Fatti:
A.
A.a. Mediante decisione del 12 novembre 2009, l'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) ha posto A._, nato nel 1961 e da ultimo attivo in qualità di autotrasportatore, al beneficio di una rendita intera d'invalidità dal 1° gennaio 2009.
A.b. In seguito a una procedura di revisione avviata nel dicembre 2010, l'UAI, preso atto delle conclusioni di una perizia pluridisciplinare (di natura psichiatrica, reumatologica e oncologica) affidata al Servizio X._ e attestante un miglioramento dello stato di salute, ha soppresso con decisione dell'8 febbraio 2012 la rendita d'invalidità con effetto dal primo giorno del secondo mese che seguiva la notifica del provvedimento, stabilendo un grado d'incapacità di guadagno del 38% e togliendo l'effetto sospensivo a un eventuale ricorso. Adito su gravame dell'assicurato, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha rinviato gli atti all'amministrazione per complemento istruttorio, e in particolare per chiarire gli effetti invalidanti della patologia oncologica (adenocarcinoma gastrico; giudizio del 21 agosto 2012).
A.c. Esperiti gli accertamenti richiesti, l'UAI ha confermato la soppressione della rendita (per il 31 agosto 2012) con decisione del 21 gennaio 2013, preavvisata il 14 novembre 2012. Accertata una capacità lavorativa nulla come autista di autocarri e come manovale edile e un'abilità del 75% (presenza durante tutto il giorno ma con rendimento ridotto) in un'attività rispettosa di alcuni limiti funzionali rilevati dalla perizia Servizio X._, l'UAI ha determinato un grado d'invalidità del 38%, insufficiente a garantire il mantenimento di una rendita. Ha calcolato l'incapacità di guadagno sulla base di un reddito senza invalidità di fr. 64'597.- (anno di riferimento: 2010) e di un reddito da invalido di fr. 40'294.-, ottenuto dopo avere applicato una deduzione del 25% per tenere conto del grado di incapacità lavorativa residua e del 13% (8% per attività leggera e 5% per l'età) per le particolarità personali e professionali del caso.
B.
A._ si è nuovamente aggravato al Tribunale cantonale delle assicurazioni al quale ha chiesto di garantirgli il mantenimento del diritto alla rendita intera o quanto meno di ordinare la "revisione" della perizia plurisciplinare e dei fattori di riduzione. Ha inoltre chiesto di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio.
Con pronuncia del 7 agosto 2013 la Corte cantonale ha parzialmente accolto il ricorso nel senso che ha riconosciuto il diritto a un quarto di rendita dal mese di aprile 2012 (dispositivo, cifra 1). Ha inoltre accolto la domanda di assistenza giudiziaria e di gratuito patrocinio nella misura in cui non era diventata priva di oggetto in seguito all'accoglimento parziale del gravame (dispositivo, cifra 2). Ha infine ripartito le spese giudiziarie (fr. 200.- a carico dell'UAI, fr. 300.- a carico dell'assicurato, ma provvisoriamente assunte dallo Stato) assegnando all'interessato anche fr. 1'000.- a titolo di ripetibili (dispositivo, cifra 3).
C.
L'UAI ha presentato ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale al quale, previa concessione dell'effetto sospensivo, chiede di annullare il giudizio cantonale relativamente ai punti 1 e 2 (recte: 3, non opponendosi l'amministrazione alla concessione, in sede cantonale, dell'assistenza giudiziaria gratuita bensì contestando la decisione sulle spese e sulle ripetibili) del dispositivo e di confermare la decisione amministrativa del 21 gennaio 2013.
A._ propone la reiezione del ricorso, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi.

Diritto:
1.
Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, così come stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Per contro, in linea di principio, il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>); può scostarsene solo se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62), e a condizione che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
2.
2.1. Oggetto del contendere è il diritto dell'assicurato a un quarto di rendita dell'AI anche dopo l'accertato - e non più controverso - miglioramento, dal gennaio 2010, dello stato di salute (capacità lavorativa residua del 75% in attività sostitutive leggere, quali quelle indicate dal consulente in integrazione professionale nel suo rapporto finale dell'8 febbraio 2012). Contestato è il calcolo dell'invalidità operato dai primi giudici e in particolare la determinazione del reddito da invalido posto a fondamento del giudizio impugnato.
2.2. Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, l'istanza precedente ha già esposto le norme e i principi giurisprudenziali disciplinanti la materia, rammentando in particolare i concetti d'incapacità al guadagno (<ref-law>) e d'invalidità (<ref-law> e <ref-law>), i presupposti e l'estensione del diritto alla rendita (<ref-law>), il metodo ordinario di confronto dei redditi per la determinazione del grado d'invalidità di assicurati esercitanti un'attività lucrativa (<ref-law>), i compiti del medico ai fini di tale valutazione e il valore probatorio generalmente riconosciuto ai referti medici fatti allestire da un tribunale o dall'amministrazione conformemente alle regole di procedura applicabili (<ref-ruling> consid. 4 pag. 261, 351 consid. 3b/ee pag. 353; cfr. pure <ref-ruling>; <ref-ruling>), nonché i presupposti e gli effetti della revisione di una rendita in seguito a una modifica del diritto (<ref-law>; art. 88a e 88bis OAI; sui termini temporali di confronto cfr. pure <ref-ruling>). A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione.
3.
3.1. L'UAI rimprovera all'autorità giudiziaria cantonale dapprima una violazione del diritto federale e un esercizio eccessivo del potere di apprezzamento per avere applicato una riduzione del 15% sul salario base da invalido al fine di tenere conto delle particolarità professionali e personali del caso, scostandosi in questo modo (e a suo giudizio senza valido motivo) dalla propria valutazione con la quale in sede amministrativa aveva concesso una riduzione del 13% (8% per attività leggera e 5% per l'età), poi rivista all'8% in sede giudiziaria cantonale per il motivo che l'età non si ripercuoteva nella fattispecie negativamente sul reddito ipotetico.
3.2. Il tema di sapere se si debba procedere a una riduzione del salario statistico in considerazione di circostanze particolari (legate all'handicap della persona o ad altri fattori; cfr. <ref-ruling>) è una questione di diritto liberamente riesaminabile dal Tribunale federale. Per contro, l'estensione di tale riduzione in un caso concreto costituisce una questione attinente al potere di apprezzamento e, in quanto tale, soggiace all'esame del giudice di ultima istanza solo se la giurisdizione di primo grado ha esercitato il proprio potere di apprezzamento in violazione del diritto, commettendo un eccesso positivo ("Ermessensüberschreitung") o negativo ("Ermessensunterschreitung") del proprio potere di apprezzamento oppure abusando di tale potere ("Ermessensmissbrauch"; <ref-ruling> consid. 5.1 pag. 72 seg.).
3.3. La questione se la decisione del Tribunale cantonale di distanziarsi dalla deduzione operata dall'UAI a titolo di circostanze particolari violi il diritto federale o configuri altrimenti un abuso o un eccesso nell'esercizio del potere di apprezzamento poiché difetterebbe di un valido motivo può restare indecisa. Anche volendo ammettere la riduzione del 15%, sebbene le contestazioni sollevate (fattore di riduzione "età" ammesso in ragione di un rischio di recidiva che però non si era ancora concretizzato; fattore di riduzione "lingua" ammesso nonostante l'assicurato avesse comunque potuto lavorare per anni in Svizzera tedesca e malgrado neppure l'autorità amministrativa argoviese avesse, in occasione di una sua domanda di prestazioni del 2005, rilevato un simile fattore) e la giurisprudenza in materia indicata dall'UAI nel proprio ricorso (così riguardo al fattore di riduzione "età" cfr., fra le tante, la sentenza 8C_939/2011 del 13 febbraio 2012 consid. 5.2.3; per il fattore di riduzione "difficoltà linguistiche" nello svolgimento di attività semplici e ripetitive come quelle prospettate all'assicurato in concreto cfr. ad esempio sentenza 8C_328/2011 del 7 dicembre 2011 consid. 10.2) permettano effettivamente di almeno parzialmente dubitare della validità della valutazione dei primi giudici, il ricorso va comunque accolto per il motivo indicato qui di seguito.
4.
4.1. L'Ufficio ricorrente invoca in effetti ugualmente una violazione del diritto federale per il fatto che i giudici di prime cure, pur avendo accertato un grado d'invalidità, arrotondato, del 39% per l'anno della prospettata soppressione della prestazione (2012), hanno riconosciuto il diritto a un quarto di rendita dopo il 31 marzo 2012 (due mesi dopo la notifica della decisione dell'8 febbraio 2012) prendendo in considerazione l'incapacità di guadagno rilevata - per arrotondamento al 40% - per l'anno dell'avvenuto miglioramento dello stato di salute (2010). Siffatto modo di operare sarebbe contrario ai principi giurisprudenziali elaborati in materia, non terrebbe conto delle modifiche rilevanti avvenute fino al momento determinante della decisione amministrativa in lite e sarebbe scioccante perché attribuisce al momento dell'emissione di detta decisione un grado d'invalidità che non corrisponde a quello effettivo.
4.2. La Corte cantonale ha accertato in maniera vincolante e non più oggetto di ricorso un reddito annuo senza invalidità di fr. 64'597.- per il 2010 adeguandolo a fr. 65'211 per il 2011, a fr. 65'733.- per il 2012 e a fr. 66'259.- per il 2013. Parimenti ha stabilito senza arbitrio (cfr. <ref-ruling> consid. 3.3 pag. 399) il reddito base annuo da invalido dell'opponente in fr. 61'164.48 per il 2010, adeguandolo a fr. 61'910.36 per il 2011, a fr. 62'395.14 per il 2012 e a fr. 62'894.30 per il 2013. Rilevata (giustamente) l'assenza dei presupposti per procedere a una riduzione per gap salariale (<ref-ruling> consid. 6.1.3 pag. 304 seg.; <ref-ruling>), i giudici cantonali hanno calcolato il reddito da invalido deducendo dai suddetti valori base il 25% per tenere conto della riduzione di rendimento accertata a livello medico e il 15% per i motivi personali e professionali indicati al consid. 3. In questo modo, hanno accertato, dopo arrotondamento (<ref-ruling>), un grado d'invalidità del 40% (più precisamente: 39.64%) per il 2010 e del 39% (più precisamente: 39.488%) per il 2012. Per completezza, il grado di invalidità risulta essere, dopo arrotondamento, del 39% anche per gli anni 2011 (39.48%) e 2013 (39.488%).
4.3. Il Tribunale cantonale ha spiegato che questa minima - ma importante ai fini del risultato - differenza era dovuta al cambiamento della durata di lavoro settimanale (passata da 41.6 a 41.7 ore) negli anni in questione (v. La Vie économique, 12/2013, pag. 90, B 9.2) e alle (minime) differenze percentuali nell'adeguamento dei redditi da valido e da invalido all'evoluzione e all'indice dei salari nominali (v. La Vie économique, 12/2013, pag. 91, B 10.2 e B 10.3). Richiamata quindi la giurisprudenza resa in <ref-ruling> che precisa come la revisione si occupi di modifiche nella situazione personale della persona assicurata (stato di salute, fattore economico), mentre modifiche di poco conto dei dati statistici non giustificano una revisione di una rendita d'invalidità, nemmeno se a seguito di queste modifiche il valore soglia viene superato, i primi giudici hanno osservato che la riduzione della rendita a un quarto sarebbe dovuta avvenire nel 2010, in concomitanza con il miglioramento dello stato di salute. La decisione di soppressione sarebbe intervenuta nel 2012 soltanto per fattori casuali (fine degli accertamenti effettuati dall'UAI dopo avere ordinato una perizia a opera del Servizio X._), esterni al fattore oggettivo del miglioramento effettivo dello stato valetudinario dell'assicurato avvenuto nel 2010, quando questi avrebbe avuto diritto a un quarto di rendita. In tali condizioni, la rendita andava calcolata sulla base dei redditi del 2010, pur dovendo la riduzione (a un quarto di rendita) avvenire con effetto dal 1° aprile 2012 - e non dal 31 agosto 2012, come erroneamente indicato dall'UAI nella decisione del 21 gennaio 2013 -, vale a dire dal primo giorno del secondo mese dopo la notifica della decisione dell'8 febbraio 2012 (<ref-law>).
4.4. Questo modo di procedere non può però trovare conferma perché è contrario alla normativa in materia.
4.4.1. L'<ref-law> stabilisce che se il grado d'invalidità del beneficiario della rendita subisce una notevole modificazione, per il futuro la rendita è aumentata o ridotta proporzionalmente o soppressa, d'ufficio o su richiesta. Circa gli effetti temporali della revisione, l'<ref-law> dispone in particolare che la riduzione o la soppressione della rendita è messa in atto il più presto il primo giorno del secondo mese che segue la notifica della decisione. Per verificare l'esistenza di una modifica di rilievo occorre confrontare la situazione di fatto al momento della decisione iniziale di assegnazione della rendita, rispettivamente dell'ultima decisione cresciuta in giudicato che è stata oggetto di un esame materiale del diritto alla rendita, con quella vigente all'epoca del provvedimento litigioso (<ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 3.5.2 pag. 351; <ref-ruling> consid. 2 pag. 369 con riferimento; vedi pure <ref-ruling> consid. 2b pag. 372, 390 consid. 1b).
4.4.2. In concreto è pacifica l'esistenza - peraltro riconosciuta dalla stessa Corte cantonale - di un motivo di revisione dato che lo stato di salute dell'assicurato è migliorato sensibilmente dal mese di gennaio 2010. Il Tribunale cantonale delle assicurazioni non può per contro ritenere il grado d'invalidità esistente nel 2010 per giustificare il mantenimento del diritto ad almeno un quarto di rendita dopo il 31 marzo 2012, quando l'incapacità di guadagno dell'assicurato era del 39% e dunque insufficiente a garantire il mantenimento di una prestazione anche solo parziale. In caso di miglioramento dello stato di salute, il raffronto dei redditi determinanti per valutare un'eventuale riduzione o soppressione della rendita va infatti effettuato - quanto meno nell'ipotesi qui realizzantesi dell'<ref-law> - al momento della decisione di revisione e non già prima. Lo impongono la normativa e la giurisprudenza summenzionate (consid. 4.4.1). Inoltre la valutazione della Corte cantonale non considera che l'amministrazione era comunque obbligata a intraprendere d'ufficio i necessari accertamenti (<ref-law>), i quali non potevano certamente concludersi nel 2010 se la procedura di revisione era stata avviata nel dicembre dello stesso anno. Per non parlare dei fattori "casuali" da lei invocati (sopra, consid. 4.3) a sostegno della sua tesi, i quali seppur abbiano necessariamente differito la data della decisione, hanno comunque - del tutto legittimamente, in virtù dell'ordinamento in materia (<ref-law>) - permesso all'assicurato di continuare a beneficiare fino al 2012 della rendita piena nonostante il suo grado d'invalidità fosse nel 2010 del 40%.
4.4.3. La Corte cantonale sembra fare leva sui principi elaborati nella <ref-ruling> per giustificare il proprio operato, tralasciando però che la fattispecie in esame si distingue notevolmente da quella trattata in detta occasione e non permette di giungere al risultato da lei proposto. Mentre in <ref-ruling> un motivo di revisione era stato negato poiché le modifiche riguardavano i soli dati statistici e non (anche) la situazione personale della persona assicurata, nella presente vertenza il cambiamento ha riguardato anche la situazione personale dell'opponente, e più precisamente il suo stato di salute. Nulla permetteva dunque di procedere nel senso indicato dal Tribunale cantonale. Per il resto, giova ricordare che nella medesima <ref-ruling> il Tribunale federale ha comunque avuto anche modo di rilevare che le modifiche esterne alla persona assicurata (quali sono segnatamente i cambiamenti nei dati statistici) sono rappresentative di un'evoluzione generale (dell'economia) di cui anche le persone invalide, come quelle sane, devono tenere conto (consid. 7.1 pag. 548 in fine). Anche per questo motivo dunque il Tribunale cantonale non poteva prescindere dalle lievi modifiche registrate dai rilevamenti statistici negli anni 2010-2013 per non applicare alla data della decisione amministrativa in lite il grado d'invalidità corrispondente a quell'anno (in generale, sul tema del momento determinante per il raffronto dei redditi cfr. del resto <ref-ruling>).
5.
Ne segue che, in accoglimento del gravame, la pronuncia impugnata dev'essere annullata e la decisione amministrativa del 21 gennaio 2013 confermata. A tal riguardo viene fatto notare che quand'anche la data di soppressione (31 agosto, anziché 31 marzo 2012) della rendita indicata nel dispositivo di detta decisione non fosse corretta per i motivi segnalati dalla Corte cantonale (v. sopra consid. 4.3), la domanda dell'UAI - il quale, malgrado ciò, ne ha comunque espressamente chiesto la conferma - vincola il Tribunale federale (<ref-law>).
6.
L'opponente ha sostanzialmente chiesto di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria gratuita. In considerazione della situazione economica dell'interessato risultante dagli atti, la domanda va accolta (<ref-law>; v. <ref-ruling>). L'interessato viene però reso attento che qualora fosse più tardi in grado di pagare, sarà tenuto a risarcire la cassa del Tribunale (<ref-law>). Per il resto, egli si è determinato personalmente sul ricorso. La sua iniziale domanda volta a ottenere un avvocato d'ufficio è di conseguenza divenuta priva di oggetto.
7.
L'emanazione della presente sentenza rende ugualmente priva d'oggetto la domanda di effetto sospensivo formulata dal ricorrente.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è accolto. La sentenza del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 7 agosto 2013 è annullata e la decisione dell'Ufficio dell'assicurazione invalidità del Cantone Ticino del 21 gennaio 2013 confermata.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria dell'opponente è accolta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 800.- sono poste a carico dell'opponente e per il momento assunte dalla cassa del Tribunale.
4.
La causa viene rinviata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino per nuova decisione sulle spese giudiziarie nella procedura precedente.
5.
Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.