Sachverhalt:
A. A.a Die damals in B._ (Kanton St. Gallen) wohnhaft gewesene X._ (geb. 1981) war vom 2. November 2009 bis zum 5. Januar 2010 im Sinne einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung in der Psychiatrischen Klinik C._ in D._ hospitalisiert. Nach ihrem Austritt zog sie nach E._ (Kanton Schwyz), wo sie sich am 19. Januar 2010 bei der Einwohnerkontrolle anmeldete.
A.b Am 15. Juni 2010 verfügte der leitende Arzt der Klinik A._, Dr. med. Z._, dass X._ wiederum im Sinne einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung in die Psychiatrische Klinik F._ in G._ eingewiesen werde. Als Umstände und Gründe der Einweisung führte er an: "Exazerbation mit Angstsymptomatik bei bekannter schizoaffektiver Störung" und wies darauf hin, dass ein Transport in der Nacht nur durch FFE habe aufgeboten werden können. X._ wurde um 02.00 Uhr in der genannten Klinik aufgenommen.
Mit einer als Rekurs bezeichneten Eingabe vom 18. Juni 2010 erklärte X._, mit der fürsorgerischen Freiheitsentziehung nicht einverstanden zu sein; sie habe einzig einem freiwilligen Klinikaufenthalt zugestimmt, zum Schutz vor Personen in ihrer Umgebung und um zu neuen Kräften zu kommen und neuen Mut zu fassen. In einer Eingabe vom 22. Juni 2010 stellte der Verein "Psychex", vertreten durch die von X._ beauftragten Anwälte, ein Begehren um sofortige Entlassung aus der Klinik.
Durch Entscheid der Präsidentin der Vormundschaftsbehörde E._ vom 23. Juni 2010 wurde die ärztliche Einweisungsverfügung vom 15. Juni 2010 in eine behördliche Verfügung umgewandelt und angeordnet, dass die fürsorgerische Freiheitsentziehung bis auf weiteres fortgeführt werde.
Am 28. Juni 2010 wurde X._ im Beisein ihres Rechtsvertreters, Rechtsanwalt lic. iur. Roger Burges, im Sinne von <ref-law> durch das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz angehört. Anschliessend befragte das Gericht Dr. med. Y._ als Sachverständigen (<ref-law>) und ausserdem auch Dr. med. W._, Oberarzt an der Psychiatrischen Klinik F._.
Das Verwaltungsgericht (Kammer IV) erkannte am 2. Juli 2010, dass die Beschwerde abgewiesen und die durch Dr. med. Z._ bzw. die Vormundschaftsbehörde E._ angeordnete fürsorgerische Freiheitsentziehung gerichtlich bestätigt werde. X._ wurde für das Verfahren vor Verwaltungsgericht unpräjudiziell unentgeltliche Rechtsverbeiständung gewährt und ihrem Rechtsvertreter aus der Gerichtskasse eine Entschädigung zugesprochen.
B. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. Juli 2010 verlangt X._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihre Entlassung aus der Klinik anzuordnen. Ausserdem ersucht sie darum, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
In seiner Vernehmlassung vom 30. Juli 2010 beantragt das Verwaltungsgericht, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der ärztliche Leiter der Klinik A._, Dr. med. Z._, hat auf eine Stellungnahme zur Beschwerde verzichtet.
Die Beschwerdeführerin hat sich in einer Replik vom 4. August 2010 zur verwaltungsgerichtlichen Stellungnahme geäussert.

Erwägungen:
1. Das Verwaltungsgericht erklärt, die Anrufung des Gerichts richte sich dem Sinne nach nicht nur gegen die ärztliche Einweisungsverfügung, sondern auch gegen die vormundschaftsbehördliche Rückbehalteverfügung (vom 23. Juni 2010), so dass auch diese als angefochten zu gelten habe.
Die Beschwerdeführerin beanstandet, dass die von der Vorinstanz angesprochene Verfügung der Vormundschaftsbehörde nur von deren Präsidentin erlassen worden sei, statt von der Gesamtbehörde, wie es <ref-law> grundsätzlich fordere und auch in § 36a ff. des Schwyzer EG zum ZGB betont werde; es sei ihr die Freiheit somit nicht auf die gesetzlich vorgeschriebene Weise im Sinne von Art. 5 Ziff. 1 EMRK entzogen worden. Dass sie diese Rüge schon im kantonalen Verfahren erhoben hätte, bringt die Beschwerdeführerin nicht vor. Auf sie ist hier deshalb nicht einzutreten. Zu prüfen ist mithin einzig die Rechtmässigkeit der Einweisung bzw. Zurückbehaltung in der Klinik als solche.
2. Mit der bei Entscheiden auf dem Gebiet der fürsorgerischen Freiheitsentziehung offen stehenden Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht und von Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Unter das Bundesrecht fallen ebenfalls verfassungsmässige Rechte des Bundes (<ref-ruling> E. 1.2 S. 382 mit Hinweisen). In der Begründung der Beschwerde ist darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletze (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet wird (<ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Bei der Willkürrüge (<ref-law>) ist in der erwähnten Form aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen bzw. eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153; je mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls in einem Berufungsverfahren zulässig ist, wird nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
3. Eine mündige oder entmündigte Person darf wegen Geisteskrankheit, Geistesschwäche, Trunksucht, anderen Suchterkrankungen oder schwerer Verwahrlosung in einer geeigneten Anstalt untergebracht oder zurückbehalten werden, wenn ihr die nötige persönliche Fürsorge nicht anders erwiesen werden kann (<ref-law>). Wie bei der Einweisung in eine Anstalt ist auch bei der Zurückbehaltung des Betroffenen das Prinzip der Verhältnismässigkeit zu wahren; erforderlich ist, dass die betroffene Person infolge eines der im Gesetz umschriebenen Schwächezustände persönlicher Fürsorge bedarf und diese ihr nur in einer Anstalt geboten werden kann. In Betracht zu ziehen ist gegebenenfalls auch die Belastung, die die Person für ihre Umgebung bedeutet (<ref-law>). Nach der ausdrücklichen Vorschrift von <ref-law> muss die von der fürsorgerischen Freiheitsentziehung betroffene Person entlassen werden, sobald ihr Zustand es erlaubt (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4 S. 292 mit Hinweisen).
4. Unter Berufung auf die Ausführungen im Austrittsbericht der Klinik C._ in D._ sowie die Erklärungen des Oberarztes der Psychiatrischen Klinik F._, Dr. med. W._, und des Gerichtsarztes Dr. med. Y._, die alle schlüssig seien und übereinstimmten, hält das Verwaltungsgericht fest, die Beschwerdeführerin leide an einer schizoaffektiven Störung (ICD-10: F 25.0) und damit an einer Geisteskrankheit im medizinischen Sinne. Diese Diagnose sei von ihrem Rechtsvertreter nicht in Frage gestellt worden. Im Zeitpunkt der gerichtlichen Anhörung seien die Verfolgungsideen der Beschwerdeführerin, deren Verfolgungswahn, die Wahnideen sowie die Sprunghaftigkeit und Ideenflüchtigkeit für den medizinischen Laien in klarer Weise uneinfühlbar gewesen, so dass auch von einer Geisteskrankheit im rechtlichen Sinne auszugehen sei.
Die im Sinne von <ref-law> zu erbringende persönliche Fürsorge erblickt die Vorinstanz bei der Beschwerdeführerin in erster Linie in der neuroleptischen Einstellung auf ein Medikament, allenfalls auf eine Medikamentenkombination, womit eine antipsychotische Wirkung, d.h. ein Abklingen bzw. eine Stabilisierung des maniformen Syndroms erreicht werden solle. Eine derartige medikamentöse Einstellung könne generell unter stationären Bedingungen in einer Psychiatrischen Klinik weit erfolgversprechender verwirklicht werden als in ambulantem Rahmen; eine Beobachtung des Verhaltens des Patienten sowie der Wirkungen und Nebenwirkungen der Medikation praktisch rund um die Uhr sei bei einer ambulanten psychiatrischen Behandlung nicht möglich. Das Verwaltungsgericht hält einen stationären Klinikaufenthalt vor allem auch deshalb für gerechtfertigt, weil es der Beschwerdeführerin derzeit an der nötigen Krankheits- und Behandlungseinsicht fehle. Diese mangelnde bzw. unzureichende Einsicht - die bei Menschen mit schizoaffektiven Störungen geradezu ein charakteristisches Krankheitsmerkmal sei - habe zur Folge, dass die Beschwerdeführerin in der Klinik wohl das Neuroleptikum (Risperdal) einnehme, bei einer Entlassung im gegenwärtigen Zustand jedoch mit einer sofortigen oder doch baldigen Absetzung der Medikation zu rechnen wäre; dies habe die Beschwerdeführerin entsprechend kommuniziert und sei nach ihrer Entlassung aus der Klinik C._ denn auch eingetreten. Im Rahmen des unter den gegebenen Umständen nötigen Klinikaufenthalts solle mit psychoedukativen Bemühungen und mit Motivationsarbeit bei der Beschwerdeführerin die für eine erfolgversprechende Behandlung unabdingbare Einsicht in Krankheit und Behandlungsnotwendigkeit erreicht bzw. gestärkt werden. Schliesslich sei zu beachten, dass bei der Beschwerdeführerin offensichtlich noch immer ein sehr hoher Leidensdruck bestehe, was sich etwa in ihrer Äusserung zeige, es sei ihr alles zuviel geworden, wie auch darin, dass sie nachts das Spital A._ aufgesucht habe. Die Beschwerdeführerin habe sich an Leib und Leben bedroht gefühlt; ihre Wahnvorstellungen, wonach eine Clique ihr nachstelle, um ihr Organe zu entnehmen, sie eine Schlange im Bauch habe oder an sich Leichengeschmack spüre, seien subjektive Erfahrungen und Wahrnehmungen, die die Beschwerdeführerin nachvollziehbar sehr ängstigten und sie in grosse Not gebracht hätten.
Zusammenfassend erklärt das Verwaltungsgericht, die dringend erforderliche Fürsorge könne der Beschwerdeführerin ambulant nicht erbracht werden, die stationäre Massnahme sei deshalb notwendig, zweckgeeignet und verhältnismässig. Die Vorinstanz betont unter Hinweis auf <ref-law>) abschliessend, dass die Beschwerdeführerin aus der Klinik zu entlassen sein werde, sobald ihr Gesundheitszustand es erlaube, worüber auf Antrag der Klinikleitung die Vormundschaftsbehörde E._ zu entscheiden haben werde.
5. Das im angefochtenen Entscheid festgehaltene Persönlichkeitsbild, namentlich auch den vom Verwaltungsgericht beschriebenen Leidensdruck stellt die Beschwerdeführerin nicht in Frage. Sie bringt auch nichts vor, was geeignet wäre, die vorinstanzliche Annahme, sie sei wegen ihrer Krankheit und ihres Leidensdrucks fürsorgebedürftig im Sinne von <ref-law> als bundesrechtswidrig erscheinen liesse. Beanstandet wird von ihr hauptsächlich, dass das Verwaltungsgericht ihre gegenwärtige Hospitalisierung für notwendig und angemessen hält. Das Vorgetragene vermag indessen keine Verletzung von Bundesrecht darzutun:
Bei ihrem Vorbringen, es bestehe in ihrem Fall weder eine Selbst- noch eine Fremdgefährdung, übersieht die Beschwerdeführerin, dass eine fürsorgerische Freiheitsentziehung ihre Rechtfertigung unter Umständen wohl in der Bewahrung der betroffenen Person vor einem Selbstmord bzw. in einer Gefährdung Dritter finden kann, ihre Anordnung indessen nicht etwa die Erfüllung eines dieser beiden Tatbestände voraussetzt (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 36; THOMAS GEISER, Basler Kommentar, 3. Auflage, N. 5 und 26 zu <ref-law>). Ins Leere stossen die Ausführungen zu Problemen mit Dritten bzw. mit Amtsstellen, macht doch die Beschwerdeführerin nicht geltend, die Vorinstanz habe in dieser Hinsicht etwas zu ihrem Nachteil festgestellt.
Es mag sodann sein, dass der zweimonatige Aufenthalt in der Klinik C._ die Beschwerdeführerin nicht daran gehindert hat, die Medikation nach ihrem Austritt abzusetzen. Indessen lässt sich nicht sagen, die vorinstanzliche Annahme, es könnte den Ärzten und übrigen Fachpersonen im Rahmen der gegenwärtigen (zweiten) stationären Betreuung gelingen, die Beschwerdeführerin dazu zu bewegen, sich der namentlich auch zur Linderung des festgestellten Leidensdrucks nötigen medikamentösen Behandlung zu unterziehen, verstosse gegen Bundesrecht.
Unbehelflich ist schliesslich der Hinweis der Beschwerdeführerin auf die geregelte Wohnsituation und auf das Zusammenleben mit ihrem Partner V._: Trotz der geltend gemachten Tatsachen war der Leidensdruck für sie offensichtlich so gross geworden, dass sie sich mitten in der Nacht vom 14. auf den 15. Juni 2010 ins Spital A._ begab, um Hilfe zu suchen.
6. Nach dem Gesagten ist nicht dargetan, dass der verwaltungsgerichtliche Entscheid gegen Bundesrecht verstosse. Die Beschwerde ist daher abzuweisen. So, wie sie - von der durch einen Rechtsanwalt vertretenen Beschwerdeführerin - begründet worden ist, erschien sie von vornherein als aussichtslos. Das Gesuch der Beschwerdeführerin, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist daher abzuweisen (vgl. <ref-law>). Angesichts der offensichtlich prekären finanziellen Verhältnisse der Beschwerdeführerin ist von der Erhebung von Gerichtskosten jedoch abzusehen (Art. 65 Abs. 2 und Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der ärztlichen Leitung der Klinik A._ (Dr. med. Z._) und dem Verwaltungsgericht (Kammer IV) des Kantons Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. August 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Gysel