Sachverhalt:
A.
X._ ist selbständiger Schreiner. Am 26. September 2011 vollzog das Betreibungsamt Y._ bei ihm die Pfändung und verpflichtete ihn, monatlich eine detaillierte Verdienstabrechnung bis jeweils spätestens am 10. des Folgemonats abzuliefern. Auf den 19. Januar 2012 wurde X._ erneut auf das Betreibungsamt vorgeladen. Abklärungen ergaben, dass er aufgrund von Zahlungen der Firma Z._ AG monatlich Fr. 8'000.-- bis Fr. 15'000.-- einnahm. Weil er weder die monatlichen Verdienstabrechnungen noch die Quittungen seiner Ausgaben vorlegte, verfügte das Betreibungsamt am 27. Januar 2012, dass die Firma Z._ AG zukünftige Zahlungen an X._ nur noch an das Amt leisten dürfe. Ohne Erfolg beschritt der Schuldner den Rechtsweg. Das Bundesgericht schützte die Verfügung vom 27. Januar 2012 (Urteil 5A_334/2012 vom 18. Juni 2012).
B.
Mit Schreiben vom 1. Oktober 2012 verlangte X._ vom Betreibungsamt Y._ eine "rekursfähige Verfügung", woraus hervorgehen sollte, weshalb das Betreibungsamt "auf seinem Geld beharre" und ihm das Existenzminimum nicht früher ausbezahle. Der Betreibungsbeamte erwiderte ihm, die Urteile des Bezirks-, des Ober- und des Bundesgerichts seien deutlich gewesen; aus diesem Grund werde er keine neue Verfügung erlassen (Schreiben vom 2. Oktober 2012).
C.
C.a. Darauf erhob X._ Beschwerde beim Bezirksgericht Münchwilen als unterer Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungssachen. In seiner Eingabe vom 15. Oktober 2012 beantragte er, die Handlungen des Betreibungsamts Y._ zu überprüfen und die Existenzminima für die Monate August, September und Oktober 2012 umgehend zuzustellen. In einem weiteren Schreiben vom 23. Oktober 2012 brachte X._ dem Bezirksgericht eine Reihe von Unterlagen zur Kenntnis, die er gleichentags dem Betreibungsamt gesandt hatte. Vom Bezirksgericht dazu aufgefordert, reichte das Betreibungsamt am 24. Oktober 2012 eine Stellungnahme ein. Darin beantragte es, die Beschwerde "vollumfänglich abzuweisen". Am 25. Oktober 2012 reagierte das Amt auf X._s Schreiben vom 23. Oktober 2012 und stellte das Begehren, im laufenden Beschwerdeverfahren auch den Arbeitsweg seiner Lebenspartnerin zu berechnen.
C.b. Am 30. November 2012 hiess das Bezirksgericht die Beschwerde teilweise gut. Es wies das Betreibungsamt an, nach Erhalt des Guthabens durch die Firma Z._ AG jeweils jeden Monat Fr. 4'000.-- direkt X._ zu überweisen, sofern das Existenzminimum für den entsprechenden Monat infolge fehlender Unterlagen noch nicht exakt bestimmt werden konnte, in Anrechnung oder Verrechnung des später zu berechnenden Existenzminimumanteils. Weiter wies das Bezirksgericht das Betreibungsamt an, in X._s Existenzminimumberechnung den Arbeitsweg seiner Lebenspartnerin mit monatlich Fr. 160.10 sowie deren Auslagen für auswärtige Verpflegung mit Fr. 31.-- pro Monat zu beziffern. In Ziffer 6 seines Urteilsspruches ordnete das Bezirksgericht die schriftliche Mitteilung an die Parteien an, "unter Rückgabe der Originalakten nach Rechtskraft, dem Beschwerdeführer unter Beilage der Stellungnahmen des Betreibungsamtes Y._".
D.
Vergeblich zog X._ die Sache weiter an das Obergericht des Kantons Thurgau al s (obere) kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs. Dieses wies seine Beschwerde mit Entscheid vom 14. Januar 2013 ab und auferlegte ihm wegen bös- und mutwilliger Beschwerdeführung eine Verfahrensgebühr von Fr. 500.--.
E.
Mit "Beschwerdeeingabe" vom 12. Februar 2013 (Datum der Postaufgabe) wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben, allenfalls unter Rückweisung zur Neubeurteilung an das Obergericht. Überdies ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden über Beschwerden gegen Verfügungen von Vollstreckungsorganen gemäss Art. 17 SchKG unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG i.V.m. Art. 19 SchKG). Das Rechtsmittel ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze zulässig (Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Als Pfändungsschuldner ist der Beschwerdeführer zur Anfechtung des Entscheides, mit dem die obere kantonale Aufsichtsbehörde seine Beschwerde abgewiesen hat (Art. 18 SchKG), legitimiert (Art. 76 Abs. 1 BGG). Auf die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG) eingereichte Beschwerde ist demnach einzutreten.
2.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft frei, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Trotzdem obliegt es dem Beschwerdeführer, sich in seiner Beschwerde sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Vorbehaltlich offensichtlicher Fehler prüft das Bundesgericht nur die in der Beschwerde geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389 mit Hinweisen). In der Begründung ist deshalb in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht geltend gemacht wird. Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254, je mit Hinweisen). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 4.1 S. 589, je mit Hinweisen).
3.
In formeller Hinsicht nimmt der Beschwerdeführer Anstoss daran, dass ihm das Bezirksgericht die Stellungnahmen des Betreibungsamts erst mit dem Entscheid vom 30. November 2012 zustellte. Das Bezirksgericht habe ihm das "Vernehmlassungsrecht abgeschnitten"; damit sei "das Recht auf Replik verweigert worden und so die Verweigerung des rechtlichen Gehörs entstanden".
3.1. Der Beschwerdeführer ruft keine konkrete Vorschrift an, auf die er seine Gehörsrüge stützt. Insbesondere behauptet er auch nicht, dass ihm das massgebliche kantonale Verfahrensrecht (Art. 20a Abs. 3 SchKG) in diesem Zusammenhang zu Rechten verhelfe, die über den verfassungsmässigen Minimalanspruch gemäss Art. 29 Abs. 2 BV hinausgehen. Können seine Vorbringen aber ausschliesslich als Rüge der Verletzung dieser Norm entgegenommen und verstanden werden, so ist er damit vor Bundesgericht mangels materieller Erschöpfung des Instanzenzuges nicht zu hören, denn er hat den Vorwurf der Verletzung des rechtlichen Gehörs vor der Vorinstanz nicht erhoben. Untersteht ein Vorbringen im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen - wie der Vorwurf der Verletzung verfassungsmässiger Rechte - dem Rügeprinzip (E. 2), so ergibt sich aus dem Erfordernis der Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheids (Art. 75 Abs. 1 BGG), dass der Beschwerdeführer die ihm bekannten rechtserheblichen Einwände der Vorinstanz nicht vorenthalten darf, um sie erst nach dem Ergehen eines ungünstigen Entscheides im anschliessenden Rechtsmittelverfahren zu erheben (<ref-ruling> E. 2 S. 640). Vielmehr muss er sich in der Beschwerde an das Bundesgericht mit den Erwägungen der letzten kantonalen Instanz zu einer Rüge auseinandersetzen, die er bereits vor dieser letzten kantonalen Instanz erhoben hat.
3.2. Nun stellt sich der Beschwerdeführer zwar auf den Standpunkt, im Zeitpunkt der Beschwerdeeingabe an das Obergericht sei für ihn nicht erkennbar gewesen, dass der Entscheid des Bezirksgerichts "mit dem rechtserheblichen Mangel der Gehörsverweigerung behaftet ist". Inwiefern er die angebliche Gehörsverletzung aber erst aufgrund des angefochtenen oder eines anderen, von ihm erwähnten obergerichtlichen Entscheids vom 25. Januar 2013 hätte erkennen können, vermag er nicht nachvollziehbar darzutun. Ebenso wenig kann er sich mit dem Einwand entschuldigen, es sei "allgemein im Geschäftsbereich üblich, dass vor Jahresende eine übermässige Hektik herrscht, die nicht mehr genügend Spielraum lässt". Die gesetzliche Beschwerdefrist (Art. 18 Abs. 1 SchKG) kann grundsätzlich nicht erstreckt werden, und davon, dass dem Beschwerdeführer eine Wiederherstellung der Frist (Art. 33 Abs. 4 SchKG) verweigert worden wäre, ist nirgends die Rede.
4.
Der Beschwerdeführer klagt, die zweite Eingabe des Betreibungsamts vom 25. Oktober 2012 an das Bezirksgericht sei von diesem dazu benutzt worden, "die Anträge des Beschwerdeführers ... auszuweiten". Im besagten Schreiben hatte das Betreibungsamt beantragt, den Arbeitsweg der Lebenspartnerin des Beschwerdeführers zu berechnen (Sachverhalt Bst. C.a). Der Beschwerdeführer bestreitet, dass das Bezirksgericht dazu ermächtigt gewesen sei. Das erstinstanzliche Urteil beruhe "auf willkürlichem Handeln".
Anlass für die streitige Eingabe des Betreibungsamts war ein Schreiben des Beschwerdeführers vom 23. Oktober 2012 gewesen. Dieses Schreiben hatte der Beschwerdeführer auch dem Bezirksgericht in Kopie "zu den Akten" zugestellt. Mithin war das Bezirksgericht gar nicht auf den Antrag des Betreibungsamts vom 25. Oktober 2012 angewiesen, um sich mit den Auslagen der Lebenspartnerin für Arbeitsweg und auswärtige Verpflegung zu befassen. Denn Streitgegenstand war vor dem Bezirksgericht zur Hauptsache die Frage, wie weit die Einkünfte des Beschwerdeführers gepfändet werden können: Das Bezirksgericht hält fest, aus den Anträgen des Beschwerdeführers ergebe sich sinngemäss, dass er "insbesondere mit der Existenzminimumberechnung nicht einverstanden ist". Dies stellt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht in Abrede. Wie viel von den gepfändeten Einkünften für den Schuldner und seine Familie unbedingt notwendig ist (Art. 93 Abs. 1 SchKG), muss die Aufsichtsbehörde aber ohnehin von Amtes wegen feststellen. Auch für das Beschwerdeverfahren vor den Aufsichtsbehörden gilt die Untersuchungsmaxime (Art. 20a Abs. 2 Ziff. 2 Satz 1 SchKG). Von einer willkürlichen "Ausweitung der Anträge" kann nicht die Rede sein. Die Beschwerde erweist sich diesbezüglich als unbegründet.
5.
Gegen den Entscheid des Obergerichts - den eigentlichen Gegenstand der Beschwerde an das Bundesgericht (Art. 75 BGG) - setzt sich der Beschwerdeführer ausdrücklich nur unter der Voraussetzung zur Wehr, dass der Entscheid des Bezirksgerichts wegen der geltend gemachten Verletzung des rechtlichen Gehörs "mit dem Mangel der klaren Rechtsverletzung behaftet ist". Nachdem das Bundesgericht auf die entsprechende Rüge gar nicht eintritt (E. 3), erübrigt es sich daher, noch auf den Vorwurf einzugehen, der Entscheid des Obergerichts sei "rechtsverletzend". Immerhin ist aber klarzustellen, dass es nichts mit Beweiswürdigung zu tun hat, wenn das Obergericht zur Begründung seines Entscheids auf die Ausführungen des Bezirksgerichts verweist. Im Rahmen der behördlichen Begründungspflicht (s. <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 4.3 S. 540; <ref-ruling> E. 3.2 S. 236; <ref-ruling> E. 2b S. 102 f., je mit Hinweisen) sind inhaltliche Verweise dieser Art zulässig. Der Einwand, das Obergericht habe den Entscheid des Bezirksgerichts "in willkürlicher Beweiswürdigung zum Beweis erhoben", geht deshalb an der Sache vorbei. Ebenso wenig schliessen Verweise einer oberen Instanz auf den Entscheid der unteren aus, dass jene den angefochtenen Entscheid tatsächlich inhaltlich überprüft. Die Befürchtung des Beschwerdeführers, es gehe ihm dadurch eine Instanz verloren, ist unbegründet. Schliesslich bemängelt der Beschwerdeführer, das Obergericht komme in seinem Entscheid vom 14. Januar 2013 auf die Ergänzung seiner Beschwerde vom 16. Januar 2013 zu sprechen, ohne dass ersichtlich sei, wann und von wem diese Eingabe beurteilt worden sein soll. Nachdem das Obergericht seinen Entscheid erst am 31. Januar 2013 versandte, ist davon auszugehen, dass es die Eingabe während der Redaktion der Entscheidbegründung zur Kenntnis nahm und zur - ausdrücklich festgehaltenen - Einsicht gelangte, die Eingabe hätte zuerst beim Bezirksgericht als unterer Aufsichtsbehörde eingereicht werden müssen. Inwiefern dem Beschwerdeführer daraus ein Nachteil erwachsen wäre, ist nicht ersichtlich. Im Beschwerdeverfahren vor dem Obergericht konnte das Schreiben des Beschwerdeführers vom 16. Januar 2013 ohnehin keine Beachtung mehr finden, weil inhaltliche Ergänzungen der Beschwerde nach Ablauf der zehntägigen Beschwerdefrist (Art. 18 Abs. 1 SchKG) gar nicht mehr zulässig sind.
6.
Als Letztes bleibt zu prüfen, ob das Obergericht dem Beschwerdeführer zu Recht wegen bös- und mutwilliger Prozessführung eine Verfahrensgebühr von Fr. 500.-- auferlegt.
6.1. Nach Art. 20a Abs. 2 Ziff. 5 SchKG können einer Partei bei böswilliger oder mutwilliger Prozessführung ausnahmsweise Bussen bis zu Fr. 1'500.-- sowie Gebühren und Auslagen auferlegt werden. Bös- oder mutwilliges Verhalten liegt namentlich vor, wenn die betreffende Partei - in Missachtung der auch im Verfahrensrecht geltenden Pflicht zum Handeln nach Treu und Glauben - ohne konkretes Rechtsschutzinteresse und trotz eindeutiger Sach- und Rechtslage vor allem deshalb Beschwerde führt, um das Betreibungsverfahren zu verzögern (<ref-ruling> E. 2a S. 179 mit Hinweisen). Der Tatbestand der Mutwilligkeit kann auch dann erfüllt sein, wenn eine Partei Tatsachen wider besseres Wissen als wahr behauptet, wenn sie ihre Stellungnahme auf einen Sachverhalt abstützt, von dem sie bei der ihr zumutbaren Sorgfalt wissen müsste, dass er unrichtig ist, oder wenn sie an einer offensichtlich gesetzeswidrigen Auffassung festhält (<ref-ruling> E. 1b S. 324). Wie das Obergericht zutreffend ausführt, lässt das Merkmal der Aussichtslosigkeit für sich allein die Beschwerdeführung noch nicht als bös- oder mutwillig erscheinen; vielmehr bedarf es zusätzlich des subjektiven, tadelnswerten Elementes, dass die Partei die Aussichtslosigkeit bei der ihr zumutbaren vernunftgemässen Überlegung ohne weiteres erkennen konnte (Urteil 4A_685/2011 vom 24. Mai 2012 E. 6.2).
6.2. Das Obergericht begründet seinen Entscheid damit, dass der Beschwerdeführer zum einen die Höhe des ausbezahlten Existenzminimums und dessen Auszahlungsmodalitäten durch das Betreibungsamt gerügt, zum andern dem Amt und der Vorinstanz bis heute die eingeforderten Unterlagen zur Berechnung des Existenzminimums nicht oder erst verspätet zur Verfügung gestellt und damit seine Mitwirkungspflicht verletzt habe. Überdies habe er sich über die Berechnung des Arbeitswegs seiner Lebenspartnerin beschwert, obwohl das Bezirksgericht diese Auslagen bereits grosszügig bemessen hatte und zu einer Rüge aufgrund der ausführlichen und nachvollziehbaren Begründung des Bezirksgerichts überhaupt kein Anlass bestand.
6.3. Was der Beschwerdeführer dagegen einwendet, vermag den angefochtenen Entscheid nicht zu erschüttern. So muss der Kostenspruch keineswegs schon deswegen "völlig unangemessen" sein, weil der Beschwerdeführer vor Obergericht als Laie auftrat oder weil er - wie er behauptet - überschuldet ist. Eine schlechte oder fehlende Zahlungsfähigkeit vermag das prozessuale Verhalten einer Partei auch in einem betreibungsrechtlichen Beschwerdeverfahren nicht zu entschuldigen. Ebenso wenig setzt Bös- oder Mutwilligkeit in der Prozessführung in zwingender Weise voraus, dass der Partei eine Verzögerungsabsicht nachgewiesen werden kann (s. E. 6.1). Um seine Beschwerdeführung zu rechtfertigen, beruft sich der Beschwerdeführer schliesslich auf ein anderes betreibungsrechtliches Beschwerdeverfahren vor Obergericht, das am 25. Januar 2013 mit einem Nichteintretensentscheid endete, und auf das "nachträgliche Handeln" des Betreibungsamts, das er in zwei Schreiben vom 19. Dezember 2012 und 9. Januar 2013 ausgemacht haben will. All diese Vorbringen sind unbehelflich, denn schon aufgrund der zeitlichen Abfolge der Geschehnisse konnten sie auf den am 11. Dezember 2012 gefassten Entschluss des Beschwerdeführers, den Entscheid des Bezirksgerichts vom 30. November 2012 anzufechten, keinen Einfluss haben.
7.
Wie die vorstehenden Ausführungen zeigen, ist die Beschwerde unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Betreibungsamt Y._ ist keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungsamt Y._ und dem Obergericht des Kantons Thurgau als kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn