Erwägungen:
1.
1.1. A.A._ (geb. 1978) stammt aus der Türkei. Sie war dort bis zum 4. April 2002 verheiratet, wobei aus der Beziehung ein Kind hervorging (geb. 2002). 2010 heiratete sie einen in der Schweiz niedergelassenen Landsmann (geb. 1961). Am 16. Mai 2012 wurde ihr Familiennachzug bewilligt, da nicht (hinreichend) nachgewiesen werden konnte, dass die Ehe eingegangen worden war, um die ausländerrechtlichen Vorschriften über die Zulassung und den Aufenthalt zu umgehen ("Scheinehe"). Im August 2012 reiste A.A._ zusammen mit ihrem Kind aus der früheren Ehe in die Schweiz ein, wo ihr eine Aufenthaltsbewilligung erteilt und in der Folge bis zum 31. Juli 2014 verlängert wurde.
1.2. Am 23. August 2013 kam es am Domizil der Ehegatten A._ zu einer tätlichen Auseinandersetzung zwischen dem aktuellen und dem früheren Ehemann. In der Folge erklärten dieser und A.A._ bei den polizeilichen Einvernahmen, dass sie sich in der Türkei "auf dem Papier" hätten scheiden lassen (so A.A._) bzw. dass für die Ehe Fr. 35'000.-- an den heutigen Ehegatten bezahlt worden seien und es bei der Auseinandersetzung darum ging, dass dieser sich nicht an die getroffenen Abmachungen gehalten habe (so der ehemalige Gatte).
1.3. Das Migrationsamt des Kantons Solothurn lehnte es am 28. November 2014 ab, die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ zu verlängern, da gestützt auf die gesamten Indizien ausländerrechtlich angenommen werden müsse, dass eine Umgehungsehe geschlossen worden sei. Die Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn blieb am 26. Mai 2015 ohne Erfolg. A.A._ beantragt vor Bundesgericht, das entsprechende Urteil aufzuheben, ihre Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und von einer Wegweisung abzusehen.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), und kann diesen - soweit entscheidrelevant - nur berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (<ref-law>). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft - mit anderen Worten willkürlich - erscheint (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3).
2.2. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich weitestgehend darauf, die Beweiswürdigung appellatorisch zu kritisieren; sie behauptet zwar, diese sei willkürlich, mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid setzt sie sich indessen unter verfassungsrechtlichen Aspekten nicht weiterführend auseinander. Sie stellt sachverhaltsmässig und hinsichtlich der Beweiswürdigung lediglich ihre Sicht der Dinge derjenigen der Vorinstanz gegenüber, ohne darzulegen, inwiefern deren tatsächliche Schlussfolgerungen offensichtlich unhaltbar wären. Die Vorinstanz hat dem Umstand Rechnung getragen, dass mit Blick auf das Strafverfahren bzw. in diesem die jeweiligen Aussagen widerrufen worden sind; sie hat indessen gestützt auf die weiteren Umstände (Alter, lediglich telefonische Kontakte zum Kennenlernen, wiederholtes Nichtantreffen der Ehegatten in der ehelichen Wohnung, Aussage des Wohnungsnachbarn, dass der Ehegatte der Beschwerdeführerin dort allein wohne; Aussageverhalten der drei Beteiligten nach dem Vorfall vom 23. August 2013 usw.) den Sachverhalt als hinreichend erstellt erachten dürfen. Der rechtlichen Beurteilung sind die vorinstanzliche Beweiswürdigung und Sachverhaltsfeststellung zugrunde zulegen; in rechtlicher Hinsicht sind nur die hinreichend begründeten und sachbezogenen Ausführungen zu berücksichtigen.
2.3. Ob und wieweit in Anwendung von Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG von den allgemeinen Zulassungsvoraussetzungen vorliegend hätte abgewichen werden dürfen oder müssen ("allgemeiner" Härtefall; E. 6 des angefochtenen Entscheids), kann das Bundesgericht nicht prüfen, da sich seine Zuständigkeit auf Anspruchs bewilligungen beschränkt (vgl. <ref-law> und Art. 96 AuG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1). Soweit die Beschwerdeführerin den mit der Nichtverlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung als gesetzliche Folge (vgl. Art. 64 Abs. 1 lit. c AuG) verbundenen Wegweisungsentscheid beanstandet, ist auf ihre Eingabe nicht einzutreten. Sie tut nicht dar, dass und inwiefern dieser besondere verfassungsmässige Rechte verletzen würde (vgl. <ref-ruling> ff.). Die Beschwerdeführerin behauptet lediglich, eine Rückkehr in das Heimatland sei ihr nicht zumutbar; sie tut diesbezüglich indessen nicht in vertretbarer Weise dar, inwiefern ihr dort eine konkrete Gefahr im Sinne der Rechtssprechung zu Art. 3 EMRK und <ref-law> drohen würde ("real risk"). Hierzu genügen ihre derzeitigen gesundheitlichen Probleme - wie die Vorinstanz zu Recht festgestellt hat - nicht (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.2; Urteil 2C_573/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 4; EGMR-Urteil vom 14. April 2015 i.S. Tatar gegen Schweiz [Nr. 65692/12] Ziff. 39 ff.).
3.
Der angefochtene Entscheid gibt die bundesgerichtliche Praxis zum Bestehen einer Umgehungsehe (vgl. Art. 51 Abs. 2 lit. a AuG) und dem damit verbundenen Dahinfallen eines nachehelichen Härtefallanspruchs (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG) zutreffend wieder (<ref-ruling> E. 4.2 S. 117; Urteil 2C_804/2013 vom 3. April 2014 E. 2 sowie Urteil 2C_808/2013 vom 18. Februar 2014 E. 3.2). Das Verwaltungsgericht hat den Sachverhalt korrekt unter die gesetzlichen Vorgaben subsumiert. Was die Beschwerdeführerin hiergegen einwendet, überzeugt nicht:
3.1. Das Vorliegen des Widerrufs- bzw. Nichtverlängerungsgrunds nach Art. 51 Abs. 2 lit. a AuG setzt keine strafrechtliche Verurteilung voraus; die ausländerrechtlich begründete Annahme, es liege eine Umgehungsehe vor, genügt, um eine Bewilligung nicht mehr zu verlängern und den Verlängerungsanspruch nach Art. 50 Abs. 1 AuG dahin fallen zu lassen (Urteil 2C_804/2013 vom 3. April 2014 E. 4).
3.2. Zwar kann die kantonal zuständige Behörde zivilrechtlich auf die Ungültigkeit der Ehe klagen, wenn diese nur dazu dient, die ausländerrechtlichen Aufenthaltsvoraussetzungen zu umgehen (Art. 105 Ziff. 4 i.V.m. <ref-law>), doch bildet eine entsprechende Klage wiederum nicht Voraussetzung dafür, dass kein Bewilligungs- oder Verlängerungsanspruch mehr besteht.
3.3. Der Sohn aus erster Ehe hält sich mit seiner Mutter bloss seit kurzer Zeit in der Schweiz auf. Diese hat seine Interessen wahrgenommen, weshalb er nicht noch selber angehört werden musste. Mangels Volljährigkeit teilt er ausländerrechtlich das Schicksal der obhutsberechtigten Mutter. Mit der Abmeldung durch diese, verliert er sein Anwesenheitsrecht bzw. erlöscht seine Bewilligung.
3.4. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, in der Doktrin sei das "living apart together" als zulässig anerkannt, weshalb sie mit beiden Männern eine Beziehung unterhalten dürfe, verkennt sie diesen Begriff: Dabei geht es darum, dass die beiden Ehegatten, eine ehe-liche Gemeinschaft ohne ein dauerndes eheliches Zusammenleben in einer gemeinsamen Wohnung pflegen, nicht dass sie mehrere Beziehungen gleichzeitig unterhalten (vgl. das Urteil 2C_804/2013 vom 3. April 2014 E. 3 u. 4).
3.5. Der Begriff der "Umgehungsehe" bzw. untechnisch der "Scheinehe" (die Ehe behält ohne Klage auf Ungültigkeit ihre zivilrechtlichen Wirkungen) ist ausländerrechtlicher Natur und ergibt sich aus Art. 51 Abs. 2 lit. a und Art. 118 Abs. 2 AuG sowie aus dem vom Beschwerdeführer selber angerufenen <ref-law>, weshalb der Einwand, es fehle diesbezüglich an einer gesetzlichen Grundlage, nicht zutrifft.
4.
4.1. Die Beschwerde kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache selber wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos. Für alles Weitere wird auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (<ref-law>).
4.2. Die unterliegende Beschwerdeführerin hat die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar