(Versicherungsvertrag), hat sich ergeben:
A.- Z._ (nachfolgend: die Klägerin) trat am 19.
Juni 1995 als Bardame mit einem Arbeitspensum von 60% in die Dienste von Y._, Inhaber des Restaurants zum C._ in T._. Dieser hatte gestützt auf seinen Antrag vom 16. Mai 1995 mit der Versicherungen X._ (nachfolgend: die Beklagte) für sein Personal einen Kollektiv-Krankenversicherungsvertrag mit Wirkung ab 1. Juni 1995 abgeschlossen.
Am 10. Mai 1996 meldete Y._ der Beklagten die Arbeitsunfähigkeit der Klägerin zwecks Auszahlung des Taggeldes an. Letzteres lehnte die Beklagte mit der Begründung ab, die Klägerin habe bereits vor Eintritt in die fragliche Versicherung eine IV-Rente bezogen und sei daher mangels voller Arbeitsfähigkeit zur Zeit der Anstellung nicht versichert worden.
B.-Eine entsprechende Klage im Betrage von Fr. 38'978.-- nebst Zins zu 5% seit dem 1. Januar 1997 wies das Kantonsgericht des Kantons Zug, 2. Abteilung, mit Urteil vom 11. Juni 1999 ab; demgegenüber hiess das Obergericht des Kantons Zug, Zivilrechtliche Abteilung, die Klage auf Berufung der Klägerin am 3. Oktober 2000 gut.
C.- Die Beklagte hat gegen dieses Urteil Berufung beim Bundesgericht eingelegt mit dem Antrag, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und die Klage abzuweisen; eventuell sei die Sache zwecks weiterer Abklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Klägerin schliesst dahin, die Berufung sei abzuweisen und das angefochtene Urteil zu bestätigen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-a) Die erste Instanz hatte die Frage, ob die Klägerin bei der Beklagten versichert gewesen war, offen gelassen, weil sie annahm, die Klägerin hätte auch dann keinen Anspruch auf Versicherungsleistungen, wenn sie in die Versicherung bei der Beklagten aufgenommen worden wäre. Dabei stützte sie sich angesichts des IV-Rentenbezuges der Klägerin auf Art. 9.1 Abs. 1 der Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB), wonach jede zu versichernde Person, die am Tage ihrer Aufnahme in die Versicherung infolge Krankheit oder Unfall ganz oder teilweise arbeitsunfähig ist, erst am Ende ihrer Arbeitsunfähigkeit in den Genuss der Versicherung kommt. Ferner stützte sie ihr Urteil auf Art. 33.4 AVB i.V.m. Art. 33.1 und 33.3 AVB (Verpflichtungen im Schadenfall).
b) Demgegenüber hiess die Vorinstanz Berufung und Klage gut, wobei sie sowohl die Aufnahme der Klägerin in die Versicherung als auch den Anspruch auf Versicherungsleistungen sowie die Erfüllung der Verpflichtungen im Schadenfalle bejahte. Hinsichtlich des Anspruchs auf Versicherungsleistungen erwog sie, dass die infrage stehende Versicherung die gesetzliche Lohnfortzahlungspflicht des Arbeitgebers (<ref-law>) abgelten solle, wobei <ref-law> und Art. 9.1 Abs. 2 AVB den gleichen Zweck verfolgten: Erstere Bestimmung auferlege dem Arbeitgeber erst ab dreimonatiger Dauer des Arbeitsverhältnisses eine Lohnfortzahlungspflicht.
Der Versicherungsschutz gemäss Art. 9.1 Abs. 1 AVB beginne grundsätzlich bei Dienstantritt; durch Art. 9.1 Abs. 2 AVB solle verhindert werden, dass ein bei Dienstantritt arbeitsunfähiger Arbeitnehmer in den Genuss von Versicherungsleistungen komme, obwohl gar keine entsprechende Lohnfortzahlungspflicht des Arbeitgebers bestehe. Bei Art. 9.1 Abs. 2 AVB könne es sich daher nur um eine Arbeitsunfähigkeit im Rahmen des vereinbarten Arbeitspensums handeln, wohingegen eine - bei Stellenantritt - ausserhalb des vereinbarten Arbeitspensums bestehende Arbeitsunfähigkeit irrelevant sei.
Der gegenteiligen Auslegung sei im Übrigen auch unter dem Gesichtspunkt der Unklarheitsregel nicht der Vorzug zu geben.
c) Die Beklagte verweist in der Berufungsbegründung, u.a. unter Hinweis auf <ref-law>, auf Art. 9.1 Abs. 2 AVB, der Versicherungsleistungen an die Klägerin im Sinne einer Einschränkung zu Art. 9.1 Abs. 1 AVB ausschliesse und von der Vorinstanz unrichtig ausgelegt worden sei. Dementsprechend könne die Frage der Aufnahme der Klägerin in die Versicherung offen gelassen werden. Im Übrigen habe die Klägerin ihre Verpflichtungen im Schadenfalle nicht erfüllt.
d) In ihrer Berufungsantwort führt die Klägerin ihrerseits aus, bei Art. 9.1 Abs. 2 AVB gehe es nur um die Arbeitsfähigkeit im Rahmen des vereinbarten Arbeitspensums.
2.-a) Die Vorinstanz hat den massgebenden Art. 9.1 Abs. 2 AVB im Lichte von <ref-law> (Lohnfortzahlungspflicht) bzw. nach Massgabe des von ihr eruierten Zwecks dieser Bestimmung ausgelegt und erwogen, jene vertragliche Bestimmung beziehe sich nicht auf eine (unbestrittene) vorbestehende Arbeitsunfähigkeit ausserhalb des vereinbarten Arbeitspensums. Nun deutet der Wortlaut dieser vertraglichen Vereinbarung in keiner Weise auf diese Auslegung hin; vielmehr spricht er klar und deutlich für die Auslegung der Beklagten.
Ob die vorinstanzliche Auslegung allenfalls in Betracht gezogen werden könnte, wenn der Grund für die vorbestehende teilweise Arbeitsunfähigkeit ein ganz anderer wäre als derjenige für die Arbeitsunfähigkeit, welche die zunächst verbliebene Arbeitsfähigkeit betrifft und vorliegend als leistungsauslösend geltend gemacht wird, kann offen bleiben; denn ein solcher Fall liegt hier nicht vor; dies ergibt sich aus den IV-Akten, worauf die Vorinstanz in E. 5a ihres Urteils und die Beklagte auf S. 10 ihrer Berufungsschrift verweisen (vgl. auch Berufungsantwort S. 9/10: "Erst durch das erneute Auftreten von Rückenbeschwerden wurde die Klägerin arbeitsunfähig. ..."); von einem solchen Fall geht denn auch die Vorinstanz nicht aus. Es erscheint jedenfalls als nachvollziehbar, dass ein privater Versicherer das - erhöhte - Risiko der Verschlimmerung einer vorbestehenden Krankheit oder Invalidität nicht tragen will. Hat er dies, wie vorliegend, in klarer und eindeutiger Weise im Vertrag zum Ausdruck gebracht, so ist auch kein Raum für die sog. Unklarheitsregel.
Unter diesen Umständen verstösst die Auslegung der Vorinstanz gegen die massgebenden Auslegungsregeln.
b) Ist der Anspruch der Klägerin auf Versicherungsleistungen zu verneinen, so ist auf die anderen infrage stehenden Gesichtspunkte (Aufnahme in die Versicherung an sich, Verhalten der Klägerin im Schadenfall, aussergerichtliche Verhandlungstaktik der Beklagten) nicht mehr einzugehen. Damit ist die Berufung gutzuheissen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Klage abzuweisen.
3.-a) Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Klägerin für das bundesgerichtliche Verfahren kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1; Art. 159 Abs. 2 OG).
b) Die Kosten und Entschädigungsfolgen der kantonalen Instanzen sind neu zu verlegen (Art. 157, 159 Abs. 6 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- In Gutheissung der Berufung wird das Urteil des Obergerichtes des Kantons Zug, Zivilrechtliche Abteilung, vom 3. Oktober 2000 aufgehoben und die Klage abgewiesen.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 4'000.-- wird der Klägerin auferlegt.
3.- Die Klägerin hat die Beklagte für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.- Die Kosten der beiden kantonalen Instanzen von total Fr. 4'230.-- werden der Klägerin auferlegt; diese hat zudem die Beklagte für die beiden kantonalen Instanzen mit total Fr. 7'057. 05 zu entschädigen.
5.- Dieses Urteil wird den Parteien sowie dem Obergericht des Kantons Zug, Zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 15. März 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung des
SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: