Sachverhalt:
A. Am 14. Dezember 2010 hatte X._ seine Frau Z._ vor dem Bezirksgericht Zofingen auf Ungültigkeit der Ehe verklagt und für diesen Prozess um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Das Bezirksgericht hatte dem Kläger mit Verfügung vom 15. März 2011 die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Therese Buchegger als unentgeltliche Rechtsvertreterin eingesetzt. Die Eheungültigkeitsklage hatte es mit Urteil vom 9. Juni 2011 abgewiesen.
B. B.a X._ zog das Urteil mit Berufung vom 5. September 2011 an das Obergericht des Kantons Aargau weiter. Auch für das Berufungsverfahren verlangte er die unentgeltliche Rechtspflege.
B.b Mit Verfügung vom 29. September 2011 forderte der Instruktionsrichter X._ auf, binnen zehn Tagen aktuelle Belege einzureichen, die über sein Einkommen sowie über die regelmässige Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen und Steuern Auskunft geben. Mit Eingabe vom 19. Oktober 2011 reichte X._ verschiedene Unterlagen ein.
B.c Am 20. Oktober 2011 wies der Instruktionsrichter des Obergerichts das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ab. Er setzte X._ eine Frist von zehn Tagen zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'500.-- und verfügte, dass das Verfahren bis zu dessen Bezahlung eingestellt bleibt.
C. Hierauf gelangt X._ (fortan Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung des Obergerichts des Kantons Aargau aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventualiter sei ihm für das hängige Verfahren vor Obergericht die unentgeltliche Rechtspflege zu erteilen. Schliesslich stellt er auch für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Obergericht wurde zur Vernehmlassung eingeladen. Es hat auf eine Stellungnahme jedoch ausdrücklich verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG), mit dem das Gesuch des Beschwerdeführers um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen wurde. Dieser Entscheid ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann und daher gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG selbständig anfechtbar ist (Urteile 5A_10/2007 vom 23. März 2007 E. 2.3; 5A_262/2008 vom 8. September 2008 E. 1.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1 S. 131).
1.2 Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). Hier hat das Verfahren in der Hauptsache die Ungültigerklärung, eventuell die Scheidung der Ehe des Beschwerdeführers samt Regelung der Scheidungsfolgen zum Gegenstand. In Frage steht also eine Zivilsache im Sinne von Art. 72 Abs. 1 BGG. Auch wenn dieser Streit neben den nicht vermögensrechtlichen vermögensrechtliche Fragen betrifft, wäre die Beschwerde in Zivilsachen in der Hauptsache ohne Streitwerterfordernis zulässig (Urteil 5A_311/2010 vom 3. Februar 2011 E. 1.1). Das gleiche Rechtsmittel steht daher grundsätzlich auch gegen den angefochtenen Entscheid betreffend die unentgeltliche Rechtspflege offen.
2. Gemäss Art. 117 ZPO hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a ) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b).
2.1 Das Obergericht wies das Armenrechtsgesuch wegen fehlender Bedürftigkeit des Beschwerdeführers ab. Dass es sich in der Folge mit der Aussichtslosigkeit seiner Rechtsbegehren nicht auch noch auseinandersetzte, liegt in der Natur der Sache. Von einer Verletzung der Begründungspflicht im Sinne von Art. 29 Abs. 2 BV kann demnach keine Rede sein. Vielmehr folgt aus dem angefochtenen Entscheid, dass auch vor Bundesgericht einzig die Anspruchsvoraussetzung der Bedürftigkeit umstritten ist.
2.2 Ob die Kriterien zur Bestimmung der Bedürftigkeit gemäss Art. 117 lit. a ZPO zutreffend angewendet worden sind, prüft das Bundesgericht frei; tatsächliche Feststellungen der kantonalen Behörden überprüft es hingegen nur auf Willkür (Art. 9 BV) hin (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 14 mit Hinweis). Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Was die Rüge willkürlicher Sachverhaltsfeststellung anbelangt, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Feststellungen für den Ausgang des Verfahrens (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22) im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein, das heisst mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, auf einem offenkundigen Versehen beruhen oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lassen sollen (<ref-ruling> E. 4.3 S. 62 mit Hinweisen).
