Sachverhalt:
A.
Am 12. Dezember 2012 fand die ordentliche Kirchgemeindeversammlung der Reformierten Kirchgemeinde Solothurn statt. Ein Traktandum bildete die Totalrevision der Gemeindeordnung. In der revidierten Gemeindeordnung ist insbesondere vorgesehen, dass die Pfarrpersonen neu vom Kirchgemeinderat statt wie bis anhin vom Volk gewählt werden. A._, zum damaligen Zeitpunkt Gemeindepfarrer, beantragte, auf das Geschäft sei nicht einzutreten. Nachdem sich der vom Kirchgemeinderat beauftragte externe Experte zu Wort gemeldet und sich gegen ein Nichteintreten ausgesprochen hatte, stimmte die Versammlung über den Nichteintretensantrag ab und verwarf diesen mit grossem Mehr. In der Detailberatung wurde ein Antrag, die Urnenwahl der Pfarrpersonen beizubehalten, abgelehnt. In der Schlussabstimmung wurde die neue Gemeindeordnung angenommen.
Mit Beschwerde vom 18. Dezember 2012 an den Regierungsrat des Kantons Solothurn beantragte A._, die Beschlüsse der Kirchgemeindeversammlung vom 12. Dezember 2012 betreffend Eintreten auf die Vorlage "Totalrevision der Gemeindeordnung" und betreffend Annahme dieser Vorlage seien aufzuheben.
Mit Beschluss vom 25. Februar 2013 wies der Regierungsrat die Beschwerde ab.
A._ focht diesen Beschluss entsprechend der ihm erteilten Rechtsmittelbelehrung am 26. März 2013 mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht an.
Das Bundesgericht trat mit Urteil vom 26. September 2013 auf die Beschwerde mangels Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheids nicht ein und überwies die Eingabe vom 26. März 2013 dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zur Behandlung (Urteil 1C_331/2013 vom 26. September 2013).
Mit Urteil vom 10. Februar 2014 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 17. März 2014 beantragt A._ in der Hauptsache die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 10. Februar 2014 sowie der unterinstanzlichen Beschlüsse.
Die Reformierte Kirchgemeinde Solothurn und das Verwaltungsgericht beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Der Regierungsrat stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung. Der Beschwerdeführer hält in weiteren Eingaben an seinem Standpunkt und an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer kommunale Abstimmungssache, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen steht (vgl. Art. 82 lit. c, Art. 88 Abs. 1 lit. a sowie Abs. 2 und Art. 90 BGG). Mit Stimmrechtsbeschwerde kann nicht nur die Verletzung von Bundesrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten i.S.v. Art. 95 lit. a und c BGG gerügt werden, sondern das Bundesgericht beurteilt auch die kantonalen Bestimmungen über die politische Stimmberechtigung der Bürger und Bürgerinnen mit voller Kognition (<ref-law>).
1.2. Zur Beschwerde ist gemäss <ref-law> legitimiert, wer in der betreffenden Angelegenheit stimmberechtigt ist. Streitgegenstand bildet die Frage, ob die politischen Rechte des an der Kirchgemeindeversammlung vom 12. Dezember 2012 stimmberechtigten Beschwerdeführers durch Anerkennung eines nicht korrekt zustande gekommenen Abstimmungsergebnisses verletzt worden sind. Dass der Beschwerdeführer per 1. März 2014 umgezogen ist und ausserhalb des Kirchgemeindegebiets Wohnsitz genommen hat, lässt seine Beschwerdeberechtigung entgegen der Auffassung der Beschwerdegegnerin nicht dahin fallen (Christoph Hiller, Die Stimmrechtsbeschwerde, 1990, S. 259; H. R. Thalmann, Kommentar zum Zürcher Gemeindegesetz, 3. Aufl. 2000, S. 449 f.).
Der Beschwerdeführer hat trotz Wegzugs weiterhin ein aktuelles Rechtsschutzinteresse. Er ist am 5. September 2013 vom Kirchgemeinderat als Pfarrer für die Amtsperiode 2013/2017 nicht wiedergewählt geworden. Diese Nichtwiederwahl hat der Beschwerdeführer ebenfalls angefochten. Der Regierungsrat hat die Beschwerde am 17. März 2014 abgewiesen. Diesen Entscheid hat der Beschwerdeführer am 26. März 2014 mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht weitergezogen. Das Verfahren ist noch hängig. Umstritten ist vorliegend, ob der Beschluss der neuen Gemeindeordnung gültig zustande gekommen ist. Falls dies nicht zutrifft, gilt weiterhin die alte Gemeindeordnung, welche die Volkswahl der Pfarrpersonen vorsieht. Der Ausgang des vorliegenden Verfahrens könnte somit Auswirkungen auf das Beschwerdeverfahren betreffend Nichtwiederwahl haben.
Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.3. Nicht einzutreten ist indes auf den Beschwerdeantrag, auch die unterinstanzlichen Entscheide aufzuheben. Diese sind mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht selbstständig anfechtbar. Sie werden mit Blick auf den Devolutiveffekt durch den Entscheid der letzten kantonalen Instanz ersetzt und gelten mit der dagegen gerichteten Beschwerde als mitangefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt und den Sachverhalt unrichtig festgestellt, indem sie die Audioaufzeichnungen der Kirchgemeindeversammlung vom 12. Dezember 2012 nicht beigezogen habe.
2.2.
2.2.1. Zum Anspruch auf rechtliches Gehör gehört das Recht des Betroffenen auf Abnahme der rechtzeitig und formrichtig angebotenen rechtserheblichen Beweismittel. Indes kann das Gericht das Beweisverfahren schliessen, wenn die Anträge nicht erhebliche Tatsachen betreffen. Gleichermassen kann es Beweisanträge ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs ablehnen, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener antizipierter Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148 mit Hinweisen).
2.2.2. Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2). Von der beschwerdeführenden Person kann die Feststellung des Sachverhalts wiederum nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-law>) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
2.3. Die Vorinstanz hat das Protokoll der Kirchgemeindeversammlung beigezogen und detailliert gewürdigt. Sie ist, ohne in Willkür zu verfallen, zum Schluss gekommen, dass sich die strittigen Fragen der Beeinflussung der Stimmbürger durch den externen Experten und der korrekten Auszählung der Stimmen aufgrund des Protokolls beantworten lassen. Die Vorinstanz durfte daher annehmen, der Beizug der Audioaufzeichnungen erübrige sich, da sich hieraus mutmasslich keine neuen entscheidwesentlichen Erkenntnisse gewinnen liessen. Eine Verletzung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör liegt nicht vor. Weil die Audioaufzeichnungen für den Ausgang des Verfahrens nicht massgeblich sind, ist die Vorinstanz auch nicht gehalten gewesen, den Sachverhalt insoweit näher abzuklären. Eine offensichtlich unrichtige Feststellung des massgeblichen Sachverhalts ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht substanziiert gerügt.
Nach dem Gesagten ist auch im Verfahren vor Bundesgericht von einem Beizug der Audioaufzeichnungen abzusehen.
3.
3.1. Das Gemeindegesetz des Kantons Solothurn vom 16. Februar 1992 (GG/SO; BGS 131.1) regelt den Verhandlungsablauf in der Gemeindeversammlung wie folgt: Die Versammlungsleitung obliegt dem Gemeindepräsidenten oder der Gemeindepräsidentin (§ 59 GG/SO). Er oder sie lässt die Traktandenliste bereinigen und genehmigen (§ 62 GG/SO). Zu jedem Traktandum wird vorerst der Antrag des Gemeinderats erläutert und danach die Diskussion zur Eintretensfrage eröffnet (§ 63 GG/SO). Beschliesst die Versammlung, auf ein Geschäft einzutreten, werden die Einzelheiten beraten (§ 64 Abs. 1 GG/SO). Ist der Verhandlungsgegenstand bereinigt, muss darüber abgestimmt werden, sofern das Geschäft nicht der Urnenabstimmung unterliegt (§ 65 GG/SO).
3.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, es gehe nicht an, dass sich der von der Beschwerdegegnerin beigezogene Experte anlässlich der Gemeindeversammlung zu Wort gemeldet habe, ohne von der Versammlungsleitung dazu aufgefordert worden zu sein. Vielmehr hätte sofort über den Nichteintretensantrag abgestimmt werden müssen. Es liege eine Verletzung von § 63 GG/SO vor.
3.3. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist erforderlich, dass der an der Gemeindeversammlung teilnehmende Stimmberechtigte formelle Mängel noch an der Gemeindeversammlung selber beanstandet, soweit ihm das zumutbar ist. Das Erfordernis soll der raschen Klarstellung der Förmlichkeiten dienen, eine allfällige Korrektur des Verfahrens ermöglichen und damit zur Vermeidung einer allfälligen Wiederholung der Gemeindeversammlung beitragen. Unterlässt der Stimmberechtigte eine Beanstandung, obwohl eine entsprechende Intervention nach den Umständen als zumutbar erscheint, so kann er sich in der Folge nicht mehr darauf berufen, dass die Abstimmung nicht richtig zustande gekommen ist (Urteil 1C_537/2012 vom 25. Januar 2013 E. 2.3, in: ZBl 114/2013 S. 563).
Vorliegend kann offen bleiben, ob die Rüge des Beschwerdeführers verspätet erhoben worden ist, da sie sich ohnehin als unbegründet erweist (siehe sogleich E. 3.4 und 3.5). Auch die Vorinstanz hat die Beschwerdevorbringen inhaltlich geprüft und ist entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers nicht davon ausgegangen, dieser habe sein Recht verwirkt. Der Einwand der Rechtsverweigerung erweist sich deshalb von vornherein als nicht stichhaltig.
3.4. Die Vorinstanz hat festgehalten, zum Auftrag des von der Beschwerdegegnerin für die Totalrevision der Gemeindeordnung beigezogenen Experten gehöre es, die Gemeinde sowohl bezüglich des Inhalts als auch des Ablaufs der Revision zu beraten. Nehme ein Experte in beratender Funktion an einer Gemeindeversammlung teil, solle er aus fachlicher Sicht auch zu Fragen und Anträgen Stellung nehmen und zwar nicht nur in inhaltlicher, sondern auch in verfahrensmässiger Hinsicht. Wohl werde sich der Experte in der Regel auf Veranlassung der Versammlungsleitung äussern, doch spreche nichts dagegen, dass er sich selbst zu Wort melde, wenn er glaube, dies sei zur Klarstellung oder Erläuterung erforderlich. Eine solche Wortmeldung könne unter Umständen zur gehörigen Erfüllung des Beratungsmandats sogar erforderlich sein. Dass sich der Experte ungefragt zu Wort gemeldet habe, sei somit nicht zu beanstanden.
3.5. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern diese Ausführungen der Vorinstanz Recht verletzen sollten. Der Beschwerdeführer begründet denn auch seine Behauptung nicht, weshalb es gegen § 63 GG/SO verstossen sollte, wenn sich der Experte an der Diskussion zur Eintretensfrage beteiligt. Auf den Wortlaut der Bestimmung jedenfalls lässt sich ein solcher Schluss nicht stützen.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Anspruchs auf freie Willensbildung und unverfälschte Stimmabgabe gemäss <ref-law>. Der Experte habe in bedrohlichem Ton gesagt, Nichteintreten wäre eine ganz schlechte Lösung. Durch diese Äusserung sei der Wille der Stimmberechtigten unzulässig beeinflusst worden.
4.2. Der Experte wurde vom Gemeinderat zu den Beratungen hinzugezogen. Seine Äusserungen sind damit nach den Grundsätzen über die behördliche Information der Stimmberechtigten zu beurteilen.
Die in <ref-law> verankerte Abstimmungsfreiheit gibt den Stimmberechtigten Anspruch darauf, dass kein Abstimmungsergebnis anerkannt wird, das nicht den freien Willen der Stimmberechtigten zuverlässig und unverfälscht zum Ausdruck bringt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 203 mit Hinweisen). Es soll garantiert werden, dass jeder Stimmberechtigte seinen Entscheid gestützt auf einen möglichst freien und umfassenden Prozess der Meinungsbildung treffen und entsprechend mit seiner Stimme zum Ausdruck bringen kann. Die Abstimmungsfreiheit gewährleistet die für den demokratischen Prozess und die Legitimität direktdemokratischer Entscheidungen erforderliche Offenheit der Auseinandersetzung (<ref-ruling> E. 2 S. 293 f. mit Hinweisen). Gemeindebehörden dürfen an Gemeindeversammlungen Vorlagen erklären und zur Annahme oder Ablehnung empfehlen. Für die Beurteilung und die aus <ref-law> fliessenden Anforderungen kann auf die Rechtsprechung zu den Abstimmungserläuterungen vor Volksabstimmungen abgestellt werden. Danach sind die Behörden zur Objektivität verpflichtet; sie dürfen Zweck und Tragweite einer Vorlage nicht falsch darstellen. Dem Erfordernis der Sachlichkeit genügen Informationen, wenn die Aussagen wohl abgewogen sind und beachtliche Gründe dafür sprechen, wenn sie ein umfassendes Bild der Vorlage mit Vor- und Nachteilen abgeben und den Stimmberechtigten eine Beurteilung ermöglichen oder wenn sie trotz einer gewissen Überspitzung nicht unwahr und unsachlich bzw. lediglich ungenau und unvollständig sind. Das Gebot der Sachlichkeit verbietet, in den Erklärungen für den Entscheid der Stimmbürger wichtige Elemente zu unterdrücken oder Argumente von gegnerischen Referendums- oder Initiativkomitees falsch wiederzugeben (<ref-ruling> E. 4.2 S. 297 f.).
4.3. Die Vorinstanz hat erwogen, der Beschwerdeführer stelle nicht in Abrede, dass seine Voten im Protokoll der Gemeindeversammlung richtig wiedergegeben worden seien. Danach habe er seinen Nichteintretensantrag damit begründet, das Geschäft sei an den Kirchgemeinderat zurückzuweisen, um das Wahlverfahren für die Pfarrpersonen neu zu regeln. Der Beschwerdeführer habe sowohl von "Nichteintreten" als auch von "Rückweisung" gesprochen. Es sei deshalb angebracht gewesen, dass der Experte die Bedeutung dieser Begriffe erläutert und die unterschiedlichen Auswirkungen eines Nichteintretens und einer Rückweisung aufgezeigt habe. Seine Aussagen, bei einem Nichteintreten sei die ganze Vorbereitungsarbeit vergeblich gemacht worden und eine Rückweisung führe zu einer Verzögerung, seien korrekt. Der Beschwerdeführer habe den Entwurf der Gemeindeordnung ausserdem lediglich in einem einzigen Punkt beanstandet. Der Experte habe daher zutreffend darauf hingewiesen, dass dem Anliegen des Beschwerdeführers (Volkswahl der Pfarrpersonen) am Einfachsten und auf direktem Weg in der Detailberatung durch Änderung der Bestimmungen über die Wahl der Pfarrpersonen zum Durchbruch verholfen werden könne. Auch diese Aussage sei geeignet gewesen, zur objektiven Meinungsbildung der Stimmberechtigten beizutragen.
Die Aussage des Experten, "Nichteintreten sei ein schlechter Weg" (gemäss Protokoll) bzw. "Nichteintreten wäre eine ganz schlechte Lösung, dann habt ihr gar nichts" (gemäss Darstellung des Beschwerdeführers), enthalte zwar eine Wertung, sei deswegen aber noch nicht unzulässig. Auch ein Behördenvertreter oder ein von der Behörde beigezogener Experte dürfe zum Ausdruck bringen, welche von mehreren möglichen Varianten er als besser oder schlechter bewerte. Die Stimmberechtigten wüssten solche Meinungsäusserungen zu würdigen und einzuordnen. Selbst wenn der Experte sich mit Nachdruck oder gemäss dem Beschwerdeführer gar in bedrohlichem Ton geäussert haben sollte, ändere dies nichts. Von den Stimmberechtigten dürfe erwartet werden, zwischen den Vor- und Nachteilen verschiedener Lösungen abzuwägen.
4.4. Die Ausführungen der Vorinstanz sind zutreffend. Wie sie eingehend und überzeugend dargelegt hat, war das Votum des Experten nicht geeignet, die Meinungsbildung der Stimmberechtigten in unzulässiger Weise zu beeinflussen. Die Äusserungen des Experten sind zwar wertend, aber nicht unwahr und - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - inhaltlich auch nicht "bedrohlich". Eine Verletzung von <ref-law> liegt insoweit offensichtlich nicht vor.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, bei der Abstimmung über die Frage des Nichteintretens habe die Gemeindepräsidentin bloss die für seinen Nichteintretensantrag abgegebenen Stimmen gezählt. Dagegen sei keine Abstimmung darüber geführt worden, wer gegen den Nichteintretensantrag sei.
5.2. Die Vorinstanz hat ausgeführt, gemäss Protokoll hätten 137 Personen an der Gemeindeversammlung teilgenommen, und es sei mit 104 Ja gegen 31 Nein bei 2 Enthaltungen Eintreten auf die Vorlage beschlossen worden. Diese Formulierung erwecke den Anschein, alle Stimmen seien ausgezählt worden. Die Beschwerdegegnerin habe in ihrer Vernehmlassung indes eingeräumt, dass das Gegenmehr durch Handerheben angezeigt und aufgrund des eindeutigen Ergebnisses auf die Auszählung der Stimmen gegen den Nichteintretensantrag verzichtet worden sei. Unbestritten sei hingegen, dass 31 Personen für den Nichteintretensantrag des Beschwerdeführers (also gegen das Eintreten) gestimmt und sich zwei Personen der Stimme enthalten hätten.
Zur Ermittlung des Abstimmungsergebnisses an einer Gemeindeversammlung sei es nicht erforderlich, dass die Stimmen immer ausgezählt würden. Zeigten die erhobenen Hände ein klares Mehr für oder gegen einen Antrag, könne auf eine Auszählung der Stimmen verzichtet werden. Stimmberechtigte, welche das Handmehr bestritten, müssten an der Versammlung das Auszählen der Stimmen verlangen. Stimmten an einer Gemeindeversammlung mit deutlich über 100 Teilnehmenden lediglich 31 Personen für einen Antrag und enthielten sich bloss zwei Personen der Stimme, so sei die Auszählung der Gegenstimmen nicht erforderlich, um festzustellen, dass der Antrag abgelehnt worden sei. Zu protokollieren sei in einem solchen Fall eine Ablehnung mit grossem Mehr, da namentlich nicht auszuschliessen sei, dass einige der zu Beginn der Versammlung anwesenden 137 Personen den Saal kurzzeitig verlassen hätten.
5.3. Die Ausführungen der Vorinstanz sind zutreffend. Das Protokoll der Gemeindeversammlung ist in diesem Punkt zwar ungenau. Dies ist jedoch nicht entscheiderheblich, da kein Zweifel daran besteht, dass der Nichteintretensantrag des Beschwerdeführers mit grossem Mehr abgelehnt worden ist.
Die Vorbringen des Beschwerdeführers sind nicht verständlich. Bei der Abstimmung über die Eintretensfrage standen sich der Antrag des Gemeinderats auf Eintreten auf die Vorlage und der Gegenantrag des Beschwerdeführers auf Nichteintreten gegenüber. Die Stimmberechtigten konnten für oder gegen Eintreten votieren oder sich der Stimme enthalten. Wurde - was der Beschwerdeführer zugesteht - der Antrag auf Nichteintreten mit grossem Mehr abgelehnt, ist damit ohne Weiteres Eintreten beschlossen. Einer zweiten Abstimmung über den Antrag des Gemeinderats auf Eintreten bedurfte es entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht. Dass die Gemeindepräsidentin statt des Antrags des Gemeinderats auf Eintreten denjenigen des Beschwerdeführers auf Nichteintreten zur Abstimmung brachte, wodurch die Vorzeichen der Abstimmungsfrage geändert wurden, ist nicht entscheidend, da der Inhalt der Abstimmung der Gleiche blieb und für die Stimmberechtigten klar gewesen ist, worüber sie abstimmten.
5.4. Ergänzend ist festzuhalten, dass der in der Detailberatung gestellte Antrag, die Pfarrpersonen wie bis anhin an der Urne zu wählen, gemäss Versammlungsprotokoll mit 98 Nein- zu 34 Ja-Stimmen abgelehnt wurde. Dieses Abstimmungsergebnis wird vom Beschwerdeführer nicht bestritten.
6.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. <ref-law>). Weder dem unterliegenden Beschwerdeführer noch der in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegenden Beschwerdegegnerin ist eine Parteientschädigung zuzusprechen (vgl. Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG sowie <ref-ruling> E. 7 S. 118 f.). Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Regierungsrat des Kantons Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner