Faits:
A.
Le 21 mai 2012, A._, à Zinal, a requis un permis de construire un chalet sur la parcelle n° 276 de la commune d'Anniviers, à Zinal. Helvetia Nostra a formé opposition. Par décision du 27 juin 2012, le Conseil communal d'Anniviers a levé l'opposition et délivré le permis de construire. Helvetia Nostra a recouru auprès du Conseil d'Etat du canton du Valais. Le 22 août 2012, celui-ci a déclaré le recours irrecevable faute de qualité pour recourir de l'organisation. Helvetia Nostra a saisi le Tribunal cantonal valaisan, lequel a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable par arrêt du 23 novembre 2012. Il a mis 1'000 fr. de frais judiciaires à la charge de la recourante.
B.
Le 21 décembre 2012, par la voie du recours en matière de droit public, Helvetia Nostra a demandé au Tribunal fédéral l'annulation de l'arrêt cantonal et le renvoi de la cause à l'autorité de dernière instance, subsidiairement la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que le permis de construire est annulé. L'intimé a conclu au rejet du recours et à la confirmation de la décision communale. La commune a conclu à l'irrecevabilité, subsidiairement au rejet du recours. Les requêtes d'effet suspensif et de suspension de la procédure ont été admises par ordonnance présidentielle du 31 janvier 2013.
Dans des arrêts de principe du 22 mai 2013, le Tribunal fédéral a notamment admis la qualité pour recourir d'Helvetia Nostra (<ref-ruling>) ainsi que l'applicabilité directe des art. 75b et 197 ch. 9 Cst. (<ref-ruling> et 263).
La procédure a été reprise par ordonnance du 2 juillet 2013. Un délai a été fixé au 16 août 2013 aux autorités communale et cantonales ainsi qu'au constructeur pour se déterminer sur la suite de la procédure. Aucune observation n'a été formulée dans le délai imparti.
Helvetia Nostra n'a pas été invitée à se déterminer, compte tenu de l'issue de la cause.

Considérant en droit:
1.
Dans son arrêt de principe du 22 mai 2013 (<ref-ruling>), le Tribunal fédéral rappelle qu'Helvetia Nostra fait partie des organisations habilitées à recourir dans le domaine de la protection de la nature et du paysage au sens de l'<ref-law> (ch. 9 de la liste annexée ODO, RS 814.076). Le recours de ces associations n'est recevable que dans la mesure où l'objet du litige procède d'une tâche de la Confédération au sens des art. 78 Cst. et 2 LPN. L'art. 75b Cst. est une disposition directement applicable qui charge la Confédération de veiller au plafonnement des résidences secondaires à 20 %. L'objectif de cette norme est en premier lieu la protection de la nature et du paysage (même arrêt, consid. 11.2). Le Tribunal fédéral considère ainsi que le permis de construire une résidence secondaire repose sur des éléments spécialement régis par le droit fédéral et intervient donc en exécution d'une tâche de la Confédération (consid. 11.3). La qualité pour recourir doit dès lors être reconnue à Helvetia Nostra (consid. 11.4).
2.
Le Tribunal fédéral a par ailleurs admis, dans un deuxième arrêt de principe du 22 mai 2013 (<ref-ruling> consid. 9-11), que l'art. 75b Cst. (en relation avec l'art. 197 ch. 9 al. 2 Cst.) est directement applicable dès son entrée en vigueur le 11 mars 2012. Dans les communes où le taux de 20 % de résidences secondaires est déjà atteint, les permis de construire délivrés entre le 11 mars 2012 et le 31 décembre 2012 sont annulables.
3.
Sur le vu de ces arrêts, il y a lieu d'admettre le recours d'Helvetia Nostra et d'annuler l'arrêt attaqué. Dans un tel cas, le Tribunal fédéral peut renvoyer la cause à l'autorité précédente ou à celle qui a statué en première instance (<ref-law>). Se pose dès lors la question de savoir si la cause doit être renvoyée à la cour cantonale ou à l'autorité communale, après annulation des décisions sur recours et de l'autorisation de construire. En l'occurrence, la question de la conformité de l'autorisation de construire à l'art. 75b Cst. n'a pas été examinée lors du rejet de l'opposition par la commune. Le constructeur devra donc, s'il maintient sa demande de permis de construire, apporter les éclaircissements nécessaires sur ces points. Il y a donc lieu d'annuler la décision du 27 juin 2012 et de renvoyer la cause à l'autorité communale.
4.
Compte tenu de l'issue de la cause, les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de l'intimé qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). Il y a lieu également, conformément aux art. 67 et 68 al. 5 LTF, de fixer les frais et dépens pour la procédure devant les instances précédentes, soit le Conseil d'Etat et le Tribunal cantonal. Au vu du grand nombre de recours similaires déposés par la recourante, il convient de réduire les dépens et de les fixer à 3'000 fr. pour l'ensemble des procédures fédérale et cantonales.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé, de même que la décision du Conseil d'Etat du 22 août 2012 ainsi que l'autorisation de construire du 27 juin 2012. La cause est renvoyée au Conseil communal d'Anniviers pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires pour la procédure fédérale, arrêtés à 1'000 fr., de même que les frais de l'arrêt cantonal, soit 1'000 fr., et de la décision du Conseil d'Etat, soit 300 fr., sont mis à la charge de l'intimé A._.
3.
Une indemnité de dépens de 3'000 fr. est allouée à la recourante pour les procédures fédérale et cantonales, à la charge de l'intimé A._.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Commune d'Anniviers, au Conseil d'Etat du canton du Valais et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 3 octobre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
Le Greffier: Kurz