Faits:
A. Le 28 octobre 2006, à six heures du matin, à la sortie du site Artamis, X._ a attaqué par derrière Y._, qui était ivre. Il l'a menacée d'un tesson de verre tranchant qu'il a plaqué sous sa gorge et l'a traînée jusqu'au bord de l'Arve, où il l'a violée sur un matelas abandonné. Auparavant, il l'avait frappée et blessée au bras avec le tesson, lui infligeant une plaie de 4 cm. Lorsque X._ a vu que le bras de la jeune fille saignait, il a pris peur et lui a proposé de l'emmener à l'hôpital. Les deux protagonistes sont remontés le talus et ont erré dans le quartier à la recherche d'un taxi pouvant les emmener à l'hôpital. Avec son téléphone portable, la victime a pu atteindre un couple d'amis qui l'a retrouvée dans le quartier. X._ l'avait quittée quelques instants auparavant; il a été interpellé 48 heures plus tard.
B. Par arrêt du 15 janvier 2008, la Cour d'assises du canton de Genève a condamné X._, pour viol avec cruauté (<ref-law>), à une peine privative de liberté de trois ans et demi, sous déduction de la détention préventive. Elle a ordonné la poursuite du traitement psychiatrique qu'il avait commencé en détention pour combattre sa dépendance aux stupéfiants. Enfin, elle l'a condamné à verser à la victime la somme de 30'000 francs, avec intérêts à 5 % dès le 28 octobre 2006, à titre d'indemnité pour tort moral, réservant les droits civils de la victime pour le surplus.
La Cour d'assises a relevé que la culpabilité de l'accusé était importante. Sa faute était toutefois atténuée par le fait qu'il avait proposé à la victime d'aller à l'hôpital et lui avait permis de rester en contact téléphonique avec ses amis. Pour le surplus, la cour a constaté que X._ dont la responsabilité pénale était entière avait agi par égoïsme, pour satisfaire ses pulsions sexuelles. Ni durant l'instruction, ni à l'audience, il avait montré la moindre compassion pour sa victime. Concernant sa situation personnelle, l'accusé, ressortissant algérien, résidait à Genève sans papier et travaillait au noir. Il était un consommateur régulier d'alcool, de cocaïne et de différentes drogues et toxiques. Il avait entrepris un traitement psychiatrique pour combattre sa dépendance à ces substances, ce qui, selon la cour, était positif et devait être encouragé. Enfin, ses antécédents étaient mauvais, puisqu'il avait été condamné à douze reprises pour différentes infractions, notamment à la loi fédérale sur les stupéfiants, et avait fait l'objet de très nombreuses interpellations par la police.
C. Le Ministère public genevois a formé un pourvoi contre ce dernier arrêt, estimant que la peine privative de liberté de trois ans et demi était trop clémente. La Cour de cassation de Genève a rejeté le pourvoi, par arrêt du 30 mai 2008, expliquant notamment ce qui suit:
- La Cour d'assises « a pris en considération le comportement de la victime, dont certains souvenirs sont restés flous tant son alcoolisation était importante. Tout en subissant un long calvaire et en craignant pour sa vie, [la victime] n'en avait pas moins simulé un possible consentement » (arrêt attaqué p. 6, consid. 3.2, 2e paragraphe). (...) On ne peut exclure que [l'infraction] a été partiellement induite par l'état éthylique avancé de la victime. Cette dernière a admis que ses possibilités de réaction étaient annihilées au sortir du site Artamis et que, faute d'avoir pu opposer un refus ou une résistance aux menaces de son agresseur, elle s'était résolue à feindre d'accepter la relation sexuelle » (arrêt attaqué, consid. 3.2 4e paragraphe, in fine).
La Cour de cassation justifie la clémence de la peine également par l'attitude concrète que l'auteur a adoptée postérieurement à son méfait, lorsqu'il a proposé à sa victime de l'emmener à l'hôpital. Elle a constaté que son comportement cruel avait cessé aussitôt qu'il avait pris conscience des blessures de sa victime (arrêt attaqué, consid. 3.2, p. 6-7).
D. Contre cet arrêt, le Ministère public genevois dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il fait valoir que la peine infligée à X._ est excessivement clémente et que la cour de cassation a en conséquence violé l'<ref-law>. Il conclut principalement à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que X._ soit condamné à une peine privative de liberté de huit ans et, à titre subsidiaire, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouveau jugement.
E. Au terme de ses observations, l'intimé a conclu au rejet du recours alors que la Cour de cassation a renoncé à des déterminations.

Considérant en droit:
1. 1.1 La décision attaquée a été rendue par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>), dans une cause de droit pénal (<ref-law>). Elle peut donc faire l'objet d'un recours en matière pénale (<ref-law>), que le recourant qui conteste la sanction infligée est habilité à former (art. 81 al. 1 let. a et let. b ch. 3 LTF).
1.2 Le recours en matière pénale peut notamment être formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), qui englobe les droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que le recourant ne démontre que ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte, à savoir arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (FF 2001 p. 4135), ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le Tribunal fédéral ne sanctionne une violation de droits fondamentaux que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>). Les exigences de motivation de l'acte de recours correspondent à celles de l'art. 90 al. 1 let. b OJ (FF 2001 p. 4142).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments du recourant ni par la motivation de l'autorité précédente. Toutefois, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, dont la sanction est l'irrecevabilité (<ref-law>), il n'examine en principe que les griefs invoqués et n'est dès lors pas tenu de traiter des questions qui ne sont plus discutées devant lui. Il ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments du recourant ni par la motivation de l'autorité précédente. Toutefois, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, dont la sanction est l'irrecevabilité (<ref-law>), il n'examine en principe que les griefs invoqués et n'est dès lors pas tenu de traiter des questions qui ne sont plus discutées devant lui. Il ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>).
2. Se fondant sur l'<ref-law>, le recourant fait valoir que la peine infligée à l'intimé est excessivement clémente.
La cour cantonale a retenu, au titre de circonstance atténuante, l'état d'ébriété de la victime et son consentement à l'acte sexuel une fois qu'elle était étendue sur le matelas abandonné au bord de l'Arve. Pour le recourant, les juges cantonaux se sont trompés sur le sens et la portée de certains éléments de fait (en particulier concernant l'état d'ébriété de la victime et son prétendu consentement aux actes) et en ont tiré des conclusions insoutenables, au stade de la fixation de la peine.
La cour cantonale a retenu, au titre de circonstance atténuante, l'état d'ébriété de la victime et son consentement à l'acte sexuel une fois qu'elle était étendue sur le matelas abandonné au bord de l'Arve. Pour le recourant, les juges cantonaux se sont trompés sur le sens et la portée de certains éléments de fait (en particulier concernant l'état d'ébriété de la victime et son prétendu consentement aux actes) et en ont tiré des conclusions insoutenables, au stade de la fixation de la peine.
2.1 2.1.1 Selon l'<ref-law>, le juge fixe la peine d'après la culpabilité de l'auteur. Il prend en considération les antécédents et la situation personnelle de ce dernier ainsi que l'effet de la peine sur son avenir (al. 1). La culpabilité est déterminée par la gravité de la lésion ou de la mise en danger du bien juridique concerné, par le caractère répréhensible de l'acte, par les motivations et les buts de l'auteur et par la mesure dans laquelle celui-ci aurait pu éviter la mise en danger ou la lésion, compte tenu de sa situation personnelle et des circonstances extérieures (al. 2).
2.1.2 Comme dans l'ancien droit, le critère essentiel est celui de la faute. Le législateur reprend, à l'al. 1, les critères des antécédents et de la situation personnelle, et y ajoute la nécessité de prendre en considération l'effet de la peine sur l'avenir du condamné. Codifiant la jurisprudence, l'al. 2 de l'<ref-law> énumère de manière limitative les critères permettant de déterminer le degré de gravité de la culpabilité de l'auteur. Ainsi, le juge devra prendre en considération la gravité de la lésion ou de la mise en danger du bien juridique concerné, que la jurisprudence mentionnait sous l'expression du "résultat de l'activité illicite", ainsi que le caractère répréhensible de l'acte, qui correspond plus ou moins à la notion "de mode et d'exécution de l'acte" prévue par la jurisprudence. Sur le plan subjectif, le texte légal cite la motivation et les buts de l'auteur, qui correspondent aux mobiles de l'ancien droit (art. 63 aCP), et la mesure dans laquelle l'auteur aurait pu éviter la mise en danger ou la lésion, qui se réfère au libre choix de l'auteur entre la licéité et l'illicéité (<ref-ruling> consid. 6.1).
Comme l'ancien <ref-law>, l'art. 47 n'énonce cependant pas de manière détaillée et exhaustive tous les éléments qui doivent être pris en considération, ni les conséquences exactes qu'il faut en tirer quant à la fixation de la peine. Cette disposition laisse donc au juge un large pouvoir d'appréciation, de sorte que le Tribunal fédéral, conformément à la pratique développée sous l'empire de l'ancien <ref-law>, n'admettra un recours portant sur la quotité de la peine que si la sanction a été fixée en dehors du cadre légal, si elle est fondée sur des critères étrangers à l'<ref-law>, si les éléments d'appréciation prévus par cette disposition n'ont pas été pris en compte ou enfin si la peine apparaît exagérément sévère ou clémente au point que l'on doive parler d'un abus du pouvoir d'appréciation (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 20 s. et les arrêts cités).
2.1.3 En cas de viol, la gravité de l'acte et, partant, de la faute se détermine en premier lieu en fonction des moyens de contrainte utilisés par l'auteur. Lorsque l'auteur a fait preuve de cruauté envers la victime, le juge doit tenir compte, lors de la fixation de la peine, du degré de cruauté avec lequel la victime a été traitée (<ref-ruling> consid. 2b p. 347/348).
Le comportement de la victime peut constituer une circonstance atténuante, si la victime provoque l'auteur par un comportement initial. Ainsi, selon l'<ref-law>, le juge peut atténuer la peine lorsque « l'auteur a été induit en tentation grave par la conduite de la victime ». Selon cette disposition, il faut toutefois que la victime ait excité et tenté l'auteur jusqu'à ce qu'il succombe, par un comportement actif ou par des pressions morales (<ref-ruling>). La conduite de la victime doit avoir été si provocante que même un homme conscient de ses responsabilités aurait eu de la peine à y résister (<ref-ruling> consid. 2c p. 278; <ref-ruling> consid. 1c p. 71). Le juge ne saurait retenir cette circonstance atténuante au motif que la « morale » de la victime serait douteuse ou que l'auteur se serait vu offert une « occasion favorable »; un éventuel comportement de la victime « proche du consentement » peut toutefois être pris en compte lors de la fixation de la peine dans le cadre de l'<ref-law> (Schwarzenegger/Hug/Jositsch, Strafrecht II, Strafen und Massnahmen, 8e éd., Zurich 2007, p. 82; Stratenwerth, Schweizerisches Strafrecht, Allgemeiner Teil II: Strafen und Massnahmen, 2e éd., Berne 2006, § 6, n. 100, p. 221; Wiprächtiger, Basler Kommentar, Strafrecht I, 2e éd., 2007, Art. 48, n. 22).
En revanche, le comportement de la victime en réaction à l'acte de contrainte est en règle générale sans pertinence. Ainsi, il n'y a pas lieu d'atténuer la peine du seul fait que la victime n'a pas opposé de résistance et s'est prêtée de plein gré aux entreprises de l'auteur surexité (Favre/Pellet/Stoudmann, Code pénal annoté, Lausanne 2007, art. 48, n. 1.9).
2.2 Il ressort de l'état de faits cantonal que l'intimé a menacé sa victime d'un tesson de verre plaqué sous la gorge et qu'il l'a traînée en fin de nuit au bord de l'Arve dans un coin isolé. Craignant pour sa vie, la victime a alors faire croire à l'intimé qu'elle était consentante. Intervenu postérieurement à l'agression et induit par le comportement menaçant de l'intimé, le consentement de la victime à l'acte sexuel ne saurait en l'espèce diminuer la gravité de l'acte reproché à l'intimé. C'est également à tort que la cour cantonale a retenu l'état d'ébriété de la victime en tant que circonstance atténuante dans la mesure où il n'est pas établi en fait que la jeune fille, ivre, a provoqué l'intimé par son comportement initial. L'ivresse de la victime serait, au contraire, plutôt de nature à augmenter la faute de l'intimé en ce sens que celui-ci a profité de sa vulnérabilité. Comme la cour cantonale a fixé la peine sur la base de critères non pertinents, le grief de violation de l'<ref-law> est bien fondé. Le viol avec cruauté est passible d'une peine privative de liberté de trois à vingt ans (<ref-law>). La peine infligée à l'intimé demeure ainsi au bas de l'échelle des sanctions entrant en considération, ce qui n'est pas justifié au regard des circonstances concrètes. Le recourant indique à juste titre que la cour cantonale est partie à tort d'une peine maximale de dix ans.
3. En conséquence, le recours doit être admis, l'arrêt attaqué doit être annulé et la cause doit être renvoyée à la cour cantonale pour qu'elle fixe une nouvelle peine. L'intimé, qui succombe, supporte les frais de la procédure (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la cour cantonale afin qu'elle rende une nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 francs, sont mis à la charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de cassation du canton de Genève.
Lausanne, le 12 septembre 2008
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Schneider Kistler Vianin