Sachverhalt:
A. Das Obergericht des Kantons Uri befand X._ am 18. März 2008 zweitinstanzlich der Sachbeschädigung (<ref-law>) schuldig. Von einer Bestrafung nahm es Umgang, und die Adhäsionsweise geltend gemachten Zivilforderungen verwies es auf den Zivilweg.
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Uri vom 18. März 2008 sei aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der Sachbeschädigung freizusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Uri haben auf Vernehmlassungen zur Beschwerde verzichtet.

Erwägungen:
1. In der Anklage wird dem Beschwerdeführer vorgeworfen, am 7. Oktober 2004 auf dem Grundstück seines Nachbarn Y._ innerhalb des sog. Grenzmeters - gemäss Art. 73 Abs. 1 EG/ZGB des Kantons Uri haben Bauten und Anlagen, für welche eine Baubewilligung erforderlich ist, zum Nachbargrundstück einen Grenzabstand von einem Meter einzuhalten - eine Holzkonstruktion mit Plastikabdeckung zerstört und ausserhalb des Grenzmeters ein direkt anschliessendes Eternitdach mit einem Eisenschlägel beschädigt zu haben.
Der Vorfall, welcher vom Beschwerdeführer nicht bestritten wird, ereignete sich im Nachgang an einen langjährigen Rechtsstreit: Y._ hatte auf seinem Grundstück innerhalb des Grenzmeters zum Grundstück des Beschwerdeführers eine Holzkonstruktion mit Plastikabdeckung errichtet. Mit (in Rechtskraft erwachsenem) Urteil des Landesgerichtspräsidiums Uri vom 9. September 2002 wurde Y._ unter Strafdrohung verpflichtet, innert 20 Tagen ab Eintritt der Rechtskraft des Entscheids diese Baute zu entfernen. Da er dieser Aufforderung nicht nachkam, wurde er - wie im Urteil vom 9. September 2002 ausdrücklich angedroht - mit (in Rechtskraft erwachsenem) Strafbefehl vom 3. Dezember 2003 wegen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung (<ref-law>) schuldig erklärt und mit einer Busse von Fr. 500.-- bestraft. Da Y._ die Baute auch weiterhin nicht entfernte, gelangte der Beschwerdeführer an den Verhörrichter II des Kantons Uri, welcher ihm mit Schreiben vom 13. September 2004 mitteilte, dass es ihm freistehe, allenfalls noch vorhandene rechtswidrige Vorrichtungen auf dem Grundstück von Y._ zu entfernen oder durch Dritte entfernen zu lassen. In der Folge schritt der Beschwerdeführer am 7. Oktober 2004 zur Tat.
2. 2.1 Die Vorinstanz hat erwogen, der Sachverhalt werde vom Beschwerdeführer nicht bestritten, der Tatbestand der Sachbeschädigung sei mithin in objektiver Hinsicht erfüllt. Betreffend die Sachbeschädigung innerhalb des Grenzmeters habe er sich aufgrund einer unrichtigen Auskunft des Verhörrichters II des Kantons Uri in einem unvermeidbaren Rechtsirrtum befunden, weshalb er insoweit freizusprechen sei (angefochtenes Urteil S. 7 f.). Bezüglich der Sachbeschädigung ausserhalb des Grenzmeters stelle sich die Rechtslage hingegen anders dar, da sich hier die Frage des Rechtsirrtums nicht stelle. Indem der Beschwerdeführer die Entfernung der Baute mittels eines Eisenschlägels vorgenommen habe, habe er eine Beschädigung des Eternitdachs zumindest in Kauf genommen. Er habe damit eventualvorsätzlich gehandelt und den Tatbestand von <ref-law> auch in subjektiver Hinsicht erfüllt. Selbsthilfe sei auch bei widerrechtlich erstellten Bauten unzulässig, und der Beschwerdeführer hätte den Rechtsweg beschreiten müssen, zumal von der Baute keinerlei Gefahr ausgegangen sei (angefochtenes Urteil S. 8 f.).
2.2 Der Beschwerdeführer bringt vor, der Tatbestand der Sachbeschädigung sei ein Antragsdelikt, das Vorliegen eines gültigen Strafantrags daher eine Prozessvoraussetzung. Der Antragsteller Y._ habe durch eigenes rechtswidriges Verhalten zu seinem Einschreiten unmittelbar Anlass gegeben, indem er sich während Jahren geweigert habe, die rechtswidrige Baute zu entfernen. Unter diesen Umständen einen Strafantrag zu stellen, sei rechtsmissbräuchlich (Beschwerde S. 7 - 9).
2.3 Wer eine Sache, an der ein fremdes Eigentums-, Gebrauchs- oder Nutzniessungsrecht besteht, beschädigt, zerstört oder unbrauchbar macht, wird, auf Antrag, mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft (<ref-law>).
Eine rechtsmissbräuchliche Strafantragsstellung darf nur mit Zurückhaltung angenommen werden. Einzig wenn der Verletzte dem Täter ein objektiv grobes Unrecht zugefügt hat und zwischen seinem rechtswidrigen Verhalten und dem vom Täter herbeigeführten strafbaren Erfolg ein enger Kausalzusammenhang besteht, rechtfertigt es sich, dem Antragsteller ein rechtlich schutzwürdiges Interesse an der Verfolgung und Bestrafung des Täters abzusprechen und demzufolge den gestellten Strafantrag als ungültig zu erachten (<ref-ruling> E. 3b, 128 IV 154 E. 4; vgl. zum Ganzen auch Christof Riedo, Der Strafantrag, Diss. Freiburg 2004, S. 519 ff.).
Diese Voraussetzungen sind vorliegend nicht erfüllt. Y._ hat dadurch, dass er es unterlassen hat, die rechtswidrige Baute innerhalb des Grenzmeters zu entfernen, nicht unmittelbar dazu Anlass gegeben, dass der Beschwerdeführer mittels des unverhältnismässigen Einsatzes eines Eisenschlägels das sich ausserhalb des Grenzmeters befindliche Eternitdach beschädigte. In dieser Konstellation kann Y._ ein rechtlich schutzwürdiges Interesse an der Verfolgung und Bestrafung des Beschwerdeführers wegen Sachbeschädigung nicht abgesprochen werden.
2.4 Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, er habe nicht vorsätzlich gehandelt. Er habe nur deshalb einen Eisenschlägel zur Entfernung der rechtswidrigen Baute verwendet, weil ihm das entsprechende Spezialwerkzeug zum Lösen der Spezialschrauben, mit welchen das Eternitdach befestigt gewesen sei, nicht zur Verfügung gestanden habe. Nach seinen jahrelangen erfolglosen Bemühungen, die rechtswidrige Baute durch Y._ oder Dritte entfernen zu lassen, habe von ihm nicht verlangt werden können, zunächst noch Spezialwerkzeug zu beschaffen. Zudem sei die geringfügige Beschädigung des Dachs lediglich auf die unglückliche Befestigung der Holzkonstruktion am Dach zurückzuführen und ihm könne insoweit höchstens Fahrlässigkeit angelastet werden (Beschwerde S. 5 und S. 9 - 11).
2.5 Der Argumentation des Beschwerdeführers kann nicht gefolgt werden. Indem er, obwohl keine zeitliche Dringlichkeit bestand, mangels geeigneten Spezialwerkzeugs zum Lösen der Spezialschrauben sich eines zu diesem Zweck offensichtlich ungeeigneten Eisenschlägels bediente, nahm er - wie die Vorinstanz zutreffend ausführte - die von ihm verursachte Beschädigung am Dach zumindest eventualvorsätzlich in Kauf, weshalb der Straftatbestand von <ref-law> (auch) in subjektiver Hinsicht erfüllt ist.
3. Die Beschwerde ist folglich vollumfänglich abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Uri, Strafrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Stohner