Faits:
Faits:
A. A.a S._, née en 1960, mère de famille, a travaillé comme serveuse à 100 % du 2 juin 1995 au 31 mars 1996, puis à 50 % du mois de juillet 1996 au mois d'avril 1997; elle a travaillé ensuite à 50 % comme repasseuse jusqu'à la fin du mois de novembre 1997.
Souffrant de lombosciatalgies, elle a présenté à partir du 2 septembre 1996 - mise à part la période du 16 au 24 novembre où elle fut totalement inapte au travail - une incapacité de 50 %, pour laquelle la Mutuelle Valaisanne lui a versé des indemnités journalières.
Mandaté en qualité d'expert, le docteur A._, spécialiste en maladies rhumatismales, a posé les diagnostics de lombosciatalgies bilatérales prédominantes à droite, dorsalgies et état dépressif d'évolution chronique. La capacité de travail de 50 % dans la nouvelle occupation de repasseuse pouvait être augmentée à 100 % dans les deux mois moyennant des exercices quotidiens et ciblés de gymnastique et un traitement antidépresseur (rapport du 28 août 1997).
Se fondant sur cette appréciation, la Mutuelle Valaisanne a supprimé ses prestations avec effet au 1er décembre 1997. Sur recours, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a condamné l'assurance-maladie perte de gain à indemniser l'intéressée au-delà du 1er décembre 1997 sur la base d'une incapacité de travail de 50 %, jusqu'à rétablissement de la capacité de travail ou au terme des prestations d'assurance (jugement du 31 mars 1999).
Parallèlement, l'assurée a bénéficié de prestations de l'assurance-chômage.
A.b Le 23 janvier 1997, S._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité tendant à l'octroi d'une rente.
L'assurée a effectué elle-même des recherches d'emploi et demandé à faire un stage préalable dans la vente (rapport du 26 février 1998). Du 19 mai 1998 au 5 juillet 1998, elle a accompli un stage dans la société X._, où elle a été engagée le 28 mai 1999 en qualité de caissière auxiliaire à raison de quatre heures par jour, avec un taux d'occupation variable, pour un salaire brut de 16 fr. 90 (17 fr. 05 dès le 1er janvier 2000).
Dans un projet de décision du 27 juillet 2000, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (OAI) a fixé le taux d'invalidité de l'assurée à 36,62 % après avoir procédé à la comparaison d'un revenu sans invalidité de 37'050 fr. et d'un revenu d'invalide de 23'481 fr. en fonction d'une incapacité de travail de 50 %.
A.c S._ s'est opposée à ce projet de décision en s'appuyant sur une attestation du 22 septembre 2000 (complétée par un rapport du 3 novembre 2000) de la doctoresse G._, médecin-traitant, selon laquelle elle ne présentait plus qu'une capacité de travail de 30 % depuis le 25 septembre 2000. Pour sa part, X._ a confirmé que depuis cette date l'horaire de travail de son employée n'était plus que de deux heures par jour et que le gain correspondant au rendement devrait s'élever à 8 fr. 50 (la moitié du salaire horaire).
Dans un rapport du 14 juin 2001 (examen clinique du 29 mai 2001), les médecins du Service médical régional de Y._ (SMR) ont confirmé que l'incapacité de travail de l'assurée n'avait pas varié depuis le 27 juillet 2000.
Par décision du 6 juillet 2001, l'OAI a rejeté la demande de rente au motif que le degré d'invalidité résultant de la comparaison des revenus n'ouvrait pas droit à cette prestation.
Par décision du 6 juillet 2001, l'OAI a rejeté la demande de rente au motif que le degré d'invalidité résultant de la comparaison des revenus n'ouvrait pas droit à cette prestation.
B. S._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud en se prévalant, notamment, d'un rapport du 29 juillet 2002 du docteur F._, chef-adjoint au service de rhumatologie, médecine physique et réhabilitation du Centre Hospitalier Z._.
Dans le cadre de l'instruction, la juridiction cantonale a confié une expertise au docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Ce médecin a posé le diagnostic de trouble dépressif récurrent, actuellement en rémission (F 33.4), ainsi que celui de syndrome douloureux somatoforme persistant (F 45.4); il a conclu à une incapacité de travail à 30 % (expertise du 11 août 2003).
Par jugement du 21 janvier 2004, la juridiction cantonale a admis le recours et réformé la décision entreprise, en ce sens que la recourante avait droit à un quart de rente dès le 1er septembre 2000, à une demi-rente dès le 1er décembre 2000 et à une rente entière dès le 1er mai 2001.
Par jugement du 21 janvier 2004, la juridiction cantonale a admis le recours et réformé la décision entreprise, en ce sens que la recourante avait droit à un quart de rente dès le 1er septembre 2000, à une demi-rente dès le 1er décembre 2000 et à une rente entière dès le 1er mai 2001.
C. L'OAI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il requiert l'annulation, en concluant au rétablissement de sa décision du 6 juillet 2001.
S._ conclut au rejet du recours, en sollicitant le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite.
L'Office fédéral des assurances a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit de l'intimée à une rente d'invalidité, singulièrement sur l'évaluation de l'incapacité de gain à la base de cette prestation.
1. Le litige porte sur le droit de l'intimée à une rente d'invalidité, singulièrement sur l'évaluation de l'incapacité de gain à la base de cette prestation.
2. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales applicables en matière d'évaluation du taux d'invalidité, ainsi que les principes jurisprudentiels sur la valeur probante d'un rapport médical, si bien qu'il suffit d'y renvoyer sur ces points.
La loi fédérale sur la partie générale des assurances sociales (LPGA) du 6 octobre 2000, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, n'est pas applicable en l'espèce, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits, le juge des assurances sociales se fondant sur l'état de fait réalisé à la date déterminante de la décision litigieuse du 6 juillet 2001 (<ref-ruling> consid. 1.1, 129 V 4 consid. 1.2 et les références).
La loi fédérale sur la partie générale des assurances sociales (LPGA) du 6 octobre 2000, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, n'est pas applicable en l'espèce, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits, le juge des assurances sociales se fondant sur l'état de fait réalisé à la date déterminante de la décision litigieuse du 6 juillet 2001 (<ref-ruling> consid. 1.1, 129 V 4 consid. 1.2 et les références).
3. 3.1 Les premiers juges ont reconnu le droit de l'intimée à un quart de rente d'invalidité dès le 1er septembre 2000, à une demi-rente dès le 1er décembre 2000 et à une rente entière dès le 1er mai 2001. Ils ont considéré que S._ n'avait présenté jusqu'au 31 août 2000, en raison d'une incapacité de travail de 50 % au plan somatique, qu'une invalidité de 36,62 %. En revanche, ils ont considéré que l'état de santé de l'intimée s'était aggravé au plan somatique à partir du mois de septembre 2000, selon les précisions apportées par le médecin traitant et l'employeur, qui devaient être préférées aux pièces médicales retenant que l'état de santé somatique ne s'était pas modifié. En outre, les premiers juges ont considéré qu'il n'y avait pas lieu de procéder à un calcul précis du préjudice économique, vu le salaire social perçu; la perte de gain devait être arrêtée à 80 % dès le 31 août 2000 et le droit à la rente devait être déterminé selon un calcul rétrospectif tenant compte d'une invalidité de 36,62 % jusqu'au 31 août 2000.
3.2 L'office recourant fait grief aux premiers juges de s'être fondés sur les conclusions de l'expertise du docteur C._ pour statuer et arrêter les différents taux d'invalidité de l'intimée. A cet égard, il reproche en particulier à l'expert psychiatre d'avoir émis son avis sur le plan rhumatologique, alors que ce domaine sort de sa compétence.
3.3 S'il est vrai que les premiers juges ont considéré qu'il y a avait lieu d'accorder une pleine valeur probante à l'expertise du docteur C._, on ne voit pas dans la suite de leurs considérants qu'ils aient retenu l'une ou l'autre de ses conclusions dans la solution qu'ils ont donnée au litige qui leur était soumis. En effet, le docteur C._ ne s'est prononcé que sur l'incapacité de travail que pouvait présenter l'intimée au plan psychiatrique; les premiers juges cependant n'ont retenu une incapacité de travail et une aggravation de celle-ci, à partir du 31 août 2000, qu'au plan somatique. Sur ce point le recours se révèle mal fondé.
3.3 S'il est vrai que les premiers juges ont considéré qu'il y a avait lieu d'accorder une pleine valeur probante à l'expertise du docteur C._, on ne voit pas dans la suite de leurs considérants qu'ils aient retenu l'une ou l'autre de ses conclusions dans la solution qu'ils ont donnée au litige qui leur était soumis. En effet, le docteur C._ ne s'est prononcé que sur l'incapacité de travail que pouvait présenter l'intimée au plan psychiatrique; les premiers juges cependant n'ont retenu une incapacité de travail et une aggravation de celle-ci, à partir du 31 août 2000, qu'au plan somatique. Sur ce point le recours se révèle mal fondé.
4. La décision attaquée ne peut cependant être maintenue, les pièces médicales au dossier ne permettant pas de statuer en toute connaissance de cause sur les droits de l'intimée.
Le docteur A._ a fixé la capacité de travail de l'intimée, d'un point de vue somatique, à 50 % dans l'occupation de repasseuse exercée par l'intéressée à l'époque, tout en indiquant que celle-ci pouvait être augmentée à 100 % en l'espace de deux mois, pour autant que l'assurée entreprenne des exercices de gymnastique quotidiens et que le traitement de la dépression soit pris en charge. Pour leur part, les médecins du SMR, sur les conclusions desquelles l'office recourant s'est principalement basé dans sa décision du 6 juillet 2001, ont fixé la capacité de travail de l'intimée à 50 % dans l'activité habituelle de caissière (considérée comme adaptée au handicap de l'intimée), et à 50 % dans tout autre activité adaptée excluant les positions statiques prolongées et le port de charges lourdes. Or, l'appréciation de ces médecins manque de précision; de plus elle est largement fondée sur le rapport du docteur A._, dont les conclusions à ce moment étaient relativement anciennes (1997) et avaient fait l'objet d'un examen dans un cadre judiciaire. De son côté, l'expert C._ a retenu une incapacité de travail autonome de 30 % du point de vue psychique, tout en faisant état d'une intrication entre la problématique psychique et physique. L'ensemble de ces éléments fait ressortir que la question de la capacité de travail de l'intimée et son évolution au fil du temps n'ont pas été éclaircies à satisfaction de droit du point de vue somatique et global.
Sur le vu de ce qui précède, les premiers juges n'étaient pas fondés à statuer sur la base des seuls avis médicaux au dossier. Il y a donc lieu de renvoyer la cause au recourant afin qu'il procède à un complément d'instruction, dans le sens d'une expertise pluridisciplinaire, afin de déterminer avec précision la capacité de travail de l'intimée compte tenu de toutes les affections dont elle souffre. A l'issue de la mesure complémentaire, il appartiendra à l'administration de rendre une nouvelle décision sur le droit à la rente de l'intimée.
Sur le vu de ce qui précède, les premiers juges n'étaient pas fondés à statuer sur la base des seuls avis médicaux au dossier. Il y a donc lieu de renvoyer la cause au recourant afin qu'il procède à un complément d'instruction, dans le sens d'une expertise pluridisciplinaire, afin de déterminer avec précision la capacité de travail de l'intimée compte tenu de toutes les affections dont elle souffre. A l'issue de la mesure complémentaire, il appartiendra à l'administration de rendre une nouvelle décision sur le droit à la rente de l'intimée.
5. Par ailleurs, on rappellera aux premiers juges qu'ils leur appartient de motiver leur décision et que leur conviction ne saurait suppléer à cette exigence. Sur ce point, la motivation du jugement entrepris est sommaire, voire incohérente, et il est difficile de comprendre le raisonnement de la juridiction cantonale.
On leur rappellera également la jurisprudence constante en matière d'appréciation des rapports médicaux (<ref-ruling> ss consid. 3) et le caractère exceptionnel de l'assimilation du taux d'incapacité de travail au taux d'invalidité, sans calcul du préjudice économique subi par l'assuré, selon la méthode usuelle de la comparaison des revenus (<ref-ruling> consid. 1; cf. aussi 129 V 222).
On leur rappellera également la jurisprudence constante en matière d'appréciation des rapports médicaux (<ref-ruling> ss consid. 3) et le caractère exceptionnel de l'assimilation du taux d'incapacité de travail au taux d'invalidité, sans calcul du préjudice économique subi par l'assuré, selon la méthode usuelle de la comparaison des revenus (<ref-ruling> consid. 1; cf. aussi 129 V 222).
6. L'intimée, qui succombe, ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 159 al. 1 en liaison avec l'art. 135 OJ). Elle sollicite pour la présente instance l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite. En l'état du dossier, on peut admettre qu'elle en remplit les conditions (art. 152 al. 1 et 2 en corrélation avec l'art. 135 OJ; <ref-ruling> consid. 4a, 372 consid. 5b et les références). L'attention de l'intimée est cependant attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal si elle devient ultérieurement en mesure de le faire (art. 152 al. 3 OJ; SVR 1999 IV n° 6 p. 15).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 21 janvier 2004, ainsi que la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 6 juillet 2001 sont annulés, la cause étant renvoyée audit office pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants.
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 21 janvier 2004, ainsi que la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 6 juillet 2001 sont annulés, la cause étant renvoyée audit office pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. L'assistance judiciaire est accordée. Les honoraires (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) de Me Philippe Nordmann sont fixés à 2'000 fr. pour la procédure fédérale et seront supportés par la caisse du Tribunal.
3. L'assistance judiciaire est accordée. Les honoraires (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) de Me Philippe Nordmann sont fixés à 2'000 fr. pour la procédure fédérale et seront supportés par la caisse du Tribunal.
4. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud statuera à nouveau sur les dépens de l'instance cantonale, au regard de l'issue du procès.
4. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud statuera à nouveau sur les dépens de l'instance cantonale, au regard de l'issue du procès.
5. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 15 avril 2005
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
La Présidente de la IIIe Chambre: La Greffière: