Faits:
A. J._ a été engagé dès le 1er janvier 2002 par X._. Les rapports de travail ont été résiliés par son employeur pour le 31 mars 2004.
Le 30 mars 2004, J._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur Y._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie et spécialiste en médecine psychosomatique, a produit un rapport du 28 mai 2004 (y compris un questionnaire complémentaire du 27 mai 2004).
Par lettre du 26 novembre 2004, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a avisé l'assuré qu'il était nécessaire de procéder à une expertise médicale et qu'elle serait confiée au docteur E._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Dans sa réponse du 2 décembre 2004, J._ a déclaré qu'il ne désirait pas récuser ce médecin, pour autant qu'il n'y ait pas de motif de le faire. Il demandait que soit examinée l'utilité d'une expertise sur les actes de harcèlement moral ("mobbing/bossing"), en affirmant qu'ils étaient l'unique cause des atteintes à sa santé psychique.
Le 9 décembre 2004, l'office AI a confirmé la nécessité d'une expertise psychiatrique, qui a été confiée le 14 décembre 2004 au docteur E._ par les médecins du SMR. Dans le cadre de celle-ci, J._ a participé le 22 septembre 2005 à un entretien et à des examens paracliniques, ainsi qu'à des tests psychométriques et leurs corrections ayant eu lieu respectivement les 24 août et 22 septembre 2005. Le docteur E._ et la psychologue-psychothérapeute A._ ont déposé leurs conclusions dans un rapport du 11 novembre 2005.
Reprochant au docteur E._ de ne lui avoir posé lors de l'entretien aucune question sur le "mobbing/bossing", l'assuré a invité l'office AI à procéder à une expertise sur la réalité des actes de harcèlement dont il déclarait avoir fait l'objet, en lui donnant la possibilité de se prononcer sur le choix de l'expert (lettre datée du 4 août 2006). Dans une prise de position du 16 août 2006, I._ et L._, respectivement gestionnaire et juriste de l'office AI, l'ont informé qu'il n'y avait pas lieu de procéder à une nouvelle expertise psychiatrique. Le 8 septembre 2006, J._ a déposé devant le Conseil de l'Office AI du canton de Vaud une requête en récusation à l'encontre de I._ et de L._. Le 29 octobre 2006, il en a fait de même à l'encontre du docteur E._, de la psychologue-psychothérapeute A._ et de la doctoresse R._.
Par décision du 15 août 2007, l'office AI, avisant J._ qu'il était compétent pour se prononcer sur la requête en récusation du 8 septembre 2006 dirigée contre I._ et L._, l'a rejetée. Dans une communication, datée également du 15 août 2007, il l'a informé que les motifs de récusation invoqués dans la requête du 29 octobre 2006 à l'encontre du docteur E._ étaient de nature matérielle et qu'il n'appartenait pas à l'administration de rendre une décision sur ce point, ces motifs pouvant être invoqués dès qu'une décision sur le fond aurait été rendue.
B. Dans deux mémoires séparés, datés du 14 septembre 2007, J._ a formé recours devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud contre la décision du 15 août 2007 de rejet de la requête en récusation du 8 septembre 2006, d'une part, et, d'autre part, pour déni de justice contre la communication de l'office AI du 15 août 2007 concernant les motifs matériels de récusation invoqués dans la requête du 29 octobre 2006 à l'encontre du docteur E._.
Par jugement du 15 janvier 2008, le Tribunal des assurances a rejeté les recours (ch. I du dispositif). Considérant que le recours pour déni de justice était dirigé contre une décision non formelle rejetant la requête en récusation du 29 octobre 2006 à l'encontre du docteur E._, il a prononcé que la décision non formelle de l'office AI du 15 août 2007 était confirmée (ch. II du dispositif). La décision (formelle) du 15 août 2007 de rejet de la requête en récusation du 8 septembre 2006 a été confirmée (ch. III du dispositif).
C. Le 8 avril 2008, J._ a interjeté un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celui-ci et de la «décision non formelle» de l'office AI du 15 août 2007, la cause étant renvoyée au Conseil de l'Office AI du canton de Vaud pour qu'il statue sur la récusation de ce médecin, de la psychologue-psychothérapeute A._ et de la doctoresse R._. A titre subsidiaire, il invitait le Tribunal fédéral à dire que l'art. 30 al. 1 LPJA (RS-VD 173.36) est inconstitutionnel et que le Conseil de l'Office AI du canton de Vaud a commis un déni de justice et à annuler sa décision prise en application de l'art. 30 al. 1 LPJA.
Dans sa réponse du 24 juin 2008, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a conclu au rejet du recours dans la mesure où il était recevable.
Le 24 juin 2008, J._ a informé le Tribunal fédéral que l'office AI lui avait adressé un projet de décision (daté du 26 mai 2008) portant sur l'octroi d'une rente entière. Il sollicitait la suspension de la procédure jusqu'au prononcé de la décision finale de l'office AI.
Par ordonnance du 25 juillet 2008, la procédure a été suspendue jusqu'au 25 octobre 2008.
Le 31 octobre 2008, les parties ont été invitées à se prononcer sur la suite/reprise de la procédure. Dans ses observations du 6 novembre 2008, l'office AI était de l'avis que la cause pouvait effectivement être reprise. J._ ne s'est pas prononcé.
Par ordonnance du 28 novembre 2008, la procédure a été reprise.
Dans un préavis du 5 janvier 2009, l'Office fédéral des assurances sociales s'en remet à l'appréciation du Tribunal fédéral.

Considérant en droit:
1. Dans la mesure où les conclusions du recourant sont compréhensibles, elles portent sur le ch. II du dispositif du jugement attaqué et sont seules recevables devant le Tribunal fédéral.
2. 2.1 Selon l'<ref-law>, l'assureur examine les demandes, prend d'office les mesures d'instruction nécessaires et recueille les renseignements dont il a besoin (al. 1, première phrase). L'assuré doit se soumettre à des examens médicaux ou techniques si ceux-ci sont nécessaires à l'appréciation du cas et qu'ils peuvent être raisonnablement exigés (al. 2). Si l'assureur doit recourir aux services d'un expert indépendant pour élucider les faits, il donne connaissance du nom de celui-ci aux parties. Celles-ci peuvent récuser l'expert pour des raisons pertinentes et présenter des contre-propositions (<ref-law>).
2.2 Aux termes de l'<ref-law>, les personnes appelées à rendre ou à préparer des décisions sur des droits ou des obligations doivent se récuser si elles ont un intérêt personnel dans l'affaire ou si, pour d'autres raisons, elles semblent prévenues (al. 1). Si la récusation est contestée, la décision est rendue par l'autorité de surveillance (al. 2, première phrase).
En matière de récusation, il convient de distinguer entre les motifs formels et les motifs matériels. Les motifs de récusation qui sont énoncés dans la loi (cf. <ref-law> et 36 al. 1 LPGA) sont de nature formelle parce qu'ils sont propres à éveiller la méfiance à l'égard de l'impartialité de l'expert. Les motifs de nature matérielle, qui peuvent également être dirigés contre la personne de l'expert, ne mettent en revanche pas en cause son impartialité. De tels motifs doivent en principe être examinés avec la décision sur le fond dans le cadre de l'appréciation des preuves. Il en va ainsi, par exemple, d'une prétendue incompétence de l'expert à raison de la matière laquelle ne saurait constituer comme telle un motif de défiance quant à l'impartialité de ce dernier. Bien au contraire, ce grief devra être examiné dans le cadre de l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 6.5 p. 108 s.).
3. Le recourant qualifie notamment de formels plusieurs motifs de récusation.
3.1 Ainsi, il fait valoir que le docteur E._, avant d'avoir analysé les tests passés en deux fois, dont la seconde au moment de l'entretien du 22 septembre 2005, lui a fait connaître de vive voix lors de l'entretien son opinion sur le degré d'incapacité de travail, opinion qui n'a pas été infirmée par la suite. De l'avis du recourant, l'expert avait à ce moment-là une opinion déjà acquise. Il n'a pas eu besoin des tests pour déterminer son incapacité de travail. Or, ces tests représentent plus de la moitié du rapport d'expertise.
Toutefois, il ne s'agit pas là d'un motif formel lié à l'impartialité de l'expert. En réalité, le motif invoqué ci-dessus met en cause la crédibilité et le caractère probant du rapport d'expertise du 11 novembre 2005 et est donc de nature matérielle.
3.2 Le motif de récusation, selon lequel l'expert avait une idée préconçue sur la qualité des rapports médicaux de ses médecins traitants, se fonde sur les pages 23 et 24 du rapport d'expertise du 11 novembre 2005. Il s'agit là d'un motif matériel de récusation. Il apparaît, en effet, que les griefs que le recourant adresse au docteur E._ et à la psychologue-psychothérapeute A._, auxquels il reproche d'avoir suivi les instructions du docteur U._ (médecin du SMR) dans le mandat d'expertise, d'avoir omis toute investigation en ce qui concerne le diagnostic de syndrome de stress post-traumatique opiniâtre suite à du «mobbing et du bossing» retenu par le docteur Y._ et d'avoir ainsi démontré leur totale dépendance d'esprit vis-à-vis du SMR, ont pour fondement le rapport d'expertise (soit les pages mentionnées ci-dessus), dont ils remettent en cause la crédibilité et le caractère probant.
3.3 Quant au motif de récusation imputant à l'expert une violation de ses devoirs, il se fonde sur le mandat d'expertise confié par les médecins du SMR. Il s'agit là d'un motif matériel de récusation qui met en cause la crédibilité et le caractère probant du rapport d'expertise du 11 novembre 2005 et non d'un motif formel lié à l'impartialité de l'expert.
4. En définitive, ainsi que l'a relevé le premier juge, les motifs de récusation invoqués à l'encontre de l'expert visent le rapport d'expertise du 11 novembre 2005, sont donc de nature matérielle et relèvent du fond.
Ainsi, c'est à juste titre que l'administration n'a pas rendu de décision sur ce point, mais que dans une communication du 15 août 2007, elle a informé l'assuré que les motifs de récusation invoqués dans la requête du 29 octobre 2006 à l'encontre du docteur E._ étaient de naturelle matérielle et qu'ils pourraient être invoqués dès qu'une décision sur le fond aurait été rendue (arrêt I 247/04 du 23 mars 2006 consid. 3).
Dès lors, c'est à tort que le premier juge est entré en matière sur l'écriture du 14 septembre 2007 dirigée contre la communication de l'intimé du 15 août 2007. Les griefs invoqués devront en effet être examinés par l'administration, puis l'autorité cantonale de recours et, cas échéant, le Tribunal fédéral, au moment de se prononcer sur le fond dans le cadre de l'appréciation des preuves (arrêt I 247/04 du 23 mars 2006 consid. 3).
5. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). Il ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 15 janvier 2008 est réformé en ce sens que le ch. I de son dispositif est modifié en ce sens que le recours du 14 septembre 2007 pour déni de justice est irrecevable et que le ch. II de son dispositif est annulé.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 28 janvier 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner