Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss Art. 72 ff. BGG gegen das Urteil vom 20. Dezember 2012 des Luzerner Obergerichts, das eine Verwaltungsgerichtsbeschwerde der Beschwerdeführer (Cousin bzw. Nichte der 1924 geborenen, kinderlosen und verwitweten A._) gegen einen Nichteintretensentscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements (Nichteintreten - mangels Legitimation - auf eine Beschwerde der Beschwerdeführer gegen die durch den Luzerner Stadtrat gegenüber A._ angeordnete kombinierte Beistandschaft nach Art. 392/393 aZGB) abgewiesen hat, soweit es darauf eingetreten ist,

in Erwägung,
dass das Obergericht erwog, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei (entsprechend dem Anfechtungs- und Streitgegenstand sowie der Beschwerdebegründung) nur hinsichtlich der Frage der Beschwerdelegitimation zu prüfen, das von den Beschwerdeführern zur Begründung ihrer Legitimation angerufene kantonale Erwachsenenbetreuungsgesetz sei nur vor der Anordnung vormundschaftlicher Massnahmen anwendbar, sobald jedoch solche Massnahmen wie im vorliegenden Fall ergriffen worden seien, finde abschliessend Bundesrecht (Vormundschaftsrecht des aZGB) Anwendung, zu Recht habe die Vorinstanz die Legitimation Dritter zur Beschwerdeerhebung gegen die angeordneten vormundschaftlichen Massnahmen verneint, die diesbezügliche Praxis sei im Übrigen publiziert,
dass die Beschwerde nach Art. 72 ff. BGG nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95 f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG),
dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 1.4 S. 287),
dass auch Verfassungsrügen in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen sind (Art. 106 Abs. 2 BGG), dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287 f.),
dass die Beschwerdeführer in ihrer Eingabe an das Bundesgericht nicht rechtsgenüglich auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen eingehen,
dass es insbesondere nicht genügt, die gegenüber der verbeiständeten Person erfolgte Eröffnung des Entscheids der Vormundschaftsbehörde und die Weiterleitung der Beschwerde an das zuständige Departement zu kritisieren sowie (mit nicht nachvollziehbarer Begründung) die "Schaffung zweierlei Rechts" und eine "unstatthafte Umkehrung der Beweislast durch das Obergericht" zu behaupten,
dass die Beschwerdeführer erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand der obergerichtlichen Erwägungen aufzeigen, inwiefern das Urteil des Obergerichts vom 20. Dezember 2012 rechts- oder verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Beschwerde in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist,
dass die unterliegenden Beschwerdeführer unter Solidarhaft kostenpflichtig werden (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG),
dass in den Fällen des Art. 108 Abs. 1 BGG das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und der Abteilungspräsident zuständig ist,

erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden den Beschwerdeführern unter Solidarhaft auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Stadtrat von Luzern und dem Obergericht des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Füllemann