Sachverhalt:
A. Das Ehepaar R._, unter dem altrechtlichen ordentlichen Güterstand der Güterverbindung lebend, schloss am 1. September 1976 einen Ehevertrag, welcher regelte, dass der ganze güterrechtliche Vorschlag dem überlebenden Ehegatten zufallen soll (aArt. 214 Abs. 3 ZGB). Gemäss Steuerinventar belief sich am 29. Juli 1984, dem Todestag des Ehemannes, das Reinvermögen auf Fr. 641'017.55; davon machte der Vorschlag Fr. 636'017.55 aus, das Eigengut des Ehemannes betrug Fr. 5'000.-. Laut dem zwischen der Witwe und den drei Nachkommen abgeschlossenen Erbteilungsvertrag vom 27. Oktober 2002 sind die güterrechtlichen Auszahlungsansprüche der Ehegatten nicht geltend gemacht worden und daher verjährt; der Vertrag sieht die Aufteilung des gesamten Nachlasses auf die drei Nachkommen vor, belastet mit der Nutzniessung am ganzen Nachlass zugunsten der Witwe. Am 21. November 2002 stellte R._ ein Gesuch zum Bezug von Zusatzleistungen zur AHV/IV. Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich wies das Begehren mit Verfügung vom 21. Januar 2005 für die Zeit ab November 2002 ab, da die Einnahmen die Ausgaben wegen eines anzurechnenden Vermögensverzichts übersteigen würden. Die dagegen eingereichte Einsprache wies das Amt für Zusatzleistungen mit Entscheid vom 23. Januar 2007 ab. Die gegen diesen Entscheid erhobene Einsprache an den Bezirksrat Zürich wies dieser mit Beschluss vom 15. November 2007 ab.
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die Beschwerde der R._ gegen diesen Beschluss in dem Sinne gut, dass der Beschluss des Bezirksrates Zürich vom 15. November 2007 aufgehoben und die Sache an das Amt für Zusatzleistungen zurückgewiesen wurde, damit es den Anspruch auf Zusatzleistungen mit Wirkung ab 1. November 2002 im Sinne der Erwägungen neu prüfe und darüber verfüge (Entscheid vom 31. Januar 2010).
C. Die Stadt Zürich, Amt für Zusatzleistungen, führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben; es sei festzustellen, dass R._ mit dem Abschluss des Erbteilungsvertrags vom 27. Oktober 2002 auf Vermögen im Umfang von rund Fr. 920'000.- verzichtet habe und ihr für die Zeit ab Anmeldung zum Bezug von Zusatzleistungen zur AHV im November 2002 bis zum Januar 2009 keine Zusatzleistungen auszurichten sind.
R._ beantragt Abweisung der Beschwerde, Vorinstanz, Bezirksrat und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zulässig gegen das Verfahren abschliessende Endentscheide (Art. 90 BGG) und gegen Teilentscheide, die nur einen Teil der gestellten Begehren behandeln, wenn diese unabhängig von den anderen beurteilt werden können, oder die das Verfahren nur für einen Teil der Streitgenossen und Streitgenossinnen abschliessen (Art. 91 BGG). Gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist hingegen die Beschwerde nur zulässig, wenn sie die Zuständigkeit oder den Ausstand betreffen (Art. 92 BGG), einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 647; <ref-ruling> E. 5.2 S. 483) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Rückweisungsentscheide, mit denen eine Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, sind Zwischenentscheide, die nur unter den genannten Voraussetzungen beim Bundesgericht angefochten werden können (BGE <ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f.). Anders verhält es sich nur dann, wenn der unteren Instanz, an welche zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung nur noch der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, 9C_684/2007 E. 1.1).
1.2 Nach dem angefochtenen Entscheid hat die Beschwerdeführerin nach Rückweisung der Sache den Anspruch auf Zusatzleistungen ab November 2002 erneut zu prüfen. Sie hat dabei zunächst die Gegenleistung des von der Beschwerdegegnerin seit dem Tod des Erblassers am 29. Juli 1984 ausgeübten Wohnrechts zu ermitteln, wobei vom Mietwert per Todestag auszugehen ist und eine Bandbreite von 10 % zur Leistung nicht überschritten werden soll. Sollte die aus dem Wohnrecht resultierende Gegenleistung nicht bereits in einem adäquaten Verhältnis zum Verzichtsvermögen stehen, müsste weiter untersucht werden, in welchem Ausmass die Beschwerdegegnerin aufgrund der vollständigen Nutzung des gesamten ehelichen Vermögens eine zusätzliche Leistung erhalten hat. Damit liegt ein nicht wieder gutmachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG für die Verwaltung vor, da der Rückweisungsentscheid materielle Vorgaben enthält, welche die Verwaltung zwingen würden, eine ihres Erachtens rechtswidrige neue Verfügung zu erlassen (BGE <ref-ruling> E. 5.2.4); denn sie stellt sich auf den Standpunkt, dass die Beschwerdegegnerin mit dem Abschluss des Erbteilungsvertrags vom 27. Oktober 2002 auf Vermögen im Umfang von rund Fr. 920'000.- verzichtet hat und ihr keine Zusatzleistungen zur AHV auszurichten sind. Es liegt damit eine Beschwerde vor, auf welche einzutreten ist.
2. Die Vorinstanz ist davon ausgegangen, dass der Ehevertrag vom 1. September 1976 mangels Zustimmung der Vormundschaftsbehörde (aArt. 181 Abs. 2 ZGB) nicht gültig sei. Die Beschwerdeführerin belegt letztinstanzlich, dass der Ehevertrag vom 1. September 1976 am 5. Oktober 1976 durch die Vormundschaftsbehörde genehmigt worden ist. Es handelt sich dabei um ein Novum. Nach Art. 99 Abs. 1 BGG dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Entgegen den Ausführungen in der Beschwerdeantwort war der Umstand, dass der Ehevertrag vom 1. September 1976 nicht genehmigt sei, vor der Vorinstanz nicht unbestritten. Die heutige Beschwerdegegnerin hatte dort ausgeführt, ihr sei keine Genehmigung bekannt, und ausdrücklich den Beweisantrag gestellt, dazu eine schriftliche Auskunft bei der Vormundschaftsbehörde betreffend (nicht erfolgter) Genehmigung des Ehevertrages vom 1. September 1976 einzuholen. Angesichts dieses von der heutigen Beschwerdegegnerin selber bereits gestellten Beweisantrags musste die heutige Beschwerdeführerin nicht ihrerseits auch noch die Nicht-Genehmigung bestreiten, sondern konnte davon ausgehen, dass die Vorinstanz diesem Beweisantrag stattgeben werde, sofern sie die (Nicht-)Genehmigung als rechtserheblich betrachtete. Wenn stattdessen die Vorinstanz ohne jede Untersuchung davon ausgeht, der Vertrag sei nicht genehmigt, ist dies ein Grund für die Zulässigkeit des Novums; es wird damit nur das vorgebracht, was die Vorinstanz selber hätte feststellen müssen (Art. 61 lit. c ATSG). Aus dem zulässigen Novum ergibt sich nun, dass der Ehevertrag genehmigt und somit gültig war.
3. 3.1 Gemäss Art. 3c Abs. 1 lit. g des hier noch anwendbaren ELG vom 19. März 1965 (aELG) sind Vermögenswerte, auf die verzichtet worden ist, als Einnahmen anzurechnen. Es wird fingiert, dass derartige Vermögenswerte nach wie vor verzehrt werden könnten. Diese Vermögenswerte bilden - als sogenanntes hypothetisches Vermögen - Teil des gemäss Art. 3c Abs. 1 lit. c aELG anrechenbaren Vermögens. Der eigentliche Verzicht besteht also in der Preisgabe der Möglichkeit, die Substanz der Vermögenswerte, auf die verzichtet wird, zum Zwecke der Finanzierung des Lebensbedarfs zu verbrauchen. Praxisgemäss ist von einem Vermögensverzicht auszugehen, wenn ein EL-Ansprecher oder eine in die Anspruchsberechnung einbezogene Person ohne rechtliche Verpflichtung und ohne adäquate Gegenleistung auf Vermögen verzichtet oder wenn eine dieser Personen einen Rechtsanspruch auf einen bestimmten Vermögenswert hat, davon aber keinen Gebrauch macht bzw. ihr Recht nicht durchsetzt. Dazu gehören auch erb- oder ehegüterrechtliche Ansprüche (<ref-ruling> E. 4a S. 183 f.; RALPH JÖHL, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR]/Soziale Sicherheit, 2. Aufl. 2006, S. 1805 Fn. 836; CARIGIET/KOCH, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, 2. Aufl. 2009, S. 173 Fn. 530). Ob eine adäquate Gegenleistung vorliegt, beurteilt sich nach dem Verhältnis zwischen Leistung und Gegenleistung im Zeitpunkt der Entäusserung (<ref-ruling> E. 4b S. 184; Urteil 8C_68/2008 vom 27. Januar 2009 E. 4.2.2; Urteil P 31/01 vom 13. Dezember 2001 E. 3; JÖHL, a.a.O., S. 1813 Fn. 243 mit Hinweisen).
3.2 Art. 3c Abs. 1 lit. g aELG enthält keine zeitliche Beschränkung in Bezug auf die Berücksichtigung des Vermögensverzichts. Ein hypothetisches Vermögen ist also auch dann anzurechnen, wenn die Verzichtshandlung sehr lange zurückliegt (<ref-ruling> E. 4f S. 287; JÖHL, a.a.O., S. 1805 Rz. 232, mit Hinweisen; Urteil P 82/01 vom 24. Mai 2002 E. 1a mit Hinweisen). Dem Aspekt des Zeitablaufs wird durch die jährliche Reduktion gemäss Art. 17a ELV Rechnung getragen. Danach wird der anzurechnende Betrag von Vermögenswerten, auf die verzichtet worden ist, jährlich um Fr. 10'000.- vermindert, wobei der Wert des Vermögens im Zeitpunkt des Verzichtes unverändert auf den 1. Januar des Jahres, das auf den Verzicht folgt, zu übertragen und dann jeweils nach einem Jahr zu vermindern ist (Abs. 1 und 2).
3.3 Zum zeitlich anwendbaren Recht bleibt anzumerken, dass die Anrechnung von Vermögensverzicht sich entgegen der von der Beschwerdegegnerin in der Vernehmlassung vertretenen Auffassung nicht nach dem geltenden Recht im Zeitpunkt des zur Diskussion stehenden Vermögensverzichts richtet, sondern nach dem im Moment der Anrechnung geltenden Recht (<ref-ruling> E. 4b S. 184).
4. 4.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil - von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen - den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen oder auf Rüge hin (Art. 97 Abs. 1 BGG) berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht, wozu auch die unvollständige Tatsachenermittlung zählt (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
4.2 Für das Bundesgericht verbindlich und zwischen den Parteien unbestritten hat die Vorinstanz die folgenden Sachverhaltsfeststellungen getroffen: Der Ehevertrag vom 1. September 1976 regelte, dass der ganze güterrechtliche Vorschlag dem überlebenden Ehegatten zufallen soll (aArt. 214 Abs. 3 ZGB). Am 29. Juli 1984, dem Todestag des Ehemannes, belief sich das Reinvermögen auf Fr. 641'017.55; davon machte der Vorschlag Fr. 636'017.55 aus, das Eigengut des Ehemannes betrug Fr. 5'000.-. Die Grundbucheintragung der Liegenschaft zu Gesamteigentum von Witwe und Nachkommen erfolgte am 27. April 1985. Der Erbteilungsvertrag vom 27. Oktober 2002 enthält die Feststellung, dass die güterrechtlichen Auszahlungsansprüche der Ehegatten nicht geltend gemacht wurden und daher verjährt seien; der Vertrag sieht die Aufteilung des gesamten Nachlasses auf die drei Nachkommen vor, belastet mit der Nutzniessung am ganzen Nachlass zugunsten der Witwe. Die Liegenschaft wurde 2003 verkauft.
4.3 Die Vorinstanz hat zudem festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin seit dem Tod des Ehemanns Nutzniessung am ganzen Vermögen hatte. Demgegenüber ist die Beschwerdeführerin der Meinung, die Beschwerdegegnerin sei Alleineigentümerin am ganzen Vermögen gewesen und habe mit dem Erbteilungsvertrag darauf verzichtet. Sie kann aber nicht rechtsgenüglich darlegen, dass die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sei. Namentlich ist der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin die Wertschriften übernommen hatte, kein Indiz gegen die Nutzniessung, hat doch der Nutzniesser Anspruch auf Besitz an der Nutzniessungssache (Art. 755 ZGB). Ebenso ist es normal, dass der Nutzniesser das Vermögen versteuert und nicht der Eigentümer (Art. 13 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG]). In Bezug auf die Liegenschaft steht sodann fest, dass diese nicht auf den Namen der Beschwerdegegnerin, sondern aller Erben zu Gesamteigentum im Grundbuch eingetragen wurde, was Alleineigentum der Beschwerdegegnerin ausschliesst. Auch dass die Nutzniessung im Grundbuch nicht eingetragen ist, spricht nicht gegen diese, da eine Nutzniessung rein obligatorisch auch ohne Grundbucheintrag gültig bestehen kann. Schliesslich widerspräche es auch allgemeiner Lebenserfahrung, dass die Nachkommen ohne weiteres der Mutter das Alleineigentum überlassen. Vielmehr ist sachverhaltlich davon auszugehen, dass die Erbschaft bis zum Erbteilungsvertrag von 2002 unverteilt blieb und die Nachkommen der Mutter formlos die Nutzniessung am ganzen Vermögen überlassen haben, wie dies in Familienverhältnissen auch sehr oft gehandhabt wird.
5. Nach dem Gesagten bestimmt sich der anzurechnende Vermögensverzicht wie folgt:
5.1 Die Beschwerdegegnerin hatte aus Ehegüterrecht (aArt. 214 Abs. 1 ZGB) einen gesetzlichen Anspruch auf einen Drittel des Vorschlags von Fr. 636'017.55, somit auf Fr. 212'005.85. Aus Erbrecht (aArt. 462 ZGB) kamen ihr vom verbleibenden Nachlass von Fr. 429'011.70 entweder ein Viertel zu Eigentum (= Fr. 107'252.90) oder die Hälfte zur Nutzniessung (= Fr. 214'505.80) zu. Der gesetzliche Anspruch zu Eigentum betrug also insgesamt Fr. 319'258.75.
5.2 Ehevertraglich hatte die Beschwerdegegnerin hingegen güterrechtlich Anspruch auf den gesamten Vorschlag, also Fr. 636'017.55; hinzu kam der erbrechtliche Anspruch von einem Viertel des übrigen Nachlasses (Fr. 5'000.-) zu Eigentum (= Fr. 1'250.-) oder der Hälfte zur Nutzniessung (= Fr. 2'500.-). Dies ergab ein Eigentum an einem Betrag von insgesamt Fr. 637'267.55. Die ehevertragliche Vorschlagszuweisung stand aber unter Vorbehalt des Pflichtteilanspruchs der drei Nachkommen (Art. 522 ZGB; <ref-ruling> E. 5 S. 326 f., 116 II 243 E. 3 S. 244 f.). Dieser betrug 9/16 des gesetzlichen Nachlasses von Fr. 429'011.70 (aArt. 471 ZGB; BGE 59 II 128 E. 5; ARNOLD ESCHER, Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 1959, N. 1 und 7 zu Art. 471 ZGB) oder entsprechend Fr. 241'319.05. Der Beschwerdegegnerin verblieb somit ein Anspruch auf den Betrag von Fr. 399'698.50.
5.3 Die Beschwerdegegnerin hat demnach entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht bloss auf Fr. 212'005.85 verzichtet. Indem sie innert der Verjährungsfrist die ihr zustehende güterrechtliche Vorschlagsbeteiligungsforderung (Geldforderung gegen die Erben, <ref-ruling> E. 2b) nicht geltend machte, hat sie auf Fr. 399'698.50 (zu Werten am Todestag des Ehemanns) verzichtet. Sie hat sodann im Erbteilungsvertrag vom 27. Oktober 2002 auf Eigentum verzichtet, allerdings entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht auf Fr. 920'000.-, sondern nur auf den gesetzlichen Erbanteil von einem Viertel (aArt. 462 ZGB), wobei für die Liegenschaft der Verkehrswert im Zeitpunkt der Teilung massgebend ist (Art. 617 ZGB), was auf der Grundlage der (von der Beschwerdegegnerin freilich bestrittenen) Angaben der Beschwerdeführerin rund Fr. 230'000.- ausmachen würde. Allerdings können diese beiden Verzichte nicht kumuliert werden: Hätte die Beschwerdegegnerin die Vorschlagsbeteiligungsforderung gegen die Erbmasse durchgesetzt, so wäre diese auf den zugunsten der Nachkommen pflichtteilgeschützten Betrag reduziert worden, so dass die Beschwerdegegnerin keinen weitergehenden erbrechtlichen Anspruch zu Eigentum mehr gehabt hätte. Der zweite Verzichtsfall war also nur möglich, weil der erste erfolgt war. Es ist deshalb nur der erste als der quantitativ bedeutendere Verzichtstatbestand zu prüfen, also auszugehen von einem Verzicht auf Fr. 399'698.50.
5.4 Als Gegenleistung für diesen Verzicht hat die Beschwerdegegnerin die Nutzniessung am Gesamtvermögen erhalten, zunächst faktisch (vorne E. 4.3) und seit dem Jahr 2002 vertraglich garantiert. Insoweit ist der Vorinstanz zuzustimmen, wenn sie in Erwägung 3.5.2 ihres Entscheides die Verwaltung anweist, den Wert dieser Gegenleistung zu bestimmen. Dies ist jedoch wie folgt zu präzisieren:
5.4.1 Entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts (vorinstanzliche E. 3.5.1) ist nicht nur die Nutzniessung am hälftigen Betrag zu berücksichtigen (mit dem Argument, an der anderen Hälfte hätte die Beschwerdegegnerin gemäss aArt. 462 ZGB von Gesetzes wegen Nutzniessung gehabt). Vielmehr sind die beiden Vermögenssituationen mit bzw. ohne Verzichtshandlung je gesamthaft zu beurteilen. Hätte die Beschwerdegegnerin die Vorschlagsbeteiligungsforderung durchgesetzt, so wäre in der Erbmasse nur noch der Betrag von Fr. 241'319.05 verblieben (vorne E. 5.2). Nur an der Hälfte dieses Betrags hätte die gesetzliche Nutzniessung der Beschwerdegegnerin bestanden, mithin an Fr. 120'659.50. Das für die Berechnung der Gegenleistung massgebende Nutzniessungsvermögen ist somit die Differenz zwischen diesem gesetzlichen Nutzniessungsvermögen und dem Gesamtvermögen von Fr. 641'017.55 und beträgt somit Fr. 520'358.05.
5.4.2 Zur vorinstanzlichen Erwägung 3.5.3 ist zu präzisieren, dass der Beschwerdegegnerin nicht ein Wohnrecht an der Liegenschaft eingeräumt wurde, sondern eine Nutzniessung am gesamten Nachlass. Es handelt sich dabei um eine Nutzniessung an einem Vermögen (Art. 766 ZGB), die sachenrechtlich als Nutzniessung an den je einzelnen Vermögensobjekten ausgestaltet ist. Sie erscheint nicht als einheitliches Recht, sondern als ein Bündel von Nutzniessungsrechten, für die - je nach erfasstem Gegenstand - die entsprechenden Regeln gelten. Die Nutzniessung des überlebenden Ehegatten ist der häufigste Anwendungsfall für die Vermögensnutzniessung (ROLAND M. MÜLLER, Basler Kommentar, ZGB II, 2. Aufl. 2003, N. 1 und 2 zu Art. 766 ZGB, S. 1421). Es besteht erbteilungsvertraglich ein Anspruch auf Nutzniessung an der ganzen Erbmasse, der nicht mit dem Wegzug der Beschwerdegegnerin aus der Liegenschaft endet. Der entsprechende Ertrag ist ihr als Einkommen anzurechnen (<ref-ruling> E. 6a S. 401); sollte sie auf diese Nutzniessung verzichten, würde es sich nicht um Verzichtsvermögen, sondern um ein ebenfalls anzurechnendes Verzichtseinkommen handeln (ohne Amortisation gemäss Art. 17a ELV; Urteil 8C_68/2008 vom 27. Mai 2008 E. 4.2.3; Urteil P 37/03 vom 15. Oktober 2003 E. 3; AHI 1997 S. 146 [P 34/94]).
6. Die von der Vorinstanz angeordnete Rückweisung ist somit mit den Korrekturen und Präzisierungen im Sinne der vorangehenden Erwägungen zu bestätigen.
7. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG), denn auch wenn die vorinstanzliche Betrachtung in einzelnen Punkten zu korrigieren ist, unterliegt sie gemessen an ihren Rechtsbegehren im Wesentlichen. Sie hat sodann der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Bezirksrat Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. August 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Borella Schmutz