Sachverhalt:
A.
A.a. Die X._, Zürich, (Beklagte, Beschwerdeführerin) ist ein Verein schweizerischen Rechts mit dem Zweck, italienische Arbeitnehmer und ihre Familien in der Schweiz bei der Ausübung ihrer Rechte im Bereich der Sozialversicherung und der Ansprüche aus der Erwerbstätigkeit (auch vor Gericht) zu vertreten. Sie wird von Y._ mit Sitz in J._ gefördert.
A._ (Kläger, Beschwerdegegner) ist italienischer Staatsangehöriger, lebt aber seit längerem in der Schweiz und war hier auch erwerbstätig.
A.b. Aufgrund einer Betriebsschliessung verlor A._ Ende Februar 2002 seine Arbeitsstelle. Nachdem er mit der Arbeitssuche zweieinhalb Jahre lang erfolglos geblieben war, suchte er im September 2004 bei der X._ Unterstützung, deren Dienstleistungen er schon früher in Anspruch genommen hatte. Dem in deren Büro in Zürich tätigen Geschäftsführer, B._, teilte A._ mit, er wolle nach Italien zurückkehren, und er bat um Hilfe beim Bezug seines bei der Bank Z._ Freizügigkeitsstiftung 2. Säule befindlichen Freizügigkeitskapitals. B._ liess sich vom Kläger eine Abmeldebestätigung geben und veranlasste, dass der Kläger und dessen Ehefrau verschiedene Dokumente unterzeichneten. Durch diverse Manipulationen erreichte B._, dass das Kapital ihm persönlich auf ein Konto bei der Bank Z._ AG ausbezahlt wurde.
Da der Kläger dann doch eine neue Tätigkeit in der Schweiz fand, gab er den Plan der Rückwanderung auf und informierte B._ über die neue Situation. B._ beschied ihm, in diesem Fall sei der Kapitalbezug nicht mehr möglich, aber er werde eine Rente erhalten. Tatsächlich erhielt der Kläger ab März 2007 (als er 62-jährig geworden war) monatliche Zahlungen von Fr. 1'833.--. Diese waren nicht von der Beklagten, sondern von B._ veranlasst, und sie enthielten als Zahlungsgrund den Vermerk "Bonifico X._. Inhaber B._, rendita mensile di 2. pilastro ...". Dies entsprach einem auch aus anderen Fällen bekannten Täuschungsmanöver von B._. Ab Mai 2009 blieben die Zahlungen aus. Die Parteien sind sich darin einig, dass B._ das Alterskapital des Klägers zu einem grossen Teil veruntreut hat.
B.
B.a. Am 19. Oktober 2010 klagte A._ beim Bezirksgericht Zürich gegen die X._ auf Zahlung von Fr. 319'252.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 7. März 2009, sowie auf Zahlung einer Genugtuung von Fr. 15'000.--.
Die Beklagte verkündete der Bank Z._ Freizügigkeitsstifung 2. Säule und der Bank Z._ AG den Streit; beide traten dem Verfahren auf der Seite des Klägers als Nebenintervenientinnen bei.
Mit Urteil vom 7. September 2012 hiess das Bezirksgericht Zürich die Klage - mit der Ausnahme, dass die Genugtuung auf Fr. 10'000.-- festgesetzt wurde - gut.
B.b. Mit Urteil vom 26. Februar 2013 wies das Obergericht des Kantons Zürich eine von der Beklagten gegen das bezirksgerichtliche Urteil vom 7. September 2012 erhobene Berufung ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 26. Februar 2013 aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
1.2. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) - auf die Beschwerde einzutreten.
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht des Beschwerdeführers (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden ( <ref-ruling> E. 1.4 S. 400; <ref-ruling> E. 1.1). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Macht der Beschwerdeführer beispielsweise eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; er hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5 S. 5; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
Willkür im Sinne von <ref-law> liegt nach ständiger Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgrundsatz zuwiderläuft. Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5; <ref-ruling> E. 2.2.2. S. 318 f.; je mit Hinweisen).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 sowie <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 400; <ref-ruling> E. 3 S. 749). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 387 f.; je mit Hinweisen).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substantiiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss <ref-law> gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden. Ausserdem hat der Beschwerdeführer mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen genannt hat (Urteile 4A_627/2012 vom 9. April 2013 E. 3.2; 4A_614/2011 vom 20. März 2012 E. 1.2; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f., 393 E. 7.1 S. 398, 462 E. 2.4 S. 466 f.).
1.5. Die Beschwerde lässt über weite Strecken keine Auseinandersetzung mit den konkreten Erwägungen im angefochtenen Entscheid erkennen; vielmehr unterbreitet die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht losgelöst vom Urteil der Vorinstanz ihren Standpunkt, wonach die Klage abzuweisen sei, als ob das Bundesgericht die Klage von Grund auf neu beurteilen könnte. Damit verfehlt sie die erwähnten Begründungsanforderungen an eine hinreichende Beschwerde.
Teilweise weicht die Beschwerdeführerin von den Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid ab oder erweitert diese, ohne eine hinreichende Sachverhaltsrüge zu erheben. Die entsprechenden Ausführungen in der Beschwerde haben daher unbeachtet zu bleiben und es ist - vorbehaltlich der nachfolgend zu beurteilenden Willkürrüge -einzig auf die Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid abzustellen.
Die Beschwerdeführerin verzichtete bereits im vorinstanzlichen Verfahren auf Ausführungen zu den Voraussetzungen der Genugtuung. Auch ihrer Beschwerdeschrift lassen sich keine diesbezüglichen Vor-bringen entnehmen, weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist.
2.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz zunächst eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung vor.
2.1. Sie bringt vor, die Vorinstanz sei zu Unrecht davon ausgegangen, es handle sich beim Beschwerdegegner um einen "einfachen Arbeiter". Sie schliesse implizit aus seiner Herkunft, seiner beruflichen Tätigkeit und im Sinne eines Umkehrschlusses aus dem Leistungsangebot der Beschwerdeführerin auf einen besonders bescheidenen Grad an Geschäftskunde des Beschwerdegegners, ohne dass konkrete, über seine allgemeine berufliche und geschäftliche Stellung hinausgehende Erkenntnisse vorliegen würden. Die dem angefochtenen Urteil zugrunde liegende Annahme einer sehr bescheidenen und unterdurchschnittlichen Geschäftsgewandtheit des Beschwerdegegners sei daher als willkürlich zu qualifizieren; vielmehr sei von einer durchschnittlichen Geschäftsgewandtheit auszugehen.
2.2. Die Vorinstanz erwog, es sei an die Möglichkeit des Beschwerdegegners, einer Unkorrektheit oder gar einem Betrug auf die Spur zu kommen, zu Lasten der Beschwerdeführerin kein strenger Massstab anzulegen. Sie berücksichtigte dabei unter anderem den ihr aus weiteren hängigen Fällen bekannten Umstand, dass die Kundschaft der Beschwerdeführerin weitgehend aus administrativ und geschäftlich unerfahrenen Personen besteht. Im Weiteren stellte sie darauf ab - worauf die Beschwerde nicht eingeht -, dass die Beschwerdeführerin selber keine Kenntnisse administrativer Art, geschweige denn im Finanz- bzw. Versicherungsbereich, behauptet habe, die es dem Beschwerdegegner ermöglicht hätten, die Machenschaften von B._ zu durchschauen, womit die klägerischen Vorbringen im Ergebnis als unbestritten betrachtet wurden. Die Behauptung der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe ihre Annahme ausschliesslich aus der Herkunft und der beruflichen Tätigkeit des Beschwerdegegners sowie dem Leistungsangebot der Beschwerdeführerin abgeleitet, trifft insoweit nicht zu.
Abgesehen davon zeigt die Beschwerdeführerin mit ihrem blossen Hinweis, die Vorinstanz betrachte den Beschwerdegegner als einfachen Arbeiter ohne Geschäftskunde, obwohl sie gleichzeitig festhalte, er sei zuletzt als Chef einer Gruppe von bis zu sieben Arbeitern tätig gewesen, keine Willkür (<ref-law>) auf, sondern stellt den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ihre eigene Sicht der Dinge entgegen und behauptet eine durchschnittliche Geschäftsgewandtheit.
Im Übrigen zeigt die Beschwerdeführerin im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht nicht mit Aktenhinweisen auf, dass sie bereits im vorinstanzlichen Verfahrenentsprechende Behauptungen hinsichtlich der Geschäftsgewandtheit des Beschwerdegegners aufgestellt hätte. Sie vermag die entsprechenden Annahmen der Vorinstanz mit ihren Ausführungen insgesamt nicht als willkürlich auszuweisen.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt weiter, der angefochtene Entscheid gehe zu Unrecht von der Annahme aus, dass sie durch die Verwendung einer Vollmacht, die auch Inkassomassnahmen umfasste, den Anschein erweckt habe, auch die Entgegennahme und Verwaltung von Geldern anzubieten.
3.1. Sie setzt sich dabei nicht mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids der Vorinstanz auseinander, sondern zitiert wörtlich einzelne Sätze des erstinstanzlichen Entscheids und trägt gestützt darauf ihre Rechtsauffassung hinsichtlich ihrer Verantwortlichkeit vor, ohne jedoch eine konkrete Bundesrechtsverletzung aufzuzeigen. Eine willkürliche Sachverhaltsermittlung, wie sie die Beschwerdeführerin behauptet, ist nicht dargetan: Sie zeigt in ihren Ausführungen nicht auf, welche tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sein sollen, sondern unterbreitet dem Bundesgericht losgelöst von den Erwägungen im angefochtenen Entscheid ihre Sicht der Dinge und bestreitet gestützt darauf eine Bindungswirkung des Handelns von B._. Damit verfehlt sie die gesetzlichen Begründungsanforderungen.
3.2. Die Beschwerdeführerin bestätigt in ihrer Beschwerdeeingabe im Übrigen selbst, dass auch im zu beurteilenden Fall ihre Vollmacht verwendet wurde, die ausdrücklich die allgemeine Ermächtigung der Beschwerdeführerin zum Empfang von Geldern aufführte. Angesichts dieser unstreitig von der Beschwerdeführerin ausgehenden Erklärung hat die Vorinstanz ihren Einwand, die Verwahrung von Geld gehöre nicht zu ihrem Tätigkeitsbereich und eine solche Leistung ihrerseits habe vom Beschwerdegegner nicht erwartet werden dürfen, ohne Verletzung von Bundesrecht als nicht stichhaltig erachtet. Der geschäftlich unerfahrene Beschwerdegegner durfte aufgrund dieser Umstände - entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht - nach Treu und Glauben (<ref-law>) davon ausgehen, dass ihm die Beschwerdeführerin, zu deren unbestrittenem Tätigkeitsbereich die Vertretung gegenüber Arbeitgebern und Sozialversicherungen gehört, auch Dienstleistungen im Zusammenhang mit der Verwahrung oder Verwaltung von Pensionskassenguthaben anbot und der als Geschäftsführer handelnde B._ entsprechend vertretungsbefugt war.
Inwiefern die Vorinstanz die massgebenden Grundsätze der Auslegung nach dem Vertrauensprinzip missachtet und damit Bundesrecht verletzt hätte, ist nicht ersichtlich.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihm aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000. -- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, den Nebenintervenientinnen und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Leemann