Sachverhalt:
A. Das Obergericht des Kantons Aargau befand X._ am 12. Februar 2009 zweitinstanzlich der sexuellen Handlungen mit Kindern (<ref-law>) schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von 210 Tagessätzen à Fr. 170.--, unter Gewährung des bedingten Strafvollzugs bei einer Probezeit von drei Jahren.
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, er sei vom Vorwurf der sexuellen Handlungen mit Kindern freizusprechen, und es seien die Anträge der Zivilklägerin A._ betreffend Schadenersatz, Genugtuung und Ersatz der Parteikosten vollumfänglich abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese zu verpflichten, bezüglich den auf Video aufgezeichneten Aussagen von A._ ein psychologisches oder psychiatrisches Glaubhaftigkeitsgutachten einzuholen.
Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Aargau haben auf Vernehmlassungen zur Beschwerde verzichtet. A._ beantragt die Abweisung der Beschwerde und des Antrags auf Einholung eines Glaubhaftigkeitsgutachtens. Des Weiteren sei X._ zu verpflichten, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'575.40 auszurichten.

Erwägungen:
1. Der Verurteilung wegen sexuellen Handlungen mit Kindern liegt der folgende, von der Vorinstanz als erwiesen erachtete Sachverhalt zugrunde:
Der Beschwerdeführer und dessen Ehefrau waren mit den Eltern der Beschwerdegegnerin 1, geb. am 25. November 1999, befreundet. In der Nacht vom 12. auf den 13. Juni 2005 übernachtete die Beschwerdegegnerin 1 in der Wohnung des Beschwerdeführers. Sie schlief im Kinderzimmer, während der gleichaltrige Sohn des Beschwerdeführers im elterlichen Schlafzimmer übernachtete. In den frühen Morgenstunden, gegen 05.00 Uhr, erwachte die Beschwerdegegnerin 1 und bemerkte, dass der Beschwerdeführer, welcher die Nacht neben ihr auf dem ausziehbaren Besucherbett verbracht hatte, ihr die Unterhose heruntergezogen und in sexueller Absicht einen seiner Finger in ihre Scheide oder in ihren After eingeführt hatte.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" als Beweiswürdigungs- und als Beweislastregel (Beschwerde S. 4-6).
2.2 Gemäss der in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankerten Maxime "in dubio pro reo" ist bis zum gesetzlichen Nachweis der Schuld zu vermuten, dass die einer strafbaren Handlung angeklagte Person unschuldig ist (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen).
Als Beweiswürdigungsregel besagt der Grundsatz, dass sich das Strafgericht nicht von der Existenz eines für die beschuldigte Person ungünstigen Sachverhalts überzeugt erklären darf, wenn bei objektiver Betrachtung erhebliche und nicht zu unterdrückende Zweifel bestehen, dass sich der Sachverhalt so verwirklicht hat. Die Kognition des Bundesgerichts ist auf Willkür beschränkt, das heisst, es greift nur ein, wenn das Sachgericht die beschuldigte Person verurteilte, obgleich bei objektiver Würdigung des Beweisergebnisses offensichtlich erhebliche bzw. schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an deren Schuld fortbestehen (BGE <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2; Urteil des Bundesgerichts 6B_923/2008 vom 2. Februar 2009 E. 2).
Als Beweislastregel bedeutet die Maxime "in dubio pro reo", dass es Sache des Staates ist, die Schuld der angeklagten Person zu beweisen, und nicht diese ihre Unschuld nachweisen muss. Ein Verstoss liegt insbesondere vor, wenn das Gericht eine angeklagte Person (einzig) mit der Begründung verurteilt, diese habe ihre Unschuld nicht nachgewiesen (vgl. zum Ganzen BGE <ref-ruling> E. 2a).
2.3 Was der Beschwerdeführer gegen die Beweiswürdigung der Vorinstanz vorbringt, ist nicht geeignet, eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" darzutun.
Mit seinen Ausführungen stellt er der vorinstanzlichen Begründung im Wesentlichen lediglich seine eigene Sicht der Dinge gegenüber, ohne näher zu erörtern, weshalb der Entscheid schlechterdings unhaltbar sein sollte, bzw. inwiefern bei objektiver Würdigung des Beweisergebnisses offensichtlich erhebliche bzw. schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an seiner Schuld bestehen sollten. Seine Vorbringen erschöpfen sich insoweit in einer unzulässigen appellatorischen Kritik am angefochtenen Urteil. Dies gilt insbesondere für sein generelles Infragestellen der Glaubwürdigkeit von A._ wie auch von verschiedenen Einzelheiten des Geschehensablaufs (Erkennen des Fingers in der Dunkelheit, Umstände des Ausziehens der Unterhose, Schmerzhaftigkeit des Einführens des Fingers).
Soweit auf seine Rügen überhaupt eingetreten werden kann, sind diese nicht stichhaltig. So konnte die Vorinstanz willkürfrei und ohne Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" als Beweiswürdigungsregel den Schluss ziehen, es sei nachvollziehbar, dass die zum Tatzeitpunkt erst rund fünfjährige Beschwerdegegnerin 1 nicht mit Klarheit habe angeben können, ob der Beschwerdeführer seinen Finger in ihre Scheide oder in ihren After eingeführt hatte (vgl. angefochtenes Urteil S. 13). Dass die Vorinstanz diese Frage schliesslich offen liess (angefochtenes Urteil S. 16), bedeutet entgegen dem Vorbringen des Beschwerdeführers keinen Verstoss gegen die Maxime "in dubio pro reo" als Beweislastregel, erfüllen doch beide Sachverhaltsvarianten den Tatbestand von <ref-law>.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer erachtet weiter seinen Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> als verletzt, da die Vorinstanz trotz des kindlichen Alters und des widersprüchlichen Aussageverhaltens der Beschwerdegegnerin 1 auf das Einholen eines Glaubwürdigkeitsgutachtens verzichtet habe. Angesichts des Umstands, dass der angebliche Übergriff im halbwachen Zustand des Opfers erfolgt sein soll, sei zudem von einer Beeinträchtigung der Wahrnehmungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin 1 auszugehen (Beschwerde S. 6-7).
3.2 Die Vorinstanz hat erwogen, die Schilderungen der Beschwerdegegnerin 1 seien stimmig und reich an Details. So mache sie genaue Angaben zu den "Bettverhältnissen" und zum Ablauf des Geschehens. Ihre Darstellung enthalte überdies entlastende Momente, was ebenfalls für die Glaubhaftigkeit ihrer Aussagen spreche. Indizien, welche auf eine wesentliche Beeinflussung der Beschwerdegegnerin 1 namentlich durch ihre Eltern oder gar auf eine bewusste Falschbezichtigung des Beschwerdeführers hindeuten würden, bestünden keine. Aufgrund ihrer in Bezug auf die Kernhandlung klaren und deutlichen Aussagen erscheine es als ausgeschlossen, dass die Angaben der Beschwerdegegnerin 1 nicht auf einem realen Erlebnishintergrund basierten. Angesichts dieses Beweisergebnisses könne auf die Anordnung eines Glaubwürdigkeitsgutachtens verzichtet werden (angefochtenes Urteil S. 13-16).
3.3 Die Prüfung der Glaubhaftigkeit von Aussagen ist Teil der Beweiswürdigung und gehört damit zum Aufgabenbereich des Gerichts. Nach der Rechtsprechung drängt sich eine Glaubwürdigkeitsbegutachtung durch eine sachverständige Person in der Regel sachlich erst auf, wenn das Gericht aufgrund besonderer Umstände auf zusätzliches medizinisches oder psychologisches Fachwissen angewiesen ist. Dies ist etwa der Fall, wenn schwer interpretierbare Äusserungen eines Kleinkinds zu beurteilen sind.
Dem Gericht steht bei der Beantwortung der Frage, ob aufgrund der konkreten Umstände des Einzelfalles der Beizug eines Sachverständigen zur Glaubwürdigkeitsbegutachtung notwendig ist oder nicht, ein Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 2).
3.4 Die Vorinstanz hat eingehend begründet, weshalb sie die Aussagen der Beschwerdegegnerin 1 als glaubhaft eingestuft hat. Sie hat im angefochtenen Urteil insbesondere dargelegt, dass die Schilderungen der Beschwerdegegnerin 1 keine Beeinträchtigung der Wahrnehmungsfähigkeit erkennen liessen und keine schwer interpretierbaren Aussagen beinhalteten, sondern vielmehr ein klares Bild vermittelten. Vor diesem Hintergrund hat die Vorinstanz mit dem Verzicht auf die Begutachtung der Beschwerdegegnerin 1 den ihr zustehenden Ermessensspielraum nicht verletzt.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer rügt schliesslich eine Verletzung von Art. 10c aOHG. Die Befragung sei erst 18 Tage nach dem Vorfall erfolgt, was angesichts des eingeschränkten Erinnerungsvermögens von Kindern im Vorschulalter nicht angehe. Zudem habe die Beschwerdegegnerin 1 vor der Befragung bereits mit verschiedenen Personen über das Ereignis gesprochen. Ferner sei die Ausbildung der befragenden Ermittlungsbeamtin zum Befragungszeitpunkt mangelhaft gewesen, habe diese doch zuvor einzig einen viertägigen Grundkurs in Kinderbefragung absolviert und nicht über ausreichende Sprachkenntnisse zur Durchführung der Befragung auf französisch verfügt. Rechtsfolge müsse die Unverwertbarkeit der Aussagen sein (Beschwerde S. 8-10).
4.2 Die Vorinstanz hat erwogen, es treffe zu, dass die Beschwerdegegnerin 1 vor der polizeilichen Befragung vom 30. Juni 2005 insbesondere mit ihren Eltern über den Vorfall gesprochen habe. Das Fehlen von Erstaussagen lasse sich jedoch in solchen Fällen kaum vermeiden und führe nicht zur Unverwertbarkeit der Videoeinvernahme. Diese sei kindergetreu und fachgerecht durchgeführt worden, was auch von der an der Einvernahme anwesenden Spezialistin des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Diensts Baselland, S._, bestätigt worden sei (angefochtenes Urteil S. 7-8).
4.3 Nach Art. 10c des damals geltenden OHG, welcher im Wesentlichen dem heutigen <ref-law> entspricht, hat die erste Einvernahme des Kindes so rasch als möglich stattzufinden. Sie wird im Beisein einer Spezialistin oder eines Spezialisten von einer zu diesem Zweck ausgebildeten Ermittlungsbeamtin oder einem entsprechenden Ermittlungsbeamten durchgeführt. Die Parteien üben ihre Rechte durch die befragende Person aus. Die Einvernahme erfolgt in einem geeigneten Raum. Sie wird auf Video aufgenommen. Die befragende Person und die Spezialistin oder der Spezialist halten ihre besonderen Beobachtungen in einem Bericht fest (Art. 10c Abs. 2 aOHG).
4.4 Die Tatsache, dass die Durchführung der Videoeinvernahme (erst) 18 Tage nach dem Vorfall respektive zehn Tage nach Einreichung der Strafanzeige erfolgte, bewirkt nicht die Unverwertbarkeit der Aussagen der Beschwerdegegnerin 1. Zwar ist nicht zu verkennen, dass das Risiko, dass die Erinnerung des Kindes verändert oder beeinflusst worden ist, wächst, je länger eine Tat zurückliegt (Beatrice Vogt, in: Peter Gomm/Dominik Zehntner [Hrsg.], Opferhilfegesetz, Bern 2005, <ref-law> N. 5). Allerdings ist es keine Seltenheit, dass es erst längere Zeit nach einem Vorfall zur Eröffnung eines Verfahrens kommt. Die Zeitspanne von 18 Tagen zwischen dem Ereignis und der Befragung ist daher keineswegs aussergewöhnlich lange, und die Aussagen der Beschwerdegegnerin 1 lassen denn auch auf keine Erinnerungslücken erkennen. Vielmehr erscheinen ihre Schilderungen, wie die Vorinstanz willkürfrei festgestellt hat, im Kernbereich stimmig und detailliert.
Entgegen der Argumentation des Beschwerdeführers ist auch die Kinderbefragung als solche fachgerecht durchgeführt worden. Die Ermittlungsbeamtin hat einen mehrtägigen Kurs in Kinderbefragung an der Hochschule für Soziale Arbeit in Luzern absolviert und ein Jahr in der französischsprachigen Schweiz studiert (vgl. Verhandlungsprotokoll Bezirksgericht Rheinfelden S. 7). Hinweise auf fehlende Fachkompetenz oder mangelnde Sprachkenntnisse finden sich keine. Auch die Psychologin des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Diensts Baselland, S._, welche der Videoeinvernahme als Spezialistin beiwohnte, hat in ihrem Bericht zur Befragung festgehalten, diese sei altersadäquat und kompetent in französischer Sprache durchgeführt worden (vgl. angefochtenes Urteil S. 8 mit Hinweis auf die vorinstanzlichen Akten act. 149). Vor diesem Hintergrund hat die Vorinstanz, ohne Bundesrecht zu verletzen, folgern können, die Einvernahme sei gesetzeskonform durchgeführt worden.
5. Zusammenfassend liegt damit kein Verstoss gegen den Grundsatz "in dubio pro reo", keine Missachtung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör und keine Verletzung von Art. 10c aOHG vor.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dieser hat die Beschwerdegegnerin 1 angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die von dieser eingereichte Honorarnote von Fr. 2'575.40 gibt zu keinen Beanstandungen Anlass.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin 1 für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'575.40 zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juli 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Stohner