Sachverhalt:
A.
A._ hatte bei der Gesundheitsdirektion des Kantons Zug um Einsicht in die Patientenakte ihrer verstorbenen Mutter ersucht. Mit Verfügung vom 30. Oktober 2012 trat die Gesundheitsdirektion auf das Begehren nicht ein, worauf A._ Beschwerde beim Regierungsrat einreichte. Als nach Ablauf der erstreckten Frist weder der einverlangte Kostenvorschuss noch ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eingegangen war, schrieb die Sicherheitsdirektion des Kantons Zug das Beschwerdeverfahren am 31. Januar 2013 androhungsgemäss als erledigt ab. Für diesen Entscheid wurden keine Kosten erhoben.
Gegen den Abschreibungsentscheid vom 31. Januar 2013 gelangte A._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Zug, welches die Beschwerde am 30. April 2013 abwies. Das Bundesgericht hob diesen Entscheid mit Urteil 2C_591/2013 vom 28. Oktober 2013 wegen Verletzung des Replikrechts auf und wies die Sache zur Gewährung des rechtlichen Gehörs und zu neuem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurück.
B.
Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde gegen den Abschreibungsentscheid vom 31. Januar 2013 mit Urteil vom 29. April 2014 erneut ab.
C.
A._ erhebt am 19. Juni 2014 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil sei aufzuheben, die von der Vorinstanz willkürlich auferlegten Verfahrenskosten von Fr. 1'000.-- seien aufzuheben und ihr sei die vollumfängliche Einsicht in die Krankenakte ihrer verstorbenen Mutter zu gewähren.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil bestätigt einen Abschreibungsentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (bei einer Gesundheitsbehörde beantragte Einsicht in Patientenakten). Dieser Endentscheid unterliegt der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>, <ref-law>). Vorinstanz ist eine letztinstanzliche kantonale Gerichtsbehörde im Sinn von <ref-law> und <ref-law>. Eine Ausnahme nach <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerde ist zulässig.
1.2. Die Beschwerdeführerin hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Sie ist durch das angefochtene Urteil besonders berührt und hat an dessen Aufhebung oder Änderung ein schutzwürdiges Interesse. Sie ist gemäss <ref-law> zur Beschwerdeführung legitimiert.
1.3. Auf die im Übrigen frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist insoweit einzutreten, als damit die Aufhebung des angefochtenen Urteils beantragt wird. Der Antrag, die von der Vorinstanz auferlegten Verfahrenskosten aufzuheben, kann als Eventualantrag entgegengenommen werden. Der Antrag, es sei der Beschwerdeführerin Einsicht in die Krankenakte ihrer verstorbenen Mutter zu gewähren, ist vom Streitgegenstand nicht erfasst, so dass nicht darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das angefochtene Urteil stützt sich auf die Verfahrensgesetzgebung des Kantons Zug. Die rechtsfehlerhafte Auslegung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht bildet keinen eigenständigen Rügegrund; sie wird nur auf Verletzungen verfassungsmässiger Rechte, namentlich unter dem Gesichtspunkt der Willkür, geprüft (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 318 mit Hinweisen). Für die beschwerdeführende Partei gilt dabei eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 232); auf appellatorische Kritik in Bezug auf Grundrechtsverletzungen, insbesondere des Willkürverbots, geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.8 S. 494).
Das Bundesgericht prüft gemäss Art. 95 lit. a und <ref-law> mit freier Kognition und von Amtes wegen, ob die kantonalen Bestimmungen den bundesrechtlichen Minimalanforderungen (Art. 110-112 BGG) entsprechen.
3.
Streitgegenstand bildet die Frage, ob die Sicherheitsdirektion das Beschwerdeverfahren gegen den Nichteintretensentscheid der Gesundheitsdirektion zu Recht abgeschrieben hat.
3.1. Die für die Durchführung des Beschwerdeverfahrens zuständige Sicherheitsdirektion hatte der Beschwerdeführerin am 7. Dezember 2012 eine Frist zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'200.-- bis zum 4. Januar 2013 gesetzt. Diese Verfügung stützte sich auf § 26 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zug vom 1. April 1976 (BGS 162.1; nachfolgend: VRG/ZG), wonach die Behörde von demjenigen, der eine Amtshandlung beantragt oder ein Verfahren einleitet, einen angemessenen Kostenvorschuss verlangen kann.
Am 17. Dezember 2012 ersuchte die Beschwerdeführerin um Kostenbefreiung gemäss § 25 Abs. 1 lit. a VRG/ZG. Diese Bestimmung erlaubt die Herabsetzung oder den Erlass von Verfahrenskosten, wenn die Parteien an einer Streitsache nicht wirtschaftlich interessiert sind. Gleichzeitig ersuchte die Beschwerdeführerin um Mitteilung der Rechtsmittelbelehrung, weil sie die Verfügung betreffend Kostenvorschuss anfechten wolle. Mit Schreiben vom 28. Dezember 2012 teilte die Sicherheitsdirektion der Beschwerdeführerin mit, ihr Antrag auf Kostenbefreiung sei entgegengenommen worden und der Regierungsrat werde darüber befinden. Ungeachtet von dessen Entscheid sei jedoch der Kostenvorschuss innert der angesetzten Frist zu bezahlen; im Fall einer Kostenbefreiung nach § 25 Abs. 1 lit. a VRG/ZG werde er zurückerstattet. Die Einholung eines Kostenvorschusses sei ein verfahrensleitender Entscheid, der nicht selbstständig anfechtbar sei. Darüber hinaus wurde die Beschwerdeführerin auf die Möglichkeit der Einreichung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege hingewiesen und ihr das entsprechende Formular zugesandt.
Mit Eingabe vom 8. Januar 2013 bestritt die Beschwerdeführerin weiterhin die Rechtmässigkeit des Kostenvorschusses und bekräftigte ihre Absicht, diesen anzufechten. In ihrer Antwort vom 11. Januar 2013 unterstrich die Sicherheitsdirektion ihren Standpunkt, wonach die Erhebung eines Kostenvorschusses grundsätzlich keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirke; die definitive Kostenauflage könne allenfalls mit dem Endentscheid angefochten werden. Gleichzeitig wurde die Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses bzw. zur Einreichung des ausgefüllten Gesuchsformulars betreffend unentgeltliche Rechtspflege bis zum 21. Januar 2013 erstreckt. Nachdem die Frist unbenutzt abgelaufen war, schrieb die Sicherheitsdirektion das Beschwerdeverfahren gestützt auf § 26 Abs. 2 VRG/ZG ab.
3.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet die Zuständigkeit der Sicherheitsdirektion und zieht daraus den Schluss, der Abschreibungsentscheid sei nichtig.
Die Vorinstanz verweist zutreffend auf § 3 Abs. 2 und Abs. 4 lit. g der Delegationsverordnung des Kantons Zug vom 23. November 1999 (BGS 153.3; nachfolgend: Delegationsverordnung), wonach die zuständige Direktion im Verwaltungsbeschwerdeverfahren die verfahrensleitenden Verfügungen trifft, sofern die Zuständigkeit nicht bereits im Gesetz geregelt ist, und über Verwaltungsbeschwerden entscheiden kann, wenn der verlangte Kostenvorschuss oder die für die unentgeltliche Rechtspflege notwendigen Formulare oder Unterlagen innert der angesetzten Frist weder geleistet noch eingereicht werden. Die Beschwerdeführerin weist zwar zutreffend darauf hin, dass der von der Vorinstanz zitierte Kantonsratsbeschluss vom 26. September 2013 über die Geschäftsordnung des Regierungsrats (GO RR; BGS 151.1), welcher die Zuteilung der Regierungsratsgeschäfte an eine Direktion regelt, hier nicht zur Anwendung kommt, weil er nach der Einreichung der Beschwerde erlassen wurde und erst am 21. Dezember 2013 in Kraft getreten ist. Indessen stellen die erwähnten Bestimmungen der Delegationsverordnung, die sich ihrerseits auf § 6 Abs. 1 des Gesetzes vom 29. Oktober 1998 über die Organisation der Staatsverwaltung (Organisationsgesetz; BGS 153.1) stützt, eine genügende gesetzliche Grundlage dar, um die Sicherheitsdirektion als zuständig für die Einholung des Kostenvorschusses und den Erlass des Abschreibungsentscheids im vorliegenden Verfahren zu bezeichnen. Die Vorinstanz hat die Praxis erläutert, wonach Beschwerdeangelegenheiten in Fällen wie dem vorliegenden der Sicherheitsdirektion als "Justizdirektion" des Regierungsrates zugewiesen werden. Eine willkürliche Auslegung des kantonalen Verfahrensrechts ist nicht auszumachen.
3.3. Die Beschwerdeführerin moniert, die Sicherheitsdirektion habe ihr den Zugang zum Gericht im Sinn von <ref-law> i.V.m. <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verwehrt, indem sie ihr die verlangte Rechtsmittelbelehrung nicht mitgeteilt habe, um die Verfügung über den Kostenvorschuss anzufechten.
3.3.1. Die Garantien nach <ref-law>, <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK beziehen sich ausschliesslich auf Verfahren vor richterlichen Behörden, weshalb sie im hier zu beurteilenden Verwaltungsbeschwerdeverfahren nicht zur Anwendung gelangen. Die Vorbringen sind indessen unter dem Blickwinkel von <ref-law> zu prüfen, wie nachfolgend darzulegen ist.
3.3.2. Betreffend die Rüge der fehlenden Rechtsmittelbelehrung hat die Vorinstanz erwogen, die Pflicht zur Leistung eines Kostenvorschusses stelle keinen Nachteil dar, weil der bezahlte Betrag im Fall des Obsiegens zurückerstattet werde.
Gemäss § 19 Abs. 1 Ziff. 3 VRG/ZG wird der Entscheid schriftlich eröffnet und muss die Rechtsmittelbelehrung enthalten. Indessen kann weder dem VRG/ZG noch der Delegationsverordnung entnommen werden, ob und unter welchen Voraussetzungen Zwischenverfügungen als Entscheide im Sinn des VRG gelten sollen; eine Regel analog <ref-law> fehlt ganz. §§ 18-21a (Kapitel "Der Entscheid") und § 61 VRG (Generalklausel betreffend anfechtbare Entscheide) sind auf Endentscheide zugeschnitten, was vermuten lässt, dass der Gesetzgeber die Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden, zumindest aber von Kostenvorschussverfügungen, ausschliessen wollte.
<ref-law> trägt den Randtitel "Einheit des Verfahrens". Art. 111 Abs. 1 und 2 BGG dienen der Harmonisierung von kantonalem und bundesgerichtlichem Verfahren in Bezug auf die Legitimation; <ref-law> dient diesem Zweck in Bezug auf die Kognition (vgl. auch BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 26 zu <ref-law>). Gemäss <ref-law> muss die unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts mindestens die Rügen nach den Art. 95-98 BGG prüfen können. Um festzustellen, ob das kantonale Gericht den Abschreibungsbeschluss zu Recht bestätigt hat, ohne dass die Kostenvorschussverfügung einer Anfechtung unterlag, ist zu prüfen, wie das Bundesgericht in einer vergleichbaren Situation vorgegangen wäre (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 299). Im bundesgerichtlichen Verfahren sind gemäss <ref-law> selbständig eröffnete Zwischenentscheide anfechtbar, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können. Nach der Rechtsprechung kann die Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinn von <ref-law> bewirken, wenn die Behörde androht, auf die Eingabe nicht einzutreten, falls der Vorschuss nicht (rechtzeitig) bezahlt werde (Urteil 5A_327/2014 vom 29. Juli 2014 E.1; <ref-ruling> E. 1.2 S. 403; <ref-ruling> E. 2 S. 201 ff.).
Obwohl die Beschwerdeführerin rechtzeitig um Mitteilung der Rechtsmittelbelehrung ersucht hatte, war ihr eine Überprüfung der Rechtmässigkeit des Kostenvorschusses im Verfahren vor dem Regierungsrat verwehrt worden mit der Begründung, die Erhebung eines Kostenvorschusses bewirke grundsätzlich keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil. Diese von der Vorinstanz geschützte Praxis verstösst gegen den in <ref-law> verankerten Grundsatz, wonach die Kognition des oberen kantonalen Gerichts nicht enger sein darf als jene des Bundesgerichts. Dem Begehren der Beschwerdeführerin auf Mitteilung der Rechtsmittelbelehrung hätte daher entsprochen werden müssen. Die Beschwerde ist in diesem Punkt gutzuheissen.
3.3.3. Aus mangelhafter Eröffnung darf den Parteien kein Nachteil erwachsen. Dies ist ein allgemeiner Rechtsgrundsatz, wenngleich er im VRG/ZG nicht niedergelegt ist (vgl. für den Bund <ref-law> bzw. <ref-law>; ferner Urteile 5P.468/2006 vom 28. März 2007 E. 3.1; 5P.195/2006 vom 20. Juni 2006 E. 5.2; <ref-ruling> E. 2 S. 228). Der Nachteil lag hier darin, dass die Beschwerdeführerin bei korrekter Eröffnung der Kostenvorschussverfügung diese hätte anfechten und nach erfolgloser Anfechtung den Kostenvorschuss noch hätte bezahlen können, um eine materielle Behandlung der Streitsache zu erwirken. Dieser Nachteil ist auszugleichen, indem der Beschwerdeführerin Gelegenheit gegeben wird, den Kostenvorschuss für das Verfahren vor dem Regierungsrat zu bezahlen (vgl. E. 3.7 hiernach).
Was die materielle Rechtmässigkeit der Kostenvorschusspflicht betrifft, konnte die Beschwerdeführerin ihre Argumentation der Vorinstanz und dem Bundesgericht darlegen. Wie aus den nachfolgenden Erwägungen hervorgeht, wird das angefochtene Urteil diesbezüglich geschützt.
3.4. Hinsichtlich der - von der Beschwerdeführerin als prohibitiv beanstandeten - Höhe des Kostenvorschusses kann auf die Erwägungen im angefochtenen Urteil verwiesen werden. Die Vorinstanz legt einlässlich dar, dass der zuständigen Behörde bei der betragsmässigen Festsetzung des Kostenvorschusses ein sehr grosser Ermessensspielraum zukommt, den auch sie selbst zu respektieren hat.
3.5. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Sicherheitsdirektion hätte vor der Aufforderung zum Kostenvorschuss den Entscheid des Regierungsrates betreffend Kostenbefreiung abwarten müssen. Die Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses sei durch die Einreichung des Antrags auf Kostenbefreiung gemäss § 25 Abs. 1 lit. a VRG/ZG unterbrochen worden. Die Vorinstanz sei zu Unrecht davon ausgegangen, dass die Frist abgelaufen sei.
Die Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses wird gegenstandslos, wenn ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eingeht; bei Abweisung des Gesuchs wird eine neue Zahlungsfrist angesetzt. Die Einreichung eines Gesuchs um Kostenbefreiung nach § 25 VRG/ZG ändert indessen nichts am Fristenlauf, weil die Bezahlung des Kostenvorschusses gemäss § 26 Abs. 2 VRG/ZG eine Eintretensvoraussetzung bildet. Ungeachtet der Reihenfolge der beiden Rechtsinstitute im Gesetz wird über die Kostenbefreiung erst im Endentscheid befunden, denn erst nach Erledigung der Streitsache kann beurteilt werden, ob die Voraussetzungen für eine Kostenbefreiung nach § 25 VRG/ZG gegeben sind. Die Vorinstanzen haben der Beschwerdeführerin dieses System mehrmals erläutert. Eine Verletzung des Prinzips von Treu und Glauben ist nicht ersichtlich.
Auf die Vorbringen, wonach die Voraussetzungen für die Kostenbefreiung erfüllt gewesen seien, ist nicht einzugehen, da diesbezüglich kein Entscheid ergangen ist.
3.6. Die Beschwerdeführerin trägt vor, § 26 VRG/ZG, welcher die Befugnis der Behörde zur Erhebung eines Kostenvorschusses und die Rechtsfolgen bei Nichtbezahlung regelt, sei eine Kann-Bestimmung. Von dieser dürfe aus Billigkeitsgründen abgewichen werden, wenn der Entscheid der Vorinstanz - wie hier - offensichtlich fehlerhaft sei. Die Sicherheitsdirektion hätte daher auf die Erhebung des Kostenvorschusses verzichten müssen. Zudem habe sie - die Beschwerdeführerin - die Rechtsfolge bei Nichtleisten des Kostenvorschusses nicht absehen können, weil ihr nicht angedroht worden sei, dass das Verfahren diesfalls tatsächlich abgeschrieben werde.
Die Vorinstanz hat ohne Willkür erwogen, dass es im Ermessen der verfahrensleitenden Behörde liegt, ob sie einen Kostenvorschuss erheben will, und dass die Beschwerdeführerin nach den mehrmaligen Erläuterungen seitens der Sicherheitsdirektion betreffend Kostenvorschusspflicht und Möglichkeit der unentgeltlichen Rechtspflege nicht ernsthaft erwarten durfte, dass das bewusste Unterlassen der Zahlung ohne Folgen bleiben würde. Mit den ausführlichen Erwägungen der Vorinstanz, auf die im Übrigen verwiesen werden kann, setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander.
3.7. Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich Folgendes: Das angefochtene Urteil ist insoweit zu bestätigen, als es die Pflicht zur Leistung des Kostenvorschusses von Fr. 1'200.-- im Verfahren vor dem Regierungsrat bejaht. Es ist insoweit aufzuheben, als es den Abschreibungsbeschluss bestätigt. Der Beschwerdeführerin ist Gelegenheit zu geben, den Kostenvorschuss zu bezahlen, um eine materielle Beurteilung der Streitsache zu erwirken.
Dem Ausgang in der Hauptsache entsprechend ist das angefochtene Urteil auch im Kostenpunkt aufzuheben. Weil die Beschwerdeführerin sinngemäss beantragt hat, das angefochtene Urteil auch im Fall einer Abweisung der Beschwerde im Kostenpunkt aufzuheben, sei hier aus prozessökonomischen Gründen darauf hingewiesen, dass die auferlegte Spruchgebühr von Fr. 1'000.-- nicht willkürlich ist, wie die Beschwerdeführerin moniert. Auch die Tatsache, dass der Gebührenrahmen in einer Verordnung und nicht in einem formellen Gesetz geregelt ist, schadet entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin nicht. Die Vorinstanz hat die Höhe der Spruchgebühr einlässlich begründet, worauf verwiesen werden kann.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sicherheitsdirektion des Kantons Zug ist anzuweisen, der Beschwerdeführerin eine Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses anzusetzen. Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>), und es ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird im Sinn der Erwägungen gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug vom 29. April 2014 wird aufgehoben. Die Sache wird an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zug zurückgewiesen, damit sie der Beschwerdeführerin eine Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses ansetze.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Verwaltungsrechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. März 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner