Sachverhalt:
A.
X._ und Y._ sind die nicht miteinander verheirateten Eltern von A._ (geb. 2007) und B._ (geb. 2008). Die Vormundschaftsbehörde von C._ übertrug ihnen mit Entscheid vom 22. Juni 2011 vereinbarungsgemäss die gemeinsame elterliche Sorge über die beiden Kinder.
B.
Am 25. November 2011 verlangte Y._ beim Regierungsstatthalter der Ämter Hochdorf und Luzern die alleinige elterliche Sorge über die beiden Kinder. Daraufhin beantragte X._ in ihrer Vernehmlassung vom 16. Januar 2012 ihrerseits die Übertragung der elterlichen Sorge an sie allein.
Der Regierungsstatthalter teilte mit Entscheid vom 29. August 2012 die alleinige elterliche Sorge über die beiden Kinder Y._ zu.
C.
Dagegen erhob X._ am 10. September 2012 Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Obergericht des Kantons Luzern. Sie beantragte die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an den Regierungsstatthalter zur Neubeurteilung. Eventualiter sei ihr die alleinige elterliche Sorge für die beiden Kinder zu übertragen. Y._ habe ihr für die Kinder Unterhaltsbeiträge von mindestens je Fr. 2'500.-- zu bezahlen und ihm sei ein angemessenes Besuchsrecht einzuräumen. Subeventualiter sei festzustellen, dass die Voraussetzungen für die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge nicht vorlägen.
Der Instruktionsrichter hörte die beiden Kinder am 9. November 2012 an und befragte am 6. Dezember 2012 beide Parteien.
Mit Urteil vom 4. März 2013 wies das Obergericht die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
D.
Am 26. April 2013 hat X._ (Beschwerdeführerin) gegen dieses Urteil des Obergerichts Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie verlangt dessen Aufhebung und die Rückweisung der Sache an das Obergericht zu neuer Entscheidung. Eventuell sei die elterliche Sorge für die beiden Kinder ihr alleine zuzuteilen.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die fristgerecht eingereichte Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen, auf Rechtsmittel hin ergangenen Endentscheid in einer Zivilsache ohne Vermögenswert (Art. 72 Abs. 1, Art. 75, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich zulässig.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. für Ausnahmen Abs. 2 dieser Norm) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt (vgl. vorliegend allerdings auch unten E. 4.2). Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 1.3 S. 584 mit Hinweisen).
1.3. Für das Bundesgericht ist der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Die Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen, muss in der Beschwerde substantiiert begründet werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356). Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>) und es ist demnach anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung willkürlich sein soll. Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten (<ref-ruling> E. 1.4.2 und 1.4.3 S. 254 f.). Auf solche rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE <ref-ruling> E. 5.1 S. 356 mit Hinweis).
Die Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2 S. 560).
2.
Nicht eingetreten ist das Obergericht auf das Begehren der Beschwerdeführerin um Zusprechung von Kindesunterhalt und auf Regelung des Besuchsrechts. Die Beschwerdeführerin kommt darauf vor Bundesgericht nicht zurück. Nicht Thema des bundesgerichtlichen Verfahrens ist sodann die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge. Die Beschwerdeführerin akzeptiert, dass das Obergericht das Vorliegen veränderter Verhältnisse im Sinne von <ref-law> bejaht hat und es deshalb die elterliche Sorge dem einen oder andern Elternteil zuteilen musste (Beschwerde Ziff. 6). Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist somit einzig die Frage, ob die alleinige elterliche Sorge der Beschwerdeführerin oder Y._ (Beschwerdegegner) zuzuteilen ist.
Dazu hat die Vorinstanz erwogen, beide Parteien seien erziehungsfähig. Beide wiesen auch die nötige Bindungstoleranz auf, um Kontakte der Kinder zum jeweils andern Elternteil zu ermöglichen. Das Besuchsrecht, das praktisch einer geteilten Obhut gleichkomme, werde grösstenteils problemlos ausgeübt. Allerdings sei diese Regelung für die Kinder mit Stress verbunden. Beide Kinder hätten zu beiden Elternteilen eine gute und tragfähige Beziehung. Angesichts der innigen Beziehung der Kinder zu beiden Eltern und deren vergleichbaren erzieherischen Fähigkeiten komme der Stabilität der Verhältnisse und der Bereitschaft zur Zusammenarbeit mit dem andern Elternteil besonderes Gewicht zu. Die Liegenschaft D._ (Wohnsitz des Beschwerdegegners) sei der massgebliche Lebensmittelpunkt der Kinder, da A._ dort von Kleinkindesalter an und B._ ab Geburt mit den Eltern gelebt hätten und die beiden Kinder seit der Trennung der Eltern weiterhin rund die Hälfte der Zeit dort verbrächten. A._ besuche inzwischen auch den Kindergarten in dieser Gemeinde (C._). Der Beschwerdegegner biete grössere Gewähr für stabile Verhältnisse: Er sei in der Lage, die Liegenschaft wirtschaftlich zu unterhalten, woran nichts ändere, dass er seine Berechtigung daran je zur Hälfte an die Kinder und an die Beschwerdeführerin abgetreten habe. Zugleich sei es ihm neu möglich, die Kinder grossmehrheitlich selber zu betreuen, nachdem er sein Unternehmen am 3. Januar 2013 verkauft und seine Arbeit stark reduziert habe. Vom Verkaufserlös könne er für den Rest seines Lebens seinen Unterhalt bestreiten. Die Beschwerdeführerin sei hingegen aufgrund ihrer Berufstätigkeit an zwei Tagen pro Woche auf Unterstützung bei der Betreuung angewiesen, wobei die Unterstützung durch ihre Eltern bloss mittelfristig gesichert sei. A._ habe sich zudem an der Anhörung dahin gehend geäussert, dass sie weiterhin den Kindergarten in C._ besuchen möchte, was zumindest indirekt als Äusserung zur Zuteilungsfrage verstanden werden könne. Fähigkeit und Bereitschaft zu Kooperation und Kommunikation seien beim Beschwerdegegner grösser als bei der Beschwerdeführerin. Die Beschwerdeführerin verweigere gemeinsame Gespräche mit dem Beschwerdegegner und dem Beistand. Sie kommuniziere meistens über ihren Anwalt, wohingegen der Beschwerdegegner seit Bestehen der Beistandschaft mehrere Versuche unternommen habe, ein gemeinsames Gespräch ohne Rechtsvertreter zu führen. Eine Zuteilung der elterlichen Sorge an den Beschwerdegegner gewährleiste somit eher, dass die Kinder die Beziehung zur Mutter aufrecht erhalten könnten. Sodann habe der Beschwerdegegner seine neue Partnerschaft offengelegt, wodurch geklärte Verhältnisse vorlägen. Die Kinder hätten ein gutes Verhältnis zur neuen Lebenspartnerin. Hingegen sei die Partnerschaftssituation bei der Beschwerdeführerin eher undurchsichtig. Sie habe sich dazu unklar und widersprüchlich geäussert. Somit komme die Zuteilung der elterlichen Sorge an den Beschwerdegegner dem Bedürfnis der Kinder nach Kontinuität stärker entgegen.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt, das Obergericht habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt, indem es mehreren Beweisanträgen nicht nachgekommen sei. So habe sie die Befragung von E._ (ehemalige Mitarbeiterin der Vormundschaftsbehörde C._) als Zeugin beantragt. Sie (die Beschwerdeführerin) habe damit nachweisen wollen, dass die Vereinbarung vom 5. Juni 2011, die zur Zuteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge geführt habe, wegen Willensmängeln bzw. wegen Drohungen durch den Beschwerdegegner unverbindlich sei. Der Instruktionsrichter habe E._ jedoch nicht als Zeugin einvernommen, sondern nur kurz und oberflächlich telefonisch befragt. Dadurch habe die Möglichkeit zur Konfrontation und zur Stellung von Ergänzungsfragen gefehlt. Das Obergericht habe des Weiteren die Einvernahme der Eltern der Beschwerdeführerin abgelehnt, da sie in einem feindschaftlichen Verhältnis zum Beschwerdegegner stünden. Weshalb ein feindschaftliches Verhältnis vorliege, habe das Obergericht aber nicht begründet und solches ergebe sich auch nicht aus den Akten. Ihre Eltern könnten jedoch bestätigen, dass die Beschwerdeführerin Gewähr für eine stabile Beziehung zu den Kindern biete und ihr örtliches und familiäres Umfeld ebenfalls stabil und dauerhaft sei. Ihr hätte es erlaubt werden müssen, die Stabilität ihrer eigenen Lebensverhältnisse nachzuweisen, nachdem das Obergericht auf dieses Kriterium abstelle. Ebenfalls nicht begründet habe das Obergericht seine Beurteilung, weshalb die als Zeugin angerufene Therapeutin F._ zum Beweisthema nichts beitragen könne. Dabei hätte F._ über die stabilen Verhältnisse der Beschwerdeführerin und die Manipulationsversuche durch den Beschwerdegegner Auskunft geben können. Auch G._ und H._ hätten über die Verhältnisse auf der Liegenschaft D._, das Zusammenleben der Parteien und die Entwicklung nach der Trennung Auskunft geben können. Schliesslich habe das Obergericht darauf verzichtet, das von der Beschwerdeführerin beantragte Gutachten in Kindesbelangen einzuholen. Das Obergericht habe dadurch das Kindeswohl nicht genügend abgeklärt und das rechtliche Gehör verletzt.
3.2. Zum Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) gehört das Recht des Betroffenen auf Abnahme der rechtzeitig und formrichtig angebotenen rechtserheblichen Beweismittel. Indessen steht diese Verfassungsgarantie einer vorweggenommenen Beweiswürdigung nicht entgegen. Das Gericht kann auf die Abnahme von Beweisen verzichten, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148 mit Hinweisen).
Auch die Tatsache, dass ein Verfahren - wie vorliegend - der Untersuchungsmaxime unterliegt (<ref-law>; Urteil 5A_375/2008 vom 11. August 2008 E. 2), steht einer antizipierten Beweiswürdigung nicht entgegen (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735; Urteile 5A_798/2009 vom 4. März 2010 E. 3.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A_361/2010 vom 10. September 2010 E. 4.2.1, in: FamPra.ch 2011 S. 218).
3.3. Was zunächst die telefonische Auskunft von E._ betrifft, so behauptet die Beschwerdeführerin nicht, es habe sich bei dieser Art der Befragung um ein unzulässiges Beweismittel gehandelt. Dass die telefonische Befragung im Vergleich zu einer förmlichen Zeugeneinvernahme Einschränkungen der Mitwirkungsmöglichkeiten der Parteien mit sich bringt, ist nicht von der Hand zu weisen. Die Beschwerdeführerin behauptet allerdings selber nicht, dieses Vorgehen habe sie an einer Stellungnahme zum Befragungsergebnis und in diesem Rahmen am (schriftlichen) Stellen von Ergänzungsfragen gehindert. Dass das Obergericht in antizipierter Beweiswürdigung zum Schluss gekommen ist, eine Einvernahme als Zeugin sei unnötig, erscheint nicht als willkürlich. E._ hat nämlich angegeben, keine Kenntnisse von Druckversuchen des Beschwerdegegners zu haben und nichts Entsprechendes wahrgenommen zu haben. Hingegen trifft zu, dass das Obergericht nicht erläutert hat, auf welcher Grundlage es den Eltern der Beschwerdeführerin ein feindschaftliches Verhältnis zum Beschwerdegegner unterstellt hat. Das Obergericht hat allerdings weiter ausgeführt, dass sie unter Wahrheitspflicht - d.h. als Zeugen - die Darstellung ihrer Tochter in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde bestätigen würden. Wenn das Obergericht demnach mit anderen Worten ihre Zeugeneinvernahme als nicht weiterführend beurteilt hat, weil sie ohnehin nur bestätigen würden, was die Beschwerdeführerin behauptet hat, so ist dies zumindest nicht willkürlich. Soweit sich die Beschwerdeführerin ausserdem gegen die Nichtberücksichtigung der Therapeutin F._ wendet, so behauptet sie zwar nun vor Bundesgericht, zu welchen Themen sie hätte befragt werden sollen, legt jedoch nicht detailliert dar, dass sich dies bereits ihrer Verwaltungsgerichtsbeschwerde entnehmen liess. Was die weiteren angerufenen Zeugen betrifft, so geht die Beschwerdeführerin nicht darauf ein, dass ihr das Obergericht vorgeworfen hat, in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht dargelegt zu haben, inwiefern diese Personen relevante Aussagen zur elterlichen Sorge machen könnten. Was schliesslich den Verzicht auf die Einholung eines Gutachtens angeht, so ist eine Verletzung der Untersuchungsmaxime oder des rechtlichen Gehörs nicht ersichtlich. Wie die Vorinstanz bereits dargelegt hat, gibt es im Rahmen der Zuteilung der elterlichen Sorge keinen voraussetzungslosen Anspruch auf Einholung eines Gutachtens. Es darf darauf verzichtet werden, wenn der massgebliche Sachverhalt anderweitig festgestellt werden kann (Urteile 5A_361/2010 vom 10. September 2010 E. 4.2.2; 5A_798/2009 vom 4. März 2010 E. 3.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5P.84/2006 vom 3. Mai 2006 E. 3.2, in: FamPra.ch 2006 S. 776). Inwiefern die Vorinstanz angesichts dieser Ausgangslage mit dem Verzicht auf die Einholung eines Gutachtens in Willkür verfallen sein soll, legt die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich dar. Ihre Ausführungen erschöpfen sich letztlich in der vagen und appellatorischen Behauptung, das Gutachten hätte "hilfreiche Aufschlüsse für eine tragfähige und nachhaltige Regelung der Kinderbelange geben können".
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht ausserdem geltend, dass die von der Vorinstanz für die Zuteilung der elterlichen Sorge an den Beschwerdegegner berücksichtigten Umstände keine Rolle hätten spielen dürfen und diese auf unhaltbarer Beweiswürdigung beruhten. Taugten die von der Vorinstanz als massgeblich erachteten und zugunsten des Beschwerdegegners gewerteten Kriterien nicht für die Zuteilung der elterlichen Sorge an ihn, so hätte angesichts der bei beiden Parteien gegebenen Erziehungsfähigkeit und Bindungstoleranz die Mutter-Kind-Beziehung im Vordergrund stehen und die elterliche Sorge deshalb ihr zugeteilt werden müssen.
Im Einzelnen sei es unhaltbar, ihr zu unterstellen, sie sei weniger kooperations- und kommunikationsfähig als der Beschwerdegegner. Vielmehr lasse der Beschwerdegegner nichts unversucht, um sie vor Behörden und Dritten schlecht zu machen. Er habe den Streit um das Sorgerecht mit solcher Schärfe und solchen Mitteln (z.B. Beauftragen einer Detektei, Kontrolle ihres E-Banking-Verkehrs) geführt, die bei ihm jegliche Kooperationsfähigkeit vermissen lasse, so dass insbesondere verständlich erscheine, wenn sie nur in Begleitung ihres Anwalts zu Gesprächen bereit sei. Unhaltbar sei in der Folge die Erwägung, der Beschwerdegegner gewährleiste besser, dass die Kinder eine tragfähige Beziehung zur Mutter aufrechterhalten könnten als umgekehrt. Dies stehe einerseits im Widerspruch zur Feststellung, dass das Besuchsrecht problemlos ausgeübt werde. Das Obergericht habe andererseits das Verhalten des Beschwerdegegners gegenüber der Beschwerdeführerin nicht berücksichtigt, insbesondere dass er sie durch Detektive beschatten liess, dass er sie als Drogenabhängige mit verwerflichen sexuellen Vorlieben darstelle, als erziehungsunfähig bezeichne und ein haltloses Strafverfahren gegen den Grossvater der Kinder eingeleitet habe. Unzulässig sei es auch, die Liegenschaft D._ als Lebensmittelpunkt der Kinder zu betrachten. Dies treffe heute, wo die Kinder auch bei ihr in I._ (und damit in der Nähe der Grosseltern) lebten, nicht mehr zu. Für die Zuteilung ebenfalls nicht massgeblich sei, dass A._ in C._ in den Kindergarten gehe und dort bleiben wolle. Es sei normal, dass sie nicht aus eigenem Antrieb wechseln wolle, allerdings werde sie in die Schule übertreten und damit an einem neuen Standort auf neue Schülerinnen und Schüler treffen. Der Beschwerdegegner habe des Weiteren keine dingliche Berechtigung an der Liegenschaft D._, weshalb der Verbleib dort nicht gesichert sei. Seine Aussagen zu seinen Vermögensverhältnissen seien pauschal und nichtssagend. Insbesondere habe er sich geweigert, den Verkaufserlös seiner Unternehmung bekannt zu geben. Das Obergericht hätte die Vermögensverhältnisse aufgrund der Untersuchungsmaxime genauer abklären müssen. Es sei ausserdem nicht nachvollziehbar, wie das Obergericht im Partnerschaftsverhalten des Beschwerdegegners Kontinuität und Stabilität habe erkennen können. Der Beschwerdegegner sei zweimal geschieden und habe aus diesen Ehen bereits zwei Kinder. Nun sei er bereits wieder verlobt. Dies lasse auf mangelnde Beziehungsfähigkeit schliessen. Falsch sei auch, dass ihre eigene Partnerschaftssituation undurchsichtig sei. Sie habe bloss ausgesagt, dass die Kinder derzeit nicht in die neue Partnerschaft einbezogen seien. Als verantwortungsvolle Mutter habe sie den Partner am Anfang der Beziehung den Kindern noch nicht vorgestellt. Das Obergericht habe auch nicht begründet, wieso sie vor Gericht einen unklaren und widersprüchlichen Eindruck hinterlassen haben soll.
4.2. Gemäss <ref-law> ist die elterliche Sorge, die nicht mehr gemeinsam ausgeübt werden kann, einem Elternteil zuzuteilen und sind dabei alle für das Kindeswohl massgebenden Umstände zu berücksichtigen. Die in der Praxis erarbeiteten Kriterien der Kindeszuteilung nach Scheidung kommen bei unverheirateten Eltern ebenso zur Anwendung. Für die Zuteilung der Kinder sind deshalb die vom Bundesgericht in der langjährigen Rechtsprechung zum früheren <ref-law> umschriebenen Gesichtspunkte wegleitend (Urteile 5A_375/2008 vom 11. August 2008 E. 2; 5A_246/2010 vom 9. Juli 2010 E. 4.1). Entscheidend ist demnach stets das Kindeswohl (<ref-ruling> E. 4a S. 209, 317 E. 2 S. 319; <ref-ruling> E. 3 S. 354 f.). Auf die Meinung des Kindes ist, soweit tunlich, Rücksicht zu nehmen. Den Bedürfnissen der Kinder ist entsprechend ihrem Alter, ihren Neigungen und ihrem Anspruch auf elterliche Fürsorglichkeit, Zuwendung und Erziehung bestmöglich zu entsprechen. Als massgebliche Gesichtspunkte stehen dabei im Vordergrund die persönlichen Beziehungen der Eltern zu den Kindern, ihre erzieherischen Fähigkeiten und ihre Bereitschaft, die Kinder in eigener Obhut zu haben und sie weitgehend persönlich zu betreuen und zu pflegen. Zudem ist dem Bedürfnis der Kinder nach der für eine harmonische Entfaltung in körperlicher, seelischer und geistiger Hinsicht notwendigen Stabilität der Verhältnisse Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 3 S. 201 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 382 f.). Bei ungefähr gleicher Erziehungs- und Betreuungsfähigkeit beider Eltern kommt dem letztgenannten Kriterium besonderes Gewicht zu (Urteil 5A_246/2010 vom 9. Juli 2010 E. 4.1). Die Interessen der Eltern haben gegenüber dem Kindeswohl in den Hintergrund zu treten. Ausser Betracht bleiben emotionale Widerstände des einen Elternteils gegenüber dem anderen. Gleichwohl ist das Verhältnis zwischen den Eltern bei der Zuteilung der elterlichen Sorge von Bedeutung, ist doch im Zweifelsfall demjenigen Elternteil der Vorzug zu geben, dessen Bereitschaft grösser ist, dem Kind den Kontakt zum anderen Elternteil zu ermöglichen (Urteil 5A_375/2008 vom 11. August 2008 E. 2).
<ref-law> enthält unbestimmte Rechtsbegriffe, für deren Ausfüllung das Sachgericht auf sein Ermessen verwiesen ist (<ref-law>). Bei der Überprüfung solcher Ermessensentscheide übt das Bundesgericht Zurückhaltung. Es greift nur ein, wenn einschlägige Kriterien grundlos ausser Betracht geblieben oder offenkundig falsch gewichtet worden sind oder wenn die Zuteilung auf Überlegungen abgestützt worden ist, die unter dem Gesichtswinkel des Kindeswohls bedeutungslos sind oder gegen die dargelegten bundesgerichtlichen Grundsätze verstossen (BGE <ref-ruling> E. 3 S. 355). Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 51; <ref-ruling> E. 4.3 S. 576).
4.3. Die Beschwerdeführerin zielt weitgehend darauf ab, dass das Obergericht den Sachverhalt falsch festgestellt habe und deshalb anschliessend bei der Anwendung der verschiedenen massgeblichen Kriterien zu einem falschen Resultat gelangt sei. Ihre diesbezüglichen Ausführungen erschöpfen sich jedoch in der Schilderung des Sachverhalts aus eigener Sicht und in Behauptungen, die im angefochtenen Urteil keine Stütze finden. Eine rechtsgenügliche Sachverhaltsrüge (oben E. 1.3) fehlt und eine Rechtsverletzung ist nicht ersichtlich. So finden ihre Ausführungen über das angebliche Verhalten des Beschwerdegegners während des Sorgerechtsstreits und über seine früheren Beziehungen keine Grundlage im angefochtenen Urteil, ebenso wenig die Gründe, weshalb sie ihre eigene Partnerschaft den Kindern gegenüber nicht offenlege. Dass der Beschwerdegegner keine Auskunft über die Höhe des Verkaufserlöses seiner Unternehmung gegeben hat, mag zutreffen oder nicht, lässt es jedoch nicht als willkürlich erscheinen, dass das Obergericht auf seine Aussage abgestellt hat, wonach er den Rest seines Lebens seinen Unterhalt davon bestreiten könne. Was den Lebensmittelpunkt der Kinder betrifft, so mag es zwar zutreffen, dass sie heute hälftig nicht nur auf der Liegenschaft D._, sondern auch in I._ leben. Dies lässt jedoch den Schluss der Vorinstanz nicht als fehlerhaft erscheinen, ihren Lebensmittelpunkt dennoch auf der Liegenschaft D._ zu sehen. Das Obergericht hat ausführlich begründet, weshalb es zu diesem Schluss gekommen ist. Ebenso wenig ist zu beanstanden, dass die Vorinstanz den Wunsch von A._ berücksichtigt hat, in C._ im Kindergarten zu bleiben. Die Äusserungen der Beschwerdeführerin über die Änderungen bei Schuleintritt in örtlicher und personeller Hinsicht sind tatsächlicher Natur und finden im angefochtenen Urteil keine Stütze. Dass der Beschwerdegegner an der Liegenschaft D._ nicht dinglich berechtigt sei, hat die Vorinstanz berücksichtigt. Die Beschwerdeführerin geht nicht darauf ein, dass er dennoch als einziger in der Lage sei, deren Unterhalt zu gewährleisten. Ebenso wenig setzt sie sich im Übrigen damit auseinander, dass der Beschwerdegegner nach dem Verkauf seiner Unternehmung die Kinder selber betreuen kann. Nicht zu beanstanden ist auch die vorinstanzliche Berücksichtigung der jeweiligen Partnerschaftssituation. Die Beschwerdeführerin blendet aus, dass das Obergericht festgestellt hat, die Kinder würden die neue Partnerin des Beschwerdegegners kennen und hätten ein gutes Verhältnis zu ihr. Das Obergericht durfte dies - im Vergleich zur Situation bei der Beschwerdeführerin - positiv werten. Wenn sie vor der Vorinstanz ausgesagt hat, die Kinder seien nicht in ihre neue Partnerschaft einbezogen, so ergibt sich daraus ohne weiteres, dass eben noch unklar war, wie sich die Verhältnisse entwickeln würden. Was die angeblich fehlende Begründung des Vorwurfs, ihre Haltung sei unklar und widersprüchlich, betrifft, so hat sich das Obergericht offensichtlich auf ihre Aussagen zu ihrer neuen Partnerschaft bezogen. Insgesamt zeigt sich demnach, dass das Obergericht die relativ wenigen Umstände sorgfältig abgewogen hat, die angesichts der grundsätzlich identischen Erziehungsfähigkeit und Bindungstoleranz der Parteien für die Zuteilung der elterlichen Sorge überhaupt ins Gewicht fallen. Eine fehlerhafte Auswahl oder Gewichtung der Kriterien liegt nicht vor. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist mangels Einholung von Vernehmlassungen kein zu entschädigender Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Beistand und dem Obergericht des Kantons Luzern, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juni 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg