Faits:
Faits:
A. Le 22 avril 2002, K._ a requis le versement d'indemnités de chômage à partir du 15 avril précédent. La Caisse publique cantonale vaudoise de chômage (la caisse) a rejeté la demande par décision du 22 juin 2002.
Le prénommé a déféré cette décision du Service de l'emploi du canton de Vaud, première instance cantonale de recours en matière d'assurance-chômage (le service de l'emploi). Pendente lite, la caisse a annulé sa décision du 22 juin 2002 et l'a remplacée par une nouvelle décision du 23 août 2002, de dispositif identique à la précédente, mais dont les motifs sont différents. K._ s'est exprimé sur la nouvelle décision, par lettre du 30 août 2002 qu'il a adressée à la caisse et au service de l'emploi, notamment.
Par écriture du 11 septembre 2002, le service de l'emploi a invité K._ à lui faire savoir s'il s'opposait à la nouvelle décision. L'intéressé ne s'étant plus manifesté, le service de l'emploi a rayé la cause du rôle, par décision du 14 octobre 2002.
Par écriture du 11 septembre 2002, le service de l'emploi a invité K._ à lui faire savoir s'il s'opposait à la nouvelle décision. L'intéressé ne s'étant plus manifesté, le service de l'emploi a rayé la cause du rôle, par décision du 14 octobre 2002.
B. K._ a recouru contre la décision du 14 octobre 2002 devant le Tribunal administratif du canton de Vaud, en concluant implicitement au versement d'indemnités de chômage.
La juridiction cantonale l'a débouté par jugement du 14 avril 2003.
La juridiction cantonale l'a débouté par jugement du 14 avril 2003.
C. K._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation, en reprenant ses conclusions formulées en première instance. Il requiert le bénéfice de l'assistance judiciaire et l'octroi d'un délai complémentaire pour parfaire son mémoire de recours.
L'intimée et le service de l'emploi s'en remettent à justice. Le Secrétariat d'Etat à l'économie a renoncé à se déterminer.
L'attention du recourant a été attirée sur le fait que le délai de recours ne pouvait pas être prolongé (cf. lettre du 14 mai 2003).

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit du recourant à une indemnité de chômage à partir du 15 avril 2002.
1. Le litige porte sur le droit du recourant à une indemnité de chômage à partir du 15 avril 2002.
2. La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA), du 6 octobre 2000, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, n'est pas applicable en l'espèce, le juge des assurances sociales n'ayant pas à tenir compte des modifications du droit ou de l'état de fait survenues après que la décision litigieuse a été rendue, in casu le 22 juin 2002 (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 et les références).
2. La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA), du 6 octobre 2000, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, n'est pas applicable en l'espèce, le juge des assurances sociales n'ayant pas à tenir compte des modifications du droit ou de l'état de fait survenues après que la décision litigieuse a été rendue, in casu le 22 juin 2002 (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 et les références).
3. L'intimée a nié le droit du recourant à l'indemnité en se fondant successivement sur deux motifs. Dans sa décision du 22 juin 2002, elle a retenu que l'intéressé n'était pas partiellement sans emploi, au sens de l'art. 10 al. 1 et 2 LACI, car il restait toujours lié à son employeur par un contrat de travail. Par la suite, à l'appui de sa décision du 23 août 2002 qu'elle a qualifiée de rectificative, l'intimée a admis que le gain du recourant n'était pas assuré, motif pris que ses revenus mensuels étaient inférieurs à la limite prévue par l'<ref-law> (cf. aussi <ref-law>).
3. L'intimée a nié le droit du recourant à l'indemnité en se fondant successivement sur deux motifs. Dans sa décision du 22 juin 2002, elle a retenu que l'intéressé n'était pas partiellement sans emploi, au sens de l'art. 10 al. 1 et 2 LACI, car il restait toujours lié à son employeur par un contrat de travail. Par la suite, à l'appui de sa décision du 23 août 2002 qu'elle a qualifiée de rectificative, l'intimée a admis que le gain du recourant n'était pas assuré, motif pris que ses revenus mensuels étaient inférieurs à la limite prévue par l'<ref-law> (cf. aussi <ref-law>).
4. A ce stade, on pourrait se demander si l'acte du 23 août 2002 constituait réellement une nouvelle décision (rectificative) au sens des <ref-law> et 52 al. 2 LJPA-VD, susceptible de faire l'objet d'un recours, dans la mesure où son dispositif était identique à celui de la décision du 22 juin 2002, ce qui paraît pour le moins douteux. A certains égards, on pourrait aussi envisager de comprendre cette écriture du 23 août 2002 comme constituant une réponse au recours dirigé contre la décision du 22 juin 2002 - ou comme une proposition au juge - et dans laquelle où l'intimée aurait aussi bien étoffé sa motivation que conclu au rejet du recours. Ces questions peuvent toutefois rester indécises, car la situation juridique postérieure à l'écriture du 23 août 2002 est demeurée inchangée, l'administration ayant persisté dans son refus d'allouer les indemnités litigieuses. Quant au recourant, il a eu l'occasion de se déterminer sur les nouveaux moyens que l'intimée a développés le 23 août 2002 (cf. lettre du 30 août 2002). Il s'ensuit que les griefs qu'il soulève quant à la régularité de la procédure, pour autant qu'ils soient pertinents, sont sans conséquence dès lors que le Tribunal administratif a examiné le fond de l'affaire aussi bien à la lumière des motifs retenus par l'intimée le 22 juin que le 23 août 2002, comme il pouvait le faire en vertu du pouvoir d'examen étendu dont il disposait.
La Cour de céans doit néanmoins constater que le service de l'emploi a violé le droit fédéral en radiant la cause du rôle en raison du silence que le recourant a observé à la suite de son écriture du 11 septembre 2002, ce que la juridiction cantonale aurait dû constater. En effet, de jurisprudence constante, le retrait d'un recours doit faire l'objet d'une déclaration expresse et ne saurait être conditionnel ou tacite (<ref-ruling> consid. 1b, 111 V 158 consid. 3b). On cherche pourtant en vain, au dossier, une telle déclaration de retrait. Un renvoi au service de l'emploi n'est toutefois pas nécessaire dès lors que la Cour de céans dispose d'un plein pouvoir d'examen (art. 132 OJ).
La Cour de céans doit néanmoins constater que le service de l'emploi a violé le droit fédéral en radiant la cause du rôle en raison du silence que le recourant a observé à la suite de son écriture du 11 septembre 2002, ce que la juridiction cantonale aurait dû constater. En effet, de jurisprudence constante, le retrait d'un recours doit faire l'objet d'une déclaration expresse et ne saurait être conditionnel ou tacite (<ref-ruling> consid. 1b, 111 V 158 consid. 3b). On cherche pourtant en vain, au dossier, une telle déclaration de retrait. Un renvoi au service de l'emploi n'est toutefois pas nécessaire dès lors que la Cour de céans dispose d'un plein pouvoir d'examen (art. 132 OJ).
5. En l'occurrence, il ressort des attestations de salaire versées au dossier que les gains annuels bruts du recourant se sont élevés à quelques centaines de francs en 2000, 2001 et 2002. Sur cette base, l'intimée a fixé le gain mensuel moyen du recourant à 210 fr., en précisant qu'il s'agissait-là de l'éventualité la plus favorable à sa cause (les mois sans revenu n'ont pas été pris en compte). L'intéressé n'a jamais contesté le bien-fondé de ce montant de 210 fr.
Ainsi que l'intimée et les premiers juges l'ont admis à juste titre, ce gain n'était pas assuré, en vertu des <ref-law> et 40 OACI, car il n'atteignait pas le minimum mensuel de 500 fr., respectivement de 300 fr. pour les travailleurs à domicile. Pour ce motif, le recourant n'a pas droit aux indemnités de chômage qu'il revendique, si bien que le refus litigieux ne souffre d'aucune critique.
Il s'ensuit que le recours est mal fondé.
Il s'ensuit que le recours est mal fondé.
6. Selon la loi (art. 152 OJ) et la jurisprudence, les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite sont en principe remplies si les conclusions ne paraissent pas vouées à l'échec, si le requérant est dans le besoin et si l'assistance d'un avocat est nécessaire ou du moins indiquée (<ref-ruling> consid. 4a, 372 consid. 5b et les références).
La demande d'assistance judiciaire est sans objet s'agissant des frais de procédure (art. 134 OJ). Quant à l'assistance d'un avocat, elle n'était en l'occurrence ni nécessaire ni indiquée; au demeurant, le recourant - qui est au bénéfice d'un diplôme des centres de formation administrative d'Algérie - a démontré, par le contenu de ses diverses écritures, qu'il pouvait procéder sans le concours d'un avocat. La requête est mal fondée.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Dans la mesure où elle tend à la désignation d'un avocat d'office, la demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Dans la mesure où elle tend à la désignation d'un avocat d'office, la demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Vaud, au Service de l'emploi du canton de Vaud, première instance cantonale de recours en matière d'assurance-chômage, à l'Office régional de placement de Lausanne et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 2 juin 2004
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IVe Chambre: Le Greffier: