Sachverhalt:
A. X._ reichte seine Steuererklärung für die Steuerperiode 2005 nicht fristgerecht ein und wurde nach zweimaliger Mahnung von der Veranlagungsbehörde Solothurn mit einer Ordnungsbusse belegt. Die Veranlagungsbehörde nahm in der Folge eine Veranlagung nach Ermessen vor, bestimmte ein steuerbares Einkommen in der Höhe von Fr. 55'640.-- und eröffnete diese Veranlagung mit Verfügung vom 22. Januar 2007. Die dagegen erhobene Einsprache wurde von der Veranlagungsbehörde am 4. Juli 2007 abgewiesen.
B. Mit Rekurs und Beschwerde vom 3. August 2007 an das Steuergericht des Kantons Solothurn beantragte X._, er sei nur mit einem steuerbaren Einkommen vom Fr. 2'983.60 zu veranlagen. Das Steuergericht wies Rekurs und Beschwerde sowie auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mit Urteil vom 14. Januar 2008 ab. Das Steuergericht stellte fest, X._ sei der Nachweis nicht gelungen, dass die durch die Vorinstanz vorgenommene Veranlagung offensichtlich unrichtig war.
C. Gegen das Urteil des Steuergerichts des Kantons Solothurn erhebt X._ am 15. Juni 2008 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Steuergerichts vom 14. Januar 2008 sei aufzuheben und die Sache "zur neuen Beurteilung entsprechend den tatsächlichen Steuerfaktoren" an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sodann ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Der Beschwerdeführer rügt die Verletzung von Bundes- und kantonalem Recht sowie eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts.
D. Das Steuergericht sowie das Steueramt des Kantons Solothurn beantragen die Abweisung der Beschwerde. Den gleichen Antrag stellt die Eidgenössische Steuerverwaltung.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist gestützt auf <ref-law> zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert; auf das frist- und formgerecht eingereichte Rechtsmittel ist grundsätzlich einzutreten (vgl. aber nachfolgend E. 1.2).
1.2 Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht (einschliesslich der verfassungsmässigen Rechte) gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht jedoch nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und substantiiert begründet worden ist (Art. 42 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann lediglich beanstandet werden, wenn sie offensichtlich unrichtig oder Folge einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> ist (Art. 105 Abs. 2 bzw. <ref-law>). Ob die vorliegende Beschwerde unter diesen Gesichtspunkten eine genügende Begründung enthält, ist fraglich. Die Frage kann offen bleiben, da sich die Beschwerde ohnehin als unbegründet erweist.
2. 2.1 Nach <ref-law> und § 147 Abs. 1 des Steuergesetzes [des Kantons Solothurn] vom 1. Dezember 1985 (StG/SO; BGS 614.11) prüft die Veranlagungsbehörde die Steuererklärung und nimmt die erforderlichen Untersuchungen vor. Hat der Steuerpflichtige trotz Mahnung seine Verfahrenspflichten nicht erfüllt oder können die Steuerfaktoren mangels zuverlässiger Unterlagen nicht einwandfrei ermittelt werden, so nimmt die Veranlagungsbehörde eine Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen vor. Sie kann dabei Erfahrungszahlen, Vermögensentwicklung und Lebensaufwand des Steuerpflichtigen berücksichtigen (<ref-law>; § 147 Abs. 2 StG/SO und Art. 46 Abs. 3 StHG). Eine Ermessensveranlagung kann nicht nur dann vorgenommen werden, wenn die Steuerfaktoren mangels zuverlässiger Unterlagen nicht einwandfrei ermittelt werden können, sondern auch dann, wenn sich die für die Veranlagung massgebenden tatsächlichen Verhältnisse nicht feststellen lassen, obwohl der Steuerpflichtige keine Verfahrenspflicht verletzt hat, das heisst, wenn die nicht zu beseitigende Ungewissheit im Sachverhalt andere Gründe hat (Martin Zweifel, in: Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, Band I/2b, 2. Aufl. 2008, N. 41 zu <ref-law>).
2.2 Bei der Ermessenseinschätzung hat die Steuerbehörde von Amtes wegen alle Unterlagen zu berücksichtigen, die ihr zur Verfügung stehen. Sie hat alle Umstände in Rechnung zu stellen, von denen sie Kenntnis hat, auch wenn sie möglicherweise nicht in den Akten vermerkt sind; denn die amtliche Veranlagung ist nach pflichtgemässem Ermessen vorzunehmen. Der Steuerpflichtige soll möglichst entsprechend seiner wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit eingeschätzt werden. Das setzt eine Würdigung der gesamten Verhältnisse voraus. Die Steuerbehörde hat dabei eine vorsichtige Schätzung vorzunehmen, ohne allerdings dazu verpflichtet zu sein, bei der durch das Verhalten des Steuerpflichtigen bedingten Ermessensbetätigung im Zweifelsfall die für diesen günstigste Annahme zu treffen: Es soll vermieden werden, dass derjenige Steuerpflichtige, der für die Möglichkeit der Nachprüfung der von ihm erklärten Verhältnisse Sorge getragen hat, höhere Steuern zu bezahlen hat als derjenige, bei dem eine solche Nachprüfung aus von ihm zu vertretenden Gründen unmöglich ist. Die Verletzung von Verfahrenspflichten darf sich nicht lohnen (Urteile 2A.53/2003 vom 13. August 2003 E. 4.1, in: NStP 57, 139 S. 144; A.74/1987 vom 30. Oktober 1987 E. 3b, in: ASA 58 S. 673 f. mit Hinweisen).
2.3 Der Steuerpflichtige kann eine Ermessensveranlagung nur wegen offensichtlicher Unrichtigkeit anfechten. Die Einsprache ist zu begründen und muss allfällige Beweismittel nennen (<ref-law>; § 149 Abs. 4 StG/SO und Art. 48 Abs. 2 StHG). Offensichtlich unrichtig ist eine Schätzung, die einen wesentlichen Gesichtspunkt übergangen oder falsch gewürdigt hat. Das Bundesgericht ist an die Ermessenseinschätzung gebunden, wenn sie auf einer richtigen und vollständigen Sachverhaltsermittlung und auf einer sachgerechten Abwägung der Gesamtheit der für die Veranlagung massgebenden Verhältnisse beruht, wobei den zuständigen Behörden ein gewisser Spielraum für die zahlenmässige Auswertung der Untersuchungsergebnisse zusteht; so lange sich ihre Schätzung im Rahmen des so gegebenen Spielraums hält, kann das Bundesgericht nicht eingreifen (Urteil A.74/1987 vom 30. Oktober 1987 E. 1b, in: ASA 58 S. 672 f. mit Hinweisen).
2.4 Dieser Unrichtigkeitsnachweis ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung umfassend zu führen und kann nicht nur einzelne Positionen der Ermessensveranlagung betreffen. Der Steuerpflichtige muss die bisher versäumten Mitwirkungshandlungen nachholen und insbesondere eine nicht eingereichte Steuererklärung nachträglich vorlegen (vgl. für die direkte Bundessteuer: Urteil 2A.39/2004, in: ASA 75 S. 329, E. 5.1). Der Unrichtigkeitsnachweis muss zudem mit der Begründung der Einsprache und damit innert der Einsprachefrist angeboten werden; bei der Ermessensveranlagung stellt die gesetzlich geforderte Einsprachebegründung nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung eine Prozessvoraussetzung dar (<ref-ruling> E. 4c S. 557 f.).
3. 3.1 Unbestritten ist im vorliegenden Fall, dass der Beschwerdeführer trotz Mahnung keine Steuererklärung eingereicht hatte und deshalb nach pflichtgemässem Ermessen eingeschätzt werden musste. Dabei stützte sich die Veranlagungsbehörde primär auf Erfahrungszahlen, nämlich auf die im Vorjahr erzielten Einkünfte. Erst im Einspracheverfahren reichte der Beschwerdeführer eine Steuererklärung ein und deklarierte ein Einkommen in der Höhe von Fr. 3'197.--. Da ein solches steuerbares Einkommen nach der allgemeinen Lebenserfahrung für die Bestreitung des Lebensunterhaltes nicht ausreicht, forderte die Veranlagungsbehörde den Beschwerdeführer im Einspracheverfahren auf, darzulegen, aus welchen Mitteln dieser seinen Lebensunterhalt bestreite. Der Beschwerdeführer machte in der Folge geltend, von seinen Eltern und nicht näher bezeichneten Verwandten unterstützt worden zu sein; konkrete Nachweise oder Belege konnte der Beschwerdeführer aber weder der Veranlagungsbehörde noch dem Steuergericht vorlegen.
3.2 Der Beschwerdeführer macht vor dem Bundesgericht primär geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt nicht richtig festgestellt. Damit verkennt er, dass die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz lediglich beanstandet werden kann, wenn sie offensichtlich unrichtig oder Folge einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> ist (vgl. E. 1.2). Aus der Beschwerdeschrift geht aber nicht hervor, worin diese offensichtliche Unrichtigkeit bestehen soll. Zwar führt der Beschwerdeführer aus, er sei von Eltern und Verwandten unterstützt worden, habe die Krankenkasse auf ein Minimum gesetzt und keine Miete bezahlen müssen. Konkrete Belege oder Beweismittel zu diesen Ausführungen lagen aber der Vorinstanz keine vor. Der Beschwerdeführer räumt sogar ein, dass seine Eltern vergessen hätten, in ihren Steuererklärungen die angebliche Unterstützung zu deklarieren. Er geht fehl, wenn er meint, mit der Einreichung der Steuererklärung im Rahmen des Einspracheverfahrens habe er alle notwendigen Nachweise erbracht. Vielmehr muss sich ein Steuerpflichtiger, der eine Ermessensveranlagung vor Bundesgericht anficht, mit deren Elementen im Einzelnen auseinandersetzen und zeigen, dass die Schätzung auf unhaltbaren Grundlagen oder auf offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellungen beruht. Er hat klar darzutun und im einzelnen zu belegen, dass und weshalb eine vorgenommene Schätzung offensichtlich falsch sein soll bzw. wesentliche Gesichtspunkte übergangen oder falsch gewürdigt worden sind (Urteil 2A.53/2003 vom 13. August 2003 E. 4.4).
Die Anfechtung einer Ermessensveranlagung verlangt somit zunächst eine qualifizierte Begründung. Der Einwand, das Einkommen sei im Rahmen der Ermessensveranlagung zu hoch geschätzt worden, ist deshalb zu allgemein und nichtssagend. Ebenso wenig genügt ein Antrag, das Einkommen sei so festzusetzen, wie es sich aufgrund der vollständig ausgefüllten Steuererklärung ergeben werde (FELIX RICHNER/WALTER FREI/STEFAN KAUFMANN, Handkommentar zum DBG, 2003, N. 52 zu <ref-law>; Urteil 2A.102/1998 vom 25. August 1999 E. 2b mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer verwies aber in den vorinstanzlichen Verfahren in erster Linie auf die Angaben in der nachgereichten Steuererklärung, weshalb schon die Voraussetzungen für eine qualifizierte Begründung hier nicht erfüllt sind.
3.3 Die Veranlagungsbehörde stellte in der Ermessensveranlagung auf die im Vorjahr erzielten Einkünfte ab, was grundsätzlich nicht zu beanstanden ist (vgl. <ref-law>). Beruht die Ermessensveranlagung auf geeigneten Vergleichszahlen (Erfahrungszahlen), ist die Angemessenheit regelmässig dargelegt (RICHNER/FREI/KAUFMANN, a.a.O., N. 66 zu <ref-law>). Die vom Beschwerdeführer eingereichte Steuererklärung weist ein steuerbares Einkommen aus, das zur Deckung des Lebensunterhalts offensichtlich bei weitem nicht ausreichen kann. Die von der Veranlagungsbehörde in der Vernehmlassungsantwort vom 11. September 2008 vorgenommene Bedarfsrechnung zeigt auf, dass eine Unterdeckung resultiert, selbst wenn zahlreiche Annahmen zu Gunsten des Beschwerdeführers getroffen worden sind (keine Wohnkosten, tiefer Ansatz Krankenversicherungsprämien, etc.). Dazu kommt, dass die angeblichen Unterstützungsbeiträge durch die Eltern weder belegt noch in der Steuererklärung der Eltern ausgewiesen sind. Die blosse Einreichung der Steuererklärung verbunden mit der Bereitschaft des Beschwerdeführers, für weitere Unterlagen und Auskünfte zur Verfügung zu stehen, genügt für den Unrichtigkeitsnachweis nicht.
3.4 Der Beschwerdeführer widerspricht sich zudem, wenn er zu seinen Gunsten mit der Aufnahme einer selbständigen Geschäftstätigkeit argumentiert. Es ist nicht nachvollziehbar, wie der Beschwerdeführer die entsprechenden Investitionen und Aufwendungen finanzieren will, wenn nicht einmal die Mittel für einen minimalen Lebensunterhalt vorhanden sind. Auch die vom Beschwerdeführer geplante und dann abgesagte Weiterbildungsreise nach Argentinien steht im Widerspruch zu seinen Ausführungen über seine angeblichen wirtschaftlichen Verhältnisse.
3.5 Die weiteren Erklärungen des Beschwerdeführers zur Bestreitung des Lebensunterhaltes überzeugen ebenfalls nicht. So ist beispielsweise nach der allgemeinen Lebenserfahrung davon auszugehen, dass die Schulden bei der Kreditkartenfirma in der Höhe von Fr. 3'081.-- nicht als langfristiges Darlehen betrachtet werden können, das dem Beschwerdeführer für die Bestreitung des Lebensunterhaltes zur Verfügung steht. Im übrigen hat das Bundesgericht auf den Sachverhalt abzustellen, den die Vorinstanz festgestellt hat (vgl. E. 1.2). Neue Tatsachen und Beweismittel darf der Beschwerdeführer nur vorbringen, wenn der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Ausführungen des Beschwerdeführers über die Bestreitung seines Lebensunterhaltes sind damit unbeachtlich, soweit sie nicht schon vor der Vorinstanz geltend gemacht worden sind.
3.6 Soweit der Beschwerdeführer im Übrigen rügt, es sei kantonales Recht verletzt worden, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, da diese Rüge nicht substantiiert begründet worden ist (vgl. E. 1.2).
3.7 Zusammengefasst ergibt sich, dass dem Beschwerdeführer der Nachweis der offensichtlichen Unrichtigkeit der Ermessenseinschätzung nicht gelingt. Die auf den im Vorjahr erzielten Einkünften basierende Schätzung bewegt sich im Rahmen des gegebenen Schätzungsspielraums der Steuerbehörde (vgl. E. 2.3).
4. Damit ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unbegründet und abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat zwar um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht. Die von ihm gestellten Rechtsbegehren müssen jedoch nach dem oben Dargelegten als von vorneherein aussichtslos bezeichnet werden. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist daher unbegründet. Der eingeschränkten Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers ist aber bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Steueramt und dem Steuergericht des Kantons Solothurn sowie der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Januar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Winiger