Faits:
A. C._, né en 1962, a travaillé en qualité de manoeuvre du bâtiment. Invoquant des lésions cervicales d'origine accidentelle, il s'est annoncé à l'assurance-invalidité le 24 novembre 2005.
Les docteurs P._, M._ et D._, médecins à l'Hôpital X._, ont posé deux diagnostics ayant une influence essentielle sur la capacité de travail : d'une part un syndrome douloureux somatoforme persistant se manifestant par des cervico-scapulo-dorsalgies, d'autre part des traits paranoïdes. A leur avis, une capacité totale de travail peut être envisagée dans une activité adaptée, mais il conviendra de tenir compte de facteurs socioculturels limitatifs (expertise du 18 octobre 2006). Quant au docteur R._, médecin au SMR Y._, il a estimé que le trouble somatoforme n'a aucune influence objective sur la capacité de travail et qu'il est explicable avant tout par des facteurs culturels étrangers à l'AI (rapport du 23 janvier 2007).
Par décision du 16 mars 2007, l'Office cantonal AI du Valais a refusé l'octroi de toutes prestations (mesures d'ordre professionnel et rente).
B. L'assuré a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton du Valais qui l'a débouté par jugement du 24 septembre 2007.
C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant au versement d'une rente d'invalidité.
Par ordonnance du 8 avril 2008, le Tribunal fédéral a rejeté la demande d'assistance judiciaire du recourant.
Me S._, avocat, qui représentait le recourant, a résilié son mandat. Le recourant a encore produit plusieurs écritures. L'intimé et l'Office fédéral des assurances sociales n'ont pas été invités à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité.
2. Les premiers juges ont exposé correctement les règles applicables à la solution du litige. Il suffit ainsi de renvoyer au jugement attaqué, qui rappelle en particulier les conditions dans lesquelles un trouble somatoforme douloureux peut présenter un caractère invalidant.
3. La juridiction cantonale a constaté que le recourant n'est atteint d'aucune affection somatique pouvant justifier une incapacité de travail. En ce qui concerne le volet psychiatrique, les juges cantonaux ont constaté que le recourant présente un trouble somatoforme douloureux, dont le développement est explicable avant tout par des facteurs culturels étrangers à l'invalidité; ils ont considéré que le syndrome douloureux ne saurait justifier la reconnaissance d'une invalidité au sens de la loi, dès lors qu'une comorbidité psychiatrique grave fait défaut et que les autres critères requis par la jurisprudence ne sont pas non plus réalisés.
Les premiers juges ont aussi constaté que la prise de position de l'AI a provoqué une décompensation psychique chez le recourant. Considérant qu'il s'agit-là d'un état réactionnel à la décision administrative du 16 mars 2007, le Tribunal cantonal a admis qu'une éventuelle incapacité de travail liée à cet état psychique ne saurait être prise en compte pour apprécier la légalité de ladite décision au jour où elle a été rendue (cf. <ref-ruling> consid. 1b p. 366), mais que ce fait nouveau pourrait le cas échéant justifier une nouvelle demande (art. 87 al. 3 et 4 RAI).
4. Le recourant rappelle que le trouble somatoforme douloureux dont il est affecté précédait la décision du 16 mars 2007 (recours, p. 7) et soutient que ce syndrome l'empêche de mettre sa capacité de travail en valeur (p. 5). Dans son discours, le recourant n'aborde toutefois pas le point central de savoir si ce syndrome présente un caractère invalidant en regard des principes que la jurisprudence et la doctrine ont consacré à ce sujet (cf. consid. 4b du jugement attaqué), pas plus qu'il n'indique en quoi l'application de ces règles de droit par le Tribunal cantonal serait erronée dans son cas (pp. 7-8). En l'absence d'une motivation satisfaisant aux réquisits légaux (<ref-law>, première phrase) sur cette question de droit, le Tribunal fédéral peut dès lors se dispenser de revoir le bien-fondé du raisonnement de l'autorité de recours de première instance.
Le recourant reproche aussi aux juges cantonaux d'avoir imputé à tort un contexte psychosocial à ses problèmes de santé, sans s'être fondés sur la moindre pièce. Si l'on considère que le recourant se prévaut ainsi d'une constatation inexacte de faits, au sens de l'<ref-law>, le grief serait alors assurément mal fondé, car la présence de facteurs socioculturels limitatifs a été attestée par les médecins de l'Hôpital X._, puis discutée par le SMR Y._. Le recourant semble oublier que d'éventuels facteurs de cette nature n'ont de toute façon aucune incidence lorsqu'il s'agit d'évaluer l'invalidité d'un assuré, de sorte que les moyens qu'il soulève à ce propos sont dénués de pertinence.
Le recourant soutient enfin que ses problèmes de santé découlent de facteurs physiques et objectifs, et non de problèmes psychologiques, ce qui le conduit à requérir la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise. Sur ce point, les critiques que le recourant adresse à l'encontre du jugement attaqué sont de nature appellatoire. Comme l'intéressé n'expose pas non plus en quoi les faits qu'il met en exergue auraient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit (<ref-law>), il n'y a pas lieu de s'attarder sur ce grief qui est lui aussi dénué de fondement.
Le recours se révèle ainsi manifestement mal fondé, dans la mesure où il contient une motivation suffisante.
5. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 novembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud