Sachverhalt:
A. Die 1960 geborene S._ meldete sich 1998 zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Mit Verfügung vom 30. Januar 2001 lehnte die IV-Stelle des Kantons Aargau einen Rentenanspruch ab. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 20. November 2001 ab. Das Eidgenössische Versicherungsgericht hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil vom 27. Mai 2003 in dem Sinne gut, als es das Urteil des Versicherungsgerichts aufhob und die Sache an die IV-Stelle zu neuer Verfügung zurückwies. Nachdem eine erneute rentenabweisende Verfügung vom Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 7. März 2006 aufgehoben worden war, sprach die IV-Stelle mit Verfügung vom 11. Oktober 2007 S._ rückwirkend ab 1. Januar 2002 bei einem Invaliditätsgrad von 41 % eine Viertelsrente der Invalidenversicherung zu. Nachträglich wurde ihr gemäss Verfügung vom 28. Oktober 2008 für das Jahr 2003 eine Härtefallrente (halbe statt Viertelsrente) zuerkannt.
B. Die gegen die Verfügung vom 11. Oktober 2007 eingereichte Beschwerde, mit welcher S._ zur Hauptsache die Zusprechung einer ganzen, eventuell einer halben Invalidenrente ab 1. Juli 1998 hatte beantragen lassen, wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau ab (Entscheid vom 8. Juni 2010).
C. S._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei ihr ab 1. Januar 2002 eine ganze, eventuell eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zuzusprechen. Ferner ersucht sie um die Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung.
Während die IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Die Vorinstanz hat die Bestimmungen und Grundsätze über den Anspruch auf eine Invalidenrente und deren Umfang (Art. 28 Abs. 1 IVG), die Bemessung des Invaliditätsgrades bei erwerbstätigen Versicherten nach der Einkommensvergleichsmethode (Art. 16 ATSG) und die Bedeutung ärztlicher Auskünfte für die Belange der Invaliditätsschätzung (<ref-ruling> E. 2 S. 134; <ref-ruling> E. 1 S. 158) zutreffend wiedergegeben. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Im Wesentlichen gestützt auf das Gutachten des medizinischen Instituts X._ vom 9. März 2007 und nach einlässlicher Auseinandersetzung mit früheren Arztberichten und Expertisen stellte die Vorinstanz fest, die Versicherte sei als Kassierin oder Coiffeuse voll arbeitsunfähig; in einer leidensangepassten Tätigkeit im Service sei ihre Arbeitsfähigkeit zu 30 % eingeschränkt. Die Beeinträchtigung resultiere aus einem erhöhten Pausenbedarf. Die u.a. diagnostizierte somatoforme Schmerzstörung sei als überwindbar zu erachten und bewirke keine zusätzliche Behinderung bei Ausübung einer zumutbaren Arbeit.
3.2 Die Beschwerdeführerin wendet zur Hauptsache ein, das medizinische Institut X._ und die ihm angehörenden Ärzte bildeten keinen Garant für eine unabhängige und neutrale Abklärung. So sei es wiederholt vorgekommen, dass seitens der Neurologen in einem Teilgutachten attestierte Arbeitsunfähigkeitsgrade im Schlussgutachten nach unten korrigiert wurden, ohne dass mit dem mit der neurologischen Untersuchung betrauten Arzt Rücksprache genommen worden sei. Weiter übt die Versicherte Kritik am Leiter des medizinischen Instituts X._, Dr. med. L._. Dessen Fallführung erscheine bedenklich; in verschiedenen Fällen habe er vor der Begutachtung seine Voreingenommenheit schriftlich festgehalten. Des Weiteren macht die Beschwerdeführerin geltend, das Gutachten vom 9. März 2007 vermöge auch aus fachlicher Sicht nicht zu überzeugen. Sie hält dafür, dass das kantonale Gericht die Voraussetzungen für den Rentenanspruch ab 1. Januar 2002 hätte prüfen müssen und nicht auf die Verhältnisse bei Erlass der Verwaltungsverfügung am 11. Oktober 2007 hätte abstellen dürfen.
4. 4.1 Mit Bezug auf die medizinische Seite des Rechtsstreits ist vom Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 27. Mai 2003 (I 52/02) auszugehen. In jenem Fall hat das Eidgenössische Versicherungsgericht die Situation zum damals massgebenden Beurteilungszeitpunkt (Verfügung vom 30. Januar 2001) mit folgenden Eckpunkten beurteilt: Invaliditätsbemessung nach der gemischten Methode mit Anteilen von 80 % Erwerbstätigkeit und 20 % Haushalt sowie gestützt auf die damals vorhandenen medizinischen Akten einer Arbeitsfähigkeit im Service von 50 %. An die IV-Stelle zurückgewiesen wurde zur Neubeurteilung des hypothetischen Einkommens ohne Invalidität (Valideneinkommen). Somit steht verbindlich fest, dass die Arbeitsfähigkeit im Service am 30. Januar 2001 50 % betragen hat. In der Folge hat sich ab 1. Januar 2002 der Status der Beschwerdeführerin verändert, indem ab diesem Datum von voller Erwerbstätigkeit auszugehen ist. Im Verfahren, das zur vorliegenden Beschwerde führte, stellte die Vorinstanz auf das Gutachten des medizinischen Instituts X._ vom 9. März 2007 ab. Darin wurde ab Mai 2000 unverändert eine Arbeitsfähigkeit im Service von 70 % attestiert, was den verbindlichen Vorgaben (Arbeitsfähigkeit von 50 % seit 30. Januar 2001) widerspricht. Zwar geht es nicht um eine Rentenrevision, sondern um eine erstmalige Rentenfestsetzung, wobei entsprechend den vorinstanzlichen Darlegungen und dem Rechtsbegehren in der Beschwerde nur noch der Zeitraum ab Januar 2002 umstritten ist. Auch wenn für diesen Zeitraum die Einschätzung gemäss Urteil vom 27. Mai 2003 (I 52/02) formell nicht rechtskräftig ist und die Revisionsvoraussetzungen nach Art. 17 ATSG nicht gelten, müsste im Hinblick darauf, dass das Eidgenössische Versicherungsgericht per 30. Januar 2001 verbindlich eine Arbeitsunfähigkeit festgelegt hat, in der Sache trotzdem dargetan werden, dass seither im Gesundheitszustand eine Änderung eingetreten ist, wenn für einen späteren Zeitraum eine höhere Arbeitsfähigkeit angenommen wird. Soweit die Vorinstanz mit Bezug auf den Beginn der höheren Arbeitsfähigkeit von 70 % auf die Bescheinigung des medizinischen Instituts X._ im Gutachten vom 9. März 2007 abstellt, das bereits ab Mai 2000 von einer entsprechenden Leistungsfähigkeit ausgegangen ist, obwohl gemäss Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 27. Mai 2003 noch im Januar 2001 eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 50 % vorlag, hat sie den rechtserheblichen Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt, weshalb das Bundesgericht nicht daran gebunden ist (E. 1 hievor).
4.2 Nachdem die Vorinstanz festgestellt hat, dass die vom medizinischen Institut X._ gestellten Diagnosen in somatischer und psychischer Hinsicht von den früheren Befunden teilweise erheblich abweichen, ist zu schliessen, dass seither eine Änderung im Gesundheitszustand der Versicherten eingetreten ist. Da der Zeitpunkt dieser Änderung der Arbeitsfähigkeit nirgends dokumentiert ist, ist das Datum der Expertise des medizinischen Instituts X._ (9. März 2007) als massgebend zu erachten und ab diesem Zeitpunkt von einer Leistungsfähigkeit im Service von 70 % auszugehen.
4.3 In erwerblicher Hinsicht ist gestützt auf den angefochtenen Entscheid von einem Valideneinkommen gemäss Tabellenlohn von Fr. 48'361.- auszugehen. Das Invalideneinkommen beläuft sich bei einem Pensum von 50 % und einem leidensbedingten Abzug von 15 % auf Fr. 20'553.- ([Fr. 48'361.- : 2] x 85 %), was eine Erwerbseinbusse von Fr. 27'808.- (Fr. 48'361.- - Fr. 20'553.-) ergibt, entsprechend einem Invaliditätsgrad von 57,5 % (Fr. 27'808.- x 100 : Fr. 48'361.-), womit die Beschwerdeführerin gestützt auf Art. 28 Abs. 2 IVG ab 1. Januar 2002 anstelle der Viertelsrente eine halbe Invalidenrente beanspruchen kann. Mit Blick auf das Datum des Gutachtens des medizinischen Instituts X._ und Art. 88a Abs. 1 Satz 1 IVV (Rentenherabsetzung bei Verbesserung der Erwerbsfähigkeit) besteht der Anspruch auf die halbe Rente bis 31. März 2007. Ab 1. April 2007 ist der vom kantonalen Gericht ermittelte Invaliditätsgrad von rund 41 % massgebend, welcher einen Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung begründet.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin stellt die Unabhängigkeit des medizinischen Instituts X._ als Institution in Frage, indem sie sich auf Vorkommnisse beruft, die sich offenbar vor mehreren Jahren zugetragen haben. So soll es in Einzelfällen vorgekommen sein, dass im Schlussgutachten des medizinischen Instituts X._ die vom jeweiligen Neurologen in einem Teilgutachten bescheinigten Arbeitsunfähigkeitsgrade reduziert worden seien, ohne dass vorgängig mit dem betroffenen Neurologen Rücksprache genommen wurde. Sodann wendet sich die Versicherte gegen die Person des Leiters des medizinischen Instituts X._, Dr. med. L._, dem sie Mängel im Führungsstil und Voreingenommenheit gegenüber Versicherten vorwirft, die in despektierlichen Kommentaren zu Tage treten würden.
5.2 Inwieweit diese Vorwürfe stichhaltig sind, kann offenbleiben. Wie das Bundesgericht in dem in der Beschwerde zitierten Urteil 9C_500/2009 vom 24. Juni 2009 (SVR 2010 IV Nr. 2 S. 3) festgehalten hat, können nur die für eine Behörde tätigen Personen, nicht aber die Behörde als solche, befangen sein; dies gilt auch hinsichtlich einer Medizinischen Abklärungsstelle nach Art. 72bis IVV. Auf die gegen das medizinische Institut X._ als Begutachtungsstelle gerichteten Vorwürfe ist daher nicht einzugehen. Soweit in der Beschwerde die fachlichen Fähigkeiten von Dr. med. L._ einer Kritik unterzogen werden, erübrigt sich eine Auseinandersetzung mit den entsprechenden Ausführungen, da Dr. L._ im hier zu beurteilenden Fall nicht als Gutachter beteiligt ist. Gegen die als Experten tätigen Ärzte PD Dr. med. N._, Dr. med. G._ und Dr. med. T._ wiederum erhebt die Versicherte keine Einwände. Ihre Behauptung, die Rechtsprechung gemäss SVR 2010 IV Nr. 2 S. 3 sei im vorliegenden Fall nicht massgebend, weil die Befangenheit des Leiters der Abklärungsstelle hier auf die einzelnen Teilgutachter übergreife, entbehrt einer sachlichen Grundlage, ist doch nicht erkennbar, inwiefern die an der Expertise vom 9. März 2007 beteiligten Fachärzte einzig aufgrund ihrer Gutachtertätigkeit für das medizinische Institut X._ als voreingenommen erscheinen könnten.
6. Die Beschwerdeführerin obsiegt teilweise, indem ihr zeitlich begrenzt anstelle der Viertels- eine halbe Rente zuerkannt wird, unterliegt jedoch mit ihren weitergehenden Anträgen auf Zusprechung einer ganzen, eventuell einer Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung. Es ist daher gerechtfertigt, die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und der Beschwerdeführerin eine reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Soweit sie unterliegt, ist der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerdeführerin wird jedoch darauf hingewiesen, dass sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 8. Juni 2010 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Aargau vom 11. Oktober 2007 werden dahingehend abgeändert, dass die Beschwerdeführerin ab 1. Januar 2002 bis 31. März 2007 Anspruch auf eine halbe Invalidenrente hat. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Von den Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin und der Beschwerdegegnerin je Fr. 250.- auferlegt. Der Anteil der Beschwerdeführerin wird vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
5. Rechtsanwalt Dr. Bruno Häfliger wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'400.- ausgerichtet.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, der Ausgleichskasse des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Oktober 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Widmer