Erwägungen:
1. X._ und Y._ erhoben mit Eingabe vom 22. Juni 2011 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Wallis vom 20. Mai 2011. Die Beschwerdeführer stellten u.a. die Rechtsbegehren, das Verfahren sei bis zur Behandlung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 26. Mai 2011 durch das Kantonsgericht Wallis zu sistieren und anschliessend sei ihnen die Möglichkeit einzuräumen, die Beschwerde nach ergangenem Kantonsgerichtsentscheid zurückzuziehen oder zu ergänzen und weiter zu begründen.
Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
2. Eine Rechtsschrift hat die Begehren und deren Begründung zu enthalten (<ref-law>). Nach <ref-law> ist die Beschwerde innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen. Diese gesetzliche Frist ist nicht erstreckbar (<ref-law>). Somit kann dem von den Beschwerdeführern sinngemäss gestellten Antrag, nach Ablauf der Beschwerdefrist eine Beschwerdebegründung nachzureichen, nicht entsprochen werden.
3. Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Die Beschwerdeführer nennen keinen Beschwerdegrund und legen nicht ansatzweise dar, inwiefern die Begründung bzw. das angefochtene Urteil selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. in diesem Zusammenhang <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen) nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4. Da von vornherein auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann, ist dem Ersuchen der Beschwerdeführer um Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens nicht zu entsprechen. Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das von den Beschwerdeführern gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
5. Die Beschwerdeführer tragen entsprechend dem Verfahrensausgang die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Stadtgemeinde Brig-Glis, dem Staatsrat des Kantons Wallis und dem Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Pfäffli