Fatti:
A. Dopo un primo soggiorno a Ginevra (2000-2004) per studi, A._, cittadina azera (1985), si è vista accordare il 12 gennaio 2005, dalla Sezione della popolazione del Cantone Ticino un permesso di dimora annuale per motivi di studio, regolarmente rinnovato fino all'11 gennaio 2009. Ottenuta la proroga del suddetto permesso fino al 30 settembre 2012, l'interessata ne ha chiesto l'ulteriore rinnovo il 21 settembre 2012. L'istanza è stata tuttavia respinta dalla Sezione della popolazione il 23 ottobre 2012, la quale le ha inoltre fissato un termine con scadenza al 30 novembre successivo per lasciare la Svizzera.
Detta decisione è stata confermata su ricorso dapprima dal Consiglio di Stato, il 12 dicembre 2012, e poi dal Giudice delegato del Tribunale cantonale amministrativo, con sentenza del 22 febbraio 2013.
B. L'11 aprile 2013 A._ ha presentato dinanzi al Tribunale federale un ricorso in materia di diritto pubblico e un ricorso sussidiario in materia costituzionale, in cui chiede l'annullamento della sentenza cantonale, rispettivamente il rinvio della causa al Consiglio di Stato per nuovo giudizio. Censura la violazione degli artt. 9 e 29a Cost. nonché 8 CEDU. Chiede inoltre che sia conferito effetto sospensivo al gravame.
Il Tribunale federale non ha ordinato uno scambio di allegati scritti.

Diritto:
1. II Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione la sua competenza (<ref-law>) e l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (<ref-ruling> consid. 1 pag. 43).
2. 2.1 Giusta l'art. 83 lett. c n. 2 LTF, il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile contro le decisioni in materia di diritto degli stranieri concernenti permessi o autorizzazioni al cui ottenimento né il diritto federale né il diritto internazionale conferiscono un diritto (<ref-ruling> consid. 2.2 e 2.3 pag. 189 seg.; <ref-ruling> consid. 1 pag. 342).
2.2 La ricorrente non pretende, a giusta ragione, di vantare un diritto a soggiornare in Svizzera in base alla legislazione interna o a un trattato bilaterale concluso con il suo paese d'origine. A suo avviso ella avrebbe invece diritto al rinnovo del permesso di dimora concessole per motivi di studio in virtù dell'art. 8 CEDU, disposto che garantisce, tra l'altro, il rispetto della vita privata. Al riguardo fa valere che la sua integrazione nel nostro Paese è particolarmente intensa, dato che vi ha trascorso quasi interamente la sua vita e che vi ha i maggiori legami per quanto riguarda le relazioni personali, formative e professionali.
2.3 Dallo stretto profilo della protezione della vita privata, l'art. 8 CEDU permette di vedersi rilasciare un'autorizzazione di soggiorno solo se sono adempite condizioni restrittive. Lo straniero deve infatti stabilire l'esistenza di legami sociali e professionali particolarmente intensi con la Svizzera, i quali devono superare quelli scaturenti da un'ordinaria integrazione. Il Tribunale federale non parte da un approccio schematico che consisterebbe a presumere che, a partire di una certa durata di soggiorno nel nostro Paese, lo straniero vi abbia messo le radici e fruisca per tal motivo di un diritto di presenza. Esso effettua invece una ponderazione dei contrapposti interessi, la durata del soggiorno in Svizzera essendo uno degli elementi che viene preso in considerazione (<ref-ruling> consid. 3.2.1 pag. 286 e rinvii; sentenza 2C_75/2011 del 6 aprile 2011 consid. 3.1 e riferimenti). Nel caso concreto la ricorrente non motiva in modo sostenibile che adempirebbe le severe esigenze poste dalla giurisprudenza affinché possa appellarsi al diritto al rispetto della vita privata, segnatamente per quanto riguardo i legami professionali (non avendo mai lavorato nel nostro paese) e sociali (avendo peraltro come emerge dalla sentenza impugnata, effettuato un lungo soggiorno nel proprio paese d'origine nel 2012), e non può, di conseguenza, appellarsi all'art. 8 CEDU. Il ricorso in materia di diritto pubblico è pertanto inammissibile.
3. Rimane da esaminare se il ricorso sussidiario in materia costituzionale sia ricevibile. Secondo l'<ref-law> è legittimato a proporre tale rimedio chi ha un interesse legittimo all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata.
3.1 Sebbene le sia nota la giurisprudenza, confermata nella <ref-ruling> segg., secondo la quale il divieto generale dell'arbitrio sgorgante dall'<ref-law> non conferisce, di per sé, un interesse legittimo ai sensi dell'<ref-law>, la ricorrente considera che nel suo caso si giustifica di derogare a questa prassi. Fa valere di avere proposto fatti nuovi dinanzi alla Corte cantonale, la quale però ha respinto il suo gravame senza rinviare la causa all'autorità precedente al fine di garantirle il doppio grado di giurisdizione. Impedirle ora di censurare dinanzi al Tribunale federale tale comportamento, a suo dire arbitrario, disattenderebbe arbitrariamente la garanzia della via giudiziaria sancita dall'<ref-law>
3.2 Gli argomenti addotti nel gravame non sono manifestamente idonei a rimettere in discussione la consolidata giurisprudenza citata in precedenza. Ne discende che, per quanto riferite alla pretesa violazione, sotto diversi aspetti, del divieto dell'arbitrio, rispettivamente all'applicazione arbitraria di determinate norme, le censure sollevate, conformemente alla prassi citata in precedenza e che viene qui confermata, sono inammissibili (cfr. <ref-ruling> consid. 6.1 pag. 197 seg. e 6.3 pag. 200).
3.2 Gli argomenti addotti nel gravame non sono manifestamente idonei a rimettere in discussione la consolidata giurisprudenza citata in precedenza. Ne discende che, per quanto riferite alla pretesa violazione, sotto diversi aspetti, del divieto dell'arbitrio, rispettivamente all'applicazione arbitraria di determinate norme, le censure sollevate, conformemente alla prassi citata in precedenza e che viene qui confermata, sono inammissibili (cfr. <ref-ruling> consid. 6.1 pag. 197 seg. e 6.3 pag. 200).
3.3 3.3.1 La ricorrente può però far valere la disattenzione dei suoi diritti di parte, la cui violazione costituisce un diniego di giustizia formale (<ref-ruling> consid. 6.2 pag. 198). Ella censura la disattenzione dell'<ref-law> in quanto i fatti nuovi da lei sollevati dinanzi al Tribunale cantonale amministrativo non avrebbero beneficiato del doppio grado di giurisdizione previsto in Ticino, ove la decisione dell'autorità di prime cure (la Sezione della popolazione) viene dapprima vagliata dal Consiglio di Stato e poi dal Tribunale cantonale amministrativo.
3.3.2 Conformemente all'<ref-law>, ognuno ha diritto, nelle controversie giuridiche, al giudizio da parte di un'autorità giudiziaria. In concreto la ricorrente disattende che nella misura in cui ha potuto portare a conoscenza dei giudici cantonali gli elementi a sostegno delle sue tesi, l'invocata garanzia costituzionale non impone di principio un doppio grado di giurisdizione a livello cantonale. A titolo abbondanziale va osservato che, nel caso specifico, la Corte cantonale ha statuito liberamente sull'applicazione del diritto e dinanzi ad essa la ricorrente ha potuto esporre le sue argomentazioni riguardanti il rinnovo del permesso di dimora ottenuto per motivi di studio. In queste circostanze, contrariamente a quanto addotto dall'interessata, il mancato rinvio della causa al Consiglio di Stato non ha comportato una violazione dei suoi diritti processuali. Su questo punto il gravame si rivela infondato e come tale va respinto.
4. 4.1 Con l'evasione dei ricorsi, la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo è divenuta priva d'oggetto.
4.2 Le spese seguono la soccombenza (<ref-law>). Non si assegnano ripetibili ad autorità vincenti (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile.
2. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso sussidiario in materia costituzionale è respinto.
3. Le spese giudiziarie di fr. 1'200.-- sono poste a carico della ricorrente.
4. Comunicazione ai patrocinatori della ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Giudice delegato del Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché all'Ufficio federale della migrazione.