Faits:
A. Le 23 mai 2006, X._, ressortissant guinéen né à Conakry le *** 1982, a bénéficié d'une autorisation de séjour CE/AELE de courte durée, en présentant un faux document d'identité française. Le 4 avril 2008, il a requis la transformation de cette autorisation (de courte durée), qui avait entre-temps été renouvelée jusqu'au 12 mai 2008, en autorisation (ordinaire) de séjour CE/AELE.
Ayant découvert que X._ s'était légitimé avec de faux papiers et qu'il n'avait pas la nationalité française, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) lui a fait savoir, le 25 juillet 2008, qu'il envisageait de "refuser le renouvellement de [son] autorisation de séjour de courte durée, respectivement l'octroi d'une autorisation de séjour CE-AELE" et l'a invité à faire part de ses éventuelles observations. Dans une prise de position du 18 septembre 2008, l'intéressé a admis qu'il n'avait pas la nationalité française, mais a néanmoins sollicité la délivrance d'une autorisation de séjour (permis B). Il a exposé qu'arrivé en Suisse le 7 janvier 2001, il y avait déposé, sous une (première) fausse identité, une demande d'asile qui avait été rejetée et que, depuis lors, il était demeuré dans ce pays où il avait noué, à partir de 2003, une relation amoureuse avec B._, une ressortissante suisse avec laquelle il avait ensuite - à une date non précisée - emménagé; il ajoutait que, depuis lors, il partageait sa vie avec cette compagne et qu'à partir de 2006, il avait régulièrement travaillé et disposait maintenant d'un emploi qui lui procurait des ressources suffisantes pour subvenir aux besoins du ménage.
Par décision du 6 novembre 2008, le Service cantonal a refusé "la transformation de l'autorisation de séjour de courte durée CE/AELE de X._ en autorisation de séjour de longue durée CE/AELE", au motif que l'intéressé avait obtenu abusivement ses autorisations de séjour sur la base de fausses déclarations.
B. X._ a recouru contre la décision précitée du Service cantonal, en se plaignant d'une violation du droit au respect de la vie familiale garanti par l'art. 8 par. 1 CEDH. Durant l'instruction de son recours, il a été condamné à une peine de 90 jours-amende (à 20 fr. le jour) pour faux dans les certificats, obtention frauduleuse d'une constatation fausse, infraction à la loi fédérale sur les étrangers et obtention frauduleuse d'un permis de conduire (jugement du 24 mars 2009 du Tribunal de police de l'arrondissement de la Côte).
Par arrêt du 30 décembre 2009, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours. Les juges ont notamment retenu qu'une cohabitation d'un peu moins de trois ans ne permettait pas de déduire un droit à une autorisation de séjour de l'art. 8 par. 1 CEDH, en présence, comme en l'espèce, d'un couple de concubins n'ayant pas de projet de mariage et pas d'enfant.
C. X._ interjette un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité du Tribunal cantonal, dont il requiert, sous suite de frais et dépens, la réforme, en ce sens qu'une autorisation de séjour lui soit délivrée ou, subsidiairement, que sa cause soit renvoyée au Tribunal cantonal ou au Service cantonal pour octroi d'une telle autorisation. Comme en procédure cantonale, il invoque la violation de l'art. 8 par. 1 CEDH. A réception de l'invitation à fournir une avance de frais de 2'000 fr., il a demandé au tribunal une prolongation de délai pour s'en acquitter, avant de solliciter le bénéfice de l'assistance judiciaire totale, motif pris qu'il n'avait plus d'emploi et que son amie n'était pas en mesure de lui fournir l'avance de frais requise. Le Tribunal fédéral a provisoirement renoncé à exiger cette avance, en précisant qu'il statuerait ultérieurement sur la requête d'assistance judiciaire.
Par ordonnance du 4 février 2010, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif présentée à l'appui du recours.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours déposés devant lui.
1.1 Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable à l'encontre des décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
En l'espèce, la décision du Service cantonal limite formellement l'objet de la contestation au refus de transformer l'autorisation de séjour de courte durée CE/AELE du recourant en une autorisation de séjour CE/AELE de longue durée. Il est toutefois constant que l'intéressé ne peut pas prétendre à l'octroi d'une quelconque autorisation de séjour CE/AELE, n'étant, comme il l'a admis, pas ressortissant d'un des Etats membres de la Communauté européenne parties à l'Accord sur la libre circulation des personnes passé avec la Suisse. Le recourant fonde uniquement son droit à une autorisation de séjour sur l'art. 8 par. 1 CEDH et sur les liens qui l'unissent à la dénommée B._, avec laquelle il allègue vivre une relation stable et durable. Le Tribunal cantonal est entré en matière sur ce grief et, ce faisant, a étendu l'objet de la contestation à une question non comprise dans la décision administrative initiale. A raison, car le recourant avait expressément requis la délivrance d'un permis B dans sa détermination au Service cantonal, en développant une argumentation ayant trait au respect de sa vie familiale au sens de l'art. 8 par. 1 CEDH. Dans la mesure où cette disposition est potentiellement de nature à lui conférer le droit à une autorisation de séjour, son recours échappe au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF; le point de savoir si les conditions de l'art. 8 CEDH sont effectivement réunies dans le cas particulier relève de l'examen au fond (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 180).
1.2 Pour le surplus, dirigé contre un arrêt rendu en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours émane d'une personne qui a manifestement un intérêt digne de protection à obtenir l'annulation ou la modification de la décision attaquée (<ref-law>). En outre, il a été déposé en temps utile (cf. <ref-law>) et dans les formes prescrites (cf. <ref-law>). Il est donc recevable.
2. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral et du droit international (cf. art. 95 let. a et b ainsi que 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. <ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 63) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>).
Le recourant ne conteste pas les faits retenus dans l'arrêt attaqué, mais seulement les conséquences juridiques qu'en ont tirées les premiers juges en lien avec l'art. 8 CEDH.
3. 3.1 D'après une jurisprudence constante, les relations visées par l'art. 8 CEDH sont avant tout celles qui concernent la famille dite nucléaire ("Kernfamilie"), soit celles qui existent entre époux ainsi qu'entre parents et enfants mineurs vivant en ménage commun (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 146; <ref-ruling> consid. 2 p. 14; <ref-ruling> consid. 1d/aa p. 65; <ref-ruling> consid. 1d p. 261).
Sous réserve de circonstances particulières, les concubins ne sont donc pas habilités à invoquer l'art. 8 CEDH. Ainsi, le Tribunal fédéral a précisé à de nombreuses reprises que l'étranger qui vit en union libre avec un ressortissant suisse ou une personne ayant le droit de s'établir en Suisse ne peut prétendre à une autorisation de séjour que s'il entretient depuis longtemps des relations étroites et effectivement vécues avec son concubin ou s'il existe des indices concrets d'un mariage sérieusement voulu et imminent, comme par exemple la publication des bans, telle qu'elle était exigée jusqu'à la modification du 26 juin 1998 du Code civil suisse (cf. arrêts 2C_225/2010 du 4 octobre 2010, consid. 2.2; 2C_206/2010 du 23 août 2010, consid. 2.1; 2C_733/2008 du 12 mars 2009 consid. 5.1; 2C_90/2007 du 27 août 2007 consid. 4.1). D'une manière générale, il faut que les relations entre les concubins puissent, par leur nature et leur stabilité, être assimilées à une véritable union conjugale pour bénéficier de la protection de l'art. 8 par. 1 CEDH (cf. Peter Uebersax, Die EMRK und das Migrationsrecht aus der Sicht der Schweiz, in: La CEDH et la Suisse, éd. par Bernhard Ehrenzeller/Stephan Breitenmoser, Saint-Gall 2010, p. 203 ss, spécial. p. 219 ss; Patrice Hilt, Le couple et la Convention européenne des droits de l'homme, Aix-Marseille 2004, no 667). Une cohabitation d'un an et demi n'est, en principe, pas propre à fonder un tel droit (arrêts 2C_225/2010 du 4 octobre 2010, consid. 2.2; 2C_300/2008 du 17 juin 2008 consid. 4.2).
3.2 En l'espèce, le Tribunal cantonal a retenu que, selon leurs déclarations, le recourant et son amie vivent ensemble depuis le mois de décembre 2006 et n'ont pas de projet de mariage dans un proche avenir. Il a estimé, en se fondant sur un arrêt de la Cour européenne des droits de l'homme (ci-après cité: CourEDH), que trois ans de vie commune n'était pas une durée suffisante pour démontrer que les intéressés formaient un couple stable et durable assimilable à une relation maritale bénéficiant de la protection de l'art. 8 CEDH.
Le recourant conteste cette appréciation, en faisant valoir que la jurisprudence de Strasbourg ne fixe aucune durée minimale de vie commune pour assimiler une relation entre concubins à une vie familiale au sens de l'art. 8 CEDH. Il est vrai qu'on ne saurait tirer une telle conclusion de l'arrêt - que cite le Tribunal cantonal - rendu par la CourEDH le 18 décembre 1986 dans l'affaire Johnston et autres c. Irlande (requête no 9697/82). Dans cette affaire, la CourEDH a simplement estimé que les requérants, qui vivaient en union libre sous le même toit depuis une quinzaine d'années, formaient manifestement une famille au sens de l'art. 8 CEDH (arrêt précité, point 56).
Il n'en demeure pas moins que la durée de la vie commune joue un rôle de premier plan pour déterminer si des concubins peuvent se prévaloir de l'art. 8 CEDH. Il s'agit en effet d'une donnée objective qui permet d'attester que la relation jouit d'une intensité et d'une stabilité suffisantes pour pouvoir être assimilée à une vie familiale (cf. Vincent Coussirat-Coustère, Famille et convention européenne des droits de l'homme, in Protection des droits de l'homme : la perspective européenne, Cologne, 2000, p. 281 ss, p. 285). Dans une jurisprudence récente, après avoir réaffirmé que la notion de "famille" ne se limitait pas aux seules relations fondées sur le mariage mais pouvait englober d'autres liens "familiaux" de facto lorsque les parties cohabitent en dehors du mariage, la CourEDH a rappelé que, pour déterminer si une relation s'analyse en une "vie familiale", il y a lieu de tenir compte d'un certain nombre d'éléments, comme le fait de savoir si le couple vit ensemble, depuis combien de temps et s'il y a des enfants communs (arrêt CourEDH du 20 janvier 2009, aff. ?erife Y???t c. Turquie, requête no 3976/05, par. 25 et 26 et les arrêts cités).
Dans ces conditions, des concubins qui n'envisagent pas le mariage ne peuvent pas déduire un droit à une autorisation de séjour de l'art. 8 par. 1 CEDH, à moins de circonstances particulières prouvant la stabilité et l'intensité de leur relation, comme l'existence d'enfants communs ou une longue durée de vie commune.
3.3 L'arrêt de la CourEDH dont se prévaut le recourant ne dit pas autre chose (arrêt CourEDH du 26 mai 1994, aff. Keegan c. Irlande, requête no 16969/90). Certes, cette affaire concernait une union libre qui n'avait duré que deux années avant que les concubins ne se séparent; par ailleurs, ceux-ci n'avaient fait ménage commun que pendant une année; ils avaient toutefois eu un enfant ensemble dont la conception résultait, selon les constatations de la CourEDH, d'une décision délibérée des concubins qui avaient également formé le projet de se marier; et ce sont ces deux éléments (conception d'un enfant et projet de mariage) qui ont amené les juges à conclure que la relation des concubins se plaçait déjà, avant la naissance de l'enfant, sous le sceau de la vie familiale aux fins de l'art. 8 CEDH (arrêt précité, point 45).
La situation du recourant n'a donc pas grand chose à voir avec les circonstances de l'affaire Keegan. En l'absence de projet de mariage avec son amie et d'enfant commun, la seule durée de leur vie commune, de trois ans au moment déterminant, ne permet pas de considérer que leur relation a atteint le degré de stabilité et d'intensité requis pour pouvoir être assimilée à une union conjugale. Mise à part l'affaire précitée Keegan, la CourEDH n'a accordé une protection conventionnelle à des couples de concubins qu'à des relations bien établies dans la durée, de six à dix-huit ans (cf. Hilt, op. cit., no 673 et les références citées à la jurisprudence de la CourEDH). De plus, il y avait au centre de toutes ces affaires la présence d'enfants que les concubins avaient eus ensemble (arrêt précité Johnston et autres c. Irlande; arrêt Kroon et autres c. Pays-Bas, du 27 octobre 1994, requête no 18535/91) ou, du moins, élevés ensemble (arrêt X., Y. et Z. c. Royaume-Uni, du 22 avril 1997, requête no 21830/93), contrairement à la situation du recourant et de sa compagne.
3.4 En conséquence, le Tribunal cantonal a correctement appliqué le droit en refusant de mettre le recourant au bénéfice de l'art. 8 par. 1 CEDH. Il n'est donc pas nécessaire d'effectuer une pesée des intérêts en présence au sens de l'art. 8 par. 2 CEDH.
4. Il suit de ce qui précède que le recours, mal fondé, doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
L'assistance judiciaire requise doit être refusée dans la mesure où le recours était dénué de chances de succès (<ref-law>). Succombant, le recourant supportera les frais judiciaires. Eu égard à sa situation financière, ceux-ci seront restreints (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (cf. art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 4 novembre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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