Erwägungen:
1. Die Eheleute A._, geb. 1964, und B._, geb. 1968, beide algerische Staatsangehörige, reisten im Sommer 2002 zusammen mit ihren damals drei Kindern in die Schweiz ein und stellten ein Asylgesuch. Das Gesuch wurde abgewiesen, unter Anordnung der Wegweisung und des Wegweisungsvollzugs; die gegen den negativen Asylentscheid erhobene Beschwerde wurde am 5. April 2005 abgewiesen. Am 20. September 2007 lehnte die Sicherheitsdirektion (Migrationsamt) des Kantons Zürich ein Gesuch der Eheleute A._ und B._ sowie ihrer mittlerweile fünf Kinder um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung gemäss <ref-law> und Weiterleitung zur Zustimmung an das Bundesamt für Migration ab. Am 18. Februar 2008 teilte die Sicherheitsdirektion der Familie mit, dass die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung weiterhin ausser Betracht falle. Im Rahmen der Instruktion des am 20. Februar 2008 beim Regierungsrat des Kantons Zürich eingeleiteten Rekursverfahrens stellte die Staatskanzlei des Kantons Zürich dem Ehepaar A._ und B._ mit Schreiben vom 25. Juni 2008 einen Nichteintretensentscheid des Regierungsrats in Aussicht und schlug einen Beschwerderückzug vor. Gegen dieses Schreiben erhob die Familie am 1. Juli 2008 Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Zürich; mit Beschluss vom 22. Juli 2008 trat dieses darauf nicht ein. Bereits zuvor, am 16. Juli 2008, war der Regierungsrat des Kantons Zürich auf den bei ihm hängigen Rekurs nicht eingetreten.
Mit "Beschwerde gegen die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich" vom 29. Juli (Postaufgabe: 30. Juli) 2008 beantragen A._ und B._ für sich und ihre Kinder dem Bundesgericht, das Schreiben des Migrationsamtes des Kantons Zürich "vom 20. September 2007 bis 18.02.2008", das Schreiben der Staatskanzlei vom 25. Juni 2008 sowie den Beschluss des Regierungsrats vom 16. Juli 2008 aufzuheben. Nicht ausdrücklich, sondern höchstens sinngemäss beantragt wird die Aufhebung des Nichteintretensbeschlusses des Verwaltungsgerichts vom 22. Juli 2008.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Die Beschwerdeführer sind ab- und weggewiesene Asylbewerber. Gemäss <ref-law> kann eine asylsuchende Person ab Einreichung des Asylgesuches bis zur Ausreise nach einer rechtskräftig angeordneten Wegweisung kein Verfahren um Erteilung einer ausländerrechtlichen Aufenthaltsbewilligung einleiten, ausser es bestehe ein Anspruch auf deren Erteilung. Nun kann ein Kanton mit Zustimmung des Bundesamtes einer ihm nach dem Asylgesetz zugewiesenen Person, die sich seit Einreichung des Asylgesuchs mindestens fünf Jahre in der Schweiz aufhält, eine Aufenthaltsbewilligung erteilen, wenn wegen fortgeschrittener Integration ein schwerwiegender persönlicher Härtefall vorliegt (<ref-law>); will er von dieser Möglichkeit Gebrauch machen, so meldet er dies dem Bundesamt unverzüglich (<ref-law>); die betroffene Person hat nur beim Zustimmungsverfahren des Bundesamtes Parteistellung (<ref-law>). Aus dieser Regelung ergibt sich, dass abgewiesenen Asylbewerbern, die wie die Beschwerdeführer weder aus einer bundesgesetzlichen Norm noch aus Völkerrecht einen Bewilligungsanspruch ableiten können, kein Recht zusteht, einen Bewilligungsantrag zu stellen bzw. ein entsprechendes kantonales Verfahren zu beantragen und zu durchlaufen. Dies bedeutet, dass die Beschwerdeführer einen (letztinstanzlichen) kantonalen Entscheid, der die Frage einer Bewilligungserteilung nach <ref-law> zum Gegenstand hat, nicht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anfechten können (vgl. <ref-law>). Als bundesrechtliches Rechtsmittel käme höchstens die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Betracht, mit welcher ausschliesslich die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-law>), wobei in der Beschwerdeschrift konkret aufzuzeigen wäre, inwiefern solche Rechte verletzt worden sein sollen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Abgesehen davon, dass die Beschwerdeführer in keiner Weise darlegen, inwiefern der rein verfahrensrechtlich motivierte Nichteintretensbeschluss des Regierungsrats (oder derjenige des Verwaltungsgerichts) gegen verfassungsmässige Rechte verstossen könnte, haben sie mangels Bewilligungsanspruchs und wegen Fehlens jeglicher Parteistellung im kantonalen Verfahren kein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung der Nichteintretensbeschlüsse (vgl. <ref-law>), weshalb sie unter keinem Titel zur subsidiären Verfassungsbeschwerde legitimiert sind.
Auf die offensichtlich unzulässige bzw. einer hinreichenden Begründung entbehrende Beschwerde (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG) ist im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten.
Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten (<ref-law>) den Beschwerdeführern 1 und 2 (Eltern) je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden den Beschwerdeführern 1 und 2 je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Sicherheitsdirektion und dem Regierungsrat des Kantons Zürich sowie zur Kenntnisnahme dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. August 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller