Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Wegen Beschwerden im linken Ellenbogengelenk suchte A._ (Beschwerdeführer) am 28. Oktober 2004 seinen Hausarzt auf, der sich zu einer konservativen Behandlung entschloss und den Beschwerdeführer zu einem Rheumatologen zur weiteren Untersuchung überwies. Dieser diagnostizierte am 6. Dezember 2004 eine Epicondylitis humeri radialis ("Tennisellenbogen") und befürwortete ebenfalls eine konservative Behandlung. Der Beschwerdeführer drängte indessen auf eine Operation und besuchte am 13. Dezember 2004 die Sprechstunde der Chirurgischen Klinik des Spitals W._. Am 20. Januar 2005 erfolgte die Operation, welche auch nach Auffassung des Beschwerdeführers korrekt verlief. Der operierende Oberarzt ordnete die Fadenentfernung in 14 Tagen und die Ruhigstellung mit einer Mecron-Schiene an. Bereits am 31. Januar 2005 entfernte der Oberarzt die Fäden. Darauf kam es zu Komplikationen. Der Hausarzt stellte noch am gleichen Tag eine Wunddehiszenz (Auseinanderweichen der Ränder der Wunde) fest und vernähte die Wunde mit zwei Stichen, welche er am 10. Februar 2005 wieder entfernte. Wegen weiterer Komplikationen suchte der Beschwerdeführer wiederholt das Spital auf. Schliesslich übernahm der Chefarzt der chirurgischen Klinik das Wundmanagement und entfernte am 4. März 2005 operativ nekrotisches Gewebe. Am 10. März 2005 entliess das Spital den Beschwerdeführer in die ambulante Weiterbehandlung beim Hausarzt. Am 5. April 2005 schloss es die Behandlung ab und überliess den Beschwerdeführer zur weiteren Betreuung dem Hausarzt.
A. Wegen Beschwerden im linken Ellenbogengelenk suchte A._ (Beschwerdeführer) am 28. Oktober 2004 seinen Hausarzt auf, der sich zu einer konservativen Behandlung entschloss und den Beschwerdeführer zu einem Rheumatologen zur weiteren Untersuchung überwies. Dieser diagnostizierte am 6. Dezember 2004 eine Epicondylitis humeri radialis ("Tennisellenbogen") und befürwortete ebenfalls eine konservative Behandlung. Der Beschwerdeführer drängte indessen auf eine Operation und besuchte am 13. Dezember 2004 die Sprechstunde der Chirurgischen Klinik des Spitals W._. Am 20. Januar 2005 erfolgte die Operation, welche auch nach Auffassung des Beschwerdeführers korrekt verlief. Der operierende Oberarzt ordnete die Fadenentfernung in 14 Tagen und die Ruhigstellung mit einer Mecron-Schiene an. Bereits am 31. Januar 2005 entfernte der Oberarzt die Fäden. Darauf kam es zu Komplikationen. Der Hausarzt stellte noch am gleichen Tag eine Wunddehiszenz (Auseinanderweichen der Ränder der Wunde) fest und vernähte die Wunde mit zwei Stichen, welche er am 10. Februar 2005 wieder entfernte. Wegen weiterer Komplikationen suchte der Beschwerdeführer wiederholt das Spital auf. Schliesslich übernahm der Chefarzt der chirurgischen Klinik das Wundmanagement und entfernte am 4. März 2005 operativ nekrotisches Gewebe. Am 10. März 2005 entliess das Spital den Beschwerdeführer in die ambulante Weiterbehandlung beim Hausarzt. Am 5. April 2005 schloss es die Behandlung ab und überliess den Beschwerdeführer zur weiteren Betreuung dem Hausarzt.
B. Während der Beschwerdeführer die ursprüngliche Operation nicht beanstandet, ist er der Auffassung, die Nachbehandlung sei nicht korrekt erfolgt, namentlich seien die Fäden zu früh entfernt worden. Aus diesem Grund meldete er am 24. bzw. am 28. April 2006 beim Spital zur Wahrung der Verjährungsfrist ein Schadenersatz- und Genugtuungsbegehren an. Bis Ende 2005 war das Spital eine selbständige Stiftung des kantonalen öffentlichen Rechts. Deren Rechtsnachfolgerin, die Spital X._ AG (Beschwerdegegnerin), zu der das Spital seit dem 1. Januar 2006 gehört, beschied dem Beschwerdeführer am 11. Mai 2006, die Eingabe ermögliche es ihr nicht, Stellung zu nehmen, und vermöge keine Fristen nach Verantwortlichkeitsgesetz (Gesetz über die Haftung des Staates, der Gemeinden, der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten und Arbeiter, BGS 124.21, nachfolgend VG) auszulösen.
B. Während der Beschwerdeführer die ursprüngliche Operation nicht beanstandet, ist er der Auffassung, die Nachbehandlung sei nicht korrekt erfolgt, namentlich seien die Fäden zu früh entfernt worden. Aus diesem Grund meldete er am 24. bzw. am 28. April 2006 beim Spital zur Wahrung der Verjährungsfrist ein Schadenersatz- und Genugtuungsbegehren an. Bis Ende 2005 war das Spital eine selbständige Stiftung des kantonalen öffentlichen Rechts. Deren Rechtsnachfolgerin, die Spital X._ AG (Beschwerdegegnerin), zu der das Spital seit dem 1. Januar 2006 gehört, beschied dem Beschwerdeführer am 11. Mai 2006, die Eingabe ermögliche es ihr nicht, Stellung zu nehmen, und vermöge keine Fristen nach Verantwortlichkeitsgesetz (Gesetz über die Haftung des Staates, der Gemeinden, der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten und Arbeiter, BGS 124.21, nachfolgend VG) auszulösen.
C. Am 4. August 2006 reichte der Beschwerdeführer ein Vorladungsbegehren beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn ein. Das Gericht entscheidet nach kantonalem Recht gemäss § 48 Abs. 1 lit. a des Gesetzes über die Gerichtsorganisation (GO; BGS 125.12) als einzige Instanz über vermögensrechtliche Ansprüche öffentlichrechtlicher Natur zwischen Privaten einerseits und den Gemeinden andererseits. Die Rechtsbeziehungen der Beschwerdegegnerin unterstehen nach dem kantonalen Spitalgesetz (SpiG; BGS 817.11) dem kantonalen öffentlichen Recht. Am 19. Oktober 2006 begründete der Beschwerdeführer seine Klage und beantragte, das Verfahren vorerst auf die Frage der Widerrechtlichkeit des Verhaltens der Beschwerdegegnerin zu beschränken und eine öffentliche Verhandlung durchzuführen. In der Klageantwort verlangte auch die Beschwerdegegnerin eine Beschränkung des Verfahrens auf die Frage der Widerrechtlichkeit einerseits, andererseits aber auch auf die Frage der Verjährung. Diesem Antrag schloss sich der Beschwerdeführer in der Replik an, in der er seine Forderung erstmals auf Fr. 2'825.70 bezifferte, Mehrforderung vorbehalten. Bei dem Betrag handelt es sich um den Haushaltsschaden für den Zeitraum 20. Januar bis 6. April 2005.
C. Am 4. August 2006 reichte der Beschwerdeführer ein Vorladungsbegehren beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn ein. Das Gericht entscheidet nach kantonalem Recht gemäss § 48 Abs. 1 lit. a des Gesetzes über die Gerichtsorganisation (GO; BGS 125.12) als einzige Instanz über vermögensrechtliche Ansprüche öffentlichrechtlicher Natur zwischen Privaten einerseits und den Gemeinden andererseits. Die Rechtsbeziehungen der Beschwerdegegnerin unterstehen nach dem kantonalen Spitalgesetz (SpiG; BGS 817.11) dem kantonalen öffentlichen Recht. Am 19. Oktober 2006 begründete der Beschwerdeführer seine Klage und beantragte, das Verfahren vorerst auf die Frage der Widerrechtlichkeit des Verhaltens der Beschwerdegegnerin zu beschränken und eine öffentliche Verhandlung durchzuführen. In der Klageantwort verlangte auch die Beschwerdegegnerin eine Beschränkung des Verfahrens auf die Frage der Widerrechtlichkeit einerseits, andererseits aber auch auf die Frage der Verjährung. Diesem Antrag schloss sich der Beschwerdeführer in der Replik an, in der er seine Forderung erstmals auf Fr. 2'825.70 bezifferte, Mehrforderung vorbehalten. Bei dem Betrag handelt es sich um den Haushaltsschaden für den Zeitraum 20. Januar bis 6. April 2005.
D. Während die Beschwerdegegnerin im kantonalen Verfahren geltend machte, die Behandlung im Spital sei am 5. April 2005 abgeschlossen gewesen, so dass die Eingabe vom 28. April 2006, soweit sie überhaupt als Schadenersatzbegehren gelten könne, jedenfalls nach Ablauf der Verwirkungsfrist erfolgt sei, ist der Kläger der Auffassung, das Spital habe die Behandlung nicht am 5. April 2005 abgeschlossen, sondern die abschliessende Behandlung an den Hausarzt delegiert. Zu diesem Zeitpunkt habe der Beschwerdeführer noch keine Kenntnis vom Schaden im Rechtssinne gehabt.
D. Während die Beschwerdegegnerin im kantonalen Verfahren geltend machte, die Behandlung im Spital sei am 5. April 2005 abgeschlossen gewesen, so dass die Eingabe vom 28. April 2006, soweit sie überhaupt als Schadenersatzbegehren gelten könne, jedenfalls nach Ablauf der Verwirkungsfrist erfolgt sei, ist der Kläger der Auffassung, das Spital habe die Behandlung nicht am 5. April 2005 abgeschlossen, sondern die abschliessende Behandlung an den Hausarzt delegiert. Zu diesem Zeitpunkt habe der Beschwerdeführer noch keine Kenntnis vom Schaden im Rechtssinne gehabt.
E. Das Verwaltungsgericht beurteilte die Begehren des Beschwerdeführers gestützt auf das Verantwortlichkeitsgesetz. Gemäss § 11 Abs. 3 VG sind Ersatzbegehren innert eines Jahres seit Kenntnis des Schadens, spätestens aber nach 10 Jahren seit der schädigenden Handlung beim zuständigen Departement, beziehungsweise beim geschäftsleitenden Organ der beklagten öffentlich-rechtlichen Körperschaft einzureichen, ansonsten die Haftung erlischt. Das Verwaltungsgericht erwog, den Begriff Kenntnis des Schadens umschreibe das Verantwortlichkeitsgesetz nicht, so dass nach § 6 VG diesbezüglich die Vorschriften des schweizerschen Obligationenrechts zur Anwendung kämen. In Auslegung von <ref-law> erkannte das Verwaltungsgericht, Existenz, Beschaffenheit und wesentliche Merkmale des Schadens müssten in einem Ausmass bekannt sein, das der geschädigten Person erlaube, den wirklichen Umfang grössenordnungsmässig zu bestimmen. Sei die Behandlung des Personenschadens abgeschlossen, die Frage, ob ein Dauerschaden zurückbleiben werde, aber noch ungewiss, liege noch keine Kenntnis des Schadens vor, da der Geschädigte nicht gezwungen werden solle, Teilklagen einzureichen. Demgegenüber dürfe der Geschädigte aber auch nicht zuwarten, bis er in der Lage sei, den Schaden genauestens zu beziffern. Das Verwaltungsgericht ging davon aus, vom Haushaltsschaden für die eingeklagte Periode habe der Kläger am 6. April 2005 Kenntnis gehabt, auch wenn er ihn frankenmässig noch nicht habe genau beziffern können. Auch habe der Kläger gewusst, gegen wen er den Anspruch geltend machen musste, laste er doch alle Handlungen und Unterlassungen, welche die Komplikationen bei der Heilung verursacht haben sollten, dem Spital an. Daher sei das Schadenersatzbegehren vom 24./28 April 2006 nach Ablauf der einjährigen Verwirkungsfrist und damit verspätet erhoben worden.
E. Das Verwaltungsgericht beurteilte die Begehren des Beschwerdeführers gestützt auf das Verantwortlichkeitsgesetz. Gemäss § 11 Abs. 3 VG sind Ersatzbegehren innert eines Jahres seit Kenntnis des Schadens, spätestens aber nach 10 Jahren seit der schädigenden Handlung beim zuständigen Departement, beziehungsweise beim geschäftsleitenden Organ der beklagten öffentlich-rechtlichen Körperschaft einzureichen, ansonsten die Haftung erlischt. Das Verwaltungsgericht erwog, den Begriff Kenntnis des Schadens umschreibe das Verantwortlichkeitsgesetz nicht, so dass nach § 6 VG diesbezüglich die Vorschriften des schweizerschen Obligationenrechts zur Anwendung kämen. In Auslegung von <ref-law> erkannte das Verwaltungsgericht, Existenz, Beschaffenheit und wesentliche Merkmale des Schadens müssten in einem Ausmass bekannt sein, das der geschädigten Person erlaube, den wirklichen Umfang grössenordnungsmässig zu bestimmen. Sei die Behandlung des Personenschadens abgeschlossen, die Frage, ob ein Dauerschaden zurückbleiben werde, aber noch ungewiss, liege noch keine Kenntnis des Schadens vor, da der Geschädigte nicht gezwungen werden solle, Teilklagen einzureichen. Demgegenüber dürfe der Geschädigte aber auch nicht zuwarten, bis er in der Lage sei, den Schaden genauestens zu beziffern. Das Verwaltungsgericht ging davon aus, vom Haushaltsschaden für die eingeklagte Periode habe der Kläger am 6. April 2005 Kenntnis gehabt, auch wenn er ihn frankenmässig noch nicht habe genau beziffern können. Auch habe der Kläger gewusst, gegen wen er den Anspruch geltend machen musste, laste er doch alle Handlungen und Unterlassungen, welche die Komplikationen bei der Heilung verursacht haben sollten, dem Spital an. Daher sei das Schadenersatzbegehren vom 24./28 April 2006 nach Ablauf der einjährigen Verwirkungsfrist und damit verspätet erhoben worden.
F. Gegen dieses Urteil führt der Beschwerdeführer subsidiäre Verfassungsbeschwerde und beantragt dem Bundesgericht, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Sache zur materiellen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Gesuch um aufschiebenden Wirkung wies das Bundesgericht am 5. Juni 2007 ab. Die Beschwerdegegnerin und das Verwaltungsgericht schliessen auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Da der angefochtene Entscheid nach dem 1. Januar 2007 erging, richtet sich das Verfahren nach dem Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (SR 173.110; <ref-law>).
1.1 Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nach <ref-law> nur gegeben, soweit keine Beschwerde nach den Artikeln 72-89 BGG zulässig ist. Diese Voraussetzung ist erfüllt, da der Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law>, vgl. auch <ref-law>) nicht erreicht wird und der Beschwerdeführer zu Recht nicht behauptet, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung.
1.2 Der Tatsache, dass die Vorinstanz nicht als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (Art. 75 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>), kommt keine Bedeutung zu, da die Übergangsfristen zur Anpassung des kantonalen Verfahrens, welche gestützt auf <ref-law> auch für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gelten, noch nicht abgelaufen sind (<ref-law>).
1.3 Die Beschwerde enthält keinen materiellen Antrag (Art. 107 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Der Rückweisungsantrag erweist sich indessen jedenfalls als genügend, da das Bundesgericht, sollte es die Rechtsauffassung des Beschwerdeführers für begründet erachten, kein Sachurteil fällen könnte, sondern die Streitsache zur weiteren Abklärung des Sachverhaltes an die Vorinstanz zurückweisen müsste (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 139; <ref-ruling> E. 1b S. 414).
1.4 Mit der Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet dabei das Recht nicht von Amtes wegen an, sondern es gilt das Rügeprinzip. Es ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte missachtet wurden oder der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist. Das Gericht untersucht den angefochtenen Entscheid nicht von sich aus umfassend auf seine Verfassungsmässigkeit, sondern beschränkt sich auf die Prüfung der in der Beschwerde rechtsgenüglich vorgebrachten Rügen (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 31 mit Hinweisen).
1.5 Das Bundesgericht legt dabei seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Verletzung der verfassungsmässigen Rechte im Sinne von Artikel 116 BGG beruht (<ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt berichtigt oder ergänzt wissen will, hat er im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sind. Zudem hat er mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen genannt hat (vgl. Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4339). Neue Vorbringen sind nur zulässig, soweit erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>), was wiederum näher darzulegen ist. Dazu genügt es nicht, dass der Beschwerdeführer, wie im zu beurteilenden Fall, pauschal ausführt, der angefochtene Entscheid der Vorinstanz gebe geradezu Anlass, neue Tatsachen und Beweismittel vorzubringen. Er hat vielmehr für die jeweiligen neuen Tatsachen im Einzelnen darzulegen, weshalb für ihn kein Anlass bestand, sie vor der Vorinstanz vorzubringen.
1.6 Auch nach Einführung des Bundesgerichtsgesetzes ist das Bundesgericht keine letzte Appellationsinstanz, die von den Parteien mit vollkommenen Rechtsmitteln angerufen werden könnte (vgl. Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4342). Es geht daher nicht an, in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid zu üben, als ob dem Bundesgericht die freie Prüfung aller Tat- und Rechtsfragen zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen). Auf derartige Vorbringen tritt das Bundesgericht nicht ein.
1.7 Vor diesem Hintergrund erweist sich der Grossteil der Beschwerde als offensichtlich unzulässig, legt doch der Beschwerdeführer dem Bundesgericht einen über die Feststellungen im angefochtenen Entscheid hinausgehenden Sachverhalt vor, ohne hinreichend substanziierte Sachverhaltsrügen zu erheben, und übt appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid. Auch soweit er rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht von ihm beantragte Beweismittel nicht abgenommen, kommt er seiner Begründungspflicht nicht rechtsgenügend nach, wenn er in diesem Zusammenhang pauschal auf die Replik verweist. Er müsste vielmehr im einzelnen darlegen, welche Behauptungen und welche Beweisanträge er an welcher Stelle in der Replik erhoben hat und weshalb sie für das Verfahren erheblich sind. Die diesbezüglichen Angaben genügen den Anforderungen an die Begründung nicht. Dasselbe gilt für die vom Beschwerdeführer erhobenen Willkürrügen. Der Beschwerdeführer beschränkt sich darauf, seine eigene von jener der Vorinstanz abweichende Auffassung darzulegen und den angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Dass allenfalls auch andere Lösungen als die von der Vorinstanz angenommene denkbar wären, genügt indessen nicht, um den angefochtenen Entscheid als willkürlich auszuweisen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211 mit Hinweisen).
1.7 Vor diesem Hintergrund erweist sich der Grossteil der Beschwerde als offensichtlich unzulässig, legt doch der Beschwerdeführer dem Bundesgericht einen über die Feststellungen im angefochtenen Entscheid hinausgehenden Sachverhalt vor, ohne hinreichend substanziierte Sachverhaltsrügen zu erheben, und übt appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid. Auch soweit er rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht von ihm beantragte Beweismittel nicht abgenommen, kommt er seiner Begründungspflicht nicht rechtsgenügend nach, wenn er in diesem Zusammenhang pauschal auf die Replik verweist. Er müsste vielmehr im einzelnen darlegen, welche Behauptungen und welche Beweisanträge er an welcher Stelle in der Replik erhoben hat und weshalb sie für das Verfahren erheblich sind. Die diesbezüglichen Angaben genügen den Anforderungen an die Begründung nicht. Dasselbe gilt für die vom Beschwerdeführer erhobenen Willkürrügen. Der Beschwerdeführer beschränkt sich darauf, seine eigene von jener der Vorinstanz abweichende Auffassung darzulegen und den angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Dass allenfalls auch andere Lösungen als die von der Vorinstanz angenommene denkbar wären, genügt indessen nicht, um den angefochtenen Entscheid als willkürlich auszuweisen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211 mit Hinweisen).
2. Soweit der Beschwerdeführer den Entscheid materiell beanstandet, kommt er seiner Begründungspflicht nicht hinreichend nach. Zu prüfen bleibt einzig die formelle Rüge, die Vorinstanz habe Art. 6 Abs. 1 EMRK verletzt, weil sie keine öffentliche Verhandlung angesetzt habe. Dass der Beschwerdeführer eine öffentliche Verhandlung beantragt hat, ergibt sich aus dem angefochtenen Entscheid, dem nicht zu entnehmen ist, dass dem Antrag statt gegeben worden wäre. Dies behauptet auch die Beschwerdegegnerin nicht. Der Beschwerdeführer erhebt eine entsprechende Rüge und bemängelt zudem, die Vorinstanz begründe nicht, weshalb dem Antrag nicht stattgegeben wurde. Damit bleibt zu prüfen, ob die Vorinstanz insoweit verfassungsmässige Rechte des Beschwerdeführers verletzt hat.
2.1 Nicht zu hören ist der Beschwerdeführer allerdings, soweit er die Notwendigkeit der Durchführung einer Verhandlung damit begründet, dass die Vorinstanz die von ihm beantragte Parteibefragung hätte durchführen und den von ihm beantragten Zeugen anhören müssen. Damit thematisiert er nämlich nicht seinen Anspruch auf ein öffentliches Verfahren, sondern er rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör oder allenfalls eine willkürliche antizipierte Beweiswürdigung (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 428 f. mit Hinweisen). Insoweit kommt er aber, wie dargelegt, seiner Begründungspflicht nicht hinreichend nach.
2.2 Gemäss Art. 6 Abs. 1 EMRK hat jede Person das Recht darauf, dass über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht in einem fairen Verfahren öffentlich und innerhalb angemessener Frist verhandelt wird. Die Konvention selbst sieht in Art. 6 Abs. 1 Ausnahmen vom Öffentlichkeitsgrundsatz vor im Interesse der Sittlichkeit, der öffentlichen Ordnung oder der nationalen Sicherheit oder wenn die Interessen von Jugendlichen, der Schutz des Privatlebens von Prozessparteien oder die Gefahr einer Beeinträchtigung der Rechtspflege es gebieten (Satz 2). Die Öffentlichkeit der Gerichtsverhandlung stellt ein fundamentales Prinzip dar, das nicht nur für den Einzelnen wichtig ist, sondern ebenso als Voraussetzung für das Vertrauen in das Funktionieren der Justiz erscheint. Der Grundsatz der Öffentlichkeit bezieht sich sowohl auf die Parteiöffentlichkeit als auch auf die Publikums- und Presseöffentlichkeit. Er umfasst unter anderem den Anspruch des Einzelnen, seine Argumente dem Gericht mündlich in einer öffentlichen Sitzung vortragen zu können (<ref-ruling> E. 5d S. 35 mit Hinweisen). Dabei hat in erster Linie das erstinstanzliche Verfahren die von Art. 6 Abs. 1 EMRK geforderte Öffentlichkeit der Verhandlung zu gewähren (<ref-ruling> E. 3 S. 54; <ref-ruling> E. 4b/aa S. 380).
2.3 Liegt ein Antrag vor, ist eine öffentliche und mündliche Verhandlung in einem zivilrechtlichen Verfahren im Sinne von Art. 6 Abs. 1 EMRK grundsätzlich anzuordnen. Davon darf nur ausnahmsweise abgesehen werden (<ref-ruling> E. 3b S. 55 f. mit Hinweisen). In Betracht fallen neben den im zweiten Satz von Art. 6 Abs. 1 EMRK ausdrücklich genannten Umständen namentlich Fälle, in denen der Antrag nicht frühzeitig genug gestellt wurde, als schikanös erscheint oder auf eine Verzögerungstaktik schliessen lässt und damit dem Grundsatz der Beurteilung innerhalb angemessener Frist zuwiderläuft oder gar rechtsmissbräuchlich ist. Weiter kann der erstinstanzliche Richter von der beantragten öffentlichen Verhandlung absehen, wenn sich auch ohne eine solche mit hinreichender Zuverlässigkeit erkennen lässt, dass der geltend gemachte Anspruch offensichtlich unbegründet oder die Klage unzulässig ist, oder wenn das Gericht allein schon auf Grund der Akten zum Schluss gelangt, dass dem materiellen Rechtsbegehren der bezüglich der Verhandlung antragstellenden Partei zu entsprechen ist. Ebenso kann von einer Verhandlung abgesehen werden, wenn eine Materie hochtechnischen Charakters zur Diskussion steht, für die das schriftliche Verfahren besser geeignet erscheint. Zu denken ist etwa an rein rechnerische, versicherungsmathematische oder buchhalterische Probleme (<ref-ruling> E. 3b S. 56 ff. mit Hinweisen).
2.4 Die Anwendbarkeit von Art. 6 Abs. 1 EMRK hängt davon ab, ob es sich um zivilrechtliche Ansprüche im Sinne dieser Bestimmung handelt. Über den Charakter des Anspruchs entscheiden die Konventionsorgane autonom und ohne Rücksicht auf die Begriffe des nationalen Rechts (<ref-ruling> E. 2a S. 50 mit Hinweisen). Streitigkeiten betreffend die Haftung des Staates für Behandlungsfehler im öffentlichen Spital gelten als zivilrechtlich im Sinne der EMRK (Haefliger/Schürmann, Die Europäische Menschenrechtskonvention und die Schweiz, 2. Aufl., S. 146 insbesondere Fn. 77; vgl. auch <ref-ruling> E. 5b/bb S. 122 mit Hinweis), und der Beschwerdeführer hat grundsätzlich rechtzeitig eine öffentliche Verhandlung beantragt. Dass er an diesem Antrag nicht festgehalten hätte, ist nicht festgestellt. Damit bleibt zu prüfen, ob Umstände vorliegen, die ausnahmsweise den Verzicht auf eine öffentliche Verhandlung rechtfertigen.
2.5 Das Verwaltungsgericht hat nicht begründet, weshalb es dem Begehren des Beschwerdeführers um Anordnung einer öffentlichen Verhandlung nicht stattgab. Sofern aus dem angefochtenen Entscheid Gründe für einen Verzicht nicht deutlich hervorgehen, ist dieses Vorgehen bereits unter dem Gesichtspunkt des rechtlichen Gehörs problematisch, da die Urteilsbegründung dem Beschwerdeführer ermöglichen muss, das Urteil gegebenenfalls sachgerecht anzufechten (<ref-ruling> E. 3.2 S. 236 mit Hinweisen). Anhaltspunkte dafür, dass der Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung missbräuchlich oder schikanös erhoben worden wäre, finden sich im angefochtenen Urteil nicht, und eine unzulässige Verzögerungstaktik ist nicht ersichtlich. Auch ist nicht augenfällig, weshalb von einer öffentlichen Verhandlung zum vornherein keine Auswirkungen auf den zu fällenden Entscheid erwartet werden könnten (<ref-ruling> E. 3b/dd S. 57).
2.6 Mithin sind keine Umstände ersichtlich, welche das Absehen von einer öffentlichen Verhandlung als gerechtfertigt erscheinen lassen. Der angefochtene Entscheid verletzt, auch mit Blick auf die insoweit fehlende Begründung, die verfassungsmässigen Rechte des Beschwerdeführers. Er ist daher aufzuheben und die Sache zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das angefochtene Urteil wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung.
1. Das angefochtene Urteil wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2007
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: