ASMAC-VSAO Fondation pour indépendants, Brunnhofweg 37, 3007 Bern,
représentée par Me David Métille, avocat,
Objet
Prévoyance professionnelle (rente d'invalidité),
recours contre le jugement du Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, du 14 décembre 2012.
Faits:
A.
A.a. Le docteur N._, spécialiste en psychiatrie, a travaillé dès le 1 er octobre 1997 en qualité de chef de clinique adjoint auprès de X._. A ce titre, il était affilié auprès de la Fondation de prévoyance de l'ASMAC ([Association suisse des médecins-assistant (e) s et chef (fe) s de clinique] devenue Vorsorgestiftung VSAO, Fondation de prévoyance ASMAC; ci-après: Fondation ASMAC).
Par décision du 25 novembre 2002, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a alloué à N._ une rente entière de l'assurance-invalidité avec effet au 1 er mai 2002. Auparavant, soit le 30 août 2002, la Fondation ASMAC lui a indiqué qu'il avait droit à une rente entière d'invalidité de la prévoyance professionnelle avec effet dès le 1er août 2002, prestation qui lui a été versée sans modification durant les années suivantes.
A.b. Après avoir quitté X._ avec effet au 30 septembre 2002, N._ a repris une activité en tant que psychiatre à titre indépendant à L._, à partir du mois de janvier 2003. Il s'est affilié comme indépendant auprès de la ASMAC-VSAO Fondation pour indépendants (VSAO-ASMAC Stiftung für Selbständigerwerbende; ci-après: Fondation pour les indépendants) dès le 1 er février 2004.
Par décision du 1 er mai 2006, l'office AI a supprimé la rente entière d'invalidité de l'assuré avec effet au 1er juillet 2006, au motif que son incapacité de travail n'était plus que de 20 % dans son activité de psychiatre exercée à titre indépendant. Par la suite, l'office AI a mis N._ au bénéfice d'une demi-rente de l'assurance-invalidité à partir du 1er juin 2007 (décision du 11 août 2008). Le prénommé a requis l'augmentation de sa rente les 25 novembre et 2 décembre 2008, ce que lui a refusé l'administration, la décision à cet égard ayant fait l'objet d'un recours auprès du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales.
De son côté, la Fondation ASMAC a nié le droit de N._ à une rente d'invalidité à partir du 1 er juin 2007, et refusé ensuite de lui allouer une rente d'invalidité partielle dès le 1er juin 2007. Le 4 décembre 2007, elle a, par ailleurs, déposé devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui, Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud) une demande en restitution des prestations versées à tort du 1er janvier 2004 au 30 avril 2006. Celle-ci a fait l'objet d'un jugement partiel (du 10 juin 2010) sur la question de la prescription, déféré au Tribunal fédéral (arrêt 9C_611/2010 du 15 décembre 2010), puis d'un jugement sur le fond (jugement du 6 novembre 2012), qui a derechef fait l'objet d'un recours au Tribunal fédéral.
B.
A son tour, par demande du 8 mai 2009, N._ a ouvert action contre la Fondation ASMAC devant le Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, en concluant à ce qu'elle soit condamnée à lui verser une rente d'invalidité à partir du 1 er juin 2008. Après avoir fait verser le dossier de l'assurance-invalidité à la procédure et appelé en cause la Fondation pour les indépendants, le Tribunal administratif a rejeté la demande par jugement du 14 décembre 2012.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, N._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, de réformer le jugement cantonal en ce sens que la Fondation ASMAC soit tenue de lui verser une rente d'invalidité dès le 1 er juin 2008. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation du jugement entrepris et au renvoi de la cause au Tribunal administratif pour nouvelle décision et/ou décision dans le sens des considérants.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 313; <ref-ruling> consid 8.1 p. 153) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. A défaut d'une telle motivation, il n'est pas possible de prendre en considération un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée, ni des faits qui n'y sont pas contenus (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 187; <ref-ruling> consid. 1.4 et 6.2 p. 287 s.).
1.2. A l'appui de ses conclusions, le recourant produit un certificat médical du docteur R._, spécialiste FMH en neurologie, du 28 janvier 2013. Ce nouveau moyen ne peut toutefois pas être pris en considération par la Cour de céans dès lors que - sauf exception non réalisée en l'espèce -, un moyen de preuve qui n'a pas été examiné dans la procédure devant l'autorité précédente n'est pas admissible dans la procédure devant le Tribunal fédéral (<ref-law>; cf. <ref-ruling>).
2.
2.1. Est litigieux le droit du recourant à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle de la part de l'intimée, dès le 1 er juin 2008. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales sur le droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire, ainsi que sur la notion d'incapacité de travail et le double critère de la connexité matérielle et temporelle entre l'incapacité de travail et l'invalidité exigé par la jurisprudence pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance à laquelle était affiliée l'intéressé (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 275 et les arrêts cités). Il suffit d'y renvoyer.
2.2. On rappellera cependant que la relation de connexité temporelle suppose qu'après la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité, la personne assurée n'ait pas à nouveau été capable de travailler pendant une longue période. L'existence d'un tel lien doit être examinée au regard de l'ensemble des circonstances du cas d'espèce, tels la nature de l'atteinte à la santé, le pronostic médical, ainsi que les motifs qui ont conduit la personne assurée à reprendre ou ne pas reprendre une activité lucrative.
Pour la survenance de l'incapacité de travail au sens de l'<ref-law>, c'est la diminution de la capacité fonctionnelle de rendement dans la profession exercée jusque-là ou dans le champ des activités habituelles qui est déterminante (<ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 23 et les références). La connexité temporelle avec l'invalidité ultérieure -en tant que condition supplémentaire du droit aux prestations d'invalidité de l'institution de prévoyance concernée - se définit en revanche d'après l'incapacité de travail, respectivement la capacité résiduelle de travail dans une activité raisonnablement exigible adaptée à l'atteinte à la santé. Une telle activité doit cependant permettre de réaliser, par rapport à l'activité initiale, un revenu excluant le droit à une rente (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 27).
2.3. Les constatations de la juridiction cantonale relatives à l'incapacité de travail résultant d'une atteinte à la santé (survenance, degré, durée, pronostic) relèvent d'une question de fait et ne peuvent donc être examinées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint, dans la mesure où elles reposent sur une appréciation des circonstances concrètes du cas d'espèce (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF; arrêt 9C_182/2007 du 7 décembre 2007 [résumé dans la RSAS 2008 p. 383], consid. 4.1.1). Les conséquences que tire l'autorité cantonale de recours des constatations de fait quant à la connexité temporelle sont en revanche soumises au plein pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (arrêt 9C_292/2008 du 22 août 2008).
3.
3.1. Se fondant sur les pièces médicales au dossier de l'assurance-invalidité du recourant, la juridiction cantonale a constaté que la capacité de travail de l'assuré s'était progressivement améliorée depuis le moment où il avait commencé à exercer son activité à titre indépendant en janvier 2003. D'abord de 10 à 20 %, la capacité de travail avait passé à 50 % à partir du 1 er juillet 2003, puis à 80 % dès le mois de janvier 2005, l'incapacité de travail de 20 % attestée à compter de cette dernière date étant due à une baisse de rendement supputée dans l'activité indépendante exercée. Ce n'est qu'à partir du 18 juin 2007 que le docteur R._ avait fait état d'une limitation de la capacité de travail à 60 % en raison d'une aggravation de l'état de santé, puis à 0 % du 27 juin au 1er juillet 2007 et, dès cette date, à 50 %. L'amélioration initiale de la situation médicale ressortait également des déclarations de l'assuré aux organes de l'assurance-invalidité, auxquels il avait indiqué travailler de 35 à 40 heures par semaine dès janvier 2005, ce qui correspondait à un taux d'activité de 87,5 % à 100 %. Selon les premiers juges, aucun élément au dossier ne permettait d'admettre que le recourant avait travaillé au-dessus de ses forces avant le mois de juin 2007, date à partir de laquelle il avait à nouveau bénéficié d'une demi-rente de l'assurance-invalidité.
Dans ces circonstances, l'autorité judiciaire de première instance a retenu que le recourant avait recouvré une capacité de travail supérieure à 80 %, et même entière, entre janvier 2005 et juin 2007. A son avis, le taux exact de cette capacité pouvait demeurer indécis, parce qu'une incapacité de travail telle qu'elle ressortait du dossier entre janvier 2005 et juin 2007 (soit entre 20 et 10 %) ne suffisait pas à fonder une obligation de prester de l'intimée. La seule persistance d'une incapacité partielle de travail médico-théorique dûment attestée n'empêchait pas l'interruption de la connexité temporelle, si une capacité de travail dans une activité adaptée existait pendant un laps de temps suffisamment long et permettait de réaliser, par rapport à l'activité initiale, un revenu excluant le droit à une rente. Ces conditions étaient précisément réalisées, selon les premiers juges. Le recourant avait récupéré dès janvier 2005 un taux d'occupation pratiquement complet sur une période d'environ deux ans et demi (29 mois) dans son activité de médecin psychiatre, sans qu'on pût douter du maintien à terme de cette capacité économique. Par ailleurs, la comparaison entre les revenus déterminants (salaire versé par X._ et gain tiré de l'activité indépendante) montrait que l'assuré n'avait (pratiquement) pas subi de perte économique pendant la période courant de janvier 2005 à mi-juin 2007.
La juridiction cantonale en a conclu que l'intimée n'était pas tenue à prestation à raison de la rechute médicale survenue en juin 2007, plus de 29 mois après que le recourant avait recouvré une capacité de travail et de gain suffisantes pour interrompre la connexité temporelle entre l'incapacité de travail initiale et la nouvelle invalidité évoquée dès 2007.
3.2. Reprochant aux premiers juges une constatation incomplète des faits pertinents et une appréciation arbitraire de ceux-ci, le recourant fait valoir en substance qu'il a présenté une incapacité de travail d'au moins 20 % pendant toute la période déterminante, comme cela ressortait de différents documents au dossier de l'assurance-invalidité. Aussi, la connexité temporelle n'avait-t-elle jamais été interrompue, si bien qu'il incombait à l'intimée de lui verser les prestations requises.
4.
4.1. Le recourant ne remet pas en cause les constatations de la juridiction cantonale selon lesquelles il a, de janvier 2005 à juin 2007, mis en oeuvre une capacité résiduelle de travail comme médecin indépendant, ce qui lui a permis de réaliser un revenu presque identique à celui qu'il avait obtenu de X._, de sorte qu'il n'a pratiquement pas subi de perte de gain de janvier 2005 à mi-juin 2007.
Contrairement à ce qu'a retenu l'autorité judiciaire de première instance à ce sujet, en laissant ouvert le point de savoir à quel taux exact s'élevait la capacité résiduelle du recourant, le fait que celle-ci a permis à l'intéressé de réaliser un revenu excluant le droit à une rente ne suffit pas à nier la connexité temporelle entre l'incapacité de travail initiale et l'invalidité survenue postérieurement au mois de juin 2007. Une telle déduction ne peut pas se fonder sur la jurisprudence à laquelle s'est référée la juridiction cantonale (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 27). Dans cet arrêt, le Tribunal fédéral a certes précisé que l'incapacité de travail, respectivement la capacité résiduelle de travail dans une activité raisonnablement exigible, d'après laquelle se définit la connexité temporelle entre l'incapacité de travail au sens de l'<ref-law> et l'invalidité ultérieure, devait permettre de réaliser par rapport à l'activité initiale un revenu excluant le droit à une rente, pour interrompre le lien de connexité temporelle (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 27).
Cela ne signifie toutefois pas que la réalisation d'un revenu excluant le droit à une rente suffise déjà à interrompre la connexité temporelle. Pour admettre une telle interruption, il faut avant tout que l'intéressé ait retrouvé une capacité de travail significative, que ce soit à 100 % ou à 80 % au moins (en référence au taux de 20 % [au moins] de la diminution de la capacité fonctionnelle de rendement dans la profession exercée jusque-là [cf. arrêt 9C_297/2010 du 23 septembre 2010 consid. 2.1, in SVR 2011 BVG n° 14 p. 51 et l'arrêt cité]). Le fait que l'intéressé est en mesure de réaliser un revenu excluant le droit à une rente n'apparaît déterminant que si l'intéressé dispose dans une activité raisonnablement exigible (autre que sa profession habituelle) une capacité de travail (presque) entière. Il n'y a pas lieu d'accorder à ce fait une signification plus étendue ou indépendante, même à la lumière de l'<ref-ruling> consid. 5.3 (arrêt 9C_536/2012 du 28 décembre 2012 consid. 3.2.2). En d'autres termes, la connexité temporelle est interrompue pour autant que la personne concernée dispose d'une capacité de travail dans une activité adaptée de 80 % au moins et que celle-ci lui permette de réaliser un revenu excluant le droit à une rente (dans ce sens, Marc Hürzeler, Commentaire LPP et LFLP, 2010, ad <ref-law>, n° 31 in fine p. 357; du même auteur, Der zeitliche Zusammenhang im Sinne von Art. 23 BVG - Klärung einer umstrittenen Fragestellung, REAS 1/2008 p. 34).
4.2. Sans déterminer précisément l'étendue de la capacité de travail du recourant en tant que psychiatre indépendant, la juridiction cantonale a constaté qu'il avait recouvré "une capacité de travail supérieure à 80 %, et même entière" entre janvier 2005 et juin 2007.
Le recours ne contient aucune démonstration du caractère arbitraire de cette constatation de fait. Dans une large mesure, l'argumentation du recourant tend en effet à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente, lorsqu'il se limite à affirmer qu'il est "acquis et indiscutable" qu'il a présenté une incapacité de travail de 20 % au moins durant la période déterminante. Contrairement à ce qu'il affirme par ailleurs, l'autorité judiciaire de première instance a mentionné tant le rapport du docteur O._ (du 9 février 2006), selon lequel il présentait une incapacité de 20 % depuis le 1 er janvier 2005, que l'évaluation de l'office AI (du 17 mars 2008), qui fait état de la capacité de travail de 80 % "selon Dr. O._". A l'issue d'une appréciation des preuves au dossier, les premiers juges ont exposé les raisons pour lesquelles ils retenaient une capacité de travail supérieure à celle (de 80 %) attestée par plusieurs médecins en s'appuyant non pas sur l'évaluation médicale, mais sur le taux d'activité effectué par le recourant dès le mois de janvier 2005. Ils se sont fondés sur les propres déclarations du recourant sur ses horaires de travail (35 à 40 heures par semaine dès janvier 2005 [questionnaire pour la révision de la rente du 8 janvier 2006]) et sur la réduction de son activité ("De 100 % à 90-80 % depuis décembre 2006 et de 90-80 % à 40 % depuis juin 2007" [questionnaire en vue d'un nouvel examen du droit aux prestations de l'assurance-invalidité du 15 août 2007]), ainsi que sur le taux d'activité de 86 % retenu par l'office AI en fonction du nombre de patients reçus par le recourant (Enquête économique pour les indépendants du 17 mars 2008). Le choix de suivre le taux d'activité effectivement exercé par le recourant pendant la période déterminante plutôt que l'évaluation médicale du docteur O._ relève en définitive de la libre appréciation des preuves et n'apparaît nullement arbitraire, quoi qu'en dise le recourant. On rappellera qu'il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle retenue par l'autorité précédente pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 4 sv.; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148).
En particulier, le recourant allègue en vain les "efforts surhumains et une médication excessive" nécessaires pour conserver son taux d'activité de 80 % et l'incapacité quasi totale d'effectuer la gestion administrative de son cabinet qui devrait être prise en compte en plus de l'incapacité de travail de 20 %. Il s'agit d'affirmations qui ne sont pas rendues vraisemblables, ni étayées plus avant. Aucune pièce au dossier ne permet de douter que le taux d'activité de plus de 80 % (indiqué par le recourant et mis en évidence par l'office AI) ne correspondait pas à la capacité de travail effectivement mise en oeuvre par l'assuré de janvier 2005 à juin 2007. De plus, ce n'est qu'à partir de cette dernière date que les médecins ont indiqué une aggravation de l'état de santé du recourant qui l'empêchait de travailler à plus de 50 % (rapports des docteurs R._ du 24 octobre 2007 et C._ du 2 octobre 2007). Quant à la notion de "travail au dessus de ses forces", elle a été admise par le médecin du Service médical régional de l'assurance-invalidité en janvier 2008 en rapport avec une activité qui aurait alors dépassé un taux de 50 % (avis du docteur D._ du 30 janvier 2008 et enquête économique pour les indépendants du 17 mars 2008), de sorte que le recourant ne peut rien en tirer pour la période antérieure à mi-juin 2007. On peut, pour le surplus, renvoyer aux considérations convaincantes de la juridiction cantonale sur ce point.
Cela étant, il n'y a pas de motif de s'écarter des constatations du jugement attaqué relatives à l'étendue de la capacité de travail du recourant pendant la période déterminante. Pour le reste, il ne remet pas sérieusement en cause celles sur le revenu qu'il a été en mesure de réaliser en fonction de la capacité de travail retenue et qui excluait le droit à une rente.
4.3. Sur le vu des faits constatés, la juridiction précédente était fondée à conclure que la connexité temporelle entre l'incapacité de travail au sens de l'<ref-law> et l'invalidité ultérieure avait été interrompue. Le jugement attaqué, par lequel est niée l'obligation de l'intimée de verser une rente d'invalidité au recourant à partir du 1 er janvier 2008, n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
5.
Vu l'issue de la procédure, le recourant est tenu de prendre en charge les frais de justice (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'ASMAC-VSAO Fondation pour indépendants, au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 juillet 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless