Faits:
A.
A.a. Ressortissant français né en 1970, X._ est arrivé en Suisse le 6 septembre 2004. Au bénéfice d'un contrat de travail signé le même jour avec la société Y._ Sàrl pour un emploi de vendeur à temps plein, X._ a obtenu une autorisation de séjour CE/AELE valable jusqu'au 30 septembre 2009.
Selon une attestation du 26 novembre 2009 du Centre social de Z._, X._ a bénéficié du revenu minimum de réinsertion du 1 er octobre au 30 novembre 2005. Il percevait, en outre, le revenu d'insertion depuis le 1 er août 2008. Le montant total de ces prestations s'élevait alors à 47'690 fr. 80.
A.b. Le 22 décembre 2009, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a renouvelé l'autorisation de séjour de l'intéressé pour une année. Le Service cantonal a cependant précisé que cette autorisation de séjour pourrait être révoquée si l'intéressé ne retrouvait pas son autonomie financière à l'échéance du permis de séjour.
Le 14 septembre 2010, X._ a sollicité la prolongation de son autorisation de séjour. Il a indiqué avoir engagé une procédure le 4 juin 2010 auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Vaud (ci-après: l'Office AI) en vue d'envisager sa réinsertion professionnelle.
Le 30 décembre 2010, le Service cantonal a à nouveau prolongé l'autorisation de séjour d'une année, dans l'attente de la décision de l'Office AI. Le Service cantonal a, en outre, invité X._ à produire la décision de l'Office AI à l'échéance de son autorisation de séjour et à se déterminer sur les circonstances de la survenance de l'événement ayant entraîné son incapacité de travail. Le 23 décembre 2011, X._ a formulé une nouvelle demande de prolongation de son autorisation de séjour.
A.c. Sur demande du Service cantonal, X._ a produit, le 20 mars 2012, un projet de décision de l'Office AI daté du 1 er décembre 2011, d'où il ressortait que l'autorité envisageait de rejeter la demande de rente d'invalidité, au motif que l'incapacité de travail de l'intéressé n'était que de 20%. L'Office AI avait également informé l'intéressé de son intention de refuser de le mettre au bénéfice de mesures professionnelles.
Le 22 mars 2012, faisant suite à une contestation de l'intéressé contre le projet de décision du 1 er décembre 2011, l'Office AI a accepté de mettre X._ au bénéfice d'une mesure d'orientation professionnelle. Dans un projet de décision du 30 mai 2012, l'Office AI a communiqué à l'intéressé un nouveau préavis de refus de reclassement et de rente d'invalidité. X._ a contesté ce projet de décision.
B.
Le 18 avril 2012, le Service cantonal a informé l'intéressé de son intention de refuser la prolongation de l'autorisation de séjour et lui a donné l'occasion de se déterminer, ce que l'intéressé a fait par courrier du 28 mai 2012. Par décision du 2 août 2012, le Service cantonal a refusé de prolonger l'autorisation de séjour de X._ et lui a imparti un délai de trois mois pour quitter la Suisse. Selon cette décision, l'intéressé avait bénéficié de prestations d'assistance pour un montant total de 104'964 francs.
Par acte du 5 septembre 2012, X._ a formé recours contre la décision du 2 août 2012 auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal).
Le 22 mai 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours et confirmé la décision du 2 août 2012. Se fondant sur le taux d'invalidité retenu par l'Office AI, le Tribunal cantonal a notamment considéré que l'intéressé ne remplissait pas les conditions permettant de bénéficier du droit de demeurer en Suisse au sens de l'art. 4 annexe I de l'Accord du 21 juin 1999, entré en vigueur le 1 er juin 2002, entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses États membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ci-après: ALCP; RS 0.142.112.681).
C.
X._ forme un " recours de droit public, subsidiairement un recours constitutionnel " contre le jugement rendu le 22 mai 2013 par le Tribunal cantonal. Il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et à la reconnaissance de son droit au renouvellement de l'autorisation de séjour. Il sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire.
Par ordonnance du 8 août 2013, le Président de la IIe Cour de droit public a informé l'intéressé qu'il serait statué ultérieurement sur sa demande d'assistance judiciaire.
Le Service cantonal renonce à se déterminer. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de l'arrêt attaqué alors que l'Office fédéral des migrations conclut à son rejet.
Le 14 octobre 2013, le recourant a fait parvenir au Tribunal fédéral un nouveau projet de décision de l'Office AI daté du 8 octobre 2013.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 133).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 2.5 p. 315).
1.2. Le droit de séjour et d'accès à une activité économique est accordé aux ressortissants d'un État membre de la Communauté européenne conformément aux dispositions de l'ALCP, qui leur permettent en outre, à certaines conditions, de demeurer sur le territoire d'une autre partie contractante après la fin de leur activité économique. Dans cette mesure, le motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF ne leur est en principe pas opposable s'ils recourent contre une décision leur refusant le droit de séjourner en Suisse, sans toutefois que cela ne préjuge en rien de l'issue du litige (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 343). Le recourant est de nationalité française et a bénéficié d'une autorisation de séjour pour y exercer une activité économique (CE/ AELE). Il a ainsi potentiellement droit au renouvellement de son autorisation de séjour, de sorte que le présent recours est recevable au regard de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF.
1.3. Pour le surplus, en tant qu'il est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), qu'il a été déposé en temps utile (<ref-law>) dans les formes requises (<ref-law>) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>), le présent recours, bien que mal intitulé, remplit les conditions du recours en matière de droit public. Le recours constitutionnel est par conséquent irrecevable (<ref-law> a contrario).
2.
2.1. L'examen du Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. <ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 3 p. 104) ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2.2. Pour la première fois devant le Tribunal fédéral, le recourant fait état de liens particulièrement étroits avec des personnes en Suisse. Il fournit également des indications sur sa situation familiale. Ces faits n'ayant pas été invoqués en procédure cantonale et n'ayant par conséquent pas été examinés par les autorités précédentes, il ne sont pas recevables devant le Tribunal fédéral.
Il ne sera pas non plus tenu compte des deux certificats médicaux datés du mois de juin 2013 que le recourant a produits devant le Tribunal fédéral. Il en va également ainsi du courrier que le recourant a adressé à la Cour de céans le 14 octobre 2013. Ces documents sont postérieurs à l'arrêt attaqué et doivent en conséquence être écartés en application de l'<ref-law>.
3.
Le recourant fait grief à l'instance précédente d'avoir violé les principes de la proportionnalité et de l'interdiction de l'arbitraire en statuant sans attendre l'issue de la procédure introduite devant l'Office AI.
3.1. Selon l'<ref-law>, les ressortissants d'une partie contractante ont le droit de demeurer sur le territoire d'une autre partie contractante après la fin de leur activité économique. L'<ref-law> précise que, conformément à l'art. 16 de l'accord, il est fait référence au règlement (CEE) 1251/70 (ci-après: règlement 1251/70) et à la directive 75/34/CEE, "tels qu'en vigueur à la date de la signature de l'accord".
L'art. 2 par. 1 let. b du règlement 1251/70 prévoit qu'a le droit de demeurer sur le territoire d'un État membre le travailleur qui, résidant d'une façon continue sur le territoire de cet État depuis plus de deux ans, cesse d'y occuper un emploi salarié à la suite d'une incapacité permanente de travail. Si cette incapacité résulte d'un accident du travail ou d'une maladie professionnelle ouvrant droit à une rente entièrement ou partiellement à charge d'une institution de cet É tat, aucune condition de durée de résidence n'est requise (art. 2 par. 1 let. b 2 ème phrase du règlement 1251/70). L'art. 4 par. 2 de ce même règlement précise que les périodes de chômage involontaire, dûment constatées par le bureau de main-d'oeuvre compétent, et les absences pour cause de maladie ou accident sont considérées comme des périodes d'emploi au sens de l'art. 2 par. 1. D'après l'art. 5 par. 1 du règlement, le bénéficiaire dispose d'un délai de deux ans pour l'exercice du droit de demeurer; ce délai court depuis le moment où le droit a été ouvert en application de l'art. 2 par. 1 let. a et b et de l'art. 3. L'art. 22 de l'ordonnance fédérale sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes entre, d'une part, la Confédération suisse et, d'autre part, l'Union européenne et ses États membres, ainsi qu'entre les Etats membres de l'Association européenne de libre-échange (OLCP; RS 142.203) dispose enfin que les ressortissants de l'UE qui ont le droit de demeurer en Suisse selon l'accord sur la libre circulation des personnes reçoivent une autorisation de séjour UE/AELE.
3.2. Selon la directive de l'Office fédéral des migrations du 1 er mai 2011 sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes, le droit de demeurer s'interprète comme le droit du travailleur de maintenir sa résidence sur le territoire de l'État d'accueil lorsqu'il cesse d'y occuper un emploi. Les bénéficiaires du droit de demeurer conservent leurs droits acquis en qualité de travailleur (maintien du droit à l'égalité de traitement avec les nationaux) en vertu de l'ALCP et son protocole, bien qu'ils ne bénéficient plus du statut de travailleur. Ce droit de séjour est maintenu, indépendamment du fait que la personne ait bénéficié ou non d'éventuelles prestations de l'aide sociale (ch. 11.1).
4.
4.1. Dans le cas particulier, le recourant réside en Suisse de façon continue depuis septembre 2004. Il ressort de l'arrêt attaqué que l'intéressé a exercé une activité lucrative salariée en Suisse, avant de se trouver sans emploi " à tout le moins à compter du mois d'août 2008 " (cf. arrêt attaqué, consid. 3b p. 9). Se pose dès lors la question d'un droit du recourant de demeurer en Suisse en raison d'une incapacité permanente de travail.
4.2. En l'occurrence, le Tribunal cantonal s'est fondé sur sa jurisprudence selon laquelle, lorsqu'un étranger établit avoir cessé son activité à la suite d'une incapacité de travail et dépose une demande de rente de l'assurance-invalidité, il a en principe droit à la délivrance d'une autorisation de séjour jusqu'à ce que l'Office AI statue, du moins lorsqu'il n'est pas invraisemblable que sa demande soit admise. Les juges cantonaux ont cependant constaté que, dans un projet de décision du 1 er décembre 2011, l'Office AI avait rejeté la demande de prestations du recourant, au motif que son degré d'invalidité était inférieur à 40 %. Dans la mesure où, selon le Tribunal cantonal, le recourant n'avait, dans sa contestation, pas remis en cause le taux d'invalidité retenu par l'Office AI, il convenait d'en tenir compte. Ainsi, se fondant sur sa jurisprudence, le Tribunal cantonal a jugé que le recourant, dont le taux d'invalidité était inférieur au taux minimal ouvrant le droit à une rente, ne pouvait pas se prévaloir d'une incapacité permanente de travail au sens de l'art. 2 par. 1 let. b du règlement 1251/70. Au demeurant, l'instance précédente a retenu qu'en l'absence d'indications données par le recourant sur les circonstances de la survenance de sa maladie, il n'était pas possible de déterminer si celui-ci avait été contraint de quitter son travail en raison de son affection. Or, il s'agissait là d'une condition nécessaire pour que le recourant dispose du droit de demeurer en Suisse. Pour le surplus, les juges cantonaux ont laissé ouverte la question de savoir si le recourant avait perdu le droit de demeurer en Suisse en raison de l'écoulement de plus de deux ans depuis la survenance de sa maladie.
4.3. Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir statué sans attendre que l'Office AI rende une décision relative à son incapacité de travail. Sur ce point, il convient de lui donner raison. En se fondant sur le taux d'incapacité de 20% retenu par l'Office AI dans le projet de décision du 1 er décembre 2011, l'instance précédente perd de vue que le taux d'invalidité ressort d'un préavis de l'Office AI, lequel n'a jamais été confirmé par une décision sujette à recours. En effet, faisant suite à une demande de prestations formulée par le recourant le 4 juin 2010, l'Office AI a rendu un projet de décision en date du 1 er décembre 2011, par lequel il a communiqué à l'intéressé un préavis de refus de rente d'invalidité et de mesures professionnelles. A la suite d'un échange de correspondance portant sur la mise en place de mesures d'orientation professionnelle, l'Office AI a rendu un deuxième projet de décision le 30 mai 2012, informant à nouveau l'intéressé de son intention de refuser le reclassement et la rente d'invalidité. L'arrêt attaqué retient que le recourant a contesté ce projet, mais ne précise pas ce qu'il est advenu de cette procédure. A cet égard, le point de savoir si, comme le prétend l'instance précédente, le recourant n'a pas contesté le taux d'invalidité retenu par l'Office AI, se limitant à critiquer la position de l'autorité concernant les mesures professionnelles importe peu. D'une part, il n'est pas certain que cela soit exact. Il ressort en effet du dossier que le recourant a fait part, de manière générale, de son " objection à l'encontre de[s] conclusions " prises par l'Office AI dans son projet de décision du 1 er décembre 2011 (cf. le courrier du recourant du 15 décembre 2011). D'autre part, la question est juridiquement sans pertinence. En effet, la procédure de préavis prévue à l'art. 57a al. 1 de loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité (LAI; RS 831.20) vise à garantir aux assurés le droit de s'exprimer de manière informelle sur la décision prévue (Message du 4 mai 2005 concernant la modification de loi fédérale sur l'assurance-invalidité, FF 2005 2908 ch. 1.3.1). A ce stade, le particulier ne peut à l'évidence pas se voir reprocher de n'avoir pas articulé en détail tous les griefs qu'il aurait pu avoir en relation avec le préavis de l'autorité, comme il l'aurait fait dans le cadre d'un recours. A l'instar d'une opposition, une contestation soulevée à l'encontre d'un projet de décision doit permettre de rétablir la procédure dans son état initial, sans que l'intéressé ne doive fournir tous les motifs à la base de son désaccord. Du reste, le second projet de décision daté du 30 mai 2012 reprend les deux volets du projet initial du 1 er décembre 2011, ce qui laisse supposer que l'Office a procédé à un nouvel examen complet du dossier. Il faut donc admettre qu'au moment de l'arrêt attaqué, la requête de l'intéressé n'avait fait l'objet d'aucune décision sujette à recours de la part de l'Office AI et que, partant, la procédure relative à l'incapacité de travail du recourant était toujours en cours.
Dans ces conditions, la juridiction cantonale ne pouvait pas considérer juridiquement que l'incapacité permanente de travail du recourant n'était pas admise, et que, par conséquent, l'art. 2 par. 1 let. b du règlement 1251/70 n'était pas applicable pour ce motif. Il appartenait au Tribunal cantonal de vérifier qu'une décision relative à l'incapacité de travail du recourant, et non un simple projet, avait été rendue par l'Office AI. Ce n'est que sur la base d'une telle décision que le Tribunal cantonal pouvait examiner si le recourant présentait une incapacité permanente de travail au sens de l'art. 2 par. 1 let. b du règlement 1251/70. Il n'est, en outre, pas possible de déterminer, sur la base des éléments retenus dans l'arrêt attaqué, si les autres conditions du droit de demeurer en Suisse ont été respectées. En l'état, les faits ressortant de l'arrêt attaqué ne permettent pas de savoir si l'intéressé a cessé d'occuper un emploi salarié à la suite d'une incapacité de travail et s'il a exercé son droit de demeurer en Suisse dans le délai de deux ans prévu à l'art. 5 par. 1 du règlement 1251/70. Faute de constatations de fait suffisantes, il convient donc de renvoyer la cause au Tribunal cantonal afin qu'il complète le dossier et se prononce à ce sujet.
5.
Au vu de ce qui précède, il convient d'admettre le recours dans la mesure où il est recevable, d'annuler la décision attaquée et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal en application de l'<ref-law> pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires (<ref-law>). La requête d'assistance judiciaire devient donc sans objet, d'autant que, n'étant pas représenté par un mandataire professionnel, le recourant n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
6.
D'après l'<ref-law>, si le dispositif d'un arrêt du Tribunal fédéral est peu clair, incomplet ou équivoque, ou si ses éléments sont contradictoires entre eux ou avec les motifs, ou s'il contient des erreurs de rédaction ou de calcul, le Tribunal fédéral, à la demande écrite d'une partie ou d'office, interprète ou rectifie l'arrêt.
Le dispositif adressé aux parties le 31 octobre 2013 comporte une omission dès lors qu'il admet le recours en matière de droit public dans la mesure où il est recevable et renvoie la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants, sans prévoir que l'arrêt attaqué du 22 mai 2013 est annulé. Il doit par conséquent être rectifié d'office sur ce point. Partant, le dispositif figurant dans le présent arrêt motivé constitue la version correcte de la décision prise par la Cour de céans.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours en matière de droit public est admis dans la mesure où il est recevable et l'arrêt attaqué est annulé. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
4.
La demande d'assistance judiciaire est sans objet.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 30 octobre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor