Faits:
A. A.a X._ a débuté son activité au sein du Comité Y._ (ci-après: Y._ ou employeur) en juillet 2001. Elle a tout d'abord oeuvré en qualité d'assistante, puis de juriste auprès de la division juridique. Du 29 février 2004 au 28 mai 2004, X._ a été envoyée en mission en ..., en tant que conseillère juridique.
De septembre 2003 à mai 2004, X._ a entretenu une relation amoureuse avec A._. Cette relation n'était pas connue de Y._. En juin et juillet 2004, les intéressés ont échangé divers courriels à caractère privé. A._ occupait alors le poste de chef de délégation à ..., en ....
A.b En 2005, X._ a été affectée à la délégation de Y._ à .... Selon le document intitulé « Confirmation de mission », signé le 31 janvier 2005, elle devait y exercer la fonction de « conseillère juridique » (ch.1) en « classe personnelle 2 » (ch. 2), du 13 février 2005 au 12 février 2006. Selon la confirmation de mission, Y._ était libre de modifier en tout temps tant l'affectation que la fonction écrite aux chiffres 1 et 2.
La mission de X._, arrivée à ... le 14 février 2005, a été écourtée le 24 février 2005. Dès son arrivée, X._ a refusé d'exercer sa fonction de juriste de protection « JUR-PROT », rattachée au département de la protection et non pas au chef de délégation (« JUR-OP »). Le 20 février 2005, lors d'une réunion, elle a réitéré sa position et refusé de s'engager pour une période de trois à six mois, avec possibilité de réévaluation à mi-terme. La délégation lui a alors indiqué que si elle ne changeait pas d'avis son retour à Genève serait à envisager.
A.c Par courriel du 10 mars 2005, B._ annonçait à X._ qu'elle avait préparé et posté la lettre de fin des rapports de service, laquelle a été retournée à Y._ avec la mention « non réclamé ». X._ s'est trouvée en incapacité totale de travailler du 15 mars au 8 juin 2005.
A.d Par pli recommandé du 13 juin 2005, Y._ a licencié X._ pour le 13 septembre 2005, en la libérant immédiatement de l'obligation de travailler « sous réserve d'une urgence opérationnelle ».
Le 27 juin 2005, l'employée a formé un recours contre son licenciement auprès de la Commission indépendante de recours de Y._. Par décision du 15 août 2005, la Commission de recours a confirmé le licenciement.
X._ a été déclarée en totale incapacité de travailler du 1er octobre 2005 au 31 janvier 2006.
B. Le 18 mai 2006, X._ a assigné Y._ en paiement de 24'167 fr.80 bruts et de 50'040 fr. nets, le tout avec intérêts. La première somme était réclamée à titre de salaire pour les 1er et 2 février 2006, de treizième salaire pour la période allant du 5 novembre 2005 au 2 février 2006, d'indemnité de vacances pour les années 2005 et 2006 et d'indemnité pour « jours bonifiés ». Quant à la seconde, elle correspondait à l'indemnité pour licenciement discriminatoire et abusif. Les conclusions de la demande tendaient également à la remise d'un certificat de travail conforme au projet élaboré par la demanderesse.
Par jugement du 6 décembre 2006, le Tribunal des prud'hommes a condamné le défendeur, d'une part, à payer à la demanderesse la somme brute de 11'103 fr.55, avec intérêts moratoires au taux de 5% l'an dès le 11 novembre 2005, à titre d'indemnité de vacances et de compensation complémentaire et, d'autre part, à lui remettre un certificat de travail en tous points conforme au projet figurant sous pièce 69 du chargé de la demanderesse, sous réserve de quelques points précisés. Les parties ont été déboutées de toute autre conclusion.
La Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes a été saisie par la demanderesse d'un appel principal et par le défendeur d'un appel incident. Par arrêt du 2 octobre 2007, la Cour d'appel a annulé le jugement du 6 décembre 2006 en tant qu'il déboute la demanderesse de ses conclusions en paiement du montant de 2'854 fr.70, en tant qu'il condamne le défendeur à payer à la demanderesse la somme de 11'103 fr.55 bruts et à lui remettre un certificat de travail. Statuant à nouveau, l'autorité cantonale a condamné le défendeur à payer à la demanderesse les sommes de 2'854 fr.70 bruts, avec intérêts à 5% l'an dès le 2 février 2006, à titre de salaire et 13ème salaire, et de 13'023 fr. bruts, avec intérêts à 5% dès le 11 novembre 2005, à titre d'indemnité pour jours de vacances non pris et « jours bonifiés », en invitant la partie qui en a la charge à opérer les déductions sociales, légales et usuelles sur les montants octroyés. La juridiction cantonale a également condamné le défendeur à remettre à la demanderesse un certificat de travail, dont le contenu a une nouvelle fois été précisé. Le jugement querellé a pour le surplus été confirmé.
Le défendeur a été débouté de toutes ses conclusions.
C. La demanderesse exerce un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt du 2 octobre 2007. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à sa réforme, en ce sens que le défendeur soit condamné à lui payer 15'877 fr.70 bruts, avec intérêts à 5% dès le 2 février 2006, et 50'040 fr. nets, avec intérêts à 5% dès le 3 février 2006. Elle demande également la condamnation du défendeur à lui délivrer un certificat de travail en tous points conforme au projet figurant sous pièce 69 et le déboutement du défendeur de toutes autres ou contraires conclusions. Subsidiairement, la demanderesse requiert le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle statue, dans une composition différente ne comprenant pas le Président C._, dans le sens des considérants du Tribunal fédéral.
Le défendeur conclut, principalement, à l'irrecevabilité des deux recours, subsidiairement, au déboutement de la demanderesse et, plus subsidiairement encore, au renvoi de la cause à la Cour d'appel pour nouvelle décision. Quant à l'autorité cantonale, elle persiste dans sa décision.

Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie qui a partiellement succombé dans ses conclusions (<ref-law>) et dirigé contre un jugement final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire concernant le droit du travail dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 francs (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il s'ensuit que le recours constitutionnel, qui est subsidiaire (<ref-law>), est irrecevable.
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui. Il ne peut pas entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>).
2. La recourante dénonce en premier lieu une violation de l'art. 30 ch. 1 Cst., reprochant au Président de la Cour d'appel d'avoir adopté une attitude partiale.
2.1 Selon l'art. 30 al. 1 Cst., toute personne a droit à ce que sa cause soit entendue par un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial, c'est-à-dire par des juges qui offrent la garantie d'une appréciation parfaitement objective de la cause (<ref-ruling> consid. 3.3.3). Si la simple affirmation de la partialité ne suffit pas, mais doit reposer sur des faits objectifs, il n'est pas nécessaire que le juge soit effectivement prévenu; la suspicion est légitime, même si elle ne se fonde que sur des apparences, pour autant que celles-ci résultent de circonstances examinées objectivement. Les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont en revanche pas décisives (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 3.3.3).
2.2 La recourante évoque, tout d'abord, à titre de circonstances extérieures, l'attitude adoptée, entre juillet 2004 et janvier 2005, par le Juge C._, en qualité de Président de la juridiction des prud'hommes, dans le cadre d'un échange de correspondances; cet échange a eu lieu entre l'avocate de la recourante, le Service cantonal pour la promotion de l'égalité entre homme et femme et le Juge C._ et avait pour objet le fonctionnement et les pratiques du greffe de la juridiction des prud'hommes, ainsi que la formation des juges de cette juridiction en lien avec la loi fédérale sur l'égalité entre femmes et hommes. La recourante met ensuite en relation « l'hostilité » du magistrat à l'égard de son avocate à la suite des échanges de courriers susmentionnés avec le contenu du jugement entrepris. Revenant en particulier sur un passage de la motivation juridique, la recourante soutient qu'au même titre que le Juge C._ a traité (en termes choisis) Me Bürgisser de menteuse et la directrice du Service d'égalité de son « zélé porte-parole », le magistrat l'a traitée, dans le jugement remis en cause, de menteuse et l'association genevoise W._ de son « porte-parole zélé ».
