Sachverhalt:
A.
A._ wurde am 4. April 2014 vom Strafgericht Basel-Stadt wegen Diebstahl, Sachbeschädigung, Hehlerei, Übertretung des Waffengesetzes und mehrfacher Übertretung nach <ref-law> (SR 812.121) zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 2,5 Jahren verurteilt; eine am 4. März 2011 bedingt ausgesprochene Freiheitsstrafe von 18 Monaten wurde für vollziehbar erklärt.
Seit dem 29. August 2013 befindet sich A._ aufgrund dieses Strafverfahrens in Untersuchungs- bzw. Sicherheitshaft. Mit Beschluss vom 4. April 2014 ordnete das Strafgericht die Verlängerung der Sicherheitshaft bis zum 27. Juni 2014 an. Mit Entscheid vom 15. Mai 2014 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 13. Juni 2014 beantragt A._, der Entscheid des Appellationsgerichts sei aufzuheben und er selbst sei sofort aus der Sicherheitshaft zu entlassen, eventualiter unter Anordnung einer Ersatzmassnahme.
Das Appellationsgericht und das Strafgericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet, ebenso die Staatsanwaltschaft. Letztere legt ihrem Schreiben einen Auszug aus dem deutschen Zentralregister bei, wonach der Beschwerdeführer am 4. Oktober 2007 wegen Raub, räuberischer Erpressung, gefährlicher Körperverletzung und weiteren Delikten zu einer Jugendstrafe verurteilt wurde. Der Beschwerdeführer hat sich dazu nicht mehr vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts betrifft die Verlängerung der Sicherheitshaft. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> gegeben. Der Beschwerdeführer nahm vor der Vorinstanz am Verfahren teil und befindet sich nach wie vor in Haft bzw. nun im vorzeitigen Strafvollzug. Er ist deshalb nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Nach <ref-law> sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft unter anderem zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entzieht (Abs. 1 lit. a). An ihrer Stelle sind Ersatzmassnahmen anzuordnen, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen (Art. 212 Abs. 2 lit. c und Art. 237 ff. StPO).
Der Beschwerdeführer bestreitet den dringenden Tatverdacht nicht. Er macht hingegen geltend, es bestehe keine Fluchtgefahr.
2.2. Beim Haftgrund der Fluchtgefahr gemäss <ref-law> geht es um die Sicherung der Anwesenheit der beschuldigten Person im Verfahren. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts braucht es für die Annahme von Fluchtgefahr eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass sich die beschuldigte Person, wenn sie in Freiheit wäre, dem Vollzug der Strafe durch Flucht entziehen würde. Im Vordergrund steht dabei eine mögliche Flucht ins Ausland, denkbar ist jedoch auch ein Untertauchen im Inland. Bei der Bewertung, ob Fluchtgefahr besteht, sind die gesamten konkreten Verhältnisse zu berücksichtigen. Es müssen Gründe bestehen, die eine Flucht nicht nur als möglich, sondern als wahrscheinlich erscheinen lassen. Die Schwere der drohenden Strafe darf als Indiz für Fluchtgefahr gewertet werden, genügt jedoch für sich allein nicht, um den Haftgrund zu bejahen (<ref-ruling> E. 3a S. 62 mit Hinweisen). Miteinzubeziehen sind die familiären und sozialen Bindungen, die berufliche und finanzielle Situation und die Kontakte zum Ausland (Urteil 1B_424/2011 vom 14. September 2011 E. 4.1 mit Hinweis). Selbst bei einer befürchteten Reise in ein Land, welches die beschuldigte Person grundsätzlich an die Schweiz ausliefern bzw. stellvertretend verfolgen könnte, ist die Annahme von Fluchtgefahr nicht ausgeschlossen (Urteil 1B_422/2011 vom 6. September 2011 E. 4.2 mit Hinweis).
2.3. Die Vorinstanz führt zur Fluchtgefahr zusammengefasst aus, dem Beschwerdeführer drohe aufgrund der Verurteilung zu 2,5 Jahren Freiheitsstrafe und der hinzukommenden, nun vollziehbar erklärten 18 Monate Freiheitsstrafe auch unter Berücksichtigung der erstandenen Haft eine erhebliche Sanktion. Dies bilde einen starken Anreiz zur Flucht. Dass der Beschwerdeführer sich in einem früheren Verfahren während zwei Monaten den Behörden zur Verfügung gehalten habe, ohne zu fliehen, spreche nicht gegen die Fluchtgefahr. Damals habe er nämlich noch mit einer bedingten Strafe rechnen können.
Hinsichtlich der wirtschaftlichen und sozialen Bindung an die Schweiz sei festzuhalten, dass der Beschwerdeführer über keine Ausbildung verfüge und im Zeitpunkt der Verhaftung auch nicht gearbeitet habe. Sein Bruder sei derzeit in Haft und werde demnächst in ein Massnahmenzentrum für junge Erwachsene überwiesen. Auch die Mutter habe keinen festen Wohnsitz in der Schweiz, sie pendle zwischen der Schweiz, Deutschland und Marokko hin und her. In Deutschland, wo auch sein Onkel lebe, habe der im Jahr 1990 geborene Beschwerdeführer die prägende Zeit als Kind und Jugendlicher verbracht. Erst mit 18 Jahren sei er in die Schweiz gekommen. Zu den Verwandten im Tessin, auf welche er sich berufe, habe er dem Anschein nach keine enge Beziehung. In den Einvernahmen und an der Hauptverhandlung habe er sie nie erwähnt und es gebe auch keine Hinweise darauf, dass er während der Haft mit ihnen Kontakt gehabt habe. Die Beziehung zu seiner Freundin scheine auch eher vage. Er selbst gebe an, dass sie bereits fünf Jahre zusammen seien, während die Freundin von drei Jahren spreche. Angesichts von lediglich drei zu den Akten gegebenen Briefen, die sie ihm innerhalb von einem knappen Jahr geschrieben habe, könne von einem intensiven Briefverkehr zudem keine Rede sein. Dies gelte auch für den einzigen aktenkundigen Freund. Schliesslich sei auch zu berücksichtigen, dass die im Falle einer Haftentlassung in Aussicht genommene Wohnsituation schwierig erscheine. Die Erbschaft von der Grossmutter väterlicherseits, auf die sich der Beschwerdeführer stütze, habe er offensichtlich mit Miterben zu teilen und es sei noch völlig offen, ab wann daraus Einkünfte fliessen würden. Zudem müsse er daraus auch seine Schulden bezahlen. Die betreffende Liegenschaft werde wohl durch eine Drittperson verwaltet werden, wodurch sich die Anwesenheit des Beschwerdeführers in der Schweiz erübrige. Er lasse sich ja bereits jetzt in den Erbschaftsangelegenheiten von seiner Mutter vertreten.
2.4. Der Beschwerdeführer hält diesen Erwägungen entgegen, sein Verteidiger habe ihm im erwähnten früheren Verfahren gesagt, es bestehe das Risiko einer unbedingten Strafe. Trotzdem sei er damals nicht geflüchtet.
In wirtschaftlicher Hinsicht sei relevant, dass er trotz seiner Arbeitslosigkeit im Zeitpunkt der Inhaftierung immer wieder über eine Stelle verfügt und sein früherer Chef ihm gesagt habe, er solle sich wieder melden. Das wolle er nach seiner Haftentlassung auch tun.
In der Schweiz sei er gut verwurzelt. Er sei Schweizer Staatsbürger, im Tessin geboren und dort bis zur zweiten Primarschulklasse aufgewachsen. Als sein Vater gestorben sei, sei seine Mutter mit ihren Kindern zunächst nach Marokko, dann nach Deutschland gezogen. Bei Erreichen des Mündigkeitsalters sei er wieder in die Schweiz zurückgekehrt. Zu seinem Onkel, seiner Tante und seinem Cousin im Tessin habe er eine gute Beziehung. Er habe ihnen während der Haft nicht geschrieben, weil er mit seiner Familie eben von Angesicht zu Angesicht sprechen möchte. Es gebe für ihn keinen Grund mehr, nach Marokko zu reisen, nachdem seine Grossmutter mütterlicherseits, die dort gelebt habe, gestorben sei. Zu Deutschland habe er ebenfalls keinen Bezug mehr. In der Schweiz sei er zudem berechtigt, Arbeitslosentaggeld und Sozialhilfe zu beziehen.
Die Beziehung zu seiner Freundin sei gefestigt. Die unterschiedlichen Angaben über die Dauer seien darauf zurückzuführen, dass sie beide anfänglich Höhen und Tiefen durchlebt hätten. Er habe seine Freundin im Verfahren ursprünglich nicht erwähnt, um sie nicht hineinzuziehen. Neben den drei eingereichten Briefen habe es zudem weitere gegeben, die er ja auch zur Edition offeriert habe. Intensiver als dargestellt sei auch der Briefverkehr mit dem erwähnten Freund gewesen. Auch mit dessen Bruder sei er befreundet. Die beiden hätten ihm für den Fall der Haftentlassung denn auch Hilfe in Aussicht gestellt.
Bei einer Haftentlassung könnte er vorübergehend in der Wohnung seiner Freundin unterkommen, auch wenn diese klein sei. Anschliessend würde ihm seine Mutter eine Wohnung mieten. Vor allem sei aber bedeutsam, dass seine am 25. Oktober 2013 verstorbene Grossmutter ihm und seinem Bruder ein Grundstück in der Tessiner Gemeinde Pura vererbt habe. Dieses sei mehrere Millionen Franken wert. Nicht nur habe er dadurch eine Wohnmöglichkeit erhalten, auch könne er mit der Vermietung einzelner Wohnungen des Mehrfamilienhauses seine Schulden zurückzahlen. Diese würden sich ohnehin nur auf Fr. 15'000.-- belaufen.
