Erwägungen:
1. X._ (geb. 1989) stammt nach eigenen Angaben aus Gambia. Er durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren und wurde am 5. August 2008 angehalten, das Land bis zum 21. August 2008 zu verlassen. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am 2. September 2008 in Ausschaffungshaft, welche das Haftgericht III Bern-Mittelland am 5. September 2009 prüfte und bis zum 1. Dezember 2008 bestätigte. X._ beantragt vor Bundesgericht, diesen Entscheid zu überprüfen und ihn aus der Haft zu entlassen.
2. Die Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden; es erübrigt sich unter diesen Umständen, zu prüfen, ob sie den Begründungsanforderungen von <ref-law> zu genügen vermag: Das Bundesamt für Migration ist am 5. August 2008 auf das Asylgesuch des Beschwerdeführers nicht eingetreten und hat ihn weggewiesen. Zwar will der Beschwerdeführer den Asylentscheid nicht erhalten haben, doch hat dieser gestützt auf die gesetzliche Zustellvermutung als rechtsgültig eröffnet zu gelten (vgl. <ref-law> [SR 142.31]). Der Beschwerdeführer hat das Land entgegen der ergangenen Wegweisungsverfügung nicht verlassen und gegen das Betäubungsmittelgesetz verstossen, womit bei ihm Untertauchensgefahr im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung besteht (vgl. Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> ff.). Soweit er geltend macht, in seiner Heimat verfolgt zu werden, verkennt er, dass hierüber im Asylverfahren rechtskräftig entschieden worden ist; die Frage bildet nicht (mehr) Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens. Da keine Anhaltspunkte dafür bestehen, dass sich die Behörden nicht weiterhin mit Nachdruck um seine Ausschaffung bemühen werden, verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht (Art. 76 Abs. 4 AuG). Der Beschwerdeführer kann seine Festhaltung verkürzen, indem er mit den Behörden zusammenarbeitet. Diesen wird in Erinnerung gerufen, dass sich das Regionalgefängnis Bern nur beschränkt für längere ausländerrechtliche Festhaltungen eignet (vgl. das Urteil 2C_661/2007 vom 17. Dezember 2007, E. 2), weshalb der Beschwerdeführer so rasch wie möglich in das Ausschaffungsgefängnis zu verlegen ist.
3. Es rechtfertigt sich aufgrund der Umstände, keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 1, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar