Faits:
A.
A.X._ (1974) et B.X._ (1975) se sont mariés le 17 septembre 2005. De leur union, trois enfants sont nés en 2006, 2007 et 2009.
A.a. Par ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale du 11 février 2011, le Président du Tribunal d'arrondissement de La Côte a ratifié l'accord des parties autorisant les époux à vivre séparés, attribuant le domicile conjugal au père, la garde des enfants à la mère, sous réserve du droit de visite du père, et fixant la contribution mensuelle due par celui-ci pour l'entretien de sa famille à un montant global de 2'000 fr.; allocations familiales non comprises.
A.b. Le 26 avril 2012, le Président du Tribunal civil de la Sarine a rejeté la requête de la mère du 22 août 2011 tendant à la modification et à la révision des mesures protectrices de l'union conjugale, ainsi que les conclusions reconventionnelles du père.
La mère a fait appel de ce jugement.
Le 23 octobre 2012, la cour d'appel a rejeté la requête du père qui sollicitait une décision incidente sur la question de l'existence d'un changement significatif de la situation financière des parties depuis la conclusion de la convention de séparation.
Par arrêt du 15 janvier 2013, la Ie Cour d'appel civile a partiellement admis l'appel de la mère et réformé la décision du 26 avril 2012 du Président en condamnant le père à contribuer à l'entretien de ses trois filles par le versement pour chacune d'elles d'une pension mensuelle de 1'000 fr., dès le 1 er septembre 2011, allocations familiales en sus et à l'entretien de la mère par le versement d'un montant de 1'700 fr. par mois, dès le 1er septembre 2011, puis de 1'300 fr., dès le 1er août 2012.
Le Tribunal fédéral a, par arrêt du 28 mai 2013 (5A_140/2013), rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours du père contre la décision cantonale du 15 janvier 2013.
A.c. Dans l'intervalle, le 5 novembre 2012, le père a déposé une demande unilatérale en divorce. Le même jour, il a requis des mesures provisionnelles et superprovisionnelles tendant à la suppression de son obligation d'entretien, dès le 1 er novembre 2012.
Par ordonnance de mesures superprovisionnelles du 6 novembre 2012, le Président du Tribunal d'arrondissement a supprimé l'obligation d'entretien du père, dès le 1 er novembre 2012 et déclaré le prononcé immédiatement exécutoire et valable jusqu'à droit connu ensuite de l'ordonnance de mesures provisionnelles à intervenir.
Par ordonnance de mesures provisionnelles du 20 février 2013, le Président du Tribunal d'arrondissement a supprimé l'obligation d'entretien du père en faveur de son épouse et de ses trois enfants, dès le 1 er novembre 2012.
La mère a formé appel contre cette ordonnance le 1 er mars 2013. Dans sa réponse du 22 mars 2013, le père a conclu au rejet de l'appel dans la mesure de sa recevabilité.
Par courrier du 21 mai 2013, le conseil de la mère a requis de la cour d'appel qu'une décision soit prochainement notifiée et le 14 juin 2013, celle-ci a complété son appel du 1 er mars 2013, en invoquant des faits nouveaux.
Statuant par arrêt du 29 mai 2013, communiqué aux parties le 27 juin 2013, la Juge déléguée de la Cour d'appel civile a partiellement admis l'appel interjeté par la mère et dit que les contributions d'entretien mises à la charge du père étaient supprimées du 1 er novembre 2012 au 30 juin 2013, celui-ci étant astreint à contribuer à l'entretien des siens à hauteur de 2'890 fr. par mois, allocations familiales en sus, dès le 1 er juillet 2013.
B.
Par requête de mesures provisionnelles et superprovisionnelles du 9 juillet 2013, le père a conclu à la suppression de la contribution d'entretien mise à sa charge, dès le 1 er juillet 2013, faisant valoir que ses revenus actuels ne lui permettaient pas de couvrir son minimum vital.
Le 10 juillet 2013, le Président du Tribunal d'arrondissement a rejeté les mesures d'extrême urgence requises par le père.
Par prononcé du 1 er octobre 2013, le Président du Tribunal d'arrondissement a rejeté la requête de mesures provisionnelles du père.
Statuant par arrêt du 29 octobre 2013, communiqué aux parties le 10 décembre 2013, la Juge déléguée de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel du père du 14 octobre 2013 tendant à la suppression de son obligation d'entretien, dès le 1 er juillet 2013.
C.
Par acte du 10 janvier 2014, A.X._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à la réforme de l'arrêt entrepris, principalement en ce sens que la contribution d'entretien mise à sa charge est suspendue avec effet au 1 er juillet 2013; subsidiairement en ce sens que la contribution d'entretien mise à sa charge soit fixée à 750 fr., dès le mois de novembre 2013; plus subsidiairement encore au renvoi de la cause à l'autorité inférieure. Au préalable, le recourant sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des réponses n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1.
Le présent recours a été déposé en temps utile (art. 46 al. 2 et 100 al. 1 LTF) ainsi que dans la forme légale (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 431) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire matrimoniale (<ref-law>). Le litige porte sur le versement d'une contribution pour l'entretien de la famille durant la procédure de divorce, à savoir une cause de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, art. 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a en outre pris part à la procédure devant l'autorité précédente (<ref-law>) et, ayant succombé dans ses conclusions, a un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>). Le recours en matière civile est en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
La décision attaquée porte sur la modification de mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5 p. 396), de sorte que seule peut être invoquée à leur encontre la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés ("principe d'allégation", <ref-law>), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 287). Le recourant qui se plaint de la violation d'un droit fondamental ne peut donc se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer ses allégations par une argumentation précise (<ref-ruling> consid. 3 p. 351 s.; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 400; arrêt 5A_99/2011 du 22 septembre 2011 consid. 2.1).
3.
Le recours a pour objet la prise en considération de faits nouveaux introduits au cours de la procédure de modification des mesures provisionnelles.
3.1. Une fois que des mesures provisionnelles ont été ordonnées, elles ne peuvent être modifiées qu'aux conditions de l'<ref-law>. Aux termes de l'art. 179 al. 1, 1 ère phr. CC, le juge prononce les modifications commandées par les faits nouveaux et rapporte les mesures prises lorsque les causes qui les ont déterminées n'existent plus. La modification des mesures provisoires ne peut être obtenue que si, depuis leur prononcé, les circonstances de fait ont changé d'une manière essentielle et durable, notamment en matière de revenus, à savoir si un changement significatif et non temporaire est survenu postérieurement à la date à laquelle la décision a été rendue, si les faits qui ont fondé le choix des mesures provisoires dont la modification est sollicitée se sont révélés faux ou ne se sont par la suite pas réalisés comme prévus, ou encore si la décision de mesures provisoires s'est avérée plus tard injustifiée parce que le juge appelé à statuer n'a pas eu connaissance de faits importants (<ref-ruling> consid. 2 p. 61 s.; arrêt 5A_522/2011 du 18 janvier 2012 consid. 4.1 et les arrêts cités). La survenance d'une modification essentielle et durable dans la situation familiale s'apprécie à la date du dépôt de la demande de modification (<ref-ruling> consid. 4b p. 292 s.).
3.2. En appel, la Juge déléguée a constaté que le père avait signé un contrat de travail le 26 avril 2013 pour un engagement dès le 1 er mai 2013, à savoir près d'un mois avant que l'autorité statue en appel sur la précédente requête en modification des mesures provisionnelles qu'il avait introduite le 5 novembre 2012 ( cf. supra let. A.c) et deux mois avant la notification de cette décision aux parties. La juge cantonale a ainsi considéré que rien n'empêchait le père, compte tenu de l'<ref-law>, d'annoncer à l'autorité d'appel sa nouvelle situation en mai 2013, les parties ayant même l'obligation de collaborer activement à la procédure, nonobstant la maxime inquisitoire applicable. La Juge déléguée a estimé que le fait que les circonstances nouvelles soient survenues après l'échange d'écritures préalable n'était pas déterminant, l'<ref-law> ne limitant pas l'invocation de novaen appel à ce stade de l'instruction, et le juge d'appel disposant d'une grande liberté pour fixer la conduite des opérations à l'issue de l'échange d'écritures. L'autorité précédente a ajouté que l'appelante ne s'y était pas trompée puisqu'elle avait tenté de compléter son appel le 14 juin 2013. La Juge déléguée a ainsi confirmé que l'engagement du père, dès le 1 er mai 2013 par contrat du 26 avril 2013, ne constituait pas un fait nouveau susceptible de justifier une modification de la contribution d'entretien fixée le 29 mai 2013, le débirentier ayant omis - sciemment ou par négligence - d'annoncer les circonstances nouvelles conformément à l'<ref-law>, en sorte qu'il se trouve déchu du droit de s'en prévaloir et ne saurait les invoquer ultérieurement dans une procédure en modification des mesures provisionnelles prévue par l'<ref-law>.
4.
Le recourant se plaint d'une application arbitraire (art. 9 Cst.) de l'<ref-law>. Il conteste que les parties soient autorisées à introduire des nova après la clôture des débats principaux, par analogie avec l'<ref-law>, dès lors que celles-ci ne savent pas quand débutent les délibérations, ce moment relevant de l'organisation interne du tribunal cantonal. Estimant qu'en l'absence de débats, la phase de délibérations débute au terme de l'échange d'écritures, le recourant soutient que les faits et moyens de preuve nouveaux ne peuvent être invoqués que jusqu'à l'échéance du délai de réponse à l'appel. Dans le cas d'espèce, constatant que son délai de réponse à l'appel de son épouse du 1 er mars 2013 était échu, il considère qu'il n'était pas en droit de se prévaloir du fait nouveau que constituait son engagement au 1 er mai 2013. En définitive, le recourant affirme que la Juge déléguée a versé dans l'arbitraire dans son application de l'<ref-law>.
4.1. Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il que le recourant démontre qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.2.5 p. 339; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 319; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153).
4.2. La maxime inquisitoire, applicable lorsque le juge est saisi de questions relatives aux enfants dans les affaires de droit de la famille (arrêt 5A_891/2013 du 12 mars 2014 consid. 5.1) ne dit pas jusqu'à quel moment les parties peuvent invoquer des faits ou des moyens de preuve nouveaux. Cette question est régie, en procédure d'appel, de manière complète et autonome par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 626 ss, mais dans le cadre d'un litige portant sur des assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale). Selon cette disposition, les nova ne sont pris en compte au stade de l'appel que si elles sont produites sans retard (let. a) et ne pouvaient l'être devant la première instance bien que la partie qui s'en prévaut ait fait preuve de la diligence requise (let. b). En matière matrimoniale, la jurisprudence n'a toutefois pas tranché la question de fond - laquelle est discutée en doctrine (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 626 ss) -, tout en soulignant que l'application de l'<ref-law> dans le cadre d'une procédure sommaire soumise à la maxime inquisitoire n'était pas arbitraire et qu'on pouvait par conséquent exiger des parties qu'elles agissent avec diligence conformément à l'<ref-law> (arrêts 5A_342/2013 du 27 septembre 2013 consid. 4.1.2 et 4.1.3; 5A_807/2012 du 6 février 2013 consid. 5.3.2; 5A_63/2012 du 20 juin 2012 consid. 2.2). S'agissant de la détermination du "début des délibérations", la jurisprudence (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 789 s.) a retenu que les faits et l'ensemble des moyens de preuve à disposition des parties doivent être portés à la connaissance du juge avant la clôture des débats principaux, puisque c'est en se basant sur son appréciation des faits et des preuves qu'il appliquera - dans le cadre des délibérations - le droit aux faits constatés et rendra sa décision, y compris en procédure d'appel, puisqu'elle comprend les mêmes phases que la première instance.
4.3. En l'espèce, la Juge déléguée, se référant à un auteur de doctrine, a retenu que le fait que les circonstances nouvelles soient intervenues après l'échange d'écritures préalable n'était pas déterminant, l'<ref-law> ne limitant pas l'invocation de novaen appel à ce stade de l'instruction et le juge d'appel disposant à cet égard d'une grande liberté de manoeuvre pour fixer la conduite des opérations à l'issue de cet échange d'écritures. Un tel raisonnement ne saurait être considéré comme arbitraire (art. 9 Cst.), quand bien même la solution contraire aurait également été envisageable ( cf. supra consid. 4.1). Il s'ensuit que le recourant, compte tenu de son devoir de collaboration, était tenu d'informer l'autorité immédiatement, à tout le moins jusqu'à ce qu'il ait connaissance de l'ouverture des délibérations, de tout fait nouveau susceptible d'influer la décision à prendre. En l'occurrence, le débirentier a eu connaissance du fait nouveau modifiant sa situation au plus tard le 26 avril 2013, lorsqu'il a signé son contrat de travail, à savoir peu après avoir déposé sa réponse du 22 mars 2013. Le délai de réponse imparti au débirentier pour se prononcer sur l'appel était certes échu, cependant l'échange d'écritures aurait encore pu perdurer, en particulier si l'appelante déposait une réplique spontanée, voire que la Juge déléguée ordonnait un second échange d'écritures. A tout le moins lorsque l'appelante a requis qu'une décision soit rapidement prise, le 21 mai 2013, le débirentier aurait dû réagir en informant l'autorité d'appel de ce fait nouveau. Quoi qu'il en soit, les parties n'ont pas été informées de la mise en délibération de la cause, de sorte que le recourant se méprend en affirmant que l'échange d'écritures était clos lorsqu'il a eu connaissance de ce fait nouveau. Vu l'absence de communication sur le fait que la cause se trouvait en état d'être jugée, le recourant devait donc informer sans retard l'autorité d'appel, afin qu'elle puisse tenir compte de cet élément dans son jugement. En reconnaissant que le débirentier devait se prévaloir de ce fait nouveau immédiatement en appel, partant, en admettant que le recourant était déchu de son droit de se prévaloir de son contrat de travail, à titre de modification sensible et durable de sa situation patrimoniale dans une nouvelle procédure, la Juge déléguée n'a pas arbitrairement appliqué l'<ref-law>.
5.
Le recourant se plaint subsidiairement d'une appréciation arbitraire (art. 9 Cst.) des faits et preuves par la Juge déléguée, exposant que la contribution d'entretien mise à sa charge n'a pas été, à tort, adaptée à sa nouvelle situation professionnelle, singulièrement à l'augmentation de ses revenus dès le mois de novembre 2013, élément nouveau dont il a informé la juge d'appel le 5 novembre 2013. Le débirentier soutient que si les faits nouveaux devaient être invoqués immédiatement, même une fois l'échange d'écritures terminé, à l'instar de son contrat de travail du 26 avril 2013, il serait insoutenable de ne pas avoir tenu compte de la modification de ses revenus dans la décision entreprise.
Le grief du recourant doit d'emblée être rejeté. Ainsi qu'il a été exposé ci-dessus ( cf. supra consid. 4.3), les parties doivent immédiatement invoquer les faits nouveaux jusqu'à l'ouverture des délibérations, ou, si elles ne sont pas informées du moment où le tribunal entre en délibérations, jusqu'à ce que la décision leur soit communiquée, afin que le tribunal soit en mesure de prendre en considération les nova dans ses délibérations pour rendre son jugement. Dès lors que l'autorité précédente avait déjà statué le 29 octobre 2013, bien qu'elle n'ait pas encore communiqué sa décision, elle n'était plus en mesure de tenir compte de ce fait nouveau annoncé postérieurement à l'arrêt querellé.
6.
Le recourant fait valoir, à titre plus que subsidiaire, une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), en raison d'un défaut de motivation de la décision attaquée. Il soutient que la Juge déléguée a "sciemment rejeté la prise en compte de l'élément nouveau lié à l'augmentation [de son] salaire, sans que l'on comprenne pour quelle raison et en contradiction avec son propre raisonnement". Le recourant reproche à la Juge déléguée, qui a admis que les faits nouveaux devaient être invoqués durant la procédure d'appel et a constaté l'augmentation de salaire dans l'état de fait, de ne pas avoir traité ce fait nouveau de manière adéquate au sens de l'<ref-law> et de ne pas l'avoir considéré comme une modification essentielle et durable de sa situation financière, cela sans " donner une quelconque explication à cet égard ".
6.1. La jurisprudence a déduit de la garantie constitutionnelle de l'art. 29 al. 2 Cst., le devoir pour le juge de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse en saisir la portée, le cas échéant, l'attaquer en connaissance de cause et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 445 s.). Pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 236; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 355).
6.2. En l'occurrence, la Juge déléguée a certes indiqué, dans l'état de fait, le courrier du père du 5 novembre 2013 informant de son augmentation de salaire; toutefois, elle ne pouvait pas en tenir compte dans sa décision, dès lors qu'elle a statué avant l'introduction de cette nova ( cf. supra consid. 6); a fortiori, la juge d'appel ne pouvait pas se déterminer sur ce fait dans la motivation de sa décision. S'agissant de la prise en compte du contrat de travail du 26 avril 2013, la juge cantonale a expressément exposé, de manière détaillée sur plusieurs pages de l'arrêt entrepris, que la fin d'un échange d'écritures n'empêchait pas le débirentier, tenu de collaborer à l'établissement des faits, d'annoncer sa nouvelle situation professionnelle à l'autorité d'appel, avant que cette autorité statue sur la modification des mesures provisionnelles, au vu de l'<ref-law>, ( cf. supra consid. 3.2 et 4.3). Au demeurant, le recourant reproche à la Juge déléguée, dans le présent recours, d'avoir violé l'<ref-law> et d'avoir établi les faits de manière arbitraire (art. 9 Cst.; cf. infra consid. 5 et 6); il apparaît donc qu'il a manifestement été en mesure de comprendre et d'attaquer le raisonnement de la décision querellée concernant l'introduction des nova. Le grief de violation du droit d'être entendu, soulevé à la lumière d'un prétendu défaut de motivation (art. 29 al. 2 Cst.), doit donc être rejeté.
7.
En définitive, le recours est mal fondé. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la présente procédure (<ref-law>). Ses conclusions étant d'emblée dénuées de chances de succès, sa requête d'assistance judiciaire ne saurait être agréée (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer d'indemnité de dépens à l'intimée qui n'a pas été invitée à déposer des observations (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Juge déléguée de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 13 mai 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Gauron-Carlin