Sachverhalt:
A. A.a Die 1990 in Solothurn geborene A._ leidet als Folge von Komplikationen bei ihrer Geburt an schweren cerebralen Schädigungen sowie an einer schweren tetraspastischen Bewegungsstörung.
A.b Am 16. Oktober 1998 erhoben die Eltern von A._ beim Amtsgericht von Solothurn-Lebern eine Teilklage auf Leistung einer Genugtuung gegen Dr. med. W._, der Mutter und Kind während der Geburt betreut hatte.
Das Obergericht des Kantons Solothurn bejahte eine für den Gesundheitsschaden von A._ rechtserhebliche Sorgfaltspflichtverletzung des Arztes und sprach der Mutter mit Urteil vom 12. Dezember 2006 eine Genugtuung von Fr. 50'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 29. Januar 1990 zu; die Klage des Vaters wies es infolge eingetretener Verjährung ab. Das Bundesgericht wies eine gegen dieses Urteil erhobene Berufung am 19. Mai 2003 ab.
B. B.a Die Eidgenössische Invalidenversicherung (Beschwerdegegnerin), die bereits seit 1990 Leistungen für A._ erbracht hatte, reichte in der Folge beim Richteramt Solothurn-Lebern Klage gegen Dr. W._ ein. Die Beschwerdegegnerin beantragte, Dr. W._ sei zu verpflichten, ihr unter Vorbehalt einer Mehrforderung Fr. 2'520'852.-- zuzüglich Zins zu 5 %, ausmachend Fr. 392'902.-- für die Zeit vom 29. Januar 1990 bis zum 31. Juli 2005 und auf Fr. 2'520'852.-- ab dem 1. August 2005 zu bezahlen.
Dr. W._ liess seiner Berufshaftpflichtversicherung, der X._ (Beschwerdeführerin), den Streit verkünden. Die Beschwerdeführerin leistete der Streitverkündigung Folge.
Am 27. April 2006 schlossen die Beschwerdegegnerin, Dr. W._ und die Beschwerdeführerin folgende Vereinbarung betreffend Parteiwechsel ab:
"1. Die Parteien erklären sich wechselseitig damit einverstanden, dass die X._ im Prozess ... vor dem Richteramt Solothurn-Lebern an Stelle und unter Entlassung des bisherigen Beklagten Dr. med. W._ in den Rechtsstreit eintritt und den Prozess an dessen Stelle fortführt. Die Klägerin erklärt sich damit auf den Zeitpunkt der Unterzeichnung der vorliegenden Vereinbarung gegenüber Dr. med. W._ und nur diesem gegenüber per Saldo aller Ansprüche definitiv auseinander gesetzt.
2. Die X._ anerkennt unwiderruflich und im Rahmen der Versicherungssumme von CHF 3 Mio., resultierend aus dem zwischen ihr und Herrn Dr. med. W._ im Zeitpunkt des haftpflichtbegründenden Ereignisses bestandenen Berufshaftpflichtversicherungsvertrages sämtliche Anspruchsvoraussetzungen für die von der Klägerin geltend gemachte Regressforderung. Insbesondere anerkennt sie unwiderruflich die haftungsbegründende Sorgfaltspflichtverletzung von Dr. W._ anlässlich der Geburt von A._, sowie die ebenfalls dadurch bedingte Erwerbsunfähigkeit. Ebenfalls anerkennt die X._ unwiderruflich, dass den von der Klägerin unter den einzelnen Titeln erbrachten Leistungen ein in persönlicher, zeitlicher, sachlicher und ereignisbezogener Hinsicht kongruenter, haftpflichtrechtlicher Schaden gegenübersteht. Schliesslich anerkennt die X._ bis zur Höhe der noch zur Verfügung stehenden Versicherungssumme von maximal CHF 3 Mio. unter Berücksichtigung der bereits erbrachten bzw. bis zur rechtskräftigen Erledigung des vorliegenden Rechtsstreits noch zu erbringenden Leistungen unter allen Titeln unwiderruflich die Höhe der von der Klägerin geltend gemachten Regressforderung gemäss dem Rechtsbegehren in der Klagebegründung vom 9. Februar 2006.
3. Für die Berechnung der Entschädigungsleistung sind die für die Berufshaftpflicht-Versicherungspolice von Dr. med. W._ im Jahr 1990 gültigen AVB der Secura ... (identisch mit Beilage 17 zur Klagebegründung), insbesondere Ziffer 10 lit. a) (Leistungen von Secura) anwendbar, wobei der Klägerin diesbezüglich sämtliche Einreden zustehen.
Für die Beklagte bleiben sämtliche Einreden oder Einwendungen aus dem Versicherungsverhältnis zwischen der X._ und Herrn Dr. med. W._ ausgeschlossen. Deckungsausschlüsse über Ziffer 10 lit. a der AVB hinaus, insbesondere jener für Regressansprüche Dritter, bleiben für die Beurteilung der vorliegenden Klage unbeachtlich. Ebenso ausgeschlossen sind Einreden oder Einwendungen, resultierend aus anderen als dem vorliegend bestehenden Rechtsverhältnis (z.B. Verrechnungseinrede).
Für den Fall des Unterliegens der X._ vereinbaren die Parteien was folgt: Die X._ hat 50 % der ihr im Rahmen des vorliegenden Verfahrens auferlegten Gerichts- und Parteikosten der Klägerin ausserhalb der zur Verfügung stehenden Versicherungssumme zu leisten.
4. Die X._ verzichtet unwiderruflich darauf, der klägerischen Forderung die Einrede der Verjährung entgegen zu halten und anerkennt, dass die Anspruchsgrundlage eine vertragliche Haftung von Herrn Dr. med. W._ bildet und dass die geltend gemachten Regressansprüche nicht verjährt sind.
5. Die Parteien anerkennen wechselseitig, dass die Direktschadenersatzforderung von A._ gegenüber Dr. med.W._, respektive gegenüber der X._ verjährt ist, und Dr. med. W._, respektive die X._, die Verjährungseinrede erhoben und demgemäss nichts bezahlt hat.
6. Die X._ hält indes nach wie vor der klägerischen Forderung das Befriedigungsvorrecht gemäss <ref-law> in der am 29. Januar 1990 gültigen Fassung entgegen. Nachdem die X._ sämtliche übrigen Anspruchsvoraussetzungen anerkennt, beziehungsweise diese keine rechtshindernden oder rechtsaufhebenden Einreden oder Einwendungen entgegensetzt, beschränken sich die Einwendungen der X._ auf die Frage, ob sie sich zur Abwendung der klägerischen Forderung auf das Befriedigungsvorrecht der geschädigten Person berufen kann. Die Klageantwort beschränkt sich aufgrund der vorstehend in Ziffer 1-6 getroffenen Vereinbarung ausschliesslich auf die Frage des Befriedigungsvorrechts der geschädigten Person auf die Versicherungssumme.
7. Soweit die X._ im vorliegenden Prozess unterliegt, verpflichtet sie sich, die rechtskräftig zugesprochene Entschädigungssumme (inklusiv Zinsen und Kosten) bis zur maximalen vorstehend unter Ziffer 2/3 definierten Höhe zu bezahlen."
Mit Verfügung vom 8. Mai 2006 stellte der Amtsgerichtspräsident fest, dass die Beschwerdeführerin anstelle von Dr. W._ als Beklagte in den Prozess eintritt, und beschränkte das Prozessthema gemäss Ziffer 6 der abgeschlossenen Vereinbarung auf die Frage des Deckungs- bzw. Befriedigungsvorrechts.
Mit Urteil vom 7. Dezember 2006 hiess das Amtsgericht von Solothurn-Lebern die Klage der Beschwerdegegnerin gut und verpflichtete die Beschwerdeführerin zur Zahlung von Fr. 2'520'852.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 1. August 2005 und Fr. 392'902.-- Verzugszins für die Zeit vom 29. Januar 1990 bis 31. Juli 2005.
B.b Auf Berufung der Beschwerdeführerin hin verpflichtete das Obergericht des Kantons Solothurn die Beschwerdeführerin mit Urteil vom 21. April 2008, der Beschwerdegegnerin den Betrag von Fr. 2'520'852.-- nebst Schadenszins von Fr. 43'959.60 zu bezahlen.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 21. Mai 2008 beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 21. April 2008 sei aufzuheben und die Klage sei unter Kosten- und Entschädigungsfolge in sämtlichen Instanzen zu Lasten der Beschwerdegegnerin abzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin schliesst in ihrer Beschwerdeantwort auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführerin hat in der Vereinbarung vom 27. April 2006 sämtliche Anspruchsvoraussetzungen für die von der Beschwerdegegnerin geltend gemachte Regressforderung unwiderruflich anerkannt. Sie hält der Forderung der Beschwerdegegnerin lediglich das Befriedigungsvorrecht gemäss <ref-law> in der am 29. Januar 1990 geltenden Fassung (aAHVG) entgegen (siehe nunmehr <ref-law> [SR 830.1]) und wirft der Vorinstanz diesbezüglich eine unzutreffende Rechtsanwendung vor.
1.1 Die Vorinstanz hielt zunächst fest, dass die Beschwerdeführerin anerkenne, dass der haftpflichtige Arzt grundsätzlich unbeschränkt hafte, weshalb das Verteilungsvorrecht (Art. 48quater Abs. 1 aAHVG) im zu beurteilenden Fall keine Rolle spiele. Ausgehend von der Feststellung, dass der haftpflichtrechtlich ausgewiesene Schaden die von der Beschwerdegegnerin erbrachten Leistungen zwar bei weitem übersteige, jedoch die Direktschadenersatzforderung der Geschädigten gegenüber dem haftpflichtigen Arzt verjährt sei und dieser bzw. die Beschwerdeführerin als Haftpflichtversicherer nichts bezahlt hätten, beurteilte die Vorinstanz die Frage, ob sich die Beschwerdeführerin in dieser Situation auf das Befriedigungsvorrecht (Art. 48quater Abs. 3 aAHVG) der geschädigten Person berufen könne.
Die Vorinstanz hielt unter anderem dafür, dass das Befriedigungsvorrecht eine Benachteiligung des Geschädigten verhindern solle und auf dem Gedanken beruhe, dass der Versicherer seinen Versicherten unter anderem Schutz gegen Zahlungsunfähigkeit des Haftpflichtigen zu bieten habe. Dieser Normzweck stehe nicht in Frage, wenn dem Geschädigten lediglich eine nicht gegen den Willen des Schuldners durchsetzbare, verjährte Forderung zustehe und der Haftpflichtige die Einrede der Verjährung tatsächlich erhebe. Die Vorinstanz erwog weiter, dass es beim Befriedigungsvorrecht des Geschädigten um die Reihenfolge unter mehreren Gläubigern gehe, die durchsetzbare Ansprüche auf dasselbe Haftungssubstrat erheben können. Die Frage der Rangfolge stelle sich jedoch gar nicht, wenn der Geschädigte keine erzwingbare Forderung mehr erheben könne. Insoweit verhalte es sich gleich wie bei privilegierten Forderungen im Konkursverfahren, die nicht angemeldet oder abgewiesen werden, womit die darauf entfallende Konkursdividende den nachfolgenden Gläubigern und nicht dem Schuldner zugute käme. Im Übrigen würde es zu einer vom Gesetzgeber nicht beabsichtigten Privilegierung des insolventen und ungenügend versicherten Haftpflichtigen führen, wenn sich der Haftpflichtige und sein Versicherer in der vorliegenden Situation auf das Befriedigungsvorrecht berufen könnten, da sie diesfalls weder die verjährte Schadenersatzforderung des Geschädigten noch die Regressforderung der Sozialversicherung erfüllen müssten, wogegen ein solventer und ausreichend versicherter Haftpflichtiger die Regressforderung allemal zu begleichen hätte. Der Zweck des Befriedigungsvorrechts sei darin zu sehen, eine Benachteiligung des Geschädigten zu verhindern. Da die Geschädigte keinerlei Nachteil erleide, wenn die Beschwerdegegnerin ihre Regressforderung durchsetze, könne sich die Beschwerdeführerin nicht auf das Befriedigungsvorrecht berufen.
1.2 Die Beschwerdeführerin bringt hiergegen vor, es sei von einem Befriedigungsvorrecht (Art. 48quater Abs. 3 aAHVG) ihrerseits auszugehen, da die bei ihr abgeschlossene Berufshaftpflichtversicherung lediglich eine Deckungssumme von Fr. 3 Mio. aufweise, während der Gesamtschaden der Geschädigten weit darüber liege. Soweit ein Geschädigter seinen Direktanspruch gegen den Haftpflichtigen nicht geltend mache bzw. aufgrund der erhobenen Verjährungseinrede nicht mehr geltend machen könne, werde die haftpflichtige Person begünstigt, da die mit einem Geschädigten konkurrierende Sozialversicherung von Anfang an nur in die ihr selbst zustehende Quote subrogieren könne. Aufgrund des klaren Gesetzeswortlauts, so die Beschwerdeführerin weiter, müsse sich die Sozialversicherung die Direktansprüche selbst dann abziehen lassen, wenn gar keine solchen gestellt worden seien.
1.2 Die Beschwerdeführerin bringt hiergegen vor, es sei von einem Befriedigungsvorrecht (Art. 48quater Abs. 3 aAHVG) ihrerseits auszugehen, da die bei ihr abgeschlossene Berufshaftpflichtversicherung lediglich eine Deckungssumme von Fr. 3 Mio. aufweise, während der Gesamtschaden der Geschädigten weit darüber liege. Soweit ein Geschädigter seinen Direktanspruch gegen den Haftpflichtigen nicht geltend mache bzw. aufgrund der erhobenen Verjährungseinrede nicht mehr geltend machen könne, werde die haftpflichtige Person begünstigt, da die mit einem Geschädigten konkurrierende Sozialversicherung von Anfang an nur in die ihr selbst zustehende Quote subrogieren könne. Aufgrund des klaren Gesetzeswortlauts, so die Beschwerdeführerin weiter, müsse sich die Sozialversicherung die Direktansprüche selbst dann abziehen lassen, wenn gar keine solchen gestellt worden seien.
1.3 1.3.1 Das Quotenvorrecht bedeutet, dass die Versicherung nicht zum Nachteil des Geschädigten Regress nehmen darf. Ersetzt sie nur einen Teil des Schadens, so kann der Geschädigte den nicht gedeckten Teil vom Haftpflichtigen einfordern, und der Versicherung steht ein Regressanspruch nur im Rahmen des danach noch verbleibenden Haftungsanspruchs zu (<ref-ruling> E. 3c S. 62; <ref-ruling> E. 11c S. 627, je mit Hinweisen). Das Privileg des Quotenvorrechts soll die geschädigte Person vor ungedecktem Schaden bewahren, jedoch nicht zu ihrer Bereicherung führen (<ref-ruling> E. 7.1 S. 16).
Das in Art. 48quater aAHVG vorgesehene Quotenvorrecht des Geschädigten (siehe nunmehr <ref-law>) kann als Verteilungsvorrecht (Abs. 1) oder als Befriedigungs- bzw. Deckungsvorrecht (Abs. 3 Satz 2) zum Tragen kommen (zur Unterscheidung Roland Schaer, Grundzüge des Zusammenwirkens von Schadenausgleichsystemen, Basel/Frankfurt a.M. 1984, Rz. 942). Während das Verteilungsvorrecht dann zum Zug kommt, wenn dem Geschädigten aus rechtlichen Gründen (insbesondere bei blosser Teilhaftung des Haftpflichtigen wegen Selbstverschuldens) nicht die volle Befriedigung zukommt, findet das Befriedigungsvorrecht Anwendung, wenn der Haftpflichtige aus tatsächlichen Gründen (Insolvenz bzw. mangelnde Versicherungsdeckung) nicht in der Lage ist, beide gegen ihn gerichteten Forderungen zu befriedigen (dazu PETER BECK, Zusammenwirken von Schadenausgleichsystemen, in: Münch/Geiser [Hrsg.], Schaden - Haftung - Versicherung, Basel 1999, Rz. 6.138 ff.).
Bereits der Umstand, dass dem Quotenvorrecht nur im Rahmen der Leistungskoordination Bedeutung zukommt, lässt es als fragwürdig erscheinen, ein "fiktives Quotenvorrecht" auch für den Fall anzuerkennen, dass der Geschädigte seinen Schadenersatzanspruch infolge Verjährung gar nicht mehr durchsetzen kann. Es ist fraglich, ob in einer solchen Konstellation von einer Konkurrenz des Direktanspruchs des Geschädigten mit dem Subrogationsanspruch des Versicherers gesprochen werden kann, weshalb sich womöglich auch die Frage nach der Rangfolge dieser Ansprüche erübrigt. Wie es sich damit in Bezug auf das Verteilungsvorrecht nach Art. 48quater Abs. 1 aAHVG (bzw. nunmehr <ref-law>) verhält, kann vorliegend offen bleiben, da der haftpflichtige Arzt unbestritten für den gesamten Schaden aufzukommen hat und ein Quotenvorrecht im Sinne des Verteilungsvorrechts ausser Betracht steht.
1.3.2 Die Beschwerdeführerin hält dem Regressanspruch der Beschwerdegegnerin einzig das Befriedigungsvorrecht der Geschädigten (Art. 48quater Abs. 3 Satz 2 aAHVG) entgegen. Danach sind, falls nur ein Teil des vom Haftpflichtigen geschuldeten Ersatzes eingebracht werden kann, daraus zuerst die Ansprüche des Versicherten und seiner Hinterlassenen zu befriedigen.
Die Beschwerdeführerin beruft sich vergeblich auf das Befriedigungsvorrecht. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin wird die Subrogation bei ungenügendem Haftungssubstrat nicht etwa beschränkt; vielmehr tritt der Sozialversicherer im Umfang der von ihm erbrachten Leistungen vollständig in die Schadenersatzforderung der geschädigten Person ein. Macht der Geschädigte bei ungenügendem Vermögen des Haftpflichtigen seine Ersatzansprüche nicht geltend oder lässt er sie verjähren, so stellt sich die Frage einer Rangordnung zwischen Sozialversicherer und Geschädigtem hinsichtlich der Vermögenswerte des Haftpflichtigen gar nicht. Wie die Beschwerdegegnerin zutreffend vorbringt, ist eine Rangordnung nur dann nötig, wenn mehrere Gläubiger auf ungenügendes Haftungssubstrat greifen können. Kann der Geschädigte seinen Anspruch aufgrund des Eintritts der Verjährung nicht mehr durchsetzen oder macht er seinen Anspruch aus anderen Gründen nicht geltend, so bleibt für eine Rangordnung für den Zugriff auf das Haftungssubstrat kein Raum (im Ergebnis ebenso GHISLAINE FRÉSARD-FELLAY, Le recours subrogatoire de l'assurance-accidents sociale contre le tiers responsable ou son assureur, Diss. Fribourg 2007, Rz. 1121 ff.; FRANÇOIS KOLLY, Le droit préférentiel du lésé, en l'absence de prétention directe de celui-ci - application du droit préférentiel abstrait ou concret?, in: HAVE 2004 S. 305, die allerdings beide zu diesem Schluss kommen, ohne zwischen dem Befriedigungsvorrecht und dem - im vorliegenden Verfahren nicht in Frage stehenden - Quotenvorrecht im Sinne des Verteilungsvorrechts nach Art. 48quater Abs. 1 aAHVG bzw. <ref-law> zu differenzieren).
Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, spricht der Wortlaut von Art. 48quater Abs. 3 Satz 2 aAHVG dagegen, dass zum geschuldeten Ersatz, der nur teilweise "eingebracht" werden kann, auch Ersatzansprüche des Versicherten bzw. seiner Hinterlassenen gezählt werden, die verjährt sind, zumal der letzte Satzteil der Bestimmung voraussetzt, dass das verfügbare Haftungssubstrat zur Auszahlung gelangt und die Ansprüche tatsächlich erfüllt werden. Muss der Ersatzpflichtige demgegenüber nicht mehr leisten, weil er dem Geschädigten die Verjährungseinrede entgegenhält, so kann von einem nur teilweise "eingebrachten" Ersatz nicht die Rede sein und dem Haftpflichtigen ist es verwehrt, sich auf eine (fiktive) vorgängige Befriedigung des Versicherten zu berufen. Dass einem Schädiger gegenüber dem Geschädigten Ansprüche in auch nur annähernd gleicher Höhe zustehen und der Geschädigte daher die verjährten Schadenersatzansprüche zur Verrechnung bringen kann (<ref-law>), ist zwar ein denkbarer, aber kein Ausnahmefall, mit dem ernsthaft zu rechnen ist. Der betreffende Einwand der Beschwerdeführerin verfängt daher nicht.
Das Befriedigungsvorrecht des Geschädigten beruht auf dem Gedanken, dass der Versicherer seinen Versicherten unter anderem Schutz gegen Zahlungsunfähigkeit des Haftpflichtigen zu bieten hat (OFTINGER/STARK, Schweizerisches Haftpflichtrecht, Band I: Allgemeiner Teil, 5. Aufl., Zürich 1995, § 11 Rz. 201; FRÉSARD-FELLAY, a.a.O., Rz. 1076; Schaer, a.a.O., Rz. 794). Kann die Direktforderung gegenüber dem Haftpflichtigen nicht mehr durchgesetzt werden, da dieser ihr die Verjährungseinrede entgegenhält, so erübrigt sich ein Schutz des Geschädigten gegen Insolvenz und es steht der Durchsetzung des Regressanspruchs des Sozialversicherers nichts entgegen. Die Vorinstanz hat demnach kein Bundesrecht verletzt, wenn sie die Klage der Beschwerdegegnerin gutgeheissen hat.
2. Wie die Vorinstanz im Sinne einer Alternativbegründung zutreffend erwog, wären die Voraussetzungen für das Befriedigungsvorrecht der Geschädigten (Art. 48quater Abs. 3 Satz 2 aAHVG) ohnehin nicht erfüllt. Die Anwendbarkeit des Befriedigungsvorrechts setzt nämlich voraus, dass die Mittel der haftpflichtigen Person zur Erfüllung der Haftpflichtansprüche nicht ausreichen (FRÉSARD-FELLAY, a.a.O., Rz. 1074 f.; OFTINGER/STARK, a.a.O., § 11 Rz. 199).
Da die Beschwerdeführerin aus dem Ungenügen von Mitteln zur Erfüllung der Haftpflichtansprüche Rechte für sich ableitet, trägt sie dafür die Beweislast (<ref-law>). Nach den verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) ist über die finanzielle Situation des haftpflichtigen Arztes, Dr. W._, nichts bekannt. Demzufolge kann nicht davon ausgegangen werden, dass er nicht in der Lage wäre, alle gegen ihn gerichteten Ansprüche zu befriedigen, also sowohl den Direktanspruch der Geschädigten als auch den Regressanspruch der Beschwerdegegnerin.
Zu Unrecht schliesst die Beschwerdeführerin aus der blossen Tatsache, dass die bei ihr abgeschlossene Haftpflichtversicherungspolice eine maximale Deckungssumme von Fr. 3 Mio. aufweist, auf die teilweise Uneinbringlichkeit des geschuldeten Schadenersatzes. Von einem ungenügenden Haftungssubstrat ist bei unzureichender Deckungssumme der Haftpflichtversicherung nämlich nur dann auszugehen, wenn darüber hinaus der Haftpflichtige zahlungsunfähig ist (FRÉSARD-FELLAY, a.a.O., Rz. 1075; ALFRED MAURER, Bundessozialversicherungsrecht, 2. Aufl., Basel/Frankfurt a.M. 1994, S. 414). Entsprechend ergibt sich aus der maximalen Deckungssumme der Haftpflichtversicherungspolice allein noch kein Ungenügen des Haftungssubstrats. Dazu wäre von der Beschwerdeführerin vielmehr nachzuweisen gewesen, dass das verwertbare Vermögen des haftpflichtigen Arztes, Dr. W._, nicht ausreichen würde, um den von der Haftpflichtversicherung nicht übernommenen Teil des ersatzpflichtigen Schadens zu decken. Diesen Nachweis hat die Beschwerdeführerin nicht erbracht. Wie die Beschwerdegegnerin zu Recht vorbringt, darf unter diesen Umständen die Versicherungssumme nicht mit dem zur Verfügung stehenden Haftungssubstrat gleichgesetzt werden.
Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, berührt die Prozessvereinbarung vom 27. April 2006 die Rechtsstellung der daran nicht beteiligten Geschädigten nicht. Der Umstand, dass nach der Prozessvereinbarung vom 27. April 2006 die Beschwerdeführerin gegenüber der Beschwerdegegnerin nicht unbeschränkt haftet, sondern höchstens bis zur Höhe der Versicherungssumme von Fr. 3 Mio., beschlägt ausschliesslich den maximalen Haftungsumfang im Verhältnis zwischen den Parteien des vorliegenden Verfahrens. Diese betragsmässige Haftungsbeschränkung ist zu unterscheiden vom tatsächlich zur Verfügung stehenden Haftungssubstrat, das durch die Prozessvereinbarung unberührt bleibt.
Nachdem es die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren unterlassen hat, das fehlende Haftungssubstrat für die Begleichung der Direktforderung der Geschädigten sowie der Regressforderung des Sozialversicherers nachzuweisen, fehlt es aufgrund des Gesagten bereits an einer Grundvoraussetzung für die Anwendbarkeit des Befriedigungsvorrechts nach Art. 48quater Abs. 3 Satz 2 aAHVG. Eine Berufung auf das Befriedigungsvorrecht der Geschädigten ist damit von vornherein ausgeschlossen.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin bringt im Weiteren vor, das Obergericht sei zu Unrecht davon ausgegangen, dass die im Rahmen der Versicherungssumme zu berücksichtigenden Gerichtskosten aus dem Genugtuungsprozess nur im Umfang von Fr. 12'075.-- belegt seien. Aufgrund der Verfügung des Obergerichts des Kantons Solothurn ergebe sich klar, dass ein Gesamtbetrag von Fr. 20'950.-- zu bezahlen gewesen sei, der sich aus Fr. 11'950.-- an erstinstanzlichen Gerichtskosten sowie einem Kostenvorschuss von Fr. 9'000.-- für das Appellationsverfahren zusammensetze. Die Beschwerdeführerin rügt die vorinstanzliche Feststellung als willkürlich und aktenwidrig.
Von einer aktenwidrigen bzw. willkürlichen Feststellung kann keine Rede sein. Gemäss Ziffer 8 des obergerichtlichen Urteils vom 12. Dezember 2002 wurden die Gerichtskosten für die beiden kantonalen Verfahren auf insgesamt Fr. 24'150.-- (Fr. 14'950.-- für das erstinstanzliche Verfahren sowie Fr. 9'200.-- für das Appellationsverfahren) veranschlagt. Davon war die Hälfte, also Fr. 12'075.--, von der Beschwerdeführerin zu bezahlen. Die Verfügung des Obergerichts vom 22. August 2001, wonach die Beschwerdeführerin für das obergerichtliche Verfahren einen Kostenvorschuss zu bezahlen hatte, belegt entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin nicht die ihr rechtskräftig auferlegten Gerichtskosten. Die Vorinstanz hat vielmehr bezüglich der im Rahmen der Versicherungssumme zu berücksichtigenden Gerichtskosten zu Recht auf das Urteil vom 12. Dezember 2002 abgestellt und nur den Betrag von Fr. 12'075.-- als belegt erachtet.
3.2 Die Beschwerdeführerin rügt schliesslich den Umfang der von der Vorinstanz zu Lasten der Versicherungssumme berücksichtigten Honorare des vormaligen Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin im Betrag von Fr. 205'770.20.-- als willkürlich und beruft sich zudem auf <ref-law>. Die Vorinstanz hat von dem von der Beschwerdeführerin im Appellationsverfahren geltend gemachten Honorar in Höhe von Fr. 211'979.35.-- den Betrag von Fr. 6'209.25.-- abgezogen, da sie eine angeblich erste Zahlung vom 3. Februar 1999 für nicht belegt erachtete.
3.2.1 Von vornherein ins Leere stösst die Rüge der Beschwerdeführerin, soweit sie unter Berufung auf <ref-law> sinngemäss geltend macht, die Vorinstanz habe die von ihr eingereichten Beweismittel (Beilagen 15.1 bis 15.15 zur Appellationsbegründung) nicht beachtet. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin trifft dieser Vorwurf nicht zu, hat die Vorinstanz die eingereichten Beweise doch bei der Frage der zu Lasten der Versicherungssumme zu berücksichtigenden Aufwendungen gewürdigt.
3.2.2 Das Bundesgericht kann eine Verletzung von Grundrechten nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2; <ref-ruling> E. 6, 439 E. 3.2). Soweit eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend gemacht wird, genügt es daher nicht, wenn der Beschwerdeführer einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; er hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 5.5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262; <ref-ruling> E. 2a S. 3 f.). Wird dem kantonalen Gericht Willkür in der Ermittlung des Sachverhalts vorgeworfen, so hat er zudem darzutun, dass die willkürlichen Feststellungen erhebliche Tatsachen betreffen und sich auf den Entscheid ausgewirkt haben, rechtfertigt sich dessen Aufhebung doch von vornherein nur, wenn er sich nicht nur in einzelnen Punkten seiner Begründung, sondern auch im Ergebnis als verfassungswidrig erweist (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1, je mit Hinweisen).
3.2.3 Die Beschwerdeführerin bringt zur Begründung ihrer Willkürrüge einzig vor, dass sie zusammen mit der Appellationsbegründung Honorarnoten im Umfang von Fr. 214'501.80 als Beilagen 15.1 bis 15.15 ins Recht gelegt habe. Dieses Vorbringen ist jedoch insoweit neu und damit unzulässig (<ref-law>), als die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren lediglich Anwaltshonorare des ehemaligen Rechtsvertreters im Umfang von Fr. 211'979.35.-- geltend machte. Neben den erwähnten Beilagen reichte sie im vorinstanzlichen Verfahren eine Zusammenstellung der Zahlungen als Appellationsbeilage 14 ein, die nach Auffassung der Vorinstanz Ungereimtheiten bzw. inhaltliche Fehler aufweist. Auf die im angefochtenen Urteil erwähnte angebliche Zahlung vom 3. Februar 1999 über Fr. 6'209.25, die von der Vorinstanz mangels Beleg nicht berücksichtigt und daher vom geltend gemachten Betrag von Fr. 211'979.35.-- abgezogen wurde, geht die Beschwerde mit keinem Wort ein. Die Willkürrüge der Beschwerdeführerin ist ungenügend begründet (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>), weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
3.2.4 Aus den dargelegten Gründen ergibt sich, dass die von der Vorinstanz zu Lasten der Versicherungssumme (Fr. 3 Mio.) berücksichtigten Aufwendungen der Beschwerdeführerin im Betrag von Fr. 326'385.30 unter dem Gesichtspunkt des Willkürverbots (<ref-law>) bzw. <ref-law> nicht zu beanstanden sind.
In Anwendung von Ziffern 2 und 3 der Prozessvereinbarung zwischen den Parteien vom 27. April 2006 hat die Vorinstanz die Hälfte der der Beschwerdeführerin auferlegten Gerichtskosten und Parteientschädigung (entsprechend Fr. 108'802.90) zu den bereits festgestellten Aufwendungen von Fr. 326'385.30 hinzugezählt, womit sich an die Versicherungssumme anzurechnende Aufwendungen von insgesamt Fr. 435'188.20 ergaben. Für die von der Beschwerdegegnerin geltend gemachte Regressforderung standen somit noch Fr. 2'564'811.80 (Fr. 3 Mio. minus Fr. 435'188.20) zur Verfügung.
3.2.5 Die Beschwerdeführerin macht im Verfahren vor Bundesgericht geltend, dass auf die gesamte Versicherungssumme von Fr. 3 Mio. noch die Hälfte der im vorliegenden Beschwerdeverfahren anfallenden Gerichts- und Parteikosten, die der Beschwerdeführerin insgesamt auferlegt würden, bei der Festlegung der definitiven zur Verfügung stehenden Summe zu berücksichtigen seien. Die Beschwerdegegnerin anerkennt in der Beschwerdeantwort, dass diese Kosten bei der Zusprechung ihrer Forderung zu berücksichtigen sind. Entsprechend wird die von der Beschwerdegegnerin geltend gemachte Forderung nach dem Entscheid über die Verteilung der Prozesskosten im vorliegenden Beschwerdeverfahren festgesetzt.
4. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Obwohl es sich bei der anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin um einen dem Bund zugehörigen Sozialversicherungsträger handelt (vgl. <ref-law>), rechtfertigt es sich aufgrund der besonderen Interessenkonstellation des Regressprozesses, ihr im bundesgerichtlichen Verfahren eine Parteientschädigung zuzusprechen (so auch Thomas Geiser, Basler Kommentar, N. 21 zu <ref-law>).
Unter Berücksichtigung der Gerichtskosten von Fr. 18'000.-- sowie der Parteientschädigung von Fr. 20'000.-- (insgesamt Fr. 38'000.--) sind weitere Fr. 19'000.-- (entsprechend der Hälfte der Prozesskosten) zu den bisher einbezogenen Aufwendungen von Fr. 435'188.20 hinzuzurechnen, womit die anzurechnenden Aufwendungen der Beschwerdeführerin insgesamt Fr. 454'188.20 betragen. Damit stehen für die von der Beschwerdegegnerin geltend gemachte Regressforderung noch Fr. 2'545'811.80 (Fr. 3 Mio. minus Fr. 454'188.20) zur Verfügung.
Entsprechend ist die eingeklagte Forderung von Fr. 2'520'852.-- und ein Teil des geltend gemachten Schadenszinses (Fr. 24'959.80) gedeckt. In diesem Sinn ist Ziffer 1 des angefochtenen Urteils aufzuheben und mit dem Zugeständnis der Beschwerdegegnerin (vgl. oben E. 3.2.5) neu zu fassen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Ziffer 1 des Urteils des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 21. April 2008 wird aufgehoben und wie folgt gefasst:
"Die Beklagte hat der Klägerin den Betrag von Fr. 2'520'852.-- nebst Schadenszins von Fr. 24'959.80 zu bezahlen."
3. Die Gerichtskosten von Fr. 18'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 20'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Corboz Leemann