Erwägungen:
1. Y._ reichte am 26. August 2011 bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Wallis eine Strafklage gegen X._ ein. Er warf ihm vor, ihn am 29. Mai 2011 beschimpft, tätlich angegriffen und bedroht zu haben. Als Folge des tätlichen Angriffs sei sein Handy beschädigt worden. Der Oberstaatsanwalt eröffnete mit Verfügung vom 23. September 2011 eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen Drohung, Tätlichkeit, Beschimpfung und Sachbeschädigung.
Am 23. November 2011 stellte X._ ein Gesuch um Anordnung der amtlichen Verteidigung. Der Oberstaatsanwalt teilte ihm am 2. Dezember 2011 mit, dass seinem Gesuch nicht entsprochen werden könne. Falls er auf einem formellen Entscheid beharre, habe er seine Vermögenssituation zu belegen. Nachdem X._ um Erlass eines formellen Entscheids ersucht hatte, wies der Oberstaatsanwalt das Gesuch um Anordnung der amtlichen Verteidigung und der unentgeltlichen Rechtspflege mit Verfügung vom 16. Januar 2012 ab. Es handle sich um einen Bagatellfall, der weder in tatbeständlicher noch in rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten biete. Ausserdem habe der Beschuldigte seine Vermögens- und Schuldensituation nicht im Detail offengelegt und verfüge über eine pfändbare Quote von Fr. 800.-- pro Monat.
X._ erhob gegen diese Verfügung Beschwerde, auf welche die Strafkammer des Kantonsgerichts Wallis mit Verfügung vom 23. März 2012 nicht eintrat. Zur Begründung führte die Strafkammer zusammenfassend aus, dass sich der Beschwerdeführer in Bezug auf das Erfordernis der Mittellosigkeit nicht mit der Begründung des Oberstaatsanwaltes auseinandergesetzt habe, weshalb mangels einer genügenden Begründung auf die Beschwerde nicht einzutreten sei. In einer Alternativbegründung weist die Strafkammer darauf hin, dass die Beschwerde aus materiellen Gründen abzuweisen wäre.
2. X._ führt mit Eingabe vom 19. April 2012 (Postaufgabe 21. April 2012) Beschwerde gegen die Verfügung der Strafkammer des Kantonsgerichts Wallis. Da die angefochtene Verfügung der Beschwerde nicht beilag, forderte das Bundesgericht X._ mit Verfügung vom 23. April 2012 auf, die Verfügung der Strafkammer bis am 7. Mai 2012 nachzureichen, ansonsten die Rechtsschrift unbeachtet bleibe. Der Beschwerdeführer kam dieser Aufforderung innert Frist nach und reichte ausserdem mit Eingabe vom 3. Mai 2012 (Postaufgabe 4. Mai 2012) eine Beschwerdeergänzung ein. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, setzt sich nicht mit der Begründung der angefochtenen Verfügungen auseinander, die zum Nichteintreten auf seine Beschwerde führte. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht, inwiefern der Nichteintretensentscheid der Strafkammer rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4. Die Beschwerde erweist sich als aussichtslos, weshalb das sinngemäss gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen ist (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und dem Kantonsgericht des Kantons Wallis, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Mai 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli