Faits:
A.
A.a. A._ a travaillé en qualité d'aide-jardinier. Le 21 octobre 1996, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 20 novembre 1996, le docteur B._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) a posé le diagnostic de trouble dépressif récurrent sévère. Dans un rapport du 29 septembre 1997, le docteur C._ (chef de clinique adjoint de l'Hôpital D._) a posé les diagnostics de trouble dépressif récurrent avec symptômes psychotiques ([CIM-10] F33.3) et de personnalité émotionnellement labile, type borderline (F60.31), et fixé à 100 % l'incapacité de travail du patient dès 1996. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: OAI VD) a conclu à une invalidité de 100 % depuis le 1er novembre 1997. Suite au départ de l'intéressé pour son pays d'origine, son dossier a été transmis à l'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après: OAIE), qui, par décision du 16 mai 2001, a alloué à A._ une rente entière d'invalidité à partir du 1er novembre 1997.
L'OAIE a procédé dès juillet 2002 à la révision du droit à la rente et informé l'assuré dans une communication du 10 janvier 2003 qu'il continuait d'avoir droit à une rente entière d'invalidité. Derechef, dès août 2007, il a entamé une procédure de révision, sans constater de modification notable du degré d'invalidité (communication du 29 janvier 2008).
A.b. Dans le cadre d'une nouvelle procédure de révision initiée dès août 2010, l'OAIE a confié un mandat d'expertise au docteur E._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie), qui a vu A._ lors d'entretiens ayant eu lieu les 12 et 13 septembre 2011. Dans un rapport du 10 novembre 2011, l'expert a posé le diagnostic ayant une répercussion sur la capacité de travail de trouble panique ([CIM-10] F41.0), présent depuis 1990. Il mentionnait comme diagnostics n'ayant pas de répercussion sur la capacité de travail un trouble de la personnalité (troubles mixtes de la personnalité avec traits narcissiques, histrioniques et dyssociaux, F61.0), certainement présent depuis le début de l'âge adulte, et un syndrome de dépendance aux benzodiazépines (F13.25) qui paraissait pertinent depuis plusieurs années. Il indiquait qu'une activité à plein temps avec un rendement d'au moins 80 % dans toute activité professionnelle correspondant aux compétences de l'assuré paraissait actuellement exigible et pourrait l'avoir été depuis plusieurs années.
Dans un avis médical du 26 décembre 2011, la doctoresse F._, médecin de l'OAIE, se fondant sur les constatations du docteur E._ qui n'avait discerné aucun symptôme dépressif et avait indiqué que l'assuré ne prenait aucune médication antidépressive, a répondu par l'affirmative à la question de savoir si l'état de santé de A._ était stabilisé. Elle a fixé à 80 % depuis le 10 novembre 2011 - date du rapport de l'expert - la capacité de travail exigible dans l'activité habituelle et dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles liées à l'instabilité neuro-végétative.
L'OAIE, dans un préavis du 10 janvier 2012, a informé l'assuré qu'il présentait une incapacité de travail et de gain de 20 % et ne remplissait plus dès lors les conditions du droit à une rente d'invalidité. A._, par lettre du 9 mars 2012, a fait part à l'OAIE de ses observations. Il a produit copie d'un rapport du docteur G._ (psychiatre et neurologue) du 2 février 2012, de deux rapports du Centre clinique universitaire de H._ - l'un de la Clinique de neurologie et l'autre de la Clinique de psychiatrie relatif à une hospitalisation du 8 février au 9 mars 2012 - et de divers documents émanant du docteur I._ (chirurgien), de l'Unité de chirurgie et de la Policlinique de médecine interne de l'Hôpital régional de J._, ainsi que leur traduction en français. Dans un avis du 23 mars 2012, la doctoresse F._ a considéré que l'ablation de la vésicule biliaire le 19 octobre 2011 et la hernie cicatricielle qui s'était développée ne justifiaient pas une incapacité de travail de longue durée, qu'il en allait de même de l'hypertonie pour laquelle l'assuré ne suivait pas un traitement de manière régulière, et qu'il n'y avait pas d'éléments nouveaux sur le plan psychiatrique permettant de s'écarter des conclusions du docteur E._. Par décision du 19 avril 2012, l'OAIE, tout en s'exprimant sur les observations de A._ dans le sens indiqué ci-dessus par la doctoresse F._, a supprimé son droit à une rente entière d'invalidité avec effet à partir du 1er juin 2012 pour les motifs exposés dans son préavis.
B.
A._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif fédéral, en concluant, sous suite de frais et de dépens, à son annulation, la juridiction étant invitée à constater que la "suspension" (recte: suppression) du droit à la rente n'était pas justifiée et qu'il continuait d'avoir droit à une rente entière d'invalidité. A titre subsidiaire, il demandait que la cause soit renvoyée à l'OAIE pour instruction complémentaire comportant une expertise médicale et pour nouvelle décision et que son droit à la rente soit maintenu jusqu'au terme de la procédure d'instruction.
L'OAIE a conclu au rejet du recours. Dans ses observations, A._ a produit copie d'un rapport du docteur B._ du 19 décembre 2012, de deux rapports du docteur G._ des 28 juin et 12 novembre 2012 et du rapport de la Clinique de psychiatrie du Centre clinique universitaire de H._ et leur traduction en français. L'OAIE s'est référé dans ses déterminations à un avis de la doctoresse F._ du 31 janvier 2013 confirmant ses prises de position antérieures. Les parties ont déposé à nouveau leurs observations.
Par arrêt du 4 novembre 2013, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et de dépens, à l'annulation de celui-ci et de la décision de l'OAIE du 19 avril 2012, le Tribunal fédéral étant invité à constater qu'il continue à avoir droit à une rente entière d'invalidité sans modification. A titre subsidiaire, il demande que la cause soit renvoyée à l'autorité précédente, encore plus subsidiairement à l'OAIE, pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants et que son droit à la rente soit maintenu jusqu'au terme de la procédure d'instruction.
L'OAIE conclut au rejet du recours. Le Tribunal administratif fédéral renonce à prendre position sur le recours. A._ confirme intégralement ses précédentes écritures.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique d'office le droit dont il peut contrôler le respect (art. 106 al. 1 LTF). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), il n'examine en principe que les griefs invoqués. Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire insoutenable, voire arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 314; <ref-ruling> consid. 8.1 p. 153; <ref-ruling> consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). La partie recourante qui invoque l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit présenter une motivation qui répond aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62).
1.3. Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 4 s.; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 s.).
S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves et de l'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62).
1.4. Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'<ref-ruling> consid. 3 p. 397 s. s'appliquent pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application du droit par cette dernière (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité précédente sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité - dans la mesure où elle dépend d'une évaluation de la personne concrète, de son état de santé et de ses capacités fonctionnelles - relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398). Ces principes s'appliquent également en ce qui concerne la question de savoir si la capacité de travail, respectivement l'incapacité de travail, de l'assuré s'est modifiée d'une manière déterminante sous l'angle de la révision au cours d'une certaine période (par exemple arrêt 9C_152/2013 du 3 septembre 2013 consid. 1.3).
2.
Le litige, relatif au droit du recourant à une rente d'invalidité, porte sur le point de savoir si pendant la période déterminante, l'état de santé de l'assuré s'est amélioré sur le plan psychiatrique, singulièrement si son incidence sur la capacité de travail et de gain a subi une modification notable.
2.1. Le jugement entrepris expose correctement les règles et principes jurisprudentiels sur la révision du droit à une rente d'invalidité (art. 17 al. 1 LPGA; <ref-ruling> consid. 3.5 p. 349; voir aussi <ref-ruling>). On peut ainsi y renvoyer. S'agissant du point de savoir si une modification notable s'est produite, l'autorité de recours de première instance a considéré avec raison qu'il devait être tranché en comparant les faits tels qu'ils se présentaient lors de la décision de rente du 16 mai 2001 et ceux qui ont existé à la date de la décision de suppression du droit à la rente du 19 avril 2012.
2.2. Selon une jurisprudence constante, le juge des assurances sociales apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment de la clôture de la procédure administrative. Les faits survenus postérieurement, et qui ont modifié cette situation, doivent normalement faire l'objet d'une nouvelle décision administrative (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 243; <ref-ruling> consid. 1b p. 366).
2.3. Les règles et principes jurisprudentiels sur la valeur probante d'un rapport médical (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232; <ref-ruling> consid. 11.1.3 p. 469; <ref-ruling> consid. 3a p. 352) sont exposées dans le jugement entrepris, auquel on peut renvoyer. Même en tenant compte de la jurisprudence récente de la Cour européenne des droits de l'homme sur le principe de l'égalité des armes, tiré du droit à un procès équitable garanti par l'art. 6 § 1 CEDH, il n'existe pas, dans la procédure d'octroi ou de refus de prestations d'assurances sociales, de droit formel à une expertise menée par un médecin externe à l'assurance (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 468). Il convient toutefois d'ordonner une telle expertise si des doutes, même faibles, subsistent quant à la fiabilité et à la pertinence des constatations médicales effectuées par le service médical interne de l'assurance (<ref-ruling> consid. 4.6 p. 471).
3.
Les premiers juges ont constaté que, conformément à l'avis unanime des docteurs E._ et F._, l'état de santé de l'assuré s'était nettement amélioré pendant la période déterminante. Sur la base de l'avis médical de la doctoresse F._ du 26 décembre 2011, ils ont retenu que le recourant ne présentait plus de diagnostic psychiatrique au sens strict, qu'il avait visiblement pris son existence en main après son expulsion de Suisse en bâtissant une maison dans son pays d'origine et avait eu encore trois enfants nés entre 2001 et 2006. Ils ont fait leur l'évaluation de la capacité de travail par le docteur E._ dans son expertise psychiatrique du 10 novembre 2011, dont ils ont admis qu'elle avait pleine valeur probante, et considéré que le recourant présentait, au moins depuis la date de l'expertise, une capacité de travail de 80 % dans toute activité lucrative auxiliaire.
4.
Le recourant, se référant au rapport de la Clinique de psychiatrie du Centre clinique universitaire de H._ relatif à son hospitalisation du 8 février au 9 mars 2012, fait valoir que l'état dépressif prédomine actuellement et que les atteintes psychiatriques existant lors de la décision initiale de rente sont demeurées inchangées pendant la période déterminante. Il affirme que l'avis du docteur E._ constitue une nouvelle appréciation d'une situation restée identique et ne fait que requalifier les mêmes troubles sur le plan diagnostic que ceux ayant donné lieu à l'octroi d'une rente d'invalidité et qu'il en va de même de l'avis de la doctoresse F._, qui en outre a pris en considération des faits totalement étrangers à son état de santé. Il allègue que l'incapacité de travail de longue durée a perduré et qu'en définitive l'instance précédente, au lieu d'examiner s'il y avait eu une modification notable de la situation pendant la période déterminante, a apprécié l'état de fait comme si elle devait se prononcer pour la première fois sur son droit à une rente d'invalidité.
5.
Il n'est pas démontré par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF que l'avis du docteur E._ et de la doctoresse F._ sur lequel s'est fondée l'autorité de recours de première instance soit une nouvelle appréciation d'une situation restée identique en ce qui concerne l'état de santé du recourant sur le plan psychiatrique.
5.1. Les pièces médicales à la base de l'octroi initial de rente attestent de manière prépondérante le diagnostic de trouble dépressif récurrent sévère. Dans son rapport du 20 novembre 1996, le docteur B._ a posé ce diagnostic, en indiquant que l'état dépressif avait nécessité une première hospitalisation en août-septembre 1994 et s'était constamment aggravé depuis lors et que le patient avait été hospitalisé à trois reprises, la dernière en automne 1996. Le docteur C._, dans son rapport du 29 septembre 1997, a posé les diagnostics de trouble dépressif récurrent avec symptômes psychotiques (F33.3) et de personnalité émotionnellement labile, type borderline (F60.31), en relevant que certains épisodes particulièrement sévères de l'affection psychiatrique avaient nécessité une hospitalisation à cinq reprises en un peu plus d'une année.
5.2. La situation du recourant s'est modifiée de manière notable pendant la période déterminante dans la mesure où on ne trouve plus dans les pièces médicales le diagnostic de trouble dépressif récurrent (ou de trouble de l'humeur). Dans son expertise du 10 novembre 2011, le docteur E._ a posé le diagnostic ayant une répercussion sur la capacité de travail de trouble panique et mentionné comme diagnostics n'ayant pas de répercussion sur la capacité de travail un trouble de la personnalité (soit des troubles mixtes de la personnalité avec traits narcissiques, histrioniques et dyssociaux) et un syndrome de dépendance aux benzodiazépines. En page 15 de son rapport, il a expliqué qu'il ne retenait pas le diagnostic d'un trouble de l'humeur, et en page 20 de celui-ci il a considéré que l'absence complète de symptômes dépressifs était un des points cardinaux du tableau clinique actuel. La doctoresse F._, dans son avis du 26 décembre 2011, a indiqué qu'aucun signe de trouble dépressif n'avait pu être trouvé dans le cadre des derniers examens. Même si le recourant a séjourné du 8 février au 9 mars 2012 à cause d'un trouble de la personnalité à la Clinique de psychiatrie du Centre clinique universitaire de H._, où les médecins ont pu relever la présence d'une humeur dépressive, ils n'ont pas diagnostiqué de trouble dépressif. L'absence de signes de dépression, telle qu'attestée par le docteur E._ et confirmée par la doctoresse F._, constitue ainsi une amélioration de l'état de santé du recourant sur le plan psychiatrique par rapport à la situation qui était la sienne lors de la décision initiale de rente du 16 mai 2001. Le recours est mal fondé de ce chef.
6.
Les affirmations du recourant (supra, consid. 4) ne sont pas propres à remettre en cause le résultat de l'appréciation anticipée des preuves à laquelle ont procédé les premiers juges, lesquels ont considéré qu'une expertise pluridisciplinaire n'apporterait aucun élément susceptible de modifier l'appréciation de l'état de santé ou de l'invalidité et n'était donc pas nécessaire.
6.1. Il convient de relever en premier lieu que le rapport du docteur B._ du 19 décembre 2012, auquel le recourant se réfère dans son mémoire devant la Cour de céans, est postérieur à la clôture de la procédure administrative (supra, consid. 2.2), et qu'il n'est pas démontré que les conditions pour la prise en considération de fait survenus postérieurement à celle-ci (ATF <ref-ruling> consid. 1b p. 366; <ref-ruling> p. 102 et les arrêts cités) soient remplies dans le cas particulier.
6.2. Dans son avis du 26 décembre 2011, la doctoresse F._ a indiqué que l'assuré, après son expulsion de Suisse, avait construit une maison dans son pays d'origine et avait eu encore d'autres enfants depuis 2001. Ce médecin a admis qu'il y avait eu un changement de l'état de santé du fait qu'aucun signe de trouble dépressif n'avait pu être trouvé dans le cadre des derniers examens, que l'intéressé ne prenait aucune médication antidépressive et que les diagnostics de personnalité dyssociale et de trouble de la personnalité (type borderline) n'avaient pu être posés.
Le recourant conteste que l'avis de la doctoresse F._ du 26 décembre 2011 mentionné ci-dessus ait valeur probante, au motif que ce médecin s'est référé à des faits "totalement externes à la psychiatrie". Cet argument n'est pas pertinent. Le fait que l'assuré est devenu père de trois enfants après avoir été mis au bénéfice d'une rente entière d'invalidité illustre d'une manière générale l'état de santé et la thymie du recourant. Ce point, de l'avis du docteur E._ (rapport d'expertise du 10 novembre 2011, page 29 ad ch. 3.1), représente une des discordances entre l'importance du handicap allégué et la conservation de ressources relativement étendues, ce que le recourant ne discute pas. Le recours est mal fondé de ce chef.
6.3. Même si le recourant déclare que le docteur E._ a manqué de toute objectivité en se perdant dans des assertions dénigrantes à son égard, ce qui n'est au demeurant pas démontré, l'autorité de recours de première instance pouvait, sans violer le droit fédéral, accorder pleine valeur probante à son rapport du 10 novembre 2011. Les premiers juges ont considéré que l'expertise avait été établie de manière circonstanciée, au terme d'une étude attentive et complète du dossier, ainsi qu'à l'issue d'un examen approfondi de l'assuré, et qu'elle prenait en considération les antécédents médicaux de ce dernier ainsi que ses plaintes. Ainsi qu'ils l'ont admis, le diagnostic posé est clair et motivé et l'expert en a tiré des déductions non contradictoires.
Il convient d'ajouter que, comme cela ressort de l'expertise du docteur E._, le diagnostic de personnalité dyssociale ([CIM-10] F60.2) posé par le docteur K._ dans un rapport du 12 septembre 2007 et par le docteur L._ dans un rapport du 17 septembre 2007 a été pris en compte par l'expert dans son rapport du 10 novembre 2011. Les médecins de la Clinique de psychiatrie du Centre clinique universitaire de H._, en posant dans leur rapport relatif à l'hospitalisation du 8 février au 9 mars 2012 les diagnostics de personnalité dyssociale (F60.2) et de personnalité émotionnellement labile (F60.3), n'ont pas fait état d'éléments objectivement vérifiables qui auraient été ignorés par le docteur E._ dans le cadre de son expertise du 10 novembre 2011 et soient suffisamment pertinents pour remettre en cause ses conclusions en ce qui concerne l'état de santé du recourant sur le plan psychiatrique. Le recours est mal fondé de ce chef.
6.4. Sur le vu des conclusions du docteur E._ retenant une capacité de travail de 80 % dans toute activité professionnelle appropriée exercée à plein temps (rendement d'au moins 80 %), reprises par la doctoresse F._ dans son avis du 26 décembre 2011, les déclarations du recourant (supra, consid. 4) ne permettent pas de considérer que les premiers juges, en retenant qu'il présentait, au moins depuis l'expertise du 10 novembre 2011 du docteur E._, une capacité de travail de 80 % dans toute activité lucrative auxiliaire, aient établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Le recours est mal fondé.
7.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour la dernière instance (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif fédéral, Cour III, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 5 juin 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Le Greffier :
Kernen Wagner