Faits:
A. La Mutuelle Valaisanne Caisse Maladie et la Caisse-maladie Futura (regroupées aujourd'hui à l'enseigne de Mutuel Assurances), la Caisse-maladie et accidents Universa ainsi que la Caisse-maladie Hermes sont des institutions d'assurance habilitées à pratiquer l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie. Elles sont membres de l'association Groupe Mutuel, dont la fonction principale est d'assurer la gestion administrative de l'ensemble des institutions qui lui sont affiliées.
Durant le courant de l'automne 2002, les assurances susmentionnées ont communiqué à leurs assurés le montant des primes valables à compter du 1er janvier 2003. La légitimité des hausses annoncées ayant été contestée par seize d'entre eux (cités en titre), les caisses ont rendu des décisions formelles qu'elles ont confirmées sur opposition.
B. Les assurés concernés par ces décisions ont recouru devant le Tribunal administratif de la République et canton de Genève. Au cours de la procédure qui s'en est suivie, celui-ci a, notamment, ordonné l'audition de l'organe de révision des caisses, puis celle des organes de révision du Groupe Mutuel, soit PricewaterhouseCoopers (années 2000 à 2001) et BDO Visura (années 2002 à 2005). Par jugement du 29 mai 2008, le Tribunal administratif a admis les recours, annulé les décisions rendues sur opposition par les assureurs et dit que le montant des primes dues par les assurés pour l'année 2003 devaient correspondre à celui de l'année 2002.
C. La Mutuel Assurances, la Caisse-maladie et accidents Universa ainsi que la Caisse-maladie Hermes interjettent un recours commun en matière de droit public contre ce jugement dont elles demandent l'annulation.
Les assurés concluent principalement au rejet du recours et subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique (OFSP) propose l'admission du recours.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le point de savoir si les primes de l'assurance obligatoire des soins pour l'année 2003 notifiées par les caisses recourantes aux assurés intimés ont été fixées de manière conforme au droit fédéral.
2. Selon la jurisprudence, il appartient à l'assuré d'établir, dans le cadre d'une procédure judiciaire subséquente, la non-conformité au droit fédéral du montant de la prime qui lui a été notifiée. En exigeant que les tarifs des primes de l'assurance obligatoire des soins soient dûment contrôlés et approuvés par l'OFSP (jusqu'au 31 décembre 2003: l'OFAS), le législateur fédéral a expressément érigé une présomption d'adéquation du montant des primes qui ne peut être renversée que si l'assuré apporte la preuve du contraire. Compte tenu de l'autonomie dont disposent les assureurs dans la fixation des primes et du caractère forcément conjectural de celles-ci, le juge est appelé en outre à faire preuve d'une grande retenue lors du contrôle d'une décision prise en application d'une clause tarifaire dans une situation concrète. La validité d'une prime ne saurait être remise en question que si l'irrégularité constatée présente un degré de gravité certain et laisse clairement apparaître le non-respect des dispositions légales applicables en matière de financement et de fixation des primes, et pour autant qu'il soit établi qu'il en résultera une modification sensible du montant de la prime due par l'assuré (<ref-ruling>).
3. 3.1 Le Tribunal administratif a annulé les augmentations de primes notifiées aux assurés intimés, au motif que les caisses recourantes n'étaient pas parvenues à les justifier. Il a constaté que les assureurs concernés versaient des cotisations au Groupe Mutuel, recouraient à toutes sortes de services fournis par le groupe (personnel et informatique) et lui louaient les locaux nécessaires à leur administration. Outre le fait que le versement d'une cotisation était, à son avis, exorbitant au but de l'assurance maladie sociale, la juridiction cantonale a estimé que le Groupe Mutuel pratiquait un système de prix administrés que les membres affiliés étaient tenus d'accepter. De plus, rien ne permettait d'affirmer que le Groupe Mutuel, qu'il y avait lieu de considérer comme étant le véritable assureur d'un point de vue économique, fonctionnait sans but lucratif au sens de l'art. 12 al. 1 LAMal.
