Sachverhalt:
A. X._ fuhr mit seinem Wagen am 12. März 2008 auf der Via Maistra (alte Kantonsstrasse) von Celerina in Richtung St. Moritz. Im Raum des Zielgeländes des Olympia Bob Runs kam es zu einem Vorfall: X._ übersah eine geschlossene Schranke und fuhr einen Haltepfosten der Barriere um. Hernach setzte er seine Fahrt nach St. Moritz weiter, besuchte ein Restaurant, kam nach Hause und nahm Alkohol zu sich und meldete schliesslich den Vorfall der Polizei.
X._ wurde mit Strafmandat vom 22. August 2008 schuldig gesprochen der Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit, der Verletzung von Verkehrsregeln, des pflichtwidrigen Verhaltens bei Unfällen sowie des Führens eines nicht betriebssicheren Fahrzeugs. Dieses Strafmandat ist unangefochten in Rechtskraft erwachsen.
B. Das Strassenverkehrsamt des Kantons Graubünden entzog X._ mit Verfügung vom 18. Februar 2009 den Führerausweis für drei Monate. Es führte aus, bei den genannten Vorfällen handle es sich um schwere Widerhandlungen gegen die Strassenverkehrsvorschriften im Sinne von <ref-law>.
Das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit des Kantons Graubünden wies die von X._ erhobene Beschwerde am 24. September 2009 ab.
In der Folge wies das Kantonsgericht Graubünden, II. Strafkammer, die Berufung von X._ am 9. Dezember 2009 ab. Das Kantonsgericht verneinte Verletzungen des rechtlichen Gehörs und bestätigte aufgrund der Würdigung des Sachverhalts den vorinstanzlichen Entscheid.
C. Gegen dieses Urteil des Kantonsgerichts hat X._ beim Bundesgericht am 8. Februar 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Er beantragt die Aufhebung des Kantonsgerichtsurteils und die Anweisung an das Strassenverkehrsamt, das Administrativverfahren einzustellen. Er rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, erachtet die Sachverhaltsfeststellung als offensichtlich unrichtig und bestreitet eine Vereitelung der Blutprobe.
Das Kantonsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Strassenverkehrsamt und das Departement haben unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid und die Akten auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Strassen hält die angefochtene Massnahme für bundesrechtskonform. Der Beschwerdeführer hat sich darauf nicht mehr vernehmen lassen.
D. Mit Präsidialverfügung vom 30. März 2010 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung beigelegt worden.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil stellt einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid in einer Materie des öffentlichen Rechts dar, die unter keinen Ausschlussgrund fällt. Die rechtzeitig erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist damit zulässig. Der Beschwerdeführer ist dazu legitimiert (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2. Der Beschwerdeführer rügt vorerst Verletzungen des Anspruchs auf rechtliches Gehör und bezieht sich sinngemäss auf die Garantie von <ref-law>. Im bundesgerichtlichen Verfahren hat er nach <ref-law> darzulegen, inwiefern die Verfassungsbestimmung verletzt sein soll.
Die Rügen der Verletzung von <ref-law> erweisen sich als unbegründet und sind abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Zum einen legt der Beschwerdeführer nur ansatzweise dar, inwiefern das rechtliche Gehör überhaupt verletzt sein soll. Zum andern sind Verletzungen des rechtlichen Gehörs nicht ersichtlich. Der Beschwerdeführer konnte sich vor dem Kantonsgericht zu allen tatsächlichen Umständen, wie sie sich aus den Akten ergeben, äussern. Es stellt keine Verfassungsverletzung dar, dass dieses eine vom vorinstanzlichen Entscheid abweichende Würdigung vornahm, dabei - im Sinne des Beschwerdeführers - teils von den Aussagen anlässlich der Befragung vom entsprechenden Abend des Vorfalls abwich und eine eigenständige, auf die Akten abgestützte Sachverhaltswürdigung vornahm. Überdies konnte der Beschwerdeführer in rechtlicher Hinsicht uneingeschränkt Stellung nehmen.
3. Der Beschwerdeführer macht des Weitern in verschiedener Hinsicht eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung im Sinne von <ref-law> geltend.
3.1 Das Kantonsgericht kam gestützt auf die Würdigung der Akten zu folgendem Schluss: Der Beschwerdeführer sei bei Tageslicht in einer langgezogenen Linkskurve auf die linke Strassenseite geraten und habe dort ohne Einwirkung eines Busses und ohne Blendung den linken Haltepfosten der die Strasse absperrenden Schranke umgefahren. Dadurch habe sich die Schranke aus der Halterung gelöst, und der Beschwerdeführer habe unter der Schranke durchfahren können, wobei die Windschutzscheibe des Fahrzeugs beschädigt worden ist.
Der Strafmandatsrichter hatte demgegenüber ausgeführt, der Beschwerdeführer sei in der langgezogenen Linkskurve aus nicht restlos geklärten Gründen auf die linke Seite geraten, sein Fahrzeug habe mit dem linken Reifen den Haltepfosten der dortigen Barriere touchiert und er sei mit seinem Auto unter der geschlossenen Barriere durchgefahren.
Nach der Auffassung des Beschwerdeführers soll sich der Vorfall folgendermassen abgespielt haben: Er habe übersehen, dass die alte Kantonsstrasse gesperrt war. In besagter Linkskurve sei ihm ein grosser Bus - wahrscheinlich ein Linienbus der Engadin Bus - entgegengekommen, der die Barriere vorgängig geöffnet hatte. Der Bus habe ihm die Sicht versperrt und zudem sei er von der Sonne geblendet worden. Nach dem Kreuzen habe er festgestellt, wie sich die Barriere wieder senke. Er sei deshalb nach links ausgewichen, habe dabei mit dem linken Vorderrad die in die Strasse ragende Auflagestütze gestreift und habe trotz des Aufschlagens der Barriere auf sein Fahrzeug gerade noch unten durchfahren können.
3.2 Das Kantonsgericht ist zum Schluss gekommen, dass kein Bus entgegengekommen sei, weil der Beschwerdeführer den Umstand, geblendet worden zu sein, in schwer nachvollziehbarer Weise vorerst auf den Bus und hernach auf die Sonne bezog. Nach den Abklärungen habe kein Bus eruiert werden können, dessen Chauffeur einen derartigen, auf einer gesperrten Strasse auffälligen Vorfall hätte bezeugen können. Ferner habe der Beschwerdeführer - entgegen der Formulierung im Strafmandat - den Haltepfosten der Barriere nicht nur touchiert, sondern im eigentlichen Sinne umgefahren, wie dem Polizeirapport und den Fotoaufnahmen zu entnehmen sei. All diese Elemente der Sachverhaltswürdigung vermag der Beschwerdeführer nicht als offensichtlich unzutreffend in Frage zu stellen. Er legt nicht dar, weshalb er in Anbetracht des angeblich herannahenden Busses auf die linke Strassenseite gelangt sein soll. Er hat keine Einvernahme von Chauffeuren der Verkehrsbetriebe zum Nachweis verlangt, dass tatsächlich ein Bus entgegengekommen sei. Schliesslich vermag er - in Anbetracht der Fotoaufnahmen vom umgefahrenen Haltepfosten und vom beschädigten Auto - nicht darzutun, dass er diesen nur gerade touchiert haben soll. Insoweit kann die Sachverhaltsfeststellung des Kantonsgerichts nicht als offensichtlich unzutreffend betrachtet werden.
Dies trifft auch auf die Frage zu, wie der Beschwerdeführer die Stelle mit der Barriere mit seinem Fahrzeug passierte. Das Kantonsgericht nahm an, die Schranke habe sich durch das Umfahren des Haltepfostens gelöst und habe sich möglicherweise etwas angehoben. Dadurch sei die Durchfahrt zwar ermöglicht worden, die Barriere habe indes die aufgezeichnete Beschädigung der Windschutzscheibe verursacht. Insoweit sei die Sachverhaltsfeststellung des Strafmandatsrichters zu korrigieren. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, vermag keine Willkür zu begründen. Er legt nicht dar, weshalb die auf das Fahrzeug "niedersausende Barriere" und der "Knall auf das Dach" das Autodach beeinträchtigt und zugleich die Windschutzscheibe beschädigt haben sollen. Entgegen seiner Auffassung ist das Kantonsgericht gerade nicht von der Schilderung des Strafmandatsrichters ausgegangen, wonach der Beschwerdeführer unter der vollkommen geschlossenen, nur 1.25 m hohen Schranke durchgefahren sei. Der Umstand, dass die Barriere nicht beschädigt worden ist, steht der Annahme des Kantonsgerichts nicht entgegen und vermag die Schilderung des Beschwerdeführers keineswegs zu stützen. Schliesslich ist nachvollziehbar, dass sich die Schranke durch das abrupte Umfahren des Pfostens sehr schnell angehoben und dadurch die Durchfahrt ohne grösseren Schaden ermöglicht hat.
Gesamthaft erweist sich die Beschwerde hinsichtlich der Sachverhaltsfeststellung als unbegründet.
4. In Anbetracht des willkürfrei festgestellten Sachverhalts hielt das Kantonsgericht fest, der Beschwerdeführer habe damit rechnen müssen, dass die Polizei bei ihrem Erscheinen einen Atemlufttest vornehmen bzw. einen Blutalkoholtest anordnen würde. Demnach sei der Beschwerdeführer den Meldepflichten von <ref-law> nicht nachgekommen, was in subjektiver Hinsicht einer Inkaufnahme der Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit gleichkomme.
Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, vermag keine Verletzung von Bundesrecht zu begründen. Zum einen ist das Kantonsgericht in zutreffender Weise von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ausgegangen. Danach erfüllt die Unterlassung der sofortigen Meldung des Unfalls an die Polizei den objektiven Tatbestand der Vereitelung einer Blutprobe im Sinne von <ref-law>, wenn der Fahrzeuglenker zur unverzüglichen Benachrichtigung der Polizei verpflichtet und diese möglich war und wenn bei objektiver Betrachtung der massgebenden Umstände die Polizei bei Meldung des Unfalls sehr wahrscheinlich eine Blutprobe angeordnet hätte. Zu den massgebenden Umständen gehören der Unfall als solcher (Art, Schwere, Hergang), der Zustand des Fahrzeuglenkers und dessen Verhalten vor, während und nach dem Unfall bis zu dem Zeitpunkt, an dem die Meldung spätestens hätte erfolgen müssen (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 39 und hinsichtlich des Nachtrunks E. 2.2.4 S. 40; <ref-ruling> E. 2a S. 55). Zum andern durfte das Kantonsgericht berücksichtigen, dass es sich im vorliegenden Fall entgegen der Ansicht des Beschwerdeführer nicht um eine Bagatelle handelte. Dieser hat vielmehr, nachdem er das Fahrverbot auf der alten Kantonsstrasse missachtet hatte und auf die linke Fahrbahn gelangt war, den Haltepfosten umgefahren und damit Schaden verursacht. Hernach hat er nicht unverzüglich Meldung erstattet, sondern vorerst noch ein Restaurant besucht und da bzw. zu Hause Alkohol konsumiert. Bei dieser Sachlage ist nicht erheblich, dass er schliesslich der Polizei doch noch Meldung erstattete.
Gestützt auf diesen Sachverhalt durfte das Kantonsgericht ohne Verletzung von Bundesrecht annehmen, dass der Beschwerdeführer eine schwere Widerhandlung gegen Strassenverkehrsvorschriften im Sinne von <ref-law> begangen hat und ihm gestützt auf <ref-law> der Führerausweis für drei Monate zu entziehen war.
Damit erweist sich die Beschwerde auch in diesem Punkte als unbegründet.
5. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Graubünden, dem Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit Graubünden sowie dem Kantonsgericht von Graubünden, II. Strafkammer, und dem Bundesamt für Strassen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Steinmann