Faits:
A. A._ et B._ sont propriétaires de la parcelle n° 5451 du registre foncier de Montreux (VD), sise en zone à bâtir - zone de forte densité selon les art. 20 ss du règlement communal du 15 décembre 1972 sur le plan d'affectation et la police des constructions (RPA). Le 23 septembre 2004, ils ont sollicité l'autorisation de construire sur ce bien-fonds de 920 m2 un immeuble de quatre appartements et un garage enterré de huit places. Mis à l'enquête publique du 12 novembre au 2 décembre 2004, ce projet a suscité une opposition. Par décision du 7 juillet 2005, la Municipalité de Montreux (ci-après: la municipalité) a levé l'opposition et délivré le permis de construire.
Le 15 février 2007, l'architecte mandaté par A._ et B._ a demandé au Service de l'urbanisme de la commune de Montreux de prolonger jusqu'au 8 juillet 2008 la validité du permis de construire, celle-ci arrivant à échéance le 7 juillet 2007. Le 14 mars 2007, ce service a répondu en rappelant que le permis de construire serait périmé si la construction n'était pas commencée avant le 7 juillet 2007 et qu'une prolongation de sa validité ne pourrait être décidée qu'après que l'autorité ait vérifié si les conditions de fait et de droit étaient satisfaites pour permettre l'octroi d'une année supplémentaire. Il considérait que la requête, présentée environ cinq mois avant l'échéance, était prématurée. Il invitait donc l'architecte à la reformuler "le moment venu" et réservait la décision de la municipalité à ce sujet. L'architecte a renouvelé sa demande le 8 juin 2007.
B. Par décision du 29 juin 2007, la municipalité a déclaré que le permis de construire délivré le 7 juillet 2005 était périmé. Elle avait constaté le 27 juin 2007 qu'aucun travail n'avait débuté sur la parcelle n° 5451 et elle considérait qu'au jour de l'échéance formelle du 7 juillet 2007 la construction ne pourrait pas être réputée commencée au sens de l'art. 111 RPA et de l'art. 118 de la loi cantonale sur l'aménagement du territoire et les constructions (LATC). Par décision du même jour, la municipalité a refusé de prolonger la validité du permis de construire, au motif que le futur règlement communal sur le plan général d'affectation et la police des constructions (RPGA) - soumis à l'enquête publique du 20 avril 2007 au 21 mai 2007 - ne permettrait plus d'autoriser le projet litigieux. Le 10 juillet 2007, la municipalité a ordonné l'arrêt immédiat des travaux.
C. A._ et B._, ainsi que les sociétés C._ et D._, ont recouru contre les décisions municipales du 29 juin 2007 auprès du Tribunal administratif du canton de Vaud, devenu par la suite la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 4 mars 2008, le Tribunal cantonal a rejeté le recours, dans la mesure de sa recevabilité. Il a considéré qu'à l'échéance du permis de construire les travaux n'avaient pas commencé au sens de l'art. 118 LATC. En effet, les constructeurs n'avaient pas débuté concrètement les travaux et ils n'avaient pas apporté la preuve qu'ils possédaient la volonté sérieuse de le faire sans tarder. Il a également considéré que le projet de RPGA - qui modifiait les règles applicables dans la zone concernée - constituait une circonstance qui permettait à la municipalité de refuser la demande de prolongation.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._, ainsi que les sociétés C._ et D._, demandent au Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens que le recours devant le Tribunal cantonal soit admis, les décisions du 29 juin 2007 de la municipalité annulées et le permis de construire prolongé pour une année. Ils concluent subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué. Ils requièrent en outre l'octroi de l'effet suspensif et de mesures provisionnelles. Le Tribunal cantonal n'a pas présenté d'observations. La Municipalité de Montreux s'est déterminée; elle conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité.
E. Par ordonnance du 30 avril 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif et de mesures provisionnelles.

Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision rendue dans le domaine du droit public des constructions, le recours est recevable comme recours en matière de droit public conformément aux <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Les recourants A._ et B._ ont pris part à la procédure devant le Tribunal cantonal et ils sont particulièrement touchés par la décision attaquée, qui annule l'autorisation de construire qui leur avait été délivrée. Ils sont donc habilités à recourir au sens de l'<ref-law>. La qualité pour agir des sociétés C._ et D._ est en revanche douteuse, dans la mesure où elles interviennent apparemment uniquement en qualité de sociétés mandatées par les prénommés pour mener à bien le projet litigieux. Cette question peut toutefois demeurer indécise, dès lors que les recourants susmentionnés ont la qualité pour agir. Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours est recevable au regard des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF.
2. Les recourants se plaignent d'une application arbitraire de l'art. 118 al. 1 et 2 LATC. Appelé à revoir l'interprétation d'une norme sous l'angle restreint de l'arbitraire (pour une définition de l'arbitraire, cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153), le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement plus judicieuse - paraît possible (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 260 s. et les arrêts cités).
3. Aux termes de l'art. 118 al. 1 LATC, le permis de construire est périmé si, dans le délai de deux ans dès sa date, la construction n'est pas commencée.
3.1 Se fondant sur la jurisprudence cantonale, l'autorité intimée a considéré en substance qu'une construction était "commencée" au sens de l'art. 118 LATC si le début des travaux pouvait être constaté objectivement, mais également si le destinataire du permis de construire pouvait démontrer qu'il possédait la volonté sérieuse de poursuivre l'exécution de la construction. Il a toutefois estimé que tel n'était pas le cas en l'espèce: si les recourants avaient produit un certain nombre de pièces, ils n'avaient pas apporté la preuve qu'ils possédaient la volonté sérieuse de commencer sans tarder l'exécution des travaux. L'autorité intimée estime qu'ils auraient pu apporter cette preuve en produisant, entre autres documents importants, les contrats d'adjudication du gros oeuvre dûment signés (et non de simples devis) et l'attestation bancaire du crédit de construction.
Les recourants soutiennent que les éléments qu'ils ont présentés constituent des indices indiscutables de leur volonté de commencer les travaux. Ils estiment qu'une attestation de crédit bancaire n'était pas nécessaire, dès lors que l'entreprise générale effectue différents paiements et participe elle-même aux travaux et dans la mesure où la promotion immobilière a "démarré", des clients ayant déjà réservé, voire acheté, certains lots. De plus, l'absence de contrats dûment signés pour le gros oeuvre serait notamment due aux incertitudes quant à la prolongation du permis de construire, ce qui a conduit à une certaine précipitation ayant empêché de "peaufiner, sous forme écrite, l'adjudication des travaux". Le défaut des pièces mentionnées par l'arrêt attaqué serait largement compensé par les autres éléments produits, qui démontrent qu'il y a eu adjudication par actes concluants et que le financement était assuré.
3.2 Il s'agit de déterminer - sur la base des éléments de fait retenus dans l'arrêt attaqué (art. 105 al. 1 et 2 LTF) - si le Tribunal cantonal pouvait considérer sans arbitraire que les travaux n'avaient pas commencé au sens de l'art. 118 LATC. Il convient d'abord de préciser que le moment déterminant pour apprécier cette question est le jour de la péremption du permis de construire le 7 juillet 2007, de sorte qu'il n'y a pas lieu de prendre en considération les démarches postérieures à cette date (procès-verbal de la première séance de chantier le 11 juillet 2007, avis de vente de lots en propriété par étage, etc.). Le 27 juin 2007, soit dix jours avant la péremption du permis de construire, la municipalité a constaté que les travaux n'avaient objectivement pas débuté sur la parcelle litigieuse. L'autorité intimée a donc recherché si les destinataires du permis avaient la volonté sérieuse de poursuivre - sinon de commencer - l'exécution de la construction.
3.3 Le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de relever que la prise en compte d'un élément subjectif dans l'examen des conditions de l'art. 118 al. 1 LATC constituait un assouplissement des exigences posées par la loi, si bien qu'on ne saurait reprocher à l'autorité de se montrer sévère quant à la preuve de cette intention (cf. arrêt non publié 1P.142/1993 du 8 juin 1993 consid. 3b).
En l'occurrence, il est vrai que les recourants ont déposé de nombreuses pièces attestant du fait qu'ils avaient entrepris des démarches en vue de la réalisation de leur projet. Ils démontrent ainsi que des plans ont été établis, que des ingénieurs ont été mandatés, que des devis ont été demandés pour le gros oeuvre et que divers frais ont été engagés. Cela ne signifie toutefois pas encore que les destinataires du permis de construire étaient sur le point de commencer sérieusement les travaux de construction.
En effet, les plans ont été établis entre mars et août 2006 et des devis pour le gros oeuvre avaient déjà été établis en 2006 sans que les travaux n'aient été entrepris. De plus, selon les pièces produites par les recourants, la police d'assurance pour les travaux n'était valable que jusqu'au 30 juin 2007, date à laquelle les travaux n'avaient pas débuté. Quant aux autres frais engagés par l'entreprise générale, ils concernent l'établissement des plans, les travaux préparatoires, la promotion immobilière et l'entretien de la parcelle. La plupart de ces frais ont été engagés en 2006 et on ne saurait y voir la volonté de commencer les travaux sans tarder à l'approche de la péremption du permis de construire le 7 juillet 2007. Le seul indice concret d'un début rapide des travaux établi par pièces est la commande, datée du 11 juin 2007, d'un raccordement électrique pour le chantier et la facture y relative. Sur le vu de l'importance du projet litigieux cet élément ne saurait être considéré comme décisif. De plus, comme le relève à juste titre l'autorité intimée, il ressort de la commande en question que l'entreprise en charge des travaux n'avait toujours pas été définie, à moins d'un mois de la péremption du permis de construire. L'attribution des travaux de gros oeuvre n'était du reste pas encore décidée le 20 juin 2007, date à laquelle une entreprise présentait une offre pour ces travaux dont le début était prévu pour la fin juillet. De même, une autre offre du 2 juin 2007 prévoyait un début des travaux en septembre seulement.
Dans ces circonstances, compte tenu du fait que les travaux n'avaient pas même débuté au moment de la péremption du permis de construire, il n'était pas manifestement insoutenable de considérer que les recourants auraient dû établir leur volonté de le faire sans tarder au moyen de documents probants, tels que des contrats pour le gros oeuvre dûment signés. Par ailleurs, contrairement à ce que semblent soutenir les recourants, il n'était pas démontré le 7 juillet 2007 que la promotion immobilière ait véritablement "démarré" et que des lots aient déjà été acquis. Il n'était dès lors pas inadmissible de demander que les recourants établissent le financement de leur projet, en produisant par exemple une attestation de crédit d'un établissement bancaire.
3.4 En définitive, en posant ces exigences pour la démonstration de la volonté des recourants de débuter les travaux sans tarder, le Tribunal cantonal n'a pas appliqué l'art. 118 al. 1 LATC d'une manière qui puisse être qualifiée d'arbitraire au sens de la jurisprudence susmentionnée.
4. Conformément à l'art. 118 al. 2 LATC, la municipalité peut prolonger d'une année la validité du permis de construire, si les circonstances le justifient.
4.1 Le Tribunal cantonal a considéré que le fait que les travaux n'aient pas commencé à l'expiration du permis de construire et la modification en cours du règlement communal constituaient des circonstances qui permettaient à la municipalité de refuser la prolongation. Les recourants soutiennent que cette application de l'art. 118 al. 2 LATC est arbitraire. Ils allèguent que la municipalité ne serait pas tenue de réexaminer la conformité au règlement lors d'une prolongation de l'autorisation de construire et que le nouveau règlement n'entrerait en vigueur qu'après la prolongation d'une année. De plus, la pratique vaudoise admettrait la quasi-totalité des demandes de prolongation.
4.2 L'art. 118 al. 2 LATC est de nature potestative; l'autorité compétente a la faculté de prolonger la validité du permis de construire si elle estime que les circonstances le justifient. Le titulaire du permis périmé peut ainsi demander une prolongation en se prévalant de raisons indépendantes de sa volonté l'ayant empêché de commencer les travaux à temps ou en faisant valoir, lorsqu'il s'agit de chantiers importants, que de nombreuses opérations préparatoires étaient nécessaires (arrêt 1P.32/1992 du 15 avril 1992 consid. 2c, publié in RDAF 1993 p. 144). Il découle du texte même de l'art. 118 al. 2 LATC que la municipalité jouit d'un large pouvoir d'appréciation lorsqu'elle statue sur une demande de prolongation. Sa liberté est toutefois moins grande que lorsqu'elle prend la première décision, sans pour autant que soient applicables les règles sur la révocation; elle doit en particulier respecter le principe de la bonne foi (arrêt 1P.32/1992 précité consid. 2c; Piermarco Zen-Ruffinen/Christine Guy-Ecabert, Aménagement du territoire, construction, expropriation, Berne 2001, n. 944 p. 411 s.). Découlant directement de l'art. 9 Cst. et valant pour l'ensemble de l'activité étatique, le droit à la protection de la bonne foi préserve la confiance légitime que le citoyen met dans les assurances reçues des autorités, lorsqu'il a réglé sa conduite d'après des décisions, des déclarations ou un comportement déterminé de l'administration (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 636; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 170; <ref-ruling> consid. 10b/aa p. 125; <ref-ruling> consid. 3a p. 387 et les arrêts cités).
4.3 En l'occurrence, on peut admettre avec les recourants que le fait d'invoquer une modification future du règlement pour refuser la prolongation peut prêter le flanc à la critique, ce d'autant plus que l'entrée en vigueur de cette modification serait vraisemblablement postérieure au terme du délai qui serait le cas échéant prolongé. Cela ne suffit toutefois pas à démontrer un abus du pouvoir d'appréciation de la municipalité. En effet, un tel abus aurait pu être constaté si l'autorité avait omis de prendre en compte des éléments importants justifiant une prolongation. Or, l'architecte mandaté par les recourants n'a pas invoqué de circonstances particulières à l'appui de ses demandes de prolongation des 15 février 2007 et 8 juin 2007 et les recourants n'avancent pas davantage de motifs qui permettraient d'admettre que la municipalité a refusé la prolongation en contradiction manifeste avec la situation de fait. On ne saurait déduire de l'art. 118 al. 2 LATC un droit absolu à obtenir une prolongation, sans même invoquer de motifs particuliers expliquant pourquoi les travaux n'ont pas pu débuter à temps. Dans ces conditions, on ne voit pas en quoi la municipalité aurait abusé de son pouvoir d'appréciation, de sorte qu'il y a lieu de constater que l'art. 118 al. 2 LATC n'a pas été appliqué de manière arbitraire.
Enfin, l'autorité compétente n'a pas donné aux recourants l'assurance qu'ils obtiendraient une prolongation et rien de tel ne peut se déduire de son comportement. Au contraire, le courrier du 14 mars 2007 du Service de l'urbanisme de la commune de Montreux était particulièrement prudent et réservé sur ce point. Il rappelait en effet que le permis serait périmé si la construction n'était pas commencée avant le 7 juillet 2007 et précisait qu'une prolongation ne pourrait être décidée qu'après que l'autorité ait vérifié si les conditions de fait et de droit étaient satisfaites. Il réservait en outre expressément la décision de la municipalité. Le fait qu'en pratique les autorités soient prétendument généreuses dans l'octroi de prolongations n'y change rien, sous réserve du principe de l'égalité de traitement, qui n'est plus invoqué dans le présent recours. Par conséquent, les recourants ne pouvaient pas non plus obtenir une prolongation au sens de l'art. 118 al. 2 LATC sur la base du droit à la protection de la bonne foi.
5. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Les recourants, qui succombent, doivent supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3000 fr., sont mis à la charge des recourants.
3. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des recourants et de la Municipalité de Montreux ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 8 juillet 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
e.r. Aeschlimann Rittener