Sachverhalt:
A. A.a Z._ (geb. xxxx 1925) leidet gemäss ärztlichen Befunden an einer mittelschweren bis schweren Demenz bei Alzheimerkrankheit.
A.b Bis zur ihrer Hospitalisierung im Juni 2010 hatte Z._ in ihrer eigenen Wohnung am Weg B._ in C._ gewohnt. Am 5. Juli 2010 wurde sie von der Akutgeriatrie des Universitätsspitals C._ ins Spital D._ in C._ eingewiesen. In diesem Krankenhaus blieb sie bis am 23. August 2010. An diesem Tag zog Z._ zu ihrem Sohn Y._ und dessen Ehefrau X._ nach A._ im Kanton Zürich. Am 7. September 2010 trat sie in das Heim E._ in F._ ein. Die Weihnachtstage 2010 verbrachte Z._ offenbar in ihrer alten Wohnung in C._. Nach F._ ins Heim E._ ist sie im Anschluss an diesen Aufenhalt nicht mehr zurückgekehrt.
B. B.a Am 9. August 2010 meldete X._ ihre Schwiegermutter bei der Einwohnerkontrolle von A._ an mit dem Hinweis, die Abmeldung am bisherigen Wohnsitz in C._ sei bereits erfolgt. Der Gemeinderat A._ erliess am 24. Januar 2011 in einem Beschluss die Feststellung, die Anwesenheit von Z._ in A._ vom 23. August 2010 bis am 7. September 2010 (s. Bst. A.b) habe lediglich einem vorübergehenden Aufenthalt entsprochen und keine Niederlassung begründet. Zudem sei A._ nicht der Wohnsitz, an dem sich Z._ mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhalte.
B.b Mit Gesuch vom 14. Januar 2011 stellten Y._ und X._ bei der Sozialbehörde der Gemeinde A._ den Antrag, Z._ gestützt auf <ref-law> zu entmündigen und als Vormund gemäss <ref-law> X._ zu bestimmen. Die Sozialbehörde A._ befand, ihre vormundschaftliche Zuständigkeit sei nicht gegeben, und trat auf das Gesuch nicht ein (Beschluss vom 19. Januar 2011).
C. Y._ und X._ wandten sich am 31. Januar 2011 an den Bezirksrat Dietikon. Sie führten einerseits Rekurs gegen den Beschluss des Gemeinderates vom 24. Januar 2011 (s. Bst. B.a) und andererseits Beschwerde gegen den Beschluss der Sozialbehörde vom 19. Januar 2011 (s. Bst. B.b) und beantragten die Vereinigung der Verfahren, was der Bezirksrat indes abwies. Mit Beschluss vom 8. Juni 2011 wies dieser die Beschwerde gegen den Beschluss der Sozialbehörde vom 19. Januar 2011 ab; ausdrücklich nicht Gegenstand des bezirksrätlichen Beschlusses war derjenige des Gemeinderates vom 24. Januar 2011.
D. Daraufhin gelangten Y._ und X._ am 23. Juni 2011 an das Obergericht des Kantons Zürich und beantragten, "die Wohnsitznahme von Frau Z._ in A._ sei per 1. August 2010 zu bestätigen; die Zuständigkeit der Sozialbehörde A._ im Vormundschaftsverfahren Frau Z._, geb. xxxx 1925, von C._, in A._, sei festzustellen." Mit Urteil vom 20. Juli 2011 trat das Obergericht, soweit es um die Feststellung der Wohnsitznahme ging, nicht auf die Beschwerde ein und wies diese mit Bezug auf die Zuständigkeit der Sozialbehörde A._ für die Beurteilung des Entmündigungsgesuchs kostenfällig ab.
E. Mit Beschwerde vom 30. August 2011 beantragen Y._ und X._ im Namen von Z._ dem Bundesgericht, "die Wohnsitznahme von Frau Z._ in A._ sei per 1. August 2010 zu bestätigen".
Es sind die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde wird ausdrücklich im Namen von Z._ geführt, angeblich gesetzlich vertreten durch ihren Sohn Y._ und ihre Schwiegertochter X._, die ihrerseits Rechtsanwalt Frank Hangartner bevollmächtigt haben. Woraus jene ein gesetzliches Vertretungsrecht ableiten, ist und bleibt unerfindlich. Die Beschwerde wird deshalb als solche von Y._ und X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) entgegengenommen. Im Lichte von <ref-law> sind diese zur Beschwerde legitimiert.
1.2 Gemessen am Rechtsbegehren ist die Weigerung einer Anmeldung zur Wohnsitznahme angefochten, mithin eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in engem Zusammenhang mit Zivilrecht (<ref-law>), wogegen die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich ergriffen werden kann.
Mangels eines entsprechenden Rechtsbegehrens gilt das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. Juli 2011 hinsichtlich der (fehlenden) Zuständigkeit der Sozialbehörde A._ für die Beurteilung des Entmündigungsgesuchs als nicht angefochten (<ref-law>); in diesem Umfang ist es rechtskräftig.
1.3 Das Obergericht ist auf die Berufung der Beschwerdeführer, soweit sie die Wohnsitznahme von Z._ in der Gemeinde A._ betraf, mangels sachlicher Zuständigkeit nicht eingetreten. Die Rechtsschrift der Beschwerdeführer enthält diesbezüglich weder Rügen, noch lässt sich ihr sonst wie entnehmen, weshalb das Obergericht in diesem Punkt das massgebliche Verfahrensrecht falsch bzw. willkürlich angewendet hätte und damit auf die Beschwerde hätte eintreten müssen. Mithin kommen die Beschwerdeführer ihrer Begründungspflicht nicht nach (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG), weshalb auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann.
2. Bei diesem Ergebnis sind die Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>); sie haften solidarisch (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn