Erwägungen:
1.
Die Bausektion der Stadt Zürich bewilligte mit Bauentscheid vom 20. November 2012 der Liegenschaftenverwaltung der Stadt Zürich den Umbau und die Sanierung der Wohnsiedlung "Luggwegstrasse" in Zürich-Altstetten. Das Projekt sieht unter anderem die Zusammenlegung bestehender Wohnungen vor. Auf einen von X._ dagegen erhobenen Rekurs trat das Baurekursgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 8. Februar 2013 nicht ein und wies das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab. X._ erhob gegen diesen Entscheid am 8. März 2013 Beschwerde, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 16. April 2013 abwies. Das Verwaltungsgericht führte zur Begründung zusammenfassend aus, dass die Vorinstanz mangels eines schutzwürdigen Interesses auf den Rekurs nicht eingetreten sei. Die Vorbringen des Beschwerdeführers würden sich nicht auf die baurechtliche Zulässigkeit des Projekts beziehen sondern vielmehr auf seine privatrechtliche Stellung als Wohnungsmieter der im Eigentum der Stadt Zürich stehenden Wohnsiedlung "Luggwegstrasse". Mit dem Argument der fehlenden Zweckmässigkeit bzw. Sozialverträglichkeit des Bauvorhabens und der schwierigen Lage auf dem stadtzürcherischen Wohnungsmarkt berufe sich der Beschwerdeführer nicht auf vom Baupolizeirecht geschützte Rechtsgüter, sondern auf allgemeine öffentliche Interessen. Solche Interessen vermöchten keine Rekurs- und Beschwerdelegitimation zu begründen, weshalb das Baurekursgericht zu Recht auf den Rekurs nicht eingetreten sei.
2.
X._ führt mit Eingabe vom 18. Mai 2013 (Postaufgabe 25. Mai 2013) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer vermag nicht aufzuzeigen, welche durch das Baupolizeirecht geschützten Interessen er im kantonalen Baubewilligungsverfahren verfolgt haben will. Soweit er sich vorliegend auf § 18 PBG beruft, lässt sich nichts aus dieser Bestimmung ableiten. Diese Bestimmung umschreibt die Gestaltungsgrundsätze der Richtplanung und der Beschwerdeführer legt nicht dar - und dies ist auch nicht ersichtlich - weshalb diese im beanstandeten Baubewilligungsverfahren hätten berücksichtigt werden müssen. Aus der Beschwerde ergibt sich demnach nicht, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgerichts bzw. das Urteil selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Liegenschaftenverwaltung der Stadt Zürich, der Bausektion der Stadt Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Mai 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli