Sachverhalt:
A.
Am 17. Februar 2012 erstatteten A._, B._ und C._ Strafanzeige gegen D._ (geb. 1994) und E._ (geb. 1996), die beiden Töchter von B._, sowie gegen diverse weitere Personen. D._ und E._ wird in der Strafanzeige unter anderem vorgeworfen, sich des Datendiebstahls (Art. 143 StGB) und Ehrverletzungsdelikten (Art. 173, 174 und 177 StGB) schuldig gemacht zu haben. D._ wird zudem des Hausfriedensbruchs (Art. 186 StGB) bezichtigt.
Der Rechtsvertreter der drei Privatklägerinnen ersuchte die Jugendanwaltschaft Basel-Stadt mit Schreiben vom 23. September 2012 um vollumfängliche Akteneinsicht. Der zuständige Jugendanwalt verfügte am 25. Oktober 2012, dass die Akteneinsicht nach der ersten Einvernahme von D._ gewährt werde; die Teilnahme an Beweiserhebungen werde nach Eröffnung des Untersuchungsverfahrens bewilligt.
Gegen diese Verfügung erhoben A._, B._ und C._ mit Eingabe vom 8. November 2012 Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie beantragten insbesondere, die Jugendanwaltschaft sei anzuweisen, unverzüglich Strafverfahren gegen D._ und die anderen Personen zu eröffnen. Des Weiteren seien ihnen sämtliche Teilnahmerechte und unverzüglich die vollumfängliche Akteneinsicht zu gewähren.
Mit Urteil 1B_549/2012 vom 12. November 2012 hiess das Bundesgericht eine von A._, B._ und C._ in gleichem Zusammenhang erhobene Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsbeschwerde gut und wies die Strafverfolgungsbehörde an, die notwendigen Ermittlungen vorzunehmen oder eine Nichtanhandnahmeverfügung zu erlassen.
Mit Entscheid vom 25. Juni 2013 wies das Appellationsgericht die Beschwerde vom 8. November 2012 ab, soweit es darauf eintrat. Die Verfahrenskosten von Fr. 500.-- auferlegte es A._, B._ und C._ und verpflichtete diese, D._ eine Parteientschädigung von Fr. 880.-- zu bezahlen. Das Appellationsgericht erwog zusammenfassend, soweit die Eröffnung eines Strafverfahrens gegen D._ beantragt werde, sei darauf hinzuweisen, dass die Jugendanwaltschaft am 27. Februar 2013 eine Nichtanhandnahmeverfügung erlassen habe. Diese Verfügung sei mit separater Beschwerde angefochten worden und bilde nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Soweit dort nicht genannte Tatbestände oder weitere Beschuldigte betroffen seien, seien die Strafverfolgungsbehörden aufgrund des Urteils des Bundesgerichts 1B_549/2012 vom 12. November 2012 gehalten, das Verfahren voranzutreiben bzw. gegebenenfalls weitere Nichtanhandnahmeverfügungen zu erlassen. Das Appellationsgericht führte weiter aus, die angefochtene Verfügung vom 25. Oktober 2012 erweise sich als rechtens, soweit das Gesuch um Akteneinsicht abgewiesen worden sei. Die Parteien könnten gemäss Art. 101 Abs. 1 StPO die Akten spätestens nach der ersten Einvernahme der beschuldigten Person und der Erhebung der übrigen wichtigsten Beweise einsehen; D._ sei erst am 1. November 2012 erstmals einvernommen worden. Schliesslich hielt das Appellationsgericht fest, gestützt auf die Strafanzeige habe noch nicht von einem hinreichenden Tatverdacht ausgegangen werden können. Es sei deshalb nicht zu beanstanden, dass bis am 25. Oktober 2012 noch kein Strafverfahren eröffnet und A._, B._ und C._ zum damaligen Zeitpunkt die Teilnahme an Beweiserhebungen verweigert worden sei (vgl. Art. 147 Abs. 1 StPO).
B.
Mit Eingabe vom 28. Oktober 2013 führen A._, B._ und C._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Sie beantragen, die Jugendanwaltschaft sei anzuweisen, gegen D._ und weitere Personen unverzüglich und unter Gewährung sämtlicher Teilnahmerechte ein Strafverfahren zu eröffnen. Zudem machen sie eine Rechtsverweigerung geltend und beanstanden den Kostenentscheid des Appellationsgerichts. Hingegen fechten sie den vorinstanzlichen Entscheid hinsichtlich der Akteneinsicht nicht an, da ihnen diese in der Zwischenzeit gewährt worden sei.
Das Appellationsgericht und D._ beantragen in ihren Vernehmlassungen die Abweisung der Beschwerde. Die Jugendanwaltschaft hat sich nicht vernehmen lassen. Die Beschwerdeführerinnen halten in ihrer Stellungnahme vom 25. Februar 2014 an das Bundesgericht fest, aufgrund der am 17. Februar 2014 ergangenen Einstellungsverfügungen gegen D._ wegen übler Nachrede und anderen Tatbeständen sei ihr Antrag auf Eröffnung eines Strafverfahrens gegenstandslos geworden. An der Rüge der Rechtsverweigerung werde jedoch festgehalten, weil die "Nichteröffnungsverfügung" der Jugendanwaltschaft und der angefochtene Entscheid der Vorinstanz inhaltlich eine Rechtsverweigerung darstellten. Nach wie vor angefochten werde auch die Kostenregelung der Vorinstanz.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Strafsachen. Der angefochtene Entscheid ist kantonal letztinstanzlich (Art. 80 BGG). Es handelt sich um einen Zwischenentscheid im Sinn von Art. 93 BGG, welcher nur dann der Beschwerde ans Bundesgericht unterliegt, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b). Vorliegend kommt einzig die erste Variante (Abs. 1 lit. a) in Betracht. In der Beschwerdeschrift ist konkret darzulegen, inwiefern die Voraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteils erfüllt ist, soweit dies nicht offensichtlich ist (<ref-ruling> E. 4 S. 95 mit Hinweisen).
1.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung wird indes auf die Voraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils ausnahmsweise verzichtet, soweit die beschwerdeführende Person die Rüge der formellen Rechtsverweigerung in der Form der Rechtsverzögerung substanziiert geltend macht (<ref-ruling> E. 6 S. 191 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 261; <ref-ruling> E. 1.3 S. 129; <ref-ruling> E. 2.2 ff. S. 45 ff.; je mit Hinweisen).
2.
2.1. Die Beschwerdeführerinnen halten in ihrer Beschwerde in Bezug auf die Eintretensvoraussetzungen fest, der nicht wieder gutzumachende Nachteil sei darin zu erkennen, dass "die Ehrverletzung weiterdauert, bis ein Strafurteil gegen die Verantwortlichen ergangen ist", dass sie "massiv unter dem Geschehenen leiden" und dass, "wenn nicht jetzt etwas passiert, das Verfahren versandet und unter den Tisch gewischt wird". Zudem werde vorliegend die Rüge der Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung erhoben, weshalb insoweit von einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil abgesehen werden könne. Die Verfügung der Jugendanwaltschaft vom 25. Oktober 2012, mit welcher ihr Gesuch um Akteneinsicht und Teilnahme an den Beweiserhebungen abgewiesen worden sei, stelle inhaltlich eine "Nichteröffnungsverfügung" dar und bedeute damit ebenso wie der angefochtene Entscheid der Vorinstanz eine Rechtsverweigerung. Schliesslich sei auf die Beschwerde auch deshalb einzutreten, weil der Kostenentscheid angefochten werde (vgl. Beschwerde S. 3 - 6).
2.2.
2.2.1. Soweit die Beschwerdeführerinnen eine Beschränkung ihrer Teilnahmerechte rügen, legen sie nicht dar, inwiefern die mit Verfügung der Jugendanwaltschaft vom 25. Oktober 2012 verweigerte Teilnahme an Beweiserhebungen (bis zur Eröffnung eines Untersuchungsverfahrens) einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Dies ist auch nicht ersichtlich, denn mit einem zeitlichen Aufschub der Gelegenheit, an Einvernahmen der Beschwerdegegnerin und weiteren Beweiserhebungen teilzunehmen, geht grundsätzlich kein nicht wieder gutzumachender Nachteil einher (vgl. Urteil 1B_171/2013 vom 11. Juni 2013 E. 1.2.3). Die weiteren Ausführungen, wonach die Ehrverletzung weiter dauere, sie massiv unter dem Geschehenen litten und das Verfahren zu versanden drohe, gehen an der Sache vorbei.
Auch der in einem Zwischenentscheid enthaltene Entscheid über die Kosten- und Entschädigungsfolgen verursacht grundsätzlich keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil (<ref-ruling> E. 2.2 f. S. 95 f.; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 333; Urteil 1B_482/2012 vom 5. Februar 2013 E. 1.3). Dass es vorliegend anders wäre, wird von den Beschwerdeführerinnen nicht aufgezeigt.
Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
2.2.2. Der Einwand der formellen Rechtsverweigerung in der Form der Rechtsverzögerung erweist sich als nicht stichhaltig, soweit er überhaupt hinreichend substanziiert vorgebracht wird.
Die Jugendanwaltschaft hat mit Verfügung vom 25. Oktober 2012 umgehend über die Gesuche der Beschwerdeführerinnen vom 23. September 2012 um Akteneinsicht und um Teilnahme an den Beweiserhebungen entschieden, und auch der Entscheid der Vorinstanz erging innert angemessener Frist. Eine Rechtsverzögerung liegt damit nicht vor. Nicht nachvollziehbar ist die Argumentation der Beschwerdeführerinnen, die Abweisung der Gesuche um Akteneinsicht und um Teilnahme an den Beweiserhebungen bedeute inhaltlich eine "Nichteröffnungsverfügung" und damit eine Rechtsverweigerung.
Die Jugendanwaltschaft hat in der Zwischenzeit verschiedene Nichtanhandnahme- und Einstellungsverfügungen erlassen. Diese Verfügungen als solche bilden nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens, sondern sind mittels separater Beschwerde anzufechten. Inwiefern sich die Jugendanwaltschaft insoweit eine Rechtsverzögerung hat zu Schulden kommen lassen, ist aber jedenfalls nicht ersichtlich und wird von den Beschwerdeführerinnen mit ihren Ausführungen auch nicht substanziiert dargelegt.
3.
Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind den unterliegenden Beschwerdeführerinnen zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Die Beschwerdeführerinnen haben die Beschwerdegegnerin unter solidarischer Haftbarkeit zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1, 2 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Beschwerdeführerinnen zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerinnen haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit insgesamt Fr. 500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Jugendanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. März 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Stohner