Faits:
A.
Le 28 novembre 2013, une bagarre a éclaté entre des détenus dans la cuisine de la prison de X._ où travaillait ce jour-là A._. B._ (ci-après: le plaignant) a été poignardé par C._.
Le Ministère public de la République et canton de Genève a ordonné le 29 novembre 2013 l'ouverture d'une enquête pénale contre A._ et contre C._ pour tentative de meurtre, étendant l'instruction pour le même chef de prévention à D._ le 2 décembre 2013. La police a entendu l'appointé E._, gardien responsable de la cuisine, le 29 novembre 2013, et la victime s'est constituée partie plaignante le 30 novembre 2013. A la suite de mandats d'actes d'enquête du Procureur des 29 novembre, 2, 4 et 19 décembre 2013, les policiers ont procédé aux auditions séparées des prévenus et de différents témoins. A._ a encore été entendu par le Ministère public le 6 décembre 2013, puis lors d'une séance de confrontation avec C._ le 13 décembre suivant et ces deux prévenus ont été confrontés au plaignant le 7 janvier 2014. En réponse à une requête de A._, émise par l'intermédiaire de son avocat, le Procureur lui a assuré le 13 janvier 2014 que, selon les éléments apportés lors de l'audition réalisée par la police à la suite de son mandat du 19 novembre 2013, le témoin alors entendu le serait une seconde fois devant lui et en présence des avocats des parties.
Sur requête du Ministère public, le Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) a placé le 8 décembre 2013 A._ en détention provisoire jusqu'au 8 mars 2014. La Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Chambre pénale de recours) a partiellement admis le recours formé par A._ contre cette décision en raison d'une violation du droit d'être entendu et a renvoyé la cause pour nouvelle décision au Tmc. Après avoir donné accès au dossier au prévenu et reçu de la part de ce dernier de nouvelles déterminations, le Tmc a ordonné le 8 janvier 2014 la détention provisoire de celui-ci jusqu'au 8 mars 2014, retenant l'existence de charges suffisantes, ainsi que des risques de fuite, de collusion et de réitération.
B.
Le 5 février 2014, la Chambre pénale de recours a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours intenté par A._ contre cette ordonnance. Elle a considéré que le grief relatif à l'administration des preuves - auditions effectuées par la police sur mandat du Ministère public sans la présence du prévenu et/ou celle de son avocat - était irrecevable, faute de préjudice irréparable, ou ne pouvait être invoqué devant elle, dès lors que cette question n'avait pas été soulevée devant le premier juge.
C.
Par acte du 10 mars 2014, A._ forme un recours en matière pénale contre ce jugement, concluant à son annulation. Il demande la constatation des violations des art. 147 et 312 al. 2 CPP, ainsi que celle du fait que les déclarations recueillies par la police judiciaire en vertu des mandats des 29 novembre, 2 et 4 décembre 2013 sont inexploitables à sa charge. Il requiert également sa libération immédiate et, à titre subsidiaire, le renvoi de la cause à la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice de la République et canton de Genève pour nouvelle décision au sens des considérants. Il sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invité à se déterminer, le Ministère public a conclu au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Quant à la juridiction précédente, elle s'est référée à sa motivation, renonçant à présenter des observations. Le 24 mars 2014, le recourant a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement les conditions de recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 133; <ref-ruling> consid. 1 p. 439).
1.1. Formé en temps utile (<ref-law>), le recours en matière pénale (<ref-law>) est ouvert contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) relative à la détention provisoire ou pour motifs de sûreté au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 1 p. 23).
1.2. La recevabilité de ce type de recours dépend encore de l'existence d'un intérêt juridique à l'annulation de la décision entreprise (<ref-law>). De cette manière, se concrétise l'assurance de trancher uniquement des questions concrètes et non de prendre des décisions à caractère théorique, ce qui répond à un souci d'économie de procédure (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 276). Ainsi, une partie qui n'est pas concrètement lésée par la décision ne possède pas la qualité pour recourir. Il faut, en d'autres termes, que la décision de la juridiction supérieure lui procure l'avantage de droit matériel qu'il recherche. Dans la négative, un tel recours est irrecevable (Niklaus Oberholzer, Grundzüge des Strafprozessrechts, 3ème éd. 2012, no 1561; Piquerez/ Macaluso, Procédure pénale suisse, 3ème éd. 2011, no 1911). Le droit de recourir au Tribunal fédéral suppose aussi l'existence d'un intérêt actuel et pratique à obtenir l'annulation de la décision litigieuse, respectivement à l'examen des griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 299; <ref-ruling> consid. 1 p. 88); en particulier, un intérêt de pur fait ou la simple perspective d'un intérêt juridique futur ne suffit pas (<ref-ruling> consid. 2b p. 42; <ref-ruling> consid. 1a p. 166 et les arrêts cités).
1.2.1. S'agissant tout d'abord des conclusions en constatation des violations alléguées des droits procéduraux - type de conclusions à caractère généralement subsidiaire par rapport à celles condamnatoires ou formatrices (arrêts 1B_129/2013 du 26 juin 2013 consid. 2.2; 1C_79/2009 du 24 septembre 2009 consid. 3.5 publié in ZBI 2011 p. 275) -, le recourant ne dispose, dans la procédure de contrôle de la détention, d'aucun intérêt pratique et actuel à une telle constatation, n'étant pas lésé sur ce point par la décision entreprise. En effet, la cour cantonale n'a pas retenu à sa charge les déclarations faites lors des audiences auxquelles il n'a pas participé et a fondé son raisonnement uniquement sur celles tenues par le gardien le 29 novembre 2013 devant la police, ainsi que sur celles faites par le plaignant lors de l'audience de confrontation du 7 janvier 2014.
Le recourant ne prétend pas non plus avoir été victime de mauvais traitements au sens des art. 10 al. 3 Cst. et 3 CEDH, situation particulière dans laquelle la jurisprudence admet que l'autorité chargée du contrôle de la détention vérifie également si celle-ci a lieu dans des conditions acceptables et fasse, cas échéant, les constatations nécessaires (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 45; <ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 88).
Partant, les conclusions en constatation du recourant sont irrecevables.
1.2.2. S'agissant ensuite de la conclusion tenant à sa libération immédiate, il y a lieu de constater que l'ordonnance du Tmc, à l'origine de la présente procédure et confirmée par la décision attaquée, prolongeait la détention jusqu'au 8 mars 2014. Or le recourant n'a déposé son mémoire devant le Tribunal de céans que deux jours plus tard, sans indiquer si une éventuelle demande de prolongation de sa détention provisoire avait été déposée par le Ministère public, requête qui en principe intervient préalablement à l'échéance du titre de détention. Dans ses déterminations du 24 mars 2014, le recourant ne donne toujours aucune indication à ce propos. Cependant, le recourant dispose d'un intérêt actuel et pratique à l'examen de ses griefs relatifs à la détention provisoire. En effet, dans l'hypothèse où son recours serait admis et qu'un terme serait mis à la détention provisoire, les jours de détention subis dans ce cadre pourraient, cas échéant, être imputés sur le solde de la peine à exécuter et en raison de laquelle il se trouvait à la prison de X._.
Par conséquent, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Invoquant les art. 379 ss, 382 al. 1, 393 ss CPP et 29 al. 1 Cst., le recourant reproche à l'autorité précédente une application erronée des règles relatives à la recevabilité du recours. Selon lui, les juges cantonaux auraient dû examiner ses reproches relatifs à ses droits de procédure.
A l'appui de ce grief, le recourant a indiqué qu'il n'avait "sollicité ni l'ajournement de l'administration d'une preuve, ni le retrait du dossier ou [...] la destruction immédiate de preuves viciées mais uniquement le constat de l'inexploitabilité de déclarations obtenues en violation de l'<ref-law>"; puis il a mentionné que "l'admission de son recours ne consacrerait pas une solution définitive et n'empêcherait en rien que la question puisse être à nouveau soulevée jusqu'à la clôture définitive de la procédure". Ce faisant, le recourant reconnaît que son grief relatif à l'administration des preuves pourra être à nouveau invoqué dans la suite de la procédure et ne se trouve ainsi pas lésé par l'ordonnance rendue par le Tmc. Partant, il n'avait aucun intérêt actuel et pratique - condition également requise au niveau de la recevabilité d'un recours par l'<ref-law> (arrêt 1B_669/2012 du 12 mars 2013 consid. 2.3.1; cf. également consid. 1.2 ci-dessus) - à requérir la constatation de l'éventuelle violation de ses droits procéduraux par la cour cantonale.
Au demeurant, si le Ministère public a requis de la police d'entendre les comparants séparément, il a également indiqué immédiatement et à plusieurs reprises que ces mesures d'instruction pourraient être répétées devant lui si nécessaire (cf. les mandats d'actes d'enquête du 29 novembre, du 2, du 4 et du 19 décembre 2013, le courrier adressé au recourant le 13 janvier 2014, ainsi que les déterminations déposées devant l'autorité cantonale et devant le Tribunal de céans). Le recourant ne se trouve ainsi pas privé de manière définitive de participer à l'administration des preuves.
La Chambre pénale de recours pouvait donc sans violer le droit fédéral ne pas entrer en matière sur ces griefs. Partant, ce grief doit être écarté.
3.
Se référant notamment aux art. 5 CEDH, 10 al. 2, 31 al. 1, 36 al. 1 Cst. et 221 al. 1 CPP, le recourant reproche à l'instance cantonale d'avoir retenu l'existence de charges suffisantes de sa culpabilité.
3.1. Une mesure de détention préventive n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et art. 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'<ref-law>. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.; <ref-law>). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par les besoins de l'instruction, un risque de fuite ou un danger de collusion ou de réitération (art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP).
3.1.1. Préalablement à l'examen de ces hypothèses, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes ou des indices sérieux de culpabilité (<ref-law>; art. 5 § 1 let. c CEDH), c'est-à-dire des raisons plausibles de le soupçonner d'avoir commis une infraction. Il n'appartient cependant pas au juge de la détention de procéder à une pesée complète des éléments à charge et à décharge et d'apprécier la crédibilité des personnes qui mettent en cause le prévenu. Il doit uniquement examiner s'il existe des indices sérieux de culpabilité justifiant une telle mesure. L'intensité des charges propres à motiver un maintien en détention préventive n'est pas la même aux divers stades de l'instruction pénale; si des soupçons, même encore peu précis, peuvent être suffisants dans les premiers temps de l'enquête, la perspective d'une condamnation doit apparaître vraisemblable après l'accomplissement des actes d'instruction envisageables (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 126 s.; <ref-ruling> consid. 3c p. 146).
3.1.2. En l'occurrence, il est admis que le prévenu C._ a donné des coups de couteau à la victime et détenait à la fin de l'agression deux couteaux. Quant au recourant, il conteste toute implication lors de ces événements. Il appartiendra certes au juge du fond d'apprécier la crédibilité des propos tenus par les différents protagonistes entendus dans cette cause et de se prononcer sur l'éventuelle culpabilité du recourant, respectivement sur son degré de participation. Cela étant, différents éléments permettent, à ce stade de l'instruction et dans le cadre du contrôle de la détention, de retenir que celui-ci pourrait avoir eu un rôle dans les événements du 28 novembre 2013. Cette hypothèse a d'ailleurs été envisagée dès le jour même de l'agression, puisque le recourant a été mis en cause par des autres détenus ainsi que l'ont rapporté les gardiens qui sont intervenus (cf. les rapports d'intervention de l'appointé E._ et du gardien F._ établis le 28 novembre 2013).
Lors de ses deux auditions, le plaignant a fait état de menaces perpétrées à son encontre par le recourant (cf. ses déclarations du 30 novembre 2013 [p. 4] et du 7 janvier 2014 [p. 2]), précisant en particulier la seconde fois que C._ aurait été présent. Si effectivement la victime varie s'agissant du moment où ces menaces auraient eu lieu ("une semaine avant", "le jour d'avant" et "deux semaines avant"), le contenu des menaces alléguées est en revanche constant, soit de se voir frapper de manière à ce que sa famille ne le reconnaisse plus (cf. les procès-verbaux susmentionnés [p. 4, respectivement p. 2]). Cela suffit pour retenir l'existence d'une forte tension entre le plaignant et le recourant.
S'agissant ensuite du 28 novembre 2013, le recourant se trouvait dans la cuisine. Un premier échange verbal semble l'avoir opposé au plaignant (cf. les déclarations du recourant du 6 décembre 2013 [p. 3]), venant ainsi confirmer l'hypothèse de tensions entre ces deux détenus. Puis, au moment de l'agression, le recourant a reconnu s'être approché à un moment donné du lieu de la dispute, certes, selon lui, afin de calmer son compatriote (cf. les procès-verbaux du 2 [p. 3] et du 13 décembre 2013 [p. 3 ss]). Il tenait cependant alors deux couteaux et, selon le plaignant, les lui aurait montrés avant que C._ ne le saisisse par le col (cf. le procès-verbal du 7 janvier 2014 [p. 3]). Si le recourant conteste ces éléments, cela suffit cependant, au regard de l'ensemble du contexte, pour retenir qu'il pourrait avoir pris part aux actes commis le 28 novembre 2013 à l'encontre du plaignant.
Au vu de ces circonstances, la Chambre pénale de recours pouvait retenir, à ce stade de la procédure, l'existence de charges suffisantes à l'encontre du recourant. Partant, ce grief doit être rejeté.
3.1.3. Selon l'<ref-law>, la détention provisoire peut être ordonnée s'il y a sérieusement lieu de craindre que le prévenu se soustraie à la procédure pénale ou à la sanction prévisible en prenant la fuite (let. a), qu'il compromette la recherche de la vérité en exerçant une influence sur des personnes ou en altérant des moyens de preuve (let. b) et/ou qu'il compromette sérieusement la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves après avoir déjà commis des infractions du même genre (let. c). Afin de respecter le principe de proportionnalité (art. 36 al. 3 Cst.), l'<ref-law> prévoit que le tribunal compétent ordonne une ou plusieurs mesures moins sévères en lieu et place de la détention si celles-ci permettent d'atteindre le même but.
En l'espèce, le recourant ne remet pas en cause les risques de fuite (nationalité et peine encourue), de collusion (par rapport à ses deux compatriotes prévenus, à la victime et aux témoins), ainsi que de réitération (au regard de l'extrême violence des actes en cause) retenus par le Tmc et confirmés par les juges précédents. Il ne soutient pas non plus que des mesures de substitution adéquates permettraient de pallier ces risques et que le principe de proportionnalité serait violé.
3.2. Partant, la Chambre pénale de recours n'a pas violé le droit fédéral lorsqu'elle a confirmé la décision du Tmc ordonnant la mise en détention provisoire du recourant.
4.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Le recourant a demandé l'assistance judiciaire et les conditions en paraissent réunies (<ref-law>). Il y a lieu de désigner Me Ilir Cenko en qualité d'avocat d'office et de fixer ses honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Le recourant est en outre dispensé des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise; Me Ilir Cenko est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 31 mars 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf