Sachverhalt:
A.
Der serbische Staatsangehörige A.A._ (geboren am 1954) heiratete am 1976 seine Landsfrau B.A._ (geb. 1960), mit welcher er einen Sohn hat (C.A._, geb. 1978), der bis heute in Serbien lebt. A.A._ hielt sich zwischen 1988 und 1996 als Saisonnier in der Schweiz auf. Im August 1999 zog er im Rahmen des Familiennachzuges zu seiner hier aufenthalts- bzw. seit dem 7. Februar 2003 niederlassungsberechtigten Ehefrau und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung, welche in der Folge regelmässig verlängert wurde. Im Jahre 2002 verlor A.A._ seine Arbeitsstelle als Reinigungsmitarbeiter im Spital U._. Er geht bis heute keiner Erwerbstätigkeit mehr nach. Im Jahr 2006 verstarb seine Ehefrau. Seither wird er vom Sozialdienst U._ unterstützt. Zusätzlich bezieht er eine BVG-Witwerrente von monatlich Fr. 606.--.
B.
Am 13. Oktober 2009 wurde A.A._ vom Migrationsdienst des Kantons Bern formell verwarnt und u.a. aufgefordert, keine Sozialhilfe mehr zu beziehen und einer geregelten Arbeit nachzugehen. Abgesehen von der Teilnahme an Beschäftigungs- bzw. Integrationsprogrammen gelang dies A.A._ jedoch nicht. Am 8. Oktober 2012 lehnte das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern einen Antrag auf eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung schliesslich ab und wies A.A._ aus der Schweiz weg.
Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern blieb erfolglos; und mit Urteil vom 9. April 2014 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen den Direktionsentscheid vom 27. Mai 2013 gerichtete Beschwerde ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 14. Mai 2014 führt A.A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 9. April 2014 aufzuheben und das Amt für Migration und Personenstand anzuweisen, ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Der Migrationsdienst des Kantons Bern hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Polizei- und Militärdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie das Bundesamt (heute: Staatssekretariat) für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 20. Mai 2014 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Für das Eintreten genügt, wenn der Betroffene in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein Anspruch auf die Bewilligung besteht; ob die jeweiligen Voraussetzungen tatsächlich gegeben sind, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f.). Der Beschwerdeführer hatte bereits vor der Vorinstanz Ansprüche aus Art. 50 AuG (SR 142.20) geltend gemacht, welche von dieser im Grundsatz anerkannt worden sind. Streitfrage vor dem Bundesgericht ist das Erlöschen dieser Ansprüche (vgl. Art. 51 Abs. 2 lit. b in Verbindung mit Art. 62 lit. e AuG). Die Beschwerde ist damit zulässig und der Beschwerdeführer hierzu legitimiert (<ref-law>); auf das Rechtsmittel ist einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zugrunde (<ref-law>). Mit einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können diese nur dann gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich sind (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen. Zudem ist vom Beschwerdeführer aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig ist eine Sachverhaltsfeststellung namentlich dann, wenn die Vorinstanz erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 2C_630/2014 vom 24. Oktober 2014 E. 3.2).
2.
Der Beschwerdeführer sieht sich zunächst in seinem "Beweisführungsrecht" verletzt (Beschwerde S. 7 f.) und erhebt in diesem Zusammenhang verschiedene Rügen, wonach die Vorinstanz den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt haben soll:
2.1. Im Umstand, dass die Vorinstanz entgegen einem ausdrücklichen Antrag die Akten der Invalidenversicherung nicht beigezogen hat, liegt weder eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) noch eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung: Der Beschwerdeführer stellt nicht in Abrede, dass die Eidgenössische Invalidenversicherung (IV) sein Leistungsbegehren abgewiesen hat und die Veweigerung dieser Leistungen vom kantonalen Versicherungsgericht geschützt worden ist (vgl. Rz. 8 der Beschwerdeschrift); die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit ist ihm daher zuzumuten. Ob diese zumutbare Erwerbstätigkeit im Rahmen einer Vollzeitstelle mit reduziertem Verdienst oder in einer Teilzeitstelle auszuüben wäre, ist nicht ausschlaggebend.
2.2. Die Rüge, wonach die Vorinstanz (einzig) aus einer nicht unterzeichneten Aktennotiz des Migrationsdienstes abgeleitet habe, die Integration des Beschwerdeführers in Serbien sei möglich und zumutbar (Rz. 18 der Beschwerdeschrift), ist sodann unbegründet. Dass eine Aktennotiz der zuständigen Verwaltungsbehörde nicht unterzeichnet ist, begründet für sich allein noch keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung. Ausserdem ergibt sich aus dem angefochtenen Entscheid (E. 4), dass die Vorinstanz alle wesentlichen Umstände, die den Beschwerdeführer in der Heimat erwarten (u.a. dort lebende nahe Familienangehörige, gesicherte BVG-Rentenauszahlung) berücksichtigt hat (vgl. hinten E. 3.4).
2.3. Auch der Vorwurf, die Vorinstanz habe willkürlich festgestellt, der in Serbien lebende Sohn sei in der Lage, für seinen Vater zu sorgen, ist unbegründet. Die vom Verwaltungsgericht als zumutbar erachtete Wohnsitznahme bei Familienangehörigen bedeutet nicht, dass die Vorinstanz von einer möglichen finanziellen Unterstützung des Sohnes an den Vater ausgegangen wäre.
Das Verwaltungsgericht hat nach dem Gesagten weder bei der Beweisabnahme gegen den Gehörsanspruch des Beschwerdeführers verstossen noch den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt. Dieser ist damit für das Bundesgericht verbindlich (vorne E. 1.2).
3.
3.1. Ausländische Ehegatten von Personen mit Niederlassungsbewilligung haben Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen (Art. 43 Abs. 1 AuG). Gemäss Art. 50 Abs. 1 AuG besteht nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft der Anspruch des Ehegatten auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach den Artikeln 42 und 43 weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht (lit. a) oder wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (lit. b), so genannter "nachehelicher Härtefall" (vgl. dazu <ref-ruling>).
Die niederlassungsberechtigte Ehefrau des Beschwerdeführers ist verstorben, weshalb sich in der Tat die Frage eines nachehelichen Härtefalls stellt. Die Vorinstanz ging aber bereits selber davon aus, dass die Voraussetzungen dazu vorliegend an sich erfüllt sind ("mit dem Tod der Ehefrau liegt grundsätzlich ein wichtiger persönlicher Grund im Sinn von Art. 50 Abs. 1 Bst. b AuG vor", E. 2. 5 des angefochtenen Entscheides, am Ende); die Ausführungen des Beschwerdeführers, aus welchen Gründen er einen Anwesenheitsanspruch aus Art. 50 AuG ableiten könne, gehen daher an der Sache vorbei und bedürfen keiner weiteren Prüfung. Zu entscheiden ist einzig, ob die Vorinstanz zu Recht auf ein Erlöschen dieses Anspruchs erkennen durfte:
Die Ansprüche nach Artikel 50 erlöschen u.a. nämlich dann, wenn Widerrufsgründe nach Artikel 62 vorliegen (Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG). Nach Art. 62 lit. e AuG kann die zuständige Behörde die Bewilligung widerrufen, wenn die ausländische Person oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist; dieser Widerrufs- bzw. Verweigerungsgrund gilt auch für die auf Art. 50 AuG gestützten Aufenthaltsrechte (Urteile 2C_406/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 3.4; 2C_150/2011 vom 5. Juli 2011 E. 2.6; 2C_422/2010 vom 16. September 2010 E. 2.1.1). Allerdings ist auch im Rahmen von Art. 62 lit. e AuG der Grundsatz der Verhältnismässigkeit zu beachten, wobei vor allem das Verschulden an der Situation und die bisherige Verweildauer im Lande zu berücksichtigen sind (BBl 2002 3809; Amtl. Bull 2004 N 1088 f. [NR Müller; BR Blocher; Kommissionssprecherin Leuthard]).
3.2. Beim Widerruf bzw. der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung eines Ausländers wegen Bedürftigkeit geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche und damit künftige Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu vermeiden. Ob dies der Fall sein wird, ist allerdings kaum je mit Sicherheit feststellbar. Es muss daher auf die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung beim Ausländer abgestellt werden. Nach der Rechtsprechung ist für die Bejahung dieses Widerrufsgrundes eine konkrete Gefahr der Sozialhilfeabhängigkeit erforderlich und es kann dafür nicht auf Hypothesen und pauschalierte Gründe abgestellt werden (vgl. Urteile 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 5.4; 2C_685/2010 vom 30. Mai 2011 E. 2.3.1 und E. 2.3.2). Neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen ist auch die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung auf längere Sicht abzuwägen. Ein Widerruf soll in Betracht kommen, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt sorgen wird (<ref-ruling> E. 3c S. 8; Urteil 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.1).
3.3. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz beliefen sich die Unterstützungsleistungen an den Beschwerdeführer allein bis im Mai 2013 (Entscheid der Polizei- und Militärdirektion) auf über Fr. 138'000.-- . Die Erheblichkeitsschwelle, welche das Bundesgericht mit seiner Rechtsprechung zu Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG entwickelt hat (vgl. Urteile 2C_502/2011 vom 10. April 2012 E. 4.1; 2C_79/2011 vom 8. Dezember 2011 E. 3.3; 2C_672/2008 vom 9. April 2009 E. 3.3) und die umso mehr im Rahmen von Art. 62 lit. e AuG beachtlich ist (Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5.2), wird klarerweise erreicht, wobei - anders als der Beschwerdeführer anzunehmen scheint (vgl. Rz. 35 der Beschwerdeschrift) - vergangene und künftige Bezüge gesamthaft betrachtet werden müssen und nicht allein auf die zu erwartenden rund Fr. 56'000.-- der nächsten drei Jahre abgestellt werden kann.
Das Argument des Beschwerdeführers, er habe in absehbarer Zeit Anspruch auf Leistungen der AHV (zuzüglich Ergänzungsleistungen), was seine Sozialhilfeabhängigkeit beenden werde, verfängt nicht: Entgegen seiner Darstellung hat die Vorinstanz nicht verbindlich festgestellt, er werde im Alter von 63 Jahren solche Leistungen erhalten. Selbst wenn dies zutreffen sollte, verbleibt noch eine relativ lange Zeit, während der mit hoher Wahrscheinlichkeit mit weiterer Sozialhilfeabhängigkeit zu rechnen ist. Wenn der Beschwerdeführer bis heute keine Arbeitsstelle (mehr) fand, ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nun noch eine findet, sehr gering. Jedenfalls kann nicht damit gerechnet werden, dass er in Zukunft für seinen Lebensunterhalt in der Schweiz selber aufkommen kann.
Damit ist der Erlöschensgrund von Art. 51 Abs. 2 lit. b in Verbindung mit Art. 62 lit. e AuG erfüllt. Wie weit die Sozialhilfeabhängigkeit verschuldet ist, muss im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung untersucht werden (vorne E. 3.1 und Urteil 2C_1058/2013 vom 11. September 2014 E. 2.4).
3.4. Die Vorinstanz hat hiezu erwogen, der Beschwerdeführer arbeite zwar motiviert im Beschäftigungsprogramm mit. Trotzdem sei den bereits länger dauernden Integrationsmassnahmen kein Erfolg beschieden gewesen, obschon dem Beschwerdeführer eine angepasste Teilzeitarbeit zugemutet werden könne. Deshalb sei er für die fortgesetzte Sozialhilfeabhängigkeit zumindest teilweise verantwortlich. Andererseits lebe der Beschwerdeführer erst seit dem 45. Lebensjahr ununterbrochen in der Schweiz und habe damit den weitaus grössten Teil seines Lebens in der Heimat verbracht, mit deren Sprache und Kultur er nach wie vor vertraut sei. Ausserdem lebten nahe Familienangehörige dort und die BVG-Rente von monatlich Fr. 606.-- werde ihm auch nach Serbien überwiesen. Sein Lebensunterhalt sei durch die Witwerrente daher gesichert und er befinde sich auch nicht in einer medizinischen Notlage, weshalb die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung verhältnismässig erscheine.
Die vorinstanzliche Verhältnismässigkeitsprüfung ist nicht rechtswidrig: Namentlich hat der Beschwerdeführer viel länger in der Heimat als in der Schweiz gelebt; er wird sich in Serbien wieder integrieren können. Sodann hat das Verwaltungsgericht nicht darauf abgestellt, dass der Sohn den Vater wirtschaftlich unterstützen müsste, sondern darauf, dass der Betrag der Witwerrente dem Beschwerdeführer in der Heimat die Erzielung eines durchschnittlichen Einkommens ermöglicht (E. 4.3 des angefochtenen Entscheides). Von aktuter Armut ist er, der im Übrigen auf ein gewisses soziales Netz zurückgreifen kann, jedenfalls nicht bedroht.
Zu Recht hat die Vorinstanz auch eine Verletzung von Art. 8 EMRK verneint. Besonders intensive, über eine normale Integration hinausgehende private Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur, die dem Beschwerdeführer allenfalls einen Anwesenheitsanspruch aus der Garantie auf Achtung des Privatlebens verschaffen könnten (dazu <ref-ruling>), sind weder dargetan noch ersichtlich. Dass der Beschwerdeführer hier einige Kontakte pflegt, begründet noch nicht Unverhältnismässigkeit, auch nicht die geltend gemachten gesundheitlichen Probleme (vgl. etwa das Urteil 2C_721/2014 vom 15. Januar 2015 E. 3.2). Schliesslich sind die Hinweise auf die Urteile des EGMR Hasanbasic gegen die Schweiz vom 11. Juni 2013 [52166/09] sowie Udeh gegen die Schweiz vom 16. April 2013 [12020/09] nicht einschlägig: Dort ging es um Kontakte der betreffenden Ausländer zu ihren in der Schweiz lebenden Familienangehörigen, was hier gerade nicht zur Diskussion steht. Der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte anerkennt im Übrigen ausdrücklich, dass Sozialhilfeabhängigkeit im Rahmen aufenthaltsbeendender Massnahmen berücksichtigt werden darf (zit. Urteil Hasanbasic, § 59, vgl. dazu auch das Urteil des Bundesgerichts 2C_877/2013 vom 3. Juli 2014 E. 3.2.2 mit Hinweisen).
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Der Beschwerdeführer trägt grundsätzlich die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>). Da der angefochtene Entscheid vollumfänglich der Rechtslage und der Praxis des Bundesgerichts entspricht, muss die Beschwerde als aussichtslos beurteilt und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abgewiesen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juni 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein