Sachverhalt:
A. Am 24. Oktober 2007 fand im Rahmen des ordentlichen Konkursverfahrens betreffend die Krankenkasse Z._ die erste Gläubigerversammlung statt. Am 29. Oktober 2007 erhob X._ (Beschwerdeführer) beim Bezirksgericht Winterthur als unterer kantonaler Aufsichtsbehörde betreibungsrechtliche Beschwerde unter anderem mit den Anträgen, es sei der Beschluss des Büros der ersten Gläubigerversammlung, welches einen Grossteil der vom Beschwerdeführer vorgelegten Vollmachten für ungültig erklärt hat, aufzuheben, es seien alle verlangten Vollmachten, Unterschriften und Stimmen für gültig zu erklären, und es sei die erste Gläubigerversammlung mit den Abstimmungen ein zweites Mal durchzuführen. Mit Beschluss vom 25. Februar 2008 trat das Bezirksgericht Winterthur auf die Beschwerde nicht ein, unter anderem mit der Begründung, der Beschwerdeführer habe die Eingabe in seinem eigenen Namen und nicht im Namen der von ihm angeblich vertretenen Gläubiger eingereicht. Der Beschwerdeführer sei nicht im erforderlichen Sinne direkt in seinen eigenen rechtlich geschützten Interessen betroffen. Die Gläubiger hätten entweder selber oder vertreten durch ihn auftreten müssen. Mangels Aktivlegitimation des Beschwerdeführers könne auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. In einer Eventualerwägung führte das Gericht zudem aus, die Beschwerde wäre auch materiell unbegründet gewesen.
B. Gegen diesen Beschluss erhob X._ Rekurs. Auch das Obergericht verneinte seine Aktivlegitimation und trat auf den Rekurs in diesem Punkt nicht ein.
C. Gegen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. Juni 2008 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses sowie desjenigen des Büros der ersten Gläubigerversammlung vom 24. Oktober 2007, soweit er anders ausgefallen wäre, wenn die von ihm vorgelegten Vollmachten und entsprechend die vom Beschwerdeführer vertretenen 110 Stimmen als gültig angenommen worden wären. Es seien zudem die von ihm vorgeschlagenen ausseramtlichen Konkursverwalter und der von ihm vorgeschlagene Gläubigerausschuss als ernannt zu erklären.
Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen ist gegen den Entscheid der oberen Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unabhängig vom Streitwert gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a und Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Nicht einzutreten ist allerdings auf das neue reformatorische Begehren, seine Anträge anlässlich der ersten Gläubigerversammlung seien anzuerkennen, weil neue Begehren unzulässig sind (<ref-law>).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei befugt, gegen die Verweigerung der Anerkennung seiner Vollmachten aus eigenem Recht Beschwerde zu führen. Wären seine zumindest 111 Stimmen anerkannt worden, hätte er über die Mehrheit der im Versammlungsprotokoll vermerkten "87 anwesenden Gläubiger" verfügt und seine Anträge wären angenommen worden. Die Vorinstanz nahm dagegen an, der Beschwerdeführer könne sich nicht für die Stimmberechtigung anderer Gläubiger beschweren.
2.2 Der Beschwerdeführer hat nur im eigenen Namen, nicht auch im Namen seiner angeblichen Vollmachtgeber Beschwerde geführt. Das ist ebenso wenig bestritten, wie der Umstand, dass er als Gläubiger aus eigenem Recht Beschwerde erheben konnte.
2.3 Jeder in der ersten Gläubigerversammlung anwesende oder vertretene Gläubiger hat Anspruch darauf, dass die Versammlung ordnungsgemäss durchgeführt werde, und ist folglich legitimiert, sich gegen ein ordnungswidriges Verfahren zu beschweren (<ref-law>). Insbesondere braucht sich kein Gläubiger gefallen zu lassen, dass die Zahl der anwesenden oder vertretenen Gläubiger unrichtig berechnet und deswegen ein Abstimmungsergebnis verfälscht wird. Gegen die Ungültigerklärung der einem Gläubiger erteilten Vollmachten für die Vertretung anderer Gläubiger kann ausser den Vollmachtgebern auch der Bevollmächtigte selber Beschwerde führen, wenn durch diese Entscheidung ein Abstimmungsergebnis beeinflusst wurde. Denn falls die Vollmachten gültig sind, hat der bevollmächtigte Gläubiger Anspruch darauf, die ihm dadurch eingeräumten Möglichkeiten der Einflussnahme auf das Konkursverfahren ausnützen zu können. Sein Interesse daran ist unter der erwähnten Voraussetzung durchaus schützenswert. Darüber hinaus ist zudem jedem Gläubiger, der sich zur ersten Gläubigerversammlung eingefunden hat, die Befugnis zuzuerkennen, gegen die ungerechtfertigte Nichtanerkennung von Gläubigervollmachten, durch die das Verfahren beeinflusst worden ist, Beschwerde zu führen. Ihm kann nicht entgegengehalten werden, die Gläubiger seien selber nicht beschwert (zum Ganzen <ref-ruling> E. 4 S. 98 f.).
2.4 Aus diesem Grund hätten die Vorinstanzen auf die Beschwerde eintreten müssen. Die Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Heisst das Bundesgericht die Beschwerde gut, so entscheidet es in der Sache selbst oder weist diese zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurück. Es kann die Sache auch an die Behörde zurückweisen, die als erste Instanz entschieden hat (<ref-law>). Das erstinstanzliche Gericht hat die Frage, ob der Beschwerdeführer über gültige Vollmachten verfügt habe, in einer Eventualbegründung geprüft und für den Grossteil der Vollmachten verneint. Das Obergericht hat demgegenüber zur Frage, ob die Vollmachten des Beschwerdeführers gültig seien, nicht Stellung genommen. Bei dieser Sachlage rechtfertigt es sich, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdegegnerin kostenpflichtig (<ref-law>). Diese hat den Beschwerdeführer angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, und der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. Juni 2008 wird aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als obere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett