Sachverhalt:
A.
A._ hat im Frühjahr 2012 das Anwaltsexamen im Kanton Basel-Stadt abgelegt und die schriftliche Prüfung bestanden. Am 11. Juni 2012 teilte ihm die Advokaten-Prüfungsbehörde Basel-Stadt mit, dass er in der am selben Tag durchgeführten mündlichen Prüfungdreiungenügende Noten erzielt und das Examen somit nicht bestanden habe.
B.
Gegen diese Verfügung gelangte A._ mit Rekurs an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses wies den Rekurs mit Urteil vom 23. Mai 2013 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 8. Juli 2013 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil der Vorinstanz vom 23. Mai 2013 sei aufzuheben, und die Sache sei zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und die Advokaten-Prüfungsbehörde Basel-Stadt verzichten auf eine Vernehmlassung und schliessen auf Abweisung der Beschwerde. In einer weiteren Eingabe vom 14. Oktober 2013 hielt der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wurden in einer Eingabe unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereicht und richten sich gegen einen Entscheid einer letzten oberen kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts.
1.2. Der angefochtene Entscheid hat das Nichtbestehen einer Anwaltsprüfung und damit das Ergebnis einer Fähigkeitsbewertung zum Gegenstand. Er kann in Anwendung des Ausschlussgrundes von Art. 83 lit. t BGG nicht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht angefochten werden (<ref-ruling> E. 1 S. 231; HÄBERLI, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 296 zu Art. 83). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kannnicht eingetreten werden.
1.3. Offen steht dagegen grundsätzlich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 231 ff.; Urteil 2D_36/2013 vom 20. Januar 2014 E. 2.1). Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist; es gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 117 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; Urteil 2D_34/2012 vom 26. Oktober 2012 E. 1.2). Nicht einzutreten ist auf die Rüge der Verletzung einfachen kantonalen Gesetzesrechts, wonach die Vorinstanz kantonales Recht über Prüfungen in Humanmedizin verletzt habe und gemäss kantonalen Regelungen in einigen Kantonen die mündlichen Prüfungen öffentlich seien. Nicht einzutreten ist weiter auf die Rüge der Verletzung von Art. 6 EMRK und Art. 27 BV, insofern diese pauschal mit einer Willkürlichkeit und Gesetzeswidrigkeit des verwaltungsbehördlichen Verfahrens begründet wird.
1.4. Zur Verfassungsbeschwerde legitimiert ist, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. b BGG). Die massgeblichen rechtlich geschützten Interessen können sich unmittelbar aus bundesverfassungsrechtlichen Verfahrensgarantien oder aus einem als verletzt gerügten speziellen Grundrecht ergeben, sofern es auf dem Gebiet liegt, das die betreffende Verfassungsbestimmung beschlägt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 235, Urteil 2D_36/2013 vom 20. Januar 2014 E. 2.2). Der Beschwerdeführer hat einen Anspruch auf Erteilung des Anwaltspatents bei bestandener Prüfung. Er erhebt die Rüge, der angefochtene Entscheid verletze die Rechtsweggarantie (Art. 29a BV), seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV), die Rechtsgleichheit (Art. 8 Abs. 1 BV), das Willkürverbot (Art. 9 BV) und die verfahrensrechtlichen Garantien gemäss Art. 29 Abs. 1 BV (überspitzter Formalismus) und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.5. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 BGG).Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 116 BGG beruht (Art. 118 Abs. 2 BGG). In der Beschwerdeschrift - und damit innert der gesetzlichen Beschwerdefrist (Art. 100 BGG) - ist darzulegen, dass die Vorinstanz den Sachverhalt unter Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 118 i.V.m. 116 BGG) nicht oder unrichtig festgestellt hat (Urteil 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2014 E. 1.7). Ob der Antrag des Beschwerdeführers auf Berichtigung der Datierungen im Sachverhalt ein eigentlicher neuer und damit unzulässiger Antrag (Art. 99 Abs. 2 BGG) oder als Sachverhaltsrüge zu verstehen ist, kann deswegen offen bleiben, weil diese Datierungen inhaltlich keinen Einfluss auf den Verfahrensausgang vor Bundesgericht haben und damit unbeachtlich sind (Art. 97 Abs. 1 BGG).
1.6. Auf die Subeventualanträge auf Feststellung des Bestehens des schriftlichen Teils der Advokatenprüfung und auf Anweisung an die Beschwerdegegnerin, bei bestandener mündlicher Prüfung in einem anderen Kanton die Berufszulassung zu erteilen, kann nicht eingetreten werden. Streitgegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens kann in diesem Punkt nur die Frage sein, ob die Vorinstanz zu Recht im vorinstanzlichen Verfahren auf diese Anträge nicht eingetreten ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 41; Urteil 2C_272/2012 vom 9. Juli 2012 E. 1.1).
2.
Der Beschwerdeführer beanstandet zunächst das Nichteintreten auf diverse Eventual- und Subeventualbegehren.
2.1. Die Vorinstanz ist auf den reformatorischen Eventualantrag des Beschwerdeführers, ihm sei die Berufszulassung zu erteilen, nicht eingetreten. Dass die Vorinstanz auf dem Gebiet der Anwaltsprüfungen nicht nur kassatorische, sondern auch reformatorische Urteile zu fällen hätte und somit in willkürlicher Anwendung von kantonalem Verfahrensrecht auf den reformatorischen Antrag des Beschwerdeführers im vorinstanzlichen Verfahren nicht eingetreten sei, hat der Beschwerdeführer nicht dargelegt. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet.
2.2. Das Nichteintreten auf den im vorinstanzlichen Verfahren geltend gemachten Subeventualantrag auf Feststellung der bestandenen schriftlichen Advokatenprüfung ist im Ergebnis ebenfalls nicht zu beanstanden. Eine Prüfung der Frage, ob die Vorinstanz die Legitimation des Beschwerdeführers im kantonalen Verfahren in diesem Punkt enger gefasst hat als durch Art. 89 Abs. 1 BGG vorgegeben (Art. 111 Abs. 1 BGG; Urteil 1C_314/2013 vom 8. November 2013 E. 2.3.1) ergibt, dass die im vorinstanzlichen Verfahren angefochtene Verfügung diese Bescheinigung bereits enthielt und es dem Beschwerdeführer an einem praktischen Nutzen und damit an einem schutzwürdigen Interesse als Sachurteilsvoraussetzung fehlte (<ref-ruling> E. 2.1 S. 218).
2.3. Auch das Nichteintreten der Vorinstanz auf den weiteren Subeventualantrag auf Verpflichtung der Beschwerdegegnerin zur Erteilung der Berufszulassung nach bestandener mündlicher Prüfung in einem anderen Kanton kann nicht beanstandet werden. Inwiefern die Vorinstanz mit der Begründung, dieser Rechtsmittelantrag bewege sich ausserhalb der angefochtenen Verfügung, welche den Rahmen des Streitgegenstandes vorgebe, den Begriff des Streitgegenstandes verkannt haben soll, ist nicht dargelegt.
3.
Die Vorinstanz hat die materielle Rüge des Beschwerdeführers, wonach seine Leistungen allenfalls zu Unrecht als ungenügend bewertet worden seien, mit der Begründung nicht behandelt, diese Rüge sei erst mit der Replik und damit gestützt auf eine gegenüber der Rekursschrift erweiterten Sachverhaltsbasis erhoben worden. In Anwendung der Eventualmaxime sei diese Rüge und die mit Eingabe vom 18. März 2013 erhobenen Rügen verspätet erfolgt (§ 16 Abs. 3 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege vom 14. Juni 1928 [VRPG/BS]); hätte der Beschwerdeführer Anlass zu materiellen Rügen zur Beurteilung seiner Prüfung gehabt, so hätte er diese und die entsprechenden Beweisanträge bereits mit der Rekursbegründung erheben können und auch müssen (§ 16 Abs. 2 VRPG/BS). Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe die Eventualmaxime überspitzt formalistisch angewendet und die fehlende materielle Auseinandersetzung mit der vorgebrachten Rüge bewirke eine Verweigerung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV), sei treuwidrig (Art. 9 BV), mit überspitzt formalistischer Begründung erfolgt (Art. 29 Abs. 2 BV) und verstosse gegen Art. 29a BV sowie gegen Art. 6 EMRK.
3.1. In Umsetzung der Rechtsweggarantie von Art. 29a BV schreibt Art. 110 BGG den unmittelbaren Vorinstanzen des Bundesgerichts die Anwendung des massgebenden Rechts von Amtes wegen und die freie Prüfung des Sachverhalts vor. Die unmittelbaren Vorinstanzen des Bundesgerichts haben sich somit grundsätzlich auch mit einer im Laufe des Rechtsmittelverfahrens angepassten rechtlichen Argumentation auseinanderzusetzen; in einer im Rahmen des Streitgegenstands (definiert nach dem Anfechtungsobjekt und den Rechtsmittelanträgen) angepassten rechtlichen Argumentation liegt kein unzulässiges Novum (<ref-ruling> E. 4.5 S. 277; Urteil 2C_961/2013 vom 29. April 2014 E. 3.3; MEYER/DORMANN, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 23 zu Art. 99 BGG). Der Zeitpunkt, bis zu welchem die zur Stützung der rechtlichen Rügen erheblichen Tatsachen in einem der Untersuchungsmaxime unterstehenden Verfahren in den Prozess eingebracht werden können, ist im vorliegenden Verfahren nicht ausschlaggebend.
3.2. Eine richterliche Instanz überprüft eine materielle Bewertung eines Examens nur mit besonderer Zurückhaltung. Sie schreitet erst ein, wenn sich die Prüfungsbehörde von sachfremden oder sonstwie offensichtlich unhaltbaren Erwägungen hat leiten lassen, so dass deren Entscheid unter rechtsstaatlichen Gesichtspunkten als nicht mehr vertretbar erscheint (<ref-ruling> E. 5.4.1 S. 237). Ein Beschwerdeführer hat somit darzutun, dass die Bewertung offensichtlich unhaltbar ist oder auf einer krassen Fehleinschätzung beruht.
Dies hat der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren nicht geltend gemacht. Der Beurteilungsspielraum, den die richterlichen Instanzen einer Prüfungsbehörde einräumen, hätte einer vorinstanzlichen Überprüfung der Rügen des Beschwerdeführers, seine Prüfung sei allenfalls zu Unrecht als ungenügend bewertet worden und seine Noten seien unangemessen, entgegen gestanden. Indem die Vorinstanz das angesichts einer zulässigen Kognitionsbeschränkung nicht entscheiderhebliche rechtliche Vorbringen des Beschwerdeführers unberücksichtigt liess, hat sie zumindest im Ergebnis das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers (Art. 29 Abs. 2 BV) nicht verletzt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 84; Urteil 1C_534/2012 vom 16. Juli 2013 E. 2.5; Urteil 2C_588/2013 vom 20. November 2013 E. 3.2). Das angefochtene vorinstanzliche Urteil erweist sich damit weder als treuwidrig (Art. 9 BV) noch als überspitzt formalistisch begründet (Art. 29 Abs. 1 BV) und verstösst, angesichts der gebotenen Zurückhaltung bei der richterlichen Überprüfung von Prüfungsentscheiden, nicht gegen Art. 29a BV ( KÖLZ/HÄNER/BERTSCHI, Verwaltungsrechtsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 3. Aufl. 2013, N. 185; KLEY, in: St. Galler Kommentar zur schweizerischen Bundesverfassung, 2. Aufl. 2008, N. 11 zu Art. 29a BV). Eine Verletzung von Art. 6 EMRK liegt bereits deswegen nicht vor, weil bei materiellen Rügen gegen Prüfungsentscheide keine "Streitigkeit" im konventionsrechtlichen Sinn besteht (<ref-ruling> E. 2.9 S. 473).
4.
Der Beschwerdeführer rügt, das durchgeführte Prüfungsverfahren genüge den rechtsstaatlichen Anforderungen nicht. Das Fehlen einer Protokollierung dermündlichen Prüfungen laufe auf eine Beweislastumkehr zu Lasten der geprüften Person hinaus. Dadurch würde der Prüfungsbehörde ein "Blankoschein" ausgestellt, welcher den Verfahrensgarantien der Bundesverfassung und der EMRK sowie dem Rechtsgleichheitsprinzip und dem Willkürverbot nicht standhalten könne.
4.1. Als wichtiger Teilaspekt des allgemeinen Grundsatzes des fairen Verfahrens (Art. 29 Abs. 1 BV) ist der Anspruch auf rechtliches Gehöreigens in Art. 29 Abs. 2 BV verankert worden (<ref-ruling> E. 4.5 S. 103; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Er garantiert als prozessorientiertes Mitwirkungsrecht das Recht der Verfahrensparteien auf Teilnahme am Verfahren und auf Einflussnahme auf den Prozess der Entscheidfindung (<ref-ruling> E. 2b S. 132). Die Ausübung von prozessualen Mitwirkungsrechten, insbesondere des Beweisführungsrechts, setzt die Möglichkeit einer Akteneinsichtsnahme voraus, welche ihrerseits auf einer Aktenführungspflicht der Verwaltung beruht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 494; <ref-ruling> E. 4.1 S. 477; WALDMANN/OESCHGER, in: Praxiskommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2009, N. 34 zu Art. 26).
4.2. Es entspricht denn auch einem aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör abgeleiteten allgemeinen Verfahrensgrundsatz, dass entscheidrelevante Tatsachen und Ergebnisse schriftlich zu protokollieren sind. Der Umfang der Protokollierungspflicht hat sich an ihrem Zweck - derGarantie der prozessorientierten Mitwirkungsrechte der Parteien - auszurichten und hängt von den konkreten Umständen des Einzelfalls ab (BGE <ref-ruling> E. 4.2 S. 478; <ref-ruling> E. 3 S. 390).Für mündliche Examen lässt sich nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung aus Art. 29 Abs. 2 BV keine eigentliche Protokollierungspflicht ableiten (Urteil 2P.23/2004 vom 13. August 2004 E. 2.4). Die verfassungsrechtlichen Anforderungen an ein rechtsstaatliches Verfahren sind erfüllt, wenn anhand von genügend präzisen internen Notizen oder mündlichen Angaben der Ablauf der Prüfung vor einer Rechtsmittelinstanz rekonstruiert werden kann und dieser ermöglicht wird, die Bewertung zu beurteilen. Dafür können sämtliche zu diesem Zweck tauglichen Hilfsmittel wie interne Notizen, Prüfungsprotokolle über die gestellten Fragen und die unzutreffenden Antworten sowie Aufzeichnungen oder Aussagen des Prüfungsexperten anlässlich der Verhandlungen vor der Rechtsmittelinstanz selbst eingesetzt werden. Entscheidend ist, dass sich die durch die Rechtsmittelinstanz ausgeübte Überprüfung der Beurteilung mangels präziser Angaben nicht als eine blosse Formalie erweist, sondern dem Kandidaten die Gründe für das Nichtbestehen der Prüfung nachvollziehbar dargelegt werden, wodurch ihm zum einen eine bessere Vorbereitung für die nächste Session oder dessen Verarbeitung erleichtert werden soll, falls sich dieses als definitiv erweist, und zum anderen eine Anfechtung und justizielle Kontrolle des Prüfungsentscheids überhaupt erst ermöglicht wird. Erweist sich eine Überprüfung des Examens als undurchführbar, so ist Art. 29 Abs. 2 BV verletzt (Urteil 2C_463/2012 vom 28. November 2012 E. 2.2).
4.3. Mit dem Beschwerdeführer ist davon auszugehen, dass sein verfassungsmässiger Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt ist, wenn die Rechtsmittelinstanz wegen fehlender Angaben zum Prüfungsablauf nicht in der Lage ist, die Bewertung der Prüfung auf Einhaltung der Anforderungen der verfassungsrechtlichen Minimalgarantien hin zu überprüfen. Der Beschwerdeführer macht jedoch nicht geltend, dass die Bewertung seiner Prüfung als ungenügend auf Grund von sachfremden oder sonst wie offensichtlich unhaltbaren Erwägungen erfolgt sei. In verfahrensrechtlicher Hinsicht rügt er, das Verfahren der Notenvergabe sei wegen einer rechtsungleich erfolgten nachträglichen Korrektur der Prüfungsresultate als willkürlich zu werten. Gemäss der vom Beschwerdeführer nicht rechtsgenügend (Art. 116 BGG und Art. 118 BGG) gerügten und für das Bundesgericht verbindlichen vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung liegen keine Anhaltspunkte für eine nachträgliche Änderung der Noten des Beschwerdeführers anlässlich der Notenkonferenz vor. Weder die falsche Datierung des Prüfungsbescheids noch die angebliche Nennung einer unrichtigen Person als Experte sind als fundierte Hinweise auf eine nachträgliche Änderung der an der mündlichen Prüfung erteilten Noten zu werten. Diese Sachverhaltsrügen sind für den Verfahrensausgang unerheblich und damit unbeachtlich (Art. 97 Abs. 1 BGG). Die im Zusammenhang mit einer nachträglichen Änderung der Noten des Beschwerdeführers für seine mündlichen Prüfungen erhobenen Rügen (Art. 8 Abs. 2 BV, Art. 9 BV, Art. 29 BV) erweisen sich als unbegründet. Dass das Öffentlichkeitsprinzip gemäss § 75 der Verfassung des Kantons Basel Stadt (KV/BS) für mündliche Prüfungen einen über Art. 29 Abs. 2 BV hinausgehenden verfassungsrechtlichen Anspruch begründen würde, ist nicht rechtsgenügend dargelegt (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 117 BGG).
5.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe den Beweisantrag des Beschwerdeführers auf Edition der Prüfungsstatistiken der letzten vier Prüfungssessionen ohne Begründung nicht abgenommen und dadurch sein verfassungsmässiges Recht auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt.
Die Vorinstanz hat dem Beweisantrag des Beschwerdeführers mit der Begründung nicht entsprochen, dass die Ergebnisse einer Prüfung aus sich selbst heraus und nicht im Vergleich mit anderen Prüfungsergebnissen zu bewerten seien; im Übrigen sei unklar, was der Beschwerdeführer aus einer Abweichung der Benotung von einer Normalverteilung für sich selbst ableiten könne. Wird ein Beweisantrag wegen Untauglichkeit des beantragten Beweismittels zur Untermauerung einer umstrittenen Tatsache oder in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung nicht abgenommen, so liegt darin keine Verletzung des verfassungsmässigen Rechts auf Beweis (Art. 29 Abs. 2 BV;<ref-ruling> E. 5.3 S. 148). Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet. Den weiteren, im Zusammenhang mit einer statistischen Normalverteilung begründeten Rügen kommt deswegen keine selbstständige Bedeutung zu, als mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden kann (Art. 116 BGG).
6.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens von Fr. 2'000.-- dem Beschwerdeführer aufzuerlegen und ist die beantragte Neufestsetzung der vorinstanzlichen Gerichtskosten ausgeschlossen (Art. 67 BGG; Urteil 5A_636/2011 vom 10. Februar 2012 E. 7 nicht publ. in <ref-ruling>). Eine Parteientschädigung ist nicht auszurichten (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerdewirdabgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall