Sachverhalt:
A. B.X._, irakischer Staatsangehöriger, ersuchte im Rahmen der Registrierung der Geburt seines Sohnes um Abgabe einer Erklärung nicht streitiger Angaben gemäss <ref-law> betreffend den Familiennamen. Mit Verfügung vom 13. Februar 2008 verweigerte das Gemeindeamt des Kantons Zürich, Abteilung Zivilstandswesen, die Bewilligung zur Entgegennahme der Erklärung mit der Begründung, dass der Familienname kontrovers sei. Hiergegen erhob B.X._ Rekurs und beantragte, es sei sein Gesuch um Abgabe einer Erklärung nicht streitiger Angaben betreffend den Familiennamen zu bewilligen. Die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich wies den Rekurs mit Verfügung vom 31. März 2008 ab.
B. B.X._ gelangte mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und verlangte die Eintragung in das Zivilstandsregister mit dem Familiennamen "A.Z._"; eventuell sei die Angabe dieses Familiennamens als Erklärung gemäss <ref-law> zu bewilligen. Mit Entscheid vom 30. Juli 2008 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten wurde. Sodann wies es das Gesuch von B.X._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab, auferlegte ihm die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- und sprach ihm keine Parteientschädigung zu.
C. Mit Eingabe vom 5. September 2008 führt B.X._ Beschwerde in Zivilsachen. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts (einzig) betreffend Kosten- und Entschädigungsfolgen aufzuheben und ihm für das kantonale Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren; eventuell seien ihm die Verfahrenskosten für das vorinstanzliche Verfahren zu erlassen. Weiter ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher (<ref-law>) Entscheid betreffend unentgeltliche Rechtspflege. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 131), dessen ungeachtet, ob er während des Hauptverfahrens, zusammen mit dessen Endentscheid oder nach diesem ergangen ist (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007, E. 1.2).
1.2 Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. Diese betrifft einen kantonalen Entscheid über die Führung des Zivilstandsregisters und damit einen öffentlich-rechtlichen Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 2 BGG). Es liegt keine vermögensrechtliche Angelegenheit vor. Ist die Beschwerde in Zivilsachen in der Hauptsache gegeben, steht sie auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid offen.
1.3 Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann eine Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), zu dem laut der Begriffsbestimmung des BGG auch das Verfassungsrecht gehört. Die Verletzung von Grundrechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
1.4 Der Beschwerdeführer hat mit Eingabe vom 21. November 2008 ein Schreiben des Gemeindeamtes des Kantons Zürich, Abteilung Zivilstandswesen, vom 14. November 2008 eingereicht und verlangt dessen Berücksichtigung als neues Beweismittel. Tatsachen und Beweismittel, die sich - wie die eingereichten - nach dem anzufechtenden Entscheid (vom 30. Juli 2008) ereignen oder entstehen, sind jedoch durch den weitergezogenen Entscheid nicht veranlasst und daher von <ref-law> nicht erfasst. Die betreffende Eingabe kann daher nicht berücksichtigt werden.
2. 2.1 Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat nach <ref-law> Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2c mit Hinweisen).
2.2 Die Prozesschancen sind in vorläufiger und summarischer Prüfung des Prozessstoffes abzuschätzen, wobei es im Rechtsmittelverfahren um die Erfolgsaussichten des Rechtsbehelfs geht (HAEFLIGER, Alle Schweizer sind vor dem Gesetze gleich, Bern 1985, S. 167 f. Ziffer 6). Die Frage lautet, ob das Rechtsmittel offenbar prozessual unzulässig oder aussichtslos ist (BGE 60 I 179 E. 1 S. 182; 78 I 193 E. 2 S. 195). Dass der angefochtene Entscheid oder das vorinstanzliche Verfahren an einem Mangel leidet, genügt für die Bejahung der Erfolgsaussichten nicht; entscheidend ist allein, ob das Rechtsmittel voraussichtlich gutgeheissen werden muss (vgl. POUDRET/SANDOZ-MONOD, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, Bd. V, Bern 1992, N. 5 zu Art. 152 OG, S. 123).
3. 3.1 Das Verwaltungsgericht hat das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wegen offenkundiger Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels abgewiesen. In der Sache selbst hat es im Wesentlichen festgehalten, dass die Angabe betreffend den Familiennamen des Beschwerdeführers nach den vorliegenden Urkunden unbestrittenermassen widersprüchlich sei, weil er darin zum Teil mit "Z._" und zum Teil mit "X._" als Familiennamen eingetragen sei. Der Beschwerdeführer gebe selber zu, dass sein Familienname nicht "X._" laute, weshalb eine Bewilligung des Nachweises im Sinn von <ref-law> durch die vorliegende Erklärung, wonach er den Familiennamen "X._" trage, ausgeschlossen sei.
In einer Eventualerwägung hat das Verwaltungsgericht geprüft, wie es sich verhielte, wenn der Beschwerdeführer - im Unterschied zum beim Gemeindeamt eingereichten Gesuch - beantragen würde, dass er den Familiennamen "Z._" oder "A.Z._" trage und für diesen Namen der Nachweis durch Abgabe einer Erklärung im Sinne von <ref-law> zu bewilligen sei. Für die Bewilligung des Nachweises dieser Namen durch Erklärung gemäss <ref-law> sei das Verwaltungsgericht jedoch (funktionell) nicht zuständig, weil ein solcher Nachweis nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens gewesen sei.
3.2 Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung von § 16 i.V.m. § 70 VRG/ZH geltend, womit die unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht geregelt wird. Da der Beschwerdeführer nicht behauptet, dass der im kantonalen Recht verankerte Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege weiter gehe als der bundesrechtliche Minimalanspruch, kann sich die Prüfung darauf beschränken, ob der direkt aus <ref-law> hergeleitete Armenrechtsanspruch verletzt worden ist.
3.2.1 Der Einwand des Beschwerdeführers, im erstinstanzlichen Verfahren sei "klar" gewesen, dass nicht die Erklärung des Namens "X._", sondern "A._" beantragt werde, geht fehl. Entgegen seiner Darstellung geht aus den Unterlagen zum Gesuch an das Gemeindeamt hervor, dass er den Familiennamen "X._" durch Abgabe einer Erklärung gemäss <ref-law> belegen will. Im Schreiben vom 18. Januar 2008 an das Gemeindeamt hat er erklärt, dass "sein Sohn den gleichen Nachnamen 'X._' tragen" soll, und u.a. ausgeführt, dass "A._" der Vorname des Vaters und "Z._" der Vorname des Grossvaters sei. In der Beschwerde an das Verwaltungsgericht verlangt er jedoch, dass die Angabe des Familiennamens "A.Z._" durch Abgabe einer Erklärung gemäss <ref-law> zu bewilligen sei, im Wesentlichen mit der Begründung, dass die Angabe dieses Namens nicht strittig sei. Wenn das Verwaltungsgericht erwogen hat, die Beschwerde sei vor dem Hintergrund, dass der Beschwerdeführer sich auf die Unstrittigkeit der Angabe eines anderen Namens berufe, offensichtlich aussichtslos, hält dies vor <ref-law> ohne weiteres stand.
3.2.2 Das Gleiche - offensichtliche Aussichtslosigkeit des Begehrens - gilt für den Umstand, dass das Verwaltungsgericht (gemäss seiner Eventualerwägung) für die Bewilligung einer Erklärung gemäss <ref-law> betreffend den Familiennamen "Z._" oder "A.Z._" nicht zuständig wäre. Der Hinweis des Beschwerdeführers, es sei im Verfahren vor dem Gemeindeamt und der Direktion "nur um die Strittigkeit" gegangen, ist unbehelflich, denn die (fehlende) Strittigkeit bezieht sich selbstredend auf einen bestimmten Familiennamen als Angabe, deren Nachweis der Beschwerdeführer durch Abgabe einer Erklärung gemäss <ref-law> erbringen möchte. In seiner Beschwerde an das Verwaltungsgericht beschränkt er sich darauf, die Unstrittigkeit der Angabe des Familiennamens "A.Z._" darzulegen, ohne darauf einzugehen, dass er das Gesuch mit der Angabe eines anderen Namens ("X._") eingeleitet hat und dies Gegenstand der Verfügung des Gemeindeamtes ist. Dass der Streitgegenstand des erstinstanzlichen Verfahrens im Verlaufe des Rechtsmittelzuges nicht verändert, sondern höchstens eingeengt, aber grundsätzlich nicht erweitert werden kann, ist ein anerkannter Grundsatz (vgl. <ref-ruling> S. 120; <ref-ruling> E. 1 S. 198; GYGI, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. Bern 1983; S. 44; KÖLZ/BOSSHART/ RÖHL, Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 2. Aufl. Zürich 1999, N. 86 und 88 zu Vorbem. zu §§ 19-28). Wenn das Verwaltungsgericht die Beschwerde wegen des inhaltlich geänderten Rechtsbegehrens als aussichtslos erachtet hat, kann von einer Verletzung von <ref-law> nicht gesprochen werden.
3.2.3 Nach dem Dargelegten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Der (Eventual-)Antrag, wonach dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten für das vorinstanzliche Verfahren zu erlassen seien, ist unzulässig, da das Bundesgericht hierfür nicht zuständig ist.
4. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Es werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>). Soweit das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nicht gegenstandslos ist, kann diesem infolge Aussichtslosigkeit des Verfahrens nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Januar 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Levante