Sachverhalt:
A. B._ stellte am 21. Juli 2006 ein Gesuch um Übernahme von Krankheitskosten im Rahmen der Ergänzungsleistungen. Unter anderem reichte er eine Zahnarztrechnung von Dr. med. dent. X._ in Höhe von Fr. 2'582.50 ein. Mit Verfügung vom 15. September 2006 lehnte es das Amt für AHV und IV des Kantons Thurgau, EL-Stelle (nachfolgend: Amt für AHV und IV), ab, diese Kosten zu übernehmen. Die vom Gesuchsteller erhobene Einsprache hiess das Amt für AHV und IV - nach Einholung einer Stellungnahme des Vertrauenszahnarztes Dr. med. dent. Y._, - mit Entscheid vom 3. November 2006 in dem Sinne teilweise gut, als es B._ einen Betrag von Fr. 750.- zusprach. Im Übrigen wurde die Einsprache abgewiesen.
B. Die dagegen von B._ erhobene Beschwerde wies die AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau ab (Entscheid vom 26. Februar 2007). Auf Beschwerde hin hob das Bundesgericht diesen Entscheid aus formellen Gründen (Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör) auf und wies die Sache an die Vorinstanz (seit 1. Januar 2008 neu Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau) zurück (Urteil 8C_147/2007 vom 27. Februar 2008).
Mit Entscheid vom 25. Juni 2008 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde des B._ gegen den Einspracheentscheid vom 3. November 2006 ab.
C. B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er stellt das Rechtsbegehren, es seien der kantonale Gerichtsentscheid und der Einspracheentscheid aufzuheben und ihm ein Betrag von Fr. 2412.50 nebst Zins zu 5% seit 21. Juni 2006 zu vergüten. Ferner wird um unentgeltliche Prozessführung ersucht.
Das Amt für AHV und IV schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2. Der Beschwerdeführer beanstandet, dass ihm die Vorinstanz die unentgeltliche Verbeiständung durch einen Anwalt aus dem Kanton Zürich mit der Begründung verweigert hat, diese könne gemäss kantonalem Recht nur für die Vertretung durch einen im Anwaltsregister des Kantons Thurgau eingetragenen Anwalt gewährt werden. Die thurgauische Regelung ist jedoch, wie das Bundesgericht in einem neueren Entscheid (Urteil 5A_175/2008 vom 8. Juli 2008, E. 5.1 und 5.2) erkannt hat, grundsätzlich zulässig. Besondere Umstände, welche im konkreten Fall die Vertretung durch einen ausserkantonalen Anwalt geboten hätten, werden nicht substantiiert geltend gemacht. Die Beschwerde ist in diesem Punkt unbegründet.
3. 3.1 Die Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung haben durch das am 1. Januar 2008 in Kraft getretene Bundesgesetz vom 6. Oktober 2006 über die Schaffung von Erlassen zur Neugestaltung des Finanzausgleichs und der Aufgabenteilung zwischen Bund und Kantonen (AS 2007 5779) eine umfassende Neuregelung erfahren (zum Übergangsrecht vgl. Art. 34 ELG [SR 831.30]). Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen (materiellen) Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220 mit Hinweisen), richtet sich der hier zu beurteilende Anspruch auf Vergütung der Kosten für eine im Februar 2006 durchgeführte zahnärztliche Behandlung nach den bis Ende 2007 gültig gewesenen Bestimmungen.
3.2 Bezügern einer jährlichen Ergänzungsleistung ist unter anderem ein Anspruch einzuräumen auf die Vergütung von ausgewiesenen, im laufenden Jahr entstandenen Kosten für den Zahnarzt (Art. 3d Abs. 1 lit. a ELG in der vom 1. Januar 1998 bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung). Das Eidgenössische Departement des Innern hat diese Gesetzesbestimmung - gestützt auf Art. 3d Abs. 4 Satz 1 ELG und Art. 19 ELV (SR 831.301) - in Art. 8 der Verordnung vom 29. Dezember 1997 über die Vergütung von Krankheits- und Behinderungskosten bei den Ergänzungsleistungen (ELKV) konkretisiert. Danach werden unter anderem die Kosten für einfache, wirtschaftliche und zweckmässige Zahnbehandlungen vergütet (Art. 8 Abs. 1 Satz 1 ELKV). Für die Vergütung ist nach Art. 8 Abs. 2 ELKV der sogenannte SUVA-Tarif massgebend.
4. 4.1 Gemäss Art. 8 Abs. 3 ELKV ist der EL-Stelle vor der Behandlung ein Kostenvoranschlag einzureichen, wenn die Kosten einer Zahnbehandlung (inkl. Labor) voraussichtlich höher sind als Fr. 3'000.-. Das Erfordernis eines Voranschlags bei besonders kostspieligen Behandlungen will dem Umstand Rechnung tragen, dass es bei einer abgeschlossenen Zahnbehandlung im Nachhinein oft schwierig ist, sachverhaltsmässig festzustellen, ob sie einfach, wirtschaftlich und zweckmässig war, und was allenfalls eine diesen Kriterien entsprechende Vorkehr gekostet hätte. Zudem soll vermieden werden, dass der EL-Bezüger einen Teil der entstandenen Kosten selbst tragen muss, weil sich im Nachhinein erweist, dass die Behandlung den Anforderungen von Art. 8 Abs. 1 ELKV nicht entspricht (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 267 f. mit Hinweis auf die Erläuterungen des BSV [zur Vorgängernorm] in AHI 1996 S. 67 f.). In Bezug auf Behandlungen, welche den Betrag von Fr. 3'000.- nicht erreichen, besteht keine analoge Vorschrift. Dementsprechend entfällt hier ein derartiger Schutz der Betroffenen. Diese haben für eine Zahnbehandlung, welche den Betrag von Fr. 3'000.- nicht erreicht, selbst aufzukommen, soweit die Kosten für eine einfache, wirtschaftliche und zweckmässige Behandlung (Art. 8 Abs. 1 ELG) überschritten werden (vgl. auch Uwe Koch, Nicht gedeckte Zahnarztkosten - wer bezahlt? Ergänzungs- und Sozialhilfeleistungen, in: Riemer-Kafka [Hrsg.], Der Zahnarztpatient - sozialversicherungs- und sozialhilferechtliche Fragen, Zürich 2008, S. 121 ff., 132 f.).
4.2 Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) hat Richtlinien für die Vergütung von Zahnbehandlungskosten im Bereich der EL erlassen (Anhang IV zur Wegleitung über die Ergänzungsleistungen zur AHV und IV, WEL). Danach sollen prothetische Versorgungen in der Regel mittels Metallteilprothesen vorgesehen werden. Bei entsprechender Indikation, wie zum Beispiel bei ungenügender Retention, kann eine Überkronung der Anker- (Klammer-) zähne in der Regel durch Vollgusskronen im Seitenzahnbereich oder durch Stiftkappen mit Retentionselementen im Frontbereich in Frage kommen. Verbundkeramische Brücken sind im Rahmen der EL nur dann zu übernehmen, wenn keine andere Möglichkeit der Therapie besteht. Dies ist durch entsprechende Unterlagen zu dokumentieren und zu begründen. Dasselbe gilt für Implantate. Von zwei ausführbaren Therapien ist in der Regel die kostengünstigere zu wählen.
5. 5.1 Die Verwaltung und ihr folgend die Vorinstanz haben einen Anspruch auf vollumfängliche Übernahme der Kosten für die Behandlung durch Dr. med. dent. X._ in Höhe von Fr. 2412.50 (nach SUVA-Tarif) mit der Begründung verneint, eine einfache, wirtschaftliche und zweckmässige Behandlung hätte lediglich Kosten von Fr. 750.- verursacht. Deshalb sei nur dieser Betrag zu übernehmen. Der Beschwerdeführer macht demgegenüber geltend, eine adäquate Versorgung sei nur mit der gewählten Methode möglich gewesen. Dies gehe auch daraus hervor, dass ihm das zufolge Wohnortwechsels zuständig gewordene Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich die Übernahme der Kosten einer VMK-Überkronung der Zähne 4 und 5 auf der linken Seite bewilligt hat (Schreiben vom 13. Februar 2008).
5.2 Die hier zur Diskussion stehende Behandlung betrifft die Zähne 44 und 45 (Zähne 4 und 5 unten rechts). Dr. med. dent. X._ stellte am 7. März 2006 eine Honorarrechnung über Fr. 2582.50 (Infiltrationsanästhesie 11 Taxpunkte à Fr. 3.50 = Fr. 38.50; VMK-Krone 374 Taxpunkte à Fr. 3.50 = Fr. 1309.-; prov. Kunststoffkrone direkt 38 Taxpunkte à Fr. 3.50 = Fr. 133.-; Curaprox Ersatzbürste CPS Fr. 9.60; Curaprox Halter [UHS mono] Fr. 9.60; Laborkosten [extern] Fr. 1'082.80). In Anwendung des SUVA-Tarifs (1 Taxpunkt = Fr. 3.10 statt Fr. 3.50) resultiert ein Betrag von Fr. 2412.50.
5.3 Die Akten enthalten zur Frage, ob eine kostengünstigere adäquate Behandlung möglich gewesen wäre, insbesondere die folgenden Aussagen von Fachpersonen:
5.3.1 Dr. med. dent. X._ verneinte am 24. Januar 2007 die Frage, ob ein Aufbau der beiden Zähne mit einem Kunststoffaufbau möglich gewesen wäre. Er führte aus, die Zähne seien zuvor schon mit Kronen versorgt gewesen, an deren Rändern Karies entstanden sei. In dieser Situation sei ein späterer Aufbau nur mit Füllungsmaterial selten möglich. Die gesunde Wurzelsubstanz sei zudem weit unter dem Zahnfleisch gelegen. Diese Ausgangslage verunmögliche ein trockenes Arbeiten, wie es für eine Versorgung mit Kunststoffaufbau unbedingt notwendig sei. Möglich sei dagegen das Einzementieren von laborgefertigten Kronen. Notfalls hätte, so Dr. med. dent. X._ weiter, das umliegende Zahnfleisch mit einer Operation tiefer gesetzt werden können - mit Entfernung von etwa 2mm umliegenden Knochens. Der Berechnung der Alternativbehandlung sei deshalb auch diese Operation hinzuzufügen, da ohne diese Vorbehandlung ein Kunststoffaufbau ein "Pfusch" wäre. Die Versorgung der beiden Zähne mit Kronen habe auch den Vorteil gehabt, diese Kronen an einem Stück herzustellen, was eine gegenseitige Stärkung der stark geschädigten Zähne bedeute. Die dieser Stellungnahme beigelegte Kostenschätzung vom 24. Januar 2007 für zwei Kunststoffaufbauten inkl. parodontaler Vorbehandlung lautet auf Fr. 948.60, was 306 Taxpunkten entspricht. Diese setzen sich wie folgt zusammen: 2 x Infiltrationsanästhesie = 22 Taxpunkte; 2 x Dreieckslappenoperation = 138 Taxpunkte; Wundkontrolle = 12 Taxpunkte; Kompositaufbau 2 Höcker Prämolar = 69 Taxpunkte; weiterer Kompositaufbau 2 Hö. Molar = 56 Taxpunkte; Dentinvorbehandlung 9 Taxpunkte.
5.3.2 Dr. med. dent. Y._ äusserte sich im Oktober 2006 und erneut am 8. Februar 2007 gegenüber dem Amt für AHV und IV sowie am 17. April 2008 gegenüber der Vorinstanz. In der letzteren Stellungnahme erklärte er insbesondere, vor der Eingliederung einer VMK-Krone müsse ein Zahnstumpf vorbereitet werden. Dies geschehe üblicherweise durch einen sogenannten Kunststoff-Stiftaufbau. Dieser müsse so beschaffen sein, dass er sämtliche Kaukräfte aufnehmen und in die Wurzel ableiten könne. Eine zusätzlich eingegliederte Krone sei nur unwesentlich an der Krafteinleitung in die Zahnwurzel beteiligt. Da des Weiteren moderne Kunststoffe in ihrer Abrasionsresistenz natürlichen Zähnen nicht nachstünden, würden aus Kostengründen solche Aufbauten gerne als Definitivum belassen. Dies sei eine weit verbreitete und in der Sozialmedizin anerkannte Behandlungsart. Es sei nicht ersichtlich, weshalb eine Sanierung mittels Kunststoff-Stiftaufbauten ohne zusätzliche Versorgung mit VMK-Kronen nicht möglich gewesen sein sollte. Insbesondere sei auch für das Einzementieren von Kronen eine absolute Trockenlegung des Arbeitsgebietes notwendig. Diese könne durch die im Kostenvoranschlag von Dr. med. dent. X._ vom 24. Januar 2007 angeführte Dreieckslappen-Operation erreicht werden. Dabei handle es sich um einen einfachen und gut zumutbaren Eingriff, der optimale Arbeitsbedingungen schaffe. Gemäss Krankengeschichte sei es möglich gewesen, beim Zahn 45 ohne weitere Vorbereitung einen Aufbau durchzuführen; deshalb sei anstelle von zwei Dreieckslappen-Operationen bloss eine zu berücksichtigen. Damit ergäben sich ausgehend vom erwähnten Voranschlag Kosten von rund Fr. 750.-.
5.4 Auf der Basis der erwähnten Unterlagen gelangte das kantonale Gericht zum Ergebnis, dass eine Stiftaufbau-Versorgung mit Kostenfolgen von Fr. 750.- im konkreten Fall eine adäquate Versorgung der beiden Zähne 44 und 45 ermöglicht hätte. Diese vorinstanzliche Feststellung ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (E. 1 hiervor). Sie kann nicht als offensichtlich unrichtig bezeichnet werden. Insbesondere lässt sich beanstanden, dass die Vorinstanz den Aussagen von Dr. med. dent. Y._ Beweiskraft beigemessen hat. Diese sind schlüssig und werden nachvollziehbar begründet. Dem Beschwerdeführer ist zwar darin beizupflichten, dass es nicht Aufgabe eines (zahn-)medizinischen Sachverständigen ist, sich mit juristischen Fragen und der Rechtsprechung zu befassen. Die Stellungnahmen von Dr. med. dent. Y._ enthalten aber auch die für die gerichtliche Anspruchsbeurteilung notwendigen Informationen aus fachlicher Sicht. Bei dieser Aktenlage konnte das kantonale Gericht ohne Verletzung von Bundesrecht in antizipierter Beweiswürdigung auf weitere Abklärungen verzichten, da hiervon keine zusätzlichen Erkenntnisse zu erwarten wären. Die abweichende Behandlung eines vergleichbaren Sachverhalts im Kanton Zürich vermag die Notwendigkeit zusätzlicher Untersuchungen nicht zu begründen.
6. Als unterliegende Partei hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege kann gewährt werden (<ref-law>), da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist und die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen war. Der Beschwerdeführer wird der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Februar 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger