Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. D._ (geb. 1970) meldete sich am 12. Juli 1996 bei der Invalidenversicherung zum Bezug von Leistungen an. Die IV-Stelle Luzern sprach ihr mit Wirkung vom 1. Mai 1996 bis zum 30. November 1996 eine ganze Invalidenrente, vom 1. Dezember 1996 bis zum 31. Dezember 1998 eine halbe Invalidenrente sowie ab dem 1. Januar 1999 - bei einem Invaliditätsgrad von noch 42 % - eine halbe Invalidenrente zufolge Härtefalls zu (Verfügungen vom 17. Februar 1999). Im Rahmen einer Rentenrevision stellte die IV-Stelle fest, der Invaliditätsgrad betrage ab dem 31. März 2000 lediglich noch 28 %, weshalb seit diesem Datum kein Rentenanspruch mehr bestehe (Verfügung vom 31. August 2000).
A. D._ (geb. 1970) meldete sich am 12. Juli 1996 bei der Invalidenversicherung zum Bezug von Leistungen an. Die IV-Stelle Luzern sprach ihr mit Wirkung vom 1. Mai 1996 bis zum 30. November 1996 eine ganze Invalidenrente, vom 1. Dezember 1996 bis zum 31. Dezember 1998 eine halbe Invalidenrente sowie ab dem 1. Januar 1999 - bei einem Invaliditätsgrad von noch 42 % - eine halbe Invalidenrente zufolge Härtefalls zu (Verfügungen vom 17. Februar 1999). Im Rahmen einer Rentenrevision stellte die IV-Stelle fest, der Invaliditätsgrad betrage ab dem 31. März 2000 lediglich noch 28 %, weshalb seit diesem Datum kein Rentenanspruch mehr bestehe (Verfügung vom 31. August 2000).
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 16. Mai 2001 gut und stellte fest, die Versicherte habe ab dem 1. April 2000 einen Leistungsanspruch auf Grund eines Invaliditätsgrades von 40 %.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 16. Mai 2001 gut und stellte fest, die Versicherte habe ab dem 1. April 2000 einen Leistungsanspruch auf Grund eines Invaliditätsgrades von 40 %.
C. Die IV-Stelle führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei die Verwaltungsverfügung vom 31. August 2000 zu bestätigen.
Die Versicherte und das Bundesamt für Sozialversicherung verzichten auf Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Das kantonale Gericht hat die massgebenden Bestimmungen und Grundsätze zu den Voraussetzungen und zum Umfang des Anspruchs auf eine Invalidenrente (Art. 28 Abs. 1 und 1bis IVG) und zur Ermittlung des Invaliditätsgrades bei Erwerbstätigen nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law>; <ref-ruling> f. Erw. 2a und b) zutreffend wiedergegeben. Ebenfalls richtig dargestellt sind die Gründe für eine Revision der Rente (<ref-law>, <ref-law>; <ref-ruling> Erw. 2 mit Hinweis; siehe auch <ref-ruling> Erw. 2b und 390 Erw. 1b). Darauf wird verwiesen.
1.2 Im vorliegenden Fall ist das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 nicht anwendbar, da nach dem massgebenden Zeitpunkt des Erlasses der streitigen Verfügung (hier: 31. August 2000) eingetretene Rechts- und Sachverhaltsänderungen vom Sozialversicherungsgericht nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> Erw. 1, 121 V 366 Erw. 1b).
1.2 Im vorliegenden Fall ist das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 nicht anwendbar, da nach dem massgebenden Zeitpunkt des Erlasses der streitigen Verfügung (hier: 31. August 2000) eingetretene Rechts- und Sachverhaltsänderungen vom Sozialversicherungsgericht nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> Erw. 1, 121 V 366 Erw. 1b).
2. Vor Eidgenössischem Versicherungsgericht ist einzig noch streitig, wie das hypothetische Einkommen ohne Gesundheitsschaden (Valideneinkommen) zu bemessen sei.
2.1 Die Verwaltung legte dem Einkommensvergleich ein Valideneinkommen von Fr. 45'728.- zugrunde. Dieses leitet sich von dem - auf das Jahr 2000 hochgerechneten - Stundenlohn in der Höhe von Fr. 18.70 (zuzüglich 10,5 % Ferienentschädigung) ab, den die Versicherte in den Jahren 1997/1998 als Serviceangestellte im Restaurant H._ erzielte. Das kantonale Gericht erwog demgegenüber, es sei aktenkundig, dass die seit 1988 im Gastgewerbe tätige Versicherte bereits vor Eintritt des Gesundheitsschadens häufig die Arbeitsstelle gewechselt habe. Auch angesichts ihres noch jugendlichen Alters sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit anzunehmen, dass sie die Stelle im Restaurant H._ auch im Gesundheitsfall bis zum Zeitpunkt der Rentenrevision (Verfügung vom 31. August 2000) verlassen gehabt hätte. Daher sei das Valideneinkommen auf der Grundlage des (aktuellen) Gehaltes im Pub X._ zu bemessen (vgl. Arbeitsvertrag vom 25. September 1999); dieses beträgt - bei einem Vollzeitpensum - Fr. 4'216.25 bzw. Fr. 50'595.- jährlich. Bei Zugrundelegung dieses Wertes ergebe sich ein Invaliditätsgrad von 40 %.
2.2 Bei der Ermittlung des Einkommens, welches die versicherte Person ohne invalidisierenden Gesundheitsschaden erzielen könnte, ist entscheidend, was sie im massgebenden Zeitpunkt (dazu <ref-ruling>; noch nicht in der Amtlichen Sammlung [BGE 129 V] veröffentlichtes Urteil R. vom 3. Februar 2003, I 670/01, Erw. 4.1 und 4.2) auf Grund ihrer beruflichen Fähigkeiten und persönlichen Umstände nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit verdient hätte (RKUV 1993 Nr. U 168 S. 100 f. Erw. 3b; ZAK 1992 S. 92 Erw. 4a).
Im vorliegenden Fall erscheint die Annahme plausibel, die hypothetische Einkommensentwicklung ohne Invalidität unterscheide sich nicht vom tatsächlichen Verlauf bis zum Zeitpunkt des Einkommensvergleichs. Dass oftmalige Stellenwechsel im Gastgewerbe üblich sind, ist bekannt. Auch ist nicht ersichtlich, weshalb die Beschwerdegegnerin im Gesundheitsfall nicht bestrebt gewesen sein sollte, eine besser bezahlte Arbeit anzunehmen. Währenddem sie unter Berücksichtigung der Nominallohnentwicklung im Jahre 2000 im Restaurant H._ einen Stundenlohn von lediglich rund Fr. 20.90 (einschliesslich Ferienentschädigung) erzielt hätte ([Fr. 18.70 + 10,5 %] + 0,1 % + 1,2 %; vgl. Lohnentwicklung 2001 des Bundesamtes für Statistik, S. 33 T.1.2.93), beträgt die Entschädigung bei der zum Verfügungszeitpunkt innegehabten Stelle im Pub X._ Fr. 24.25 (Fr. 4'216.25 : 21,75 Arbeitstage [AHI 2000 S. 302 Erw. 3a] : 8 Stunden), was einem Mehrverdienst von immerhin etwa 16 % entspricht. Die Beschwerdeführerin macht ausserdem nicht geltend und es geht auch nicht aus den Akten hervor, dass die Versicherte auf Grund irgendwelcher Sachzwänge an die frühere Stelle gebunden gewesen wäre. Insbesondere kann nicht gesagt werden, dass nach den örtlichen Gegebenheiten nur eine beschränkte Auswahl an Arbeitgebern zur Verfügung gestanden und deshalb ein Minderverdienst in Kauf genommen worden wäre.
2.3 Die vorinstanzliche Sichtweise ist nach dem Gesagten nicht zu beanstanden. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin hat das kantonale Gericht, indem es den aktuell erzielten Lohn als Basis für das Valideneinkommen genommen hat, keinen beruflichen Aufstieg und keine berufliche Weiterentwicklung unterstellt; die Beschwerdegegnerin ist nach wie vor als - wenn auch nunmehr besser bezahlte - Serviceangestellte in einem Gastwirtschaftsbetrieb tätig. Die IV-Stelle vermag demnach nichts aus der einschlägigen Rechtsprechung (AHI 1998 S. 171 Erw. 5a) abzuleiten, das ihren Rechtsstandpunkt stützen könnte.
Schliesslich besteht vorliegend auch kein Anlass, auf einen Tabellenlohn auszuweichen, wie es in der Eventualbegründung der Verwaltung geltend gemacht wird. Nach der Rechtsprechung hat die Einkommensermittlung so konkret wie möglich zu erfolgen. In der Regel ist daher vom letzten Lohn vor Eintritt der Gesundheitsschädigung auszugehen (Urteil S. vom 29. August 2002, I 97/00, Erw. 1.2). Ist indes - wie hier der Fall - anzunehmen, dass der im Zeitpunkt des Einkommensvergleichs zum Tragen kommende Gehaltsansatz mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auch ohne Invalidität erreicht würde, so dient dieser als massgebende Grundlage für die Bemessung des Valideneinkommens. Daran ändert der Umstand, dass die Versicherte zwischen Herbst 1998 und Sommer 1999 vorübergehend als Telefonverkäuferin im Getränkehandel tätig gewesen ist, nichts, denn diese Anstellung war Folge eines Versuchs, der Versicherten eine behinderungsangepasste Arbeit zu vermitteln.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse Gastrosuisse, Aarau, und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 26. August 2003
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer: Der Gerichtsschreiber: