Faits:
A. D'octobre 2001 à décembre 2006, V._ SA (ci-après: V._; devenue en 2007 Y._ SA) a été inscrite au registre du commerce de Genève en tant qu'organe de révision de X._ SA, société, sise à ... (GE), active dans le secteur du mobilier de cuisine et dans le service d'agencement de cuisine dont l'administrateur unique est B._. V._ avait pour administrateur jusqu'au 7 décembre 2006 notamment A._.
En sus de son mandat de réviseur de X._ SA, V._ était chargée d'accomplir pour la première des tâches de nature administrative et fiscale (aide pour le bouclement de la comptabilité, la TVA et les déclarations d'impôts). Les honoraires de V._ avaient été fixés forfaitairement à 2'259 fr.60 par trimestre, frais compris, payables quatre fois l'an. Ces honoraires ont été versés jusqu'au premier trimestre 2004.
V._ a fourni à X._ SA toutes les prestations convenues jusqu'à la fin de l'année 2005.
En 2006, X._ SA s'est séparée de ses employés et n'a plus réalisé de chiffre d'affaires. Elle n'a pas réglé les notes d'honoraires de V._ des 29 juin, 30 septembre et 30 décembre 2004, pas plus que celles des 31 mars, 30 juin, 30 septembre et 31 décembre 2005.
Par courriers des 11 et 12 octobre 2006, V._ a résilié avec effet immédiat son mandat de réviseur de X._ SA; le 28 décembre 2006, elle a été radiée du registre du commerce en tant qu'organe de révision de X._ SA.
B. Le 6 août 2009, Y._ SA a fait notifier à X._ SA une poursuite avant d'ouvrir une action à son encontre le 4 novembre 2010 devant le Tribunal de première instance de Genève. La demanderesse a requis paiement de sept notes d'honoraires de 2'259 fr.60 avec intérêts à 6% l'an dès leur date d'exigibilité, ainsi que de divers frais.
X._ SA s'est opposée à la demande. Elle a fait valoir que les services rendus par la demanderesse depuis le deuxième trimestre 2004 l'avaient été à titre gratuit, compte tenu des relations privilégiées d'affaires et d'amitié qu'entretenaient alors les administrateurs A._ et B._, et que les factures litigieuses, antidatées, avaient été établies pour les besoins de la cause.
Par jugement du 14 février 2012, le Tribunal de première instance a admis les conclusions en paiement de la demanderesse relatives aux sept notes d'honoraires de 2'259 fr.60, concernant la période s'étant étendue du deuxième trimestre 2004 à la fin de l'année 2005, mais a rejeté ses conclusions en versement de divers frais. En conséquence, le tribunal a condamné la défenderesse à payer à la demanderesse 15'817 fr.20 (7 x 2'259 fr.60) plus intérêts à 5% l'an dès le 6 août 2009.
Saisie d'un appel de la défenderesse, qui requérait sa libération, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève, par arrêt du 14 septembre 2012, a confirmé le jugement entrepris. La cour cantonale a admis que la demanderesse, qui avait fourni en qualité de mandataire des services professionnels à la défenderesse, devait être rémunérée conformément à l'art. 394 al. 3 CO, étant donné que la preuve de la passation d'une convention sur la gratuité du mandat n'avait pas été apportée.
C. X._ SA exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt du 14 septembre 2012, au renvoi de la cause à la cour cantonale pour complément d'instruction dans le sens des considérants, la demanderesse devant être déboutée « de toutes autres ».
L'intimée propose le rejet du recours.
Les parties ont répliqué et dupliqué.

Considérant en droit:
1. Devant l'autorité précédente, le litige ne portait que sur une demande en capital de 15'817 fr.20, entièrement contestée (cf. art. 51 al. 1 let. a et al. 3 LTF). La valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. requise par l'art. 74 al. 1 let. b LTF n'étant pas atteinte, le recours en matière civile n'est pas ouvert, étant observé que l'on ne se trouve dans aucun des cas de dispense prévus par l'art. 74 al. 2 LTF. C'est donc à juste titre que la recourante a interjeté un recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
1.1 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions libératoires et qui a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision (art. 115 LTF), le recours, déposé dans le délai (art. 100 al. 1 et 117 LTF) et dans la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, est en principe recevable, puisqu'il est dirigé contre une décision finale (art. 117 et 90 LTF) rendue par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 113 et 114 LTF).
1.2 Le recours subsidiaire ne peut être interjeté que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). La partie recourante doit indiquer quel droit constitutionnel aurait été violé et montrer, par une argumentation circonstanciée, en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 246). Le Tribunal fédéral ne peut examiner la violation d'un droit de rang constitutionnel ou un grief constitutionnel en relation avec l'application du droit cantonal que si le grief a été invoqué et suffisamment motivé dans l'acte de recours (art. 106 al. 2 LTF applicable par le renvoi de l'art. 117 LTF).
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 118 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 al. 2 et 116 LTF), ce que le recourant doit invoquer avec précision (art. 106 al. 2 LTF applicable par le renvoi de l'art. 117 LTF). Aucun fait nouveau ou preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision attaquée (art. 99 al. 1 LTF applicable par le renvoi de l'art. 117 LTF).
1.3 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 117 et 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 117 et 99 al. 2 LTF).
Les conclusions prises par la recourante tendent essentiellement au renvoi de la cause à l'autorité cantonale. Mais, en les interprétant d'une manière objective selon le principe de la confiance (<ref-ruling> consid. 2a), il appert, malgré leur libellé maladroit, que la recourante sollicite le déboutement de la demanderesse de ses conclusions en paiement.
2. Il n'est pas contesté que les parties ont été liées par un contrat de mandat (cf. art. 394 al. 1 CO). Seul est litigieux le point de savoir si la mandataire (i.e. l'intimée) a droit à une rémunération pour les services qu'elle a rendus à la mandante (i. e. la recourante) entre le 1er avril 2004 et le 31 décembre 2005, soit pendant sept trimestres, comme le soutient la mandataire, ou si les parties étaient convenues que les services professionnels fournis par la mandataire pendant cette même période l'avaient été à titre gratuit, ainsi que le prétend la mandante.
3. La recourante reproche tout d'abord à la cour cantonale d'avoir violé son droit à la preuve garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. en renonçant à exiger de l'intimée la production de son compte « débiteurs » des années 2004 à 2006.
3.1 En cas de refus d'administrer une preuve, une partie doit s'en plaindre en invoquant une violation de son droit à la preuve. Or le droit à la preuve est régi, pour toutes les prétentions fondées sur le droit fédéral, par l'art. 8 CC, en tant que disposition spéciale par rapport à l'art. 29 al. 2 Cst. (arrêts 4A_228/2012 du 28 août 2012 consid. 2.3, non publié in <ref-ruling>; 5A_726/2009 du 30 avril 2010 consid. 3.1, non publié in <ref-ruling>; 5A_620/2007 du 7 janvier 2010 consid. 6.1, publié in SJ 2010 I p. 568).
3.2 La recourante n'invoque pas une violation arbitraire de l'art. 8 CC. Pour les droits fondamentaux, notamment la prohibition de l'arbitraire consacrée à l'art. 9 Cst., prévaut le principe de l'allégation, en ce sens que le recourant doit expressément soulever le grief et exposer de manière claire et circonstanciée, si possible documentée, en quoi consiste la violation du droit ou principe invoqué (art. 106 al. 2 LTF; ATF <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
Le grief est donc irrecevable, puisque la recourante n'a pas invoqué la transgression arbitraire de la norme qui régissait in casu son droit à la preuve.
4. La recourante affirme ensuite que la cour cantonale a procédé à une appréciation anticipée arbitraire des preuves en considérant que même si les sept factures dont le règlement est contesté ne figuraient pas dans les comptes de l'intimée, cela n'établirait pas que les parties avaient convenu de la gratuité des services rendus par celle-ci. Elle souligne qu'avant 2009 l'intimée n'avait jamais requis paiement des factures litigieuses.
4.1 Le juge peut renoncer à administrer une preuve lorsque sa conviction est déjà formée sur la base des éléments apportés et qu'il peut admettre sans arbitraire qu'elle ne pourrait pas être ébranlée par le résultat de la mesure probatoire sollicitée (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 148).
4.2 Tout d'abord, il a été retenu, sans que l'arbitraire soit invoqué à ce propos, que le témoin A._, administrateur de l'intimée jusqu'en décembre 2006, a déclaré que les factures litigieuses figuraient dans la comptabilité de celle-ci.
La recourante n'avance aucun élément probant pour étayer l'allégation selon laquelle l'intimée aurait soudainement consenti, fût-ce par actes concluants, à renoncer dès le 1er avril 2004 à obtenir des honoraires pour les services qu'elle avait rendus jusque-là à sa mandante contre rémunération. A propos du retard de l'intimée à réclamer le versement de ses honoraires, l'autorité cantonale, au considérant 3.2 de l'arrêt attaqué, s'est rapportée aux dires du témoin A._, d'après lequel l'intimée savait qu'elle devait attendre le règlement d'un litige entre la recourante et sa maison mère en France ou un apport des actionnaires avant de pouvoir recouvrer ses factures. La recourante ne discute même pas ce point, qui explique en particulier l'attitude adoptée par l'intimée après la résiliation du mandat.
La recourante n'a ainsi pas établi qu'un accord sur la gratuité des services rendus aurait été donné, alors que la preuve de ce fait lui incombait.
Comme la cour cantonale disposait des éléments nécessaires pour rendre une décision conforme aux faits, elle pouvait renoncer sans arbitraire à l'administration de preuves supplémentaires.
Le moyen est sans consistance.
5. A suivre la recourante, la cour cantonale aurait sombré dans l'arbitraire en retenant que la mauvaise exécution du mandat par l'intimée n'aurait pas été alléguée de manière recevable.
Les magistrats genevois ont jugé qu'au mépris de l'art. 311 al. 1 CPC, la recourante n'a pas motivé son appel lorsqu'elle a fait grief au premier juge d'avoir admis que le mandat a été exécuté correctement par l'intimée.
A défaut de s'être prévalue d'une application insoutenable de cette norme, le moyen est irrecevable (art. 106 al. 2 LTF, par renvoi de l'art. 117 LTF).
6. Il suit de là que le recours doit être rejeté en tant qu'il est recevable. La recourante, qui succombe, paiera les frais judiciaires et versera à l'intimée une indemnité à titre de dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 21 mars 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet