Erwägungen:
1.
Im November 2008 und im März 2009 wurde X._, geb. 1934, von der Kantonspolizei Basel-Stadt aufgefordert, sich der gemäss <ref-law> vorgeschriebenen ärztlichen Kontrolluntersuchung als Motorfahrzeuglenker zu unterziehen oder auf seinen Führerausweis zu verzichten. Er unterliess es in der Folge, auf diese Schreiben zu reagieren, so dass die Kantonspolizei am 12. Mai 2009 den Sicherungsentzug des Führerausweises verfügte und ein Fahrverbot aussprach. Diese Verfügung konnte X._ indes erst am 19. April 2012 anlässlich einer Kontrolle durch die Grenzwache am Flughafen Basel-Mulhouse ausgehändigt werden.
Mit Eingabe vom 24. April 2012 rekurrierte X._ gegen die Verfügung und verlangte u.a., es sei ihm die unentgeltliche Prozessführung bzw. amtliche Verbeiständung zu bewilligen. Am 30. Mai 2012 wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt dieses Begehren ab.
In der Folge gelangte X._ gegen diesen letztgenannten Entscheid an den Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt. Dieser liess die Sache zuständigkeitshalber dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht zukommen.
Das Verwaltungsgericht forderte den Rekurrenten mehrmals vergeblich auf, betreffend uP-Gesuch seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse darzulegen, ein Zustelldomizil in der Schweiz zu bezeichnen und abgesehen davon auch eine Rekursbegründung einzureichen. Mit Urteil vom 16. Oktober 2013 hat es daher den Rekurs als dahingefallen erklärt und dem Rekurrenten die auf Fr. 500.-- festgesetzten Kosten des Rekursverfahrens auferlegt.
2.
Gegen das ihm am 1. Dezember 2013 zugestellte Urteil vom 16. Oktober 2013 führt X._ mit Eingabe vom 10. Januar (Aufgabe bei der Schweizer Botschaft in Tel Aviv: 14. Januar) 2014 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie Verfassungsbeschwerde. In erster Linie beantragt er die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils. Sodann ersucht er um aufschiebende Wirkung sowie um Kostenerlass wie auch Befreiung von Vorschüssen.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen einzuholen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch <ref-law>; zudem <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53 und 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer übt im Wesentlichen appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil, d.h. er beanstandet es nur ganz allgemein, indem er ihm seine Sicht der Dinge gegenüber legt. Dabei beanstandet er aber im Wesentlichen das zugrunde liegende SVG-Verfahren, das er als in verschiedener Hinsicht rechtswidrig bezeichnet. Jedoch setzt er sich nicht konkret mit den dem Urteil zugrunde liegenden rechtlichen Erwägungen auseinander, wonach das Verwaltungsgericht den Rekurs in Anwendung kantonalen Verfahrensrechts als dahingefallen erklärte, nachdem der Rekurrent es wiederholt versäumt hatte, innert der ihm gesetzten Fristen die verlangten Entscheidgrundlagen einzureichen. Insbesondere legt er nicht im Einzelnen dar, inwiefern durch die verwaltungsgerichtliche Begründung bzw. durch das Urteil selbst im Ergebnis Recht im Sinne von <ref-law> verletzt worden sein soll.
Auf die Beschwerden ist daher schon aus diesem Grund nicht einzutreten, weshalb es sich erübrigt, auch noch die weiteren Eintretensvoraussetzungen zu erörtern. Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch, den Beschwerden sei aufschiebende Wirkung beizulegen, gegenstandslos.
Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die vorliegenden Beschwerden im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Da die Beschwerden nach dem Gesagten offensichtlich aussichtslos sind, ist das der Sache nach gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung abzuweisen (<ref-law>). Bei den gegebenen Verhältnissen rechtfertigt es sich indes, von einer Kostenauflage abzusehen (<ref-law>).

Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Bechwerden wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Februar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp