Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. I._, österreichischer Staatsangehöriger mit Niederlassungsbewilligung, bezog während einer ab 1. Juli 2000 laufenden Rahmenfrist für den Leistungsbezug Taggelder der Arbeitslosenversicherung.
Mit Verfügung vom 10. Mai 2002 forderte die Arbeitslosenkasse GBI (nachfolgend: Kasse) für den Zeitraum vom 4. März bis 6. Mai 2001 sowie ab 1. Juli 2001 ausgerichtete Taggelder in der Gesamthöhe von Fr. 20'477.15 zurück mit der Begründung, der Versicherte habe während dieses Zeitraums nicht in der Schweiz gewohnt.
Mit Verfügung vom 10. Mai 2002 forderte die Arbeitslosenkasse GBI (nachfolgend: Kasse) für den Zeitraum vom 4. März bis 6. Mai 2001 sowie ab 1. Juli 2001 ausgerichtete Taggelder in der Gesamthöhe von Fr. 20'477.15 zurück mit der Begründung, der Versicherte habe während dieses Zeitraums nicht in der Schweiz gewohnt.
B. In teilweiser Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde hob das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt die Verfügung vom 10. Mai 2002 auf und wies die Sache zur Neufeststellung des Rückforderungsbetrages im Sinne der Erwägungen und zum Erlass einer neuen Verfügung an die Kasse zurück (Entscheid vom 25. Februar 2003). In den Erwägungen hielt das Gericht fest, der Beschwerdeführer habe ab Juli 2001 keinen Wohnsitz in der Schweiz mehr gehabt und die Rückforderung sei insoweit gerechtfertigt, im Übrigen dagegen zu Unrecht erfolgt.
B. In teilweiser Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde hob das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt die Verfügung vom 10. Mai 2002 auf und wies die Sache zur Neufeststellung des Rückforderungsbetrages im Sinne der Erwägungen und zum Erlass einer neuen Verfügung an die Kasse zurück (Entscheid vom 25. Februar 2003). In den Erwägungen hielt das Gericht fest, der Beschwerdeführer habe ab Juli 2001 keinen Wohnsitz in der Schweiz mehr gehabt und die Rückforderung sei insoweit gerechtfertigt, im Übrigen dagegen zu Unrecht erfolgt.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt I._ die Aufhebung des kantonalen Entscheids und der Verwaltungsverfügung vom 10. Mai 2002 sowie die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zur Ausrichtung der ordentlichen Taggelder bis 30. Juni 2002 beantragen.
Die Kasse und das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichten auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Mit dem kantonalen Entscheid vom 25. Februar 2003, welcher den Anfechtungsgegenstand der Verwaltungsgerichtsbeschwerde bestimmt, wurde einzig über die Verwaltungsverfügung vom 10. Mai 2002 entschieden, welche ihrerseits allein die Rückforderung zu Unrecht ausgerichteter Arbeitslosenentschädigung beschlägt. Nur diese Frage ist daher einer letztinstanzlichen Überprüfung im vorliegenden Verfahren zugänglich (vgl. <ref-ruling> Erw. 1a). Soweit der Beschwerdeführer darüber hinaus die Ausrichtung weiterer Taggelder für den Zeitraum von Januar bis Juni 2002 verlangt, kann auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht eingetreten werden.
1. Mit dem kantonalen Entscheid vom 25. Februar 2003, welcher den Anfechtungsgegenstand der Verwaltungsgerichtsbeschwerde bestimmt, wurde einzig über die Verwaltungsverfügung vom 10. Mai 2002 entschieden, welche ihrerseits allein die Rückforderung zu Unrecht ausgerichteter Arbeitslosenentschädigung beschlägt. Nur diese Frage ist daher einer letztinstanzlichen Überprüfung im vorliegenden Verfahren zugänglich (vgl. <ref-ruling> Erw. 1a). Soweit der Beschwerdeführer darüber hinaus die Ausrichtung weiterer Taggelder für den Zeitraum von Januar bis Juni 2002 verlangt, kann auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht eingetreten werden.
2. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über den Begriff des Wohnens in der Schweiz als Voraussetzung des Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung (<ref-law>; <ref-ruling> f. Erw. 2a, 115 V 448 f.), die Rückforderung erbrachter Versicherungsleistungen, auf die der Empfänger keinen Anspruch hatte, durch die Arbeitslosenkasse (<ref-law> in der bis Ende 2002 gültig gewesenen Fassung; <ref-ruling> Erw. 1 mit Hinweis) sowie das Zurückkommen auf eine formell rechtskräftige Verfügung, welcher die zufolge Zeitablaufs rechtsbeständig gewordene formlose Ausrichtung von Leistungen gleichzustellen ist (<ref-ruling> Erw. 1.2.3), unter dem Titel der Wiedererwägung oder der prozessualen Revision (<ref-ruling> Erw. 2c mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Richtig ist auch, dass das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) nach den von der Rechtsprechung entwickelten intertemporalrechtlichen Grundsätzen (<ref-ruling> Erw. 1, 121 V 366 Erw. 1b) auf den vorliegenden Sachverhalt nicht anwendbar ist.
2. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über den Begriff des Wohnens in der Schweiz als Voraussetzung des Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung (<ref-law>; <ref-ruling> f. Erw. 2a, 115 V 448 f.), die Rückforderung erbrachter Versicherungsleistungen, auf die der Empfänger keinen Anspruch hatte, durch die Arbeitslosenkasse (<ref-law> in der bis Ende 2002 gültig gewesenen Fassung; <ref-ruling> Erw. 1 mit Hinweis) sowie das Zurückkommen auf eine formell rechtskräftige Verfügung, welcher die zufolge Zeitablaufs rechtsbeständig gewordene formlose Ausrichtung von Leistungen gleichzustellen ist (<ref-ruling> Erw. 1.2.3), unter dem Titel der Wiedererwägung oder der prozessualen Revision (<ref-ruling> Erw. 2c mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Richtig ist auch, dass das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) nach den von der Rechtsprechung entwickelten intertemporalrechtlichen Grundsätzen (<ref-ruling> Erw. 1, 121 V 366 Erw. 1b) auf den vorliegenden Sachverhalt nicht anwendbar ist.
3. Streitig und zu prüfen ist die Rückforderung der von Juli bis Dezember 2001 ausgerichteten Arbeitslosenentschädigung und in diesem Rahmen insbesondere die Frage, ob auf die seinerzeitige Leistungszusprechung bzw. -ausrichtung zurückzukommen ist, weil der Beschwerdeführer während dieses Zeitraums nicht in der Schweiz gewohnt hat.
3.1 Die Vorinstanz hat erwogen, im Juli 2001 seien beim Beschwerdeführer, der bis dahin in der Stadt X._ wohnhaft gewesen sei, in persönlicher und beruflicher Hinsicht Veränderungen eingetreten: Zum einen sei seine Lebensgefährtin aus beruflichen Gründen von der Stadt X._ nach Y._ umgezogen. Andererseits habe der Beschwerdeführer nach einem Gastvertrag einen einjährigen Dienstvertrag (ab 1. Juli 2001, befristet bis 30. Juni 2002) am Theater A._ antreten können und zu diesem Zweck in der Stadt Y._ eine Wohnung gemietet. Diese Umstände liessen auf eine Verlegung des gewöhnlichen Aufenthalts nach der Stadt Y._ ab Juli 2001 schliessen. Da der Umzug der Lebensgefährtin nach der Stadt Y._ erst im Rechtsmittelverfahren bekannt geworden sei, seien die Voraussetzungen einer prozessualen Revision (<ref-ruling> Erw. 2c mit Hinweisen) erfüllt.
3.2 Es bestehen erhebliche Zweifel, ob der Beschwerdeführer seinen Wohnsitz im Sinn von <ref-law> (BGE125 V 466 f. Erw. 2a, 115 V 448 f.) tatsächlich per 1. Juli 2001 nach der Stadt Y._ verlegt hat. Mehrere Indizien sprechen dafür, dass die Wohnsitzverlegung erst zu einem späteren Zeitpunkt stattgefunden hat.
3.2.1 Der Versicherte wohnte bis zum genannten Zeitpunkt während 16 Jahren an derselben Adresse in der Stadt X._. Die Stadt X._ war sein persönliches und berufliches Umfeld. Es ist nicht anzunehmen, dass er diesen Lebensmittelpunkt ohne weiteres aufgeben wollte. Er hat denn auch die Wohnung in der Stadt X._ erst Ende Juni 2002 aufgegeben.
3.2.2 Gemäss dem für das Engagement an der Oper in A._ geltenden Dienstvertrag bestand für den Beschwerdeführer keine Residenzpflicht. Es stand ihm demnach frei, seinen Wohnsitz und Lebensmittelpunkt in der Schweiz zu behalten. Der in diesem Vertrag vorgesehene monatliche Bruttolohn von DM 2500.- reichte zur Bestreitung der Lebensunterhaltskosten keinesfalls aus. Der Beschwerdeführer war demnach genötigt, zusätzliche andere Engagements einzugehen. Da er den eher seltenen Beruf des Bühnenbildners ausübt und zum fraglichen Zeitpunkt bereits 60jährig war, musste er sich weiträumig bewerben und bereit sein, im deutschsprachigen Raum eine zweite Arbeitsstelle anzunehmen. Es kann daher nicht angenommen werden, er habe wegen seines Engagements in A._ seinen Wohnsitz definitiv verlegt.
3.2.3 Aus den Akten geht hervor, dass der Beschwerdeführer von Januar bis März 2002 ein Engagement als Bühnenbildner für das Ballett U._ eingehen konnte. Es steht somit fest, dass er sich zumindest während dieser Zeit wieder in der Stadt X._ aufgehalten hat.
3.2.4 Ebenso ist ausgewiesen, dass sich der Versicherte wegen eines Leistenbruchs im Oktober 2001 in medizinische Behandlung begeben musste. Diese Behandlung liess er nicht in der Stadt Y._, sondern in der Stadt X._ vornehmen.
3.3 Die genannten Indizien lassen eher darauf schliessen, dass der Versicherte, wie er in seinem Schreiben vom 31. Juli 2001 ausgeführt hat, zunächst bloss vorläufig in der Stadt Y._ eine Wohngelegenheit suchte und sich erst zur definitiven Übersiedlung in diese Stadt entschloss, als er sein Engagement an der Oper in A._ ausbauen konnte. Wann dies der Fall war, geht aus den Akten nicht hervor, dürfte indessen für seinen Entschluss, den Lebensmittelpunkt definitiv von der Stadt X._ nach Deutschland zu verlegen, entscheidend gewesen sein. Es ist nachvollziehbar, dass er bis zu jenem Zeitpunkt darauf bedacht gewesen war, sich die Option zu bewahren, allenfalls doch noch im Raum der Stadt X._ eine weitere Anstellung zu finden, bestand doch die Möglichkeit, an Privatschulen zu unterrichten oder Ballettausstattungen herzustellen.
Richtig ist zwar, dass sich die Lebenspartnerin des Beschwerdeführers offenbar per Ende Juni 2001 in der Stadt X._ abgemeldet hatte und ab 1. Juli 2001 in der Stadt Y._ lebte. Hiezu war sie indessen auf Grund ihres Arbeitsvertrages verpflichtet. Dies traf für den Beschwerdeführer gerade nicht zu. Er hat sich denn auch keine eigene Wohnung gemietet, sondern offenbar - unter Beteiligung an der Miete - bei seiner Lebenspartnerin übernachten können (wobei diese nach Lage der Akten ihre definitive Wohnung in der Stadt Y._ erst im November 2001 bezogen hat).
3.4 Zusammenfassend ergibt sich, dass die persönlichen und beruflichen Veränderungen, welche im Leben des Beschwerdeführers eingetreten sind, nicht eindeutig darauf schliessen lassen, er habe seinen gewöhnlichen Aufenthalt und Lebensmittelpunkt in der Stadt X._ ab Mitte 2001 aufgegeben. Vielmehr bestehen erhebliche Anhaltspunkte dafür, dass er dies erst getan hat, nachdem sein definitives Engagement an der Oper A._ (mit der Möglichkeit, seine Lebenskosten ganz aus diesen Einnahmen zu bestreiten) feststand. Die Vorinstanz wird diesbezüglich noch weitere Abklärungen zu treffen haben.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird, soweit darauf einzutreten ist, insoweit teilweise gutgeheissen, dass das Urteil des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 25. Februar 2003 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird, soweit darauf einzutreten ist, insoweit teilweise gutgeheissen, dass das Urteil des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 25. Februar 2003 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Arbeitslosenkasse GBI hat dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die Arbeitslosenkasse GBI hat dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 22. September 2003
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Vorsitzende der II. Kammer: Der Gerichtsschreiber: