Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 30. August 2001 sprach das Bezirksgericht Zürich X._ der mehrfachen Urkundenfälschung schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingten Gefängnisstrafe von sechs Monaten. Vom Vorwurf des mehrfachen Betrugsversuchs sprach ihn das Gericht frei.
Auf Berufungen des Verurteilten und der Staatsanwaltschaft hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich das erstinstanzliche Urteil am 12. April 2002. Eine dagegen gerichtete kantonale Nichtigkeitsbeschwerde von X._ wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 9. Mai 2003 ab, soweit es darauf eintrat.
Auf Berufungen des Verurteilten und der Staatsanwaltschaft hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich das erstinstanzliche Urteil am 12. April 2002. Eine dagegen gerichtete kantonale Nichtigkeitsbeschwerde von X._ wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 9. Mai 2003 ab, soweit es darauf eintrat.
B. X._ führt staatsrechtliche Beschwerde mit den Anträgen, es sei der Beschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 9. Mai 2003 aufzuheben, und er sei vollständig freizusprechen oder es sei die Sache "der Vorinstanz oder der Vorvorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen". Er beantragt ferner, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 12. April 2002 aufzuheben und ihn vollständig freizusprechen oder die Sache "der Vorvorinstanz" zur Neubeurteilung zurückzuweisen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Die staatsrechtliche Beschwerde ist grundsätzlich kassatorischer Natur. Das Bundesgericht kann eine als verfassungswidrig erkannte Verfügung oder Bestimmung mit hier nicht gegebenen Ausnahmen lediglich ganz oder teilweise aufheben, nicht aber abändern oder ersetzen (vgl. nur <ref-ruling> E. 1e; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2a). Soweit der Beschwerdeführer mehr als die Aufhebung des Urteils des Kassationsgerichts verlangt, ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten.
1.2 Ebenfalls nicht zu hören ist der Beschwerdeführer mit den Anträgen, (auch) die Urteile der unteren kantonalen Behörden aufzuheben und die Sache an diese zu neuer Beurteilung zurückzuweisen. Nach Art. 86 OG ist die staatsrechtliche Beschwerde nur gegen letztinstanzliche Urteile zulässig. Ein Entscheid einer unteren kantonalen Behörde kann mitangefochten werden, wenn entweder die letzte kantonale Behörde nicht alle Fragen, die Gegenstand der staatsrechtlichen Beschwerde bilden, beurteilen konnte, oder wenn sie die Rügen mit einer engeren Kognition als das Bundesgericht zu prüfen in der Lage war. Wird der letzten kantonalen Behörde vor Bundesgericht Willkür vorgeworfen, ist die Prüfungsbefugnis der letzten kantonalen Instanz in der Regel nicht eingeschränkter als diejenige, die dem Bundesgericht im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde zukommt. In diesen Fällen hat sich die Rüge der Verletzung von Art. 9 BV (Art. 4 aBV) ausschliesslich gegen das letztinstanzliche Urteil zu richten (vgl. <ref-ruling> E. 2b mit Hinweisen).
Anfechtungsobjekt der zu beurteilenden staatsrechtlichen Beschwerde ist damit einzig das kassationsgerichtliche Urteil.
1.3 Nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss eine staatsrechtliche Beschwerde die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein. Den gesetzlichen Begründungsanforderungen wird nicht Genüge getan, wenn der Beschwerdeführer im Rahmen pauschaler Vorbringen einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei verfassungswidrig, und er seine Sicht der Dinge derjenigen der letzten kantonalen Instanz bloss gegenüberstellt. Vielmehr muss in Auseinandersetzung mit der Begründung des angefochtenen Entscheids dargetan werden, inwiefern dieser gegen ein konkretes verfassungsmässiges Recht verstossen soll (grundlegend: <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 1b S. 495, mit Hinweisen; vgl. ferner <ref-ruling> E. 3c und 4 S. 43 mit weiteren Hinweisen). Dabei reicht es nicht, wenn der angefochtene Entscheid sich nur in der Begründung als unhaltbar erweist; eine Aufhebung rechtfertigt sich erst, wenn er auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (<ref-ruling> E. 2a).
Die Rügen des Beschwerdeführers genügen diesen Begründungsanforderungen weitgehend nicht. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen einzelne Begründungen in den Urteilen des Bezirksgerichts und des Obergerichts. Mit den Erwägungen im einzig anfechtbaren und angefochtenen Urteil des Kassationsgerichts setzt er sich nicht auseinander. Der Umstand, dass das Kassationsgericht die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde abgewiesen hat, entbindet den Beschwerdeführer nicht von einer (näheren) Auseinandersetzung mit der Begründung des Kassationsgerichts (dazu eingehend BGE <ref-ruling> E. 1a/cc).
Im Übrigen erhebt der Beschwerdeführer unzulässige Kritik am angefochtenen Urteil. Er legt nicht hinreichend dar, inwieweit die Beweiswürdigung auch im Ergebnis unhaltbar sein soll. Soweit auf seine Rügen überhaupt eingetreten werden kann, erweisen sie sich als unbegründet. Die Beweiswürdigung des Kassationsgerichts ist differenziert, eingehend, nachvollziehbar und stimmig. Willkür ist zu verneinen. Es kann hier auf die Erwägungen im angefochtenen Urteil verwiesen werden (Art. 36a Abs. 3 OG).
1.4 Der Beschwerdeführer macht in Zusammenhang mit seiner Rüge der Verletzung von Art. 9 BV geltend, das Kassationsgericht habe den Grundsatz "in dubio pro reo" missachtet. Soweit er zugleich eine Umkehr der Beweislast und damit mehr als Willkür zu rügen scheint (Beschwerde, S. 7 Ziff. 09, S. 9 f., S. 15), ist darauf nicht einzutreten. Er legt nicht dar, dass und inwiefern das Kassationsgericht ihn mit der Begründung verurteilt habe, er hätte seine Unschuld nicht nachgewiesen, oder es von der falschen Meinung ausgegangen wäre, der Beschwerdeführer habe seine Unschuld zu beweisen, und dass es ihn verurteilte, weil ihm dieser Beweis misslang. Das Kassationsgericht hat vielmehr die erhobenen Beweise gewürdigt und angenommen, diese reichten für eine Verurteilung aus. Darin liegt keine Umkehr der Beweislast, sondern eine Beweiswürdigung (zur Tragweite des Grundsatzes "in dubio pro reo" als Beweislastregel vgl. etwa <ref-ruling> E. 2a).
1.4 Der Beschwerdeführer macht in Zusammenhang mit seiner Rüge der Verletzung von Art. 9 BV geltend, das Kassationsgericht habe den Grundsatz "in dubio pro reo" missachtet. Soweit er zugleich eine Umkehr der Beweislast und damit mehr als Willkür zu rügen scheint (Beschwerde, S. 7 Ziff. 09, S. 9 f., S. 15), ist darauf nicht einzutreten. Er legt nicht dar, dass und inwiefern das Kassationsgericht ihn mit der Begründung verurteilt habe, er hätte seine Unschuld nicht nachgewiesen, oder es von der falschen Meinung ausgegangen wäre, der Beschwerdeführer habe seine Unschuld zu beweisen, und dass es ihn verurteilte, weil ihm dieser Beweis misslang. Das Kassationsgericht hat vielmehr die erhobenen Beweise gewürdigt und angenommen, diese reichten für eine Verurteilung aus. Darin liegt keine Umkehr der Beweislast, sondern eine Beweiswürdigung (zur Tragweite des Grundsatzes "in dubio pro reo" als Beweislastregel vgl. etwa <ref-ruling> E. 2a).
2. Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Da seine Beschwerde von vornherein aussichtslos war, ist das Gesuch abzuweisen (Art. 152 Abs. 1 OG). Dementsprechend hat er die Kosten des Verfahrens vor Bundesgericht zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht im Verfahren nach Art. 36a OG:
Demnach erkennt das Bundesgericht im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Oktober 2003
Im Namen des Kassationshofes
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: