Sachverhalt:
A. A.a Am 23. August 2004 machte Y._ (geb. 1962) beim Bezirksgericht Bülach die Scheidungsklage rechtshängig. Dabei wurde die elterliche Sorge für den gemeinsamen Sohn Z._ (geb.1999) an X._ (geb. 1962) übertragen, nachdem Y._ (nachfolgend Beschwerdegegner) dieses mit der Klage gestellte Begehren nachträglich fallen gelassen hatte. Sodann einigten sich die Parteien im Verlaufe des erstinstanzlichen Verfahrens über die weiteren Nebenfolgen der Scheidung, mit Ausnahme des persönlichen Verkehrs zwischen dem Vater und dem Kind.
A.b Aufgrund einer Strafanzeige von X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) gegen den Beschwerdegegner wegen sexuellem Missbrauch des Kindes wurde diesem während des ganzen bezirksgerichtlichen Verfahrens nur ein eingeschränktes Besuchsrecht von zwei halben Tagen pro Monat und in Begleitung eines Besuchsbeistandes zugestanden. Weiter wurde festgelegt, dass der Vater vor der Ausübung des Besuchsrechts jeweils seine Ausweise zu deponieren hatte. Trotz Freispruchs vom Vorwurf des sexuellen Missbrauchs in erster Instanz (am 10. November 2004) und in zweiter Instanz (am 12. Dezember 2005) blieb das eingeschränkte Besuchsrecht bestehen und konnte trotz intensiven Bemühungen der Beiständin lediglich dreimal im Jahre 2005 und nur mit grossen Schwierigkeiten ausgeübt werden. Im Dezember 2005 zog die Mutter von ihrem bisherigen Wohnort A._ weg und hielt ihren neuen Aufenthaltsort geheim. Dadurch entfiel einerseits jede Möglichkeit für den Beschwerdegegner zur Ausübung des Besuchsrechtes. Andererseits entfiel die Zuständigkeit der bisherigen Beiständin und es konnte am geheimen neuen Aufenthaltsort kein neuer Beistand zwecks Regelung und Durchführung des Besuchsrechts ernannt werden.
Am 14. Juni 2005 erstattete Frau Dr. S._ vom Institut T._ im Auftrag des Bezirksgerichts einen Bericht zur Ausgestaltung des Besuchsrechtes. Auf Veranlassung des Gerichts ergänzte die Gutachterin ihren Bericht am 5. September 2006 auch zur Frage des Sorgerechts; dadurch wurde der neue Wohnort der Mutter in B._ offiziell bekannt.
A.c Mit Urteil des Bezirksgerichts vom 4. April 2007 wurde die Aufrechterhaltung der Beistandschaft für das Kind bestätigt und für das Kind die Einleitung einer Kinderpsychotherapie angeordnet. Dem Vater wurde einstweilen ein begleitetes Besuchsrecht von zwei halben Tagen pro Monat eingeräumt sowie der Beistand beauftragt, nach einem Jahr eine Ausweitung des Besuchsrechtes zu prüfen und gegebenenfalls vorzunehmen.
B. B.a Dagegen erklärte die Beschwerdeführerin am 20. April 2007 beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung. Mit Eingabe vom 23. Oktober 2007 liess sich auch der Prozessbeistand des Kindes zur Berufung vernehmen.
Mit Beschlüssen vom 24. September und 6. November 2007 wurde der Umfang der Teilrechtskraft des erstinstanzlichen Urteils festgehalten, woraus sich ergibt, dass heute nur noch Dispositiv-Ziffer 4 (Besuchsrecht) und Dispositiv-Ziffer 8 (Erweiterungsmöglichkeit für das Besuchsrecht) des vorinstanzlichen Urteils angefochten sind. Die übrigen Urteilspunkte, insbesondere die Anordnung bzw. Aufrechterhaltung der Beistandschaft für das Kind und die Anordnung einer Psychotherapie für dieses sind in Rechtskraft erwachsen. Die Vormundschaftsbehörde B._ wurde sowohl am 6. November 2007 wie am 19. März 2008 aufgefordert, den Besuchsbeistand zu ernennen und die Therapie für das Kind einzuleiten.
B.b Zur einlässlichen Abklärung der massgeblichen Umstände für das Besuchsrecht wurde sodann der KJPD St. Gallen am 9. November 2007 mit der Erstellung eines kinderpsychiatrischen Gutachtens beauftragt. Dieses lag am 7. Mai 2008 vor und wurde den Parteien am 26. Mai 2008 zur Kenntnisnahme zugestellt. In der Folge wurden die Parteien sowie der Prozessvertreter des Kindes zur mündlichen Fortsetzung des Berufungsverfahrens auf den 30. Oktober 2008 vorgeladen. Vorgängig dieser Verhandlung reichte der Prozessvertreter des Kindes einen aktuellen Therapiebericht ein. Anlässlich der mündlichen Berufungsverhandlung haben die Parteien im Anschluss auf ihre Vorträge auf eine Teilnahme an der Urteilsberatung verzichtet.
B.c Nach durchgeführter Berufungsverhandlung und Abschluss der Parteivorträge am 30. Oktober 2008 stellte die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 31. Oktober 2008 den Antrag, es sei vom Beistand des Kindes ein Bericht über den Inhalt seiner Gespräche mit dem Prozessbeistand einzuholen, ohne diesen Antrag jedoch weiter zu begründen. Auf diesen Antrag wurde gestützt auf § 267 Abs. 2 ZPO/ZH nicht mehr eingetreten; dass und warum er erst nach Abschluss der Parteivorträge gestellt worden sei, insbesondere auch erst nach der Stellungnahme der Beschwerdeführerin zu den Ausführungen des Prozessvertreters, sei nicht einzusehen und werde nicht begründet. Ebenso sei der Zweck dieses Antrages nicht nachvollziehbar; sei der Inhalt der geführten Gespräche nicht aktenkundig, seien sie auch ohne Belang für den vorliegenden Entscheid. Am 18. November 2008 habe die Beschwerdeführerin die Kopie eines Schreibens der Lehrerin von Z._ ins Recht gelegt, in dem sich diese über ihre Auskunftserteilung an den Prozessvertreter des Kindes äussere. Da dieser Bericht im Wesentlichen nicht von den Ausführungen des Kindesvertreters zu seinem Gespräch mit der Lehrerin abweiche, sei darauf nicht näher einzugehen.
B.d Am 26. November 2008 fällte das Obergericht das folgende Urteil:
"1. In Ergänzung des Urteils der Einzelrichterin im ordentlichen Verfahren des Bezirkes Bülach vom 4. April 2007 wird der Beschwerdeführerin und Appellantin die Weisung erteilt, sich sofort und für so lange in eine Therapie bei einer in Eltern-Kind-Entfremdungssymptomatik versierten Fachperson zu begeben, als dies seitens dieser Fachperson als nötig erachtet wird.
Missachtet die Beschwerdeführerin und Appellantin diese Weisung oder bleibt sie Therapiesitzungen ohne genügende Entschuldigung fern, so erfolgt die Überweisung an den Strafrichter zur Bestrafung wegen Ungehorsam gegen amtliche Verfügungen gemäss Art. 292 des Strafgesetzbuches.
Art. 292 StGB lautet wie folgt: Wer der von einer zuständigen Behörde oder einem zuständigen Beamten unter Hinweis auf die Strafdrohung dieses Artikels an ihn erlassenen Verfügung nicht Folge leistet, wird mit Busse bestraft.
2. Dem Beschwerdegegner und Appellaten wird die Weisung erteilt, an der vorerwähnten Therapie mitzuwirken, falls und so weit dies von der beauftragten Fachperson als nötig erachtet wird.
3. Der Besuchsbeistand wird beauftragt, die Einhaltung dieser Therapieweisung zu überwachen und halbjährlich Berichte über den Verlauf der Therapie einzuholen.
Bricht die Beschwerdeführerin und Appellantin die Therapie ab oder zeigen sich innerhalb von längstens zwei Jahren noch keine wesentlichen Therapieerfolge und erscheint die Fortsetzung der Therapie als nicht erfolgversprechend, wird der Beistand beauftragt, der zuständigen Vormundschaftsbehörde die Prüfung geeigneter anderer Kindesschutzmassnahmen zur Sicherstellung des Vater-Kind-Kontaktes zu beantragen.
4. Dispositiv-Ziffer 4 des Urteils der Einzelrichterin im ordentlichen Verfahren des Bezirkes Bülach vom 4. April 2007 wird aufgehoben und durch folgende Formulierung ersetzt:
"4.1. Der Beschwerdegegner und Appellat ist ab 1. Januar 2011 berechtigt, das Kind Z._ im Rahmen eines begleiteten Besuchsrechtes zwei Mal während eines halben Tages pro Monat auf eigene Kosten zu sich oder mit sich auf Besuch zu nehmen.
4.2. Der Beistand des Kindes wird beauftragt, für die Zeit bis Ende 2010 Kontakte zwischen Vater und Kind auf andere Weise als durch direkte persönliche Begegnungen oder Telefonate zu vermitteln bzw. aufrechtzuerhalten.
Weiter wird der Beistand ermächtigt bzw. beauftragt, für die Zeit bis Ende 2010 in Absprache mit den Therapeuten von Kind und Mutter und parallel zum Therapiefortschritt wieder direkte persönliche Begegnungen von Kind und Vater in einem geeigneten Rahmen einzuleiten."
5. Dispositiv-Ziffer 8 des Urteils der Einzelrichterin im ordentlichen Verfahren des Bezirkes Bülach vom 4. April 2007 wird aufgehoben und durch folgende Formulierung ersetzt:
"8. Die Vormundschaftsbehörde am Wohnort der Beschwerdeführerin und Appellantin sowie der Besuchsbeistand werden beauftragt, nach Rücksprache mit den Therapeuten von Kind und Mutter sowie den Parteien, jährlich und erstmals Ende 2011, eine Ausdehnung des Besuchsrechtes des Klägers und Appellaten und den Abbau der Begleitmassnahmen zu prüfen und gegebenenfalls vorzunehmen."
6. Im Übrigen wird die Berufung abgewiesen."
B.e Der Weiterzug an das Kassationsgericht des Kantons Zürich hatte keinen Erfolg. Mit Zirkulationsbeschluss vom 14. Januar 2010 wurde die Nichtigkeitsbeschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte. Damit entfiel die der Beschwerde verliehene aufschiebende Wirkung betreffend Dispositiv-Ziffern 1-3 des obergerichtlichen Urteils (Ziff. 2).
C. Die Beschwerdeführerin gelangt mit Eingabe vom 17. Februar 2010 ans Bundesgericht und beantragt: In Gutheissung der Beschwerde sei der Beschluss des Kassationsgerichts vom 14. Januar 2010 hinsichtlich dessen Dispositivziffern 2 (Weisungen an die Parteien und an den Besuchsbeistand), 3 und 4 (Gerichtsgebühr und Übernahme auf die Gerichtskasse) sowie 7 (Entschädigung des Prozessbeistands je zu Lasten der Parteien) aufzuheben. Eventualiter sei die Sache an das Kassationsgericht zurückzuweisen. Die Dispositivziffern 1-4 (4.1) des Urteils des Obergerichts vom 26. November 2008 seien aufzuheben, und mit Bezug auf Dispositivziffer 4 (4.1) sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Verfügung der Präsidentin der erkennenden Kammer vom 5. März 2010 wurde dem Gesuch um aufschiebende Wirkung entsprochen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Scheidungsurteil, bei dem einzig noch die Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen einem Kind und seinem nicht sorgeberechtigten Elternteil streitig ist (Art. 133 Abs. 1, 273 Abs. 1 ZGB). Wie schon unter der Herrschaft des Bundesrechtspflegegesetzes gelten derartige Verfahren als nicht vermögensrechtliche Streitigkeiten (Urteile 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007; 5D_41/2007 vom 27. November 2007), weshalb die Beschwerde in Zivilsachen unabhängig eines Streitwertes zulässig ist (Art. 72 Abs. 1 und 74 Abs. 1 lit. b BGG).
1.2 Gemäss Art. 75 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen und des Bundesverwaltungsgerichts. Letztinstanzlichkeit gemäss Art. 75 Abs. 1 BGG bedeutet, dass der kantonale Instanzenzug für die Rügen, die dem Bundesgericht vorgetragen werden, ausgeschöpft sein muss (<ref-ruling> E. 1.3 S. 527).
Nach § 281 ZPO/ZH kann gegen Vor-, Teil- und Endentscheide sowie gegen Rekursentscheide und Rückweisungen des Obergerichts im Berufungsverfahren Nichtigkeitsbeschwerde erhoben werden, wenn geltend gemacht wird, der angefochtene Entscheid beruhe zum Nachteil des Nichtigkeitsklägers auf einer Verletzung eines wesentlichen Verfahrensgrundsatzes (Ziff. 1), auf einer aktenwidrigen oder willkürlichen tatsächlichen Annahme (Ziff. 2) oder auf einer Verletzung klaren materiellen Rechts (Ziff. 3).
Unter die Verletzung wesentlicher Verfahrensgrundsätze (§ 281 Ziff. 1 ZPO/ZH) fallen namentlich die auf Art. 29 BV (Verfahrensgarantien [einschliesslich Gehörsverletzung, Begründungspflicht etc.]; <ref-ruling>) und auf Art. 30 BV (Gerichtsverfahren; s. Urteil 4A_418/2008 E. 2.3) gestützten Rügen.
Mit Bezug auf die Kritik an der Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung ist das obergerichtliche Urteil nicht letztinstanzlich, weil mit Nichtigkeitsbeschwerde geltend gemacht werden kann, der Entscheid beruhe auf einer aktenwidrigen oder willkürlichen tatsächlichen Annahme (§ 281 Ziff. 2 ZPO/ZH). Dies deckt sich mit der vor Bundesgericht zulässigen Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (Art. 97 Abs. 1 BGG), geht es doch hierbei um willkürliche Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung (Botschaft, BBl 2001 IV 4338; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Insoweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht willkürliche Sachverhaltsfeststellung oder Beweiswürdigung rügt, ohne dies zuvor mit Kassationsbeschwerde vorgetragen zu haben, ist der kantonale Instanzenzug nicht ausgeschöpft worden, mit der Folge, dass es auf die diesbezüglichen Rügen nicht eintritt (Urteil 5A_292/2009 E. 1.2).
In § 281 Ziff. 3 ZPO/ZH wird die Verletzung klaren materiellen Rechts angesprochen. Diesen Begriff setzt das Bundesgericht gleich mit der willkürlichen Anwendung von Bundes- oder kantonalem Recht.
1.3 Nach Art. 105 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Unter denselben Voraussetzungen kann das Bundesgericht eine fehlerhafte Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen (Art. 105 Abs. 2 BGG). Mit dem Ausdruck der offensichtlichen Unrichtigkeit ist Willkür gemeint (<ref-ruling> E. 1.2.2). Soweit es um die Frage geht, ob der Sachverhalt willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG ermittelt worden ist, sind strenge Anforderungen an die Begründungspflicht der Beschwerde gerechtfertigt. Entsprechende Beanstandungen sind vergleichbar mit den in Art. 106 Abs. 2 BGG genannten Rügen.
1.4 Strengere Anforderungen gelten, wenn - wie hier - die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung - <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Für derartige Rügen gelten die gleichen Begründungsanforderungen, wie sie gestützt auf Art. 90 Abs. 1 lit. b OG für die staatsrechtliche Beschwerde gegolten haben (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2 S. 246; <ref-ruling> E. 4.1 S. 589; je mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen). Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148; <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Zu beachten ist, dass dem Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zusteht (<ref-ruling> E. 4b S. 40).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin trägt vor, das Obergericht habe den Grundsatz von Treu und Glauben gemäss Art. 9 BV verletzt. Es habe auf S. 25 des angefochtenen Entscheides erwogen, die Feststellungen der Gutachterin, Frau Dr. U._ deckten sich auch mit den Beobachtungen der Beiständin V._ über die Durchführung des Besuchsrechts im Jahre 2005 und dessen Scheitern gemäss ihren Berichten. Weshalb diese Berichte unwahr sein sollten, habe die Beschwerdeführerin nicht substantiiert und die angeblichen Beweise dafür im Sinne von § 267 Abs. 2 ZPO/ZH auch nicht rechtzeitig vorgelegt. Weil die Vorinstanz die Berichte der Besuchsbeiständin V._ und des Jugendsekretariates C._ in ihre Urteilsbegründung mit einbezogen habe, sei gegen Art. 9 BV verstossen worden.
Das Kassationsgericht hat dazu unter anderem ausgeführt (S. 10/11), die Berufung der Beschwerdeführerin auf § 267 Abs. 2 ZPO/ZH sei unbehelflich. Soweit dieser Bestimmung nebst Art. 138 Abs. 1 ZGB überhaupt eigenständige Bedeutung zukomme, schreibe § 267 Abs. 2 ZPO/ZH nicht vor, dass auch nach Begründung resp. Beantwortung der Berufung/Anschlussberufung im Scheidungsverfahren noch Noven zugelassen werden müssten. Abgesehen davon, dass Art. 138 ZGB nicht für Kinderbelange gilt, sondern hiefür die Offizialmaxime nach Art. 145 ZGB zur Anwendung gelangt (Christoph Leuenberger, Basler Kommentar, ZGB I, 3. Aufl. 2006, N. 2 zu Art. 138 ZGB), sind die weiteren Erwägungen des Kassationsgerichts nicht zu überprüfen; denn die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht einen Verstoss gegen das Willkürverbot vor, dessen Urteil mit Bezug auf diesen Vorwurf nicht letztinstanzlich ist (E. 1.2 hiervor). Auf ihre Vorbringen kann deshalb nicht eingetreten werden.
2.2 2.2.1 Sodann rügt die Beschwerdeführerin weiter, indem das Obergericht keinen Bericht seitens des Besuchsbeistandes betreffend den Verlauf der bisherigen Besuchsrechtsversuche und der Reaktionen von Z._ darauf eingeholt habe, sei (auch) Art. 145 ZGB verletzt worden.
Das Kassationsgericht hat der Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit der diesbezüglich erhobenen Verletzung des Gehörsanspruchs (welche verneint wurde) entgegen gehalten, insoweit damit auch eine Missachtung von § 267 Abs. 2 ZPO/ZH geltend gemacht werde, gehe eine solche Rüge fehl, da sie ihre Vorbehalte hinsichtlich der Glaubwürdigkeit der Beiständin V._ nicht fristgerecht vorgetragen habe (Beschluss Kassationsgericht S. 12 E. 5.2; Urteil Obergericht S. 12 E. 3). Es kann offen gelassen werden, bis zu welchem Zeitpunkt Noven unter dem Gesichtswinkel von Art. 145 ZGB zuzulassen wären (nach der am 1. Januar 2011 in Kraft tretenden Schweizerischen Zivilprozessordnung können gemäss Art. 225 Abs. 3 ZPO/CH neue Tatsachen und Beweismittel bis zur Urteilsberatung vorgebracht werden, sofern der Untersuchungsgrundsatz gilt), denn mit Bezug auf Art. 145 ZGB ist auf das Nachfolgende in E. 2.2.2 hinzuweisen.
2.2.2 Das Obergericht hat sich auf das Gutachten von Frau Dr. U._ von den Kinder- und Jugendpsychiatrischen Diensten des Kantons St. Gallen vom 5. Mai 2008 abgestützt (S. 20 ff.). Dieses basiert auf einlässlichen Untersuchungen des Kindes, mehreren Gesprächen mit den Parteien, Abklärungen bei Bezugspersonen aus dem sozialen Umfeld und Therapiebereich der Parteien und des Kindes sowie auf einer sachdienlichen Auswahl der Prozessakten und weiteren, von der Beschwerdeführerin vorgelegten Berichten. Auf eine Interaktionsbeobachtung zwischen Vater und Kind als weitere sachdienliche Erkenntnisquelle musste verzichtet werden, um das Kind keiner Belastungssituation auszusetzen.
Die Beschwerdeführerin wendet dagegen ein, sowohl der Prozessbeistand wie Dr. W._ kennten den Ablauf der Besuchstage und die Reaktion von Z._ darauf nur aufgrund der Schilderungen des Besuchsrechtsbeistandes. Ihre Sachdarstellungen gründeten mithin nicht auf direkter Wahrnehmung, wohingegen der Besuchsbeistand aus persönlicher Erfahrung hierüber hätte berichten können, weshalb sich die Einholung eines solchen Berichtes aufgedrängt habe. Der Einwand geht fehl: Zum einen wird ausgeblendet, dass die erwähnte Gutachterin einlässliche Abklärungen vorgenommen hat; und zum andern geht mit der Untersuchungsmaxime nicht die Pflicht des Richters einher, auf alle angebotenen Beweismittel zu reagieren. Demnach ist er nicht gehalten, weitere Nachforschungen anzustellen, sofern er sich bereits aufgrund der erbrachten Beweise ein Bild hat machen können (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 413; PETER BREITSCHMID, Basler Kommentar, ZGB I, 3. Aufl., N. 1 zu Art. 145 ZGB, S. 912).
3. 3.1 Ferner macht die Beschwerdeführerin geltend, gemäss Art. 273 Abs. 2 ZGB könne die Vormundschaftsbehörde Eltern ermahnen und ihnen Weisungen erteilen, wenn sich die Ausübung oder Nichtausübung des persönlichen Verkehrs für das Kind nachteilig auswirke oder wenn eine Ermahnung oder eine Weisung aus andern Gründen geboten sei. Im Rahmen von Art. 133 ZGB könne sodann das Gericht im Sinne von Art. 273 Abs. 2 ZBG einschreiten. Das Obergericht habe in seinem Entscheid keine Prüfung der Verhältnismässigkeit vorgenommen und es gänzlich unterlassen, eine rechtliche Abwägung in Bezug auf eine allenfalls zur Verfügung stehende mildere Massnahme vorzunehmen. Sein Entscheid sei wegen Verletzung von Art. 273 und 307 ZGB aufzuheben.
3.2 Im Gutachten des KJPD St. Gallen vom 5. Mai 2008 wird im Kernpunkt das Folgende festgestellt (Urteil Obergericht S. 23/24): Die Beschwerdeführerin habe, unterstützt von einem Helfersystem und dessen Einschätzung einer Gefährdung von Mutter und Kind, nach eigenen Vorstellungen von "Kindesschutz" gehandelt bis hin zu ihrem Umzug ins Frauenhaus und später an eine geheim gehaltene Wohnadresse in der Ostschweiz, wo sie sich sicher gefühlt und aus ihrer Sicht dem Kind eine ungestörte Entwicklung ermöglicht habe. Für das Kind sei damit ein positiv besetztes Vaterbild verloren gegangen; es habe die Ängste und Bedrohungsgefühle und andere starke Affekte der Mutter erlebt, verbunden mit einer Ortsveränderung im Sinne einer Flucht und Entwurzelungserlebnissen und der Übernahme der ausschliesslichen Sichtweise der Mutter. In seiner Identifikation mit der Sichtweise der Mutter erlebe Z._ das Thema "Vater" als schwere Bedrohung und habe ein feindliches Bild des Vaters internalisiert. Das Kind zeige einerseits gute kognitive und auch sprachliche Fähigkeiten und eine reiche Phantasie. Es zeigten sich aber auch aggressive Phantasien, aggressive Affekte, Traumatisierungssymptome sowie starke Vermeidungsreaktionen und Fluchtphantasien. Beim Kind liege diagnostisch gesehen eine Belastungsreaktion vor. Wohl unterstütze und fördere die Beschwerdeführerin das Kind in vielerlei Hinsicht gut; es zeige sich zwischen ihnen aber eine enge, verstrickte Bindung und Z._ zeige eine Verweigerungshaltung gegenüber dem Vater, welche durch die Entwicklung seit 2003 und die Haltung der Beklagten geprägt worden sei. Es liege eine Symptomatik im Sinne eines mittelstarken bis schweren Elternentfremdungssyndroms (PAS) vor.
In seiner abschliessenden Erwägung hat das Obergericht befunden (S. 30/31), aufgrund des Ausgeführten sei die Mutter daher im Rahmen einer Weisung zu verpflichten, sich bei einer auf Elternentfremdungssyndrome spezialisierten Fachkraft in therapeutische Behandlung zu begeben. Zwar befinde sich die Beschwerdeführerin gegenwärtig in einer (traumatologisch ausgerichteten) Therapie, die zur Behandlung der PAS-Indikation offenkundig nicht geeignet sei. Angesichts der zur Zeit nur sehr vagen Motivation zu einer solchen Therapie bzw. der fehlenden Einsicht der Mutter in die Zusammenhänge sei mit der Anordnung der Therapie die Androhung der Überweisung an den Strafrichter im Unterlassungsfall gemäss Art. 292 StGB zu verbinden.
Gemäss dem obergerichtlichen Urteil hatte bereits im Jahre 2005 eine Gutachterin vom Institut T._ eine Analyse der Eltern-Kind-Beziehungen betreffend die Schwierigkeiten bei der Ausübung des Besuchsrechts durch den Vater vorgenommen und im September 2006 ein Ergänzungsgutachten erstellt. Die Auffassung der Beschwerdeführerin, eine Mahnung gegenüber ihr im Sinne von Art. 307 Abs. 3 ZGB hätte ausgereicht, lässt sich gestützt auf das von der Vorinstanz veranlasste Gutachten nicht rechtfertigen, denn die Schlussfolgerungen des Gerichts hat die Beschwerdeführerin nicht als Verletzung von Art. 9 BV darzutun vermocht (E. 2.1 hiervor; Beschwerde S. 16 Abs. 4 mit Hinweis auf die Darlegungen unter II.). Damit ist der konnexen Rüge, die angeordnete Weisung sei unverhältnismässig und verletze Art. 273 und 307 ZGB, der Boden entzogen (s. Urteil 5A_457/2009 vom 9. Dezember 2009 E. 4.3 betreffend die Anordnung einer Mediation zwischen den Eltern).
4. Schliesslich wirft die Beschwerdeführerin dem Obergericht eine unrichtige Feststellung des Sachverhaltes gemäss Art. 97 BGG und eine Verletzung des Willkürverbotes gemäss Art. 9 BV vor, weil die fachärztliche Meinung von Dr. W._ vom Obergericht nicht berücksichtigt worden sei. Dieser habe sich als anerkannter Spezialist in kinderpsychiatrischen Fachfragen mit Z._ weit intensiver befasst (29 Sitzungen), weshalb es willkürlich sei, seine Diagnose im Lichte des KJPD-Gutachtens bzw. des Berichtes des Institutes T._ hinsichtlich des Wiederauflebens der Bedrohungssituationen zu relativieren oder gar zu negieren.
4.1 Das Obergericht hat dazu unter anderem ausgeführt (E. 2.7 S. 29 f.), der Prozessvertreter des Kindes habe einen Bericht von Dr. W._, dem gegenwärtigen Therapeuten des Kindes, zu den Akten eingereicht. Nach einer Besserung der schweren Verhaltensauffälligkeiten im Sommer 2007 habe Z._ während der Sommerferien 2008 einen Rückfall erlitten. Der Beistand habe am 17. Juni und am 7. August 2008 einen Besuch arrangiert, wobei sich Vater und Kind am Bahnhof gesehen hätten und das Kind sogleich davon gerannt sei und sich versteckt habe. In der Folge sei eine Retraumatisierung erfolgt, und das Kind habe zum Eigenschutz eine grosse Trotzhaltung aufgebaut. Aus diesem Bericht könne nicht gefolgert werden, dass ein Besuchsrecht grundsätzlich und unwiderruflich dem Kindeswohl widersprechen würde. Es könne nicht ausgeschlossen werden, dass ein besser vorbereitetes Besuchsrecht zu einem anderen Verlauf geführt hätte.
4.2 Das Kassationsgericht hat dazu erwogen (S. 19), das Obergericht habe darauf verwiesen, dass sich die Feststellungen der Gutachterin des KJPD mit den Beobachtungen der Beiständin V._ über die Anstrengungen zur Durchführung und das Scheitern des Besuchsrechts im Jahre 2005 und weiter auch mit den Feststellungen der Gutachterin vom Institut T._ im Jahre 2005 deckten. Aus den vorstehend (S. 18) hervorgehobenen Folgerungen der Gutachterin des KJPD ergebe sich die von der Beschwerdeführerin als im Widerspruch zum Bericht von Dr. W._ stehende Würdigung der Vorinstanz in deren Erwägung E. 2.7, womit sich die Beschwerdeführerin aber nicht ansatzweise auseinandersetze. In diesem Lichte könne von einer willkürlichen Würdigung dieses Berichts durch die Vorinstanz keine Rede sein. Dass diese bei der Würdigung der vorhandenen Unterlagen im Ergebnis dem gerichtlichen Gutachten von Frau Dr. U._ vom KJPD des Kantons St. Gallen vom 5. Mai 2008 (auch vor dem Hintergrund, dass andere Fachpersonen und Beteiligte bereits früher ähnliche Feststellungen wie Dr. U._ gemacht hatten) als Beweismittel ein grösseres Gewicht beigemessen habe als dem Bericht des (nicht objektiven [vgl. dazu auch den vorstehend in E. III.6.2.2b wiedergegebenen Auszug der obergerichtlichen E. 2.5] und entgegen der Gutachterin auch nicht der Strafandrohung von Art. 307 StGB unterstehenden) Kinderpsychotherapeuten, sei nicht zu beanstanden, zumal die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde nichts vorbringe, was dagegen spreche.
4.3 Die Beschwerdeführerin zitiert in ihrer Entgegnung dazu 11⁄2 Seiten aus dem Bericht von Dr. W._ (E. 3a) und daran anschliessend eine Seite aus der obergerichtlichen Würdigung dieses Berichts, um daraus den Schluss zu ziehen, dass sowohl die ober- wie die kassationsgerichtliche Feststellung, aus dem Bericht von Dr. W._ gehe nicht hervor, dass ein Besuchsrecht grundsätzlich und unwiderruflich dem Kindeswohl widerspreche, offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 BGG sei. Dass die Stagnation hinsichtlich des Therapiefortschrittes und die Retraumatisierung (durch die beabsichtigte Gewährung des Besuchsrechts) dem Kindeswohl klar widersprächen, könne ebenfalls nicht uminterpretiert werden, schon gar nicht durch eine Erklärung dahin, die erfolgten Versuche zur Durchführung des Besuchsrechts seien schlecht vorbereitet gewesen. Mit diesen und den weiteren bloss appellatorischen Einwendungen kann dem Kassationsgericht keine Verfassungsverletzung dargetan werden (E. 1.3 und 1.4 hiervor). Die Beschwerdeführerin hätte anhand der in vielen Punkten übereinstimmenden Gutachten des Instituts T._ und des KJPD des Kantons St. Gallen (s. E. 3.2 hiervor) und im Vergleich mit dem Bericht Dr. W._ die bestehenden Divergenzen erörtern und darlegen müssen, warum die kantonalen Richter den Ausführungen des Letzteren mehr Überzeugungskraft als den beiden Gutachterinnen hätten beimessen müssen; und zudem lässt die Beschwerdeführerin den Elternkonflikt völlig ausser Acht, wie auch die Tatsache, dass die misslungene Besuchsrechtsausübung nun bald zwei Jahre zurückliegt und die angeordnete Therapie zukunftsgerichtet ist.
5. Ausgangsgemäss wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann. Damit wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihr Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen, zumal die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (Art. 64 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, Z._, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett