Sachverhalt:
A. Die 1980 geborene türkische Staatsangehörige X._ reiste am 13. September 2000 in die Schweiz ein und stellte hier ein Asylgesuch, welches sie später zurückzog. Am 15. Dezember 2000 heiratete sie ihren 21 Jahre älteren Landsmann Y._, welcher über eine Niederlassungsbewilligung verfügte. Im Oktober 2002 wurde dieser eingebürgert. Aufgrund ihrer Ehe mit Y._ wurde X._ eine Aufenthaltsbewilligung erteilt. Am 30. April 2004 trennten sich die Eheleute und hoben den gemeinsamen Haushalt auf. Die Scheidung der Eheleute erfolgte schliesslich am 14. Juni 2006. Am 15. Dezember 2006 unterbreitete das Amt für Migration des Kantons Basel-Landschaft die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ dem Bundesamt für Migration (BFM) zur Zustimmung.
B. Mit Verfügung vom 27. März 2007 verweigerte das BFM seine Zustimmung hierzu und wies X._ unter Ansetzung einer Ausreisefrist aus der Schweiz weg. Zur Begründung führte es im Wesentlichen an, dass die eheliche Lebensgemeinschaft von X._ und Y._ bereits nach dreieinhalb Jahren aufgelöst worden sei und nach diesem Zeitpunkt keine Aussicht mehr auf ein erneutes Zusammenleben bestanden habe, weshalb das Festhalten an dieser Ehe und die Berufung hierauf in einem fremdenpolizeilichen Verfahren als rechtsmissbräuchlich gewertet werden müsse. Eine gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wurde vom Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 4. Dezember 2008 abgewiesen.
C. Mit Eingabe vom 8. Januar 2009 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts und die Erteilung der erforderlichen Zustimmung zur vom Kanton Basel-Landschaft beantragten Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Eventualiter sei das Verfahren hierfür an das BFM zurück zu weisen. Subeventualiter sei ihr die vorläufige Aufnahme wegen Unzumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs zu gewähren.
Während das Bundesverwaltungsgericht auf eine Vernehmlassung verzichtet, schliesst das BFM auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 12. Januar 2009 hat das präsidierende Mitglied der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. Auf die Beschwerde kann grundsätzlich eingetreten werden, da sie unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (<ref-law>) und Form (<ref-law>) von einer durch die Entscheidung besonders berührten Partei mit einem schutzwürdigen Interesse an deren Aufhebung oder Änderung (<ref-law>) eingereicht wurde. Sie richtet sich gegen einen vom Bundesverwaltungsgericht (<ref-law>) gefällten Endentscheid (<ref-law>) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten allerdings unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>). Soweit sich die vorliegende Beschwerde gegen die Verweigerung einer Aufenthaltsbewilligung nach freiem Ermessen richtet bzw. auf Erteilung einer Härtefallbewilligung abzielt, ist sie daher unzulässig, und es ist in diesem Umfang nicht darauf einzutreten.
2. 2.1 Da das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung vor dem 1. Januar 2008 eingereicht wurde, ist für das vorliegende Verfahren noch das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) massgeblich (vgl. Art. 126 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG; SR 142.20]).
2.2 Nach Art. 7 Abs. 1 ANAG hat die ausländische Ehegattin eines Schweizer Bürgers grundsätzlich Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (Satz 1) sowie nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung (Satz 2). Wie erwähnt, wurde die Ehe der Beschwerdeführerin mit ihrem Schweizer Gatten am 14. Juni 2006 geschieden. Sie hat deshalb grundsätzlich keinen Anspruch mehr auf eine Aufenthaltsbewilligung nach Art. 7 Abs. 1 erster Satz ANAG. Sollte sie aber vor der Scheidung einen Anspruch auf eine Niederlassungsbewilligung gemäss dem zweiten Satz von Art. 7 Abs. 1 ANAG erworben haben, so kann sie sich hierauf auch nach Beendigung der Ehe berufen. Wohl steht vorliegend keine Niederlassungsbewilligung in Frage, hat sich doch die Beschwerdeführerin darauf beschränkt, die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu beantragen. Indessen könnte ihr, falls ein Anspruch auf eine Niederlassungsbewilligung bestünde, die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung umso weniger verweigert werden (<ref-ruling> E. 1.1.4 f. S. 149 f. mit Hinweisen), zumal Letztere ein weniger gefestigtes Anwesenheitsrecht vermittelt. Insoweit ist die Beschwerde unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> zulässig.
3. 3.1 Nachdem die Ehe der Beschwerdeführerin mit ihrem Schweizer Ehemann mehr als fünf Jahre gedauert hat, bevor die Scheidung rechtskräftig wurde, hätte sie, wie soeben ausgeführt, grundsätzlich Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung. Ein solcher Anspruch besteht jedoch dann nicht, wenn die Ehe eingegangen worden ist, um die Vorschriften über Aufenthalt und Niederlassung von Ausländern und namentlich jene über die Begrenzung der Zahl der Ausländer zu umgehen (Art. 7 Abs. 2 ANAG). Erfasst wird davon die sogenannte Scheinehe bzw. Ausländerrechtsehe, bei der die Ehegatten von vornherein keine echte eheliche Gemeinschaft beabsichtigen. Aber auch wenn die Ehe nicht bloss zum Schein eingegangen worden ist, heisst dies nicht zwingend, dass dem ausländischen Ehepartner der Aufenthalt ungeachtet der weiteren Entwicklung gestattet werden muss. Zu prüfen ist diesfalls, ob sich die Berufung auf die Ehe nicht anderweitig als rechtsmissbräuchlich erweist, was namentlich dann der Fall ist, wenn ein Ausländer sich im fremdenpolizeilichen Verfahren auf eine Ehe beruft, welche nur noch formell besteht oder aufrechterhalten wird mit dem alleinigen Ziel, ihm eine Anwesenheitsbewilligung zu ermöglichen. Dieses Ziel wird von Art. 7 ANAG nicht geschützt (<ref-ruling> E. 4.2 S. 267 mit Hinweisen).
3.2 Wie zuvor das BFM geht auch das Bundesverwaltungsgericht von der Rechtsmissbräuchlichkeit der Berufung auf die formell länger als fünf Jahre andauernde Ehe aus. Es begründet dies im Wesentlichen ebenfalls damit, dass die eheliche Lebensgemeinschaft von X._ und Y._ bereits nach dreieinhalb Jahren aufgelöst worden sei. Nach der Trennung hätten die Ehegatten keinerlei Massnahmen zur Rettung der Ehe (beispielsweise eine Eheberatung oder -therapie) ergriffen. Ebensowenig hätten die Gatten ihre angebliche Absicht auf einen Neubeginn konkretisiert bzw. darzulegen vermocht, unter welchen Umständen eine Wiederaufnahme der ehelichen Lebensgemeinschaft hätte erfolgen können.
3.3 Die Beschwerdeführerin bestreitet demgegenüber, ihre Ehe nach der faktischen Trennung von ihrem Ehemann in rechtsmissbräuchlicher Absicht aufrechterhalten zu haben, sondern behauptet, sie und ihr Ehemann hätten bis im Frühjahr 2006 die Absicht gehabt, die eheliche Lebensgemeinschaft wieder aufzunehmen. In diesem Zusammenhang lässt sie ausführen, dass es als betroffene Person nicht einfach zu erkennen sei, was geändert werden müsse, damit das eheliche Zusammenleben wieder besser funktioniere; es könne von ihr daher nicht verlangt werden, dass sie Angaben dazu macht, unter welchen Umständen die Wiederaufnahme der ehelichen Gemeinschaft hätte erfolgen können. Auch könne es nicht angehen, dass bei Problemen in einer Ehe zwischen einer Ausländerin und einem Schweizer sogleich eine Eheberatung oder -therapie eingeleitet werden müsse, nur um den Vorwurf eines rechtsmissbräuchlichen Verhaltens zu verhindern; dies stelle eine Verletzung des Rechtsgleichheitsgebotes dar, zumal ein solches Vorgehen bei einem Schweizer Ehepaar auch nicht verlangt werde. Im Übrigen sei eine Eheberatung bzw. -therapie auch eine Kostenfrage. Sie, die Beschwerdeführerin, und ihr Ehemann hätten jedenfalls fest daran geglaubt, dass sie aufgrund der Distanz wieder zu einander finden würden. Erst als der Ehemann im Frühling 2006 eine neue Partnerin kennengelernt habe, sei klar geworden, dass die Ehe keine Zukunft mehr habe. Dass bis zu diesem Zeitpunkt der Willen bestanden habe, das eheliche Zusammenleben wieder aufzunehmen, gehe zudem aus den bereits bei der Vorinstanz eingereichten Bestätigungen ihres Ehemanns sowie zweier Freundinnen hervor. Das Bundesverwaltungsgericht habe diesen Bestätigungen zu Unrecht den Beweiswert abgesprochen. Dem ebenfalls eingereichten Arztbericht von Dr. med E._ vom 25. April 2007 lasse sich zudem entnehmen, dass ihr die Trennung und später die Scheidung vom Ehemann schwer zu schaffen gemacht habe, was bei einer lediglich noch formell aufrechterhaltenen Ehe nicht der Fall gewesen wäre.
3.4 Die Vorbringen der Beschwerdeführerin vermögen nicht zu überzeugen:
Beide Ehegatten haben als Grund für die erfolgte Trennung angegeben, dass die Beschwerdeführerin Mühe gehabt habe, die einer früheren Beziehung des Ehemanns entsprossenen Kinder zu akzeptieren. Dem vom Ehemann am 17. Januar 2005 ausgefüllten Fragebogen des Amtes für Migration Basel-Landschaft kann zudem entnommen werden, dass der Sohn des Ehemanns zu diesem Zeitpunkt noch immer in dessen Wohnung gelebt hat. Demzufolge hat nach erfolgter Trennung keine substantielle Veränderung der Wohnsituation stattgefunden. Auch ist nicht ersichtlich, dass eine Annäherung zwischen den Kindern des Ehemanns einerseits und der Ehefrau andererseits in die Wege geleitet worden ist. Wie ein Getrenntleben bei dieser Ausgangslage zu einer Verbesserung der Beziehung und zu einer Lösung der ehelichen Probleme hätte beitragen sollen, ist nicht nachzuvollziehen. Im Gegenteil: Ohne Anstrengungen im Hinblick auf eine Wiederannäherung und ohne Lösung des den Spannungen zugrunde liegenden Problems erscheint es geradezu als logische Folge der Trennung und des weiteren Zeitablaufs, dass eine zunehmende Entfremdung eintritt, bis schliesslich ein Ehegatte eine andere Beziehung aufnimmt. Im vorliegenden Fall ist daher festzustellen, dass die tatsächliche Situation und das Verhalten der Beschwerdeführerin in einem nicht auflösbaren Widerspruch zur Beteuerung ihres Willens zur Wiederaufnahme der ehelichen Gemeinschaft stehen.
Wie das Bundesverwaltungsgericht in E. 4.4.2 des angefochtenen Entscheids nachvollziehbar dargelegt hat, kommt den eingereichten Bestätigungen des Ehemanns sowie zweier Freundinnen der Beschwerdeführerin kein signifikanter Beweiswert zu: Bekannte, welche um Abgabe derartiger Bestätigungen gebeten werden, sind der ersuchenden Person gegenüber in aller Regel wohlwollend eingestellt und beabsichtigen, dieser mit der betreffenden Bestätigung zu helfen. Zudem sind Bescheinigungen der eingereichten Art naturgemäss nur sehr bedingt dazu geeignet, über die tatsächlichen Absichten einer Person und mithin über innere Tatsachen Auskunft zu geben.
Auch aus dem eingereichten ärztlichen Bericht vom 25. April 2007 kann die Beschwerdeführerin nichts zu ihren Gunsten ableiten: Wie aus diesem hervorgeht, hat sich die Beschwerdeführerin nicht etwa bereits im Anschluss an die Trennung oder Scheidung, sondern erst am 18. April 2007, d.h. kurz nach der am 27. März 2007 erfolgten Wegweisung durch das BFM, in psychiatrische Behandlung begeben. Aufgrund dieses zeitlichen Zusammenhangs erscheint es naheliegend, dass die psychische Beeinträchtigung der Beschwerdeführerin wohl vorwiegend auf den Verlust ihrer Zukunftsperspektive in der Schweiz zurückgeht. Dieser Eindruck wird im Übrigen auch durch das von der Beschwerdeführerin eingereichte Schreiben von Dr. med. E._ vom 5. Januar 2009 - ein unzulässiges Novum - bestärkt: Darin bestätigt der behandelnde Psychiater der Beschwerdeführerin, dass sich deren Depression "durch die Entscheidung, dass die Pat. nicht in der Schweiz bleiben kann" verschlechtert habe und die Beschwerdeführerin "wegen dem negativen Entscheid" auch Beruhigungsmittel einnehme.
Bei dieser Sachlage ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz zum Schluss gelangt ist, die Beschwerdeführerin habe rechtsmissbräuchlich gehandelt, indem sie ihre Ehe nur noch deswegen aufrecht erhalten habe, um ihr Aufenthaltsrecht in der Schweiz nicht zu verlieren. Die geführte Ehe begründet demnach keinen Rechtsanspruch der Beschwerdeführerin auf einen Aufenthaltstitel gemäss Art. 7 Abs. 1 ANAG. Die Verweigerung der Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung ist mithin zu Recht erfolgt.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Entsprechend diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. März 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Zähndler