(Verweigerung einer Parteientschädigung), hat sich ergeben:
A.- Das Amt für Migration des Kantons Luzern (damals noch Fremdenpolizei) wies am 29. August 2000 ein Gesuch von A.X._ um Familiennachzug für seine Ehefrau B. (geb.
1955) und seinen Sohn C. (geb. 1985) ab. Im Kanton Luzern werde ausländischen Personen mit einer Aufenthaltsbewilligung der Familiennachzug grundsätzlich nur gestattet, wenn er die ganze Familie umfasse, was hier nicht der Fall sei, nachdem die Tochter D. (geb. 1978) in Kroatien verbleibe.
B.- A., B. und C.X._ gelangten hiergegen am 18. September 2000 an das Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (bis 1. Januar 2001: Militär-, Polizei- und Umweltschutzdepartement).
Am 12. Februar 2001 kam das Amt für Migration auf die angefochtene Verfügung zurück und erteilte die Bewilligung, da sich "der Sachverhalt verändert" habe.
Das Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern erklärte hierauf am 15. März 2001 das Beschwerdeverfahren für erledigt; es erhob keine Kosten und sprach keine Entschädigung zu:
§ 201 Abs. 2 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 (VRG/LU) sehe eine "angemessene Vergütung" an die obsiegende Partei "für ihre Vertretungskosten" zu Lasten des Gemeinwesens nur vor, "wenn der Vorinstanz grobe Verfahrensfehler oder offenbare Rechtsverletzungen zu Last fallen" würden.
C.- A.X._ hat am 12. April 2001 staatsrechtliche Beschwerde eingereicht mit dem Antrag, den Entscheid des Sicherheitsdepartements des Kantons Luzern aufzuheben und ihm die in jenem Verfahren beantragte Parteientschädigung zuzusprechen. Im Übrigen sei § 201 Abs. 2 VRG/LU für bundesrechtswidrig zu erklären.
Das Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Amt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens bildet ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid, gegen den im Bund nur die staatsrechtliche Beschwerde offen steht, nachdem ausschliesslich noch die gestützt auf kantonales Recht verweigerte Parteientschädigung umstritten ist und zudem kein Rechtsanspruch auf den Familiennachzug bestand (Art. 84 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und Art. 101 lit. b OG; <ref-ruling> E. 2b S. 277; bezüglich des [fehlenden] Rechtsanspruchs: <ref-ruling> E. 2 u. E. 5). Der Beschwerdeführer wird durch die Verweigerung der Entschädigung in finanziellen und damit eigenen, rechtlich geschützten Interessen betroffen (Art. 88 OG).
Auf seine fristgerecht erhobene Eingabe ist deshalb unter folgenden Vorbehalten einzutreten:
b) aa) Von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen ist die staatsrechtliche Beschwerde rein kassatorischer Natur (vgl. <ref-ruling> E. 1f S. 355, mit Hinweisen).
Es kann damit nur die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, nicht aber unmittelbar auch die Zusprechung der umstrittenen Parteientschädigung beantragt werden. Sollte deren Verweigerung verfassungswidrig sein, wäre es deshalb am Sicherheitsdepartement, hierüber erneut zu entscheiden.
bb) Als unzulässig erweist sich auch der Antrag, § 201 Abs. 2 VRG/LU für bundesrechtswidrig zu erklären: Mit der staatsrechtlichen Beschwerde kann zwar die Verfassungswidrigkeit der zur Anwendung gebrachten kantonalen Norm gerügt werden ("akzessorische Normenkontrolle"), das Bundesgericht annulliert dabei gegebenenfalls aber nicht die beanstandete Norm als solche, sondern lediglich den gestützt darauf ergangenen Anwendungsakt (<ref-ruling> E. 2 S. 291, mit Hinweisen). Eine ausdrückliche Feststellung der Verfassungswidrigkeit der Bestimmung im Dispositiv ist mit Blick auf die kassatorische Natur der staatsrechtlichen Beschwerde nicht möglich und nicht nötig.
cc) Nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss die staatsrechtliche Beschwerde nebst den wesentlichen Tatsachen eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein sollen. Das Bundesgericht prüft auf staatsrechtliche Beschwerde hin nur klar und detailliert erhobene Rügen hinsichtlich konkreter Verletzungen verfassungsmässiger Rechte; auf nicht substantiierte Vorbringen und rein appellatorische Kritik tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3c S. 43; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. b). Den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügt nicht, wenn der Betroffene einfach im Rahmen pauschaler Vorbringen behauptet, der angefochtene Entscheid sei verfassungswidrig; er muss vielmehr in Auseinandersetzung mit der Begründung der letzten kantonalen Instanz dartun, inwiefern dies der Fall sein soll. Soweit die vorliegende Eingabe diesen Anforderungen nicht genügt - der Beschwerdeführer etwa einfach seine Sicht der Dinge derjenigen des Sicherheitsdepartements gegenüberstellt -, ist darauf nicht weiter einzugehen.
2.- Der Beschwerdeführer macht geltend, das Sicherheitsdepartement habe ihm in willkürlicher Anwendung von § 201 Abs. 2 VRG/LU eine Parteientschädigung verweigert. Das Amt für Migration habe mit der Ablehnung des Nachzugsgesuchs offenbar Recht im Sinne dieser Bestimmung verletzt, wie er dies in seiner Beschwerdeschrift im Einzelnen dargelegt habe. Die Tochter D. sei bereits 22 Jahre alt gewesen, als das Gesuch um Familiennachzug für die Ehefrau und den Sohn C. gestellt worden sei. Aufgrund von deren Selbstbestimmungsrecht habe er sie nicht in sein Gesuch einbeziehen können, was auch dem Amt für Migration habe "sonnenklar" sein müssen. Gemäss <ref-law> habe jede Person in Verfahren vor Verwaltungsinstanzen Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung, was voraussetze, dass sie im Falle des Obsiegens nicht mit Kosten belastet werde. Dasselbe ergebe sich aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK "im Sinne des fair trial".
3.- Die Kritik des Beschwerdeführers ist unberechtigt und der angefochtene Entscheid verfassungsrechtlich haltbar:
a) aa) Nach der Rechtsprechung besteht kein allgemein anerkannter Rechtsgrundsatz, wonach der in einem Verwaltungsbeschwerdeverfahren obsiegenden, durch einen Anwalt vertretenen Partei eine Entschädigung zugesprochen werden muss. Ein solcher ergab sich nach konstanter Praxis bisher insbesondere nicht unmittelbar aus Art. 4 aBV. Das Bundesgericht hat wiederholt festgestellt, dass die Kantone im Rahmen der ihnen zustehenden gesetzgeberischen Gestaltungsfreiheit jene Entschädigungsregelung wählen können, die sie für richtig und angemessen halten (<ref-ruling> E. 1; Urteil des Bundesgerichts vom 14. Juni 1985 i.S. H.R.B., E. 2a, veröffentlicht in ZBl 86/1985 S. 508; siehe ferner <ref-ruling> E. 1b, mit Hinweisen; unveröffentlichte Urteile vom 17. Mai 1999 i.S. A., E. 2a, vom 23. Oktober 1998 i.S. A., E. 3, vom 16. Mai 1997 i.S. T., E. 2). Hieran hat sich mit <ref-law> nichts geändert; dieser geht insofern nicht weiter als Art. 4 aBV (so unter Berücksichtigung der Materialien das unveröffentlichte Urteil vom 17. Mai 2000 i.S. P.
c. OberGer. BE, E. 2b/ bb). Die Strassburger Organe haben unter dem Gesichtswinkel des Anspruchs auf Zugang zu einem Gericht aus Art. 6 EMRK ihrerseits nicht abgeleitet, dass die obsiegende Partei Anspruch auf Erstattung ihrer Kosten haben müsse (Haefliger/Schürmann, Die Europäische Menschenrechtskonvention und die Schweiz, Bern 1999, S. 147; Mark E.
Villiger, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention [EMRK], Zürich 1999, Rz. 402; Frowein/Peukert, Europäische Menschenrechtskonvention, EMRK-Kommentar, 2. Aufl. , Kehl/Strassburg/Arlington 1996, Rz. 63 zu Art. 6, S. 206; Entscheide der Kommission vom 28. November 1994 i.S. Aires c.
Portugal und vom 27. Februar 1995 i.S. dello Preite c.
Italien; unveröffentlichte Urteile des Bundesgerichts vom 17. Mai 2000 i.S. P., E. 2b/bb, vom 17. Mai 1999 i.S. A., E. 2c; vom 22. Februar 1995 i.S. B., E. 3).
bb) Das Luzerner Recht (§ 201 VRG) unterscheidet zwischen Verfahren, an denen Parteien "mit gegensätzlichen Interessen" beteiligt sind, und den anderen. Nur bei diesen besteht ein Anspruch der obsiegenden gegenüber der unterliegenden Partei auf Entschädigung. In den anderen Fällen ist eine angemessene Vergütung für die Vertretungskosten der obsiegenden Partei bloss geschuldet, wenn der Vorinstanz "grobe Verfahrensfehler" oder "offenbare Rechtsverletzungen" zur Last fallen. Diese Regelung ist in der Literatur mit guten Gründen als wenig befriedigend kritisiert worden (Martin Bernet, Die Parteientschädigung in der schweizerischen Verwaltungsrechtspflege, Diss. Zürich 1986, S. 104 ff.), doch geht auch dieser Autor davon aus, dass eine sachgerechtere Lösung durch den Gesetzgeber zu schaffen sei (a.a.O., S. 113). Aus Art. 4 aBV bzw. <ref-law> lässt sich indessen - wie dargelegt - ein Anspruch der obsiegenden Partei auf Entschädigung nicht ableiten, weil es sich hierbei nicht um ein unerlässliches Element eines rechtsstaatlichen Verfahrens handelt, ohne das der Zugang zu einem Gericht nicht nur erschwert, sondern geradezu vereitelt würde. Erst dies liefe aber auf eine mit Art. 4 aBV bzw.
<ref-law> unvereinbare Rechtsverweigerung hinaus (Bernet, a.a.O., S. 62; so zu § 201 Abs. 2 VRG/LU bereits das unveröffentlichte Urteil vom 17. Mai 1999 i.S. A., E. 2b).
b) Zu prüfen bleibt, ob das Sicherheitsdepartement § 201 Abs. 2 VRG/LU willkürlich angewandt hat und die Ablehnung des Entschädigungsbegehrens in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (vgl. <ref-ruling> E. 2):
aa) Der Beschwerdeführer verfügt in der Schweiz über eine Aufenthaltsbewilligung, auf deren Erteilung oder Verlängerung er keinen Anspruch hat. Auch sein Gesuch um Familiennachzug beruhte daher - selbst wenn die Voraussetzungen von Art. 38 ff. BVO erfüllt waren (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 96) - nicht auf einem solchen (vgl. Art. 17 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer [ANAG; SR 142. 20]), weshalb die kantonalen Behörden darüber nach "freiem Ermessen" entscheiden konnten (vgl. Art. 4 ANAG). Das Amt für Migration hielt sich an die Praxis der ihm vorgesetzten Behörde, wonach bei ausländischen Personen, die bloss über eine Aufenthaltsbewilligung verfügen, der Familiennachzug aus Integrationsgründen grundsätzlich nur bewilligt werden soll, wenn er den Ehepartner und sämtliche Kinder umfasst und diese höchstens 16 Jahre alt sind (LGVE 1999 III Nr. 3). Sah es gestützt hierauf ursprünglich von der Bewilligung ab, war dies - was das Bundesgericht nicht zu beurteilen hat (vgl.
Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG) - allenfalls nicht sachgerecht; das Sicherheitsdepartement durfte seinerseits indessen willkürfrei annehmen, dass mit Blick auf das dem Amt im Rahmen von Art. 4 ANAG zustehende Ermessen eine qualifizierte Rechtsverletzung im Sinne von § 201 Abs. 2 VRG/LU nicht dargetan sei. Der Beschwerdeführer stützte seine abweichende Auffassung auf verschiedene angeblich anspruchsbegründende Normen (Art. 8 EMRK, Art. 11 Abs. 1 UN-Kinderrechtskonvention usw.), die in seinem Fall klarerweise nicht zum Tragen kamen. Bestand kein Anspruch auf den beantragten Nachzug, war es nicht offensichtlich unhaltbar, ihm - trotz nachträglich erteilter Bewilligung - für das abgeschriebene Beschwerdeverfahren keine Entschädigung zuzusprechen.
bb) Dies gilt umso mehr, als sich der Sachverhalt zwischen dem ersten und dem zweiten Entscheid des Amtes für Migration auch insofern verändert hat, als der Sohn, der hier bereits ohne die erforderliche Bewilligung eingeschult worden war, während des Beschwerdeverfahrens eine überdurchschnittliche Leistung erbracht und sich relativ rasch integriert hatte, weshalb ihn die mit der Bewilligungsverweigerung verbundene Pflicht, die Schweiz zu verlassen, nunmehr schwerer getroffen hätte als die Verweigerung der Einreise im Rahmen des Familiennachzugs. Zwar wendet der Beschwerdeführer ein, "sämtliche Umstände seien während des gesamten Verfahrens gleich geblieben"; er gesteht aber selber zu, das dies insofern nicht gilt, als "dass sein Sohn C. bereits mit grossem Erfolg die Kantonsschule in E._ besuchte und als fremdsprachiger Neueinsteiger bereits nach einem Semester die Hürde geschafft hatte (nicht mehr als 1 1/2 Mangelpunkte) und damit ins zweite Semester einsteigen konnte". Das Amt für Migration hat gerade dies im Rahmen seines freien Ermessens zum Anlass genommen, die Angelegenheit noch einmal - zugunsten des Beschwerdeführers - zu prüfen. Auch vor diesem Hintergrund ist es verfassungsrechtlich zulässig, wenn dem Beschwerdeführer für das dadurch hinfällig gewordene Beschwerdeverfahren keine Parteientschädigung zugesprochen wurde. Der vorliegende Fall kann in keiner Weise mit dem in <ref-ruling> ff. beurteilten verglichen werden, wo die von einer 73-jährigen Beschwerdeführerin erstrittene, lebenswichtige Rente von Fr. 466.-- pro Monat ohne Parteientschädigung während mehr als zwei Jahren für die Bezahlung der Anwaltskosten hätte verwendet werden müssen.
4.- a) Die staatsrechtliche Beschwerde erweist sich damit als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist.
b) Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 153 und Art. 153a OG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (vgl. Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration und dem Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 12. Juli 2001
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: