Sachverhalt:
A.
C._, geboren 1969, ist seit 1995 geschieden und Mutter eines Sohnes (geboren 1992). Nach dem zweijährigen Besuch der Grundschule in der Türkei folgte sie 1986 ihrem türkischen Ehegatten in die Schweiz. Seit 1999 arbeitete sie als Reinigungshilfskraft im Unternehmen A._ und war daher bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (heute: AXA Versicherungen AG; nachfolgend: AXA oder Beschwerdegegnerin) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 27. Juli 2001 rutschte sie bei der Arbeit auf dem nassen Fussboden aus und stürzte auf ihr rechtes Knie. Die AXA übernahm die Heilbehandlung (unter anderem eine Arthroskopie vom 22. August 2001) und richtete ein Taggeld aus. Nach Kenntnisnahme der Expertise der medizinischen Abklärungsstelle B._ vom 23. Dezember 2002, welche die Invalidenversicherung in Auftrag gegeben hatte, stellte die AXA ihre Leistungen im März 2003 ein und hielt sodann am folgenlosen Fallabschluss per 28. Februar 2003 mit Verfügung vom 13. Februar 2008 und Einspracheentscheid vom 18. April 2012 fest.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde der C._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 5. Juni 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt C._ beantragen, die Sache sei unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides und des Einspracheentscheides zwecks weiterer Abklärungen und anschliessender Neuverfügung über den Anspruch auf Integritätsentschädigung und Invalidenrente an die AXA zurückzuweisen. Gleichzeitig ersucht die Versicherte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Während die AXA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und ist weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen).
1.2. Gemäss <ref-law> sind Noven im letztinstanzlichen Verfahren grundsätzlich unzulässig (vgl. zur Geltung dieses Grundsatzes im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung: <ref-ruling> E. 3.4 S. 199 f.). Die Voraussetzungen, unter denen der von der Beschwerdeführerin neu eingereichte Bericht vom 26. April 2013 des Dr. med. X._ ausnahmsweise zulässig wären, sind vorliegend nicht erfüllt, so dass dieser unbeachtet bleiben muss (vgl. Urteil 8C_303/2013 vom 12. Dezember 2013 E. 1.3).
2.
Streitig ist, ob Verwaltung und Vorinstanz zu Recht einen Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung für die nach dem Unfall vom 27. Juli 2001 aufgetretenen und über den per 28. Februar 2003 verfügten folgenlosen Fallabschluss hinaus anhaltend geklagten rechtsseitigen Kniebeschwerden verneint haben.
3.
Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (<ref-law>), zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; <ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) sowie zu der im Weiteren erforderlichen Adäquanz des Kausalzusammenhanges (<ref-ruling> E. 3.2 S. 181 mit Hinweis) zutreffend dargelegt. Korrekt sind auch die vorinstanzlichen Ausführungen zu dem im Sozialversicherungsrecht bei der Beantwortung von Tatfragen üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) sowie zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3 S. 352 mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
4.
4.1. Fest steht, dass im rechten Kniegelenk ein Vorzustand nach zweifacher Knieoperation im Jahre 1988 vorhanden war, die Versicherte jedoch bis zum Unfall vom 27. Juli 2001 vorwiegend als Raumpflegerin und Köchin ohne Einschränkungen von Seiten des rechten Kniegelenks) ein Erwerbspensum von mindestens 75 % zu absolvieren vermochte. Infolge seit dem Unfall anhaltender Schmerzen und rezidivierender Kniegelenksergüsse nahm Dr. med. X._ am 22. August 2001 eine Arthroskopie vor, anlässlich welcher er als "frische Zeichen eines Traumas" im Bereich der Lauffläche des Innencondylus des Oberschenkels "Flake fractures" fand und die betreffende Stelle "durch eine Knorpelplastik im traumatisierten Bereich (abtragen der losen Knorpelflakes und anlegen von Prydiebohrungen, dies zum Zwecke eines Neuwachstums von Knorpel) " zu behandeln versuchte, ohne dass dieser Behandlungsversuch nach späterer Erkenntnis das Auftreten einer Gonarthrose zu verhindern vermochte. Diese Behandlung sowie unter anderem der Rehabilitationsaufenthalt in der Klinik D._ vom 7. bis 28. März 2002 übernahm die AXA unbestritten als unfallbedingte Heilbehandlung. Der die Beschwerdeführerin am 20. Dezember 2002 im Auftrag der AXA fachärztlich untersuchende Dr. med. Z._, Orthopädische Chirurgie FMH, gelangte in seinem Gutachten vom 23. Dezember 2002 zur Auffassung, der "Vorzustand [sei] durch den Unfall massiv verschlimmert" worden und auch der arthroskopische Eingriff vom 22. August 2001 habe die seit dem Unfall bestehenden Beschwerden nicht beseitigt, so dass noch unklar sei, ob der Status quo sine je wieder erreicht werden könne. Er schätzte den "voraussichtlich definitiven unfallkausalen Schaden am rechten Knie" (Integritätseinbusse) auf 20 %.
4.2.
4.2.1. Die Anerkennung der Leistungspflicht durch den Unfallversicherer ist in rechtlicher Hinsicht von Belang. Ist die Unfallkausalität einmal mit der erforderlichen Wahrscheinlichkeit nachgewiesen, entfällt die deswegen anerkannte Leistungspflicht des Unfallversicherers erst, wenn der Unfall nicht die natürliche und adäquate Ursache des Gesundheitsschadens darstellt, wenn also Letzterer nur noch und ausschliesslich auf unfallfremden Ursachen beruht. Dies trifft dann zu, wenn entweder der (krankhafte) Gesundheitszustand, wie er unmittelbar vor dem Unfall bestanden hat (status quo ante) oder aber derjenige Zustand, wie er sich nach dem schicksalsmässigen Verlauf eines krankhaften Vorzustandes auch ohne Unfall früher oder später eingestellt hätte (status quo sine), erreicht ist. Ebenso wie der leistungsbegründende natürliche Kausalzusammenhang muss das Dahinfallen jeder kausalen Bedeutung von unfallbedingten Ursachen eines Gesundheitsschadens mit dem im Sozialversicherungsrecht allgemein üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sein. Die blosse Möglichkeit nunmehr gänzlich fehlender ursächlicher Auswirkungen des Unfalls genügt nicht. Da es sich hierbei um eine anspruchsaufhebende Tatfrage handelt, liegt die entsprechende Beweislast - anders als bei der Frage, ob ein leistungsbegründender natürlicher Kausalzusammenhang gegeben ist - nicht beim Versicherten, sondern beim Unfallversicherer. Diese Beweisgrundsätze gelten sowohl im Grundfall als auch bei Rückfällen und Spätfolgen und sind für sämtliche Leistungsarten massgebend (SVR 2009 UV Nr. 3 S. 9, 8C_354/2007 E. 2.2 mit Hinweisen; Urteile 8C_957/2012 vom 3. April 2013 E. 5.2.1 und 8C_463/2011 vom 4. November 2011 E. 3.2; vgl. auch SVR 2011 UV Nr. 4 S. 12, 8C_901/2009 E. 3.2 mit Hinweisen).
4.2.2. Mit dem Erreichen des Status quo sine vel ante entfällt eine Teilursächlichkeit für die noch bestehenden Beschwerden (SVR 2010 UV Nr. 31 S. 125, 8C_816/2009 E. 4.3 mit Hinweisen). Solange jedoch der Status quo sine vel ante noch nicht wieder erreicht ist, hat der Unfallversicherer gestützt auf <ref-law> in aller Regel neben den Taggeldern auch Pflegeleistungen und Kostenvergütungen zu übernehmen, worunter auch die Heilbehandlungskosten nach <ref-law> fallen. Demnach hat die versicherte Person bis zum Erreichen des Status quo sine vel ante auch Anspruch auf eine zweckgemässe Behandlung, welche auch operative Eingriffe umfassen kann (Urteil 8C_957/2012 vom 3. April 2013 E. 5.2.2 mit Hinweisen).
5.
5.1. Verwaltung und Vorinstanz stellten ausschlaggebend auf die beiden nicht unterzeichneten reinen Aktenbeurteilungen vom 13. September 2011 und 15. Januar 2013 des die AXA beratenden Arztes Dr. med. Y._ ab. Letzterer kann in dieser Funktion, auch wenn er mutmasslich nicht in einem festen Anstellungsverhältnis zum Versicherer steht, nicht die Stellung eines unabhängigen Gutachters oder Sachverständigen beanspruchen (vgl. RKUV 2003 Nr. U 484 S. 251, U 273/01 E. 3.2.1). Vielmehr ist er, was den Beweiswert seiner hier abgegebenen Stellungnahme angeht, einem versicherungsinternen Arzt gleichzusetzen (vgl. Urteil 8C_160/2012 vom 13. Juni 2012 E. 3.2.1 mit Hinweisen).
5.2. Das kantonale Gericht hat zu Recht auch dem zweiten Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle B._ vom 17. August 2005 in Bezug auf die hier interessierende Beurteilung der Kausalitätsfrage - entgegen der AXA - keine entscheidende Bedeutung beigemessen. Beide Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle B._ wurden ausschliesslich im Auftrag der IV-Stelle veranlasst. Demzufolge bildeten sämtliche im Zusammenhang mit dem von der AXA angestrebten Fallabschluss relevanten unfallversicherungsrechtlichen Fragen betreffend Kausalität (insbesondere nach dem Eintritt einer richtunggebenden Verschlimmerung des Vorzustandes oder einer nur vorübergehenden Verschlimmerung mit Erreichen des Status quo sine), Heilbehandlungsabschluss und allfälligem Anspruch auf Langfristleistungen (Integritätsentschädigung und Invalidenrente nach UVG) nicht Gegenstand der fachärztlichen Erörterungen. Insofern kommt den beiden Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle B._ hinsichtlich des hier strittigen folgenlosen Fallabschlusses nur eine beschränkte Aussagekraft zu (vgl. Urteil 8C_269/2012 vom 12. Oktober 2012 E. 5.1).
5.3. Ohne die Versicherte jemals persönlich untersucht zu haben und entgegen der Expertise des Dr. med. Z._ vertrat Dr. med. Y._ schon in seiner Stellungnahme vom 13. September 2011 die Auffassung, der "Status quo sine [sei] wahrscheinlich bereits viel früher" vor dem 1. März 2003 eingetreten. Eine erneute Begutachtung sei hier nicht mehr weiterführend, "es sei denn, es handle sich um ein Gefälligkeits- oder Parteigutachten". Im Gegensatz zu dem von der AXA in Auftrag gegebenen Gutachten des Dr. med. Z._ sowie zum Operationsbericht des Dr. med. X._ äusserte sich Dr. med. Y._ am 13. September 2011 mit keinem Wort zu den anlässlich der Arthroskopie vom 22. August 2001 beschriebenen "Flake fractures", sondern verneinte vielmehr pauschal, dass im Kniebinnenbereich natürlich kausale Folgen des Unfallereignisses vom 27. Juli 2001 feststellbar gewesen seien. Dr. med. X._ wusste in seinem Bericht vom 17. November 2011 durchaus "Zeichen einer alten Läsion" im unbestritten klar vorgeschädigten rechten Knie der Versicherten von "frischen Zeichen" eines neuen Traumas zu unterscheiden. Zu den Letzteren zählte er ausdrücklich die "Flake fractures" (vgl. hievor E. 4.1). In seiner Stellungnahme vom 15. Januar 2013 hielt Dr. med. Y._ im Wesentlichen an seinem Standpunkt fest, gestand aber ein, dass eine "Knorpelflake-Läsion" als Folge des Unfalles "nicht absolut ausschliessbar" sei. Das Schreiben des Dr. med. X._ vom 7. November 2011 (recte: 2012) qualifizierte der beratende Arzt der AXA im Vergleich zum Operationsbericht vom 22. August 2001 als "widersprüchlich", ohne zu erläutern, worin dieser Widerspruch angeblich besteht.
5.4. Soll ein Versicherungsfall ohne Einholung eines externen Gutachtens entschieden werden, sind an die Beweiswürdigung strenge Anforderungen zu stellen. Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen, so sind ergänzende Abklärungen vorzunehmen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 229 und 135 V 465 E. 4.4 i.f. S. 470, je mit Hinweisen). Angesichts der Tatsache, dass nicht nur der behandelnde Dr. med. X._, sondern auch der von der AXA beauftragte Gutachter Dr. med. Z._ in vollständiger Kenntnis des unfallfremden Vorzustandes im rechten Kniegelenk die Unfallkausalität der über den folgenlosen Fallabschluss hinaus geklagten Beschwerden bejahten, liess sich dieser Widerspruch zu den nicht überzeugenderen reinen Aktenbeurteilungen des beratenden Arztes der AXA entgegen dem angefochtenen Entscheid nicht ohne ein von der Vorinstanz einzuholendes knieorthopädisches Gerichtsgutachten klären (<ref-ruling> E. 4.4.1.3 und 4.4.1.4 S. 264 f.; Urteil 8C_163/2013 28. November 2013 E. 6.2.2). Das kantonale Gericht wird die mit Blick auf den strittigen folgenlosen Fallabschluss per 28. Februar 2003 üblichen Fragen hinsichtlich des Erreichens des Status quo sine bzw. der weiteren Leistungspflicht nach UVG (vgl. auch E. 5.2 hievor) zu beantworten haben und hernach - gestützt auf die Ergebnisse des Gerichtsgutachtens - über die Beschwerde neu entscheiden.
6.
Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz oder an den Versicherungsträger zu weiterer Abklärung und neuer Verfügung (mit noch offenem Ausgang) gilt praxisgemäss als volles Obsiegen der Beschwerde führenden Partei im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie überhaupt beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235; vgl. Urteil 8C_160/2012 vom 13. Juni 2012 E. 4 mit Hinweisen). Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG) von der AXA als unterliegender Partei zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdeführerin als aufgrund der angeordneten Rückweisung obsiegenden Partei (<ref-ruling> E. 6.2) steht gegenüber der AXA eine Parteientschädigung zu (<ref-law>). Damit erweist sich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege als gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 5. Juni 2013 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Januar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Hochuli