Sachverhalt:
A. Y._ reichte am 24. Januar 2008 bei der Einwohnergemeinde Adelboden ein Baugesuch ein für den Neubau eines Wohn- und Gästehauses auf der Parzelle Adelboden Gbbl. Nr. 1554 in der Wohnzone W2. Gegen das Bauvorhaben erhob unter anderen X._ Einsprache. Mit Gesamtentscheid vom 25. Juni 2009 erteilte der Regierungsstatthalter von Frutigen (heute: Frutigen-Niedersimmental) die Baubewilligung samt Ausnahmebewilligung nach Art. 25 ff. des kantonalen Waldgesetzes vom 5. Mai 1997 (KWaG; BSG 921.11) für das Bauen in Waldnähe.
Die von X._ gegen diesen Entscheid eingereichte Beschwerde wies die Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern (BVE) mit Entscheid vom 6. August 2009 ab, soweit sie darauf eintrat, und bestätigte den Gesamtentscheid des Regierungsstatthalters.
X._ focht diesen Entscheid mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern an. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 6. April 2010 ab, soweit es darauf eintrat.
B. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben, und die Sache sei zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht er, seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Y._ stellt den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Die eingegangenen Stellungnahmen wurden dem Beschwerdeführer zur Kenntnisnahme zugestellt.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Urteil der Vorinstanz stützt sich auf öffentliches Recht (vgl. <ref-law>) und stellt einen kantonalen Endentscheid dar (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer macht geltend, indem die Vorinstanz seine Legitimation teilweise verneint habe, habe sie unter anderem gegen Art. 33 Abs. 3 lit. a RPG (SR 700), <ref-law>, <ref-law> und <ref-law> verstossen. Zu dieser Rüge ist der Beschwerdeführer nach <ref-law> befugt, ungeachtet seiner Legitimation in der Sache (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 253; <ref-ruling> E. 6.2 S. 198 ff.). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist daher einzutreten.
1.2 Gemäss Art. 33 Abs. 3 lit. a RPG gewährleistet das kantonale Recht gegen Verfügungen betreffend die Raumplanung die Legitimation mindestens im gleichen Umfang wie für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Ferner schreibt <ref-law> in Fortführung von Art. 98a des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) die Einheit des Verfahrens vor. Wer zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt ist, muss sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können (<ref-law>). Die unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts muss grundsätzlich mindestens die Rügen nach den Artikeln 95-98 BGG prüfen können (<ref-law>). Aus diesen Bestimmungen ergibt sich, dass die kantonalen Behörden die Rechtsmittelbefugnis nicht enger fassen dürfen, als dies für die Beschwerde an das Bundesgericht vorgesehen ist. Zur Beurteilung der Frage, ob die Vorinstanz die Beschwerdelegitimation des Beschwerdeführers zu Recht teilweise verneint hat, ist daher vorliegend die Beschwerdeberechtigung nach den Grundsätzen von <ref-law> zu prüfen.
1.3 Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (lit. c). Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer, dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht. Die Nähe der Beziehung zum Streitgegenstand muss bei Bauprojekten insbesondere in räumlicher Hinsicht gegeben sein. Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann (vgl. Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4236). Die Voraussetzungen von <ref-law> hängen eng zusammen. Es kann insoweit an die Grundsätze, die zur Legitimationspraxis bei der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach Art. 103 lit. a OG entwickelt worden sind, angeknüpft werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 404 f. mit Hinweisen).
1.4 Die Behauptung allein, jemand sei von den Folgen einer Baubewilligung betroffen, genügt nicht, um die Beschwerdebefugnis zu begründen. Vielmehr muss aufgrund des konkreten Sachverhalts das besondere Berührtsein und das schutzwürdige Interesse glaubhaft erscheinen, ansonsten stünde jedermann die Beschwerdeberechtigung zu, der eine unzutreffende Behauptung aufstellt. Dies liefe im Ergebnis auf eine unzulässige Popularbeschwerde hinaus. Ein Kriterium für die Beurteilung der Beschwerdebefugnis eines Nachbarn ist die räumliche Nähe seines Grundstücks zum umstrittenen Bauvorhaben, wobei es nicht auf abstrakt bestimmte Distanzwerte ankommt. Das Beschwerderecht wird aber in der Regel anerkannt, wenn die Liegenschaft des Nachbarn unmittelbar an das Baugrundstück angrenzt oder allenfalls nur durch einen Verkehrsträger davon getrennt wird (<ref-ruling> E. 2b S. 174 mit Hinweisen; Urteil des Bundesgerichts 1A.98/1994 vom 28. März 1995 E. 2b, in: ZBl 96/1995 S. 528 f.; Heinz Aemisegger/Stephan Haag, Kommentar zum RPG, Zürich 2010, Art. 33 N. 57 ff.).
Liegt diese besondere Beziehungsnähe in räumlicher Hinsicht vor, braucht das Anfechtungsinteresse nicht mit dem Interesse übereinzustimmen, das durch die von der beschwerdeführenden Person als verletzt bezeichneten Normen geschützt wird (vgl. Peter Karlen, Das neue Bundesgerichtsgesetz, 2006, S. 52; Beusch/Moser/Kneubühler, Ausgewählte prozessrechtliche Fragen im Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht, ZBl 2008 S. 15 f.). Der Nachbar kann mithin die Überprüfung eines Bauvorhabens im Lichte all jener Rechtssätze verlangen, die sich rechtlich oder tatsächlich in dem Sinne auf seine Stellung auswirken, so dass ihm im Falle des Obsiegens ein praktischer Nutzen entsteht. Nicht zulässig ist hingegen das Vorbringen von Beschwerdegründen, mit denen einzig ein allgemeines öffentliches Interesse an der richtigen Anwendung des Rechts verfolgt wird (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 253), ohne dass dem Beschwerdeführer im Falle des Obsiegens ein Vorteil entsteht. Das Element des praktischen tatsächlichen Nutzens bildet somit ein wichtiges Eintretenskriterium, mit welchem ein "Ausufern" der Beschwerdemöglichkeiten verhindert werden kann (Heinz Aemisegger, Erste Erfahrungen mit dem Bundesgerichtsgesetz, in: Jusletter vom 10. November 2008 N. 52 und 65, www.weblaw.ch, besucht am 14. Juli 2010).
1.5 Das Grundstück des Beschwerdeführers liegt in unmittelbarer Nachbarschaft zu demjenigen des Beschwerdegegners. Diese räumliche Nähe begründet eine besondere Betroffenheit des Beschwerdeführers. Er ist damit zumindest in tatsächlicher Hinsicht stärker vom Bauvorhaben berührt als die Allgemeinheit. Nicht von entscheidender Bedeutung ist insoweit, ob die Distanz zwischen der Liegenschaft des Beschwerdeführers und dem projektierten Hauptgebäude des Beschwerdegegners 10 Meter (Beschwerdeführer) oder 14 Meter (Vorinstanz) beträgt.
Auch die Vorinstanz bejaht die Beschwerdeberechtigung des Beschwerdeführers im Grundsatz, geht allerdings von einer rügebezogenen Beurteilung der Legitimation aus. Während sie einzelne Vorbringen des Beschwerdeführers materiell prüft, verneint sie dessen Legitimation in Bezug auf die erhobene Rüge der mangelhaften Erschliessung des Grundstücks des Beschwerdegegners. Sie führt aus, der Beschwerdeführer sei zum Einwand, die Zufahrt zum Nachbargrundstück sei ungenügend, nicht legitimiert, da sein Grundstück nicht über die gleiche Strasse erschlossen sei und es ihm insoweit an einem schutzwürdigen Interesse fehle.
Dieser Argumentation kann nicht gefolgt werden. Mit ihrer rügespezifischen Beurteilung vermengt die Vorinstanz Beschwerdelegitimation und Beschwerdegründe. Die Beschwerdelegitimation richtet sich ausschliesslich nach <ref-law>. Sind die Voraussetzungen gegeben, ist der Beschwerdeführer mit sämtlichen der in <ref-law> aufgeführten Rügen zum Verfahren zuzulassen, wenn ihm durch die Gutheissung der Beschwerde ein praktischer Nutzen entstehen würde (vgl. Peter Hänni/Bernhard Waldmann, Besonderheiten der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach dem neuen Bundesgerichtsgesetz im Bereich des Planungs- und Baurechts, Baurecht 2007 S. 161 f.). Vorliegend ist dies der Fall, soweit der Beschwerdeführer die unmittelbare Erschliessung des Nachbargrundstücks beanstandet. Eine hinreichende Erschliessung im Sinne von Art. 19 RPG ist eine Voraussetzung für die Erteilung einer Baubewilligung (Art. 22 Abs. 2 lit. b RPG). Bei einer ungenügenden Erschliessung würde die Baubewilligung verweigert. Der konkrete praktische Nutzen des Beschwerdeführers besteht mithin darin, dass das Bauvorhaben nicht verwirklicht würde, wenn er mit seiner Rüge durchdringen würde (vgl. Urteil 1C_240/2008 vom 27. August 2008 E. 6.1; siehe zudem Urteil 1C_108/2007 vom 11. Oktober 2007 E. 2; vgl. ferner Aemisegger, a.a.O., N. 55).
1.6 Der Beschwerdeführer ist somit im Sinne von <ref-law> von der Erteilung der Baubewilligung besonders betroffen und hat an deren Aufhebung ein schutzwürdiges Interesse. Da die Legitimation des Beschwerdeführers im kantonalen Verfahren mindestens in gleichem Umfang zu gewähren ist, ist die Vorinstanz zu Unrecht nicht auf die Rüge der mangelhaften Erschliessung eingetreten.
2. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde gutzuheissen und das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts vom 6. April 2010 aufzuheben ist. Die Sache ist zu neuer Prüfung an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>). Dieser hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>). Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 6. April 2010 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Der Beschwerdegegner hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Adelboden, dem Regierungsstatthalteramt Frutigen-Niedersimmental, der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Stohner