Sachverhalt:
A. Der 1953 geborene D._ meldete sich am 21. November 2005 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau nahm medizinische und erwerbliche Abklärungen vor. Insbesondere wurde die Eingliederungs- und Arbeitsfähigkeit des Versicherten während eines vom 5. bis 27. Februar 2007 dauernden Aufenthalts in der Beruflichen Abklärungsstelle (BEFAS) abgeklärt (Schlussbericht vom 5. März 2007). Anschliessend lehnte es die IV-Stelle - nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens - mit Verfügungen vom 12. Juni 2007 ab, Leistungen in Form einer Rente oder einer Umschulung zu erbringen.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies die AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau (ab 1. Januar 2008 neu Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau) ab (Entscheid vom 21. Dezember 2007).
C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm eine ganze Rente auszurichten; eventuell seien weitere medizinische Abklärungen zu tätigen; ebenfalls im Sinne eines Eventualbegehrens sei ihm "Kostengutsprache für eine Umschulung" zu gewähren.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Schreiben vom 1. Juli 2008 lässt der Beschwerdeführer eine Mitteilung der IV-Stelle vom 30. Juni 2008 einreichen.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Dabei legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>).
1.2 Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Dagegen beschlägt die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln eine Rechtsfrage (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil 8C_74/2008 vom 22. August 2008, E. 2.3).
2. 2.1 Am 1. Januar 2008 sind die Änderungen des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung (IVG) und anderer Erlasse wie des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2006 (5. IV-Revision, AS 2007 5129 ff.) in Kraft getreten. Auf den vorliegenden Fall sind noch die früheren Gesetzesfassungen anwendbar (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220 mit Hinweisen).
2.2 Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über die Begriffe der Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>) und der Invalidität (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. In der Verfügung über den Rentenanspruch vom 12. Juni 2007 werden überdies die gesetzlichen Grundlagen zu den Voraussetzungen und zum Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung; vgl. jetzt <ref-law>) und zur Bemessung des Invaliditätsgrades nach der Einkommensvergleichsmethode (<ref-law>) richtig wiedergegeben. Die gleichentags erlassene Verfügung über den Umschulungsanspruch enthält den Hinweis auf die entsprechende Gesetzesnorm (<ref-law>).
3. 3.1 Laut den Erwägungen des kantonalen Gerichts kann der Beschwerdeführer wegen des Gesundheitsschadens an der rechten Hand, welcher sich im Rahmen der Untersuchungen insbesondere in einer stark verminderten Kraftentfaltung dieser Hand manifestierte, die angestammte Arbeit als Dachdecker nicht mehr ausüben. In einer adaptierten Tätigkeit ist er dagegen zu 100 % arbeitsfähig. Diese Beurteilung stützt sich insbesondere auf den BEFAS-Schlussbericht vom 5. März 2007. Danach kann dem Versicherten nach adäquat bemessener Einarbeitungszeit ganztägig eine uneingeschränkte Leistungsfähigkeit zugemutet werden, sofern es sich um behinderungsgerechte Tätigkeiten handelt, bei denen allfällige Handeinsätze in Handgelenksneutralstellung rechts, unter Benützung einer stabilisierenden Orthese, ausgeführt werden können. Eignungsmässig und auch am optimalsten behinderungsangepasst seien das Handgelenk bzw. die Hand rechts nur leicht belastende Überwachungs-/Kontrollarbeiten, wenig belastende leichtere Maschinenbedienarbeiten oder eine reine Staplerfahrer-Tätigkeit (ohne geforderte zusätzliche, das rechte Handgelenk stärker belastende Arbeitseinsätze).
3.2 Die Vorbringen in der Beschwerdeschrift vermögen, soweit sie Berücksichtigung finden können (<ref-law>), die vorinstanzlichen Feststellungen nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen zu lassen (vgl. E. 1.2 hiervor). Die Aussage, in einer adaptierten Tätigkeit (weitgehend einhändig mit der linken Hand; rechte Hand als Hilfshand) bestehe grundsätzlich volle Arbeitsfähigkeit, findet sich auch in der Stellungnahme von Dr. med. F._, Handchirurgie FMH, vom 29. November 2005. Ebenso lässt sie sich mit den Aussagen im Bericht von Dr. med. K._, Allgemeine Medizin FMH, vom 5. Dezember 2005 vereinbaren. Die anders lautende Stellungnahme dieses Arztes vom 23. April 2007 ist nicht geeignet, die vorinstanzlichen Feststellungen als offensichtlich unrichtig erscheinen zu lassen, zumal Dr. med. K._ nicht erläutert, warum er seine Einschätzung geändert hat. Seitens des Morbus Dupuytren bzw. des entsprechenden operativen Eingriffs vom 12. Oktober 2005 bestand ab 12. Dezember 2005 keine Arbeitsunfähigkeit mehr (Bericht Dr. med. S._, Chirurgie FMH, vom 28. März 2006). Unter diesen Umständen konnte das kantonale Gericht ohne Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes auf die Ergebnisse der BEFAS-Abklärung abstellen und in (sinngemässer) antizipierter Beweiswürdigung von weiteren Abklärungen absehen.
4. 4.1 Die Vorinstanz bezifferte das Valideneinkommen (bezogen auf das Jahr 2005) mit Fr. 63'245.-. Diesen Betrag leitete sie aus den Angaben der Arbeitgeberin vom 22. Dezember 2005 ab. Danach hätte der Versicherte ohne Gesundheitsschaden im Jahr 2005 Fr. 4'865.- pro Monat verdient. Weiter ist dem Arbeitgeberbericht zu entnehmen, dass dem Versicherten, welcher zu 100 % arbeitsunfähig war, ab August 2005 Fr. 3'892.- (80 % von Fr. 4'865.-) ausbezahlt wurden. Im Dezember 2005 erfolgte eine Zahlung von Fr. 12'047.85. Der Beschwerdeführer lässt diesbezüglich - wie sinngemäss bereits im vorinstanzlichen Verfahren - geltend machen, es habe sich einerseits um die Nachzahlung der Differenz zum vollen Lohn während der Arbeitsunfähigkeit und andererseits um die Auszahlung von Überstundenguthaben gehandelt. Es trifft zu, dass regelmässig geleistete Überstunden rechtsprechungsgemäss in das Valideneinkommen einzubeziehen sind (Urteil I 433/06 vom 23. Juli 2007, E. 4.1.2, mit Hinweisen). Auf der Grundlage der Sachverhaltsbehauptung in der Beschwerdeschrift ergäbe sich für das Jahr 2005 ein Valideneinkommen (einschliesslich 13. Monatslohn) von Fr. 65'124.90, für das Jahr 2006 unter Berücksichtigung der Lohnentwicklung von 2005 auf 2006 (+1.2 %; Die Volkswirtschaft 11-2008 S. 91 Tabelle B10.2) ein solches von Fr. 65'906.-. Wie es sich diesbezüglich verhält, kann jedoch offenbleiben, weil sich die Differenz nicht auf das Ergebnis auswirkt.
4.2 Da der Beschwerdeführer die verbleibende Arbeitsfähigkeit (E. 3.1 hiervor) nicht erwerblich verwertet, hat das kantonale Gericht das Invalideneinkommen zu Recht gestützt auf die Werte der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) festgesetzt (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481, 126 V 75 E. 3b/bb S. 76 f.). Nach der Rechtsprechung ist allerdings ein Abstellen auf regionale Werte nicht zulässig (SVR 2007 UV Nr. 17 S. 56, U 75/03). Massgebend sind die Beträge für die gesamte Schweiz. Auf dieser Grundlage resultiert bei Berücksichtigung des durch die Vorinstanz anerkannten maximal möglichen Prozentabzugs von 25 % (dazu <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481) bezogen auf das Jahr 2006 ein Invalideneinkommen von Fr. 44'398.- (Fr. 4732.- [LSE 2006, Tabelle A1, Anforderungsniveau 4, Männer] x 12 = 56'784.- : 40 x 41.7 [Die Volkswirtschaft 11-2008 S. 90 Tabelle B9.2] = 59'197.- minus 25 % = 44'398.-). Verglichen mit dem Valideneinkommen von Fr. 65'906.- ergibt sich ein Invaliditätsgrad von 33 %. Wird das Valideneinkommen auf den vorinstanzlich berücksichtigten Betrag von Fr. 63'245.- beziffert, beläuft sich der Invaliditätsgrad auf 30 %. IV-Stelle und Vorinstanz haben somit einen Rentenanspruch zu Recht verneint.
5.1 5.1.1 Den Anspruch auf berufliche Eingliederungsmassnahmen in Form einer Umschulung hat die IV-Stelle mit separater, ebenfalls am 12. Juni 2007 erlassener Verfügung verneint. Zur Begründung hielt sie fest, die gesetzlichen Voraussetzungen des Umschulungsanspruchs seien nicht erfüllt. Wie die Abklärungen ergeben hätten, sei aufgrund der knappen schulischen und beruflichen Ressourcen des Versicherten keine Umschulung möglich. Die Erwerbsfähigkeit könne durch eine Umschulung nicht wesentlich verbessert werden.
5.1.2 Die Vorinstanz hat dazu erwogen, wenn eine versicherte Person bereits in zureichender und zumutbarer Weise eingegliedert sei oder die Möglichkeit bestehe, ihr ohne zusätzliche Ausbildung einen geeigneten Arbeitsplatz zu vermitteln, liege keine invaliditätsbedingte Notwendigkeit für eine Umschulung vor. Die beruflichen Abklärungen der BEFAS vom Februar 2007 hätten ergeben, dass der Beschwerdeführer über eine normale Auffassungsgabe sowie Lernfähigkeit für nicht zu anspruchsvolle neue praktische Tätigkeiten verfüge. Es habe sich weder die Notwendigkeit einer Vorbereitung auf eine Hilfsarbeit noch diejenige eines Arbeitstrainings gezeigt. Eine einfache Hilfsarbeitertätigkeit (wie z.B. Überwachungsfunktionen) sei dem Beschwerdeführer somit auch ohne vorhergehende Massnahme oder zusätzliche Ausbildung zumutbar. Im Bericht über die BEFAS-Abklärungen werde lediglich eine adäquat bemessene Einarbeitungszeit nebst der Begleitung und Unterstützung bei der Suche einer möglichen behinderungsgerechten Tätigkeit empfohlen. Beratung und Unterstützung durch die IV-Stellenvermittlung sei dem Beschwerdeführer bereits zugesprochen worden. Ob berufliche Massnahmen im Zusammenhang mit einer adäquaten Einarbeitungszeit zuzusprechen seien, werde "dann zu prüfen sein, wenn solche überhaupt zur Diskussion stehen". Im jetzigen Moment drängten sich jedenfalls keine Umschulungsmassnahmen auf.
5.1.2 Die Vorinstanz hat dazu erwogen, wenn eine versicherte Person bereits in zureichender und zumutbarer Weise eingegliedert sei oder die Möglichkeit bestehe, ihr ohne zusätzliche Ausbildung einen geeigneten Arbeitsplatz zu vermitteln, liege keine invaliditätsbedingte Notwendigkeit für eine Umschulung vor. Die beruflichen Abklärungen der BEFAS vom Februar 2007 hätten ergeben, dass der Beschwerdeführer über eine normale Auffassungsgabe sowie Lernfähigkeit für nicht zu anspruchsvolle neue praktische Tätigkeiten verfüge. Es habe sich weder die Notwendigkeit einer Vorbereitung auf eine Hilfsarbeit noch diejenige eines Arbeitstrainings gezeigt. Eine einfache Hilfsarbeitertätigkeit (wie z.B. Überwachungsfunktionen) sei dem Beschwerdeführer somit auch ohne vorhergehende Massnahme oder zusätzliche Ausbildung zumutbar. Im Bericht über die BEFAS-Abklärungen werde lediglich eine adäquat bemessene Einarbeitungszeit nebst der Begleitung und Unterstützung bei der Suche einer möglichen behinderungsgerechten Tätigkeit empfohlen. Beratung und Unterstützung durch die IV-Stellenvermittlung sei dem Beschwerdeführer bereits zugesprochen worden. Ob berufliche Massnahmen im Zusammenhang mit einer adäquaten Einarbeitungszeit zuzusprechen seien, werde "dann zu prüfen sein, wenn solche überhaupt zur Diskussion stehen". Im jetzigen Moment drängten sich jedenfalls keine Umschulungsmassnahmen auf.
5.2 5.2.1 Der Versicherte hat Anspruch auf Umschulung auf eine neue Erwerbstätigkeit, wenn die Umschulung infolge Invalidität notwendig ist und dadurch die Erwerbsfähigkeit voraussichtlich erhalten oder verbessert werden kann (<ref-law>). Als Umschulung gelten Ausbildungsmassnahmen, die Versicherte nach Abschluss einer erstmaligen beruflichen Ausbildung oder nach Aufnahme einer Erwerbstätigkeit ohne vorgängige berufliche Ausbildung wegen ihrer Invalidität zur Erhaltung oder Verbesserung der Erwerbsfähigkeit benötigen (<ref-law>).
5.2.2 Nach der Rechtsprechung ist unter Umschulung die Summe der Eingliederungsmassnahmen berufsbildender Art zu verstehen, die notwendig und geeignet sind, dem vor Eintritt der Invalidität bereits erwerbstätig gewesenen Versicherten eine seiner früheren annähernd gleichwertige Erwerbsmöglichkeit zu vermitteln. Dabei bezieht sich der Begriff der annähernden Gleichwertigkeit nicht in erster Linie auf das Ausbildungsniveau als solches, sondern auf die nach erfolgter Eingliederung zu erwartende Verdienstmöglichkeit. In der Regel besteht nur Anspruch auf die dem jeweiligen Eingliederungszweck angemessenen, notwendigen Massnahmen, nicht aber auf die nach den gegebenen Umständen bestmöglichen Vorkehren. Schliesslich setzt der Anspruch auf Umschulung voraus, dass die versicherte Person wegen der Art und Schwere des Gesundheitsschadens im bisher ausgeübten und in den für sie ohne zusätzliche berufliche Ausbildung offenstehenden zumutbaren Erwerbstätigkeiten eine bleibende oder längere Zeit dauernde Erwerbseinbusse von etwa 20 % erleidet (<ref-ruling> E. 4.2 S. 489 f. mit Hinweisen).
5.3 Der Beschwerdeführer weist einen Invaliditätsgrad von 30 bzw. 33 % auf. Dieser Umstand ist nach dem Gesagten prinzipiell geeignet, einen Anspruch auf Umschulung zu begründen. Dem steht das Fehlen einer beruflichen Grundausbildung nicht ohne weiteres entgegen (Urteil I 210/05 vom 10. November 2005, E. 3.3.2 mit Hinweisen). Zu den übrigen Voraussetzungen des Umschulungsanspruchs, insbesondere zur subjektiven und objektiven Eingliederungsfähigkeit sowie zur Frage, ob Ausbildungsmöglichkeiten bestehen, welche dem Kriterium der Verhältnismässigkeit gerecht werden und eine erhebliche Verbesserung der Verdienstmöglichkeiten versprechen, enthält der vorinstanzliche Entscheid keine Feststellungen. Die IV-Stelle hat jedoch in ihrer Verfügung vom 12. Juni 2007 und in der vorinstanzlichen Vernehmlassung vom 4. September 2007 erklärt, angesichts der knappen schulischen und beruflichen Ressourcen des Versicherten könne die Erwerbsfähigkeit durch eine Umschulung nicht wesentlich verbessert werden. Diese Aussagen stimmen mit den Ergebnissen der Abklärung in der BEFAS überein. In deren Schlussbericht vom 5. März 2007 wird ausgeführt, unter Berücksichtigung der ärztlichen Angaben zur Arbeits- und Leistungsfähigkeit sowie der schulisch sehr knappen und auch praktisch einfachen Ressourcen des Versicherten komme als Umschulung einzig eine praktisch orientierte Einarbeitung in Frage. Empfohlen werde die Unterstützung bei der Stellensuche sowie eine gut bemessene Einarbeitung von drei bis sechs Monaten. Gestützt auf diese Aussagen muss - in Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen (<ref-law>) - mit der für eine antizipierte Beweiswürdigung vorausgesetzten Zuverlässigkeit ausgeschlossen werden, dass mit verhältnismässigen Mitteln durch eine Umschulung gemäss <ref-law> eine wesentliche Verbesserung der Erwerbsmöglichkeiten des Beschwerdeführers erreicht werden könnte. Der kantonale Entscheid ist daher im Ergebnis auch bezüglich des Umschulungsanspruchs nicht zu beanstanden. Die im Schlussbericht der BEFAS angeregte Unterstützung bei der Stellensuche hat die IV-Stelle dem Versicherten mit Mitteilung vom 30. März 2007 zugesprochen. Die nachträglich eingereichte Mitteilung der IV-Stelle vom 30. Juni 2008, wonach die Arbeitsvermittlung ohne Ergebnis abgeschlossen werde, bildet keine Basis für eine Revision im Sinne von <ref-law> und hat daher unberücksichtigt zu bleiben (<ref-ruling>; Urteil 9C_40/2007 vom 31. Juli 2007, E. 3.1).
6. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Die Kosten des Verfahrens sind dem Beschwerdeführer als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. November 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger