Sachverhalt:
A. Der 1960 geborene G._ war ab Anfang 2001 als Produktionsmitarbeiter in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 30. März 2004 meldete die Arbeitgeberin der SUVA, G._ sei am 18. März 2004 von einem ca. 1.5 m hohen Podest gestürzt. Gemäss dem am 19. März 2004 erstatteteten Bericht des Spitals Y._, in welches der Versicherte notfallmässig eingeliefert worden war, zog er sich beim Sturz Kontusionen am Schädel (mit Oberlidhämatomen beidseits und Rissquetschwunde an der Stirn links), am Thorax (mit minimem dorsalem Pneumothorax links) und an der linken Schulter zu. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 14. Januar 2005 eröffnete sie dem Versicherten, der Fall werde abgeschlossen. Die Heilbehandlung werde per sofort und das Taggeld per 31. Januar 2005 eingestellt. Eine Invalidenrente und/ oder Integritätsentschädigung wurde nicht zugesprochen. Daran hielt der Versicherer mit Einspracheentscheid vom 28. Juni 2005 fest. Zur Begründung wurde ausgeführt, aus organischer Sicht liege keine Beeinträchtigung vor und die festgestellte psychische Problematik stehe nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 18. März 2004.
B. Die von G._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 15. November 2006 ab.
C. G._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen und beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen weiterhin zu erbringen sowie die Frage des Anspruchs auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung zu prüfen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist indessen vorher ergangen, weshalb sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG) richtet (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die Rechtsgrundlagen für den streitigen Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Ereignis vom 18. März 2004 über den 31. Januar 2005 hinaus zutreffend dargelegt. Es betrifft dies namentlich auch die zu beachtenden Kausalitäts- und Beweisgrundsätze. Darauf wird verwiesen.
3. Die Vorinstanz ist hinsichtlich des somatischen Gesundheitszustandes zum Ergebnis gelangt, es bestünden keine organisch hinreichend nachweisbaren Beschwerden mehr. Die beim Unfall vom 18. März 2004 erlittenen Kontusionen seien verheilt und der zu Beginn diagnostizierte postkontusionelle Lagerungsschwindel habe in den späteren Untersuchungen nicht mehr festgestellt werden können. Die persistierenden Beschwerden seien psychischen Ursprungs.
Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Darstellung und zutreffenden Würdigung der medizinischen Akten. Was der Versicherte vortragen lässt, führt zu keiner anderen Betrachtungsweise. Dies gilt auch für den letztinstanzlich aufgelegten Bericht des Neurologen Dr. med. H._ vom 20. Januar 2006, zumal dieser Arzt nicht über die medizinischen Vorakten verfügte. Dr. med. H._ bezeichnet seine Beurteilung denn auch selber als nur provisorisch, und er nimmt überdies nicht eindeutig Stellung zur Frage der Unfallkausalität der geklagten Beschwerden und zu deren Auswirkungen hinsichtlich Behandlungsbedürftigkeit und Arbeitsfähigkeit.
Die in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde erwähnten Symptome, namentlich auch die geltend gemachte Beeinträchtigung des Geruchssinnes, wurden im Übrigen in den der vorinstanzlichen Beurteilung zugrunde gelegten medizinischen Berichten angemessen berücksichtigt. Die berichterstattenden Ärzte sahen sich deswegen nicht veranlasst, aus somatischer Sicht eine Beeinträchtigung über den verfügten Fallabschluss hinaus zu bestätigen. Der Versicherte begründet denn auch nicht weiter, weshalb es sich diesbezüglich anders verhalten solle. Es trifft entgegen der Verwaltungsgerichtsbeschwerde auch nicht zu, dass die Vorinstanz einseitig nur auf bestimmte medizinische Berichte abgestellt hat. Dass das kantonale Gericht von ergänzenden Sachverhaltsabklärungen absah, ist aufgrund der schlüssigen Aktenlage ebenfalls nicht zu beanstanden. Es kann im Übrigen auf die zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden.
4. Die Vorinstanz hat weiter erwogen, aufgrund der medizinischen Akten sei fraglich, ob die festgestellte psychische Problematik überhaupt natürlich kausal auf den Unfall vom 18. März 2004 zurückgeführt werden könne. Von weiteren Abklärungen hiezu sei indessen abzusehen, wenn ohnehin der zusätzlich zum natürlichen erforderliche adäquate Kausalzusammenhang zum versicherten Ereignis zu verneinen sei. Dies treffe hier zu. Dabei sei die Adäquanz bei der erlittenen nur leichten Hirnerschütterung nach den für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Regeln (<ref-ruling>) zu prüfen. Der Unfall vom 18. März 2004 sei als mittelschwer an der Grenze zu den leichten Unfällen einzustufen, weshalb für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs weitere Kriterien in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sein müssten. Dies sei nicht der Fall.
Die vorinstanzliche Beurteilung ist in allen Teilen zutreffend. In der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird einzig eingewendet, der Sturz vom 18. März 2004 stelle einen schweren Unfall dar, was eindeutig nicht zutrifft. Das kantonale Gericht hat somit zu Recht den Fallabschluss, verbunden mit der Einstellung der bis dahin erbrachten Leistungen, durch die SUVA bestätigt.
5. Festzuhalten bleibt, dass der vom Beschwerdeführer nachträglich mit Eingabe vom 5. Juli 2007 eingereichte Arztbericht vom 22. Juni 2007 nur zu berücksichtigen wäre, wenn er als eine neue erhebliche Tatsache oder ein entscheidendes Beweismittel im Sinne von Art. 137 lit. b OG zu betrachten wäre und somit eine Revision des Gerichtsurteils rechtfertigen könnte (<ref-ruling> ff. insbes. E. 3b in fine S. 356 und E. 4 S. 357). Das trifft hier nicht zu, weshalb sich die Eingabe als unzulässig erweist.
6. Da die Verwaltungsgerichtsbeschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im Verfahren nach Art. 36a OG erledigt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 17. August 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: