Sachverhalt:
A.
Die E._ Ltd (nachfolgend: die Eigentümergesellschaft ) ist ein Rechtsträger nach US-amerikanischem Recht. Sie wurde am 11. Juni 1979 gegründet und erfuhr in den USA verschiedene Sitzänderungen, so von X._, PA nach Y._, MA und zuletzt nach Z._, FL. Die Gesellschaft war im hier massgebenden Zeitraum - 2001 bis 2003 - Eigentümerin eines Flugzeugs des Typs Boeing yyy (Immatrikulation im Luftfahrzeugregister der Vereinigten Staaten: Nzzz).
B.
Zwischen der Eigentümergesellschaft und der D._ AG, U._/BS (nachfolgend: die Managementgesellschaft ), besteht ein Aircraft-Management-Vertrag. Gestützt auf diesen Vertrag erbrachte die Managementgesellschaft der Eigentümergesellschaft in den Jahren 2001 bis 2003 Versicherungsleistungen. Die Fakturierung erfolgte ohne schweizerische Mehrwertsteuer. Im Anschluss an das Urteil des Bundesgerichts 2A.40/2007 vom 14. November 2007 in Sachen D._ AG nahm diese gegenüber der Eigentümergesellschaft am 16. September 2008 mit den Rechnungen Nr. 118250 über USD 16'169.54, Nr. 118293 über Fr. 2'595.40 und Nr. 118294 über USD 11'218.92 eine Nachbelastung der Mehrwertsteuer zum Normalsatz von 7,6 Prozent vor. Dies ergab ein Total von Fr. 32'062.64. Am 25. September 2008 schrieb die Credit Suisse AG, Zürich, ihrer Kundin, der Managementgesellschaft, einen Betrag von USD 67'090.85 gut. Die Gutschrift umfasste die Rechnungen Nr. 118250, Nr. 118294 sowie Nr. 118334 über USD 39'702.39 oder Fr. 42'715.80 betreffend die A._ (Bermuda) Ltd (dazu Urteil 2C_207/2013 vom 28. April 2014). Der Betreff lautete auf "Invoices 118250, 118294, 118334-VP A._". Am selben Tag erging eine weitere Gutschriftsanzeige der Credit Suisse AG, nunmehr über Fr. 2'595.40 (Rechnung Nr. 118293). Den beiden Gutschriftsanzeigen zufolge waren die Vergütungen im Auftrag der F._, V._ (UAE) (nachfolgend: die Operatinggesellschaft ), erfolgt.
C.
Mit Eingabe vom 19. Januar 2009 beantragte der Steuervertreter der E._ Ltd, Y._, MA die Vergütung der bezahlten Mehrwertsteuer auf den von der Managementgesellschaft in den Jahren 2001 bis 2003 erbrachten Versicherungsleistungen im Umfang von Fr. 32'062.64. Zusammen mit dem Antragsformular Nr. 1222 reichte der Steuervertreter namentlich die Aufstellung der bezogenen Leistungen gemäss Formular Nr. 1223, die Zahlungsbestätigung durch den Leistungserbringer (Formular Nr. 1225), eine von der Eigentümergesellschaft ausgestellte Vollmacht ("Power of Attorney") vom 24. Mai 2002, die beiden Gutschriftsanzeigen vom 25. September 2008 sowie drei Rechnungen an die Eigentümergesellschaft, Y._, MA vom 16. September 2008 über USD 29'983.86 (Fr. 32'062.64) ein.
Die Eidgenössische Steuerverwaltung (hiernach: ESTV) teilte der Eigentümergesellschaft mit Schreiben vom 21. April 2009 mit, dass sie das Gesuch "ablehne". Am 24. Oktober 2008 und am 31. Oktober 2008 habe sie bekannt gegeben, in welcher Form der Zahlungsnachweis im Einzelfall zu erbringen sei. Die eingereichten Bankbestätigungen über Zahlungseingänge bei der Managementgesellschaft seien als Zahlungsnachweis ungenügend und würden den "Vorgaben" [der Abteilung Recht] nicht entsprechen.
Am 14. Mai 2009 liess der Steuervertreter der ESTV im Wesentlichen mitteilen, bei internationalen Konzernen bestünde ein "Cash Pooling", wonach eine zentrale Abrechnungseinheit des Konzerns sämtliche Rechnungen erhalten würde. Diese Rechnungen würden gesammelt und dann in einer Gesamtüberweisung namens der Rechnungsadressatin bezahlt. Der Zahlungsnachweis lasse sich dementsprechend nicht ohne Weiteres beschaffen. In Anbetracht dessen ersuchte er wiedererwägungsweise um eine erneute Prüfung des Vergütungsantrags, welchen er am 18. Mai 2009 nochmals einreichte. Für den Fall der erneuten Ablehnung des Antrags verlangte der Steuervertreter die Zustellung eines anfechtbaren Entscheids.
D.
Mit Eingabe vom 16. Juni 2009 beantragte der Steuervertreter der E._ Ltd, X._, PA die Vergütung der bezahlten Mehrwertsteuer auf den von der Managementgesellschaft nunmehr im Jahr 2008 erbrachten Versicherungsleistungen im Umfang von Fr. 39'215.89. Zusammen mit dem Antragsformular Nr. 1222 reichte der Steuervertreter namentlich die Aufstellung der bezogenen Leistungen gemäss Formular Nr. 1223, die Zahlungsbestätigung durch den Leistungserbringer (Formular Nr. 1225), eine von der Eigentümergesellschaft ausgestellte Vollmacht ("Power of Attorney") vom 24. Mai 2004, ein Instruktions- und Bestätigungsschreiben der Eigentümergesellschaft vom 16. Februar 2007, welche den Steuervertreter ermächtigt, die Mehrwertsteuer für das Kalenderjahr 2006 zurückzufordern, sowie die Rechnung an die Eigentümergesellschaft, X._, PA vom 16. September 2008 über USD 36'449.38 ein.
Die Eigentümergesellschaft erläuterte in ihrem Schreiben vom 13. Oktober 2009 den Sachverhalt zum einen dahingehend, dass sie, die Eigentümergesellschaft, im Jahr 2002 im Rahmen eines "Share Deal" verkauft worden sei. Da es zum Aktienkauf gekommen sei, seien auch alle Aktiven, namentlich die Boeing yyy (Nzzz), übergegangen. Grund sei, dass sich die beabsichtigte Eintragung der geplanten E._-Air AG im schweizerischen Register der Steuerpflichtigen nicht habe verwirklichen lassen. Die Zahlung der Rechnung für die Nachbelastung der Mehrwertsteuer auf den erbrachten Versicherungsleistungen habe daher - aus im Schreiben nicht näher umschriebenen Gründen - die A._ (Bermuda) Ltd vorgenommen. Diese sei gegründet worden, als die Eintragung der E._-Air AG gescheitert sei. Deren Flugzeug, die Boeing xxx (VP-aaa), werde durch eine Schwestergesellschaft der Managementgesellschaft, die F._, "operiert". Zum andern leiste eine Schwestergesellschaft der Eigentümergesellschaft - gemeint ist die G._ Establishment, W._ (FL) - jeweils Vorausleistungen oder Akontozahlungen an die Operatinggesellschaft. Diese habe in der Folge die Summe von USD 69'506.78 (Betrag der Rechnungen vom 16. September 2008) dem Depot entnommen und an die Managementgesellschaft in der Schweiz überwiesen. Aus den Belegen gehe klarerweise hervor, dass es sich dabei um die Vergütung der Rechnungen der Managementgesellschaft gehandelt habe.
Mit Schreiben vom 25. Januar 2010 erklärte der Steuervertreter, dass die Eigentümergesellschaft im Jahr 2003 im Rahmen eines "Share Deal" durch eine amerikanische Aktionärsgruppe erworben worden sei. Die Parteien hätten anlässlich der Handänderung der Beteiligung vereinbart, dass etwaige Rechnungen, die sich auf die Zeit vor der Handänderung beziehen, durch die ehemaligen Eigentümer oder deren Rechtsnachfolger zu tragen seien.
Am 8. Februar 2010 erliess die ESTV eine Verfügung, mit welcher sie den Antrag vom 19. Januar 2009/18. Mai 2009 auf Vergütung von Fr. 32'062.64 Mehrwertsteuer für das Jahr 2008 abwies. Zur Begründung führte die ESTV aus, dass diverse Voraussetzungen der Rückerstattung nicht erfüllt seien. Es stehe fest, dass die frühere E._ Ltd, Y._, MA identisch mit der E._ Ltd, X._, PA sei und somit bloss eine einzige Unternehmung bestehe. Die Rechnung der Managementgesellschaft an die Adresse der Eigentümergesellschaft in Y._, MA habe daher nicht rechtsgültig zugestellt werden können, da der Geschäftssitz bereits im Jahr 2003 nach X._, PA verlegt worden sei. Die Eigentümergesellschaft könne nicht belegen, dass sie die eingereichte Rechnung erhalten und beglichen habe. Zudem könne sie ihre Unternehmereigenschaft nicht nachweisen und der Steuervertreter sei aufgrund der Handänderung im Jahr 2002 nicht mehr ordentlich bevollmächtigt. Im Ergebnis sei der am 19. Januar 2009 eingereichte, auf die E._ Ltd, Y._, MA lautende Rückerstattungsantrag inhaltlich unwahr und ohne rechtsgültige Vollmacht unterzeichnet worden, weshalb er vollumfänglich abzuweisen sei. Die gegen die Verfügung vom 8. Februar 2010 gerichtete Einsprache der Eigentümergesellschaft vom 23. Februar 2010 blieb erfolglos (Einspracheentscheid vom 4. November 2011).
E.
Mit Gutschriftsanzeige Nr. 08447954 vom 3. März 2010 teilte die ESTV dem Steuervertreter mit, dass gestützt auf den Antrag vom 16. Juni 2009 die Mehrwertsteuer vollständig vergütet werde, d. h. im Umfang von Fr. 39'216.--.
F.
Gegen den Einspracheentscheid vom 4. November 2011 erhob die Eigentümergesellschaft am 7. Dezember 2011 Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. Mit Urteil A-6616/2011 vom 29. Januar 2013 hiess dieses die Beschwerde im Sinne der Erwägungen teilweise gut und wies die Sache zur Fällung eines neuen Entscheids im Sinne der Erwägungen an die ESTV zurück.
Das Bundesverwaltungsgericht stellt fest, es sei nicht mehr streitig, dass es sich bei der E._ Ltd, Y._, MA und der E._ Ltd, X._, PA um dieselbe Gesellschaft US-amerikanischen Rechts handle (Urteil E. 1.2 und 3.1). Umstritten sei hingegen, ob die Genehmigung eines Vergütungsantrags voraussetzt, dass der Leistungsempfänger die ihm zu vergütende Mehrwertsteuer selbst bezahlt haben muss. Weiter stelle sich die Frage, wie die von der Eigentümergesellschaft beantragte Konsolidierung der beiden Vergütungsanträge betreffend das Jahr 2008 rechtlich zu würdigen sei.
Im konkreten Fall sei unbestritten, dass die Eigentümergesellschaft die Empfängerin der Leistungen sei, ebenso unstrittig habe die Managementgesellschaft die fakturierte Mehrwertsteuer an die ESTV abgeliefert. In tatsächlicher Hinsicht erscheine es nicht als abwegig, dass die G._ Establishment, W._ (FL) die angebliche Schwestergesellschaft, bei der Operatinggesellschaft ein Depot unterhalten habe, dem die Rechnungen vom 16. September 2008 belastet worden seien. Ebenso wenig abwegig sei auch die Behauptung, die A._ (Bermuda) Ltd sei als Garantin aufgetreten, um die Schadloshaltung des neuen Aktionariats nach dem angeblichen Verkauf der Eigentümergesellschaft im Jahr 2003 zu gewährleisten (Urteil E. 3.3.3).
Das Bundesverwaltungsgericht fährt fort, unbestrittenermassen habe die Eigentümergesellschaft hinsichtlich des Jahrs 2008 zwei Vergütungsanträge gestellt (19. Januar 2009 bzw. 16. Juni 2009). Der Antrag der Eigentümergesellschaft ziele indes nicht auf die Gutheissung des streitbetroffenen Antrags vom 19. Januar 2009 ab, sondern auf Gutheissung eines "konsolidierten" Antrags. Auf diese Weise ersuche die Eigentümergesellschaft um Wiedererwägung des Entscheids über den Antrag vom 16. Juni 2009 ab, was im Rahmen der Verjährung grundsätzlich zulässig sei. Es könne denn auch offen bleiben, ob die Sichtweise der ESTV, die von der Zulässigkeit bloss eines einzigen Antrags pro Jahr ausgeht, rechtlich begründet sei (Urteil E. 3.4).
Eine Auseinandersetzung der ESTV mit dieser Rechtsfrage sei bislang unterblieben, ebenso mit dem erstmals im Vernehmlassungsstadium vorgebrachten Argument der ESTV, die Eigentümergesellschaft habe die bezogenen Eingangsleistungen für andere als steuerbare bzw. steuerbefreite Ausgangsleistungen verwendet. Die weitere Vertiefung und Prüfung dieser Fragen sei der ESTV zu überantworten. Die Streitsache sei zu diesem Zweck und zu neuem Entscheid an die ESTV zurückzuweisen (Urteil E. 3.5).
G.
Mit Eingabe vom 27. Februar 2013 erhebt die ESTV beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, das Urteil A-6616/2011 vom 29. Januar 2013 sei aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 4. November 2011 sei zu bestätigen. Demgegenüber beantragt die Eigentümergesellschaft, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und der angefochtene Entscheid sei zu bestätigen. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 133; <ref-ruling> E. 1 S. 44).
1.2. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Er kann beim Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG). Das neurechtlich massgebende Verfahrensrecht (Bundesgesetz vom 12. Juni 2009 über die Mehrwertsteuer [MWSTG 2009; SR 641.20]; vgl. dazu dessen Art. 113 Abs. 3) enthält keine spezialgesetzlichen Vorschriften zum Verfahren vor Bundesgericht. Näherer Erörterung bedürfen die Legitimation der ESTV (hinten E. 1.3) und die Charakteristik des angefochtenen (Rückweisungs-) Entscheids (hinten E. 1.4).
1.3. Die Eigentümergesellschaft spricht der ESTV die Legitimation zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ab. Sie begründet das Fehlen eines genügenden Rechtsschutzinteresses damit, dass die ESTV in keiner ihrer Publikationen festhalte, die Bezahlung der Mehrwertsteuer durch den Antragsteller bilde eine Voraussetzung für die Gutheissung des Erstattungsantrags. Dazu ist Folgendes zu sagen: Art. 141 der Mehrwertsteuerverordnung vom 27. November 2009 (MWSTV 2009; SR 641.201) verweist auf die (allgemeine) Behördenbeschwerde nach <ref-law>. Dementsprechend ist kein über das Interesse an der richtigen Rechtsanwendung hinausgehendes spezifisches öffentliches Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung nachzuweisen ( materielle Beschwer); auch müssen die Behörden am Verfahren vor der Vorinstanz nicht schon teilgenommen haben ( formelle Beschwer; Urteil 2C_814/2013 vom 3. März 2014 E. 1.3 und 1.7.2; <ref-ruling> E. 1.2 S. 363; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 341 f.; Bernhard Waldmann, in: Basler Kommentar, BGG, 2. Aufl. 2011, N. 53 zu <ref-law>; Alain Wurzburger, in: Bernard Corboz/Alain Wurzburger/Pierre Ferrari/Jean-Maurice Frésard/Florence Aubry Girardin, Commentaire de la LTF, 2009, N. 43 und 45 zu <ref-law>; Yves Donzallaz, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, N. 3145, 3153; Hansjörg Seiler, in: Hansjörg Seiler/Nicolas von Werdt/Andreas Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, 2007, N. 43 zu <ref-law>). Die ESTV ist damit zur vorliegenden Beschwerde berechtigt.
1.4.
1.4.1. Die ESTV wirft die Frage der Passivlegitimation (bzw. der Identität der Beschwerdegegnerin) auf. Im Grundsatz anerkennt sie die Feststellung der Vorinstanz, wonach nicht mehr streitig sei, dass es sich bei der E._ Ltd, Y._, MA und der E._ Ltd, X._, PA um dieselbe Gesellschaft US-amerikanischen Rechts handle. Die ESTV betont jedoch, trotz Vorliegens einer einzigen Gesellschaft habe sie stets darauf hingewiesen, dass die E._ Ltd von der unzutreffend adressierten Korrespondenz keine Kenntnis gehabt und damit auch keine entsprechenden Aufträge erteilt haben könne. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>; hinten E. 1.8) steht unstreitig fest, dass die Eigentümergesellschaft ihren Sitz im Verlauf des Rückerstattungsverfahrens von Y._, MA nach X._, PA verlegt hat. Weswegen dies zur Unzustellbarkeit der Briefpost geführt haben sollte, ist freilich nicht einsichtig. Gegenteils hat die Eigentümergesellschaft im vorinstanzlichen Verfahren (<ref-law>) darauf hingewiesen, die Weiterleitung der Briefpost an das neue Domizil sei gewährleistet gewesen. Sie habe die H._ LLC, deren Sitz sich an derselben Geschäftsadresse in X._, PA befinde, mit den entsprechenden Massnahmen beauftragt (N. 17 der Vernehmlassung vom 30. April 2012). Diese Gesellschaft erscheint etwa in der Rubrik "Auftraggeber" in der Gutschriftsanzeige der Credit Suisse AG vom 20. November 2008 über USD 36'449.38. Die Vorinstanz hat in Kenntnis dieser Ausführungen für das Bundesgericht verbindlich entschieden.
1.4.2. Die ESTV stellt sich weiter auf den Standpunkt, der Steuervertreter, der für die E._ Ltd auftritt, sei unzureichend bevollmächtigt. Es komme zur "unzulässige[n] Vermischung zweier unabhängiger Gesellschaften". Mit diesem Aspekt hat sich die Vorinstanz bereits ausführlich auseinandergesetzt. Nach der Praxis der Vorinstanz muss das Antragsformular Nr. 1222 von der vertretenen ausländischen Unternehmung nicht persönlich unterzeichnet sein (Urteil des Bundesverwaltungsgerichts A-4355/2007 vom 20. November 2009). Die Vorinstanz würdigt einlässlich die Bedeutung des mit "Power of Attorney" betitelten Schreiben vom 24. Mai 2004, des seitherigen E-Mail- und Briefverkehrs. Aus den Umständen durfte sie willkürfrei schliessen (hinten E. 1.8), dass die Vollmacht vom 24. Mai 2004 weiterbestehe. Wenn die ESTV wiederholt von der E._ Ltd, Y._, MA und der E._ Ltd, X._, PA spricht, ist ihr entgegenzuhalten, dass sie selber in der Verfügung vom 8. Februar 2010 ausdrücklich festgestellt hat, es bestehe bloss eine Unternehmung. Nunmehr von der "unzulässige[n] Vermischung zweier unabhängiger Gesellschaften" zu sprechen, zielt an der Sache vorbei.
1.5.
1.5.1. Anfechtbar beim Bundesgericht sind Entscheide, die das Verfahren ganz (Endentscheide; <ref-law>) oder in Bezug auf unabhängig voneinander zu beurteilende Begehren (objektive Klagehäufung) bzw. auf einen Teil der Streitgenossinnen und Streitgenossen (subjektive Klagehäufung) abschliessen (Teilendentscheide; <ref-law>). Entscheide, die zwar selbständig eröffnet werden, aber bloss eine formell- oder materiellrechtliche Frage im Hinblick auf die Verfahrenserledigung regeln und damit einen Schritt auf dem Weg zum Endentscheid darstellen, gelten als Vor- oder Zwischenentscheid (Art. 92 und 93 BGG; BGE <ref-ruling> E. 2 S. 44; <ref-ruling> E. 1.1 S. 133). Sie können vor Bundesgericht nur unter den einschränkenden Voraussetzungen von Art. 92 oder 93 BGG angefochten werden. Im Übrigen herrschen die auf die Hauptsache anwendbaren Verfahrensvorschriften (Grundsatz der Einheit des Verfahrens; <ref-ruling> E. 1.1 S. 382; Urteil 2C_576/2013 vom 20. Dezember 2013 E. 1.4.1).
1.5.2. Mit Rückweisungsentscheiden und den dagegen gerichteten Rechtsmittelentscheiden geht an sich keine Beendigung des Verfahrens im Sinne von Art. 90 und 91 BGG einher. Aus diesem Grund stellen sie im Regelfalleinen Zwischenentscheid dar (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 341; <ref-ruling> E. 1.3 S. 127; Urteil 2C_645/2011 vom 12. März 2012 E. 1.3.1, in: StE 2012 B 72.19 Nr. 15), und zwar selbst dann, wenn die rückweisende Behörde in ihrem Entscheid zuhanden der unteren Instanz gewisse materiellrechtliche Teilaspekte des Streitverhältnisses klärt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 34; <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 140; <ref-ruling> E. 4.1.3 S. 481). Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen andere - als die in <ref-law> genannten - selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide indes nur zulässig, soweit sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382; <ref-ruling> E. 4 S. 95). Die materielle Vorgabe an die Unterinstanz bewirkt einen Nachteil rechtlicher Natur. Die Unterinstanz, die eine ihr nicht genehme neue Verfügung zu erlassen hat, wird zu deren späterer Anfechtung nicht befugt sein. Aufgrund dessen, dass der zu treffende, unter Umständen rechtswidrige Entscheid nie einer bundesgerichtlichen Überprüfung unterzogen werden könnte, gilt der Nachteil als nicht wieder gutzumachend (so u. a. BGE <ref-ruling> E. 1.3 S. 128; <ref-ruling> E. 1.2 S. 412; <ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.; dazu wiederum Urteil 2C_576/2013 vom 20. Dezember 2013 E. 1.4.3). Nur ausnahmsweise kann von einem (Quasi-) Endentscheid ausgegangen werden. Dies bedingt freilich, dass der unteren Instanz bei Umsetzung der materiellen Vorgaben kein eigener Entscheidungsspielraum verbleibt und die Rückweisung lediglich noch der (rechnerischen) Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient. Solche (Quasi-) Endentscheide unterliegen <ref-law> (zum Ganzen Urteil 2C_576/2013 vom 20. Dezember 2013 E. 1.4.2; <ref-ruling> E. 1.1 S. 143; <ref-ruling> E. 1.3 S. 127).
1.5.3. Im vorliegenden Fall hat die Vorinstanz entschieden, es sei von keiner Bedeutung, wer die Bezahlung der Mehrwertsteuer ausgelöst und an die ESTV abgeliefert habe (Urteil E. 3.3.2). Mit Blick auf die ihres Erachtens zulässige Wiedererwägung eines formell erledigten Vergütungsantrags hat sie die Rechtsfrage danach offengelassen, ob zulässigerweise mehrere Anträge pro Jahr eingereicht werden dürfen (Urteil E. 3.4). Unbeurteilt geblieben ist das Argument der ESTV, die Eigentümergesellschaft habe die bezogenen Eingangsleistungen für andere als steuerbare bzw. steuerbefreite Ausgangsleistungen verwendet, da unterinstanzliche Erhebungen dazu fehlen. Auch aus diesem Grund hat die Vorinstanz die Sache zu neuer materieller Entscheidung an die Unterinstanz zurückgewiesen (Urteil E. 3.5). Der angefochtene Rückweisungsentscheid erweist sich damit als Zwischenentscheid, wobei die Voraussetzungen gemäss <ref-law> gegeben sind. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.6. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; <ref-ruling> E. 2.2 S. 540; <ref-ruling> E. 3 S. 386; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550).
1.7. Fragen des Bundesrechts klärt das Bundesgericht mit voller Kognition (<ref-law>). Trotz der Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (<ref-law>), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Urteil 2C_814/2013 vom 3. März 2014 E. 1.6.1; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.8. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die vorinstanzlichen Feststellungen können nur berichtigt werden, sofern sie entweder offensichtlich unrichtig, d. h. willkürlich ermittelt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356; zur Willkür in der Beweiswürdigung <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.5 S. 129 f.; allgemein zur Willkür in der Rechtsanwendung <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; <ref-ruling> E. 6.1 S. 379 f.) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>). Soweit die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie mit Hinweisen auf die Vorakten darzulegen, dass sie entsprechende rechtserhebliche Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteil 4A_273/2012 vom 30. Oktober 2012 E. 2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Zudem hat die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; Urteil 2C_814/2013 vom 3. März 2014 E. 1.6.3).
2.
2.1. In der Sache selbst geht es um einen Vorgang, der sich im Jahr 2008 (drei Rechnungen vom 16. September 2008 über insgesamt Fr. 32'062.64) bzw. 2009 (Gesuch vom 19. Januar 2009 um Vergütung der Mehrwertsteuer) zugetragen hat. Aufgrund von Art. 112 Abs. 1 MWSTG 2009, am 1. Januar 2010 in Kraft getreten, bleiben in Bezug auf das materielle Recht grundsätzlich die bisherigen Bestimmungen anwendbar (Urteile 2C_814/2013 vom 3. März 2014 E. 2.1; 2C_715/2013 vom 13. Januar 2014 E. 1.5). Massgebend ist demnach das vorrevidierte Recht, d. h. das Bundesgesetz vom 2. September 1999 über die Mehrwertsteuer (MWSTG 1999; AS 2000 1300), in Kraft getreten am 1. Januar 2001.
2.2. Gemäss <ref-law> und Art. 1 Abs. 1 MWSTG 1999 erhebt der Bund eine Mehrwertsteuer, d. h. eine allgemeine Verbrauchssteuer nach dem System der Netto-Allphasensteuer mit Vorsteuerabzug. Sie soll den Konsum der (End-) Verbraucher erfassen. Aus Praktikabilitätsgründen erfolgt der Bezug der Mehrwertsteuer nicht bei den Leistungsbezügern, den eigentlichen Destinatären der Mehrwertsteuer, sondern bei den Leistungserbringern (<ref-ruling> E. 2.1 S. 253; <ref-ruling> E. 5a S. 301; zum Gesetz von 1999 Pascal Mollard/Xavier Oberson/Anne Tissot Benedetto, Traité TVA, 2009, Kap. 1 N. 296 ff., insb. 304; Alois Camenzind/Niklaus Honauer/Klaus A. Vallender, Handbuch zur neuen Mehrwertsteuer, 2. Aufl. 2003, N. 994). Verwendet die steuerpflichtige Person Gegenstände oder Dienstleistungen für steuerbare Ausgangsleistungen, kann sie die auf ihren Eingangsleistungen lastende (Vor-) Steuer in Abzug bringen (Art. 38 Abs. 1 und 2 MWSTG 1999; <ref-ruling> E. 8.2 und 8.3 S. 364 ff.). Als "verwendet" im Sinne von Art. 38 Abs. 2 MWSTG 1999 kann gemäss bundesgerichtlicher Praxis ein vorsteuerbelasteter Eingangsumsatz gelten, der in steuerbare Ausgangsumsätze der steuerpflichtigen Person einfliesst, d. h. für einen geschäftlich begründeten Zweck eingesetzt wird (Konnex von Eingangs- und Ausgangsumsatz). Fehlt es daran, liegt hinsichtlich dieser Eingangsleistung bei der steuerpflichtigen Person ein Endverbrauch vor (Urteil 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.6 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 8.2 S. 364 und E. 10 S. 369; Philip Robinson, in: Markus Reich, Steuerrecht, 2. Aufl. 2012, § 34 N. 126 f.; Camenzind/Honauer/Vallender, a. a. O., N. 1363; Daniel Riedo, Vom Wesen der Mehrwertsteuer als allgemeine Verbrauchsteuer und von den entsprechenden Wirkungen auf das schweizerische Recht, 1999, S. 158 f.).
2.3.
2.3.1. Das Recht zur Vornahme des Vorsteuerabzugs ist von vornherein auf Leistungsempfänger beschränkt, die in der Schweiz subjektiv steuerpflichtig sind (Art. 38 Abs. 1 MWSTG 1999). Zur Vermeidung von Wettbewerbsnachteilen sind Leistungen, die im Ausland verbraucht werden, grundsätzlich von der Mehrwertsteuer zu befreien (Bestimmungslandprinzip; Mollard/Oberson/Benedetto, a. a. O., Kap. 1 N. 303; Klaus A. Vallender, in: Bernhard Ehrenzeller/Philippe Mastronardi/Rainer J. Schweizer/Klaus A. Vallender (Hrsg.), Die Schweizerische Bundesverfassung, 2. Aufl. 2008, N. 7 zu <ref-law>). Unter dem Recht von 1999 geschieht dies durch die Befreiung bei Ausfuhr von Gegenständen (Art. 5 lit. a i. V. m. Art. 19 MWSTG 1999) bzw. Verlagerung des Ortes der Dienstleistung ins Ausland (Art. 5 lit. b i. V. m. Art. 14 MWSTG 1999).
2.3.2. Erfolgt die steuerbare Lieferung des Gegenstandes im Inland oder handelt es sich um eine steuerbare Dienstleistung, deren Ort sich im Inland befindet, bleibt die Leistung steuerbar, selbst wenn es sich beim Leistungsempfänger um eine ausländische, im Inland nicht steuerpflichtige Person handelt. Aufgrund der fehlenden subjektiven Steuerpflicht des ausländischen Leistungsempfängers verfügt dieser über kein Recht zur Vornahme des Vorsteuerabzugs. Dessen ungeachtet besteht auch in solchen Fällen das Bedürfnis nach Verwirklichung des Bestimmungslandprinzips. Diesem Umstand trägt Art. 90 Abs. 2 lit. b MWSTG 1999 dadurch Rechnung, dass der Gesetzgeber dem Bundesrat die Kompetenz erteilt, ein Vorsteuervergütungsverfahren vorzusehen (vgl. Ivo P. Baumgartner/Diego Clavadetscher/Martin Kocher, Vom alten zum neuen Mehrwertsteuergesetz, 2010, § 7 N. 134; Jürg Buchli, in: Kompetenzzentrum MWST der Treuhand-Kammer [Hrsg.], mwst.com, 2000, N. 2 zu Art. 90 Abs. 2 lit. b MWSTG 1999). Bei diesem Institut unter dem geläufigen Begriff "B2B VAT Refund" ("Business to Business") handelt es sich um das Gegenstück zum "B2C VAT Refund" ("Business to Customer") gemäss Art. 90 Abs. 3 lit. a MWSTG 1999. Danach ist der Bundesrat zuständig zu bestimmen, unter welchen Voraussetzungen den Abnehmern mit Wohn- oder Geschäftssitz im Ausland die Steuer auf den an sie im Inland ausgeführten Lieferungen oder Dienstleistungen bei Gewährung des Gegenrechts durch das Land ihres Wohn- oder Geschäftssitzes vergütet werden kann. Neurechtlich findet sich eine entsprechende Norm, wobei Art. 107 Abs. 1 lit. b MWSTG 2009 textlich weiter gefasst ist. Die Novelle bestimmt zusätzlich Folgendes: "... dabei haben grundsätzlich die gleichen Anforderungen zu gelten, wie sie bei inländischen steuerpflichtigen Personen in Bezug auf den Vorsteuerabzug bestehen". Dies weist auf die konzeptionelle Nähe zwischen Vorsteuerabzug und Vorsteuervergütung hin (dazu Parlamentarische Initiative Dettling. Bericht der Kommission für Wirtschaft und Abgaben des Nationalrates [BBl 1996 V 713, insb. 808 zu Art. 86 lit. c E-MWSTG 1999]; Botschaft vom 25. Juni 2008 zur Vereinfachung der Mehrwertsteuer [BBl 2008 6885, insb. 7023 zu Art. 106 Abs. 1 lit. b E-MWSTG 2009]; Felix Geiger, in: Felix Geiger/Regine Schluckebier [Hrsg.], MWSTG, 2012, N. 11 zu Art. 107 MWSTG 2009; Mollard/Oberson/Benedetto, a. a. O., Kap. 5 N. 389).
2.3.3. Im Anschluss an Art. 90 Abs. 2 lit. b MWSTG 1999 hat der Bundesrat die Art. 28 ff. der Verordnung vom 29. März 2000 zum Bundesgesetz über die Mehrwertsteuer (MWSTGV; AS 2000 1347) erlassen:
" 1 Anspruch auf Steuervergütung hat, wer Gegenstände einführt oder sich im Inland Leistungen der in den Art. 6 und 7 MWSTG 1999 genannten Arten gegen Entgelt erbringen lässt (Art. 28 Abs. 1 MWSTGV; neurechtlich: Art. 151 Abs. 1 MWSTV 2009) und zudem:
a) Wohn- oder Geschäftssitz im Ausland hat, wobei der Ort, an welchem eine Betriebsstätte geführt wird, einem Geschäftssitz gleichgestellt ist (Art. 28 Abs. 1 lit. a MWSTGV; Art. 151 Abs. 1 lit. a MWSTV 2009);
b) im Inland keine Gegenstände liefert oder, unter Vorbehalt von Abs. 2, im Inland keine Dienstleistungen erbringt (Art. 28 Abs. 1 lit. b MWSTGV; Art. 151 Abs. 1 lit. c MWSTV 2009);
c) im Land seines Wohn- oder Geschäftssitzes seine Unternehmereigenschaft nachweist (Art. 29 Abs. 1 lit. c MWSTGV); demgegenüber bestimmt Art. 151 Abs. 1 lit. d MWSTV 2009: "seine oder ihre Unternehmereigenschaft im Land des Wohnsitzes, des Geschäftssitzes oder der Betriebsstätte gegenüber der ESTV nachweist".
(...) "
Aufgrund von Art. 28 Abs. 3 MWSTGV setzt die Vorsteuervergütung weiter voraus, dass der Staat des Wohn- oder Geschäftssitzes des Antragstellers ein entsprechendes Gegenrecht gewährt (nunmehr Art. 151 Abs. 3 und insbesondere Art. 152 MWSTV 2009). Sodann hängt der Umfang der Steuervergütung davon ab, dass die bezogenen Leistungen der Erzielung von Umsätzen dienen, die in der Schweiz von Gesetzes wegen der Mehrwertsteuer unterliegen würden oder für welche eine Steuerbefreiung nach Art. 19 MWSTG 1999 zur Anwendung käme (Art. 29 Abs. 1 MWSTGV). Dienen die bezogenen Gegenstände und Dienstleistungen sowohl der Erzielung steuerbarer Umsätze als auch anderen Zwecken, ist die Vergütung nach dem Verhältnis der Verwendung zu kürzen (Art. 29 Abs. 2 MWSTGV). Für Leistungen, die nicht für einen geschäftlich begründeten Zweck im Sinne des Art. 38 Abs. 2 MWSTG 1999 verwendet werden, besteht kein Vergütungsanspruch (Art. 29 Abs. 3 MWSTGV).
2.3.4. In Ausführung der Art. 28 ff. MWSTGV hat die ESTV das Merkblatt Nr. 19, Vergütung der Mehrwertsteuer an Abnehmer mit Wohn- oder Geschäftssitz im Ausland, gültig ab dem 1. Januar 2001, veröffentlicht (nachfolgend: Merkblatt 19/2001). Unter dem Titel "Zahlungsnachweis" lautet Ziff. 1.7 folgendermassen (Hervorhebungen durch das Bundesgericht) :
"Da nach Art. 29 Abs. 1 MWSTGV nur die (vom Antragsteller) bezahlte Steuer vergütet werden kann, benötigt die ESTV zu jeder eingereichten Originalrechnung einen entsprechenden Zahlungsnachweis. Dieser kann mit einer Kopie des entsprechenden Bankbelegs erbracht werden. Falls kein anderer Zahlungsnachweis möglich erscheint, ist auf das Formular Nr. 1225 zurückzugreifen. Pro Lieferant ist je ein solches Formular Nr. 1225 zu verwenden. Es muss vollständig ausgefüllt und vom Schweizer Leistungserbringer rechtsverbindlich unterzeichnet werden. Hinweis: Ab einem Steuerbetrag von Fr. 20'000.-- pro Leistungserbringer muss das Formular Nr. 1225 zwingend beigebracht werden. Es spielt dabei keine Rolle, wie viele Rechnungen vorliegen."
2.3.5. Mit Wirkung ab dem 1. Januar 2008 setzte die ESTV eine überarbeitete Fassung des Merkblatts Nr. 19 (SR 610.545.19; nachfolgend: Merkblatt 19/2008) in Kraft. Die hier massgebende Ziff. 1.7 "Zahlungsnachweis" erhielt folgenden Wortlaut (Hervorhebungen wiederum durch das Bundesgericht) :
"Nach Art. 29 Abs. 1 MWSTGV wird die bezahlte MWST vergütet. Aus diesem Grund benötigt die ESTV zu jeder eingereichten Originalrechnung einen Zahlungsnachweis, welcher mit einer Kopie des entsprechenden Bankbeleges erbracht werden kann. Falls kein Zahlungsnachweis vorhanden ist, kann das Formular Nr. 1225 verwendet werden, welches pro Lieferant vollständig ausgefüllt wird. Der Schweizer Leistungserbringer unterzeichnet das Formular rechtsverbindlich. Hinweis: Ab einem MWST-Betrag von Fr. 20'000.-- pro Leistungserbringer kann nur das Formular Nr. 1225 verwendet werden. Es spielt dabei keine Rolle, wie viele Rechnungen desselben Leistungserbringers vorliegen."
In Ziff. 6.1 der sog. "MWST-Info" 18, Vergütungsverfahren, die am 1. Januar 2010 das Merkblatt 19/2008 abgelöst hat, steht hierzu bloss noch:
"Es wird nur die bezahlte Steuer vergütet. Die entsprechenden Zahlungsnachweise sind nur auf Verlangen hin einzureichen."
3.
3.1. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) besteht zwischen der Eigentümergesellschaft und der Managementgesellschaft ein Aircraft-Management-Vertrag. Im Verlauf der Jahre 2001 bis 2003 erbrachte die Managementgesellschaft unter diesem Titel u. a. Versicherungsleistungen, die unstreitig der Eigentümergesellschaft zukamen. Mit drei Rechnungen vom 16. September 2008 fakturierte die Managementgesellschaft gegenüber der Eigentümergesellschaft die noch nicht erhobene Mehrwertsteuer von Fr. 32'062.64. Die Schuld wurde durch Gutschriften der Credit Suisse AG vom 25. September 2008 beglichen, womit die Bank ihrer Kundin die drei Zahlungen im Auftrag der Operatinggesellschaft gutschrieb. Sodann hat die Vorinstanz festgestellt, es liege ein von der Managementgesellschaft unterzeichnetes Formular Nr. 1225 (vom 7. Januar 2009) vor, worin diese unterschriftlich bestätigt, dass die Eigentümergesellschaft sämtliche ihr im Jahr 2008 in Rechnung gestellten Beträge für bezogene Leistungen (Total: Fr. 32'062.64) bezahlt und dass sie, die Managementgesellschaft, die darauf entfallende Mehrwertsteuer der ESTV gegenüber deklariert hat. Unstreitig befindet sich das britische Überseegebiet Bermuda auf der Liste der ESTV über die Gegenrecht haltenden Staaten (Formular Nr. 1224).
3.2.
3.2.1. Der Grund der verweigerten Vorsteuervergütung liegt im Wesentlichen im Umstand, dass die ESTV einen Nachweis darüber verlangt, dass die Eigentümergesellschaft die Zahlung selber vorgenommen bzw. veranlasst hat.
3.2.2. Aufgrund von Art. 90 Abs. 2 lit. b MWSTG 1999 ist der Bundesrat zuständig zu bestimmen, unter "welchen Voraussetzungen" die Vorsteuer vergütet werden kann. Anders als etwa in Art. 90 Abs. 2 lit. d MWSTG 1999 zum Münz- und Feingold ist es dem Bundesrat nicht anheim gestellt, "von diesem Gesetz abweichende Bestimmungen" zu erlassen (dazu Urteil 2C_518/2013 vom 1. November 2013 [Goldbarren]). Zum Verordnungsrecht erwägt die Vorinstanz, dem Wortlaut von Art. 29 Abs. 1 MWSTGV ("Die bezahlte Steuer wird vergütet, sofern ...") lasse sich in keiner der drei sprachlichen Fassungen etwas hinsichtlich der die Mehrwertsteuer bezahlenden Person entnehmen. Mit der Vorinstanz ist eine Pflicht zur persönlichen Leistung der Vorsteuer nur dann anzunehmen, wenn triftige Gründe für die Annahme bestehen, der klare Wortlaut ziele am "wahren Sinn" der Regelung vorbei (<ref-ruling> E. 2.5.3 S. 87; <ref-ruling> E. 1.5.4 S. 74; <ref-ruling> E. 2.2 S. 68; <ref-ruling> E. 5.1 S. 153; <ref-ruling> E. 4.1 S. 562; <ref-ruling> E. 3 S. 234 f.; <ref-ruling> E. 5.1 S. 94).
3.2.3. Das Mehrwertsteuergesetz von 1999 zielt namentlich auf die Wettbewerbsneutralität ab (Art. 1 Abs. 2 MWSTG 1999). Im grenzüberschreitenden Verhältnis wird dieser übergeordnete Grundsatz durch das Bestimmungslandprinzip verwirklicht (vorne E. 2.3.1). Dieses Prinzip greift gleichermassen beim Vorsteuerabzug wie bei der Vorsteuervergütung, stehen sich die beiden Institute doch konzeptionell nahe (vorne E. 2.3.2). Die von der Schweiz getroffenen Gegenrechtsvereinbarungen mit ausländischen Staaten dienen der Gleichstellung von in- und ausländischen Unternehmensträgern in Bezug auf die steuerliche Entlastung unternehmerischer Tätigkeiten im Ausland (Baumgartner/Clavadetscher/Kocher, a. a. O., § 1 N. 77). Innere Rechtfertigung ist das Vermeiden von Wettbewerbsnachteilen der schweizerischen Exportindustrie (ebenda § 7 N. 134).
3.2.4. Der Vergleich der jeweiligen Ziff. 1.7 der Merkblätter 19/2001 und 19/2008 zeigt auf, dass ursprünglich von der " (vom Antragsteller) bezahlte[n] Steuer" die Rede war, während die Novelle lediglich noch von der "bezahlte[n] MWST" spricht. Unter geltendem Recht folgt Ziff. 6.1 der "MWST-Info" 18/2010 ebenso der "verkürzten" Fassung. Unter allen drei Merkblättern erforderlich ist neben der Kreditorenrechnung (im Original) der jeweilige Zahlungsnachweis (Bankbeleg in Kopie). Ersatzweise kann, so Ziff. 1.7 der Merkblätter 19/2001 und 19/2008, der Zahlungsnachweis durch Vorlage des Formulars Nr. 1225 erbracht werden. Das Erfordernis des Zahlungsnachweises ist erstmals auf Ebene des Merkblatts statuiert; die Art. 28 ff. MWSTGV lassen diesen Aspekt unerwähnt. Eine ausdrückliche formell- oder materiellgesetzliche Grundlage fehlt mithin, doch ist nicht zu übersehen, dass der Gesetzgeber den Bundesrat in umfassendem Sinne als zuständig erklärt hat, die Voraussetzungen des Vergütungsverfahrens zu umschreiben (vorne E. 2.3.2). Auch die Doktrin geht davon aus, dass das Vorsteuervergütungsverfahren einer gewissen Formstrenge bedarf. Mit Blick auf das Missbrauchspotential und die fehlenden Beweiserhebungsmöglichkeiten der ESTV beim ausländischen Antragsteller werden Formerfordernisse als an sich gerechtfertigt erachtet (Baumgartner/Clavadetscher/Kocher, a. a. O., § 7 N. 135). Andere Autoren begrüssen ausdrücklich den von der Verwaltung verlangten Zahlungsnachweis (Mollard/Oberson/Benedetto, a. a. O., Kap. 5 N. 389).
3.2.5. Offen ist, was unter einem "Zahlungsnachweis" zu verstehen ist. Es handelt sich um einen unbestimmten Rechtsbegriff. Die erfolgte Zahlung der Hauptschuld nebst aufhaftender Mehrwertsteuer (im fraglichen Zeitpunkt: 107,6 Prozent) oder der gesondert erhobenen Mehrwertsteuer (hier: 7,6 Prozent) lässt sich buchhalterisch dadurch nachweisen, dass der Zahlungs ausgang beim Leistungsempfänger (die Belastung) belegt wird. Denkbar ist aber auch, auf den Zahlungseingang beim Leistungserbringer (die Gutschrift) abzustellen, sofern sich die Gutschrift mit hinreichender Bestimmtheit auf den Leistungsempfänger zurückführen lässt. Den Merkblättern 19/2001 und 19/2008 zufolge kann es - falls ein Bankbeleg fehlt - sogar genügen, wenn der ausländische Leistungsempfänger lediglich die Eingangsbestätigung des inländischen Leistungserbringers (Formular Nr. 1225) vorlegt. Unerwähnt bleibt der Nachweis des Zahlungseingangs. Nach dem Verständnis der ESTV bezieht sich der Zahlungsnachweis mithin einzig auf die Tatsache, dass der Leistungsempfänger die Vorsteuer entweder selber bezahlt (" Selbstbezahlung ") oder eine Drittperson angewiesen hat, die Zahlung in seinem Namen vorzunehmen (" Drittbezahlung "). Dies ist mit dem Nachweis des Zahlungsausgangs gleichzusetzen. Im inländischen Verhältnis wäre, so die ESTV, im Anweisungsfall zu verlangen, dass die Drittbezahlung in den Büchern des Leistungsempfängers den erforderlichen Niederschlag findet. Denn, fährt die ESTV weiter, die Drittbezahlung könne nicht nur auf der Verrechnung von Leistungen beruhen, sondern ebenso auf einer Schenkung, einer Spende oder einer Subvention (Art. 38 Abs. 8 MWSTG 1999), was wiederum mehrwertsteuerliche Folgen nach sich zöge. Diese für den Vorsteuerabzug geltende Regel müsse zwecks Vermeidung einer Inländerbenachteiligung auch im Bereich der Vorsteuervergütung gelten.
3.2.6. Vergütung und Abzug der Vorsteuer beruhen auf demselben konzeptionellen Fundament (vorne E. 2.3.2). Es kann der ESTV aber nicht gefolgt werden, wenn sie einzig den Nachweis des Zahlungsausgangs genügen lässt. Gemäss Art. 38 Abs. 1 MWSTG 1999 setzt der Vorsteuerabzug voraus, dass die steuerpflichtige Person den Nachweis erbringt über die ihr von anderen steuerpflichtigen Personen mit den Angaben nach Art. 37 MWSTG 1999 in Rechnung gestellte Steuer für Lieferungen und Dienstleistungen (Inlandsteuer), die von ihr für den Bezug von Dienstleistungen von Unternehmen mit Sitz im Ausland deklarierte Steuer (Bezugsteuer) bzw. die von ihr auf der Einfuhr von Gegenständen der Eidgenössischen Zollverwaltung entrichtete oder zu entrichtende Steuer sowie die von ihr für die Einfuhr von Gegenständen deklarierte Steuer (Art. 83 MWSTG 1999). Die Regeln über den Vorsteuerabzug verlangen im Bereich der Inlandsteuer mithin den Nachweis über die "in Rechnung gestellte Steuer" (Art. 38 Abs. 1 lit. a MWSTG 1999). Der Nachweis ist anhand dessen zu erbringen, dass die Inlandleistung von anderen steuerpflichtigen Personen "mit den Angaben nach Art. 37 MWSTG 1999" fakturiert worden ist. Unter Vorbehalt der weiteren Voraussetzungen genügt dies, um den Anspruch auf Vornahme des Vorsteuerabzugs entstehen zu lassen. Ausschlaggebend ist das Vorliegen einer formgültigen Rechnung (formell), welche Auskunft über die vorsteuerbelastete Leistung (materiell) gibt. Je nach Abrechnungsart entsteht der Anspruch auf Abzug schon mit der blossen Verbuchung der Rechnung (Abrechnung nach vereinnahmten Entgelten) oder erst mit der Abrechnung (Abrechnung nach vereinnahmten Entgelten; Art. 38 Abs. 7 lit. a MWSTG 1999). Aufgrund von Art. 38 Abs. 1 MWSTG 1999 obliegt es der steuerpflichtigen Person, die (von ihr wirtschaftlich getragenen) Vorsteuern nachzuweisen. Dies ist eine unmittelbare Folge der im Steuerrecht herrschenden Normentheorie. Infolgedessen hat die ESTV auch keine Schätzung der Vorsteuer vorzunehmen (Urteil 2C_715/2013 vom 13. Januar 2014 E. 3.4 mit Hinweisen).
3.2.7. Ob es überhaupt zur Überwälzung kommt, die erst eine Vorsteuer begründet, ist im privatwirtschaftlichen Umfeld eine Frage der Marktlage und der vertraglichen Vereinbarungen (<ref-ruling> E. 2.5.3 S. 87). Bleibt die Überwälzung der Mehrwertsteuer aus, geht die Steuer zulasten des Leistungserbringers. Die Leistung ist unvermindert steuerbar, wogegen der Leistungsempfänger keinen Vorsteuerabzug anrufen kann. "Bezahlt" im Sinne von Art. 29 Abs. 1 MWSTGV ist infolgedessen als Ausdruck der eingetretenen wirtschaftlichen Belastung zu verstehen. Diese tritt im Regelfall - Abrechnung nach vereinbarten Entgelten - bereits mit Eingang der Kreditorenrechnung ein. Mehrwertsteuerlich ist immerhin zu beachten, dass Vorsteuern nur abzugsfähig (bzw. hier vergütungsfähig) sind, soweit sie tatsächlich auch bezahlt worden sind (so Alois Camenzind/Niklaus Honauer/Klaus A. Vallender/Marcel R. Jung/Simeon L. Probst, Handbuch zum Mehrwertsteuergesetz, 3. Aufl. 2012, N. 1680). Dabei kann es sich sowohl um die eigentliche Selbstbezahlung als auch um eine Drittbezahlung (im Auftrag, im Namen und auf Rechnung des Leistungsempfängers) handeln. So oder anders wird der Leistungsempfänger mit der Mehrwertsteuer belastet. Nur wer eine vorsteuerbelastete Leistung bezieht, die Vorsteuer aber nicht trägt, bleibt von der Mehrwertsteuer wirtschaftlich unbelastet. Diese Regel besteht im Recht von 1999 und gilt auch weiterhin (Baumgartner/Clavadetscher/Kocher, a. a. O., § 7 N. 12). Insoweit verdeutlicht Art. 29 Abs. 1 MWSTGV ("Die bezahlte Steuer wird vergütet ...") die Grundbestimmung von Art. 38 Abs. 1 MWSTG 1999, ohne dass ihr weitergehende Bedeutung zukommt.
3.2.8. Nichts anderes ergibt sich vor dem Hintergrund von Ziff. 1.7 Merkblatt 19/2001. Die ESTV spricht hier in Ausführung von Art. 52 MWSTG 1999 von der "vom Antragsteller bezahlten Steuer". Im hier massgebenden Zeitraum (Rechnungsstellung 2008, Vergütungsantrag 2009) stand indes bereits das Merkblatt 19/2008 in Kraft, das keine ausdrückliche Bestimmung mehr des Inhalts kennt, dass die Mehrwertsteuer "vom Antragsteller" bezahlt worden sein muss. Dem jeweiligen Merkblatt kann freilich schon deswegen keine konstitutive Wirkung zukommen, als es sich um kein Bundesrecht im Sinne von <ref-law> handelt. Blosse Verwaltungsverordnungen wie Kreisschreiben, Wegleitungen, Merkblätter usw. enthalten lediglich verwaltungsinterne Regeln (Urteil 2C_450/2013 vom 5. Dezember 2013 E. 2.3 mit Hinweisen, in: StE 2014 B 52.42 Nr. 8; StR 69/2014 S. 216). Sie vermögen keine Rechte und Pflichten gegenüber Privaten zu schaffen. Für das Bundesgericht bleiben Verwaltungsverordnungen ohne Bindungswirkung.
3.2.9. Ausschlaggebend ist mithin, dass der Leistungsempfänger durch die Vorsteuer wirtschaftlich belastet wird. Trifft dies zu, spielt es - wovon auch die Vorinstanz ausgeht - keine Rolle, wer die Steuer letztlich bezahlt. Ob der Leistungserbringer die Mehrwertsteuer dann auch an die ESTV abführt, hat seitens des Leistungsempfängers auf den Vorsteuerabzug bzw. die Vorsteuervergütung keinen Einfluss. Drittbezahlung bei entsprechender wirtschaftlicher Belastung des Leistungsempfängers ist für Vorsteuerabzug und Vorsteuervergütung unschädlich. Das Inkassorisiko liegt alleine bei der ESTV. Ihr obliegt es, die Steuer mit den Mitteln des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts beim Leistungserbringer einzutreiben. Davon geht auch die ESTV aus. Insofern greifen die vorinstanzlichen Ausführungen zu weit, wenn dort ausgeführt wird, entscheidend sei allein, dass die Mehrwertsteuer auf den an die Eigentümergesellschaft erbrachten Versicherungsleistungen an die ESTV abgeliefert werde (Urteil E. 3.3.2 f.).
3.3.
3.3.1. Streitbetroffen ist vorliegend die Vorsteuer in Höhe von Fr. 32'062.64. Unstreitig ist, dass es zur Überwälzung der Steuer auf die Eigentümergesellschaft gekommen ist. Die drei Rechnungen vom 16. September 2008 dienten dazu, jene Steuer nachzubelasten, die auf den in den Jahren 2001 bis 2003 erbrachten Versicherungsleistungen zu erheben gewesen wäre. Streitig ist einzig, ob der Eigentümergesellschaft der Beweis darüber gelungen ist, dass sie die Vorsteuer wirtschaftlich trägt, d. h., dass die unstreitig erfolgte Gutschrift in ihrem Auftrag erfolgt ist. Die Eigentümergesellschaft hat keinen direkten Beweis der Drittbezahlung erbracht. Sie hat es unterlassen, Auszüge aus ihren Büchern vorzulegen, woraus sich ausdrücklich ergibt, dass die Operatinggesellschaft als Verwalterin der Vorausleistungen oder Akontozahlungen im Auftrag und auf Rechnung der Eigentümergesellschaft gehandelt hat. Die Eigentümergesellschaft legt lediglich zwei Gutschriftsanzeigen der Credit Suisse AG vom 25. September 2008 vor.
3.3.2. Die Vorinstanz kommt in freier Beweiswürdigung zum Schluss, es erscheine nicht als abwegig, dass die G._ Establishment, W._ (FL), die "angebliche Schwestergesellschaft" der Eigentümergesellschaft, bei der Operatinggesellschaft ein Depot unterhalten habe, dem in der Folge die Rechnungen vom 16. September 2008 belastet worden seien. Ebenso wenig abwegig sei auch die Behauptung, die A._ (Bermuda) Ltd sei als Garantin aufgetreten, um die Schadloshaltung des neuen Aktionariats nach dem angeblichen Verkauf der Eigentümergesellschaft im Jahr 2003 zu gewährleisten (Urteil E. 3.3.3). Die Beweiswürdigung, selbst wenn sie auf Indizien beruht, und die sich daraus ergebenden tatsächlichen Schlussfolgerungen stellen Tatfragen dar (<ref-ruling> E. 5 S. 621; Urteil 2C_319/2013 vom 13. März 2014 E. 3.3.4, zur Publikation vorgesehen). Die ESTV kritisiert die Beweiswürdigung. Die Kritik hat erhöhten Anforderungen zu genügen (<ref-law>). Solche Rügen sind klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen (Urteil 2C_319/2013 vom 13. März 2014 E. 1.6 mit Hinweisen). Das Bundesgericht kann die vorgenommene Beweiswürdigung nach dem Gesagten nur unter dem beschränkten Gesichtswinkel der Willkür prüfen (vorne E. 1.8).
3.3.3. Es kann offen bleiben, ob die geübte Kritik diesen gesetzlichen Anforderungen genügt. Die vorinstanzlich getroffene Beweiswürdigung ist jedenfalls nicht geradezu willkürlich. Zum einen ist nicht plausibel, weshalb die Operatinggesellschaft die Überweisungen vorgenommen haben sollte, falls sie nicht aus dem Kreis der Konzerngesellschaften eine entsprechende Anweisung erhalten hätte. Aller Voraussicht nach hätte sie unter anderen Umständen gar keine Kenntnis von den Rechnungen, welche die Management- an die Eigentümergesellschaft gerichtet hatte. Zum andern verdeutlichen die an die Eigentümergesellschaft adressierten Rechnungen, dass diese wirtschaftlich belastet ist. Ungeachtet von Abmachungen über die Zahlung der Rechnungen trifft alleine die Eigentümergesellschaft eine vertragsrechtliche Zahlungspflicht.
3.3.4. Die Vorinstanz geht mithin auch willkürfrei von einem Konzern aus, dem sowohl die Eigentümer- als auch die "Schwestergesellschaft" angehören. Mit Blick darauf ist es jedenfalls nachvollziehbar, dass die Schwestergesellschaft das Depot bei der Operatinggesellschaft im Auftrag, im Namen und auf Rechnung der Eigentümergesellschaft angelegt hat. Daraus ergibt sich schliesslich, dass die Entnahme aus dem Depot unmittelbar zur wirtschaftlichen Belastung der Eigentümergesellschaft geführt hat. Der direkte Nachweis des Zahlungsausgangs bei der Eigentümergesellschaft ist nicht erbracht. Er ist aber auch nicht erforderlich. Bei freier Beweiswürdigung erlaubt die Rückverfolgung des Zahlungseingangs bei der Managementgesellschaft den entscheidenden Schluss darauf, dass die Eigentümergesellschaft im Umfang von Fr. 32'062.64 wirtschaftlich belastet ist. Wenn die ESTV vorbringt, die angeblichen Zahlungen liessen sich nicht nachvollziehen, so überzeugt dies nicht.
3.3.5. Die vorinstanzliche Schlussfolgerung wird dadurch bekräftigt, dass die Managementgesellschaft mit Formular Nr. 1225 vom 7. Januar 2009 unterschriftlich bestätigt hat, die Eigentümergesellschaft sei ihrer Zahlungspflicht nachgekommen. Wenn auch die Konzernstruktur nicht restlos geklärt ist und über die Zahlungen innerhalb des Konzerns und an die Operatinggesellschaft weiterer Aufschluss hilfreich wäre, so ergibt sich doch letztlich ein hinreichend klares Bild. Unter den beteiligten Rechtsträgern ist die Managementgesellschaft ohnehin die einzige, deren Sitz sich in der Schweiz befindet. Die Managementgesellschaft hat mit dem Formular Nr. 1225 unmissverständlich den Eingang der Zahlung bestätigt. Sie bezeugt unterschriftlich, dass die nicht in der Schweiz ansässige Eigentümergesellschaft sämtliche ihr im Jahr 2008 in Rechnung gestellten Beträge für bezogene Leistungen (Total: Fr. 32'062.64) bezahlt und dass sie, die Managementgesellschaft, die darauf entfallende Mehrwertsteuer deklariert hat. Nichts daran ändert, dass es sich um die Nachbelastung der Mehrwertsteuer gehandelt hat, die - so scheinbar die Erfahrung der ESTV - mitunter im grenzüberschreitenden Verhältnis Schwierigkeiten bereitet. Mit ihrer Unterschrift hat sich die Managementgesellschaft denn auch insoweit verpflichtet, als dem Formular Nr. 1225 Urkundenqualität im Sinne von Art. 110 Abs. 4 und Art. 251 StGB (SR 311.0) beizumessen sein wird.
4.
4.1. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet. Sie ist abzuweisen und das angefochtene Urteil A-6616/2011 vom 29. Januar 2013 ist zu bestätigen. Dementsprechend wird die Sache zur weiteren Prüfung und Verfügung an die Unterinstanz zurückgewiesen.
4.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die ESTV, die in ihrer Eigenschaft als Abgabegläubigerin Vermögensinteressen im Sinne von <ref-law> verfolgt, die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 i. V. m. <ref-law>).
4.3. Die ESTV hat der Eigentümergesellschaft eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. April 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher