Sachverhalt:
A.
Der 1989 geborene T._ absolvierte von 2005 bis 2009 die Lehre zum Polygrafen. Im September/Oktober 2011 meldete er sich unter Hinweis auf psychische Probleme bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau gewährte dem Versicherten am 5. April 2012 Frühinterventionsmassnahmen in Form eines dreimonatigen Aufbautrainings. Sie holte nebst weiteren Abklärungen Berichte der behandelnden Ärzte ein. Zudem gab sie bei Dr. med. L._ ein psychiatrisches Gutachten in Auftrag. Dr. med. L._ explorierte den Versicherten am 26. September 2012, veranlasste eine neuropsychologische und AD (H) S-Abklärung durch den Psychologen Dr. phil. A._, und erstattete das Gutachten am 12. Dezember 2012. Mit Verfügung vom 21. März 2013 verneinte die IV-Stelle gestützt auf die gutachterlichen Feststellungen einen Anspruch auf berufliche Massnahmen und auf eine Invalidenrente mit der Begründung, es liege kein invalidisierendes Leiden vor.
B.
Beschwerdeweise beantragte T._, es seien die gesetzlichen Leistungen nach IVG zuzusprechen, namentlich berufliche Massnahmen und eine Rente ab 1. April 2012; eventuell sei die Sache zur ergänzenden Abklärung und anschliessenden Neuverfügung an die Verwaltung zurückzuweisen resp. sei durch das kantonale Gericht ein Obergutachten anzuordnen. Er legte Berichte der behandelnden Psychiater Dr. med. W._ und Dr. med. E._, Leitender Arzt, Psychiatrische Dienste, Psychiatrische Klinik X._, je vom 15. März 2013, bei. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau holte hiezu eine Stellungnahme des Dr. med. L._ vom 14. Juni 2013 ein. Dazu wiederum äusserten sich Dr. med. W._ und Dr. med. E._ in den von T._ eingereichten Stellungnahmen vom 26. Juli resp. 9. August 2013. Mit Entscheid vom 2. Oktober 2013 wies das Gericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt T._ seine vorinstanzlichen Rechtsbegehren wiederholen.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Die Bestimmungen und Grundsätze zu den Begriffen Invalidität und Erwerbsunfähigkeit, insbesondere im Hinblick auf die hier einzig zur Diskussion stehenden psychischen Leiden, sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die Erwägungen zum Untersuchungsgrundsatz und zu den Anforderungen an beweiswertige ärztliche Berichte und Gutachten. Darauf wird verwiesen.
3.
Das kantonale Gericht ist gestützt auf das psychiatrische Gutachten vom 12. Dezember 2012 und die Stellungnahme vom 14. Juni 2013 des Dr. med. L._ zum Ergebnis gelangt, es liege keine gesundheitsbedingte Einschränkung der Arbeitsfähigkeit vor. Die IV-Stelle habe daher einen Leistungsanspruch zu Recht verneint.
Der Beschwerdeführer vertritt die Auffassung, aus den übrigen medizinischen Akten ergebe sich ein invalidisierendes psychisches Leiden. Indem das kantonale Gericht das Gutachten L._ trotz der deutlich abweichenden medizinischen Vorakten und der Kritik der Dres. E._ und W._ als voll beweiskräftig beurteilt habe, habe es den Untersuchungsgrundsatz und den Grundsatz der freien Beweiswürdigung verletzt.
3.1. Der Versicherungsträger und im Beschwerdeverfahren das Sozialversicherungsgericht haben im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes den rechtserheblichen Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG). Es gilt das Prinzip der freien Beweiswürdigung. Danach haben Versicherungsträger und Sozialversicherungsgericht die Beweise frei, d.h. ohne Bindung an förmliche Beweisregeln, sowie umfassend und pflichtgemäss zu würdigen. Für das Beschwerdeverfahren bedeutet dies, dass das Sozialversicherungsgericht alle Beweismittel, unabhängig davon, von wem sie stammen, objektiv zu prüfen und danach zu entscheiden hat, ob die verfügbaren Unterlagen eine zuverlässige Beurteilung des streitigen Rechtsanspruches gestatten. Insbesondere darf es bei einander widersprechenden medizinischen Berichten den Prozess nicht erledigen, ohne das gesamte Beweismaterial zu würdigen und die Gründe anzugeben, warum es auf die eine und nicht auf die andere medizinische These abstellt. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist also entscheidend, ob der Bericht für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind. Ausschlaggebend für den Beweiswert ist grundsätzlich somit weder die Herkunft eines Beweismittels noch die Bezeichnung der eingereichten oder in Auftrag gegebenen Stellungnahme als Bericht oder Gutachten (<ref-ruling> E. 3a S. 352; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 11.1.3 S. 469). Dennoch hat es die Rechtsprechung mit dem Grundsatz der freien Beweiswürdigung als vereinbar erachtet, in Bezug auf bestimmte Formen medizinischer Berichte und Gutachten Richtlinien für die Beweiswürdigung aufzustellen (<ref-ruling> E. 3b Ingress S. 352). Darauf wird nachfolgend zurückgekommen.
3.2. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen, welche das Bundesgericht nur im Rahmen von Art. 105 Abs. 2 BGG überprüfen kann (vgl. E. 1 hievor). Die konkrete Beweiswürdigung ist ebenfalls Tatfrage. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 61 lit. c ATSG Rechtsfrage, die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht frei überprüfen kann (Art. 106 Abs. 1 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.; SVR 2014 IV Nr. 1 S. 1, 9C_228/2013 E. 1.2; 2012 IV Nr. 48 S. 174, 8C_888/2011 E. 2.2).
3.3. Gemäss dem Gutachten L._ vom 12. Dezember 2012 liegt aus psychiatrischer Sicht keine Diagnose mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit vor. Als Diagnose ohne Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit nennt der Experte "psychische und Verhaltensstörungen durch multiplen Substanzgebrauch, Abhängigkeitssyndrom, zum Zeitpunkt der Untersuchung am 26. September 2012 abstinent (ICD-10 F19.20) ".
3.3.1. Das kantonale Gericht erachtet das Gutachten als beweiswertig. Dieses erscheine als schlüssig und nachvollziehbar. Der Experte setze sich sowohl mit den Vorbringen des Beschwerdeführers als auch mit seinen Untersuchungsbefunden auseinander und begründe seine Schlussfolgerungen einlässlich. Die relevanten medizinischen Vorakten hätten ihm vorgelegen und seien im Gutachten wiedergegeben und gewürdigt worden. Dr. med. L._ habe im Übrigen ausführlich dargelegt, weshalb - entgegen einem Teil der medizinischen Vorakten - die Diagnose einer Persönlichkeitsänderung nicht gestellt werden könne, sich auch keine Hinweise auf ein ADHS finden liessen und eine Einschränkung der Konzentrationsfähigkeit mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit zu verneinen sei.
Das kantonale Gericht hat den Beweiswert des Gutachtens L._ anhand der massgeblichen Kriterien (E. 3.1 hievor) bejaht. Das gilt auch hinsichtlich der Berücksichtigung der medizinischen Vorakten. Diese Beweiswürdigung ist nicht offensichtlich unrichtig. Dass in den Vorakten teilweise eine andere Auffassung enthalten ist, führt zu keinem anderen Ergebnis.
3.3.2. Die Vorinstanz hat sich sodann mit der Frage befasst, ob trotz der Stellungnahmen der Dres. med. E._ und W._ vom 15. März, 26. Juli und 9. August 2013, in welchen eine die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigende psychische Problematik in Form einer schweren narzisstischen Persönlichkeitsstörung und einer ADHS im Erwachsenenalter bejaht wird, auf das Gutachten L._ vom 12. Dezember 2012 abzustellen ist. Sie ist, unter Einbezug der ergänzenden Äusserungen des Dr. med. L._ vom 14. Juni 2013, zum Ergebnis gelangt, dass das Gutachten L._ vom 12. Dezember 2012 dadurch nicht in Frage gestellt werde, für die streitigen Fragen voll beweiswertig sei und als genügende Beurteilungsgrundlage betrachtet werden könne.
Diese Beweiswürdigung ist im Rahmen der eingeschränkten bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis ebenfalls nicht zu beanstanden. Sie beruht auf einer sorgfältigen Abwägung der differierenden fachärztlichen Auffassungen. Das kantonale Gericht hat einlässlich dargelegt, weshalb es die Einschätzung des Gutachters für überzeugender ansieht als die Äusserungen der Dres. E._ und W._. Es hat hiezu unter anderem erwogen, Dr. med. L._ habe nachvollziehbar dargelegt, weshalb die Diagnose einer ADHS unter anderem gestützt auf die durchgeführt neuropsychologische Abklärung habe ausgeschlossen werden können und weshalb eine allfällige Persönlichkeitsstörung, selbst wenn sie bejaht würde, sich unter den gegebenen Umständen nicht auf die Arbeitsfähigkeit auswirke. Die Vorinstanz hat sodann zutreffend berücksichtigt, dass nach der Rechtsprechung wegen der unterschiedlichen Natur von Behandlungsauftrag des therapeutisch tätigen (Fach-) Arztes und Begutachtungsauftrag des amtlich bestellten medizinischen Experten (<ref-ruling> E. 4 S. 175) ein Administrativ- oder Gerichtsgutachten nicht stets in Frage zu stellen und zum Anlass weiterer Abklärungen zu nehmen ist, wenn die behandelnden Ärzte zu anderslautenden Einschätzungen gelangen (SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43, I 514/06 E. 2.2.1; Urteil 8C_260/2011 vom 25. Juli 2011 E. 5.2; vgl. auch Urteil 9C_618/2013 vom 4. Dezember 2013 E. 4.4). Praxisgemäss sind Berichte und Stellungnahmen behandelnder Haus- und Spezialärzte denn auch aufgrund deren auftragsrechtlichen Vertrauensstellung zum Patienten zurückhaltend zu gewichten (<ref-ruling> E. 3b/cc S. 353; SVR 2008 IV Nr. 2 S. 3, I 697/05 E. 4.2; Urteil 8C_530/2013 vom 24. Januar 2014 E. 6; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.5 S. 470). Vorbehalten bleiben Fälle, in denen sich eine klärende Ergänzung des medizinischen Dossiers (oder auch direkt eine abweichende Beurteilung) aufdrängt, weil die behandelnden Ärzte wichtige - und nicht rein subjektiver ärztlicher Interpretation entspringende - Aspekte benennen, die im Rahmen der Begutachtung unerkannt oder ungewürdigt geblieben sind (erwähnte Urteile SVR 2008 IV Nr. 15 E. 2.2.1 und 8C_260/2011 E. 5.2). Solche Gesichtspunkte hat das kantonale Gericht hier mit eingehender Begründung in nicht offensichtlich unrichtiger Weise verneint. Das gilt auch, soweit es erwogen hat, der Gutachter habe den ihm bei den medizinisch-psychiatrischen Interpretationen zustehenden Ermessenspielraum lege artis wahrgenommen (vgl. hiezu Urteil 8C_100/2013 vom 28. Mai 2013 E. 4.2.2 mit Hinweisen).
3.3.3. Die in der Beschwerde herausgegriffenen einzelnen Aussagen aus den ärztlichen Stellungnahmen und Berichten rechtfertigen keine andere Betrachtungsweise. Gleiches gilt hinsichtlich der Vorbringen zu verschiedenen Begutachtungsrichtlinien. Auch die weiteren Einwände vermögen die vorinstanzliche Beurteilung nicht in Frage zu stellen. Dass das kantonale Gericht eine ergänzende Stellungnahme des Administrativgutachters eingeholt hat, war unter den gegebenen Umständen zweifellos zulässig. Dem vom Versicherten hiezu angerufenen Urteil 9C_575/2009 vom 6. November 2009 lässt sich nichts anderes entnehmen. Dass die Vorinstanz den rechtserheblichen Sachverhalt für genügend abgeklärt gehalten und deswegen auf ein Gerichtsgutachten verzichtet hat, ist unter den gegebenen Umständen ebenfalls nicht zu beanstanden und verletzt den Untersuchungsgrundsatz nicht. Es trifft auch nicht zu, dass das kantonale Gericht nur deswegen am Gutachten L._ festgehalten hat, weil dieses von der Verwaltung eingeholt wurde und die übrigen medizinischen Berichte von den behandelnden Ärzten stammen. Die vorinstanzliche Beurteilung beruht vielmehr auf einer gesamthaften Würdigung der medizinischen Akten im Rahmen der geltenden Beweisregeln. Dabei wurde namentlich auch der Grundsatz der freien Beweiswürdigung nicht verletzt.
3.3.4. Zusammenfassend erweist sich der vorinstanzliche Entscheid als nicht bundesrechtswidrig. Das führt zur Abweisung der Beschwerde.
4.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Februar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz