Sachverhalt:
A.
A.a. X._ (Jahrgang 1971) und Y._ (Jahrgang 1968) heirateten im August 2009 und sind die Eltern der Kinder A._ (Jahrgang 2006) und B._ (Jahrgang 2008). Seit dem 22. Juni 2012 stehen die Parteien in Scheidung.
A.b. Auf Begehren der Ehegattin auf Erlass vorsorglicher Massnahmen entschied das Bezirksgericht Zürich am 19. April 2013, dass die Kinder unter ihre Obhut gestellt werden, regelte es - soweit hier von Belang - das Besuchsrecht des Vaters und verpflichtete ihn zur Leistung gestaffelter Unterhaltsbeiträge an die Kinder und die Ehegattin; mit am gleichen Tag erlassener Verfügung wies das Bezirksgericht sodann das Gesuch des Ehegatten um unentgeltliche Rechtspflege ab.
B.
B.a. Der Ehegatte erhob mit Eingabe vom 2. Mai 2013 gegen das bezirksgerichtliche Urteil Berufung. Er erneuerte darin sein ursprüngliches Begehren um Zuteilung der Obhut über die Kinder an sich, mit entsprechender Regelung des Besuchsrechts der Mutter; für den Fall, dass seinem Hauptbegehren nicht stattgegeben würde, ersuchte er um Bestätigung seines Besuchsrechts gemäss erstinstanzlichem Entscheid und um Erlass eines Verbotes an die Ehegattin, die Schweiz während des Verfahrens zu verlassen. Mit dem Antrag Ziff. 6 seiner Berufungsschrift ersuchte der Ehegatte sodann das Obergericht, in Aufhebung der Dispositiv-Ziffern 5, 6 und 7 des erstinstanzlichen Urteils die Ehegattin zu verpflichten, den Kindern reduzierte und ebenfalls gestaffelte Unterhaltsbeiträge zu erbringen. Im Übrigen sei er zu verpflichten, der Ehegattin einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 198.-- zu erbringen und berechtigt zu erklären, die Unterhaltsbeiträge an die Ehegattin und die Kinder mit dem von ihm entrichteten Mietzins der ehelichen Wohnung zu verrechnen, solange die Begünstigten dort wohnen. Schliesslich verlangte er von der Ehegattin einen Kostenvorschuss; separat focht er die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege an.
B.b. Mit dem hier angefochtenen Urteil vom 21. August 2013 hiess das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung teilweise gut, verbot der Ehegattin, den Aufenthaltsort der Kinder ohne Zustimmung des Ehemannes ins Ausland zu verlegen und verpflichtete sie, dem Ehegatten einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 8'000.-- zu entrichten. Es nahm weiter Vormerk davon, dass der Ehegatte bereits Fr. 22'321.15 an den Unterhalt der Ehegattin und der Kinder bezahlt hat, verpflichtete die Ehegattin zur Leistung eines weiteren Prozesskostenvorschusses an den Ehegatten von Fr. 5'090.-- für das zweitinstanzliche Verfahren, wies im Übrigen die Berufung ab und auferlegte die zweitinstanzlichen Verfahrenskosten dem Ehegatten in Höhe von 6/7 und der Ehegattin in Höhe von 1/7, unter Wettschlagung der Parteientschädigungen. Das Begehren des Ehegatten um unentgeltliche Rechtspflege wies es mit in der gleichen Urkunde abgedrucktem Beschluss ab.
C.
Mit Eingabe vom 20. September 2013 erhebt der Ehegatte (fortan: Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen am Bundesgericht. In Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 1 Abs. 4 des angefochtenen Urteils ersucht er, die Dispositiv-Ziffern 5, 6 und 7 des bezirksgerichtlichen Urteils aufzuheben und stattdessen die Ehegattin (fortan: Beschwerdegegnerin) zu verpflichten, die bereits vor Obergericht genannten Beiträge an den Unterhalt der Kinder zu leisten; weiter sei er zu einem Unterhaltsbeitrag für die Beschwerdegegnerin persönlich in Höhe von Fr. 198.-- ab Juli 2013 und für die weitere Dauer des Verfahrens zu verpflichten. Eventualiter sei die Sache zur erneuten Entscheidung an das Obergericht zurückzuweisen. Des Weiteren seien die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens vollumfänglich der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen, eventualiter sei die Sache zur erneuten Entscheidung dieser Frage an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Beschluss vom 21. Oktober 2013 hat der Präsident der urteilenden Abteilung der Beschwerde antragsgemäss für die vom 12. Juli 2012 bis und mit April 2013 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung erteilt.
In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein im Rahmen von vorsorglichen Massnahmen im Scheidungsverfahren ergangener kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und 90 BGG; zur Qualifikation als Endentscheid vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 431 f.), wobei vor Bundesgericht einzig noch die vermögensrechtlichen Nebenfolgen strittig sind. Es handelt sich somit um eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit, ungeachtet dessen, dass im vorinstanzlichen Verfahren zusätzlich über die Zuteilung der Obhut und damit eine nicht vermögensrechtliche Sache zu entscheiden war (<ref-ruling> E. 2b S. 495; FABIENNE HOHL, Procédure civile, Band II, 2. Aufl. 2010, Rz. 2686). Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 4 BGG). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.2. Da es sich bei einem gestützt auf Art. 276 ZPO ergangenen Entscheid um eine vorsorgliche Massnahme im Sinn von Art. 98 BGG handelt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 397), kann vorliegend einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 98 BGG). Auch die Anwendung von Bundesgesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von Art. 98 BGG nur auf Willkür, das heisst auf eine Verletzung von Art. 9 BV hin (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 628; Urteil 5A_261/2009 vom 1. September 2009 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; zum Willkürbegriff vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133). Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Will der Beschwerdeführer die Verletzung des Willkürverbots geltend machen, reicht es sodann nicht aus, wenn er die Lage aus seiner eigenen Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
1.3. Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, Beweise abzunehmen und Tatsachen festzustellen, über die sich das kantonale Sachgericht nicht ausgesprochen hat (<ref-ruling> E. 6.1 S. 214). Mit der Beschwerde in Zivilsachen darf der Beschwerdeführer keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorbringen, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (Art. 99 Abs. 1 BGG); gleich verhält es sich, wenn die Untersuchungsmaxime zur Anwendung kommt (Urteil 5A_645/2008 vom 27. August 2009 E. 1.4, in: Praxis 99/2010 Nr. 71 S. 517). Neu sind Tatsachen, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt wurden (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 364 f.; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 128 f.). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzung für die nachträglichen Vorbringen erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3 S. 395).
2.
Die Zuteilung der Obhut über die Kinder als solche ist vor Bundesgericht nicht mehr strittig, ebenso die Besuchsrechtsregelung, die Frage einer Beschränkung des Aufenthaltsbestimmungsrechts der Beschwerdegegnerin, die Zuteilung der ehelichen Wohnung, die Prozesskostenvorschüsse und die Verrechnung von Unterhaltsbeiträgen mit einer direkten Zahlung der Mietzinse der ehelichen Wohnung. Einzig umstritten bleibt die Frage der rechtsgenüglichen Formulierung der Berufungsanträge; zu klären ist insbesondere, ob das Obergericht davon ausgehen durfte, dass der in zweiter Instanz gestellte Antrag um Verpflichtung der Beschwerdegegnerin zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen an die Kinder in untrennbarem Zusammenhang mit der Zuteilung der Obhut an den Beschwerdeführer selbst stand bzw. davon abhängig war, oder ob es vielmehr hätte annehmen müssen, dass der Antrag auch im Falle der Zuteilung der Obhut an die Beschwerdegegnerin Bestand haben sollte. Ähnlich stellt sich die Frage hinsichtlich der anbegehrten Herabsetzung der Verpflichtung des Beschwerdeführers zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen an die Beschwerdegegnerin persönlich.
2.1. Ein Rechtsbegehren muss so bestimmt sein, dass es im Falle der Gutheissung der Klage unverändert zum Urteil erhoben werden kann. Aus diesem Prozessgrundsatz folgt demnach im vorliegenden Verfahren, in dem der Beschwerdeführer Begehren in der Sache stellen will, dass die auf Geldzahlung gerichteten Berufungsanträge zu beziffern sind. Dasselbe ergibt sich im Übrigen aus Art. 315 Abs. 1 ZPO, wonach die Berufung die Rechtskraft und die Vollstreckbarkeit des angefochtenen Entscheids im Umfang der Anträge hemmt. Sodann bestätigt die Berufungsinstanz den angefochtenen Entscheid oder entscheidet neu; eine Rückweisung an die erste Instanz hat die Ausnahme zu bleiben (Art. 318 Abs. 1 ZPO; Botschaft vom 28. Juni 2006 zur ZPO, BBl 2006 7376 Ziff. 5.23.1). Schliesslich ermöglichen erst klare und im Falle von Geldforderungen bezifferte Anträge der Gegenpartei, sich in der Berufungsantwort zu verteidigen (Art. 312 ZPO) und darüber zu entscheiden, ob sie - soweit dies möglich ist - Anschlussberufung erheben will. Das Erfordernis von bestimmten und gegebenenfalls bezifferten Berufungsanträgen steht schliesslich auch im Einklang mit den Vorgaben der Bundesrechtspflege und deren Zweck: Gemäss Art. 112 Abs. 1 lit. a BGG müssen Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, unter anderem die Begehren enthalten, soweit sich diese nicht aus den Akten ergeben. (Art. 313 f. ZPO; zu alledem: <ref-ruling> E. 4.3 und 4.4 S. 619 f. mit zahlreichen Hinweisen auf Lehre und Rechtsprechung). Daran ändert sich für die Berufungseingabe nichts, soweit für den Kindesunterhalt die Offizialmaxime anwendbar ist (<ref-ruling> E. 4.5 S. 620). Unter dem Vorbehalt des überspitzten Formalismus stellt es deshalb grundsätzlich keine formelle Rechtsverweigerung dar, in der Berufungseingabe bestimmte und im Falle von Geldforderungen bezifferte Rechtsbegehren zu verlangen (<ref-ruling> E. 6.1 und 6.2 S. 621 f.). Wie alle Prozesshandlungen sind Rechtsbegehren nach Treu und Glauben auszulegen, insbesondere im Lichte der dazu gegebenen Begründung. Das hat das Bundesgericht mit Blick auf das kantonale Zivilprozessrecht festgehalten (Urteil 4A_551/2008 vom 12. Mai 2009 E. 2.2 mit Hinweisen). Der Grundsatz gilt gleichermassen unter der Herrschaft der Schweizerischen Zivilprozessordnung, auch mit Bezug auf die Berufungsanträge im Sinne von Art. 315 Abs. 1 ZPO (Urteil 5A_474/2013 vom 10. Dezember 2013 E. 6.2.3, in: FamPra.ch 2014 S. 421).
2.2. Das Obergericht hat zum Antrag Ziff. 6 des Beschwerdeführers ausgeführt, dieser beziehe sich im ersten und zweiten Absatz auf den Fall, dass die Kinder ihm zugeteilt werden. Dies ergebe sich auch aus der Begründung. Lediglich der dritte Absatz des Antrags Ziff. 6, wonach der Beschwerdeführer berechtigt zu erklären sei, Unterhaltsbeiträge an die Beschwerdegegnerin und die Kinder im Umfang von Fr. 2'920.50 direkt an den Vermieter tilgen zu dürfen, solange die Beschwerdegegnerin in der ehelichen Wohnung wohne, betreffe den Fall, in dem die erstinstanzliche Obhutszuteilung bestätigt werde. Da die Obhutszuteilung an die Beschwerdegegnerin zu bestätigen sei, seien die Anträge gemäss erstem und zweitem Absatz von Ziff. 6 sogleich abzuweisen. Auch die Rüge, die Unterhaltsbeiträge seien in Folge unrichtiger Berechnung seines Einkommens zu reduzieren, verbinde der Beschwerdeführer mit keinem bezifferten Antrag; und auch aus der Begründung seiner Berufung seien die Beträge nicht zu gewinnen. Wollte er somit mit seinen Rügen zur vorinstanzlichen Berechnung seines Einkommens sowie des Bedarfs eventualiter - für den Fall der Bestätigung der Obhutszuteilung an die Beschwerdegegnerin - ebenso eine Reduktion der von ihm zu leistenden Unterhaltsbeiträge erreichen, sei auf dieses Begehren mangels bezifferten Antrags nicht einzutreten.
2.3. Der Beschwerdeführer wehrt sich gegen diese Auslegung durch die vorinstanzlichen Richter. Dass dieser Antrag (oder auch nur Teile davon) lediglich für den Fall, dass die Kinder unter die Obhut des Beschwerdeführers gestellt würden, gelten sollte, lasse sich seinem Antrag nicht entnehmen und sei auch tatsächlich nicht seine Meinung gewesen. In seinem Entscheid vom 21. August 2013 betreffend unentgeltliche Rechtspflege habe das Obergericht festgestellt, dass seine Rügen zur Berechnung seines Einkommens teilweise berechtigt gewesen seien: Die Vorinstanz habe also gewusst, dass durch ihren Nichteintretensentscheid der Beschwerdeführer zur Zahlung deutlich zu hoher Unterhaltsbeiträge verpflichtet würde. Damit habe das Obergericht seinen klaren und bezifferten Antrag ungerechtfertigterweise uminterpretiert und ihm letztlich die materielle Beurteilung seines Anspruchs verweigert.
Im Einzelnen macht der Beschwerdeführer geltend, sein Berufungsantrag Ziff. 6 sei absolut gestellt gewesen, habe keinerlei Einschränkung, Bedingung, Vorbehalt oder Ähnliches enthalten; auch die Begründung habe ihn nicht eingeschränkt. Die Höhe seines Einkommens sei ungeachtet der Zuteilung der Obhut für die Höhe der Unterhaltsbeiträge relevant gewesen - was zeige, dass seine Ausführungen auch für den Fall gelten sollten, dass die Kinder unter die Obhut der Beschwerdegegnerin gestellt würden. Wegen der Offizialmaxime wäre Sache der Vorinstanz gewesen, die Höhe der geschuldeten Unterhaltsbeiträge zu berechnen. Das Obergericht hätte ihm durch entsprechende Fragen Gelegenheit zur Klarstellung geben müssen (Art. 56 ZPO); die unterlassene Ausübung dieser Fragepflicht verletze Treu und Glauben und seinen Anspruch auf rechtliches Gehör. Aus der Begründung des vorinstanzlichen Entscheides selbst ergebe sich, dass er eine Reduktion der Unterhaltsbeiträge auch für den Fall anstrebe, dass die Kinder unter die Obhut der Beschwerdegegnerin gestellt würden. Die vorinstanzliche Auslegung widerspreche Treu und Glauben, sei willkürlich und verletze seinen Anspruch auf rechtliches Gehör. Die Schranken für die obergerichtliche Bemessung des Unterhalts an die Beschwerdegegnerin seien angesichts des bezirksgerichtlichen Urteils und seines Antrages völlig klar gewesen, so dass ein separater Eventualantrag für den Fall, dass die Kinder unter die Obhut der Beschwerdegegnerin gestellt würden, nicht erforderlich war - und noch weniger sei dies für die Kinderunterhaltsbeiträge erforderlich gewesen, komme doch diesbezüglich die Offizialmaxime zur Anwendung. Die Vorinstanz habe somit eine Pflicht zur Stellung eines Eventualantrages aufgestellt, die sich weder aus dem Gesetz ergebe noch sachlich rechtfertigen lasse: Dies vereitele eine materiellrechtliche Beurteilung des Sachverhalts und stelle eine Rechtsverweigerung dar. Analoges gelte hinsichtlich der Berücksichtigung bereits erbrachter Leistungen.
3.
Es ist zunächst zu prüfen, ob die Berufungsanträge gemäss Abs. 1 und Abs. 2 von Ziff. 6 dergestalt formuliert waren, dass sie sowohl im Falle der Obhutszuteilung an den Beschwerdeführer als auch im Falle der Zuteilung an die Beschwerdegegnerin zum Tragen kommen mussten.
3.1. Es trifft zu, dass die Anträge in Ziff. 6 allgemein formuliert sind und nicht etwa - wie die Anträge Ziff. 3 und 4 - unter dem ausdrücklichen Vorbehalt stehen, dass die Kinder nicht unter die Obhut des Vaters gestellt werden sollten. Dennoch hat das Obergericht dafür gehalten, dass die Anträge gemäss Abs. 1 und 2 nur für den Fall einer Umteilung der Obhut über die Kinder an den Beschwerdeführer gelten sollten; es hat sich dabei auf den Wortlaut der Anträge selbst und auf die Begründung der Berufungsschrift gestützt.
Der Antrag Ziff. 6 der Berufungsschrift - den der Beschwerdeführer vor Bundesgericht unverändert übernimmt - ist unklar formuliert: Für sich genommen, ohne auf die Begründung zurückzugreifen, erweckt er den Eindruck, als ob der Beschwerdeführer einerseits die Beschwerdegegnerin verpflichtet wissen möchte, an den Unterhalt der Kinder beitragen zu müssen, andererseits sich aber bereit erklärt, gleichzeitig ihr persönlich Beiträge in Höhe von Fr. 198.-- monatlich zu bezahlen. Dies ist kaum logisch: Wenn die wirtschaftlichen Verhältnisse des Ehegatten, der Kinderunterhaltsbeiträge leisten muss, so knapp sind, dass er selbst auf Unterhaltsbeiträge angewiesen ist, dann ist seine Leistungspflicht zu reduzieren und nicht seine Leistungsfähigkeit zu erhöhen.
Erst die Lektüre der Berufungsschrift lässt erkennen, dass der Beschwerdeführer seinen Antrag anders als soeben beschrieben verstanden hat. Die Berufungsschrift ist nämlich in Abschnitte unterteilt, die voneinander vollkommen unabhängig sind. In einem ersten Abschnitt erläutert er sehr ausführlich, warum er und nicht die Beschwerdegegnerin mit der Obhut über die Kinder betraut werden sollte. Anschliessend erwähnt er das Besuchsrecht und in einem etwas längeren Abschnitt die bereits vor erster Instanz anbegehrte Beschränkung des Aufenthaltsbestimmungsrechts der Beschwerdegegnerin; diese Ausführungen beziehen sich auf den Eventualfall, dass die Obhut der Mutter zugeteilt würde. Die eheliche Wohnung soll ihm zugeteilt werden, um die ihm zugesprochenen Kinder in ihrer gewohnten Umgebung weiterhin betreuen zu können. Erst dann kommt er zu den Unterhaltsbeiträgen: Ohne Einführungsworte setzt er sofort an mit seiner Kritik an der vorinstanzlichen Festsetzung seines Einkommens und seines Bedarfs, und gelangt somit zur Unterhaltsberechnung. Diese ist wiederum überhaupt nicht klar: Wie der Beschwerdeführer von den in Ziff. VI.C.57 seiner Berufungsschrift aufgelisteten Zahlen zu den in der folgenden Ziff. VI.C.58 verbrieften Unterhaltsbeiträgen gelangt, erläutert er nicht. Bestenfalls kann vermutet werden, dass er für die jeweiligen Zeitabschnitte einfach jenen Ehegatten zu Unterhaltsleistungen hat verpflichten wollen, bei welchem sich rechnerisch ein Überschuss gebildet hat.
Aus diesen Überlegungen folgen zwei Schlüsse: Erstens ist der Beschwerdeführer erst ab Juli 2013 gewillt, der Beschwerdegegnerin persönlich einen (wenn auch minimen) Unterhaltsbeitrag zu überweisen. Und zweitens zeigen seine Berechnungen, dass er strikte nur mit einem einzigen Modell operiert hat: Jenem, in welchem die Kinder unter seine eigene Obhut gestellt werden. Das ergibt sich klar nicht nur aus der Bekräftigung seines Antrages auf Zuteilung der Obhut über die Kinder an sich selbst, sondern auch aus dem Antrag auf Zuteilung der ehelichen Wohnung an sich, den er gerade mit dem Bestreben begründet, die Kinder weiterhin in der gewohnten Umgebung zu betreuen. Im gleichen Sinne ist zu werten, dass er die Bedarfspositionen der Kinder stets in sein Existenzminimum eingerechnet hat.
Unter diesen Umständen ist dem Obergericht keine Willkür vorzuwerfen, wenn es angenommen hat, die Begehren gemäss Abs. 1 und Abs. 2 beruhten auf der Annahme, dass die Obhut über die Kinder dem Beschwerdeführer zugeteilt werde.
3.2. Nun scheint der Beschwerdeführer die Auffassung zu vertreten, dass es für die Berechnung der Unterhaltsbeiträge nicht darauf ankommt, welchem Elternteil die Obhut über die Kinder zugeteilt wird. Rechtlich betrachtet erscheint diese Sichtweise fragwürdig.
Der Kinderunterhaltsbeitrag während hängigen Scheidungsverfahrens richtet sich kraft der Verweisung in Art. 276 Abs. 1 ZPO und der Weiterverweisung in Art. 176 Abs. 3 ZGB nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses (Art. 270 ff. ZGB). Die Eltern haben also für den Unterhalt des Kindes aufzukommen (Art. 276 Abs. 1 ZGB), und der Unterhalt wird durch Pflege und Erziehung oder, wenn das Kind nicht unter der Obhut der Eltern steht, durch Geldzahlung geleistet (Art. 276 Abs. 2 ZGB). Der Unterhaltsbeitrag in Geld ist also eine Form der Teilnahme beider Elternteile am materiellen Unterhalt des Kindes: Der obhutsberechtigte Elternteil leistet unmittelbaren, der nicht obhutsberechtigte mittelbaren Unterhalt ( STEPHAN WULLSCHLEGER, in: Ingeborg Schwenzer [Hrsg.], FamKomm Scheidung Bd. I, 2. Aufl. 2011, N. 5 und 6 zu den Allgemeinen Bemerkungen zu Art. 276-293 ZGB). Die Pflicht dazu soll die persönlich erbrachte Pflege ersetzen, die der - nicht mehr - obhutsberechtigte Ehegatte wegen der Auflösung der ehelichen Gemeinschaft inskünftig nicht in natura erbringen kann. Es folgt daraus, dass der obhutsberechtigte Elternteil seinen Beitrag an den Unterhalt und an die Erziehung der Kinder eben in natura erbringt. Eine Grundlage, den obhutsberechtigten Elternteil förmlich in einem Urteil zu verpflichten, über die persönlich erbrachten Leistungen - wie Einkauf und Zubereitung der Verpflegung, Besorgung der Obhut und der Bekleidung usw. (von den wirtschaftlich nicht erfassbaren Leistungen in Zusammenhang mit der Erziehung ganz zu schweigen) - auch noch geldwerte Unterhaltsbeiträge zu leisten, liefert das geltende Recht - mit Ausnahme von hier nicht zutreffenden Sonderfällen (z.B. bei gemeinsamer elterlicher Sorge, Art. 133 Abs. 3 aZGB, Art. 296 Abs. 2 revZGB; dazu statt vieler BÜCHLER/WIRZ, in: FamKomm Scheidung, a.a.O., N. 33 zu Art. 133 ZGB; Wullschleger, a.a.O., N. 6 zu den Allgemeinen Bemerkungen zu Art. 276-293 ZGB) - nicht. Auch wäre unklar, an wen solche Beiträge abzuliefern wären.
Die Auffassung, bei der Berechnung der Unterhaltsleistungen spiele die Zuteilung der Obhut über die Kinder keine Rolle, kann in dieser allgemeinen Form nicht unterstützt werden: Wohl bleiben die einzelnen Posten (Bedarf, Einkünfte, gesamthafter Überschuss bzw. gesamthaftes Manko) an sich gleich, aber die Rechnung ändert sich, je nachdem, wer den Unterhalt unmittelbar durch Pflege und Erziehung leistet. Es ist nicht willkürlich, von den Parteien zu fordern, dass sie dem in Form von unterschiedlich bezifferten Beträgen und Anträgen Rechnung tragen. Ebenso wenig ist es willkürlich, mangels entsprechender Bezifferungen auf die Rügen bezüglich der Berechnung der einzelnen Posten nicht einzutreten: Ohne unmissverständliche, bezifferte Anträge wäre selbst eine punktuelle Berichtigung einzelner Posten nicht zielführend.
3.3. Die geschilderte Rechtsfrage braucht vorliegend nicht endgültig entschieden zu werden. Denn was der Beschwerdeführer gegen das angefochtene Urteil vorträgt, ist sowieso ungeeignet, den obergerichtlichen Schluss als willkürlich erscheinen zu lassen.
3.3.1. Der Einwand, er habe überhaupt nicht beabsichtigt, die Anträge gemäss Ziff. 6 nur für den Fall einer Zuteilung der Obhut über die Kinder an sich zu stellen, ist appellatorisch, ebenso wie seine apodiktische und unbegründet gebliebene Behauptung, auch aus der Begründung seiner Berufungsschrift ergebe sich nichts Gegenteiliges - eine Behauptung, die soeben widerlegt wurde (hier vorne E. 3.1). Im Übrigen sind seine unausgesprochen gebliebenen Beweggründe für eine Auslegung seiner Begehren nach Treu und Glauben irrelevant. Damit vermag der Beschwerdeführer den eindeutigen Schluss der Vorinstanz nicht als willkürlich erscheinen zu lassen.
3.3.2. An der Sache vorbei geht sodann seine Rüge, er habe unmissverständlich die Berechnung seines Einkommens kritisiert, was die Vorinstanz auch positiv zur Kenntnis genommen habe. Denn die Kritik an einem Posten der Unterhaltsberechnung - mag sie auch so zutreffend sein - vermag keinen Hinweis dafür zu liefern, ob die entsprechenden Anträge von einer bestimmten Obhutszuteilung abhängig waren oder nicht. Die Feststellung, eine unzutreffende Einkommensberechnung beeinflusse die Höhe der Unterhaltsbeiträge, ungeachtet der Frage, an wen die Obhut über die Kinder zugeteilt würde, ist zwar selbstverständlich richtig, vermag jedoch wiederum nicht zu klären, ob der Beschwerdeführer diese Begehren unter Bezugnahme auf eine bestimmte Obhutszuteilung formuliert hatte oder nicht. Es trifft folglich nicht zu, dass das Obergericht seinen klaren und bezifferten Antrag ungerechtfertigterweise uminterpretiert hat.
3.3.3. Der Beschwerdeführer bemängelt sodann eine Unterlassung der Ausübung der richterlichen Fragepflicht (Art. 56 ZPO); er erblickt darin eine Verletzung von Treu und Glauben und seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Die richterliche Fragepflicht wird nur ausgelöst, wenn die gesetzlichen Voraussetzungen nach Art. 56 ZPO gegeben sind, mithin ein unklares, widersprüchliches, unbestimmtes oder offensichtlich unvollständiges Parteivorbringen vorliegt (Urteil 4A_444/2013 vom 5. Februar 2014 E. 6.3.3 m.w.H., in: sic! 6/2014 S. 367). Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich nicht, dass das Obergericht den geringsten Zweifel über die Auslegung der einschlägigen Parteivorbringen gehabt hätte. Die pauschale Behauptung des Beschwerdeführers, die Vorinstanz hätte mindestens Zweifel an ihrer eigenen Auslegung haben müssen, erfüllt die erhöhten Anforderungen an einer Verfassungsrüge (vorne E. 1.2) nicht: Vielmehr hätte der Beschwerdeführer, unter Heranziehung seiner Berufungsbegründung, aufzeigen müssen, dass sein Antrag Ziff. 6 (auch) in seinem Sinne hätte verstanden werden können und folglich überhaupt missverständlich war. Dies hat er nicht getan (vgl. hier vorne E. 3.3.1). Auf die Rüge kann nicht eingetreten werden. Im Übrigen wäre sie klar unbegründet: Der Beschwerdeführer war vor Obergericht - wie hier auch - durch einen Rechtsbeistand vertreten, der auf dem Gebiet des Familienrechts besonders qualifiziert ist, wie die zusätzliche Berufsbezeichnung "Fachanwältin SAV Familienrecht" auf dem Briefkopf zeigt. Unter diesen Umständen hatte das Obergericht sicher nicht mit einer unbeholfenen Partei zu tun (Urteil 4A_444/2013 vom 5. April 2014 E. 6.3.3, in: sic! 6/2014 S. 367) und musste es sich mit der Formulierung von Fragen in Zurückhaltung üben, um die Gefahr zu vermeiden, parteilich zu instruieren.
3.3.4. In der - wie er meint, von der Vorinstanz ihm ungerechtfertigterweise aufgebürdeten - Pflicht zur Formulierung von Eventualanträgen erblickt der Beschwerdeführer ein Hindernis für die Verwirklichung des materiellen Rechts und mithin eine Rechtsverweigerung. Zu Unrecht: Gerade dann, wenn die Zuteilung der Obhut über die Kinder streitig ist, müssen die Parteien in Erwägung ziehen, mit Eventualbegehren zu arbeiten. Nur so kann den Unwägbarkeiten begegnet werden, die sich z.B. eben bei einer Obhutszuteilung ergeben, die anders als erwartet ausfällt (Urteil 5A_704/2013 vom 15. Mai 2014 E. 3.5, zur Publikation vorgesehen). Soweit der Beschwerdeführer rechtsgenüglich eine Verfassungsverletzung anruft, ist seine Rüge abzuweisen.
3.3.5. Im geringen Ausmass, im welchen auf sie überhaupt eingetreten werden kann, erweist sich die Rüge, das Obergericht habe zu Unrecht angenommen, dass der Berufungsantrag Ziff. 6 des hiesigen Beschwerdeführers nur für den Fall einer Obhutszuteilung an ihn selbst gestellt gewesen sei, als unbegründet. Der gegenteilige Schluss des Obergerichts ist nicht willkürlich.
4.
Angesichts des soeben Gesagten ist der Kritik des Beschwerdeführers zur ihm vorgeworfenen unzureichenden Bezifferung der Unterhaltsbeiträge der Boden entzogen.
Nur der Vollständigkeit halber sei dennoch angefügt: Soweit der Beschwerdeführer sich für die Kinderunterhaltsbeiträge auf die Offizialmaxime beruft (freilich ohne deren willkürliche Anwendung zu rügen), vergisst er, dass dieselbe die Parteien nicht von der Pflicht entbindet, bezifferte Anträge zu stellen (Urteil 5A_704/2013 vom 15. Mai 2014 E. 2.1, zur Publikation vorgesehen; <ref-ruling> E. 4.5 S. 620).
Wenn der Beschwerdeführer sodann meint, die Schranken für die obergerichtliche Bemessung aller Unterhaltsbeiträge seien angesichts des bezirksgerichtlichen Urteils und seines Antrages völlig klar gewesen, und ein separater Eventualantrag überflüssig, begnügt er sich, eine Verletzung der Dispositionsmaxime zu rügen, ohne eine Verfassungsrüge zu formulieren (vgl. vorne E. 1.2).
5.
Zum Schluss wehrt sich der Beschwerdeführer gegen die Weigerung der Vorinstanz, bereits erbrachte Unterhaltsleistungen von seiner Verpflichtung in Abzug zu bringen. Eines Antrages habe es nicht bedurft, denn die Verpflichtung sei im Umfang dieser Leistung untergegangen. Der angefochtene Entscheid sei mithin willkürlich und stelle eine Rechtsverweigerung dar.
Einen entsprechenden Antrag hat der Beschwerdeführer vor Vorinstanz gar nicht gestellt, geschweige denn einen bezifferten. Die Vorinstanz hat die Rüge dennoch geprüft und unter Anderem hervorgehoben, dass er unter den anzurechnenden Beträgen auch solche aufgeführt hatte, die der erstinstanzliche Richter bereits berücksichtigt hatte - und der Beschwerdeführer bestreitet diese Feststellung nicht. Das Obergericht war nicht gehalten, ohne Antrag allenfalls abzuziehende Beträge von sich aus zusammenzurechnen: Der Unterhaltspflichtige kann auf eine Anrechnung solcher Beträge auch verzichten. Eine solche Berechnung wäre den Oberrichtern im Übrigen ohne eine klare Bezifferung seitens des Beschwerdeführers gar nicht möglich gewesen, zumal die Beträge sich auch nicht aus der Begründung hätten entnehmen lassen.
Die Rüge ist im Ergebnis offensichtlich unhaltbar.
6.
Ist mithin nicht zu beanstanden, dass das Obergericht auf den Antrag Ziff. 6 des Beschwerdeführers gar nicht eingetreten ist, ist die Richtigkeit der zugesprochenen Unterhaltsbeiträge nicht zu überprüfen. Auf die entsprechenden Rügen ist nicht einzutreten, ebensowenig wie auf das Begehren um Neufestsetzung der vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen.
7.
Die Beschwerde ist im Ergebnis abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann, unter Kostenfolgen zu Lasten des unterliegenden Beschwerdeführers (Art. 64 Abs. 1 BGG). Weil in der Sache keine Antwort eingeholt wurde und sie bezüglich der aufschiebenden Wirkung unterliegt, ist der Beschwerdegegnerin keine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juli 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Buss