Sachverhalt:
A.
A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) und B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) schlossen am 31. Juli 2002 einen "Vertrag für die Übertragung des Notariatsbüros A._" zu einem Kaufpreis von Fr. 232'500.-- ab.
Die Übertragung umfasste unter anderem den "gesamten Kundenstamm" und sollte spätestens bis zum 31. Dezember 2003 vollzogen werden. Daneben enthält der Vertrag eine Regelung der Übergangszeit mit zwei Phasen (1. August bis 31. Dezember 2002 und 1. Januar 2003 bis 1. Januar 2004). Nach Ablauf der Übergangszeit war A._ berechtigt, "soweit es ihm die Gesundheit zulässt", im Notariatsbüro weiterzuarbeiten.
In der Folge kam es zu Meinungsverschiedenheiten hinsichtlich der Übergangsphase zwischen 1. Januar 2003 und 1. Januar 2004 sowie der Folgezeit.
Der abgeschlossene Vertrag enthält eine Schiedsklausel.
B.
Mit Schiedsklage vom 30. Mai 2008 verlangte die Klägerin, es sei dem Beklagten zu verbieten, weiterhin notariell tätig zu sein, ausgenommen Willensvollstreckungen, und der Beklagte sei zur Zahlung von Fr. 315'237.-- zuzüglich Zins zu 5 % ab 1. Januar 2006 zu verpflichten. Im Verfahrensverlauf wurde die Schadenersatzklage auf Fr. 600'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % ab 1. Juli 2006 erhöht.
Nachdem das Bundesgericht mit Urteil vom 22. Juni 2010 (Verfahren 4A_162/2010) dem vom Beklagten gegen den damaligen Schiedsrichter erhobenen Ausstandsbegehren stattgegeben hatte, bestellte das Obergericht des Kantons Aargau mit Verfügung vom 15. Februar 2011 einen neuen Einzelschiedsrichter.
Mit Schiedsentscheid vom 16. Januar 2014 wies der Einzelschiedsrichter den Klageantrag auf Verhängung eines Tätigkeitsverbots gegen den Beklagten ab (Dispositiv-Ziffer 1). Hingegen verpflichtete er den Beklagten, der Klägerin "per Saldo aller Ansprüche und unter Einschluss sämtlicher Verzugszinsen" den Betrag von Fr. 397'219.-- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 2). Die Kosten des Schiedsgerichts in Höhe von insgesamt Fr. 102'013.-- auferlegte er zu einem Drittel (Fr. 34'004.--) dem Beklagten und zu zwei Dritteln (Fr. 68'009.--) der Klägerin (Dispositiv-Ziffer 3). Ausserdem verpflichtete er den Beklagten (nach erfolgter Berichtigung vom 5. Februar 2014), der Klägerin einen Drittel der auf Fr. 107'685.-- festgesetzten Parteikosten (d.h. Fr. 35'895.--) zu ersetzen (Dispositiv-Ziffer 4).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beklagte dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid vom 16. Januar 2014 in Dispositiv-Ziffer 2 im Umfang der zugesprochenen Verzugszinsen von Fr. 134'400.-- aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Schiedsgericht zurückzuweisen. Zudem seien die in Dispositiv-Ziffer 3 festgesetzten Kosten in Höhe von Fr. 102'013.-- angemessen zu reduzieren; eventualiter sei die Sache zur Neufestsetzung der Kosten an das Schiedsgericht zurückzuweisen. Ausserdem seien Dispositiv-Ziffern 3 und 4 des angefochtenen Schiedsentscheids aufzuheben und in Bezug auf die Verlegung der Verfahrenskosten an das Schiedsgericht zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin und der Einzelschiedsrichter beantragen die Abweisung der Beschwerde.
Mit Eingabe vom 16. Juli 2014 äusserte sich der Beschwerdeführer unaufgefordert zu einer vom Einzelschiedsrichter eingereichten Übersicht der von ihm für das Schiedsverfahren aufgewendeten Stunden.
D.
Mit Verfügung vom 7. April 2014 wies das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Schiedsspruch über eine Streitigkeit zwischen zwei Parteien, die im Zeitpunkt des Abschlusses der Schiedsvereinbarung beide ihren Wohnsitz in der Schweiz hatten. Weder in der Schiedsvereinbarung noch später haben die Parteien vereinbart, dass die Bestimmungen über die internationale Schiedsgerichtsbarkeit (<ref-law>) Anwendung finden sollen (vgl. <ref-law> [SR 272]). Es gelten somit die Regeln über die interne Schiedsgerichtsbarkeit gemäss dem 3. Teil der Schweizerischen Zivilprozessordnung (<ref-law>). Das Schiedsverfahren war bei Inkrafttreten der Schweizerischen Zivilprozessordnung bereits rechtshängig; das Schiedsgericht hat aber gestützt auf <ref-law> die neuen Verfahrensbestimmungen angewendet, was von den Parteien nicht beanstandet wird. Für die Beschwerde gegen den angefochtenen Schiedsentscheid gilt nach <ref-law> ohnehin die neue Rechtsmittelordnung.
Die Parteien haben von der ihnen durch <ref-law> eingeräumten Möglichkeit, als Rechtsmittelinstanz ein kantonales Gericht zu bezeichnen, nicht Gebrauch gemacht. Der ergangene Schiedsspruch unterliegt somit der Beschwerde an das Bundesgericht (<ref-law> und <ref-law>).
1.2. Die Beschwerdegründe gegen einen Schiedsspruch sind beschränkter als gegen ein staatliches Urteil; sie sind im Gesetz abschliessend aufgezählt (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft zudem nur die Beschwerdegründe, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden (<ref-law>). Diese Anforderung entspricht der nach <ref-law> für die Verletzung von Grundrechten vorgesehenen Rügepflicht (<ref-ruling> E. 5). Der Beschwerdeführer muss die einzelnen Beschwerdegründe, die nach seinem Dafürhalten erfüllt sind, benennen; es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, danach zu forschen, welcher Beschwerdegrund nach <ref-law> mit den einzelnen erhobenen Rügen geltend gemacht werden soll, wenn dies vom Beschwerdeführer im Zusammenhang mit diesen nicht präzisiert wird. Sodann hat der Beschwerdeführer im Detail aufzuzeigen, warum die angerufenen Beschwerdegründe erfüllt sind, wobei er mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen des Schiedsgerichts anzusetzen hat (Urteile 4A_398/2013 vom 10. Januar 2014 E. 1.2; 4A_424/2011 vom 2. November 2011 E. 1.3).
1.3. Die Beschwerde nach <ref-law> ist grundsätzlich kassatorischer Natur, weshalb bei einer Gutheissung derselben einzig die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an das Schiedsgericht in Betracht kommt; im Allgemeinen kann das Bundesgericht in der Sache nicht selbst entscheiden (Art. 77 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Eine Ausnahme ist im Gesetz für den Fall vorgesehen, dass der Schiedsentscheid wegen offensichtlich zu hoher Entschädigungen und Auslagen angefochten wird (<ref-law>). Hier ist vom Beschwerdeführer in Beachtung der allgemeinen Vorschriften für Beschwerden an das Bundesgericht ein materielles Rechtsbegehren zu stellen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 135; <ref-ruling> E. 3.1); er hat die von ihm als angemessen erachteten Entschädigungen und Auslagen zu beziffern (<ref-ruling> E. 2).
Mit dem blossen Antrag, es seien die im angefochtenen Entscheid festgesetzten Kosten des Schiedsgerichts angemessen zu reduzieren, kommt der Beschwerdeführer seiner Pflicht zur Bezifferung des von ihm als angemessen erachteten Betrags nicht nach und eine Bezifferung lässt sich auch aus der Beschwerdebegründung nicht entnehmen. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, das Schiedsgericht habe eines seiner Rechtsbegehren hinsichtlich der Verlegung der Parteikosten im Zusammenhang mit dem Verfahren um Ablehnung des vormaligen Schiedsrichters unbeurteilt gelassen (<ref-law>).
2.1. Gemäss <ref-law> kann gegen einen internen Schiedsspruch eingewendet werden, das Schiedsgericht habe über Streitpunkte entschieden, die ihm nicht unterbreitet worden seien, oder es habe Rechtsbegehren unbeurteilt gelassen. Bei der im zweiten Halbsatz erwähnten Unterlassung der Beurteilung eines Rechtsbegehrens handelt es sich um einen Fall formeller Rechtsverweigerung. Dieser Rügegrund bezieht sich auf einen Schiedsspruch, der unvollständig ist, weil das Schiedsgericht Rechtsbegehren unbeurteilt gelassen hat, die ihm von den Parteien unterbreitet wurden. Gestützt auf <ref-law> kann jedoch nicht geltend gemacht werden, das Schiedsgericht habe die Streitsache nicht unter allen rechtlichen Aspekten geprüft (vgl. <ref-ruling> E. 4a).
2.2. Das Schiedsgericht hat in Dispositiv-Ziffern 3 und 4 über die Kosten und Entschädigungen entschieden. Es hat die Prozesskosten nicht etwa für einzelne Verfahrensschritte separat festgelegt, sondern hat diese für das gesamte Verfahren festgesetzt und verteilt. Nach den Ausführungen im angefochtenen Entscheid wurden dabei auch die Kosten des damaligen Einzelschiedsrichters, der in der Folge in den Ausstand versetzt wurde, mit einbezogen. Inwiefern die Parteikosten im Zusammenhang mit dem Ablehnungsverfahren und dem Bestellungsverfahren des neuen Schiedsrichters davon ausgenommen sein sollen, leuchtet nicht ein. Vielmehr ergibt sich aus den schiedsgerichtlichen Ausführungen, dass die Entschädigungsregelung sämtliche angefallenen Parteikosten umfasst, worauf neben Erwägung 9.3 des Schiedsentscheids (Verpflichtung des Beschwerdeführers, der Beschwerdegegnerin einen Anteil "ihrer Anwaltskosten" zu ersetzen) insbesondere der Berichtigungsentscheid vom 5. Februar 2014 hinweist, wo in Erwägung 3.2 von den "gesamten Parteikosten" die Rede ist und andererseits festgehalten wird, dass der Beschwerdeführer die eigenen Parteikosten selbst zu tragen habe.
Die Rüge des Beschwerdeführers, das Schiedsgericht habe eines seiner Rechtsbegehren unbeurteilt gelassen, ist unbegründet.
3.
Der Beschwerdeführer wirft dem Schiedsgericht unter Berufung auf <ref-law> vor, es habe die Verzugszinsen willkürlich festgelegt.
3.1. Gegen den Schiedsspruch kann vorgebracht werden, er sei im Ergebnis willkürlich, weil er auf offensichtlich aktenwidrigen tatsächlichen Feststellungen oder auf einer offensichtlichen Verletzung des Rechts oder der Billigkeit beruht (<ref-law>); dieser Beschwerdegrund wurde aus dem früheren Konkordat (Art. 36 lit. f aKSG) übernommen (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Ziff. 5.25.8 zu Art. 391 E-ZPO, BBl 2006 7405).
Mit offensichtlicher Verletzung des Rechts gemäss <ref-law> ist - als weitere Einschränkung - nur eine Verletzung des materiellen Rechts gemeint und nicht eine solche des Verfahrensrechts (<ref-ruling> E. 3.4; <ref-ruling> E. 2b S. 352). Vorbehalten bleiben in Analogie zur Rechtsprechung zu <ref-law> Prozessfehler, die den verfahrensrechtlichen Ordre public verletzen (Urteil 4A_511/2013 vom 27. Februar 2014 E. 2.3.2). Die Umschreibung des Willkürtatbestandes in <ref-law> stimmt, soweit es nicht um Beweiswürdigung geht, mit dem Begriff der Willkür überein, den das Bundesgericht zu <ref-law> entwickelt hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 48).
3.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, es widerspreche jeglicher korrekter Rechtsanwendung und dem Prinzip der Billigkeit, Verzugszinsen zuzusprechen für Beträge, die zwar gemahnt wurden, aber zum Zeitpunkt der Mahnung gar noch nicht geschuldet waren und somit auch nicht fällig sein konnten. Das Schiedsurteil stelle in der Festlegung und Berechnung der Verzugszinsen einzig und allein auf eine Mahnung der Beschwerdegegnerin vom 13. Dezember 2006 über einen Betrag von Fr. 384'000.-- ab, mit welcher der Beschwerdeführer per 31. Dezember 2006 zur Zahlung dieses Betrags aufgefordert worden war. Der Schiedsentscheid erläutere in keiner Weise, inwiefern dieser gemahnte Gesamtbetrag von Fr. 384'000.--, der sogar höher sei als der im Urteil zugesprochene Betrag, eine entstandene und fällige Forderung gegenüber dem Beschwerdeführer darstellen soll. Die Verzugszinsen seien in einer Weise ermittelt worden, die nichts mit den zuerkannten Forderungsbeträgen zu tun habe. Die Berechnung werde auf einen beliebigen gemahnten, aber nie entstandenen bzw. fälligen Betrag gestützt; dies sei willkürlich.
3.3. Das Schiedsgericht erwog unter Hinweis auf <ref-law> und <ref-law>, der Schuldner werde bei Fälligkeit der Verbindlichkeit durch Mahnung des Gläubigers in Verzug gesetzt, wobei Verzugszinsen in der Höhe von 5 % zu entrichten seien. Die Beschwerdegegnerin habe den Beschwerdeführer erstmals mit Schreiben vom 13. Dezember 2006 gemahnt, und zwar für einen Betrag von Fr. 384'000.-- und mit Inverzugsetzung per 31. Dezember 2006. Sie könne somit Verzugszins in der Zeitspanne vom 1. Januar 2007 bis zum Zeitpunkt des Schiedsurteils einfordern; dies mache einen Betrag von Fr. 134'400.-- aus, nämlich 5 % von Fr. 384'000.-- für eine Dauer von rund sieben Jahren.
Mit dem Beschwerdeführer ist davon auszugehen, dass diese Festsetzung der Verzugszinsen in keiner Weise nachvollziehbar ist. Insbesondere ist es offensichtlich unrichtig, die Verzugszinsen auf dem von der Beschwerdegegnerin mit Schreiben vom 13. Dezember 2006 gemahnten Betrag von Fr. 384'000.-- zu berechnen, obwohl ihr nach dem angefochtenen Schiedsentscheid lediglich Gesamtforderungen über Fr. 334'590.-- zustehen. Verzugszinsen nach <ref-law> können nur auf geschuldeten Beträgen anfallen und nicht auf darüber hinausgehenden Beträgen, die der Gläubiger zwar tatsächlich verlangt hat, die ihm jedoch gar nicht zustehen.
Indem der angefochtene Schiedsentscheid der Beschwerdegegnerin Verzugszinsen auf Beträgen zuspricht, die über die zugesprochenen Forderungen hinausgehen, ist er im Ergebnis willkürlich. Dispositiv-Ziffer 2 und der davon abhängige Kostenentscheid nach Dispositiv-Ziffern 3 und 4 des Schiedsentscheids sind bereits aus diesem Grund aufzuheben, weshalb auf die Vorbringen zur Verlegung der Prozesskosten nicht weiter einzugehen ist. Entgegen der in der Beschwerdeantwort geäusserten Ansicht ändert der Umstand, dass das Schiedsgericht den Umfang des eingetretenen Schadens bzw. des erzielten Gewinns in Anwendung von <ref-law> nach Ermessen abschätzte, nichts an diesem Ergebnis, zumal es nicht etwa einen umfassenden Billigkeitsentscheid fällte, sondern die eingeklagten Verzugszinsen vielmehr nach den anwendbaren Rechtsregeln (<ref-law>) beurteilte.
Wie der Beschwerdeführer zudem zutreffend vorbringt, war an dem vom Schiedsgericht für massgebend erachteten Zeitpunkt des Verzugseintritts, d.h. am 1. Januar 2007, nach den Erwägungen im angefochtenen Entscheid ein Grossteil des ermittelten Schadens noch gar nicht eingetreten bzw. der entsprechende Gewinn noch nicht erzielt. So sind vom Gesamtbetrag von Fr. 334'590.-- lediglich Fr. 41'798.-- zwischen dem 1. Januar 2003 und dem 30. Juni 2006 entstanden, während sich dem Schiedsentscheid zufolge der Betrag von Fr. 292'792.-- über den Tätigkeitszeitraum 1. Juli 2006 bis 31. Dezember 2012 erstreckt. Entsprechend konnte die Gesamtforderung von Fr. 334'590.-- am 1. Januar 2007 noch gar nicht fällig sein, womit eine Voraussetzung für Verzugszinsen (Art. 102 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) in diesem Zeitpunkt fehlte (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 596 f.).
Das Schiedsgericht wird über die geltend gemachten Verzugszinsen und die Kosten- und Entschädigungsfolgen erneut zu befinden haben (<ref-law>).
4.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann, Dispositiv-Ziffern 2-4 des (am 5. Februar 2014 berichtigten) Schiedsentscheids vom 16. Januar 2014 sind aufzuheben und die Sache ist zu neuer Beurteilung an das Schiedsgericht zurückzuweisen.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, Dispositiv-Ziffern 2-4 des (am 5. Februar 2014 berichtigten) Schiedsentscheids vom 16. Januar 2014 werden aufgehoben und die Sache wird zu neuer Beurteilung an das Schiedsgericht zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Schiedsgericht mit Sitz in Baden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Leemann