Sachverhalt:
A.
Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen wies das Gesuch der A._ (geb. 1958) um Ausrichtung einer Invalidenrente ab. Zur Begründung führte die Verwaltung im Wesentlichen aus, die administrativgutachtlich bescheinigte Arbeitsunfähigkeit von 50 Prozent (Gutachten der MEDAS vom 19. August 2011) beziehe sich auf eine Depression, welche "einzig aus der Trennung von ihrem Ehemann herrührt". Dabei handle es sich um einen invalidenversicherungsrechtlich unbeachtlichen Faktor. Nach allgemeiner Lebenserfahrung könne erwartet werden, dass "mit der nötigen Willensanstrengung die mit der Trennung einhergehenden Probleme überwunden werden können" (Verfügung vom 25. Januar 2012).
B.
Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die dagegen gerichtete Beschwerde gut und sprach A._ mit Wirkung ab November 2010 eine halbe Invalidenrente zu (Entscheid vom 20. Januar 2014).
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Beschwerdeentscheid sei aufzuheben.
A._ und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. A._ ersucht um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsverbeiständung).

Erwägungen:
1.
Das kantonale Gericht stellte auf die im Administrativgutachten der MEDAS vertretene Einschätzung ab, die Versicherte sei infolge der psychiatrischen Befunde (mittelgradige depressive Störung, rezidivierendes zervikozephales und -brachiales Schmerzsyndrom) auch in leidensangepassten Tätigkeiten seit Oktober 2009 hälftig arbeitsunfähig. Es verwarf zunächst die Auffassung der IV-Stelle, die gutachtliche Diagnose einer mittelschweren Depression beruhe einzig auf den Angaben der Beschwerdeführerin. Die MEDAS habe den Gesundheitszustand der Versicherten gründlich abgeklärt und die medizinischen Vorakten verwertet. Weitere Abklärungen seien nicht nötig. Sodann erwog die Vorinstanz, die für die quantitative Einschränkung massgebende mittelgradige depressive Störung sei verselbständigt; die Trennung vom Ehemann stelle sich nur als Auslöser der depressiven Erkrankung dar. Die gegen Ende 2007 einsetzende Ehekrise habe dazu geführt, dass sich die Versicherte in fachärztliche Therapie begeben habe. Der behandelnde Psychiater habe im Februar 2010 erstmals von einer depressiven Entwicklung berichtet, die in der Folge stationär verlaufen sei. Der psychiatrische Teilgutachter habe die Arbeitsunfähigkeit einzig mit dem (nunmehr verselbständigten) depressiven Leiden begründet. Es könne davon ausgegangen werden, er habe die invaliditätsfremden Faktoren im Rahmen seiner Schätzung der Arbeitsunfähigkeit ausgeklammert. Zumindest ergebe sich weder aus dem Gutachten noch aus den Stellungnahmen des Regionalen Ärztlichen Dienstes der IV (RAD), diese Faktoren seien so ausgeprägt, dass das psychische Leiden darin aufgehe. Für die Annahme einer leistungsrelevanten Depression spreche weiter, dass eine Chronifizierung eingetreten sei, obwohl die Versicherte seit Oktober 2009 therapeutische Hilfe beanspruche. Der Möglichkeit einer gesundheitlichen Verbesserung könne, wie vom RAD vorgeschlagen, mit einer kurzfristig angesetzten Revision Rechnung getragen werden.
2.
Wie das kantonale Gericht in seiner Vernehmlassung zutreffend anmerkt, kommt die Rechtsprechung zu den syndromalen Gesundheitsschädigungen (<ref-ruling>) hier nicht zum Tragen, weil sich die Schmerzen nur auf die Rahmenbedingungen einer zumutbaren Tätigkeit auswirken. Die zentrale Frage, wie weit das anrechenbare Leistungsvermögen quantitativ eingeschränkt ist, stellt sich nur mit Blick auf die Depression (dazu sogleich E. 3). Hiefür ist die erwähnte Rechtsprechung nicht einschlägig (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 68).
3.
Weiter ist strittig, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat (Art. 95 lit. a BGG), als sie den Administrativgutachtern in deren Einschätzung folgte, die Beschwerdegegnerin sei wegen der Depression zur Hälfte arbeitsunfähig (ganztägige Beschäftigung mit reduzierter Leistung).
3.1. Die beschwerdeführende Verwaltung bestreitet die vorinstanzliche Annahme, die psychosoziale Belastung im Zusammenhang mit der Trennung vom Ehemann habe eine (später verselbständigte) depressive Entwicklung bloss ausgelöst. Die Leistungseinschränkung lasse sich massgeblich auf nicht versicherte soziale Faktoren zurückführen. Deswegen sei von der medizinischen Einschätzung abzuweichen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 195).
3.2. Die auf konkreter Beweiswürdigung beruhenden vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit betreffen grundsätzlich eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Sachverhaltsfeststellungen wie diese kann das Bundesgericht nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Somit steht dem vorinstanzlichen Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zu. Unter dem Titel der offensichtlichen Unrichtigkeit greift das Bundesgericht auf Beschwerde hin nur ein, wenn die Vorinstanz diesen Ermessensspielraum verlässt, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder willkürlich ausser Acht lässt (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5; Urteil 9C_1019/2012 vom 23. August 2013 E. 1.2.3).
Frei überprüfbare Rechtsfrage ist derweil, ob ein ärztlich diagnostiziertes Leiden einer invalidisierenden Gesundheitsschädigung im Sinne von Art. 4 Abs. 1 IVG entspricht. Dazu gehört auch ein zutreffender Umgang mit psychosozialen und soziokulturellen Belastungsfaktoren (Urteil 9C_1041/2010 vom 30. März 2011 E. 3.2 mit Hinweisen und E. 5.2).
3.3. Nach Art. 7 Abs. 2 ATSG sind für die Beurteilung des Vorliegens einer Erwerbsunfähigkeit ausschliesslich die Folgen der gesundheitlichen Beeinträchtigung zu berücksichtigen (vgl. auch Art. 6 ATSG, Art. 4 Abs. 1 IVG). Der Umstand allein, dass psychosoziale oder soziokulturelle Umstände bei der Entstehung einer Gesundheitsschädigung eine wichtige Rolle spielten, tangiert deren Anspruchserheblichkeit nicht. Keine invalidisierende Gesundheitsschädigung ist indessen gegeben, wenn der medizinische Gutachter im Wesentlichen nur Befunde erhebt, welche in den psychosozialen und soziokulturellen Belastungen aufgehen (<ref-ruling> E. 5a S. 299). Denn in einem solchen Fall stellen sich diese als direkte Ursache der Einschränkung im Leistungsvermögen dar; sie sind nicht bloss pathogenetisch bedeutsam (vgl. Urteil I 514/06 vom 25. Mai 2007 E. 2.2.2.2, SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43). Am rechtlich vorausgesetzten Kausalzusammenhang mit einer selbständigen Gesundheitsschädigung fehlt es daher, solange noch zu erwarten ist, dass mit einem Wegfall der belastenden Lebensumstände unmittelbar auch die (somit nicht verselbständigte) psychische Störung verschwinden werde (Urteile 9C_776/2010 vom 20. Dezember 2011 E. 2.3.3, SVR 2012 IV Nr. 32 S. 127; 9C_830/2007 vom 29. Juli 2008 E. 4.2, SVR 2008 IV Nr. 62 S. 203; 9C_118/2012 vom 13. Februar 2013 E. 3.1 a.E.; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.3 S. 197).
Die massgebende Ursache für Arbeitsunfähigkeit im Sinne von Art. 6 ATSG bestimmt sich mitunter auch nach dem Leitsatz, dass eine fachärztlich festgestellte psychische Störung von Krankheitswert umso ausgeprägter vorhanden sein muss, je stärker psychosoziale oder soziokulturelle Faktoren im Einzelfall in den Vordergrund treten und das Beschwerdebild mitbestimmen (<ref-ruling> E. 5a S. 299). So kann eine depressive Symptomatik chronifiziert, damit durchaus verselbständigt sein und dennoch im Rahmen des gesamten Beschwerdebildes nicht genug ins Gewicht fallen, als dass auf eine längerdauernde Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 f. ATSG) geschlossen werden dürfte (Urteil 9C_252/2014 vom 17. Juni 2014 E. 3.1.3). Diesfalls stellt sich das Problem der gutachtlichen Abgrenzung und Quantifizierung eigenständiger Beiträge der sozialen Faktoren nicht. Das gilt auch im umgekehrten Fall, wenn eine deutlich ausgeprägte psychische Störung "konkurrierende" soziale Faktoren in den Hintergrund drängt. Diese sind alsdann so eng mit der Gesundheitsschädigung und ihren funktionellen Auswirkungen verbunden, dass es sich rechtfertigt, den gesamten Ursachenkomplex der Folgenabschätzung zugrunde zu legen: In diesem Sinne können sich soziale Umstände - mittelbar - invaliditätsbegründend auswirken, indem sie eine (verselbständigte) Gesundheitsschädigung aufrechterhalten oder ihre (unabhängig von den invaliditätsfremden Elementen bestehenden) Folgen verschlimmern (Urteil 9C_537/2011 vom 28. Juni 2012 E. 3.2, SVR 2012 IV Nr. 52 S. 188; erwähnte Urteile 9C_776/2010 E. 2.3.3; 9C_830/2007 E. 4.2 a.E.; I 514/06 E. 2.2.2.2). In diesen Konstellationen tragen die als solche nicht versicherten sozialen Faktoren zum Umfang der verselbständigten Gesundheitsschädigung bei.
3.4.
3.4.1. Das kantonale Gericht bezieht sich unter anderem auf das erwähnte Urteil 9C_1041/2010. Dort hielt das Bundesgericht für einen vergleichbaren Fall fest, die auch vorhandenen psychosozialen Faktoren schlössen eine Invalidität nicht aus. Denn sie seien nicht derart ausgeprägt, dass die gutachtlich ausgewiesene psychische Krankheit gleichsam in ihnen aufginge. Das kantonale Gericht habe daher kein Bundesrecht verletzt, als es eine teilinvalidisierende depressive Störung bejahte (a.a.O. E. 5.2). Anders ist auch hier nur zu entscheiden, wenn die vorinstanzliche Würdigung des MEDAS-Gutachtens (im Kontext der weiteren medizinischen Akten) zu einer offensichtlich unrichtigen Feststellung der (aus medizinischer Sicht zumutbaren) Arbeitsfähigkeit führt oder sonstwie Bundesrecht (namentlich den Untersuchungsgrundsatz [Art. 61 lit. c ATSG] oder die Beweiswürdigungsregeln [<ref-ruling> E. 5.1 S. 232]) verletzt (Art. 105 Abs. 2 BGG). Frei zu überprüfen ist sodann, ob das kantonale Gericht die Grundsätze über die Bedeutung der sozialen Faktoren bei der Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit richtig umgesetzt hat.
3.4.2. Der psychiatrische Administrativgutachter unterschied die diagnostizierte mittelgradige depressive Störung ausdrücklich von den "daneben" bestehenden "verschiedenen psychosozialen Belastungen im Sinne von IV-fremden Faktoren wie Finanzen, Scheidung sowie Wirtschaftslage". Die gutachterliche Äusserung, "unter Berücksichtigung der IV-fremden Faktoren" bestehe eine 50-prozentige Arbeitsunfähigkeit, darf - auch mit Blick auf den versicherungsmedizinischen Kontext, in welchem die Angabe erfolgte - dahin verstanden werden, die psychosozialen Faktoren seien von der Schätzung der Arbeitsfähigkeit ausgeschlossen und nicht etwa, wie der reine Wortlaut nahelegen könnte, darin einbezogen worden. Insoweit hat das kantonale Gericht willkürfrei festgestellt, die Belastung durch Trennung und Scheidung sei nur der Auslöser für eine nunmehr chronifizierte mittelschwere Depression gewesen (vgl. Urteil 9C_415/2013 vom 25. September 2013 E. 5.4; zur Tragfähigkeit der Diagnose: Stellungnahmen des RAD vom 2. September und 9. November 2011; zur durch Zeitablauf bedingten "Umcodierung" der vom Therapeuten anfänglich diagnostizierten Anpassungsstörung: MEDAS-Gutachten, S. 8).
Die vorinstanzliche Folgerung, die attestierte Depression entspreche einer im Rechtssinne verselbständigten Gesundheitsschädigung, ist bis dahin nicht zu beanstanden. Auch der Umstand, dass der psychiatrische Teilgutachter einen nach wie vor engen Zusammenhang zwischen der Trennung und der depressiven Entwicklung resp. deren Behandlungsbedürftigkeit schildert, macht den angefochtenen Entscheid nicht bundesrechtswidrig: Der Experte verweist auf die Hoffnung des behandelnden Psychiaters, der psychische Zustand werde sich verbessern, "wenn die Scheidungsangelegenheit einmal geregelt ist und wenn die Patientin eine Perspektive sieht" (Bericht des Dr. B._ vom 4. April 2011; psychiatrisches Konsiliargutachten vom 29. Juni 2011, S. 6 f.). Das kantonale Gericht hat diese Einschätzung nicht dahingehend verstanden, es sei zu erwarten, dass ein Wegfall der belastenden Lebensumstände die psychische Störung (unmittelbar) verschwinden lassen werde. Verhielte es sich so, ginge das depressive Leiden in den sozialen Faktoren auf (oben E. 3.3). Die Vorinstanz hat auch nicht angenommen, neben der Depression trage die psychosoziale Belastung eigenständig und erheblich zur Leistungsverminderung bei. Vielmehr kam sie zur Auffassung, die Gutachter hätten eine Prognose des Inhalts abgegeben, das - eigenständige - psychische Leiden weise ein Potential zur (späteren) Besserung auf (was mit einer invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit vereinbar ist [vgl. Art. 28 Abs. 1 lit. b und c IVG]). Für eine verselbständigte Gesundheitsschädigung spricht die gutachterlich festgestellte Chronifizierung (angefochtener Entscheid E. 4.3). Die vorinstanzliche Interpretation des Administrativgutachtens kann daher nicht als offensichtlich unrichtig bezeichnet werden. Ebensowenig liegt ein unzutreffender Umgang mit nicht versicherten Faktoren vor (vgl. oben E. 3.2). Im Übrigen ist das MEDAS-Gutachten entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin nicht deswegen beweisrechtlich unverwertbar, weil die Art und Häufigkeit der psychiatrischen Behandlung in einem unüberbrückbaren Gegensatz zur gutachterlich festgelegten Arbeitsunfähigkeit stehen würde.
4.
Augenfällige Anhaltspunkte für eine anderweitig rechtswidrige (Art. 95 lit. a BGG) Bemessung des Invaliditätsgrades bestehen nicht (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; <ref-ruling> E. 4a S. 53). Die Vorinstanz hat kein Bundesrecht verletzt, als sie erkannte, mit Wirkung ab November 2010 habe die Beschwerdegegnerin Anspruch auf eine halbe Invalidenrente.
5.
Angesichts des Verfahrensausgangs wird die beschwerdeführende Verwaltung kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ausserdem hat sie der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 BGG). Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege ist gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der IV-Stelle des Kantons St. Gallen auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Januar 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Traub