Sachverhalt:
A. Der eigenen Angaben zufolge aus Bhutan stammende X._ (geb. 1979) durchlief erfolglos ein Asylverfahren in der Schweiz und wurde weggewiesen. Am 7. April 2008 wurde er in Ausschaffungshaft genommen, welche das Bezirksgericht Zürich mit Verfügung vom 9. April 2008 bis zum 6. Juli 2008 bewilligte. Das Bezirksgericht genehmigte am 26. Juni 2006 die Verlängerung der Haft bis zum 6. August 2008 und am 30. Juli 2008 eine weitere Verlängerung bis zum 6. November 2008.
B. X._ beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 31. Juli 2008, die Verfügung des Bezirksgerichts vom 30. Juli 2008 aufzuheben und ihn aus der Ausschaffungshaft zu entlassen.
C. Das Bezirksgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Migrationsamt des Kantons Zürich beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Migration hat sich vernehmen lassen, jedoch keinen Antrag gestellt. Der Beschwerdeführer hält mit Eingabe vom 18. August 2008 an seinem Antrag fest.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer wurde gestützt auf den Haftgrund des Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) in Ausschaffungshaft genommen. Danach kann ein Ausländer zur Sicherstellung des Vollzugs der gegen ihn verfügten Wegweisung in Haft genommen werden, wenn im Asylverfahren ein Nichteintretensentscheid nach Art. 32 Abs. 2 lit. a-c oder Art. 33 des Asylgesetzes vom 26. Juni 1998 (AsylG; SR 142.31) getroffen wurde. Nach dem gesetzgeberischen Willen liegt in diesen Fällen eine "objektivierte" Untertauchensgefahr vor (vgl. <ref-ruling> E. 2-3 S. 379 ff.). Die zuständige Behörde war am 29. Juli 2003 gemäss <ref-law> auf das Asylgesuch des Beschwerdeführers, der den Schweizer Behörden keine Identitätspapiere vorgelegt hatte, nicht eingetreten, weil dieser die Behörden über seine Identität getäuscht habe. Die Schweizerische Asylrekurskommission hat diesen Entscheid am 3. September 2003 letztinstanzlich bestätigt. In der Folge ist der Beschwerdeführer seiner Ausreisepflicht nicht nachgekommen.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.3 S. 490 f. einzig geltend, dass zwischen dem Entscheid der Asylbehörden und der Anordnung der Ausschaffungshaft eine lange Zeit verstrichen sei und keine Hinweise auf eine Untertauchensgefahr oder eine sonstige Vereitelungsabsicht bestünden. Auch sei die Verlängerung der Haft unverhältnismässig.
2.2 Zwar mögen zwischen dem Abschluss des Asylverfahrens und der verfügten Ausschaffungshaft fast fünf Jahre liegen. In dieser Zeit ist der Beschwerdeführer den wiederholten Aufforderungen, die Schweiz zu verlassen, jedoch nicht nachgekommen. Wohl beteuert der Beschwerdeführer, er werde ausreisen bzw. nach Bhutan zurückkehren, sobald er über die notwendigen Reisepapiere verfüge; seine Bemühungen um den Erhalt von Dokumenten seien aber bisher ohne Erfolg geblieben; er habe auch keine Familienangehörigen, an die er sich hierfür wenden könne.
Wohl behauptete der Beschwerdeführer im Asylverfahren und noch zuletzt im Juli dieses Jahres, vom Verbleib seiner Eltern keine Kenntnis zu haben; er habe seit seinem achten Lebensjahr im Jahre 1987, als er von Bhutan nach Indien übergesiedelt sei, kein Lebenszeichen mehr von ihnen. Einem vom Beschwerdeführer an Behörden in Bhutan adressierten Schreiben vom 20. Dezember 2006 fügte er indes ein offenbar vom 19. Mai 1994 oder 1999 datierendes Dokument eines Krankenhauses in Thimphu bei, das die Behandlung seiner Mutter betreffen soll. Auch gab er anlässlich seiner Einvernahme vom 25. Juli 2008 an, seine Eltern wüssten, dass er sich im Gefängnis befindet. Demnach macht der Beschwerdeführer widersprüchliche Angaben und hält die Behörden unter anderem mit falschen Beteuerungen hin. Mit Blick darauf besteht die dem Haftgrund nach Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 AuG zugrundeliegende Vermutung fort, dass sich der Beschwerdeführer dem Vollzug der Ausschaffung widersetzt bzw. einen solchen zu vereiteln oder zumindest zu erschweren versucht (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 382).
Da der Vollzug der Wegweisung nach derzeitiger Einschätzung durchführbar erscheint (vgl. Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG), der Beschwerdeführer keinen festen Wohnsitz und keine Angehörigen in der Schweiz hat, ihn somit nichts von einem plötzlichen Untertauchen abhält, erweist sich die angefochtene Verlängerung der Ausschaffungshaft als verhältnismässig. Es ist nicht ersichtlich, mit welchen milderen Mitteln der Vollzug der Wegweisung sichergestellt werden könnte. Vor seiner Inhaftierung musste der Beschwerdeführer nicht ernsthaft mit seiner Ausschaffung rechnen, da die Behörden aufgrund seiner diffusen Angaben Probleme mit der Beschaffung von Reisepapieren hatten. Daher geht der Einwand des Beschwerdeführers fehl, er habe sich vor seiner Haft den Behörden immer zur Verfügung gehalten.
Bisher haben die Behörden auch das Beschleunigungsgebot (Art. 76 Abs. 4 AuG) gewahrt. Zwar haben sie sich zunächst auf die Papierbeschaffung bei indischen Behörden konzentriert und sich erst im April 2008 an die Vertretung von Bhutan gewandt. Das ist jedoch nicht zu beanstanden, nachdem gemäss einem Expertengutachten und dem rechtskräftigen Asylentscheid davon auszugehen ist, dass der Beschwerdeführer höchstwahrscheinlich nicht bhutanesischer, sondern indischer Staatsbürger ist. Sofern nicht bereits erfolgt, wird sich das Bundesamt für Migration bei seinen Abklärungen auch auf die eingezogenen Dokumente (Ration Card sowie auf den Namen Prem Kumar ausgestelltes Schulzeugnis) stützen können. Momentan steht die Antwort der Botschaft von Bhutan aus. Sollte sich herausstellen, dass die Wegweisung auf Grund des Verhaltens des Beschwerdeführers nicht vollzogen werden kann, wäre die Überführung in die Durchsetzungshaft nach Art. 78 AuG zu erwägen.
3. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Mangels Erfolgsaussichten kann dem Beschwerdeführer auch nicht die beantragte unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewährt werden (vgl. <ref-law>). Damit würde der Beschwerdeführer kostenpflichtig. Gemäss ständiger Praxis in Haftfällen wird jedoch auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt des Kantons Zürich, dem Bezirksgericht Zürich, Haftrichterin, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. August 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Merz