3.2 En substance, les caisses recourantes se plaignent d'une constatation manifestement inexacte des faits pertinents, consécutive à une appréciation arbitraire des preuves. Elles reprochent au Tribunal administratif d'avoir ignoré le contenu de nombreuses pièces versées au dossier venant contredire les considérations émises dans le jugement entrepris et d'avoir omis de procéder à des compléments d'instruction lorsque cela s'avérait nécessaire. Elles relèvent également que la LAMal ne leur interdirait pas de se regrouper pour confier la gestion de certaines tâches administratives à un tiers ou à une structure qu'elles auraient créée à cette fin.
4. Il ne ressort pas du jugement entrepris que les caisses recourantes auraient fixé le montant des primes pour l'année 2003 en violation des dispositions légales en matière de financement et de fixation des primes et que, partant, il se justifierait de revenir sur la décision d'approbation donnée en 2002 par l'OFAS. Les considérations du Tribunal administratif consistent bien plutôt en une critique générale - sans lien direct avec l'objet du litige - dirigée contre la structure du Groupe Mutuel. Il n'appartient cependant pas au juge des assurances, dans le cadre d'un litige relatif à la fixation d'une prime, de procéder à une analyse détaillée de la structure de l'assureur et, indirectement, de s'immiscer dans ses choix organisationnels et stratégiques. Tout au plus le juge pourrait-il être amené à intervenir si la structure du Groupe Mutuel engendrait de façon évidente des frais administratifs disproportionnés, contraires au principe dit de l'économicité (art. 22 al. 1 LAMal; <ref-ruling> consid. 7.2 p. 46). Cela ne ressort toutefois pas du jugement attaqué et les assurés intimés ont nullement tenté de l'établir en cours de procédure. Qui plus est, au regard de la relative autonomie accordée à chaque assureur, le fait de confier à un tiers, sous la forme d'une solution interne au groupe auquel appartient l'assureur ou par externalisation, la gestion de certaines activités n'est pas, en soi, contraire au droit fédéral (voir la réponse du Conseil fédéral à une interpellation de la Conseillère nationale Dormond Béguelin du 17 décembre 2003 [03.3613 - Assurance-maladie. Respect de la loi sur la protection des données]). Il importe à cet égard peu que l'assureur s'acquitte des frais liés à ces prestations en payant les factures dressées par le prestataire ou en versant à celui-ci une cotisation annuelle, dès lors que cette façon de faire n'aboutit pas à contourner la loi. En tant qu'elle se fait à un prix conforme au marché et qu'elle n'engendre pas pour les assureurs concernés des frais administratifs disproportionnés, la mise à disposition par l'association Groupe Mutuel de services de nature technique et administrative pour le compte des institutions qui lui sont affiliées n'est, sur le principe, pas critiquable. Faute d'éléments objectifs et concrets permettant d'établir la non-conformité au droit fédéral des primes litigieuses, le Tribunal administratif n'était pas en droit d'annuler les augmentations de primes notifiées aux assurés pour l'année 2003. Dans ces conditions, le recours doit être admis et le jugement attaqué annulé.
5. Les caisses recourantes obtiennent gain de cause. La procédure étant onéreuse, les frais judiciaires sont à la charge des intimés qui succombent (art. 66 al. 1, première phrase, LTF en corrélation avec l'art. 65 al. 2 et 3 let. b LTF). Les caisses recourantes, qui ont conclu à l'octroi de dépens, ne sauraient toutefois en prétendre, aucuns dépens n'étant alloués en règle générale aux organisations chargées de tâches de droit public (art. 68 al. 3 LTF; <ref-ruling> consid. 7 p. 351).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal administratif de la République et canton de Genève du 29 mai 2008 est annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge des intimés.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 6 avril 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Piguet