Faits :
A.
C._ est propriétaire de la parcelle n° xxx du cadastre de la commune de X._ située au 55, chemin Y._. Ce terrain, d'une surface de 2'382 m 2, est, pour 1'052 m 2, situé en zone agricole, le solde de la surface étant en zone de développement 4 B protégée, dans le périmètre du plan localisé de quartier n° yyy "hameau Z._", adopté par le Conseil d'Etat le 24 novembre 1993 (ci-après: le PLQ).
Ce plan prévoit, pour la parcelle concernée, l'extension d'une "menuiserie-charpente", un couvert, un sous-sol avec un parking de 39 places dont la dalle de couverture doit supporter des véhicules de plus de 16 tonnes ainsi qu'une rampe d'accès au sous-sol.
La Fondation B._ (ci-après: la fondation), présidée par C._, a pour but d'exposer, à titre temporaire ou pour une durée indéterminée, des oeuvres de sculpteurs de renom de nationalité suisse ou étrangère, notamment dans des parcs situés dans le canton de Genève. Depuis le 12 avril 2013, la fondation a également pour but de faire connaître l'oeuvre et la personnalité d'D._, fondateur, et de rassembler, dans la mesure du possible, tout ce qui se rapporte à ses activités professionnelles, livres, publications, souvenirs, objets et sculptures.
B.
Le 15 juin 2011, la fondation a requis du Département des constructions et des technologies d'information (devenu le Département de l'urbanisme, puis le Département de l'aménagement, du logement et de l'énergie [ci-après: le département]) l'autorisation d'ériger, sur la partie de la parcelle située dans le périmètre du PLQ, un bâtiment de deux niveaux sur rez-de-chaussée destiné à accueillir une fondation d'art et comprenant des locaux d'exposition, des ateliers d'artistes et un logement de fonction avec terrasse, au dernier étage.
Faisant suite au dépôt de cette demande, les divers services cantonaux concernés ont émis des préavis favorables, ou favorables sous réserves. Dans son préavis, la sous-commission d'architecture de la commission des monuments, de la nature et des sites (ci-après: la CMNS) a indiqué que l'implantation, le volume et les gabarits du bâtiment projeté étaient en adéquation avec le PLQ, alors que l'affectation ne l'était pas, mais que celle-ci demeurait cependant adaptée aux caractéristiques de la zone de développement 4 B protégée. L'implantation du projet s'inscrivant dans une zone villageoise, la CMNS a cependant exigé que l'ensemble des détails d'exécution (bardage bois, bords de toits, règles de menuiserie, aménagements extérieurs avec plantations d'essences indigènes, sols perméables, etc.) ainsi que les divers choix de teintes et de matériaux soient soumis au service des monuments et des sites pour approbation avant l'exécution des travaux. La direction de l'aménagement du département s'est également déclarée favorable à une dérogation au PLQ en application de l'art. 3 al. 4 de la loi cantonale générale sur les zones de développement du 29 juin 1957 (LGZD; rs/GE L 1 35).
Le 13 février 2012, le département a autorisé l'application des normes de la zone de développement 4 B protégée au projet de la fondation. Le 28 février 2012, il a délivré l'autorisation de construire, reprenant les conditions mentionnées dans les différents préavis.
A._, domicilié au 32, chemin Y._ à X._, a recouru contre cette décision au Tribunal administratif de première instance (ci-après: le TAPI) qui, par jugement du 28 septembre 2012, a rejeté son recours. Par arrêt du 29 octobre 2013, la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Chambre administrative ou la Cour de justice) a confirmé cette décision. Elle a en substance considéré que l'implantation, le volume et les gabarits projetés étaient conformes au PLQ. En outre et bien que son affectation diverge d'avec celle prévue par ce plan, le projet était admissible, la vision urbanistique des auteurs du PLQ étant préservée par la création d'ateliers. La Cour de justice a par ailleurs rejeté le grief remettant en cause la qualité de la fondation pour requérir une autorisation de construire au regard de la compatibilité du projet avec ses buts.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de justice, subsidiairement de renvoyer le dossier à l'autorité inférieure pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Plus subsidiairement, il demande à être acheminé "à rapporter par toutes voies de droit preuve de ses allégués ainsi que contre-preuve de tous allégués contraires". Le recourant se plaint pour l'essentiel d'une constatation arbitraire des faits, de la violation de son droit d'être entendu et de l'application arbitraire du droit cantonal.
La Chambre administrative s'en rapporte à justice s'agissant de la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le département s'en remet également à justice quant à la recevabilité du recours et, au fond, demande au Tribunal fédéral de confirmer l'arrêt attaqué. L'intimée conclut au rejet du recours.
Dans leurs répliques, les parties ont confirmé leurs conclusions. Le recourant sollicite par ailleurs une inspection locale et produit une pièce nouvelle. Enfin, dans sa dernière écriture, sans toutefois prendre de conclusion formelle à cet égard, il demande encore au Tribunal fédéral de prononcer une amende disciplinaire au sens de l'<ref-law> à l'encontre du département et produit une dernière pièce.

Considérant en droit :
1.
Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public des constructions (<ref-law>), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Le recourant a pris part à la procédure de recours devant la Cour de justice cantonale. Propriétaire d'une parcelle sise dans le voisinage immédiat du projet, il est particulièrement touché par l'arrêt attaqué qui confirme l'octroi d'un permis de construire un bâtiment destiné à accueillir une fondation d'art et un logement de fonction qu'il tient pour contraire au PLQ ainsi qu'à la LGZD. Il peut ainsi se prévaloir d'un intérêt personnel et digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué. Il a dès lors qualité pour agir au sens de l'<ref-law>.
2.
Dans ses observations du 10 mars 2014, le recourant reproche incidemment à la Cour de justice d'avoir renoncé à une inspection locale et demande implicitement au Tribunal fédéral de procéder à cette mesure d'instruction.
Devant l'instance cantonale, le recourant a soutenu que le transport sur place était de nature à démontrer que l'accès au parking souterrain prévu par le PLQ représentait un danger pour la circulation routière; la Cour de justice a rejeté cette requête. Le mémoire de recours ne contient cependant aucune critique à l'encontre de ce refus, de sorte que, soulevé au stade des observations, le présent grief apparaît tardif. Qu'une société de matériaux de construction se soit installée dans le quartier postérieurement au dépôt du recours - comme cherche à le démontrer le recourant par le dépôt d'un extrait internet - n'y change rien; il ne s'agit pas d'un fait nouveau admissible au sens de l'<ref-law> (Bernard Corboz, Commentaire LTF, 2014, n. 19 ss ad <ref-law>). Partant, ce grief, de même que la pièce nouvelle produite doivent être déclarés irrecevables. Pour le même motif, il n'y a pas lieu de donner suite à la requête d'inspection locale, la Cour de céans s'estimant de surcroît suffisamment renseignée pour statuer en l'état du dossier.
3.
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il appartient toutefois au recourant d'exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (<ref-law>). Cela suppose que le mémoire de recours ne soit pas trop long et s'en tienne à l'essentiel (arrêts 1C_450/2012 du 7 août 2013 consid. 3; 2C_285/2013 du 23 avril 2013 consid. 1; cf. FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, 2014, n. 27 et 41 ad <ref-law>). Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de dégager d'une argumentation prolixe et confuse les moyens susceptibles d'être recevables et pertinents (arrêts 1C_262/2012 du 20 septembre 2012 consid. 4; 1C_369/2009 du 25 février 2010 consid. 5). Or, le recourant présente ses critiques - de nature essentiellement appellatoire - de façon ambiguë et répétitive; elles ne sont de surcroît souvent pas en lien avec l'intitulé des griefs, ce qui confine à l'irrecevabilité sanctionnant le non-respect de l'<ref-law>. L'examen du recours se limitera donc aux griefs expressément désignés, dans la mesure où ils sont, en une partie ou une autre du mémoire, motivés de façon suffisamment compréhensible.
4.
Le recourant se plaint d'un établissement inexact des faits.
4.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits qui importent pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62). Si le recourant entend se prévaloir de constatations de faits différentes de celles de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 3 p. 104 et les arrêts cités). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui retenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 3 p. 104 et les arrêts cités).
4.2. Dans une première partie de son mémoire intitulée "en fait", le recourant présente sa version des faits et en livre sa propre appréciation juridique. Au regard de la jurisprudence mentionnée ci-dessus (cf. consid. 3), seules sont examinées les divergences avec les constatations de la Cour de justice que le recourant prend la peine de motiver conformément aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF. Quant aux critiques portant sur le fond de la cause soulevées dans cette première partie, pour autant qu'elles répondent aux exigences de motivation qui leur sont propres, elles seront traitées conjointement avec les griefs développés dans la partie "en droit" du recours.
4.3. Le recourant reproche à la Cour de justice d'avoir retenu que la parcelle n° xxx était déjà affectée à la zone de développement 4 B protégée, avant l'arrêté départemental du 13 février 2012. Selon lui, ce terrain était, au contraire, classé dans "une zone définie par un PLQ dont l'affectation [était] celle de menuiserie-charpente". Il affirme que le département n'était pas habilité à rendre une décision modifiant le zonage. Sous cet angle, est en réalité seule litigieuse la question de la portée de cet arrêté, question qui relève du droit et sera traitée ultérieurement (cf. consid. 6.3 ci-dessous).
4.4. Selon le recourant, la Chambre administrative aurait à tort retenu que l'emprise du projet de la fondation se limitait à la seule parcelle n° xxx. Il affirme que le projet s'étendrait sur une parcelle voisine, dont le propriétaire aurait dû concourir à la demande de permis de construire; il en déduit que l'autorisation devrait être annulée. Le recourant fonde son grief sur la mention "nouvelle limite de propriété selon projet de morcellement" figurant sur l'un des plans produits par l'intimée devant le TAPI. Il ne fournit cependant aucune explication complémentaire, se contentant d'affirmations péremptoires; sa motivation apparaît manifestement déficiente sous l'angle de la démons-tration de l'arbitraire. En tout état, sur la base de l'extrait du registre foncier, des différents plans versés au dossier d'enquête et des préavis émis par les services concernés , la Cour de justice pouvait retenir, sans que cela n'apparaisse arbitraire, que l'assiette du projet se cantonnait aux limites de la parcelle n° xxx. Dans ces circonstances, il n'y a pas lieu de modifier l'état de fait sur ce point. Par voie de conséquence, le grief de fond portant sur le concours nécessaire d'un propriétaire voisin devient sans objet.
4.5. Le recourant estime qu'en retenant que l'implantation du projet, ses volumes et ses gabarits étaient conformes au PLQ la Cour de justice aurait commis une "erreur de fait" et requiert sa rectification. Son mémoire ne renferme toutefois aucune motivation à ce propos, sous réserve de remarques liées au type de toiture projeté ainsi qu'au changement d'affectation, questions qui relèvent cependant du droit (cf. consid. 7 et 8 ci-dessous). Il ne formule au demeurant aucune critique à l'encontre des différents plans d'enquête, notamment celui illustrant graphiquement les exigences du PLQ en matière de gabarits. Le recourant oppose sa propre appréciation des faits à celle de la Chambre administrative, dont il n'y a dès lors pas lieu de s'écarter sur ces points.
5.
Le recourant invoque la violation de son droit d'être entendu.
Tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., le droit d'être entendu comprend en particulier le droit pour le justiciable de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment, celui de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision, celui d'avoir accès au dossier, celui de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos (<ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 282). Le droit d'être entendu implique également pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et exercer son droit de recours à bon escient. Pour répondre à ces exigences, le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 183; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 88 et les arrêts cités). L'autorité se rend en revanche coupable d'un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 2 Cst. si elle omet de se prononcer sur des griefs qui présentent une certaine pertinence ou de prendre en considération des allégués et arguments importants pour la décision à rendre (cf. <ref-ruling> consid. 5.2 p. 248).
Le recourant reproche à la Chambre administrative de ne pas l'avoir formellement invité à se déterminer sur la légitimation de l'intimée à requérir une autorisation de construire, à la suite de la modification de ses buts, intervenue en cours de procédure (cf. Feuille officielle suisse du commerce [FOSC] du 17 avril 2013). Il y voit une violation de son droit d'être entendu. Il soutient en substance que les buts de la fondation étaient, avant leur modification, incompatibles avec la réalisation du projet litigieux, ce que le département aurait dû constater d'office en refusant de délivrer le permis de construire. Ces explications relèvent cependant du droit (cf. consid. 9 ci-dessous). Quoiqu'il en soit, la nouvelle teneur des statuts a été portée à la connaissance du recourant, dans le cadre de la procédure de première instance, le 3 mai 2012. Il lui était depuis lors loisible de se prononcer sur ce point, ce qu'il n'a pas manqué de faire dans le cadre de son recours cantonal, la Cour de justice ayant au demeurant traité son grief sur le fond. Dès lors et pour autant qu'il réponde aux exigences de motivation des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF, ce grief s'avère mal fondé.
6.
Selon le recourant, la Cour de justice aurait violé son droit d'être entendu et versé dans l'arbitraire en avalisant l'arrêté départemental du 13 février 2012. Il estime en outre que cet arrêté violerait les droits politiques garantis par les art. 2 al. 1 (souveraineté populaire) et 44 al. 1 (garantie des droits politiques) de la Constitution de la République et canton de Genève du 14 octobre 2012 (rs/GE A 2 00).
6.1. Appelé à revoir l'interprétation d'une norme de droit cantonal sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement plus judicieuse - paraît possible (<ref-ruling> consid. 3.2.5 p. 339 et les références). Dans ce contexte, le recourant est soumis aux exigences accrues de motivation de l'<ref-law>. En outre, pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 560).
6.2. Le recourant prétend tout d'abord que l'instance précédente n'aurait pas examiné ses critiques portant sur ce qu'il qualifie de "conflit de normes" résultant de la coexistence de l'arrêté départemental du 13 février 2012 et du PLQ, violant en cela son droit d'être entendu. Il soutient ensuite que le Conseiller d'Etat, alors en charge du département, n'avait pas compétence pour rendre l'arrêté litigieux. Cet arrêté modifierait le zonage de la parcelle en cause au détriment de la procédure d'enquête prévue en matière d'adoption d'un PLQ (cf. art. 5 al. 1 la loi cantonale sur l'extension des voies de communication et l'aménagement des quartiers ou localités du 9 mars 1929 [LExt; rs/GE L 1 40]). En cela tant la décision entreprise que son résultat seraient arbitraires.
6.3. On ne saurait suivre le recourant dans cette voie. L'arrêt attaqué décrit, en se référant aux dispositions cantonales applicables, la procédure ayant précédé l'adoption de l'arrêté litigieux. La Cour de justice précise, dans ce cadre, que cet arrêté a pour objet de fixer les conditions particulières du projet et de statuer sur l'application des normes de la zone de développement considérée (cf. art. 5 du règlement d'application de la loi générale sur les zones de développement [RGZD; rs/GE L 1 35.01]; art. 12 al. 4 3ème phr. de la loi d'application de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire du 4 juin 1987 [LaLAT; rs/GE L 1 30]). Dans ce cadre, le département se prononce également sur l'admissibilité d'éventuelles dérogations au PLQ conformément à l'art. 3 al. 4 LGZD. Il apparaît ainsi que l'arrêté litigieux ne constitue pas la décision ayant affecté le terrain considéré à la zone de développement 4 B protégée. Ce zonage est intervenu parallèlement à l'adoption du PLQ en 1993 (cf. Mémorial du Grand conseil [MGC en ligne], Séance 32 du 16 septembre 1993 à 17h, disponible sur http://ge.ch/grandconseil/memorial/seances/520407/32/
14/ [consulté le 11 mars 2015]; art. 12 al. 4 LaLAT), comme le confirme d'ailleurs le département dans ses observations du 23 janvier 2015. Dès lors, et contrairement à ce que soutient le recourant, cet arrêté n'avait pas à être soumis à la sanction populaire. L'art. 3A al. 3 de la loi cantonale sur les constructions et les installations diverses du 14 avril 1988 (LCI; rs/GE L 5 05) précise du reste que l'arrêté du Conseil d'Etat appliquant les normes d'une zone de développement fait partie intégrante de l'autorisation définitive. Le recours contre cette dernière emporte recours contre ledit arrêté. Le contrôle de cet acte est par conséquent garanti. Dans ces circonstances, la Cour de justice n'a ni violé le droit d'être entendu du recourant ni versé dans l'arbitraire en considérant que l'arrêté départemental était une composante procédurale nécessaire à l'octroi de l'autorisation de construire requise. Ces griefs doivent dès lors être rejetés.
7.
Il convient à présent d'examiner si la dérogation à l'affectation prévue par le PLQ et consacrée par l'arrêté du département est admissible au regard de l'art. 3 al. 4 LGZD. Le recourant estime qu'autoriser la construction d'un musée et d'un logement de fonction alors que le PLQ prévoit une affectation artisanale originairement destinée à l'extension d'une "menuiserie-charpente" constituerait une modification substantielle qui ne saurait être autorisée que par le biais d'une procédure de révision du plan.
7.1. Selon l'art. 3 al. 4 LGZD, les projets de construction établis selon les normes d'une zone de développement doivent être conformes aux plans localisés de quartier en vigueur. Toutefois, lors du contrôle de conformité des requêtes en autorisation de construire avec le plan localisé de quartier, le département de l'aménagement, du logement et de l'énergie peut admettre que le projet s'écarte du plan dans la mesure où la mise au point technique du dossier ou un autre motif d'intérêt général le justifie.
7.2. La Cour de justice a rappelé que cette disposition devait s'interpréter de façon à ne pas vider le PLQ de sa substance. En acceptant par le biais d'une autorisation de construire une modification importante du PLQ, la procédure d'adoption des plans d'affectation telle que prévue par le droit fédéral de l'aménagement du territoire ne serait assurément pas respectée. En conséquence, seules des modifications peu importantes pouvaient être autorisées. Ainsi, les juges cantonaux avaient déjà jugé que le déplacement d'un bâtiment d'un mètre, l'agrandissement de 159 m2 d'un attique, la création de 19 places de parc au lieu de 21 prévues par le PLQ ou une augmentation de la hauteur du gabarit de 2,70 m étaient des dérogations mineures du PLQ. En revanche, la modification de l'emprise d'un parking et le déplacement de sa rampe d'accès, la fermeture au public d'une place de jeux liées à l'affectation au logement d'un rez-de-chaussée prévu pour de l'artisanat et du commerce ayant un impact sur l'image urbanistique retenue par le plan de quartier et sur la vie d'un quartier dans son ensemble n'ont pas été considérés comme des modifications mineures. Le recourant ne remet pas en question cette jurisprudence, mais soutient que la Cour de justice s'en serait écartée en retenant, dans le cas d'espèce, une modification mineure du PLQ.
Il est constant que l'affectation du projet litigieux s'écarte de celle prévue par le plan de quartier. La Cour de justice a jugé que cette modification devait s'analyser au regard de l'inhabituelle précision du PLQ. Ce dernier ne se limite en effet pas à fixer une affectation générale (p. ex. industrie, artisanat, logement), mais indique la nature même de l'entreprise soit, en l'occurrence, une entreprise de "menuiserie-charpente". Elle a considéré que, dans ces circonstances, la dérogation en vue de la création d'ateliers d'artistes, de locaux d'exposition pour une fondation d'art et d'un logement de fonction pouvait être admise. La CMNS précise à cet égard que si l'affectation n'est pas conforme au plan, elle reste adaptée aux caractéristiques de la zone de développement 4 B protégée, à laquelle la parcelle en cause a été affectée en 1993 par le législateur cantonal (cf. consid. 6.3 ci-dessus). La commission a par ailleurs émis certaines réserves, intégrées sous forme de conditions à l'autorisation de construire, en matière de détails d'exécution et de choix des matériaux afin de garantir l'intégration du projet dans le site. Enfin, les autres services appelés à se déterminer ont préavisé favorablement, ou favorablement avec réserves, le projet litigieux. Au vu des circonstances du cas particulier, les juges cantonaux pouvaient sans arbitraire considérer que le changement d'affectation constituait une dérogation admissible au regard de l'art. 3 al. 4 LGZD et de la jurisprudence cantonale. Mal fondé, ce grief doit être rejeté.
8.
En jugeant que la toiture plate prévue par le projet était admissible au regard du PLQ, la Chambre administrative aurait, selon le recourant, versé dans l'arbitraire.
8.1. Les PLQ sont des plans d'affectation spéciaux au sens de l'art. 14 de la Loi fédérale sur l'aménagement du territoire du 22 juin 1979 (LAT; RS 700; cf. art. 13 al. 1 let. a LaLAT). Les plans d'affectation spéciaux définissent, dans un secteur délimité, une réglementation détaillée qui, en plus du mode et de la mesure de l'utilisation du sol, fixe avec précision les contraintes que doit respecter le constructeur. Le plan de quartier peut ainsi régler un certain nombre de mesures qui doivent reposer sur une base légale, fédérale ou cantonale. Les dispositions du plan portent ainsi notamment sur l'équipement, la mesure d'utilisation du sol dans son périmètre, des mesures de protection de l'environnement et la protection des monuments et des sites (arrêt 1C_188/2011 du 23 septembre 2011 consid. 4.1 et les références, publié in SJ 2012 I 129).
Aux termes des art. 3 al. 1 LExt et 3 al. 1 LGZD, les PLQ prévoient notamment le périmètre d'implantation, le gabarit et la destination des bâtiments à construire (let. a). L'art. 4 al. 1 LGZD dispose que les PLQ sont accompagnés d'un règlement de quartier. Toutefois, à défaut de règlement adopté spécialement ou de conventions particulières, les dispositions du règlement type annexé au RGZD (RGZD2; rs/GE L 1 35.04) sont applicables (art. 4 al. 2 LGZD).
8.2. La Cour de justice a jugé que le projet de construction litigieux ne s'écartait du PLQ qu'en ce qui concerne l'affectation des bâtiments, modification toutefois admissible au regard de l'art. 3 al. 4 LGZD. Elle a en revanche retenu, se fondant notamment sur le préavis de la CMNS du 4 octobre 2011, que l'implantation et le gabarit des bâtiments hors-sol, la situation du sous-sol ainsi que la rampe d'accès respectaient strictement le plan. Dans ce cadre, elle a rappelé que, selon sa jurisprudence constante, lorsque le préavis de la CMNS était, comme en l'espèce, exigé par la loi (cf. art. 106 al. 1 LCI), une certaine prééminence devait lui être accordée, dite commission étant composée de spécialistes en matière d'architecture. De même, la Cour de justice a précisé qu'une certaine retenue s'imposait dès lors que ce préavis avait été suivi par l'autorité de première instance (TAPI), laquelle est également constituée, pour partie, de personnes possédant des compétences techniques spécifiques. En outre, ce préavis prévoyant des réserves pour tenir compte des spécificités du périmètre, notamment sous l'angle des aménagements extérieurs et des détails d'exécution, la Cour de justice a estimé qu'il n'y avait pas lieu de s'en écarter.
Le recourant ne critique pas réellement la jurisprudence de la Chambre administrative. Il estime cependant que la prédominance du préavis de la CMNS ne serait en l'espèce pas pertinente, la problématique se situant, selon lui, "en amont", au niveau de l'arrêté départemental du 13 février 2012. Il soutient à cet égard que les deux croquis en coupe figurant sur le PLQ et illustrant des toitures à pans revêtiraient un caractère impératif; admettre une toiture plate constituerait une modification substantielle du PLQ qui ne pouvait être autorisée par le biais de cet arrêté. Le recourant se méprend toutefois sur la portée de cet acte. En effet, la dérogation au PLQ qu'il prévoit porte exclusivement sur le changement d'affectation de la parcelle en cause et non sur une prétendue dérogation aux exigences du PLQ en matière de toiture. L'argumentation du recourant s'avère sous cet angle irrelevante. Pour le surplus, il ne fournit aucune explication démontrant que le PLQ exigerait impérativement des toitures à pans. Il se contente à cet égard d'affirmations péremptoires, fondées sur les seuls croquis, formulées et répétées de manière peu systématique en différents chapitres de son mémoire. Le recourant ne remet pas non plus en cause les plans versés au dossier d'enquête et illustrant l'adéquation du projet aux gabarits imposés. Il ne prétend pas non plus que le RGZD2, applicable à titre subsidiaire, ou la zone de développement 4 B protégée imposeraient cette forme de constructions. Par ailleurs, dans ses observations complémentaires, le département a précisé que les croquis en coupe figurant au PLQ n'avaient qu'un caractère indicatif s'agissant de la forme des toitures, ces coupes se limitant à indiquer les hauteurs maximales. En réplique et prétendant répondre à ces développements, le recourant produit une attestation établie par un architecte. Ce dernier confirme que le PLQ doit être lu comme imposant impérativement des toitures à pans. Le recourant perd toutefois de vue que le caractère impératif des croquis est une question de droit; l'avis d'un "homme de l'art" est, dans ce cadre, sans pertinence. Quoiqu'il en soit cette dernière pièce est irrecevable au regard de l'<ref-law>.
En définitive, le recourant ne démontre nullement que la Cour de justice aurait versé dans l'arbitraire en suivant le préavis de la CMNS et des autres services concernés ni que le résultat auquel elle aboutit serait insoutenable; il se contente d'opposer sa propre appréciation à celle des juges précédents, ce qui s'avère insuffisant au regard des exigences de motivation de l'<ref-law>. Le grief apparaît mal fondé et doit être rejeté.
9.
Le recourant estime que le département n'était pas en droit de délivrer une autorisation de construire à la fondation alors que les buts de celle-ci ne l'autorisaient pas à entreprendre la construction projetée. Il estime que ce vice doit entraîner la nullité du permis de construire.
9.1. Aux termes de l'art. 22 LAT, aucune construction ou installation ne peut être créée ou transformée sans autorisation de l'autorité compétente (al. 1). L'autorisation est délivrée si la construction ou l'installation est conforme à l'affectation de la zone (al. 2 let. a) et si le terrain est équipé (al. 2 let. b). Le droit fédéral et le droit cantonal peuvent poser d'autres conditions (al. 3).
Le législateur genevois a prévu que, sur le territoire du canton, nul ne peut élever ou rebâtir une construction sans y avoir été autorisé (art. 1 al. 1 let. a à c LCI). Les demandes d'autorisation sont adressées au département (art. 2 al. 1 LCI) et doivent être signées par le propriétaire de l'immeuble intéressé, ainsi que par le requérant ou l'éventuel mandataire professionnellement qualifié (cf. art. 2 al. 3 LCI et art. 11 al. 4 du règlement d'application de la loi sur les constructions et les installations diverses [RCI; rs/GE L 5 05.01]).
9.2. L'instance précédente a jugé que le grief lié aux buts statutaires de l'intimée n'était pas pertinent dès lors que la législation genevoise en matière de police des constructions a pour seul objet d'assurer la conformité des projets présentés aux prescriptions en matière de constructions et d'aménagements et non pas de régler des questions de droit privé.
La procédure d'autorisation de construire a pour but premier d'examiner la conformité d'un projet avec le "droit de la construction" (cf. ALEXANDER RUCH, Commentaire LAT n. 11 ad art. 22 LAT). Toutefois, l'autorité doit vérifier que le requérant jouisse du pouvoir de disposer de l'immeuble. A cette fin, selon la doctrine (cf. ALEXANDER RUCH, Commentaire LAT n. 43 ad art. 22 LAT), le droit fédéral exige, en plus de la signature du maître de l'ouvrage, la signature du propriétaire, dans l'hypothèse où il n'y a pas identité de personnes. On ne saurait en effet ouvrir une enquête publique sans que l'assentiment préalable du propriétaire ait été acquis. En l'espèce, il n'est pas contesté que l'autorisation de construire a été requise par la fondation intimée, intervenant par le biais d'un architecte. Il est également constant que la demande porte aussi la signature du propriétaire de la parcelle n° xxx. Sous l'angle du droit fédéral de l'aménagement du territoire, la fondation intimée jouissait ainsi d'emblée de la maîtrise nécessaire à la délivrance de l'autorisation de construire dès lors qu'elle bénéficiait de l'assentiment du propriétaire de l'immeuble. Il n'apparaît par ailleurs pas que le droit cantonal pose des exigences formelles supplémentaires s'agissant de la personne requérante (cf. art. 2 al. 3 LCI et art. 11 al. 4 RCI).
Le recourant affirme au contraire qu'au regard d'une jurisprudence cantonale "connue du Haut Tribunal fédéral et des parties" l'incompatibilité des buts de la fondation avec le projet litigieux aurait dû aboutir à l'annulation de l'autorisation de construire. Il ne communique toutefois pas les références du précédent qu'il invoque ni n'indique les dispositions légales cantonales que la Cour de justice aurait violées; sa motivation s'avère manifestement insuffisante au regard des exigences en la matière rappelées ci-dessus. Si le recourant estimait que, malgré la procédure de changement de statuts initiée par la fondation, la demande d'autorisation contrevenait à ses buts, il lui incombait d'interpeller l'autorité de surveillance, par le biais d'une plainte ou d'une dénonciation (cf. PARISIMA VEZ, Commentaire romand CC I, n. 16 s. ad <ref-law>). Dans ces circonstances, on ne saurait reprocher, sous l'angle de l'arbitraire, à la Cour de justice d'avoir jugé que la question des statuts de l'intimée n'était pas relevante dans le cadre de l'application de la législation cantonale en matière de police des constructions.
Mal fondé, ce grief doit être rejeté.
10.
Il résulte de ce qui précède que le recours, entièrement mal fondé, doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, aux frais du recourant qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Celui-ci versera en outre une indemnité de dépens à l'intimée qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (<ref-law>). Enfin, il n'y a pas matière à infliger au département une amende disciplinaire en raison de procédés téméraires ou d'un comportement contraire à la bonne foi en application de l'<ref-law>, comme le demande le recourant. Une telle conclusion est d'ailleurs irrecevable.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Une indemnité de 3'000 fr. est allouée à l'intimée à titre de dépens, à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, au Département de l'aménagement, du logement et de l'énergie du canton de Genève, Office de l'urbanisme, ainsi qu'à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 1ère section.
Lausanne, le 20 mars 2015
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Merkli
Le Greffier : Alvarez