Faits:
A.
A.a. M. B.X._, né en 1957, de nationalité suisse, et Mme A.X._, née en 1989, ressortissante de Côte d'Ivoire, se sont mariés dans ce pays le 31 mars 2012. Aucun enfant n'est issu de leur union. M. B.X._ est le père de deux enfants issus d'un précédent mariage, Y._, né en 1996 et Z._, née en 2003.
L'épouse est arrivée en Suisse en mai 2012. Un permis de séjour de catégorie B, avec autorisation d'exercer une activité, lui a été délivré le 23 mai 2012.
A.b. Le 20 décembre 2012, le mari a déposé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale, concluant au prononcé de la séparation pour une durée indéterminée et à ce que le domicile conjugal lui soit attribué.
Par procédé écrit du 18 mars 2013, l'épouse a conclu à ce que la séparation soit prononcée pour une durée indéterminée et à ce que le mari soit astreint à contribuer à son entretien par le versement d'une pension mensuelle de 1'700 fr.
Les époux ont été entendus à l'audience du 21 mars 2013 et ont alors passé une convention réglant partiellement leur séparation.
Le 29 mai 2013, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a pris acte, pour valoir prononcé partiel de mesures protectrices de l'union conjugale, de la convention signée le 21 mars 2013, à teneur de laquelle les parties s'autorisaient à vivre séparées pour une durée indéterminée, le domicile conjugal étant attribué au mari à charge pour lui d'en assumer l'intégralité des frais. Elle a en outre condamné celui-ci à verser à l'épouse une pension mensuelle de 1'140 fr. dès et y compris le 15 mars 2013, puis de 1'340 fr. dès le 1er octobre 2013.
B.
Par arrêt du 16 juillet 2013, notifié le 25 juillet suivant, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a réformé ce prononcé en ce sens que le mari n'est pas tenu de contribuer à l'entretien de l'épouse et l'a confirmé pour le surplus.
Ce magistrat a considéré que le revenu du mari ne lui permettait que de couvrir son minimum vital et n'a donc pas eu à déterminer la situation financière de l'épouse.
C.
Par acte du 26 août 2013, l'épouse exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du Juge délégué. Elle conclut principalement à ce que le mari contribue à son entretien par le versement des pensions fixées en première instance. Subsidiairement, elle demande l'annulation de l'arrêt querellé et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle instruise et statue à nouveau dans le sens des considérants.
La recourante sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimé propose le rejet du recours, dans la mesure où il est recevable.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
D.
Par ordonnance du 29 août 2013, le Président de la cour de céans a rejeté la demande d'effet suspensif.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le présent recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4) rendue sur recours par une autorité supérieure (art. 75 al. 1 et 2 LTF) dans une affaire civile (<ref-law>). Le litige porte sur la contribution d'entretien en faveur du conjoint, à savoir une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse est atteinte (art. 51 al. 1 ch. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). La recourante a en outre pris part à la procédure devant l'autorité précédente (<ref-law>) et a un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>). Le recours en matière civile est en principe recevable.
1.2. Dès lors que la décision attaquée porte sur le prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 à 179 CC), soit de mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5), le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir d'examen limité, seule la violation des droits constitutionnels pouvant être invoquée. Il n'examine en outre les griefs de violation de droits constitutionnels que s'ils ont été invoqués et motivés conformément au principe d'allégation (<ref-law>), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.4). Le recourant qui se plaint de la violation d'un droit fondamental ne peut donc se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer ses allégations par une argumentation précise (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3.2).
1.3. En ce qui concerne l'appréciation des preuves et la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 1b). Cette retenue est d'autant plus grande dans le domaine des mesures protectrices de l'union conjugale, qui sont ordonnées à la suite d'une procédure sommaire, avec administration restreinte des moyens de preuve et limitation du degré de la preuve à la simple vraisemblance. Dans le cadre d'un recours soumis à l'<ref-law>, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte doit démontrer que ceux-ci sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst., conformément au principe d'allégation (cf. supra, consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.2.2; arrêt 5A_654/2013 du 2 décembre 2013 consid. 2.2). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>).
2.
La recourante se plaint d'établissement inexact des faits dans le calcul des revenus et des charges de l'intimé.
2.1. Elle reproche d'abord au juge cantonal d'avoir arbitrairement pris en compte un montant de 4'200 fr. à titre de pensions mensuellement dues par l'intimé pour l'entretien de son ex-épouse et de leurs deux enfants.
L'arrêt attaqué retient que, selon le jugement de divorce du 24 janvier 2012, le mari est tenu au paiement d'une pension globale de 4'200 fr. par mois. Il résulte toutefois des faits constatés que, par lettres des 19 et 25 mars 2013, son ex-épouse a attesté qu'il lui versait mensuellement, de la main à la main, une somme de 4'000 fr. Or, seules les charges effectives, dont le débiteur s'acquitte réellement, peuvent être prises en compte dans le calcul du minimum vital (arrêt 5A_65/2013 du 4 septembre 2013 consid. 3.2.1; 5A_447/2012 du 27 août 2012 consid. 3.1; cf. <ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 3b et les arrêts cités). La recourante soutient par conséquent à juste titre qu'il était insoutenable de retenir une somme de 4'200 fr. à ce titre.
2.2. La recourante prétend en outre que le juge précédent a, de façon contradictoire, partant arbitraire, ajouté dans les charges de l'intimé la somme de 150 fr. au titre de frais pour le droit de visite, tout en incluant dans le calcul du minimum vital de celui-ci un montant de base mensuel de 1'350 fr., au lieu des 1'200 fr. prévus pour une personne seule exerçant son droit de visite.
Selon l'arrêt attaqué, par convention du 17 novembre 2011, ratifiée le 24 janvier 2012 pour valoir jugement de divorce, la garde des enfants issus du précédent mariage de l'intimé a été confiée à leur mère, sous réserve du droit de visite de leur père, qui s'est par ailleurs engagé à verser une contribution d'entretien en leur faveur. Cependant, par lettres des 19 et 25 mars 2013, la mère a notamment indiqué que leur fils avait choisi de vivre «momentanément» chez son père depuis le 27 août 2012, avec son accord; elle a par ailleurs précisé qu'elle détenait toujours la garde de son fils et qu'elle assumait tous les frais et charges le concernant tels que l'assurance maladie, l'habillement, le dentiste et les abonnements de transports.
Contrairement à ce que prétend la recourante, l'autorité cantonale n'a pas fait preuve de contradiction en prenant en compte, dans les charges de l'intimé, un montant de 150 fr. à titre de frais de droit de visite: comme le souligne ce dernier dans sa réponse, il est aussi le père d'une fille, née en 2003, dont la garde a été attribuée à la mère et qui vit avec elle, de sorte qu'on peut admettre que ces 150 fr. concernent l'exercice du droit de visite de cet enfant-là. Par ailleurs, autant qu'il faut comprendre le grief de la recourante dans le sens qu'indépendamment de la prétendue contradiction dont elle se plaint, le montant de base qui aurait dû être pris en considération dans le calcul du minimum vital de l'intimé était de 1'200 fr. et non de 1'350 fr., son allégation n'est pas suffisamment motivée (<ref-law>). Quoi qu'il en soit, il n'apparaît pas insoutenable de considérer que la garde de fait assumée par le père justifie de prendre ici en considération le montant de base prévu pour un débiteur monoparental plutôt que pour un débiteur vivant seul, étant précisé que la cour cantonale a, à juste titre et à l'instar du premier juge, considéré qu'il n'y avait pas lieu d'inclure dans le minimum vital du mari un montant de 600 fr. correspondant au minimum vital de son fils, dont les frais et charges restent assumés par l'épouse.
2.3. L'autorité cantonale a retenu dans les charges incompressibles du mari un montant de 423 fr. par mois au titre de remboursement d'une dette bancaire, estimant que celle-ci avait été contractée au moment du mariage. La recourante le conteste. Elle expose que les documents fournis par l'intimé indiquent clairement que la dette a été contractée le 15 novembre 2011, alors que le mariage a eu lieu le 31 mars 2012. De plus, de l'aveu même de l'intimé, celui-ci ne lui a donné pour son entretien, depuis son arrivée en Suisse et jusqu'à son départ du domicile conjugal le 15 mars 2013, qu'une somme de 250 fr. Enfin, une partie de la somme totale à rembourser comprendrait un montant résultant d'un autre crédit, portant un numéro de contrat différent et de toute évidence antérieur au prêt dont il est question ici. Dès lors, on ne pourrait retenir que l'emprunt litigieux - d'un montant de 20'000 fr. - ait servi à l'entretien des époux.
2.3.1. La jurisprudence et la doctrine admettent que, lorsque la situation financière des parties le permet, une dette peut être prise en considération dans le calcul du minimum vital du droit de la famille lorsque celle-ci a été contractée avant la fin du ménage commun aux fins de l'entretien des deux époux, mais non lorsqu'elle a été supportée au profit d'un seul des époux, à moins que tous deux n'en répondent solidairement (<ref-ruling> consid. 2a/bb et les références; Vetterli, in FamKomm Scheidung, vol. I, 2e éd., 2011, n. 33 ad <ref-law> p. 431).
2.3.2. En l'occurrence, il résulte du contrat de prêt produit par le mari que celui-ci l'a signé le 17 novembre 2011. Or le mariage a eu lieu en Côte d'Ivoire le 31 mars 2012 et l'épouse est venue en Suisse en mai 2012. De plus, le contrat mentionne qu'un montant de 4'450 fr. est imputé du crédit en question pour amortir intégralement par compensation la dette résultant d'un contrat de crédit antérieur, portant un autre numéro que le premier. Dans ces conditions, l'autorité cantonale ne pouvait constater, sans arbitraire, que le prêt litigieux avait été conclu «au moment du mariage» ni, partant, considérer qu'il s'agissait d'une dette contractée pendant la vie commune pour le bénéfice des deux époux, ou décidée en commun, ou encore dont les époux seraient débiteurs solidaires (<ref-ruling> consid. 2a/bb et b avec les références). Le recours doit dès lors être également admis sur ce point, en ce sens que le remboursement de la dette invoqué par le mari ne peut être pris en compte dans le calcul de son minimum vital.
2.4. Selon le juge cantonal, il n'y a pas lieu d'imputer au mari un revenu locatif hypothétique de 600 fr. par mois pour la maison dont il est copropriétaire pour moitié avec son ex-épouse et qui est occupée par celle-ci, dès lors qu'on ignore tout de la valeur de cette part ainsi que du loyer qui pourrait en être obtenu. De plus, une location impliquerait l'accord de l'ex-épouse, alors qu'elle occupe l'immeuble avec ses enfants, et que les anciens conjoints sont convenus de le vendre. La recourante le conteste, arguant que «la déclaration d'impôt fournie par l'intimé mentionne expressément la valeur de sa part et que le loyer qu'on pourrait obtenir d'une location dans la région où se situe l'immeuble peut être estimé selon le cours ordinaire des choses». De nature appellatoire, ce grief doit être déclaré irrecevable, faute de motivation suffisante (<ref-law>; ATF <ref-ruling> consid. 3).
2.5. Vu ce qui précède, le total des charges du mari doit ainsi être arrêté à 7'916 fr., et non à 8'539 fr. par mois comme l'a retenu le juge précédent (base mensuelle: 1'350 fr. + frais liés au droit de visite: 150 fr. + contribution d'entretien effective: 4'000 fr. + loyer: 1'450 fr. + assurance maladie: 418 fr. + abonnement général: 330 fr. + frais de repas: 218 fr.). Dès lors, même si l'on s'en tient à un revenu mensuel net du mari de 8'541 fr., celui-ci dispose encore, après paiement de ses charges, d'un solde disponible de 625 fr. par mois. L'appréciation desdites charges par le juge cantonal conduit donc à un résultat arbitraire.
3.
En conclusion, le recours doit être partiellement admis dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle détermine la situation financière de l'épouse et statue à nouveau sur l'allocation éventuelle d'une contribution d'entretien en faveur de celle-ci. L'intimé supportera par conséquent les frais judiciaires (<ref-law>) et versera en outre des dépens à la recourante (art. 68 al. 1 et 2 LTF), dont la requête d'assistance judiciaire devient ainsi sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est sans objet.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4.
Une indemnité de 2'000 fr., à verser à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimé.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 10 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Mairot