Sachverhalt:
A.
M._ war zuletzt vom 1. November bis 22. Dezember 2009 als Verkäuferin Charcuterie bei der Genossenschaft Migros angestellt und im Rahmen dieses Arbeitsverhältnisses bei der Migros-Pensionskasse, Zürich, berufsvorsorgeversichert. Am 5. Februar 2010 meldete sie sich unter Hinweis auf ein Burnout, bestehend seit einem am 18. Dezember 2009 erlittenen Nervenzusammenbruch, bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug (Massnahmen für die berufliche Eingliederung) an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich führte erwerbliche und medizinische Abklärungen sowie ein Vorbescheidverfahren durch und verfügte am 3. November 2010 die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente ab 1. November 2010. Die Migros-Pensionskasse verneinte mit Schreiben vom 12. November 2010 einen Anspruch der M._ auf eine Invalidenrente.
B.
Die hiegegen von M._ erhobene Klage hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 7. August 2013 gut und verpflichtete die Migros-Pensionskasse zur Erbringung der gesetzlichen Leistungen.
C.
Die Migros-Pensionskasse lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und die Aufhebung des angefochtenen Entscheides beantragen. In prozessualer Hinsicht sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
M._ ersucht um Abweisung der Beschwerde, die Stiftung Auffangeinrichtung BVG, der ebenfalls Gelegenheit zur Stellungnahme eingeräumt wurde, verzichtet auf Einreichung einer Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. <ref-law>) - Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Die obligatorische Berufsvorsorgeversicherung beginnt nach den zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid mit dem Antritt des Arbeitsverhältnisses (Art. 10 Abs. 1 BVG). Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, welcher die Ansprecherin bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, angeschlossen war (vgl. Art. 23 lit. a BVG). Unter Arbeitsunfähigkeit ist die Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich zu verstehen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23 mit Hinweisen). Sie muss mindestens 20 Prozent betragen (SVR 2011 BVG Nr. 14 S. 51, 9C_297/2010 E. 2.1; SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143, 9C_127/2008 E. 2.3 mit Hinweisen).
2.2. Entscheiderhebliche Feststellungen der Vorinstanz zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, binden das Bundesgericht, soweit sie nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law> sowie Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 397). Dies gilt auch für den Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG). Ebenfalls eine lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel überprüfbare Tatfrage ist, ob der von der IV-Stelle festgesetzte Beginn der Wartezeit (<ref-law>) unrichtig ist. Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit erfolgt sowie ob eine allfällige Unrichtigkeit des von der IV-Stelle festgesetzten Wartezeitbeginns offensichtlich (und daher die Bindungswirkung aufgehoben) ist (z.B. Urteil 9C_140/2012 vom 12. April 2012 E. 3.2 mit Hinweisen).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht zu Unrecht eine Leistungspflicht der Beschwerdeführerin bejahte. Diese hängt nach dem Gesagten davon ab, ob die invalidisierenden psychischen Probleme der Beschwerdegegnerin während der Dauer des Arbeitsverhältnisses, somit zwischen 1. November und 22. Dezember 2009 - bzw. unter Berücksichtigung der Nachdeckungsfrist bis zum 22. Januar 2010 - aufgetreten sind und zu einer relevanten Arbeitsunfähigkeit geführt haben (vorangehende E. 2).
4.
Die IV-Stelle setzte in ihrer Verfügung vom 3. November 2010 den Beginn der Wartezeit auf den 2. November 2009 fest und stützte sich dabei auf eine Stellungnahme des RAD-Arztes Dr. med. T._ vom 7. Juli 2010. Dieser hatte ausgeführt,es bestehe nachvollziehbar eine vollständige Arbeitsunfähigkeit ab 26. November 2009, weshalb die Wartezeit gemäss Beurteilung des Gutachters W._ am 2. November 2009 begonnen habe. Nach den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz terminierte Dr. med. W._ den Beginn der psychisch begründeten Arbeitsunfähigkeit indes keineswegs auf den 2. November 2009, sondern er führte aus, die Beschwerdegegnerin habe sich zirka drei Wochen nach Stellenantritt beim Migros Genossenschaftsbund vermehrt überfordert gefühlt und "zu viele Stopps" und "Heulattacken" gehabt. Abgesehen davon, dass die IV-Stelle mit Blick auf den gesetzlich normierten Beginn des Auszahlungsanspruchs (<ref-law>) den Eintritt der Arbeitsunfähigkeit nicht exakt zu terminieren brauchte, weshalb bereits aus diesem Grund eine Bindungswirkung der Berufsvorsorgeeinrichtung an den Beginn der Wartezeit gemäss IV-Verfügung zu verneinen ist (z.B. Urteile 9C_735/2010 vom 21. Oktober 2010 E. 1 und 9C_876/2011 vom 7. Mai 2012 E. 3.3), lässt sich eine relevante Arbeitsunfähigkeit ab 2. November 2009 jedenfalls nicht auf das Gutachten W._ stützen. Das kantonale Gericht hat eine Bindungswirkung der diesbezüglichen Festlegung durch die IV-Stelle für die Belange der beruflichen Vorsorge zu Recht verneint.
5.
5.1. Die Vorinstanz würdigte die Akten einlässlich und stellte fest, die für die Rentenzusprache massgebliche psychisch bedingte Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen sei überwiegend wahrscheinlich erstmals am 11. Dezember 2009 und damit während der Versicherungsdauer bei der (letztinstanzlichen) Beschwerdeführerin arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten, weshalb diese leistungspflichtig sei.
5.2. Die Beschwerde führende Pensionskasse bringt vor, in Übereinstimmung mit den Feststellungen der IV-Stelle sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit davon auszugehen, dass das für den Beginn des Wartejahres massgebliche psychiatrische Krankheitsbild bereits vor Versicherungsbeginn bei ihr die Arbeitsfähigkeit zu mindestens 20 Prozent eingeschränkt habe und die Arbeitsunfähigkeit bis zu der am 2. November 2009 eingetretenen Invalidität nicht mehr unterbrochen worden sei. Im Einzelnen sei der vorinstanzlich auf den 11. Dezember 2009 festgesetzte Eintritt einer rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit in Würdigung der Ausführungen des Gutachters Dr. med. W._ sowie des Hausarztes Dr. med. S._, Innere Medizin FMH, bundesrechtswidrig. Die Beschwerdegegnerin sei aus gesundheitlichen Gründen nicht in der Lage gewesen, an ihrer Arbeitsstelle bei der Migros die geforderte Leistung zu erbringen, weshalb das Arbeitsverhältnis zum vornherein zum Scheitern verurteilt gewesen sei. Die Vorinstanz habe auch vollkommen übersehen, dass bereits vor dem Stellenantritt bei der Migros psychisch bedingte Einschränkungen echtzeitlich in der Krankengeschichte vermerkt seien und ein gescheiterter Arbeitsversuch beim P._ Shop im Mai 2009 damit in unmittelbarem Zusammenhang stehe.
6.
6.1. Gemäss den Schilderungen der Beschwerdegegnerin war bereits ihre Kindheit nicht unproblematisch (so hatten ihre Eltern häufig Streit, auch fühlte sie sich gegenüber ihrer älteren Schwester benachteiligt; dem Gutachter Dr. med. W._ beschrieb sie kinderneurotische Zeichen [z.B. nächtliches Schreien, Bettnässen, Nägelkauen]). Dokumentiert ist eine somatische Behandlung bei Dr. med. S._ ab 1. November 2007, hauptsächlich wegen Problemen des Bewegungsapparates (rezidivierende Epicondylopathia humero-radialis ["Tennisellbogen"]). Seit dem 11. Mai 2009 beschrieb Dr. med. S._ auch Schlafstörungen und Angstzustände, indes habe die Beschwerdegegnerin im Mai 2009 weder Psychopharmaka noch eine anderweitige Behandlung gewollt. Er habe auch keine Arbeitsunfähigkeit attestieren müssen. Ausgewiesen ist weiter, dass die Beschwerdegegnerin nach dem Stellenantritt beim Migros Genossenschaftsbund am 1. November 2009 (ein früherer Arbeitsbeginn ist in den Akten nicht dokumentiert) am 24. November 2009 bei der Arbeit unabsichtlich in ein Käsemesser gegriffen, sich an einem Finger verletzt hatte und deswegen bis zum 29. November 2009 arbeitsunfähig war. Anschliessend nahm sie die Arbeit vollumfänglich wieder auf. Gegenüber Dr. med. W._ beschrieb die Beschwerdegegnerin, sie habe sich zirka drei Wochen nach Stellenantritt vermehrt überfordert gefühlt, habe Angst vor der Schneidmaschine in der Käseabteilung gehabt und ungefähr anfangs Dezember 2009 eine betriebsinterne Psychologin aufsuchen müssen. Gemäss einer Notiz dieser Psychologin hatte die Beschwerdegegnerin Angst vor Maschinen und Messern geäussert und erklärt, am 11. Dezember 2009 einen Nervenzusammenbruch erlitten zu haben. Seither sei sie krank. Sie habe mit der Chefin und dem Team Probleme, leide an Existenzängsten. Der Druck sei zu gross, sie möchte gerne die Abteilung wechseln. Dr. med. S._, den die Beschwerdegegnerin am 11. Dezember 2009 konsultiert hatte, hielt fest, seine Patientin leide seit 11. Mai 2009 an Schlafstörungen und Angstzuständen, seit ungefähr Oktober 2009 bestünden eine Dysthymie, ausgeprägte Traurigkeit und depressive Symptome mit Durchschlafproblemen, weswegen er "Solevita forte" (Johanniskrautpräparat) verordnet und die Überweisung an einen Psychiater veranlasst habe. Am 16. Dezember 2009 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis (innerhalb der Probezeit) auf den 22. Dezember 2009 und stellte die Beschwerdegegnerin frei. Die erste Konsultation beim Psychiater Dr. med. B._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, erfolgte am 18. Dezember 2009. Dieser attestierte in der Folge eine volle Arbeitsunfähigkeit.
6.2. Selbst wenn die Versicherte schon seit längerer Zeit an psychischen Problemen gelitten hätte, verstiess die Vorinstanz in keiner Weise gegen Bundesrecht, wenn sie - nach bundesrechtskonformer Beweiswürdigung - zum Schluss gelangte, die funktionelle Einbusse des Leistungsvermögen sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstmals am 11. Dezember 2009 arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten. Für die Beurteilung einer allfälligen Leistungspflicht der Beschwerdeführerin ist nach den zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid massgebend, wann die (latente) Einschränkung in eine manifeste Arbeitsunfähigkeit übergegangen ist (Urteil 9C_876/2011 vom 7. Mai 2012 E. 4.2.2; SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143, 9C_127/2008 E. 3.3.3). Eine Arbeitsunfähigkeit aus psychischen Gründen wurde erstmals ab 11. Dezember 2009 bescheinigt. Dr. med. S._ hielt klar fest, die im Mai 2009 beschriebenen psychischen Probleme hätten bis dahin keine Arbeitsunfähigkeit bewirkt. Dafür dass das Arbeitsverhältnis mit dem P._ Shop bereits nach drei Wochen aus gesundheitlichen Gründen aufgelöst wurde, ergeben sich keine Hinweise aus den Akten. Im Gegenteil deuten die nach hausärztlicher Beurteilung im Mai 2009 (noch) ohne Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit gebliebenen Schlafstörungen und Angstzustände überwiegend wahrscheinlich darauf hin, dass jene Kündigung auf andere Gründe zurückzuführen war. Erst am 11. Dezember 2009 veranlasste Dr. med. S._ wie dargelegt die Behandlung mit einem Johanniskrautpräparat sowie die Überweisung an einen Psychiater (E. 6.1 hievor).
6.3. Dr. med. W._ führte aus, die Störungen hätten bereits in der Kindheit und Jugend begonnen, "mit deutlicher Ausprägung auf Dauer im Erwachsenenalter" und deutlicher Einschränkung der beruflichen und sozialen Leistungsfähigkeit (was sich auch am beruflichen Werdegang der Beschwerdegegnerin zeige). Wenn die Vorinstanz darin kein Beweismittel sah, das eine relevante psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit bereits vor dem Stellenantritt beim Migros Genossenschaftsbund überwiegend wahrscheinlich zu erstellen vermöge, verstiess sie auch damit nicht gegen Bundesrecht. Zwar ist es richtig, dass ausnahmsweise mit Blick auf die Art eines Leidens und dessen erfassbare Auswirkungen eine Leistungseinbusse relevant sein kann, wenn sie dem Arbeitgeber nicht aufgefallen und somit nicht echtzeitlich dokumentiert ist (Urteil 9C_108/2013 vom 27. Juli 2013 E. 4.2, in: SZS 2014 S. 149 [betreffend Schizophrenie]), wobei auch in solchen Fällen für nachträgliche Annahmen und spekulative Überlegungen kein Raum bleibt. Ein solcher Ausnahmefall ist hier aber nicht gegeben. Die (nicht an einer schubförmig verlaufenden Krankheit leidende) Beschwerdegegnerin befand sich seit 2007 in hausärztlicher Behandlung, ohne dass ärztlicherseits vor dem 11. Dezember 2009 eine psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit attestiert worden wäre. Die Bejahung der Leistungspflicht der Beschwerdeführerin ist somit in keiner Weise bundesrechtswidrig.
7.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
8.
Die unterliegende Beschwerdeführerin hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. April 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Bollinger Hammerle