Faits:
A. B._ bénéficie d'une rente entière d'invalidité, notamment en raison d'un trouble de la personnalité. Le 8 septembre 2010, il a déposé une demande d'allocation pour impotent, invoquant un besoin d'aide pour l'entretien de contacts sociaux (compte tenu de problèmes auditifs et respiratoires), ainsi que la nécessité de bénéficier d'un accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie, étant dans l'impossibilité de téléphoner et ayant des difficultés à suivre une conversation à plus de deux personnes.
Par décision du 18 août 2011, qui faisait suite à un projet du 7 juin 2011, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a rejeté la demande, au motif que l'assuré n'avait besoin d'aide que pour un seul acte ordinaire de la vie, l'accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie n'étant pas justifié.
B. B._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève en concluant à son annulation et au renvoi de la cause à l'administration pour instruction complémentaire.
Par jugement du 13 février 2012, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant à ce que son droit à une allocation pour impotent soit reconnu et que la cause soit renvoyée à l'office intimé.
Ce dernier ainsi que l'Office fédéral des assurances sociales n'ont pas été invités à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit du recourant à une allocation pour impotent. S'il est admis que le recourant a besoin d'aide pour un seul acte ordinaire de la vie (l'entretien de contacts sociaux en raison de l'atteinte auditive), demeure en revanche litigieux le point de savoir s'il doit également bénéficier d'un accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie.
Les premiers juges ont exposé correctement les règles applicables à la solution du litige, singulièrement les <ref-law> et 38 al. 1 RAI, si bien qu'il suffit de renvoyer au jugement attaqué.
2. En l'espèce, l'office intimé a fondé sa décision sur un rapport d'enquête à domicile établi le 23 mai 2011 par D._, infirmière au service extérieur. De ce rapport, il ressort notamment que le recourant a besoin de l'aide d'un tiers pour entretenir des contacts sociaux. En revanche, compte tenu des capacités du recourant à se débrouiller seul pour la plupart des activités quotidiennes et des atteintes à la santé, l'enquêtrice a admis qu'il n'avait pas besoin d'accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie.
Les premiers juges ont constaté que le rapport d'enquête avait été établi par une infirmière qui avait eu connaissance des empêchements du recourant et de ses atteintes à la santé, et qui s'était fondée sur les indications fournies par l'intéressé pendant l'entretien d'enquête. La juridiction cantonale a également admis que le rapport d'enquête était clair et motivé, l'infirmière ayant détaillé précisément l'aide nécessaire et exposé les raisons pour lesquelles le recourant n'avait pas besoin d'un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie. En particulier, l'infirmière avait estimé que la présence d'une tierce personne était inutile pour éviter un risque important d'isolement durable, dès lors que le recourant était régulièrement en contact avec des amis et des connaissances, ainsi qu'avec son fils et son ex-femme. En ce qui concerne les troubles psychiques du recourant, les premiers juges ont considéré que l'enquêtrice ne les avait pas ignorés; en effet, bien que le recourant souffre d'un trouble de la personnalité, aucun élément du dossier ne permettait de retenir que cette atteinte l'empêcherait de vivre de manière indépendante chez lui, d'avoir des activités et des contacts hors du domicile et d'entretenir des contacts sociaux. De plus, le recourant avait lui-même expliqué à l'infirmière qu'il entretenait des contacts réguliers avec plusieurs personnes (amis, connaissances, fils et ex-épouse), de sorte qu'un risque important d'isolement justifiant la présence d'un tiers ne pouvait être retenu. Par ailleurs, l'impartialité de l'enquêtrice ne faisait aucun doute, si bien que ce rapport avait pleine force probante au sens de la jurisprudence.
3. A l'appui de ses conclusions, le recourant fait grief à l'enquêtrice d'avoir retenu qu'il n'existe pas d'atteinte mentale ou psychiatrique entraînant un besoin d'accompagnement et d'avoir en conséquence limité son examen dans cette mesure, alors qu'il bénéficie d'une rente d'invalidité en raison d'un trouble de la personnalité qui n'a pas été pris en compte. Il soutient que le rapport d'enquête a été effectué sur la base d'un questionnaire limité et orienté pour certaines affections seulement. Il en déduit qu'il aurait été nécessaire de procéder à une évaluation domiciliaire avant de refuser l'allocation pour impotent, sa situation réelle n'ayant pas été sérieusement prise en considération dans son ensemble.
Le recourant allègue qu'il a besoin d'accompagnement afin de lui permettre de prévenir un risque d'isolement durable, de perte de contacts sociaux et d'une détérioration de son état de santé. Il estime qu'il se trouve actuellement exactement dans une situation d'isolement qu'il ne parvient pas à éviter seul par ses propres moyens, que son état de santé s'aggrave en raison de cet isolement, lequel s'accroît à son tour. Dans ce contexte, il soutient qu'il a besoin de quelques heures d'accompagnement régulier par semaine, les courts déplacements qu'il effectue (en moto, voiture ou avion) ne suffisant pas à eux seuls à supprimer l'isolement. Quant à ses relations familiales, le recourant reproche à l'intimé d'avoir occulté le fait que son ex-épouse et son fils vivent à l'étranger.
4. En vertu de l'<ref-law>, le recourant doit exposer succinctement en quoi le jugement attaqué viole le droit. Dans la mesure où son argumentation consiste essentiellement à contester les conclusions du rapport d'enquête du 23 mai 2011, le recours se situe à la limite de la recevabilité. On peut toutefois admettre que le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir violé le droit fédéral (<ref-law>) et appliqué faussement l'<ref-law>, par le fait d'avoir accordé à tort pleine force probante au rapport d'enquête du 23 mai 2011 et constaté ainsi les faits pertinents de façon erronée.
Ses griefs sont toutefois dépourvus de fondement. Le recourant n'oppose en définitive que sa propre appréciation de la situation à celle des premiers juges, sans démontrer que leurs constats de fait seraient manifestement inexacts ou qu'ils résulteraient d'une violation du droit, notamment d'une appréciation des preuves insoutenable (cf. art. 61 let. c LPGA) ou de la violation de règles essentielles de procédure. Plus particulièrement, en ce qui concerne la valeur probante du rapport d'enquête du 23 mai 2011, de même que la question de l'incidence du trouble de la personnalité sur la possibilité de vivre de manière indépendante, d'avoir des activités et des contacts sociaux, le recourant reprend en vain devant le Tribunal fédéral une série de griefs auxquels les juges cantonaux ont répondu (voir le consid. 7 du jugement attaqué).
Sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), les éventualités envisagées à l'art. 38 al. 1 let. a, b et c RAI (justifiant un besoin d'accompagnement) ne sont pas réalisées. Il s'ensuit que le recours tendant à l'octroi d'une allocation pour impotent est infondé.
5. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 11 octobre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Berthoud