Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1958, war seit 1. März 2003 bei der B._ AG als Product Managerin tätig und dadurch bei der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Allianz) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 16. November 2003 bei einem Auffahrunfall Verletzungen namentlich im Bereich des Nackens und der Halswirbelsäule erlitt. Die Allianz gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nachdem verschiedene Abklärungen und Behandlungen stattgefunden hatten, veranlasste sie beim Zentrum C._ ein polydisziplinäres Gutachten (Gutachten vom 12. Mai 2009). Die Schweizerische National-Versicherungs-Gesellschaft AG als Haftpflichtversicherer holte dazu eine medizinische Stellungnahme/Aktenbeurteilung des Dr. med. D._, Facharzt Innere Medizin, vom 31. Oktober 2010 ein. Mit Verfügung vom 22. Juni 2011 stellte die Allianz ihre Leistungen auf den 31. Dezember 2009 ein. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 14. Oktober 2011 fest.
A.b. Am 28. April 2011 liess A._ der Allianz mitteilen, am 4. März 2011 erneut in einen Auffahrunfall verwickelt worden zu sein. Die Allianz lehnte diesbezüglich ihre Leistungspflicht mit Verfügung vom 22. Juni 2011 ab.
B.
Die gegen den Einspracheentscheid vom 14. Oktober 2011 eingereichte Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 22. März 2013 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids seien ihr ab 1. Januar 2010 eine Invalidenrente nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von mindestens 83% und eine Integritätsentschädigung nach Massgabe eines Integritätsschadens von mindestens 20% zuzusprechen. Es seien ihr ab 1. Januar 2010 weiterhin Heilbehandlungen zu gewähren, eventualiter seien ihr über den 31. Dezember 2009 hinaus Taggelder nach Massgabe einer mindestens 70%igen Arbeitsunfähigkeit zu entrichten sowie die Übernahme der vollumfänglichen Heilbehandlung zu gewähren. Zudem ersucht A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die Allianz schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Stellungnahme. Replikweise lässt A._ an ihren Begehren festhalten.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 317 f. und 134 V 250 E. 1.2 S. 252, je mit Hinweisen). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob Unfallversicherer und Vorinstanz zu Recht einen Anspruch auf weitere Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Unfall vom 16. November 2003 über den 31. Dezember 2009 hinaus verneint haben. Dabei ist zunächst umstritten, ob organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolgen in Form einer richtunggebenden Verschlimmerung von Diskushernien vorliegen.
2.1. Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt, worauf verwiesen wird. Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 181). Dabei spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt.
2.2. Wie das kantonale Gericht festgehalten hat, entspricht es im Bereich des Unfallversicherungsrechts einer medizinischen Erfahrungstatsache, dass praktisch alle Diskushernien bei Vorliegen degenerativer Bandscheibenveränderungen entstehen, und ein Unfallereignis nur ausnahmsweise, unter besonderen Voraussetzungen, als eigentliche Ursache in Betracht fällt (RKUV 2000 Nr. U 379 S. 192, U 138/99 E. 2a; vgl. auch Urteil 8C_681/2011 vom 27. Juni 2012 E. 3.2 mit Hinweisen).
2.3. Die Leistungspflicht des Unfallversicherers umfasst auch die Beeinträchtigung durch Beschwerden, welche aus einer unfallbedingten (vorübergehenden oder richtunggebenden) Verschlimmerung einer vorbestandenen Diskushernie herrühren (SVR 2008 UV Nr. 36 S. 137, 8C_637/2007 E. 2.2 mit Hinweisen; vgl. auch SVR 2009 UV Nr. 1 S. 1, 8C_677/2007 E. 2.3.1).
Ist die Diskushernie bei degenerativem Vorzustand durch den Unfall nur aktiviert, nicht aber verursacht worden, so hat die Unfallversicherung nur Leistungen für das unmittelbar im Zusammenhang mit dem Unfall stehende Schmerzsyndrom zu erbringen. Nach derzeitigem medizinischem Wissensstand kann das Erreichen des Status quo sine bei posttraumatischen Lumbalgien und Lumboischialgien nach drei bis vier Monaten erwartet werden, wogegen eine allfällige richtunggebende Verschlimmerung röntgenologisch ausgewiesen sein und sich von der altersüblichen Progression abheben muss; eine traumatische Verschlimmerung eines klinisch stummen degenerativen Vorzustandes an der Wirbelsäule ist in der Regel nach sechs bis neun Monaten, spätestens aber nach einem Jahr als abgeschlossen zu betrachten (Urteil 8C_601/2011 vom 9. Januar 2012 E. 3.2.2; vgl. auch SVR 2009 UV Nr. 1 S. 1, 8C_677/2007 E. 2.3 und 2.3.2 mit Hinweisen).
2.4. Rechtsprechungsgemäss kann von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (Urteil 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 2 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2010 UV Nr. 6 S. 25). Ob eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vorliegt, beurteilt sich nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181).
3.
3.1. Unfallversicherer und Vorinstanz sind in Würdigung der medizinischen Aktenlage, namentlich gestützt auf den Bericht des Dr. med. E._, Rheumatologie und Innere Medizin FMH, vom 10. Juli 2006 und die medizinische Stellungnahme/Aktenbeurteilung des Dr. med. D._ vom 31. Oktober 2010 zum Schluss gekommen, für die im Zeitpunkt der Einstellung der vorübergehend erbrachten Leistungen noch geklagten gesundheitlichen Beschwerden sei kein auf den Unfall vom 16. November 2003 zurückzuführendes organisches Substrat mehr ausgewiesen. Bei den Bandscheibenveränderungen der Beschwerdeführerin sei davon auszugehen, dass es sich um eine traumatische Verschlimmerung eines klinisch stummen degenerativen Vorzustandes handle, welche rechtsprechungsgemäss spätestens ein Jahr nach dem Unfallereignis als abgeschlossen zu betrachten sei.
3.2. Die Beschwerdeführerin macht demgegenüber insbesondere gestützt auf das vom Unfallversicherer eingeholte polydisziplinäre Gutachten des Zentrums C._ vom 12. Mai 2009 geltend, die Diskushernien seien durch das Unfallereignis direkt hervorgerufen oder zumindest richtunggebend verschlimmert worden.
3.3. Aus der medizinischen Aktenlage ergibt sich im Wesentlichen Folgendes:
3.3.1. Dr. med. F._, Oberarzt, und Dr. med. G._, Assistenzarzt, Spital H._, wiesen nach durchgeführtem MRT der HWS vom 9. Dezember 2003 eine subligamentäre Diskushernie HWK 5/6 mediolateral links mit C6-Tangierung links sowie eine intraforaminale Diskushernie HWK 6/7 rechts aus.
3.3.2. Im Austrittsbericht der Klinik I._ vom 27. August 2004 über den Aufenthalt vom 23. Juni bis 4. August 2004 wurde unter Diagnosen u.A. Verkehrsunfall vom 16. November 2003 mit 1. HWS-Distorsionstrauma und 2. Nachweis einer linksseitigen Diskushernie HWS 5/6 mit Wurzelkontakt C6 links und langdauernden linksseitigen Brachialgien festgehalten.
3.3.3. Anlässlich einer Verlaufskontrolle vom 30. September 2004 beurteilte Dr. med. F._ mit Bericht vom 5. Oktober 2004 den Befund des durchgeführten MRT der HWS als gegenüber Dezember 2003 etwas kleinere mediolaterale subligamentäre Diskushernie HWK 5/6 links und kleinere foraminale Hernie HWK 6/7 rechts.
3.3.4. Dr. med. J._, leitender Arzt, und Dr. med. K._, Assistenzärztin, Klinik L._, hielten mit Bericht vom 31. August 2005 im Rahmen der ambulanten Untersuchung in der Klinik M._ vom 29. Juli und 17. August 2005 u.A. die Diagnose Chronische Zervikalgie: HWS-Distorsionstrauma bei Autounfall November 2003 und MRI September 2004: kleine mediolaterale subligamentäre Diskushernie HWK 5/6 links und kleine foraminale Hernie HWK 6/7 rechts ohne Neurokompression fest.
3.3.5. Im Bericht vom 10. Juli 2006 hielt Dr. med. E._ als Diagnose die Angabe chronischer cervicospondylogener Nackenbeschwerden seit einem Unfall am 16. November 2003 mit vordergründig Schmerzfehlverarbeitung, DD: Somatisierungsstörung, fest. Er führte aus, die zwei festgestellten Diskushernien stellten einen altersbezogen nicht aussergewöhnlichen Befund dar. Es sei objektiv erwiesen, dass die HWS keine Verletzungsfolgen davongetragen habe, weshalb die heutigen myofaszial vermittelten Beschwerden in keinem Kausalzusammenhang mit dem Unfall zu sehen seien.
3.3.6. Prof. Dr. med. N._, Facharzt FMH für Neurochirurgie, hielt im Bericht vom 25. August 2008 fest, er habe bei der neurologischen Untersuchung ausgeprägte cervicovertebrale Befunde festgestellt. Das MRI der HWS vom 9. Dezember 2003 habe grosse cervicale Diskushernien C 5/6 mediolateral links sowie C 6/7 rechts ergeben und das MRI der HWS vom 30. September 2004 habe fast identische Befunde gezeigt. Es handle sich um ein schweres HWS-Schleudertrauma, wobei der Aufprall eine radiologisch sichtbare Instabilität mit Diskushernie kaudal verursacht habe.
3.3.7. Dr. med. O._, Facharzt Psychiatrie, Dr. med. P._, Facharzt Neurologie und Prof. Dr. med. Q._, Facharzt Neurochirurgie, Zentrum C._, erstellten am 12. Mai 2009 im Auftrag des Unfallversicherers ein polydisziplinäres Gutachten. Sie diagnostizierten bezüglich Diskushernien im Wesentlichen ein chronisches zervikales, cervikocephales und cervikobrachiales Schmerzsyndrom bei Status nach Auffahrkollision mit Distorsionstrauma der HWS am 16. November 2003 mit passagerer Anpassungsstörung mit längerer depressiver Reaktion und psychotraumatologischer Symptomatik, gegenwärtig praktisch vollständig remittiert, mediolateraler Diskushernie HW 5/6 links ohne radikuläres Reizsyndrom, Sensibilitätsstörung am lateralen Oberarm links bei symmetrischen Eigenreflexen ohne motorisches Ausfallsyndrom, sowie eine laterale Diskushernie HW 6/7 rechts ohne radikuläres Reiz- und Ausfallsyndrom. Gemäss den Gutachtern seien die beklagten Schmerzen mindestens teilweise als Ausdruck muskulärer Verspannungszustände sowie die Sensibilitätsstörung am linken Oberarm, welche dem Dermatom C6 zuzuordnen und mit der radiologisch dokumentierten Diskushernie mediolateral links erklärbar sei, organischer Genese. Es sei davon auszugehen, dass die (unfallfremden) radiomorphologisch sichtbaren Diskushernien HWK 5/6 links und HWK 6/7 rechts bereits vor dem Unfallereignis vom 16. November 2003 vorhanden gewesen seien, es jedoch durch dieses sowie die ungünstig früh einsetzenden aktivtherapeutischen Massnahmen zu einer richtunggebenden Verschlimmerung gekommen sei. Auf Ergänzungsfrage des Haftpflichtversicherers hin bekräftigten die Gutachter, die heute vorhandenen Beschwerden seien sehr wahrscheinlich auf den Unfall vom 14. (recte: 16.) November 2003 zurückzuführen. Es sei heute davon auszugehen, dass prämorbid vorhandene cervikale Diskushernien durch das Unfallereignis und eventuell aufgrund zu früh einsetzender therapeutischer Massnahmen symptomatisch und im Sinne einer richtunggebenden Verschlechterung beeinflusst worden seien.
3.3.8. In der im Auftrag des Haftpflichtversicherers erstellten Medizinischen Stellungnahme/Aktenbeurteilung vom 31. Oktober 2010 rügte Dr. med. D._ offensichtliche Mängel des Gutachtens des Zentrums C._. So sei das Gutachten aufgrund unvollständiger Akten erfolgt und die neurochirurgische sowie psychiatrische und auch die interdisziplinäre Beurteilung seien nicht schlüssig. Eine milde traumatische Hirnverletzung sei möglich, aber nicht überwiegend wahrscheinlich, und für die von den Gutachtern als überwiegend wahrscheinlich postulierte richtunggebende Verschlimmerung vorbestehender degenerativer HWS-Beschwerden gebe es in den bildgebenden Verfahren keinerlei Anhaltspunkte.
3.4. In der dargelegten medizinischen Aktenlage wird übereinstimmend vom Vorliegen von Diskushernien HWK 5/6 links und HWK 6/7 rechts ausgegangen. Widersprüchlich sind die Meinungen darüber, ob es sich dabei um eine vorübergehende oder eine richtunggebende Verschlimmerung vorbestehender degenerativer HWS-Beschwerden und in diesem Sinne um unfallkausale organische Beschwerden handelt. Während hauptsächlich im Gutachten des Zentrums C._ vom 12. Mai 2009 sowie im Bericht des Prof. Dr. med. N._ vom 25. August 2008 von letzterem ausgegangen wird, verneinen namentlich Dr. med. E._ im Bericht vom 10. Juli 2006 sowie Dr. med. D._ in der Stellungnahme vom 31. Oktober 2010 unfallkausale organische Beschwerden im Sinne einer richtunggebenden Verschlimmerung der Diskushernien. Welche dieser Auffassungen zutrifft, lässt sich aufgrund der vorhandenen medizinischen Akten nicht verlässlich beurteilen. Das Gutachten des Zentrums C._ vom 12. Mai 2009 beruht auf einer Würdigung der medizinischen Vorakten sowie auf eigenen Untersuchungen und beinhaltet eine umfassende Diagnosestellung mit Schlussfolgerungen, wohingegen es sich beim Bericht des Dr. med. E._ lediglich um eine kurze Stellungnahme aufgrund konsiliarischer Untersuchung an den Hausarzt der Versicherten und beim Bericht des Dr. med. D._ um eine Aktenbeurteilung, welche auf rund 20 Seiten Arztberichte wiedergibt und nur auf zwei Seiten eine eigene Beurteilung enthält, handelt. Zu Recht wurde in diesen beiden Seiten jedoch darauf hingewiesen, dass keine aktuellen bildgebenden Befunde vorliegen und dass das Gutachten des Zentrums C._ ohne Beizug eines Rheumatologen erstellt wurde. Ohne weitere Abklärungen - zumindest in Form der Einholung einer Ergänzung zum Gutachten beim Zentrum C._ - hätten Unfallversicherer und Vorinstanz nicht einfach auf die dem Gutachten des Zentrums C._ widersprechenden Berichte der Dres. med. E._ und D._ abstellen dürfen. Ob das Dahinfallen jeglicher kausaler Bedeutung des Unfallereignisses vom 16. November 2003 per 31. Dezember 2009 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit feststeht, lässt sich bei der bestehenden Aktenlage nicht beurteilen. Unter diesen Umständen ist eine ergänzende rheumatologische bildgebende Abklärung angezeigt, welche eine gesamthafte Beurteilung über die Fachgebiete hinweg gewährleistet, und die Frage organisch nachweisbarer Unfallfolgen mitsamt allfälligen Auswirkungen auf den Behandlungsbedarf sowie die Arbeitsfähigkeit beantwortet. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde ist die Sache daher zur weiteren Abklärung und anschliessender Neuverfügung an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen.
4.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten werden dem Prozessausgang entsprechend der Beschwerdegegnerin auferlegt (<ref-law>); des Weiteren hat sie der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 22. März 2013 und der Einspracheentscheid der Allianz vom 14. Oktober 2011 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Allianz zurückgewiesen, damit sie über den Anspruch der Beschwerdeführerin auf Leistungen aus der obligatorischen Unfallversicherung ab dem 1. Januar 2010 neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Juni 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Kopp Käch