Sachverhalt:
A.
H._, geboren 1958, arbeitete für die Firma X._ AG und war daher bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Zürich oder Beschwerdeführerin) obligatorisch gegen die Folgen von Berufskrankheiten und Unfällen versichert. Der unter anderem als Kreisarzt der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) tätige Chirurg Dr. med. W._, welcher zusammen mit H._ und ihren beiden Ehegattinnen damals in den gemeinsamen Skiferien weilte, bestätigte am 29. August 2009 in seinem schriftlichen Ereignisprotokoll, dass der Versicherte am 2. Februar 2001 um ca. 09.00 Uhr beim Besteigen eines Skibusses ausrutschte, mit seinem Rücken und Hinterkopf auf den mit einer dünnen Schicht Neuschnee bedeckten Boden fiel, während der anschliessenden Busfahrt an starken Kopfschmerzen litt, welche bereits auf der Bergfahrt in der Gondel nachliessen, und beim Mittagessen gegen 13 Uhr im Restaurant des Hotels H._ nur noch "über Schwindel und allgemeines Unwohlsein" klagte. Nach dem Auftreten verschiedener neurologischer Symptome (kurzzeitige motorische Aphasie, Hypästhesie und einem linksseitigen Gesichtsfeldausfall) musste H._ - bei bekannter vorbestehender arterieller Hypertonie - von der am 17. Februar 2001 um etwa 02.00 Uhr konsultierten Notfallärztin gegen 03.15 Uhr infolge verschiedener unklarer Symptome per Ambulanzfahrzeug in die medizinische Klinik des Spital Y._ eingeliefert werden. Laut Bericht vom 21. Februar 2001 des stellvertretenden Chefarztes des Spitals Y._, Dr. med. M._, wurde die Eintrittssymptomatik des zuvor noch nie hospitalisierten Versicherten anfänglich als hypertensive Krise interpretiert. Erst anlässlich einer zerebrovaskulären Doppler-Sonographie vom 19. Februar 2001 im Kantonsspital G._ (Kantonsspital G._) wurde der hochgradige Verdacht einer Carotis interna-Dissektion links geäussert, worauf H._ noch gleichentags vom Spital Y._ in die Klinik für Neurologie des Kantonsspitals G._ verlegt wurde, wo er bis zum 8. März 2001 hospitalisiert blieb. Während des stationären Aufenthalts im Kantonsspital G._ diagnostizierten die behandelnden Ärzte definitiv eine Dissektion der Aorta carotis interna mit insulärem Infarkt im Stromgebiet der Aorta cerebri media links und brachiofazialbetonter sensomotorischer Hemiparese rechts und motorischer Aphasie.
Mit Schreiben vom 8. September 2009 liess H._ dieses Ereignis durch seinen Rechtsvertreter bei der Zürich als Unfall anmelden. Nach umfangreichen Abklärungen stellte die Zürich in Frage, ob am 2. Februar 2001 tatsächlich das geschilderte Unfallereignis stattgefunden habe, und verneinte ungeachtet dieser Unklarheiten mangels eines überwiegend wahrscheinlichen natürlichen Kausalzusammenhanges der geklagten Beschwerden mit dem Ereignis vom 2. Februar 2001 einen Anspruch auf Leistungen nach UVG (Verfügung vom 4. Oktober 2011). Auf Einsprache hin hielt die Zürich im Ergebnis an der Verfügung fest und verneinte nunmehr sowohl ein rechtsgenüglich nachgewiesenes Unfallereignis als auch - für den Fall der Bejahung des angemeldeten Unfalles - eine anspruchsbegründende natürliche Kausalität der geltend gemachten Unfallfolgen (Einspracheentscheid vom 17. Februar 2012).
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde des H._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 26. Juni 2013 im Sinne der Erwägungen gut, hob den Einspracheentscheid vom 17. Februar 2012 auf und wies die Sache zur Festsetzung der Leistungen aus UVG an die Zürich zurück.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Zürich die Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheids und die Bestätigung des Einspracheentscheides vom 17. Februar 2012. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Während H._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung.
D.
Mit Verfügung vom 5. Dezember 2013 hat die Instruktionsrichterin der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Im Übrigen wendet es das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft das Bundesgericht frei, ob der vorinstanzliche Entscheid von einem richtigen Verständnis der Rechtsbegriffe ausgeht und auf der korrekten Subsumtion des Sachverhalts unter die einschlägigen Normen beruht (Urteil 8C_480/2007 vom 20. März 2008 E. 1 mit Hinweis). Es prüft indessen - unter Beachtung der Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind, und ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde allen sich stellenden Fragen nachzugehen, auch wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr aufgegriffen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; Urteil 8C_423/2012 vom 26. Februar 2013 E. 1).
2.
Die Beschwerdeführerin hält ausdrücklich fest, dass "die Kausalität eines allfälligen Sturzes am 2. Februar 2001 und der am 19. Februar 2001 festgestellten Dissektion der linken Aorta carotis interna nicht strittig" ist. Für den Fall, dass der Beschwerdegegner das geltend gemachte Sturzereignis vom 2. Februar 2001 erlitten hat, bestreitet demnach die Zürich vor Bundesgericht einen anspruchsbegründenden, zumindest teilursächlichen Zusammenhang des Gesundheitsschadens mit diesem Ereignis nicht mehr (zu ursächlichen Faktoren einer Dissektion der Aorta vgl. SVR 2007 UV Nr. 28 S. 94, U 413/05). Strittig und zu prüfen ist demnach einzig, ob es zumindest mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit glaubhaft erscheint, dass der Versicherte am 2. Februar 2001 das beschriebene Sturzereignis erlitt.
3.
3.1. Praxisgemäss sind die einzelnen Umstände des Unfallgeschehens von der leistungsansprechenden Person glaubhaft zu machen. Kommt sie dieser Forderung nicht nach, indem unvollständige, ungenaue oder widersprüchliche Angaben gemacht werden, die das Bestehen eines unfallmässigen Schadens als unglaubwürdig erscheinen lassen, so besteht keine Leistungspflicht des Unfallversicherers. Insbesondere ist zu verlangen, dass die Schilderungen mit den vorhandenen Indizien im Wesentlichen übereinstimmen. Im Streitfall obliegt es dem Gericht zu beurteilen, ob die einzelnen Voraussetzungen des Unfallbegriffs erfüllt sind. Der Untersuchungsmaxime entsprechend hat es von Amtes wegen die notwendigen Beweise zu erheben und kann zu diesem Zwecke auch die Parteien heranziehen. Wird auf Grund dieser Massnahmen das Vorliegen eines Unfallereignisses nicht wenigstens mit Wahrscheinlichkeit erstellt - die blosse Möglichkeit genügt nicht -, so hat dieses als unbewiesen zu gelten, was sich zu Lasten der den Anspruch erhebenden Person auswirkt (<ref-ruling> E. 4b S. 140 mit Hinweis; Urteile 8C_709/2010 vom 31. Januar 2011 E. 2.2 und U 346/05 vom 20. Februar 2007 E. 2.2, je mit weiteren Hinweisen).
3.2. Die Verwaltung als verfügende Instanz und - im Beschwerdefall - das Gericht dürfen eine Tatsache nur dann als bewiesen annehmen, wenn sie von ihrem Bestehen überzeugt sind. Im Sozialversicherungsrecht gilt, soweit das Gesetz nicht etwas Abweichendes vorsieht, der Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5b S. 360). Bei sich widersprechenden Angaben der versicherten Person über den Unfallhergang ist auf die Beweismaxime hinzuweisen, wonach die sogenannten spontanen "Aussagen der ersten Stunde" in der Regel unbefangener und zuverlässiger sind als spätere Darstellungen, die bewusst oder unbewusst von nachträglichen Überlegungen versicherungsrechtlicher oder anderer Art beeinflusst sein können. Wenn die versicherte Person ihre Darstellung im Laufe der Zeit wechselt, kommt den Angaben, die sie kurz nach dem Unfall gemacht hat, meistens grösseres Gewicht zu als jenen nach Kenntnis einer Ablehnungsverfügung des Versicherers (<ref-ruling> E. 2a S. 47 mit Hinweisen). Der Grundsatz, wonach die ersten Aussagen nach einem schädigenden Ereignis in der Regel unbefangener und zuverlässiger sind als spätere Darstellungen, stellt eine im Rahmen der freien Beweiswürdigung zu berücksichtigende Entscheidungshilfe dar. Sie kann nur zur Anwendung gelangen, wenn von zusätzlichen Abklärungen keine neuen Erkenntnisse zu erwarten sind (RKUV 2004 Nr. U 524 S. 546 f., U 236/03 E. 3.3.4; Urteil 8C_696/2013 vom 14. November 2013 E. 2 mit Hinweis).
4.
4.1. Das kantonale Gericht schloss nach Würdigung der Aktenlage mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit darauf, dass sich am 2. Februar 2001 tatsächlich ein Unfall gemäss Schilderung laut schriftlicher Aussage des Dr. med. W._ vom 29. August 2009 ereignet hat. Es hielt es für nachvollziehbar, dass der Versicherte im Zustand der zunehmend auftretenden neurologischen Symptome anlässlich seiner nächtlichen notfallmässigen Arztkonsultation (vgl. hievor Sachverhalt lit. A) und der anschliessenden Verlegung per Ambulanz ins Spital Y._ anamnestisch nicht das Unfallereignis als Ursache seiner gesundheitlichen Störungen zu bezeichnen vermochte, und es erschien der Vorinstanz glaubhaft, dass der Beschwerdegegner erst bei einem Rehabilitationsaufenthalt im Sommer 2009 anlässlich eines Gespräches mit einem Mitpatienten auf die unfallbedingte Ursache seines Gesundheitsschadens aufmerksam wurde. Insbesondere fand das kantonale Gericht keine Anhaltspunkte dafür, dass die original-handschriftlichen Randbemerkungen auf einer Kopie des Austrittsberichts vom 9. März 2001 der Klinik für Neurologie des Kantonsspitals G._ nicht eindeutig von dem im Spital Y._ behandelnden Dr. med. M._ verfasst wurden, welcher am 11. März 2003 verstarb. Es stützte sich dabei unter anderem auf die Bestätigung vom 10. November 2011 des heutigen Chefarztes des Spitals Y._, Dr. med. T._, welcher schon 2001 als Vorgesetzter des behandelnden Dr. med. M._ in diesem Spital tätig war und die Echtheit der handschriftlichen Anmerkungen des Dr. med. M._ zweifelsfrei bescheinigte. Dr. med. M._ hielt auf seiner Kopie des Austrittsberichts des Kantonsspitals G._ entgegen den darin wiedergegebenen fremdanamnestischen Angaben der Ehegattin des Versicherten fest, dass während des Skiurlaubs zwei Wochen vor Hospitalisierung ein Sturz nach hinten auf den Kopf und während des Skifahrens zwei Stürze auf den Rücken zu verzeichnen waren.
4.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet die Echtheit der von Dr. med. M._ stammenden, original-handschriftlichen Anmerkungen auf dessen Kopie des Austrittsberichts des Kantonsspitals G._ zu Recht nicht. Demnach sind diese Anmerkungen vor dem Ableben des Dr. med. M._ am 11. März 2003 verfasst worden. Zwar bleibt - mit der Zürich - unklar, "unter welchen Umständen auch immer [diese Anmerkungen] zu Stande" gekommen sein mögen. Ungeachtet der konkret massgebend gewesenen Umstände steht jedoch fest, dass die Vornahme oder Veranlassung dieser handschriftlichen Berichtigung der im Austrittsbericht des Kantonsspitals G._ gegenteilig festgehaltenen fremdanamnestischen Angaben der Ehegattin des Beschwerdegegners nicht ziel- und zweckgerichtet im Hinblick auf eine daran anknüpfende unfallkausale Abwicklung der entsprechenden Gesundheitskosten erfolgte, also nicht von nachträglichen Überlegungen versicherungsrechtlicher Art (vgl. E. 3.2 hievor) beeinflusst war. Denn der Unfall wurde der Beschwerdeführerin erst mindestens sechseinhalb Jahre später nach dem letztmöglichen Zeitpunkt der handschriftlichen Erstellung dieser Anmerkung angemeldet, so dass offensichtlich kein Kausalzusammenhang zwischen dem Anbringen der handschriftlichen Randbemerkung des Dr. med. M._ und der viel späteren Geltendmachung von Unfallfolgen erkennbar ist. Entgegen der Beschwerdeführerin erhöht dies gerade die inhaltliche Aussagekraft und Glaubwürdigkeit der entsprechenden handschriftlichen Angaben des Dr. med. M._, ohne dass im Vergleich dazu den anfänglich gegenteiligen fremdanamnestischen Angaben der Ehegattin nach der Beweismaxime der "Aussage der ersten Stunde" (vgl. E. 3.2 hievor) ein höherer Beweiswert zukäme. Immerhin ist unbestritten, dass die Ehegattin am 2. Februar 2001 nicht Augenzeugin des strittigen Ereignisses sein konnte, weil sie damals nicht Skifahren ging. Statt dessen steht fest, dass sich der nach dem Skiurlaub verbleibende, vor der notfallmässigen Hospitalisierung am 17. Februar 2001 geklagte "leichte Schwindel" - abgesehen von einer vorübergehenden kurzen, etwa fünf Minuten anhaltenden Episode von Aphasie (Bericht des Spitals Y._ vom 21. Februar 2001) - nicht nur für den Versicherten und dessen Ehefrau als übliche Begleiterscheinung des vorbestehenden bekannten Bluthochdruckes präsentierte. Vielmehr blieben auch die Fachärzte des Spitals Y._ - trotz der anlässlich des notfallmässigen Spitaleintrittes nunmehr erheblich ausgeweiteten neurologischen Beschwerden - anfänglich bei derselben Interpretation der Eintrittssymptomatik (Bericht des Dr. med. M._ vom 21. Februar 2001). Es erscheint jedenfalls nachvollziehbar, dass sich der zuvor noch nie hospitalisiert gewesene Beschwerdegegner angesichts der kurzfristigen dramatischen Verschlechterung seines Gesundheitszustandes in der Nacht vom 16. auf den 17. Februar 2001 im Zeitpunkt der nächtlichen notfallmässigen Spitaleinlieferung mit Blick auf die kontinuierliche Ausweitung der Symptomatik während der ersten Stunden im Spital Y._ unter Berücksichtigung eines relativ harmlosen Sturzereignisses vom 2. Februar 2001, welches keine unmittelbar anschliessende ärztliche oder medikamentöse Behandlung erfordert und keine anhaltend einschränkenden Beeinträchtigungen zur Folge hatte, nicht in erster Linie darum sorgte, ob seine akuten gesundheitlichen Beschwerden unfall- oder krankheitsbedingter Genese seien, zumal er gemäss chronologischem Pflegebericht des Spitals Y._ infolge seiner körperlichen Defizite und der stark beeinträchtigten Kommunikationsfähigkeit als "sehr verzweifelt, müde und traurig" beschrieben wurde.
4.3. Obwohl die Zürich gegen die Glaubwürdigkeit der Ausführungen des Dr. med. W._ auf dessen "Ereignisprotokoll" vom 29. August 2009 zahlreiche Einwendungen und insbesondere eine Beeinflussung durch nachträgliche Überlegungen versicherungsrechtlicher oder anderer Art (vgl. E. 3.2 hievor) geltend macht, bringt die Beschwerdeführerin beispielsweise nirgends vor und sind auch keine entsprechende Anhaltspunkte dafür ersichtlich, dass die Zürich gegen Dr. med. W._ Strafanzeige wegen Falschbeurkundung eingereicht hätte. Entgegen der Zürich lässt sich weder aus dem Telefonat des Dr. med. W._ vom 18. Februar 2001 mit dem behandelnden Arzt des Spitals Y._, Dr. med. B._, noch aus der Kenntnisnahme von der Orientierungskopie des Austrittsberichts des Kantonsspitals G._ darauf schliessen, dass Dr. med. W._ stillschweigend zustimmend von einer bestimmten Kausalitätsbeurteilung oder gar von einer klaren Verneinung der Unfallkausalität der behandelten Beschwerden ausgegangen wäre. Sein fachärztlich begründetes Interesse dürfte damals aufgrund seiner freundschaftlichen Verbundenheit mit dem Versicherten nicht auf die versicherungsrechtliche Beurteilung der Kausalitätsfrage, sondern auf den Heilungsprozess gerichtet gewesen sein. Zum einen bildete die Frage nach dem Kausalzusammenhang nicht Gegenstand der Ausführungen des Austrittsberichts des Kantonsspitals G._ und zum anderen hatte Dr. med. W._ am 18. Februar 2001 das von Dr. med B._ ausgefüllte Formular offensichtlich nicht zu Gesicht bekommen. Sodann vermag die Zürich auch aus dem ärztlichen Zeugnis des Dr. med. M._ vom 28. Februar 2002 nichts zu ihren Gunsten abzuleiten, weil auch dieses Arbeitsunfähigkeitsattest ohne ausdrückliche Auswahl zwischen entweder Unfall- oder Krankheitskausalität lediglich die Dauer der Arbeitsunfähigkeit infolge der gesundheitlichen Beschwerden bescheinigte. Überdies steht fest, dass die anfängliche Interpretation der Eintrittssymptomatik durch Dr. med. M._ aufgrund der bereits dargelegten besonderen Umstände bei Einlieferung zunächst nicht als Unfallfolge qualifiziert wurde (vgl. hievor E. 4.2 i.f.). Die Frage nach der Kategorisierung eines Gesundheitsschadens entweder bei den Leiden krankheits- oder unfallbedingter Genese ist gerichtsnotorisch für den behandelnden Arzt mit Blick auf die von ihm in erster Linie anvisierte Heilung der Beschwerden regelmässig von untergeordneter Bedeutung insbesondere wenn - wie hier im Fall einer Dissektion der Aorta - grundsätzlich unterschiedliche Faktoren als mögliche Ursachen in Frage kommen (vgl. hievor E. 2 mit Hinweis). Inwieweit von zusätzlichen Abkärungen entscheidwesentliche neue Erkenntnisse zu erwarten wären, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Insbesondere hat die Vorinstanz überzeugend aufgezeigt, weshalb auf die Einvernahme des Dr. med. W._ als Zeuge in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 4b S. 94) verzichtet wurde.
4.4. Steht nach dem Gesagten mit dem kantonalen Gericht fest, dass sich am 2. Februar 2001 das geschilderte Sturzereignis tatsächlich mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit ereignet hat, und bestreitet die Beschwerdeführerin für diesen Fall den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen diesem Ereignis und dem gemäss Austrittsbericht des Kantonsspitals G._ vom 9. März 2001 diagnostizierten Gesundheitsschaden nicht (E. 2 hievor), so bleibt es folglich bei der diesbezüglich im Sinne des angefochtenen Entscheides bejahten Leistungspflicht nach UVG.
5.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 65 Abs. 4 lit. a in Verbindung mit <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Februar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Hochuli