Sachverhalt:
A. X._ und Y._, die beide in ihrem Heimatstaat Brasilien leben, sind Töchter des im September 1999 verstorbenen Z._ und der im Mai 2000 verstorbenen V._. Auch die Eltern waren brasilianische Staatsangehörige, und sie hatten ihren letzten Wohnsitz in ihrem Heimatstaat. Z._ und V._ waren Inhaber des gemeinsamen - am 30. November 1999 saldierten - Kontos/Depots "compte joint 1 H._" bei der Banque T._ in A._, die heute die Firma "Banque R._" trägt. Im November 1999, d.h. nach dem Tod von Z._, eröffneten V._ und Y._ bei der genannten Bank das gemeinsame Konto/Depot "compte joint 2 I._", das im März 2000 saldiert wurde. Von beiden Konten bzw. Depots waren namhafte Beträge unter anderem auf ein Konto von Y._ bei der gleichen Bank und ferner vom Konto 1 H._ auch auf das Konto 2 I._ bzw. von diesem auf ein weiteres Konto überwiesen worden.
B. Mit Eingabe vom 4. März 2004 erhob X._ beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen Y._ (Beklagte Nr. 1) und die Banque R._ (Beklagte Nr. 2). Sie beantragte hauptsächlich, die Beklagten anzuweisen, ihr zu den Konten 1 H._ und 2 I._ und weiteren Konten bzw. Depotbeziehungen und zu Offshore-Gesellschaften, zu einer Reihe von diese Beziehungen betreffenden Transaktionen und zu allem, was in Zusammenhang mit dem in der Schweiz gelegenen wie auch mit dem ab Todestag ins Ausland transferierten Vermögen und mit derartigen Vermögensansprüchen von Z._ und V._ stehe bzw. stehen könnte und geeignet sei, die Erbteilungen zu beeinflussen, sämtliche Unterlagen herauszugeben und sämtliche Informationen, einschliesslich Angaben zu den jeweils wirtschaftlich Berechtigten, zu erteilen. Ferner sei unter anderem festzustellen, dass die Beklagten ihr einen allfälligen Schaden wegen unterlassener Auskunftserteilung zu ersetzen hätten.
Die Beklagte Nr. 1 erhob die Einrede der örtlichen Unzuständigkeit des angerufenen Gerichts und verlangte ausserdem, das Verfahren gegen sie sei von demjenigen gegen die Beklagte Nr. 2 abzutrennen.
Die Beklagte Nr. 2 erhob Widerklage mit dem Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass die von der Klägerin gegen sie in Betreibung gesetzte Forderung nicht bestehe.
Mit Zirkulationsbeschluss vom 21. Februar 2006 wies das Bezirksgericht Zürich (2. Abteilung) die Unzuständigkeitseinrede der Beklagten Nr. 1 (Dispositiv-Ziffer 1) wie auch deren Antrag auf Abtrennung der Verfahren (Dispositiv-Ziffer 2) ab.
Den von der Beklagten Nr. 1 gegen die Abweisung der Unzuständigkeitseinrede erhobenen Rekurs hiess das Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich am 17. August 2006 gut und fasste Dispositiv-Ziffer 1 des erstinstanzlichen Entscheids dahin neu, dass auf die Klage gegen die Beklagte Nr. 1 nicht eingetreten werde.
C. Mit Eingabe vom 13. November 2006 hat die Klägerin eidgenössische Berufung erhoben. Sie beantragt, den obergerichtlichen Beschluss aufzuheben und die Unzuständigkeitseinrede der Beklagten Nr. 1 abzuweisen.
Die Beklagte Nr. 1 schliesst auf Abweisung der Berufung, und die Beklagte Nr. 2 hat auf eine Berufungsantwort verzichtet.
Durch Präsidialverfügung vom 8. April 2008 wurde das Sicherstellungsgesuch der Beklagten Nr. 1 gutgeheissen und die Klägerin aufgefordert, den Betrag von Fr. ... zu hinterlegen. Die Klägerin ist dieser Aufforderung nachgekommen.
Mit Schreiben vom 9. Mai 2008 hat der Rechtsvertreter von W._, der im kantonalen Verfahren als Nebenintervenient aufgetreten war, unter Hinweis auf den Tod seines Klienten erklärt, dieser nehme am Prozess nicht mehr teil.
D. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich hatte am 2. Oktober 2007 beschlossen, dass auf die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde, die die Klägerin gegen den obergerichtlichen Beschluss ebenfalls eingereicht hatte, abgewiesen werde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2007 trat das Bundesgesetz über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) in Kraft (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist vorher ergangen, so dass noch die Bestimmungen des Bundesrechtspflegegesetzes (OG) anzuwenden sind (vgl. <ref-law>).
2. Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen selbständigen Vorentscheid über die Zuständigkeit. Wegen Verletzung bundesrechtlicher Vorschriften über die sachliche, die örtliche oder die internationale Zuständigkeit steht gegen einen solchen die Berufung offen (Art. 49 Abs. 1 OG). Auf die Berufung ist aus dieser Sicht demnach ohne weiteres einzutreten.
3. In einem internationalen Verhältnis, wie es hier vorliegt, wird die Zuständigkeit der schweizerischen Gerichte durch das Bundesgesetz über das Internationale Privatrecht (IPRG; SR 291) geregelt (<ref-law>); vorbehalten sind völkerrechtliche Verträge (<ref-law>).
3.1 Dass zu den zur Beurteilung stehenden Fragen ein völkerrechtlicher Vertrag bestehe, macht die Klägerin zu Recht selbst nicht geltend. Massgebend ist somit das IPRG. War der Erblasser Ausländer mit letztem Wohnsitz im Ausland, so sind nach <ref-law> die schweizerischen Gerichte oder Behörden am Ort der gelegenen Sache für den in der Schweiz gelegenen Nachlass zuständig, soweit sich die ausländischen Behörden damit nicht befassen. Unter Berufung auf einen Entscheid des staatlichen Gerichtshofes von M._ vom 9. Oktober 2001 geht das Obergericht davon aus, dass sich die Gerichte und Behörden von Brasilien nur mit den dort gelegenen Nachlässen von Z._ und V._ befassen würden. Insofern ist sein Entscheid nicht angefochten.
3.2 Das Obergericht nimmt mit der ersten Instanz sodann an, dass deren internationale und örtliche Zuständigkeit nur bestehe, wenn auch im Zeitpunkt der Klageeinleitung noch Vermögenswerte der Erblasser in der Schweiz gelegen haben sollten. Weder den Materialien zum IPRG noch Lehre und Rechtsprechung sei zu entnehmen, dass für die Anwendbarkeit von <ref-law> der Zeitpunkt des Todes des Erblassers massgebend sei. Mit dem Gerichtsstand von <ref-law> solle verhindert werden, dass ein in der Schweiz liegender Nachlassteil infolge eines negativen Kompetenzkonfliktes unbehandelt bleibe; es gehe nicht darum, in jedem Fall möglichen Erben ihren Pflichtteil gemäss schweizerischem Recht zu gewährleisten. Die Schweizer Justiz solle sich nur dann mit der Sache befassen, wenn tatsächlich Nachlassaktiven vorlägen, deren Verbleiben bei glaubhafter Bedrohung durch vorsorgliche Massnahmen auch gesichert werden könnten, was ein effektives Vorhandensein voraussetze. Andernfalls sei es auch aus rechtspolitischen Überlegungen Sache des Wohnsitzstaates - sollten die Aktiven nach dem Tod des Erblassers dorthin verschoben worden sein - bzw. des neuen Belegenheitsstaates, eine Handhabe anzubieten. Aus der Formulierung von <ref-law> werde sodann klar, dass es beim "in der Schweiz gelegenen Nachlass" um effektives Nachlassvermögen bzw. um effektive Nachlassgegenstände gehe, vornehmlich um Liegenschaften und Mobilien, allenfalls auch um hier situierte Forderungen des Erblassers; Nachlassgegenstände seien demnach nur Werte, die dem Erblasser zuzuordnen seien, was nicht gelte für Ansprüche der Erben auf Ausgleichung und Herabsetzung; solche gehörten nicht zum Nachlassvermögen.
Weiter erklärt die Vorinstanz, allfällige bei Anwendung von schweizerischem Recht bestehende Auskunfts-, Anfechtungs- oder Herabsetzungsansprüche vermöchten für sich allein keinen Gerichtsstand in der Schweiz zu begründen: Abgesehen davon, dass dieser ja erst die Möglichkeit der Anwendung von Schweizer Recht und damit von gesetzlichem Pflichtteilsschutz sowie von Ausgleichungs- und Herabsetzungsansprüchen mit sich bringe, seien Ansprüche dieser Art wohl als bei der Schuldnerin, d.h. bei der Beklagten Nr. 1 in Brasilien, gelegen zu qualifizieren. Nach klägerischer Darstellung gehöre das Konto 3 E._ der Beklagten Nr. 1; dort liegende Vermögenswerte vermöchten somit keinen schweizerischen Nachlassgerichtsstand zu begründen, auch wenn allenfalls auf das genannte Konto geflossene Zahlungen in einer nach schweizerischem Recht durchgeführten Erbteilung im Rahmen einer Ausgleichung oder Herabsetzung zu berücksichtigen wären. Dass die Erblasser über die von ihr konkret genannten Kontobeziehungen hinaus an weiterem Vermögen rechtlich oder zumindest wirtschaftlich berechtigt gewesen wären und bei Klageeinleitung solche Nachlassaktiven noch in der Schweiz gelegen hätten, mache die Klägerin nicht substantiiert geltend.
Abschliessend hält das Obergericht dafür, dass es sich unter den gegebenen Umständen erübrige, die Sache zur Klärung der Frage, ob im Zeitpunkt der Klageeinleitung in der Schweiz Nachlassaktiven vorhanden gewesen seien, an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Aufgrund der klägerischen Sachdarstellung stehe vielmehr bereits eindeutig fest, dass für eine Zuständigkeit nach <ref-law> kein Raum bestehe.
4. Das Obergericht verkennt das Wesen des von der Klägerin geltend gemachten Informationsanspruchs:
4.1 In einem Fall, da ein Erblasser ein Sparheft auf den Namen eines Enkels eröffnet hatte mit dem Vorbehalt, dass bis zu seinem Tod er allein verfügungsberechtigt bleibe, hat das Bundesgericht, das das Rechtsgeschäft als Schenkung auf den Todesfall (<ref-law>) qualifizierte, erklärt, das Sparheft sei im Zeitpunkt des Todes des Erblassers in das Gesamteigentum der Erben übergegangen und die Bank dürfe diesen nicht ihre Schweigepflicht entgegenhalten, da auch die aus dem Bankgeheimnis fliessenden Ansprüche auf die Erben übergegangen seien (<ref-ruling> E. 6 S. 93). Den Erben sollen mit anderen Worten diejenigen Informationen zugänglich sein, über die auch der Erblasser verfügt hatte. Im gleichen Sinne wurde in <ref-ruling> (E. 4.2.4 S. 687) festgehalten, es bestehe kein Bedarf, dem Erben, der kraft Universalsukzession (<ref-law>) an die Stelle des Erblassers getreten sei, über das aufgrund einer Vertragsbeziehung beispielsweise mit einer Bank bestehende und nun durch Erbrecht erworbene Auskunftsrecht hinaus noch ein eigenes erbrechtliches Auskunftsrecht einzuräumen. Ebenso wurde in <ref-ruling> (E. 2.5 S. 667) auf das Wesen der Universalsukzession hingewiesen, das nicht nur sämtliche Vermögensrechte auf die Erben übergehen lasse, sondern in vollem Umfang insbesondere auch die vertraglichen Auskunftsansprüche, soweit diese nicht höchstpersönliche Rechte des Erblassers beträfen. Ferner hat das Bundesgericht zur Aufnahme eines öffentlichen Inventars ausgeführt, die Befugnis des mit dessen Errichtung betrauten Notars, bei jeder Person, die in der Lage sei, Auskünfte über die Vermögensverhältnisse des Verstorbenen zu erteilen, Informationen einzuholen, leite sich direkt aus dem Erbrecht ab und der Notar habe zumindest die gleichen Auskunftsansprüche wie der Erbe, so dass es nicht zulässig sei, sich ihm gegenüber auf das Bankgeheimnis zu berufen (Urteil des Bundesgerichts vom 14. August 1992, E. 4a, [übersetzt] veröffentlicht in: ZBGR 75/1994 S. 173). Ähnlich wurde in <ref-ruling> (E. 3 S. 402) unter Hinweis auf die in <ref-law> festgelegte Pflicht der Erben, sich gegenseitig zu informieren (vgl. auch <ref-law>), und auf die Rechtsprechung, wonach das Informationsinteresse der an einem Erbgang beteiligten Erben umfassend zu schützen sei, erklärt, dass die um Auskunft angegangene Witwe sich weder unter Berufung auf die güterrechtlichen Verhältnisse noch durch Bestreitung der teilungsrechtlichen Relevanz der erhaltenen Zuwendung ihrer Informationspflicht entziehen könne.
4.2 Wie sich aus dem Dargelegten ergibt, sind die Fragen des Erwerbs bzw. des Bestandes des Nachlasses und der entsprechenden Informationsbedürfnisse der Erben so eng miteinander verknüpft, dass es sich rechtfertigt, auch für die auf einen Nachlass in der Schweiz bezogenen Auskünfte der Art, wie sie von der Klägerin verlangt werden, <ref-law> zum Tragen kommen zu lassen. Da für den in Frage stehenden Informationsanspruch ohne Belang ist, ob in dem nach der genannten Bestimmung massgebenden Zeitpunkt sich Vermögen der Erblasser in der Schweiz befunden habe, mag dahingestellt bleiben, ob bei einem ausschliesslich den Bestand eines Nachlasses betreffenden Streit auf den Zeitpunkt des Todes des Erblassers oder auf denjenigen der Klageeinleitung abzustellen ist. Ebenso wenig brauchen aufgrund des Dargelegten die Frage der Zuständigkeit hinsichtlich einer allfälligen Haftung der Beklagten Nr. 2 aus unerlaubter Handlung und die von der Klägerin zusätzlich aufgeworfene Frage einer Notzuständigkeit (<ref-law>) erörtert zu werden.
5. Die Berufung ist nach dem Gesagten gutzuheissen, der angefochtene Beschluss aufzuheben und die Sache zwecks Eintretens auf die gegen die Beklagte Nr. 1 gerichtete Klage an das Obergericht zurückzuweisen. Die Gerichtsgebühr ist bei diesem Ausgang der Beklagten Nr. 1 aufzuerlegen, zumal die Beklagte Nr. 2 auf die Einreichung einer Berufungsantwort verzichtet und sich damit eines Antrags enthalten hat (Art. 156 Abs. 1 OG). Die Beklagte Nr. 1 ist ausserdem zu verpflichten, die Klägerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Berufung wird der Beschluss des Obergerichts (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich vom 17. August 2006 aufgehoben und die Sache zwecks Eintretens auf die Klage gegen die Beklagte Nr. 1 an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 40'000.-- wird der Beklagten Nr. 1 auferlegt.
3. Die Beklagte Nr. 1 wird verpflichtet, die Klägerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 50'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Mai 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel