Sachverhalt:
A.
N._ war an der Berufsschule X._ als Lehrbeauftragter angestellt. Auf deren Antrag vom 16. August 2010 hin wurde seine Anstellung mit Verfügung vom 1. Dezember 2010 vom Mittelschul- und Berufsbildungsamt des Kantons Zürich rückwirkend per 1. September 2010 in eine unbefristete Anstellung als nebenamtliche Berufsschullehrperson mit einem zugesicherten Beschäftigungsgrad von 46.15 % (zwölf Wochenlektionen) in der Lohnstufe 7 der Lohnklasse 18 des Lohnreglementes 24 überführt, was seine Bestätigung mit auf Ersuchen vom 10. Dezember 2010 hin begründeter Verfügung vom 9. Februar 2011 fand.
B.
Einen dagegen gerichteten Rekurs wies die Bildungsdirektion des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. September 2012 ab.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich änderte dies in Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde mit Entscheid vom 15. Mai 2013 dahingehend ab, dass N._ rückwirkend ab 1. September 2010 als Berufsschullehrperson in unbefristetem Anstellungsverhältnis beschäftigt und in die Lohnklasse 19 eingereiht wurde; gleichzeitig wurde der Staat Zürich verpflichtet, N._ für das Rekurs- und das Beschwerdeverfahren eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 1'200.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
C.
N._ lässt mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die Zusprache einer dem tatsächlichen (Zeit-) Aufwand seines Rechtsvertreters entsprechende Parteientschädigung von Fr. 9'859.- beantragen; eventuell sei die vorinstanzlich zugesprochene Parteientschädigung nach Ermessen des Bundesgerichts adäquat zu erhöhen.
Die Bildungsdirektion des Kantons Zürich sowie das Verwaltungsgericht verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Entsprechend der Erläuterung zur Rechtsmittelbelehrung in E. 9 des angefochtenen Entscheids hat der Beschwerdeführer subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113 ff. BGG erhoben. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 44 mit Hinweisen).
1.1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen im Sinne von Art. 114 in Verbindung mit Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG kantonal letztinstanzlichen Endentscheid über eine vermögensrechtliche Angelegenheit gemäss Art. 83 lit. g BGG in einem öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnis. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach den Art. 82 ff. BGG kann dagegen nicht ergriffen werden, weil mit der vor Vorinstanz streitig gewesenen Lohnforderung von rund Fr. 12'600.- der laut Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG erforderliche Mindeststreitwert von Fr. 15'000.- nicht erreicht wird und auch die für diesen Fall in Art. 85 Abs. 2 BGG alternativ vorgesehene Eintretensvoraussetzung, dass eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung zur Diskussion steht, nicht gegeben ist. Dass die Vorinstanz der Streitsache noch grundsätzliche Bedeutung beigemessen und sie deshalb nicht einzelrichterlich entschieden hat, obschon auch die nach kantonalem Recht für die Übertragung an eine Kammer erforderliche Streitwertgrenze von Fr. 20'000.- (§ 38b Abs. 1 lit. c des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zürich [VRG; LS 175.6]) nicht überstiegen wird (vgl. § 38b Abs. 2 VRG), ändert daran nichts, geht es doch um eine lediglich einen zahlenmässig beschränkten Personenkreis betreffende Frage des kantonalen Personalrechts, sodass daraus nicht auch für das Bundesgericht zwingend die Annahme eines Falles von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 85 Abs. 2 BGG abzuleiten ist (vgl. Urteil 8C_218/2012 vom 18. März 2013 E. 4.2). Schliesslich ist vor Bundesgericht ohnehin nur noch der Nebenpunkt der Parteientschädigung streitig.
1.2. Als zulässiges Rechtsmittel gegen den angefochtenen kantonalen Entscheid fällt unter diesen Umständen einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Betracht (Art. 113 BGG). Mit dieser kann laut Art. 116 BGG ausschliesslich die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Wie bei der Prüfung von Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff.) legt das Bundesgericht seinem Urteil auch bei Verfassungsbeschwerden den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG). Eine vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann es berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 116 BGG beruht (Art. 118 Abs. 2 BGG). Nach Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG gilt eine qualifizierte Rügepflicht, was bedeutet, dass die Beschwerdeschrift die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung unter anderem darüber enthalten muss, welche verfassungsmässigen Rechte oder Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Geprüft werden nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, wohingegen das Bundesgericht auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (vgl. Urteil 8C_704/2013 vom 31. Oktober 2013 mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246 und 130 I 258 E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen).
1.3. Anzumerken bleibt, dass die in der Hauptsache gegebene Beschwerde auch bezüglich aller Nebenpunkte eines Entscheids zulässig ist, namentlich hinsichtlich Kostenentscheiden, soweit dafür - wie hier - keine besonderen Verfahrenswege vorgesehen sind (<ref-ruling> E. 1.1 S. 160 mit Hinweisen).
2.
2.1. Gestützt auf § 17 Abs. 2 lit. a VRG und § 8 Abs. 1 der Gebührenverordnung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich (GebV VGr; LS 175.252) hat das kantonale Gericht dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zugesprochen. Laut erstgenannter Norm kann die unterliegende Partei oder Amtsstelle zu einer angemessenen Entschädigung für die Umtriebe ihres Gegners verpflichtet werden, namentlich wenn die rechtsgenügende Darlegung komplizierter Sachverhalte und schwieriger Rechtsfragen besonderen Aufwand erforderte oder den Beizug eines Rechtsbeistandes rechtfertigte. § 8 GebV VGr bestimmt, dass die Parteientschädigung nach der Bedeutung der Streitsache, der Schwierigkeit des Prozesses, dem Zeitaufwand und den Barauslagen bemessen wird (Abs. 1); unnötiger oder geringfügiger Aufwand wird nicht ersetzt (Abs. 2).
2.2. Die Höhe der Parteientschädigung hat die Vorinstanz für das Verwaltungsgerichtsverfahren und das vorangegangene Rekursverfahren zusammen "angesichts des Aufwandes" auf insgesamt Fr. 1'200.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) festgesetzt. Zur Begründung hat sie weiter festgehalten, dass noch im Rekursverfahren nebst der unbefristeten und hauptberuflichen Anstellung als Berufsschullehrperson eine Einreihung in Lohnklasse 20 beantragt, jedoch - bei bisheriger Einreihung in Lohnklasse 18 - erst im verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren eine Einreihung in Lohnklasse 19 erstritten worden sei. Sie war - ohne dies näher zu begründen - der Ansicht, hinsichtlich der Lohneinreihung auf die Zusprechung einer Parteientschädigung verzichten zu können. Eine reduzierte Parteientschädigung erachtete sie hingegen als angezeigt, weil das aufgrund ihres abschliessenden Entscheids neu geltende Arbeitspensum nicht mehr - wie vorprozessual - auf zwölf Lektionen pro Woche beschränkt blieb.
2.3. Gegen die vorinstanzlich festgesetzte Höhe der ihm zugesprochenen Parteientschädigung wendet der Beschwerdeführer ein, nebst Art. 18 Abs. 1 (Anspruch auf rasche und wohlfeile Erledigung vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen) und Art. 2 Abs. 3 (behördliches Handeln nach Treu und Glauben) der Verfassung des Kantons Zürich (LS 101) sei Art. 9 BV verletzt worden, wonach jede Person Anspruch darauf hat, von den staatlichen Organen ohne Willkür und nach Treu und Glauben behandelt zu werden; bei der beanstandeten Festlegung der Parteientschädigung hätten weder das Gebot des Handelns nach Treu und Glauben noch das Willkürverbot Beachtung gefunden.
3.
3.1. Das Verfahren vor dem kantonalen Verwaltungsgericht - einschliesslich der Frage nach der Parteientschädigung - richtet sich nach kantonalem Recht, mit welchem sich das Bundesgericht grundsätzlich nicht zu befassen hat. Die Verletzung kantonalen Rechts kann mit Verfassungsbeschwerde vor Bundesgericht nicht als solche gerügt werden, sondern nur insoweit, als geltend gemacht wird, die Anwendung kantonalen Rechts habe zu einer Verletzung verfassungsmässiger Rechte geführt (Art. 116 BGG).
Auch die nach Massgabe kantonalen Rechts zu bemessende Höhe einer Parteientschädigung darf das Bundesgericht auf Verfassungsbeschwerde hin nur daraufhin überprüfen, ob die Anwendung der für die Bemessung einschlägigen kantonalen Normen, sei es aufgrund ihrer Ausgestaltung oder aber aufgrund des Ergebnisses im konkreten Fall (vgl. RKUV 1993 Nr. U 172 S. 144 E. 4b), zu einer Verletzung verfassungsmässiger Rechte geführt hat. Dabei fällt praktisch nur das in Art. 9 BV verankerte Willkürverbot in Betracht (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 409 mit Hinweisen). Nach der Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn das Resultat (die zugesprochene Entschädigung) offensichtlich unhaltbar ist, eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen).
3.2. Unter Beachtung der einschlägigen gesetzlichen Regelung in den §§ 17 Abs. 2 lit. a VRG und 8 Abs. 1 GebV VGr (E. 2.1 hievor) musste die Vorinstanz die Höhe der Parteientschädigung - soweit diese Bestimmungen keine eindeutige Antwort geben - auch in Ausübung des ihr zustehenden Ermessens einzig gestützt auf die Aktenlage festsetzen. Sie konnte sich namentlich nicht auf die Überprüfung einer anwaltlichen Honorarnote beschränken, war eine solche im kantonalen Verfahren doch gar nicht eingereicht worden. Erst die vor Bundesgericht vom Beschwerdeführer beigebrachte Rechnung seines Rechtsvertreters vom 25. Mai 2013 mit der dazugehörenden Zusammenstellung des betriebenen Aufwandes von 33 Stunden (Time-Sheet), muss aufgrund von Art. 99 Abs. 1 BGG, wonach neue Tatsachen und Beweismittel im bundesgerichtlichen Verfahren nur so weit vorgebracht werden dürfen, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, letztinstanzlich unbeachtet bleiben (Urteil 8C_789/2010 vom 22. Februar 2011, in: SVR 2011 UV Nr. 8 S. 29 E. 6.3.2). Die Ermessensausübung schliesslich kann wie schon bei Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auch bei Verfassungsbeschwerden lediglich auf Ermessensmissbrauch hin überprüft werden, wobei für eine erfolgreiche Berufung auf eine allfällige Rechtsfehlerhaftigkeit diese hier offensichtlich - und damit willkürlich - zu sein hat.
4.
4.1. Als zumindest fragwürdig erscheint die vorinstanzliche Festsetzung der Parteientschädigung insoweit, als nach Auffassung des kantonalen Gerichts bezüglich der Lohneinreihung trotz teilweisen Obsiegens überhaupt kein Entschädigungsanspruch besteht. Indem der - generell eine höhere Lohneinreihung anstrebende - Beschwerdeführer letztlich einen Anstieg seines Verdienstes von der bisherigen Lohnklasse 18 in die Lohnklasse 19 erreicht hat, trug sein Rechtsmittel auch in diesem Punkt zu einem nicht unwesentlichen Teilerfolg bei. Auch wenn er mit seinem Begehren um Einreihung in Lohnklasse 20 nicht durchgedrungen ist, bleibt unerklärlich, weshalb ihm der damit dennoch - zumindest teilweise - erlangte Prozesserfolg nicht auch einen entsprechenden Anspruch auf Parteientschädigung verschaffen sollte. Auch für dieses Ergebnis war zweifellos ein Aufwand seitens seines Rechtsvertreters vonnöten. Dass dieser wesentlich geringer ausgefallen wäre, wenn von Anfang an eine Einreihung lediglich in Lohnklasse 19 und nicht in Lohnklasse 20 beantragt worden wäre, ist kaum anzunehmen. Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung jedenfalls besteht wegen Überklagens grundsätzlich kein Anlass zu einer Reduktion der Parteientschädigung, weil dieses den Prozessaufwand in aller Regel nicht wesentlich beeinflusst (<ref-ruling> E. 2c S. 407 sowie Urteile 9C_311/2013 vom 12. November 2013 E. 7 und 9C_889/2011 vom 8. Februar 2012 E. 7, je mit Hinweis). Das kantonale Gericht hat seine davon abweichende Ansicht denn auch nicht weiter begründet und ist damit seiner aus dem verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) abgeleiteten Begründungspflicht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88) nicht nachgekommen. Der Beschwerdeführer erwähnt diesen Aspekt in seiner Rechtsschrift zwar, legt aber nicht mit der erforderlichen Deutlichkeit dar, inwiefern angesichts der festgestellten Rechtswidrigkeit im Zusammenhang mit den prozessualen Folgen des ursprünglichen Überklagens verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Mangels entsprechend substanziiert begründeter Rüge liesse sich die beantragte Aufhebung des kantonalen Entscheids allein deswegen noch nicht rechtfertigen (vgl. E. 1.2 hievor).
4.2. Wiederholt weist der Beschwerdeführer jedoch - mit Recht - darauf hin, dass er in den kantonalen Verfahren auch nach Ansicht der Vorinstanz insgesamt doch weitestgehend obsiegt hat. Er macht geltend, angesichts des dafür notwendigerweise betriebenen Aufwandes erscheine die zugesprochene Parteientschädigung von Fr. 1'200.- als willkürlich tief bemessen. Tatsächlich entspricht die gewährte Entschädigung nach Abzug der darin enthaltenen Mehrwertsteuer und anzunehmender Barauslagen selbst bei einem - als sehr bescheiden zu qualifizierenden - Stundenansatz von lediglich Fr. 200.- einem Arbeitseinsatz von höchstens rund fünf Stunden. Damit musste sein Rechtsvertreter immerhin in zwei Rechtsmittelverfahren tätig werden, wobei die hohe Komplexität und Schwierigkeit der Rechtslage zweifelsohne zu bejahen sind. Bei diesen Gegebenheiten einen zeitlichen Aufwand in der Grössenordnung von lediglich fünf Stunden anzunehmen, lässt sich mit sachlichen Gründen nicht vertreten und muss daher als willkürlich bezeichnet werden (E. 3.1 hievor). Auch im Ergebnis erscheint die zugesprochene Entschädigung von Fr. 1'200.- für die anwaltliche Vertretung in gleich zwei aufeinanderfolgenden Rechtsmittelverfahren als offensichtlich unhaltbar und deshalb willkürlich (E. 3.1 hievor). Dahingestellt bleiben kann, ob und inwiefern auch die geltend gemachten Verletzungen kantonalen Verfassungsrechts (E. 2.3 hievor) gerechtfertigt sind, nachdem zumindest von einem klaren Verstoss gegen Art. 9 BV auszugehen ist. Es wird Sache der Vorinstanz sein (nachstehende E. 5.1), darüber zu befinden, inwiefern die diesbezügliche Argumentation des Beschwerdeführers Auswirkungen auf die Neufestsetzung des Entschädigungsanspruches zu zeitigen vermag.
5.
5.1. Die Sache ist in teilweiser Gutheissung der Verfassungsbeschwerde und unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids im Parteientschädigungspunkt an das kantonale Verwaltungsgericht zurückzuweisen, damit es über die Höhe der Entschädigung neu befinde und diese neu festsetzt. Diese Rückweisung ermöglicht der Vorinstanz eine sachgerechte Neubeurteilung der Entschädigungshöhe in Nachachtung der dafür massgebenden Gesichtspunkte.
5.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten vom Beschwerdegegner als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG), welcher dem Beschwerdeführer überdies für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung schuldet (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfassungsbeschwerde wird teilweise gutgeheissen und Dispositiv-Ziffer 4 des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 15. Mai 2013 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Verfassungsbeschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Dezember 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Krähenbühl