Sachverhalt:
A.
Die 1957 geborene A._ war in erster Ehe mit B._ verheiratet und gebar in dieser Zeit zwei Töchter (Jahrgang 1980 und 1983). Nach der Scheidung vom 19. Juli 1989 heiratete sie am 1. September 1989 C._. Ihr früherer Ehemann verstarb am 5. Januar 1999. Daraufhin stellte die Ausgleichskasse des Kantons Wallis A._ im Hinblick auf eine Waisenrente für die jüngere Tochter ein Anmeldeformular für Hinterlassenenrenten zu. In der Folge richtete die Ausgleichskasse nicht nur diese ordentliche einfache Waisenrente aus, sondern sprach überdies (versehentlich) A._ ab Februar 1999 eine ordentliche Witwenrente für geschiedene Ehegatten zu (Verfügung vom 19. Mai 1999).
Im Zusammenhang mit einer vom Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) durchgeführten Abgleichung von Renten- und Zivilstandsregistern erkannte die Ausgleichskasse (spätestens) im Mai 2012, dass sie anlässlich der Rentenzusprechung die seinerzeitige Wiederverheiratung von A._ übersehen und demzufolge die Witwenrente seit Februar 1999 zu Unrecht ausgerichtet hatte. Die Kasse verfügte am 18. Juli 2012 (sinngemäss) die rückwirkende Aufhebung der Witwenrente und forderte gleichzeitig Fr. 83'400.- von A._ zurück. Dieser Betrag entspricht den seit Juli 2007 unrechtmässig bezogenen Rentenbetreffnissen. Eine Eingabe der Versicherten vom 28. Juli 2012 qualifizierte die Ausgleichskasse als Gesuch um Erlass der Rückforderung und lehnte dieses mit Verfügung vom 17. Januar 2013 und Einspracheentscheid vom 3. Mai 2013 mangels Gutgläubigkeit von A._ beim Bezug der Witwenrente ab.
B.
Das Kantonsgericht Wallis wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 13. Mai 2014 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde ans Bundesgericht führen mit dem Antrag auf Aufhebung von vorinstanzlichem Entscheid und Einspracheentscheid und Rückweisung der Sache an die Ausgleichskasse, damit diese vorerst über die am 28. Juli 2012 erhobene Einsprache gegen die Rückerstattungsverfügung vom 18. Juli 2012 entscheide. Eventuell sei die Sache zur Vervollständigung der Akten und zur ergänzenden Abklärung sowie zum anschliessenden neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventuell sei der gute Glaube zu bejahen. Überdies lässt A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung) ersuchen.
Während die Ausgleichskasse auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichten kantonales Gericht und BSV auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>).
2.
Wie bereits die ablehnende Erlassverfügung vom 17. Januar 2013 und der bestätigende Einspracheentscheid vom 3. Mai 2013 beruht auch der angefochtene vorinstanzliche Entscheid auf der Annahme, dass die Rentenaufhebungs- und -Rückerstattungsverfügung vom 18. Juli 2012 unangefochten in (formelle) Rechtskraft erwachsen ist. Während die Ausgleichskasse diese Annahme stillschweigend traf, führt das kantonale Gericht - allerdings ohne nähere Begründung - aus, über die Rückforderung der Witwenrente in der Höhe von Fr. 83'400.- sei rechtskräftig entschieden worden. Demgegenüber stellt sich die Beschwerdeführerin auf den Standpunkt, dass das Erlassverfahren zur Unzeit erfolgte, weil über ihre Einsprache gegen die Rückerstattungsverfügung noch gar nicht entschieden worden sei.
3.
3.1. Unrechtmässig bezogene Leistungen sind zurückzuerstatten; wer Leistungen in gutem Glauben empfangen hat, muss sie nicht zurückerstatten, wenn eine grosse Härte vorliegt (<ref-law> [SR 830.1]). Nach dem Erlass einer Rückerstattungsverfügung betreffend AHV-Leistungen stehen grundsätzlich zwei Möglichkeiten offen: die Einsprache gegen die Rückerstattung als solche oder aber ein Erlassgesuch. Die betroffene Person kann entweder zuerst die Rückforderung bestreiten und hernach, bei Misserfolg der Anfechtung, ein Erlassgesuch stellen. Sie kann aber auch auf eine Anfechtung verzichten und sogleich um Erlass der Rückforderung ersuchen, womit die Rückerstattunsverfügung in formelle Rechtskraft erwächst. Ist die Eingabe eines Versicherten nicht eindeutig als Einsprache oder als Erlassgesuch qualifizierbar, ist nach Treu und Glauben anhand der Erklärungen in der Eingabe festzulegen, welche der beiden prozessualen Möglichkeiten die betreffende Person ergreifen wollte (Urteile P 61/02 vom 2. September 2003 E. 2.3, H 78/01 vom 30. November 2001 E. 2b, H 11/93 vom 7. April 1993 E. 1b und I 403/76 vom 3. Mai 1977 E. 1). In Kombination der genannten Möglichkeiten kann der Empfänger einer Rückerstattungsverfügung auch von beiden Rechtsbehelfen gleichzeitig Gebrauch machen (Ulrich Meyer, Die Rückerstattung von Sozialversicherungsleistungen, in: Ausgewählte Schriften, Thomas Gächter [Hrsg.], 2013, S. 141 ff., 154). In jedem Fall kann die Ausgleichskasse die Erlassfrage aber erst prüfen, wenn die Rechtsbeständigkeit der Rückerstattungsforderung feststeht (Urteil 8C_527/2010 vom 1. November 2010 E. 3.1 mit Hinweis; vgl. auch <ref-law> [SR 830.11]).
3.2. Gegen Verfügungen kann innerhalb von 30 Tagen bei der verfügenden Stelle Einsprache erhoben werden; davon ausgenommen sind prozess- und verfahrensleitende Verfügungen (<ref-law>). Gestützt auf die dem Bundesrat in <ref-law> eingeräumte Delegationskompetenz hat er in den Art. 10 bis 12 ATSV Ausführungsbestimmungen zu Form und Inhalt der Einsprache sowie zum Einspracheverfahren erlassen. Gemäss <ref-law> (in Verbindung mit Art. 52 Abs. 1 erster Teilsatz ATSG) müssen Einsprachen ein Rechtsbegehren und eine Begründung enthalten. Rechtsprechungsgemäss reicht für die Annahme einer Einsprache aus, dass aus der Rechtsmitteleingabe der Wille der versicherten Person klar hervorgeht, die sie berührende Verfügung anzufechten (Urteil 8C_475/2007 vom 23. April 2008 E. 4.2 am Anfang; vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 356 mit Hinweisen). Die Bezeichnung des Rechtsmittels als Einsprache ist nicht notwendig, kann aber als Indiz für seinen Inhalt gewertet werden (vgl. Urteile P 61/02 vom 2. September 2003 E. 2.3 und H 78/01 vom 30. November 2001 E. 2a).
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin reagierte auf den Erlass der Rückerstattungsverfügung vom 18. Juli 2012 mit der Eingabe vom 28. Juli 2012. Schon deren ausdrückliche, der Rechtsmittelbelehrung entsprechende Bezeichnung als "Einsprache" deutet darauf hin, dass die Versicherte nicht nur ein Gesuch um Erlass der Rückforderung stellte, sondern sich auch gegen die Rückerstattung als solche wandte. Bereits im Titel beantragte sie diesbezüglich die "Einstellung des Verfahrens". In der Begründung wurde hervorgehoben, dass die Verwaltung schon seit 1989 über die neuerliche Eheschliessung orientiert gewesen sei; auch ihr neuer, von den AHV-Organen im individuellen Konto nachgeführte Familienname habe unmissverständlich auf die Zivilstandsänderung hingedeutet. Ausserdem habe sich ihr zweiter Ehemann nach Zusprechung der Witwenrente bei der Ausgleichskasse telefonisch nach deren Rechtmässigkeit erkundigt. Diese sei vom zuständigen Sachbearbeiter mit Verweis auf die hier gegebene aussergewöhnliche Situation ("Umwandlung" der Invalidenrente des früheren Ehemannes in Hinterlassenenrenten) bejaht worden. Falls die Witwenrente tatsächlich zu Unrecht ausbezahlt worden sei, liege der Fehler allein bei der Verwaltung.
4.2. Obschon die Versicherte abschliessend - zusätzlich zum wiederholten Antrag auf "Einstellung des Verfahrens" - auch um Erlass der Rückforderung ersuchte (und diesbezüglich auf prekäre finanzielle Verhältnisse verwies), wurde in der Eingabe vom 28. Juli 2012 hinsichtlich der verfügten Rückerstattung als solcher in klarer Weise ein Einsprachewille im Sinne der angeführten Rechtsprechung bekundet. In dieser ersten wie in sämtlichen folgenden Eingaben hat die Beschwerdeführerin nämlich nicht nur die Unrechtmässigkeit des Rentenbezugs, sondern - für den Fall, dass diese zu bejahen wäre - auch die Zulässigkeit einer Rückforderung der ausgerichteten Witwenrente in Zweifel gezogen. Letzteres mit dem Hinweis darauf, dass sie der ihr obliegenden Meldepflicht nachgekommen sei und die Kassenorgane selber den ausschlaggebenden Fehler verursacht hätten. Mag dieser Rechtsstandpunkt der erst letztinstanzlich durch einen Anwalt vertretenen Versicherten auch unvereinbar sein mit der ständigen Gerichtspraxis (zuletzt <ref-ruling> E. 3 am Anfang S. 527 und 139 V 6 E. 3 am Anfang S. 7), manifestierte sich darin dennoch der im vorliegenden Zusammenhang allein interessierende Anfechtungswille.
Es deutet einiges darauf hin, dass - zumindest zunächst - auch die Ausgleichskasse davon ausging, ihre Rückerstattungsverfügung sei zufolge der dagegen geführten Eingabe vom 28. Juli 2012 noch nicht in Rechtskraft erwachsen. Anders liesse sich nämlich nicht erklären, dass die Kasse das Dossier der Beschwerdeführerin am 3. Oktober 2012 dem BSV zur Prüfung zustellte, ob die Rückforderung aufgrund einer längeren strafrechtlichen Verjährungsfrist noch weiter auszudehnen sei. Die Antwort der Aufsichtsbehörde vom 16. Oktober 2012 fiel dahingehend aus, dass auf die Einreichung einer Strafanzeige wegen Meldepflichtverletzung zu verzichten sei; bei einer sorgfältigen Prüfung der Rentenanmeldung hätte die Ausgleichskasse zudem bemerken müssen, dass sich die Versicherte bereits vor dem Tod des Ex-Ehemannes wieder verheiratet hatte. Hier interessiert indessen nur, dass offenbar auch dass BSV die ihm vorgelegte Eingabe vom 28. Juli 2012 als Einsprache qualifizierte, merkte es doch in seiner Antwort abschliessend an, ein "allfälliges Erlassgesuch wäre abzuweisen".
4.3. Nach dem Gesagten war die Rückerstattungsverfügung vom 18. Juli 2012 zufolge der fristgerecht dagegen erhobenen Einsprache vom 28. Juli 2012 noch nicht rechtskräftig, als die Ausgleichskasse bereits mit Verfügung vom 17. Januar 2013 und Einspracheentscheid vom 3. Mai 2013 über die Erlassfrage befand. Dies hat die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid übersehen und damit Bundesrecht verletzt. Kantonaler Gerichtsentscheid vom 13. Mai 2014 und Einspracheentscheid der Verwaltung sind deshalb aufzuheben und die Sache ist an die Ausgleichskasse zurückzuweisen, damit sie vorab die Einsprache gegen die Rückerstattungsverfügung prüfe.
Wie die Beschwerdeführerin letztinstanzlich zutreffend geltend macht, kommt dabei der Vollständigkeit des Aktendossiers im Zusammenhang mit der Verwirkungsfrage (<ref-law>) eminente Bedeutung zu. Die vorliegenden Akten sind tatsächlich unvollständig. Zum einen fehlt das Aktenstück, aus welchem hervorginge, wann genau die Ausgleichskasse durch das BSV (als Ergebnis des angeführten Registervergleichs) auf die Unrechtmässigkeit des Witwenrentenbezugs aufmerksam gemacht wurde. Auch das von der Ausgleichskasse anlässlich der Aktenüberweisung vom 3. Oktober 2012 erwähnte E-Mail des BSV vom 4. September 2012 findet sich nirgends im Dossier. Schliesslich wurden dem BSV seinerzeit offenkundig auch Aktenstücke (allenfalls aus dem IV-Rentendossier des früheren Ehemannes) vorgelegt, die keinen Eingang ins aktuelle Kassendossier der Versicherten gefunden haben, verweist doch die Aufsichtsbehörde in ihrem Antwortschreiben vom 16. Oktober 2012 auf den Eheschein vom 11. September 1989 (vgl. auch das Verzeichnis der vorliegenden Kassenakten mit dem Aktenverzeichnis, welches dem BSV übermittelt wurde). Angesichts dieser Ungereimtheiten hat die Ausgleichskasse vor ihrem Einspracheentscheid dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin sämtliche ihr zur Verfügung stehenden Akten in der Sache (einschliesslich des von ihr als auszahlender Kasse geführten Dossiers betreffend die IV-Rente des ersten Ehegatten) zur ergänzenden Stellungnahme zuzustellen.
5.
Ausgangsgemäss trägt die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Ausserdem hat sie der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Wallis vom 13. Mai 2014 und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse des Kantons Wallis vom 3. Mai 2013 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Ausgleichskasse des Kantons Wallis zurückgewiesen, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und anschliessend über die Einsprache gegen die Rückerstattungsverfügung vom 18. Juli 2012 befinde.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Wallis und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. Juli 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Attinger