Sachverhalt:
A. Das Obergericht des Kantons Zürich befand X._ am 22. Januar 2007 erstinstanzlich namentlich der versuchten vorsätzlichen Tötung schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von sechs Jahren. Des Weiteren verpflichtete es ihn, dem Opfer eine Genugtuung von Fr. 12'000.-- zu bezahlen.
B. Eine von X._ gegen dieses Urteil eingereichte kantonale Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Zirkulationsbeschluss vom 25. Februar 2008 ab.
C. Mit Eingabe vom 21. April 2008 führt X._ Beschwerde in Strafsachen gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 25. Februar 2008 und beantragt die Aufhebung des Beschlusses und die Zurückweisung der Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz.
Mit gleichentags erhobener Beschwerde in Strafsachen ficht X._ das Urteil des Obergerichts vom 22. Januar 2007 an mit dem Antrag, er sei freizusprechen; eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für den Fall einer Verurteilung wegen versuchter vorsätzlicher Tötung sei er mit einer teilweise bedingt vollziehbaren Freiheitsstrafe von 30 Monaten zu bestrafen, wobei der unbedingt vollziehbare Teil auf höchstens sechs Monate festzusetzen sei. Für den Fall einer Verurteilung wegen versuchten Totschlags sei er mit einer bedingt vollziehbaren Freiheitsstrafe von 15 Monaten zu bestrafen. Des Weiteren sei das Verfahren bis zum Entscheid über die Beschwerde gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 25. Februar 2008 zu sistieren.
In beiden Verfahren ersucht X._ ferner um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 25. Februar 2008 stellt einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid in Strafsachen dar, gegen welchen die Beschwerde in Strafsachen zulässig ist (Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1, Art. 90 BGG). Die zeitgleiche Anfechtung des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 22. Januar 2007 ist zulässig, da die Kognition des Zürcher Kassationsgerichts enger ist als jene des Bundesgerichts und die Beschwerdefrist daher erst mit der Eröffnung des Entscheids des Kassationsgerichts zu laufen begonnen hat (vgl. <ref-law>; Urteil des Bundesgerichts 6B_51/2007 vom 3. September 2007, E. 1).
Der Beschwerdeführer hat als beschuldigte Person, die in beiden Verfahren mit ihren Anträgen unterlegen ist, ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung der angefochtenen Entscheide (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 BGG). Auf die Beschwerden ist daher einzutreten. Da die beiden Beschwerden einen engen sachlichen Zusammenhang aufweisen, werden die Verfahren vereinigt (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> nicht publ. E. 1.1).
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Die Wendung "offensichtlich unrichtig" entspricht dem Willkürbegriff im Sinne von <ref-law> (Botschaft des Bundesrates vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4338). Die Rüge der offensichtlich unrichtigen Feststellung des Sachverhalts, mithin der Verletzung des Willkürverbots, prüft das Bundesgericht gemäss <ref-law> nur insoweit, als sie in der Beschwerde explizit vorgebracht und substantiiert begründet worden ist.
2. Die Bestimmungen des Allgemeinen Teils des Strafgesetzbuches sind durch das Bundesgesetz vom 13. Dezember 2002 teilweise revidiert worden. Das neue Recht ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten. Der Beschwerdeführer hat die ihm zur Last gelegte strafbare Handlung vor dem 1. Januar 2007 verübt. Das angefochtene Urteil ist nach diesem Zeitpunkt ergangen. Gemäss <ref-law> gelangt bei dieser Konstellation das neue Recht zur Anwendung, sofern es für den Täter milder ist. Das Obergericht gelangt zutreffend zum Schluss, dass sich das neue Recht im zu beurteilenden Fall nicht als das mildere erweist, da sich - soweit sich aufgrund des Strafmasses die Frage des bedingten oder teilbedingten Strafvollzugs nicht stellt - materiell keine Änderungen ergeben haben. Anwendung findet daher bisheriges Recht.
3. Dem Schuldspruch wegen versuchter vorsätzlicher Tötung liegt zusammengefasst folgender Sachverhalt zugrunde:
Am Sonntag, den 22. Mai 2005, kam es in den frühen Morgenstunden auf dem Parkplatz vor einer Diskothek in Dübendorf zu einer verbalen Auseinandersetzung zwischen dem Beschwerdegegner einerseits und dem Beschwerdeführer sowie zwei Kollegen andererseits, weil die drei es als ungebührlich und anstössig empfunden hatten, dass der Beschwerdegegner zuvor in der Diskothek mit der Begleiterin eines der beiden Kollegen des Beschwerdeführers eng anliegend getanzt hatte. Der Beschwerdeführer und der Beschwerdegegner bedrohten sich verbal, wobei letzterer ersterem in Aussicht stellte, ein Messer einzusetzen.
Am darauffolgenden Abend hielt sich der Beschwerdeführer in einem Restaurant auf, als ihn ein Anruf des Beschwerdegegners erreichte. Dieser holte den Beschwerdeführer alsdann beim Restaurant ab, und die beiden fuhren gemeinsam mit dem Auto des Beschwerdegegners zum Parkplatz eines Schwimmbades. Auf der Fahrt setzten sie die verbale Auseinandersetzung vom vergangenen Tag fort. Auf dem Parkplatz angekommen, stiegen sie aus, und der verbale Streit mündete in eine tätliche Auseinandersetzung, in deren Verlauf sich beide je einen sogenannten "Schwedenkuss" (Schlag mit der Stirn ins Gesicht der anderen Person) versetzten und zu Boden fielen. Der Beschwerdeführer geriet in Rückenlage, zog ein Küchenmesser aus seiner Jackentasche, welches er am Tag zuvor im Hinblick auf die erwartete Auseinandersetzung mit dem Beschwerdegegner behändigt hatte, und versetzte dem sich über ihm befindlichen Kontrahenten mehrere, teils heftige Messerstiche. Neben zwei kleineren Stichverletzungen im Weichteilbereich des linken Oberarms erlitt der Beschwerdegegner einerseits eine Stichverletzung an der Brust im Bereich des zehnten Zwischenrippenraums seitlich links, wodurch das linke Zwerchfell und der Magen verletzt wurden und Blut in den Brust- und Bauchraum austrat, und andererseits eine grössere Stichverletzung am Brustkorb hinten unterhalb des Schulterblatts, wodurch der Muskel und eine Arterie getroffen wurden.
Der Beschwerdeführer liess schliesslich vom schwer verletzten Beschwerdegegner ab. Dieser fuhr, nachdem es der Beschwerdeführer abgelehnt hatte, ihn ins Spital zu begleiten, mit seinem Personenwagen noch bis an seinen nahegelegenen Wohnort. In der Folge wurde der Beschwerdegegner, welcher einen erheblichen Blutverlust von zwei Litern erlitten hatte und dadurch in Lebensgefahr schwebte, von der Sanität ins Spital überführt und notfallmässig operiert. Die Operation verlief erfolgreich, und der Beschwerdegegner konnte das Spital am 2. Juni 2005 ohne bleibende Schäden wieder verlassen (vgl. zum Ganzen Urteil des Obergerichts insb. S. 21 - 25).
I. Beschwerde gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 25. Februar 2008
4. 4.1 Der Beschwerdeführer wirft den Vorinstanzen eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung und eine willkürliche Beweiswürdigung vor.
4.2 Willkür im Sinne von <ref-law> liegt nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung einzig vor, wenn der angefochtene Entscheid auf einer schlechterdings unhaltbaren oder widersprüchlichen Beweiswürdigung beruht bzw. im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Dass das angefochtene Urteil mit der Darstellung des Beschwerdeführers nicht übereinstimmt oder eine andere Lösung oder Würdigung vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, genügt praxisgemäss für die Begründung von Willkür nicht (<ref-ruling> nicht publ. E. 4.1; <ref-ruling> E. 2b mit Hinweisen).
Das Bundesgericht prüft frei, ob das Kassationsgericht auf eine in einer kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde gegen ein Urteil des Obergerichts vorgebrachte Rüge der willkürlichen Beweiswürdigung hin zu Unrecht Willkür verneint und diese Verfassungsverletzung nicht behoben hat. Diese Prüfung läuft aber regelmässig darauf hinaus zu beurteilen, ob das Obergericht die Beweise willkürlich gewürdigt hat. Trifft dies zu, hätte das Kassationsgericht Willkür bejahen müssen, und im gegenteiligen Fall hat es Willkür zu Recht verneint. Bei der Begründung der Rüge, das Kassationsgericht habe Willkür zu Unrecht verneint, muss sich der Beschwerdeführer daher auch mit den Erwägungen des Obergerichts auseinander setzen. Er darf sich mithin nicht auf eine reine Wiederholung der vor dem Kassationsgericht gegen das obergerichtliche Urteil erhobenen Rügen beschränken, sondern hat zugleich auf die Begründung des Kassationsgerichts einzugehen (<ref-ruling> nicht publ. E. 2.3).
4.3 Was der Beschwerdeführer gegen die Beweiswürdigung vorbringt, ist nicht geeignet, Willkür darzutun. Er begnügt sich über weite Strecken damit, die bereits vor Kassationsgericht erhobene Kritik an der obergerichtlichen Beweiswürdigung zu erneuern und einzig seine eigene Sicht der Dinge zu schildern. Mit der Begründung des angefochtenen Beschlusses setzt er sich nicht in rechtsgenügender Weise auseinander. Auch dort, wo er Bezug nimmt auf die Erwägungen des Obergerichts, übt er appellatorische Kritik, welche den Begründungsanforderungen gemäss <ref-law> nicht genügt. Da zur Geltendmachung eines Nichtigkeitsgrundes in der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht gemäss § 430 Abs. 2 StPO/ZH dieselben Anforderungen an die Beschwerdebegründung gelten, ist es verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, dass das Kassationsgericht seinerseits zusammenfassend folgerte, die Rügen des Beschwerdeführers seien überwiegend nicht genügend substantiiert.
4.4 Soweit auf die Rügen des Beschwerdeführers daher überhaupt eingetreten werden kann, sind diese nicht stichhaltig. So trifft es entgegen seiner Behauptung nicht zu, dass das Obergericht einzig auf seine Aussagen abgestellt und jene des Beschwerdegegners unberücksichtigt gelassen hat (vgl. hierzu das Urteil des Obergerichts S. 17 f.). Wie das Kassationsgericht ausgeführt hat, lässt sich zudem aus dem Urteil des Obergerichts entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers sehr wohl der Schluss ziehen, dieses sei in tatsächlicher Hinsicht zu dessen Gunsten davon ausgegangen, der Beschwerdegegner habe mit der rechten Hand nach hinten oder nach unten gegriffen. Dem Kassationsgericht ist weiter beizupflichten, dass das Obergericht nicht in Willkür verfallen ist, indem es die Schilderung des Beschwerdeführers, die von ihm gegen den Körper des Beschwerdegegners geführten Stiche müssten durch dessen Eingreifen in die Armbewegung in den Brust- und Oberkörperbereich abgelenkt worden sein, als nicht überzeugend eingestuft hat. Ebenso wenig ist, wie das Kassationsgericht zutreffend erörtert hat, die Beweiswürdigung des Obergerichts unhaltbar, das Vorbringen des Beschwerdeführers, er habe bei keinem der vier Stiche gemerkt, dass er den Oberkörper des Beschwerdegegners treffe, sei nicht glaubhaft (Urteil des Obergerichts S. 32 - 35).
Soweit der Beschwerdeführer ferner vorbringt, das Kassationsgericht habe eine Rechtsverweigerung begangen und die Begründungspflicht sowie die Unschuldsvermutung und das Verbot des überspitzten Formalismus verletzt, legt er ebenfalls nicht dar, inwiefern seine verfassungsmässigen Rechte durch den angefochtenen Entscheid tangiert sein sollten, namentlich inwiefern er durch die von ihm behauptete Vermischung von Beweiswürdigung und rechtlicher Würdigung im obergerichtlichen Urteil im Ergebnis einen Nachteil erfahren haben sollte.
Die Beschwerde ist damit in diesem Punkt abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist.
II. Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Strafkammer, vom 22. Januar 2007
5. 5.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei sich nicht bewusst gewesen, den Oberkörper des Beschwerdegegners getroffen zu haben, weshalb er auch nicht um die Möglichkeit des Todeseintritts gewusst und diesen dementsprechend auch nicht in Kauf genommen habe. Folglich habe das Obergericht den Eventualvorsatz zu Unrecht bejaht (Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts S. 5 - 10).
5.2 Das Obergericht hat festgehalten, aufgrund der Art und Weise der Tatbegehung - dem mehrfachen Zustechen mit einem Küchenmesser mit einer Klingenlänge von zehn Zentimetern in den Oberkörper des Opfers - habe sich dem Beschwerdeführer, welcher gemäss eigenen Angaben darum gewusst habe, dass ein Zustechen in den Oberkörper tödliche Folgen haben kann, die Wahrscheinlichkeit von tödlichen Verletzungen als derart wahrscheinlich aufdrängen müssen, dass sein Verhalten schlechterdings nicht anders interpretiert werden könne, als dass er den Tod des Beschwerdegegners zumindest in Kauf genommen habe (Urteil des Obergerichts S. 28 - 41).
5.3 Eventualvorsatz ist gegeben, wenn der Täter den Eintritt des Erfolgs bzw. die Tatbestandsverwirklichung für möglich hält, aber dennoch handelt, weil er den Erfolg für den Fall seines Eintritts in Kauf nimmt, sich mit ihm abfindet, mag er ihm auch unerwünscht sein. Für den Nachweis des Vorsatzes kann sich das Gericht - soweit der Täter nicht geständig ist - regelmässig nur auf äusserlich feststellbare Indizien und auf Erfahrungsregeln stützen, die ihm Rückschlüsse von den äusseren Umständen auf die innere Einstellung des Täters erlauben. Zu den äusseren Umständen, aus denen der Schluss gezogen werden kann, der Täter habe die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen, zählen auch die Grösse des dem Täter bekannten Risikos der Tatbestandsverwirklichung und die Schwere der Sorgfaltspflichtverletzung. Je grösser dieses Risiko ist und je schwerer die Sorgfaltspflichtverletzung wiegt, desto eher darf gefolgert werden, der Täter habe die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 8.2).
5.4 Das Obergericht hat in tatsächlicher Hinsicht, wie dargelegt, willkürfrei festgestellt, dass sich der Beschwerdeführer bewusst war, in den Oberkörper zu stechen, weshalb seine Rüge, er habe nicht um die Möglichkeit des Todeseintritts gewusst und somit nicht eventualvorsätzlich gehandelt, fehl schlägt. Zutreffend sind schliesslich die Ausführungen im angefochtenen Urteil, wonach sich dem Beschwerdeführer in dieser Situation die Wahrscheinlichkeit tödlicher Verletzungen als Folge der Messerstiche als derart naheliegend habe aufdrängen müssen, dass sein Verhalten nicht anders gedeutet werden könne, als dass er den Tod des Beschwerdegegners zumindest in Kauf genommen hat.
6. 6.1 Der Beschwerdeführer stellt sich weiter auf den Standpunkt, das Obergericht habe die Tat zu Unrecht als versuchte vorsätzliche Tötung statt als versuchten Totschlag qualifiziert, denn er habe in einer heftigen entschuldbaren Gemütsbewegung gehandelt.
6.2 Das Obergericht hat erwogen, der privilegierte Tatbestand des versuchten Totschlags sei nicht erfüllt. Die heftige Gemütsbewegung respektive die grosse seelische Belastung des Täters müsse nach den Umständen entschuldbar sein. Dies sei nicht bereits anzunehmen, wenn der Affekt oder die Drucksituation des Täters psychologisch erklärbar erscheine. Nur wenn auch ein "Durchschnittsmensch" in einer vergleichbaren Situation leicht in eine solche Gemütslage geraten wäre, sei auf Totschlag zu schliessen. Solche besonderen Umstände aber lägen nicht vor, weshalb der Grundtatbestand der (versuchten) vorsätzlichen Tötung von <ref-law> zur Anwendung gelange (Urteil des Obergerichts S. 27 f.).
6.3 Gemäss <ref-law> wird wegen Totschlags verurteilt, wer vorsätzlich einen Menschen tötet und dabei in einer nach den Umständen entschuldbaren heftigen Gemütsbewegung oder unter grosser seelischer Belastung handelt.
Die heftige Gemütsbewegung stellt einen besonderen psychologischen Zustand dar, der nicht pathologisch begründet, sondern dadurch gekennzeichnet ist, dass der Täter von einer starken Gefühlserregung überwältigt wird, die in einem gewissen Grad seine Fähigkeit, die Situation einzuschätzen oder sich zu beherrschen, einschränkt. Typisch ist, dass der Täter mehr oder weniger unverzüglich auf ein Gefühl, das ihn plötzlich überwältigt, reagiert. Beispiele solcher Gefühle sind Jähzorn, Wut, Eifersucht, Verzweiflung, Angst oder Bestürzung. Mit der Privilegierung wird der Tatsache Rechnung getragen, dass der Täter aufgrund des emotionalen Erregungszustands im Moment der Tötungshandlung nur noch beschränkt in der Lage war, sein Verhalten zu kontrollieren (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2a; Günter Stratenwerth/Guido Jenny, Schweizerisches Strafrecht, BT I, 6. Aufl., 2003, § 1 N. 29; Christian Schwarzenegger, Basler Kommentar, Strafgesetzbuch II, 2. Aufl., 2007, <ref-law> N. 4).
Die heftige Gemütsbewegung muss überdies entschuldbar sein. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung setzt der Begriff der Entschuldbarkeit voraus, dass die heftige Gemütsbewegung und nicht etwa die Tat nach den sie auslösenden Umständen gerechtfertigt und die Tötung dadurch bei ethischer Beurteilung in einem wesentlich milderen Licht erscheint. Eine heftige Gemütsbewegung ist entschuldbar, wenn sie in Anbetracht der gesamten äusseren Umstände als menschlich verständlich erscheint. Es muss angenommen werden können, auch eine andere, anständig gesinnte Person wäre in der betreffenden Situation leicht in einen solchen Affekt geraten. Hat der Täter die Konfliktsituation, welche die Gemütsbewegung auslöste, selber verschuldet oder doch vorwiegend durch eigenes Verhalten schuldhaft herbeigeführt, so ist der Affekt nicht entschuldbar (<ref-ruling> E. 3a und b).
6.4 Vorliegend kann nicht angenommen werden, dass eine "Durchschnittsperson" in der Lage des Beschwerdeführers aufgrund des für sich allein genommen nicht bedrohlichen Griffs des Kontrahenten nach hinten oder nach unten in eine heftige Gemütsbewegung i.S.v. <ref-law> geraten wäre. Zudem würde es an der Entschuldbarkeit gebrechen, da der Beschwerdeführer sich selbst in die Konfliktsituation, welche seinen angeblichen emotionalen Erregungszustand auslöste, manövriert hat.
7. 7.1 Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, es fehle an der Rechtswidrigkeit seines Verhaltens. Bedenke man, dass er sich in Rückenlage befunden habe und körperlich unterlegen gewesen sei, sei aufgrund des Griffs des Beschwerdegegners mit der rechten Hand nach hinten oder nach unten von einer Notwehrsituation auszugehen. Keine Rolle spielen könne, dass er kein Messer gesehen habe, denn auch wenn nicht erstellt sei, dass der Beschwerdegegner bewaffnet gewesen sei, habe er doch aufgrund der konkreten Umstände Anlass gehabt, hiervon auszugehen. Er habe mithin zumindest in Putativnotwehr gehandelt, weshalb ein Sachverhaltsirrtum vorliege mit der Konsequenz, dass er diesfalls einzig wegen fahrlässiger Deliktsbegehung hätte verurteilt werden dürfen. Im Übrigen könne vorliegend nicht von einem Notwehrexzess - weder von einem extensiven noch von einem intensiven - gesprochen werden. Ein weiteres Zuwarten sei für ihn in der betreffenden Situation nicht möglich gewesen, und seine Abwehr sei verhältnismässig erfolgt (Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts S. 14 - 20).
7.2 Das Obergericht hat ausgeführt, zwischen dem Beschwerdeführer und dem Beschwerdegegner habe eine wechselseitige verbale bzw. tätliche Auseinandersetzung stattgefunden. Zur Begründung einer Notwehrsituation, welche den Einsatz eines Messers gerechtfertigt hätte, hätte es einer zusätzlichen Eskalation bedurft. Der Beschwerdeführer aber habe selber mehrfach eingeräumt, weder vor noch während der Auseinandersetzung ein Messer oder eine andere Waffe gesehen zu haben. So habe er ausgesagt, beim Griff des Beschwerdegegners mit seiner rechten Hand nach hinten bzw. unten gedacht zu haben, dieser wolle "etwas hervorholen", "vielleicht ein Messer" oder "eine Schusswaffe oder etwas anderes". Vor diesem Hintergrund bestünden keine ausreichenden Anhaltspunkte für einen unmittelbar bevorstehenden Angriff des Beschwerdegegners. Der Beschwerdeführer habe vielmehr präventiv von seiner mitgeführten Waffe Gebrauch gemacht, ohne dass eine Notwehrsituation bestanden habe. Hieran vermöge der Umstand, dass der Beschwerdegegner im Vorfeld mit dem Einsatz eines Messers gedroht habe, nichts Entscheidendes zu ändern. Im Übrigen spreche auch das mehrfache Zustechen gegen eine Notwehrsituation. Zusammenfassend liege, wenn überhaupt, einzig ein extensiver Notwehrexzess vor, welcher strafzumessungsirrelevant sei (Urteil des Obergerichts S. 46 - 52).
7.3 Wird jemand ohne Recht angegriffen oder unmittelbar mit einem Angriff bedroht, so ist der Angegriffene und jeder andere berechtigt, den Angriff in einer den Umständen angemessenen Weise abzuwehren (Art. 33 Abs. 1 aStGB). Überschreitet der Abwehrende die Grenzen der Notwehr, so mildert das Gericht die Strafe nach freiem Ermessen. Überschreitet der Abwehrende die Grenzen der Notwehr in entschuldbarer Aufregung oder Bestürzung über den Angriff, bleibt er straflos (Art. 33 Abs. 2 aStGB).
Art. 33 Abs. 1 aStGB gibt dem Angegriffenen mithin das Recht zu verhältnismässiger Abwehr eines widerrechtlichen Angriffs. Die Angemessenheit der Abwehr beurteilt sich dabei unter Berücksichtigung derjenigen Situation, in welcher sich der rechtswidrig Angegriffene im Zeitpunkt seiner Tat befunden hat, sowie der Schwere des Angriffs, der durch Angriff und Abwehr bedrohten Rechtsgüter wie auch der Art des Abwehrmittels und dessen tatsächlicher Verwendung (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 2 a mit Hinweisen).
Die Feststellung, ob der Angriff bereits im Gang ist oder unmittelbar droht, ist nicht leicht zu treffen (Stefan Trechsel, Schweizerisches Strafgesetzbuch, Kurzkommentar, 2. Aufl., 1997, <ref-law> N. 6; Hans Dubs, Notwehr, ZStrR 1973/89, S. 342). Nach der Rechtsprechung verlangt der Rechtfertigungsgrund der Notwehr im Sinne von Art. 33 Abs. 1 aStGB vom Angegriffenen nicht, dass er mit einer Reaktion zuwartet, bis es für eine Abwehr zu spät ist. Doch setzt die Unmittelbarkeit der Bedrohung voraus, dass jedenfalls Anzeichen einer Gefahr vorhanden sind, die eine Verteidigung nahe legen. Solche Anzeichen liegen namentlich vor, wenn der Angreifer eine drohende Haltung einnimmt, sich zum Kampfe vorbereitet oder Bewegungen macht, die in diesem Sinne gedeutet werden können. Abwehr ist zulässig, sobald mit einem Angriff ernstlich zu rechnen ist und jedes weitere Zuwarten die Verteidigungschance gefährdet. Der Angriff droht mit anderen Worten nicht erst unmittelbar, wenn es für den Angreifer kein Zurück mehr gibt, sondern bereits, wenn der Bedrohte nach den gesamten Umständen mit dem sofortigen Angriff rechnen muss (Dubs, a.a.O., S. 343). Handlungen, die lediglich darauf gerichtet sind, einem zwar möglichen aber noch unsicheren Angriff vorzubeugen, einem Gegner also nach dem Grundsatz, dass der Angriff die beste Verteidigung ist, zuvorzukommen und ihn vorsorglich kampfunfähig zu machen, fallen nicht unter den Begriff der Notwehr.
7.4 Das Obergericht hat angenommen, der Beschwerdeführer habe nicht in der irrigen Annahme einer rechtfertigenden Sachlage (Putativnotwehr) gehandelt (vgl. <ref-ruling> E. 2d; <ref-ruling> E. 2b). Dies trifft zu, wird doch im angefochtenen Urteil explizit von dem vom Beschwerdeführer geschilderten Sachverhalt ausgegangen, wonach der Beschwerdegegner während der tätlichen Auseinandersetzung mit der rechten Hand nach hinten oder nach unten gegriffen habe, um möglicherweise ein Messer zu behändigen. Eine Differenz zwischen Vorstellung und wirklichem Sachverhalt besteht daher nicht.
Das Obergericht hat im Weiteren zu Recht gefolgert, der Beschwerdeführer sei im Moment, als er mit dem Messer mehrfach auf den Beschwerdegegner eingestochen habe, noch nicht unmittelbar mit einem rechtswidrigen Angriff bedroht gewesen. Auch wenn man mit dem Obergericht von der Sichtweise des Beschwerdeführers ausgeht und unterstellt, das Opfer habe möglicherweise ein Messer ergreifen wollen, hat der Beschwerdeführer ausserhalb der Notwehrsituation gehandelt, bevor die unmittelbare Bedrohung eingetreten ist. Denn in der Verhaltensweise des Opfers, das lediglich mit seiner Hand nach hinten bzw. unten greift, liegt noch kein bedrohliches Verhalten begründet, das unmittelbar in einen Angriff mit einem Messer umschlagen kann. Dies umso weniger, als dass der Beschwerdeführer gemäss eigenen Angaben nicht gesehen hat, dass der Beschwerdegegner zum Zeitpunkt der Auseinandersetzung überhaupt ein Messer oder eine andere Waffe auf sich getragen hat. Wie das Obergericht zutreffend angenommen hat, hat der Beschwerdeführer vielmehr einen Angriff als möglich erachtet und ist diesem durch sein Handeln zuvorgekommen. Dieses Handeln erfüllt die Voraussetzungen der Notwehr nicht, sondern es liegt ein extensiver Notwehrexzess vor, für welchen Art. 33 Abs. 2 aStGB keine Strafmilderung vorsieht (siehe hierzu Günter Stratenwerth, Schweizerisches Strafrecht, Allgemeiner Teil I, 3. Aufl., 2005, § 10 N. 85; Trechsel, a.a.O., <ref-law> N. 16; vgl. zum Ganzen auch das Urteil des Bundesgerichts 6S.384/2004 vom 7. Februar 2005, E. 3.2, welches - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - auf einem mit dem zu beurteilenden Fall durchaus vergleichbaren Sachverhalt beruht).
Das Obergericht hat demnach den Rechtfertigungsgrund der Notwehr respektive den Schuldausschliessungsgrund des (intensiven) Notwehrexzesses zu Recht verneint.
8. 8.1 Der Beschwerdeführer rügt des Weiteren eine Verletzung von Art. 13 aStGB, da das Obergericht kein psychiatrisches Gutachten eingeholt habe. Aufgrund seiner Fixierung am Boden in Rückenlage hätten sich dem urteilenden Gericht ernsthafte Zweifel an seiner Zurechnungsfähigkeit im Moment der Tatausführung aufdrängen müssen (Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts S. 20 f.).
8.2 Nach Art. 13 Abs. 1 aStGB ist eine Untersuchung des Beschuldigten anzuordnen, wenn Zweifel an dessen Zurechnungsfähigkeit bestehen. Das Gericht soll seine Zweifel nicht selber beseitigen, etwa indem es psychiatrische Fachliteratur beizieht. Vielmehr ergibt sich aus Art. 13 Abs. 2 aStGB, dass es bei Zweifeln eine sachverständige Person beiziehen muss. Art. 13 aStGB gilt nicht nur, wenn das Gericht tatsächlich Zweifel an der Zurechnungsfähigkeit hat, sondern auch, wenn es nach den Umständen des Falls ernsthafte Zweifel haben sollte (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 1a mit Hinweisen). Bei der Prüfung dieser Zweifel ist zu berücksichtigen, dass nicht jede geringfügige Herabsetzung der Fähigkeit, sich zu beherrschen, genügt, um verminderte Zurechnungsfähigkeit anzunehmen. Der Betroffene muss vielmehr, zumal der Begriff des normalen Menschen nicht eng zu fassen ist, in hohem Masse in den Bereich des Abnormen fallen. Seine Geistesverfassung muss nach Art und Grad stark vom Durchschnitt nicht bloss der Rechts-, sondern auch der Verbrechensgenossen abweichen (BGE <ref-ruling> E. 4b).
Die Notwendigkeit, eine sachverständige Person zuzuziehen, ist mithin erst gegeben, wenn Anzeichen vorliegen, die geeignet sind, Zweifel hinsichtlich der vollen Zurechnungsfähigkeit zu erwecken, wie etwa ein Widerspruch zwischen Tat und Täterpersönlichkeit oder völlig unübliches Verhalten. Zeigt das Verhalten des Täters vor, während und nach der Tat, dass ein Realitätsbezug erhalten war, dass er sich an wechselnde Erfordernisse der Situation anpassen, auf eine Gelegenheit zur Tat warten oder diese gar konstellieren konnte, so hat eine schwere Beeinträchtigung nicht vorgelegen (<ref-ruling> E. 3.3).
8.3 Vorliegend bestehen, wie das Obergericht zu Recht geschlossen hat, keinerlei Anzeichen, welche geeignet wären, Zweifel hinsichtlich der vollen Zurechnungsfähigkeit des Beschwerdeführers zu wecken. Die Vorgeschichte, die Tat als solche und deren Ausführung wie auch das Nachtatverhalten weisen keinerlei Auffälligkeiten auf, welche auf einen Verlust des Realitätsbezugs des Beschwerdeführers hindeuten würden. Es fehlt somit an konkreten Hinweisen auf eine schwere Beeinträchtigung seiner Einsichts- oder Steuerungsfähigkeit zum Tatzeitpunkt. Insbesondere vermag die Rückenlage des Beschwerdeführers während der tätlichen Auseinandersetzung keine entsprechenden Zweifel zu begründen.
9. 9.1 Der Beschwerdeführer beanstandet ferner die Strafzumessung. Er bringt vor, das Obergericht habe übersehen, dass er die Stiche unter dem Einfluss von Angst und Panik vorgenommen habe. Er habe in schwerer Bedrängnis gehandelt, da er sich gegen den drohenden Angriff aufgrund seiner hilflosen Lage nicht anders habe zur Wehr setzen können. Zudem sei er vom Beschwerdegegner in die Enge getrieben und deshalb ernstlich in Versuchung geführt worden, sich mit Messerstichen zur Wehr zu setzen, bzw. er sei vom Beschwerdegegner durch dessen ungerechte Reizung zu seinem Verhalten hingerissen worden. Die Strafe sei deshalb in Anwendung von Art. 64 aStGB erheblich zu mildern. Überdies hätte die Vorinstanz den Umstand, dass die Tat im Versuchsstadium stecken geblieben sei, in höherem Mass als mit einer bloss zweijährigen Reduktion der Einsatzstrafe berücksichtigen müssen. Schliesslich habe er sich geständig, kooperativ, reuig und einsichtig gezeigt und einen Reifungsprozess durchgemacht, was stärker zu seinen Gunsten hätte gewichtet werden müssen.
Im Falle einer Verurteilung sei die Freiheitsstrafe daher zusammenfassend auf 30 Monate zu reduzieren und teilbedingt auszusprechen, wobei der unbedingt vollziehbare Teil auf sechs Monate festzulegen sei (Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts S. 20 - 26).
9.2 Das Obergericht hat erwogen, aufgrund des Ausmasses des verschuldeten Erfolgs sei die objektive Tatschwere als erheblich einzustufen. Gleiches gelte für die Tatschuld des Beschwerdeführers, da die Art der Tatausführung - d.h. das mehrfache Zustechen mit einem Messer als Antwort auf eine "Bagatell-Vorgeschichte" - als brutal zu qualifizieren sei. Gerechtfertigt erscheine daher eine hypothetische Einsatzstrafe von zehn Jahren bei Vollendung des Delikts. Ferner müsse das Tatmotiv des Beschwerdeführers als egoistisch bezeichnet werden, was sich an sich erschwerend auswirke. Zu seinen Gunsten falle jedoch ins Gewicht, dass er die Tat eventualvorsätzlich begangen habe, weshalb insoweit eine Reduktion der hypothetischen Einsatzstrafe auf acht Jahre angemessen erscheine. Beim vollendeten Versuch hänge das Mass der zulässigen Herabsetzung der Strafe von der Nähe des tatbestandsmässigen Erfolgs und von den tatsächlichen Folgen der Tat ab. Der Beschwerdegegner habe zwar in Lebensgefahr geschwebt, hingegen seien die Messerstiche ohne grosse Folgen verheilt, so dass eine weitere Reduktion der Einsatzstrafe um zwei Jahre auf insgesamt sechs Jahre geboten sei. Bei den Täterkomponenten falle die Vorstrafe vom 28. Oktober 2002 wegen Entwendung eines Fahrzeugs zum Gebrauch und Fahrens ohne Führerausweis lediglich sehr leicht straferhöhend ins Gewicht. Beim Nachtatverhalten sei zu berücksichtigen, dass der Beschwerdeführer dem schwer verletzten und weinenden Beschwerdegegner die Bitte, ihn ins Spital zu fahren, abgeschlagen habe. Zudem habe der Beschwerdeführer im Rahmen der Einvernahmen wenig Reue und Einsicht gezeigt. Zu Gute zu halten sei ihm auf der anderen Seite, dass er sich noch am Abend des Delikts der Polizei gestellt habe. Die Tatsache, dass er sich nicht zu einem vollumfänglichen Geständnis habe durchringen können, sei nicht zu gewichten. Aussergewöhnliche Umstände, welche eine besondere Strafempfindlichkeit begründen würden, seien nicht auszumachen. Die Täterkomponenten führten damit insgesamt weder zu einer Erhöhung noch zu einer Herabsetzung der unter dem Titel "Tatkomponenten" auf sechs Jahre bemessenen Freiheitsstrafe (Urteil des Obergerichts S. 63 - 73).
9.3 Gemäss Art. 63 aStGB misst das Gericht die Strafe nach dem Verschulden des Täters zu; es berücksichtigt die Beweggründe, das Vorleben und die persönlichen Verhältnisse des Schuldigen. Das Verschulden ist nach der Schwere der Verletzung oder Gefährdung des betroffenen Rechtsguts, nach der Verwerflichkeit des Handelns, den Beweggründen und Zielen des Täters sowie danach zu bestimmen, wie weit der Täter nach den inneren und äusseren Umständen in der Lage war, die Gefährdung oder Verletzung zu vermeiden. Das Gericht hat die für die Zumessung der Strafe erheblichen Umstände und deren Gewichtung festzuhalten.
Es liegt im Ermessen des Sachgerichts, in welchem Umfang es die verschiedenen Strafzumessungsfaktoren berücksichtigt. Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur in die Strafzumessung ein, wenn die Vorinstanz den gesetzlichen Strafrahmen über- oder unterschritten hat, wenn sie von rechtlich nicht massgebenden Kriterien ausgegangen ist oder wesentliche Gesichtspunkte ausser Acht gelassen bzw. in Überschreitung oder Missbrauch ihres Ermessens falsch gewichtet hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 6.1).
9.4 Das Obergericht hat, wie dargestellt (vgl. E. 9.2 hiervor), sämtliche für die Zumessung der Strafe erheblichen Umstände sehr eingehend gewürdigt und deren Gewichtung nachvollziehbar festgehalten.
Im Weiteren hat es willkürfrei festgestellt, dass der Beschwerdeführer nicht in einem Zustand von Angst und Panik gehandelt hat, welcher von Strafzumessungsrelevanz wäre. Es hat zudem zutreffend das Vorliegen von Strafmilderungsgründen gemäss Art. 64 aStGB verneint. So setzt eine Strafmilderung wegen schwerer Bedrängnis ähnlich wie beim Notstand vorab voraus, dass der Täter verhältnismässig vorgeht (Trechsel, a.a.O., <ref-law> N. 9 f.), was vorliegend nicht der Fall ist, steht doch das mehrfache heftige Zustechen des Beschwerdeführers in einem deutlichen Missverhältnis zu dessen tatsächlicher Bedrängnis. Ebenso wenig kann gesagt werden, die - von ihm mitverschuldete - tätliche Auseinandersetzung habe bewirkt, dass er vom Beschwerdegegner ernstlich in Versuchung geführt worden sei, auf ihn einzustechen. Schliesslich hat das Obergericht auch kein Bundesrecht verletzt, indem es implizit gefolgert hat, der Beschwerdeführer sei in der konkreten Situation nicht durch einen grossen Schmerz über eine ungerechtfertigte Reizung oder Kränkung zur Tat hingerissen bzw. provoziert worden.
Der vom Obergericht zusammenfassend gezogene Schluss, in Würdigung aller massgeblichen Strafzumessungsgründe erscheine im Ergebnis eine Freiheitsstrafe von sechs Jahren angemessen, verletzt Bundesrecht nicht.
Der vom Obergericht zusammenfassend gezogene Schluss, in Würdigung aller massgeblichen Strafzumessungsgründe erscheine im Ergebnis eine Freiheitsstrafe von sechs Jahren angemessen, verletzt Bundesrecht nicht.
10. 10.1 Der Beschwerdeführer bringt schliesslich vor, die dem Beschwerdegegner zugesprochene Genugtuung von Fr. 12'000.-- sei angesichts der Tatsache, dass dieser das Spital innerhalb weniger Tage ohne bleibende Gesundheitsbeeinträchtigungen wieder habe verlassen können, nicht angemessen, sondern auf maximal Fr. 5'000.-- zu begrenzen (Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts, S. 26).
10.2 Das Obergericht hat erwogen, der Beschwerdegegner habe aufgrund der Stichverletzungen in Lebensgefahr geschwebt und sei nach der Notoperaton und der rund zehntägigen Hospitalisaton bis zum 26. Juni 2005 zu 100% und anschliessend bis zum 3. Juli 2005 zu 50% arbeitsunfähig gewesen. Überdies hätten die Messerstiche zu Narben am Oberkörper geführt, wobei deswegen keine nennenswerten psychischen Nachteile zu erwarten seien. Unter Berücksichtigung sämtlicher Umstände - insbesondere auch unter Einbezug des erheblichen Verschuldens des Beschwerdeführers - erscheine eine Genugtuung von insgesamt Fr. 12'000.-- als angemessen (Urteil des Obergerichts S. 77).
10.3 Gemäss <ref-law> kann das Gericht bei Körperverletzung der verletzten Person unter Würdigung der besonderen Umstände eine angemessene Geldsumme als Genugtuung zusprechen.
Die Bemessung der Genugtuung richtet sich vor allem nach der Art und Schwere der Verletzung, der Intensität und Dauer der Auswirkungen auf die Persönlichkeit sowie dem Grad des Verschuldens des Schädigers (<ref-ruling> E. 2a). Die Genugtuung bezweckt den Ausgleich für erlittene Unbill, indem das Wohlbefinden anderweitig gesteigert oder die Beeinträchtigung erträglicher gemacht wird (<ref-ruling> E. 4c/bb; <ref-ruling> E. 9b). Die Festlegung der Höhe beruht auf der Würdigung sämtlicher Umstände und richterlichem Ermessen (<ref-law>). Das Bundesgericht überprüft zwar als Rechtsfrage frei, ob das kantonale Gericht sein Ermessen richtig ausgeübt hat. Es auferlegt sich jedoch nach konstanter Praxis Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn das Sachgericht grundlos von den in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Bemessungsgrundsätzen abweicht, oder wenn Tatsachen berücksichtigt worden sind, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle spielen oder umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen worden sind, die in den Entscheid hätten einbezogen werden müssen. Ausserdem greift das Bundesgericht in Ermessensentscheide ein, wenn sich diese als offensichtlich unbillig bzw. als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> nicht publ. E. 3.2; <ref-ruling> E. 7a; <ref-ruling> E. 2a).
10.4 In der Lehre wird namentlich dafür eingetreten, dass Opfer eines Mordversuchs, welche folgenlos verheilende, aber lebensgefährliche Verletzungen erleiden, für ihren damit verbundenen Gefühlsschaden Genugtuungssummen von mindestens Fr. 60'000.-- zugesprochen erhalten; bei versuchten schweren Körperverletzungen oder versuchten Tötungen ohne lebensgefährliche Verletzungen oder bleibende körperliche Beeinträchtigungen sollten sich die Regelgenugtuungen in der Höhe von Fr. 20'000.-- bis Fr. 40'000.-- bewegen (Beatrice Gurzeler, Beitrag zur Bemessung der Genugtuung, 2005, S. 344).
Die in der Praxis gestützt auf <ref-law> in solchen Fallkonstellationen ausgerichteten Genugtuungssummen liegen allerdings deutlich tiefer und bewegen sich im vier- bzw. im tiefen fünfstelligen Frankenbereich (vgl. Peter Gomm; in: Peter Gomm/Dominik Zehntner, Handkommentar Opferhilfegesetz, 2005, <ref-law> N. 39). Insoweit ist jedoch zu berücksichtigen, dass bei der Bemessung einer Genugtuung nach Opferhilferecht im Unterschied zum Zivilrecht die Besonderheit besteht, dass es sich um eine staatliche Hilfeleistung handelt. Der Umstand, dass eine Genugtuung nach OHG von der Allgemeinheit bezahlt wird, kann eine Reduktion gegenüber der zivilrechtlichen Genugtuung rechtfertigen, wenn diese aufgrund von subjektiven, täterbezogenen Merkmalen (z.B. besonders skrupellose Art der Begehung der Straftat) erhöht worden ist (<ref-ruling> E. 2.2.4).
Mit Blick auf die Rechtsprechung hat das Obergericht das ihm zustehende Ermessen nicht überschritten, indem es den Beschwerdeführer namentlich in Anbetracht von dessen erheblichem Verschulden gestützt auf <ref-law> zur Bezahlung einer Genugtuungssumme von Fr. 12'000.-- verpflichtet hat.
Die Beschwerde ist somit auch in diesem Punkt abzuweisen.
III. Kosten- und Entschädigungsfolgen
III. Kosten- und Entschädigungsfolgen
11. Die beiden Beschwerden sind demnach vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Da die Rechtsmittel von vornherein aussichtslos waren, kann den Gesuchen nicht entsprochen werden (<ref-law>).
Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr ist seinen finanziellen Verhältnissen Rechnung zu tragen. Mit der Vereinigung der beiden Verfahren und dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um Sistierung des Verfahrens 6B_290/2008 gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 6B_289/2008 und 6B_290/2008 werden vereinigt.
2. Die Beschwerde 6B_289/2008 wird abgewiesen.
3. Die Beschwerde 6B_290/2008 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
4. Die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege werden abgewiesen.
5. Die Gerichtskosten von Fr. 1'600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
6. Dieses Urteil wird den Parteien sowie dem Kassationsgericht und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juli 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Stohner