Sachverhalt:
A.
A.a. Am 3. November 2011 verklagte Y._ ihren geschiedenen Vater, X._, vor dem Bezirksgericht Kriens auf Unterhalt. Mit Urteil vom 30. Mai 2012 entsprach der Einzelrichter diesem Begehren. Er verurteilte X._, seiner Tochter unter Anrechnung bereits erbrachter Leistungen im Umfang von Fr. 5'570.65 einen monatlichen und vorauszahlbaren, erstmals anteilsmässig am 16. Juli 2011 bis zum ordentlichen Abschluss ihrer Ausbildung geschuldeten Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'300.-- zu bezahlen.
A.b. X._ erhob gegen dieses Urteil am 8. Juli 2012 Berufung beim Obergericht des Kantons Luzern [seit 1. Juli 2013 Kantonsgericht Luzern]. Im Wesentlichen verlangte er, die Alimente für seine Tochter auf Fr. 800.-- pro Monat zu senken. Mit Eingabe vom 10. Juli 2012 stellte die Tochter das Begehren, der Berufung die aufschiebende Wirkung zu entziehen. In ihrer Berufungsantwort vom 18. Juli 2012 schloss sie auf Abweisung der Berufung. Beide Eingaben wurden X._ zugestellt. Er nahm dazu am 4. September 2012 Stellung. Am 11. September 2012 entzog das Obergericht der Berufung die aufschiebende Wirkung.
A.c. Mit Urteil vom 22. Januar 2013 wies das Obergericht die Berufung ab. Es befand, X._ habe seine Stellungnahmen zum Gesuch der Tochter um Entzug der aufschiebenden Wirkung und zu ihrer Berufungsantwort am 4. September 2012 verspätet eingereicht, weshalb sie im Entscheid unberücksichtigt blieben. X._s dagegen erhobene Beschwerde in Zivilsachen hiess das Bundesgericht wegen Verletzung von <ref-law> gut, hob das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 22. Januar 2013 auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurück (Urteil 5A_155/2013 vom 17. April 2013).
B.
B.a. Bereits vor dem Urteil des Bundesgerichts liess Y._ ihren Vater mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes Z._ vom 5. März 2013 für Fr. 7'800.-- nebst 5 % Zins seit 15. Dezember 2012 sowie Fr. 2'160.-- nebst 5 % Zins seit 1. Februar 2013 betreiben. Dagegen erhob der Vater Rechtsvorschlag.
B.b. Mit Entscheid vom 31. Mai 2013 erteilte die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Kriens die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 7'800.-- nebst 5 % Zins seit 15. Dezember 2012. Dagegen wandte sich X._ erfolglos ans Kantonsgericht Luzern. Dieses wies seine Beschwerde mit Entscheid vom 16. Oktober 2013 ab.
C.
Mit Eingabe vom 20. November 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Kantonsgerichts vom 16. Oktober 2013 "und jene der Vorinstanzen" aufzuheben (Ziffer 1). In Ziff. 2 und 3 seiner Begehren verlangt er, er sei von Unterhaltszahlungen an Y._ (Beschwerdegegnerin) zu befreien. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die rechtzeitig eingereichte Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer vermögensrechtlichen Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a, 75 Abs. 1, 90 und 100 BGG). Die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) ist nicht erreicht. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Die Eingabe kann daher nicht als Beschwerde in Zivilsachen, sondern nur als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) entgegengenommen werden. Dass der Beschwerdeführer seinen Schriftsatz als "Staatsrechtliche Beschwerde" bezeichnet, schadet nicht.
1.2. Soweit der Beschwerdeführer beantragt, den erstinstanzlichen Entscheid des Bezirksgerichts oder andere, nicht näher bezeichnete Entscheide von "Vorinstanzen" aufzuheben, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, denn vor Bundesgericht ist nur der Entscheid der letzten kantonalen Instanz anfechtbar (<ref-law>).
1.3. Auf die Beschwerde ist auch nicht einzutreten, soweit der Beschwerdeführer mit seinen Rechtsbegehren vor Bundesgericht seine Unterhaltspflicht gegenüber der Beschwerdegegnerin zum Prozessthema machen will. Gegenstand des hier in Frage stehenden Rechtsöffnungsprozesses ist einzig die Frage, ob die in Betreibung gesetzte Forderung auf einem vollstreckbaren Urteil beruhe (<ref-law>). Diese Frage ist rein vollstreckungsrechtlicher Natur und streng zu trennen von der materiellrechtlichen Frage, ob und in welchem Umfang der Beschwerdeführer zum Unterhalt an seine Tochter verpflichtet ist.
1.4. Als zulässiges Rechtsbegehren bleibt damit nur mehr der Antrag um Aufhebung des angefochtenen Entscheids stehen. Immerhin ergibt sich aber aus der Begründung der Beschwerde, die für die Auslegung der Begehren beizuziehen ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 136), dass der Beschwerdeführer in der Sache verlangt, der Beschwerdegegnerin die definitive Rechtsöffnung zu verweigern.
2.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen substantiiert darlegen, worin die Verletzung besteht (Rügeprinzip; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) berufen will, kann sich demnach nicht darauf beschränken, den vorinstanzlichen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 4b S. 11 f.). Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
3.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, sich nicht damit befasst zu haben, dass die Einzelrichterin am Bezirksgericht befangen gewesen sei. Der Vorwurf geht an der Sache vorbei. Das Kantonsgericht hat dargelegt, dass es das Ausstandsbegehren gleich wie bereits die Einzelrichterin am Bezirksgericht für verspätet erachtet. Der Beschwerdeführer bringt weder in tatsächlicher noch in rechtlicher Hinsicht etwas vor, was diesen Standpunkt als verfassungswidrig ausweisen würde. Gleiches gilt für den Vorwurf, dass die Einzelrichterin am Bezirksgericht Kriens nicht kompetent und nicht legitimiert sei. Ebenso ist es Ausdruck blosser Polemik, wenn der Beschwerdeführer dem Kantonsgericht vorwirft, sich in seinem Urteil mit leicht umgestalteten Textbausteinen ohne Bezug zum konkreten Fall begnügt zu haben. Die behauptete Verletzung der Art. 8, 29 und 30 BV ist in keiner Weise dargetan.
4.
4.1. Die Vorinstanz betrachtet das Urteil des Bezirksgerichts Kriens vom 30. Mai 2012 als definitiven Rechtsöffnungstitel (<ref-law>). Der Beschwerdeführer habe dieses Urteil zwar angefochten. Auf Antrag der Beschwerdegegnerin habe das Obergericht der Berufung des Beschwerdeführers mit Verfügung vom 11. September 2012 aber die aufschiebende Wirkung entzogen und ausdrücklich festgehalten, dass das Urteil des Bezirksgerichts damit einstweilen vollstreckbar sei. Daran ändere nichts, dass das Bundesgericht am 17. April 2013 im Verfahren 5A_155/2013 das am 22. Januar 2013 in der Sache ergangene Urteil des Obergerichts aufgehoben habe.
4.2. Der Beschwerdeführer wiederholt an verschiedenen Stellen seiner Beschwerdeschrift, dass mit dem Urteil des Bundesgerichts vom 17. April 2013 "auch alle vorinstanzlichen Entscheide und Urteile sowie die darauf sich abstützenden Verfügungen aufgehoben" seien. Sinngemäss will er sich damit auf den Standpunkt stellen, dass mit dem bundesgerichtlichen Rückweisungsentscheid auch die besagte Verfügung vom 11. September 2012 betreffend den Entzug der aufschiebenden Wirkung dahingefallen sei und es deswegen an einem definitiven Rechtsöffnungstitel fehle. Ob er mit seinen - mehr oder weniger unstrukturierten - Ausführungen auch den beschriebenen Begründungsanforderungen (E. 2) genügt und die Verletzung seiner verfassungsmässigen Rechte in hinreichender Weise darzutun vermag, erscheint fraglich, kann angesichts der nachfolgenden Ausführungen aber offenbleiben.
4.3. Vollstreckbar und damit als definitiver Rechtsöffnungstitel im Sinne von <ref-law> geeignet ist ein gerichtliches Urteil gemäss Art. 336 Abs. 1 lit. a und b ZPO, wenn es entweder rechtskräftig ist und das Gericht die Vollstreckung nicht aufgeschoben hat (Art. 325 Abs. 1 und 331 Abs. 2 ZPO) oder wenn es noch nicht rechtskräftig ist, jedoch die vorzeitige Vollstreckung bewilligt worden ist. Letzteres geschieht dadurch, dass die Berufungsinstanz der Berufung die ihr von Gesetzes wegen zukommende (<ref-law>) aufschiebende Wirkung gestützt auf <ref-law> entzieht. In dieser Konstellation fallen die formelle Rechtskraft und die Vollstreckbarkeit also auseinander mit der Folge, dass das auf Bezahlung einer Summe Geldes lautende Urteil vor Eintritt der formellen Rechtskraft vollstreckbar ist (s. Urteil 5A_866/2012 vom 1. Februar 2013). Umstritten ist nun, welche Bedeutung es für die mit einer gesonderten Verfügung bewilligte vorläufige Vollstreckung hat, wenn das Bundesgericht später das in der Sache ergangene Urteil aufhebt und es zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückweist.
Das Bundesgericht hiess im vorliegenden Fall die damalige Beschwerde gut, weil das Obergericht die Stellungnahme des Beschwerdeführers zu Unrecht als verspätet angesehen hatte (Urteil 5A_155/2013 vom 17. April 2013 E. 1.5). Gestützt auf den bundesgerichtlichen Rückweisungsentscheid musste das Kantonsgericht bzw. damals das Obergericht den Unterhaltsprozess in demjenigen Stadium wieder aufnehmen, in welchem er sich befand, als er mit der Einlegung der Beschwerde in Zivilsachen unterbrochen wurde. Das Obergericht hatte nach der Rückweisung keine zusätzlichen Sachverhaltsabklärungen zu treffen oder Aktenergänzungen vorzunehmen. Es hatte lediglich unter Berücksichtigung der fälschlicherweise nicht beachteten Eingabe des Beschwerdeführers neu zu entscheiden, das Verfahren also im Stadium der Entscheidfällung (<ref-law>) wieder aufzunehmen. In jenem Stadium aber hatte sich an der vorläufigen Vollstreckbarkeit des Urteils des Bezirksgerichts Kriens vom 30. Mai 2012 nichts geändert: Nachdem der Beschwerdeführer bloss gegen den am 22. Januar 2013 in der Sache ergangenen (End-) Entscheid des Obergerichts Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht einlegte, gegen den am 11. September 2012 verfügten Entzug der aufschiebenden Wirkung jedoch zu keinem Zeitpunkt ein Rechtsmittel ergriff, blieb die aufschiebende Wirkung der Berufung auch nach dem Rückweisungsentscheid aufgehoben. Deshalb ist es jedenfalls unter dem eingeschränkten Blickwinkel der Verfassungsmässigkeit des angefochtenen Entscheids nicht zu beanstanden, wenn das Kantonsgericht im Ergebnis zur Auffassung gelangt, die Verfügung vom 11. September 2012 entfalte ihre Wirkung trotz des bundesgerichtlichen Rückweisungsentscheids, gestützt auf diese Überlegung das bezirksgerichtliche Urteil vom 30. Mai 2012 für vollstreckbar hält und der Beschwerdegegnerin die definitive Rechtsöffnung erteilt.
5.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Als unterliegende Partei hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Januar 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: V. Monn