Nach Einsicht
in die Beschwerde nach Art. 72ff. BGG gegen den Entscheid vom 15. Mai 2008 des Berner Obergerichts, das (als SchK-Aufsichtsbehörde) auf eine Beschwerde des Beschwerdeführers gegen (ihn sowie seine Ehefrau) zu einem Pfändungsvollzug auf den 1. April 2008 vorladende Verfügungen des Beschwerdegegners nicht eingetreten ist,
in die (das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abweisende) Verfügung vom 5. Juni 2008,
in die Mitteilung der Bundesgerichtskasse, wonach der Kostenvorschuss von Fr. 500.-- bezahlt worden sei,

in Erwägung,
dass das Obergericht erwog, die Vernehmlassung des Betreibungsamtes sei dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 21. April 2008 zugestellt worden, eine Replik wäre diesem ohne Weiteres möglich gewesen, weshalb ohne Ansetzung einer Replikfrist entschieden werde, über die vom Beschwerdeführer behauptete Rechtswidrigkeit der Vorladung zum Pfändungsvollzug in einer früheren Betreibung habe die Aufsichtsbehörde bereits am 5. März 2008 entschieden, soweit der Beschwerdeführer die von ihm nicht befolgte Vorladung auf den 1. April 2008 in der vorliegenden Betreibung beanstande, fehle es an einem praktischen Interesse an der Beurteilung der diesbezüglichen Rügen, im Übrigen wären diese unbegründet, weil der 1. April 2008 nicht in die Betreibungsferien gefallen sei (<ref-law>),
dass das Obergericht weiter erwog, der materielle Bestand der Betreibungsforderung sei im Vollstreckungsverfahren nicht zu überprüfen, Anlass zur Eröffnung eines Disziplinarverfahrens nach <ref-law> bestehe nicht, der Beschwerdeführer, der eine zum Teil gleich begründete Beschwerde in gleicher Sache eingereicht habe, prozessiere querulatorisch und mutwillig, weshalb ihm eine Busse von Fr. 300.-- auferlegt werde (<ref-law>),
dass die Beschwerde nach Art. 72ff. BGG nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (<ref-law>),
dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift (entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen des Art. 55 Abs. 1 lit. c OG: Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4207ff., Ziff. 4.1.2.4 zu Art. 39 Entwurf, S. 4294) auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, welche Vorschriften (Botschaft, a.a.O. Ziff. 2.2.4, S. 4232) und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 3 S. 749),
dass auch Verfassungsrügen in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen sind (<ref-law>), dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift (entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen des Art. 90 Abs. 1 lit. b OG: Botschaft, a.a.O. Ziff. 4.1.2.4 zu Art. 39 Entwurf, S. 4294) klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261f.),
dass sich der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht rechtsgenüglich mit den entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen auseinandersetzt,
dass er erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand dieser Erwägungen aufzeigt, inwiefern der Entscheid des Obergerichts vom 15. Mai 2008 rechts- oder verfassungswidrig sein soll,
dass die vom Beschwerdeführer in seinem nachträglichen Schreiben vom 23. Juni 2008 in Aussicht gestellten Unterlagen mit Erklärungen nicht abgewartet zu werden brauchen, weil die Beschwerde nach Ablauf der Beschwerdefrist (<ref-law>) nicht ergänzt bzw. verbessert werden kann,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Beschwerde in Anwendung von <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass das Gesuch um Wiedererwägung der abweisenden Armenrechtsverfügung vom 5. Juni 2008 ungeachtet der finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers abzuweisen ist, weil dieser nichts vorbringt, was die Richtigkeit der Verfügung, auf die verwiesen werden kann, in Frage zu stellen vermöchte,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und der Abteilungspräsident zuständig ist,

erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Wiedererwägung der Verfügung vom 5. Juni 2008 wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Füllemann