Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 9. September 2010 lehnte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen das Rentenbegehren von A._ (Jg. 1970) - nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren - mangels invalidisierenden Gesundheitsschadens ab.
B. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 17. August 2012 dahingehend gut, dass es der Versicherten für die Zeit ab 1. Januar 2009 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zusprach.
C. Die IV-Stelle beantragt mit Beschwerde ans Bundesgericht die Aufhebung des kantonalen Entscheids; zudem sei ihrer Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen; ferner ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. <ref-law>) - Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann das Bundesgericht nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft indessen - unter Beachtung der allgemeinen Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2. Das kantonale Gericht hat die heutige Beschwerdegegnerin - wie zuvor schon die Verwaltung - als im Gesundheitsfall voll Erwerbstätige eingestuft und die Invaliditätsbemessung dementsprechend mittels Einkommensvergleichs nach <ref-law> vorgenommen. Dabei ist es gestützt auf das Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) vom 24. April 2009 bei der Ermittlung des trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung zumutbarerweise erzielbaren Verdienstes (Invalideneinkommen) von einer 50%igen Verminderung der Arbeitsfähigkeit ausgegangen. Die Beschwerdeführerin hatte demgegenüber in ihrer Verfügung vom 9. September 2010 ein uneingeschränktes erwerbliches Leistungsvermögen angenommen; dies in der Erwägung, "die Willensanstrengung zur Schmerzüberwindung (sei) zumutbar".
3. 3.1 Zur Begründung der Beschwerde wird festgehalten, es sei eine Rechtsfrage, ob eine psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist oder aber weitere Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft auf eine mit zumutbarer Willensanstrengung nicht überwindbare Schmerzstörung und damit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu schliessen; ebenso stelle sich die Rechtsfrage, ob die ärztliche Einschätzung der psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit invaliditätsfremde Gesichtspunkte mitberücksichtigt.
3.2 Damit will die Beschwerde führende Verwaltungsstelle offenbar geltend machen, das kantonale Gericht habe diese Grundsätze missachtet, weshalb der angefochtene Entscheid vor Bundesrecht nicht standhalte. Obschon sie dies nicht ausdrücklich sagt und auch nicht detailliert darlegt, inwiefern dies hätte geschehen sein sollen, kann die in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genannte Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (E. 1 hievor) knapp als erfüllt gelten, sodass auf das erhobene Rechtsmittel einzutreten ist.
4. 4.1 Nach der Rechtsprechung, auf welche die Verwaltung zur Begründung ihrer rentenverweigernden Verfügung vom 9. September 2010 verwiesen hatte, begründet eine fachärztlich (psychiatrisch) diagnostizierte anhaltende somatoforme Schmerzstörung als solche noch keine Invalidität. Vielmehr besteht eine Vermutung, dass die somatoforme Schmerzstörung oder ihre Folgen mit einer zumutbaren Willensanstrengung überwindbar sind. Bestimmte Umstände, welche die Schmerzbewältigung intensiv und konstant behindern, können den Wiedereinstieg in den Arbeitsprozess unzumutbar machen, weil die versicherte Person alsdann nicht über die für den Umgang mit den Schmerzen notwendigen Ressourcen verfügt. Ob ein solcher Ausnahmefall vorliegt, entscheidet sich im Einzelfall anhand verschiedener Kriterien. Im Vordergrund steht die Feststellung einer psychischen Komorbidität von erheblicher Schwere, Ausprägung und Dauer. Massgebend sein können auch weitere Faktoren, so: chronische körperliche Begleiterkrankungen; ein mehrjähriger, chronifizierter Krankheitsverlauf mit unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerdauernde Rückbildung; ein sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens; ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr beeinflussbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn; "Flucht in die Krankheit"); das Scheitern einer konsequent durchgeführten ambulanten oder stationären Behandlung (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) trotz kooperativer Haltung der versicherten Person. Je mehr dieser Kriterien zutreffen und je ausgeprägter sich die entsprechenden Befunde darstellen, desto eher sind - ausnahmsweise - die Voraussetzungen für eine zumutbare Willensanstrengung zu verneinen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 67 f. mit Hinweisen).
Diese im Bereich der somatoformen Schmerzstörungen entwickelten Grundsätze werden rechtsprechungsgemäss bei der Würdigung des invalidisierenden Charakters von Fibromyalgien (<ref-ruling> E. 4 S. 70), dissoziativen Sensibilitäts- und Empfindungsstörungen (SVR 2007 IV Nr. 45 S. 150, I 9/07 E. 4 am Ende), Chronic Fatigue Syndrome (CFS; chronisches Müdigkeitssyndrom) und Neurasthenie (Urteile 9C_662/2009 vom 17. August 2010 E. 2.3, 9C_98/2010 vom 28. April 2010 E. 2.2.2 und I 70/07 vom 14. April 2008 E. 5) sowie bei dissoziativen Bewegungsstörungen (Urteil 9C_903/2007 vom 30. April 2008 E. 3.4) analog angewendet. Ferner entschied das Bundesgericht in <ref-ruling>, dass sich ebenfalls sinngemäss nach der hievor dargelegten Rechtsprechung beurteilt, ob eine spezifische und unfalladäquate HWS-Verletzung (Schleudertrauma) ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle invalidisierend wirkt (<ref-ruling> E. 4.2 S. 68).
4.2 Der Betrachtungsweise der Verwaltung (E. 2 hievor in fine) zu folgen war das kantonale Gericht nicht bereit, weil es zur Auffassung gelangte, die Depression stelle die Grunderkrankung - und nicht eine Komorbidität - dar; sie bilde die medizinische Ursache für das zusätzlich aufgetretene Schmerzsyndrom; unter diesen Umständen aber sei die Schwere der Depression ausschlaggebend für das Ausmass der objektiven Arbeitsunfähigkeit; deren Auswirkungen auf die Psyche erschwere oder verunmögliche eine Willensanstrengung. Vor diesem Hintergrund gelangte die Vorinstanz zum Schluss, dass für die Bestimmung des Arbeitsunfähigkeitsgrades auf die übereinstimmenden Angaben der involvierten medizinischen Fachpersonen abgestellt werden könne und demzufolge von einer 50%igen Verminderung des Leistungsvermögens - wie sie im MEDAS-Gutachten vom 24. April 2009 bescheinigt worden ist - auszugehen sei. Sowohl beim Validen- als auch beim Invalideneinkommen vom gleichen Hilfsarbeiterinnenlohn ausgehend ermittelte sie unter Zubilligung eines 10%igen behinderungsbedingten Abzuges von den als massgebend erachteten Lohnansätzen (Anhang 2 zu der von der Informationsstelle AHV/IV herausgegebenen Textausgabe 2012 des IVG) eine Invalidität von 55 %, womit ihr der Anspruch auf eine halbe Invalidenrente ab 1. Januar 2009 ausgewiesen erschien.
5. 5.1 Bei der Beschwerdegegnerin wurden anlässlich der polydisziplinären Begutachtung in der MEDAS Anfang März 2009 laut Expertise vom 24. April 2009 im Anschluss an eine gemeinsame interdisziplinäre Beratung der beteiligten Fachärzte eine rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig mittelschwere Episode mit somatischem Syndrom, ein diffuses, praktisch generalisiertes chronisches Schmerzsyndrom mit vielen vegetativen Begleitbeschwerden, ein Femoropatellarsyndrom beidseits und eine beginnende mediale Gonarthrose beidseits diagnostiziert. Der von der MEDAS konsiliarisch beigezogene Psychiater Dr. med. K._ warf im Anschluss an seine Untersuchung vom 3. März 2009 die Frage auf, ob die geklagten Schmerzempfindungen nicht einem schwer ausgeprägten somatischen Syndrom der Depression entsprächen. Mangels hinreichend konsistenter Angaben anlässlich der psychiatrischen Exploration distanzierte er sich jedenfalls von der Diagnose einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung und beschränkte sich auf die Diagnose einer rezidivierenden depressiven Störung, gegenwärtig mittelschwere Episode, mit somatischem Syndrom. Zudem stellte er fest, dass die Patientin im psychiatrischen Gespräch psychosoziale Belastungen als angebliche Ursachen ihrer Störungen mehr in den Vordergrund stellte als ihre Leiden selbst. Unter Anrechnung relativ starker somatischer Symptome schätzte er die Arbeitsunfähigkeit aufgrund des depressiven Syndroms auf 50 %. Dass die Versicherte sich nicht in der Lage fühle, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen, begründete er mit versicherungsfremden Aspekten wie - nebst finanziellen Problemen - mangelhafte Integration, schlechte Chancen auf dem Arbeitsmarkt wegen fehlender Ausbildung, aktuelle Belastungen durch Scheidung und Lernstörungen der Tochter sowie deren Platzierung. Weil das ausserhalb des psychiatrischen Bereichs diagnostizierte Femoropatellarsyndrom einerseits und die beidseits beginnende Gonarththrose andererseits lediglich zu einzelnen funktionalen Einschränkungen (kein häufiges Treppensteigen und kein längeres Abknien) führen, bei einer leidensangepassten Betätigung jedoch keine zusätzliche Behinderung bewirken, fiel die Arbeitsfähigkeitsschätzung in der MEDAS im Sinne einer Konsensfindung mit 50 % gleich wie diejenige des Psychiaters Dr. med. K._ aus.
5.2 Angesichts des weitestgehenden Fehlens eindeutiger Anhaltspunkte für Befindlichkeitsstörungen somatischen Ursprungs anlässlich der Begutachtung durch die Fachärzte der MEDAS leuchtet ein, dass die Vorinstanz der diagnostizierten rezidivierenden depressiven Entwicklung das Hauptgewicht der die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigenden Beschwerden beimass. Als im Sinne von <ref-law> offensichtlich unrichtige Feststellung sachverhaltlicher Art lässt sich dies jedenfalls nicht sehen. Dies umso weniger, als die Verwaltung kurz nach der Untersuchung in der MEDAS auch ihren Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) um eine Stellungnahme ersuchte, welcher in seiner Antwort jedoch keinerlei Bedenken hinsichtlich der Massgeblichkeit der Angaben der MEDAS-Ärzte hegte, sondern gegenteils vollumfänglich auf deren Expertise abzustellen bereit war. Was die IV-Stelle unter diesen Umständen dazu bewogen haben mag, dennoch - und von der Auffassung ihres RAD abweichend - von einer mit zumutbarer Willensanstrengung erreichbaren Überwindung der Schmerzempfindungen der Beschwerdegegnerin auszugehen, ist nicht nachvollziehbar. Nachdem auch die auf einer längeren Beobachtungsdauer beruhende Leidensbeschreibung der Ärzte der Psychiatrischen Klinik - wo sich die Beschwerdegegnerin ab Ende Januar bis Ende April 2008 mit einem einwöchigen Unterbruch stationär aufgehalten hatte - aufzeigt, dass den depressiven Anteilen am gesamten Leidensbild doch überwiegende Bedeutung zukommt, verbietet sich die in der Verfügung vom 9. September 2010 getroffene, jedoch mit keinem Wort näher begründete Annahme der IV-Stelle geradezu. Für das Bundesgericht besteht deshalb kein Anlass, von der hinsichtlich der Diagnosestellung grundsätzlich verbindlichen vorinstanzlichen Ausgangslage abzuweichen.
5.3 Ist nach dem Gesagten die rezidivierende depressive Störung nicht bloss als Begleiterscheinung einer Schmerzkrankheit, sondern vielmehr als ein selbstständiges, vom psychogenen Schmerzsyndrom losgelöstes depressives Leiden der Beschwerdegegnerin anzusehen, liegt nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung kein pathogenetisch (ätiologisch) unklarer syndromaler Zustand vor, bei welchem die bei somatoformen Schmerzstörungen bestehende Vermutung, dass die Behinderung oder deren Folgen mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar wären, Geltung beanspruchen würde (SVR 2012 IV Nr. 22 S. 95 f. E. 2.4; Urteil 9C_521/2012 vom 17. Januar 2013 E. 3.1.2 und 4.1). Das kantonale Gericht sah sich denn, entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin, zu Recht auch nicht zur näheren Klärung weiterer Kriterien veranlasst. Ebenso wenig kann davon gespochen werden, dass unzulässigerweise invaliditätsfremde Gesichtspunkte in die ärztliche Arbeitsunfähigkeitsschätzung Eingang gefunden hätten. Die Ärzte der MEDAS haben in ihrem Gutachten vom 24. April 2009 ausdrücklich festgehalten, dass bezüglich der Arbeitsprognose viele soziale und psychiatrische Faktoren eine Rolle spielten, welche "IV-rechtlich nicht invalidisierend" seien. Es kann deshalb durchaus davon ausgegangen werden, dass sie solche Aspekte im Rahmen ihrer Arbeitsunfähigkeitsschätzung ausgeklammert haben. Nichts eingewendet wird schliesslich gegen die von der Vorinstanz vorgenommene Invaliditätsbemessung, sodass weitere Ausführungen dazu unterbleiben können.
6. 6.1 Das Gesuch um aufschiebende Beschwerdewirkung - gegen deren Gewährung die Beschwerdegegnerin in ihrer Vernehmlassung vom 22. Januar 2013 nichts einzuwenden hatte - wird mit heutigem Urteil gegenstandslos.
6.2 Ausgangsgemäss gehen die Gerichtskosten (Art. 65 Abs. 1 und 4 lit. a BGG) zu Lasten der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei (<ref-law>), welche der obsiegenden Beschwerdegegnerin überdies eine Parteientschädigung schuldet (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit ebenfalls gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. April 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Krähenbühl