Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft für Wirtschaftsstraffälle und Organisierte Kriminalität des Kantons Thurgau führt eine Strafuntersuchung gegen Y._ wegen des Verdachts der Veruntreuung und Geldwäscherei. Im gleichen Zusammenhang hat die Staatsanwaltschaft eine Strafuntersuchung gegen Rechtsanwalt X._ (nachfolgend: Beschuldigter) eröffnet. Ihm werden Urkundenfälschung, Geldwäscherei sowie Gehilfenschaft zu Veruntreuung zur Last gelegt. Am 30. August 2010 verfügte das (damals noch zuständige) Kantonale Untersuchungsrichteramt bei einer Bank die Edition von Bankinformationen bzw. Kontenunterlagen betreffend den Beschuldigten. Mit Schreiben vom 6. September 2010 teilte die Bank dem (damals für das Entsiegelungsverfahren zuständigen) Präsidenten der kantonalen Anklagekammer mit, dass sie dem Untersuchungsrichteramt die fraglichen Unterlagen zwar ediert, aber gleichzeitig deren Siegelung verlangt habe. Am 8. Oktober 2010 stellte das Untersuchungsrichteramt das Entsiegelungsgesuch.
B. Mit prozessleitender Verfügung vom 29. März 2011 entschied das (unterdessen zuständig gewordene) kantonale Zwangsmassnahmengericht, dass die edierten Bankunterlagen im Gewahrsam der (unterdessen die Untersuchung leitenden) Staatsanwaltschaft verblieben und dass das Entsiegelungsverfahren durchzuführen sei. Mit Schreiben vom 17. Mai 2011 an die Staatsanwaltschaft verlangte die edierende Bank die Rückgabe der versiegelten Unterlagen. Am 27. Mai 2011 teilte das Zwangsmassnahmengericht der Bank mit, dass das Entsiegelungsgesuch fristgerecht gestellt worden sei und dass ihr Gelegenheit eingeräumt werde, am hängigen Entsiegelungsverfahren mitzuwirken.
C. Mit prozessleitender Verfügung vom 5. April 2012 stellte das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Thurgau der edierenden Bank das Entsiegelungsgesuch zu und räumte ihr Gelegenheit zur Stellungnahme ein. Mit Schreiben vom 12. April 2012 beantragte der Beschuldigte beim Zwangsmassnahmengericht die wiedererwägungsweise Aufhebung der Verfügung vom 5. April 2012 bzw. die Einräumung von Parteirechten (auch an ihn als Kontoinhaber) im hängigen Entsiegelungsverfahren. Am 12. April 2012 teilte das Zwangsmassnahmengericht dem Beschuldigten mit, dass an der Verfügung vom 5. April 2012 einstweilen festgehalten werde. Dessen bisherige Einwendungen gegen die streitige Entsiegelung würden zur Kenntnis genommen. Gleichzeitig räumte das Zwangsmassnahmengericht dem Beschuldigten die Möglichkeit ein, sich bis zum 15. Mai 2012 auch noch ergänzend zu äussern.
D. Gegen die Verfügungen des Zwangsmassnahmengerichts vom 5. April bzw. 12. April 2012 gelangte X._ mit Beschwerde vom 9. Mai 2012 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung der angefochtenen Entscheide.
Die Staatsanwaltschaft und das Zwangsmassnahmengericht beantragen je mit Vernehmlassungen vom 14. bzw. 16. Mai 2012, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer replizierte am 4. Juni 2012.

Erwägungen:
1. Bei den angefochtenen Entscheiden handelt es sich um prozessleitende Zwischenverfügungen im Entsiegelungsverfahren, welche weder das Straf-, noch das Zwangsmassnahmenverfahren abschliessen. Zu prüfen ist, ob die Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind.
1.1 Als oberste rechtsprechende Behörde des Bundes soll sich das Bundesgericht in der Regel nur einmal mit der gleichen Streitsache befassen müssen. Nach ständiger Praxis zu <ref-law> ist ein Vor- oder Zwischenentscheid daher nur ausnahmsweise anfechtbar, sofern ein konkreter rechtlicher Nachteil droht, der auch durch einen (für die rechtsuchende Partei günstigen) Endentscheid nachträglich nicht mehr behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 1.2 S. 263 mit Hinweisen). Zwischenentscheide sind grundsätzlich mit Beschwerde gegen den Endentscheid anzufechten, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken (<ref-law>). Sofern die Sachurteilsvoraussetzungen nicht ohne Weiteres aus den Akten ersichtlich werden, obliegt es grundsätzlich der beschwerdeführenden Partei darzulegen, inwiefern sie gegeben sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356).
1.2 Prozessleitende Verfügungen im Entsiegelungsverfahren sind unter dem Gesichtspunkt des drohenden nicht wieder gutzumachenden Nachteils grundsätzlich nicht anfechtbar (vgl. <ref-ruling>, 190 mit Hinweis auf Urteil 1B_200/2007 vom 15. Januar 2007 E. 2.3; Urteile 1B_108/2011 vom 6. Juni 2011 E. 1-2; 1B_351/2010 vom 14. Januar 2011 E. 1.2-1.3; zur betreffenden Praxis s. auch Heinz Aemisegger/Marc Forster, Basler Kommentar BGG, 2. Aufl., Basel 2011, Art. 79 N. 40).
1.3 Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers wird in den angefochtenen Entscheiden noch nicht über die "Kenntnisnahme geschützter Informationen durch die Strafbehörde" entschieden. Zwar wurde in den prozessleitenden Verfügungen die Frage aufgeworfen, ob und inwiefern der Beschwerdeführer im hängigen Entsiegelungsverfahren Parteirechte beanspruchen kann. Diese Frage wurde jedoch vom Zwangsmassnahmengericht in der Hauptsache ausdrücklich noch offen gelassen. Sie wird im Entsiegelungsentscheid abschliessend zu beurteilen sein. Das Bundesgericht hat sich damit nicht jetzt schon auseinanderzusetzen. Der Beschwerdeführer kann seine Beanstandungen nötigenfalls im Rahmen einer Anfechtung des Entsiegelungsentscheides vorbringen (vgl. auch die mit dem vorliegenden Verfahren konnexen Urteile des Bundesgerichtes 1B_215/2011 vom 6. September 2011 E. 1 und 1B_351+353/2010 vom 14. Januar 2011 E. 1, betreffend separate prozessleitende Verfügungen in Entsiegelungsverfahren). Im Übrigen hat das Zwangsmassnahmengericht in der angefochtenen Verfügung vom 12. April 2012 auch dem Beschwerdeführer ausdrücklich Gelegenheit zur Stellungnahme (bis am 15. Mai 2012) auf das ihm zugegangene Entsiegelungsgesuch vom 8. Oktober 2010 eingeräumt. Nach dem Gesagten ist hier kein nicht wieder gutzumachender Rechtsnachteil im Sinne der dargelegten Praxis erkennbar.
2. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Mit diesem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde (bzw. Anordnung der einstweiligen Sistierung des Entsiegelungsverfahrens) hinfällig.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft für Wirtschaftsstraffälle und Organisierte Kriminalität und dem Zwangsmassnahmengericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster