Sachverhalt:
A.
Am 19. Dezember 2011 ersuchte die X._ GmbH die Politische Gemeinde Weinfelden um eine Baubewilligung für den Betrieb eines mobilen LED-Werbebildschirms in der Grösse von 384 x 240 cm während vier Tagen pro Monat auf der in der Gewerbezone liegenden Parzelle Nr. 3502. Der geplante Werbebildschirm soll beim Kreisel Zelgli in einem Abstand von 4 m von der Kantonsstrasse entfernt aufgestellt werden, wobei von 06.00 Uhr bis 24.00 Uhr in einem Wechselintervall von 20 Sekunden die Aufschaltung verschiedener Werbespots vorgesehen ist. Nachdem das Tiefbauamt des Kantons Thurgau dazu eine negative Stellungnahme eingereicht hatte, verweigerte die Gemeinde die Baubewilligung am 4. April 2012.
B.
Dagegen führte die X._ GmbH Rekurs beim Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau. Dieses wies den Rekurs nach Durchführung eines Augenscheines am 22. Juni 2012 mit Entscheid vom 10. September 2012 ab.
C.
Am 13. März 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau eine dagegen erhobene Beschwerde ab. Im Wesentlichen führte es dazu aus, am dem Gericht bekannten Standort sei die Verkehrslage sehr unübersichtlich und die vorgesehene LED-Leuchtreklame bringe ein zusätzliches Gefahrenpotenzial mit sich. Der regelmässige Spotwechsel störe die Aufmerksamkeit der Fahrzeuglenker. Am geplanten Ort könne der Werbebildschirm daher nicht bewilligt werden.
D.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 7. Mai 2012 beantragt die X._ GmbH, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Angelegenheit zur umfassenden Sachverhaltsabklärung bzw. Durchführung eines korrekten Beweisverfahrens und anschliessenden neuen Entscheidung in der Sache an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen; eventuell sei die Angelegenheit unter Aufhebung des angefochtenen Urteils an die Politische Gemeinde Weinfelden zurückzuweisen zur Erteilung der beantragten baurechtlichen Bewilligung, wobei dies eventuell unter Auflagen erfolgen solle.
E.
Die Gemeinde Weinfelden und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Departement für Bau und Umwelt hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
F.
Die X._ GmbH hat sich am 11. Juli 2013 nochmals zur Sache geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss Art. 82 lit. a BGG beurteilt das Bundesgericht Beschwerden in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht auch auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts zur Verfügung (vgl. Art. 34 Abs. 1 RPG sowie <ref-ruling> E. 1.2 S. 251; <ref-ruling> E. 1.1 S. 411). Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen anfechtbaren kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) über eine Baubewilligung. Die Beschwerdeführerin ist als Gesuchstellerin und direkte Adressatin des angefochtenen Entscheides zur Beschwerde legitimiert (vgl. Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann, von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen, nur die Verletzung von Bundesrecht (vgl. Art. 95 lit. a BGG) sowie die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhaltes (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG) gerügt werden. Die Vereinbarkeit des angefochtenen Entscheids mit kantonalem Recht (mit Ausnahme des hier nicht angerufenen kantonalen Verfassungsrechts; vgl. Art. 95 lit. c BGG) überprüft das Bundesgericht nur auf Willkür hin. Es wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), soweit eine rechtsgenügliche Rüge erhoben wird (vgl. Art. 42 Abs. 2 sowie Art. 106 Abs. 2 BGG und <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.). Es legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, das Verwaltungsgericht habe kantonales Recht in bundesrechtswidriger Weise, insbesondere willkürlich, angewendet. Sie rügt hingegen eine Verletzung von Art. 6 des Strassenverkehrsgesetzes vom 17. Dezember 1958 (SVG; SR 741.01) im Zusammenhang mit einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung.
2.2. Gemäss Art. 6 Abs. 1 SVG sind im Bereich der für die Motorfahrzeuge oder Fahrräder offenen Strassen Reklamen und andere Ankündigungen untersagt, die zu Verwechslungen mit Signalen oder Markierungen Anlass geben oder sonst, namentlich durch Ablenkung der Strassenbenützer, die Verkehrssicherheit beeinträchtigen könnten. Konkretisiert wird Art. 6 Abs. 1 SVG in den Art. 95 ff. der Signalisationsverordnung vom 5. September 1979 (SSV; SR 741.21). Als Strassenreklamen, deren Anbringung oder Änderung der Bewilligung der nach kantonalem Recht zuständigen Behörde bedarf (Art. 99 Abs. 1 SSV), gelten alle Werbeformen und anderen Ankündigungen in Schrift, Bild, Licht, Ton usw., die im Wahrnehmungsbereich der Fahrzeugführer liegen, während diese ihre Aufmerksamkeit dem Verkehr zuwenden (Art. 95 Abs. 1 SSV). Untersagt sind gemäss Art. 96 Abs. 1 SSV Strassenreklamen, welche die Verkehrssicherheit beeinträchtigen könnten. Bei der Beurteilung der möglichen Beeinträchtigung der Verkehrssicherheit als unbestimmtem Rechtsbegriff verfügt die zuständige Behörde über einen Beurteilungsspielraum. Das Bundesgericht prüft deshalb die Begriffsauslegung nur mit Zurückhaltung, insbesondere soweit örtliche oder technische Verhältnisse zu würdigen sind, worüber die lokalen Behörden in der Regel bessere Kenntnisse haben. Besondere Zurückhaltung ist geboten, wenn die entscheidenden Fragen der Rechtsanwendung mit der Frage der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung verflochten sind, was bei der Beurteilung von Belangen der Verkehrssicherheit im Zusammenhang mit dem Anbringen von Reklamen ausgeprägt der Fall ist (Urteil des Bundesgerichts 2A.112/2007 vom 30. Juli 2007 E. 3.1 und 3.2 mit Hinweisen).
2.3. Entscheidend ist demnach im vorliegenden Fall, ob das Verwaltungsgericht mit seiner Beurteilung der möglichen Verkehrsgefährdung durch die geplante LED-Leuchtreklame angesichts der örtlichen Verhältnisse den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt bzw. gegen den den lokalen Behörden vorbehaltenen Beurteilungsspielraum bei der Umsetzung von Art. 6 SVG verstossen hat.
3.
3.1. Eine offensichtlich unrichtige bzw. willkürliche Sachverhaltsfeststellung liegt vor, wenn diese widersprüchlich oder aktenwidrig ist oder auf einem offensichtlichen Versehen beruht bzw. klarerweise den tatsächlichen Verhältnissen widerspricht. Nach der Rechtsprechung darf ein Gericht ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichten, wenn es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener (antizipierter) Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen). Schliesslich dürfen vor Bundesgericht neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 BGG).
3.2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe die offensichtlich unrichtige Verkehrsanalyse der kantonalen Behörden übernommen und sich einfach ergänzend darauf gestützt, den vorgesehenen Standort der Leuchtreklame als ansässiges Gericht zu kennen, ohne selbst einen Augenschein durchzuführen, ohne Auskünfte bei der Verkehrspolizei einzuholen und ohne eine Expertise zu den Verkehrsverhältnissen beim Kreisel Zelgli einzuholen.
3.3. In E. 3.3 des angefochtenen Urteils findet sich eine detaillierte Beschreibung der örtlichen Verhältnisse am fraglichen Standort im Umfang von mehr als einer ganzen Seite. Dieser Beschrieb beruht auf den Unterlagen in den Akten, die unter anderem auf den Augenschein zurückgehen, den das Departement am 22. Juni 2012 durchgeführt hatte. Daraus geht mit genügender Klarheit hervor, dass die lokalen Verhältnisse der Vorinstanz schon aus den Akten bekannt waren. Darüber hinaus stützte sich das Verwaltungsgericht auf die eigenen persönlichen Kenntnisse, und zwar, wie es in seiner Stellungnahme an das Bundesgericht spezifiziert, aller beteiligten Richter. Nachdem die Verhältnisse detailliert in den Akten umschrieben waren, bereits das Departement einen Augenschein durchgeführt hatte und auch die Richter die lokalen Verhältnisse kannten, durfte die Vorinstanz willkürfrei von einem eigenen Augenschein absehen. Dass damit die Parteirechte der Beschwerdeführerin beeinträchtigt worden wären, wird weder geltend gemacht noch ist es ersichtlich. Sodann war dem Verwaltungsgericht sehr wohl bekannt, dass die Ablenkung durch Werbetafeln nicht zu den häufigsten Unfallursachen im Kanton Thurgau zählt, hatte dies die Beschwerdeführerin doch bereits in ihrer Beschwerdeschrift an die Vorinstanz unter Berufung auf entsprechende polizeiliche Erhebungen eingehend dargelegt. Es brauchte daher nicht noch eine ausdrückliche Befragung der Verkehrspolizei dazu. Was schliesslich die verlangte Expertise betrifft, so handelt es sich dabei um ein vor Bundesgericht neu beantragtes Beweismittel, enthält die Beschwerde an das Verwaltungsgericht doch kein entsprechendes Begehren. Da dazu nicht erst der angefochtene Entscheid Anlass bot, ist dieser Beweisantrag als unzulässiges Novum aus dem Recht zu weisen (vgl. Art. 99 BGG).
3.4. Aufgrund der Aktenlage durfte das Verwaltungsgericht in antizipierter Beweiswürdigung davon ausgehen, dass beim vorgesehenen Standort nahe des Kreisels Zelgli eine sehr unübersichtliche Verkehrssituation vorliegt, die von den Verkehrsteilnehmern erhöhte Aufmerksamkeit erfordert. Dies gilt namentlich für die Verkehrsteilnehmer, die aus dem Kreisel in nördlicher Richtung in die Dunantstrasse abbiegen und dabei in den vortrittsberechtigten Bypass aus der Dufourstrasse einspuren müssen. Ebenfalls nicht willkürlich ist, dem Aufstellen einer LED-Leuchtreklame, insbesondere wegen des regelmässigen Spotwechsels, rein faktisch ein zusätzliches Gefahrenpotenzial zum bereits verkehrstechnisch bestehenden zuzuschreiben. Wie sich aus den Unterlagen ergibt, macht die Beschwerdeführerin selbst damit Werbung, dass mit LED-Werbeträgern eine besondere Wirkung verbunden sei und diese im Vergleich zu statischen Bildern gesteigerte Aufmerksamkeit erregen würden. Daraus die Gefahr einer zusätzlichen Ablenkung vorbeifahrender Verkehrsteilnehmer abzuleiten, die in besonderem Masse solche betrifft, die in nördlicher Richtung aus dem Kreisel in die Dunantstrasse einspuren, ist daher nicht unhaltbar.
3.5. Weder erweisen sich demnach die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz als offensichtlich unrichtig noch hat diese, unter Berücksichtigung ihres entsprechenden Beurteilungsspielraums, gegen Art. 6 SVG verstossen.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht sodann geltend, der angefochtene Entscheid verletze die Wirtschaftsfreiheit nach Art. 27 BV. Insbesondere verstosse er gegen den darin enthaltenen Grundsatz der Gleichbehandlung der Gewerbegenossen und gegen das Verhältnismässigkeitsprinzip.
4.2. Das geplante Aufstellen eines Werbebildschirmes steht unter dem Schutz der Wirtschaftsfreiheit gemäss Art. 27 BV. Die Voraussetzungen eines zulässigen Grundrechtseingriffs nach Art. 36 BV erweisen sich im vorliegenden Fall jedoch als erfüllt. Die erforderliche gesetzliche Grundlage findet sich in Art. 6 SVG, an der Gewährleistung der Verkehrssicherheit besteht ein erhebliches öffentliches Interesse, und das Verbot einer LED-Leuchtreklame lässt sich am vorgesehenen Ort mit den besonderen örtlichen Verhältnissen rechtfertigen, weshalb dieses nicht unverhältnismässig ist. In ihrem Eventualantrag stellt die Beschwerdeführerin das Subeventualbegehren der Rückweisung der Streitsache an die Gemeinde zur Erteilung der verlangten Bewilligung unter Auflagen. Welche Auflagen - als mildere Massnahme gegenüber einem Verbot - hier geprüft werden sollen, wird aber nicht näher dargetan. Ob dieser Antrag angesichts von Art. 42 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG zulässig ist (vgl. E. 1.2), erscheint daher fraglich, kann aber offen bleiben. Denn jedenfalls ist nicht ersichtlich, welche Auflagen im vorliegenden Fall in Frage kämen, um das Gefahrenpotenzial der strittigen Leuchtreklame in einem Ausmass zu reduzieren, dass sich deren Verbot am vorgesehenen Standort als unverhältnismässig erwiese.
4.3. Nachdem das Verwaltungsgericht ausdrücklich festgehalten hat, dass auch jedem anderen Konkurrenten in der gleichen Situation die Bewilligung zu verweigern wäre, bewirkt der angefochtene Entscheid keine rechtsungleiche Behandlung der Gewerbegenossen im Sinne der Rechtsprechung (dazu <ref-ruling> E. 5.5.2 S. 16; <ref-ruling> E. 4b S. 435 f. mit Hinweisen). Dass Konkurrenten in vergleichbarer Situation im Kanton Thurgau eine Bewilligung erhalten haben, vermag die Beschwerdeführerin nicht darzutun, auch wenn sie sich darauf beruft, dass im Kantonsgebiet verschiedentlich LED-Reklamen aufgestellt worden seien. Die Beschwerdeführerin selbst sieht im Übrigen eine wirtschaftsrechtliche Benachteiligung im Verhältnis zu ausserkantonalen Konkurrenten darin, dass der Kanton Thurgau generell keine LED-Leuchtreklamen an Strassen bewillige, was sich aus den entsprechenden Richtlinien des kantonalen Tiefbauamtes ergebe. Wieweit in diesem Zusammenhang ein allfälliger Wettbewerbsnachteil mit Konkurrenten aus anderen Kantonen, also eine grenzüberschreitende interkantonale Rechtsungleichheit, unter dem Gesichtspunkt von Art. 27 BV überhaupt massgeblich sein könnte, kann offen bleiben, zumal sich die Beschwerdeführerin nicht auf das Binnenmarktrecht beruft. Die Vorinstanz stellte nämlich ausdrücklich klar, dass es sich beim angefochtenen Entscheid lediglich um ein Einzelfallurteil handle, das auf die konkreten Umstände abstelle, und sich daraus nicht ableiten lasse, ein generelles Verbot von LED-Werbung sei zulässig. Nachdem das Verbot im konkreten Fall nicht zu beanstanden ist, braucht demnach nicht entschieden zu werden, ob die Richtlinien in der Praxis tatsächlich im Sinne eines rigorosen allgemeinen Verbots umgesetzt werden und unter welchen konkreten Voraussetzungen dies zulässig wäre. Es genügt hier der Hinweis darauf, dass ein allgemeines Verbot spezifisch zu rechtfertigen wäre, jedenfalls kantonsintern rechtsgleich angewendet werden müsste und die Anwendbarkeit und gegebenenfalls Vereinbarkeit mit dem Binnenmarktrecht zu prüfen wäre (vgl. zur rechtsgleichen Praxis beim Aufstellen von Werbeobjekten schon den von der Beschwerdeführerin angerufenen <ref-ruling> E. 5 S. 381 ff.).
4.4. Der angefochtene Entscheid verletzt demnach Bundesrecht nicht.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Politischen Gemeinde Weinfelden, dem Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. November 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax