Sachverhalt:
A.
Am 9., mitgeteilt am 12. Juli 2012, erteilte die Baukommission der Gemeinde Arosa dem Gesuchsteller C._ die Bewilligung zum Neubau eines Mehrfamilienhauses auf Parzelle 2001 am Seehaldenweg in Arosa (Baubewilligung 2012 Nr. 26). Grundeigentümer der entsprechenden Parzelle ist E._. Die Bewilligung wurde für vier Zweitwohnungen erteilt und eine Lenkungsabgabe von gesamthaft Fr. 243'222.-- verfügt, gestützt auf das kommunale Gesetz über die Kontingentierung von Zweitwohnungen und die Erhebung einer Lenkungsabgabe vom 23. Oktober 2011 (im Folgenden: KontG/Arosa). Weiter wurde verfügt, dass die Baufreigabe nach der Einzahlung der Lenkungsabgabe ab dem 16. April 2013 erfolge. Das Kontingent verfalle, wenn der Baubeginn nicht vor dem 1. Oktober 2013 erfolgt sei.
B.
Nachdem mit den Bauarbeiten am 26. September 2013 begonnen worden war, verlangte B._ am 4. Oktober 2013, die Gemeinde habe die Bauarbeiten unverzüglich einstellen zu lassen und die erteilte Baubewilligung als nichtig zu erklären, allenfalls zu widerrufen. Die Gemeinde lehnte diese Anträge mit Schreiben vom 9. Oktober 2013 ab. Sie bestätigte dies mit Verfügung vom 29. Oktober 2013.
Dagegen erhoben A._ und B._ am 2. Dezember 2013 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Dieses trat am 20. Mai 2014 auf die Beschwerde von A._ nicht ein und wies die Beschwerde von B._ ab.
C.
Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid haben A._ (Beschwerdeführerin 1) und B._ (Beschwerdeführer 2) am 23. Juni 2014 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Baubewilligung 2012 Nr. 26 der Gemeinde Arosa nichtig sei. Eventuell sei die Gemeinde Arosa anzuweisen, die Baubewilligung zu widerrufen. Subeventualiter sei die Sache zur erneuten Prüfung und Entscheidung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
D.
Die C._ Immobilien AG (heute: C._ AG), die Gemeinde Arosa und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Das Bundesamt für Raumplanung (ARE) kommt in seiner Vernehmlassung zum Ergebnis, die Baubewilligung sei noch im Jahr 2012 erteilt und noch vor dem 1. Januar 2013 in Rechtskraft erwachsen, so dass sie nicht gemäss Art. 197 Ziff. 9 Abs. 2 nichtig sei.
E.
Im weiteren Schriftenwechsel halten die Parteien an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid des Verwaltungsgerichts steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. d und 90 BGG).
Der Beschwerdeführer 2, dessen Ersuchen von der Gemeinde abgewiesen wurden, ist als Verfügungsadressat zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin 1 ist insoweit zur Beschwerde befugt, als sie geltend macht, das Verwaltungsgericht sei zu Unrecht auf ihre Beschwerde nicht eingetreten.
Da die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen vorliegen, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten. Nicht einzutreten ist allerdings auf den Eventualantrag, die Gemeinde Arosa sei anzuweisen, die Baubewilligung zu widerrufen, da dieser nicht begründet wird (Art. 42 Abs. 2 BGG).
2.
Materiellrechtlich ist zum einen streitig, ob die Baubewilligung, die gestützt auf das Gesetz der Gemeinde Arosa über die Kontingentierung von Zweitwohnungen und die Erhebung einer Lenkungsabgabe vom 23. Oktober 2011 (im Folgenden: KontG/Arosa) erteilt wurde, nach Art. 197 Ziff. 9 Abs. 2 BV nichtig ist (unten E. 3). Zum anderen wird darüber gestritten, ob die Baubewilligung nach kantonalem Recht erloschen ist, weil von ihr nicht rechtzeitig, innerhalb der Jahresfrist nach Art. 91 Abs. 2 des Raumplanungsgesetzes für den Kanton Graubünden (KRG; BR 801.100), Gebrauch gemacht worden sei (unten E. 4).
Die einschlägigen Bestimmungen des kommunalen und kantonalen Rechts lauten:
Art. 91 KRG Baubeginn, Erlöschen der Baubewilligung und Bauvollendung
1 Bauvorhaben dürfen begonnen werden, sobald die Baubewilligung schriftlich vorliegt. Vorbehalten bleiben anderslautende Anordnungen in einem Rechtsmittelverfahren.
2 Baubewilligungen und BAB-Bewilligungen erlöschen, wenn mit den Bauarbeiten nicht innert Jahresfrist seit zulässigem Baubeginn begonnen worden ist. Bauvorhaben sind innert zwei Jahren nach Baubeginn zu vollenden. Die für die Bewilligung zuständige Behörde kann diese Fristen auf begründetes Gesuch hin angemessen verlängern.
3 Wird ein Bauvorhaben nicht vollendet, sind unvollendete Bauteile zu entfernen und der ursprüngliche Zustand wieder herzustellen.
Art. 107 KRG Übergangsbestimmungen
Verhältnis zu den Ortsplanungen
1 Die bestehenden Ortsplanungen bleiben, soweit Absatz 2 nichts anderes bestimmt, bis zur Anpassung an dieses Gesetz in Kraft. [...]
2 Unmittelbar anwendbare Bestimmungen dieses Gesetzes gehen abwei-chenden kommunalen Vorschriften vor. Als unmittelbar anwendbar gelten:
- ..]
Ziff. 6. das formelle Baurecht (Artikel 85 - 96).
Wo dieses Gesetz ergänzende oder abweichende kommunale Vorschriften zulässt, findet das bestehende kommunale Recht weiterhin Anwendung. Vorbehalten bleiben ferner allgemein strengere Vorschriften der Gemeinden.
Art. 13 KontG/Arosa Veranlagung der Lenkungsabgabe
1 Die Lenkungsabgabe wird im Rahmen der Baubewilligung veranlagt.
2 Sie wird 10 Tage vor Baubeginn zur Zahlung fällig. Vor der Bezahlung der Lenkungsabgabe darf mit dem Bau nicht begonnen werden.
Art. 16 KontG/Arosa Zurückstellen der Baufreigabe
1 Reichen das Jahreskontingent und/oder das Kontingent pro Bauherrschaft für ein Bauvorhaben nicht aus, wird die Baubewilligung zwar gleichwohl erteilt, die Baufreigabe jedoch mittels Anordnung in der Baubewilligung auf den Zeitpunkt aufgeschoben, in welchem zusammen mit dem Kontingent oder der Kontingentsquote der folgenden Jahre ein ausreichendes Kontingent vorhanden ist.
2 Zwischen Baubewilligungserteilung und (aufgeschobener) Baufreigabe dürfen maximal 3 Jahre liegen.
3 Liegt zwischen Baubewilligungserteilung und (aufgeschobener) Baufreigabe mehr als ein Jahr, darf die Baubewilligung nur unter dem Vorbehalt erteilt werden, dass bis zur Baufreigabe keine verschärften Vorschriften bezüglich Gebäudeabmessungen, Nutzungsmass, Sicherheitspolizei, Energieeinsparungen und Lärmschutz in Kraft treten. Ist dies der Fall, setzt die Baubehörde der Bauherrschaft Frist, um ein Gesuch für eine entsprechende Projektanpassung bzw. -Änderung einzureichen mit der Androhung, dass Baubewilligung und Kontingent sonst verfallen.
4 Die Frist für die Bauausführung gemäss Art. 91 Abs. 2 KRG beginnt ab dem Zeitpunkt der Baufreigabe (zulässiger Baubeginn) zu laufen.
3.
Die streitige Baubewilligung für eine Zweitwohnungsbaute verletzt Art. 75b BV, weil sie nach dem 11. März 2012 in einer Gemeinde erteilt wurde, deren Zweitwohnungsanteil über 20 % liegt. Sie ist jedoch nicht angefochten worden und wäre damit in Rechtskraft erwachsen, wenn sie nicht nach Art. 197 Ziff. 9 Abs. 2 BV nichtig ist.
3.1. Das Verwaltungsgericht verneinte dies. Es berief sich auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 7 S. 268), wonach für die Beurteilung der Nichtigkeit respektive Anfechtbarkeit der Baubewilligung der Zeitpunkt der Bewilligungserteilung durch die Gemeinde massgeblich sei. Die fragliche Baubewilligung sei am 9./12. Juli 2012 erstinstanzlich erteilt worden und sei daher lediglich anfechtbar und nicht nichtig. Diese Auffassung vertreten auch die Beschwerdegegnerinnen und das ARE.
3.2. Die Beschwerdeführer wenden dagegen ein, dass die Bewilligung im Jahr 2012 nicht ausgenutzt werden durfte, weil für dieses Jahr kein Kontingent für Zweitwohnungen mehr vorhanden war. Die 2012 erteilte Baubewilligung für das Kontingent 2013, d.h. mit Baufreigabe erst ab 16. April 2013, müsse deshalb einer 2013 erteilten Baubewilligung gleichgestellt werden. Ansonsten könnten neue Bestimmungen umgangen werden, indem die Bewilligung noch kurz vor Inkrafttreten des neuen Rechts erteilt werde, obwohl von ihr erst später, unter der Geltung des neuen Rechts, Gebrauch gemacht werden dürfe.
3.3. Die vorliegend streitige Konstellation wurde vom Bundesgericht noch nicht beurteilt. In den Leitentscheiden <ref-ruling> und 263 ging es um Baubewilligungen, die nach ihrer Erteilung unmittelbar ausgenutzt werden durften (vorbehältlich der aufschiebenden Wirkung dagegen erhobener Rechtsmittel). Im Urteil 1C_584/2012 vom 4. Juli 2013 war streitig, ob die Gemeinde Silvaplana verpflichtet sei, nachträglich die Baufreigabe für ein 2010 bewilligtes Zweitwohnungsprojekt zu erteilen, obwohl keine Kontingente mehr vorhanden waren. Da die Beschwerde bereits nach kantonalem Recht abzuweisen war, liess das Bundesgericht offen, ob auch Art. 75b Abs. 1 i.V.m. Art. 197 Ziff. 9 Abs. 2 BV der Baufreigabe entgegenstand.
3.4. Baubewilligungen für Zweitwohnungen, die zwischen dem 1. Januar des auf die Annahme von Artikel 75b folgenden Jahres und dem Inkrafttreten der Ausführungsbestimmungen erteilt werden, sind nichtig (Art. 197 Ziff. 9 Abs. 2 BV). Nach seinem Wortlaut betrifft diese Bestimmung somit nur Baubewilligungen, die ab dem 1. Januar 2013 erteilt worden sind.
Im Urteil <ref-ruling> E. 11.6 S. 262 f. ging das Bundesgericht davon aus, dass ab dem 1. Januar 2013 bis zum Inkrafttreten der Ausführungsgesetzgebung eine verschärfte Rechtsfolge angeordnet werde (Nichtigkeit statt Anfechtbarkeit). Dadurch werde Druck auf den Gesetzgeber ausgeübt, die Initiative möglichst rasch und wirksam umzusetzen. Würde das Ausführungsgesetz zu viele Ausnahmen zulassen, könnten die Initianten dagegen das Referendum ergreifen, ohne befürchten zu müssen, dass in der Zwischenzeit Baubewilligungen für Zweitwohnungen in den betroffenen Gemeinden erteilt und rechtskräftig werden könnten. Auch diese Zielsetzung legt es nahe, auf den Zeitpunkt der Erteilung der Baubewilligung abzustellen.
Den Beschwerdeführern ist zwar einzuräumen, dass eine Baubewilligung, in der die Baufreigabe auf einen Zeitpunkt nach dem 1. Januar 2013 hinausgeschoben wird, in gewisser Hinsicht einer im Jahr 2013 erteilten Baubewilligung gleichkommt: In beiden Fällen wird das Bauen für das Jahr 2013 (und danach) bewilligt, d.h. für einen Zeitraum, in dem Art. 197 Ziff. 9 Abs. 2 BV bereits die Nichtigkeit als Rechtsfolge anordnet. Zwar müssen auch Baubewilligungen, die ohne Kontingent erteilt werden, nicht sofort ausgenützt werden, sondern der Bauherrschaft steht eine gewisse Frist für den Baubeginn zur Verfügung (z.B. drei Jahre ab Rechtskraft der Bewilligung gemäss Art. 53 der Walliser Bauverordnung vom 2. Oktober 1996 [Nr. 705.100] oder § 322 Abs. 1 des Zürcher Planungs- und Baugesetzes vom 7. September 1975 [PBG/ZH]). In derartigen Fällen liegt aber noch vor dem 1. Januar 2013 eine vollstreckbare Baubewilligung vor und der Baubeginn steht im Belieben der Bauherrschaft. Auch läuft die Frist für den Baubeginn bereits ab Erteilung bzw. Rechtskraft der Bewilligung und nicht erst ab Baufreigabe (vgl. dazu unten E. 4).
Allerdings ist zu berücksichtigen, dass Art. 197 Ziff. 9 Abs. 2 BV die Nichtigkeit und damit eine sehr einschneidende und ungewöhnliche Rechtsfolge anordnet. Es würde der Rechtssicherheit widersprechen, die Nichtigkeitsfolge auf ähnlich gelagerte Fälle auszudehnen, die vom Wortlaut der Bestimmung nicht erfasst sind. Es rechtfertigt sich daher, die Norm ihrem Wortlaut gemäss auf Bewilligungen zu beschränken, die nach dem 1. Januar 2013 erteilt worden sind.
Mit den Vorinstanzen ist deshalb davon auszugehen, dass die noch im Jahr 2012 erteilte Baubewilligung zwar bundesrechtswidrig, nicht aber nichtig ist.
4.
Zu prüfen sind noch die Willkürrügen der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit Art. 91 Abs. 2 KRG.
4.1. Ziff. 4 der Baubewilligung sieht vor, dass die Baufreigabe erst nach Zahlung der Lenkungsabgabe ab 16. April 2013 erfolgen darf und das Kontingent verfällt, wenn der Baubeginn nicht vor dem 1. Oktober 2013 erfolgt.
Das Verwaltungsgericht hielt fest, dass gemäss Art. 29 lit. e des Gesetzes über die allgemeine Ortspolizei der Gemeinde Arosa (im Folgenden: PolG/Arosa) Aushub- und Rohbauarbeiten nicht in der Wintersaison durchgeführt werden dürften, sondern erst ab 16. April. Auf diesen Zeitpunkt sei daher für die Jahresfrist gemäss Art. 91 Abs. 2 KRG abzustellen. Nicht für massgeblich hielt es dagegen das Datum der Zahlung der Lenkungsabgabe, weil dieser Zeitpunkt von der Bauherrschaft beliebig gewählt werden könne, was nicht dem Sinn von Art. 91 Abs. 2 KRG entspreche.
4.2. Die Beschwerdeführer erachten dies als willkürlich. Art. 91 KRG sei für die Gemeinden verbindlich (Art. 107 Abs. 2 Ziff. 6 KRG). Dabei sei nicht nur die Frist vorgegeben (in Abs. 2), sondern auch der zulässige Baubeginn (in Abs. 1) geregelt: Bauvorhaben dürften begonnen werden, sobald die Baubewilligung schriftlich vorliege. Der einzige Vorbehalt betreffe anderslautende Anordnungen im Rechtsmittelverfahren. Vorliegend habe damit die Frist bereits am 9. Juli 2012 zu laufen begonnen. Die Baubewilligung sei somit infolge ungenutzten Ablaufs der Baufrist dahingefallen (Art. 91 Abs. 2 KRG).
4.3. Gemäss Art. 107 Abs. 2 Ziff. 6 KRG sind die Bestimmungen des KRG zum formellen Bauverfahren - zu denen Art. 91 KRG gehört - unmittelbar anwendbar und gehen abweichenden kommunalen Vorschriften vor. Strengere kommunale Vorschriften bleiben zulässig, d.h. das kommunale Recht dürfte die Baubeginnfrist verkürzen, nicht aber verlängern (vgl. Departement für Volkswirtschaft und Soziales Graubünden, Arbeitshilfe zum KRG vom 1. Dezember 2010, S. 93).
Vorliegend ist nicht die Dauer der Frist, sondern deren Beginn streitig. Art. 91 Abs. 2 KRG stellt auf den "zulässigen Baubeginn" ab, d.h. auf den Zeitpunkt, in dem frühestens mit dem Bau begonnen werden darf. Hätte der Gesetzgeber an die Erteilung der Baubewilligung anknüpfen wollen, unter Ausschluss von kommunalen Bestimmungen zur Kontingentierung oder saisonalen Baubeschränkungen, hätte es nahegelegen, in Abs. 2 dieselbe Formulierung wie in Abs. 1 zu gebrauchen ("Vorliegen der schriftlichen Baubewilligung"). Dafür gibt es aber auch in der Entstehungsgeschichte keine Anhaltspunkte: Der Botschaft der Regierung an den Grossen Rat vom 11. Mai 2004 zur KRG-Revision (zu Art. 96 E-KRG) lässt sich entnehmen, dass in Abs. 1 die frühere Regelung (Art. 5 Abs. 3 aKRG 1973) zugunsten des Bauherrn gelockert werden sollte, wonach mit den Bauarbeiten erst nach Ablauf der 30-tägigen Beschwerdefrist begonnen werden durfte. Art. 90 Abs. 1 KRG sieht ausdrücklich vor, dass die Baubewilligung mit Nebenbestimmungen (u.a. Bedingungen und Befristungen) verbunden werden kann oder sogar muss; es wäre aber sinnwidrig, wenn die Frist für den Baubeginn ablaufen würde, noch bevor eine aufschiebende Bedingung eingetreten oder eine andere Frist abgelaufen wäre.
Unter diesen Umständen lässt die Auslegung des Verwaltungsgerichts, wonach die Frist ab dem nach kommunalem Recht frühestmöglichen Zeitpunkt der Ausnützung der Baubewilligung läuft, keine Willkür erkennen.
Lief die Einjahresfrist gemäss Art. 91 Abs. 2 KRG somit erst ab 16. April 2013, erfolgte der Baubeginn am 26. September 2013 rechtzeitig. Auch die in der Baubewilligung gesetzte (kürzere und damit nach Art. 107 Abs. 2 KRG zulässige) Frist bis zum 1. Oktober 2013 wurde eingehalten.
5.
Nach dem Gesagten erweisen sich die materiell-rechtlichen Rügen als unbegründet und sind abzuweisen. Unter diesen Umständen kann offenbleiben, ob das Verwaltungsgericht die Legitimation der Beschwerdeführerin 1 zu Unrecht verneint hat, weil die Gutheissung der Beschwerde in diesem Punkt nicht zu einem günstigen Entscheid führen würde (Abweisung statt Nichteintreten auf die verwaltungsgerichtliche Beschwerde).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 und 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben die privaten Beschwerdegegnerinnen mit Fr. 4'000.-- für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Arosa, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 5. Kammer, und dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Gerber