Erwägungen:
1.
Mit Strafbefehl vom 29. Juni 2015 sprach die Staatsanwaltschaft March A._ schuldig der Drohung im Sinne von <ref-law>, der Beschimpfung im Sinne von <ref-law> und der Tätlichkeiten im Sinne von <ref-law>. Es wurde ihm deswegen eine bedingte Geldstrafe von 30 Tagessätzen zu Fr. 30.-- und eine Busse von Fr. 900.-- auferlegt (bei schuldhaftem Nichtbezahlen der Busse eine Ersatzfreiheitsstrafe von 14 Tagen), als Zusatzstrafe zu dem am 24. September 2012 ergangenen Strafbefehl der Staatsanwaltschaft March vom 24. September 2012. Gleichzeitig hatte der Verurteilte die auf Fr. 935.-- festgesetzten Verfahrenskosten zu tragen.
Hiergegen erhob A._ am 3. Juli 2015 Einsprache, wobei er unter Berufung auf <ref-law> den Ausstand verschiedener Justizpersonen verlangte (Kantonsgericht, Staatsanwaltschaft). Die Staatsanwaltschaft überwies das Ausstandsgesuch am 9. Juli 2015 zuständigkeitshalber ans Kantonsgericht Schwyz zur weiteren Behandlung.
Mit Beschluss vom 27. August 2015 hat das Kantonsgericht das Gesuch abgewiesen, soweit es darauf eingetreten ist.
2.
Mit Eingabe vom 2. Oktober (Postaufgabe: 5. Oktober) 2015 führt A._ gegen den Beschluss vom 27. August 2015 Beschwerde ans Bundesgericht mit dem sinngemässen Hauptbegehren, der Beschluss vom 27. August 2015 sei aufzuheben; dem Ausstandsbegehren sei zu entsprechen.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer übt ganz pauschal Kritik am angefochtenen Beschluss und darüber hinaus an praktisch allen Justizbehörden des Kantons Schwyz, die er offenbar allesamt mit Strafklagen eingedeckt hat oder noch eindecken will. Dabei legt er nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern das Kantonsgericht Schwyz Recht Sinne von <ref-law> verletzt haben sollte, als es die Beschwerde abwies, soweit es darauf eintrat. Da die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Entscheids darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bzw. Beiordnung eines Rechtsbeistandes nicht zu entsprechen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden ( <ref-law> ).

Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege bzw. amtlichen Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Staatsanwalt Peter Birchler, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Oktober 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp