Faits:
A. Le 10 avril 1995, B._ a donné naissance hors mariage à l'enfant A._, qui a été reconnue le 15 juin 1995 par son père, X._.
Par jugement du 22 mai 1997, le Tribunal de première instance de Genève a condamné le père à verser, en mains de la mère, à titre de contribution à l'entretien de sa fille, allocations familiales non comprises, avec une clause usuelle d'indexation, des sommes s'échelonnant de 500 fr. à 800 fr. selon l'âge de l'enfant, ce dernier montant étant dû dès ses 13 ans.
Ce jugement retenait en substance que le père était au bénéfice d'un certificat fédéral de capacité de vendeur et d'employé de commerce, qu'il avait obtenu dans les années quatre-vingt, comme employé d'une société de courtage, des revenus considérables et qu'il occupait depuis juin 1993 un poste lui assurant un salaire mensuel net de 3'000 fr; il sous-louait par ailleurs à son employeur, pour 1'500 fr. par mois, un appartement sis à la route de Florissant à Genève, dont le loyer mensuel de 2'800 fr. était payé par celui-ci, bénéficiant ainsi d'un avantage en nature de 1'300 fr. Le tribunal avait imputé au père un revenu mensuel net hypothétique d'au moins 5'000 fr., retenant que l'intéressé, qui était encore jeune et avait montré par le passé ses capacités à assumer des emplois rémunérateurs, devait sans difficulté pouvoir accroître ses gains jusqu'à concurrence de cette somme-là et faire ainsi face aux augmentations ultérieures de la contribution d'entretien.
B. Le 21 août 2007, le père a formé devant le même tribunal une action en modification de la contribution d'entretien due à sa fille. Par jugement du 21 février 2008, il a été débouté de toutes ses conclusions.
Par arrêt du 7 août 2008, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé ce jugement.
C. Contre cet arrêt, le père interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à sa réforme en ce sens que la contribution d'entretien mise à sa charge est supprimée à partir du 21 août 2007; subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité précédente. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des réponses n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 117 et les arrêts cités).
1.1 L'arrêt entrepris est une décision finale (<ref-law>) rendue en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>). Comme le litige porte sur une contribution d'entretien, il s'agit d'une affaire pécuniaire (<ref-ruling> consid. 2 p. 395), dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a qualité pour recourir, car il a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée (<ref-law>).
Déposé en temps utile compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF) et en la forme prévue par la loi (<ref-law>), le recours est en principe recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), qui comprend les droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 447, 462 consid. 2.3 p. 466).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours pour d'autres motifs que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 550). Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 152). Il ne connaît de la violation de droits fondamentaux ou du droit cantonal que si ce grief a été soulevé et motivé par le recourant (<ref-law>), les exigences de motivation correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (<ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254; <ref-ruling> consid. 6 p. 397).
1.3 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influencer le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte (<ref-law>), à savoir que les constatations de fait sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252), doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation. Le Tribunal fédéral n'examine en effet la violation de l'interdiction de l'arbitraire que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 287).
1.4 Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant allègue notamment qu'il est sous le coup de nombreuses et importantes poursuites et que des actes de défaut de biens ont été délivrés contre lui. L'arrêt attaqué ne retient toutefois pas l'existence de poursuites ou d'actes de défaut de biens, de sorte que les affirmations du recourant à ce sujet sont irrecevables. Elles sont au demeurant dénuées de pertinence pour l'examen du présent recours.
2. 2.1 Dans un premier grief, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir violé la règle jurisprudentielle en vertu de laquelle la contribution d'entretien due à un enfant mineur ne doit pas porter atteinte au minimum vital du débirentier au sens du droit de la poursuite pour dettes.
Dans un second grief, il fait valoir que les conditions permettant de lui imputer un revenu hypothétique ne sont pas remplies et que la cour cantonale a violé l'<ref-law>. Les juges précédents se sont fondés sur des arguments nouveaux, jamais évoqués précédemment; en outre, ce n'est pas à lui qu'il incombait de prouver, sans avoir été interpellé à ce sujet, l'impossibilité d'obtenir un quelconque poste à responsabilité en raison, notamment, de ses nombreuses et importantes poursuites. Dans tous les cas, l'imputation d'un revenu hypothétique n'est pas possible, car il est arbitraire de retenir un revenu de 5'000 fr. sans se préoccuper de savoir si un tel gain peut être effectivement réalisé.
2.2 Si, après l'examen de ces critiques, le revenu mensuel net hypothétique d'au moins 5'000 fr. pris en considération par l'autorité cantonale devait être confirmé, la question de la préservation du minimum vital ne se poserait plus. Le revenu imputé au recourant serait, en effet, suffisant pour lui permettre de couvrir son minimum vital, qu'il estime à 3'510 fr. par mois, et payer la contribution d'entretien, sans porter atteint à son minimum d'existence. Il y a donc lieu d'examiner d'abord la question du revenu hypothétique, puis, le cas échéant, celle du respect du minimum vital.
3. 3.1 La cour cantonale a considéré qu'on ne peut renoncer à imputer un revenu hypothétique au débirentier que si celui-ci a adopté le comportement que l'on était en droit d'attendre de lui, mais sans avoir pu atteindre le montant fixé; tel n'est pas le cas en l'espèce, dans la mesure où le recourant, âgé de 46 ans et en bonne santé, n'a pas allégué ni prouvé avoir effectué des recherches sérieuses et assidues d'emploi, ni établi ou rendu vraisemblable que sa formation et son expérience professionnelles ne lui ont pas permis de trouver, durant les dix dernières années, dans son domaine d'activité, des emplois rémunérés plus de 2'000 à 3'000 fr. par mois; il ne s'est en outre pas recyclé professionnellement ni n'a suivi de formation lui offrant de nouveaux débouchés.
Les juges précédents ont également retenu, pour justifier la prise en compte d'un revenu hypothétique de 5'000 fr. au moins, que le recourant semble bénéficier de revenus occultes. Il occupe le même appartement qu'en 1997, dont le loyer s'élevait à l'époque à 2'800 fr., et dit continuer de s'acquitter, comme dix ans auparavant, d'une somme de 1'500 fr., son ancien employeur paraissant payer la différence; il ne fournit aucune explication sur cette opération au caractère insolite impliquant une société qui, selon ses dires, l'a licencié en mai 2006, congé à propos duquel il n'a produit aucune pièce en démontrant la réalité; il n'en dit pas plus au sujet des soutiens financiers de "nature familiale" dont il affirme bénéficier.
3.2 Lorsque la décision attaquée comporte, comme en l'espèce, plusieurs motivations indépendantes et suffisantes pour sceller le sort de la cause, il incombe au recourant, sous peine d'irrecevabilité, de démontrer que chacune d'entre elles est contraire au droit (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 120). En l'occurrence, le recourant ne s'en prend pas au motif tiré de l'existence de revenus occultes. Le recours est dès lors irrecevable dans cette mesure.
4. L'imputation d'un revenu mensuel net de 5'000 fr. au moins résiste par conséquent aux critiques formulées par le recourant.
Comme il y a lieu de statuer sur la base de ce revenu, le grief portant sur l'atteinte au minimum vital n'est pas fondé (cf. consid. 2.2 supra).
5. Vu ce qui précède, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable. Les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant (<ref-law>).
Comme le recours était voué à l'échec, l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral doit être refusée (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 6 octobre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Aguet