Faits:
A.
Par requête de mesures protectrices de l'union conjugale du 21 décembre 2012, X._ a notamment conclu à ce que le droit de garde de l'enfant commun, A._, née en 2009, lui soit attribuée. Le père, Y._, s'est déterminé le 22 janvier 2013, revendiquant également l'attribution du droit de garde de l'enfant.
A.a. Par décision de mesures protectrices de l'union conjugale du 21 février 2013, le Juge du district de Sion a notamment confié la garde de l'enfant au père, sous réserve d'un droit de visite de la mère et astreint celle-ci à contribuer à l'entretien de son enfant et du père par le versement d'une pension mensuelle de respectivement 862 fr. et de 1'760 fr.
La mère a formé appel contre ce jugement le 7 mars 2013, requérant l'effet suspensif à son appel, partant, la garde de l'enfant à titre provisionnel, et concluant au fond principalement à ce que le droit de garde de l'enfant lui soit confié, à ce que le père soit condamné à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement d'une pension mensuelle de 862 fr., et à ce qu'aucune contribution d'entretien ne soit due entre époux, subsidiairement, à ce qu'il soit en outre ordonné une enquête sociale par l'Office pour la protection de l'enfant (ci-après: OPE).
Le 5 avril 2013, la Juge de la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais a rejeté la requête d'effet suspensif de la mère.
Dans sa réponse du 25 avril 2013, le père a conclu au rejet de l'appel.
A.b. Statuant par arrêt du 13 mai 2013, la Juge de la Cour civile II a rejeté l'appel de la mère et confirmé la décision de mesures protectrices de l'union conjugale du 21 février 2013 du Juge du district de Sion.
B.
Par acte du 13 juin 2013, la mère exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que le droit de garde de l'enfant lui est attribué, sous réserve du droit de visite du père, que celui-ci est astreint à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement d'une pension mensuelle de 862 fr., et qu'aucune contribution d'entretien ne soit due entre époux; subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité précédente. A l'appui de son recours, la mère soulève les griefs d'établissement inexact des faits au regard de l'art. 9 Cst., d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application de l'art. 296 CPC, ainsi que de violation de la garantie du respect de la vie privée et familiale (art. 13 al. 1 Cst. et 8 CEDH). Au préalable, elle requiert la garde de l'enfant à titre de mesures provisionnelles.
Invités à se déterminer sur la requête de mesures provisionnelles, l'intimé a conclu au rejet et l'autorité précédente a déclaré ne pas avoir d'observation à formuler, se référant aux considérants de sa décision du 13 mai 2013.
C.
Par ordonnance du 4 juillet 2013, le Président de la Cour de céans a rejeté la requête de mesures provisionnelles.
Des réponses sur le fond n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1.
Le présent recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) ainsi que dans la forme légale (art. 42 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF; <ref-ruling> consid. 4 p. 395 s.) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire matrimoniale (art. 72 al. 1 LTF). Le litige porte sur le droit de garde de l'enfant et sur la contribution d'entretien en faveur du parent gardien; la cause est ainsi non pécuniaire dans son ensemble (arrêts 5A_483/2011 du 31 octobre 2011 consid. 1.1; 5A_220/2009 du 30 juin 2009 consid. 1). La recourante a en outre pris part à la procédure devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 let. a LTF) et, ayant succombé dans ses conclusions, a un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 let. b LTF). Le recours en matière civile est en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
Dès lors que la décision attaquée porte sur le prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 à 179 CC), lesquelles sont considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (<ref-ruling> consid. 5 p. 396), le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir d'examen limité, seule la violation des droits constitutionnels pouvant être invoquée. Le Tribunal fédéral n'examine en outre les griefs de violation de droits constitutionnels que s'ils ont été invoqués et motivés conformément au principe d'allégation ("Rügeprinzip", art. 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 287). Le recourant qui se plaint de la violation d'un droit fondamental ne peut donc se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer ses allégations par une argumentation précise (<ref-ruling> consid. 3 p. 351 s.; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 400; arrêt 5A_99/2011 du 22 septembre 2011 consid. 2.1).
2.1. Aux termes de l'art. 271 let. a CPC, les mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 à 179 CC) sont ordonnées à la suite d'une procédure sommaire. Bien que les moyens de preuve ne soient pas restreints aux seuls titres, l'administration de ceux-ci doit pouvoir intervenir immédiatement (art. 254 al. 2 let. c et 272 CPC). La décision de mesures protectrices de l'union conjugale est en principe provisoire et revêtue d'une autorité de la chose jugée limitée. La jurisprudence rendue avant l'entrée en vigueur du CPC demeure applicable (en particulier l'<ref-ruling> consid. 2b/bb p. 478) : la cognition du juge est limitée à la simple vraisemblance des faits et à un examen sommaire du droit.
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) et se montre réservé en ce qui concerne l'appréciation des preuves et la constatation des faits, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 4b p. 40; <ref-ruling> consid. 1b p. 30 ss). Cette retenue est d'autant plus grande dans le domaine des mesures protectrices de l'union conjugale, ordonnées à la suite d'une procédure sommaire, avec administration restreinte des moyens de preuve et limitation du degré de la preuve à la simple vraisemblance (cf. supra consid. 2.1). Dans le cadre d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte doit démontrer que ceux-ci sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst., conformément au principe d'allégation ( cf. supra consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252; arrêt 5A_338/2010 du 4 octobre 2010 consid. 3.2), en sorte qu'il ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (art. 106 al. 2 LTF).
3.
Le recours a pour objet l'attribution du droit de garde de l'enfant et la contribution d'entretien allouée au parent gardien, dans le cadre de mesures protectrices de l'union conjugale.
3.1. S'agissant du droit de visite, la Juge de la Cour civile II a d'abord retenu que les allégations de la mère au sujet de prétendus actes de violence du père ne sont pas avérées, précisant que le dossier pénal du père n'apparaît pas comme déterminant pour statuer sur les questions litigieuses, en particulier la dénonciation pénale de la mère contre celui-ci pour violences physiques se fondant sur un constat médical qui ne relève aucune trace de telles violences.
Ensuite, la juge cantonale a constaté que l'attribution du droit de garde au père se justifiait dès lors que celui-ci est plus disponible, ayant suspendu toute activité lucrative pour s'occuper de sa fille dès sa naissance, alors que la mère occupe un emploi de maître de cabine intercontinentale à un taux de 70 %. La Juge de la Cour civile II a en outre relevé que la mère n'a émis aucune critique à l'égard de compétences éducatives du père, que rien n'indique que celui-ci entrave la relation de l'enfant avec sa mère, que l'attribution de la garde à la mère aurait pour conséquence que l'enfant devrait être placé à la crèche pendant les jours de travail de la mère, celle-ci n'ayant pas de famille en Suisse à qui elle pourrait confier l'enfant, que l'enfant serait contrainte de déménager à Zurich alors qu'elle a toujours habité en Valais en étant sous la garde de son père depuis son plus jeune âge, ce qui bouleverserait ses habitudes de vie, et que l'organisation deviendrait encore plus compliquée lors de sa scolarisation. En définitive, la juge cantonale a estimé que les parents avaient des capacités éducatives similaires et tous deux la faculté de favoriser les contacts avec l'autre parent, de sorte, que, dans ce contexte, il convenait d'accorder davantage d'importance au critère de la stabilité de l'enfant et à celui de la disponibilité du parent gardien, partant, d'attribuer la garde de l'enfant au père.
La juge déléguée a enfin relevé, s'agissant de la question du droit de garde, que la conclusion subsidiaire de la mère tendant à ce qu'une enquête sociale soit confiée à l'OPE n'était pas motivée, en sorte qu'elle a rejeté cette conclusion. L'autorité précédente a ajouté qu'au demeurant, les éléments avancés en première instance n'étaient pas suffisants pour admettre que l'enfant serait exposée à un quelconque danger.
3.2. Concernant la contribution d'entretien allouée au père, la Juge de la Cour civile II a constaté que la mère ne démontre pas que le juge de première instance aurait procédé à un calcul erroné des charges du père. La juge cantonale a relevé que la mère se contentait d'exposer que le montant de la contribution d'entretien n'est pas suffisant pour couvrir le minimum vital du père, en sorte que celui-ci devrait combler son déficit par l'exercice d'une activité lucrative hors du foyer, ce qui implique que la garde de l'enfant devrait lui être attribuée. Dès lors qu'elle a confirmé l'attribution de la garde de l'enfant au père, la juge précédente a estimé qu'il n'y avait donc pas lieu de modifier le montant octroyé pour l'entretien du père.
4.
La recourante affirme que la Juge de la Cour civile II a versé dans l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves, dès lors que la juge cantonale a estimé que le comportement violent du père n'était pas avéré, sans instruction supplémentaire, singulièrement en refusant de requérir l'édition du dossier pénal du père, considérant que le rapport médical versé au dossier de la cause ne fait état d'aucune trace de violence. La recourante expose que le fait qu'aucune séquelle physique n'était visible ne signifie pas qu'elle n'a pas subi de violence de la part du père et allègue que cet épisode n'était pas isolé, reprochant en définitive à la juge cantonale de s'être basée exclusivement sur le rapport médical produit, sans tenir compte de la plainte pénale déposée et des suites de celle-ci, ni requérir une enquête sociale, partant d'avoir omis de prendre en compte un élément important de nature à modifier sa décision.
Alors que l'autorité cantonale a jugé, sur la base des preuves disponibles et nonobstant la plainte pénale de la mère, qu'aucun élément ne lui permettait de retenir que le père a un comportement violent, la recourante affirme que le dossier pénal est de nature à modifier l'appréciation de la juge précédente et que l'absence de séquelles physiques n'est pas déterminante. Ce faisant, la recourante se contente d'opposer sa propre version des faits à celle retenue par la juge cantonale et ne démontre pas en quoi l'administration des preuves requises, à savoir la production du dossier pénal et la mise en oeuvre d'une enquête sociale, serait de nature à modifier l'établissement des faits; en particulier, elle n'expose pas que le dossier pénal contiendrait une pièce propre à établir le comportement violent du père, ni n'allègue que sa plainte pénale aurait abouti à une condamnation du père - élément qui indiquerait que celui-ci a, au moins à une reprise, fait preuve de violence -, pas plus qu'elle ne précise sur quoi l'enquête sociale devrait porter. Faute de satisfaire à l'exigence de motivation (art. 106 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2.2), le grief d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves est irrecevable.
5.
Soulevant le grief d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application de l'art. 296 CPC, la recourante reproche à la Juge de la Cour civile II d'avoir considéré que sa demande d'enquête sociale n'était pas motivée et de l'avoir par conséquent rejetée. La recourante soutient qu'elle a allégué tous les faits pertinents et soumis les offres de preuves nécessaires pour instruire la cause, exposant qu'il appartenait à l'autorité d'éclaircir les faits en requérant une édition du dossier pénal du père et en ordonnant une enquête sociale pour déterminer la situation de l'enfant et sur sa relation avec son père. Elle affirme que l'autorité a gravement violé l'art. 296 CPC en confiant la garde de l'enfant de 4 ans à " un homme impulsif qui s'est montré violent à plusieurs reprises " sans aucune investigation supplémentaire, faisant ainsi preuve d'arbitraire.
5.1. En vertu de l'art. 296 al. 1 CPC, la maxime inquisitoire s'applique lorsque le juge est saisi de questions relatives aux enfants dans les affaires de droit de la famille. Selon la jurisprudence, le juge a le devoir d'éclaircir les faits et de prendre en considération d'office tous les éléments qui peuvent être importants pour rendre une décision conforme à l'intérêt de l'enfant, même si ce sont les parties qui, en premier lieu, lui soumettent les faits déterminants et les offres de preuves. Il n'est lié ni par les faits allégués, ni par les faits admis, ni par les moyens de preuve invoqués par les parties; il ordonne d'office l'administration de tous les moyens de preuve propres et nécessaires à établir les faits pertinents. Cette obligation du juge d'établir d'office les faits n'est cependant pas sans limite. La maxime inquisitoire ne dispense pas, en effet, les parties de collaborer activement à la procédure et d'étayer leurs propres thèses; il leur incombe de renseigner le juge sur les faits de la cause et de lui indiquer les moyens de preuve disponibles (<ref-ruling> consid. 3.2.1 et les références; arrêts 5A_522/2011 du 18 janvier 2012 consid. 4.1 in fine; 5P.473/2006 du 19 décembre 2006 consid. 3.2). Par ailleurs, les mesures protectrices de l'union conjugale étant ordonnées à la suite d'une procédure sommaire avec administration restreinte des moyens de preuve et limitation du degré de la preuve à la simple vraisemblance ( cf. supra consid. 2.1), il suffit que les faits soient rendus vraisemblables (<ref-ruling> consid. 2b/bb p. 478 et les références).
5.2. En l'occurrence, il ressort de la décision entreprise que l'autorité a statué sur un état de fait qui diverge de la version de la recourante, fondé cependant sur les preuves administrées, singulièrement sur le rapport médical ne faisant état d'aucune séquelle indiquant que la mère aurait subi des violences physiques ( cf. supra consid. 3.1). La juge cantonale a expressément refusé d'ordonner une enquête sociale au stade des mesures protectrices de l'union conjugale, s'estimant suffisamment renseignée sur la situation de l'enfant et sur le comportement du père à l'égard de sa fille, motivation de l'arrêt attaqué que la recourante omet totalement de prendre en considération, se fondant uniquement sur le premier motif du refus, en raison de l'absence de conclusion sur cette question. Il apparaît que l'autorité précédente a procédé à une appréciation des preuves disponibles et a jugé celles requises par la mère comme non pertinentes pour l'issue du litige, en sorte que l'on ne voit pas en quoi la maxime inquisitoire (art. 296 CPC) aurait été violée; le grief d'arbitraire dans l'application de l'art. 296 CPC doit être rejeté.
6.
La recourante affirme enfin que la Juge de la Cour civile II a violé son droit au respect de la vie familiale et invoque les art. 13 al. 1 Cst. et 8 § 1 CEDH. Elle critique d'abord, au regard de l'intérêt de l'enfant, l'appréciation de la juge cantonale au sujet de la disponibilité plus grande du père, entendant faire reconnaître que celui-ci n'a pas cessé son activité hors du foyer dès la naissance de l'enfant, mais seulement lorsque l'enfant a atteint l'âge de 2 ans et qu'il sera certainement amené à reprendre une activité lucrative pour couvrir son minimum vital. La recourante s'en prend aussi à la détermination de l'aptitude des parents à favoriser les contacts avec l'autre parent, jugeant son aptitude supérieure à celle du père, reprochant à celui-ci de ne pas s'adapter à ses horaires irréguliers. Elle conteste aussi l'appréciation de la juge cantonale au sujet du critère de stabilité, alléguant que l'enfant passe du temps avec elle durant ses jours de congé, en sorte que la fille ne serait pas habituée à passer son temps uniquement avec son père, ainsi que l'a retenu la juge précédente. Elle réaffirme aussi à la lumière de ce critère que le père devrait être amené à reprendre une activité lucrative hors du foyer, en sorte que l'enfant ne pourra plus demeurer sous sa garde comme elle en a l'habitude. Enfin, la recourante expose que le déménagement à Zurich de l'enfant de 4 ans non scolarisée ne saurait être considéré comme un déracinement parce que sa fille n'a pas pu établir de liens, ni s'attacher à son environnement, le critère de la stabilité ayant au demeurant été appliqué de manière arbitraire en ne tenant pas compte de tous les éléments, conduisant à une solution qui viole l'art. 9 Cst. En définitive, la recourante considère que l'ingérence des autorités publiques dans sa vie familiale n'a pas été guidée par le critère du bien de l'enfant et doit être considérée comme illicite.
6.1. Les art. 8 § 1 CEDH et 13 al. 1 Cst., qui garantissent notamment le droit au respect de la vie familiale, sont des normes de rang constitutionnel, en sorte que la cour de céans n'est tenue d'examiner le moyen tiré de la violation de ces dispositions que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise (art. 106 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2). En l'occurrence, la recourante n'expose pas, même succinctement, en quoi les art. 8 CEDH et 13 al. 1 Cst. auraient, dans ce contexte, une portée propre par rapport au grief d'arbitraire qu'elle soulève simultanément (ATF 133 II 585 consid. 3.4 p. 587, arrêt 5A_876/2009 du 16 février 2010 consid. 2.2). Il s'ensuit que le grief de violation des art. 8 CEDH et 13 Cst. est irrecevable; le mérite de la critique est examiné uniquement à la lumière de l'art. 9 Cst.
6.2. En vertu de l'art. 176 al. 3 CC, relatif à l'organisation de la vie séparée, lorsque les époux ont des enfants mineurs, le juge ordonne les mesures nécessaires d'après les dispositions sur les effets de la filiation ( cf. art. 273 ss CC); il peut, notamment, attribuer la garde des enfants à un seul des parents. Les principes posés par la jurisprudence et la doctrine en matière de divorce sont applicables par analogie. La règle fondamentale en ce domaine est l'intérêt de l'enfant. Au nombre des critères essentiels, entrent en ligne de compte les relations personnelles entre parents et enfants, les capacités éducatives respectives des parents, leur aptitude à prendre soin de l'enfant personnellement et à s'en occuper, ainsi qu'à favoriser les contacts avec l'autre parent; il faut choisir la solution qui, au regard des données de l'espèce, est la mieux à même d'assurer à l'enfant la stabilité des relations nécessaires à un développement harmonieux des points de vue affectif, psychique, moral et intellectuel.
6.3. En l'espèce, la cour cantonale s'est fondée sur les critères de la stabilité du cadre de vie de l'enfant habituée à être sous la garde de son père dans le canton du Valais, ainsi que de la disponibilité de chaque parent, pour trancher la question de l'attribution du droit de garde, les parents présentant une capacité éducative similaire et une aptitude égale à favoriser les contacts avec l'autre. Elle a estimé que l'intérêt de l'enfant à continuer à vivre dans le cadre qui était le sien depuis sa naissance et auprès du parent qui avait une aptitude supérieure à prendre soin personnellement d'elle, en raison de la suspension de son activité lucrative hors du foyer, s'avérait prépondérante.
6.4. Les allégations de la recourante au sujet de l'activité lucrative du père - qu'il aurait suspendue plus tardivement et qu'il serait tenu de reprendre - s'écartent de l'état de fait de la décision entreprise et ne sauraient par conséquent être retenues aux fins de modifier l'appréciation de l'autorité précédente relative à la disponibilité des parents, ces allégations n'étant étayées par aucune preuve ou indice les rendant vraisemblables et n'étant quoi qu'il en soit pas de nature à remettre en cause le constat selon lequel le père dispose, actuellement et depuis plusieurs années, de plus de temps pour s'occuper personnellement de l'enfant du fait de la suspension de son activité lucrative, par rapport à l'épouse qui est employée à un taux d'activité de 70 % en qualité de maître de cabine sur des vols intercontinentaux ( cf. supra consid. 3.1). Quant à l'adaptation du père aux horaires irréguliers de la mère pour l'organisation du droit de visite, la juge cantonale a rappelé à juste titre qu'il ne pouvait être reproché au parent gardien de ne pas faciliter les contacts mère-fille parce qu'il s'en tenait à la décision judiciaire. L'on ne voit en effet pas en quoi le fait que le parent gardien s'en tienne aux modalités du droit de visite fixées dans le jugement de mesures protectrices de l'union conjugale serait de nature à entraver la relation entre la mère et sa fille; la recourante, qui se limite à contester cette appréciation, n'explicite au demeurant pas plus avant sa critique, pas plus qu'elle n'allègue qu'il lui est impossible de se conformer à la réglementation mise en place. Concernant l'appréciation du critère de la stabilité, la mère soutient que l'enfant a passé la moitié de son temps avec elle depuis sa naissance, constat qui ne ressort pas des faits retenus dans l'arrêt querellé, et présente sa propre évaluation du critère de la stabilité, considérant qu'un enfant de 4 ans ne serait pas déracinée par le déménagement qui serait nécessaire en cas d'attribution du droit de garde à la mère. Toutefois, vu les circonstances d'espèce, ce déplacement du lieu de vie de l'enfant implique pour celle-ci de quitter son cadre de vie usuel pour vivre dans une autre ville, dans une partie du pays dont la langue est différente, et d'être placée à la crèche - parfois pour des durées supérieures à 24 heures - lorsque la recourante travaille. Il s'ensuit que l'appréciation effectuée par la Juge de la Cour civile II au sujet de la stabilité n'apparaît pas comme arbitraire.
Il ressort de ce qui précède que la juge cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire dans l'appréciation des différents critères d'attribution du droit de garde, ni dans la manière de pondérer ceux-ci les uns par rapport aux autres, en sorte que le grief de violation de l'art. 9 Cst. est mal fondé, autant qu'il est recevable.
7.
En conclusion, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. La recourante, dont la requête de mesures provisionnelles a été rejetée et qui succombe au fond, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). L'intimé, qui n'a pas été invité à déposer de réponse au fond, mais qui a obtenu gain de cause dans ses conclusions sur la requête de mesures provisionnelles a droit à une indemnité de dépens pour ses observations, mise à la charge de la recourante (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Une indemnité de 200 fr., à payer à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Juge de la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 24 juillet 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Gauron-Carlin