Sachverhalt:
A.
A.a. Die A._ AG mit Sitz in Köniz (BE) bezweckt den Betrieb eines Logistikunternehmens, namentlich im Bereich der Luftfahrt, sowie die Erbringung aller damit zusammenhängenden Dienstleistungen. Die Gesellschaft wurde per 20. September 2007 ins Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragen. Alleinaktionär war X._ mit Wohnsitz in Freienbach (SZ). Er hielt zudem eine Beteiligung von 54.9 % (Stand per 31. Dezember 2011) an der B.a._ Holding AG (am 20. April 2012 umfirmiert in B.b._ Holding AG) mit Sitz in Rorschacherberg (SG), deren aktiver Verwaltungsratspräsident er war. Die B.a._ Holding AG hielt sämtliche Aktien der B.a._ AG (am 6. März 2012 umfirmiert in B.b._ AG) mit Sitz in Rorschacherberg.
A.b. Anlässlich einer Kontrolle im Juni 2009 bei der A._ AG betreffend die Steuerperioden vom 3. Quartal 2007 bis zum 1. Quartal 2009 stellte die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV) fest, das Hauptaktivum in der Bilanz der A._ AG, ein Flugzeug mit dem Kennzeichen xxxx, sei mittels eines zinslosen Darlehens von X._ erworben und anschliessend der C._ AG ins Aircraft-Management übergeben worden. Die C._ AG habe Flugleistungen für die A._ AG sowie für von dieser und X._ unabhängige Dritte erbracht. Für die Flüge von Drittkunden habe die C._ AG sämtliche operationellen Kosten getragen und der A._ AG eine nach Flugminuten ausgewiesene Mietentschädigung bezahlt; für ihre eigenen Flüge seien der A._ AG die Aufwendungen der C._ AG sowie angefallene Drittkosten (weiter-) verrechnet worden. Da das Flugzeug auch für nahestehende Personen ohne steuerbaren Zweck genutzt geworden sei, habe auf dem Umfang der entsprechenden Aufwendungen kein Anspruch auf Vorsteuerabzug bestanden. Infolge eines Nachlassverfahrens über die C._ AG habe die A._ AG den Aircraft-Management-Vertrag am 18. Dezember 2008 aufgelöst und das Flugzeug von der C._ AG abgezogen. Ab diesem Zeitpunkt habe die A._ AG keine steuerbaren Leistungen mehr getätigt, weshalb sie per 31. März 2009 aus dem Mehrwertsteuerregister zu löschen sei.
A.c. Mit Verfügung vom 31. Mai 2012 auferlegte die ESTV der A._ AG für die Steuerperioden vom 3. Quartal 2007 bis zum 1. Quartal 2009 (Zeitraum vom 20. September 2007 bis zum 31. März 2009) Mehrwertsteuern im Betrag von Fr. 407'535.-- zuzüglich die gesetzlichen Verzugszinsen seit dem 31. August 2008 (wobei die bereits geleisteten Zahlungen in der Höhe von gesamthaft Fr. 432'599.-- anzurechnen seien). Zudem stellte die ESTV fest, dass die A._ AG zu Recht mit Wirkung per 31. März 2009 aus dem Register der Mehrwertsteuerpflichtigen gestrichen worden sei.
Zur Begründung führte die ESTV im Wesentlichen an, der "Nachweis der geschäftlichen Verwendung" der Eigentümerflüge sei nicht erbracht. Es fehle deshalb gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung an einem Leistungsaustausch zwischen der A._ AG und X._, für den das Flugzeug verwendet worden sei. Dasselbe gelte für die Flüge, welche durch die B.a._ AG bezogen worden seien. Da diese eine hundertprozentige Tochtergesellschaft der B.a._ Holding AG sei, an welcher wiederum X._ eine Kapitalbeteiligung von rund 55 % halte, handle es sich bei der B.a._ AG um eine X._ nahestehende Person. Wie bei den Eigentümerflügen sei auch hier gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung nachzuweisen, dass die Flüge für einen geschäftsmässigen Zweck verwendet worden seien. Diesen Nachweis vermöge die A._ AG mangels vollständiger Passagierlisten, welche den Grund für den jeweiligen Flug angäben, nicht zu erbringen.
B.
Gegen die Verfügung der ESTV vom 31. Mai 2012 erhob die A._ AG Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht. Dieses hiess die Beschwerde mit Urteil vom 8. April 2013 gut, hob die Verfügung der ESTV auf und stellte fest, dass die Mehrwertsteuersubjektivität der A._ AG seit dem Zeitpunkt der ursprünglichen Eintragung (20. September 2007) zu Recht bestehe.
Das Bundesverwaltungsgericht erwog im Wesentlichen, die gewählte Rechtsgestaltung stelle keine Steuerumgehung dar. Die Umsätze aus Flügen für unabhängige Dritte seien unbestrittenermassen geschäftlicher Natur. Ferner bestehe zwischen den Parteien Einigkeit, dass die Flüge von X._ und Y._ privaten Zwecken gedient hätten. Streitig sei allein der geltend gemachte geschäftliche Charakter der Flugleistungen, welche an die B.a._ AG erbracht worden seien. In Bezug auf die Voraussetzungen der Steuerumgehung sei die ESTV beweisbelastet, wobei sie sich darauf beschränken könne darzulegen, dass keine wirtschaftlichen oder geschäftlichen Gründe für das Halten eines Flugzeugs ersichtlich seien. Dieser Beweis sei der ESTV nicht gelungen. Die B.a._ AG sei operativ tätig und deren Muttergesellschaft an der Börse kotiert. Zwar werde die B.a._ AG indirekt durch den Alleinaktionär der A._ AG beherrscht, doch könne sie im Rahmen ihres Gesellschaftszwecks keine privaten Flüge zu Gunsten von X._ als Aktionär beziehen. Die von der A._ AG an die B.a._ AG erbrachten Flugleistungen seien somit wie Drittflüge zu behandeln. Die ESTV hätte aufzeigen müssen, inwieweit auf Seiten der A._ AG keine wirtschaftlichen oder die Gesellschaft betreffenden Gründe für die gewählte Rechtsgestaltung vorliegen würden. Dies sei nicht geschehen, weshalb davon auszugehen sei, dass die A._ AG mit der Leistungserbringung an die B.a._ AG wirtschaftliche Ziele verfolgt habe. Es könne nicht angenommen werden, dass die A._ AG nur gegründet worden sei, um private Bedürfnisse ihres Alleinaktionärs zu befriedigen.
C.
Die ESTV erhebt am 13. Mai 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zum Entscheid über die Vorsteuerkürzungen und Nutzungsänderungen an das Bundesverwaltungsgericht, eventuell an sie selbst - die ESTV - zurückzuweisen. Zudem sei festzustellen, dass die Mehrwertsteuerpflicht der A._ AG ab dem 20. September 2007 zu Recht bestehe.
In der Beschwerdeschrift präzisiert die ESTV, sie akzeptiere die Erwägung (nicht aber die Begründung) des Bundesverwaltungsgerichts, wonach die Flüge der nahe stehenden B.a._ AG als zu geschäftlichen Zwecken erfolgt gelten könnten und daher steuerlich wie Drittflüge zu behandeln seien. Deswegen sei die A._ AG per 31. März 2009 nicht aus dem Register der Mehrwertsteuerpflichtigen zu streichen. Sie - die ESTV - akzeptiere auch die Auffassung (nicht aber die entsprechenden Schlussfolgerungen) des Bundesverwaltungsgerichts, wonach die A._ AG nicht "in erster Linie" oder "hauptsächlich" X._ als dem wirtschaftlich Berechtigten zu rein privaten Zwecken dienen sollte und effektiv auch nicht gedient habe. Aus diesem Grund könne der vorliegende Fall nicht grundsätzlich als Steuerumgehungsfall im Sinn der jüngsten bundesgerichtlichen Rechtsprechung behandelt werden. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts werde insofern angefochten, als darin erwogen werde, die steuerbaren Umsätze, welche aus den privaten Flügen von X._ und der ihm nahe stehenden Y._ resultiert hätten, würden zu keiner Kürzung des Vorsteuerabzugs führen. Zudem sei die Vorsteuerabzugskürzung eine notwendige Folge der spendenartigen Finanzierung der A._ AG; dieses Thema habe das Bundesverwaltungsgericht überhaupt nicht behandelt. Schliesslich wünsche sich die ESTV eine höchstrichterliche Klarstellung betreffend die Anforderungen an den Nachweis der geschäftlichen Verwendung eines Flugzeugs durch nahestehende Gesellschaften sowie betreffend die Beweislast.
D.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Die A._ AG beantragt in ihrer Beschwerdeantwort die Abweisung der Beschwerde; eventuell sei die Sache an die ESTV zur Neuberechnung der Vorsteuerabzugskürzung im Rahmen einer neuen Verfügung zurückzuweisen, dies ohne Weisungen des Bundesgerichts in Bezug auf die Methode bzw. das Mass der Kürzung. Das vorliegende Verfahren sei mit einem allfälligen Verfahren in Sachen D._ AG (Urteil des Bundesverwaltungsgerichts A-3696/2012 vom 14. Juni 2013) zu koordinieren.
Die ESTV hält mit Replik vom 16. August 2013 an ihren Anträgen fest.
Die A._ AG lässt sich mit Bemerkungen vom 25. Oktober 2013 vernehmen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>) und wurde vom Bundesverwaltungsgericht als einer zulässigen Vorinstanz erlassen (<ref-law>). Eine sachliche Ausnahme gemäss <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig.
1.2. Die ESTV ist als Verwaltungseinheit der zentralen Bundesverwaltung dem Eidgenössischen Finanzdepartement (EFD) unterstellt (Ziff. B.5.1.5 des Anhangs 1 zur Regierungs- und Verwaltungsorganisationsverordnung vom 25. November 1998 [RVOV; SR 172.010.1]. Soweit das Bundesrecht es vorsieht, sind die den Departementen untergeordneten Dienststellen zur Beschwerde berechtigt, wenn der angefochtene Akt die Bundesgesetzgebung in ihrem Aufgabenbereich verletzen kann (<ref-law>). Gemäss Art. 141 der Mehrwertsteuerverordnung vom 27. November 2009 (MWSTV; SR 641.201) ist die ESTV im Sinn von Artikel 89 Abs. 2 lit. a BGG zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt. Gleiches sieht Art. 4 Abs. 1 der Organisationsverordnung vom 17. Februar 2010 für das Eidgenössische Finanzdepartement (OV-EFD; SR 172.215.1) in Verbindung mit Art. 12 und Art. 13 OV-EFD vor. Die Legitimation der ESTV ist damit grundsätzlich gegeben.
1.3. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.4. Das Begehren der Beschwerdegegnerin, das Beschwerdeverfahren mit einem anderen beim Bundesgericht hängigen Verfahren zu koordinieren, kann nicht als Verfahrensantrag entgegengenommen werden, weil das objektive Recht keinen Anspruch auf Verfahrenskoordination vorsieht. Das Bundesgericht koordiniert Verfahren insbesondere dann, wenn sich in hängigen Verfahren die gleichen Rechtsfragen stellen.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
3.
Streitgegenstand ist das vorinstanzliche Urteil, soweit damit die Steuernachforderung gegenüber der Beschwerdegegnerin aufgehoben worden ist. Der Feststellungsantrag ist gegenstandslos, nachdem bereits die Vorinstanz festgestellt hat, dass die Mehrwertsteuerpflicht der Beschwerdegegnerin ab dem 20. September 2007 zu Recht bestehe.
3.1. Das Beschwerderecht der Bundesbehörden ist abstrakter und autonomer Natur (<ref-ruling> E. 1.2 S. 363). Es dient dazu, den Vollzug des Bundesverwaltungsrechts in den Kantonen und in der Bundesverwaltung zu überwachen, setzt aber kein hierüber hinausgehendes, spezifisches schutzwürdiges (öffentliches) Interesse voraus. Immerhin muss - mit Blick auf die einheitliche Anwendung des Bundesrechts in vergleichbaren Fällen - ein zureichendes Interesse an der Beurteilung der aufgeworfenen Probleme bestehen. Dies ist praxisgemäss (insbesondere) dann der Fall, wenn dem Gericht eine neue Rechtsfrage unterbreitet oder eine konkret drohende und nicht anders abwendbare bundesrechtswidrige Rechtsentwicklung verhindert werden soll. Die Behördenbeschwerde darf nicht der Behandlung einer vom konkreten Fall losgelösten abstrakten Frage des objektiven Rechts dienen. Sie hat sich vielmehr auf konkrete Probleme eines tatsächlich bestehenden Einzelfalls mit Auswirkungen über diesen hinaus zu beziehen; zudem muss sie für diesen von einer gewissen Aktualität und (wenigstens potentiellen) Relevanz sein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 341).
3.2. Die Beschwerdeführerin anerkennt die geschäftliche Natur der Flugleistungen, welche die Beschwerdegegnerin an die B.a._ AG erbracht hat. Aufgrund dieser Prämisse akzeptiert die Beschwerdeführerin die Einschätzung der Vorinstanz, wonach die Beschwerdegegnerin nicht in erster Linie ihrem Alleinaktionär gedient habe, und räumt ein, es liege keine Steuerumgehung vor.
Bei dieser Sachlage besteht kein Anlass, die Anforderungen an den Nachweis der geschäftlichen Verwendung eines Flugzeugs durch nahestehende Gesellschaften zu klären, wie die Beschwerdeführerin beantragt. Diese "Klärung" würde losgelöst vom vorliegenden Fall erfolgen, was, wie in E. 3.1 dargelegt, auch im Rahmen der Behördenbeschwerde nicht zulässig ist. Grundsätzlich ist nur das Dispositiv, nicht aber die Begründung eines Entscheids selbstständig anfechtbar (<ref-ruling> E. 1a S. 237 mit Hinweis), es sei denn, die Erwägungen würden an der Rechtskraft des Dispositivs infolge Verweises teilnehmen (Urteil 9C_58/2012 vom 8. Juni 2012 E. 4.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 4a S. 477 f. mit Hinweisen). Letzteres ist hier nicht der Fall. Auf die Fragen der Beweislast und des Beweismasses im Zusammenhang mit der geschäftlichen Verwendung eines Flugzeugs ist daher nicht einzugehen.
Die Beschwerdeführerin begründet ihren Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Urteils insbesondere damit, die steuerbaren Umsätze aus den privaten Flügen für X._ und Y._ würden zu einer Kürzung des Vorsteuerabzugs führen, obwohl keine Steuerumgehung vorliege. Die Kürzung sei zudem eine Folge der spendenartigen Finanzierung der Beschwerdegegnerin. Nur diese beiden Fragen sind noch streitig und nachfolgend (E. 6 und E. 7) zu prüfen.
4.
4.1. Am 1. Januar 2010 ist das Bundesgesetz vom 12. Juni 2009 über die Mehrwertsteuer (MWSTG; SR 641.20) in Kraft getreten. Der vorliegend zu beurteilende Sachverhalt erstreckt sich vom 20. September 2007 bis zum 31. März 2009; er fällt somit in die Zeit vor dem Inkrafttreten des MWSTG. Gemäss <ref-law> bleiben die bisherigen gesetzlichen Bestimmungen sowie die gestützt darauf erlassenen Vorschriften grundsätzlich weiterhin auf alle während ihrer Geltungsdauer eingetretenen Tatsachen und entstandenen Rechtsverhältnisse anwendbar. Das vorliegende Verfahren untersteht deshalb in materieller Hinsicht dem Mehrwertsteuergesetz vom 2. September 1999 (aMWSTG; AS 2000 1300) sowie der dazugehörigen Verordnung vom 29. März 2000 (aMWSTV; AS 2000 1347).
4.2. Das Verfahren vor der ESTV wurde im Juni 2009 eröffnet, indem diese bei der (heutigen) Beschwerdegegnerin eine Kontrolle durchführte. Gemäss <ref-law> ist das neue Verfahrensrecht (vorbehältlich der Regeln über die Bezugsverjährung nach <ref-law>) auf sämtliche im Zeitpunkt des Inkrafttretens hängigen Verfahren anwendbar. In diesem Zeitpunkt (am 1. Januar 2010) war das Verfahren bereits vor der ersten Instanz hängig, so dass in verfahrensrechtlicher Hinsicht das neue Recht anwendbar ist.
5.
5.1. Der Mehrwertsteuer unterliegen die im Inland gegen Entgelt erbrachten Lieferungen von Gegenständen und Dienstleistungen (Art. 5 Bst. a und b aMWSTG). Als Dienstleistung gilt jede Leistung, die keine Lieferung eines Gegenstands ist (Art. 7 Abs. 1 aMWSTG). Die Steuer wird vom Entgelt berechnet (Art. 33 Abs. 1 aMWSTG). Zum Entgelt gehört alles, was der Empfänger oder an seiner Stelle ein Dritter für die Lieferung oder Dienstleistung aufwendet einschliesslich Spenden, die unmittelbar den einzelnen Umsätzen des Empfängers als Gegenleistung zugeordnet werden können. Die Gegenleistung erfasst auch den Ersatz aller Kosten, selbst wenn diese gesondert in Rechnung gestellt werden (Art. 33 Abs. 2 aMWSTG).
5.2. Eine steuerbare Leistung im Sinn von Art. 5 Bst. a und b aMWSTG setzt einen Leistungsaustausch voraus; fehlt es daran, ist die Aktivität mehrwertsteuerlich irrelevant und fällt nicht in den Geltungsbereich der Mehrwertsteuer (<ref-ruling> E. 4.3 mit Hinweisen). Ein Leistungsaustausch ist anzunehmen, soweit zwischen der (Haupt-) Leistung (Lieferung oder Dienstleistung im Sinn von Art. 5 aMWSTG) und der Gegenleistung (Entgelt im Sinn von Art. 33 aMWSTG) ein Konnex besteht (Urteil 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.4); verlangt wird eine "innere wirtschaftliche Verknüpfung" (<ref-ruling> E. 3.2 S. 241; <ref-ruling> E. 4.1 S. 357). Nach der neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung (geändert mit Urteil 2A.264/2006 vom 3. September 2008 E. 3.3) ist ein Leistungsaustausch auch unter nahestehenden Personen möglich. Dies ergibt sich aus dem Begriff des Leistungsaustauschs bei Lieferungen und Dienstleistungen im Sinn der Art. 5 ff. aMWSTG, welche diesbezüglich keine Ausnahme oder abweichende Behandlung vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 241; Urteile 2C_146/2010 vom 15. August 2012 E. 4.1.2; 2C_732/2010 vom 28. Juni 2012 E. 3 und 4.2; 2C_129/2012 vom 15. Juni 2012 E. 4.1; 2C_836/2009 vom 15. Mai 2012 E. 5.1; 2C_476/2010 vom 19. März 2012 E. 2.1). Deswegen ist der Leistungsaustausch zwischen einer juristischen Person und ihrem Beteiligten mit Bezug auf das Steuerobjekt im Grundsatz nicht anders zu behandeln als der Leistungsaustausch zwischen einer juristischen Person und einem unabhängigen Dritten (Urteil 2C_146/2010 vom 15. August 2012 E. 4.1.2).
5.3. Art. 38 Abs. 1 und 2 aMWSTG regeln die Grundsätze zum Vorsteuerabzug. Verwendet die steuerpflichtige Person Gegenstände oder Dienstleistungen für einen geschäftlich begründeten Zweck, so kann sie in ihrer Steuerabrechnung die in Art. 38 Abs. 1 lit. a-c aMWSTG genannten Steuern als Vorsteuern abziehen. Zum Vorsteuerabzug berechtigen - neben anderen - gemäss Art. 38 Abs. 2 lit. a und b aMWSTG steuerbare Lieferungen und Dienstleistungen. Als "verwendet" im Sinn von Art. 38 Abs. 1 und 2 aMWSTG gilt ein (vor) steuerbelasteter Eingangsumsatz, der in steuerbare Ausgangsumsätze der steuerpflichtigen Person fliesst, mithin für einen geschäftlich begründeten Zweck eingesetzt wird. Fehlt es an diesem Zweck, liegt hinsichtlich der Eingangsleistung Eigenverbrauch durch die steuerpflichtige Person vor (Urteil 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.6 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 8.2 S. 364; Daniel Riedo, Vom Wesen der Mehrwertsteuer als allgemeine Verbrauchsteuer und von den entsprechenden Wirkungen auf das schweizerische Recht, 1999, S. 158 f.).
6.
6.1. Die Beschwerdeführerin bestreitet den geschäftlichen Zweck im Sinn von Art. 38 Abs. 2 aMWSTG hinsichtlich der Flüge, welche von X._ und Y._ in Anspruch genommen wurden. Zwar liege - abgesehen von der ungewöhnlichen Finanzierung der Beschwerdegegnerin - in den ersten 15 Monaten des Bestehens keine absonderliche Rechtsgestaltung vor. Indessen habe X._ nach dem Abzug des Flugzeugs von der C._ AG im Dezember 2008, also nur 16 Monate nach Geschäftsaufnahme der Beschwerdegegnerin, freiwillig darauf verzichtet, erneut eine die gewerbsmässige Luftfahrt betreibende Unternehmung mit dem Management des Flugzeugs zu beauftragen. Statt dessen habe er das Flugzeug ins Aircraft-Management eines selbst gegründeten Vereins gegeben, welcher es mangels Betriebsbewilligung des BAZL nicht gewerbsmässig einsetzen dürfe. Ein Wille zum kostendeckenden Einsatz sei nicht erkennbar; in den Jahren 2009 und 2010 habe das Flugzeug vorwiegend am Boden gestanden. Sie - die Beschwerdeführerin - akzeptiere eine Privatnutzung von bis zu 5 % ohne Vorsteuerabzugskürzung. In den übrigen Fällen könne eine Privatnutzung trotz mehrwertsteuerlichen Leistungsaustauschs zwischen Gesellschaft und wirtschaftlich berechtigter Person nicht zu einer vollständigen Steuerentlastung führen, die sonst nicht zu erreichen wäre. Vielmehr gebiete die ratio legis der Art. 38 Abs. 1, 2 und 4 aMWSTG eine Kürzung des Vorsteuerabzugs. Diese Bestimmungen würden die steuerbelastete Eingangsleistung mit der steuerbaren Ausgangsleistung dergestalt verknüpfen, dass die bezogenen (Eingangs-) Leistungen für einen geschäftlich begründeten Zweck der steuerpflichtigen Person verwendet werden müssten; der private Bedarf des an der steuerpflichtigen Person wirtschaftlich Berechtigten falle nicht darunter.
6.2. Die Beschwerdeführerin übersieht, dass die Art der Verwendung der Leistung auf Seiten des Empfängers irrelevant ist. Sofern ein Leistungsaustausch vorliegt, spielt es keine Rolle, ob die Leistung zu privaten oder anderen Zwecken bezogen wird. Nicht der Empfänger der Leistung, sondern die steuerpflichtige Person muss einen geschäftlich begründeten Zweck verfolgen. Das Bundesgericht hat das Argument der "privaten Verwendung" im von der Beschwerdeführerin erwähnten Sinn explizit verworfen, indem es erwog, es spiele keine Rolle, zu welchem Zweck der Leistungsbezüger die Leistung verwende, relevant sei lediglich, ob die leistende Unternehmung nach den Gesamtumständen erkennbar um der Gegenleistung willen leiste (vgl. Urteil 2C_146/2010 vom 15. August 2012 E. 4.1.3 mit Hinweisen). Rechtsprechungsgemäss ist im Verhältnis zwischen der Gesellschaft und der nahestehenden Person zu prüfen, ob es sich bei der fraglichen Leistung um eine Innenleistung zur betrieblichen oder unternehmerischen Leistungserstellung handelt oder ob die Leistung bereits das Endprodukt darstellt, welches den betrieblichen Bereich verlässt (Urteil 2C_836/2009 vom 15. Mai 2012 E. 5.2). Ist Letzteres der Fall, ist der nahestehende bzw. wirtschaftlich berechtigte Leistungsempfänger wie ein Drittkunde zu behandeln.
Nachdem die Beschwerdeführerin einräumt, dass hinsichtlich der Flugzeugnutzung ein Leistungsaustausch zwischen der Beschwerdegegnerin und X._ bzw. Y._ zu bejahen ist, steht die private Verwendung der Leistungen der Berechtigung zum Vorsteuerabzug nicht entgegen.
Daran vermag auch der Einwand, der Einzelunternehmer hätte im analogen Fall infolge Eigenverbrauchs gemäss Art. 9 Abs. 1 aMWSTG eine Kürzung des Vorsteuerabzugs zu akzeptieren, nichts zu ändern. Rechtsprechungsgemäss ist es den steuerpflichtigen Personen freigestellt, ihre Verhältnisse so zu gestalten, dass möglichst niedrige Steuern anfallen. Gegen eine solche Steuerplanung ist nichts einzuwenden, solange erlaubte Mittel eingesetzt werden (Urteil 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.7 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin erklärt ausdrücklich, es liege keine Steuerumgehung vor in dem Sinn, dass die Beschwerdegegnerin einzig deswegen gegründet worden sei, um den Bedürfnissen von X._ zu dienen. Dies ergibt sich zudem aus der (für das Bundesgericht verbindlichen) Feststellung der Vorinstanz, wonach das Flugzeug auch in den Jahren 2009 und 2010 von der B.a._ AG (und nicht nur von X._) genutzt wurde. Es liegt keine ausschliessliche Eigennutzung vor, so dass die unternehmerische Struktur zu akzeptieren ist (Urteil 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.9). Daher erübrigen sich Ausführungen zur missbräuchlichen Berufung auf die rechtliche Unabhängigkeit der involvierten Personen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.3 und 132 III 489 E. 3.2 mit Hinweisen) bzw. zur Steuerumgehung (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4 S. 243).
6.3. Nach den vorstehenden Erwägungen ist der Vorsteuerabzug auf jenen Anschaffungs- und Betriebskosten der Beschwerdegegnerin, welche in Leistungen an X._ und Y._ geflossen sind, zulässig. Es handelt sich dabei gerade nicht um "private", sondern um geschäftlich verwendete Umsätze; die private Verwendung der Leistungen durch die - wenn auch nahestehenden - Kunden ist unerheblich (vgl. auch <ref-ruling> E. 3.3 S. 242).
7.
7.1. Gemäss Art. 38 Abs. 8 erster Satz aMWSTG ist der Vorsteuerabzug verhältnismässig zu kürzen, soweit eine steuerpflichtige Person Spenden erhält, die nicht einzelnen Umsätzen des Empfängers als Gegenleistung zugeordnet werden können.
Die Beschwerdeführerin trägt vor, die mehrjährigen Verlustübernahmen von X._ hätten wegen des Erhalts von Spenden zu einer Kürzung des Vorsteuerabzugs gestützt auf Art. 38 Abs. 8 aMWSTG führen müssen. Die Vorinstanz habe es unterlassen, diese Frage zu prüfen. Seit Februar 2009 werde das Flugzeug nur noch von X._ und der B.a._ AG (heute: B.b._ AG) in höchst bescheidenem Umfang verwendet. Dies lasse den Schluss zu, dass (spätestens) kurz nach der Geschäftsaufnahme der wahre Zweck der Beschwerdegegnerin darin bestanden habe, das Haftungsrisiko zu übernehmen für ein Flugzeug, welches X._ als dem wirtschaftlich Berechtigten und den ihm nahestehenden Personen unabhängig von den Kosten jederzeit zur Verfügung stehen sollte. Damit fehle es am Willen und an der Notwendigkeit, mit den erhaltenen Fremdmitteln einen wirtschaftlichen Vorteil zu erlangen und eine mehrwertgenerierende Tätigkeit marktgerecht auszuüben. Aufgrund der Höhe der bisherigen Einnahmen der Beschwerdegegnerin könne mit einer Rückzahlung der von X._ geleisteten zinslosen Darlehen mit Rangrücktritt und des zur Verfügung gestellten Kontokorrents nicht ernsthaft gerechnet werden. Es gebe keine Anhaltspunkte, dass die eingeschossenen Mittel erhalten blieben oder gar rentieren würden. X._ finanziere mit der A._ AG eine sonst nicht lebensfähige Aktivität, die in erheblichem Umfang seinen privaten Bedürfnissen diene. Es sei davon auszugehen, dass er die bisherigen Verluste definitiv tragen müsse. Somit liege eine spendenartige Finanzierung vor, welche zu einer Vorsteuerkürzung führen müsse.
7.2. Vorab ist festzuhalten, dass eine ausschliessliche Eigenfinanzierung nicht per se missbräuchlich ist; vielmehr sind die am Gesellschaftsverhältnis Beteiligten hinsichtlich der Vertragsgestaltung frei. In Bezug auf die Finanzierung einer Gesellschaft kann auf die Grundsätze verwiesen werden, welche auch für die Wahl der Rechtsform gelten (vgl. E. 6.2 letzter Abschnitt). Grundsätzlich ist es somit zulässig, dass eine Gesellschaft durch Darlehensgelder ihres Alleinaktionärs finanziert wird. Eine missbräuchliche Berufung auf die Vertragsfreiheit wäre anzunehmen, wenn das Darlehen simuliert wäre.
7.3. Die Beschwerdeführerin macht sinngemäss geltend, das Darlehen von X._ zugunsten der Beschwerdegegnerin sei simuliert worden oder müsse rückblickend als à-fonds-perdu-Leistung gelten, weshalb es als Spende zu qualifizieren sei. Dieses Vorbringen beruht auf Sachverhaltsrügen, welche vom Bundesgericht nur unter dem Blickwinkel der Willkür zu prüfen sind (vgl. E. 2.2).
7.3.1. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin sind keine Hinweise ersichtlich, welche auf eine Simulation des Darlehens deuten würden. Insbesondere lassen die Erhöhung der Darlehenssumme und der Rangrücktritt diesen Schluss nicht zu. Das Darlehen könnte nur als simuliert gelten, wenn erstellt wäre, dass der Darlehensgeber die Rückzahlung bei Vertragsschluss lediglich zum Schein vereinbart hat. Dies anzunehmen hatte die Vorinstanz keine Veranlassung, was keineswegs willkürlich ist. Auch für einen nachträglichen Verzicht auf die Rückzahlung des Darlehens gibt es keine Hinweise. Es ist daher nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz den Tatbestand von Art. 38 Abs. 8 aMWSTG nicht geprüft hat. Eine Qualifizierung des Darlehens als Spende fällt ausser Betracht.
7.3.2. Zum gleichen Ergebnis führt die mehrwertsteuerliche Behandlung von Einlagen und Darlehen als Finanzierungsinstrumente einer Gesellschaft in der Rechtsprechung. Die Tatsache, dass Einlagen und Darlehen für die Anschaffung von steuerbelasteten Gütern oder Dienstleistungen verwendet werden, führt nicht zur Kürzung des Vorsteuerabzugs. Eine solche hängt im Grundsatz einzig davon ab, ob die Eingangsleistungen für einen geschäftlich begründeten Zweck verwendet werden oder nicht (<ref-ruling> E. 7.1 S. 363). Demgemäss führen Finanzierungsvorgänge wie der vorliegende in der Regel nicht dazu, dass der Vorsteuerabzug gekürzt werden müsste (Urteil 2C_229/2008 vom 13. Oktober 2008 E. 5.4 mit Verweis auf <ref-ruling> E. 10 S. 370). Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin kommt es auch nicht darauf an, ob die Gesellschaft unter Berücksichtigung betriebswirtschaftlicher Grundsätze eine angemessene Rentabilität erzielt (<ref-ruling> E. 9.2 S. 368).
8.
Zusammenfassend ergibt sich, dass für eine Kürzung des Vorsteuerabzugs auf den hier noch streitigen Leistungen keine Rechtsgrundlage besteht. Das vorinstanzliche Urteil ist zu bestätigen, und die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen.
8.1. Da die Eidgenossenschaft in dieser Angelegenheit in ihrer Vermögenssituation betroffen ist, wird die beschwerdeführende Eidgenössische Steuerverwaltung kostenpflichtig (Art. 6 Ab. 4 BGG).
8.2. Die obsiegende Beschwerdegegnerin hat Anspruch auf eine angemessene Parteientschädigung, welche von der Beschwerdeführerin zu bezahlen ist. Die Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin haben das Honorar in ihrer Kostennote vom 21. November 2013 auf Fr. 50'600.83 plus Auslagen von Fr. 459.50, total Fr. 51'060.33, beziffert. Das Honorar für das bundesgerichtliche Verfahren bestimmt sich nach dem Reglement vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht (SR 173.110.210.3; nachfolgend: Reglement). Gemäss Art. 3 Abs. 1 des Reglements richtet sich bei Streitsachen mit Vermögensinteresse das Honorar in der Regel nach dem Streitwert. Es wird innerhalb der vorgesehenen Rahmenbeträge nach der Wichtigkeit der Streitsache, ihrer Schwierigkeit sowie dem Umfang der Arbeitsleistung und dem Zeitaufwand des Anwalts oder der Anwältin bemessen. Vorliegend ist von einem Streitwert von rund Fr. 400'000.-- auszugehen. Gemäss Art. 4 des Reglements beträgt das Honorar bei einem Streitwert von Fr. 100'000.-- bis Fr. 500'000.-- Fr. 5'000.-- bis Fr. 15'000.--. Weder sind Umstände geltend gemacht worden noch ist ersichtlich, weshalb von diesem Gebührenrahmen abgewichen werden sollte. Es rechtfertigt sich daher, das Honorar auf Fr. 13'000.-- festzulegen, zuzüglich die geltend gemachten Auslagen von Fr. 459.50. Die Parteientschädigung beträgt somit Fr. 13'459.50.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 13'459.50 zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner