Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1999) ist ghanaischer Staatsangehöriger. Seine Mutter, A._ (geb. 1971), ebenfalls Staatsangehörige von Ghana, heiratete 2007 einen Schweizer ghanaischer Abstammung. Zusammen mit ihrem Sohn reiste sie ihrem Ehemann am 4. Oktober 2008 in die Schweiz nach. Ihr Ehemann verliess die Schweiz im Jahre 2010, worauf das Migrationsamt des Kantons St. Gallen die Aufenthaltsbewilligung von Mutter und Sohn am 27. Oktober 2010 widerrief. Den dagegen gerichteten Rekurs wies das Sicherheits- und Justizdepartement am 15. August 2011 ab. Dieser Entscheid ist rechtskräftig. Die daraufhin angesetzte Ausreisefrist bis 6. November 2011 verstrich ungenutzt. X._ stellte am 5. Januar 2012 ein Wiedererwägungsgesuch, das erfolglos blieb (Urteil 2C_50/2013 vom 24. Januar 2013).
B.
Am 6. März 2013 stellte X._ bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Region St. Gallen ein Gesuch um Bestellung eines Vertretungsbeistands. Gleichentags teilte die KESB ihm bzw. seinem Vertreter, Y._, mit, dass kein Grund für die Einsetzung eines Vertretungsbeistands bestehe, der die Interessen von X._ im abgeschlossenen Verfahren vor den Migrationsbehörden wahrnehme. Mit Eingaben vom 27. März und 9. April 2013 verlangte Y._ von der KESB den Erlass eines anfechtbaren Entscheids über die Vertretungsbeistandschaft.
Am 30. April 2013 erhob Y._ für X._ beim Stadtrat der Stadt St. Gallen Rechtsverweigerungsbeschwerde gegen die KESB. Er beantragte, die KESB sei unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege anzuweisen, über das Gesuch um Anordnung einer Vertretungsbeistandschaft binnen kurzer Frist zu befinden. Der Stadtrat überwies die Beschwerde an die Verwaltungsrekurskommission.
Mit Beschluss vom 23. Mai 2013 wies die KESB den Antrag auf Errichtung einer Vertretungsbeistandschaft ab, ohne Kosten zu erheben.
Mit Verfügung vom 9. September 2013 schrieb der Abteilungspräsident der Verwaltungsrekurskommission die Rechtsverweigerungsbeschwerde wegen Gegenstandslosigkeit als erledigt ab. Am 16. September 2013 verlangte Y._ einen Entscheid des Gerichts. Er beantragte die Rückweisung der Rechtsverweigerungsbeschwerde an den Stadtrat und die Zusprechung einer ausseramtlichen Entschädigung. Mit Entscheid vom 19. September 2013 schrieb die Verwaltungsrekurskommission die Rechtsverweigerungsbeschwerde als erledigt ab und erhob keine Kosten.
Gegen diesen Entscheid erhob Y._ für X._ am 22. Oktober 2013 Beschwerde an das Kantonsgericht St. Gallen. Er beantragte die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an den Stadtrat, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Entscheid vom 25. November 2013 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab, auferlegte Y._ die Gerichtskosten von Fr. 400.-- und schrieb das Gesuch von X._ um unentgeltliche Rechtspflege als gegenstandslos ab.
C.
Am 27. Dezember 2013 (gemäss Zeugenvermerk auf dem Couvert; Poststempel 29. Dezember 2013) haben X._ (Beschwerdeführer 1) und Y._ (Beschwerdeführer 2) gegen den kantonsgerichtlichen Entscheid Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Y._ tritt dabei nicht nur selber als Beschwerdeführer auf, sondern auch als Vertreter des Beschwerdeführers 1, wobei dieser die Beschwerde mitunterzeichnet hat. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Anweisung an das Kantonsgericht, die Rechtsverweigerungsbeschwerde gutzuheissen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Zudem ersuchen sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Am 3. Januar 2014 hat Y._ eine weitere Eingabe eingereicht, in der er sich zur Fristwahrung äussert.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Entscheid über eine Vertretungsbeistandschaft für ein Kind betrifft eine der Beschwerde in Zivilsachen unterliegende Angelegenheit (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) ohne Vermögenswert (Urteil 5A_357/2011 vom 7. Oktober 2011 E. 2). Die Beschwerde ist rechtzeitig erfolgt, und zwar unabhängig davon, ob auf den Poststempel oder den Zeugenvermerk abgestellt wird (vgl. für Ersteres Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Auf weitere Zulässigkeitsfragen ist im Sachzusammenhang einzugehen.
1.2. Vor Bundesgericht kann sich der Beschwerdeführer 1 nicht durch den Beschwerdeführer 2 vertreten lassen, da dieser nicht Anwalt im Sinne von <ref-law> ist. Eine Vertretung in Zivilsachen, worunter auch die Angelegenheiten von <ref-law> fallen, ist Anwälten vorbehalten (Anwaltsmonopol; <ref-ruling> E. 1.3 S. 523). Da der Beschwerdeführer 1 die Beschwerde mitunterzeichnet hat, ist sie dennoch entgegenzunehmen. Der Beschwerdeführer 2 ist darauf hinzuweisen, dass solche Überschreitung der Vertretungsbefugnisse im Wiederholungsfalle Kosten- oder sogar Bussenfolgen nach sich ziehen kann (Art. 66 Abs. 3 und Art. 33 Abs. 2 BGG).
2.
Vor Kantonsgericht war strittig, ob die Verwaltungsrekurskommission oder der Stadtrat für den Entscheid über die Rechtsverweigerungsbeschwerde zuständig ist. Die Beschwerdeführer akzeptieren, dass dafür die Verwaltungsrekurskommission zuständig ist, so dass darauf vor Bundesgericht nicht zurückzukommen ist.
Das Kantonsgericht hat sodann die Kostenverlegung durch die Vorinstanz überprüft. Die Verwaltungsrekurskommission habe die Rechtsverweigerungsbeschwerde zu Recht als gegenstandslos abgeschrieben (Art. 57 Abs. 1 des Gesetzes vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege [VRP, sGS 951.1] i.V.m. Art. 11 lit. a des Einführungsgesetzes vom 24. April 2012 zur Bundesgesetzgebung über das Kindes- und Erwachsenenschutzrecht [EG KES; sGS 912.5]). Für die Kostenverlegung gelte das Verursacherprinzip (Art. 95 Abs. 1 und 2 VRP). Das Kantonsgericht hat festgestellt, gemäss den Akten habe die KESB am 2. April 2013 ein Dossier "Prüfung Kindesschutz" eröffnet. Am 6. Mai 2013 habe die KESB Y._ Terminvorschläge für eine Anhörung unterbreitet, so dass er spätestens ab diesem Zeitpunkt gewusst habe, dass das Verfahren in Gang und die Grundlage für die behauptete Rechtsverweigerung entfallen sei. Die Rechtsverweigerungsbeschwerde hätte dann ohne Weiteres zurückgezogen werden können. Auch von einer Verfahrensverzögerung könne angesichts der gesamten Verfahrensdauer vor der KESB von weniger als zwei Monaten keine Rede sein. Aus dem Verhalten der KESB ergebe sich somit nichts, dass die Erhebung einer Rechtsverweigerungsbeschwerde angezeigt oder erforderlich hätte erscheinen lassen. Selbst falls materiell noch über die Beschwerde zu entscheiden gewesen wäre, wäre der Beschwerdeführer 1 mangels Rechtsverweigerung bzw. -verzögerung mutmasslich unterlegen. Unter diesen Umständen hätte der Beschwerdeführer 1 die amtlichen Kosten zu tragen gehabt, doch habe die Verwaltungsrekurskommission auf deren Erhebung verzichtet. Auf eine ausseramtliche Entschädigung habe er angesichts dieser Umstände keinen Anspruch. Die Verwaltungsrekurskommission habe es zudem zu Recht abgelehnt, den Beschwerdeführer 1 durch den Beschwerdeführer 2 zu verbeiständen, da dieser weder Rechtsanwalt noch Rechtsagent sei (<ref-law> i.V.m. Art. 11 lit. a EG KES).
Die Kosten des kantonsgerichtlichen Beschwerdeverfahrens sind dem Beschwerdeführer 2 auferlegt worden. Die Prozessführung sei aussichtslos und trölerisch gewesen. Der Beschwerdeführer 1 als vierzehnjähriges Kind dürfte nicht in der Lage gewesen sein, die Erfolgsaussichten des Verfahrens abzuschätzen. Es entstehe schliesslich der Eindruck, dem Beschwerdeführer 2 sei es mit der Beschwerdeführung um sein eigenes Honorar gegangen, auf das er klarerweise keinen Anspruch habe.
3.
3.1. Die Beschwerdeführer machen geltend, dass ihre Beschwerde nicht hätte abgeschrieben werden dürfen, soweit sie sich gegen die Rechtsverzögerung richte. In diesem Punkt ist einzig der Beschwerdeführer 1 zur Beschwerde legitimiert, nicht aber der Beschwerdeführer 2, der insoweit kein eigenes schutzwürdiges Interesse an der Beschwerde hat (<ref-law>).
Weshalb die Rechtsverweigerungs- bzw. -verzögerungsbeschwerde nicht als gegenstandslos hätte abgeschrieben werden dürfen, nachdem die KESB das Verfahren an die Hand genommen und am 23. Mai 2013 erledigt hat, ist nicht ersichtlich. Die Beschwerdeführer verbinden diesen Punkt zwar mit der Frage, ob sie sich am 30. April 2013 berechtigt fühlen durften, eine Rechtsverweigerungs- oder -verzögerungsbeschwerde einzureichen. Dies hat jedoch mit der Rechtmässigkeit einer späteren Abschreibung der Beschwerde nichts zu tun. Daran ändert nichts, dass die Beschwerdeführer eine angebliche Pflicht der KESB zur Orientierung über die Anhandnahme des Verfahrens postulieren und diese Pflicht durch die KESB verletzt sehen. Das Interesse an einer Rechtsverweigerungs- oder -verzögerungsbeschwerde erschöpft sich darin, eine Behörde zum Handeln oder zu schnellerem Handeln anzuhalten. Ist dieses Ziel erfüllt, entfällt jedes schutzwürdige Interesse an der Weiterbehandlung der Beschwerde. Ob sich die Beschwerdeführer im Zeitpunkt der Einreichung der Rechtsverweigerungsbeschwerde berechtigt fühlten, sich über eine Verfahrensverzögerung zu beklagen, ist in diesem Zusammenhang irrelevant und verschafft dem Beschwerdeführer 1 kein eigenständiges, schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdebehandlung. Die Rügen im Zusammenhang mit der Abschreibung des Rechtsverweigerungs- bzw. -verzögerungsverfahrens sind deshalb unbegründet, soweit auf sie überhaupt eingetreten werden kann.
3.2. Am Rande machen die Beschwerdeführer geltend, durch den angefochtenen Entscheid werde das Recht des Beschwerdeführers 1 auf die freie Wahl einer Vertretung verletzt. Diese Rüge scheint in Zusammenhang zu stehen mit der Entschädigung für das Verfahren vor der Verwaltungsrekurskommission. Die Beschwerdeführer behaupten nämlich, vor der Verwaltungsrekurskommission seien auch nichtpatentierte Rechtsvertreter zugelassen. Sie beziehen sich dabei ausdrücklich nicht auf die unentgeltliche Verbeiständung, so dass offenbar einzig eine ausseramtliche Entschädigung in Frage steht. Darauf ist bereits deshalb nicht einzutreten, weil es an einem bezifferten Antrag fehlt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 237).
3.3. Zumindest sinngemäss fechten die Beschwerdeführer schliesslich die kantonsgerichtliche Kostenregelung an. Da die Kosten des kantonsgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer 2 auferlegt wurden, ist er in diesem Punkt zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt, nicht hingegen der Beschwerdeführer 1, der insoweit nicht beschwert ist (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer 2 geht offenbar davon aus, der Grund für die Kostenauflage liege darin, dass er für den Beschwerdeführer 1 Rechtsverweigerungs- bzw. -verzögerungsbeschwerde geführt habe. Dies trifft jedoch nicht zu. Vielmehr liegt der Grund darin, dass er nach dem Abschreibungsentscheid der Verwaltungsrekurskommission eine aussichtslose und trölerische Beschwerde an das Kantonsgericht erhoben hat. Die Ausführungen des Beschwerdeführers 2 zur Frage, wann er von der Aufnahme des Verfahrens durch die KESB erfahren habe, gehen deshalb an der Sache vorbei.
Der Beschwerdeführer 2 streitet zudem seine Verantwortung für die Erhebung der Beschwerde an das Kantonsgericht ab. Er macht geltend, dass er den Beschwerdeführer 1 als urteilsfähig behandle, ihm alle relevanten Informationen zukommen lasse und seine Zustimmung zum Verfahren vor Kantonsgericht eingeholt habe. Dies sind appellatorische und unzulässige Sachverhaltsbehauptungen, die nicht berücksichtigt werden können (Art. 97 und 105 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356). Sie vermögen die kantonsgerichtliche Erwägung nicht zu entkräften, dass der Beschwerdeführer 1 kaum in der Lage gewesen sei, selber die Erfolgsaussichten der Beschwerde abzuschätzen. Der Beschwerdeführer 2 setzt sich auch nicht damit auseinander, dass die Beschwerde an das Kantonsgericht aussichtslos und trölerisch gewesen sei, und es ihm um ein Honorar (für das Verfahren vor der Verwaltungsrekurskommission) gegangen sei. Damit genügt er seiner Begründungspflicht nicht (Art. 42 <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 584 mit Hinweisen). Das Vorbringen des Beschwerdeführers 2 ist im Übrigen stossend, weil er dadurch im Ergebnis eine Kostenüberwälzung an den Beschwerdeführer 1 anregt, den er immer noch zu vertreten vorgibt.
Schliesslich rügt der Beschwerdeführer 2, er sei ohne Gewährung des rechtlichen Gehörs mit den Kosten belastet worden. Er legt nicht detailliert dar, weshalb eine Anhörung dazu geboten gewesen wäre (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 400 f.; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Da er von sich behauptet, in der Vertretung in Kindesangelegenheiten ausgebildet zu sein, muss ihm im Übrigen bekannt sein, dass einem Vertreter im Ausnahmefall Kosten auferlegt werden können.
3.4. Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
4.
Es rechtfertigt sich, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege ist demnach als gegenstandslos abzuschreiben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg