Sachverhalt:
A. Dr. med. dent. A._ (Kläger) unterhielt seit dem 12. Juli 1995 für seine Zahnarztpraxis zunächst bei der Y._-Bank, später bei deren Rechtsnachfolgerin, der X._-Bank (Beklagte), eine Konto/Depot-Verbindung. Unter anderem bestanden ein Kontokorrent, über das die üblichen Honorareingänge und Belastungen abgewickelt wurden, sowie später ein Depositenkonto (Nr. xxx). Im Sommer 1996 fragte die Beklagte den Kläger an, ob er angesichts des Saldos auf seinem Konto allenfalls einen Anlagebedarf bezüglich Wertschriften etc. habe, wofür ihm B._, Kundenberater in der Filiale M._ der X._-Bank, Basel (im Folgenden auch: der Kundenberater), als Berater empfohlen wurde. Der Kläger begann in der Folge intensiv mit Wertschriften zu handeln, wobei bis Ende 1998 durch den Kundenberater im Namen des Klägers über 700 Wertschriftentransaktionen ausgeführt wurden. Ausschlaggebend für die Transaktionen war in der Regel die telefonische Erteilung eines entsprechenden Auftrags durch den Kläger auf konkrete Kauf- bzw. Verkaufsvorschläge des Kundenberaters hin. Dieser telefonische Kontakt war ausgesprochen intensiv und fand oft mehrmals täglich statt. Über die getätigten Börsengeschäfte erhielt der Kläger jeweils einen schriftlichen Beleg. Ausserdem waren sie in den Quartalsabrechnungen aufgeführt.
Am 22. Dezember 1998 gelangte der Kläger via seinen Rechtsvertreter an die Direktion der Beklagten, Filiale M._, und monierte, ihr Mitarbeiter, B._, habe diverse Börsentransaktionen ohne seine Zustimmung vorgenommen. Interventionen seinerseits seien jeweils erfolglos geblieben. Mit weiteren Schreiben liess der Kläger der Beklagten eine Liste der von ihm beanstandeten Transaktionen zustellen und verlangte deren Rückgängigmachung und die Ersetzung des ihm dadurch entstandenen Schadens von ca. Fr. 1'864'000.-. Die Beklagte wies sämtliche Vorwürfe und Begehren zurück.
B. Am 20. Juli 1999 gelangte der Kläger an das Zivilgericht Basel-Stadt und beantragte, die Beklagte sei zu verurteilen, auf seinem Konto Nr. xxx vierundzwanzig einzeln aufgeführte Belastungen im Gesamtbetrag von Fr. 3'215'698.55 zu stornieren, die genannten Beträge zuzüglich 5% Zins ab jeweiligem Belastungstag seinem Konto wieder gutzuschreiben und die entsprechenden Optionen seinem Depot zu entnehmen. Im Weiteren sei die Beklagte zu verurteilen, auf seinem Konto acht einzeln aufgeführte, zwischen dem 14. Juli 1998 und dem 19. August 1998 vorgenommene Gutschriften im Gesamtbetrag von Fr. 1'110'785.30 zu stornieren und die genannten Beträge zuzüglich Zins seinem Konto wieder zu belasten. Insgesamt sei die Beklagte somit zur Zahlung von Fr. 2'104'913.20 zuzüglich Zins an ihn zu verurteilen. In diesem Umfang sei der Rechtsvorschlag in der eingeleiteten Betreibung Nr. yyy zu beseitigen und die definitive Rechtsöffnung zu bewilligen. Darüber hinaus sei die Beklagte zur Zahlung von Fr. 18'575.40 nebst 5% Zins seit dem 18. August 1998 zu verurteilen.
Mit Entscheid vom 9. April 2003 verurteilte das Zivilgericht die Beklagte zur Zahlung von Fr. 212'738.80 zuzüglich gestaffeltem Zins an den Kläger und wies die weitergehenden Begehren ab.
Gegen dieses Urteil appellierte der Kläger an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, im Wesentlichen unter Wiederholung der vor Zivilgericht gestellten Begehren. Die Beklagte erhob Anschlussappellation und verlangte die vollumfängliche Abweisung der Klage.
Das Appellationsgericht hiess die Klage mit Urteil vom 25. Februar 2005 teilweise gut und verurteilte die Beklagte, im Einzelnen aufgeführte Käufe und Verkäufe von Optionen rückabzuwickeln, indem dem Konto des Klägers die ihm für den Kauf dieser Optionen belasteten Beträge zuzüglich 5% Zins ab dem jeweiligen Belastungstag wieder gutgeschrieben und die durch den Verkauf der Optionen gutgeschriebenen Beträge zuzüglich 5% Zins ab dem jeweiligen Gutschriftstag wieder belastet werden. Insgesamt verurteilte es die Beklagte, dem Kläger Fr. 1'609'894.55 zuzüglich resp. abzüglich 5% Zins auf die einzelnen Beträge ab dem jeweiligen Valutatag zu bezahlen. In diesem Umfang hob es den Rechtsvorschlag auf und bewilligte die definitive Rechtsöffnung. Darüber hinaus verurteilte es die Beklagte, dem Kläger Fr. 18'575.40 zuzüglich 5% Zins seit dem 18. August 1998 zu bezahlen.
Das Appellationsgericht ging in tatsächlicher Hinsicht davon aus, dass der Kläger für die von ihm monierten 34 Transaktionen keinen Auftrag erteilt und dass er sie nach Erhalt der entsprechenden Belege umgehend beim Kundenberater gerügt und ihre Rückgängigmachung verlangt hatte, dass jener diesen Anweisungen entgegen anders lautenden Versprechungen indessen bewusst nicht nachgekommen sei. Da ohne Auftrag ausgeführte Transaktionen im Rahmen des geschlossenen Anlageberatungsvertrages nicht zulässig seien, habe der Kundenberater vertragswidrig gehandelt. Die Beklagte werde nach <ref-law> schadenersatzpflichtig. Ein Selbstverschulden oder eine Verletzung der Schadenminderungspflicht des Klägers verneinte das Appellationsgericht. Hingegen wertete es das Verhalten des Klägers nach Erhalt der Quartalsabrechnungen per Ende März und Juni 1998 als konkludente nachträgliche Genehmigung der sechs zwischen Anfang Februar und Ende Juni 1998 ohne Auftrag erfolgten Transaktionen. Im Umfang dieser sechs Transaktionen von Fr. 495'018.65 wies es die Klage ab. Für die von Juli bis September 1998 ohne Auftrag erfolgten Transaktionen schloss das Appellationsgericht hingegen auf ein positives Wissen der Bank um die Nichtgenehmigung, das der Genehmigungsfiktion wegen Ausbleibens einer Reklamation gegen den Depotauszug für das dritte Quartal 1998 vorgehe. Im entsprechenden Umfang hiess es die Klage gut.
C. Die Beklagte beantragt dem Bundesgericht mit eidgenössischer Berufung, das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben und die Klage vollumfänglich abzuweisen.
Der Kläger schliesst auf Abweisung der Berufung und Bestätigung des angefochtenen Urteils.
Die Beklagte hat das Urteil des Appellationsgerichts ebenfalls mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Nach Art. 57 Abs. 5 OG wird in der Regel die Entscheidung über die Berufung bis zur Erledigung einer staatsrechtlichen Beschwerde ausgesetzt, wenn beide Rechtsmittel ergriffen worden sind. Von diesem Grundsatz wird jedoch unter anderem abgewichen, wenn der Entscheid über die staatsrechtliche Beschwerde keinen Einfluss auf die Behandlung der Berufung hat, weil diese selbst auf der Grundlage der mit der staatsrechtlichen Beschwerde kritisierten tatsächlichen Feststellungen gutzuheissen ist (<ref-ruling> E. 1 S. 82 f.; <ref-ruling> E. 1a; <ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 1 S. 331). Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, ist dies vorliegend der Fall, weshalb die Berufung der Beklagten vorweg zu behandeln ist.
2. Für die Zeit von Februar bis Juni 1998, in welcher der Kundenberater nach den vorinstanzlichen Feststellungen insgesamt sechs Transaktionen ohne Auftrag des Klägers tätigte, erwog die Vorinstanz, der Kläger habe die Transaktionen beim Kundenberater zwar telefonisch beanstandet, indessen nicht darauf beharrt, dass dieser die Rückabwicklung vornehme. Der Kläger mache nicht geltend, dass er auch nach Erhalt der jeweiligen Quartalsabschlüsse per Ende März und Ende Juni 1998, nach denen die monierten Titel trotz der Reklamation noch im Depot figurierten, erneut eine Rückgängigmachung der auftragslosen Käufe bzw. Verkäufe verlangt hätte. Der Kundenberater habe dieses zögerliche Verhalten tatsächlich in der Weise interpretieren können, wie er es getan habe, nämlich so, dass es dem Kläger nicht ganz ernst gewesen sei respdass er sich nachträglich mit den fraglichen Transaktionen doch noch einverstanden erkläre. Dementsprechend wertete es das Verhalten des Klägers nach Erhalt der Quartalsabrechnungen für das erste Semester 1998 als konkludente nachträgliche Genehmigung der sechs zwischen Anfang Februar und Ende Juni 1998 ohne Auftrag erfolgten Transaktionen und wies die Klage im entsprechenden Umfang ab.
Insoweit ist das Urteil der Vorinstanz unangefochten geblieben und damit rechtskräftig geworden; der Kläger hat das Urteil der Vorinstanz weder mit Anschlussberufung noch mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten. Zwar stellt sich der Kläger in seinen Stellungnahmen gegen die staatsrechtliche Beschwerde und die Berufung der Beklagten auf den Standpunkt, die Vorinstanz habe zu Unrecht auf eine konkludente Genehmigung der sechs zwischen Anfang Februar und Ende Juni 1998 auftragslos getätigten Transaktionen geschlossen. Er ist damit indessen mangels selbständiger Erhebung von Rechtsmitteln nur zu hören, falls (und soweit) die entsprechenden Vorbringen für die Beurteilung der von der Beklagten erhobenen Rügen von Bedeutung sind. Dies ist indessen, wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, nicht der Fall.
3. Hinsichtlich des dritten Quartals 1998 stellte die Vorinstanz fest, dass sich die Häufigkeit der vertragswidrigen, d.h. ohne Auftrag getätigten Geschäfte gegenüber den ersten zwei Quartalen 1998 rapide gesteigert und der Kläger diese Geschäfte jeweils einzeln umgehend telefonisch beanstandet habe. Nach den Zeugenaussagen des Kundenberaters könne für diese Periode nicht mehr von einem zögerlichen Verhalten des Klägers gesprochen werden, das als konkludente Genehmigung der fraglichen Transaktionen oder als stillschweigendes Abwarten der Entwicklung gedeutet werden könnte. Vielmehr habe der Kläger die Genehmigung eindeutig verweigert und immer wieder die sofortige Rückgängigmachung der beanstandeten Transaktionen verlangt. Der Kundenberater habe demnach positiv um die Nichtgenehmigung gewusst. Dieses Wissen müsse sich die Bank anrechnen lassen und gehe der Genehmigungsfiktion (wegen Nichtbeanstandens des Quartalsauszugs für das dritte Quartal 1998) vor.
3.1 Die Beklagte macht mit ihren beiden Rechtsmitteln geltend, das Appellationsgericht habe in unhaltbarer Weise angenommen, dass sich das Verhalten des Klägers nach Erhalt der Börsenabrechnungen und des Quartalsauszugs für das dritte Quartal 1998 gegenüber dem Geschehensablauf in den ersten beiden Quartalen desselben Jahres unterscheide und vom Kundenberater als Nichtgenehmigung der angeblich auftragslos getätigten Geschäfte habe verstanden werden müssen.
Wie es sich damit verhält, kann offen bleiben. Denn die Vorinstanz hat, wie nachfolgend darzulegen ist, jedenfalls zu Unrecht angenommen, dass die im dritten Quartal 1998 telefonisch beim Kundenberater angebrachten Beanstandungen unter den vorliegend gegebenen Umständen der Beklagten entgegen gehalten werden können. Demnach kommt nichts darauf an, ob sich das Verhalten des Klägers im dritten Quartal 1998 von demjenigen im ersten Semester 1998 unterschied und ob es der Kundenberater als Nichtgenehmigung verstehen musste.
3.2 Die Beklagte rügt insoweit, die Vorinstanz habe in bundesrechtswidriger Weise angenommen, dass der Kläger mit seinen während acht Monaten ausschliesslich mündlich beim Kundenberater vorgebrachten Reklamationen "tunlich" reklamiert und damit seine vertraglichen Pflichten gegenüber der Beklagten erfüllt habe. Mündliche Reklamationen beim Kundenberater seien indessen spätestens nach Erhalt des Quartalsauszugs per Ende März 1998 nicht mehr tunlich gewesen. Denn aus diesem Auszug gehe hervor, dass die zuvor beim Kundenberater beanstandeten Transaktionen entgegen dessen Versprechungen nicht rückgängig gemacht worden seien. Wenn der Kläger festgestellt habe, dass seine mündlichen Reklamationen beim Kundenberater nichts gefruchtet hatten, sei er, wie das Zivilgericht zutreffend erkannt habe, verpflichtet gewesen, den Vorgesetzten des Kundenberaters zu informieren oder zumindest schriftlich zu intervenieren. Dies ergebe sich aus der vertraglichen Treuepflicht des Auftraggebers gegenüber seinem Beauftragten und aus der konkreten vertraglichen Vereinbarung gemäss Ziffer 2 Abs. 2 der vorliegend anwendbaren Allgemeinen Geschäftsbedingungen des Y._-Bank (AGB). Dem ist beizupflichten:
3.2.1 Auch die Vorinstanz schloss sich in diesem Zusammenhang der Ansicht des Zivilgerichts an, soweit dieses erkannt hatte, telefonische Reklamationen gegenüber dem Kundenberater seien bei den umstrittenen Transaktionen nach Ziffer 2 Abs. 2 der anwendbaren AGB des Y._-Bank grundsätzlich ausreichend. Sie folgte dem Zivilgericht hingegen nicht, soweit dieses weiter erkannt hatte, den Kläger treffe ein anrechenbares Selbstverschulden am Schaden, weil er spätestens nach Erhalt der Quartalsrechnung per 31. März 1998 habe bemerken müssen, dass seine telefonischen Beanstandungen beim Kundenberater nichts fruchteten, und er es in der Folge dennoch unterlassen habe, schriftlich zu reklamieren oder sich an die Vorgesetzten des Kundenberaters zu wenden. Dabei nahm sie auf <ref-ruling> E. 6 S. 535 Bezug, nach welchem es der Grundsatz, dass Verträge zu halten seien, schlechterdings nicht erlaube, die Schadenersatzforderung des Opfers eines krassen Vertragsbruchs - wie diejenige des Klägers im vorliegenden Fall - mit der Begründung zu mindern, es hätte sich energischer widersetzen sollen. Es liege daher im vorliegenden Fall kein Selbstverschulden resp. keine Verletzung der Schadenminderungspflicht des Klägers vor, die es rechtfertigen würde, die Beklagte von ihrer Ersatzpflicht zu entbinden oder die Ersatzpflicht zu ermässigen.
3.2.2 Zunächst ist dazu festzuhalten, dass sich aus <ref-ruling> E. 6 nicht ableiten lässt, den Kläger habe vorliegend keine Pflicht getroffen, energischer gegen die auftragslos getätigten Geschäfte zu reklamieren. Im damals vom Bundesgericht beurteilten Fall ging es um die Frage, ob dem Opfer einer Vertragsverletzung allgemein als ein die Ersatzpflicht nach Art. 44 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> mindernder oder ausschliessender Umstand entgegengehalten werden kann, es hätte sich gegen eine sich abzeichnende Vertragsverletzung energischer zur Wehr setzen sollen. Der vorliegend zu beurteilende Sachverhalt unterscheidet sich davon, indem die Parteien in Ziffer 2 Abs. 2 AGB für den Fall einer aus den Bankbelegen ersichtlichen vertragswidrigen Handlung der Beklagten bzw. ihrer Hilfspersonen speziell vereinbart haben, dass es dem Kläger obliege, die Beklagte darüber durch eine Beanstandung in Kenntnis zu setzen. Vorliegend ist daher mittels Vertragsauslegung zu prüfen, ob der Kläger dieser konkreten Obliegenheit genügt hat, indem er seine Reklamationen telefonisch beim Kundenberater anbrachte.
3.2.3 Ziffer 2 Abs. 2 AGB lautet, soweit hier von Interesse, wie folgt:
"Der Kunde erhält periodisch Rechnungs- und Depotauszüge. Einwendungen hiergegen wie gegen andere Mitteilungen der Bank sind unverzüglich anzubringen, wo tunlich auch telegrafisch oder telefonisch; bei Verzögerungen ist der daraus resultierende Schaden vom Kunden zu übernehmen. (...) Sofern der Kunde innert Monatsfrist keine Einwendungen erhebt, gelten die Auszüge als richtig befunden, unter Genehmigung aller darin eingestellten Posten (...)."
3.2.3.1 Nach Treu und Glauben (vgl. <ref-ruling> E. 3.2, 417 E.3.2; <ref-ruling> E. 2.5, 702 E. 2.4; <ref-ruling> E. 3a, je mit Hinweisen) ist diese Bestimmung so zu verstehen, dass eine Reklamation in allen Fällen in "tunlicher Weise" zu erfolgen hat. Unter welchen Voraussetzungen eine Reklamation als tunlich zu betrachten ist, wird dabei - abgesehen vom Erfordernis der unverzüglichen Erhebung - nicht näher bestimmt. Namentlich wird dafür keine besondere Form vorgeschrieben. Ob eine Reklamation als tunlich betrachtet werden kann, ist damit nach den jeweiligen Umständen des konkreten Falles zu beurteilen. Dabei kann grundsätzlich auch eine telefonische Reaktion an den Kundenberater, wie sie hier erfolgte, genügend oder gar erforderlich sein, um in dringenden Fällen der Anforderung der Unverzüglichkeit zu entsprechen. Daraus darf aber nicht umgekehrt geschlossen werden, dass eine unverzügliche telefonische Reaktion an den Kundenberater allein in jedem Fall eine tunliche Reaktion darstellen muss.
Dies hat die Vorinstanz verkannt, indem sie ohne weiteres davon ausging, der Kläger habe während des dritten Quartals 1998 mit seinen umgehenden telefonischen Beanstandungen an den Kundenberater seinen Obliegenheiten nach Ziffer 2 Abs. 2 AGB genüge getan. Der vorliegende Fall weist die Besonderheit auf, dass dem Kläger schon nach Erhalt des Depotauszugs für das erste Quartal 1998, spätestens aber desjenigen für das zweite Quartal 1998 klar sein musste, dass mündliche Reklamationen an seinen Kundenberater nichts fruchteten und von diesem schlicht ignoriert wurden. In dieser Situation drängt sich jeder vernünftig und korrekt handelnden Partei auf, sich entweder schriftlich oder gegebenenfalls auch telefonisch an den Vorgesetzten ihres Kundenberaters zu wenden, wenn sie die zu beanstandenden Transaktionen, im Verhältnis zu ihrer Vertragspartnerin, der Bank, nicht gegen sich gelten lassen will. Der Kläger begnügte sich aber weiterhin damit, bloss beim Kundenberater telefonisch gegen die auftragslos getätigten Geschäfte zu monieren und gelangte erst am 22. Dezember 1998, d.h. rund zweieinhalb Monate nach Erhalt des Quartalsauszugs von Ende September 1998, schriftlich an die Direktion der Beklagten, wobei er in seinem Schreiben die beanstandeten Geschäfte nicht einmal bezeichnete.
Unter diesen Umständen kann nicht davon gesprochen werden, dass der Kläger die strittigen Geschäfte gegenüber der Beklagten in tunlicher Weise beanstandet hätte, bevor die Genehmigungswirkung gemäss Ziff. 2 Abs. 2 AGB eintrat. Vielmehr stellt sich die Frage, ob der Kläger nicht gegen Treu und Glauben verstiess, indem er erst an die Direktion der Beklagten gelangte, nachdem die Verluste aus den beanstandeten Geschäften fest standen. Auch die Vorinstanz hat insoweit zutreffend festgehalten, dass das Unterlassen weiterer Schritte, nach der Feststellung, dass ersten Reklamationen nicht nachgekommen worden sei, insbesondere bei Optionsgeschäften, bei denen es naturgemäss um Spekulation gehe, darauf schliessen lassen könne, dass der Kunde die - eventuell günstige - Entwicklung abwarten will, bevor er auf der Rückabwicklung der Geschäfte beharrt (vgl. dazu auch das Urteil des Bundesgerichts vom 7. Dezember 1984 E. 2c am Ende, SJ 1985 S. 249 ff.).
3.2.4 Der Kläger muss sich damit den Vorwurf gefallen lassen, die hier strittigen, während des dritten Quartals 1998 getätigten Transaktionen gegenüber der Beklagten nicht vertragskonform beanstandet zu haben, weder nach Erhalt der einzelnen Börsenabrechnungen noch innert Monatsfrist nach Empfang des Quartalsauszuges. Dies hat zur Folge, dass die entsprechenden Transaktionen der vertraglichen Regelung entsprechend als genehmigt zu gelten haben, ohne dass der Bank etwa entgegengehalten werden darf, auch frühere tunliche Reklamationen hätten nichts gefruchtet. Eine Haftung der Beklagten wegen der auftragslosen Vornahme der Geschäfte ist damit ausgeschlossen, womit sich die Frage eines Haftungsausschlusses oder einer Haftungsreduktion nach Art. 44 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> nicht stellt (vgl. Fellmann, Berner Kommentar, N. 171 zu <ref-law>).
4. Nach dem Dargelegten ist die Berufung gutzuheissen und die Klage unter Aufhebung des angefochtenen Urteils abzuweisen. Die Sache ist überdies zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 157 und Art. 159 Abs. 6 OG).
Ausgangsgemäss wird der Kläger für das Verfahren vor Bundesgericht kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Berufung wird gutgeheissen und die Klage unter Aufhebung des Urteils des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 25. Februar 2005 abgewiesen.
2. Die Sache wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 15'000.- wird dem Kläger auferlegt.
4. Der Kläger hat die Beklagte für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 17'000.- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. September 2005
Im Namen der I. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: