Faits:
A.
H.X._ et F.X._, domiciliés à Propriano (Corse-du-Sud, France), sont copropriétaires, chacun pour une demie, de la parcelle n° 220, à ... (VD), en limite de laquelle se trouvent deux tilleuls - avec pour l'un un double tronc - de quelque 25 mètres de hauteur. Les branches et les racines de ces arbres débordent sur la parcelle n° 223, propriété de la communauté des propriétaires par étages (PPE) « V._ », dont fait partie la société Z._ SA (ci-après: Z._), à Lausanne, qui a notamment pour but la construction et la promotion de bâtiments.
De juin 2003 à fin 2004, Z._ a exécuté le projet de construction de la PPE « V._ » sur la parcelle n° 223 et notamment élagué les deux tilleuls après avoir obtenu préalablement un accord de principe oral de la part de F.X._. Pour préserver les racines des tilleuls qui empiétaient sur la parcelle n° 223, Z._ a modifié la construction du mur de soutènement de la terre en limite des parcelles n °s 220 et 223, en réalisant à ses frais un arrondi à l'endroit du tronc d'un des arbres.
Les travaux de construction ont provoqué un abaissement de plus de deux mètres du terrain sur la parcelle n° 223 à proximité des tilleuls; de nombreuses racines des deux arbres ont été sectionnées et celles-ci ont été mises à l'air libre.
La Municipalité de ... a rendu Z._ attentive au risque pour un des tilleuls de subir un dommage vu l'atteinte portée à ses racines. Mandatée par Z._, la société A._ SA, dans un rapport du 25 octobre 2004, l'a informée que les tilleuls, dont la moitié du système radiculaire avait été détruit, avaient subi à son sens une atteinte irréversible dans leur intégrité, mais que les soins à prodiguer n'étaient pas urgents.
L'entreprise B._ SA a effectué des travaux d'entretien sur les arbres en octobre 2005, qui ont fait l'objet de deux factures du 14 octobre 2005, se montant respectivement à 2'331 fr. et 5'338 fr.
Les époux X._ ont mandaté deux experts privés, à savoir L._ de R._ Sàrl, à ..., et M._, architecte-paysagiste gradué et dendrologue ISA.
Pour l'expert privé L._, qui a établi un rapport en mai 2005, le système racinaire du tilleul sud-ouest a été atteint à raison de 35% et celui du tilleul nord-est à plus de 45%. Les travaux exécutés sur la parcelle n° 223 ont fragilisé l'assise et le potentiel d'absorption d'éléments vitaux, ce qui va provoquer à moyen terme un affaiblissement des arbres, même s'ils ont encore un potentiel important de pérennité. Les frais d'intervention de R._ Sàrl (pour l'activité de L._) se sont montés à 2'072 fr.80.
Selon l'expert privé M._, qui a rédigé un rapport le 23 août 2006, l'évolution des arbres appelle une attention régulière; grâce aux soins prodigués, ils sont « en phase de réaction positive permettant d'espérer une période de rémittence ». Les frais d'intervention de M._ ont fait l'objet d'une facture de 3'050 fr.
Le 4 janvier 2008, l'expert privé M._ a chiffré le préjudice causé aux deux tilleuls, qu'il a qualifié de total, à 78'000 fr. Quant à l'expert privé L._, il a estimé le 21 février 2008 le dommage subi par les arbres, décrit comme complet, à 75'000 fr.
B.
Par demande du 31 octobre 2008, H.X._ et F.X._ (demandeurs) ont ouvert action devant les tribunaux vaudois contre Z._ (défenderesse), concluant à ce que celle-ci leur verse une somme de 100'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 31 octobre 2008.
La défenderesse a conclu à sa libération.
En cours d'instance, une expertise judiciaire a été ordonnée, laquelle a été confiée à N._, Dr ès sciences, biologiste-conseil, lequel a eu connaissance des deux expertises privées.
Dans son rapport du 4 mars 2011, l'expert judiciaire a tout d'abord relevé que les atteintes aux tilleuls étaient survenues entre 2003 et 2004, que les expertises privées dataient de 2005/2006 et que sa propre analyse de la situation portait sur le second semestre 2010 et le début 2011. Il a affirmé que le constat établi par l'expert privé L._ d'une perte de 35 à 45% du système racinaire des tilleuls était discutable, car il se basait sur une surface projetée et non sur le volume racinaire; or seuls les 5 à 15% du volume total de la galette racinaire avaient été touchés, de sorte que la prise en compte d'un dommage complet semblait inappropriée. Comme l'enracinement était relativement profond, la stabilité des arbres n'avait en outre pas été mise en péril par l'atteinte à leur système racinaire. Enfin, les deux arbres étaient plutôt en phase de croissance que de sénescence, de sorte que les blessures constatées entre 2003 et 2004 ne semblaient pas avoir eu de conséquences sur leur vitalité.
Dans son rapport complémentaire du 9 août 2011, l'expert a exposé que la galette racinaire des grands arbres feuillus d'Europe se rapprochait d'un cône inversé (tête vers le bas) et que la forme de celle-ci variait d'un arbre à l'autre en fonction des conditions du sol. Il a reconnu que selon l'estimation de son extension et de son épaisseur, une atteinte à la galette racinaire de l'ordre de 15 à 20 % au maximum pouvait être envisagée dans le cas présent. L'expert a pour le reste confirmé ses précédentes conclusions.
Par jugement du 9 février 2012, le Tribunal civil d'arrondissement de La Côte a rejeté la demande. Se fondant sur les conclusions de l'expert judiciaire, les premiers juges ont nié l'existence d'un dommage, au motif que l'atteinte qui a été portée aux arbres ne se reflétait pas sur leur état actuel, les tilleuls étant actuellement en phase de croissance et gardant un potentiel important de pérennité.
Saisie d'un appel des demandeurs, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 22 janvier 2013, l'a rejeté dans la mesure de sa recevabilité, le jugement attaqué étant confirmé. S'agissant des critiques portées contre l'expertise judiciaire mise en oeuvre par les premiers juges, elle a constaté que cette expertise était complète et convaincante, de sorte qu'il n'y avait pas lieu à deuxième expertise. Retenant que les demandeurs invoquaient la responsabilité délictuelle de la défenderesse au sens de l'<ref-law>, la cour cantonale a admis que le tribunal civil avait rejeté à bon droit l'action intentée par les premiers, du moment qu'ils n'avaient pas subi de dommage total puisque les deux tilleuls ne devaient pas être remplacés, ni de dommage réduit, étant donné que la perte partielle des racines des arbres n'avait aucune influence sur leur durée de vie ou sur leur valeur. S'agissant de la facture de B._ SA de 5'338 fr. dont les demandeurs requéraient le remboursement, son bien-fondé n'avait pas été établi, ni sa causalité naturelle avec la diminution racinaire. Quant à la facture de 3'465 fr. du 8 juin 2011 produite à l'audience de jugement, relative à l'enlèvement de bois morts et de branches présentant des défauts, elle concernait des frais d'entretien courants des arbres, sans rapport avec l'atteinte portée à leurs racines. Enfin, faute de preuve de l'existence d'un préjudice aux arbres, la Cour d'appel a jugé qu'il n'y avait pas lieu à indemnisation des frais d'expertise privée et des frais d'avocat avant procès.
C.
Par mémoire unique daté du 7 mai 2013 et déposé dans un bureau de poste suisse le même jour, H.X._ et F.X._, représentés par l'avocat vaudois David Métille, exercent au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire. Dans les deux recours, ils concluent principalement à l'annulation de cet arrêt et à ce que la défenderesse soit condamnée à leur verser la somme de 100'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 31 octobre 2008. Subsidiairement, ils requièrent le renvoi de la cause à la cour cantonale pour qu'elle procède à une administration complémentaire des preuves.
Par un « Complément récapitulatif » comportant 29 pages, daté du 6 juin 2013 et déposé le même jour dans un bureau de poste suisse, les recourants, représentés par l'avocat Métille et l'avocat français O._, à Paris, déposent un nouveau recours en matière civile et un second recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt précité. Ils y concluent, de façon identique, à ce que la défenderesse soit astreinte à leur payer la somme de 100'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 31 octobre 2008 et à ce qu'il soit dit et prononcé que les recourants ont droit à un dédommagement à titre de réparation équitable de 50'000 fr.; subsidiairement, ils prennent les mêmes conclusions en renvoi que dans leur mémoire du 7 mai 2013. A propos de la recevabilité de ces deux nouveaux recours, les recourants exposent qu'étant domiciliés en France, le délai pour recourir au Tribunal fédéral n'était pas celui de 30 jours de l'<ref-law>, mais bien le délai de deux mois ancré à l'art. 43 par. 5, 2e phrase, de la Convention de Lugano concernant la compétence judiciaire, la reconnaissance et l'exécution des décisions en matière civile et commerciale, conclue le 30 octobre 2007, entrée en vigueur le 1er janvier 2010 pour la France et le 1er janvier 2011 pour la Suisse (Convention de Lugano ou CL; RS 0.275.12).
Dans sa réponse datée du 12 juin 2013, l'intimée propose le rejet dans la mesure de leur recevabilité tant du recours en matière civile que du recours constitutionnel déposés par mémoire du 7 mai 2003.
Par réponse datée 9 août 2013, l'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours en matière civile et du recours constitutionnel formés dans le « Complément récapitulatif » du 6 juin 2003; à titre subsidiaire, elle propose le rejet de ces deux recours. L'intimée est d'avis que les dispositions de la Convention de Lugano ne sont pas applicables devant le Tribunal fédéral lorsqu'il est saisi d'un recours contre une décision au fond rendue par une autorité de dernière instance cantonale, d'où l'irrecevabilité des deux nouveaux recours.
Les recourants, sous la plume de l'avocat français O._, ont répliqué par un mémoire daté du 27 août 2013.
L'intimée a dupliqué le 3 septembre 2013.
Les recourants ont encore produit une triplique de 53 pages datée du 3 septembre 2013, par laquelle ils reprennent les conclusions qu'ils ont formulées dans le « Complément récapitulatif » du 6 juin 2013.
L'intimée s'est déterminée sur la triplique le 20 septembre 2013.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement sa compétence (<ref-law>), respectivement la recevabilité des recours qui sont déposés devant lui (<ref-ruling> consid. 1 p. 44; <ref-ruling> consid. 1.1).
Il convient in limine d'examiner si les deux recours interjetés le 7 mai 2013, ainsi que ceux déposés le 6 juin 2013 par « Complément récapitulatif », respectent le délai pour recourir fixé par la loi.
1.2.
1.2.1. A teneur de l'<ref-law>, le recours contre une décision doit être déposé devant le Tribunal fédéral dans les 30 jours qui suivent la notification de l'expédition complète.
Dans leur premier mémoire de recours daté du 7 mai 2013, les recourants ont admis (cf. p. 2 ch. I/1 en haut) que l'arrêt attaqué motivé a été notifié à leur conseil le 25 mars 2013. Cette date tombait six jours avant le dimanche de Pâques 2013, de sorte que l'arrêt cantonal a été notifié pendant les féries judiciaires de l'<ref-law>, au cours desquelles les délais fixés en jours singulièrement par la loi ne courent pas (art. 46 al. 1 in initio LTF). Selon la jurisprudence (cf. arrêt 4A_372/2007 du 11 octobre 2007), dans un tel cas, le délai de 30 jours pour recourir d'après l'<ref-law> commence effectivement à courir le huitième jour après Pâques, soit le lundi suivant le lundi de Pâques, qui correspondait au 8 avril 2013. Il suit de là que le dernier jour du délai de recours était le mardi 7 mai 2013. Déposé précisément à la date en question dans un bureau de poste suisse, le premier mémoire de recours des recourants respecte le délai légal de recours.
1.2.2. L'<ref-law> dispose que les délais fixés par la loi ne peuvent être prolongés.
Invoquant leur domicile en France, les recourants considèrent que la Convention de Lugano est applicable à la cause, de sorte que le délai pour recourir au Tribunal fédéral était le délai de deux mois ancré à l'art. 43 par. 5, 2e phrase, CL, lequel échéait in casu le jeudi 6 juin 2013. Ainsi, à les en croire, le « Complément récapitulatif » déposé à la poste suisse le 6 juin 2013, par lequel ils ont formé à nouveau un recours en matière civile et un recours constitutionnel, serait recevable.
La Convention de Lugano règle en particulier la procédure tendant à déclarer exécutoires les décisions rendues dans un autre Etat partie et à assurer que le créancier puisse obtenir des mesures conservatoires ( ANDREAS BUCHER, in Loi sur le droit international privé/Convention de Lugano, Commentaire romand, 2011, n. 6 ad <ref-law>). La notion de décision est celle de l'<ref-law>, lequel dispose qu'il faut entendre par «décision» toute décision rendue par une juridiction d'un Etat lié par la Convention de Lugano quelle que soit la dénomination qui lui est donnée, telle qu'arrêt, jugement, ordonnance ou mandat d'exécution, ainsi que la fixation par le greffier du montant des frais du procès. Si les art. 38 à 42 CL traitent de la requête tendant à l'octroi de la déclaration constatant la force exécutoire de la décision rendue dans un autre Etat, l'<ref-law> institue une procédure de recours contre la déclaration de force exécutoire (ou décision d'exequatur) ( STAEHELIN/BOPP, in Lugano-Übereinkommen (LugÜ),Dasser/Oberhammer (éd.), 2e éd. 2011, n °s 1 et 2 ad <ref-law>). Selon l'<ref-law>, pour chaque Etat partie, le recours est porté devant la juridiction indiquée à l'annexe III, soit, pour la Suisse, le tribunal cantonal supérieur. A teneur de l'<ref-law>, le délai pour le dépôt dudit recours est d'un mois pour la partie qui est domiciliée soit dans l'Etat requis, soit dans un Etat tiers (1e phrase) et de deux mois pour la partie domiciliée dans un Etat partie autre que l'Etat requis (2e phrase) ( BUCHER, op. cit., n° 8 ad <ref-law>).
Le présent litige, qui a pour objet de statuer sur le mérite de l'action en responsabilité aquilienne que les recourants ont déposée contre l'intimée devant les tribunaux vaudois en relation avec un prétendu dommage survenu sur le territoire vaudois, n'a rien à voir avec le système de l'exequatur, lequel vise à donner, dans un État, force exécutoire à un jugement rendu dans un autre Etat. Les recourants ne peuvent donc prétendre que le délai pour recourir au Tribunal fédéral - juridiction qui, comme on l'a vu, n'est de toute manière pas en Suisse celle devant laquelle sont portés les recours visés par l'<ref-law> - était de deux mois par application de l'<ref-law>.
Il s'ensuit que le « Complément récapitulatif » du 6 juin 2013, contenant un recours en matière civile et un recours constitutionnel, est irrecevable, faute d'avoir été déposé dans le délai de 30 jours de l'<ref-law>, lequel, on l'a déjà dit, est venu à échéance le 7 mai 2013.
1.3. Interjeté par la partie qui a succombé dans sa demande en paiement (<ref-law>) et dirigé contre un arrêt rendu en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (<ref-law>), le recours en matière civile du 7 mai 2013 est en principe recevable puisqu'il a été déposé dans la forme (<ref-law>) prévue par la loi. La recevabilité dudit recours en matière civile entraîne ipso facto l'irrecevabilité du recours constitutionnel formé dans le même mémoire (<ref-law>).
1.4. Le recours en matière civile est ouvert pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (<ref-law>). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 336) et apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 584). Le Tribunal fédéral n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 in fine p. 400/401).
1.5. Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (<ref-law>). La juridiction fédérale peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62), ou établies en violation du droit comme l'entend l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Il lui incombe alors d'indiquer de façon précise en quoi les constatations critiquées sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, à défaut de quoi le grief est irrecevable (<ref-ruling> ibidem).
2.
Les recourants sont domiciliés en France, si bien que la cause revêt un caractère international (<ref-ruling> consid. 2). Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral doit contrôler d'office la question du droit applicable, laquelle se résout selon la loi du for, soit en l'occurrence la loi fédérale du 18 décembre 1987 sur le droit international privé (LDIP; <ref-ruling> consid. 2.1).
L'arrêt cantonal n'a pas examiné la question du droit applicable. Il résulte toutefois du dossier que les parties au litige se sont référées expressément, quant au fond, au droit interne suisse. Les instances cantonales qui ont examiné l'affaire, ont fait application de ce même droit. A considérer l'attitude des parties en l'espèce, il faut conclure qu'il est intervenu, à un certain moment, une élection de droit, tacite mais consciente, en faveur du droit suisse (art. 116 et 132 LDIP; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 423 et les références).
De toute manière, l'acte illicite invoqué a été commis à ..., commune du canton de Vaud où le résultat (atteinte à la galette racinaire des tilleuls) s'est également produit. A défaut de droit choisi, le droit suisse serait aussi applicable en vertu de l'<ref-law>.
3.
Dans un premier moyen intercalé dans la partie « faits » de leur recours en matière civile, les recourants reprochent à la cour cantonale d'avoir violé les art. 6 par. 1 CEDH et 317 du Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (CPC; RS 272) en déclarant irrecevables les pièces nouvelles qu'ils ont produites en deuxième instance.
La cour cantonale a écarté les pièces en question au motif que les recourants n'avaient pas démontré qu'étaient réalisées les conditions posées par l'<ref-law> pour que puissent être pris en compte des faits et moyens de preuve nouveaux. Les recourants ne discutent même pas ce raisonnement, se contentant de qualifier d'essentiels les documents qu'ils entendaient produire. Le moyen est irrecevable faute de motivation (art. 42 al. 1 et 2 et 106 al. 2 LTF).
4.
Les recourants remettent en question les compétences de l'expert judiciaire, qui ne serait pas un véritable spécialiste des grands arbres, mais plutôt un connaisseur des biotopes. A les en croire, les questions soulevées dans le mandat d'expertise dépassaient ses aptitudes.
La demande ayant été introduite devant le tribunal civil d'arrondissement avant l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2011, du CPC, la désignation de l'expert relève de l'ancien droit de procédure civile vaudois. Or les recourants ne se prévalent d'aucune norme de l'ancien droit vaudois procédural qui aurait été appliquée arbitrairement avec la désignation de l'expert judiciaire commis par les premiers juges.
L'autorité cantonale a exposé que l'allégation selon laquelle l'expert judiciaire ne serait pas spécialiste des grands arbres ne reposait sur aucun élément du dossier et était du reste infirmée par le contenu précis et détaillé de l'expertise qu'il a réalisée. De plus, il résulte du site internet de l'expert qu'il dispose de vastes connaissances, s'étendant de l'écologie pratique appliquée à la gestion notamment des forêts.
Les recourants, qui ne prennent pas appui sur ces considérations pour contester l'expérience et la renommée acquises par l'expert, présentent une critique qui ne satisfait pas à l'exigence de motivation de l'<ref-law>.
5.
Les recourants se plaignent à deux égards d'une appréciation arbitraire des moyens de preuve.
Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable. Le Tribunal fédéral n'intervient pour cause d'arbitraire que si la décision attaquée est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 319; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379 s.).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, l'autorité verse dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsqu'elle tire des conclusions insoutenables à partir des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 2.1).
5.1. Pour les recourants, qui se réfèrent à deux précédents non publiés (arrêts 4P.169/2003 du 30 octobre 2003 et 4P.197/2006 du 5 février 2007), ce serait arbitrairement que les expertises privées auraient été considérées comme de simples allégués.
Quoi qu'en disent les recourants, une expertise privée établie pour l'une ou l'autre des parties ne constitue pas un moyen de preuve dans un éventuel procès, mais n'a que la valeur d'une simple allégation de la partie qui la produit en cause (<ref-ruling> consid. 3.4; arrêt 4D_8/2008 du 31 mars 2008 consid. 3.2.2 et les références).
Contrairement aux dires des recourants, si le Tribunal fédéral a jugé, dans l'arrêt 4P.169/2003, que la cour cantonale pouvait sans arbitraire suivre l'avis de l'expert judiciaire, ce n'est nullement parce que les conclusions de ce dernier n'avaient pas été remises en cause par la partie recourante, mais du fait que l'expertise judiciaire n'était entachée d'aucun défaut reconnaissable pour le juge, qui la rendrait incompréhensible ou inutilisable (cf. consid. 2.2.1 de l'arrêt précité).
Quant à l'arrêt 4P.197/2006, le Tribunal fédéral a jugé que la cour cantonale pouvait, sans arbitraire, tenir compte de l'avis d'un expert privé, du moment que cette opinion était corroborée par les déclarations de plusieurs témoins (cf. consid. 5.2 dudit arrêt).
Ce pan du moyen est infondé.
5.2. Les recourants prétendent ensuite longuement qu'en retenant que l'expertise judiciaire était complète et convaincante, la cour cantonale a versé dans l'arbitraire.
Le choix de suivre les conclusions de l'expert judiciaire relève de la libre appréciation des preuves et n'apparaît en règle générale pas arbitraire au regard de la valeur probante accordée par la jurisprudence à une expertise judiciaire (<ref-ruling> consid. 3b/aa p. 352 s. et les références).
En l'espèce, la Cour d'appel a relevé que l'expert judiciaire, lequel a effectué plusieurs visites sur place, a expliqué précisément les raisons pour lesquelles il s'écartait du résultat des expertises privées. D'une part, les rapports des experts privés étaient largement antérieurs au sien et, d'autre part, les atteintes portées aux deux arbres, mentionnées par les experts privés, ne se reflétaient plus sur leur état sanitaire. La cour cantonale a estimé que l'expert judiciaire n'avait pas méconnu l'architecture des racines des tilleuls, puisqu'il avait admis, dans son rapport complémentaire, que la forme des racines était celle d'un cône inversé, ce qui l'avait amené à reconnaître que l'atteinte à la galette racinaire était au maximum de 15 à 20% de son volume. Enfin, à l'instar de l'expert judiciaire, les expertises privées avaient aussi fait état d'un important potentiel de pérennité ou d'une réaction positive des arbres, permettant d'espérer une période de rémittence.
A considérer ces éléments, on ne voit pas que l'autorité cantonale ait fait un usage abusif de son pouvoir d'appréciation des moyens de preuve en retenant que l'expertise judiciaire était fiable et convaincante.
Le second pan de la critique est privé de fondement.
6.
Selon les recourants, la cour cantonale se devait d'ordonner une nouvelle expertise judiciaire.
Le moyen, qui n'invoque la transgression d'aucune norme procédurale, est irrecevable (<ref-law>).
7.
Les recourants soutiennent, en se référant aux rapports des experts privés, qu'en niant l'existence d'un dommage, la Cour d'appel a enfreint l'<ref-law>. Ils prétendent enfin que cette dernière a apprécié de manière très sommaire les factures qu'ils ont produites, afférentes aux frais accessoires encourus consécutivement aux dommages racinaires.
7.1. Dire s'il y a eu dommage et quelle en est la quotité est une question de fait qui lie le Tribunal fédéral saisi d'un recours en matière civile. C'est en revanche une question de droit de dire si la notion juridique du dommage a été méconnue et de déterminer si l'autorité cantonale s'est fondée sur des principes de calcul admissibles pour le fixer (<ref-ruling> consid. 4 p. 366; <ref-ruling> consid. 6.2; <ref-ruling> consid. 2.4).
Le dommage juridiquement reconnu réside dans la diminution involontaire de la fortune nette; il correspond à la différence entre le montant actuel du patrimoine du lésé et le montant qu'aurait ce même patrimoine si l'événement dommageable ne s'était pas produit. Le dommage peut se présenter sous la forme d'une diminution de l'actif, d'une augmentation du passif, d'une non-augmentation de l'actif ou d'une non-diminution du passif (<ref-ruling> consid. 4 p. 366; <ref-ruling> consid. 2.4, 331 consid. 2.1).
D'après la jurisprudence, si le propriétaire du bien-fonds a un réel intérêt à ce que les arbres abattus ou endommagés soient demeurés intacts, l'existence d'un dommage pécuniaire ne peut pas être niée au motif que la destruction ou l'endommagement des arbres n'a pas diminué la valeur vénale de l'immeuble (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 333 s.).
7.2. Dans le cas présent, la cour cantonale a constaté, en se fondant sur l'expertise judiciaire, que les atteintes subies par les tilleuls ne semblaient pas avoir eu de conséquences sur leur vitalité, de sorte que ces arbres ne devaient pas être remplacés. A partir de là, elle a considéré qu'il n'y avait pas de dommage total, ni même partiel, puisque la perte d'une partie du volume des racines des arbres n'avait pas eu d'influence sur leur durée de vie ni sur leur valeur.
Les recourants n'ont apporté aucun élément pour étayer leur intérêt réel au maintien de la chose, c'est-à-dire à ce que les arbres gardent le volume de jadis. De toute manière, l'expert judiciaire a déclaré que les tilleuls étaient plutôt en phase de croissance, de sorte qu'il n'est pas exclu qu'ils puissent retrouver, à moyen terme, l'aspect qu'ils avaient avant que l'intimée n'exécute ses travaux de construction.
Quant aux factures relatives aux frais encourus pour les soins qui ont été donnés aux arbres, les recourants ont échoué à établir - alors que la preuve leur incombait selon les principes généraux (<ref-law>) - que ces frais ne relevaient pas de leur entretien normal ou usuel, mais avaient été nécessités par l'atteinte portée aux racines.
Partant, la cour cantonale n'a en rien violé l'<ref-law> en jugeant que la preuve d'un dommage n'avait pas été apportée par les recourants.
8.
En définitive, le recours en matière civile doit être rejeté en tant qu'il est recevable. Le recours constitutionnel déposé parallèlement audit recours est irrecevable. Le recours en matière civile et le recours constitutionnel subsidiaire déposés le 6 juin 2013 sont irrecevables.
Les recourants, qui succombent, paieront solidairement l'émolument judiciaire et verseront solidairement des dépens à leur adverse partie (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours en matière civile est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
Le recours en matière civile et le recours constitutionnel subsidiaire déposés le 6 juin 2013 sont irrecevables.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis solidairement à la charge des recourants.
5.
Les recourants verseront solidairement à l'intimée une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud et pour information à Me O._, avocat à Paris.
Lausanne, le 4 novembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet