Sachverhalt:
A. A und B W._ meldeten sich zum Jahreswechsel 1997/98 in X._ BE ab und in Y._ ZH an, wo sie bis und mit 2001 unangefochten besteuert wurden. Für 2002 nahm die Steuerverwaltung des Kantons Bern an, das Hauptsteuerdomizil der Eheleute W._ befinde sich wieder in X._ und beanspruchte ihnen gegenüber mit Verfügung vom 29. November 2002 die Besteuerungshoheit. Diese wurde vom Kanton Zürich anerkannt, von den Pflichtigen aber bestritten und vom Verwaltungsgericht des Kantons Bern kantonal letztinstanzlich bestätigt.
B. A und B W._ haben am 10. November 2008 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Sie beantragen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 13. Oktober 2008 aufzuheben; es sei festzustellen, dass sich ihr Steuerwohnsitz im Jahr 2002 in Y._ befunden habe. Eventuell sei die Sache zur Sachverhaltsergänzung oder zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen, subeventuell an die Steuerverwaltung des Kantons Bern.
Alle betroffenen kantonalen Behörden und die Eidgenössische Steuerverwaltung schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern betreffend die Feststellung der Steuerpflicht ab 1. Januar 2002 ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (vgl. Art. 82 lit. a in Verbindung mit <ref-law>). Die Beschwerdeführer sind gestützt auf <ref-law> zur Anfechtung des vorinstanzlichen Urteils legitimiert. Auf ihr frist- und formgerecht eingereichtes Rechtsmittel ist einzutreten (vgl. Art. 100 und Art. 42 BGG).
1.2 Im hier zu beurteilenden interkantonalen Kompetenzkonflikt könnte eine (gegebenenfalls sogar rechtskräftige) Veranlagung des Kantons Zürichs für die Steuerperiode 2002 mit angefochten werden (vgl. <ref-law>). Dieser Kanton hat indessen die von den Berner Behörden beanspruchte Besteuerungshoheit von allem Anfang an ausdrücklich anerkannt. Die Beschwerde richtet sich somit nur gegen das Urteil des Verwaltunsgerichts des Kantons Bern.
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>); von deren Sachverhaltsfeststellungen kann nur abgewichen werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>). Angesichts der Besonderheiten des Beschwerdeverfahrens in Doppelbesteuerungssachen ist das Bundesgericht selbst bei Vorliegen des Entscheids einer letztinstanzlichen kantonalen richterlichen Behörde nicht in jedem Fall davon entbunden, den Sachverhalt frei zu überprüfen, z.B. wenn der andere Kanton den Sachverhalt bestreitet und eigene Beweismittel vorlegt, wozu sich der Beschwerdeführer unter Umständen äussern können muss. Aber das neue Recht schreibt selbst bei Steuerkompetenzkonflikten gemäss <ref-law> vor, dass der kantonale Instanzenzug zumindest in einem Kanton durchlaufen werden muss. Insoweit muss der Beschwerdeführer seine Behauptungen sowie Beweismittel bereits im kantonalen Verfahren vorbringen und sind die dort getroffenen Feststellungen für das Bundesgericht im Rahmen von <ref-law> verbindlich. Hier besteht kein Anlass, von dieser allgemeinen Regelung abzuweichen. Demgemäss können sich die Beschwerdeführer nicht damit begnügen, die Feststellungen der Vorinstanz einfach zu bestreiten; vielmehr müssen sie den Nachweis erbringen, dass deren Sachverhaltsermittlung qualifiziert mangelhaft ist (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.3 S. 306; <ref-ruling> E. 2.4 S. 149; Urteil 2C_230/2008 vom 27. August 2008 E. 1.3).
2. Eine gegen <ref-law> verstossende Doppelbesteuerung liegt vor, wenn eine steuerpflichtige Person von zwei oder mehreren Kantonen für das gleiche Steuerobjekt und für die gleiche Zeit zu Steuern herangezogen wird (aktuelle Doppelbesteuerung) oder wenn ein Kanton in Verletzung der geltenden Kollisionsnormen seine Steuerhoheit überschreitet und eine Steuer erhebt, die einem anderen Kanton zusteht (virtuelle Doppelbesteuerung). Ausserdem darf ein Kanton eine steuerpflichtige Person grundsätzlich nicht deshalb stärker belasten, weil sie nicht in vollem Umfang seiner Steuerhoheit untersteht, sondern zufolge ihrer territorialen Beziehungen auch noch in einem anderen Kanton steuerpflichtig ist (Schlechterstellungsverbot, vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 31 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 286; ASA 74, 684 E. 2.1, je mit Hinweisen).
Im vorliegenden Fall wird das Hauptsteuerdomizil der Beschwerdeführer für 2002 nur vom Kanton Bern beansprucht. Weil der Kanton Zürich diesen Besteuerungsanspruch für den fraglichen Zeitraum anerkennt, ist die aktuelle Doppelbesteuerung an sich beseitigt. Der Rechtsstandpunkt des Kantons Zürich vermag indessen die Beschwerdeführer nicht zu binden (vgl. Urteile 2C_175/2008 vom 22. August 2008 E. 2 und 2P.149/2005 vom 13. Dezember 2005 E. 2.2). Mit ihrem Rechtsbegehren, die Besteuerungskompetenz dem Kanton Zürich zuzusprechen, rügen sie implizit einen Verstoss gegen das Verbot der virtuellen Doppelbesteuerung.
3. 3.1 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu <ref-law> (bzw. Art. 46 Abs. 2 aBV) ist der steuerrechtliche Wohnsitz (Hauptsteuerdomizil) einer unselbständig erwerbenden Person derjenige Ort, wo sich die betreffende Person mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält (vgl. auch Art. 3 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG; SR 642.14], Art. 3 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG, SR 642.11] und <ref-law>) bzw. wo sich faktisch der Mittelpunkt ihrer Lebensinteressen befindet (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 56; <ref-ruling> E. 2a S. 293; ASA 63, 836 E. 2a). Wenn sich eine Person abwechslungsweise an zwei Orten aufhält, ist für die Bestimmung des steuerrechtlichen Wohnsitzes darauf abzustellen, zu welchem Ort sie die stärkeren Beziehungen unterhält, was jeweils aufgrund der Gesamtheit der Umstände des Einzelfalls zu beurteilen ist (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 56; <ref-ruling> E. 2b S. 294; AJP 2008 1288 E.2.2; mit weiteren Hinweisen).
3.2 Aus der Anknüpfung an den tatsächlichen Lebensmittelpunkt folgt, dass der fiktive bzw. formelle Wohnsitz gemäss <ref-law>, wonach der einmal begründete Wohnsitz einer Person bis zum Erwerb eines neuen Wohnsitzes bestehen bleibt, im interkantonalen Verhältnis nicht anwendbar ist (im Gegensatz zur direkten Bundessteuer und zur internationalen Doppelbesteuerung, vgl. u.a. ASA 60 499 E. 3a, RDAF 2005 II 103 E. 2.1, StR 55/2000 509 E. 5a). Wenn der Wegziehende seine Verbindungen mit dem bisherigen Wohnsitz gelöst hat, ist er dort nicht mehr steuerpflichtig. Das frühere Domizil ist allerdings dann als fortbestehend zu betrachten, wenn der Nachweis der Wohnsitzverlegung nicht erbracht ist. Dabei genügt zur Begründung des neuen Wohnsitzes nicht der Wille zur Wohnsitzverlegung; er muss vielmehr in die Tat umgesetzt worden sein, d.h. der Pflichtige muss für die betreffende Zeit den Mittelpunkt seiner Lebensführung schon an den neuen Ort verlegt haben (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 254; ASA 54 228 E. 3b; RDAF 2005 II 103 E. 2.1; AJP 2008 1288 E. 2.2.1).
4. 4.1 In Bezug auf die Beweislast gilt grundsätzlich, dass es der Behörde obliegt, den Wohnsitz als steuerbegründende Tatsache darzutun. Dem Pflichtigen kann freilich der Gegenbeweis für die von ihm behauptete subjektive Steuerpflicht an einem neuen Ort auferlegt werden, wenn die von der Behörde angenommene bisherige subjektive Steuerpflicht als sehr wahrscheinlich gilt (vgl. schon ASA 39 284 E. 3c). Diese ursprünglich für das internationale Verhältnis aufgestellte Regel ist nach der Praxis des Bundesgerichts auch im interkantonalen Verhältnis anwendbar.
Wenn der frühere Wohnsitzkanton seit mehreren Jahren anerkennt, dass sich das Hauptsteuerdomizil nunmehr in einem anderen Kanton befindet, ist ihm doch unbenommen, auf eine neue Steuerperiode hin die Besteuerungshoheit wieder in Anspruch zu nehmen. Gemäss der genannten Grundregel liegt es in einem solchen Fall aber nicht am Pflichtigen, das Weiterbestehen einer unbeschränkten Steuerpflicht im anderen Kanton zu belegen, sondern am wieder besteuerungswilligen Kanton, eine massgeblich veränderte Faktenlage zu seinen Gunsten nachzuweisen. Gelingt ihm nicht, den erneuten Wohsitzwechsel zu belegen, bleibt es bei der vorherigen Domizilzuordnung. Das gilt jedenfalls dann, wenn der Pflichtige seiner Mitwirkungspflicht im Rahmen des Zumutbaren nachgekommen ist (vgl. zum Ganzen AJP 2008 1288 E. 2.3; StE 2008 A 24.21 Nr. 18 E. 2.3; Pra 2000 Nr. 7 S. 29 E. 3c; Urteil 2C_770/2008 vom 4. März 2009 E. 3, mit weiteren Hinweisen).
4.2 Hier hat die Vorinstanz festgehalten, dass die Beschwerdeführer ihrer Mitwirkungspflicht nur in sehr beschränktem Mass nachgekommen sind, mehrmals Auskünfte schlicht verweigert und u.a. auch den von ihnen einverlangten üblichen Fragebogen nicht ausgefüllt haben. Das Verwaltungsgericht hat dabei das von den Beschwerdeführern geltend gemachte Schreiben vom 30. August 2007 sehr wohl berücksichtigt und trotzdem erwogen, dass sie ihre Verfahrenspflichten nicht bzw. höchst unvollständig erfüllt haben (vgl. E. 3.3 des angefochtenen Entscheids).
Die Beschwerdeführer bestreiten jegliche Pflichtverletzung, was jedoch nicht zu überzeugen vermag. Umso weniger gelingt es ihnen, eine geradezu offensichtliche Unrichtigkeit darzutun. Die vorinstanzliche Sachverhaltsermittlung ist somit auch in diesem Punkt für das Bundesgericht verbindlich (vgl. oben E. 1.3). Sie wird vom Kanton Zürich im Übrigen nicht in Zweifel gezogen, sondern noch bekräftigt. Das Kantonale Steueramt Zürich hebt in seiner Stellungnahme hervor, dass die von den Beschwerdeführern wiederholt geäusserte Behauptung, erst im November 2003 vom erneuten Besteuerungsanspruch des Kantons Bern erfahren zu haben, aktenwidrig ist (vgl. Ziff. 2 der Vernehmlassung vom 17. Februar 2009). Im gleichen Sinne ist kaum nachvollziehbar, dass die Beschwerdeführer geltend machen, während des Jahres 2002 zu keinem Zeitpunkt in X._ residiert zu haben (vgl. S. 10 der Beschwerdeschrift), hat der Ehemann doch u.a. ausdrücklich eingeräumt, sich im hier massgeblichen Zeitraum wieder vermehrt in X._ aufgehalten zu haben (vgl. Stellungnahme der Steuerverwaltung des Kantons Bern vom 26. Januar 2009 S. 3).
5. 5.1 In materieller Hinsicht hat das Verwaltungsgericht mehrere Umstände festgehalten, die belegen, dass die Beschwerdeführer im Jahr 2002 den Mittelpunkt ihrer Lebensinteressen nicht mehr in Y._, sondern in X._ hatten. Dort verfügten sie weiterhin über eine Liegenschaft, die weder verkauft noch vermietet worden war, mit einem ebenfalls ungekündigten Telefonanschluss. Ihr Fahrzeug war immer noch im Kanton Bern registriert. Zudem arbeitete der pflegebedürftige Sohn in Z._ BE und wohnte ebenfalls in der besagten Liegenschaft. Hinsichtlich der Wohnsituation in Y._ haben die Beschwerdeführer weder Auskünfte noch Belege geliefert, ebenso wenig für allfällige Beziehungen bzw. gesellschaftliche Kontakte und Tätigkeiten im Kanton Zürich (vgl. Näheres und weitere Indizien in E. 4.1 - 4.5 des angefochtenen Entscheids).
5.2 Was die Beschwerdeführer dagegen einwenden, vermag ein anderes Ergebnis nicht zu rechtfertigen:
Mehrere ihrer Argumente verkennen eine jeweils klare Rechtslage. Es erübrigt sich, darauf näher einzugehen, und kann auf verfügbare Belegstellen verwiesen werden (zur irrigen Auffassung der Beschwerdeführer, eine Mitwirkungsobliegenheit des Pflichtigen sei im Rahmen von <ref-law> überhaupt fraglich und gegebenenfalls hier ohne weiteres erfüllt worden: vgl. oben E. 4 und E. 3 des verwaltungsgerichtlichen Urteils; zur Fehlvorstellung, <ref-law> sei bei der interkantonalen Wohnsitzzuordnung anwendbar, weshalb den Berner Behörden eine willkürliche Beweislastumkehr vorzuwerfen sei: siehe oben E. 3.2; zur unzutreffenden Ansicht, es sei auf die Verhältnisse per 31. Dezember 2002 abzustellen: vgl. Stellungnahme der Steuerverwaltung des Kantons Bern vom 26. Januar 2009 S. 4-5).
Weiter können die Beschwerdeführer nichts daraus ableiten, dass die vorinstanzliche Beurteilung nicht auf einer restlos klaren Faktenlage beruht, sondern teilweise auf Wahrscheinlichkeitsüberlegungen. Das haben sie vielmehr selber zu verantworten, nachdem sie die entsprechenden Sachverhaltserhebungen durch ihre mehrmalige Auskunftsverweigerung und ihr unkooperatives Verhalten erschwert oder sogar vereitelt haben. Ebenso wenig können sie sich darauf beschränken zu behaupten, gegenüber den Vorjahren habe sich 2002 nichts geändert. Das lässt ausser Acht, dass die im Normalfall bestehende Beweislast bei einem Wohnsitzwechsel nur unter der Bedingung gelten kann, dass der Pflichtige seine Mitwirkungsobliegenheiten gehörig erfüllt hat, was hier aber - wie hervorgehoben - nur in sehr beschränktem Ausmass geschehen ist. Entsprechend geringer müssen die vom Kanton Bern einzuhaltenden Beweisanforderungen sein.
Diesen Erfordernissen sind die Berner Behörden rechtsgenüglich nachgekommen, wie die Vorinstanz zu Recht geurteilt hat. Sie haben nicht, wie die Beschwerdeführer unterstellen, die bestehenden Ungewissheiten zum Anlass für eine einseitige und von Anfang an vorgefasste Einstufung "pro fisco" genommen, sondern die Faktenlage bestmöglich ergründet und rechtskonform gewertet. Dem verwaltungsgerichtlichen Entscheid halten die Beschwerdeführer Argumente entgegen, die sich allesamt nicht als stichhaltig erweisen, zum Teil nicht einmal ansatzweise. Das gilt z.B. für die Behauptung, die gescheiterte Zustellung des Einspracheentscheids belege, dass die Beschwerdeführer während des Jahres 2002 zu keinem Zeitpunkt in X._ residiert hätten (vgl. dazu auch oben E. 4.2).
6. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Auch für eine Rückweisung besteht kein Grund. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die unterliegenden Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. Art. 65 f. BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter Solidarhaft auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Steuerverwaltung des Kantons Bern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, dem Kantonalen Steueramt Zürich und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Matter