2.5. Dem Beschwerdeführer droht eine Freiheitsstrafe, die deutlich länger dauert als die bisher erstandene Untersuchungshaft. Dies stellt einen wesentlichen Anreiz zur Flucht dar. Dass er sich in einem früheren Strafverfahren während zwei Monaten den Strafverfolgungsbehörden zur Verfügung hielt, beweist nicht, dass er diesem Anreiz widerstehen könnte, zumal die Aussicht auf eine unbedingte Strafe damals eher theoretisch war, während sie nun aufgrund der bereits erfolgten erstinstanzlichen Verurteilung sehr naheliegend ist.
Gegen eine Fluchtgefahr spricht die schweizerische Staatsbürgerschaft des Beschwerdeführers. Auch die sozialen Beziehungen, die er hier unterhält, mindern die Fluchtgefahr in einem gewissen Masse. Sie sind jedoch nicht sehr ausgeprägt und nach den vorinstanzlichen Feststellungen auch nicht auf die Schweiz beschränkt. Die Mutter des Beschwerdeführers pendelt danach zwischen Deutschland, der Schweiz und Marokko hin und her. Er selbst ist nicht verheiratet und hat keine Kinder; mit seiner Freundin lebt er nicht zusammen. Wie oft er mit seiner Freundin und seinen Freunden Briefkontakt hatte und weshalb ein Kontakt mit den Verwandten im Tessin bisher nicht zustande kam, ist in dieser Hinsicht nicht entscheidend.
In Bezug auf die wirtschaftliche Situation des Beschwerdeführers sind einerseits seine Erbschaft, andererseits seine berufliche Lage zu berücksichtigen. Mit seiner Erbschaft wird er wohl sehr einfach die von ihm geltend gemachten Schulden begleichen können. Andererseits ist auch zu berücksichtigen, dass er von der Erbschaft im Falle einer Flucht nicht ausgeschlossen wäre. Bereits jetzt vertritt ihn offensichtlich seine Mutter in dieser Angelegenheit. Seine berufliche Lage erscheint prekär, zumal er über keine Ausbildung verfügt und seine letzte Stelle als Hilfskoch durch unentschuldigte Abwesenheit verloren hat. Wenn ihm sein bisheriger Chef dennoch gesagt haben soll, er solle sich melden, ist darin jedenfalls noch kein konkretes Angebot einer Anstellung zu sehen.
Ausschlaggebend ist, dass die dem Beschwerdeführer drohende Strafe einen erheblichen Fluchtanreiz schafft, welcher durch die beschriebenen sozialen Bindungen und schon gar nicht durch die beruflichen Aussichten kompensiert werden können. Die schweizerische Staatsangehörigkeit vermag daran nichts zu ändern, insbesondere da der Beschwerdeführer einen grossen Teil seines bisherigen Lebens im Ausland (Deutschland und Marokko) verbrachte und auch ein Untertauchen im Inland in Betracht zu ziehen ist. Insgesamt hat die Vorinstanz den besonderen Haftgrund der Fluchtgefahr deshalb zu Recht bejaht. Es ist auch nicht zu beanstanden, dass sie die Anordnung von Ersatzmassnahmen als nicht ausreichend bezeichnete. Die vom Beschwerdeführer vorgeschlagenen Ersatzmassnahmen - Ausweis- und Schriftensperre (<ref-law>), Meldepflicht (<ref-law>) sowie durch technische Hilfsmittel überwachter Hausarrest (Art. 237 Abs. 2 lit. c i.V.m. Abs. 3 StPO) - würden eine Flucht nicht ausschliessen, sondern lediglich bewirken, dass sie Alarm auslösen und damit rasch entdeckt würde (vgl. Urteil 1B_382/2009 vom 12. Januar 2010 E. 2.5). Unter den vorliegenden Umständen ist nicht davon auszugehen, dass Ersatzmassnahmen, einzeln oder in Kombination, die Fluchtgefahr bannen könnten. Der angefochtene Entscheid ist deshalb auch insofern zu bestätigen.
3.
Die Beschwerde ist aus diesen Gründen abzuweisen.
Der Beschwerdeführer stellt sinngemäss ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Da er nach seinen eigenen Aussagen seit einigen Monaten Eigentümer einer Liegenschaft ist, die mehrere Millionen Franken wert sei, und seine Schulden lediglich Fr. 15'000.-- betragen, kann er nicht als mittellos bezeichnet werden (<ref-law>). Das Gesuch ist deshalb abzuweisen. Der Beschwerdeführer hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strafgericht, Präsidentin, der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold