Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1964) stammt aus Ghana. Er reiste im Jahr 2005 in die Schweiz ein und heiratete am 21. April 2006 die Schweizerin C._. In der Folge erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau. Die Aufenthaltsbewilligung wurde einmal, bis am 20. April 2008, verlängert.
Am 21. Mai 2006 zog A._ seine aus einer früheren Beziehung stammende Tochter B._ (geb. 2000) in die Schweiz nach. B._ erhielt eine zuletzt bis am 20. April 2008 gültige Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei ihrem Vater.
Im Juli 2007 zogen A._ und seine Tochter B._ aus der gemeinsamen Familienwohnung aus.
B.
Mit Verfügung vom 4. September 2008 wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich die Gesuche von A._ und B._ um Verlängerung des Aufenthaltsbewilligung ab. Einen gegen die Verfügung gerichteten Rekurs vom 8. Oktober 2008 wies der Regierungsrat mit Entscheid vom 15. Mai 2013 ab. Eine hiergegen gerichtete Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Zürich blieb erfolglos (Urteil vom 23. Oktober 2013).
C.
Mit Eingabe vom 27. November 2013 beantragen A._ und B._, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben. Die Sicherheitsdirektion sei anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführer nicht zu widerrufen bzw. ihnen eine solche wieder zu erteilen.
Das Verwaltungsgericht hat darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen. Das Bundesamt für Migration beantragt, die Beschwerde abzuweisen.
Mit Verfügung vom 3. Dezember 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Für das Eintreten genügt, wenn die betroffene Person in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein solcher Anspruch besteht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f.). Die Beschwerdeführer machen in einer nicht zum Vornherein aussichtslosen Weise geltend, es liege beim Beschwerdeführer aufgrund der besonderen Umstände ein nachehelicher Härtefall vor (Art. 50 AuG; SR 142.20). Auf die form- und fristgerecht erhobene Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten. Ob die jeweiligen Voraussetzungen tatsächlich gegeben sind, bildet praxisgemäss eine Frage der materiellen Beurteilung.
1.2. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. <ref-law>). Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 227 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53; <ref-ruling> E. 4.3 S. 521). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 2.8 S. 494; Urteil 8C_65/2012 vom 21. August 2012 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, falls er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (<ref-law>).
2.
2.1. Die Beschwerdeführer bringen vor, die Vorinstanz habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie ihre Eingabe vom 28. August 2013 - sie wurde nach der Beschwerdeeinreichung am 24. Juni 2013 nachgereicht -, nur in tatsächlicher, nicht jedoch in rechtlicher Hinsicht berücksichtigt habe.
2.2. Es trifft zu, dass das Bundesgerichtsgesetz den unmittelbaren gerichtlichen Vorinstanzen des Bundesgerichts eine freie Prüfung des Sachverhalts vorschreibt, was auch die Zulässigkeit neuer Tatsachen und Beweismittel im vorinstanzlichen Verfahren bedeutet (<ref-ruling> E. 3.3 S. 374; Urteil 2C_961/2013 vom 29. April 2014 E. 3.4); verlangt wird zudem eine uneingeschränkte Rechtskontrolle durch mindestens ein Gericht (<ref-law>; <ref-law>; Urteile 2C_114/2012 vom 26. März 2013 E. 2.2; 2C_81/2013 vom 30. Januar 2013 E. 2.2; 2C_690/2010 vom 25. Januar 2011 E. 2.1; 2C_651/2008 vom 20. April 2009 E. 4.2).
Vorliegend kann die Frage, ob das Verwaltungsgericht die verspätete Eingabe (formell) auch in rechtlicher Hinsicht hätte prüfen müssen, offenbleiben, da es sich unter dem Gesichtswinkel der beantragten Wiedererteilung der Aufenthaltsbewilligung mit allen relevanten Anspruchsgrundlagen des Falles befasst hat: Wenn die Beschwerdeführer geltend machen, bei gebührender Beachtung ihrer Eingabe vom 28. August 2013 hätte die Vorinstanz die Verletzung des Beschleunigungsgebots als wichtigen Grund - wohl für die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG - in Betracht ziehen müssen, ist dem entgegenzuhalten, dass sich nach der Rechtsprechung allein aus einer überlangen Verfahrensdauer in aller Regel keine Aufenthaltsansprüche ergeben können (dazu unten E. 3.5). Die Vorinstanz hat sich hinsichtlich der behaupteten Schwierigkeiten bei der Wiedereingliederung bzw. der vorgebrachten gelungenen Integration unter dem Gesichtspunkt von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG bzw. Art. 8 EMRK sowohl mit der Situation des Beschwerdeführers als auch der Beschwerdeführerin auseinandergesetzt. Dass das Verwaltungsgericht die UNO-Kinderrechtskonvention nicht explizit erwähnt hat, bedeutet ebenfalls keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, da diese Konvention praxisgemäss keine weitergehenden Ans prüche verschafft als Art. 8 EMRK (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 156 f.; <ref-ruling> E. 5 S. 388 ff. und 124 II 361 E. 3b S. 367). Der spontan, nach einem Anwaltswechsel eingereichten zusätzliche n Eingabe kommt auch nicht der Charakter einer Replik zu (<ref-ruling> E. 2.5 S. 221). Eine Rechtsverletzung durch die Vorinstanz ergibt sich ebenso wenig aufgrund des von den Beschwerdeführern angerufenen Art. 6 Ziff. 1 EMRK, der keine Anwendung auf das ausländerrechtliche Bewilligungsverfahren findet (vgl. Urteile 2C_906/2012 vom 5. Juni 2013 E. 2.2; 2C_506/2012 vom 12. Juni 2012 E. 2.2.2, je mit Hinweisen). Die Rüge der Gehörsverletzung erweist sich als unbegründet.
3.
Die Beschwerdeführer bringen vor, es bestünden wichtige persönliche Gründe, die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers zu verlängern. Indem die Vorinstanz das Vorliegen eines Härtefalls im Sinne von Art. 50 Abs. 1 und 2 AuG verneinte, habe sie Bundesrecht verletzt.
3.1. Ausländische Ehegatten von Schweizer Bürgern haben unter Vorbehalt von Art. 51 Abs. 1 AuG Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit ihrem Partner zusammenwohnen (Art. 42 Abs. 1 AuG). Der Bewilligungsanspruch besteht trotz Auflösens bzw. definitiven Scheiterns der Ehegemeinschaft fort, wenn diese mindestens drei Jahre gedauert und die betroffene ausländische Person sich hier erfolgreich integriert hat (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG; <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 119) oder wichtige Gründe einen weiteren Aufenthalt erforderlich machen (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG). Eine (relevante) Ehegemeinschaft besteht, solange die eheliche Beziehung tatsächlich gelebt wird und ein gegenseitiger Ehewille fortdauert. Dabei ist im Wesentlichen auf die nach aussen wahrnehmbare eheliche Wohngemeinschaft abzustellen (Urteil 2C_544/2010 vom 23. Dezember 2010 E. 2.2). Mit Blick auf Art. 49 AuG, der den Ehegatten bei weiterdauernder Familiengemeinschaft gestattet, aus "wichtigen" Gründen getrennt zu leben, was auch bei vorübergehenden Schwierigkeiten in der Ehe kurzfristig der Fall sein kann (vgl. <ref-law> [SR 142.201]), ist jeweils aufgrund sämtlicher Umstände im Einzelfall zu bestimmen, ab welchem Zeitpunkt die eheliche Gemeinschaft (ausländerrechtlich) als definitiv aufgelöst zu gelten hat (Urteil 2C_82/2012 vom 31. Januar 2012 E. 2.2.1).
Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass die Ehegemeinschaft im Juli 2007 aufgegeben und in der Folge nicht wieder aufgenommen worden ist. Er hat somit maximal 1 Jahr und 3 Monate in der Ehe mit seiner Frau in der Schweiz zusammengelebt, weshalb er sich nicht auf Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG berufen kann.
3.2. Der Beschwerdeführer macht einen Härtefall im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 AuG geltend. Danach besteht der Bewilligungsanspruch nach einer gescheiterten Ehe bzw. Familiengemeinschaft fort, falls wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt der ausländischen Familienmitglieder in der Schweiz erforderlich machen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 348 ff.). Entscheidend ist, ob die persönliche, berufliche und familiäre Eingliederung der betroffenen ausländischen Person bei einer Rückkehr in ihre Heimat als stark gefährdet zu gelten hätte, und nicht, ob ein Leben in der Schweiz einfacher wäre und - aus welchen Gründen auch immer - vorgezogen würde (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 350). Ein persönlicher, nachehelicher Härtefall setzt aufgrund der gesamten Umstände eine erhebliche Intensität der Konsequenzen für das Privat- und Familienleben voraus, die mit der Lebenssituation nach dem Dahinfallen der abgeleiteten Anwesenheitsberechtigung verbunden sein muss (vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 403 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 348 ff., je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer reiste im Alter von 41 Jahren in die Schweiz ein. Er hielt sich zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils knapp 8 Jahre hier auf, wovon 5 Jahre auf die Dauer des Rechtsmittelverfahrens fallen. Er war zwar temporär und zuletzt in einer Festanstellung als Werkstattmitarbeiter und Reifenmonteur berufstätig, hat jedoch die prägenden Jugendjahre und einen Grossteil seines Lebens in seinem Heimatland verbracht. Entgegen seiner Auffassung ergeben sich keine substanziierten Hinweise, wonach seine Wiedereingliederung in der Heimat ernstlich gefährdet erschiene. Dass die wirtschaftliche Situation in Ghana schwieriger ist als in der Schweiz, vermag daran praxisgemäss nichts zu ändern (vgl. nebst <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 350 auch die Urteile 2C_489/2011 vom 16. Juni 2011 E. 2.2 sowie 2C_216/2009 vom 20. August 2009 E. 3).
3.3. Der Beschwerdeführer bringt sodann (sinngemäss) vor, infolge der fortgeschrittenen Integration sei - entgegen den Erwägungen der Vorinstanz - auch gestützt auf Art. 8 EMRK, <ref-law> und Art. 3 der UN-Kinderrechtskonvention (SR 0.107) von einem (selbstständigen) Anspruch seiner Tochter auf weiteren Aufenthalt auszugehen.
3.3.1. Die EMRK wie auch <ref-law> verschaffen praxisgemäss keinen Anspruch auf Einreise und Aufenthalt oder auf einen besonderen Aufenthaltstitel (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 250 f.; <ref-ruling> E. 4.1.1 S. 249; <ref-ruling> E. 3.1 S. 285 f.; vgl. Urteile des EGMR vom 9. Oktober 2003 Slivenko gegen Lettland, Nr. 48321/99, § 94 mit Hinweisen; vom 28. Juni 2011 Nunez gegen Norwegen, Nr. 55597/09, § 66). Auch aus der UN-Kinderrechtskonvention ergeben sich diesbezüglich keine weitergehenden Ansprüche (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 156 f.; <ref-ruling> E. 5 S. 388 ff. und 124 II 361 E. 3b S. 367). Bei Ausreise des Beschwerdeführers verfügt seine Tochter über keine weiteren Familienmitglieder, die in der Schweiz wohnen würden, sondern kehrt gemeinsam mit ihrem sorgeberechtigten Vater in ihre Heimat zurück. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung bedeutet demnach keine Vereitelung der familiären Beziehungen der Beschwerdeführer und berührt insofern deren Anspruch auf Familienleben nicht (BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 285 mit Hinweisen; Urteile 2C_536/2013 vom 30. Dezember 2013 E. 2.2, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.; 2C_485/2013 vom 6. Januar 2014 E. 3.1.4; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 6.2; Urteile des EGMR Biraga gegen Schweden Nr. 1722/10 vom 3. April 2012 § 49; Nr. 47017/09 vom 4. Dezember 2012 Butt gegen Norwegen § 77; Nunez gegen Norwegen, a.a.O., § 70).
3.3.2. Für einen Anspruch aus Art. 8 EMRK auf Achtung des Privatlebens (hierzu Urteil des EGMR Slivenko gegen Lettland, a.a.O., § 96) bedarf es nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung besonders intensiver, über eine normale Integration hinausgehender Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. vertiefter sozialer Beziehungen zum ausserfamiliären bzw. ausserhäuslichen Bereich in der Schweiz (BGE <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286 f., E. 3.3 S. 288 f.; <ref-ruling> E. 2c S. 384 ff.; Urteil 2C_425/2007 vom 13. November 2007 E. 2.1.2; THOMAS HUGI YAR, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten - Ausländerrechtliches rund um die Ehe- und Familiengemeinschaft, in: Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht 2012/2013, 2013, S. 31 ff., dort S. 37 f. mit zahlreichen Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin reiste im Alter von knapp 6 Jahren in die Schweiz ein und hielt sich zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Verfahrens etwas mehr als 7 Jahre hier auf, wovon 5 Jahre auf die Dauer des Rechtsmittelverfahrens entfielen. Zwar trifft es nicht zu, dass die Beschwerdeführerin "prägende Kinderjahre" in ihrem Heimatland verbracht hat, ist doch ein Kleinkind noch sehr stark an die Eltern gebunden und entwickelt erst später weitergehende, lebensprägende soziale Kontakte. Allerdings fehlen vorliegend sachverhaltliche Vorbringen, die auf eine deutlich über das Übliche hinausgehende soziale Integration hinweisen und darlegen würden, weshalb der Beschwerdeführerin eine Rückkehr in ihr Heimatland und eine Integration in die dortige Gesellschaft nicht zuzumuten wäre. Eine Verletzung des Beschleunigungsverbots, wie sie aufgrund der mehr als vierjährigen Dauer des Rekursverfahrens vor dem Regierungsrat des Kantons Zürich im Raume steht, kann zwar zur Folge haben, dass sich persönliche Beziehungen in dieser Zeitspanne in einer Weise verfestigen, dass eine zum Verfügungszeitpunkt rechtmässige Wegweisung aufgrund des Zeitablaufs unverhältnismässig wird. Im vorliegenden Fall hat, wie erwähnt, die Anwesenheit der Beschwerdeführerin während des Rechtsmittelverfahrens einige Jahre, der Aufenthalt in der Schweiz jedoch insgesamt nicht sehr lange gedauert, weshalb ein Anspruch auf Erteilung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf das Recht auf Achtung des Privatlebens nach der Praxis für die Beschwerdeführerin nicht besteht (Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law>; vgl. etwa BGE <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286 f.; Urteil 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 6; vgl. auch Urteil des EGMR Biraga gegen Schweden, a.a.O., § 51). Damit entfällt auch ein hieraus abgeleiteter Anwesenheitsanspruch des Beschwerdeführers (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146, E. 3 f. S. 148 ff. mit Hinweisen).
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juli 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni