Sachverhalt:
Das Bundesgericht trat auf die Beschwerde des K._ vom 2. Februar 2012 gegen den Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 5. Oktober 2011 nicht ein; die gesetzliche Rechtsmittelfrist war bereits mit dem 1. Februar 2012 abgelaufen (Urteil 9C_132/2012 vom 20. Februar 2012).
Der Rechtsvertreter und dessen Substitutin reichen namens des Versicherten ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Beschwerdeeinreichung ein. Beantragt wird die Aufhebung des Urteils vom 20. Februar 2012; die Beschwerde vom 2. Februar 2012 sei materiell zu beurteilen. Für die Prozesskosten sei der Kostenerlass zu gewähren. Auf die Begründung des Gesuchs wird, soweit erforderlich, in den Erwägungen eingegangen.

Erwägungen:
1. 1.1 Ist eine Partei oder ihr Vertreter beziehungsweise ihre Vertreterin durch einen anderen Grund als die mangelhafte Eröffnung unverschuldeterweise abgehalten worden, fristgerecht zu handeln, so wird die Frist wiederhergestellt, sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt (Art. 50 Abs. 1 BGG).
1.2 Nach Art. 50 Abs. 2 BGG kann die Fristwiederherstellung auch nach Eröffnung des Urteils bewilligt werden; wird sie bewilligt, so wird das Urteil aufgehoben. Der Umstand, dass das Bundesgericht mit Urteil 9C_132/2012 vom 20. Februar 2012 auf die Beschwerde vom 2. Februar 2012 zufolge verspäteter Beschwerdeerhebung nicht eingetreten und der Prozess mithin bereits abgeschlossen ist, steht einer Behandlung des Gesuchs nicht entgegen. Wenn das Gesuch begründet sein sollte, führt es - gleich einem erfolgreichen Revisionsgesuch - zur Aufhebung des rechtskräftigen Bundesgerichtsentscheids (Urteil 4F_6/2009 vom 1. Juli 2009 E. 1.3; vgl. Urteil H 44/05 vom 11. April 2005 E. 1.3).
1.3 Die dreissigtägige Frist zur Einreichung des Gesuchs ist eingehalten, da der Rechtsvertreter vor Eröffnung des bundesgerichtlichen Nichteintretensentscheids am 28. Februar 2012 glaubhaft keine Kenntnis von der Nichteinhaltung der Rechtsmittelfrist hatte.
2.1 2.1.1 Der Rechtsvertreter des Versicherten hat die Bearbeitung der Beschwerde an das Bundesgericht wenigstens teilweise an eine juristische Mitarbeiterin delegiert ("Rahmenvertrag für Arbeit auf Abruf" vom 16./17. Januar 2012). Im Gesuch wird ausgeführt, diese Mitarbeiterin leide an einer nicht generalisierten sozialen Phobie (spezifische Prüfungsangst). Im Auftrag des - damals noch nicht um diese gesundheitliche Problematik wissenden - Rechtsvertreters habe sie gleich nach Übernahme der Dossierbearbeitung Mitte Januar 2012 den Fristenlauf bestimmt. Das Versehen bei der Fristberechnung könne im Nachhinein nur durch krankheitsbedingte Blackouts erklärt werden. Das geltend gemachte Leiden der Mitarbeiterin ist durch einen Verlaufsbericht der Klinik X._ vom 17. Februar 2012 belegt; die Betroffene nahm dort seit Ende Oktober 2011 im Hinblick auf Anwaltsprüfungen eine kognitiv-behaviorale Psychotherapie wahr, unter anderem um panikähnliche Angstanfälle, Konzentrationsschwächen und Blackouts, die namentlich in Prüfungssituationen auftreten, zu bekämpfen.
Nachdem sie die mündlichen Anwaltsprüfungen im Dezember 2011 nicht bestanden hatte - so weiter die Gesuchsteller -, habe sich die Mitarbeiterin bei der Auseinandersetzung mit der beim Bundesgericht einzureichenden Beschwerde wiederum mit einer prüfungsähnlichen Situation konfrontiert gesehen. Die demzufolge aufgetretene Symptomatik habe sie zunächst mit den nur kurze Zeit zurückliegenden mündlichen Anwaltsprüfungen in Verbindung gebracht. Aufgrund des Denkfehlers, wie er zum Fristversäumnis geführt habe, und weiteren bei der Einreichung der Beschwerdeschrift vom 2. Februar 2012 aufgetretenen Aussetzern habe sie die zuvor vermeintlich erfolgreich abgeschlossene Therapie im Februar 2012 wieder aufgenommen.
2.1.2 In rechtlicher Hinsicht machen der Rechtsvertreter und seine Substitutin geltend, das für die Wiederherstellung der versäumten Frist erforderliche unverschuldete Hindernis für ein fristgerechtes Handeln liege in den Symptomen der sozialen Phobie, deren konkrete Folge (unrichtiges Vorgehen bei der Fristberechnung) der betroffenen Mitarbeiterin nicht bewusst gewesen sei. Dem Rechtsvertreter sei keine mangelhafte Organisation, Instruktion oder Beaufsichtigung der beigezogenen qualifizierten Mitarbeiterin, einer Juristin mit Berufserfahrung, vorzuwerfen, zumal er von deren gesundheitlichen Problemen zu diesem Zeitpunkt nichts gewusst und sich auch nicht habe veranlasst sehen müssen, an der Zusicherung seiner Mitarbeiterin zu zweifeln, der Fristablauf sei korrekt ermittelt.
2.2 Ein Krankheitszustand bildet, wenn und solange er jegliches auf die Fristwahrung gerichtete Handeln verunmöglicht, ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis (vgl. <ref-ruling>; <ref-ruling>). Entscheidend für die Frage des unverschuldeten Hindernisses ist, ob das Leiden sich derart auf die Konzentrationsfähigkeit ausgewirkt hat, dass ein Vorwurf der mangelnden Aufmerksamkeit bei der Fristberechnung entfallen müsste (Urteil 6S.54/2006 vom 2. November 2006 E. 2.2.2).
Es muss offenbleiben, ob die dargelegten Symptome grundsätzlich geeignet sein können, ein unverschuldetes Hindernis für fristgerechtes Handeln annehmen zu lassen. Denn aufgrund des konkreten Hergangs fehlt es am kausalen Zusammenhang zwischen den gesundheitlichen Problemen der juristischen Mitarbeiterin und der fehlerhaften Fristberechnung. Mit Blick auf den Verlaufsbericht der Klinik X._ ist es zwar nachvollziehbar, dass unter dem Zeitdruck, wie er bei Abschluss der Rechtsschrift vorhanden gewesen sein mag, Blackouts aufgetreten sind. Jedoch erfolgten die Fristberechnung und die Festlegung des Einreichungstermins schon zu Beginn der Bearbeitung der Beschwerdeschrift. Hätte sich die Symptomatik bereits zu diesem Zeitpunkt in der geltend gemachten Intensität ausgewirkt, so wäre die Substitutin in der Folge kaum in der Lage gewesen, die Beschwerdesache weitgehend selbständig materiell zu bearbeiten. Unter diesen Umständen ist nicht nachvollziehbar, inwiefern das Versehen in der Fristberechnung gleichsam unausweichlich gewesen sein sollte.
2.3 Fehlt es am Nachweis, dass das psychische Leiden bzw. eine durch dieses hervorgerufene Konzentrationsstörung für die fehlerhafte Fristberechnung ursächlich war, so besteht keine durch Art. 50 BGG abgedeckte Rechtfertigung, die Frist wiederherzustellen.
3. Abgesehen von dem in E. 2 Gesagten kommt eine Wiederherstellung auch deswegen nicht in Betracht, weil der angeblich zur Nichteinhaltung der Beschwerdefrist führende Umstand weder den Versicherten selber noch den ordnungsgemäss bevollmächtigten Rechtsvertreter (vgl. die im Verfahren 9C_132/2012 aufgelegte Anwaltsvollmacht vom 13. April 2011) betrifft.
4. Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird umständehalber verzichtet (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch um Wiederherstellung der Frist wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. April 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub