Faits:
A.
Le 4 février 2010, R._, maire de la commune de X._, a confirmé à G._ son engagement en qualité de secrétaire de la commune à un taux d'activité de 80 % pour le 1er mars 2010. Par la suite, le maire a accepté une demande d'augmentation de son taux d'activité de 10 % à partir du 1er janvier 2011.
Le 11 octobre 2011, un entretien a eu lieu entre G._ et R._. Le 4 novembre 2011, ce dernier a adressé à la prénommée une lettre d'avertissement dans laquelle il lui rappelait les observations effectuées lors des entretiens du 11 octobre 2011 et du 23 novembre 2010, ainsi que le fait que son travail ne donnait pas satisfaction. Les reproches portaient en particulier sur le comportement qu'elle avait envers sa supérieure hiérarchique, S._, sur ses manquements dans la rédaction des procès-verbaux des séances du Conseil municipal, et sur son retard pris dans l'archivage des documents. Au terme de cette lettre, le maire souhaitait que cet avertissement allait engendrer les changements nécessaires de sa part.
Par courrier du 24 janvier 2012, remis en mains propres à G._, le maire lui a signifié la résiliation de son contrat de service avec effet définitif au 31 mars 2012. Suivait la liste des reproches invoqués à son égard. Il était également fait référence aux entretiens passés (des 11 octobre 2011 et 23 novembre 2010) et à la lettre d'avertissement du 4 novembre précédent.
Le 18 février 2012, G._ a formellement contesté son licenciement. Elle a par ailleurs interpellé le maire sur le point de savoir si le contrat de travail des employés communaux était soumis au régime du droit privé ou du droit public. Le maire lui a répondu que le régime du droit privé s'appliquait à son cas. Dans une lettre du 28 février 2012, le maire a également informé G._ qu'à la suite d'échos faisant état de mobbing au sein du secrétariat de la commune, il avait décidé d'ouvrir une enquête administrative à ce sujet et qu'il mandatait V._, pour ce faire.
Du 12 mars au 31 mai 2012, G._ s'est trouvé en arrêt maladie.
Dans une lettre du 26 mars 2012, l'intéressée, représentée par un avocat, a fait savoir au maire de la commune de X._ qu'elle considérait la résiliation du 24 janvier comme étant nulle car son droit d'être entendue n'avait pas été respecté, et qu'il était en outre erroné d'affirmer que ses rapports de travail étaient soumis au droit privé. Elle était par conséquent toujours employée de la commune et demandait à pouvoir reprendre son travail rapidement. Au cas où le maire persistait à vouloir se séparer d'elle, elle l'invitait à respecter la procédure de licenciement applicable en matière de rapports de travail de droit public (respect du droit d'être entendu et prononcé d'une décision avec indication des voies de droit).
Le 20 avril suivant, la commune de X._ a indiqué qu'elle informerait bientôt G._ de la suite qu'elle entendait donner à son courrier. Malgré une lettre de rappel de la prénommée le 11 mai 2012, la commune n'a plus réagi.
B.
Par acte du 30 mai 2012, G._ a saisi la Chambre administrative de la Cour de Justice de la République et canton de Genève d'un recours tendant à constater la nullité du licenciement, son droit au versement du salaire et, au cas où sa réintégration était refusée, au paiement d'une indemnité de 82'407 fr. ainsi que d'une somme de 20'000 fr. à titre de réparation pour tort moral.
En cours de procédure, en février 2013, la Caisse cantonale genevoise de chômage a demandé à être appelée en cause, au motif qu'elle avait versé des indemnités de chômage à G._.
La Chambre administrative a statué le 19 février 2013. A titre préalable, elle a rejeté la demande d'appel en cause de la Caisse cantonale genevoise de chômage. Sur le fond, elle a admis le recours de G._, annulé le licenciement qui lui a été notifié le 24 janvier 2012, dit que la prénommée n'a jamais cessé de faire partie du personnel de la commune de X._, et renvoyé la cause à ladite commune pour instruction et nouvelle décision au sens des considérants.
C.
La commune de X._ interjette un recours en matière de droit public. Sous suite de frais et dépens, elle conclut, principalement, à la réforme du jugement cantonal en ce sens que les conclusions de G._ sont rejetées; subsidiairement, à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi de la cause aux premiers juges pour nouvelle décision au sens des considérants.
G._ conclut au rejet du recours.

Considérant en droit:
1.
1.1. Il est admis - et la recourante ne le remet plus en cause - que le jugement entrepris a été rendu en matière de rapports de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. La contestation porte sur la résiliation des rapports de travail. Il s'agit donc d'une contestation de nature pécuniaire, si bien que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération (voir par exemple les arrêts 8C_907/2010 du 8 juillet 2011 consid. 1.1 et 8C_170/2009 du 25 août 2009 consid. 1.1). La valeur litigieuse atteint par ailleurs le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF).
1.2. Dans son mémoire, la commune de X._ ne fait référence à aucune norme du droit cantonal garantissant l'autonomie des communes. Elle déclare agir en sa qualité d'employeur de l'intimée. La jurisprudence retient qu'une collectivité publique peut être touchée de façon analogue à un employeur privé dans les contestations pécuniaires relevant du droit de la fonction publique (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 207). Partant, la qualité pour recourir peut lui être reconnue dans le cadre de l'<ref-law>.
1.3. Pour le reste, déposé en temps utile et dans les formes requises, le recours est recevable au regard des art. 42 al. 1 et 2 et 100 al. 1 LTF.
2.
La juridiction cantonale a annulé la décision de licenciement litigieuse du 24 janvier 2012, motif pris que la recourante avait gravement violé le droit d'être entendue de G._. A cet égard, elle a constaté que depuis la lettre d'avertissement du 4 novembre 2011, le maire n'avait pas informé l'intéressée de son intention de la licencier, ni ne lui avait donné l'occasion de s'exprimer sur les reproches qui lui étaient adressés.
3.
La recourante se plaint tout d'abord d'un établissement manifestement inexact des faits. Elle reproche aux premiers juges d'avoir passé sous silence le fait que G._ avait eu deux entretiens, les 23 novembre 2010 et 11 octobre 2011, au cours desquels il lui avait été fait part de divers motifs d'insatisfaction, notamment son comportement inacceptable à l'égard de sa supérieure hiérarchique, S._, et la qualité médiocre de son travail. Selon la recourante, si les premiers juges avaient établi correctement ces faits, ils n'auraient pas pu conclure à une violation du droit d'être entendue de l'intimée. A ce sujet, elle fait valoir que dans la mesure où l'intimée avait été convoquée à deux reprises et que les reproches soulevés à ces occasions avaient été formalisés dans une lettre d'avertissement, celle-ci ne pouvait alléguer de bonne foi qu'elle n'avait pas compris les termes de cet avertissement comme étant le prélude à son licenciement.
4.
4.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). La partie recourante ne peut critiquer ceux-ci que s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), ce qu'il lui appartient d'exposer et de démontrer de manière claire et circonstanciée. La correction du vice soulevé doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
4.2. Les juges cantonaux ont évoqué l'existence des entretiens des 23 novembre 2010 et 11 octobre 2011 uniquement dans la partie "en fait" de leur jugement, lorsqu'ils ont relaté le contenu de la lettre d'avertissement de la recourante du 4 novembre 2011 qui y faisait référence. Cela étant, comme on le verra ci-après, la prise en compte de ces faits ne permet pas d'aboutir à une issue différente du litige contrairement à ce que voudrait la recourante.
5.
5.1. Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de caractère formel, dont la violation doit entraîner l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès du recourant sur le fond (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 390; <ref-ruling> consid. 3d/aa p. 437). Le contenu du droit d'être entendu et les modalités de sa mise en oeuvre sont déterminés en premier lieu par les dispositions de droit cantonal de procédure, dont le Tribunal fédéral ne revoit l'application et l'interprétation que sous l'angle restreint de l'arbitraire; il examine en revanche librement si les garanties minimales consacrées par le droit constitutionnel fédéral sont respectées (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 161; consid. 5.2 non publié aux <ref-ruling> de l'arrêt 8C_158/2009 du 2 septembre 2009 et les arrêts cités).
En l'occurrence, au regard de l'absence de statut du personnel établi par la commune de X._, les premiers juges ont examiné l'étendue du droit d'être entendu sur la base de l'art. 41 de la loi sur la procédure administrative [du canton de Genève] du 12 septembre 1985 (LPA; RSGE E 5 10). Dans la mesure où cette disposition n'offre pas de garanties allant au-delà de celles de l'art. 29 al. 2 Cst, la question litigieuse peut être donc examinée librement à la lumière de la disposition constitutionnelle fédérale.
5.2. Le droit d'être entendu sert non seulement à établir correctement les faits, mais constitue également un droit indissociable de la personnalité garantissant à un particulier de participer à la prise d'une décision qui touche sa position juridique. Il comprend, en particulier, le droit pour la personne concernée de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment, celui de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision, celui d'avoir accès au dossier, celui de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos. En tant que droit de participation, le droit d'être entendu englobe donc tous les droits qui doivent être attribués à une partie pour qu'elle puisse faire valoir efficacement son point de vue dans une procédure (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 494; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 504 s., et les références). L'étendue du droit de s'exprimer ne peut pas être déterminée de manière générale, mais doit être définie au regard des intérêts concrètement en jeu. L'idée maîtresse est qu'il faut permettre à une partie de pouvoir mettre en évidence son point de vue de manière efficace (<ref-ruling> consid. 2b p. 274; <ref-ruling> consid. 2b/cc p. 197).
En matière de rapports de travail de droit public, des occasions relativement informelles de s'exprimer avant le licenciement peuvent remplir les exigences du droit constitutionnel d'être entendu, pour autant que la personne concernée ait compris qu'une telle mesure pouvait entrer en ligne de compte à son encontre (arrêts 1C_560/2008 du 6 avril 2009 consid. 2.4 et 1C_103/2007 du 7 décembre 2007 consid. 5.3). La personne concernée ne doit pas seulement connaître les faits qui lui sont reprochés, mais doit également savoir qu'une décision allant dans une certaine direction est envisagée à son égard (consid. 5 non publié aux <ref-ruling> de l'arrêt 8C_158/2009 du 2 septembre 2009 et les arrêts cités). Par exemple, il n'est pas admissible, sous l'angle du droit d'être entendu, de remettre à l'employé une décision de résiliation des rapports de service en se contentant de lui demander de s'exprimer s'il le désire ( GABRIELLE STEFFEN, Le droit d'être entendu du collaborateur de la fonction publique: juste une question de procédure?, in RJN 2005, p. 51 ss, plus spécialement p. 64).
5.3. En l'espèce, il y a eu deux entretiens et une lettre d'avertissement avant la notification de la décision de licenciement du 24 janvier 2012. Le premier entretien (du 23 novembre 2010) a eu lieu plus d'une année avant la résiliation et a été suivi d'une augmentation du taux d'activité de l'intimée, de sorte qu'il ne saurait être déterminant sous l'angle de son droit d'être entendue. En ce qui concerne le second entretien du 11 octobre 2011, il ressort du courriel que l'intimée a adressé le même jour au maire en y faisant référence qu'il a uniquement porté sur une évaluation de ses prestations. Dans ce courriel, l'intimée confirme avoir pris note des points d'insatisfaction soulevés par son employeur et des solutions proposées pour y remédier. Il ne comprend aucun élément qui permettrait d'établir que la question d'une éventuelle résiliation des rapports de service aurait été abordée au cours de cet entretien ou que l'intéressée aurait été entendue pour ce motif. D'ailleurs, la recourante ne le prétend pas non plus. Quant à la lettre d'avertissement qui a suivi de peu cet entretien, on ne saurait déduire autre chose de son contenu qu'une confirmation écrite des reproches invoqués à l'égard de l'intimée ("Madame, Nous vous confirmons les observations verbales qui vous ont été faites lors de notre entretien du 11 octobre 2011 et tenons à vous notifier notre insatisfaction sur plusieurs points." [...]). Quoi qu'en dise la recourante, les mots employés au terme de cette lettre n'évoquent pas le fait qu'un licenciement était envisagé à l'encontre de l'intimée ni ne donnent à penser qu'une "dernière chance" était donnée à celle-ci pour résoudre les problèmes soulevés, mais expriment simplement une injonction à améliorer ses prestations ("Nous espérons que ce courrier engendrera les changements nécessaires de votre part et dans cette attente, nous vous prions d'agréer, Madame, nos salutations respectueuses."). C'est en vain que la recourante se réfère à l'arrêt 8C_866/2010 du 12 mars 2012. Dans cette affaire, il s'agissait d'un cantonnier qui avait reçu de nombreux rappels à l'ordre et pas moins de quatre sanctions disciplinaires durant plusieurs années avant d'être transféré dans un autre service, transfert à la suite duquel il avait été licencié après que des contrôles eurent révélé qu'il n'avait pas respecté son horaire de travail à trois reprises au moins. Au vu de la répétition des manquements et des avertissements qui lui avaient été signifiés par son employeur, le Tribunal fédéral avait jugé que le cantonnier pouvait clairement interpréter son transfert comme sa dernière chance de démontrer qu'il pouvait accomplir son travail correctement. On est loin d'une telle situation dans le cas de l'intimée, qui pouvait d'autant moins s'attendre à être licenciée le 24 janvier 2012 qu'aucun événement particulier ou nouveau reproche n'est invoqué par la recourante depuis la lettre d'avertissement du 4 novembre 2011 pour justifier cette résiliation.
Par conséquent, en remettant en mains propres la lettre de licenciement du 24 janvier 2012 à l'intimée sans qu'elle n'ait été entendue au préalable à ce sujet, la recourante n'a de manière évidente pas respecté son droit d'être entendue, en violation de l'art. 29 al. 2 Cst.
5.4. Il résulte de ce qui précède que le jugement entrepris, qui annule le licenciement, n'est pas contraire au droit. Le recours, mal fondé, doit être rejeté.
6.
Vu l'issue du litige, la recourante supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Par ailleurs, l'intimée a droit à une indemnité de dépens à la charge de celle-ci (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée une indemnité de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 25 février 2014
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: von Zwehl