Faits:
A. A.a Par contrat du 22 novembre 2002, amendé le 5 février 2003, X._ SA (ci-après: X._), société de droit suisse, a confié à Y._ (ci-après: Y._), société de droit américain, la maintenance et le service de trois avions contre rémunération. Les conditions générales applicables à ce contrat incluaient une clause compromissoire.
Un litige étant survenu dans l'exécution du contrat, Y._ a mis en oeuvre la procédure arbitrale, qui prévoyait la nomination de trois arbitres neutres. X._ a toutefois accepté que le différend soit tranché par un arbitre unique.
Par sentence du 13 février 2008, l'arbitre A._ a condamné X._ à payer à Y._ la somme de 1'102'486,97 USD, plus un montant de 785'088,36 USD correspondant aux intérêts de cette somme arrêtés au 14 février 2008, ainsi qu'un intérêt additionnel de 0,049315% par jour depuis cette date jusqu'à celle du paiement.
A.b Le 16 avril 2008, l'United States District Court, Central District of Illinois a reconnu cette sentence et condamné X._ à payer à Y._ les sommes et l'intérêt additionnel susmentionnés.
B. B.a La débitrice ne s'étant pas acquittée de son dû, Y._ lui a fait notifier, le 8 décembre 2008, un commandement de payer qui a été frappé d'opposition.
Le 16 octobre 2009, Y._ a assigné X._ devant le Tribunal de première instance du canton de Genève afin d'obtenir la mainlevée définitive de l'opposition. Elle a requis, à titre préalable, la reconnaissance et l'exequatur de la sentence arbitrale et du jugement de la cour de district américaine. X._ a conclu au rejet de la demande, motif pris de ce que la sentence aurait dû être rendue par trois arbitres, selon la clause compromissoire, et non par un arbitre unique.
Statuant le 30 novembre 2009, le Tribunal de première instance a reconnu et déclaré exécutoires, en Suisse, la sentence du 13 février 2008 et le jugement du 16 avril 2008. En conséquence, il a prononcé la mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer formée par la débitrice. A l'appui de sa décision, le premier juge a considéré, en substance, que X._ ne pouvait pas invoquer le moyen tiré de la composition irrégulière du tribunal arbitral, dès lors qu'elle avait participé sans réserve à la procédure, y élevant même des prétentions reconventionnelles. Il a également dénié à la débitrice le droit de soulever devant lui des arguments relevant du fond du litige.
B.b Le 14 décembre 2009, X._ a appelé du jugement de première instance. Elle a produit un courriel, établi le 2 décembre 2009 par le dénommé B._, dont il ressort que l'arbitre et C._, le conseil de Y._, avaient exercé par-devant "the US Court of Appeals for the tenth Circuit" (pce n° 6). Par courrier du 27 janvier 2010, l'appelante a encore produit un "affidavit", établi la veille par son conseil, D._, selon lequel C._ avait indiqué, lors d'une conférence téléphonique tenue le 19 octobre 2006 par l'arbitre avec les conseils des parties, qu'il avait accompagné une fois la fille de l'arbitre à un événement social et qu'à cette occasion il avait rencontré brièvement le père de cette personne au domicile de celle-ci. L'avocat D._ ajoutait ne pas avoir vu de référence à cette entrevue dans la lettre de l'arbitre du 24 octobre 2006 (pce n° 8).
De son côté, Y._ a déposé le compte rendu d'une audience préliminaire tenue le 24 octobre 2006. Il en appert que C._ avait déclaré avoir rencontré une seule fois l'arbitre à une époque où lui-même et la fille dudit arbitre, alors stagiaire, travaillaient au sein de la même étude d'avocats. Le conseil de X._ avait répondu qu'il n'avait aucune objection à la poursuite de la procédure arbitrale (pce n° 10).
Par arrêt du 25 mars 2010, la Cour de justice du canton de Genève a rejeté l'appel avec suite de frais et dépens.
S'agissant du courriel produit par l'appelante, les juges cantonaux ont estimé que cette pièce nouvelle était "a priori irrecevable", en vertu du droit de procédure civile genevois, et qu'elle ne permettait pas, en tout état de cause, de faire douter de l'impartialité de l'arbitre, étant donné qu'elle se bornait à constater que celui-ci et le conseil de l'intimée avaient exercé par-devant la même juridiction d'appel américaine. Quant à l'affidavit du 26 janvier 2010, la cour cantonale l'a jugé irrecevable en raison de son dépôt tardif. Elle a toutefois considéré que cela ne portait pas à conséquence dans la mesure où la pièce n° 10 produite par l'intimée, dont la recevabilité devait être admise puisqu'elle servait à répondre à un argument inopiné de l'appelante, établissait que la rencontre entre le conseil de l'intimée et l'arbitre avait été portée à la connaissance de l'appelante, laquelle n'avait pas émis d'objection à cet égard.
Après avoir écarté le grief tiré de la partialité de l'arbitre, les juges cantonaux ont réservé le même sort au moyen pris de l'incompétence à raison du lieu de l'arbitre saisi, de même qu'à celui visant le fond du litige dans le cadre duquel l'appelante se plaignait de la violation des règles sur la demeure du débiteur.
C. Le 27 avril 2010, X._ a formé un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire. Elle y invite le Tribunal fédéral à mettre à néant l'arrêt attaqué et à débouter Y._ de toutes ses conclusions. A titre subsidiaire, la recourante requiert le renvoi de la cause à l'instance cantonale.
L'intimée conclut au rejet du recours, dont elle met également en doute la recevabilité. La cour cantonale se réfère, quant à elle, aux motifs énoncés dans son arrêt.
Par ordonnance du 31 mai 2010, la présidente de la Ire Cour de droit civil, saisie d'une requête d'effet suspensif, a constaté que le recours visait un jugement constitutif en matière civile, de sorte qu'il avait effet suspensif ex lege, dans la mesure des conclusions formulées, en vertu de l'<ref-law>.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière civile soumis à l'examen du Tribunal fédéral a été interjeté par une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a succombé dans ses conclusions (<ref-law>). Il est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) ayant pour objet la reconnaissance et l'exécution d'une sentence arbitrale et d'un jugement étrangers (art. 72 al. 2 let. b ch. 1 LTF), ainsi que la mainlevée définitive de l'opposition à un commandement de payer (<ref-ruling> consid. 1.1). Cette décision a été prise par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse dépasse le seuil de 30'000 fr. fixé à l'<ref-law> pour la recevabilité du recours en matière civile. Le recours en question, qui a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, est donc, en principe, recevable. Dès lors, le recours constitutionnel formé simultanément par la recourante est irrecevable en raison de son caractère subsidiaire (<ref-law>).
1.2 Pour s'opposer à la recevabilité du recours en matière civile, l'intimée soutient que la recourante aurait dû s'en prendre au jugement rendu par le Tribunal de première instance, étant donné que l'arrêt de la Cour de justice, rendu dans le cadre d'un appel extraordinaire, s'est borné à rejeter le recours formé contre ledit jugement. Elle a tort. En effet, tel que la cour cantonale le décrit elle-même au considérant 2 de son arrêt, son pouvoir d'examen n'était pas plus restreint que celui du Tribunal fédéral lorsqu'il statue sur un recours en matière civile. Aussi la recourante pouvait-elle se contenter d'attaquer l'arrêt rendu sur appel. En demandant que l'intimée soit déboutée de toutes ses conclusions, elle a du reste conclu implicitement au rejet des requêtes d'exequatur et de mainlevée formulées par cette partie, de sorte que son recours apparaît également recevable au regard de l'<ref-law>.
Tombe à faux le reproche fait par l'intimée à la recourante, toujours sous l'angle de la recevabilité, de n'avoir pas attaqué l'arrêt cantonal en tant qu'il a fondé la décision de mainlevée définitive sur le jugement américain du 16 avril 2008 et pas seulement sur la sentence arbitrale du 13 février 2008. De fait, il n'est pas du tout établi que la cour américaine, qui a d'ailleurs statué très peu de temps après que ladite sentence avait été rendue, par une décision apparemment non motivée au demeurant, ait eu le pouvoir de modifier la sentence arbitrale, si bien que son prononcé se serait substitué à cette dernière, ne pouvant dès lors être reconnu et exécuté qu'aux conditions des <ref-law> (cf. arrêt 4A_137/2007 du 20 juillet 2007 consid. 5 et les auteurs cités). Il ressort, au contraire, de l'arrêt attaqué que le litige, au niveau cantonal, n'a tourné qu'autour de l'exécution de la sentence arbitrale, à l'exclusion de celle du jugement américain.
Tombe à faux le reproche fait par l'intimée à la recourante, toujours sous l'angle de la recevabilité, de n'avoir pas attaqué l'arrêt cantonal en tant qu'il a fondé la décision de mainlevée définitive sur le jugement américain du 16 avril 2008 et pas seulement sur la sentence arbitrale du 13 février 2008. De fait, il n'est pas du tout établi que la cour américaine, qui a d'ailleurs statué très peu de temps après que ladite sentence avait été rendue, par une décision apparemment non motivée au demeurant, ait eu le pouvoir de modifier la sentence arbitrale, si bien que son prononcé se serait substitué à cette dernière, ne pouvant dès lors être reconnu et exécuté qu'aux conditions des <ref-law> (cf. arrêt 4A_137/2007 du 20 juillet 2007 consid. 5 et les auteurs cités). Il ressort, au contraire, de l'arrêt attaqué que le litige, au niveau cantonal, n'a tourné qu'autour de l'exécution de la sentence arbitrale, à l'exclusion de celle du jugement américain.
1.3 1.3.1 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Saisi d'un recours pour violation d'un traité international (cf. <ref-law>), le Tribunal fédéral examine librement le mérite des moyens pris d'une transgression du droit conventionnel.
En vertu de l'exception ancrée à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur la violation d'un droit de rang constitutionnel ou sur une question afférente au droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante. Pour le reste, il applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue dans la décision déférée; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés ou, à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.1 et l'arrêt cité). Toutefois, compte tenu de l'exigence de motivation posée par l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.1).
Lorsqu'il statue sur un recours en matière civile, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.3) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Il appartient au recourant de soulever expressément un grief à ce propos et de présenter une démonstration claire et circonstanciée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254).
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
1.3.2 A titre liminaire, la recourante expose un certain nombre de faits, alléguant en particulier que la pièce n° 10 produite par l'intimée ne lui serait jamais parvenue. Croyant pouvoir s'affranchir de la règle selon laquelle le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente, elle se prévaut, à ce propos, d'un passage de l'arrêt publié aux <ref-ruling> où il est écrit que, si l'exécution d'une sentence arbitrale étrangère se fonde sur une convention internationale, le Tribunal fédéral revoit librement les faits, les parties pouvant même lui en présenter de nouveaux (consid. 1b). Il lui a cependant échappé que, par la suite, le Tribunal fédéral, modifiant sa jurisprudence en la matière, a, d'une part, limité son examen à l'arbitraire dans la constatation des faits pour les recours dirigés contre une décision d'une autorité judiciaire (<ref-ruling> consid. 1.3) et, d'autre part, étendu l'interdiction d'alléguer des faits nouveaux aux recours fondés sur la violation d'un traité international (<ref-ruling> consid. 6c). Dans ces conditions, il n'est pas possible de prendre en considération les faits nouveaux allégués par la recourante, non plus que les critiques appellatoires que celle-ci formule à l'encontre de l'état de fait de l'arrêt cantonal (cf. recours, p. 4 à 6 et 8 à 10).
Ne sont pas davantage recevables les considérations émises par la recourante, sous l'angle du "droit à la preuve", en ce qui concerne l'affidavit du 26 janvier 2010 (cf. recours, p 10 s.). On y trouve, présentés pêle-mêle, des griefs tirés de la mauvaise application du droit privé fédéral, tel l'<ref-law>, et de diverses dispositions du droit de procédure civile genevois, le tout présenté derechef comme si la recourante s'adressait à une cour d'appel.
2. Sous le titre "Griefs de rang constitutionnel", la recourante reproche ensuite à la cour cantonale d'avoir violé les art. 9 et 29 al. 2 Cst. (recours, p. 12 à 14).
A l'appui de son grief d'arbitraire, l'intéressée se lance à nouveau dans des explications de type appellatoire, fondées sur des allégations en partie nouvelles, en vue de dissiper, selon elle, le malentendu relatif à la désignation d'un seul arbitre au lieu de trois, qui a pu amener la cour cantonale à imaginer qu'elle était de mauvaise foi, et pour expliquer les circonstances dans lesquelles le dénommé B._ lui a adressé le courriel du 2 décembre 2009 (pce n° 6). De telles explications, en grande partie irrecevables, sont tout à fait impropres à étayer semblable grief.
Quant à la violation de son droit d'être entendue, la recourante la déduit du fait que la cour cantonale a refusé d'admettre la recevabilité de l'affidavit du 26 janvier 2010. Le moyen tombe à faux: d'une part, pareil refus reposait sur l'application d'une disposition du droit de procédure civile genevois - l'<ref-law>/GE - dont la recourante n'a pas établi le caractère prétendument arbitraire; d'autre part, les juges cantonaux ont considéré, sans que l'on puisse leur en faire grief au titre de l'art. 9 Cst., que, même s'il avait été jugé recevable, cet affidavit n'aurait pas la portée que lui prête la recourante, eu égard au contenu de la pièce n° 10 produite par l'intimée.
3. 3.1 S'agissant de l'application du droit fédéral, la recourante reproche à la Cour de justice d'avoir violé les "art. 194, 190 al. 2 let, b, 6 ch. 1 CEDH, 25 et 27 LDIP et V ch. 1 Convention de New-York du 10 juin 1958" (sic; recours, p. 15 à 20).
La décision attaquée n'est pas la sentence arbitrale étrangère dont l'exécution a été ordonnée. Par conséquent, la recourante invoque en vain l'<ref-law> relatif au recours en matière civile contre les décisions de tribunaux arbitraux au sens de l'<ref-law>. La référence à cette disposition est d'autant moins pertinente que celle-ci ne vise pas les griefs se rapportant à la composition du tribunal arbitral, lesquels relèvent de l'<ref-law>, mais ceux qui ont trait à la compétence du tribunal arbitral.
De même, pour les motifs sus-indiqués (cf. consid. 1.2, 2e par.), il n'y a pas matière à appliquer les <ref-law> en l'espèce.
Quant à l'art. 6 par. 1 CEDH, il n'est pas non plus directement applicable en tant que tel pour fixer les conditions de la reconnaissance et de l'exécution des sentences arbitrales étrangères.
En définitive, conformément à l'<ref-law>, c'est à la lumière des dispositions pertinentes de la convention de New York du 10 juin 1958 pour la reconnaissance et l'exécution des sentences arbitrales étrangères (RS 0.277.12; ci-après: la Convention de New York) qu'il y a lieu d'examiner, en fonction des griefs formulés par la recourante, si la cour cantonale a violé le droit fédéral en octroyant l'exequatur à la sentence litigieuse, de même qu'à la décision judiciaire entérinant celle-ci, et en prononçant, sur cette base, la mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer formée par la débitrice.
En définitive, conformément à l'<ref-law>, c'est à la lumière des dispositions pertinentes de la convention de New York du 10 juin 1958 pour la reconnaissance et l'exécution des sentences arbitrales étrangères (RS 0.277.12; ci-après: la Convention de New York) qu'il y a lieu d'examiner, en fonction des griefs formulés par la recourante, si la cour cantonale a violé le droit fédéral en octroyant l'exequatur à la sentence litigieuse, de même qu'à la décision judiciaire entérinant celle-ci, et en prononçant, sur cette base, la mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer formée par la débitrice.
3.2 3.2.1 L'art. V de la Convention de New York énonce de manière exhaustive les motifs de refus de reconnaissance et d'exécution d'une sentence arbitrale étrangère (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 139). Ces motifs doivent être interprétés restrictivement pour favoriser l'exequatur de la sentence arbitrale (<ref-ruling> consid. 3.3). Il appartient à la partie qui s'oppose à l'exequatur d'établir que l'un des motifs de refus de l'art. V ch. 1 de la Convention de New York existe (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 139), alors que le juge pourra retenir d'office les deux motifs de refus de l'exequatur indiqués à l'art. V ch. 2 de ladite convention (Kaufmann-Kohler/Rigozzi, Arbitrage international, Droit et pratique à la lumière de la LDIP, 2e éd. 2010, n° 897).
En vertu de l'art. V ch. 1 let. d de la Convention de New York, invoqué par la recourante, le défendeur peut s'opposer à l'exequatur de la sentence en établissant, notamment, que la constitution du tribunal arbitral n'a pas été conforme à la convention des parties. Encore faut-il que le vice dans la composition du tribunal arbitral ait joué un rôle causal dans l'issue du litige (Kaufmann-Kohler/Rigozzi, op. cit., n° 893 in fine).
Aux termes de l'art. V ch. 2 let. b de la Convention de New York, dont la recourante se prévaut également, la reconnaissance et l'exécution d'une sentence arbitrale pourront aussi être refusées si l'autorité compétente du pays où la reconnaissance et l'exécution sont requises constate que la reconnaissance ou l'exécution de la sentence serait contraire à l'ordre public de ce pays. En tant que clause d'exception, la réserve de l'ordre public s'interprète de manière restrictive, spécialement en matière de reconnaissance et d'exécution de jugements étrangers, où sa portée est plus étroite que pour l'application directe du droit étranger (effet atténué de l'ordre public). Il y a violation de l'ordre public lorsque la reconnaissance ou l'exécution d'une sentence étrangère heurte de manière intolérable les conceptions suisses de la justice. Une sentence étrangère peut être incompatible avec l'ordre juridique suisse non seulement à cause de son contenu matériel, mais aussi en raison de la procédure dont elle est issue. A cet égard, l'ordre public suisse exige le respect des règles fondamentales de la procédure déduites de la Constitution, telles que le droit à un procès équitable et celui d'être entendu (arrêt 4P.173/2003 du 8 décembre 2003 consid. 4.1 et les précédents cités). L'indépendance et l'impartialité de l'arbitre comptent assurément au nombre de ces règles-là (<ref-ruling> consid. 4a; Kaufmann-Kohler/Rigozzi, op. cit., n° 360 in fine).
3.2.2 Un arbitre doit, à l'instar d'un juge étatique, présenter des garanties suffisantes d'indépendance et d'impartialité (<ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 3b et les arrêts cités). Pour dire s'il présente de telles garanties, il faut se référer aux principes constitutionnels développés au sujet des tribunaux étatiques (<ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 3c p. 361). Il convient, toutefois, de tenir compte des spécificités de l'arbitrage, et singulièrement de l'arbitrage international, lors de l'examen des circonstances du cas concret (<ref-ruling> consid. 3.3.3 p. 454).
Selon l'art. 30 al. 1 Cst., toute personne dont la cause doit être jugée dans une procédure judiciaire a droit à ce que sa cause soit portée devant un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial. Cette garantie permet d'exiger la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à faire naître un doute sur son impartialité (<ref-ruling> consid. 3a p. 73); elle tend notamment à éviter que des circonstances extérieures à la cause ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du juge est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 2a p. 84 et les arrêts cités).
La partie qui entend récuser un arbitre doit invoquer le motif de récusation aussitôt qu'elle en a connaissance. Cette règle jurisprudentielle vise aussi bien les motifs de récusation que la partie intéressée connaissait effectivement que ceux qu'elle aurait pu connaître en faisant preuve de l'attention voulue, étant précisé que choisir de rester dans l'ignorance peut être regardé, suivant les cas, comme une manoeuvre abusive comparable au fait de différer l'annonce d'une demande de récusation. La règle en question constitue une application, au domaine de la procédure arbitrale, du principe de la bonne foi. En vertu de ce principe, le droit d'invoquer le moyen tiré de la composition irrégulière du tribunal arbitral se périme si la partie ne le fait pas valoir immédiatement, car celle-ci ne saurait le garder en réserve pour ne l'invoquer qu'en cas d'issue défavorable de la procédure arbitrale (arrêt 4A_234/2008 du 14 août 2008 consid. 2.2 et les arrêts cités).
3.3 La recourante invoque un motif de refus de l'exequatur tiré à la fois de l'art. V ch. 1 let. d et de l'art. V ch. 2 let. b de la Convention de New York. Elle le fonde toutefois, dans l'un et l'autre cas, sur les mêmes circonstances. Par conséquent, l'examen de ses arguments se fera simultanément sous l'angle de ces deux dispositions. Il s'agira de rechercher si, comme le soutient la recourante, la sentence pour laquelle l'exequatur a été accordé à l'intimée a été rendue par un arbitre n'offrant pas des garanties suffisantes d'impartialité et d'indépendance au regard des exigences posées par la jurisprudence susmentionnée. Si tel devait être le cas, il y aura lieu de conclure à la violation des deux dispositions précitées (constitution irrégulière du tribunal arbitral et incompatibilité de la sentence avec l'ordre public du pays requis de l'exécuter).
Il est frappant de constater, comme l'intimée le souligne avec raison, que la recourante a développé une argumentation sensiblement différente devant les trois instances qui ont été appelées à connaître de la présente affaire. Sans doute était-ce là son droit. Il n'en demeure pas moins que pareille variation dans la démonstration du bien-fondé de sa propre thèse constitue un sérieux indice de la fragilité de la position adoptée par celle qui la défend.
Quoi qu'il en soit, cette thèse ne repose que sur des allégations qui s'écartent des seules constatations auxquelles le Tribunal fédéral doit se tenir, à savoir celles qui ont été faites par l'autorité précédente. De ces constatations, il appert uniquement, d'une part, que C._, conseil de l'intimée, et l'arbitre ont exercé par devant la même juridiction d'appel américaine, sans autres précisions quant à la période durant laquelle ils l'ont fait et à la nature du travail exécuté par chacun d'eux auprès de cette juridiction, et, d'autre part, que ces deux personnes se sont rencontrées à une occasion, lorsque C._ et la fille de l'arbitre, alors stagiaire, pratiquaient au sein de la même étude, circonstance portée à la connaissance de l'avocat de la recourante, lors de l'audience préliminaire d'arbitrage du 24 octobre 2006, lequel avait alors indiqué qu'il n'avait aucune objection à la poursuite de la procédure arbitrale. Il est donc exclu de tenir compte des affirmations de la recourante selon lesquelles le conseil de l'intimée et la fille de l'arbitre avaient travaillé "des années durant" dans la même étude, ni de celles voulant que l'avocat de la recourante, D._, n'ait jamais pris connaissance du compte rendu de l'audience du 24 octobre 2006.
Ainsi, la recourante cherche à paralyser l'exécution d'une sentence arbitrale étrangère et de la décision judiciaire qui entérine cette sentence en faisant valoir un motif - la rencontre entre l'arbitre et le conseil de l'intimée à une époque où celui-ci travaillait dans la même étude que la fille de celui-là - que son propre avocat n'a pas considéré, alors, comme étant susceptible de mettre en cause l'impartialité de l'arbitre unique et en avançant un autre motif - le fait que l'arbitre et le conseil de l'intimée avaient exercé devant la même juridiction américaine - qui, objectivement, n'était de toute évidence pas de nature à disqualifier l'arbitre. Il n'y a pas là de quoi justifier le refus d'accorder l'exequatur à la sentence et à la décision en question.
Pour le surplus, c'est en vain que la recourante reproche à C._ d'avoir lui-même violé les règles relatives à la procédure arbitrale. On ne voit pas, à cet égard, en quoi l'art. 8 du Code de conduite pour les procédures arbitrales se déroulant en Suisse, invoqué par elle, serait applicable en l'espèce, s'agissant d'une procédure arbitrale conduite aux Etats-Unis d'Amérique. On voit encore moins comment la recourante peut tirer argument d'une disposition figurant dans le code professionnel de conduite applicable aux conseils se présentant devant le Tribunal international chargé de poursuivre les personnes présumées responsables de violations graves du droit international humanitaire commises sur le territoire de l'ex-Yougoslavie.
Cela étant, le recours en matière civile ne peut qu'être rejeté dans la faible mesure où il est recevable.
4. Succombant, la recourante devra payer les frais de la procédure fédérale (<ref-law>) et verser des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel est irrecevable.
2. Le recours en matière civile est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 17'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. La recourante versera à l'intimée une indemnité de 19'000 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la 1ère Section de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 28 juillet 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo