Erwägungen:
1.
X._ erstattete am 28. November 2012 Strafanzeige gegen den Psychiater A._ und weitere Personen des Psychiatrisch-Psychologischen Dienstes (PPD) des Kantons Zürich wegen falschen Gutachtens (<ref-law>). Die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern nahm die Strafuntersuchung am 13. Februar 2013 nicht anhand (nachdem sie die Frage des Gerichtsstands geklärt hatte), und das Kantonsgericht Luzern wies die dagegen gerichtete Beschwerde am 25. Juni 2013 ab. Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt X._, den kantonsgerichtlichen Beschluss aufzuheben und seine Beschwerde gutzuheissen. Er führt im Wesentlichen aus, die Diagnose einer paranoid-querulatorischen Persönlichkeitsstörung im Gutachten des PPD vom 20. Mai 2007 sei zu komplex, als dass sie - selbst bei Vorliegen weiterer Beurteilungen - nach nur einer persönlichen Sitzung gestellt werden könne. Die Gutachter des PPD hätten vorsätzlich ein falsches Gutachten abgegeben. Er sei u.a. intersexuell und leide an depressiven Episoden, was die ihn behandelnden Ärzte des Instituts B._ in ihrem Bericht vom 28. Juni 2012 bestätigen würden.
2.
Ob die Eintretensvoraussetzungen (Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 5 BGG) und die Begründungsanforderungen an die Beschwerde (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) erfüllt sind, kann vorliegend dahingestellt bleiben, da die Beschwerde ohnehin unbehelflich ist.
3.
Wer in einem gerichtlichen Verfahren als Sachverständiger ein falsches Gutachten abgibt, wird gemäss <ref-law> bestraft. Subjektiv erfordert der Tatbestand Vorsatz.
Gemäss <ref-law> verfügt die Staatsanwaltschaft die Nichtanhandnahme, sobald aufgrund der Strafanzeige oder des Polizeirapports feststeht, dass die fraglichen Straftatbestände oder die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt sind.
4.
Wie die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid zu Recht erwägt, lässt sich die diagnostische Beurteilung des Beschwerdeführers durch den gesamtverantwortlichen Gutachter des PPD und dessen wissenschaftlichen Mitarbeitern unter keinem Gesichtspunkt beanstanden. Der Beschwerdeführer wurde am 10. Januar 2007 in einer dreistündigen Exploration umfassend vom Gutachter A._ unter Mitwirkung einer Psychologin untersucht. Es wurden zusätzliche diagnostische und testpsychologische Abklärungen (drei Stunden) durch eine weitere Fachperson durchgeführt. Gestützt auf diese Ergebnisse und die Informationen aus der Anamnese, die subjektiven Angaben des Beschwerdeführers und die Befunderhebung erarbeiteten die Experten unter ausführlicher Berücksichtigung früherer ärztlicher Beurteilungen die Diagnose einer paranoid-querulatorischen Persönlichkeitsstörung, welche sie anhand eines Internationalen Klassifikationssystems formulierten. Die Ausführungen der Experten im Gutachten vom 20. Mai 2007 zur Diagnose sind kriterienorientiert, nachvollziehbar und transparent. Vor diesem gesamten Hintergrund ist nicht ersichtlich, weshalb die Diagnose einer paranoid-querulatorischen Persönlichkeitsstörung nach einer dreistündigen Exploration mit zusätzlichen diagnostischen und testpsychologischen Untersuchungen nicht fehlerfrei gestellt werden konnte. Für den vom Beschwerdeführer erhobenen Vorwurf der vorsätzlichen Falschdiagnose bestehen nicht die geringsten Anhaltspunkte, und zwar weder in objektiver noch in subjektiver Hinsicht. Unerheblich ist, dass der Beschwerdeführer seinen psychischen Zustand bzw. seine gesundheitliche Verfassung anders wahrnimmt und sich insofern durch die Feststellungen der ihn behandelnden Psychiater bzw. Psychologen des Instituts B._ bestätigt fühlt. Deren rund zweiseitiger Kurzbericht vom 28. Juni 2012 ist nicht geeignet, irgendwelche Zweifel am rund 70-seitigen, breit abgestützten Gutachten des PPD bzw. der darin sorgfältig hergeleiteten Diagnose zu wecken. Es kann auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid (S. 3 und 4) verwiesen werden.
Die Vorinstanz hat die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft zu Recht bestätigt. Sie konnte ohne Verletzung von Bundesrecht davon ausgehen, es bestehe kein für die Eröffnung einer Strafuntersuchung ausreichender Anfangsverdacht bezüglich des Vorwurfs der Abgabe eines falschen Gutachtens.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill