Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 20. Oktober 2011 sistierte die IV-Stelle Luzern die A._ (geboren 1963) seit 1. Juni 2002 ausgerichtete ganze Invalidenrente mit sofortiger Wirkung. Aufgrund der bekannt gewordenen Aktivitäten des Versicherten in einem Schachklub werde geprüft, ob die Leistungsausrichtung zu Recht erfolgt.
B. A._ liess beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hiegegen Beschwerde führen u.a. mit dem Rechtsbegehren um Aufhebung der Verfügung. In ihrer Vernehmlassung führte die IV-Stelle aus, dass an der Verfügung vom 20. Oktober 2011 nicht festgehalten werden könne, weshalb sie diese lite pendente aufhebe. Demgemäss beantragte sie, das Verfahren als gegenstandslos abzuschreiben. Mit Verfügung vom 19. Dezember 2011 erklärte das Verwaltungsgericht das Beschwerdeverfahren als erledigt (Dispositiv-Ziffer 1) und verpflichtete die IV-Stelle zur Entrichtung einer Parteientschädigung von Fr. 1'500.- an den Versicherten (einschliesslich Auslagen und Mehrwertsteuer; Dispositiv-Ziffer 3).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, unter Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 3 der vorinstanzlichen Verfügung sei ihm eine Parteientschädigung von mindestens Fr. 3'500.- zu bezahlen; eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung über die Parteientschädigung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Ferner ersucht er um die Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung.
Während sich das kantonale Gericht in ablehnendem Sinne äussert und die IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliesst, soweit darauf einzutreten sei, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.
Am 26. März 2012 lässt der Versicherte eine weitere Eingabe einreichen.

Erwägungen:
1. Die angefochtene Dispositiv-Ziffer 3 der vorinstanzlichen Verfügung setzt die Parteientschädigung für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern fest, in welchem der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer zufolge Aufhebung der angefochtenen Verwaltungsverfügung durch die IV-Stelle in formeller Hinsicht als obsiegend gilt. Es handelt sich um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>.
2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (<ref-law>).
3. 3.1 Nach <ref-law> hat die obsiegende Beschwerde führende Person im kantonalen Verfahren Anspruch auf Ersatz der Parteikosten, wobei diese vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen werden.
3.2 Das Bundesgericht prüft frei, ob der vorinstanzliche Entscheid hinsichtlich der Bemessung der Parteientschädigung den in <ref-law> statuierten bundesrechtlichen Anforderungen genügt. Weil die Bemessung der Parteientschädigung für das kantonale Verfahren im Übrigen dem kantonalen Recht überlassen ist (<ref-law>), prüft das Bundesgericht darüber hinaus nur, ob die Höhe der Parteientschädigung vor dem Willkürverbot standhält. Das gilt insbesondere mit Bezug auf den vom kantonalen Versicherungsgericht angewendeten Tarif (SVR 2011 AHV Nr. 7 S. 23; Urteil 9C_688/2009 vom 19. November 2009).
4. 4.1 Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe das Verfahren als erledigt erklärt, ohne ihm Kenntnis von der Vernehmlassung der IV-Stelle und Gelegenheit zur Stellungnahme zu geben. Somit sei es ihm verwehrt worden, den Stundenaufwand für die anwaltlichen Bemühungen kundzutun. Bei einem (tiefen) Stundenansatz für die unentgeltliche Verbeiständung von Fr. 230.- gemäss Weisung des Obergerichts des Kantons Luzern entspreche die gewährte Parteientschädigung von Fr. 1'500.- einem Aufwand von sechs Stunden, zuzüglich Mehrwertsteuer und Auslagen. Tatsächlich habe der Aufwand 14,75 Stunden betragen, was bei der zugesprochenen Entschädigung von Fr. 1'500.- einen willkürlich tiefen Stundenansatz von Fr. 91.- ergebe.
4.2 Die kantonale Instanz ist bei der Bemessung der Parteientschädigung von Bundesrechts wegen nicht an die geltend gemachten Honoraransprüche gebunden, weshalb <ref-law> nicht verletzt ist, wenn auf die Einholung einer Kostennote verzichtet wird. Soweit der Beschwerdeführer rügt, das kantonale Gericht habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör dadurch verletzt, dass es keine Honorarnote seines Rechtsvertreters einholte, sind seine Vorbringen unbegründet (SVR 2011 AHV Nr. 7 S. 23 mit Hinweisen).
4.3 Nach der Rechtsprechung kann die Parteientschädigung für das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht willkürfrei innerhalb einer Bandbreite von Fr. 160.- bis Fr. 320.- pro Stunde (einschliesslich Mehrwertsteuer) festgelegt werden (SVR 2002 AlV Nr. 3 S. 5 E. 4c). Mit dem zugesprochenen Honorar von Fr. 1'500.- wäre bei einem Stundenansatz von Fr. 180.-, wie er in der Regel als Mindestansatz im Falle unentgeltlicher Verbeiständung gilt (SVR 2011 AHV Nr. 7 S. 23), somit ein Aufwand von knapp 8,5 Stunden entschädigt. Der Beschwerdeführer macht unter Beilage der Kostennote seines Rechtsvertreters einen Aufwand von 14,75 Stunden und einen Stundenansatz von Fr. 230.- geltend, woraus die geforderte Parteientschädigung von Fr. 3'392.50, zuzüglich Auslagen und Mehrwertsteuer, resultiert. Der geltend gemachte Aufwand von rund 15 Arbeitsstunden steht in keinem vernünftigen Verhältnis zur Bedeutung der Streitsache und zur Schwierigkeit des Prozesses; vielmehr erscheint er unangemessen hoch. Wie das Verwaltungsgericht in der Vernehmlassung zutreffend darlegt, wurde mit der angefochtenen Verfügung vom 20. Oktober 2011 die Auszahlung der Invalidenrente an den Versicherten vorläufig sistiert. In materieller Hinsicht war mit dieser Verfügung nichts entschieden. Insbesondere war die laufende Rente damit nicht aufgehoben worden. Dies geht auch daraus hervor, dass die IV-Stelle dem Beschwerdeführer bereits am 6. Februar 2012, 3 1/2 Monate nach der vorläufigen Renteneinstellung verfügungsweise eröffnete, er habe rückwirkend seit der Sistierung wiederum Anspruch auf Ausrichtung der ganzen Rente. Unter diesen Umständen hätte sich eine Beschwerde gegen die Sistierungsverfügung in erster Linie mit deren formellen Aspekten befassen müssen. Der restliche vom Rechtsvertreter des Versicherten betriebene Aufwand, der u.a. medizinische Aspekte und die Öffentlichkeit des Verfahrens, aber auch die Vorgehensweise der Verwaltung betrifft und unter Einschluss der prozessrechtlichen Thematik zu einer umfangreichen Beschwerdeschrift von 17 Seiten geführt hat, war überflüssig und ist von der IV-Stelle nicht zu entschädigen. Denn unnötige Kosten begründen keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Urteil des Bundesgerichts 2A.378/2004 vom 16. Februar 2005). Die zugesprochene Parteientschädigung von Fr. 1'500.- verstösst nicht gegen <ref-law> und hält vor dem Willkürverbot stand.
5. Dem Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung kann nicht stattgegeben werden, da die Beschwerde als aussichtslos (zum Begriff der Aussichtslosigkeit siehe <ref-ruling> E. 2.3.1, 128 I 236) bezeichnet werden muss, weshalb die Voraussetzungen nach <ref-law> nicht erfüllt sind. Die Gerichtskosten sind daher dem Verfahrensausgang entsprechend dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Juni 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Widmer