Sachverhalt:
A.
A._ (Versicherte) arbeitete ab Februar 2001 bei der Y._ AG (Arbeitgeberin) und war bei der Versicherung X._ AG (Versicherung) für ihre Tätigkeit im Rahmen einer Kollektiv-Krankentaggeldversicherung nach dem Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag (VVG) für ein Taggeld von 80 % bei einer Wartefrist von 5 Tagen versichert.
Die Versicherte, die wegen Schwangerschaft und Geburt bis zum 28. März 2005 von der Arbeitspflicht befreit gewesen war, liess für die anschliessende Zeit mit Krankheitsanzeige vom 4. April 2005 eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % anmelden. Gemäss dem behandelnden Arzt, Dr. B._, litt die Versicherte an einem lumbovertebralen Syndrom. Die Arbeitgeberin kündigte das Arbeitsverhältnis am 18. April 2005. In der Folge stellte Dr. B._ der Versicherten Arbeitsunfähigkeitszeugnisse bis zum 30. Juni 2005 aus. Danach überwies er sie an den Rheumatologen Dr. med. C._, der sie vom 1. bis 19. Juli 2005 zu 100 % arbeitsunfähig schrieb und annahm, dass ab August 2005 zumindest versuchsweise eine 50%-ige Arbeitsaufnahme möglich sein solle. Nachdem die Versicherte ihre Behandlung bei Dr. C._ abgebrochen hatte, teilte Dr. B._ der Versicherung in seinem Schreiben vom 18. August 2005 mit, er habe die Unterlagen auf Wunsch der Versicherten an das Spital Z._ geschickt und ihr erklärt, er werde ab 2. August 2005 keine weitere Arbeitsunfähigkeit attestieren, bis eine schriftliche Beurteilung des Spitals vorliege.
In seiner Aktenbeurteilung vom 24. August 2005 erachtete der beratende Arzt der Versicherung, Dr. D._, die Versicherte ab August 2005 zu 30 %, ab September 2005 zu 50 % und ab Oktober 2005 zu 100 % arbeitsfähig.
Die Klinik für Rheumatologie des Spitals Z._ kam in ihrem Bericht vom 26. September 2006 zum Ergebnis, die Versicherte leide an einem chronischen Nacken-/Schulter- und Armsyndrom sowie einem chronischen lumbovertebralen Syndrom, wobei sich ausser Myalgien keine wesentlichen Pathologien feststellen liessen. Es bestehe jedoch eine Fixierung auf die Beschwerden mit Verdacht auf Schmerzverarbeitungsstörung. Allenfalls liege eine latente depressive Entwicklung vor. Aus funktional rheumatologischer Sicht sei die Versicherte voll arbeitsfähig.
Die Versicherung stellte ihre Taggeldleistungen per 30. September 2005 ein.
Gestützt auf eine Beurteilung vom 17. März 2006 kam Dr. E._ zum Ergebnis, die Versicherte sei aufgrund einer chronischen Schmerzproblematik und einer leichten reaktiven psychischen Begleiterkrankung zu etwa 20 % in ihrer Arbeitsfähigkeit eingeschränkt.
Auf Ersuchen der Versicherten erklärte die Versicherung den Verzicht auf die Erhebung der Verjährungseinrede.
Dr. med. F._ führte in seinem Schreiben vom 8. Mai 2008 in Beantwortung eines Fragekatalogs des Rechtsvertreters der Versicherten aus, diese leide an einer somatoformen Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) sowie an einer Anpassungsstörung (ICD-10 F.43.21). Die Versicherte sei selbst bei der Betreuung ihrer dreijährigen Tochter und in der Haushaltführung auf erhebliche Mithilfe angewiesen, weshalb auch im angestammten Bereich eine volle Arbeitsunfähigkeit bestehe.
Unter Berufung auf diesen Bericht ersuchte die Versicherte die Versicherung mit Schreiben vom 14. Mai 2008 um Ausrichtung der Taggeldleistungen rückwirkend ab 4. März 2005 für die seit Jahren andauernde Arbeitsunfähigkeit aufgrund einer somatoformen Schmerzstörung erheblicher Schwere.
In seinem Schreiben vom 9. April 2011 gab Dr. F._ ergänzend an, bei der Versicherten finde sich aufgrund der Dauer und Folgen der Grunderkrankung eine intermittierende depressive Symptomatik im Sinne einer Anpassungsstörung. Es handle sich um ein chronifiziertes und fixiertes Geschehen, wobei die therapeutischen Möglichkeiten erschöpft seien.
In der Folge bat die Versicherung die Versicherte mehrfach um Unterzeichnung einer Ermächtigung zur Einholung weiterer Daten. Die Versicherte unterzeichnete diese Ermächtigung nicht.
B.
Am 3. August 2011 klagte die Versicherte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich gegen die Versicherung unter Vorbehalt des Nachklagerechts auf Zahlung von Krankentaggelder in der Höhe von Fr. 40'000.-- zuzüglich Zins von 5 % ab dem 18. April 2005.
In ihrer Replik vom 22. Februar 2012 präzisierte die Versicherte, dass sie mit ihrer Teilklage im Sinne von <ref-law> den Taggeldanspruch nach dem 30. September 2005 für 12,3 Monate geltend mache.
Das Sozialversicherungsgericht wies die Klage mit Urteil vom 21. Dezember 2012 ab.
C.
Die Versicherte (Beschwerdeführerin) erhebt Beschwerde in Zivilsachen mit den Begehren, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts vom 21. Dezember 2012 aufzuheben und die Versicherung (Beschwerdegegnerin) anzuweisen, die Taggeldleistungen bis zum (recte: nach dem) 30. September 2005 im Umfang von Fr. 40'000.-- zu bezahlen. Zudem sei der Beschwerdeführerin für das erstinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung zuzusprechen.
Eventuell sei die Sache zur Neuabklärung und Einholung eines gerichtlichen Urteils (recte: Gutachtens) an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Zudem ersuchte die Beschwerdeführerin um Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels.
Die Vorinstanz verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne.
Die Beschwerdeführerin hat eine Replik und die Beschwerdegegnerin eine Duplik eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Zu beurteilen ist die Leistungspflicht aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 12 Abs. 2 und 3 des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) dem Versicherungsvertragsgesetz vom 2. April 1908 (VVG; SR 221.229.1).
Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 441 f. mit Hinweis).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>). Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hat als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> entschieden, weshalb die Beschwerde in vermögensrechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> unabhängig von der Erreichung der Streitwertgrenze nach <ref-law> zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2).
1.3. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist - unter Vorbehalt rechtsgenüglicher Rügen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten.
1.4. Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (<ref-law>). Eine Beschwerdeergänzung kommt einzig für Beschwerden auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen in Betracht (<ref-law>). Eine Nachfrist zur Verbesserung einer ungenügenden Begründung wird nicht angesetzt (<ref-ruling> E. 2.4). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die Beschwerdeführerin die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47; Urteil 4A_744/2011 vom 12. Juli 2012 E. 2.2). Soweit die Beschwerdeführerin in ihrer Replik ergänzende Begründungen vorträgt oder weitere Rechtsverletzungen rügt, können ihre Ausführungen daher nicht berücksichtigt werden. Dies gilt namentlich bezüglich der Ausführungen in der Replik zur antizipierten Beweiswürdigung.
1.5. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130, 397 E. 1.5 S. 401; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Der Beschwerdeführer, der sich auf eine Ausnahme von der Bindung des Bundesgerichts an die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz beruft und den Sachverhalt gestützt darauf berichtigt wissen will, kann sich nicht damit begnügen, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Vielmehr muss er substanziiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen gemäss <ref-law> gegeben sind (<ref-ruling> E. 1.2 S. 187; <ref-ruling> E. 2.4 S. 466). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 466 f.).
2.
2.1. Die Vorinstanz führte aus, gemäss den massgeblichen Zusatzbedingungen für die Krankentaggeldversicherung gebe eine Arbeitsunfähigkeit von weniger als 25 % keinen Anspruch auf ein Taggeld. Nach Art. 4 der anwendbaren Allgemeinen Bedingungen (AB) für die Kollektiv-Krankenversicherung sei eine Person arbeitsunfähig, wenn sie ganz oder teilweise ausserstande sei, ihren Beruf oder eine andere zumutbare Erwerbstätigkeit auszuüben. Die Definition der Krankheit im Sinne von Art. 3 Ziff. 1 AB entspreche im Wesentlichen derjenigen in Art. 3 und 6 ATSG, weshalb die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> zur willentlichen Überwindung somatoformer Schmerzstörungen anwendbar sei.
2.2. Sodann kam die Vorinstanz zum Ergebnis, die Diagnose einer somatoformen Schmerzstörung allein vermöge, auch wenn sie mit einer psychischen Begleiterkrankung verbunden sei, ohne ärztliches Attest einer Arbeitsunfähigkeit in keinem Fall einen Taggeldanspruch zu begründen. Daran würde selbst die Verneinung der Anwendbarkeit der so genannten Überwindbarkeitsrechtsprechung auf Taggeldfälle nach VVG nichts ändern. Die Beschwerdegegnerin habe daher ihre Taggeldleistungen per 30. September 2005 einstellen dürfen. Im Einzelnen führte die Vorinstanz zusammengefasst aus, gemäss den medizinischen Akten sei ein organischer Grund für die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Schmerzproblematik nicht feststellbar, weshalb aus rheumatologischer Sicht keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit bestehe. Trotz festgestellter psychischer bzw. psychosomatischer Problematik habe ab dem 1. Oktober 2005 bis zur Beurteilung von Dr. F._ am 8. Mai 2008 keiner der beteiligten Ärzte eine Arbeitsunfähigkeit von mehr als 20 % bestätigt. Die Berichte von Dr. F._ vom 8. Mai 2008 und vom 9. April 2011 genügten den Anforderungen an ein ärztliches Gutachten zweifelsfrei nicht, da seinen Antworten auf die vom Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin gestellten Fragen nicht zu entnehmen sei, auf welchen Grundlagen (Untersuchungen, medizinische Akten) er seine Beurteilung stütze und sich im Bericht keine anamnestischen Angaben, erhobene Befunde oder nachvollziehbare Begründung finde. Zudem bleibe völlig unklar, aus welchem Grund er darauf verzichtete, der Beschwerdeführerin bereits ab Dezember 2006, dem angeblichen Behandlungsbeginn, Arbeitsunfähigkeitszeugnisse einzureichen. Angesichts dieser Ungereimtheiten kommt gestützt auf die Berichte von Dr. F._ eine rückwirkende Leistungserbringung ab dem 1. Oktober 2005 nicht in Frage. Ein neuerliches Aufflammen der Krankheit bzw. eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes nach dem 30. September 2005, die bei weiterhin bestehender Versicherungsdeckung allenfalls zu einem neuen Taggeldanspruch führen würde, lasse die Beschwerdeführerin nicht geltend machen. Sie habe der Beschwerdegegnerin denn auch keine neue Krankheitsanzeige eingereicht.
2.3. Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie sei der Meinung, ihr Anspruch sei durch die vorgelegten Arztberichte hinreichend belegt. Die Vorinstanz habe den Bericht von Dr. F._ nur deshalb nicht als beweistauglich erachtet, weil dieser behandelnder Arzt sei und daher seinen Aussagen weniger Glauben geschenkt werden könne. Damit habe die Vorinstanz den Grundsatz der freien Beweiswürdigung gemäss <ref-law> verletzt, welcher verlange, dass unbesehen der Herkunft eines Gutachtens auf dessen inhaltliche Überzeugungskraft abzustellen sei. Dies habe auch bezüglich des Arztberichtes des behandelnden Psychiaters zu gelten, zumal dieser der Strafandrohung nach <ref-law> unterliege. Daher hätte die Vorinstanz den Bericht des Psychiaters inhaltlich (frei) würdigen müssen. Im März 2006 habe Dr. E._ zum ersten Mal von einer Chronifizierung berichtet, weshalb zumindest ab diesem Datum von einer Stabilisierung des Gesundheitszustandes auszugehen sei, die von Dr. F._ ab 2008 bestätigt worden sei.
2.4. Die Rüge der Verletzung des Grundsatzes der freien Beweiswürdigung ist unbegründet, weil die Vorinstanz die Berichte von Dr. F._ mangels inhaltlicher Überzeugungskraft als ungeeignet ansah, rückwirkend eine 25 % übersteigende Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdeführerin für die Zeit ab dem 1. Oktober 2005 zu beweisen. Inwiefern die Vorinstanz dabei in Willkür verfallen sein soll, zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf. Sie legt auch nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern die Vorinstanz die weiteren Arztberichte willkürlich gewürdigt haben soll.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Daraus ergibt sich das Recht, mit rechtzeitig und formgültig angebotenen Beweisanträgen und Vorbringen gehört zu werden, soweit diese erhebliche Tatsachen betreffen und nicht offensichtlich beweisuntauglich sind (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Dieses Recht ergibt sich im Bereich des Zivilrechts auch aus <ref-law> und gemäss der Rechtsprechung aus <ref-law> (Urteile 4A_264/2011 vom 14. November 2011 E. 3.2; 4A_341/2011 vom 21. März 2012 E. 2.1). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn das Gericht auf die Abnahme beantragter Beweise verzichtet, weil es aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen).
3.2. Die Vorinstanz lehnte die von der Beschwerdeführerin beantragte Anhörung von Dr. F._ und die Einholung eines polydisziplinären gerichtlichen Gutachtens in antizipierter Beweiswürdigung ab. Zur Begründung führte sie zusammengefasst aus, angesichts der festgestellten Ungereimtheiten und Unvollständigkeiten in der Beurteilung von Dr. F._ sowie angesichts der Erfahrungstatsache, dass behandelnde Ärzte oder Hausärzte im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung in Zweifelsfällen eher zu Gunsten ihrer Parteien aussagten, sei davon auszugehen, dass die Beweiskraft einer Zeugenaussage von Dr. F._ ebenfalls beschränkt wäre. Zudem sei nicht anzunehmen, dass bei der gegebenen spärlichen medizinischen Aktenlage ein aktuelles Gutachten eine beweisrechtlich verwertbare Beurteilung der Arbeitsfähigkeit der Beschwerdeführerin für einen Zeitraum vor sieben Jahren zu Tage brächte.
3.3. Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie habe behauptet, dass sich ihre Krankheit sei dem 29. März 2005 chronifiziert hätte. Anbegehrt worden sei zudem ein medizinisches Gutachten, das diese Tatsache behaupten helfen solle. Wenn ein solches Gutachten den Beweis erbringen soll, seien die Anforderungen an die Substanziierung herabgesetzt. Die Behauptungen in den Rechtsschriften der Beschwerdeführerin seien daher hinreichend klar vorgebracht worden, weshalb die Ablehnung der Beweisofferten als Verletzung des Rechts auf Beweisführung zu werten seien. Hätte die Beschwerdeführerin beweisen müssen, dass der Ursprung ihrer Krankheit in den Deckungsbereich der Versicherung falle, hätte die Zeugenaussage des behandelnden Psychiaters angehört werden sollen, der bereits am 8. Mai 2008 davon ausgegangen sei, seit Dezember 2006 sei von einer chronifizierten Erkrankung auszugehen. Er hätte damit bezeugen können, dass es sich um eine fortdauernde Erscheinung gehandelt habe, weshalb es keiner Neuanmeldung bedurft hätte. Somit habe die Vorinstanz der Beschwerdeführerin mit der Ablehnung ihrer Beweisofferten die Möglichkeit genommen zu beweisen, dass ihre Krankheit bereits während des Arbeitsverhältnisses bestanden habe, was das Recht auf Beweisführung im Sinne von <ref-law> und Art. 6 EMRK verletze.
3.4. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin zur Substanziierung sind unbeachtlich, weil die Vorinstanz die von der Beschwerdeführerin gestellten Beweisanträge nicht mangels einer ungenügenden Substanziierung der behaupteten Krankheit, sondern deshalb ablehnte, weil sie in antizipierter Beweiswürdigung zum Ergebnis kam, die beantragten Beweise vermöchten am Beweisergebnis nichts mehr zu ändern. Inwiefern diese Beweiswürdigung willkürlich sein soll, legt die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde nicht dar. Dies ist auch nicht ersichtlich, weil Dr. F._ die Beschwerdeführerin gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen ab Dezember 2006 behandelte und er daher betreffend den für die Teilklage massgebenden Zeitraum vom 1. Oktober 2005 bis etwa Mitte Oktober 2006 aus eigener Wahrnehmung keine Angaben hätte machen können. Zudem legt die Beschwerdeführerin nicht dar, auf welche aussagekräftigen Grundlagen sich ein Gutachter bezüglich dieses nun schon rund sieben Jahren zurückliegenden Zeitraums hätte abstützen können.
4.
Nach dem Gesagten kommt den vorinstanzlichen Erwägungen zur Anwendbarkeit der Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> auf Taggeldansprüche nach VVG und der Verletzung der Mitwirkungsobliegenheiten der Beschwerdeführerin keine entscheiderhebliche Bedeutung zu. Auf die dagegen gerichtete Kritik der Beschwerdeführerin ist demnach nicht einzutreten.
5.
Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der nicht durch externe Anwälte vertretenen Beschwerdegegnerin ist mangels eines besonderen Aufwandes praxisgemäss keine Parteientschädigung zuzusprechen (Urteil 4A_585/2010 vom 2. Februar 2011 E. 5.2 mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Gelzer