Sachverhalt:
A.
B._ (Beschwerdegegnerin) trat am 10. Juli 2011 eine Arbeitsstelle bei A._ (Beschwerdeführer) an. Diese wurde ihr mit Schreiben vom 28. Juli 2011 ordentlich per 31. August 2011 gekündigt.
B.
Am 12. März 2012 reichte die Beschwerdegegnerin beim Arbeitsgericht am Bezirksgericht Uster Klage ein und beantragte, der Beschwerdeführer sei zu verpflichten, ihr brutto Fr. 10'609.35 nebst Zins zu 5 % seit 31. Oktober 2011 zu bezahlen. Ferner verlangte sie die Ausstellung einer Arbeitsbestätigung. Sie machte mit der Klage Lohnfortzahlung sowie Ferien- und Feiertagsabgeltung geltend, weil sich das Arbeitsverhältnis zufolge Krankheit während der Kündigungsfrist verlängert habe.
Der Beschwerdeführer erhob anlässlich der Hauptverhandlung Widerklage und beantragte, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, ihm Fr. 15'000.-- zu bezahlen. Er begründete die Widerklage mit der Behauptung, die Beschwerdegegnerin habe im Internet verletzende und falsche Angaben über seinen Betrieb gemacht, weshalb ihm ein Schaden entstanden sei.
Mit Urteil vom 11. Juni 2012 verpflichtete das Arbeitsgericht den Beschwerdeführer, der Beschwerdegegnerin Fr. 10'609.35 brutto nebst Zins zu 5 % seit 31. Oktober 2011 zu bezahlen. Der Gesamtbetrag reduziere sich um die entsprechenden Arbeitgeberbeiträge, wenn der Beschwerdeführer nachweise, dass er die Sozialabgaben bezahlt habe. Ferner verpflichtete es den Beschwerdeführer, der Beschwerdegegnerin eine von ihm unterzeichnete Arbeitsbestätigung aus- und zuzustellen. Die Widerklage des Beschwerdeführers wies das Arbeitsgericht ab.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Sein Antrag lautete sinngemäss, das Urteil des Arbeitsgerichts sei aufzuheben und zur Durchführung des Beweisverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Beschluss vom 15. März 2013 trat das Obergericht auf die Berufung nicht ein. Es hielt die Berufung für offensichtlich unzulässig, weil sie keine rechtsgenüglichen Anträge enthalte und weil sich selbst aus der Begründung nicht ergebe, was der Beschwerdeführer genau wolle. In einer Eventualbegründung beurteilte das Obergericht die Berufung als offensichtlich unbegründet, selbst wenn auf sie eingetreten würde.
C.
Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, der Beschluss des Obergerichts vom 15. März 2013 sei aufzuheben. Die Klage der Beschwerdegegnerin sei vollumfänglich abzuweisen.
Es wurden keine Beschwerdeantworten eingeholt.
Mit Präsidialverfügung vom 27. Mai 2013 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
In vermögensrechtlichen Angelegenheiten, die wie hier einen arbeitsrechtlichen Fall betreffen, ist die Beschwerde in Zivilsachen nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens 15'000 Franken beträgt (<ref-law>). Bei der Berechnung des Streitwerts wird der Betrag der Klage nicht mit demjenigen der Widerklage zusammengerechnet (<ref-law>). Schliessen die in Hauptklage und Widerklage geltend gemachten Ansprüche einander aus und erreicht eine der beiden Klagen die Streitwertgrenze nicht, so gilt die Streitwertgrenze auch für diese Klage als erreicht, wenn sich die Beschwerde auf beide Klagen bezieht (<ref-law>).
Vorliegend wird die Streitwertgrenze nur von der Widerklage erreicht, nicht aber von der Hauptklage, die einen Streitwert von bloss Fr. 10'609.35 aufweist. Auch bei Hinzurechnung eines allfälligen Werts der Pflicht zur Ausstellung einer Arbeitsbestätigung würde die Grenze von Fr. 15'000.-- nicht erreicht. Die Hauptklage der Beschwerdegegnerin auf Zahlung von Lohn sowie Ferien- und Feiertagsabgeltung und die Widerklage des Beschwerdeführers auf Zahlung von Schadenersatz schliessen sich gegenseitig nicht aus. Die Gutheissung der einen hat nicht zwangsläufig die Abweisung der anderen zur Folge (Urteil 4A_473/2010 vom 25. Januar 2011 E. 1.1; Beat Rudin, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 11 und 13 zu <ref-law>; Jean-Maurice Frésard, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 15 zu <ref-law>). Da somit die Voraussetzungen für eine Kompetenzattraktion nach <ref-law> nicht erfüllt sind und auch keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung geltend gemacht wird, erweist sich die Beschwerde in Zivilsachen nur hinsichtlich der Widerklage als zulässig, während hinsichtlich der Hauptklage die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Betracht fällt (<ref-law>). Mit letzterer kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>).
2.
Die Vorinstanz ist auf die Berufung nicht eingetreten. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses und die Abweisung der Klage der Beschwerdegegnerin. Hinsichtlich der Widerklage stellt er keinen Antrag. Mit Beschwerde gegen einen Nichteintretensentscheid kann allein die Aufhebung und Rückweisung an die Vorinstanz verlangt werden, nicht jedoch die reformatorische Beurteilung, weshalb kein materieller Antrag erforderlich ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 48).
3.
Das Eintreten scheitert indessen an der ungenügenden Begründung der Beschwerde:
3.1. Mit Bezug auf die Hauptklage ist die Begründung bereits insoweit unzureichend, als sich der Beschwerdeführer auf kein verfassungsmässiges Recht beruft, wie er es im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde müsste (Art. 116 und Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
3.2. Die Beschwerde erweist sich sodann auch hinsichtlich der Widerklage als ungenügend begründet:
Wenn die Vorinstanz - wie hier - in ihren Nichteintretensentscheid eine materielle Eventualbegründung aufgenommen hat, muss sich der Beschwerdeführer mit beiden Begründungen auseinandersetzen, andernfalls wird auf seine Beschwerde nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 6.1-6.4). Vorliegend präsentiert der Beschwerdeführer weder gegen die materielle Eventualbegründung noch gegen die Hauptbegründung betreffend Nichteintreten eine rechtsgenügliche Rüge:
Er wirft zunächst dem Arbeitsgericht vor, den Untersuchungsgrundsatz, die richterliche Fragepflicht und <ref-law> betreffend die richterliche Bestellung eines Rechtsvertreters verletzt zu haben. In diesen an die Adresse der ersten Instanz gerichteten Vorwürfen kann keine Anfechtung der materiellen Eventualbegründung der Vorinstanz erblickt werden. Es fehlt jegliche sachbezogene Auseinandersetzung mit den Erwägungen der Vorinstanz. Letztere begründete unter Bezugnahme auf die Ausführungen des Beschwerdeführers in der Berufung eingehend, weshalb die erste Instanz zutreffend und ohne Recht zu verletzen auf ein Beweisverfahren verzichtet hatte.
Auch was die Hauptbegründung der Vorinstanz anbelangt, mangelt es an einer hinreichenden Anfechtung. Der Beschwerdeführer begründet nicht, weshalb es bundesrechtswidrig sein soll, wenn die Vorinstanz mangels eines rechtsgenüglichen Antrags nicht auf die Berufung eingetreten ist. Er bringt lediglich vor, die Vorinstanz hätte (wie die Erstinstanz) dem Untersuchungsgrundsatz sowie der richterlichen Fürsorge- und Fragepflicht nachkommen sowie einen Rechtsvertreter bestellen oder die Berufung wenigstens zur Verbesserung zurückweisen müssen. Diese pauschalen Vorwürfe sind ungenügend motiviert (<ref-law>). Sie sind überdies auch offensichtlich unbegründet: Weder die Untersuchungsmaxime noch die richterliche Fragepflicht verbieten, auf ein unzulässiges Rechtsmittel nicht einzutreten. Die formellen Begründungsanforderungen sind von Rechtsmittelklägern auch in Verfahren zu beachten, in denen der Untersuchungsgrundsatz gilt (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 375; <ref-ruling> E. 5.2). Ebenso wenig besteht eine Pflicht, bei ungenügenden Rechtsbegehren oder ungenügender Begründung die Berufung zur Verbesserung zurückzugeben. Dabei handelt es sich nicht um verbesserliche Mängel (BGE <ref-ruling> E. 6.4; vgl. auch Urteile 5A_438/2012 vom 27. August 2012 E. 2.4 und 4A_659/2011 vom 7. Dezember 2011 E. 5, wonach dies auch bei Laieneingaben gilt). Schliesslich ist auch nicht dargetan, dass der Beschwerdeführer im Sinne von <ref-law> offensichtlich nicht im Stande gewesen wäre, den Prozess selbst zu führen. Im Übrigen wurde er - wie er in der Beschwerde ausführt - in erster Instanz gefragt, ob er einen Anwalt bestellen wolle, was er jedoch ausdrücklich verneint habe. Es ist daher nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz <ref-law> verletzt hätte, indem sie darauf verzichtete, dem Beschwerdeführer entgegen seinem Willen einen Rechtsvertreter zu bestellen.
4.
Auf die Beschwerde kann nicht eingetreten werden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG sowie <ref-law> ). Mangels Einholung einer Beschwerdeantwort erwuchs der obsiegenden Beschwerdegegnerin insoweit kein Aufwand. Hingegen ist ihr für die Vernehmlassung zum Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 400.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 200.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz