Sachverhalt:
A.
Die Lehrpersonen an den Volksschulen und Kindergärten im Kanton Solothurn sind seit 1957 über die Schulgemeinden als Arbeitgeber bei der Kantonalen Pensionskasse Solothurn berufsvorsorgeversichert. 2007 gründeten die Einwohnergemeinde Erlinsbach und die im Kanton Aargau gelegene Gemeinde gleichen Namens den Gemeindeverband "Schule Erzbachtal". Primarschule und Kindergarten der beiden Körperschaften - die Oberstufe war bereits seit 1979 kantonsübergreifend geführt worden - wurden in den Verband überführt, welcher dem aargauischen Recht unterstellt wurde. Die involvierten beiden Kantone stimmten am 22. Januar 2008 (Aargau) bzw. am 19. Februar 2008 (Solothurn) der Bildung des Schulkreises zu und genehmigten die Satzungen des Gemeindeverbandes. In der Folge traten die 16 Lehrkräfte der Primarschule und des Kindergartens von Erlinsbach SO auf Ende Juli 2008 aus der Kantonalen Pensionskasse Solothurn aus und auf den 1. August 2008 in die Aargauische Pensionskasse ein. Die abgebende Vorsorgeeinrichtung überwies der aufnehmenden die vollen Freizügigkeitsleistungen in der Höhe von Fr. 3'087'413.-. Mit Schreiben vom 22. September 2009 verlangte die Kantonale Pensionskasse Solothurn von der Einwohnergemeinde Erlinsbach - in ihrer Eigenschaft als Schulgemeinde - die Bezahlung von Fr. 2'461'070.- bis 30. Oktober 2009. Zur Begründung führte sie an, gemäss dem Teilliquidationsreglement vom 19. März 2007 stelle der Austritt der 16 Lehrpersonen einen Teilliquidationsfall dar. Der Arbeitgeber habe sich daher anteilsmässig am Einkauf des Fehlbetrags und der Finanzierung der Teuerungszulagen der verbleibenden Rentner zu beteiligen. Schliesslich setzte die Pensionskasse den Betrag von Fr. 2'461'070.- samt Verzugszins ab 30. Oktober 2009 in Betreibung (Mahnungen vom 2. November 2009 und 2. März 2010, Zahlungsbefehl vom 23. März 2011).
B.
Am 1. Juli 2011 reichte die Kantonale Pensionskasse Solothurn beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Klage gegen die Einwohnergemeinde Erlinsbach ein mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verurteilen, ihr Fr. 2'461'070.- zuzüglich 5 % Zins ab 30. Oktober 2009 zu bezahlen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen.
Die Einwohnergemeinde Erlinsbach beantragte in ihrer Antwort die Abweisung der Klage. In ihren weiteren Rechtsschriften hielten die Parteien an ihren Rechtsbegehren fest.
Mit Entscheid vom 19. November 2012 wies das solothurnische Versicherungsgericht die Klage ab und verpflichtete die Klägerin zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 22'392.60.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Kantonale Pensionskasse Solothurn, der Entscheid vom 19. November 2012 sei aufzuheben und die Klage gutzuheissen.
Das kantonale Versicherungsgericht und die Einwohnergemeinde Erlinsbach schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin stützt ihre Forderung über Fr. 2'461'070.- auf § 8 Abs. 2 lit. b (Einkauf des Fehlbetrags durch den Arbeitgeber bei einer Unterdeckung, falls die Rentner nicht in die neue Vorsorgeeinrichtung eintreten [Fr. 2'055'935.-]) und § 9 Abs. 1 lit. b (zusätzliche Finanzierung der aufgelaufenen und zukünftigen Anpassung der Renten an die Teuerungsentwicklung [Fr. 405'135.-]) des Teilliquidationsreglements vom 19. März 2007 (BGS 126.582.3).
1.2. Das Gesetz regelt nicht, ob und gegebenenfalls unter welchen Voraussetzungen bei der Teilliquidation einer öffentlich-rechtlichen Vorsorgeeinrichtung, die mit Genehmigung der Aufsichtsbehörde vom Grundsatz der Bilanzierung in geschlossener Kasse abweichen darf (Art. 69 Abs. 2 BVG i.V.m. Art. 45 BVV 2, je in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2011), was auf die Beschwerdeführerin zutrifft (vgl. § 48 Satz 1 der Statuten vom 3. Juni 1992 [BGS 126.582]), ein allfälliger versicherungstechnischer Fehlbetrag vom Arbeitgeber des wegziehenden Versichertenkollektivs zu übernehmen ist. Klar und unbestritten ist demgegenüber, dass von den Austrittsleistungen der Aktivversicherten keine Abzüge für versicherungstechnische Fehlbeträge vorgenommen werden dürfen (Art. 19 FZG und Art. 53d Abs. 3 BVG i.V.m. Art. 23 Abs. 2 FZG, je in der bis 31. Dezember 2011 geltenden Fassung; vgl. <ref-ruling> E. 7.3.2 und 7.3.3 S. 37 ff.; Ueli Kieser, BVG und FZG, 2010, N. 44 zu Art. 53d BVG).
1.3. § 8 Abs. 2 bis 5 des Teilliquidationsreglements lauten wie folgt:
2. Im Falle einer Teilliquidation infolge einer Restrukturierung nach § 2 Buchstabe b wird unterschieden zwischen dem Fall, in dem die Rentner zusammen mit den aktiven Versicherten in die neue Vorsorgeeinrichtung wechseln und dem Fall, in dem die Rentner bei der Kantonalen Pensionskasse Solothurn verbleiben:
a) Falls die Rentner in die neue Vorsorgeeinrichtung wechseln:
1. Der Arbeitgeber muss den Anteil des Fehlbetrags einkaufen, der dem Anteil des Vorsorgekapitals der austretenden Versicherten sowie der Rentner und Rentnerinnen am gesamten Vorsorgekapital der Kasse entspricht, wobei das Vorsorgekapital aus der Summe der Freizügigkeitsleistungen der betroffenen aktiven Versicherten und den Deckungskapitalien der übertretenden Rentner und Rentnerinnen besteht.
2. Der einzukaufende Fehlbetrag wird vermindert um einen Anteil des Risikofonds, der dem Anteil der Freizügigkeitsleistungen der austretenden Versicherten an der Summe aller Freizügigkeitsleistungen entspricht, sowie um einen Anteil des Teuerungsfonds, der dem Anteil der Deckungskapitalien der austretenden Rentner und Rentnerinnen an der Summe aller Rentnerdeckungskapitalien entspricht.
b) Falls die Rentner nicht in die neue Vorsorgeeinrichtung wechseln:
1. Der Arbeitgeber muss den Anteil des Fehlbetrags einkaufen, der dem Anteil der Freizügigkeitsleistungen der austretenden Versicherten an der Summe der Freizügigkeitsleistungen aller Versicherten entspricht.
2. Der einzukaufende Fehlbetrag wird vermindert um einen Anteil des Risikofonds, der dem Anteil der Freizügigkeitsleistungen der austretenden Versicherten an der Summe aller Freizügigkeitsleistungen entspricht.
3. Bei der Auflösung eines Anschlussvertrages, der mit Wirkung ab 1. Januar 1995 abgeschlossen wurde und dem ein per 31. Dezember 1994 gekündigter Anschlussvertrag vorausging, entspricht der vom Arbeitgeber einzukaufende Anteil des Fehlbetrags dem per 1. Januar 1995 dem Arbeitgeber gemäss Anschlussvertrag zugewiesenen Anteil des Fehlbetrags inklusive Zinsen. Der vom Arbeitgeber einzukaufende Fehlbetrag entspricht jedoch höchstens 152% des ihm per 1. Januar 1995 zugewiesenen Anteils (ohne Zinsen) multipliziert mit dem Fehlbetrag am Bilanzstichtag der Teilliquidation geteilt durch den Fehlbetrag am 31.12.1994 (Fr. 537'853'024.-).
4. Bei der Auflösung eines Anschlussvertrages, der aufgrund einer Auslagerung der Versicherten aus dem Kanton oder aus einer Schulgemeinde abgeschlossen wurde, muss der Arbeitgeber den Anteil des Fehlbetrags nach Absatz 2 einkaufen.
5. Bei der Auflösung eines Anschlussvertrags, der nicht unter Absatz 3 oder Absatz 4 fällt, wird der vom Arbeitgeber einzukaufende Fehlbetrag sinngemäss nach Absatz 2 berechnet. Dieser Berechnung wird jedoch in Abweichung der Berechnung nach Absatz 2 die seit Inkrafttreten des Anschlussvertrags erfolgte Veränderung des Fehlbetrags (nach Auflösung von allfälligen Wertschwankungsreserven), des Risiko- und des Teuerungsfonds zugrunde gelegt. Ergibt die Berechnung keinen Einkauf des Arbeitgebers, wird der errechnete Wert auf Null gesetzt.
1.4. § 9 des Teilliquidationsreglements hat folgenden Wortlaut:
1. Im Falle einer Teilliquidation infolge Restrukturierung nach § 2 Buchstabe b oder infolge Auflösung eines Anschlussvertrages nach § 2 Buchstabe c sind vom Arbeitgeber zusätzlich folgende Einkäufe zu leisten:
a) Falls die Rentner und Rentnerinnen die Vorsorgeeinrichtung im Sinne von § 7 dieses Reglements wechseln [was nach Satz 1 dieser Bestimmung voraussetzt, dass sie sich vollständig und eindeutig einer kollektiv austretenden Gruppe von Versicherten zuordnen lassen], muss der Arbeitgeber durch den erforderlichen Einkauf sicherstellen, dass die neue Vorsorgeeinrichtung die laufenden Renten, inklusive der bis zum Tag vor dem Eintritt in die neue Vorsorgeeinrichtung aufgelaufenen Anpassung an die Teuerungsentwicklung, weiterhin ausrichten kann. Der Arbeitgeber hat im Übernahmevertrag sicherzustellen, dass die Rentner und Rentnerinnen, welche die Vorsorgeeinrichtung wechseln, bezüglich Teuerungszulageregelung mit den Rentnern und den Rentnerinnen der übernehmenden Vorsorgeeinrichtung gleichgestellt werden.
b) Falls die Rentner und Rentnerinnen bei der Kantonalen Pensionskasse Solothurn verbleiben, muss der Arbeitgeber eine einmalige Zahlung zur Finanzierung der aufgelaufenen und zukünftigen Anpassung der Renten an die Teuerungsentwicklung leisten. Diese entspricht dem 11,5-fachen Jahresbeitrag des Arbeitgebers sowie des Arbeitnehmers oder der Arbeitnehmerin für die Anpassung der Renten an die Teuerungsentwicklung. Ausnahmsweise können anstelle der einmaligen Zahlung die Beiträge für die Anpassung der Renten an die Teuerungsentwicklung während 15 Jahren weiter entrichtet werden. In diesem Fall schuldet der Arbeitgeber der Kasse nebst seinen eigenen auch die Beiträge der Arbeitnehmer und der Arbeitnehmerinnen.
2. (...).
2.
Die Vorinstanz hat im Wesentlichen mit folgender Begründung die Anwendbarkeit von § 8 Abs. 2 lit. b und § 9 Abs. 1 lit. b des Teilliquidationsreglements im konkreten Fall verneint: Die Beklagte könne sich auf Art. 66 Abs. 1 Satz 3 BVG berufen. Da den ausscheidenden versicherten Lehrpersonen die volle Austrittsleistung mitgegeben werden musste, handle es sich beim Einkauf des Anteils des Fehlbetrags um eine überparitätische Leistung. Gemäss dem Urteil des Bundesgerichts 2A.609/2004 vom 13. Mai 2005 (vgl. SZS 2005 S. 480) habe die Beklagte die Möglichkeit gehabt, aus der Klägerin auszutreten, um sich dieser Verpflichtung zu entziehen. Dass sie sich nicht innert nützlicher Frist auf ihr Austrittsrecht berufen habe, könne ihr unter den gegebenen Umständen nicht schaden. Die Genehmigung der Satzungen durch die Kantone Aargau am 22. Januar 2008 und Solothurn am 19. Februar 2008 habe zur Verbandsgründung und zum Ausscheiden der 16 Lehrpersonen aus der Klägerin auf Ende Juli 2008 geführt. Das Teilliquidationsreglement vom 19. März 2007 sei erst mit der Publikation im Amtsblatt des Kantons Solothurn vom 28. März 2008 formell eröffnet worden. Bis zu diesem Zeitpunkt habe der Beklagten nicht bewusst sein müssen, dass der Austritt der 16 Lehrkräfte aus der Klägerin eine Teilliquidation darstellte und erhebliche Zahlungspflichten nach sich zog. Bei (erster) Kenntnis vom Inhalt des Teilliquidationsreglements habe somit der Austritt bereits festgestanden und sei von der Beklagten vollzogen worden. In dieser Konstellation habe sie keinen Anlass gehabt, nochmals auf einem durch die Rechtsprechung (Urteil 2A.609/2004 vom 13. Mai 2005) anerkannten ausserordentlichen Kündigungsrecht zu bestehen, das ihr ohnehin kaum bekannt gewesen sein dürfte. Das Verhalten der Beklagten lasse sich daher nicht als Verzicht auf das Austrittsrecht werten.
Die Beschwerdeführerin bestreitet, dass Art. 66 Abs. 1 Satz 3 BVG im vorliegenden Fall greife. Ebenso wenig könne das Urteil 2A.609/2004 vom 13. Mai 2005 präjudiziellen Charakter haben. Schliesslich habe die Vorinstanz den Austrittszeitpunkt willkürlich festgelegt. Diesbezüglich leide der angefochtene Entscheid an inneren Widersprüchen.
3.
3.1. Im Urteil 2A.609/2004 vom 13. Mai 2005 beabsichtigte die Pensionskasse einer Stadt, die - wie hier - mit Genehmigung der Aufsichtsbehörde vom Grundsatz der Bilanzierung in geschlossener Kasse abweichen durfte, auf das volle Kapitaldeckungsverfahren durch Ausfinanzierung der Staatsgarantie umzustellen. Die zu diesem Zwecke geänderten Reglementsbestimmungen sahen vor, dass sich die Stadt verpflichtete, den gesamten versicherungstechnischen Fehlbetrag gemäss Liquidationsbilanz zu übernehmen und in jährlichen, nachschüssigen Beiträgen auszugleichen. Jeder angeschlossene Arbeitgeber hatte den auf ihn entfallenden Anteil durch Annuitäten zu bezahlen. Einige von ihnen gelangten daraufhin an die kantonale Aufsichtsbehörde und beantragten, die Reglementsänderung nicht zu genehmigen. Während der Hängigkeit des Verfahrens kündigten sie den Anschlussvertrag. Das Bundesgericht entschied letztinstanzlich, dass die erforderliche Zustimmung des Arbeitgebers zu einem höheren Beitrag als die gesamten Arbeitnehmerbeiträge auch vorweg durch eine im Voraus erteilte allgemeine Zustimmung zu Änderungen des Reglements durch die Kassenorgane erteilt werden kann. Als Korrelat dazu muss dem Sinn von Art. 66 Abs. 1 Satz 3 BVG entsprechend (besonderer Schutz vor einer einseitigen Erhöhung der Arbeitgeberbeiträge) ein angeschlossener Arbeitgeber aber über die reglementarische Möglichkeit verfügen, den Anschlussvertrag rechtzeitig zu kündigen, um sich einer missliebigen Reglementsänderung entziehen zu können (E. 2 des zitierten Urteils).
3.2. In Übereinstimmung mit dem kantonalen Gericht ist in concreto von einem gesetzlichen Anschluss auszugehen. Was die Beschwerdegegnerin dagegen vorbringt, vermag nicht zu überzeugen. Wohl findet sich keine Norm, die wortwörtlich den zwangsweisen Anschluss von Schulgemeinden an die Beschwerdeführerin statuiert. Im Gesamtkontext der einschlägigen Bestimmungen (vgl. § 59 des Volksschulgesetzes vom 14. September 1969 [BGS 413.111], § 46 des Staatspersonalgesetzes vom 27. September 1992 [BGS 126.1] und § 7g des Lehrerbesoldungsgesetzes vom 8. Dezember 1963 [BGS 126.515.851.1]) sowie der (historischen) Unterlagen ergibt sich aber das klare Bild, dass das Lehrpersonal der gemeindlichen Schulen zum Versichertenkreis gezählt wird. Die (Neu-) Regelung in §§ 8 und 9 des Teilliquidationsreglements war demnach - wie im zitierten Urteil 2A.609/2004 vom 13. Mai 2005 - ohne vorherige Zustimmung der Betroffenen möglich; die Statuten öffentlich-rechtlicher Vorsorgeeinrichtungen bedürfen keines Änderungsvorbehalts (<ref-ruling> E. 7.2 S. 36). Der Umstand, dass ein zwangsweiser Anschluss von (Schul-) Gemeinden gegen Art. 11 Abs. 2 BVG verstösst, bildet hier keine Grundlage für eine rückwirkende Umwandlung in ein Vertragsverhältnis, da der gesetzliche Anschluss - im hier massgebenden Zeitpunkt - auf gutem Glauben beruht (<ref-ruling> E. 5.5 S. 42 mit Hinweis auf Art. 50 Abs. 3 zweiter Satz BVG).
4.
Zu prüfen ist sodann, ob der Teilliquidationstatbestand der Restrukturierung nach § 2 lit. b des Teilliquidationsreglements (und Art. 53b Abs. 1 lit. b BVG) gegeben ist. Nach Auffassung der Beschwerdegegnerin vermag der Austritt von 16 Versicherten bei einem Versichertenbestand 2008 von rund 14'600 (davon ca. 10'400 aktive Versicherte), was einer Personalfluktuation von 0,11 % entspreche, keine Teilliquidation zu rechtfertigen. Zur Begründung verweist sie im Wesentlichen auf <ref-ruling>, insbesondere E. 10 S. 328 ff., in welchem Fall das prozentuale Verhältnis zwischen Abgangsbestand und gesamtem Versichertenbestand deutlich unter 1 % lag (0,25 %), weshalb das Bundesgericht die Erfüllung des Restrukturierungstatbestands verneinte.
4.1. Gemäss § 2 lit. b des Teilliquidationsreglements liegt eine Teilliquidation vor, wenn beim Kanton, bei einer Schulgemeinde oder bei einem angeschlossenen Unternehmen eine Restrukturierung erfolgt und dadurch mindestens 10 Versicherte einer Organisationseinheit oder 30 Versicherte bei organisationsübergreifenden Massnahmen aus der Kasse ausscheiden, wobei der Beschluss über einen Personalabbau oder die Auslagerung von Betriebsteilen als Restrukturierung gilt.
4.2. Die Beschwerdegegnerin stellt nicht in Frage, dass die Pensionskasse befugt war, bei der reglementarischen Umschreibung des Restrukturierungstatbestands - im Hinblick auf ihre Eigenart als öffentlich-rechtliche Vorsorgeeinrichtung - einen zusätzlichen Umstand im Quantitativ vorzusehen. Da das Bundesgericht - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Rechtsschriften (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen prüft (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 584, je mit Hinweisen), erübrigen sich diesbezügliche Weiterungen.
4.3.
4.3.1. Der Austritt der 16 Lehrkräfte der Primarschule und des Kindergartens auf Ende Juli 2008 und deren Aufnahme in die Aargauische Pensionskasse auf den Beginn des neuen Schuljahres am 1. August 2008 war die Folge der Gründung des Gemeindeverbandes "Schule Erzbachtal", womit ein einziger kantonsübergreifender Schulkreis gebildet wurde. Der Verband wurde dem aargauischen Recht unterstellt. Primarschule und Kindergarten wurden gewissermassen ausgelagert. In qualitativer Hinsicht (vgl. <ref-ruling> E. 8.3 S. 326) liegt zweifellos ein Teilliquidationstatbestand vor. Primarschule und Kindergarten bilden jedenfalls eine Organisationseinheit der Schulgemeinde.
4.3.2. In <ref-ruling> ging es um die Frage, ob - bei Überdeckung - eine Teilliquidation durchgeführt werden muss und den Austretenden freie Mittel zustehen, während hier zu entscheiden ist, ob - bei Unterdeckung - eine solche durchgeführt werden darf und der Arbeitgeber den Fehlbetrag zu tragen hat. Mit anderen Worten gilt es in quantitativer Hinsicht, § 2 lit. b des Teilliquidationsreglements mit im Vergleich zu <ref-ruling> "umgekehrten Vorzeichen" zu beurteilen: Im Vordergrund stehen nicht die Rechte der Destinatäre, sondern die Verpflichtungen der Arbeitgeber. Die niedrige Zahl von Personen, die im Falle einer Restrukturierung eine Teilliquidation auslösen, dient - in Übereinstimmung mit der Vorinstanz - deren Gleichbehandlung. Der Umstand, dass sich dadurch Teilliquidationen in rascher Abfolge ergeben können, ist dem hier sachlich gerechtfertigten Ziel immanent, dass ausschliesslich der - und jeder - von der Restrukturierung betroffene Arbeitgeber für die Ausfinanzierung des (zurückgelassenen) Fehlbetrages aufkommen soll. Er erweist sich unter dem Aspekt der beschränkten Staatsgarantie als verhältnismässig. Diese stellt lediglich eine Leistungsgarantie dar, wie die Vorinstanz richtig erkannt hat (vgl. E. 6.1 hinten). § 48 der Statuten sieht unmissverständlich vor, dass der Kanton lediglich die Garantie übernimmt, damit die Verpflichtungen der Kasse erfüllt werden. Eine - arbeitgeberseits - lückenlose Finanzierung der Fehlbeträge des Abgangbestandes liegt daher im Interesse der Pensionskasse.
4.4. Nach dem Gesagten erweist sich die Annahme des Teilliquidationstatbestandes der Restrukturierung als rechtmässig.
5.
Gemäss Art. 66 Abs. 1 BVG legt die Vorsorgeeinrichtung die Höhe der Beiträge des Arbeitgebers und der Arbeitnehmer in den reglementarischen Bestimmungen fest (Satz 1). Der Beitrag des Arbeitgebers muss mindestens gleich hoch sein wie die gesamten Beiträge aller seiner Arbeitnehmer (Satz 2). Ein höherer Anteil des Arbeitgebers kann nur mit dessen Einverständnis festgelegt werden (Satz 3).
Es kann offenbleiben, ob und inwieweit es sich bei dem hier streitigen Einkauf des Fehlbetrages infolge Teilliquidation um einen solchen zustimmungsbedürftigen überparitätischen Beitragsanteil handelt. Selbst wenn Art. 66 Abs. 1 Satz 3 BVG hier anwendbar ist und der Beschwerdegegnerin bei Nichteinverständnis gestützt auf das Urteil 2A.609/ 2004 vom 13. Mai 2005 ein (ausserordentliches) Kündigungsrecht zusteht, fehlt es in concreto an der rechtzeitigen - sei es auch nur mittelbaren - Kundgabe einer entsprechenden Willensäusserung:
5.1. Das Teilliquidationsreglement wurde am 26. Juni 2007 von der Delegiertenversammlung, am 31. Oktober 2007 vom Kantonsrat und am 18. März 2008 von der Aufsichtsbehörde genehmigt. Letzterer Genehmigung kommt konstitutive Wirkung zu (<ref-ruling> E. 2.1 S. 74). Die Publikation datiert vom 28. März 2008. Das Inkrafttreten auf den 1. Juli 2007 (§ 12) erfolgte somit rückwirkend. Inwieweit dies zulässig ist, braucht vorliegend nicht beantwortet zu werden. §§ 8 und 9 des Teilliquidationsreglements waren nicht genehmigungspflichtig und sind auch nicht Teil der Genehmigungsverfügung vom 18. März 2008. Sie haben mit der Teilliquidation als solcher (Voraussetzungen und Verfahren; Art. 53b Abs. 1 BVG) nichts zu tun, sondern stehen mit der Finanzierung des Fehlbetrages der Pensionskasse - nach bzw. als Folge einer sie betreffenden Teilliquidation - im Zusammenhang. In diesem Sinne stellen sie eine (ausgelagerte) Statutenänderung dar, für welche das vorgesehene Verfahren (Genehmigung durch die Delegiertenversammlung und den Kantonsrat; § 63 der Statuten) eingehalten wurde, und die seit der Publikation am 28. März 2008 anwendbar ist (vgl. § 4 Abs. 2 der Verordnung vom 23. April 1971 über die amtlichen Bekanntmachungen [BSG 111.321]). Die Beschwerdegegnerin vermag demnach keine Rechte daraus abzuleiten, dass die Genehmigungsverfügung samt Rechtsmittelbelehrung weder formell noch individuelll eröffnet wurde. Gesetze gelten mit der amtlichen Publikation des Textes grundsätzlich als bekannt. Art. 86b Abs. 1 BVG, der als positivrechtlich normierte Informationspflicht dieser Regel vorgeht (<ref-ruling>), gilt gegenüber den Versicherten und nicht den angeschlossenen Arbeitgebern (BGE a.a.O. E. 4.2.3.2 S. 337).
5.2. Die Satzungen des Gemeindeverbandes "Schule Erzbachtal" traten mit der Genehmigung durch die Kantone Aargau (am 22. Januar 2008) und Solothurn (am 19. Februar 2008) in Kraft. Damit stand wohl vor Inkrafttreten von §§ 8 und 9 des Teilliquidationsreglements fest, dass 16 Lehrkräfte der Primarschule und des Kindergartens der Beschwerdegegnerin aus der Beschwerdeführerin ausscheiden und in die Aargauer Pensionskasse übertreten. Allerdings fand dieser Wechsel nach der klaren Übergangsregelung der Satzungen erst Ende Schuljahr auf den 1. August 2008 statt, mithin nach Inkrafttreten dieser Bestimmungen. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz hatte somit die Beschwerdegegnerin (als Schulgemeinde) bei Kenntnis über das Teilliquidationsreglement mit der amtlichen Publikation vom 28. März 2008 den Austritt noch nicht vollzogen. Der zu Rechtsfolgen führende massgebliche Sachverhalt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 4) verwirklichte sich erst mit dem tatsächlichen Ausscheiden der 16 Lehrpersonen aus der Beschwerdeführerin Ende Juli 2008, weshalb die Beschwerdegegnerin nicht gänzlich passiv bleiben durfte.
5.3. Die vorinstanzliche Auffassung, in der Gründung des neuen Gemeindeverbandes und der Übernahme der Lehrkräfte durch diesen sei sinngemäss ein Austritt aus der Pensionskasse zu erblicken, den die Beschwerdegegnerin in Wahrnehmung des durch die Rechtsprechung anerkannten Kündigungsrechts vorgenommen habe, setzt voraus, dass die Beschwerdegegnerin mit den §§ 8 und 9 des Teilliquidationsreglements von vornherein nicht einverstanden war. Eine solche Annahme entbehrt jeglicher Grundlage. So wusste die Beschwerdegegnerin seit Ende August 2006 um die Vorbereitung des Teilliquidationsreglements und die darin vorgesehene Verpflichtung zur Übernahme eines bestimmten Anteils am versicherungstechnischen Fehlbetrag (Schreiben der Beschwerdeführerin vom 30. August 2006). Ihr diesbezügliches Nichteinverständnis hätte sie spätestens nach der Publikation Ende März 2008 zum Ausdruck bringen können, indem sie die zeitliche Umsetzung der Neuregelung (vgl. Urteil 2A.609/2004 vom 13. Mai 2005 E. 3.2; <ref-ruling> E. 3b S. 187; vgl. auch <ref-ruling> E. 9 S. 396) oder die Neuregelung selber, d.h. §§ 8 und 9 des Teilliquidationsreglements (vgl. <ref-ruling> E. 4 in fine S. 81), aufsichtsrechtlich überprüfen liess. Die Anwendung der Satzungen erst auf das neue Schuljahr anfangs August 2008 erfolgte letztlich aus Praktikabilitätsgründen, mithin sich u.a. die Frage nach der Wahrung des Verhältnismässigkeitsprinzips stellte. Ein sonstwie - auch konkludent - geäussertes Missbehagen in Bezug auf eine zu erwartende Beteiligung am Fehlbetrag oder Bemühungen um eine zeitlich "günstigere" Koordination sind weder aktenkundig noch behauptet. Auf keinen Fall durfte die Beschwerdegegnerin mit der Berufung auf ihr Nichteinverständnis zuwarten, bis die Pensionskasse gestützt auf die streitige Regelung eine Forderung geltend machte.
5.4. Damit vermag sich die Beschwerdegegnerin unter dem Titel von Art. 66 Abs. 1 Satz 3 BVG - soweit überhaupt anwendbar - ihren Verpflichtungen aus § 8 Abs. 2 lit. b und § 9 Abs. 1 lit. b des Teilliquidationsreglements vom 19. März 2007 nicht zu entziehen.
6.
Die Beschwerdegegnerin hat verschiedene Einwände gegen die Anwendung von § 8 Abs. 2 lit. b und § 9 Abs. 1 lit. b des Teilliquidationsreglements erhoben. Darauf ist im Folgenden einzugehen, mit zwei Ausnahmen: Soweit sie vorbringt, es sei kein eigentliches Teilliquidationsverfahren durchgeführt worden, wie dies Art. 53d Abs. 5 BVG vorsehe, bleibt diese Rüge unbegründet; soweit sie die vorinstanzlichen Feststellungen zur "Ursachenadäquanz der Sanierungsmassnahmen" widerspricht, genügen ihre Vorbringen der diesbezüglichen qualifizierten Rügepflicht (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252 und E. 1.4.2 S. 254) nicht.
6.1. Die Beschwerdegegnerin macht unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 6.3.2 S. 34 geltend, öffentlich-rechtliche Vorsorgeeinrichtungen, die über eine Staatsgarantie verfügten, könnten nicht in Unterdeckung fallen und keine rechtlich relevanten Fehlbeträge aufweisen, sodass Art. 65d BVG (Massnahmen bei Unterdeckung) nicht gelte.
An der zitierten Stelle führte das Bundesgericht aus: "Art. 65d BVG bezieht sich auf Massnahmen zur Behebung von Unterdeckungen, die aufgrund von Art. 65 BVG und Art. 44 BVV 2 unzulässig sind und deshalb grundsätzlich (unter Vorbehalt einer zeitlich befristeten Unterdeckung gemäss Art. 65c BVG) von den Vorsorgeeinrichtungen in Eigenverantwortung behoben werden müssen (Art. 65d Abs. 1 BVG; Botschaft vom 19. September 2003 über Massnahmen zur Behebung von Unterdeckungen in der beruflichen Vorsorge [Änderung des Bundesgesetzes über die berufliche Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge], BBl 2003 6399 ff., S. 6418). Die Bestimmung gilt damit von vornherein nicht für diejenigen öffentlich-rechtlichen Kassen, bei welchen aufgrund einer Staatsgarantie eine Unterdeckung zulässig ist (BBl 2003 6412)."
Diese Rechtsprechung ist zu präzisieren: Eine Staatsgarantie schliesst Sanierungsmassnahmen nicht aus (BBl 2003 6399 ff., S. 6412 Ziff. 1.3.6.4 erster Satz). Deren Verhältnis zueinander zu umschreiben - ob sich die Abgabe der Garantie sowohl auf die Auszahlung der Leistung bezieht (vgl. Art. 45 BVV 2, in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2011) als auch eine Deckungszusage, insbesondere im Teilliquidationsfall, umfasst - ist grundsätzlich Sache des jeweiligen (Bundes-, kantonalen oder kommunalen) Rechts mit dem Resultat, dass bei öffentlich-rechtlichen Kassen keine Unterdeckung im Sinne von Art. 65d BVG vorliegt, "in dem Ausmass, als Garantiezusagen vorhanden sind" (BBl 2003 6412 Ziff. 1.3.6.4 letzter Satz). Anders gesagt, macht allein eine Volldeckungszusage, wonach das garantierende Gemeinwesen jederzeit dafür sorgt, dass eine allfällige Unterdeckung ausgeglichen wird, Sanierungsmassnahmen überflüssig ( Tomas Poledna/Erich Peter, Staatsgarantie bei öffentlich-rechtlichen Vorsorgeeinrichtungen - Übergang vom alten zum neuen Recht, in: SZS 2011 S. 225 ff., 233 f.; vgl. zu der seit 1. Januar 2012 geltenden, hier nicht anwendbaren neuen Regelung der Finanzierung von Vorsorgeeinrichtungen öffentlich-rechtlicher Körperschaften Art. 72a ff. BVG [AS 2011 3385 ff.]).
Hier fehlt es an einer Deckungszusage (vgl. E. 4.3.2), weshalb die Beschwerdeführerin sehr wohl in Unterdeckung fallen kann. Gleichzeitig wird den Einwänden der Beschwerdegegnerin, es bestehe kein sachlicher Grund, den von der Staatsgarantie gedeckten Fehlbetrag auf sie und andere angeschlossene Arbeitgeber zu überwälzen, wie es auch wegen der Staatsgarantie nicht zutreffe, dass die verbleibenden Versicherten für den Fehlbetrag der austretenden Personen aufkommen müssten, der Boden entzogen.
6.2. Weiter wirft die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin eine Verletzung von Treu und Glauben vor. Die Vorsorgeinrichtung hätte sie als Laien im Bereich der beruflichen Vorsorge spätestens nach Verabschiedung des Teilliquidationsreglements am 19. März 2007 kontaktieren und über die konkreten finanziellen Folgen des bereits im August 2006 geplanten Übertritts der Lehrpersonen der Primarschule und des Kindergartens informieren müssen.
Gemäss dem in E. 5.3 Gesagten, war der Beschwerdegegnerin bereits im August 2006 bekannt, dass das Teilliquidationsreglement in Vorbereitung war. Verbindliche Aussagen waren damals noch nicht möglich. Von einer Gemeinde, insbesondere als unmittelbar Betroffene, ist zu erwarten, dass sie das weitere Gesetzgebungsverfahren im Auge behält. Dies hätte sie leicht in die Lage versetzt, das Zusammenfallen von Schulkoordination und - aufgrund von § 2 lit. b des Teilliquidationsreglements überwiegend wahrscheinliche - Bejahung eines Teilliquidationstatbestandes zu antizipieren. Gerade "Botschaft, Beschluss und Beschlussentwurf der Verwaltungskommission der Kantonalen Pensionskasse Solothurn" des Regierungsrates vom 19. März 2007, worüber der Kantonsrat am 31. Oktober 2007 verhandelte, hätte durchaus Anlass zu Weiterungen gegeben, zumal sich im Anhang Formeln zur Finanzierung des Fehlbetrags gemäss § 8 des Teilliquidationsreglements fanden. Es war (eigene) Aufgabe der Beschwerdegegnerin, sich über die - auch berufsvorsorgerechtlichen - Konsequenzen der Zusammenlegung zu informieren, wollte sie ihren definitiven (zustimmenden) Beschluss aufgrund vollständiger Entscheidungsgrundlage treffen. Nachdem sie keine ergänzenden Auskünfte von der Beschwerdeführerin verlangt hatte, kann dieser nicht vorgeworfen werden, unzureichend über die konkreten Folgekosten der Schulverbandsgründung informiert und dadurch gegen den Grundsatz von Treu und Glauben verstossen zu haben. Abgesehen davon war das Ausmass der Einkaufsleistung auch für die Pensionskasse nicht vorhersehbar (vgl. § 3 Abs. 2 lit. b des Teilliquidationsreglements). Wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), entstand die massive Unterdeckung von Fr. 1'130'982'092 zum grossen Teil aufgrund der Verluste im von der Börsenkrise gebeutelten Jahr 2008, der nicht Einzigartigkeit zukommt (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 371 f.).
6.3. Sodann ist für die Beschwerdegegnerin nicht nachvollziehbar, dass gemäss § 8 Abs. 4 des Teilliquidationsreglements bei einer Auslagerung von Versicherten aus dem Kanton oder aus einer Schulgemeinde eine vollumfängliche Umwälzung des Fehlbetrags auf den Arbeitgeber erfolge, während dies bei der Auflösung von Anschlussverträgen nach § 8 Abs. 3 und 5 nicht der Fall sei.
Dem ist entgegen zu halten, dass eine organisatorische Verselbständigung erst zu einer Teilliquidaton führt, wenn die Versicherten aus der Pensionskasse ausscheiden (§ 2 lit. b des Teilliquidationsreglements; vorne E. 4.1). Verbleiben die Versicherten vorab bei der Beschwerdeführerin und kommt es erst später zu einem Wegzug, was Thema von § 8 Abs. 4 des Teilliquidationsreglements bildet (vgl. dazu die in E. 6.2 erwähnte Botschaft vom 19. März 2007, S. 14 oben), soll der vorübergehende Status als angeschlossenes Unternehmen keinen Vorteil bringen. Sachlich gerechtfertigter Hintergrund der Regelung von § 8 Abs. 4 des Teilliquidationsreglements ist demnach, dass der Teilliquidationstatbestand der Restrukturierung - und seine Folgen - nicht umgangen werden sollen. Ausserdem liegt in Bezug auf den in § 8 Abs. 5 des Teilliquidationsreglements geregelten Tatbestand auf der Hand und ist objektiv begründet, dass der Einkauf von Unternehmen, die am 31. Dezember 1994 noch nicht angeschlossen waren, nicht auf der Grundlage des ganzen Fehlbetrages beruht: Sie profitierten erst ab ihrem Anschluss von der bewusst und fortgesetzt getroffenen Wahl des Kantons, die Leistungen nicht genügend zu finanzieren. Dieser hatte im Übrigen bis 1982 die Arbeitgeberbeiträge u.a. für das Lehrpersonal der Schulgemeinden bezahlt.
6.4. Schliesslich bestreitet die Beschwerdegegnerin, einen Betrag für die Anpassung der Renten an die Teuerungsentwicklung nach § 9 Abs. 1 lit. b des Teilliquidationsreglements zu schulden, weil die Beschwerdeführerin ihr keinen der verbleibenden Rentner zuordnen könne. Das Vorsorgeverhältnis mit diesen bleibe bestehen und es seien daher - wenn überhaupt - lediglich Leistungen zur Finanzierung der laufenden Renten zu erbringen. Nicht gefordert werden könne ein pauschaler Einkauf in den Teuerungsfonds.
Die Vorinstanz hat in E. 13 des angefochtenen Entscheids dargelegt, weshalb die Forderung unbegründet ist, soweit sie sich auf § 9 Abs. 1 lit. b des Teilliquidationsreglements stützt (analoge Anwendung der Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> zu Art. 53e Abs. 6 BVG). Die Beschwerdeführerin hat diese selbständige Eventualbegründung nicht angefochten. Dabei hat es sein Bewenden (<ref-ruling> E. 7 S. 228), zumal eine (allfällige) Bundesrechtswidrigkeit nicht geradezu in die Augen springt.
6.5. Nach dem Gesagten spricht nichts gegen die Anwendbarkeit von § 8 Abs. 2 lit. b des Teilliquidationsreglements. Die unter diesem Titel eingeklagte Summe von Fr. 2'055'935.- ist masslich unbestritten. Hingegen sind die von der Beschwerdeführerin gestützt auf § 9 Abs. 1 lit. b des Teilliquidationsreglements geforderten Fr. 405'135.- (vorne E. 1.1) nicht geschuldet.
7.
Das Recht der beruflichen Vorsorge regelt die Folgen eines Verzugs lediglich für eine verspätete Überweisung von Austrittsleistungen (Art. 2 Abs. 4 FZG). In Bezug auf die Begleichung der von der Beschwerdegegnerin geschuldeten Verbindlichkeit existiert weder im Gesetz noch in den Statuten eine Regelung. Es rechtfertigt sich daher, einen Verzugszins analog Art. 102 ff. OR festzusetzen, d.h. in der Höhe von 5 % ab 4. Dezember 2010 (Ablauf der in der ersten Mahnung vom 2. November 2010 gesetzten Zahlungsfrist).
8.
Die Gerichtskosten sind den Parteien nach Massgabe ihres Unterliegens aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat - da es um ihre Vermögensinteressen geht - Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. In Aufhebung des Entscheids des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 19. November 2012 wird die Klage teilweise gutgeheissen. Die Beschwerdegegnerin hat der Beschwerdeführerin Fr. 2'055'935.- zu bezahlen nebst Zins zu 5 % ab 4. Dezember 2010.
2.
Die Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren von Fr. 20'000.- werden im Umfang von Fr. 3'500.- der Beschwerdeführerin und im Umfang von Fr. 16'500.- der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. März 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Fessler