Sachverhalt:
A.
X._ ist seit Juni 2008 Eigentümer und Halter des 2006 geborenen, 25 kg schweren männlichen Hundes "A._" der Rasse Malinois (kurzhaariger belgischer Schäferhund). Am 20. August 2009 ereignete sich ein erster Zwischenfall, bei dem der Hund einen Rentner verbellte, so dass sich dieser bedroht fühlte. Am 3. September 2009 biss "A._" ein knapp 8-jähriges Mädchen ins Gesäss, was zu Prellungen und einer Schürfung führte. Wegen dieser beiden Vorfälle sprach das Statthalteramt des Bezirks Hinwil am 6. Oktober 2009 eine Busse von Fr. 250.-- aus. In der Folge häuften sich Beanstandungen wegen mangelnder Beaufsichtigung des Hundes "A._"; zu Anzeigen kam es jedoch nicht.
Auf Anordnung des Veterinäramts des Kantons Zürich (nachfolgend: Veterinäramt) wurde beim Hund "A._" am 18. November 2009 ein Wesenstest durchgeführt. Dieser ergab keine Hinweise auf gestört aggressives Verhalten, jedoch wurden mangelhafter Appell und mangelhafte Kontrolle über den Hund festgestellt. Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs am 8. März 2010 ordnete das Veterinäramt am 14. April 2010 für den Hund "A._" ab sofort die Leinenpflicht im öffentlich zugänglichen Raum an und verpflichtete X._, den Gehorsam, insbesondere den Appell seines Hundes, mit Hilfe einer Fachperson zu verbessern und die Ergebnisse des Trainings zu belegen. Gemäss Schlussbericht vom 10. November 2010 wurden die Trainingseinheiten per 31. Oktober 2010 abgeschlossen.
Am 17. November 2010 wurde das Veterinäramt darüber informiert, dass der Hund "A._" praktisch nie an der Leine geführt werde und Anfang November 2010 zwei Kindergartenschüler belästigt habe. Das Veterinäramt ermahnte X._ am 14. Februar 2011, den auferlegten Leinenzwang einzuhalten. Am 8. September 2011 schnappte "A._" nahe dem Kindergarten nach einem 5 Jahre alten Kind und biss es durch den Maschendrahtzaun in den Bauch, was zu einer Prellung führte. Das Statthalteramt des Bezirks Hinwil bestrafte X._ deswegen am 29. September 2011 mit einer Busse von Fr. 600.--.
Am 23. September 2011 beschlagnahmte das Veterinäramt den Hund "A._" vorsorglich. Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs am 3. Oktober 2011 ordnete es am 9. November 2011 die definitive Beschlagnahmung des Hundes an und auferlegte X._ ein teilweises Hundehalteverbot (Beschränkung auf Gesellschaftshunde bis 10 kg Körpergewicht). Einem allfälligen Rekurs wurde die aufschiebende Wirkung entzogen.
B.
Das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung wies die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich (nachfolgend: Gesundheitsdirektion) am 9. Februar 2012 ab. In der Hauptsache wies sie den Rekurs am 10. April 2012 ab und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (nachfolgend: Verwaltungsgericht) bestätigte den angefochtenen Entscheid mit Urteil vom 4. Oktober 2012.
C.
X._ erhebt am 3. Dezember 2012 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil sei aufzuheben; statt dessen sei für "A._" im öffentlich zugänglichen Raum eine Maulkorb- und Leinenpflicht zu verfügen und X._ zu verpflichten, mit dem Hund "A._" bei einer Fachperson Trainings- und Erziehungskurse so lange zu besuchen, wie es die Fachperson für nötig erachte; diese Auflagen seien unter Strafandrohung und gleichzeitiger Androhung der definitiven Beschlagnahme des Hundes "A._" zu erlassen.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Gesundheitsdirektion, das Veterinäramt und das Bundesamt für Veterinärwesen (BVET) beantragen ebenfalls die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil ist ein verfahrensabschliessender Entscheid einer kantonalen Gerichtsbehörde und betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG, Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG, Art. 90 BGG); eine sachliche Ausnahme im Sinn von Art. 83 BGG liegt nicht vor. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten steht somit offen. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, so dass auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die rechtsfehlerhafte Auslegung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht bildet keinen eigenständigen Rügegrund. Sie wird nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür geprüft (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 318 mit Hinweisen), sofern nicht die Verletzung von Bundesrecht in Frage steht. In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine entsprechende Rüge ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Veterinäramt hätte gemäss § 31 Abs. 1des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zürich vom 24. Mai 1959 (VRG; LS 175.2) die verfügten Massnahmen vorgängig androhen müssen. Dies dränge sich aus Gründen der Verhältnismässigkeit sogar dort auf, wo die Androhung nicht gesetzlich vorgeschrieben sei. Darauf ist vorab einzugehen.
Der vom Beschwerdeführer angerufene § 31 Abs. 1 VRG befindet sich unter den Bestimmungen zur Vollstreckung von Verwaltungsverfügungen (§ 29-31 VRG) und schreibt vor, dass der Ersatzvornahme und der Anwendung unmittelbaren Zwangs eine entsprechende Androhung vorangehen muss und dem Pflichtigen gleichzeitig eine angemessene Frist zur Erfüllung anzusetzen ist. Vorliegend ging es aber nicht um die Vollstreckung einer Anordnung; zudem kann nur die Beschlagnahmung, nicht aber das teilweise Hundehalteverbot als Zwangsmassnahme gelten. Gestützt auf § 19 des Hundegesetzes des Kantons Zürich vom 14. April 2008 (HuG; LS 554.5) darf die vorsorgliche Beschlagnahme und Unterbringung des Hundes unverzüglich erfolgen (vgl. E. 4.1 hiernach), was eine Androhung bereits auf der Ebene des Wortlauts ausschliesst. Angesichts des Kontexts (vorsorgliche Beschlagnahme aufgrund eines erheblichen Sicherheitsrisikos und nachträgliche definitive Entziehung des Hundes) ist es jedenfalls nicht willkürlich, auf eine Androhung zu verzichten. Dem Beschwerdeführer hilft auch der Hinweis auf das Urteil 2C_737/2010 vom 18. Juni 2011 E. 4.2 nicht, denn dort ging es um die Auslegung von Bundesrecht, welche das Bundesgericht - im Gegensatz zum hier anwendbaren kantonalen Recht - frei prüfen kann (vgl. E. 2.1). Die Vorgehensweise des Veterinäramts ist somit nicht zu beanstanden.
3.2. Weiter rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung der Eigentumsgarantie nach Art. 26 Abs. 1 BV und des Rechts auf Schutz der Privatsphäre nach Art. 13 Abs. 1 BV. Es steht ausser Frage, dass die Entziehung des Hundes "A._" den Schutzbereich der Eigentumsgarantie berührt. Hingegen ist nicht ersichtlich, inwiefern die Auferlegung eines teilweisen Hundehalteverbots einen Eingriff in die Privatsphäre darstellen soll; auf diese Rüge ist daher nicht einzugehen. Hinsichtlich des teilweisen Hundehaltungsverbots könnte grundsätzlich geprüft werden, ob die Massnahme einen Eingriff in die persönliche Freiheit gemäss Art. 10 Abs. 2 BV darstellt (vgl. zum Schutzbereich <ref-ruling> E. 2 S. 252). Weil der Beschwerdeführer diese Rüge nicht vorbringt, fällt eine entsprechende Prüfung ausser Betracht (vgl. E. 2.1).
4.
Somit bleibt zu prüfen, ob die Entziehung des Hundes mit der verfassungsmässigen Eigentumsgarantie vereinbar ist oder diese verletzt. Gemäss Art. 36 BV bedarf die Einschränkung von Grundrechten einer gesetzlichen Grundlage, wobei schwerwiegende Eingriffe in einem formellen Gesetz vorgesehen sein müssen. Die Einschränkung muss im öffentlichen Interesse liegen und verhältnismässig sein.
4.1. Entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers befindet sich die gesetzliche Grundlage für die Entziehung des Hundes weder im Tierschutzgesetz vom 16. Dezember 2005 (TSchG; SR 455) noch in der Tierschutzverordnung vom 23. April 2008 (TSchV; SR 455.1). Art. 24 Abs. 1 TSchG erlaubt die vorsorgliche Beschlagnahme von Tieren, wenn festgestellt wird, dass diese vernachlässigt oder unter völlig ungeeigneten Bedingungen gehalten werden. Diese Voraussetzungen waren im vorliegenden Fall nicht gegeben. Entsprechend der verfassungsrechtlichen Grundlage in Art. 80 BV besteht der Normzweck des TSchG im Tierschutz, nicht im Schutz des Menschen vor gefährlichen Tieren. In Bezug auf das Halten von Hunden enthält zwar die TSchV einzelne Bestimmungen, welche die Sicherheit von Mensch und Tier bezwecken (Art. 77-79 TSchV). Aufgrund der bundesstaatlichen Kompetenzordnung sind jedoch die Kantone zuständig für den Erlass von Bestimmungen, welche die Hundehaltung aus Gründen der öffentlichen Sicherheit beschränken (<ref-ruling> E. 3.2 S. 254; <ref-ruling> E. 2 S. 174). Weil die Beschlagnahme des Hundes "A._" nicht aus Gründen des Tierschutzes, sondern aus sicherheitspolizeilichen Gründen erfolgte, ist die Rechtsgrundlage dafür im kantonalen Recht zu suchen.
In § 18 Abs. 1 HuG werden die im Hinblick auf die Sicherheit von Mensch und Tier erforderlichen Massnahmen (nicht abschliessend) aufgezählt; § 18 Abs. 1 lit. j HuG sieht den "Entzug des Hundes zur Neuplatzierung oder Rückgabe an die Zuchtstätte" vor. Die vom Veterinäramt verfügte "definitive Beschlagnahme" ist unter diese Bestimmung zu subsumieren. Dies ergibt sich auch aus dem Wortlaut von § 19 Abs. 2 HuG, welcher "unverzüglich" (zu verstehen als vorsorgliche Massnahme im Vorfeld einer Anordnung im Sinn von § 18 Abs. 1 HuG; im Randtitel als "Sofortmassnahme" bezeichnet) die vorsorgliche Beschlagnahme erlaubt, wenn feststeht, dass ein Hund unter den aktuellen Haltungsumständen ein erhebliches Sicherheitsrisiko für Mensch und Tier darstellt. "Beschlagnahme" und "Entzug zur Neuplatzierung" sind somit in diesem Kontext gleichbedeutend. § 18 Abs. 1 lit. j HuG stellt eine hinreichend bestimmte gesetzliche Grundlage für die dauerhafte Entziehung eines Hundes dar, was der Beschwerdeführer anerkennt.
4.2. Der Beschwerdeführer bestreitet auch nicht, dass die verfügte Massnahme im öffentlichen Interesse liegt, weshalb sich Ausführungen hierzu erübrigen.
4.3. Der Beschwerdeführer erachtet die Entziehung des Hundes als unverhältnismässig. Aufgrund der Ermahnungen des Veterinäramts habe er lediglich mit einer (weiteren) Busse rechnen müssen. Zudem habe er sich per 31. Juli 2012 pensionieren lassen, um mehr Zeit für seinen Hund zu haben. Damit sei gewährleistet, dass sich die Vorfälle der Vergangenheit nicht wiederholen würden.
Dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit kommt im Polizeirecht besondere Bedeutung zu. Er verlangt, dass behördliche Massnahmen im öffentlichen oder privaten Interesse geeignet und erforderlich sind und sich für die Betroffenen in Anbetracht der Schwere der Grundrechtseinschränkung zumutbar und verhältnismässig erweisen. Erforderlich ist eine vernünftige Zweck-Mittel-Relation. Eine Massnahme ist unverhältnismässig, wenn das Ziel mit einem weniger schweren Grundrechtseingriff erreicht werden kann (<ref-ruling> E. 7.5.2 S. 53 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.2 S. 91).
4.3.1. Die Eignung der Massnahme zur Vermeidung weiterer Beissvorfälle ist unbestritten und bedarf keiner weiteren Ausführungen.
4.3.2. Es fragt sich, ob die Entziehung des Hundes "A._" erforderlich ist, um Gefahren abzuwenden, welche von ihm mit dem Beschwerdeführer als Halter ausgehen. Die vom Beschwerdeführer vorgeschlagene Leinen- und Maulkorbpflicht und der Besuch von Erziehungskursen stellen im Vergleich zur Entziehung des Tieres mildere Mittel dar, deren Einsatz zu prüfen ist.
Der Beschwerdeführer wurde mit Verfügung vom 14. April 2010 verpflichtet, den Hund "A._" im öffentlich zugänglichen Raum an der Leine zu führen. Obwohl dieser Anordnung ein Beissvorfall und mehrere Beanstandungen vorangegangen waren, hielt er sich in der Folge nicht konsequent daran. Selbst nachdem er am 14. Februar 2011 schriftlich ermahnt worden war, liess er seinen Hund in der Nähe eines Kindergartens frei laufen, worauf sich der Beissvorfall vom 8. September 2011 ereignete.
Das Mittel des Leinenzwangs hat sich im Fall des Beschwerdeführers als untauglich erwiesen, weil er sich nicht daran zu halten vermochte. Es spricht auch nicht für den Beschwerdeführer, dass er während eines Telefongesprächs mit dem Veterinäramt am 1. April 2011 die Ansicht äusserte, die Leinenpflicht sei infolge des absolvierten Hundetrainings aufgehoben; eine Auffassung, die er anlässlich der vorsorglichen Beschlagnahme des Hundes "A._" am 23. September 2011 wiederholte. Die Nachlässigkeit des Beschwerdeführers in Bezug auf die Leinenpflicht und die in diesem Zusammenhang an den Tag gelegten Verharmlosungen lassen auch eine Maulkorbpflicht nicht als taugliches Mittel zur Gefahrenabwendung erscheinen, zumal ein Maulkorb insbesondere für Kinder keinen umfassenden Schutz vor einem 25 kg schweren Hund bietet. Dies fällt umso mehr ins Gewicht, weil der Beschwerdeführer das Hundetraining bereits Ende Oktober 2010 aufgab. Nachdem der Beschwerdeführer sich nur beschränkt motiviert gezeigt hatte, das Training zu absolvieren bzw. fortzuführen, kann darin kein taugliches milderes Mittel zur Gefahrenabwendung erblickt werden.
An der Erforderlichkeit der Entziehung des Hundes "A._" vermag auch die vorzeitige Pensionierung des Beschwerdeführers mit Wirkung ab 1. August 2012 nichts zu ändern, sind doch die Gründe für diesen Schritt nicht bekannt. Es mag zutreffen, dass der Beschwerdeführer gewillt ist, sich nun mehr um seinen Hund zu kümmern. Jedoch bietet diese Tatsache keine Gewähr dafür, dass von "A._" unter der Hand des Beschwerdeführers keine Gefahr mehr ausgehen wird. Dieser hat sich zu oft den behördlichen Anordnungen widersetzt und sich von Bussen und Ermahnungen unbeeindruckt gezeigt, als dass nun angenommen werden könnte, er würde sich künftig regelkonform verhalten. Zu erwähnen ist in diesem Zusammenhang, dass bereits am 17. Juni 2007 der damalige Hund "B._" des Beschwerdeführers einen Fahrradfahrer ins Bein gebissen hatte, so dass dieser zu Fall kam; das Veterinäramt hatte es damals bei einer Ermahnung des Beschwerdeführers bewenden lassen. Aufgrund der Vergangenheit ist auch nicht zu erwarten, dass die geltend gemachte emotionale und finanzielle Zäsur, welche der Beschwerdeführer durch den Entzug des Hundes "A._" und die damit verbundenen Kosten erlebt haben will, sein Verhalten nachhaltig beeinflussen wird. Die Vorinstanz hat die Erforderlichkeit der Massnahme zu Recht bejaht.
4.3.3. Angesichts der mehrfach manifest gewordenen Gefahr, welche vom Hund "A._" mit dem Beschwerdeführer als Halter ausgeht, muss diesem der Verzicht auf das Tier zugemutet werden, auch wenn ihn diese Massnahme hart trifft. Das Interesse an der Sicherheit der Bevölkerung, insbesondere von schwächeren Personen wie Rentnern oder Kindern, ist höher zu gewichten als das private Interesse des Beschwerdeführers, seinen Hund behalten zu dürfen. Immerhin ist es ihm (weiterhin) erlaubt, einen Gesellschaftshund bis zu einem Gewicht von 10 kg zu halten.
4.4. Die Entziehung des Hundes "A._" erweist sich somit als verhältnismässig; eine Verletzung der Eigentumsgarantie liegt nicht vor.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG); eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Kammer, und dem Bundesamt für Veterinärwesen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner