Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft für Wirtschaftsstraffälle und Organisierte Kriminalität des Kantons Thurgau führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen des Verdachts der Veruntreuung und Geldwäscherei. Im gleichen Zusammenhang hat die Staatsanwaltschaft eine Strafuntersuchung gegen Rechtsanwalt Dr. Y._ (nachfolgend: Beschuldigter) eröffnet. Ihm werden Urkundenfälschung, Geldwäscherei sowie Gehilfenschaft zu Veruntreuung zur Last gelegt.
B. Am 30. August 2010 verfügte das (damals noch zuständige) Kantonale Untersuchungsrichteramt bei der Bank A._ (nachfolgend: Bank) die Edition von Bankinformationen bzw. Kontenunterlagen betreffend den Beschuldigten. Mit Schreiben vom 6. September 2010 teilte die Bank dem (damals für das Entsiegelungsverfahren zuständigen) Präsidenten der kantonalen Anklagekammer mit, dass sie dem Untersuchungsrichteramt die fraglichen Unterlagen zwar ediert, aber gleichzeitig deren Siegelung verlangt habe. Am 8. Oktober 2010 stellte das Untersuchungsrichteramt das Entsiegelungsgesuch.
C. Mit prozessleitender Verfügung vom 29. März 2011 entschied das (unterdessen zuständig gewordene) Zwangsmassnahmengericht des Kantons Thurgau, dass die edierten Bankunterlagen im Gewahrsam der (unterdessen die Untersuchung leitenden) Staatsanwaltschaft verblieben und dass das Entsiegelungsverfahren durchzuführen sei. Mit Schreiben vom 17. Mai 2011 an die Staatsanwaltschaft verlangte die Bank die Rückgabe der versiegelten Unterlagen. Am 27. Mai 2011 teilte das Zwangsmassnahmengericht der Bank mit, dass das Entsiegelungsgesuch fristgerecht gestellt worden sei und dass ihr Gelegenheit eingeräumt werde, am hängigen Entsiegelungsverfahren mitzuwirken.
D. Mit prozessleitender Verfügung vom 5. April 2012 stellte das Zwangsmassnahmengericht der Bank und ihrer Rechtsnachfolgerin, der Bank B._, das Entsiegelungsgesuch zu und räumte ihnen Gelegenheit zur Stellungnahme ein. Auf deren Beschwerde gegen die prozessleitende Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 5. April 2012 trat das Bundesgericht mit Entscheid vom 11. Juli 2012 nicht ein (Verfahren 1B_279/2012).
E. Mit Verfügung vom 27. August 2012 hiess das Zwangsmassnahmengericht das Entsiegelungsgesuch vom 8. Oktober 2010 gut.
F. Gegen die Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 27. August 2012 gelangten die Bank und ihre Rechtsnachfolgerin mit Beschwerde vom 18. September 2012 an das Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entsiegelungsentscheides und die Abweisung des Entsiegelungsbegehrens.
Das Zwangsmassnahmengericht und die Staatsanwaltschaft beantragen je die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerinnen replizierten (innert erstreckter Frist) am 12. November 2012.

Erwägungen:
1. Nach eigener Darstellung der Beschwerdeführerinnen hat die Beschwerdeführerin 2 die Rechtsnachfolge der Beschwerdeführerin 1 angetreten. Damit ist Letztere zur Beschwerdeführung nicht mehr legitimiert. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> geben zu keinen Vorbemerkungen Anlass.
2. Bei Entsiegelungsersuchen ist darüber zu entscheiden, ob die Geheimnisschutzinteressen, welche von der Inhaberin oder dem Inhaber der versiegelten Aufzeichnungen und Gegenstände angerufen werden, einer Durchsuchung und weiteren strafprozessualen Verwendung durch die Staatsanwaltschaft entgegen stehen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 194 f.; <ref-ruling> E. 4.1-4.6 S. 65 ff.). Strafprozessuale Zwangsmassnahmen setzen auch voraus, dass ein hinreichender Tatverdacht vorliegt (<ref-law>) und der damit verbundene Eingriff verhältnismässig erscheint (Art. 197 Abs. 1 lit. c-d und Abs. 2 StPO).
3. Die Beschwerdeführerin 2 macht zunächst geltend, der Entsiegelungsentscheid sei faktisch bereits am 29. März 2011 gefällt worden, ohne dass sie (bzw. ihre Rechtsvorgängerin) zuvor angehört worden wäre. Damit sei ihr Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt worden.
Wie sich aus den Akten ergibt, entschied die Vorinstanz mit prozessleitender Verfügung vom 29. März 2011, dass die edierten Bankunterlagen im Gewahrsam der (unterdessen die Untersuchung leitenden) Staatsanwaltschaft verblieben und dass das Entsiegelungsverfahren vor dem Zwangsmassnahmengericht durchzuführen sei. Damit bezweckte die Vorinstanz offenbar eine Klärung der prozessualen Situation nach Inkrafttreten der neuen StPO per 1. Januar 2011. Über das hängige Entsiegelungsgesuch wurde damit noch nicht entschieden. Am 17. Mai 2011 verlangte die Beschwerdeführerin 1 die Rückgabe der versiegelten Unterlagen. Am 27. Mai 2011 teilte ihr die Vorinstanz mit, dass das Entsiegelungsgesuch fristgerecht gestellt worden sei und dass ihr, der Bank, Gelegenheit eingeräumt werde, am hängigen Entsiegelungsverfahren mitzuwirken. Mit prozessleitender Verfügung vom 5. April 2012 stellte die Vorinstanz den Beschwerdeführerinnen das Entsiegelungsgesuch zu und räumte ihnen Gelegenheit zur Stellungnahme ein. Die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs erweist sich damit als unbegründet.
Auch eine Missachtung der richterlichen Begründungspflicht ist in diesem Zusammenhang nicht ersichtlich. Die Vorinstanz weist im angefochtenen Entscheid (S. 5 E. 1) unter anderem ausdrücklich darauf hin, dass die Beschwerdeführerin 1 bei Erlass der prozessleitenden Verfügung vom 29. März 2011 zwar "versehentlich" noch "nicht ins Verfahren einbezogen" worden war, den Beschwerdeführerinnen daraus jedoch kein Rechtsnachteil widerfuhr. Ebenso wenig besteht eine verfassungswidrige Vorbefassung des Entsiegelungsrichters, der die prozessleitende Verfügung erliess.
4. Die Beschwerdeführerin 2 (nachfolgend: Beschwerdeführerin) rügt sodann, die Vorinstanz habe keine Entsiegelungsverhandlung "in Anwesenheit der Parteien" durchgeführt und sei ihren Prüfungspflichten nicht nachgekommen. Soweit mit diesen Vorbringen überhaupt eine Rüge der Verletzung von Bundesrecht ausreichend substanziiert wird (vgl. <ref-law>), erweist sie sich als unbegründet. Weder aus der von der Beschwerdeführerin zitierten Bundesgerichtspraxis noch aus dem Grundsatz von Treu und Glauben lässt sich ableiten, dass der Entsiegelungsrichter in jedem Fall eine mündliche Verhandlung durchführen bzw. von Amtes wegen prüfen müsste, ob allfällige (von den Betroffenen nicht näher konkretisierte) Geheimnisschutzrechte von Parteien oder Dritten einer Durchsuchung entgegen stehen könnten. Das Zwangsmassnahmengericht hat der Beschwerdeführerin die Möglichkeit eingeräumt, als Partei im Entsiegelungsverfahren eine Stellungnahme einzureichen und allfällige eigene Geheimnisschutzinteressen im schriftlichen Verfahren konkret darzulegen. Dieses Vorgehen hält vor dem Bundesrecht (insbesondere dem verfassungsrechtlichen Gehörsanspruch) stand.
Entgegen ihrer Ansicht hätte die Beschwerdeführerin im Entsiegelungsverfahren auch Gelegenheit gehabt, sich zur Untersuchungsrelevanz und zum Geheimnischarakter der von ihr edierten (und auf ihren Wunsch hin versiegelten) Bankunterlagen konkret zu äussern. Falls sie dies nicht tat (oder keine geeigneten Verfahrensanträge rechtzeitig stellte), ist dies nicht der Vorinstanz anzulasten. Zu allfälligen Berufsgeheimnissen von Dritten hatte sich die Beschwerdeführerin zwar nicht vernehmen zu lassen, zumal dem mitbetroffenen Anwalt Gelegenheit gegeben wurde, selbst Stellung zu nehmen. Aber auch diesbezüglich war es der Beschwerdeführerin unbenommen, sich im Entsiegelungsverfahren zu äussern.
5. Die Beschwerdeführerin stellt sich auf den Standpunkt, es liege kein gültiges Entsiegelungsgesuch vor. Die Staatsanwaltschaft hätte (nach Inkrafttreten von <ref-law>) innert 20 Tagen, d.h. bis spätestens 20. Januar 2011, ein Entsiegelungsgesuch einreichen müssen. Das am 8. Oktober 2010 noch altrechtlich erhobene Entsiegelungsbegehren sei nicht "gegen" die Beschwerdeführerin 1 gestellt worden, sondern "gegen" den Beschuldigten. In ihren Entsiegelungsersuchen habe die Strafverfolgungsbehörde "ihre(n) Gesuchsgegner klar mit Namen und Adresse zu bezeichnen". Die Parteien und ihre Geheimhaltungsinteressen seien nach Einreichung des Entsiegelungsbegehrens "fixiert".
Diese Argumentation findet weder im Gesetz noch in der einschlägigen Bundesgerichtspraxis eine Stütze. Sie würde zu stossenden und inpraktikablen Konsequenzen führen. Gerade der vorliegende Fall zeigt, dass nicht die Untersuchungsbehörde im Entsiegelungsbegehren abschliessend und verbindlich festzulegen hat, welche direkt oder indirekt Betroffenen im Entsiegelungsverfahren als Parteien oder andere Verfahrensbeteiligte (im Sinne von <ref-law>) beizuziehen sind. Vielmehr kann es - nach Massgabe des jeweiligen Einzelfalles - sachlich geboten erscheinen, dass das Zwangsmassnahmengericht weitere Beteiligte im Entsiegelungsverfahren beizieht bzw. zur Stellungnahme einlädt. Zu denken ist (neben Sachverständigen oder Behördenvertretern) namentlich an Mitbetroffene, welche von mandatierten Direktbetroffenen (insbesondere Banken oder Anwälten) nachträglich über erfolgte Editionsverfügungen oder vorläufige Sicherstellungen informiert wurden. Auch die von der Beschwerdeführerin angesprochene Disparität der unterschiedlichen Geheimnisschutzinteressen verlangt ein differenziertes Vorgehen. Ihr Argument, das Entsiegelungsgesuch sei nicht innert der Frist von <ref-law> gestellt worden, wurde bereits im angefochtenen Entscheid sinngemäss widerlegt. Die Beschwerdeführerin setzt sich damit nicht näher auseinander. Das Entsiegelungsbegehren wurde nach altem Recht gültig gestellt und behielt nach Inkrafttreten der StPO seine Gültigkeit (<ref-law>). Die Fristbestimmung von <ref-law> gilt nur für neurechtliche (ab 1. Januar 2011 eingereichte) Entsiegelungsbegehren (<ref-law>). Die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin haben in diesem Zusammenhang keine über das bereits Dargelegte hinausgehende selbstständige Tragweite.
6. Die Beschwerdeführerin kritisiert eine am 1. September 2010 bei ihrer Rechtsvorgängerin durchgeführte Hausdurchsuchung bzw. "Beschlagnahmung" als unverhältnismässig. Auf die betreffenden Vorbringen ist nicht einzutreten. Die altrechtlich durchgeführte Hausdurchsuchung bildet nicht Gegenstand des angefochtenen Entsiegelungsentscheides. Sie ist in Rechtskraft erwachsen und wäre gegebenenfalls bei der zuständigen kantonalen Beschwerdeinstanz rechtzeitig anzufechten gewesen (vgl. neurechtlich auch Art. 393 Abs. 1 lit. a i.V.m. <ref-law>). Was den Vorwurf der Unverhältnismässigkeit betrifft, ist im Übrigen darauf hinzuweisen, dass der untersuchte Tatverdacht sich (unbestrittenermassen) darauf bezieht, dass der Beschuldigte zum Zwecke der Geldwäscherei unter anderem hohe Bargeldsummen auf Konten bei der Beschwerdeführerin 1 einbezahlt habe. Entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführerin hat weder die Staatsanwaltschaft, noch die Vorinstanz bisher über eine "Beschlagnahmung" von edierten und versiegelten Unterlagen entschieden.
7. Die Beschwerdeführerin macht (in materieller Hinsicht) geltend, das Anwaltsgeheimnis stehe einer Entsiegelung der edierten Bankakten entgegen. In diesem Zusammenhang seien (neben ihren eigenen Privat- und Geschäftsgeheimnissen) auch die Geheimhaltungsinteressen zahlreicher Drittklienten des betroffenen Bankkunden und Anwaltes betroffen. Als Bank sei sie "Hilfsperson" des beschuldigten Anwalts, weshalb sie "nicht nur das Bankkundengeheimnis, sondern auch das Anwaltsgeheimnis zu wahren" habe.
Das Bankkundengeheimnis (<ref-law>, SR 952.0) steht gesetzeskonformen Untersuchungsmassnahmen zur Aufklärung von Straftaten nicht entgegen. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, das Berufsgeheimnis (Anwaltsgeheimnis) des Konteninhabers oder andere Privatgeheimnisse ihres Kunden (bzw. von dessen eigenen Klienten) bildeten ein Entsiegelungshindernis, kann darauf nicht eingetreten werden. Die Beschwerdeführerin ist grundsätzlich nicht legitimiert, allfällige Geheimnisschutzinteressen von Dritten, insbesondere Bankkunden und deren Klienten, in ihrem eigenen Namen wahrzunehmen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>; vgl. Andreas J. Keller, in: Zürcher Kommentar StPO, Zürich 2010, Art. 248 N. 22). Dies umso weniger, als der betroffene Kontoinhaber (als Verfahrensbeteiligter im vorinstanzlichen Entsiegelungsverfahren) den angefochtenen Entscheid persönlich angefochten hat (vgl. konnexes Verfahren 1B_567/ 2012). Darüber hinaus kann das Berufsgeheimnis eines Anwalts, der im untersuchten Sachzusammenhang selber beschuldigt ist, einer Entsiegelung bzw. Beschlagnahmung auch materiell nicht entgegen gehalten werden (vgl. Art. 264 Abs. 1 lit. c i.V.m. Abs. 3 StPO; zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil 1B_397/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 6). Das gilt auch gegenüber Substituten des Anwaltes und gegenüber dessen "Hilfspersonen" (zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil 1B_397/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 6.3). Es kann offen bleiben, inwiefern die fraglichen Bankgeschäfte ohnehin in den (nicht berufsgeheimnisgeschützten) Bereich der sogenannten anwaltlichen Geschäftstätigkeit fielen.
8. Schliesslich bestreitet die Beschwerdeführerin den Deliktszusammenhang bzw. die Untersuchungsrelevanz eines Grossteils der von ihr edierten und versiegelten Bankunterlagen. Gemäss Editionsverfügung seien nur vier Geschäftsvorgänge für die Untersuchung erheblich. Die Vorinstanz habe ihre Aufgabe in bundesrechtswidriger Weise an die Staatsanwaltschaft "delegiert", indem sie erwogen habe, es könne nicht von ihr verlangt werden, hunderte von Banktransaktionen auf ihre Untersuchungsrelevanz hin zu überprüfen. Damit verstosse der angefochtene Entscheid unter anderem gegen <ref-law> und den (in der thurgauischen Kantonsverfassung verankerten) Grundsatz der Gewaltenteilung. Zudem sei unerfindlich, weshalb die Staatsanwaltschaft Informationen zu sämtlichen Kontenbewegungen zwischen 1. Januar 2006 und 2. September 2010 erheben wolle. Es handle sich um eine unzulässige "fishing expedition".
8.1 Nach der Praxis des Bundesgerichtes hat der Entsiegelungsrichter (auch bei grossen Datenmengen) offensichtlich irrelevante Gegenstände auszusondern. Schon in ihrem Entsiegelungsgesuch hat die Staatsanwaltschaft darzulegen, inwiefern die versiegelten Gegenstände grundsätzlich verfahrenserheblich seien. Sodann kann das Zwangsmassnahmengericht für die Triage (falls nötig) auch Untersuchungsbeamte bzw. schriftliche Auskünfte der Untersuchungsbehörde beiziehen, um die Sichtung zu erleichtern (vgl. <ref-ruling> E. 5.1.2 S. 196 f. mit Hinweisen). Betroffene Inhaber von Aufzeichnungen und Gegenständen, welche die Versiegelung beantragen bzw. Durchsuchungshindernisse geltend machen, haben ihrerseits die prozessuale Obliegenheit, das Zwangsmassnahmengericht bei der Sichtung und Klassifizierung von Dokumenten zu unterstützen. Dies umso mehr, als der Entsiegelungsrichter die Einzelheiten der Untersuchung nicht kennt und die Staatsanwaltschaft noch keine Detaileinsicht in die versiegelten Akten nehmen kann. Auch haben die betroffenen Inhaber jene Gegenstände zu benennen, die ihrer Ansicht nach der Geheimhaltung unterliegen oder offensichtlich keinen Sachzusammenhang mit der Strafuntersuchung aufweisen. Dies gilt besonders, wenn sie die Versiegelung von sehr umfangreichen bzw. komplexen Dokumenten oder Dateien verlangt haben (<ref-ruling> E. 4.2 S. 194 f., E. 5.1.2 S. 197, E. 5.3.1 S. 198, mit Hinweisen; zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil 1B_397/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 7.1).
8.2 Wie sich den Akten entnehmen lässt, bezog sich die Editionsverfügung gegenüber der Beschwerdeführerin 1 auf Unterlagen betreffend Privat-, Geschäfts- und Nummernkonti, Wertschriftendepots sowie Safes und Schliessfächer, die auf den Beschuldigten lauteten oder für die er eine Vollmacht besass, für den Zeitraum vom 1. Januar 2006 bis zum 30. August 2010. Einsicht in entsprechende Unterschriftenkarten und Konteneröffnungsdokumente verlangte die Untersuchungsbehörde auch für Vermögenswerte, bei denen der Beschuldigte zwar als wirtschaftlich Berechtigter auftrat, aber weder über eine Vollmacht verfügte, noch als Konteninhaber oder Zustelladressat der Bankkorrespondenz erschien. Ausserdem bezog sich der Editionsbefehl auf sechs konkrete Banktransaktionen.
8.3 Nach Eingang des Siegelungsbegehrens stellte die Untersuchungsbehörde am 8. Oktober 2010 das Entsiegelungsgesuch. Sie beantragte, jene Unterlagen, die einen Sachzusammenhang zwischen dem Beschuldigten und der mitbeschuldigten Person aufweisen, seien zu den Untersuchungsakten zu nehmen. Zu entsiegeln seien auch Unterlagen betreffend Bargeld-Transaktionen, bei denen noch nicht ohne weiteres eine Konnexität mit dem untersuchten Sachverhalt ersichtlich ist. Mit prozessleitender Verfügung vom 29. März 2011 entschied die Vorinstanz, dass die edierten Bankunterlagen im Gewahrsam der Staatsanwaltschaft verblieben und das Entsiegelungsverfahren durchzuführen sei.
8.4 Im angefochtenen Entscheid legt die Vorinstanz (bezugnehmend auf den Tatverdacht gemäss den bisherigen Ermittlungen) dar, inwiefern die fraglichen Unterlagen eine Deliktskonnexität aufwiesen. Dass ein Zeitraum von ca. fünf Jahren betroffen sei, ändere daran nichts, da der Geldfluss bzw. die weitere Verwendung der verdächtigen Einzahlungen zu untersuchen sei. Weder die Beschwerdeführerin noch der Beschuldigte hätten substanziiert aufgezeigt, bei welchen Unterlagen ein Sachzusammenhang mit dem untersuchten Sachverhalt klarerweise fehle.
8.5 Die Erwägungen der Vorinstanz halten vor dem Bundesrecht (und dem Grundsatz der Gewaltenteilung nach §10 KV/TG) stand. Die von der Vorinstanz zur Durchsuchung freigegebenen Unterlagen erscheinen untersuchungsrelevant (vgl. Art. 197 Abs. 1 lit. c-d und Abs. 2 StPO). Die Beschwerdeführerin legt (auch in ihrer Beschwerdeschrift an das Bundesgericht) nach wie vor nicht dar, welche von ihr edierten konkreten Bankunterlagen mit dem Gegenstand der Untersuchung keinen Sachzusammenhang aufwiesen. Mangels substanziierten Einwendungen brauchte sich die Vorinstanz (über das oben Dargelegte hinaus) nicht zu einzelnen vom Entsiegelungsbegehren betroffenen Kontenbelegen detailliert zu äussern.
9. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend, sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführerinnen aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (<ref-law>). Das Begehren um aufschiebende Wirkung der Beschwerde wird mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache hinfällig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführerinnen auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Zwangsmassnahmengericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Februar 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Forster