Sachverhalt:
A. Die 1956 geborene M._ meldete sich im Mai 2004 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Uri verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 13. August 2007). Die von der Versicherten dagegen erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Uri in dem Sinne gut, dass es die Verfügung aufhob und die Sache an die Verwaltung zurückwies, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und neu verfüge (Entscheid vom 30. Mai 2008). Auf die von M._ dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 9C_593/2008 vom 27. August 2008 nicht ein. In Nachachtung des kantonalen Entscheides vom 30. Mai 2008 gab die IV-Stelle bei der MEDAS I._ ein polydisziplinäres Gutachten in Auftrag, welches am 16. April 2009 erstattet wurde. Gestützt darauf sprach sie der Versicherten mit Verfügung vom 19. November 2009, welche unangefochten in Rechtskraft erwuchs, rückwirkend ab 1. November 2008 eine Dreiviertelsrente zu (Invaliditätsgrad: 64 %).
Im Dezember 2010 beantragte M._ bei der Pensionskasse der X._ AG, bei welcher sie über ihre frühere Arbeitgeberin, die Firma Z._ AG, berufsvorsorgeversichert gewesen war, die Ausrichtung einer Dreiviertelsinvalidenrente. Mit Schreiben vom 21. Dezember 2010 verneinte die Pensionskasse einen Anspruch. Daran hielt sie auch nach Einsicht in die Akten der IV-Stelle Uri, insbesondere in die Verfügung vom 19. November 2009, fest (Schreiben vom 11. Januar 2011).
B. Klageweise liess M._ das Rechtsbegehren stellen, die Pensionskasse der X._ AG sei zu verpflichten, ihr eine Dreiviertelsinvalidenrente nebst Kinderrenten gestützt auf die gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen rückwirkend ab 1. November 2008 auszurichten. Die Leistungen seien ab Klageeinreichung zu 5 % zu verzinsen. Mit Entscheid vom 10. Mai 2012 wies das Obergericht des Kantons Uri die Klage ab.
C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das Rechtsbegehren stellen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter erneuert sie das im kantonalen Verfahren gestellte Begehren auf Zusprechung einer Dreiviertelsrente.
Die Pensionskasse der X._ AG schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2. Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, welcher die Ansprecherin bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, angeschlossen war (Art. 23 lit. a BVG [bis 31. Dezember 2004: Art. 23 BVG]). Die Leistungspflicht setzt einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich der Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit (Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf von zumindest 20 %; SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143 E. 2.3 mit Hinweisen, 9C_127/2008) und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 3.2 S. 22; <ref-ruling> E. 4.1 S. 275).
Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, der zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen der gleiche ist wie derjenige, auf welchem die Erwerbsunfähigkeit beruht (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 22). Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war (BGE <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22 mit Hinweisen).
3. Nach den nicht offensichtlich unrichtigen und daher für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) war die Beschwerdeführerin vom 12. März 2001 bis längstens am 31. August 2005 bei der Z._ AG angestellt und damit bei der Pensionskasse der X._ AG berufsvorsorgeversichert. Daran vermögen die Einwendungen der Pensionskasse der X._ AG nichts zu ändern, zumal aus den Akten hervorgeht, dass die Z._ AG bis 31. August 2005 Lohnfortzahlungen erbrachte (Schreiben der Z._ AG an die IV-Stelle Uri vom 26. Juli 2005).
Wie im vorinstanzlichen Verfahren ist streitig und zu prüfen, ob bei der Beschwerdeführerin bereits vor Ende des Versicherungsverhältnisses am 31. August 2005 (bzw. 30. September 2005 bei Einbezug der einmonatigen Nachdeckungsfrist gemäss Art. 10 Abs. 3 BVG) ein psychisches Leiden mit Einfluss auf das Leistungsvermögen bestand.
4. 4.1 Für die Beurteilung des sachlichen Zusammenhanges stützte sich die Vorinstanz auf das Gutachten der MEDAS vom 16. April 2009. Die Gutachter diagnostizierten eine undifferenzierte Somatisierungsstörung mit Leitsymptom Schmerz im Sinne eines Fibromyalgiesyndroms (ICD-10: F45.1), bestehend seit 1999, sowie eine mittelgradige depressive Episode (ICD-10: F32.1), bestehend seit Ende 2007. Zur Depression hielten sie fest, dass sich diese im Laufe des Jahres 2007 zu einer eigenständigen krankheitswertigen mittelgradigen Episode entwickelt habe. Spätestens ab November 2007 sei von einer Arbeitsunfähigkeit von 60 % aus psychiatrischen Gründen auszugehen.
Gestützt auf diese gutachterlichen Ausführungen erachtete es die Vorinstanz als mit dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erwiesen, dass bei der Beschwerdeführerin die Depression (erst) im Verlaufe des Jahres 2007 entstanden ist und spätestens im November 2007 einen mittleren Grad erreicht hat. Damit sei auch erwiesen, dass die Arbeitsunfähigkeit aus psychischen Gründen, welche zur Invalidität und Ausrichtung einer Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung geführt habe, vor Auflösung des Arbeitsverhältnisses am 31. August 2005 noch nicht bestanden habe. Ein (für die Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin vorausgesetzter) sachlicher Konnex zwischen der 2003 entstandenen somatischen Erkrankung und der heute unbestritten bestehenden Invalidität aus psychischen Gründen sei deshalb nicht gegeben.
4.2 Die Beschwerdeführerin macht sinngemäss eine offensichtlich unrichtige vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung und unhaltbare Beweiswürdigung geltend. Sie bringt vor, spätestens ab 2005 - genauer bereits seit Ende 2004 - sei eine Arbeitsunfähigkeit von 30 % aufgrund einer somatoformen Schmerzstörung mit einer leichten depressiven Symptomatik attestiert worden. Das psychische Grundleiden habe bereits seit 2004 und mithin zu einer Zeit bestanden, als sie noch bei der Beschwerdegegnerin versichert gewesen sei.
4.3 Im Gutachten der Klinik W._ vom 8. November 2004 wurde festgehalten, dass die Fibromyalgie im Vordergrund stehe; das weichteilrheumatische Syndrom sei über Jahre chronifiziert. Die positiven Waddell-Zeichen wiesen auf eine inadäquate Krankheitsverarbeitung hin. Die Gutachter empfahlen eine mehrwöchige stationäre Rehabilitation; nach Durchführung dieser Massnahme sei die Wiederaufnahme der Arbeit zu 50 % (halbtags) zumutbar. Die Ärzte der Klinik V._ (Rehabilitationsaufenthalt vom 1. bis 29. März 2005) gaben an, dass bei der Versicherten zum Zeitpunkt der Hospitalisation die Erschöpfungsdepression im Vordergrund gestanden habe. Aus psychologischer Sicht (jahrelange Überbeanspruchung in Arbeit und Familie; Dysthymie und Agoraphobie) sei eine Arbeitsfähigkeit zu verneinen. Sie empfahlen weitere psychotherapeutische Nachbetreuung. Bei allfälliger Verbesserung der Angstsymptomatik wäre (in Absprache mit dem behandelnden Psychiater) die Wiederaufnahme einer leichten Arbeit mit wechselnden Positionen (beginnend mit 50 %) in Betracht zu ziehen (Austrittsbericht vom 14. April 2005). Am 3. Mai 2005 berichtete der Hausarzt Dr. med. B._, Innere Medizin FMH, von einem schweren therapieresistenten Fibromyalgiesyndrom, welches sich trotz Reha-Aufenthalt nicht gebessert habe. Der RAD ging in der Stellungnahme vom 31. Mai 2005 davon aus, dass der Versicherten eine psychotherapeutische Behandlung zumutbar sei und die Arbeitsfähigkeit unter entsprechender Therapie von 50 auf 80 % gesteigert werden könnte. Der ebenfalls von einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit ausgehende Arztbericht des Sozialpsychiatrischen Dienstes N._ vom 29. August 2005 erwähnt als Diagnose ein chronifiziertes Schmerzsyndrom mit vorwiegend depressiver Reaktion sowie ein Fibromyalgiesyndrom. Von einer fibromyalgieformen Schmerzempfindungsstörung, die anhand von klaren objektivierbaren Befunden nicht zu fassen sei, ging schliesslich der RAD in seiner Stellungnahme vom 27. September 2005 aus. Eine depressive Komponente gehöre zum Krankheitsbild der Fibromyalgie. Inwiefern eine Fibromyalgie vorliege und allenfalls einschränkend auf die Arbeitsfähigkeit sei, müsse rheumatologisch geklärt werden. Ebenso sei die psychiatrische Komponente zu prüfen. Auf die Empfehlung des RAD-Arztes wurde die Versicherte im Zentrum O._ untersucht. Das am 10. April 2007 erstattete Gutachten geht von einer im Vordergrund stehenden anhaltenden somatoformen Schmerzstörung mit depressiven Anteilen (und deshalb einer leichten Beeinträchtigung der psychischen Belastbarkeit) aus; in jeglicher Tätigkeit resultiere eine Arbeitsunfähigkeit von 30 %.
4.4 Die aus den Jahren 2004 und 2005 stammenden echtzeitlichen medizinischen Akten lassen keinen anderen Schluss zu, als dass sich das psychische Leiden der Beschwerdeführerin bereits ab Ende 2004 zeigte und sich im Jahr 2005 erheblich auswirkte. Der im angefochtenen Entscheid unter Hinweis auf das Gutachten der MEDAS vom 16. April 2009 festgestellte Sachverhalt, wonach das psychische Leiden erst 2007 seinen Anfang genommen habe, ist offensichtlich unrichtig. Denn entgegen der Vorinstanz ist nicht entscheidend, dass nach den Gutachtern die depressive Symptomatik erst Ende 2007 einen mittleren Grad erreichte, genügt es doch für die Bejahung eines hinreichend engen sachlichen Zusammenhanges, dass sich das psychische Leiden mit Krankheitswert bei noch bestehender Versicherungsdeckung (hier einschliesslich der Nachdeckungsfrist: bis 30. September 2005) manifestiert und das Krankheitsgeschehen erkennbar mitgeprägt hat (Urteil 9C_776/2011 vom 24. April 2012 E. 4.2; 9C_597/2008 vom 3. Dezember 2008 E. 2.2.2; 9C_772/2007 vom 26. Februar 2008 E. 3.2). Das war bereits im Jahr 2005 der Fall, als bei der Versicherten depressive Zustandsbilder unterschiedlicher Ausprägung auftraten.
4.5 Zum zeitlichen Zusammenhang zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und derjenigen, die später zur Invalidität geführt hat, wurden im angefochtenen Entscheid keine Feststellungen getroffen. Das Bundesgericht kann indessen den hiefür relevanten Sachverhalt aufgrund der Aktenlage selber feststellen (<ref-law>).
Nach den Unterlagen wurde die Beschwerdeführerin durch Dr. med. B._ ab 8. Mai 2003 krankgeschrieben; seither arbeitet sie (abgesehen von einem Arbeitsversuch im Dezember 2003) nicht mehr. Ihr wurde eine vollständige Arbeitsunfähigkeit als Mitarbeiterin in der Industrie attestiert (vgl. Arztbericht des Dr. med. B._ vom 6. Juli 2004). Ende 2004 stellten die Ärzte der Klinik W._ fest, nach Durchführung einer stationären Rehabilitation sei die Wiedererlangung einer Arbeitsfähigkeit von 50 % in einer körperlich leichten Tätigkeit zu erwarten. Von einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit in den Monaten März und April 2005 gingen die Ärzte der Klinik V._ aus, wobei sie angaben, dass bei allfälliger Verbesserung der Angstsymptomatik die Wiederaufnahme einer leichten Arbeit (beginnend mit 50 %) in Betracht gezogen werden könne (Bericht vom 14. April 2005). Im Mai 2005 gelangte der RAD-Arzt zu einer Arbeitsfähigkeit von 50 %, mit der Möglichkeit der Steigerung auf 80 % (Bericht vom 31. Mai 2005). Eine vollständige Arbeitsunfähigkeit seit Januar 2004 nahmen die Ärzte des Sozialpsychiatrischen Dienstes N._ in ihrem Bericht vom 29. August 2005 an; zumutbar sei höchstens ein 20%-Pensum in einer leichten Tätigkeit. Der RAD verzichtete in seiner Stellungnahme vom 27. September 2005 auf eine Arbeitsunfähigkeitsschätzung und empfahl eine polydisziplinäre Begutachtung. Die von der IV-Stelle beauftragten Gutachter des Zentrums O._ gelangten zu einer Arbeitsunfähigkeit von 30 % (Gutachten vom 10. April 2007), welcher Beurteilung sich der RAD in seiner Stellungnahme vom 24. April 2007 anschloss. Dr. med. F._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, hielt in seinem Gutachten vom 19. November 2007 fest, es bestehe in der angestammten Tätigkeit seit Mai 2003 eine Arbeitsfähigkeit von 0-10 % und in optimal angepassten Tätigkeiten eine solche von 1-2 Stunden, jeweils vormittags und nachmittags, abzüglich reduzierter Leistung und damit insgesamt ca. 30 %; nach Durchführung von medizinischen und beruflichen Massnahmen betrage die Arbeitsfähigkeit mutmasslich 30 %. Im Gutachten der MEDAS vom 16. April 2009 ist von einer Arbeitsunfähigkeit von 60 % aus psychischen Gründen spätestens ab November 2007 die Rede.
Aufgrund dieser Unterlagen ist erstellt, dass die Beschwerdeführerin im massgebenden Zeitraum in ihrem Leistungsvermögen stets um mindestens 30 % eingeschränkt war und von einer (den zeitlichen Zusammenhang unterbrechenden) Wiedererlangung der Arbeitsfähigkeit somit nicht die Rede sein kann (auch nicht zu zumindest 80 %; vgl. dazu Urteil 9C_536/2012 vom 28. Dezember 2012 E. 3.2.2). Damit ist auch die zeitliche Konnexität gegeben.
4.6 Sind die sachliche und zeitliche Konnexität nach dem Gesagten zu bejahen, ist die Beschwerdegegnerin für die bei der Beschwerdeführerin eingetretene Invalidität grundsätzlich leistungspflichtig. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie über den klageweise geltend gemachten Leistungsanspruch ab 1. November 2008 neu entscheide.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, vom 10. Mai 2012 aufgehoben. Die Sache wird an das Obergericht zurückgewiesen, damit es im Sinne der Erwägungen über die Klage neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, der IV-Stelle Uri und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. März 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann