Faits:
A. T._, née en 1963, a travaillé en qualité de cheffe de rayon au service de la société X._. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 2 février 2004, elle a glissé sur une plaque de verglas alors qu'elle se rendait à pied sur son lieu de travail et s'est cogné la tête contre le sol. Consultée le lendemain, la doctoresse M._, a diagnostiqué une contusion pariéto-occipitale et un syndrome subjectif post-traumatique. Elle a fait état d'une incapacité de travail de 100 % du 3 février au 24 mars 2004 et de 50 % du 25 mars suivant à la fin du mois d'avril (rapport du 24 avril 2004). La CNA a pris en charge le cas.
L'assurée a repris son travail à 70 % du 3 mai au 12 juillet 2004, date à partir de laquelle elle a été entièrement incapable de travailler en raison de vertiges, de troubles de la mémoire et de maux de tête. Elle a consulté le docteur F._, médecin-directeur du Département de neurologie de l'Institution L._, lequel a indiqué que ces troubles pouvaient découler de la commotion cérébrale mais aussi être aggravés par un état d'anxiété chronique (rapport du 17 novembre 2004).
L'assurée a séjourné à la Clinique Z._ du 23 février au 19 avril 2005. Dans un rapport du 23 mai 2005, les médecins de cet établissement ont constaté une diminution des vertiges et des troubles de la concentration, lesquels restaient toutefois trop importants pour permettre la reprise de l'activité de cheffe de rayon.
La CNA a confié une expertise au professeur C._, médecin-chef de la division autonome de neuropsychologie du Centre hospitalier Y._ (rapport du 28 novembre 2006) et requis l'avis de son médecin d'arrondissement, le docteur X._ (rapport du 9 février 2007).
Se fondant sur l'avis de ce médecin, elle a rendu une décision le 13 février 2007, confirmée sur opposition le 1er mai suivant, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assurée à des prestations d'assurance avec effet au 19 février 2007, motif pris que les troubles dont souffrait encore l'intéressée après cette date n'étaient pas en relation de causalité avec la chute survenue le 2 février 2004.
B. L'assurée a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud (depuis le 1er janvier 2009 : la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud) en concluant à l'octroi des prestations prévues par la LAA. A l'appui de ses conclusions, elle a produit notamment un rapport d'expertise du docteur A._, en France, spécialiste en neurologie (du 18 septembre 2007), les résultats d'une IRM cérébrale mise en oeuvre au Centre hospitalier S._ ainsi qu'un rapport du professeur R._, médecin-consultant au Département d'imagerie morphologique et fonctionnelle de cet établissement (du 7 juillet 2008).
De son côté, la CNA a requis l'avis du docteur B._, spécialiste en neurologie et médecin de sa division de médecine des assurances (rapports des 20 mai et 1er septembre 2008).
La juridiction cantonale a rejeté le recours par jugement du 18 décembre 2008.
C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi des prestations prévues par la LAA, subsidiairement au renvoi de la cause à la CNA pour nouvelle décision. Par ailleurs, elle demande à bénéficier de l'assistance judiciaire en procédure fédérale.
La CNA conclut au rejet du recours, ce que propose aussi implicitement le tribunal cantonal. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le maintien éventuel du droit de la recourante à des prestations de l'assurance-accidents au-delà du 19 février 2007 pour les troubles persistant au-delà de cette date.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (<ref-law>).
2. Selon l'<ref-law>, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 181; 402 consid. 4.3.1 p. 406; <ref-ruling> consid. 1 p. 337; <ref-ruling> consid. 1b p. 289 et les références). Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 181; 402 consid. 2.2 p. 405; <ref-ruling> consid. 5a p. 461 et les références).
3. 3.1 Sur le plan somatique, la CNA a considéré que l'assurée ne souffrait plus, après le 19 février 2007, de troubles en relation avec l'accident du 2 février 2004. Se fondant sur les conclusions des docteurs F._ (rapport du 17 novembre 2004) et X._ (rapport du 9 février 2007), ainsi que sur celles du professeur C._ (rapport du 28 novembre 2006), elle est d'avis que les troubles neuropsychologiques ne reposent sur aucun substrat organique comme une lésion osseuse, cérébrale ou neurologique.
La juridiction cantonale a confirmé ce point de vue en se fondant sur les avis des médecins prénommés, ainsi que sur ceux des docteurs M._ (rapport du 24 avril 2004), U._, spécialiste en neurologie (rapport du 18 février 2004), I._, neuroradiologue (rapport du 9 juillet 2004), H._, spécialiste en oto-rhino-laryngologie (rapport du 17 février 2005) et des médecins de la Clinique Z._ (rapport du 23 mai 2005). En particulier, elle a considéré que ces avis n'étaient pas remis en cause par les points de vue du docteur A._ (rapport du 18 septembre 2007) et du professeur R._ (rapport du 7 juillet 2008), selon lesquels il existe différentes atteintes structurelles en relation avec l'accident.
La recourante reproche à la juridiction cantonale une appréciation arbitraire des preuves, dans la mesure où elle s'est écartée notamment des conclusions du docteur A._ et du professeur R._.
La recourante reproche à la juridiction cantonale une appréciation arbitraire des preuves, dans la mesure où elle s'est écartée notamment des conclusions du docteur A._ et du professeur R._.
3.2 3.2.1 Dans son rapport du 18 septembre 2007, le docteur A._ a fait état de différentes atteintes de nature organique en relation avec l'accident. Il a indiqué l'existence d'une protrusion C3/4 sans compression du myélome, ainsi que de minuscules hyperintensités à gauche au niveau temporal et à droite au niveau pariétal, toutes deux subcorticales. En outre, il a fait état d'une légère uncarthrose C3/4 à droite avec un rétrécissement du foramen droit et d'une légère ostéochondrose. Par ailleurs, il a relevé la présence d'un léger mauvais positionnement en rotation droite de l'atlas (4°) et de nets épaississements et expansions des parties molles au niveau du point douloureux occipital gauche.
Invité par la CNA à se prononcer sur ces constatations médicales, le docteur B._ est d'avis que celles-ci n'établissent pas l'existence de lésions structurelles ou organiques en relation avec la chute survenue le 2 février 2004. En particulier, il a indiqué que le mauvais positionnement probable en rotation droite de l'atlas, observé par le docteur A._, est une constatation très contestée par les spécialistes en radiologie. En outre, le docteur B._ met en cause les observations du docteur A._ relatives aux épaississements et expansions des parties molles de la nuque en affirmant que celles-ci ne peuvent pas être examinées à l'aide d'un CT d'après la science médicale. Selon le médecin de la CNA, la seule constatation qui pourrait constituer une modification structurelle objective est le rétrécissement du foramen droit au niveau C3/4, lequel apparaît toutefois, au degré de la vraisemblance prépondérante, comme la conséquence d'une altération dégénérative du rachis cervical, sans lien avec l'accident. Quant à l'hypothèse d'une compression du grand nerf occipital, elle doit être considérée comme peu vraisemblable, dans la mesure où les modifications fibro-musculo-tendineuses et l'épaississement des parties molles dans la zone occipitale gauche constituent des résultats très discutés en médecine. En effet, selon le docteur B._, ceux-ci ne peuvent être révélés que par certains praticiens à l'aide d'investigations manuelles, dont les résultats non spécifiques n'apparaissent pas, au degré de la vraisemblance prépondérante, comme des séquelles d'un accident (rapport du 20 mai 2008).
De son côté, le professeur R._ a conclu à l'existence de diverses lésions anatomo-encéphaliques d'origine traumatique (rapport du 7 juillet 2008).
3.2.2 Selon le principe de la libre appréciation des preuves, le juge apprécie librement les preuves médicales qu'il a recueillies, sans être lié par des règles formelles, en procédant à une appréciation complète et rigoureuse des preuves. Le juge doit examiner objectivement tous les documents à disposition, quelle que soit leur provenance, puis décider s'ils permettent de porter un jugement valable sur le droit litigieux. S'il existe des avis contradictoires, il ne peut trancher l'affaire sans indiquer les raisons pour lesquelles il se fonde sur une opinion plutôt qu'une autre. En ce qui concerne la valeur probante d'un rapport médical, ce qui est déterminant, c'est que les points litigieux aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées. Au demeurant, l'élément déterminant pour la valeur probante n'est ni l'origine du moyen de preuve ni sa désignation comme rapport ou comme expertise, mais bel et bien son contenu (<ref-ruling> consid. 3a p. 352; <ref-ruling> consid. 1c p. 160 et les références).
3.2.3 En l'occurrence, la juridiction cantonale s'est fondée sur les conclusions du docteur B._, au seul motif que ce médecin "expose de manière convaincante les raisons pour lesquelles il convient de ne pas suivre les conclusions du docteur A._ et (qu'il) indique que l'assurée ne présente vraisemblablement aucune atteinte organique ou structurelle du système nerveux central". Cela étant, il est douteux que les premiers juges ont satisfait à leur obligation de motiver leur conclusion en présence des avis contradictoires des docteurs A._ et B._.
En revanche, la juridiction précédente s'est écartée à juste titre des conclusions du Professeur R._. En effet, selon la jurisprudence, une méthode diagnostique médicale doit être reconnue scientifiquement pour que ses résultats constituent un fondement fiable pour statuer. Une méthode d'examen est considérée comme éprouvée par la science médicale si elle est largement admise par les chercheurs et les praticiens. En l'état actuel de la science médicale, qui reflète d'importantes divergences au sujet de l'efficacité diagnostique d'une tomographie par résonance magnétique fonctionnelle (TRMf), les résultats d'une telle méthode n'ont pas de valeur probante pour statuer sur le rapport de causalité entre des symptômes présentés par un assuré et un traumatisme par accélération cervicale ou un traumatisme équivalent (<ref-ruling>). Or, la méthode pratiquée par le professeur R._ (technique dite de tenseur de diffusion 3D) est, comme l'affirme ce médecin, en pleine expérimentation et ne permet pas forcément d'établir une correspondance clinique. Elle ne saurait dès lors être considérée comme éprouvée par la science médicale et, partant ne constitue pas un fondement fiable pour statuer sur le rapport de causalité avec un événement accidentel (arrêt 8C_238/2009 du 3 novembre 2009 consid. 3.2.2).
3.3 D'après une jurisprudence constante, l'assureur-accidents est tenu, au stade de la procédure administrative, de confier une expertise à un médecin indépendant, si une telle mesure se révèle nécessaire. Lorsque de telles expertises sont établies par des spécialistes reconnus, sur la base d'observations approfondies et d'investigations complètes, ainsi qu'en pleine connaissance du dossier, et que les experts aboutissent à des résultats convaincants, le juge ne saurait les écarter aussi longtemps qu'aucun indice concret ne permet de douter de leur bien-fondé (<ref-ruling> consid. 3b/bb p. 353).
En l'espèce, il n'est pas possible, sur le vu des renseignements versés au dossier, d'admettre, comme les premiers juges, que les troubles neuropsychologiques dont souffre encore l'assurée après le 19 février 2007 ne reposent sur aucun substrat organique. D'ailleurs, bien que les conclusions des docteurs A._ et B._ soient contradictoires, la juridiction cantonale n'indique pas les motifs pour lesquels elle se fonde sur celles du second nommé plutôt que du premier. En l'état, ces avis médicaux ne permettent de tirer aucune conclusion fiable au sujet de l'existence éventuelle, au moment de la suppression du droit au prestations d'assurance, d'un déficit fonctionnel organique. Ce point étant essentiel pour trancher le litige, il convient dès lors de renvoyer la cause à l'intimée pour nouvelle décision après complément d'instruction sous la forme d'une expertise pluridisciplinaire (<ref-ruling> consid. 9 p. 121 ss).
Vu ce qui précède, la conclusion subsidiaire de la recourante apparaît bien fondée.
4. La recourante, qui est représentée par un avocat, a droit à une indemnité de dépens pour la procédure fédérale (art. 68 al. 1et 2 LTF). Par ailleurs, l'intimée supportera les frais judiciaires (<ref-law>). La demande d'assistance judiciaire devient dès lors sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 18 décembre 2008 et la décision sur opposition de la CNA du 1er mai 2007 sont annulés. La cause est renvoyée à la CNA pour instructions complémentaires au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents.
3. Une indemnité de dépens de 2'500 fr. est allouée à la recourante à la charge de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents pour la dernière instance.
4. La cause est renvoyée à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 3 mai 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd