Pfandrecht, hat sich ergeben:
A.- Die ABZ Recycling AG verpflichtete sich in einem Fünfjahresvertrag, der Stadt Zürich ab 1. Januar 1990 eine jährlich garantierte Mindestliefermenge von 6'000 Tonnen entwässertem Klärschlamm abzunehmen und diesen in Orange (Frankreich) zu Kompost verarbeiten zu lassen. Nachdem gegen einen Beamten der Stadtentwässerung und den Geschäftsführer der ABZ Recycling AG Strafverfahren wegen Verdachts auf Bestechung im Zusammenhang mit der Vertragsabwicklung eingeleitet worden waren (so genannte Zürcher Klärschlammaffäre), hielt die Stadt Zürich dafür, der Vertrag sei durch sie nicht mehr zu erfüllen.
B.- In der Folge klagte die ABZ Recycling AG am 6. Juli 1993 auf Bezahlung der fälligen Rechnungen für den entsorgten Klärschlamm sowie auf Bezahlung der Differenz zwischen der garantierten und der tatsächlich gelieferten Menge. Die Stadt Zürich erhob Widerklage aus ungerechtfertigter Bereicherung.
Während des hängigen Prozesses verpfändete die Klägerin die eingeklagte Forderung (teilweise) an die PELU Planungs- und Beratungs AG (heute: SIBAG) und an die Zürcher Kantonalbank (ZKB).
Das Bezirksgericht Zürich, 4. Abteilung, erwog in seinem Urteil vom 10. September 1999, auf Grund der Beamtenbestechung sei die Beklagte einem Grundlagenirrtum erlegen und der Vertrag sei daher für sie unverbindlich. Hinsichtlich des bereits entsorgten Klärschlamms ging das Bezirksgericht von einem faktischen Vertragsverhältnis aus und verurteilte die Beklagte in teilweiser Gutheissung der Haupt- und Widerklage zur Bezahlung von Fr. 489'940.-- nebst Zins.
Im Übrigen wies es die Haupt- und Widerklage ab.
Mit Urteil vom 20. November 2001 wies das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, sowohl die Haupt- als auch die Widerklage ab. Es befand, die mit Hauptklage geltend gemachte Forderung sei teilweise verpfändet worden und es hätte deshalb für die Prozessführung der Einwilligung der beiden Pfandgläubigerinnen bedurft.
In der Folge prüfte es den Bestand und Umfang des klägerischen Anspruches gar nicht mehr.
C.- Mit Berufung an das Bundesgericht vom 21. Dezember 2001 verlangt die Klägerin, in Aufhebung von Ziff. 1 des angefochtenen Urteils (Abweisung der Hauptklage) sei die Beklagte zu verpflichten, ihr Fr. 619'130.-- zzgl.
Zinsen zu bezahlen, Ziff. 2 des Dispositivs des Urteils des Obergerichts (Abweisung der Widerklage) sei zu bestätigen und in Aufhebung von Ziff. 4-5 des angefochtenen Entscheides (Kostenverteilung) sei die Beklagte zu den Kosten aller Instanzen zu verurteilen.
Die Beklagte schliesst in ihrer Berufungsantwort auf Abweisung der Berufung und stellt mit Anschlussberufung das Begehren, Ziff. 2-5 des angefochtenen Entscheides (Abweisung der Widerklage sowie Kosten) seien aufzuheben und die Klägerin sei widerklageweise zu Fr. 4'000'000.-- nebst Zinsen zu verurteilen.
Zur Anschlussberufung ist keine Antwort eingeholt worden. Das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, hat auf Gegenbemerkungen zur Berufung verzichtet.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Die Berufungsvoraussetzungen gemäss Art. 46 und 48 OG sind gegeben; auf die Berufung ist einzutreten.
2.- Im vorliegenden Fall geht es um die Frage, ob die Klägerin ihre verpfändete Forderung gegen die Beklagte im Alleingang einklagen durfte oder ob es hierfür der Zustimmung der beiden Pfandgläubigerinnen bedurft hätte.
a) Die Klägerin macht geltend, ihr Klageanspruch gründe auf dem Einziehungsrecht, das ihr gemäss <ref-law> uneingeschränkt zustehe. Einzig für das Inkasso der Forderung bedürfte es gemäss <ref-law> der Zustimmung der Pfandgläubigerinnen. Vorliegend gehe es nicht etwa um eine Anerkennungsklage im Rahmen einer hängigen Betreibung, sondern um eine normale Forderungsklage. Das Obergericht des Kantons Zürich verletze deshalb Art. 906 Abs. 1 und 2 ZGB, indem es die Einwilligung der Pfandgläubigerinnen in die Prozessführung verlange.
Die Beklagte stellt sich auf den Standpunkt, infolge Verpfändung könne die Klägerin nicht mehr über ihre Forderung verfügen. Zudem hätte diese mit einem zusprechenden Urteil in der vorliegenden Sache einen definitiven Rechtsöffnungstitel. Angesichts der beschränkten Einwendungsmöglichkeiten im Verfahren der definitiven Rechtsöffnung wäre sie (die Beklagte) als Betriebene gezwungen, an die Klägerin zu leisten, und würde sich damit dem Risiko der Doppelzahlung aussetzen.
b) Mit der Abtretung (<ref-law>) geht die Forderung vom Zedenten auf den Zessionar über. Demgegenüber findet bei der Verpfändung einer Forderung (<ref-law>) kein Wechsel in der Person des Gläubigers statt; vielmehr bleibt der Verpfänder (vorliegend: die Klägerin) Inhaber der Forderung und als solcher ist er weiterhin Träger aller Rechte und Befugnisse, die sie ihm verleiht. Umgekehrt erhält der Pfandgläubiger (vorliegend: SIBAG und ZKB) mit seinem Pfandrecht lediglich ein Sicherungsrecht am Pfandgegenstand (vorliegend: eingeklagte Forderung). Dieses aktualisiert sich nur und erst, wenn der Verpfänder die gesicherte Forderung bei Fälligkeit nicht bezahlt. Diesfalls ermöglicht das Pfandrecht dem Pfandgläubiger den wertmässigen Zugriff auf das Pfandobjekt, indem dieses verwertet und er aus dem Erlös befriedigt wird. Das bis zu jenem Zeitpunkt latente Sicherungsrecht des Pfandgläubigers würde nun illusorisch, wenn der Schuldner (vorliegend: die Beklagte) die verpfändete Forderung ohne Zustimmung des Pfandgläubigers an den Verpfänder zurückzahlen würde, denn mit der Erfüllung geht die Forderung unter (<ref-law>) und damit die Sicherheit des Pfandgläubigers.
Auf einen Ausgleich zielend zwischen dem Grundsatz, dass der Verpfänder Gläubiger der Forderung bleibt, und der damit verbundenen Gefahr für den Pfandgläubiger, dass sein Pfandobjekt durch Zahlung an den Verpfänder untergeht, bestimmt <ref-law> Folgendes: Erfordert die sorgfältige Verwaltung die Kündigung und Einziehung der verpfändeten Forderung, so darf deren Gläubiger sie vornehmen und der Pfandgläubiger verlangen, dass sie vorgenommen werde (Abs. 1). Zahlungen darf der Schuldner, sobald er von der Verpfändung benachrichtigt ist, an den einen nur mit Einwilligung des andern entrichten (Abs. 2).
<ref-law> regelt die Verwaltung der verpfändeten Forderung. Diese obliegt dem Verpfänder als Forderungsinhaber.
Er hat dabei alles vorzukehren, was zum Erhalt der Forderung notwendig ist, und der Pfandgläubiger hat einen Anspruch darauf, dass sein Pfandobjekt sorgfältig verwaltet wird. Zur Erfüllung dieser Pflicht steht dem Verpfänder das so genannte Kündigungs- und Einziehungsrecht zu.
Das Einziehungsrecht befugt ihn nicht nur zur Mahnung und Betreibung der Forderung sowie zur Eingabe im Konkurs oder zur Anmeldung im Lastenverzeichnis, sondern es erlaubt ihm namentlich auch, diese auf dem Klageweg geltend zu machen (Oftinger/Bär, Zürcher Kommentar, N. 10 und 15 zu <ref-law>; Leemann, Berner Kommentar, N. 2 zu <ref-law>; Bauer, Basler Kommentar, N. 4 zu <ref-law>).
<ref-law> regelt demgegenüber die Zahlung der verpfändeten Forderung und beantwortet die Frage, an wen der Schuldner zu leisten hat. Damit das Forderungspfandrecht nicht seiner Sicherungsfunktion beraubt wird, darf der Schuldner, wenn ihm die Verpfändung der Forderung notifiziert worden ist, nur an den Verpfänder und den Pfandgläubiger gemeinsam bzw. an den einen nur mit Einwilligung des andern leisten. Wo diese fehlt, hat er den geschuldeten Betrag gemäss <ref-law> zu hinterlegen.
c) Die Beklagte wendet ein, mit einem gutheissenden Urteil erhalte die Klägerin gegen sie einen definitiven Rechtsöffnungstitel und sie würde eine Doppelzahlung riskieren.
Dieses Argument geht an der Sache vorbei:
Wenn die Verpfändung der Forderung dem Pfandgläubiger nicht notifiziert worden ist, darf der Schuldner mit befreiender Wirkung an den Verpfänder leisten; dies ergibt sich e contrario aus dem Wortlaut von <ref-law>.
Ist die Notifikation erfolgt, kann der Schuldner den geschuldeten Betrag hinterlegen oder Rechtsvorschlag erheben, wenn der Verpfänder ohne Zustimmung des Pfandgläubigers die Betreibung einleitet (BGE 42 III 270 E. 3 S. 273; Leemann, a.a.O., N. 19 zu <ref-law>; Zobl, Berner Kommentar, N. 25 zu <ref-law>). In diesem Fall darf die Rechtsöffnung nur erteilt werden, wenn der Pfandgläubiger zustimmt (Panchaud/ Caprez, Die Rechtsöffnung, 2. Auflage, 1980, § 52, S. 123; Staehelin, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 1998, N. 32 zu <ref-law>). Entgegen ihrer sinngemässen Argumentation ist die Beklagte folglich nicht darauf angewiesen, eine Einwendung gemäss <ref-law> gegen die Forderung, für die Rechtsöffnung gewährt worden ist, oder eine solche gegen den Rechtsöffnungstitel selbst zu erheben. Vielmehr ist ein unanfechtbarer Rechtsöffnungstitel gewiss erforderlich, aber für sich allein ungenügend: Die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung setzt voraus, dass zum Rechtsöffnungstitel die Einwilligung des Pfandgläubigers gemäss <ref-law> hinzutritt.
d) Zusammenfassend ergibt sich, dass die beiden Pfandgläubigerinnen SIBAG und ZKB angesichts der klägerischen Anträge, die nicht auf eine Aufhebung des Rechtsvorschlags lauten, ausserhalb des vorliegenden Erkenntnisverfahrens stehen und die Klage nicht von deren Einverständnis abhängig ist. Weil das Obergericht Bestand und Umfang des klägerischen Anspruches gar nicht erst geprüft und diesbezüglich auch keine Tatsachenfeststellungen getroffen hat, kann das Bundesgericht nicht selbst ein Urteil in der Sache fällen. Das Berufungsbegehren um Zuspruch einer Geldsumme schliesst jedoch den Antrag auf Rückweisung zur Beurteilung in der Sache in sich. In teilweiser Gutheissung der Berufung sind folglich die Ziff. 1 und 3-5 (Kosten) des angefochtenen Urteils aufzuheben und die Sache ist diesbezüglich zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3.- Gemäss Art. 55 Abs. 1 lit. c OG ist in der Berufungsschrift kurz darzulegen, welche Bundesrechtssätze der angefochtene Entscheid verletzt und inwiefern er gegen sie verstösst. Blosse Verweise auf Rechtsschriften oder Akten des kantonalen Verfahrens sind unzulässig und unbeachtlich (<ref-ruling> E. 1 S. 78; <ref-ruling> E. 3 S. 85). Dieser Grundsatz gilt auch für die Anschlussberufung (Art. 59 Abs. 3 OG).
Die Beklagte verweist zur Begründung ihrer Anschlussberufung einzig auf die "bereits sehr ausführlichen Begründungen seitens der Beklagten" und die "Ausführungen in der Berufungsbegründung an das kantonale Obergericht"; ausserdem "hält die Beklagte an ihrer detaillierten Stellungnahme bezüglich der Kunstfigur des faktischen Vertragsverhältnisses vollumfänglich fest".
Auf die den Begründungsanforderungen von Art. 55 Abs. 1 lit. c OG offensichtlich nicht genügende Anschlussberufung ist nicht einzutreten.
4.- Der Streitwert der Berufung beträgt Fr. 619'130.--.
Die Klägerin ist im Grundsatz durchgedrungen, wobei die Sache entgegen dem Berufungsantrag an die Vorinstanz zurückgewiesen wird und ihr Ausgang folglich offen ist. Auf die Anschlussberufung, deren Streitwert Fr. 4'000'000.-- beträgt, wurde nicht eingetreten. Zur Anschlussberufung ist keine Antwort eingeholt worden, weshalb der Klägerin hierfür kein Aufwand entstanden ist.
Bei dieser Sachlage ist die Gerichtsgebühr zu einem Sechstel der Klägerin und zu fünf Sechsteln der Beklagten aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 3 OG). Ausserdem hat die Beklagte der Klägerin eine reduzierte Parteientschädigung zu leisten (Art. 159 Abs. 3 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- In teilweiser Gutheissung der Berufung werden Ziff. 1 und 3-5 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 20. November 2001 aufgehoben, und die Sache wird zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Berufung abgewiesen.
2.- Auf die Anschlussberufung wird nicht eingetreten.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 24'000.-- wird zu einem Sechstel der Klägerin und zu fünf Sechsteln der Beklagten auferlegt.
4.- Die Beklagte hat die Klägerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
5.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 30. Mai 2002
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: