Sachverhalt:
A.
A.a. Die A._ AG (Gesuchstellerin, Beschwerdeführerin) ist im Bereich der Anlageberatung und Vermögensverwaltung tätig. Mit Eingabe vom 5. September 2013 stellte sie beim Bezirksgericht Zürich gestützt auf <ref-law> i.V.m. Art. 15 Abs. 1 DSG und <ref-law> ein Begehren um vorsorgliche Massnahmen. Sie beantragte, es sei der Bank B._ AG (Gesuchsgegnerin, Beschwerdegegnerin) unter Androhung der Bestrafung nach <ref-law> mit sofortiger Wirkung zu verbieten, im Zusammenhang mit ihrem Bankkunden C._, Kunden-Nr. xxx, dem Department of Justice (DoJ) der Vereinigten Staaten von Amerika und/oder der eidgenössischen Finanzmarktaufsicht (Finma) Personendaten der Gesuchstellerin oder deren Partner und Mitarbeiter zu übermitteln.
A.b. Mit Verfügung vom 6. September 2013 entsprach das Bezirksgericht Zürich dem Antrag auf superprovisorische Anordnung der Massnahme, unter Androhung einer Busse an die Organe der Gesuchsgegnerin bis zu Fr. 10'000.-- im Widerhandlungsfall.
A.c. Mit Verfügung vom 2. Dezember 2013 trat das Bezirksgericht Zürich auf das Gesuch vom 5. September 2013 nicht ein (Dispositiv-Ziff. 1). Gleichzeitig ordnete das Gericht an, die mit Verfügung vom 6. September 2013 angeordnete superprovisorische Massnahme bleibe in Kraft, bis die Rechtsmittelfrist verstrichen sei oder bis nach Abschluss des Verfahrens vor Obergericht, falls von diesem nichts anderes angeordnet werde (Dispositiv-Ziff. 2). Das Bezirksgericht verneinte seine sachliche Zuständigkeit und erachtete das Handelsgericht des Kantons Zürich für zuständig.
B.
Dagegen erhob die Gesuchstellerin Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich und beantragte, die Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 2. Dezember 2013 sei aufzuheben und die Sache sei mit der Auflage an das Bezirksgericht zurückzuweisen, über die anbegehrte vorsorgliche Massnahme materiell zu entscheiden.
Mit Urteil vom 24. Februar 2014 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung ab (Dispositiv-Ziff. 1). Gleichzeitig ordnete das Obergericht an, die mit Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 6. September 2013 angeordnete Massnahme bleibe vorbehältlich eines abweichenden Entscheides des Bundesgerichts bis zum Ablauf der Beschwerdefrist in Kraft (Dispositiv-Ziff. 2).
Das Obergericht hielt alle Voraussetzungen nach <ref-law> für erfüllt und fügte an, das Erfordernis von <ref-law> (Möglichkeit der Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht) wäre auch gegeben, wenn entgegen der Ansicht des Gerichts von einer nicht vermögensrechtlichen Streitigkeit auszugehen wäre. Die Erfüllung der bundesrechtlichen Voraussetzungen der sachlichen Zuständigkeit nach <ref-law> hielt das Obergericht freilich nicht für hinreichend in der Meinung, die Kantone könnten die bundesrechtliche Kompetenz zur Errichtung eines Handelsgerichts auch nur teilweise ausschöpfen. Das Obergericht prüfte daher auch nach kantonalem Recht (§ 44 lit. b des Gesetzes des Kantons Zürich vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess [GOG; LS 211.1]), ob die Zuständigkeit des Handelsgerichts für die vorliegende Streitsache bestehe, was es bejahte. Das trotzdem einstweilen angeordnete Verbot bestätigte das Gericht bis zum Ablauf der Beschwerdefrist mit der Begründung, es sei ein negativer Kompetenzkonflikt mit dem Handelsgericht zu erwarten.
C.
Mit Beschwerde vom 27. März 2014 stellt die Gesuchstellerin den Antrag, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 24. Februar 2014 aufzuheben und die Angelegenheit sei an das Bezirksgericht Zürich zurückzuweisen mit der Auflage, auf das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen einzutreten. Ausserdem stellt sie den "Verfahrensantrag", im Falle der Abweisung der Beschwerde sei die vom Bezirksgericht Zürich mit Verfügung vom 6. September 2013 angeordnete Massnahme bis zum Ablauf einer fünftägigen Frist ab Zustellung des bundesgerichtlichen Entscheides analog zu <ref-law> in Kraft zu lassen.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung der verfassungsrechtlichen Rechtsweggarantie gemäss <ref-law>. Zur Begründung führt sie aus, es liege keine vermögensrechtliche Streitigkeit vor und das Handelsgericht des Kantons Zürich habe sich in einer Verfügung vom 1. Februar 2012 (publiziert in den Blättern für Zürcherische Rechtsprechung [ZR] 111/2012 S. 183) für die Beurteilung von Klagen ohne Streitwert unter Bezugnahme auf § 44 lit. b GOG (der ein qualifiziertes Schweigen enthalte) für nicht zuständig erklärt. Daran sei seither festgehalten worden, womit das Handelsgericht auf das Gesuch der Beschwerdeführerin ebenfalls nicht eintreten werde.
Die Beschwerdegegnerin schliesst in der Antwort auf Abweisung der Beschwerde und des Verfahrensantrags. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.
D.
In Wahrnehmung des unbedingten Replikrechts halten beide Parteien in je einer weiteren Eingabe an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde betrifft eine Zivilsache (<ref-law>); sie richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts (<ref-law>) und ist von der mit ihren Anträgen unterliegenden Partei (<ref-law>) rechtzeitig (<ref-law>) eingereicht worden. Zwischen den Parteien ist umstritten, ob eine vermögensrechtliche Angelegenheit vorliegt. Da bei Bejahung einer solchen der Streitwert über Fr. 30'000.-- betragen würde, ist die Beschwerde in Zivilsachen unabhängig von der Beantwortung dieser Frage grundsätzlich zulässig (<ref-law>).
1.2. Die Vorinstanz hat den Entscheid des erstinstanzlichen Gerichts bestätigt, mit dem das Bezirksgericht auf das Gesuch der Beschwerdeführerin um vorsorgliche Massnahmen mangels sachlicher Zuständigkeit nicht eingetreten ist. Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.5 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234, je mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerdeführerin beruft sich auf <ref-law>. Diese Bestimmung garantiert jeder Person bei Rechtsstreitigkeiten eine Beurteilung durch eine richterliche Behörde. Die Beschwerdeführerin rügt, mit dem angefochtenen Urteil werde ihr der Zugang zum Recht für ihre Massnahmebegehren verweigert. Denn es liege eine Streitigkeit ohne Vermögenswert vor, für welche auch das Handelsgericht nach einer Verfügung vom 1. Februar 2012 (ZR 111/2012 S. 183) seine sachliche Zuständigkeit verneine, woran seither festgehalten worden sei.
2.1. Die Vorinstanz hat die sachliche Zuständigkeit des Handelsgerichts bejaht und damit ihre eigene verneint. Sie hat dies hauptsächlich damit begründet, (auch) die Voraussetzungen von <ref-law> und § 44 lit. b GOG seien erfüllt, da entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin ein vermögensrechtlicher Streit mit einem Streitwert von mindestens Fr. 30'000.-- vorliege. Zwar würden Persönlichkeitsansprüche im Sinne des Datenschutzgesetzes als solche nicht als vermögensrechtlich gelten. Dagegen könnten Begehren auf Herausgabe von Daten nicht unbesehen von ihrer Art als nicht vermögensrechtlich qualifiziert werden. Im vorliegenden Fall lege zwar die Beschwerdeführerin die Nachteile nicht substanziiert dar, welche die Datenherausgabe für sie hätte, aber es gehe aus der Schilderung hervor, dass es ihr primär darum gehe, nicht in Verfahren von US-Behörden einbezogen zu werden und dadurch geschäftlichen Schaden zu erleiden. Es gehe somit nicht um den Schutz der Persönlichkeit, sondern um die Vermeidung unnötiger Kosten und wirtschaftlicher Nachteile, weshalb die Beschwerdeführerin einen vermögensrechtlichen Zweck verfolge. Als Eventualbegründung führte die Vorinstanz aus, selbst wenn keine vermögensrechtliche Streitigkeit vorliegen würde, wäre das Handelsgericht (entgegen dessen Rechtsprechung) sowohl nach <ref-law> als auch nach § 44 lit. b GOG sachlich zuständig.
2.2. Alternative Begründungen, die je den angefochtenen Entscheid selbständig stützen, müssen je eigens gehörig angefochten werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 535 f.; <ref-ruling> E. 6.3 S. 120 f.). Die Beschwerdeführerin bezeichnet die Auffassung der Vorinstanz, wonach eine vermögensrechtliche Streitigkeit vorliege, als unzutreffend. Sie rügt in diesem Zusammenhang aber nicht ausdrücklich eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte. Es ist daher fraglich, ob die Begründungsanforderungen erfüllt sind. Die Frage kann jedoch offen bleiben, da die Beschwerde materiell ohnehin unbegründet ist.
2.3. Nach konstanter Praxis sind als nicht vermögensrechtlich Streitigkeiten über Rechte zu betrachten, die ihrer Natur nach nicht in Geld geschätzt werden können (<ref-ruling> E. 12.1 S. 448; <ref-ruling> E. 1a S. 78). Es muss sich um Rechte handeln, die weder zum Vermögen einer Person gehören noch mit einem vermögensrechtlichen Rechtsverhältnis eng verbunden sind. Dass die genaue Berechnung des Streitwertes nicht möglich oder dessen Schätzung schwierig ist, genügt nicht, um eine Streitsache als eine solche nicht vermögensrechtlicher Natur erscheinen zu lassen. Massgebend ist, ob mit der Klage letztlich und überwiegend ein wirtschaftlicher Zweck verfolgt wird (<ref-ruling> E. 12.1 S. 448; <ref-ruling> E. 2c S. 531). Ist dies der Fall, liegt eine vermögensrechtliche Streitigkeit vor (<ref-ruling> E. 12.1 S. 448; <ref-ruling> E. 66.3 S. 581, je mit Hinweisen).
2.4. Die Vorinstanz hat mit dem Schluss, es liege eine vermögensrechtliche Streitigkeit vor, keine verfassungsmässigen Rechte verletzt. Sie konnte namentlich ohne Verletzung des (allerdings nicht ausdrücklich gerügten) Willkürverbots schliessen, der Beschwerdeführerin als juristische Person gehe es primär darum, dass sie nicht in Verfahren verwickelt werde, die ihr Kosten und wirtschaftliche Nachteile verursachten. Die Vorinstanz konnte ohne Verletzung verfassungsmässiger Rechte annehmen, es gehe der Beschwerdeführerin nicht um den Schutz ihrer Persönlichkeit, sondern um den Schutz ihres Vermögens, zumal selbst ein Reputationsverlust letztlich zu einem Schaden in ihrem Anlageberatungs- und Vermögensverwaltungsgeschäft führen würde. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin erweist sich die vorinstanzliche Erwägung, bei gewinnorientierten juristischen Personen würden die Vermögensinteressen in der Regel überwiegen, nicht als willkürlich.
2.5. Liegt nach dem Gesagten eine vermögensrechtliche Streitigkeit vor, so stellt auch die Beschwerdeführerin nicht in Frage, dass das Handelsgericht nach <ref-law> sachlich zuständig ist und daher das Obergericht seine Zuständigkeit zu Recht bzw. ohne Verletzung verfassungsmässiger Rechte verneint hat. Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet, soweit die formellen Anforderungen an die Begründung überhaupt als erfüllt anzusehen sind.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Das Begehren um Anordnung vorsorglicher Massnahmen über den Entscheid hinaus entbehrt der gesetzlichen Grundlage. Die Beschwerdegegnerin bringt insofern zutreffend vor, dass es der rechtsuchenden Person obliegt, ihre Ansprüche bei der zuständigen Instanz anzubringen und dass im vorliegenden Fall keine hinreichenden Gründe vorgebracht werden oder ersichtlich sind, um von diesem Grundsatz abzuweichen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Schreier