Faits:
A.
Il est reproché à Y._ d'avoir violé le 22 novembre 2009 la mineure B.X._, née le 25 janvier 1995. A l'ouverture des débats devant le Tribunal correctionnel du canton de Genève, la mère de l'enfant, A.X._, a déposé des conclusions civiles en son propre nom à concurrence de 26'835 fr. 25 tendant au paiement par Y._ du dommage et du tort moral qu'elle prétendait avoir elle-même subis.
Par décision du 31 mai 2011, le Tribunal correctionnel du canton de Genève a constaté que A.X._ n'avait pas qualité de partie plaignante. Les débats se sont poursuivis sans A.X._. Par jugement du 3 juin 2011, le Tribunal correctionnel a reconnu Y._ coupable de viol (<ref-law>), l'a acquitté de l'infraction d'actes d'ordre sexuel avec des enfants (<ref-law>) et l'a condamné à une peine privative de liberté de 3 ans, sous déduction de 380 jours de détention avant jugement, cette peine étant prononcée sans sursis à raison de 12 mois, le sursis partiel lui étant accordé pour le surplus avec délai d'épreuve de 4 ans. Le tribunal a accordé à l'enfant B.X._ une indemnité de 15'000 fr. pour tort moral. Les parties ont déposé des déclarations d'appel contre ce jugement auprès de la Chambre d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise.
A.X._ a formé un recours contre la décision du 31 mai 2011. Par arrêt du 16 septembre 2011, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a déclaré ce recours irrecevable, considérant qu'aucune voie de droit n'était ouverte à ce stade de la procédure.
Par arrêt du 21 mai 2012 (6B_701/2011), le Tribunal fédéral a admis le recours formé par A.X._ dans la mesure de sa recevabilité et renvoyé la cause en instance cantonale pour nouvelle décision. En bref, il a considéré qu'une voie de droit immédiate devait être ouverte au plan cantonal.
B.
Par arrêt du 28 août 2012, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice genevoise a rejeté le recours formé par A.X._ contre la décision du 31 mai 2011.
C.
A.X._ interjette un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à son annulation, à ce que sa qualité de partie plaignante soit reconnue, à ce que la cause soit renvoyée au Tribunal correctionnel et à ce que la direction de la procédure statue sur ses conclusions civiles, subsidiairement à ce que la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise statue sur ses conclusions civiles. Elle sollicite par ailleurs l'assistance judiciaire.
Le Ministère public conclut au rejet du recours.
L'intimée B.X._ s'en rapporte à justice.
L'intimé Y._ s'en rapporte à justice et sollicite par ailleurs l'assistance judiciaire.

Considérant en droit:
1.
L'arrêt attaqué constitue une décision partielle au sens de l'<ref-law> de sorte que le recours est recevable sous l'angle de cette disposition (cf. arrêt 6B_701/2011 du 21 mai 2012 consid. 1). La recourante dispose de la qualité pour agir au regard de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF (cf. arrêt 6B_701/2011 précité consid. 2).
2.
Se prévalant d'une violation de l'<ref-law>, la recourante est d'avis que la qualité de partie plaignante lui a été déniée à tort.
2.1. La cour cantonale a admis que la recourante était une proche de la victime au sens de l'<ref-law> et qu'elle avait expressément déclaré vouloir participer à la procédure, à tout le moins sur le plan civil. En instance cantonale, la recourante a fait valoir qu'elle avait subi des atteintes propres en raison des actes commis sur sa fille, soit un préjudice moral et un dommage matériel. La cour cantonale a considéré d'une part qu'il n'était pas possible de retenir que la souffrance endurée par la recourante avait été suffisamment intense pour admettre qu'étaient réalisées les conditions d'une indemnisation du tort moral, d'autre part que le dommage matériel allégué ne se trouvait pas en relation de causalité naturelle et adéquate avec les infractions reprochées. Elle a ainsi confirmé la décision du 31 mai 2011 déniant la qualité de partie plaignante de la recourante.
2.2. Selon l'<ref-law>, on entend par victime, le lésé qui, du fait d'une infraction, a subi une atteinte directe à son intégrité physique, psychique ou sexuelle. Le proche de la victime est défini à l'<ref-law>. Il s'agit notamment des parents de celle-ci.
En vertu de l'<ref-law>, les proches de la victime jouissent des mêmes droits que celle-ci lorsqu'ils se portent partie civile contre les prévenus. Les termes "se portent partie civile" de la version française doivent s'interpréter dans le sens de faire valoir des prétentions civiles, comme en attestent les versions allemande et italienne ("Machen die Angehörigen des Opfers Zivilansprüche geltend"; "se fanno valere pretese civili"). Par "mêmes droits", il faut entendre notamment le droit pour le proche de se constituer partie plaignante comme demandeur au civil, le cas échéant aussi au pénal. Toutefois, le droit du proche de se constituer partie plaignante implique, ce que confirme la combinaison des art. 117 al. 3 et 122 al. 2 CPP, qu'il fasse valoir des prétentions civiles propres dans la procédure pénale (cf. MAZZUCCHELLI/POSTIZZI, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2011, n o 11 ad <ref-law> et no 6 et 7 ad <ref-law>). Autrement dit, le proche de la victime ne peut se constituer partie plaignante que s'il fait valoir des prétentions civiles propres dans la procédure pénale. Cette exigence est spécifique au proche de la victime et ne vaut pas pour le lésé ou la victime, lesquels peuvent en effet se constituer partie plaignante au pénal indépendamment de conclusions civiles (cf. <ref-law>).
Les art. 117 al. 3 et 122 al. 2 CPP sont une reprise de l'ancien art. 2 al. 2, respectivement de l'ancien art. 39 de la loi sur l'aide aux victimes d'infractions (LAVI; RS 312.5) ( NIKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, n o 4 ad <ref-law> et no 5 ad <ref-law>). Conformément à ce qui prévalait sous l'égide de la LAVI, le proche bénéficie des droits procéduraux, dorénavant conférés par le CPP, si les prétentions qu'il invoque apparaissent crédibles au vu de ses allégués. Il n'y a pas lieu d'exiger une preuve stricte, laquelle est justement l'objet du procès au fond. Il ne suffit cependant pas d'articuler des prétentions civiles sans aucun fondement, voire fantaisistes pour bénéficier des droits procéduraux. Il faut une certaine vraisemblance que les prétentions invoquées soient fondées (cf. arrêts 6P.30/2005 du 3 juin 2005 consid. 3 et 6B_627/2007 du 11 août 2008 consid. 2.2.3).
2.3. En l'espèce, la fille de la recourante est une victime au sens de l'<ref-law>, de sorte que la recourante est une proche selon l'<ref-law>. Il n'est pas contesté que la recourante a valablement déclaré vouloir participer à la procédure (cf. <ref-law>) après avoir été interpellée par la direction de la procédure, étant rappelé que la phase d'instruction de la cause s'est en l'occurrence déroulée en 2010, avant l'entrée en vigueur du CPP. La cour cantonale a relevé que la recourante avait déclaré à la direction de la procédure vouloir participer à la procédure comme demanderesse, à tout le moins au plan civil (arrêt p. 6). En outre, la recourante a articulé des prétentions propres et a pris à ce titre des conclusions civiles devant le tribunal correctionnel. Dans les circonstances précitées, la qualité de partie plaignante de la recourante ne pouvait être exclue que s'il apparaissait d'emblée, conformément à la jurisprudence précitée rendue sous l'égide de l'ancienne LAVI, que les prétentions émises étaient dépourvues de tout fondement voire fantaisistes.
2.4.
2.4.1. S'agissant des prétentions en tort moral émises par la recourante, la cour cantonale a exposé qu'il n'était pas possible de retenir, même sous l'angle de la vraisemblance, que la souffrance endurée par celle-ci puisse être comparée à celle qu'elle aurait endurée en cas de mort de sa fille. Selon la cour, la recourante n'avait pas démontré avoir été touchée plus fortement ou de la même manière qu'en cas de décès, son état dépressif d'intensité moyenne n'étant pas suffisant (cf. arrêt p. 6).
La jurisprudence est restrictive quant à l'allocation d'une indemnité pour tort moral aux parents d'un enfant abusé sexuellement, exigeant qu'ils soient touchés avec la même intensité qu'en cas de décès de l'enfant (arrêt 6B_646/2008 du 23 avril 2009 consid. 7). Il ressort en l'espèce du dossier (<ref-law>) que la recourante a allégué dans son écriture du 31 mai 2011 déposée à l'appui de ses conclusions civiles qu'elle nécessitait toujours un soutien psychiatrique et psychothérapeutique 18 mois après les faits, qu'elle souffrait énormément d'être quotidiennement confrontée au stress post-traumatique de sa fille (troubles du sommeil, incapacité de se déplacer sans être accompagnée, attaques de panique), qu'elle était sans cesse préoccupée par sa fille animée d'idées suicidaires, qu'elle avait le sentiment que sa souffrance allait durer pour le restant de sa vie, comme si elle avait perdu sa fille. Au vu des éléments ainsi exposés, la cour cantonale ne pouvait pas d'emblée, même au regard d'exigences jurisprudentielles restrictives, considérer les prétentions comme dépourvues de tout fondement. La recourante avait suffisamment articulé ses prétentions, sans qu'une preuve stricte n'ait à être exigée d'elle à l'ouverture des débats. C'est ainsi à tort que la qualité de partie plaignante lui a été déniée et le recours doit être admis à cet égard.
2.4.2. Ce qui précède vaut aussi pour les prétentions en réparation du dommage invoquées par la recourante.
La cour cantonale a exposé que pour le dommage matériel, aucun lien de causalité naturelle et adéquate ne pouvait être retenu avec les infractions en cause. Selon la cour, la recourante n'avait pas prouvé que les frais extraordinaires qu'elle avait assumés en raison de son obligation d'entretien (frais de séjour à l'étranger, frais d'ambulance et frais médicaux) étaient en lien avec les infractions.
Dans son écriture du 31 mai 2011, la recourante a exposé qu'un éloignement de Genève avait médicalement été recommandé pour sa fille, ce qui avait entraîné différents frais (1'096 fr. 75 et 9'986 fr. 50) pour que celle-ci puisse se rendre en Belgique et au Canada, qu'elle avait également dû assumer des frais d'ambulance (768 fr. 50) à la suite d'une crise de sa fille ainsi que des frais médicaux (722 fr. 40) correspondant à la quote-part non prise en charge par l'assurance-maladie. Au regard en particulier des frais d'ambulance et des frais médicaux, la cour cantonale ne pouvait pas d'entrée de cause considérer les prétentions émises comme sans fondement. Ce faisant, elle s'est muée en juge du fond, ce qu'elle n'avait pas à faire à ce stade de l'examen des prétentions. Une vraisemblance suffisante existe que les frais engagés puissent résulter des séquelles des infractions reprochées. Cela suffit pour reconnaître la qualité de partie plaignante de la recourante. Le recours est bien fondé.
2.5.
La recourante soutient que sa qualité de partie plaignante doit lui être reconnue comme demanderesse au civil mais également comme demanderesse au pénal. Elle laisse entendre qu'elle souhaite de la sorte mettre en cause l'acquittement du prévenu du chef d'accusation d'actes d'ordre sexuel avec des enfants (<ref-law>).
La cour cantonale a relevé que la demanderesse avait déclaré à la direction de la procédure vouloir participer à la procédure comme demanderesse, à tout le moins au civil (cf. arrêt p. 6). Lorsqu'une déclaration de constitution de partie plaignante (cf. art. 118 al. 2 et 119 CPP) n'est pas claire, il incombe à l'autorité d'en éclaircir la portée. En cas de doute, il faut admettre que la déclaration vaut tant sur le plan pénal que civil (cf. NIKLAUS SCHMID, op. cit., n o 5 ad <ref-law>). En l'espèce, il n'apparaît pas que l'autorité aurait cherché à éclaircir la portée de la déclaration de la recourante. On peut admettre qu'il existe un doute en l'occurrence et ainsi considérer que la recourante a aussi entendu se constituer partie plaignante au pénal. A noter au demeurant que la situation du proche de la victime, telle celle de la recourante, se distingue de celle du lésé ou de la victime dont la qualité pour former appel sur le plan pénal est indépendante de la prise de conclusions civiles (cf. arrêt 6B_261/2012 du 22 octobre 2012 consid. 3 destiné à la publication). En effet, la qualité de partie plaignante du proche de la victime dépend de la prise effective de conclusions civiles propres dans la procédure pénale (cf. supra consid. 2.2). Il s'ensuit que la qualité pour former appel du proche de la victime dans l'optique de mettre en cause l'acquittement - total ou partiel - du prévenu est réalisée uniquement si ledit acquittement est susceptible d'avoir une incidence directe sur le sort des conclusions civiles prises dans la procédure. A défaut, l'appel sur le plan pénal du proche de la victime est irrecevable.
2.6.
La recourante est d'avis que la reconnaissance de sa qualité de partie plaignante ne doit pas avoir pour effet d'annuler le jugement au fond rendu le 3 juin 2011 par le tribunal correctionnel mais qu'il doit être fait application de l'<ref-law> en ce sens que ses conclusions civiles doivent être jugées séparément par la direction de la procédure statuant comme juge unique.
L'argument paraît contradictoire avec la volonté de la recourante de se voir reconnaître la qualité de partie plaignante au pénal pour contester l'acquittement du prévenu du chef d'accusation d'actes d'ordre sexuel avec des enfants (cf. supra consid. 2.5). Quoi qu'il en soit, il incombera à l'autorité cantonale à qui la cause est renvoyée d'aménager la suite de la procédure de manière à ce que les droits procéduraux découlant de la qualité de partie plaignante de la recourante soient garantis.
3.
Le recours doit être admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
Vu l'issue de la procédure, il ne sera pas perçu de frais (<ref-law>) et le canton de Genève versera à l'avocat de la recourante une indemnité de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Cela rend sans objet la demande d'assistance judiciaire de la recourante. L'intimé Y._ est mis au bénéfice de l'assistance judiciaire. Me Jordan est désigné comme avocat d'office et la caisse du Tribunal fédéral lui versera une indemnité restreinte à titre d'honoraires pour sa succincte détermination. Il n'y a pas lieu d'allouer d'indemnité à l'intimée B.X._.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
2.
La demande d'assistance judiciaire de la recourante est sans objet.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le canton de Genève versera à l'avocat de la recourante une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
La demande d'assistance judiciaire de l'intimé est admise et Me Romain Jordan est désigné comme défenseur d'office. Une indemnité de 500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à verser par la caisse du Tribunal fédéral.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 21 décembre 2012
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Mathys
La Greffière: Livet