Fatti:
A. L'8 settembre 2009 A._ ha presentato una denuncia penale contro B._, curatrice di rappresentanza delle figlie minorenni, per il titolo di violazione del dovere di assistenza o educazione (art. 219 CP).
Con decisione del 9 febbraio 2010 il Sostituto Procuratore pubblico del Cantone Ticino ha decretato il non luogo a procedere, non ritenendo adempiuti gli estremi di reato.
B. Contro il decreto di non luogo a procedere, A._ ha presentato il 25 marzo 2010 un'istanza di promozione dell'accusa alla Camera dei ricorsi penali del Tribunale d'appello (CRP), che l'ha dichiarata irricevibile con sentenza del 31 marzo 2010. La Corte cantonale ha ritenuto l'istanza non conforme alle esigenze di motivazione dedotte dall'art. 186 CPP/TI.
C. A._ impugna questo giudizio con un ricorso in materia penale e un ricorso sussidiario in materia costituzionale al Tribunale federale, chiedendo di annullarlo e di statuire sul merito della causa. Il ricorrente postula inoltre di essere ammesso al beneficio dell'assistenza giudiziaria.
Non sono state chieste osservazioni.

Diritto:
1. 1.1 Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1 e rinvii).
1.2 Secondo l'art. 81 cpv. 1 LTF ha diritto di interporre ricorso in materia penale chi ha partecipato al procedimento dinanzi all'autorità inferiore o è stato privato della possibilità di farlo (lett. a) e ha un interesse giuridicamente protetto all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata (lett. b; <ref-ruling> consid. 1.1). Giusta l'art. 81 cpv. 1 lett. b n. 5 LTF, la vittima è legittimata a ricorrere se la decisione impugnata può influire sul giudizio delle sue pretese civili.
Il ricorrente non è vittima ai sensi della LAV ed ha quindi un interesse giuridicamente protetto unicamente a fare valere la violazione di garanzie procedurali che il diritto cantonale o gli art. 29 seg. Cost. e 6 CEDU gli conferiscono quale parte nella procedura (<ref-ruling> consid. 1.9). In concreto, egli è quindi legittimato a fare valere che a torto la CRP non avrebbe esaminato nel merito la sua istanza di promozione dell'accusa.
Entro questi limiti, il ricorso in materia penale, tempestivo (art. 100 cpv. 1 LTF) e diretto contro una decisione finale (art. 90 LTF), resa in materia penale (art. 78 cpv. 1 LTF) da un'autorità cantonale di ultima istanza (art. 80 cpv. 1 LTF), è di massima ammissibile. Il ricorso sussidiario in materia costituzionale (art. 113 segg. LTF) è di conseguenza inammissibile.
2. 2.1 Conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF, il ricorso in materia penale al Tribunale federale può essere presentato per violazione del diritto, nel quale rientra pure il diritto costituzionale (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 1). Secondo l'art. 42 cpv. 2 LTF, nel ricorso occorre spiegare per quali ragioni l'atto impugnato viola il diritto. Il ricorrente deve quindi almeno concisamente confrontarsi con le considerazioni esposte nella decisione impugnata, spiegando per quali motivi tale giudizio viola il diritto (<ref-ruling> consid. 2.1). Le esigenze di motivazione sono inoltre accresciute laddove, come in concreto, il ricorrente lamenta la violazione di garanzie di rango costituzionale. A norma dell'art. 106 cpv. 2 LTF il Tribunale federale esamina infatti tali censure soltanto se siano motivate in modo chiaro e preciso, conformemente alla prassi precedentemente in vigore in materia di ricorso di diritto pubblico (cfr. <ref-ruling> consid. 1.4.1; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.4). In questa misura, argomentazioni vaghe o meramente appellatorie e semplici rinvii agli atti cantonali non sono quindi ammissibili (DTF <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.1).
Quando inoltre, come nella fattispecie, l'ultima autorità cantonale dichiara un gravame inammissibile per ragioni formali e non procede all'esame di merito, il ricorrente deve addurre perché essa avrebbe accertato in modo arbitrario l'assenza dei presupposti formali e si sarebbe quindi a torto rifiutata di procedere all'esame di merito (<ref-ruling> consid. 6; <ref-ruling> consid. 2b, 134 consid. 2). Censure che si limitano a riproporre le argomentazioni di merito addotte in sede cantonale sono pertanto inammissibili.
2.2 L'atto di ricorso disattende le esposte esigenze di motivazione ed è per la maggior parte inammissibile. In particolare, le argomentazioni di merito concernenti l'applicazione dell'art. 219 CP, la procedura di divorzio e quella della curatela esulano dall'oggetto del litigio, circoscritto alla questione della ricevibilità dell'istanza di promozione dell'accusa dinanzi alla CRP. I giudici cantonali hanno infatti dichiarato il gravame irricevibile, siccome non adempiva le esigenze di motivazione poste dalla giurisprudenza relativa all'art. 186 cpv. 1 CPP/TI, la quale esige l'esistenza di seri indizi di colpevolezza emergenti dagli atti e la disponibilità di nuove prove da assumere, rispettivamente la possibilità di approfondire quelle già acquisite. Sarebbe quindi spettato al ricorrente dimostrare in questa sede per quali ragioni la decisione della CRP di dichiarare irricevibile l'istanza di promozione dell'accusa per carenze di motivazione violerebbe il diritto. Al riguardo, egli si limita a criticare genericamente il giudizio impugnato, richiamando una serie di disposizioni costituzionali e procedurali cantonali, senza tuttavia spiegare conformemente ai requisiti degli art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF in che consiste la violazione e senza in particolare censurare adeguatamente l'applicazione manifestamente insostenibile, e pertanto arbitraria, dell'art. 186 CPP/TI.
2.3 Il ricorrente richiama l'art. 1 cpv. 1 CPP/TI, che sancisce la legalità del procedimento penale, prevedendo segnatamente che l'azione penale sia condotta giusta le norme legali. Premesso che la norma si riferisce alla conduzione dell'azione penale, che è esercitata dal Procuratore pubblico (art. 2 CPP/TI), il ricorrente non spiega perché essa sarebbe violata esigendo il rispetto dei requisiti legali per l'istanza di promozione dell'accusa. In effetti, anche il disciplinamento degli aspetti formali relativi alle modalità ed ai termini per esercitare i diritti delle parti rientra nel diritto procedurale cantonale.
2.4 Il ricorrente sostiene che la Corte cantonale lo avrebbe discriminato, poiché gli ha negato, in quanto avvocato, la possibilità di emendare il gravame. Egli non fa tuttavia valere la violazione di una specifica norma procedurale che imporrebbe, in caso di determinati vizi di forma, il rinvio dell'allegato per emendarlo. Non può comunque essere di per sé rimproverato alla CRP di essere incorsa nell'arbitrio o di avere commesso formalismo eccessivo, esigendo una maggiore diligenza nel rispetto delle prescrizioni di forma quando il gravame è steso da un avvocato, piuttosto che da una persona priva di specifiche conoscenze giuridiche (<ref-ruling> consid. 2, 126 consid. 5d; <ref-ruling> consid. 2b pag. 748).
3. 3.1 Ne segue che, in quanto ammissibile, il ricorso in materia penale deve essere respinto, mentre il ricorso sussidiario in materia costituzionale deve essere dichiarato inammissibile.
3.2 La domanda di assistenza giudiziaria presentata in questa sede non è sufficientemente sostanziata, giacché il ricorrente non fornisce alcun ragguaglio sulla sua situazione finanziaria e patrimoniale. La richiesta dovrebbe comunque essere respinta, essendo il gravame fin dall'inizio privo di possibilità di successo (art. 64 cpv. 1 LTF). Nella fattispecie, si giustifica tuttavia di prelevare una tassa di giustizia ridotta (art. 65 cpv. 2 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso in materia penale è respinto.
2. Il ricorso sussidiario in materia costituzionale è inammissibile.
3. La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
4. Le spese giudiziarie di fr. 800.-- sono poste a carico del ricorrente.
5. Comunicazione alle parti e alla Camera dei ricorsi penali del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.