Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die Eltern der beiden Kinder C._ (geb. 5. Oktober 2005) und D._ (geb. 2. April2007). Im Rahmen eines Eheschutzverfahrens stellte das Einzelgericht des Bezirks Meilen C._ und D._ für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut von A._ und räumte der Mutter ein Besuchsrecht ein. Zudem wurde B._ zu Unterhaltsleistungen an die Kinder und an A._ verpflichtet (Urteil vom 7. Juli 2014).
B.
Gegen dieses Urteil erhob B._ am 18. Juli 2014 Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich. Sie beantragte, C._ und D._ seien für die Dauer des Getrenntlebens unter die alternierende Obhut beider Eltern zu stellen. Zudem wehrte sie sich gegen die ihr auferlegten Kinder- und Ehegattenunterhaltsbeiträge sowie gegen die Regelung der vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen.
C.
Mit Urteil vom 15. Dezember 2014 stellte das Obergericht die Töchter für die Dauer des Getrenntlebens unter die alternierende Obhut von Vater und Mutter (Ziffer 1). Es genehmigte die von den Parteien getroffene Betreuungsregelung (Ziffer 2) und bestimmte, wie die Kinder während der Feiertage und der Ferien betreut werden (Ziffern 3 und 4). Das Gericht bestätigte ferner die Weisung an die Eltern, sich bei der Jugend- und Familienberatung im Rahmen von mindestens zehn Treffen bezüglich Erziehungsfragen und Umgang in Konfliktsituationen während der Trennung beraten zu lassen (Ziffer 5). Schliesslich wurde B._ verpflichtet, an den Unterhalt der Töchter ab 1. Januar 2015 für die weitere Dauer des Getrenntlebens monatliche Unterhaltsbeiträge von je Fr. 900.-- zu zahlen (Ziffer 6).
D.
A._ (Beschwerdeführer) wendet sich mit Beschwerde vom 20. Januar 2015 an das Bundesgericht. Er verlangt, die Ziffern 1 bis 4 des vorinstanzlichen Urteils aufzuheben und ihm für die Dauer des Getrenntlebens die alleinige Obhut über C._ und D._ zu übertragen. B._ (Beschwerdegegnerin) sei ein Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen, das sich im Wesentlichen mit der erstinstanzlich genehmigten Betreuungs- und Ferienregelung deckt. Im Sinne eines Eventualbegehrens beantragt der Beschwerdeführer, "das gesamte Urteil des Obergerichts" aufzuheben und die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keine Vernehmlassung eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Parteien streiten sich in einem Eheschutzprozess darüber, ob die Obhut über ihre beiden Töchter den Eltern alternierend oder dem Vater allein zu überlassen ist. Das ist eine Zivilsache (<ref-law>) nicht vermögensrechtlicher Natur. Nach der Rechtsprechung sind Entscheide betreffend die Anordnung von Eheschutzmassnahmen Endentscheide im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4 S. 395 f.). Das Obergericht hat als oberes Gericht und als letzte kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> entschieden. Die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. c BGG) eingereichte Beschwerde ist grundsätzlich zulässig.
2.
Eheschutzentscheide unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Es gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass die rechtsuchende Partei in ihrer Eingabe dartun muss, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Eine Überprüfung von Amtes wegen, wie sie dem Bundesgericht hinsichtlich des Gesetzes- und Verordnungsrechts des Bundes zusteht (<ref-law>), findet nicht statt. Das Bundesgericht untersucht deshalb nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.2 S. 399 f.). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es nicht aus, wenn der Beschwerdeführer die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat.
3.
Der Streit dreht sich um die Frage, ob und gegebenenfalls unter welchen Voraussetzungen der Eheschutzrichter die Obhut den Eltern gemeinsam bzw. in einer Art und Weise überlassen kann, dass sich die Eltern abwechselnd in mehr oder weniger gleichem zeitlichen Umfang um die Kinder kümmern ("alternierende Obhut").
3.1. Die Vorinstanz verweist auf die Änderungen im Sorgerecht, die am 1. Juli 2014 in Kraft getreten sind (Bundesgesetz vom 21. Juni 2013 über die Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Elterliche Sorge], AS 2014 357). Damit sei der Begriff der rechtlichen Obhut entfallen und durch das Aufenthaltsbestimmungsrecht ersetzt worden. Nach neuem Recht meine der Begriff der Obhut nur noch die faktische Obhut. Inhaber dieser Obhut sei derjenige Elternteil, der mit dem Kind in häuslicher Gemeinschaft lebe. Die so verstandene Obhut könne nach dem Willen des Gesetzgebers auch beiden Elternteilen zukommen. Neu sehe <ref-law> explizit vor, dass der Richter über die Zuteilung der Obhut entscheiden könne, wenn keine Aussicht darauf bestehe, dass sich die Eltern diesbezüglich einigen. Deshalb sei auch in strittigen Fällen die Anordnung einer alternierenden Obhut möglich.
Was den konkreten Fall angeht, stellt das Obergericht fest, dass sich die Kinder C._ und D._ bis auf eine Differenz von wenigen Stunden je zur Hälfte beim Vater und bei der Mutter aufhielten. Damit stünden die Kinder unter der faktischen Obhut beider Parteien. Das Vorbringen des Beschwerdeführers, wonach die alternierende Obhut nicht dem Kindeswohl von D._ und C._ entspreche, sei widersprüchlich, weil auch er diese Betreuungsregelung beibehalten möchte. Aus der Sicht des Gerichts bestehe kein Anlass, die Betreuungsregelung zu ändern, nachdem C._ und D._ in einem Gespräch mit der Kinderbeiständin vom 28. August 2014 bestätigt hätten, sich gut in der Betreuungsregelung eingefunden zu haben und sich damit wohl zu fühlen. Laut der Kinderbeiständin würden die Konflikte der Parteien nicht mehr vor den Kindern ausgetragen. C._ habe anlässlich des Gesprächs vom 28. August 2014 deutlich entlasteter und fröhlicher gewirkt als beim ersten Gespräch. Würde die Obhut lediglich dem Beschwerdeführer zugeteilt und der Beschwerdegegnerin ein ausgedehntes Besuchsrecht erteilt, liefe dies den tatsächlichen Verhältnissen zuwider.
3.2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, sich mit den Ausführungen in seiner Berufungsantwort betreffend die Zuteilung der Obhut nicht auseinanderzusetzen. Auch die Erwägungen der Erstinstanz über das Kindeswohl würden nicht berücksichtigt. Dies sei umso stossender, als das Obergericht das erstinstanzliche Urteil aufhebe. Die Vorinstanz lasse ausser Acht, dass die Betreuung der Kinder derzeit nur funktioniere, weil er bei unvorhergesehenen Ereignissen sehr flexibel sei. Während des erstinstanzlichen Verfahrens habe sich immer wieder gezeigt, dass die Beschwerdegegnerin ihr berufliches Engagement mit der Betreuung der Kinder nicht vereinbaren und den vereinbarten Betreuungsplan nicht einhalten könne. Zu Unrecht tadele die Vorinstanz sein Vorbringen, wonach die alternierende Obhut nicht dem Kindeswohl entspreche, als widersprüchlich, weil er zugleich die bisherige Betreuungsregelung beibehalten wolle. Die Vorinstanz übersehe offensichtlich seine Vorbringen in Ziffer 18 der Berufungsantwort: Auch wenn sich die Parteien de facto auf eine alternierende Obhut geeinigt hätten, bedeute dies nicht, dass die Anordnung einer alternierenden Obhut gerechtfertigt sei. Das Betreuungsverhältnis sei in rechtlicher Hinsicht so auszugestalten, dass die Betreuung der Kinder in allen möglichen Situationen dem Kindeswohl entspreche. Er zweifle an der Ernst- und Dauerhaftigkeit der Gesprächs- und Kooperationsbereitschaft der Beschwerdegegnerin. Momentan vermöge nur die Zuteilung der alleinigen Obhut an ihn das Kindeswohl zu gewährleisten.
3.3. In rechtlicher Hinsicht legt der Beschwerdeführer ausführlich dar, welche Bedeutung der Begriff der Obhut mit der erwähnten Gesetzesrevision erhalten habe. Er beschäftigt sich mit der Frage, ob eine gemeinsame oder geteilte Obhut auch nach neuem Recht einen gemeinsamen Antrag der Parteien voraussetze. Gestützt auf verschiedene Überlegungen zum alten und neuen Recht kommt er zum Schluss, die Frage sei zu bejahen. Mit dem Erfordernis eines gemeinsamen Antrags für die gemeinsame und geteilte Obhut sei auch sichergestellt, dass die Eltern ihre persönlichen Konflikte nicht über die Fragen der Kinderbelange austragen. Da nach bisheriger kantonaler Rechtsprechung ein gemeinsamer Antrag für die Anordnung der alternierenden Obhut notwendig gewesen sei, liege mit dem Entscheid der Vorinstanz nun eine Praxisänderung vor. Eine solche bedürfe der Begründung, da das neue Recht die Notwendigkeit eines gemeinsamen Antrags für die Anordnung einer alternierenden Obhut nicht ausdrücklich regle. In der Lehre werde die Meinung vertreten, dass eine alternierende Obhut auch gegen den Willen einer Partei angeordnet werden könne, wenn sie dem Kindeswohl diene. Unbestritten sei, dass die Ausübung der alternierenden Obhut nur dann im Kindeswohl liege, wenn die Parteien bezüglich aller Kinderbelange gesprächs- und kooperationsbereit seien. Studien würden belegen, dass das Wohl des Kindes weniger von der Ausgestaltung der elterlichen Sorge abhänge als vielmehr von der Art und Weise des Umgangs der Eltern sowie namentlich von deren Konfliktverhalten.
3.4. Bei alledem übersieht der Beschwerdeführer, dass das Bundesgericht im vorliegenden Verfahren nicht untersucht, ob die Vorinstanz das Zivilgesetzbuch und die darin vorgenommenen Änderungen korrekt handhabt. Der Gegenstand der Prüfung ist beschränkt auf die Frage, ob sich der angefochtene Entscheid mit verfassungsmässigen Rechten verträgt, die der Beschwerdeführer als verletzt rügt (E. 2). Nun tut der Beschwerdeführer aber nicht in einer den gesetzlichen Anforderungen genügenden Weise dar, welches seiner verfassungsmässigen Rechte die Vorinstanz mit ihrem Entscheid konkret verletzt. Soweit er die vorinstanzliche Würdigung des Sachverhalts kritisiert, erschöpfen sich seine Vorbringen in appellatorischer Natur. Darauf ist nicht einzutreten (vgl. E. 2; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Auch in rechtlicher Hinsicht vermag der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid nicht ins Wanken zu bringen. Denn dafür genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, das angefochtene Urteil verletze die Art. 8, 9 und 29 Abs. 2 BV, sich seine Ausführungen der Sache nach aber letztlich auf die Frage konzentrieren, wie das Zivilgesetzbuch nach Inkrafttreten der neuen Bestimmungen über die gemeinsame elterliche Sorge auszulegen ist (vgl. dazu bereits Urteil 5A_46/2015 vom 26. Mai 2015 E. 4).
4.
Nach dem Gesagten genügen die Vorbringen, die der Beschwerdeführer dem Bundesgericht vorlegt, den gesetzlichen Anforderungen an die Beschwerdebegründung nicht. Das Bundesgericht kann auf die Beschwerde deshalb gar nicht erst eintreten. Bei diesem Ausgang unterliegt der Beschwerdeführer. Entsprechend hat er für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin wurde nicht zur Vernehmlassung eingeladen; ihr ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._, D._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. August 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn