Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. 1968) und Y._ (geb. 1963) haben 1996 in Gambia geheiratet und leben seit November 2010 getrennt. Sie sind die Eltern des Z._ (geb. 2004). Im Rahmen eines Eheschutzverfahrens stellte das Richteramt Solothurn-Lebern mit Urteil vom 26. November 2010 den Sohn unter die elterliche Obhut der Mutter und verpflichtete den Vater zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen. Das Urteil erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
A.b Am 8. September 2011 reichten die Parteien beim Richteramt Solothurn-Lebern ein gemeinsames Scheidungsbegehren ein. Anlässlich einer Gerichtsverhandlung vom 18. November 2011 vor dem Amtsgerichtspräsidenten beantragte die Ehefrau den Erlass vorsorglicher Massnahmen. Der Ehemann widersetzte sich den meisten Begehren und ersuchte seinerseits um Herabsetzung der im Eheschutzverfahren gesprochenen Unterhaltsbeiträge. Gleichentags hiess der Amtsgerichtspräsident die Anträge der Mutter gut und wies denjenigen des Vaters ab. Er stellte Z._ unter die alleinige elterliche Sorge der Mutter, beauftragte die zuständige Vormundschaftsbehörde, für Z._ eine Erziehungsbeistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 2 ZGB zu errichten, und den KJPD, bis Ende März 2012 einen Bericht zur Frage der elterlichen Sorge und der Regelung des persönlichen Verkehrs zu verfassen.
B. Gegen die Zuweisung der alleinigen elterlichen Sorge an die Mutter und die verweigerte Herabsetzung des Unterhaltsbeitrages für die Ehefrau führte X._ Berufung, welche das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 15. Februar 2012 abwies.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. März 2012 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und beantragt, den Entscheid des Obergerichts hinsichtlich der vorsorglichen Zuweisung der alleinigen elterlichen Sorge an Y._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) aufzuheben. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer nicht vermögensrechtlichen Zivilsache (Regelung der elterlichen Sorge als vorsorgliche Massnahme für die Dauer des Scheidungsverfahrens). Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich offen (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 431).
1.2 Weil es sich um eine vorsorgliche Massnahme im Sinn von Art. 98 BGG handelt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 397), kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Rechtslage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Ob der Beschwerdeführer diesen Rügeanforderungen nachkommt, wird im Sachzusammenhang zu prüfen sein.
1.3 Der Beschwerdeführer beantragt, eine Verhandlung durchzuführen. Es bleibt aber unklar, ob er damit die Durchführung einer Parteiverhandlung meint (Art. 57 BGG) oder eine mündliche Urteilsberatung verlangt (Art. 58 BGG). So oder anders begründet er seinen Antrag nicht, so dass nicht darauf eingetreten werden kann.
2. Umstritten ist die für die Dauer des Scheidungsverfahrens vorsorglich angeordnete Zuweisung der alleinigen elterlichen Sorge über den Sohn Z._ an die Beschwerdegegnerin.
2. Umstritten ist die für die Dauer des Scheidungsverfahrens vorsorglich angeordnete Zuweisung der alleinigen elterlichen Sorge über den Sohn Z._ an die Beschwerdegegnerin.
2.1 2.1.1 Ist ein Scheidungsverfahren rechtshängig, trifft das Gericht die nötigen vorsorglichen Massnahmen (Art. 276 Abs. 1 ZPO). Für die Aufhebung oder Änderung von Massnahmen, die das Eheschutzgericht angeordnet hat, ist das Scheidungsgericht zuständig (Art. 276 Abs. 2 ZPO; gemeint ist damit das Gericht, das im Scheidungsverfahren zum Erlass vorsorglicher Massnahmen zuständig wäre ). Die Bestimmungen über die Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft (Art. 172 ff. ZGB) sind sinngemäss anwendbar (Art. 276 Abs. 1 ZPO). Sind Kinder betroffen, trifft der Richter Massnahmen nach Massgabe der Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses (Art. 176 Abs. 3 ZGB). Namentlich kann das Gericht die elterliche Sorge einem Ehegatten allein zuteilen (Art. 297 Abs. 2 ZGB). In der Regel wird im Rahmen des Eheschutzverfahrens oder von vorsorglichen Massnahmen während des Scheidungsverfahrens jedoch nur das Obhutsrecht übertragen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 356 mit Hinweisen). In diesem Sinne ist die elterliche Sorge in derartigen Verfahren nur ausnahmsweise und in begründeten Fällen einem Elternteil allein zuzuweisen.
2.1.2 Der Begriff der elterlichen Sorge wird im Gesetz nicht definiert. Nach der Rechtsprechung ist darunter ein Pflichtrecht zu verstehen, das die Gesamtheit der elterlichen Verantwortlichkeit und Befugnisse gegenüber dem Kind umfasst, insbesondere mit Bezug auf die Erziehung, die gesetzliche Vertretung und die Vermögensverwaltung (<ref-ruling> E. 3.1 S. 356 mit Hinweisen). Neben dem Obhutsrecht umfasst die elterliche Sorge das Recht auf Bestimmung des Namens (vgl. Art. 301 Abs. 4 ZGB), die Pflicht zur Verschaffung der allgemeinen und beruflichen Ausbildung (vgl. Art. 302 ZGB) und das Verfügungsrecht betreffend die religiöse Erziehung (vgl. Art. 303 ZGB). Ebenfalls dazu gehören andere einschneidende bzw. das Leben des Kindes prägende Weichenstellungen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 357).
2.2 Indem es teilweise auf die Begründung des erstinstanzlichen Richters Bezug nimmt, erwägt das Obergericht, beide Eltern - er Muslim und sie Katholikin - würden ihre Religion aktiv ausüben. Die verschiedene Religionszugehörigkeit habe über längere Zeit unter den Parteien kein grosses Problem dargestellt. Mit der Geburt und Erziehung des Sohnes habe das Nebeneinander der sehr unterschiedlichen Religionen allerdings zu Spannungen geführt. Die Aussagen der Mutter über das allgemeine Verhalten des Kindes und der schulischen Leistungen seien glaubhaft. Damit sei das Kindeswohl gefährdet. Bereits im Eheschutzverfahren seien religiöse und weltanschauliche Divergenzen geäussert worden. Grundsätzlich entscheide der Inhaber der elterlichen Sorge über die religiöse Erziehung; verheiratete Eltern entschieden gemeinsam. Indes lebe das Kind bei seiner Mutter. Sie sei die Hauptbezugsperson und müsse im Alltag das Sagen haben. Angesichts der konfliktbeladenen Verhältnisse erscheine die gemeinsame elterliche Sorge für die Zeit nach der Scheidung wenig wahrscheinlich; es müsse davon ausgegangen werden, dass der Mutter die alleinige elterliche Sorge übertragen werde. Es liege daher im Kindeswohl, bereits heute diesbezüglich klare Verhältnisse zu schaffen.
2.2 Indem es teilweise auf die Begründung des erstinstanzlichen Richters Bezug nimmt, erwägt das Obergericht, beide Eltern - er Muslim und sie Katholikin - würden ihre Religion aktiv ausüben. Die verschiedene Religionszugehörigkeit habe über längere Zeit unter den Parteien kein grosses Problem dargestellt. Mit der Geburt und Erziehung des Sohnes habe das Nebeneinander der sehr unterschiedlichen Religionen allerdings zu Spannungen geführt. Die Aussagen der Mutter über das allgemeine Verhalten des Kindes und der schulischen Leistungen seien glaubhaft. Damit sei das Kindeswohl gefährdet. Bereits im Eheschutzverfahren seien religiöse und weltanschauliche Divergenzen geäussert worden. Grundsätzlich entscheide der Inhaber der elterlichen Sorge über die religiöse Erziehung; verheiratete Eltern entschieden gemeinsam. Indes lebe das Kind bei seiner Mutter. Sie sei die Hauptbezugsperson und müsse im Alltag das Sagen haben. Angesichts der konfliktbeladenen Verhältnisse erscheine die gemeinsame elterliche Sorge für die Zeit nach der Scheidung wenig wahrscheinlich; es müsse davon ausgegangen werden, dass der Mutter die alleinige elterliche Sorge übertragen werde. Es liege daher im Kindeswohl, bereits heute diesbezüglich klare Verhältnisse zu schaffen.
2.3 2.3.1 An den tatsächlichen Feststellungen (einschliesslich der Beweiswürdigung) des Obergerichts bemängelt der Beschwerdeführer, es würden einfach die Aussagen der Beschwerdegegnerin, er sei ein Extremist, als glaubhaft taxiert, während seinen eigenen Aussagen keine Beachtung geschenkt werde; die Massnahme stehe im klaren Widerspruch zur tatsächlichen Situation, welche eine Zuteilung der elterlichen Sorge in keiner Weise erfordere; während Jahren sei die Religion unter den Parteien kein Thema gewesen und die Beschwerdegegnerin versuche offensichtlich, mit aller Macht das Kind an sich zu reissen. Diese Ausführungen erschöpfen sich in typischer appellatorischer Kritik, wie sie zur Begründung von Willkürrügen unzulässig ist (vgl. E. 1.2). Der Beschwerdeführer begnügt sich damit, die Sachlage aus seiner eigenen Sicht darzulegen, ohne im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
Ins Leere läuft auch der Einwand, das Obergericht hätte keine eigenen Abklärungen getroffen und das Ergebnis des beim KJPD in Auftrag gegebenen Berichts abwarten müssen, denn es hat bereits für die Dauer des Scheidungsverfahrens einen unmittelbaren Regelungsbedarf festgestellt, indem religiöse und weltanschauliche Differenzen zwischen den Eltern zu Spannungen führen würden, welche dem Kindeswohl abträglich seien. Auf der Basis dieser willkürfrei festgestellten Ausgangslage bedurfte es keiner weitergehenden Abklärungen, um gewisse Kompetenzen für die Dauer des Scheidungsverfahrens zu regeln.
2.3.2 Der Beschwerdeführer rügt ausserdem eine willkürliche Anwendung von Art. 297 Abs. 2 ZGB. Das Obergericht habe überhaupt nicht geprüft, ob die bereits erfolgte Zuteilung der Obhut an die Beschwerdegegnerin für die Dauer des Verfahrens ausreichend wäre. Im Ergebnis sei der Entscheid unhaltbar, weil ohne Notwendigkeit massiv in die Rechtsstellung des Beschwerdeführers eingegriffen werde.
Indem es sich die Erwägungen der ersten Instanz im angefochtenen Entscheid zu eigen machte, befand das Obergericht, dass der Entscheid über die religiöse Erziehung des Sohnes dem Inhaber der elterlichen Sorge zustehe. Die Richtigkeit dieser Aussage bestreitet der Beschwerdeführer - zu Recht - nicht (vgl. auch E. 2.1.2). Unter Willkürgesichtspunkten kann keine Rede davon sein, das Obergericht habe die Verhältnismässigkeit und damit die Notwendigkeit der streitgegenständlichen Massnahme nicht geprüft, denn mit seiner Begründung hat es erklärt, weshalb für derartige Fragen die blosse Regelung der Obhut nicht genügt.
Auch mit dem Vorhalt des präjudiziellen Charakters der streitigen Massnahme lässt sich keine Willkür dartun, denn der Scheidungsrichter wird in der Frage der elterlichen Sorge auf den in Auftrag gegebenen Bericht abzustellen haben.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer unterliegt und wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden, weshalb es an einer materiellen Voraussetzung der unentgeltlichen Rechtspflege mangelt (Art. 64 Abs. 1 BGG) und das entsprechende Gesuch abzuweisen ist. Der Beschwerdegegnerin sind keine entschädigungspflichtigen Aufwendungen entstanden (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. April 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn