Faits:
A.
A.a. Les 1er, 11 et 15 avril 2008, la société A._ Ltd (ci-après: A._), à Saint-Kitts-et-Nevis, agissant par X._, domicilié à New York (Etats-Unis d'Amérique), a ouvert quatre comptes auprès de la Banque Z._ (ci-après: Z._ ou la banque). Entre avril et mai 2008, A._ a déposé sur ses comptes un portefeuille de titres évalué à un montant de 248 millions d'USD selon deux agences de cotation.
Les 28 avril et 22 mai 2008, Z._ a accordé à A._ un crédit contre titres de 3 millions d'USD (augmenté ultérieurement à 7 millions d'USD) et un crédit lombard de 6,5 millions d'USD (ramené ultérieurement à 2,5 millions d'USD).
A.b. Le 30 juillet 2008, X._ a ouvert à son nom trois comptes courants et un compte de dépôt auprès de Z._. Il a signé les documents d'ouverture de compte, en particulier les conditions générales de la banque, dont l'art. 22 prévoit une élection de droit en faveur du droit suisse pour toutes les relations juridiques entre l'établissement bancaire et le client (<ref-law>). Le précité a convenu avec Z._ que la correspondance se ferait par banque restante.
Les 24 septembre et 10 octobre 2008, Z._ a accordé à X._ un crédit contre titres de 8 millions d'USD et un crédit lombard d'un million d'USD. A titre de garantie, X._ a remis en gage à la banque le 23 septembre 2008 des certificats d'actions de trois sociétés, soit R._ Inc, S._ Inc. et T._ Corp, que Z._ a évalués alors au montant de 109 millions d'USD.
Le 25 septembre 2008, X._, par le débit du crédit contre titres susmentionné, a fait virer un montant de 2 millions d'USD en faveur d'un compte qu'il possédait auprès d'une banque tierce sise sur l'Ile Anglo-Normande de Jersey.
Le 20 novembre 2008, X._, par le débit du crédit lombard précité, a acheté des titres yyy pour 525'885,87 USD.
A.c. En novembre 2008, Z._ a appris, au moyen d'articles de presse, que A._ se trouvait impliquée dans une vaste fraude commise au préjudice d'investisseurs nord-américains et qu'elle faisait l'objet d'une enquête de la SEC, autorité américaine de surveillance de la bourse, pour avoir participé à des manipulations illicites de cours de titres, dont certains faisaient partie de ceux qu'elle avait déposés auprès de Z._.
En décembre 2008, les investisseurs nord-américains ont déposé à Genève une plainte pénale pour escroquerie, abus de confiance et gestion déloyale contre notamment X._, plainte qui a permis de saisir pénalement les actions que celui-ci avait remises en gage à Z._.
Le 3 décembre 2008, Z._, par courrier banque restante, a dénoncé au remboursement immédiat - en vertu de l'art. 15 de ses conditions générales autorisant la résiliation abrupte et en tout temps des relations d'affaires avec le client - les crédits qu'elle avait octroyés à A._ et à X._. Il a été retenu qu'à cette date la dette globale de celui-ci se montait à 2'525'885 USD et que la valeur des titres qu'il avait nantis était tombée à 56 millions d'USD. Z._ a exposé avoir sollicité le remboursement sans délai des crédits en raison de la perte de valeur du portefeuille nanti en garantie des prêts et en raison des informations défavorables qui lui étaient parvenues sur X._, lesquelles avaient rompu le rapport de confiance avec ce client.
Le 5 décembre 2008, Z._ a signalé l'existence des comptes A._ et X._ au Bureau de communication en matière de blanchiment d'argent. Le Ministère public de la Confédération a ouvert une enquête, ordonné le séquestre pénal des certificats d'actions déposés sur le compte de X._ et autorisé Z._ à réaliser les titres dans la mesure nécessaire à l'extinction de sa créance.
Le 8 décembre 2008, la banque a vendu les titres yyy qu'avait acquis X._; cette opération a permis à la banque d'encaisser 239'999,55 USD, montant qui a été porté en réduction du crédit contre titres accordé à X._.
Toujours le 8 décembre 2008, X._ s'est rendu dans les bureaux de Z._. Le contenu des entretiens qu'il a eus avec les représentants de la banque n'a pas été établi.
Le 18 décembre 2008, X._ a viré à Z._ un montant d'un million d'USD sans formuler de réserve. La cause de ce virement fait l'objet de controverses entre les parties.
Le 30 décembre 2008, la banque a transmis électroniquement à X._, à sa demande, des documents juridiques relatifs aux comptes personnels qu'il avait ouverts auprès de celle-ci. La liste des documents ainsi communiqués est contestée.
B.
B.a. Par acte déposé le 22 juillet 2010 auprès du Tribunal de première instance de Genève, Z._ (demanderesse) a ouvert action à l'encontre de X._ (défendeur). Elle a conclu à ce que celui-ci soit condamné à lui payer les sommes de
- 821'221,75 USD avec intérêts à 5% dès le 3 décembre 2008, correspondant au solde débiteur du prêt qu'elle lui avait accordé à titre personnel;
- 3'975'793,21 USD avec intérêts à 5% dès le 3 décembre 2008, correspondant au solde débiteur d'un prêt octroyé à A._;
- 1'022'395 fr. 16 avec intérêts à 5% dès le 30 juin 2010, correspondant à des frais de défense supportés par la banque en Suisse et aux Etats-Unis pour faire face à des actions engagées à son endroit par des tiers, victimes des actes illicites commis par le défendeur auquel la demanderesse aurait prétendument prêté assistance.
La demanderesse a invoqué tout d'abord la responsabilité contractuelle du défendeur, tenu de rembourser les prêts qui lui avaient été octroyés et qui avaient été valablement dénoncés (volet contractuel de l'action). La banque a également soutenu que la responsabilité délictuelle du défendeur était engagée, dès lors qu'il avait agi dolosivement à son égard en lui dissimulant des faits importants et en lui fournissant des indications fausses, cela lorsqu'il avait négocié l'obtention de crédits accordés tant en faveur de A._ qu'à son propre bénéfice (volet délictuel de l'action).
Le défendeur s'est opposé à la demande en totalité. Sur le volet contractuel, il a prétendu que les prêts qui lui avaient été accordés personnellement n'avaient pas été dénoncés valablement par la banque; sur le volet délictuel, il a contesté être l'animateur principal de A._, expliquant avoir agi pour celle-ci comme simple mandataire, et a prétendu n'avoir caché aucun élément à la demanderesse, laquelle aurait dû procéder aux vérifications usuelles en matière de crédits.
Lors de l'audience de plaidoiries tenue le 2 février 2012, les parties ont maintenu leurs conclusions.
Par jugement du 23 mars 2012, le Tribunal de première instance, faisant application de l'art. 143 de l'ancienne loi de procédure civile genevoise (aLPC/GE), a considéré que la cause était en état d'être jugée en ce qui concernait le prêt consenti par la demanderesse au défendeur personnellement, soit sur le volet contractuel. En revanche, il a estimé que l'instruction de la cause devait se poursuivre sur le volet délictuel. En conséquence, il a rendu un jugement sur partie. Admettant que la dénonciation des prêts accordés au défendeur à titre personnel était valable, il a condamné ce dernier à rembourser le solde restant dû à la demanderesse après prise en compte du virement d'un million d'USD opéré en faveur de cette dernière le 18 décembre 2008, à savoir le montant de 821'221,75 USD, contre-valeur de 989'687 fr. 18 au taux de 1,20514 du 3 décembre 2008, avec intérêts à 5% dès le 3 décembre 2008.
B.b. Le 9 mai 2012, le défendeur a appelé de ce jugement devant la Cour de justice du canton de Genève. Dans son mémoire d'appel, il a requis l'annulation dudit jugement et, cela fait, que la cause soit retournée au premier juge « pour instruction dans le sens des considérants et nouvelle décision ». Il a fait grief au tribunal d'avoir statué sur une partie des prétentions formulées à son encontre par la demanderesse sans avoir procédé à des probatoires, alors que les faits pertinents pour statuer sur le volet contractuel n'avaient pas été établis.
Par arrêt du 28 juin 2013, la Chambre civile de la Cour de justice a déclaré irrecevable l'appel interjeté par le défendeur contre le jugement du 23 mars 2012, les parties étant déboutées de toutes autres conclusions.
La cour cantonale a considéré en substance que les conclusions de l' appel, qui ne tendaient qu'à l'annulation du jugement du 23 mars 2012 et au renvoi de la cause au premier juge, étaient irrecevables faute de contenir des conclusions au fond, à savoir en déboutement de la demanderesse de ses conclusions en paiement (cf. consid. 3.4 de l'arrêt cantonal). Toutefois, ce serait faire montre de formalisme excessif que de déclarer irrecevable un appel certes dépourvu de conclusions réformatoires, mais dont le moyen principal, reposant sur une violation du droit à la preuve ou du droit de fournir des preuves, serait par hypothèse fondé, auquel cas la cour cantonale ne pourrait que renvoyer la cause au premier juge pour complément d'instruction et nouvelle décision. Or un tel moyen a été soulevé par l'appelant. Procédant à son examen préjudiciel, les magistrats genevois ont retenu que le premier juge n'avait violé aucun des droits procéduraux de l'appelant, que ce soit son droit à la preuve ou son droit de requérir des mesures probatoires, en tranchant le litige (volet contractuel de l'action) sur la base des seuls faits admis par les parties. Ils en ont inféré que le jugement du 23 mars 2012 avait été rendu sur la base d'un état de fait correctement établi. Après avoir contrôlé au fond cette décision aux considérants 4.4 et 4.5 de l'arrêt critiqué, toujours à titre préjudiciel, ils ont jugé qu'il n'y avait pas lieu d'annuler ce jugement pour renvoi au Tribunal de première instance et complément d'instruction (considérant 4.6 in fine de l'arrêt cantonal). Au terme de cette analyse, les juges cantonaux ont retenu que l'appelant aurait dû assortir son appel de conclusions en réforme puisque la cause aurait pu être jugée au fond par la Cour de justice. Dans ce contexte, l'absence de la prise de conclusions en réforme par l'appelant constituait un vice permettant de constater, sans formalisme excessif, l'irrecevabilité de l'appel.
C.
X._ forme un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt précité. Il prend les mêmes conclusions dans les deux recours. Principalement, il conclut à l'annulation de l'arrêt du 28 juin 2013, à ce qu'il soit dit que le recours du défendeur contre le jugement de première instance du 23 mars 2012 soit déclaré recevable et au renvoi de la cause devant la cour cantonale pour nouvelle décision; à titre subsidiaire, il requiert l'annulation de l'arrêt attaqué, qu'il soit dit que le recours du défendeur contre le jugement du 23 mars 2012 soit déclaré recevable, la cause étant retournée devant le Tribunal de première instance pour nouvelle décision; plus subsidiairement, il sollicite l'annulation de l'arrêt attaqué et qu'il soit dit que le recours du défendeur contre le jugement du 23 mars 2012 est recevable et admis, la cause étant renvoyée au Tribunal de première instance pour nouvelle décision.
L'intimée conclut principalement à l'irrecevabilité des deux recours, subsidiairement à l'irrecevabilité du recours en matière civile et au rejet du recours constitutionnel, plus subsidiairement au rejet du recours en matière civile.
Par ordonnance présidentielle du 8 octobre 2013, la demande de sûretés en garantie des dépens présentée par l'intimée a été admise et le recourant a été invité à verser le montant de 12'000 fr. à la Caisse du Tribunal fédéral. Cette somme a été versée par le recourant en temps utile.
Les parties ont répliqué et dupliqué.
Par ordonnance présidentielle du 14 janvier 2014, la demande d'effet suspensif présentée par le recourant a été rejetée.

Considérant en droit:
1.
1.1. L'arrêt attaqué ne met pas fin à la procédure, puisque celle-ci va se poursuivre devant le Tribunal de première instance sur le volet délictuel de l'action. Il ne s'agit donc pas d'une décision finale au sens de l'<ref-law>.
L'arrêt déféré a déclaré irrecevable l'appel interjeté par le défendeur contre une décision le condamnant à rembourser à la demanderesse le solde d'un prêt de consommation au sens de l'<ref-law> que celle-ci lui a consenti en automne 2008. Cette décision a ainsi statué définitivement sur un chef de conclusions pris par la demanderesse (volet contractuel de l'action du 22 juillet 2010). Il s'agit donc d'une décision partielle (<ref-law>), qui peut faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 422).
Interjeté pour le reste par la partie qui a entièrement succombé dans les conclusions libératoires qu'elle a prises sur le volet contractuel de la demande et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>), dirigé contre un arrêt rendu en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse (déterminée selon l'<ref-law>) dépasse largement le seuil de 30'000 fr. de l'<ref-law>, le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, sous la réserve toutefois que sa motivation satisfasse aux réquisits légaux (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF).
Dès lors que le recours en matière civile est recevable, il en résulte nécessairement que le recours constitutionnel, qui est subsidiaire (<ref-law>), est irrecevable.
1.2. Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 336) et apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant d'ordinaire aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 584). Le Tribunal fédéral n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
1.3. Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (<ref-law>). La juridiction fédérale peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62), ou établies en violation du droit comme l'entend l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Il lui incombe alors d'indiquer de façon précise en quoi les constatations critiquées sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, à défaut de quoi le grief est irrecevable (<ref-ruling> ibidem).
2.
Le recourant est domicilié à New York, aux Etats-Unis, si bien que la cause revêt un caractère international (<ref-ruling> consid. 2). Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral doit contrôler d'office la question du droit applicable, laquelle se résout selon la loi du for, soit en l'occurrence la loi fédérale du 18 décembre 1987 sur le droit international privé (LDIP; <ref-ruling> consid. 2.1).
Il a été retenu (<ref-law>) que le 30 juillet 2008, date où il a ouvert quatre comptes auprès de la banque intimée, le recourant a signé les conditions générales de celle-ci, dont l'art. 22 instituait une élection de droit en faveur du droit suisse pour toutes les relations juridiques qu'il nouerait avec cet établissement. Les 24 septembre et 10 octobre 2008, l'intimée a consenti au recourant deux crédits - un crédit contre titres et un crédit lombard - dont le remboursement, après qu'ils ont été dénoncés, est présentement litigieux. Le droit suisse, choisi expressément par les plaideurs, est donc applicable au volet contractuel de l'action (art. 116 al. 1 et 2 LDIP).
3.
Le recourant soutient qu'en appréciant de manière erronée la recevabilité de l'appel cantonal, la Cour de justice a violé l'art. 60 du Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (CPC; RS 272). Selon lui, la cour cantonale aurait dû entrer en matière sur l'appel, puis le traiter au fond au lieu de prononcer une irrecevabilité en raison de la nature cassatoire et en renvoi des conclusions de l'appel.
3.1. Le code de procédure civile unifié est entré en vigueur le 1er janvier 2011, alors que la querelle, initiée par la demande déposée le 22 juillet 2010, était pendante devant le Tribunal de première instance de Genève.
En application des art. 404 al. 1 et 405 al. 1 CPC, la procédure de première instance est demeurée soumise au droit cantonal antérieur (i.e. aLPC/GE), tandis que l'appel était régi par le CPC. Selon la jurisprudence relative à l'<ref-law>, l'appel doit non seulement être « écrit et motivé », comme le mentionne expressis verbis cette disposition, mais il doit aussi comporter des conclusions, lesquelles doivent indiquer sur quels points la partie appelante demande la modification ou l'annulation de la décision attaquée; en principe, ces conclusions doivent être libellées de telle manière que l'autorité d'appel puisse, s'il y a lieu, les incorporer sans modification au dispositif de sa propre décision. En matière pécuniaire, les conclusions d'appel doivent être chiffrées. L'irrecevabilité de conclusions d'appel au motif que celles-ci ne sont pas chiffrées peut toutefois contrevenir au principe de l'interdiction du formalisme excessif (art. 29 al. 1 Cst.). A titre exceptionnel, l'autorité d'appel doit entrer en matière lorsque le montant réclamé ressort de la motivation de l'appel, mise en relation avec le dispositif de la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 4-6 et les références; cf. également arrêt 4A_587/2012 du 9 janvier 2013 consid. 2 et 3, in SJ 2013 I 510).
3.2. A lire le mémoire d'appel, il apparaît clairement que le défendeur requiert de n'être pas condamné au paiement à son adverse partie de la somme de 821'221,75 USD ou sa contrevaleur de 989'687 fr.18. Il n'admet être débiteur d'aucun autre montant, inférieur à la somme précitée. Ses conclusions libératoires sont demeurées identiques dès le début du litige, que ce soit sur le volet contractuel ou celui délictuel de l'action. Il suit de là que, contrairement à l'appréciation de la cour cantonale, les conclusions d'appel sont donc recevables à la lumière de l'<ref-law>.
Mais il n'en découle pas que la cause doit être renvoyée à la Cour de justice afin qu'elle se saisisse de l'appel et examine le mérite du volet contractuel de l'action ouverte par l'intimée. En effet, à titre préjudiciel, la cour cantonale a bel et bien contrôlé au fond cette partie du litige, qui a fait l'objet du jugement sur partie rendu le 23 mars 2012.
A ce propos, elle a considéré ce qui suit: le recourant, lorsqu'il a ouvert quatre comptes auprès de l'intimée le 30 juillet 2008, a signé notamment les conditions générales de celle-ci et accepté que la correspondance soit gardée banque restante; il a obtenu ultérieurement de l'intimée deux crédits (un crédit contre titres le 24 septembre 2008 et un crédit lombard le 10 octobre 2008), par le débit desquels il a fait virer un montant de 2 millions d'USD sur un compte qu'il avait ouvert dans une banque tierce et a acheté des titres pour 525'885,87 USD; le 3 décembre 2008, la banque, alertée par des articles de presse faisant état de malversations commises par la société pour laquelle le recourant avait agi dans le cadre de l'octroi à celle-ci de deux autres crédits auprès du même établissement, a dénoncé au remboursement avec effet immédiat, par courrier adressé banque restante, les crédits octroyés au recourant; lors de la dénonciation desdits crédits, selon un décompte de l'intimée resté incontesté, le recourant était débiteur de cette dernière d'un montant global de 2'525'885 USD; la résiliation des crédits était valable du moment que l'art. 15 des conditions générales de l'intimée l'autorisait en tout temps; elle pouvait être signifiée par banque restante, dès l'instant où le recourant avait accepté expressément ce mode de communication avec l'intimée; la banque n'avait pas résilié les prêts de manière abusive ou contrairement à la bonne foi (<ref-law>), puisque le recourant n'a pas contesté la baisse importante de la cotation des titres qu'il avait nantis ni prétendu que l'intimée n'avait pas de motifs d'être alarmée par les révélations de la presse relatives à A._, suspectée par la SEC de manipulations illicites de cours de titres.
Dans ces circonstances particulières, où la branche du litige ayant fait l'objet d'un jugement partiel a été contrôlée au fond avec minutie par la cour cantonale à titre préjudiciel, aucun renvoi de l'affaire à celle-ci ne se justifie.
Le moyen est infondé.
4.
4.1. Invoquant une violation de l'art. 318 al. 1 let. c ch. 1 CPC, le recourant prétend qu'en jugeant une partie du litige, la cour cantonale a éludé une partie essentielle de la demande. Il fait valoir que les relations juridiques qu'entretenaient les parties étaient complexes, de sorte qu'il n'était pas possible de les scinder artificiellement en rendant un arrêt partiel.
4.2. A teneur de l'art. 318 al. 1 let. c ch. 1 CPC, l'instance d'appel peut renvoyer la cause à la première instance singulièrement dans le cas où un élément essentiel de la demande n'a pas été jugé.
Le renvoi à l'autorité de première instance au sens de l'art. 318 al. 1 let. c CPC doit toutefois rester l'exception, l'instance d'appel devant en règle générale soit confirmer la décision attaquée (<ref-law>) soit statuer elle-même à nouveau (<ref-law>) (cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 619; Message du 28 juin 2006 relatif au code de procédure civile suisse, FF 2006 6841 ss, ch. 5.23.1 p. 6983).
En l'espèce, le premier juge, faisant application de l'art. 143 aLPC/GE, a rendu un jugement sur partie et statué sur une partie distincte des prétentions qui lui ont été soumises, c'est-à-dire sur le volet contractuel de l'action de l'intimée. Il a donc décidé, son appréciation relevant de l'opportunité, qu'il convenait de simplifier le procès, comme le permet désormais l'<ref-law> (cf. sur ce mécanisme dans l'ancien droit genevois: BERNARD BERTOSSA ET AL., Commentaire de la loi de procédure civile genevoise, n °s 1 et 2 ad art. 143 aLPC/GE).
Il appert ainsi que si l'autorité cantonale n'a examiné - préjudiciellement - que le volet contractuel de l'action, c'est parce que le premier juge avait décidé d'alléger le différend en rendant un jugement sur partie, comme le lui permettait l'art. 143 aLPC/GE.
Or, devant le Tribunal fédéral, le recourant n'invoque pas l'application arbitraire de cette ancienne norme de procédure civile.
Le grief est infondé.
5.
5.1. A suivre le recourant, qui se réfère à l'art. 318 al. 1 let. c ch. 2 CPC, toute une série de faits ayant une incidence sur le fond de la cause n'ont pas été établis. Il allègue ainsi que les faits utiles à la cause devaient être complétés par le premier juge, si bien que la cour cantonale devait lui retourner le dossier.
5.2. La présentation de ce moyen, telle qu'elle est opérée par le recourant, lequel reprend les critiques qu'il a adressées en appel à l'encontre des chiffres 13 à 16 de la partie « en fait » du jugement de première instance, est de caractère appellatoire, de sorte que l'on peut douter sérieusement qu'il soit motivé suffisamment au regard de l'<ref-law>.
D'après l'art. 318 al. 1 let. c ch. 2 CPC, l'instance d'appel peut renvoyer la cause à la première instance singulièrement dans le cas où l'état de fait doit être complété sur des points essentiels. Un tel renvoi doit intervenir lorsque l'instruction à laquelle a procédé le premier juge est incomplète sur des points essentiels pour la question à résoudre (<ref-ruling> consid. 4.3.2 in fine p. 377).
Un tel renvoi au premier juge se justifie si ce dernier a omis certaines allégations, en a considéré à tort certaines comme non pertinentes ou encore s'il a déclaré erronément des allégations non contestées ou notoires, ce qui l'a amené à procéder à une administration incomplète des moyens de preuves (cf. MARTIN H. STERCHI, in Berne Kommentar, 2012, n° 10 ad <ref-law>; REETZ/HILBER, in Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger (éd.), 2e éd. 2013, n° 35 ad <ref-law>).
Comme l'a retenu la cour cantonale, les faits retenus par le premier juge et que le recourant conteste expressément n'ont aucune influence sur le volet contractuel de l'action.
La manière dont l'intimée a vérifié la valeur des titres nantis par le recourant en garantie des crédits accordés importe peu, puisque celui-ci a admis que la cotation de ces titres avait baissé de manière importante en moins de trois mois.
Le point de savoir si le recourant a été informé de la résiliation des crédits par l'intimée le 3 décembre 2008 est sans intérêt, du moment qu'il a été établi que la dénonciation au remboursement a été effectuée ce jour-là par courrier banque restante, mode de communication avec la banque qu'il a accepté explicitement.
Il est sans importance de connaître la cause du virement opéré sans réserve par le recourant en faveur de l'intimée le 18 décembre 2008, dès l'instant où le montant de ce virement a été porté par l'intimée en déduction de la somme qui lui restait due par le recourant.
Enfin, la liste exacte des documents que la banque a transmis électroniquement au recourant le 30 décembre 2008 n'exerce aucune influence sur la querelle, étant donné que la résiliation immédiate des crédits pouvait intervenir en tout temps selon les conditions générales de la banque et que la signification de la résiliation des crédits a été opérée le 3 décembre 2008 au moyen d'un courrier banque restante, procédé admis par le recourant.
Il suit de là que tous les faits dont se prévaut le recourant à l'appui de son moyen n'exercent aucune incidence sur le volet contractuel de l'action. L'instruction du premier juge était donc complète sur les points essentiels pour la résolution de cette partie distincte du litige.
Aucune violation de l'art. 318 al. 1 let. c ch. 2 CPC n'entre en ligne de compte.
6.
Le recourant invoque la violation arbitraire de l'art. 318 al. 2 let. c CPC. Cette disposition n'existe pas. Si le recourant entendait faire allusion à l'art. 318 al. 1 let. c CPC, le grief de violation de l'interdiction de l'arbitraire se confond avec celui de la violation du droit fédéral qui vient d'être traité ci-dessus.
Le grief n'a aucune consistance.
7.
Le recourant prétend en dernier lieu que la cour cantonale a versé dans le formalisme excessif.
Dénuée de toute motivation, la critique, qui n'est d'ailleurs qu'une simple reprise du moyen examiné au considérant 3 supra, est irrecevable (<ref-law>).
8.
Il résulte des considérations qui précèdent que le recours en matière civile doit être rejeté dans la mesure où il est recevable, le recours constitutionnel, comme on l'a vu, étant irrecevable.
Le recourant, qui succombe, supportera l'émolument judiciaire (<ref-law>), qui sera prélevé sur l'avance de frais qu'il a effectuée. Il sera également mis à la charge du recourant une indemnité à payer à l'intimée à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF), laquelle sera versée à celle-ci au moyen des sûretés qu'il a déposées à cette fin le 8 novembre 2013.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière civile est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 10'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 12'000 fr. à titre de dépens, laquelle sera prélevée sur les sûretés qui ont été fournies.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 25 février 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet