Sachverhalt:
Am 12. Februar 2009 verfügte das Bundesamt für Justiz die Auslieferung des polnischen Staatsangehörigen X._ an Polen. Eine vom Verfolgten dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht, II. Beschwerdekammer, mit Urteil vom 9. Juli 2009 ab.
Gegen das Urteil des Bundesstrafgerichtes gelangte der Verfolgte mit Beschwerde vom 27. Juli 2009 an das Bundesgericht. Am 28. Juli 2008 ergänzte er ("vorab per Fax") die Beschwerde.

Erwägungen:
1. Erachtet das Bundesgericht eine Beschwerde in Rechtshilfesachen als unzulässig, weil kein besonders bedeutender Fall im Sinne von <ref-law> gegeben ist, so fällt es innert 15 Tagen seit Abschluss eines allfälligen Schriftenwechsels einen Nichteintretensentscheid (<ref-law>). Dieser Entscheid wird - unter Vorbehalt der allgemeinen Unzulässigkeitsgründe nach <ref-law> - im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> in Dreierbesetzung auf dem Zirkulationsweg getroffen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 127).
Soweit <ref-law> das Erfordernis des "besonders bedeutenden Falles" betrifft, handelt es sich (im Verhältnis zu Art. 20 und Art. 108 BGG) um eine "lex specialis" für Verfahren betreffend die internationale Rechtshilfe in Strafsachen. Daher ist <ref-law> (Dreierbesetzung) grundsätzlich auch bei offensichtlich fehlendem besonders bedeutendem Fall anwendbar. Davon zu unterscheiden sind die allgemeinen Unzulässigkeitsgründe, welche bei Offensichtlichkeit im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a-c BGG zu beurteilen sind. Dazu gehören etwa das eindeutige Versäumen der Beschwerdefrist (<ref-law>) oder die offensichtlich ungenügende Beschwerdebegründung im Sinne von Art. 42 Abs. 1-2 BGG (<ref-ruling> E. 1.2 S. 127 f.). Nicht ausreichend begründet ist die Beschwerde in Rechtshilfesachen insbesondere dann, wenn nicht ausgeführt wird, warum ein besonders bedeutender Fall nach <ref-law> vorliege (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 128). Die betreffende Sachurteilsvoraussetzung gilt auch in Auslieferungsfällen (Urteil 1C_84/2009 vom 27. Februar 2009).
Liegt offensichtlich ein solcher allgemeiner Unzulässigkeitsgrund vor, ist im einzelrichterlichen Verfahren ein Nichteintretensentscheid zu fällen (<ref-law>). In diesen Fällen erübrigt sich die zusätzliche Prüfung des besonderen Eintretenserfordernisses von <ref-law> (besonders bedeutender Fall), selbst wenn sein Vorliegen geltend gemacht wird. <ref-law> kommt somit nur - aber immer dann - zum Zug, wenn die dort genannte Eintretensvoraussetzung für das Nichteintreten entscheidend ist. In diesem Fall erweist sich <ref-law> (im Verhältnis zu <ref-law>) als "lex specialis" und hat insoweit Vorrang (<ref-ruling> E. 1.2 S. 128).
2. Nach Angaben des Beschwerdeführers wurde ihm der angefochtene Entscheid am 16. Juli 2009 zugestellt. Die Beschwerdefrist von <ref-law> lief (unter Berücksichtigung des Fristenlaufs an Sonntagen) am Montag, 27. Juli 2009, ab. Entgegen der Vorschrift von <ref-law> wird in der am 27. Juli 2009 eingereichten Beschwerdeschrift nicht ausgeführt, inwiefern die Sachurteilsvoraussetzung des besonders bedeutenden Falles nach <ref-law> erfüllt wäre. Die am 28. Juli 2009 "vorab per Fax" eingereichte Beschwerdeergänzung ist offensichtlich verspätet.
3. Die vorliegende Beschwerde ist offensichtlich unzureichend begründet (<ref-law>), die Beschwerdeergänzung offensichtlich verspätet (<ref-law>). Ein Antrag im Sinne von <ref-law> wurde nicht gestellt.
Auf die Beschwerde ist folglich im vereinfachten einzelrichterlichen Verfahren nicht einzutreten (<ref-law>).
Auf die Erhebung von Gerichtskosten kann hier verzichtet werden (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Parteientschädigung zugesprochen.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Justiz und dem Bundesstrafgericht, II. Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juli 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Forster