Faits:
A. K._, de nationalité turque, domicilié à N._, est père de six enfants domiciliés quant à eux en Turquie. Il travaille comme salarié au sein du restaurant X._. Son employeur est affilié à la caisse de compensation Gastrosocial (ci-après : la Caisse).
Par décision du 2 mars 2009 et décision sur opposition du 6 avril 2009, la Caisse a refusé d'allouer à K._ des allocations familiales pour la période courant dès le 1er janvier 2009. Elle s'est référée à la loi fédérale sur les allocations familiales, du 24 mars 2006 (LAFam; RS 836.2), ainsi qu'à l'ordonnance sur les allocations familiales, du 31 octobre 2007 (OAFam; RS 836.21), entrées en vigueur le 1er janvier 2009, en précisant qu'elles ne prévoyaient le versement d'allocations familiales pour des enfants domiciliés à l'étranger que si une convention entre la Suisse et l'Etat de domicile l'exigeait. Or, tel n'était pas le cas en l'espèce.
B. K._ a déféré la cause au Tribunal des assurances sociales du canton de Genève. Par jugement du 19 novembre 2009, celui-ci a admis le recours, annulé la décision sur opposition du 6 avril 2009 et renvoyé la cause à la Caisse pour nouvelle décision au sens des considérants. En substance, la Caisse était invitée à vérifier si le recourant remplissait les conditions posées par l'art. 7 al. 1 let. a à d OAFam et, dans l'affirmative, à verser les allocations familiales requises malgré l'absence de convention internationale ad hoc avec la Turquie.
C. La Caisse interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle conclut, en substance, à l'annulation du jugement entrepris et au refus des prestations litigieuses. L'intimé conclut, sous suite de dépens, à l'irrecevabilité du recours pour défaut de motivation; à titre subsidiaire, il en demande le rejet.
L'Office fédéral des assurances sociales a également recouru contre le jugement entrepris. Son recours fait l'objet d'un arrêt séparé, dans la cause 8C_89/2010.

Considérant en droit:
1. Aux termes de l'<ref-law>, les mémoires de recours doivent être rédigés dans une langue officielle, indiquer les conclusions, les motifs et les moyens de preuve, et être signés (al. 1). Les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (al. 2, 1ère phrase).
2. 2.1 Les premiers juges ont interprété l'art. 7 al.1 let. a à d OAFam en ce sens que pour les enfants ayant leur domicile à l'étranger, les allocations familiales devaient être versées lorsqu'une convention internationale le prévoyait ou lorsque les conditions prévues aux let. a à d étaient remplies. Ils se sont écartés d'une interprétation littérale de cette disposition, au motif notamment qu'une telle interprétation serait incompatible avec l'<ref-law>. Les premiers juges ont ensuite constaté qu'aucune convention internationale entre la Suisse et la Turquie n'imposait aux autorités le versement d'allocations familiales pour les enfants domiciliés à l'étranger. Ils ont renvoyé la cause à la Caisse pour qu'elle vérifie si les conditions posées aux lettres a à d de l'<ref-law> étaient remplies et, le cas échéant, qu'elle alloue les prestations litigieuses.
2.2 La recourante consacre l'essentiel de son mémoire à un rappel des faits et de la procédure, à la citation des <ref-law> et 7 OAFam, ainsi que de passages de la Convention de sécurité sociale entre la Suisse et la République de Turquie, du 1er mai 1969 (RS 0.831.109.763.1). Elle en déduit qu'il n'existe pas, en l'occurrence, de convention internationale dont pourrait se prévaloir l'intimé pour obtenir les prestations litigieuses. Les premiers juges sont parvenus à la même conclusion, de sorte que sur ce point, le mémoire de recours ne fait qu'appuyer le jugement entrepris.
Pour le surplus, la recourante se limite à souligner qu'elle est convaincue de la conformité de l'<ref-law> à l'<ref-law>, « les arguments développés dans l'arrêt rendu le 19 novembre 2009 par le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales ainsi que dans le recours, spécialement les considérations d'ordre politique, telles que les débats au sein de la Commission de la sécurité sociale du Conseil national, puis devant les Chambres fédérales [...] ne sont pas décisifs. » Il s'agit en réalité d'une simple affirmation et non d'une véritable motivation au sens de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, la recourante n'exposant en quoi les premiers juges auraient interprété de manière erronée l'<ref-law> en se fondant sur les travaux préparatoires de la loi ou auraient négligé d'autres critères d'interprétation de la loi.
3. A défaut de motivation répondant aux exigences de l'<ref-law>, le recours n'est pas recevable. La recourante supportera les frais de justice (<ref-law>) et versera une indemnité de dépens à l'intimé (<ref-law>). Il sera tenu compte, pour fixer le montant des dépens, du fait que l'intimé a pu produire une même réponse aux recours interjetés par la Caisse dans la présente cause, d'une part, et par l'Office fédéral des assurances sociales dans la cause 8C_89/2010, d'autre part.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimé la somme de 1400 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances sociales du canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 octobre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Le Greffier:
Leuzinger Métral