Sachverhalt:
A. Zwischen den getrennt lebenden Ehegatten X._ und Z._ ist vor dem Bezirksgericht Rheinfelden ein Eheschutzverfahren zur Regelung der Kinderbelange und des Ehegattenunterhalts hängig. X._ beantragte am 20. Mai 2009 die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Bezirksgerichtspräsidentin wies das Gesuch mit Verfügung vom 21. September 2009 mangels Bedürftigkeit ab.
B. Gegen die bezirksgerichtliche Verfügung erhob X._ kantonale Beschwerde. Mit Entscheid vom 3. Dezember 2009 wies das Obergericht des Kantons Aargau (Zivilgericht, 4. Kammer) die Beschwerde ab.
C. X._ führt mit Eingabe vom 11. Januar 2010 Beschwerde in Zivilsachen bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, der obergerichtliche Entscheid sei aufzuheben und es sei ihm für das Eheschutzverfahren sowie das kantonale Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege einschliesslich Rechtsverbeiständung zu gewähren. Weiter verlangt er auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege.
Das Obergericht und die Bezirksgerichtspräsidentin haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>), mit dem einer Prozesspartei die unentgeltliche Rechtspflege verweigert worden ist. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131), dessen ungeachtet, ob er während des Hauptverfahrens, zusammen mit dem Endentscheid oder nach diesem ergangen ist (Urteil 5A_108/ 2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2).
1.2 Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647). Im vorliegenden Fall sind im Eheschutzverfahren nicht nur Unterhaltsbeiträge, sondern auch Kinderbelange zu regeln, womit keine Zivilsache mit Vermögenswert vorliegt (Urteil 5A_271/2009 vom 29. Juni 2009 E. 1). Die Beschwerde in Zivilsachen ist nach dem Gesagten in der Hauptsache zulässig, womit sie auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid ergriffen werden kann. Mit ihr kann eine Verletzung von Bundesrecht gerügt werden, wozu auch das Verfassungsrecht gehört (<ref-law>). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde fällt ausser Betracht (<ref-law>).
2. Das Obergericht hat zur Ermittlung des prozessrechtlichen Existenzminimums des Beschwerdeführers den nach den kantonalen Richtlinien für <ref-law> massgebenden Grundbetrag genommen und diesen um einen Prozentsatz (25%) erhöht und um weitere Kostenpunkte wie folgt ergänzt:
Prozessuales Existenzminimum
Grundbetrag (gemäss Kreisschreiben der Schuldbetreibungs- und Konkurskommission des Obergerichts vom 3. Januar 2001 zu <ref-law>) und Zuschlag von 25%
Grundbetrag (gemäss Kreisschreiben der Schuldbetreibungs- und Konkurskommission des Obergerichts vom 3. Januar 2001 zu <ref-law>) und Zuschlag von 25%
Fr. 1'375.--
Miete/ab April 2010
Miete/ab April 2010
Fr. 1'695.--
/1'300.--
Krankenkasse
Krankenkasse
Fr. 288.--
Auswärtige Verpflegung
Auswärtige Verpflegung
Fr. 200.--
Auslagen für besondere Kleidung
Auslagen für besondere Kleidung
Fr. 50.--
Autokosten
Autokosten
Fr. 350.--
Unterhalt für Kinder und Ehefrau
Unterhalt für Kinder und Ehefrau
Fr. 3'000.--
Total/ab April 2010
Total/ab April 2010
Fr. 6'958.--
/6'563.--
Die anrechenbaren Wohnkosten hat das Obergericht per April 2010 gesenkt. Das Auto des Beschwerdeführers hat es als notwendig zur Berufsausübung erachtet und die festen und veränderlichen Auslagen für das Auto (ohne Amortisation) entsprechend dem Arbeitsweg auf Fr. 350.--/Monat festgesetzt. Die Leasingrate für das Auto von Fr. 641.--/Monat hat es allerdings nicht berücksichtigt. Weiter hat das Obergericht einen Zuschlag für die vom Beschwerdeführer geleisteten Unterhaltsbeiträge an seine Kinder und die Ehefrau gewährt. Hingegen hat es die Erhöhung im Umfang von Fr. 493.--/Monat, zu welcher der Beschwerdeführer mit Verfügung der Eheschutzrichterin vom 21. September 2009 rückwirkend ab 1. März 2009 verpflichtet worden ist, nicht angerechnet. Die Vorinstanz hat geschlossen, bei einem Einkommen von Fr. 7'553.--/Monat erziele der Beschwerdeführer einen Überschuss von Fr. 595.-- bzw. ab April 2010 von Fr. 990.--, womit er in der Lage sei, die Prozesskosten für das Eheschutzverfahren (ca. 4'000.--) und die Anwaltskosten für das kantonale Beschwerdeverfahren (Fr. 750.--) in angemessener Frist zu bezahlen. Die prozessuale Bedürftigkeit bzw. der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege sei daher nicht gegeben.
3. Anlass der vorliegenden Beschwerde bildet die Prüfung der prozessrechtlichen Bedürftigkeit im Hinblick auf die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Obergericht hat wie bereits das Bezirksgerichtspräsidium das Gesuch des Beschwerdeführers mangels entsprechender Bedürftigkeit verneint. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law>. Im Wesentlichen kritisiert er, dass die Leasingraten für sein Fahrzeug und die bereits festgesetzten, rückwirkend höheren Unterhaltsbeiträge in der Existenzminimumsberechnung nicht berücksichtigt worden seien.
3.1 Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass ihm das kantonale Recht weitergehende Ansprüche einräumt, als die in <ref-law> verankerte Minimalgarantie (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 2). Nach dieser hier einzig massgebenden Bestimmung hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Begehren nicht aussichtslos erscheint. Bei der Prüfung der Frage der Bedürftigkeit sind sämtliche Umstände im Zeitpunkt der Einreichung des Armenrechtsgesuchs zu würdigen, wobei nicht schematisch auf das betreibungsrechtliche Existenzminimum abzustellen ist; vielmehr sind die individuellen Verhältnisse zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 224; <ref-ruling> E. 2a S. 2; <ref-ruling> E. 5d S. 109 mit Hinweisen).
3.2 Das Obergericht hat nicht in Frage gestellt, dass der Beschwerdeführer das Auto zur Berufsausübung benötigt. Es hat folglich die festen und veränderlichen Kosten ohne Amortisation - hier im unbestrittenen Umfang von Fr. 350.--/Monat - für das Auto eingerechnet. Dies entspricht den Richtlinien (Ziff. II/4d) der Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz zur Berechnung des Existenzminimums (Notbedarf) nach <ref-law> vom 1. Juli 2009 (in: BlSchK 2009 S. 193 ff.) und den Richtlinien (Ziff. II/4d) des Obergerichts, Schuldbetreibungs- und Konkurskommission, vom 3. Januar 2001. Indessen hat das Obergericht - anders als die Erstinstanz - die Leasingraten für das Fahrzeug nicht berücksichtigt, weil diese Rücklagen oder Ersparnisse seien. Diese Auffassung ist überholt.
3.2.1 In den Richtlinien (Ziff. II/7) der Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten vom 1. Januar 1988 wurden die Leasingraten für Kompetenzstücke zwar nicht als Zuschlag zum Grundnotbedarf berücksichtigt, sondern ist von Zuschlägen nur bei der Abzahlung oder Miete von Kompetenzstücken die Rede (in: BlSchK 1987 S. 226 ff.). Gemäss den aktuellen Richtlinien der Konferenz vom 1. Juli 2009 (in: BlSchK 2009 S. 193 ff.) sind jedoch auch die entsprechenden Zahlungen für Leasingraten als Zuschläge ausdrücklich anerkannt, wie dies bereits nach den Richtlinien der Konferenz vom 24. November 2000 der Fall war (in: BlSchK 2001 S. 14 ff.). Nichts anderes geht aus den erwähnten kantonalen betreibungsrechtlichen Richtlinien hervor, auf welche sich das Obergericht für andere Positionen gestützt hat.
3.2.2 Nach der Lehre sind Leasingraten für ein Auto mit Kompetenzcharakter sowohl beim betreibungsrechtlichen Existenzminimum als auch in der prozessualen Bedarfsberechnung zu berücksichtigen (BÜHLER, Prozessarmut, in: Chr. Schöbi [Hrsg.], Gerichtskosten, Parteikosten, Prozesskaution, unentgeltliche Prozessführung, 2001, S. 179; MEICHSSNER, Das Grundrecht auf unentgeltliche Rechtspflege [<ref-law>], 2008, S. 93; VONDER MÜHLL, in: Basler Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 1998, N. 31 zu Art. 93; KREN KOSTKIEWICZ, in: Kurzkommentar SchKG, 2009, N. 50 zu Art. 93). Grund dafür ist, dass es sich bei den Leasingraten für ein Kompetenzgut wirtschaftlich gesehen um zeitlich gestaffelte Anschaffungskosten von nicht pfändbarem Vermögen im Sinne von Art. 92 Abs. 1 oder Art. 93 Abs. 1 SchKG handelt, wobei im Fall von Leasing von zu teurem Kompetenzgut die Leasingraten von bedarfsgerechtem Kompetenzgut einzusetzen sind (BÜHLER, a.a.O., S. 179). Diese Auffassung wird in der kantonalen Praxis (Urteil der Camera di esecuzione e fallimenti/TI vom 8. November 1999, in: Rep 1999 S. 278 Ziff. 5; Urteil der Cour civile/JU vom 18. August 2006, in: RJJ 2007 S. 80, E. 2.2.7; GAPANY, Assistance judiciaire et administrative dans le canton du Valais, RVJ 2000, S. 130/131) und im Übrigen auch von den Kommentatoren der hier angewendeten kantonalen Bestimmungen bestätigt (BÜHLER/EDELMANN/KILLER, Kommentar zur aargauischen Zivilprozessordnung, 1998, N. 16 zu <ref-law>/AG).
3.2.3 Die Vorinstanz stützt die Nichtberücksichtigung der Leasingraten für das Auto als Kompetenzgut vergeblich auf das Urteil 5P.26/1998 des Bundesgerichts vom 16. Februar 1998. Sie übergeht, dass das Bundesgericht in jenem Urteil (E. 4c a.E., mit Hinweis auf ZBJV 1994 S. 108 ff.) auf die damals aktuellen, mittlerweile aber überholten betreibungsrechtlichen Richtlinien verwiesen hat. Im Urteil 7B.178/2005 vom 28. November 2005 (E. 3.2) hat das Bundesgericht mit Bezug auf das betreibungsrechtliche Existenzminimum sodann anerkannt, dass Leasingraten als Zuschlag zum Grundnotbedarf berücksichtigt werden, wenn das Auto selbst unpfändbar ist.
3.2.4 Der Beschwerdeführer macht Leasingraten von Fr. 641.--/Monat geltend. Möglich ist, dass er für seine berufsnotwendigen Bedürfnisse ein zu teures Auto geleast hat und ihm zuzumuten ist, den bestehenden Leasingvertrag aufzulösen und durch einen für ein günstigeres, bedarfsgerechtes Auto zu ersetzen (vgl. BÜHLER, a.a.O., S. 179). Abklärungen in diesem Punkt erübrigen sich, weil die Annahme tieferer Leasingraten am Ergebnis nichts zu ändern vermag (E. 3.4). Dass zur Berücksichtigung der Leasingraten im Grundnotbedarf - anders als bei einem Kreditkauf (Urteil 5A_684/2008 vom 1. Dezember 2008 E. 2, in: BlSchK 2009 S. 136) - ein Eigentumsvorbehalt notwendig wäre, steht hier nicht in Frage, zumal in Leasingverträgen regelmässig kein Eigentumsübergang und keine Option auf Eigentumserwerb vorgesehen ist (Urteil 4A_404/2008 vom 18. Dezember 2008 E. 4.1.4 a.E.).
3.2.5 Nach dem Dargelegten ist mit der Minimalgarantie von <ref-law> nicht vereinbar, wenn die Vorinstanz die Leasingraten für das Auto im prozessualen Existenzminimum des Beschwerdeführers ausser Acht gelassen hat.
3.3 Das Obergericht hat weiter die Erhöhung des Unterhaltsbeitrages im Umfang von Fr. 493.--/Monat, zu welcher der Beschwerdeführer mit Verfügung der Eheschutzrichterin vom 21. September 2009 rückwirkend ab 1. März 2009 verpflichtet worden ist, nicht berücksichtigt, weil jene Verfügung noch nicht rechtskräftig sei und er zudem nicht nachgewiesen habe, dass er dieser (höheren) Verpflichtung nachkommen werde.
3.3.1 Der blosse Hinweis, dass die im Eheschutzverfahren festgesetzte Pflicht zu höheren Unterhaltsbeiträgen noch nicht rechtskräftig sei, rechtfertigt nicht, diese im prozessualen Existenzminimum ausser Acht zu lassen. Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> ff. darauf hingewiesen, dass die laufenden, effektiv bezahlten Steuern (im Gegensatz zum betreibungsrechtlichen Existenzminimum) zu berücksichtigen sind (E. 5.2.1 S. 224). Die gerichtlich beurteilten, aber nicht rechtskräftigen bzw. "provisorischen" Unterhaltsverpflichtungen des Beschwerdeführers sind mit Bezug auf die Beurteilung der wirtschaftlichen Situation des Gesuchstellers nicht anders zu behandeln als die laufenden, provisorischen Steuern. Dass der Beschwerdeführer seine rechtskräftig festgesetzten Unterhaltsbeiträge tatsächlich bezahlt, steht nicht in Zweifel. Die Vorinstanz hat sogar festgehalten, dass er "in den früheren Monaten möglicherweise mehr geleistet habe"; dies ist mit Blick auf die rückwirkend angeordnete Erhöhung der Unterhaltspflicht - entgegen ihrer Auffassung - nicht ohne Relevanz. Nach dem Sachverhalt im angefochtenen Urteil besteht kein hinreichender Anhaltspunkt, dass der Beschwerdeführer die höheren Unterhaltsbeiträge nicht zahlt bzw. nicht zahlen werde. Vielmehr kann angenommen werden, dass die Erhöhung der Unterhaltspflicht die wirtschaftliche Situation des Beschwerdeführers beeinflusst und ihr deshalb Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 3a S. 181) bzw. sie in seine Bedarfsrechnung aufzunehmen ist (vgl. BÜHLER, a.a.O., S. 166).
3.3.2 Mit dem verfassungsmässigen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege ist demnach nicht vereinbar, wenn das Obergericht bei der Beurteilung des Gesuchs des Beschwerdeführers vom 20. Mai 2009 - dem grundsätzlich massgebenden Zeitpunkt (<ref-ruling> E. 4a S. 6) - übergangen hat, dass die Eheschutzrichterin am 21. September 2009 rückwirkend ab 1. März 2009 die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers erhöht hat. Die Vorinstanz hat im Übrigen die Möglichkeit, die prozessuale Bedürftigkeit zu überprüfen (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 6; RIES, Die unentgeltliche Rechtspflege nach der aargauischen Zivilprozessordnung [...], S. 265), wenn der Beschwerdeführer die nicht rechtskräftig festgesetzten höheren Unterhaltsbeiträge tatsächlich nicht mehr bezahlen sollte.
3.4 Zusammenfassend ergibt sich, dass das prozessuale Existenzminimum des Beschwerdeführers um die Leasingrate sowie Fr. 493.-- (betreffend Unterhaltsbeiträge) zu erhöhen ist. Bei der Annahme, dass dem Beschwerdeführer für ein bedarfsgerechtes Leasing lediglich Raten von Fr. 400.--/Monat (anstatt Fr. 641.--/Monat) anzurechnen sind, ist sein - im Rahmen eines Verfahrens um unentgeltliche Rechtspflege massgebendes - Existenzminimum um insgesamt Fr. 893.--/Monat zu erhöhen. Damit resultiert beim gegebenen Monatseinkommen bis März 2010 ein Negativsaldo und ab April 2010 ein Überschuss von Fr. 97.--/Monat, welcher im konkreten Fall noch als geringfügig betrachtet werden kann. Ob die Herabsetzung der Wohnkosten berechtigt ist (wie der Beschwerdeführer weiter rügt), spielt bei diesem Ergebnis keine Rolle, und Hinweise auf anrechenbares Vermögen bestehen nicht. Die fehlende Aussichtslosigkeit der Begehren des Beschwerdeführers - als Gesuchsgegner in einem Eheschutzverfahren - kann hier angenommen werden, zumal die Ehefrau als Gegenpartei durch einen Rechtsanwalt (unentgeltlich) vertreten ist und der Beschwerdeführer die Begehren weder aussergerichtlich noch durch Anerkennung vollumfänglich erledigen kann (vgl. Urteil 5P.182/ 1996 vom 14. Juni 1996 E. 2c; RIES, a.a.O., S. 112; MEICHSSNER, a.a.O., S. 111). Die Beschwerde wegen Verletzung von <ref-law> ist begründet und dem Beschwerdeführer ist antragsgemäss die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
4. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde in Zivilsachen gutzuheissen, und der angefochtene Entscheid des Obergerichts ist aufzuheben. Dem Beschwerdeführer ist für das kantonale Verfahren (betreffend Eheschutz vor dem Gerichtspräsidium Rheinfelden und im Beschwerdeverfahren vor dem Obergericht) die unentgeltliche Rechtspflege unter Ernennung seiner Anwältin zum unentgeltlichen Rechtsbeistand zu gewähren (<ref-law>).
Ungeachtet des Verfahrensausgangs sind dem Kanton Aargau keine Kosten aufzuerlegen; indessen hat er den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 66 Abs. 4, Art. 68 Abs. 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. 1.1 Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen, und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, vom 3. Dezember 2009 wird aufgehoben.
1.2 Dem Beschwerdeführer wird im summarischen Verfahren betreffend Eheschutz vor dem Gerichtspräsidium Rheinfelden und im Beschwerdeverfahren vor dem Obergericht, Zivilgericht, 4. Kammer, die unentgeltliche Rechtspflege gewährt sowie Advokatin Claudia Stehli zu dessen unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgerichtspräsidium Rheinfelden sowie dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. April 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante