Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen Beteiligung an gewerbsmässigen Einbruchdiebstählen mit einem Deliktsbetrag von mehreren Hunderttausend Franken. Anlässlich der Verhaftung des Beschuldigten am 7. November 2013 wurden ein Mobiltelefon sowie zwei SIM-Karten bei ihm sichergestellt und auf sein Verlangen hin versiegelt. Am 20. November 2013 stellte die Staatsanwaltschaft ein Entsiegelungsgesuch, welches das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, mit Verfügung vom 3. Dezember 2013 bewilligte.
B.
Gegen den Entsiegelungsentscheid vom 3. Dezember 2013 gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 4. Dezember 2013 an das Bundesgericht. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die sichergestellten Datenträger seien weiterhin versiegelt unter Verschluss zu halten.
Das Zwangsmassnahmengericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Auch die Staatsanwaltschaft liess sich in abschlägigem Sinne vernehmen. Der Beschwerdeführer replizierte am 7. Januar 2014.

Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> sind grundsätzlich erfüllt und geben zu keinen Vorbemerkungen Anlass.
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die rechtlichen Voraussetzungen der verfügten Entsiegelung seien nicht erfüllt. Es fehle am hinreichenden Tatverdacht und an einem Sachzusammenhang zwischen dem sichergestellten Mobiltelefon und dem Gegenstand der Strafuntersuchung. Darüber hinaus bestünden gesetzliche Beschlagnahme- und Durchsuchungshindernisse. Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang insbesondere eine Verletzung der grundrechtlich geschützten Privatsphäre bzw. der persönlichen Freiheit.
3.
Zwangsmassnahmen (und damit verbundene Grundrechtseingriffe) setzen voraus, dass ein hinreichender Tatverdacht vorliegt und die streitige Untersuchungshandlung verhältnismässig erscheint (Art. 197 Abs. 1 lit. b-d und Abs. 2 StPO i.V.m. Art. 13 und Art. 36 Abs. 1-3 BV). Offensichtlich nicht untersuchungsrelevante sichergestellte Aufzeichnungen und Gegenstände hat der Entsiegelungsrichter auszusondern (<ref-ruling> E. 7.1 S. 229 mit Hinweisen). Nicht beschlagnahmt und durchsucht werden dürfen Aufzeichnungen und Korrespondenz der beschuldigten Person, wenn ihr Interesse am Schutz der Persönlichkeit das Strafverfolgungsinteresse überwiegt (Art. 264 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 264 Abs. 3 und Art. 248 StPO; vgl. zu den gesetzlichen Entsiegelungshindernissen auch <ref-ruling> E. 6.1 S. 227 f.).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer bestreitet zunächst einen hinreichenden Tatverdacht und kritisiert, dass die Zwangsmassnahmenrichterin in ihrer Entscheidbegründung von einem "stark erhöhten abstrakten Verdacht" spricht.
4.1.1. Im angefochtenen Entscheid wird Folgendes erwogen: Aufgrund von DNA-Spuren des Beschwerdeführers bestehe der dringende Tatverdacht, dass er während der Osterfeiertage 2008 einen Einbruchdiebstahl in einem Bürocenter begangen und Deliktsgut im Wert von über Fr. 420'000.-- gestohlen habe. Da auf identische Art und Weise schon am Auffahrtswochenende 2007 in dasselbe Geschäft eingebrochen und bereits damals sehr spezifisches Deliktsgut im Wert von über Fr. 290'000.-- gestohlen worden sei, dessen hehlerische Verwertung besondere Absatzkanäle voraussetze, werde der Beschwerdeführer auch diesbezüglich der (gewerbsmässigen) Beteiligung dringend verdächtigt. Er sei unter verschiedenen Identitäten aufgetreten, habe (als serbischer Staatsangehöriger) keinen erkennbaren Bezug zur Schweiz und sei vermutlich als Kriminaltourist eingereist. Bei seiner Verhaftung am 7. November 2013 habe er sich in Begleitung eines Mannes befunden, dem seinerseits ein Einbruchdiebstahl (in eine Bijouterie) vorgeworfen werde. Es sei auch eine allfällige Beteiligung des Beschwerdeführers an diesem Einbruch und an weiteren ungeklärten Straftaten abzuklären. Diesbezüglich bestehe zwar noch kein konkreter Tatverdacht gegen ihn, aber "immerhin ein stark erhöhter abstrakter Verdacht". Aus entsprechenden zusätzlichen Abklärungen könnten sich möglicherweise Informationen ergeben, welche den dringenden Tatverdacht bezüglich der genannten Delikte der Jahre 2007 und 2008 zusätzlich untermauern.
4.1.2. Bezüglich der untersuchten Einbruchdiebstähle der Jahre 2007 und 2008 ist ein hinreichender Tatverdacht von Verbrechen (im Sinne von <ref-law>) dargetan. Der Beschwerdeführer bringt dagegen keine substanziierten Einwände vor (vgl. <ref-law>). Dass die Zwangsmassnahmenrichterin beiläufig erwägt, es bestehe zudem noch ein "stark erhöhter abstrakter Verdacht" für allfällige weitere Delikte, lässt den angefochtenen Entscheid im Ergebnis nicht als bundesrechtswidrig erscheinen.
4.2. Auch die Argumentation des Beschwerdeführers, es fehle an einer Deliktskonnexität zwischen dem sichergestellten Mobiltelefon und den untersuchten Straftaten, hält einer Prüfung nicht stand. Zwar wendet er ein, das Mobiltelefon und die SIM-Karten seien erst nach 2008 erworben worden. Damit fällt jedoch die Untersuchungsrelevanz der fraglichen Dateien nicht dahin. Insbesondere ist für die Strafverfolgungsbehörde von Interesse, mit wem der Beschwerdeführer nach dem untersuchten Delikt an Ostern 2008 (und insbesondere vor und nach seiner Wiedereinreise in der Schweiz bzw. vor seiner Verhaftung am 7. November 2013) Kontakt gehabt hat (vgl. dazu oben, E. 4.1.1). Ausserdem können Kontaktdaten von Personen, die an den untersuchten Delikten der Jahre 2007 und 2008 beteiligt waren, auch auf erst nach 2008 erworbene Mobiltelefone und SIM-Karten übertragen worden sein. Von einer unzulässigen Beweisausforschung kann bei dieser Sachlage keine Rede sein.
4.3. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers steht der streitigen Entsiegelung schliesslich weder ein absolutes Beschlagnahme- und Durchsuchungshindernis entgegen, noch ein relatives im Sinne von <ref-law>:
4.3.1. Zwar macht der Beschwerdeführer geltend, Mobiltelefonen komme "teilweise" die Funktion eines Tagebuchs zu und "Tagebücher und Ähnliches" dürften zum Vornherein nicht beschlagnahmt werden. Mobiltelefone und SIM-Karten unterliegen jedoch keinem absoluten Beschlagnahme- und Durchsuchungsverbot, wenn der hinreichende Verdacht besteht, dass die fraglichen Geräte zur Vorbereitung und Ausführung von Straftaten verwendet wurden oder ihre Durchsuchung sonstwie der Verbrechensaufklärung dient (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 194; Urteile 1B_503/2012 vom 25. Januar 2013 E. 2-5; 1B_492/ 2011 vom 2. Februar 2012 E. 6.3). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass und inwiefern er das sichergestellte Handy ausschliesslich als intimes Tagebuch verwendet hätte. Insofern ist seine Rüge, es bestehe hier ein absolutes Beschlagnahme- und Durchsuchungshindernis, nicht ausreichend substanziiert (vgl. <ref-law>).
4.3.2. Die Vorinstanz hat die Durchsuchung von persönlichen Aufzeichnungen und Korrespondenz des Beschwerdeführers aus dem Fernmeldeverkehr bewilligt (insbesondere von Telefon-Verbindungsdaten, Rufnummern und SMS-Korrespondenz). Diesbezüglich bestünde ein (relatives) gesetzliches Durchsuchungshindernis nur, wenn das Interesse des Beschuldigten am Schutz seiner Persönlichkeit und Privatsphäre das Strafverfolgungsinteresse überwiegt (<ref-law>). Diese Voraussetzung ist hier nicht erfüllt. Dem Beschwerdeführer wird die Teilnahme an gewerbsmässigen Einbruchdiebstählen mit einem Deliktsbetrag von (mindestens) Fr. 710'000.-- vorgeworfen. Überwiegende Gründe des Persönlichkeitsschutzes sind hier weder dargetan, noch ersichtlich. Das blosse Interesse des Beschuldigten, dass der Tatverdacht gegen ihn möglichst nicht weiter untersucht werde, begründet kein überwiegendes und schützenswertes Geheimhaltungsinteresse im Sinne des Gesetzes.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Da die Voraussetzungen von <ref-law> ausreichend dargetan sind, ist das Gesuch zu bewilligen.
Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde hinfällig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen:
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Dem amtlichen Verteidiger des Beschwerdeführers, Advokat Dr. Nicolas Roulet, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- (pauschal, inkl. MWSt) ausgerichtet.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster