Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Das Obergericht des Kantons Zürich verurteilte den Beschwerdeführer am 23. August 2012 zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 36 Monaten. Der Entscheid ist rechtskräftig.
Am 23. Juli 2013 lud das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich den Beschwerdeführer per 21. Oktober 2013 zum Vollzug vor. Dagegen erhobene Rechtsmittel wiesen die Justizdirektion des Kantons Zürich am 3. Oktober 2013 und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 17. Dezember 2013 ab, soweit darauf einzutreten war. Auf eine Beschwerde in Strafsachen trat das Bundesgericht am 29. Januar 2014 nicht ein (6B_103/2014).
Am 14. März 2014 lud das Amt für Justizvollzug den Beschwerdeführer per 2. April 2014 erneut zum Vollzug vor. Am 31. März 2014 informierte ihn die Justizdirektion des Kantons Zürich darüber, dass der Strafantrittstermin rechtskräftig feststehe und dass beim Fallverantwortlichen des Amts für Justizvollzug keine Befangenheitsgründe ersichtlich seien.
Da der Beschwerdeführer die Strafe nicht antrat, wurde er am 8. April 2014 verhaftet und dem Strafvollzug zugeführt.
Am 1. Mai 2014 beantragte der Beschwerdeführer beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich unter anderem, es sei festzustellen, dass er am 8. April 2014 rechtswidrig verhaftet worden sei, und es sei ihm ein neuer Fallverantwortlicher zuzuteilen. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde am 11. Juni 2014 ab, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und stellt elf Anträge (vgl. Beschwerde S. 2). Sinngemäss strebt er eine Aufhebung des Urteils vom 11. Juni 2014 an.
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, der Einzelrichter am Verwaltungsgericht sei befangen gewesen (Beschwerde S. 2 Ziff. 6 und S. 4-6 Ziff. 8). Indessen ist nicht ersichtlich, was die Stellung als Zunftmeister damit zu tun haben könnte, und in Bezug auf das Verfahren aus dem Jahr 2013 ist anzumerken, dass das Urteil vom 17. Dezember 2013 unverändert in Rechtskraft erwachsen ist. Der Beschwerdeführer vermag folglich keinen nachvollziehbaren Befangenheitsgrund gegen den Einzelrichter glaubhaft zu machen.
3.
Gegenstände des vorliegenden Verfahrens können nur der Strafantrittstermin und die angebliche Befangenheit des Fallverantwortlichen beim Amt für Justizvollzug sein (angefochtenes Urteil S. 7-10 E. 2 und 3). Soweit sich der Beschwerdeführer mit anderen Fragen befasst, sind seine Ausführungen unzulässig (vgl. dazu angefochtenes Urteil S. 6/7 E. 1.2-1.5).
4.
In Bezug auf den Strafantrittstermin ergibt sich aus der Beschwerde nicht in einer Weise, die dem <ref-law> genügen würde, dass und inwieweit der angefochtene Entscheid gegen das Recht im Sinne von <ref-law> verstossen soll.
5.
In Bezug auf die angebliche Befangenheit des Fallverantwortlichen stellt die Vorinstanz fest, dessen Verhalten habe immer im Einklang mit dem geltenden Recht gestanden (Urteil S. 10 E. 3). Vor Bundesgericht bringt der Beschwerdeführer nichts vor, aus dem sich auf eine Befangenheit schliessen liesse (vgl. Beschwerde S. 4 Ziff. 7).
6.
Auf die Beschwerde ist mangels einer tauglichen Begründung im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juli 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: C. Monn