Erwägungen:
1. Der mazedonische Staatsangehörige X._, geboren 1964, heiratete am 23. Juli 2006 eine in der Schweiz niedergelassene Landsfrau. Am 22. Dezember 2006 reiste er zusammen mit seiner aus einer früheren Ehe stammenden Tochter Z._, geboren 1997, zu seiner Ehefrau in die Schweiz ein. Er erhielt im Familiennachzug die Aufenthaltsbewilligung, und eine solche wurde auch seiner Tochter erteilt. Die Ehe wurde am 2. Juli 2009 geschieden, nachdem der gemeinsame Haushalt schon im April 2008 aufgelöst worden war. Mit Verfügung vom 5. Januar 2009 lehnte das Amt für Migration und Personenstand (Migrationsdienst) des Kantons Bern das Gesuch von X._ und Z._ um weitere Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligungen ab; zugleich ordnete es die Wegweisung an. Eine Beschwerde an die kantonale Polizei- und Militärdirektion blieb erfolglos, und mit Urteil vom 17. Mai 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen deren Entscheid vom 12. August 2009 erhobene Beschwerde ab.
Mit Eingabe vom 20. Juni 2010 beschwert sich X._ beim Bundesgericht über das ihm am 21. Mai 2010 eröffnete verwaltungsgerichtliche Urteil, das er innert hierzu angesetzter Nachfrist am 26. Juni 2010 nachgereicht hat.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2), sowie betreffend Wegweisung (Ziff. 4).
Der Beschwerdeführer lebte nicht während drei Jahren in Ehegemeinschaft mit seiner hier niedergelassenen Ehefrau, sodass die Möglichkeit einer Berufung auf Art. 43 sowie Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG entfällt. Dass die Bewilligungsvoraussetzungen von Art. 50 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 AuG erfüllt wären, hat das Verwaltungsgericht in E. 4 seines Urteils mit ausführlicher Begründung abgelehnt, wobei es auch die persönlichen Verhältnisse der Tochter umfassend miteinbezogen und Art. 3 KRK Rechnung getragen hat. Die Beschwerdeschrift lässt eine substanzielle Auseinandersetzung mit diesen entscheidrelevanten Erwägungen vermissen; sie genügt insofern den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht. Aus welch anderer Norm des Landes- oder Völkerrechts sich ein Bewilligungsanspruch des Beschwerdeführers (oder ein selbständiger Bewilligungsanspruch seiner Tochter) ergeben könnte, ist nicht ersichtlich. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist wegen Fehlens eines Bewilligungsanspruchs in Anwendung von Art. 83 lit. c Ziff. 2 und 4 BGG offensichtlich unzulässig.
2.2 Als subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne von <ref-law> kann das Rechtsmittel nicht entgegengenommen werden, wird doch nicht die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt und spezifisch dargetan (Art. 116 bzw. 106 Abs. 2 BGG). Namentlich genügt dazu die Feststellung des Beschwerdeführers nicht, es sei nach seiner Auffassung "fast willkürlich" entschieden worden, wobei mangels Bewilligungsanspruchs ohnehin die Legitimation zur Willkürrüge fehlen würde (<ref-law>; vgl. <ref-ruling>).
2.3 Auf die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten.
Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. August 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Feller