Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1965 geborene, zuletzt als Tiefbauarbeiter tätig gewesene M._ bezog gestützt auf die Verfügung der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) vom 15. Dezember 1999 für die verbleibenden Folgen eines am 22. August 1996 erlittenen Autounfalls aus der obligatorischen Unfallversicherung (UV) nebst einer Integritätsentschädigung ab 1. April 1999 eine Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 100 % und eine Hilflosenentschädigung für eine Hilflosigkeit mittleren Grades. Zudem richtete ihm die Invalidenversicherung (IV) ab 1. August 1997 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze IV-Invalidenrente aus.
A.b. Im Zeitraum vom 15. September 2010 bis 4. März 2011 liess die IV M._ im Rahmen einer Beweisaufnahme vor Ort überwachen. Die SUVA erhielt vom entsprechenden Observationsbericht vom 16. Mai 2011 Kenntnis. Hierauf sistierte sie am 13. Dezember 2011 die laufenden UV-Leistungen. Mit Verfügung vom 3. Mai 2012 eröffnete sie dem Versicherten sodann, die von ihr ausgerichtete Rente und Hilflosenentschädigung werde rückwirkend ab 1. September 2010 revisionsweise aufgehoben. Zudem forderte sie einen Betrag von Fr. 24'447.20 für entsprechende Leistungen, welche demnach im Zeitraum vom 1. September 2010 bis 31. Dezember 2011 zu Unrecht ausgerichtet worden seien, zurück. Die SUVA begründete dies damit, gemäss dem Observationsbericht und den medizinischen Akten der IV habe sich der Gesundheitszustand derart gebessert, dass keine anspruchsbegründende Erwerbsunfähigkeit und Hilflosigkeit mehr vorliege. Die dagegen erhobene Einsprache und das mit dieser gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Einspracheverfahren wies der Unfallversicherer mit Entscheid vom 17. August 2012 ab.
Zwischenzeitlich hatte auch die IV mit Verfügung vom 15. März 2012 die von ihr gewährte Invalidenrente auf des Ende des der Verfügungszustellung folgenden Monats revisionsweise aufgehoben.
B.
Beschwerdeweise beantragte M._, der Einspracheentscheid der SUVA vom 17. August 2012 sei aufzuheben, die bisherige Invalidenrente und Hilflosenentschädigung sei weiter zuzusprechen und für das Einspracheverfahren sei die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren; eventuell sei die Sache zum neuen Entscheid an den Unfallversicherer zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die Beschwerde mit Entscheid vom 6. März 2013 ab.
Mit einem weiteren Entscheid vom gleichen Tag wies das Verwaltungsgericht auch die von M._ gegen die IV-Verfügung vom 15. März 2012 erhobene Beschwerde ab, wobei sie im Sinne einer reformatio in peius die IV-Rente per 31. August 2010 aufhob.
C.
M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die bisherige Rente und Hilflosenentschädigung weiter zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur Durchführung der beantragten Beweismassnahmen und zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz resp. an den Unfallversicherer zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht ersucht.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 17. Juni 2013 lässt M._ erklären, an Beschwerde und Gesuch betreffend unentgeltliche Rechtspflege werde festgehalten.
D.
M._ lässt auch gegen den vorinstanzlichen Entscheid betreffend IV Beschwerde erheben. Über diese entscheidet das Bundesgericht mit heutigem Urteil im Verfahren 8C_309/2013.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 317 f. mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2 S. 129 mit Hinweisen). Trotzdem obliegt es der Beschwerde führenden Partei, sich in ihrer Beschwerde sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen ( Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 584; je mit Hinweisen). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Letztinstanzlich streitig und zu prüfen ist, ob die SUVA die seit 1. April 1999 ausgerichtete Invalidenrente und Hilflosenentschädigung zu Recht aufgehoben und bezogene Leistungen zurückverlangt hat.
Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Hilflosenentschädigung der obligatorischen Unfallversicherung, zur Aufgabe von Arzt und Ärztin bei der Invaliditätsbemessung, zur revisionsweisen Erhöhung, Herabsetzung oder Aufhebung der Rente infolge erheblicher Änderung des Invaliditätsgrades, zur rückwirkenden Herabsetzung oder Aufhebung der Rente bei unrechtmässiger Erwirkung oder bei Verletzung der Meldepflicht und zur Rückforderung unrechtmässig bezogener Leistungen zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die zu beachtenden beweisrechtlichen Regeln, namentlich im Hinblick auf ärztliche Berichte und Gutachten sowie auf Observationsergebnisse. Darauf wird verwiesen.
3.
Ob eine revisionsrechtlich relevante Änderung eingetreten ist, beurteilt sich gemäss dem vorinstanzlichen Entscheid in zeitlicher Hinsicht durch Vergleich der Verhältnisse bei Erlass der leistungszusprechenden Verfügung vom 15. Dezember 1999 einerseits und bei Erlass des - die Revisionsverfügung vom 3. Mai 2012 bestätigenden - Einspracheentscheids vom 17. August 2012 anderseits. Das ist zu Recht nicht umstritten.
Gleiches gilt für die vorinstanzliche Beurteilung, wonach die SUVA bei der Zusprechung von Rente und Hilflosenentschädigung davon ausging, es liege ein gravierender psychischer Gesundheitsschaden vor, welcher eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bewirke.
4.
Das kantonale Gericht ist sodann zum Ergebnis gelangt, im Zeitpunkt der Observation und damit auch bei Erlass des Einspracheentscheides vom 17. August 2012 habe kein psychischer Gesundheitsschaden mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit mehr vorgelegen. Es begründet dies namentlich damit, zwar sei umstritten, ob der Teil der Überwachung, welcher in einem Casino stattgefunden habe, den Beschwerdeführer oder eine andere Person beschreibe. Das könne aber offen gelassen werden. Denn bereits die Ergebnisse der restlichen, unstreitig den Versicherten betreffenden Observation gestatteten zusammen mit den schlüssigen und voll beweiskräftigen fachärztlichen Beurteilungen des Psychiaters Dr. med. K._ vom Regionalen Ärztlichen Dienst der IV (RAD) vom 24. November 2011 und 29. Februar 2012 den verlässlichen Schluss, dass kein Gesundheitsschaden mit Einfluss auf die Arbeits- und Leistungsfähigkeit mehr vorliege.
4.1. Die vorinstanzliche Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen und überzeugenden Würdigung der Observationsergebnisse und der medizinischen Akten. Hervorzuheben ist, dass die Überwachung am Flughafen Zürich, welche unstreitig dem Beschwerdeführer galt, gezeigt hat, dass dieser ohne irgendwelche Anzeichen einer Behinderung in der Lage war, sich im Flughafenareal zu bewegen, mit Begleitpersonen, aber auch mit Bedienpersonal in einem Restaurant zu kommunizieren, für Rauchpausen unbegleitet das Flughafengebäude zu verlassen und dabei auch mit dem Handy zu telefonieren. Auf diese Überwachungsergebnisse ist abzustellen. Gleiches gilt hinsichtlich der weiteren Feststellung im Observationsbericht, wonach der Beschwerdeführer anschliessend in der Lage gewesen sei, ohne Begleitung die Passkontrolle zu durchlaufen und einen Flug in den Kosovo zu bestehen. Diese Observationsergebnisse stehen in krassem Widerspruch zu dem mutistisch anmutenden, Hilflosigkeit und eine Unfähigkeit zur Kommunikation demonstrierenden Verhalten, welches der Beschwerdeführer gezeigt hat, als ihn Dr. med. K._ am 16. Mai 2011 psychiatrisch untersuchte. Der Psychiater hat diese Diskrepanz im Bericht vom 24. November 2011 und der ergänzenden Beurteilung vom 29. Februar 2012 überzeugend gewürdigt. Seine fachärztliche Einschätzung, wonach diagnostisch die Vortäuschung einer Krankheit und damit kein die Arbeitsfähigkeit einschränkendes Leiden mehr vorliege, hat die Vorinstanz zu Recht als beweiswertig beurteilt.
4.2. Was der Beschwerdeführer vorträgt, vermag kein anderes Ergebnis zu rechtfertigen. Den Einwand, die Observation im Casino habe nicht dem Beschwerdeführer gegolten, hat das kantonale Gericht wie dargelegt in nicht zu beanstandender Weise berücksichtigt. Aus den Aussagen des Dr. med. K._ geht sodann hervor, dass dieser sich bereits durch die Ergebnisse der Überwachung am Flughafen und die durch ihn durchgeführte Untersuchung hinreichend in der besagten Diagnose bestätigt sah. Das Vorbringen des Beschwerdeführers und zweier seiner Verwandten, diese hätten ihn an den Flughafen begleitet und dort eine fremde Person darum gebeten, ihn während des Flugs zu betreuen, ist nicht glaubwürdig. Sie steht im Übrigen auch im Widerspruch zu der Aussage der Ehefrau des Beschwerdeführers, wonach sie diesen jeweils auf den Flugreisen in den Kosovo begleite. Dem Bericht des behandelnden Arztes, Dr. med. A._, vom 16. Februar 2012 lassen sich ebenfalls keine Anhaltspunkte entnehmen, welche Zweifel an der fachärztlichen Beurteilung des Dr. med. K._ zu begründen vermöchten. Vielmehr ergeben sich daraus Anhaltspunkte für eine im Verlauf eingetretene Besserung des psychischen Gesundheitszustandes. Das hat die Vorinstanz zutreffend erkannt und entspricht auch der Auffassung des Dr. med. K._ gemäss dessen Beurteilung vom 29. Februar 2012. Hinzu kommt, dass Dr. med. A._, anders als vom kantonalen Gericht offenbar angenommen, Allgemeinmediziner und nicht Psychiater ist. Das lässt seine Aussagen erst recht als ungeeignet erscheinen, um die fachärztliche Beurteilung des Dr. med. K._ zur psychischen Befindlichkeit in Frage zu stellen.
4.3. Gerügt wird sodann, Versicherer und Vorinstanz hätten den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör und den Untersuchungsgrundsatz verletzt sowie eine willkürliche Beweiswürdigung vorgenommen, indem sie die beantragten Beweismittel (Zeugeneinvernahmen; Einholung eines psychiatrischen Gutachtens) nicht abgenommen hätten.
Auch dieser Einwand geht fehl. Das kantonale Gericht hat zu Recht erkannt, dass sich der rechtsrelevante Sachverhalt genügend aus den vorhandenen Akten ergibt und weitere Abklärungen keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen. Entgegen der in der Beschwerde weiter vertretenen Auffassung ist der angefochtene Entscheid auch hinreichend begründet.
4.4. Es bleibt damit dabei, dass kein psychisches Leiden mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit mehr besteht. Ein anderer leistungsrelevanter Gesundheitsschaden steht hier wie im Verfahren 8C_309/2013 nicht zur Diskussion. Der Beschwerdeführer macht auch nicht geltend, es liege ein im IV-Verfahren unbeachtliches Leiden vor, welches gegebenenfalls für die UV-Leistungen relevant wäre.
5.
Die Vorinstanz hat weiter erwogen, mit der damit eingetretenen wesentlichen Änderung der medizinischen Verhältnisse liege ein Revisionsgrund vor. Es bestehe keine Invalidität mehr, weshalb kein Anspruch auf Leistungen des Unfallversicherers mehr gegeben sei. Eine eigentliche Invaliditätsbemessung sei unter diesen Voraussetzungen nicht erforderlich.
Liegt kein die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigendes Leiden mehr vor, kann mit dem kantonalen Gericht geschlossen werden, die leistungsbegründende Invalidität sei dahingefallen. Denn Letztere setzt u.a. eine gesundheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit voraus. Soweit der Beschwerdeführer beanstandet, es hätte noch eine eigentliche Invaliditätsbemessung im Sinne eines Einkommensvergleichs erfolgen müssen, kann ihm daher ebenfalls nicht gefolgt werden. Entgegen seiner Auffassung liegt kein Verstoss gegen <ref-law> und <ref-law> vor. Ein Anspruch auf weitere Leistungen aus der obligatorischen Unfallversicherung wurde daher zu Recht verneint.
6.
Das kantonale Gericht hat sodann erkannt, die SUVA habe zu Recht die vom 1. September 2010 bis 31. Dezember 2011 ausgerichteten Leistungen (Rente, Hilflosenentschädigung und Teuerungszulagen) im Betrag von Fr. 24'447.20 zurückgefordert. Denn der Beschwerdeführer habe in diesem Zeitraum ein leistungsbegründendes psychisches Leiden vorgetäuscht.
Der Versicherte wendet, unter Berufung auf seine anderen, vorstehend behandelten Argumente, ein, eine solche Vortäuschung sei nicht nachgewiesen. Mit diesem nicht weiter begründeten Einwand wird die vorinstanzliche Beurteilung nicht in Frage gestellt. Die Beschwerde ist daher auch diesbezüglich abzuweisen.
7.
Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. August 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz