Sachverhalt:
A.
Prof. Dr. med. A._ (Beschwerdeführer) ist Kardiologe, der u.a. am Spital Y._ praktiziert. Er ist Mitgründer und Minderheitsaktionär (mit einer Beteiligung von 25 % am Aktienkapital) sowie ehemaliger Verwaltungsrat der Ende 2004 gegründeten und in Z._ domizilierten X._ AG (Beschwerdegegnerin). Diese bietet Dienstleistungen und Weiterbildungen im kardiovaskulären Bereich an und betreibt eine Angiographie-Anlage im Spital Y._. An der Gründung der Beschwerdegegnerin beteiligten sich neben dem Beschwerdeführer die Q._ AG mit Sitz in R._, Dr. med. B._ sowie Dr. med. C._ ebenfalls je mit 25 % des Aktienkapitals. Die vier Gründungsaktionäre schlossen am 27. September 2004 unter sich einen Aktionärbindungsvertrag ("Poolvertrag") ab. Danach sollten die Poolmitglieder nicht nur in einem Beteiligungsverhältnis sondern auch in einem Arbeitsverhältnis zur Gesellschaft stehen, was indes offenbar nie verwirklicht wurde. Des Weiteren enthält der Poolvertrag u.a. auch Bestimmungen über die Organisation der Gesellschaft, Kostenbeiträge der Poolmitglieder und die Verwendung der erwirtschafteten Mittel. Der Beschwerdeführer und Dr. med. D._, Verwaltungsratsmitglied der Q._ AG sowie nachmaliger Präsident des Verwaltungsrats der Beschwerdegegnerin, waren sowohl bei der Gründung als auch bei der operativen Betriebsaufnahme der Beschwerdegegnerin (offenbar ab Mitte 2005) die treibenden Kräfte. Bis zum 5. März 2006 war der Beschwerdeführer Geschäftsführer und Delegierter des Verwaltungsrats der Beschwerdegegnerin. Am 3. Juli 2007 schied er aus dem Verwaltungsrat aus. Heute besteht der Verwaltungsrat der Beschwerdegegnerin nur mehr aus Dr. D._ (Präsident) und E._. Diese beiden Personen bilden zusammen mit Dr. med. F._ (als Verwaltungsratspräsident), Dr. med. G._, Dr. med. H._ und Dr. med. B._ auch den Verwaltungsrat der Q._ AG.
Nach verschiedenen gerichtlichen Auseinandersetzungen zwischen den Parteien bzw. ihren Repräsentanten ersuchte der Beschwerdeführer Anfang 2011 um Auskunft und Akteneinsicht zu offenen Fragen, verbunden mit einem Begehren um Einberufung einer ausserordentlichen Generalversammlung. Nach mehreren erfolglosen Aufforderungen zur Einberufung einer ausserordentlichen Generalversammlung fand schliesslich am 6. Mai 2011 die ordentliche Generalversammlung der Beschwerdegegnerin statt, an der auch das Akteneinsichtsbegehren des Beschwerdeführers und dessen Fragen gemäss Fragenkatalog behandelt wurden. Der Antrag des Beschwerdeführers auf Einsetzung eines Sonderprüfers wurde von der Generalversammlung indes abgelehnt.
B.
Mit Eingabe vom 8. Juli 2011 gelangte der Beschwerdeführer an das Obergericht des Kantons Zug und ersuchte gestützt auf <ref-law> um Einsetzung eines Sonderprüfers. Er stellte folgende Rechtsbegehren:
"1. Es sei vom Gericht ein unabhängiger Sachverständiger mit der Durchführung einer Sonderprüfung im Sinne von 697a ff. OR zu beauftragen.
2. Der Sachverständige sei zu beauftragen, im Rahmen der Sonderprüfung namentlich folgenden Sachverhalt abzuklären:
2.1. Verdeckte Gewinnausschüttungen, insbesondere an die Mehrheitsaktionäre Q._ AG, Dr. C._ sowie Dr. B._:
- wie erklären sich (qualitativ und quantitativ) die augenfällig hohen Aufwendungen der Gesuchsgegnerin in den Geschäftsjahren 2006 bis 2010? Wie erklären sich insbesondere die folgenden Posten (Kto. = Konto-Nummer der Finanzbuchhaltung) :
- a) Erfolgsrechnung 2010:
- Kto. 3030: Med. Material G. Gemeinsam: 42'854.93 (Verdreifachung gegenüber Vorjahr)
- Kto. 4760: Rechts- und Beratungsaufwand: 89'310.55
- b) Erfolgsrechnung 2009:
- Kto. 3030: Med. Material G. Gemeinsam CHF 13'470.54
- Kto. 4100: Mieten CHF 31'500 (Verdopplung geg. 2006)
- c) Erfolgsrechnung 2008:
- Kto. 3030: Med. Material G. Gemeinsam: CHF 16'691
- Kto. 4100: Mieten CHF 31'526.90 (Verdopplung gegenüber 2006)
- Kto. 4400: Abschreibungen: CHF 500'020.85 (Vervierfachung gegenüber Vorjahr)
- Kto. 7500: a.o.+n.bwl. Ertrag bis 30.6.: CHF -352'134.50
- d) Erfolgsrechnung 2007:
- Kto. 4760: Rechts- und Beratungskosten: CHF 168'193.25
- Kto. 3030: Med. Material G. Gemeinsam: CHF 36'571.80
-e) Erfolgsrechnung 2006:
- Kto. 3020: Med. Material P. Peripher: CHF 299'056.68
- Kto. 3030: Med. Material G. Gemeinsam/Generell: CHF 256'224.13
- Kto. 4760: Rechts- und Beratungsaufwand CHF 179'594.84
- Kto. 7500: a.o. Aufwand: CHF 150'000
- Kto. 4900: sonstiger Betriebsaufwand: CHF 144'594.84 (im Vor- und Nachfolgejahr Null!)
- Welche Leistung erbrachte die Gesuchsgegnerin seit Beginn ihrer Geschäftsfähigkeit im Jahre 2005 zu Gunsten einzelner Aktionäre oder Verwaltungsräte der Gesuchsgegnerin? Wie entschädigt die Gesuchstellerin (quantitativ und qualitativ) Leistungen ihrer Aktionäre oder Verwaltungsräte?
- Welche Zahlungen leistete die Gesuchsgegnerin in den Jahren 2005-2007 an Dr. G._, Verwaltungsrat der Q._ AG, einer Aktionärin der Gesuchsgegnerin, und wofür?
- Bezahlte die Gesuchsgegnerin ihrer Aktionärin Q._ AG insbesondere im Jahre 2006 überhöhte Preise für Lieferung alter Geräte, insbesondere eines Operationstisches Maquet Modell No. 1120 für CHF 23'000 sowie eines ERBE Koagulationsgerätes für CHF 26'000?
- Vertritt RA Dr. J._ sowohl die Gesuchsgegnerin wie auch die Aktionäre Q._ AG, Dr. C._ und Dr. B._ sowie die Verwaltungsräte Dr. D._ und E._ in rechtlichen Belangen? Wie werden Interessenkonflikte vermieden?
- 2.2 Verhältnis zur S._ AG:
- Warum können/konnten die von S._ AG erbrachten Leistungen nicht durch die Gesuchsgegnerin erbracht werden? In wie weit konkurrieren sich diese Gesellschaften?
- Welche Leistungen erbrachte die Gesuchsgegnerin der S._ AG (seit Oktober 2008) ?
- Welche Leistungen erbrachte die S._ AG der Gesuchsgegnerin (seit Oktober 2008) ?
- Wie wurden diese Leistungen (qualitativ und quantitativ) entschädigt?
- Wann/in welcher Form gewährte S._ AG der Gesuchsgegnerin ein Darlehen im Betrag von CHF 97'598? (verbucht per 31.12.2009)
- 2.3 Übertragung der Herzkatheter- und Multifunktionsangiographie-Anlage an die S._ AG:
- Was war der Restwert der Anlage T._ am Ende der Vertragsdauer des Finanzierungsleasingvertrages zwischen T._ Leasing AG und der Gesuchsgegnerin?
- Welchen Verkehrswert hatte diese Anlage im Zeitpunkt (Jahr 2010) ihrer Übertragung an die S._ AG?
- Welches waren die Konditionen und die Gründe für die Übernahme dieser Anlage zum Restwert von CHF 3'688 durch die S._ AG und nicht durch die Gesuchsgegnerin, welche den Leasingvertrag mit T._ innehatte?
- Trifft es zu, dass die Gesuchsgegnerin bei einer definitiven Übernahme dieser Anlage zum Ende des Finanzierungsleasingvertrags stille Reserven von ca. CHF 737'500 gebildet hätte?
- Warum entledigte sich die Gesuchsgegnerin durch die Übertragung der Anlage und die S._ AG ihres hauptsächlichen Vermögenswertes? Welche Auswirkungen hat dies auf die operative Tätigkeit und den Gesellschaftszweck der Gesuchsgegnerin?
- Warum wurde die Anlage nicht den Aktionären der Gesuchsgegnerin zum Kauf angeboten? Die S._ AG war nie Aktionärin der Gesuchsgegnerin.
- 3. Die Gesuchsgegnerin sei zu verpflichten, einen Kostenvorschuss für die Sonderprüfung zu leisten."
Am 20. März 2013 fällte das Obergericht folgendes Urteil:
"1. In teilweiser Gutheissung des Gesuchs wird bei der X._ AG ein Sonderprüfer eingesetzt und beauftragt, folgende Fragen schriftlich zu beantworten:
1.1. Was war der Restwert der Anlage T._ am Ende der Vertragsdauer des Finanzierungsleasingvertrages zwischen T._ Leasing AG und der Gesuchsgegnerin?
1.2. Welchen Verkehrswert hatte diese Anlage im Zeitpunkt (Jahr 2010) ihrer Übertragung an die S._ AG?
1.3. Welches waren die Konditionen für eine allfällige Übernahme der Anlage durch die Gesuchsgegnerin und welches waren die Gründe, dass die Gesuchsgegnerin darauf verzichtete?
1.4. Trifft es zu, dass die Gesuchsgegnerin bei einer definitiven Übernahme dieser Anlage zum Ende des Finanzierungsleasingvertrags stille Reserven von ca. CHF 737'500.-- gebildet hätte?
1.5. Welche Auswirkungen hat die Nichtübernahme der Anlage auf die operative Tätigkeit und den Gesellschaftszweck der Gesuchsgegnerin?
2. Die Parteien erhalten Gelegenheit, binnen 20 Tagen Vorschläge zur Person des Sonderprüfers einzureichen. Der Abteilungspräsident bestimmt danach in eigener Kompetenz definitiv den Sonderprüfer, ohne an die Parteivorschläge gebunden zu sein.
3. Die Gesuchsgegnerin wird zur Leistung eines Vorschusses für die Kosten des Sonderprüfers verpflichtet, dessen Höhe zu gegebener Zeit durch den Abteilungspräsidenten festgesetzt wird."
C.
Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, die Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils des Obergerichts sei um folgende, im Sonderprüfungsbegehren unter Ziffer 2.2 aufgelisteten Fragen an den Sonderprüfer zu erweitern; ein Sonderprüfer sei zur schriftlichen Beantwortung auch dieser Fragen einzusetzen und zu beauftragen:
"1.6 Warum können/konnten die von S._ AG erbrachten Leistungen nicht durch die Gesuchsgegnerin erbracht werden? In wie weit konkurrieren sich diese Gesellschaften?
1.7 Welche Leistungen erbrachte die Gesuchsgegnerin der S._ AG (seit Oktober 2008) ?
1.8 Welche Leistungen erbrachte die S._ AG der Gesuchsgegnerin (seit Oktober 2008) ?
1.9 Wie wurden diese Leistungen (qualitativ und quantitativ) entschädigt?
1.10 Wann/in welcher Form gewährte S._ AG der Gesuchsgegnerin ein Darlehen im Betrag von CHF 97'598? (verbucht per 31.12.2009) ?"
Eventualiter sei die Sache zur Vervollständigung des Sachverhalts und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Der gerichtliche Entscheid über die Einsetzung eines Sonderprüfers im Sinne von <ref-law> stellt einen Endentscheid (<ref-law>) in einer Zivilsache (<ref-law>) dar, der grundsätzlich mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten werden kann (Urteil 4A_554/2011 vom 10. Februar 2012 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; vgl. auch Urteil 4C.334/2006 vom 7. Februar 2007 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Das Obergericht des Kantons Zug hat als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> und <ref-law> entschieden. Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher unabhängig vom Streitwert zulässig (<ref-law>).
Die hier einzig angefochtene Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils des Obergerichts ist ein Teil- und damit eine Form eines Endentscheids (<ref-law>). Darin wird die Sonderprüfung im Grundsatz angeordnet und über den Umfang der Sonderprüfung abschliessend entschieden. Die in den Dispositiv-Ziffern 2 und 3 noch offen gelassenen Fragen der Person des Sonderprüfers und der Höhe des Kostenvorschusses können unabhängig davon entschieden werden und machen die Dispositiv-Ziffer 1 - entgegen der anderslautenden Rechtsmittelbelehrung der Vorinstanz - nicht zu einem Zwischenentscheid.
Unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) ist daher grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
2.2. Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Soweit er den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3).
Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2, 467 E. 3.1). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Sachgericht offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche grundlos ausser Acht lässt (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.1). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.3). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2b).
3.
3.1. Gemäss <ref-law> kann jeder Aktionär der Generalversammlung beantragen, bestimmte Sachverhalte durch eine Sonderprüfung abklären zu lassen, sofern dies zur Ausübung der Aktionärsrechte erforderlich ist und er das Recht auf Auskunft oder das Recht auf Einsicht bereits ausgeübt hat. Entspricht die Generalversammlung dem Antrag, so kann die Gesellschaft oder jeder Aktionär innert 30 Tagen den Richter um Einsetzung eines Sonderprüfers ersuchen (<ref-law>). Entspricht die Generalversammlung dem Antrag nicht, so können Aktionäre, die zusammen mindestens 10 Prozent des Aktienkapitals oder Aktien im Nennwert von 2 Millionen Franken vertreten, innert dreier Monate den Richter ersuchen, einen Sonderprüfer einzusetzen (<ref-law>). Die Gesuchsteller haben Anspruch auf Einsetzung eines Sonderprüfers, wenn sie glaubhaft machen, dass Gründer oder Organe Gesetz oder Statuten verletzt und damit die Gesellschaft oder die Aktionäre geschädigt haben (<ref-law>). Zu diesem Zweck müssen sie glaubhaft machen, dass ein Verhalten oder Unterlassen der Organe eine bestimmte gesetzliche oder eine statutarische Bestimmung verletzt hat, und aufzeigen, worin diese Verletzung besteht (<ref-ruling> E. 3.1 S. 257; Urteil 4A_215/2010 vom 27. Juli 2010 E. 3.1.3 mit weiteren Hinweisen, SJ 2010 I S. 554).
3.2. Die formellen Voraussetzungen für die Einsetzung eines Sonderprüfers (Ausübung des Auskunfts- und Einsichtsrechts, ablehnender Generalversammlungsbeschluss, Höhe der Kapitalbeteiligung, Einhaltung der Klagefrist) sind hinsichtlich der im vorliegenden Beschwerdeverfahren thematisierten Fragen unstreitig gegeben.
Streitig ist vor Bundesgericht einzig das Vorliegen der materiellen Voraussetzungen in Bezug auf den Fragenkomplex "Verhältnis zur S._ AG" gemäss Ziffer 2.2 des Gesuchs. Die Vorinstanz lehnte insoweit die Sonderprüfung ab, der Beschwerdeführer will mit seiner Beschwerde erreichen, dass auch diese Fragen vom Sonderprüfer abzuklären sind.
4.
4.1. Die Sonderprüfung ist ein Mittel der Informationsbeschaffung des Aktionärs über interne Vorgänge der Gesellschaft (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 4). Sie muss darauf ausgerichtet sein, konkrete Tatsachen zu ermitteln, und darf nicht auf eine rechtliche Beurteilung oder ein Werturteil abzielen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 257 mit Hinweisen).
Voraussetzung der Sonderprüfung ist, dass die Abklärung der fraglichen Sachverhalte zur Ausübung der Aktionärsrechte erforderlich ist. Im Vordergrund steht dabei die Relevanz der abzuklärenden Sachverhalte für eine allfällige Verantwortlichkeitsklage oder für die Ausübung der Mitwirkungsrechte. Dem Gesuchsteller obliegt es, einen Zusammenhang zwischen den vom ihm anvisierten Aktionärsrechten und dem Thema der beantragten Untersuchung glaubhaft zu machen. Die vom Gesuchsteller glaubhaft zu machende Gesetzes- oder Statutenverletzung durch die Gesellschaftsorgane muss sich auf den Sachverhalt beziehen, der Gegenstand der Sonderprüfung sein soll. Die vom Gesuchsteller glaubhaft zu machende Schädigung der Gesellschaft oder der Aktionäre muss ihrerseits wiederum Folge dieser Gesetzes- oder Statutenverletzung sein. Die Sonderprüfung kann zudem nicht zur reinen Ausforschung verlangt werden in der Hoffnung, dabei auf eine Rechtsverletzung zu stossen, von welcher der Gesuchsteller keine Kenntnis hatte (<ref-ruling> E. 3.1 S. 257; Urteile 4A_129/2013 vom 20. Juni 2013 E. 7.2.1; 4A_215/2010 vom 27. Juli 2010 E. 3.1.4, in: SJ 2010 I S. 554; 4A_359/2007 vom 26. November 2007 E. 2.2).
Während ausserhalb der Gesellschaft liegende Tatsachen wie etwa die Marktlage in einem bestimmten Wirtschaftssektor nicht der Sonderprüfung zugänglich sind (<ref-ruling> E. 2a S. 264), können mit dieser immerhin die Beziehungen der Gesellschaft zu Dritten abgeklärt werden, wenn dies für die Ausübung der Aktionärsrechte im Rahmen der Gesellschaft von Bedeutung ist. In diesem Sinne wäre es etwa zulässig, mittels Sonderprüfung abzuklären, ob die Gesellschaft durch ein Rechtsgeschäft mit einem Dritten indirekt gesetzes- oder statutenwidrige Zwecke verfolgt (Urteil 4A_129/2013 vom 20. Juni 2013 E. 7.2.2 mit Hinweisen).
4.2. Im Erfordernis der Glaubhaftmachung einer Schädigung, die auf Gesetzes- oder Statutenverletzungen von Organen zurückzuführen ist, liegt der Angelpunkt des Sonderprüfungsrechts. Bei übertriebenen Anforderungen könnte der Anspruch auf Sonderprüfung toter Buchstabe bleiben. Bei zu grosszügiger Handhabung entstünde dagegen ein Widerspruch zum Regelungsgedanken des Gesetzgebers, wonach die zwangsweise Sonderprüfung nicht leichthin zuzulassen sei. Das Glaubhaftmachen betrifft sowohl Tat- wie Rechtsfragen. In tatsächlicher Hinsicht sind bestimmte Handlungen oder Unterlassungen von Gründern oder Organen und der damit zusammenhängende Schaden glaubhaft zu machen. In Bezug auf diese Tatsachen darf das Gericht weder blosse Behauptungen genügen lassen, noch einen stringenten Beweis verlangen. Ziel der Sonderprüfung ist es, die Informationslage der Gesuchsteller zu verbessern. Das Gericht darf deshalb von den Gesuchstellern nicht diejenigen Nachweise verlangen, die erst der Sonderprüfer erbringen soll. Auf der anderen Seite hat es aber die von den Gesuchstellern vorgebrachten Verdachtsmomente auf ihre Plausibilität hin zu prüfen. Aufgrund dieser Verdachtsmomente muss eine gewisse Wahrscheinlichkeit dafür sprechen, dass Handlungen oder Unterlassungen von Gründern oder Organen in der Tat Schaden angerichtet haben könnten. Entsprechendes gilt hinsichtlich der Rechtsfragen, wie sie sich namentlich im Zusammenhang mit den von den Gesuchstellern behaupteten oder vermuteten Pflichtverletzungen von Gründern oder Organen stellen. Auch hier hat das Gericht die Rechts- oder Statutenwidrigkeit nicht abschliessend zu beurteilen. Dem Gesuch auf Einsetzung eines Sonderprüfers ist vielmehr bereits dann zu entsprechen, wenn sich die rechtlichen Vorbringen zu den Anspruchsvoraussetzungen nach <ref-law> bei summarischer Prüfung als einigermassen aussichtsreich oder doch zum Mindesten als vertretbar erweisen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 257; <ref-ruling> E. 4c S. 397 f.; Urteil 4A_359/2007 vom 26. November 2007 E. 2.3, je mit Hinweisen). Die Frage, ob eine Schädigung infolge des Verhaltens von Gründern oder Organen aufgrund der tatsächlichen Vorbringen der Parteien und aufgrund der von ihnen beigebrachten beweismässigen Anhaltspunkte hinreichend glaubhaft erscheint, betrifft die Beweiswürdigung. Sie kann daher vom Bundesgericht nur unter dem Blickwinkel der Willkür überprüft werden (Urteile 4A_129/2013 vom 20. Juni 2013 E. 6.1 und 4A_359/2007 vom 26. November 2007 E. 2.4).
4.3. Laut Vorinstanz begründete der Beschwerdeführer sein Gesuch betreffend die Fragen gemäss Ziffer 2.2 damit, dass die S._ AG von denselben Personen beherrscht werde wie die Beschwerdegegnerin und vermutet werden müsse, dass sie gerade dem Zweck diene, Leistungen und Gelder, die sonst der Beschwerdegegnerin zufliessen würden, über diese Gesellschaft anzubieten bzw. einzukassieren, an der er, der Beschwerdeführer, nicht beteiligt sei.
Die Vorinstanz hielt jedoch fest, dass der Beschwerdegegner diese Vermutung nicht glaubhaft gemacht habe. Es genüge nicht, wenn er einfach geltend mache, die Mehrheitsaktionäre und Verwaltungsräte der Beschwerdegegnerin hätten schon allein dadurch, dass sie die S._ AG für eine zumindest teilweise konkurrierende Tätigkeit übernommen und an die gleiche Adresse wie die Beschwerdegegnerin verlegt hätten, einen Interessenkonflikt geschaffen und ihre Treuepflicht als Verwaltungsräte verletzt. Massgebend sei nicht eine abstrakte Gefahr eines Interessenkonflikts, sondern eine konkrete Interessenkollision. Die Vorinstanz anerkannte grundsätzlich, dass die tatsächliche Konkurrenzierung der Gesellschaft durch ein Verwaltungsratsmitglied (auch in einer indirekten Weise) nach der Lehre eine Verletzung der Treuepflicht darstellen würde. Der Beschwerdeführer lege aber vorliegend keine konkreten, objektiven Anhaltspunkte dafür dar, dass und inwiefern die S._ AG etwa an die Beschwerdegegnerin herangetragene Geschäfte im eigenen Namen und auf eigene Rechnung abgewickelt haben soll. Es erweise sich als reine Behauptung, dass die Übernahme der S._ AG den Mehrheitsaktionären einzig dazu gedient habe, den Beschwerdeführer als Minderheitsaktionär und Mitspracheberechtigten zu umgehen und den Wert seiner Aktien zu schmälern. Der Beschwerdeführer nenne dafür keine genügenden objektiven Anhaltspunkte, zumal es ihm auch nicht gelungen sei, seine Behauptung glaubhaft zu machen, dass die Aufwendungen der Beschwerdegegnerin in den Geschäftsjahren 2006 bzw. 2007 bis 2010 unerklärlich hoch seien und sich daraus ein Verdacht auf verdeckte Gewinnausschüttungen ergebe. Er vermöge auch nicht glaubhaft darzutun, dass und in welcher Weise die Organe der Beschwerdegegnerin etwa im Zusammenhang mit dem Darlehen der S._ AG Gesetz oder Statuten verletzt haben sollten. Schliesslich tue er auch keine rechtsgenüglichen Anhaltspunkte dafür dar, inwiefern ihm als Aktionär oder der Gesellschaft durch einen angeblichen Verstoss gegen die Treuepflicht des Verwaltungsrats ein Schaden entstanden sein soll. Schon allein aus diesem Grunde müsse aber sein Gesuch in diesem Punkte scheitern.
Die Vorinstanz erachtete mithin im Zusammenhang mit dem Fragenkomplex gemäss Ziffer 2.2. des Gesuchs weder eine Verletzung von Gesetz oder Statuten noch den Bestand eines dadurch dem Beschwerdeführer als Aktionär oder der Gesellschaft verursachten Schadens als glaubhaft gemacht.
4.4. Was der Beschwerdeführer hiergegen vorbringt, ist nicht geeignet, die vorinstanzliche Beurteilung umzustossen.
4.4.1. Zunächst ist festzustellen, dass er gegen die Erwägung 7.3 der Vorinstanz, wonach er keine rechtsgenüglichen Anhaltspunkte dafür dargetan habe, inwiefern ihm als Aktionär oder der Gesellschaft durch einen angeblichen Verstoss gegen die Treuepflicht des Verwaltungsrats ein Schaden entstanden sein soll, konkret nichts vorträgt. Es bleibt somit auf jeden Fall bei diesem Schluss der Vorinstanz. Fehlt es aber an der Glaubhaftmachung einer Schädigung, die auf Gesetzes- oder Statutenverletzungen von Organen zurückzuführen ist, ist allein schon aus diesem Grund die Nichtzulassung der diesbezüglichen Fragen zur Sonderprüfung bundesrechtlich nicht zu beanstanden (vgl. Erwägung 4.2) und die Beschwerde könnte ohne weitere Prüfung abgewiesen werden.
4.4.2. Immerhin ist zu bemerken, dass der Beschwerde auch kein Erfolg beschieden sein könnte, soweit sie sich gegen den Schluss der Vorinstanz richtet, es sei betreffend den Fragenkomplex gemäss Ziffer 2.2 des Gesuchs keine Verletzung der Treuepflicht des Verwaltungsrats nach <ref-law> glaubhaft gemacht:
Der Beschwerdeführer trägt nämlich in diesem Zusammenhang ohne Rücksicht auf die Bindung des Bundesgerichts an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt eine frei gehaltene eigene Sachverhaltsdarstellung vor und versucht, die von der Vorinstanz vermissten objektiven konkreten Anhaltspunkte für eine Treuepflichtverletzung nachzutragen. Damit kann er aber vor Bundesgericht nicht gehört werden (vgl. Erwägung 2).
Er verfehlt zudem die Begründungsanforderungen an eine Sachverhaltsrüge (vgl. Erwägung 2.2), indem er die monierte offensichtlich unvollständige Sachverhaltsfeststellung pauschal damit begründet, die Vorinstanz habe die Statuten und den Poolvertrag vom 27. September 2004 nicht berücksichtigt. Er gibt an, er habe auf diese Unterlagen in seinem Gesuch verwiesen und sie beigelegt (Rz. 2 und 7 mit den Beilagen 3 und 6). In den angegeben Randziffern 2 und 7 des Gesuchs finden sich nun aber keine Behauptungen mit Bezug auf den Fragenkomplex gemäss Ziffer 2.2 des Gesuchs, die im genannten Kontext relevant sein könnten. Es ist somit in keiner Weise nachvollziehbar, welche (substanziiert) behaupteten Tatsachen bezüglich der Statuten und des Poolvertrags die Vorinstanz hätte feststellen und bei der Beurteilung, ob im Zusammenhang mit dem Fragenkomplex gemäss Ziffer 2.2 des Gesuchs eine Verletzung der Treuepflicht des Verwaltungsrats glaubhaft gemacht sei, berücksichtigen müssen. Eine unvollständige Sachverhaltsfeststellung wird nicht rechtsgenügend dargetan.
Entsprechend kann auch nicht berücksichtigt werden, was der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde in frei gehaltenen Ausführungen aus den Statuten und dem Poolvertrag ableitet, um gestützt darauf auf eine Verletzung der Treuepflicht zu schliessen, wobei er der Vorinstanz vorwirft, die Treuepflicht nach <ref-law> "zu eng interpretiert" und damit Bundesrecht verletzt zu haben. Die Vorinstanz schloss nicht grundsätzlich aus, dass die Treuepflicht nach <ref-law> durch eine tatsächliche Konkurrenzierung der Gesellschaft durch ein Verwaltungsratsmitglied (auch in einer indirekten Weise) verletzt werden könnte. Sie gelangte aber zum Schluss, dass der Beschwerdeführer keine genügenden Anhaltspunkte für ein derartiges Verhalten und ebenso wenig für konkrete Interessenkollisionen namhaft gemacht habe, aufgrund derer im vorliegenden Fall eine Verletzung der Treuepflicht als glaubhaft erscheinen würde.
Fehl geht auch die Berufung auf eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und von <ref-law>. Eine solche erblickt der Beschwerdeführer darin, dass die Vorinstanz die Sonderprüfung betreffend die Fragen gemäss Ziffer 2.2 des Gesuchs ohne Durchführung eines Beweisverfahrens abgelehnt, insbesondere die von ihm beantragte Parteibefragung und Zeugenbefragung von Dr. med. I._ nicht durchgeführt habe. Der Beschwerdeführer legt in seiner Beschwerde an das Bundesgericht indessen nicht dar, welche konkreten Behauptungen er mit den genannten Beweisanträgen hatte glaubhaft machen wollen. Da er nicht aufzeigt, dass er im kantonalen Verfahren überhaupt sachdienliche und entscheidwesentliche Behauptungen zu den erwähnten Beweisanträgen aufgestellt hat, begründet er den Vorwurf an die Vorinstanz, die genannten Beweise in Verletzung des rechtlichen Gehörs oder von <ref-law> nicht abgenommen zu haben, von vornherein ungenügend.
Ist aber allein auf die verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz abzustellen, ist weder erkennbar noch dargetan, dass es willkürlich oder bundesrechtswidrig wäre, wenn die Vorinstanz verneinte, dass eine Verletzung der Treuepflicht nach <ref-law> glaubhaft gemacht sei.
4.4.3. Zuletzt bemerkt der Beschwerdeführer, dass ein Verwaltungsrat, der - wie Dr. med. D._ - in einem arbeitsvertraglichen Verhältnis zur Beschwerdegegnerin stehe, eine zusätzliche Treuepflicht bzw. ein Konkurrenzverbot aufgrund von <ref-law> habe.
Abgesehen davon, dass dieser nicht weiter ausgeführte Hinweis nicht ausreicht, um der Vorinstanz vorzuhalten, sie hätte die Verletzung einer Gesetzesbestimmung für glaubhaft gemacht ansehen müssen, ist die Behauptung, Dr. med. D._ stehe zur Beschwerdegegnerin in einem Arbeitsverhältnis, neu und kann daher nicht gehört werden (<ref-law>). Im Übrigen stellte die Vorinstanz fest, dass die Bestimmung im Poolvertrag, wonach die Poolmitglieder nicht nur in einem Beteiligungs- sondern auch in einem Arbeitsverhältnis zur Gesellschaft stehen, offenbar nie verwirklicht worden sei.
5.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, II. Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. August 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer