Sachverhalt:
A. Der 1950 geborene C._ war bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) unfall- sowie bei der Pensionskasse X._ berufsvorsorgeversichert, als er am 2. April 2001 einen Unfall erlitt. In der Folge wurde ihm durch die IV-Stelle für Versicherte im Ausland mit Wirkung ab 1. April 2002 eine ganze Rente (Invaliditätsgrad 83 %) zuerkannt (Verfügung vom 25. Februar 2005). Die SUVA sprach dem Versicherten mit Verfügung vom 29. August 2005 eine Invalidenrente auf Grund eines Invaliditätsgrades von 24 % (ab 1. Januar 2005) sowie eine Integritätsentschädigung von 15 % zu. Die dagegen vom Versicherten und von der Pensionskasse X._ erhobenen Einsprachen wies die Anstalt mit Entscheid vom 24. November 2005 ab.
B. Die Pensionskasse X._ focht den Einspracheentscheid mit Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich an. Sie stellte das Rechtsbegehren, die dem Versicherten durch die obligatorische Unfallversicherung auszurichtende Rente sei auf 83 % zu erhöhen. Nachdem die SUVA beantragt hatte, es sei nicht auf das Rechtsmittel einzutreten, beschränkte das Gericht das Verfahren auf diese Frage. Mit Beschluss vom 10. Januar 2007 trat es auf die Beschwerde ein.
C. Die SUVA führt Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, "der Beschluss vom 10. Januar 2007 sei aufzuheben und die fehlende Legitimation der Beschwerdegegnerin zur Einsprache und Beschwerde zu bestätigen".
Die Pensionskasse X._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Indem das kantonale Gericht einzig über die Eintretensfrage entschied und diese bejahte, hat es nach der Terminologie des Bundesgesetzes über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG) einen Vorentscheid gefällt (vgl. <ref-ruling> E. 4.1.3 S. 481 mit Hinweisen). Dessen selbstständige Anfechtung ist unter anderem dann zulässig, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Diese Voraussetzung ist hier erfüllt, sodass auf das Rechtsmittel einzutreten ist.
1.2 Anfechtungsgegenstand bildet der Entscheid vom 10. Januar 2007, mit dem das kantonale Gericht auf das bei ihm erhobene Rechtsmittel eingetreten ist. In dieser Konstellation hat das Bundesgericht einzig zu prüfen, ob die Eintretensvoraussetzungen im vorinstanzlichen Verfahren erfüllt sind. Bezüglich der weitergehenden Rechtsbegehren ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.1 S. 76 mit Hinweis).
2. Der Rechtsstreit betrifft die Frage, ob die Beschwerdegegnerin, welche dem Versicherten eine Invalidenrente der beruflichen Vorsorge auszurichten hat, berechtigt ist, den Rentenentscheid der obligatorischen Unfallversicherung mit dem Antrag auf Erhöhung der Leistungen auf dem Rechtsmittelweg anzufechten.
3. 3.1 Die Legitimation zur Anfechtung einer Verfügung bzw. eines Einspracheentscheids durch Beschwerde an das kantonale Gericht richtet sich nach <ref-law>. Gemäss dieser Bestimmung ist zur Beschwerde berechtigt, wer durch die angefochtene Verfügung oder den Einspracheentscheid berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat. Für das Einspracheverfahren nach <ref-law> gelten inhaltlich dieselben Legitimationsvoraussetzungen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 77, 131 V 298 E. 2 S. 299 f., 130 V 560 E. 3.2 S. 562 f.). Diese waren auch für die Beschwerdebefugnis im Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht gemäss dem bis Ende 2006 in Kraft gestandenen Art. 103 lit. a OG massgebend (<ref-ruling> E. 4.1 S. 190 f., 131 V 298 E. 2 S. 299 f.; zur Rechtslage unter dem BGG vgl. Ueli Kieser, Dritte als Partei im Sozialversicherungsprozess, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtstagung 2006, S. 79 ff., 85 f.; derselbe, Auswirkungen des Bundesgesetzes über das Bundesgericht auf die Sozialversicherungsrechtspflege, in: Ehrenzeller/Schweizer [Hrsg.], Die Reorganisation der Bundesrechtspflege - Neuerungen und Auswirkungen in der Praxis, St. Gallen 2006, S. 439 ff., 456 f.).
3.2 Erlässt ein Versicherer eine Verfügung, welche die Leistungspflicht eines anderen Trägers berührt, so hat er auch ihm die Verfügung zu eröffnen. Dieser kann die gleichen Rechtsmittel ergreifen wie die versicherte Person (<ref-law>). Der Begriff des Berührtseins nach dieser Norm stimmt wiederum mit demjenigen des schutzwürdigen Interesses (an der Aufhebung oder Änderung der angefochtenen Verfügung) im Sinne von aArt. 103 lit. a OG und damit auch der übrigen vorerwähnten Normen überein (<ref-ruling> E. 3 S. 551, 132 V 74 E. 3.1 S. 77).
3.3 Der Entwurf der Kommission des Ständerates zum Gesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts vom 27. September 1990 (BBl 1991 II 186 ff.) sah in Art. 78 eine dem heutigen <ref-law> entsprechende Verpflichtung der Versicherer vor, eine Verfügung, welche die Leistungspflicht eines anderen Trägers berührt, diesem zu eröffnen (a.a.O., S. 207). Innerhalb der Gesetzessystematik war die Norm im Kapitel "Koordinationsregeln" (Art. 69 ff.) am Schluss der Vorschriften über die Leistungskoordination eingeordnet. Den Zweck, der materiellen Leistungskoordination zu dienen, hat die Bestimmung durch die letztliche Einordnung bei der Verfügungseröffnung nicht verloren (Susanne Leuzinger-Naef, Der Wegfall der Unfallkausalität, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtstagung 2007, St. Gallen 2007, S. 9 ff., 32).
Eine mit dem heutigen <ref-law> identische Vorschrift fand sich als Art. 65 lit. a des erwähnten Entwurfs (a.a.O., S. 201) im dritten Abschnitt "Rechtspflegeverfahren" (Art. 62 ff.) des Kapitels "Allgemeine Verfahrensbestimmungen" (Art. 35 ff.). Die Bestimmung blieb in der Folge inhaltlich unverändert; einzig der in lit. b des damaligen Art. 65 enthaltene Hinweis auf die Möglichkeit spezialgesetzlich begründeter Rechtsmittelbefugnisse wurde durch die nationalrätliche Kommission gestrichen (BBl 1999 4622; zum Ganzen Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, Zürich 2003, S. 585, Art. 59 N 1).
3.4 Das ATSG ist auf die berufliche Vorsorge grundsätzlich nicht anwendbar (<ref-ruling> E. 1.2 S. 79). Ob eine Vorsorgeeinrichtung in einem unfallversicherungsrechtlichen Verfahren unter den Begriff "anderer Träger" nach <ref-law> fällt, hat das Eidgenössische Versicherungsgericht im Urteil U 36/05 vom 16. Januar 2006, E. 2.3 (RKUV 2006 Nr. U 580 S. 186) offen gelassen. Unabhängig von der Frage nach der (direkten) Anwendbarkeit von <ref-law> besteht jedoch eine Verpflichtung des Unfallversicherers, einen anfechtbaren Entscheid der betroffenen Vorsorgeeinrichtung zu eröffnen, falls diese im Sinne von Art. 52 oder 59 ATSG zur Erhebung eines Rechtsmittels befugt ist. Dies folgt, analog zum Verhältnis zwischen Invalidenversicherung und beruflicher Vorsorge, direkt aus dem verfassungsrechtlichen Anspruch auf rechtliches Gehör und den damit verbundenen Mitwirkungsrechten (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 74 f.). Da die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit der erwähnten Vorschriften mit denjenigen übereinstimmen, welche für die Umschreibung des Geltungsbereichs von <ref-law> massgebend sind, kommt der Frage, ob die Vorsorgeeinrichtungen als Versicherungsträger im Sinne dieser Bestimmung zu gelten haben, nur untergeordnete Bedeutung zu.
4. 4.1 Der Entscheid eines Sozialversicherers über einen ihm gegenüber geltend gemachten Anspruch kann die Leistungspflicht anderer Versicherungsträger - welchen in diesem Zusammenhang auch die Einrichtungen der beruflichen Vorsorge zuzurechnen sind - im Wesentlichen auf folgende Arten beeinflussen (vgl. auch Ueli Kieser, Dritte als Partei im Sozialversicherungsverfahren, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtstagung 2006, St. Gallen 2006, S. 79 ff., 101 ff.):
4.1.1 Möglich ist zunächst, dass die Verneinung einer Leistungspflicht des verfügenden Versicherungsträgers unmittelbar jene des anfechtungswilligen Trägers begründet. Es liegt in dem Sinne ein negativer Zuständigkeitskonflikt vor, als derselbe Sachverhalt Ansprüche gegenüber dem einen oder, falls dies zu verneinen ist, gegenüber dem anderen Träger auslöst.
