Strafverfahren, hat sich ergeben:
A.- Mit Urteil vom 29. Oktober 1997 erklärte das Obergericht des Kantons Zürich X._ des Mordes im Sinne von Art. 112 StGB sowie des unvollendeten Mordversuches im Sinne von Art. 112 in Verbindung mit Art. 21 Abs. 2 StGB schuldig, verurteilte ihn zu einer Zuchthausstrafe von 16 Jahren unter Anrechnung der bereits erstandenen Haft und ordnete eine ambulante Massnahme im Sinne von Art. 43 Ziff. 1 Abs. 1 StGB während des Strafvollzuges an. Gegen dieses Urteil führte X._ sowohl eidgenössische wie auch kantonale Nichtigkeitsbeschwerde. Mit Beschluss vom 5. Juli 1999 wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Das Bundesgericht hiess mit Urteil vom 23. November 1999 die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde gut, soweit es darauf eintrat, hob das Urteil des Obergerichts vom 29.
Oktober 1997 auf und wies die Sache zum Schuldspruch wegen vorsätzlicher Tötung und Versuchs dazu an die Vorinstanz zurück. Eine gegen den Beschluss des Kassationsgerichts vom 5. Juli 1999 gerichtete staatsrechtliche Beschwerde von X._ wies das Bundesgericht mit Urteil vom 23.
November 1999 ab, soweit es darauf eintrat.
B.- Mit Urteil vom 5. Juli 2000 erklärte das Obergericht des Kantons Zürich X._ der vorsätzlichen Tötung im Sinne von Art. 111 StGB sowie des unvollendeten Versuchs der vorsätzlichen Tötung im Sinne von Art. 111 in Verbindung mit Art. 21 Abs. 2 StGB schuldig und verurteilte ihn zu einer Strafe von 11 Jahren Zuchthaus unter Anrechnung der bereits erstandenen Haft. Ferner ordnete es eine ambulante Massnahme im Sinne von Art. 43 Ziff. 1 Abs. 1 StGB während des Strafvollzugs an. Gegen dieses Urteil erhob X._ wiederum sowohl eidgenössische als auch kantonale Nichtigkeitsbeschwerde.
Die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde wurde innert Frist nicht begründet. Auf die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde trat das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 1. Juni 2001 nicht ein. Das Kassationsgericht führte aus, das Obergericht habe in seinem Urteil vom 5. Juli 2000 bezüglich des Sachverhalts vollumfänglich auf die Erwägungen in seinem ersten Urteil vom 29. Oktober 1997 verwiesen und diese zum Bestandteil des neuen Urteils erklärt. Das Obergericht sei an die rechtliche Begründung des bundesgerichtlichen Kassationsentscheids gebunden gewesen. Im Rahmen des erneuten obergerichtlichen Verfahrens habe kein Raum bestanden, den der rechtlichen Würdigung durch das Bundesgericht und dem entsprechenden Rückweisungsentscheid zugrundeliegenden Sachverhalt erneut in Frage zu stellen.
C.- Gegen den Beschluss des Kassationsgerichts erhob X._ am 12. Juli 2001 staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner beantragt er die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und der amtlichen Verteidigung. Er macht geltend, es treffe nicht zu, dass sich sämtliche Rügen in der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde auf Sachverhaltsfeststellungen bezogen hätten.
Zur Hauptsache sei eine Verletzung des rechtlichen Gehörs gerügt worden, indem ihm der Ablauf der eigentlichen Tötung erst anlässlich der öffentlichen Urteilsberatung erstmals dargelegt worden sei. Implizit sei damit eine Verletzung des Anklageprinzips gerügt worden. Das Obergericht habe (in seinem Urteil vom 5. Juli 2000) nicht geprüft, ob dem Anklageprinzip Genüge getan sei, weshalb dem Beschwerdeführer nichts anderes übrig geblieben sei, als diese Frage dem Kassationsgericht zur Prüfung vorzulegen. Dieses habe die Frage einer Verletzung des Anklageprinzips nicht geprüft und habe somit das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt (Art. 29 Abs. 2 BV).
D.- Das Kassationsgericht und das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Der angefochtene Beschluss des Kassationsgerichts ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 und Art. 87 OG). Für die vom Beschwerdeführer gerügte Verletzung des rechtlichen Gehörs ist die staatsrechtliche Beschwerde zulässig. Der Beschwerdeführer ist durch den angefochtenen Nichteintretensentscheid in seinen rechtlich geschützten eigenen Interessen betroffen und hat ein aktuelles Interesse an dessen Aufhebung (Art. 88 OG). Da auch die übrigen formellen Voraussetzungen erfüllt sind, ist auf die staatsrechtliche Beschwerde einzutreten.
2.- a) In seiner gegen das Urteil des Obergerichts vom 5. Juli 2000 gerichteten kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht brachte der Beschwerdeführer zwei Rügen hinsichtlich des Sachverhalts vor, nämlich einerseits hinsichtlich des physikalisch/medizinisch möglichen Tatablaufs und andererseits hinsichtlich des zeitlichen Tatablaufs.
Er machte ferner geltend, er habe sich zu dem vom Obergericht seinem Urteil vom 5. Juli 2000 zugrunde gelegten Sachverhalt nie äussern können, da er erst anlässlich der Urteilsbegründung durch das Obergericht damit konfrontiert worden sei. Hierin liege eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs.
b) Seinem Urteil vom 5. Juli 2000 legte das Obergericht ausdrücklich seine Ausführungen zum Sachverhalt auf den Seiten 28 bis 179 des Urteils vom 29. Oktober 1997 zugrunde.
Es führte aus, es habe sich im ersten Urteil vom 29. Oktober 1997 eingehend mit dem eingeklagten Sachverhalt auseinander gesetzt und dabei erschöpfend zu den Bestreitungen des Angeklagten Stellung genommen, welche dieser auch im zweiten Verfahren vor Obergericht aufrecht erhalten habe; es sei deshalb vom Sachverhalt auszugehen, der im aufgehobenen Obergerichtsurteil als erstellt betrachtet worden sei.
c) Das Kassationsgericht hat im angefochtenen Beschluss darauf Bezug genommen und erklärt, sämtliche Rügen der gegen das Urteil des Obergerichts vom 5. Juli 2000 erhobenen Nichtigkeitsbeschwerde würden sich auf Sachverhaltsfeststellungen im ersten obergerichtlichen Urteil beziehen.
Nach der Aufhebung des ersten obergerichtlichen Urteils durch das Bundesgericht und der Rückweisung der Sache "zum Schuldspruch wegen vorsätzlicher Tötung und Versuchs dazu" habe kein Raum bestanden, den der rechtlichen Würdigung durch das Bundesgericht und dem entsprechenden Rückweisungsentscheid zugrundeliegenden Sachverhalt erneut in Frage zu stellen.
d) Mit der in der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde gegen das Urteil vom 5. Juli 2000 enthaltenen Rüge, der Beschwerdeführer habe sich zu dem diesem Urteil zugrunde gelegten Sachverhalt nicht äussern können, hat sich das Kassationsgericht im angefochtenen Beschluss nicht ausdrücklich auseinander gesetzt, was der Beschwerdeführer mit seiner staatsrechtlichen Beschwerde als Verletzung des rechtlichen Gehörs rügt. Er behauptet nicht, kantonale Verfahrensvorschriften seien dabei verletzt worden, weshalb einzig - und zwar mit freier Kognition - zu prüfen ist, ob das Kassationsgericht den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör, wie er in Art. 29 Abs. 2 BV gewährleistet ist, verletzt hat.
e) Das rechtliche Gehör als persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, sorgfältig und ernsthaft prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die grundsätzliche Pflicht der Behörden, ihren Entscheid zu begründen (<ref-ruling> E. 2b S. 109 mit Hinweisen). Aufgrund dieses allgemeinen verfassungsrechtlichen Anspruchs lassen sich allerdings keine generellen Regeln aufstellen, denen eine Begründung zu genügen hätte. Die Anforderungen sind unter Berücksichtigung aller Umstände sowie der Interessen des Betroffenen im Blick auf die von der Rechtsprechung des Bundesgerichts entwickelten Grundsätze festzulegen. Danach muss die Begründung eines Entscheids so abgefasst sein, dass der Betroffene ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann.
Dies ist nur dann möglich, wenn sowohl er wie auch die Rechtsmittelinstanz sich über die Tragweite des Entscheids ein Bild machen können. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde leiten liess und auf welche sich ihr Entscheid stützt. Das bedeutet indessen nicht, dass sich diese ausdrücklich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinander setzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 2b S. 110 mit Hinweisen).
f) Das Kassationsgericht hat sich im angefochtenen Beschluss massgeblich auf den Umstand gestützt, dass das Obergericht seine Sachverhaltsfeststellung aus seinem Urteil vom 29. Oktober 1997 übernommen hatte und damit von dem gleichen Sachverhalt ausgegangen war, den das Obergericht bereits seinem Urteil vom 29. Oktober 1997 zugrunde gelegt hatte. Damit war der Rüge des Beschwerdeführers, er habe sich zu dem vom Obergericht in seinem Urteil vom 5. Juli 2000 angenommenen Sachverhalt nicht äussern können, die Grundlage entzogen. Da das Obergericht in seinem zweiten Urteil von dem gleichen Sachverhalt ausging wie in seinem ersten Urteil, welches diesbezüglich vom Bundesgericht nicht beanstandet worden war, hatte das Obergericht keinen Anlass, den Beschwerdeführer zum Ablauf der Tötung nochmals anzuhören.
Dem Urteil des Obergerichts vom 5. Juli 2000 (S. 12) ist im Übrigen zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer seine Bestreitungen hinsichtlich des eingeklagten Sachverhalts auch im zweiten obergerichtlichen Verfahren aufrecht erhalten hat. Daraus geht hervor, dass er sich auch im zweiten obergerichtlichen Verfahren zum Sachverhalt äussern konnte, der vom Obergericht seinem ersten Urteil zugrunde gelegt worden war. Aus den Ausführungen des Kassationsgerichts zur Übernahme der Sachverhaltsfeststellungen ergibt sich somit ohne weiteres, dass das Obergericht den Gehörsanspruch des Beschwerdeführers nicht verletzt hat. Dann aber kann auch dem Kassationsgericht keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorgeworfen werden.
3.- Der Beschwerdeführer macht im weiteren geltend, er habe mit seiner Rüge einer Verletzung des rechtlichen Gehörs implizit eine Verletzung des Anklageprinzips gerügt und dem Kassationsgericht die Frage unterbreitet, ob dem Anklageprinzip Genüge getan worden sei. Das Kassationsgericht habe diese Frage nicht geprüft und damit eine weitere Verletzung seines Gehörsanspruchs begangen.
a) Es trifft zwar zu, dass sich der Anklagegrundsatz aus dem verfassungsmässig gewährleisteten Prinzip der Gehörsgewährung herleitet (<ref-ruling> E. 3cc S. 458 zu Art. 4 aBV). Der Beschwerdeführer hat sich jedoch in der Begründung seiner kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht nicht auf den Anklagegrundsatz berufen und keine Verletzung desselben geltend gemacht, sondern eine Verletzung des rechtlichen Gehörs nur aufgrund des Umstandes gerügt, dass er sich zu dem vom Obergericht in seinem Urteil vom 5. Juli 2000 angenommenen Tatablauf nicht habe äussern können. Die Rüge der Verletzung des Anklagegrundsatzes war in dieser Rüge auch nicht implizit enthalten. Ferner legt der Beschwerdeführer nicht dar und es ist auch nicht ersichtlich, woraus sich eine Pflicht des Kassationsgerichts ergeben hätte, sich von Amtes wegen mit der Frage der Einhaltung des Anklagegrundsatzes zu befassen, nachdem dem angefochtenen Urteil des Obergerichts vom 5. Juli 2000 der gleiche Sachverhalt zugrunde lag wie dem früheren Urteil des Obergerichts.
b) Aus der vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang angerufenen Rechtsprechung des Bundesgerichts zur Tragweite des Rückweisungsentscheids (<ref-ruling> E. 4 S. 104 ff.) ergibt sich nichts anderes. Das Bundesgericht hat sich in diesem Entscheid mit der Tragweite der Bindungswirkung gemäss Art. 277ter BStP für den Bereich der Sanktionen auseinander gesetzt. Es hielt fest, dass das aufgehobene Urteil nicht nur in dem Punkte abzuändern sei, der unmittelbar Gegenstand des durch das Bundesgericht auf Nichtigkeitsbeschwerde hin gefällten Urteils bilde. Gegebenenfalls seien auch weitere Urteilspunkte abzuändern, auf die sich die andere Beurteilung einer Rechtsfrage durch das Bundesgericht in der Weise auswirke, dass sich in diesen sonst ein bundesrechtswidriger Entscheid der kantonalen Instanz ergäbe. Auch solche mittelbare Auswirkungen der rechtlichen Begründung der Kassation erlaubten der kantonalen Instanz und verpflichteten sie zugleich, ihren durch das Bundesgericht aufgehobenen Entscheid entsprechend abzuändern.
c) Das Bundesgericht hat die Taten des Beschwerdeführers nicht als Mord und unvollendeten Mordversuch, sondern als vorsätzliche Tötung und unvollendeten Versuch der vorsätzlichen Tötung qualifiziert. Dabei ist es von dem Sachverhalt ausgegangen, den das Obergericht seinem Urteil vom 29. Oktober 1997 zugrunde gelegt hatte, ist aber in Abwägung aller für und gegen den Beschwerdeführer sprechenden Umstände zum Ergebnis gelangt, dass ihm entgegen der Ansicht der Vorinstanz kein Mord im Sinne von Art. 112 StGB vorgeworfen werden könne. Von Bedeutung waren für diese Würdigung des Bundesgerichts insbesondere das Motiv des Beschwerdeführers, seine Abhängigkeit von dem Mitbeteiligten A._ und die Ausnahmesituation, in der sich der Beschwerdeführer im Tatzeitpunkt befand. Gesamthaft gesehen überwogen für das Bundesgericht die Argumente, die gegen einen gemütskalten Egoismus und eine besondere Skrupellosigkeit des Beschwerdeführers sprachen. Angesichts dieser Würdigung des Bundesgerichts, welche hinsichtlich des Sachverhalts keine Abweichung von den Feststellungen des Obergerichts beinhaltete, hatte das Obergericht im Rückweisungsverfahren keinen Anlass, von sich aus die Frage zu prüfen, ob dem Anklagegrundsatz Genüge getan war. Dasselbe gilt für das Kassationsgericht.
4.- Zusammenfassend erweist sich die staatsrechtliche Beschwerde als unbegründet. Sie ist daher abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Seinem Antrag auf Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung kann nicht entsprochen werden, da die staatsrechtliche Beschwerde als von vornherein aussichtslos zu betrachten ist (Art. 152 Abs. 1 OG). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr kann auf die bescheidenen finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers Rücksicht genommen werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
2.- Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.- Dem Beschwerdeführer wird eine Gerichtsgebühr von Fr. 700.-- auferlegt.
4.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Obergericht, II. Strafkammer, der Staatsanwaltschaft und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 31. Oktober 2001
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: