Sachverhalt:
A.
Im Rahmen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung setzte die Agilia Krankenkasse AG auf den 1. Januar 2010 Allgemeine Versicherungsbedingungen (AVB) unter anderem für das Versicherungsmodell "Integriertes Stufenmodell nach KVG (Agilia win.win) " in Kraft. Dieses erforderte (unter Vorbehalt reglementarisch umschriebener Ausnahmesituationen) eine vorgängige Kontaktnahme mit einem medizinischen Beratungszentrum, welches den "Behandlungspfad" zu bestimmen hatte. Danach bestand freie Arztwahl. Die angeschlossenen Versicherten erhielten einen Rabatt auf der ordentlichen Prämie. Zudem wurden jeder versicherten Person zu Beginn eines Kalenderjahres 100 Punkte gutgeschrieben; davon war bei jeder von der Agilia bezahlten oder zurückerstatteten ärztlichen Konsultation, die nicht vorgängig mit dem medizinischen Beratungszentrum vereinbart worden war, eine bestimmte Punktzahl abzuziehen. Erzielte die Versichertengemeinschaft eine erhebliche, nicht bereits mit dem Prämienrabatt abgegoltene Kosteneinsparung, so wurde im Folgejahr deren Punktwert in Franken ermittelt. Die Versicherten erhielten daraufhin den Betrag gutgeschrieben, der ihrem Punktestand entsprach. Mangelnde "Systemtreue" konnte indes auch eine Rückstufung in die ordentliche Krankenpflegeversicherung zur Folge haben.
Am 1. September 2011 stellte das Bundesamt für Gesundheit (BAG) verfügungsweise fest, dass die von der Agilia Krankenkasse AG gemäss den AVB zum Versicherungsmodell "Agilia win.win" gewährten nachträglichen Rabatte unter dem Titel "Erfolgsbeteiligung" gesetzeswidrig seien. Mit Wirkung ab 1. Januar 2012 dürften keine derartigen Rückvergütungen mehr geleistet werden. Mit Verfügung vom 26. September 2011 verweigerte d as BAG die Genehmigung der Prämientarife hinsichtlich des Versicherungsmodells "Agilia win.win" für das Versicherungsjahr 2012.
B.
Das Bundesverwaltungsgericht trat auf die gegen die Zwischenverfügung vom 1. September 2011 erhobene Beschwerde nicht ein (Entscheid C-5521/2011 vom 11. November 2013). Die gegen die Verfügung vom 26. September 2011 erhobene Beschwerde wies es ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid C-5897/2011 vom 11. November 2013).
C.
Die Agilia Krankenkasse AG führt gegen die genannten Entscheide Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, diese seien aufzuheben, soweit darin die Genehmigung des Prämientarifs des Versicherungsmodells "Agilia win.win" für das Jahr 2012 verweigert werde. Die Beschwerdegegnerin sei anzuweisen, die Genehmigung auszusprechen sowie die nachträgliche Rückvergütung zuzulassen. Eventuell sei festzustellen, dass das Versicherungsmodell "Agilia win.win" gesetzeskonform sei und deshalb der betreffende Prämientarif zu genehmigen gewesen wäre.
Das BAG schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Da den beiden Beschwerden derselbe Sachverhalt zugrundeliegt, die Parteien identisch sind und sich die gleichen Rechtsfragen stellen, rechtfertigt es sich, die Verfahren zu vereinigen und in einem Urteil zu erledigen (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 126).
2.
2.1. In der Verfügung vom 26. September 2011 betreffend Nichtgenehmigung des Prämientarifs verweist das BAG auf die Zwischenverfügung vom 1. September 2011. Im Falle entsprechender Anfechtung erweitert sich der Streitgegenstand im Endverfahren um das in einer Zwischenverfügung Geregelte, soweit diese sich, wie hier der Fall, auf den Inhalt der Endverfügung auswirkt (<ref-law>; vgl. <ref-law>).
2.2. Die Eintretensvoraussetzung eines aktuellen Rechtsschutzinteresses (<ref-law>) ist auch nach Ablauf des in der strittigen Verfügung behandelten Versicherungsjahres 2012 als gegeben zu betrachten; ansonsten könnte die strittige Frage kaum je gerichtlich beurteilt werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 93; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 25).
3.
3.1. Nach <ref-law> und <ref-law> können die Versicherten ihr Recht, für ambulante Behandlungen unter zugelassenen Leistungserbringern frei zu wählen (<ref-law>), im Einvernehmen mit dem Versicherer auf Leistungserbringer beschränken, die der Versicherer im Hinblick auf eine kostengünstigere Versorgung auswählt. Der Versicherer muss dann (von Ausnahmen abgesehen) nur die Kosten für Leistungen übernehmen, die von diesen Leistungserbringern ausgeführt oder veranlasst werden. Die gesetzlichen Pflichtleistungen sind in jedem Fall versichert. Nach <ref-law> kann der Versicherer die Prämien für Versicherungen mit eingeschränkter Wahl des Leistungserbringers vermindern. Gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> beträgt die Prämie in dieser besonderen Versicherungsform mindestens 50 Prozent der Prämie der ordentlichen Versicherung mit Unfalldeckung für die Prämienregion und Altersgruppe des Versicherten. Prämienermässigungen sind nur zulässig für Kostenunterschiede, die auf die eingeschränkte Wahl der Leistungserbringer sowie auf eine besondere Art und Höhe der Entschädigung der Leistungserbringer zurückzuführen sind. Die Kostenunterschiede müssen durch Erfahrungszahlen von mindestens fünf Rechnungsjahren nachgewiesen sein. Liegen noch keine solchen vor, dürfen die Prämien um höchstens 20 Prozent unter den Prämien der ordentlichen Versicherung des betreffenden Versicherers liegen (Art. 101 Abs. 2 erster und dritter Satz sowie Abs. 3 KVV). Die Prämien müssen durch das BAG genehmigt werden (<ref-law>, Art. 92 Abs. 1 und 4 KVV; vgl. Urteil 9C_599/2007 vom 18. Dezember 2007 E. 1.1 und E. 2, SVR 2008 KV Nr. 9 S. 38).
3.2. Das Integrierte Stufenmodell nach KVG "Agilia win.win" verpflichtet die angeschlossenen Versicherten, sich vor Inanspruchnahme von medizinischen Leistungen telefonisch oder über das Internet an ein medizinisches Beratungszentrum zu wenden und dessen Anordnungen hinsichtlich des "Behandlungspfades" Folge zu leisten. Im Übrigen besteht indes freie Arztwahl (Ziff. 7 AVB). Das BAG "akzeptiert solche 'Telefonmodelle' (...) als Versicherung mit eingeschränkter Wahl der Leistungserbringer, obwohl nur der Behandlungspfad vorbestimmt wird, die Arztwahl aber frei ist" (Verfügung vom 1. September 2011 Ziff. 30). Es besteht kein Anlass zur Überprüfung dieser Praxis.
4.
Strittig und zu prüfen ist, ob das BAG der Agilia zu Recht mit Wirkung ab 1. Januar 2012 verboten hat, individuelle nachträgliche Rückvergütungen unter dem Titel der "Erfolgsbeteiligung" vorzusehen.
4.1. Das Bundesverwaltungsgericht erwog, im Bereich der Prämienfestsetzung dürften die Krankenversicherer nur soweit autonom reglementieren, als KVG und KVV dies vorsähen. Für die strittigen AVB-Regelungen bestehe keine derartige gesetzliche Grundlage. An dieser Rechtslage ändere sich unter Berücksichtigung der von der Agilia angerufenen Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>) nichts. Dieser Grundsatz gebe der Beschwerdeführerin - als einem Durchführungsorgan der obligatorischen Grundversicherung - nicht die Möglichkeit, privatrechtliche Vereinbarungen ausserhalb des Rahmens zwingender gesetzlicher Bestimmungen abzuschliessen.
4.2. Mit Bezug auf die gesetzliche Grundlage wirft die Beschwerdeführerin vorab die Frage nach der Tragweite von Art. 41 Abs. 4 dritter Satz auf. Danach sind die gesetzlichen Pflichtleistungen in einem Versicherungsmodell mit Beschränkung des Wahlrechts "in jedem Fall versichert". Die Agilia macht geltend, die Vertragsparteien könnten das Versicherungsprodukt autonom ausgestalten, solange die gesetzlichen Pflichtleistungen nicht tangiert seien. Insoweit mische sich das BAG bundesrechtswidrig in den Autonomiebereich der Parteien ein. Dabei übersieht die Beschwerdeführerin, dass die zitierte Bestimmung einzig die ungeschmälerte Beachtung des gesetzlichen Leistungskatalogs (vgl. <ref-law>) sicherstellt.
4.3.
4.3.1. Weiter bringt die Beschwerdeführerin vor, das Gesetz lasse es zu, finanzielle Anreize zu Einsparungen zu setzen, um diese sodann "nach Massgabe ihrer individuellen Systemtreue" den Versicherten zugute kommen zu lassen. Die strittige Rückvergütung (Ziff. 21 AVB) betreffe - im Unterschied zur vorab gewährten ordentlichen Ermässigung nach <ref-law> und <ref-law> (Art. 20 AVB) - nicht die Prämienhöhe. Genehmigungsbedürftig sei nur die ordentliche Prämienermässigung, nicht aber die nachträgliche Rückvergütung (aufgrund des individuellen Beitrages zu den am Ende des Versicherungsjahres ersichtlichen Kostenersparnissen), welche allein auf den AVB beruhe.
4.3.2. Die Beschwerdeführerin macht mithin geltend, die Rückvergütung erfolge unabhängig von der Festlegung der ordentlichen Prämie. Eine Unterscheidung in erwartete Minderkosten, die im Voraus in die Prämie eingepreist werden, und effektive Einsparungen, die nachträglich rückvergütet werden, ist im geltenden Recht indes nicht vorgesehen. Nach <ref-law> kann der Versicherer die Prämien für Versicherungen mit eingeschränkter Wahl des Leistungserbringers vermindern. Dabei handelt es sich um eine abschliessende Regelung; der von der Beschwerdeführerin beanspruchte Gestaltungsspielraum wird auch nicht stillschweigend eingeräumt. Die Ermässigung muss in der Prämie selber zum Ausdruck kommen, damit ersichtlich bleibt, dass die in Art. 101 Abs. 1 und 2 KVV aufgeführten Rahmenbedingungen (keine Bildung von besonderen Risikogemeinschaften, Wahrung des versicherungstechnisch erforderlichen Beitrages an Reserven und Risikoausgleich, Beschränkung der Ermässigung auf modellspezifische Kostenunterschiede) eingehalten sind. Die im Gatekeeper-Modell zu erwartenden spezifischen Einsparungen sind daher als Einheit zu behandeln. Sie bilden insgesamt einen Teil des unter anderem aus Erfahrungswerten abzuleitenden prognostischen Aufwands, anhand dessen die Prämie im Voraus festzulegen und zu genehmigen ist (vgl. <ref-law>; Gebhard Eugster, Die obligatorische Krankenpflegeversicherung, in: Soziale Sicherheit, Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR] Band XIV, 2. Aufl. 2007, S. 737 Rz. 999 und S. 743 Rz. 1016 ff.). Abgesehen davon wäre es wohl auch kaum möglich, weitergehende Effizienzgewinne gleichsam abzuspalten und auf dieser Grundlage - abhängig von der individuellen "Systemtreue" - eine zusätzliche "Erfolgsbeteiligung" hinreichend zuverlässig zu quantifizieren.
Eine ungeteilte Handhabung von Einsparungen war auch in Art. 62 Abs. 1 gemäss der (in der Volksabstimmung vom 17. Juni 2012 abgelehnten) Vorlage zur Änderung des KVG vom 30. September 2011 (Managed Care) vorgesehen. Danach wären Rückvergütungen im Zusammenhang mit Prämien für integrierte Versorgungsnetze zwar zulässig geworden (BBl 2011 7443; vgl. auch BBl 2004 5616 und 5627). Der Gesetzgeber wollte eine von erzielten Ersparnissen abhängige nachträgliche Erfolgsbeteiligung ermöglichen, um damit einen weitergehenden Anreiz zu kostenbewusstem Verhalten der Versicherten zu schaffen (BBl 2004 5616). Das ist auch das erklärte Anliegen der Beschwerdeführerin. Im Unterschied zu deren Modell sollte nach der gescheiterten Managed Care-Vorlage indes die Rückvergütung nur alternativ zu einer Prämienreduktion erfolgen können. Ausdruck hievon war auch, dass eine individuelle Bemessung der Rückvergütung ausgeschlossen wurde (vgl. BBl a.a.O.).
4.4. Aus den gesetzlichen Vorgaben ergibt sich somit, dass die strittige Erfolgsbeteiligung nicht eine autonom gestaltbare Frage beschlägt. Die Beschwerdeführerin hebt das Anliegen des Gesetzgebers hervor, den Wettbewerb zwischen den Krankenversicherern hinsichtlich besonderer Versicherungsformen - und der damit verbundenen Prämienfestlegung - zu fördern. Der hiefür notwendige unternehmerische Gestaltungsspielraum (dazu Markus Moser, Wettbewerb unter Krankenkassen, in: Gesundheitsrecht im wettbewerblichen Umfeld, Poledna/ Jacobs [Hrsg.], 2010, Rz. 9 ff.) vermag indes die Geltung zwingender gesetzlicher Regeln nicht in Frage zu stellen (zum Legalitätsprinzip im Bereich der obligatorischen Krankenpflegeversicherung <ref-ruling> E. 4.1 S. 550; <ref-ruling> E. 2d S. 360; Eugster, a.a.O., S. 403 f. Rz. 13 f.). In deren Anwendungsbereich können sich die Krankenkassen, die im Bereich der obligatorischen Krankenpflegeversicherung als Sozialversicherungsträger fungieren (vgl. <ref-law>), nicht auf die Wirtschaftsfreiheit (Art. 27 und 94 BV) berufen. Nach der Rechtsprechung ist die Sozialversicherung der Wirtschaftsfreiheit weitgehend entzogen (<ref-ruling> E. 2.5.2 S. 14; <ref-ruling> E. 4.3 S. 41 und E. 4.5 S. 42; Urteile 8C_881/2008 vom 5. Mai 2009 E. 6.4.2 und 2P.67/2004 vom 23. September 2004 E. 1.8). Dies gilt hier auch angesichts des für eine Sozialversicherung atypischen Umstandes, dass die Krankenkassen als konkurrierende Anbieter der obligatorischen Krankenpflegeversicherung auftreten. An dieser Stelle offen bleiben muss, wie weit sich die Kassen ausserhalb des Geltungsbereichs zwingender öffentlichrechtlicher Regelungen auf die Wirtschaftsfreiheit berufen können.
5.
Nach dem Gesagten hat das Bundesverwaltungsgericht zutreffend erkannt, dass die von der Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit dem Gatekeeper-Modell praktizierte "individuelle Rückvergütung mittels privatautonomer Vereinbarung" bundesrechtswidrig ist. Die gesetzlichen Regelungen über die Prämienbildung (<ref-law>, <ref-law>) lassen keine ergänzende Absprache der Vertragsparteien des Inhalts zu, dass "systemtreue" Versicherte durch nachträgliche Rückvergütung bezahlter Prämienteile individuell am Erfolg "zusätzlicher Einsparungen" beteiligt werden.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt die Beschwerdeführerin die Kosten des Verfahrens (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 9C_8/2014 und 9C_9/2014 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Oktober 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub