Sachverhalt:
A.
X._, geb. 1976, studierte an der Rechtswissenschaftlichen Fakultät der Universität Jurisprudenz. Aufgrund gesundheitlicher Probleme ersuchte X._ das Dekanat der Rechtswissenschaftlichen Fakultät (nachfolgend: Dekanat) um Verschiebung der Prüfungssessionen für den zweiten Teil der schriftlichen Lizentiatsprüfungen (nachfolgend: schriftliche Lizentiat II-Prüfungen) von Juni 2010 und Januar 2011. Das Dekanat bewilligte beide Verschiebungsgesuche; zugleich wies es darauf hin, X._ könne nicht mit der Gutheissung eines erneuten Verschiebungsgesuchs rechnen.
Am 6. Juni 2011 beantragte X._ aus gesundheitlichen Gründen eine weitere Verschiebung der im Juni 2011 stattfindenden schriftlichen Lizentiat II-Prüfungen und trat nicht zu den Prüfungen an. Am 5. Oktober 2011 teilte ihm das Dekanat mit, er habe die schriftlichen Lizentiat II-Prüfungen nicht bestanden, da er unentschuldigt nicht erschienen sei.
Im Januar 2012 legte X._ die schriftlichen Lizentiat II-Prüfungen ab, worauf ihm das Dekanat am 7. März 2012 mitteilte, er werde aufgrund der erzielten Leistungen von weiteren Prüfungen an der Rechtswissenschaftlichen Fakultät ausgeschlossen, da die im Januar 2012 abgelegten schriftlichen Lizentiat II-Prüfungen als Wiederholungsprüfungen zu qualifizieren seien.
B.
Diesen Entscheid focht X._ am 9. April 2012 bei der Rekurskommission der Zürcher Hochschulen (nachfolgend: Rekurskommission) an und ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Rechtsverbeiständung. Mit Präsidialverfügung vom 7. Juni 2012 wies die Rekurskommission das Gesuch ab. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (nachfolgend: Verwaltungsgericht) mit Urteil vom 19. Dezember 2012 ab und verweigerte die auch im Beschwerdeverfahren beantragte unentgeltliche Rechtspflege.
C.
Am 1. Februar 2013 erhebt X._ sinngemäss Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht und beantragt, das angefochtene Urteil aufzuheben und das Verwaltungsgericht bzw. die Rekurskommission anzuweisen, ihm die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren und ihm seinen Rechtsvertreter als unentgeltlichen Rechtsbeistand beizuordnen. In prozessualer Hinsicht beantragt er, auf die Erhebung eines Kostenvorschusses zu verzichten und ihm den Entscheid über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren vor dem Entscheid in der Hauptsache mitzuteilen.
Das Verwaltungsgericht und die Rechtswissenschaftliche Fakultät der Universität Zürich verzichten auf eine Vernehmlassung.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wurde am 15. Februar 2013 teilweise gutgeheissen, indem X._ von der Bezahlung der Gerichtskosten befreit und ihm der Entscheid über die Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands auf den Zeitpunkt des Endurteils hin in Aussicht gestellt wurde.

Erwägungen:
1.
1.1. In der Hauptsache geht es um die Zulassung zur schriftlichen Lizentiat II-Prüfung an der Rechtswissenschaftlichen Fakultät der Universität Zürich. Dies ist eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts, welche gemäss <ref-law> der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt. Da das angefochtene Urteil nicht das Ergebnis bzw. die Bewertung von Prüfungsleistungen zum Gegenstand hat, ist der Ausschlussgrund im Sinn von Art. 83 lit. t BGG nicht gegeben. Das angefochtene Urteil wurde von einer kantonal letztinstanzlichen Gerichtsbehörde im Sinn von <ref-law> und <ref-law> gefällt. Es handelt sich dabei um einen Zwischenentscheid betreffend Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege; deren Verweigerung kann rechtsprechungsgemäss einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil im Sinn von <ref-law> bewirken (Urteile 2C_692/2012 vom 10. Februar 2013 E. 1.4.2; 2C_1102/2012 vom 20. Dezember 2012 E. 1; <ref-ruling> E. 1.2 S. 403). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig.
1.2. Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Er ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Änderung oder Aufhebung. Gemäss <ref-law> ist er zur Beschwerdeführung legitimiert.
1.3. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten.
1.4. Für die (hilfsweise erhobene) Verfassungsbeschwerde bleibt gemäss <ref-law> kein Raum, so dass darauf nicht einzutreten ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 287).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.3. Gemäss <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Diese Bestimmung zielt auf Tatsachen ab, die erst durch das angefochtene Urteil rechtserheblich werden. So kann sich die beschwerdeführende Partei vor Bundesgericht auf Tatsachen stützen, die nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens gebildet hatten, wenn die Vorinstanz ein neues rechtliches Argument anführt, mit dem die Partei zuvor nicht konfrontiert worden war (vgl. Urteil 5A_115/2012 vom 20. April 2012 E. 4.4.2). Unzulässig sind hingegen neue Tatsachen, die bereits der Vorinstanz hätten vorgelegt werden können (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129).
Die drei vom Beschwerdeführer eingereichten provisorischen Staats- und Gemeindesteuerrechnungen 2012 betreffend ihn selbst, seine Mutter und seinen Vater datieren vom 20. Februar 2012. Mit der Einreichung der provisorischen Steuerrechnungen seiner Mutter und seines Vaters reagierte der Beschwerdeführer auf die substituierte Begründung, mit der die Vorinstanz die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege bestätigt hatte; sie können daher als zulässige unechte Noven gelten. Seine eigene provisorische Steuerrechnung 2012 vom 20. Februar 2012 hätte er jedoch nicht nur der Vorinstanz, sondern bereits der Rekurskommission zusammen mit dem Gesuch am 9. April 2012 vorlegen können. Dieses Beweismittel ist daher im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zulässig.
Das ebenfalls neu eingereichte "Formular zur Abklärung der prozessualen Bedürftigkeit" des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich betrifft eine gerichtsnotorische Tatsache und ist daher nicht von Bedeutung.
3.
Streitgegenstand ist die Frage, ob die Vorinstanz den Entscheid der Rekurskommission, dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege zu verweigern, zu Recht bestätigt hat.
3.1. Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt. Unabhängig davon besteht ein solcher Anspruch aufgrund von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.1S. 133). Nach dieser Bestimmung hat jede Person, welche nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
3.2. Bedürftig ist ein Gesuchsteller, der die erforderlichen Prozess- und Parteikosten nur bezahlen kann, wenn er die Mittel angreift, die er zur Deckung des Grundbedarfs für sich und (allenfalls) seine Familie benötigt (<ref-ruling> E. 4a S. 164).
Bei der Prüfung der Mittellosigkeit hat die entscheidende Behörde rechtsprechungsgemäss der gesamten wirtschaftlichen Situation der gesuchstellenden Partei im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs Rechnung zu tragen. Die gesuchstellende Partei muss ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse sowie alle finanziellen Verpflichtungen vollständig offenlegen, worauf diese einander gegenübergestellt werden (<ref-ruling> E. 5.1 S. 223 f.). Der Untersuchungsgrundsatz wird durch eine verstärkte Mitwirkungspflicht der gesuchstellenden Partei relativiert: Grundsätzlich obliegt es ihr, ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich auch zu belegen. Unbeholfene Rechtsuchende hat die Behörde auf die Angaben hinzuweisen, die sie zur Beurteilung des Gesuchs benötigt (<ref-ruling> E. 3a S. 181). Verweigert ein Gesuchsteller die zur Beurteilung seiner aktuellen Gesamtsituation erforderlichen Angaben oder Belege, so kann die Behörde die Bedürftigkeit ohne Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs verneinen. Insbesondere ist die mit dem Gesuch befasste Behörde weder verpflichtet, den Sachverhalt von sich aus nach jeder Richtung hin abzuklären, noch muss sie unbesehen alles, was behauptet wird, von Amtes wegen überprüfen. Sie muss den Sachverhalt nur dort (weiter) abklären, wo noch Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, sei es, dass sie von einer Partei auf solche - wirkliche oder vermeintliche - Fehler hingewiesen wird, sei es, dass sie sie selbst feststellt (Urteile 2C_793/2012 vom 20. November 2012 E. 4.2; 5A_451/2012 vom 27. August 2012 E. 2.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3a S. 181 f.).
4.
4.1. Im Gegensatz zur Rekurskommission, welche das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit des Rekurses abgewiesen hatte, erachtet die Vorinstanz das Hauptbegehren des Beschwerdeführers nicht als aussichtslos. Sie begründet ihren Entscheid vielmehr damit, der Beschwerdeführer habe seine Mittellosigkeit nicht dargelegt. Als Beleg habe er eine Staats- und Gemeindesteuerrechnung für das Jahr 2010 eingereicht, aus der hervorgehe, dass er im Jahr 2010 Fr. 100.-- Einkommen erzielt und sein Vermögen Fr. 0.-- betragen habe. Spätestens seit dem 1. Januar 2010 gehe der Beschwerdeführer keiner nennenswerten Erwerbstätigkeit mehr nach und verfüge über keinerlei Vermögenswerte. Unter diesen Umständen werde er zwingend auf die Unterstützungsleistungen einer Drittperson angewiesen sein. Es sei unklar, wer diese Drittperson sei, ob sie ihre Leistungen freiwillig erbringe oder dazu aufgrund einer familienrechtlichen Bestimmung verpflichtet sei, und vor allem, wie hoch die monatlichen Unterstützungsbeiträge ausfallen würden. Der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer habe sich zu diesen entscheidrelevanten Fragen weder im Rekurs- noch im Beschwerdeverfahren geäussert. Damit habe er seine Mitwirkungspflicht verletzt, weshalb zu seinem Nachteil von fehlender Bedürftigkeit auszugehen sei.
4.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe seine finanziellen Verhältnisse in guten Treuen vor der Vorinstanz offengelegt. Er erhalte bei seiner Mutter lediglich Kost und Logis; eine finanzielle Unterstützung in Form einer regelmässigen Geldzahlung bekomme er nicht. Weder die Mündigenunterhaltspflicht gemäss <ref-law> noch eine Unterstützungspflicht gemäss <ref-law> seien gegeben. In seinem Alter (36 Jahre) sei eine ordentliche Ausbildung rechtsprechungsgemäss abgeschlossen. Zudem würden seine Eltern nicht in günstigen Verhältnissen leben, so dass eine Unterstützungspflicht nicht zumutbar erscheine. Die Mittellosigkeit sei zu Unrecht verneint und sein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege verletzt worden. Die Vorinstanz habe das Willkürverbot und den Untersuchungsgrundsatz missachtet und überspitzt formalistisch gehandelt, indem sie die angeblich benötigten Dokumente nicht eingefordert habe. Die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege sei zudem unverhältnismässig: Der erlittene Nachteil stehe in keinem Verhältnis zum Aufwand, welcher der Vorinstanz entstanden wäre, um die angeblich benötigten Informationen zu erhalten.
4.3. Die Vorinstanz vermutet, der Beschwerdeführer verfüge über Einkünfte einer Drittperson, und zitiert die Rechtsgrundlagen zur Mündigenunterhaltspflicht nach <ref-law>. In den Akten finden sich jedoch keine Hinweise auf die Unterstützung einer Drittperson. Zudem ist notorisch, dass eine Ausbildung nicht erst im Alter von 36 Jahren ordentlicherweise abgeschlossen ist; gemäss <ref-law> sind jedoch die Eltern nur bis zu diesem Zeitpunkt zum Unterhalt des mündigen Kindes verpflichtet und dies auch nur, wenn es ihnen zumutbar ist (<ref-ruling> E. 3e S. 207 f.). Mit der vorinstanzlichen Begründung kann die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht bestätigt werden.
5.
5.1. Im Verfahren vor der Rekurskommission brachte der Beschwerdeführer in Bezug auf die unentgeltliche Rechtspflege einzig Folgendes vor:
"Aus den Akten ist bekannt, dass sich der Rekurrent seit geraumer Zeit in der Prüfungsphase für die Lizentiat II-Prüfung befindet. Aufgrund dieser Sachlage und dem Umstand Rechnung tragend, dass er wiederholt erkrankt war, war es ihm nicht möglich, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Infolgedessen verfügt der Rekurrent weder über Einkommen noch Vermögen."
Zum Beweis reichte der Beschwerdeführer die Rechnung der Staats- und Gemeindesteuern 2010 ein, aus der hervorgeht, dass er im Jahr 2010 Fr. 100.-- Einkommen erzielt hatte und über kein Vermögen verfügte.
Was die Auslagen betrifft, machte der Beschwerdeführer in seinem Gesuch ebenfalls keine Angaben. Dass er von seiner Mutter Kost und Logis erhalte, wird erstmals in der Beschwerde an das Bundesgericht erwähnt. Dem Gesuch war somit nicht zu entnehmen, wie der Beschwerdeführer seinen Lebensunterhalt bestreitet.
5.2. In zeitlicher Hinsicht ist die wirtschaftliche Situation der gesuchstellenden Partei im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgeblich (vgl. E. 3.2). Mit der Steuerrechnung 2010 hat der Beschwerdeführer zwar nicht seine im Zeitpunkt des Gesuchs aktuellen Einkommens- und Vermögensverhältnisse belegt, sondern jene des Jahres 2010. Dennoch bildet die Steuerrechnung 2010 in Kombination mit der (aktenkundigen) Erkrankung des Beschwerdeführers sowie dem Umstand, dass er sich seit längerer Zeit auf die Prüfungen vorbereitete, ein Indiz für die Mittellosigkeit im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung. Die Vorinstanz hält überdies fest, dass der Beschwerdeführer keiner Erwerbstätigkeit nachgeht. Bei dieser Ausgangslage hätte die Vorinstanz die Mittellosigkeit nicht ohne weitere Abklärungen verneinen dürfen.
6.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als begründet und ist gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben, und die Angelegenheit ist zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es ist ihr unbenommen, weitere Abklärungen zu treffen.
Der obsiegende Beschwerdeführer hat keine Gerichtskosten zu tragen (<ref-law> e contrario); von deren Bezahlung wurde er ohnehin im Rahmen der teilweisen Gutheissung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege im vorliegenden Verfahren befreit. Der unterliegenden Vorinstanz sind keine Kosten aufzuerlegen (<ref-law>). Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird damit gegenstandslos und ist abzuschreiben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 19. Dezember 2012 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5.
Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. September 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner