Sachverhalt:
A. Das Bezirksgericht Zürich erklärte X._ mit Urteil vom 27. August 2009 der versuchten Nötigung im Sinne von Art. 181 in Verbindung mit <ref-law> sowie der Drohung im Sinne von <ref-law> schuldig und verurteilte ihn zu drei Monaten Freiheitsstrafe unbedingt. Auf Berufung des Beurteilten hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich am 7. Juni 2010 den erstinstanzlichen Schuldspruch und verurteilte X._ zu einer Geldstrafe von 90 Tagessätzen à Fr. 10.--. Den Vollzug der Geldstrafe schob es nicht auf.
B. X._ führt Beschwerde beim Bundesgericht, mit der er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben, und er sei vollumfänglich von Schuld und Strafe freizusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner seien ihm Schadenersatz in der Höhe von Fr. 4'200.-- für die Kosten der Verteidigung im vorinstanzlichen Verfahren sowie eine angemessene Genugtuung zuzusprechen. Eventualiter sei ihm rückwirkend für das vorinstanzliche Verfahren ein amtlicher Verteidiger beizugeben.
C. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Dem Beschwerdeführer wird folgender Sachverhalt zur Last gelegt:
Am 21. Januar 2009, um ca. 12.30 Uhr, traf der Beschwerdeführer auf dem Trottoir vor dem Restaurant Brahmshof in Zürich auf seine Nachbarin Y._. Dabei forderte er Rechenschaft, warum sie immer wieder die Polizei gerufen habe und warum sie immer sage, dass er seine Kinder schlagen würde. Weiter sagte er zu ihr: "Wenn du noch einmal die Polizei holst und Probleme machst, dann töte ich dich". Dennoch avisierte Y._ drei Tage später aufgrund eines weiteren Vorfalls erneut die Polizei.
Am Freitag, den 23. Januar 2009, um ca. 16.00 Uhr, begegnete der Beschwerdeführer seiner Nachbarin erneut in der Nähe des Restaurants Brahmshof in Zürich. Er ging direkt auf diese zu, packte sie am Jackenkragen und sagte zu ihr: "Ich schlage dich", wobei er gleichzeitig eine ausholende Bewegung mit seiner rechten Hand ausführte. Y._ erschrak ob diesem Vorgehen und hatte grosse Angst. Im Weiteren fluchte der Beschwerdeführer auf seine Nachbarin ein und verlangte Auskunft, warum sie die Stadtliegenschaftsverwaltung angerufen habe. Schliesslich sagte er zu ihr: "Ich töte dich", worauf Y._ erneut in Angst und Schrecken geriet. Aufgrund der Intervention einer weiteren anwesenden Nachbarin und zweier Jugendlicher liess der Beschwerdeführer von Y._ ab.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer hat im kantonalen Verfahren stets bestritten, die Geschädigte genötigt und bedroht zu haben. In seiner Beschwerde macht er geltend, die Geschädigte und die als Zeugin einvernommene Nachbarin hätten mehrfach versucht, ihn bei der Liegenschaftsverwaltung anzuschwärzen, damit ihm und seiner Familie die Wohnung gekündigt werde. Es handle sich um einen klassischen Nachbarschaftsstreit, bei welchem nicht selten mit falschen Anschuldigungen operiert werde. Die Aussagen der Zeugin und der Geschädigten seien nicht glaubhafter als seine eigenen. Zudem bestünden in Bezug auf den zweiten Vorfall nicht unbeachtliche Widersprüche zwischen deren Erklärungen und denjenigen des als Zeugen einvernommenen Jugendlichen. Dieser habe bekundet, dass er (der Beschwerdeführer) niemanden an den Kleidern festgehalten habe, währenddem die Geschädigte erklärt habe, er habe erst von ihr abgelassen, als die beiden Jugendlichen ihre Hilfe angeboten hätten. Im Weiteren habe die Geschädigte nach den Aussagen des Zeugen keinen eingeschüchterten Eindruck gemacht. Daraus lasse sich ableiten, die Geschädigte sei genauso aggressiv gewesen wie sie ihn (den Beschwerdeführer) darstellen wolle. Selbst wenn er sich also drohend geäussert haben sollte, wäre fraglich, ob jene dadurch tatsächlich in Angst und Schrecken versetzt worden wäre. Den beigebrachten Arztzeugnissen lasse sich kein Hinweis auf ein strafbares Verhalten seinerseits entnehmen. Für die Glaubwürdigkeit der Aussagen der Geschädigten spreche auch nicht, dass sie erst einen Tag nach ihrem Vorsprechen bei der Liegenschaftsverwaltung und auf deren Anraten hin die Polizei benachrichtigt habe. Insgesamt bestünden im Ergebnis erhebliche Zweifel an seiner Schuld, weshalb er nach dem Grundsatz "in dubio pro reo" von den Vorwürfen der versuchten Nötigung freigesprochen werden müsse (Beschwerde S. 4 ff.).
2.2 Die Vorinstanz nimmt an, die Aussagen der Geschädigten seien konkret, lebensnah und realitätsbezogen und würden durch die Aussagen der als Zeugin befragten Nachbarin in Bezug auf den Vorfall vom 23. Januar 2009 gestützt. Ausserdem würden sie durch die Bescheinigung des Hausarztes der Geschädigten bestätigt, wonach diese vom 2. bis 20. Februar 2009 und vom 1. bis 15. Juni 2009 aufgrund der emotionalen Belastung durch die Konflikte mit ihrem Nachbarn krank geschrieben worden sei. Demgegenüber erschienen die Bestreitungen des Beschwerdeführers als unglaubhafte Schutzbehauptungen. Gestützt auf diese Abwägung der vorhandenen Beweismittel gelangt die Vorinstanz zum Schluss, der Anklagesachverhalt sei erstellt (angefochtenes Urteil S. 9 ff.).
2.3 Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG ist in der Begründung der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (vgl. dazu <ref-law>). Soweit sich die Beschwerde gegen die tatsächlichen Feststellungen richtet, gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Verletzung von schweizerischem Recht im Sinne von <ref-law> beruht. Die Rüge der offensichtlich unrichtigen, d.h. willkürlichen Feststellung des Sachverhalts, prüft das Bundesgericht gemäss <ref-law> nur insoweit, als sie in der Beschwerde explizit vorgebracht und substantiiert begründet worden ist. In der Beschwerde muss im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Erlass an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.8; <ref-ruling> E. 1.4).
2.4 Was der Beschwerdeführer gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz einwendet, erschöpft sich in einer blossen appellatorischen Kritik am angefochtenen Urteil, die für die Begründung einer willkürlichen Feststellung des Sachverhalts nicht genügt. Er beschränkt sich darauf, die eigene Sichtweise der Verhältnisse darzulegen. Dabei stellt er sich im Wesentlichen auf den Standpunkt, die Aussagen der Geschädigten und der Zeugin des zweiten Vorfalls seien nicht glaubwürdiger als seine eigenen. Dies ist jedoch nicht geeignet, offensichtlich erhebliche und schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel daran darzutun, dass sich der Anklagesachverhalt verwirklicht hat. Denn für die Begründung von Willkür, unter welchem Gesichtspunkt das Bundesgericht prüft, ob der Grundsatz "in dubio pro reo" als Beweiswürdigungsregel verletzt ist, genügt praxisgemäss nicht, dass das angefochtene Urteil mit der Darstellung des Beschwerdeführers nicht übereinstimmt oder eine andere Lösung oder Würdigung vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 5.4; mit Hinweisen). Willkür im Sinne von <ref-law> liegt nach ständiger Rechtsprechung nur vor, wenn der angefochtene Entscheid auf einer schlechterdings unhaltbaren oder widersprüchlichen Beweiswürdigung beruht, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.2.2).
Der Beschwerdeführer hätte substantiiert darlegen müssen, inwiefern die Feststellungen des Kantonsgerichts offensichtlich unhaltbar sind und die vorhandenen Beweise andere Schlussfolgerungen geradezu aufdrängen. Dies hat er nicht getan. Namentlich genügt die Berufung auf angebliche Widersprüche in den Aussagen der Geschädigten und des als Zeugen befragten Jugendlichen nicht, zumal die Vorinstanz zu diesem Punkt Stellung nimmt (angefochtenes Urteil S. 10) und der Beschwerdeführer sich hiermit nicht auseinandersetzt. Insgesamt prüft die Vorinstanz die Aussagen der Geschädigten, der Zeugen und des Beschwerdeführers einlässlich auf ihre Glaubhaftigkeit und würdigt sie im Kontext der weiteren Beweismittel zutreffend. Jedenfalls erweist sich die vorinstanzliche Beweiswürdigung nicht als schlechterdings unhaltbar.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet, soweit darauf überhaupt einzutreten ist.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens bleibt für die Zusprechung von Schadenersatz und Genugtuung kein Raum. Auf die Beschwerde kann in dieser Hinsicht nicht eingetreten werden.
4. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang trägt der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>). Da seine Rechtsbegehren von vornherein als aussichtslos erschienen, ist sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (<ref-law>). Seinen eingeschränkten finanziellen Verhältnissen kann bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Februar 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Boog