Sachverhalt:
A.
B._ (Versicherte, Beschwerdegegnerin), geboren 1966, war seit 1. April 2009 mit einem Teilpensum von 80 % als Aussendienstmitarbeiterin bei der C._ AG angestellt. Dadurch war sie aufgrund einer Kollektivversicherungspolice bei der Versicherung A._ AG (Versicherung, Beschwerdeführerin) krankentaggeldversichert. Am 17. September 2010 teilte die Arbeitgeberin der Versicherung mit, die Versicherte sei am 6. September 2010 erkrankt. Es liege ihr ein Arztzeugnis für eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % bis 3. Oktober 2010 vor. In der Folge wurde die Versicherte weiterhin zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. Die Versicherung leistete die versicherten Taggelder (à Fr. 180.87 bzw. Fr. 181.-- pro Tag).
Das Arbeitsverhältnis zwischen der Versicherten und der C._ AG wurde per 28. Februar 2011 gekündigt. Am 20. Januar 2012 offerierte die Versicherung der Versicherten die Fortsetzung des Versicherungsschutzes durch Übertritt in die Einzel-Lohnausfallversicherung D._, was die Versicherte am 23. Januar 2012 annahm. Die Versicherte hatte sich am 24. März 2011 auf Aufforderung der Versicherung hin auch bei der Invalidenversicherung zum Bezug von Leistungen angemeldet.
Zur Überprüfung ihrer weiteren Leistungspflicht beauftragte die Versicherung am 26. Januar 2012 Dr. med. E._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, mit der vertrauensärztlichen Abklärung der Arbeits (un) fähigkeit der Versicherten. Aufgrund der Untersuchung vom 12. März 2012 erstattete Dr. E._ der Versicherung am 26. März 2012 sein Gutachten. Er stellte keine Diagnose mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit und kam zum Schluss, aus versicherungspsychiatrischer Sicht könne keine Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit angenommen werden.
Am 29. März 2012 teilte die Versicherung der Versicherten mit, aufgrund des Gutachtens von Dr. E._ sei sie sowohl in der zuletzt ausgeübten als auch einer anderen in Frage kommenden Tätigkeit mit nur geringfügigen Einschränkungen vollumfänglich arbeitsfähig. Man empfehle ihr, sich bei der Arbeitslosenversicherung zu melden. Zur möglichst guten Umsetzung des beruflichen Wiedereinstiegs werde ihr eine Übergangsfrist gewährt und im April 2012 das Taggeld auf der Basis einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % und im Mai 2012 von 50 % ausgerichtet. Danach werde der Leistungsfall abgeschlossen.
B.
Mit Klage vom 17. Januar 2013 gelangte die Versicherte an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und beantragte, die Versicherung sei zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 20'181.50 nebst Zins zu 5 % seit 17. Januar 2013 zu bezahlen. Zur Begründung führte sie insbesondere an, das Gutachten von Dr. E._ vom 26. März 2012 genüge den Anforderungen der Rechtsprechung aus mehreren Gründen nicht und vermöge eine volle Arbeitsfähigkeit nicht zu beweisen. Der offene Taggeldanspruch von Fr. 20'181.50 errechne sich aus der Differenzzahlung von 50 % für Mai 2012 und den 96 Taggeldern für die Zeit vom 1. Juni bis 4. September 2012. Die Versicherung trug auf Abweisung der Klage an. Sie hielt gestützt auf die Beurteilungen von Dr. E._ und von Dr. med. F._, Spezialärztin FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, die auf Ersuchen der Versicherung das Gutachten von Dr. E._ beurteilt und für schlüssig befunden hatte, an der vollständigen Arbeitsfähigkeit der Versicherten spätestens ab 1. April 2012 fest. In der Replik stellte die Versicherte das zusätzliche Begehren, es sei festzustellen, "dass der Versicherungsvertrag mit der Erschöpfung der Bezugsrechte per 4. September 2012 erloschen ist".
Mit Entscheid vom 9. Juli 2014 hiess das Versicherungsgericht die Klage gut und verpflichtete die Versicherung, der Versicherten Fr. 20'181.50 zuzüglich Verzugszinsen zu 5 % seit 17. Januar 2013 zu bezahlen. Ferner stellte es fest, dass der Einzel-Taggeldversicherungsvertrag D._ zwischen der Versicherten und der Versicherung per 4. September 2012 erloschen ist.
C.
Die Versicherung beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Versicherungsgerichts vom 9. Juli 2014 sei hinsichtlich der Leistungsverpflichtung der Beschwerdeführerin und der Parteikosten aufzuheben. Das Leistungsbegehren der Beschwerdegegnerin auf Bezahlung von Taggeldern in der Höhe von Fr. 20'181.50 nebst Zins zu 5 % seit 17. Januar 2013 sei abzuweisen.
Die Versicherte beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Mit Präsidialverfügung vom 31. Oktober 2014 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Zu beurteilen ist die Leistungspflicht aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 12 Abs. 2 und 3 Krankenversicherungsgesetz (KVG; SR 832.10) dem Versicherungsvertragsgesetz (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>). Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hat als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> und <ref-law> entschieden, weshalb die Beschwerde in vermögensrechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> unabhängig vom Erreichen der Streitwertgrenze nach <ref-law> zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2, 799 E. 1.1). Es muss daher nicht entschieden werden, ob sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (vgl. <ref-law>), wie die Beschwerdeführerin postuliert. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist unter Vorbehalt rechtsgenügend begründeter Rügen auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Streitig ist der Taggeldanspruch der Beschwerdegegnerin für die Zeit nach April 2012, bis 4. September 2012.
2.1. Leistungsvoraussetzung gemäss Art. 8.1 AVB D._ ist eine ärztlich attestierte Arbeitsunfähigkeit von mindestens 25 % aufgrund einer Krankheit, die es der versicherten Person ganz oder teilweise verunmöglicht, ihre bisherige oder eine andere zumutbare Erwerbstätigkeit auszuüben.
2.2. Die Beschwerdeführerin geht gestützt auf das von ihr eingeholte Gutachten von Dr. E._ vom 26. März 2012 davon aus, dass im fraglichen Zeitraum keine Arbeitsunfähigkeit vorliege. Dr. E._ verneinte gemäss den verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zum Zeitpunkt der Begutachtung eine Diagnose mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit. So hielt er die (Akten-) anamnestische depressive Episode im Rahmen einer rezidivierenden depressiven Störung gegenwärtig für remittiert (ICD-10: F33.4) und die (Akten-) anamnestische Panikstörung (ICD-10: F41.0) für gegenwärtig subsyndromal. Auch das Tabakabhängigkeitssyndrom mit gegenwärtigem Substanzgebrauch (ICD-10: F17.24) habe keine Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit. Für die Neurasthenie (ICD-10: F48.0) bei emotional instabilen Persönlichkeitszügen prüfte er die sogenannten Foerster-Kriterien und kam zum Schluss, es sei der Beschwerdegegnerin zumutbar, eine "Willensanspannung" zu erbringen und die Auswirkungen der Neurasthenie zu überwinden. Aus versicherungspsychiatrischer Sicht könne daher keine Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit angenommen werden.
2.3. Die Vorinstanz stellte nicht auf dieses Gutachten ab. Sie hielt fest, es erfülle zwar an sich die Anforderungen an die Beweiskraft eines Gutachtens. Dr. E._ habe jedoch trotz einschränkender Auswirkungen der von ihm diagnostizierten Neurasthenie auf die Arbeitsfähigkeit eine Arbeitsunfähigkeit in Anwendung der "Überwindbarkeitspraxis" aus versicherungspsychiatrischer Sicht verneint. Die Vorinstanz hielt dem entgegen, die "Überwindbarkeitspraxis" finde auf Ansprüche aus einer Taggeldversicherungen keine Anwendung. Stattdessen seien echtzeitliche Atteste der behandelnden Ärzte heranzuziehen. Solche habe Dr. G._ am 11. Mai 2012 und am 6. Juli 2012 zuhanden der IV ausgestellt. Dr. G._, welche die psychiatrische Weiterbehandlung der Beschwerdegegnerin im Ambulatorium des Psychiatrischen Zentrums St. Gallen ab 1. März 2012 übernommen hatte, sei von einer vollen Arbeitsunfähigkeit in der angestammten Tätigkeit als Aussendienstmitarbeiterin und von der Zumutbarkeit der Aufnahme einer angepassten Tätigkeit zu 30 % ab 1. Mai 2012 bis 30. Juni 2012 ausgegangen. Diese Arbeitsfähigkeit habe sie für in nächster Zeit auf 50 % steigerbar gehalten.
Weiter erwog die Vorinstanz, die der Beschwerdegegnerin von der Beschwerdeführerin für den Wiedereinstieg gewährte Übergangsfrist (Taggeld aufgrund einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % im April 2012 und einer solchen von 50 % im Mai 2012) sei eindeutig zu kurz für einen Wechsel in eine angepasste berufliche Tätigkeit, wie sie für die Beschwerdegegnerin als zumutbar erachtet worden sei. Nach der Rechtsprechung sei die Beschwerdeführerin gehalten gewesen, der Beschwerdegegnerin eine Übergangsfrist von drei bis fünf Monaten zu gewähren, um die Wiederaufnahme einer Erwerbstätigkeit in einer angepassten Tätigkeit vorzubereiten. Angesichts der vollen Arbeitsunfähigkeit ohne Unterbruch seit September 2010 und der Tatsache, dass im Mai 2012 eine Arbeitsunfähigkeit von zunächst nur 30 % in einer angepassten Tätigkeit attestiert worden sei, erscheine "eine eher längere Frist von zirka fünf Monaten" als angemessen. Deren Festsetzung könne letztlich offen bleiben, da zwischen dem 11. Mai 2012 (Datum des Attests von Dr. G._) und dem 4. September 2012 weniger als vier Monate verblieben. Dieser Zeitrahmen - so die Vorinstanz - sei der Beschwerdegegnerin auf jeden Fall zuzugestehen.
2.4. Die Beschwerdeführerin beanstandet, dass die Vorinstanz die Überwindbarkeitsrechtsprechung bei somatoformen Schmerzstörungen nach <ref-ruling> im vorliegenden Fall für nicht anwendbar gehalten habe, obwohl das Bundesgericht im Urteil 4A_5/2011 befunden habe, dass die Überwindbarkeitsrechtsprechung auch im Bereich von Taggeldleistungen nach VVG zu berücksichtigen sei. Wie es sich damit verhält, kann indessen offen bleiben. Die Frage nach der Anwendbarkeit der Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> ist nämlich für die Entscheidung des vorliegenden Falles nicht ausschlaggebend, da sich die Beweiswürdigung der Vorinstanz, mithin die Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit aufgrund der vorhandenen medizinischen Unterlagen, unabhängig davon im Ergebnis nicht als geradezu willkürlich erweist:
Die Beweiswürdigung ist nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.1).
Die Vorinstanz stellte zwar auf die Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit durch Dr. E._ nicht ab, weil dieser davon ausgegangen war, die diagnostizierte Neurasthenie mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit sei für die Beschwerdegegnerin überwindbar. Dies wurde durch Dr. F._, welcher die Beschwerdeführerin das Gutachten zur Beurteilung vorlegte, in der konsiliarischen Aktenbeurteilung vom 4. April 2013 zwar bestätigt. Indessen stand die Beurteilung von Dr. E._ ohnehin in Widerspruch zu anderen medizinischen Unterlagen, so namentlich zur Beurteilung von Dr. G._. Letztere hielt als Diagnosen mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit eine Agoraphobie mit Panikstörung (ICD-10: F40.01) sowie eine kombinierte Persönlichkeitsstörung mit histrionischen und emotional instabilen Anteilen (ICD-10: F61.0) und ohne Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit eine Dysthymia (ICD-F31.1) fest. Die Arbeitsunfähigkeit attestierte sie am 11. Mai 2012 mit 100 % vom 1. März 2012 bis 30. April 2012 und mit 70 % vom 1. Mai 2012 bis 30. Juni 2012. Am 6. Juli 2012 berichtete Dr. G._ der IV-Stelle, die volle Arbeitsunfähigkeit beziehe sich auf den früher ausgeübten Beruf als Aussendienstmitarbeiterin. In anderen Bereichen, z.B. Büro, schätze sie die aktuelle Arbeitsfähigkeit auf 30 %, in nächster Zeit steigerbar auf 50 %. Auf diese - echtzeitliche - Beurteilung von Dr. G._ stellte die Vorinstanz ab.
Inwiefern dies offensichtlich unhaltbar sein soll, vermag die Beschwerdeführerin nicht hinreichend aufzuzeigen. Sie verweist auf die Erfahrungstatsache, dass behandelnde Ärzte auf Grund ihrer auftragsrechtlichen Vertrauensstellung im Zweifelsfall eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagen würden. Dr. G._ habe die Beschwerdegegnerin mindestens vom 1. März 2012 bis und mit 6. Juli 2012 und gemäss Bericht vom 11. Mai 2012 regelmässig alle zwei Wochen behandelt, weswegen ihre Einschätzungen zurückhaltend gewürdigt werden müssten. Dieses Vorbringen verfängt nicht: Dr. G._ behandelte die Beschwerdegegnerin nicht etwa als Hausärztin, sondern als Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie und stellvertretende Leiterin des Ambulatoriums des Psychiatrischen Zentrums St. Gallen, wo die Beschwerdegegnerin vom 18. bis 24. Februar 2012 hospitalisiert war. In der genannten Eigenschaft übernahm Dr. G._ die ambulante psychiatrische Weiterbehandlung der Beschwerdegegnerin. Unter diesen Umständen steht jene von der Beschwerdeführerin angerufene Erfahrungstatsache nicht im Vordergrund, und die Vorinstanz brauchte sich bei der Würdigung der Einschätzung von Dr. G._ keine Zurückhaltung aufzuerlegen. Im Gegenteil stellen die mehrfachen persönlichen Behandlungen der Beschwerdegegnerin die psychiatrische Beurteilung durch Dr. G._ gerade auf eine zuverlässigere Basis als die bloss einmalige Untersuchung durch Dr. E._ oder die blosse Aktenbeurteilung durch Dr. F._. Im Übrigen würde das Argument auf die Beschwerdeführerin zurückfallen, will sie doch ausschliesslich auf die Beurteilung der von ihr selbst beauftragten Dr. E._ und Dr. F._ abstellen. Jedenfalls weist das Vorbringen der Beschwerdeführerin die vorinstanzliche Würdigung nicht als willkürlich aus.
Ebenso wenig trifft dies auf den weiteren Einwand der Beschwerdeführerin zu, wonach der Regionalärztliche Dienst der Invalidenversicherung am 23. Juli 2012 zur Ansicht gelangt sei, dass die Ausführungen von Dr. G._ weitgehend auf den subjektiven Angaben der Beschwerdegegnerin beruhten und die sehr tief angesetzte Arbeitsfähigkeit von 30 % nicht nachvollziehbar sei. Zum einen findet dieses Vorbringen im verbindlichen Sachverhalt des angefochtenen Urteils keine Stütze und kann daher vom Bundesgericht nicht berücksichtigt werden (vgl. <ref-law>). Zum andern wäre die Vorinstanz ohnehin nicht an die Auffassung des Regionalärztlichen Dienstes der Invalidenversicherung gebunden gewesen, sondern hatte die medizinischen Unterlagen frei zu würdigen (vgl. <ref-law>).
Weiteres bringt die Beschwerdeführerin gegen die Beurteilung durch Dr. G._ nicht vor, und sie weist somit die Beweiswürdigung der Vorinstanz nicht als unhaltbar aus. Der Vorinstanz kann daher nicht Willkür vorgeworfen werden, indem sie auf die Diagnosestellung und Einschätzung der Arbeitsfähigkeit durch Dr. G._ abstellte.
2.5. Auch unter dem Aspekt der Gewährung einer angemessenen Übergangsfrist, um den Wechsel in eine angepasste Tätigkeit vorzubereiten (dazu <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 531), ist die Klagegutheissung nicht zu beanstanden:
Laut Vorinstanz ist der Beschwerdegegnerin für den Wechsel in eine angepasste berufliche Tätigkeit, wie er als zumutbar erachtet wurde, "eine eher längere Frist von zirka fünf Monaten" zu gewähren, dies in Berücksichtigung ihrer vollen Arbeitsunfähigkeit ohne Unterbruch seit September 2010 und der Tatsache, dass im Mai 2012 eine Arbeitsfähigkeit von zunächst nur 30 % in einer angepassten Tätigkeit attestiert wurde. In der massgebenden Zeitspanne zwischen dem 11. Mai 2012 und dem 4. September 2012 seien weniger als vier Monate verblieben. Diese Übergangsfrist sei der Beschwerdegegnerin jedenfalls zuzugestehen, und die Beschwerdeführerin schulde ihr für diese Übergangsfrist die vollen Taggeldleistungen.
Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass eine solche Übergangsfrist den vorliegenden Umständen angemessen wäre, wenn effektiv der Wechsel in eine angepasste berufliche Tätigkeit zur Diskussion stünde. Sie bringt jedoch vor, Dr. E._ habe die Beschwerdegegnerin auch in der bisherigen Tätigkeit als arbeitsfähig erachtet, worauf sie im Schreiben vom 29. März 2012 an die Beschwerdegegnerin denn auch hingewiesen habe. Dort sei keine angepasste Tätigkeit sondern der Wiedereinstieg erwähnt. Weil bei Arbeitsfähigkeit in der bisheriger Tätigkeit keine Verpflichtung zur Gewährung einer Übergangsfrist bestehe, seien die Leistungen der Beschwerdeführerin im April und Mai 2012 als freiwillige Zusatzleistungen zu betrachten.
Wie soeben ausgeführt, ist es nun aber nicht willkürlich, dass die Vorinstanz auf die Beurteilung von Dr. G._ und nicht auf diejenige von Dr. E._ abgestellt hat. Gemäss Dr. G._ ist der Beschwerdegegnerin die Wiederaufnahme ihrer bisherigen Tätigkeit als Aussendienstmitarbeiterin nicht zumutbar. Somit ist es zumindest nicht unhaltbar, wenn die Vorinstanz einen Wechsel in eine angepasste Tätigkeit für erforderlich hielt. Die der Beschwerdegegnerin von der Vorinstanz hierfür gewährte Übergangsfrist ist bundesrechtlich nicht zu beanstanden.
3.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Dezember 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz