Sachverhalt:
A.
D._, geboren 1968, war seit 1. Dezember 2007 als Leiterin des Pflegedienstes des Spitals X._ angestellt. Anlässlich einer Besprechung vom 19. April 2011 wurde das Arbeitsverhältnis auf den 31. Oktober 2011 aufgelöst. Die Kündigung wurde am gleichen Tag schriftlich bestätigt und D._ per sofort freigestellt. Am 17. August 2011 erhob D._ Einsprache gegen die Kündigung. Der folgende Schriftenwechsel brachte keine Einigung.
B.
Die am 24. Januar 2012 erhobene verwaltungsgerichtliche Klage wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit Entscheid vom 9. Oktober 2012 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt D._ beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei der Beschwerdegegner zu einer Entschädigung gemäss <ref-law> von maximal drei Monatslöhnen zu verpflichten.
Während die Vorinstanz und das Spital X._ auf Abweisung der Beschwerde schliessen lassen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden könne, hält D._ mit ihrer Eingabe vom 14. März 2013 an ihrem gestellten Antrag fest.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid, ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG), betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>. Der Ausschlussgrund von <ref-law> ist nicht gegeben, da die Beschwerde Entschädigungsansprüche und somit vermögensrechtliche Angelegenheiten betrifft. Die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- (<ref-law>) ist überschritten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gerügt werden. Rügen gegen die Sachverhaltsfeststellung sind nur zulässig, wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Die Rüge, im Rahmen der Sachverhaltsfeststellung sei der grundrechtliche Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden, kann jedoch uneingeschränkt erhoben werden (Urteil des Bundesgerichts 1C_560/2008 vom 6. April 2009 E. 1.2 mit Hinweis).
2.2. Die Rüge der willkürlichen Auslegung des kantonalen Rechts ist zulässig (<ref-law>). Willkürlich ist eine Auslegung oder Anwendung des Gesetzes nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Wegen Willkür ist ein Entscheid überdies nur aufzuheben, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133, 133 I 149 E. 3.1 S. 153, je mit Hinweisen). Erforderlich ist sodann, dass die Willkürrüge in einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Weise substanziiert wird. Dabei wird die Praxis zum Rügeprinzip gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) weitergeführt (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; Urteil 8C_251/2010 vom 29. Juni 2010 E. 1.3). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 262, 129 I 113 E. 2.1 S. 120, je mit Hinweisen).
3.
Streitgegenstand bildet letztinstanzlich die Frage, ob die Vorinstanz zu Recht - unter dem dargelegten, sachverhaltsmässig eingeschränkten kognitionsrechtlichen Blickwinkel - die Auflösung des Arbeitsverhältnisses per Ende Oktober 2011 vor dem Hintergrund der erwähnten Kündigungsgründe als sachlich gerechtfertigt beurteilte.
3.1. Das kantonale Gericht hat zutreffend dargelegt, dass gemäss Art. 4 Abs. 1 lit. b des Personalreglements vom 1. Juli 2007 des Spitals X._ das Dienstverhältnis unter Vorbehalt einer besonderen Vereinbarung im Arbeitsvertrag nach der Probezeit mit einer Kündigungsfrist von drei Monaten aufgelöst werden kann, wovon die Parteien Gebrauch gemacht haben. Die arbeitsvertraglich vereinbarte Kündigungsfrist von sechs Monaten wurde eingehalten, weshalb unbestrittenermassen eine ordentliche Kündigung vorliegt. Da das Personalreglement oder seine Ausführungsbestimmungen keine Gründe für eine ordentliche Kündigung nennen, gelangen nach Art. 2 Abs. 3 des Personalreglements die Bestimmungen des Obligationenrechts über Kündigungsbeschränkungen (<ref-law>) ergänzend als subsidiäres öffentliches Recht zur Anwendung. Mit der Vorinstanz ist weiter festzuhalten, dass sachliche oder triftige Gründe für die Auflösung des öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisses vorliegen müssen, welche aber nicht die Intensität eines wichtigen Grundes erreichen müssen, welcher die Fortsetzung des Dienstverhältnisses unzumutbar macht. Grundsätzlich ist eine Kündigung dann sachlich begründet, wenn die Weiterbeschäftigung des betreffenden Angestellten dem öffentlichen Interesse, insbesondere demjenigen einer gut funktionierenden Verwaltung, widerspricht. Dies kann bei unzureichenden Leistungen, unbefriedigendem Verhalten, erheblichen Störungen der Arbeitsgemeinschaft oder aus betrieblichen Gründen der Fall sein. Einmalige geringfügige Beanstandungen reichen dabei jedoch noch nicht aus, denn es wird ein sachlicher Grund von einem gewissen Gewicht bzw. wiederholte oder andauernde Schlecht- oder Nichterfüllung von Aufgaben verlangt (Urteile 8C_826/2009 vom 1. Juli 2010 E. 2; 8C_260/2010 vom 12. Januar 2011 E. 3.2; MATTHIAS MICHEL, Beamtenstatus im Wandel, Zürich 1998, S. 299 f.). Auf jeden Fall als unsachlich gelten Kündigungen, welche im Sinne des Obligationenrechts missbräuchlich wären (<ref-law>).
3.2. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdegegner habe der Beschwerdeführerin mehrmals die Gründe für die Kündigung erläutert, nämlich die fehlende fachliche Ausbildung und notwendige Berufserfahrung für die Ausübung der Pflegedienstleitung auf Stufe Spitalleitung sowie die nicht mehr vorhandene Vertrauensbasis in der Zusammenarbeit. Dass das Vertrauensverhältnis zwischen der Beschwerdeführerin und dem neuen Spitaldirektor erheblich gestört gewesen sei, ergäbe sich auch aus ihren eigenen Darlegungen. Ebenso habe sie selbst in ihrem Antrag MAS in Leadership und Management vom 22. Januar 2010 [recte: 22. Juni 2010] ihre Leistungsdefizite gegenüber dem Spitalvorstand benannt, weshalb die Kündigung sachlich gerechtfertigt sei. Eine rechtsmissbräuchliche Kündigung im Sinne von <ref-law> liege - namentlich auch mit Blick auf die von beiden Parteien aufgrund von Bildungslücken als notwendig erachtete Weiterbildung - nicht vor, zumal die Beschwerdeführerin zu keinem Zeitpunkt eine Kostenübernahmepflicht des Arbeitgebers geltend gemacht habe.
3.3. Die Beschwerdeführerin verneint das Vorliegen eines sachlichen Kündigungsgrunds. Das kantonale Gericht habe zudem seine Begründungspflicht verletzt und den Sachverhalt in Bezug auf die rechtlichen Folgen nicht gewürdigt und so eine willkürliche Beweiswürdigung vorgenommen. Inwiefern die Sachverhaltsfeststellung und die Beweiswürdigung krass falsch und damit willkürlich sein sollen, wird jedoch nicht klar dargelegt. Denn entgegen den Ausführungen in der Beschwerde, würdigte das Verwaltungsgericht sämtliche im Recht liegenden Akten und schlussfolgerte daraus in nachvollziehbarer und überzeugender Weise, dass aufgrund der unterschiedlichen Erwartungen sowohl seitens der Beschwerdeführerin (Weiterbildung) wie auch seitens des Beschwerdegegners (Kommunikation auf Managementebene, uneingeschränkte Umsetzung der Zielvorgaben der Spitaldirektion), von einem gestörten Vertrauensverhältnis auszugehen ist. Der Vertrauensverlust bestand gemäss Aktenlage gegenüber der Spitalleitung, welche auch auf den fehlenden Rückhalt in der Ärzteschaft verwies. Die damalige Spitalleitung legte klar dar, dass weder Leistung noch Verhalten der Beschwerdeführerin befriedigend waren und insbesondere das mangelnde Vertrauen in die uneingeschränkte Umsetzung ihrer Zielvorgaben zum Vertrauensverlust geführt hat. Hinsichtlich der von beiden Seiten anerkannten Leistungsmängel konnte keine Einigung über eine adäquate Weiterbildung und deren Finanzierung gefunden werden, indem die Beschwerdeführerin dem Vorstandsentscheid zur Weiterbildung MAS in Leadership und Management vom 11. November 2010 mit Übernahme von maximal 50 % der Kurskosten und des Zeitaufwandes seitens des Spitals, nicht zustimmte. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin sind nicht geeignet, diese tatsächlichen Feststellungen und die Würdigung des Verwaltungsgerichts als willkürlich erscheinen zu lassen. Es entspricht einer allgemeinen Erfahrung, dass ein gravierend gestörtes Arbeitsklima sich über kurz oder lang negativ auf den Betrieb selber auswirkt. Die Beendigung des Arbeitsverhältnisses liegt in einem Fall von Vertrauensverlust grundsätzlich im öffentlichen Interesse. Die betrieblichen Interessen sind ein sachliches Kriterium, das bei der Wahl, wem zu kündigen ist, berücksichtigt werden darf (Urteile 8C_340/2009 vom 24. August 2009 E. 4.4.3 und 1C_354/2008 vom 4. Mai 2009 E. 2.4).
Der Standpunkt des kantonalen Gerichts, wonach eine sachlich gerechtfertigte, nicht missbräuchliche Kündigung vorliegt, verletzt demnach das Willkürverbot nicht.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Das Spital X._ hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da es in seinem amtlichen Wirkungskreis tätig war (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Mai 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Polla