Sachverhalt:
A.
Mit Fax-Schreiben vom 18. Februar 2015 ersuchte der Verein gegen Tierfabriken (VgT) beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau um Auskunft, ob ein Verfahren in Sachen B._ betreffend Tierhalteverbot hängig sei. Mit Schreiben vom 19. Februar 2015 teilte der leitende Gerichtsschreiber des Verwaltungsgerichts dem VgT mit, dass die gewünschte Auskunft nicht erteilt werden könne.
Mit Entscheid vom 1. April 2015 entsprach das Verwaltungsgericht dem Begehren des VgT um Erlass einer anfechtbaren Verfügung und wies das Auskunftsgesuch ab.
B.
Der VgT erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Begehren, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Auskunft zu erteilen.
Der Präsident des Verwaltungsgerichts ersucht um Abweisung der Beschwerde. Der VgT hat sich nicht weiter geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid, in dem das Auskunftsgesuch des Beschwerdeführers abgewiesen wurde, stützt sich auf öffentliches Recht (<ref-law>). Es handelt sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht (einschliesslich Verfassungsrecht) und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 Abs. 1 lit. a und b BGG). Bezüglich der Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht tritt auf solche Rügen nur ein, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
2.
2.1. Eine Verletzung des Amtsgeheimnisses (<ref-law>) begeht, wer ein Geheimnis offenbart, das ihm in seiner Eigenschaft als Mitglied einer Behörde oder als Beamter anvertraut worden ist, oder das er in seiner amtlichen oder dienstlichen Stellung wahrgenommen hat. Ein Geheimnis offenbart, wer es einer dazu nicht ermächtigten Drittperson zur Kenntnis bringt oder dieser die Kenntnisnahme zumindest ermöglicht. Der Tatbestand der Verletzung des Amtsgeheimnisses sichert die Geheimhaltungspflicht der Behördemitglieder und Beamten. Neben der Wahrung öffentlicher Interessen dient die Geheimhaltung auch dem Schutz von Individualinteressen, nämlich soweit geheimhaltungsbedürftige Informationen von Privatpersonen in amtlicher Eigenschaft erhoben und bearbeitet werden (Urteil 1C_344/2012 vom 31. Oktober 2012 E. 2.3 mit Hinweisen). Bei Vorliegen eines Rechtfertigungsgrundes entfällt die Strafbarkeit.
2.2. Die Vorinstanz hat das Auskunftsgesuch des Beschwerdeführers mit der Begründung abgewiesen, bei der weder allgemein zugänglichen noch offenkundigen Information handle es sich um ein Geheimnis im Sinne von <ref-law>, das nur einem beschränkten Personenkreis bekannt sei. Zwar sei B._ wegen Tierquälerei und mehrfachem Verstoss gegen das Tierschutzgesetz bereits verurteilt worden. Dennoch sei nicht auszuschliessen, dass die Bekanntgabe eines laufenden verwaltungsgerichtlichen Verfahrens für ihn nachteilig wäre und er insofern ein berechtigtes Geheimhaltungsinteresse habe. Würde daher ein Mitglied oder ein Angestellter des Verwaltungsgerichts dem Gesuch des Beschwerdeführers entsprechen, läge eine Amtsgeheimnisverletzung vor. Mangels gesetzlicher Grundlage könne das Geheimnis nicht offenbart werden. Deshalb seien Auskünfte über die Rechtshängigkeit eines Verfahrens strafbar und könnten nicht erteilt werden.
2.3. Der Beschwerdeführer wendet zusammengefasst ein, in begründeten Fällen könnten Öffentlichkeit und Private durchaus ein legitimes Interesse an der Klärung der Frage haben, ob vor einem Verwaltungsgericht ein Verfahren hängig sei, insbesondere in Bezug auf eine "relative Person der Zeitgeschichte" und einem im öffentlichen Interesse liegenden Thema, über das die Medien über die Kantonsgrenzen hinaus mehrmals berichtet hätten (mit Publikation von Fotos und der namentlichen Erwähnung von B._). Er beruft sich auf das verfassungs- und konventionsrechtliche Öffentlichkeitsprinzip und erblickt in <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK Anspruchsgrundlagen für die Erteilung der Auskunft. Da der Beschwerdeführer als Tierschutzorganisation ein schutzwürdiges Informationsinteresse nachweisen könne und keine überwiegenden öffentlichen oder privaten Interessen der Auskunft entgegen stehen würden, sei das Auskunftsgesuch "mit Ja oder Nein" zu beantworten.
3.
3.1. Zu unterscheiden ist zwischen der Justizöffentlichkeit als Grund- und Menschenrecht und der Justizöffentlichkeit im weiteren Sinn (sog. Justizkommunikation).
3.2.
3.2.1. <ref-law> verankert - als Minimalstandard und unter Vorbehalt gesetzlich vorgesehener Ausnahmen - die Öffentlichkeit von Gerichtsverhandlungen und Urteilsverkündungen (vgl. auf internationaler Ebene Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Abs. 1 UNO-Pakt II [SR 0.103.2]). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts beschränkt sich der sachliche Geltungsbereich von <ref-law> auf zivilrechtliche Ansprüche und strafrechtliche Anklagen im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK (<ref-ruling> E. 2.3 ff. S. 291 ff.; zur Kritik in der Lehre vgl. insbesondere Jörg Paul Müller/Markus Schefer, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl. 2008, 966 f.; Johannes Reich, Basler Kommentar BV, 2015, Rz. 45 zu <ref-law>; Gerold Steinmann, St. Galler Kommentar, 3. Aufl. 2014, Rz. 50 zu <ref-law>; je mit weiteren Hinweisen).
3.2.2. Die Justizöffentlichkeit dient einerseits dem Schutz der direkt an gerichtlichen Verfahren beteiligten Parteien im Hinblick auf deren korrekte Behandlung und gesetzmässige Beurteilung. Andererseits sollen auch nicht verfahrensbeteiligten Dritten nachvollziehen können, wie gerichtliche Verfahren geführt werden, das Recht verwaltet und die Rechtspflege ausgeübt wird. Die Justizöffentlichkeit bedeutet eine Absage an jegliche Form der Kabinettsjustiz, will für Transparenz der Rechtsprechung sorgen und die Grundlage für das Vertrauen in die Gerichtsbarkeit schaffen. Der Grundsatz ist von zentraler rechtsstaatlicher und demokratischer Bedeutung. Die demokratische Kontrolle durch die Rechtsgemeinschaft soll Spekulationen begegnen, die Justiz benachteilige oder privilegiere einzelne Prozessparteien ungebührlich oder Ermittlungen würden einseitig und rechtsstaatlich fragwürdig geführt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 133 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 18; <ref-ruling> E. 6.1 S. 289; je mit weiteren Hinweisen; vgl. auch Steinmann, a.a.O., Rz. 43 zu <ref-law>).
3.2.3. Im Rahmen der garantierten Justizöffentlichkeit bilden Gerichtsverhandlung und Urteilsverkündung allgemein zugängliche Quellen im Sinne der Informationsfreiheit gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 3.3 S. 134; <ref-ruling> E. 2.2 S. 19; <ref-ruling> E. 4c/aa S. 153; <ref-ruling> E. 4c S. 318). Insofern konkretisiert <ref-law> die Informationsfreiheit für den Bereich gerichtlicher Verfahren (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 19 mit Hinweisen). Damit wird die individuelle Einblicknahme in die Tätigkeit der Gerichte und die (insbesondere mediale) Weiterverbreitung dieser Informationen gewährleistet. Hingegen beinhaltet sie keinen verfassungsmässigen Anspruch auf allgemeine Information der Öffentlichkeit durch die Gerichte (vgl. dazu Urs Saxer, Vom Öffentlichkeitsprinzip zur Justizkommunikation, in: ZSR 2006 I, 459 ff., insbesondere 463 f.). Der Teilgehalt der öffentlichen Urteilsverkündung garantiert, dass nach dem Verfahrensabschluss vom Urteil als Ergebnis des gerichtlichen Verfahrens Kenntnis genommen werden kann. Sie ist (im Sinne der Publikums- und Medienöffentlichkeit) primär für nicht direkt am Verfahren beteiligte Dritte von Bedeutung. Öffentliche Urteilsverkündung bedeutet vor allem, dass am Schluss eines gerichtlichen Verfahrens das Urteil in Anwesenheit der Parteien sowie von Publikum und Medienvertretern verkündet wird. Darüber hinaus dienen weitere Formen der Bekanntmachung dem Verkündungsgebot, wie etwa öffentliche Auflage, Publikation in amtlichen Sammlungen oder Bekanntgabe über das Internet (zum Ganzen <ref-ruling> E. 3.3 S. 134 mit Hinweisen).
3.2.4. Der Beschwerdeführer begehrt Auskunft betreffend die allfällige Rechtshängigkeit eines Verwaltungsprozesses gegen eine bestimmte Person. Aus dem Gesagten folgt, dass die Justizöffentlichkeit nach <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK nur für die Gerichtsverhandlung und die Urteilsverkündung gilt, nicht dagegen für die übrigen gerichtlichen Verfahrensabschnitte (Alfred Kölz/Isabelle Häner/Martin Bertschi, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 3. Aufl. 2013, Rz. 223; Steinmann, a.a.O., Rz. 51 zu <ref-law>). Sofern hier der sachliche Anwendungsbereich überhaupt tangiert ist, was offen gelassen werden kann, fallen die von ihr angerufenen Bestimmungen als Anspruchsgrundlagen für die Erteilung der Auskunft damit ausser Betracht. Der Beschwerdeführer beruft sich zu Recht auch nicht auf § 11 Abs. 2 der Kantonsverfassung des Kantons Thurgau vom 16. März 1987 (SR 131.228; KV/TG), wonach die Behörden über ihre Tätigkeit informieren. Diese Bestimmung geht nicht über den Schutzbereich von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hinaus und verleiht keinen Individualanspruch auf Information (vgl. Philipp Stähelin/Rainer Gonzenbach/Margrit Walt, Wegweiser durch die Thurgauer Verfassung, 2. Aufl. 2007, Rz. 6 f. zu § 11 KV/TG).
3.3.
3.3.1. Mit Eingabe vom 4. Juni 2015 hat der Beschwerdeführer dem Bundesgericht das (damals noch nicht rechtskräftige) Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) Guseva gegen Bulgarien vom 17. Februar 2015, 6987/07, zur Kenntnisnahme unterbreitet. Das Schreiben ist nach Ablauf der Beschwerdefrist eingegangen und deswegen unbeachtlich. Selbst bei rechtzeitiger Eingabe wären die Anforderungen an das qualifizierte Rügeprinzip nicht erfüllt, zumal der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer lediglich auf das Urteil verweist, aber nicht ausführt (auch nicht sinngemäss oder "en substance"), inwiefern Art. 10 EMRK als Anspruchsgrundlage für das Auskunftsbegehren des Beschwerdeführers dienen könnte.
3.3.2. Dies ist auch nicht ersichtlich, zumal nach der ständigen Rechtsprechung des EGMR aus Art. 10 EMRK grundsätzlich kein umfassender Anspruch auf Zugang zu nicht-öffentlichen amtlichen Informationen abgeleitet werden kann ( Leander gegen Schweden vom 26. März 1987, Serie A Nr. 116, § 74; Gaskin gegen Vereinigtes Königreich vom 7. Juli 1989, Serie A Nr. 160, § 52; Urteil der Grossen Kammer Roche gegen Vereinigtes Königreich vom 10. Oktober 2005, 32555/96, ECHR 2005-X, § 172; weitere Hinweise bei David Harris/Michael O'Boyle/Colin Warbrick, Law of the European Convention on Human Rights, 3. Aufl. 2014, S. 620). Anders verhält es sich, was hier aber nicht zutrifft, wenn ein rechtskräftiges innerstaatliches Gerichtsurteil eine Verwaltungsbehörde nach Massgabe nationalen Rechts verpflichtet, der Presse oder Verbänden Einsicht in behördliche Dokumente zu gewähren. Bei Vorliegen solcher gerichtlicher Vollzugstitel dürfen die Behörden die Information nicht verweigern ohne Art. 10 EMRK zu verletzen (vgl. zuletzt die Urteile Guseva gegen Bulgarien, a.a.O., § 59; Kenedi gegen Ungarn vom 26. Mai 2009, 31475/05; vgl. auch Youth Initiative for Human Rights gegen Serbien vom 25. Juni 2013, 48135/06). Ebenso erblickte der EGMR eine Verletzung von Art. 10 EMRK in der Weigerung des ungarischen Verfassungsgerichts, einer Nichtregierungsorganisation Akteneinsicht (unter Streichung personenbezogener Daten) in ein noch hängiges abstraktes Normenkontrollverfahren zu gewähren, nachdem der Beschwerdeführer, ein Abgeordneter, Interviews gegeben und sich öffentlich zum Inhalt seiner Beschwerdeschrift geäussert hatte (Urteil Társaság a Szabadságjogokért gegen Ungarn vom 14. April 2009, 37374/05). Auch dieser Fall ist hier offensichtlich nicht einschlägig.
3.4.
3.4.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, in der heutigen Gesellschaft bestehe ein gesteigertes Bedürfnis nach staatlichen Informationen und auch nach Kommunikation mit den Behörden. Das Öffentlichkeitsprinzip sei daher "mit der gebotenen zusätzlichen Substanz" auszustatten und Verwaltungsgerichtsverfahren sollten im "weitestgehenden Umfang" öffentlich zugänglich sein.
3.4.2. Dies ist Bund und Kantonen auch nicht verwehrt. Sie können die grund- und menschenrechtlich vorgegebenen Minimalanforderungen an die Justizöffentlichkeit erweitern und eine Justizkommunikation gesetzlich vorsehen (vgl. dazu Stefan Heimgartner/Hans Wiprächtiger, Basler Kommentar BGG, 2. Aufl. 2011, Rz. 7 zu <ref-law>; Saxer, a.a.O., S. 476 ff.; Steinmann, a.a.O., Rz. 44 zu <ref-law>; je mit weiteren Hinweisen), z.B. durch den Erlass von Informationsverordnungen, welche auch die hier interessierende Frage behandeln können (zu den verschiedenen Ebenen und Formen der Justizkommunikation vgl. Urs Saxer, Justizkommunikation im Rechtsstaat, in: Heer/Urwyler (Hrsg.), Justiz und Öffentlichkeit, 2007, S. 51 f.). So erteilt der Mediendienst des Bundesgerichts ausnahmsweise Auskünfte über die allfällige Hängigkeit eines Verfahrens, soweit keine gesetzliche Vorschrift entgegensteht und der Präsident oder die Präsidentin der betroffenen Abteilung oder Kammer einverstanden ist (Art. 7 der Richtlinien betreffend die Gerichtsberichterstattung am Bundesgericht vom 6. November 2006 [SR 173.110.133]). Diese Form der Medienarbeit erfüllt jedoch eine andere Funktion und unterscheidet sich insoweit vom Auskunftsbegehren des Beschwerdeführers, als dass bereits bekannt ist, dass vor der Vorinstanz ein Verfahren stattgefunden hat und ein Urteil gefällt wurde, und es somit hauptsächlich um die Frage geht, ob das vorinstanzliche Urteil vor Bundesgericht angefochten wurde (oder nicht).
Im Kanton Thurgau sind die Gerichtsvorsitzenden für Auskünfte in Zivil- und Strafgerichtsverfahren zuständig (§ 22 der Verordnung des Obergerichts über die Information in Zivil- und Strafgerichtsverfahren und die Akteneinsicht durch Dritte vom 24. Oktober 2006 [Informationsverordnung; RB 271.31]). Informationen betreffend hängige Verfahren in Strafsachen werden Privatpersonen nur dann gewährt, wenn diese durch eine Vollmacht einer Prozesspartei dazu ausdrücklich legitimiert sind (§ 29 Informationsverordnung). Dagegen findet die Informationsverordnung auf verwaltungsgerichtliche Verfahren keine Anwendung.
3.5. Im Ergebnis ist weder eine verfassungs- und konventionsrechtliche noch eine andere gesetzliche Grundlage ersichtlich, aus der sich ein Anspruch für die Erteilung der vom Beschwerdeführer begehrten Auskunft ableiten lässt. Somit liegt unter keinem Titel ein Rechtfertigungsgrund vor, der bei Auskunftserteilung die Strafbarkeit der Verletzung des Amtsgeheimnisses ausschliessen würde. Daher durfte die Vorinstanz die Auskunft über die allfällige Rechtshängigkeit eines verwaltungsgerichtlichen Verfahrens gegen eine bestimmte Person verweigern.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Oktober 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Misic