Faits:
Faits:
A. C._, née en 1946, a travaillé en qualité d'employée de pressing de 1991 à 1999 à raison de 20 heures par semaine (l'horaire hebdomadaire normal de l'entreprise étant de 46 heures 40). Elle a résilié son contrat pour le 31 décembre 1999.
Après avoir bénéficié d'indemnités de chômage, elle a déposé, le 5 juin 2001, une demande de rente auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud, en indiquant souffrir de douleurs musculaires. Dans le cadre de l'instruction administrative, divers renseignements d'ordre médical et économique ont été produits. Il ressort, en particulier, des conclusions du Service médical régional de l'AI (SMR) que la capacité de travail de C._ est totale dans son activité à mi-temps (rapport du 25 juillet 2002).
Par décision du 10 octobre 2002, l'office AI a rejeté la demande de prestations de l'intéressée.
Par décision du 10 octobre 2002, l'office AI a rejeté la demande de prestations de l'intéressée.
B. C._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant à son annulation. A l'appui de ses conclusions, elle a produit deux rapports médicaux, l'un de la doctoresse T._, spécialiste en rhumatologie/médecine interne (du 31 mars 2003) et l'autre du docteur H._, spécialiste en psychiatrie/psychothérapie (du 27 septembre 2003).
Par jugement du 16 décembre 2004, la juridiction cantonale a admis le recours. Elle a réformé la décision attaquée en octroyant à l'intéressée une demi-rente d'invalidité dès le 1er novembre 2000.
Par jugement du 16 décembre 2004, la juridiction cantonale a admis le recours. Elle a réformé la décision attaquée en octroyant à l'intéressée une demi-rente d'invalidité dès le 1er novembre 2000.
C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont il requiert l'annulation, en concluant à la confirmation de la décision du 10 octobre 2002.
C._ déclare s'en tenir aux conclusions du Tribunal des assurances du canton de Vaud. Quant à l'Office fédéral des assurances sociales, il conclut à l'admission du recours.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit de l'intimée à une rente de l'assurance-invalidité.
1. Le litige porte sur le droit de l'intimée à une rente de l'assurance-invalidité.
2. Les premiers juges ont exposé correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables à la solution du litige, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer (consid. 1 à 4).
2. Les premiers juges ont exposé correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables à la solution du litige, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer (consid. 1 à 4).
3. Se fondant, notamment, sur les rapports des docteurs H._ et T._, la juridiction cantonale a, d'une part, retenu que l'assurée souffre de fibromyalgie, de lombosacralgies, d'obésité sévère, d'un diabète de type II, ainsi que d'un était dépressif et, d'autre part, fixé le taux de son incapacité de travail à 50 %.
3.1 Ainsi que l'expose l'OFAS, le rapport du docteur H._, au demeurant succinct, ne répond pas aux exigences posées par la jurisprudence du Tribunal fédéral des assurances en matière de preuve. En particulier, l'anamnèse ne fait pas état des plaintes de l'assurée et ne mentionne pas les avis médicaux antérieurs. Par ailleurs, les conclusions de ce médecin ne sont pas motivées. De plus, le docteur H._ laisse entendre que l'assurée souffre peut-être d'un état dépressif, simple possibilité qui ne satisfait pas au critère de la vraisemblance prépondérante applicable dans le domaine des assurances sociales.
3.2 Du rapport de la doctoresse T._, il ressort que la recourante souffre principalement de fibromyalgie. Un travail de force n'est plus exigible de l'assurée. En revanche, une activité légère respectant les règles d'ergonomie rachidienne peut être exigée, à un taux d'occupation de 50 % . Les capacités fonctionnelles de l'intéressée peuvent être augmentées par une nouvelle hygiène de vie (pratique régulière de la marche, régimes pour la problématique articulaire et pour le diabète). Quant à la symptomatologie douloureuse, elle peut être diminuée par la prise de médicaments (paracétamol ou anti-inflammatoires en cas d'exacerbation, prise d'un tricyclique type Surmontil en gouttes à débuter à petites doses).
A la lecture de ces éléments médicaux, on doit convenir avec l'OFAS qu'aucun traitement intensif et de longue durée n'a été entrepris selon les règles de l'art pour remédier aux effets de la fibromyalgie. Pour ce premier motif déjà, on peut douter que la fibromyalgie justifie à elle-seule le taux d'incapacité de travail de 50 % fixé par la doctoresse T._. En pareilles circonstances, conformément à la jurisprudence, il convient d'apprécier le caractère invalidant de la fibromyalgie de manière analogue aux troubles somatoformes douloureux.
A la lecture de ces éléments médicaux, on doit convenir avec l'OFAS qu'aucun traitement intensif et de longue durée n'a été entrepris selon les règles de l'art pour remédier aux effets de la fibromyalgie. Pour ce premier motif déjà, on peut douter que la fibromyalgie justifie à elle-seule le taux d'incapacité de travail de 50 % fixé par la doctoresse T._. En pareilles circonstances, conformément à la jurisprudence, il convient d'apprécier le caractère invalidant de la fibromyalgie de manière analogue aux troubles somatoformes douloureux.
4. 4.1 Dans un arrêt récent, le Tribunal fédéral des assurances a jugé que la fibromyalgie et le trouble somatoforme douloureux présentaient des points communs, en ce que leurs manifestations cliniques étaient pour l'essentiel similaires et qu'il n'existait pas de pathogenèse claire et fiable pouvant expliquer l'origine des douleurs exprimées. Cela rendait la limitation de la capacité de travail difficilement mesurable car l'on ne pouvait pas déduire l'existence d'une incapacité de travail du simple diagnostic posé. En particulier, un diagnostic de fibromyalgie ou de trouble somatoforme douloureux ne renseignait pas encore sur l'intensité des douleurs ressenties par la personne concernée, ni sur leur évolution, ou le pronostic qu'on pouvait poser dans un cas concret. La Cour de céans a déduit de ces caractéristiques communes qu'en l'état actuel des connaissances, il se justifiait, sous l'angle juridique, d'appliquer par analogie les principes développés par la jurisprudence en matière de troubles somatoformes douloureux lorsqu'il s'agissait d'apprécier le caractère invalidant d'une fibromyalgie (arrêt S. du 8 février 2006, I 336/04, prévu pour la publication dans le Recueil officiel, consid. 4.1).
4.2 Aussi, convenait-il également en présence d'une fibromyalgie de poser la présomption que cette affection ou ses effets pouvaient être surmontés par un effort de volonté raisonnablement exigible (cf. <ref-ruling>). De même qu'en cas de troubles somatoformes douloureux, il y avait toutefois lieu de reconnaître l'existence de facteurs déterminés qui, par leur intensité et leur constance, rendaient la personne incapable de fournir cet effort de volonté. Ces critères permettant de fonder exceptionnellement un pronostic défavorable dans les cas de fibromyalgie étaient les suivants : la présence d'une comorbidité psychiatrique importante par sa gravité, son acuité et sa durée, un processus maladif s'étendant sur plusieurs années sans rémission durable (symptomatologie inchangée ou progressive), des affections corporelles chroniques, une perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie et l'échec de traitements ambulatoires ou stationnaires conformément aux règles de l'art (même avec différents types de traitement), cela en dépit de l'attitude coopérative de la personne assurée.
En présence d'une comorbidité psychiatrique, il y avait également lieu de tenir compte de l'existence d'un état psychique cristallisé résultant d'un processus défectueux de résolution du conflit, mais apportant un soulagement du point de vue psychique (profit primaire tiré de la maladie, fuite dans la maladie). Enfin, comme dans les cas de troubles somatoformes douloureux, il convenait de conclure à l'absence d'une atteinte à la santé ouvrant le droit aux prestations d'assurance, si les limitations liées à l'exercice d'une activité résultaient d'une exagération des symptômes ou d'une constellation semblable (par exemple une discordance entre les douleurs décrites et le comportement observé, l'allégation d'intenses douleurs dont les caractéristiques demeuraient vagues, l'absence de demande de soins, de grandes divergences entre les informations fournies par le patient et celles ressortant de l'anamnèse, le fait que des plaintes très démonstratives laissaient insensible l'expert, ainsi que l'allégation de lourds handicaps malgré un environnement psychosocial intact) (arrêt S., précité, consid.4.2.1 et 4.2.2).
4.3 Par ailleurs, quand bien même le diagnostic de fibromyalgie était d'abord le fait d'un médecin rhumatologue, il convenait aussi d'exiger, en principe, comme en cas de troubles somatoformes douloureux, le concours d'un médecin spécialiste en psychiatrie, ce d'autant plus que les facteurs psychosomatiques avaient, selon l'opinion médicale dominante (cf. arrêt S., précité, consid. 3.3), une influence décisive sur le développement de cette atteinte à la santé. Une expertise interdisciplinaire tenant à la fois compte des aspects rhumatologiques et psychiques apparaissait donc en principe la mesure d'instruction adéquate pour établir de manière objective si l'assuré présentait un état douloureux d'une gravité telle - eu égard également aux critères déterminants cités (supra consid. 4.1.2) - que la mise en valeur de sa capacité de travail sur le marché de travail ne pouvait plus du tout ou seulement partiellement être exigible de sa part (arrêt S., précité, consid. 4.3 et la référence).
4.3 Par ailleurs, quand bien même le diagnostic de fibromyalgie était d'abord le fait d'un médecin rhumatologue, il convenait aussi d'exiger, en principe, comme en cas de troubles somatoformes douloureux, le concours d'un médecin spécialiste en psychiatrie, ce d'autant plus que les facteurs psychosomatiques avaient, selon l'opinion médicale dominante (cf. arrêt S., précité, consid. 3.3), une influence décisive sur le développement de cette atteinte à la santé. Une expertise interdisciplinaire tenant à la fois compte des aspects rhumatologiques et psychiques apparaissait donc en principe la mesure d'instruction adéquate pour établir de manière objective si l'assuré présentait un état douloureux d'une gravité telle - eu égard également aux critères déterminants cités (supra consid. 4.1.2) - que la mise en valeur de sa capacité de travail sur le marché de travail ne pouvait plus du tout ou seulement partiellement être exigible de sa part (arrêt S., précité, consid. 4.3 et la référence).
5. Au regard des principes qui viennent d'être développés, on doit constater que ni le rapport de la doctoresse T._, ni ceux du médecin traitant (qui n'est au demeurant pas rhumatologue) ne permettent de statuer à satisfaction de droit sur le caractère invalidant de la fibromyalgie présentée par l'intimée. Il convient par conséquent de renvoyer la cause à l'administration pour qu'elle ordonne une expertise interdisciplinaire comprenant un rhumatologue et un psychiatre. Il appartiendra en particulier aux experts désignés de déterminer aussi objectivement que possible la capacité de travail de l'assurée à la lumière des présents considérants. Dans cette mesure, le recours est bien fondé.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du 16 décembre 2004 du Tribunal des assurances du canton de Vaud ainsi que la décision du 10 octobre 2002 de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud sont annulés, la cause étant renvoyée audit office pour qu'il procède conformément aux considérants.
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du 16 décembre 2004 du Tribunal des assurances du canton de Vaud ainsi que la décision du 10 octobre 2002 de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud sont annulés, la cause étant renvoyée audit office pour qu'il procède conformément aux considérants.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 9 juin 2006
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIIe Chambre: La Greffière: