Faits:
A.
Par jugement du 25 septembre 2012, le Juge III du district de Sierre a reconnu Y._ coupable de lésions corporelles graves à l'encontre de X._ (<ref-law>) et l'a condamné à une peine privative de liberté de douze mois, avec sursis pendant deux ans, ainsi qu'à une amende de 3'000 fr., la peine privative de liberté de substitution en cas de non-paiement fautif de l'amende étant de trente jours. Sur le plan civil, il a rejeté les prétentions civiles formées par X._ contre Y._ et déclaré irrecevables celles qu'elle avait formées contre l'Etat du Valais.
B.
Statuant le 7 juin 2013, le Tribunal cantonal valaisan a rejeté l'appel de la partie plaignante X._ et admis celui du prévenu Y._. En conséquence, il a acquitté ce dernier et rejeté les prétentions civiles de X._, dans la mesure où elles étaient recevables.
Il se fonde notamment sur les faits suivants:
B.a. A._ - qui porte le nom de X._ à la suite de son mariage et qui par commodité sera appelée X._ dans le présent arrêt -, a été engagée le 25 septembre 1997 en tant que professeur auxiliaire de l'enseignement secondaire du deuxième degré auprès de l'Ecole supérieure de commerce de Sierre (ci-après: l'ESC). A l'instar d'autres collègues, elle a rencontré assez vite des difficultés relationnelles avec le directeur de l'ESC, Y._. Celui-ci critiquait avant tout les activités de X._ dans le cadre de l'animation théâtrale. Il ne la soutenait pas en cas de conflit avec les élèves; il avait même, à une occasion, désavoué des mesures disciplinaires qu'elle avait prises. Il lui faisait des remarques sur sa façon de s'habiller. Il lui arrivait de se montrer indélicat et de faire irruption dans sa salle de classe sans frapper. Il a également adopté envers elle un comportement ambigu, en lui reprochant de ne pas s'intéresser à lui, de ne pas lui écrire durant les vacances d'été et de le faire souffrir. Il lui imposait certains contacts physiques (poignées de main, bises, notamment). Il surveillait les relations de l'intéressée avec son entourage professionnel. Il la gratifiait de plaisanteries grivoises.
B.b. Le 25 août 2001, X._ a déposé une plainte administrative à l'encontre de Y._, soulignant les atteintes à la santé qu'avaient engendrées ses actes irrespectueux contre elle. Au terme de son écriture des 15 novembre/17 décembre 2001, la commission disciplinaire de l'Etat du Valais a proposé au Conseil d'Etat de constater l'existence d'un harcèlement psychologique de la part de Y._ à l'endroit de X._ et B._ et de sanctionner l'intéressé d'une " mise au provisoire " pendant un an avec transfert dans une nouvelle fonction. Après avoir recouru au Tribunal cantonal contre cette décision, Y._, se basant sur un certificat médical attestant son incapacité totale de travail, a donné sa démission au Conseil d'Etat qui l'a acceptée par décision du 6 février 2002, rendant ainsi son recours sans objet.
B.c. Dès 2002, différentes plaintes pénales ont été déposées de part et d'autre.
Le 14 mars 2002, Y._ a déposé une plainte pénale contre X._, B._ et C._ pour infractions contre l'honneur et contrainte, estimant que ces personnes l'avaient abusivement dénoncé et que leurs agissements l'avaient amené à devoir demander une retraite anticipée.
Le 22 avril 2002, X._ a déposé une plainte contre Y._ au motif que celui-ci l'avait dénoncée pénalement, ce qui constituait à ses yeux des actes supplémentaires de harcèlement psychologique.
Le 30 juin 2003, elle a également dénoncé pénalement Y._ pour faux témoignage à la suite d'un interrogatoire du 24 juin 2003, en qualité de témoin, dans la procédure civile l'opposant à l'Etat du Valais.
Le 25 août 2003, elle l'a dénoncé pénalement pour lésions corporelles graves, en relevant que l'atteinte à sa santé était démontrée tant par les observations et attestations médicales émises par les médecins que par les témoignages de nombreux témoins entendus dans le cadre de la procédure civile. Elle s'est constituée partie civile.
B.d. Le 15 novembre 2006, le juge d'instruction a ouvert une instruction d'office contre Y._ pour dénonciation calomnieuse, lésions corporelles graves et faux témoignage.
Dans ce cadre, des expertises ont été ordonnées. Le 13 décembre 2007, les Professeurs D._ et E._ ainsi que le Dr F._ ont versé leur rapport en cause. Le 28 janvier 2011, le Dr G._ a remis un second rapport d'expertise, rédigé en concours avec les Drs H._ et I._.
Dans leur analyse, les seconds experts ont distingué trois périodes: une première période de 1997 au 17 décembre 2001, une deuxième de fin décembre 2001 à mars 2002 et une troisième de mars 2002 à 2010. Ils ont relevé l'absence chez X._ de troubles de la personnalité antérieurs à 1997.
Les experts ont constaté que la dégradation de l'état de santé de X._ avait débuté à partir des années 1997-1998 avec la manifestation de troubles du sommeil, un amaigrissement, des céphalées, des troubles digestifs, une fatigue, des crises d'angoisse, mais également un sentiment de colère, d'incompréhension et de culpabilité. La situation s'était détériorée en 2001 au motif qu'elle n'avait pas bénéficié du programme d'enseignement et d'activité théâtrale qu'elle escomptait. Sa situation de couple s'était également péjorée, car X._ était totalement préoccupée par sa situation professionnelle.
Sur la base des explications fournies par la Dresse J._, les experts ont relevé " une évolution favorable " dès le moment où Y._ avait quitté son emploi; à cette même période, X._ avait noué une relation sentimentale avec l'avocat qui la défendait. Elle n'était alors plus en proie à de l'anxiété, à des plaintes dépressives ou à des troubles du sommeil. Lors de sa dernière consultation chez la Dresse J._ le 18 janvier 2002, elle était " quasiment asymptomatique ". Dès janvier 2002, elle s'était sentie psychiquement et physiquement mieux et elle avait entrevu une période qui débutait sous de meilleurs auspices. Elle n'était plus confrontée quotidiennement à Y._, qui avait démissionné. Elle avait manifesté le souhait d'appartenir à la nouvelle équipe de direction de l'ESC. Elle s'était mise en ménage avec son nouveau compagnon. Enceinte, elle avait pu envisager une vraie vie de famille. Dans ce contexte de très net mieux-être, voire de réel bien-être, elle n'avait plus ressenti le besoin de consulter de psychiatre. En février 2002, elle avait stoppé la prise d'antidépresseur.
Les experts ont constaté que, dès le dépôt de la plainte pénale de mars 2002, alors que X._ se trouvait dans un processus évolutif positif, son état psychique s'était péjoré progressivement, dans un contexte de procédures juridiques multiples et d'expertises. X._ et Y._ avaient ainsi été pris au piège dans une sorte de tourmente juridique qu'ils alimentaient, chacun à leur tour, en cherchant à se défendre. Ces défenses reposaient sur d'autres accusations et envenimaient le conflit qui perdurait dans une succession de procédures juridiques. Cette situation complexe était entretenue dans une réciprocité d'accusations.
Les experts ont indiqué que le mauvais état de santé actuel de X._, qui se manifestait sur les niveaux physique, psychique et social, n'était pas la conséquence du comportement de Y._ durant la période scolaire 1997-2001, mais des procédures et des exigences qui s'y rapportaient, après mars 2002 et principalement depuis l'été 2007. Dans leurs rapports complémentaires des 23 mars et 10 mai 2011, ils ont confirmé la rupture du lien de causalité entre le harcèlement initial et l'état de santé de X._ postérieur à mars 2002, en mettant le doigt sur le rôle déterminant et particulièrement néfaste sur cet état de santé des procédures judiciaires engagées par les intéressés.
B.e. Par mémoire du 8 juillet 2002, X._ a également ouvert action en responsabilité contre l'Etat du Valais en raison des agissements de Y._. La procédure s'est terminée par un arrêt du 9 mai 2006 du Tribunal fédéral, lequel a notamment condamné l'Etat du Valais à verser à l'intéressée 42'249 fr. avec intérêt à 5 % l'an dès le 8 juillet 2002.
C.
Contre le jugement du 7 juin 2013, le Ministère public valaisan dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Dénonçant une violation de l'<ref-law> (lésions corporelles graves), il conclut à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
X._ interjette également contre ce dernier jugement un " recours pour déni de justice et refus de statuer, un recours en matière pénale et subsidiairement un recours constitutionnel " devant le Tribunal fédéral.
Le 21 novembre 2013, elle a produit trois pièces nouvelles, qui, conformément à l'<ref-law>, sont irrecevables.

Considérant en droit:
1.
Comme les deux recours concernent la même décision et portent, partiellement, sur les mêmes questions, il y a lieu de joindre les causes et de les traiter dans un seul arrêt (<ref-law> et 71 LTF).
I. Recours du ministère public
2.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 46).
2.1.
2.1.1. Selon l'<ref-law>, a qualité pour former un recours en matière pénale quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a) et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée, à savoir en particulier l'accusateur public (let. b ch. 3). Si la Confédération ou les cantons ont désigné un premier procureur ou un procureur général, ils déterminent le ministère public habilité à interjeter recours (<ref-law>). Lorsque l'organisation judiciaire mise en place dans le canton réserve à un procureur d'un rang supérieur la compétence de recourir, ce magistrat pourra former un recours en matière pénale même s'il n'a pas personnellement participé aux étapes précédentes de la procédure (<ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 38 s.; JO PITTELOUD, Code de procédure pénale suisse, 2012, n° 1119, p. 760; ANDREAS J. KELLER, in Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung (StPO), 2010, n° 22 ad <ref-law>).
Le Ministère public valaisan est constitué d'un office central, dont le siège est à Sion, et de trois offices régionaux, dont les sièges sont respectivement à Viège, Sion et St-Maurice (art. 23 al. 2 de la loi valaisanne d'organisation de la justice du 11 février 2009 en vigueur depuis le 1er janvier 2011; LOJ; RS/VS 173.1). L'office central est dirigé par le procureur général et chaque office régional par un premier procureur (art. 23 al. 3 LOJ). Selon l'art. 40 al. 1 de la loi valaisanne d'application du code de procédure pénale du 11 février 2009 (entrée également en vigueur au 1er janvier 2011; LACPP; RS/VS 312.0), le premier procureur ou le procureur qui a procédé en première instance a qualité pour interjeter recours. Le procureur général a toujours qualité, subsidiairement, pour interjeter recours (art. 40 al. 3 LACPP).
2.1.2. En l'espèce, le mémoire de recours est signé par le procureur général et un procureur de l'Office régional du Bas-Valais (qui n'a pas procédé en première instance). Dans la mesure où le mémoire de recours a été contresigné par le procureur général, la qualité pour recourir doit être admise.
2.2. L'accusateur public est habilité à faire valoir tous les motifs de recours prévus aux art. 95 et 98 LTF. En particulier, il peut invoquer l'appréciation arbitraire des preuves (<ref-ruling> consid. 1.4).
3.
Le Ministère public remet en cause l'acquittement de l'intimé de l'infraction de lésions corporelles graves à l'encontre de X._.
3.1. Selon l'<ref-law>, celui qui, intentionnellement, aura blessé une personne de façon à mettre sa vie en danger (al. 1), aura mutilé le corps d'une personne, un de ses membres ou un de ses organes importants ou causé à une personne une incapacité de travail, une infirmité ou une maladie mentale permanentes, ou aura défiguré une personne d'une façon grave et permanente (al. 2) ou lui aura fait subir toute autre atteinte grave à l'intégrité corporelle ou à la santé physique ou mentale (al. 3), sera puni d'une peine privative de liberté de dix ans au plus ou d'une peine pécuniaire de 180 jours-amende au moins.
3.2. Le Ministère public soutient que les atteintes subies par X._ sont graves.
3.2.1. Les lésions corporelles visent aussi bien des lésions du corps humain (c'est-à-dire des blessures, telles que des fractures par exemple) que des atteintes à la santé psychique (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 191 à propos de l'<ref-law>; BERNARD CORBOZ, Les infractions en droit suisse, vol. 1, 3e éd., n° 6 ad <ref-law>).
Les lésions corporelles sont graves, notamment, si l'auteur a causé intentionnellement une incapacité de travail, une infirmité ou une maladie mentale permanentes (<ref-law>). Dans tous ces cas, la loi vise une diminution ou une perte d'une faculté humaine subie par la victime, liée à des atteintes d'ordre physique ou psychique ( DUPUIS ET AL., Petit commentaire du Code pénal, 2e éd., n° 13 ad <ref-law>). L'atteinte doit être permanente, c'est-à-dire durable et non limitée dans le temps; il n'est en revanche pas nécessaire que l'état soit définitivement incurable et que la victime n'ait aucun espoir de récupération ( CORBOZ, op. cit., n. 10 ad <ref-law>; JOSÉ HURTADO POZO, Droit pénal, Partie spéciale, 2009, p. 160, n° 532).
L'<ref-law> constitue une clause générale destinée à englober les lésions du corps humain ou les maladies qui ne sont pas prévues par les alinéas 1 et 2, mais qui revêtent une importance comparable et qui doivent être qualifiées de graves dans la mesure où elles impliquent plusieurs mois d'hospitalisation, de longues et graves souffrances ou de nombreux mois d'arrêt de travail (<ref-ruling> consid. 2 p. 57; arrêt 6B_88/2010 consid. 2.3; CORBOZ, op. cit., n° 12 ad <ref-law>; DUPUIS ET AL., op. cit., n° 15 ad <ref-law>). Il faut procéder à une appréciation globale: plusieurs atteintes, dont chacune d'elles est insuffisante en soi, peuvent contribuer à former un tout constituant une lésion grave (<ref-ruling>; CORBOZ, ibidem). Il faut tenir compte d'une combinaison de critères liés à l'importance des souffrances endurées, à la complexité et la longueur du traitement (multiplicité d'interventions chirurgicales, etc.), à la durée de la guérison, respectivement de l'arrêt de travail, ou encore à l'impact sur la qualité de vie en général ( DUPUIS ET AL., op. cit., n° 15 ad <ref-law>).
3.2.2. Suivant les seconds experts, la cour cantonale a distingué trois périodes: une première période de 1997 au 17 décembre 2001, une deuxième de fin décembre 2001 à mars 2002 et une troisième de mars 2002 à 2010. Durant la période où X._ a travaillé à l'ESC sous la direction de l'intimé, elle a présenté les symptômes suivants: insomnies, asthénies, perte d'énergie, manque d'appétit et perte de poids, symptomatologie gastro-intestinale et douleurs diverses, humeur dépressive avec anhédonie, manque d'intérêt et d'initiative, troubles de la mémoire et de la concentration, troubles anxieux et somatisation (troubles d'ordre psychique) (jugement attaqué p. 46). Le mobbing de l'intimé a entraîné la nécessité pour X._ d'arrêter de travailler (totalement ou partiellement) durant plusieurs mois entre le 9 avril 2001 et le 31 janvier 2002 (jugement attaqué p. 46). Dès le 1er février 2002, elle a recouvré sa pleine capacité de travail lorsque l'intimé a été contraint de démissionner (jugement attaqué p. 46). Dès mars 2002, les procédures judiciaires et administratives ont influé de manière délétère sur l'état de santé de X._.
L'incapacité de travail, à 50 % ou à 100 %, de X._ pendant plusieurs mois durant la période du 9 avril 2001 à la fin janvier 2002, ne constitue pas une lésion grave au sens de l'<ref-law>, puisqu'elle n'a pas un caractère permanent. En effet, dès le 1er février 2002, X._ avait recouvré sa pleine capacité d'activités et était quasiment asymptomatique dès janvier 2002 au plus tard. On ne saurait pas non plus retenir une maladie mentale permanente au sens de l'<ref-law>, puisque X._ s'est rétablie du stress induit par le comportement de l'intimé. En effet, les seconds experts ont écarté l'existence d'un état de stress post-traumatique (" Les symptômes typiques comprennent, entre autres, la reviviscence répétée de l'événement traumatique dans des cauchemars ou des rêves, ce qui n'est pas le cas pour X._ ") et le diagnostic de modifications durables de la personnalité (" La conservation de la qualité de ses compétences cognitives, que l'on constate aussi bien dans ses propos que dans ses courriers irait à l'encontre d'un tel diagnostic, de même que les éloges que l'on peut lire dans ses attestations de travail ") (cf. notamment jugement attaqué p. 30). Reste à examiner si ces lésions peuvent tomber - comme le soutient le Ministère public - sous le coup de la clause générale de l'<ref-law>.
Comme vu ci-dessus, l'<ref-law> doit englober les lésions du corps humain ou les maladies non prévues aux alinéas 1 et 2, mais qui revêtent une importance comparable. Ainsi, dans la mesure où l'incapacité de travail de X._ pendant plusieurs mois ne revêt pas un caractère suffisamment grave pour tomber sous le coup de l'alinéa 2, elle ne saurait pas non plus tomber sous le coup de l'alinéa 3. Pour le surplus, l'appréciation d'ensemble ne peut conduire à retenir une lésion corporelle grave: les symptômes énumérés ci-dessus, qui ont certes amoindri la qualité de vie de la recourante, ne constituent pas des graves atteintes à la santé psychique; ils n'ont entraîné aucune hospitalisation et X._ s'est rétablie du stress induit par le comportement de l'intimé, qui ne lui a pas causé une grave perturbation de la personnalité.
Dès mars 2002, l'état de santé de X._ s'est détérioré et il est actuellement mauvais (cf. notamment décision de l'AI, jugement attaqué p. 26). Il n'y a toutefois pas lieu d'examiner si celui-ci peut être qualifié de grave selon l'<ref-law>, puisqu'il n'est pas en relation de causalité adéquate avec le comportement de l'intimé durant la période scolaire 1997-2001, tel qu'il est reproché dans l'acte d'accusation. En effet, la dégradation de l'état de santé de X._ a été causée par les démarches judiciaires ultérieures, qui sont le fait autant de l'intimé que de X._ elle-même (cf. consid. 3.3 et 6).
Le Ministère public fonde son argumentation sur l'avis des premiers experts, qui auraient qualifié de graves les atteintes à la santé mentale de X._. La cour cantonale a toutefois écarté cette première expertise. Elle a expliqué que les premiers experts judiciaires n'avaient pas examiné la rupture possible du lien de causalité entre les agissements de Y._ durant la période scolaire 1997-2001 et l'état de santé actuel de X._. En outre, leur rapport ne contenait pas de véritable anamnèse de X._, alors que l'examen de l'expertisée était primordial en cas d'atteintes internes difficilement objectivables. S'agissant de la qualification de l'atteinte à la santé et de l'existence d'un lien de causalité entre cet état et les agissements de Y._, en sa qualité de directeur, l'argumentation était extrêmement sommaire, s'agissant d'une expertise médicale dans un domaine où la survenance d'atteintes irréversibles n'était pas la règle (jugement attaqué p. 33). Les motifs invoqués par la cour cantonale pour écarter cette première expertise sont convaincants; le Ministère public ne les conteste du reste pas. Dans la mesure où il se fonde sur la première expertise et qu'il s'écarte donc de l'état de fait retenu par la cour cantonale sans établir que celui-ci serait arbitraire, son argumentation est irrecevable (<ref-law>).
3.3. Le Ministère public s'en prend au lien de causalité, naturelle et adéquate.
3.3.1. Entre le comportement reproché à l'auteur et les lésions corporelles subies par la victime, il faut un rapport de causalité naturelle et adéquate ( CORBOZ, op. cit., n° 14 ad <ref-law>). L'acte reproché à l'auteur est en relation de causalité naturelle avec le résultat s'il en constitue l'une des conditions sine qua non (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 167). Pour déterminer si le résultat peut être imputé pénalement à l'auteur, il faut ensuite poser une appréciation sur le lien qui existe entre son comportement et le résultat: la causalité est adéquate lorsque le comportement de l'auteur était propre, selon le cours ordinaire des choses et l'expérience générale de la vie, à entraîner un résultat du genre de celui qui s'est produit (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 168). La causalité adéquate peut cependant être exclue si une autre cause concomitante - par exemple une force naturelle, le comportement de la victime ou d'un tiers - constitue une circonstance tout à fait exceptionnelle ou apparaît si extraordinaire que l'on ne pouvait s'y attendre. L'imprévisibilité d'un acte concurrent ne suffit pas en soi à interrompre le rapport de causalité adéquate; il faut encore que cet acte ait une importance telle qu'il s'impose comme la cause la plus probable et la plus immédiate de l'événement considéré, reléguant à l'arrière-plan tous les autres facteurs qui ont contribué à l'amener et notamment le comportement de l'auteur (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 168). Le juge doit déterminer si, dans le cours normal des choses et selon l'expérience ordinaire de la vie humaine, la conséquence demeure dans le champ raisonnable des possibilités objectivement prévisibles.
3.3.2. Il convient de distinguer les lésions subies par X._ pendant la période scolaire 1997-2001 et celles qui sont survenues postérieurement à mars 2002.
Il n'est pas contesté que le comportement de l'intimé a entraîné une dégradation de l'état de santé de X._ durant la période scolaire 1997-2001. Il a toutefois été admis que ces souffrances ne pouvaient pas être qualifiées de lésions corporelles graves (cf. consid. 3.2.2). Dans la mesure où le Ministère public tente de démontrer un quelconque lien de causalité entre le comportement de l'intimé et les atteintes à la santé intervenues entre 1997 et 2001, son argumentation n'est donc pas pertinente.
Dès mars 2002, X._ a vu son état de santé se détériorer (cf. notamment décision de l'AI, jugement attaqué p. 26). Il est admis que sa santé est actuellement mauvaise. Il n'est pas contesté que les agissements de l'intimé en constituent une cause " éloignée ", puisqu'ils sont eux-même à l'origine des procédures judiciaires et administratives ultérieures (causalité naturelle). Ces agissements ne sont toutefois pas dans un rapport de causalité adéquate avec l'état de santé actuel de X._: en effet, les gestes déplacés, les paroles désobligeantes, voire provocantes, les reproches sur l'apparence ou sur les relations de X._, tels que retenus dans l'acte d'accusation, ne sont pas propres, dans le cours ordinaire des choses, à générer une incapacité de travail ou une maladie mentale permanentes. Ce ne sont pas les agissements de l'intimé, mais les procédures administratives et judiciaires ouvertes depuis mars 2002 qui ont causé la dégradation de l'état de santé de X._. C'est donc à juste titre que la cour cantonale a dénié tout lien de causalité adéquate entre le comportement de l'intimé durant la période scolaire 1997-2001 et la dégradation de l'état de santé de X._.
3.4. Le Ministère public soutient que l'intimé a agi intentionnellement.
3.4.1. L'infraction de lésions corporelles graves est intentionnelle; le dol éventuel suffit. L'intention doit porter sur tous les éléments constitutifs de l'infraction et, en particulier, sur la gravité des lésions causées.
3.4.2. L'infraction de lésions corporelles graves est exclue par rapport à l'atteinte à la santé durant la période 1997-2001, faute de lésions graves au sens de l'<ref-law>. La question de l'intention ne se pose donc pas.
L'infraction définie à l'<ref-law> n'entre pas non plus en ligne de compte en ce qui concerne le mauvais état de santé actuel de X._, en l'absence de lien de causalité entre le comportement de l'intimé durant la période scolaire 1997-2001 (retenu dans l'acte d'accusation) et cet état de santé (dont la qualification juridique a été au demeurant laissée ouverte). La question de l'intention ne se pose donc pas non plus.
3.5. En conclusion, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en libérant l'intimé de l'infraction de l'<ref-law>. Les lésions corporelles intervenues en 1997-2001 ne peuvent être qualifiée de graves. Au demeurant, le comportement de l'intimé durant la période scolaire 1997-2001 n'est pas la cause du mauvais état de santé actuel de X._; celui-ci a été causé par les procédures judiciaires et administratives ultérieures.
4.
Ainsi, le recours du Ministère public doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
En conformité avec l'<ref-law>, le Ministère public ne peut se voir imposer des frais judiciaires.
Il n'y a pas lieu d'allouer d'indemnité à l'intimé qui n'a pas déposé de mémoire dans la procédure devant le Tribunal fédéral.
II. Recours de X._
5.
Le Tribunal fédéral examine librement et d'office les conditions de recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 46).
5.1. Le jugement attaqué a été rendu en dernière instance cantonale, dans une cause de droit pénal. Il peut donc faire l'objet d'un recours en matière pénale au sens des <ref-law>, de sorte que le recours constitutionnel subsidiaire est exclu (<ref-law>). Il convient d'examiner l'ensemble des griefs soulevés par la recourante dans la procédure du recours en matière pénale, l'intitulé erroné d'un recours ne nuisant pas à son auteur, si les conditions d'une conversion en la voie de droit adéquate sont réunies (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 296; <ref-ruling> consid. 1b p. 509 et les arrêts cités).
5.2. Selon l'<ref-law>, a qualité pour former un recours en matière pénale quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a) et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b). Un tel intérêt juridique est reconnu à la partie plaignante si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles (art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF). En cas d'acquittement du prévenu, cela suppose que la partie plaignante fasse valoir dans la procédure pénale, autant que cela pouvait raisonnablement être exigé d'elle, des prétentions civiles découlant de l'infraction (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 247 s.). On entend par partie plaignante le lésé qui déclare expressément vouloir participer à la procédure pénale comme demandeur au pénal ou au civil (<ref-law>). Le lésé est celui dont les droits ont été touchés directement par une infraction, à savoir le détenteur d'un bien juridique que la disposition pénale en question protège directement d'une atteinte ou d'une mise en danger (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2.3).
5.3. Constituent des prétentions civiles celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des <ref-law>. Les prétentions fondées sur le droit public n'entrent pas dans cette catégorie. Selon les art. 4 et 5 de la loi valaisanne sur la responsabilité des collectivités publiques et de leurs agents (LRCPA; RSV 170.1), le canton répond seul du dommage causé par ses fonctionnaires dans l'exercice de leur fonction; en pareille situation, la victime n'a qu'une créance fondée sur le droit public cantonal et elle ne peut pas présenter de prétentions civiles découlant du droit privé contre le fonctionnaire concerné (<ref-ruling> consid. 2.2 et 2.3 p. 191). Or, les faits reprochés à l'intimé selon l'acte d'accusation se limitent au comportement de celui-ci en tant que directeur de l'ESC, de sorte que la recourante ne peut faire valoir que des prétentions de droit public contre l'Etat du Valais. La recourante prétend certes le contraire, considérant que les actes postérieurs à 2002 de l'intimé (alors qu'il n'était plus directeur de l'ESC) sont englobés dans l'acte d'accusation; comme la cour de céans l'explique plus loin, cette interprétation de l'acte d'accusation ne peut toutefois être suivie (sur la portée de l'acte d'accusation, cf. consid. 6). Ne pouvant faire valoir des prétentions civiles à l'égard de l'intimé, la recourante ne remplit pas les conditions de l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF. Dans la mesure où elle prétend avoir des prétentions civiles contre l'intimé (mémoire de recours p. 82), son grief doit être écarté.
5.4. Indépendamment de sa qualité pour recourir sur le fond, celui qui se prétend lésé par une infraction peut invoquer la violation de droits que la loi de procédure applicable ou le droit constitutionnel lui reconnaît comme partie à la procédure, lorsque cette violation équivaut à un déni de justice formel (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 44, 29 consid. 1.9 p. 40; <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 232 s. et les références citées). La possibilité d'invoquer des garanties procédurales ne lui permet cependant pas de remettre en cause, même de façon indirecte, le jugement au fond. Le recourant ne peut ni critiquer l'appréciation des preuves ni faire valoir que la motivation n'est pas correcte d'un point de vue matériel (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 326; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 44, 29 consid. 1.9 p. 40; <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 232 s. et les références citées).
Dans la mesure où la recourante reproche à la cour cantonale de ne pas avoir retenu des lésions corporelles graves (mémoire de recours p. 13-49), l'intention de léser (mémoire p. 49-76) ou encore le lien de causalité entre les agissements de l'intimé et les prétendues lésions corporelles graves (mémoire p. 77-81), elle remet en cause le fond du jugement et ses griefs sont irrecevables. Il convient en revanche d'examiner le grief pour déni de justice et refus de statuer, le grief tiré de la composition du Tribunal cantonal et le grief pour retard injustifié qui sont liés à la qualité de partie.
6.
La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir considéré que l'acte d'accusation n'englobait pas les agissements de l'intimé postérieurs à la fin de ses activités comme directeur au sein de l'ESC. La cour cantonale aurait commis un acte arbitraire de déni de justice en refusant de statuer sur l'impact qu'a eu le dépôt des trois plaintes pénales déposées par Y._ qui constituerait un acte supplémentaire de harcèlement psychologique.
6.1. L'<ref-law> consacre la maxime d'accusation. Selon cette disposition, une infraction ne peut faire l'objet d'un jugement que si le ministère public a déposé auprès du tribunal compétent un acte d'accusation dirigé contre une personne déterminée sur la base de faits précisément décrits. En effet, le prévenu doit connaître exactement les faits qui lui sont imputés et les peines et mesures auxquelles il est exposé, afin qu'il puisse s'expliquer et préparer efficacement sa défense (<ref-ruling> consid. 2a p. 21; <ref-ruling> consid. 2b p. 353). Le tribunal est lié par l'état de fait décrit dans l'acte d'accusation, mais peut s'écarter de l'appréciation juridique qu'en fait le ministère public (<ref-law>), à condition d'en informer les parties présentes et de les inviter à se prononcer (<ref-law>). Le principe de l'accusation découle également de l'art. 29 al. 2 Cst. (droit d'être entendu), de l'art. 32 al. 2 Cst. (droit d'être informé, dans les plus brefs délais et de manière détaillée, des accusations portées contre soi) et de l'art. 6 par. 3 let. a CEDH (droit d'être informé de la nature et de la cause de l'accusation).
Les <ref-law> règlent la mise en accusation, en particulier le contenu strict de l'acte d'accusation. Selon l'<ref-law>, l'acte d'accusation désigne notamment les actes reprochés au prévenu, le lieu, la date et l'heure de leur commission ainsi que leurs conséquences et le mode de procéder de l'auteur (let. f); les infractions réalisées et les dispositions légales applicables de l'avis du ministère public (let. g). En d'autres termes, l'acte d'accusation doit contenir les faits qui, de l'avis du ministère public, correspondent à tous les éléments constitutifs de l'infraction reprochée à l'accusé.
6.2. En l'espèce, dans une première partie de l'acte d'accusation, le Ministère public a résumé la procédure: il a nomment mentionné l'enquête administrative à l'encontre de l'intimé, la plainte pénale déposée par l'intimé contre la recourante et les trois plaintes pénales déposées par la recourante contre l'intimé (A/1). Puis, sous un deuxième chiffre (A/2), il a désigné les comportements hautement répréhensibles que Y._ a eu en sa qualité de directeur de l'ESC à l'égard de X._. Il a cité toute une série de faits qui se sont déroulés entre 1997 et février 2002 et a conclu qu' " il apparaît que Y._, directeur de l'ESC, a infligé sciemment à X._ des atteintes répétées à son intégrité physique et psychique - conformément aux exemples précités -, en particulier par des gestes déplacés, des paroles désobligeantes et/ou provocantes, parfois à connotation sexuelle, des reproches sur son apparence ou ses relations ".
Suivant la cour cantonale, il faut admettre que l'accusation se limite aux actes intervenus entre 1997 et début 2002, alors que l'intimé était directeur de l'ESC, et n'inclut pas les actes de procédure postérieurs. Le fait que le procureur a résumé la procédure et a mentionné la plainte que Y._ a déposée contre la recourante et son avocat C._ à la suite de la plainte administrative déposée contre lui ne modifie pas le contenu des faits reprochés à l'intimé. Le grief soulevé doit donc être rejeté. A toutes fins utiles, il convient de relever que la plainte pénale déposée par l'intimé contre la recourante, dont il est fait mention dans l'acte d'accusation dans la partie consacrée à la procédure et qui, selon la recourante, fait également l'objet de l'accusation, a été classée en mars 2003, de sorte qu'elle ne saurait être à l'origine de la longue dégradation de son état de santé.
7.
Dénonçant une violation des art. 8 (égalité) et 9 Cst. (protection contre l'arbitraire), ainsi que de l'art. 14 CEDH (interdiction de discrimination), la recourante critique la composition de la cour cantonale, composée de trois hommes, au motif que ceux-ci n'ont pas compris en quoi consistait un harcèlement psychologique, sexuel ou moral. Elle les accuse d'avoir fait preuve de partialité et d'une volonté manifeste d'exonérer l'intimé de toute faute.
7.1. La garantie d'un tribunal indépendant et impartial est instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH. Elle permet d'exiger la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à faire naître un doute sur son impartialité (<ref-ruling> consid. 3a p. 73). Cette garantie est concrétisée par les motifs de récusation figurant à l'<ref-law>.
7.2. La recourante n'explique pas quel motif mentionné par l'<ref-law> serait susceptible d'être applicable en l'espèce. Elle ne fait valoir aucun élément permettant d'éveiller un soupçon de prévention des magistrats cantonaux et on ne voit pas quelle circonstance constatée objectivement aurait empêché ceux-ci de statuer en toute impartialité. En particulier, elle n'explique pas en quoi les magistrats cantonaux auraient été sexistes. Dans cette mesure, le grief soulevé n'est donc pas motivé conformément aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF et, partant, est irrecevable.
8.
La recourante se plaint de la durée de la procédure pénale.
8.1. L'<ref-law> et l'art. 29 al. 1 Cst. garantisent notamment à toute personne le droit à ce que sa cause soit traitée dans un délai raisonnable. Ces dispositions consacrent le principe de la célérité et prohibent le retard injustifié à statuer.
L'autorité viole cette garantie lorsqu'elle ne rend pas une décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans le délai que la nature de l'affaire et les circonstances font apparaître comme raisonnable (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 331). Le caractère raisonnable du délai s'apprécie selon les circonstances particulières de la cause, eu égard notamment à la complexité de l'affaire, à l'enjeu du litige pour l'intéressé, à son comportement ainsi qu'à celui des autorités compétentes (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 277; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 331). On ne saurait reprocher à l'autorité quelques temps morts, qui sont inévitables dans une procédure. Lorsqu'aucun d'eux n'est d'une durée vraiment choquante, c'est l'appréciation d'ensemble qui prévaut. Des périodes d'activité intense peuvent donc compenser le fait que le dossier a été laissé momentanément de côté en raison d'autres affaires (<ref-ruling> consid. 3.3.3 p. 56 s.; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 332).
Il appartient au justiciable d'entreprendre ce qui est en son pouvoir pour que l'autorité fasse diligence, que ce soit en l'invitant à accélérer la procédure ou en recourant, le cas échéant, pour retard injustifié (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 332). Cette règle découle du principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 Cst.), qui doit présider aux relations entre organes de l'Etat et particuliers. Il serait en effet contraire à ce principe qu'un justiciable puisse valablement soulever ce grief devant l'autorité de recours, alors qu'il n'a entrepris aucune démarche auprès de l'autorité précédente afin de remédier à cette situation (cf. arrêt 2A.588/2006 du 19 avril 2007 consid. 2 et la référence à l'<ref-ruling> consid. 2b/aa p. 375 s.).
8.2. La recourante se borne à contester la durée de la procédure sans établir l'existence de longues périodes d'inactivité fautive des autorités cantonales. Son argumentation est imprécise et peu claire. Elle se plaint notamment " de la violation crasse des règles de rang constitutionnel portant sur le délai raisonnable d'une procédure pénale, qui a été suspendue, contre l'avis de la victime, pendant plusieurs années, jusqu'à droit connu sur le sort de la procédure pénale ". Elle ne démontre pas non plus être intervenue de quelque manière que ce soit lorsque les autorités cantonales n'auraient pas, selon elle, fait preuve de la diligence requise. Elle fait certes référence à diverses plaintes pour retard injustifié, mais ne donne aucune autre précision. Or, il n'incombe pas à la cour de céans de rechercher d'office dans le dossier l'une ou l'autre intervention en ce sens émanant de la recourante. A elles seules, les affirmations non étayées de la recourante ne suffisent pas à faire admettre une durée déraisonnable de la procédure qui se serait éternisée sans motifs suffisants. Une violation du principe de la célérité n'est dès lors pas démontrée à suffisance de droit.
9.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
La recourante qui succombe devra donc supporter les frais (<ref-law>).
Il n'y a pas lieu d'allouer d'indemnité à l'intimé qui n'a pas déposé de mémoire dans la procédure devant le Tribunal fédéral.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Les causes 6B_675/2013 et 6B_687/2013 sont jointes.
2.
Le recours du Ministère public valaisan est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Le recours de X._ est rejeté dans la mesure où il est recevable.
4.
Une partie des frais judiciaires, arrêtée à 4'000 fr., est mise à la charge de X._.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 9 janvier 2014
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Mathys
La Greffière: Kistler Vianin