2.3 Als bedürftig gilt, wer für die Kosten eines Prozesses nicht aufkommen kann, ohne die Mittel anzugreifen, derer er zur Deckung des notwendigen Lebensunterhalts für sich und seine Familie bedarf (<ref-ruling> E. 2.5.1. S. 232; <ref-ruling> E. 3b S. 205). In zeitlicher Hinsicht ist die wirtschaftliche Situation des Gesuchstellers im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgeblich. Dabei ist die gesamte finanzielle Lage zu berücksichtigen. Der Gesuchsteller muss sowohl seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse als auch sämtliche finanziellen Verpflichtungen vollständig angeben und soweit möglich belegen (<ref-ruling> E. 3a S. 181; <ref-ruling> E. 2a S. 2, 97 E. 3b S. 98; <ref-ruling> E. 4a S. 370; Urteil 4D_41/2009 vom 14. Mai 2009 E. 3). Schuldverpflichtungen können bei der Ermittlung des Existenzminimums allerdings nur dazugerechnet werden, wenn sie tatsächlich erfüllt werden (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 22). Auf alte Verbindlichkeiten, die er nicht mehr tilgt, kann sich der Rechtsunterworfene nicht berufen, um in den Genuss unentgeltlichen Rechtspflege zu kommen (Urteil 4P.95/2000 vom 16. Juni 2000 E. 2h). Soweit die finanziellen Mittel des Gesuchstellers den Betrag überschreiten, dessen er zur Deckung seiner persönlichen Bedürfnisse bedarf, ist dieser Überschuss mit den voraussichtlichen Kosten des Verfahrens in Beziehung zu setzen, für das um unentgeltliche Rechtspflege ersucht wird; dabei sollte der monatliche Überschuss es ihm ermöglichen, die Prozesskosten bei weniger aufwendigen Prozessen binnen eines Jahres, bei anderen binnen zweier Jahre zu tilgen. Entscheidend ist zudem, ob der Gesuchsteller in der Lage ist, die anfallenden Gerichts- und Anwaltskostenvorschüsse in absehbarer Zeit zu leisten (BGE <ref-ruling> E. 4a S. 370 f.; <ref-ruling> E. 5b S. 109).
3. 3.1 Mit Bezug auf die Einkünfte stellte das Obergericht zum einen auf die Abrechnungen der Arbeitslosenkasse S._ für die Monate Juni bis September 2011 ab, die der Beschwerdeführer eingereicht habe. Die Arbeitslosenentschädigung für diese vier Monate habe "netto vor Abzug der Zahlungen an Dritte (Betreibungsamt A._)" insgesamt Fr. 12'322.90 betragen. Zum anderen berücksichtigte das Obergericht in dieser Periode erzielte Zwischenverdienste von insgesamt Fr. 2'552.20 brutto. Vom zuletzt genannten Betrag zog es die Beiträge für AHV/IV/EO/ALV in der Höhe von 5.65% ab, woraus ein Nettozwischenverdienst von Fr. 2'408.00 resultierte. Gestützt auf diese Erhebungen rechnete das Obergericht dem Beschwerdeführer für die Monate Juni bis September 2011 ein Nettoeinkommen von insgesamt Fr. 14'730.-- bzw. "rund" Fr. 3'680.-- pro Monat an.
Im Zusammenhang mit der in den Monatsabrechnungen der Arbeitslosenkasse enthaltenen Position "Abzug Dritte Betreibungsamt A._" hielt das Obergericht dem Beschwerdeführer vor, er habe nicht dargelegt, wofür diese Abzüge vorgenommen wurden und ob die Beträge in der Zeit ab Oktober 2011 weiterhin abgezogen werden. Die Abzüge seien daher bei der Festsetzung des zivilprozessualen Existenzminimums nicht zu berücksichtigen.
3.2 Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, das Obergericht habe die Lohnpfändungen, welche die Arbeitslosenkasse von seinen Taggeldern zuhanden des Betreibungsamtes A._ abziehe, weder bei der Ermittlung seines Nettoeinkommens noch bei der Festsetzung seines zivilprozessualen Zwangsbedarfs berücksichtigt. Diese Rüge ist begründet, und zwar in doppelter Hinsicht:
3.2.1 Entgegen der Ansicht des Obergerichts kommt es nicht darauf an, für welche Art von Schulden die Betreibung eingeleitet und dass Taggelder gepfändet worden sind, denn dem Beschwerdeführer bleibt verwehrt, beim Betreibungsamt wegen der anstehenden Gerichts- und Anwaltskosten eine Neufestsetzung seines Existenzminimums zu erwirken (Urteil 5P.448/2004 vom 11. Januar 2005 E. 2.3). Entscheidend ist vielmehr der alleinige Umstand, dass dem Beschwerdeführer in der fraglichen Zeit ein mitunter beträchtlicher Teil seines Einkommens zwangsweise weggenommen wurde und die Arbeitslosenkasse ihm lediglich den um diesen Abzug reduzierten Betrag an Taggeldern ausbezahlt hat. Dass es sich bei diesem Vorgang um nichts anderes als um eine Lohnpfändung handeln konnte, ist offensichtlich und musste auch dem Obergericht ins Auge springen. Demnach hätte die Vorinstanz den gepfändeten Anteil den Einkünften nicht mit dem blossen Hinweis wieder dazurechnen dürfen, der Beschwerdeführer habe nicht dargelegt, wofür die Abzüge vorgenommen wurden.
3.2.2 Dass das Obergericht die im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung (noch) vollstreckte Pfändung ausser Acht gelassen hat, wäre wohl nicht zu beanstanden, wenn die Zwangsvollstreckungshandlung in der Tat unmittelbar nach dem Entscheid über das Gesuch beendet würde und für die Zeit danach die Bedürftigkeit verneint werden könnte. Dies setzt indes eine gesicherte Kenntnis über diese Tatsache voraus. Nach Art. 119 Abs. 2 ZPO obliegt es zwar dem Gesuchsteller, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich auch zu belegen. Diesbezüglich trifft ihn eine umfassende Mitwirkungspflicht. An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Situation durch den Gesuchsteller selbst dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer diese Verhältnisse sind. Verweigert ein Gesuchsteller die zur Beurteilung seiner aktuellen Gesamtsituation erforderlichen Angaben oder Belege, so kann die Behörde die Bedürftigkeit ohne Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs verneinen (<ref-ruling> E. 3a S. 181 f.). Insbesondere ist die mit dem Gesuch befasste Behörde weder verpflichtet, den Sachverhalt von sich aus nach jeder Richtung hin abzuklären, noch muss sie unbesehen alles, was behauptet wird, von Amtes wegen überprüfen. Allerdings muss sie den Sachverhalt dort (weiter) abklären, wo noch Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, sei es, dass sie von einer Partei auf solche - wirkliche oder vermeintliche - Fehler hingewiesen wird, sei es, dass sie sie selbst feststellt (Urteil 5A_382/2010 vom 22. September 2010 E. 3.1 mit Hinweisen). Soweit das Obergericht der Auffassung war, die Berücksichtigung der Dauer der Pfändung sei für seinen Entscheid relevant, war es gehalten, den Sachverhalt weiter abzuklären. Das hat es nicht getan.
3.3 In tatbeständlicher Hinsicht macht der Beschwerdeführer sodann geltend, entgegen der Annahme des Obergerichts hätten die Taggeldabrechnungen der Arbeitslosenkasse nicht nur für die Monate Juni 2011 bis September 2011 vorgelegen, sondern bereits ab Mai 2011. Zu Recht verweist er diesbezüglich auf seine Berufung vom 5. September 2011, der er die Abrechnung für den Monat Mai 2011 beigelegt hatte. Will das Obergericht auf ein Durchschnittseinkommen abstellen, so wird es dabei auch die Mai-Abrechnung zu berücksichtigen haben, zumal aufgrund der Akten keine Gründe ersichtlich sind, die dagegen sprächen.
3.4 Weiter beanstandet der Beschwerdeführer die Höhe der vom Obergericht auf seinem Zwischenverdienst vorgenommenen Sozialabzüge von 5.65%; richtig sei ein Abzug von 6.25%. Der Vorwurf trifft zu: Der hälftige Beitrag des Arbeitnehmers für die ALV beträgt 1.1% (Art. 3 Abs. 2 und 3 AVIG); derjenige für AHV/IV/EO insgesamt 5.15% (Art. 5 Abs. 1 AHVG; Art. 3 Abs. 1 IVG; Art. 27 EOG i.V.m. Art. 36 EOV).
4. Hinsichtlich der Ermittlung seines zivilprozessualen Existenzminimums rügt der Beschwerdeführer, das Obergericht habe von den tatsächlich erfolgten Kinderunterhaltszahlungen für seinen Sohn Y._ willkürlich Kinderzulagen von Fr. 250.-- pro Monat abgezogen.
4.1 Als anrechenbare Ausgaben des Beschwerdeführers berücksichtigte das Obergericht Unterhaltszahlungen von Fr. 3'850.-- für den Zeitraum Januar bis Oktober 2011 und setzte im Existenzminimum des Beschwerdeführers unter dem Titel "Alimente" zunächst den Durchschnittswert von Fr. 385.-- pro Monat ein. Diesen Betrag reduzierte es aber sogleich um Fr. 250.-- auf Fr. 135.-- mit der Begründung, gemäss Kontoauszug der Alimenteninkasso W._ GmbH vom 18. Oktober 2011 erhalte der Beschwerdeführer seit September "offenbar" Kinderzulagen in besagter Höhe.
4.2 Der Beschwerdeführer bestreitet, im fraglichen Zeitraum Kinderzulagen erhalten zu haben; wenn es solche gegeben hätte, wären diese in den Taggeldabrechnungen der Arbeitslosenkasse separat aufgeführt worden. Aus dem erwähnten Kontoauszug ergebe sich überdies, dass die Zulagen zusätzlich zu den Alimenten von Fr. 500.-- berechnet würden.
4.3 Das Vorgehen des Obergerichts wäre nur dann zulässig, wenn der Beschwerdeführer erstens tatsächlich Kinderzulagen bezogen hätte und zweitens die gerichtlich festgelegten Kinderunterhaltsbeiträge - entgegen aller Usanz - inklusive Kinderzulagen zu verstehen waren. Keine der beiden erforderlichen tatsächlichen Annahmen findet in den Akten eine Stütze: Der Kontoauszug der Alimenteninkasso W._ GmbH führt in der Rubrik "Forderungen" lediglich die Geldbeträge auf, mit deren Inkasso die Gesellschaft beauftragt wurde, darunter die Kinderzulagen. Er enthält eine Gegenüberstellung von "Soll" und "Haben" und zeigt den daraus resultierenden Saldo der ausstehenden Alimente. Das Schriftstück erschöpft sich mit anderen Worten in einer Darstellung der Buchhaltung des Gläubigers. Der daraus gezogene Schluss, das Gemeinwesen hätte dem Beschwerdeführer seit Mai 2011 tatsächlich Kinderzulagen ausgerichtet, lässt sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen.
5. Nach dem Gesagten erweist sich der angefochtene Entscheid als bundesrechtswidrig. Den weiteren Rügen, das Obergericht habe den Untersuchungsgrundsatz und mit seiner antizipierten Beweiswürdigung das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt, kommt keine eigenständige Bedeutung mehr zu. Die Beschwerde ist gutzuheissen; das angefochtene Urteil ist aufzuheben und zur ergänzenden Tatsachenfeststellung und zu neuem Entscheid an das Obergericht des Kantons Aargau zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG). Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Hingegen hat das Obergericht als unterliegende Partei den Beschwerdeführer voll zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, vom 20. Oktober 2011 wird aufgehoben. Die Sache wird zur ergänzenden Tatsachenfeststellung und zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Das Obergericht des Kantons Aargau hat den Beschwerdeführer für das Verfahren vor Bundesgericht mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Februar 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn