Faits:
A. Par un appel d'offres publié dans un Bulletin officiel du Département de la santé, des affaires sociales et de l'énergie du canton du Valais (ci-après: le Département cantonal) a mis en soumission le marché suivant, selon la procédure ouverte: fourniture d'un logiciel multilingue (français/allemand) destiné à la gestion d'institutions spécialisées et offrant des fonctionnalités spécifiques pour les tâches de pilotage général de ces institutions par l'Etat du Valais. Le dossier de soumission remis aux candidats détaillait les conditions du marché, notamment les contraintes techniques à respecter (ch. 2.2) et les fonctionnalités de base du logiciel (ch. 2.3). En particulier, la solution proposée devait être compatible avec les versions actuelles et futures de certaines applications informatiques utilisées par l'Etat du Valais, comme le système d'exploitation Sun Solaris 9, la base de données Oracle 10g et le serveur d'application Weblogic 9.1 (cf. ch. 2.2 précité). Le dossier de soumission précisait également que l'adjudication se ferait selon les quatre critères et taux de pondération suivants (ch. 6.2):
Critères
Pond.
%
Description
1
Prix
30
2
Produit
50
Données techniques, fonctionnalités, support et intégration dans notre environnement
3
Références
10
Références et expériences dans le domaine des logiciels pour les besoins des institutions pour personnes handicapées adultes ou mineures
4
Qualification soumissionnaire
10
Structure de l'organisation, nombre de spécialistes
B. Le 27 septembre 2006, un groupe de projet baptisé "Informatisation des institutions spécialisées" (ci-après: le Groupe de projet), réunissant les responsables des institutions et des services de l'Etat concernés par le marché, a défini la procédure à suivre pour l'adjudication et validé une grille d'évaluation préparée dans le courant de l'été avec l'appui d'un consultant extérieur. Cette grille explicitait les quatre critères énoncés dans le dossier de soumission par une série de sous-critères, eux-mêmes parfois subdivisés en sous-critères (ci-après cités: les sous-critères bis), auxquels correspondaient des taux de pondération. Ainsi, la grille prévoyait notamment quatre sous-critères pour noter le "produit", dont les deux suivants: "contraintes techniques" et "fonctionnalités de base"; ces derniers comptaient respectivement pour 10 % et 70 % dans la notation du critère principal concerné; par ailleurs, les "contraintes techniques" étaient elles-mêmes subdivisées à raison des quatre sous-critères bis suivants (avec, entre parenthèses, les taux de pondération): "J2EE" (50 %), "Weblogic" (20%), "Oracle" (20 %) et "Solaris" (10 %).
Quatre soumissions ont été déposées. Le Groupe de projet a d'abord éliminé deux offres ne répondant pas aux critères d'aptitude, puis il a auditionné deux fois les candidats encore en lice. Il a ensuite établi un rapport d'évaluation (du 10 avril 2007) qu'il a soumis pour préavis au service juridique compétent de l'Etat du Valais en matière de marchés publics avant de le transmettre au Comité stratégique, organe composé des chefs de service de l'Etat concernés par le marché; après avoir amendé sur certains points la grille d'évaluation préparée par le Groupe de projet pour tenir compte des remarques du service juridique consulté, le Comité stratégique a proposé au Conseil d'Etat, dans un rapport du 23 mai 2007, d'adjuger le marché à la société Y._ SA, (ci-après citée: la Société 1), dont l'offre, d'un montant de 2'059'746 fr. (soit 2'216'287 fr. TVA et frais inclus), a été jugée meilleure que celle de sa concurrente, l'entreprise individuelle appartenant à X._ (ci-après citée: la Société 2), d'un montant de 1'751'452 fr.
Se fondant sur les conclusions du Comité stratégique, le Conseil d'Etat a attribué le marché à la Société 1, par décision du 13 juin 2007.
C. X._ a recouru, au nom de la Société 2, contre la décision d'adjudication précitée, en sollicitant l'octroi de l'effet suspensif. Il a notamment invoqué la violation du principe de la transparence, au motif que le pouvoir adjudicateur n'avait pas annoncé à l'avance les sous-critères utilisés dans la grille d'évaluation. En particulier, il trouvait inadmissible que le sous-critère "fonctionnalités de base" n'eût pas fait l'objet d'une telle annonce préalable, alors que son poids dans la note finale était supérieur au taux de pondération du critère principal "prix". X._ contestait également la notation du sous-critère "contraintes techniques" pour lequel il n'avait reçu aucun point, alors que son logiciel était, selon lui, compatible avec chacun des quatre standards informatiques utilisés par l'Etat du Valais et pris comme sous-critères bis dans l'évaluation (soit "J2EE", "Weblogic", "Oracle" et "Solaris"); à cet égard, il renvoyait à un courriel du 30 août 2006 où l'adjudicateur lui avait précisé, en réponse à une question de sa part, que le logiciel ne devait pas obligatoirement être développé avec "Oracle", mais réclamait en revanche impérativement, conformément au ch. 2.2 du dossier de soumission, d'être "webisé" et accessible uniquement depuis les ports "http 80 et SSL 443" pour des raisons de sécurité.
Le Conseil d'Etat a conclu au rejet du recours. Il a notamment constaté que les sous-critères (et sous-critères bis) utilisés dans la grille d'évaluation ne faisaient que concrétiser les critères principaux, si bien qu'ils n'avaient pas à figurer dans le dossier de soumission remis aux candidats. Par ailleurs, contrairement à ce que soutenait la Société 2, son logiciel n'était, selon l'adjudicateur, pas directement compatible avec les standards informatiques mentionnés dans le dossier de soumission (ch. 2.2), en ce sens que son utilisation impliquait pour l'Etat certains aménagements représentant des charges additionnelles (achat d'un serveur supplémentaire, installation sur ce serveur du système offert, formation du personnel de maintenance). Comme les sous-critères bis précisant les "contraintes techniques" devaient, selon la grille d'évaluation, recevoir la note 5 en cas de compatibilité et 0 en cas d'incompatibilité, le Conseil d'Etat a estimé que l'attribution de la note 0 à la Société 2 pour chacun de ces quatre sous-critères bis était justifiée.
Par arrêt du 13 décembre 2007, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal), faisant droit aux arguments de l'adjudicateur, a rejeté le recours et classé la demande d'effet suspensif comme étant devenue sans objet.
D. X._, toujours agissant au nom de la Société 2, forme un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité du Tribunal cantonal. Il se plaint, en reprenant les principaux griefs développés en procédure cantonale, de violation des principes de liberté économique et d'égalité de traitement et invoque l'interdiction de l'arbitraire et la protection de la bonne foi. Il requiert l'effet suspensif au recours et conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à l'attribution du marché à lui-même, subsidiairement au renvoi du dossier au Tribunal cantonal pour une nouvelle décision. Il demande "en tout état de cause" que l'illicéité de l'adjudication soit constatée.
Le Conseil d'Etat et la Société 1 concluent au rejet aussi bien de la requête d'effet suspensif que du recours, en soulignant l'importance de pouvoir signer au plus tôt le contrat d'adjudication, afin de démarrer sans tarder les travaux. Le Tribunal cantonal a renoncé à présenter des observations.
E. Par ordonnance du 3 mars 2008, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a rejeté la demande d'effet suspensif.

Considérant en droit:
1. A raison, le recourant admet que l'arrêt attaqué ne soulève pas une question juridique de principe au sens de l'art. 83 let. f ch. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 398), si bien que seule la voie du recours constitutionnel subsidiaire prévue aux <ref-law> entre ici en ligne de compte (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 399).
1.1 En tant que partie à la procédure cantonale, le recourant, qui agit comme titulaire de la raison individuelle de la Société 2, dispose de la qualité pour recourir s'il peut justifier d'un intérêt juridique à obtenir l'annulation ou la modification de la décision attaquée (cf. art. 115 let. a et b LTF). Tel est bien le cas en l'espèce puisque, arrivé en deuxième position au terme de la procédure d'adjudication, le recourant peut raisonnablement espérer que le marché lui soit attribué en cas d'admission du recours, le cas échéant après renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision, conformément à sa conclusion subsidiaire (sur les cas où la qualité pour recourir doit être niée faute d'un intérêt juridique suffisant, cf. arrêt 2P.261/2002, du 8 août 2003, consid. 4).
Certes ignore-t-on si, postérieurement au rejet de la demande d'effet suspensif présentée par le recourant en procédure fédérale (cf. ordonnance présidentielle du 3 mai 2008), l'Etat du Valais a conclu un contrat avec l'adjudicataire du marché (la Société 1), comme ceux-ci en ont manifesté la volonté et souligné l'urgence dans leurs déterminations. Les parties n'ont fourni aucune information à ce sujet au Tribunal fédéral. Peu importe toutefois. En effet, à supposer qu'un tel contrat ait récemment été conclu, les conclusions en annulation prises par le recourant se seraient alors automatiquement transformées en conclusions constatatoires sur l'illicéité de la décision attaquée de nature à ouvrir le droit à des dommages et intérêts et à fonder l'existence d'un intérêt juridique actuel et pratique suffisant au sens de l'<ref-law> (cf., sous l'art. 87 OJ, <ref-ruling> consid. 1.2 p. 157; <ref-ruling> consid. 5b p. 97 s.). C'est du reste dans cette seule éventualité qu'est recevable la conclusion du recourant formée en termes généraux ("en tout état de cause") et tendant à faire constater l'illicéité de la décision attaquée (cf. 25 PCF selon le renvoi de l'<ref-law>).
1.2 Le recours constitutionnel subsidiaire peut être formé pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'examine toutefois la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (<ref-law> par renvoi de l'<ref-law>). Cette dernière disposition reprend le principe d'allégation (Rügeprinzip) que la pratique relative au recours de droit public avait établi en relation avec l'art. 90 al. 1 let. b OJ (cf. <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254). A cet égard, le recourant ne peut, dans un recours pour arbitraire fondé sur l'art. 9 Cst., se contenter de critiquer l'arrêt attaqué comme il le ferait dans une procédure d'appel où l'autorité de recours peut revoir librement l'application du droit. Il doit au contraire préciser en quoi cet arrêt serait arbitraire, ne reposerait sur aucun motif sérieux et objectif, apparaîtrait insoutenable ou heurterait gravement le sens de la justice (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 399 s. et les arrêts cités). C'est à la lumière de ces exigences de motivation que seront examinés les griefs du recourant.
1.3 Pour le surplus, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut néanmoins rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (<ref-law> en relation avec l'<ref-law>), ce que le recourant doit démontrer d'une manière circonstanciée et précise, conformément aux exigences de motivation posées à l'<ref-law> (par renvoi de l'<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 444 s.).
2. 2.1 Le recourant se réfère en premier lieu au principe d'égalité entre concurrents, déduit de la liberté économique (art. 27 Cst.), que le législateur a notamment ancré, en matière de marchés publics, à l'art. 1er al. 3 let. b de l'Accord intercantonal du 25 novembre 1994/ 15 mars 2001 sur les marchés publics (ci-après: AIMP ou Accord intercantonal), en vigueur - dans sa version révisée - depuis le 5 août 2003 pour le canton du Valais (RO 2003 2373). Il soutient que ce principe, également concrétisé en matière de marchés publics par l'exigence d'assurer une concurrence efficace entre soumissionnaires et d'assurer la transparence des procédures (cf. art. 1er al. 3 let. a et c AIMP), faisait en l'espèce obligation à l'Etat du Valais d'annoncer à l'avance dans les documents d'appel d'offres les sous-critères d'adjudication et leurs taux de pondération respectifs tels qu'ils ressortaient de la grille d'évaluation appliquée pour noter les concurrents. En jugeant que l'adjudicateur pouvait taire l'existence de cette grille aux soumissionnaires, le Tribunal cantonal aurait ainsi violé les principes de liberté économique et d'égalité entre concurrents et fait une application insoutenable de l'art. 3 al. 3 let. c AIMP garantissant la transparence des procédures de passation des marchés publics.
On peut se demander si le grief est suffisamment motivé au sens de l'<ref-law>. Le recourant n'explique en effet pas précisément en quoi consisterait l'atteinte aux droits constitutionnels dont il se prévaut, se contentant d'affirmer que leur violation tiendrait dans le seul fait, pour l'adjudicateur, de n'avoir pas communiqué aux soumissionnaires la grille d'évaluation litigieuse pendant la phase d'appel d'offres. Quoi qu'il en soit, la question de la recevabilité du grief invoqué peut rester indécise, car celui-ci est de toute façon mal fondé.
Selon la jurisprudence, le principe de la transparence n'exige pas, en principe, la communication préalable de sous-critères ou de catégories qui tendent uniquement à concrétiser le critère publié, à moins que ceux-ci ne sortent de ce qui est communément observé pour définir le critère principal auquel ils se rapportent ou que l'adjudicateur ne leur accorde une importance prépondérante et leur confère un rôle équivalent à celui d'un critère publié. De la même manière, une simple grille d'évaluation ou d'autres aides destinées à noter les différents critères et sous-critères utilisés (telles une échelle de notes, une matrice de calcul, etc.) ne doivent pas nécessairement être portées par avance à la connaissance des soumissionnaires, sous réserve d'abus ou d'excès du pouvoir d'appréciation (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 248; <ref-ruling> consid. 7c p. 101 et les références citées).
En l'espèce, le recourant ne soutient pas que les sous-critères élaborés par l'adjudicateur ne seraient pas appropriés pour concrétiser les critères principaux énoncés dans le dossier de soumission. Il ne prétend pas davantage, sous réserve des griefs examinés ci-après (consid. 2.2 à 2.4), que la grille d'évaluation appliquée par l'adjudicateur consacrerait un abus ou un excès du pouvoir d'appréciation de l'adjudicateur. En réalité, son argumentation s'épuise dans l'affirmation toute générale que cette grille d'évaluation et les sous-critères litigieux qu'elle contient devaient, pour respecter les principes applicables en matière de marchés publics, impérativement figurer dans le dossier de soumission remis aux candidats. Dans la mesure où une telle exigence ne vise, selon la jurisprudence, que des situations particulières dont le recourant n'établit pas l'existence pour la présente espèce, le grief s'avère mal fondé.
2.2 Dans un deuxième moyen, le recourant juge inadmissible que le sous-critère "fonctionnalités de base", dont le taux de pondération n'a pas été annoncé aux soumissionnaires, ait joué un rôle plus important dans l'adjudication que le critère principal du "prix". Il estime que les premiers juges ont violé le principe de la transparence et fait preuve d'arbitraire en retenant que l'importance du sous-critère précité se laissait déduire des circonstances au vu du nombre de pages qui lui étaient consacrées dans le dossier de soumission.
Le Tribunal cantonal a constaté que le critère du "prix" avait objectivement, selon la documentation remise aux participants à la procédure, un taux de pondération inférieur à celui du "produit" (30 % pour le prix; 50 % pour le produit). Il en a déduit "qu'on ne pouvait [ainsi] exclure qu'un des facteurs de notation de ce second critère aurait un poids avoisinant ou dépassant celui de l'autre" (arrêt attaqué, consid. 6a/cc). Contrairement à ce que soutient le recourant, les premiers juges ne se sont donc pas seulement fondés sur le nombre de pages dévolues au sous-critère "fonctionnalités de base" dans le dossier de soumission pour admettre que les soumissionnaires devaient se rendre compte de l'importance de cet élément. Au demeurant, il n'est nullement insoutenable de considérer que, si le dossier de soumission décrit de manière particulièrement détaillée et approfondie un sous-critère, c'est le signe que l'adjudicateur y attache une grande importance. Or, selon les constatations non contestées du Tribunal cantonal, plus du tiers de la documentation remise aux candidats portait, en l'espèce, sur les fonctionnalités attendues du logiciel faisant l'objet de la soumission. Le grief est dès lors mal fondé.
2.3 Le recourant voit également une violation de la liberté économique garantissant l'égalité entre concurrents et un abus du pouvoir d'appréciation dans le fait que le Tribunal cantonal lui ait donné seulement un point sur cinq à chacun des quatre sous-critères bis (soit "J2EE", "Weblogic", "Oracle" et "Solaris") concrétisant le sous-critère des "contraintes techniques". Il estime en effet que, du moment que les premiers juges considéraient que son logiciel était compatible avec les standards informatiques utilisés par l'Etat du Valais, ils devaient le mettre au bénéfice de la note maximale prévue à cet effet, soit cinq points pour chacun des quatre sous-critères bis litigieux.
Le Tribunal cantonal a constaté que les parties ne s'entendaient pas sur le sens et la portée exacte de l'exigence de compatibilité du logiciel posée au ch. 2.2 du dossier de soumission. Pour l'adjudicateur, cette exigence signifiait que le logiciel proposé devait pouvoir être installé et s'intégrer tel quel dans l'environnement informatique de l'Etat du Valais, sans qu'il faille recourir à des aménagements entraînant des coûts supplémentaires. Le recourant a compris au contraire que la nécessité de procéder à de tels aménagements n'était, en soi, pas proscrite par le ch. 2.2 précité du dossier de soumission, vu la réponse suivante de l'adjudicateur à une question de sa part: "Concernant le point 2.2 de l'appel d'offre: L'application [ne] doit pas obligatoirement être développée avec Oracle, par contre elle doit impérativement être webisée et accessible uniquement depuis les ports http 80 et SSL 443 pour des raisons de sécurité" (courriel du 30 août 2006). Le Tribunal cantonal a considéré, sur la base notamment de certaines attestations produites par le recourant, que l'acception relativement large de la notion de compatibilité, telle que comprise par la Société 2, ne paraissait pas inhabituelle dans la branche. Il a cependant refusé d'accorder le maximum de points au recourant pour les sous-critères bis litigieux, car ce "serait gommer l'avantage qu'est pour le client la faculté d'introduire dans ses standards actuels un nouveau logiciel qui pourrait y être installé et y fonctionner sans le potentiel d'inconvénients de la solution offerte par [la Société 2. En effet, s'il] devait accepter l'offre du recourant, l'Etat devrait se procurer un serveur ad hoc, y installer les systèmes spécifiques prévus dans cette offre et former du personnel pour la maintenance de l'ensemble de ces systèmes." Afin de ne pas "empiéter à l'excès sur la marge d'appréciation du Conseil d'Etat", le Tribunal cantonal a corrigé la notation en la modulant. Alors que celle-ci prévoyait initialement soit la note de 0 soit celle de 5, les juges ont octroyé un point à la Société 2 pour chacun des quatre sous-critères bis litigieux; ils ont également constaté que le soumissionnaire évincé n'aurait pas emporté le marché même s'il avait bénéficié de 2,5 points pour chacun des sous-critères bis en cause.
Il apparaît ainsi que le Tribunal cantonal a réévalué quelque peu les notes du recourant, afin d'atténuer les conséquences d'une stricte interprétation de la notion de compatibilité, telle que comprise par l'adjudicateur, et de tenir compte du fait que l'exigence de compatibilité, au sens où l'entendait la Société 2, pouvait également se concilier avec le ch. 2.2 du dossier de soumission. En d'autres termes, le Tribunal cantonal n'a privilégié aucune des interprétations en présence, optant pour une solution intermédiaire qui ménage tout à la fois les intérêts de l'adjudicateur et du recourant. Il est douteux que cette solution soit conforme au principe de la transparence, car elle revient à modifier une règle de notation après l'ouverture des offres, ce qui autorise toutes les manipulations: comme l'ont constaté les premiers juges, la grille d'évaluation prévoyait en effet la note 5 en cas de compatibilité du logiciel, et la note 0 en cas d'incompatibilité, sans possibilité d'échelon intermédiaire. Il ne suffit toutefois pas, dans un recours fondé sur l'arbitraire, que la décision attaquée soit insoutenable dans sa motivation pour que le Tribunal fédéral en prononce l'annulation; il faut encore qu'elle soit arbitraire dans son résultat (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités). En l'espèce, la solution des premiers juges équivaut, dans son résultat, à confirmer la décision d'adjudication par laquelle le recourant a obtenu la note de 0 pour les sous-critères bis se référant à la compatibilité. Or, on ne saurait dire que le ch. 2.2 du dossier de soumission ne pouvait se comprendre dans le sens proposé par l'adjudicateur, soit comme excluant qu'un logiciel puisse être qualifié de "compatible" si son intégration dans l'environnement informatique de l'Etat du Valais nécessite, comme l'offre de la Société 2, des aménagements engendrant des coûts additionnels (achat d'un serveur supplémentaire, installation sur ce serveur du système offert, formation du personnel de maintenance). Comme l'ont constaté les premiers juges, les précisions fournies par l'adjudicateur dans le courriel précité du 30 août 2006 ne s'opposent pas à une telle interprétation, car "on ne peut en inférer qu'un logiciel développé autrement qu'avec Oracle ne pourrait nécessairement pas s'intégrer sans produits supplémentaires dans l'environnement informatique décrit dans le ch. 2.2 du [dossier de soumission]" (arrêt attaqué, consid. 6a/ff).
Partant, le moyen est mal fondé.
2.4 Le recourant soutient encore que le Tribunal cantonal a fait preuve d'arbitraire en lui donnant la note 1 aux sous-critères bis litigieux, alors que seule la note 5 pouvait, selon la grille d'évaluation, entrer en ligne de compte. Du moment que l'attribution de la note 0 n'était, comme on l'a vu (supra consid. 2.3), pas insoutenable dans son résultat, le moyen soulevé par le recourant tombe à faux.
2.5 Enfin, le recourant invoque la protection de la bonne foi, mais ne développe aucunement ce grief dans sa motivation. Il ne sera donc pas entré en matière sur celui-ci (cf. supra consid. 1.2).
3. Il suit de ce qui précède que le recours constitutionnel subsidiaire doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Succombant, le recourant supportera un émolument judiciaire (art. 65 et 66 LTF). Il n'est alloué de dépens ni à l'Etat du Valais (cf. <ref-law>), ni à la Société 1 qui a procédé devant le Tribunal fédéral sans recourir au service d'un avocat (cf. <ref-law> en relation avec l'art. 1er let. a du Règlement sur les dépens alloués à la partie adverse et sur l'indemnité pour la représentation d'office dans les causes portées devant le Tribunal fédéral; RS 173.110.210.3).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 10'000 fr., sont mis à la charge de X._.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à Y._ SA, au Conseil d'Etat et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 23 mai 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Merkli Addy