Faits:
A. A._ a été engagé par la Municipalité de la Commune de Cugy (ci-après: la municipalité) comme employé communal polyvalent à partir du 1er septembre 1988 sur la base d'un contrat de droit privé, conformément à ce que prévoyait un règlement communal alors en vigueur. A compter du 1er mai 2000, il a été soumis à un nouveau statut du personnel communal adopté par le Conseil communal de la Commune de Cugy le 27 mai 1999 et approuvé ensuite par le Conseil d'Etat du canton de Vaud. Ce statut s'applique à tous les collaborateurs salariés de la commune (art. 1.1). Il prévoit la compétence de la municipalité pour le licenciement (art. 8), pour le renvoi pour justes motifs (art. 9) ainsi que pour un cas spécial de licenciement, intitulé "suppression de fonction" et réglé à l'art. 10 dans les termes suivants:
"L'employé communal peut être licencié avec six mois de préavis, pour la fin d'un mois, lorsque sa fonction est supprimée et qu'il n'est pas possible de lui trouver, dans l'administration communale, une autre situation correspondant à ses capacités."
B. Par une décision du 21 décembre 2006, la municipalité a signifié à A._, qui avait été promu entre-temps chef d'équipe de la voirie, son renvoi pour justes motifs, conformément à l'art. 9 du statut du personnel. Elle a mis fin immédiatement aux rapports de travail, retenant à l'encontre de l'intéressé qu'il avait réalisé, sur les heures de travail, une activité de sciage de bois de feu à la demande de plusieurs habitants de la commune, en encaissant directement et en conservant la rémunération pour le travail fourni. Il lui était également reproché de n'avoir jamais exposé cette manière de faire à la municipalité.
A._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal administratif). Ce tribunal, par un arrêt rendu le 19 juillet 2007, a admis le recours et annulé la décision de la municipalité. En substance, il a considéré que les motifs invoqués par l'employeur étaient assurément sérieux mais pas d'une importance telle qu'ils eussent pu justifier un licenciement avec effet immédiat, sans aucun avertissement. En outre, selon cet arrêt, la municipalité, qui avait eu connaissance des faits litigieux avant le mois de novembre 2006, avait tardé à prononcer le licenciement immédiat.
Le 13 septembre 2007, la Commune de Cugy a formé contre cet arrêt un recours constitutionnel subsidiaire, que le Tribunal fédéral a rejeté par un arrêt rendu le 15 mai 2008 (arrêt 1D_13/2007).
C. Le 1er octobre 2007 (soit après l'arrêt du Tribunal administratif mais avant l'arrêt du Tribunal fédéral), la municipalité a pris la décision de réorganiser le Service technique communal et de supprimer le poste de chef de voirie. Le 25 octobre 2007, A._ a recouru auprès du Tribunal administratif contre cette décision, en tant qu'elle supprimait la fonction de chef de voirie (affaire GE.2007.0205).
Par décision du 22 octobre 2007, la municipalité a prononcé le licenciement de A._ pour le 30 avril 2008, à la suite de la suppression de la fonction de chef de voirie. Le 12 novembre 2007, A._ a recouru contre cette décision au Tribunal administratif en dénonçant principalement un congé abusif (affaire GE.2007.0221).
Les causes GE.2007.0205 et GE.2007.0221 ont été jointes et, dès le 1er janvier 2008, elles ont été traitées par la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud qui a succédé au Tribunal administratif. Par un arrêt rendu le 25 août 2008, cette juridiction a déclaré irrecevable le recours formé contre la décision municipale du 1er octobre 2007 et a rejeté le recours formé contre la décision municipale du 22 octobre 2007, en confirmant cette décision. Elle a considéré en substance que la mesure de réorganisation de l'administration communale ne portait pas encore en elle-même atteinte à la situation juridique du recourant - donc qu'un recours dirigé contre cette mesure était irrecevable - mais que cette réorganisation, invoquée comme motif de licenciement, pouvait être examinée indirectement dans le cadre du recours déposé contre la décision municipale du 22 octobre 2007. A ce propos, elle a retenu que les conditions de l'art. 10 du statut du personnel communal étaient remplies.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et par celle du recours constitutionnel subsidiaire, A._ demande au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du Tribunal cantonal en ce sens que la fonction de chef de voirie auprès de la commune de Cugy est maintenue, qu'il continue à être employé communal en qualité de chef de l'équipe communale de la voirie, et donc qu'il n'est pas licencié. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de l'affaire au Tribunal cantonal pour nouvelle décision.
La Commune de Cugy conclut à l'irrecevabilité du recours constitutionnel et au rejet du recours en matière de droit public, dans la mesure où il est recevable. La Cour de droit administratif et public se réfère à son arrêt.

Considérant en droit:
1. La décision attaquée a été rendue dans une cause de droit public, au sens de l'<ref-law>, les rapports de travail entre la commune et ses employés étant régis par le droit public. La voie du recours en matière de droit public (<ref-law>) est donc en principe ouverte. Le recours a été formé en temps utile (cf. <ref-law>). L'employé licencié, qui a participé à la procédure devant le Tribunal cantonal, a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>.
L'art. 83 let. g LTF dispose que le recours en matière de droit public est irrecevable "contre les décisions en matière de rapports de travail de droit public qui concernent une contestation non pécuniaire, sauf si elles touchent à la question de l'égalité des sexes". Il ne s'agit pas en l'espèce d'une contestation non pécuniaire puisque les conclusions du recourant tendent à sa réintégration dans l'administration communale et donc au versement de son salaire. La valeur litigieuse de 15'000 fr. est à l'évidence atteinte (<ref-law>). Dans ces conditions, les griefs doivent tous être traités dans le cadre du recours ordinaire en matière de droit public (<ref-law>), le recours constitutionnel subsidiaire étant par conséquent irrecevable (cf. <ref-law>).
2. Le recourant soutient que la juridiction cantonale aurait dû entrer en matière sur ses griefs dirigés contre la décision, respectivement la mesure de réorganisation, prise le 1er octobre 2007, et qu'elle aurait dû l'annuler pour arbitraire et violation du principe de la bonne foi. Il se plaint à ce propos d'un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 Cst., d'une violation de l'art. 29 de la loi cantonale sur la juridiction de la procédure administratives (LJPA/VD), qui définit la notion de décision, et encore d'une violation des <ref-law> et 8 CC.
En l'espèce, le Tribunal cantonal a contrôlé l'application de l'art. 10 du statut du personnel communal en considérant qu'il lui appartenait de revoir les circonstances dans lesquelles la fonction de chef de voirie avait été supprimée. D'après l'arrêt attaqué, la décision de réorganisation est un acte interne et il est nécessaire de garantir un contrôle judiciaire lorsque cette mesure est invoquée pour justifier un licenciement.
Le recourant ne prétend pas avoir été empêché d'obtenir un contrôle judiciaire adéquat de la mesure d'organisation dans le cadre de la contestation de la décision de licenciement. Comme cette décision a été prise directement après la réorganisation, les deux recours au Tribunal cantonal ont pu être joints. On ne voit pas en quoi la solution de l'arrêt attaqué violerait les garanties minimales de l'art. 29 Cst. puisque, sur le fond, les critiques visant la réorganisation litigieuse ont été examinées (s'agissant plus spécialement du grief tiré du refus d'entendre des témoins, cf. infra, consid. 4.1).
Le recourant se plaint encore à ce propos d'une violation du droit cantonal de procédure, soit de l'art. 29 LJPA/VD, qui définit la décision administrative dans des termes analogues à ceux de l'<ref-law>. Comme le recours est formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), l'application de cette norme ne peut être revue que sous l'angle de l'arbitraire. Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une règle ou un principe juridique clair et indiscuté ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle est insoutenable ou en contradiction évidente avec la situation effective, si elle a été adoptée sans motif objectif ou en violation d'un droit certain. Par ailleurs, il ne suffit pas que les motifs de la décision attaquée soient insoutenables, encore faut-il que celle-ci soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités). Dans le cas particulier, il n'est pas arbitraire de ne pas voir, dans la mesure de réorganisation prise le 1er octobre 2007, une décision susceptible de recours dès lors que la décision de licenciement a elle-même pu être contestée, y compris à propos de la réorganisation invoquée comme motif de renvoi.
Enfin, l'<ref-law> ne s'applique pas dans une procédure administrative cantonale. Quant à l'<ref-law>, il est sans pertinence dans ce contexte.
3. Le recourant reproche à la municipalité d'avoir prononcé à son encontre un licenciement conditionnel, lié au sort de sa précédente résiliation du 21 décembre 2006. Il soutient que le Tribunal cantonal, en écartant ses griefs à ce sujet, a rendu une décision arbitraire qui viole gravement l'<ref-law>.
Dans l'arrêt attaqué, la Cour de droit administratif et public a considéré que la décision de la municipalité du 22 octobre 2007 était une "résiliation claire, destinée à prendre effet à une date précise, simplement assortie de précisions rendues nécessaires par la configuration particulière des faits dans le cas d'espèce". La "configuration particulière" dont il est question résulte du premier arrêt du Tribunal administratif, qui avait annulé un licenciement fondé sur une autre disposition du statut du personnel communal (renvoi immédiat pour justes motifs), et d'une procédure de recours pendante devant le Tribunal fédéral au moment où le licenciement litigieux a été prononcé (cause 1D_13/2007).
L'<ref-law>, invoqué par le recourant, dispose que "le contrat de durée indéterminée peut être résilié par chacune des parties". D'autres dispositions du code des obligations fixent alors des délais de congé (<ref-law>). On ne voit pas quel argument le recourant entend tirer de ces normes du droit privé, dès lors que la municipalité a exercé sans réserve son droit formateur, découlant de la réglementation de droit public applicable, en prononçant le 22 octobre 2007 un licenciement fondé sur l'art. 10 du statut du personnel communal.
On peut certes se demander quelles auraient été les conséquences juridiques d'une admission, par le Tribunal fédéral, du recours de la commune dans la cause 1D_13/2007. Peut-être une telle décision aurait-elle rendu sans effet, juridiquement ou pratiquement, le congé signifié ultérieurement. Peu importe toutefois car ce second congé n'était pas conçu par la Commune de Cugy comme un acte conditionnel, que l'une ou l'autre partie aurait pu retirer ou annuler. L'interprétation de la Cour de droit administratif et public n'est, sur ce point, pas arbitraire.
4. Le recourant critique les motifs de son licenciement, en faisant valoir qu'il s'agirait d'un pur congé-représailles. Il invoque les normes du droit privé sur la protection contre les congés abusifs (<ref-law>). Ces normes ne sont toutefois pas directement applicables dans la présente contestation. En outre, en droit privé, la sanction d'un congé abusif n'est pas une réintégration dans la fonction (<ref-law>); or tel est l'objet des conclusions du recourant en l'espèce. Cela étant, seuls les griefs de violation du droit fédéral applicable dans la présente contestation - en l'occurrence du droit constitutionnel fédéral, qui doit être respecté dans les cas d'application du droit public cantonal - entrent en considération.
4.1 L'arrêt attaqué expose en détail les circonstances dans lesquelles une réorganisation du service technique communal est intervenue. Ces faits ne sont pas critiqués de manière concluante par le recourant. Celui-ci se plaint d'une violation de son droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. parce que le Tribunal cantonal n'a pas cité les témoins dont il avait requis l'audition. Or ces témoins étaient censés fournir la preuve du mauvais état d'entretien des voies communales depuis la réorganisation du service de la voirie. Cet élément n'était a priori pas pertinent pour la question à résoudre, à savoir l'existence d'éléments objectifs propres à justifier la mise en place d'une nouvelle direction de l'équipe de voirie (notamment la suppression d'une structure à trois échelons - cf. consid. 4c de l'arrêt attaqué), puisque notamment il se rapporte à des circonstances postérieures. Selon la jurisprudence, le droit d'être entendu consacré à l'art. 29 al. 2 Cst. comprend le droit de faire administrer des preuves, notamment de faire entendre des témoins. Mais ce droit suppose que le fait à prouver soit pertinent, que le moyen de preuve proposé soit nécessaire pour constater ce fait et que la demande soit présentée selon les formes et délais prescrits par le droit cantonal. La garantie constitutionnelle n'empêche pas le juge de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, la certitude qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion (cf. notamment <ref-ruling> consid. 5.3 p. 148; <ref-ruling> consid. 3 p. 157). Tel est le cas en l'espèce, de sorte que le droit d'être entendu du recourant n'a pas été violé.
4.2 Sur le fond, l'arrêt attaqué expose de manière convaincante les enjeux de la réorganisation du service technique communal, ainsi que le fait que, dans la nouvelle organisation, aucun poste de travail correspondant à la formation, aux capacités et aux voeux du recourant (qui veut être employé à plein temps) ne pouvait lui être offert. Il résiste en définitive au grief d'arbitraire.
5. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (art. 65 al. 1 et 66 al. 1 LTF). La Commune de Cugy, bien qu'obtenant gain de cause avec l'assistance d'un avocat, n'a pas droit à des dépens (<ref-law>; <ref-ruling>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 19 janvier 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier:
Féraud Parmelin