Sachverhalt:
A. Der 1955 geborene G._ war als Chauffeur in der Firma X._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 5. Februar 2003 erlitt er bei der Arbeit einen Unfall. Er glitt beim Ausladen aus und kam zu Fall. Dabei verletzte er sich namentlich an der rechten Schulter. Es fanden nebst weiteren Therapien mehrere operative Eingriffe an der Schulter statt. Zudem hielt sich G._ vom 30. August bis 11. Oktober 2005 zur Rehabilitation in der Klinik Y._ auf. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 14. März 2007 sprach sie dem Versicherten für die verbleibenden Folgen der unfallbedingten Schulterverletzung eine Invalidenrente entsprechend einer Invalidität von 27 % und eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 20 % zu. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten hin fest. Sie verneinte dabei auch ihre Leistungspflicht in Bezug auf die geltend gemachte psychische Problematik, da diese nicht adäquat unfallkausal sei (Einspracheentscheid vom 13. Juni 2007).
B. Die von G._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 18. Dezember 2008 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ beantragen, in Aufhebung von vorinstanzlichem und Einspracheentscheid sei die Sache zur Neubeurteilung an das kantonale Gericht, evtl. an den Unfallversicherer zurückzuweisen, wobei dieser anzuweisen sei, ein interdisziplinäres (psychiatrisch/ orthopädisch/neurologisch) Gutachten einzuholen. Eventuell sei nach Einholung eines interdisziplinären Gutachtens durch das Bundesgericht eine Invalidenrente nach Ergebnis des Beweisverfahrens, mindestens jedoch entsprechend einer Invalidität von 64 %, sowie eine Integritätsentschädigung, welche nebst der somatisch bedingten Integritätseinbusse von 20 % auch die psychischen Beschwerden abdecke, zuzusprechen.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 24. April 2009 lässt G._ ein psychiatrisch-psychotherapeutisches Gutachten vom 12. Februar 2009 einreichen und beantragen, das Verfahren sei bis zum Vorliegen des interdisziplinären medizinischen Gutachtens, dessen Einholung er im Verfahren der Invalidenversicherung beantragt habe, zu sistieren.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 2 S. 371 mit Hinweis). Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Der Versicherte hat unbestrittenermassen aufgrund von Folgen des Unfalls vom 5. Februar 2003 Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung der obligatorischen Unfallversicherung. Streitig und zu prüfen ist, ob die diesen Leistungen zugrunde zu legende Invalidität und Integritätseinbusse höher anzusetzen sind als durch den Unfallversicherer erfolgt und vom kantonalen Gericht bestätigt.
Die für die Beurteilung der Streitsache massgeblichen Bestimmungen sind im Einsprache- und im vorinstanzlichen Entscheid zutreffend dargelegt. Dasselbe gilt für die von der Rechtsprechung erarbeiteten Grundsätze zu dem für einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden, insbesondere bei organisch objektiv ausgewiesenen Beschwerden sowie bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall. Darauf wird verwiesen.
3. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, als organisch objektiv ausgewiesene Folge des Unfalls vom 5. Februar 2003, welche eine Invalidität und eine Integritätseinbusse bewirke, liege (einzig) die Beeinträchtigung an der rechten Schulter vor.
Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Würdigung der medizinischen Akten und wird vom Versicherten zu Recht nicht in Frage gestellt. Zwar wird die Durchführung eines interdisziplinären medizinischen Gutachtens beantragt. Begründet wird dies aber nicht mit allfälligen weiteren organisch nachweisbaren Unfallfolgen. Der Beschwerdeführer vertritt vielmehr die Auffassung, es müssten mögliche Einflüsse der von ihm geltend gemachten psychischen Störung auf die physischen Beschwerden abgeklärt werden. Darauf wird bei der Prüfung, ob eine psychische Unfallfolge vorliegt, einzugehen sein.
4. 4.1 Streitig und zu prüfen ist, ob nebst der somatischen auch eine unfallbedingte psychische Gesundheitsschädigung vorliegt, welche eine Erhöhung der Invalidenrente und der Integritätsentschädigung zu rechtfertigen vermag.
Die SUVA hat dies mit der Begründung verneint, es fehle jedenfalls an der adäquaten Unfallkausalität einer allfälligen psychischen Störung. Das kantonale Gericht hat einen psychischen Gesundheitsschaden, welcher eine Invalidität und eine Integritätseinbusse bewirke, überhaupt ausgeschlossen. Demgegenüber macht der Versicherte geltend, er leide an einem natürlich und adäquat unfallkausalen psychischen Gesundheitsschaden. Dieser sei invalidisierend und beeinträchtige die Integrität.
4.2 Das kantonale Gericht hat erwogen, das anlässlich des stationären Aufenthaltes in der Klinik Y._ am 3. Oktober 2005 durchgeführte psychosomatische Konsilium habe einen leicht verminderten Antrieb und eine etwas herabgesetzte Stimmung ergeben. Relevante pathologische Befunde hätten von den Experten nicht erhoben werden können. Diese hätten vielmehr psychisch intakte Grundfunktionen festgestellt. Nichts anderes ergebe sich aus dem vom Versicherten eingeholten Bericht des Dr. med. B._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 11. August 2007. Die darin gestellte Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung und die damit begründete Bestätigung einer hälftigen Arbeitsunfähigkeit überzeugten nicht.
Diese Beurteilung beruht auf einer zutreffenden Würdigung der Sach- und Rechtslage. Das kantonale Gericht hat namentlich auch berücksichtigt, dass die Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung anamnestisch ein traumatisierendes Ereignis von aussergewöhnlicher Schwere voraussetzt (vgl. DILLING/MOMBOUR/SCHMIDT, Internationale Klassifikation psychischer Störungen, ICD-10 Kapitel V [F], Klinisch-diagnostische Leitlinien, 6. Aufl. 2008, S. 184; vgl. auch Urteil 8C_248/2007 vom 4. August 2008 E. 5.6.1). Ein so gravierendes Ereignis kann in dem hier gegebenen, einfachen Sturz nach Ausrutschen auf glattem Untergrund nicht gesehen werden. Im Bericht des Dr. med. B._ finden sich denn auch keine Ausführungen dazu, weshalb der Sturz psychisch besonders belastend gewesen sein soll. Der Psychiater begründet die von ihm gestellte Diagnose im Wesentlichen mit einer inadäquat heftigen Reaktion, welche der Versicherte auf die Erwähnung oder gar Beschreibung des Unfallereignisses zeige. Das vermag nicht zu überzeugen.
4.3 Was in der Beschwerde vorgebracht wird, führt zu keiner anderen Betrachtungsweise.
4.3.1 Weder mit der Symptomausweitung, welche gemäss Bericht der Klinik Y._ vom 15. Dezember 2006 bei der Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit (EFL) festgestellt wurde, noch mit den im Bericht des behandelnden Arztes Dr. med. P._, FMH Innere Medizin und Rheumatologie, vom 16. Januar 2007 erwähnten dysfunktionalen Umgangs- und Bewältigungsmustern der Symptomatik ist eine relevante psychische Störung dargetan. Gleiches gilt für die anlässlich des psychiatrischen Konsiliums an der Klinik Y._ vom 3. Oktober 2005 gestellten Diagnosen einer leichten Anpassungsstörung mit längerer depressiver Reaktion, zumal letztere einen längstens zwei Jahre dauernden, lediglich leichten depressiven Zustand umschreibt (vgl. DILLING/MOMBOUR/SCHMIDT, a.a.O., S. 186). Die im Konsilium erwähnten Befunde wurden denn auch im Austrittsbericht der Klinik Y._ vom 4. Oktober 2005 nicht als relevante Diagnosen erwähnt. Was sodann den Bericht des Dr. med. B._ vom 9. Januar 2008 betrifft, hat es mit der Feststellung sein Bewenden, dass der Psychiater im Wesentlichen seine Äusserungen im erwähnten Bericht vom 11. August 2007 (E. 4.2 hievor) wiederholt.
4.3.2 In der Beschwerde wird weiter ausgeführt, die Invalidenversicherung habe eine psychiatrische Begutachtung veranlasst. Der Versicherte werde die entsprechende Expertise nachreichen. Da diese nicht der Abklärung der Unfallkausalität diene, müsse sodann auch hiezu ein ergänzendes psychiatrisches Gutachten eingeholt werden.
Mit Eingabe vom 24. April 2009 reicht der Versicherte das der Invalidenversicherung erstattete psychiatrisch-psychotherapeutische Gutachten des Dr. med. K._, Psychiatrie und Psychotherapie, vom 12. Februar 2009 nach. Darin wird die Diagnose einer leichten depressiven Episode ohne somatisches Syndrom (ICD-10: F 32.00) und ohne Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit gestellt. Der Experte verneint zudem ausdrücklich das Vorliegen einer posttraumatischen Belastungsstörung. Das Gutachten bestätigt somit den hier angefochtenen Entscheid. Daran ändert nichts, dass es von der Invalidenversicherung eingeholt wurde und sich dementsprechend nicht zur (Unfall-)Kausalität der psychischen Problematik äussert. Denn wenn diese Problematik keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit zur Folge hat, kann auch eine UV-rentenbegründende Invalidität ohne Weiterungen zur Kausalitätsfrage verneint werden. Gleiches gilt in Bezug auf den Anspruch auf Integritätsentschädigung, liegt doch auch kein die Integrität beeinträchtigendes psychisches Leiden vor. Die beantragten weiteren Abklärungen zur Unfallkausalität wie auch zur Frage des Einflusses der geltend gemachten psychischen Problematik auf die physischen Beschwerden (E. 3 hievor) können somit unterbleiben.
Entgegen der in der Eingabe vom 24. April 2009 vertretenen Auffassung ist auch nicht angezeigt, das vorliegende Verfahren zu sistieren. Begründet wird der entsprechende Antrag damit, die Expertise vom 12. Februar 2009 überzeuge nicht, weshalb im Invalidenversicherungs-Verfahren eine weitere interdisziplinäre, insbesondere auch psychiatrische Begutachtung verlangt werde. Dass dieses Beweisbegehren eine Expertenaussage zur Folge haben wird, welche entgegen den bereits vorhandenen medizinischen Akten die Annahme eines unfallkausalen erheblichen psychischen Gesundsschadens verlässlich zu stützen vermag, ist nicht wahrscheinlich. Auch wird weder geltend gemacht, dass nebst der Schulterverletzung weitere organisch nachweisbare Unfallfolgen bestehen sollen, noch sind diesbezüglich neue Erkenntnisse zu erwarten (vgl. E. 3 hievor).
4.3.3 Das kantonale Gericht hat somit einen psychischen Gesundheitsschaden, welcher auf eine höhere unfallbedingte Invalidität und Integritätseinbusse schliessen lassen könnte, zu Recht verneint. Auf die Ausführungen in der Beschwerde zur Kausalität eines solchen Gesundheitsschadens ist daher nicht einzugehen. Weiterungen zur Frage der Zulässigkeit der erst mit der Beschwerde resp. im weiteren Verfahrensverlauf eingereichten Berichte/Gutachten (vgl. <ref-law>, zur Publikation in der Amtlichen Sammlung bestimmtes Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009) des Dr. med. B._ vom 9. Januar 2008 und des Dr. med. K._ vom 9. Februar 2009 erübrigen sich ebenfalls. Zudem ist von ergänzenden medizinischen Abklärungen abzusehen, da diese keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss versprechen. An diesem Ergebnis vermögen sämtliche weiteren Vorbringen des Versicherten nichts zu ändern.
5. Nach dem Gesagten vermag einzig die Schulterverletzung UVG-rechtlich einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung zu begründen. Die Invalidität und die Integritätseinbusse, welche diesen Leistungen zugrunde zu legen sind, hat die Vorinstanz auf 27 % resp. 20 % festgelegt. Dies ist nicht umstritten und gibt aufgrund der Akten zu keinen Bemerkungen Anlass.
6. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Sistierungsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Juni 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz