Sachverhalt:
A. A.a Mit Betreibungsbegehren vom 15. Juni 2009 verlangten die Mitglieder der Erbengemeinschaft X._ selig die Anhebung der Betreibung gegen den Staat Israel für die Forderungssumme von Fr. 100'000.-- nebst Zinsen. Als Forderungsgrund bezeichneten sie das abgelaufene Mietverhältnis an der Strasse A._, in Bern. Das Betreibungsamt Bern-Mittelland, Dienststelle Bern-Mittelland, stellte am 16. Juni 2009 gegenüber dem Staat Israel den Zahlungsbefehl Nr. X. aus und ersuchte am 11. Juli 2009 das Bundesamt für Justiz, den Zahlungsbefehl gemäss Musterformular des Haager Zustellungsübereinkommens den Behörden des Staates Israel zu übermitteln. Mit Schreiben vom 20. August 2009 übermittelte die schweizerische Botschaft in Israel dem Aussenministerium von Israel die Unterlagen. Am 1. September 2009 teilte das Bundesamt für Justiz dem Betreibungsamt mit, dass "die Zustellung mit der Übergabe an das Aussenministerium als zugestellt gilt", und führte hierfür das Datum vom 20. August 2009 an.
A.b Am 6. Oktober 2009 gelangte der Konsul der israelischen Botschaft in der Schweiz an das Betreibungsamt. Er stellte gestützt auf <ref-law> und unter Verweisung auf das Europäische Übereinkommen über die Staatenimmunität das Gesuch, die Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlages auf insgesamt 60 Tage zu verlängern, und erhob vorsorglich Rechtsvorschlag. Mit Verfügungen vom 2. und 17. November 2009 verweigerte das Betreibungsamt die Verlängerung der Rechtsvorschlagsfrist und wies den Rechtsvorschlag als verspätet zurück.
B. Gegen diese Verfügungen gelangte der Staat Israel mit betreibungsrechtlichen Beschwerden vom 13. und 26. November 2009 an das Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen. Die kantonale Aufsichtsbehörde wies die Beschwerden mit Urteil vom 30. März 2010 ab, soweit sie darauf eintrat.
C. Mit Eingabe vom 16. April 2010 führt der Staat Israel Beschwerde in Zivilsachen. Der Beschwerdeführer verlangt, der Zahlungsbefehl sei als nichtig zu erklären und aufzuheben. In den Eventualanträgen beantragt er weiter im Wesentlichen, der Zahlungsbefehl sei rechtskonform, unter Ansetzung einer Rechtsvorschlagsfrist von 60, eventuell 75 Tagen zuzustellen sowie festzustellen, dass der Rechtsvorschlag fristgerecht erhoben worden sei. Weiter ersucht der Beschwerdeführer um aufschiebende Wirkung.
Mit Präsidialverfügung vom 29. April 2010 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Die kantonale Aufsichtsbehörde hat sich nicht vernehmen lassen. Die Erbengemeinschaft (Beschwerdegegnerin) hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Betreibungsamt beantragt sinngemäss und ohne weitere Ausführungen die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig vom Streitwert der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Beschwerdeentscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden über eine Verfügung eines Vollstreckungsorganes gemäss <ref-law> - wie betreffend die Verlängerung der Rechtsvorschlagsfrist sowie die Zurückweisung des Rechtsvorschlages - stellen einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 1.2 S. 351). Der Beschwerdeführer hat ohne weiteres ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung bzw. Änderung des angefochtenen Entscheides (<ref-law>). Die fristgerecht (<ref-law>) erhobene Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig.
1.2 Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Bundesverfassungsrecht sowie von Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Das Bundesgericht ist an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Zulässig ist einzig die Rüge, dass eine Tatsachenfeststellung auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhe oder eine Tatsache offensichtlich unrichtig festgestellt worden sei (<ref-law>), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
2. Die Aufsichtsbehörde hat im Wesentlichen erwogen, die gegen den Beschwerdeführer in Betreibung gesetzte Forderung gründe in einem Mietvertrag für die Residenz des Botschafters und gehöre entsprechend seiner Rechtsnatur zu den acta iure gestionis, weshalb keine Immunität des Beschwerdeführers vorliege. Aus dem Europäischen Übereinkommen über die Staatenimmunität könne der Beschwerdeführer nichts für sich ableiten. Zwar sei nachvollziehbar, dass das Abkommen auch mit Bezug auf Nicht-Vertragsstaaten (wie Israel) Anwendung finden könne. Allerdings sei nicht ersichtlich, dass dieses Übereinkommen bei rein privatrechtlichen Streitigkeiten, bei welchen ein anderer Staat wie ein Privater beteiligt sei, zu berücksichtigen sei. Auch das von der Schweiz (im Zeitpunkt des Entscheids) noch nicht ratifizierte UNO-Übereinkommen über die Immunität der Staaten und ihres Vermögens von der Gerichtsbarkeit könne dem Beschwerdeführer nicht dienen. Vorliegend gehe es einzig um die Beachtung der Zustellungsvorschriften einer Betreibungsurkunde zur Geltendmachung einer privatrechtlichen Forderung gegenüber einem Schuldner mit Wohnsitz in Ausland.
Nach den Erwägungen der Aufsichtsbehörde sei der Zahlungsbefehl auf diplomatischem Weg via Schweizerische Botschaft in Israel an das dortige Aussenministerium übermittelt worden, was den Bestimmungen des Haager Zustellungsübereinkommens entspreche. Das Gleiche gelte für den Umstand, dass der Zahlungsbefehl nicht in die hebräische Sprache, sondern entsprechend dem Formular und mit Ergänzungen auf Französisch übermittelt worden sei. Zwischen der Zustellung des Zahlungsbefehls an das israelische Aussenministerium am 20. August 2009, die ohne Beleg von Problemen erfolgt sei, und der Weiterleitung an die israelische Botschaft in Bern am 1. Oktober 2009 seien rund 40 Tage vergangen. Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers habe allerdings von der Betreibungsgläubigerin eine Kopie des Betreibungsbegehren erhalten. Selbst bei einer Fristverlängerung von einem Monat, was für die Weiterleitung des Zahlungsbefehls und die Kontaktaufnahme mit dem Rechtsvertreter in der Schweiz längstens gereicht hätte, wäre der Rechtsvorschlag (vom 6. Oktober 2009) immer noch verspätet gewesen. Die Aufsichtsbehörde ist zum Ergebnis gelangt, dass der Zahlungsbefehl korrekt zugestellt, die Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags zu Recht verweigert und das Betreibungsamt den Rechtsvorschlag zurückweisen durfte.
3. Der Beschwerdeführer wirft der Aufsichtsbehörde zunächst die Verletzung von Bestimmungen des Bundes- und Verfassungsrechts vor, welche die Sachverhaltsabklärung und -feststellung bzw. Beweiswürdigung, das Recht auf Beweis sowie den Anspruch auf eine Entscheidbegründung zum Gegenstand haben.
3.1 Die Vorbringen nehmen Bezug auf das Schreiben vom 11. November 2009 des Eidgenössischen Departements für auswärtige Angelegenheiten (EDA), Direktion für Völkerrecht, an das Betreibungsamt. Darin bestätigte das EDA dem Betreibungsamt, dass die schweizerische Botschaft den Zahlungsbefehl mit diplomatischer Note vom 20. August 2009 an das israelische Aussenministerium notifiziert habe, und teilte weiter das Folgende mit:
"Die Schweizerische Botschaft in Tel Aviv hat den Zahlungsbefehl Nr. ... mit diplomatischer Note vom 20. August 2009 an das israelische Aussenministerium notifiziert. Anscheinend sind dabei jedoch Probleme aufgetaucht, so dass die Schweizerische Botschaft am 14. September 2009 die Notifikation des Zahlungsbefehls an das israelische Aussenministerium erneut vorgenommen hat. Diese Zustellung war erfolgreich gewesen. Unter diesen Umständen kann daher davon ausgegangen werden, dass der Zahlungsbefehl am 14. September 2009 beim Staat Israel eingegangen ist und die Zustellung somit zu diesem Zeitpunkt bewirkt war."
Die Vorinstanz hat dazu festgehalten, dass der Beschwerdeführer sich wohl auf das Schreiben des EDA vom 11. November 2009 stütze, jedoch nicht belege, dass Zustellungsprobleme vorgelegen haben könnten; der Gegenbeweis für die Zustellungsbestätigung vom 20. August 2009 werde mit dem blossen Hinweis auf "anscheinend aufgetauchte Probleme" nicht erbracht.
3.2 Aus dem angefochtenen Entscheid geht ohne weiteres hervor, dass die Vorinstanz das vom Beschwerdeführer angerufene Schreiben des EDA vom 11. November 2009 berücksichtigt und unter Hinweis auf die Überlegung, von der sie sich leiten liess, in tatsächlicher Hinsicht gewürdigt hat. Der Rüge des Beschwerdeführers, die Aufsichtsbehörde habe <ref-law> bzw. den Anspruch auf eine Entscheidbegründung verletzt, ist unbegründet.
3.3 Die Rüge einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung bzw. willkürlichen Beweiswürdigung ist ebenfalls unbegründet. Zwar hat die Vorinstanz an einer Stelle von der "Zustellbescheinigung des EDA vom 20. August 2009" gesprochen. Aus dem Zusammenhang in der Erwägung geht indessen ohne weiteres hervor, dass ein Schreibversehen vorliegt und es richtigerweise "Zustellbescheinigung des Bundesamtes für Justiz betreffend Übergabe vom 20. August 2009" heissen müsste. Insoweit fehlt es an einer unrichtigen Sachverhaltsfeststellung. Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz dem Schreiben des Bundesamtes für Justiz vom 1. September 2009 (welches die Zustellung vom 20. August 2009 bescheinigt) nicht "einen höheren Beweischarakter" zukommen lassen. Die Vorinstanz hat beide Dokumente gewürdigt, jedoch andere als die vom Beschwerdeführer gewünschte Schlüsse daraus gezogen. Der Beschwerdeführer übergeht dabei zudem, dass auch das Schreiben des EDA vom 11. November 2009 - auf welches er sich berufen hat - eine Notifikation des Zahlungsbefehls an das israelische Aussenministerium am 20. August 2009 bestätigt hat. Dass die Aufsichtsbehörde Belege oder nähere Erklärungen für die "angeblichen Zustellungsprobleme" - d.h. für die Tatsache, dass der Zahlungsbefehl nicht am 20. August 2009 dem Aussenministerium übergeben worden sei - übergangen habe, ist nicht ersichtlich und wird nicht behauptet. Unter diesen Umständen ist haltbar, wenn die Aufsichtsbehörde - in tatsächlicher Hinsicht - nicht eine Zustellung am 14. September 2009, sondern am 20. August 2009 angenommen hat. Von willkürlicher Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung kann insoweit nicht gesprochen werden.
3.4 Der Beschwerdeführer rügt vergeblich eine Verletzung von <ref-law> bzw. des Beweisführungsanspruchs oder der Untersuchungsmaxime gemäss <ref-law>. Die Vorinstanz durfte wie dargelegt - ohne in Willkür zu verfallen - die Zustellung des Zahlungsbefehls an das israelische Aussenministerium am 20. August 2009 annehmen und in diesen Punkt den Sachverhalt als hinlänglich abgeklärt erachten. In diesem Zusammenhang wird in der Beschwerdeschrift übergangen, dass zur weiteren Abklärung von "anscheinend aufgetauchten Problemen" bei der Zustellung die Mitwirkung des Beschwerdeführers notwendig ist. Da in diesem Punkt unbestrittenermassen keine weitere Darstellung des Sachverhaltes oder Beweisofferten vorlagen, musste die Aufsichtsbehörde auch keine weiteren Sachverhaltsfeststellungen treffen.
3.5 Nach dem Dargelegten bleibt es bei der von der Aufsichtsbehörde - für das Bundesgericht verbindlich - festgestellten Tatsache, dass der Zahlungsbefehl am 20. August 2009 dem israelischen Aussenministerium übergeben worden ist.
4. Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, dass mit Blick auf einschlägige Staatsverträge sowie nach allgemeiner Übung und Gewohnheit im Völkerrecht einem Staat, gegen welchen ein Verfahren eingeleitet wird, keine Frist unter zwei Monaten anzusetzen sei. Die Unterschreitung dieser Frist, im konkreten Fall zur Erhebung des Rechtsvorschlages, stelle eine Verletzung von Völkerrecht dar und führe zur Nichtigkeit des Zahlungsbefehls im Sinne von <ref-law>, zumal der Zahlungsbefehl nicht auf Hebräisch übersetzt worden und französische Ausdrücke wie "commandement de payer" sowie der Zahlungsbefehl auf Deutsch unverständlich seien. Die Rechtsvorschlagsfrist sei entgegen <ref-law> nicht auf mindestens 60 Tage verlängert worden.
4.1 Will der Betriebene Rechtsvorschlag erheben, so hat er dies sofort dem Überbringer des Zahlungsbefehls oder innert 10 Tagen nach der Zustellung dem Betreibungsamt mündlich oder schriftlich zu erklären (<ref-law>). Wohnt ein am Verfahren Beteiligter im Ausland (oder er ist durch öffentliche Bekanntmachung anzusprechen), so kann ihm gemäss <ref-law> eine längere Frist als 10 Tage zur Erhebung eingeräumt oder diese Frist verlängert werden. Aufgrund der Kann-Vorschrift hat das Betreibungsamt bei der Verlängerung der Frist ein entsprechendes Ermessen, wobei den konkreten Umständen Rechnung zu tragen ist (GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. I 1999, N. 17, 21 a.E. zu <ref-law> mit Hinweisen).
4.1.1 Vorliegend begann die zehntägige Beschwerdefrist für die Erhebung des Rechtsvorschlages mit Zustellung des Zahlungsbefehls am 20. August 2009 (Übergabe an das israelische Aussenministerium) mit dem 21. August 2009 zu laufen (<ref-law>) und endete am 30. August 2009, verlängerte sich aber, weil dieser Tag ein Sonntag war, auf den nächstfolgenden Werktag, den 31. August 2009 (<ref-law>). Damit der Rechtsvorschlag vom 6. Oktober 2009 als rechtzeitig erhoben gelten kann, ist demnach eine Fristverlängerung von 36 Tagen notwendig.
4.1.2 Die anbegehrte Rechtsvorschlagsfrist von insgesamt 60 Tagen (Fristende am 19. Oktober 2009) bedeutet hier eine Verlängerung der Frist um 49 Tage. Umstritten ist, ob hinreichende Umstände vorliegen, damit die Aufsichtsbehörde zum Schluss gelangen durfte, dass die Verlängerung von 36 Tagen nicht angemessen sei, sondern eine Fristverlängerung von "einem Monat" (d.h. bis Ende September 2009) gereicht hätte. Nach Auffassung der Aufsichtsbehörde wäre damit der Rechtsvorschlag immer noch rund [recte:] fünf Tage verspätet gewesen.
4.2 Die Aufsichtsbehörde hat zu Recht angenommen, dass es sich beim Beschwerdeführer - ein ausländischer Staat - um einen Betreibungsschuldner mit Wohnsitz bzw. Sitz im Ausland handelt. Der Betreibungsort in der Schweiz wird vom Beschwerdeführer nicht in Frage gestellt. Sodann ist nicht zu beanstanden, wenn die Aufsichtsbehörde der Auffassung ist, dass ein Mietvertrag für ein Botschaftsgebäude ein Rechtsverhältnis iure gestionis darstellt (<ref-ruling> E. 3 S. 29; vgl. allgemein <ref-ruling> E. 5.2.1 S. 128; KREN KOSTKIEWICZ, Staatenimmunität im Erkenntnis- und im Vollstreckungsverfahren nach schweizerischem Recht, 1998, S. 421). Zu Recht hat die Aufsichtsbehörde geschlossen, dass - aus immunitätsrechtlicher Sicht - die Einleitung der Betreibung für die Forderung aus Mietvertrag grundsätzlich zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 3).
Weiter ist mit Bezug auf die Zustellung des Zahlungsbefehls (vgl. <ref-law>) unbestritten, dass dieses Schriftstück nach den Regeln des Haager Übereinkommens über die Zustellung gerichtlicher und aussergerichtlicher Schriftstücke im Ausland in Zivil- und Handelssachen vom 15. November 1965 (SR 0.274.131; HZÜ) zuzustellen ist (vgl. Volken, Die internationale Rechtshilfe in Zivilsachen, 1996, S. 57 Rz 86), zumal Israel Vertragsstaat ist und Betreibungssachen in den Anwendungsbereich fallen (<ref-ruling> E. 2 S. 396). Sodann stellt der Beschwerdeführer die Zustellung des Zahlungsbefehls auf diplomatischem Weg - via EDA bzw. schweizerische Botschaft in Israel an das israelische Aussenministerium - nicht in Frage (vgl. Note der Direktion für Völkerrecht des EDA vom 28. August 1990, in: SZIER 1991 S. 519 ff.; Volken, a.a.O., S. 58 Rz 88; Kren Kostkiewicz, a.a.O., S. 498/499). Unbestritten ist auch, dass die Zustellung mit Eingang beim israelischen Aussenministerium bewirkt worden ist.
4.3 Der Beschwerdeführer beruft sich auf <ref-law> bzw. den Vorrang des Völkerrechts. Unter Hinweis auf völkergewohnheitsrechtliche Übung macht er geltend, die Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags müsse bei Zustellung des Zahlungsbefehls an einen Staat mindestens 60 Tage betragen.
4.3.1 Zunächst weist der Beschwerdeführer auf das UNO-Übereinkommen über die Immunität der Staaten und ihres Vermögens von der Gerichtsbarkeit vom 2. Dezember 2004 hin. Unter "verschiedenen Bestimmungen" (Teil V) des UNO-Übereinkommens wird die Zustellung von Schriftstücken, welche ein Verfahren gegen einen Staat einleiten, geregelt. Dieses Übereinkommen ist von Israel nicht unterzeichnet, von der Schweiz hingegen am 16. April 2010 (bzw. nach Erlass des angefochtenen Entscheides) ratifiziert worden (http://treaties.un.org). Wohl stellt das UNO-Übereinkommen - wie das Bundesgericht im (in der Beschwerdeschrift zitierten) <ref-ruling> E. 5.1 S. 127 angenommen hat - eine völkerrechtliche Kodifizierung der Grundsätze der Immunität dar (Botschaft vom 25. Februar 2009 über die Genehmigung und Umsetzung des UNO-Übereinkommens über die Immunität der Staaten und ihres Vermögens von der Gerichtsbarkeit, BBl 2009 S. 1732 Ziff. 2.4). Allerdings ist das UNO-Übereinkommen noch nicht in Kraft getreten. Es ist nicht ersichtlich, dass die darin vorgesehene Fristbestimmung (vier Monate zur Beteiligung eines Staates an einem Verfahren; vgl. Art. 23) bereits vorher völkerrechtlich verbindlichen Charakter habe, zumal in verschiedenen Staaten andere Fristen gelten (vgl. Kren Kostkiewicz, a.a.O., S. 502 m.H.). Auch das EDA bzw. die Direktion für Völkerrecht bestätigt in ihrem Schreiben vom 11. November 2009 eine Fristansetzung von (lediglich) zwei Monaten als "gewisse bestehende Praxis".
4.3.2 Hauptsächlich stützt sich der Beschwerdeführer auf das Europäische Übereinkommen über Staatenimmunität vom 16. Mai 1972 (SR 0.273.1; EÜS), wonach Fristen zur Beteiligung an einem Verfahren erst zwei Monate nach Erhalt des Schriftstückes beim betreffenden Aussenministerium zu laufen beginnen und wonach die zuständigen Gerichte ausserdem keine diese Zweimonatsfrist unterschreitenden Fristen ansetzen können (Art. 16 Ziff. 4 und 5 EÜS; dazu WALTER, Internationales Zivilprozessrecht der Schweiz, 4. Aufl. 2007, S. 83). Zweck dieser Regel ist, dem betreffenden Aussenministerium genügend Zeit zu geben, um die in seinem Staat kompetenten Behörden zu befassen und die notwendigen (diplomatischen und immunitätsrechtlichen) Beratungen durchzuführen (Rapport explicatif sur la Convention sur l'immunité des Etats, Ziff. 64, abgedruckt [englische Fassung] in: vgl. DICKINSON/LINDSAY/LOONAM, State Immunity, 2004, S. 36 ff.).
4.3.3 Das EÜS macht - entgegen der Ansicht der Aufsichtsbehörde - hinsichtlich der Zustellung keinen Unterschied zwischen hoheitlicher und nichthoheitlicher Tätigkeit, sondern regelt allgemein den Zustellungsweg an Staaten (KREN KOSTKIEWICZ, a.a.O., S. 494; vgl. Rapport explicatif, a.a.O., Ziff. 60). Sodann gelten für die Zustellung eines Zahlungsbefehls gegen einen ausländischen Staat die Grundsätze betreffend die Zustellung im Erkenntnisverfahren (KREN KOSTKIEWICZ, a.a.O., S. 560). Nach der Rechtsprechung stellt das EÜS - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - jedoch kein geltendes Völkerrecht dar, sondern bringt es im Verhältnis zu Nichtvertragsstaaten lediglich bis zu einem gewissen Grade neuere völkerrechtliche Tendenzen zum Ausdruck (<ref-ruling> E. 3a S. 149; <ref-ruling> E. 3d S. 405; <ref-ruling> E. 5.1 S. 127/128). Aus diesem Grund wird im Allgemeinen auch im Verhältnis zu Staaten, welche - wie Israel - nicht Vertragsstaaten des EÜS sind, eine Frist von zwei Monaten eingeräumt (KREN KOSTKIEWICZ, a.a.O., S. 502; KRAFFT, La convention européenne sur l'immunité des Etats, SJIR 1986, S. 18; BUNDESAMT FÜR JUSTIZ, Die internationale Rechtshilfe in Zivilsachen, Wegleitung, 3. Aufl. 2003 [Stand: Juli 2005], Ziff. II.F.1). In diesem Sinne hat sich die Aufsichtsbehörde deshalb grundsätzlich an der Zweimonatsfrist zu orientieren und damit den Umstand, dass die Zustellung an einen fremden Staat und auf diplomatischem Weg erfolgt, bei der ermessensweisen Verlängerung der Rechtsvorschlagsfrist gemäss <ref-law> mitzuberücksichtigen (KREN KOSTKIEWICZ, a.a.O., S. 502).
4.4 Bleibt zu prüfen, ob hinreichende Umstände vorliegen, damit die Aufsichtsbehörde zum Schluss gelangen durfte, dass die Verlängerung von 36 Tagen (bis am 6. Oktober 2009; Datum des Rechtsvorschlages) nicht angemessen sei, sondern eine Fristverlängerung von "einem Monat" (d.h. bis Ende September 2009) bzw. eine gesamte Rechtsvorschlagsfrist von rund 40 Tagen gereicht hätte.
4.4.1 Die Aufsichtsbehörde hat erwogen, dass zwischen der Zustellung des Zahlungsbefehls an das israelische Aussenministerium und der "Weiterleitung" der Betreibungsurkunde an die israelische Botschaft in Bern rund 40 Tage vergangen seien, obwohl "die Adresse der Botschaft und der Botschaftsresidenz" angeführt gewesen sei, m.a.W. obwohl genügend klar gewesen sei, an wen der Zahlungsbefehl weiterzuleiten und welches der Forderungsgrund sei. Die Vorinstanz blendet dabei allerdings aus, dass es nicht bloss um die Beurteilung einer Frist zur "postalische Weiterleitung" vom Aussenministerium an die Botschaft in der Schweiz und zur Identifizierung der Angelegenheit geht. Dem fremden Staat soll - wie dargelegt - erlaubt werden, gestützt auf seine interne Kompetenzordnung immunitätsrechtliche und diplomatische Überlegungen zu treffen. Entgegen der Auffassung der Aufsichtsbehörde stellen die Angaben auf dem Zahlungsbefehl für sich allein kein hinreichendes Kriterium dar, um die Fristverlängerung zu verweigern.
4.4.2 Weiter hat die Aufsichtsbehörde angeführt, dass der Rechtsanwalt des Beschwerdeführers in der Schweiz zwar nicht als Zustelldomizil bezeichnet worden sei, jedoch im hängigen Rechtsstreit am 15. Juni 2009 eine Kopie des Betreibungsbegehrens erhalten habe. Deshalb sei es dem Beschwerdeführer bereits vor Zustellung des Zahlungsbefehls hinlänglich möglich gewesen, die rechtliche Situation abzuklären und das Nötige in die Wege zu leiten, um "rechtzeitig" - m.a.W. ohne dass eine Fristverlängerung gerechtfertigt wäre - Rechtsvorschlag zu erheben. Die Überlegung der Vorinstanz ist insofern richtig, als dass das Betreibungsamt dem Schuldner im Ausland die Frist für den Rechtsvorschlag so zu bestimmen hat, dass sie nicht nur die Übermittlung des Zahlungsbefehls, sondern dem Schuldner auch erlaubt, sich zuvor z.B. bei einem Anwalt in der Schweiz selbst zu erkundigen, was er zur Wahrung seiner Rechte zu tun hat (BGE 70 III 76 S. 78; <ref-ruling> E. 3a S. 7). Allerdings kann - umgekehrt - einem Schuldner im Ausland die Fristverlängerung nicht deshalb verweigert werden, nur weil er bereits einen Rechtsvertreter in der Schweiz hat (RUSSENBERGER/SAUTER, Kurzkommentar SchKG, 2009, N. 16 zu <ref-law>). Für den Ermessensentscheid bleiben die konkreten Umstände massgebend.
4.4.3 Der Beschwerdeführer beschränkt sich einzig auf den Hinweis, dass erst die zuständigen Personen in der Botschaft in Bern (am 1. Oktober 2009) in der Lage gewesen seien, "den Zahlungsbefehl zu verstehen". Er geht nicht darauf ein, dass für die Aufsichtsbehörde der Umstand, dass er einen Rechtsvertreter in der Schweiz hatte und dieser über die Einleitung der Betreibung am 15. Juni 2009 in Kenntnis gesetzt wurde, ein entscheidendes Kriterium bei der Beurteilung der Fristverlängerung war. Er stellt nicht in Frage, dass ihm möglich gewesen sein soll, den mit dem Rechtsstreit bereits befassten schweizerischen Rechtsanwalt zu konsultieren. Anhaltspunkte, dass die Verständigung und Erläuterung des zu erwartenden Zahlungsbefehls besonderen Zeit- und Verständigungsaufwand benötigt hätten (vgl. RUSSENBERGER/SAUTER, a.a.O., N. 16 zu <ref-law>), sind nicht ersichtlich, zumal (nach Angabe des Beschwerdeführers) jedenfalls das Personal der israelischen Botschaft die Bedeutung des Zahlungsbefehls versteht. Vor dem Hintergrund, dass der Beschwerdeführer über die Einleitung der Betreibung am 15. Juni 2009 in Kenntnis gesetzt wurde, erscheint haltbar, wenn die Aufsichtsbehörde eine Fristverlängerung bis Ende September 2009, d.h. von einem Monat, und damit eine gesamte Rechtsvorschlagsfrist von rund 40 Tagen als angemessen erachtet hat. Die Verweigerung der Fristverlängerung bis zum 6. Oktober 2009 stellt demnach keinen hinreichenden Grund dar, um in das Ermessen der kantonalen Behörde einzugreifen.
4.5 An diesem Ergebnis vermögen die weiteren Ausführungen des Beschwerdeführers nichts zu ändern.
4.5.1 Der Hinweis, wonach im vom Betreibungsamt verwendeten HZÜ-Musterformular kein Vermerk betreffend Fristen angebracht worden sei, findet in den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz keine Stütze (<ref-law>) und muss als neu und unzulässig gelten. Die weiteren Ausführungen, wonach die Zustellung unwirksam sei, weil der gemäss HZÜ übermittelte Zahlungsbefehl nicht auf Hebräisch übersetzt worden sei, gehen fehl. Die Vorinstanz hat - unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.2 S. 756 betreffend mangelhaftes Zustellersuchen und Wirkung der Zustellung - ausführlich begründet, dass in Fällen der (förmlichen) Zustellung nach Art. 5 Abs. 1 HZÜ die zentrale Behörde eine Übersetzung verlangen könne (Art. 5 Abs. 3 HZÜ), und auf die Ergänzungen im Formular in französischer Sprache hingewiesen. Vorliegend sei nie eine Übersetzung verlangt worden, weshalb die Zustellung wirksam sei. Der Beschwerdeführer geht auf diese Begründung nicht ein (<ref-law>), sondern hält selber fest, dass das umstrittene Zustellersuchen den formellen Anforderungen des HZÜ "gerecht sein mag".
4.5.2 Entgegen der Meinung des Beschwerdeführers ist für den auf dem diplomatischen Weg zugestellten Zahlungsbefehl eine Übersetzung nicht erforderlich. Zum einen beziehen sich die für die Verwendung des Formulars und die Übersetzung einschlägigen Bestimmungen (Art. 3 und Art. 4-7 HZÜ) auf die (förmliche) Zustellung via die zentrale Behörde des ersuchten Staates (vgl. BISCHOF, Die Zustellung im internationalen Rechtsverkehr in Zivil- und Handelssachen, 1997, S. 277), nicht auf den diplomatischen Weg. Zum anderen gibt es keine Anhaltspunkte, dass das als "commandement de payer" bezeichnete Schriftstück vom israelischen Aussenministerium nicht verstanden worden wäre. Zudem übergeht der Beschwerdeführer, dass die schweizerische Botschaft im Übermittlungsschreiben vom 20. August 2009 das Schriftstück zusätzlich auf Englisch (als "summons to pay" des "Debt Enforcement Office" von Bern) erläutert hat. Von einer unwirksamen oder gegen Vorschriften im Sinne von <ref-law> verstossenden Zustellung kann nicht gesprochen werden.
4.5.3 Schliesslich ist nicht ersichtlich, dass die Aufsichtsbehörde die Regeln über Wiederherstellung einer versäumten Frist (<ref-law>) verletzt habe. Dass der Beschwerdeführer sich "in gutem Glauben" auf die Zweimonatsfrist verlassen habe, genügt nicht um darzutun, dass die Fristverhinderung unvorhergesehen und vollkommen unverschuldet sei (dazu RUSSENBERGER/SAUTER, a.a.O., N. 22 zu <ref-law>).
4.6 Nach dem Dargelegten ist mit Bundes- und Völkerrecht vereinbar, wenn die Aufsichtsbehörde zum Ergebnis gelangt ist, dass das Betreibungsamt nach wirksamer Zustellung des Zahlungsbefehls den Rechtsvorschlag als verspätet zurückweisen durfte.
5. Der Beschwerde in Zivilsachen ist kein Erfolg beschieden. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zu leisten, zumal die Beschwerdegegnerin auf eine Stellungnahme verzichtet hat und ihr keine weiteren Kosten im bundesgerichtlichen Verfahren entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante