Sachverhalt:
A. Am 31. Oktober 2006 erhob die Schweizerische Metall-Union (SMU) Klage beim Bezirksgericht Dielsdorf gegen die X._ AG mit Sitz in A._. Darin beantragte sie, diese sei zu verpflichten, ihr den als Beitrag an den Berufsbildungsfonds geschuldeten Betrag von Fr. 1'552.-- nebst Zins zu 5% seit dem 2. Februar 2006, bis dannzumal aufgelaufenen Zins von Fr. 29.75 sowie die Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 70.-- zu bezahlen; überdies sei der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. 11857 des Betreibungsamts A._ aufzuheben. Am 15. Januar 2007 trat der Einzelrichter am Bezirksgericht Dielsdorf mangels sachlicher Zuständigkeit auf die Klage nicht ein. Die III. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich hiess am 16. November 2007 eine dagegen von der Klägerin erhobene Nichtigkeitsbeschwerde gut, hob den Nichteintretensentscheid auf und wies die Sache zu neuem Entscheid an das Bezirksgericht zurück. Mit Urteil vom 3. Juli 2008 hiess der Einzelrichter am Bezirksgericht die Klage gut, sprach der Klägerin den eingeklagten Betrag samt Nebenposten zu und hob den Rechtsvorschlag auf. Am 1. Dezember 2008 wies die III. Zivilkammer des Obergerichts eine dagegen erhobene Nichtigkeitsbeschwerde der X._ AG ab.
B. Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde, an das Bundesgericht stellt die X._ AG das folgende Rechtsbegehren:
"Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 1. Dezember 2008 ... sei aufzuheben und die Klage der Beschwerdegegnerin vom 31. Oktober 2006 sei abzuweisen. Die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, die Betr. Nr. 11857 des Betreibungsamtes A._ löschen zu lassen."
Zur Begründung wird im Wesentlichen ausgeführt, das Urteil des Obergerichts verstosse gegen die gesetzliche Regelung des Bundes über den Berufsbildungsfonds sowie gegen die verfassungsrechtlich gewährleistete Vereinigungs- und Koalitionsfreiheit (Art. 23 und 28 BV).
C. Die Schweizerische Metall-Union (SMU) beantragt, auf die Beschwerde in Zivilsachen sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde sei vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bezirksgericht Dielsdorf und das Obergericht des Kantons Zürich haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Eidgenössische Volkswirtschaftsdepartement (EVD) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Berufsbildung und Technologie (BBT) hat sich im Sinne des angefochtenen Urteils des Obergerichts vernehmen lassen, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen.

Erwägungen:
1. 1.1 Streitgegenstand bildet eine auf Bundesrecht gestützte Forderung der Beschwerdegegnerin. Für die Bestimmung des zulässigen Rechtsmittels an das Bundesgericht ist dabei massgeblich, ob diese privat- oder öffentlich-rechtlicher Natur ist. Im ersten Fall wäre die Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen nach <ref-law>, im zweiten Fall diejenige der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> zu prüfen.
1.2 Für die Abgrenzung von Privatrecht und öffentlichem Recht hat die Lehre mehrere Methoden entwickelt. Es wird insbesondere unterschieden, ob die anwendbaren Rechtssätze ausschliesslich oder vorwiegend private oder öffentliche Interessen wahrnehmen (Interessentheorie), die Erfüllung öffentlicher Aufgaben oder die Ausübung einer öffentlichen Tätigkeit regeln (Funktionstheorie) oder den Staat gegenüber dem Privaten als übergeordneten Träger von Hoheitsrechten erscheinen lassen (Subordinationstheorie). Das Bundesgericht nimmt die Abgrenzung gestützt auf verschiedene Methoden vor, wobei keiner a priori ein Vorrang zukommt. Vielmehr prüft es in jedem Einzelfall, welches Abgrenzungskriterium den konkreten Gegebenheiten am besten gerecht wird. Damit trägt es dem Umstand Rechnung, dass der Unterscheidung zwischen privatem und öffentlichem Recht ganz verschiedene Funktionen zukommen, die sich nicht mit einem einzigen theoretischen Unterscheidungsmerkmal erfassen lassen (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2 S. 307; <ref-ruling> E. 2a S. 253; <ref-ruling> E. 2c/bb S. 436; <ref-ruling> E. 1b S. 414, mit Hinweisen).
1.3 Das Bundesgesetz vom 13. Dezember 2002 über die Berufsbildung (Berufsbildungsgesetz, BBG; SR 412.10), das hier unstreitig Anwendung findet, ist Teil des öffentlichen Rechts. Dabei wird die Berufsbildung als gemeinsame Aufgabe von Bund, Kantonen und Organisationen der Arbeitswelt definiert (<ref-law>; sog. triales System). Das Berufsbildungsgesetz wurde in Wahrnehmung öffentlicher Aufgaben erlassen (vgl. <ref-law>) und verfolgt öffentliche Interessen, weshalb der Bund die Berufsbildung fördert (vgl. <ref-law>) und Beiträge an deren Kosten leistet (vgl. <ref-law>). Mit der Einbindung der Berufsverbände in die Berufsbildung suchte der Gesetzgeber diese zu verbessern und die Nähe der Verbände zur vermittelten Materie zu nutzen. Die hier interessierende Bestimmung von <ref-law> hat einen doppelten Gehalt: Einerseits verpflichtet sie die Organisationen der Arbeitswelt, die für Bildung und Weiterbildung sowie Prüfungen zuständig sind, eigene Berufsbildungsfonds zu schaffen und zu äufnen (vgl. insbes. <ref-law>); andererseits ermächtigt sie den Bundesrat unter bestimmten Voraussetzungen zur Allgemeinverbindlicherklärung solcher Berufsbildungsfonds für alle Betriebe einer Branche (vgl. <ref-law>). Die streitige Frage der finanziellen Beteiligung aller Betriebe derselben Branche am entsprechenden Berufsbildungsfonds stellt demnach Teil der speziellen öffentlich-rechtlichen Normen des Berufsbildungsrechts dar. <ref-law> weist klar hoheitlichen Charakter auf. Die Streitfrage fällt denn auch insbesondere nicht in den Regelungsbereich des Vereins- oder Obligationenrechts. Mithin ist die strittige Beitragspflicht der Beschwerdeführerin öffentlich-rechtlicher Natur (so zu einer analogen Streitfrage bei der Anwendung des Berufsbildungsgesetzes schon das Urteil des Bundesgerichts 2A.249/2002 vom 7. November 2002 E. 2).
1.4 Anwendbar sind demnach die Bestimmungen über die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law>. Inwieweit die Vorinstanzen als Behörden des Zivilprozesses für die Durchsetzung der Forderung bzw. die Beurteilung der Anspruchsberechtigung zuständig waren, ist eine Frage des kantonalen Verfahrensrechts, welches vom Bundesgericht allenfalls nur auf Willkür hin überprüft würde. Da der entsprechende Entscheid aber nicht angefochten wurde, ist auf das kantonale Verfahren nicht mehr zurückzukommen, zumal auch gar keine entsprechenden Rügen erhoben werden. Selbst falls die kantonalen Behörden die Forderung fälschlicherweise als zivilrechtlich eingestuft und im zivilprozessualen Verfahren beurteilt hätten, vermöchte dies an deren öffentlich-rechtlichen Charakter und an der Anwendbarkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im bundesgerichtlichen Verfahren nichts zu ändern.
1.5 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid einer kantonalen Gerichtsbehörde (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d in Verbindung mit <ref-law>), der, wie dargelegt, eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts betrifft (<ref-law>). Ein Ausschlussgrund gemäss <ref-law> liegt nicht vor. Insbesondere findet der Ausnahmetatbestand von Art. 83 lit. t BGG keine Anwendung, da nicht das Ergebnis einer Prüfung oder einer anderen Fähigkeitsbewertung im Streit steht. Im Unterschied zur Beschwerde in Zivilsachen (vgl. <ref-law>) und zu bestimmten anderen öffentlich-rechtlichen vermögensrechtlichen Streitigkeiten (vgl. <ref-law>) gilt sodann im vorliegenden Zusammenhang keine Streitwertbegrenzung, weshalb es nicht darauf ankommt, ob sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt oder nicht. Die Beschwerdeführerin ist vom angefochtenen Urteil direkt betroffen und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Abänderung, weshalb ihr die Beschwerdelegitimation nach <ref-law> zukommt. Sind die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten damit erfüllt, ist die eingereichte Beschwerde unabhängig von der von der Beschwerdeführerin gewählten Bezeichnung als solche entgegenzunehmen.
1.6 Gemäss <ref-law> kann mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten insbesondere geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht inklusive Bundesverfassungsrecht. Andere Rügen erhebt die Beschwerdeführerin nicht.
1.7 Mit der Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entfällt diejenige der subsidiären Verfassungsbeschwerde (vgl. <ref-law>), weshalb auf diese nicht eingetreten werden kann. Die entsprechenden Verfassungsrügen der Beschwerdeführerin sind jedoch im Rahmen der Behandlung der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu prüfen.
2. 2.1 Erklärt der Bundesrat in Anwendung von <ref-law> den Berufsbildungsfonds einer Branche für alle ihre Betriebe allgemein verbindlich und verpflichtet er diese zur Entrichtung von Bildungsbeiträgen, entsteht auf Seiten der Betriebe eine entsprechende Leistungspflicht. Nach <ref-law> dürfen freilich Betriebe, die sich bereits mit einem Verbandsbeitrag an der Berufsbildung beteiligen, in einen Berufsbildungsfonds einbezahlen oder sonst nachweisbar angemessene Bildungs- oder Weiterbildungsleistungen erbringen, nicht zu weiteren Zahlungen in allgemein verbindlich erklärte Bildungsfonds verpflichtet werden. Im vorliegenden Fall ist insbesondere die Tragweite dieser Zahlungsbefreiung streitig.
2.2 Die Beschwerdeführerin ist nicht Mitglied des Verbands ihrer Branche, mithin der Beschwerdegegnerin. Mit Bundesratsbeschluss vom 13. April 2005 wurde der Berufsbildungsfonds der Beschwerdegegnerin gemäss dem Reglement vom 15. September 2004 allgemein verbindlich erklärt (Art. 1). Durch die Allgemeinverbindlicherklärung werden grundsätzlich alle Betriebe der Metallbaubranche verpflichtet, unabhängig davon, ob sie Mitglied der Beschwerdegegnerin sind oder nicht, Beiträge an den Berufsbildungsfonds derselben zu leisten.
2.3 Bei den obligatorischen Beiträgen an den fraglichen Berufsbildungsfonds handelt es sich um Zwangsabgaben, die lediglich einer bestimmten Gruppe von Pflichtigen auferlegt werden, weil diese Personen zum vom Gemeinwesen vorgeschriebenen Förderungsfonds eine nähere Beziehung haben als andere Personen. Die Beiträge werden zwecks Finanzierung der eigenen, im öffentlichen Interesse stehenden Förderungsmassnahmen für die Berufsbildung eingezogen und sind voraussetzungslos geschuldet. Solche Abgaben haben eine gewisse Verwandtschaft zur Vorzugslast (Beiträgen), doch unterscheiden sie sich von dieser dadurch, dass kein individueller, dem einzelnen Pflichtigen zurechenbarer Sondervorteil vorliegen muss, der die Erhebung der Abgabe rechtfertigt. Es besteht daher eine noch grössere Ähnlichkeit zu den so genannten Kostenanlastungsabgaben, die ebenfalls voraussetzungslos, d.h. unabhängig vom konkreten Nutzen oder vom konkreten Verursacheranteil des Pflichtigen, geschuldet sind und daher zu den Steuern zählen (vgl. <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 160; <ref-ruling>; Urteil des Bundesgerichts 2P.215/2000 vom 12. März 2001 in StR 57/2002 S. 43). Die fraglichen Beiträge sind mithin als mit Kostenanlastungssteuern vergleichbare Sonderabgaben zu qualifizieren. Deren Einziehung und Verwendung ist hier jedoch einer privaten Organisation übertragen, wie dies auch in anderen Zusammenhängen vorkommt (vgl. etwa die Urteile des Bundesgerichts 2A.62/2005 vom 22. März 2006 E. 4.2 und 2A.246/ 2004 vom 21. Dezember 2004 E. 5.)
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin erhebt keine abgaberechtlichen Einwände, sondern rügt in erster Linie einen Verstoss gegen die konkrete Gesetzesregelung in <ref-law>. Zwar anerkennt sie, dass sie keine Leistungen erbracht hat, die im Berufsbildungsfonds der Beschwerdegegnerin ausdrücklich genannt werden. Sie beruft sich aber auf Eigenleistungen für ihre Lehrlinge im Rahmen der obligatorischen Ausbildung sowie von überbetrieblichen Kursen und ist der Auffassung, diese Aufwendungen rechtfertigten eine Befreiung von der Zahlungspflicht an den Berufsbildungsfonds gemäss <ref-law>. Umstritten ist in diesem Sinne die Bedeutung des Ausnahmetatbestandes der sonst nachweisbar angemessenen Bildungs- oder Weiterbildungsleistungen gemäss dieser Bestimmung.
3.2 Weder im Gesetz noch im dazu gehörigen Verordnungsrecht findet sich eine Legaldefinition, was mit den für die Zahlungsbefreiung massgeblichen "nachweisbar angemessenen Bildungs- oder Weiterbildungsleistungen" gemeint ist. Auch die Materialien geben wenig Aufschluss über den Sinngehalt des Ausnahmetatbestandes von <ref-law>. Der Grund dafür liegt darin, dass diese Bestimmung erst spät während der parlamentarischen Debatten in das Gesetz aufgenommen wurde. Die Beschwerdeführerin geht von einem vorwiegend grammatikalischen Verständnis aus und erachtet die Leistungen, die sie im eigenen Betrieb insbesondere zur Lehrlingsausbildung erbringt, als massgeblich. Die Kostenbefreiung von <ref-law> ist indessen im Gesamtzusammenhang auszulegen.
3.3 <ref-law> bezweckt in erster Linie, dass mit den Beiträgen der allgemein verbindlich erklärten Fonds das Berufsbildungssystem der Trägerorganisation mitfinanziert werden soll. Das Gesetz geht vom Vorrang der privatwirtschaftlichen Eigeninitiative aus, kombiniert diese aber ergänzend mit subsidiärem staatlichem Handeln (BBl 2000 5744). Die Beiträge sollen dabei über die Tätigkeiten des Fonds allen zahlungsverpflichteten Betrieben zugute kommen. Ziel der Allgemeinverbindlicherklärung ist die Vermeidung des "Trittbrettfahrertums" (vgl. BBl 2000 5690, 5745 und 5762), d.h. dass ein Betrieb von den Leistungen des Fonds profitiert, ohne selbst an dessen Finanzierung beizutragen. Durch das Obligatorium werden denn auch diejenigen Betriebe zur Mitfinanzierung verpflichtet, die sich sonst nicht an den allgemeinen Berufsbildungskosten einer Branche beteiligen, von den Leistungen des Fonds bzw. mittelbar der übrigen Verbandsmitglieder aber profitieren. Die Betriebe, die nicht dem Verband angehören, werden zu einem hoheitlich verordneten Solidaritätsbeitrag verpflichtet, was auch zur Wettbewerbsgleichheit innerhalb der Branche beitragen soll (vgl. BBl 2000 5745 und 5762).
3.4 Ziel der Berufsbildungsfonds ist nicht, jedenfalls nicht vorrangig, die Lehrstellenförderung, sondern der Einbezug aller Betriebe einer Branche in die Finanzierung der verbandlichen Berufsbildungskosten. In der Regel übernehmen die Organisationen der Arbeitswelt bei der Berufsausbildung Aufgaben im gemeinwirtschaftlichen, d.h. überbetrieblichen strategischen und operativen Bereich. Dabei handelt es sich typischerweise um Leistungen wie die Initiative und Mitwirkung beim Aufbau und der Weiterentwicklung von Bildungsangeboten, die Nachwuchsförderung, die Beteiligung an Qualifikationsverfahren sowie die Durchführung und Koordination von Bildungsveranstaltungen.
3.5 Vor diesem Hintergrund rechtfertigt sich eine Auslegung von <ref-law>, wonach es sich bei den fraglichen Bildungs- oder Weiterbildungsleistungen, die eine Befreiung von der Beitragspflicht zu begründen vermögen, um gemeinwirtschaftliche Leistungen handeln muss, die nicht nur dem eigenen Betrieb zugute kommen. Nur wer Aufgaben erfüllt, die denjenigen des Berufsbildungsfonds entsprechen, erbringt bereits selbst einen Aufwand, der auf die Beitragspflicht angerechnet werden darf. Die Ausbildung von Lehrlingen im üblichen Rahmen zählt nicht zu solchen gemeinwirtschaftlichen Leistungen. Zwar steht sie ebenfalls im öffentlichen Interesse und dient insoweit einem überbetrieblichen Ziel. Sie vermag aber eine Befreiung von der Beitragspflicht nicht zu rechtfertigen, weil sie nicht die vom Fonds erbrachten Leistungen ersetzt. Nur wenn ein solcher Zusammenhang besteht, erscheint eine Beitragsbefreiung sachgerecht.
3.6 Das Berufsbildungsfonds-Reglement der Beschwerdegegnerin bestimmt in Art. 2 den Förderungszweck des Fonds. Konkret sollen die von der Beschwerdegegnerin erbrachten Berufsentwicklungsprojekte, die Berufswahlvorbereitung und die nationalen Aufgaben für die berufliche Grundbildung unterstützt werden. Spezifiziert werden die Leistungen in einem durch die Trägerschaft erlassenen Katalog. Auch wenn sich dieser auf sämtliche Bereiche der Berufsbildung (berufliche Grundbildung, höhere Berufsbildung und berufsorientierte Weiterbildung) erstrecken könnte, erfolgt hier eine Beschränkung auf die Finanzierung der Leistungen in der beruflichen Grundbildung. Dazu mögen zwar auch die von der Beschwerdeführerin erbrachten Leistungen gehören. Entscheidend ist aber, dass diese nicht denjenigen des Fonds entsprechen, wie die Beschwerdeführerin selbst anerkennt, und folglich auch nicht an die Stelle der Verbandsleistungen treten können. Handelt es sich bei den von der Beschwerdeführerin angerufenen Eigenleistungen damit nicht um gemeinwirtschaftliche Tätigkeiten im Sinne von <ref-law>, führen sie auch nicht zu einer Befreiung von der Beitragspflicht nach Abs. 6 dieser Bestimmung.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin beruft sich auf die Vereinigungs- und Koalitionsfreiheit nach Art. 23 und 28 BV.
4.2 Die Vereinigungs- und Koalitionsfreiheiten schützen nicht nur das Recht, sich einem Verband anzuschliessen, sondern auch das Recht, einem solchen fernzubleiben. Nach <ref-ruling> E. 4c/cc S. 116 f. ist es insbesondere verfassungswidrig bzw. unverhältnismässig, von einem Unternehmen, das staatliche Finanzhilfen in Anspruch nehmen will, zu verlangen, sich einem durch Gesamtarbeitsvertrag gebundenen Arbeitgeberverband anzuschliessen.
4.3 Ob der angefochtene Entscheid in diesem Sinne in die Vereinigungs- und Koalitionsfreiheiten im Sinne der negativen Zusammenschlussfreiheit eingreift, wie die Beschwerdeführerin meint, erscheint fraglich. Diese wird nämlich keineswegs gezwungen, sich dem Verband anzuschliessen. Das einschlägige Recht sieht gerade nicht eine solche Zwangsmitgliedschaft vor. Das durch die Allgemeinverbindlicherklärung des Bundesrates geschaffene Obligatorium erfasst einzig die Beitragspflicht. Dass eine solche bereits zu einem Eingriff in die Verbandsfreiheit - sei es unter dem Aspekt von <ref-law>, sei es unter demjenigen von <ref-law> - führt, ist nicht ohne weiteres anzunehmen, kann hier aber offen bleiben.
4.4 Selbst wenn von einem Eingriff in Art. 23 oder 28 BV auszugehen wäre, erwiesen sich die Voraussetzungen von <ref-law> als erfüllt. Die entsprechende gesetzliche Grundlage in <ref-law> ist entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin genügend bestimmt und, wie dargelegt wurde, zulässiger Auslegung zugänglich. Die Beitragspflicht steht zudem im öffentlichen Interesse und ist, gerade im Hinblick darauf, dass eine Zwangsmitgliedschaft vermieden wird, nicht zuletzt als mildere Massnahme auch verhältnismässig. Ohnehin nicht berührt ist der Kerngehalt der Vereinigungs- und Koalitionsfreiheit. Abgesehen davon würde für <ref-law> das Anwendungsgebot von <ref-law> gelten.
5. Der angefochtene Entscheid verletzt Bundesrecht somit nicht. Die Beschwerde ist demzufolge abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Überdies hat sie die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Zivilkammer, und dem Eidgenössischen Volkswirtschaftsdepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Uebersax