tagessätzen ausgesprochen, jeweils wegen Betrugs;
- Am 13. Juni 2008 wurde er wegen Suchtgifthandels zu einer Freiheitsstrafe von 3 1 /2 Jahren verurteilt. Am 27. März 2010 wurde er bedingt aus dem Strafvollzug entlassen.
B.
Am 2. Januar 2011 reiste er in die Schweiz ein und heiratete die hier niederlassungsberechtigte Landsfrau B.A._, welche auch im Besitze der deutschen Staatsangehörigkeit ist. Sein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleib bei der Ehefrau wurde indes mit Verfügung des Migrationsdienstes des Kantons Bern vom 19. Dezember 2011 abgewiesen. Die hiergegen von den Ehegatten A._ erhobenen kantonalen Rechtsmittel wurden von der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (Beschwerdeentscheid vom 22. Oktober 2013) sowie vom Verwaltungsgericht des Kantons Bern (Urteil vom 13. Januar 2014) abgewiesen.
C.
Während des hängigen Beschwerdeverfahrens vor der Polizei- und Militärdirektion wurde A.A._ erneut straffällig: Von der Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland wurde er am 17. April 2012 wegen grober Verletzung der Verkehrsregeln zu einer Geldstrafe von 120 Tagessätzen sowie zu einer Busse von Fr. 2'200.-- verurteilt. Dem Straferkenntnis lag zugrunde, dass A.A._ die signalisierte Höchstgeschwindigkeit nach Abzug der Messunsicherheit um 68 km/h überschritten hatte.
Ebenfalls während des hängigen Rechtsmittelverfahrens im Kanton, am 26. Dezember 2012, wurde der gemeinsame Sohn des Ehepaars geboren.
D.
Mit Eingabe vom 20. Februar 2014 führen A.A._ und B.A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragen im Wesentlichen, es sei das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 13. Januar 2014 aufzuheben und es sei A.A._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
Das Bundesamt für Migration sowie die Polizei- und Militärdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Als Ehegatte einer hier niedergelassenen deutschen Staatsangehörigen kann sich der Beschwerdeführer 1 auf das Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Union und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) berufen, welches ihm einen grundsätzlichen Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung einräumt (Art. 7 lit. d FZA; Art. 3 Abs. 1 und Abs. 2 lit. a Anhang I FZA). Auf die im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Be-schwerde (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) ist daher grundsätzlich einzutreten.
1.2. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten dagegen insoweit, als sie sich auch zur Frage einer vorläufigen Aufnahme gemäss Art. 83 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20) äussert: Diesbezüglich ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen (<ref-law>), weswegen einzig die ebenso erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) in Frage kommt. Indessen gelten betreffend die Erhebung von Verfassungsrügen qualifizierte Anforderungen: Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287). Eine diesen Anforderungen genügende Begründung lässt die Beschwerdeschrift jedoch vermissen, sodass in diesem Zusammenhang auch auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten ist.
2.
2.1. Die Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen richtet sich grundsätzlich nach dem Ausländergesetz. Für Staatsangehörige der Mitgliedstaaten der Europäischen Union bzw. deren Angehörige hat das Ausländergesetz allerdings nur insoweit Geltung, als das Freizügigkeitsabkommen keine abweichende Bestimmung enthält oder das Ausländergesetz eine für den Ausländer vorteilhaftere Regelung enthält (Art. 2 Abs. 2 AuG), was hier nicht der Fall ist.
Gemäss Art. 7 lit. d FZA i.V.m. Art. 3 Abs. 1 und Abs. 2 lit. a Anhang I FZA hat der Ehegatte eines Staatsangehörigen einer Vertragspartei das Recht, bei dieser Person Wohnung zu nehmen.
2.2. Indes gilt dieser Anspruch nicht absolut. Er kann namentlich eingeschränkt werden, wenn von der ausländischen Person eine hinreichend schwere und gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung, Sicherheit oder Gesundheit ausgeht (Art. 5 Anhang I FZA). Dazu wird auf die Richtlinien 64/221/EWG (ABl. Nr. 56, 1964, S. 850), 72/194/EWG (ABl. Nr. L 121, 1972, S. 32) und 75/35/EWG (ABl. Nr. L 14, 1975, S. 10) Bezug genommen.
Nach Art. 3 Abs. 1 der Richtlinie 64/221/EWG darf bei Massnahmen der öffentlichen Ordnung oder Sicherheit ausschliesslich das persönliche Verhalten der betreffenden Person ausschlaggebend sein, und nach Absatz 2 dieses Artikels können strafrechtliche Verurteilungen allein nicht ohne Weiteres diese Massnahmen begründen. Nach der gemäss Art. 16 Abs. 2 FZA zu berücksichtigenden Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofes (EuGH) und derjenigen des Bundesgerichts darf daher eine strafrechtliche Verurteilung nur insoweit als Anlass für eine Massnahme herangezogen werden, als die ihr zugrunde liegenden Umstände ein persönliches Verhalten erkennen lassen, das eine gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung darstellt.
Art. 5 Anhang I FZA steht somit Massnahmen entgegen, die (allein) aus generalpräventiven Gründen verfügt werden. Insoweit kommt es wesentlich auf das Rückfallrisiko an, wobei die in Kauf zu nehmende Rückfallgefahr desto geringer ist, je schwerer die möglichen Rechtsgüterverletzungen sind (Urteil 2C_903/2010 vom 6. Juni 2011 E. 4.3, nicht publ. in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 20; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellt hat, liegt dem Strafurteil vom 13. Juni 2008 zugrunde, dass der Beschwerdeführer 1 wiederholt und aus rein finanziellen Gründen Rauschgift (insgesamt mehr als 75 Gramm reines Heroin) über die Landesgrenzen zwischen Serbien, Österreich und Deutschland transportiert und in Verkehr gesetzt hat. Ein solches Verhalten erscheint als äusserst verwerflich und offenbart eine beträchtliche kriminelle Energie des Beschwerdeführers 1. Dieser Eindruck verstärkt sich in Anbetracht seiner Vorstrafen: Bereits in den Jahren 2002 und 2005 musste er wegen fahrlässiger Körperverletzung und zweimal wegen Betruges verurteilt werden. Die dannzumal verhängten Strafen hielten ihn jedoch offenkundig nicht von weiterer Delinquenz ab; diese steigerte sich im Gegenteil sogar noch. Selbst nach seiner bedingten Entlassung aus dem mehrjährigen Strafvollzug und seiner Eheschliessung in der Schweiz fand beim Beschwerdeführer 1 keine Abkehr von strafbaren Verhaltensweisen statt: Rund ein Jahr nach seiner Einreise in die Schweiz trat er bereits wieder strafrechtlich in Erscheinung und musste am 17. April 2012 abermals sanktioniert werden. Beim Strassenverkehrsdelikt, welches dieser letzten Verurteilung zugrunde lag (Überschreiten der erlaubten Höchstgeschwindigkeit um 68 km/h), handelt es sich mitnichten um ein Bagatellvergehen, sondern erneut um eine ernst zu nehmende Regelverletzung, welche eine erhebliche Gefahr für die öffentliche Sicherheit schuf.
3.2. Der Beschwerdeführer 1 wendet im Wesentlichen ein, die in Österreich verübten Straftaten seien im vorliegenden Zusammenhang überhaupt nicht von Bedeutung, da durch sie "das Landesinteresse bzw. das Interesse der hiesigen Bevölkerung schlicht nicht betroffen" sei. Weiter macht er geltend, dass er inzwischen Familienvater sei; es sei notorisch, dass dies die Rückfallwahrscheinlichkeit deutlich vermindere.
Diesen Ausführungen kann nicht gefolgt werden: Wie gezeigt, ist bei der Prüfung von Bewilligungsgesuchen im Rahmen des FZA einzig von Bedeutung, ob die einer Verurteilung zugrunde liegenden Umstände auf ein persönliches Verhalten des Gesuchstellers schliessen lassen, welches eine gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung darstellt. Ob die Verurteilung oder die Straftat im In- oder im Ausland stattgefunden hat, ist hier nicht von Belang, zumal die vom Beschwerdeführer 1 in Österreich verübten Taten einerseits auch im Inland gegenüber Schweizern strafrechtlich als Verbrechen oder Vergehen geahndet würden und der Schuldspruch andererseits in einem Staat erfolgt ist, in dem die Einhaltung der rechtsstaatlichen Verfahrensgrundsätze und Verteidigungsrechte als gesichert gelten kann (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 29; <ref-ruling> E. 3.2 S. 498; <ref-ruling> E. 3.4.1 S. 182; Urteil 2C_92/2014 vom 22. August 2014 E. 3.1; mit weiteren Hinweisen). Wie die Vorinstanz sodann zutreffend festgestellt hat, liess sich der Beschwerdeführer 1 auch von der Verantwortung als Ehemann nicht von weiterer Delinquenz abhalten; es kann daher nicht ohne Weiteres davon ausgegangen werden, dass sich dies nach der - erst während des Rechtsmittelverfahrens erfolgten - Geburt seines Sohnes anders verhalten wird; massgeblich ist dabei insbesondere auch, dass seither erst eine vergleichsweise kurze Zeit verstrichen ist.
Bei dieser Sachlage ist mithin weiterhin davon auszugehen, dass der Aufenthalt des Beschwerdeführers 1 in der Schweiz eine beträchtliche und gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung und Sicherheit darstellen würde.
3.3. Schliesslich ist auch nicht ersichtlich, dass die im Streit liegende Bewilligungsverweigerung unverhältnismässig wäre: Der Beschwerdeführer 1 befindet sich erst seit kurzer Zeit in der Schweiz. Gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz verfügt er zudem nach wie vor über einen österreichischen Aufenthaltstitel, sodass er nebst seinem Heimatland auch dorthin zurückkehren kann. Weshalb es seinem Sohn und seiner Ehefrau, die wie erwähnt sowohl über die deutsche als auch über die serbische Staatsangehörigkeit verfügt, nicht zumutbar sein sollte, dem Beschwerdeführer 1 nach Österreich oder Serbien zu folgen, ist nicht ersichtlich. Alternativ dazu ist aber in jedem Fall auch die besuchsweise Aufrechterhaltung des Kontaktes von Österreich oder Serbien aus möglich. In diesem Zusammenhang ist schliesslich von Bedeutung, dass die Straffälligkeit des Beschwerdeführers 1 noch vor der Begründung der Beziehung zur Beschwerdeführerin 2 erfolgt war, sodass letztere von Anfang an mit der Möglichkeit rechnen musste, dass die Beziehung möglicherweise nicht in der Schweiz gelebt werden kann (<ref-ruling> E. 2.4 S. 149 m.w.H.).
4.
Soweit der Beschwerdeführer 1 im Zusammenhang mit seinen Vorbringen auch das von Art. 8 Ziff. 1 EMRK gewährleistete Recht auf Achtung des Familienlebens anruft, kann seiner Rüge ebenfalls nicht gefolgt werden, zumal auch der in Art. 8 Ziff. 1 EMRK statuierte Anspruch nicht absolut gilt: Vielmehr darf nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut eingegriffen werden, soweit der Eingriff gesetzlich vorgesehen ist und eine Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung, das wirtschaftliche Wohl des Landes, die Verteidigung der Ordnung, die Verhinderung von strafbaren Handlungen sowie den Schutz der Gesellschaft und der Moral und der Rechte bzw. Freiheiten anderer notwendig ist. Aufgrund der obenstehend aufgezeigten Umstände trifft dies im vorliegenden Fall zu.
5.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unbegründet und somit abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten ist. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten.
Dem Verfahrensausgang entsprechend, sind die Gerichtskosten (<ref-law>) den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten in Höhe von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler