Sachverhalt:
A. A.a Die 1956 geborene C._ war bei der Schweizerischen National-Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: National) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 23. Juli 2001 stürzte und sich dabei eine Rissquetschwunde an der Stirne und einen Zahnschaden zuzog. Nach Abklärung des medizinischen Sachverhalts verfügte die National am 18. April 2002, die Heilungskosten würden übernommen, soweit sie in direktem Zusammenhang mit dem Sturzereignis vom 23. Juli 2001 stünden, während Taggeldleistungen für die Zeit vom 26. Juli bis 5. August 2001 erbracht würden; hingegen verneinte sie ihre Leistungspflicht für im Zusammenhang mit dem Morbus Menière und der Synkope stehende Beschwerden, da diese nicht als Folgen des Unfalles einzustufen seien. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 4. August 2003 fest. Dieser blieb unangefochten.
A.b Am 24. Februar 2006 liess C._ ein Gesuch um Revision des Einspracheentscheids vom 4. August 2003 stellen und verschiedene medizinische Unterlagen sowie eine schriftliche "Zeugenaussage" einreichen. Mit "Entscheid betreffend Revisionsbegehren" vom 8. November 2006 trat die National auf das Gesuch nicht ein, da dieses nicht innert 90 Tagen seit Entdeckung des angerufenen Revisionsgrundes eingereicht worden sei.
B. In der Folge gelangte C._ - gemäss Rechtsmittelbelehrung in der Verfügung vom 8. November 2006 - mit Eingabe vom 8. Dezember 2006 an das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt. Dieses trat mit Entscheid vom 6. Januar 2009 auf die Beschwerde nicht ein und überwies die Eingabe vom 8. Dezember 2006 an die National, damit diese mittels Einspracheentscheid darüber befinde. Zudem verpflichtete es den Unfallversicherer zur Bezahlung einer Parteientschädigung an die Versicherte in Höhe von Fr. 900.-.
C. Die National führt Beschwerde mit den Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben, und das kantonale Gericht sei anzuweisen, über die Beschwerde der Versicherten vom 8. Dezember 2006 zu befinden. Der Rechtsvorkehr sei zudem aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
C._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Nach Art. 90 des Bundesgesetzes über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen. Gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit ist gemäss Art. 92 Abs. 1 BGG die Beschwerde ebenfalls zulässig. Gegen andere selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist laut Art. 93 Abs. 1 BGG die Beschwerde hingegen nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Zu prüfen ist, unter welche dieser Bestimmungen der vorinstanzliche Nichteintretensentscheid zu subsumieren ist.
1.2 In der Literatur werden zu den anfechtbaren Vor- und Zwischenentscheiden im Sinne von Art. 92 BGG Entscheide über die örtliche, sachliche oder funktionelle Zuständigkeit gezählt (FELIX UHLMANN, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 7 zu Art. 92 BGG; BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 10 zu Art. 92 BGG; HANSJÖRG SEILER, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in: Schaffhauser/ Schlauri [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtstagung 2008, St. Gallen 2009, S. 14). NICOLAS VON WERDT (Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 8 zu Art. 92 BGG) hat die Frage offen gelassen, ob Entscheide, bei denen es um die funktionelle Zuständigkeit geht, entgegen der bisherigen Praxis (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 313), zu den selbstständig anfechtbaren Vor- bzw. Zischenentscheiden nach Art. 92 Abs. 1 BGG zählen, während FELIX UHLMANN (a.a.O., N. 8 zu Art. 92 BGG) von der Anfechtbarkeit der entsprechenden Vor- oder Zwischenentscheide ausgeht. Des weitern hält die Literatur dafür, dass ein Zwischenentscheid nur dann vorliegt, wenn die Zuständigkeit bejaht wird; verneine hingegen das Gericht seine Zuständigkeit, erlasse es nicht einen Zwischenentscheid, sondern einen Nichteintretensentscheid, welcher einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG darstelle (BERNARD CORBOZ, a.a.O., N. 13 zu Art. 92 BGG; HANSJÖRG SEILER, a.a.O., S. 14).
1.3 Indem das kantonale Gericht einzig entschied, dass es an der prozessualen Eintretensvoraussetzung eines Einspracheentscheids als Sachentscheidsvoraussetzung im kantonalen Beschwerdeverfahren fehle und die Sache zur Durchführung des Einspracheverfahrens an den Sozialversicherungsträger überwies, hat es nur zur Zeit seine Zuständigkeit verneint. Das Verfahren über das gestellte Revisionsgesuch hat damit weder materiell-rechtlich noch prozessual seinen Abschluss gefunden. Vielmehr geht die Sache nunmehr zum Erlass eines rechtsgenüglichen Verwaltungsaktes wieder an den Versicherungsträger. Dem angefochtenen Entscheid ist nicht zu entnehmen, dass die Vorinstanz auf eine erneute Beschwerde gegen den zu erlassenden Einspracheentscheid nicht eintreten würde. Damit verhält es sich ähnlich wie bei einem kantonalen Rückweisungsentscheid, der das Verfahren ebenfalls nicht abschliesst und daher von der Rechtsprechung als Zwischenentscheid qualifiziert wurde, der nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG selbstständig angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481). Dies spricht eher dafür, kantonale Nichteintretensentscheide, mit welchen die Sache zur korrekten Durchführung des Verfahrens nach den Regeln von Art. 34 ff. ATSG über das Sozialversicherungsverfahren an die dafür zuständige Verwaltungsinstanz überwiesen wird, als Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG zu betrachten. Auf die Beschwerde wäre daher nur unter der hier nicht erfüllten Voraussetzung einzutreten, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b).
1.4 Ob es sich beim angefochtenen Entscheid um einen anfechtbaren Endentscheid oder einen nicht anfechtbaren Zwischenentscheid handelt, kann offenbleiben, da die Beschwerde bei materieller Prüfung abzuweisen wäre.
2. 2.1 Das kantonale Gericht stützt seinen Entscheid auf Art. 52 Abs. 1 ATSG, wonach gegen Verfügungen - ausgenommen von prozess- und verfahrensleitenden Verfügungen - innerhalb von 30 Tagen bei der verfügenden Stelle Einsprache erhoben werden kann, und auf Art. 56 Abs. 1 ATSG, gemäss welchem gegen Einspracheentscheide oder Verfügungen, gegen welche eine Einsprache ausgeschlossen ist, Beschwerde erhoben werden kann. Dabei hat es erwogen, die Verfügung der Beschwerdeführerin vom 8. November 2006 könne nicht als direkt beim kantonalen Versicherungsgericht anfechtbare prozess- oder verfahrensleitende Verfügung qualifiziert werden, weshalb zwingend ein Einspracheverfahren hätte durchgeführt werden müssen.
2.2 Die Beschwerdeführerin stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, aus Art. 53 Abs. 1 ATSG, wonach formell rechtskräftige Verfügungen und Einspracheentscheide in Revision gezogen werden müssen, wenn die versicherte Person oder der Versicherungsträger nach deren Erlass erhebliche neue Tatsachen entdeckt oder Beweismittel auffindet, deren Beibringung zuvor nicht möglich war, folge, dass bei einem mit Einspracheentscheid abgeschlossenen Verfahren dieser und nicht die diesem vorangegangene Verfügung der Revision unterliege. Die Prüfung der Revisionsvoraussetzungen habe bei diesen Gegebenheiten durch die Einspracheinstanz zu erfolgen.
3. 3.1 Nach der Systematik des ATSG gehört das Einspracheverfahren zum Verwaltungsverfahren (vgl. 2. Abschnitt: Sozialversicherungsverfahren). Das Einspracheverfahren ist ein rechtsmittelmässiger Prozess. Weil es sich bei der Einsprache um ein nicht devolutives Rechtsmittel handelt, wird dieser aber nicht beim iudex ad quem, sondern bei der verfügenden Verwaltung durchgeführt. Der Einspracheentscheid tritt alsdann an die Stelle der Verfügung (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 55; <ref-ruling> E. 2.1.2.1 S. 411). Daran ändert nichts, dass verfügende Stelle und Einspracheinstanz oftmals organisatorisch getrennt sind (Urteil I 618/04 vom 20. September 2006). Aus dem Umstand, dass es sich beim Einspracheverfahren um einen rechtsmittelmässigen Prozess handelt, könnte geschlossen werden, dass durch Einspracheentscheid über das Revisionsgesuch zu entscheiden und bei Bejahung des Revisionsgrundes direkt ein neuer Einspracheentscheid zu erlassen sei.
3.2 Dem Wortlaut von Art. 53 Abs. 1 ATSG lässt sich nicht entnehmen, ob im Falle der Revision eines rechtskräftigen Einspracheentscheids eine Verfügung oder ein Einspracheentscheid zu ergehen hat. Insbesondere bedeutet die Erwähnung der Einspracheentscheide neben den Verfügungen in der Gesetzesbestimmung nicht, dass die Einspracheabteilung mittels Einsprache über ein Revisionsgesuch eines formell rechtskräftigen Einspracheentscheids zu befinden habe, sondern vielmehr, dass nicht nur Verfügungen, sondern auch Einspracheentscheide als Gegenstand einer Revision in Frage kommen.
3.3 Über Leistungen, Forderungen und Anordnungen, die erheblich sind oder mit denen die betroffene Person nicht einverstanden ist, hat der Versicherungsträger, allenfalls auf entsprechendes Begehren hin, schriftlich Verfügungen zu erlassen (Art. 49 Abs. 1 ATSG sowie Art. 51 Abs. 2 ATSG). Gegen Verfügungen kann innerhalb von 30 Tagen bei der verfügenden Stelle Einsprache erhoben werden; davon ausgenommen sind - hier unbestrittenermassen nicht zur Diskussion stehende - prozess- und verfahrensleitende Verfügungen (Art. 52 Abs. 1 ATSG).
3.4 Der Begriff der Verfügung bestimmt sich mangels näherer Konkretisierung in Art. 49 Abs. 1 ATSG nach Massgabe von Art. 5 Abs. 1 VwVG (vgl. Art. 55 ATSG). Als Verfügungen im Sinne von Art. 5 Abs. 1 VwVG gelten Anordnungen der Behörden im Einzelfall, die sich auf öffentliches Recht des Bundes stützen und zum Gegenstand haben: Begründung, Änderung oder Aufhebung von Rechten oder Pflichten (lit. a), Feststellung des Bestehens, Nichtbestehens oder Umfanges von Rechten oder Pflichten (lit. b), Abweisung von Begehren auf Begründung, Änderung, Aufhebung oder Feststellung von Rechten oder Pflichten, oder Nichteintreten auf solche Begehren (lit. c; <ref-ruling> E. 4.1.2 f. S. 53). Im Revisionsverfahren wird auf neuer sachlicher Grundlage über einen Anspruch entschieden, wobei vorerst das Vorliegen der formellen Revisionsvoraussetzungen als Eintretensvoraussetzung zu prüfen ist. Der Umstand, dass es bei der Revision im Sinne von Art. 53 Abs. 1 ATSG um die Korrektur rechtskräftiger Entscheide der Versicherungsträger für den Fall geht, dass sich herausstellt, dass diese auf einem falschen Sachverhalt beruhen, lässt darauf schliessen, dass der Versicherungsträger mit dem Revisionsentscheid eine Verfügung im Sinne von Art. 49 Abs. 1 ATSG erlässt, gegen welche nach Art. 52 Abs. 1 ATSG die Einsprache zulässig ist.
3.5 Sinn und Zweck des Einspracheverfahrens ist es, der verfügenden Stelle die Möglichkeit zu geben, die angefochtene Verfügung nochmals zu überprüfen und über die bestrittenen Punkte zu entscheiden, bevor allenfalls die Beschwerdeinstanz angerufen wird. Der Versicherungsträger nimmt in diesem Rahmen - soweit nötig - weitere Abklärungen vor und überprüft die eigenen Anordnungen aufgrund des vervollständigten Sachverhalts. Daher ist es nach Massgabe der Organisation der Verwaltung allenfalls erforderlich und im Übrigen auch sinnvoll, die Einsprache durch eine andere als die im Verfügungsverfahren zuständig gewesene Person oder Einheit behandeln zu lassen. Bei Erhebung einer Einsprache wird das Verwaltungsverfahren erst durch den Einspracheentscheid abgeschlossen, welcher die ursprüngliche Verfügung ersetzt. Da im Einspracheverfahren eine Auseinandersetzung mit den Vorbringen des Einsprechers oder der Einsprecherin zu erfolgen hat, soll das zum Verwaltungsverfahren zählende Rechtsmittel der Einsprache letztlich der Entlastung der Gerichte dienen (BGE <ref-ruling> E. 2.1.2.1 S. 412; SVR 2005 AHV Nr. 9 S. 31, H 53/04 E. 1.3.1). Vom Sinn und Zweck des Einspracheverfahrens her lässt sich ein unterschiedliches Verfahren je nach Art des in Revision zu ziehenden Entscheids (Verfügung oder Einspracheentscheid) daher nicht begründen.
3.6 Gemäss Art. 53 Abs. 2 ATSG können formell rechtskräftige Einspracheentscheide und Verfügungen unter den dort genannten Voraussetzungen in Wiedererwägung gezogen werden. Zieht der Versicherungsträger den Einspracheentscheid in Wiedererwägung, hat dies nicht mittels Einspracheentscheid zu erfolgen, sondern durch neue Verfügung, die wiederum der Einsprache unterliegt (Urteile C 120/05 vom 15. September 2005, H 115/05 vom 30. September 2005; HANSJÖRG SEILER, Rechtsfragen des Einspracheverfahrens in der Sozialversicherung [Art. 52 ATSG], in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtstagung 2007, St. Gallen 2007, S. 109). Dies spricht für ein analoges Vorgehen im Rahmen der Revision nach Art. 53 Abs. 1 ATSG. Einzig wenn der Versicherungsträger auf ein Wiedererwägungsgesuch nicht eintritt, erfolgt kein Einspracheverfahren, weil die Wiedererwägung rechtskräftiger Verfügungen oder Einspracheentscheide - anders als die Revision (vgl. Art. 53 Abs. 1 ATSG) - im Ermessen des Versicherungsträgers liegt (vgl. Art. 53 Abs. 2 ATSG; <ref-ruling>).
3.7 Nach dem Gesagten ist über die Revision eines Einspracheentscheids im Sinne von Art. 53 Abs. 1 ATSG in Form einer Verfügung nach Art. 52 Abs. 1 erster Satzteil ATSG, die der Einsprache unterliegt, zu entscheiden. Dies entspricht überdies (unbeanstandeter) gängiger Praxis der Versicherungsträger, welche über Revisionsgesuche mittels Verfügung entscheiden, die wiederum der Einsprache unterliegt (Urteile U 561/06 vom 28. Mai 2007, U 465/04 vom 16. Juni 2005; HANSJÖRG SEILER, a.a.O., S. 109). Daran ändert der Umstand nichts, dass die Beschwerdeführerin in der strittigen Verfügung vom 8. November 2006 als Rechtsvorkehr fälschlicherweise die Beschwerde an das kantonale Versicherungsgericht genannt hat, zumal eine unrichtige Rechtsmittelbelehrung eine nicht vorgesehene Rechtsmittelzuständigkeit nicht zu begründen vermag (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 202). Der vorinstanzliche Nichteintretensentscheid verletzt daher Bundesrecht nicht.
4. 4.1 Das kantonale Gericht hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 900.- zugesprochen, weil die Beschwerdeführerin ihr die Akten erst am 10. Dezember 2006 zugestellt hat, obwohl diese bereits am 9. November 2006 um Aktenzustellung ersucht hatte. Durch diese Gehörsverletzung sei die Beschwerdegegnerin zur vorsorglichen Rechtsmittelerhebung gezwungen worden.
4.2 Durch das - insbesondere unter Berücksichtigung der falschen Rechtmittelbelehrung - prozessual unkorrekte Vorgehen der Beschwerdeführerin sind der Beschwerdegegnerin nennenswerte zusätzliche Kosten entstanden, die ihr ansonsten nicht angefallen wären. Es erweist sich daher nicht als rechtswidrig, wenn die Vorinstanz - einem allgemeinen Prozessgrundsatz folgend (vgl. Urteil I 718/05 vom 8. November 2006) - eine Entschädigung zusprach, deren Höhe im übrigen nicht bestritten wird.
5. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der obsiegenden und anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin hat sie eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 BGG). Deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist demzufolge gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1400.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Juni 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer