Sachverhalt:
A. A.a Claudia Pechstein, Diensdorf/Deutschland, (Beschwerdeführerin) ist eine 37-jährige deutsche Eisschnellläuferin. Ihre Hauptdisziplinen sind 3'000 Meter und 5'000 Meter. Die Beschwerdeführerin gehört seit 1988 zur Eisschnelllauf-Weltelite, als sie die DDR an den Junioren-Weltmeisterschaften vertrat. In ihrer langen Karriere hat sie an fünf Olympischen Spielen (von 1992 bis 2006) teilgenommen. Neben zahlreichen Olympiamedaillen hat sie verschiedene Welt- und Europameisterschaften sowie nationale Wettkämpfe gewonnen. Sie ist daher eine der erfolgreichsten Wintersportlerinnen aller Zeiten.
Die International Skating Union (Beschwerdegegnerin) ist ein Verein schweizerischen Rechts mit Sitz in Lausanne. Sie ist als Weltverband für die Sportarten Eiskunstlauf und Eisschnelllauf anerkannt.
Die Deutsche Eisschnelllauf Gemeinschaft e.V. (nachfolgend DESG), München/Deutschland, der die Beschwerdeführerin angehört, ist Mitglied der Beschwerdegegnerin.
A.b Die Beschwerdeführerin unterzog sich zwischen dem 4. Februar 2000 und dem 30. April 2009 zahlreichen Dopingkontrollen, die keine Hinweise auf verbotene Substanzen ergaben. Im gleichen Zeitraum erhob die Beschwerdegegnerin im Rahmen ihres Blutprofilprogramms mehr als neunzig Blutproben der Beschwerdeführerin. Insbesondere wurden zwischen dem 20. Oktober 2007 und dem 30. April 2009 siebenundzwanzig Blutproben der Athletin entnommen, die letzten zwölf zwischen Januar und April 2009.
Die im Rahmen des Blutprofilprogramms der Beschwerdegegnerin erhobenen und aufgezeichneten Blutparameter beinhalten unter anderem Hämoglobin, Hämatokrit und den prozentualen Anteil unreifer roter Blutzellen (Retikulozyten). Der Retikulozytenwert ermöglicht als Blutparameter eine aktuelle Beurteilung der Bildung roter Blutkörperchen im menschlichen Organismus.
Während die Beschwerdegegnerin einen Retikulozytenwert zwischen 0.4 % und 2.4 % für normal erachtet, ergaben die Resultate der Blutuntersuchungen bei der Beschwerdeführerin Retikulozytenwerte, die weit über 2.4 % lagen und danach jeweils stark abfielen.
Am 7./8. Februar 2009 fand die von der Beschwerdegegnerin organisierte Eisschnelllauf-Weltmeisterschaft in Hamar (Norwegen) statt. Am Morgen vor Wettkampfbeginn, also am 6. Februar 2009, wurden von sämtlichen Athleten Blutproben entnommen. Der Retikulozytenwert der Beschwerdeführerin wurde auf 3.49 % gemessen.
Als Folge dieses Resultats erhob die Beschwerdegegnerin am Morgen bzw. am Nachmittag des 7. Februar 2009 zwei weitere Blutproben bei der Beschwerdeführerin. Die gemessenen Retikulozytenwerte betrugen 3.54 % bzw. 3.38 %. Die Beschwerdeführerin und die DESG wurden vom medizinischen Berater der Beschwerdegegnerin, Prof. A._, darüber informiert, dass die Retikulozytenwerte "abnormal" seien. Obwohl die Hämoglobin- und Hämatokritwerte dies nicht geboten, teilte die DESG in der Folge mit, dass die Beschwerdeführerin an den Rennen des nächsten Tages nicht teilnehmen werde.
Am 18. Februar 2009 wurde bei der Athletin ausserhalb des Wettkampfs eine weitere Blutprobe entnommen. Diese zeigte einen Retikulozytenwert von 1.37 % an.
B. B.a Nach Überprüfung des Blutprofils leitete die Beschwerdegegnerin bei ihrer Disziplinarkommission ein Verfahren gegen die Beschwerdeführerin ein. Sie warf der Beschwerdeführerin vor, eine verbotene Substanz bzw. eine unzulässige Methode (d.h. eine Art von Blutdoping) verwendet zu haben, was ein Dopingvergehen gemäss Artikel 2.2 ihrer Anti-Doping Regeln (ADR) darstelle, die am 1. Januar 2009 in Übereinstimmung mit der neuen Version des World Anti-Doping Code der Welt-Anti-Doping-Agentur (WADA) in Kraft getreten sei.
Nach einem in Bern abgehaltenen Hearing vom 29./30. Juni 2009 stellte die Disziplinarkommission der Beschwerdegegnerin mit Entscheid vom 1. Juli 2009 ein Dopingvergehen nach Artikel 2.2 ADR in Form von Blutdoping fest, aberkannte die anlässlich der Weltmeisterschaft vom 7. Februar 2009 erzielten Resultate und sprach eine zweijährige Sperre ab 9. Februar 2009 gegen die Beschwerdeführerin aus.
B.b Am 21. Juli 2009 erklärten die Beschwerdeführerin sowie die DESG beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) Berufung gegen den Entscheid der Disziplinarkommission vom 1. Juli 2009.
Am 17. August 2009 gab das TAS die Zusammensetzung des Schiedsgerichts für den vorliegenden Rechtsstreit bekannt. Keine Partei erhob zu jenem Zeitpunkt oder im weiteren Verlauf des Verfahrens Einwände dagegen.
Mit Eingabe vom 3. August 2009 reichte die Beschwerdeführerin dem TAS ihre Berufungsbegründung ein.
Am 16. September 2009 beantragte die Beschwerdeführerin, es sei ihr zu gestatten, schriftlich zur Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin Stellung zu nehmen. Diese sprach sich gegen einen weiteren Schriftenwechsel aus. Mit Schreiben vom 23. September 2009 teilte das TAS den Parteien mit, dass es in Anwendung von Artikel R56 des TAS-Code einen weiteren Schriftenwechsel nicht zulasse. Es gewährte der Athletin jedoch ausnahmsweise die Möglichkeit, bis spätestens acht Tage vor dem Hearing neue Beweise aus medizinischen Untersuchungen an ihrer Person sowie entsprechende Bemerkungen dazu einzureichen ("to present any new evidence deriving from medical investigations performed on her, with comments thereto") sowie für das Hearing einen Experten zur Funktion des Messgeräts Advia 120 zu benennen.
Am 29. September 2009 erliess das TAS eine Anordnung über den weiteren Ablauf des Verfahrens ("Order of Procedure"). Diese wurde von allen Parteien vor dem Hearing unterzeichnet. Das Hearing wurde auf den 22./23. Oktober 2009 angesetzt.
Am 14. Oktober 2009 reichte die Beschwerdeführerin dem TAS eine Eingabe mit verschiedenen Beilagen ein. Am 17. Oktober 2009 wendete die Beschwerdegegnerin dagegen ein, die Eingabe betreffe zu einem grossen Teil nicht neue medizinische Untersuchungen, wie gemäss schiedsgerichtlicher Anordnung vom 23. September 2009 vorgesehen; angesichts des Umfangs neuer Dokumente sei es ihr zudem unmöglich, sich vor dem Hearing mit ihren Sachverständigen zu beraten und dazu schriftlich Stellung zu nehmen.
Mit Schreiben vom 19. Oktober 2009 hielt das TAS fest, dass zahlreiche Teile der Eingabe der Beschwerdeführerin den schiedsgerichtlichen Vorgaben vom 23. September 2009 sowie Artikel R56 des TAS-Code nicht entsprächen. Insbesondere seien die meisten der eingereichten Dokumente nicht neue Beweise aus medizinischen Untersuchungen an der Person der Beschwerdeführerin und ihre Eingabe beschränke sich nicht auf Bemerkungen zu diesen medizinischen Untersuchungen, sondern stelle vielmehr eine Replik dar. Entsprechend ordnete das Schiedsgericht unter anderem an, die Eingabe der Athletin vom 14. Oktober 2009 nicht zu den Akten zu nehmen, mit Ausnahme der Beilagen 37, 38, 39, 42, 44 und 53. Im Weiteren liess das Schiedsgericht sämtliche von der Beschwerdeführerin genannten Experten zum Hearing zu, mit Ausnahme von Dr. B._, der in ihrer Berufungsschrift nicht aufgeführt worden war.
Am 21. Oktober 2009 reichte die DESG dem Schiedsgericht einen weiteren Schriftsatz sowie ein neues Gutachten ein. Mit Verfügung vom gleichen Tag bestätigte das TAS seinen Entscheid, die schriftliche und mündliche Expertenmeinung von Dr. B._ nicht zuzulassen, da sich diese nicht auf neue Beweise aus medizinischen Untersuchungen an der Person der Beschwerdeführerin bezog und die Athletin vor Ablauf der Frist zur Begründung der Berufung am 3. August 2009 auch nicht um eine Fristerstreckung im Hinblick auf die Beibringung der Expertenmeinung von Dr. B._ ersucht hätte. In Anwendung von Artikel R57 des TAS-Code wies es zudem den Antrag der Beschwerdeführerin ab, weiteren interessierten Personen eine Teilnahme am Hearing zu gestatten. Die Eingabe der DESG vom 21. Oktober 2009 nahm es schliesslich nicht zu den Akten, da sie in Missachtung der Verfügung des Schiedsgerichts vom 19. Oktober 2009 erfolgte.
Am Hearing, das am 22. und 23. Oktober 2009 in Lausanne stattfand, wurden insgesamt zwölf von den Parteien bezeichnete Sachverständige angehört. Alle Parteien hatten jeweils die Möglichkeit, Fragen an die Experten zu richten. Sie hatten daraufhin die Gelegenheit, ihren Fall zu präsentieren, ihre Argumente dazulegen und die Fragen des Schiedsgerichts zu beantworten.
Das Schiedsgericht nahm anlässlich des Hearings den Entwurf der "Athlete Biological Passport Operating Guidelines" der WADA vom Oktober 2009 von sich aus zu den Akten und gewährte den Parteien eine kurze Frist zur schriftlichen Stellungnahme.
Nach den letzten Parteivorträgen und der Schlusserklärung der Beschwerdeführerin schloss das Schiedsgericht das Hearing.
Am 27. Oktober 2009 reichten die Parteien ihre Stellungnahmen zum Entwurf der erwähnten Richtlinien der WADA ein.
Mit Faxschreiben vom 23. und 24. November 2009 reichte die Beschwerdeführerin dem Schiedsgericht einen dringlichen Antrag für die Wiedereröffnung des Verfahrens ein, um im Rahmen eines Kreuzverhörs Fragen an Prof. C._ zu stellen, der am Hearing vom 22./23. Oktober 2009 nicht teilgenommen hatte. Der Antrag wurde damit begründet, dass einer der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin vernommen habe, dass Prof. C._ seine ursprüngliche Meinung aufgrund der von ihr am 14. Oktober 2009 vorgelegten Beweise offenbar geändert habe, und dass er von der Beschwerdegegnerin aus diesem Grund nicht für das Hearing aufgeboten worden sei.
Das TAS wies den Antrag um Wiedereröffnung des Verfahrens und die Berufungen der Beschwerdeführerin sowie der DESG mit Schiedsentscheid vom 25. November 2009 ab und bestätigte die zweijährige Sperre der Athletin, mit der geringfügigen Änderung, dass die Sperre bereits ab dem 8. Februar 2009 gelte.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. Dezember 2009, die mit Eingabe vom 11. Januar 2010 innert Frist ergänzt wurde, beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei der Schiedsspruch des TAS vom 25. November 2009 aufzuheben und die Sache sei zu neuer Beurteilung an das Schiedsgericht zurückzuweisen.
Sie stellt zudem die folgenden verfahrensleitenden Anträge:
"A. Es sei die Vorinstanz zu verpflichten offenzulegen, inwiefern ihr Generalsekretär oder Dritte auf das Zustandekommen des angefochtenen Urteils eingewirkt haben. Insbesondere sei offenzulegen, wie das angefochtene Urteil nach dem Antrag der Beschwerdeführerin auf Wiedereröffnung des Verfahrens verändert wurde und wie diese Änderungen zustande gekommen sind.
B. Es sei der Beschwerdeführerin die Gelegenheit einzuräumen, zu allfälligen Eingaben und Beschwerdeantworten der Beschwerdegegnerinnen sowie zu einer allfälligen Vernehmlassung des Schiedsgerichts Stellung nehmen zu können. Sollte das Bundesgericht der Beschwerdeführerin von sich aus durch Fristansetzung kein Recht zur Stellungnahme einräumen, behält die Beschwerdeführerin sich vor, zu jeweiligen Eingaben der Beschwerdegegner jeweils innert 15 Tagen Stellung zu nehmen.
C. Es seien die vollständigen Akten des Schiedsgerichts beizuziehen.
D. Es sei eine öffentliche Verhandlung durchzuführen.
E. Die Beschwerdegegnerin 1 sei zu verpflichten, die vollständigen Resultate der am 10.-12. Dezember 2009 anlässlich der Weltcuprennen in Salt Lake City vorgenommenen Dopingtests sowie die Protokolle der verwendeten Messmaschinen herauszugeben."
Im Weiteren beantragt sie die Gewährung der aufschiebenden Wirkung sowie die Anordnung verschiedener superprovisorischer bzw. provisorischer Massnahmen.
Die Akten des Schiedsverfahrens wurden beigezogen. Aufgrund der von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Dringlichkeit im Hinblick auf die Olympischen Spiele wurden zur Beschwerdebegründung keine Vernehmlassungen eingeholt. Mit Schreiben vom 16. Dezember 2009 nahm das Bundesgericht vom Verzicht der DESG Vermerk, sich aktiv am Verfahren zu beteiligen.
D. Mit Verfügung vom 7. Dezember 2009 ordnete das Bundesgericht an, dass die Beschwerdeführerin am 11.-13. Dezember 2009 an den in Salt Lake City stattfindenden 3'000 Meter Eisschnelllauf-Weltcuprennen teilnehmen dürfe. Mit Verfügung vom 10. Dezember 2009 ergänzte es diese Anordnung dahingehend, dass die Beschwerdeführerin auch am Training teilnehmen dürfe, soweit dieses als Vorbereitung auf das 3'000 Meter Weltcuprennen diene.
Mit Verfügung vom 11. Dezember 2009 wies das Bundesgericht das Gesuch der Beschwerdeführerin ab, es sei superprovisorisch anzuordnen, dass sie in Salt Lake City auch für das Training und den Wettkampf in der Disziplin 1'500 Meter zuzulassen sei, sofern sie sich über 3'000 Meter nicht unter die ersten acht Läuferinnen klassiere.
Am 22. Dezember 2009 wies das Bundesgericht das Gesuch um Erlass weiterer superprovisorischer Massnahmen ab. Ein weiterer verfahrensleitender Antrag bezüglich der beantragten vorsorglichen Massnahmen der Beschwerdeführerin wurde mit Verfügung vom 30. Dezember 2009 abgewiesen.
Mit Verfügung vom 26. Januar 2010 wies das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung und die Gesuche vom 17. Dezember 2009 und 11. Januar 2010 um superprovisorische Anordnung vorsorglicher Massnahmen ab.

Erwägungen:
1. Nach <ref-law> ergeht der Entscheid des Bundesgerichts in einer Amtssprache, in der Regel derjenigen des angefochtenen Entscheids. Wurde dieser Entscheid in einer anderen Sprache abgefasst, bedient sich das Bundesgericht der von den Parteien verwendeten Amtssprache. Der angefochtene Entscheid ist in englischer Sprache abgefasst. Da es sich dabei nicht um eine Amtssprache handelt und sich die Parteien vor Bundesgericht verschiedener Sprachen bedienen, ergeht der Entscheid des Bundesgerichts praxisgemäss in der Sprache der Beschwerde.
2. Im Bereich der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit ist die Beschwerde in Zivilsachen unter den Voraussetzungen der Art. 190-192 IPRG zulässig (<ref-law>).
2.1 Der Sitz des Schiedsgerichts befindet sich vorliegend in Lausanne. Die Beschwerdeführerin hatte im relevanten Zeitpunkt weder ihren Wohnsitz noch ihren gewöhnlichen Aufenthalt in der Schweiz. Da die Parteien die Bestimmungen des 12. Kapitels des IPRG nicht schriftlich ausgeschlossen haben, gelangen diese zur Anwendung (Art. 176 Abs. 1 und 2 IPRG).
2.2 Zulässig sind allein die Rügen, die in <ref-law> abschliessend aufgezählt sind (<ref-ruling> E. 5 S. 187; <ref-ruling> E. 1a S. 53; <ref-ruling> E. 1a S. 282). Nach <ref-law> prüft das Bundesgericht nur die Rügen, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind; dies entspricht der in <ref-law> für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht vorgesehenen Rügepflicht (<ref-ruling> E. 5 S. 187 mit Hinweis). Bei Rügen nach <ref-law> ist die Unvereinbarkeit des angefochtenen Schiedsentscheids mit dem Ordre public im Einzelnen aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 3 S. 606). Appellatorische Kritik ist unzulässig (<ref-ruling> E. 3b S. 382).
2.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den das Schiedsgericht festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung des Schiedsgerichts weder berichtigen noch ergänzen, selbst wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (vgl. <ref-law>, der die Anwendbarkeit von Art. 105 Abs. 2 sowie Art. 97 BGG ausschliesst). Allerdings kann das Bundesgericht die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids überprüfen, wenn gegenüber diesen Sachverhaltsfeststellungen zulässige Rügen im Sinne von <ref-law> vorgebracht oder ausnahmsweise Noven berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 5 S. 141; <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 733; je mit Hinweisen). Wer sich auf eine Ausnahme von der Bindung des Bundesgerichts an die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz beruft und den Sachverhalt gestützt darauf berichtigt oder ergänzt wissen will, hat mit Aktenhinweisen darzulegen, dass entsprechende Sachbehauptungen bereits im vorinstanzlichen Verfahren prozesskonform aufgestellt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 486; <ref-ruling> E. 1c S. 473; je mit Hinweisen).
2.4 Die Beschwerde verkennt diese Grundsätze streckenweise.
2.4.1 So verlangt sie eine Erweiterung der Kognition des Bundesgerichts und übersieht dabei, dass die eingeschränkte Prüfungsbefugnis nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> für sämtliche Verfahren der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit gilt, so auch im Bereich des Sports. Eine Ausweitung der Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts, wie sie die Beschwerdeführerin unter Berufung auf die Rechtsweggarantie verlangt, ist nicht zu rechtfertigen.
Da mit einer Beschwerde gegen einen internationalen Schiedsentscheid nach <ref-law> ausschliesslich die in dieser Bestimmung abschliessend aufgezählten Beschwerdegründe angerufen werden können, nicht jedoch direkt eine Verletzung der Bundesverfassung, der EMRK oder weiterer Staatsverträge (vgl. Urteile 4P.105/2006 vom 4. August 2006 E. 7.3; 4P.64/2001 vom 11. Juni 2001 E. 2d/aa, nicht publ. in <ref-ruling> ff.), ist auf die verschiedentlich gerügte Verletzung entsprechender Bestimmungen grundsätzlich nicht einzutreten. Zwar können die aus der BV bzw. der EMRK fliessenden Grundsätze gegebenenfalls bei der Konkretisierung der nach <ref-law> anrufbaren Garantien herangezogen werden; angesichts der strengen Begründungsanforderungen (<ref-law>) ist jedoch in der Beschwerde eigens aufzuzeigen, inwiefern ein in der genannten Bestimmung vorgesehener Beschwerdegrund gegeben sein soll.
2.4.2 Die Beschwerdeführerin stellt ihren rechtlichen Vorbringen eine ausführliche eigene Sachverhaltsdarstellung voran, in der sie den Ablauf der Ereignisse sowie des Verfahrens aus ihrer Sicht darlegt. Sie weicht darin, wie auch in ihrer weiteren Beschwerdebegründung, in verschiedenen Punkten von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab oder erweitert diese, ohne substantiiert Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung geltend zu machen. Ihre Vorbringen haben insoweit unbeachtet zu bleiben.
Unbeachtlich sind auch die verschiedenen neu vorgebrachten Tatsachen und Beweismittel (<ref-law>). So trägt die Beschwerdeführerin etwa unter Beilage neuer Parteigutachten vor, es habe sich mittlerweile herausgestellt, dass die Beschwerdeführerin tatsächlich unter einer Blutanomalie im Sinne einer Sphärozytose leide. Zudem behauptet sie unter Hinweis auf zahlreiche nach Ergehen des angefochtenen Entscheids verfasste Dokumente, die Anti-Dopingexperten seien sich weltweit einig, dass sich die Blutwerte der Beschwerdeführerin durch keine bekannte Dopingmethode erklären liessen. Ausserdem reicht sie dem Bundesgericht diverse Unterlagen ein, die auf den angefochtenen Entscheid Bezug nehmen und die Schlüsse des Schiedsgerichts in verschiedener Hinsicht in Frage stellen, so unter anderem je ein Schreiben von Prof. D._ vom 6. Dezember 2009 und Prof. Dr. E._ vom 7. Januar 2010 sowie zwei E-Mails vom Dr. C._ vom 6. sowie 7. Januar 2010.
2.4.3 Bei den von der Beschwerdeführerin erwähnten Resultaten der vom 10.-12. Dezember 2009 anlässlich der Weltcuprennen in Salt Lake City vorgenommenen Dopingtests sowie den Protokollen der dabei verwendeten Messmaschinen handelt es sich um Noven, die im vorliegenden Beschwerdeverfahren unbeachtlich sind (<ref-law>). Der entsprechende verfahrensleitende Antrag auf Herausgabe dieser Dokumente ist bereits aus diesem Grund abzuweisen.
3. Die Beschwerdeführerin macht unter Berufung auf <ref-law> eine fehlende Unabhängigkeit und Unbefangenheit des Schiedsgerichts geltend.
3. Die Beschwerdeführerin macht unter Berufung auf <ref-law> eine fehlende Unabhängigkeit und Unbefangenheit des Schiedsgerichts geltend.
3.1 Die Beschwerdeführerin stellt zunächst die Unabhängigkeit des TAS als solches in Frage.
3.1.1 Sie begründet dies damit, dass es im vorliegenden Fall nur in zweiter Linie um das Interesse der Beschwerdegegnerin gehe, sondern primär um das Interesse des Internationalen Olympischen Komitees (IOC) sowie der internationalen Sportverbände im Allgemeinen, die durch die Dopingproblematik den ökonomischen Wert der Olympischen Spiele und ihrer Sportanlässe gefährdet sähen. Die Sponsoren und die Öffentlichkeit im Allgemeinen seien an fairen sportlichen Wettkämpfen interessiert, weshalb dieses Image um jeden Preis bewahrt werden müsse. Das IOC und die internationalen Sportverbände hätten zu beweisen, dass sie sich ohne Einschränkung voll und ganz dem Kampf gegen Doping verschrieben und sich für einen gesunden Sport einsetzten.
Aus diesem Grund sei es zu Prozessbeginn für das IOC und die internationalen Sportverbände von äusserst grosser Bedeutung gewesen, dass der indirekte Beweis funktioniere, der durch den WADA-Blutpass eingeführt werden sollte und sich zu diesem Zeitpunkt gerade in der Endphase seiner Entwicklung befunden habe, zumal dieses Nachweisverfahren bedeutend billiger sei als die Urintests, die den Gebrauch unerlaubter Substanzen direkt bewiesen. Es habe daher, so die Beschwerdeführerin weiter, zu einer Verurteilung kommen müssen, koste es was es wolle; nichts sei besser gewesen, als ein Exempel an einer möglichst bekannten Sportlerin zu statuieren. So habe Jacques Rogge, der IOC-Präsident, vor dem Prozess erklärt, es handle sich beim Fall Pechstein um einen "Lackmus-Test, ob das Langzeit-Profil von der internationalen wissenschaftlichen Gemeinde bestätigt wird". Nach dem Urteil habe sich der Vizepräsident des IOC geradezu euphorisch über das angefochtene Schiedsgerichtsurteil geäussert und erklärt, "[d]er Entscheid des TAS zeigt, dass das Sportrecht mehr Möglichkeiten im Kampf gegen Doping bei Athleten eröffnet, als es staatliches Recht jemals könnte".
3.1.2 Liegen bei einem Schiedsgericht Mängel in Bezug auf die Unabhängigkeit oder Unparteilichkeit vor, handelt es sich um einen Fall vorschriftswidriger Zusammensetzung im Sinne von <ref-law>. Nach dem Grundsatz von Treu und Glauben ist ein solcher Einwand im Schiedsverfahren sofort geltend zu machen, ansonsten der Anspruch auf Anrufung des Beschwerdegrunds verwirkt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 449 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin hat das TAS selbst angerufen und die "Order of Procedure" vom 29. September 2009 unterzeichnet, ohne Einwände hinsichtlich der Unabhängigkeit bzw. Unparteilichkeit vorzubringen. Unter diesen Umständen ist es mit dem Grundsatz von Treu und Glauben nicht zu vereinbaren, im Rahmen des Beschwerdeverfahrens vor Bundesgericht erstmals die Frage der Unabhängigkeit des angerufenen Schiedsgerichts aufzuwerfen. Auf die von der Beschwerdeführerin erhobene Rüge der fehlenden Unabhängigkeit des Schiedsgerichts ist daher nicht einzutreten.
3.1.3 Im Übrigen ist das TAS entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin als echtes Schiedsgericht anzusehen. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist das TAS zudem vom IOC genügend unabhängig, weshalb seine Entscheide auch in Angelegenheiten, welche die Interessen des IOC berühren, als Urteile betrachtet werden können, die mit solchen eines staatlichen Gerichts vergleichbar sind (<ref-ruling> E. 3 S. 448 ff. mit Hinweisen).
Abgesehen davon, dass sich die Behauptungen der Beschwerdeführerin in tatsächlicher Hinsicht nicht auf die Sachverhaltsfeststellungen des angefochtenen Entscheids stützten lassen (vgl. <ref-law>), wären ihre allgemein gehaltenen Ausführungen nicht geeignet, berechtigte Zweifel an der Unabhängigkeit des TAS zu begründen. Die Rüge der fehlenden Unabhängigkeit des TAS wäre daher ohnehin unbegründet.
3.2 Die Beschwerdeführerin rügt sodann, der Präsident des Schiedsgerichts, F._, sei befangen gewesen. Er habe einem ihrer heutigen Rechtsvertreter gegenüber im Oktober 2007 erklärt, dass er eine "harte Linie in Dopingfragen" habe, als dieser ihn in einem anderen Verfahren als Schiedsrichter für einen von ihm vertretenen Sportler habe gewinnen wollen. Mit der Ernennung von F._ durch G._, einem ehemaligen Mitglied eines Nationalen Olympischen Komitees und Präsidenten eines internationalen Sportverbands sowie Mitglied der IOC-Kommission für Sport und Recht, sei das Urteil damit faktisch gesprochen worden.
Die Rüge geht fehl. Der Vorwurf an den Präsidenten des Schiedsgerichts, er habe in anderem Zusammenhang erklärt, in Dopingfragen eine "harte Linie" zu vertreten, ist zu vage und allgemein, um berechtigte Zweifel an der Unabhängigkeit von F._ zu erwecken, zumal kein unmittelbarer Bezug zum vorliegenden Verfahren erkennbar ist (vgl. <ref-ruling> E. 33 S. 92; <ref-ruling> E. 6a S. 163).
Die Rüge der Beschwerdeführerin, der Präsident des Schiedsgerichts sei befangen gewesen bzw. das IOC habe in unzulässiger Weise auf die Zusammensetzung Einfluss genommen, stossen ins Leere.
3.3 Der weiter erhobene Vorwurf der Beschwerdeführerin, das IOC und die internationalen Sportverbände hätten durch den Generalsekretär des TAS die Entscheidfindung beeinflussen können, indem dieser den angefochtenen Schiedsentscheid möglicherweise nachträglich "korrigiert" habe, ist spekulativ und lässt sich nicht auf konkrete Tatsachen stützen. So führt die Beschwerdeführerin selbst aus, sie wisse nicht, ob der Generalsekretär von der Möglichkeit einer "Korrektur" des Schiedsspruchs Gebrauch gemacht habe.
Sie zeigt zudem keinen Rügegrund nach <ref-law> auf, wenn sie vorträgt, Artikel R59 des TAS-Code sehe vor, dass der Schiedsspruch vor der Unterzeichnung dem Generalsekretär des TAS zu übermitteln sei, und dieser "Korrekturen der blossen Form" anbringen und "ebenso die Aufmerksamkeit des Schiedsgerichts auf grundlegenden Punkte lenken" dürfe. Entgegen der in der Beschwerde geäusserten Ansicht wird mit diesem Vorgehen nicht in Frage gestellt, dass die Entscheidung allein beim Schiedsgericht liegt. Eine unzulässige Einflussnahme auf das Schiedsgericht, die dessen Unabhängigkeit in Frage stellen würde, ergibt sich daraus nicht.
Der Vorwurf der fehlenden Unabhängigkeit bzw. der vorschriftswidrigen Zusammensetzung des Schiedsgerichts (<ref-law>) ist unbegründet und die in diesem Zusammenhang gestellten verfahrensleitenden Anträge sind abzuweisen.
4. Die Beschwerdeführerin rügt weiter eine Verletzung des Anspruchs auf ein öffentliches Verfahren.
4.1 Sie beruft sich dabei zu Unrecht auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK, <ref-law> sowie Art. 14 Ziff. 1 UNO Pakt II, da diese nach zutreffendem Verständnis der bundesgerichtlichen Rechtsprechung auf Verfahren der freiwilligen Schiedsgerichtsbarkeit nicht anwendbar sind (vgl. Urteile 4P.105/2006 vom 4. August 2006 E. 7.3; 4P.64/2001 vom 11. Juni 2001 E. 2d/aa, nicht publ. in <ref-ruling> ff.). Aus den genannten Bestimmungen lässt sich demnach kein Anspruch auf eine öffentliche Parteiverhandlung im Rahmen des Schiedsverfahrens ableiten.
Indem die Vorinstanz in Anwendung von Artikel R57 TAS-Code, der eine öffentliche Verhandlung nur bei Zustimmung der Parteien vorsieht, den Antrag der Beschwerdeführerin auf Zulassung ihres Managers H._ zum Hearing abwies, missachtete sie keinen Anspruch der Beschwerdeführerin auf Durchführung einer öffentlichen Parteiverhandlung. Inwiefern der ebenfalls ins Feld geführte Gehörsanspruch (<ref-law>) sowie der Ordre public (<ref-law>) eine öffentliche Verhandlung in internationalen Schiedsverfahren gebieten soll, die regelmässig nichtöffentlich sind, legt die Beschwerdeführerin nicht dar.
Unabhängig von der Frage eines entsprechenden Rechtsanspruchs wäre es angesichts der überragenden Bedeutung des TAS im Bereich des Sports im Hinblick auf das Vertrauen in die Unabhängigkeit und Fairness der Entscheidfindung immerhin wünschenswert, wenn auf Antrag des betroffenen Sportlers eine öffentliche Verhandlung durchgeführt würde.
4.2 Im Gegensatz zum Verfahren vor dem TAS, das eine freie Prüfung von Tat- und Rechtsfragen vornimmt, ist die Prüfungsbefugnis im Rahmen der Schiedsbeschwerde vor Bundesgericht erheblich eingeschränkt. Im vorliegenden Beschwerdeverfahren ist der Entscheid aufgrund der Akten spruchreif; die Anordnung einer öffentlichen mündlichen Parteiverhandlung (<ref-law>), wie von der Beschwerdeführerin beantragt, ist nicht angezeigt.
Eine zwingende öffentliche Parteiverhandlung vor Bundesgericht, wie sie - bei Klagen gemäss <ref-law> oder wenn das Bundesgericht gestützt auf selbst erhobene Sachverhaltsfeststellungen (<ref-law>) einen reformatorischen Entscheid fällen will (vgl. <ref-law>) - ausnahmsweise durch übergeordnetes Recht geboten sein kann (vgl. HEIMGARTNER/WIPRÄCHTIGER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 9 ff. zu <ref-law>; JEAN-MAURICE FRÉSARD, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 8 f. zu <ref-law>), fällt im Rahmen des Schiedsbeschwerdeverfahrens nach <ref-law> ausser Betracht.
Der Antrag auf Durchführung einer Parteiverhandlung vor Bundesgericht ist abzuweisen.
5. Die Beschwerdeführerin wirft dem TAS in verschiedener Hinsicht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) vor.
5. Die Beschwerdeführerin wirft dem TAS in verschiedener Hinsicht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) vor.
5.1 5.1.1 Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Beschwerdegegnerin habe ihr erst am 28. Juli 2009 - nach dem Urteil der Disziplinarkammer und kurz vor Ablauf der am 3. August 2009 endenden Frist zur Begründung der Berufung an das TAS - die vollständigen Resultate der Bluttests vom 6. und 7. Februar 2009 offengelegt. Diese Offenlegung sei notwendig geworden, weil aufgrund der Aussagen der Sachverständigen deutlich geworden sei, dass sich die Retikulozyten als einzelner Wert zum Nachweis von Blutdoping nicht eigneten. Der Beschwerdeführerin sei daher empfohlen worden, möglichst viele zusätzliche Blutwerte zu ermitteln, um eine verlässliche wissenschaftliche Aussage machen zu können.
5.1.2 Die erwähnten Vorbringen lassen keine hinreichende Gehörsrüge erkennen. Die Beschwerdeführerin zeigt weder mit Aktenhinweisen auf, dass sie die späte Offenlegung im Schiedsverfahren gerügt hätte noch wird aus ihren Vorbringen klar, was sie der Vorinstanz in verfahrensrechtlicher Hinsicht vorwirft.
Soweit sie sich in der weiteren Beschwerdebegründung darauf beruft, es sei ihr nicht ausreichend Zeit zur Vorbereitung gegeben worden, so stösst die Gehörsrüge jedenfalls ins Leere. Wie die Vorinstanz in ihrer verfahrensrechtlichen Anordnung vom 21. Oktober 2009 festhält, hat die Beschwerdeführerin, nachdem sie am 21. Juli 2009 die Berufung erklärt hatte, nicht um eine Verlängerung der Frist zur Begründung der Berufung ersucht, wie dies nach Artikel R32 TAS-Code möglich gewesen wäre. Von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) kann schon aus diesem Grund keine Rede sein.
5.2 Aus dem gleichen Grund stösst auch das Vorbringen der Beschwerdeführerin ins Leere, wegen der Ferienzeit hätten die Analysen der vollständigen Bluttests, die von Experten hätten vorgenommen werden müssen, erst nach Ablauf der Berufungsbegründungsfrist an das TAS (3. August 2009) erbracht werden können.
Zudem können die Parteien im Schiedsverfahren, wie auch im Zivilprozess, nicht jederzeit und unbeschränkt neue Behauptungen und Beweismittel vorbringen. Dies stellt keine Gehörsverletzung dar, sondern entspricht allgemein anerkannten verfahrensrechtlichen Grundsätzen. Entsprechend hat das Schiedsgericht mit Schreiben vom 23. September 2009 festgehalten, dass es in Anwendung von Artikel R56 TAS-Code keinen weiteren Schriftenwechsel zulasse. Es hat der Beschwerdeführerin jedoch ausnahmsweise die Möglichkeit eingeräumt, bis spätestens acht Tage vor dem Hearing neue Beweise aus medizinischen Untersuchungen an ihrer Person sowie entsprechende Bemerkungen dazu einzureichen. Die Eingabe der Beschwerdeführerin vom 14. Oktober 2009, der unter anderem verschiedene neue Gutachten beigefügt waren, wies das Schiedsgericht mit Schreiben vom 19. Oktober 2009 grösstenteils aus dem Recht, da es sich bei der Mehrheit der eingereichten Dokumente nicht um neue Beweise aus medizinischen Untersuchungen an der Person der Beschwerdeführerin handelte und diese daher der schiedsgerichtlichen Anordnung vom 23. September 2009 widersprachen.
Die Beschwerdeführerin zeigt vor diesem Hintergrund keine Gehörsverletzung auf, wenn sie lediglich vorbringt, aus den eingereichten Sachverständigenmeinungen von Prof. B._ sowie Dr. I._ gehe klar hervor, dass sie sehr wahrscheinlich nicht zu unerlaubten Mitteln gegriffen habe und ihre Blutwerte durch eine Blutanomalie zu erklären seien, und sie gestützt darauf ohne weitere Begründung behauptet, die Gutachten seien vom Schiedsgericht zu Unrecht zurückgewiesen worden. Mit der Behauptung, die eingereichten Gutachten beruhten auf neuen Fakten, die ihr vorher nicht bekannt gewesen seien, legt sie nicht dar, inwiefern sie die erwähnten Gutachten prozesskonform vorgebracht hätte. Insbesondere zeigt sie nicht mit Aktenhinweisen auf, inwiefern es sich bei den zurückgewiesenen Gutachten um neue Beweise aus medizinischen Untersuchungen an ihrer Person ("new evidence deriving from medical investigations performed on her") gehandelt hätte. Damit verfehlt sie die Begründungsanforderungen an eine hinreichende Gehörsrüge.
Entsprechendes gilt für die Rüge, die Vorinstanz habe das von der DESG eingereichte Gutachten von Prof. K._ zu Unrecht unberücksichtigt gelassen. Im Übrigen stösst sie damit ohnehin ins Leere, zumal sie mit diesen Vorbringen keine Verletzung ihres eigenen Gehörsanspruchs geltend macht, sondern eine Missachtung der Verfahrensrechte der DESG rügt, die gegen den Schiedsentscheid keine Beschwerde erhoben hat.
5.3 Nicht weiter begründet wird das Vorbringen der Beschwerdeführerin, durch die Verfügung des TAS vom 19. Oktober 2009 sei ihr die Möglichkeit genommen worden, auf den neuen Sachvortrag der Beschwerdegegnerin zu erwidern. Ebenso wenig zeigt die Beschwerdeführerin konkret auf, welche ihrer Kommentierungen vom Schiedsgericht missachtet worden wären, was es ihm verunmöglicht habe, die Tragweite der zugelassenen Gutachten zu erkennen.
Im Übrigen fand am 22./23. Oktober 2009 in Lausanne ein Hearing statt, an dem sich die Beschwerdeführerin ausführlich äussern konnte. In der schiedsgerichtlichen Verfügung vom 19. Oktober 2009 war die Beschwerdeführerin zudem eigens darauf hingewiesen worden, dass sie sich anlässlich des Hearings eingehend werde zur Frage der medizinischen Beweise äussern können.
Der in der Beschwerdeschrift erhobene Vorwurf, es sei ihr nicht ausreichend Zeit und Gelegenheit zur Vorbereitung gegeben worden, ist auch unter diesem Gesichtspunkt ungerechtfertigt. Zudem stellt der Umstand, dass nach Artikel R56 des TAS-Code grundsätzlich nur ein einfacher Schriftenwechsel durchgeführt wird, bevor nach Artikel R57 das Hearing stattfindet, anlässlich dessen sich die Parteien mündlich äussern können, entgegen der in der Beschwerde geäusserten Ansicht keine Gehörsverletzung dar. Die Beschwerdeführerin zeigt nicht mit Aktenhinweisen auf, inwiefern ihr das Schiedsgericht anlässlich des Hearings verwehrt hätte, sich in bestimmter Hinsicht zu äussern bzw. zu den Vorbringen der Beschwerdegegnerin Stellung zu nehmen. Stattdessen bringt sie lediglich vor, es sei ihr die Möglichkeit zur schriftlichen Stellungnahme genommen worden. Eine Missachtung des Grundsatzes der Gleichbehandlung der Parteien oder des Grundsatzes des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) ist damit ebenso wenig dargetan wie mit der Behauptung, die Beschwerdegegnerin habe die Details zu den Blutproben und zur Kalibrierung der Analysegeräte erst vor dem TAS vorgetragen. Auch lässt sich eine Verletzung des Gehörsanspruchs nicht damit begründen, dass eine von der Gegenseite angebotene Zeugin nicht vor Gericht erschienen sei.
Schliesslich legt die Beschwerdeführerin nicht hinreichend dar, inwiefern sich aus dem Grundsatz des rechtlichen Gehörs ein Anspruch ergeben soll, nach den letzten Parteivorträgen und der Schlusserklärung der Beschwerdeführerin, mithin einen Monat nach Beendigung der Hauptverhandlung, aufgrund eines angeblichen Meinungsumschwungs eines Sachverständigen, diesen im Rahmen eines Kreuzverhörs zu befragen. Im Übrigen hatte sich im Schiedsverfahren nicht die Beschwerdeführerin, sondern die Beschwerdegegnerin auf Dr. C._ berufen. Der Umstand, dass Dr. C._ von der Beschwerdegegnerin nicht für das Hearing aufgeboten wurde, verletzt entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin ihren Gehörsanspruch nicht. Stellte das Schiedsgericht unter diesen Umständen nicht auf die schriftliche Stellungnahme von Dr. C._ ab, leuchtet nicht ein, inwiefern die Ablehnung des Antrags auf Wiedereröffnung des Verfahrens, die mit einem Meinungsumschwung von Dr. C._ gegenüber seiner schriftlichen Aussage begründet wurde, eine unzulässige antizipierte Beweiswürdigung im Sinne einer Verletzung des rechtlichen Gehörs bzw. des verfahrensrechtlichen Ordre public darstellen soll.
6. Die Beschwerdeführerin rügt verschiedentlich eine Verletzung des Ordre public (<ref-law>).
6.1 Die materiellrechtliche Überprüfung eines internationalen Schiedsentscheids durch das Bundesgericht ist auf die Frage beschränkt, ob der Schiedsspruch mit dem Ordre public vereinbar ist (<ref-ruling> E. 3a S. 333). Gegen den Ordre public verstösst die materielle Beurteilung eines streitigen Anspruchs nur, wenn sie fundamentale Rechtsgrundsätze verkennt und daher mit der wesentlichen, weitgehend anerkannten Wertordnung schlechthin unvereinbar ist, die nach in der Schweiz herrschender Auffassung Grundlage jeder Rechtsordnung bilden sollte. Zu diesen Prinzipien gehören die Vertragstreue (pacta sunt servanda), das Rechtsmissbrauchsverbot, der Grundsatz von Treu und Glauben, das Verbot der entschädigungslosen Enteignung, das Diskriminierungsverbot und der Schutz von Handlungsunfähigen. Zur Aufhebung des angefochtenen Schiedsentscheids kommt es nur, wenn dieser nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis dem Ordre public widerspricht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 392 ff.; <ref-ruling> E. 6b S. 198; <ref-ruling> E. 6a S. 166 f.).
6.2 Die Beschwerdeführerin verkennt bei einer Grosszahl ihrer Vorbringen sowohl den Begriff des Ordre public als auch die für entsprechende Rügen geltenden strengen Begründungsanforderungen (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 606). Über weite Strecken erschöpfen sich ihre Ausführungen in appellatorischer Kritik, was im Rahmen des Beschwerdeverfahrens nicht zulässig ist (<ref-ruling> E. 3b S. 382).
6.2.1 So behauptet sie zunächst unter Hinweis auf zwei Gutachten von Dr. C._ vom 19. Mai 2009 und 28. August 2009 sowie den Entscheid der Disziplinarkommission der Beschwerdegegnerin vom 1. Juli 2009, das Schiedsgericht habe den Einfluss der Expertenmeinung von Dr. C._ "aktenwidrig verschleiert", indem es "in letzter Minute aufgrund der Meinungsänderung von Dr. C._ einfach dessen Namen aus dem Urteil gelöscht" habe. Abgesehen davon, dass diese Vorbringen spekulativ sind und durch die angeführten Beilagen nicht belegt werden, wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz eine Missachtung der Begründungspflicht sowie Aktenwidrigkeit vor, womit sie weder eine Ordre public-Widrigkeit noch einen anderen in <ref-law> vorgesehenen Beschwerdegrund aufzeigt (vgl. <ref-ruling> E. 6.1 S. 187; <ref-ruling> E. 2b S. 577 f.; je mit Hinweisen).
6.2.2 Entsprechendes gilt für das Vorbringen, es liege ein "unauflöslicher innerer Widerspruch in der Begründung" vor. Zwar hatte das Bundesgericht in einzelnen älteren Entscheiden ein Urteil, das unter einem inneren Widerspruch leidet, als Ordre public-widrig erachtet und dies damit begründet, dass <ref-law> auch bezwecke, eine gewisse Mindestqualität der schweizerischen internationalen Schiedsentscheide zu gewährleisten (Urteile 4P.198/1998 vom 17. Februar 1999 E. 4a; 4P.99/2000 vom 10. November 2000 E. 3b/aa; vgl. auch Urteil 4P.115/1994 vom 30. Dezember 1994 E. 2b). In der neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung, so insbesondere im letzten Grundsatzentscheid zum Begriff des Ordre public (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 392), wird der innere Widerspruch eines Schiedsspruchs im Zusammenhang mit der Auslegung des Begriffs des Ordre public hingegen nicht mehr erwähnt. In einem weiteren in der Amtlichen Sammlung veröffentlichten Entscheid erwog das Bundesgericht zudem, dass ein innerer Widerspruch im Dispositiv des Schiedsspruchs nicht als Verletzung des materiellen Ordre public gerügt werden könne (BGE <ref-ruling> E. 6b S. 198), was sich mit den erwähnten unveröffentlichten Entscheiden kaum vereinbaren lässt (in diese Richtung auch Bernard Dutoit, Droit international privé suisse, Commentaire de la loi fédérale du 18 décembre 1987, 4. Aufl. 2005, N. 8 zu <ref-law> S. 678). Es erscheint auch unter dem Gesichtspunkt der Qualität internationaler Schiedsurteile nicht gerechtfertigt, einen an einem inneren Widerspruch leidenden Entscheid anders zu behandeln als solche, die auf unhaltbaren Sachverhaltsfeststellungen oder einer willkürlichen Rechtsanwendung beruhen, die ebenfalls nicht unter <ref-law> fallen. Ein innerer Widerspruch in der Begründung eines Entscheids stellt demnach keine Verletzung des Ordre public dar (Urteil 4A_464/2009 vom 15. Februar 2010 E. 5.1).
6.2.3 Auch mit dem Vorwurf an die Beschwerdegegnerin, sie habe im Wissen darum, dass Dr. C._ seine persönliche Meinung geändert habe, ihn wider Erwarten nicht an das Hearing vor dem TAS aufgeboten, zeigt die Beschwerdeführerin keine Ordre public-Widrigkeit auf. Abgesehen davon, dass sich ihre Vorbringen nicht auf die tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid (<ref-law>) stützen lassen, ist es nicht am Bundesgericht, den an die Gegenseite gerichteten Vorwurf der arglistigen Vermögensschädigung im Sinne von <ref-law> im Rahmen des Beschwerdeverfahrens zu prüfen.
6.2.3 Auch mit dem Vorwurf an die Beschwerdegegnerin, sie habe im Wissen darum, dass Dr. C._ seine persönliche Meinung geändert habe, ihn wider Erwarten nicht an das Hearing vor dem TAS aufgeboten, zeigt die Beschwerdeführerin keine Ordre public-Widrigkeit auf. Abgesehen davon, dass sich ihre Vorbringen nicht auf die tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid (<ref-law>) stützen lassen, ist es nicht am Bundesgericht, den an die Gegenseite gerichteten Vorwurf der arglistigen Vermögensschädigung im Sinne von <ref-law> im Rahmen des Beschwerdeverfahrens zu prüfen.
6.3 6.3.1 Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts reicht eine offensichtlich falsche oder aktenwidrige Feststellung für sich allein nicht aus, um einen internationalen Schiedsentscheid aufzuheben. Der Anspruch auf rechtliches Gehör enthält keinen Anspruch auf einen materiell richtigen Entscheid (BGE <ref-ruling> E. 2b S. 577 f.). Zudem vermag die Verletzung von durch die Parteien formulierten Verfahrensregeln oder einer schiedsgerichtlichen Verfahrensordnung keinen Verstoss gegen den verfahrensrechtlichen Ordre public zu begründen (<ref-ruling> E. 1a S. 347). Der Begriff des Ordre public nach <ref-law> stimmt nicht mit demjenigen der Willkür überein, sondern ist enger als dieser (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 393 mit Hinweisen). Der Vorwurf an das Schiedsgericht, der angefochtene Entscheid beruhe auf einer willkürlichen Sachverhaltsfeststellung oder Rechtsanwendung reicht zur Begründung eine Rüge nach <ref-law> daher nicht aus (<ref-ruling> E. 3 S. 606).
6.3.2 Unter diesen Voraussetzungen versucht die Beschwerdeführerin vergeblich, unter Bezugnahme auf den WADA-Code, die Anti-Doping Regeln der Beschwerdegegnerin sowie zivilprozessuale und medizinische Argumente, den Ausgang des Beweisverfahrens in Frage zu stellen. Die Ansicht des Schiedsgerichts, dass die Beschwerdegegnerin einen Dopingverstoss "to the comfortable satisfaction of the hearing panel" nachzuweisen habe, verstösst nicht gegen den Ordre public, sondern bezieht sich auf die Beweislastverteilung sowie das Beweismass, die sich im Anwendungsbereich des Privatrechts - auch wenn Disziplinarmassnahmen privater Sportorganisationen zu beurteilen sind - nicht unter dem Blickwinkel strafrechtlicher Begriffe wie der Unschuldsvermutung bzw. des Grundsatzes "in dubio pro reo" und nach den aus der EMRK fliessenden Garantien bestimmen lassen. Auch mit dem Einwand, das dem Schiedsentscheid zugrunde gelegte Beweismass führe im Rahmen der indirekten Beweisführung zu einer Missachtung des Verhältnismässigkeitsprinzips, zeigt die Beschwerdeführerin keine Ordre public-Widrigkeit auf. Sie übt mit ihren Vorbringen zum Beweismass und zur angeblichen Umkehr der Beweislast vielmehr appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid, was im Beschwerdeverfahren nicht zulässig ist.
6.3.3 Das Schiedsgericht hat es aufgrund des durchgeführten Beweisverfahrens und nach Anhörung zahlreicher Experten für erwiesen erachtet, dass die abnormalen Blutwerte der Beschwerdeführerin vom 6. und 7. Februar 2009 sowie der am 18. Februar 2009 festgestellte starke Rückgang des Retikulozytenwerts nicht durch eine angeborene oder erworbene Anomalie erklärt werden können, sondern auf eine Blutmanipulation zurückzuführen sei.
In ihrer weiteren Beschwerdebegründung wirft die Beschwerdeführerin dem Schiedsgericht in weitschweifigen Ausführungen vor, es habe seinen Entscheid entgegen der einhelligen Meinung der Experten gefällt und die Blutwerte könnten weder durch die vom TAS herangezogene noch eine andere bekannte Dopingmethode erklärt werden. Soweit die Vorbringen angesichts der zahlreichen neu eingereichten Beweismittel überhaupt zu beachten sind (vgl. <ref-law>), stellen sie lediglich das schiedsgerichtliche Beweisergebnis in Frage und erschöpfen sich in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid. Darauf ist nicht einzutreten.
Entsprechendes gilt für die Ausführungen, wonach die verwendeten Testverfahren wissenschaftlich ungenügend gewesen seien, soweit damit nicht verschiedene Rügen wiederholt werden, die sich bereits als unbegründet erwiesen haben. Die Beschwerdeführerin führt zudem unter anderem in pauschaler Weise die Wirtschaftsfreiheit nach <ref-law>, das Recht auf Arbeit nach Art. 6 f. UNO Pakt I, ihre Persönlichkeitsrechte, den Anspruch auf ein faires Verfahren sowie die WADA "Athlete Biological Passport Operating Guidelines" ins Feld, die auch nach ihrer Darstellung erst am 1. Dezember 2009 in Kraft traten. Damit zeigt sie keinen in <ref-law> vorgesehenen Rügegrund auf, sondern kritisiert wiederum in unzulässiger Weise das Beweisergebnis der Vorinstanz. Es verstösst entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin auch weder gegen den Ordre public noch den Gleichbehandlungsgrundsatz, wenn ihre Testresultate nach den im damaligen Zeitpunkt geltenden Richtlinien erhoben wurden, und nicht in Anwendung solcher, die erst nach dem Schiedsurteil - wenn auch nur kurz danach - in Kraft gesetzt wurden. Im Übrigen kann von einer Verletzung des Gleichbehandlungsgrundsatzes (<ref-law>) keine Rede sein, wenn das Schiedsgericht die erwähnten WADA-Richtlinien vor Inkraftsetzung derselben für nicht anwendbar erachtete, sie jedoch an zwei Stellen dennoch erwähnte, sei es zu Vergleichszwecken oder um auf ein entsprechendes Argument der Beschwerdeführerin einzugehen.
Ihre Ausführungen unter den Titeln "Ordre public Verletzung durch Missachtung der Sicherheitsmechanismen bei indirekter Beweisführung" sowie "Das Verfahren der Beschwerdegegnerin 1 zur Erstellung des biologischen Blutpasses verstösst gegen das Legalitäts- und Verhältnismässigkeitsprinzip" lassen keine Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids, geschweige denn eine hinreichend begründete Rüge nach <ref-law> erkennen. Sie haben daher unbeachtet zu bleiben.
Die Beschwerdeführerin macht sodann keine Ordre public-Widrigkeit geltend, wenn sie das Datenmanagement der Beschwerdegegnerin sowie die Testresultate als fehlerhaft bezeichnet, die Verlässlichkeit der Datenbank anzweifelt oder eine Missachtung der Richtlinien der Beschwerdegegnerin hinsichtlich Bluttests behauptet. Die übrigen Rügen werden, soweit sie sich nicht ohnehin bereits als unbegründet erwiesen haben, lediglich pauschal erhoben, und verfehlen die gesetzlichen Begründungsanforderungen (vgl. <ref-law>).
Fehl gehen im Weiteren die Rügen, das Verhältnismässigkeitsprinzip sowie die "lex mitior"-Regel seien verletzt worden. Damit lässt sich keine Ordre public-Widrigkeit begründen.
6.4 Die Beschwerdeführerin rügt im Zusammenhang mit dem Gutachten von Prof. D._ zu Unrecht eine Verletzung des Ordre public sowie des rechtlichen Gehörs.
Sie bringt zur Begründung ihrer Rüge zunächst vor, dass die Sachverhaltsdarstellung der Vorinstanz, wonach Prof. D._ zum definitiven Schluss gekommen sei, dass die Beschwerdeführerin und ihre Familienmitglieder nicht an hereditärer Sphärozytose litten, falsch und aktenwidrig sei. Sie legt sodann dar, dass das Schiedsgericht den medizinischen Bericht aktenwidrig als "final report" bezeichnet habe, wohingegen im Bericht auf Seite 3 von einer "vorläufigen Beurteilung" die Rede sei. Der medizinische Bericht werde zudem in verschiedener Hinsicht unzutreffend wiedergegeben und es würden falsche Schlussfolgerungen daraus gezogen.
Mit diesen Vorbringen zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf, inwiefern ihr das behauptete richterliche Versehen verunmöglichte, ihren Standpunkt in Bezug auf ein prozessrelevantes Thema in den Prozess einzubringen und zu beweisen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 248 f.; <ref-ruling> E. 2b-f S. 577 ff.). Sie behauptet zwar, das Schiedsgericht habe die weiterführenden Gutachten L._ und M._ nicht gewürdigt, legt jedoch nicht dar, inwiefern dies durch das angebliche Versehen bedingt sein soll. Sie beruft sich in anderem Zusammenhang vielmehr darauf, das Schiedsgericht habe ihre Eingabe vom 14. Oktober 2009, der die erwähnten Gutachten beigelegt waren, zu Unrecht aus prozessualen Gründen zurückgewiesen und damit ihre Bemerkungen übergangen. Die in der Beschwerde erwähnten Gutachten mit den Folgeuntersuchungen von Prof. M._ vom 10. Oktober 2009 sowie von Prof. L._ vom 7. Oktober 2009 wurden vom Schiedsgericht als Exhibit 37 und 39 zu den Akten genommen; auf Antrag der Beschwerdeführerin nahm Prof. M._ zudem am Hearing teil.
Eine Gehörsverletzung infolge der angeblichen Aktenwidrigkeiten ist nicht dargetan. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich vielmehr darauf, auszuführen, inwiefern das behauptete Versehen zu einer fehlerhaften Beweiswürdigung führte. Darin liegt jedoch, wie auch in einer willkürlichen Beweiswürdigung, keine Verletzung des rechtlichen Gehörs (BGE <ref-ruling> E. 2f S. 580; vgl. auch <ref-law>, der die Anwendbarkeit von Art. 105 Abs. 2 sowie Art. 97 BGG ausschliesst).
Der weiter erhobene Vorwurf, das Schiedsgericht habe seine Begründungspflicht verletzt, stösst ins Leere, zumal sich nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung aus <ref-law> kein Anspruch auf Begründung ableiten lässt (<ref-ruling> E. 4b S. 343; <ref-ruling> E. 7b S. 374 f.).
6.5 Letzteres gilt auch für die entsprechende Rüge unter dem Titel "Ordre public Verletzung durch entscheidrelevantes Abstellen auf die Meinung eines Tierarztes in einer humanmedizinischen Frage". Die Beschwerdeführerin kritisiert darin, ausgehend vom Umstand, dass der am Hearing teilnehmende Prof. N._ nur über eine Ausbildung als Tierarzt verfüge, die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz und legt ihre eigene Sicht der Dinge dar. Abgesehen davon, dass sie nicht aufzeigt, entsprechende Einwände bereits im vorinstanzlichen Verfahren erhoben zu haben, sind ihre Vorbringen appellatorisch und vermögen weder eine Verletzung des rechtlichen Gehörs noch des formellen Ordre public aufzuzeigen.
Der Vorwurf, es werde durch den Umstand, dass ihre Blutwerte einem Tierarzt zur Prüfung unterbreitet worden seien, der Grundsatz der Menschenwürde gemäss <ref-law> verletzt, geht im Übrigen fehl. Von einer medizinischen Behandlung kann entgegen dem, was die Beschwerdeführerin geltend zu machen scheint, keine Rede sein. Dass der Grundsatz der Menschenwürde es einem an der Universität tätigen Wissenschaftler, der unter anderem über eine tierärztliche Ausbildung verfügt, verbieten soll, als Experte im Rahmen eines Dopingverfahrens teilzunehmen, ist nicht dargetan.
6.6 Der weiteren Beschwerdebegründung unter den Titeln "Ordre public widrige Erstellung des persönlichen Blutprofils der Beschwerdeführerin durch das TAS", "Ordre public widrige Verwendung erwiesenermassen falscher Messungen" sowie "Verletzung des Ordre public durch fehlerhafte bestimmte Grenzwerte" lassen sich keine rechtsgenügend begründeten Rügen nach <ref-law> entnehmen. Soweit die Beschwerdeführerin überhaupt auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids eingeht und nicht Vorbringen wiederholt, die sich bereits als haltlos erwiesen haben, kritisiert sie in appellatorischer Weise den angefochtenen Entscheid und legt ihre eigene Sicht der Dinge, insbesondere hinsichtlich der massgeblichen Messmethoden sowie der Beurteilung der Blutwerte, dar. Dabei bezeichnet sie zahlreiche Feststellungen des Schiedsgerichts als willkürlich, widersprüchlich, falsch oder aktenwidrig, zeigt jedoch nicht auf, inwiefern ihr dadurch verunmöglicht worden wäre, ihren Standpunkt in den Prozess einzubringen und zu beweisen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 248 f.; <ref-ruling> E. 2b-f S. 577 ff.). Sie behauptet lediglich an verschiedenen Stellen in pauschaler Weise einen Verstoss gegen den Grundsatz des rechtlichen Gehörs oder des Ordre public, ohne die gesetzlichen Begründungsanforderungen (vgl. <ref-law>) zu erfüllen.
7. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Tribunal Arbitral du Sport (TAS) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann