Faits:
A. A._ s'est trouvé en détention provisoire le 3 avril 2012, sous la prévention d'escroquerie par métier, subsidiairement d'utilisation frauduleuse d'un ordinateur par métier. Sa détention provisoire a été régulièrement prolongée par le Tribunal des mesures de contrainte du canton de Vaud (Tmc), en dernier lieu pour une durée de trois mois jusqu'au 3 janvier 2013.
Le 18 octobre 2012, A._ a demandé au Ministère public de l'arrondissement de Lausanne (ci-après: le Ministère public) de bénéficier du régime d'exécution anticipée de la peine. Le 26 octobre 2012, le Ministère public a autorisé l'intéressé à exécuter sa peine de manière anticipée (<ref-law>). Une copie de cette décision a été envoyée au défenseur d'office de l'intéressé.
Le 4 janvier 2013, A._ a présenté au Ministère public une demande de mise en liberté immédiate. Celui-ci l'a transmise au Tribunal des mesures de contrainte, qui, par ordonnance du 14 janvier 2013, l'a rejetée.
Le prénommé a été renvoyé en jugement par acte du 7 janvier 2013. La date des débats a été appointée au 10 avril 2013.
Par acte du 24 janvier 2013, A._ a recouru auprès de la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) à la fois contre la décision du Ministère public du 26 octobre 2012 autorisant l'exécution anticipée de la peine et contre l'ordonnance du 14 janvier 2013 du Tmc. Par arrêt du 30 janvier 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours. Il a considéré en substance que le recours contre la décision du 26 octobre 2012 était tardif. Il a aussi jugé que la détention préventive du prénommé avait pris fin le 30 octobre 2012 au moment où il avait commencé à exécuter sa peine de manière anticipée et que, de ce fait, il avait perdu tout intérêt à voir ses conditions de détention examinées périodiquement d'office.
B. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral de constater que la décision du Ministère public du 26 octobre 2012 autorisant l'exécution anticipée de la peine est nulle, de réformer l'arrêt du 30 janvier 2013, de "constater que sa détention est devenue illégale à partir du 4 janvier 2013 et d'ordonner que la légalité de sa détention soit immédiatement rétablie". Il requiert également l'assistance judiciaire.
Le Ministère public conclut au rejet du recours. Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer et se réfère aux considérants de sa décision.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière pénale (<ref-law>) est ouvert contre une décision relative à la détention au titre d'exécution anticipée de la peine au sens de l'<ref-law> (RS 312.0). Formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision prise en dernière instance cantonale (<ref-law>) et qui touche le recourant dans ses intérêts juridiquement protégés (art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF), le recours en matière pénale est recevable.
2. La poursuite de la détention sous la forme de l'exécution anticipée de la peine présuppose l'existence d'un motif de détention provisoire particulier. Or, une mesure de détention provisoire n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et art. 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'<ref-law>. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par les besoins de l'instruction, un risque de fuite ou un danger de collusion ou de réitération (cf. art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP). Préalablement à ces conditions, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes, soit de sérieux soupçons de culpabilité (<ref-law>; art. 5 par. 1 let. c CEDH).
3. Le recourant ne prétend pas que les conditions énumérées à l'<ref-law> ne seraient pas réalisées en l'espèce. Il affirme que la décision du 26 octobre 2012 autorisant l'exécution anticipée de sa peine est nulle et non avenue, en raison d'un vice de volonté.
A cet égard, le Tribunal cantonal a relevé que le défenseur d'office du recourant figurait parmi les destinataires de l'autorisation d'exécution anticipée de peine que le Ministère public avait adressée le 26 octobre 2012 à l'Office d'exécution des peines. Il a aussi souligné qu'il ressortait des pièces de forme consignées au dossier que l'avocat avait consulté le dossier le 19 novembre 2012. Il en a déduit que, dans l'hypothèse extraordinaire où la décision du 26 octobre 2012 ne serait pas parvenue au défenseur du recourant, il fallait conclure que celui-ci avait pris connaissance de l'acte litigieux au plus tard le 19 novembre 2012; le délai de recours de 10 jours au sens de l'<ref-law> avait donc commencé à courir le 20 novembre 2012 et avait expiré le 29 novembre suivant; déposé le 24 janvier 2013, le recours était largement tardif et par conséquent irrecevable.
Le recourant ne met pas en cause cette argumentation. Il insiste sur le fait que la demande d'exécution anticipée de la peine doit être formée librement et expressément par un détenu qui en comprenne la portée. Il avance avoir signé un formulaire en français de demande d'exécution de peine en le motivant en anglais par ces mots: "I need some money to buy my personal stuff". Il prétend qu'au moment de la signature de ce formulaire, il ne disposait d'informations à son sujet ni de la part du personnel administratif de la prison ni de la part de son conseil. Il se plaint du manque de diligence de la direction de la procédure à cet égard.
Ses critiques ne peuvent être suivies, dans la mesure où le recourant est assisté d'un mandataire professionnel depuis sa mise en détention en avril 2012. Or, on peut raisonnablement exiger d'un avocat qu'il renseigne son client sur le régime de l'exécution anticipée de peine, et, lorsqu'il a connaissance de la décision du Ministère public autorisant le prévenu à exécuter sa peine de manière anticipée, qu'il réagisse - si cela correspond aux intérêts de son client (cf. <ref-law>) - en recourant contre cette décision dans le délai légal. Dans ces conditions, c'est à juste titre que le Tribunal cantonal a retenu que le recours contre la décision du 26 octobre 2012, déposé seulement le 24 janvier 2013, était tardif.
4. Le recourant soutient également que l'exécution anticipée de peine dont il bénéficie ne dispense pas la direction de la procédure de solliciter périodiquement la prolongation de la détention provisoire notamment en raison de la systématique du CPP qui traite de l'exécution anticipée de peine au chapitre 3 intitulé "Privation de liberté, détention provisoire et détention pour des motifs de sûreté". Il prétend aussi que sa détention ne repose sur aucun titre de détention depuis le 4 janvier 2013.
4.1 Dans un arrêt récent, le Tribunal fédéral a traité de la question du contrôle périodique automatique de la détention au titre d'exécution anticipée de peine au sens de l'<ref-law> (arrêt 1B_81/2013 du 14 mars 2013 consid. 4, destiné à la publication). Il a d'abord rappelé que la détention provisoire s'achève lorsque le prévenu commence à purger sa sanction privative de liberté de manière anticipée (art. 220 al. 1 2ème hypothèse CPP). Il a ensuite considéré que, dans la mesure où le détenu avait donné son consentement pour exécuter sa peine de manière anticipée, il avait par là même renoncé à certains des droits que lui confère l'art. 5 CEDH, dont celui au contrôle périodique automatique de sa détention. Il a enfin précisé que le prévenu a la possibilité de solliciter en tout temps sa mise en liberté, en vertu des art. 31 al. 4 Cst. et 5 ch. 4 CEDH .
4.2 En l'occurrence, la détention provisoire du recourant a pris fin le 30 octobre 2012, date à laquelle il a commencé à exécuter sa peine de manière anticipée. Dès lors qu'il a demandé à bénéficier du régime d'exécution anticipée de sa peine et qu'il est désormais détenu à ce titre, il ne peut prétendre au contrôle périodique de sa détention, pour les motifs qui ont été exposés au considérant précédent.
Pour le reste, le recourant a en tout temps la possibilité de demander sa mise en liberté. Tant qu'il ne le demande pas, son consentement pour l'exécution anticipée de la peine est toujours valable, de sorte que la question du titre de détention ne se pose pas.
5. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Le recourant a demandé l'assistance judiciaire et les conditions en paraissent réunies puisque la question du contrôle périodique automatique de la détention au titre d'exécution anticipée de peine a été tranchée par la jurisprudence après le dépôt du présent recours (<ref-law>). Il y a lieu de désigner Me Pierre Charpié en qualité d'avocat d'office et de fixer ses honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Le recourant est en outre dispensé des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. La demande d'assistance judiciaire est admise. Me Pierre Charpié est désigné comme avocat d'office du recourant et ses honoraires, supportés par la caisse du Tribunal fédéral, sont fixés à 1'500 francs.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de l'arrondissement de Lausanne et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours pénale.
Lausanne, le 25 mars 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Aemisegger
La Greffière: Tornay Schaller