Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1967) und Y._ (geb. 1967) sind die unverheirateten Eltern von Z._ (geb. 2006). In den Jahren nach der Geburt lebten sie als Familie in zwei gegenüberliegenden Wohnungen im selben Haus in F._, wobei die Kindsmutter X._ hauptsächlich zu Z._ schaute. Die Mutter ist alleinige Sorgerechtsinhaberin.
B.
B.a. Im Januar 2009 wurde X._ infolge einer psychischen Krise notfallmässig hospitalisiert. Es folgten bis Mai 2011 mehrere Suizidversuche und sechs weitere, teils mehrmonatige, freiwillige Hospitalisationen und fürsorgerische Unterbringungen.
B.b. Anfang 2011 trennte sich Y._ von X._ und zog in der Folge mit Z._ in die Nähe von G._, nachdem er eine Obhutsübertragung an sich selbst beantragt hatte.
B.c. Die Abteilung Kindes- und Jugendschutz Basel (AKJS) beantragte gegenüber der zuständigen Jugendschutzkammer, der Mutter sei die elterliche Obhut zu entziehen. X._ stimmte am 25. Juli 2011 einer vorläufigen Unterbringung des Kindes beim Kindsvater zu.
C.
C.a. Mit Entscheid vom 23. November 2011 entzog die Jugendschutzkammer Basel-Stadt der Mutter (definitiv) die Obhut über Z._ und platzierte das Kind vorsorglich beim Vater.
C.b. Am 16. Dezember 2011 ernannte die Jugendschutzkammer Rechtsanwalt A._ zum Kindesvertreter von Z._. Weiter beauftragte diese die Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel (UPK) mit einem kinderpsychologischen Gutachten über Z._ sowie einem forensisch-psychiatrischen Gutachten über X._. Die Gutachten wurden am 5. Mai 2012 resp. 21. Mai 2012 erstattet.
C.c. Am 23. Mai 2012 entschied die Jugendschutzkammer (Ziff. 1) :
"Für Z._ wird in Anwendung von Art. 310 des Zivilgesetzbuches (ZGB) der Obhutsentzug angeordnet und er bleibt beim Vater untergebracht."
Einem allfälligen Rekurs gegen diesen Entscheid entzog die Jugendschutzkammer die aufschiebende Wirkung (Ziff. 2).
D.
D.a. X._ erhob am 25. Juni 2012 Rekurs an das Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt des Kantons Basel-Sta dt. Sie beantragte, die Obhut sei bei ihr als Mutter und Sorgerechtsinhaberin zu belassen und Z._ sei dauerhaft wieder bei ihr unterzubringen. Die Jugendschutzkammer, die AKJS, der Vertreter des Kindes und der Kindsvater verlangten die Abweisung des Rekurses. Am 2. Oktober 2012 ersuchte X._ um Einholung eines ergänzenden Kurzgutachtens der UPK über sich.
D.b. Mit Schreiben vom 8. Januar 2013 übermittelte das Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt den Rekurs zur Weiterbehandlung als Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, welches nach dem am 1. Januar 2013 in Kraft getretenen neuen Kindesschutzrecht fortan zuständig war.
D.c. Am 15. Mai 2013 führte das Appellationsgericht eine mündliche Verhandlung durch. Die Anwälte der Eltern, des Kindes sowie ein Vertreter der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB; per 1. Januar 2013 wurden die behördlichen Aufgaben der AKJS an diese transferiert) hielten je einen Parteivortrag. Alle Beteiligten hielten an ihren Anträgen fest.
D.d. Mit Urteil vom 15. Mai 2013 wies das Appellationsgericht die Beschwerde ab. X._ wurde die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und sowohl ihre Vertreterin als auch der Kindesvertreter wurden aus der Gerichtskasse entschädigt. Indes wurde X._ verpflichtet, dem Kindsvater eine Parteientschädigung von Fr. 1'792.80 zu entrichten.
E.
Gegen dieses Urteil gelangt X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt die kostenfällige Aufhebung des angefochtenen Urteils. Ihr sei die Obhut über ihren Sohn Z._ zu belassen und er sei ab sofort wieder dauerhaft bei ihr unterzubringen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gegebenenfalls sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Das Bundesgericht hat die Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
F.
Die Beschwerdeführerin ist ausserdem Mutter von B._ (geb. 1999) aus einer früheren Ehe. Seit der Scheidung im Juli 2011 ist die Obhut über B._ bei dessen Vater. B._ ist vom vorliegenden Verfahren nicht betroffen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG) betreffend Obhutsentzug und Unterbringung eines Kindes (Kindesschutzmassnahme; <ref-law>). Damit geht es um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) ohne Vermögenswert. Die Beschwerdeführerin ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig.
1.2. Mit vorliegender Beschwerde können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Unter Vorbehalt des Bereichs der verfassungsmässigen Rechte wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es kann die Beschwerde daher auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (zu den Voraussetzungen der Motivsubstitution <ref-ruling> E. 4 S. 252 mit Hinweis).
1.3. Dagegen ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, er sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (<ref-law>), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist, oder er beruhe auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der erwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Es gelten strenge Anforderungen an die Beschwerdebegründung (Rügeprinzip; vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.2 f. S. 254 f.).
2.
Die Beschwerdeführerin bestreitet, dass die Voraussetzungen für einen Obhutsentzug gegeben seien. Andere (mildere) Massnahmen hätten ausgereicht, um den Kindesschutz zu gewährleisten. Soweit sie dabei direkt den erstinstanzlichen Entscheid kritisiert, ist hierauf zum vornherein nicht einzutreten (<ref-law>).
2.1. Der angefochtene Entscheid erging am 15. Mai 2013. Daher kommen die am 1. Januar 2013 in Kraft getretenen neuen Bestimmungen des Kindesschutzrechts zur Anwendung (<ref-law> i.V.m. Art. 14 Abs. 1, Art. 14a SchlT ZGB; vgl. Bundesgesetz vom 19. Dezember 2008 zum Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht, AS 2011 725). Die materiellen Voraussetzungen für den Entzug der elterlichen Obhut und für die Unterbringung Minderjähriger richten sich nach <ref-law> (vgl. Botschaft zum Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht, BBl 2006 7001 ff., S. 7102). In diesem Artikel wurde im Rahmen der Gesetzesrevision lediglich die Terminologie geändert (Kindesschutzbehörde anstatt Vormundschaftsbehörde). Es ist an die bisherige Rechtsprechung anzuknüpfen (vgl. auch Urteil 5A_463/2013 vom 26. September 2013 E. 6.1).
2.2. Nach <ref-law> hat die Kindesschutzbehörde, wenn einer Gefährdung des Kindes nicht anders begegnet werden kann, dieses den Eltern wegzunehmen und in angemessener Weise unterzubringen. Die Gefährdung muss darin liegen, dass das Kind in der elterlichen Obhut nicht so geschützt und gefördert wird, wie es für seine körperliche, geistige und sittliche Entfaltung nötig wäre. Unerheblich ist, auf welche Ursachen die Gefährdung zurückzuführen ist: Sie können in den Anlagen oder in einem Fehlverhalten des Kindes, der Eltern oder der weiteren Umgebung liegen. Desgleichen spielt keine Rolle, ob die Eltern ein Verschulden an der Gefährdung trifft. Massgebend sind die Verhältnisse im Zeitpunkt der Entziehung. Alle Kindesschutzmassnahmen müssen erforderlich sein (Subsidiarität), und es ist immer die mildeste Erfolg versprechende Massnahme anzuordnen (Proportionalität); diese sollen elterliche Bemühungen nicht ersetzen, sondern ergänzen (Komplementarität). Die Entziehung der elterlichen Obhut ist daher nur zulässig, wenn andere Massnahmen ohne Erfolg geblieben sind oder von vornherein als ungenügend erscheinen (zum Ganzen Urteil 5A_701/2011 vom 12. März 2012 E. 4.2.1, in: FamPra.ch 2012 S. 821 mit weiteren Hinweisen).
2.3. Die Vorinstanz hielt fest, die Beschwerdeführerin sei im Zeitraum vom 19. Januar 2009 bis zum 5. Mai 2011 insgesamt sieben Mal in den UPK hospitalisiert worden, wobei die Aufenthalte teilweise mehrere Wochen respektive gar mehrere Monate gedauert hätten. Sie habe in diesem Zeitraum vier Suizidversuche unternommen, nachdem es bereits früher zu zwei Suizidversuchen gekommen sei. Die Vorinstanz ging sodann auf die erstinstanzlichen Erwägungen zum forensisch-psychiatrischen Gutachten vom 21. Mai 2012 ein. Demnach sei bei der Beschwerdeführerin - unter anderem - eine Persönlichkeitsstörung vom Borderline-Typ diagnostiziert worden. Es zeige sich bei ihr anamnestisch die deutliche Tendenz zu impulsiven Handlungen ohne Berücksichtigung von Konsequenzen in Form von Suizidversuchen und selbstverletzenden Handlungen als Reaktion auf emotionale Krisen bei Überforderungserleben und Partnerkonflikten. Seit ihrem letzten Suizidversuch im April 2011 befinde sie sich unter der etablierten psychiatrischen Medikation und in Anbetracht der aktuell gegebenen Alltagsstruktur mit ambulant-psychiatrischen Behandlungsterminen, festen Besuchswochenenden mit den Söhnen, niederschwelliger Tagesstrukturierung und aktuell fehlender Partnerschaft in einem psychisch stabilen Zustandsbild. Bei einer einjährigen psychischen Stabilität könne bei einer Borderline-Persönlichkeitsstörung jedoch nicht von einer stabilen Remission gesprochen werden. Erneute impulsive, suizidale oder selbstverletzende Handlungen, welche das Kindeswohl gefährden können, seien nicht auszuschliessen. In der Vergangenheit sei es der Beschwerdeführerin nur eingeschränkt gelungen, Krisensituationen vorauszusehen und eine suffiziente lösungsorientierte Strategie aufzugreifen. Mit ihrem Psychiater habe sie nun einen Krisenplan ausgearbeitet.
In einem Bericht vom 10. Mai 2013 schildere der behandelnde Psychiater Dr. C._, der Zustand der Beschwerdeführerin habe sich weiter stabilisiert. Sie könne leichte emotionale Krisen deutlich besser bewältigen und sei in der Lage, sich die nötige Selbstfürsorge zu geben. Sie plane die gemeinsamen Wochenenden mit den Kindern mit grosser Sorgfalt, wende sich mit grosser Fürsorge dem jüngeren Sohn (Z._) zu und schaue zu seinem Wohl. Derzeit sei keine Depressivität feststellbar. Aufgrund der erreichten psychischen Stabilität könne davon ausgegangen werden, dass sie mittlerweile in der Lage sei, ganz zu ihrem jüngeren Sohn zu schauen. Wie die Vorinstanz weiter ausführt, habe die Beschwerdeführerin an der Verhandlung berichtet, sie gehe weiterhin einmal wöchentlich für eine Stunde zu Dr. C._ in die Therapie und nehme noch Medikamente, habe diese aber reduzieren können. Sie sei weniger müde und viel aktiver geworden. Sie habe sodann Unterlagen ins Recht gelegt, wonach sie eine einjährige Ausbildung mit acht Unterrichtslektionen pro Woche absolviere. Hierfür erhalte sie ein Stipendium und ein Coaching des Arbeitsintegrationszentrums des Amts für Wirtschaft und Arbeit.
Schliesslich befand die Vorinstan z, von der Einholung eines ergänzenden Gutachtens könne abgesehen werden. Es sei in den vergangenen beiden Jahren zu einer sehr erfreulichen Stabilisierung in der gesundheitlichen und der persönlichen Situation der Beschwerdeführerin gekommen. Trotz belastender Situationen gerade im Zusammenhang mit dem Obhutsverfahren, habe sie nicht mehr stationär in der Klinik behandelt werden müssen. Auch sei ihr gelungen, ihren beruflichen Wiedereinstieg in Angriff zu nehmen. An den Wochenenden übe sie ihre Mutterrolle engagiert und kompetent aus. Indes sei zu berücksichtigen, dass sie derzeit in einem Setting lebe, in welchem sie sich ganz auf sich und ihre Situation und Entwicklung konzentrieren könne. Die Wochenenden mit Z._ könne sie sorgfältig planen und vorbereiten. Diese Möglichkeiten hätte sie nicht mehr, wenn sie alleinverantwortlich für Z._ sorgen müsste. Da die Gutachter den Vorbehalt gemacht hätten, dass angesichts der derzeit veränderten Alltagssituation nicht mit ausreichender Sicherheit gesagt werden könne, ob sie im Rahmen der Verantwortungsübernahme als Mutter nicht erneut in eine emotionale Krise geraten könnte, bleibe ein nicht unerhebliches Risiko des Scheiterns. Vor dem Hintergrund dieser Ungewissheit über den Ausgang einer vollständigen Übernahme der Verantwortung für Z._ sei eine Kindeswohlgefährdung zu bejahen. Demnach sei der Obhutsentzug gemäss <ref-law> gerechtfertigt.
2.4. Die Beschwerdeführerin führt hiergegen aus, sie bestreite nicht, dass sie in der Vergangenheit gesundheitliche Probleme gehabt habe. Seit über zwei Jahren sei sie aber psychisch stabil, womit sie die von den Gutachtern für eine Remission als massgebend bezeichnete Zeitdauer erreicht habe. Gemäss kinderpsychologischem Gutachten vom 5. Mai 2012 wäre eine Kindeswohlgefährdung nur zu bejahen, wenn sie erneut suizidale Handlungen vornähme, was aufgrund der erreichten Stabilität ausgeschlossen werden könne. Auch ihr Psychiater habe bestätigt, dass sie in der Lage sei, die Obhut wieder zu übernehmen. Überdies hätten sich sowohl die Sozialarbeiterin der AKJS, welche das Gesuch um Obhutsentzug ursprünglich gestellt habe, D._, als auch die AKJS/KESB ab dem Zeitpunkt der Verhandlung vor der Jugendschutzkammer am 23. November 2011 gegen einen Obhutsentzug und für den Erlass von milderen Massnahmen ausgesprochen. Die Vorinstanz setze sich darüber hinweg und habe den Sachverhalt in verschiedener Hinsicht aktenwidrig zu ihren Lasten dargestellt. Der ursprünglich von den Vorinstanzen behauptete Grund für einen Obhutsentzug (Suizidalität, psychische Instabilität) sei entfallen. Die beiden Gutachten werden von der Beschwerdeführerin per se nicht beanstandet.
2.5. Auf die Frage, ob die Gutachter die Beschwerdeführerin aufgrund ihrer gesundheitlichen Situation als in der Lage erachten würden, ihren Sohn Z._ in Obhut zu nehmen (in Berücksichtigung von unterstützenden Massnahmen wie Tagesheim, Familienbegleitung etc.) antworteten diese (forensisch-psychiatrisches Gutachten der UPK vom 21. Mai 2012 S. 38 f.) :
"Wie bereits erwähnt, lässt sich bei einjähriger psychischer Stabilität bei einer Borderline Persönlichkeitsstörung nicht von einer stabilen Remission sprechen, sodass erneute impulsive, suizidale oder selbstverletzende Handlungen, welche das Kindswohl gefährden können, nicht auszuschliessen sind. Zudem stellt sich derzeit bei der Expl. eine, im Gegensatz zu Krisenzeiten, veränderte Alltagssituation dar, sodass nicht mit ausreichender Sicherheit gesagt werden kann, ob die Expl. bei Konflikten / in einer Trennungssituation mit einem festen Partner oder in [sic] Rahmen der Verantwortungsübernahme als Mutter erneut in eine emotionale Krise geraten könnte."
Entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin lässt sich dem Gutachten somit nicht entnehmen, dass bei der Beschwerdeführerin kein Rückfallrisiko mehr bestehe. Zwar anerkannten die Gutachter eine Stabilisierung der Beschwerdeführerin. Gleichzeitig betonten sie, dass aktuell die früheren Auslöser für ihr selbstschädigendes Handeln fehlen (Partnerschaftskonflikte, Überforderungssituation als Mutter). Ebensowenig kann ihr gefolgt werden, wenn sie postuliert, dass eine solche Gefahr zumindest nach zwei Jahren der Stabilität verneint werden müsse. So führten die Gutachter an anderer Stelle explizit aus, dass auch bei einer stabilen Remission (stabiles psychisches Zustandsbild über eine Dauer von zwei Jahren) zusätzlich eine Risikoanalyse von klinischer Bedeutung sei. Als Risikofaktoren für vollendete Suizide gälten unter anderem impulsive Handlungsmuster, Depressionen und Selbstverletzungen, was bei der Beschwerdeführerin vorliege (S. 36 f.). Auf die Risikoanalyse geht die Beschwerdeführerin nicht ein.
Aus dem kinderpsychologischen Gutachten vom 5. Mai 2012 geht sodann hervor, dass heute der Vater die Hauptbezugsperson von Z._ sei, obwohl der Sohn weiterhin auch zur Mutter eine gute Beziehung habe. Er habe sich mit den Umständen arrangiert (neuer Wohnort, Tagesheim, Partnerin des Vaters und deren Sohn). Ein unmittelbares Erleben von Handlungen in suizidaler Absicht erreiche in der Regel das Ausmass einer Kindeswohlgefährdung. Die Rückkehr zur Mutter stelle jedenfalls ein erhebliches Entwicklungsrisiko für Z._ dar, falls ein erhöhtes Risiko für erneute Krisen mit suizidalen Handlungen bestehe. Weiter führen die Gutachter aus, auch wenn das Kind die schwierigen Ereignisse in den Jahren 2009 bis 2011 weitgehend gut bewältigt habe, sei von einer erhöhten Vulnerabilität gegenüber einem erneuten Hauptbezugspersonenwechsel auszugehen. Die Mutter werde wohl nach einer Rückkehr von Z._ zur neuen Hauptbetreuungsperson für ihn werden. In einer Krise der Mutter käme es damit zu einem erneuten Betreuungswechsel, was die Gutachter als Hauptbelastungsfaktor und Entwicklungsrisiko bezeichnen. Diesfalls bestehe ein erhebliches Risiko, dass sich Z._ von seiner Mutter und seinem Vater im Stich gelassen fühlen würde, da ihn beide nicht ausreichend schützen konnten. Dem Argument der Beschwerdeführerin, aus dem Gutachten gehe keine Kindeswohlgefährdung hervor - resp. eine solche wäre nur im Falle eines weiteren Suizidversuches gegeben -, kann daher nicht gefolgt werden.
Entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin lässt sich den Akten auch nicht entnehmen, dass die AKJS/KESB gegen einen Obhutsentzug eingetreten wäre. D._ erläuterte an der Verhandlung der Jugendschutzkammer verschiedene Varianten, wie die Betreuung von Z._ geregelt werden könnte. Einen zuletzt von der Beschwerdeführerin selbst ausformulierten Vorschlag (vier halbe Tage und ein ganzer Tag Kindergarten, plus zwei weitere halbe Tage Tagesheim) bezeichnete sie zwar als "realistisch", gab aber im Vorfeld zu bedenken: "Die Umstellung könnte zu gross für sie (die Beschwerdeführerin) sein." (Protokoll der Jugendschutzkammer vom 23. November 2011 S. 8). Der Vertreter der AKJS/KESB, E._, beantragte in derselben Verhandlung den Entzug der Obhut mit anschliessender Platzierung beim Vater (Protokoll der Jugendschutzkammer vom 23. November 2011 S. 9). Auch im kantonalen Beschwerdeverfahren sprach sich E._ mit Stellungnahme vom 27. Juli 2012 für die Abweisung der kantonalen Beschwerde - und damit für die Bestätigung des Obhutsentzugs - aus. An diesem Antrag hielt er im Plädoyer vor der Vorinstanz vom 15. Mai 2013 fest (Protokoll des Appellationsgerichts vom 15. Mai 2013 S. 7).
2.6. Zusammengefasst besteht auf der Seite der Beschwerdeführerin trotz der Stabilisierung nach wie vor ein Risiko einer weiteren Krise, welche insbesondere dadurch ausgelöst werden könnte, dass sie wieder vollumfänglich für Z._ verantwortlich ist, also wieder der Belastung ausgesetzt ist, welche die früheren Krisen mit ausgelöst hat. Im Laufe des kantonalen Verfahrens hat die Beschwerdeführerin zudem eine Ausbildung begonnen, welche noch andauert. Danach wird sich die Frage einer Anschlusslösung/Arbeitssuche stellen. Die Beschwerdeführerin selbst steht somit in Veränderungsprozessen, welche sie persönlich zusätzlich herausfordern. Das Wohl von Z._ hingegen wäre gefährdet, wenn er aus der heute stabilen Situation herausgerissen und die Obhut quasi versuchsweise wieder der Mutter anvertraut würde. Dieser Problematik kann mit anderen (milderen) Massnahmen nicht begegnet werden. Unter den derzeit gegebenen Umständen ist es daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz den Obhutsentzug gemäss <ref-law> bestätigt hat.
2.7. Die Beschwerdeführerin rügt im Zusammenhang mit dem Obhutsentzug auch eine Verletzung von <ref-law> und Art. 8 EMRK. Inwiefern die beiden Bestimmungen durch die vorliegende Anwendung von <ref-law> verletzt sein könnten, führt sie indes nicht aus, so dass darauf nicht einzutreten ist (E. 1.2).
3.
Angesichts des angeordneten Obhutsentzugs hatte die Vorinstanz damit über die Unterbringung von Z._ zu befinden. Für den Fall, dass der Obhutsentzug bestätigt wird, lassen sich der Beschwerde keine Eventualanträge in Bezug auf die Platzierung von Z._ entnehmen. Die Beschwerdeführerin hat mithin keine Einwendungen gegen eine Unterbringung beim Kindsvater.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen.
4.
Der Vollständigkeit halber ist zu erwähnen, dass die Vorinstanz ihren Entscheid doppelt begründet hat. Sie stützte sich namentlich auf zwei Entscheide des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR), um darzulegen, weshalb vorliegend die Obhut in jedem Fall dem Vater anzuvertrauen sei. Die Beschwerdeführerin rügt diese Rechtsprechung des Appellationsgerichts als bundesrechtswidrig.
In den beiden betreffenden Fällen (Urteil Nr. 22028/04 des EGMR vom 3. Dezember 2009 Zaunegger gegen Deutschland; Urteil Nr. 35637/03 vom 2. Februar 2011 Sporer gegen Österreich) ging es um die Regelung des Sorgerechts nicht verheirateter Eltern in den beiden vorgenannten Staaten. Entgegen der anderslautenden Annahme der Vorinstanz lässt sich oben genannte Rechtsprechung zum Sorgerecht nicht auf die vorliegend zu beurteilende Fra ge der Obhut übertragen.
5.
Angesichts der Umstände des konkreten Falles werden für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten erhoben (<ref-law>). Den weiteren Verfahrensbeteiligten sind keine entschädigungspflichtigen Auslagen entstanden (<ref-law>). Insofern wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege gegensta ndslos. Im Übrigen wird ihr die beantragte unentgeltliche Verbeiständung gewährt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Verbeiständung gewährt und ihr wird Rechtsanwältin Jessica Glanzmann als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Rechtsanwältin Jessica Glanzmann wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde, den weiteren Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann