(Eröffnung eines Strafverfahrens), hat sich ergeben:
A.- Die Regierung des Kantons St. Gallen beurteilte am 5. Dezember 2000 zahlreiche Sachverhalte, die A._ gegen Behördemitglieder der politischen Gemeinde Flawil zur Anzeige gebracht hatte. Sie betreffen die Handhabung von Vorschriften des öffentlichen Bau- und Beschaffungswesens, organisatorische Aspekte in der Gemeindeverwaltung sowie konkrete Vorwürfe von Korruption und Mobbing. Die Regierung stellte fest, dass die Baukommission Flawil mehrfach zu Unrecht Baubewilligungen erteilt habe und ordnete für diese Fälle sowie für die zwischen 1988 und 1998 erteilten Baubewilligungen eine Prüfung an. Weiter hielt die Regierung fest, Kommissionspräsident X._ sei anlässlich der Sitzung vom 13. August 1996 nicht in den Ausstand getreten und habe damit an der Behandlung von Baugesuchen mitgewirkt, an denen er selbst beteiligt gewesen sei; im Sitzungsprotokoll sei dennoch vermerkt, die Ausstandsvorschriften seien eingehalten. Die Regierung erwog, auf die Einleitung eines Disziplinarverfahrens gegen die betreffenden Personen sei zu verzichten, da sie seit Ende Dezember 2000 der Baukommission nicht mehr angehörten. Sie leitete die Akten an das Untersuchungsamt Gossau weiter, weil auch strafrechtliche Tatbestände wie ungetreue Geschäftsführung und Urkundenfälschung in Frage stünden. Das Untersuchungsamt überwies den Regierungsbeschluss am 20. Dezember 2000 der Anklagekammer zur Durchführung des Ermächtigungsverfahrens hinsichtlich der angezeigten Behördemitglieder. Am 10. Januar 2001 erhob A._ beim Untersuchungsamt Gossau Strafanzeige gegen amtierende und ehemalige Behördemitglieder der Gemeinde Flawil sowie gegen Unbekannt wegen Amtsmissbrauch, ungetreuer Amtsführung, Bestechung, Nötigung und Urkundenfälschung.
Zu dieser eigenen Eingabe entschloss er sich, weil die Regierung nach seiner Ansicht nicht alle strafrechtlich relevanten Sachverhalte erkannt habe. Ausserdem beantragte er die Beschlagnahme diverser Akten. Am 13. März 2001 reichte er der Anklagekammer ergänzende Erklärungen zu seiner Strafanzeige ein.
Die Anklagekammer prüfte die im Regierungsbeschluss und in der Strafanzeige angeführten Verdachtsgründe im selben Verfahren. Mit Entscheid vom 17. Mai 2001 ordnete sie in Bezug auf zwei umstrittene Baubewilligungen vom 17. November 1992 und 12. September 1995 vorläufige Ermittlungen an und eröffnete in dieser Hinsicht gegen den ehemaligen Gemeinderat X._ ein Strafverfahren. A._ auferlegte sie als teilweise unterliegendem "Strafkläger" Verfahrenskosten im Umfang von Fr. 2'000.--.
B.- A._ führt gegen den Entscheid der Anklagekammer staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht. Er rügt eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 84 Abs. 1 lit. a OG) durch Verweigerung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) und willkürlicher Anwendung kantonalen Rechts (<ref-law>) sowie einen Verstoss gegen <ref-law>, der die Abgrenzung der sachlichen Zuständigkeit der Behörden betrifft (Art. 84 Abs. 1 lit. d OG). Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung.
Der Gemeinderat Flawil, die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, das Untersuchungsamt Gossau sowie X._ haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen beantragt in ihrer Stellungnahme, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. A._ hat am 6. November 2001 unaufgefordert seine Beschwerde ergänzt und weitere Unterlagen eingereicht.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der ihm eingereichten Beschwerden von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1a).
a) Die staatsrechtliche Beschwerde ist, von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen, rein kassatorischer Natur (<ref-ruling> E. 2c S. 5). Auf Anträge, die über die Aufhebung des angefochtenen Entscheids hinausgehen, tritt das Bundesgericht somit nicht ein. Wird, wie dies vorliegend der Fall ist, bloss die Rückweisung an die Vorinstanz beantragt, hat dies allerdings keine praktischen Auswirkungen, da die kantonale Instanz ohnehin neu über die Sache zu befinden hat, sollte ihr Entscheid aufgehoben werden (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3c S. 126).
b) Im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde findet ein zweiter Schriftenwechsel nur ausnahmsweise statt (Art. 93 Abs. 3 OG). Vorliegend wurde kein weiterer Schriftenwechsel angeordnet. Die nach Ablauf der Beschwerdefrist unaufgefordert eingereichten ergänzenden Bemerkungen und Unterlagen können daher nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1c mit Hinweisen).
c) Der angefochtene Entscheid stützt sich auf Art. 16 Abs. 2 lit. b des Strafprozessgesetzes des Kantons St. Gallen vom 1. Juli 1999 (StP), wonach bei strafbaren Handlungen, welche die Amtsführung von Behördemitgliedern oder Beamten nach <ref-law> betreffen, die Anklagekammer über die Eröffnung des Strafverfahrens entscheidet, vorbehältlich der Zuständigkeit des Grossen Rates.
Soweit die angezeigten Sachverhalte in den Kompetenzbereich der Anklagekammer fallen und diese auf die Eröffnung eines Strafverfahrens verzichtet hat, stellt ihr Entscheid einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid dar, der zulässi- ges Anfechtungsobjekt der staatsrechtlichen Beschwerde ist (Art. 84 Abs. 2 und 86 Abs. 1 OG).
d) Nach Art. 88 OG setzt das Ergreifen der staatsrechtlichen Beschwerde ein persönliches Betroffensein in eigenen rechtlich geschützten Interessen voraus. Zur Verfolgung bloss tatsächlicher Vorteile oder zur Geltendmachung allgemeiner öffentlicher Interessen ist die staatsrechtliche Beschwerde nicht gegeben. Die eigenen rechtlichen Interessen, auf die sich der Beschwerdeführer berufen muss, können entweder durch eidgenössisches oder kantonales Gesetzesrecht oder aber unmittelbar durch ein angerufenes spezielles Grundrecht geschützt sein, sofern die Interessen auf dem Gebiet liegen, welches die betreffende Verfassungsbestimmung beschlägt.
Das in <ref-law> enthaltene Willkürverbot verschafft für sich allein noch keine geschützte Rechtsstel- lung im Sinn von Art. 88 OG. Die Legitimation zur Willkürrüge ist nur gegeben, wenn das Gesetzesrecht, dessen willkürliche Anwendung gerügt wird, dem Beschwerdeführer einen Rechtsanspruch einräumt oder den Schutz seiner Interessen bezweckt (<ref-ruling> E. 4-6; <ref-ruling> E. 1c S. 161; <ref-ruling> E. 5b).
aa) Der Beschwerdeführer beanstandet, die angezeigten Sachverhalte seien umfassend dem Ermächtigungsverfahren unterstellt worden, ohne dass im Einzelnen geprüft worden wäre, welche Personen (noch) im Amt stünden. In diesem Vorgehen erblickt er eine Verletzung seines verfassungsmässigen Gehörsanspruchs sowie eine willkürliche Anwendung kantonalen Verfahrensrechts. Als unhaltbar kritisiert er auch, dass nur in Bezug auf X._ die Eröffnung einer Strafuntersuchung bewilligt worden sei.
Nach ständiger Praxis des Bundesgerichts werden Anzeiger, Privatstrafkläger oder Geschädigte grundsätzlich nicht als legitimiert betrachtet, gegen einen Freispruch, eine Einstellung oder eine Nichteröffnung eines Strafverfahrens staatsrechtliche Beschwerde zu erheben, da sie an der Verfolgung des Täters nur ein mittelbares oder tatsächliches, aber kein eigenes rechtlich geschütztes Interesse im Sinn von Art. 88 OG haben. Der Strafanspruch steht ausschliesslich dem Staat zu, und zwar unabhängig davon, ob der angeblich Geschädigte als Privatstrafkläger auftritt oder die eingeklagte Handlung auf seinen Antrag hin verfolgt wird (<ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 1a; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen). Das Verfahren vor der Anklagekammer hatte die Eröffnung bzw. Nichteröffnung eines Strafverfahrens zum Gegenstand und nicht, wie der Beschwerdeführer davon auszugehen scheint, eine allfällige Aufhebung der strafrechtlichen Immunität gewisser Amtspersonen. Art. 16 Abs. 2 lit. b StP legt dem Sinne nach einzig fest, dass bei Straftaten im Zusammenhang mit der Führung von Ämtern eine unabhängige richterliche Behörde - anstelle einer weisungsabhängigen Strafverfolgungsbehörde - über die Verfahrenseröffnung entscheidet. Unter dem Gesichtspunkt der Legitimation zur staatsrechtlichen Beschwerde ist dieser Unterschied allerdings ohne Belang, da die erwähnte Praxis auch für Entscheide gilt, welche die Aufhebung der strafrechtlichen Immunität betreffen (vgl. <ref-ruling> E. 2a mit Hinweisen).
Eine Ausnahme besteht nach <ref-law> dann, wenn der Private als Opfer im Sinn von <ref-law> zu betrachten ist, was voraussetzt, dass er durch die fragliche Tat eine unmittelbare Beeinträchtigung in seiner körperlichen, sexuellen oder psychischen Integrität erlitten hat (vgl. zum Opferbegriff: <ref-ruling> E. 2a mit zahlreichen Hinweisen). Der Beschwerdeführer behauptet - selbst hinsichtlich des von ihm vorgebrachten Nötigungstatbestands (Beschwerde, S. 9) - nicht, er sei in seinem psychischen Wohlbefinden qualifiziert beeinträchtigt worden und daher als Opfer zu betrachten (<ref-ruling> E. 2d/aa S. 162 f.). Er führt vielmehr selber aus, mit seiner Strafanzeige letztlich öffentliche Interessen zu verfolgen (Beschwerde, S. 4). In Bezug auf die reinen Amts- und Vermögensdelikte könnte eine Opferstellung ohnehin nicht angenommen werden (<ref-ruling> E. 3e S. 322; <ref-ruling> E. 2d/aa S. 162 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer ist demnach nicht legitimiert, sich mit staatsrechtlicher Beschwerde gegen den Entscheid betreffend Nichteröffnung eines Strafverfahrens zur Wehr zu setzen. Als Folge der fehlenden Legitimation in der Sache ist er auch nicht befugt, gestützt auf Art. 84 Abs. 1 lit. d OG geltend zu machen, die Anklagekammer habe <ref-law> dadurch verletzt, dass sie nicht nur Mitglieder der obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden, sondern auch Behördemitglieder unterer Instanzen sowie nicht (mehr) beamtete Personen in das Ermächtigungsverfahren einbezogen habe.
Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann ein Beschwerdeführer die Verletzung von Verfahrensrechten rügen, die ihm das kantonale Recht wegen seiner Stellung als Partei im Strafverfahren einräumt und deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (BGE <ref-ruling> E. 3b S. 110, 157 E. 2a/aa S. 160, 220 E. 2a, je mit Hinweisen). Das nach Art. 88 OG erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls nicht aus der Berechtigung in der Sache, sondern aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Der Beschwerdeführer kann beispielsweise geltend machen, er sei nicht angehört worden, habe keine Gelegenheit erhalten, Beweisanträge zu stellen, oder er habe nicht Akteneinsicht nehmen können. Hingegen kann er weder die Würdigung der beantragten Beweise noch die Tatsache rügen, dass seine Anträge wegen Unerheblichkeit oder aufgrund vorweggenommener Beweiswürdigung abgelehnt wurden. Die Beurteilung dieser Fragen kann von der Prüfung der materiellen Sache nicht getrennt werden, und auf eine solche hat der in der Sache selbst nicht Legitimierte keinen Anspruch (BGE <ref-ruling> E. 3b S. 110, 157 E. 2a/bb mit Hinweisen).
Die Anklagekammer hat den Beschwerdeführer in verfahrensmässiger Hinsicht durchwegs als Anzeiger und nicht als Strafkläger im Sinn von Art. 42 Abs. 1 StP betrachtet, der durch die Taten einen persönlichen Nachteil erlitten hätte. Sie hat ihm daher auch keine Mitwirkungsrechte im Verfahren eingeräumt. Der Beschwerdeführer ist legitimiert, das Verneinen seiner Parteistellung mit staatsrechtlicher Beschwerde anzufechten und geltend zu machen, er sei zu Unrecht von den ihm zustehenden Verfahrensrechten ausgeschlossen worden (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 1).
Was seine Rechte als Anzeiger betrifft, so macht er allerdings selbst nicht geltend, das kantonale Recht räume ihm bestimmte Verfahrensbefugnisse ein. Fest steht jedenfalls, dass seine Anzeige behandelt und ihm der Entscheid betreffend (Nicht-)Eröffnung des Strafverfahrens mitgeteilt wor- den ist (Art. 168 StP). Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, er sei zu Unrecht nicht als Strafkläger im Sinn von Art. 42 Abs. 1 StP betrachtet worden, legt er nicht dar, durch welche der angezeigten Taten er als Geschädigter persönlich betroffen gewesen wäre und inwiefern die Anklagekammer die erwähnte Legitimationsnorm willkürlich angewen- det hätte. In seiner Beschwerde (S. 9) erwähnt er bloss am Rande mit einem Hinweis auf seine Strafanzeige, dass ihm bezüglich eines Nötigungsversuchs Geschädigtenstellung zukomme.
Die Beschwerde ist insoweit unzureichend begründet (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 1c S. 76), weshalb auf die in diesem Zusammenhang erhobenen Rügen der Verletzung von Art. 9 und <ref-law> nicht eingetreten werden kann.
bb) Dem Beschwerdeführer wurden im angefochtenen Entscheid Verfahrenskosten auferlegt. Er ist legitimiert, sie wegen willkürlicher Anwendung kantonalen Rechts mit staatsrechtlicher Beschwerde anzufechten.
e) Nachdem die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten, soweit sie sich gegen den Kostenentscheid richtet.
2.- a) Die Anklagekammer hat dem Beschwerdeführer für die Durchführung des Ermächtigungsverfahrens Kosten von Fr. 2'000.-- auferlegt, weil er mit seiner Strafklage nicht durchgedrungen sei. Sie verweist ohne nähere Begründung auf Art. 267 Abs. 1 StP, wonach "der Kläger" die Kosten zu tragen hat, soweit er leichtfertig Anlass zum Strafverfahren gegeben oder dessen Durchführung erschwert hat, oder wenn er den Strafantrag zurückgezogen hat.
Der Beschwerdeführer macht geltend, Art. 267 StP komme vorliegend nicht zum Zug, da nicht ein Straf- sondern ein Ermächtigungsverfahren durchgeführt worden sei. Verfahrensgegenstand sei einstweilen nur die Frage gewesen, ob und inwieweit ein Strafverfahren überhaupt eröffnet werden solle. Zu diesem Auslegungsergebnis führe auch Art. 260 Abs. 1 StP, wonach über die Kosten des Strafverfahrens in der Einstellungs-, Aufhebungs- oder Abschreibungsverfügung, im Strafbescheid, im Urteil oder im Rechtsmittelentscheid entschieden werde. Ausserdem gehe die Anklagekammer im angefochtenen Entscheid selbst davon aus, dass ihm die als Strafkläger erforderliche Legitimation fehle und er nur als Anzeiger zu betrachten sei. Selbst wenn Art. 267 StP grundsätzlich anwendbar wäre, könne nicht von einer leichtfertigen Veranlassung des Verfahrens die Rede sein. Dem Kostenentscheid liege daher eine willkürliche Anwendung von Art. 260 Abs. 1 und Art. 267 Abs. 1 StP zugrunde.
b) Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen materieller Rechtsverweigerung nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt sodann nur vor, wenn der Entscheid nicht bloss in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2b, 60 E. 5a S. 70, je mit Hinweisen).
c) Der Beschwerdeführer weist zu Recht auf den im angefochtenen Entscheid enthaltenen Widerspruch hin, wonach ihn die Anklagekammer einerseits nur als Anzeiger ohne eigentliche Parteirechte betrachte, ihm andererseits aber dennoch Kosten auferlege, wie wenn er als Privatstrafkläger am Verfahren beteiligt gewesen wäre. In Erwägung 4 ihres Entscheids führt die Anklagekammer aus, der Beschwerdeführer gelte "unter Vorbehalt der nachstehenden Darlegungen" als blosser Anzeiger, dem im Strafverfahren keine Parteirechte zustünden. In Erwägung 5 wiederholt sie im Zusammenhang mit den vom Beschwerdeführer beantragten Beweismassnahmen, dass diesem, "wie noch darzulegen" sein werde, in Bezug auf "die überwiegende Mehrzahl der erhobenen Vorwürfe" mangels unmittelbarer Betroffenheit keine Parteistellung zukomme; folglich könne er auch keine entsprechenden Rechte ausüben. Im Rahmen der nachfolgenden materiellen Prüfung, ob konkrete Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten vorlägen, führt die Anklagekammer keine konkreten Sachverhalte auf, in denen sie den Beschwerdeführer als zur Strafklage legitimiert erachten würde. Es ist daher nicht ersichtlich, weshalb sie ihn bei den Kostenfolgen als Strafkläger betrachtet und ihm gestützt auf Art. 267 Abs. 1 StP Kosten auferlegt hat. Dass der Beschwerdeführer das Verfahren vorsätzlich oder grobfahrlässig durch unwahre oder übertriebene Angaben oder durch Verschweigen von Tatsachen veranlasst hätte, wie es nach Art. 268 StP für die Kostenauflage an den Anzeiger vorausgesetzt wird, hält die Anklagekammer ihm nicht entgegen.
Wie der Beschwerdeführer zutreffend darlegt, ist der Kostenentscheid somit nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar.
3.- Demnach ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 17. Mai 2001 im Kostenpunkt aufzuheben (Ziff. 3 des Dispositivs). Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist dem teilweise unterliegenden Beschwerdeführer eine reduzierte Gerichtsgebühr aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 i.V.m. Art. 153a Abs. 1 und 2 OG). Der Kanton St. Gallen hat keine Gerichtskosten zu tragen (Art. 156 Abs. 2 StP), wird jedoch verpflichtet, den anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer angemessen zu entschädigen (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und Ziffer 3 des Entscheids der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 17. Mai 2001 betreffend Kostenauflage an den Beschwerdeführer wird aufgehoben.
2.- Die reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Der Kanton St. Gallen hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- zu bezahlen.
4.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, X._, dem Gemeinderat Flawil sowie der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt Gossau, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 20. Dezember 2001
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: