Sachverhalt:
A. A._ (Versicherte) hat mit der X._ AG (Versicherung) eine obligatorische Krankenpflegeversicherung und die Zusatzversicherungen "Y._ und Z._" abgeschlossen.
Nachdem die Versicherte einen Bruch des Oberschenkels (pertrochantäre Fraktur) erlitten hatte, wurde sie vom 7. Januar bis 10. März 2008 stationär in der Klinik Bad-Schinznach (Klinik) behandelt. Die Klinik stellte am 18. März 2008 der Versicherung eine Rechnung über insgesamt Fr. 71'940.55, welche einen Teilbetrag von Fr. 3'623.40 für Psychotherapie aufwies. Die Versicherung verweigerte die Bezahlung dieses Teilbetrages.
B. Am 4. März 2010 klagte die Versicherte (Klägerin) beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn gegen die Versicherung (Beklagte) auf Zahlung von Fr. 3'623.40 nebst 5 % Zins seit 18. April 2008.
Das Versicherungsgericht wies die Klage mit Urteil vom 22. Dezember 2010 ab.
C. Die Klägerin (Beschwerdeführerin) erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Begehren, den Entscheid des Versicherungsgerichts vom 22. Dezember 2010 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beklagte (Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Versicherungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1. 1.1 Vorliegend sind Ansprüche aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung strittig. Solche Versicherungen unterliegen nach Art. 12 Abs. 2 und 3 des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) dem Versicherungsvertragsgesetz vom 2. April 1908 (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 442 mit Hinweis).
1.2 Bei der vorliegenden Streitsache handelt es sich um eine vermögensrechtliche Angelegenheit mit einem Streitwert von unter Fr. 30'000.-- weshalb die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich ausgeschlossen ist (<ref-law>). Sie ist jedoch ausnahmsweise dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>) oder ein Bundesgesetz eine einzige kantonale Instanz vorschreibt (<ref-law>). Dass einer dieser Ausnahmetatbestände gegeben sein soll, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend (<ref-law>) und ist auch nicht ersichtlich (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2.2). Demnach ist vorliegend die Beschwerde in Zivilsachen ausgeschlossen und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde grundsätzlich zulässig, zumal das Erfordernis der kantonalen Letztinstanzlichkeit gegeben ist (<ref-law>).
1.3 Der Antrag auf Rückweisung genügt, weil das Bundesgericht bei Gutheissung der erhobenen Willkürrüge nicht reformatorisch entscheiden könnte, sondern die Streitsache zur Prüfung des von der Beschwerdegegnerin in der Klageantwort erhobenen Einwands der fehlenden medizinischen Indikation einer Psychotherapie an die Vorinstanz zurückweisen müsste (<ref-ruling> E. 1.2 S. 135 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383).
1.4 Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft die Verletzung solcher Rechte nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
2. 2.1 Die Allgemeinen Bedingungen der X._ betreffend die Einzel-Krankenzusatzversicherung (AVB) sehen in Art. 15 lit. c vor, dass keine Leistungen für Behandlungen gewährt werden, die im Rahmen des Bundesgesetzes über die Krankenversicherung (KVG) nicht vom Bundesrat anerkannt sind. Gemäss <ref-law> werden Spitäler zugelassen, wenn sie namentlich: (a) ausreichende ärztliche Betreuung gewährleisten; (b) über das erforderliche Fachpersonal verfügen und (e) auf der nach Leistungsaufträgen in Kategorien gegliederten Spitalliste des Kantons aufgeführt sind.
2.2 Im kantonalen Verfahren wendete die Beschwerdegegnerin namentlich unter Berufung auf Art. 15 lit. c AVB ein, sie habe die Kosten für die Psychotherapie nicht zu decken, weil die Klinik nicht über einen Leistungsauftrag für Psychotherapie oder Psychiatrie gemäss <ref-law> verfüge. Ein solcher Leistungsauftrag könne - entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin - auch nicht erteilt werden, weil die Klinik nicht über das gemäss <ref-law> erforderliche Fachpersonal verfüge. So weise kein Arzt der Klinik die Qualifikation auf, die gemäss Pos. 02.02 des gesamtschweizerischen Tarifs für ambulante ärztliche Tätigkeit (TARMED), Version 25.09.2007, zur Delegation von Psychotherapien erforderlich sei. Die Psychotherapie der Beschwerdeführerin sei von einer Nichtärztin ausgeführt worden, welche von einem Privatdozenten für klinische Psychologie und Psychotherapie betreut werde, der ebenfalls kein Arzt sei.
2.3 Die Vorinstanz erwog, Art. 15 lit. c AVB sei so auszulegen, dass er nicht nur die vom Bundesrat erstellten Behandlungslisten, sondern auch die in diesem Zusammenhang formulierten Einschränkungen und Voraussetzungen im Rahmen des KVG übernehme. Nach <ref-law> könne der Bundesrat die von Ärzten erbrachten Leistungen bezeichnen, deren Kosten von der obligatorischen Krankenversicherung nicht oder nur unter bestimmten Bedingungen übernommen werden. Solche Leistungen würden in der Verordnung über die Leistungen in der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (KVL) genannt. In <ref-law> würde bezüglich der ärztlichen Psychotherapie festgelegt, dass die obligatorische Versicherung die Kosten dafür nur übernimmt, wenn die Leistungen nach Methoden erbracht werden, deren Wirksamkeit wissenschaftlich belegt sei. Gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichts sei nicht nur die ärztliche Psychotherapie, sondern auch die delegierte Psychotherapie, d.h. die psychotherapeutische Behandlung durch einen von einem Arzt angestellten (nichtärztlichen) Psychologen oder Psychotherapeuten in den Praxisräumen dieses Arztes und unter dessen Aufsicht anerkannt. Gemäss <ref-law> würden Tarife und Preise in Verträgen zwischen Versicherern und Leistungserbringern vereinbart. Der Tarif könne zur Sicherung der Qualität die Vergütung bestimmter Leistungen ausnahmsweise von Bedingungen abhängig machen, welche über die Voraussetzungen nach den Art. 36-40 hinausgingen, wie namentlich vom Vorliegen der notwendigen Infrastruktur und der notwendigen Aus-, Weiter- und Fortbildung des Leistungserbringers (<ref-law>). In diesem Sinne werde im zwischen den Parteien geltenden Rahmenvertrag TARMED bezüglich der Ausgestaltung der delegierten Psychotherapie in Kapitel 02.02 festgelegt, dass die Leistungen für nicht ärztliche Psychotherapie nur dann verrechnet würden, wenn sie auf ärztliche Anordnung und unter ärztlicher Überwachung erbracht werden. Der delegierende Spezialarzt müsse über die qualitative Dignität Kinder- und Jugendpsychiatrie, Psychotherapie oder Psychiatrie und Psychotherapie oder FA Delegierte Psychotherapie verfügen. Da keiner der Ärzte in der Klinik über eine solche Qualifikation verfüge, liege keine ärztliche Delegation vor, welche eine Verrechnung gemäss TARMED erlaube. Die Psychotherapeutin, welche die Beschwerdeführerin behandelt habe, sei von einem Privatdozenten für klinische Psychologie und Psychotherapie betreut worden. Eine ärztliche Delegation im Sinne der genanten Voraussetzungen sei damit nicht gegeben. Demnach habe die Beschwerdegegnerin die Kosten für die delegierte Psychotherapie nicht zu übernehmen.
2.4 Die Beschwerdeführerin geht mit der Vorinstanz davon aus, dass die Beschwerdegegnerin gemäss Art. 15 lit. c AVB keine Leistungen für Behandlungen zu gewähren hat, die im Rahmen des KVG nicht vom Bundesrat anerkannt sind und welche die von ihm formulierten Voraussetzungen und Einschränkungen nicht beachten. Jedoch rügt die Beschwerdeführerin, da sowohl der Rahmenvertrag TARMED als auch der TARMED als Tarif nur für ambulante ärztliche Leistungen gelte, habe die Vorinstanz gegen das Willkürverbot gemäss <ref-law> verstossen, indem sie die entsprechenden Vergütungsvoraussetzungen wie das Dignitätserfordernis auf die stationäre Behandlung der Beschwerdeführerin in einem Spital angewendet habe.
2.5 Mit dieser Rüge lässt die Beschwerdeführerin ausser Acht, dass die Vorinstanz davon ausging, dass die umstrittene delegierte Psychotherapie nicht unter ärztlicher Aufsicht und Verantwortlichkeit durchgeführt wurde und damit bereits die allgemeinen gemäss der Rechtsprechung erforderlichen Voraussetzungen für ihre Unterstellung unter die Pflichtleistungen des KVG fehlten. Damit kommt der Eventualerwägung der Vorinstanz, dass auch die zusätzlichen Voraussetzungen des TARMED für die delegierte Psychotherapie nicht erfüllt waren, keine entscheiderhebliche Bedeutung zu, weshalb auf die dagegen gerichtete Willkürrüge nicht einzutreten ist.
Im Übrigen wäre die Rüge unbegründet. Zwar trifft es zu, dass der TARMED als Tarif im stationären Bereich nicht zur Anwendung gelangt (GEBHARD EUGSTER, Die obligatorische Krankenpflegeversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Bd. 14, Soziale Sicherheit, 2. Aufl. 2007, S. 700 Rz. 893). Jedoch ist zu beachten, dass Spitäler gemäss <ref-law> über das erforderliche Fachpersonal verfügen müssen und in der Lehre die Meinung vertreten wird, Spitäler hätten Ärzte und Fachpersonal mit mindestens gleichem Aus- und Weiterbildungsprofil einzusetzen, wie es für eine Tätigkeit in freier Praxis vorgeschrieben ist (GEBHARD EUGSTER, Bundesgesetz über die Krankenversicherung [KVG], Hrsg. Murer/Stauffer, 2010, N. 5 zu <ref-law>). Demnach verfiel die Vorinstanz nicht in Willkür, wenn sie die qualitativen Dignitäten des TARMED auch für die stationäre Behandlung in Spitälern verlangte (vgl. EUGSTER, Die obligatorische Krankenpflegeversicherung, a.a.O., S. 700 Rz. 895 f.).
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Da die Beschwerdegegnerin nicht durch externe Anwälte vertreten wurde, ist ihr keine Parteientschädigung zuzusprechen (vgl. Urteil 2C_807/2008 vom 19. Juni 2009 E. 4.3 mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Gelzer