Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 31. Mai 2007 sprach die I. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich als erste Instanz X._ des mehrfachen Raubes (<ref-law>), des mehrfachen Missbrauchs einer Datenverarbeitungsanlage (<ref-law> teilweise i.V.m. <ref-law>), der Vergewaltigung (<ref-law>), des Hausfriedensbruchs (<ref-law>) sowie des Vergehens gegen das Waffengesetz schuldig. Auf die Anklage betreffend geringfügigen Diebstahls trat es nicht ein. Das Gericht erklärte weiter die mit Urteil des Einzelrichters in Strafsachen des Bezirkes Zürich vom 6. März 2003 ausgefällte Freiheitsstrafe von 21 Tagen Gefängnis als vollziehbar und bestrafte X._ unter Einbezug dieser Strafe mit einer Freiheitsstrafe von neun Jahren und 21 Tagen als Gesamtstrafe.
Gegen dieses Urteil erhob X._ Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich, mit welcher er die Schuldsprüche wegen Vergewaltigung und Hausfriedensbruch anfocht. Das Kassationsgericht wies die Beschwerde mit Zirkulationsbeschluss vom 23. Juli 2008 ab.
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 23. Juli 2008 sei aufzuheben, und die Sache sei zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht X._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.

Erwägungen:
1. 1.1 Auf die Beschwerde ist einzutreten, da sie unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (<ref-law>) und Form (<ref-law>) von der in ihren Anträgen unterliegenden beschuldigten Person (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 BGG) eingereicht wurde und sich gegen einen von einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) gefällten Endentscheid (Art. 90 und 95 BGG) in Strafsachen (<ref-law>) richtet.
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhaltes durch die Vorinstanz kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Verletzung von schweizerischem Recht im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Die Wendung "offensichtlich unrichtig" entspricht dem Willkürbegriff im Sinne von <ref-law> (Botschaft des Bundesrates vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4338). Die Rüge der offensichtlich unrichtigen Feststellung des Sachverhalts, mithin der Verletzung des Willkürverbots, prüft das Bundesgericht gemäss <ref-law> nur insoweit, als sie in der Beschwerde explizit vorgebracht und substantiiert begründet worden ist (<ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.4).
2. Der Beschwerdeführer ficht seine Verurteilungen wegen Vergewaltigung und Hausfriedensbruch an. Er rügt eine willkürliche Beweiswürdigung und als Folge daraus eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung. Im Ergebnis verletze das angefochtene Urteil den aus der Unschuldsvermutung abgeleiteten Grundsatz "in dubio pro reo", denn er sei schuldig gesprochen worden, obwohl bei objektiver Würdigung des Beweisergebnisses erhebliche bzw. schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an seiner Schuld bestünden.
2.1 Den Verurteilungen liegt folgender, von der Vorinstanz als erwiesen erachteter Sachverhalt zugrunde:
Der Beschwerdeführer stieg am 17. August 2003 zwischen 04.15 und 05.10 Uhr über den Balkon in die im Hochparterre liegende Wohnung von A._ ein und begab sich ins Schlafzimmer. Dort drückte er der schlafenden A._ die Decke auf das Gesicht. Als diese darob erwachte und sich mit den Händen zur Wehr setzte, hielt sie der Beschwerdeführer fest. Anschliessend zog er ein Messer und hielt dessen Klinge an den Hals von A._. Diese unterliess in der Folge jegliche Gegenwehr. Während er A._ mit seiner linken Hand fixierte, entfernte er die Decke und zog A._ die Unterhose und sich seine Hose hinunter. Alsdann drang er mit seinem Penis in ihre Scheide ein und vollzog gegen deren Willen den Geschlechtsverkehr bis zum Samenerguss. Nach einem kurzen Gespräch, während welchem er A._ nach wie vor mit dem Messer in der Hand an ihrer Hand festhielt, vollzog er ein zweites Mal gewaltsam den Geschlechtsverkehr.
Der Beschwerdeführer stieg am 17. August 2003 zwischen 04.15 und 05.10 Uhr über den Balkon in die im Hochparterre liegende Wohnung von A._ ein und begab sich ins Schlafzimmer. Dort drückte er der schlafenden A._ die Decke auf das Gesicht. Als diese darob erwachte und sich mit den Händen zur Wehr setzte, hielt sie der Beschwerdeführer fest. Anschliessend zog er ein Messer und hielt dessen Klinge an den Hals von A._. Diese unterliess in der Folge jegliche Gegenwehr. Während er A._ mit seiner linken Hand fixierte, entfernte er die Decke und zog A._ die Unterhose und sich seine Hose hinunter. Alsdann drang er mit seinem Penis in ihre Scheide ein und vollzog gegen deren Willen den Geschlechtsverkehr bis zum Samenerguss. Nach einem kurzen Gespräch, während welchem er A._ nach wie vor mit dem Messer in der Hand an ihrer Hand festhielt, vollzog er ein zweites Mal gewaltsam den Geschlechtsverkehr.
2.2 2.2.1 Die Vorinstanz hat unter Bezugnahme auf das erstinstanzliche Urteil erwogen, die wenige Stunden nach dem Vorfall ausgerückten Funktionäre des Wissenschaftlichen Diensts und des Erkennungsdiensts hätten trotz intensiver Suche am Tatort keinerlei Spuren gefunden. Dieser Umstand spreche weder für noch gegen die Täterschaft des Beschwerdeführers, sondern könne höchstens die Frage aufwerfen, ob die Darstellung von A._ als solches zutreffe.
2.2.2 Die Vorinstanz hat weiter ausgeführt, die Aussagen von A._, wonach sie in der fraglichen Nacht von einem ihr unbekannten Mann vergewaltigt worden sei, seien im Kernbereich konstant und damit glaubhaft. Hinweise darauf, dass sie die ganze Geschichte erfunden haben könnte, ergäben sich keine, und auch die Tatsache, dass sie eine gynäkologische Untersuchung abgelehnt habe, ändere an der Glaubhaftigkeit ihrer Aussagen nichts. Ihre Weigerung sei nachvollziehbar, zumal sie sich gemäss eigenen Angaben nach dem Vorfall geduscht und mit Seife gereinigt habe, und der Täter ein Kondom benutzt habe.
2.2.3 In Bezug auf die durchgeführten Sprachwahlkonfrontationen hat die Vorinstanz festgehalten, dass bei der ersten Konfrontation vom 30. April 2004, anlässlich welcher A._ den Beschwerdeführer als Täter bezeichnet habe, dieser der einzige der vier Teilnehmer mit einem fremdländischen Akzent gewesen sei. Aufgrund der offensichtlichen Unterschiede in Sprache und Artikulation der Teilnehmenden habe die Bezirksanwältin eine zweite Sprachwahlkonfrontation angeordnet, bei welcher als Vergleichspersonen drei Ausländer eingesetzt worden seien. Auch bei dieser zweiten Konfrontation vom 22. Juni 2005 habe A._ angegeben, den Beschwerdeführer eindeutig als Täter zu erkennen.
Während die erste Wahlkonfrontation als Folge der ungeeigneten Auswahl der Vergleichspersonen per se nicht aussagekräftig sei, könne bei der zweiten Konfrontation nicht ausgeschlossen werden, dass A._ "vorbefasst" gewesen sei. Eine Falschidentifikation könne daher im Rahmen einer zweiten Wahlkonfrontation generell kaum korrigiert werden, weil die Gefahr der zumindest unbewussten Selbstbindung des Zeugen an das bereits Gesagte bzw. Erkannte bestehe. Bei einer derartigen Konstellation müsse deshalb dem Ergebnis der zweiten Konfrontation im Rahmen der freien richterlichen Beweiswürdigung mit grosser Zurückhaltung begegnet werden.
2.2.4 Die Vorinstanz hat weiter betont, entscheidend ins Gewicht falle, dass die Beschwerdeführerin am Tag nach der mutmasslichen Tat beim Reinigen der Wohnung unter dem Sofakissen eine aufgebrochene, leere Kondomverpackung gefunden habe, auf welcher DNA-Spuren des Beschwerdeführers sichergestellt worden seien. Der Umstand, dass dieses Beweisstück zunächst übersehen worden sei, lasse zwar das Vorgehen der Ermittlungsbehörde in einem nicht ganz lupenreinen Licht erscheinen, beeinflusse aber letztlich den Beweiswert als solchen nicht, zumal nicht davon auszugehen sei und vom Beschwerdeführer auch nicht geltend gemacht werde, dass die Kondomverpackung erst nachträglich in der Wohnung deponiert worden sei.
2.3 Was der Beschwerdeführer gegen diese Beweiswürdigung der Vorinstanz vorbringt, ist nicht geeignet, Willkür darzutun.
2.3.1 Willkür im Sinne von <ref-law> liegt nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung einzig vor, wenn der angefochtene Entscheid auf einer schlechterdings unhaltbaren oder widersprüchlichen Beweiswürdigung beruht bzw. im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Dass das angefochtene Urteil mit der Darstellung des Beschwerdeführers nicht übereinstimmt oder eine andere Lösung oder Würdigung vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, genügt praxisgemäss für die Begründung von Willkür nicht (127 I 54 E. 2b mit Hinweisen).
2.3.2 Der Beschwerdeführer wiederholt über weite Strecken einzig seine bereits im kantonalen Verfahren erhobenen Tatsachenbehauptungen und stellt der vorinstanzlichen Begründung lediglich seine eigene Sicht der Dinge gegenüber, ohne näher zu erörtern, inwiefern der Entscheid (auch) im Ergebnis schlechterdings unhaltbar sein sollte. Seine Ausführungen erschöpfen sich mithin insoweit in einer unzulässigen appellatorischen Kritik am angefochtenen Urteil und genügen den Begründungsanforderungen gemäss <ref-law> nicht (vgl. E. 1.2 hiervor).
Dies gilt insbesondere für sein Vorbringen, es sei äusserst ungewöhnlich, dass der Wissenschaftliche Dienst trotz akribischer Suche am Tatort weder verwertbare Spuren noch die Kondomverpackung habe sicherstellen können, wie auch für seine Behauptung, die Beschreibung der körperlichen Merkmale und des Akzents des Täters durch A._ muteten widersprüchlich an.
2.3.3 Soweit auf seine Rügen überhaupt eingetreten werden kann, sind diese nicht stichhaltig.
Die Vorinstanz konnte vorliegend willkürfrei den Schluss ziehen, es sei nachvollziehbar, dass sich A._ keiner gynäkologischen Untersuchung habe unterziehen wollen, zumal diese aufgrund der konkreten Umstände (Verwendung eines Kondoms durch den Täter, intensives Duschen des Opfers unmittelbar nach der Vergewaltigung) mutmasslich keine relevanten Ergebnisse in Bezug auf die Täterschaft gezeigt hätte.
Des Weiteren ist es nicht unhaltbar, dass die Vorinstanz das Ergebnis der zweiten Sprachwahlkonfrontation mit grosser Zurückhaltung in die Beweiswürdigung einbezogen und ganz entscheidend auf das objektive Beweismittel der DNA-Spur des Beschwerdeführers auf der in der Wohnung von A._ aufgefundenen leeren Kondomverpackung abgestellt hat. Zudem konnte die Vorinstanz die Argumentation des Beschwerdeführers, das Auffinden der Kondomverpackung lasse höchstens Rückschlüsse auf sexuelle Kontakte zwischen ihm und A._, nicht aber darauf zu, dass diese Kontakte in der Tatnacht gegen den Willen von A._ stattgefunden hätten, im Ergebnis willkürfrei als wenig überzeugend einstufen.
Gestützt auf diese nicht zu beanstandende Beweiswürdigung konnte die Vorinstanz daher, ohne in Willkür zu verfallen, folgern, es bestünden bei objektiver Betrachtung keine offensichtlich erheblichen bzw. schlechterdings nicht zu unterdrückenden Zweifel an der Schuld des Beschwerdeführers. Die Vorinstanz hat somit zusammenfassend weder gegen <ref-law> verstossen noch den aus der Unschuldsvermutung (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK) abgeleiteten Grundsatz "in dubio pro reo" verletzt.
3. Die Schuldsprüche des Beschwerdeführers wegen Vergewaltigung und Hausfriedensbruch verletzen kein Bundesrecht, und die Beschwerde ist folglich vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Da das Rechtsmittel von vornherein aussichtslos war, kann dem Gesuch nicht entsprochen werden (<ref-law>).
Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr ist seinen finanziellen Verhältnissen Rechnung zu tragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. November 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Stohner