Faits:
A.
Le 16 mai 2000 à Vallorbe, X._, ressortissant kosovar né en 1975, a épousé Y._, ressortissante suisse née en 1951. Il a alors été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre de regroupement familial. Aucun enfant n'est issu de cette union.
Par requête du 29 février 2004, X._ a demandé la naturalisation facilitée qu'il a obtenue le 17 avril 2007, après avoir co-signé avec son épouse le 5 janvier 2007 une déclaration confirmant la stabilité et l'effectivité de leur communauté conjugale.
Le 23 janvier 2008, les époux ont déposé une requête commune en divorce, assortie d'une convention sur les effets accessoires. Le divorce a été prononcé le 29 avril 2008. Le 22 juin 2008, est né l'enfant issu de la relation de X._ avec une compatriote, née en 1982; cette dernière est devenue ensuite son épouse.
B.
A la suite d'une enquête administrative de l'Office fédéral des migrations (ODM), Y._ a été entendue le 1er juillet 2009. Elle a expliqué que son couple s'était séparé à la fin 2007 en raison de problèmes d'argent et du fait qu'ils n'avaient plus la même complicité. X._ a été auditionné le 15 décembre 2009 par le Service de la population du canton de Vaud (SPOP) dans le cadre de ses démarches en vue d'épouser la mère de son enfant. Il a expliqué qu'à la suite des problèmes de santé de son ex-épouse, celle-ci s'était sentie "vieille" et n'avait plus voulu de lui. Au début, il avait catégoriquement refusé qu'ils se séparent, mais comme elle était décidée, il avait quitté le domicile conjugal en février 2008. Il a ensuite reconnu qu'il n'y était pas retourné depuis août 2007. Concernant la naissance de son enfant en juin 2008, il a déclaré que comme les choses n'allaient pas bien, il était rentré en septembre 2007 au Kosovo et y avait rencontré dès le début de ses vacances sa fiancée. Il a assuré que c'était un coup de foudre et que la rencontre n'avait pas été arrangée. De retour en Suisse, il avait résidé à son domicile professionnel, y attendant sans succès des nouvelles de son ex-femme.
Le 25 août 2010, l'ODM a informé X._ qu'il devait examiner s'il y avait lieu d'annuler la naturalisation facilitée, compte tenu de la relation extraconjugale entamée en septembre 2007 et qui avait débouché sur la naissance d'un enfant en juin 2008, alors que l'intéressé avait refusé d'officialiser sa séparation avec Y._ avant le mois de février 2008. Dans ses déterminations du 16 septembre 2010, puis du 23 mai 2011, X._ a expliqué en substance que les multiples problèmes de santé de son ex-épouse les avaient "au fur et à mesure" amenés à une situation difficile, celle-ci l'ayant alors rejeté. Après plusieurs tentatives pour sauver leur couple, il avait fini par accepter sa demande de divorce. Se déterminant par écrit le 22 septembre 2010, puis le 20 août 2011 et entendue le 9 décembre 2010, Y._ a déclaré que les difficultés conjugales avaient débuté en 2007 à la suite de problèmes liés à sa santé. En raison de ceux-ci, elle s'était renfermée sur elle-même. C'était elle qui avait commencé à parler de séparation durant l'été 2007, dès lors que son état de santé continuait à se dégrader. Elle a dit qu'elle savait que son mari avait eu des relations intimes avec une ressortissante kosovare dès septembre 2007 et qu'il avait eu un enfant avec cette dernière au mois de juin 2008. Si elle avait été choquée, elle l'avait ensuite compris, car vu sa santé, elle-même refusait toute relation intime avec son mari depuis 2006.
Après avoir obtenu l'assentiment des autorités cantonales, l'ODM a, par décision du 3 août 2011, annulé la naturalisation facilitée. L'enchaînement des faits démontrait que le souhait de l'intéressé était de se procurer une possibilité de séjour en Suisse, respectivement d'y acquérir le plus rapidement possible la nationalité afin d'y créer une famille avec une ressortissante de son pays d'origine. De plus, l'état de santé de l'ex-épouse de X._ ne saurait être constitutif d'un événement extraordinaire postérieur à la naturalisation dès lors que celle-ci avait connu de sérieux ennuis sur ce plan dès 2001. En conséquence, au moment de la déclaration du 5 janvier 2007 ou du prononcé de naturalisation le 17 avril 2007, le mariage de l'intéressé n'était pas constitutif d'une communauté conjugale effective et stable. La naturalisation facilitée avait donc été octroyée sur la base de déclarations mensongères et d'une dissimulation de faits essentiels.
C.
Par arrêt du 17 juin 2013, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours formé par X._ contre cette décision.
Par acte du 23 juillet 2013, X._ forme un recours en matière de droit public, concluant à l'annulation de l'arrêt du 17 juin 2013, ainsi que de la décision du 3 août 2011 de l'ODM, au prononcé du maintien de sa naturalisation facilitée et de la nationalité des membres de sa famille. A titre subsidiaire, il requiert l'annulation du jugement du Tribunal administratif fédéral et conclut au renvoi de la cause pour nouvelle décision au sens des considérants. Le recourant sollicite l'octroi de l'effet suspensif.
Invités à se déterminer, l'ODM a confirmé sa position, tandis que l'autorité précédente a renoncé à formuler des observations. Le recourant n'a pas déposé de détermination complémentaire.
Par ordonnance du 3 septembre 2013, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit:
1.
L'arrêt attaqué émane du Tribunal administratif fédéral et concerne l'annulation de la naturalisation facilitée accordée au recourant, si bien qu'il peut faire l'objet d'un recours en matière de droit public (art. 82 let. a et 86 al. 1 let. a LTF). Le motif d'exclusion de l'<ref-law> n'entre pas en ligne de compte, dès lors qu'il s'agit en l'espèce de la naturalisation facilitée et non pas de la naturalisation ordinaire. Pour le surplus, le recourant possède la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law> et les conditions de recevabilité sont remplies, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le Tribunal fédéral fonde en principe son raisonnement juridique sur les faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait que si celles-ci ont été établies en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>) - notion qui correspond à celle de l'arbitraire (art. 9 Cst.; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379 s.; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62) -, ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>. En l'occurrence, le recourant se contente d'énumérer des faits, sur près de vingt-deux pages, sans apporter la moindre démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait de la décision attaquée, de sorte qu'il n'y a pas lieu de prendre en considération d'autres faits que ceux retenus dans ladite décision.
3.
Le recourant reproche à l'instance précédente de ne pas avoir procédé à son audition, ainsi qu'à celles de témoins qui auraient pu démontrer la stabilité et la durabilité de sa communauté conjugale en janvier 2007, respectivement en avril 2007. Ce faisant, il invoque implicitement une violation de son droit d'être entendu au sens de l'art. 29 al. 2 Cst., qui garantit notamment le droit pour l'intéressé d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 293; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 504 s.). Sans avoir à déterminer si ce grief est recevable au regard du devoir de motiver de façon claire et détaillée la violation des droits constitutionnels (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 2.8 p. 494 et les arrêts cités), il y a lieu de constater qu'il est infondé.
En effet, le recourant a été entendu le 15 décembre 2009 par le SPOP et a pu se déterminer par écrit devant l'ODM à deux reprises (le 16 septembre 2010 et le 23 mai 2011). Devant le Tribunal administratif fédéral, il a déposé un mémoire de vingt-cinq pages, ainsi qu'un bordereau de trente-et-une pièces. Il a pu répliquer à la suite des observations de l'office fédéral. Il n'explique dès lors pas en quoi une déposition orale de sa part s'avérerait encore nécessaire. Quant aux autres auditions sollicitées, le recourant n'a indiqué à aucun moment l'identité des personnes requises. Devant le Tribunal de céans, il ne donne toujours aucune explication sur ces témoins, ni sur le possible impact de leurs déclarations pour la présente cause. Le recourant reconnaît même que celles-ci n'auraient que "vraisemblablement" pu confirmer la stabilité et la durabilité de sa communauté conjugale en janvier et/ou en avril 2007. Il ne peut en conséquence être reproché aux juges précédents d'avoir refusé de donner suite à ces auditions et d'avoir procédé à une appréciation anticipée des preuves (sur cette notion, cf. ATF 136 IV 229 consid. 5.3 p. 236 et les arrêts cités).
4.
Le recourant se plaint d'une application arbitraire de l'art. 41 de la loi fédérale du 29 septembre 1952 sur l'acquisition et la perte de la nationalité suisse (LN ou loi sur la nationalité; RS 141.0).
4.1. Conformément à l'art. 41 al. 1 LN qui, sur le fond est identique à l'art. 41 LN dans sa teneur jusqu'au 1er mars 2011, l'ODM peut, avec l'assentiment de l'autorité du canton d'origine, annuler la naturalisation ou la réintégration obtenue par des déclarations mensongères ou par la dissimulation de faits essentiels. L'art. 41 al. 1bis LN indique que la naturalisation ou la réintégration peut être annulée dans un délai de deux ans à compter du jour où l'office a pris connaissance des faits déterminants, mais au plus tard huit ans après l'octroi de la nationalité suisse. Un nouveau délai de prescription de deux ans commence à courir après tout acte d'instruction communiqué à la personne naturalisée. Les délais sont suspendus pendant la procédure de recours.
4.1.1. Pour qu'une naturalisation facilitée soit annulée, il faut qu'elle ait été acquise grâce à un comportement déloyal et trompeur : l'intéressé doit avoir donné sciemment de fausses informations à l'autorité ou l'avoir délibérément laissée dans l'erreur sur des faits qu'il savait essentiels (<ref-ruling> consid. 2 p. 165; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 114 s. et les arrêts cités). Tel est notamment le cas si le requérant déclare vivre en communauté stable avec son conjoint alors qu'il envisage de se séparer une fois obtenue la naturalisation facilitée; peu importe que son mariage se soit ou non déroulé jusqu'ici de manière harmonieuse (arrêts 1C_256/2012 du 22 novembre 2012 consid. 3.2.1; 1C_406/2009 du 28 octobre 2009 consid. 3.1.1 et l'arrêt cité).
La nature potestative de l'art. 41 al. 1 LN confère une certaine liberté d'appréciation à l'autorité compétente, qui doit toutefois s'abstenir de tout abus dans l'exercice de celle-ci. Commet un abus de son pouvoir d'appréciation l'autorité qui se fonde sur des critères inappropriés, ne tient pas compte de circonstances pertinentes ou rend une décision arbitraire (sur cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379 s.; 393 consid. 4.3.1 p. 198), contraire au but de la loi ou au principe de la proportionnalité (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 403; <ref-ruling> consid. 4a p. 101 et les arrêts cités).
4.1.2. La notion de communauté conjugale suppose non seulement l'existence formelle d'un mariage, mais encore une véritable communauté de vie des conjoints; tel est le cas s'il existe une volonté commune et intacte de ceux-ci de maintenir une union conjugale stable; une séparation survenue peu après l'octroi de la naturalisation constitue un indice de l'absence de cette volonté lors de l'obtention de la citoyenneté suisse (<ref-ruling> consid. 2 p. 165; <ref-ruling> consid. 2 p. 484; <ref-ruling> consid. 3a p. 98 s.; <ref-ruling> consid. 2b p. 51 s.). En revanche, le fait qu'une ressortissante suisse et un ressortissant étranger contractent mariage afin notamment de permettre au conjoint étranger d'obtenir une autorisation de séjour ne préjuge pas en soi de la volonté des époux de fonder une communauté conjugale effective et ne peut constituer un indice de mariage fictif que si elle est accompagnée d'autres éléments troublants, comme une grande différence d'âge entre les époux (arrêt 5A.11/2006 du 27 juin 2006 consid. 3.1).
4.2. La procédure administrative fédérale est régie par le principe de la libre appréciation des preuves (art. 40 de la loi fédérale du 4 décembre 1947 de procédure civile fédérale [PCF; RS 273], applicable par renvoi de l'<ref-law> [RS 172.021]). Ce principe vaut également devant le Tribunal administratif fédéral (<ref-law> [RS 173.32]). L'administration supporte le fardeau de la preuve lorsque la décision intervient, comme en l'espèce, au détriment de l'administré. Cela étant, la jurisprudence admet que l'autorité puisse se fonder sur une présomption pour établir que le conjoint naturalisé a menti lorsqu'il a déclaré former une union stable, dans la mesure où il s'agit d'un fait psychique, lié à des éléments relevant de la sphère intime et difficiles à prouver (<ref-ruling> consid. 3 p. 166; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 485 s.). Si l'enchaînement rapide des événements fonde une telle présomption, c'est alors à l'administré qu'il incombe de la renverser (ATF <ref-ruling> consid. 3.2 p. 486). Il n'a pas besoin, pour cela, de rapporter la preuve contraire : il suffit qu'il parvienne à faire admettre l'existence d'une possibilité raisonnable qu'il n'ait pas menti en déclarant former une communauté stable avec son conjoint. Il peut le faire notamment en rendant vraisemblable, soit la survenance d'un événement extraordinaire susceptible d'expliquer une détérioration rapide du lien conjugal, soit l'absence de conscience de la gravité de ses problèmes de couple et, ainsi, l'existence d'une véritable volonté de maintenir une union stable avec son conjoint lorsqu'il a signé la déclaration (<ref-ruling> consid. 3 p. 165 s. et les arrêts cités).
4.3. Le Tribunal administratif fédéral a considéré que l'enchaînement chronologique rapide des faits et le laps de temps dans lequel étaient intervenus la déclaration commune (5 janvier 2007), l'octroi de la naturalisation facilitée (17 avril 2007), l'annonce du souhait de séparation de l'ex-épouse (août 2007), la relation extraconjugale de l'intéressé (septembre 2007) et la requête commune de divorce (23 janvier 2008), étaient de nature à fonder la présomption que le couple n'envisageait déjà plus une vie future partagée lors de la signature de ladite déclaration, respectivement au moment du prononcé de la décision de naturalisation, et qu'à ce moment-là déjà - quand bien même les conjoints ne vivaient pas encore séparés -, la stabilité requise du mariage n'existait plus : la naturalisation avait donc été acquise au moyen de déclarations mensongères et en dissimulant des faits essentiels. Pour les premiers juges, cette présomption était renforcée par le fait que la décision de se marier avait été prise alors que la procédure d'asile était pendante, par la grande différence d'âge entre les conjoints et par le défaut de volonté du recourant de sauver son union.
Ce raisonnement ne porte pas le flanc à la critique. En effet, l'absence de mesures protectrices de l'union conjugale et le fait que la requête de divorce n'ait été déposée qu'en janvier 2008 ne justifient pas la rapidité de l'enchaînement des événements tel que retenu par l'autorité précédente, ni ne prouvent que le recourant aurait tenté de sauver son couple. Au contraire, le mois suivant l'annonce par son ex-femme de sa volonté de divorcer (août 2007), le recourant entame une relation extraconjugale (septembre 2007) avec la femme qui deviendra sa seconde épouse. S'il a peut-être refusé formellement de divorcer à cette période, il n'a pas cherché à reprendre contact avec son ex-conjointe à son retour en Suisse (cf. ses déclarations du 15 décembre 2009, p. 2), attitude ne venant pas démontrer une envie de sauver son union. De plus, peu après le dépôt de la requête de divorce (janvier 2008), il est reparti quasiment immédiatement retrouver sa future épouse (février ou mars 2008 [cf. ses déclarations du 15 décembre 2009, p. 3]).
En conséquence, le Tribunal administratif fédéral n'a pas violé le droit fédéral en retenant que la présomption de fait était réalisée.
4.4. Conformément à la jurisprudence précitée, il convient encore d'examiner si le recourant est parvenu à renverser cette présomption en rendant vraisemblable, soit la survenance d'un événement extraordinaire susceptible d'expliquer une dégradation aussi rapide du lien conjugale, soit l'absence de conscience de la gravité des problèmes de couple au moment de la signature de la déclaration commune.
En l'occurrence, les arguments avancés par le recourant pour démontrer que la communauté conjugale qu'il formait avec son ex-épouse entre janvier et avril 2007 était stable et orientée vers un avenir commun ne permettent pas de remettre en cause l'appréciation de l'autorité précédente. En particulier, ses prétendues vacances, soirées et/ou fêtes en couple ne sont pas datées. Il ne peut ainsi en être déduit la moindre constatation, notamment que ces événements se seraient passés durant la période susmentionnée; au demeurant, les photographies produites à l'appui de son recours pour établir l'existence d'une réelle communauté conjugale - dont certaines ont déjà été produites lors de sa requête de naturalisation - indiquent les années 1999, 2004 et 2005(cf. pces 14 et 15 de son bordereau). Une telle conclusion ne ressort pas non plus des nombreux courriers de tiers présentés par le recourant, faute en particulier de toute indication temporelle.
Le recourant assure aussi n'avoir pas su jusqu'en août 2007 que son couple rencontrait des difficultés. Or, il a sans cesse été affirmé, de part et d'autre, que de telles difficultés résultaient des nombreux ennuis de santé subis par son ex-épouse depuis 2001. En particulier, celle-ci a souffert d'importantes douleurs en 2006, ce qui l'avait rendue "aigrie" au point de refuser dès cette époque toute relation intime avec son mari (cf. courrier du 22 septembre 2010, déclarations confirmées lors de l'audition du 9 décembre 2010). Une de leur amie a également fait état des tensions existant dans le couple en raison de l'état de santé de l'épouse, ainsi que de leurs problèmes d'argent (cf. pce 11 de son bordereau). Il n'est ainsi pas crédible que le recourant ait réellement ignoré jusqu'en été 2007 les conséquences sur son couple des différentes atteintes subies par son ex-conjointe depuis 2001. Il a d'ailleurs lui-même relevé - certes sans indiquer de date - qu'il avait été rejeté par son ex-femme qui ne se sentait "plus bien « dans sa peau »" (cf. son courrier du 16 septembre 2010, confirmant les propos tenus le 15 décembre 2009). La dégradation des relations du couple, ainsi que l'a retenu l'autorité précédente, n'est donc pas intervenue de manière abrupte postérieurement à la déclaration commune et/ou à l'octroi de la naturalisation. Le comportement adopté par le recourant peu après que son ex-épouse lui a déclaré vouloir divorcer vient renforcer cette conviction : il n'a ainsi adopté aucun comportement propre à sauver son couple; au contraire, il a entamé une relation extraconjugale.
Quant à l'excellente intégration du recourant dans la vie sociale et socio-professionnelle en Suisse, ainsi que sa capacité à s'exprimer en français, ces éléments ne permettent pas de démontrer l'existence d'une communauté conjugale stable avec son ex-épouse au moment de la déclaration commune en janvier 2007 ou lors de l'octroi de la naturalisation en avril 2007 (arrêt 1C_2064/2011 du 23 août 2011 consid. 3.3 in fine).
Les premiers juges ont donc retenu avec raison qu'aucun événement extraordinaire susceptible d'expliquer une dégradation aussi rapide du lien conjugal n'était survenu depuis la signature de la déclaration commune, respectivement l'octroi de la naturalisation; en outre, le recourant ne pouvait ignorer la gravité des problèmes que son couple rencontrait dès lors que les ennuis importants de santé de son ex-épouse existaient depuis de nombreuses années.
4.5. Il en découle que les conditions d'application de l'art. 41 LN sont réunies et que le Tribunal administratif fédéral n'a pas violé le droit fédéral en confirmant l'annulation de la naturalisation facilitée qui avait été octroyée au recourant, ainsi que celle de la nationalité accordée à son enfant (art. 41 al. 3 LN). En ce qui concerne ce dernier, les arguments du recourant ne permettent pas de remettre en cause l'appréciation effectuée par l'autorité précédente (absence tant de motif permettant de s'écarter en l'espèce de la loi que de risque d'apatridie). En particulier, le recourant ne peut être suivi lorsqu'il affirme sans autre démonstration que l'annulation de la nationalité de son enfant - âgé de seulement cinq ans, né et ayant résidé quelque temps avec sa mère au Kosovo - engendrerait pour le développement de celui-ci des "conséquences irrémédiables".
5.
Il s'ensuit que le recours est rejeté. Le recourant qui succombe supporte les frais de la présente procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Office fédéral des migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 7 novembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Merkli
La Greffière: Kropf