Sachverhalt:
A. Y._ wurde durch Beschluss des Obergerichts (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich vom 22. Juni 2005 verpflichtet, der Pensionskasse X._ aus einem Mietverhältnis insgesamt Fr. 509'935.85 nebst Zins zu zahlen. Eine von ihm erhobene Berufung wies das Bundesgericht (I. Zivilabteilung) am 16. November 2006 ab, soweit darauf einzutreten war (4C.269/2005). Aus den verschiedenen Gerichtsverfahren schuldet Y._ der Pensionskasse X._ Prozessentschädigungen von insgesamt Fr. 89'965.--.
B. Mit Eingabe vom 17. Oktober 2007 stellte die Pensionskasse X._ beim Bezirksgericht Z._ das Begehren, über Y._ sei gestützt auf Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG ohne vorgängige Betreibung der Konkurs zu eröffnen. Sie hielt sowohl den Tatbestand des unbekannten Aufenthaltsortes des Schuldners als auch denjenigen der Schuldnerflucht für gegeben.
Die Einzelrichterin im summarischen Verfahren gab dem Begehren statt.
Das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich hiess am 4. Juli 2008 einen Rekurs Y._s gut und hob die Konkursverfügung auf. Es hielt sodann dafür, die Pensionskasse X._ habe angesichts des Verhaltens Y._s begründeten Anlass gehabt, gestützt auf Art. 54 SchKG am letzten (schweizerischen) Wohnsitz das Verfahren auf Konkurseröffnung ohne vorgängige Betreibung einzuleiten, so dass die erstinstanzliche Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen zu bestätigen und Y._ zur Bezahlung der zweitinstanzlichen Verfahrenskosten und einer entsprechenden Prozessentschädigung an die Pensionskasse X._ zu verpflichten sei.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 2. September 2008 verlangt die Pensionskasse X._, den Beschluss des Obergerichts vom 4. Juli 2008 aufzuheben und über den Beschwerdegegner den Konkurs zu eröffnen; allenfalls sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein Konkursentscheid der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG). Gegen Entscheide des Konkursgerichts steht unabhängig vom Streitwert die Beschwerde in Zivilsachen offen (Art. 74 Abs. 2 lit. d BGG). Auf die vorliegende Beschwerde ist aus dieser Sicht ohne weiteres einzutreten.
2. Nach der von der Beschwerdeführerin angerufenen Bestimmung von Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG kann ein Gläubiger ohne vorgängige Betreibung die Konkurseröffnung unter anderem gegen jeden Schuldner verlangen, dessen Aufenthaltsort unbekannt ist oder der die Flucht ergriffen hat, um sich seinen Verbindlichkeiten zu entziehen.
2.1 Die erstinstanzliche Richterin hatte vorab ausdrücklich ihre örtliche Zuständigkeit bejaht. Unter Hinweis auf Art. 54 SchKG, wonach gegen einen flüchtigen Schuldner der Konkurs an dessen letztem Wohnsitz eröffnet wird, hatte sie erklärt, es sei möglich, den Konkurs in A._ (Kanton Zürich), dem letzten (schweizerischen) Wohnsitz des Beschwerdegegners, zu eröffnen; dass dieser seine ausländische Adresse nunmehr bekanntgegeben habe, ändere daran nichts, da bei einer offenkundigen Zahlungsflucht Art. 54 SchKG dennoch Anwendung finde. Im Einzelnen hatte sie festgehalten, der Beschwerdegegner habe sowohl im Prozess vor dem Mietgericht Z._ als auch in den Verfahren vor dem Ober-, dem Kassations- und dem Bundesgericht, die in den Jahren 2004 bis 2006 durchgeführt worden seien, stets die Adresse in A._ als seinen Wohnort angegeben. Erst anlässlich der Hauptverhandlung vom 17. Dezember 2007 habe er ausgeführt, er habe seinen Wohnsitz seit 1999 im Staat V._. Noch im Jahre 2004 sei er an der Adresse in A._ betrieben worden, wobei er in jener Betreibung sogar Recht vorgeschlagen habe. Seine Schriften wie auch diejenigen seiner ganzen Familie hätten während all dieser Jahre in A._ gelegen; erst am 13. Dezember 2006 habe er sich dort formell abgemeldet. Obschon am Tag darauf, dem 14. Dezember 2006, eine Besprechung zwischen den Parteien stattgefunden habe, sei der Beschwerdeführerin dieser Wegzug bzw. der Wohnsitz im Staat V._ nicht kommuniziert worden.
Die von ihr festgehaltenen Gegebenheiten hatte die Einzelrichterin alsdann dahin gewürdigt, dass der Beschwerdegegner durch sein Verhalten bei der Beschwerdeführerin den Eindruck erweckt habe, er habe während der ganzen Zeit der rechtlichen Auseinandersetzung in A._, d.h. in der Schweiz, gelebt, und die Beschwerdeführerin habe in guten Treuen annehmen dürfen, er habe seinen Wohnsitz tatsächlich auch dort. Der Beschwerdegegner müsse sich auf den von ihm erweckten Anschein, dass er seinen Wohnsitz zumindest bis zum 13. Dezember 2006 in der Schweiz gehabt habe, behaften lassen. Vor dem dargelegten Hintergrund sei davon auszugehen, der Wohnsitz des Beschwerdegegners habe sich bis im Dezember 2006 in der Schweiz, und nicht im Staat V._, befunden.
Weiter war die erstinstanzliche Richterin zum Ergebnis gelangt, die Beschwerdeführerin habe eine Zahlungsflucht des Beschwerdegegners im Sinne von Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG glaubhaft zu machen vermocht. Für eine solche spreche, dass der Beschwerdegegner ungefähr drei Wochen nach Zustellung des unbegründeten Bundesgerichtsentscheids (mit dem die Verpflichtung zur Zahlung von Fr. 517'797.40 nebst Zins in Rechtskraft erwuchs) sich aus A._ in den Staat V._ abgemeldet habe. Diese Abmeldung sei zudem in den gleichen Zeitraum gefallen wie das Schreiben vom 29. November 2006, mit dem die Beschwerdeführerin die Zahlung aller gerichtlich zugesprochenen Ansprüche gefordert habe. Auf eine Zahlungsflucht weise ferner auch die Tatsache hin, dass der Beschwerdegegner der Einwohnerkontrolle in A._ seine neue Wohnadresse nicht angegeben habe. Es deute alles darauf hin, dass der Beschwerdegegner sich in A._ abgemeldet habe, um dem Ende November 2006 gestiegenen Zahlungsdruck zu weichen und sich seinen Verbindlichkeiten zu entziehen. Bei einer solch offensichtlichen Zahlungsflucht könne der Konkurs ohne vorgängige Betreibung unabhängig davon durchgeführt werden, ob der ausländische Wohnsitz des Schuldners bekannt gewesen sei oder nicht. Es brauche daher nicht geprüft zu werden, ob der Wohnort des Beschwerdegegners im Ausland bekannt gewesen sei bzw. ob die Beschwerdeführerin alles Notwendige unternommen gehabt habe, um diesen Wohnort ausfindig zu machen.
2.2 Im kantonalen Rekursverfahren hatte der Beschwerdegegner hauptsächlich beanstandet, dass die erstinstanzliche Richterin zur Frage des Wohnsitzes, insbesondere zum Zeitpunkt dessen Verlegung in den Staat V._, kein Beweisverfahren durchgeführt habe. Das Obergericht befragte die Ehefrau und die beiden Söhne als Zeugen und stellte in der Folge fest, alle hätten übereinstimmend und glaubhaft bestätigt, dass der Beschwerdegegner seit 1999 mit seiner Familie im Staat V._ lebe. Damit sei glaubhaft, dass der Lebensmittelpunkt des Beschwerdegegners sich seit jenem Jahr im Staat V._ befunden habe. Mit der erstinstanzlichen Richterin sei im Übrigen ohnehin von einem Wohnsitz der Familie des Beschwerdegegners im Staat V._ bereits vor dem 13. Dezember 2006 auszugehen. Die Vorinstanz räumt ein, dass verschiedene Indizien für einen Wohnsitz des Beschwerdegegners bis zu diesem Datum in A._ sprächen. So habe der Beschwerdegegner in den Jahren 2004 bis 2006 in verschiedenen Prozessen vor schweizerischen Gerichten sowie gegenüber dem Amtsgericht B._ und den schweizerischen Steuerbehörden die Adresse in A._ als Wohnort angegeben. An dieser Adresse sei er auch betrieben worden, worauf er zwar Rechtsvorschlag erhoben, jedoch nicht die Unzuständigkeit wegen fehlenden Wohnsitzes geltend gemacht habe. Ferner seien die Schriften der ganzen Familie (bis zum 13. Dezember 2006) in A._ hinterlegt geblieben und der Beschwerdegegner sei demzufolge auch in der Schweiz besteuert worden. Der Beschwerdegegner und seine Ehefrau seien ausserdem bis Mai 2007 einzige Verwaltungsräte der C._ SA gewesen, wobei zu bemerken sei, dass nach Art. 708 Abs. 2 OR mindestens ein zur Vertretung der Gesellschaft befugtes Mitglied des Verwaltungsrates in der Schweiz Wohnsitz haben müsse. In dem (dem vorliegenden Verfahren zugrunde liegenden) mietrechtlichen Prozess sei schliesslich die Ehefrau des Beschwerdegegners (vor erster Instanz) als Zeugin erschienen und habe als Adresse die D._-strasse in A._ angegeben. Das Obergericht hält jedoch dafür, die angeführten Indizien vermöchten die mit den Zeugenaussagen untermauerte glaubhafte Behauptung des Beschwerdegegners, er sei seit 1999 im Staat V._ wohnhaft, nicht umzustossen. Sei aber davon auszugehen, dass der Beschwerdegegner seinen Wohnsitz bereits 1999 ins Ausland verlegt habe und dort erreichbar sei, könne nicht von einem unbekannten Aufenthalt im Sinne von Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG die Rede sein und sei es nicht zulässig, wegen "Flucht" oder wegen "unbekannten Aufenthalts" im Sinne der genannten Bestimmung über ihn den Konkurs zu eröffnen.
3. Dem Ausgeführten ist zu entnehmen, dass auch das Obergericht (stillschweigend) von seiner örtlichen Zuständigkeit ausgeht. Das von der Beschwerdeführerin hierzu Vorgebrachte stösst insofern ins Leere. Wie darzulegen sein wird, kann der Beschwerde aus materieller Sicht kein Erfolg beschieden sein, so dass sich weitere Ausführungen zur örtlichen Zuständigkeit auch aus diesem Grund erübrigen.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin beanstandet, das Obergericht, das es bei der Wohnsitzfrage habe bewenden lassen, habe nicht geprüft, ob der von den Parteien vorgetragene Sachverhalt, insbesondere die von ihr vorgebrachten Umstände und Indizien eine Schuldnerflucht im Sinne von Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG glaubhaft machten und eine Konkurseröffnung rechtfertigten; indem es unterlassen habe, sich mit ihren Vorbringen und Beweisen auseinanderzusetzen, habe es ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) auch insofern missachtet, als es seiner Begründungspflicht nicht nachgekommen sei.
4.2 Mit den Vorbringen der Beschwerdeführerin hatte sich das Obergericht nur insofern zu befassen, als sie für seine rechtlichen Überlegungen erheblich waren. Bei der sich aus Art. 29 Abs. 2 BV ergebenden Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen, geht es sodann darum, der betroffenen Partei im Hinblick auf eine allfällige Anfechtung des Entscheids ein Bild über dessen Tragweite zu verschaffen. Hierzu ist nicht erforderlich, dass die Behörde auf jede Einwendung der Parteien eingeht (<ref-ruling> E. 3.3 S. 445 mit Hinweisen). Inwiefern es der Beschwerdeführerin nicht möglich gewesen sein soll, das obergerichtliche Urteil sachgerecht anzufechten, ist nicht ersichtlich, so dass die Rüge der Gehörsverweigerung auch unter diesem Gesichtspunkt unbegründet ist.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin räumt ein, dass die materiellen Voraussetzungen für eine Konkurseröffnung nach Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG wegen unbekannten Aufenthalts an sich nicht gegeben seien, wenn der Schuldner einen Wohnsitz darzutun vermocht habe. Indessen habe das Obergericht bei seiner Annahme, ein derartiger Nachweis sei dem Beschwerdegegner gelungen, verkannt, dass Lehre und Rechtsprechung zu Art. 23 ZGB davon ausgingen, die innere Absicht des dauernden Verbleibens sei nur insoweit von Bedeutung, als sie nach aussen erkennbar geworden sei. Aufgrund der für sie, die Beschwerdeführerin, erkennbaren Umstände habe sie davon ausgehen dürfen, der Beschwerdegegner habe bis zum 13. Dezember 2006 Wohnsitz in A._ gehabt. Ferner weist die Beschwerdeführerin darauf hin, dass der Beschwerdegegner während des gesamten dem Konkursbegehren zugrundeliegenden Rechtsganges, der acht Jahre gedauert habe, keine objektiv erkennbaren Hinweise dafür gegeben habe, dass er nicht in der Schweiz lebe und wohne; damit habe er den Eindruck erweckt, das Urteil könne dann auch in der Schweiz vollstreckt werden; erst nachdem dieses für ihn negativ ausgefallen sei, habe er sich plötzlich und erstmals auf einen angeblich lange vorher begründeten Wohnsitz im Staat V._ berufen; ein solch treuwidriges Verhalten verdiene keinen Rechtsschutz. Schliesslich macht die Beschwerdeführerin geltend, die Vorinstanz habe ebenfalls ausser Acht gelassen, dass für die Wohnsitzbestimmung stets auch die mit der Verweisungsnorm, d.h. hier mit Art. 46 in Verbindung mit Art. 190 Abs. 1 SchKG, verbundenen Interessen zu berücksichtigen seien; die Bestimmung des Wohnsitzes werde wesentlich von der im Einzelfall durch die speziell indizierte Interessenlage beeinflusst; im Zusammenhang mit Art. 190 SchKG gelte es bei der Beurteilung des Wohnsitzes angemessen zu berücksichtigen, dass diese Bestimmung eine Vermögensgefährdung des Gläubigers verhindern solle.
5.2 Bei der Bestimmung des ordentlichen Betreibungsortes gemäss Art. 46 Abs. 1 SchKG hat sich das Bundesgericht regelmässig auf die zu Art. 23 ZGB entwickelten allgemeinen Grundsätze berufen (so <ref-ruling> E. 3 S. 101 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 8; <ref-ruling> E. 2a S. 56; <ref-ruling> E. 1 S. 138 f.). Diese allgemeinen Grundsätze legte es seinen Entscheiden auch immer wieder in anderen Gebieten zugrunde, wo gewisse Tatbestände an den Wohnsitz anknüpfen (zum Bundesgesetz über Ergänzungsleistungen zur AHV [SR 831.30] vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 312 mit Hinweisen; zum Bürgerrechtsgesetz [SR 141.0] vgl. <ref-ruling> E. 1b und 1c S. 354 f.; <ref-ruling> E. 3e S. 232). Hier von dieser Rechtsprechung abzuweichen, besteht kein Anlass. Dem Hinweis der Beschwerdeführerin, bei Art. 190 Abs. 1 SchKG gehe es darum, die Vermögensinteressen des Gläubigers zu schützen, ist entgegenzuhalten, dass nicht dargetan wird und nicht ersichtlich ist, inwiefern sich dieser Umstand auf den Begriff des Wohnsitzes auswirken soll. Bei der Würdigung des Tatbestandes von Art. 190 Abs. 1 SchKG sind übrigens nicht nur die Gläubigerinteressen von Bedeutung, sondern unter anderem auch die einschneidenden Folgen einer Generalexekution. Abgesehen davon, ist zu bemerken, dass die vollstreckungsrechtlichen Interessen eines Gläubigers gegenüber dem nicht in der Schweiz wohnenden Schuldner sich auch durch einen Arrest (Art. 271 Abs. 1 Ziff. 4 SchKG) wahren lassen.
5.3 Dass das Obergericht seinem Entscheid unzutreffende allgemeine Kriterien zur Auslegung von Art. 23 ZGB zugrunde gelegt hätte, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend. Sie geht vielmehr selbst davon aus, dass sich der Wohnsitz einer Person am Ort befinde, wo diese sich in für Dritte objektiver und erkennbarer Weise mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhalte und den sie zum Mittelpunkt ihrer Lebensbeziehungen gemacht habe (dazu <ref-ruling> E. 3.1 S. 312 mit Hinweisen). Zu Recht bringt sie nicht etwa vor, der Tatsache, dass der Beschwerdegegner bis zum 13. Dezember 2006 in A._ angemeldet gewesen sei, sei eine entscheidende Bedeutung beizumessen: Die Schriftenniederlegung ist immer nur ein Indiz für eine Absicht dauernden Verbleibens, das im Zusammenhang mit den übrigen Gegebenheiten zu würdigen ist (BGE <ref-ruling> E. 2c S. 56 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin weist jedoch darauf hin, dass der Beschwerdegegner im mietrechtlichen Verfahren wie auch in einem Prozess in Deutschland seine Adresse in A._ angegeben habe; ferner seien er und seine Ehefrau bis 2006 als einzige Verwaltungsräte der C._ SA im Handelsregister eingetragen gewesen, wobei zu bemerken sei, dass nach Art. 708 Abs. 2 OR mindestens ein zur Vertretung der Aktiengesellschaft befugtes Mitglied Wohnsitz in der Schweiz haben müsse; als der Beschwerdegegner im Jahre 2004 in der Schweiz betrieben worden sei, habe er sich ausserdem darauf beschränkt, Recht vorzuschlagen, und unterlassen, sich auf seinen angeblichen Wohnsitz im Staat V._ zu berufen.
Diese Vorbringen vermögen die Annahme der Vorinstanz, der Wohnsitz des Beschwerdegegners befinde sich seit 1999 im Staat V._, nicht als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen. Allfällige Folgen der Abweichung der genannten Angaben vom effektiven Wohnsitz sind hier nicht zu erörtern. Im Übrigen ist es allein dem Betriebenen selbst überlassen, mit welchen Einwendungen er sich der gegen ihn eingeleiteten Betreibung widersetzen will. Die von der Beschwerdeführerin angeführten Umstände sind sodann auch nicht geeignet, den gegenüber dem Beschwerdegegner erhobenen Vorwurf des Rechtsmissbrauchs - in Form widersprüchlichen Verhaltens - zu begründen. Es ist namentlich nicht dargetan, dass etwa der Beschwerdegegner der Beschwerdeführerin ausdrücklich erklärt hätte, sein Wohnsitz befinde sich in der Schweiz.
Die Beschwerdeführerin macht schliesslich nicht geltend, dass die vom Obergericht für seine Annahme, der Wohnsitz des Beschwerdegegners befinde sich seit 1999 im Staat V._, als massgeblich erachteten Umstände (Leben mit der Familie und Arbeiten im erwähnten Land) objektiv nicht erkennbar gewesen seien. Dass sie persönlich diese Umstände nicht erkannt habe und aufgrund anderer Indizien auf einen anderen Wohnsitz geschlossen habe, ist für die Bestimmung des effektiven Wohnsitzes des Beschwerdegegners ohne Bedeutung.
5.4 Aufgrund des Ausgeführten ist die vorinstanzliche Auffassung, eine Konkurseröffnung im Sinne von Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG wegen unbekannten Aufenthaltsortes des Schuldners sei hier ausgeschlossen, nicht zu beanstanden.
6. 6.1 Die Beschwerdeführerin, die auch den in Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB enthaltenen Tatbestand der Schuldnerflucht für erfüllt hält, macht geltend, für die Beurteilung der Frage, ob dieser Konkursgrund vorliege, spiele der Wohnsitz keine Rolle; das Obergericht hätte vielmehr zu prüfen gehabt, ob objektiv, aber mit Blick auf den Normzweck von Art. 190 SchKG vorwiegend aus ihrer, der Beschwerdeführerin, Sicht das Verhalten des Beschwerdegegners wie auch die gesamten Umstände für die Zeit nach Ergehen des bundesgerichtlichen Urteils (vom 16. November 2006) als Zahlungsflucht zu werten seien.
6.2 Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ist die Frage des Wohnsitzes durchaus von Bedeutung, setzt doch der Tatbestand der Schuldnerflucht in objektiver Hinsicht dessen Wechsel voraus (WERNER BAUMANN, Die Konkurseröffnung nach dem Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Zürich 1979, S. 34). Sodann bedeutet "Flucht" nach allgemeinem Sprachgebrauch Ausweichen vor einer drohenden Gefahr durch schnellen Ortswechsel (Meyers Enzyklopädisches Lexikon, Band 9, 9. Auflage, Mannheim 1973). Übertragen auf den von der Beschwerdeführerin angesprochenen Tatbestand heisst dies, dass es dem Schuldner bei der Wohnsitzverlegung darum gegangen sein muss, sich seinen Verbindlichkeiten zu entziehen (so denn ausdrücklich Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG) und dem Gläubiger zu schaden (Pierre-Robert GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Lausanne 2001, N. 16 zu Art. 190 SchKG). Voraussetzung ist zudem eine gewisse zeitliche Nähe zwischen der Feststellung der Verbindlichkeiten und dem Ortswechsel. Von Schuldnerflucht im Sinne von Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG kann mit anderen Worten von vornherein nicht die Rede sein, wenn der Schuldner Jahre, bevor die einschlägigen Verbindlichkeiten rechtskräftig feststanden, im Ausland einen neuen Wohnsitz begründet hatte. Indem das Obergericht unter Hinweis auf den von ihm festgestellten, seit 1999 bestehenden Wohnsitz des Beschwerdegegners im Staat V._ dafür hält, eine Konkurseröffnung sei auch deshalb nicht möglich, weil die geltend gemachte Schuldnerflucht nicht vorliege, hat es nach dem Gesagten nicht gegen Bundesrecht verstossen.
7. Die Beschwerde ist mithin abzuweisen. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt worden und dem Beschwerdegegner somit keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel