Sachverhalt:
A.
Der 1970 geborene A._ (Versicherter, Beschwerdeführer) arbeitete seit 1. März 2001 als IT-Angestellter bei C._ & Cie AG (Arbeitgeberin), die für ihre Arbeitnehmer bei der Zusatzversicherung B._ AG (Versicherung, Beschwerdegegnerin) eine Kollektiv-Krankentaggeldversicherung nach VVG (SR 221.229.1) abgeschlossen hatte.
Mit Krankmeldung vom 25. Juli 2011 zeigte die (ehemalige) Arbeitgeberin der Versicherung eine Krankheit des Versicherten, bestehend seit 9. Mai 2011, an. Der behandelnde Arzt des Versicherten, Dr. med. D._, Facharzt Allgemeinmedizin, gab der Versicherung mit Zwischenbericht vom 1. September 2011 an, dass der Versicherte seit 9. Mai 2011 aufgrund einer Depression zu 100 % arbeitsunfähig sei. Infolgedessen richtete die Versicherung die vertraglich geschuldeten Leistungen aus.
Zur Abklärung der Arbeitsunfähigkeit gab die Versicherung am 26. September 2011 bei Vertrauensarzt Dr. med. dipl. Psych. E._, Facharzt für Gynäkologie und Geburtshilfe FMH mit Praxisschwerpunkten psychosomatische und psychosoziale Medizin, eine fachvertrauensärztliche Untersuchung in Auftrag. Im Wesentlichen gestützt auf die medizinische Beurteilung von Dr. E._ vom 19. Dezember 2011 teilte die Versicherung dem Versicherten am 12. Januar 2012 mit, dass mit überwiegender Wahrscheinlichkeit retrospektiv seit dem 9. Mai 2011 nie eine Arbeitsunfähigkeit bestanden habe. Es hätten lediglich krankheitsfremde Faktoren für das Nichterscheinen am Arbeitsplatz vor und während der Kündigungsfrist bestanden. Aus diesem Grund forderte sie die erbrachten Taggeldleistungen von Fr. 22'937.85 sowie die Gutachterkosten von Fr. 5'334.50 zurück. Der Versicherte erhob dagegen am 18. Januar 2012 Widerspruch. Dr. D._, sein Hausarzt Dr. med. F._ sowie Dr. med. G._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie vom regionalärztlichen Dienst (RAD) der IV-Stelle Basel hätten ihn als behandlungsbedürftig und in hohem Masse arbeitsunfähig eingeschätzt.
B.
Die Versicherung erhob am 4. Dezember 2012 beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt Klage gegen den Versicherten. Sie beantragte mit in der Replik reduziertem Rechtsbegehren, der Versicherte sei zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 22'937.85, zuzüglich Zins von 5 % seit dem 12. Januar 2012, infolge unrechtmässig bezogener Taggeldleistungen für die Zeit vom 7. August bis 31. Oktober 2011 zurückzuerstatten. Der Versicherte beantragte die Klageabweisung und verlangte widerklageweise, die Versicherung sei zu verpflichten, ihm Fr. 15'250.-- nebst Zins zu bezahlen.
Mit Urteil vom 17. Dezember 2013 hiess das Sozialversicherungsgericht die Klage gut und wies die Widerklage ab.
C.
Der Versicherte erhob am 11. April 2014 "Beschwerde in Zivilsachen/ Verfassungsbeschwerde" mit dem Antrag, das Urteil vom 17. Dezember 2013 sei aufzuheben, die Klage der Versicherung abzuweisen und seine Widerklage gutzuheissen.
Das Sozialversicherungsgericht verzichtete auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf deren Abweisung und Bestätigung des angefochtenen Urteils.

Erwägungen:
1.
Zu beurteilen ist die Leistungspflicht aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 12 Abs. 2 und 3 Krankenversicherungsgesetz (KVG; SR 832.10) dem Versicherungsvertragsgesetz (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1 S. 441 f. mit Hinweis).
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>). Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Landschaft hat als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> entschieden, weshalb die Beschwerde in vermögensrechtlichen Angelegenheiten unabhängig von der Erreichung der Streitwertgrenze nach <ref-law> zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2, 799 E. 1.1). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist - unter Vorbehalt rechtsgenüglich begründeter Rügen (nachfolgende Erwägung 2) - auf die Beschwerde in Zivilsachen einzutreten.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Dazu zählt auch die Verletzung verfassungsmässiger Rechte. Es ist daher unnötig, dass der Beschwerdeführer zur Geltendmachung bestimmter Verstösse gegen verfassungsmässige Rechte auch subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhebt. Die entsprechenden Rügen können im Rahmen der hier gegebenen Beschwerde in Zivilsachen geprüft werden. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist demnach nicht einzutreten (<ref-law>).
2.
2.1. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.1/2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieses offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.8; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1. S. 399).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90; Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3.1).
Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; <ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 2, 467 E. 3.1). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Sachgericht erhebliche Beweismittel übersieht, augenscheinlich missversteht oder grundlos ausser Acht lässt, oder wenn es aus den vorliegenden Beweisen unhaltbare Schlüsse zieht (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.1). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.3). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2b).
3.
Die Vorinstanz bejahte die Passivlegitimation des Beschwerdeführers bezüglich der von der Beschwerdegegnerin geltend gemachten Rückforderungsansprüche. Sie berücksichtigte dabei die Bestimmung von <ref-law>. Diese sieht unter dem Randtitel "Kollektivunfallversicherung; Forderungsrecht des Begünstigten" vor, dass aus der kollektiven Unfall- oder Krankenversicherung demjenigen, zu dessen Gunsten die Versicherung abgeschlossen worden ist, mit dem Eintritt des Unfalls oder der Krankheit ein selbständiges Forderungsrecht gegen den Versicherer zusteht. Dieser könne, so die Vorinstanz, mit befreiender Wirkung lediglich an die anspruchsberechtigte Person leisten, nicht aber an den Versicherungsnehmer (Arbeitgeber). Damit solle der Erkrankte vor leistungsgefährdendem Verhalten des Versicherungsnehmers geschützt werden. Die Bestimmung hindere aber die anspruchsberechtigte Person nicht, ihre Ansprüche nach eingetretenem Schadenfall an den Versicherungsnehmer oder eine andere Person abzutreten.
Zum vorliegenden Fall stellte die Vorinstanz fest, dass die (ehemalige) Arbeitgeberin als Versicherungsnehmerin mit der Beschwerdegegnerin als Versicherer einen Versicherungsvertrag für eine kollektive Krankenversicherung nach VVG zugunsten ihrer Angestellten abgeschlossen habe. Danach seien die bei der Versicherungsnehmerin angestellten Personen zu 90 % des versicherten Jahreseinkommens bei einer Wartefrist von 90 Tagen und einer Leistungsdauer von 730 Tagen gegen Krankheit versichert. Ein allfällig aus diesem Versicherungsverhältnis entstandener Anspruch stehe dem Beschwerdeführer als Arbeitnehmer zu. Nur er selber sei zur Einklagung von Ansprüchen aus dem Versicherungsverhältnis aktivlegitimiert und im Umkehrschluss passivlegitimiert. Dem stehe der Umstand nicht entgegen, dass die Arbeitgeberin dem Beschwerdeführer aufgrund von § 46 des Firmenreglements während 8 Monaten weiterhin den vollen Lohn bezahlt habe. Der Direktanspruch des Versicherten gegen die Versicherung bestehe unabhängig von internen arbeitsvertraglichen Vereinbarungen zwischen der Arbeitgeberin und dem Arbeitnehmer. Anhaltspunkte dafür, dass der Beschwedeführer diesen Anspruch an die Arbeitgeberin abgetreten habe, seien keine ersichtlich.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe <ref-law> verletzt, indem sie davon ausgegangen sei, die Versicherung sei stets nur zu Gunsten des Beschwerdeführers abgeschlossen worden, weshalb ihm ein direktes Forderungsrecht zugestanden hätte und im Umkehrschluss auch seine Passivlegitimation zu bejahen sei. Er legt damit jedoch nicht dar, dass und inwiefern die Vorinstanz die angerufene Bestimmung auf der Grundlage der von ihr getroffenen tatsächlichen Feststellungen verletzt haben soll. Vielmehr stützt er sich bei seiner Rüge auf einen Sachverhalt, der im angefochtenen Urteil keine Stütze findet, namentlich indem er behauptet, die Zahlungen der Beschwerdegegnerin seien an die (ehemalige) Arbeitgeberin erfolgt und - was von der Beschwerdegegnerin in ihrer Beschwerdeantwort zudem bestritten wird - die durch die Arbeitgeberin allein abgeschlossene und zu 100 % finanzierte Krankentaggeldversicherung sei in der ersten Phase (während der Dauer der arbeitsvertraglichen Lohnfortzahlungspflicht) zu Gunsten der Arbeitgeberin und (erst) in der Phase danach zu Gunsten des Arbeitnehmers abgeschlossen worden. Wenn er der Vorinstanz vorwirft, diese Unterscheidung, die er aus den Vereinbarungen zwischen ihm und der Arbeitgeberin ableitet, nicht getroffen und daher seine Passivlegitimation zu Unrecht bejaht zu haben, verkennt er, dass darin keine Verletzung von <ref-law> liegen, sondern sich nur fragen kann, ob die Vorinstanz den (entscheiderheblichen) Sachverhalt insoweit im Sinne von <ref-law> unter Verletzung von Bundesrecht festgestellt bzw. festzustellen unterlassen hat (Erwägung 2 vorne). Er substanziiert indessen dazu keine Sachverhaltsrüge, in der er namentlich auch die (von der Beschwerdegegnerin bestrittene) Entscheiderheblichkeit der vorgebrachten tatsächlichen Elemente darlegen würde. Er widerspricht dabei insbesondere der vorinstanzlichen Erwägung nicht, dass der Direktanspruch des Arbeitnehmers unabhängig von internen arbeitsvertraglichen Vereinbarungen zwischen der Arbeitgeberin und dem Arbeitnehmer bestehe. Auf seine Beschwerde kann daher in diesem Punkt nicht eingetreten werden.
4.
Die Vorinstanz kam nach Würdigung der Aktenlage zum Schluss, es sei nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit ausgewiesen, dass der Beschwerdeführer seit 9. Mai 2011 zu 100 % arbeitsunfähig gewesen sei. Die Beschwerdegegnerin sei zu Recht davon ausgegangen, dass für die Zeit vom 7. August bis 31. Oktober 2011 eine 100-prozentige Arbeitsunfähigkeit nicht ausgewiesen sei und dementsprechend eine Leistungspflicht für diesen Zeitraum entfalle. Auch der widerklageweise Anspruch auf Taggelder für die Monate Januar bis Februar 2012 sei nicht gegeben.
Der Beschwerdeführer rügt die von der Vorinstanz vorgenommene Beweiswürdigung als willkürlich. Ebenfalls habe sich die Vorinstanz mit den von ihm vorgebrachten Argumenten und Beweismitteln in keiner Weise beschäftigt.
4.1. Die Vorinstanz erwog, eine (mittelgradige) depressive Episode, die eine 100-prozentige Arbeitsunfähigkeit nach sich ziehe, stehe zunächst dazu im Widerspruch, dass der Beschwerdeführer kurz vor seiner Erkrankung an der "Mister I._ Wahl" in U._, jedoch insbesondere im Oktober 2011 an der Wahl zum "Mister I._ Europe" in V._ teilgenommen sowie in diesem Zusammenhang verschiedene Repräsentationsaufgaben wahrgenommen habe. Entscheidend sei indes, dass der Beschwerdeführer trotz der erhobenen Diagnose einer Depression, die behandlungsbedürftig sei, sich nicht habe fachpsychiatrisch behandeln lassen und auch die in diesem Zusammenhang verordneten Psychopharmaka nicht regelmässig eingenommen habe. So sei den Akten zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer in der Zeit von Mai bis November 2011 lediglich einmal monatlich seinen Hausarzt Dr. D._ in U._ aufgesucht habe, der ihm jeweils eine 100-prozentige Arbeitsunfähigkeit bescheinigte. Diese durch den Hausarzt attestierte Arbeitsunfähigkeit genüge indes nicht, um eine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin für die psychische Erkrankung zu begründen.
Zwar habe der RAD-Arzt Dr. G._, so die Vorinstanz weiter, am 24. November 2011 eine mittelgradige bis zeitweise schwergradige Depression festgestellt und dem Beschwerdeführer eine höhergradige Arbeitsunfähigkeit von etwa 80 % bescheinigt. Es bleibe aber darauf hinzuweisen, dass es sich hierbei lediglich um eine im Rahmen eines Frühinterventions-Erstgesprächs abgegebene Einschätzung handle, bei der im Wesentlichen auf die subjektiven Angaben des Beschwerdeführers abgestellt worden sei. Dabei habe keine eingehende psychiatrische Untersuchung stattgefunden. Es seien weder objektive Befunde erhoben worden noch habe Dr. G._ begründet dargelegt, weshalb er zur vorerwähnten Diagnose gelangt sei und den Beschwerdeführer als höhergradig arbeitsunfähig erachte. Der Hausarzt Dr. F._ habe den Beschwerdeführer sodann mit Attest vom 27. März 2012 zuhanden der Öffentlichen Arbeitslosenkasse ohne weitere Begründung und Erhebung einer Diagnose vom 30. Mai 2011 bis 2. April 2012 zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. Ansonsten habe er sich trotz Aufforderung der IV-Stelle und des Gerichts zum Krankheitsverlauf nicht geäussert.
Der behandelnde Psychotherapeut Dr. H._, so die Vorinstanz weiter, habe mit Bericht vom 7. Februar 2012 ohne Angabe einer Diagnose festgehalten, dass der Beschwerdeführer psychotherapiebedürftig sei. Erst im Bericht vom 11. März 2012 zuhanden der IV-Stelle habe er dargelegt, dass der Beschwerdeführer unter einer mittelgradigen depressiven Episode leide, wobei er aber bemerkt habe, dass er die Arbeitsunfähigkeit im Jahr 2011 nicht beurteilen könne, da er den Beschwerdeführer erst sei dem 17. Januar 2012 behandle. Dagegen habe er dem Beschwerdeführer vom 17. Januar 2012 bis 29. Februar 2012 eine 100-prozentige und ab März 2012 eine 40-prozentige Arbeitsunfähigkeit attestiert. Indessen erscheine die bescheinigte 100-prozentige Arbeitsunfähigkeit im Hinblick auf die Diagnose der mittelschweren Depression als kaum begründet sowie zweifelhaft und sei dem IV-Protokolleintrag vom 17. Februar 2012 zu entnehmen, dass Dr. H._ der Ansicht gewesen sei, die Depression sei weitgehend abgeklungen und es stehe nun eine Anpassungsstörung im Vordergrund. Angesichts dieser sich widersprechenden Aussagen von Dr. H._ sowie der Tatsache, dass dieser den Beschwerdeführer nur während der sehr kurzen Zeit vom 17. Januar 2012 bis 29. Februar 2012 psychotherapeutisch behandelt habe, vermöge dessen Arbeitsunfähigkeitsbescheinigung somit ebenfalls keine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin zu begründen.
Aus den dargelegten Gründen und angesichts des Geschehensablaufs hielt die Vorinstanz die Beurteilung von Dr. E._, der Beschwerdeführer sei nie arbeitsunfähig krank gewesen, für nachvollziehbar.
4.2. Der Beschwerdeführer stösst sich zunächst daran, dass die Vorinstanz auf den Bericht von Dr. E._ abgestellt habe, ohne sich mit demselben und den vom Beschwerdeführer gegen Dr. E._ vorgebrachten fachlichen Zweifeln auseinanderzusetzen. Überdies macht er geltend, Dr. E._ sei nicht neutral und unabhängig und sein Bericht weise verschiedene Mängel auf.
Der Beschwerdeführer argumentiert insoweit rein appellatorisch, indem er keine präzisen Rügen gegen den angefochtenen Entscheid vorbringt und darlegt, inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung aufgrund der angerufenen Umstände als unhaltbar erscheinen soll. Darauf kann nicht eingetreten werden. Es ist dazu zu bemerken, dass die Vorinstanz die Schlüsse von Dr. E._ zwar als nachvollziehbar bezeichnete. Eine leistungsbegründende Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers verneinte sie indessen nicht gestützt auf dessen Bericht, sondern weil sie den vom Beschwerdeführer zu erbringenden Beweis der Arbeitsunfähigkeit mit den von diesem eingebrachten Beweismitteln als nicht erbracht erachtete.
4.3. Im Weiteren rügt der Beschwerdeführer den vorinstanzlichen Schluss, die Teilnahme an einer "Mister I._-Wahl" und die Diagnose einer Depression seien unvereinbar, als willkürlich.
Es ist zunächst fraglich, ob die Vorinstanz bei ihrem Entscheid überhaupt massgeblich auf diese Einschätzung abgestellt hat und daher insoweit auf die Rüge eingetreten werden kann. Unabhängig davon erweist sich dieselbe jedenfalls als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann. So argumentiert der Beschwerdeführer zur Begründung der Rüge wiederum appellatorisch und zudem gestützt auf verschiedene tatsächliche Elemente, die im angefochtenen Entscheid nicht festgestellt wurden, ohne dazu eine Sachverhaltsrüge zu substanziieren. Dies insbesondere, wenn er vorbringt, andere Ärzte hätten von der "Mister I._-Wahl" gewusst und - im Gegensatz zu Dr. E._ - trotzdem die Diagnose einer mindestens mittelgradigen Depression gestellt, Dr. D._ habe ihm gar eine Teilnahme an der Wahl empfohlen, weil er sich dadurch eine Verbesserung des Gesundheitszustandes versprochen habe, und die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, indem sie den angefochtenen Schluss gezogen habe, ohne abzuklären oder zu erwägen, worin denn genau die Repräsentationspflichten eines "Mister I._" bestehen, noch was die Teilnahme an einer Wahl in zeitlicher oder sonstiger Hinsicht mit sich bringe. Soweit diese Vorbringen überhaupt gehört werden können, sind sie jedenfalls nicht geeignet, den vorinstanzlichen Schluss als offensichtlich unhaltbar auszuweisen. Dies gilt insbesondere für den behaupteten Umstand, dass verschiedene Ärzte die Wahlteilnahme und Wahrnehmung von Repräsentationspflichten unterschiedlich beurteilt haben sollen. Auch durfte die Vorinstanz willkürfrei ohne weitere Sachverhaltsabklärungen schon aufgrund der allgemeinen Lebenserfahrung davon ausgehen, dass die Teilnahme an "Mister-Wahlen", welcher Art auch immer, mit einem depressiven Zustand kaum als vereinbar erscheint, sondern eine mehr oder weniger gesunde Psyche voraussetzt, die ein selbstsicheres Auftreten erlaubt.
4.4. Der Beschwerdeführer moniert weiter, die Vorinstanz habe die von den Ärzten Dr. D._, Dr. H._ und Dr. F._ gestellten Diagnosen und Arbeitsunfähigkeitszeugnisse willkürlich für nicht relevant gehalten. Die von den behandelnden Ärzten ausgestellten Zeugnisse seien unter dem Gesichtspunkt des Arzt-Patientenverhältnisses zu würdigen, keinesfalls aber als von vornherein unbeachtlich anzusehen.
Die Rüge stösst ins Leere. Die Vorinstanz beurteilte die Zeugnisse der genannten Ärzte nicht von vornherein als unbeachtlich oder als nicht relevant. Vielmehr begründete sie im Einzelnen, weshalb sie den betreffenden Diagnosen und Arbeitsunfähigkeitsbescheinigungen nicht folgte. Auf die betreffenden Begründungen geht der Beschwerdeführer nicht ein.
4.5. Weiter beruft sich der Beschwerdeführer auf Dr. G._, nach welchem eine mittel- bis zeitweise schwergradige Depression mit "höherer" Arbeitsunfähigkeit von etwa 80 % vorliege. Die Vorinstanz habe dessen Bericht in willkürlicher Weise als nicht beweisrelevant erachtet bzw. willkürlich nicht auf dessen Beurteilung abgestellt, was sie damit begründet habe, dass es sich hierbei lediglich um eine im Rahmen eines Frühinterventions-Erstgesprächs abgegebene Einschätzung handle, bei der im Wesentlichen auf die subjektiven Angaben des Beschwerdeführers abgestellt worden sei, dass keine eingehende psychiatrische Untersuchung stattgefunden habe und dass Dr. G._ nicht begründet dargelegt habe, weshalb er zur erwähnten Diagnose gekommen sei.
Der Beschwerdeführer rügt es als krass aktenwidrig, dass die Vorinstanz erwähne, Dr. G._ habe lediglich "Einsitz bei einem Frühinterventions-Erstgespräch" genommen. Abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer nicht darlegt und nicht ersichtlich ist, weshalb eine Korrektur der kritisierten Feststellung entscheiderheblich sein soll und im Ergebnis zu einem als willkürlich zu beurteilenden Beweisergebnis führen könnte, ist die Rüge unbegründet. So nahm Dr. G._ nach dem Bericht, auf den sich der Beschwerdeführer bezieht, zu folgender Frage des zuständigen Sachbearbeiters der IV-Stelle Basel-Stadt Stellung:
"Ich bitte Sie um Ihre Stellungnahme zur gesundheitlichen Situation sowie zur aktuellen Behandlung der vP aus fachärztlicher Sicht aufgrund Ihres heutigen Einsitzes sowie um Ihre Einschätzung der aktuellen AF/AUF resp. des aktuellen Eingliederungspotentials aufgrund Ihres heutigen Einsitzes."
Darunter wird vermerkt: "Psychiatrisches FI Erstgespräch dauerte 75min."
Wenn auch die Erwähnung eines psychiatrischen Gesprächs darauf hindeuten mag, dass sich Dr. G._ selber in das Gespräch eingeschaltet hat, kann aufgrund der zweimaligen Erwähnung eines "Einsitzes" nicht von einer Aktenwidrigkeit in dem Sinn gesprochen werden, dass sich die Vorinstanz mit dem Aktenstück in klaren und offensichtlichen Widerspruch gesetzt hätte.
Weiter argumentiert der Beschwerdeführer, das psychiatrische Erstgespräch habe 75 Minuten gedauert, und damit nicht weniger lang als dasjenige von Dr. E._, der den Beschwerdeführer zudem im Gegensatz zu Dr. G._ kein zweites Mal gesehen habe. Dr. G._ dürfe als erfahrener Psychiater mindestens soviel fachliche Qualifikation zugesprochen werden, wie dem auf postnatale Depressionen spezialisierten und von der Beschwerdegegnerin bezahlten Gynäkologen, Dr. E._. Dazu komme, dass die Feststellungen von Dr. G._ nicht allein im Raume stünden, sondern sich mit denjenigen von Dr. D._, Dr. H._ und Dr. F._ deckten. Damit argumentiert der Beschwerdeführer indessen wiederum rein appellatorisch und tut er nicht anhand der vorinstanzlichen Erwägungen dar, weshalb es offensichtlich unhaltbar sein soll, wenn die Vorinstanz der Beurteilung von Dr. G._ nicht folgte, sondern anderen Beweismitteln und Umständen mehr Gewicht beimass. Dies ist denn auch nicht ersichtlich. Wie die Vorinstanz zutreffend festhielt, begründete Dr. G._ seinen Befund nicht, sondern gab im Bericht im Wesentlichen bloss Aussagen des Beschwerdeführers wieder. Wenn sie deshalb angesichts der gesamten von ihr berücksichtigten Umstände der Beurteilung von Dr. G._ nicht folgte, kann ihr keine Willkür vorgeworfen werden. Daran ändert auch nichts, dass andere Ärzte zu ähnlichen Schlüssen kamen wie Dr. G._, begründete die Vorinstanz doch, weshalb sie den Meinungen von Dr. D._, Dr. H._ und Dr. F._ nicht folgte, worauf der Beschwerdeführer indessen nicht eingeht.
4.6. Ferner macht der Beschwerdeführer geltend, die von der Vorinstanz getroffene und als entscheidend erachtete Feststellung, er habe die verordneten Psychopharmaka nicht regelmässig eingenommen und sich nicht fachpsychiatrisch behandeln lassen, sei aktenwidrig und willkürlich.
Was die Einnahme der Psychopharmaka anbelangt, stützte sich die Vorinstanz zum einen auf den Laborbericht zu der von Dr. E._ am 23. November 2011 angeordneten Blutuntersuchung (KB 12), nach welchem ein Mirtazapin-Blutwert von 11 μg/l bei einem Referenzwert von 10 - 100 festgestellt wurde. Zum anderen berücksichtigte sie die im Bericht von Dr. G._ (KB 13) festgehaltene Aussage des Beschwerdeführers, er nehme Mirtazapin unregelmässig ein, wolle auch Psychopharmaka im Prinzip nicht einnehmen. Weshalb der vorinstanzliche Schluss betreffend unregelmässiger Medikamenteneinnahme bei dieser Aktenlage aktenwidrig und willkürlich sein soll, wie der Beschwerdeführer geltend macht, ist schleierhaft.
Die vorinstanzliche Feststellung, der Beschwerdeführer habe sich trotz der (von Dr. D._) erhobenen Diagnose einer Depression, welche behandlungsbedürftig sei, nicht fachpsychiatrisch behandeln lassen, bezieht sich, wie aus dem Zusammenhang der vorinstanzlichen Erwägungen hervorgeht, lediglich auf den Zeitraum von Mai bis November 2011. So verwies die Vorinstanz im Anschluss an die kritisierte Feststellung auf die Akten, nach denen der Beschwerdeführer in dieser Zeit lediglich einmal monatlich seinen Hausarzt Dr. D._ aufgesucht habe. Dass er sich während dieser Zeitperiode (trotz der von Dr. D._ bereits seit dem 9. Mai 2011 festgestellten Arbeitsunfähigkeit [vgl. die von der Vorinstanz zitierte KB 3]) keiner fachpsychiatrischen Behandlung unterzog, bestreitet der Beschwerdeführer selber nicht, sondern er bringt im Wesentlichen bloss vor, er wäre einer Behandlung keineswegs grundsätzlich abgeneigt oder uneinsichtig gewesen. Von einer willkürlichen, aktenwidrigen Feststellung kann auch insoweit nicht gesprochen werden.
4.7. Schliesslich macht der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law> geltend. Es könne nämlich der Beschwerdegegnerin mit dem Bericht von Dr. E._ nicht gelingen, den ihr obliegenden Beweis zu erbringen, dass die mehrfach ärztlich attestierte Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers nicht bestehe. Aus dieser Begründung wird nicht verständlich, womit die Vorinstanz <ref-law> verletzt haben soll, so dass auf die Rüge nicht weiter einzugehen ist.
5.
Nach dem Ausgeführten ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten. Die Beschwerde in Zivilsachen ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der nicht durch einen extern mandatierten Anwalt vertretenen Beschwerdegegnerin ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; BGE <ref-ruling> E. 4 S. 446).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juli 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer