Sachverhalt:
A. Am 28. Februar 2011 stellte der Verein gegen Tierfabriken Schweiz (VgT) ein Gesuch um Bewilligung einer Kundgebung am Ostersonntag, 24. April 2011, bei der römisch-katholischen Kirche in Sirnach im Bereich Fischingerstrasse - Wilerstrasse - Schmiedgasse. Damit wollte der Verein auf die seiner Meinung nach tierquälerische Kaninchenhaltung durch Mitglieder der Kirchenpflege aufmerksam machen. Die Politische Gemeinde Sirnach wies das Gesuch am 8. März 2011 ab. Gegen die Bewilligungsverweigerung gerichtete Rechtsmittel wiesen das kantonale Departement für Inneres und Volkswirtschaft (DIV) am 11. April 2011 und das kantonale Verwaltungsgericht am 6. Juli 2011 ab.
B. Mit Beschwerde an das Bundesgericht vom 28. Juli 2011 beantragt der Verein gegen Tierfabriken, es sei festzustellen, dass das kantonale Departement das rechtliche Gehör verletzt habe. Der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Kundgebung hätte bewilligt werden müssen. Eventuell sei die Sache zu neuer Prüfung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht verlangt der Beschwerdeführer den Beizug der letzten zwölf Entscheide des Verwaltungsgerichts in anonymisierter Form.
C. Die Politische Gemeinde Sirnach äussert sich zur Beschwerde, ohne einen Antrag zu stellen. Das Verwaltungsgericht und das Departement für Inneres und Volkswirtschaft schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer verzichtet auf eine Stellungnahme zu den Vernehmlassungen.

Erwägungen:
1. Dem angefochtenen Entscheid des Verwaltungsgerichts liegt die Ablehnung eines Gesuchs um Bewilligung einer Kundgebung auf öffentlichem Grund und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zugrunde (<ref-law>). Es sind keine Ausschlussgründe im Sinne von <ref-law> erfüllt. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts (Art. 86 und 90 BGG).
Der Beschwerdeführer ist als Organisator der nicht bewilligten Kundgebung und Vertreter der Interessen seiner Mitglieder sowie als Gesuchsteller und Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren zur Beschwerdeführung berechtigt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 542). Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 25 mit Hinweisen). Diese Voraussetzungen sind hier gegeben. Der Beschwerdeführer hat ein Rechtsschutzinteresse an der Feststellung, dass die Kundgebung hätte bewilligt werden müssen.
Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt. Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2. Kundgebungen auf öffentlichem Grund stehen unter dem Schutz der Meinungs- und Versammlungsfreiheit (Art. 16 und 22 BV; <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 5). Gestützt auf diese Grundrechte besteht grundsätzlich ein bedingter Anspruch, für Kundgebungen mit Appellwirkung öffentlichen Grund zu benützen. Im Bewilligungsverfahren sind nicht nur Zulässigkeit bzw. Unzulässigkeit einer Kundgebung, sondern ebenso sehr die Randbedingungen, allfällige Auflagen und eventuelle Alternativen zu prüfen. Die Veranstalter können daher nicht verlangen, eine Kundgebung an einem bestimmten Ort, zu einem bestimmten Zeitpunkt und unter selbst bestimmten Randbedingungen durchzuführen; hingegen haben sie Anspruch darauf, dass der von ihnen beabsichtigten Appellwirkung Rechnung getragen wird (<ref-ruling> E. 3 S. 260).
Die Garantien gemäss Art. 11 EMRK (in Verbindung mit Art. 10 EMRK) und Art. 21 UNO-Pakt II reichen nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht über die dargelegten, aus Art. 16 und 22 BV abgeleiteten Grundsätze für Kundgebungen auf öffentlichem Grund hinaus (<ref-ruling> E. 3 S. 260).
3. Einschränkungen von Grundrechten sind nach <ref-law> zulässig, wenn sie auf einer gesetzlichen Grundlage beruhen, durch ein öffentliches Interesse oder den Schutz von Grundrechten Dritter gerechtfertigt und verhältnismässig sind. Der Kerngehalt der Grundrechte ist unantastbar (<ref-law>).
3.1 Nach dem Gesetz des Kantons Thurgau vom 11. Mai 1989 über die öffentlichen Ruhetage (Ruhetagsgesetz; RB 822.9) sind unter anderem am Ostersonntag insbesondere öffentliche Filmvorführungen, Schaustellungen und Theateraufführungen sowie öffentliche Versammlungen, Umzüge und Konzerte nicht-religiöser Art verboten (§ 5 Abs. 2 Ruhetagsgesetz). Veranstaltungen, die dem Charakter der Ruhetage gemäss § 5 Abs. 2 Rechnung tragen, können durch die Gemeinde bewilligt werden (§ 6 Abs. 2 Ruhetagsgesetz).
Die genannten Bestimmungen stellen eine hinreichende gesetzliche Grundlage sowohl für die Bewilligungspflicht als auch für eine Einschränkung der Meinungs- und Versammlungsfreiheit dar. Die Grundrechtsbeschränkung ist jedoch nur zulässig, wenn sie durch ein öffentliches Interesse oder durch den Schutz von Grundrechten Dritter gerechtfertigt ist und sich als verhältnismässig erweist (Art. 36 Abs. 2 und 3 BV).
3.2 Das Verwaltungsgericht bezeichnet das für den Ostersonntag 2011 ausgesprochene Kundgebungsverbot als geringfügige temporäre Einschränkung der Meinungs- und der Versammlungsfreiheit. § 5 Abs. 2 des Ruhetagsgesetzes sei eine Schutznorm für Personen, die an den darin genannten Feiertagen die Ruhe und Besinnlichkeit in den Vordergrund stellten. Entscheidend sei, ob eine Veranstaltung die Bürger, bzw. hier die Kirchgänger, in ihrer Ruhe und Besinnlichkeit störten. Dies wäre mit der bei allen drei Hauptzugängen zur Kirche geplanten, die Kirchenbesucher ansprechenden Kundgebung zu bejahen. Die meisten Kirchgänger dürften sich durch die Konfrontation mit Anschuldigungen gegen zwei ihrer Kirchenvorsteher vor und nach dem Kirchgang an Ostern belästigt und gestört fühlen. Das Interesse des Beschwerdeführers an der Abhaltung seiner Kundgebung sei zudem gegen das Interesse der Bevölkerung an Ruhe und Ausübung ihrer Religionsfreiheit (Glaubens- und Gewissensfreiheit nach <ref-law>) abzuwägen. Der Staat habe im Rahmen seiner Schutzpflichten für eine ungestörte Ausübung der Religionsfreiheit zu sorgen und müsse dafür unter Umständen auch aktiv werden (RENÉ RHINOW/MARKUS SCHEFER, Schweizerisches Verfassungsrecht, 2. Aufl. 2009, N. 1173 ff. und 1484 ff.; <ref-ruling>). Eine Abwägung der Interessen falle im vorliegenden Fall klar zugunsten der Religionsfreiheit und des öffentlichen lnteresses an einem ruhigen und besinnlichen Osterfest und gegen die Meinungs- und Versammlungsfreiheit des Beschwerdeführers aus.
Die Einschränkung der Meinungs- und der Versammlungsfreiheit erweise sich im Übrigen auch als verhältnismässig. Die umstrittene Kundgebung solle sich gegen die angeblich tierquälerische Haltung von Kaninchen durch Mitglieder der Kirchenpflege richten. Eine solche Kundgebung sei nicht an ein bestimmtes Datum oder einen bestimmten Feiertag gebunden. Zudem könne auch in keiner Weise garantiert werden, dass die Kundgebung ruhig und ohne Störung der öffentlichen Ordnung verlaufe, da solche Arten von Demonstrationen schon mehrfach in Auseinandersetzungen mündeten und ein Einschreiten der Polizei notwendig machten (<ref-ruling> E. 3c S. 270). Gerade solche Vorkommnisse gelte es aber am Ostersonntag mit der Regelung von § 5 Abs. 2 des Ruhetagsgesetzes zu verhindern.
3.3 Dem Gesuch des Beschwerdeführers vom 28. Februar 2011 um Bewilligung der Kundgebung ist zu entnehmen, dass daran insgesamt 7 bis 9 Personen teilnehmen sollten. Es war vorgesehen, bei den drei Hauptzugängen zur Kirche auf dem Trottoir auf die angeblichen Missstände aufmerksam zu machen, wobei die Organisatoren ausdrücklich zusagten, den Verkehr nicht zu behindern und auf Lärm zu verzichten. An jedem der drei Zugänge zur Kirche hätten somit je zwei bis drei Vertreter des Vereins gegen Tierfabriken ruhig und ohne Verkehrsbehinderung gegen die Art der Kaninchenhaltung durch zwei Mitglieder des Kirchenvorstands demonstriert.
3.4 Es ist nicht ersichtlich, inwiefern eine derartige Kundgebung geeignet sein könnte, die Religionsausübung der Kirchenbesucher und damit deren nach <ref-law> geschützte Glaubens- und Gewissensfreiheit ernsthaft zu beeinträchtigen. Mit der Kundgebung sollten insbesondere die Mitglieder der Kirchgemeinde erreicht werden, die erfahrungsgemäss an einem hohen kirchlichen Feiertag in erhöhter Zahl die Kirche besuchen. Der Schutz der Meinungs- und der Versammlungsfreiheit verlangt, dass dem Publizitätsbedürfnis der Veranstalter in geeigneter Weise Rechnung getragen wird (Appellwirkung, E. 2 hiervor, vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 259). Dieses Anliegen ist auch bei der Anwendung von § 5 Abs. 2 des Ruhetagsgesetzes gestützt auf <ref-law> im Rahmen einer Interessenabwägung zu berücksichtigen. Ein absolutes Verbot der nachgesuchten Kundgebung ist nicht notwendig, um den Zielsetzungen des Ruhetagsgesetzes nachzukommen. Dem Bedürfnis der Kirchenbesucher nach Ruhe und Besinnung am Ostersonntag kann mit verschiedenen Massnahmen entsprochen werden. So kann die Bewilligungsbehörde mittels Auflagen wie etwa der Verpflichtung zur Wahrung einer bestimmten Distanz zur Kirche oder der Beschränkung der Kundgebung auf zwei der drei Eingänge der Kirche dafür sorgen, dass die Kirchenbesucher auf dem Weg zur Kirche nicht übermässig behindert oder belästigt werden. Zudem kann den Veranstaltern untersagt werden, Lautsprecher einzusetzen oder auf andere Weise die Sonntagsruhe zu stören.
Der angefochtene Entscheid geht auf solche im Verhältnis zum umstrittenen Kundgebungsverbot mildere Massnahmen nicht ein, obwohl <ref-law> eine solche Prüfung verlangt. Die pauschale Verweisung auf Störungen der öffentlichen Ordnung bei anderen Veranstaltungen des Gesuchstellers (<ref-ruling> E. 3c S. 270) vermag eine Prüfung der konkreten Umstände der nachgesuchten Kundgebung jedenfalls nicht zu ersetzen. Der Gesuchsteller hat im Übrigen bereits selber eine möglichst schonende Art der Kundgebung in Aussicht genommen, indem an jedem Kirchenzugang nur zwei bis drei Demonstranten anwesend sein sollten. Diese konnten bei Einhaltung einer gewissen Distanz zu den Kircheneingängen offensichtlich keine ernsthafte Bedrohung für den österlichen Frieden darstellen. Ein absolutes Verbot der Kundgebung erscheint somit nicht gerechtfertigt.
4. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben ist. Es ist festzustellen, dass die Kundgebung hätte bewilligt werden müssen. Bei diesem Ergebnis ist auf die weiteren Rügen und den Beweisantrag des Beschwerdeführers nicht näher einzugehen.
Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 6. Juli 2011 aufgehoben. Es wird festgestellt, dass die Kundgebung vom 24. April 2011 hätte bewilligt werden müssen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Politischen Gemeinde Sirnach, dem Departement für Inneres und Volkswirtschaft sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Haag