Sachverhalt:
A. Mit Eingabe vom 14. November 2007 machte X._ (im Folgenden: "Anzeiger") bei der I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts eine Beschwerde (Verfahrensnummer BG.2007.28) anhängig. Darin bestritt er die interkantonale Zuständigkeit der Strafverfolgungsbehörden des Kantons Freiburg in einem dort gegen ihn eröffneten Strafverfahren wegen Ehrverletzung. Die I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts trat auf die Beschwerde mit Entscheid vom 4. Dezember 2007 nicht ein; der Entscheid wurde den Parteien gleichentags zugestellt. Am 5. Februar 2008 stellte das Bundesstrafgericht dem Anzeiger per Gerichtsurkunde nochmals eine Kopie des Entscheides zu mit der Bitte, die Empfangsbestätigung zurück zu schicken, da diese nicht eingegangen sei. Der Anzeiger unterzeichnete den der Gerichtsurkunde beiliegenden Empfangsabschnitt am 7. Februar 2008.
Mit Eingabe vom 6. Dezember 2007 gelangte der Anzeiger in dieser Angelegenheit erneut an die I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts, welche auf die Beschwerde mit Entscheid vom 12. Dezember 2007 wiederum nicht eintrat (Verfahrensnummer BG.2007.31).
Schliesslich reichte der Anzeiger mit Schreiben vom 19. Dezember 2007 ein drittes Mal beim Bundesstrafgericht Beschwerde in dieser Sache ein (Verfahrensnummer BG.2007.32/BP.2008.1). Mit Verfügung vom 21. Dezember 2007 setzte ihm die I. Beschwerdekammer Frist bis zum 31. Dezember 2007, um einen Kostenvorschuss zu leisten und die als ungebührlich beurteilte Eingabe zu ändern. Mit Schreiben vom 24. Dezember 2007 reichte der Anzeiger innert Frist eine geänderte Fassung seiner Beschwerdeschrift ein; der Kostenvorschuss ging fristgerecht am 31. Dezember 2007 ein. Ein vom Anzeiger am 10. Januar 2008 gestelltes Ausstandsbegehren gegen den Präsidenten der I. Beschwerdekammer wurde mit Entscheid vom 30. Januar 2008 abgewiesen. Mit Entscheid vom 25. Februar 2008 trat die I. Beschwerdekammer auf die Beschwerde des Anzeigers vom 19. Dezember 2007 nicht ein.
B. Mit Eingabe vom 7. bzw. 8. Februar 2008 reichte der Anzeiger beim Bundesgericht Aufsichtsanzeige gegen das Bundesstrafgericht ein. Er macht geltend, das Bundesstrafgericht habe ihn in den erwähnten Verfahren schikaniert und ersucht um Eingreifen des Bundesgerichts als Aufsichtsinstanz über das Bundesstrafgericht.
Das Bundesstrafgericht hat sich mit Eingabe vom 5. März 2008 vernehmen lassen und gleichzeitig, bzw. mit Eingabe vom 13. März 2008, die Akten eingereicht.
Mit Eingabe vom 6. März 2008 reichte der Anzeiger zudem beim Bundesgericht eine Kopie seiner Eingabe an den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte vom 6. Februar 2008 ein, unter Hinweis darauf, dass darin die von ihm vorgebrachten Beanstandungen noch weiter im Einzelnen dargestellt seien.

Erwägungen:
1. Beim vorliegenden Verfahren handelt es sich um eine Aufsichtsanzeige im Sinne von Art. 1 Abs. 2 Bundesgerichtsgesetz (BGG, SR 173.110), Art. 3 Abs. 1 Strafgerichtsgesetz (SGG, SR 173.71), Art. 3 lit. f Aufsichtsreglement des Bundesgerichts (AufRBGer, SR 173.110.132) i.V.m. Art. 71 Abs. 1 Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren (VwVG, SR 172.021). Die Rechtsprechung ist von der Aufsicht ausgenommen (Art. 2 Abs. 2 AufRBGer). Das Bundesgericht übt seine Aufsicht zurückhaltend aus und greift im Rahmen seiner Funktion als Aufsichtsbehörde nicht in Ermessensentscheide der beaufsichtigten Gerichte ein. Entsprechend prüft es im Rahmen der vorliegenden Aufsichtsanzeige lediglich, ob der äussere Gang des Verfahrens vor dem Bundesstrafgericht dem ordentlichen Geschäftsablauf entspricht. Das Verfahren wird von Amtes wegen behördenintern durchgeführt und begründet keinen Anspruch auf Parteirechte (<ref-law>; Art. 9 Abs. 2 AufRBGer).
2. 2.1 Der Anzeiger kritisiert in seiner Aufsichtsanzeige einerseits die von der I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts gefällten Entscheide als "willkürlich". Andererseits bemängelt er, es seien ihm vom Bundesstrafgericht "Fallen" gestellt worden, um die Beschwerde mit formalistischer Begründung erledigen zu können. So sei ihm im Verfahren BG.2007.32/BP.2008.1 während der Gerichtsferien und Weihnachtsfeiertage eine unangemessen kurze Frist zur Verbesserung der Beschwerdeschrift und zur Leistung des Kostenvorschusses angesetzt worden, damit er die Frist verpasse und ein Nichteintretensbeschluss gefällt werden könne. Weiter kritisiert er die zweite Zustellung des Entscheides vom 4. Dezember 2007 mit der Aufforderung, die Empfangsbestätigung zurück zu senden, als "Schikane".
2.2 Das Bundesstrafgericht hält in seiner Stellungnahme dafür, auf die Anzeige sei insoweit nicht einzutreten, als der Anzeiger inhaltliche Kritik an den Entscheiden der I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts übe. Weiter führt es aus, die Empfangsbestätigung für den Entscheid vom 4. Dezember 2007 sei aufgrund eines Versehens der Post nicht retourniert worden. Der Entscheid sei daher der guten Ordnung halber mit Schreiben vom 5. Februar 2008 noch einmal mit Gerichtsurkunde zugestellt worden, um eine in formeller Hinsicht korrekte Eröffnung des Entscheids zu gewährleisten.
3. 3.1 Die Rechtsprechung ist, wie in Erwägung 1 erwähnt, von der Aufsicht durch das Bundesgericht ausgeschlossen (Art. 2 Abs. 2 AufRBGer). Soweit der Anzeiger in seiner Aufsichtseingabe die Entscheide der I. Beschwerdekammer inhaltlich kritisiert, beanstandet er deren Rechtsprechung und ist seine Eingabe unbeachtlich.
3.2 In die aufsichtsrechtliche Kompetenz des Bundesgerichts fällt demgegenüber der äussere Gang des Verfahrens und der Umgang der beaufsichtigten Instanzen mit den Parteien (vgl. Heinrich Koller in Basler Kommentar Bundesgerichtsgesetz, 2008, Art. 1 N 89). Insoweit der Anzeiger das Verhalten des Bundesstrafgerichts ihm gegenüber rügt, indem er geltend macht, die ihn betreffenden Verfahren seien mit "Fallen" und "Schikanen" versehen worden, um ihn an der Geltendmachung seiner Rechte zu hindern, ist ein Bereich betroffen, welcher grundsätzlich aufsichtsrechtliche Aspekte aufweist.
4. 4.1 Der Anzeiger führt aus, das Bundesstrafgericht habe ihm mit der Verfügung vom 21. Dezember 2007 im Verfahren BG.2007.32/ BP.2008.1 eine "Falle" stellen wollen. Die betreffende Verfügung, mit welcher ihm eine Frist bis zum 31. Dezember 2007 zur Verbesserung der Beschwerdeschrift und zur Leistung des Kostenvorschusses angesetzt worden war, sei bei ihm am 24. Dezember 2007 eingegangen. Es handle sich dabei um eine abnormal kurze Frist innerhalb der Gerichtsferien und während der Weihnachtsfeiertage, an welchen viele Leute abwesend und postalisch nicht erreichbar seien. Da die Frist nach Kalendertagen festgesetzt worden sei, sei sie nicht verlängerbar gewesen. Wäre er anwaltlich vertreten oder während der Weihnachtsfeiertage abwesend gewesen, hätte er die Frist verpasst, womit auf die Beschwerde nicht eingetreten worden wäre.
4.2 Gemäss Art. 46 Abs. 1 Bundesgerichtsgesetz, welcher auch für Verfahren vor dem Bundesstrafgericht anwendbar ist (Art. 30 SGG i.V.m. Art. 99 Abs. 1 Bundesgesetz über die Bundesstrafrechtspflege (SR 312.0)), stehen gesetzlich oder richterlich nach Tagen bestimmte Fristen u.a. vom 18. Dezember bis und mit dem 2. Januar still. Der Fristenstillstand gilt nach dem Wortlaut des Gesetzes nur für nach Tagen bestimmte Fristen, nicht jedoch für Fristen, die an einem richterlich festgesetzten Kalendertermin (Datum) enden; hier obliegt es dem Gericht, <ref-law> wenn möglich bei der Fristansetzung zu berücksichtigen (Kathrin Amstutz / Peter Arnold in Basler Kommentar Bundesgerichtsgesetz, 2008, Art. 46 N 2). Der im vorliegenden Fall auf einen Kalendertermin, nämlich den 31. Dezember 2007 angesetzte Tag des Fristablaufs fiel somit - wie der Anzeiger zutreffend ausführt - nicht unter die Bestimmungen des Fristenstillstands.
<ref-law> bestimmt allerdings, dass bei unbenutztem Ablauf der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses eine Nachfrist angesetzt wird. Erst wenn der Kostenvorschuss auch innert der Nachfrist nicht geleistet wird, wird auf die Eingabe nicht eingetreten. Selbst wenn der Anzeiger vorliegend den Kostenvorschuss nicht fristgerecht einbezahlt hätte, wäre dies für ihn somit ohne nachteilige Folgen geblieben.
Anders verhält es sich mit der Rückweisung der Beschwerdeschrift zur Verbesserung wegen Ungebührlichkeit. Ungebührliche Rechtsschriften können unter Ansetzung einer "angemessenen Frist" zur Änderung zurückgewiesen werden, unter der Androhung, dass die Rechtsschrift sonst unbeachtet bleibt (Art. 42 Abs. 5 und 6 BGG). Die Frist kann prinzipiell eher kurz bemessen sein, da es nicht darum geht, der Partei Gelegenheit zu zusätzlichen Ausführungen zu geben (Laurent Merz in Basler Kommentar Bundesgerichtsgesetz, 2008, Art. 42 N 106). Eine Nachfrist ist für diese Fälle nicht vorgesehen. Beim Begriff der "angemessenen Frist" handelt es sich um einen unbestimmten Gesetzesbegriff. Der Richter verfügt damit bei der Festsetzung der Frist naturgemäss über einen gewissen Ermessensspielraum, in welchen das Bundesgericht in seiner Funktion als Aufsichtsbehörde grundsätzlich nicht eingreift.
Vorliegend hat das Bundesstrafgericht am 21. Dezember 2007 eine Frist bis zum 31. Dezember 2007 gesetzt. Da der Anzeiger die Verfügung frühestens am folgenden Tag, nämlich am Samstag, 22. Dezember 2007 entgegennehmen konnte, blieben ihm bestenfalls neun Tage, um seine Eingabe zu korrigieren. Effektiv nahm er das Schreiben gemäss seinen Angaben erst am Montag, 24. Dezember 2007 entgegen, womit ihm sieben Tage verblieben, um seine Eingabe zu verbessern. Dabei handelt es sich zwar um eine eher kurze Frist. Nachdem der Anzeiger indessen lediglich die verunglimpfenden Passagen aus dem Text zu entfernen hatte, wofür kein grosser Zeitaufwand erforderlich war, ergibt sich alleine daraus noch kein Anhaltspunkt für ein regelwidriges Abweichen vom ordentlichen Geschäftsablauf. Weiter ist es durchaus üblich, dass die Gerichte derartige Fristen - wie vorliegend - nach Kalenderdatum (und nicht nach Tagen) festlegen. Eher ungewöhnlich ist allerdings der Umstand, dass die Frist im vorliegenden Fall sowohl während der Gerichtsferien angesetzt wurde als auch während denselben ablief.
4.3 Insgesamt mag dem Anzeiger beigepflichtet werden, dass die Frist eher kurz und deren Ablaufdatum während der Gerichtsferien nicht optimal gewählt war. Es bestehen aber keine Anhaltspunkte für eine "arglistige Fallenstellung", wie dies der Anzeiger geltend macht. Wäre dem so gewesen und hätte der Anzeiger deswegen die Frist verpasst, hätte deren Wiederherstellung geprüft werden müssen. Es ist damit in der vom Anzeiger beanstandeten Fristansetzung kein Grund für die Aufsichtsbehörde gegeben, einzuschreiten. Dies umso weniger als der Anzeiger im konkreten Fall die Frist einhalten konnte und ihm aus der Fristansetzung auch keinerlei Nachteil erwachsen ist.
5. Der Anzeiger erachtet im Weiteren bei der nochmaligen Zustellung des Entscheides vom 4. Dezember 2007 (Verfahren BG.2007.28) als Schikane, dass er im der Sendung beiliegenden Brief gebeten worden sei "die Empfangsbestätigung zurück zu schicken", obwohl eine solche gar nicht beigelegen sei. Er habe darum nichts unterzeichnen können.
Aus den Akten ist indessen ersichtlich, dass die nochmalige Zusendung der Urteilskopie mit Gerichtsurkunde erfolgt war, der Anzeiger die dieser angeheftete gelbe Empfangsbestätigung ordnungsgemäss unterzeichnet und die Post sie dem Bundesstrafgericht zurück gesandt hatte. Der Anzeiger hat also die Empfangsbestätigung sehr wohl unterzeichnet, und sie wurde dem Bundesstrafgericht auch zurückgesandt. Aufgrund der Formulierung des der Urteilskopie beiliegenden Briefes, welche auf die "beiliegende Empfangsbestätigung" verwies, erwartete er aber offensichtlich noch eine weitere der Sendung beiliegende Empfangsbestätigung, welche er hätte unterzeichnen können.
In der Tat ist nachvollziehbar, dass ein Laie nicht realisiert, dass der der Gerichtsurkunde beiliegende Abschnitt, welchen er bei Aushändigung des Couverts zu unterzeichnen hat, eine Empfangsbestätigung darstellt, welche dem Absender von der Post zurück gesandt wird. Die im Brief des Bundesstrafgerichts vom 5. Februar 2008 gewählte Formulierung war in dieser Hinsicht etwas missverständlich. Von einer "Falle" oder "Schikane" kann aber keineswegs die Rede sein. Im Übrigen stellt die Praxis des Bundesstrafgerichts, einen Entscheid, dessen Empfangsbestätigung von der betroffenen Partei nicht eingegangen ist, nochmals zuzustellen, eine gesetzeskonforme und übliche Möglichkeit dar, die korrekte Zustellung des Entscheides sicherzustellen.
6. Zusammenfassend ergibt sich, dass im vorliegenden Fall für das Bundesgericht als Aufsichtsbehörde über das Bundesstrafgericht kein Anlass besteht, aufsichtsrechtlich einzugreifen.
7. Es sind weder Kosten zu erheben noch Entschädigungen zuzusprechen (Art. 63 Abs. 1 und 2, <ref-law>) .

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Der Aufsichtsanzeige wird keine Folge geleistet.
2. Es werden weder Kosten erhoben noch Entschädigungen zugesprochen.
3. Dieser Entscheid wird dem Bundesstrafgericht und in Kopie dem Anzeiger schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2008
Im Namen des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Verwaltungskommission
Der Präsident: Der Generalsekretär:
Aeschlimann Tschümperlin