(Art. 13b Abs. 2 ANAG), hat sich ergeben:
A.- Der nach eigenen Angaben aus Mauretanien stammende I._ (geb. 1973) ersuchte seit 1997 in der Schweiz wiederholt um Asyl. Am 8. August 2001 trat das Bundesamt für Flüchtlinge auf ein weiteres Gesuch nicht ein und wies ihn weg. Dabei stellte es fest, dass er nicht aus Mauretanien, sondern aus Gambia oder dem Senegal stammen dürfte.
B.- Am 22. August 2001 wurde I._ in der Thuner Drogenszene angehalten und in Ausschaffungshaft genommen.
Die Haftrichterin 2 am Haftgericht III Bern-Mittelland prüfte und genehmigte diese tags darauf. Am 22. November 2001 (mit schriftlicher Begründung vom 29. November 2001) bewilligte sie eine Haftverlängerung um zwei Monate bis zum 22. Januar 2002.
C.- I._ gelangte hiergegen mit dem Antrag an das Bundesgericht, ihn aus der Haft zu entlassen. Die Haftrichterin und der Migrationsdienst des Kantons Bern beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Ausländerfragen hat sich nicht vernehmen lassen. I._ hat von der Möglichkeit, ergänzend Stellung zu nehmen, keinen Gebrauch gemacht.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde hat die Begehren, deren Begründung mit Angabe der Beweismittel und die Unterschrift des Beschwerdeführers oder seines Vertreters zu enthalten (Art. 108 Abs. 2 OG). Sie muss sich sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinander setzen (<ref-ruling> ff.). Bei Laienbeschwerden gegen die Genehmigung der Ausschaffungshaft stellt das Bundesgericht indessen keine hohen Anforderungen an die Beschwerdebegründung (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 277). Ist daraus - wie hier - ersichtlich, dass sich der Betroffene (zumindest auch) gegen seine Haft wendet, nimmt es entsprechende Eingaben als Verwaltungsgerichtsbeschwerden entgegen.
2.- Der Ausländer, dem ein erstinstanzlicher Weg- oder Ausweisungsentscheid eröffnet worden ist, kann zur Sicherstellung von dessen Vollzug unter anderem in Ausschaffungshaft genommen werden, wenn konkrete Anzeichen befürchten lassen, dass er sich der Ausschaffung entziehen will, insbesondere weil sein bisheriges Verhalten darauf schliessen lässt, dass er sich behördlichen Anordnungen widersetzt (Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG [sog. Untertauchensgefahr]).
Die Haft darf grundsätzlich nur drei Monate dauern. Sie kann mit Zustimmung der kantonalen richterlichen Behörde jedoch um höchstens sechs Monate verlängert werden, falls dem Vollzug der Weg- oder Ausweisung besondere Hindernisse entgegenstehen (vgl. Art. 13b Abs. 2 ANAG). Bei der Haftverlängerung ist - auch wenn der Ausländer die ursprüngliche Haftgenehmigungsverfügung nicht angefochten hat - zu prüfen, ob der Haftgrund nach wie vor gegeben ist (vgl. Art. 13c Abs. 3 ANAG). Zudem ist abzuklären, ob die für den Vollzug der Wegweisung notwendigen Vorkehren umgehend getroffen wurden (vgl. Art. 13b Abs. 3 ANAG) und die Haft an sich verhältnismässig erscheint, d.h. der Vollzug der Wegweisung nicht etwa aus rechtlichen oder tatsächlichen Gründen als undurchführbar gelten muss (Art. 13c Abs. 5 lit. a ANAG).
3.- Der vom Bundesamt für Flüchtlinge weggewiesene Beschwerdeführer wurde hier wiederholt straffällig (30 Monate Gefängnis und 8 Jahre Landesverweisung wegen schwerer Körperverletzung; 10 Tage Gefängnis wegen einfacher Körperverletzung; 7 Tage Gefängnis wegen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz). Er missachtete zudem gegen ihn verfügte Ausgrenzungen (vgl. Art. 13e ANAG), trat in der Berner Drogenszene als Kleindealer auf und erklärte immer wieder, auf keinen Fall in seinen angeblichen Heimatstaat zurückzukehren.
Damit bietet er keine Gewähr dafür, dass er sich ohne Haft zu gegebener Zeit den Behörden für den Vollzug der Ausschaffung zur Verfügung halten wird; es besteht Untertauchensgefahr im Sinne von Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG (<ref-ruling> E. 3b/aa S. 375; <ref-ruling> E. 2a S. 51).
Im Übrigen erfüllt der Beschwerdeführer auch die Haftgründe von Art. 13b Abs. 1 lit. b in Verbindung mit Art. 13a lit. b (Missachtung einer Ausgrenzung; <ref-ruling> E. 3) und lit. e (Gefährdung von Leib und Leben durch seine Aktivitäten als Kleindealer; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 375 f.) ANAG. Dass sich diesbezüglich inzwischen etwas geändert hätte, behauptet der Beschwerdeführer zu Recht nicht.
4.- a) Die Ausschaffungshaft darf lediglich aufrechterhalten werden, wenn der Vollzug der Wegweisung nicht aus rechtlichen oder tatsächlichen Gründen undurchführbar erscheint (Art. 13c Abs. 5 lit. a ANAG); andernfalls lässt sie sich nicht mehr mit einem hängigen Ausweisungsverfahren rechtfertigen und verstösst sie gegen Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK. Der Umstand allein, dass die Ausreise nur schwer organisiert werden kann, lässt die Haft jedoch nicht bereits dahinfallen oder die Ausschaffung als undurchführbar erscheinen.
Gerade wegen solcher Schwierigkeiten und Ungewissheiten hat der Gesetzgeber die Haftdauer erheblich erhöht und die Möglichkeit der Haftverlängerung geschaffen (BBl 1994 I 305 ff. S. 316). Die Haft ist bloss unzulässig, wenn für die Undurchführbarkeit des Vollzugs der Wegweisung triftige Gründe sprechen oder praktisch feststeht, dass sich die Ausschaffung innert der gesetzlichen Frist nicht wird realisieren lassen (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3 S. 152 f.). Dies ist in der Regel nur der Fall, wenn die Ausschaffung auch bei gesicherter Kenntnis der Identität oder der Nationalität des Betroffenen bzw. trotz seines Mitwirkens bei der Papierbeschaffung mit grosser Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen erscheint (<ref-ruling> E. 2 und 3b). Lediglich die vage und rein theoretische Möglichkeit eines Vollzugs innert absehbarer Frist genügt nicht; es muss hierfür zumindest eine ernsthafte, wenn allenfalls auch nur geringfügige Wahrscheinlichkeit sprechen (so unveröffentlichtes Urteil vom 9. August 2000 i.S. J., E. 4a).
b) Der angefochtene Entscheid erscheint diesbezüglich nicht unproblematisch, hält aber (noch) vor Bundesrecht stand:
aa) Der Beschwerdeführer hat sich bereits vom 9. Oktober bis zum 27. Dezember 1999 in Ausschaffungshaft befunden. Ein Ausschaffungsversuch nach Mauretanien scheiterte am 18. Oktober 1999 trotz eines entsprechenden Laissez-passer-Papiers, da sich die mauretanischen Behörden weigerten, den Beschwerdeführer einreisen zu lassen. Dieser hielt in der Folge dennoch daran fest, aus Mauretanien zu stammen. Telefonische Abklärungen bei den Konsuln von Guinea Conakry und Senegal blieben am 14. Dezember 1999 erfolglos.
Die Befragung durch einen westafrikanischen Sprachexperten erhärtete am 21. Dezember 1999 die Vermutung, dass der Beschwerdeführer nicht aus Mauretanien stammen dürfte. Am
27. Dezember 1999 wurde der Beschwerdeführer, weil zurzeit nicht ausschaffbar, aus der Haft entlassen, worauf er erneut um Asyl nachsuchte. Nach dem entsprechenden negativen Entscheid des Bundesamts für Flüchtlinge will er die Schweiz am 18. Februar 2000 freiwillig Richtung Mauretanien verlassen haben, bevor er hier am 4. September 2000 erneut um Asyl ersuchte.
An der Haftrichterverhandlung vom 22. November 2001 erklärte der Vertreter des Ausländer- und Bürgerrechtsdienstes der Kantonspolizei Bern, dass bezüglich der Herkunftsabklärungen, abgesehen von einem gescheiterten Gespräch mit einem Experten ("Osterwaldertest"), nichts weiter unternommen worden sei, doch stehe noch ein Gespräch mit dem senegalesischen Konsul aus. Eine Vorführung vor den gambischen Behörden sei nicht möglich, solange der Betroffene sich nicht selber als Angehöriger dieses Staates bezeichne. Eine Rückschaffung nach Mauretanien erscheine im Moment ausgeschlossen, da der Beschwerdeführer nicht anerkannt werde. Es bestehe aber dennoch die Möglichkeit, dass er von dort stamme.
bb) Mit Blick auf die noch ausstehenden Abklärungen hinsichtlich der senegalesischen Staatsbürgerschaft des Beschwerdeführers durfte die Haftrichterin davon ausgehen, dass eine Ausschaffung nach wie vor in absehbarer Zeit möglich erscheint. Das Bundesamt für Flüchtlinge hatte am 8. August 2001 erklärt, verschiedene Indizien wiesen darauf hin, dass der Beschwerdeführer tatsächlich aus diesem Land stamme. Eine Vorführung bei den senegalesischen Behörden war für den 11. Dezember 2001 geplant, womit bei der Haftverlängerung eine konkrete sachdienliche Massnahme unmittelbar bevorstand, welche durch eine Haftentlassung gefährdet worden wäre. Im Übrigen bewilligte die Haftrichterin die Verlängerung nur für zwei Monate, womit sie der unsicheren Lage angemessen Rechnung trug. Sollten die entsprechenden Abklärungen, welche inzwischen offenbar im letzten Moment verschoben werden mussten, ohne Erfolg bleiben, wird sich aber ernsthaft die Frage stellen, ob der Vollzug der Wegweisung des Beschwerdeführers (zumindest zurzeit) nicht als undurchführbar gelten muss, hätten sich in diesem Fall doch dann sowohl die mauretanischen als auch die gambischen und senegalesischen Behörden gegen eine Rückübernahme ausgesprochen. Es wäre dann nicht weiter erkennbar, welche anderen Massnahmen im Rahmen des Beschleunigungsgebots noch sinnvollerweise getroffen werden könnten, um eine Ausschaffung im erforderlichen, absehbaren Zeitrahmen zu ermöglichen. Wie das Bundesgericht bereits in einem ähnlichen, ebenfalls den Kanton Bern betreffenden Fall festgestellt hat, können blosse wiederholte Befragungen des Ausländers, der an seiner angeblichen Herkunft festhält, nicht als "besonders taugliches Mittel" für die Erforschung seiner Nationalität gelten; sie vermögen für sich allein deshalb auch dem Beschleunigungsgebot nicht zu genügen (unveröffentlichtes Urteil des Bundesgerichts vom 17. August 1998 i.S. S., E. 2). Die Frage braucht im vorliegenden Zusammenhang indessen noch nicht abschliessend beantwortet zu werden, da zumindest bei der hier angefochtenen Haftverlängerung der Vollzug der Wegweisung - wie dargelegt - noch nicht als undurchführbar gelten musste.
5.- a) Die Beschwerde ist somit unbegründet und deshalb abzuweisen. Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und verständlich gemacht wird.
b) Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Es rechtfertigt sich indessen, von der Erhebung einer Gerichtsgebühr abzusehen (Art. 154 Abs. 2 OG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (vgl. Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2.- Es werden keine Kosten erhoben.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern, dem Haftgericht III Bern-Mittelland (Haftrichterin II) und dem Bundesamt für Ausländerfragen schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 21. Dezember 2001
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: