Erwägungen:
1. X._ ersuchte vergeblich um Erlass der Staatssteuern 2007 und 2008 (Fr. 1'228.70 bzw. 3'015.55.--) sowie der direkten Bundessteuer 2008 (Fr. 666.65). Das Steuergericht des Kantons Solothurn wies die gegen die entsprechende Verfügung vom 19. Februar 2010 erhobene Beschwerde mit Urteil vom 14. Juni 2010 ab. Am 28. Juli 2010 gelangte X._ mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde gegen dieses Urteil ans Bundesgericht. Mit Schreiben des Abteilungspräsidenten vom 2. August 2010 wurde er zur Einreichung des angefochtenen Urteils aufgefordert. Zugleich wurde ihm unter Hinweis auf die prozessuale Lage ermöglicht, die Beschwerde ohne Kostenfolge zurückzuziehen. Am 12. August 2010 reichte er das Urteil des Steuergerichts und ein weiteres Dokument nach. Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen ange-ordnet worden.
2. Wie der Beschwerdeführer bereits dem Schreiben vom 2. August 2010 entnehmen konnte, ist das ordentliche bundesrechtliche Rechtsmittel, die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, zur Anfechtung des Urteils des Steuergerichts nicht gegeben (<ref-law>). Ebenso ist er darüber belehrt worden, dass mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann, was besonderer Geltendmachung und Begründung bedarf (Art. 116 sowie Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Schliesslich wurde er darüber ins Bild gesetzt, dass die Legitimation zur subsidiären Verfassungsbeschwerde ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids voraussetzt (<ref-law>), was im Zusammenhang mit dem Abgabeerlass das Bestehen eines diesbezüglichen Anspruchs erfordert; dies ist weder für die solothurnische Staatssteuer (vgl. neuestens Urteil 2D_21/2010 vom 24. April 2010 E. 2 mit Hinweisen) noch für die direkte Bundessteuer der Fall (vgl. Urteil 2D_24/ 2009 vom 9. April 2009 E. 2.2 mit Hinweisen).
Weder in der Beschwerdeschrift vom 28. Juli 2008 noch in der ergänzenden Eingabe vom 12. August 2010 rügt der Beschwerdeführer die Verletzung verfassungsmässiger Rechte. Es mangelt mithin schon an einer hinreichenden Beschwerdebegründung (<ref-law>). Ohnehin könnte der Beschwerdeführer mangels Rechtsanspruchs auf Steuererlass kaum Verfassungsrügen in der Sache selbst (d.h. betreffend die materiellen Voraussetzungen des Steuererlasses) erheben (vgl. <ref-ruling> BGG); insofern erwiese sich seine Verfassungsbeschwerde auch als weitgehend unzulässig.
Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (<ref-law>). Damit sind die Gerichtskosten (<ref-law>) grundsätzlich dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 400.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonalen Steuergericht Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. August 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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