Faits :
A.
X._ est titulaire, depuis 1981, d'une licence de pilote professionnel d'avion et, depuis 1991, d'une licence de pilote de ligne. Depuis de nombreuses années, il est également titulaire d'une licence de pilote privé d'avion avec extensions d'instructeur FI ("Flight Instructor"), IRI ("Instrument Rating Instructor") et TRI ("Type Rating Instructor").
B.
B.a. Par décision du 28 décembre 2012, l'Office fédéral de l'aviation civile (ci-après: l'Office fédéral) a retiré avec effet immédiat et pour une durée indéterminée les extensions d'instructeur FI, IRI et TRI détenues par X._. La décision prévoyait que ces extensions seraient restituées à l'intéressé si celui-ci produisait une attestation de l'Office fédéral démontrant sa réussite aux examens théoriques pour pilotes privés relatifs aux branches Droit aérien, ainsi que Performance et planification de vol, et une évaluation positive de ses compétences pour les fonctions FI, IRI et TRI. Enfin, compte tenu de l'intérêt de sécurité publique en jeu, la décision a été déclarée exécutoire nonobstant recours. Le recours de l'intéressé tendant à la restitution immédiate de l'effet suspensif a été rejeté en dernière instance par le Tribunal fédéral par arrêt du 21 juin 2013 (cause 2C_293/2013).
Il était en substance reproché à X._, alors qu'il agissait comme commandant de bord et instructeur, d'avoir procédé, le 26 novembre 2012 à l'aérodrome de Lausanne, à l'atterrissage d'un avion alors que la visibilité en vol et sur la piste était inférieure à 500 mètres, soit nettement en-dessous des 1'500 mètres imposés pour les vols à vue (art. 38 al. 1 de l'ordonnance du 4 mai 1981 concernant les règles de l'air applicables aux aéronefs [ORA; RS 748.121.11]). De plus, l'atterrissage ayant eu lieu par le sud de la piste, le pilote aurait survolé en "courte finale" une zone à forte densité d'habitations.
B.b. A l'encontre de la décision de l'Office fédéral du 28 décembre 2012, X._ a déposé un recours auprès du Tribunal administratif fédéral. Par arrêt du 15 mai 2014, le Tribunal administratif fédéral a admis le recours de X._. L'annulation de la décision de l'Office fédéral ne figure pas au dispositif de l'arrêt, mais ressort de ses considérants (cf. arrêt attaqué, consid. 5.11). Dans son jugement, le Tribunal administratif fédéral a retenu, en substance, que les éléments du dossier ne permettaient pas de conclure que le recourant n'avait pas respecté les conditions de visibilité prévues à l'art. 38 ORA.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Département fédéral de l'environnement, des transports, de l'énergie et de la communication (DETEC), représenté par l'Office fédéral, demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 15 mai 2014 et de confirmer la décision de l'Office fédéral du 28 décembre 2012. Il requiert également l'octroi de l'effet suspensif.
Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à prendre position. L'intimé conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, à son rejet.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 476 et les arrêts cités).
1.1. La voie du recours en matière de droit public est ouverte, la décision attaquée ayant été rendue par le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>), dans une cause relevant de la loi fédérale du 21 décembre 1948 sur l'aviation (LA; RS 748.0) donc de droit public (<ref-law>), ne tombant pas sous le coup des exceptions prévues à l'<ref-law>. Le recours a par ailleurs été interjeté en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>).
1.2. L'<ref-law> prévoit que les départements fédéraux ont qualité pour recourir si l'acte attaquable est susceptible de violer la législation fédérale dans leur domaine d'attributions.
1.2.1. Contrairement à ce que prétend l'intimé, le DETEC a la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral, même s'il "n'est pas intervenu en qualité d'autorité intimée", le Tribunal fédéral ayant précisé dans sa jurisprudence que la qualité pour recourir des autorités fédérales selon l'<ref-law> est de nature abstraite et autonome (<ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 341 s.), les conditions de l'article 89 al. 1 LTF, et en particulier l'exigence de participation à la procédure antérieure, ne s'appliquant pas (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 363).
1.2.2. C'est également de manière erronée que l'intimé fait valoir que le recourant se contente de critiquer les faits de la cause et non l'application du droit fédéral au sens de l'art. 89 al. 2 let. a in fine LTF. Déterminer si le Tribunal administratif fédéral a établi les faits de manière arbitraire (art. 9 Cst.) relève de l'application du droit fédéral, dont la violation peut être invoquée par le DETEC (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 132 s.; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 41).
1.2.3. Enfin, le recours a été déposé et rédigé par l'Office fédéral au nom du DETEC, au bénéfice d'une procuration signée par la Secrétaire générale suppléante du DETEC. L'intimé se plaint de ce que la décision du 18 décembre 2013 par laquelle la Cheffe du DETEC a délégué au secrétaire général et ses suppléants la compétence de signer certaines décisions, y compris la délégation aux offices de représenter le DETEC devant le Tribunal fédéral (ci-après: la décision du 18 décembre 2013) n'a pas été produite et demande au Tribunal fédéral d'impartir au recourant un délai au sens de l'<ref-law> pour la produire. La décision du 18 décembre 2013 a été produite par le recourant et est conforme aux dispositions applicables en l'espèce (art. 5 de l'ordonnance du 6 décembre 1999 sur l'organisation du Département fédéral de l'environnement, des transports, de l'énergie et de la communication [Org DETEC; RS 172.217.1] et art. 49 de la loi du 21 mars 1997 sur l'organisation du gouvernement et de l'administration [LOGA; RS 172.010]).
Le DETEC ayant la qualité pour recourir, le présent recours en matière de droit public est recevable.
1.3. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement le droit (cf. art. 95 et 106 al. 1 LTF) et n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>.
2.
Le litige porte sur la question de savoir si les conditions de visibilité minimales prévues à l'art. 38 ORA ont été violées.
2.1. La décision de l'Office fédéral du 28 décembre 2012 est fondée sur l'art. 11 al. 1 let. a de l'ordonnance du DETEC du 14 avril 1999 sur les titres de vol JAR-FCL pour pilotes d'avion et d'hélicoptère (OJAR-FCL; RS 748.222.2), qui prévoit notamment que l'Office fédéral peut prononcer le retrait temporaire ou définitif d'une licence ou d'une autorisation JAR-FCL et les privilèges y afférents, si son titulaire ne remplit plus les conditions fixées dans les règlements JAR-FCL ou dans la législation nationale.
2.2. Aux termes de l'art. 6 ORA, un aéronef ne sera pas conduit d'une façon négligente ou imprudente pouvant entraîner un risque pour la vie ou les biens de tiers. En ce qui concerne les conditions de visibilité requises, l'art. 38 ORA prescrit que, dans l'espace aérien de la classe G - applicable en l'espèce -, la visibilité doit être en principe de 5 km. Elle peut porter jusqu'à 1.5 km si la vitesse de vol permet à tout instant de faire demi-tour dans les limites de la portée et que d'autres aéronefs ou des obstacles peuvent être aperçus à temps (art. 38 al. 1 ORA).
2.3. Pour mesurer la visibilité avec précision, un objet de référence, dont la distance du point d'observation est connue, doit être déterminé (cf. Annexe 3 de la Convention du 7 décembre 1944 relative à l'aviation civile internationale intitulée "Meteorological Service for International Navigation"). Selon le Tribunal administratif fédéral, il ressort implicitement de la loi que la visibilité déterminante est celle depuis le cockpit de l'avion (cf. arrêt attaqué, consid. 4.4.2). Enfin, l'art. 38 al. 1 ORA prévoit également que, dans l'espace aérien G, les vols doivent être effectués hors des nuages et en vue permanente du sol ou de l'eau; cela signifie que la seule distance de visibilité de 1.5 km en ligne droite ne suffit pas. Le pilote doit également être en mesure, cas échéant, de faire demi-tour à tout instant sans se retrouver avec une visibilité inférieure à 1,5 km. Par ailleurs, en phase d'approche finale et d'atterrissage, le pilote doit être en mesure d'éviter un obstacle en l'air ou sur la piste. Il doit en particulier s'assurer que, si un obstacle se présente, les conditions de visibilité lui permettent d'effectuer une manoeuvre d'évitement, qui n'est pas autorisée si elle l'oblige à traverser les nuages.
En se fondant sur l'art. 38 ORA, l'instance précédente a retenu, sans être contredite par les parties, que la visibilité minimale de 1'500 mètres devait être garantie non seulement au sud de la piste, dans la phase d'approche, mais également au nord sur une distance suffisante pour effectuer un dégagement en toute sécurité.
2.4. Le recourant ne conteste ni l'interprétation juridique ni l'application de l'art. 38 ORA donnée par le Tribunal administratif fédéral, mais s'en prend uniquement à l'établissement des faits (cf. mémoire de recours, p. 3).
3.
3.1. Invoquant l'<ref-law>, le recourant reproche au Tribunal administratif fédéral d'avoir établi les faits de façon manifestement inexacte sur de nombreux points.
Selon l'<ref-law>, le recours peut critiquer les constatations de fait à la double-condition que ceux-ci ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause. Selon la jurisprudence, la notion de "manifestation inexacte" figurant à l'<ref-law> correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 234; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 314). Par ailleurs, la notion de "faits établis de façon manifestement inexacte" recouvre entièrement aussi bien l'arbitraire dans l'appréciation des preuves que l'arbitraire dans l'établissement des faits ( BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2 e éd. 2014, n o 27 ad <ref-law>).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62). Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle adoptée par l'autorité intimée serait concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 153). De plus, il ne suffit pas que les motifs de l'arrêt attaqué soient insoutenables, encore faut-il que ce dernier soit arbitraire dans son résultat (cf. <ref-ruling> consid. 4.4 p. 315; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148).
3.2. Le recourant reproche également au Tribunal administratif fédéral d'avoir violé le droit fédéral (<ref-law>), en n'appliquant pas correctement le principe de la vraisemblance prépondérante.
En procédure administrative, un fait est en principe tenu pour établi lorsque le juge a pu se convaincre de la vérité d'une allégation (preuve stricte). Dans certains cas, selon la loi ou la jurisprudence, il suffit que le fait en question soit rendu vraisemblable, le degré de la preuve exigé étant celui de la vraisemblance prépondérante (cf. arrêt 2C_721/2012 du 27 mai 2013 consid. 5.2.1, non publié in <ref-ruling>). Le juge retiendra alors, parmi plusieurs présentations des faits, celle qui lui apparaît comme la plus vraisemblable. Cet allégement du degré de la preuve est justifié par la difficulté d'accéder aux moyens de preuve, de sorte que l'on se trouve à cet égard pour ainsi dire en état de nécessité (cf. <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 458; arrêt 2C_721/2012 du 27 mai 2013 consid. 5.2.1, non publié in <ref-ruling> et la référence citée). Un tel état de nécessité en matière de preuve se rencontre lorsque, par la nature même de l'affaire, une preuve stricte n'est pas possible ou ne peut être raisonnablement exigée, en particulier si les faits allégués par la partie qui supporte le fardeau de la preuve ne peuvent être établis qu'indirectement et par des indices (cf. <ref-ruling> consid. 4.2.2 p. 88 et les arrêts cités; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral - Commentaire, 2008, n o 3868 ad <ref-law>).
En l'occurrence, on voit mal pourquoi le Tribunal administratif fédéral a considéré que le degré de la preuve exigé en l'espèce était celui de la vraisemblance prépondérante. Cette question n'est cependant pas pertinente pour la résolution du présent litige. En effet, le recourant ne conteste pas le degré de preuve exigé par le Tribunal administratif fédéral (cf. mémoire de recours p. 7), mais critique en réalité l'appréciation des preuves effectuée par l'autorité précédente et le résultat auquel celle-ci est parvenu.
Dès lors, dans la mesure où ce moyen a trait à l'appréciation des preuves et l'établissement des faits, il sera examiné avec le grief tiré de l'arbitraire, avec lequel il se confond.
4.
4.1. Dans un premier moyen, le recourant reproche au Tribunal administratif fédéral d'avoir tiré des constatations insoutenables de la séquence vidéo de la webcam de l'aérodrome (ci-après "la séquence webcam"). Il lui reproche d'avoir retenu que le moment précis de l'atterrissage ne pouvait être établi et qu'il n'était pas possible de savoir si la séquence webcam couvrait le moment de l'atterrissage de l'avion.
4.2. Le recourant soutient qu'il peut être établi de manière sûre que la séquence webcam couvre bel et bien l'atterrissage litigieux. Il allègue en particulier que la séquence webcam permet de "constater les feux à éclat blanc clignotant (strobes) de l'avion lorsqu'il atterrit" (mémoire de recours, p. 4). Il précise enfin que "tout aéroport dispose d'une liste des atterrissages des avions avec date et heure précise relatant leur survenance. Le bureau de l'aéroport de Lausanne ne pouvait dès lors pas se tromper de séquence vidéo" (mémoire de recours, p. 4).
4.3. Cette critique est infondée. Le Tribunal administratif fédéral, qui a visionné la webcam en présence des parties, a constaté - sans arbitraire - que l'avion n'était visible que très tardivement sur l'aire de stationnement et que l'on peinait à voir sa position auparavant. Il a considéré qu'en tenant compte du temps d'arrêt en bout de piste après l'atterrissage et du temps nécessaire pour venir jusqu'à l'aire de stationnement, il n'était pas certain que la séquence webcam couvre vraiment le moment de l'atterrissage. Contrairement à ce que soutient le recourant, aucun élément du dossier ne permet d'établir de manière sûre que la séquence webcam couvre l'atterrissage litigieux. A cet égard, il convient de relever que l'aérodrome de Lausanne n'a pas de tour de contrôle au sol qui prend en charge le trafic et les mouvements d'atterrissage et de décollage. Il dispose uniquement d'un "bureau" qui, pour autant qu'il soit occupé, peut, cas échéant, renseigner les pilotes sur les conditions météorologiques et déclarer la piste officiellement fermée. En l'espèce, la piste n'était pas officiellement fermée.
Au vu de ce qui précède, les conclusions que le Tribunal administratif fédéral a tirées de la séquence webcam concernant le moment de l'atterrissage ne sauraient être considérées comme insoutenables, de sorte que ce grief est rejeté.
5.
5.1. Le recourant voit ensuite une contradiction claire entre les constatations du Tribunal administratif fédéral, selon lesquelles le visionnage de la séquence webcam reflète des conditions de visibilité très médiocres et la conclusion du Tribunal administratif fédéral, selon laquelle il n'est pas possible d'établir une distance de visibilité exacte grâce à la séquence webcam.
5.2. Il est vrai qu'il ressort de l'arrêt attaqué que, malgré le fait que la qualité de reproduction de la séquence webcam n'est pas excellente, en raison notamment des effets de halo, des précipitations et de la luminosité faible à cette saison et heure de la journée (cf. arrêt attaqué, consid. 5.4.2), celle-ci semble refléter de mauvaises conditions de visibilité. Cependant, en se fondant sur les observations des témoins et sur une autre webcam située dans un quartier proche, le Tribunal administratif fédéral a constaté que la situation météorologique pouvait changer très rapidement ce jour-là, un banc de brouillard pouvant notamment apparaître très rapidement et de façon localisée. Ainsi, dans la mesure où il n'est pas établi que la séquence webcam couvre le moment de l'atterrissage, il n'y avait pas d'arbitraire à retenir que l'existence de brouillard à un endroit et à un certain moment n'excluait pas que la piste fût encore suffisamment dégagée au moment de l'atterrissage.
5.3. Par ailleurs, à supposer même que la séquence webcam couvre le moment d'atterrissage (ce qui n'est nullement établi), il n'est pas insoutenable de retenir que compte tenu du fait - non contesté par le recourant - qu'aucun repère clairement identifiable n'est visible sur la séquence webcam, comme le requiert l'Annexe 3 de la Convention de Chicago pour mesurer la visibilité, la séquence webcam ne permet pas d'établir une distance de visibilité exacte.
L'appréciation de l'instance précédente, selon laquelle la séquence webcam ne permettait pas d'établir une distance de visibilité exacte, n'est donc pas arbitraire. Ce grief doit dès lors être rejeté.
6.
Le recourant estime ensuite que l'autorité inférieure a tiré des constatations manifestement inexactes de l'une des séquences vidéos tournées par M. Y._, inspecteur auprès de l'Office fédéral pour les hélicoptères, avec son téléphone portable (ci-après: "la séquence vidéo").
6.1. En ce qui concerne la visibilité vers le nord, le recourant se prévaut d'une contradiction dans l'arrêt en cause. Il met en évidence qu'au considérant 5.5 de son arrêt, l'instance précédente a considéré que, sur la séquence vidéo, "la station de la REGA, située à moins de 700 mètres, n'est pas visible, l'on peut à peine distinguer le feux rouge situé sur son toit", alors qu'elle a affirmé, dans la phrase qui suit, que "comme pour la webcam, il est difficile d'estimer une quelconque visibilité sans l'aide de repères fixes dont l'éloignement est connu." Le recourant soutient que le fait que la station de la REGA se situe en plein nord est justement un repère fixe dont l'éloignement est connu, ce qui aurait dû conduire le Tribunal administratif fédéral à la conclusion selon laquelle la visibilité dans cette direction était en tous les cas inférieure à 700 mètres.
Le recourant critique également la constatation du Tribunal administratif fédéral selon laquelle la séquence vidéo indiquerait que la visibilité vers le sud était d'au moins 1'000 mètres et soutient qu'il est contradictoire d'utiliser une vidéo pour établir une distance de visibilité dans une certaine direction et de ne pas s'y fier pour établir la distance de visibilité dans les autres directions.
6.2. Même s'il est vrai que l'extrait du considérant sus-mentionné peut sembler contradictoire, en réalité, le Tribunal n'a pas conclu que la séquence vidéo permettait d'établir une distance de visibilité, mais a simplement indiqué qu'il était impossible de déterminer si une visibilité de 1500 mètres était atteinte ou non (cf. arrêt attaqué, consid. 5.5.2).
En tout état de cause, il n'est pas insoutenable de conclure qu'une séquence vidéo, tournée depuis la piste, après l'atterrissage, ne permet pas d'établir la visibilité effective depuis le cockpit au moment de l'atterrissage, surtout lorsqu'il ressort clairement du dossier que les conditions météorologiques étaient très changeantes ce jour-là.
Le grief du recourant doit dès lors être rejeté.
7.
7.1. Le recourant soutient qu'il est manifestement inexact de considérer que les dépositions des quatre témoins présents à l'aérodrome (ci-après: témoins au sol) ne permettaient pas de se représenter la visibilité qu'avait le pilote au moment de l'atterrissage.
7.2. A cet égard, il invoque en particulier le fait que le Tribunal administratif fédéral a lui-même relevé qu'en phase finale d'approche la visibilité depuis le cockpit devient horizontale, ce qui reviendrait à dire - selon le recourant - "que le champ de vision du pilote lors de l'atterrissage n'est pas différent du champ de vision d'une personne se trouvant en début de piste et regardant dans l'axe de la piste d'atterrissage en direction du nord" (mémoire de recours, p. 6). Il reproche également au Tribunal administratif fédéral de n'avoir pas tenu compte des dépositions de ces témoins selon lesquelles "au moins une partie de la piste était prise dans le brouillard ou tout au moins couverte d'une couche de brume et qu'en plus la visibilité était réduite par des précipitations" (arrêt attaqué, consid. 5.7.1).
7.3. Ces griefs tombent à faux. Contrairement à ce que semble sous-entendre le recourant, il convient d'abord de relever qu'aucun des quatre témoins au sol ne se trouvait dans l'axe de la piste au moment de l'atterrissage de l'avion. C'est également à tort que le recourant reproche au Tribunal administratif fédéral de n'avoir pas tenu compte des déclarations des témoins au sol. Il ressort en effet de l'arrêt attaqué que le Tribunal administratif fédéral a examiné ces déclarations de manière détaillée. Il a cependant constaté que celles-ci ne faisaient l'objet que de comptes-rendus succincts et qu'elles étaient contredites par les déclarations concordantes de l'équipage, en particulier celles du témoin Z._, qui était présent dans le cockpit au moment de l'atterrissage et a été auditionné par le Tribunal administratif fédéral, selon lesquelles ils avaient une visibilité suffisante pour atterrir lors du premier passage (cf. arrêt attaqué, consid. 5.5.5).
Au vu de ce qui précède, on ne saurait qualifier d'arbitraire la conclusion du Tribunal administratif fédéral selon laquelle sur la base des déclarations figurant au dossier, il était impossible d'établir si le pilote avait véritablement une visibilité suffisante ou non.
8.
Le recourant estime qu'au vu des éléments du dossier, et en particulier de la séquence vidéo, c'est de manière insoutenable que le Tribunal administratif fédéral a retenu que la visibilité régnant aux abords de l'aérodrome le jour des faits permettait au pilote de réaliser une manoeuvre d'évitement en phase finale d'atterrissage.
Ce grief doit également être rejeté. En effet, on ne saurait qualifier d'insoutenable le fait de considérer que les déclarations concordantes de l'équipage, selon lesquelles une telle manoeuvre aurait pu être effectuée, l'emportent sur une séquence vidéo tournée depuis la piste, avec un téléphone portable, après le moment de l'atterrissage.
9.
9.1. Enfin, le recourant considère que le Tribunal administratif fédéral a jugé à tort que les éléments du dossier ne permettaient pas de retenir une violation de l'art. 38 ORA. Il lui reproche d'avoir "estimé que la version du pilote impliqué lors de l'atterrissage constituait la présentation des faits la plus vraisemblable" alors que, selon lui, la majorité des éléments du dossier "plaident pour une absence des minimums de visibilité requis par la loi" (mémoire de recours, p. 7).
9.2. En définitive, le recourant - qui supporte le fardeau de la preuve - ne fait que substituer son appréciation des preuves à celle du Tribunal administratif fédéral. En effet, dans son appréciation d'ensemble des preuves, le Tribunal administratif fédéral a retenu que les déclarations recueillies par l'Office fédéral et les images versées au dossier ne suffisaient pas pour rendre la version de l'autorité plus vraisemblable que celle de l'équipage. Il a également relevé qu'un certain nombre d'éléments de preuves n'avaient pas été recueillis par l'Office fédéral, en particulier le témoignage du préposé du "bureau", qui était présent au moment de l'atterrissage de l'intimé et avec lequel celui-ci a communiqué avant d'atterrir (cf. courriel de M. Y._ du 28 novembre 2012 et procès-verbal de la séance d'instruction du 9 octobre 2013, p. 14 et 15), ainsi que celui de l'équipage d'un autre avion de type Bravo, qui se serait posé quelques minutes avant l'atterrissage de l'intimé. Le Tribunal administratif fédéral a estimé avec raison que, pour être probants, ces divers éléments de preuve auraient dû être recueillis dans les jours qui suivaient les faits.
Dès lors, - et même à supposer qu'une appréciation différente de certains éléments du dossier soit possible - l'arrêt attaqué ne saurait être qualifié d'arbitraire dans son résultat.
Pour ces motifs, le grief d'arbitraire dans l'établissement des faits doit être rejeté.
10.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. La requête d'effet suspensif est par conséquent devenue sans objet. Conformément à l'<ref-law>, il n'est pas perçu de frais judiciaires. X._, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un mandataire (<ref-law>), a droit à des dépens à la charge du Département fédéral de l'environnement, des transports, de l'énergie et de la communication (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le Département fédéral de l'environnement, des transports, de l'énergie et de la communication versera à l'intimé la somme de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué à l'Office fédéral de l'aviation civile (Département fédéral de l'environnement, des transports, de l'énergie et de la communication), au mandataire de l'intimé ainsi qu'au Tribunal administratif fédéral, Cour I.
Lausanne, le 5 novembre 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : Thalmann