Ritenuto in fatto :
A.- Nel novembre 1992 B._ ha aperto un conto cifrato presso la Banca X._ S.A. - affidando nel contempo alla Fiduciaria J._ S.A. il compito di amministrare i suoi beni. In questo senso essa ha anche sottoscritto il formulario della banca intitolato "Mandato di amministrazione in favore di terzi".
Circa un mese più tardi la fiduciaria ha comunicato alla banca la rinuncia al mandato, che sarebbe stato ripreso dalla Y._ Inv. Ltd. Su incarico di quest'ultima società, negli anni successivi, la banca ha eseguito nove operazioni speculative; fra queste, due - quelle relative all'acquisto delle obbligazioni convertibili Z._ Holding e W._ - si sono concluse a svantaggio del titolare del conto.
B.- Rimproverando alla banca di non averlo avvisata del cambiamento di gestore - avvenuto a sua insaputa - e di aver proceduto all'acquisto dei titoli Z._ Holding e W._ dietro richiesta di una persona non autorizzata, il 23 settembre 1997 B._ si è rivolto al Pretore del Distretto di Lugano, sezione 1, onde ottenere il risarcimento del danno subito, pari a fr. 285'328. 20, oltre interessi. Con sentenza del 2 febbraio 2000 il giudice ha accolto la petizione limitatamente a fr. 239'659. 45.
C.- Adita da entrambe le parti, il 25 gennaio 2001 la II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha riformato il giudizio di primo grado, riducendo la somma riconosciuta all'attore a fr. 174'414. 15.
Confermata la condanna della banca al risarcimento, i giudici ticinesi si sono discostati dal calcolo del danno eseguito dal Pretore. Essi hanno ritenuto infatti che tutte le operazioni disposte su richiesta della Y._ devono valere come non accettate dal titolare del conto. Il pregiudizio da questi subito corrisponde pertanto alla differenza fra quanto vi sarebbe stato in conto qualora la citata società non fosse mai intervenuta e quanto effettivamente rimasto. Dall'importo così ottenuto va infine dedotto quanto già ricevuto dall'attore nel corso degli anni nonché il residuo valore di mercato dei titoli Z._ Holding e W._ al giugno 1997.
D.- Il 27 febbraio 2001 B._ ha presentato al Tribunale federale un ricorso per riforma con il quale postula la modifica della pronunzia cantonale nel senso di condannare la banca al pagamento di fr. 285'328. 20 oppure, in via subordinata, di fr. 261'914. 15.
Nella risposta del 3 maggio 2001 l'istituto bancario ha proposto la reiezione del gravame e, contestualmente, ha inoltrato un ricorso adesivo con cui chiede, in riforma del giudizio impugnato, di accogliere integralmente il suo appello e, di conseguenza, respingere la petizione.
Dal canto suo, B._ ha chiesto il rigetto del ricorso adesivo.

Considerando in diritto :
1.- Dato il tenore dei rispettivi allegati appare necessario, prima di esaminare le singole censure ricorsuali, esprimere alcune considerazioni di carattere formale.
a) aa) Chiamato a statuire quale istanza di riforma il Tribunale federale fonda la sua pronunzia sui fatti così come sono stati accertati dall'ultima istanza cantonale (art. 55 cpv. 1 lett. c OG; cfr. <ref-ruling> consid. 2c pag. 252), a meno che venga invocata - conformemente ai requisiti posti dall'art. 55 cpv. 1 lett. b e d OG - la violazione di disposizioni federali in materia di prove, una svista manifesta (art. 63 cpv. 2 OG; <ref-ruling> consid. 3 in fine, 123 III 110 consid. 2 con rinvii) o, infine, la necessità di completare i fatti a norma dell' art. 64 OG (<ref-ruling> consid. 2a). Fatte salve queste eccezioni, censure contro l'accertamento dei fatti e la valutazione delle prove eseguiti in sede cantonale sono irricevibili, così come non è ammissibile fare riferimento a circostanze non accertate nella sentenza impugnata, trattandosi di fatti nuovi (art. 55 cpv. 1 lett. c OG; <ref-ruling> consid. 2c).
Questi principi sono applicabili anche alla risposta e al ricorso adesivo (art. 59 cpv. 3 OG).
bb) Entrambe le parti disattendono in larga misura queste regole: senza nemmeno allegare una delle citate eccezioni, infatti, esse criticano e completano a loro piacimento l'accertamento dei fatti eseguito in sede cantonale.
Ne discende l'inammissibilità dei due rimedi nella misura in cui si discostano dalla fattispecie posta a fondamento della sentenza impugnata.
b) Per quanto concerne il ricorso adesivo occorre inoltre rammentare che, sebbene esso possa venir presentato con la risposta, la sua motivazione dev'essere chiaramente distinta ed ossequiare i requisiti posti dall'art. 55 OG (Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. II, Berna 1990, n. 2.5 ad art. 59 e 61 OG, in particolare n. 2.5.3). Donde l'inammissibilità dei numerosi rinvii a quanto affermato nella risposta.
2.- Onde statuire sulla violazione contrattuale imputabile alla convenuta i giudici ticinesi non hanno esaminato né la vera natura né la portata degli accordi stipulati tra le parti. È bastato loro accertare che mediante la sottoscrizione del "Mandato di amministrazione a favore di un terzo" l'attore ha autorizzato solamente la Fiduciaria J._ S.A. a gestire i suoi averi e che questa circostanza era ben nota alla convenuta. L'inadempienza della banca risiede dunque nell'aver accettato senza batter ciglio la sostituzione del mandatario designato e nell'aver eseguito tutti gli ordini impartiti dalla Y._.
a) Nel ricorso principale l'attore commenta abbondantemente queste considerazioni e si dilunga su altre cause di responsabilità della banca, in particolare sulla violazione dell'obbligo di controllo e di informazione.
L'esame di queste argomentazioni - fondate peraltro, in buona parte, su fatti che non risultano dalla sentenza impugnata - appare superfluo, dal momento che, come già detto, la Corte cantonale ha inequivocabilmente riconosciuto che la banca ha violato il contratto che la legava alla cliente. A differenza del Pretore - il quale ha precisato che le parti hanno stipulato un contratto misto, di deposito bancario aperto (cfr. Guggenheim, Le contrats de la pratique bancaire suisse, Ginevra 2000, pag. 147 segg. ; Zobl, Der Vermögensverwaltungsuftrag der Banken, in: Festgabe zum 60. Geburtstag von Walter R. Schluep, Zurigo 1988, pag. 323 segg.) - il Tribunale d'appello non ha qualificato tale accordo, limitandosi a richiamare le norme sul mandato e la rappresentanza, applicabili per analogia. Ai fini del presente giudizio non è necessario definire in modo più preciso quali fossero gli obblighi della banca. Anche nell' ipotesi più favorevole, per la quale avrebbe dovuto limitarsi ad eseguire gli ordini dell'amministratore esterno - senza doveri di gestione e sorveglianza particolari - essa ha infatti, in ogni caso, assunto l'obbligo del mandatario di seguire le istruzioni del mandante (<ref-law>).
b) Dal canto suo la convenuta, invocando la violazione degli artt. 38, 97, 397 e 398 CO, nel ricorso adesivo asserisce di non poter essere chiamata a rispondere del comportamento del gestore esterno designato dall'attore, il quale non avrebbe peraltro impartito nessuna istruzione particolare quanto al tipo di gestione auspicata.
Queste censure risultano manifestamente prive di fondamento; esse presuppongono infatti che l'autorità cantonale abbia rimproverato alla banca di avere commesso inadempienze nella gestione vera e propria dei titoli, sia direttamente che per il tramite di terzi. Ciò che non è accaduto.
S'è invece visto che il motivo di responsabilità ritenuto nel giudizio impugnato prescinde dall'esito materiale dei singoli investimenti e consiste esclusivamente nell'aver accettato ordini da un gestore non autorizzato dall'attore. Secondo gli accertamenti vincolanti del Tribunale d'appello questo è quanto accaduto. È pertanto certo che la convenuta ha contravvenuto alle istruzioni del cliente e leso l'<ref-law>.
c) La convenuta sostiene inoltre che l'attore avrebbe ratificato il suo agire accettando tutte le operazioni ordinate dalla Y._, fatta eccezione per le due litigiose.
Il suo richiamo all'<ref-law>, che tratta della ratifica dell'operato del falsus procurator, è tuttavia fuorviante. In concreto non è in discussione il carattere vincolante degli obblighi contratti dalla Y._ per conto dell'attore nei confronti di terzi. La facoltà della banca di eseguire le note operazioni non è di per sé contestata:
l'attore medesimo ne dà atto laddove rimprovera, piuttosto, alla banca di non avere effettuato le verifiche che il contratto imponeva prima di eseguire gli investimenti litigiosi ordinati dal nuovo gestore. La causa in rassegna verte solamente sul risarcimento del danno dovuto dalla banca per aver accettato ed eseguito gli investimenti ordinati dalla Y._, in contrasto con quanto pattuito con il mandante.
È vero che l'attore non muove rimproveri alla banca per quelle operazioni che, anche se effettuate in violazione delle istruzioni ricevute, si sono concluse senza perdite.
L'autorità cantonale ha tuttavia escluso la possibilità di dedurre da questo comportamento la volontà di ratificare tutte le operazioni eseguite sugli averi in conto; nulla permette infatti di concludere in tal senso e anzi, proprio mediante l'introduzione della causa in rassegna, l'attore ha chiaramente manifestato di non voler liberare la convenuta dalle proprie responsabilità. Si tratta di un accertamento di fatto che non può venire ridiscusso in questa sede.
Anche su questo punto, dunque, la sentenza impugnata rispetta il diritto federale.
3.- In un considerando succinto i giudici cantonali hanno ammesso l'esistenza di un nesso di causalità adeguata tra l'inadempienza della banca e la parziale perdita degli averi dell'attore. Nel ricorso adesivo la convenuta contesta questa conclusione: l'acquisto dei titoli all'origine delle perdite sarebbe infatti avvenuto anche qualora non fosse intervenuto alcun cambiamento nella persona del gestore, atteso che, di fatto, l'amministrazione dei beni dell'attore è sempre stata curata da C._, prima per la Fiduciaria J._ S.A. e poi per la Y._.
La causalità adeguata è una nozione del diritto federale che il Tribunale federale può rivedere nel quadro di un ricorso per riforma (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 4a a pag. 524). Essa va ammessa quando, secondo l'ordinario andamento delle cose e l'esperienza generale della vita, il comportamento esaminato appare atto a produrre un risultato come quello verificatosi (<ref-ruling> consid. 3a con riferimenti). Venendo al caso in rassegna, è indubbio che il permettere ad una persona giuridica non autorizzata la gestione di averi bancari è un comportamento di per sé idoneo a provocare o perlomeno favorire operazioni sbagliate. Sotto questo profilo la sentenza impugnata è senz'altro corretta. Per il resto, gli accertamenti di fatto ivi contenuti non sorreggono la tesi della convenuta. Da un canto emerge infatti, in modo vincolante, che il mandato di amministrazione era stato esplicitamente rilasciato soltanto alla Fiduciaria J._ S.A. e non a C._; egli era un semplice dipendente della stessa.
Dall'altro, non si può non rilevare, come già fatto dai giudici cantonali, che la tesi della convenuta secondo la quale la società regolarmente incaricata avrebbe ordinato le medesime operazione della Y._, con gli stessi risultati, costituisce una semplice ipotesi.
4.- Ammessa l'esistenza di una violazione contrattuale imputabile alla banca e di un nesso di causalità adeguato fra questa e il danno patito dall'attore, la Corte ticinese si è infine chinata sulla questione relativa alla quantificazione di tale pregiudizio. A differenza del Pretore, che aveva preso in considerazione solo le due operazioni con esito negativo, i giudici di seconda istanza hanno tenuto conto di tutti gli investimenti ordinati dalla Y._. Ritenuto che l'inadempienza della banca risiede nell'aver accettato l'intervento indebito di questa società, l'attore non può - nell'ambito della determinazione del danno - "appropriarsi" delle operazioni concluse positivamente e addebitare per intero alla convenuta i due acquisti che hanno causato delle perdite. Ora, dalla perizia ordinata in appello è emerso che, qualora nessuna delle operazioni indebitamente ordinate fosse stata eseguita, l'attore avrebbe avuto fr. 325'547. 95. La differenza fra questo importo e quello rimasto dopo l'intervento della Y._, fr. 151'133. 80, ammonta a fr. 174'414. 15. Questa è la somma posta a carico della convenuta, oltre interessi al 5% dal 1° settembre 1997, data in cui, a prescindere dalla messa in mora, si è verificato il danno.
a) Nel ricorso principale l'attore contesta il calcolo appena esposto. Richiamandosi anche alle considerazioni del Pretore, sostiene innanzitutto che il danno dovrebbe venire stabilito tenendo conto soltanto delle perdite provocate dagli investimenti Z._ Holding e W._ e non, invece, del risultato complessivo della gestione Y._. Egli rifiuta, in ogni caso, di aderire al calcolo così come eseguito dal Tribunale d'appello: da un lato perché esclude gli interessi affluiti in conto dopo il cambiamento di gestore e, dall'altro, perché nella valutazione della situazione patrimoniale finale è stato computato il valore residuo delle obbligazioni Z._ Holding e W._. Non avendone mai accettato l'acquisto, questi titoli sarebbero rimasti di proprietà della banca, la quale può disporne liberamente.
aa) L'accertamento dell'esistenza e dell'entità del danno è, di principio, una questione di fatto sulla quale l'autorità cantonale si pronuncia in maniera definitiva (art. 63 cpv. 2 OG). Nel quadro della procedura per riforma il Tribunale federale può intervenire soltanto se tale autorità si riferisce ad una nozione giuridica errata del danno o lede i principi giuridici che ne reggono il calcolo (<ref-ruling> consid. 8a con riferimenti).
bb) Dai principi appena esposti discende l'inammissibilità di tutti gli argomenti con i quali l'attore propone il suo calcolo, riferendosi ampiamente a fatti risultanti dalla pronunzia pretorile o dagli atti istruttori, in ogni caso non dal giudizio impugnato. Lo stesso vale per le considerazioni riguardanti il preteso reinvestimento degli averi bancari: il Tribunale d'appello non ha, infatti, escluso la rilevanza di una simile operazione; ha semplicemente accertato, in fatto, che l'attore non ha reso verosimile l'ipotesi di un reinvestimento in "titoli di Stato con un rendimento del 4.27% all'anno".
cc) Sono per contro questioni di metodo e, quindi, di diritto quelle che attengono al modo di computare i risultati della gestione Y._ nonché il valore residuo delle obbligazioni Z._ Holding e W._.
Come già ripetuto, la convenuta ha violato i propri obblighi contrattuali accettando di dar seguito agli ordini d'investimento della Y._, trattandosi di una società diversa da quella indicata dall'attore nel formulario "Mandato di amministrazione in favore di terzi". Stando ai vincolanti accertamenti dell'autorità cantonale tutte le quindici operazioni eseguite su richiesta di tale società sono avvenute senza l'autorizzazione dell'attore e, quindi, in violazione degli accordi intervenuti fra banca e cliente.
Anche la valutazione della situazione patrimoniale deve pertanto avvenire globalmente, in considerazione di tutte le operazioni eseguite dalla Y._. La tesi dell'attore, che vorrebbe estrapolare solo gli investimenti rivelatisi perdenti, si scontra con la regola del diritto federale per la quale i vantaggi che provoca l'evento all'origine del risarcimento devono essere dedotti dal danno (Wiegand in: Basler Kommentar, n. 39 ad <ref-law>; Keller, Haftpflicht im Privatrecht, vol. I, Berna 1993, pag. 55 seg. e vol. II, Berna 1987, pag. 34 seg. ; Deschenaux/Tercier, La responsabilité civile, Berna 1982, pag. 219 segg.).
Per quanto concerne la contestazione relativa al computo del valore residuo delle obbligazioni Z._ Holding e W._, occorre rammentare che la presente causa non verte sulla proprietà di questi titoli, bensì sul risarcimento del danno cagionato all'attore mediante l'acquisto degli stessi. Non si vede per quale motivo egli non dovrebbe lasciarsene imputare il valore residuo. Anche da questo profilo la sentenza impugnata appare conforme al diritto federale.
b) Anche la convenuta, nel ricorso adesivo, critica il calcolo del danno. Essa non spiega, tuttavia, per quale ragione quello eseguito dall'autorità cantonale violerebbe il diritto federale, bensì si limita a ribadire che il patrimonio dell'attore avrebbe seguito la medesima evoluzione se C._ avesse ordinato l'acquisto delle medesime obbligazioni per conto della Fiduciaria J._ S.A., invece che della Y._. Questi argomenti, nella misura in cui possono concernere questioni di diritto, sono già stati esaminati al considerando precedente. Per il resto essi vanno dichiarati inammissibili, siccome poggiano su circostanze di fatto prive di riscontro nella sentenza impugnata.
5.- L'attore osserva, per concludere, che il punto I. del dispositivo della pronunzia cantonale contiene un "errore materiale che va comunque corretto": esso indica infatti il nome di A._ invece di B._. Sebbene si tratti palesemente di una disattenzione - peraltro senza conseguenze pratiche, dal momento che nel dispositivo di condanna vero e proprio il nome indicato è quello giusto - il Tribunale federale non può intervenire: l'art. 63 cpv. 2 OG permette infatti soltanto la correzione di una svista manifesta nell'accertamento dei fatti, non del dispositivo della sentenza cantonale. Tocca alla parte interessata il compito di valutare se l'errore può, se necessario, venire rettificato mediante i mezzi offerti dalla procedura civile ticinese, cui accenna la convenuta nella risposta.
6.- Alla luce di tutto quanto esposto, entrambi i ricorsi risultano privi di fondamento in quanto ricevibili.
Tenuto conto dell'esito dei gravami appare equo porre a carico di ciascuna parte la tassa giustizia relativa al suo rimedio (art. 156 cpv. 1 OG). La parte convenuta rifonderà all'attore un'indennità per ripetibili ridotta, parzialmente compensata con quella che le spetterebbe per il ricorso per riforma principale (art. 159 cpv. 1 OG).

Per questi motivi,
il Tribunale federale
pronuncia :
1. Il ricorso principale e il ricorso adesivo sono respinti in quanto ammissibili. La sentenza impugnata è pertanto confermata.
2. La tassa di giustizia per il ricorso principale, di fr. 5'000.--, è posta a carico dell'attore. La tassa di giustizia per il ricorso adesivo, di fr. 5'500.--, è posta a carico della convenuta, la quale rifonderà all'attore fr. 2'500.-- per ripetibili ridotte della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.