Sachverhalt:
A. In der gegen X._ laufenden Betreibung für eine Forderung von Fr. 200'000.-- (nebst Zinsen und Kosten) stellte das Betreibungsamt Oberengadin (rechtshilfeweise über das Betreibungsamt Rorbas) am 26. Mai 2008 die Pfändungsankündigung zu, nachdem der Betreibungsgläubiger Z._ am 22. Mai 2008 die Fortsetzung anbegehrt hatte. X._ teilte dem Betreibungsamt Oberengadin am 3. Juni 2008 mit, dass er als geschäftsführendes Mitglied einer GmbH der Konkursbetreibung unterliege, worauf das Betreibungsamt am 4. Juni 2008 die Pfändungsankündigung durch die Konkursandrohung ersetzte. Am 6. Juni 2008 kam das Betreibungsamt auf diese Verfügung zurück und hielt fest, dass die Betreibung gegenüber X._ doch auf dem Wege der Pfändung fortzusetzen sei, weil <ref-law> per 1. Januar 2008 aufgehoben worden sei.
B. Gegen diese Verfügung des Betreibungsamtes erhob X._ Beschwerde, welche das Kantonsgericht von Graubünden, Kantonsgerichtsausschuss, als Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs mit Entscheid vom 18. Juni 2008 abwies.
C. X._ führt mit Eingabe vom 7. Juli 2008 Beschwerde in Zivilsachen. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, den Entscheid des Kantonsgerichtsausschusses aufzuheben und das Betreibungsamt Oberengadin anzuweisen, die Betreibung auf dem Wege des Konkurses fortzusetzen; eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter ersucht er mit Eingabe vom 8. September 2008 um aufschiebende Wirkung.
Mit Präsidialverfügung vom 24. September 2008 wurde der Beschwerde dahingehend aufschiebende Wirkung zuerkannt, dass das Betreibungsamt angewiesen wurde, gepfändete und zu pfändende Beträge nicht an die Gläubiger auszubezahlen.
Vernehmlassungen in der Sache sind nicht eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Beschwerdeentscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden über Verfügungen der Vollstreckungsorgane gemäss <ref-law> - wie betreffend die Fortsetzung der Betreibung - sind Endentscheide im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2 S. 351). Der Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze anfechtbar (<ref-law>). Die fristgerecht erhobene Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig (<ref-law>).
1.2 Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), zu dem laut der Begriffsbestimmung des BGG auch das Verfassungsrecht gehört.
1.3 In der Begründung der Beschwerde ist darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
2. Die Aufsichtsbehörde hat im Wesentlichen erwogen, dass das Betreibungsamt gestützt auf das Fortsetzungsbegehren dem Beschwerdeführer zu Recht die Pfändung angekündigt habe, zumal <ref-law> auf den 1. Januar 2008 aufgehoben worden sei und damit ein geschäftsführendes Mitglied einer GmbH nicht der Konkursbetreibung unterliege.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt zunächst in formeller Hinsicht eine Verletzung seines verfassungsmässigen Anspruchs auf den gesetzlichen Richter (<ref-law>). Er bringt vor, die Beschwerde hätte vom Kantonsgericht, und nicht von dessen Ausschuss (Kantonsgerichtsausschuss) entschieden werden müssen; er verweist hierfür auf Art. 11 der kantonalen Vollziehungsverordnung zum SchKG vom 8. Oktober 1996. Diese Bestimmung lautet wie folgt: "Einzige kantonale Aufsichtsbehörde gemäss Art. 13 und Beschwerdeinstanz gemäss Art. 17 des Bundesgesetzes ist das Kantonsgericht" (Fassung gemäss Art. 2 Ziff. 3 der Verordnung über die Aufhebung und Anpassung grossrätlicher Verordnungen im Zusammenhang mit dem Erlass des Gerichtsorganisationsgesetzes; Amtsblatt des Kantons Graubünden Nr. 11 vom 22. März 2007, S. 1042 ff.). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern mit dieser Bestimmung nicht bloss die vom SchKG geforderte kantonale Aufsichtsbehörde bezeichnet wird, sondern darüber hinaus die Besetzung zum Entscheid in Beschwerdesachen festgelegt wird. Die Organisation der richterlichen Behörden und Zuständigkeit der Gerichte richtet sich nach dem kantonalen Gerichtsorganisationsgesetz vom 31. August 2006 (GOG/GR), wobei - wegen dessen zeitlich gestaffelten In-Kraft-Tretens (1. Januar 2008, 1. Januar 2009) - zum Teil weiterhin die Verordnung über die Organisation und Geschäftsführung des Kantonsgerichts vom 2. Juni 1961 massgebend ist (vgl. Art. 1 i.V.m. Art. 3 der Verordnung über die Aufhebung und Anpassung grossrätlicher Verordnungen im Zusammenhang mit dem Erlass des GOG). Darauf geht der Beschwerdeführer nicht ein. Er legt nicht dar, inwiefern der Kantonsgerichtsausschuss - in Anbetracht dieser zeitlich gestaffelten Aufhebung und Änderung der einschlägigen Bestimmungen über die Organisation und Zuständigkeiten - nicht mehr zur Entscheidung von Beschwerden gemäss <ref-law> zuständig und <ref-law> verletzt sein soll. Auf die insoweit nicht hinreichend begründete Beschwerde kann nicht eingetreten werden.
3.2 Weiter wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz in formeller Hinsicht vor, ihre Pflicht zur Begründung des Beschwerdeentscheides verletzt zu haben. Für das Verfahren vor den kantonalen Aufsichtsbehörden gilt <ref-law>, wonach Beschwerdeentscheide im Sinne von <ref-law> zu begründen sind. Aus der Begründung des angefochtenen Entscheides gehen ohne weiteres die Überlegungen hervor, welche die Aufsichtsbehörde geleitet haben und auf welche sie ihren Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 2b S. 102; <ref-ruling> E. 4.3 S. 540). Die Rüge einer Verletzung der Begründungspflicht ist unbehelflich und die Beschwerde ist insoweit unbegründet.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer stellt zu Recht nicht Frage, dass <ref-law> per 1. Januar 2008 aufgehoben wurde (AS 2007 4791, 4839). Er macht geltend, dass er wegen der Wirkungsdauer des Handelsregistereintrages als geschäftsführendes Mitglied der GmbH der Konkursbetreibung unterliege, zumal die Art der Betreibung bereits am 25. Februar 2005, dem Zeitpunkt der Zustellung des Zahlungsbefehls festgelegt worden sei.
4.2 Die Einwände des Beschwerdeführers gehen fehl. Nach den Sachverhaltsfeststellungen hat der Betreibungsgläubiger das Begehren um Fortsetzung der Betreibung am 22. Mai 2008 gestellt und das Betreibungsamt am 6. Juni 2008 (nach Widerruf der Konkursandrohung) die Fortsetzung der Betreibung auf Pfändung verfügt. Da der Beschwerdeführer nach Aufhebung von <ref-law> am 1. Januar 2008 als geschäftsführendes Mitglied einer GmbH nicht (mehr) der Konkursbetreibung unterliegt, hat das Betreibungsamt zu Recht keine Konkursandrohung erlassen. Aus der vor dem 1. Januar 2008 erfolgten Zustellung des Zahlungsbefehls kann der Beschwerdeführer nichts für sich ableiten. Zum einen muss der Zahlungsbefehl nur im Fall der - hier nicht relevanten - Pfandverwertung und Wechselbetreibung gewisse spezifische Angaben enthalten (vgl. <ref-law>). Zum anderen hat das Bundesgericht mit BGE 5A_284/2008 vom 2. Oktober 2008 (E. 5.4 und 5.5) in übergangsrechtlicher Hinsicht entschieden, dass nach Aufhebung von <ref-law> bzw. nach dem 1. Januar 2008 über ein geschäftsführendes Mitglied einer GmbH kein Konkurs zu eröffnen ist, unabhängig von den vor diesem Zeitpunkt ergangenen Verfahrensschritten (wie Konkursandrohung und Zahlungsbefehl). Schliesslich geht der Hinweis des Beschwerdeführers auf <ref-law> ins Leere. Wenn die S._ GmbH mit Sitz in A._ - wie behauptet - am 25. April 2008 tatsächlich liquidiert wurde, konnte die Nachwirkungsfrist ohnehin nicht zum Tragen kommen, da der Beschwerdeführer bereits im Zeitpunkt des möglichen Fristbeginns (vgl. BGE 78 III 89 E. 1 S. 90) nicht mehr der Konkursbetreibung unterlag. Nach dem Dargelegten ist nicht zu beanstanden, wenn die Aufsichtsbehörde zum Ergebnis gelangt ist, dass das Betreibungsamt die Fortsetzung der Betreibung auf Pfändung verfügen durfte.
5. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde in Zivilsachen abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung an den Beschwerdegegner für seine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung entfällt, da er mit seinem Antrag auf Abweisung unterlegen ist (vgl. <ref-law>). Eine weitere Parteientschädigung ist nicht zu sprechen, da in der Sache keine Vernehmlassung eingeholt worden ist und dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren keine zusätzlichen Kosten entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, Kantonsgerichtsausschuss, als Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Levante