4.1.2 Die Anspruchsbeurteilung durch den einen Versicherer kann für den anderen Träger Bindungswirkung entfalten. Wenn dieser anschliessend über seine eigene Leistungspflicht zu befinden hat, ist ihm eine selbstständige Prüfung einzelner Elemente verwehrt und er hat stattdessen - unter Vorbehalt eines unter engen Voraussetzungen (offensichtliche Unrichtigkeit) zulässigen Abweichens - die Feststellungen des erstverfügenden Versicherungsträgers (beispielsweise zur Höhe des Invaliditätsgrades) zu übernehmen.
4.1.3 In einer dritten Fallgruppe wirkt sich die strittige Verfügung nicht auf die grundsätzliche materiellrechtliche Leistungspflicht des anfechtungswilligen Sozialversicherungsträgers aus; sie zeitigt aber diesbezüglich unmittelbare quantitative Auswirkungen. Diese Variante kommt insbesondere in Frage bei möglichen Kürzungen wegen Überentschädigung oder bei der Zusprechung einer Komplementärrente der Unfallversicherung.
4.1.4 Die vierte Konstellation ist durch eine Vorleistungspflicht des anfechtenden Sozialversicherungsträgers im Verhältnis zum verfügenden gekennzeichnet. Dies trifft gemäss <ref-law> zu für die Krankenversicherung im Verhältnis zur Unfall-, Militär- und Invalidenversicherung, für die Arbeitslosenversicherung im Verhältnis zur Kranken-, Unfall- und Invalidenversicherung, für die Unfall- im Verhältnis zur Militärversicherung sowie für die Vorsorgeeinrichtungen im Verhältnis zu Unfall- und Militärversicherung. Der Vorleistungspflicht kann materiellrechtlich entweder eine nachrangige ausschliessliche Leistungspflicht des anfechtenden Sozialversicherungsträgers (Prioritätsprinzip) oder eine kumulative Leistungspflicht beider Versicherer mit Kürzungsmöglichkeit (Kumulationsprinzip) zugrunde liegen (vgl. die Zusammenstellung bei Ueli Kieser, Leistungsrechtliche Koordination im Sozialversicherungsrecht - einige Anfragen an die Rechtsetzung, in: Schaffhauser/Kieser [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtliche Leistungskoordination, St. Gallen 2006, S. 251 ff., 273).
4.2 Der Rentenentscheid des obligatorischen Unfallversicherers wirkt sich nicht unmittelbar auf den grundsätzlichen Anspruch der versicherten Person gegenüber der Berufsvorsorgeeinrichtung aus (eine Ausnahme ist immerhin insoweit gegeben, als im überobligatorischen Bereich das Unfallrisiko ausgeschlossen werden kann [<ref-ruling> E. 3a S. 123 f.]). Insbesondere ist diese nicht an die Invaliditätsbemessung durch den Unfallversicherer gebunden. Dessen Entscheid entfaltet jedoch als Folge der materiell-koordinationsrechtlichen Regelung Auswirkungen auf die Vorsorgeeinrichtung: <ref-law> findet im Bereich des BVG Anwendung, wenn dessen Leistungen mit gleichartigen Leistungen anderer Sozialversicherungen zusammentreffen (Art. 34a Abs. 2 BVG). Demnach werden Renten in erster Priorität durch die Alters- und Hinterlassenenversicherung oder die Invalidenversicherung, in zweiter Priorität durch die Militär- oder die Unfallversicherung und schliesslich in dritter Priorität durch die Einrichtungen der beruflichen Vorsorge gewährt. Entsprechend dieser Rangfolge kann die Vorsorgeeinrichtung die Hinterlassenen- und Invalidenleistungen kürzen, soweit diese zusammen mit anderen anrechenbaren Einkünften 90 Prozent des mutmasslich entgangenen Verdienstes übersteigen (Art. 34a Abs. 1 BVG in Verbindung mit Art. 24 Abs. 1 BVV 2). Dies gilt auch, wenn die obligatorische Unfallversicherung für den gleichen Versicherungsfall leistungspflichtig ist (Art. 25 Abs. 1 BVV 2). Überdies statuiert <ref-law> (anwendbar gemäss Art. 34a Abs. 3 BVG) eine Vorleistungspflicht der Vorsorgeeinrichtung "für Renten, deren Übernahme durch die Unfall- beziehungsweise Militärversicherung oder die berufliche Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge nach BVG umstritten ist". Als vorleistungspflichtiger Träger hat die Vorsorgeeinrichtung diesfalls die Leistungen nach den für sie geltenden Bestimmungen zu erbringen. Wird der Fall von einem anderen Träger übernommen, hat dieser die Vorleistungen im Rahmen seiner Leistungspflicht zurückzuerstatten (<ref-law>).
5. Die Frage, ob die dargestellten Auswirkungen des UV-Rentenentscheids ein Berührtsein der Vorsorgeeinrichtung im Sinne von <ref-law> zu begründen vermögen, ist wie folgt zu beurteilen:
5.1 Nach der Rechtsprechung erfüllen Personen sowie grundsätzlich auch Versicherungsträger oder Behörden, welche nicht Adressaten der Verfügung sind, die Legitimationsvoraussetzungen nach <ref-law>, wenn sie (kumulativ) einerseits ein tatsächliches, beispielsweise wirtschaftliches Interesse und andererseits eine hinreichende Beziehungsnähe respektive eine Betroffenheit von genügender Intensität aufweisen (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 192, 130 V 560 E. 3.4 S. 564, mit Hinweisen). Bei der Beurteilung dieser Voraussetzung wird danach unterschieden, ob das Rechtsmittel gegen eine den Verfügungsadressaten begünstigende Verfügung gerichtet ist (Drittbeschwerde "contra Adressat") oder ob es zu dessen Gunsten erhoben werden soll (Drittbeschwerde "pro Adressat"; <ref-ruling> E. 4 S. 300, 130 V 564 E. 3.5).
5.2 Im Fall einer Beschwerdeerhebung "contra Adressat" ist die hinreichende Beziehungsnähe gegeben und damit die Legitimation des anfechtungswilligen Versicherungsträgers zu bejahen, wenn ihm gegenüber die dem Rentenentscheid zugrunde liegende Invaliditätsbemessung Verbindlichkeitswirkung entfaltet (E. 4.1.2 hiervor). Dies trifft zu für die Berufsvorsorgeeinrichtung gegenüber einer Rentenverfügung der Eidgenössischen Invalidenversicherung (<ref-ruling>, 129 V 73), nicht dagegen im gegenseitigen Verhältnis zwischen Invaliden- und Unfallversicherung (<ref-ruling> E. 6.4 S. 556 f., 131 V 362 E. 2.2 S. 366 f.; AHI 2004 S. 181, I 564/02). Auch vorliegend ist diese Konstellation, wie bereits dargelegt, nicht gegeben.
5.3 Eine Legitimation Dritter zur Anfechtung "pro Adressat" kommt, wenn der Verfügungsadressat selbst kein Rechtsmittel ergreift, ausserhalb förmlicher gesetzlicher Anerkennung nur in Betracht, wenn sie ein selbstständiges, eigenes Rechtsschutzinteresse an der Beschwerdeführung für sich in Anspruch nehmen können (<ref-ruling> E. 4, 130 V 564 E. 3.5, je mit Hinweisen). Die Rechtsprechung hat sich dazu wie folgt geäussert:
5.3.1 Ohne weiteres bejaht werden die Legitimationsvoraussetzungen, wenn der einen Anspruch verneinende Entscheid des verfügenden Versicherers unmittelbar die prinzipielle Leistungspflicht des anfechtungswilligen Trägers begründet (E. 4.1.1 hiervor). Gegeben ist diese Konstellation insbesondere im Verhältnis zwischen obligatorischer Unfall- und obligatorischer Krankenpflegeversicherung bezüglich Heilbehandlungsleistungen (vgl. <ref-ruling> ff.), aber beispielsweise auch zwischen zwei Gemeinwesen, welche über die Zuständigkeit für die Ausrichtung von Ergänzungsleistungen im Streit liegen (<ref-ruling> ff.; diese Konstellation betrifft einen einzigen Versicherungszweig und damit nicht die durch <ref-law> erfasste intersystemische Koordination, ist jedoch im gleichen Sinn zu beurteilen).
5.3.2 Falls sich der anzufechtende Entscheid nicht auf die grundsätzliche Leistungspflicht eines Dritten auswirkt, diese jedoch in quantitativer Hinsicht beeinflusst, ist für die Rechtsmittellegitimation über das daraus resultierende wirtschaftliche Interesse hinaus erforderlich, dass dem Dritten aus der angefochtenen Verfügung ein unmittelbarer Nachteil erwächst (<ref-ruling> E. 3.5 S. 565, 125 V 339 E. 4a S. 343 mit Hinweisen). Dieses Kriterium wurde in jüngeren Urteilen wie folgt beurteilt:
5.3.2.1 Mehrere Entscheide befassten sich mit der Rechtsmittellegitimation des Arbeitgebers zu Gunsten der versicherten Person. Diese wurde verneint in Bezug auf eine Rente der Invalidenversicherung (<ref-ruling> ff.) und eine Rente der obligatorischen Unfallversicherung (<ref-ruling> E. 5.3.3 S. 302 f. und E. 6 S. 303 f.), aber bejaht in Bezug auf das Vorliegen eines Unfalls oder einer unfallähnlichen Körperschädigung sowie den Anspruch auf Taggelder der obligatorischen Unfallversicherung (Urteil U 519/06 vom 28. September 2007, E. 5 und 6; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.3.2 S. 302). Einen entscheidenden Gesichtspunkt bildete jeweils der typischerweise fehlende oder gegebene Zusammenhang der konkreten Leistung mit der gesetzlichen Lohnfortzahlungspflicht nach Art. 324a und 324b OR. Im Sinne eines Argumentes für eine zurückhaltende Umschreibung der Legitimation trug das Gericht überdies dem Aspekt des Datenschutzes Rechnung.
5.3.2.2 Auch das Gemeinwesen, welches die versicherte Person durch wirtschaftliche Sozialhilfe unterstützt, ist nach der Rechtsprechung nicht ohne weiteres legitimiert, auf dem Rechtsmittelweg die Ausrichtung höherer oder zusätzlicher Sozialversicherungsleistungen zu beantragen. Darüber hinaus ist eine unmittelbare und konkrete Betroffenheit oder qualifizierte Beziehungsnähe zur Streitsache erforderlich. Diese Voraussetzung wurde als erfüllt erachtet in Bezug auf die Anfechtung eines durch den obligatorischen Krankenpflegeversicherer verfügten Leistungsaufschubs sowie die Geltendmachung von Leistungen der Invalidenversicherung und von Ergänzungsleistungen. Sie wurde verneint hinsichtlich der Geltendmachung von Ansprüchen gegenüber der Arbeitslosenversicherung sowie der Anfechtung einer IV-Rentenverfügung, welche nach dem Tod der unterstützten Person ergangen war (<ref-ruling> E. 4.4 ff. S. 194 ff., mit Rechtsprechungsübersicht).
5.3.2.3 Die Eigenschaft als Gläubiger der versicherten Person begründet für sich allein kein schutzwürdiges Interesse (<ref-ruling> E. 3.5 S. 565 mit Hinweisen). An einem solchen fehlt es auch dem Privatversicherer, welcher seine Leistungen um diejenigen der obligatorischen Unfallversicherung kürzen könnte, denn der ihm erwachsende Nachteil ergibt sich nicht unmittelbar aus der Verfügung, sondern stellt eine blosse Reflexwirkung dar (<ref-ruling> E. 4d S. 345).
5.3.2.4 In Bezug auf die hier zu beurteilende Konstellation erachtete das Eidgenössische Versicherungsgericht unter dem früheren Recht (aArt. 129 UVV, in Kraft gewesen bis Ende 2002) im Urteil U 60/94 vom 28. Oktober 1994, E. 1 (veröffentlicht in RKUV 1995 Nr. U 212 S. 63, nicht in <ref-ruling>), die Pensionskasse als legitimiert, eine durch den obligatorischen Unfallversicherer verfügte Leistungsablehnung mittels Einsprache und Beschwerde anzufechten. Es begründete dies mit dem koordinationsrechtlichen Zusammenhang zwischen Unfallversicherungs- und Berufsvorsorgeleistungen. Später liess das Gericht die Frage jedoch offen (Urteil U 217/02 vom 29. Oktober 2003, RKUV 2004 Nr. U 506 S. 252). Unter der Herrschaft des ATSG hielt es im Urteil U 36/05 vom 16. Januar 2006, E. 2.5 (RKUV 2006 Nr. U 580 S. 186), fest, die Vorsorgeeinrichtung sei durch eine Verfügung des Unfallversicherers, mit welcher dieser seine Leistungen für ein bestimmtes Ereignis einstellt, im Sinne von <ref-law> in ihrer Leistungspflicht berührt. Es bezog sich dabei sowohl auf die Vorleistungspflicht (E. 4.1.4 hiervor) als auch auf die Kürzungsmöglichkeit bei Überentschädigung (E. 4.1.3 hiervor). Der Unfallversicherer, welcher eine Komplementärrente zur Invalidenrente der Invalidenversicherung ausrichtet und sich damit in einer vergleichbaren Situation befindet wie ein zur Kürzung wegen Überentschädigung befugter Versicherungsträger, wurde im Urteil I 249/06 vom 2. August 2007, HAVE 2007 S. 274, seinerseits als legitimiert angesehen, die revisionsweise Herabsetzung der (bereits laufenden) IV-Rente anzufechten.
5.4 In der Lehre spricht sich Ueli Kieser (Dritte als Partei im Sozialversicherungsverfahren, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtstagung 2006, St. Gallen 2006, S. 79 ff., 102 f.) grundsätzlich dafür aus, ein Berührtsein im Sinne von <ref-law> anzunehmen, wenn sich aus der Verneinung der Leistungspflicht des einen Sozialversicherungszweigs unmittelbar die Vorleistungspflicht eines anderen ergibt. Massgebend könnten jedoch nur Tatbestände sein, welche eigentliche Vorleistungen (und nicht nur kumulativ zu erbringende und durch eine Überentschädigung begrenzte Leistungen) betreffen. Deshalb fällt nach Ansicht dieses Autors insbesondere die Vorleistungspflicht der Vorsorgeeinrichtungen nach Art. 70 Abs. 2 lit. d BVG (gemeint: ATSG) nicht in diese Kategorie, da eine bloss quantitative Auswirkung des anzufechtenden Entscheids (Kürzungsmöglichkeit) kein Berührtsein nach <ref-law> zu begründen vermöge. Im gleichen Sinne äussert sich auch Stefan A. Dettwiler, BGG - Sicht des Sozialversicherers, SZS 2007 S. 259 ff., 263 f. Bejaht wird die Legitimation des vorleistungspflichtigen Versicherers demgegenüber durch Jean-Louis Duc, Le tiers dans la procédure administrative non contentieuse des assurances sociales, in: Tanquerel/ Bellanger (éd.), Les tiers dans la procédure administrative, Zürich 2004, S. 125 ff., 139 f. (vgl. auch Susanne Leuzinger-Naef, Die Leistungskoordination gemäss Art. 63-71 ATSG, in: Schaffhauser/ Kieser [Hrsg.], Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts [ATSG], St. Gallen 2003, S. 155 ff., 164).
5.5 Infolge der materiell-koordinationsrechtlichen Regelung (E. 4.2 hiervor) ist der Entscheid des Unfallversicherers über seine Leistungspflicht regelmässig ausschlaggebend dafür, in welchem Umfang die Vorsorgeeinrichtung Leistungen zu erbringen hat. Daran ändert die dem Prinzip der gesetzlichen Mindestvorschriften (Art. 6 BVG) entsprechende "Kann-Formulierung" in Art. 24 Abs. 1 und Art. 25 Abs. 1 BVV 2 nichts. Damit ist die Berufsvorsorgeeinrichtung auf Grund der von Gesetz und Verordnung geschaffenen Ordnung durch die unfallversicherungsrechtliche Anspruchsbeurteilung direkter berührt als beispielsweise das für die Ausrichtung von Sozialhilfe zuständige Gemeinwesen, dessen mögliche Beanspruchung davon abhängt, ob die Leistungseinstellung den Existenzbedarf der versicherten Person gefährdet. Dasselbe gilt im Vergleich mit anderen Dritten, deren Rechtsmittellegitimation durch die Gerichtspraxis verneint wurde (vgl. auch die weiteren Beispiele in <ref-ruling> E. 3b S. 97 f.). So ergibt sich die Möglichkeit zur Leistungskürzung für einen Privatversicherer nicht unmittelbar aus der Verfügung in Verbindung mit Gesetz und Verordnung, sondern aus der konkreten Vereinbarung über Voraussetzungen, Umfang und Grenzen der Leistungspflicht. Ebenso ist der Arbeitgeber insoweit zur Anfechtung eines Entscheids des Unfallversicherers legitimiert, als sich dessen zur Diskussion stehende Leistung typischerweise auf die gesetzliche Lohnfortzahlungspflicht nach Art. 324a und 324b OR auswirkt, was beim UVG-Taggeld, nicht aber bei der UVG-Rente zutrifft (vgl. <ref-ruling> E. 5.3.2 und 5.3.3 S. 302 f.). Ähnliche Überlegungen lassen sich zur Legitimation des obligatorischen Krankenpflegeversicherers im Verfahren der Invalidenversicherung anführen (vgl. <ref-law> und <ref-ruling> E. 3e S. 100). Mit Blick auf diese in der bisherigen Rechtsprechung zum Ausdruck gelangenden allgemeinen Kriterien, aber auch unter Berücksichtigung derjenigen Urteile, welche die hier zu beurteilende Konstellation oder vergleichbare Sachverhalte betrafen, ist die Frage, ob der Vorsorgeeinrichtung, welche eine Invalidenrente nach BVG auszurichten hat, aus der (ganzen oder teilweisen) Leistungsverweigerung durch den Unfallversicherer ein unmittelbarer Nachteil erwachse (E. 5.3.2 hiervor), zu bejahen. Die aus dieser Beurteilung folgende Einräumung einer Beschwerdelegitimation gewährleistet die materiellrechtliche Leistungskoordination unter Wahrung der Interessen der nachleistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung und verhindert widersprüchliche Beurteilungen zum Nachteil der versicherten Person. Nicht entscheidend kann in diesem Zusammenhang sein, ob die Vorsorgeeinrichtung bereits Leistungen erbringt oder ob die erstmalige Leistungsfestsetzung zur Diskussion steht (vgl. mit Bezug auf Komplementärrenten der Unfallversicherung Jean-Maurice Frésard/Margit Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in: Schweizerisches Bundessozialversicherungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2. Aufl., Basel 2007, Rz. 694 S. 1027).
5.6 Wenn die Beschwerdeführerin einwendet, der Unfallversicherer sei trotz seiner Verpflichtung zur Ausrichtung einer Komplementärrente (nach Art. 20 oder 31 UVG) nicht befugt, den Rentenentscheid der Invalidenversicherung anzufechten, weil dieser ihm gegenüber keine Bindungswirkung entfalte (vgl. <ref-ruling>), übersieht sie, dass sich diese Rechtsprechung auf die Befugnis zur Erhebung eines Rechtsmittels "contra Adressat" bezieht (vgl. E. 5.2 hiervor). Die Beschwerdelegitimation "pro Adressat" unter Berufung darauf, dass sich die Herabsetzung der laufenden IV-Rente auf die Komplementärrente auswirke, wurde inzwischen bejaht (Urteil I 249/06 vom 2. August 2007, E. 3, HAVE 2007 S. 274). Die praktischen Probleme, welche sich aus der Notwendigkeit ergeben, die Rentenverfügung den betroffenen Vorsorgeeinrichtungen zu eröffnen (E. 3.4 hiervor), erscheinen als lösbar, zumal auch die IV-Stellen eine entsprechende Verpflichtung trifft (<ref-law>).
5.7 Es ist hinreichend erstellt, dass die Beschwerdegegnerin dem Versicherten eine Invalidenrente auszurichten hat. Sie ist daher zur beschwerdeweisen Anfechtung des Einspracheentscheids befugt. Diese Feststellung führt zur Abweisung der Beschwerde.
6. 6.1 Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>; BGE 133 V [8C_158/2007], E. 5). Da sich zwei Versicherer gegenüberstehen, gilt für die Gerichtsgebühr der ordentliche Rahmen nach <ref-law>, während <ref-law> keine Anwendung findet (Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, S. 223, Art. 65 N 28; Thomas Geiser, Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008, S. 575, Art. 65 N 20; vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 192).
6.2 Als Organisation mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben, welche in ihrem amtlichen Wirkungskreis handelt, hat die Beschwerdegegnerin keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 150).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Bundesamt für Gesundheit und Jean-Pierre Chatel schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Januar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger