Sachverhalt:
A. Im Zusammenhang mit experimentellen Messungen einer Forschergruppe unter der Leitung von Prof. Dr. A._ an der ETH Zürich (ETHZ) zwischen 1997 und 2000 und wissenschaftlichen Publikationen unter Verwendung der Messergebnisse kam der Verdacht der Datenmanipulation auf, worauf die ETHZ eine Untersuchungskommission einsetzte. Diese gelangte in ihrem Bericht vom 15. Juli 2009 zum Ergebnis, der Verdacht müsse bestätigt werden. Am 15. September 2009 fasste die ETH-Schulleitung den Beschluss, den Bericht der Untersuchungskommission zu veröffentlichen, und nahm vom Rückzug verschiedener Publikationen und der Dissertation von X._, Mitglied der Forschergruppe von A._, Kenntnis. Daraufhin beantragte X._ mit Eingabe vom 18. September 2009 an die ETH-Beschwerdekommission namentlich, superprovisorisch und provisorisch die Veröffentlichung des Untersuchungsberichts zu untersagen und den Beschluss der ETH-Schulleitung aufzuheben. Am 21. September 2009 erweiterte X._ sein Gesuch um den Erlass vorsorglicher Massnahmen mit dem Antrag auf Rückzug einer Medienmitteilung betreffend den Rücktritt von A._ als Vizepräsident und Forschungschef der ETHZ. Mit weiterem Schreiben vom 6. Oktober 2009 ergänzte X._ seine Eingabe betreffend den Schulleitungsbeschluss und stellte zusätzliche Begehren.
Die ETH-Beschwerdekommission leitete die Angelegenheit mit Verfügung vom 21. September 2009 zuständigkeitshalber an das Bundesverwaltungsgericht weiter. Dieses nahm die Eingaben von X._ als Beschwerde entgegen und erliess am 21. September 2009 eine erste Zwischenverfügung, womit es vom vorläufigen Verzicht der ETHZ auf Veröffentlichung des Untersuchungsberichts Kenntnis nahm und der ETHZ superprovisorisch untersagte, bis auf Weiteres Informationen betreffend den Namen oder die Dissertation von X._ bekanntzugeben. Am 22. September 2009 erliess das Bundesverwaltungsgericht eine zweite Zwischenverfügung, worin es auf die aufschiebende Wirkung der Eingaben hinwies, den weiteren Beteiligten Frist zur Stellungnahme einräumte und X._ zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.-- bis zum 13. Oktober 2009 aufforderte (Ziff. 3 der Verfügung), unter Androhung des Nichteintretens für den Fall der Nichtbezahlung innert Frist (Ziff. 4 der Verfügung).
B. X._ bezahlte den Kostenvorschuss erst nach Ablauf der Frist am 21. Oktober 2009. Mit Eingabe vom 23. Oktober 2009 erhob er Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht (Verfahren 2C_703/2009) mit dem Antrag, die Ziffern 3 und 4 der Zwischenverfügung vom 22. September 2009 aufzuheben und festzustellen, dass er keinen Kostenvorschuss schulde, eventualiter, dass dieser fristgerecht geleistet worden sei, subeventualiter, die Vorinstanz zur Ansetzung einer neuen Frist anzuhalten. In der Begründung wird geltend gemacht, die Frist sei nicht angemessen gewesen, verletze die Rechtsweggarantie, sei überspitzt formalistisch und verstosse gegen das Verhältnismässigkeitsprinzip. Im Weiteren beantragte der Beschwerdeführer, das Verfahren einzustellen, bis das Bundesverwaltungsgericht über das mittlerweile eingereichte Fristwiederherstellungsgesuch entschieden habe.
Mit Verfügung vom 28. Oktober 2009 gab der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung dem Sistierungsbegehren statt.
C. Mit Zwischenverfügung vom 23. November 2009 wies das Bundesverwaltungsgericht die Gesuche um Wiederherstellung der Frist bzw. Ansetzung einer Nachfrist ab. Hiergegen reichte X._ am 8. Januar 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht ein (Verfahren 2C_22/2010). Er beantragt die Aufhebung der Fristanordnungen in der angefochtenen Verfügung und die Rückweisung der Angelegenheit, eventuell die Feststellung der fristgerechten Bezahlung des Kostenvorschusses bzw. die Ansetzung einer Nachfrist, subeventuell die Wiederherstellung der Frist. In der Begründung erhebt der Beschwerdeführer weitgehend die gleichen Verfassungsrügen wie in der Beschwerde vom 23. Oktober 2009.
D. Mit Verfügung vom 21. Januar 2010 nahm der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Verfahren 2C_703/2009 wieder auf.
In ihrer Beschwerdeantwort vom 24. März 2010 beantragt die ETHZ, beide Beschwerden abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei bzw. die Anträge nicht gegenstandslos geworden seien. Das Bundesverwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerden (Eingabe vom 18. Februar 2010). Mit Replikschreiben vom 5. Mai 2010 hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest, ebenso wie die ETHZ in ihrer Duplik vom 14. Juli 2010. Der vom Bundesverwaltungsgericht beigeladene A._ hat auf eine Stellungnahme verzichtet (Eingaben vom 2. September 2010).

Erwägungen:
1. Beide Beschwerden betreffen das gleiche vor dem Bundesverwaltungsgericht hängige Verfahren und zum Teil die gleichen Rechtsfragen, und es stehen sich auch die nämlichen Beteiligten gegenüber. Es rechtfertigt sich deshalb, die beiden Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-ruling> E. 1 S. 217; <ref-ruling> E. 1 S. 194).
2. 2.1 Die Beschwerden richten sich gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts (<ref-law>) in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Ein Ausschlussgrund gemäss <ref-law> liegt weder für die Hauptsache noch für die streitbetroffenen Gegenstände vor. Allerdings schliessen die angefochtenen Zwischenverfügungen das Verfahren nicht ab, sondern betreffen nur prozessuale Pflichten im vorinstanzlichen Verfahren (Leistung eines Kostenvorschusses). Es handelt sich daher nicht um Endentscheide, sondern bloss um Zwischenentscheide (vgl. Art. 90 und 93 BGG). Gegen derartige Entscheide steht die Beschwerde an das Bundesgericht nur offen, wenn entweder die Voraussetzungen von Art. 92 oder diejenigen von <ref-law> erfüllt sind. <ref-law> lässt die Anfechtung eines Zwischenentscheids beim Bundesgericht zu, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Dabei muss es sich - entsprechend dem Begriff des Nachteils im Sinne von Art. 87 OG - um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Entscheid in der Zukunft nicht mehr behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 3.1 S. 87; <ref-ruling> E. 3.1 S. 291). Diese Voraussetzung ist hinsichtlich der Verweigerung der Fristwiederherstellung erfüllt, schliesst diese doch ein günstiges Prozessergebnis von vornherein aus. In Bezug auf die angefochtene Kostenvorschussverfügung ist die erwähnte Bedingung ebenfalls gegeben, sofern die Ablehnung der Fristwiederherstellung stand hält; diese Frage ist daher zuerst zu prüfen. Die Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind im umschriebenen Sinne zulässig. Der Beschwerdeführer ist durch die angefochtenen Verfügungen in schutzwürdigen Interessen betroffen und zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>).
2.2 Die ETHZ zieht die rechtzeitige Einreichung der Beschwerde betreffend die Fristwiederherstellung in Zweifel. Sie argumentiert, der Kostenvorschuss und damit auch die Wiederherstellung stünden in Zusammenhang mit einem Verfahren um den Erlass vorsorglicher Massnahmen. In derartigen Verfahren finde die Vorschrift über den Fristenstillstand gemäss <ref-law> keine Anwendung. Da der Beschwerdeführer den Stillstand der Fristen über Weihnachten/Neujahr einbezogen habe (<ref-law>), erweise sich seine Beschwerde als verspätet.
Wie es sich mit der Frist zur Anfechtung eines negativen Entscheids betreffend die Fristwiederherstellung verhält, wenn eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in Frage steht und es (nur) um vorsorgliche Massnahmen geht, kann hier offen bleiben. Der Beschwerdeführer hat seine Eingabe vom 18. September 2009 an die ETH-Beschwerdekommission zwar als "Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen" überschrieben, darin aber auch die Aufhebung des Schulleitungsbeschlusses vom 15. September 2009 verlangt (Rechtsbegehren Ziff. 4), also ein Begehren gestellt, das auf definitive Regelung eines Rechtsverhältnisses abzielt. Die Ergänzungen vom 21. September 2009 (Entfernung einer Medienmitteilung) und 6. Oktober 2009 (Feststellungsbegehren) streben im Wesentlichen ebenfalls definitive und nicht bloss vorsorgliche Anordnungen an. Geht es in der Sache aber (auch) um definitive Festlegungen und wird der Kostenvorschuss für das gesamte Verfahren eingefordert - in diesem Sinne muss die Zwischenverfügung vom 22. September 2009 verstanden werden - so findet für die Berechnung der Frist zur Anfechtung eines Fristwiederherstellungsentscheids <ref-law> Anwendung. Die Beschwerde im Verfahren 2C_22/2010 ist deshalb ebenfalls rechtzeitig erhoben worden.
2.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Mit einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine vorinstanzliche Feststellung und die ihr zugrundeliegende Beweiswürdigung nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht; zudem muss aufgezeigt werden, dass die Behebung des Mangels für das Verfahren entscheidend sein kann (<ref-law>). Für Rügen betreffend die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft Rügen über die Anwendung solcher Normen nur, soweit sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
3. 3.1 Das Bundesverwaltungsgericht hat sich für die Beurteilung des Fristwiederherstellungsgesuchs auf Art. 24 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021) i.V.m. Art. 37 des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesverwaltungsgericht (VGG; SR 173.32) gestützt. Danach wird eine Frist wieder hergestellt, wenn der Gesuchsteller oder sein Vertreter unverschuldeterweise abgehalten worden ist, binnen Frist zu handeln, sofern er unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt.
Das Bundesverwaltungsgericht hat offen gelassen, ob der Beschwerdeführer das Versäumte noch innert 30 Tagen seit dem Wegfallen des Hinderungsgrundes nachgeholt habe. Er sei jedenfalls nicht unverschuldet an der Fristwahrung gehindert worden. In tatsächlicher Hinsicht hat die Vorinstanz festgehalten, der Beschwerdeführer habe nach der Rückkehr aus den Ferien am 23. September 2009 einen grossen Stapel Post zum Manipulationsfall an der ETHZ vorgefunden und sei sehr unter Druck geraten, da er aufgrund der Medienberichterstattung (auch zum Rücktritt von A._) mit Anfragen überhäuft worden sei. Er habe die Post erst am 25. September 2009 sichten, einen Ordner anlegen und die zum Fall gehörende Post ablegen können. Dabei habe er übersehen, dass nicht nur am 21. September 2009 eine erste, sondern am 22. September 2009 noch eine zweite Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts (u.a. betreffend den Kostenvorschuss) ergangen sei. Er habe diese zweite Verfügung - in der Meinung, es handle sich um die selbe Zwischenverfügung - ungelesen in den Ordner eingelegt und auch die beigeheftete Rechnung und den Übermittlungszettel seiner Rechtsanwältin (mit der Aufforderung zur Bezahlung des Kostenvorschusses) nicht bemerkt. Da er am 23. September 2009 seiner Anwältin einen Kostenvorschuss überwiesen habe, sei diese davon ausgegangen, er habe beide Vorschüsse einbezahlt, und in späteren Telefongesprächen sei das Missverständnis nicht offenbar geworden. Das Bundesverwaltungsgericht hat aus diesen Geschehnissen den Schluss gezogen, der Beschwerdeführer habe sich ohne Zutun anderer geirrt und diesen Irrtum selber zu verantworten. Er sei nicht arbeitsunfähig und trotz der belastenden Situation in der Lage gewesen, seiner Rechtsvertreterin am 23. September 2009 einen Kostenvorschuss zu leisten. Die Hektik habe sich am 25. September 2009 gelegt und es wäre ihm daher ohne Weiteres möglich gewesen, die eingegangene Post noch einmal in Ruhe zu sichten. Auch die Rechtsvertreterin habe sich nur ungenügend vergewissert, ob der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss bezahlt habe, und sei deshalb mitverantwortlich.
3.2 Der Beschwerdeführer argumentiert, er habe unmittelbar nach seiner Rückkehr aus den Ferien (am 23. September 2009) und am Folgetag unzählige und dringliche Anfragen (insbesondere von Medien und Bekannten) beantworten und Dispositionen (namentlich am Arbeitsplatz und mit seiner Rechtsvertreterin) besprechen und treffen müssen, da die Angelegenheit in den Medien bereits thematisiert und er verschiedentlich als der Schuldige an den verfälschten Messergebnissen bezeichnet worden sei. Er sei mit seinen Nerven am Ende und übermüdet gewesen; die Sache habe ihn stark belastet. Als er am 25. September 2009 endlich die Post gesichtet, geordnet und abgelegt habe, sei er physisch und psychisch völlig erschöpft gewesen. Deshalb sei ihm nicht aufgefallen, dass zwei Zwischenverfügungen ergangen seien. Selbst die Bezugnahme darauf mit Nennung der unterschiedlichen Daten in seiner (von der Rechtsvertreterin verfassten) ergänzenden Rechtsschrift vom 6. Oktober 2009 habe ihm seinen Irrtum nicht bewusst werden lassen. Er sei sich dessen erst Gewahr geworden, als er - nach Fristablauf - am 21. Oktober 2009 auf den Kostenvorschuss angesprochen worden sei. Die Unterlassung sei auf die psychische Extrembelastung zurückzuführen, die ihn in seiner (Selbst-)Wahrnehmungs- und Handlungsfähigkeit äusserst stark eingeschränkt habe. Seine Rechtsvertreterin habe aus dem Umstand, dass er trotzdem offenbar allen seinen Pflichten nachkam und unter anderem einen Vorschuss an sie leistete, geschlossen, er sei Herr der Lage. Sie habe deshalb keinen Anlass gehabt, sich detaillierter als nur in allgemeiner Form über die Vorschussleistungen zu vergewissern. Mithin liege eine Verstrickung von objektiven und subjektiven Gründen vor, die jeder für sich allein, aber zumindest in ihrer Kumulation die Säumnis entschuldigten.
3.3 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kann gestützt auf die bundesrechtlichen Verfahrensbestimmungen (namentlich auch auf <ref-law>) nur auf Fristwiederherstellung erkannt werden, wenn die Säumnis auf ein unverschuldetes Hindernis, also auf die Unmöglichkeit, rechtzeitig zu handeln, zurückzuführen ist (Urteil 1P.123/2005 vom 14. Juni 2005 E. 1.2, in: ZBl 107/2006 S. 391 mit Verweisungen, auch zum Folgenden). Eine Säumnis kann auf objektiver oder subjektiver Unmöglichkeit zum zeitgerechten Handeln beruhen, wobei von subjektiver Unmöglichkeit dann gesprochen wird, wenn die Vornahme einer Handlung objektiv betrachtet an sich möglich gewesen wäre, aber wegen besonderer Umstände, die in der fraglichen Person liegen, unterlassen worden ist. Entschuldigt wird die Säumnis nur, wenn seitens des Handlungspflichtigen kein Verschulden - auch keine bloss leichte Fahrlässigkeit - vorliegt bzw. die Umstände, welche von der Fristwahrung abhielten, nicht von der handlungspflichtigen Person zu verantworten sind. Dies ergibt sich bereits aus dem eindeutigen Gesetzeswortlaut ("unverschuldeterweise", "sans sa faute", "senza sua colpa"). Es gilt somit ein strenger Massstab; nur klare Schuldlosigkeit des Gesuchstellers und seines Vertreters können zur Fristwiederherstellung führen. Insbesondere stellt ein auf Unachtsamkeit zurückzuführendes Versehen kein unverschuldetes Hindernis dar (Urteil 2P.343/1990 vom 7. Oktober 1991 E. 4b), auch dann nicht, wenn grosse Geschäftslast geltend gemacht wird (<ref-ruling> E. 4 S. 352). Zudem vermag ein Hindernis eine Unterlassung grundsätzlich nur so lange zu rechtfertigen, als es andauert bzw. den Handlungspflichtigen vom Handeln abhält (vgl. <ref-ruling> E. 2).
3.4 Aus den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz ergibt sich, dass die Säumnis auf eine Unachtsamkeit des Beschwerdeführers zurückgeht, was dieser auch zugibt. Er hat die am 22. September 2009 ergangene Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts, mit der er zur Einzahlung eines Kostenvorschusses angehalten wurde, mit einer tags zuvor ergangenen Zwischenverfügung der gleichen Instanz verwechselt. Wenn er sich in den ersten Tagen nach der Rückkehr aus den Ferien (am 23. September 2009) aufgrund der geschilderten Umstände in einer psychischen Ausnahmesituation befunden haben mag, so verblieb ihm doch genügend Zeit, um die während der Stressphase getroffenen oder unterlassenen Dispositionen zu überprüfen. Schon relativ rasch, am 25. September 2009, liess der Druck etwas nach und konnte er die Post sichten, sortieren und einordnen. Selbst in der Zeit der schlimmsten Anspannung hat er aber nie die Kontrolle über die Lage verloren (er war am Arbeitsplatz präsent und erfüllte dort und allgemein die sich stellenden prioritären Aufgaben). Er musste sich Gewahr werden, dass er im Zusammenhang mit den als weniger dringlich betrachteten Aufgaben möglicherweise einiges nicht mit der nötigen Konzentration und Sorgfalt angegangen war, und dies nachholen. Insbesondere hätte die gebotene Sorgfalt verlangt, dass er nach der Druckphase die Post, welche die Angelegenheit bzw. das Verfahren betraf, das ihn so stark beschäftigte, noch einmal durchging. Dabei hätte er den begangenen Fehler ohne Weiteres entdecken müssen, zumal verschiedene Umstände das Entdecken des begangenen Irrtums begünstigten (gut erkennbares unterschiedliches Datum auf den Zwischenverfügungen, Übermittlungszettel der Rechtsanwältin, beigeheftete Rechnung, Telefongespräch mit der Rechtsanwältin, eigene Rechtsschrift vom 6. Oktober 2009, in der auf beide Zwischenverfügungen Bezug genommen wurde). Für eine solche Nachkontrolle verblieb ihm reichlich Zeit (ca. zwei Wochen). Es kann deshalb nicht gesagt werden, die starke Belastung unmittelbar nach den Ferien habe ihn während der ganzen Frist daran gehindert, mit der gebotenen Sorgfalt zu handeln. Vielmehr muss sich der Beschwerdeführer entgegenhalten lassen, dass er es an der pflichtgemässen Sorgfalt mangeln liess, selbst als keine Ausnahmesituation mehr bestand, aber fristgerechtes Handeln noch möglich war. Zu Recht ist die Vorinstanz deshalb zum Ergebnis gelangt, die Fristversäumnis sei verschuldet bzw. von ihm zu verantworten.
3.5 Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, das Bundesverwaltungsgericht habe eine Gehörsverletzung begangen, weil es verschiedene Rügen nicht behandelt habe. Es habe namentlich die Einwände betreffend eine verfassungs- und EMRK-konforme Auslegung von <ref-law>, die Angemessenheit der angesetzten Frist zur Leistung des Kostenvorschusses, die Rechtsweggarantie, das Verbot des überspitzten Formalismus und die Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips nicht geprüft und dadurch seine Prüfungsbefugnis massiv unterschritten.
Es trifft zu, dass die Vorinstanz im Zusammenhang mit diesen Rügen auf das beim Bundesgericht anhängig gemachte Beschwerdeverfahren betreffend die Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses mit Androhung der Nichteintretensfolge (Zwischenverfügung vom 22. September 2009; vgl. E. 4 hiernach) verwiesen hat. Es trifft ebenfalls zu, dass der Beschwerdeführer alle diese Rügen schon in seiner Beschwerde gegen die genannte Zwischenverfügung erhoben hat. Die Einwände betreffen denn auch richtig besehen die Anwendung von <ref-law> (Kostenvorschusspflicht) und nicht diejenige von <ref-law> (Fristwiederherstellung). Diese Vorschrift regelt die Wiedereinsetzung in alle Fristen, nicht nur in die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses, und kann deshalb nicht bloss im Blick auf spezifische Aspekte der Vorschusspflicht ausgelegt werden. Unter diesen Umständen kann der Vorinstanz nicht vorgeworfen werden, sie habe Rügen nicht geprüft, welche die Voraussetzungen der Fristwiederherstellung angingen und dadurch eine Gehörsverletzung begangen.
3.6 Eine Nachfristansetzung bei unbegründeten Fristwiederherstellungsgesuchen sehen weder das VwVG noch die Gerichtspraxis vor, und sie entspricht auch nicht einem allgemeinen Rechtsgrundsatz. Derartige Rechtsfolgen würden das Fristwiederherstellungsverfahren recht eigentlich überflüssig machen und widersprechen dem Sinn und Zweck der Regelung. Aus dem gleichen Grund kann eine verspätet erfolgte Zahlung nicht als rechtzeitig betrachtet werden, wie es der Beschwerdeführer eventualiter beantragt.
Die Beschwerde gegen die Zwischenverfügung vom 23. November 2009 (Verfahren 2C_22/2010) erweist sich somit als unbegründet.
4. 4.1 Mit der Zwischenverfügung vom 22. September 2009 hat die Vorinstanz den Beschwerdeführer aufgefordert, bis zum 13. Oktober 2009 einen Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- zu leisten (Ziff. 3) und ihn ausdrücklich darauf aufmerksam gemacht, im Falle des Nichtleistens des Kostenvorschusses innert der angesetzten Frist werde auf die Beschwerde unter Kostenfolge nicht eingetreten (Ziff. 4). Sie hat sich dabei auf Art. 63 Abs. 4, 4bis und 5 VwVG i.V.m. Art. 37 VGG gestützt, wonach die Beschwerdeinstanz vom Beschwerdeführer einen Kostenvorschuss in der Höhe der mutmasslichen Verfahrenskosten erhebt, wobei der Gebührenrahmen in Streitigkeiten ohne Vermögensinteresse Fr. 100.-- bis Fr. 5'000.-- beträgt. Die Bestimmung legt weiter fest, dass zur Leistung des Kostenvorschusses eine angemessene Frist anzusetzen ist unter Androhung des Nichteintretens.
4.2 Der Beschwerdeführer rügt in seiner Beschwerde gegen diese Zwischenverfügung (Verfahren 2C_703/2009) zunächst, die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses sei nicht angemessen gewesen, weil sie kürzer gewesen sei als die Frist zur Erhebung einer Beschwerde gegen den Kostenvorschuss. Dies sei widersprüchlich und unhaltbar, verstosse gegen die Rechtsweggarantie von <ref-law>, das Verbot des überspitzten Formalismus (<ref-law>) und den Grundsatz der Verhältnismässigkeit.
4.3 Die in <ref-law> vorgesehene Angemessenheit bezieht sich ausschliesslich auf den Zeitraum zur Vorschussleistung. Dem Beschwerdeführer, dessen Zahlungsfähigkeit vermutet wird, muss unter Berücksichtigung der Erfordernisse des Verfahrens genügend Zeit zur Verfügung gestellt werden, um den geforderten Betrag verfügbar machen und überweisen zu können. Problematisch sind deshalb kurze Fristen von wenigen Tagen. Die erwähnte Norm stellt jedoch keine Koordinationsvorschrift in dem Sinne dar, dass die Frist dann als angemessen zu bezeichnen ist, wenn sie auf andere in der gleichen Periode anzusetzende oder laufende Fristen abgestimmt ist. Die verschiedenen fristgebundenen Vorkehren in einem Verfahren verfolgen unterschiedliche Zwecke und die dazu bestimmten Fristen müssen den jeweiligen Zwecken entsprechen, nicht notwendigerweise aber auch untereinander korrespondieren; sie können grundsätzlich unabhängig voneinander festgesetzt werden. Bei der Fristansetzung zur Leistung des Kostenvorschusses steht dem Richter ein erheblicher Ermessensspielraum zu. Innerhalb dieses Spielraums kann er den Verfahrensumständen Rechnung tragen. Demgegenüber ist die Frist zur Anfechtung der Kostenvorschussverfügung gesetzlich vorbestimmt (<ref-law>) und richterlicher Einflussnahme entzogen. Sie läuft unabhängig von den richterlichen Dispositionen. Umgekehrt existiert auch keine Verpflichtung des Richters, die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses auf die gesetzliche Rechtsmittelfrist zur Anfechtung seiner Anordnung betreffend den Kostenvorschuss abzustimmen. Er kann dies tun, muss es aber nicht. Sollte er sachwidrig auf eine (aus besonderen Gründen in einem Einzelfall gebotene) Abstimmung der Fristen verzichten bzw. eine unangemessen kurze Frist ansetzen, stehen der zur Vorschussleistung verpflichteten Partei Mittel zur gebührenden Wahrung ihrer Rechte zur Verfügung: Sie kann eine Fristerstreckung beantragen, wenn sie eine längere Frist benötigt (<ref-law>, <ref-law>), um Verzicht auf die Vorschussleistung ersuchen, wenn besondere Gründe vorliegen (<ref-law>, <ref-law>), die unentgeltliche Rechtspflege verlangen, wenn sie innert nützlicher Frist nicht über den erforderlichen Betrag verfügt (<ref-law>, <ref-law>) oder schliesslich die Kostenvorschussverfügung anfechten, wenn diese sich als rechtsfehlerhaft erweist und ihr ein nicht wieder gutzumachender Nachteil droht (<ref-law>, <ref-law>). Eine übermässige Erschwernis des Zugangs zum Gericht bzw. eine überspitzt formalistische oder unverhältnismässige Regelung resultiert aus dieser Fristenordnung nicht, und es kann auch nicht gesagt werden, eine verfassungs- und EMRK-konforme Auslegung gebiete ein anderes Verständnis des Begriffs der Angemessenheit. Dem Beschwerdeführer standen die vor dem Bundesverwaltungsgericht üblichen 20 Tage (MICHAEL BEUSCH, in: Kommentar VwVG, Auer/Müller/Schindler [Hrsg.], Rz 21 [Fn 37] zu <ref-law>) zur Verfügung. Er macht nicht geltend, die Frist sei zur Vornahme der geforderten Handlungen zu kurz bemessen gewesen, und es ist auch in keiner Weise ersichtlich, inwiefern dies hätte der Fall sein sollen. Die Länge der Frist war zudem nicht kausal für seine Säumnis. Er hätte selbst eine längere Frist unbenutzt verstreichen lassen, da ihn nur noch ein Zufall auf die begangene Unachtsamkeit hätte aufmerksam machen können. Bei dieser Sachlage kann von einer unangemessenen (zu kurzen) Frist zur Leistung des Kostenvorschusses nicht die Rede sein.
4.4 Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, es hätte ihm zumindest eine kurze Nachfrist angesetzt werden müssen. Dies entspreche einem allgemeinen Rechtsgrundsatz, der sich in <ref-law> niedergeschlagen habe, und auch verfassungs- und konventionskonformer Auslegung sowie dem Verhältnismässigkeitsprinzip, welches insbesondere verlange, dass der zu gewärtigende Rechtsverlust gegen das Interesse an der Fristeinhaltung abgewogen werde.
4.4.1 Der Beschwerdeführer behauptet zu Recht nicht, die Vorinstanz habe die massgebende Gesetzesvorschrift (<ref-law>) falsch angewendet. Diese sieht insbesondere die Androhung der Nichteintretensfolge für den Fall der Säumnis vor, nicht aber die Ansetzung einer Nachfrist. Dass sich eine Verpflichtung hierzu aus einem allgemeinen Rechtsgrundsatz ergebe, trifft nicht zu. Die erwähnte Bestimmung ist erst vor relativ kurzer Zeit überarbeitet und mit der Pflicht zur Androhung des Nichteintretens ergänzt worden (vgl. Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4207 ff., 4410 f. und 4560). Im bundesrätlichen Entwurf wurde eine gleichlautende Vorschrift für das Beschwerdeverfahren vor dem Bundesgericht vorgeschlagen und eine Nachfrist ausdrücklich ausgeschlossen (BBl 2001 4304 und 4493). Dies entsprach im Wesentlichen der bisher geltenden Regelung von Art. 150 Abs. 4 OG (JEAN-FRANÇOIS POUDRET, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, Bd. V, 1992, N. 4 zu Art. 150). Zwar haben die eidgenössischen Räte in der Folge für das Beschwerdeverfahren vor dem Bundesgericht in den Art. 62 Abs. 3 bzw. 63 Abs. 2 BGG eine andere Regelung (mit Nachfristansetzung) beschlossen (AB 2003 S 898; 2004 N 1593), was sich als Ausgleich für die fehlende Anfechtungsmöglichkeit einer Kostenvorschussverfügung des Bundesgerichts erklären lässt. Für das Bundesverwaltungsgericht wurde aber der bundesrätliche Vorschlag ohne Nachfristansetzung übernommen. Vor diesem Hintergrund kann nicht mit Fug behauptet werden, die Nachfristansetzung bei verpasster Frist zur Leistung des Kostenvorschusses entspreche einem allgemeinen Rechtsgrundsatz und müsse auch dort zum Zuge kommen, wo das Gesetz ausdrücklich keine Nachfrist, sondern die Androhung des Nichteintretens vorsieht.
4.4.2 Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers verstösst eine derartige Regelung sodann nicht gegen die Rechtsweggarantie, das Verbot des überspitzten Formalismus, den Verhältnismässigkeitsgrundsatz und das Gebot verfassungskonformer Auslegung. Zunächst ist daran zu erinnern, dass die rechtsanwendenden Behörden von einer klar formulierten Vorschrift, deren Wortlaut auch dem Sinn und Zweck der Regelung entspricht, nicht abweichen dürfen (Anwendungsgebot; <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 221). Wenn eine Norm zwar als streng erscheinen mag, aber vom Bundesgesetzgeber so gewollt ist und innerhalb des diesem eröffneten Regelungsermessens liegt, bleibt für Verhältnismässigkeitsüberlegungen oder eine Interessenabwägung im Einzelfall kein Raum. Insbesondere wäre es verfehlt, die Vorschrift nur dann anwenden zu wollen, wenn der mit der Säumnis verbundene Rechtsverlust für den Betroffenen nicht als wesentlich erscheint, wie der Beschwerdeführer vorschlägt. Eine derartige Betrachtungsweise würde im Übrigen mit den Geboten der Rechtsgleichheit und der Rechtssicherheit in Konflikt geraten. Gewiss mag der Ausschluss einer Nachfrist bei Nichtleisten des Kostenvorschusses innert der vom Bundesverwaltungsgericht angesetzten Frist als hart empfunden werden. Es lassen sich jedoch namhafte sachliche Gründe für eine Regelung finden, wie sie der Bundesgesetzgeber in <ref-law> getroffen hat, so etwa eine effiziente, auf Beschleunigung ausgerichtete Verfahrensführung. Es kann daher auch nicht gesagt werden, die Rechtsweggarantie von <ref-law> (und Art. 6 EMRK) in der Ausprägung des effektiven Zugangs zum Gericht (vgl. JÖRG PAUL MÜLLER/MARKUS SCHEFER, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl. 2008, S. 915 f., mit Verweisungen) werde durch den Ausschluss einer Nachfrist verletzt. Der Anspruch auf gerichtliche Beurteilung steht nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts unter dem Vorbehalt der üblichen Sachurteilsvoraussetzungen (Urteil 1C_323/2008 vom 27. März 2009 E. 4.5), zu denen insbesondere auch die rechtzeitige Bezahlung des gerichtlich festgelegten Kostenvorschusses gehört (Urteile 1C_330/2008 vom 21. Oktober 2008 E. 3.1; 2C_532/2007 vom 9. Oktober 2007 E. 2.3). Wenn <ref-law> korrekt angewendet worden ist (formrichtige Eröffnung der Kostenvorschussverfügung, angemessene Frist zur Vorschusszahlung, nicht übersetzter Betrag, übliche Zahlungsmodalitäten, konkreter Hinweis auf die Säumnisfolgen), was hier zutrifft, ist deshalb mit dem Hinweis auf die Rechtsweggarantie nichts zu gewinnen. Ebensowenig hilft unter diesen Voraussetzungen die Anrufung des Verbots des überspitzten Formalismus, auch nicht, wenn der Normzweck durch nachträgliche Einzahlung letztlich erreicht worden ist; denn beim Verzicht auf die Ansetzung einer Nachfrist handelt es sich nicht um eine rigorose, sachlich nicht begründete oder treuwidrige Anwendung einer Prozessrechtsvorschrift (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9 mit Hinweisen), sondern um eine vom Bundesgesetzgeber gewollte und wie erwähnt durchaus übliche und zulässige Schranke des Zugangs zum Bundesverwaltungsgericht.
5. Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, er sei Opfer einer fortgesetzten Rechtsverweigerung durch die ETHZ gewesen und durch deren Verhalten zur Beschwerdeführung gezwungen worden. Die Vorinstanz hätte dies berücksichtigen und auf die Erhebung eines Kostenvorschusses verzichten sollen.
5.1 Die Erhebung eines Kostenvorschusses liegt nicht im Belieben des Bundesverwaltungsgerichts. Dieses ist gehalten, grundsätzlich von allen Beschwerdeführern einen Vorschuss in der Höhe der mutmasslichen Verfahrenskosten zu erheben (<ref-law>; Urteil 2C_521/2008 vom 22. Juli 2008, E. 3). Es kann gemäss <ref-law> nur dann ganz oder teilweise auf die Erhebung des Kostenvorschusses verzichten, wenn besondere Gründe vorliegen. Diese speziellen Umstände müssen einen Bezug zur Vorschussleistung haben und sind vom Beschwerdeführer darzutun (Urteile 2A.536/2005 vom 16. September 2005, E. 3; 2C_521/2008 vom 22. Juli 2008, E. 3).
5.2 In seinen Rechtsschriften an die ETH-Beschwerdekommission bzw. das Bundesverwaltungsgericht hat der Beschwerdeführer zwar die besonderen Verfahrensumstände ausführlich dargestellt, dabei aber keinen Bezug zur Vorschusspflicht hergestellt und auch keine Dispensation von der Vorschussleistung verlangt. Er legt auch in der Beschwerde nicht dar, weshalb die Vorschussleistung für ihn mit besonderen Schwierigkeiten (z.B. wegen Liquiditätsproblemen) verbunden gewesen sein sollte, sondern stellt im Wesentlichen bloss Billigkeitsüberlegungen an. Vor diesem Hintergrund war es der Instruktionsrichterin des Bundesverwaltungsgerichts unbenommen, wie üblich im Rahmen des ihr zustehenden erheblichen Ermessens über die Vorschussleistungspflicht zu befinden. Indem sie den Kostenvorschuss auf Fr. 1'000.-- festsetzte, zahlbar innert der üblichen Frist von 20 Tagen (vgl. E. 4.3 hiervor), hat sie von ihrem Ermessen nicht rechtsfehlerhaft Gebrauch gemacht. Der Beschwerdeführer wendet denn auch nicht ein, die Bezahlung dieses Betrages zu den festgesetzten Bedingungen sei für ihn mit derartigen Inkommoditäten verbunden gewesen, dass die Anordnung der Instruktionsrichterin als Verstoss gegen die einschlägigen oder bestimmte höherrangige Vorschriften betrachtet werden müsse. Die Beschwerde erweist sich daher auch in diesem Punkt als unbegründet.
6. 6.1 Es versteht sich schliesslich von selbst und bedarf keiner näheren Begründung, dass die verspätete Leistung des Vorschusses auch im Zusammenhang mit den Vorbringen im Verfahren 2C_703/2009 nicht als rechtzeitig erfolgt gelten kann (vgl. dazu insbes. E. 3.6 hiervor), und dass keine gesetzliche Basis und damit auch kein Anlass zur subeventualiter beantragten Rückweisung der Angelegenheit zwecks Ansetzung einer neuen Frist besteht (vgl. dazu auch oben E. 4.4).
6.2 Damit wird deutlich, dass der Beschwerdeführer mit seiner Argumentation im Verfahren 2C_703/2009 ebenfalls nicht durchdringt und die Beschwerde abzuweisen ist.
7. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Besondere Gründe, die eine andere Verteilung oder einen Verzicht auf Kostenüberbindung gebieten würden, sind weder dargetan worden noch ersichtlich. Da die ETHZ in ihrem amtlichen Wirkungskreis gehandelt hat, steht ihr keine Parteientschädigung zu (<ref-law>). Der weitere Beteiligte A._ hat auf eine Stellungnahme verzichtet und ebenfalls keinen Anspruch auf Parteikostenersatz.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 2C_703/2009 und 2C_22/2010 werden vereinigt.
2. Die Beschwerde im Verfahren 2C_22/2010 wird abgewiesen.
3. Die Beschwerde im Verfahren 2C_703/2009 wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich, A._ und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Winiger