A.- Les époux Z._ étaient propriétaires d'un immeuble à Corsier. Depuis 1984, ils avaient laissé l'usage de cet immeuble à leur petit-fils, X._. En échange, celui-ci avait mis un appartement à leur disposition, dont il assumait partiellement le paiement du loyer.
En 1988, lesdits époux ont fait donation de l'immeuble précité à Y._, leur fille et belle-fille, mère de X._; celle-ci en a laissé l'usage à son fils sans lui réclamer de loyer. En 1999, à la suite du divorce de X._ et du départ de ses enfants de la maison de Corsier, Y._ a, dans un premier temps, demandé à son fils de lui payer un loyer, puis elle l'a enjoint de quitter les lieux. X._ a opposé une fin de non-recevoir à sa mère.
Le 16 mai 2000, Y._ a ouvert action en revendication contre X._.
B.- Par jugement du 14 décembre 2000, le Tribunal de première instance du canton de Genève a, préalablement, déclaré irrecevables les conclusions en paiement d'une indemnité pour occupation illicite de l'immeuble formulées par Y._. Au fond, il a condamné X._ à évacuer immédiatement de sa personne et de ses biens l'immeuble sis à Corsier.
Statuant le 15 juin 2001 sur l'appel de X._, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance.
C.- a) Agissant par la voie du recours en réforme au Tribunal fédéral, X._ conclut principalement à l'annulation de l'arrêt du 15 juin 2001 et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle complète les faits avant de statuer à nouveau, l'intimée étant déboutée de toutes autres, plus amples ou contraires conclusions. Subsidiairement, au cas où il serait condamné à restituer le bien immobilier considéré à la demanderesse, il demande au Tribunal fédéral de dire qu'il est fondé à en refuser la délivrance tant et aussi longtemps qu'elle ne lui aura pas remboursé les impenses qu'il a faites.
L'intimée, alors représentée par un avocat, a déposé une réponse dans laquelle elle conclut à ce qu'il lui soit donné acte qu'elle ne s'oppose pas à un renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour compléter les constatations de fait, et à ce qu'il soit dit que chacune des parties supportera elle-même ses propres frais.
b) Le recourant a également formé un recours de droit public contre le même arrêt.

Considérant en droit :
1.- Aux termes de l'art. 57 al. 5 OJ, il est sursis, en règle générale, à l'arrêt sur le recours en réforme jusqu'à droit connu sur le recours de droit public. En effet, le Tribunal fédéral ne saurait, comme autorité de réforme, modifier ou confirmer un jugement cantonal susceptible d'être annulé pour violation de droits constitutionnels. S'il devait d'abord examiner le recours en réforme, son arrêt se substituerait à la décision cantonale, rendant ainsi sans objet le recours de droit public, faute de décision susceptible d'être attaquée par cette voie. Cette disposition souffre toutefois des exceptions dans des situations particulières, qui justifient l'examen préalable du recours en réforme. Il en est ainsi lorsque, comme en l'espèce, ce recours paraît devoir être admis indépendamment de l'issue du recours de droit public (<ref-ruling> consid. 1 p. 83; <ref-ruling> consid. 1 p. 378/379 et les arrêts cités). Le recours en réforme sera dès lors examiné en premier lieu.
2.- a) Interjeté en temps utile contre une décision finale rendue par le tribunal suprême du canton, le recours est recevable au regard des art. 48 al. 1 et 54 al. 1 OJ. Il l'est également selon l'art. 46 OJ (cf. arrêt 5C.258/1989 du 8 mai 1990, consid. 1), la valeur litigieuse dépassant manifestement 8'000 fr.
b) Le recourant se plaint principalement d'une violation de son droit à la preuve déduit de l'art. 8 CC. Formulé dans ce cadre-là, le chef de conclusions tendant à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale satisfait aux exigences de l'art. 55 al. 1 let. b OJ, car le Tribunal fédéral, en cas d'admission de ce moyen, ne pourrait pas procéder lui-même aux constatations de fait nécessaires, mais devrait inviter la Cour de justice à réparer la violation du droit à la preuve du défendeur (<ref-ruling> consid. 1b p. 414; <ref-ruling> consid. 1 p. 386; <ref-ruling> consid. 1 in fine; <ref-ruling> consid. 1b p. 270).
3.- A l'appui de son grief de violation de l'art. 8 CC, le recourant reproche à l'autorité cantonale de n'avoir pas ordonné l'interrogatoire des parties, ni l'audition de témoins, au sujet de l'accord, passé oralement avec sa mère, qui lui concéderait le droit de jouir gratuitement de l'immeuble litigieux jusqu'au décès de celle-ci. Il soutient avoir expressément allégué et offert de prouver l'existence d'un tel contrat viager tant en première qu'en deuxième instance, notamment dans son mémoire d'appel.
a) L'art. 8 CC confère à la partie chargée du fardeau de la preuve la faculté de prouver ses allégations dans les contestations relevant du droit civil fédéral (<ref-ruling> consid. 3 p. 303), pour autant qu'elle ait formulé un allégué régulier selon le droit de procédure, que les faits invoqués soient juridiquement pertinents au regard du droit matériel et que l'offre de preuve correspondante satisfasse, quant à sa forme et à son contenu, aux exigences du droit cantonal (<ref-ruling> consid. 3c p. 223 et les arrêts cités).
A ce droit de la partie correspond un devoir de l'autorité de prendre position sur les allégations et les offres de preuve qui lui sont soumises (<ref-ruling> consid. 2b p. 162 et l'arrêt cité).
b) La Cour de justice a considéré que le recourant alléguait être au bénéfice d'un droit d'habitation et qu'il estimait que son droit à la preuve avait été violé, dès lors qu'il ne lui avait pas été possible de faire entendre des témoins sur ce point. Or le titre d'acquisition d'une telle servitude - soumise aux règles de l'usufruit - était généralement un contrat, qui devait en principe revêtir la forme authentique; la constitution d'un droit d'habitation exigeait en outre une inscription au registre foncier. En l'occurrence, aucun contrat constitutif de droit d'habitation n'avait été signé et un tel droit n'était pas mentionné au registre foncier. C'était dès lors à juste titre que le juge de première instance n'avait pas procédé à une instruction sur ce point, l'audition des parties ou de témoins ne pouvant en aucun cas être de nature à apporter un éclairage quelconque au litige. L'autorité cantonale a relevé que le recourant avait invoqué des accords, lui ayant conféré l'usage à titre gracieux de la villa. Elle a cependant passé sous silence l'argumentation de celui-ci selon laquelle, dans l'hypothèse où un droit d'habitation ne pourrait être retenu, il y aurait lieu de considérer qu'il était au bénéfice d'un prêt à usage de caractère viager, l'intimée lui ayant accordé oralement le droit de jouir gratuitement de la villa jusqu'à son décès, ce qu'il entendait démontrer par l'audition de témoins. Outre la comparution personnelle des parties et l'ouverture d'enquêtes, le recourant a demandé, dans son mémoire d'appel, à être acheminé à prouver par toute voie de droit les faits allégués dans son écriture.
c) On ne saurait considérer, eu égard aux questions juridiques qui se posent en l'espèce, que les faits ainsi invoqués n'étaient pas pertinents pour la solution de la présente cause. En effet, le prêt à usage est un contrat par lequel le prêteur s'oblige à céder à l'emprunteur l'usage d'une chose que l'emprunteur s'engage à lui rendre après s'en être servi (art. 305 CO). Il s'agit donc d'un contrat qui porte sur la cession de l'usage d'une chose pendant une certaine durée. Les art. 309 à 311 CO règlent la durée du contrat, la résiliation anticipée et le congé ordinaire. Selon l'art. 309 CO, lorsque la durée du contrat n'a pas été fixée conventionnellement, le prêt à usage prend fin aussitôt que l'emprunteur a fait de la chose l'usage convenu, ou par l'expiration du temps dans lequel cet usage aurait pu avoir lieu (al. 1).
Le prêteur peut toutefois réclamer la chose, même auparavant, si l'emprunteur en fait un usage contraire à la convention, s'il la détériore, s'il autorise un tiers à s'en servir, ou enfin s'il survient au prêteur lui-même un besoin urgent et imprévu de la chose (al. 2). L'art. 310 CO prévoit que le prêteur est libre de réclamer la chose quand bon lui semble si le prêt a été fait pour un usage dont ni le but ni la durée ne sont déterminés. Enfin, le contrat étant conclu en considération de sa personne, la mort de l'emprunteur met fin au contrat (art. 311 CO). En revanche, en cas de décès du prêteur, le contrat se poursuit avec ses héritiers (cf. notamment Tercier, Les contrats spéciaux, 2e éd., n. 2336 p. 285).
Selon la jurisprudence, les art. 309 et 310 CO doivent être interprétés de la manière suivante. Si la durée du prêt a été déterminée, par un terme, une durée ou l'usage convenu, les parties sont liées par cet accord et le prêteur ne peut réclamer sa chose de façon anticipée qu'aux conditions de l'art. 309 al. 2 CO. En revanche, si la durée du prêt ne peut être déterminée ni par la convention des parties, ni par l'usage convenu, le prêteur peut réclamer la chose en tout temps, en application de l'art. 310 CO (<ref-ruling> consid. 2h p. 366/367 et les références). Un contrat est conclu pour une "durée déterminée" non seulement quand la date de son expiration peut être fixée d'avance d'après des unités de temps, mais encore quand la fin du contrat dépend de l'arrivée d'un événement déterminé, pourvu qu'il soit certain que cet événement se produira et cela dans un avenir prévisible (ATF 56 II 189 ss). En ce qui concerne les engagements de longue durée, la jurisprudence et la doctrine posent le principe qu'un engagement de nature purement obligatoire ne saurait être conclu ni maintenu "pour l'éternité", seuls les droits réels pouvant et étant destinés à procurer d'une façon durable l'usage d'une chose (<ref-ruling> consid. 2a p. 161 et les références). Mais il n'y a pas de durée maximum pour tous les cas. Cette durée dépend de la nature et de l'intensité de l'engagement en cause, ainsi que des circonstances de l'espèce (Grossen, Les personnes physiques, Traité de droit civil suisse, Tome II, 2, p. 14). Un contrat d'usage conclu pour la vie de l'un des contractants est en principe admissible, dès lors qu'il ne comporte que la renonciation à la disposition d'une certaine chose pendant une durée limitée (ATF 56 II 189 précité, p. 191).
Il appartenait ainsi à la cour cantonale de définir si les parties avaient conclu un prêt à usage de durée déterminée ou indéterminée, les règles d'extinction du contrat n'étant pas les mêmes dans les deux cas. La régularité des allégués et des offres de preuve du recourant n'étant pas contestée au regard du droit cantonal de procédure, la Cour de justice a dès lors violé l'art. 8 CC. Il convient par conséquent de lui renvoyer la cause (art. 64 al. 1 OJ) pour qu'elle se prononce à nouveau en se conformant aux motifs ci-dessus, c'est-à-dire en permettant au recourant d'apporter la preuve de la durée viagère du contrat. Elle statuera ensuite sur l'existence d'un tel contrat et jugera en conséquence. Il n'y a donc pas lieu d'examiner les autres moyens soulevés par le recourant.
4.- En conclusion, le recours doit être admis, l'arrêt entrepris annulé et l'affaire renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le recourant obtient gain de cause, de sorte qu'il n'a pas à supporter de frais judiciaires ni de dépens (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ). De son côté, l'intimée - qui a déposé une réponse par l'intermédiaire d'un mandataire professionnel - relève avec raison qu'elle n'est nullement responsable du défaut d'administration des preuves concernées, à laquelle elle n'a pas fait obstacle; elle ne s'oppose pas non plus au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour compléter les constatations de fait. En refusant d'administrer des preuves offertes conformément à la loi cantonale de procédure, portant sur des faits régulièrement allégués et juridiquement pertinents, la Cour de justice a enfreint une règle claire et fondamentale. Il se justifie par conséquent de mettre exceptionnellement l'émolument judiciaire à la charge du canton de Genève (<ref-ruling> consid. 4 p. 48; J.-F. Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, n. 3 ad art. 156, p. 145). Ce dernier versera en outre une indemnité de dépens à chacune des parties (art. 156 al. 6 OJ, applicable selon l'art. 159 al. 5 OJ; arrêts 5P.378/1997 du 18 novembre 1997; 5C.221/1994 du 24 février 1995; 5P.226/1994 du 14 septembre 1994).

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Admet le recours, annule l'arrêt entrepris et renvoie la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. Met un émolument judiciaire de 1'500 fr. à la charge du canton de Genève.
3. Condamne le canton de Genève à payer une indemnité de 1'500 fr. au recourant et une indemnité de 500 fr. à l'intimée, à titre de dépens.
4. Communique le présent arrêt en copie aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
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Lausanne, le 13 juin 2002MDO/frs
Au nom de la IIe Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE :
Le Président,
La Greffière,