Sachverhalt:
A.
A._ arbeitete seit ........ in der Firma C._ AG. Im Rahmen dieser Anstellung war sie bei der Pensionskasse B._ berufsvorsorgeversichert. Im April 2002 kündigte ihr die Arbeitgeberin auf Ende Juli 2002. Infolge Schwangerschaft und Geburt verlängerte sich das Arbeitsverhältnis bis Ende August 2003.
Im Januar 2001 hatte sich A._ (ein zweites Mal) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Nach Abklärungen sprach ihr die IV-Stelle Bern mit Verfügung vom 25. September 2003 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 50 % eine halbe Invalidenrente samt Zusatzrente für den Ehemann ab 1. April 2001 zu. Die Pensionskasse B._ richtete ab 1. September 2003 Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge (Invalidenrente und eine Invaliden-Kinderrente) aus.
Als Ergebnis des 2006 eingeleiteten Revisionsverfahrens hob die IV-Stelle mit Verfügung vom 4. März 2008 die Rente auf Ende April 2008 auf. Die neu angewendete gemischte Methode der Invaliditätsbemessung hatte einen Invaliditätsgrad von 10 % ergeben. Auf denselben Zeitpunkt stellte die Pensionskasse B._ ihre Leistungen ein (Schreiben vom 14. März 2008). Das Gesuch von A._ vom 26. Oktober 2012 um Ausrichtung einer 30%-Invalidenrente ab 1. Mai 2008 sowie Nachzahlung der Invalidenrenten für die Zeit vom 1. April 2001 bis 31. August 2003 lehnte sie ab (Schreiben vom 14. November 2012).
B.
Am 31. Januar 2013 liess A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Klage gegen die Pensionskasse B._ einreichen, welche die Sozialversicherungsrechtliche Abteilung nach Klageantwort und zweitem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 8. April 2014 abwies.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._ zur Hauptsache, der Entscheid vom 8. April 2014 sei aufzuheben und die Pensionskasse B._ "teilklageweise" zu verpflichten, ab 1. August 2002 eine Hauptrente sowie ab März 2003 Kinderrenten zu bezahlen, zuzüglich Verzugszins von 5 % auf dem Saldobetrag seit wann rechtens; es sei Akt zu nehmen, dass Mehrforderungen vorbehalten blieben.
Die Pensionskasse B._ ersucht um Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat keine Vernehmlassung eingereicht.

Erwägungen:
1.
Streitgegenstand gemäss den Begehren in der Beschwerde (Urteil 1C_330/2013 vom 15. Oktober 2013 E. 2.1) bildet der Anspruch der Beschwerdeführerin gegenüber der Beschwerdegegnerin auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge. Dabei geht es entsprechend den Beschwerdeanträgen um die Zeiträume vom 1. August 2002 bis 31. August 2003, vom 1. September 2003 bis 30. April 2008 sowie ab 1. Mai 2008.
2.
Die Vorinstanz hat eine allfällige Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin bis 31. Januar 2008 infolge Anspruchsverjährung verneint (Art. 41 Abs. 1 und 2 BVG sowie aArt. 41 Abs. 1 BVG, in der bis Ende 2004 geltenden Fassung; zum intertemporalrechtlichen Verhältnis dieser Bestimmungen vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 216). Die Beschwerdeführerin rügt, die Erhebung der Einrede der Verjährung durch die Beschwerdegegnerin verstosse gegen Treu und Glauben. Die Vorsorgeeinrichtung habe ihre Pflicht zur korrekten Information über zustehende Ansprüche verletzt und zu tiefe Leistungen behauptet.
Die Vorinstanz hat die Gründe dargelegt, weshalb <ref-law>, wonach der offenbare Missbrauch eines Rechtes keinen Rechtsschutz findet, nicht anwendbar ist. Dabei hat sie auf die Rechtsprechung hingewiesen, wonach die Verjährungseinrede nicht schon deshalb rechtsmissbräuchlich ist, weil der Schuldner weiss, dass der eingeklagte Anspruch zu Recht besteht (Urteil 4A_590/2009 vom 14. Mai 2010 E. 5.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 7.1 S. 403). Die Beschwerdeführerin vermag den vorinstanzlichen Erwägungen nichts Substanzielles entgegenzuhalten. Insbesondere vermag sie keine gesetzliche oder reglementarische Grundlage anzugeben, aus der sich spezielle Pflichten der Beschwerdegegnerin betreffend Aufklärung, Beratung und Information bezüglich der ab 1. September 2003 ausgerichteten Invalidenleistungen ergeben könnten (vgl. Urteil B 160/06 vom 7. November 2007, in: SVR 2008 BVG Nr. 30 S. 121, sowie <ref-ruling> zu dem am 1. Januar 2005 in Kraft getretenen Art. 86b BVG). Der in der Beschwerde erwähnte <ref-ruling>, der von der Information bei Eintritt des Freizügigkeitsfalles handelt, ist nicht einschlägig. Im Übrigen unterliegen Ansprüche aus Vertrauenshaftung nach <ref-law> der einjährigen relativen Verjährungsfrist nach <ref-law> (<ref-ruling>). Ob diese Frist gewahrt wäre, erscheint fraglich (zur Beweislastverteilung vgl. Urteil 5A_563/2009 vom 29. Januar 2010 E. 3 mit Hinweisen auf die Lehre), kann nach dem Gesagten indessen offenbleiben.
3.
In Bezug auf die Monate Februar bis April 2008 beantragt die Beschwerdeführerin höhere Leistungen als von der Beschwerdegegnerin ausgerichtet. Die Frage hängt davon ab, ob das Reglement 1999 oder 2001, gültig ab 1. Januar 2002, anwendbar ist bzw. in welchem Zeitpunkt der Anspruch auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge entstanden war. Gemäss Vorinstanz gilt die anspruchsbegründende Invalidität mit Ablauf der Wartezeit nach aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG, in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2007, bzw. mit Beginn der halben Rente der Invalidenversicherung am 1. April 2001 als eingetreten. Somit sei das Reglement 1999 anwendbar. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin gilt dies allenfalls für den Obligatoriumsbereich. Ein Anspruch auf reglementarische Leistungen sei bis 31. Dezember 2001 jedoch nicht entstanden, sondern erst mit Auflösung des Arbeitsverhältnisses Ende August 2003, wie sich aus Art. 14 Abs. 1, 3 und 5 Reglement 1999 ergebe.
3.1. Gemäss <ref-law> bestimmt sich der Inhalt des Vertrags nach dem übereinstimmenden wirklichen Willen der Parteien. Die empirische oder subjektive hat gegenüber der normativen oder objektivierten Vertragsauslegung den Vorrang. Nur wenn der übereinstimmende wirkliche Wille der Parteien unbewiesen bleibt, ist deren mutmasslicher Wille zu ermitteln, indem ihre Erklärungen aufgrund des Vertrauensprinzips so auszulegen sind, wie sie nach ihrem Wortlaut und Zusammenhang sowie den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten (zum Ganzen <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 666 f. mit Hinweisen; Urteil 2C_941/2012 vom 9. November 2013 E. 3.3). Diese Grundsätze gelten auch für Statuten und Reglemente privater Vorsorgeeinrichtungen (<ref-ruling> E. 6.2 S. 375 mit Hinweisen). Da in Bezug auf Art. 14 Abs. 1 und 3 Reglement 1999 kein übereinstimmender wirklicher Parteiwille festzustellen ist, muss somit nach dem objektiven Sinn des Erklärungsverhaltens der Parteien gefragt werden. Dabei sind unklare, mehrdeutige oder ungewöhnliche Wendungen im Zweifel zu Lasten der Vorsorgeeinrichtung auszulegen (Urteile 9C_88/2011 vom 15. Februar 2012 E. 4.2, 9C_1024/2010 vom 2. September 2011 E. 4.1, in: SVR 2012 BVG Nr. 3 S. 11 und 9C_177/2010 vom 25. Mai 2010 E. 2.2.1, in: SVR 2011 BVG Nr. 1 S. 1).
3.2. Art. 14 Abs. 1, 3 und 5 Reglement 1999 ('Invalidenrente') lauten wie folgt:
"1 Ist das Mitglied nach Feststellung des Vertrauensarztes seines Arbeitgebers für seine bisherige oder für eine andere ihm zumutbare Beschäftigung nicht mehr tauglich (Invalidität), so hat es Anspruch auf eine Invalidenrente, wenn das Arbeitsverhältnis aus diesem Grunde vom Arbeitgeber aufgelöst wird.
2 (...)
3 Der Anspruch auf die Invalidenrente beginnt mit der Auflösung des Arbeitsverhältnisses oder (...).
4 (...)
5 Mit dem Beginn einer Invalidenrente entfällt die Beitragspflicht nach Massgabe des Invaliditätsgrades."
Der Anspruch auf eine Invalidenrente setzt somit voraus, dass das Arbeitsverhältnis wegen der Invalidität in dem in Teilsatz 1 von Abs. 1 umschriebenen Sinne vom Arbeitgeber aufgelöst wird. Dies kann nur so verstanden werden, dass der Anspruch frühestens im Zeitpunkt der Kündigung entstehen kann. Ob aufgrund von Abs. 3 und 5 das rechtliche Ende des Anstellungsverhältnisses massgebend ist, wie in der Beschwerde geltend gemacht wird, kann hier offenbleiben. Ebenso wenig braucht auf die Kritik der Beschwerdegegnerin an der Rechtsprechung betreffend den Rentenaufschub, wenn Taggelder der Kranken- oder Unfallversicherung nach Beginn der Rente der Invalidenversicherung gekürzt oder zurückfordert werden (vgl. Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 27/04 vom 21. Februar 2005 und <ref-ruling> sowie Hans-Ulrich Stauffer, Berufliche Vorsorge, 2. Aufl. 2012, S. 369 Rz. 1008), eingegangen zu werden. Der Beschwerdeführerin war nach unbestrittener Feststellung der Vorinstanz im April 2002 auf Ende Juli 2002 gekündigt worden. Infolge Schwangerschaft und Geburt der ersten Tochter verlängerte sich das Arbeitsverhältnis bis Ende August 2003. Bei dessen Auflösung durch den Arbeitgeber im April 2002 stand jedoch bereits das Reglement 2001 in Kraft, welches somit mangels anders lautender übergangsrechtlicher Bestimmung anwendbar ist (Urteil 9C_954/2011 vom 22. März 2012 E. 2.2, in: SVR 2012 BVG Nr. 36 S. 138).
3.3. Für die Monate Februar bis April 2008 wird die Vorinstanz die Invalidenrente der Beschwerdeführerin und die Kinderrente neu auf der Grundlage von Reglement 2001 zu berechnen haben. Soweit für die Bestimmung des versicherten Verdienstes von Bedeutung, wird sie zu prüfen haben, ob der Anspruch im April 2002 oder erst Ende August 2003 entstanden ist (vgl. Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 42/03 vom 16. Oktober 2003 E. 3.1, in: SVR 2004 BVG Nr. 8 S. 24). Für die Zeit vor Februar 2008 sind infolge Verjährung keine (weiteren) Leistungen geschuldet (vorne E. 2).
4.
Für die Zeit ab 1. Mai 2008 hat die Vorinstanz einen Anspruch der Beschwerdeführerin auf Invalidenleistungen (Invalidenrente, Kinderrenten) verneint. Zur Begründung hat sie ausgeführt, nach Art. 15 Abs. 2 Reglement 2006 sei die Beschwerdegegnerin befugt gewesen, die Verfügung vom 4. März 2008, womit die halbe Rente der Invalidenversicherung der Beschwerdeführerin auf Ende April 2008 aufgehoben worden sei, nachzuvollziehen und ihre Leistungen auf diesen Zeitpunkt einzustellen. Daran ändere nichts, dass der revisionsweisen Rentenaufhebung die gemischte Methode zugrunde gelegen habe, zumal sich die Arbeitsfähigkeit im Erwerbsbereich in anspruchsrelevanter Weise von ursprünglich 50 % auf 70 % verbessert habe. Nach der Konzeption der beruflichen Vorsorge als Erwerbsausfallversicherung sei das hypothetische zeitliche Pensum massgebend, das die versicherte Person leisten würde, wenn sie gesund wäre, und nicht das vor Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung tatsächlich ausgeübte. Bezogen auf das erwerbliche Arbeitspensum von 50 % resultiere bei einer Arbeitsfähigkeit von 70 % keine Erwerbseinbusse und somit keine Invalidität, weder im Sinne der IV noch des Reglements.
Die Beschwerdeführerin hält dagegen, der invalidenversicherungsrechtliche Statuswechsel stelle berufsvorsorgerechtlich keinen Anpassungsgrund dar, weil dies für eine Erwerbsausfallversicherung wesensfremd wäre. Jedenfalls bedürfte es hiefür einer klaren reglementarischen Grundlage, woran es indessen im Reglement 2001 fehle. Der in Art. 15 Abs. 2 Reglement 2006 vorgesehene Nachvollzug von Revisionsentscheiden der Invalidenversicherung sei hier lediglich zulässig, soweit sie mit einer Verbesserung der Arbeitsfähigkeit im Erwerbsbereich begründet werden. Der Erwerbsausfall gemessen an der vor Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung ausgeübten Vollerwerbstätigkeit werde nicht kleiner, wenn sie zu einem späteren Zeitpunkt Mutter eines Kindes werde. Eine Änderung in den persönlichen Verhältnissen sei kein neuer Versicherungsfall und habe nichts mit dem seinerzeitigen Versicherungsfall Invalidität zu tun. Die Rechtsauffassung der Vorinstanz stehe auch im Widerspruch zur Lehre.
5.
Zu prüfen ist, ob der invalidenversicherungsrechtliche Statuswechsel (von vollerwerbstätig [Verfügung vom 25. September 2003] zu teilerwerbstätig [Verfügung vom 4. März 2008]; Urteil 8C_854/2011 vom 10. Februar 2012 E. 2.3) bzw. der Wechsel der Methode der Invaliditätsbemessung (vom Einkommensvergleich [<ref-law> i.V.m. <ref-law>] zur gemischten Methode [<ref-law>]) für die laufende Invalidenrente der beruflichen Vorsorge von Bedeutung ist. Die unbestrittene Erhöhung der Arbeitsfähigkeit von 50 % auf 70 % aufgrund des verbesserten Gesundheitszustandes im Vergleichszeitraum macht die Frage nicht obsolet, da nach Reglement ein Invaliditätsgrad von wenigstens 25 % Anspruch auf Invalidenleistungen gibt.
5.1. Entscheide der Invalidenversicherung über den erwerblichen Status einer invaliden Person (voll erwerbstätig, teilerwerbstätig, nicht erwerbstätig) sind für die Vorsorgeeinrichtungen, welche ins IV-Verfahren einbezogen worden waren, bindend, und zwar sowohl im obligatorischen als auch im weitergehenden Bereich (<ref-ruling> E. 2.5 S. 156). Dies gilt auch, wenn sie, wie die Beschwerdegegnerin, auf die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtungsweise abstellen (Urteil 9C_693/2009 vom 10. September 2010 E. 5.1, in: SVR 2011 BVG Nr. 12 S. 44). Bei Teilerwerbstätigen mit einem Aufgabenbereich (im Sinne von <ref-law> i.V.m. <ref-law> und <ref-law>) bzw. bei Anwendbarkeit der gemischten Bemessungsmethode ist für die berufliche Vorsorge grundsätzlich nur der Invaliditätsgrad massgebend, der für den erwerblichen Bereich resultiert, unter Vorbehalt offensichtlicher Unhaltbarkeit. Einzig insoweit ist eine Bindung an die Invaliditätsbemessung der Invalidenversicherung gegeben (<ref-ruling> E. 4b S. 109 f.). Dies bedeutet, dass unter Umständen Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung bestehen kann, nicht aber auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge oder umgekehrt. Sowohl <ref-ruling> als auch <ref-ruling> ergingen im Zusammenhang mit der erstmaligen Zusprechung einer Rente der Invalidenversicherung.
5.2. Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge sind grundsätzlich anzupassen, wenn sie den tatsächlichen oder rechtlichen Verhältnissen objektiv nicht oder nicht mehr entsprechen (<ref-ruling>). Nach Art. 15 Abs. 2 Reglement 2006 werden Anpassungen nur bei Revisionen der IV entsprechend den neuen Verfügungen vorgenommen (Satz 3). Bei striktem Nachvollzug des IV-Statusentscheids wäre für die Vorsorgeeinrichtung neu der Invaliditätsgrad massgebend, der für den erwerblichen Bereich resultiert. Dieser beträgt im vorliegenden Fall unbestritten 0 % (Arbeitsfähigkeit von 70 % bei einem hypothetischen Arbeitspensum von 50 % im Gesundheitsfall). Nach der Lehre, soweit sie sich zum Thema der Anpassung von Leistungen der beruflichen Vorsorge an die Entscheide der Invalidenversicherung äussert, soll eine mit einer Statusänderung verbundene Revision der Rente der Invalidenversicherung ohne Einfluss auf den berufsvorsorgerechtlichen Rentenanspruch sein. Ein Statuswechsel könne jedoch zu einer Neuberechnung der Überentschädigung führen im Sinne der Anpassung der Überentschädigungsgrenze (nach Reglement oder Gesetz [vgl. Art. 24 Abs. 1 BVV 2: "90 Prozent des mutmasslich entgangenen Verdienstes"]; Marc Hürzeler, in: BVG und FZG, 2010, N. 15 zu Art. 24 BVG; derselbe, Invaliditätsbemessung in der Invalidenversicherung und der beruflichen Vorsorge, in: Personen-Schaden-Forum 2008, S. 213; Bernhard Studhalter, Unfallbedingter Erwerbsausfall in der IV, UV und [obligatorischen] BV, in: Personen-Schaden-Forum 2005, S. 115 und 122-124, unter Hinweis auf Isabelle Vetter-Schreiber, Überentschädigung/Ungerechtfertigte Vorteile, in: Neuere Entwicklungen in der beruflichen Vorsorge, 2000, S. 146, und auf <ref-ruling> E. 2.3 S. 155). Die Rechtsauffassung, dass ein Statuswechsel im Rahmen eines IV-Revisionsverfahrens für sich allein genommen am berufsvorsorgerechtlichen Rentenanspruch nichts ändert, wird damit begründet, der neu - nach der gemischten Methode - ermittelte Invaliditätsgrad sei für die Vorsorgeeinrichtung nicht verbindlich (vgl. Marc Hürzeler, in: BVG und FZG, 2010, N. 15 zu Art. 24 BVG).
5.3.
5.3.1. Der invalidenversicherungsrechtliche Status macht eine Aussage darüber, ob und gegebenenfalls in welchem zeitlichen Umfang die versicherte Person ohne gesundheitliche Beeinträchtigung einem Erwerb nachginge und daneben in einem Aufgabenbereich nach <ref-law> i.V.m. <ref-law> tätig wäre (Urteil 9C_311/2013 vom 12. November 2013 E. 3.1). Der Status als solcher und damit auch ein allfälliger Statuswechsel oder eine Änderung des (zahlenmässigen) Verhältnisses der beiden massgeblichen Tätigkeitsbereiche (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 502/97 vom 8. März 1999 E. 3) im Rahmen eines Revisionsverfahrens nach <ref-law> sind für den Umfang der Erwerbsfähigkeit nicht von Bedeutung, anders als etwa der Gesundheitszustand bzw. eine Verbesserung oder eine Verschlechterung desselben. Die damit verbundene Änderung des hypothetischen erwerblichen Arbeitspensums hat indessen zur Folge, dass der diesbezügliche Invaliditätsgrad neu zu bestimmen ist. Das führt bei im Übrigen unveränderten Umständen zu einem anderen Invaliditätsgrad (vgl. <ref-ruling> E. 5.1.1 S. 53 und <ref-ruling> E. 5a S. 153 f.). Wäre dieser neue Invaliditätsgrad für die Vorsorgeeinrichtung verbindlich, bliebe unberücksichtigt, dass eine Reduktion des Beschäftigungsgrades und eine (regelmässig) damit einhergehende Lohnreduktion berufsvorsorgerechtlich eine Austrittsleistung auslöste (Art. 20 Abs. 1 FZG).
5.3.2. Ein Anspruch auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge ist sodann nur gegeben, sofern eine entsprechende Versicherungsdeckung vorhanden ist. Deren Umfang bemisst sich nach dem Beschäftigungsgrad bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 47/97 vom 15. März 1999 E. 2), unter Berücksichtigung einer allfälligen vorbestandenen gesundheitlich bedingten Arbeitsunfähigkeit (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 7/01 vom 7. Februar 2003 E. 2.1). Versah die versicherte Person ein Teilzeitpensum, besteht kein Anspruch auf Leistungen der beruflichen Vorsorge, wenn und jedenfalls solange sie trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung im bisherigen Umfang weiterarbeiten kann oder könnte (Urteile 9C_821/2010 vom 7. April 2011 E. 4.2 und 9C_634/2008 vom 19. Dezember 2008 E. 5.1 und 5.1.1; Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts B 34/05 vom 8. Juni 2006 E. 4.2 und B 46/03 vom 14. Februar 2005 E. 4; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 142); das Risiko Invalidität hat sich lediglich in dem berufsvorsorgerechtlich nicht versicherten Anteil einer Vollzeitbeschäftigung (100 % - Beschäfti-gungsgrad) verwirklicht (Urteile 9C_821/2010 vom 7. April 2011 E. 4.2 und 9C_161/2007 vom 6. September 2007 E. 2). Eine (hypothetische) spätere Erhöhung des Arbeitspensums im Gesundheitsfall etwa aufgrund veränderter persönlicher, familiärer oder finanzieller Ver-hältnisse, selbst wenn "von Anfang an" beabsichtigt, ist für die Frage der Leistungspflicht für die erwerblichen Folgen der eingetretenen, im Wesentlichen unveränderten Arbeitsunfähigkeit ohne Belang. Dadurch kann die Versicherungsdeckung nicht ausgeweitet werden (Urteil 9C_821/2010 vom 7. April 2011 E. 4.2). In gleicher Weise kann auch mit Blick auf das in E. 5.3.1 hievor Gesagte - umgekehrt - die (hypothetische) Reduktion des Arbeitspensums im Gesundheitsfall nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit im Sinne von Art. 23 lit. a BVG keine Auswirkungen auf den Anspruch auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge haben. Daraus ergibt sich, dass eine im Sinne von <ref-law> relevante Änderung des invalidenversiche-rungsrechtlichen Status oder des Anteils der Erwerbstätigkeit allein keinen berufsvorsorgerechtlichen Anpassungsgrund darstellt.
5.4. Soweit im vorliegenden Fall die revisionsweise Aufhebung der halben Rente der Invalidenversicherung auf Ende April 2008 auf dem Statuswechsel (von vollerwerbstätig zu teilerwerbstätig im zeitlichen Umfang von 50 %) beruht, kann die Invalidenrente der beruflichen Vorsorge nicht gestützt auf Art. 15 Abs. 2 Reglement 2006 aufgehoben werden. Einzig die - unbestrittene - Verbesserung der Arbeitsfähigkeit (von 50 % auf 70 %) ist Grund für eine Neuberechnung der Leistung. Die Vorinstanz hat somit neben den Monaten Februar bis April 2008 (vorne E. 3.3) auch über die Begehren in der Klage (präzisiert in der Replik) betreffend die Zeit ab 1. Mai 2008 neu zu entscheiden.
6.
Die Parteien haben nach Massgabe ihres Unterliegens die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>; Urteil 9C_702/2011 vom 28. Februar 2012 E. 5, in: SVR 2012 BVG Nr. 30 S. 121).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 8. April 2014 wird, soweit die Zeit ab 1. Februar 2008 betreffend, aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden zu zwei Fünfteln (Fr. 200.--) der Beschwerdeführerin und zu drei Fünfteln (Fr. 300.--) der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'700.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen, Aufsicht Berufliche Vorsorge, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Januar 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Fessler