Sachverhalt:
A.
A._ war ab 1. Juli 2006 bei der VSM-Sammelstiftung für Medizinalpersonen (nachfolgend: VSM) berufsvorsorgeversichert (Anschlussvereinbarung Nr. 613 vom 21. August/20. September 2006). Am 22. März 2010 teilte der Versicherte der Vorsorgeeinrichtung mit, er sei seit xxx und bis auf weiteres von seiner Ärztin krank geschrieben und zu 100 % erwerbsunfähig. Im Zusammenhang mit der Frage der Weiterzahlung der Prämien bzw. der Befreiung davon holte die VSM ein medizinisches Gutachten vom 28. Juni 2011 ein.
Anfang September 2011 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung an. Nach Abklärungen sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Bern mit Verfügung vom 14. März 2013 ab 1. Februar 2012 eine ganze Rente samt zwei Kinderrenten zu. Ab demselben Zeitpunkt richtete die VSM Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge (Invalidenrente, zwei Kinderrenten) aus.
Mit Zahlungsbefehl Nr. 93030417 des Betreibungsamtes Bern-Mittelland vom 4. April 2013 liess A._ eine Forderung in der Höhe von Fr. 173'834.50 nebst Zins von 5 % seit dem 15. Februar 2012 gegen die VSM in Betreibung setzen, wogegen diese Rechtsvorschlag erhob.
B.
Am 27. Juni 2013 reichte A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Klage gegen die VSM ein mit den Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm auch vom 7. Januar 2011 bis zum 31. Januar 2012 eine ganze reglementarische Invalidenrente, ausmachend Fr. 60'216.-, sowie zwei entsprechende Kinderrenten, ausmachend Fr. 24'086.65, zu bezahlen, zuzüglich Zins zu 5 % seit wann rechtens; der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. 93030417 des Betreibungsamtes Bern-Mittelland sei in diesem Umfang aufzuheben und ihm die definitive Rechtsöffnung zu erteilen.
Nach Klageantwort der VSM und einem zweiten Schriftenwechsel sowie nach Einsichtnahme in die IV-Akten hiess die Sozialversicherungsrechtliche Abteilung des Verwaltungsgerichts mit Entscheid vom 20. Mai 2015 die Klage gut. Es verpflichtete die Beklagte, dem Kläger die beiden Beträge in der Höhe von Fr. 60'216.- und Fr. 24'086.40 zuzüglich Zins zu 5 % seit den 1. Januar 2011 zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 1); den in der Betreibung Nr. 93030417 des Betreibungsamtes Bern-Mittelland erhobenen Rechtsvorschlag hob es in diesem Umfang auf und erteilte dem Kläger die definitive Rechtsöffnung (Dispositiv-Ziffer 2).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die VSM, der Entscheid vom 20. Mai 2015 sei aufzuheben und die Klage abzuweisen; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersucht sie darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
A._ äussert sich in seiner Vernehmlassung zum Verfahrensantrag der Vorsorgeeinrichtung summarisch zur Beschwerde, welche er als offensichtlich unbegründet erachtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3 S. 395). Der Ausgang des vorangegangenen Verfahrens allein bildet jedenfalls noch keinen hinreichenden Anlass für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits damals ohne weiteres hätten vorgebracht werden können. Dies ergibt sich zwingend aus der Bindung des Bundesgerichts an die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 629; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 226; Urteil 9C_25/2015 vom 1. Mai 2015 E. 1).
1.2. Die Beschwerdeführerin hat verschiedene vor Erlass des angefochtenen Entscheids erstellte Dokumente eingereicht, welche belegen sollen, dass sich entgegen der Auffassung des kantonalen Berufsvorsorgegerichts ihre Haftung nicht aus dem Grundsatz von Treu und Glauben und dem Gutglaubensschutz begründen lasse. Da dieser Aspekt bzw. die Frage der Anmeldung bei der IV kein Thema vor der Vorinstanz gewesen sei, handle es sich dabei um zulässige neue Beweismittel. Der Beschwerdegegner bestreitet diese Sichtweise unter Hinweis darauf, die Vorinstanz habe die beklagte Vorsorgeeinrichtung mit prozessleitender Verfügung vom 28. Juni 2013 aufgefordert, "die einschlägigen Vorakten" einzureichen, und zwar unabhängig vom Prozessthema. Es kann mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens offenbleiben, ob es sich bei den fraglichen Unterlagen um zulässige neue Vorbringen im Sinne von <ref-law> handelt oder nicht.
2.
Streitgegenstand ist, ob der Beschwerdegegner bereits ab 1. Januar 2011 Anspruch auf die reglementarischen Invalidenleistungen (Invalidenrente, zwei Kinderrenten) hat, wie die Vorinstanz entschieden hat, oder erst ab 1. Februar 2012 (Beginn der ganzen Rente der Invalidenversicherung), wie die Beschwerdeführerin dagegenhält. Unbestritten ist, dass das Vorsorgereglement vom 1. Januar 2010 anwendbar ist
3.
3.1. Die Vorinstanz hat erwogen, nach Art. 26 Abs. 1 BVG und der hierzu ergangenen Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 3.2 S. 473) sei im obligatorischen Bereich der beruflichen Vorsorge für den Leistungsbeginn die Geltendmachung des Anspruchs bei der Vorsorgeeinrichtung massgebend und nicht die allenfalls verspätete oder sogar unterbliebene Anmeldung bei der Invalidenversicherung. Demzufolge habe der Kläger mit seiner Mitteilung per E-Mail vom 22. März 2010, wonach er seit anfangs Januar des Jahres bis auf weiteres zu 100 % erwerbsunfähig sei, zumindest im Umfang der Leistungen aus dem Obligatorium ab Januar 2011 Anspruch auf eine Invalidenrente der beruflichen Vorsorge sowie auf die entsprechenden Invaliden-Kinderrenten. Dasselbe gelte auch für den weitergehenden Bereich der beruflichen Vorsorge. Ziff. 14.3 des Vorsorgereglements 2010 sehe die in Art. 26 Abs. 1 BVG statuierte Koordination der IV-Rente der zweiten Säule mit der ersten Säule auch für die überobligatorischen Leistungen vor. Aus den übrigen für die Rechtsbeziehungen der Beklagten mit dem Kläger relevanten Unterlagen, u.a. Anschlussvereinbarung Nr. 613 vom 21. August/20. September 2006, liesse sich keine abweichende Regelung von den invalidenversicherungsrechtlich sinngemäss anzuwendenden Normen eruieren. Anhaltspunkte, welche darauf hinwiesen, dass im überobligatorischen Bereich andere Leistungsvoraussetzungen gelten sollten als für das Obligatorium, lägen somit nicht vor. Demzufolge habe der Kläger gestützt auf Ziff. 14.3 des Vorsorgereglements 2010 davon ausgehen dürfen, dass er mit der Anmeldung vom 22. März 2010 bei seiner Vorsorgeeinrichtung sämtliche Rechte wahrte; es sei ihm denn auch kein echtzeitlicher Vorbehalt in dem Sinne gemacht worden, dass in Bezug auf den Leistungsbeginn zur Fristwahrung auch eine Anmeldung bei der Invalidenversicherung vorgenommen werden sollte.
3.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet die vorinstanzliche Auslegung von Ziff. 14.3 des Vorsorgereglements 2010 nach dem Vertrauensprinzip (<ref-ruling> E. 2.2 S. 51 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 666 f.). Zur Begründung verweist sie im Wesentlichen auf <ref-ruling>. Dieser Entscheid betrifft indessen die obligatorische berufliche Vorsorge, wie der Beschwerdegegner richtig vorbringt. Zu der - vom Bundesgericht grundsätzlich frei überprüfbaren (<ref-ruling> E. 2.3 S. 52) - Auslegung von Ziff. 14.3 des Vorsorgereglements 2010 wird in der Beschwerde nichts gesagt; darauf ist daher nicht näher einzugehen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 176; Urteil 2C_413/2014 vom 11. Mai 2014 E. 2.1). Bei diesem Ergebnis erübrigen sich Ausführungen zur Frage, ob der Beschwerdegegner auch gestützt auf den Grundsatz von Treu und Glauben (<ref-law>; vgl. Urteil B 160/06 vom 7. November 2007 E. 4.3.1: in: SVR 2008 BVG Nr. 30 S. 121) bereits ab 1. Januar 2011 Anspruch auf die reglementarischen Invalidenleistungen (Invalidenrente, zwei Kinderrenten) hat (vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1.4 S. 100).
3.3. Die Höhe der von der Vorinstanz zugesprochenen Invalidenleistungen für die Zeit vom 1. Januar 2011 bis 31. Januar 2012 gemäss Dispositiv-Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids ist nicht bestritten. Mit Bezug auf den Verzugszins von 5 % indessen weist die Beschwerdeführerin richtig darauf hin, dass nach <ref-law> ein solcher erst ab 4. April 2013 geschuldet ist. Insoweit ist das vorinstanzliche Erkenntnis zu korrigieren.
4.
Mit dem Entscheid in der Sache ist die Frage der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
5.
Ausgangsgemäss hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen. Dispositiv-Ziffer 1 und 2 des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 20. Mai 2015 werden dahingehend abgeändert, dass Zins zu 5 % erst ab 4. April 2013 zu bezahlen ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. August 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Fessler