Sachverhalt:
A.
In den frühen Morgenstunden des 9. Januar 2011 kam es in einer Bar zu einer gewalttätigen Auseinandersetzung, bei welcher der Wirt und eine Frau verletzt wurden. X._ schlug mit einem Bierglas auf den Kopf des Wirts ein. In der Folge versetzte er einer am Boden kauernden Frau, welche er für den Wirt hielt, mit dem zerbrochenen Bierglas mehrere Schläge.
B.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt verurteilte X._ am 16. Oktober 2013 zweitinstanzlich wegen versuchter Tötung zum Nachteil der Frau und versuchter schwerer Körperverletzung zulasten des Wirts zu einer Freiheitsstrafe von 4 1⁄2 Jahren.
C.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, das appellationsgerichtliche Urteil sei aufzuheben. Er sei von den Vorwürfen der versuchten Tötung und der versuchten schweren Körperverletzung freizusprechen und wegen versuchten Totschlags zu verurteilen. Die Sache sei zu neuer Strafzumessung an die erste Instanz zurückzuweisen. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
Soweit der Beschwerdeführer die Aufhebung des erstinstanzlichen Urteils beantragt, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens kann nur das letztinstanzliche kantonale Urteil sein (<ref-law>).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts und macht eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" geltend. Die Vorinstanz stelle willkürlich fest, er habe keinen unmittelbaren Angriff des Wirts erwartet.
2.2. Die Vorinstanz hält fest, der Beschwerdeführer habe nicht davon ausgehen können, der Wirt hole zu einem Faustschlag gegen ihn aus. Die Schläge des Beschwerdeführers gegen den Wirt seien nach dessen Angriff erfolgt, sofern es einen solchen überhaupt gegeben habe, und ohne dass ein neuer Angriff unmittelbar bevorgestanden habe. Ohnehin sei den Aussagen des Beschwerdeführers zu entnehmen, dass er dem behaupteten Faustschlag des Wirts ausgewichen sei. Der Wirt habe sich bereits nach rechts abgedreht und dem Beschwerdeführer seine linke Seite zugewandt, als dieser zugeschlagen habe. Eine allfällige Gefahr sei bereits gebannt gewesen.
In einer späteren Phase sei der Beschwerdeführer vollkommen in Rage geraten, habe eine Frau verfolgt, die am Boden wegzukriechen versucht habe, und dabei geglaubt, es handle sich um den Wirt. Er habe, gemäss seiner irrigen Vorstellung, auf den Wirt eingeschlagen, dem er bereits zuvor ähnliche Verletzungen zugefügt gehabt habe. Sein Weiterschlagen mit dem abgebrochenen Glas im Halsbereich des Opfers könne vor diesem Hintergrund nicht anders gedeutet werden, als dass er nun seinen Gegner gänzlich aus dem Feld schlagen wollte. Insbesondere die Hautdurchtrennungen mit dem bereits zerbrochenen Glas über dem Ohr des Opfers belegten, dass die Schläge mit grosser Wucht ausgeführt worden seien. Zudem habe er dem Opfer enthemmte Schläge gegen den Kopf versetzt. Die Eröffnung der Halsschlagader habe gedroht. Dass er bei diesem Vorgehen den Tod des Opfers mindestens in Kauf genommen habe, könne nicht zweifelhaft sein.
2.3. Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 10.1 S. 445 mit Hinweisen; vgl. zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; <ref-ruling> E. 7.1; je mit Hinweisen). Eine entsprechende Rüge muss klar und substanziiert begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 5; je mit Hinweisen). Dem Grundsatz "in dubio pro reo" kommt in seiner Funktion als Beweiswürdigungsregel im Verfahren vor Bundesgericht keine Bedeutung zu, die über das Willkürverbot von <ref-law> hinausgeht (<ref-ruling> E. 7 S. 82 mit Hinweisen).
2.4. Der Beschwerdeführer genügt den dargelegten Begründungsanforderungen nicht. Er setzt sich über weite Strecken nicht mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinander und schildert bloss, wie die erste Instanz und die Vorinstanz den Sachverhalt aus seiner Sicht festgestellt haben. Seine Ausführungen erschöpfen sich in appellatorischer Kritik. Sofern er ausführt, welche Sachverhaltswürdigung auch noch denkbar gewesen wäre, ist er nicht zu hören. Es genügt nicht, dass eine andere Lösung oder Würdigung vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Die Rüge erweist sich als unbegründet, soweit auf sie überhaupt eingetreten werden kann.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, er hätte nicht gleichzeitig wegen versuchter Tötung und versuchter schwerer Körperverletzung bestraft werden dürfen. Stattdessen hätte er wegen versuchten Totschlags verurteilt werden müssen.
3.2. Die Rügen sind unbegründet. Der Beschwerdeführer weicht von den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz ab, wenn er ohne hinreichende Begründung ausführt, seine Handlungen seien nicht in mehreren Phasen erfolgt. Damit fehlt die tatsächliche Grundlage für seine rechtlich an sich zutreffende Ausführung, wonach bei Handlungseinheit der Vorsatz der Körperverletzung im Vorsatz der Tötung aufgeht. Zudem übersieht er, dass die Vorinstanz in Abweichung von der ersten Instanz auch in der ersten Phase des Geschehens von einer versuchten eventualvorsätzlichen Tötung ausgeht und nicht bloss von einer versuchten schweren Körperverletzung, weil das zerbrochene Glas die Halsschlagader des Wirts hätte treffen können. Eine Verschärfung des erstinstanzlichen Urteils unterblieb wegen des Verbots der "reformatio in peius".
3.3. Sofern der Beschwerdeführer eine Verurteilung wegen Totschlags verlangt und diesen Standpunkt auf der Grundlage von Tatsachenbehauptungen begründet, welche von der verbindlichen vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung abweichen, ist er nicht zu hören. Dies gilt insbesondere, wo er aus seinen Befragungsprotokollen zitiert und der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung seine eigene Beweiswürdigung gegenüberstellt. Offensichtlich unzutreffend sind seine Ausführungen, wonach die Vorinstanz in der Begründung ihres Urteils, ohne es zu merken, faktisch von einem Totschlag ausgehe.
3.4. Die Vorinstanz gelangt zum Schluss, der Beschwerdeführer sei bei seinem Angriff auf den Wirt weder angegriffen noch unmittelbar mit einem rechtswidrigen Angriff bedroht worden. Eine allfällige Notwehraktion müsse als extensiver Notwehrexzess unbeachtlich bleiben, weil die Gefahr bereits gebannt gewesen sei. Der Angegriffene müsse dem Angriff nicht ausweichen. Weiche er aber aus, könne er nicht nachträglich für das Vorausgegangene Notwehr üben, ohne einen neuen Angriff zu gewärtigen.
Diese Auffassung verletzt kein Bundesrecht (vgl. Urteile 6B_345/2013 vom 24. Oktober 2013 E. 4.3 und 6S.384/2004 vom 7. Februar 2005 E. 3.2.2), zumal sich der Wirt nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz vom Beschwerdeführer abgewandt hatte, als dieser zuschlug.
4.
Der Beschwerdeführer begründet die beantragte Rückweisung zur erneuten Strafzumessung einzig mit den verlangten Freisprüchen von den Vorwürfen der versuchten Tötung und der versuchten schweren Körperverletzung. Darauf ist nicht einzutreten.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Seiner finanziellen Lage ist bei der Festsetzung derselben Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Mai 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Andres