Faits:
A.
Par lettre du 22 novembre 2012, l'Hospice général a signalé au Tribunal tutélaire du canton de Genève (actuellement: Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant [TPAE]) que A._ ne pouvait plus gérer ses affaires administratives et financières en raison de son état de santé; il s'est référé au surplus à un certificat médical du Dr C._, médecin traitant de l'intéressée depuis 1999.
Le 15 janvier 2013, le TPAE a entendu l'assistante sociale auprès de l'Hospice général, la personne concernée et son médecin traitant; le 18 janvier 2013, il a nommé un curateur d'office à l'intéressée, laquelle a recouru sans succès contre cette mesure.
Le 25 juin 2013, le TPAE a entendu de nouveau la personne concernée ainsi que le Dr B._ en qualité de témoin; celui-ci a déclaré avoir suivi l'intéressée de septembre 2009 à décembre 2009, diagnostiquant un trouble délirant persistant dont elle était anosognosique; le suivi médical a ensuite été interrompu après que le médecineut préconisé un traitement médicamenteux (neuroleptique). Également entendu, le curateur a déclaré que l'intéressée n'avait pas de patrimoine et s'en est rapporté à justice quant aux mesures à prendre.
B.
B.a. Par décision du 15 juillet 2013, le TPAE a notamment institué une mesure de curatelle de portée générale en faveur de A._ et lui a désigné deux collaboratrices du Service de protection de l'adulte en qualité de co-curatrices. Cette autorité a considéré que l'intéressée souffrait d'un grave trouble psychiatrique, enraciné depuis de nombreuses années, qui était de nature à l'empêcher totalement de gérer ses affaires et de disposer d'une compréhension appropriée des situations auxquelles elle se trouvait confrontée; son état de santé, dont elle était anosognosique, expliquait son refus systématique de se soigner et induisait des comportements de nature à porter atteinte à ses propres intérêts (demande d'indemnités de chômage auxquelles elle n'a pas droit, refus d'aide sociale), ayant pour conséquence une absence totale de source de revenus.
B.b. Par acte du 8 août 2013, A._ a appelé de cette décision. Statuant le 7 octobre 2013, la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté le recours et confirmé la décision attaquée.
C.
Par acte du 7 novembre 2013, A._ exerce un recours " précautionnel " en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision de la cour cantonale, dont elle demande en substance l'annulation; elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire et l'octroi d'une " prolongation du délai de recours d'une nouvelle période de 30 jours pour qu'un avocat puisse présenter des écritures bien fondées et une argumentation bien étayée ".
Invités à répondre, l'autorité précédente s'est référée aux considérants de son arrêt, alors que le TPAE ne s'est pas déterminé.
D.
Par courrier du 8 novembre 2011, le Président de la IIe Cour de droit civil a informé la recourante que la loi ne permettait pas de prolonger le délai - légal - de recours (<ref-law>).

Considérant en droit:
1.
Le recours a été déposé dans le délai légal (<ref-law>) contre une décision rendue en matière de protection de l'adulte (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance ayant statué sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF); la personne concernée, dont les conclusions ont été rejetées par la juridiction précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>).
2.
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il fonde sa décision sur les faits constatés par la juridiction précédente (<ref-law>), à moins que le recourant ne démontre, conformément au principe d'allégation (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2 et les arrêts cités), que ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.5), ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
3.
Nonobstant l'absence d'une expertise, la cour cantonale a retenu qu'il ressortait des éléments du dossier et de l'audition des médecins que la recourante souffre d'un trouble délirant persistant, enraciné depuis de nombreuses années, dont elle est anosognosique, un tel trouble étant de nature à l'empêcher totalement de gérer ses affaires et de disposer d'une compréhension appropriée aux situations auxquelles elle se trouve confrontée. Son refus systématique de prendre des médicaments s'explique par son état de santé et induit des comportements susceptibles de porter atteinte à ses intérêts, par exemple en s'obstinant à vouloir percevoir des indemnités de chômage indues et en refusant l'aide sociale. Considérant que l'allégation de la recourante, selon laquelle elle s'estime capable de gérer elle-même ses biens et de sauvegarder ses droits, est contredite par les éléments qui figurent au dossier, l'autorité cantonale en a conclu que l'intéressée a particulièrement besoin d'aide en raison de son trouble psychique, qui la rend incapable de gérer ses affaires. La mesure ordonnée par le TPAE sert dès lors l'intérêt de la personne concernée et apparaît nécessaire et appropriée.
4.
La recourante critique d'abord les constatations de fait de la décision attaquée quant à sa capacité de discernement et à son besoin d'assistance, faisant valoir en substance que les conditions d'une mise sous curatelle ne sont pas remplies. En outre, elle se plaint implicitement de la violation de l'art. 446 al. 2, 3e phrase CC, dès lors qu'elle reproche aux autorités cantonales d'avoir ordonné la mesure sans avoir procédé à la moindre expertise. Il convient d'examiner ce grief en premier.
4.1. L'autorité cantonale a exposé que, pour déterminer l'existence de troubles psychiques ou d'une déficience mentale, l'autorité de protection, qui établit les faits d'office (<ref-law>), peut ordonner, si elle l'estime nécessaire, un rapport d'expertise (art. 446 al. 2 in fine CC). Elle a toutefois considéré qu'une telle mesure probatoire ne s'imposait pas dans le cas présent, au vu des éléments du dossier et de l'audition des médecins, qui font ressortir " que la recourante souffre d'un trouble délirant persistant, enraciné depuis de nombreuses années, dont elle est anosognosique ".
4.2. Sous l'empire du droit antérieur, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2012, l'interdiction pour cause de maladie mentale ou de faiblesse d'esprit ne pouvait être prononcée que sur un rapport d'expertise (art. 374 al. 2 aCC). L'actuel <ref-law> prévoit que l'autorité de protection de l'adulte établit les faits d'office (al. 1er) et procède à la recherche et à l'administration des preuves nécessaires (al. 2, 1ère phrase); elle peut charger une tierce personne ou un service d'effectuer une enquête (al. 2, 2e phrase) et, si nécessaire, ordonner un rapport d'expertise (al. 3, 3e phrase).
S'agissant de l'exigence d'une expertise, le Message du Conseil fédéral du 28 juin 2006 concernant la révision du code civil suisse (Protection de l'adulte, droit des personnes et droit de la filiation; FF 2006 p. 6635 ss) expose que, si " l'autorité n'a pas les connaissances nécessaires pour traiter un cas, elle doit faire appel à un expert ", ce qui " peut s'avérer indispensable en particulier [...] pour la limitation de l'exercice des droits civils en raison d'un trouble psychique ou d'une déficience mentale "; se référant à l'ancien droit, il précise encore que, en dérogation à l'<ref-law>, il n'y a pas lieu de faire obligatoirement appel à un expert externe " si l'un des membres de l'autorité qui participe à la décision dispose des connaissances nécessaires " ( ibid., p. 6711 ad art. 446).
Se ralliant à cette approche, la doctrine préconise aussi le recours à une expertise lorsqu'aucun membre de l'autorité appelée à statuer ne dispose des connaissances nécessaires et que la mesure emporte des restrictions de l'exercice des droits civils en raison d'un trouble psychique ou d'une déficience mentale (Auer/Marti, in : Basler Kommentar, Erwachsenenschutz, 2012, n° 19 ad <ref-law>; Bohnet, Autorités et procédure en matière de protection de l'adulte, in : Le nouveau droit de la protection de l'adulte, 2012, n° 130; Fassbind, Erwachsenenschutz, 2012, p. 115 s.; Meier/Lukic, Introduction au nouveau droit de protection de l'adulte, 2011, n° 109 et 403; Steck, in : Commentaire du droit de la famille, Protection de l'adulte, 2013, n° 13 ad <ref-law>; idem, in : Das neue Erwachsenenschutzrecht, 2011, n° 6 ad <ref-law>).
4.3. Dans le cas particulier, la recourante fait l'objet d'une curatelle de portée générale (<ref-law>) - c'est-à-dire la mesure la plus lourde du nouveau droit de la protection de l'adulte ( cf. FF 2006 p. 6681) - en raison de son trouble psychique (<ref-law>). Cette décision a été rendue, sans expertise, sur la base des " éléments du dossier " et de " l'audition des médecins ", en l'occurrence des médecins traitants de l'intéressée. Par ailleurs, il ne ressort pas de la décision attaquée - et la cour cantonale ne l'affirme pas non plus - que l'un des membres de l'autorité appelée à statuer posséderait les connaissances médicales nécessaires pour conclure au trouble psychique justifiant la mesure de curatelle en question. Dans ces circonstances, l'autorité de protection de l'adulte ne pouvait statuer sans recourir à une expertise externe et indépendante; la décision de la Chambre de surveillance, qui retient le contraire, viole dès lors le droit fédéral.
L'admission du grief pris du défaut d'expertise scelle le sort du présent recours. La décision entreprise doit être annulée et la cause renvoyée au Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant, qui devra ordonner une expertise, à moins qu'un de ses membres n'ait les connaissances nécessaires; il n'est pas opportun de renvoyer l'affaire à la Chambre de surveillance, qui n'aurait d'autre choix que de transmettre à son tour le dossier à l'autorité de première instance (art. 107 al. 2, 2e phrase, LTF), d'autant que la recourante doit bénéficier de deux degrés de juridiction avec une pleine cognition.
5.
Le présent arrêt est rendu sans frais (<ref-law>). La requête d'assistance judiciaire de la recourante, qui a procédé sans le concours d'un avocat et obtenu gain de cause, devient sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée au Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est sans objet.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, au Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève et à la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 13 janvier 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
Le Greffier: Braconi