Faits:
A. A._ et C._ sont les parents de B._, né le 22 décembre 2003. Depuis leur séparation en avril 2004, ils sont régulièrement en litige, notamment quant aux relations personnelles que le père souhaite entretenir avec l'enfant.
Le 21 novembre 2006, A._ a déposé une plainte pénale à l'encontre de C._ auprès du Juge d'instruction du Valais central (ci-après: le juge d'instruction), accusant le prénommé d'actes d'ordre sexuel sur B._ (<ref-law>). L'enfant a été interrogé par la police judiciaire le 12 décembre 2006. Cette audition a fait l'objet d'un enregistrement vidéo conformément à l'art. 10c al. 2 de l'ancienne loi fédérale du 4 octobre 1991 sur l'aide aux victimes d'infractions (aLAVI; RO 2002 2998), auquel correspond l'art. 43 al. 5 de la loi fédérale du 23 mars 2007 sur l'aide aux victimes d'infractions (LAVI; RS 312.5).
L'expertise pédopsychiatrique ordonnée par le juge d'instruction n'a pas confirmé les accusations portées contre C._, de sorte qu'une décision de refus de donner suite à la dénonciation pénale a été rendue le 16 septembre 2009. Aucun recours n'a été déposé à l'encontre de cette décision dans le délai légal de dix jours (art. 46 ch. 4 en lien avec l'art. 169 ch. 1 du Code de procédure pénale du canton du Valais du 22 février 1962 [CPP/VS; RS/VS 312.0]).
Par courrier du 12 octobre 2009, confirmé le 15 octobre suivant, A._ a demandé au juge d'instruction de lui fournir une copie de l'enregistrement vidéo de l'audition du 12 décembre 2006. Par décision du 5 novembre 2009, le juge d'instruction a rejeté cette requête, tout en indiquant que l'enregistrement pouvait être visionné à son office. Compte tenu des relations conflictuelles qu'entretenaient les parties, il a estimé qu'il convenait d'éviter tout risque de diffusion des images et que les intérêts de l'enfant et du père de celui-ci s'opposaient à la remise d'une copie du film de l'audition. Il indiquait que sa décision pouvait faire l'objet d'une plainte à la Chambre pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais dans un délai de dix jours.
B. Saisie d'une plainte formulée par A._ en son nom propre et au nom de B._, la Chambre pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais a transmis l'écriture à la Cour de droit public de ce même tribunal comme objet de sa compétence. Cette Cour a traité l'acte comme un recours de droit administratif et elle l'a rejeté dans la mesure de sa recevabilité par arrêt du 18 février 2010.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Ils se plaignent de la violation du droit à être jugé par un tribunal compétent (art. 30 al. 1 Cst.), du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) et du principe de l'égalité de traitement (art. 8 al. 1 Cst.). Le juge d'instruction se réfère aux considérants de l'arrêt attaqué. Le Tribunal cantonal a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. L'arrêt attaqué confirme le refus de délivrer une copie d'une pièce versée au dossier d'une instruction pénale close. Conformément à la jurisprudence, il peut faire l'objet d'un recours en matière de droit public au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 82 s. et les arrêts cités).
La recourante A._ a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et elle invoque la violation de ses droits d'accès au dossier d'une procédure la concernant de près. Elle dispose donc d'un intérêt digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué, de sorte qu'elle a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. Le Tribunal cantonal ayant laissé indécise la question de la qualité pour recourir de B._ en procédure cantonale, il peut en aller de même dans la présente procédure.
Pour le surplus, formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF), le recours respecte les exigences de forme prévues par la loi (<ref-law>). Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2. Dans la première partie de leur écriture, les recourants présentent leur propre exposé des faits qu'ils jugent pertinents. Ils perdent ainsi de vue que le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits, susceptibles d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure, que si ceux-ci ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les références citées), ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>. Une telle démonstration faisant défaut en l'espèce, il n'y a pas lieu de s'écarter des faits retenus dans la décision attaquée.
3. Invoquant l'art. 30 al. 1 Cst., les recourants se plaignent d'une violation de leur droit à être jugés par un tribunal compétent. Ils soutiennent en substance que la Cour de droit public du Tribunal cantonal n'aurait pas dû se saisir de la plainte adressée à la Chambre pénale. Selon eux, au lieu de transmettre la plainte à la Cour de droit public, la Chambre pénale aurait dû renvoyer la cause en première instance pour nouvelle décision.
3.1 Aux termes de l'art. 30 al. 1 Cst., toute personne dont la cause doit être jugée dans une procédure judiciaire a droit à ce que sa cause soit portée devant un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial; les tribunaux d'exception sont interdits. La compétence des autorités est prévue par la loi et une indication erronée des voies de droit ne saurait créer un recours qui n'existe pas (<ref-ruling> consid. 1.5 p. 200 s.; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 89; <ref-ruling> consid. 2 p. 299 et les arrêts cités; cf. JEAN-MAURICE FRÉSARD, in Commentaire de la LTF, 2009, n. 9 ad <ref-law>). Cependant, les parties ne doivent pas subir de préjudice d'une indication erronée des voies de droit; lorsqu'elles se fient aux indications reçues pour saisir une autorité incompétente, celle-ci peut d'office transmettre la cause à l'autorité compétente (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 202 s.; <ref-ruling> consid. 8b p. 238 s. et les références citées).
3.2 En l'occurrence, il n'est pas contesté que le juge d'instruction était compétent pour traiter de la requête en première instance. De plus, c'est à tort que les recourants prétendent que la Cour de droit public du Tribunal cantonal n'était pas compétente pour connaître du recours formé contre cette décision. Sa compétence peut en effet se fonder sur la jurisprudence selon laquelle la consultation des pièces d'une procédure pénale close ne relève pas de la procédure pénale, mais bien du contentieux administratif (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 83).
Cela étant, si l'on comprend bien le raisonnement des recourants, ceux-ci souhaitaient que le juge d'instruction statue une nouvelle fois en première instance sur la base des dispositions correctes que le Tribunal cantonal a appliquées directement. Ils semblent fonder cette prétention sur l'indication erronée des voies de droit au terme de la décision du juge d'instruction. On ne voit cependant pas quel intérêt ils auraient à voir la cause renvoyée au juge d'instruction et ils n'allèguent pas qu'ils auraient pu faire valoir des moyens différents si l'indication des voies de droit avait été correcte. En outre, on ne discerne pas quel préjudice ils auraient subi du fait de la transmission de la cause à la Cour de droit public du Tribunal cantonal, cette façon de procéder étant au demeurant conforme au principe de l'économie de procédure. En définitive, c'est bien par la voie administrative que devait être contestée la décision du juge d'instruction, la motivation et l'indication erronée des voies de droit ne changeant rien à la compétence de la Cour de droit public. La cause a donc bien été jugée par un tribunal compétent au sens de l'art. 30 al. 1 Cst, de sorte que ce premier grief doit être rejeté.
4. Les recourants se plaignent également d'une violation de leur droit d'être entendus (art. 29 al. 2 Cst.) au motif que leur droit d'accéder au dossier d'une procédure pénale close a été restreint.
4.1 Tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., le droit d'être entendu comprend notamment le droit de consulter le dossier. Ce droit peut être exercé également hors procédure, en particulier si la procédure est close. Dans ce dernier cas, le requérant doit rendre vraisemblable un intérêt particulier digne de protection à l'exécution de cette mesure. Le droit de consulter un dossier archivé peut en outre être supprimé ou limité si l'intérêt public ou un intérêt prépondérant l'exigent (<ref-ruling> consid. 3 p. 253; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 68; <ref-ruling> consid. 4a p. 151; <ref-ruling> consid. 3b p. 260 et les références).
4.2 En l'espèce, les recourants demandent une copie de l'enregistrement vidéo de l'audition du 12 décembre 2006, alors que la procédure pénale qui a donné lieu à cette audition est close. Pour démontrer un intérêt particulier digne de protection à l'obtention de ce document, la recourante se prévaut de ses devoirs de mère, qui lui imposeraient de constituer un dossier complet sur son fils. Il est également fait référence au droit à l'image de l'enfant. Ces arguments n'emportent pas la conviction. On peine en effet à discerner en quoi le fait de détenir une copie de l'enregistrement litigieux serait nécessaire à la recourante pour veiller aux intérêts de son fils. Au demeurant, elle dispose de la retranscription écrite de l'audition et elle a la possibilité de visionner l'enregistrement à l'office du juge d'instruction. Quant à l'enfant, il pourra demander à prendre connaissance du film en temps voulu s'il le souhaite. A l'heure actuelle toutefois, son intérêt commande d'éviter tout risque de le confronter à cet enregistrement. Ainsi, les recourants n'ont pas rendu vraisemblable l'existence d'un intérêt particulier digne de protection à obtenir une copie de cet enregistrement et un intérêt prépondérant s'oppose à l'exécution de cette mesure. Par conséquent, la décision contestée ne viole pas l'art. 29 al. 2 Cst.
5. Dans un dernier grief, les recourants invoquent une violation du droit à l'égalité de traitement au sens de l'art. 8 al. 1 Cst. Ils se plaignent du fait qu'une copie de l'enregistrement de l'audition litigieuse leur a été refusée alors que la recourante avait obtenu une retranscription écrite de cette audition durant la procédure pénale. On peut se demander si la recourante peut réellement se prévaloir du droit à l'égalité de traitement, dans la mesure où elle est destinataire des deux décisions précitées (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 165). On comprend toutefois que les recourants comparent implicitement leur situation avec celle de toute personne ayant un droit d'accès au dossier d'une procédure pénale en cours. Or, il est manifeste que ces situations ne sont pas comparables. Les parties d'une procédure en cours ont en effet des droits plus étendus que les personnes voulant accéder au dossier d'une procédure pénale close, raison pour laquelle la jurisprudence exige dans ce dernier cas un intérêt particulier digne de protection (cf. supra consid. 4.1). Les situations comparées n'étant pas semblables à cet égard, il ne saurait être question d'inégalité de traitement (cf. <ref-ruling> consid. 5.4.1 p. 369 s.; <ref-ruling> consid. 9.1 p. 42 s.; <ref-ruling> consid. 3.6 p. 70 et les arrêts cités). Ce dernier moyen doit donc lui aussi être rejeté.
6. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Les recourants, qui succombent, doivent supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge des recourants.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire des recourants, au Juge d'instruction de l'Office d'instruction pénale du Valais central et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 21 juin 2010
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener