Sachverhalt:
A. X._ und seine Frau wollen sich scheiden lassen. Am 11. Januar 2011 unterzeichneten die Parteien vor dem Bezirksgericht Luzern ein gemeinsames Scheidungsbegehren. Im Vorfeld fanden verschiedene Eheschutzverfahren statt (s. Urteile 5A_564/2010 vom 4. Oktober 2010 und 5A_150/2012 vom 28. März 2012). X._ strengte auch ein Massnahmeverfahren an. Ebenso bemühte er sich verschiedentlich um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (s. die Urteile 5A_447/2012 und 5A_451/2012, beide vom 27. August 2012). Als Instruktionsrichter amtet Bezirksrichter Y._.
B. Mit Gesuch vom 26. März 2012 wandte sich X._ an das Bezirksgericht Luzern und verlangte, Bezirksrichter Y._ habe im Scheidungsprozess in den Ausstand zu treten. Der Richter beantragte die Abweisung des Ausstandsbegehrens. Am 14. Juni 2012 wies der Einzelrichter am Bezirksgericht Luzern das Ausstandsgesuch ab. Erfolglos zog X._ die Sache an das Obergericht des Kantons Luzern weiter. Dieses wies sowohl seine Beschwerde als auch sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab (Entscheid vom 12. Juli 2012).
C. X._ (Beschwerdeführer) wendet sich nun an das Bundesgericht. In seiner Beschwerde vom 14. August 2012 stellt er das Begehren, es sei der obergerichtliche Entscheid vom 12. Juli 2012 aufzuheben und "Herr lic. iur. Y._ im Scheidungsverfahren xxxx in den Ausstand zu treten". Weiter ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Ausserdem sei für den Fall, dass das vorinstanzliche Urteil bestätigt wird, das Kostenerkenntnis zu revidieren und "die unentgeltliche Rechtspflege gutzuheissen". Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Angefochten ist binnen Frist der selbständig eröffnete Zwischenentscheid einer letzten kantonalen Instanz über den Ausstand von Gerichtspersonen (Art. 75 Abs. 1, 92 Abs. 1, 100 Abs. 1 BGG). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Hier hat das Verfahren in der Hauptsache die Scheidung der Ehe des Beschwerdeführers zum Gegenstand. In Frage steht also eine Zivilsache im Sinne von <ref-law>. Selbst wenn dieser Streit neben den nicht vermögensrechtlichen auch vermögensrechtliche Fragen betrifft, wäre die Beschwerde in Zivilsachen in der Hauptsache ohne Streitwerterfordernis zulässig (Urteil 5A_311/2010 vom 3. Februar 2011 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Das gleiche Rechtsmittel steht daher auch gegen den angefochtenen Entscheid offen.
2. Streitig ist, ob der Beschwerdegegner als Instruktionsrichter im hängigen Scheidungsverfahren vor erster Instanz in den Ausstand zu treten hat. Das Obergericht kommt zum Schluss, von den in <ref-law> aufgezählten Ausstandsgründen sei einzig eine Befangenheit "aus anderen Gründen" im Sinne von <ref-law> zu prüfen.
2.1 Mit den in <ref-law> aufgelisteten Ausstandsgründen konkretisiert das Gesetz den verfassungsmässigen Anspruch auf einen unabhängigen und unparteiischen Richter gemäss <ref-law>. Die zu dieser Bestimmung ergangene Rechtsprechung hat deshalb weiterhin Geltung (Urteil 4A_3/2012 vom 27. Juni 2012 E. 2.3). Der Anspruch ist verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (<ref-ruling> E. 2 S. 15; <ref-ruling> E. 3.4 S. 116). Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.1 S. 240 mit Hinweisen). Verfahrensmassnahmen eines Richters als solche, seien sie richtig oder falsch, vermögen grundsätzlich keinen objektiven Verdacht der Befangenheit des Richters zu erregen, der sie verfügt hat (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 mit Hinweis). Dasselbe gilt für einen allenfalls materiell falschen Entscheid (<ref-ruling> E. 3b S. 404). Eine Ausnahme von diesem Grundsatz fällt nur dann in Betracht, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, die als schwere Verletzung der Richterpflichten bewertet werden müssen (<ref-ruling> E. 3a S. 138; <ref-ruling> E. 3b S. 404). In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass Verfahrensverstösse im dafür vorgesehenen Rechtsmittelverfahren zu rügen sind und grundsätzlich nicht als Begründung für die Verletzung von <ref-law> herangezogen werden können (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 f. mit Hinweis; Urteil 5A_332/2010 vom 16. Juli 2010 E. 2).
2.2 Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) und eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhaltes vor. Was er dem Bundesgericht in wenig verständlichen Ausführungen vorträgt, erschöpft sich jedoch grösstenteils darin, dass er den Sachverhalt oder die Rechtslage aus eigener Sicht dar- oder blosse Behauptungen aufstellt. Konkrete Umstände, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit des Beschwerdegegners zu begründen vermöchten, sind weder dargetan noch ersichtlich.
Nicht zu beanstanden ist insbesondere die vorinstanzliche Feststellung, wonach sich aus der Stellungnahme des Beschwerdegegners zum Ausstandsbegehren keine objektiven Ausstandsgründe ergäben. Warum sich der Beschwerdegegner "eine feste Meinung" allein deshalb gebildet haben sollte, weil er in dieser Stellungnahme die von ihm selbst festgesetzten Unterhaltsbeiträge für die Ehefrau mit denjenigen für das Kind verwechselte, vermag auch der Beschwerdeführer nicht nachvollziehbar zu erklären. Vergeblich stützt sich der Beschwerdeführer zur Untermauerung seiner Befangenheitsthesen auch auf neue "Ungereimtheiten", die er im Richterspruch des Beschwerdegegners über die Herausgabe umstrittener Schmuckstücke ausgemacht haben will. Denn er tut nicht hinreichend dar, inwiefern erst der angefochtene Entscheid im Sinne von <ref-law> Anlass zu diesen Vorbringen gäbe. Jedenfalls kann er sich hierzu nicht darauf berufen, dass die Vorinstanz auf das Bundesgerichtsurteil 5A_564/2010 vom 4. Oktober 2010 verwiesen habe, denn dieses Zitat bezieht sich einzig auf den Unterhaltsstreit und nicht auf die Auseinandersetzung über die Schmuckstücke. Soweit der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht die Armenrechtsentscheide des Beschwerdegegners vom 20. April 2011 und vom 22. Februar 2012 thematisiert, gehen seine Vorbringen im Ergebnis nicht über eine blosse inhaltliche Kritik an diesen Entscheiden hinaus. Nachdem die besagten Entscheide vom Obergericht bzw. vom Bundesgericht bestätigt wurden (Urteil 5A_447/2012 vom 27. August 2012), kann von einem besonders krassen oder wiederholten richterlichen Irrtum, wie er als schwere Verletzung der Richterpflichten ausnahmsweise den Ausstand zu begründen vermöchte (s. E. 2.1), keine Rede sein. Weiter trifft es auch nicht zu, dass der Beschwerdeführer die lange Dauer des Armenrechtsverfahrens nicht erst vor Obergericht, sondern schon im Ausstandsgesuch vom 26. März 2012 vorgetragen hat. In den von ihm bezeichneten Passagen machte er lediglich geltend, der Beschwerdegegner hätte das Armenrechtsverfahren als Vorwand benutzt, um im Hauptsacheverfahren (betreffend die Aufhebung des begleiteten Besuchsrechts) nicht entscheiden zu müssen, und das Armenrechtsgesuch "mit sachfremden zweifelhaften Gründen" abgelehnt. Auch in dieser Hinsicht ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden. Nicht einzutreten ist schliesslich auf die undifferenzierte Rüge, der angefochtene Entscheid nehme keinen Bezug auf den Einwand, "dass der Beschwerdegegner unwahre Tatsachen wiedergibt, um sich besser darzustellen". Gleiches gilt für den Vorwurf, das Obergericht stelle "in keiner Weise" das Verhalten des Beschwerdegegners in Frage, wenn dieser selbst aussage, dass am Bezirksgericht dreizehn Verfahren des Beschwerdeführers hängig seien. Die Behauptung, der Beschwerdegegner habe allein aufgrund dieser Aussage "nicht mehr neutral urteilen" können und sich "unabhängig von den Akten eine feste Meinung gebildet", grenzt an Trölerei.
3. 3.1 Im Ergebnis kann weder die Rede davon sein, dass das Obergericht einen Entscheid gefällt hat, der mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, noch kann dem Obergericht eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts vorgeworfen werden. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>).
3.2 Für den - nun eingetretenen - Fall, dass der angefochtene Entscheid bestätigt wird, verlangt der Beschwerdeführer, das vorinstanzliche Kostenerkenntnis zu revidieren und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Er macht geltend, seine kantonale Beschwerde sei nicht von vornherein aussichtslos gewesen. Die Anspruchsvoraussetzung der fehlenden Aussichtslosigkeit (<ref-law>) kann jedoch nicht schon dadurch als gegeben angesehen werden, dass der Beschwerdeführer mangels Replikmöglichkeit vor erster Instanz "das Recht wahrgenommen" hat, seine Vorbringen mittels Beschwerde vor der Beschwerdeinstanz vorzutragen. Ebenso wenig genügt es, wenn der Beschwerdeführer summarisch wiederholt, was er zur Begründung seiner kantonalen Beschwerde vorgetragen hat. Wie die Ausführungen des Obergerichts zeigen, zielen die Vorbringen im Ausstandsverfahren zur Hauptsache darauf ab, die vom Beschwerdegegner gefällten Entscheide inhaltlich in Frage zu stellen und zu kritisieren. Dass mit einem solchen Vorgehen grundsätzlich kein Ausstandsgrund darzutun ist, musste dem - anwaltlich vertretenen - Beschwerdeführer schon angesichts des erstinstanzlichen Entscheides bekannt sein. Es kann daher nicht gesagt werden, dass sich die Gewinnaussichten und Verlustgefahren vor Obergericht ungefähr die Waage gehalten hätten oder jene nur wenig geringer gewesen wären als diese, wie die Rechtsprechung dies voraussetzt (<ref-ruling> E. 2c S. 306 mit Hinweisen). Mithin besteht kein Anlass, auf das vorinstanzliche Kostenerkenntnis zurückzukommen.
3.3 Aus den vorstehenden Erwägungen geht hervor, dass die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden müssen. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. September 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn