Sachverhalt:
A. X._ war bis zum 1. Dezember 2008 in der Strafanstalt Pöschwies im Vollzug; seither verbüsst er seine Strafe in der Strafanstalt Sennhof in Chur.
Im Oktober 2008 verbot der Chef Vollzug der Strafanstalt Pöschwies den Inhaftierten das sichtbare Tragen von langen Unterhosen auf dem Pausenhof und in den Gruppenräumlichkeiten. X._ verstiess mehrfach gegen diese Weisung und wurde unter anderem mit fünf Arreststrafen à sieben Tage (insgesamt 35 Tage) belegt. Die von ihm gegen diese Verfügungen erhobenen Rekurse wies die Justizdirektion des Kantons Zürich ab, soweit sie darauf eintrat. Mit Entscheid vom 20. August 2009 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die von X._ eingereichten Beschwerden gut und hob die Dis-ziplinarverfügungen auf, da sich diese auf eine unzulässige Kleidervorschrift stützten.
B. Mit Eingabe vom 28. November 2009 wandte sich X._ an die Finanzdirektion des Kantons Zürich und beantragte eine Entschädigung von Fr. 8'750.-- für die - zu Unrecht - erstandenen 35 Tage Arrest. Die Finanzdirektion teilte ihm mit Schreiben vom 27. Januar 2010 mit, seinem Begehren könne nicht stattgegeben werden, da dem Chef Vollzug der Strafanstalt Pöschwies kein arglistiges Handeln im Sinne von § 6 Abs. 2 des Haftungsgesetzes des Kantons Zürich vom 14. September 1969 (HaftG/ZH; LS 170.1) vorgeworfen werden könne.
X._ stellte daraufhin beim Einzelrichter für Zivilsachen des Bezirksgerichts Zürich erneut sinngemäss den Antrag, der Kanton Zürich sei zu verpflichten, ihm eine Entschädigung von Fr. 8'750.-- zu bezahlen. Zugleich ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. Mit Verfügung vom 22. April 2010 wies der Einzelrichter das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wegen Aussichtslosigkeit ab und setzte X._ Frist zur Leistung einer Prozesskaution von Fr. 2'600.--.
Den gegen diesen Entscheid von X._ erhobenen Rekurs wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 16. Juli 2010 ab.
C. Mit Verfassungsbeschwerde vom 28. Juli 2010 ficht X._ den Beschluss des Obergerichts an und rügt Verletzungen von Art. 8 Abs. 1, Art. 9, Art. 29 Abs. 2 und 3 BV sowie von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Zugleich ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Obergericht und die Finanzdirektion des Kantons Zürich verzichten auf Vernehmlassungen zur Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> ist gemäss <ref-law> gegen Entscheide auf dem Gebiet der Staatshaftung ausgeschlossen, wenn der Streitwert weniger als Fr. 30'000.-- beträgt (Abs. 1 lit. a) und sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Abs. 2). Eine andere ordentliche Beschwerde fällt nicht in Betracht. Damit ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> im Grundsatz gegeben. Der Beschluss des Obergerichts kann mit keinem kantonalen Rechtsmittel angefochten werden und ist daher kantonal letztinstanzlich (<ref-law>).
1.2 Gegenstand des Verfahrens bildet die Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung wegen Aussichtslosigkeit. Beim angefochtenen Beschluss des Obergerichts handelt es sich um einen selbstständig eröffneten, kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid, welcher einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann (<ref-ruling> E. 4; Urteil 1D_4/2010 vom 15. Juni 2010 E. 1.2). Der Zwischenentscheid kann mit Verfassungsbeschwerde angefochten werden, soweit dieses Rechtsmittel, wie vorliegend der Fall, auch gegen den Endentscheid erhoben werden kann (vgl. <ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt. Unabhängig davon besteht ein solcher Anspruch unmittelbar aufgrund von <ref-law>. Der Beschwerdeführer macht keine Verletzung kantonalrechtlicher Bestimmungen geltend. Es ist deshalb direkt zu prüfen, ob die angerufenen verfassungs- oder konventionsrechtlichen Garantien missachtet wurden (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 98 mit Hinweisen). Diese Frage prüft das Bundesgericht frei (<ref-ruling> E. 2.1 S. 133 mit Hinweisen).
2.2 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Dieser Anspruch umfasst einerseits die Befreiung von den Verfahrenskosten und andererseits - soweit notwendig - das Recht auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder die Gewinnaussichten nur wenig geringer sind als die Verlustgefahren. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweis). Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer summarischen Prüfung nach den Verhältnissen zur Zeit, zu der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird (<ref-ruling> E. 5 S. 616; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.; je mit Hinweisen).
2.3 Zu klären ist, ob die Vorinstanz <ref-law> verletzt hat, indem sie das Begehren des Beschwerdeführers um Zusprechung einer staatlichen Entschädigung für die durch den unrechtmässigen Arrest erlittene Persönlichkeitsverletzung als aussichtslos eingestuft hat.
Die Vorinstanz erwägt, die Staatshaftung beurteile sich vorliegend nach der Bestimmung von § 6 Abs. 2 HaftG/ZH, da die Arrestverfügungen des Chefs Vollzug der Strafanstalt Pöschwies im Rechtsmittelverfahren durch das Verwaltungsgericht aufgehoben worden seien. Demzufolge hafte der Kanton nur, wenn der Chef Vollzug - als Angestellter einer Vorinstanz - arglistig gehandelt habe. Dessen Handlungsweise sei zwar "klarerweise rechtswidrig", ein geradezu arglistiges Verhalten sei jedoch nicht dargetan. Ebenso wenig liege dem Entzug der aufschiebenden Wirkung der vom Beschwerdeführer gegen diese Verfügungen eingereichten Rekurse ein arglistiges Verhalten zugrunde. Eine Staatshaftung komme somit nicht in Betracht. Der Einzelrichter habe daher das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege zu Recht wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen.
Der Beschwerdeführer bringt demgegenüber zusammenfassend vor, die Staatshaftung bei ungesetzlichem Arrest auf Fälle zu beschränken, in welchen der Vollzugsangestellte arglistig gehandelt habe, sei willkürlich.
2.4 <ref-law> regeln das ausservertragliche Haftpflichtrecht. Hat indes ein Kanton Bestimmungen über die Haftung von öffentlichen Angestellten erlassen, so beurteilt sich deren Ersatzpflicht für den Schaden, den sie in Ausübung ihrer amtlichen Verrichtungen verursachen, ausschliesslich nach dem kantonalen Recht (vgl. <ref-law>).
Einschlägig ist daher das kantonale Haftungsgesetz. Nach § 6 Abs. 1 HaftG/ZH haftet der Kanton für den Schaden, den ein Angestellter in Ausübung amtlicher Verrichtungen einem Dritten widerrechtlich zufügt. Wird ein Entscheid im Rechtsmittelverfahren geändert, so haftet der Kanton gemäss § 6 Abs. 2 HaftG/ZH nur, wenn ein Angestellter einer Vorinstanz arglistig gehandelt hat. Unter den gleichen Voraussetzungen kann ein Anspruch auf Genugtuung entstehen, wenn die Schwere der Persönlichkeitsverletzung dies rechtfertigt (§ 11 HaftG/ZH).
Die Bestimmung von § 6 Abs. 2 HaftG/ZH bildet eine Ausnahme von der in Abs. 1 aufgestellten Regel der Kausalhaftung, das heisst, bei einem Schaden aus widersprüchlichen Entscheiden im Rechtsmittelverfahren gilt eine (qualifizierte) Verschuldenshaftung (Jost Gross, Schweizerisches Staatshaftungsrecht, Stand und Entwicklungstendenzen, 2. Aufl. 2001, S. 87 und S. 93). Ein finanzieller Verzögerungsschaden kann nur entschädigt werden, wenn ein Angestellter einer Vorinstanz arglistig, sprich mit besonders verwerflichem Vorsatz gehandelt hat (Hans Rudolf Schwarzenbach, Die Staats- und Beamtenhaftung in der Schweiz mit Kommentar zum züricherischen Haftungsgesetz, 2. Aufl. 1985, S. 182). Die Bestimmung bezieht sich auf Fehler in der Rechtspflege. Mit der Haftungsbeschränkung soll verhindert werden, dass jeder Entscheid, der sich in einem Rechtsmittelverfahren als falsch herausstellt und einen Schaden verursacht, Haftungsfolgen auslöst. Den Nachweis eines solch verwerflichen Verhaltens eines Angestellten zu erbringen, dürfte kaum je gelingen; die Haftpflicht für den zwischenzeitlichen Schaden bei Abänderung eines Entscheids ist mithin faktisch ausgeschlossen (Balz Gross, Die Haftpflicht des Staates, Diss. Zürich 1996, S. 164).
Unter Bezugnahme auf diese Lehrmeinungen führt die Vorinstanz aus, § 6 Abs. 2 HaftG/ZH finde namentlich Anwendung, wenn ein Gemeinderat arglistig eine Baubewilligung verweigere und das Verwaltungsgericht diesen Entscheid erst Jahre später aufhebe und die Bewilligung erteile. In solchen Fällen habe der Staat für den entstandenen (finanziellen) Verzögerungsschaden aufzukommen (vgl. angefochtener Beschluss S. 6; siehe auch Schwarzenbach, a.a.O., S. 182).
2.5 Der zu beurteilende Fall erscheint jedoch anders gelagert und lässt sich nicht ohne Weiteres unter § 6 Abs. 2 HaftG/ZH subsumieren. In Frage steht nicht ein Fehler in der Rechtspflege, sondern eine Persönlichkeitsverletzung durch den unrechtmässigen Arrest als Disziplinarmassnahme. Eingriffe in das Grundrecht der persönlichen Freiheit, welche nicht durch die Ausübung hoheitlicher Gewalt gerechtfertigt sind, sind per se widerrechtlich. Die Staatshaftung auf jene äusserst seltenen Konstellationen zu beschränken, in welchen die anordnende Behörde geradezu arglistig gehandelt hat, dürfte nicht der ratio legis von § 6 HaftG/ZH entsprechen. Würde man der Argumentation der Vorinstanz folgen, wonach § 6 Abs. 2 HaftG/ZH in allen Fällen anzuwenden ist, in welchen ein Entscheid im Rechtsmittelverfahren geändert wird, käme die in Abs. 1 als Regelfall vorgesehene Kausalhaftung im Ergebnis kaum je zum Tragen. Für eine solche extensive Auslegung der Ausnahmebestimmung von § 6 Abs. 2 HaftG/ZH finden sich - soweit ersichtlich - in der Praxis jedoch keine Hinweise.
Eine summarische Prüfung führt somit zum Ergebnis, dass das Begehren des Beschwerdeführers um Zusprechung einer staatlichen Entschädigung nicht aussichtslos erscheint. Die Vorinstanz hat daher die Verfügung des Einzelrichters für Zivilsachen des Bezirksgerichts Zürich vom 22. April 2010, mit welcher dieser das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abwies, zu Unrecht bestätigt und hierdurch <ref-law> verletzt. Bei diesem Ergebnis erübrigt sich ein Eingehen auf die weiteren vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen.
3. Die Verfassungsbeschwerde ist gutzuheissen. Der angefochtene Zwischenentscheid der Vorinstanz vom 16. Juli 2010 ist aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der vorstehenden Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. <ref-law>).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Da dem Beschwerdeführer im Verfahren vor Bundesgericht keine Kosten entstanden sind, ist ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen (vgl. <ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 16. Juli 2010 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Kanton Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. September 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Stohner