Sachverhalt:
A.
Die 1957 geborene A._ war bis September 2004 als Ressortleiterin Administration/Sponsoring bei der Stiftung B._ angestellt. Danach war sie arbeitslos. Zwischendurch war sie im Zwischenverdienst in einem Schwimmbad und als Skilehrerin tätig. Am 11. Dezember 2005 verunfallte A._ beim Skifahren. Sie erlitt dabei ein Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) und eine Commotio cerebri. Die Zürich Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Zürich) gewährte aus der obligatorischen Unfallversicherung (UV) Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Im Januar 2007 meldete sich A._ unter Hinweis auf persistierende Beschwerden bei der Invalidenversicherung (IV) zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Obwalden traf Sachverhaltsabklärungen und zog die Akten der Zürich bei. Mit Verfügung vom 9. April 2009 verneinte sie einen IV-Leistungsanspruch. Das Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden hob diese Verfügung mit Entscheid vom 21. Dezember 2010 auf und wies die Sache zu weiteren Abklärungen und zur neuen Verfügung an die Verwaltung zurück. Nach entsprechender Beweisergänzung verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 7. Mai 2012 mangels eines genügenden Invaliditätsgrades erneut einen Anspruch auf eine IV-Rente. Die Versicherte könne sich melden, falls sie Arbeitsvermittlung wünsche.
Zwischenzeitlich hatte die Zürich mit Verfügung vom 17. März 2008 und Einspracheentscheid vom 9. März 2012 ihre Leistungen per 30. November 2007 eingestellt, da die darüber hinaus geklagten Beschwerden nicht unfallkausal seien.
B.
Beschwerdeweise beantragte A._, die Verfügung der IV-Stelle vom 7. Mai 2012 sei aufzuheben und es seien die gesetzlichen IV-Leistungen, insbesondere eine Rente, eventuell berufliche Massnahmen, zuzusprechen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden gewährte ihr die unentgeltliche Rechtspflege und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 12. März 2014 ab.
Mit einem weiteren Entscheid vom gleichen Tag wies das Verwaltungsgericht auch die von A._ gegen den Einspracheentscheid des Unfallversicherers vom 9. März 2012 erhobene Beschwerde ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Aufhebung des kantonalen Entscheids beantragen und ihr vorinstanzliches Begehren betreffend IV-Leistungen erneuern. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht ersucht.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das kantonale Gericht schliesst mit dem gleichen Antrag. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D.
A._ lässt auch gegen den vorinstanzlichen Entscheid betreffend UV Beschwerde erheben. Über diese entscheidet das Bundesgericht mit heutigem Urteil im Verfahren 8C_325/2014.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die Versicherte leide nach dem Unfall vom 11. Dezember 2005 an schleudertraumatypischen Beschwerden wie Kopf-, Nacken-, Schulter- und Rückenschmerzen, Sehstörungen, Schwindel- und Gleichgewichtsproblemen, Tinnitus, Gedächtnis- und Konzentrationsstörungen sowie verminderter psychischer Belastbarkeit. Organische Ursachen für diese Beeinträchtigungen hätten nicht objektiviert werden können. Andere körperliche oder psychische Beschwerden mit Krankheitswert bestünden nicht. Ob die Beeinträchtigungen invalidisierend wirkten, beurteile sich sinngemäss nach der Rechtsprechung zu den anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen. Die entsprechenden Kriterien seien nicht in genügender Weise erfüllt, um auf einen invalidisierenden Gesundheitsschaden schliessen zu können. Mangels Invalidität bestehe daher kein Anspruch auf eine Rente oder auf die eventualiter beantragten beruflichen Massnahmen, insbesondere Umschulung.
2.2. Die Beschwerdeführerin wendet ein, die Vorinstanz habe in offensichtlich unrichtiger Tatsachenfeststellung organische Gesundheitsschäden verneint. Als solche seien eine beidseitige Otolithenfunktionsstörung sowie Sehstörungen ausgewiesen. Die Rechtsprechung zu den anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen finde daher keine Anwendung. Die hier gestellten Diagnosen zählten zudem nicht zum bisherigen Kanon der wie somatoforme Schmerzstörungen beurteilten Gesundheitsschäden. Eventualiter wird geltend gemacht, selbst wenn die entsprechende Rechtsprechung angewendet würde, wären die massgeblichen Kriterien hinreichend erfüllt, um die bestehenden Gesundheitsstörungen als unüberwindbar und damit als invalidisierend zu beurteilen.
2.3. Im Streit steht demnach einzig die Frage, ob die geklagten Störungen einen invalidisierenden Gesundheitsschaden darstellen.
3.
3.1. Nach dem Gesetz gilt bei erwerbstätigen Versicherten im Wesentlichen Folgendes: Der Anspruch auf eine Invalidenrente setzt Arbeitsunfähigkeit (<ref-law>) und Invalidität (<ref-law>) voraus (<ref-law>). Arbeitsunfähigkeit ist die durch eine Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit bedingte volle oder teilweise Unfähigkeit, zumutbare Arbeit zu leisten (<ref-law>). Invalidität ist die voraussichtlich bleibende oder längere Zeit dauernde ganze oder teilweise Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>). Erwerbsunfähigkeit ist der durch Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit verursachte und nach zumutbarer Behandlung und Eingliederung verbleibende ganze oder teilweise Verlust der Erwerbsmöglichkeiten auf dem in Betracht kommenden ausgeglichenen Arbeitsmarkt. Für die Beurteilung des Vorliegens einer Erwerbsunfähigkeit sind ausschliesslich Folgen der gesundheitlichen Beeinträchtigung zu berücksichtigen. Eine Erwerbsunfähigkeit liegt zudem nur vor, wenn sie aus objektiver Sicht nicht überwindbar ist (<ref-law>).
Der Anspruch auf eine Invalidenrente setzt mithin eine Beeinträchtigung der Gesundheit, einen Gesundheitsschaden voraus. Mit der Diagnose eines Gesundheitsschadens ist aber noch nicht gesagt, dass dieser auch invalidisierenden Charakter hat. Ob dies zutrifft, beurteilt sich gemäss dem klaren Gesetzeswortlaut nach dem Einfluss, den der Gesundheitsschaden auf die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit hat. Entscheidend ist, ob der versicherten Person wegen des geklagten Leidens nicht mehr zumutbar ist, ganz oder teilweise erwerblich zu arbeiten.
3.2. Gemäss der allgemeinen Beweisregel (<ref-law>), welche auch im Sozialversicherungsrecht gilt, trägt die versicherte Person die Beweislast für das Bestehen eines Gesundheitsschadens und für die Tatsachen, welche diesen als invalidisierend erscheinen lassen. Denn sie leitet daraus Rechte, den Anspruch auf eine Invalidenrente, ab. Gelingt es der versicherten Person, unter Einbezug der im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes gebotenen Abklärungen des Versicherungsträgers (<ref-law>) resp. - im Beschwerdefall - des Sozialversicherungsgerichts (<ref-law>), nicht, den geklagten Gesundheitsschaden und dessen invalidisierende Auswirkungen nachzuweisen, trägt sie daher die Folgen der Beweislosigkeit und sie verfügt über keinen Leistungsanspruch. Mit anderen Worten wird bei Beweislosigkeit vermutet, dass sich der geklagte Gesundheitsschaden nicht invalidisierend auswirkt. Vermutet wird Validität, nicht Invalidität (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 297 f.; <ref-ruling> E. 8.1 S. 564; <ref-ruling> E. 6 S. 222 f. mit Hinweisen; SVR 2014 UV Nr. 23 S. 73, 8C_494/2013 E. 5.4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.3. Auszugehen ist davon, dass Erwerbsfähigkeit vermutet wird (E. 3.2 hievor) und ein Gesundheitsschaden, der zu Leistungen der IV berechtigt, eine bestimmte Dauerhaftigkeit aufweisen und die Arbeitsfähigkeit erheblich einschränken muss. Das ist anhand der im Recht liegenden Beweise zu beurteilen. Es ist Sache des Versicherungsträgers, im Beschwerdefall des Gerichts, die Beweismittel auf ihre Aussagekraft und Kohärenz hin zu prüfen, um festzustellen, ob eine solche Arbeitsunfähigkeit vorliegt. Ergibt die Beweiswürdigung, dass eine dauerhafte und erhebliche Arbeitsunfähigkeit nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachgewiesen ist, ist Invalidität zu verneinen und es erübrigt sich eine weitere Prüfung.
4.
4.1. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, es liege auch bezüglich der geklagten Sehbeschwerden keine relevante Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit vor. Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Laut dem Hauptgutachten des Spitals C._ vom 22. Dezember 2010 klagt die Versicherte über Doppelbilder, wenn sie nach unten schaue, verschwommenes Sehen und wechselnde Visusstörungen beim Lesen. Im neuroophtalmologischen Teilgutachten des Spitals C._ vom 13. Dezember 2010 wird sodann eine 40%ige Arbeitsunfähigkeit wegen Sehbeschwerden attestiert. Der Experte schliesst auf eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit in der Tätigkeit als Sportlehrerin, insbesondere wegen des geklagten Schwindels. Bezüglich einer Tätigkeit im Administrativ-Bereich wird die Einschränkung von 40 % hingegen nicht mit Visusstörungen, sondern mit körperlichen und neuropsychologischen Aspekten begründet, zumal beim Arbeiten am Computer das Problem weniger ausgeprägt sei als beim Lesen, da der Bildschirm höher positioniert sei als ein Buch. Im psychiatrischen Gutachten des Dr. med. D._ vom 24. Oktober 2011 beschreibt die Versicherte ihre visuelle Einschränkung so, dass sie zwar fokussieren könne, aber ein "Zittern im Bild habe". Zur Tagesstruktur lässt sich der Expertise D._ entnehmen, dass die Beschwerdeführerin zeitig aufsteht und vermag, den Haushalt - jedenfalls weitgehend - zu besorgen sowie mit dem Hund spazieren zu gehen. Ferner ist sie in der Lage, während der Woche mehrere Nachhilfestunden zu geben. Sie ist kulturell interessiert, liest gerne und hört Musik. Gemäss dem psychiatrischen Experten vermochte die Versicherte die ihr vorgelegten Fragebögen zügig und stringent auszufüllen. Sodann resultierte bei der Testung gemäss Mini-ICF-APP einzig im Durchhaltevermögen und in der Verkehrsfähigkeit eine Einschränkung vom Grad 1, was einer leichten Beeinträchtigung entspricht ( LINDEN/BARON/MUSCHALLA, Mini-ICF-Rating für Aktivitäts- und Partizipationsstörungen bei psychischen Erkrankungen [Ein Kurzinstrument zur Fremdbeurteilung von Aktivitätsstörungen bei psychischen Erkrankungen in Anlehnung an die Internationale Klassifikation der Funktionsfähigkeit, Behinderung und Gesundheit (ICF) der Weltgesundheitsorganisation], 2009, S. 13). In den übrigen 11 Fähigkeitsbereichen ergaben sich keine Beeinträchtigungen.
4.2. Nach dem Gesagten mögen die bestehenden Einschränkungen zwar als unangenehm erscheinen und auch insbesondere bei körperlich betonten Tätigkeiten die Arbeitsfähigkeit einschränken. Indessen attestierte der neuroophtalmologische Gutachter selbst in der angestammten anspruchsvollen Tätigkeit als Leiterin Administration/Marketing lediglich eine 40%ige Arbeitsunfähigkeit, und er begründete dies hauptsächlich mit körperlichen und neurologischen Einschränkungen und nicht mit den Visusstörungen. Ferner ergibt sich aus der Aktenlage ein strukturierter Tagesablauf und das Bild einer vielseitig interessierten Versicherten. So ist es ihr doch trotz den beklagten Beschwerden offensichtlich möglich, nicht nur ihren Hobbies nachzugehen, sondern auch Nachhilfestunden zu erteilen. Dass, wie dies die Vorinstanz ausführlich und schlüssig feststellte, für die geklagten Beschwerden auch kein organisches Korrelat vorliegt, ist als weiteres gewichtiges Indiz für Validität zu werten. Schliesslich ergab auch die Testung gemäss Mini-ICF-APP (vgl. Urteil 8C_398/2014 vom 28. Oktober 2014 E. 4.3.2) nur in zwei Bereichen eine "leichte Beeinträchtigung ohne Negativfolgen", während in den restlichen 11 Fähigkeitsdimensionen keine Beeinträchtigung resultierte. Dies reicht für einen rechtsgenüglichen Nachweis einer erheblichen Arbeitsunfähigkeit nicht aus. Weder die Angaben der Versicherten (welche auf ein recht aktives Leben schliessen lassen) noch die Befunde anlässlich der fachärztlichen Exploration vermögen eine erhebliche Einschränkung darzutun. Mit diesen Erwägungen wird eine gesundheitsbedingte Beeinträchtigung keineswegs in Abrede gestellt. Indessen konnten erhebliche Auswirkungen auf die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit trotz umfangreicher und langwieriger Abklärungen nicht hinreichend erstellt werden. Die diesbezügliche Beweislosigkeit wirkt sich zu Lasten der Versicherten aus (<ref-law>). Insgesamt ist demnach mit der Vorinstanz nicht von einer dauerhaften und erheblichen Arbeitsunfähigkeit auszugehen, weshalb Invalidität ohne weitere Prüfung auszuschliessen ist.
5.
Liegt nach dem Gesagten kein invalidisierender Gesundheitsschaden vor, wurde der Anspruch auf eine Invalidenrente und auf Invalidität voraussetzende berufliche Massnahmen zu Recht verneint. Das führt zur Abweisung der Beschwerde. Die Versicherte kann sich im Sinne der Verwaltungsverfügung vom 7. Mai 2012 für Arbeitsvermittlung bei der IV-Stelle melden.
6.
Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Sebastian Lorentz wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Januar 2015
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz