Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1977) stammt aus Nigeria. Er reiste am 14. August 2003 in die Schweiz ein und ersuchte erfolglos um Asyl. Mit der negativen Asylverfügung wurde er angehalten, die Schweiz bis zum 9. Mai 2005 zu verlassen. Dieser Aufforderung kam er nicht nach. Er heiratete am 23. Juni 2006 die aus Zimbabwe stammende B.A._, die in der Schweiz niedergelassen ist. B.A._ hat aus erster Ehe zwei Töchter (geb. 1994 und 2000). Am 10. Januar 2007 kam die gemeinsame Tochter des Ehepaares, C.A._, zur Welt. Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern, Migrationsdienst, erteilte A.A._ (zu einem von der Vorinstanz nicht festgestellten Zeitpunkt) eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau.
A.A._ war seit seiner Einreise verschiedentlich strafrechtlich in Erscheinung getreten. Er wurde im Jahr 2011 wegen Betäubungsmitteldelikten und Geldwäscherei zu einer Freiheitsstrafe von drei Jahren verurteilt, wovon 18 Monate unbedingt, bei einer Probezeit von drei Jahren.
B.
Mit Verfügung vom 30. April 2012 verweigerte der Migrationsdienst die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A.A._ und wies ihn aus der Schweiz weg. Das hiergegen erhobene Rechtsmittel lehnte die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern ab. Eine hiergegen geführte Beschwerde an das Verwaltungsgericht blieb erfolglos (Urteil vom 25. Juli 2014).
C.
Mit Eingabe vom 29. August 2014 beantragen A.A._, B.A._ sowie die durch sie vertretene Tochter C.A._ dem Bundesgericht, das Urteil vom 25. Juli 2014 aufzuheben. Dem Beschwerdeführer sei die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung hat der Beschwerde am 3. September 2014 antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Der Migrationsdienst des Kantons Bern verzichtet auf Vernehmlassung. Die Polizei- und Militärdirektion sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Bern beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Für das Eintreten genügt, wenn die betroffene Person in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein solcher Anspruch besteht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 136 II 497 E. 3.3 S. 500 f.). Der Beschwerdeführer macht in vertretbarer Weise einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung nach Art. 8 EMRK (Beziehung zu den Beschwerdeführerinnen) geltend. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten. Ob die Voraussetzungen von Art. 8 EMRK gegeben sind, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 2.5 S. 315; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f.; Urteil 2C_111/2014 vom 25. September 2014 E. 1.2). Der Beschwerdeführer beruft sich auch auf Art. 3 EMRK und bringt vor, aufgrund seiner gesundheitlichen Situation habe er einen Anspruch, in der Schweiz verbleiben zu können. Hierüber ist im gleichen Sachentscheid zu befinden (vgl. Urteile 2C_721/2014 vom 15. Januar 2015 E. 1.2; 2C_75/2011 vom 6. April 2011 E. 1).
1.2. Die Beschwerde ist durch die als Adressaten des vorinstanzlichen Entscheids unmittelbar betroffenen Beschwerdeführer (Art. 89 Abs. 1 BGG) form- und fristgerecht (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 100 Abs. 1 BGG) erhoben worden. Das als Verwaltungsgerichtsbeschwerde bezeichnete Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen. Die falsche Bezeichnung schadet nicht (<ref-ruling> E. 3.1 S. 499; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382: Urteil 2C_897/2012 vom 14. Februar 2013 E. 1.1).
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es legt seinem Urteil die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), soweit diese nicht offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Zudem ist von der beschwerdeführenden Partei aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Eine ausländische Person, die in einer ehelichen Gemeinschaft lebt, hat gestützt auf Art. 43 Abs. 1 AuG Anspruch auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung. Dieser Anspruch steht allerdings unter dem Vorbehalt, dass keine Widerrufsgründe nach Art. 62 AuG vorliegen (Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG). Einen derartigen Widerrufsgrund setzt eine ausländische Person unter anderem dann, wenn sie "zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe verurteilt wurde" (Art. 62 lit. b AuG). Als längerfristig im Sinne von Art. 62 lit. b AuG gilt eine Freiheitsstrafe, wenn ihre Dauer ein Jahr überschreitet (<ref-ruling> E. 4.2 und E. 4.5 S. 379 ff.).
2.2. Liegt ein Widerrufsgrund vor, so ist zu prüfen, ob diese Massnahme bzw. die Nichtverlängerung der Bewilligung auch als verhältnismässig erscheint, wobei namentlich die Schwere des Verschuldens, die Dauer der Anwesenheit in der Schweiz, der Integrationsgrad sowie die dem Betroffenen und seiner Familie im Falle einer Rückkehr drohenden Nachteile zu berücksichtigen sind. Die Notwendigkeit einer Verhältnismässigkeitsprüfung ergibt sich auch aus Art. 8 Ziff. 2 EMRK: Bei der Interessenabwägung im Rahmen dieser Bestimmung sind namentlich die Schwere eines allenfalls begangenen Delikts, der seit der Tat vergangene Zeitraum, das Verhalten des Ausländers während dieser Periode, die Auswirkungen auf die primär betroffene Person sowie deren familiäre Situation zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 33 f.; <ref-ruling> E. 4.3 S. 381 mit Hinweisen; Urteil des EGMR Boultif gegen Schweiz vom 2. August 2001 [Nr. 54273/00] § 46 ff.). Dabei fliesst in die Interessenabwägung mit ein, dass - im Rahmen des Völkervertragsrechts und der praktischen Konkordanz (vgl. <ref-ruling> ff.) - bestimmte Delikte, namentlich Drogenhandel, nach dem Willen des Verfassungsgebers zum Verlust des Aufenthaltsrechts führen sollen (Art. 121 BV; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 34; Urteil 2C_480/2013 vom 24. Oktober 2013 E. 4.3.2; 2C_817/2012 vom 19. Februar 2013 E. 2.2.2). Bei schweren Straftaten und bei Rückfall bzw. wiederholter Delinquenz besteht regelmässig ein wesentliches öffentliches Interesse daran, die Anwesenheit eines Ausländers zu beenden, der die Sicherheit und Ordnung derart beeinträchtigt (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 und 2.5 S. 149 ff.; Urteil 2C_903/2010 vom 6. Juni 2011 E. 3.1, nicht publ. in <ref-ruling> ff.; <ref-ruling> E. 4.4.2 S. 190).
3.
Durch die Verurteilung zu einer dreijährigen Freiheitsstrafe liegt ein Widerrufsgrund im Sinne von Art. 62 lit. b AuG vor. Der Beschwerdeführer bestreitet dies nicht, bringt jedoch vor, eine Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung sei unverhältnismässig. Er macht geltend, ihm stünde ein Anspruch auf weiteren Verbleib in der Schweiz nach Art. 8 EMRK (Schutz des Familienlebens) und wegen seines Gesundheitszustands auch gestützt auf Art. 3 EMRK (Verbot erniedrigender Behandlung) zu.
3.1. Ausgangspunkt und Massstab der fremdenpolizeilichen Güterabwägung ist in erster Linie die Schwere des Verschuldens, das sich in der Dauer der Freiheitsstrafe niederschlägt (Urteil 2C_295/2009 vom 25. September 2009 E. 5.3, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 316). Die Vorinstanz ist aufgrund des Strafmasses von drei Jahren Freiheitsstrafe in zulässiger Weise von einem sehr erheblichen Verschulden des Beschwerdeführers ausgegangen. Die Verurteilung vom 21. September 2011 betrifft den im Ausländerrecht generell schwer zu gewichtenden Betäubungsmittelbereich (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 34; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 20; <ref-ruling> E. 6 und 7 S. 220 ff.; <ref-ruling> E. 4a S. 527 mit Hinweisen; vgl. die EGMR-Urteile Dalia gegen Frankreich vom 19. Februar 1998, Recueil Cour CEDH 1998-I S. 92 § 54 und Koffi gegen Schweiz vom 15. November 2012 [Nr. 38005/07] § 65; vgl. auch Art. 121 Abs. 3 BV). Der Beschwerdeführer hatte während rund fünf Jahren bis zu seiner Verhaftung eine grössere Menge an Drogen abgesetzt (mindestens zwei Kilogramm Kokaingemisch). Die Geldwäscherei als Folgedelikt erstreckt sich auf einen Zeitraum von Februar 2007 bis September 2010. Daneben sind dem Beschwerdeführer verschiedene Verstösse gegen die Ausländer- und Transportgesetzgebung vorzuhalten, die die Vorinstanz als - untergeordnete - Verstösse gegen die öffentliche Ordnung mit gewertet hat.
3.2. Der Beschwerdeführer, der zum Zeitpunkt der deliktischen Handlungen einer regelmässigen Erwerbstätigkeit als Koch nachging, hat durch den Handel mit Kokain eine unbestimmte Anzahl von Personen abstrakt gefährdet (Urteile 2C_318/2014 vom 27. November 2014 E. 3.2.1; 2C_1033/2013 vom 4. Juli 2014 E. 4.2; 2C_963/2012 vom 1. April 2013 E. 5.1.2). Die Vorinstanz durfte von einem sehr gewichtigen öffentlichen Interesse an der Beendigung des Aufenthalts des Beschwerdeführers ausgehen, zumal bei den von ihm verübten Straftaten kein Zusammenhang mit einer eigenen Betäubungsmittelabhängigkeit bestand, diese vielmehr aus pekuniären Interessen erfolgten (<ref-ruling> E. 5.3 S. 126 betr. Art. 67 Abs. 3 AuG; Urteil 2C_815/2013 vom 26. Mai 2014 E. 3.1). Zwar ist anzuerkennen, dass er seit seiner Verurteilung im September 2011 - von einer Busse wegen Tätlichkeiten im Strafvollzug abgesehen - nicht mehr straffällig geworden ist. Er befand sich allerdings seither im Strafvollzug und danach in der Probezeit, ebenso ist - seit April 2012 - das ausländerrechtliche Bewilligungsverfahren hängig. Vor diesem Hintergrund vermag der Umstand allein, dass er sich seit der jüngsten und bisher schwersten strafrechtlichen Verurteilung wohl verhalten hat, das öffentliche Interesse an der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht entscheidend zu relativieren. Ohnehin durfte das Verwaltungsgericht im Rahmen der Interessenabwägung auch generalpräventive Gesichtspunkte miteinbeziehen (<ref-ruling> E. 4.2 - E. 4.4 S. 185 ff.; Urteile 2C_963/2012 vom 1. April 2013 E. 5.4.1; 2C_817/2012 vom 19. Februar 2013 E. 2.1.2; 2C_1026/2011 vom 23. Juli 2012 E. 3 mit Hinweis).
3.3. Der Beschwerdeführer bringt vor, sein Familienleben würde durch den vorinstanzlichen Entscheid in unzulässiger Weise beeinträchtigt, namentlich die Beziehung zu seiner Ehefrau und auch zu seiner Tochter. Darüber hinaus pflege er eine intensive Beziehung zu seinen Stieftöchtern. Unter dem Schutz von Art. 8 EMRK steht primär die Kernfamilie (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146 mit Hinweis; Urteile 2C_1119/2012 vom 4. Juli 2013 E. 6.1; 2C_288/2013 vom 27. Juni 2013 E. 2.5.1). Durch diese Bestimmung wird indessen nicht primär ein rechtlich begründetes, sondern ein intaktes und tatsächlich gelebtes Familienleben geschützt; auch Stiefkinder können darunter fallen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 287; <ref-ruling> E. 3.1 S. 148; <ref-ruling> E. 1e S. 5). Die Stiefkinder des Beschwerdeführers leben bei ihrer Grossmutter mütterlicherseits; eine Stieftochter ist bereits volljährig. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern zu ihnen eine durch Art. 8 EMRK geschützte Familienbeziehung besteht; aus den diesbezüglich allgemeinen Vorbringen zu verwandtschaftlichen Beziehungen und Wochenendbesuchen kann er keine Aufenthaltsrechte für sich ableiten (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 287; <ref-ruling> E. 3.1 S. 148; <ref-ruling> E. 1e S. 5). Demgegenüber sind die familiären Beziehungen des Beschwerdeführers zu seiner Gattin und seiner Tochter, mit denen er im gleichen Haushalt lebt, intakt und als erhebliches privates Interesse am Verbleib in der Schweiz zu gewichten (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 336; <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146 mit Hinweis; Urteile 2C_1119/2012 vom 4. Juli 2013 E. 6.1; 2C_288/2013 vom 27. Juni 2013 E. 2.5.1). Die Ehefrau des Beschwerdeführers ist nach den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen Trägerin des HI-Virus und in medikamentöser Behandlung. Ihr Zustand ist nach den unbestrittenen Feststellungen des Verwaltungsgerichts stabil, auch geht sie einer geregelten Berufstätigkeit nach. Zweifelsohne ist es für sie wünschbar, dass ihr Gatte mit ihr in der Schweiz verbleibt. Dies dürfte im gleichen Masse für die sich im Schulalter befindliche gemeinsame Tochter zutreffen. Wie die Vorinstanz jedoch korrekt darlegt, waren dem Beschwerdeführer die familiären Beziehungen und die von ihm angeführte Verantwortung über Jahre hinweg nicht Anlass genug, um von einer schweren Delinquenz im Betäubungsmittelbereich abzusehen (vgl. Urteile 2C_395/2014 vom 11. Dezember 2014 E. 4.1; 2C_817/2011 vom 13. März 2012 E. 3.2.3; 2C_567/2011 vom 2. Dezember 2011 E. 3.2.3). Soweit der Beschwerdeführer mit Bezug auf den Schutz des Familienlebens das Urteil des EGMR Udeh gegen die Schweiz vom 16. April 2013 [Nr. 12020/09]) heranzieht und sich dabei auf Parallelen beruft, verkennt er - wie dies die Vorinstanz bereits dargelegt hat - die Tragweite des Urteils hinsichtlich seiner prozessrechtlichen Konstellation. Der EGMR hat dort keinen Grundsatzentscheid gefällt, sondern die Umstände des konkreten Einzelfalls berücksichtigt, die teilweise erst nach der Beurteilung durch das Bundesgericht eintraten und in verschiedener Hinsicht nicht mit der vorliegenden Angelegenheit vergleichbar sind (vgl. hierzu <ref-ruling> E. 2.4 S. 327 ff.; Urteile 2C_912/2014 vom 22. Januar 2015 E. 2.3; 2C_366/2014 vom 6. Juni 2014 E. 2.3.2).
3.4. Der Beschwerdeführer bringt sodann vor, aufgrund seiner gesundheitlichen Situation einen Anspruch auf eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu haben; die Wegweisung in sein Heimatland sei ihm aufgrund der bei ihm diagnostizierten Krankheiten (Krebserkrankung, Diabetes) nicht zuzumuten.
3.4.1. Krankheit oder der Umstand, dass das Gesundheits- oder Sozialversicherungswesen in einem anderen Staat allenfalls nicht mit demjenigen in der Schweiz vergleichbar ist und die hiesige medizinische Versorgung einem höheren Standard entspricht, können für sich kein Aufenthaltsrecht im Sinne von Art. 8 EMRK vermitteln (<ref-ruling> E. 5.2 S. 403; <ref-ruling> E. 5.3 S. 209 f., Urteile 2C_573/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 4.2.2; 2C_113/2009 vom 30. Juni 2009 E. 3.2). Medizinische Gründe können indessen eine Wegweisung als unmenschliche Behandlung im Sinne von Art. 3 EMRK erscheinen lassen, doch bestehen insofern relativ hohe Schwellen, als es nach der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte hierbei nicht unmittelbar um Handlungen oder Unterlassungen staatlicher oder privater Akteure geht, sondern ein natürlicher Prozess (Krankheit) zu den verschlechterten Lebensbedingungen führt (Urteile 2C_721/2014 vom 15. Januar 2015 E. 3.2.2; 2C_573/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 4.3.1). Die Zumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs wird nach der Rechtsprechung zu Art. 3 EMRK erst dann verneint, wenn die ungenügende Möglichkeit der Behandlung eine drastische und lebensbedrohende Verschlechterung des Gesundheitszustands nach sich zieht (EGMR-Urteile D. c. Vereinigtes Königreich vom 2. Mai 1997 [Nr. 30240/96; Endstadium Aids]; N. c. Vereinigtes Königreich vom 27. Mai 2008 [Grosse Kammer; Nr. 26565/05]; THOMAS HUGI YAR, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten - Ausländerrechtliches rund um die Ehe- und Familiengemeinschaft, in: Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht 2012/2013, 2013, S. 31 ff., dort S. 91). Gemäss ständiger restriktiver Rechtsprechung des EGMR stellt es - soweit keine ausserordentlichen Umstände vorliegen (vgl. etwa das EGMR-Urteil D. c. Vereinigtes Königreich, a.a.O., betreffend einen schwerkranken Beschwerdeführer in einem AIDS-Hospiz) -, keinen Eingriff in die durch Artikel 3 EMRK garantierten Rechte dar, wenn mit der Ausweisung merklich schwierigere Lebensumstände und eine reduzierte Lebenserwartung verbunden sind oder im Herkunftsland eine prozentual niedrige Anzahl Personen Zugang zu einer entsprechenden medizinischen Behandlung hat ( N. c. Vereinigtes Königreich, a.a.O., § 50; Urteil 2C_654/2013 vom 12. Februar 2014 E. 6.1; Fanny de Weck, Das Rückschiebungsverbot aus medizinischen Gründen nach Art. 3 EMRK, in: Jusletter 18. März 2013 Rz. 13 ff., 26 ff.).
3.4.2. Der Beschwerdeführer befand sich im Herbst 2013 in einer akuten lebensbedrohlichen Situation, nachdem es im Zusammenhang mit der Behandlung seiner Haarwurzel-Leukämie (Chemotherapie) zu Komplikationen gekommen war. Nach den unbestrittenen und damit für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG; hiervor E. 1.3) hat sich sein Zustand indessen seit der Entlassung aus der Klinik im November 2013 erheblich verbessert, sodass die Vorinstanz von einer erfolgreichen Behandlung ausgehen konnte. Nach den eigenen Ausführungen des Beschwerdeführers besteht zwar nach wie vor eine Immunschwäche und eine hohe Gefahr, dass sich sein Gesundheitszustand dereinst wieder verschlechtern könnte, indessen konnte die Krebserkrankung einstweilen gestoppt werden. Auch die Vorinstanz nimmt eine erhebliche Rückfallgefahr an und geht gestützt auf vom Beschwerdeführer eingereichte Berichte davon aus, dass "die Behandlung einer Krebserkrankung in Nigeria problematisch sein kann" (angefochtenes Urteil S. 14). Gleichzeitig verweist sie auf erfolglose Bemühungen des Instruktionsrichters, weitere Belege für die behauptete Unmöglichkeit der Nachbehandlung in Nigeria einzufordern (S. 14 des vorinstanzlichen Entscheids; act. 8 der vorinstanzlichen Akten). Obwohl entsprechende Berichte nicht ausschliesslich von den Parteien vorgelegt werden können, fehlen demnach Anhaltspunkte, wonach der Beschwerdeführer infolge seiner Krebserkrankung gegenwärtig auf eine spezielle ärztliche Weiterbehandlung angewiesen sei, sodass die vorinstanzlichen Abklärungen betreffend Verfügbarkeit von Medikamenten und Behandlungen im Heimatland des Beschwerdeführers gerade noch als hinreichend zu werten sind. Auch die Diabetes-Erkrankung vermag, wie das Verwaltungsgericht gestützt auf Länderinformationen in zulässiger Weise feststellt, keine Unzumutbarkeit der Rückkehr zu begründen. Die Vorinstanz durfte daher eine konkrete Gefährdung aufgrund einer aktuellen medizinischen Notlage verneinen, ohne Art. 3 EMRK zu verletzen. Es ist indessen darauf hinzuweisen, dass die sich aus Art. 3 EMRK ergebenden Verpflichtungen auch zum Zeitpunkt des Wegweisungsvollzugs entsprechend dem dannzumaligen Gesundheitszustand des Beschwerdeführers eingehalten sein müssen bzw. die Wegweisung erforderlichenfalls mit adäquater medizinischer Rückkehrhilfe zu erfolgen hat (vgl. Urteil 2C_573/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 4.3.2).
3.5. Zusammenfassend besteht angesichts der bisherigen Delinquenz des Beschwerdeführers, wie bereits eingehend dargelegt, ein sehr grosses Interesse, diesen von der Schweiz fernzuhalten (vgl. auch hiervor E. 2.2). Mit der schweren Delinquenz im Betäubungsmittelbereich über lange Jahre hinweg trotz stabiler familiärer und beruflicher Verhältnisse aus rein pekuniären Interessen hat er eine Vielzahl von Personen abstrakt gefährdet. Die strafbaren Handlungen konnten erst durch seine Verhaftung beendet werden und führten zu einer entsprechend langen Freiheitsstrafe von drei Jahren (vgl. hiervor E. 3.1 und 3.2). Demgegenüber haben seine durchaus erheblichen familiären Interessen zurückzustehen (E. 3.3) und auch sein Anliegen, in der Schweiz in den Genuss einer gesicherten und vergleichsweise qualitativ hochstehenden Gesundheitsversorgung zu gelangen (vgl. Urteile 2C_815/2013 vom 26. Mai 2014 E. 5.1; 2C_833/2011 vom 6. Juni 2012 E. 3.3.2). Nach den unbestrittenen und damit für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (vgl. Art. 105 BGG; hiervor E. 1.3), ist der Beschwerdeführer seit der Entlassung aus der Klinik im Herbst 2013 nicht mehr einer akut bedrohlichen Situation ausgesetzt; sein Gesundheitszustand hat sich verbessert. Auch wenn eine Gefahr einer erneuten Verschlechterung seines Gesundheitsszustandes besteht, kann die Wegweisung für den hier massgeblichen Zeitpunkt in Übereinstimmung mit der restriktiven Praxis zu Art. 3 EMRK nicht als unzumutbar bezeichnet werden (vgl. hiervor E. 3.4). Aufgrund der schweren Delinquenz im Betäubungsmittelbereich überwiegen demnach die sicherheitspolizeilichen Interessen an der Beendigung des Aufenthalts die privaten Interessen des Beschwerdeführers an einem weiteren Verbleib in der Schweiz. Dabei mag auch ins Gewicht fallen, dass dieser bis zu seinem 27. Lebensjahr in Nigeria gelebt hat und in seinem Heimatland nach wie vor über Angehörige (seine Mutter und drei Brüder) verfügt, auf deren Unterstützung er bei der Bewältigung einer neuen Lebenssituation wird zurückgreifen können.
4.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist demnach unbegründet und abzuweisen. Weder eine Verletzung von nationalem noch von internationalem Recht ist dargetan. Damit sind den Beschwerdeführern die Gerichtskosten nach Massgabe von Art. 65 sowie Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG aufzuerlegen. Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern 1 und 2 unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Februar 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni