Erwägungen:
1. Der 1985 geborene türkische Staatsangehörige X._ heiratete am 15. März 2004 in der Türkei die 1976 geborene Schweizerin Y._. Am 2. Juli 2004 reiste er in die Schweiz ein, wo ihm gestützt auf die geschlossene Ehe eine Aufenthaltsbewilligung erteilt und letztmals bis zum 1. Juli 2009 verlängert wurde. Am 28. Juli 2006 wurde eine gemeinsame Tochter geboren, welche ihrerseits über das Schweizer Bürgerrecht verfügt.
Am 26. Februar 2009 stellte die Migrationsbehörde des Kantons Basel-Stadt fest, dass zwischen X._ und Y._ keine eheliche Gemeinschaft bestehe und gewichtige Indizien vorlägen, welche auf eine Scheinehe hindeuteten. Mit Hinblick auf die Beziehung zur Tochter erklärte sich das kantonale Amt am 26. Mai 2009 dennoch bereit, die Aufenthaltsbewilligung von X._ zu verlängern und es unterbreitete dem Bundesamt für Migration (BFM) einen entsprechenden Antrag zur Zustimmung.
Mit Verfügung vom 6. Juli 2009 verweigerte das BFM seine Zustimmung und es wies X._ aus der Schweiz weg: Es begründete dies einerseits mit der Feststellung einer Scheinehe und andererseits mit der geringen Intensität der Vater-Kind-Beziehung. Gegen diesen Entscheid beschwerte sich X._ beim Bundesverwaltungsgericht, welches die Beschwerde mit Urteil vom 27. Juni 2012 abwies. Bereits am 10. September 2009 war die Ehe von X._ geschieden worden. Die Tochter wurde der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter unterstellt und dem Vater wurde ein Besuchsrecht eingeräumt.
2. Die von X._ beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 27. Juni 2012 erweist sich mit Blick auf die bundesgerichtliche Praxis, welche im angefochtenen Entscheid zutreffend wiedergegeben wird, als offensichtlich unbegründet und kann deshalb ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden:
2.1 In Bezug auf die Eheschliessung mit dem Beschwerdeführer erklärte die mittlerweile geschiedene Ehefrau gegenüber der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt und der kantonalen Migrationsbehörde, es habe von Anfang an eine Scheinehe vorgelegen: Zum Zeitpunkt der Eheschliessung sei sie noch mit einem anderen türkischen Staatsangehörigen liiert gewesen. Dieser habe über seinen Onkel in der Türkei die Eheschliessung mit dem Beschwerdeführer - welchen sie zuvor nicht gekannt habe - organisiert und hierfür Fr. 15'000.-- erhalten. Während ein bis zwei Monaten habe sie dann pro forma mit dem Beschwerdeführer zusammengewohnt und sexuelle Beziehungen sowohl mit ihrem Freund als auch dem Beschwerdeführer unterhalten, wobei dann ihre Tochter gezeugt worden sei. Gegenüber der kantonalen Migrationsbehörde bestritt der Beschwerdeführer zwar diese Darstellung, räumte aber später ein, eigentlich nie mit seiner Gattin zusammengewohnt zu haben. Das Bundesverwaltungsgericht hielt im angefochtenen Entscheid fest, das Vorliegen einer Scheinehe sei erstellt, obwohl das Versprechen oder die Leistung einer Geldsumme nicht als erwiesen gelten könne: Es stützte sich insbesondere auf die kurze Dauer bzw. eventuell gar die fehlende Existenz des ehelichen Zusammenlebens, die späte Registrierung der in der Türkei geschlossenen Ehe durch ein schweizerisches Zivilstandsamt (9. Oktober 2008) sowie die aussereheliche Beziehung der Ehefrau und die daraus folgende Ungewissheit in Bezug auf die Vaterschaft des Beschwerdeführers, welche erst am 19. April 2007 durch einen von der Amtsvormundschaft Basel-Stadt in Auftrag gegebenen Vaterschaftstest nachgewiesen wurde.
2.2 Im vorliegenden Verfahren bestreitet der Beschwerdeführer nicht mehr, dass er mit seiner geschiedenen Gattin bloss eine Scheinehe eingegangen war: Den von ihm behaupteten Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung begründet er nunmehr ausschliesslich mit der Beziehung zu seiner Tochter und er beruft sich in diesem Zusammenhang auf den von Art. 8 EMRK und <ref-law> gewährleisteten Schutz des Familienlebens. Seine diesbezüglichen Ausführungen gehen jedoch ins Leere: Zwar kann es die entsprechenden Garantien in der Tat verletzen, wenn ein Ausländer eine intakte familiäre Beziehung zu nahen Verwandten mit einem gefestigten Anwesenheitsrecht in der Schweiz unterhält und ihm der Verbleib in der Schweiz untersagt und damit das Familienleben vereitelt wird (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 285; je mit Hinweisen). Auch setzt die Anwendbarkeit dieser Normen grundsätzlich nicht voraus, dass der ausländische Elternteil, der sich auf das Zusammenleben mit seinem schweizerischen oder in der Schweiz niederlassungsberechtigten Kind beruft, über das Sorge- bzw. Obhutsrecht verfügt (<ref-ruling> E. 1d S. 3; Urteil 2C_942/2010 vom 27. April 2011 E. 1.3). Wie die Vorinstanz aber zutreffend festgestellt hat, kann der nicht sorge- bzw. obhutsberechtigte ausländische Elternteil die familiäre Beziehung mit seinen Kindern ohnehin nur in beschränktem Rahmen pflegen, nämlich durch Ausübung des ihm eingeräumten Besuchsrechts. Um dieses wahrnehmen zu können, ist nicht von vornherein erforderlich, dass der ausländische Elternteil dauerhaft im selben Land wie das Kind lebt und dort über ein Anwesenheitsrecht verfügt. Einem nicht sorgeberechtigten Ausländer kann die Aufenthaltsbewilligung ausnahmsweise dann erteilt oder erneuert werden, wenn in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zum Kind besteht, diese wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht mehr aufrechterhalten werden könnte und das bisherige Verhalten des Betroffenen in der Schweiz zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat ("tadelloses Verhalten", "comportement irréprochable", "comportamento irreprensibile"; <ref-ruling> E. 3c S. 5; <ref-ruling> E. 4 S. 24 ff.; vgl. auch Urteil des EGMR i.S. Rodrigues da Silva und Hoogkamer gegen die Niederlande vom 31. Januar 2006 [50435/99], Ziff. 42 f., in: EuGRZ 2006 S. 562).
2.3 Die Vorinstanz zog in Erwägung, dass der Beschwerdeführer gemäss eigenen Angaben Unterhaltszahlungen in Höhe von Fr. 713.--/Monat an die im Übrigen von der Sozialhilfe unterstützte Kindsmutter entrichtet. Zudem ging das Bundesverwaltungsgericht davon aus, dass der Beschwerdeführer sein Besuchsrecht wöchentlich ausübt. Bei dieser Sachlage liegt sowohl in wirtschaftlicher als auch in affektiver Hinsicht eine Vater-Kind-Beziehung vor, welche nicht über das übliche Mass hinausgeht. Insbesondere der Umfang des Besuchsrechts entspricht dabei dem Minimalstandard, der dem nicht sorgeberechtigten Elternteil zeitlich gerade erlaubt, seine Beziehung zum Kind überhaupt aufrecht zu erhalten (vgl. Urteile 2C_996/2011 vom 28. Juni 2012 E. 2.4; 2C_787/2010 vom 16. Juni 2011 E. 3.2.2 mit Hinweis). Soweit der Beschwerdeführer behauptet, er besuche seine Tochter viel öfter, d.h. alle zwei bis drei Tage, vermag er nicht darzutun, dass die für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind (Art. 97 Abs. 1 sowie Art. 105 Abs. 1 und Abs. 2 BGG): Der Beschwerdeführer beruft sich in Zusammenhang mit seinen Ausführungen nämlich auf die Stellungnahme der Kindsmutter vom 17. Oktober 2009, wogegen sich das Bundesverwaltungsgericht auf ein Schreiben der Amtsvormundschaft Basel-Stadt vom 16. April 2012 sowie auf eine Eingabe des vormaligen Rechtsvertreters des Beschwerdeführers vom 27. April 2012 und mithin auf wesentlich aktuellere Angaben abstützt.
2.4 Ferner kann auch von einem tadellosen Verhalten des Beschwerdeführers nicht die Rede sein, da er durch das Eingehen einer Scheinehe gegen die öffentliche Ordnung verstossen hat. Sein diesbezüglicher Einwand, er habe die Ehe ja nicht in der Schweiz geschlossen, sodass sich auch das fehlbare Verhalten nicht während seines Aufenthaltes in der Schweiz ereignet habe, ist gänzlich unbehelflich: Wie aus <ref-ruling> E. 5.1.1 f. S. 252 hervorgeht liegt der mit einer Scheinehe einhergehende Verstoss gegen die öffentliche Ordnung in der treuwidrigen und unredlichen Inanspruchnahme eines Rechtsinstitutes bzw. in der Anrufung eines Anspruchs, welcher bloss formal im Einklang mit der Rechtsordnung steht. Aus diesem Grund erscheint nicht der Ort der Eheschliessung als bedeutsam, sondern der Umstand, dass sich der Beschwerdeführer gegenüber den zuständigen Migrationsbehörden wiederholt auf die nur auf dem Papier bestehende Ehe berufen und so die Erteilung und Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung durch Vorspiegelung falscher Tatsachen erwirkt hat.
3. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens folgend, hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen. Da die vorliegende Eingabe aufgrund der publizierten Rechtsprechung als von vornherein aussichtslos zu gelten hatte, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. November 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler