Sachverhalt:
A. Auf dem Gebiet der Gemeinde Elm (GL) befindet sich die Alp Bischof. Die Nutzung und Bewirtschaftung der Alp erfolgt im Rahmen der Alpkorporation Bischof. Am 26. März 2007 fand eine Hauptversammlung der Alpkorporation Bischof statt. X._ besitzt 0,5 Anteilsrechte und ist Mitglied der Alpkorporation. Sie bevollmächtigte Y._, Anträge an diese Hauptversammlung zu richten und an ihrer Stelle an der Versammlung teilzunehmen. Dieser unterbreitete der Korporation am 15. März 2007 schriftlich Anträge. Mit Schreiben vom 23. März 2007 wurde X._ von der Korporation darüber informiert, dass die gewählte Stellvertretung nicht als zulässig betrachtet werde. Die fraglichen Anträge würden der Versammlung nicht zur Abstimmung vorgelegt. X._ könne aber die Anträge zuhanden der darauf folgenden Hauptversammlung erneut einreichen.
B. X._ und Y._ erhoben gegen die Alpkorporation Bischof bzw. gegen deren Beschlüsse vom 26. März 2007 Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Glarus. Sie forderten die Wiederholung der besagten Versammlung unter Abstimmung über die nicht zugelassenen Anträge. Mit Entscheid vom 5. Juni 2007 trat der Regierungsrat auf die Beschwerde nicht ein. Er argumentierte, es handle sich bei der Alpkorporation um eine privatrechtliche Körperschaft. Für die Beurteilung der vorgebrachten Rügen sei der Zivilrichter zuständig.
C. Den Entscheid des Regierungsrats zogen X._ und Y._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus weiter. Mit Entscheid vom 11. Juni 2008 nahm dieses die Eingabe als öffentlich-rechtliche Stimmrechtsbeschwerde entgegen und wies sie ab, soweit es darauf eintrat. Bei der Kostenverlegung nahm das Verwaltungsgericht eine Korrektur am unterinstanzlichen Entscheid zugunsten der Beschwerdeführer vor.
D. X._ und Y._ führen beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten; sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Weiter verlangen sie die Feststellung, dass es sich bei der Alpkorporation Bischof um eine öffentlich-rechtliche Korporation handle und auf kantonaler Ebene der öffentlich-rechtliche Rechtsweg zulässig sei. Eventuell sei die Frist für das Einreichen zivilrechtlicher Rechtsmittel wieder herzustellen.
Die Alpkorporation, der Regierungsrat und das Verwaltungsgericht ersuchen um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. In der Replik halten die Beschwerdeführer an ihren Rechtsbegehren fest.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der Beschwerde von Amtes wegen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 138).
1.1 Vorweg ist klärungsbedürftig, ob das beim Bundesgericht eingelegte Rechtsmittel als Beschwerde in Zivilsachen nach <ref-law> oder als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> entgegenzunehmen ist. Die Beantwortung dieser Frage richtet sich nicht nach dem Ergebnis der Beurteilung in der Sache. Vielmehr ist entscheidend, dass die Beschwerdeführer behaupteterweise einen öffentlich-rechtlichen Anspruch verfolgen und umstritten ist, ob ein solcher geltend gemacht werden kann. Der Rechtsstreit, der dem Bundesgericht unterbreitet wird, betrifft somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit. Mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens kann offen bleiben, ob diese öffentlich-rechtliche Angelegenheit unter <ref-law> oder <ref-law> fällt.
1.2 Die Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid (<ref-law>). Dieser bildet einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>. Ausschlussgründe nach Art. 83 und Art. 85 BGG liegen nicht vor. Die Beschwerdeführer tragen im bundesgerichtlichen Verfahren hauptsächlich die Rüge der formellen Rechtsverweigerung vor (vgl. E. 4.3 hiernach). Dazu sind sie ungeachtet ihrer Legitimation in der Sache berechtigt (<ref-law>, vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 301; <ref-ruling> E. 3b S. 167). Der Streitgegenstand ist jedoch darauf beschränkt, ob im kantonalen Verfahren auf die Rechtsbegehren hätte eingetreten werden müssen.
2. 2.1 Die Hauptanträge der Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren sind insgesamt als begründetes Rückweisungsbegehren einzustufen. Dabei kommt den Feststellungsanträgen zur Rechtsnatur der Alpkorporation und zum kantonalen Rechtsweg keine eigenständige Bedeutung zu. Aus der Beschwerdeschrift geht hervor, dass die Beschwerdeführer vom Verwaltungsgericht bzw. vom Regierungsrat verlangen, sich materiell mit der Angelegenheit zu befassen. Nach der bundesgerichtlichen Praxis sind Beschwerdebegehren dieser Art bei Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten rechtsgenüglich (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 414 f.; Urteil 1C_503/2008 vom 10. Februar 2009 E. 1). Das Hauptbegehren der Beschwerde erweist sich folglich als zulässig und ist zu behandeln.
2.2 Der Eventualantrag zur Fristwiederherstellung hinsichtlich zivilrechtlicher Rechtsmittel wird erstmals im bundesgerichtlichen Verfahren gestellt. <ref-law> lässt neue Begehren nicht zu. Ausgeschlossen sind nach dieser Regelung Begehren, mit denen der Streitgegenstand verändert oder erweitert wird; zulässig ist hingegen eine Einschränkung des Streitgegenstands (vgl. Urteile 4A_317/2007 vom 9. Januar 2008 E. 4.2.1; 9C_476/2008 vom 21. November 2008 E. 1). Das vorliegende Eventualbegehren zielt auf die Beschreitung des Zivilwegs ab; dabei handelt es sich um etwas anderes als die zur Hauptsache angestrebte Öffnung des kantonalen öffentlich-rechtlichen Rechtswegs. Eine derartige Erweiterung des Streitgegenstands ist im bundesgerichtlichen Verfahren nicht statthaft. Auf den Eventualantrag kann nicht eingetreten werden.
2.3 Die Beschwerdeführer räumen ein, dass sie im bundesgericht-lichen Verfahren neue Tatsachen und Beweismittel einbringen. Nach <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt.
Dabei geht es hier um Folgendes: Im kantonalen Verfahren legten die Beschwerdeführer ihrem Standpunkt die Korporationsstatuten vom 27. Mai 1987 zugrunde. Vor Bundesgericht weiten die Beschwerdeführer ihre Darstellung über die Alpkorporation Bischof auf einen Zeitraum aus, der bis in die Mitte des 19. Jahrhunderts zurückreicht. Sie haben frühere Statuten dieser Korporation aus den Jahren 1886, 1957 und 1968 sowie Auszüge aus der von WALTER FROMM verfassten Chronik der Gemeinde Elm (1985) vorgelegt.
Es kann keine Rede davon sein, dass erst der angefochtene Entscheid Anlass zu diesen Noven gegeben hätte. Allerdings fallen gerichtsnotorische Tatsachen, wie allgemein zugängliche Fachliteratur, nicht unter das Novenverbot (vgl. Urteil des Bundesgerichts 9C_56/2008 vom 6. Oktober 2008 E. 3.4). Es kann offen bleiben, in welchem genauen Umfang die Noven im konkreten Fall zulässig sind; sie vermögen am Ausgang des vorliegenden Verfahrens ohnehin nichts zu ändern (vgl. dazu E. 7.3 hiernach).
2.4 Der rechtserhebliche Sachverhalt ergibt sich mit hinreichender Klarheit aus den Akten. Es ist weder dargetan noch ersichtlich, weshalb das Bundesgericht im Rahmen des hier massgeblichen Streitgegenstands das Protokoll der Hauptversammlung vom 26. März 2007 beizuziehen hätte. Dem Verfahrensantrag der Beschwerdeführer, wonach die Beschwerdegegnerin zur Edition dieses Protokolls verpflichtet werden soll, ist somit nicht zu entsprechen.
2.5 Wird - wie hier - die Verletzung von Grundrechten, einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung, geltend gemacht, so prüft das Bundesgericht die Rügen nur insoweit, als sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Für derartige Rügen gelten die gleichen Begründungsanforderungen, wie sie gestützt auf Art. 90 Abs. 1 lit. b des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) gegolten haben. Dies bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen prüft; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit Hinweisen). Darauf wird im Sachzusammenhang der einzelnen Rügen zurückzukommen sein.
3. Aus Sicht der Beschwerdeführer genügt der angefochtene Entscheid der Begründungspflicht nicht, weil sich das Verwaltungsgericht nicht mit allen entscheidrelevanten Argumenten befasst habe. Der Anspruch auf eine hinreichende Entscheidbegründung wird aus <ref-law> abgeleitet (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.1 S. 277; je mit Hinweisen). Vorliegend weist der angefochtene Entscheid eine einlässliche Begründung auf. Daraus ergeben sich die Entscheidgründe mit hinreichender Klarheit. Das Verwaltungsgericht war nicht gehalten, sich mit jedem einzelnen Argument der Beschwerdeführer auseinanderzusetzen, solange seine Motive bei der Urteilsfindung deutlich werden. Aus den Darlegungen des Verwaltungsgerichts ergibt sich, dass es die Auffassung der Beschwerdeführer zur Rechtsnatur der Beschwerdegegnerin nicht teilt. Der Umstand, dass es nicht zur selben rechtlichen Würdigung gelangt wie die Beschwerdeführer, stellt keine Verletzung des rechtlichen Gehörs dar. In diesem Punkt ist die Beschwerde abzuweisen.
4. 4.1 In der Sache halten die Beschwerdeführer dem Verwaltungsgericht eine Missachtung verschiedener Grundrechte vor. Sie berufen sich auf das Willkürverbot (<ref-law>), den Grundsatz von Treu und Glauben gemäss den <ref-law>, <ref-law> und Art. 17 der Glarner Kantonsverfassung (KV/GL; SR 131.217), sodann auf den Gehörsanspruch gemäss Art. 29 Abs. 1 und 2 BV und Art. 16 Abs. 2 KV/GL sowie die Rechtsweggarantie (<ref-law>). Zur Tragweite der erwähnten Verfassungsbestimmungen sind folgende Bemerkungen anzubringen.
4.2 Die Beschwerdeführer legen nicht dar, inwiefern der Gehalt von Art. 16 Abs. 2 und Art. 17 KV/GL weiter reicht als die entsprechenden Grundrechte, die nach der Bundesverfassung gewährleistet sind. Im Folgenden ist daher einzig die Vereinbarkeit mit letzteren zu prüfen.
4.3 Im Vordergrund steht hier die Frage der Gehörsverletzung im Sinne einer formellen Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 und 2 BV). Eine solche liegt vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt, obschon sie darüber entscheiden müsste. In welcher Form und in welchem Umfang die diesbezüglichen Verfahrensrechte zu gewährleisten sind, lässt sich nicht generell, sondern nur im Hinblick auf den konkreten Fall beurteilen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; <ref-ruling> E. 2.3 S. 232; je mit Hinweisen). Die Auslegung und Anwendung des einschlägigen kantonalen Rechts untersucht das Bundesgericht in derartigen Fällen nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür (vgl. allgemein zum Willkürverbot <ref-ruling> E. 5.4 S. 148; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153; je mit Hinweisen). Mit freier Kognition beurteilt das Bundesgericht anschliessend die Frage, ob die als vertretbar erkannte Auslegung des kantonalen Rechts vor den verfassungsrechtlichen Verfahrensgarantien standhält. Vorliegend beschlagen die Willkürrügen der Beschwerdeführer die kantonale Rechtsanwendung. Zu behandeln ist in diesem Zusammenhang auch eine Sachverhaltsrüge, welche die Beschwerdeführer erheben.
4.4 Der Grundsatz von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 und <ref-law>) bildet hier einen zusätzlichen Aspekt im Rahmen der Frage, ob eine formelle Rechtsverweigerung begangen wurde; er ist ebenfalls in diesem Kontext zu prüfen (vgl. dazu E. 6.3 und 6.4 hiernach).
4.5 Schliesslich beanstanden die Beschwerdeführer einen Verstoss gegen <ref-law>.
Es lässt sich nicht sagen, dass die Anfechtung der Korporationsbeschlüsse überhaupt keiner richterlichen Behörde zur Beurteilung vorgelegt werden konnte. Zu beantworten gilt es vielmehr die Frage, ob dafür Zivilgerichte oder - in letzter kantonaler Instanz - das Verwaltungsgericht zuständig sind. Der von <ref-law> garantierte Rechtsweg unterliegt dem Verfahrensrecht und besteht nur im Rahmen der jeweils geltenden Prozessordnung. Die Garantie verbietet nicht, das Eintreten auf einen formellen Rechtsbehelf von der Einhaltung der üblichen Sachurteilsvoraussetzungen abhängig zu machen. Daraus folgt, dass die Berufung auf <ref-law> vorliegend von vornherein unbehelflich ist.
Bei dieser Sachlage kann offen bleiben, inwiefern <ref-law> bezüglich des angefochtenen Entscheids überhaupt anwendbar ist. Es ist daran zu erinnern, dass dieser vor dem 1. Januar 2009 gefällt worden ist. In jenem Zeitpunkt war die nach <ref-law> eingeräumte Übergangsfrist noch nicht abgelaufen (vgl. dazu Urteil 2C_373/2008 vom 7. Januar 2009 E. 1.2).
5. 5.1 Gemäss dem angefochtenen Entscheid regelt Art. 38 des kantonalen Einführungsgesetzes zum ZGB (EGzZGB/GL) den Rechtsweg zur Anfechtung von Beschlüssen von Allmend- bzw. Alpgenossenschaften des kantonalen Privatrechts. Daraus ergebe sich, dass gegen derartige Beschlüsse auf dem Zivilweg vorzugehen sei. Demgegenüber gelte das kantonale Verwaltungsrechtspflegegesetz (VRG/GL) gemäss dessen Art. 2 und 3 nicht für Beschlüsse und Anordnungen von Körperschaften, Anstalten und Organisationen mit privatrechtlichem Charakter. Die Beschwerdeführer gehen mit dem angefochtenen Entscheid soweit einig, dass die Frage der sachlichen Zuständigkeit grundsätzlich zu Recht von der Rechtsnatur der Beschwerdegegnerin abhängig gemacht worden ist (vgl. dazu allgemein HANS MICHAEL RIEMER, in: Berner Kommentar, Systematischer Teil zu Art. 52-59 ZGB, N. 78).
5.2 Das Verwaltungsgericht verweist bei seinen allgemeinen Ausführungen zu <ref-law> auf <ref-ruling> E. 4.1 und 4.3 S. 272 f.. Es räumt in unbestimmter Weise ein, dass es im Kanton Glarus Körperschaften mit dem Zweck der Alpbewirtschaftung gibt, die eine öffentlich-rechtliche Rechtsform aufweisen. Grundsätzlich unterständen aber im Kanton Glarus Allmend- bzw. Alpgenossenschaften, die in den Anwendungsbereich von <ref-law> fallen, dem kantonalen privaten Recht, das in Art. 34 ff. EGzZGB/GL verankert sei. Im vorliegenden Fall hat der Regierungsrat am 30. November 1987 die derzeit gültigen Korporationsstatuten vom 27. Mai 1987 genehmigt. Wie dem angefochtenen Entscheid zu entnehmen ist, war der Regierungsrat damals Genehmigungsbehörde für Statuten von privat- wie von öffentlich-rechtlichen Körperschaften. Nach den Ausführungen des Verwaltungsgerichts gilt im Kanton Glarus das System der freien Gesellschaftsbildung für private Körperschaften des kantonalen Rechts - anders als etwa im Kanton Graubünden (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.5) - nicht (vgl. Art. 34 Abs. 2 und Art. 35 EGzZGB/GL). Insoweit behaupten die Beschwerdeführer nichts Abweichendes.
6. In Art. 1 der - regierungsrätlich genehmigten - Korporationsstatuten von 1987 steht, die Beschwerdegegnerin sei eine öffentlich-rechtliche Körperschaft. Auf diesen Umstand stützt sich ein erster Rügenkomplex der Beschwerdeführer ab.
6.1 Das Verwaltungsgericht hat diese statutarische Kennzeichnung nicht für entscheidend erachtet. Seiner Ansicht nach enthält Art. 1 der Statuten gleichzeitig weitere Elemente, die auf eine private Rechtsnatur schliessen lassen würden. An dieser Statutenstelle werde die Beschwerdegegnerin als öffentlich-rechtliche Körperschaft im Sinne von <ref-law> und Art. 34 ff. EGzZGB/GL erklärt. Bei <ref-law> und Art. 34 ff. EGzZGB/GL handle es sich um privatrechtliche Normen. Der Hinweis auf diese Gesetzesnormen stehe im Widerspruch zur gleichzeitigen Bezeichnung als öffentlich-rechtliche Körperschaft. Insgesamt sieht das Verwaltungsgericht diesen Passus als nicht in sich schlüssig an. Deshalb hat es die Rechtsnatur der Beschwerdegegnerin im Rahmen einer Gesamtbetrachtung neu bestimmt.
6.2 Zu Recht wenden die Beschwerdeführer ein, dass in Art. 1 der Statuten nur auf Art. 34 EGzZGB/GL und nicht auf Art. 34 ff. EGzZGB/GL verwiesen wird. Insofern beruht die abweichende Wiedergabe der Statutenbestimmung im angefochtenen Entscheid auf einem offensichtlichen Versehen; dies ist an dieser Stelle festzuhalten.
Es ist jedoch nicht ersichtlich, inwiefern diese Ungenauigkeit für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnte (<ref-law>). Die Schlussfolgerung des Verwaltungsgerichts, dass die statutarische Erwähnung von <ref-law> und Art. 34 EGzZGB/GL zusammen auf den Ausdruck eines privatrechtlichen Selbstverständnisses hindeute, überzeugt. Ebenso ist dem Verwaltungsgericht beizupflichten, dass sich die Deklaration als öffentlich-rechtliche Körperschaft und der Hinweis auf die soeben genannten Normen in Art. 1 der Statuten gegenseitig entkräften.
6.3 Gegen das Vorgehen, die Zuordnung der Beschwerdegegnerin zum privaten bzw. öffentlichen Recht gestützt auf weitere Kriterien vollständig neu abzuklären, führen die Beschwerdeführer den Grundsatz von Treu und Glauben ins Feld. Sie machen geltend, das Verwaltungsgericht habe die Tragweite der Statutengenehmigung in unzulässiger Weise abgewertet. Der Regierungsrat sei in seiner Funktion als Rechtspflegeinstanz an die vorgängige Statutengenehmigung gebunden. Dabei verweisen die Beschwerdeführer auf Art. 35 lit. b EGzZGB/GL, wonach die Statuten im Rahmen der Genehmigung einer Rechtskontrolle zu unterziehen sind.
6.4 In der Tat hat sich der Regierungsrat eine mangelhafte Rechtskontrolle bei der Statutengenehmigung vorwerfen zu lassen. Aus dem Umstand, dass die Statutengenehmigung insoweit fehlerbehaftet ist, ergibt sich indessen nicht, dass der Regierungsrat seine Zuständigkeit auch dann zu bejahen hätte, wenn die Beschwerdegegnerin privatrechtlicher Natur ist.
6.4.1 Es kann hier offen bleiben, inwiefern die Statutengenehmigung geeignet war, eine Vertrauensgrundlage für die Annahme einer öffentlich-rechtlichen Rechtsnatur der Beschwerdegegnerin abzugeben. Es kommt auch nicht darauf an, ob die diesbezügliche Rüge der Beschwerdeführer im Lichte der grundrechtlichen Ausprägung des Vertrauensschutzes (<ref-law>) oder bloss des verfassungsmässigen Grundsatzes von Treu und Glauben (<ref-law>) zu prüfen ist. Wesentlich ist, dass die Durchsetzung der richtigen staatlichen Zuständigkeitsordnung Vorrang haben muss vor dem Interesse der Beschwerdeführer, den Regierungsrat auf die Statutengenehmigung nach ihrem Verständnis behaften zu können. Selbst bei Rechtsmittelbelehrungen, die auf ein gesetzlich nicht vorgesehenes Rechtsmittel hinweisen, ist anerkannt, dass diese das fragliche Rechtsmittel nicht schaffen können (vgl. <ref-ruling> E. 1.5 S. 201 mit Hinweisen). Verfassungsrechtlich ist demzufolge der Regierungsrat als Rechtspflegeinstanz nicht an sein Versehen bei der vorgängigen Statutengenehmigung gebunden. Umso weniger vermag die Statutengenehmigung in dieser Hinsicht eine Bindungswirkung für das Verwaltungsgericht bzw. für das Bundesgericht zu entfalten.
6.4.2 Im Übrigen ist der bei E. 6.2 hiervor angesprochene, innere Widerspruch in den Statuten als leicht erkennbar zu bewerten. Die bereits vor Regierungsrat anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer hätten erwägen müssen, dass es bei Art. 34 EGzZGB/GL in Verbindung mit <ref-law> um privatrechtliche Normen geht. Die Beschwerdeführer hatten sich daher Rechenschaft darüber abzulegen, dass der zivil- und der öffentlich-rechtliche Rechtsweg zur Anfechtung der Korporationsbeschlüsse in Betracht zu ziehen waren. Sie waren gehalten, die nötigen Vorkehren zu ergreifen, um einen Rechtsverlust zu vermeiden. Hingegen konnte es nicht einfach genügen, sich gestützt auf den fraglichen Teilaspekt des Statutenwortlauts darauf zu verlassen, dass der öffentlich-rechtliche Rechtsweg offenstehen würde. Nichts anderes ergibt sich aus der Literaturstelle, welche die Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang zitieren (Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5. Aufl. 2006, N. 658).
6.5 Als Zwischenergebnis lässt sich festhalten, dass es verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden ist, wenn der Regierungsrat und ihm folgend das Verwaltungsgericht die Rechtsnatur der Beschwerdegegnerin vollständig neu bestimmt haben. Von diesem Ergebnis allein durfte die Beantwortung der Frage der sachlichen Zuständigkeit abhängig gemacht werden. In einem weiteren Schritt ist nun auf die Erkenntnis einzugehen, die das Verwaltungsgericht aufgrund der Gesamtbetrachtung gewonnen hat. In diesem Rahmen hat es einen öffentlich-rechtlichen Charakter der Beschwerdegegnerin verneint.
7. 7.1 Nach dem Verwaltungsgericht gibt es keine Hinweise darauf, dass Aufgaben und Tätigkeit der Alpkorporation Bischof durch übergeordnete öffentlich-rechtliche Vorschriften bestimmt seien. Es sei auch nicht ersichtlich, dass sie über hoheitliche Befugnisse gegenüber ihren Mitgliedern verfüge. Der statutarische Zweck, der mit der Nutzung von Grund und Boden zusammenhänge, beziehe sich auf ein begrenztes Gebiet und einen begrenzten Personenkreis. Zwar werde in den Statuten erklärt, die Korporation bezwecke mit der Alpnutzung eine Verbesserung der Futtergrundlagen für die einheimische Landwirtschaft. Diese Zielsetzung bedeute aber noch nicht, dass die Korporation öffentliche Aufgaben erfülle, die über die Interessenwahrung ihrer Mitglieder hinausgehen würden. Auch sei die Alpkorporation Bischof von Bodenverbesserungs- und Meliorationsunternehmungen nach Art. 161 ff. EGzZGB/GL und <ref-law> zu unterscheiden; letztere seien regelmässig mit staatlicher Unterstützung und Auflagen sowie überdies mit Zwangsmitgliedschaft verbunden.
7.2 Die Beschwerdeführer nennen Art. 134 KV/GL und Art. 14 des kantonalen Gemeindegesetzes (GdeG/GL) als öffentlich-rechtliche Rechtsgrundlage der Alpkorporation Bischof. Es trifft zu, dass diese beiden Normen Regelungen zu Korporationen enthalten. Insbesondere schreibt Art. 14 Abs. 2 GdeG/GL vor, dass die Errichtung neuer öffentlich-rechtlicher Korporationen und Änderungen im Bestand derselben der Zustimmung des Regierungsrats bedürfen. Mit dem blossen Hinweis auf diese Bestimmungen vermögen die Beschwerdeführer jedoch nicht die Richtigkeit der Auffassung des Verwaltungsgerichts zu widerlegen. Ebenso wenig gehen die Beschwerdeführer auf den Quervergleich des Verwaltungsgerichts zu den in Art. 161 ff. EGzZGB/GL geregelten Korporationen ein. Hinsichtlich dieser Aspekte der kantonalen Rechtsanwendung ist dem Bundesgericht eine Überprüfung mangels hinreichender Beschwerdebegründung verwehrt (vgl. E. 2.5 hiervor).
7.3 Allerdings tragen die Beschwerdeführer rechtshistorische Einzelheiten zur Entwicklung der Alpkorporation Bischof vor, um deren öffentlich-rechtliche Rechtsnatur zu belegen (vgl. zur Frage der Zulässigkeit dieser Noven bereits E. 2.3 hiervor). Sie machen geltend, die Bezeichnung als öffentlich-rechtliche Körperschaft finde sich erstmals in den früheren Statuten von 1968; dort sei die Formulierung insofern gleich gewesen wie in den Statuten von 1987. Zuvor sei die statutarische Zuordnung zum privaten oder öffentlichen Recht unklar gewesen. Aus den genannten Statutenstellen lasse sich schliessen, dass sich die Alpkorporation Bischof 1968 in eine öffentlich-rechtliche Körperschaft umgewandelt habe. Spätestens bei der Genehmigung der Statuten von 1987 habe der Regierungsrat den öffentlich-rechtlichen Status genehmigt.
Diesen Vorbringen ist entgegenzuhalten, dass es nicht im Ermessen einer Körperschaft der vorliegenden Art stehen kann, sich durch schlichte Erklärung eine private oder öffentlich-rechtliche Rechtsform beizulegen. Darüber hinaus ist es fraglich, inwiefern eine behördliche Statutengenehmigung für sich allein einer bisher privatrechtlichen Körperschaft rechtswirksam den Status einer öffentlich-rechtlichen verleihen kann. Die Beschwerdeführer begnügen sich in unzulässig appellatorischer Weise mit der Rechtsbehauptung, die Statutengenehmigung durch den Regierungsrat vermöge eine derartige Rechtswirkung zu entfalten. Statt dessen hätten sie detailliert darzulegen gehabt, inwiefern sich eine solche Rechtsfolge aus den von ihnen genannten kantonalen Rechtsnormen (Art. 134 KV/GL, Art. 14 GdeG/GL; vgl. E. 7.2 hiervor) oder allenfalls aus anderen Rechtsgrundsätzen herleiten lässt. Auch insoweit fehlt es an einer rechtsgenüglichen Beschwerdebegründung (vgl. E. 2.5 hiervor).
7.4 Unabhängig davon machen die Beschwerdeführer geltend, der Zweck der Alpkorporation Bischof stehe im Dienste der Öffentlichkeit. Diese Argumentation verdient eine gesonderte Prüfung.
7.4.1 Zum einen betonen die Beschwerdeführer das öffentliche Interesse an der Verbesserung der Futtergrundlagen für die einheimische Landwirtschaft. Damit stellen die Beschwerdeführer die Zulässigkeit privatrechtlicher Körperschaften mit dem Zweck der Alpbewirtschaftung grundsätzlich in Frage. In dieser allgemeinen Form kann dem Einwand kein Erfolg beschieden sein.
7.4.2 Zum andern bestreiten die Beschwerdeführer nicht, dass die Nutzungsmöglichkeiten im Rahmen der Alpkorporation Bischof nur einem begrenzten Personenkreis zustehen. Dieser Umstand soll aber nach Meinung der Beschwerdeführer mit einer öffentlichen Rechtsnatur vereinbar sein. Insofern hilft es den Beschwerdeführern freilich nicht, wenn sie pauschal die Anwendung der gleichen Massstäbe verlangen, die in <ref-ruling> E. 5.4 S. 277 erörtert werden. Die Beschwerdeführer tun nicht dar, dass der Zweck der Alpkorporation Bischof in der Offenhaltung der betreffenden Alp für die einheimische Landwirtschaft liegen würde. Insbesondere zeigen die Beschwerdeführer nicht auf, gestützt worauf ein öffentlich-rechtlicher Anspruch auf Erwerb der Mitgliedschaft der Alpkorporation Bischof bestehen soll. Gemäss dem Verwaltungsgericht bezweckt die Alpkorporation vielmehr im Sinne einer bäuerlichen Selbsthilfeorganisation, ihren Mitgliedern auf der Alp Bischof Land zur Bewirtschaftung zur Verfügung zu stellen. Das Gesamteigentum dieser Alp sei in 60 Anteilsrechte eingeteilt. Die Mitgliedschaft bei der Alpkorporation Bischof entstehe und erlösche mit der Übertragung von Anteilsrechten. Mit diesen Gegebenheiten setzen sich die Beschwerdeführer nicht detailliert auseinander. Soweit auf die Rügen der Beschwerdeführer gegen die Annahme eines privaten Zwecks eingetreten werden kann, ist die Beurteilung des Verwaltungsgerichts nicht zu beanstanden. Vor diesem Hintergrund lässt sich die Nutzung durch Private im Rahmen der Alpkorporation Bischof nicht als Folge eines öffentlichen Zwecks der Korporation begreifen. Vorliegend zeitigt - umgekehrt - die im Interesse Privater stehende Nutzung Folgen, die sich mit öffentlichen, landwirtschaftsbezogenen Interessen decken.
7.5 Zusammengefasst: Wenn das Verwaltungsgericht gestützt auf seine Gesamtbetrachtung bei der Beschwerdegegnerin keine öffentlich-rechtliche Rechtsnatur annimmt, hat es damit das kantonale Recht - im Lichte der rechtsgenüglichen Rügen - willkürfrei gehandhabt.
8. Nach dem Gesagten steht fest, dass die sachliche Zuständigkeit von Regierungsrat und Verwaltungsgericht zur Beurteilung der angefochtenen Korporationsbeschlüsse nicht gegeben ist, weil es dabei um eine Zivilsache geht. Demzufolge durfte der Regierungsrat auf die fraglichen materiellen Beanstandungen der Beschwerdeführer nicht eintreten. Die entsprechende kantonale Rechtsanwendung, die das Verwaltungsgericht geschützt hat, hält ebenfalls im Lichte der Verfahrensgarantien von Art. 29 Abs. 1 und 2 BV vor der Verfassung stand. Eine Gehörsverletzung im Sinne einer formellen Rechtsverweigerung liegt nicht vor.
9. Aufgrund der vorstehenden Überlegungen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ausgangsgemäss haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Sie haben die Beschwerdegegnerin angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren, unter solidarischer Haftbarkeit, mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kessler Coendet