Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1992) ist die volljährige Tochter von Y._. Sie leitete am 24. November 2010 beim Zivilgericht Basel-Stadt eine Unterhaltsklage gegen den Vater ein und beantragte, dieser sei rückwirkend ab August 2010 zur Bezahlung angemessener Unterhaltsbeiträge zu verurteilen. Zusätzlich machte sie gegen den Vater eine Forderung von Fr. 4'698.50 geltend. Das Gericht wies das Unterhaltsbegehren mit Urteil vom 27. September 2012 kostenpflichtig ab; in Bezug auf die Forderung wurde die Klage gutgeheissen.
B.
B.a. Am 29. April 2013 reichte X._ gegen die Verweigerung eines Unterhaltsbeitrags Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt ein. Sie beantragte, Y._ sei rückwirkend ab August 2010 zur Leistung eines Unterhaltsbeitrags von monatlich Fr. 2'000.-- zu verpflichten. Letzterer verlangte die kostenfällige Abweisung der Berufung.
B.b. Das Appellationsgericht forderte X._ zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 4'000.-- auf. Die Frist hierzu verlängerte das Gericht auf Ersuchen von X._ mit Verfügung vom 23. August 2013 bis zum 30. September 2013 (Na chfrist gemäss Art. 101 Abs. 3 ZPO).
B.c. Mit unaufgeforderter Eingabe vom 29. August 2013 opponierte Y._ gegen die Fristverlängerung, da er ohne Sicherstellung der Kosten zur Klageantwort aufgefordert worden sei und ihm damit bereits Auslagen entstanden seien. Er beantragte die Wiedererwägung der Verfügung vom 23. August 2013 und Abweisung des Fristverlängerungsgesuchs; eventualiter sei eine peremptorische Frist von maximal 10 Tagen für die Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen. Er behalte sich die Beantragung einer Kaution vor. Am 5. September 2013 teilte das Appellationsgericht mit, die Verfügung werde nicht in Wiedererwägung gezogen. Bei der ersten Frist sei zu berücksichtigen gewesen, dass ohnehin ein Fristenstillstand bis zum 15. August 2013 bestanden habe.
B.d. Mit Schreiben vom 1. Oktober 2013 (Eigendatierung; Postaufgabe 2. Oktober 2013) informierte die grundsätzlich anwaltlich vertretene X._ das Appellationsgericht persönlich darüber, dass sie den Zahlungsauftrag am 27. September 2013 ausgelöst habe. Am 1. Oktober 2013 habe sie jedoch feststellen müssen, dass der Auftrag zwar ausgeführt, die Zahlung aber auf ihr Konto retourniert worden sei wegen ungenauen Begünstigtenangaben. Sie legte Unterlagen bei, woraus zu erkennen sei, dass der Auftrag fristgerecht erfolgt und nun mit Ausführungsdatum vom 2. Oktober 2013 wieder pendent sei.
C.
C.a. Mit Verfügung vom 8. Oktober 2013 nahm das Appellationsgericht das Schreiben vom 1. Oktober 2013 als Wiederherstellungsgesuch im Sinne von Art. 148 ZPO entgegen und forderte Y._ zur Stellungnahme auf. Dieser schloss mit Eingabe vom 17. Oktober 2013 auf kostenfällige Abweisung.
C.b. Mit Entscheid vom 28. November 2013 wies das Appellationsgericht das Wiederherstellungsgesuch ab und trat auf die Berufung mangels Leistung des Prozesskostenvorschusses nicht ein. Es auferlegte X._ Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- und eine Parteientschädigung für Y._ von Fr. 4'766.50.
D.
Hiergegen gelangt X._ (Beschwerdeführerin) mit Beschwerde vom 23. Januar 2014 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids unter Kostenfolge; die Sache sei zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Vernehmlassung vom 28. Februar 2014 (Postaufgabe 3. März 2014) beantragt das Appellationsgericht die Abweisung der Beschwerde. Y._ (Beschwerdegegner) verlangt mit Beschwerdeantwort vom 28. Februar 2014, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Nichteintretensentscheid in einer vermögensrechtlichen Zivilsache mit Streitwert über Fr. 30'000.-- (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Insofern ist auf die Beschwer de in Zivilsachen einzutreten.
Dass der Nichteintretensentscheid vorliegend gemäss Terminologie der Vorinstanz im Rahmen eines Wiederherstellungsverfahrens erging, vermag an dieser Einschätzung nichts zu ändern.
1.2. Im orden tlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Unter Vorbehalt des Bereichs der verfassungsmässigen Rechte - und weiterer vorliegend nicht gegebener Ausnahmen (Art. 106 Abs. 2 BGG) - wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Beschwerde daher auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (zu den Voraussetzungen der Motivsubstitution <ref-ruling> E. 4 S. 252 mit Hinweis). Hingegen legt das Bundesgericht seinem Urteil grundsätzlich den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung zivilprozessrechtlicher Vorschriften (Art. 101 Abs. 3 ZPO, Art. 148 Abs. 1 ZPO) sowie überspitzten Formalismus und damit sinngemäss eine Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 BV). Sie habe der Bank sämtliche Zahlungsangaben des Gerichts korrekt angegeben. Die entsprechenden Belege habe sie der Vorinstanz vorgelegt, welche indes darauf nicht eingegangen sei. Sie trage kein Verschulden daran, dass die fristgerecht in Auftrag gegebene Zahlung nicht korrekt ausgeführt worden sei. Alle Voraussetzungen für eine Wiederherstellung seien gegeben gewesen.
2.1. Gemäss Art. 143 Abs. 3 ZPO ist die Frist für eine Zahlung an das Gericht eingehalten, wenn der Betrag spätestens am letzten Tag der Frist zugunsten des Gerichts der Schweizerischen Post übergeben oder einem Post- oder Bankkonto in der Schweiz belastet worden ist. Die Beweislast für die Rechtzeitigkeit der Kostenvorschusszahlung sowie allgemein der Beschwerdeerhebung trägt der Rechtsuchende (<ref-ruling> E. 3.1 S. 365 mit Hinweisen). Massgebend ist der Valutatag der Belastung auf dem Post- oder Bankkonto des Zahlungspflichtigen. Wird der Kostenvorschuss im Falle einer Post- oder Banküberweisung dem Gericht nicht innert der angesetzten Frist gutgeschrieben, muss dieses den Vorschusspflichtigen zum Nachweis auffordern, dass der Betrag am letzten Tag der Frist seinem Post- oder Bankkonto in der Schweiz belastet worden ist (<ref-ruling> E. 3.2.1 f. S. 366 mit Hinweisen).
2.2. Vorliegend ist die Beschwerdeführerin mit Schreiben vom 1. Oktober 2013 von sich aus an das Gericht gelangt (vgl. Prozessgeschichte B.d). Der Eingabe legte sie einen e-banking-Auszug ihres Kontos bei der Bank A._ vom 1. Oktober 2013 mit dem Titel "Ausgeführte Aufträge: Zahlung Inland" bei. Aus der Bestätigung ergibt sich, dass sie ihrer Bank die nachfolgenden Angaben zur auszuführenden Zahlung gemacht hatte. IBAN (Konto-Nr.) : "01-15673-2"; Begünstigter: "APPELLATIONSGERICHT, BASEL-STADT, BAEUMLEINGASSE 1, 4051 BASEL"; Währung Betrag: "CHF 4'000.00". Der Vergleich dieser Angaben mit denjenigen auf dem Einzahlungsschein des Gerichts zeigt, dass sowohl die Kontonummer als auch die Adresse genau übereinstimmen. Eine Abweichung ist nicht feststellbar. Der Bankauszug führt den 30. September 2013 als Ausführungsdatum auf.
Ebenso reichte die Beschwerdeführerin die Transaktionsdetails der Rückvergütung ein. Wie daraus hervor geht, nahm die Bank A._ die Rückbuchung am 1. Oktober 2013 vor. Als Valuta-Datum der ursprünglichen Buchung wird der 30. September 2013 aufgeführt. Als Grund für die Rückbuchung führt der Auszug auf (im Wortlaut) : "RUECKVERGUETUNG IHRES AUFTRAGES VOM 27.09.13 CHF 4000.00 Z.G. APPELLATIONSGERICHT BEGUENSTIGTENANGABEN UNGENAU".
Als Zwischenfazit steht nach dem Vorgesagten fest, dass die Beschwerdeführerin den Zahlungsauftrag am 27. September 2013 in Auftrag gegeben hat und der Kostenvorschuss ihrem Konto am 30. September 2013 - und damit fristgerecht im Sinne von Art. 143 Abs. 3 ZPO - belastet worden ist.
Der Vollständigkeit halber sei ergänzt, dass die Beschwerdeführerin nach dem Entdecken der Rückbuchung die Zahlung erneut ausgelöst hat und diese beim Gericht eintraf.
2.3. Die Vorinstanz vertritt die Ansicht, die fristgerechte Überweisung des Kostenvorschusses liege in der alleinigen Verantwortung und der Risikosphäre des Kostenvorschusspflichtigen. Die korrekte Verwendung eines vorgedruckten Einzahlungsscheins stelle keine besonders hohen Anforderungen an die ausführende Partei. Dies könne daher auch von jeder durchschnittlich sorgfältig handelnden Person verlangt werden. Die nötige und übliche Sorgfalt sei aber durch die Beschwerdeführerin nicht aufgewendet worden, da bei der ordentlichen und korrekten Verwendung eines vorgedruckten Einzahlungsscheins die Zahlung ausgelöst worden wäre. Ausserdem liege es in ihrer Verantwortung, wenn sie die Zahlung des Prozesskostenvorschusses am letzten Tag der Frist ausführen wolle und daher Fehler nicht mehr innert Frist korrigiert werden könnten. Die Beschwerdeführerin habe elementare Sorgfaltspflichten verletzt. In der Stellungnahme vom 28. Februar 2014 ergänzt die Vorinstanz, die Beschwerdeführerin habe im Übrigen vor der Vorinstanz auch nicht vorgebracht, dass die Bank fälschlicherweise die Begünstigtenangaben als ungenau bezeichnet habe, was sie aber zumindest hätte glaubhaft machen müssen. Beispielsweise durch eine Bestätigung der Bank, ansonsten sei die Möglichkeit eines Vertippens in Betracht zu ziehen, wobei doch von Studenten das korrekte Eingeben von Zahlen erwartet werden könne.
Der Beschwerdegegner äussert sich in seiner Beschwerdeantwort ähnlich. Die Beschwerdeführerin habe insofern einen Fehler begangen, als sie nicht die IBAN-Nummer, sondern nur die Kontonummer des Gerichts angegeben habe, was beim von ihr verwendeten Onlineformular "Zahlung Inland" nicht gehe. Ausserdem sei sie selber schuld, wenn sie nicht für sich selbst eine Sicherheitsfrist eingerechnet habe, um allfällige Fehler noch beheben zu können.
2.4. Als erstes ist festzuhalten, dass weder nach Gesetz noch Rechtsprechung einer Person allein aufgrund der Tatsache, dass sie eine Zahlung am letzten Tag einer Frist in Auftrag gegeben hat, ein Vorwurf gemacht werden kann (vgl. zitierten <ref-ruling>). Auch die Kritik, die Beschwerdeführerin habe nicht behauptet resp. nicht belegt, dass der Bank ein Fehler unterlaufen sei, geht an der Sache vorbei. Die Beschwerdeführerin hat dem Gericht mit Schreiben vom 1. Oktober 2013 sowohl ihren Zahlungsauftrag vom 27. September 2013 als auch die Rückbuchung vom 1. Oktober 2013 eingereicht. Damit konnte das Gericht (in Kenntnis der eigenen Konto- und Adressangaben) zweifelsfrei feststellen, dass die Beschwerdeführerin die korrekten Gerichtsdaten eingegeben hatte. Einer weiteren Bestätigung seitens der Beschwerdeführerin oder der Bank bedurfte es hierzu nicht.
Schliesslich ist zu prüfen, ob der Beschwerdeführerin ein Verschulden angelastet werden kann, weil sie die Kontonummer genau so eingegeben hat, wie diese auf dem Einzahlungsschein des Gerichts vermerkt war, und nicht die IBAN (International Bank Account Number). Diesbezüglich ist auf ein Urteil des Bundesgerichts vom 30. September 2008 (9C_94/2008) zu verweisen. Im dort zu beurteilenden Fall, hatte ein Kostenvorschusspflichtiger bei der Eingabe der IBAN die letzte Ziffer der Nummer vergessen, was dazu führte, dass der Kostenvorschuss nie beim Gericht ankam. Das Gericht trat nicht auf die Angelegenheit ein. Das Bundesgericht hat den Nichteintretensentscheid mit der Begründung aufgehoben, dass die Weglassung der letzten Zahl der IBAN keinen unverzeihlichen Fehler im Sinne der Rechtsprechung darstelle; von der Post habe erwartet werden dürfen, dass diese sich vor der Rücksendung des Geldes nach der richtigen IBAN erkundige, zumal sowohl der Absender als auch der Empfänger bekannt gewesen seien (Urteil 9C_94/2008 vom 30. September 2008 E. 6 mit Hinweisen, in: SJ 2009 I S. 164; zum Begriff des unverzeihlichen Fehlers vgl. Urteil 4C.2/2005, 4P.310/2004 vom 30. März 2005 E. 4 mit Hinweisen). Das Nichteintreten wurde als Rechtsverweigerung qualifiziert.
Anders als im zitierten Fall hat die Beschwerdeführerin vorliegend die Kontonummer nicht falsch eingegeben. Der Zahlungsauftrag wurde von ihrer Bank entgegen genommen und ihrem Konto belastet. Aufgrund der korrekten Kontonummer und Adresse war das Gericht als Zahlungsempfängerin identifizierbar. In einem solchen Fall darf von der Empfängerbank erwartet werden, dass sie die Zahlung korrekt zuordnet.
2.5. Zusammengefasst hat die Beschwerdeführerin den Kostenvorschuss fristgerecht geleistet. Demnach ist es nicht mit ihren verfassungsmässigen Rechten vereinbar, wenn das Appellationsgericht die Rechtzeitigkeit des Kostenvorschusses gemäss Art. 143 Abs. 3 ZPO verneint hat. Die Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid inkl. Kosten- und Entschädigungsregelung aufzuheben. Die Angelegenheit ist im Sinne der Erwägung, dass die Beschwerdeführerin den Kostenvorschuss rechtzeitig geleistet hat, zur Weiterbehandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2.6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens erübrigt es sich, auf die weiteren Rügen der Beschwerdeführerin einzugehen. Ebensowenig bedarf die von der Vorinstanz aufgeworfene Thematik eines Fristwiederherstellungsgesuchs weiterer Erläuterung. Für die Annahme eines solchen Gesuchs bestand kein Raum. Damit war von vornherein auch der Antrag des Beschwerdegegners unbegründet, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, weil die Beschwerdeführerin eine Gutheissung des Wiederherstellungsgesuchs mit neuer Fristansetzung (anstelle einer Rückweisung zur materiellen Beurteilung) hätte beantragen sollen.
Hingegen geht aus den Akten hervor, dass die Vorinstanz der Beschwerdeführerin Fr. 3'000.-- des bezahlten Kostenvorschusses zurückerstattet hat. Insofern hat die Vorinstanz eine neue angemessene Frist anzusetzen, um diesen Betrag wieder einzuzahlen. Die weiteren Prozessvoraussetzungen werden von Amtes wegen zu prüfen sein (Art. 60 ZPO).
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Nachdem der Entscheid nicht vom Beschwerdegegner zu verantworten ist, hat der Kanton Basel-Stadt die Beschwerdeführerin für den im bundesgerichtlichen Verfahren angefallenen Aufwand zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung zuzusprechen, zumal er mit seinen Anträgen unterliegt (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 28. November 2013 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägung, dass der Kostenvorschuss der Beschwerdeführerin rechtzeitig geleistet wurde, zur Weiterbehandlung zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. März 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann