Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Eingabe vom 10. Oktober 2013 ersuchte A._ beim Bezirksgericht Luzern gestützt auf <ref-law> und <ref-law> um Erlass vorsorglicher respektive superprovisorischer Massnahmen (Kontakt-, Annäherungs- und Rayonverbot) gegen ihren von ihr getrennt lebenden Ehemann. Gleichzeitig ersuchte sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
A.b. Das Bezirksgericht forderte die Rechtsanwältin von A._ mit Schreiben vom 11. Oktober 2013 auf, das in der Beilage enthaltene Formular betreffend unentgeltliche Rechtspflege (UR-Formular) vollständig ausgefüllt und mit Urkundenbelegen bis am 24. Oktober 2013 zu retournieren. Andernfalls werde Verzicht auf die unentgeltliche Rechtspflege angenommen. Die am 24. Oktober 2013 beantragte Fristerstreckung zwecks Besorgung der benötigten Belege wurde bis am 13. November 2013 gewährt. Mit Schreiben vom 30. Oktober 2013 erklärte die Rechtsanwältin von A._, in der Beilage zu diesem Schreiben innert Frist anstelle des geforderten Formulars eine Bestätigung der Sozialen Dienste der Stadt Luzern über den Bezug von wirtschaftlicher Sozialhilfe vom 29. Oktober 2013 sowie das aktuelle Budget Oktober-Dezember 2013 der Sozialen Dienste der Stadt Luzern einzureichen. Aus diesen Dokumenten folge, dass A._ wirtschaftliche Sozialhilfe beziehe.
A.c. Mit Entscheid vom 9. Mai 2014 wies das Bezirksgericht Luzern das Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. Die Kosten des Massnahmeverfahrens wurden A._ auferlegt.
B.
B.a. Gegen die verweigerte unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung erhob A._ beim Kantonsgericht des Kantons Luzern am 30. Mai 2014 Kostenbeschwerde gemäss <ref-law>. Sie beantragte, die Ziff. 2 und 3 des erstinstanzlichen Entscheides seien aufzuheben, soweit das Gesuch der A._ um unentgeltliche Rechtspflege betreffend, und die Sache zur erneuten Überprüfung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Ferner beantragte sie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren und kündigte an, als Beleg eine aktuelle Bestätigung der Sozialen Dienste der Stadt Luzern einzureichen. Am 3. Juni 2014 reichte A._ eine aktuelle Bestätigung der Sozialen Dienste der Stadt Luzern vom 2. Juni 2014 über den Bezug von wirtschaftlicher Sozialhilfe sowie das aktuelle Budget ab Mai 2014 der Sozialen Dienste der Stadt Luzern ein.
B.b. Mit Entscheid vom 22. August 2014 (zugestellt am 2. September 2014) wies das Kantonsgericht die Beschwerde und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab und verurteilte A._ zur Bezahlung der Gerichtskosten für das Beschwerdeverfahren.
C.
C.a. Dagegen erhebt A._ (Beschwerdeführerin) am 30. September 2014 Beschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides, soweit dieser die Nichtgewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor Bezirksgericht und Kantonsgericht betrifft (Ziff. 1, 2 und 3.1), und die Rückweisung zwecks erneuter Überprüfung an die Vorinstanz. Zudem beantragt die Beschwerdeführerin die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege auch für das Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht - unter Beilage einer aktuellen Bestätigung über den Bezug wirtschaftlicher Sozialhilfe und einem aktuellen Budget der Sozialen Dienste der Stadt Luzern.
C.b. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt und das Bezirks- und Kantonsgericht mit Verfügung vom 30. Januar 2015 zur Vernehmlassung eingeladen. Mit Schreiben vom 3. Februar 2015 respektive 5. Februar 2015 verweisen beide Gerichte auf die Begründung des angefochtenen Entscheides und verzichten im Übrigen auf eine Vernehmlassung. Das Kantonsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. In Bezug auf die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bezirksgericht urteilte die Vorinstanz als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>). Die Beschwerde erweist sich aber auch gegen die Nichtgewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren als zulässig (vgl. zur Ausnahme vom Erfordernis der double instance <ref-ruling> E. 1.1 S. 42; <ref-ruling> E. 2.2 S. 426).
1.2. Da der Entscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege vor Bezirksgericht zusammen mit dem Urteil in der Hauptsache erging, handelt es sich nicht um einen Zwischenentscheid (<ref-law>; vgl. Urteil 5A_32/2014 vom 8. April 2014 E. 1 mit Hinweisen). In der Sache betrifft der angefochtene Entscheid eine Klage auf Anordnung vorsorglicher Massnahmen zum Schutz der Persönlichkeit vor widerrechtlicher Verletzung (<ref-law>), und damit eine Zivilsache (<ref-law>) nicht vermögensrechtlicher Natur (zu <ref-law> vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 483; Urteil 5A_456/2013 vom 7. März 2014 E. 1; zu aArt. 28c ZGB vgl. Urteil 5A_526/2009 vom 5. Oktober 2009 E. 1 in: SJ 2011 I S. 65, mit Hinweisen; zu <ref-law> vgl. Urteil 5A_886/2011 vom 20. Februar 2012 E. 1). Die Beschwerdeführerin ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.3. Die Beschwerdeführerin beantragt, die Angelegenheit zur Überprüfung ihres Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege im erst- und zweitinstanzlichen Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen. Da das Kantonsgericht den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege vor erster Instanz - wie diese - mit der Begründung der fehlenden Mitwirkung abgewiesen hat, hat sich das Kantonsgericht - wie auch die erste Instanz - nicht mit den Anspruchsvoraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung auseinander gesetzt. Insbesondere fehlen Ausführungen des Bezirksgerichts zum Sachverhalt, der einer summarischen Beurteilung der Aussichtslosigkeit im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung zugrunde zu legen ist. Somit kann das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde - unter Vorbehalt von <ref-law> - kein Sachurteil fällen, weshalb das Rechtsbegehren den formellen Anforderungen genügt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 317; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383). Im Übrigen sind Rechtsbegehren unter Berücksichtigung der Beschwerdebegründung auszulegen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 136) und es ist vorliegend eindeutig, dass die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für die kantonalen Verfahren ersucht.
1.4. Da die Beschwerde betreffend die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege in der Hauptsache ein Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) zum Gegenstand hat, kann auch mit der vorliegenden Beschwerde betreffend die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip. Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen prüft. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; je mit Hinweisen). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) beruft, kann sich daher nicht darauf beschränken, den angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit Hinweisen). Nach dem Gesagten ist es unzulässig, wenn die Beschwerdeführerin die blosse Verletzung von Bundesrecht (Art. 117 und Art. 119 Abs. 2 ZPO) rügt. Ebenfalls ungenügend ist es, ohne weitere Ausführungen zu rügen, die Vorinstanz sei in Willkür verfallen. Somit verbleibt die Überprüfung der Rüge, die Vorinstanz habe gegen das Verbot des überspitzten Formalismus (<ref-law>) und damit auch sinngemäss gegen den verfassungsrechtlichen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege gemäss <ref-law> verstossen.
2.
Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand (<ref-law>). Umstritten ist, ob die Beschwerdeführerin ihrer Mitwirkungsobliegenheit zur Glaubhaftmachung der Bedürftigkeit entsprochen hat.
2.1.
2.1.1. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin habe der Aufforderung des Bezirksgerichts Luzern, das UR-Formular vollständig auszufüllen und mit Belegen zu den finanziellen Verhältnissen an das Bezirksgericht zu retournieren, nicht entsprochen. Indem sie anstelle der geforderten Unterlagen eine Bestätigung des Sozialamtes sowie ein aktuelles Budget eingereicht habe, sei sie ihrer Mitwirkungs- und Offenlegungspflicht nicht nachgekommen. Die Beschwerdeführerin sei auf die einzureichenden Unterlagen und die Folgen einer Nichteinreichung hingewiesen worden. Unter diesen Umständen sei das Bezirksgericht nicht verpflichtet gewesen, ihr eine weitere Nachfrist zur Einreichung des Formulars anzusetzen. Den Gerichten sei es ferner freigestellt, die zur Bestimmung der Bedürftigkeit erforderlichen Unterlagen zu definieren. Allein aus dem Umstand, dass die Beschwerdeführerin Sozialhilfe beziehe, könne nicht auf ihre Bedürftigkeit geschlossen werden (Urteil 9C_606/2013 vom 7. März 2014 E. 2.1.3). Darüber hinaus lasse sich den eingereichten Unterlagen nichts betreffend allfälligem Vermögen der Beschwerdeführerin entnehmen. Schliesslich sei irrelevant, ob in anderen Einzelfällen die eingereichten Unterlagen genügt hätten, denn die Beschwerdeführerin sei vorliegend zur Einreichung des UR-Formulars inklusive Beilagen aufgefordert worden.
2.1.2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren wies die Vorinstanz mit der Begründung ab, die Beschwerde erweise sich nach dem Gesagten (vgl. E. 2.1.1) von vornherein als aussichtslos.
2.2.
2.2.1. Die Beschwerdeführerin rügt, sie habe die Mitwirkungs- und Offenlegungspflicht nicht verletzt, sondern die Bedürftigkeit mit den eingereichten amtlichen Unterlagen anstelle des geforderten UR-Formulars nachgewiesen. Die Vorinstanz habe mit der gegenteiligen Auffassung das Recht auf unentgeltliche Prozessführung verletzt und dabei überspitzt formalistisch gehandelt. Aus dem von der Vorinstanz zitierten Entscheid 9C_606/2013 vom 7. März 2014 lasse sich nichts für den vorliegenden Fall entnehmen, da dort lediglich das Einreichen eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege ohne Belege als unzureichend erachtet wurde. Vorliegend seien aber amtliche Belege eingereicht worden. Die Sozialhilfe sichere das soziale Existenzminimum, welches zwar das absolute Existenzminimum übersteige. Aus dem ebenfalls eingereichten Budget folge jedoch, dass die Beschwerdeführerin ausschliesslich den Grundbedarf für den Lebensunterhalt und die Wohnungskosten erhalte. Aus dem eingereichten Budget seien die Berechnung des sozialen Existenzminimums sowie die Einnahmen und die Höhe der Unterstützungsleistungen ersichtlich. Ferner werde im Rahmen der Erteilung von Sozialhilfe von Amtes wegen überprüft, ob ein Gesuchsteller über Vermögen verfüge - wobei der gewährte Vermögensfreibetrag von Fr. 4'000.-- tiefer sei als der bei der unentgeltlichen Rechtspflege gewährte "Notgroschen" von Fr. 10'000.--. Eine Steuerveranlagung könne nicht eingereicht werden, weil Sozialhilfeempfänger Anspruch auf vollen Steuererlass hätten. Schliesslich hätte das Gericht die Beschwerdeführerin gestützt auf die Untersuchungsmaxime unter Ansetzung einer Nachfrist darüber aufzuklären, wenn es Unterlagen als unzureichend erachtet. Immerhin gäbe es im Kanton Luzern etliche Entscheide, gemäss welchen eine Bestätigung der wirtschaftlichen Sozialhilfe sowie ein aktuelles Budget für den Nachweis der Bedürftigkeit auch ohne zusätzliches UR-Formular ausgereicht hätten. Die Beschwerdeführerin habe sich in gutem Glauben auf diese Praxis verlassen dürfen.
2.2.2. Betreffend die Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung für das Rechtsmittelverfahren vor der Vorinstanz rügt die Beschwerdeführerin, das Verfahren vor der Vorinstanz sei nich t von Anfang an aussichtslos gewesen. Die Beschwerdeführerin sei bedürftig und habe ihre Mitwirkungspflicht nicht verletzt, weshalb ihr die unentgeltliche Rechtspflege auch für das Verfahren vor der Vorinstanz zu gewähren sei.
3.
Das Bundesgericht prüft frei, ob die Kriterien zur Bestimmung der Bedürftigkeit zutreffend gewählt worden sind, legt seinem Urteil aber den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 223; <ref-ruling> E. 3.a S. 12; Urteil 4A_294/2010 vom 2. Juli 2010 E. 1.2).
3.1. Als bedürftig im Sinne von <ref-law> gilt eine Person dann, wenn sie die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne jene Mittel anzugreifen, die für die Deckung des eigenen notwendigen Lebensunterhalts und desjenigen ihrer Familie erforderlich sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 223; <ref-ruling> E. 2.5.1 S. 232; je mit Hinweisen). Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich grundsätzlich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation des Rechtsuchenden im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs. Dazu gehören einerseits sämtliche finanziellen Verpflichtungen, anderseits die Einkommens- und Vermögensverhältnisse (<ref-ruling> E. 5.1 S. 223 f.; Urteil 5A_58/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 3.3.1; je mit Hinweisen; Urteil 4A_661/2010 vom 16. Februar 2011 E. 3.2).
3.2. Der Gesuchsteller hat zur Glaubhaftmachung seiner Bedürftigkeit seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich auch zu belegen (<ref-ruling> E. 3a S. 181 f. mit Hinweis). Insoweit trifft ihn eine umfassende Mitwirkungsobliegenheit (Urteil 5A_897/2013 vom 8. Juli 2014 E. 3.1). Dabei dürfen umso höhere Anforderungen an eine umfassende und klare Darstellung der finanziellen Situation durch den Gesuchsteller selbst gestellt werden, je komplexer diese Verhältnisse sind. Die entscheidende Behörde hat allenfalls unbeholfene Rechtsuchende auf die Angaben hinzuweisen, die sie zur Beurteilung des Gesuches benötigt (<ref-ruling> E. 3a S. 182 f.). Aus den eingereichten Belegen muss der aktuelle Grundbedarf des Gesuchstellers hervorgehen. Die Belege haben zudem über sämtliche finanziellen Verpflichtungen des Gesuchstellers sowie über seine Einkommens- und Vermögensverhältnissen Aufschluss zu geben. Verweigert der Gesuchsteller die zur Beurteilung seiner aktuellen Gesamtsituation erforderlichen Angaben oder Belege, respektive kommt er seiner Obliegenheit nicht nach, so kann die Behörde die Bedürftigkeit ohne Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs verneinen und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abweisen (<ref-ruling> E. 4a S. 164 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 181 f.; Urteil 2C_683/2014 vom 24. Oktober 2014 E. 3.1.1; Urteil 5A_382/2010 vom 22. September 2010 E. 3.1; Urteil 4A_661/2010 vom 16. Februar 2011 E. 3.2).
3.3. Jedoch ist überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung gegeben, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und damit dem Bürger den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 2C_221/2014 vom 14. Januar 2015 E. 5.1; je mit Hinweisen). Die entscheidende Behörde darf die Beweismittel für die Feststellung der wirtschaftlichen Situation nicht formalistisch beschränken und etwa nur einen amtlichen Beleg über die finanziellen Verhältnisse zulassen. Solche Anforderungen können sich als übertrieben formalistisch erweisen, wenn sich die Bedürftigkeit bereits aus den Akten ergibt (vgl. <ref-ruling>E. 3a S. 181f.; <ref-ruling> E. 3b S. 31; Urteil 8C_920/2010 vom 25. Januar 2011 E. 3.4.2; 5D_68/2010 vom 13. Juli 2010 E. 3.5.1 ).
3.4.
3.4.1. Vorliegend hat die Beschwerdeführerin im Verfahren vor dem Bezirksgericht - entgegen der Aufforderung des Gerichts - eine unterzeichnete Bestätigung der Sozialen Dienste der Stadt Luzern eingereicht. Aus dieser geht hervor, dass die Beschwerdeführerin seit dem 1. Dezember 2012 laufend durch die Sozialen Dienste der Stadt Luzern unterstützt wird. Das Bundesgericht hat im von der Vorinstanz zitierten Urteil 9C_606/2013 vom 7. März 2014 E. 2.1.3 zwar festgestellt, dass aus dem blossen Umstand des Bezugs von Sozialhilfe ohne die erforderlichen Angaben und Unterlagen nicht direkt auf die Bedürftigkeit geschlossen werden könne, und der Gesuchsteller daher mit der blossen Einreichung des Formulars "Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege" ohne Beilagen und Unterlagen die Mitwirkungspflicht verletzt habe. In 8C_58/2014 vom 24. September 2014 sah das Bundesgericht unter Bezugnahme auf das zitierte Urteil keine Verletzung von <ref-law>, wenn die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wurde, obwohl der Beschwerdeführer eine Bestätigung über den Bezug wirtschaftlicher Sozialhilfe - nicht aber das UR-Formular - eingereicht hatte. Ebenso wurde wiederholt festgestellt, dass es den Gerichten grundsätzlich frei steht, für die Abklärung der finanziellen Voraussetzungen einen Fragebogen einzuverlangen (Urteil 8C_58/2014 vom 24. September 2014 E. 7.3; 9C_606/2013 vom 7. März 2014 E. 2.1.3). Vorliegend hat aber die Beschwerdeführerin nicht nur eine Bestätigung der Stadt Luzern über den Bezug von wirtschaftlicher Sozialhilfe, sondern auch ein von den Sozialen Diensten der Stadt Luzern erstelltes aktuelles und unterzeichnetes Budget eingereicht. Aus diesem Budget vom 29. Oktober 2013 geht hervor, dass sich das soziale Existenzminimum der Beschwerdeführerin auf Fr. 2'699.-- bemisst, und aus Fr. 1'509.-- für den Grundbedarf für den Lebensunterhalt und Fr. 1'190.00 für die Wohnkosten, zuzüglich Fr. 150.-- für die Nebenkosten, zusammensetzt. Dem gegenüber stehen einzig Einnahmen von insgesamt Fr. 900.-- für Kinderalimente (Fr. 700.--) respektive Kinder-/Ausbildungszulagen (Fr. 200.--) zugunsten des Sohnes (geb. 2007) der Beschwerdeführerin. Insgesamt folgt aus dieser Zusammenstellung ein Unterstützungsleistungstotal von Fr. 1'799.-- nebst dem "Einkommen" von Fr. 900.-- für das Kind der Beschwerdeführerin.
3.4.2. Gemäss UR-Formular des Kantons Luzern berechnet sich der zivilprozessuale Notbedarf durch eine Gegenüberstellung der monatlichen Einkünfte mit den monatlichen Auslagen für Mietkosten, Krankenkassenprämien etc. und dem monatlichen, vorgegebenen, Grundbetrag. Auch ohne über allenfalls weitere - nicht geltend gemachte - Auslagen der Beschwerdeführerin Kenntnisse zu haben, ist es dem Gericht aufgrund der eingereichten Unterlagen möglich, die Einkünfte der Beschwerdeführerin gemäss Budget der Sozialen Dienste der Stadt Luzern dem Grundbetrag gemäss UR-Formular und den im Budget ebenfalls angegebenen Wohn- und Nebenkosten gegenüberzustellen. Die Vorinstanz führt ferner nicht aus, dass sie Grund zur Annahme hätte, die Beschwerdeführerin würde noch über weitere als die im Budget genannten Einkünfte oder Ansprüche verfügen. Dem erstmals von der Vorinstanz vorgebrachten Einwand, die Beschwerdeführerin habe insbesondere nicht dargelegt, ob sie über Vermögen verfüge, ist mit den Ausführungen in der Beschwerde entgegenzuhalten, dass das Vermögen auch im Rahmen der Gewährung von Sozialhilfe berücksichtigt wird. Die Vorinstanz legt schliesslich nicht dar, wieso es nicht glaubhaft wäre, dass die Beschwerdeführerin, welche seit ca. 2 Jahren von der Sozialhilfe unterstützt wird, über kein Vermögen verfügt, welches den im Rahmen der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zu berücksichtigenden "Notgroschen" übersteigt. Aus der Begründung des vorinstanzlichen Entscheids folgt, dass sich die Vorinstanz wie auch das Bezirksgericht nicht mit den von der Beschwerdeführerin eingereichten Unterlagen und Angaben zum Grundbedarf, dem Einkommen und den Ausgaben auseinandergesetzt haben. Vielmehr kamen die Vorinstanzen ohne genauere Prüfung zum Schluss, ohne das verlangte UR-Formular samt der darin aufgeführten Beilagen liesse sich das Gesuch der Beschwerdeführerin nicht überprüfen. Damit aber ha ben die Vorinstanzen gegen das Verbot des überspitzten Formalismus verstossen. Die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin lässt sich vorliegend mit den eingereichten Unterlagen überprüfen (vgl. auch <ref-ruling> E. 4b S. 164 f.) und ist sowohl für das Verfahren vor dem Bezirksgericht basierend auf den Belegen vom 29. Oktober 2013 als auch für das Verfahren vor der Vorinstanz basierend auf den Belegen der Sozialen Dienste der Stadt Luzern vom 2. Juni 2014 zu bejahen. Vorliegend kann daher offen bleiben, ob das Gesuch allein mit der Begründung hätte abgewiesen werden können, dass die Beschwerdeführerin das vom Gericht zur Verfügung gestellte Formular nicht verwendet hat, denn ein solches Vorgehen setzte einen ausdrücklichen Hinweis auf die Rechtsfolgen im Unterlassungsfall und, von besonderen Ausnahmen abgesehen, die Ansetzung einer Nachfrist voraus (vgl. auch Urteile 8C_58/2014 vom 24. September 2014 E. 7; 4A_114/2013 vom 20. Juni 2013 E. 4.3.2 und 5A_382/2010 vom 22. September 2010 E. 3.2); Letzteres ist hier nicht geschehen. Der Entscheid der Vorinstanz ist somit aufzuheben. Die Vorinstanz hat die Kosten und die Parteientschädigung für das vor ihr geführte Beschwerdeverfahren im Sinne der Erwägungen neu zu verlegen. Betreffend die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bezirksgericht ist die Angelegenheit zur Prüfung der weiteren Anspruchsvoraussetzungen an dieses zurückzuweisen.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (<ref-law>). Der Kanton Luzern hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren voll zu entschädigen. Bei dieser Kosten- und Entschädigungsregelung wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Kantonsgerichts des Kantons Luzern, Ziff. 1, Ziff. 2 und Ziff. 3.1, wird aufgehoben und die Sache zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens im Sinne der Erwägungen an das Kantonsgericht des Kantons Luzern zurückgewiesen.
2.
Die Sache wird zur Prüfung der verbleibenden materiellen Anspruchsvoraussetzungen für die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das erstinstanzliche Verfahren im Sinne der Erwägungen an das Bezirksgericht Luzern zurückgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Luzern hat die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Februar 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Griessen