Sachverhalt:
A. Der 1955 geborene, an Multipler Sklerose leidende S._ meldete sich im September 2004 bei der Gemeindezweigstelle Y._ der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau, Ausgleichskasse, zum Bezug von Ergänzungsleistungen (EL) zur Invalidenrente an. Verfügungsweise hielt die Sozialversicherungsanstalt am 15. Oktober 2004 fest, "die Anmeldung zum Bezug einer Ergänzungsleistung (müsse) im Kanton Zürich vorgenommen werden". Mit seinem Heimeintritt in der Stadt X._ habe der Versicherte in dieser (zürcherischen) Gemeinde zivilrechtlichen Wohnsitz genommen und den bisherigen, in Y._ gelegenen aufgegeben. Folglich sei nicht der Kanton Aargau für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistungen zuständig. Die von der Stadt X._ hiegegen erhobene Einsprache wies die Sozialversicherungsanstalt mit Entscheid vom 4. Mai 2005 ab.
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau trat auf die von der Stadt X._ gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mangels Aktivlegitimation dieser Gemeinde nicht ein (Dispositiv-Ziffer 3 des Entscheids vom 16. August 2005).
Zur Begründung seines Nichteintretensentscheids führte das kantonale Gericht aus, die Sozialversicherungsanstalt hätte, da sie sich als örtlich unzuständig erachtete, auf das EL-Gesuch von S._ nicht eintreten dürfen. Aus diesem Grunde nahm das Gericht von Amtes wegen eine Berichtigung des Dispositivs der Verwaltungsverfügung vom 15. Oktober 2004 vor, welches neu wie folgt laute: "'Auf die Anmeldung zum Bezug einer Ergänzungsleistung zur IV-Rente wird nicht eingetreten'" (Dispositiv-Ziffer 1 des vorinstanzlichen Entscheids vom 16. August 2005). Im Falle dieser richtigen Formulierung als Nichteintretensverfügung wäre die Verwaltungsverfügung vom 15. Oktober 2004 einzig an S._ gerichtet gewesen, womit ein "Berührtsein" und demzufolge die Aktivlegitimation der Stadt X._ zur Einsprache entfalle. Richtigerweise hätte daher die Sozialversicherungsanstalt auf die Einsprache nicht eintreten dürfen. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau nahm deshalb von Amtes wegen auch eine entsprechende Berichtigung des Dispositivs des Einspracheentscheids vom 4. Mai 2005 vor, welches neu wie folgt laute: "'Auf die Einsprache wird nicht eingetreten'" (Dispositiv-Ziffer 2 des Entscheids vom 16. August 2005). "Aus dem soeben ausgeführten Grund" müsse auch die Berechtigung der Stadt X._ zur Erhebung einer Beschwerde gegen den Einspracheentscheid verneint werden. S._ stehe es frei, "eine Anmeldung zum Bezug von Ergänzungsleistungen in X._ einzureichen" und einen "allfällig negative(n) Entscheid (...) mittels Rechtsmittel einer gerichtlichen Prüfung zuzuführen".
C. Die Stadt X._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag auf Rückweisung der Sache an das kantonale Gericht zur materiellen Behandlung ihrer vorinstanzlich eingereichten Beschwerde; überdies sei die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau für die "per 1. August 2004" rückwirkende Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistungen als zuständig zu erklären.
Während die Sozialversicherungsanstalt auf Abweisung und S._ auf Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherung (BSV) auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde richtet sich gegen den vorinstanzlichen Nichteintretensentscheid. Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat daher zu prüfen, ob die Vorinstanz zu Recht auf die bei ihr erhobene Beschwerde nicht eingetreten ist. Dagegen kann auf den in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde gestellten materiellen Antrag (Entscheidung über die Frage nach der örtlichen Zuständigkeit für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistungen) hier nicht eingetreten werden (<ref-ruling> Erw. 1 mit Hinweis).
1.2 Da der angefochtene Entscheid nicht die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen zum Gegenstand hat, prüft das Eidgenössische Versicherungsgericht nur, ob das vorinstanzliche Gericht Bundesrecht verletzt hat, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt worden ist (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG). Zudem ist das letztinstanzliche Verfahren kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario; Art. 135 in Verbindung mit Art. 156 OG).
2. Verwaltungsverfügungen sind nicht nach ihrem (zuweilen nicht sehr treffend verfassten) Wortlaut zu verstehen, sondern es ist - vorbehältlich der hier nicht interessierenden Problematik des Vertrauensschutzes - nach ihrem tatsächlichen rechtlichen Gehalt zu fragen (<ref-ruling> Erw. 1; SVR 2004 AlV Nr. 16 S. 50 Erw. 3.1, ARV 2000 Nr. 38 S. 204 Erw. 2b, Nr. 40 S. 210 Erw. 1a). Dem kantonalen Gericht ist insofern beizupflichten, als die streitige Verfügung der Sozialversicherungsanstalt vom 15. Oktober 2004 ihrem rechtlichen Bedeutungsgehalt nach eine Nichteintretensverfügung (mangels örtlicher Zuständigkeit) darstellt. Im Folgenden ist der Frage nachzugehen, ob die (vor- wie letztinstanzlich) Beschwerde führende Stadt X._ überhaupt berechtigt war, gegen diese an den Versicherten gerichtete Nichteintretensverfügung Einsprache zu erheben.
3. 3.1 Erlässt ein Versicherungsträger eine Verfügung, welche die Leistungspflicht eines anderen Trägers berührt, so hat er auch ihm die Verfügung zu eröffnen; dieser kann die gleichen Rechtsmittel ergreifen wie die versicherte Person (<ref-law>). Der Ausdruck des "Berührtseins" findet sich auch in <ref-law>, wonach zur Beschwerde berechtigt ist, wer durch die angefochtene Verfügung oder den Einspracheentscheid berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat. Zu letzterer, die Aktivlegitimation im kantonalen Beschwerdeverfahren (wie auch im Einspracheverfahren: <ref-ruling> Erw. 3.2) betreffenden Norm hat das Eidgenössische Versicherungsgericht festgestellt, dass die Begriffe des "Berührtseins" und des "schutzwürdigen Interesses" in gleicher Weise auszulegen sind wie für das bundesrechtliche Verwaltungsgerichtsbeschwerdeverfahren nach Art. 103 lit. a OG (<ref-ruling> Erw. 2.2, 563 Erw. 3.2 in fine). Nichts anderes kann für den Anwendungsbereich von <ref-law> gelten. Auch hier ist demnach derjenige anderweitige Versicherungsträger berührt, der in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache steht, mithin in rechtlichen oder tatsächlichen Interessen spürbar betroffen ist (je zu Art. 103 lit. a OG: <ref-ruling> Erw. 2.1 und Häner, Die Beteiligten im Verwaltungsverfahren und Verwaltungsprozess, Zürich 2000, Rz 582 ff., insbesondere Rz 597 in fine).
3. 3.1 Erlässt ein Versicherungsträger eine Verfügung, welche die Leistungspflicht eines anderen Trägers berührt, so hat er auch ihm die Verfügung zu eröffnen; dieser kann die gleichen Rechtsmittel ergreifen wie die versicherte Person (<ref-law>). Der Ausdruck des "Berührtseins" findet sich auch in <ref-law>, wonach zur Beschwerde berechtigt ist, wer durch die angefochtene Verfügung oder den Einspracheentscheid berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat. Zu letzterer, die Aktivlegitimation im kantonalen Beschwerdeverfahren (wie auch im Einspracheverfahren: <ref-ruling> Erw. 3.2) betreffenden Norm hat das Eidgenössische Versicherungsgericht festgestellt, dass die Begriffe des "Berührtseins" und des "schutzwürdigen Interesses" in gleicher Weise auszulegen sind wie für das bundesrechtliche Verwaltungsgerichtsbeschwerdeverfahren nach Art. 103 lit. a OG (<ref-ruling> Erw. 2.2, 563 Erw. 3.2 in fine). Nichts anderes kann für den Anwendungsbereich von <ref-law> gelten. Auch hier ist demnach derjenige anderweitige Versicherungsträger berührt, der in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache steht, mithin in rechtlichen oder tatsächlichen Interessen spürbar betroffen ist (je zu Art. 103 lit. a OG: <ref-ruling> Erw. 2.1 und Häner, Die Beteiligten im Verwaltungsverfahren und Verwaltungsprozess, Zürich 2000, Rz 582 ff., insbesondere Rz 597 in fine).
3.2 3.2.1 In <ref-ruling> hat das Eidgenössische Versicherungsgericht entschieden, dass der Unfallversicherer auch unter der Herrschaft des ATSG an die Invaliditätsbemessung der Invalidenversicherung nicht gebunden ist. Entsprechend fehlt es dem Unfallversicherer am "Berührtsein" im Sinne von <ref-law>, weshalb er nicht zur Einsprache gegen die Verfügung oder zur Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der IV-Stelle über den Rentenanspruch als solchen oder den Invaliditätsgrad berechtigt ist. Ebenso fehlt dem Unfallversicherer die Berechtigung zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde ans Eidgenössische Versicherungsgericht gegen Entscheide kantonaler Gerichte in Streitigkeiten um eine Rente der Invalidenversicherung (<ref-ruling> Erw. 2, insbesondere 366 f. Erw. 2.2 mit Hinweisen).
3.2.2 Im zur Publikation in der Amtlichen Sammlung vorgesehenen Urteil N. vom 9. Dezember 2005 [I 66/05] äusserte sich das Eidgenössische Versicherungsgericht zum Verhältnis zwischen erster Säule (Invalidenversicherung) und zweiter Säule (berufliche Vorsorge) und stellte fest, dass im Unterschied zum Verhältnis zwischen Invalidenversicherung und Unfallversicherung die durch die Judikatur näher umschriebene Bindungswirkung der Invaliditätsbemessung der Invalidenversicherung für die (obligatorische) berufliche Vorsorge (<ref-ruling> und 215, 118 V 39 ff. Erw. 2 und 3 sowie seitherige Urteile) in den Art. 23 ff. BVG positivrechtlich ausdrücklich verankert ist. An dieser gesetzlichen Konzeption hat sich mit In-Kraft-Treten des ATSG, welchem die berufliche Vorsorge grundsätzlich nicht untersteht, nichts geändert. Indem die Invaliditätsbemessung der Invalidenversicherung für die Organe der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge somit nach wie vor prinzipiell bindend ist, ist sie geeignet, die Leistungspflicht des BVG-Versicherers in grundsätzlicher, zeitlicher und masslicher Hinsicht im Sinne von <ref-law> (unmittelbar) zu berühren. Die Organe der beruflichen Vorsorge sind daher zur Einsprache gegen die Verfügung oder zur Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der IV-Stelle über den Rentenanspruch als solchen oder den Invaliditätsgrad berechtigt; ebenso ist der BVG-Versicherer befugt, Verwaltungsgerichtsbeschwerde ans Eidgenössische Versicherungsgericht gegen Entscheide kantonaler Gerichte in Streitigkeiten um eine Rente der Invalidenversicherung zu führen (Erw. 3.2 und 3.3.1 des genannten, zur Publikation vorgesehenen Urteils N. [I 66/05]).
4. 4.1 Für die Beurteilung der Frage, ob die Stadt X._ im unter Erw. 3.1 hievor angeführten Sinne durch die Nichteintretensverfügung der Beschwerdegegnerin spürbar betroffen war, kommt der im EL-Bereich geltenden Zuständigkeitsordnung entscheidende Bedeutung zu:
4.1.1 Gemäss Art. 1a ELG leistet der Bund Beiträge an die Kantone, die aufgrund eigener, den Anforderungen dieses Gesetzes entsprechender Bestimmungen den Bezügern von Renten der Alters- und Hinterlassenenversicherung (AHV) sowie der Invalidenversicherung (IV) Ergänzungsleistungen gewähren. Die Kantone bezeichnen die Organe, denen die Entgegennahme der Gesuche, die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistungen obliegen; sie können mit diesen Aufgaben die kantonalen Ausgleichskassen betrauen (Art. 6 Abs. 1 erster und zweiter Satz ELG). Während der Kanton Aargau - wie die meisten Kantone - die kantonale Ausgleichskasse mit der EL-Durchführung betraut hat (§ 16 des aargauischen Gesetzes über die Ergänzungsleistungen zur AHV und IV [Ergänzungsleistungsgesetz; SAR 831.200]), hat der Kanton Zürich diese Aufgabe den politischen Gemeinden übertragen (§ 2 des Zürcher Gesetzes über die Zusatzleistungen zur eidgenössischen AHV/IV [Zusatzleistungsgesetz; LS 831.3]). Diese haben grösstenteils für die Finanzierung der auszurichtenden Ergänzungsleistungen aufzukommen und die mit der jeweiligen Fallführung verbundenen Verwaltungskosten gänzlich zu übernehmen (§§ 33 ff. des zürcherischen Zusatzleistungsgesetzes in Verbindung mit Art. 6 Abs. 1 letzter Satz und Art. 9 ELG).
4.1.2 Nach Art. 1a Abs. 3 ELG ist für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung der Kanton zuständig, in dem der Bezüger seinen Wohnsitz hat. Der Wohnsitz einer Person bestimmt sich gemäss <ref-law> in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 ELG nach den Art. 23-26 ZGB. Bei streitiger Zuständigkeit haben die kantonalen Versicherungsgerichte und letztinstanzlich das Eidgenössische Versicherungsgericht über die Wohnsitzfrage zu entscheiden (<ref-ruling> Erw. 1, 108 V 24 Erw. 2a, 99 V 107 Erw. 1). Im letztzitierten, bereits am 3. Juli 1973 ergangenen Urteil hat das Eidgenössische Versicherungsgericht überdies festgestellt, in der geltenden gesetzlichen Ordnung klaffe eine sozial unerfreuliche Lücke, welche es bei negativen Kompetenzkonflikten geschehen lässt, dass ein Rentenbezüger unter Umständen jahrelang warten muss, bis auf sein Gesuch um eine Ergänzungsleistung überhaupt eingetreten wird. Es obläge dem Gesetzgeber, diese Lücke durch eine entsprechende Ergänzung des ELG zu schliessen. Denkbar wäre etwa, den vom Rentenbezüger zuerst angegangenen Kanton zur vorläufigen Festsetzung und vorschussweisen Auszahlung der Ergänzungsleistungen zu verhalten, sofern der laut Art. 1 Abs. 3 ELG (in der damals geltenden Fassung, welche dem heutigen Art. 1a Abs. 3 ELG entspricht) massgebende Wohnsitz umstritten und solange er nicht rechtskräftig ermittelt ist (<ref-ruling> Erw. 5).
Eine entsprechende Reaktion des Gesetzgebers ist bisher ausgeblieben. Hingegen hat nach der (in <ref-ruling> Erw. 2a wiedergegebenen) Verwaltungspraxis im Streitfall die Durchführungsstelle des Aufenthaltskantons - nach Rücksprache mit den anderen möglicherweise zuständigen kantonalen EL-Stellen - eine ihren einschlägigen Bestimmungen gemäss festgesetzte Ergänzungsleistung provisorisch auszuzahlen. Dies gilt auch dann, wenn die EL-ansprechende Person in ein Heim oder eine Anstalt eingetreten oder dort untergebracht worden ist. Wird schliesslich - sei es durch eine Verständigung unter den in Frage kommenden Kantonen oder durch ein rechtskräftiges Gerichtsurteil - ein anderer als der Aufenthaltskanton für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung als zuständig bezeichnet, so hat dieser Kanton dem Aufenthaltskanton die dem Versicherten provisorisch ausgerichteten Ergänzungsleistungen im Rahmen seiner eigenen EL-Bestimmungen zurückzuvergüten (Rz 1025 der Wegleitung des BSV über die Ergänzungsleistungen zur AHV und IV [WEL] in der seit 1. Januar 1998 gültigen Fassung).
4.2 Aufgrund vorstehender Ausführungen ergibt sich, dass die mit mangelnder örtlicher Zuständigkeit begründete Nichteintretensverfügung der EL-Durchführungsstelle eines anderen Kantons für den Aufenthaltskanton bzw. (bei entsprechender kantonaler Zuständigkeitsregelung) die Aufenthaltsgemeinde eine Bindungswirkung entfaltet, welche gar noch weiter geht als diejenige einer Invaliditätsbemessung der Invalidenversicherung für die obligatorische berufliche Vorsorge (Erw. 3.2.2 hievor): Die EL-Behörde am Aufenthaltsort der versicherten Person hat nach ständig geübter Verwaltungspraxis das im anderweitigen Kanton eingereichte EL-Gesuch umgehend zu übernehmen sowie die Leistungen nach den eigenen Berechnungsgrundlagen vorläufig festzusetzen und vorschussweise auszurichten. Damit ist die Durchführungsstelle des Aufenthaltskantons durch die streitige Nichteintretensverfügung sowohl in rechtlicher als auch in tatsächlicher (finanzieller) Hinsicht unmittelbar und direkt (vgl. hiezu Häner, a.a.O., Rz 587 f.) betroffen. Dieses auf die einschlägige Zuständigkeitsordnung im EL-Bereich zurückzuführende "Berührtsein" legitimiert die Durchführungsstelle am Aufenthaltsort als "anderen (Versicherungs-)Träger" im Sinne von <ref-law> zur Ergreifung der gleichen Rechtsmittel wie die versicherte Person. Allein eine solche Lösung garantiert die im Lichte der genannten Gesetzesbestimmung ebenfalls anzustrebende raschestmögliche Entscheidung der Zuständigkeitsfrage in einem einzigen Rechtsmittelzug. Letzteres ist insofern von nicht zu unterschätzender Bedeutung, als die vorschussweise ausgerichteten Ergänzungsleistungen mit Blick auf die von Kanton zu Kanton festzustellenden - im Rahmen des ELG erlaubten - Unterschiede in der Berechnungsweise allenfalls deutlich höher ausfallen als diejenigen, welche im schliesslich als zuständig bezeichneten Kanton geschuldet werden. Je länger unter diesen Umständen die Frage der Zuständigkeit nach Art. 1a Abs. 3 ELG offen bleibt, desto stärker könnte gegebenenfalls die aus den zu Unrecht bezogenen Differenzbetreffnissen resultierende Rückerstattungsschuld der versicherten Person anwachsen. Diesen allfälligen negativen Auswirkungen einer vorläufigen Festsetzung und vorschussweisen Auszahlung der Ergänzungsleistungen wird auf jeden Fall mit der dargelegten Bejahung einer hinreichenden Beziehungsnähe der Durchführungsstelle des Aufenthaltskantons und demzufolge mit der Anerkennung ihrer Einsprachebefugnis gegen eine mangels örtlicher Zuständigkeit ergangene Nichteintretensverfügung der EL-Behörde eines anderweitigen Kantons am wirksamsten begegnet. Anzumerken bleibt, dass vor In-Kraft-Treten des ATSG in vergleichbaren Fällen die Aktivlegitimation von potenziell zuständigen EL-Durchführungsstellen zur Beschwerdeerhebung gegen die Nichteintretensverfügung der EL-Behörde eines anderen Kantons von der Rechtsprechung im Hinblick auf alt Art. 7 ELG und alt <ref-law> (stillschweigend) anerkannt wurde (<ref-ruling>; unveröffentlichter Entscheid P. vom 10. Januar 1969, P 27/68).
5. Die Stadt X._, wo sich S._ seit seinem im September 2002 erfolgten Heimeintritt aufhält, war nach dem Gesagten als (vom kantonalen Recht bezeichnete) EL-Durchführungsstelle von der mit mangelnder örtlicher Zuständigkeit begründeten Nichteintretensverfügung der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau (Ausgleichskasse) vom 15. Oktober 2004 im Sinne von <ref-law> "berührt" und daher zur Einspracheerhebung und in der Folge zur Beschwerdeführung berechtigt. Die Sozialversicherungsanstalt ist somit - entgegen der Auffassung der Vorinstanz - zu Recht auf die Einsprache eingetreten. Das kantonale Gericht seinerseits wird auf die von der Stadt X._ gegen den ablehnenden Einspracheentscheid erhobene Beschwerde einzutreten und deren materielle Behandlung (d.h. die Beantwortung der Frage nach der örtlichen Zuständigkeit für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistungen) nachzuholen haben.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, soweit darauf einzutreten ist, wird der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 16. August 2005 aufgehoben, und es wird die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau, Ausgleichskasse, vom 4. Mai 2005 materiell entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau, Ausgleichskasse, auferlegt.
3. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 500.- wird der Beschwerdeführerin zurückerstattet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, dem Bundesamt für Sozialversicherung und S._ zugestellt.
Luzern, 24. Januar 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der I. Kammer: Der Gerichtsschreiber: