Faits:
Faits:
A. C._, née en 1945, a une formation de sténo-dactylo. Mariée, sans enfant, elle n'a plus exercé d'activité lucrative depuis 1980 et est ménagère à plein temps. Son époux est retraité.
Souffrant d'affections rhumatismales et psychiatriques, elle a demandé le versement d'une rente d'invalidité le 30 janvier 2001. Au nombre des affections ayant des répercussions sur la capacité de travail, le docteur A._, spécialiste en médecine interne et médecin traitant, a fait état d'un syndrome lombo-vertébral sur hernie discale médiane L5-S1 opérée, de sclérose osseuse III du cotyle fémoral gauche, d'état anxio-dépressif et de fibromyalgie (rapport du 19 mars 2001).
L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a diligenté une enquête économique sur le ménage, dont il est ressorti que l'assurée présentait une invalidité de 51 % (rapport de l'enquêtrice du 5 mars 2002). Mandatée par l'office AI, la doctoresse G._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie, a fait état d'un trouble douloureux chronifié, d'une spondylodiscarthrose L5-S1 stable radiologiquement, d'une sclérose du toit du cotyle gauche d'origine indéterminée, d'ostéopénie, d'une discrète cervicarthrose, ainsi que d'un status après fracture de la cheville gauche en février 2002 (rapport du 14 octobre 2002). A son avis, ces affections entraînent une limitation globale de 10 à 20 % dans l'accomplissement des tâches ménagères; un taux supérieur serait à mettre en relation avec des affections d'ordre psychique. L'office AI a dès lors requis un examen psychiatrique de l'assurée qui a été conduit par le Service médical régional AI (SMR). Dans leur rapport du 5 décembre 2002, les doctoresses V._, médecin-cheffe et L._, psychiatre, ont diagnostiqué des troubles dépressifs récurrents, épisode actuel léger avec syndrome somatique, un syndrome douloureux somatoforme persistant, une personnalité dépendante, avec des traits narcissiques, ainsi qu'un syndrome de dépendance à l'alcool actuellement abstinente. A leur avis, d'un point de vue psychiatrique, l'assurée n'a plus de capacité de travail dans une activité professionnelle; en revanche, elle conserve une capacité de 90 % dans ses tâches ménagères. Le 11 décembre 2002, la doctoresse V._ a précisé que le trouble dépressif engendre une fatigue et une anxiété lorsqu'il s'agit de sortir de la routine casanière, ce qui empêche l'assurée d'exercer toute activité professionnelle depuis de nombreuses années. En revanche, cette pathologie psychiatrique n'entraîne pas de perturbation dans l'accomplissement des tâches ménagères au-delà de 10 %.
Par décision du 28 février 2003, confirmée sur opposition le 4 juillet 2003, l'office AI a rejeté la demande de prestations.
Par décision du 28 février 2003, confirmée sur opposition le 4 juillet 2003, l'office AI a rejeté la demande de prestations.
B. C._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud en concluant à l'octroi d'une rente, au moins partielle.
Par jugement du 10 mars 2004, la juridiction cantonale a admis le recours, en ce sens qu'elle a renvoyé la cause à l'office AI afin qu'il fasse procéder une expertise psychiatrique de l'assurée et rende une nouvelle décision.
Par jugement du 10 mars 2004, la juridiction cantonale a admis le recours, en ce sens qu'elle a renvoyé la cause à l'office AI afin qu'il fasse procéder une expertise psychiatrique de l'assurée et rende une nouvelle décision.
C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation. En bref, il estime que le rapport d'expertise psychiatrique du SMR est probant et que le complément d'instruction ordonné est superflu.
L'intimée conclut au versement d'une rente, au moins partielle.
Quant à l'Office fédéral des assurances sociales, il se rallie aux conclusions de l'administration.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur la nécessité de la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique pour statuer sur le droit de l'intimée à des prestations de l'assurance-invalidité.
L'intimée n'a pas recouru contre le jugement du 10 mars 2004, si bien que sa conclusion tendant au versement d'une rente n'a que valeur de proposition au juge. Le Tribunal fédéral des assurances dispose en effet d'un pouvoir d'examen étendu et il peut s'écarter des conclusions des parties à l'avantage ou au détriment de celles-ci (art. 132 OJ).
L'intimée n'a pas recouru contre le jugement du 10 mars 2004, si bien que sa conclusion tendant au versement d'une rente n'a que valeur de proposition au juge. Le Tribunal fédéral des assurances dispose en effet d'un pouvoir d'examen étendu et il peut s'écarter des conclusions des parties à l'avantage ou au détriment de celles-ci (art. 132 OJ).
2. 2.1 Les parties s'accordent à admettre que l'intimée consacre entièrement son temps à la tenue de son ménage.
La solution du litige ressortit ainsi à l'<ref-law>, dans sa teneur en vigueur du 1er janvier au 31 décembre 2003. D'après cette disposition réglementaire, l'invalidité des assurés qui n'exerçaient pas d'activité lucrative au sens de l'<ref-law> est évaluée en fonction de l'empêchement d'accomplir leur travaux habituels (al. 1). Par travaux habituels des personnes travaillant dans le ménage et n'exerçant pas d'activité lucrative, on entend l'activité usuelle dans le ménage, l'éducation des enfants ainsi que l'engagement caritatif non rémunéré (al. 2, première phrase).
2.2 Pour évaluer l'invalidité des assurés travaillant dans le ménage, l'administration procède à une enquête sur les activités ménagères et fixe l'empêchement dans chacune des activités habituelles conformément au supplément 1 à la Circulaire concernant l'invalidité et l'impotence de l'assurance-invalidité établie par l'OFAS (CIIAI; spécialement ch. 3095), dans sa teneur - valable en l'occurrence (<ref-ruling> consid. 1b) - en vigueur en 2003. Alors que les anciennes directives concernant l'invalidité et l'impotence de l'OFAS (DII), en vigueur depuis le 1er janvier 1985, indiquaient des taux fixes pour chaque domaine d'activité, la nouvelle circulaire mentionne des taux minimum et maximum, dans le cadre desquels la part respective de chaque domaine doit être fixée. Comme la Cour de céans l'a jugé à plusieurs reprises en ce qui concerne les anciennes directives (RCC 1986 p. 248 consid. 2d; arrêts F. du 6 mai 2002, I 526/01, et G. du 9 avril 2001, I 654/00; arrêts non publiés C. du 22 août 2000, I 102/00 et H. du 15 novembre 1999, I 331/99), la conformité aux articles 5 al. 1 LAI et 27 al. 1 et 2 RAI de cette pratique administrative doit être admise (arrêt S. du 4 septembre 2001, I 175/01).
2.3 Dans un arrêt du 22 décembre 2003, publié dans la VSI 2004 p. 137, le Tribunal fédéral des assurances a précisé sa jurisprudence relative à l'évaluation de l'invalidité d'assurés travaillant dans le ménage. Il a considéré qu'en cas d'atteinte à la santé psychique, l'enquête sur les activités ménagères est un moyen de preuve approprié pour évaluer l'invalidité de ces personnes. Toutefois, en cas de divergences entre les résultats de l'enquête économique sur le ménage et les constatations d'ordre médical relatives à la capacité d'accomplir les travaux habituels, celles-ci ont, en règle générale, plus de poids que l'enquête à domicile.
2.3 Dans un arrêt du 22 décembre 2003, publié dans la VSI 2004 p. 137, le Tribunal fédéral des assurances a précisé sa jurisprudence relative à l'évaluation de l'invalidité d'assurés travaillant dans le ménage. Il a considéré qu'en cas d'atteinte à la santé psychique, l'enquête sur les activités ménagères est un moyen de preuve approprié pour évaluer l'invalidité de ces personnes. Toutefois, en cas de divergences entre les résultats de l'enquête économique sur le ménage et les constatations d'ordre médical relatives à la capacité d'accomplir les travaux habituels, celles-ci ont, en règle générale, plus de poids que l'enquête à domicile.
3. 3.1 A l'issue de ses investigations, l'enquêtrice a fixé à 51 % l'empêchement global dans les activités habituelles (rapport d'enquête économique du 5 mars 2002). Les médecins qui ont examiné l'intimée sont en revanche parvenus à une appréciation différente. D'un point de vue rhumatologique, ces affections entraînent tout au plus une limitation globale de 10 à 20 % dans les tâches ménagères (rapport de la doctoresse G._ du 14 octobre 2002), tandis que la pathologie psychiatrique de l'intimée ne justifie pas de perturbation au-delà de 10 % (rapport des doctoresses V._ et L._, du 5 décembre 2002; rapport complémentaire du 11 décembre 2002).
En cas de divergences entre les conclusions médicales et celles de l'enquête économique, il y a lieu, en règle générale, de se fonder sur les premières, conformément aux principes qui viennent d'être exposés. Pour cela, il faut bien sûr que les rapports médicaux en cause aient valeur probante au sens de la jurisprudence, à savoir notamment que les points litigieux aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que les rapports se fondent sur des examens complets et que les conclusions des experts soient dûment motivées (<ref-ruling> consid. 3a, 122 V 160 consid. 1c et les références).
3.2 En ce qui concerne les affections physiques et leur influence sur la capacité de travail de l'intimée, la doctoresse G._ a expliqué de façon complète, détaillée et convaincante ce qui l'a conduite à s'écarter de l'appréciation de l'enquêtrice. Ainsi que la juridiction cantonale de recours l'a admis à juste titre, son rapport d'expertise du 14 octobre 2002 a valeur probante.
Les premiers juges ont en revanche considéré qu'il était difficile d'admettre, avec les médecins du SMR, que les troubles psychiques n'affectent pratiquement pas la capacité de travail de l'intimée au sein du ménage, alors que dans le même temps ces problèmes entraînent une incapacité totale de travailler dans le circuit économique. A cet égard, le Tribunal cantonal reproche à l'expert de n'avoir pas justifié les raisons pour lesquelles les limitations fonctionnelles psychiatriques (anxiété, surmenage, fatigue, tristesse, évolution chronique de la maladie, déconditionnement, fragilité psychologique), entièrement invalidantes dans une activité lucrative, ne le seraient quasiment pas dans ses tâches ménagères. L'appréciation psychiatrique serait par ailleurs incomplète dans la mesure où l'aide de l'époux dans l'accomplissement des tâches ménagères n'a pas été abordée dans le rapport d'expertise, que l'époque à laquelle auraient débuté les différentes incapacités de travail reste inexpliquée (100 % dès 1982 dans toute activité professionnelle, 10 % dès 1990 dans les travaux ménagers), d'autant qu'il n'est pas fait état d'une aggravation de l'état de santé. Par ailleurs, la juridiction cantonale estime que le rapport d'expertise n'aborde pas de manière approfondie la question des troubles somatoformes et qu'il n'indique pas s'ils sont ou non invalidants dans l'accomplissement des tâches ménagères. En conséquence, le Tribunal des assurances a renvoyé la cause à l'office AI afin qu'il fasse élucider ces points par une expertise psychiatrique de l'assurée.
3.3 Dans leur rapport du 5 décembre 2002, les doctoresses V._ et L._ justifient l'incapacité totale de travailler de l'intimée dans une activité lucrative par diverses limitations fonctionnelles psychiatriques qu'elles énumèrent comme suit : anxiété, surmenage, fatigue, tristesse, évolution chronique de la maladie, déconditionnement, fragilité psychologique. En revanche, les prénommées ne discutent pas le rôle que ces mêmes facteurs pourraient avoir, le cas échéant, sur l'étendue de la capacité de travail de l'intimée dans ses tâches ménagères. L'office recourant tente de combler cette lacune en alléguant que dans un cadre familier, l'intimée peut accomplir ses travaux sans stress ni exigence de productivité, sans subir de contrainte de délai, en avançant à son rythme.
Cette explication, qui paraît défendable à premier abord, ne repose toutefois pas sur une appréciation médicale. Or ce n'est pas à l'administration mais au médecin qu'il incombe de porter un jugement sur l'état de santé et d'indiquer dans quelle mesure et pour quelles activités l'assuré est incapable de travailler, les données médicales constituant un élément utile pour déterminer quels travaux on peut encore, raisonnablement, exiger de l'assuré (<ref-ruling> consid. 4, 115 V 134 consid. 2, 114 V 314 consid. 3c, 105 V 158 consid. 1). A cet égard, les médecins du SMR ont uniquement laissé entendre, sans l'attester, que les limitations psychiatriques invalidantes à l'exercice d'une activité lucrative n'entravent que très marginalement l'accomplissement des tâches ménagères. Leurs explications du 5 décembre 2002 sont donc insuffisantes, comme les premiers juges l'ont admis à juste titre.
Quant au trouble somatoforme, on en ignore l'acuité, pas plus qu'on ne sait si l'intimée dispose de suffisamment de ressources pour surmonter ses douleurs, la psychiatre du SMR n'ayant pas abordé cet aspect pourtant décisif du dossier. Ce point devra donc faire l'objet d'un nouvel examen psychiatrique afin de pouvoir appliquer correctement la jurisprudence (cf. <ref-ruling>).
En d'autres termes, l'aspect psychiatrique du dossier n'a pas été abordé à satisfaction, si bien que le complément d'enquête ordonné était justifié. Comme la cause n'est pas en état d'être jugée, il n'y a pas lieu, à ce stade, d'aborder plus avant les différents éléments que l'office AI aborde dans son recours, notamment l'état d'anxiété et de tristesse, la fragilité et la fatigue psychologique, ainsi que le déconditionnement psychique de l'intimée.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud, à la Caisse cantonale vaudoise de compensation AVS et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 17 janvier 2006
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
La Présidente de la IIe Chambre: Le Greffier: