Faits:
A. La police cantonale du canton de Vaud mène une enquête contre X._ pour abus de confiance et vol, d'office et sur plainte de A._. Le prénommé a été entendu par la police le 25 octobre 2011 en présence de son avocat. Il a refusé de s'exprimer et il a requis une copie de la plainte pénale déposée par A._, ce qui lui a été refusé. X._ a contesté ce refus devant la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal).
Le Tribunal cantonal a rejeté ce recours par arrêt du 7 novembre 2011. Relevant que le Ministère public n'avait pas encore ouvert d'instruction à l'encontre de l'intéressé, il a considéré en substance que la police ne pouvait pas, de manière autonome, accorder l'accès au dossier à ce stade de l'enquête.
B. Agissant par la voie du recours en matière pénale, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Il requiert en outre l'octroi de l'assistance judiciaire. Le Tribunal cantonal a renoncé à se déterminer. Au terme de ses observations, le Ministère public central du canton de Vaud conclut au rejet du recours. X._ a présenté des observations complémentaires.

Considérant en droit:
1. La contestation portant sur la consultation du dossier en matière pénale, le recours au Tribunal fédéral est régi par les art. 78 ss LTF. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et let. b ch. 1 LTF, l'accusé a qualité pour agir.
1.1 Le refus, confirmé en dernière instance cantonale, d'autoriser le recourant à consulter le dossier de la procédure pénale constitue une décision incidente, qui ne met pas fin à la procédure. Dès lors qu'elle n'entre pas dans le champ d'application de l'art. 92 LTF, elle ne peut faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral que si elle peut causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF). Cette dernière hypothèse n'entre pas en considération en l'espèce (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 292). Quant à l'art. 93 al. 1 let. a LTF, il suppose, en matière pénale, que la partie recourante soit exposée à un dommage de nature juridique, qui ne puisse pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision qui lui serait favorable (<ref-ruling> consid. 4 p. 95; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 86 s.; <ref-ruling> consid. 4 p. 338; 139 consid. 4 p. 141). Il incombe au recourant de démontrer l'existence d'un tel préjudice lorsque celui-ci n'est pas d'emblée évident (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 429).
1.2 Un préjudice irréparable de nature juridique pourrait être admis si le recourant était effectivement en mesure de se prévaloir, comme il l'affirme, d'un droit à consulter le dossier de la procédure après sa première audition par la police sur la base des art. 101 al. 1 et 107 al. 1 let. a CPP et des art. 29 al. 2 et 32 al. 2 Cst.
Dans un arrêt récent, le Tribunal fédéral a considéré que la consultation du dossier par le prévenu avant sa première audition n'était clairement pas garantie par le CPP, de sorte que le refus d'autoriser une telle consultation ne causait pas un préjudice juridique irréparable à son destinataire (<ref-ruling> consid. 2 p. 173 ss). La question qui se pose en l'espèce est celle de savoir s'il existe un droit à la consultation du dossier après cette première audition. L'arrêt précité n'exclut pas d'emblée une réponse affirmative. Il expose en effet qu'un éventuel refus de répondre exprimé par le prévenu lors de sa première audition ne saurait lui être opposé pour exclure ensuite la consultation du dossier et qu'il lui sera en principe loisible de consulter le dossier de la cause à l'issue de cette audience, sous réserve des hypothèses visées à l'art. 108 CPP (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 175 et les références).
Il n'en demeure pas moins que les conditions de l'art. 101 al. 1 CPP doivent être réunies pour que le prévenu puisse se prévaloir d'un droit à consulter le dossier sur cette base. Or, cette disposition précise que les parties peuvent consulter le dossier d'une procédure pénale pendante « au plus tard après la première audition du prévenu et l'administration des preuves principales par le ministère public ». Il s'agit de conditions cumulatives, dont il apparaît d'emblée que la seconde n'est pas réalisée. En effet, aucune procédure n'est encore pendante devant le ministère public, de sorte que l'on ne saurait considérer que cette autorité a administré les preuves principales au sens de l'art. 101 al. 1 CPP. Le recourant ne peut dès lors se prévaloir d'aucun droit sur cette base. L'art. 107 al. 1 let. a CPP, le droit constitutionnel et le droit conventionnel ne garantissent pas davantage au prévenu ou à son conseil le droit inconditionnel de consulter le dossier à ce stade de la procédure (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 175; <ref-ruling> consid. 3e p. 103; <ref-ruling> consid. 2c/bb p. 245; <ref-ruling> consid. 6b p. 20).
1.3 Dans ces conditions, il apparaît d'emblée que la décision attaquée n'est pas susceptible de causer un préjudice juridique irréparable à son destinataire, de sorte qu'elle ne peut pas faire l'objet d'un recours immédiat auprès du Tribunal fédéral en vertu de l'art. 93 al. 1 LTF.
2. Il s'ensuit que le recours doit être déclaré irrecevable. ll n'y a pas lieu d'accorder l'assistance judiciaire, dès lors que les conclusions du recours apparaissaient d'emblée vouées à l'échec (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant, qui succombe, doit par conséquent supporter les frais de la présente procédure, qui seront réduits pour tenir compte de sa situation financière (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public central du canton de Vaud et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours pénale.
Lausanne, le 7 février 2012
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
Le Greffier: Rittener