Faits :
A.
A._, né en 1943, est assuré depuis le 1 er juillet 2008 auprès de Avanex Assurances SA (ci-après: la caisse) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie et accident. Malgré les rappels de la caisse, il ne s'est pas acquitté du montant de ses primes d'assurance-maladie et de participations aux coûts échues. La caisse lui a fait notifier par l'Office des poursuites de la République et canton de Genève huit commandements de payer auxquels il a fait opposition. Par décisions sur opposition du 28 octobre 2014, la caisse a admis deux oppositions aux commandements de payer et en a rejeté six autres dans la mesure suivante.
D'une part, elle a annulé et retiré:
- la poursuite n° B._, notifiée le 9 septembre 2009, portant le montant de 2'604 fr. en capital, avec intérêt de 5 % l'an dès le 1 er avril 2008, 70 fr. de frais de traitement et mentionnant pour objet " Prime LAMal avril 2008 "; et
- la poursuite n° C._, notifiée le 19 octobre 2009, portant le montant de 1'621 fr. 20 en capital, avec intérêt de 5 % l'an dès le 19 janvier 2009, 100 fr. de frais de traitement et mentionnant pour objet " Primes LAMal janvier 2008 à décembre 2009 ".
D'autre part, elle a prononcé la mainlevée définitive de l'opposition à:
- la poursuite n° D._, notifiée le 11 janvier 2012, portant le montant de 7'557 fr. en capital, avec intérêt à 5 % l'an dès le 31 mai 2011, 40 fr. de frais de rappel, 60 fr. de frais de traitement et mentionnant pour objet " primes LAMal de janvier 2010 à décembre 2011 ";
- la poursuite n° E._, notifiée le 11 janvier 2012, portant le montant de 3'785 fr. en capital, sans intérêt moratoire, 40 fr. de frais de rappel, 60 fr. de frais de traitement et mentionnant pour objet " décomptes de prestations (traitements du 23.02.2011, du 23.03.2011 au 31.03.2011, du 01.04.2011 au 21.04.2011 et du 14.03.2011 au 23.03.2011) ";
- la poursuite n° F._, notifiée le 20 mars 2012, portant le montant de 120 fr. 95 en capital, sans intérêt moratoire, 40 fr. de frais de rappel, 60 fr. de frais de traitement et mentionnant pour objet " décompte de prestations (traitement du 23.04.2012) ";
- la poursuite n° G._, notifiée le 30 août 2012, portant le montant de 4'215 fr. 60 en capital, avec intérêt de 5 % l'an dès le 6 février 2012, 40 fr. de frais de rappel, 60 fr. de frais de traitement et mentionnant pour objet " Primes LAMal de janvier 2012 à décembre 2012 ";
- la poursuite n° H._, notifiée le 25 septembre 2012, portant le montant de 134 fr. 65 en capital, sans intérêt moratoire, 80 fr. de frais de rappel, 60 fr. de frais de traitement et mentionnant pour objet " décompte de prestations (traitements du 31.05.2011 au 04.06.2011 et du 12.01.2012) "; et à
- la poursuite n° I._, notifiée le 9 octobre 2013, portant le montant de 4'111 fr. 80 en capital, avec intérêt de 5 % l'an dès le 3 mars 2013, 40 fr. de frais de rappel et 60 fr. de frais de traitement et mentionnant pour objet " Primes LAMal de janvier 2013 à décembre 2013 ".
B.
A._ a formé sept recours contre les différentes décisions précitées. Par jugement du 1 er juin 2015, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a déclaré sans objet le recours dirigé contre la décision du 28 octobre 2014 concernant les poursuites n° B._ et n° C._, rejeté les cinq recours dirigés contre les décisions du 28 octobre 2014 concernant les poursuites n° D._, E._, F._, G._ et H._ et prononcé la mainlevée définitive des cinq oppositions y relatives.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il requiert également que l'effet suspensif soit octroyé à son recours.

Considérant en droit :
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine d'office le droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Il n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement juridique sur les faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 265 et les références).
2.
2.1. Le mémoire de recours doit contenir les conclusions et les motifs à l'appui de celles-ci (<ref-law>). Les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (<ref-law>). Pour satisfaire à l'obligation de motiver, le recourant doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit; il faut qu'à la lecture de son exposé, on comprenne clairement quelles règles de droit auraient été, selon lui, transgressées par l'autorité cantonale (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 88 et les références). Selon la jurisprudence, un mémoire de recours ne satisfait en particulier pas aux exigences minimales fixées à l'<ref-law> lorsque sa motivation reprend mot pour mot l'argumentation déjà développée devant la juridiction inférieure et que, partant, le recourant ne discute pas les motifs de la décision entreprise et n'indique pas - même succinctement - en quoi ceux-ci méconnaissent le droit selon lui (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 308). Il en va de même lorsque le recourant se borne à renvoyer aux moyens évoqués dans son recours cantonal (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 399 et les références).
2.2. Dans la mesure où le recourant invite le Tribunal fédéral à compléter son mémoire par les griefs évoqués devant l'autorité précédente, ce procédé n'est pas admissible au regard des exigences de motivation posées à l'<ref-law>. Partant, seuls les griefs présentés dans le mémoire de recours seront examinés.
3.
Le litige porte, principalement, sur le non-paiement de primes de l'assurance-maladie obligatoire des soins et de participations aux coûts échues et, accessoirement, sur la mainlevée des oppositions aux commandements de payer.
4.
4.1. Dans un premier moyen, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir omis de vérifier la légitimation active de l'intimée. Il considère que les différentes poursuites et décisions ont été introduites au nom d'une société inexistante et en veut pour preuve les diverses et multiples adresses utilisées.
Ce moyen tombe à faux. En dépit de l'autonomie dont elles disposent, les succursales et entités de l'intimée qui se sont régulièrement succédé au cours de la procédure sont dépourvues d'existence juridique et n'ont pas la capacité d'ester en justice (cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 177). A la lecture des différents documents versés en procédure, il ne peut toutefois y avoir de doute, en l'espèce, sur la circonstance qu'elles agissaient au nom de Avanex Assurances SA, soit un assureur-maladie reconnu (<ref-law>). Conformément aux usages commerciaux, elles ont d'ailleurs constamment utilisé un papier à l'en-tête de l'intimée (cf. arrêt 4A_271/2009 du 3 août 2009 consid. 2.4).
4.2. Dans un deuxième moyen, le recourant invoque l'<ref-law> et soutient, en substance, que la procédure sur opposition menée par l'intimée n'a pas suspendu le délai de péremption d'un an pour requérir la continuation de la poursuite. En d'autres termes, il reproche à l'autorité précédente de n'avoir pas constaté que la poursuite était périmée.
4.2.1. Lorsque l'assuré n'a pas payé des primes ou des participations aux coûts échues, l'assureur lui envoie une sommation, précédée d'au moins un rappel écrit; il lui impartit un délai de 30 jours et l'informe des conséquences d'un retard de paiement (<ref-law>). Si, malgré la sommation, l'assuré ne paie pas dans le délai imparti les primes, les participations aux coûts et les intérêts moratoires dus, l'assureur doit engager des poursuites (art. 64a al. 2, 1 ère phrase, LAMal). Le créancier à la poursuite duquel il est fait opposition au commandement de payer agit ensuite par la voie de la procédure civile ou administrative pour faire reconnaître son droit (art. 79, 1 ère phrase, LP). L'assureur qui entend procéder au recouvrement d'une créance peut donc choisir entre, premièrement, agir pour obtenir d'abord un jugement condamnant au paiement de la créance et introduire ensuite la poursuite ou, deuxièmement, requérir en premier lieu la poursuite puis, en cas d'opposition au commandement de payer de l'assuré, agir par la voie de la procédure administrative pour faire reconnaître son droit (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 120; voir également arrêt 9C_742/2011 du 17 novembre 2011 consid. 5.1). Selon le second mode de procéder, l'assureur doit rendre une décision condamnant le débiteur à lui payer une somme d'argent et lever lui-même l'opposition au commandement de payer. La continuation de la poursuite ne pourra ensuite être requise que sur la base de la décision passée en force qui écarte expressément l'opposition (art. 79, 2 ème phrase, LP; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 120).
4.2.2. Lorsque la poursuite n'est pas suspendue par l'opposition ou par un jugement, le créancier peut requérir la continuation de la poursuite à l'expiration d'un délai de 20 jours à compter de la notification du commandement de payer (<ref-law>). Ce droit se périme par un an à compter de la notification du commandement de payer. Si opposition a été formée, ce délai ne court pas entre l'introduction de la procédure judiciaire ou administrative et le jugement définitif (<ref-law>). Bien que le texte légal ne le précise pas expressément, contrairement à d'autres dispositions plus explicites (cf. p. ex. <ref-law> [RS 641.20]), l'opposition formée par l'assuré au commandement de payer entraîne l'ouverture de la procédure administrative de mainlevée. Cette procédure revêt la même double fonction que le procès civil en reconnaissance de dette pour les créances de droit civil, dans lequel le juge civil statue sur le fond et sur la levée de l'opposition (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 121; <ref-ruling> consid. 3 p. 65). Le délai de péremption de l'<ref-law> est ainsi suspendu tant que le créancier à la poursuite n'a pas la faculté d'obtenir une déclaration authentique certifiant le caractère définitif et exécutoire de la décision levant l'opposition au commandement de payer, l'attestation de l'entrée en force pouvant aussi découler de la loi (<ref-ruling> consid. 2 p. 480).
4.2.3. En l'espèce, les différentes oppositions formées par le recourant aux commandements de payer ont entraîné l'ouverture d'une procédure administrative de mainlevée. Conformément à l'art. 88 al. 2, 2ème phrase, LP, le délai de péremption a été suspendu. Ce délai demeure suspendu aussi longtemps que le créancier n'a pas la faculté d'obtenir une déclaration authentique certifiant le caractère définitif et exécutoire du jugement levant l'opposition au commandement de payer, respectivement jusqu'au prononcé du jugement de dernière instance (cf. supra, consid. 4.2.2). En d'autres termes, la suspension du délai de péremption ne sera levée qu'au moment de la notification du présent arrêt (cf. arrêt B 60/04 du 20 avril 2005). Dans ces circonstances, la poursuite n'est pas périmée et le moyen doit être rejeté.
4.3. Dans un troisième et dernier moyen, le recourant estime que la durée des procédures conduites par l'intimée l'a empêché de s'assurer ces dernières années auprès d'une caisse offrant des primes d'assurance-maladie plus avantageuses. Il y voit une violation du principe du libre choix de l'assureur.
Aux termes de l'<ref-law>, l'assuré en retard de paiement ne peut pas, en dérogation à l'<ref-law>, changer d'assureur tant qu'il n'a pas payé intégralement les primes et les participations aux coûts arriérées ainsi que les intérêts moratoires et les frais de poursuite. Dans le jugement attaqué, l'autorité précédente a constaté que le recourant a fait l'objet de poursuites portant sur des montants remontant à l'année de son affiliation, en 2008, et qu'il est en retard de paiement. Le recourant n'en disconvient pas. Dans ces conditions, au vu de la disposition précitée, c'est à juste titre que la cour cantonale a retenu qu'il ne pouvait changer d'assureur tant qu'il ne s'est pas acquitté de toutes ses obligations financières. Rien n'empêchait par ailleurs le recourant de s'acquitter - sous réserve de l'issue de la procédure - des sommes réclamées s'il entendait changer d'assureur (cf. arrêt 9C_38/2014 du 24 avril 2014 consid. 2.2). Le moyen ne peut ainsi qu'être rejeté.
5.
5.1. Les considérants qui précédent conduisent au rejet du recours.
5.2. L'autorité précédente a toutefois omis de statuer, semble-t-il, sur le recours daté du 8 décembre 2014 portant sur la poursuite n° I._. Il convient par conséquent de transmettre le dossier à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour qu'elle statue sur ledit recours, pour autant qu'elle ne l'ait pas fait à ce jour.
5.3. Le présent arrêt rend sans objet la demande d'effet suspensif présentée par le recourant.
6.
Succombant, le recourant doit supporter les frais de justice (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Le dossier est transmis à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour qu'elle statue en tant que besoin sur le recours daté du 8 décembre 2014 concernant la poursuite n° I._.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'300 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 16 octobre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Bleicker