A travers sa critique, force est de constater que la recourante fait état de son sentiment personnel, sans présenter de motifs qui permettraient objectivement de douter de l'impartialité des juges. Dans un premier temps, il convient de relever que la qualification de « menteuse » ne ressort pas de l'arrêt attaqué. Ensuite, l'utilisation du terme « porte-parole zélé », qui l'a été dans un courrier adressé par le magistrat C._ à une tierce personne plus de deux ans auparavant ne saurait, bien évidemment, suffire à démontrer une attitude partiale envers la recourante. Au demeurant, la cour cantonale pouvait mettre en avant dans son appréciation du comportement respectif des parties, sans pour autant révéler de manière objective une prévention de sa part, la démarche entreprise par la recourante auprès de l'association genevoise W._. A cet égard, l'autorité cantonale pouvait retenir, sans dévoiler d'a priori négatif, que les accusations de harcèlement sexuel dénoncées auprès de cette association étaient fausses, puisqu'il résulte de l'appréciation des preuves, qui - comme on le verra - échappe au grief d'arbitraire, que la vraisemblance de tels actes n'a pas été démontrée à satisfaction: non seulement il a été retenu que la recourante n'a pas rendu plausible que A._ l'avait mise, à ..., dans une situation embarrassante en multipliant les attitudes visant à présenter leur relation intime comme toujours d'actualité, mais, en sus, la recourante a admis, de son propre chef, qu'elle « n'a jamais affirmé que M. A._ a tenté de l'embrasser ou de la toucher ou de lui faire des propositions de nature sexuelle ».
Cela étant, on ne discerne aucune violation de la garantie d'un tribunal impartial.
3. Avant d'examiner les autres griefs soulevés par la recourante, il y a lieu de préciser que seules demeurent litigieuses devant le Tribunal fédéral les questions du contenu du certificat de travail et du licenciement discriminatoire et abusif.
4. La recourante critique l'établissement des faits, en invoquant les art. 97 et 118 al. 2 LTF, 9 et 30 al. 1 Cst. féd. Elle discute ainsi différents thèmes factuels, qu'elle nomme « du certificat de travail », « de la liaison amoureuse entre Mme X._ et M. A._ et divers courriels à caractère privé échangés en juin et juillet 2004 », « de la définition du poste que X._ devait occuper à ... », « du renvoi (...) de la mission à ... vers le siège à Genève », ainsi que « des événements survenus entre le retour (...) à Genève le 25 février 2005 et son licenciement le 13 juin 2005 ».
4.1 A teneur de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral peut rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>. Ce n'est que dans cette mesure que la partie recourante est recevable à critiquer les constatations de fait, et cela uniquement pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La notion de « manifestement inexacte » correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Il convient de rappeler que le juge dispose d'un large pouvoir lorsqu'il apprécie les preuves. La partie recourante doit ainsi démontrer dans quelle mesure le juge a abusé de son pouvoir d'appréciation et, plus particulièrement, qu'il a omis, sans aucune raison sérieuse, de prendre en compte un élément de preuve propre à modifier la décision attaquée, qu'il s'est manifestement trompé sur son sens et sa portée ou encore qu'il a, en se fondant sur les éléments recueillis, tiré des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1).
La notion de « manifestement inexacte » correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Il convient de rappeler que le juge dispose d'un large pouvoir lorsqu'il apprécie les preuves. La partie recourante doit ainsi démontrer dans quelle mesure le juge a abusé de son pouvoir d'appréciation et, plus particulièrement, qu'il a omis, sans aucune raison sérieuse, de prendre en compte un élément de preuve propre à modifier la décision attaquée, qu'il s'est manifestement trompé sur son sens et sa portée ou encore qu'il a, en se fondant sur les éléments recueillis, tiré des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1).
4.2 4.2.1 A titre liminaire, la recourante reproche à la cour cantonale d'avoir retenu que le siège de l'intimé confirmait son renvoi de ... à Genève, sur la base de courriels non versés au dossier, mais mentionnés par A._ dans un de ses propres courriels.
La critique est vaine. Sous let. B/h/hb du jugement, la cour ne fait qu'énumérer le contenu du courriel adressé le 23 février 2005 par A._ et D._ au siège de l'intimé. Ainsi, il est indiqué que ce courriel précisait que « le 21 février 2005, le chef des opérations adjoint pour l'Asie centrale et l'Asie du sud avait décidé le retour à Genève de X._, à la suite de ses refus réitérés, décision qui avait été confirmée par le siège de l'intimé à Genève dans deux messages du 22 février 2005 ». Au demeurant, la critique est dénuée de pertinence, puisqu'il n'est pas contesté que le refus d'obtempérer de la recourante face à l'injonction de la délégation d'accepter le lien hiérarchique au coordinateur de protection ne pouvait que conduire à son retour en Suisse. Enfin, quoi qu'en pense la recourante, les dépositions de A._ ne sauraient être dénuées de force probante, dès lors qu'elles sont corroborées par d'autres témoignages.
4.2.2 La cour cantonale a retenu, sous let. B/e du jugement, que le 16 juillet 2004, l'intimé a établi un rapport d'appréciation de qualité au sujet des prestations, compétences et comportement de la recourante dans le cadre de son travail. La recourante revient sur cette constatation en reprochant à la juridiction cantonale d'avoir omis de préciser la période concernée par ledit rapport, ainsi que son contenu qu'elle énumère en détail. Pour la recourante, le fait pertinent est sa capacité d'adaptation et sa flexibilité, lesquelles qualités auraient dû figurer dans le certificat de travail, ce qu'elle développe plus loin, sous l'intitulé « de la violation de l'<ref-law> », et qui sera également analysé dans ce considérant.
Par sa manière de présenter son argumentation, la recourante perd de vue qu'il ne suffit pas d'écrire que la cour « omet de préciser » tel ou tel fait pour démontrer le caractère insoutenable, et donc arbitraire, de la constatation de fait incriminée. Il ne suffit également pas de dire qu'il s'agit d'un fait pertinent pour la solution du litige, sans autre explication. En cela, le grief se rapportant à l'établissement des faits est irrecevable. Il convient en outre d'observer que, même si l'autorité cantonale n'a pas retranscrit le contenu du rapport en question, elle n'en a pas pour autant fait fi, puisqu'elle a dûment mentionné, dans les faits du jugement, l'existence de ce rapport, qu'elle a décrit comme étant de qualité.
En tout état de cause, le fait que la flexibilité et la capacité d'adaptation de la recourante aient été louées par E._, dans son rapport du 16 juillet 2004, ne change rien au motif de licenciement invoqué, qui s'est produit ultérieurement au rapport cité et qui n'est pas remis en cause par la recourante, par le biais de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 4.1).
L'autorité cantonale a retenu que le manque de flexibilité et d'adaptation de la recourante lors de sa mission à ... a constitué une des raisons essentielles de son licenciement et qu'il y avait lieu de le mentionner dans le certificat de travail. Or, la recourante ne démontre pas que l'indication dans le certificat de travail du motif de la fin des rapports de travail serait contraire au droit fédéral. Elle se contente de dire qu'elle n'a porté aucun préjudice à son employeur et que celui-ci n'engagerait pas sa responsabilité vis-à-vis d'un futur potentiel employeur en mentionnant, dans le certificat de travail, la très bonne intégration et la flexibilité professionnelle de son ancienne employée.
On ne voit du reste pas en quoi le droit fédéral aurait été violé. Selon la jurisprudence, le certificat de travail qualifié doit être conforme à la réalité et complet. Il doit ainsi s'exprimer sur tous les points visés par l'<ref-law>, soit sur la nature et la durée des rapports de travail, ainsi que sur la qualité du travail et la conduite du travailleur, au risque, sinon, de se rendre responsable à l'égard d'un futur employeur (<ref-ruling> consid. 3.2 et les références citées). Dans le cas d'espèce, l'indication du motif de la fin des rapports de travail - qui se rapporte au manque de flexibilité et d'adaptation de la recourante - est conforme à la réalité et apparaît, de surcroît, pertinent pour un futur employeur, dès lors que, comme l'admet la recourante dans son écriture de recours, la capacité d'adaptation et la flexibilité professionnelle sont des qualités recherchées dans les organisations internationales humanitaires. C'est, par conséquent, à bon droit que l'autorité cantonale n'a pas fait état, dans le certificat litigieux, de « la très bonne intégration » et de « la flexibilité professionnelle de la demanderesse ».
Cependant, au même titre que la cour cantonale a estimé qu'il convenait d'indiquer, en relation avec la mission effectuée en ..., que la recourante s'était bien intégrée dans l'équipe, il y a également lieu de faire mention de la bonne intégration de la recourante au sein de l'équipe de droit coutumier et de la division juridique au siège de l'intimé, du 4 juillet 2001 au 28 février 2004, tel que cela ressort du rapport d'appréciation daté du 16 juillet 2004. L'arrêt attaqué sera dès lors réformé dans ce sens.
4.2.3 Sous l'intitulé « de la liaison amoureuse entre Mme X._ et M. A._ et de divers courriels à caractère privé échangés en juin et juillet 2004 », la recourante reproche à la cour cantonale de ne pas s'être penchée sur le contenu des courriels en question. Elle revient sur les explications qui ont eu lieu entre les intéressés au sujet de ces courriels et sur leur lien avec un possible poste de juriste à créer à ..., en affirmant que A._ a élaboré un cahier des charges en tout point conforme aux compétences de la recourante. Ces éléments seraient à même d'expliquer le comportement de la recourante lorsque, quatre mois plus tard, elle s'est retrouvée à ... dans un appartement à côté de celui du chef de délégation, mais éloignée hiérarchiquement de celui-ci en raison d'une liaison amoureuse.
Dans son argumentation, la recourante oppose sa propre version des faits à celle de la cour cantonale, sans démontrer dans quelle mesure la cour cantonale aurait fait preuve d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et les constatations de fait qui en découlent. Motivé ainsi, le grief est irrecevable. La Cour de céans ne voit par ailleurs pas comment les « faits précisés » par la recourante pourraient influer sur le sort du litige, dès lors que la recourante a accepté d'occuper le poste qui lui a été proposé à ... postérieurement à l'échange des courriels à caractère privé et qu'indépendamment de leur contenu, il avait été convenu entre les intéressés que la mission en ... serait strictement professionnelle. De plus, les éléments indiqués par la recourante ne permettent pas de rendre vraisemblable que la recourante s'est retrouvée à ... dans un appartement à côté de celui du chef de délégation. Ils n'apparaissent pas plus comme des indices de la volonté de A._ de renouer une liaison amoureuse avec la recourante lors de sa mission à ... et de lui imposer par là un éloignement hiérarchique.
4.2.4 La recourante critique la définition donnée par les juges précédents du poste qu'elle devait occuper à .... Elle soutient que la cour cantonale s'est rendue coupable d'arbitraire et a fait preuve d'une partialité en sa défaveur, en affirmant que son poste était celui d'une juriste de protection - en lieu et place d'une juriste opérationnelle - et que le lien hiérarchique au coordinateur de protection (ou Co-Prot) était clairement défini avant son arrivée en ....
La juridiction cantonale s'est fondée sur le courriel de A._ du 26 novembre 2004, ainsi que sur les dépositions de celui-ci, de F._ et de B._, pour retenir que la définition du poste dont l'intimé avait besoin à ... a été déterminée et décidée avant l'octroi du poste et que le rattachement au coordinateur de protection était une décision commune, mûrement réfléchie, des dirigeants de la délégation.
La recourante remet en cause l'appréciation de l'autorité cantonale, en discutant la portée des éléments de preuve sur lesquels l'autorité a fondé son appréciation. Ainsi, elle se réfère au courriel de A._ du 26 novembre 2004 intitulé « Replacement S._, Change of position file » (pièce 27) et affirme qu'il a été interprété de façon arbitraire. Elle revient en particulier sur la terminologie utilisée et relève que la description des tâches concerne « les tâches du Conseiller juridique opérationnel ». La recourante invoque aussi le courriel de F._ du 18 mars 2005 (pièce 2 de l'intimé), dans lequel il est précisé que le poste occupé par la recourante à ... avait comme référentiel métier au siège de l'intimé: « JUR-OP », au même titre que le poste des juristes à Washington, Bagdad ou Tel-Aviv. La recourante fait également grief à la cour cantonale d'avoir ignoré le fragment du témoignage de A._, qui précisait qu'entre 2002 et 2004, les conseillers juridiques dépendaient plutôt des chefs de délégation. La recourante souligne encore que, lorsque la cour cantonale constate que le rattachement hiérarchique a été discuté avant son départ, elle a ignoré la déposition de B._, selon laquelle son travail aux ressources humaines ne consistait pas à entrer dans les détails de la hiérarchie de chaque délégation et que, dans le cas de la recourante, elle n'aurait fait que finaliser le contrat.
La critique tombe à faux. Tout d'abord, il n'est pas contesté que la description du poste litigieux, qui a fait l'objet du courriel du 26 novembre 2004, a nécessité l'accord du Co-Prot et de son suppléant. Ensuite, ce document, qui est antérieur à l'arrivée de la recourante en ..., en février 2005, indique que « les objectifs de protection de la délégation seront mieux servis par une structure où le Co-Prot coordonne entièrement les dossiers US et AFG, avec l'assistance non d'un suppléant Co-Prot mais d'un conseiller juridique ». Il ressort donc expressément de ce courriel que le conseiller juridique dépendrait du Co-Prot, ce qui est corroboré par les témoignages de G._, F._ et B._ - dont la recourante ne cite qu'un passage de la déposition -, qui ont déposé, de manière concordante, que pour ... le conseiller juridique était rattaché au département de protection. A cet égard, la recourante passe sous silence le contenu de son courriel du 21 février 2005, dans lequel elle a reconnu que la délégation à ... s'attendait à ce que la personne qui lui était envoyée fasse partie du département de la protection et, par conséquent, à recevoir une déléguée de protection, soit une juriste de protection « JUR/PROT ».
Le fait que le courriel du 26 novembre 2004 fasse état de « tâches du conseiller juridique opérationnel » et que, comme indiqué par F._, le poste occupé à ... par la recourante avait « JUR/OP » comme référentiel métier au siège sont sans pertinence, puisque ces éléments ne permettent pas d'établir que la recourante devait dépendre du seul chef de délégation. Il ressort bien plus des témoignages recueillis qu'en 2005, soit lorsque la recourante se trouvait en mission à ..., les conseillers juridiques pouvaient dépendre du Co-Prot. En effet, selon la déposition de A._, ce n'est qu'entre 2002 et 2004 que les conseillers juridiques dépendaient plutôt des chefs de délégation, à l'exception de .... Quant à F._, il a affirmé qu'« actuellement, et depuis 2004, le conseiller juridique aux opérations dépendait du « CO-PROT » et cela fonctionnait très bien ».
La cour cantonale n'a donc pas fait montre d'arbitraire dans l'appréciation des preuves en ayant retenu que le poste dont l'intimé avait besoin à ... dépendait du coordinateur de protection et que ce poste avait été défini avant son attribution à la recourante.
4.2.5 En dernier lieu, la recourante s'attache à discuter de son renvoi de la mission de ... vers le siège de Genève et des événements survenus entre son retour le 25 février 2005 et son licenciement le 13 juin 2005.
S'agissant de son renvoi, la recourante indique que la cour ne pouvait, sans tomber dans l'arbitraire, affirmer que la décision de son renvoi émanait du chef des opérations adjoint pour l'Asie centrale et l'Asie du sud et que cette décision avait été confirmée par le siège de l'intimé. Une telle affirmation, qui repose sur des documents qui n'ont pas été versés en cause, ne peut que provenir d'une interprétation arbitraire du courriel du 26 novembre 2004.
L'argumentation de la recourante est sans fondement, pour les raisons déjà exposées ci-dessus au consid. 4.2.1, auquel il peut être renvoyé.
Quant au dernier volet de sa critique, la recourante tente de justifier, de manière largement appellatoire, pour quelle raison elle n'a pas parlé avant le 5 avril 2005 du problème de ses relations personnelles avec A._. Il va sans dire qu'une telle critique est irrecevable, ce d'autant plus que la recourante n'indique pas en quoi les événements survenus entre le 25 février 2005 et le 13 juin 2005, à supposer qu'ils soient constatés, devraient être considérés comme les indices d'une discrimination.
5. La recourante dénonce encore une violation de son droit d'être entendu au sens de l'art. 29 al. 2 Cst. Elle n'invoque aucune violation du droit de procédure cantonale, sous l'angle de l'arbitraire ou d'un autre droit constitutionnel.
La recourante prétend qu'en ne donnant pas suite à son offre de preuve tendant à l'audition des témoins H._, I._, J._, E._ et K._, les juges cantonaux ont violé son droit d'être entendue. Elle considère que ces moyens de preuve sont déterminants pour décider de l'issue du procès. H._ aurait pu témoigner des propos et de l'ambiance qui régnait à ..., notamment de la rumeur au sujet de la « copine » de A._ qui arrivait dans la délégation. I._ aurait pu confirmer qu'il avait été mis au courant de la relation entre la recourante et A._ et des problèmes engendrés par cette ancienne idylle et qu'il avait transmis ces informations aux ressources humaines avant la date du licenciement. J._ aurait pu dire qu'il y avait un poste disponible de juriste thématique et qu'il avait proposé à la recourante d'y postuler. E._ aurait pu confirmer le fait que la recourante avait fonctionné comme juriste thématique. Enfin, K._ aurait pu témoigner du fait que le chef des ressources humaines a directement menacé la recourante de représailles, si elle portait plainte pour le harcèlement sexuel.
La violation alléguée du droit d'être entendu n'a pas de portée propre par rapport au grief tiré de l'arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves (cf. <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5b/bb). Or, la recourante se contente de dire, d'une manière toute générale, pour quelle raison les témoins en question auraient dû être entendus, en passant notamment sous silence les arguments - pertinents - avancés par les juges cantonaux pour motiver leur refus d'entendre les témoins proposés. La recourante n'indique par ailleurs pas dans quelle mesure les témoignages à recueillir seraient aptes à modifier la décision attaquée. Il va donc sans dire que la recourante ne démontre pas à satisfaction que les juges cantonaux auraient fait montre d'arbitraire dans l'appréciation des preuves. Partant, il n'y a pas lieu de discuter plus avant le grief soulevé.
6. Sous le titre « de la violation de l'interdiction de l'arbitraire: art. 9 Cst. et 29 al. 1 Cst. », la recourante reproche, une nouvelle fois, à la cour cantonale d'avoir apprécié les preuves de façon arbitraire et d'avoir abouti à un résultat arbitraire.
On cherche en vain, une fois de plus, la démonstration de l'arbitraire dans la critique de la recourante, qui s'écarte, de façon inadmissible, des faits souverainement retenus dans le jugement cantonal. Ainsi, la recourante n'hésite pas à affirmer, de façon péremptoire, à l'appui de son grief, qu'elle a été traitée, dans le jugement entrepris, de « menteuse qui invente une histoire du harcèlement sexuel à des fins de la procédure », qu'elle a refusé d'être dégradée « pour des motifs n'ayant rien avoir [recte: à voir] avec ses qualités professionnelles » et, enfin, que le motif de licenciement est le manque de poste disponible. Le grief est manifestement irrecevable.
7. 7.1 La recourante invoque une violation de l'art. 6 de la loi fédérale sur l'égalité entre femmes et hommes (LEg; RS 151.1). Selon cette disposition, qui s'applique à l'attribution des tâches, à l'aménagement des conditions de travail, à la rémunération, à la formation, au perfectionnement professionnels, à la promotion et à la résiliation des rapports de travail, l'existence d'une discrimination est présumée pour autant que la personne qui s'en prévaut la rende vraisemblable.
L'<ref-law> introduit un assouplissement du fardeau de la preuve par rapport au principe général de l'<ref-law>, dans la mesure où il suffit à la partie demanderesse de rendre vraisemblable l'existence de la discrimination dont elle se prévaut (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 3b). Lorsqu'une discrimination liée au sexe a été rendue vraisemblable, il incombe alors à l'employeur d'apporter la preuve complète que la différence de traitement repose sur des facteurs objectifs (<ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 3b).
7.2 Dans son grief, la recourante tend à démontrer qu'elle aurait été discriminée dans la promotion et dans la résiliation des rapports de travail, en présentant sa propre interprétation des événements et en s'écartant des faits constatés, ce qui n'est pas recevable.
L'arrêt attaqué ne contient aucun élément de nature à établir la vraisemblance que la recourante aurait été discriminée. En dépit de ce qu'affirme la recourante, il apparaît notamment que le rattachement au coordinateur de protection du poste nouvellement créé à ... était issu d'une décision commune, mûrement réfléchie, et antérieure à l'octroi du poste à la recourante. L'obstination de la recourante à vouloir devenir le « numéro deux de la Délégation » de ... et à contester la structure hiérarchique mise en place par ses supérieurs, avait constitué une des raisons essentielles de son licenciement. En outre, il n'a pas été rendu vraisemblable que A._ avait placé la recourante, lors de sa mission à ..., dans une situation embarrassante en multipliant les attitudes visant à présenter leur relation intime comme toujours d'actualité. Aucun acte de harcèlement sexuel n'a été constaté.
Partant, la cour cantonale n'a pas méconnu les exigences en matière de preuve découlant de l'<ref-law> en n'ayant pas retenu que la recourante avait été victime de discrimination - en raison de son sexe et/ou de sa relation amoureuse passée avec A._ - dans sa position hiérarchique au sein de l'intimé.
8. La recourante dénonce enfin une violation des art. 3 al. 2 et 9 LEg et, par renvoi, des art. 336 et 336a CO. Pour seule motivation, elle soutient que, comme l'employeur a échoué dans la preuve d'un motif objectif, le licenciement aurait dû être déclaré discriminatoire et abusif et la cour cantonale aurait dû procéder à une condamnation de l'intimé au paiement de l'indemnité due à ce titre.
Comme rappelé ci-dessus en lien avec l'<ref-law>, la preuve de l'existence de facteurs objectifs à la charge de l'employeur n'intervient qu'à la condition que la partie recourante ait rendu vraisemblable l'existence d'une discrimination. En l'espèce, les éléments de fait retenus par la cour cantonale ne font pas ressortir d'indices objectifs permettant d'admettre qu'une telle vraisemblance aurait été établie, de sorte que la cour cantonale pouvait rejeter les prétentions de la recourante sur ce point, sans avoir à se demander si l'intimé avait démontré que la discrimination alléguée reposait sur des facteurs objectifs. La prémisse du raisonnement adopté par la recourante n'étant pas réalisée, le grief tombe à faux.
9. La modification infime de l'arrêt déféré ne commande pas de laisser une partie des frais de la procédure fédérale à la charge de l'intimé, ni de réduire l'indemnité à laquelle il peut prétendre pour ses dépens. Cela étant, les frais judiciaires, calculés par application de l'<ref-law>, seront mis à la charge de la recourante (<ref-law>). Celle-ci versera à l'intimé une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel est irrecevable.
2. Le recours en matière civile est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable.
3. Le dispositif de l'arrêt attaqué, en tant qu'il condamne le Comité Y._ à remettre à X._ un certificat de travail, est modifié en ce sens qu'outre les précisions réservées par l'autorité cantonale au certificat de travail figurant sous pièce 69 du chargé de X._, il sera mentionné à la fin du troisième paragraphe du certificat que: « Du début de son engagement jusqu'au 28 février 2004, X._ s'est bien intégrée au sein de l'équipe de droit coutumier et de la division juridique».
Pour le surplus, le dispositif de l'arrêt attaqué est maintenu.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 700 fr., sont mis à la charge de la recourante.
5. Une indemnité de 2'500 fr., à payer à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
6. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 12 février 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Corboz Crittin