Sachverhalt:
A. Die A._ GmbH (Beschwerdeführerin) bezweckt den Betrieb eines Architekturbüros. Sie hat sich mit der C._ AG Bauunternehmung und der D._ AG Immobilien in einer einfachen Gesellschaft zum "Baukonsortium E._" für die Erstellung von fünfzehn Terrassenhäusern zusammengeschlossen. Unter den Gesellschaftern bestehen seit längerem Meinungsverschiedenheiten. Die einfache Gesellschaft befindet sich im Liquidationsstadium.
Das Handelsgericht des Kantons Aargau setzte mit Entscheid vom 6. Juni 2007 die B._ AG (Beschwerdegegnerin) als Liquidatorin der einfachen Gesellschaft "Baukonsortium E._" ein.
B. Die Beschwerdeführerin beantragte dem Handelsgericht des Kantons Aargau mit Klage vom 29. Mai 2008, die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, Fr. 145'868.60 auf das Konto der Baugesellschaft "Baukonsortium E._" nebst Zins zu bezahlen. Die Beschwerdegegnerin sei zudem zu verpflichten, der Baugesellschaft "Baukonsortium E._" einen durch richterliches Ermessen festzusetzenden Betrag von höchstens Fr. 101'489.70 nebst Zins zu bezahlen. Weiter stellte sie den Antrag, der C._ AG Bauunternehmung sowie der D._ AG Immobilien den Streit zu verkünden und sie aufzufordern, die Beschwerdeführerin in der vorliegenden Streitsache zu unterstützen. Zur Begründung führte die Beschwerdeführerin aus, die Beschwerdegegnerin sei ihren Aufgaben als Liquidatorin nicht gewachsen und nicht nachgekommen. Sie habe zahlreiche Fehler begangen, die sich für die einfache Gesellschaft "Baukonsortium E._" nachteilig auswirken und zu einer Verzögerung der Liquidation führen würden. So habe die Beschwerdegegnerin verschiedene Fehlzahlungen ab dem Konto der einfachen Gesellschaft vorgenommen und damit ihre vertraglichen Pflichten verletzt. Zudem habe sie als Liquidatorin Honorare bezogen, obwohl bei den Liquidationsbemühungen keine massgeblichen Fortschritte bemerkbar gewesen seien.
Der Instruktionsrichter des Handelsgerichts setzte den Streitberufenen mit Verfügung vom 11. Juni 2008 Frist an, um zu erklären, ob sie im vorliegenden Prozess die Beschwerdeführerin unterstützen und dem Prozess als Streithelferinnen beitreten wollen. Die Streitberufenen liessen sich nicht vernehmen.
Die Beschwerdegegnerin stellte am 22. Oktober 2008 ein Gesuch um Beschränkung des Prozessthemas auf die Legitimationsfrage. Die Klagen seien mangels Aktiv- und Passivlegitimation abzuweisen. Mit Verfügung vom 19. November 2008 beschränkte der Instruktionsrichter das Verfahren auf die Frage der Aktiv- und Passivlegitimation.
An der Hauptverhandlung vom 25. Februar 2010 beantragte die Beschwerdeführerin, den Antrag der Beschwerdegegnerin auf Abweisung der Klage wegen angeblich fehlender Aktiv- und Passivlegitimation abzuweisen und das Hauptverfahren fortzusetzen. Das Handelsgericht, 1. Kammer, kam zum Schluss, dass die Beschwerdeführerin nicht aktivlegitimiert und die Beschwerdegegnerin nicht passivlegitimiert sei. Demzufolge wies es die Klage mit Urteil vom 25. Februar 2010 ab (Dispositivziffer 1). Es auferlegte der Beschwerdeführerin die Verfahrenskosten von insgesamt Fr. 11'780.-- (Dispositivziffer 2) und verpflichtete die Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin deren Parteikosten in der richterlich festgesetzten Höhe von Fr. 22'150.-- zu ersetzen (Dispositivziffer 3).
C. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts vom 25. Februar 2010 aufzuheben und ihre Aktivlegitimation sowie die Passivlegitimation der Beschwerdegegnerin festzustellen. Die Sache sei zur Durchführung des Hauptverfahrens und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei das Urteil in Bezug auf Ziff. 3 des Dispositivs aufzuheben und der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Handelsgericht eine Prozessentschädigung von nicht mehr als Fr. 13'196.10 zuzusprechen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit überhaupt darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Präsidialverfügung vom 9. Juni 2010 wurde der Beschwerde auf entsprechendes Gesuch der Beschwerdeführerin hin die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Entscheid, mit dem die Klage abgewiesen wurde, handelt es sich um einen Endentscheid in einer Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Er erging durch das Handelsgericht als einzige kantonale Instanz (<ref-law>; § 404 Abs. 1 lit. a des Zivilrechtspflegegesetzes vom 18. Dezember 1984 des Kantons Aargau [ZPO/AG; SAR 221.100]). Die Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin sind im kantonalen Verfahren nicht geschützt worden (<ref-law>) und der massgebende Streitwert beträgt mehr als Fr. 30'000.-- (Art. 51 i.V.m. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Der angefochtene Entscheid wurde der Beschwerdeführerin - entgegen den diesbezüglichen Zweifeln der Beschwerdegegnerin - am 13. April 2010 zugestellt. Mit der Postaufgabe der Beschwerdeschrift am 12. Mai 2010 ist somit die Frist eingehalten (<ref-law>). Demzufolge ist auf die Beschwerde - unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (Art. 42 Abs. 1 und 2 und <ref-law>) - einzutreten.
2. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 3.2). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
3. 3.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, kann sich nicht damit begnügen, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Vielmehr hat er klar und substantiiert aufzuzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen. Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_470/2009 vom 18. Februar 2010 E. 1.2). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.4.3).
3.2 Die Beschwerdeführerin verkennt diese Grundsätze über weite Strecken. So stellt sie ihren rechtlichen Vorbringen eine eigene Sachverhaltsdarstellung voran und weicht darin - wie auch in ihrer weiteren Beschwerdebegründung - von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab resp. erweitert diese. Sie erhebt dabei keine rechtsgenüglichen Sachverhaltsrügen, sondern schildert bloss ihre eigene Sicht der Dinge und macht auf ihren Hinweis auf den Massnahmeentscheid vom 30. Juni 2009 anlässlich der Hauptverhandlung vom 25. Februar 2010 aufmerksam, ohne jedoch aufzuzeigen, inwiefern sich durch diesen Massnahmeentscheid ergeben würde, dass die Vorinstanz den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt hätte. Damit bleibt es beim vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt. Auf die Sachverhaltsdarstellung der Beschwerdeführerin und die tatsächlichen Ausführungen in der rechtlichen Begründung der Beschwerde ist nicht abzustellen, soweit diese im angefochtenen Urteil keine Stütze finden.
Mit dem blossen Hinweis, die Vorinstanz habe bei der Sachverhaltsfeststellung zudem das rechtliche Gehör verletzt (<ref-law>), kann die Beschwerdeführerin nicht gehört werden, da sie damit den Begründungsanforderungen, die an Rügen der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gestellt werden, nicht zu genügen vermag (vgl. Erwägung 2).
4. Streitig ist die Frage, ob ein einzelner Gesellschafter einer einfachen Gesellschaft alleine Schadenersatzansprüche gegenüber einer gerichtlich eingesetzten Liquidatorin geltend machen kann oder ob ein solcher Schadenersatzanspruch von allen Gesellschaftern gemeinsam als notwendige Streitgenossenschaft einzuklagen ist.
4.1 Vorliegend befindet sich die einfache Gesellschaft "Baukonsortium E._" in Liquidation. Die einfache Gesellschaft besteht daher als sogenannte Abwicklungsgesellschaft fort. Erst der Abschluss der Liquidation beendigt das Gesellschaftsverhältnis (<ref-ruling> E. 3a S. 122; <ref-ruling> E. 2a; je mit Hinweisen).
4.2 Nach <ref-law> gehören Sachen, dingliche Rechte oder Forderungen, die an die einfache Gesellschaft übertragen oder für sie erworben sind, den Gesellschaftern nach Massgabe des Gesellschaftsvertrags gemeinschaftlich. Sofern vertraglich nichts anderes bestimmt ist, sind daher die Gesellschafter am Gesellschaftsvermögen zu gesamter Hand berechtigt mit der Wirkung, dass sie nur gemeinsam, gegebenenfalls durch Stellvertreter, darüber verfügen können (<ref-ruling> E. 2a S. 345; Urteil 4C.218/2000 vom 6. Oktober 2000 E. 2a; je mit Hinweisen). Zum Gesellschaftsvermögen gehören insbesondere auch Schadenersatzforderungen, welche der einfachen Gesellschaft gegenüber Dritten zustehen. Entsprechende Ansprüche können - unter Vorbehalt abweichender Regelungen - nur von allen Gesellschaftern gemeinsam als notwendige "aktive" Streitgenossenschaft geltend gemacht werden (Urteil 4C.352/2006 vom 25. Januar 2007 E. 3.2.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 4a S. 52; Urteil 4C.218/2000 vom 6. Oktober 2000 E. 2b).
4.3 Die Klage der Beschwerdeführerin richtet sich gegen die Beschwerdegegnerin, die gerichtlich als Liquidatorin eingesetzt wurde. Die Vorinstanz hat zu Recht erwogen, ihr komme die Stellung eines von der einfachen Gesellschaft unabhängigen Dritten zu (vgl. Patrick M. Hoch, Auflösung und Liquidation der einfachen Gesellschaft, Diss. Zürich 2000, § 8 N. 445 ff., insb. N. 452 f.; Handschin/Vonzun, Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 2009, N. 159 zu Art. 548-551 OR), was im Übrigen auch von der Beschwerdeführerin nicht bestritten wird.
Mangels anderer vertraglicher Regelung stehen vorliegend die Forderungen der einfachen Gesellschaft den Gesellschaftern gesamthänderisch zu. Da Ansprüche der Gesellschaft gegenüber Dritten von den Gesellschaftern als notwendige "aktive" Streitgenossenschaft gemeinsam geltend zu machen sind (vgl. vorangehende Erwägung 4.2), ist es der Beschwerdeführerin als Gesellschafterin grundsätzlich verwehrt, im eigenen Namen gegen die Beschwerdegegnerin als Dritte vorzugehen, um Schadenersatzansprüche der einfachen Gesellschaft einzuklagen.
5. Die Beschwerdeführerin will ihre Aktivlegitimation aus den Grundsätzen zur "actio pro socio" herleiten, da ein einvernehmliches Handeln der untereinander zerstrittenen Gesellschafter nicht zu Stande komme. Sie habe im eigenen Namen aber auf Leistung an die einfache Gesellschaft gegen die Beschwerdegegnerin geklagt.
5.1 Unter der "actio pro socio" wird das Recht jedes Gesellschafters verstanden, von Mitgesellschaftern die Erfüllung ihrer Verpflichtungen gegenüber der Gesellschaft zu verlangen und im eigenen Namen Klage auf Leistung an die Gesellschaft zu erheben (Stephan Hartmann, Zur "actio pro socio" im Recht der Personengesellschaften, ZSR 124/2005 I S. 397 ff.; Meier-Hayoz/Forstmoser, Schweizerisches Gesellschaftsrecht, 10. Aufl. 2007, § 12 N. 41; Fellmann/Müller, Berner Kommentar, 2006, N. 636 zu Art. 530 mit Hinweisen). Sie stellt eine Durchbrechung des Gesamthandprinzips dar (Fellmann/Müller, a.a.O., N. 97 zu <ref-law>).
5.2 Die Beschwerdeführerin bringt vor, der das Minderheitsrecht der "actio pro socio" beanspruchende Gesellschafter wahre bei seinem Vorgehen die Interessen der Gesellschaft, klage auf Leistung an diese und trage die Kosten seines Vorgehens allein. Sie räumt ein, dass sie gegen die Liquidatorin als Dritte keine "actio pro socio" erheben kann, da diese am Gesellschaftsverhältnis nicht beteiligt ist. Jedoch beanspruche sie das nämliche Minderheitsrecht diesen Grundsätzen entsprechend auch für die Geltendmachung von Ansprüchen gegenüber Dritten. Werde eine Klagemöglichkeit eines einzelnen Gesellschafters nach den entsprechend anwendbaren Grundsätzen zur "actio pro socio" verneint, werde das Minderheitsrecht des betroffenen Gesellschafters gegenüber der Gesamthand verletzt. Dies bedeute eine Verletzung der Grundsätze der Gesamthand nach Art. 530 Abs. 1 und Art. 550 Abs. 1 OR, denen das Minderheitsrecht innewohne, gleichzeitig aber auch des materiellen Anspruchs des Gesellschafters auf Gewinnverteilung nach <ref-law>, die direkt von der Durchsetzung von Ansprüchen gegenüber Dritten abhänge.
5.3 Die Auffassung der Beschwerdeführerin geht fehl. Die "actio pro socio", die nur gegen Gesellschafter, nicht indessen gegen Dritte erhoben werden kann, ist auch nicht analog gegen Dritte anwendbar. Namentlich stellt der von der Beschwerdeführerin vorgebrachte Umstand, wonach die untereinander vollständig zerstrittenen Gesellschafter die Gesellschaftsklage nicht erheben würden und daher eine Gesellschaftsklage nicht möglich sei, keinen Grund dar, welcher die Aktivlegitimation eines einzelnen Gesellschafters in Analogie zur "actio pro socio" zu rechtfertigen vermöchte. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführte, bleibt es dem einzelnen Gesellschafter unbenommen, im Stadium der internen Liquidation gegen diejenigen Gesellschafter vorzugehen, die allenfalls die Mitwirkung an einer Klage gegen die Liquidatorin pflichtwidrig abgelehnt haben.
Die Beschwerdeführerin verkennt auch, dass vorliegend gerade umstritten ist, ob sie durch ihr Vorgehen, die richterlich eingesetzte Liquidatorin einzuklagen und dadurch die Liquidation zu verzögern, die Interessen der Gesellschaft wahrt. Zweck der notwendigen "aktiven" Streitgenossenschaft ist nämlich der Schutz der Gemeinschaft oder ihrer Mitglieder vor schädlichen Sonderaktionen einzelner Gemeinschafter (<ref-ruling> E. 3). So wird durch eine Klage eines einzelnen Gesellschafters gegen die Liquidatorin insbesondere das Interesse der übrigen Gesellschafter der einfachen Gesellschaft an einer raschen Abwicklung der Liquidation gefährdet.
6. Weiter sieht die Beschwerdeführerin ihre Aktivlegitimation durch die Grundsätze des Solidarschuldverhältnisses begründet. Das dem gerichtlich bestellten Liquidator auszurichtende Honorar stelle eine Gesellschaftsschuld dar. Ein Solidarschuldner sei als Mitglied eines Gesamthandverhältnisses, in Bezug auf welches eine Solidarschuld bestehe, berechtigt, im eigenen Namen aber für Rechnung aller Solidarschuldner mittels Klage gegen den Gläubiger der Solidarschuldner aktiv vorzugehen. Indem die Vorinstanz die Aktivlegitimation aus dem Solidarschuldverhältnis verneint habe, verletze sie Art. 143, 145 und <ref-law>.
Diese Auffassung ist offensichtlich unbegründet. Für Gesellschaftsschulden gegenüber Dritten haften die Gesellschafter zwar je einzeln und solidarisch (<ref-law>). Daraus kann aber nicht der Umkehrschluss gezogen werden, der einzelne Gesellschafter könne alleine, unabhängig von den anderen Solidarschuldnern gegen den Gläubiger vorgehen. Die Solidarhaft ändert nichts daran, dass alle Gesellschafter der einfachen Gesellschaft grundsätzlich zusammen als Kläger auftreten müssen, da sie nur gemeinsam über die Aktiven der Gesellschaft verfügen können.
7. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Vorinstanz keine Bundesrechtsverletzung begangen hat, indem sie die Aktivlegitimation der Beschwerdeführerin zur Klage gegen die Beschwerdegegnerin auf Leistung von Fr. 145'868.60 sowie von einem durch richterliches Ermessen festzusetzenden Betrag von höchstens Fr. 101'489.70, je zuzüglich Zins, verneinte.
Da die Vorinstanz die Klage zu Recht bereits aufgrund der mangelnden Aktivlegitimation der Beschwerdeführerin abgewiesen hat, erübrigt es sich, auf die Ausführungen der Beschwerdeführerin zur Passivlegitimation der Beschwerdegegnerin einzugehen.
8. Schliesslich erblickt die Beschwerdeführerin in der Festsetzung der Parteientschädigung im vorinstanzlichen Verfahren eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>). Indem die Vorinstanz die Parteientschädigung richterlich auf Fr. 22'150.-- festgesetzt habe, habe sie § 6 und § 7 Abs. 2 des aargauischen Dekrets über die Entschädigung der Anwälte vom 10. November 1987 (Anwaltstarif; SAR 291.150) willkürlich angewendet. Mangels Begründung der zugesprochenen Parteientschädigung habe die Vorinstanz zudem das rechtliche Gehör (<ref-law>) verletzt. Die Vorinstanz nehme weder auf die eingereichte Leistungsübersicht der Beschwerdegegnerin noch auf deren Entschädigungsantrag Bezug.
8.1 Die Vorinstanz führte zu den Verfahrens- und Parteikosten aus, der Streitwert der Klage betrage Fr. 247'358.30. Im vorliegenden Prozess sei die Beschwerdeführerin vollumfänglich unterlegen. Bei diesem Verfahrensausgang seien ihr somit praxisgemäss die Gerichtskosten aufzuerlegen. Gestützt auf § 7 Abs. 1 und 3 des aargauischen Dekrets über die Verfahrenskosten vom 24. November 1987 (Verfahrenskostendekret [VKD]; SAR 221.150) betrage die Gerichtsgebühr Fr. 11'500.--. Die richterlich festgesetzten Parteikosten in der Höhe von Fr. 22'150.-- würden sodann der Beschwerdeführerin auferlegt.
8.2 Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) folgt unter anderem die grundsätzliche Pflicht der Behörden, ihren Entscheid zu begründen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass der Betroffene den Entscheid gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 3.2; je mit Hinweisen). Der Entscheid über die Höhe der Parteientschädigung muss in der Regel nicht begründet werden (<ref-ruling>; <ref-ruling> E. 2 S. 120). Eine Begründungspflicht wird jedoch unter anderem dann angenommen, wenn der Richter den Rechtsvertreter zur Einreichung einer Kostennote auffordert und die Parteientschädigung abweichend von der Kostennote auf einen bestimmten, nicht der üblichen, praxisgemäss gewährten Entschädigung entsprechenden Betrag festsetzt. In einem solchen Fall kann nicht mehr davon gesprochen werden, der Anwalt vermöge die Überlegungen, die den Richter zu einem solchen Entschädigungsentscheid führten, auch ohne Begründung zu erkennen (Urteil 1P.284/2002 vom 9. August 2002 E. 2.4.1).
Es trifft zu, dass die Vorinstanz die Festlegung der Parteikosten nicht begründete und aus dem Urteil nicht hervorgeht, wie sie den Betrag von Fr. 22'150.-- errechnet hat. Eine Verletzung der Begründungspflicht von <ref-law> liegt indessen nicht vor, da aufgrund der detaillierten Kostennote des Anwalts der Beschwerdegegnerin in der Höhe von Fr. 22'145.-- deutlich wird, dass sich die Vorinstanz daran orientierte. Der Betrag entspricht im Übrigen in etwa der Grundentschädigung, wie sie sich aus § 3 Anwaltstarif ergibt. Der Anwalt der Beschwerdegegnerin beantragte an der Hauptverhandlung eine Entschädigung von Fr. 25'000.-- und belegte mit detaillierter Leistungsübersicht vom 25. Februar 2010 seine erbrachten Leistungen in der Höhe von Fr. 22'145.--. Aufgrund dieser Leistungsübersicht ist es der Beschwerdeführerin möglich nachzuvollziehen, wie die Vorinstanz auf die Parteikostenentschädigung kam. Gestützt darauf kann sie den Kostenentscheid auch sachgerecht anfechten.
8.3 Die Beschwerdeführerin kritisiert den Kostenentscheid als willkürlich. Sie anerkennt aber, dass der Streitwert Fr. 247'538.30 beträgt. Ebenfalls geht sie mit der Beschwerdegegnerin übereinstimmend von einer Grundentschädigung nach § 3 Anwaltstarif in der Höhe von Fr. 21'113.75 aus. Sie räumt zudem ein, dass sich nach § 6 Abs. 3 Anwaltstarif für zusätzliche Rechtsschriften und Verhandlungen die Grundentschädigung um je 5-30 % erhöhe und die Beschwerdegegnerin im vorliegenden Verfahren für die Duplik zuschlagsberechtigt sei. Da sich die Beschwerdegegnerin vorliegend auf die Legitimationsfrage habe beschränken können, seien jedoch die Voraussetzungen für eine Reduktion der Parteikosten gemäss § 7 Abs. 2 Anwaltstarif gegeben, wonach eine Reduktion der gemäss §§ 3-6 Anwaltstarif berechneten Entschädigungen um bis zu 50 % erfolge, wenn ein Verfahren nur geringe Aufwendungen mit sich bringe. Da nur ein Fünftel des Prozessstoffes habe behandelt werden müssen, sei von einer Reduktion von 50 % auszugehen. Unter Berücksichtigung eines Zuschlags von 25 % für die Duplik und einer Reduktion um 50 % ergebe sich eine Parteikostenentschädigung in der Höhe von höchstens Fr. 13'196.10. Damit sei nachgewiesen, dass die Vorinstanz ihren Ermessensspielraum mit der Festlegung der Parteikostenentschädigung in der Höhe von Fr. 22'150.-- willkürlich überschritten habe.
Mit ihren Ausführungen vermag die Beschwerdeführerin keine Willkür aufzuzeigen. Sie schildert damit vielmehr ihre eigene Sicht der Dinge. Willkür im Sinne von <ref-law> liegt nach ständiger Rechtsprechung nämlich nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Als offensichtlich unhaltbar kann der Entscheid der Vorinstanz über die Festlegung der Parteikosten nicht bezeichnet werden. Auch wenn der Prozess vorläufig auf die Frage der Aktiv- und der Passivlegitimation beschränkt war, kann angesichts der ausführlichen Rechtsschriften der Beschwerdegegnerin nicht gesagt werden, er habe nur "geringe Aufwendungen" im Sinne von § 7 Abs. 2 Anwaltstarif mit sich gebracht. Für den von der Beschwerdeführerin postulierten Maximalabzug von 50 % bestand daher von vornherein keine Veranlassung. Von einer geradezu unhaltbaren Ermessensausübung durch die Vorinstanz kann unter diesen Umständen nicht gesprochen werden. Im Übrigen entspricht die zuerkannte Parteientschädigung dem tatsächlich geleisteten und durch die Kostennote ausgewiesenen Aufwand des Anwalts der Beschwerdegegnerin.
9. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Aargau, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. August 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin:
Klett Sommer