Sachverhalt:
A. A.a A._ (Beschwerdeführer) ist ein professioneller Fussballspieler mit aktuellem Wohnsitz in X._ (GB). Er wurde am 8. November 1979 in England als britischer Staatsangehöriger geboren und erlangte am 17. August 2004 zusätzlich die türkische Staatsangehörigkeit.
Trabzonspor Kulübü Dernegi (Beschwerdegegner 1), eine juristische Person mit Sitz in Y._ (TR), ist ein türkischer Fussballclub. Er ist Mitglied des Türkischen Fussballverbands (Turkish Football Federation [TFF]; Beschwerdegegner 2), einer juristischen Person mit Sitz in Istanbul, welche der Fédération Internationale de Football Association (FIFA) angehört.
A.b Im Januar 2006 unterzeichneten der Beschwerdeführer und der Beschwerdegegner 1 einen "Standard Spieler-Arbeitsvertrag" ("standard players employment contract") mit einer festen Dauer vom 18. Januar 2006 bis 30. Juni 2009 und einen "ergänzenden Arbeitsvertrag" ("supplementary employment contract") mit einer festen Dauer vom 17. Januar 2006 bis 30. Juni 2008 und einer Option des Beschwerdegegners 1 auf Verlängerung der Vertragsdauer bis 30. Juni 2009.
Am 4. Januar 2008 kündigte der Beschwerdeführer das Arbeitsverhältnis wegen angeblicher Nichterfüllung der vertraglichen Verpflichtungen durch den Beschwerdegegner 1.
A.c Mit Faxschreiben vom 11. Januar 2008 erhob der Beschwerdeführer bei der FIFA eine Klage gegen den Beschwerdegegner 1. Mit Brief vom 19. Februar 2008 bestätigte die FIFA den Eingang des Faxschreibens und informierte den Beschwerdeführer im Namen ihrer Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten darüber, dass die FIFA "cannot intervene in matters between two parties of the same nationality, but has to refer them to the decision-making bodies of the relevant member Association".
A.d Am 8. April 2008 reichte der Beschwerdeführer bei der Streitbeilegungskammer des Beschwerdegegners 2 eine Klage gegen den Beschwerdegegner 1 ein.
Mit Entscheid vom 2. Dezember 2008 wies die Streitbeilegungskammer die Klage des Beschwerdeführers ab und verurteilte diesen zur Zahlung von Schadenersatz an den Beschwerdegegner 1 sowie zu einer Spielsperre von vier Monaten. Zur Begründung führte die Streitbeilegungskammer aus, dass der Beschwerdeführer den zwischen ihm und dem Beschwerdegegner 1 bestehenden Arbeitsvertrag unrechtmässig beendet habe.
A.e Gegen diesen Entscheid legte der Beschwerdeführer im Januar 2009 Berufung bei der Schiedskammer des Beschwerdegegners 2 ein.
Kurz darauf, am 15. Februar 2009, schlossen der Beschwerdeführer und der englische Fussballclub Z._ FC einen Arbeitsvertrag mit einer Dauer bis 30. Juni 2009. Am 14. April 2009 ermächtigte der Einzelrichter der FIFA Spielerstatus-Kommission den englischen Fussballverband dazu, den Beschwerdeführer bei Z._ mit unmittelbarer Wirkung provisorisch als Spieler zu registrieren.
Mit Entscheid vom 16. April 2009 setzte die Schiedskammer des Beschwerdegegners 2 den vom Beschwerdeführer an den Beschwerdegegner 1 zu bezahlenden Betrag auf 129'353.38 Türkische Lira fest und bestätigte im Übrigen den angefochtenen Entscheid der Streitbeilegungskammer. Der Entscheid der Schiedskammer wurde dem Beschwerdeführer am 21. Oktober 2009 zugestellt.
B. Am 11. November 2009 appellierte der Beschwerdeführer beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) gegen den Entscheid der Schiedskammer des Beschwerdegegners 2 vom 16. April 2009.
Mit Schiedsspruch vom 10. Juni 2010 trat das TAS auf die Berufung mangels Zuständigkeit nicht ein.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. Juli 2010 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid des TAS vom 10. Juni 2010 aufzuheben und festzustellen, dass das TAS zur Behandlung der Sache zuständig sei. Eventualiter sei die Sache an das TAS zu neuer Entscheidung zurückzuweisen. In verfahrensmässiger Hinsicht ersucht der Beschwerdeführer unter anderem um die Erteilung der aufschiebenden Wirkung und die Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung.
In ihren Vernehmlassungen beantragen der Beschwerdegegner 1 und das TAS die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdegegner 2 beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer reichte dem Bundesgericht Replik und Triplik, der Beschwerdegegner 1 Duplik und Quadruplik ein.
Mit Eingaben vom 19. Oktober 2010 bzw. 28. Oktober 2010 ersuchten beide Beschwerdegegner um Sicherstellung einer allfällig geschuldeten Parteientschädigung.
D. Mit Präsidialverfügung vom 30. September 2010 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gutgeheissen.
Mit Präsidialverfügung vom 11. November 2010 wurden die Gesuche der Beschwerdegegner um Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung gutgeheissen. Der Beschwerdeführer überwies in der Folge den geforderten Betrag von Fr. 10'000.-- an die Bundesgerichtskasse.
Die Akten des Schiedsverfahrens wurden beigezogen.

Erwägungen:
1. Nach <ref-law> ergeht der Entscheid des Bundesgerichts in einer Amtssprache, in der Regel derjenigen des angefochtenen Entscheids. Wurde dieser Entscheid in einer anderen Sprache abgefasst, bedient sich das Bundesgericht der von den Parteien verwendeten Amtssprache. Der angefochtene Entscheid ist in englischer Sprache abgefasst. Da es sich dabei nicht um eine Amtssprache handelt und sich die Parteien vor Bundesgericht verschiedener Sprachen bedienen, ergeht der Entscheid des Bundesgerichts praxisgemäss in der Sprache der Beschwerde.
2. Im vorliegenden Beschwerdeverfahren ist der Entscheid aufgrund der Akten spruchreif. Die Anordnung einer öffentlichen mündlichen Parteiverhandlung (<ref-law>), wie vom Beschwerdeführer beantragt, ist nicht angezeigt. Eine zwingende öffentliche Parteiverhandlung vor Bundesgericht, wie sie - bei Klagen gemäss <ref-law> oder wenn das Bundesgericht gestützt auf selbst erhobene Sachverhaltsfeststellungen (<ref-law>) einen reformatorischen Entscheid fällen will (vgl. <ref-law>) - ausnahmsweise durch übergeordnetes Recht geboten sein kann (vgl. HEIMGARTNER/WIPRÄCHTIGER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 9 ff. zu <ref-law>; JEAN-MAURICE FRÉSARD, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 8 f. zu <ref-law>), fällt im Rahmen des Schiedsbeschwerdeverfahrens nach <ref-law> ausser Betracht. Der Antrag auf Durchführung einer Parteiverhandlung vor Bundesgericht ist damit abzuweisen.
3. Im Bereich der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit ist die Beschwerde in Zivilsachen unter den Voraussetzungen der Art. 190-192 IPRG (SR 291) zulässig (<ref-law>).
3.1 Der Sitz des Schiedsgerichts befindet sich vorliegend in Lausanne. Sowohl der Beschwerdeführer als auch die Beschwerdegegner hatten im relevanten Zeitpunkt ihren Sitz bzw. Wohnsitz ausserhalb der Schweiz. Da die Parteien die Bestimmungen des 12. Kapitels des IPRG nicht schriftlich ausgeschlossen haben, gelangen diese zur Anwendung (Art. 176 Abs. 1 und 2 IPRG).
3.2 Die Beschwerde in Zivilsachen im Sinne von <ref-law> ist grundsätzlich rein kassatorischer Natur, d.h. sie kann nur zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führen (vgl. <ref-law>, der die Anwendbarkeit von <ref-law> ausschliesst, soweit dieser dem Bundesgericht erlaubt, in der Sache selbst zu entscheiden). Soweit der Streit die Zuständigkeit des Schiedsgerichts betrifft, gilt davon allerdings, wie schon im Rahmen der altrechtlichen staatsrechtlichen Beschwerde, eine dahingehende Ausnahme, dass das Bundesgericht selber die Zuständigkeit oder die Unzuständigkeit des Schiedsgerichts feststellen kann (<ref-ruling> E. 1b S. 282; <ref-ruling> E. 4 S. 95 f.; Urteil 4A_240/2009 vom 16. Dezember 2009 E. 1.2). Der Hauptantrag des Beschwerdeführers ist insofern zulässig.
3.3 Mit Beschwerde in Zivilsachen im Sinne von <ref-law> können nur die in <ref-law> abschliessend aufgezählten Rügen vorgebracht werden (<ref-ruling> E. 5 S. 187; <ref-ruling> E. 1a S. 53; <ref-ruling> E. 1a S. 282). Nach <ref-law> prüft das Bundesgericht sodann nur die Rügen, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind; dies entspricht der in <ref-law> für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht vorgesehenen Rügepflicht (<ref-ruling> E. 5 S. 187 mit Hinweis). Appellatorische Kritik ist unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1 S. 567; <ref-ruling> E. 3b S. 382).
3.4 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den das Schiedsgericht festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung des Schiedsgerichts weder berichtigen noch ergänzen, selbst wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (vgl. <ref-law>, der die Anwendbarkeit von <ref-law> sowie <ref-law> ausschliesst). Allerdings kann das Bundesgericht die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids überprüfen, wenn gegenüber diesen Sachverhaltsfeststellungen zulässige Rügen im Sinne von <ref-law> vorgebracht oder ausnahmsweise Noven berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 5 S. 141; <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 733; je mit Hinweisen). Wer sich auf eine Ausnahme von der Bindung des Bundesgerichts an die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz beruft und den Sachverhalt gestützt darauf berichtigt oder ergänzt wissen will, hat mit Aktenhinweisen im Einzelnen darzulegen, dass entsprechende Sachbehauptungen bereits im vorinstanzlichen Verfahren prozesskonform aufgestellt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 486; <ref-ruling> E. 1c S. 473; je mit Hinweisen).

3.5 Der Beschwerdeführer verkennt diese Grundsätze teilweise:
3.5.1 Er stellt seinen rechtlichen Vorbringen eine mehrseitige Sachverhaltsdarstellung voran, in der er die Hintergründe der Auseinandersetzung sowie des Verfahrens aus eigener Sicht schildert. Dabei weicht er über weite Strecken von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab oder erweitert diese, ohne substanziiert Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung geltend zu machen. Diese Darlegungen haben insoweit unbeachtet zu bleiben.
3.5.2 Der Beschwerdeführer verlangt sodann zu Unrecht, dass im Rahmen der Zuständigkeitsrüge gemäss <ref-law> "eine allfällige appellatorische Kritik an den rechtlichen Erwägungen vollumfänglich auf ihre rechtliche Begründetheit zu überprüfen" sei. Wenn er damit eine generelle Ausnahme von der Sachverhaltsbindung gemäss <ref-law> geltend machen will, verkennt er, dass das Bundesgericht auch bei der Überprüfung der Zuständigkeitsrüge grundsätzlich an die Sachverhaltsfeststellungen des Schiedsgerichts gebunden ist und Ausnahmen davon vom Beschwerdeführer zu behaupten und detailliert zu begründen sind. Soweit er ohne entsprechende Begründung Sachverhaltselemente anführt, welche im angefochtenen Entscheid keine Stütze finden, ist er damit folglich nicht zu hören. Dies gilt namentlich für seine tatsächlichen Ausführungen unter dem Titel "bb) Einlassung auf das Verfahren vor den Verbandsgerichten der TFF", mit welchen der Beschwerdeführer in freier Ergänzung des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts seine angeblichen Motive ausbreitet, weshalb er die Schiedskammer des Beschwerdegegners 2 angerufen habe. Das gleiche gilt für die Ausführungen unter dem Titel "dd) Club und TFF verhelfen dem Spieler zur zweiten Staatsbürgerschaft". Der Beschwerdeführer behauptet in diesem Zusammenhang zwar, die Vorinstanz habe Teile seiner Vorbringen in Verletzung des rechtlichen Gehörs unbeachtet gelassen, verweist dazu aber lediglich pauschal auf eine frühere Rechtsschrift, ohne im Einzelnen aufzuzeigen, dass die entsprechenden Behauptungen im vorinstanzlichen Verfahren prozesskonform vorgebracht wurden.
3.5.3 Da mit einer Beschwerde gegen einen internationalen Schiedsentscheid nach <ref-law> ausschliesslich die in dieser Bestimmung abschliessend aufgezählten Beschwerdegründe angerufen werden können, nicht jedoch direkt eine Verletzung der Bundesverfassung, der EMRK oder weiterer Staatsverträge (vgl. Urteile 4A_43/2010 vom 29. Juli 2010 E. 3.6.1; 4A_320/2009 vom 2. Juni 2010 E. 1.5.3; 4P.64/2001 vom 11. Juni 2001 E. 2d/aa, nicht publ. in <ref-ruling> ff.), ist auf die verschiedentlich gerügte Verletzung entsprechender Bestimmungen grundsätzlich nicht einzutreten. Die aus der BV bzw. der EMRK fliessenden Grundsätze können zwar gegebenenfalls bei der Konkretisierung der nach <ref-law> anrufbaren Garantien herangezogen werden; angesichts der strengen Begründungsanforderungen (<ref-law>) ist jedoch in der Beschwerde eigens aufzuzeigen, inwiefern ein in der genannten Bestimmung vorgesehener Beschwerdegrund gegeben sein soll.
Diesen Anforderungen genügt der Beschwerdeführer nicht, wenn er eine Verletzung von Art. 29a und 30 BV sowie Art. 13 EMRK zwar auch unter dem Titel "A. Zuständigkeit des TAS" und "B. Verletzung des rechtlichen Gehörs" ins Feld führt, dabei aber mit keinem Wort aufzeigt, inwiefern die entsprechenden Normen den Gehalt der Garantien gemäss Art. 190 Abs. 2 lit. b und d IPRG konkretisieren sollen. Dies gilt namentlich auch bezüglich des unter Hinweis auf ein Urteil des türkischen Verfassungsgerichts vorgetragenen Einwands, dass die Verbandsgerichte des Beschwerdegegners 2 keine unabhängigen Gerichte sein sollen. Darauf ist nicht einzutreten.
4. Der Beschwerdeführer macht unter Berufung auf <ref-law> geltend, die Vorinstanz habe sich zu Unrecht für unzuständig erklärt. Entgegen deren Auffassung hätten sich die Parteien einer Schiedsklausel unterworfen, welche die Zuständigkeit des TAS vorsehe.
4. Der Beschwerdeführer macht unter Berufung auf <ref-law> geltend, die Vorinstanz habe sich zu Unrecht für unzuständig erklärt. Entgegen deren Auffassung hätten sich die Parteien einer Schiedsklausel unterworfen, welche die Zuständigkeit des TAS vorsehe.
4.1 4.1.1 Die Vorinstanz prüfte ihre Zuständigkeit ausgehend von Artikel R47 des TAS-Code, wonach ein Entscheid eines Sportverbands beim TAS angefochten werden kann, sofern die Statuten oder Reglemente des Verbands dies vorsehen ["insofar as the statutes or regulations of the said body so provide"] oder die Parteien eine besondere Schiedsvereinbarung ["specific arbitration agreement"] abgeschlossen haben.
Dabei verwies die Vorinstanz zunächst auf die Bestimmungen in den vom Beschwerdeführer und dem Beschwerdegegner 1 unterzeichneten Arbeitsverträgen. Ziff. 16 des "ergänzenden Arbeitsvertrags" lautet wie folgt:
"a) Should any dispute occur that is not reasonable resolved by the parties than such disputes will be passed to FIFA for arbitration.
b) The contract shall be governed by the laws of Turkish and reserved under jurisdiction of the Turkish Law Courts."
Ziff. 3 des "Standard Spieler-Arbeitsvertrags" lautet wie folgt:
"The Executive Committee of the Turkish Football Federation and the Arbitration Committee shall have exclusively jurisdiction for the settlement of disputes arising out or in connection with this Contract."
Daraus schloss die Vorinstanz, dass keiner der Arbeitsverträge eine Schiedsklausel enthalte, welche die Zuständigkeit des TAS als Berufungsinstanz gegen Entscheide der Schiedskammer des Beschwerdegegners 2 vorsähe. Es bestünden daher keine Anhaltspunkte, dass die Parteien eine besondere Schiedsvereinbarung i.S. von R47 des TAS-Code abgeschlossen hätten. Eine solche lasse sich zudem auch aus den Art. 62.1, 63.1 und 64.3 der FIFA Statuten nicht ableiten.
4.1.2 In einem zweiten Schritt prüfte die Vorinstanz, ob die Statuten bzw. Reglemente des Beschwerdegegners 2 eine Berufung an das TAS i.S. von R47 des TAS-Code vorsehen.
Dabei verwies die Vorinstanz zunächst auf Art. 2.1 der Statuten des Beschwerdegegners 2 (TFF Statuten), wonach es eines der Ziele des TFF sei, "to recognise (...) the jurisdiction of the Court of Arbitration for Sport ('CAS') as specified in Articles 59 and 60 of the FIFA Statutes and paragraph 1 of Article 59 of the UEFA Statutes". Diese Bestimmung sei freilich im Lichte von Art. 64 der TFF Statuten zu interpretieren, welche wie folgt lautet:
"CAS shall not, however, hear appeals on (...) decisions passed by the independent and duly constituted Arbitration Comittee of the TFF."
Weiter sei Art. 13f der TFF Statuten zu beachten, gemäss welchem es einem Mitglied aufgegeben sei "to apply to the Arbitration Committee as a last instance at all disputes of national dimension arising from or related to the application of the TFF statutes or regulations, and not to take any dispute to any other judicial authorities".
Schliesslich verwies die Vorinstanz auf die türkischen Gesetze Nr. 3813 vom 29. November 2007 und Nr. 5894 vom 5. Mai 2009, mit welchen das türkische Gesetz über die "Gründung und die Pflichten des Türkischen Fussballverbandes (TFF)" (Fussballgesetz) abgeändert wurden. Mit dem Gesetz Nr. 3813 wurde Art. 14 des türkischen Fussballgesetzes wie folgt ergänzt:
"The right of appeal to the Court of Arbitration for Sport against the awards of the Arbitration Board with regards to the disputes arising from the transfer, licence, and agreements of the players and agreements of the coaches and managers are reserved."
Mit dem Gesetz Nr. 5894 wurden die Art. 6, 19 und 20 des türkischen Fussballgesetzes demgegenüber wie folgt gefasst:
"Art. 6 (1) The Arbitration Committee is an independent and impartial compulsory arbitration authority which is the top legal committee of TFF under the present Law and is also the legal body of last instance for disputes covered by the TFF Statutes and corresponding regulations.
(2) The Arbitration Committee exclusively and finally examines and decides over the decisions taken by any TFF organ or body, which has decision-making power given by the TFF Statutes and corresponding regulations (...).
(4) Any decision taken by the Arbitration Committee shall be final and binding for the relevant parties and no legal action may be taken against these decisions before any other judicial authorities (...).
Art. 19 (1) Law No. 3813 on the Establishment and Duties of the Turkish Football Federation, (...), was repealed (...).
Art. 20 (1) The present Law shall come into force on the date it is published in the Official Gazette."
Gestützt auf Art. 6 des auf den 5. Mai 2009 revidierten türkischen Fussballgesetzes i.V.m. Art. 64 der TFF Statuten kam die Vorinstanz zum Schluss, dass das TAS zur Behandlung der Berufung des Beschwerdeführers nicht zuständig sei. Dass der alte Art. 14 des Fussballgesetzes einen Vorbehalt zugunsten einer Berufung an das TAS vorsah, hielt die Vorinstanz für unerheblich, zumal diese Bestimmung im Zeitpunkt der Anrufung des TAS am 11. November 2009 bereits ausser Kraft gesetzt war.
4.1.3 In einem dritten Schritt prüfte die Vorinstanz schliesslich, ob sich aus Art. 14 des Reglementes der Schiedskammer des Beschwerdegegners 2 (TFF-Schiedsreglement) eine Zuständigkeit des TAS ableiten lasse. Dabei verwies die Vorinstanz auf die von den Parteien zu den Akten gereichten Übersetzungen der Bestimmung. Gemäss dem Beschwerdeführer lautet diese wie folgt:
"Any objection to decisions of the Arbitration Board for disputes arising out of the contracts of Sportsmen, Managers and Coaches which contain a foreign element may be made to the Court of Arbitration for Sport in light of the regulations and directives of FIFA and UEFA."
Gemäss den Beschwerdegegnern lautet die Bestimmung hingegen wie folgt:
"Decisions of the Arbitration Committee shall be final (...)
Appeals may be filed with the Court of Arbitration for Sport in accordance with the regulations and statutes of FIFA and UEFA against the resolutions adopted by the Arbitration Committee with regards to the disputes of international dimension arising from contracts of Players, Coaches and Trainers."
Ohne sich dazu zu äussern, welche der beiden Übersetzungen massgebend ist, prüfte die Vorinstanz in der Folge, ob die Streitigkeit zwischen dem Beschwerdeführer und dem Beschwerdegegner 1 ein ausländisches Element bzw. eine internationale Dimension aufweise. Dabei erwog sie zunächst, dass der Streit auf der Kündigungsanzeige gründe, welche der Beschwerdeführer am 4. Januar 2008 dem Beschwerdegegner 1 zukommen liess. Der Beschwerdeführer mache eine Kündigung aus wichtigem Grund geltend, da der Beschwerdegegner 1 seinen vertraglichen Verpflichtungen nicht nachkomme, indem er namentlich ausstehende Löhne angeblich nicht bezahle. Daraus schloss die Vorinstanz, dass der Streit nichts mit der Absicht des Beschwerdeführers zu tun habe, zu einem ausländischen Club zu wechseln, und damit nicht in den Anwendungsbereich des FIFA Reglements bezüglich Status und Transfer von Spielern falle. Zwar behaupte der Beschwerdeführer das Vorliegen eines ausländischen Elementes, da er am 15. Februar 2009 einen Vertrag mit dem englischen Club Z._ abgeschlossen und dazu ein sog. Internationales Transferzertifikat benötigt habe. Diesen Umstand habe der Beschwerdeführer jedoch erst 13 Monate nach der Kündigungsanzeige an den Beschwerdegegner 1 ins Feld geführt. Daraus schloss die Vorinstanz, dass kein ausländischer Club in den Streit zwischen dem Beschwerdeführer und dem Beschwerdegegner 1 involviert war und der Streit insbesondere auch nicht im Zusammenhang mit der Ausstellung eines Internationalen Transferzertifikats stand.
Weiter wies die Vorinstanz auf die Definition der "internationalen Dimension" nach Art. 22 lit. b des FIFA Reglements bezüglich Status und Transfer von Spielern hin, welche gemäss dem offiziellen Kommentar wie folgt lautet:
"The international dimension is represented by the fact that the player concerned is a foreigner in the country concerned."
Die Vorinstanz prüfte in der Folge, ob der Beschwerdeführer in der Türkei als Ausländer zu betrachten sei. Dabei führte sie aus, dass der Beschwerdeführer 2003 im Alter von 23 Jahren als britischer Staatsangehöriger von England in die Türkei gezogen und beim türkischen Club Q._ registriert worden sei. Am 17. August 2004 habe der Beschwerdeführer im Alter von 24 Jahren die türkische Staatsangehörigkeit erworben. Im Januar 2006 habe der Beschwerdeführer schliesslich als 26-Jähriger von Q._ zum Beschwerdegegner 1 gewechselt und sei dort von Januar 2006 bis Januar 2008 als türkischer Spieler registriert gewesen.
Vor diesem Hintergrund könne der Beschwerdeführer nicht als Ausländer in der Türkei betrachtet werden, zumal sich der Beschwerdeführer die Vorteile der türkischen Staatsangehörigkeit durchaus zunutze gemacht habe. So habe er etwa mit einem Schreiben vom 12. April 2005 den Präsidenten des Beschwerdegegners 2 um die Aufnahme in die türkische Nationalmannschaft ersucht und dabei darauf hingewiesen, dass er bisher noch nie für ein Team des Vereinigten Königreichs gespielt habe. In zwei weiteren Schreiben vom 26. April 2005 und 16. Mai 2005 habe er den Wunsch wiederholt, in der türkischen Nationalmannschaft zu spielen. Aus einem offiziellen Dokument ergebe sich sodann, dass der Beschwerdeführer am 9. September 2006 anlässlich des "Future Cups" als Spieler Nr. 11 für die Türkei gegen Deutschland gespielt habe. Daraus schloss die Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer sich in der Türkei nicht mehr als ausländischer Spieler ausgeben könne. Vor diesem Hintergrund seien seine zweite britische Staatsangehörigkeit, die Staatsangehörigkeit seiner Familie, sein Familienleben in England sowie der Umstand, dass er während der meisten Zeit seiner Karriere in England gespielt habe, nebensächlich und unerheblich für die Frage nach dem Vorliegen einer internationalen Dimension. Die Streitigkeit zwischen dem Beschwerdeführer und dem Beschwerdegegner 1 weise kein internationales Element auf, weshalb das TAS auch gestützt auf Art. 14 des TFF-Schiedsreglements nicht zuständig sei.
Vor diesem Hintergrund könne der Beschwerdeführer nicht als Ausländer in der Türkei betrachtet werden, zumal sich der Beschwerdeführer die Vorteile der türkischen Staatsangehörigkeit durchaus zunutze gemacht habe. So habe er etwa mit einem Schreiben vom 12. April 2005 den Präsidenten des Beschwerdegegners 2 um die Aufnahme in die türkische Nationalmannschaft ersucht und dabei darauf hingewiesen, dass er bisher noch nie für ein Team des Vereinigten Königreichs gespielt habe. In zwei weiteren Schreiben vom 26. April 2005 und 16. Mai 2005 habe er den Wunsch wiederholt, in der türkischen Nationalmannschaft zu spielen. Aus einem offiziellen Dokument ergebe sich sodann, dass der Beschwerdeführer am 9. September 2006 anlässlich des "Future Cups" als Spieler Nr. 11 für die Türkei gegen Deutschland gespielt habe. Daraus schloss die Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer sich in der Türkei nicht mehr als ausländischer Spieler ausgeben könne. Vor diesem Hintergrund seien seine zweite britische Staatsangehörigkeit, die Staatsangehörigkeit seiner Familie, sein Familienleben in England sowie der Umstand, dass er während der meisten Zeit seiner Karriere in England gespielt habe, nebensächlich und unerheblich für die Frage nach dem Vorliegen einer internationalen Dimension. Die Streitigkeit zwischen dem Beschwerdeführer und dem Beschwerdegegner 1 weise kein internationales Element auf, weshalb das TAS auch gestützt auf Art. 14 des TFF-Schiedsreglements nicht zuständig sei.
4.2 4.2.1 Das Bundesgericht prüft die Zuständigkeitsrüge nach <ref-law> einschliesslich materieller Vorfragen, von deren Beantwortung die Zuständigkeit abhängt, in rechtlicher Hinsicht frei. Demgegenüber überprüft es die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids auch im Rahmen der Zuständigkeitsrüge nur, wenn gegenüber diesen Sachverhaltsfeststellungen zulässige Rügen im Sinne von <ref-law> vorgebracht oder ausnahmsweise Noven berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 3.1 S. 567; <ref-ruling> E. 5 S. 141; <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 733).
4.2.2 <ref-law> regelt die Formerfordernisse der Schiedsklausel und bestimmt das auf ihre materielle Gültigkeit, namentlich hinsichtlich ihres Zustandekommens, ihrer Tragweite und ihres Erlöschens anwendbare Recht. Zu den Wesensmerkmalen und zum notwendigen Inhalt einer Schiedsklausel äussert sich die Norm dagegen nicht. In Übereinstimmung mit dem überlieferten Begriff der privaten Schiedsgerichtsbarkeit ist darunter eine Übereinkunft zu verstehen, mit der sich zwei oder mehrere bestimmte oder bestimmbare Parteien einigen, eine oder mehrere, bestehende oder bestimmte künftige Streitigkeiten verbindlich und unter Ausschluss der ursprünglichen staatlichen Gerichtsbarkeit einem Schiedsgericht nach Massgabe einer unmittelbar oder mittelbar bestimmten rechtlichen Ordnung zu unterstellen. Allgemeine Voraussetzung einer Schiedsvereinbarung ist zudem ihre Klarheit und Bestimmtheit hinsichtlich der privaten Jurisdiktion, d.h. das zur Entscheidung berufene Schiedsgericht muss entweder eindeutig bestimmt oder jedenfalls bestimmbar sein (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen).
4.3 4.3.1 Der Beschwerdeführer macht in seiner Beschwerde zunächst geltend, die Parteien hätten sich bei der Einleitung des Verfahrens gegen den Beschwerdegegner 1 vor der Schiedskammer des Beschwerdegegners 2 auf die "Schiedsklausel" des bis am 5. Mai 2009 geltenden Art. 14 des türkischen Fussballgesetzes "eingelassen". Der Beschwerdeführer sei davon ausgegangen, dass ihm gegen den Entscheid dieser Schiedskammer die Weiterzugsmöglichkeit an das TAS offenstand. Zwar habe Art. 14 des Fussballgesetzes im Zeitpunkt der Anrufung des TAS nicht mehr gegolten; eine nachträgliche Änderung der Schiedsklausel bedürfe aber der (hier nicht vorliegenden) Zustimmung beider Parteien. Es entspreche zudem regelmässig dem Parteiwillen, dass die jeweils im Zeitpunkt der Einreichung des Schiedsbegehrens geltende Schiedsklausel anwendbar sein soll. Das TAS sei deshalb gestützt auf den alten Art. 14 des türkischen Fussballgesetzes "und die darin vorgesehene Schiedsklausel zusammen mit den damals geltenden Regelwerken zur Behandlung des vorliegenden Falles zuständig".
Die Rüge geht fehl. Denn wie beide Beschwerdegegner zu Recht einwenden, enthielt Art. 14 des mit dem Gesetz Nr. 3813 vom 29. November 2007 abgeänderten türkischen Fussballgesetzes lediglich einen Vorbehalt zugunsten eines "Berufungsrechts" an das TAS ("The right of appeal to the Court of Arbitration for Sport ... are [sic!] reserved"). Diese (inzwischen aufgehobene) Bestimmung liess damit dem türkischen Fussballverband lediglich die Möglichkeit offen, in seinen Statuten ein entsprechendes Beschwerderecht vorzusehen, stellt aber als solche entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers noch keine Schiedsklausel dar, auf welche sich die Parteien durch Verweisung einvernehmlich hätten beziehen bzw. "einlassen" können. Die Zuständigkeit der Vorinstanz als Berufungsinstanz gegen Entscheide der Schiedskammer des Beschwerdegegners 2 lässt sich gestützt darauf nicht begründen.
4.3.2 Der Beschwerdeführer macht sodann unter Hinweis auf das Urteil 4A_548/2009 vom 20. Januar 2009 geltend, dass bereits die Beantragung eines Internationalen Transferzertifikats bei der FIFA "die Zuständigkeit des TAS für die damit verbundene vertragsrechtliche Streitigkeit" begründe.
Im erwähnten Urteil ging es um den Fall eines Spielers, der seinen Club verlassen wollte, um für einen anderen Verein zu spielen. Im entsprechenden Streit über der Auflösung des Arbeitsvertrages wandten sich die involvierten Vereine und der Spieler an die Streitbeilegungskammer der FIFA. Der Spieler musste sich infolgedessen die Bestimmung von Art. 24 Ziff. 2 des FIFA Reglements bezüglich Status und Transfer von Spielern, welche gegen den Entscheid der FIFA-Streitbeilegungskammer eine Berufung an das TAS vorsieht, entgegenhalten lassen (Urteil 4A_548/2009 vom 20. Januar 2009 E. 3.2.1; 4.2.1; 4.2.2; 4.2.3).
Anders als im erwähnten Urteil dreht sich der vorliegende Streit gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen demgegenüber ausschliesslich um die Kündigung des Arbeitsverhältnisses wegen angeblicher Nichterfüllung vertraglicher Verpflichtungen durch den Beschwerdegegner 1. Mit dem Transfer des Beschwerdeführers zu einem anderen Club hat der Streit gemäss der Vorinstanz nichts zu tun. Zudem handelt es sich beim vor der Vorinstanz angefochtenen Entscheid nicht um einen solchen der FIFA-Streitbeilegungskammer, sondern der Schiedskammer des Beschwerdegegners 2. Eine Zuständigkeit des TAS als Berufungsinstanz gegen Entscheide der Schiedskammer des Beschwerdegegners lässt sich gestützt auf Art. 24 Ziff. 2 des FIFA Reglements bezüglich Status und Transfer von Spielern, welcher nur gegen Entscheide der FIFA-Streitbeilegungskammer eine Berufung an das TAS vorsieht, damit ohnehin nicht begründen.
4.3.3
4.3.3.1 Der Beschwerdeführer macht sodann geltend, dass der vorliegende Streit entgegen der Auffassung der Vorinstanz durchaus ein "ausländisches Element" bzw. eine "internationale Dimension" i.S. von Art. 14 des Reglementes der Schiedskammer des Beschwerdegegners 2 (TFF-Schiedsreglement) aufweise. Dieses Element bzw. diese Dimension liege zunächst darin, dass er nicht nur türkischer, sondern auch britischer Staatsangehöriger sei. Als solcher sei er im englischen Fussballmarkt ein Inländer und falle dort nicht unter die Quotenregelung für Ausländer. Weiter ergebe sich eine internationale Dimension daraus, dass der "ergänzende Arbeitsvertrag" in englischer Sprache redigiert sei und eine "internationale Schiedsklausel (FIFA Arbitration)" enthalte. Zudem befänden sich die Wurzeln und der Lebensmittelpunkt des Beschwerdeführers und seiner Familie in England; der Beschwerdeführer sei nach der Vertragsbeendigung denn auch zu seiner Familie nach England zurückgekehrt und habe sich dort einen neuen Arbeitgeber gesucht. Schliesslich bestehe eine internationale Dimension auch darin, dass der Beschwerdeführer vom Beschwerdegegner 2 mit einer Spielsperre von 4 Monaten belegt wurde. Obwohl diese anschliessend von der Schiedskammer des Beschwerdegegners 2 aufgehoben worden sei, habe der Fall damit eine internationale Dimension erhalten, da es dem Beschwerdeführer durch die Spielsperre erschwert worden sei, auf dem weltweiten Markt für Fussballspieler einen neuen Arbeitgeber zu finden.
4.3.3.2 Art. 14 des TFF-Schiedsreglements ist sowohl nach der Übersetzung des Beschwerdeführers als auch nach jener der Beschwerdegegner (oben E. 4.1.3) im Lichte der Reglemente der FIFA auszulegen, namentlich von Art. 22 des FIFA Reglements bezüglich Status und Transfer von Spielern. Dies anerkennt der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde an das Bundesgericht ausdrücklich. Massgebendes Kriterium für die Auslegung von Art. 14 des TFF-Schiedsreglements ist somit die genannte FIFA-Norm.
Art. 22 lit. b des FIFA Reglements bezüglich Status und Transfer von Spielern regelt die Zuständigkeit der FIFA für "employment-related disputes between a club and a player that have an international dimension". Gemäss dem offiziellen Kommentar der FIFA liegt eine "internationale Dimension" i.S. dieser Norm dann vor, wenn der betreffende Spieler im betreffenden Land ein Ausländer ist (Commentary on the Regulations for the Status and Transfer of Players, N. 4b zu Art. 22). Daraus ergibt sich, dass die internationale Dimension bzw. das ausländische Element i.S. des im Lichte der FIFA Normen ausgelegten Art. 14 des TFF-Schiedsreglements einzig dann gegeben ist, wenn der klagende Spieler im Land des beklagten Fussballvereins als Ausländer gilt. Auf alle weiteren vom Beschwerdeführer ins Feld geführten Elemente, welche dem Streit eine Auslandberührung verleihen könnten, namentlich der Lebensmittelpunkt des Beschwerdeführers in England, seine zweite Staatsangehörigkeit, die Sprache, in welcher der ergänzende Arbeitsvertrag redigiert ist, sowie die Spielsperre mit Auswirkung auf den weltweiten Transfermarkt, kommt es nach der FIFA-konformen Auslegung von Art. 14 des TFF-Schiedsreglements somit nicht an.
Diesen Befund vermag der Beschwerdeführer auch mit dem Hinweis auf N. 4b zu Art. 22 des Commentary on the Regulations for the Status and Transfer of Players nicht in Frage zu stellen, beziehen sich doch die dortigen Ausführungen nicht auf Art. 22 lit. b des FIFA Reglements, sondern auf Art. 22 lit. a. In dieser Bestimmung werden Streitigkeiten zwischen einem Spieler und einem Verein über eine Forderung, welche im Zusammenhang mit der Ausstellung eines Transferzertifikats steht ("claim from an interested party in relation to such ITC Request, in particular regarding its issuance") geregelt. Wie bereits erwähnt (oben E. 4.4.2), dreht sich der Streit zwischen den Parteien aber nicht um eine Forderung im Zusammenhang mit der Ausstellung eines Transferzertifikats, sondern ausschliesslich um die angebliche Nichterfüllung vertraglicher Verpflichtungen durch den Beschwerdegegner 1. Der Beschwerdeführer macht denn auch zu Recht nicht geltend, dass die arbeitsvertragliche Streitigkeit zwischen den Parteien ihren Grund darin hat, dass die FIFA um die Ausstellung eines Transferzertifikats ersucht wurde. Gänzlich an der Sache vorbei geht sodann seine Behauptung, die Vorinstanz sei selbst von einer internationalen Dimension des Sachverhalts ausgegangen, indem sie <ref-law> "angewendet" habe. Die Vorinstanz hat in ihren Erwägungen lediglich im Sinne eines obiter dictum darauf hingewiesen, wie das schweizerische Kollisionsrecht in <ref-law> mit dem Problem mehrfacher Staatsangehörigkeit umgeht, dabei aber die genannte Norm weder angewandt, geschweige denn daraus eine entscheidtragende Begründung abgeleitet.
Nach dem Gesagten läge eine "internationale Dimension" bzw. ein "ausländisches Element" i.S. von Art. 14 des TFF-Schiedsreglements somit einzig vor, wenn der Beschwerdeführer in einem Streit mit einem türkischen Fussballclub als Ausländer gälte. Dass er dies als türkischer Staatsangehöriger, der gemäss den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen in den türkischen Fussballvereinen als Inländer und sogar für eine türkische Nationalmannschaft gespielt hat, nicht ist, vermag der Beschwerdeführer nicht ernsthaft zu bestreiten. Die FIFA hat in ihrem Schreiben vom 19. Februar 2008 denn auch die gleiche Nationalität des Beschwerdeführers und des Beschwerdegegners 1 hervorgehoben und die Parteien aus diesem Grund an die Entscheidgremien des türkischen Fussballverbandes verwiesen. Dagegen hat der Beschwerdeführer keinen Einspruch erhoben. Die Vorinstanz hat damit zu Recht ihre Zuständigkeit gestützt auf Art. 14 des FIFA-konform ausgelegten TFF-Schiedsreglements verneint.
5. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz weiter eine Verletzung des rechtlichen Gehörs i.S. des <ref-law> vor, indem diese die Begründungspflicht mehrfach verletzt und den Antrag auf Durchführung einer mündlichen Anhörung abgewiesen habe.
Die Rüge ist unbegründet, denn aus dem Grundsatz des rechtlichen Gehörs im Sinne von <ref-law> ergibt sich nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts weder einen Anspruch auf Begründung des Schiedsspruches (<ref-ruling> E. 6 S. 187 f. mit Hinweisen) noch einen Anspruch auf mündliche Äusserung vor dem Schiedsgericht (<ref-ruling> E. 1b/aa S. 348; Urteil 4A_220/2007 vom 21. September 2007 E. 8.1).
6. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Da die Beschwerdegegner sich beide haben vernehmen lassen und durch unterschiedliche Anwälte vertreten sind, steht ihnen je eine Parteientschädigung zu. Diese ist aus der vom Beschwerdeführer an die Gerichtskasse bezahlten Sicherheitsleistung auszurichten.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit je Fr. 5'000.-- zu entschädigen. Diese Entschädigung wird aus der an die Gerichtskasse bezahlten Sicherheitsleistung ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Tribunal Arbitral du Sport (TAS) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. April 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Hurni