hat sich ergeben:
A.- Die X._ AG (Klägerin) ist auf den Bau und Vertrieb von Saunen, Whirlpools, Dampfbädern sowie Solarien und damit zusammenhängenden Produkten spezialisiert. Mit Arbeitsvertrag vom 1./3. Juli 1998 stellte sie A._ (Beklagter) als Stellvertreter des Geschäftsführers an. Der Beklagte wurde darin als für die Planung der Projekte, das Offert- und Auftragswesen, Montage-Organisation und Abrechnungen, Einkauf, Verkauf, für die telefonische und persönliche Kundenbetreuung und allgemeine Büroarbeiten verantwortlich bezeichnet. Dieser Anstellungsvertrag wurde am 10. Februar 1999 durch einen neuen ersetzt, wobei im Wesentlichen das Monatsgehalt erhöht und die Spesenvergütungen geregelt wurden. In beiden Verträgen war in Ziffer 7 ein Konkurrenzverbot vorgesehen, dessen Geltungsbereich im neuen gegenüber dem ursprünglichen Vertrag um die Kantone Schaffhausen und Thurgau erweitert wurde und schliesslich wie folgt lautete:
"Der Arbeitnehmer verpflichtet sich, während zwei
Jahren nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses
weder direkt noch indirekt auf dem Gebiet Sauna,
Sauna-Zubehör, Dampfbad, Whirl-Pool und Besonnungsgeräte
in den Kantonen Aargau, Schwyz, Basel-Stadt
und -Land, Bern, Graubünden, Luzern, Schaffhausen,
Solothurn, St. Gallen, Thurgau, Unter- und
Obwalden, Zürich und Zug tätig zu werden.. "
Mit Schreiben vom 25. November 1999 kündigte der Beklagte das Arbeitsverhältnis auf den 29. Februar 2000. Am 23. Dezember 1999 unterzeichnete er bei der Y._ AG einen Anstellungsvertrag mit Stellenantritt per 1. März 2000. Die Y._ AG vertreibt hauptsächlich Infrarot-Wärmekabinen, Tepidarien und Dampfbäder. Sie übertrug dem Beklagten die Verantwortung für die Planung und Durchführung von Messen, Verkauf, Beratung und Lieferungen von Infrarot-Wärmekabinen, die telefonische Nacherfassung von potentiellen Kunden sowie die einfache Korrespondenz und Fakturierung.
In Ziffer 8 dieses Anstellungsvertrages wurde unter dem Titel "Bestehendes Konkurrenzverbot" Folgendes festgehalten:
"Aufgrund des Konkurrenzverbotes des Arbeitnehmers
durch die Firma X._ AG, betreffend
Dampfbadanlagen, wird nachfolgende Regelung
getroffen:
- Sämtliche Aktivitäten bezüglich Dampfbadanlagen
werden durch den Geschäftsführer, Herrn
B._, abgewickelt.
- Diese Regelung erlischt am 1. März 2002, oder nach
Freigabe des Konkurrenzverbotes durch die Firma
X._ AG."
B.- Am 11. April 2000 gelangte die Klägerin gegen den Beklagten an das Arbeitsgericht Zürich. Sie verlangte eine Feststellung, dass der Beklagte durch seine derzeitige Tätigkeit das Konkurrenzverbot verletze. Weiter sei der Beklagte im Sinne einer Teilklage zur Bezahlung eines vorläufigen Schadenersatzes von Fr. 6'000.-- zu verpflichten. Das Arbeitsgericht Zürich hiess mit Urteil vom 31. Juli 2000 das Feststellungsbegehren gut, wies jedoch das Schadenersatzbegehren ab. Auf Appellation des Beklagten und Anschlussappellation der Klägerin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich diesen Entscheid am 16. August 2001.
C.- Dagegen gelangte der Beklagte mit Berufung an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die vollständige Abweisung der Klage. Die Klägerin schliesst auf Abweisung des Rechtsmittels und Bestätigung des obergerichtlichen Urteils.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Die Vorinstanz erkannte, der Beklagte habe mit seiner Tätigkeit für den neuen Arbeitgeber im Bereich der Infrarot-Wärmekabinen das Konkurrenzverbot betreffend Tätigkeit auf dem "Gebiet Sauna" verletzt. Infrarot-Wärmekabinen seien Gegenstand des Verbots, obwohl diese im Wortlaut der Konkurrenzklausel nicht ausdrücklich genannt seien.
Demgegenüber vertritt der Beklagte die Meinung, die Konkurrenzklausel sei sowohl nach ihrem Wortlaut wie auch nach Treu und Glauben dahingehend zu verstehen, dass die Parteien den Handel mit Infrarot-Wärmekabinen nicht hätten erfassen wollen.
b) Ziel der Vertragsauslegung ist es, in erster Linie den übereinstimmenden wirklichen Willen der Parteien festzustellen (vgl. Art. 18 Abs. 1 OR). Nur wenn eine tatsächliche Willensübereinstimmung unbewiesen bleibt, sind zur Ermittlung des mutmasslichen Parteiwillens die Erklärungen der Parteien aufgrund des Vertrauensprinzips so auszulegen, wie sie nach ihrem Wortlaut und Zusammenhang sowie den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten. Während das Bundesgericht die objektivierte Vertragsauslegung als Rechtsfrage prüfen kann, beruht die subjektive Vertragsauslegung auf Beweiswürdigung, die vorbehaltlich der Ausnahmen von Art. 63 Abs. 2 und Art. 64 OG der bundesgerichtlichen Überprüfung im Berufungsverfahren entzogen ist (<ref-ruling> E. 2a, 375 E. 2e/aa S. 379 f.; <ref-ruling> E. 4b/aa S. 123, je mit Hinweisen). Der Vorrang der empirischen oder subjektiven vor der normativen oder objektivierten Vertragsauslegung, ergibt sich aus Art. 18 OR als Auslegungsregel.
Die Verletzung dieses Grundsatzes kann deshalb mit Berufung gerügt werden (BGE <ref-ruling> E. 4b/aa S. 123; vgl. auch <ref-ruling> E. 2b S. 40, je mit Hinweisen).
Das Obergericht stellte keinen übereinstimmenden tatsächlichen Willen der Parteien fest. Vielmehr legte es die Konkurrenzklausel nach dem Vertrauensprinzip aus. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, die Vorinstanz habe damit den Grundsatz des Vorranges der subjektiven vor der objektiven Vertragsauslegung verletzt.
c) Das Vertrauensprinzip (vgl. die vorstehende Erwägung 1b) bedeutet, dass sich ein Konkurrenzverbot nicht nur auf jene Sachbereiche beziehen kann, welche darin ausdrücklich erwähnt sind, sondern auch auf solche, die von den Parteien nach Treu und Glauben als davon erfasst betrachtet werden durften und mussten. Es beschlägt damit auch Produkte, welche die Parteien im Zeitpunkt des Vertragsabschlusses gar nicht kannten, die aber die gleichen oder ähnliche Bedürfnisse befriedigen und damit das im Konkurrenzverbot genannte Produkt auf dem Markt substituieren (<ref-ruling> E. 1d S. 25 f.; Staehelin, Zürcher Kommentar, N 20 zu Art. 340 OR; Rehbinder, Berner Kommentar, N 2 zu Art. 340 OR; Streiff/von Känel, Arbeitsvertrag, 5. A., Zürich 1992, N 7 und 13 zu Art. 340).
Daran ändert auch der Umstand nichts, dass das Konkurrenzverbot zu seiner Gültigkeit der schriftlichen Form bedarf. Die in Art. 18 Abs. 1 OR verankerte Auslegung nach dem Willensprinzip gilt uneingeschränkt ebenfalls für formbedürftige Verträge. Auch bei ihnen ist der Wille der Parteien ohne Begrenzung durch den Vertragswortlaut zu erforschen und erst danach die Frage zu stellen, ob das Rechtsgeschäft den gesetzlichen Formvorschriften entspricht (Kramer, Berner Kommentar, N 59 zu Art. 18 OR; Jäggi/Gauch, Zürcher Kommentar, N 477 zu Art. 18 OR). Die Form bestimmt nicht die Auslegung, sondern die Gültigkeit des Rechtsgeschäfts.
Eine Ungültigkeit ist erst dann gegeben, wenn der Geschäftswille nicht formgenüglich verurkundet ist und nicht bereits dann, wenn das subjektive Vertragsverständnis der Parteien nicht mit dem objektiven Wortsinn ihrer Erklärungen übereinstimmt (BGE <ref-ruling> E. 4b/bb).
Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (Art. 63 Abs. 2 OG) bietet die neue Arbeitgeberin des Beklagten mit den Infrarot-Wärmekabinen eine gleichartige Leistung an, welche die gleichen oder ähnliche Bedürfnisse befriedigt wie Saunen. Auch richtet sie sich damit an das gleiche Zielpublikum, wie die alte Arbeitgeberin mit dem Vertrieb von Saunen. Die Vorinstanz ging somit richtigerweise davon aus, dass der Beklagte mit seiner Tätigkeit bezüglich Infrarot-Wärmekabinen bei seiner neuen Arbeitgeberin die Klägerin konkurrenziert. Angesichts dieses Umstands schloss sie zutreffend, die Tätigkeit sei nach Treu und Glauben als vom Konkurrenzverbot erfasst zu betrachten.
Sie stellte zu Recht nicht nur auf den Wortlaut der Vertragsklausel ab.
Was der Beklagte gegen dieses Vertragsverständnis vorbringt, insbesondere über die Bedeutung des im Vertragswortlaut verwendeten Begriffs "Sauna", ist nicht stichhaltig.
Die vorinstanzliche Feststellung, der Beklagte habe mit seiner Tätigkeit im Bereich Infrarot-Wärmekabinen gegen das Konkurrenzverbot verstossen, ist nicht zu beanstanden. Die Berufung erweist sich insoweit als unbegründet.
2.- a) Die Tätigkeit der neuen Arbeitgeberin im Bereich der Dampfbäder wird vom Konkurrenzverbot unbestrittenermassen erfasst. Die Vorinstanz erachtete das Konkurrenzverbot durch die Tätigkeit des Beklagten für die neue Arbeitgeberin als verletzt: Es handle es sich bei ihr um ein kleineres Unternehmen; bei solchen Verhältnissen sei nicht gewährleistet, dass der Beklagte nicht doch im Bereich der Dampfbadanlagen konkurrenzierend tätig werde, ohne dass dies nach aussen in Erscheinung treten müsse.
Der Beklagte macht geltend, er kümmere sich bei seiner neuen Arbeitgeberin nicht um den Bereich Dampfbad.
Eine Tätigkeit seinerseits in diesem Bereich sei in seinem Arbeitsvertrag mit der neuen Arbeitgeberin bis zum Ablauf des Konkurrenzverbots ausdrücklich ausgeschlossen. Mit Dampfbädern habe ausschliesslich der Geschäftsführer zu tun.
Wenn dieser verhindert sei, werde seine Vertretung durch eine Drittfirma gewährleistet.
b) Der Beklagte verkennt mit diesen Vorbringen die mögliche Tragweite eines Konkurrenzverbots. Es ist zwischen allgemeinen oder unternehmensbezogenen Konkurrenzverboten einerseits und partiellen oder tätigkeitsbezogenen andererseits zu unterscheiden (Rehbinder, a.a.O., N 2 zu Art. 340 OR S. 214). Beim partiellen, tätigkeitsbezogenen Konkurrenzverbot ist es dem Arbeitnehmer nur verboten, selber in seinem bisherigen Arbeitsgebiet im neuen Unternehmen tätig zu sein. Das allgemeine, unternehmensbezogene Konkurrenzverbot verbietet demgegenüber jede Tätigkeit in einem Konkurrenzunternehmen.
Hier wird nur auf das Unternehmen als Ganzes geblickt.
Allerdings kann das Konkurrenzverbot auch hier nur Bestand haben, wenn der Arbeitnehmer bei seinem früheren Arbeitgeber erworbene Kenntnisse über den Kundenkreis oder über Fabrikations- und Geschäftsgeheimnisse verwenden und diesen dadurch erheblich schädigen könnte (Art. 340 Abs. 2 OR).
c) Ob ein allgemeines, unternehmensbezogenes oder ein partielles, tätigkeitsbezogenes Konkurrenzverbot vorliegt, ist eine Frage der Vertragsauslegung. Der Wortlaut der vorliegenden Konkurrenzverbotsklausel lässt insofern kaum einen Zweifel zu. Sie verbietet es dem Beklagten, auf den genannten Sachgebieten "direkt oder indirekt" tätig zu werden. Unter einer indirekten Tätigkeit auf einem Gebiet ist ohne weiteres auch die Mitarbeit in einem entsprechenden Betrieb zu verstehen, ungeachtet ob der Arbeitnehmer selber auf dem im Konkurrenzverbot genannten Gebiet aktiv wird. Es ist demnach nicht von Bedeutung, ob der Beklagte mit dem Verkauf von Dampfbädern direkt etwas zu tun hat. Seine Ausführungen über seine Aufgaben im neuen Betrieb sind insofern für den Ausgang des vorliegenden Verfahrens ohne Belang.
d) Die Arbeitsorganisation im Betrieb der neuen Arbeitgeberin spielt demgegenüber eine Rolle, soweit es um die Frage geht, ob die Verwendung der an der früheren Stelle erworbenen Kenntnisse des Beklagten den Kläger erheblich schädigen könnte (Art. 340 Abs. 2 OR). Dass eine solche Schädigungsmöglichkeit besteht, liegt hier auf der Hand, hatte der Beklagte nach den Feststellungen im kantonalen Verfahren doch bezüglich der von der Klägerin vertriebenen Produkte Einblick in Geschäfts- und Fabrikationsgeheimnisse sowie den Kundenkreis. Er verfügt damit über Informationen, die von der neuen Arbeitgeberin konkurrenzierend ausgenutzt werden könnten. An der Möglichkeit einer Schädigung ändert es nichts, wenn sich ausschliesslich der Geschäftsführer und nicht der Beklagte um die Dampfbäder kümmert. Diese organisatorische Massnahme reicht in keiner Weise aus, um zu verhindern, dass Informationen vom Beklagten zum Geschäftsführer fliessen und von diesem verwendet werden können.
Das Obergericht hat somit richtigerweise geschlossen, dass die Tätigkeit des Beklagten bei der neuen Arbeitgeberin gegen das vertragliche Konkurrenzverbot verstosse.
3.- Die Berufung ist abzuweisen und das angefochtene Urteil zu bestätigen. Das Verfahren ist unentgeltlich (Art. 343 Abs. 3 OR). Der Beklagte hat indessen die Klägerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird abgewiesen, und der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich (I. Zivilkammer) vom 16. August 2001 wird bestätigt.
2.- Es wird keine Gerichtsgebühr erhoben.
3.- Der Beklagte hat die Klägerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich (I. Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 12. Februar 2002
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: