Sachverhalt:
A. Im Oktober 2008 behandelte der Obergerichtsschreiber des Kantons Solothurn zwei Gesuche von X._ um Kostenerlass:
Das Verfahren OGERL.2008.12 betraf eine Gebühr von Fr. 200.--, welche X._ durch die Zivilkammer des Obergerichts Solothurn auferlegt wurde. Das Kostenerlassgesuch wurde mit Beschluss vom 21. Oktober 2008 abgewiesen.
Das Verfahren OGERL.2008.15 hatte eine Gebühr in Höhe von Fr. 400.-- zum Gegenstand, welche aus einem Verfahren vor dem kantonalen Verwaltungsgericht resultierte. Dieses Kostenerlassgesuch wurde am 29. Oktober 2008 abgewiesen.
B. Gegen den Beschluss des Obergerichtsschreibers vom 21. Oktober 2008 im Verfahren OGERL.2008.12 beschwerte sich X._ mit Eingabe vom 6. November 2008 erfolglos beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Eine danach beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde wurde am 3. März 2009 als durch Rückzug erledigt abgeschrieben (Verfahren 5D_15/2009).
C. Am 7. Oktober 2009 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und rügt eine "völlige Rechtsverweigerung": Das Solothurner Verwaltungsgericht sei anzuweisen, die "Beschwerde vom 6.11.2008 bezüglich illegale Gebühren i.S. falsche Wegweisung" unverzüglich zu behandeln.
Ausgehend davon, dass sich diese Rechtsverweigerungsbeschwerde auf das abgeschlossene kantonale Rechtsmittelverfahren betreffend den Beschluss des Obergerichtsschreibers vom 21. Oktober 2008 (Verfahren OGERL.2008.12) beziehe, erachten das Obergericht und das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde als gegenstandslos und beantragen in ihren Vernehmlassungen das Nichteintreten auf die Beschwerde.
D. Mit Eingabe vom 22. Oktober 2009 repliziert X._ unaufgefordert: Er macht geltend, dass seine beim Bundesgericht geführte Beschwerde - entgegen der Auffassung der solothurnischen Gerichte - nicht das kantonale Beschwerdeverfahren gegen den Beschluss vom 21. Oktober 2008 (OGERL.2008.12) betreffe, sondern sich vielmehr auf das Verfahren gegen den Beschluss vom 29. Oktober 2008 (OGERL.2008.15) beziehe; gegen diesen habe er am 6. November 2008 ebenfalls ein Rechtsmittel erhoben. Aus den von ihm eingereichten Beilagen geht hervor, dass er die entsprechende Beschwerdeschrift mit der gleichen eingeschriebenen Postsendung verschickt haben will, wie die inzwischen rechtskräftig beurteilte Beschwerde gegen den Beschluss OGERL.2008.12 vom 21. Oktober 2008.
Das Obergericht bekundet am 28. Oktober 2009, dass es keine Kenntnis von einer Beschwerde gegen den Beschluss OGERL.2008.15 vom 29. Oktober 2008 habe; es gehe davon aus, dass dieser Entscheid in Rechtskraft erwachsen sei. Am 3. November 2009 teilt auch das Verwaltungsgericht mit, dass bei ihm keine Beschwerde gegen den betreffenden Beschluss eingegangen sei.
E. Mit Eingabe vom 19. Dezember 2009 äussert sich X._ erneut unaufgefordert zur Sache.

Erwägungen:
1. Nach <ref-law> kann gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines anfechtbaren Entscheids Beschwerde geführt werden. Erforderlich ist allerdings, dass die allgemeinen Beschwerdevoraussetzungen erfüllt sind. Namentlich darf der verweigerte oder verzögerte Entscheid kein Rechtsgebiet betreffen, das vom Ausnahmenkatalog in <ref-law> erfasst wird. Ebenso müssen die Beschwerdelegitimation (<ref-law>) und die Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzuges (<ref-law>) gegeben sein, und die Beschwerdeschrift muss den Anforderungen von <ref-law> genügen. Ob die genannten Eintretensvoraussetzungen im vorliegenden Fall erfüllt sind, kann offen bleiben, zumal sich die Beschwerde in jedem Fall als offensichtlich unbegründet erweist, wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen.
2. Die Folgen der Beweislosigkeit trifft jene Partei, die aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableiten wollte (vgl. <ref-ruling> E. 4.c/aa S. 266; <ref-ruling> E. 3.b S. 184 f.). Im vorliegenden Fall gebricht es am Nachweis einer Beschwerdeerhebung betreffend den Beschluss OGERL.2008.15 vom 29. Oktober 2008, was der Beschwerdeführer zu Unrecht bestreitet:
Aus der von ihm eingereichten Kopie seines Empfangsscheinbuchs geht zwar hervor, dass er dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn am 6. November 2008 eine eingeschriebene Sendung hat zukommen lassen. Dass das Verwaltungsgericht diese Eingabe erhalten hat, steht jedoch überhaupt nicht in Frage: Die darin jedenfalls enthaltene Beschwerdeschrift gegen den Beschluss des Obergerichtsschreibers vom 21. Oktober 2008 im Verfahren OGERL.2008.12 wurde vom Verwaltungsgericht - wie bereits ausgeführt - entgegengenommen und materiell behandelt.
Dafür, dass diese Sendung noch eine weitere Beschwerdeschrift betreffend den Beschluss OGERL.2008.15 vom 29. Oktober 2008 enthielt, wie der Beschwerdeführer dies im Empfangsscheinbuch handschriftlich vermerkte, erbringt der eingereichte Beleg dagegen keinen Beweis: Der Poststempel im Empfangsscheinbuch bezieht sich ausschliesslich auf die verschlossene Sendung und nicht auf deren Inhalt. Daran ändert auch nichts, dass der Beschwerdeführer eine Kopie der angeblich eingereichten Beschwerdeschrift vorlegen kann. Es ist keineswegs ausgeschlossen, dass er das Original verlegt hat oder ihm ein anderes Missgeschick unterlaufen ist mit der Folge, dass die Sendung nur eine Beschwerde enthielt.
3. Da somit nicht erstellt ist, dass die betreffende Beschwerde dem Verwaltungsgericht überhaupt zugestellt wurde, kann diesem keine Rechtsverweigerung vorgeworfen werden. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren kann nicht entsprochen werden, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien (<ref-law> e contrario). Indes rechtfertigt es sich, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
3. Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird verzichtet.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Obergericht und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Februar 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Zähndler