Sachverhalt:
A.
Der 1962 geborene R._ sel. verfügte bei der Vorsorgestiftung Sparen 3 der Zürcher Kantonalbank (nachfolgend: Vorsorgestiftung) über ein Vorsorge-Konto der Säule 3a, als er 2010 verstarb. Er hinterliess u.a. seine Mutter S._ und seine Lebensgefährtin K._. Sowohl die Mutter als auch die Lebensgefährtin verlangten von der Vorsorgestiftung das Vorsorgekapital; eine Einigung kam nicht zustande.
B.
Am 20. Dezember 2011 erhob S._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Vorsorgestiftung mit dem Rechtsbegehren, diese sei zu verpflichten, ihr das Vorsorgekapital des Säule-3a-Kontos des R._ sel. nebst Zins zu 5 % seit 16. Juli 2010 zu bezahlen. Die Vorsorgestiftung beantragte, sie sei bei ihrer Bereitschaft zu behaften, der berechtigten Person das Sparen-3-Guthaben im Betrag von Fr. 67'500.- zuzüglich den jeweils geltenden Zinssatz bis dato Hinterlegung auszubezahlen; das Begehren betreffend Verzinsung zu 5 % sei abzuweisen. Die zum Verfahren beigeladene K._ schloss auf Abweisung der Klage. Am 14. Mai 2012 hinterlegte die Vorsorgestiftung das Vorsorgekapital (abzüglich 8 % Verrechnungssteuer) beim Sozialversicherungsgericht. Dieses hiess die Klage mit Entscheid vom 15. Mai 2013 in Bezug auf das Vorsorgekapital vollständig und in Bezug auf die Zinsen teilweise gut; dies unter Berücksichtigung des hinterlegten Kapitals, welches es der S._ zusammen mit dem Formular für den Antrag auf Rückerstattung des Verrechnungssteuerabzugs herausgeben werde.
C.
K._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, es sei der Entscheid vom 15. Mai 2013 aufzuheben und die Klage der S._ abzuweisen. Ferner ersucht sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde.
S._ lässt auf Abweisung des Rechtsmittels schliessen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorsorgestiftung beantragt, es sei festzustellen, dass sie sich durch Hinterlegung des Vorsorgekapitals von Fr. 62'385.52 (nach Verrechnungssteuerabzug) bei der Kasse des Sozialversicherungsgerichts rechtsgültig von ihrer allfälligen Schuldpflicht gegenüber K._ oder S._ befreit habe und keine weitere Leistung mehr geschuldet sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Die Vorsorgestiftung hat ihr Feststellungsbegehren erst nach Ablauf der Rechtsmittelfrist (Art. 100 Abs. 1 BGG) gestellt. Im Verfahren vor Bundesgericht gibt es keine Anschlussbeschwerde (<ref-ruling> E. 2.5 S. 335; vgl. auch MEYER/DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 4 zu Art. 102 BGG und N. 2 zu Art. 107 BGG). Auf den entsprechenden Antrag ist daher nicht einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Das Stiftungsreglement der Vorsorgestiftung vom Dezember 2007 (nachfolgend: Stiftungsreglement) sieht in Art. 13 Abs. 1 folgende, mit Art. 2 Abs. 1 lit. b der Verordnung vom 13. November 1985 über die steuerliche Abzugsberechtigung für Beiträge an anerkannte Vorsorgeformen (BVV 3; SR 831.461.3) im Einklang stehende Regelung vor:
"Im Falle des Todes des Vorsorgenehmers haben folgende Personen Anspruch auf das Vorsorgekapital, wobei (...) das Vorhandensein von Begünstigten aus einer vorangehenden Kategorie die jeweils nachfolgenden ausschliesst:
Kategorien:
a) der überlebende Ehegatte / eingetragene Partner
b) die direkten Nachkommen sowie Personen, die vom Verstorbenen in erheblichem Masse unterstützt worden sind, oder die Person, die mit dem Verstorbenen in den letzten fünf Jahren bis zu seinem Tod ununterbrochen eine Lebensgemeinschaft geführt hat oder die für den Unterhalt eines oder mehrerer gemeinsamer Kinder aufkommen muss
c) die Eltern
d) die Geschwister
e) die übrigen gesetzlichen oder vom Vorsorgenehmer durch letztwillige Verfügung eingesetzten und der Stiftung gemeldeten Erben"
3.2. Die Auslegung des Reglements einer privatrechtlichen Vorsorgeeinrichtung als vorformulierter Inhalt des Vorsorgevertrages geschieht nach dem Vertrauensprinzip. Dabei sind jedoch die den Allgemeinen Versicherungsbedingungen innewohnenden Besonderheiten zu beachten, namentlich die sogenannten Unklarheits- und Ungewöhnlichkeitsregeln. Nach diesen Auslegungsgrundsätzen gilt es, ausgehend vom Wortlaut und unter Berücksichtigung des Zusammenhanges, in dem eine streitige Bestimmung innerhalb des Reglements als Ganzes steht, den objektiven Vertragswillen zu ermitteln, den die Parteien mutmasslich gehabt haben. Dabei hat das Gericht zu berücksichtigen, was sachgerecht ist, weil nicht angenommen werden kann, dass die Parteien eine unvernünftige Lösung gewollt haben. Sodann sind mehrdeutige Wendungen in vorformulierten Vertragsbedingungen im Zweifel zu Lasten ihres Verfassers auszulegen (<ref-ruling> E. 6 S. 181; <ref-ruling> E. 2.2 S. 29).
3.3. Das Ergebnis der Auslegung nach dem Vertrauensgrundsatz und in Anwendung der Unklarheits- und Ungewöhnlichkeitsregel kann vom Bundesgericht als Rechtsfrage frei überprüft werden (ZBGR 88/2007 S. 478, 5C.282/2005 E. 4.1; Urteil 5C.150/2006 vom 6. November 2006 E. 2.4.1).
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin bringt u.a. vor, der Verstorbene habe die Vorsorgegelder in die gemeinsam erworbene Liegenschaft investieren wollen. Dass nun dessen Mutter - nach Ausschlagung der Erbschaft - diese Kapitalien kassiere, führe zu einer ungerechtfertigten Überschuldung des Nachlasses bzw. Erhöhung ihrer eigenen Hypothekarbelastung bei der finanzierenden Bank.
Das im Todesfall ausgerichtete Kapital aus gebundener Vorsorge (Säule 3a) bildet nicht zwingend und gesamthaft Bestandteil des Nachlasses der verstorbenen Person; jedenfalls kann die begünstigte Person den entsprechenden Anspruch selbstständig geltend machen (vgl. Art. 2 Abs. 1 lit. b BVV 3 in Verbindung mit Art. 82 BVG und Art. 1 Abs. 1 lit. b sowie Abs. 3 BVV 3; DANIEL STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch II, 4. Aufl. 2011, N. 5 zu Art. 476 ZGB). Ein solcher Vermögenswert ist indessen zunächst bei einer allfälligen güterrechtlichen Auseinandersetzung - zu der im konkreten Fall kein Anlass bestand - zu berücksichtigen (FamPra.ch 2008 S. 918, 5A_673/2007 E. 3.5; HANS-ULRICH STAUFFER, Berufliche Vorsorge, 2. Aufl. 2012, S. 777 Rz. 2058). Sodann kann er in erbrechtlicher Hinsicht für die Berechnung des Pflichtteils (Art. 470 f. ZGB) von Bedeutung sein und der Herabsetzung unterliegen (Art. 476 und 529 ZGB; <ref-ruling> E. 8 S. 220 f.; STAEHELIN, a.a.O.); zur entsprechenden - zivilrechtlichen - Klage (Art. 522 ZGB) wäre aber die Lebensgefährtin ohnehin nicht legitimiert gewesen. Nach Art. 13 Abs. 1 lit. e Stiftungsreglement in Verbindung mit Art. 466 ZGB (vgl. auch Art. 2 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BVV 3) ist subsidiär ein Gemeinwesen und nicht "der Nachlass" des Erblassers begünstigt. Im Übrigen legt die Beschwerdeführerin ohnehin nicht substanziiert dar (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), inwiefern sie Gläubigerin des Verstorbenen gewesen sein soll (vgl. dazu etwa Art. 594 ZGB). Die Anspruchsberechtigung der S._ ist demnach nur in Bezug auf die Frage, ob die frühere Lebensgefährtin des Verstorbenen ein eigenes - gegebenenfalls vorangehendes (vgl. Art. 13 Abs. 1 lit. b und c Stiftungsreglement) - Recht auf das Todesfallkapital hat, zu prüfen. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin zu Erbenstellung und Rechtsmissbrauch der S._ sind in diesem Zusammenhang nicht von Belang, darauf ist mangels eines schutzwürdigen Interesses (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG) nicht weiter einzugehen.
4.2. Die Vorinstanz hat verbindlich (E. 2) festgestellt, dass die Lebensgemeinschaft zwischen dem Verstorbenen und seiner Lebensgefährtin weniger als fünf Jahre gedauert habe und dass keine gemeinsamen Kinder vorhanden seien. Streitig und zu prüfen ist die Frage, ob die Beschwerdeführerin vom verstorbenen Versicherten "in erheblichem Masse" unterstützt wurde. Diesbezüglich hat das kantonale Gericht ebenfalls verbindlich (E. 2) festgestellt, die Beschwerdeführerin sei nach eigenen Angaben ab Mitte 2008 unterstützt worden; Zahlungen ab Anfang 2009 seien aktenmässig ausgewiesen.
4.3. In <ref-ruling> hat das Bundesgericht mit Blick auf Art. 20a Abs. 1 lit. a BVG und die dort ebenfalls erwähnte Kategorie von "Personen, die in erheblichem Masse unterstützt worden sind", entschieden, dass für die Qualifikation der Unterstützung als erheblich in zeitlicher Hinsicht in der Regel eine Dauer von mindestens zwei Jahren vorausgesetzt ist (a.a.O., E. 3.4). Es ist kein Grund ersichtlich, diese Rechtsprechung nicht auch auf Art. 2 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 BVV 3 anzuwenden. Weiter ist dieser zeitliche Massstab demnach auch an die gleichlautende Bestimmung von Art. 13 Abs. 1 lit. b des Stiftungsreglements vom Dezember 2007 anzulegen (E. 3.2).
4.4. Nach dem Gesagten ist im konkreten Fall die Erheblichkeit der Unterstützung bereits mangels genügender Dauer (E. 4.2) zu verneinen, was einen Anspruch der Lebensgefährtin auf das Vorsorgekapital ausschliesst. Weiterungen in Bezug auf die Frage nach dem Gehalt des Begriffs der "erheblichen Unterstützung" unter quantitativem Aspekt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 102; <ref-ruling> E. 5.1 S. 31 f.) erübrigen sich.
5.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Anders als die Vorsorgestiftung (Art. 68 Abs. 3 BGG) hat die obsiegende Beschwerdegegnerin S._ Anspruch auf eine dem letztinstanzlichen Arbeitsaufwand entsprechende Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Auf die Anschlussbeschwerde der Vorsorgestiftung wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin S._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Januar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann