Sachverhalt:
A. Die 1970 geborene Z._ war am 12. März 1996 als Autolenkerin von einem Unfall betroffen: Ein anderer Personenwagen fuhr in das Heck ihres vor einer Kreuzung angehaltenen Fahrzeugs. Dabei zog sich Z._ gemäss Arztzeugnis UVG des gleichentags aufgesuchten Hausarztes Dr. med. M._ vom 3. April 1996 ein HWS-Schleudertrauma und eine Rückenmyalgie zu. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als obligatorischer Unfallversicherer erbrachte Leistungen, führte Abklärungen durch und veranlasste einen Aufenthalt in der Klinik X._. Schliesslich sprach sie der Versicherten mit Verfügung vom 3. April 1998 für eine mittelschwere bis schwere Störung des Gleichgewichtsfunktionssystems sowie ein mittel- bis tiefzervikales Reizsyndrom eine Integritätsentschädigung von Fr. 17'010.-, entsprechend einer Integritätseinbusse von 17,5 %, zu. Gleichzeitig stellte die Anstalt die Taggeldleistungen ab 15. Juni 1997 und die Heilbehandlung ab Verfügungsdatum ein. Daran wurde mit Einspracheentscheid vom 22. Januar 1999 festgehalten.
Auf Beschwerde der Versicherten hin hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die SUVA zurück, damit sie nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen (Einholung eines psychiatrischen Gutachtens) neu verfüge (Entscheid vom 30. März 2000). Das Eidgenössische Versicherungsgericht bestätigte dies mit Urteil vom 27. November 2001 (U 212/00). Es hielt fest, die SUVA habe eine psychiatrische Begutachtung zu veranlassen, um festzustellen, ob eine vorbestehende Persönlichkeitsstörung und/oder ein Hirntrauma als Unfallfolge bestehe.
Die SUVA holte eine Stellungnahme von Dr. med. H._, SUVA-Ärzteteam Unfallmedizin, vom 6. Februar 2002 ein. Anschliessend gab sie bei Dr. med. K._, Psychiatrie/Psychotherapie FMH, ein Gutachten in Auftrag, welches am 13. September 2002 erstattet wurde. Am 30. Mai 2003 nahm der Gutachter ausserdem zu Ergänzungsfragen der Versicherten (vom 11. Oktober 2002) und von dieser verlangten Korrekturen (vom 23. Oktober 2002) Stellung. In der Folge bestätigte die SUVA mit Verfügung vom 11. Juli 2003 und Einspracheentscheid vom 3. September 2004 die Einstellung der Versicherungsleistungen im Sinne der Verfügung vom 3. April 1998.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ab (Entscheid vom 21. November 2006). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens hatte die Versicherte unter anderem Berichte des Spitals Y._, Medizinische Klinik, vom 28. Juli 2004, der Dr. med. B._, Innere Medizin FMH, vom 4. August 2006 und der Physiotherapie O._, vom 21. August 2006 auflegen lassen. Ein überdies gestelltes Ausstandsbegehren gegen Fachrichter W._ wies das kantonale Gericht mit Verfügung vom 14. Juli 2005 ab, was das Eidgenössische Versicherungsgericht auf Verwaltungsgerichtsbeschwerde hin bestätigte (Urteil vom 26. Mai 2006, U 303/05).
C. Z._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es sei die SUVA zu verpflichten, über den 15. Juni 1997 hinaus Leistungen aus dem Unfallereignis vom 12. März 1996 zu erbringen. Insbesondere habe die Anstalt weitere Taggelder bei einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % zu leisten, Heil- und Pflegekosten zu übernehmen, die Beschwerdeführerin bei einer Invalidität von 100 % zu berenten sowie eine Integritätsentschädigung von zusätzlichen 30 % auszurichten. Ferner wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Damit wurden das Eidgenössische Versicherungsgericht in Luzern und das Bundesgericht in Lausanne zu einem einheitlichen Bundesgericht (an zwei Standorten) zusammengefügt (Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, S. 10 Rz 75) und es wurde die Organisation und das Verfahren des obersten Gerichts umfassend neu geregelt. Dieses Gesetz ist auf die nach seinem Inkrafttreten eingeleiteten Verfahren des Bundesgerichts anwendbar, auf ein Beschwerdeverfahren jedoch nur dann, wenn auch der angefochtene Entscheid nach dem Inkrafttreten dieses Gesetzes ergangen ist (<ref-law>). Da der kantonale Gerichtsentscheid am 21. November 2006 und somit vor dem 1. Januar 2007 erlassen wurde, richtet sich das Verfahren nach dem bis 31. Dezember 2006 in Kraft gestandenen Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) vom 16. Dezember 1943 (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. 2.1 Das kantonale Gericht hat - teilweise unter Verweis auf den Einspracheentscheid vom 3. September 2004 - die Bestimmungen und Grundsätze über den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (<ref-law>) in Form von Heilbehandlung (<ref-law>) und Taggeld (Art. 16 Abs. 1 und 2 UVG) sowie den hierfür vorausgesetzten adäquaten Kausalzusammenhang bei psychogenen Unfallfolgen (<ref-ruling>) und bei Unfällen mit Schleudertrauma der HWS oder gleichgestellter Verletzung (<ref-ruling>) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.2 Die Adäquanzbeurteilung nach einem Unfall mit HWS-Schleudertrauma (ohne organisch [hinreichend] nachweisbare Funktionsausfälle) hat grundsätzlich nach der in <ref-ruling> E. 6a S. 366 und 369 E. 4b S. 382 dargelegten Rechtsprechung zu erfolgen, sofern innerhalb einer Latenzzeit von höchstens 72 Stunden Kopf- oder Nackenschmerzen auftreten (RKUV 2000 Nr. U 359 S. 29 f. E. 5e, U 264/97) und sich in der Folge das für derartige Verletzungen charakteristische Beschwerdebild (dazu <ref-ruling> E. 1 S. 338) herausbildet (vgl. <ref-ruling> E. 5b/bb S. 103). Auch wenn diese Voraussetzungen erfüllt sind, ist die adäquate Kausalität jedoch unter dem Gesichtspunkt einer psychischen Fehlentwicklung nach Unfall (<ref-ruling>) zu prüfen, wenn die zum erwähnten Beschwerdebild gehörenden Symptome im Vergleich zu einer ausgeprägten psychischen Problematik ganz in den Hintergrund treten sowie wenn eine psychische Störung vorliegt, welche bereits vor dem Unfall bestanden hat oder nach diesem aufgetreten, aber als selbstständige sekundäre Gesundheitsschädigung zu qualifizieren ist (Urteile U 238/05 vom 31. Mai 2006, E. 4.1, und U 462/04 vom 13. Februar 2006, E. 1.2, je mit Hinweisen).
3. Streitig und zu prüfen ist die Leistungspflicht der SUVA aus dem Ereignis vom 12. März 1996 für die Zeit ab 15. Juni 1997 (Taggelder) respektive 3. April 1998 (Heilbehandlung) und in diesem Rahmen die Adäquanz des Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall und den fortbestehenden Beschwerden.
3.1 Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat in seinem Urteil vom 27. November 2001, E. 3b, festgehalten, auch wenn die SUVA den natürlichen Kausalzusammenhang nicht bestreite, sei der Sachverhalt nicht genügend abgeklärt. Dr. med. U._, Chefarzt am Spital Y._, Psychiatriezentrum, sei in seinem der Eidgenössischen Invalidenversicherung erstatteten Gutachten vom 9. April 1999 davon ausgegangen, dass ein Verdacht auf ein mildes Hirntrauma sowie ein Verdacht auf eine Persönlichkeitsstörung bestehe. Im Rahmen der obligatorischen Unfallversicherung sei es wichtig, über diese beiden Diagnosen Bescheid zu wissen, da die Adäquanzprüfung bei Vorliegen rein psychischer Unfallfolgen anders ausfalle als bei einem Unfall mit einem Schleuder- oder Schädel-Hirntrauma oder einer dem Schleudertrauma äquivalenten Verletzung. Die SUVA habe daher, so erwog das Eidgenössische Versicherungsgericht in E. 3c seines Urteils weiter, eine psychiatrische Begutachtung zu veranlassen, um festzustellen, ob eine vorbestehende Persönlichkeitsstörung und/oder ein Hirntrauma als Unfallfolge bestehe.
Dr. med. U._ war von drei für die Diagnose relevanten Ebenen ausgegangen: Im Vordergrund stand nach seiner Beurteilung eine depressiv-ängstliche Stimmungslage mit Symptomen wie Freud- und Interesselosigkeit, erhöhter Ermüdbarkeit, Konzentrationsstörungen, Suizidalität sowie ausgeprägter Selbstwertproblematik. Diese Kriterien reichten aus, um eine schwere depressive Episode ohne psychotische Symptome nach ICD-10 F32.2 zu diagnostizieren, welche nosologisch am ehesten als Anpassungsstörung nach dem Unfallereignis einzuordnen sei. Auf einer zweiten Ebene äusserte der Gutachter den Verdacht auf eine milde traumatische Hirnverletzung, welchen er auf das Verhalten der Explorandin unmittelbar nach dem Unfall sowie auf die später aufgetretenen Symptome stützte. Schliesslich wurde im Sinne einer dritten Ebene der Verdacht auf eine (unfallunabhängige bzw. vorbestehende) Persönlichkeitsstörung geäussert.
3.2 Dr. med. K._ verfasste das Gutachten vom 13. September 2002 (mit den Erläuterungen vom 30. Mai 2003) auf Grund seiner Untersuchungen, welche neben dem Studium der Vorakten vier Explorationsgespräche mit der Versicherten sowie die telefonische Einholung verschiedener fremdanamnestischer Auskünfte umfassten. Er gelangte zum Ergebnis, die Möglichkeit einer anlässlich des Unfalls vom 12. März 1996 erlittenen traumatischen Hirnverletzung sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit zu verwerfen. Der unglückliche Verlauf habe spätestens drei Jahre nach dem Unfall in das heute vorliegende chronifizierte, weitgehend durch psychische Symptome - abgesehen von einer Adipositas - gekennzeichnete Krankheitsbild gemündet. Das unmittelbar posttraumatisch vorhanden gewesene Beschwerdebild nach HWS-Distorsion sei in längst unkenntlicher Weise in die psychische Problematik aufgegangen. Diese könne heute beschrieben werden als chronisches, depressiv gefärbtes Erschöpfungssyndrom im Sinne einer Neurasthenie (ICD-10: F48.0) bei charakterneurotisch unreifer Persönlichkeit (ICD-10: F60.8) mit ausgeprägter Neigung zu sozialphobischem Vermeidungsverhalten und seit Kindheit bekannten migrösen Kopfschmerzen. Zusätzlich wird ein Status nach schwerer depressiver Episode (ICD-10: F32.2) erwähnt. Die natürliche Unfallkausalität sei in Bezug auf die Neurasthenie gegeben, nicht dagegen in Bezug auf das "entscheidende Handicap", die sozialphobische Problematik. Ob die unfallfremden Ursachen auch ohne das Unfallereignis aus eigener Dynamik heraus die Arbeitsunfähigkeit im aktuellen Ausmass beeinträchtigt hätten, lasse sich nicht mit einem einfachen Ja oder Nein beantworten, sondern hänge davon ab, wie sich die real vorhandenen psychosozialen Belastungsfaktoren ausgewirkt hätten. Eine durch den Unfall bewirkte richtunggebende Verschlimmerung des Vorzustandes lasse sich nur für die ersten zwei bis drei Jahre nach dem Unfall differenziert belegen. Der Unfall als solcher habe sich zu einem lebensgeschichtlich ganz unglücklichen Zeitpunkt ereignet und bei dieser Versicherten einen besonders beeinträchtigenden "Impact" gehabt.
3.3 Dem Gutachten des Dr. med. K._ ist mit Blick auf die von der Rechtsprechung formulierten Grundsätze (<ref-ruling> E. 3a S. 352) voller Beweiswert beizumessen. Auf dieser Basis kann, wie die SUVA im Einspracheentscheid vom 3. September 2004 festgehalten hat, für die Belange der Adäquanzbeurteilung nicht von einem vielschichtigen, einer Differenzierung kaum zugänglichen somatisch-psychischen Beschwerdebild (vgl. dazu Urteil U 238/05 vom 31. Mai 2006, E. 4.1) ausgegangen werden. Die Beschwerdeführerin hat einerseits organisch nachweisbare Beeinträchtigungen erlitten, welche durch die zugesprochene Integritätsentschädigung abgegolten wurden. Andererseits wurde, so lässt sich aus den Gutachten des Dr. med. U._ und des Dr. med. K._ schliessen, eine psychische Fehlentwicklung gefördert. Zu dieser trugen bei der Versicherten, welche bereits in den Jahren 1990 und 1995 aus psychischen Gründen stationär hospitalisiert gewesen war, überdies mehrere weitere Faktoren, insbesondere psychosoziale Aspekte bei. Die schwere depressive Episode zeichnete gemäss der Beurteilung von Dr. med. U._ unter anderem für eine Reihe von Symptomen verantwortlich, welche auch dem typischen Beschwerdebild nach einem HWS-Schleudertrauma (dazu <ref-ruling> E. 1 S. 338 oben) entsprechen. Der Verdacht auf eine milde traumatische Hirnverletzung wurde durch Dr. med. K._ nicht bestätigt. Damit steht mit hinreichender Sicherheit fest, dass die Symptome, welche für die hier zur Diskussion stehenden Ansprüche relevant sind, nicht dem typischen Beschwerdebild nach einer spezifischen HWS-Verletzung zuzuordnen, sondern rein psychisch begründet waren. SUVA und Vorinstanz haben die Adäquanz des Kausalzusammenhangs daher zu Recht nach der mit <ref-ruling> begründeten Praxis beurteilt.
3.4 Das kantonale Gericht hat den Auffahrunfall vom 12. März 1996 mit Recht den mittelschweren Unfällen zugeordnet. Die Adäquanz des Kausalzusammenhangs ist demzufolge zu bejahen, falls entweder ein einzelnes der relevanten Kriterien (dazu <ref-ruling> E. 6c/aa S. 140) besonders ausgeprägt gegeben ist oder die Kriterien insgesamt in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sind (<ref-ruling> E. 6c/bb S. 140 f.). Dies trifft, wie die Vorinstanz zutreffend dargelegt hat, nicht zu: Der Unfall ereignete sich weder unter dramatischen Begleitumständen noch war er von besonderer Eindrücklichkeit. Die erlittene HWS-Verletzung ist weder auf Grund ihrer Art noch ihrer Schwere in besonderer Weise geeignet, eine psychische Fehlentwicklung auszulösen. Bejaht werden können körperliche Dauerschmerzen, dies allerdings nicht in einer Ausprägung, welche für sich allein genommen die Adäquanz zu begründen vermöchte. Die weiteren Kriterien sind dagegen zu verneinen, da die psychische Komponente bei ihrer Beurteilung ausgeklammert werden muss. Von einer ärztlichen Fehlbehandlung kann, wie das kantonale Gericht mit Recht erkannt hat, nicht gesprochen werden.
4. Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 Satz 1 OG in der vom 1. Juli bis 31. Dezember 2006 gültig gewesenen Fassung). Die unentgeltliche Verbeiständung kann gewährt werden (Art. 152 in Verbindung mit Art. 135 OG), da die Bedürftigkeit aktenkundig ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung geboten war (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372, je mit Hinweisen). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 152 Abs. 3 OG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird Rechtsanwalt Dr. Bruno Häfliger, Luzern, für das letztinstanzliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 4. Juli 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: