Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 6. Mai 2004 sprach die IV-Stelle des Kantons Solothurn dem 1964 geborenen S._ ab 1. September 2000 eine halbe Invalidenrente (Invaliditätsgrad 50 %) zu. Mit Verfügung vom 6. Februar 2007 gewährte sie ihm ab 1. März 2006 eine ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad 100 %), nachdem sie u.a. ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. K._, vom 28. Juli 2006 eingeholt hatte. Im September 2010 leitete sie eine weitere Revision ein und zog Gutachten der Psychiaterin Frau Dr. med. H._, vom 10. August 2011 sowie des Dr. med. L._, FMH Innere Medizin und Rheumaerkrankungen, vom 17. August 2011, Berichte der Psychiatrischen Dienste, vom 6. und 22. März 2012 sowie eine Stellungnahme ihres Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 15. Mai 2012 bei. Vom 2. April bis 21. April 2012 war der Versicherte in den Psychiatrischen Diensten hospitalisiert (Austrittsbericht vom 26. Juni 2012). Mit Verfügung vom 21. August 2012 hob die IV-Stelle die Invalidenrente nach Zustellung der Verfügung auf Ende des folgenden Monats auf.
B.
In Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn die Verfügung der IV-Stelle vom 21. August 2012 auf (Entscheid vom 7. Oktober 2013).
C.
Mit Beschwerde beantragt die IV-Stelle die Aufhebung des kantonalen Entscheides; der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Der Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde; ferner verlangt er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) stellt Antrag auf Beschwerdegutheissung. Am 17. März 2014 reichte der Versicherte eine Stellungnahme ein.
D.
Mit Verfügung vom 20. März 2014 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren beanstandeten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung gemäss <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Rechtsfragen sind die vollständige Feststellung erheblicher Tatsachen sowie die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die aufgrund dieser Berichte gerichtlich festgestellte Gesundheitslage bzw. Arbeitsfähigkeit und die konkrete Beweiswürdigung sind Sachverhaltsfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397; nicht publ. E. 4.1 des Urteils <ref-ruling>, in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]).
1.2. Soweit die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es um eine Rechtsfrage; dazu gehören auch Folgerungen, die sich auf medizinische Empirie stützen, z.B. die Vermutung, dass eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung oder ein vergleichbarer ätiologisch unklarer syndromaler Zustand mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar sei. Im Übrigen gilt in diesem Zusammenhang Folgendes: Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt zunächst, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (oder ein damit vergleichbarer syndromaler Zustand) vorliegt, und bejahendenfalls sodann, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (<ref-ruling> E. 1.2 und 4.1 S. 66 ff.).
2.
Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Rentenrevision (<ref-law>; <ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 132; SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81 E. 4.1 [9C_418/2010]), den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 6 S. 221) und den Beweiswert von ärztlichen Berichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob seit der Verfügung vom 6. Februar 2007, mit der dem Versicherten ab 1. März 2006 eine ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad 100 %) zugesprochen wurde, bis zur streitigen Verfügung vom 21. August 2012 (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 320) eine erhebliche Verbesserung des Gesundheitszustandes eintrat, die eine Revision nach <ref-law> rechtfertigt. In diesem Rahmen ist unbestritten, dass somatischerseits keine Arbeitsunfähigkeit besteht. Hiermit hat es somit sein Bewenden.
4.
Umstritten bleibt die psychische Problematik des Versicherten.
4.1. Grundlage der Verfügung vom 6. Februar 2007 war das Gutachten des Psychiaters Dr. med. K._ vom 28. Juli 2006, der folgende Diagnosen mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit stellte: 1. Anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 F45.4; bei chronischen panvertebralen und Kopfschmerzen sowie Lichen simplex chronicus); 2. Angst und depressive Störung, gemischt (ICD-10 F41.2; mit Hyperventilationssyndrom, bei ausgeprägt histrionischen Persönlichkeitszügen [ICD-10 Z73.1]). Ohne Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit sei u.a. ein Abhängigkeitssyndrom von Tabak, gegenwärtiger Substanzgebrauch (ICD-10 F17.24). Die angestammte Tätigkeit und andere Tätigkeiten seien dem Versicherten unzumutbar.
4.2. Im Rahmen der rentenaufhebenden Verfügung vom 21. August 2012 stellte die Vorinstanz auf das psychiatrische Gutachten der Frau Dr. med. H._ vom 10. August 2011 ab. Diese führte aus, als Diagnosen mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit könnten eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 F45.40) und eine Konversionsstörung/dissoziative Bewegungsstörung (ICD-10 F44.4) nicht ausgeschlossen werden. Ohne Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit seien akzentuierte narzisstische Persönlichkeitszüge (ICD-10 Z73.1). Eine Angststörung im engeren Sinne liege nicht vor. Es könnten keine sichere psychiatrische Störung und keine objektivierbare Symptomatik festgestellt werden, die eine Minderung der Arbeitsfähigkeit zur Folge hätten. Das Zustandsbild habe sich insofern gebessert, als gegenwärtig keine depressive Symptomatik mehr bestehe.
5.
5.1. Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, Dr. med. H._ begründe die Verbesserung des Gesundheitszustandes mit dem Verlauf des Depressionsgrades. Im Vergleich zu der von Dr. med. K._ festgestellten Angst und depressiven Störung gemischt gehe sie davon aus, es bestehe gegenwärtig keine depressive Episode mehr. Ob diese Aussage auf einer Neubeurteilung des im Wesentlichen unverändert gebliebenen Sachverhalts beruhe, oder aber bestimmte Befunde, die der Einschätzung des Dr. med. K._ zugrunde gelegen hätten, weggefallen seien, lasse sich dem Gutachten der Frau Dr. med. H._ nicht zuverlässig entnehmen. Die unterschiedliche Diagnosestellung als solche reiche nicht aus, um eine Veränderung als hinreichend ausgewiesen anzusehen. Frau Dr. med. H._ setze sich zwar durchaus mit den Vorakten und mit dem Gutachten des Dr. med. K._ auseinander, versäume es aber, schlüssig darzulegen, inwiefern sich der Gesundheitszustand des Versicherten seither verbessert habe. Sie konzentriere sich vor allem darauf, aufzuzeigen, dass sein Gutachten beweismässig nicht überzeuge und sich auf unvollständige Sachverhaltserhebungen gestützt habe. Ihre Argumentation ziele im Wesentlichen darauf ab, mit Hinweis auf das aggravatorische Verhalten des Versicherten darzulegen, dass angesichts der zahlreichen inkonsistenten Angaben keine psychiatrische Störung mit ausreichender Sicherheit diagnostiziert werden könne. Diese Ausführungen seien zwar durchaus einleuchtend begründet, eine revisionsbegründende Verbesserung sei damit jedoch nicht überwiegend wahrscheinlich dargetan, zumal auch aggravatorisches Verhalten eine Invalidität aus psychischen Gründen nicht von vornherein ausschliesse. Es handle sich de facto um eine unterschiedliche Beurteilung des im Wesentlichen gleichen Sachverhalts. Die IV-Stelle habe zwar Recht, dass sowohl Frau Dr. med. H._ als auch die Psychiatrischen Dienste, keine Angststörung mehr diagnostiziert hätten. Aber aus den Akten gehe nicht überwiegend wahrscheinlich hervor, dass sich der Gesundheitszustand auch insgesamt gebessert habe. Damit bestehe kein Revisionsgrund.
5.2.
5.2.1. Aufgrund der Akten steht fest, dass die im Gutachten des Dr. med. K._ vom 28. Juli 2006 diagnostizierte Angststörung (E. 4.1 hievor) bei Erlass der streitigen Verfügung vom 21. August 2012 nicht mehr bestand; dies räumte auch die Vorinstanz ein. Damit ist in diagnostischer Hinsicht offensichtlich eine Verbesserung eingetreten. Soweit die Vorinstanz argumentierte, die unterschiedliche Diagnosestellung als solche reiche für die Annahme einer hinreichenden Veränderung nicht aus, ist dem entgegenzuhalten, dass bei somatoformen Schmerzstörungen bzw. vergleichbaren syndromalen Zuständen eine relevante psychische Komorbidität das im Vordergrund stehende Kriterium bildet, welches den Schluss auf fehlende Überwindbarkeit der Schmerzstörung gestatten könnte; dies ist eine frei überprüfbare Rechtsfrage (E. 1.2 hievor; <ref-ruling> E. 4.1 S. 67; Urteil 9C_234/2013 vom 14. Oktober 2013 E. 5.2).
5.2.2. Eine erhebliche psychische Komorbidität - die aufgrund der im Gutachten des Dr. med. K._ vom 28. Juni 2006 gestellten Diagnosen (E. 4.1 hievor) noch bejaht wurde - ist nunmehr zu verneinen. Denn die von Frau Dr. med. H._ diagnostizierte Konversionsstörung/dissoziative Bewegungsstörung (ICD-10: F44.4; E. 4.2 hievor) ist praxisgemäss den anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen rechtlich gleichzustellen (BGE 8C_33/2013 vom 13. Dezember 2013 E. 2.2.1.3; Urteil 9C_340/2009 vom 24. August 2009 E. 3.4.2). Soweit sie eine Diagnose aus der sogenannten Z-Kategorie (Kapitel XXI) des ICD-10-Systems stellte, ist festzuhalten, dass es sich bei diesen Z-Kodierungen um Faktoren handelt, die den Gesundheitszustand beeinflussen und zur Inanspruchnahme des Gesundheitswesens führen. Die Kategorien Z00-99 sind für Fälle vorgesehen, in denen Sachverhalte als "Diagnosen" oder "Probleme" angegeben sind, die nicht als Krankheit, Verletzung oder äussere Ursache unter den Kategorien A00-Y89 klassifizierbar sind. Diese Belastungen fallen als solche nicht unter den Begriff des rechtserheblichen Gesundheitsschadens (SVR 2012 IV Nr. 52 S. 188 E. 3.1 [9C_537/2011]; Urteil 8C_663/2010 vom 15. November 2010 E. 5.2.4).
Selbst die in den Berichten der Psychiatrischen Dienste vom 22. März 2012 und 26. Juni 2012 gestellten Diagnosen begründen keine erhebliche psychische Komorbidität mehr. Hierin wurde neben einer chronischen somatoformen Schmerz- und autonomen Funktionsstörung (ICD-10 F45.3, 45.4) die bereits erörterte und hier unerhebliche dissoziative Bewegungsstörung (ICD-10: F44.4) diagnostiziert. Zudem wurde die Diagnose einer rezidivierenden depressiven Störung, ggw. remittiert (ICD-10 F 33.4), gestellt. Selbst wenn eine invalidisierende Wirkung einer depressiven Störung nicht schlechthin auszuschliessen ist (Urteile 8C_651/2012 vom 8. April 2013 E. 5.3 und 9C_210/2012 vom 9. Juli 2012 E. 3.1), ist hier angesichts der Remission eine relevante psychische Komorbidität zu verneinen. Gleiches gilt - wie bereits gesagt - für die gestellten Diagnosen aus der sogenannten Z-Kategorie (Kapitel XXI) des ICD-10-Systems.
5.3. Da beim Versicherten eine relevante psychische Komorbidität bei Erlass der streitigen Verfügung vom 21. August 2012 nicht mehr bestand, müssten die zusätzlichen Kriterien besonders ausgeprägt gegeben sein, damit seine Schmerzstörung dennoch ausnahmsweise als unüberwindbar zu betrachten wäre (Urteil 9C_234/2013 E. 5.2). Zum Vorliegen dieser Kriterien in diesem Zeitpunkt hat sich die Vorinstanz nicht konkret geäussert. Ihre diesbezüglich fehlenden Feststellungen lassen sich indessen ergänzen (E. 1.1 hievor; Urteil 9C_521/2012 vom 17. Januar 2013 E. 4.4). Frau Dr. med. H._ hat im Gutachten vom 10. August 2011 einlässlich zu diesen Kriterien Stellung genommen und keines als hinreichend erfüllt angesehen (zur Aufgabe der sachverständigen Person bei der Abklärung des psychischen Gesundheitszustandes vgl. nicht publ. E. 4.2.2 des Urteils <ref-ruling>, in SVR 2012 IV Nr. 56 S. 200). Die Berufung des Versicherten auf das Kriterium des sozialen Rückzugs in allen Belangen des Lebens ist unbehelflich. Denn es ist unbestritten, dass er sich jeweils vormittags im Restaurant mit einigen Bekannten trifft. Weiter gab er Frau Dr. med. H._ an, auch abends gehe er bisweilen ins Restaurant. Zudem habe er sehr nette Nachbarn, die manchmal zum Essen kämen; zu christlichen Festen bereiteten sie der Familie Geschenke.
5.4. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass sich der Gesundheitszustand des Versicherten insofern erheblich verbessert hat, als die im Rahmen der Verfügung vom 6. Februar 2007 noch bejahte psychische Komorbidität bei Verfügungserlass am 21. August 2012 nicht mehr gegeben war. Zudem lag keines der weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vor, um gesamthaft den Schluss auf eine im Hinblick auf eine erwerbliche Tätigkeit nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung zu erlauben. Demnach ist der kantonale Entscheid aufzuheben.
6.
Der unterliegende Versicherte trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (<ref-law>). Es wird indessen auf <ref-law> hingewiesen, wonach er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 7. Oktober 2013 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Solothurn vom 21. August 2012 bestätigt.
2.
Dem Beschwerdegegner wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Stephan Müller, Advokat, Procap wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdegegners wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.- ausgerichtet.
5.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. April 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar