Faits:
A.
Le 10 septembre 2012, A._ a requis un permis de construire un chalet de quatre appartements sur la parcelle n° 1376 de la commune de Rougemont. Helvetia Nostra a formé opposition. Par décision du 25 octobre 2012, la Municipalité de Rougemont a écarté l'opposition et délivré le permis de construire. Helvetia Nostra a saisi la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois, laquelle a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable - laissant indécise la question de la qualité pour agir d'Helvetia Nostra - par arrêt du 28 mars 2013. La cour cantonale s'est référée à un arrêt de principe du 22 novembre 2012 selon lequel l'art. 75b Cst. ne faisait pas obstacle à la délivrance de permis de construire avant le 1 er janvier 2013. Elle a mis à la charge de la recourante 1'000 fr. d'émolument judiciaire, la constructrice n'ayant pas été invitée à procéder.
B.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, Helvetia Nostra demande au Tribunal fédéral l'annulation de l'arrêt cantonal et le renvoi de la cause à l'autorité de dernière instance, subsidiairement la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que le permis de construire est annulé.
Dans des arrêts de principe du 22 mai 2013, le Tribunal fédéral a notamment admis la qualité pour recourir d'Helvetia Nostra (<ref-ruling>) ainsi que l'applicabilité directe des art. 75b et 197 ch. 9 Cst. (<ref-ruling> et 263).
Sur le vu de ces arrêts, les parties ont été invitées à se déterminer par ordonnance du 4 juillet 2013. Le Tribunal cantonal s'en rapporte à justice. La Municipalité de Rougemont relève que le projet concerne la démolition d'un bâtiment déjà utilisé comme résidence secondaire, et une reconstruction sans augmentation de la surface habitable. Cette question n'ayant pas été examinée, il y aurait lieu de renvoyer la cause à la cour cantonale, ou à l'autorité communale. La constructrice a fait valoir les mêmes arguments; elle demande au Tribunal fédéral de compléter l'état de fait; elle conclut au rejet du recours ou à la suspension de la procédure en vue d'un complément du permis de construire. La recourante devrait être interpellée sur le maintien de son recours.

Considérant en droit:
1.
1.1. Dans son arrêt de principe du 22 mai 2013 (<ref-ruling>), le Tribunal fédéral rappelle qu'Helvetia Nostra fait partie des organisations habilitées à recourir dans le domaine de la protection de la nature et du paysage au sens de l'<ref-law> (ch. 9 de la liste annexée ODO, RS 814.076). Le recours de ces associations n'est recevable que dans la mesure où l'objet du litige procède d'une tâche de la Confédération au sens des art. 78 Cst. et 2 LPN. L'art. 75b Cst. est une disposition directement applicable qui charge la Confédération de veiller au plafonnement des résidences secondaires à 20 %. L'objectif de cette norme est en premier lieu la protection de la nature et du paysage. Le Tribunal fédéral considère ainsi que le permis de construire une résidence secondaire repose sur des éléments spécialement régis par le droit fédéral et intervient donc en exécution d'une tâche de la Confédération (consid. 11.3). La qualité pour recourir doit dès lors être reconnue à Helvetia Nostra (consid. 11.4).
1.2. Le Tribunal fédéral a par ailleurs admis, dans un deuxième arrêt de principe du 22 mai 2013 (<ref-ruling> consid. 9-11), que l'art. 75b Cst. (en relation avec l'art. 197 ch. 9 al. 2 Cst.) est directement applicable dès son entrée en vigueur le 11 mars 2012. Dans les communes où le taux de 20 % de résidences secondaires est déjà atteint, les permis de construire délivrés entre le 11 mars 2012 et le 31 décembre 2012 sont annulables.
2.
Sur le vu de ces arrêts, il y a lieu d'admettre la qualité d'Helvetia Nostra pour s'opposer au projet litigieux. La nature de ce dernier n'est en revanche pas clairement définie. Selon la Municipalité et la constructrice, le projet concernerait la reconstruction d'un bâtiment déjà voué à la résidence secondaire. Cette question n'a toutefois pas été examinée par les instances précédentes puisque les nouvelles dispositions constitutionnelles ont été jugées, à tort, inapplicables. Conformément à l'<ref-law>, il n'appartient pas au Tribunal fédéral de statuer en première instance sur la base d'éléments nouveaux.
3.
Il y a lieu dès lors d'annuler l'arrêt attaqué. Dans un tel cas, le Tribunal fédéral peut renvoyer la cause à l'autorité précédente ou à celle qui a statué en première instance (<ref-law>). Se pose la question de savoir si la cause doit être renvoyée à la cour cantonale ou à l'autorité communale, après annulation de l'autorisation de construire. En l'occurrence, la question de la conformité de l'autorisation de construire à l'art. 75b Cst. n'a pas été examinée lors du rejet de l'opposition par la commune; l'affectation du projet - en résidence principale ou secondaire - ne paraît d'ailleurs pas être clairement définie, compte tenu de la prise de position de la constructrice. Celle-ci devra donc, si elle maintient sa demande de permis de construire, apporter les éclaircissements nécessaires sur ces points. Il y a donc lieu d'annuler le permis de construire du 25 octobre 2012 (dont l'admissibilité n'est en l'état pas démontrée) et de renvoyer la cause à l'autorité communale pour nouvelle décision.
4.
Compte tenu de l'issue de la cause, les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de l'intimée qui, à ce stade, succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). Il y a lieu également, conformément aux art. 67 et 68 al. 5 LTF, de fixer les frais et dépens pour la procédure devant le Tribunal cantonal. La constructrice n'avait certes pas été invitée à procéder devant cette instance mais, compte tenu de ce qui précède, la cour cantonale aurait dû statuer en sa défaveur, ce qui justifie la mise à sa charge des frais de justice, ainsi que des dépens en faveur de la recourante. Au vu du grand nombre de recours similaires déposés par la recourante, il convient de réduire les dépens et de les fixer à 2'500 fr. pour l'ensemble des procédures fédérale et cantonale.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé, de même que l'autorisation de construire du 25 octobre 2012. La cause est renvoyée à la Municipalité de Rougemont pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires pour la procédure fédérale, arrêtés à 1'000 fr., de même que les frais de l'arrêt cantonal, soit 1'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée A._.
3.
Une indemnité de dépens de 2'500 fr. est allouée à la recourante pour les procédures fédérale et cantonale, à la charge de l'intimée A._.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et de la Municipalité de Rougemont ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 28 octobre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
Le Greffier: Kurz