Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1975 geborene B._ absolvierte nach Abschluss der obligatorischen Grundschule und einem Haushaltlehrjahr eine Anlehre als Verkaufshelferin bei der Firma X._ und war in diesem Beruf bis Ende 1997 tätig. Vom 1. Januar 1998 bis 31. Juli 2000 arbeitete sie als Instruktorin bei der Firma Y._ AG und war bei der Personalfürsorgestiftung der Berner Lebensversicherungs-Gesellschaft (nunmehr Sammelstiftung der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft; nachfolgend: Sammelstiftung der Allianz) berufsvorsorgerechtlich versichert. Ab 1. August 2000 war sie arbeitslos und bezog bis 7. Mai 2001 Taggelder der Arbeitslosenversicherung, ab August 2000 bei einer Vermittlungsfähigkeit von 100 % und ab Mai 2001 bei einer solchen von 50 %. Am 7. Mai 2001 trat sie eine Stelle als Hilfsverkäuferin in einer Filiale der Firma Z._ an und war bei der Pensionskasse P._ berufsvorsorgerechtlich versichert. Nach Auflösung des Arbeitsverhältnisses per 31. Juli 2002 war sie vom 1. August bis 1. November 2002 als Aushilfsverkäuferin bei der Firma V._ AG in K._ angestellt.
B._ leidet seit der Jugendzeit an einem gestörten Essverhalten. Wegen bulimischer Anorexie und rezidivierenden depressiven Störungen hielt sie sich vom 11. August bis 19. Oktober 2000 in der Privatklinik A._ (Zentrum für Psychiatrie und Psychotherapie) auf. Anschliessend stand sie bis 23. Februar 2001 bei der Psychotherapie-Tagesklinik (PTK), und in der Folge bei Frau Dr. med. G._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, in ambulanter Behandlung. Am 5. Dezember 2001 wurde sie wegen einer bulimischen Krise im Spital C._ und anschliessend auf der Medizinischen Abteilung des Inselspitals D._ hospitalisiert. Vom 18. November 2002 bis Mai 2003 hielt sie sich erneut im Inselspital auf. Auf Anmeldung vom 6. Februar 2002 sprach ihr die IV-Stelle Bern mit Wirkung ab 1. Dezember 2002 eine halbe Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 57 % zu (Verfügung vom 20. März 2003). Mit einer weiteren Verfügung vom 14. Februar 2006 sprach sie ab 1. August 2004 eine ganze Rente bei einem Invaliditätsgrad von 89 % zu.
B._ leidet seit der Jugendzeit an einem gestörten Essverhalten. Wegen bulimischer Anorexie und rezidivierenden depressiven Störungen hielt sie sich vom 11. August bis 19. Oktober 2000 in der Privatklinik A._ (Zentrum für Psychiatrie und Psychotherapie) auf. Anschliessend stand sie bis 23. Februar 2001 bei der Psychotherapie-Tagesklinik (PTK), und in der Folge bei Frau Dr. med. G._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, in ambulanter Behandlung. Am 5. Dezember 2001 wurde sie wegen einer bulimischen Krise im Spital C._ und anschliessend auf der Medizinischen Abteilung des Inselspitals D._ hospitalisiert. Vom 18. November 2002 bis Mai 2003 hielt sie sich erneut im Inselspital auf. Auf Anmeldung vom 6. Februar 2002 sprach ihr die IV-Stelle Bern mit Wirkung ab 1. Dezember 2002 eine halbe Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 57 % zu (Verfügung vom 20. März 2003). Mit einer weiteren Verfügung vom 14. Februar 2006 sprach sie ab 1. August 2004 eine ganze Rente bei einem Invaliditätsgrad von 89 % zu.
B. Am 28. Mai 2003 lehnte die Pensionskasse P._ die von B._ beantragte Zusprechung einer Invalidenleistung der beruflichen Vorsorge mit der Begründung ab, dass die Arbeitsunfähigkeit, welche zur Invalidität geführt habe, bereits vor Beginn des Vorsorgeverhältnisses bei der Pensionskasse P._ bestanden habe. Nachdem auch die Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft eine Leistungspflicht abgelehnt hatte, weil sie davon ausging, die Arbeitsunfähigkeit sei gemäss IV-Entscheid per 1. Dezember 2001 und damit nach Ende der Versicherungsdauer eingetreten, richtete die Pensionskasse P._ als Vorleistung ab 1. Dezember 2002 eine Invalidenrente von 50 % aus. Am 24. Oktober 2005 forderte sie die Versicherte unter Androhung der Einstellung der Vorleistungen und Rückforderung der ausbezahlten Renten auf, den Leistungsanspruch gegenüber der Allianz gerichtlich geltend zu machen.
Mit Eingabe vom 27. Dezember 2005 liess B._ gegen die Sammelstiftung der Allianz und die Pensionskasse P._ "Beschwerde" erheben und beantragen, es sei festzustellen, dass eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % seit August 2000 bestanden habe, und es sei die Sammelstiftung der Allianz zu verpflichten, die versicherten Rentenleistungen zu erbringen. Eventuell sei festzustellen, dass eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % seit 1. Dezember 2001 bestanden habe, und es sei die Pensionskasse P._ zu verpflichten, die Versicherungsleistungen zu erbringen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern nahm die "Beschwerde" als Klage entgegen, zog die IV-Akten bei, führte ergänzende Beweismassnahmen durch und beschränkte das Verfahren auf die Frage der Passivlegitimation der Beklagten (Verfügung vom 24. August 2006). Mit Entscheid vom 16. Oktober 2006 hiess es die Klage insoweit gut, als es die grundsätzliche Leistungspflicht der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft feststellte und die Klage gegen die Pensionskasse P._ abwies. Am 27. November 2006 korrigierte das kantonale Gericht die Bezeichnung der als leistungspflichtig erklärten Partei ("Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft") und stellte den Parteien eine berichtigte Fassung des Entscheids zu.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern nahm die "Beschwerde" als Klage entgegen, zog die IV-Akten bei, führte ergänzende Beweismassnahmen durch und beschränkte das Verfahren auf die Frage der Passivlegitimation der Beklagten (Verfügung vom 24. August 2006). Mit Entscheid vom 16. Oktober 2006 hiess es die Klage insoweit gut, als es die grundsätzliche Leistungspflicht der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft feststellte und die Klage gegen die Pensionskasse P._ abwies. Am 27. November 2006 korrigierte das kantonale Gericht die Bezeichnung der als leistungspflichtig erklärten Partei ("Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft") und stellte den Parteien eine berichtigte Fassung des Entscheids zu.
C. Die Sammelstiftung der Allianz lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei die Klage abzuweisen, soweit sie sich gegen sie richte. Eventuell sei die Sache zur Vornahme ergänzender Abklärungen und neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das kantonale Gericht äussert sich zu einzelnen der mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhobenen Einwendungen. B._ lässt sich mit dem Antrag auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde und Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung vernehmen. Die Pensionskasse P._ schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG [SR 173.110]) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205 und 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
1. Das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG [SR 173.110]) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205 und 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. In formellrechtlicher Hinsicht rügt die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe Bundesrecht verletzt, indem sie die nicht passivlegitimierte Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft zu Leistungen verpflichtet habe. Es handelt sich dabei um einen Redaktionsfehler, welchen das kantonale Gericht gestützt auf Art. 100 des kantonalen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG; BSG 155.21) am 27. November 2006 berichtigt hat. Eine Verletzung von Bundesrecht liegt nicht vor.
2. In formellrechtlicher Hinsicht rügt die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe Bundesrecht verletzt, indem sie die nicht passivlegitimierte Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft zu Leistungen verpflichtet habe. Es handelt sich dabei um einen Redaktionsfehler, welchen das kantonale Gericht gestützt auf Art. 100 des kantonalen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG; BSG 155.21) am 27. November 2006 berichtigt hat. Eine Verletzung von Bundesrecht liegt nicht vor.
3. 3.1 Im angefochtenen Entscheid werden die Bestimmungen über den Anspruch auf Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge (Art. 23 BVG) und die Grundsätze für die Abgrenzung der Leistungspflicht von Vorsorgeeinrichtungen (<ref-ruling> E. 1a S. 263, 120 V 15 E. 1a S. 18, je mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Das Gleiche gilt bezüglich der vorinstanzlichen Ausführungen zur Bindung der Vorsorgeeinrichtungen an die Feststellungen der IV-Organe insbesondere hinsichtlich des Eintritts der invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 273, 129 V 73 mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
3.2 Dem kantonalen Gericht ist auch darin beizupflichten, dass im vorliegenden Fall keine Bindung an den IV-Entscheid besteht. Die Rentenverfügung der IV-Stelle vom 20. März 2003 ist weder der Beschwerdeführerin noch der Pensionskasse P._ zugestellt worden. Darauf, dass der Entscheid der IV nach der Rechtsprechung auch ohne Zustellung verbindlich ist, wenn sich die Vorsorgeeinrichtung auf diesen Entscheid stützt (Urteile Z. vom 26. Juli 2006, B 27/05, und F. vom 9. Februar 2004, B 39/03, zusammengefasst in SZS 48/2004 S. 451 f.), kann sich die Beschwerdeführerin schon deshalb nicht berufen, weil der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, wie nachfolgend darzulegen ist.
3.2 Dem kantonalen Gericht ist auch darin beizupflichten, dass im vorliegenden Fall keine Bindung an den IV-Entscheid besteht. Die Rentenverfügung der IV-Stelle vom 20. März 2003 ist weder der Beschwerdeführerin noch der Pensionskasse P._ zugestellt worden. Darauf, dass der Entscheid der IV nach der Rechtsprechung auch ohne Zustellung verbindlich ist, wenn sich die Vorsorgeeinrichtung auf diesen Entscheid stützt (Urteile Z. vom 26. Juli 2006, B 27/05, und F. vom 9. Februar 2004, B 39/03, zusammengefasst in SZS 48/2004 S. 451 f.), kann sich die Beschwerdeführerin schon deshalb nicht berufen, weil der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, wie nachfolgend darzulegen ist.
4. 4.1 Die Beschwerdegegnerin war vom 1. Januar 1998 bis 31. Juli 2000 bei der Firma Y._ AG angestellt gewesen. In der Folge war sie arbeitslos und bezog Taggelder der Arbeitslosenversicherung. Als Arbeitslose war sie gemäss Art. 2 Abs. 3 BVG bei der Auffangeinrichtung versichert (Art. 60 Abs. 2 lit. e BVG). Ob dies - wie in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde geltend gemacht wird - ab dem 8. August 2000 und damit vor Ablauf der Nachdeckungsfrist von einem Monat (Art. 10 Abs. 3 BVG) der Fall war, lässt sich aufgrund der vorhandenen Akten nicht zuverlässig beurteilen, kann jedoch dahingestellt bleiben, wie sich aus dem Folgenden ergibt. Im Übrigen weist die Vorinstanz in der Vernehmlassung zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde zutreffend darauf hin, dass Art. 12 des Reglements der Vorsorgeeinrichtung eine Nachdeckungsfrist von einem Monat vorsieht, welche nur dann vorzeitig endet, wenn eine neues Arbeitsverhältnis eingegangen wird. Im Rahmen der weitergehenden beruflichen Vorsorge blieb die Beschwerdegegnerin daher bis Ende August 2000 bei der Beschwerdeführerin versichert. Zu prüfen ist, ob bis zu diesem Zeitpunkt oder allenfalls schon früher eine relevante Arbeitsunfähigkeit eingetreten ist, welche zur Invalidität geführt hat. Als relevant gilt praxisgemäss eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % (BSV, Mitteilungen über die berufliche Vorsorge, Nr. 44 vom 14. April 1999, Rz 258; AHI 1998 S. 124).
4.2 Die IV-Stelle hat den Beginn der Wartezeit (<ref-law>) auf den 1. Dezember 2001 festgesetzt. Dabei ging sie offenbar davon aus, dass die Versicherte bis am 4. Dezember 2001 gearbeitet hatte (Fragebogen Arbeitgeber vom 10. April 2002), sich ab 5. Dezember 2001 in Spitalbehandlung befand und die behandelnde Ärztin Dr. med. G._ ab diesem Zeitpunkt eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigte. Nach den medizinischen Akten war die Versicherte jedoch bereits zuvor in der Arbeitsfähigkeit beeinträchtigt gewesen. Frau Dr. med. G._ bescheinigte eine volle Arbeitsunfähigkeit ab 20. Februar 2001 (Behandlungsbeginn) bis 31. März 2001 und eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % ab 1. April 2001 (Bericht vom 30. Oktober 2005). In einem Verlaufsbericht an die IV-Stelle vom 20. November 2003 stellte sie fest, das bestehende Leiden habe sich mindestens seit Sommer 2000 auf die Arbeitsfähigkeit ausgewirkt. In einem Zeugnis zuhanden des Sozialdienstes Roggwil vom 19. April 2005 führte sie aus, die Versicherte sei anamnestisch seit August 2000 mindestens zu 20 % arbeitsunfähig gewesen. Am 11. August 2000 musste die Versicherte in der Privatklinik A._ hospitalisiert werden, wo sie sich bis zum 19. Oktober 2000 aufhielt. Mit der Vorinstanz ist anzunehmen, dass spätestens in diesem Zeitpunkt eine relevante Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit eingetreten ist. Effektiv dürfte dies indessen bereits einige Zeit früher gewesen sein. Gemäss Stellungnahme der Privatklinik A._ vom 28. Juni 2006 war der Hospitalisation eine Zuspitzung der bulimischen Störung vorausgegangen. Diese stand nach den Angaben im Bericht des Inselspitals D._ vom 19. Februar 2002 in Zusammenhang mit der Tätigkeit als Fitnesstrainerin und hatte zu regelmässigen psychotherapeutischen Behandlungen durch Dr. med. W._, Anlass gegeben. Auch wenn entsprechende Arztberichte und Angaben des Arbeitgebers zu den krankheitsbedingten Absenzen fehlen, ist mit der erforderlichen überwiegenden Wahrscheinlichkeit anzunehmen, dass die Beschwerdegegnerin spätestens bei Auflösung des Arbeitsverhältnisses bei der Firma Y._ AG Ende Juli 2000 und damit noch während der Versicherungsdauer bei der Beschwerdeführerin mindestens zu 20 % arbeitsunfähig war. Dem steht nicht entgegen, dass sie als Arbeitslose zunächst als voll vermittlungsfähig betrachtet wurde, kam es doch kurz nach der Anmeldung bei der Arbeitslosenversicherung zu einem länger dauernden Spitalaufenthalt.
4.3 Mit dem kantonalen Gericht zu bejahen ist auch der enge sachliche und zeitliche Zusammenhang zwischen der Arbeitsunfähigkeit und der späteren Invalidität. Es liegt insbesondere keine Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs (vgl. hiezu <ref-ruling> E. 1c S. 264, 120 V 112 E. 2c/aa u. bb S. 117 f.) vor, weil die Beschwerdegegnerin nie während längerer Zeit wieder voll arbeitsfähig wurde. Nach den Angaben der Privatklinik A._ vom 28. Juni 2006 war sie am 19. Oktober 2000 in instabilem Zustand entlassen worden. Anschliessend stand sie bei der Psychotherapie-Tagesklinik (PTK), und ab 20. Februar 2001 bei Frau Dr. med. G._ in ambulanter Behandlung und war zumindest teilweise arbeitsunfähig. Die nach Abschluss der Therapie an der PTK angetretene Stelle als Verkäuferin bei der Firma X._ wurde ihr wegen Überforderung und der krankheitsbedingten Beeinträchtigungen noch während der Probezeit gekündigt (Bericht Inselspital vom 19. Februar 2002). Vom 7. Mai 2001 bis 31. Juli 2002 war sie als Hilfsverkäuferin bei der Firma Z._ und vom 1. August bis 1. November 2002 als Aushilfsverkäuferin bei der Firma V._ AG tätig. Nach den unbestritten gebliebenen Feststellungen der Vorinstanz, auf welche verwiesen wird, hat sie bei der Firma Z._ zu einem Beschäftigungsgrad von lediglich 70 bis 80 % gearbeitet. Dabei kam es verschiedentlich zu Perioden vollständiger Arbeitsunfähigkeit (Fragebogen Arbeitgeber vom 10. April 2002) und zur mehrmonatigen Hospitalisation ab 5. Dezember 2001. Es besteht daher kein Anlass, von den ärztlichen Angaben abzugehen, wonach auch während der Anstellung bei der Firma Z._ eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % bestanden hat. Nicht unterbrochen wurde der zeitliche Zusammenhang auch durch die kurzfristige Anstellung bei der Firma V._, weil die Beschwerdegegnerin bei andauernder Teilarbeitsunfähigkeit dort ebenfalls lediglich teilzeitlich gearbeitet hat und die Stelle wegen einer erneuten Verschlechterung des Gesundheitszustandes und eines weiteren mehrmonatigen Spitalaufenthaltes auf den 1. November 2002 aufgeben musste. Die Vorinstanz hat die grundsätzliche Leistungspflicht der Beschwerdeführerin somit zu Recht bejaht, was zur Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde führt.
4.3 Mit dem kantonalen Gericht zu bejahen ist auch der enge sachliche und zeitliche Zusammenhang zwischen der Arbeitsunfähigkeit und der späteren Invalidität. Es liegt insbesondere keine Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs (vgl. hiezu <ref-ruling> E. 1c S. 264, 120 V 112 E. 2c/aa u. bb S. 117 f.) vor, weil die Beschwerdegegnerin nie während längerer Zeit wieder voll arbeitsfähig wurde. Nach den Angaben der Privatklinik A._ vom 28. Juni 2006 war sie am 19. Oktober 2000 in instabilem Zustand entlassen worden. Anschliessend stand sie bei der Psychotherapie-Tagesklinik (PTK), und ab 20. Februar 2001 bei Frau Dr. med. G._ in ambulanter Behandlung und war zumindest teilweise arbeitsunfähig. Die nach Abschluss der Therapie an der PTK angetretene Stelle als Verkäuferin bei der Firma X._ wurde ihr wegen Überforderung und der krankheitsbedingten Beeinträchtigungen noch während der Probezeit gekündigt (Bericht Inselspital vom 19. Februar 2002). Vom 7. Mai 2001 bis 31. Juli 2002 war sie als Hilfsverkäuferin bei der Firma Z._ und vom 1. August bis 1. November 2002 als Aushilfsverkäuferin bei der Firma V._ AG tätig. Nach den unbestritten gebliebenen Feststellungen der Vorinstanz, auf welche verwiesen wird, hat sie bei der Firma Z._ zu einem Beschäftigungsgrad von lediglich 70 bis 80 % gearbeitet. Dabei kam es verschiedentlich zu Perioden vollständiger Arbeitsunfähigkeit (Fragebogen Arbeitgeber vom 10. April 2002) und zur mehrmonatigen Hospitalisation ab 5. Dezember 2001. Es besteht daher kein Anlass, von den ärztlichen Angaben abzugehen, wonach auch während der Anstellung bei der Firma Z._ eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % bestanden hat. Nicht unterbrochen wurde der zeitliche Zusammenhang auch durch die kurzfristige Anstellung bei der Firma V._, weil die Beschwerdegegnerin bei andauernder Teilarbeitsunfähigkeit dort ebenfalls lediglich teilzeitlich gearbeitet hat und die Stelle wegen einer erneuten Verschlechterung des Gesundheitszustandes und eines weiteren mehrmonatigen Spitalaufenthaltes auf den 1. November 2002 aufgeben musste. Die Vorinstanz hat die grundsätzliche Leistungspflicht der Beschwerdeführerin somit zu Recht bejaht, was zur Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde führt.
5. Das Verfahren ist kostenfrei (Art. 134 OG). Entsprechend dem Ausgang des Prozesses hat die Sammelstiftung BVG der Allianz die durch einen Rechtsanwalt vertretene Beschwerdegegnerin für die Parteikosten zu entschädigen (Art. 159 Abs. 2 OG). Das Begehren der Beschwerdegegnerin um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung (Art. 152 Abs. 2 OG) ist damit gegenstandslos. Keinen Anspruch auf Parteientschädigung hat die als Mitinteressierte beigeladene Pensionskasse P._ (Art. 159 Abs. 2 OG; <ref-ruling> E. 4a S. 154; <ref-ruling> E. 6 S. 361). Ein Ausnahmefall im Sinne der Rechtsprechung liegt nicht vor (<ref-ruling> E. 5b S. 133 und 320 E. 1a u. b S. 323).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2000.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2000.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Pensionskasse P._ und dem Bundesamt für Sozialversicherungen zugestellt.
Luzern, 2. Juli 2007
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: