Faits:
A. A.a Dame X._, née le *** 1967, et X._, né le *** 1973, se sont mariés le 13 avril 2004, sous le régime de la séparation de biens.
Deux enfants sont issus de cette union, soit A._, née le *** 2004, et B._, née le *** 2007.
Pendant la vie commune, les époux ont habité dans une villa, sise à C._, propriété de X._, mais financée par le grand-père de ce dernier, qui en occupe lui-même une partie de manière irrégulière.
Dame X._ a quitté le domicile conjugal le 20 décembre 2011. Elle a habité chez un cousin. Actuellement, elle loue une chambre à D._.
A.b X._ souffre d'un trouble bipolaire schizo-affectif, se manifestant par des conduites agressives envers des tiers et des destructions d'objets ou de biens. Depuis 2002, il a dû être hospitalisé à plusieurs reprises en raison de ces troubles. En 2003, il a été placé sous tutelle.
Dame X._ souffre pour sa part d'une addiction à l'alcool pour laquelle elle suit actuellement un traitement.
S'agissant de la situation financière des époux, le juge de première instance a retenu les faits suivants: aucun d'eux ne travaille. Dame X._ n'a pas de revenu. Le grand-père de X._ continue à verser à son petit-fils, à titre de salaire, le montant de 20'000 fr. par mois, en dépit du fait que la société dont il est propriétaire et dont X._ est l'administrateur inscrit au Registre du commerce n'a plus de revenus. S'il prend actuellement en charge les frais relatifs à la maison de C._, le grand-père de X._ ne continuera pas à le faire si son petit-fils n'habite plus la maison. X._ est également propriétaire d'une maison en France. Devant l'instance cantonale, cet état de fait, ainsi que les coûts liés à la villa, sont en partie contestés par chacun des époux.
A.c Le 9 décembre 2011, en raison notamment de deux hospitalisations de l'enfant B._ suite à une intoxication médicamenteuse et d'une interpellation de la mère en état de forte ébriété alors qu'elle conduisait, avec les enfants à bord de son véhicule, le SPMi a retiré la garde des enfants à leurs parents et a placé les enfants dans un foyer, mesures que le Tribunal tutélaire a ratifiées le 3 février 2012. Les enfants s'y sont bien intégrés et se sont montrés apaisés et joyeux depuis leur placement. Ils ont pu voir régulièrement leur mère, qui s'est montrée présente et adéquate envers eux.
Dans son rapport du 21 mars 2012, le SPMi a considéré que, au vu des compétences de Dame X._, le placement pouvait être levé et la garde confiée à la mère, avec la mise en place d'une curatelle éducative. Il convenait cependant que les enfants restent en foyer jusqu'à ce que Dame X._ trouve un logement adéquat. Le 2 mai 2012, le SPMi a suspendu provisoirement le droit de visite de X._, les dernières visites s'étant mal passées et les enfants, bouleversés par le comportement de leur père, ne souhaitant plus le voir.
B. B.a Le 20 décembre 2011, Dame X._ a déposé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale, avec mesures superprovisionnelles et provisionnelles, concluant notamment à l'attribution du domicile conjugal. Le 26 mars 2012, elle a encore requis, à titre de mesures superprovisionnelles, qu'il soit fait interdiction à son époux de disposer de sa villa.
Par ordonnance du 26 mars 2012, le Tribunal de première instance de Genève a interdit à X._ de disposer de l'immeuble de C._ sans le consentement de son épouse et a ordonné au Conservateur du Registre foncier d'inscrire cette interdiction audit Registre.
Statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale par jugement du 4 mai 2012, ce tribunal a, entre autres mesures, attribué à Dame X._ la jouissance exclusive du domicile conjugal (ch. 2), imparti à X._ un délai au 23 mai 2012 pour quitter ledit domicile, sous la menace de la peine prévue à l'<ref-law> (ch. 3), fait interdiction à X._ d'approcher le domicile conjugal précité, sous la menace de la même peine (ch. 4), condamné X._ à verser à titre de contribution à l'entretien de sa famille, allocations familiales en sus, 11'686 fr. 40 du 20 décembre 2011 au 30 avril 2012, puis 12'800 fr. dès le 1er mai 2012 (ch. 8), et condamné X._ à verser à son épouse une provisio ad litem de 8'000 fr. (ch 9). Il a par ailleurs révoqué l'interdiction et l'ordre d'inscription de son ordonnance du 26 mars 2012 (ch. 10) et ordonné par conséquent au Conservateur du Registre foncier de supprimer l'inscription précédemment prononcée.
B.b Contre cet arrêt, les deux parties ont interjeté un appel devant la Cour de justice du canton de Genève. X._ a, au préalable, requis la suspension du caractère exécutoire du jugement.
Par décision du 5 juin 2012, la Présidente de la Cour a accordé l'effet suspensif s'agissant des chiffres 2, 3 et 4 du dispositif attaqué, X._ ne disposant pas d'une solution de relogement, contrairement à Dame X._. Elle a en revanche refusé cet effet s'agissant des chiffres 8 et 9 du dispositif, le recourant n'exposant pas en quoi le paiement des sommes d'argent constituerait pour lui un dommage difficilement réparable.
C. Par acte du 10 juillet 2012, Dame X._ interjette un recours en matière civile contre cette décision, concluant à la restitution du caractère exécutoire aux chiffres 2, 3 et 4 du dispositif du jugement de première instance rendu le 4 mai 2012. En substance, elle invoque l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits et dans l'application des <ref-law>, 271, 276 et 277 CC, ainsi que la violation des art. 7, 12, 14 Cst. et 8 CEDH.
Aucune réponse au fond n'a été requise.
D. Par ordonnance présidentielle du 30 juillet 2012, la requête d'effet suspensif et celle de mesures provisionnelles déposées par la recourante ont été rejetées.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 et les références).
1.1 La décision querellée suspend l'exécution d'un jugement de première instance attribuant le domicile conjugal à la recourante, impartissant un délai à l'intimé pour quitter ce domicile et lui faisant interdiction de s'en approcher, les deux injonctions étant faites sous menace de la peine de l'<ref-law>, ce qui revient à accorder l'effet suspensif à l'appel. Il s'agit là d'une décision incidente, rendue en matière civile (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 et les références).
Hormis les décisions mentionnées à l'<ref-law>, une décision préjudicielle ou incidente peut être entreprise immédiatement si elle peut causer un préjudice irréparable (<ref-law>) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>). Un préjudice ne peut être qualifié d'irréparable au sens de l'<ref-law> que s'il cause un inconvénient de nature juridique; tel est le cas lorsqu'une décision finale même favorable à la partie recourante ne le ferait pas disparaître entièrement (<ref-ruling> consid. 1 et les références; <ref-ruling> consid. 2.1).
De jurisprudence constante, le fait d'être privé de la garde de son enfant entraîne un préjudice irréparable, car même si le parent gardien obtient finalement gain de cause au fond, aucune réparation ne sera possible pour la période écoulée sans avoir eu l'enfant auprès de lui (<ref-ruling> consid. 1 et les références).
En l'espèce, la décision ne porte certes pas sur la garde des enfants. Toutefois, le retour des enfants, placés en foyer, auprès de leur mère dépend aussi du logement convenable de celle-ci. Dès lors, au vu du temps qu'il faudrait à la recourante pour trouver un tel logement en région genevoise alors que le domicile conjugal serait immédiatement libre une fois évacué par l'intimé, il faut admettre que la décision attaquée lui cause un préjudice irréparable, en prolongeant la période où elle est éloignée des enfants.
1.2 La Présidente de la Cour de justice n'a pas statué sur recours mais en qualité d'instance cantonale unique sur l'effet suspensif requis dans le cadre d'une procédure d'appel; le recours en matière civile est cependant admissible en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1 et les références). Interjeté en temps utile par une partie qui a succombé dans ses conclusions en instance cantonale, le recours est également recevable au regard des art. 100 al. 1 et 76 LTF.
2. La décision accordant l'effet suspensif, comme celle d'exécution provisoire ou de retrait de l'effet suspensif (<ref-ruling> consid. 2), est une décision de mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law>, de sorte que seule la violation de droits constitutionnels peut être invoquée. Saisi d'un recours en matière civile au sens de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral dispose ainsi d'un pouvoir d'examen limité. Il n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (<ref-law>), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.4). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi manifestement insoutenable (<ref-ruling> consid. 3 et les références).
3. La recourante se plaint pêle-mêle d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits relatifs aux possibilités de relogement de l'intimé ainsi que dans l'application de l'<ref-law>. A cet égard, elle soutient tout d'abord que l'intimé ne subit aucun préjudice difficilement réparable en devant libérer le domicile conjugal, étant donné qu'il dispose "d'un luxueux appartement à E._" et que son grand-père lui verse une somme de 20'000 fr. par mois pour son entretien, de sorte qu'il peut "se reloger immédiatement" ou "prendre une suite dans les plus prestigieux hôtels de Genève". Elle ajoute que rien ne le retient à Genève étant donné qu'il n'y travaille pas et que son droit de visite sur ses enfants est suspendu. On comprend de sa motivation qu'elle soutient ensuite que la cour n'a pas pris en considération le fait que, tant qu'elle ne peut pas réintégrer le domicile conjugal, elle reste séparée de ses deux enfants et le risque subsiste que la villa soit vendue.
3.1 Une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de justice et d'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2.2.2 et les références).
3.1 Une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de justice et d'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2.2.2 et les références).
3.2 3.2.1 L'appel n'a pas d'effet suspensif lorsqu'il a pour objet des décisions portant sur des mesures provisionnelles (<ref-law>). À teneur de l'<ref-law>, l'exécution des mesures provisionnelles peut exceptionnellement être suspendue si la partie concernée risque de subir un préjudice difficilement réparable.
En tant que la décision prononcée en l'espèce suspend, pour la durée de la procédure d'appel, le caractère exécutoire du jugement de première instance, elle constitue une mesure provisionnelle.
3.2.2 La notion de préjudice difficilement réparable se retrouve dans les conditions matérielles du prononcé de mesures provisionnelles (cf. <ref-law>) et dans celles de la suspension de l'exécution de ces mesures durant la procédure d'appel (cf. <ref-law>). Dans les deux cas, le préjudice difficilement réparable peut être de nature factuelle; il concerne tout préjudice, patrimonial ou immatériel, et peut même résulter du seul écoulement du temps pendant le procès. Le dommage est constitué, pour celui qui requiert les mesures provisionnelles, par le fait que, sans celles-ci, il serait lésé dans sa position juridique de fond et, pour celui qui recourt contre le prononcé de telles mesures, par les conséquences matérielles qu'elles engendrent (arrêts 5D_211/2011 du 30 mars 2012 consid. 6.3, destiné à la publication aux ATF 138, et les références; 5A_194/2012 du 8 mai 2012 consid. 5.1.2).
Saisie d'une demande d'effet suspensif au sens de l'<ref-law>, l'autorité cantonale d'appel doit ainsi procéder à une nouvelle pesée des intérêts entre les deux préjudices difficilement réparables, celui du demandeur à l'action si la mesure n'était pas exécutée immédiatement et celui qu'entraînerait pour le défendeur l'exécution de cette mesure (<ref-ruling> consid. 4.1; arrêt 5D_211/2011 du 30 mars 2012 consid. 6.3, destiné à la publication aux ATF 138, et les références).
3.2.3 En l'espèce, pour démontrer que l'intimé ne subit aucun préjudice du fait d'une évacuation, la recourante se contente d'affirmer, en renvoyant à des passages du jugement de première instance, que son époux pourrait se loger tant dans l'appartement dont il est propriétaire en France que dans des hôtels à Genève étant donné qu'il dispose d'un montant de 20'000 fr. que lui verse son grand-père. Toutefois, le jugement précité ne fait en réalité que constater que l'intimé a une propriété immobilière, sans préciser si l'immeuble est actuellement libre de locataires et destiné à l'habitation. Par ailleurs, sur le montant de 20'000 fr. que le premier juge a retenu à titre de salaire de l'intimé, celui-ci doit verser 12'800 fr. à sa famille à titre de contribution d'entretien pour la durée de la procédure cantonale. Par cette critique purement appellatoire (cf. supra consid. 2), la recourante ne démontre pas que la cour cantonale aurait versé dans l'arbitraire en retenant que, faute de possibilité immédiate de relogement, l'évacuation de l'immeuble est susceptible de causer à l'intimé un préjudice difficilement réparable.
Ensuite, s'agissant du risque que la villa soit vendue, l'<ref-law> permet précisément d'éviter qu'en cas de tensions conjugales ou par légèreté, l'époux titulaire des droits dont dépend le logement familial ne dispose unilatéralement de celui-ci, lorsque cela cause des difficultés injustifiées à son conjoint. Ce n'est que dans des circonstances précises, notamment lorsque l'époux bénéficiaire de la protection légale quitte le logement familial de manière définitive ou pour une durée indéterminée de son propre chef ou sur ordre du juge, que le logement perd son caractère familial, et partant, la protection spécifique qui lui est conférée par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.1). Dès lors, la recourante ne peut être suivie lorsqu'elle prétend que, en raison de l'effet suspensif accordé à l'appel, elle court le risque que la villa soit vendue. En revanche, la recourante a raison lorsqu'elle soutient que la séparation prolongée d'avec ses enfants lui cause un préjudice difficilement réparable (cf. supra consid. 1.1).
Néanmoins, la recourante ne parvient pas à démontrer que l'autorité cantonale aurait violé l'art. 9 Cst. en opérant une pesée arbitraire des intérêts en cause. En effet, il ressort du jugement de première instance que la recourante a actuellement un toit, que les enfants se sont épanouis et ont trouvé un équilibre en foyer et que la recourante peut quotidiennement aller leur rendre visite. La décision attaquée laisse le domicile conjugal à l'époux qui s'y trouve de façon à éviter que celui-ci ne doive le quitter pour ensuite à nouveau y emménager en cas d'admission de l'appel (arrêt 5A_468/2012 du 14 août 2012). La recourante admettant elle-même qu'elle ne pourrait pas immédiatement accueillir ses enfants si le logement conjugal ne lui était, en définitive, pas attribué, cette décision évite aussi aux enfants de subir des changements successifs dans leur prise en charge et leur lieu de vie.
Au vu de ce qui précède, le grief d'arbitraire doit être rejeté, tant en ce qui concerne l'établissement des faits que l'application de l'<ref-law>.
4. Dans ses autres griefs, la recourante ne fait que répéter ses arguments relatifs à la séparation prolongée d'avec ses enfants et à la vente de la villa, de sorte que, pour autant que recevables, leur sort est scellé par ce qui précède.
5. En conséquence, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante, qui succombe. Celle-ci versera en outre à l'intimé, invité à se déterminer sur la requête d'effet suspensif et de mesures provisionnelles pour la durée de la présente procédure, une indemnité de 500 fr. à titre de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Une indemnité de dépens de 500 fr., à payer à l'intimé, est mise à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 4 septembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Achtari