Sachverhalt:
A. Am 1. Juli 2005 erliess die Gemeindeversammlung der Politischen Gemeinde Schiers (GR) ein neues Weidgesetz. Damit wurde das entsprechende Gesetz vom 6. März 1986 total revidiert. Nach dem Weidgesetz von 1986 sind die gemeindeeigenen Alpen Drusa, Garschina, Mutta und Vordertamunt (Schuderser Älpli) - wie bereits zuvor - je einer Alpgenossenschaft zur Bewirtschaftung zugewiesen. Diese Genossenschaften mit den entsprechenden Namen Drusa, Garschina, Mutta und Schuders stammen offenbar aus dem 19. Jahrhundert und stehen in folgendem, engem Zusammenhang zu den Gemeindeteilen, den so genannten Fraktionen bzw. Nachbarschaften. Jede Fraktion ist einer Genossenschaft zugeordnet. Die Mitgliedschaft steht Personen mit landwirtschaftlichem Domizil in der betreffenden Fraktion offen.
Das Weidgesetz vom 1. Juli 2005 regelt die Nutzung der Gemeindealpen neu. Im vorliegenden Zusammenhang umstritten sind die Bestimmungen, die eine Fusion der vier vorgenannten Genossenschaften zur öffentlichrechtlichen Weid- und Alpgenossenschaft Schiers vorsehen. Ergänzend beschloss die Gemeindeversammlung am 1. Juli 2005 die Übernahme der Hypothekarschulden der Alpgenossenschaften Drusa, Garschina und Mutta zu Lasten der Investitionsrechnung der Gemeinde. Ebenso nahm die Gemeindeversammlung die Gründungsstatuten der Alp- und Weidgenossenschaft Schiers an.
Die Gesetzesrevision bezweckt hauptsächlich, die Alpen neu zuzuteilen. Die vier Genossenschaften betreiben Milchkuhhaltung bzw. Sennereien. Ansässige Mutterkuhhalter hatten faktisch, bis auf wenige Ausnahmen, keine Möglichkeit, ihre Tiere auf den gemeindeeigenen Alpen zu sömmern, weil die beiden Kuhhaltungsarten offenbar aus betrieblichen Gründen nicht zusammen passen. In den letzten Jahren ist in der Gemeinde der Bestand an Milchkühen gesunken, während die Zahl der Mutterkühe stetig zugenommen hat. Nach dem neuen Weidgesetz soll die Alp Mutta zur Mutterkuhalp umgewandelt werden; die Milchkühe aus den vier fusionierten Genossenschaften sollen hingegen auf die übrigen drei Alpen verteilt werden.
B. Die Alpgenossenschaften Drusa und Garschina sowie je eines ihrer Mitglieder persönlich gelangten mit Verfassungsbeschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Sie verlangten die Aufhebung des neuen Weidgesetzes und der Statuten der Weid- und Alpgenossenschaft Schiers. Die Alpgenossenschaft Schuders und ein Mitglied persönlich erhoben eine parallele Beschwerde. Das Verwaltungsgericht vereinigte die Verfahren und hiess die Beschwerden mit Urteil vom 4. April 2006 gut. Die zwangsweise angeordnete Fusionierung verstosse gegen die Eigentumsgarantie, weil es sich bei den betroffenen Alpgenossenschaften um privatrechtliche juristische Personen im Sinne von <ref-law> bzw. Art. 26 ff. des bündnerischen Einführungsgesetzes vom 12. Juni 1994 zum ZGB (EGzZGB/GR; BR 210.100) handle. Entsprechend hob das Verwaltungsgericht die umstrittenen beiden kommunalen Erlasse auf.
C. Mit Eingabe vom 7. Juni 2006 führt die Politische Gemeinde Schiers staatsrechtliche Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Sie rügt eine Verletzung der Gemeindeautonomie, der Eigentumsgarantie, des Willkürverbots, des Anspruchs auf rechtliches Gehör und sie beklagt eine formelle Rechtsverweigerung.
In getrennten Eingaben ersuchen die Alpgenossenschaften Drusa und Garschina mit den beiden beteiligten Mitgliedern einerseits wie die Alpgenossenschaft Schuders und das beteiligte Mitglied anderseits um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Denselben Antrag stellt das Verwaltungsgericht.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das angefochtene Urteil stellt einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid dar, gegen den im Bund kein anderes Rechtsmittel als die staatsrechtliche Beschwerde zulässig ist (Art. 84 Abs. 2 und Art. 86 OG).
Eine Gemeinde kann sich mit staatsrechtlicher Beschwerde dagegen wehren, dass sie als Trägerin hoheitlicher Gewalt in ihrer nach kantonalem Verfassungsrecht gewährleisteten Autonomie verletzt wird (Art. 50 Abs. 1 und Art. 189 Abs. 1 lit. b BV; Art. 88 OG); ob ihr im betreffenden Bereich eine Autonomie zusteht, ist nicht eine Frage des Eintretens, sondern der materiellrechtlichen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.1 S. 412; <ref-ruling> E. 1.2 S. 139, je mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143). In diesem Rahmen kann die Gemeinde auch verfassungsrechtliche Verfahrensrechte anrufen und geltend machen, die kantonalen Instanzen hätten die Tragweite von verfassungsmässigen Rechten missachtet, soweit diese Vorbringen mit der behaupteten Autonomieverletzung in engem Zusammenhang stehen (<ref-ruling> E. 1 S. 93 mit Hinweisen).
Das Verwaltungsgericht hat zwei rechtssetzende Erlasse der Gemeindeversammlung aufgehoben. Dies trifft die Beschwerdeführerin in ihrer Eigenschaft als Trägerin hoheitlicher Gewalt. Sie ist demzufolge zur staatsrechtlichen Beschwerde wegen Verletzung ihrer Autonomie legitimiert. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Eine Gemeinde ist in einem Sachbereich autonom, wenn das kantonale Recht diesen nicht abschliessend ordnet, sondern ihn ganz oder teilweise der Gemeinde zur Regelung überlässt und ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräumt. Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung des kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 294, 410 E. 2.1 S. 413, je mit Hinweisen).
2.2 Die in Art. 65 der Verfassung des Kantons Graubünden vom 18. Mai/ 14. September 2003 (KV/GR; BR 110.100) gewährleistete Gemeindeautonomie umfasst das Recht, dass die Gemeinde ihre Organisation selbst bestimmen kann; vorbehalten bleiben die Vorgaben des kantonalen Rechts zur Gemeindeorganisation (vgl. Art. 66 KV/GR). In der Kantonsverfassung werden die Gemeindefraktionen nicht erwähnt; deren Rechtsstellung ergibt sich aus Art. 71 ff. des Bündner Gemeindegesetzes vom 28. April 1974 (GG/GR; BR 175.050). Weiter kommt den Gemeinden von Verfassungs wegen Finanzautonomie zu, soweit ihre Ein- und Ausgaben nicht durch übergeordnetes Recht festgelegt sind (Marco Toller, in: Kommentar zur Verfassung des Kantons Graubünden, Chur 2006, Rz. 12 zu Art. 65 KV/GR). Im Übrigen statuiert Art. 60 Abs. 2 KV/GR eine allgemeine Zuständigkeit der politischen Gemeinden für die örtlichen Angelegenheiten. Dazu gehört das Alpwesen (vgl. Toller, a.a.O., Rz. 20 zu Art. 60 KV/GR).
2.3 Eine Gemeinde kann nach Art. 63 GG/GR (in der Fassung vom 26. November 2000) für die Auslagerung von Gemeindeaufgaben juristische Personen des öffentlichen und privaten Rechts schaffen. Wie sich aus der früheren Fassung dieser Bestimmung vom 28. April 1974 ergab, kann sie namentlich für die Nutzung von Gemeindealpen öffentlichrechtliche Genossenschaften der jeweiligen Nutzungsberechtigten bilden. Gleichsam als Sonderform hierzu kann sie solche öffentlichrechtliche Körperschaften auch als so genannte Fraktionen errichten (Art. 71 Abs. 2 GG/GR). Diese mehr genossenschaftliche Form der Fraktion ist zu unterscheiden von der Fraktion, die als Gebietskörperschaft im Sinne von Art. 71 Abs. 3 GG/GR ausgestaltet ist (vgl. zum Ganzen Kurt Langhard, Die Organisation der politischen Gemeinden des Kantons Graubünden im Spiegel der neueren kantonalen und kommunalen Rechtssetzung, Diss. Zürich 1977, S. 12 ff.; Rolf Raschein/Andri Vital, Bündnerisches Gemeinderecht, 2. Aufl., Chur 1991, S. 37, 40). Zwar umfasst die Autonomie der Gemeinde an sich die Befugnis zur nachträglichen Umstrukturierung der von ihr geschaffenen öffentlichrechtlichen Gebilde. Bei Fraktionen enthält aber das kantonale Recht eine spezielle Zuständigkeitsregel. Nach Art. 76 GG/GR liegt die Kompetenz zur Auflösung von Fraktionen einzig bei der Kantonsregierung, wenn sich Gemeinde und Fraktion darüber nicht einigen können.
2.4 Wenn die beschwerdegegnerischen Alpgenossenschaften - wie von der Beschwerdeführerin behauptet - öffentlichrechtlicher Natur sind, wäre an sich vorfrageweise abzuklären, ob es sich dabei um Fraktionen im Sinne von Art. 71 Abs. 2 GG/GR handelt. Im vorliegenden Verfahren bestreiten die Beschwerdegegner indessen in keiner Weise die Autonomie der Beschwerdeführerin für den Fall, dass die fraglichen Genossenschaften öffentlichrechtliche Korporationen sind. Vielmehr billigen sie diesfalls der Beschwerdeführerin die Kompetenz zur Umstrukturierung der Alpgenossenschaften zu. Da es sich beim Umfang der Autonomie nicht um eine Eintretensfrage handelt, ist dieser Punkt nicht von Amtes wegen abzuklären. Vorliegend ist somit von der Autonomie der Gemeinde im Zusammenhang mit der umstrittenen Revision des Weidgesetzes auszugehen. Folglich kann sich die Beschwerdeführerin mit Autonomiebeschwerde dagegen zur Wehr setzen, dass das Verwaltungsgericht die fusionierten Alpgenossenschaften nicht als kommunale öffentlichrechtliche Körperschaften eingestuft hat. In diesem Rahmen ist auch die umstrittene Auslegung des EGzZGB/GR durch das Verwaltungsgericht zu beurteilen (vgl. E. 5.5).
2.5 Die Anwendung von kantonalem und kommunalem Gesetzesrecht prüft das Bundesgericht nur auf Willkür hin; einzig im Hinblick auf die Verletzung von eidgenössischem oder kantonalem Verfassungsrecht steht dem Bundesgericht die freie Kognition zu (<ref-ruling> E. 1.1 S. 69 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 414, je mit Hinweisen). Willkür liegt nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts vor, wenn der angefochtene kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 5.1 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f., je mit Hinweisen).
3. Zunächst rügt die Beschwerdeführerin eine Rechtsverweigerung (<ref-law>) und eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Die Begründung des angefochtenen Urteils sei mangelhaft; das Verwaltungsgericht habe den Alpkorporationen eine privatrechtliche Rechtsnatur beigelegt, ohne sich hinreichend mit den rechtstheoretischen Grundlagen und den Gegenargumenten der Beschwerdeführerin auseinander zu setzen.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist Teil der allgemeinen Verfahrensgarantien von <ref-law>. Die Rechtsprechung hat daraus einen Rechtsanspruch auf eine ausreichende Entscheidbegründung abgeleitet (<ref-ruling> E. 3.2 S. 236 mit Hinweisen). Der in <ref-law> verankerte Anspruch der Verfahrenspartei auf gleiche und gerechte Behandlung besitzt hier keine darüber hinausgehende Bedeutung.
Das Verwaltungsgericht hat das angefochtene Urteil im Hinblick auf die Rechtsnatur der fraglichen Alpgenossenschaften ausführlich begründet. Es hat der Beschwerdeführerin hinreichend klar gemacht, dass es deren Rechtsauffassung nicht teilt. Der Beschwerdeführerin war es ohne weiteres möglich, das Urteil des Verwaltungsgerichts in diesem Punkt anzufechten. Eine Verletzung des Gehörsanspruchs liegt nicht vor, weshalb sich die staatsrechtliche Beschwerde in diesem Punkt als unbegründet erweist.
4. Zur Hauptsache geht es um die Zuordnung der fraglichen Genossenschaften zum privaten oder öffentlichen Recht.
4.1 <ref-law> behält im Rahmen der Regeln über die juristischen Personen die öffentlichrechtlichen Körperschaften und Anstalten des Bundes und der Kantone vor. <ref-law> wiederholt diesen Vorbehalt für öffentlichrechtliche Genossenschaften. Nach <ref-law> verbleiben Allmendgenossenschaften und ähnliche Körperschaften unter den Bestimmungen des kantonalen Rechts. Diese letztere Bestimmung bezieht sich auf Korporationen, die mit der land- oder forstwirtschaftlichen Nutzung von Grund und Boden zusammenhängen; darunter fallen insbesondere Alpgenossenschaften (Tuor/Schnyder/ Schmid/Rumo-Jungo, Das Schweizerische Zivilgesetzbuch, 12. Auflage, Zürich 2002, S. 132 f.; Hans Michael Riemer, in: Berner Kommentar, Systematischer Teil [ST] zu Art. 52-59 ZGB, N. 72; Claire Huguenin, in: Basler Kommentar, 3. Aufl., 2006, N. 21 zu <ref-law>; Denis Piotet, in: Schweizerisches Privatrecht, Band I/2 [Ergänzendes kantonales Recht], Basel 2001, N. 274 ff., 278; Arthur Meier-Hayoz/Peter Forstmoser, Schweizerisches Gesellschaftsrecht, 10. Aufl., Bern 2007, § 21 N. 2, 11). Im Anwendungsbereich von <ref-law> können die Kantone regeln, ob sie derartige Körperschaften dem privaten oder dem öffentlichen Recht unterstellen (vgl. Riemer, a.a.O., ST, N. 78; Huguenin, a.a.O., N. 23 f. zu <ref-law>; Piotet, a.a.O., N. 287 ff.).
4.2 Im Kanton Graubünden besteht neben der Rechtsgrundlage von Art. 63 ff. GG/GR für öffentlichrechtliche Körperschaften der Gemeinden eine privatrechtliche Regelung zu den Allmendgenossenschaften und ähnlichen Körperschaften in Art. 26 ff. EGzZGB/GR. Art. 26 EGzZGB enthält eine nicht abschliessende Aufzählung derartiger Körperschaften; dabei ist die Alpgenossenschaft ausdrücklich aufgeführt. Wie der angefochtene Entscheid zu Recht festhält, kennt der Kanton Graubünden bei Allmendgenossenschaften die öffentlich- wie die privatrechtliche Rechtsform (vgl. auch Piotet, a.a.O., N. 302).
4.3 Die Abgrenzung ist in erster Linie anhand des gesetzten kantonalen Rechts vorzunehmen, ergänzend aufgrund des kantonalen Gewohnheitsrechts (vgl. Piotet, a.a.O., N. 287; Meier-Hayoz/Forstmoser, a.a.O., § 21 N. 16). Hilfsweise kann schliesslich auf allgemeine Grundsätze zur Unterscheidung von öffentlichem und privatem Recht zurückgegriffen werden (Subordinations-, Interessen-, Funktionstheorie); insoweit prüft das Bundesgericht in jedem Einzelfall, welches Abgrenzungskriterium den konkreten Gegebenheiten am besten gerecht wird. Damit wird dem Umstand Rechnung getragen, dass der Unterscheidung zwischen privatem und öffentlichem Recht ganz verschiedene Funktionen zukommen, je nach den Regelungsbedürfnissen und den Rechtsfolgen, die im Einzelfall infrage stehen (<ref-ruling> E. 2a S. 253; <ref-ruling> E. 1b S. 149, je mit Hinweisen).
5. Es fragt sich, ob die Alpgenossenschaften hier auf einer öffentlichrechtlichen Grundlage beruhen oder ob sie private Vereinigungen darstellen. Die Beschwerdeführerin leitet die öffentlichrechtliche Natur aus den Bestimmungen des kommunalen Weidgesetzes von 1986 ab. Sie erachtet es als willkürlich, dass das Verwaltungsgericht die Genossenschaften als privat qualifiziert hat, obwohl deren Selbstbestimmungsrecht in diesem kommunalen Erlass grundlegend beschränkt werde.
5.1 Das Weidgesetz von 1986 regelt unter anderem die Nutzung der Gemeindealpen; diese stehen unbestrittenermassen im Eigentum der Gemeinde. Die Aufsicht und Leitung des Alpwesens obliegt dem Gemeindevorstand (Art. 1). Für die (Alp-)Weidenutzung haben die Landwirte Abgaben, so genannte Nutzungstaxen, zu bezahlen (Art. 3). Zu den Alpgenossenschaften wird im Wesentlichen Folgendes bestimmt: Es wird festgelegt, welche Gemeindealp welcher Genossenschaft zur Nutzung und Bewirtschaftung zugewiesen ist (Art. 21). Der Gemeindevorstand legt alle fünf Jahre die so genannten Bestossungszahlen der einzelnen Alpen, d.h. die Höchstzahl der zur Sömmerung zugelassenen Tiere, fest (Art. 26). Die Sömmerung von Vieh, das nicht aus der entsprechenden Fraktion stammt, ist nur dann zulässig, wenn aus den Beständen der Genossenschafter nicht genügend Vieh gealpt wird. Vieh aus anderen Fraktionen hat dabei den Vorrang vor auswärtigem Vieh (Art. 23 Abs. 3).
Die Genossenschaften sind verpflichtet, Statuten aufzustellen, die den vom Gemeindevorstand erlassenen Normalstatuten nicht widersprechen dürfen; ausserdem bedürfen die Annahme und jede Änderung der Statuten zu ihrer Gültigkeit der Genehmigung des Gemeindevorstandes (Art. 22). Art. 23 umschreibt, wer Mitglied in einer Genossenschaft werden darf. Alle Personen mit landwirtschaftlichem Domizil in der jeweiligen Fraktion der Gemeinde haben einen Anspruch auf die Mitgliedschaft in der entsprechenden Genossenschaft, sofern sie die in den Statuten festgehaltenen Voraussetzungen erfüllen (Art. 23 Abs. 2).
In den aktuellen (genehmigten) Statuten der drei Genossenschaften, die allesamt aus dem Jahr 1987 stammen, wird für den Erwerb der Mitgliedschaft übereinstimmend Folgendes verlangt: landwirtschaftliches Domizil in der jeweils zugeordneten Gemeindefraktion, Entrichtung eines bestimmten Eintrittsgelds sowie eine schriftliche Beitrittserklärung. Zum Eintrittsgeld wird in allen Statuten bestimmt, dass es bei einem Austritt nicht zurückerstattet wird.
5.2 Das Verwaltungsgericht hat die Einordnung der vorliegenden Alpgenossenschaften ins Privatrecht damit begründet, sie würden hauptsächlich private Interessen - d.h. der beteiligten Landwirte - verfolgen und nur in einem kleinen Umfang auch öffentlichen Zwecken dienen. Die Anwendbarkeit des kantonalen Gemeindegesetzes auf diese Korporationen hat das Gericht mit dem Argument abgelehnt, sie seien älter als dieser Erlass aus dem Jahr 1974. Eine solche Argumentation greift zu kurz. Das hohe Alter der Alpgenossenschaften schliesst es nicht aus, ihre heutigen Strukturen den kantonalen privatrechtlichen Bestimmungen (EGzZGB/GR) bzw. dem Gemeindegesetz zuzuordnen.
5.3 Die Bestimmungen des Weidgesetzes von 1986 haben in rechtshistorischer Sicht folgenden Hintergrund.
5.3.1 Unter den Parteien ist unbestritten, dass die Alpgenossenschaften zwar seit über einem Jahrhundert bestehen, aber mutmasslich nicht vor 1863 entstanden sind; bis dahin war das Alpwesen Gemeindeangelegenheit (vgl. Mathias Thöny, Schiers - Geschichte und Kulturgeschichte, 2. Aufl., Schiers 1995, S. 117; dieses Werk vermittelt bei S. 47 f. auch einen Überblick über die Alpteilungen zwischen Schiers und Grüsch, die erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts abgeschlossen worden sind; vgl. insbesondere zur Teilung der Alp Tamunt, bei der Vordertamunt an Schiers gelangte, Heinrich Moosberger, Die bündnerische Allmende, Diss. Zürich 1891, S. 72 ff.).
5.3.2 Wird das Gründungsdatum historisch derart eingegrenzt, so ist mit der Beschwerdeführerin davon auszugehen, dass die Genossenschaften nicht älter als das altrechtliche bündnerische Civilgesetzbuch sind, das am 1. September 1862 in Kraft trat (vgl. zum Inkrafttreten dieses Erlasses Mario Cavigelli, Entstehung und Bedeutung des Bündner Zivilgesetzbuches von 1861, Diss. Freiburg i.Ü. 1994, S. 87).
5.3.3 Aus Sicht des öffentlichen Rechts kommt hier dem altrechtlichen kantonalen Niederlassungsgesetz von 1874 eine wesentliche Bedeutung zu. Es bestimmte in Art. 12, (Gemeinde-)Bürger und Niedergelassene mit Schweizer Bürgerrecht müssten grundsätzlich gleichermassen zur Nutzung der Gemeindeweiden und -alpen zugelassen werden (vgl. dazu Rolf Raschein, Bündnerisches Gemeinderecht, 1. Aufl., Domat/Ems 1972, S. 119; Göri Pedotti, Beiträge zur rechtsgeschichtlichen Entwicklung der Gemeinde, der Gemeindeaufgaben und des Gemeindevermögens im Kanton Graubünden, Diss. Zürich 1936, S. 80 ff). Die Vorschrift ist durch das Gemeindegesetz abgelöst worden (Art. 102 lit. a GG/GR).
5.3.4 Die ältesten kommunalen Rechtsquellen zu den Alpkorporationen, die bei den Akten liegen, stammen aus dem Jahr 1930. Dabei handelt es sich um die damalige Gemeindeverfassung und eine Vollzugsordnung der Gemeinde. Die damalige Gemeindeverfassung sah in Art. 27 vor, dass die Gemeindealpen seit uralten Zeiten den verschiedenen Nachbarschaften zur Nutzniessung überlassen seien und es vorläufig bei der bisherigen Übung bleibe. Sie bestimmte weiter, dass Bürger und in der Gemeinde Niedergelassene grundsätzlich in gleicher Weise, entsprechend dem Wohnsitz in einer Nachbarschaft (heute: Fraktion), zur Mitgliedschaft in den Alpgenossenschaften berechtigt waren und Neueintretende lediglich ein von der Gemeinde bestimmtes Eintrittsgeld zu bezahlen hatten. In der Verfassung war ebenso verankert, dass die Genossenschaften für die Alpverwaltung Statuten aufzustellen hatten, die der Genehmigung des Gemeinderates bedurften. Die Regelung der Bestossung wurde in den Ausführungsbestimmungen den einzelnen Genossenschaften überlassen. Im Rahmen der späteren Weidordnung von 1954 wurde präzisiert, dass dieser Punkt Inhalt der Genossenschaftsstatuten bilden müsse; in diesem Rahmen unterlag er nun der Genehmigung durch die Gemeinde.
5.3.5 Die Gemeinden sind zur Schaffung öffentlichrechtlicher Alpkorporationen befugt (vgl. Art. 63 GG/GR und insbesondere die von 1974 bis 2000 geltende Fassung dieser Bestimmung [Art. 63 aGG/GR]). Art. 65 GG/GR sieht in der heutigen Fassung die Aufsicht der Gemeinde über ausgelagerte Trägerschaften vor; die Fassung von 1974 bis 2000 präzisierte, zur Aufsicht gehöre, dass der Gemeindevorstand die Statuten dieser Genossenschaften zu genehmigen habe. Nach Art. 30 GG/GR, der unverändert in Kraft steht, sind zur Nutzung des so genannten Nutzungsvermögens der Gemeinde die in der Gemeinde wohnhaften Gemeindebürger und die niedergelassenen Schweizerbürger in der gleichen Weise berechtigt. Zum Nutzungsvermögen werden unter anderem die gemeindeeigenen Alpen gerechnet (Raschein/Vital, a.a.O., S. 159). Für die Nutzung von Weiderechten ist die Zahl der Tiere massgebend, die der Nutzungsberechtigte mit dem auf Gemeindegebiet geernteten Futter durchgewintert hat (Art. 31 GG/GR). Art. 32 aGG/GR (in der Fassung von 1974 bis 2000) legte fest, dass der Niederlassung das landwirtschaftliche Domizil in der betreffenden Gemeinde gleichgestellt sei, und definierte diesen Begriff (vgl. dazu Raschein/Vital, a.a.O., S. 165). Nach Art. 33 GG/GR hat die Gemeinde für die Gewährung der Nutzungen Nutzungstaxen oder Pachtzinse zu erheben.
5.4 Es stellt daher keinen Zufall dar, dass die bei E. 5.1 aufgeführten Bestimmungen des kommunalen Weidgesetzes von 1986 dem kantonalen Gemeindegesetz in der damals geltenden Fassung entsprechen. In Art. 3 nimmt das Weidgesetz von 1986 bezüglich der Nutzungstaxen sogar ausdrücklich Bezug auf Art. 33 GG/GR. Die Vorgaben des kommunalen Rechts zum Mitgliederkreis und zum Umfang, in dem die Alpen wirtschaftlich genutzt werden durften, bezwecken offensichtlich die Umsetzung der übergeordneten kantonalen Vorschriften. Dies zeigt sich gerade in der Anknüpfung von Art. 23 des Weidgesetzes von 1986 an das landwirtschaftliche Domizil in der Gemeinde (Art. 32 aGG/GR, E. 5.3.5). Dieser Begriff war in der kommunalen Verfassung von 1930 noch nicht verwendet worden; dort war - entsprechend der damaligen kantonalen Regelung (E. 5.3.3) - nur die Rede von Bürgern und Niedergelassenen (E. 5.3.4). Das Verwaltungsgericht verkennt, dass der eigentliche öffentliche Zweck dieser Genossenschaften in der Offenhaltung der gemeindlichen Alpen für diejenigen Personen liegt, die gemäss althergebrachter Übung und nach dem späteren kantonalen Recht zur Nutzung berechtigt sind. Im Vergleich dazu erweist sich der private Nutzen, den die jeweiligen Mitglieder aus der Genossenschaft ziehen können, lediglich als Folge dieses öffentlichen Zwecks. Dem öffentlichrechtlichen Charakter der Genossenschaften tut es keinen Abbruch, dass die Mitgliedschaft heute nicht automatisch mit der Begründung des landwirtschaftlichen Domizils in der Gemeinde entsteht; es genügt, dass ein öffentlichrechtlicher Rechtsanspruch auf den Erwerb der Mitgliedschaft besteht. Ebenso wenig kann es - entgegen der Auffassung des Verwaltungsgerichts - darauf ankommen, dass bei den fraglichen Korporationen kein Beitrittszwang der Nutzungsberechtigten vorgeschrieben ist.
5.5 Unhaltbar ist es sodann, wenn das Verwaltungsgericht die im Weidgesetz von 1986 verankerte Pflicht, die Genossenschaftsstatuten von der Gemeinde genehmigen zu lassen, als mit einer privatrechtlichen Struktur vereinbar wertet. Nicht nur war dieser Teilgehalt der kommunalen Aufsicht in Art. 65 aGG/GR verankert (E. 5.3.5). Insofern geht es gleichzeitig um das richtige Verständnis von Art. 35 EGzZGB/GR. Nach dieser Bestimmung bleiben für Genossenschaften, die öffentlichen Zwecken dienen, das öffentliche Recht und die Aufsicht des Staates vorbehalten.
5.5.1 Das Verwaltungsgericht hat erwogen, Art. 35 EGzZGB/GR beziehe sich auf kantonalrechtliche private Genossenschaften; dies folge aus der Stellung dieses Artikels im Abschnitt des EGzZGB/GR über die Allmendgenossenschaften. Nach Auffassung des Gerichts könne sich eine Gemeinde die Genehmigung von Statuten einer Allmendgenossenschaft vorbehalten, ohne dass dies dem privatrechtlichen Charakter der Korporation abträglich sei. Mit anderen Worten lehnt das kantonale Gericht es ab, Art. 35 EGzZGB/GR als unechten Vorbehalt zugunsten des öffentlichen Rechts aufzufassen. Dabei stellt sich das Gericht aber in Widerspruch zu einem älteren eigenen Entscheid; dort hatte es Art. 49 des EGzZGB/GR vom 5. März 1944, die Vorgängerbestimmung von Art. 35 EGzZGB/GR, lediglich als deklaratorischen Hinweis auf das öffentliche Recht behandelt (PVG 1973 Nr. 47 E. 2 S. 92). Weshalb das Gericht eine derartige Meinungsänderung vollzogen hat, ist aus dem angefochtenen Entscheid nicht ersichtlich.
5.5.2 Im Kanton Graubünden können sich die juristischen Personen des kantonalen Privatrechts traditionellerweise frei bilden. Für die Errichtung genügt der in den Statuten zum Ausdruck kommende Willensentschluss der beteiligten Gesellschafter (Piotet, a.a.O., N. 311). Dieses heute in Art. 26 EGzZGB/GR verankerte freiheitliche System geht zurück auf entsprechende Normen des Civilgesetzbuchs (Albert Pritzi, Die privatrechtlichen Korporationen nach dem Recht des Kantons Graubünden, mit besonderer Berücksichtigung des Unterengadins, Diss. Zürich 1998, S. 90 f.; vgl. auch aus rechtshistorischer Sicht Cavigelli, a.a.O., S. 109 ff.).
5.5.3 Im Gegensatz zum System der freien Gesellschaftsbildung steht das so genannte Konzessionssystem (vgl. dazu aus Sicht des Bundesprivatrechts <ref-ruling> E. 4b S. 381). Bei Letzterem behält der Kanton die Genehmigung der Statuten privater kantonalrechtlicher Körperschaften durch eine Behörde vor (dazu Riemer, a.a.O., N. 10a zu <ref-law>; Piotet, a.a.O., N. 311; Meier-Hayoz/Forstmoser, a.a.O., § 21 N. 19). Diesem Prinzip ist z.B. der Kanton St. Gallen gefolgt; eine behördliche Genehmigung der Statuten ist nicht nur für die Errichtung, sondern auch bei Statutenänderungen und der Körperschaftsauflösung erforderlich (Andreas Kley-Struller, Kantonales Privatrecht, St. Gallen 1992, S. 104 f.).
5.5.4 Wesensmerkmal privatrechtlicher Körperschaften ist nach dem bündnerischen Recht ihr Selbstbestimmungsrecht. Ein solches besteht dagegen bei öffentlichrechtlichen Körperschaften nur im Rahmen des öffentlichen Rechts. Den Vorschriften des EGzZGB/GR über die Allmendgenossenschaften ist eine behördliche Statutengenehmigung fremd. Gemäss Art. 27 EGzZGB/GR wird die Freiheit dieser Gesellschaften, ihre Rechtsverhältnisse in den Statuten festzulegen, einzig durch diejenigen Bestimmungen begrenzt, deren Anwendung von Gesetzes wegen vorgeschrieben ist. Zum Erwerb der Mitgliedschaft bei Allmendgenossenschaften enthalten Art. 26 ff. EGzZGB/GR keine Bestimmungen (vgl. Pritzi, a.a.O., S. 95, 138 f.). Demgegenüber kommt bei den hier betroffenen Alpgenossenschaften als Mitglied nur infrage, wer die Voraussetzungen erfüllt, die von der Gemeinde aufgestellt bzw. mittelbar vom kantonalen öffentlichen Recht vorgegeben worden sind (vgl. E. 5.4).
5.5.5 Die Privatautonomie, die in den Art. 26 und 27 EGzZGB/GR verankert ist, würde im Ergebnis aufgehoben, wenn die vom Verwaltungsgericht vorgenommene Deutung von Art. 35 EGzZGB/GR zuträfe. Nach der unzutreffenden Argumentation des Verwaltungsgerichts könnten die Gemeinden, unter Geltendmachung öffentlicher Interessen, praktisch bei jeder Allmendgenossenschaft ein Genehmigungsrecht für die Statuten beanspruchen. Die im angefochtenen Entscheid erfolgte Anerkennung von Art. 35 EGzZGB/GR als Grundlage für ein derart weitgehendes Eingriffsrecht einer Gemeinde in die inneren Belange einer privaten Körperschaft erweist sich somit als systemwidrig zum kantonalrechtlich vorgesehenen Dualismus von privat- und öffentlichrechtlichen Allmendgenossenschaften. Im Übrigen erscheint Art. 35 EGzZGB/GR auch viel zu wenig bestimmt, um den Gemeinden derart weitreichende Sonderrechte - auf dem Boden des Privatrechts - zuzuerkennen. Es hält somit nicht vor dem Willkürverbot stand, Art. 35 EGzZGB/GR anders denn als unechten Vorbehalt zugunsten des öffentlichen Rechts zu verstehen.
5.6 Fehl geht das kantonale Gericht schliesslich, wenn es aus einzelnen Meinungsäusserungen und Verfügungen der Behörden seit dem Erlass des Weidgesetzes von 1986 den Schluss zieht, die Gemeinde habe den privaten Charakter der fraglichen Genossenschaften anerkannt. Für eine Privatisierung hätte es einen Entscheid des Gemeindegesetzgebers erfordert, das Weidgesetz von 1986 in diese Richtung zu ändern und damit von der althergebrachten Übung abzuweichen; eine derartige Änderung ist aber weder behauptet noch ersichtlich.
5.7 Als Zwischenergebnis ist festzuhalten, dass die erörterten Vorgaben des bisher geltenden kommunalen Rechts an die fraglichen Alpkorporationen eindeutig für deren öffentlichrechtliche Natur sprechen. Die gegenteilige Auffassung des Verwaltungsgerichts verstösst, wie gezeigt, gegen unumstrittene Rechtsgrundsätze und erweist sich als willkürlich.
6. An diesem Ergebnis ändert der Umstand nichts, dass den beschwerdegegnerischen Alpkorporationen vermögenswerte Rechte zustehen. Art. 52 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> lassen es zu, dass juristische Personen des öffentlichen Rechts gleich wie privatrechtliche juristische Personen über ein Vermögen - und damit auch über Immobiliarsachenrechte - verfügen können (vgl. Tuor/Schnyder/Schmid/Rumo-Jungo, a.a.O., S. 130; Pierre Tschannen/Ulrich Zimmerli, Allgemeines Verwaltungsrecht, Bern 2005, § 8 Rz. 12; Ulrich Häfelin/Georg Müller/Felix Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5. Aufl., Zürich 2006, Rz. 1290). Das Vorhandensein eines eigenen Vermögens erlaubt an sich keinen direkten Rückschluss auf die Rechtsnatur der Trägerschaft. Dennoch ist im Folgenden auf die im Streit liegenden Vermögensrechte einzugehen, weil die Beschwerdegegner daraus zumindest für einen Teil der Tätigkeit der Genossenschaften eine privatrechtliche Natur ableiten.
6.1 Im angefochtenen Entscheid äussert sich das kantonale Gericht dahingehend, als privatrechtliche Grundlage der Alpgenossenschaften kämen historische private bzw. ehehafte Weidnutzungsrechte in Betracht. Die Beschwerdegegner behaupten indessen gar nicht, die Genossenschaften würden über ehehafte Weidrechte verfügen. Entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts lassen sich auch die Äusserungen der Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren nicht als Anerkennung entsprechender historischer Rechtstitel verstehen. Vielmehr hat die Beschwerdeführerin dort - wie im vorliegenden Verfahren - den Bestand solcher Privatrechte bestritten. Etwas Anderes folgt auch nicht daraus, dass die Gemeindeverfassung von 1930 in Art. 27 den Passus enthält, die Alpen seien seit uralten Zeiten den verschiedenen Nachbarschaften zur Nutzniessung überlassen worden (zu dieser Norm bereits E. 5.3.4); dieser Wortlaut spricht im Gegenteil gegen das Vorhandensein privater Nutzungsrechte. Im vorliegenden Verfahren besteht kein Anlass zur Annahme privater Weidrechte.
6.2 Hingegen haben die Beschwerdegegner glaubhaft gemacht, dass die Politische Gemeinde Schiers den Genossenschaften Drusa und Schuders anfangs der 1990er Jahre je auf einer Teilfläche der ihnen zugewiesenen Alp ein selbstständiges und dauerndes Baurecht zur Errichtung von Alpgebäuden eingeräumt hat. Die Baurechte haben gemäss den bei den Akten liegenden Verträgen eine Laufzeit von 50 Jahren. Art. 28 des Weidgesetzes von 1986 sieht vor, dass die Alpgenossenschaften die Alpgebäude im Baurecht erstellen. Darauf konnte sich der Gemeindevorstand bei Abschluss der Verträge stützen; die Gültigkeit der Baurechtsverträge ist unbestritten.
Die Beschwerdeführerin hat dazu im kantonalen Verfahren ausgeführt, zuvor hätten die Alpgebäude der Gemeinde selbst gehört; die Einräumung von Baurechten verändere die Rechtsnatur der Genossenschaften nicht. Demgegenüber behaupten die Beschwerdegegner eine zumindest teilweise private Rechtsnatur der Alpkorporationen in dem Umfang, als sie in den eigenen Gebäuden einen selbsttragenden Sennereibetrieb führen. Auch die aufwändigen Alpsanierungen seien vorwiegend dank Eigenleistungen der Genossenschafter bzw. Patenschaften Dritter zustande gekommen.
6.3 Pritzi erwähnt in seiner Dissertation (a.a.O., S. 69) eine Gemeindealp im Unterengadin; dort wirtschaftet eine privatrechtliche Alpgenossenschaft gestützt auf ein von der Gemeinde eingeräumtes Baurecht. Die Beschwerdegegner nennen dieses Beispiel zur Bekräftigung ihrer bei E. 6.2 vorgetragenen These. Sie scheinen dabei zu übersehen, dass nach der Darstellung des Autors bei jener Alp zwei voneinander rechtlich getrennte Alpgenossenschaften bestehen; eine öffentlichrechtliche zur Nutzung der gemeindeeigenen Alpweiden und eine privatrechtliche, der die Gebäude mit dem Sennereibetrieb gehören (Pritzi, a.a.O., S. 57 f.). Eine solche Zweiteilung wird im vorliegenden Fall von den Beschwerdegegnern nicht dargetan. Insofern genügt es nicht, dass die Alpgenossenschaft Drusa neben den Statuten über ein Alpreglement verfügt. Das Reglement gründet nach seinem Wortlaut auf den von der Gemeinde genehmigten Statuten und führt diese aus. Den Sennereibetrieben fehlt hier offensichtlich die rechtliche Selbstständigkeit. Ihr rechtliches Schicksal folgt deshalb demjenigen der öffentlichrechtlichen Trägerschaft.
7. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen. Dies führt zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Damit steht fest, dass die im kommunalen Weidgesetz vom 1. Juli 2005 fusionierten Alpgenossenschaften Drusa, Garschina und Schuders öffentlichrechtlicher Natur sind. Das Verwaltungsgericht wird zu prüfen haben, ob das angefochtene kommunale Gesetz bei dieser Sachlage gegen verfassungsmässige Rechte der Beschwerdegegner verstösst.
Angesichts des Verfahrensausgangs ist die Gerichtsgebühr den Beschwerdegegnern aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Im Hinblick auf die Entrichtung dieser Gebühr sind die Beschwerdegegner 1 bis 4 und die Beschwerdegegner 5 bis 6 je zu einer Gruppe zusammenzufassen; jede Gruppe hat die Hälfte der Gebühr zu bezahlen. Innerhalb der Gruppe haften die einzelnen Beschwerdeführer für den Gruppenanteil solidarisch (Art. 156 Abs. 7 OG). In der gleichen Weise haben die Beschwerdegegner die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin angemessen zu entschädigen (Art. 159 Abs. 1 und Abs. 5 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 4. April 2006 wird aufgehoben.
2. Die Gerichtsgebühr wird festgesetzt auf insgesamt Fr. 5'000.--. Die Beschwerdegegner 1 bis 4 und die Beschwerdegegner 5 bis 6 bilden zusammen je eine Gruppe, welche die Hälfte der Gebühr zu bezahlen hat. Innerhalb der Gruppe haften die Beschwerdegegner für den Gruppenanteil solidarisch.
3. Die Beschwerdegegner haben die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 4'000.-- zu entschädigen. Die Beschwerdegegner 1 bis 4 und die Beschwerdegegner 5 bis 6 bilden zusammen je eine Gruppe, welche die Hälfte der Entschädigung zu bezahlen hat. Innerhalb der Gruppe haften die Beschwerdegegner für den Gruppenanteil solidarisch.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 2. Kammer als Verfassungsgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. November 2006
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: