Faits:
A. En arrêt de travail depuis le 13 juillet 2007, H._, informaticien, a présenté une demande de prestations à l'assurance-invalidité le 21 février 2008, en raison d'un état de fatigue chronique. Chargés par l'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI) d'examiner l'assuré, les docteurs I._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et E._, spécialiste en médecine interne, du Centre d'observation médicale de l'assurance-invalidité (COMAI) ont conclu à l'absence de pathologie somatique ou psychique ayant des répercussions sur la capacité de travail; l'intéressé ne subissait aucune limitation fonctionnelle et était à même de poursuivre son activité habituelle à 100 % (expertise du 29 septembre 2008). Fort de ces conclusions, l'office AI a rejeté la demande de prestations par décision du 11 novembre 2008.
B. L'assuré a déféré cette décision au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, en concluant à la suspension de la procédure jusqu'à ce qu'il ait produit un rapport médical, ainsi qu'à l'octroi d'une rente entière d'invalidité dès le 1er juillet 2008. Après que l'office AI s'est déterminé sur le recours, un délai au 24 février 2009 a été imparti à H._ pour répliquer et déposer le rapport médical annoncé. Le 23 février 2009, celui-ci a demandé un nouveau délai pour répondre, lequel lui a été accordé au 31 mars 2009. Requis par l'assuré de lui accorder un délai supplémentaire au 9 octobre 2009, le Tribunal a refusé la demande et clos l'échange d'écritures le 31 mars 2009. Statuant le 8 juin suivant, il a rejeté le recours.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, et, subsidiairement, par celle du recours constitutionnel subsidiaire, H._ demande l'annulation du jugement cantonal. Il conclut principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité dès le 1er juillet 2008 et, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'office AI pour complément d'instruction et examen du droit aux prestations.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. 1.1 La voie du recours en matière de droit public est ouverte, la décision attaquée ayant été rendue dans une cause de droit public (<ref-law>), sans que l'une des exceptions de l'<ref-law> ne soit réalisée. Le recours a été déposé contre une décision finale rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF). Le jugement attaqué peut dès lors faire l'objet d'un recours en matière de droit public, qui peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (qui comprend les droits fondamentaux), de sorte que la voie du recours constitutionnel subsidiaire, également formé à titre subsidiaire par le recourant est irrecevable (<ref-law>).
1.2 Il en va de même de la conclusion principale du recourant tendant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité à partir du 1er juillet 2008, au regard des exigences de motivation du recours prévues à l'<ref-law>. L'intégralité des griefs et des motifs invoqués par le recourant ont en effet trait au refus de la juridiction cantonale de suspendre la procédure, voire de mettre en oeuvre de nouvelles investigations médicales. A défaut d'expliquer en quoi le jugement entrepris est contraire au droit en rapport avec les conditions en tant que telles de la prétention à une rente entière d'invalidité, le recours n'est pas recevable sur ce point.
1.3 En revanche, en tant que le recourant s'en prend au refus des premiers juges de suspendre la procédure jusqu'à ce qu'il ait produit un rapport médical, son recours est recevable. La décision par laquelle la juridiction cantonale a refusé la prolongation du délai pour déposer la réplique et le rapport médical annoncé, et clos l'échange d'écritures, le 31 mars 2009, sans donner suite à la requête de suspension constitue une décision incidente au sens de l'<ref-law>, que le recourant est en droit de faire contrôler à l'occasion du recours contre la décision finale, à condition qu'elle influe sur le contenu de celle-ci (<ref-law>; cf. aussi BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2009, n. 12 et 14 ad <ref-law> et la référence à l'arrêt <ref-ruling> consid. 1 p. 417).
Le refus de prolonger le délai pour la production du rapport médical et, partant, de suspendre la procédure a eu pour effet que le Tribunal cantonal s'est prononcé par un arrêt final le 8 juin 2009 en se fondant sur un dossier qui ne comprenait pas la preuve annoncée par l'assuré. Il s'ensuit que la décision incidente pouvait influer sur le contenu du jugement entrepris (FELIX UHLMANN, in Basler Kommentar BGG, 2008, n. 12 ad <ref-law> et note de bas de page 38) et que les moyens présentés à cet égard dans le cadre du recours contre cet arrêt sont recevables en vertu de l'<ref-law>. Le recourant ne prend certes pas de conclusions formelles contre la décision incidente et demande uniquement l'annulation de l'arrêt final. La motivation du recours porte cependant dans une très large mesure sur le "refus de suspension" du 31 mars 2009, de sorte qu'on peut considérer que la décision incidente a également été attaquée conformément aux exigences déduites de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF (LAURENT MERZ, in Basler Kommentar BGG, 2008, n. 18 ad <ref-law>).
2. 2.1 Invoquant une violation des art. 61 let. c LPGA, 29 Cst. et 6 CEDH, le recourant reproche aux premiers juges d'avoir refusé de suspendre la procédure dans l'attente de la production d'un nouveau rapport médical et d'avoir ignoré ses offres de preuve en "ne prenant position, ni dans une décision séparée, ni dans le jugement entrepris". Il se plaint également de ce qu'ils ont refusé de mettre en oeuvre une expertise médicale, alors que le rapport médical du COMAI était dénué de valeur probante.
2.2 En vertu de l'art. 61 let. c LPGA, le tribunal cantonal des assurances doit établir les faits déterminants pour la solution du litige, avec la collaboration des parties. Il administre les preuves nécessaires et les apprécie librement. Cette disposition, qui exprime le principe inquisitoire, impose au juge de constater d'office les faits pertinents de la cause, après avoir administré les preuves nécessaires (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 195). Toutefois, le tribunal peut considérer qu'un fait est prouvé et renoncer à de plus amples mesures d'instruction lorsqu'au terme d'un examen objectif, il ne conçoit plus de doutes sérieux sur l'existence de ce fait (cf. <ref-ruling> consid. 3.2, p. 324; SVR 2007 IV n° 31 p. 111 [I 455/06], consid. 4.1). Si de tels doutes subsistent, il lui appartient de compléter l'instruction de la cause, pour autant que l'on puisse attendre un résultat probant des mesures d'instruction entrant raisonnablement en considération. Le cas échéant, il peut renoncer à l'administration d'une preuve s'il acquiert la conviction, au terme d'une appréciation anticipée des preuves, qu'une telle mesure ne pourrait l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 429; <ref-ruling> consid. 6c/cc in fine p. 135). Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral ne peut, en principe, revoir le résultat de l'appréciation anticipée des preuves - et en conclure à une violation de la maxime inquisitoire - , qu'en cas d'inexactitude manifeste (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF; cf. également MEYER in : M. A. Niggli, P. Uebersax, H. Wiprächtiger [édit.], Bundesgerichtsgesetz, Bâle 2008, n. 34a, 60 et note 170 ad art. 105).
Le principe inquisitoire est complété par les droits des parties tirés du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. En particulier, la jurisprudence a déduit de cette garantie constitutionnelle, le droit pour le justiciable de participer à la procédure probatoire en exigeant l'administration des preuves déterminantes ou en en proposant lui-même. Le juge peut cependant clore la procédure probatoire et refuser une mesure probatoire parce qu'il considère qu'elle est inapte à apporter la preuve ou lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire, il a la certitude qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 428; <ref-ruling> consid. 6c/cc in fine p. 135).
2.3 Contrairement à ce que prétend le recourant, la juridiction cantonale n'a pas ignoré les offres de preuve proposées, puisqu'elle a pris position à leur sujet. Elle a tout d'abord expliqué dans sa décision du 31 mars 2009 (en se référant à son courrier du 24 février précédent) les raisons qui la conduisaient à refuser une nouvelle prolongation du délai pour répliquer et produire le rapport médical annoncé. Elle a, en particulier, rappelé à l'assuré que l'état de fait décisif pour l'examen de ses droits était celui qui existait au 11 novembre 2008 et non celui qui serait constaté ultérieurement par un médecin, une aggravation éventuelle pouvant au besoin constituer un motif de révision au sens de l'<ref-law> (respectivement faire l'objet d'une nouvelle demande; art. 87 al. 3 et 4 RAI).
Dans son jugement sur le fond, l'autorité judiciaire de première instance a ensuite indiqué que la nouvelle expertise requise par le recourant n'était pas nécessaire, parce que les avis médicaux au dossier, qui remplissaient les exigences prévues par la jurisprudence en matière de force probante, suffisaient à trancher le litige. En l'absence d'indices concrets susceptibles de remettre en cause l'avis unanime du docteur O._, du SMR et des experts du COMAI, selon lesquels le syndrome de fatigue chronique dont était atteint le recourant n'induisait aucune incapacité de travail dans l'activité habituelle d'informaticien, elle ne voyait aucune raison de recueillir des renseignements médicaux complémentaires. Le fait que les premiers juges n'ont pas évoqué directement l'audition de témoins, mais ont refusé cette offre de preuve de manière implicite n'apparaît pas critiquable, puisque le recourant s'est limité à requérir l'audition de témoins sans plus de précision ni quant aux personnes concernées, ni quant aux faits qu'elles auraient été susceptibles de démontrer (sous réserve d'une mention très générale à "la bonne foi de l'assuré" - qui n'a jamais été en cause au demeurant - et du "caractère invalidant de sa maladie").
2.4 L'appréciation anticipée des preuves à laquelle s'est livrée la juridiction cantonale en se prononçant sur le litige sans attendre le rapport médical annoncé par le recourant et sans mettre en oeuvre l'expertise médicale qu'il avait requise n'apparaît par ailleurs pas arbitraire. En premier lieu, le Tribunal cantonal a imparti deux délais successifs au recourant pour produire la pièce médicale mentionnée dans son écriture (l'assuré indiquait: "nous avons fait procéder à des investigations complémentaires"), ce qui laissait à H._ plus de trois mois pour compléter son dossier. Ensuite, les avis médicaux recueillis par l'intimé en procédure administrative apparaissaient effectivement suffisants pour permettre aux premiers juges de former leur conviction et trancher la cause. Ils disposaient en effet de l'évaluation bidisciplinaire des docteurs I._ et E._, à laquelle ils ont à raison reconnu une pleine valeur probante. Comme l'a déjà relevé la juridiction cantonale, le fait que les experts n'ont pas déduit des constatations qu'ils ont faites les conclusions qu'aurait voulues le recourant n'implique pas qu'ils se soient contredits. Contrairement à ce que prétend par ailleurs celui-ci, les médecins ont dûment décrit les éléments les amenant à retenir, depuis 2007, le diagnostic de fibromyalgie, alors que le syndrome de fatigue s'inscrivait selon eux dans le contexte d'un trouble de la personnalité. Leurs conclusions, selon lesquelles en dehors des éléments suggestifs d'une fibromyalgie, il n'y avait pas de substrat organique convaincant à la symptomatologie, rejoignaient l'avis de la Clinique X._, où les médecins consultés avaient exclu une cause somatique à la fatigue ressentie par l'assuré (rapport du 7 janvier 2008).
Au regard de ces évaluations médicales - et en l'absence de tout indice de nature à remettre celles-ci en cause -, la juridiction cantonale pouvait sans faire preuve d'arbitraire considérer qu'une nouvelle expertise n'était pas susceptible de mettre en évidence un élément propre à établir une cause organique au syndrome dont est atteint le recourant (voire une affection psychique qui n'aurait pas été diagnostiquée jusque-là), ni de modifier les conclusions des experts quant à l'absence d'incapacité de travail au moment déterminant. Cette appréciation anticipée des preuves apparaît d'autant moins insoutenable que les premiers symptômes de la fatigue chronique sont apparus en juillet 2007 et qu'aucun examen effectué depuis lors tant sur le plan somatique que psychiatrique n'a révélé une pathologie justifiant une incapacité de travail (laquelle n'a été admise que par le médecin traitant de l'assuré en se référant, pour toute motivation, aux plaintes de son patient [rapport du docteur R._ du 7 mars 2008]). On précisera que les premiers juges avaient d'autant moins de raison d'attendre l'expertise annoncée que le syndrome de fatigue chronique - seule atteinte à la santé ici en cause - fait partie, selon la jurisprudence inaugurée dans l'arrêt publié à l'<ref-ruling>, des états douloureux dont l'étiologie et la pathogénie sont incertaines et qui n'entraînent en principe pas une invalidité ouvrant le droit à une rente (arrêt I 70/07 du 14 avril 2008 consid. 5).
C'est le lieu d'ajouter, à la suite de la juridiction cantonale, que l'état de fait décisif pour juger du droit à la prestation en cause est celui qui s'est déroulé jusqu'à la date de la décision litigieuse du 11 novembre 2008. Aussi bien, un rapport médical rendu ultérieurement à cette date et qui mettrait en lumière un nouvel élément survenu postérieurement à ce moment ne pourrait être pris en compte qu'au titre d'une modification (péjoration) de l'état de santé de l'assuré dans le cadre d'une révision au sens de l'<ref-law>. Contrairement à ce que semble avoir compris le recourant en se référant à la notion de voie de droit extraordinaire de la révision, le fait que deux instances judiciaires se prononcent tour à tour sur sa cause n'empêche pas qu'il fasse valoir, le cas échéant, une modification notable des circonstances (survenue postérieurement à la date ici déterminante) auprès des organes de l'assurance-invalidité.
2.5 Il résulte de ce qui précède que les griefs du recourant ne sont pas fondés. Le recours doit dès lors être rejeté.
3. Compte tenu de l'issue du litige, les frais de la procédure seront mis à la charge du recourant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 1er octobre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless