Faits:
A. C._, titulaire d'un CFC en pharmacie, a travaillé au service de la pharmacie X._. Souffrant d'une maladie de Crohn, de diabète, d'insuffisance rénale et d'une maladie de Verneuil, elle a présenté une demande de rente de l'assurance-invalidité le 30 septembre 2008.
Mandaté par l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI), le docteur V._, spécialiste en médecine interne, a attesté que la maladie de Verneuil entraînait chez l'assurée une diminution de rendement de 20 % dans son activité d'assistante en pharmacie. Ce médecin a fait état d'autres pathologies, en précisant qu'elles n'avaient pas d'incidence sur la capacité de travail (rapport du 16 octobre 2009).
Dans un projet de décision du 11 octobre 2010, l'office AI a fait savoir à l'assurée qu'il envisageait de refuser toute prestation dès lors que le taux d'invalidité était de 20 %. Par lettre du 8 novembre 2010, l'assurée a annoncé que son état de santé s'était aggravé et a produit un certificat du docteur T._, spécialiste en dermatologie, du 1er novembre 2010. A la demande l'office AI, le docteur T._ a déposé un rapport intermédiaire, le 30 mai 2011. Après avoir pris l'avis du SMR (rapport du 27 juin 2011), l'office AI a rejeté la demande de prestations (rente et mesures d'ordre professionnel), par décision du 8 août 2011.
B. C._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales en concluant principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité, subsidiairement à la prise charge de mesures professionnelles. Elle a requis la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire.
Par jugement du 1er mai 2012, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant à titre principal au versement d'une rente entière d'invalidité à compter du 1er janvier 2010, subsidiairement au renvoi de la cause au tribunal cantonal. Elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimé et l'Office fédéral des assurances n'ont pas été invités à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le degré d'invalidité de la recourante, singulièrement sur son droit à une rente.
Le tribunal a exposé correctement les règles applicables en l'espèce, si bien qu'il suffit de renvoyer au jugement attaqué (consid. 6 à 8).
2. La recourante fait grief aux premiers juges d'avoir violé son droit d'être entendue, au sens de l'art. 29 al. 1 et 2 Cst., par le fait d'avoir omis de compléter l'instruction sous la forme d'une expertise pluridisciplinaire. Elle leur reproche aussi d'avoir reconnu pleine valeur probante à l'expertise du docteur V._ et de s'être fondés sur cette dernière pour juger sa cause, contrevenant de la sorte à l'art. 28 LAI.
A cet égard, la recourante soutient que le docteur V._ n'était pas habilité à se prononcer sur l'incidence de la maladie de Verneuil, une affection dermatologique, car ce médecin ne dispose pas d'une spécialisation dans cette matière. En outre, elle estime que son rapport n'était plus actuel car il ne tenait pas compte de l'aggravation de l'état de santé survenue postérieurement à son examen. Enfin, le docteur V._ n'avait pas abordé la question de la fréquence des poussées (inflammatoires), pratiquement mensuelles en juillet, novembre et décembre 2011, durant lesquelles elle ne peut pas travailler.
Selon la recourante, le dossier de sa cause est lacunaire. Elle relève que si le docteur T._ a mentionné un effet évident de la maladie de Verneuil sur sa capacité de travail, ce médecin ne s'est pas prononcé sur son étendue concrète. Elle en déduit que l'instruction doit être complétée sur la fréquence des poussées liées à l'affection dermatologique et leur incidence sur la capacité de travail. En outre, la recourante allègue que sa situation médicale doit être appréciée dans son ensemble, la pluralité de ses affections justifiant la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire.
3. 3.1 Bien que la recourante ne se réfère pas explicitement aux dispositions topiques de la LPGA, on doit admettre que son argumentaire relève tant de l'art. 43 LGPA que de l'art. 61 let. c LPGA. En effet, en se référant aux art. 29 Cst. et 28 LAI, la recourante se plaint en définitive d'une violation de la maxime inquisitoire, aussi bien par l'intimé qui aurait dû prendre d'office les mesures d'instruction nécessaires et recueillir les renseignements dont il avait besoin (art. 43 LPGA), que par les premiers juges qui n'auraient à leur tour pas établi les faits déterminants et mal administré les preuves (art. 61 let. c LPGA), constatant ainsi les faits de manière manifestement inexacte et en violation du droit (cf. art. 97 al. 1 LTF).
3.2 Le grief est infondé dans la mesure où il est dirigé contre l'office intimé. En effet, ce dernier a pris en particulier l'avis du docteur V._, qui précisait que la maladie de Verneuil constituait la seule affection justifiant une réduction de la capacité de travail (cf. rapport du 16 octobre 2010), puis celui du docteur T._, qui a attesté une capacité de travail entière dans l'activité habituelle, en dehors des poussées de la maladie de Verneuil lors desquelles la recourante ne peut pas se tenir assise et a beaucoup de mal à marcher (cf. rapport du 30 mai 2011). Au jour où il a rendu sa décision, le 8 août 2011, l'office intimé disposait ainsi de l'avis de spécialistes qui s'étaient exprimés sur toutes les pathologies de la recourante, dans des rapports qui satisfaisaient aux réquisits jurisprudentiels relatifs à la force probante de tels documents (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 352) et qui lui permettait de connaître, dans leur ensemble, les problèmes de santé de la recourante et leurs incidences sur la capacité de travail. A cet égard, il convient de relever que le rapport du docteur T._ du 30 mai 2011 est suffisamment explicite sur la capacité de travail, ce médecin ayant indiqué qu'il n'était pas nécessaire de procéder à un examen médical complémentaire destiné à évaluer les conséquences de la maladie de Verneuil sur cette question.
3.3 Les reproches de la recourante sont tout aussi infondés dans la mesure où ils portent sur l'administration des preuves et les constats de faits du tribunal cantonal. Dans ce contexte, le grief principal qui est adressé à l'autorité judiciaire consiste dans son refus d'ordonner de plus amples investigations médicales (consid. 9 p. 12 du jugement attaqué). Il ne résiste pourtant pas non plus à l'examen, car les premiers juges disposaient de renseignements médicaux pertinents sur l'incidence des problèmes de santé de la recourante et la maladie de Verneuil en particulier. A cet égard, l'écriture que le docteur T._ a adressée à la juridiction cantonale (cf. lettre du 14 février 2012) n'a pas apporté d'élément qui aurait justifié une expertise complémentaire, pluridisciplinaire ou uniquement dermatologique.
A la lumière des avis des docteurs T._ et V._, la prise en considération d'une diminution durable de rendement de 20 % au plus dans l'activité habituelle, en raison de la maladie de Verneuil, ne procède assurément pas d'une violation de l'art. 61 let. c LGPA. Ce constat de fait lie ainsi le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF).
Pour le surplus, on relèvera que les premiers juges ont constaté l'existence de périodes d'incapacité de travail en novembre et décembre 2011. Ces dernières n'entrent toutefois pas en ligne de compte pour la solution du litige, dès lors qu'il s'agit de faits survenus postérieurement au moment où la décision administrative du 8 août 2011 a été rendue (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 243, 121 V 362 consid. 1b p. 366).
4. Quant taux d'invalidité de 20 %, il correspond à la baisse du rendement dans la profession exercée. Cette question n'est pas contestée, la recourante n'exposant pas, même succinctement, en quoi le jugement attaqué serait à cet égard contraire au droit.
5. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle remplit toutefois les conditions du droit à l'assistance judiciaire dont elle a requis le bénéfice (art. 64 LTF), dès lors que le recours n'était pas d'emblée voué à l'échec, qu'elle ne dispose pas de ressources suffisantes et que l'assistance d'un avocat était indiquée. La recourante sera ainsi provisoirement dispensée de payer les frais de justice (al. 1); quant aux honoraires de son mandataire d'office, ils seront pris en charge par la caisse du tribunal (al. 2). L'éventualité prévue à l'al. 4 est réservée.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée à la recourante.
3. Maître Virginie Jordan est désignée en tant qu'avocate d'office de la recourante et une indemnité de 2'800 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) lui est allouée à titre d'honoraires, supportée par la caisse du Tribunal.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois provisoirement supportés par la caisse du tribunal.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 7 janvier 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Berthoud