Erwägungen:
1. X._ (geb. 1980) stammt aus Nigeria und ersuchte am 18. April 2008 in Italien erfolglos um Asyl. Am 3. April 2010 reiste er in die Schweiz ein. Mit Verfügung vom 22. Juni 2010 trat das Bundesamt für Migration auf ein von ihm hier gestelltes (weiteres) Asylgesuch nicht ein und wies ihn in Anwendung des Dublin-Abkommens nach Italien weg. Das Bundesverwaltungsgericht bestätigte diesen Entscheid am 6. Juli 2010. Am 12. Oktober 2010 ersuchte X._ erneut um Asyl. Das Bundesamt für Migration behandelte seine Eingabe als Wiedererwägungsgesuch und wies dieses am 18. November 2010 ab. Am 28. Dezember 2010 nahm das Amt für Migration des Kantons Schwyz X._ in Ausschaffungshaft. Der AuG-Einzelrichter am Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz prüfte diese tags darauf und bestätigte sie bis "längstens" zum 27. März 2011. X._ ist hiergegen am 3. Januar 2011 in englischer Sprache an das Bundesgericht gelangt.
2. Auf seine Eingabe ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten: Nach <ref-law> muss in der Beschwerde in gedrängter Form dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Akt im Rahmen des Verfahrensgegenstands Recht verletzt (<ref-ruling> E. 2.1 - 2.3). Der Beschwerdeführer macht geltend, mit dem angefochtenen Entscheid grundsätzlich einverstanden, jedoch vom Übersetzer bei dessen Eröffnung beleidigt worden zu sein. Die entsprechende Problematik kann vor Bundesgericht nicht Streitgegenstand bilden, da insofern ein anfechtbarer vorinstanzlicher Entscheid fehlt (vgl. <ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer beanstandet, die Haftdauer, um nach Italien ausgeschafft zu werden, sei zu lang, legt er nicht dar, inwiefern der haftrichterliche Entscheid diesbezüglich bundesrechtswidrig sein soll. Eine solche Rechtswidrigkeit ist auch nicht ersichtlich: Der Beschwerdeführer ist hier wiederholt untergetaucht. Er ist nunmehr im Rahmen des Dublin-Abkommens formell korrekt den zuständigen Behörden in Italien zuzuführen. Dies dürfte anfangs oder Mitte Februar möglich sein. Die Haftbewilligung bis zum 27. März 2010 erfolgte "längstens", d.h. eine frühere Beendigung, sobald der Vollzug der Wegweisung möglich ist, erscheint nicht ausgeschlossen. Andernfalls steht es dem Beschwerdeführer im Februar 2011 allenfalls frei, mit einem Entlassungsgesuch an den Haftrichter zu gelangen.
3. Es sind keine Kosten zu erheben und keine Entschädigungen geschuldet (vgl. Art. 66 Abs. 1 in fine BGG). Das Amt für Migration des Kantons Schwyz wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration des Kantons Schwyz, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, AuG-Einzelrichter, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Hugi Yar