Sachverhalt:
A. Mit Unfallmeldung vom 26. August 2007 zeigte die Firma X._ GmbH der Winterthur Versicherungen (heute: AXA Versicherungen AG; nachfolgend: AXA) an, dass die bei ihr angestellte S._, geboren 1957, im Sommer 2000 einen Zeckenstich erlitten und seit 16. Juni 2005 ihre Arbeit ausgesetzt habe. Auf Nachfrage der Unfallversicherung hin erklärte die Arbeitgeberin mit Schreiben vom 23. Oktober 2007, dass die Versicherte seit 1. Juli 1999 angestellt sei, wobei kein schriftlicher Arbeitsvertrag bestehe; auch die Kündigung per Ende Juni 2005 sei mündlich erfolgt. Nach ergänzenden Abklärungen insbesondere nach Einholung der medizinischen Unterlagen und dem Beizug aller Lohnabrechnungen seit 1. Juli 1999 lehnte die AXA mit Verfügung vom 19. Juni 2008 ihre Leistungspflicht ab, da die Versicherte zum gemäss Dr. med. A._, Facharzt für Innere Medizin FMH, möglichen Zeitpunkt des Zeckenstichs im Sommer/ Herbst 2000 nicht UVG-versichert gewesen sei, nachdem sie im Jahre 2000 lediglich in den Wintermonaten gearbeitet habe. Die dagegen von der Versicherten und der Krankenversicherung erhobenen Einsprachen wies die AXA nach Einholung weiterer medizinischer Berichte mit Einspracheentscheid vom 15. Dezember 2008 ab, mit der Begründung, dass es mehr als fraglich sei, ob überhaupt eine Unfalldeckung für den möglichen Zeitraum (Sommer/Herbst 2000) bestehe und der Nachweis eines Zeckenstichs, mithin eines Unfallereignisses im Jahre 2000, nicht mit dem nötigen Beweisgrad erbracht werden könne.
B. Die von S._ hiegegen erhobene Beschwerde, der u.a. zwei weitere Schreiben des Dr. med. A._ vom 15. Januar 2009 und vom 11. März 2009 beilagen, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 2. September 2009 ab.
C. Die Versicherte lässt unter Beilage einer erneuten Stellungnahme des Dr. med. A._ vom 24. September 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, in Gutheissung der Beschwerde sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und festzustellen, dass die AXA aus dem Unfallereignis des Frühjahres 2000 Leistungen aus UVG zu erbringen habe und es sei die Sache für weitere Abklärungen des Leistungsumfanges an die Versicherung zurückzuweisen. Eventuell sei diese zu verpflichten, zusätzliche medizinische Abklärungen zur Feststellung der Leistungspflicht vorzunehmen.
Die AXA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (<ref-law>).
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (<ref-law>).
1.2 1.2.1 Diese Einschränkungen der Rüge- und Überprüfungsbefugnis gelten nicht bei Beschwerden, welche sich gegen einen Entscheid über die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung richten. Hier kann jede unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gerügt werden (<ref-law>) und ist das Bundesgericht nicht an die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz gebunden (<ref-law>).
1.2.2 Im Streit, ob für ein Unfallereignis Versicherungsdeckung besteht, kommt die Ausnahmeregelung des Art. 105 Abs. 3 (in Verbindung mit Art. 97 Abs. 2) BGG ungeachtet dessen, dass von der Beurteilung der Streitfrage auch Ansprüche auf Geldleistungen der obligatorischen Unfallversicherung abhängen können, nicht zur Anwendung. Das Bundesgericht kann somit die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nur im Rahmen von Art. 105 Abs. 1 und 2 (in Verbindung mit Art. 97 Abs. 1) BGG überprüfen (<ref-ruling> E. 1.2).
1.3 Gemäss <ref-law> sind Noven im letztinstanzlichen Verfahren grundsätzlich unzulässig (vgl. zur Geltung dieses Grundsatzes im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung: <ref-ruling> E. 3.4 S. 199 f.). Die Voraussetzungen, unter denen die von der Beschwerdeführerin neu eingereichte Unterlage (Stellungnahme des Dr. med. A._ vom 24. September 2009) ausnahmsweise zulässig wäre, sind vorliegend nicht erfüllt, so dass diese unbeachtet bleiben muss.
2. 2.1 Im angefochtenen Entscheid werden die gesetzlichen Bestimmungen zu Beginn und Ende der obligatorischen Unfallversicherung (Art. 3 Abs. 1 und 2 UVG) zutreffend wiedergegeben, worauf verwiesen wird. Wie ebenfalls richtig ausgeführt wird, sind gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law> teilzeitbeschäftigte Arbeitnehmer nicht gegen Nichtberufsunfälle versichert, sofern ihre wöchentliche Arbeitszeit bei einem Arbeitgeber nicht mindestens acht Stunden (bis 31. Dezember 1999: 12 Stunden) beträgt. Für Teilzeitbeschäftigte, welche diese Mindestdauer nicht erreichen, gelten auch Unfälle auf dem Arbeitsweg als Berufsunfälle (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
Wie das Arbeitspensum von Teilzeitbeschäftigten, die unregelmässig arbeiten, zu bemessen ist, musste das Bundesgericht bisher nicht entscheiden. In Frage kommen nach Rechtsprechung und Lehre eine wochenweise Betrachtung sowie die alternative Durchschnittsmethode (Urteil U 165/04 vom 19. Juli 2005 E. 2). Bei Ersterer sind Teilzeitbeschäftigte jede einzelne Woche, in der sie mindestens acht Stunden (bis 31. Dezember 1999: 12 Stunden) arbeiten, für Nichtberufsunfälle versichert und begründen in den übrigen Wochen keine Nichtberufsunfallversicherung. Bei Letzterer ist für Nichtberufsunfälle versichert, wer entweder über den Zeitraum von drei Monaten im Durchschnitt aller Wochen, in denen er überhaupt gearbeitet hat, mindestens acht Stunden (bis 31. Dezember 1999: 12 Stunden) beschäftigt war, oder in der Mehrzahl aller Wochen, in denen gearbeitet wurde, ein Wochenpensum von mindestens acht Stunden (bis 31. Dezember 1999: 12 Stunden) erreicht hat (<ref-ruling> E. 3 S. 355 mit Hinweisen). Welche Methode den Vorzug verdient, kann auch vorliegend offenbleiben, da die Versicherungsdeckung - wie nachfolgend dargelegt - aufgrund der Beweislage zu verneinen ist.
2.2 Im Sozialversicherungsprozess tragen die Parteien in der Regel eine Beweislast nur insofern, als im Falle der Beweislosigkeit der Entscheid zuungunsten jener Partei ausfällt, die aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableiten wollte. Diese Beweisregel greift allerdings erst Platz, wenn es sich als unmöglich erweist, im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes aufgrund einer Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (<ref-ruling> E. 3b S. 264 mit Hinweis; Urteil 8C_496/2009 vom 17. April 2009 E. 2.2).
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid zum einen erwogen, es sei der Beschwerdeführerin nicht gelungen glaubhaft zu machen, dass sich die für den Zeckenstich typische Hautmanifestation (Erythema migrans) gezeigt und gegebenenfalls in welchem Zeitpunkt diese typische Hautrötung bestanden habe. Es wäre im konkreten Fall notwendig gewesen, das Unfalldatum klar auf einen Zeitraum datieren zu können, da es nicht zum vornherein ausgewiesen sei, ob zum Zeitpunkt des geltend gemachten Zeckenstichs überhaupt eine Versicherungsdeckung bestanden habe. Zudem hat die Vorinstanz erkannt, dass selbst wenn von einem Unfallereignis und einer Versicherungsdeckung auszugehen wäre, die heute geklagten Beschwerden nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit natürlich kausal auf einen Zeckenstich zurückzuführen seinen.
3.2 Die Beschwerdeführerin macht insbesondere geltend, das kantonale Gericht habe die später beigebrachten unzweifelhaften und klaren Bestätigungen nicht einfach mit Verweis auf eine hier nicht anwendbare Beweismaxime ignorieren dürfen. Insbesondere könne aus dem späten Beibringen von Zeugenbestätigungen des Arbeitgebers, der Arbeitskollegin und weiterer Bekannten nicht von vornherein auf deren Qualität geschlossen werden. Der Inhalt der Aussagen und deren Zuverlässigkeit wäre gegebenenfalls einzeln abzuklären gewesen. Die Beschwerdeführerin bemängelt überdies, dass sowohl der unfalltechnische als auch der medizinische Bereich zu wenig untersucht worden seien.
4. Streitig und zu prüfen ist primär, ob zur Zeit des geltend gemachten Unfallereignisses (Zeckenstich) eine Versicherungsdeckung bestand.
4.1 In tatsächlicher Hinsicht ist das kantonale Gericht nach überzeugender Würdigung der Akten davon ausgegangen, dass die Beschwerdeführerin seit 1. Juli 1999 (mündlicher Arbeitsvertrag) in einem Teilarbeitsverhältnis bei der X._ GmbH arbeitete und diese Tätigkeit insbesondere auch im Jahre 2000 saisonal in den Wintermonaten ausgeübt und in den Sommermonaten nicht im Betrieb gearbeitet hatte. Dies ist nicht zu beanstanden. Die Einwendungen der Beschwerdeführerin vermögen daran nichts zu ändern. Sie sind nicht geeignet die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz als offensichtlich unrichtig oder bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen. In den Lohnabrechnungen der Arbeitgeberin war jeweils vermerkt worden, dass es sich um eine saisonale Anstellung handelte und welche Monate diese betraf. Zudem ergibt sich aus der Jahresabrechnung 2000 der X._ GmbH an die Ausgleichskasse vom 16. Februar 2001, dass für die Beschwerdeführerin zwei beitragspflichtige Lohnsummen für die Zeiträume Januar bis März und Oktober bis Dezember 2000 deklariert wurden. Gleiches gilt für die Jahresabrechnungen 2001 und 2002. Wenn die Versicherte entsprechend dem Arbeitszeugnis der X._ GmbH vom 30. Juni 2005 eine Ganzjahrestätigkeit (im Winter 100 % und im Sommer rund 40 %) inne gehabt haben soll, ist nicht nachvollziehbar, weshalb die entsprechenden Löhne in den Sommermonaten nicht deklariert wurden. Ein schriftlicher Arbeitsvertrag, der allenfalls Aufschluss geben könnte, besteht nicht. Zudem liegen keine Stundenrapporte über die Arbeitsleistungen vor. Vor diesem Hintergrund ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die erst im Beschwerdeverfahren eingereichte Bestätigung der beiden Inhaber der X._ GmbH vom 1. Mai 1998 betreffend Vereinbarung über "Einsatz und Entlöhnung der Sommermonate", wonach der Arbeitseinsatz der Versicherten in dieser Zeit durchschnittlich rund zwei Tage in der Woche betrug, als wenig glaubhaft würdigte, zumal, wie sie zu Recht vermerkt, zuvor erklärt worden war, dass keine schriftliche Abmachung bestehe. Zudem ist nicht ausser Acht zu lassen, dass diese Vereinbarung zwischen den beiden Inhabern der X._ GmbH und ihren Ehegattinnen abgeschlossen worden ist. Die Bestätigung überzeugt überdies insofern nicht, als die Versicherte anlässlich der persönlichen Besprechung vom 18. Februar 2008 mit dem Schadensinspektor der AXA in Anwesenheit ihres Ehemannes (Versicherungsnehmer) ausgeführt hat, während der Wintermonate habe sie beinahe in einem 100 % Pensum gearbeitet, im Sommer habe sich das Pensum auf höchstens einen Tag pro Woche reduziert. Gemäss diesem Bericht vom 22. Februar 2008 betrieb das Ehepaar S._ überdies in den im Betrieb schwachen Sommermonaten noch einen Hof für Ackerbau, vor allem Spargeln. Die Spargelernte erfolgte jeweils ab Ende April bis in den Juni. Wenn also davon auszugehen ist, dass die Beschwerdeführerin den grössten Teil der Stunden in den Monaten Oktober bis März geleistet hat, kann aufgrund einer Jahresarbeitszeit von 495.15 Stunden nicht geschlossen werden, dass in den Monaten April bis September 2000 pro Woche mehr als acht Stunden geleistet worden sind. Mithin steht aufgrund der unklaren und widersprüchlichen Aktenlage fest, dass die Beschwerdeführerin in den Monaten April bis September 2000 nicht während mindestens acht Stunden pro Woche im Betrieb gearbeitet hat, womit in dieser Zeit keine Versicherungsdeckung bestand. Von weiteren Abklärungen sind diesbezüglich keine neuen Erkenntnisse zu erwarten, weshalb die Vorinstanz darauf verzichten durfte.
4.2 Weiter hat das kantonale Gericht zutreffend erwogen, dass es bei dieser Ausgangslage erforderlich wäre, das Unfalldatum klar auf einen bestimmten Zeitraum datieren zu können, um Anspruch auf Versicherungsleistungen zu haben. Es gelangte zum Schuss, dass dies aufgrund der unklaren Aktenlage mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nicht mehr möglich sei und die Beschwerdeführerin die Folgen der Beweislosigkeit zu tragen habe. Dies ist ebenfalls nicht zu beanstanden. Die Einwendungen der Beschwerdeführerin vermögen auch diesfalls die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nicht als offensichtlich unrichtig oder unvollständig erscheinen zu lassen. Wie das kantonale Gericht richtig festgestellt hat, ist in der Unfallmeldung das Schadensdatum mit Sommer 2000 angegeben worden. Zudem wird im Schreiben des Rechtsvertreters vom 4. Februar 2008 das Unfallereignis auf das Jahr 2000 terminiert. Gemäss Schreiben des Dr. med. A._ vom 5. Dezember 2007, worauf darin verwiesen wird, hat sich der Zeckenstich frühestens im Sommer/Herbst 2000 ereignet. Den übrigen, im vorliegenden Verfahren zu beachtenden Berichten dieses Arztes (vgl. E. 3.2) ist nichts Abweichendes zu entnehmen. Gegenüber dem Schadensinspektor gab die Beschwerdeführerin am 18. Februar 2008 an, im Frühjahr/Sommer 2000 wahrscheinlich von einer Zecke gestochen worden zu sein. Wenn die Vorinstanz vor diesem Hintergrund die erstmals in der Beschwerdeschrift vom 29. Januar 2009 angeführten Zeugen, welche die für einen Zeckenstich typische Rötung im Mai 2000 bemerkt haben wollen, als nicht glaubwürdig wertete, ist dies nicht als bundesrechtswidrig zu beanstanden. Eine offensichtlich unhaltbare Beweiswürdigung ist auch nicht darin zu sehen, dass die mangelnde Beweiskraft der undatierten Zeugenaussage der Eltern der Beschwerdeführerin wie auch die Aussage des Zeugen V._ (vom 14. Januar 2009) damit begründet wird, dass sie neun Jahre später erfolgten und überdies davon auszugehen sei, dass diese Personen auch nach dem vermeintlichen Zeckenstich mit der Beschwerdeführerin in Kontakt gestanden hätten und deshalb über ihren Gesundheitszustand gesprochen haben dürften. Mit der Vorinstanz kann dies allenfalls die Erinnerung an den damaligen Tag - durchaus nachvollziehbar - verfälschen (vgl. Urteil U 227/05 vom 16. Januar 2006 E. 3.6). Entgegen der Beschwerdeführerin bestand bei dieser Ausgangslage kein Grund, die Zuverlässigkeit der Zeugenaussagen einzeln abzuklären. Eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes liegt nicht vor. Weiter kann der Vorinstanz auch nicht vorgeworfen werden, einfach den Grundsatz der "Aussage der ersten Stunde" zur Anwendung gebracht zu haben. Vielmehr hat sie den Sachverhalt überzeugend gewürdigt und in diesem Zusammenhang dem Umstand entsprechend Rechnung getragen, dass das Erinnerungsvermögen aller Beteiligter im Laufe der Zeit abnimmt. Mit der Vorinstanz hat die Beschwerdeführerin nicht glaubhaft machen können, dass sich der vermeintliche Zeckenstich in dem Zeitraum ereignet hat, für den der Versicherungsschutz bestand, also vor April und nach September 2000. Auch diesbezüglich sind von weiteren Abklärungen keine neuen Erkenntnisse zu erwarten, weshalb in antizipierter Beweiswürdigung darauf verzichtet werden durfte. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, ohne dass weiter zu prüfen ist, ob die heute geklagten gesundheitlichen Beschwerden mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf einen Zeckenstich zurückzuführen sind.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>) Die Gerichtskosten werden der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. September 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Weber Peter