Faits:
A.
Dans le cadre d'une enquête pénale pour vols, dommages à la propriété et violations de domicile, A._, ressortissant italien, a été appréhendé par la police genevoise le 9 juin 2013, alors qu'il se trouvait, en compagnie de trois comparses, à bord d'un véhicule loué et immatriculé en France. A l'intérieur de celui-ci, ont été notamment retrouvés dans une cache quatre talkies-walkies, une meule à disques, trois petites lampes de poche, trois paires de gants de jardinage et divers outils (tournevis, pince coupante, tête de pioche avec manche, etc.). Différentes mesures d'instruction ont été mises en oeuvre, dont un contrôle rétrospectif des appels effectués avec les téléphones utilisés par ces quatre personnes et des analyses des traces découvertes sur les lieux des cambriolages. A._ et ses trois compagnons, mis en prévention pour vol en bande et par métier, subsidiairement pour vols par effraction, ont été entendus à plusieurs reprises, contestant toute participation à des infractions.
Sur requête du Ministère public de l'arrondissement de la Côte, le Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) a placé, par décision du 12 juin 2013, A._ en détention provisoire jusqu'au 9 septembre 2013.
Le 30 août 2013, le Tmc a prolongé, sur demande du Procureur, la détention provisoire de l'intéressé jusqu'au 9 décembre 2013. Cette autorité a retenu que les soupçons sérieux qui pesaient contre A._ s'étaient renforcés, car son profil ADN avait été retrouvé sur les outils cachés dans le véhicule dans lequel il se trouvait au moment de son interpellation. Elle a en outre estimé que les risques de fuite et de collusion demeuraient concrets, dès lors que divers contrôles étaient en cours afin d'établir l'activité délictueuse du prévenu. Le Tmc a enfin considéré que la détention provisoire demeurait proportionnée au vu de la peine susceptible d'être prononcée en cas de condamnation et qu'aucune mesure de substitution n'était à même de prévenir les risques retenus.
B.
Le 11 septembre 2013, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours de l'intéressé.
C.
Par mémoire du 3 octobre 2013, A._ forme un recours en matière pénale, concluant à l'annulation de l'arrêt cantonal et à sa libération immédiate. Il sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer, le Ministère public et la juridiction précédente se sont référés à la décision cantonale sans déposer de déterminations.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière pénale (<ref-law>) est en principe ouvert contre une décision relative à la détention provisoire ou pour motifs de sûreté au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 1 p. 23). Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF, le prévenu a qualité pour agir. Le recours est formé en temps utile contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>.
2.
Le recourant reproche aux juges cantonaux d'avoir retenu l'existence de présomptions de culpabilité suffisantes à son égard.
2.1. Une mesure de détention préventive n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et art. 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'<ref-law>. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.; <ref-ruling> consid. 2c p. 270). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par les besoins de l'instruction, un risque de fuite ou un danger de collusion ou de réitération (art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP).
2.1.1. Préalablement à l'examen de ces hypothèses, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes ou des indices sérieux de culpabilité (<ref-law>; art. 5 par. 1 let. c CEDH; arrêt 1B_63/2007 du 11 mai 2007 consid. 3 non publié in <ref-ruling>), c'est-à-dire des raisons plausibles de le soupçonner d'avoir commis une infraction. Il n'appartient cependant pas au juge de la détention de procéder à une pesée complète des éléments à charge et à décharge et d'apprécier la crédibilité des personnes qui mettent en cause le prévenu. Il doit uniquement examiner s'il existe des indices sérieux de culpabilité justifiant une telle mesure. L'intensité des charges propres à motiver un maintien en détention préventive n'est pas la même aux divers stades de l'instruction pénale; si des soupçons, même encore peu précis, peuvent être suffisants dans les premiers temps de l'enquête, la perspective d'une condamnation doit apparaître vraisemblable après l'accomplissement des actes d'instruction envisageables (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 126 s.; <ref-ruling> consid. 3c p. 146).
2.1.2. En l'espèce, aucune des traces relevées sur les lieux des différents cambriolages ne permet, à ce stade de l'instruction, de mettre en cause directement le recourant. Toutefois, contrairement à ce que ce dernier soutient, cela ne permet pas d'exclure toute participation de sa part à l'un ou l'autre des nombreux cambriolages à l'origine de l'enquête pénale.
Ainsi, le recourant se trouvait au moment de son interpellation (le 9 juin 2013) dans le véhicule qui avait été aperçu deux jours auparavant (le 7 juin 2013) à Trélex, lieu où une tentative de vol par effraction avait été commise le 8 juin 2013. Il était en outre en compagnie de trois autres personnes, dont l'une a formellement été identifiée par son profil ADN comme l'auteur de vols en Romandie et dans la région zurichoise. Ce même comparse a reconnu lors de ses auditions qu'il était déjà venu en Suisse en compagnie du recourant, admettant même qu'il s'était rendu avec ses trois comparses dans le quartier où avait eu lieu la tentative de cambriolage susmentionnée. S'agissant toujours des relations du recourant avec les trois autres prévenus, tous les quatre utilisaient un téléphone portable identique et dans lequel chacun d'eux n'avait enregistré que les numéros des trois autres, ainsi que celui d'une même tierce personne, mais aucune autre donnée personnelle. L'examen du numéro utilisé par le recourant a en outre permis de le situer à plusieurs dates dans les régions où avaient été commis des vols par effraction (cf. le rapport de police du 20 août 2013 p. 4). A cela, s'ajoutent les traces ADN du recourant retrouvées sur l'un des talkies-walkies découverts dans la voiture de location. Or, il sied de rappeler que ceux-ci étaient dissimulés dans une cache avec du matériel propre à réaliser, selon le rapport du police du 24 juin 2013, les infractions reprochées aux quatre prévenus. Par ailleurs, l'indication que certains éléments (gants et lampes de poche) n'étaient prévus que pour trois personnes semble démontrer, non pas qu'ils n'auraient pas agi à quatre, mais plutôt une organisation de la part des prévenus, notamment avec la possible attribution à l'un d'eux d'un rôle de chauffeur et/ou guetteur; l'existence de quatre talkies-walkies paraît d'ailleurs venir appuyer cette hypothèse. Il n'appartient toutefois pas au juge de la détention de déterminer le degré de participation de chaque protagoniste, mais d'examiner si les éléments ressortant du dossier permettent de retenir l'existence d'indices sérieux de culpabilité. Au vu des considérations précédentes (localisation, matériel découvert, relations entre les quatre protagonistes), tel est le cas en l'espèce et c'est donc à juste titre que la Chambre des recours pénale l'a constaté. Le grief soulevé par le recourant à ce propos doit donc être rejeté.
2.2. Selon l'<ref-law>, la détention provisoire peut être ordonnée s'il y a sérieusement lieu de craindre que le prévenu se soustraie à la procédure pénale ou à la sanction prévisible en prenant la fuite (let. a), qu'il compromette la recherche de la vérité en exerçant une influence sur des personnes ou en altérant des moyens de preuve (let. b) et/ou qu'il compromette sérieusement la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves après avoir déjà commis des infractions du même genre (let. c). Afin de respecter le principe de proportionnalité (art. 36 al. 3 Cst.), l'<ref-law> prévoit que le tribunal compétent ordonne une ou plusieurs mesures moins sévères en lieu et place de la détention si celles-ci permettent d'atteindre le même but.
En l'occurrence, le recourant ne remet pas en cause les risques de fuite (nationalité italienne, résidence dans ce pays de sa compagne et de ses enfants, déclarations de devoir y retourner) et de collusion - mesures d'instruction en cours (détermination de l'appartenance des profils ADN relevés sur les lieux des cambriolages et examen du GPS de la voiture louée) et contradictions dans les déclarations tenues par les quatre prévenus - constatés par la cour cantonale. Il ne soutient également pas, avec raison, que des mesures de substitution adéquates permettraient de palier ces risques.
Les premiers juges ont encore considéré que le principe de proportionnalité était respecté, compte tenu de la durée de la détention provisoire et de la peine privative de liberté encourue au vu des charges pesant sur le recourant, raisonnement que ce dernier ne critique pas.
2.3. Partant, la Chambre des recours pénale n'a pas violé le droit fédéral en confirmant la décision du Tmc prolongeant la détention provisoire jusqu'au 9 décembre 2013.
3.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté.
Le recourant a demandé l'assistance judiciaire et les conditions en paraissent réunies (<ref-law>). Il y a lieu de désigner Me Fabien Mingard en qualité d'avocat d'office et de fixer ses honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Le recourant est en outre dispensé des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise; Me Fabien Mingard est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de l'arrondissement de la Côte et à la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 21 octobre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf