Faits:
L'avocat X._ a ouvert action devant le Tribunal de première instance de Genève (15e Chambre) contre la banque Y._ SA en paiement de 385'897 fr. 30, 11'196 fr. 40 et 1'640 fr.; il demandait réparation du dommage subi suite à l'encaissement, par l'un de ses employés, de chèques falsifiés présentés à la banque. Par jugement du 30 septembre 2010, le Tribunal l'a débouté des fins de sa demande en paiement. Statuant sur appel, la Cour de justice (Chambre civile) a confirmé ce jugement.
X._ (le recourant), assisté d'un avocat, a interjeté un recours en matière civile par le dépôt d'un volumineux mémoire. Dans celui-ci, il conclut à ce qu'il plaise au Tribunal fédéral de déclarer bon, valable et recevable le recours, d'annuler et mettre à néant l'arrêt de la Cour de justice, de retourner la cause à la Cour de justice pour qu'elle statue selon le sens des considérants et de condamner Y._ SA (l'intimée) en tous les dépens.
L'intimée a conclu à ce qu'il lui soit donné acte de ce qu'elle se rapporte à justice sur la recevabilité du recours et, sur le fond, à ce que l'arrêt attaqué soit confirmé.
Le recourant a déposé des observations dans lesquelles il reprend les conclusions telles que formulées dans son recours. L'intimée s'est à son tour exprimée en soutenant, pour la première fois expressément, que le recours est irrecevable faute de conclusions au fond.
Afin que le recourant puisse se déterminer sur ce dernier argument, il lui a été fixé un délai pour présenter des observations sur le mémoire de l'intimée. Le recourant a déposé une troisième écriture dans laquelle il soutient que les sommes réclamées sont d'emblée reconnaissables au regard de la motivation du recours et explique pourquoi la cour de céans ne serait pas en mesure de statuer au fond.
A réception de cette détermination, l'intimée a protesté et requis de pouvoir elle aussi déposer une troisième écriture. Il n'a pas été donné suite à cette requête.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
1.1 Les mémoires de recours doivent indiquer les conclusions (<ref-law>). Le recours en matière civile étant une voie de réforme (<ref-law>), le recourant ne peut pas se borner à demander l'annulation de la décision attaquée et le renvoi de la cause à l'instance cantonale; il doit, sous peine d'irrecevabilité, prendre des conclusions sur le fond du litige. Ces conclusions doivent être déterminées avec suffisamment de précision; ainsi, celles qui portent sur une somme d'argent doivent être chiffrées. Il n'est fait exception à ces principes que lorsque le Tribunal fédéral, s'il admettait le recours, ne serait pas en mesure de statuer lui-même sur le fond; il appartient au recourant de démontrer qu'il en est ainsi lorsque cela ne ressort pas sans autre de la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 3.1 et 3.2). Ces indications doivent figurer dans l'acte de recours ou un éventuel complément déposé avant l'échéance du délai de recours (<ref-law>); sur ces points, le recours ne peut pas être complété ultérieurement (art. 42 al. 5 et 6 LTF e contrario; <ref-ruling> consid. 2.4.2).
1.2 Dans son mémoire de recours, le recourant n'a pas pris de conclusions au fond. Il ne s'explique pas sur cette abstention, et on ne discerne aucun motif qui l'aurait empêché de prendre des conclusions chiffrées.
Dans sa troisième écriture, le recourant soutient que les sommes réclamées ressortent de la motivation du recours. Il se réfère à la valeur litigieuse qu'il indique dans les remarques liminaires sur la recevabilité du recours. Or, la valeur litigieuse est déterminée par les conclusions sur lesquelles l'autorité précédente s'est prononcée (<ref-law>) et ne correspond pas nécessairement au montant encore en jeu dans la procédure devant le Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.2). Le recourant se réfère en outre à l'arrêt attaqué d'où les montants litigieux en procédure cantonale ressortent également. Mais tout cela n'est pas déterminant, car il n'existe pas de présomption selon laquelle le recourant qui ne précise pas ses conclusions serait censé reprendre celles formulées devant l'instance précédente.
Des conclusions claires et précises sont un élément essentiel dans une procédure judiciaire, tant pour la partie adverse que pour le juge, et il ne saurait subsister de doute à leur sujet. Il y a donc lieu de se montrer strict en la matière, ce d'autant plus qu'il est en règle générale aisé de satisfaire à cette exigence formelle, en particulier lorsque le litige porte sur le paiement d'une somme d'argent.
1.3 Dans son mémoire de recours, le recourant n'a pas démontré en quoi la cour de céans, si elle admettait le recours, serait empêchée de statuer ne serait-ce que sur l'une des trois conclusions prises devant l'autorité précédente; il ne dit mot à ce sujet. Or, à la lecture de l'arrêt attaqué, on ne saurait sans autre retenir qu'un renvoi s'imposerait nécessairement. On constate notamment que les montants des différents postes du dommage pour lequel réparation est demandée ne semblent pas être contestés en tant que tels. Dans son volumineux recours, le recourant se plaint essentiellement de violation du droit fédéral. Il n'apparaît pas d'emblée que ses moyens de droit seraient sans exception privés d'objet dans l'hypothèse où les griefs d'arbitraire sur des questions de procédure ou de faits devraient être rejetés; à première vue, on ne discerne pas quel élément empêcherait la cour de céans de réformer l'arrêt attaqué et statuer au fond. Au demeurant, le recourant ne saurait se dispenser de prendre des conclusions au fond pour le seul motif qu'il soulève le grief d'arbitraire dans l'établissement des faits et que l'admission d'un tel grief entraîne en principe un renvoi à l'autorité cantonale; une dispense se conçoit uniquement s'il est exclu que le Tribunal fédéral réforme le jugement au fond, et non pas s'il est possible qu'il doive éventuellement renvoyer la cause à l'instance cantonale, faculté qu'il peut au demeurant toujours utiliser (cf. <ref-law>).
Dans sa troisième écriture, le recourant soutient que les motifs du recours font suffisamment ressortir que la cause ne pouvait qu'être renvoyée. Il ne saurait toutefois être exigé de la cour de céans qu'elle examine le bien-fondé du volumineux recours et détermine si un renvoi s'imposerait en cas d'admission du recours, cela dans le seul but de statuer sur la recevabilité du recours; au vu de la complexité de la présente cause, il eût appartenu au recourant de motiver spécifiquement et dans le délai de recours la nécessité d'un renvoi dès le moment où il ne voulait pas formuler des conclusions au fond.
2. Il s'ensuit l'irrecevabilité du recours. Le recourant supporte les frais et dépens de la présente procédure (art. 66 et 68 LTF). L'émolument sera réduit au vu de la décision rendue; en revanche, tel ne sera pas le cas des dépens, car l'intimée ne pouvait pas prendre le risque de renoncer à se déterminer sur le fond.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 8'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 19 décembre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti