Sachverhalt:
A.
A.a. Die Bergschule Brunnersberg wurde mit Beschluss des Regierungsrates des Kantons Solothurn vom 20. Januar 1998 ("Strukturelle Massnahmen zur Sanierung des Staatshaushaltes, Sofortmassnahmen in der Kompetenz des Regierungsrates") von einer "kantonalen Volksschule" in eine kommunale Kreisschule überführt. Die Trägerschaft für die Bergschule übernahmen am 1. August 1999 die vier betroffenen Gemeinden Aedermannsdorf, Laupersdorf, Matzendorf und Mümliswil-Ramiswil (vgl. Vereinbarung der vier Gemeinden über den Schulbetrieb vom 13. Januar 1999). Im Schuljahr 2012/2013 besuchten aus den umliegenden Berghöfen insgesamt sechs Kinder den Kindergarten bzw. sechs Schülerinnen und Schüler die Primarschule. Wöchentlich wurden 46 subventionsberechtigte Lektionen unterrichtet.
A.b. Aufgrund veränderter Rahmenbedingungen im Bildungswesen, in der Mobilität sowie im Angebot an Tagesstrukturen stellte sich für die Trägergemeinden die Frage nach der Wirksamkeit und Existenzberechtigung der Bergschule. Ein Bericht des kantonalen Volksschulamtes, Abteilung Schulaufsicht, kam am 10. Januar 2012 zum Schluss, dass die Bergschule Brunnersberg unter der Berücksichtigung des Modells einer Gesamtschule die Anforderungen, die sich an eine zeitgemässe öffentliche Schule stellen, nicht (mehr) erfülle.
Die Gemeinderäte der Einwohnergemeinde Mümliswil-Ramiswil bzw. Matzendorf beschlossen am 16. Mai bzw. 4. Juni 2012, die Vereinbarung zur Führung der Bergschule Brunnersberg per 31. Juli 2013 zu kündigen und Neuverhandlungen zur Führung der Schule aufzunehmen. Der Gemeinderat der Einwohnergemeinde Aedermannsdorf beschloss am 11. Juni 2012, die Vereinbarung zur Bergschule vom 13. Januar 1999 zu kündigen. Der Gemeinderat der Einwohnergemeinde Laupersdorf beauftragte am 2. Juli 2012 die Gemeindepräsidenten der vier Vertragsgemeinden, unter Berücksichtigung und Prüfung aller Aspekte eine neue Vereinbarung zu verhandeln. In der Folge beschlossen die Präsidien der vier Vertragsgemeinden mit Bericht und Antrag, den beteiligten Gemeinderäten zu beantragen, die Bergschule Brunnersberg auf Ende des Schuljahres 2013/2014 zu schliessen.
A.c. Am 25. April 2013 (Gemeinderat der Einwohnergemeinde Aedermannsdorf), am 29. April 2013 (Gemeinderat der Einwohnergemeinde Matzendorf), am 2. Mai 2013 (Gemeinderat der Einwohnergemeinde Mümliswil-Ramiswil) bzw. am 13. Mai 2013 (Gemeinderat der Einwohnergemeinde Laupersdorf) fassten die vier beteiligten Gemeinderäte den folgenden, jeweils gleich lautenden Beschluss:
"1. Auf die Ausarbeitung einer neuen Vereinbarung wird verzichtet.
2. Die Bergschule Brunnersberg wird nicht weitergeführt.
3. Die Aufhebung der Bergschule Brunnersberg erfolgt auf den 31. Juli 2014.
4. Alle widersprechenden Gemeinderatsbeschlüsse sind aufgehoben.
5. Die Gemeindepräsidien werden - unter Einbezug der Schulleitung Mümiswil-Ramiswil und Brunnersberg - beauftragt:
- die Schliessung und die damit verbundenen Massnahmen in die Wege zu leiten;
- die Neuorganisation vorzubereiten;
- den Gemeinderäten bis Ende September 2013 Bericht und Antrag zu
unterbreiten."
B.
Gegen die Beschlüsse der vier beteiligten Gemeinderäte gingen jeweils - im Wesentlichen gleich lautende - Beschwerden von betroffenen Eltern an den Regierungsrat des Kantons Solothurn ein. Sie beantragten allesamt die Aufhebung der Gemeinderatsbeschlüsse betreffend die Aufhebung der Bergschule Brunnersberg.
Mit jeweils separaten Beschlüssen Nr. 2013/1669, 2013/1670, 2013/1671 und 2013/1672 wies der Regierungsrat des Kantons Solothurn am 10. September 2013 mit - im Wesentlichen gleich lautender - Begründung die vier Beschwerden ab.
Am 7. Oktober 2013 erheben A.A._, B.A._, A.B._ und B.B._, alle Mümliswil (Verfahren 2C_919/2013), A.C._, B.C._, A.D._, B.D._, C.D._, D.D._, A.E._ und B.E._, alle Laupersdorf (Verfahren 2C_920/2013), A.F._ und B.F._, Matzendorf (Verfahren 2C_921/2013) sowie A.G._, B.G._, H._ und C.G._, alle Mümliswil (Verfahren 2C_922/2013) Beschwerde an das Bundesgericht. Die nunmehr anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer beantragen jeweils die Aufhebung der Beschlüsse der vier beteiligten Gemeinderäte sowie der Beschlüsse des Regierungsrates des Kantons Solothurn vom 10. September 2013; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an den Regierungsrat zurückzuweisen. Zudem wird beantragt, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen "dahingehend [...], dass die Schule so lange nicht geschlossen werden kann, als kein rechtskräftiger Entscheid vorliegt". Im Wesentlichen rügen sie eine Verletzung des Willkürverbots, des Gebots von Treu und Glauben sowie des rechtlichen Gehörs.
C.
Das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Solothurn beantragt im Namen des Regierungsrates des Kantons Solothurn mit jeweils gleichlautenden Eingaben Abweisung der Beschwerden. Die Gemeinderäte der Einwohnergemeinden Aedermannsdorf, Laupersdorf, Matzendorf und Mümliswil-Ramiswil beantragen ebenfalls Abweisung der Beschwerden sowie des Gesuchs um aufschiebende Wirkung. Mit Replik halten die Beschwerdeführer an ihren Auffassungen fest.

Erwägungen:
1.
Die vorliegenden Beschwerden richten sich gegen vier praktisch übereinstimmende Entscheide des Regierungsrates des Kantons Solothurn, enthalten im Wesentlichen die gleichen Rechtsbegehren und werfen identische Rechtsfragen auf. Es rechtfertigt sich deshalb, die Verfahren antragsgemäss zu vereinigen und die Beschwerden in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 60 f. mit Hinweis).
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob und inwieweit auf ein Rechtsmittel eingetreten werden kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 438).
2.1. Angefochten ist ein kantonaler Endentscheid in Sachen Schulorganisation. Es handelt sich dabei um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>, welche grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt.
2.2. Nach <ref-law> ist die Beschwerde jedoch nur gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen zulässig. Die Kantone setzen als unmittelbare Vorinstanzen des Bundesgerichts obere Gerichte ein, soweit nicht nach einem anderen Bundesgesetz Entscheide anderer richterlicher Behörden der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen (<ref-law>). Für Entscheide mit vorwiegend politischem Charakter können die Kantone anstelle eines Gerichts eine andere Behörde als unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts einsetzen (<ref-law>).
2.2.1. Gemäss § 47 des Gesetzes [des Kantons Solothurn] vom 15. November 1970 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen (Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRG/SO; BGS 124.11) beurteilt sich die Zuständigkeit der Verwaltungsgerichtsbehörden nach dem Gesetz über die Gerichtsorganisation und nach der Spezialgesetzgebung. Nach § 50 Abs. 2 lit. f des Gesetzes [des Kantons Solothurn] vom 13. März 1977 über die Gerichtsorganisation (GO/SO; BGS 125.12) ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht zulässig gegen Verfügungen und Entscheide des Regierungsrates über die Schulkreisbildung. Sie ist überdies gemäss § 50 Abs. 4 GO/SO nicht zulässig gegen Entscheide über die Genehmigung von zwischen Gemeinden geschlossenen Verträgen. Nach diesen Bestimmungen sind die angefochtenen Entscheide des Regierungsrates des Kantons Solothurn - zumindest sinngemäss - als kantonal letztinstanzlich zu betrachten.
2.2.2. Praxisgemäss handelt es sich bei den angefochtenen Beschlüssen sodann um Entscheide mit vorwiegend politischem Charakter im Sinne von <ref-law> (vgl. dazu ausführlich Urteil 2C_885/2011 vom 16. Juli 2012 E. 2.2.3 [Bildung eines Schulkreises Grindel-Bärschwil]). Die direkte Beschwerde ans Bundesgericht ist damit zulässig.
2.3. Die Beschwerdeführer sind von den angefochtenen Entscheiden formell beschwert und als Eltern von Kindern, welche die Bergschule Brunnersberg besuchen, auch materiell besonders berührt und zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerden ist somit grundsätzlich einzutreten (vgl. jedoch E. 2.4 hiernach).
2.4. Unzulässig sind die Rechtsmittel, soweit sie sich gegen die kantonal vorinstanzlichen Entscheide der beteiligten Gemeinderäte richtet, da diese durch die angefochtenen Beschlüsse ersetzt worden sind und als mit angefochten gelten (sog. Devolutiveffekt; vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 144; <ref-ruling> E. 1 S. 441).
3.
3.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
3.2. Das Bundesgericht legt sodann seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 bzw. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung wird hier von den Beschwerdeführern nicht als offensichtlich unrichtig beanstandet und ist somit für das Bundesgericht verbindlich.
4.
4.1. Vorab ist die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs zu prüfen. Die Beschwerdeführer machen geltend, sie hätten vor den beteiligten Gemeinderäten keine Gelegenheit gehabt, sich im vorliegenden Verfahren einzubringen und seien vor vollendete Tatsachen gestellt worden. Gemäss den Vorschriften des Verwaltungsverfahrens seien sie über jeden Verfahrensschritt zu orientieren und es sei ihnen Frist zu setzen für Stellungnahmen und Anträge. Der Regierungsrat geht demgegenüber davon aus, dass vorliegend keine individuell-konkrete Verfügung, sondern ein genereller Beschluss einer Gemeindebehörde angefochten sei, weshalb das rechtliche Gehör nicht habe gewährt werden müssen.
4.2. Die Frage, ob die Schliessung der Bergschule Brunnersberg eine individuell-konkrete Verfügung darstellt bzw. unter welchen Voraussetzungen von der Gewährung des rechtlichen Gehörs allenfalls abgewichen werden darf und ob solche Voraussetzungen hier erfüllt wären, kann vorliegend offen gelassen werden. Jedenfalls hatten die Beschwerdeführer vor dem Regierungsrat, dem insofern gemäss § 30 Abs. 1 VRG/SO volle Kognition zukommt, Gelegenheit, sich umfassend zur Sache zu äussern, womit eine allfällige Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör als geheilt gelten kann (statt vieler: Urteil 2C_446/2010 vom 16. September 2010 E. 4, in: ZBl 112/2011 S. 471).
4.3. Soweit die Beschwerdeführer sodann sinngemäss eine Verletzung der Ausstandspflicht durch die beteiligten kantonalen Departemente rügen, kann ihnen nicht gefolgt werden: Die Instruktion des Beschwerdeverfahrens vor dem Regierungsrat lag - wie aus den Verfahrensakten leicht erkennbar ist - in den Händen des Volkswirtschaftsdepartementes (Amt für Gemeinden). Die von den Beschwerdeführern erwähnte Beratung der beteiligten Gemeinderäte erfolgte durch das Departement für Bildung und Kultur (Amt für Volksschule und Kindergarten). Damit liegt keine Vorbefassung oder ein Ausstandsgrund für das vorinstanzliche Verfahren vor und das Vorgehen entspricht auch den gesetzlichen Vorgaben (§ 36bis VRG/SO).
5.
5.1. Die Beschwerdeführer rügen sodann, über die Kündigung der Vereinbarung zur Führung der Bergschule Brunnersberg hätten die Gemeindeversammlungen und nicht nur die Gemeinderäte der beteiligten Gemeinden entscheiden müssen. Die Beschlussfassung durch das falsche Organ habe die Nichtigkeit der Kündigung zur Folge. Weiter rügen die Beschwerdeführer, die Kündigungsfrist betrage drei Jahre, womit die Kündigung frühestens auf Ende Juli 2015 Wirkung entfalten könne.
5.2. Die in Frage stehende Vereinbarung ist unbestrittenermassen ein kantonalrechtlicher Vertrag und dessen angefochtene Kündigung erfolgte gestützt auf kantonales bzw. kommunales Recht. Ob der angefochtene Entscheid kantonales Recht verletzt, prüft das Bundesgericht jedoch nur auf Willkür hin und nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>, vgl. auch E. 3.1 hiervor). Willkürlich im Sinne von <ref-law> ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtssatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 7.1 S. 51 mit Hinweisen), was in der Beschwerde darzulegen ist.
5.3. Unter diesen Prämissen ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden:
5.3.1. Art. 8 der Vereinbarung regelt die Kündigung wie folgt: "Diese Vereinbarung kann mit einer Kündigungsfrist von drei Jahren auf Ende einer Amtsperiode der Lehrerschaft gekündigt werden. Der Austritt bedarf der Genehmigung durch das Erziehungs-Departement." In Bezug auf die Zuständigkeit hält die Vereinbarung in Art. 9 fest: "Diese Vereinbarung kann durch die Gemeindeversammlungen geändert werden. Eine Änderung bedarf der Zustimmung aller beteiligten Gemeinden [...]." Der Regierungsrat hat zu Recht ausgeführt, in Art. 9 sei nur die Änderung der Vereinbarung dem Beschluss der Gemeindeversammlung unterworfen worden und eine Kündigung stelle keine inhaltliche Veränderung der Vereinbarung dar, weshalb die Kündigung auch separat in Art. 8 der Vereinbarung geregelt worden sei. Sodann führen auch §§ 56 und 70 Abs. 2 des Gemeindegesetzes [des Kantons Solothurn] vom 16. Februar 1992 (GG/SO; BGS 131.1) zum selben Schluss. In § 56 GG/SO werden die nicht übertragbaren Befugnisse der Gemeindeversammlung abschliessend aufgezählt. Geschäfte, welche der Zusammenarbeit der Gemeinden dienen, fallen nur in die Kompetenz der Gemeindeversammlung, sofern die Aufwendungen einen in der Gemeindeordnung zu bestimmenden Betrag übersteigen. Bei einer Kündigung fallen jedoch - wie der Regierungsrat zu Recht ausgeführt hat - keine Aufwendungen an. Sodann hält § 70 Abs. 2 GG/SO fest, dass der Gemeinderat in allen Angelegenheiten beschliesst, die nicht in der Gesetzgebung, der Gemeindeordnung oder einem anderen rechtsetzenden Reglement ausdrücklich einem anderen Organ übertragen sind. Eine solche Übertragung an ein anderes Organ ist hier jedoch nicht ersichtlich, weshalb der Schluss der Vorinstanz, die Gemeinderäte der beteiligten Gemeinden seien für die Kündigung der Vereinbarung zuständig gewesen, zumindest unter dem (beschränkten) Gesichtswinkel der Willkür nicht zu beanstanden ist.
5.3.2. Was die Kündigungsfrist betrifft, scheint das Vorbringen der Beschwerdeführer, die Kündigung könne aufgrund der dreijährigen Frist frühestens auf Ende Juli 2015 Wirkung entfalten, prima vista einleuchtend. Allerdings hat der Regierungsrat für das Bundesgericht verbindlich festgestellt (vgl. E. 3.2 hiervor), dass die 2012 erfolgten Kündigungen durch die Gemeinderäte der beteiligten Gemeinden unangefochten blieben, weshalb diese Beschlüsse in Rechtskraft erwachsen seien. Aus diesem Grund hat der Regierungsrat in den angefochtenen Beschlüssen nicht mehr geprüft, ob die Kündigungsfrist eingehalten worden ist (vgl. angefochtene Beschlüsse E. 2.3.1). In Bezug auf die Gemeinde Laupersdorf (Verfahren 2C_920/2013) lag 2012 zwar noch keine Kündigung vor, aber angesichts der drei zeitlich vorausgegangenen Kündigungen der übrigen Vertragsgemeinden hat der Regierungsrat zu Recht ausgeführt, dass es sich beim Beschluss des Gemeinderates Laupersdorf um die Kenntnisnahme, dass die Bergschule ab 31. Juli 2014 nicht mehr existiere, handle, da die Vereinbarung bereits zuvor faktisch dahingefallen sei. Diese Feststellungen des Sachverhalts werden in der Beschwerdeschrift nicht als offensichtlich unrichtig gerügt und die Beschwerdeführer setzen sich nicht mit der Frage der Rechtskraft der Kündigungsbeschlüsse auseinander, weshalb das Bundesgericht an die vorinstanzlichen Feststellungen gebunden ist. Damit erweist sich der Schluss der Vorinstanz, die Rechtsmässigkeit der Kündigung sei in den angefochtenen Entscheiden nicht mehr zu überprüfen, im Rahmen der Willkürprüfung als haltbar.
5.4. Soweit die Beschwerdeführer ausführen, die Aufhebung der Bergschule führe zu unzumutbaren Schul- bzw. Transportwegen und verletze Art. 109 der Verfassung des Kantons Solothurn vom 8. Juni 1986 (KV/SO; BGS 111.1), kann ihnen nicht gefolgt werden. Art. 109 KV/SO hält lediglich fest, dass der Kanton wirtschaftliche, standortbedingte und andere Erschwernisse des Schulbesuchs beseitigt oder mindert. Daraus lässt sich jedoch nicht ableiten, dass die Schliessung eines einzelnen Schulhauses verfassungswidrig wäre. Dies gilt umso mehr, als für die betroffenen Kinder hier offenbar ein Schülertransport vorgesehen ist. Allenfalls wird im Zusammenhang mit der zu einem späteren Zeitpunkt vorzunehmenden konkreten Zuteilung von einzelnen Schülerinnen und Schülern in ein bestimmtes Schulhaus der verfassungsmässige Anspruch auf ausreichenden Grundschulunterricht (<ref-law>) bzw. der daraus abgeleitete Anspruch auf einen zumutbaren Schulweg (<ref-ruling> E. 3.1 S. 159) zu diskutieren sein; im vorliegenden Beschwerdeverfahren ist darauf aber nicht näher einzugehen.
5.5. Die Beschwerdeführer bezeichnen schliesslich die Berichte der involvierten Ämter und Experten im Zusammenhang mit der Bergschule als "unbrauchbar" und "falsch" diesbezüglich fehlt es aber an einer rechtsgenüglich begründeten Rüge im Sinne von <ref-law> (vgl. E. 3.1 hiervor). Das gleiche gilt für die Vorbringen im Zusammenhang mit der Gesamtkostenabrechnung, wonach keine konkrete (finanzielle) Interessenabwägung stattgefunden habe bzw. "keine sachlichen Gründe" für den Schliessungsentscheid vorliegen sollen.
6.
Insgesamt beruhen die angefochtenen Entscheide somit nicht auf einer willkürlichen Auslegung oder Anwendung des kantonalen Rechts. Es liegt auch kein Verstoss gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör und den Grundsatz von Treu und Glauben vor.
Die Beschwerden sind aus diesen Gründen abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens tragen die Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (<ref-law>).
Mit dem Entscheid in der Hauptsache wird das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_919/2013, 2C_920/2013, 2C_921/2013 und 2C_922/2013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden mit Fr. 1'500.-- pro Verfahren den jeweiligen Beschwerdeführern auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Regierungsrat des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger