Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Entscheid vom 27. Mai 2015 des Obergerichts des Kantons Aargau, das eine Beschwerde des Beschwerdeführers gegen die erstinstanzliche Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung an die Beschwerdegegnerin für Fr. 7'617.-- nebst Zins abgewiesen hat,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Entscheid des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass die Verfassungsbeschwerde, die sich nur gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide richten kann (<ref-law>), von vornherein unzulässig ist, soweit der Beschwerdeführer auch den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid anficht,
dass die Verfassungsbeschwerde ebenso unzulässig ist, soweit der Beschwerdeführer Rügen erhebt, die über den Gegenstand des obergerichtlichen Entscheids vom 27. Mai 2015 hinausgehen,
dass sodann in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Entscheid vom 27. Mai 2015 erwog, entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers sei für die Beurteilung des Rechtsöffnungsbegehrens das Gerichtspräsidium Lenzburg und nicht das Mietgericht zuständig gewesen, gemäss der zutreffenden vorinstanzlichen Auffassung beruhten die Mietzinsforderungen auf vom Beschwerdeführer unterzeichneten Mietverträgen und damit auf Schuldanerkennungen nach <ref-law>, das Mietverhältnis sei infolge Liegenschaftskauf durch die Beschwerdegegnerin auf diese übergegangen (<ref-law>), ausserdem sei das Mietverhältnis durch Vergleich vor der Schlichtungsbehörde unverändert bis 31. Juli 2014 erstreckt worden (<ref-law>), die Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung für die von Mai bis Juli 2014 geschuldeten Mietzinse sei nicht zu beanstanden, die erstmals vor Obergericht erhobenen Beschwerdevorbringen seien wegen des Novenverbots nicht zu hören, in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Beschwerde könne dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege nicht bewilligt werden,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht rechtsgenüglich auf die obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass es insbesondere nicht genügt, den Sachverhalt aus eigener Sicht zu schildern, die bereits von beiden kantonalen Instanzen widerlegten Einwendungen vor Bundesgericht zu wiederholen und auf die kantonalen Eingaben zu verweisen,
dass der Beschwerdeführer erst recht nicht anhand der obergerichtlichen Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert aufzeigt, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den Entscheid des Obergerichts vom 27. Mai 2015 verletzt sein sollen,
dass somit auf die - offensichtlich unzulässige bzw. keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>) und keine Parteientschädigung zugesprochen erhält,
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und das präsidierende Abteilungsmitglied zuständig ist,

erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dem Beschwerdeführer wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juli 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Füllemann