Sachverhalt:
A.
A.a. Am 9. April 2010 wurde über die 1926 geborene B.A._ eine Beistandschaft errichtet. Mit Entscheid vom 31. Juli 2013 passte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Kantons Basel-Stadt diese Massnahme dem am 1. Januar 2013 in Kraft getretenen Kindes- und Erwachsenenschutzrecht an und setzte C._, Berufsbeiständin beim Amt für Beistandschaften und Erwachsenenschutz, als Beiständin nach Art. 394 Abs. 1 ZGB in Verbindung mit Art. 395 ZGB ein. Der Beiständin wurde aufgetragen, stets für eine geeignete Wohnsituation bzw. Unterkunft besorgt zu sein, die Verbeiständete bei allen in diesem Zusammenhang erforderlichen Handlungen wie auch beim Erledigen der administrativen Angelegenheiten soweit erforderlich zu vertreten und sie ferner beim Erledigen der finanziellen Angelegenheiten zu vertreten, insbesondere ihr Einkommen und Vermögen sorgfältig zu verwalten. Mit Urteil vom 2. Dezember 2014 erweiterte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht die bestehende Beistandschaft auf eine Vertretungsbeistandschaft in medizinischen Belangen gemäss Art. 378 Abs. 1 Ziff. 2 ZGB und übertrug diese Aufgabe der bereits eingesetzten Beiständin.
A.b. Am 28. Mai 2014 erlitt B.A._ einen Schlaganfall. Nach einem kurzen Aufenthalt im Spital D._ war sie bis zum 28. Juli 2014 zur Rehabilitation im Spital der Stiftung E._. Die Beiständin veranlasste ihre Platzierung im Alters- und Pflegeheim der Stiftung E._, wo sich die Betroffene seit dem 28. Juli 2014 aufhält.
B.
Mit Eingabe vom 18. Dezember 2014 erhob A.A._, Sohn der Verbeiständeten, bei der KESB Beschwerde gemäss Art. 419 ZGB gegen die Beiständin und beantragte, die von ihr veranlasste Platzierung seiner Mutter im Alters- und Pflegeheim E._ rückgängig zu machen und die Mutter nach Hause zu entlassen. Soweit Einwände gegen eine Rückkehr bestünden, seien diese unverzüglich schriftlich zu begründen. Die "momentane Situation" sei einmal "korrekt und in Ruhe" mit dem Hausarzt der Verbeiständeten, mit ihm, seiner Mutter und einer Vertretung der KESB zu besprechen. Die angerufene Instanz wies die Beschwerde mit Entscheid vom 30. Oktober 2014 ab. A.A._ gelangte gegen diesen Entscheid an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, welches seine Beschwerde mit Urteil vom 20. Februar 2015 abwies.
C.
A.A._ (Beschwerdeführer) hat am 25. April 2015 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen den Entscheid des Appellationsgerichts Beschwerde erhoben. Er beantragt, es sei unverzüglich der langjährige Hausarzt der Mutter zu beauftragen, zusammen mit der Mutter und dem Beschwerdeführer abzuklären, ob die Mutter in ihre eigene Wohnung zurückkehren und dort mit zusätzlicher Unterstützung durch die Spitex betreut werden könne. Dabei solle der Hausarzt selbständig und ohne Beeinflussung durch die KESB, die Beiständin oder die Angestellten des Heims entscheiden können. Bejahe der Hausarzt die entsprechende Möglichkeit, sei nach einer Woche die Situation durch ihn vor Ort zu überprüfen und abzuklären; soweit alles in Ordnung sei, habe eine erneute Prüfung nach einer Woche, dann nach zwei Wochen usw. zu erfolgen. Im Weiteren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher Entscheid (Art. 75 Abs. 2 BGG) betreffend eine Beschwerde gemäss Art. 419 ZGB gegen die Beiständin. Es betrifft eine Zivilsache im Sinn von Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG (Kindes- und Erwachsenenschutz). Der Beschwerdeführer war Partei im kantonalen Verfahren (Art. 76 Abs. 1 lit. a BGG). Im vorliegenden Fall hat nicht die Verbeiständete, sondern eine ihr nahestehende Person, ihr Sohn, Beschwerde gegen die Einweisung in ein Alters- und Pflegeheim erhoben. Die Beschwerde an das Bundesgericht setzt ein persönliches Interesse voraus (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Das Bundesgericht hat bisher der nahestehenden Person ein persönliches Interesse an der Anfechtung einer fürsorgerischen Unterbringung (Urteil 5A_238/2015 vom 16. April 2015 E. 2) bzw. an der Ernennung eines Berufsbeistands (Urteil 5A_345/2015 vom 3. Juni 2015) aberkannt. Im vorliegenden Fall kann indes ein persönliches Interesse der nahestehenden Person nicht verneint werden, wurden doch mit der hier strittigen Einweisung der Mutter durch die Beiständin in das Alters- und Pflegeheim dem Beschwerdeführer das Recht und die Möglichkeit abgesprochen, seine Mutter persönlich zu betreuen. Auf die fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist, von den nachfolgenden Ausnahmen abgesehen, grundsätzlich einzutreten.
1.2. Der Beschwerdeführer stellt vor Bundesgericht das Begehren, es sei unverzüglich der langjährige Hausarzt der Mutter zu beauftragen, zusammen mit der Mutter und dem Beschwerdeführer abzuklären, ob sie in ihre eigene Wohnung zurückkehren und dort mit zusätzlicher Unterstützung durch die Spitex betreut werden könne. Dabei solle der Hausarzt selbständig und ohne Beeinflussung durch die KESB, die Beiständin oder die Angestellte des Heims entscheiden können. Bejahe er die entsprechende Möglichkeit, sei nach einer Woche die Situation der Mutter vor Ort zu überprüfen und abzuklären. Soweit alles in Ordnung sei, habe eine erneute Prüfung nach einer Woche, dann nach zwei Wochen usw. zu erfolgen. Einen entsprechenden Antrag hat er indes vor den kantonalen Instanzen nicht gestellt. Er erweist sich daher als neu und unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG). Darauf ist nicht einzutreten. Zu behandeln sind jedoch die sinngemässen Begehren um Aufhebung des angefochtenen Entscheids und um Entlassung der Mutter aus dem Alters- und Pflegeheim.
1.3. Gegenstand des kantonalen Verfahrens war ausschliesslich die Frage, ob die Beiständin mit der Einweisung der Mutter in ein Heim Bundesrecht verletzt hat. Auf die Ausführungen des Beschwerdeführers zur Qualität des Heims und den angeblichen Unzulänglichkeiten in der Pflege und Betreuung sowie die Ausführungen zum "Extremen Eingriff in das Leben der Mutter..." ist nicht einzutreten.
1.4. In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Rechte der Beschwerde führenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur dann geprüft wird, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) zustande gekommen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein.
2.
Das Appellationsgericht hat erwogen, es habe sich anlässlich der Hauptverhandlung vom 2. Dezember 2014 in den Verfahren VD.2014.45 und VD.2014.46 eingehend mit der aktuellen Situation der Verbeiständeten befasst und dabei Dr. F._ befragt, welche die Verbeiständete nach deren Übertritt vom Spital D._ ins Spital E._ vom 29. Mai bis 28. Juli 2014 betreut habe. Der Beschwerdeführer habe Gelegenheit erhalten, der Ärztin Fragen zu stellen und sie mit seinen Feststellungen zu konfrontieren. Nach Auskunft der Ärztin benötige die Verbeiständete bei den täglichen Verrichtungen Anleitung und Pflege. Sie könne mit Anleitung am Rollator gehen, sei aber stark sturzgefährdet und solle daher nicht allein aufstehen. Zudem leide sie an einem schweren dementiellen Syndrom und sei zeitlich, örtlich und situativ desorientiert. Ihre Aufmerksamkeit und Merkfähigkeit seien deutlich eingeschränkt. Urteilsfähigkeit und Handlungsfähigkeit seien nicht mehr gegeben. Eine Verbesserung des Zustandes sei nicht zu erwarten. Die Verbeiständete benötige Betreuung rund um die Uhr, welche entweder in einem Alters- und Pflegeheim oder mit einer professionellen 24-Stunden-Betreuung durch die Spitex zuhause erbracht werden könne. Die Verbeiständete sei kontaktfreudig und benötige daher ein entsprechendes soziales Umfeld. Diesen pflegerischen Bedürfnissen entspreche ihre seit dem 28. Juli 2014 bestehende Platzierung im Alters- und Pflegeheim der Stiftung. Somit sei festzustellen, dass die durch die Beiständin veranlasste Platzierung der Verbeiständeten sachlich indiziert gewesen sei.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht zusammengefasst geltend, bei der befragten Ärztin handle es sich um eine Angestellte des Altersheims, welches massiv unterbelegt sei. Auf der Hand liege daher, dass bei dieser Sachlage vorschnell behauptet werde, die Patientin sei auf professionelle Hilfe angewiesen und im Altersheim besser versorgt. Es bestehe ein Interessenkonflikt. Durch die Aussage der Ärztin werde auch nicht konkret erläutert, inwiefern der Aufenthalt der Mutter im Heim für sie besser sei. Mit diesen Ausführungen beanstandet der Beschwerdeführer im Ergebnis die vorinstanzliche Beweiswürdigung als willkürlich.
3.2. Als willkürlich (Art. 9 BV) erweist sich die Beweiswürdigung, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234).
3.3. Der Umstand, dass die Ärztin angeblich eine Angestellte der Stiftung sei, vermag einen Interessenkonflikt nicht zu begründen. Dabei wird insbesondere übersehen, dass sie die Betroffene während eines bestimmten Zeitraums persönlich betreut hat und sich somit ein qualifiziertes Bild über deren Gesundheitszustand und den Fürsorgebedarf hat machen können. Sie hat sich denn auch ausführlich und konkret dazu geäussert. Sodann hat die Ärztin nicht das Heim als ausschliessliche Möglichkeit für die Gewährung der Pflege erwähnt, sondern auch eine Pflege rund um die Uhr durch die Spitex in Betracht gezogen. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was den Vorwurf willkürlicher Beweiswürdigung zu belegen vermöchte. Insbesondere zeigt er nicht auf, dass die erforderliche Pflege durch die Spitex gewährleistet ist. Die Vorinstanz ist daher nicht in Willkür verfallen, indem sie auf die Aussage der Ärztin abgestellt hat. Der Vorwurf willkürlicher Beweiswürdigung erweist sich als unbegründet. Damit aber bleibt es bei den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz (E. 2). Soweit der Beschwerdeführer ferner behauptet, er könne seine Mutter besser zuhause persönlich pflegen und betreuen, richtet er sich gegen anderslautende durch die Aussagen der Ärztin belegte Feststellungen der Vorinstanz. Aufgrund der willkürfrei festgestellten Tatsachen war die durch die Beiständin veranlasste Platzierung der Mutter des Beschwerdeführers in einem Heim verhältnismässig und damit bundesrechtskonform.
4.
4.1. Das Obergericht hat im Weiteren erwogen, soweit die KESB in ihrem Entscheid vom 23. Januar 2014 dem gesetzlichen Vertretungsrecht der Angehörigen bezüglich medizinischer Massnahmen gemäss Art. 377 ff. ZGB gegenüber der Vertretungsbefugnis der Beiständin Vorrang eingeräumt habe, sei das gesetzliche Vertretungsrecht Art. 378 Abs. 1 Ziff. 5 ZGB allen Nachkommen der verbeiständeten Mutter zugekommen. Der Beschwerdeführer bestreite nicht, dass alle anderen involvierten Nachkommen der Mutter im Rahmen eines Familiengesprächs einer Einweisung der Mutter in das Alters- und Pflegeheim zugestimmt haben. Die Zustimmung des Beschwerdeführers sei daher nicht nötig gewesen. Der Beschwerdeführer bestreitet sowohl seine Zustimmung zur Einweisung als auch die Auslegung des Appellationsgerichts betreffend Art. 378 ZGB. Er macht insbesondere geltend, die vorinstanzliche Auslegung von Art. 378 ZGB sei für ihn nicht nachvollziehbar. Er habe mit seiner Mutter einen gemeinsamen Haushalt, habe sie bis zur Einweisung persönlich betreut und besuche sie auch heute noch jeden Tag. Ihm stehe daher ein Vertretungsrecht betreffend medizinische Massnahmen gestützt auf Art. 378 Abs. 1 Ziff. 4 ZGB zu, welches dem Vertretungsrecht der Nachkommen gemäss Art. 378 Abs. 1 Ziff. 5 ZGB vorgehe.
4.2. Das Appellationsgericht hält im angefochtenen Entscheid dafür, es habe in seiner Eigenschaft als Verwaltungsgericht mit Urteil vom 2. Dezember 2014 die bestehende Beistandschaft über die Mutter des Beschwerdeführers auf eine Vertretungsbeistandschaft in medizinischen Belangen gemäss Art. 378 Ziff. 2 ZGB ausgeweitet und diese Aufgabe der bereits eingesetzten Beiständin übertragen. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, dass er diesen Entscheid erfolgreich beim Bundesgericht angefochten hat. Mit der Errichtung der entsprechenden Beistandschaft fiel das Vertretungsrecht der in Art. 378 Abs. 1 Ziff. 4 und 5 ZGB erwähnten Personen dahin ( EICHENBERGER/HOHLER, Basler Kommentar Zivilgesetzbuch I, 5. Auflage 2014, N. 3 zu Art. 381 ZGB). Damit erübrigen sich Ausführungen zur Frage, ob der Beschwerdeführer die Voraussetzungen gemäss Art. 378 Abs. 1 Ziff. 4 ZGB nach wie vor erfüllt.
5.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Den Umständen des konkreten Falles entsprechend werden keine Kosten erhoben.
6.
Angesichts der vorstehenden Kostenregelung wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden