Faits:
A.
Le 18 octobre 2011, à 17h35, A._ a suivi, alors qu'il roulait sur la voie de dépassement de l'autoroute A1 (tronçon Bern/ Brünnen - Kerzers) à une vitesse de 112 km/h, sur 497 mètres le véhicule précédent à une distance de 14.58 mètres, cela représentant un intervalle de 0.47 seconde.
Par ordonnance pénale du 24 janvier 2012, A._ a notamment été reconnu coupable de violation grave des règles de la circulation routière et condamné à une peine ferme de quinze jours-amende à 120 fr. le jour. Aucune opposition n'a été déposée à l'encontre de ce prononcé.
Le 25 janvier 2012, le Service cantonal des automobiles et de la navigation de la République et canton de Neuchâtel (SCAN) a retiré le permis de conduire de A._ pour une durée de douze mois, retenant une faute grave de l'intéressé, ainsi que son antécédent de 2006 (retrait de sept mois pour infraction grave, purgé au 24 avril 2007).
Cette décision a été confirmée le 4 septembre 2012 par le Département de la gestion du territoire de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le département).
B.
Par arrêt du 26 avril 2013, la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois a rejeté le recours formé par A._. Cette autorité a retenu que l'intervalle de 0.47 seconde à une vitesse de 112 km/h correspondait à peu près au quart de celui préconisé par les règles de prudence (1.8 secondes) et était donc beaucoup trop court pour permettre au conducteur de réagir en cas de nécessité. Il se situait ainsi dans la fourchette jurisprudentielle permettant de qualifier l'infraction de grave. La cour cantonale a également estimé que compte tenu de la faute et de l'antécédent de l'intéressé, la durée du retrait du permis correspondait au minimum légal.
C.
Par mémoire du 28 mai 2013, A._ forme un recours en matière de droit public. Il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal, ainsi qu'à celle des décisions du département et du SCAN, à la constatation que la faute commise est moyennement grave et, en conséquence, au prononcé d'un retrait de permis d'un mois.
Le SCAN, la juridiction cantonale et l'Office fédéral des routes ont conclu au rejet du recours, sans former d'observation complémentaire. Invité à se déterminer jusqu'au 26 août 2013, le recourant n'a pas déposé de détermination supplémentaire.

Considérant en droit:
1.
La voie du recours en matière de droit public, au sens des <ref-law>, est ouverte contre une décision de dernière instance cantonale relative à une mesure administrative de retrait du permis de conduire. Déposé en temps utile (<ref-law>) et en la forme prévue (<ref-law>) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celui-ci (<ref-law>), le présent recours est recevable.
2.
Le recourant ne conteste pas les faits qui lui sont reprochés. Il s'en prend à leur qualification juridique et estime qu'en raison de son attention vouée au trafic, de l'absence d'accident et de mise en danger concrète, des bonnes conditions de circulation, de l'excellent état de fonctionnement de son véhicule, ainsi que de la distance de moins de 500 mètres sur laquelle il aurait commis l'infraction, celle-ci ne saurait être qualifiée de grave. La cour cantonale aurait donc violé son pouvoir d'appréciation et fait preuve d'arbitraire en confirmant la décision du département, notamment en fondant son raisonnement sur des arrêts rendus dans des causes pénales.
2.1. La loi fédérale sur la circulation routière du 19 décembre 1958 (LCR; RS 741.01) distingue les infractions légères, moyennement graves et graves (art. 16a à c LCR). Commet une infraction grave selon l'<ref-law>, la personne qui, en violant gravement les règles de la circulation, met sérieusement en danger la sécurité d'autrui ou en prend le risque. Conformément à l'art. 16c al. 2 let. c LCR, le permis d'élève conducteur ou le permis de conduire est retiré pour douze mois au minimum si, au cours des cinq années précédentes, le permis a été retiré une fois en raison d'une infraction grave. Si des circonstances telles que la gravité de la faute, les antécédents ou la nécessité professionnelle de conduire un véhicule automobile doivent être prises en compte pour fixer la durée du retrait, la durée minimale ne peut pas être réduite, à teneur de l'<ref-law>.
2.2. Selon l'<ref-law>, le conducteur observera une distance suffisante envers tous les usagers de la route, notamment pour croiser, dépasser et circuler de front ou lorsque des véhicules se suivent. L'art. 12 al. 1 de l'ordonnance du 13 novembre 1962 sur les règles de la circulation routière (OCR; RS 741.11) prévoit que, lorsque des véhicules se suivent, le conducteur se tiendra à une distance suffisante du véhicule qui le précède, afin de pouvoir s'arrêter à temps en cas de freinage inattendu.
Il n'existe pas de règle absolue sur ce qu'il faut entendre par "distance suffisante" au sens de l'<ref-law>; cela dépend des circonstances concrètes, notamment des conditions de la route, de la circulation et de la visibilité, de même que de l'état des véhicules impliqués. Le sens de cette règle de circulation est avant tout de permettre au conducteur, même en cas de freinage inopiné du véhicule qui précède, de s'arrêter derrière lui. La jurisprudence n'a pas fixé de distances minimales à respecter au-delà desquelles il y aurait infraction simple, moyennement grave ou grave à la LCR. Elle a toutefois admis que la règle des deux secondes ou du "demi compteur" (correspondant à un intervalle de 1.8 secondes) étaient des standards minimaux habituellement reconnus (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 135; <ref-ruling> consid. 2b p. 194). Un cas peut être grave lorsque l'intervalle entre les véhicules est inférieur à 0.8, voire 0.6 seconde (<ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 137).
Ainsi, une faute grave a notamment été retenue lorsqu'un automobiliste a, sur une distance de 800 mètres environ et à une vitesse supérieure à 100 km/h, suivi le véhicule le précédant sur la voie de gauche de l'autoroute avec un écart de moins de 10 mètres, correspondant à 0,3 seconde de temps de parcours (<ref-ruling>; cf. aussi arrêts 1C_356/2009 du 12 février 2010; 1C_7/2010 du 11 mai 2010; 1C_274/210 du 7 octobre 2010), lorsque, à une vitesse de 110 km/h, il a suivi la voiture précédente sur 1'200 mètres à une distance oscillant entre 5 et 10 mètres (0.32 seconde [arrêt 1C_502/2011 du 6 mars 2012]) ou encore lorsqu'il a circulé à une vitesse de 125 km/h, à nouveau sur 1'200 mètres, à une distance de 15 mètres du véhicule qui le précédait (0.4 seconde [arrêt 1C_446/2011 du 15 mars 2012]). En revanche, la faute a été qualifiée de moyennement grave au sens de l'<ref-law> lorsqu'un conducteur a suivi, à une vitesse de 100 km/h, une voiture à une distance entre 20 et 25 mètres (0.9 seconde [arrêt 1C_424/2012 du 15 janvier 2013]) et lorsque l'écart entre les véhicules était de 26 mètres pour une vitesse de 124 km/h (0.8 seconde [arrêt 1C_183/2013 du 21 juin 2013]).
2.3. Il y a tout d'abord lieu de rappeler que si les faits retenus dans la procédure pénale lient en principe les autorités administratives (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 101 s. et les arrêts cités), il en va différemment des questions de droit, en particulier de l'appréciation de la faute et de la mise en danger (arrêts 1C_548/2012 du 6 août 2013 consid. 2.1; 1C_353/2011 du 12 janvier 2010 consid. 2.1 et les références). Cependant et contrairement à ce que voudrait croire le recourant, cela n'exclut pas de fonder un raisonnement en se référant à la jurisprudence rendue dans des causes pénales, a fortiori quand la matière traitée - en l'espèce, la circulation routière - concerne un domaine similaire et/ou se fonde sur un état de fait semblable, voire identique. En outre, si le département, puis la juridiction cantonale ont rappelé les principes découlant de l'<ref-ruling>, ils ont ensuite cité des exemples de jurisprudence relatifs à des affaires administratives afin d'étayer leur point de vue, manière de procéder qui ne peut être critiquée.
2.4. Quant à la qualification de faute grave effectuée par l'autorité précédente, aucun des arguments du recourant ne vient la remettre en cause.
Il est établi que le recourant a suivi, à une vitesse de 112 km/h sur 497 mètres, un véhicule à une distance de 14.58 mètres. Le temps de parcours entre les deux voitures était alors de 0.47 seconde. Ce chiffre est donc très proche de l'écart retenu dans la cause 1C_446/2011 (0.4 seconde) où la faute a été qualifiée de grave. En revanche, il correspond à peine au quart de l'intervalle à respecter en vertu des règles de prudence (1.8 secondes) et est également inférieur de presque une demi du temps de 0.9 seconde qui prévaut dans la cause 1C_424/2012 où une faute moyennement grave a pu être retenue. Quant à l'arrêt 1C_104/2009 du 26 mai 2009 (intervalle de 0.68 seconde) et aux deux références qui y sont citées (<ref-ruling> [0.33 seconde] et 6A.54/2004 [0.41 seconde]) dont le recourant entend se prévaloir, il ne peut en être déduit de manière absolue que tant que l'intervalle serait supérieur à 0.33 seconde, seule une faute moyennement grave devrait être retenue. En effet, dans ces trois causes, ce n'était pas la qualification de faute grave qui était contestée, mais uniquement celle de faute moyennement grave, appréciation que le Tribunal fédéral a confirmée sans examiner, ni exclure, si une qualification plus grave en fonction des circonstances aurait pu s'imposer (cf. notamment la mention que "le conducteur commet en tout cas une faute moyennement grave" [arrêt 1C_104/2009 consid. 3.1 in fine]). En conséquence, il n'est pas contraire au droit fédéral de retenir qu'un temps de parcours de 0.47 seconde entre deux véhicules peut être constitutif d'une infraction grave.
En outre et contrairement à ce que soutient le recourant, une distance de seulement 14.58 mètres à une vitesse de 112 km/h n'est pas suffisante pour garantir l'absence de collision avec l'arrière du véhicule précédent en cas de brusque changement des circonstances; cela vaut en particulier si un freinage d'urgence s'impose. De plus, dès lors que la vitesse est élevée, la distance de freinage est augmentée en conséquence et ainsi le seul fait de disposer d'un véhicule en bon état de fonctionnement ne permet pas de garantir l'absence d'accident. Si l'infraction n'a été commise que sur une distance de moins d'un demi kilomètre, elle a toutefois été réalisée sur la voie de dépassement et alors que la densité de la circulation était importante, le recourant ayant donc pris le risque de mettre sérieusement en danger tant sa sécurité que celle d'autrui.
Partant, la juridiction cantonale n'a pas procédé de manière arbitraire, ni violé son pouvoir d'appréciation, en confirmant la mesure prononcée par le département.
3.
Il s'ensuit que le recours est rejeté. Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service cantonal des automobiles et de la navigation, au Département de la gestion du territoire et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, ainsi qu'à l'Office fédéral des routes.
Lausanne, le 17 septembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Aemisegger
La Greffière: Kropf