Faits:
A.
A.a. Au début du mois d'avril 2013, A._ a sollicité l'intervention de l'Autorité de protection des Coteaux du Soleil, aux fins de bénéficier de mesures de protection. À cet effet, il a notamment exposé être apatride et handicapé, se sentir discriminé à la suite du refus de sa demande de naturalisation par la commune de Conthey, ne plus être en mesure de rémunérer les services d'un avocat pour la procédure de naturalisation, déplorer que l'AI refuse de lui financer une nouvelle prothèse de l'oeil et craindre d'être expulsé de son logement; il a, dès lors, demandé à l'Autorité de protection de l'aider à s'intégrer et de lui payer un avocat pour défendre ses intérêts.
A.b. Statuant le 6 juin 2013, l'Autorité de protection a refusé d'instituer une mesure de curatelle en faveur du requérant. Elle a considéré que les conditions de l'<ref-law> n'étaient pas réalisées, l'intéressé ne souffrant ni de déficience mentale, ni de trouble psychique, ni même d'un état de faiblesse justifiant l'adoption d'une mesure. Elle a en outre précisé son rôle et expliqué qu'il ne lui appartenait pas de donner suite à diverses revendications qui excèdent sa compétence, en particulier de veiller à l'intégration sociale du requérant.
A.c. Par acte daté du 4 août 2013, mais parvenu le 5 septembre 2013 au Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal), A._ a recouru contre la décision précitée. Il a renouvelé sa demande d'« assistance juridique totale, inclus et l'aide de l'avocat d'office » et formulé des conclusions tendant à «r econnaître la responsabilité de l'Autorité de la Commune de Conthey dans la procédure de [s] on intégration ", à condamner la Commune de Conthey à lui restituer un montant de 1'450 fr. ainsi qu'à lui financer les frais de son intégration, à condamner l'Office cantonal d'action sociale à lui restituer un montant de 4'639 fr. alloué par l'ODM pour son intégration ainsi qu'une somme de 2'000 fr. afférente à des retenues injustifiées sur son minimum vital durant 9 années.
B.
Préalablement, par acte séparé du 19 août 2013, A._ avait envoyé au Tribunal cantonal une « Demande d'assistant légal d'Etat», en sollicitant notamment l'octroi d'une « assistante légale totale, inclus et l'aide d'avocat d'office pour la procédure de recours contre la décision de Chambre pupillaire [recte: Autorité de protection] du 6 juin 2013». Par lettre du 14 septembre 2013, il s'est de nouveau adressé audit tribunal, en réaction à une détermination de l'Autorité de protection et en réitérant sa requête d'assistance judiciaire.
Par décision du 17 septembre 2013, le Président de la Cour civile II du Tribunal cantonal a refusé de commettre un conseil juridique d'office à A._; par courrier du 10 octobre suivant, il a informé le prénommé que cette décision pouvait faire l'objet d'un recours auprès du Tribunal fédéral, dans les 30 jours dès sa notification.
C.
Par acte du 6 novembre 2013, A._ exerce un recours au Tribunal fédéral contre les «décisions» rendues les 17 septembre et 10 octobre 2013; il conclut notamment à ce qu'une «assistance légale totale, inclus et l'aide d'avocat d'office» lui soit octroyée, tant pour la procédure de recours cantonale que pour la procédure fédérale.
Des déterminations n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1.
Dans le cas présent, le recourant se plaint d'une violation de son droit à l'assistance judiciaire, en particulier du refus de lui désigner un conseil juridique pour l'assister dans la procédure de recours dirigée contre une décision refusant d'instituer une mesure de curatelle en sa faveur.
1.1. Le refus de l'assistance judiciaire constitue une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4; <ref-ruling> consid. 1.1). En vertu du principe de l'unité de la procédure (<ref-ruling> consid. 3), la voie de recours ouverte contre une telle décision est déterminée par le litige principal (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.4); la cause au fond a trait à une mesure de protection de l'adulte, c'est-à-dire à une décision prise en application de normes de droit public dans une matière connexe au droit civil, sujette au recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF).
1.2. Pour le surplus, le recours a été déposé par une partie ayant pris part à la procédure devant la juridiction précédente, particulièrement touchée par la décision attaquée et ayant un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>) contre une décision prise par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale, même s'il n'a pas statué sur recours (art. 75 al. 2; <ref-ruling> consid. 1.1 et la jurisprudence citée). Il est dès lors recevable au regard de ces dispositions. Cela étant, la question de savoir si le délai de recours ( cf. <ref-law>) a bien été respecté - en raison de la dualité de la décision attaquée ( cf. supra, let. B) - peut rester indécise vu le sort du recours ( cf. infra, consid. 2).
2.
2.1. En substance, le recourant dénonce une violation de l'art. 118 al. 1 let. c CPC - applicable à titre de droit cantonal (<ref-law>; cf. sur ce point: AUER/MARTI, in : Basler Kommentar, Erwachsenenschutz, 2012, n os 6 et 10 ad <ref-law>) -, faisant valoir que le juge précédent a nié à tort la nécessité de la nomination d'un avocat d'office.
2.2. Se référant aux conditions posées par la norme précitée, le juge cantonal a retenu qu'il n'y avait pas nécessité de commettre un conseil juridique d'office en l'espèce parce que la « partie adverse » n'était pas assistée d'un avocat et que le recourant avait été à même de défendre de « manière appropriée ses intérêts » dans ses écritures des 19 août et 4 août ( recte : septembre) 2013.
2.3. Le recourant expose qu'il a besoin des services d'un avocat d'office, car il n'est pas juriste et ne sait pas quels articles de loi n'ont pas été respectés; l'Autorité de protection s'est d'ailleurs référée au Code civil, alors que son statut de réfugié - reconnu par la Suisse en vertu de la «Convention de New York 1954» - lui confère un droit à la protection garanti par la loi sur l'asile et la loi sur les étrangers. De surcroît, il incombe à un avocat de dénoncer devant la justice un système inefficace pour l'intégration. S'agissant du motif du juge précédent d'après lequel l'adverse partie n'est pas assistée d'un avocat, il objecte qu'il doit s'en prendre à une décision rendue par une autorité dont certains membres possèdent des « connaissances professionnelles en jurisprudence », la greffière étant du reste avocate. Enfin, il fait valoir derechef que ladite autorité a ignoré « la décision de l'ODM du 10 août 2009 et n'a jamais reconnu sa responsabilité en protection ou mesures d'intégration pour un réfugié-apatride reconnu ».
2.4. Selon l'<ref-law> - qui concrétise les principes que le Tribunal fédéral a dégagés de l'art. 29 al. 3 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2.3, avec les références) -, une personne a droit à l'assistance judiciaire si elle ne dispose pas de ressources suffisantes (let. a ) et si sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b ). L'<ref-law> précise l'étendue de l'assistance judiciaire, notamment les conditions de la commission d'office d'un conseil juridique, qui intervient lorsque la défense des droits du requérant l'exige, en particulier lorsque la partie adverse est assistée d'un avocat (let. c ). Objectivement, la nécessité de l'assistance d'un conseil juridique dépend de la complexité plus ou moins grande de la cause, l'application de la maxime inquisitoire ou de la maxime d'office étant un facteur qui permet plus facilement à une partie d'agir seule (Tappy, in : Code de procédure civile commenté, 2011, n° 13 ad <ref-law> et les citations). Subjectivement, l'autorité doit tenir compte de la personne du requérant, de son âge, de sa formation, de sa plus ou moins grande familiarité avec la pratique judiciaire, voire de sa langue, etc. (Tappy, ibidem, n° 14 et les références). Enfin, la loi mentionne l'hypothèse où la partie adverse est assistée d'un avocat, accordant ainsi une importance particulière au principe de l'égalité des armes (arrêt 5A_395/2012 du 16 juillet 2012 consid. 4.3).
En l'espèce, on ne saurait affirmer que l'affaire présente des difficultés particulières, les buts poursuivis par le recourant étant manifestement étrangers à ceux pris en considération par l'Autorité de protection; en particulier, il ne conteste pas l'absence d'une cause de curatelle, singulièrement d'un état de faiblesse (<ref-law>). Par surcroît, dans le domaine en question, l'autorité de protection de l'adulte établit les faits et applique le droit d'office et n'est pas liée par les conclusions des personnes parties à la procédure (<ref-law>). Au plan subjectif, il faut admettre - à l'instar du magistrat cantonal - que le recourant est en mesure de faire valablement valoir ses intérêts, ce que démontrent les différentes écritures versées au dossier. Enfin, le principe de l'égalité des armes est dénué de pertinence, l'Autorité de protection n'agissant pas en qualité de « partie adverse », mais d'autorité (<ref-law>).
Les motifs qui précèdent scellent le sort du recours, qui doit être rejeté, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres arguments - relevant essentiellement du fond - soulevés par le recourant.
3.
Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté. Il en va de même de la requête d'assistance judiciaire, les conclusions du recourant étant dépourvues d'emblée de chances de succès (<ref-law>). Compte tenu des circonstances, le présent arrêt est rendu sans frais (art. 66 al. 1, 2 e phrase, LTF). Enfin, il n'y a pas lieu d'allouer une indemnité de dépens à l'autorité intimée (<ref-law>), qui n'a au demeurant pas été invitée à se déterminer.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties.
Lausanne, le 3 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
Le Greffier: Braconi