Sachverhalt:
A. Der Gemeinderat Meierskappel bewilligte X._ am 14. April 2003 den Ersatzbau eines Schopfs (Autounterstand) und einen Keller mit Geräteunterstand auf ihren in der zweigeschossigen Wohnzone im Gebiet Stalden gelegenen Grundstücken Nrn. 395 und 466, GB Meierskappel. Zugleich verpflichtete er die Bauherrschaft, bis zum Baubeginn eine Bescheinigung über das Zustandekommen eines auf privatrechtlicher Basis geregelten Zufahrtsrechts vorzulegen. Gegen diese Auflage erhob X._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 26. Februar 2004 guthiess. Den angefochtenen Entscheid der Gemeinde hob es auf und wies die Sache zufolge fehlender rechtlicher und eventuell auch tatsächlicher Erschliessung an den Gemeinderat Meierskappel zurück.
B. Am 21. August 2003 ersuchte X._ den Gemeinderat Meierskappel um Ausarbeitung eines Strassenprojekts gemäss § 59 Abs. 2 des kantonalen Strassengesetzes vom 21. März 1995 (StrG/LU; SRL 755) für die Erschliessung der Grundstücke Nrn. 395 und 466. Mit Entscheid vom 16. August 2004 wies der Gemeinderat Meierskappel dieses Gesuch ab. Zugleich verweigerte er die Baubewilligung für den Neubau des Autounterstands und des Kellers auf den Grundstücken Nrn. 395 und 466. Mit Ergänzungsentscheid vom 4. September 2006 erledigte der Gemeinderat die eingegangenen Einsprachen. An der Abweisung des Baugesuchs und des Gesuchs um Ausarbeitung eines Strassenprojekts für die Erschliessung der Grundstücke Nrn. 395 und 466 hielt er fest.
Gegen die Verweigerung der Baubewilligung und der Ausarbeitung eines Strassenprojekts gelangte X._ an das kantonale Verwaltungsgericht. Sie beantragte unter anderem, der Entscheid des Gemeinderats Meierskappel vom 16. August 2004 sei aufzuheben und dieser sei zu verpflichten, ein Strassenprojekt für die Erschliessung der Grundstücke Nrn. 395 und 466 auszuarbeiten und öffentlich aufzulegen. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde nach Durchführung eines Augenscheins mit Urteil vom 24. September 2007 im Wesentlichen ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 29. Oktober 2007 beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 24. September 2007 sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei die Baubewilligung des Gemeinderats Meierskappel vom 14. Februar (recte: 14. April) 2003 für den Ersatzbau des bisherigen Schopfs wiederherzustellen. Subeventualiter sei die Vorinstanz anzuweisen, das Verfahren nach § 59 Abs. 2 StrG/LU wieder aufzunehmen. Die Beschwerdeführerin rügt insbesondere die willkürliche Anwendung von Bundesrecht und von kantonalem Recht (Art. 9 und 26 BV, Art. 4 f. des Wohnbau- und Eigentumsförderungsgesetzes vom 4. Oktober 1974 [WEG, SR 843], Art. 19 und 22 des Bundesgesetzes vom 22. Juni 1979 über die Raumplanung [Raumplanungsgesetz, RPG, SR 700] sowie § 119 des kantonalen Planungs- und Baugesetzes vom 7. März 1989 [PBG/LU]).
D. Der Gemeinderat Meierskappel beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Hauseigentümer-Genossenschaft Stalden liess sich zur Beschwerde nicht vernehmen. Die Beschwerdeführerin äussert sich in einer weiteren Eingabe zur Stellungnahme der Gemeinde und beantragt einen zweiten Schriftenwechsel. Auf diese Eingabe hin hat die Gemeinde Meierskappel eine weitere Stellungnahme eingereicht, welche der Beschwerdeführerin zur Kenntnisnahme zugestellt wurde.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts vom 24. September 2007 ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren wegen Verweigerung einer Baubewilligung sowie des Verzichts auf die Ausarbeitung eines Strassenprojekts und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zu Grunde (<ref-ruling> E. 1.2 S. 251, 400 E. 2.1 S. 404). Die Beschwerdeführerin hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen; sie ist durch den angefochtenen Entscheid als Baugesuchstellerin besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung, weshalb sie zur Beschwerdeführung berechtigt ist (<ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist somit im Rahmen des vorliegenden Streitgegenstands (s. hierzu E. 3.2 und 4.5) einzutreten.
2. Die Beschwerdeführerin beantragt die Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels. Ein solcher wird jedoch nur ausnahmsweise durchgeführt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 99 f.). Im vorliegenden Fall hat das Bundesgericht der Beschwerdeführerin die Eingaben der übrigen Verfahrensbeteiligten zur Kenntnisnahme zugestellt. Damit wurde das Hauptanliegen des Begehrens um einen zweiten Schriftenwechsel erfüllt. In ihrer Eingabe vom 25. Januar 2008 hat die Beschwerdeführerin nicht nur um einen zweiten Schriftenwechsel ersucht, sondern bereits inhaltlich zu den Ausführungen der Gemeinde Stellung genommen. Da sie damit ihr Replikrecht bereits hinreichend ausgeschöpft hat, bestand kein Anlass, ihr im Vorfeld des vorliegenden Urteils Frist zu weiteren Äusserungen anzusetzen. Die Gemeinde Meierskappel hat sich zur Eingabe der Beschwerdeführerin vom 25. Januar 2008 geäussert. Diese Stellungnahme wurde der Beschwerdeführerin wiederum zur Kenntnisnahme zugestellt. Damit wurde ihrem Anspruch auf rechtliches Gehör und ein faires Verfahren entsprochen.
3. Die Beschwerdeführerin wirft dem Verwaltungsgericht in mehrfacher Hinsicht eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung vor. Ein solcher Einwand kann nach <ref-law> nur erhoben werden, wenn die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252 mit Hinweis).
3.1 Nach den aktenkundigen Unterlagen und den Ausführungen im angefochtenen Entscheid liegen die beiden aneinander grenzenden Grundstücke Nrn. 395 und 466 der Beschwerdeführerin am östlichen Rand der Überbauung Stalden, die Ende der 1970er-Jahre als kinderfreundliche und ruhige Siedlung mit einer zentralen autofreien Gemeinschaftszone konzipiert wurde. Die rund 5 m breite eigentliche Quartiererschliessungsstrasse befindet sich am nördlichen Rand der Überbauung. Die zur Siedlung gehörigen Parkplätze wurden am Ende dieser Strasse auf der Höhe der Grundstücke Nrn. 441, 442, 443 und 444 erstellt. Die Feinerschliessung des Quartiers erfolgt über eine abzweigende schmälere Stichstrasse. Diese führt mehrheitlich über das im Eigentum der Hauseigentümer-Genossenschaft Stalden stehende Strassengrundstück Nr. 386, teilweise aber auch über die angrenzenden Baugrundstücke. Am östlichen Ende dieses Strassengrundstücks liegen die Parzellen Nrn. 395 und 466 der Beschwerdeführerin, die sich beide in der zweigeschossigen Wohnzone befinden (Zonenplan der Gemeinde Meierskappel vom 29. Juni 2000). Mit Ausnahme des Grundstückes Nr. 466, welches am Ende dieser Überbauung liegt, wurden alle Parzellen im Rahmen der damaligen Planung überbaut.
Das Verwaltungsgericht stellte anlässlich seines Augenscheins vom 14. Mai 2007 fest, dass die umstrittene Wegführung ab der Einmündung in die übergeordnete Quartiererschliessungsstrasse bis zur Bauparzelle Nr. 392 durchgehend asphaltiert ist. lm Bereich der Kurve auf der Höhe der Liegenschaft Nr. 390 wurde eine Strassenbreite von rund 3.20 m gemessen. Ab Grundstück Nr. 392 bis zur Mitte der Parzelle Nr. 394 besteht die Strasse, je bis zur Strassenmitte, aus einem ca. 1.50 m breiten Asphaltstreifen und einem ca 1.50 m breiten Streifen aus Rasengittersteinen. In diesem Bereich stellte das Verwaltungsgericht gewisse Belagsunebenheiten, jedoch keine grösseren Absenkungen fest, die Strasse erschien auch in diesem Abschnitt befahrbar. lm weiteren Verlauf verengt sich die Strasse zu einem schräg abzweigenden rund 40 cm breiten Zugang zum Grundstück Nr. 395, wobei ein kurzer Wegabschnitt über die Parzelle Nr. 394 führt. Ab der Grenze zwischen den Grundstücken Nrn. 394 und 395 führt in der Strassenverlängerung ein schmaler Wiesenweg weiter zur Parzelle Nr. 466.
3.2 Dieser Sachverhalt wird von der Beschwerdeführerin nicht bestritten. Sie erhebt hingegen in verschiedener Hinsicht Kritik an dessen rechtlicher Würdigung durch das Verwaltungsgericht, auf welche in den nachfolgenden Erwägungen einzugehen ist. Soweit die Beschwerdeführerin auf die Sanierungsbedürftigkeit der bestehenden Strasse hinweist, besteht kein offensichtlicher Widerspruch zu den Darlegungen im angefochtenen Entscheid. Auch die Gemeinde Meierskappel weist darauf hin, dass die Strasseneigentümerin die notwendigen Sanierungsarbeiten durchführen wird. Die bauliche Sanierung der bestehenden Erschliessung ist indessen nicht Gegenstand der vorliegenden Auseinandersetzung.
3.3 Die Beschwerdeführerin beantragt im bundesgerichtlichen Verfahren einen Augenschein. Eine solche Beweismassnahme ist im vorliegenden Verfahren nicht erforderlich, da sich die tatsächlichen Verhältnisse aus den Akten und den Vorbringen der Parteien mit hinreichender Klarheit ergeben.
4. Umstritten ist zunächst der vom Verwaltungsgericht bestätigte ablehnende Entscheid der Gemeinde über das Gesuch der Beschwerdeführerin um Ausarbeitung eines Strassenprojekts gemäss § 59 Abs. 2 StrG/LU. Die Beschwerdeführerin betrachtet das Strassenprojekt als Voraussetzung für die hinreichende strassenmässige Erschliessung ihrer Grundstücke Nrn. 395 und 466. Sie geht somit davon aus, dass die bestehende Zufahrt den gesetzlichen Anforderungen nicht genügt.
4.1 Die Erteilung einer Baubewilligung setzt voraus, dass das Baugrundstück erschlossen ist (Art. 22 Abs. 2 lit. b RPG; § 195 Abs. 1 PBG/LU). Gemeint ist damit die Gesamtheit aller Einrichtungen, die notwendig sind, damit ein Grundstück zonen- und bauordnungsgerecht genutzt werden kann. Land ist erschlossen, wenn unter anderem eine für die betreffende Nutzung hinreichende Zufahrt besteht (Art. 19 Abs. 1 RPG; § 117 PBG/LU). Für den Wohnungsbau präzisiert <ref-law> den Begriff der Erschliessung. In <ref-law> wird die Erschliessungspflicht geregelt. Diese Bestimmungen ergänzen die allgemeinen Erschliessungsvorschriften gemäss Art. 19 RPG für den Bereich des Wohnungsbaus. Die Erschliessungsanforderungen sind in diesen Vorschriften mit unbestimmten Rechtsbegriffen umschrieben, die nach dem Sinn und Zweck der Bestimmungen und deren Stellung im Gesetz und im Rechtssystem auszulegen sind. Die einzelnen Anforderungen ergeben sich im Detail hauptsächlich erst aus dem kantonalen Recht und der kantonalen Gerichts- und Verwaltungspraxis, die sich am bundesrechtlichen Rahmen zu orientieren haben. Das entsprechende kantonale Recht kann insbesondere das Ausmass der Erschliessungsanlagen und die Anforderungen an die genügende Zugänglichkeit in abstrakter Weise festlegen. Hingegen bleibt es den Kantonen verwehrt, im Rahmen der Konkretisierung der Erschliessungsanforderungen den durch Art. 19 RPG und die Spezialgesetzgebung gezogenen bundesrechtlichen Rahmen zu überschreiten. Kantonales Recht, das Anforderungen stellt, die über eine Konkretisierung hinausgehen, kann indessen nach Massgabe von Art. 22 Abs. 3 RPG zulässig sein (Bernhard Waldmann/Peter Hänni, Raumplanungsgesetz, Bern 2006, N. 13 und 19 zu Art. 19 mit zahlreichen Hinweisen).
4.2 Bei der Beurteilung, ob eine Zufahrt ein Baugrundstück hinreichend erschliesst, steht den kantonalen und kommunalen Behörden ein erhebliches Ermessen zu (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 68 mit Hinweisen). Das Bundesgericht überprüft die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts auf Willkür hin. Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt sodann nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 5.1 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f., je mit Hinweisen).
4.3 Die Beschwerdeführerin hält die in E. 3.1 hiervor beschriebene Erschliessungssituation für ungenügend, während die Gemeinde und das Verwaltungsgericht die Auffassung vertreten, die bestehende Überbauung Stalden sei verkehrstechnisch hinreichend erschlossen und für die Durchführung eines Strassenprojektierungsverfahrens zur Erschliessung des Baugrundstücks bestehe kein genügendes öffentliches Interesse.
Das Verwaltungsgericht weist darauf hin, dass die Erschliessung seit der Überbauung des Quartiers im Grundsatz offenbar nicht geändert worden sei. Sie entspreche der Konzeption der Siedlung und sei vor allem als Zugang und als Zufahrtsmöglichkeit für Notfallfahrzeuge und zur sporadischen Anlieferung und Abführung schwerer Waren mit Motorfahrzeugen ausgelegt. Diesen Anforderungen vermöge die Strasse trotz ihres bescheidenen Ausbaugrads und eines gewissen Sanierungsbedarfs grundsätzlich auch heute noch zu genügen. Daran ändere nichts, dass die Zufahrt - baulich bedingt - für grössere Fahrzeuge nur bis knapp zum Ende der Parzelle Nr. 394 befahrbar sei. Die Fahrstrasse müsse nicht bis zum Baugrundstück oder gar zu jedem einzelnen Gebäude reichen; vielmehr genüge es, wenn Besitzer und Besucher mit dem Motorfahrzeug in hinreichende Nähe gelangen und von dort über einen Weg zum Gebäude oder zur Anlage gehen könnten, sofern die Zufahrt für Fahrzeuge der öffentlichen Dienste nach den örtlichen Verhältnissen ausreiche. In diesem Sinne könne auch eine privat geplante und ausgeführte Erschliessung mit einem beschränkten Zufahrtsregime als genügend erachtet werden (<ref-ruling> E. 4a S. 70; Alfred Kuttler, Erschliessungsrecht und Erschliessungshilfe im Dienste der Raumordnung, in: ZBI 75/1974 S. 71 ff.). Bezüglich des baulichen Zustands der Strasse weist das Verwaltungsgericht darauf hin, dass die Hauseigentümer‐Genossenschaft Stalden grundsätzlich bereit sei, die umstrittene Zufahrt zu sanieren.
4.4 Hinter dem Erschliessungserfordernis der Zufahrt stehen vorab verkehrs‐, gesundheits‐ und feuerpolizeiliche Überlegungen. Hinreichende Zufahrt besteht, wenn die Zugänglichkeit sowohl für die Benützer der Bauten als auch für Fahrzeuge der öffentlichen Dienste (Feuerwehr, Krankenwagen, Kehrichtabfuhr, Elektrizitäts‐ und Wasserwerke etc.) gewährleistet ist. Die Zufahrten sollen verkehrssicher sein und haben sich nach den zonengerechten Baumöglichkeiten jener Flächen zu richten, die sie erschliessen sollen. Soweit der Ausbaustandard von Strassen zu beurteilen ist, sind hierfür in der Regel die VSS‐Normen heranzuziehen, die indes nicht allzu schematisch und starr gehandhabt werden dürfen. Die Festlegung des Ausmasses der Erschliessungsanlagen und die Umschreibung der genügenden Zugänglichkeit ist Sache des kantonalen Rechts (<ref-ruling> E. 5b S. 350 mit Hinweis). Aus bundesrechtlicher Sicht genügt es, wenn eine Zufahrtsstrasse hinreichend nahe an Bauten und Anlagen heranführt. Die befahrbare Strasse muss nicht bis zum Baugrundstück oder gar zu jedem einzelnen Gebäude reichen; vielmehr genügt es, wenn Benützer und Besucher mit dem Motorfahrzeug (oder einem öffentlichen Verkehrsmittel) in hinreichende Nähe gelangen und von dort über einen Weg zum Gebäude oder zur Anlage gehen können (Aldo Zaugg/Peter Ludwig, Kommentar zum Baugesetz des Kantons Bern, 3. Aufl., Bern 2007, N. 15 Art. 7/8). Für Erschliessungsanlagen auf fremdem Grund ist deren rechtliche Sicherstellung nachzuweisen (Waldmann/Hänni, a.a.O., N 20 ff. zu Art. 19; Zaugg/Ludwig, a.a.O., N. 12 zu Art. 7/8).
4.5 Die vorliegende Erschliessungssituation entspricht den bundesrechtlichen Anforderungen und ist auch gestützt auf das einschlägige kantonale Recht nicht zu beanstanden. Das Verwaltungsgericht geht zu Recht davon aus, dass die genügende Erschliessung grundsätzlich im Rahmen einer Überbauung sicherzustellen ist. Allenfalls könnten eine Vernachlässigung des Unterhalts oder neue Anforderungen an die Zufahrt für Fahrzeuge der öffentlichen Dienste dazu führen, dass der bestehende Zustand rechtswidrig wird. In solchen Fällen hätte die zuständige Behörde die unterhaltspflichtigen Grundeigentümer zu einer Sanierung anzuhalten (vgl. § 80 Abs. 1 lit. d StrG).
Das Verwaltungsgericht hat das Vorliegen einer solchen rechtswidrigen Situation mit haltbarer Begründung verneint. Die bestehende strassenmässige Erschliessung entspricht dem Quartierkonzept, das der Überbauung zugrunde liegt und von den Baubehörden bei der Errichtung bewilligt wurde. Daran ändern auch die zahlreichen Einwände der Beschwerdeführerin nichts. Im Wesentlichen geht es der Beschwerdeführerin um die Einräumung bzw. Ausdehnung von Durchfahrtsrechten. Die Auffassung des Verwaltungsgerichts, das Verfahren nach § 59 ff. StrG/LU könne unter diesen Umständen nicht herangezogen werden, erscheint nicht willkürlich. Es ist somit nicht zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht die Anordnung eines strassenrechtlichen Verfahrens verweigerte. Eine allenfalls notwendige Sanierung der bestehenden Strassenbeläge ist, wie bereits erwähnt, nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
4.6 Auch die beanstandete Verweigerung der Baubewilligung für den nachgesuchten Unterstand mit Keller ist angesichts der bestehenden Zufahrtsverhältnisse nicht zu beanstanden. Aus den Akten ergibt sich, dass der geplante Ersatzbau auf Parzelle Nr. 466 von seiner baulichen Ausgestaltung her als Autounterstand und dessen Vorplatz als Wendeplatz genutzt werden kann. Für diese Nutzung ist das Vorhaben der Beschwerdeführerin auf eine unbeschränkte Zufahrtsberechtigung angewiesen. Die bestehende Zufahrtsberechtigung ist nach der willkürfreien Beurteilung durch das Verwaltungsgericht auf Notfälle und Warentransporte beschränkt. Zudem ist das Strassengrundstück Nr. 386 unbestrittenermassen nicht mit einem Fuss- und Fahrwegrecht zu Gunsten der Bauparzelle Nr. 466 belastet. Die zwangsweise Einräumung eines Fahrwegrechts an der Wegparzelle kann allenfalls auf dem Enteignungsweg oder im zivilrechtlichen Notwegrechtsverfahren erfolgen. Unter den bestehenden Umständen durfte die Baubewilligung für das Vorhaben verweigert werden.
5. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Weder der Gemeinde Meierskappel noch den anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdegegnern ist eine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Meierskappel und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. März 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Haag