Sachverhalt:
A. Der 1976 geborene G._ war seit 15. Oktober 2002 als Betriebsmitarbeiter im Schichtbetrieb für die A._ AG tätig. Dieses Anstellungsverhältnis wurde am 21. Dezember 2006 durch Kündigung seitens der Arbeitgeberin auf den 28. Februar 2007 aufgelöst. Am 8. Januar 2007 stellte G._ Antrag auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. März 2007. Ab 16. April 2007 war er im Zwischenverdienst als Hilfsarbeiter für die I._ AG im Einsatz. Letzter Arbeitstag war der 20. Februar 2008. Die Arbeitslosenkasse des Kantons Uri stellte G._ mit Verfügung vom 5. März 2008 ab 21. Februar 2008 für die Dauer von 44 Tagen in der Anspruchsberechtigung ein und gab zur Begründung an, er habe seine Arbeitsstelle am 20. Februar 2008 verlassen oder einer fristlosen Auflösung des Arbeitsverhältnisses zugestimmt, obwohl ihm die Zwischenverdiensttätigkeit zumutbar gewesen wäre. Daran hielt das Kantonale Amt für Arbeit und Migration Uri auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 8. Mai 2008).
B. Das Obergericht des Kantons Uri wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 13. März 2009).
C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und sinngemäss beantragen, die Einstellung in der Anspruchsberechtigung sei aufzuheben.
Das Amt für Arbeit und Migration und das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Gemäss Art. 105 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG; Ausnahme: Beschwerden gemäss Art. 97 Abs. 2 BGG [Art. 105 Abs. 3 BGG]). Zu den Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 lit. a BGG gehören namentlich auch die unvollständige (gerichtliche) Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen (<ref-ruling> E. 2 S. 25 mit Hinweisen; ULRICH MEYER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 25, 36 und 58-61 zu Art. 105 BGG; HANSJÖRG SEILER, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 24 zu Art. 97 BGG), die Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes als einer wesentlichen Verfahrensvorschrift (statt vieler: Urteil 9C_850/2008 vom 6. Februar 2009 E. 2.2 mit Hinweis; ULRICH MEYER, a.a.O., N. 60 zu Art. 105 BGG; MARKUS SCHOTT, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 17 ff. zu Art. 97 BGG) sowie die Pflicht zu inhaltsbezogener, umfassender, sorgfältiger und objektiver Beweiswürdigung (Art. 61 lit. c ATSG; <ref-ruling> E. 4.1 S. 400).
1.2 Sowohl das Verwaltungsverfahren wie auch der kantonale Sozialversicherungsprozess sind vom Untersuchungsgrundsatz beherrscht (Art. 43 Abs. 1 und Art. 61 lit. c ATSG). Danach haben Verwaltung und Sozialversicherungsgericht den rechtserheblichen Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen. Diese Untersuchungspflicht dauert so lange, bis über die für die Beurteilung des streitigen Anspruchs erforderlichen Tatsachen hinreichende Klarheit besteht. Eine unvollständige Beurteilungsgrundlage stellt eine Rechtsverletzung dar. Eine solche liegt vor, wenn die für die Beurteilung des streitigen Rechtsverhältnisses erforderlichen Tatsachen nicht festgestellt worden sind (ULRICH MEYER, a.a.O., N. 59 zu Art. 105 BGG). Hat das kantonale Gericht die rechtserheblichen tatsächlichen Feststellungen in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes getroffen, sind sie für das Bundesgericht nicht verbindlich (Urteil 8C_773/2008 vom 11. Februar 2009 E. 5.4, in: SVR 2009 EL Nr. 5 S. 17).
2. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zur zumutbaren Arbeit (Art. 16 AVIG) zu den Pflichten der Versicherten (Art. 17 AVIG), zu den Voraussetzungen der Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit (Art. 30 Abs. 1 lit. a AVIG in Verbindung mit Art. 44 Abs. 1 lit. a AVIV), insbesondere bei Aufgabe eines Zwischenverdienstes (Art. 24 AVIG; vgl. ARV 1998 Nr. 9 S. 41, C 334/95), und zur verschuldensabhängigen Dauer der Einstellung (Art. 30 Abs. 3 Satz 3 AVIG, Art. 45 Abs. 2 AVIV) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Der Beschwerdeführer war ab 16. April 2007 für die I._ AG, welche ......... herstellt, im Zwischenverdienst tätig. Angrenzend an die Werkhallen liegt der nicht zum Betrieb gehörende, private Pferdestall des I._. Am 20. Februar 2008 wurde der Versicherte vom Werkstattleiter der I._ AG aufgefordert, in diesem Stall Stroh abzuladen.
3.1 Die Vorinstanz nimmt in diesem Zusammenhang an, der Beschwerdeführer habe sich in der Folge geweigert, in den Pferdestall zu gehen und dort zu arbeiten, weil der Stall "etwas Privates" sei. Er habe dem Werkstattleiter gesagt, "dass er das nicht machen werde". Die Arbeitgeberin habe diesen Sachverhalt im Grundsatz bestätigt. Ob der Versicherte in der Folge auf Geheiss der Arbeitgeberin oder auf eigenen Entschluss hin den Arbeitsplatz verlassen habe, könne offen gelassen werden, weil dies für den Ausgang des Verfahrens nicht wesentlich sei. Relevant sei aus arbeitslosenversicherungsrechtlicher Sicht die Weigerung, Stroh abzuladen und der daraus folgende Eintritt der selbstverschuldeten Arbeitslosigkeit. Indem der Beschwerdeführer die ihm aufgetragene, zumutbare Arbeit (unter anderem mit der Begründung, dass der Stall etwas Privates sei, dass er sich als Stallbursche erniedrigt gefühlt und die zugewiesene Tätigkeit nicht seiner üblichen Arbeit entsprochen habe) abgelehnt und durch sein vermeidbares Verhalten seine Arbeitsstelle leichtsinnig aufs Spiel gesetzt habe, habe er die für die Arbeitslosenversicherung grundlegende Schadenminderungspflicht im Sinne von Art. 17 AVIG verletzt. Zudem habe er es offensichtlich unterlassen, die fristlose Kündigung anzufechten, was als Genehmigung zu verstehen sei. Entscheidwesentlich sei in diesem Zusammenhang allerdings nur, dass er durch sein vermeidbares Verhalten den Eintritt der Arbeitslosigkeit selber verschuldet habe und die Arbeitslosenversicherung dafür keine Haftung zu übernehmen habe. In Würdigung aller Umstände sei von einem schweren Verschulden auszugehen, weshalb die Einstellung in der Anspruchsberechtigung von 44 Tagen als angemessen erscheine.
3.2 Der Beschwerdeführer lässt vorbringen, er habe sich geweigert, Stroh im privaten Stall des I._ abzuladen und habe stattdessen seine gewöhnliche Tätigkeit in der Werkhalle der I._ AG weitergeführt. Wenig später sei der Personalchef der I._ AG zu ihm gekommen und habe gesagt, er könne sofort nach Hause gehen, wenn er nicht in den Stall gehe. Der Beschwerdeführer habe eine schriftliche Bestätigung verlangt, diese aber nicht bekommen, worauf er die Arbeitsstelle verlassen habe. Mit Schreiben vom 8. März 2008 habe er seine Arbeit nochmals angeboten, falls es sich bei der Entlassung vom 20. Februar 2008 nicht um eine fristlose, sondern um eine ordentliche Kündigung gehandelt haben sollte. Die I._ AG habe in ihrem Brief vom 13. März 2008 geantwortet, es sei keine Rede von einer fristlosen Entlassung ihrerseits, vielmehr habe er den Arbeitsplatz aus eigenem Willen verlassen, weil er den ihm erteilten Auftrag nicht habe ausführen wollen. Diese Weigerung werde als Kündigung betrachtet und aufgrund seines Verhaltens sei sie auch nicht mehr bereit, ihn zu beschäftigen. Das kantonale Gericht verkenne, dass es sich beim Strohabladen - im Gegensatz zur Zwischenverdiensttätigkeit in der Werkhalle der I._ AG - um eine unzumutbare Beschäftigung im Sinne von Art. 16 AVIG handle. Seine Arbeit habe in der Montage von ........, nicht aber im Strohabladen im privaten Stall des I._ bestanden. Die Anordnung, im Pferdestall Stroh abzuladen, stelle keine berechtigte Weisung der Arbeitgeberin im Sinne von Art. 321d OR dar, da sie keinem dringenden betrieblichen Bedürfnis entsprochen habe. Er habe keine arbeitsvertraglichen Pflichten verletzt und der Arbeitgeberin auch keinen berechtigten Anlass zur Auflösung - schon gar nicht zur fristlosen Auflösung - des Arbeitsverhältnisses gegeben.
4. 4.1 Das Weisungsrecht der Arbeitgeber gemäss Art. 321d OR findet unter anderem in den Abmachungen des einzelnen Arbeitsvertrages und im Persönlichkeitsrecht der Arbeitnehmer seine Grenzen (ULLIN STREIFF/ADRIAN VON KAENEL, Arbeitsvertrag, 6. Aufl. 2006, N. 3 zu Art. 321d OR). Arbeitnehmer haben nur bei dringlichen betrieblichen Bedürfnissen vorübergehend andere Arbeiten auszuführen. Weisungen, welche schikanös sind, etwa der Einsatz von Facharbeitern für langweilige, untergeordnete Arbeiten ohne ausnahmsweise vorhandene Notwendigkeit, verletzen die Persönlichkeit der Arbeitnehmer. Arbeitgeber dürfen, abgesehen von Sonderarbeit infolge ausserordentlicher Umstände, keine Tätigkeit zuweisen, welche der vertraglich vorgesehenen Art nicht entspricht (WOLFGANG PORTMANN/JEAN-FRITZ STÖCKLI, Schweizerisches Arbeitsrecht, 2. Aufl. 2007, S. 161 Rz. 578). Werden Weisungen erteilt, welche das Weisungsrecht überschreiten, so fehlt den Arbeitgebern die Rechtsmacht zur einseitigen Einflussnahme auf die Pflichten der Arbeitnehmer. Letztere trifft in diesem Fall keine Befolgungspflicht (WOLFGANG PORTMANN/JEAN-FRITZ STÖCKLI, a.a.O., S. 161 f. Rz. 581). Die Arbeitgeber sind gemäss Art. 333 Abs. 4 OR nicht berechtigt, die Rechte aus dem Arbeitsverhältnis auf einen Dritten zu übertragen, sofern nichts anderes verabredet ist oder sich aus den Umständen ergibt. Arbeitnehmer, welche in Verletzung dieser Bestimmung in eine andere Arbeitsorganisation eingegliedert werden soll, dürfen dort die Arbeit verweigern (ULLIN STREIFF/ADRIAN VON KAENEL, a.a.O., N. 21 zu Art. 333 OR).
4.2 Das kantonale Gericht hat bei der Sachverhaltsermittlung unberücksichtigt gelassen, wie die Vereinbarung zwischen der I._ AG und dem Beschwerdeführer bezüglich dessen Einsatzbereich lautete. Der Inhalt dieser Abmachung ist aber vorliegend entscheidwesentlich, denn nur falls sich der Einsatzbereich des Versicherten in seiner Zwischenverdiensttätigkeit für die I._ AG auch auf den Pferdestall des I._ erstreckt hat, kann von einer Verletzung der Schadenminderungspflicht des Versicherten durch Verweigerung der Arbeit im Stall ausgegangen werden. Wie es sich damit verhält, kann aufgrund der vorliegenden Akten nicht eruiert werden. Klar ist einzig, dass die Arbeitgeberin mit dem Versicherten über die Zwischenverdiensttätigkeit keinen schriftlichen Arbeitsvertrag abgeschlossen hat, wie sich aus den Angaben der I._ AG in den Formularen "Bescheinigung über Zwischenverdienst" ergibt. Über allfällige mündliche Abmachungen zur vorgesehenen Arbeit ist nichts bekannt. Damit lässt sich vermuten, dass der Versicherte lediglich zur Verrichtung von Arbeiten im Betrieb der I._ AG angestellt und demzufolge dessen Weigerung, Stallarbeiten zu verrichten, berechtigt war, womit ein Grund für die Einstellung in der Anspruchsberechtigung fehlen würde. Es kann aber nicht ausgeschlossen werden, dass die ehemalige Arbeitgeberin mit dem Beschwerdeführer eine Sonderabrede getroffen hat oder besondere Umstände vorgelegen haben, welche den kurzfristigen Einsatz in den Stallungen des I._ rechtfertigten. Indem zu diesem massgebenden Punkt keine weiteren Abklärungen getroffen wurden, liegt eine Verletzung der vorinstanzlichen Pflicht zur Feststellung des Sachverhaltes von Amtes wegen nach dem Untersuchungsgrundsatz (Art. 61 lit. c ATSG) und damit ein Verstoss gegen eine wesentliche Verfahrensvorschrift im Sinne von Art. 105 Abs. 2 BGG vor. Die Beweiswürdigung und die darauf beruhende Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts sind für das Bundesgericht nicht verbindlich (E. 1.2 hiervor).
4.3 Im angefochtenen Gerichtsentscheid wird im Ergebnis davon ausgegangen, das Arbeitsverhältnis sei durch fristlose Kündigung im Sinne von Art. 337 OR seitens der I._ AG aufgelöst worden. Wie die Beendigung des Arbeitsverhältnisses zu qualifizieren ist, kann an dieser Stelle offen bleiben. Selbst wenn allerdings von einer fristlosen Kündigung seitens der ehemaligen Arbeitgeberin ausgegangen würde, könnte der Vorinstanz nicht beigepflichtet werden, soweit sie annimmt, der Beschwerdeführer habe die fristlose Kündigung "genehmigt", indem er sie nicht angefochten habe, und daraus ableitet, der Kündigungsgrund entspreche der "Wahrheit". Ein Grund zur Einstellung in der Anspruchsberechtigung liegt in der vorliegenden Konstellation einzig dann vor, wenn der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit der Weisung der ehemaligen Arbeitgeberin, im privaten Stall des I._ Stroh abzuladen, gegen eine Befolgungspflicht verstossen hat (E. 4.1 hiervor). Zur Beantwortung dieser Frage ist eine vorfrageweise Prüfung der arbeitsvertraglichen Abmachungen zwischen Versichertem und ehemaliger Arbeitgeberin unumgänglich.
5. Der Sachverhalt lässt sich, wie dargelegt (E. 4.2 hiervor), nicht allein gestützt auf die Akten vervollständigen. Da bereits die Verwaltung lückenhaft untersucht hat (Art. 43 Abs. 1 ATSG; E. 1.2 hiervor), geht die Angelegenheit zur ergänzenden Abklärung an das Amt für Arbeit und Migration zurück. Dieses wird nach Einholung der erforderlichen Auskünfte erneut zu prüfen haben, ob dem Beschwerdeführer in seiner Zwischenverdiensttätigkeit ein Verhalten vorzuwerfen ist, welches Anlass zu einer Einstellung in der Anspruchsberechtigung gibt. Bejahendenfalls wird es eine neue Einstellungsverfügung erlassen.
6. Das unterliegende Amt für Arbeit und Migration handelt in seinem amtlichen Wirkungskreis und nicht in seinem Vermögensinteresse. Es trägt daher keine Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 4 BGG; <ref-ruling>), hat jedoch dem obsiegenden Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, vom 13. März 2009 und der Einspracheentscheid des Kantonalen Amtes für Arbeit und Migration Uri vom 8. Mai 2008 aufgehoben werden und die Sache an das Kantonale Amt für Arbeit und Migration Uri zurückgewiesen wird, damit es im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Beschwerdegegner hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, der Arbeitslosenkasse des Kantons Uri und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. September 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Berger Götz