Sachverhalt:
A.
Der aus Thailand stammende A._, geboren xx.xx.1974, reiste am 14. Januar 2003 mit einem Besuchervisum in die Schweiz ein, wo er am 7. April 2003 die Schweizer Bürgerin B._ heiratete und am folgenden Tag eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau erhielt. Die Ehe wurde am 4. Juni 2004 geschieden. Am 14. Juni 2005 heiratete A._ die Schweizer Bürgerin C._ und erhielt erneut eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau. Am 15. Dezember 2007 meldete er sich von der gemeinsamen Wohnung ab und am 18. Juni 2008 wieder an. Am 19. Juni 2008 wurde ihm die Aufenthaltsbewilligung verlängert. Am 14. Juli 2008 meldete er sich erneut von der gemeinsamen Wohnung ab. Die Ehe wurde am 24. November 2009 geschieden.
B.
Am 6. Dezember 2010 verfügte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und wies A._ aus der Schweiz weg. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt am 8. August 2011 ab.
C.
Mit Eingaben vom 22. August und 14. November 2011 erhob A._ Rekurs an den Regierungsrat. Er stellte unter Hinweis auf einen am 14. November 2011 erfolgten neuerlichen Eheschluss mit der in der Schweiz niedergelassenen thailändischen Staatsangehörigen D._ das Gesuch um Sistierung des Verfahrens. Diesem Antrag gab das Präsidialdepartement zunächst statt, hob die Sistierung aber am 3. Januar 2013 auf, nachdem das Migrationsamt mitgeteilt hatte, die Ehefrau solle aus der Schweiz weggewiesen werden, und überwies das Verfahren dem Verwaltungsgericht zum Entscheid. Dieses wies den Rekurs mit Urteil vom 5. September 2013 ab.
D.
A._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Urteils sei ihm weiterhin der Aufenthalt im Kanton Basel-Stadt zu bewilligen und von einer Wegweisung abzusehen. Eventuell sei die Angelegenheit zu neuer Entscheidung an das Migrationsamt zurückzuweisen.
Mit Verfügung vom 28. Oktober 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Verwaltungsgericht und das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt sowie das Bundesamt für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde. A._ repliziert.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer macht in vertretbarer Weise einen Anspruch auf Aufenthaltsbewilligung (Art. 43 und 50 AuG [SR 142.20]; Art. 8 EMRK) geltend, so dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung zulässig ist (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 [e contrario], Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Auf das Rechtsmittel ist einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig (d.h. willkürlich) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>). Eine solche Rüge ist rechtsgenüglich vorzutragen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4 und 2.5 S. 313 f.). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Echte Noven, d.h. solche Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Entscheid aufgetreten sind, können nicht durch den angefochtenen Entscheid veranlasst sein und sind deshalb unzulässig (<ref-ruling> E. 2.1 S. 344).
2.
2.1. Ausländische Ehegatten und ledige Kinder unter 18 Jahren von Schweizerinnen und Schweizern sowie von Personen mit Niederlassungsbewilligung haben Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen (Art. 42 Abs. 1 und Art. 43 Abs. 1 AuG). Gemäss Art. 50 Abs. 1 AuG besteht nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft der Anspruch des Ehegatten und der Kinder auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach den Art. 42 und 43 weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht (lit. a) oder wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (lit. b).
2.2. Nach den Feststellungen im angefochtenen Urteil ist der Beschwerdeführer seit dem 14. November 2011 mit der in der Schweiz niedergelassenen D._ verheiratet. Die Vorinstanz hat jedoch erwogen, der gestützt auf diese Heirat mit Art. 43 AuG begründete Anspruch auf Familienzusammenführung sei - unter Vorbehalt der E. 4.3 ihres Entscheids - nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens; darauf sei grundsätzlich nicht einzugehen. Zu prüfen sei einzig der Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung aufgrund der ersten beiden Ehen gestützt auf Art. 50 AuG. Dazu hat die Vorinstanz festgestellt, die Ehegemeinschaft mit B._ habe ca. sieben Monate bestanden, diejenige mit C._ höchstens zwei Jahre und sieben Monate. Da für die Berechnung der Dreijahresfrist von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG die Dauer mehrerer verschiedener Ehegemeinschaften nicht zusammengerechnet werden könnten, sei ein Anspruch nach dieser Bestimmung zu verneinen. Es liege auch kein wichtiger Grund im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG vor. In E. 4.3 führte das Verwaltungsgericht sodann aus, der Beschwerdeführer könne sich nicht auf Art. 8 EMRK und die Beziehung zu seiner jetzigen Ehefrau berufen: Ein Anspruch nach Art. 8 EMRK setze voraus, dass der Familienangehörige in der Schweiz ein gefestigtes Anwesenheitsrecht besitze. Die Niederlassungsbewilligung der Ehefrau sei mit Verfügung vom 13. Juli 2012 und Rekursentscheid vom 20. März 2013 widerrufen worden; zwar sei dagegen noch ein Rekurs vor dem Regierungsrat hängig, so dass der Widerruf noch nicht rechtskräftig sei. Gleichwohl könne bei dieser Sachlage nicht mehr gesagt werden, dass die nunmehrige Ehefrau über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz verfüge.
2.3. Der Beschwerdeführer rügt in erster Linie eine Verletzung von Art. 43 AuG; er habe nach der am 14. November 2011 erfolgten Heirat mit D._ Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung. Zudem bringt er vor, am 28. September 2013 sei die gemeinsame Tochter E._ geboren worden. Sodann sei seiner Ehefrau am 24. September 2013 ein neuer Niederlassungsausweis ausgestellt worden, so dass von einem gefestigten Aufenthaltsrecht seiner Frau auszugehen sei, jedenfalls solange der Widerruf der Niederlassungsbewilligung nicht rechtskräftig geworden sei. Auch liege für seine Aufenthaltsbewilligung kein Widerrufsgrund im Sinne von Art. 62 i.V.m. Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG vor. Sodann habe er Anspruch auf eine Bewilligung nach Art. 8 EMRK. Im Sinne einer Eventualerwägung bringt er vor, die Vorinstanz habe Art. 50 AuG falsch angewendet. Er habe mehr als drei Jahre mit C._ zusammen gelebt, so dass das zeitliche Kriterium gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG erfüllt sei. Zumindest sei zusammen mit der halbjährigen Ehegemeinschaft mit B._ die Dreijahresdauer erfüllt. Er sei auch erfolgreich integriert, so dass ein Anspruch nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG bestehe.
2.4. Die Geburt des Kindes ist ein echtes Novum, das im vorliegenden Verfahren nicht berücksichtigt werden kann (vgl. E. 1.2 hiervor). Zudem wäre es dem Beschwerdeführer möglich gewesen, dem Verwaltungsgericht vor dem angefochtenen Entscheid zumindest die Schwangerschaft seiner Ehefrau mitzuteilen; die Voraussetzungen für die Zulassung dieses Novums sind deshalb nicht erfüllt. Im Übrigen ist die Geburt des Kindes für den Ausgang des Verfahrens ohnehin nicht entscheidrelevant (vgl. E. 5.3 hiernach).
3.
3.1. Im Zeitpunkt des Rekursentscheids des Justiz- und Sicherheitsdepartements (8. August 2011) war der Beschwerdeführer von seiner zweiten Ehefrau geschieden und noch nicht wieder verheiratet. Ein Anspruch nach Art. 42 AuG bestand nicht mehr; der Rekursentscheid setzte sich deshalb im Wesentlichen mit der Frage eines Anspruchs gemäss Art. 50 AuG auseinander und verneinte einen solchen.
3.2. Seit der am 14. November 2011 erfolgten Heirat mit D._ hatte der Beschwerdeführer gemäss Art. 43 Abs. 1 AuG grundsätzlich (unter Vorbehalt von Erlöschensgründen nach Art. 51 Abs. 2 AuG) wieder einen Anspruch auf Aufenthaltsbewilligung. Die Frage ist, ob das Verwaltungsgericht angesichts dieser neuen Sachlage auch diesen Anspruch hätte prüfen müssen.
3.3. Der Streitgegenstand vor einer Rechtsmittelinstanz ergibt sich einerseits aus dem Anfechtungsobjekt, andererseits aus den im Rechtsmittel gestellten Anträgen. Der Streitgegenstand kann von den Parteien im Laufe des Beschwerdeverfahrens grundsätzlich nicht mehr erweitert, wohl aber reduziert werden. Streitgegenstand vor einer Rechtsmittelinstanz kann deshalb höchstens sein, was bereits vor der Vorinstanz Streitgegenstand gewesen ist oder richtigerweise hätte sein sollen, wobei es den Parteien frei steht, das angefochtene Urteil nur in Bezug auf bestimmte Aspekte anzufechten (<ref-ruling> E. 4.2 S. 463, 165 E. 5; Urteil 2C_124/2013 vom 25. November 2013 E. 2.2.1, in: ASA 82 379). Nicht zum Streitgegenstand zählt die rechtliche Begründung einer Verfügung, weshalb es zulässig ist, die rechtliche Argumentation im Laufe des Rechtsmittelverfahrens anzupassen, ohne dass darin eine unzulässige Veränderung des Streitgegenstands oder gar ein unzulässiges Novum (vor Bundesgericht <ref-law>) läge (<ref-ruling> E. 4.5 S. 277; Urteil 2C_124/2013 vom 25. November 2013 E. 2.2.2, in: ASA 82 379).
3.4. Streitgegenstand war vorliegend die Verlängerung der ursprünglich erteilten und bis 14. Juni 2009 befristeten Aufenthaltsbewilligung. Das Ausländergesetz kennt verschiedene Arten von Bewilligungen (Kurzaufenthalts-, Aufenthalts-, Niederlassungs- und Grenzgängerbewilligung, Art. 32-35 AuG). Die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung liegt grundsätzlich im Ermessen der Behörden (Art. 18, 19, 27-29 AuG). Verschiedene Gesetzesbestimmungen sehen aber einen Anspruch auf Aufenthaltsbewilligung vor, namentlich die Art. 42 Abs. 1, Art. 43 Abs. 1 und Art. 50 AuG. Aus welcher dieser Bestimmungen sich allenfalls ein Bewilligungsanspruch ergibt, ist nicht eine Frage des Streitgegenstands, sondern der rechtlichen Begründung desselben. Wird vor Gericht eine Aufenthaltsbewilligung beantragt, hat das Gericht im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen die in Frage kommenden rechtlichen Anspruchsgrundlagen zu prüfen. Mindestens die kantonal letzte oder eine untere gerichtliche Instanz muss auch den Sachverhalt frei prüfen (vgl. <ref-law>), woraus sich ergibt, dass vor dieser gerichtlichen Instanz von Bundesrechts wegen auch neue Tatsachen vorgebracht werden können, wobei freilich das anwendbare kantonale Verfahrensrecht zu regeln hat, bis zu welchem Zeitpunkt im Verfahren diese Tatsachen vorgebracht werden können (<ref-ruling> E. 3.3 S. 374; Urteil 2C_354/2009 vom 30. Juni 2010 E. 3.1). Zu berücksichtigen sind aber mindestens neue Sachverhaltsvorbringen, die zusammen mit der fristgerecht eingereichten Rechtsmittelbegründung vorgebracht werden. Ungeachtet dessen ist es aber dem Gericht unbenommen, eine Sache zur weiteren Sachverhaltsabklärung an die Verwaltung zurückzuweisen. Ebenso ist es zulässig, ein Verfahren zu sistieren, um ergänzende Sachverhaltsfeststellungen durch die Verwaltung in einem anderen Verfahren abzuwarten.
3.5. In seinem Rekurs vom 22. August/14. November 2011 hatte der Beschwerdeführer beantragt, der Rekursentscheid vom 8. August 2011 sei aufzuheben und es sei ihm weiterhin der Aufenthalt im Kanton Basel-Stadt zu bewilligen. In der Rekursbegründung vom 14. November 2011 machte er geltend, er sei wieder verheiratet. Dies wäre nach dem Gesagten grundsätzlich Anlass gewesen, die beantragte Aufenthaltsbewilligung (Streitgegenstand) auch im Lichte von Art. 43 Abs. 1 AuG (rechtliche Begründung) zu prüfen. Indessen hatte der Beschwerdeführer selber in seiner Rekursbegründung vorgebracht, er werde gestützt auf seine Heirat ein neues Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung stellen, weshalb es aus prozessökonomischen Gründen sinnvoll sei, den Entscheid des Migrationsamtes abzuwarten, da im Falle eines positiven Ausgangs das Rekursverfahren hinfällig werde. In der Rekursbegründung berief er sich einerseits auf Art. 50 AuG, andererseits auf Art. 8 EMRK, wobei er sich "abgesehen von der am heutigen Tag stattgefundenen Hochzeit der beiden" darauf berief, bereits vor der Hochzeit habe er aufgrund seiner langen Beziehung zu seiner nunmehrigen Ehefrau einen Anspruch gemäss Art. 8 EMRK gehabt.
Der Beschwerdeführer hat somit selber (zulässigerweise) den Streitgegenstand auf die Frage reduziert, ob ihm im Lichte von Art. 50 AuG und Art. 8 EMRK ein Bewilligungsanspruch zustehe, aber für die Prüfung im Lichte von Art. 43 AuG auf das beim Migrationsamt neu eingereichte Gesuch verwiesen. Das Rekursverfahren wurde denn auch entsprechend seinem Antrag sistiert. Die Vorinstanz hat das Verfahren aber wieder aufgenommen, nachdem die Niederlassungsbewilligung der Ehefrau in erster Instanz widerrufen worden war. Es erscheint zwar im Rückblick nicht besonders sinnvoll, die Sistierung vor Eröffnung eines rechtskräftigen Entscheids über den Anspruch der Ehefrau aufzuheben. Insgesamt ist aber unter den gegebenen Umständen nicht zu beanstanden, wenn das Verwaltungsgericht den allfälligen Anspruch gemäss Art. 43 AuG aus seiner Beurteilung ausgeklammert hat. Die Vorinstanz hat damit diese Bestimmung nicht verletzt. Ein auf Art. 43 AuG gestützter Anspruch kann daher nach dem Gesagten auch nicht Gegenstand des Verfahrens vor Bundesgericht sein.
Ergänzend ist hier jedoch festzuhalten, dass der Beschwerdeführer grundsätzlich über einen Bewilligungsanspruch nach Art. 43 AuG verfügt, solange der angefochtene Widerruf der Niederlassungsbewilligung der Ehefrau nicht in Rechtskraft erwachsen und zudem dem erhobenen Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung erteilt worden ist. Entsprechend wäre auch eine Wegweisung des Beschwerdeführers nicht zulässig, solange das neue auf Art. 43 AuG gestützte Gesuch nicht rechtskräftig beurteilt worden ist (vgl. auch E. 5.2 hiernach).
4.
4.1. Die Feststellung der Vorinstanz, die Ehegemeinschaft zwischen dem Beschwerdeführer und C._ habe (höchstens) zwei Jahre und sieben Monate gedauert (vgl. E. 2.2 hiervor), ist eine Sachverhaltsfeststellung im Sinne von <ref-law>. Die rein appellatorische Kritik des Beschwerdeführers an dieser Feststellung lässt diese nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen (vgl. E. 1.2 hiervor), so dass sie für das Bundesgericht verbindlich ist. Aus der Ehe mit C._ kann der Beschwerdeführer somit keinen Anspruch gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG ableiten.
4.2. Das Bundesgericht hat sodann mit dem zur Publikation bestimmten Urteil 2C_773/2013 vom 25. März 2014 entschieden, dass aufgrund einer grammatikalischen, entstehungsgeschichtlichen, systematischen und teleologischen Auslegung für die Berechnung der Dreijahresfrist von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG mehrere kürzere Ehegemeinschaften mit verschiedenen Partnern nicht zusammengerechnet werden können und damit keine Gesetzeslücke vorliegt, die zu füllen wäre (zitiertes Urteil E. 3). Die vorangegangene Ehe mit B._ kann daher - entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers - nicht angerechnet werden. Ein wichtiger Grund im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lt. b AuG wird nicht geltend gemacht. Ein Anspruch nach Art. 50 AuG besteht somit nicht.
5.
5.1. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ergibt sich sodann aus Art. 8 EMRK ein Anspruch auf Aufenthaltsbewilligung, wenn eine intakte familiäre Beziehung zu einer Person mit einem gefestigten Anwesenheitsrecht - beispielsweise einer Niederlassungsbewilligung - in der Schweiz besteht (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 146). Der Beschwerdeführer leitet einen solchen Anspruch aus der Niederlassungsbewilligung seiner Ehefrau ab, während die Vorinstanz mit Blick auf das hängige Widerrufsverfahren einen solchen verneint hat.
5.2. Wie dargelegt, hat die Vorinstanz - mit Recht - die Frage eines Anspruchs nach Art. 43 AuG im Hinblick auf das davon abgetrennte neue Gesuchsverfahren nicht geprüft (vgl. E. 3.5 hiervor). Die Niederlassungsbewilligung der Ehefrau wurde widerrufen und dagegen ist ein gesondertes Rechtsmittelverfahren hängig. Sollte sich dabei ergeben, dass die Niederlassungsbewilligung mit Recht widerrufen wurde, entfällt auch der daraus abgeleitete Anspruch des Beschwerdeführers, und zwar sowohl nach Art. 43 AuG als auch nach Art. 8 EMRK. Wird umgekehrt der Widerruf der Niederlassungsbewilligung aufgehoben, so wird die Ehefrau weiterhin ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz haben und das darauf gestützte Gesuch des Beschwerdeführers wird dann zu bewilligen sein, sofern keine Erlöschensgründe nach Art. 51 Abs. 2 AuG vorliegen, was die Behörde zu prüfen haben wird. Diese Fragen bilden aber nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens (vgl. E. 3.5 hiervor).
5.3. Analoges gilt in Bezug auf das neu geborene Kind des Beschwerdeführers, selbst soweit dieser Umstand im vorliegenden Verfahren berücksichtigt werden könnte (vgl. E. 2.4 hiervor) : Das Kind könnte einen Anspruch auf Aufenthaltsbewilligung nur aus der Niederlassungsbewilligung seiner Mutter ableiten (Art. 43 Abs. 1 AuG). Wird diese Niederlassungsbewilligung widerrufen, so entfällt ein Anwesenheitsanspruch des Kindes und damit auch ein allfälliges vom Kind abgeleitetes Anwesenheitsrecht des Beschwerdeführers.
6.
Die Beschwerde erweist sich daher als unbegründet und ist im Sinne der Erwägungen abzuweisen. Der Beschwerdeführer trägt die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. April 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Winiger