Sachverhalt:
A.
A.a. Der zwischenzeitlich verstorbene Z._ war Eigentümer des als Grundstück im Grundbuch aufgenommenen altrechtlichen Baurechts "GB Nr. xxx ab A._: Eine Hütte und Melchstallung aneinander in der B._ auf C._ gelegen". Am 10. Februar 2009 schlossen er und die Y._ Korporation einen öffentlich beurkundeten Baurechtsvertrag, womit das altrechtliche Baurecht gelöscht und neu ein als unselbständig bezeichnetes Baurecht begründet wurde. Mit gleicher Vertragsurkunde trat Z._ das Baurecht unentgeltlich seinem Sohn X._ ab.
Am 18. März 2011 erhob die Y._ Korporation beim Bezirksgericht Schwyz privatrechtliche Baueinsprache gegen das im Amtsblatt Nr. yyy vom zz.zz.zzzz publizierte Bauvorhaben "Umnutzung Alp-Stallteil zu Erlebnisgastronomie, B._, E._, Koordinaten Nr. vvv" von X._. Mit Verfügung vom 8. Februar 2012 hiess das Bezirksgericht Schwyz die Einsprache gut und untersagte die Ausführung des Bauprojekts. Gegen diese Verfügung erhob X._ Berufung, die das Kantonsgericht Schwyz mit Beschluss vom 8. Januar 2013 abwies.
B.
X._ (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in Zivilsachen. Er verlangt, den Beschluss des Kantonsgerichts Schwyz vom 8. Januar 2013 und die Verfügung des Einzelrichters des Bezirks [recte: Bezirksgerichts] Schwyz vom 8. Februar 2012 vollumfänglich aufzuheben und die Klage der Y._ Korporation (Beschwerdegegnerin) vom 18. März 2011 vollumfänglich abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die Beschwerdegegnerin und das Kantonsgericht Schwyz zur Vernehmlassung eingeladen. Letzteres hat mit Schreiben vom 21. März 2013 den Antrag gestellt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Zur Begründung wird auf den Beschluss vom 8. Januar 2013 verwiesen; im Übrigen verzichtet das Kantonsgericht auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin hat sich am 16. April 2013 zur Beschwerde vernehmen lassen und beantragt deren Abweisung. Ihre Vernehmlassung wurde dem Beschwerdeführer zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 216; <ref-ruling> E. 1 S. 117, je mit Hinweisen). Die Beschwerde in Zivilsachen steht bei vermögensrechtlichen Angelegenheiten nur dann zur Verfügung, wenn der Streitwert von Fr. 15'000.-- bei arbeits- und mietrechtlichen Fällen und von Fr. 30'000.-- in den übrigen Fällen erreicht wird (<ref-law>). Der Streit um den Bestand und Inhalt einer Dienstbarkeit ist vermögensrechtlicher Natur (Urteil 5A_652/2010 vom 4. März 2011 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Entgegen der Annahme des Beschwerdeführers führt die Tatsache, dass der Streitwert unbestimmt ist, nicht dazu, dass die Angelegenheit zur nicht vermögensrechtlichen wird. Vielmehr ist der Streitwert in diesem Fall vom Gericht zu schätzen bzw. nach Ermessen festzulegen (<ref-law>). Dies hat die Vorinstanz entgegen <ref-law> nicht getan, und auch in der Beschwerde finden sich keine Angaben zum Streitwert. Im Urteil 5A_884/2012 vom 16. Mai 2013 E. 1.2 hat das Bundesgericht entschieden, dass trotz fehlender Angaben zum Streitwert auf eine zivilrechtliche Beschwerde eingetreten werden kann, wenn aufgrund der Akten klar ist, dass die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- überschritten wird. Davon ist im vorliegenden Fall auszugehen. Kann der Beschwerdeführer sein Projekt, einen Gastronomiebetrieb zu führen, nicht in der gewünschten Art und Weise realisieren, führt dies zu jährlichen Einkommenseinbussen, die, wenn man sie kapitalisiert, die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- übersteigen. Die übrigen Voraussetzungen für das Eintreten sind unbestritten und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
1.2. Die zivilrechtliche Beschwerde kann sich nur gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen richten (<ref-law>). Nicht eingetreten werden kann daher auf die Beschwerde insofern, als der Beschwerdeführer auch die Aufhebung der Verfügung des Bezirksgerichts Schwyz vom 8. Februar 2012 verlangt.
1.3. Gegenstand des Streits ist die Frage, ob die Baueinsprache vom 18. März 2011 - in der Optik des Privatrechts handelt es sich dabei um eine Klage auf Unterlassung - gestützt auf den Baurechtsvertrag vom 10. Februar 2009 gutzuheissen ist.
2.
Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann die Verletzung von Recht im Sinn von Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Im Rahmen einer rechtsgenüglichen Begründung (<ref-law>) wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil dabei den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Der Beschwerdeführer kann die Feststellung des Sachverhalts nur rügen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 f. BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss rechtsgenüglich darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss <ref-law> gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 351, S. 398 E. 7.1; S. 466 f. E. 2.4).
3.
3.1. Was die Feststellung des Sachverhalts angeht, beklagt sich der Beschwerdeführer darüber, dass D._ zu Unrecht als Zeuge befragt worden sei. Als Geschäftsführer und damit Organ der Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt der Dienstbarkeitsbegründung sei er im Prozess als Partei zu behandeln. Die Vorinstanz lehnt eine solche Auslegung von Art. 169 i.V.m. <ref-law> ab. Sie hält dafür, dass <ref-law> einzig auf Personen ziele, die im Zeitpunkt des Prozesses Organe der am Prozess beteiligten juristischen Person sind. Nehmen sie in diesem Zeitpunkt keine Organstellung mehr ein, stünden sie nach <ref-law> als Zeugen zur Verfügung.
Die Gefahr, dass eine Person zum Zeugen in eigener Sache wird, besteht nur, solange sie Organ der am Prozess beteiligten juristischen Person ist. Ist sie - wie hier D._ - schon im Zeitpunkt der Rechtshängigkeit des Prozesses nicht mehr Organ, so ist ihr Interesse am Prozessausgang höchstens noch indirekter Natur, indem sie zum Beispiel, je nach Prozessausgang, mit Verantwortlichkeitsklagen rechnen muss. Dieser bloss potentielle Interessenkonflikt genügt nicht, dass ein früheres Organ als Zeuge ausscheidet (vgl. PHILIPPE SCHWEIZER, in: CPC, Code de procédure civile commenté, 2011, N 20 ff. zu <ref-law>). Zum Schutz dieser Person genügt das in Art. 165 und 166 ZPO vorgesehene umfassende und beschränkte Zeugnisverweigerungsrecht. Dass die Vorinstanz daran festgehalten hat, D._ sei als Zeuge und nicht als Parteizu befragen, ist deshalb nicht zu beanstanden.
3.2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, den Grundsatz der freien Beweiswürdigung (<ref-law>) verletzt zu haben. Konkret macht er geltend, dass die Vorinstanz jene drei Zeugen für unglaubwürdig gehalten habe, die seine Schilderung des Sachverhalts bestätigt hätten, während sie dem Zeugen D._ ungeachtet seiner Nähe zur Beschwerdegegnerin geglaubt habe. Der Vorwurf ist unbegründet. Der Grundsatz der freien Beweiswürdigung hat als Kernprinzip des modernen Prozessrechts zu gelten. Er verbietet es dem Gericht, allein nach formalen Gesichtspunkten zu entscheiden, ob ein Sachverhalt als erstellt gelten kann oder nicht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 270 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 36). Der Grundsatz der freien Beweiswürdigung wäre etwa dann verletzt, wenn das Geschlecht des Zeugen oder deren Anzahl massgebend für das Finden der prozessualen Wahrheit wäre ("Durch zweier Zeugen Mund wird alleweil die Wahrheit kund."). Diesen Vorwurf kann man der Vorinstanz nicht machen. Vielmehr hat sie sich hinter das Bezirksgericht Schwyz gestellt, das die verschiedenen Zeugen vorgeladen und ihre Aussagen gewürdigt hat. Das Ergebnis der vorinstanzlichen Beweiswürdigung ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich. Daran ändert der Grundsatz der freien Beweiswürdigung nach <ref-law> nichts; insbesondere führt diese Vorschrift auch nicht dazu, dass die Beweiswürdigung als solche zur frei überprüfbaren Rechtsfrage im Sinne von <ref-law> würde. Ist der Beschwerdeführer mit dem Ergebnis dieser Beweiswürdigung nicht einverstanden, so berührt dies vielmehr den Vorwurf der Willkür im Sinne von <ref-law> (Urteil 5A_250/2012 vom 18. Mai 2012 E. 7.4.2 mit Hinweisen).
Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen umstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f. mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall ist der Vorinstanz keine Willkür vorzuwerfen. Namentlich ist es nicht willkürlich, Angehörige des Beschwerdeführers als Zeugen vorzuladen und ihrem Zeugnis anschliessend wegen ihrer Nähe zum Beschwerdeführer weniger Gewicht als einer anderen Zeugenaussage beizumessen. Wie glaubwürdig das Zeugnis einer Person ist, steht in der Regel nicht zum vorneherein fest, sondern verlangt danach, die Person zuerst anzuhören. Dass die Glaubwürdigkeit der Zeugen schon vor ihrer Anhörung in Frage gestellt worden wäre, macht der Beschwerdeführer aber nicht geltend. Vielmehr stand das Bezirksgericht Schwyz beweismässig vor der schwierigen Frage, ob, wann und wie sich die Parteien über die gastronomische Nutzung der Alphütte 'B._' ausgetauscht hatten. Wenn das Bezirksgericht und das Kantonsgericht Schwyz dabei zum Schluss kommen, dass diesbezüglich vor Vertragsabschluss keine mündlichen Zusagen gemacht worden sind, ist dies unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden. Anders als der Beschwerdeführer meint, verbindet sich damit auch nicht der Vorwurf der falschen Zeugenaussage.
4.
Der Beschwerdeführer wirft dem Kantonsgericht weiter vor, den Inhalt der streitigen Dienstbarkeit nicht richtig ermittelt zu haben. Er rügt eine Verletzung von Art. 738 Abs. 2 und 779 ff. ZGB.
4.1. Inhalt und Umfang einer Personaldienstbarkeit bestimmen sich nach den gleichen Grundsätzen wie im Fall einer Grunddienstbarkeit (Art. 738 i.V.m. Art. 781 sowie Art. 779b Abs. 1 ZGB; <ref-ruling> E. 8 S. 655). Dazu hat sich das Bundesgericht verschiedentlich geäussert (<ref-ruling> E. 3 S. 147 ff. mit Hinweisen). Zu beachten ist eine Stufenordnung, an deren Anfang <ref-law> steht. Danach ist der Eintrag im Grundbuch massgebend, soweit sich aus ihm der Inhalt der Dienstbarkeit deutlich ergibt. Nur wenn dies nicht der Fall ist, darf im Rahmen des Eintrags auf den Erwerbsgrund, das heisst auf den Begründungsvertrag zurückgegriffen werden. Ist auch der Erwerbsgrund nicht schlüssig, kann sich der Inhalt der Dienstbarkeit aus der Art ergeben, wie sie während längerer Zeit unangefochten und in gutem Glauben ausgeübt worden ist (<ref-law>).
Die Auslegung des Begründungsvertrags folgt den im Vertragsrecht entwickelten Grundsätzen. Massgebend für den Inhalt des Vertrags ist danach in erster Linie das von den Parteien tatsächlich Gewollte (<ref-law>). Lässt sich ein solcher natürlicher Konsens nicht nachweisen, was als Tatfrage gilt, stellt sich die Frage nach dem normativen Konsens. Ob von einem solchen auszugehen ist, stellt eine Rechtsfrage dar und beurteilt sich danach, wie die Erklärung vom Empfänger nach Treu und Glauben unter den gegebenen Umständen verstanden werden durfte bzw. musste (Vertrauensprinzip; <ref-law>; vgl. zum Beispiel <ref-ruling> E. 3.3 S. 681 f. mit Hinweisen).
4.2.
4.2.1. Die Personaldienstbarkeit, über deren Inhalt die Parteien streiten, ist auf dem Grundstück der Beschwerdegegnerin folgendermassen eingetragen:
"Last: unselbständiges und übertragbares Baurecht für die Alphütte 'B._' in E._ z.G. X._, geb. ss.ss.ssss, von E._, Dauer: bis 31. Dezember 2039; lt. heut. Baurechts- bzw. Abtretungsvertrag vom 10. Februar 2009 CP A._ 2009 Nr. 19."
Es ist unbestritten, dass der Wortlaut des Eintrags mit Bezug auf den vorliegenden Streit nicht eindeutig ist. Der Eintrag im Grundbuch erwähnt keine gastronomische Nutzung der Alphütte 'B._', schliesst eine solche aber auch nicht aus. Die Frage nach dem Inhalt des Baurechts ist deshalb gemäss den in E. 4.1 geschilderten Grundsätzen anhand des Baurechtsvertrags vom 10. Februar 2009 zu beantworten.
4.2.2. Die einschlägigen Bestimmungen des Baurechtsvertrags vom 10. Februar 2009 lauten wie folgt:
"I. Umfang
1. Die Baurechtsgeberin als Eigentümerin von GB Nr. fff A._ räumt zu Gunsten des Baurechtsnehmers und zu Lasten GB Nr. fff A._ ein übertragbares und unselbständiges Baurecht nach Massgabe der geltenden G._-verordnung sowie der nachfolgenden Bestimmungen ein.
2. Das Baurecht umfasst die Alphütte 'B._', in E._.
[...]
III. Baurechtszins
Das Baurecht wird gemäss den zurzeit geltenden Bestimmungen der Baurechtsgeberin zinsfrei gewährt, solange die Bauten und Anlagen der reinen alpwirtschaftlichen Nutzung zur Verfügung stehen. Sollte die Baurechtsgeberin diese interne Bestimmung abändern und einen dem ortsüblichen Gebrauch entsprechenden Baurechtszins verlangen, ist der Baurechtsnehmer verpflichtet, bei einer allfälligen Vertragsabänderung mitzuwirken.
IV. Bauausführung, Haftung und Versicherung
1. Der Baurechtsnehmer hat das Recht, im Rahmen der gesetzlichen Bestimmungen das Gebäude zu erneuern, zu erweitern und den notwendigen Bedürfnissen anzupassen, jedoch dürfen diese Bauten nur der Land- und/ oder Alpwirtschaft dienen. Für sämtliche Sanierungs- und Baumassnahmen hat sich der Baurechtsnehmer an die gesetzlichen Bestimmungen zu halten. Der Baurechtsgeberin sind jeweils die Projektpläne zur Genehmigung einzureichen. Nach Bauvollendung ist der Baurechtsgeberin jeweils ein bereinigter Plansatz abzugeben."
4.2.3. Aufgrund des nicht zu beanstandenden Beweisergebnisses (E. 3. ) scheidet ein natürlicher Konsens in Bezug auf die gastronomische Nutzung der Alphütte 'B._' aus. Der Baurechtsvertrag vom 10. Februar 2009 ist deshalb nach normativen Gesichtspunkten auszulegen, das heisst es ist danach zu fragen, ob der Vertrag im hier streitigen Punkt nach Treu und Glauben so zu gelten hat, wie der Beschwerdeführer ihn versteht. Fehlt es nach dem Gesagten aber am Nachweis, dass die Parteien sich tatsächlich richtig verstanden haben, so läuft der weitere Vorwurf des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe die Beweislast falsch verteilt und damit gegen <ref-law> verstossen, ins Leere. Denn die zitierte Vorschrift findet nur dort Anwendung, wo hinsichtlich einer (rechtserheblichen) Tatsache Beweislosigkeit herrscht (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 233 f.). Die objektive Auslegung ist indessen eine Rechts- und keine Tatfrage (E. 4.1).
Wie der Eintrag im Grundbuch (E. 4.2.1 ) äussert sich auch der Baurechtsvertrag vom 10. Februar 2009 nicht ausdrücklich zur Möglichkeit einer gastronomischen Nutzung der Alphütte 'B._'. Es ist deshalb nötig, den Vertrag als Ganzes auszulegen. Umstritten ist dabei die Auslegung von Ziff. IV des Baurechtsvertrags (E. 4.2.2 ). Danach hat der Baurechtsnehmer das Recht, im Rahmen der gesetzlichen Bestimmungen das Gebäude zu erneuern, zu erweitern und den notwendigen Bedürfnissen anzupassen, jedoch dürfen diese Bauten nur der Land- und/oder Alpwirtschaft dienen.
Der Beschwerdeführer will diese Bestimmung so verstanden haben, dass die (funktionelle) Bindung an die land- bzw. alpwirtschaftliche Nutzung nur im Zusammenhang zusätzlicher Bauten eine Rolle spiele. Hingegen ergebe sich aus dieser Vertragsbestimmung nicht, dass in Bezug auf die Nutzung der bestehenden Gebäulichkeiten irgendwelche Einschränkungen vereinbart worden seien.
Dieser Auslegung des Beschwerdeführers kann nicht gefolgt werden. Anders als der Beschwerdeführer behauptet, unterscheidet Ziff. IV des Baurechtsvertrags vom 10. Februar 2009 nicht zwischen bestehenden und zusätzlichen Bauten. Vielmehr kann diese Bestimmung nach Treu und Glauben nicht anders verstanden werden, als dass sie alle baulichen Massnahmen erfasst, losgelöst davon, ob diese auf eine Erweiterung, eine Erneuerung oder eine Anpassung an die notwendigen Bedürfnisse zielen. Für eine einschränkende Auslegung dieser Klausel bleibt gestützt auf das Vertrauensprinzip kein Raum.
4.2.4 Zu prüfen bleibt, ob der Beschwerdeführer Bauten im Sinn von Ziff. IV des Baurechtsvertrags vom 10. Februar 2009 geplant hat oder sich sein Vorhaben auf die blosse Umnutzung bestehender Bauten beschränkt. Massgebend dafür ist der Baubeschrieb, den der Beschwerdeführer am 22. Februar 2011 bei der zuständigen Behörde einreichte und der das Vorhaben wie folgt umschreibt:
"Ein bestehender Stallteil, der nur noch selten für die Landwirtschaft gebraucht wird, möchte zum Gastgewerberaum umgebaut werden. Dieses würde ca. 30 Sitzplätze umfassen. Zudem möchte man südlich der Alphütte, einen Aussen-Sitzplatz mit ca. 40 Plätzen einrichten. Die bestehende Küche möchte man für das Gastgewerbe nutzen. Auch die bestehende WC Anlage, möchten wir für das Vorhaben nutzen. Zudem möchte man eine biologische Kleinkläranlage realisieren. (Beschreibung im Anhang) Ausserdem möchte man noch zusätzliche Fenster einbauen. (Teilweise bereits ausgeführt)."
Es ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz dieses Projekt so verstanden hat, dass der Beschwerdeführer damit auch Bauten realisieren wollte, die unter Ziff. IV des Baurechtsvertrags vom 10. Februar 2009 fallen, und die Baueinsprache deshalb schützte. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdeführer einen Teil dieser Bauten im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung bereits realisiert hatte. Dies geschah erklärtermassen, ohne dass die Beschwerdegegnerin dem Vorhaben zugestimmt hätte. Auch lässt sich der Beschwerdegegnerin kein Rechtsmissbrauch (<ref-law>) vorwerfen, weil sie sich nicht früher gegen die Pläne des Beschwerdeführers zur Wehr setzte oder die Umnutzung anderer Alphütten tolerierte.
4.3. Weil die Auslegung des Dienstbarkeitsvertrags zum klaren Ergebnis führt, dass die privatrechtliche Baueinsprache begründet ist, braucht nicht geprüft zu werden, ob und gegebenenfalls wie die Alphütte 'B._' über längere Zeit und in gutem Glauben genutzt wurde (<ref-law>). Offenbleiben kann auch, welche Bedeutung der Gebietsschutzklausel im Baurechtsvertrag der Beschwerdegegnerin mit der H._ AG vom 16. Februar 2004 zukommt.Angesichts des Gesagten braucht sich das Bundesgericht schliesslich auch nicht in die Frage zu vertiefen, ob die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer die von ihm angestrebte Nutzung der Alphütte auch dann gestützt auf den Baurechts-Vertrag verbieten könnte, wenn dafür keine Bauten notwendig wären.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat die Beschwerdegegnerin für ihren Aufwand vor Bundesgericht zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn