Sachverhalt:
A.
A.a. Die Y._, Inc. mit Sitz in den USA ist Herstellerin von urologischen, orthopädischen und veterinär-orthopädischen Geräten und Gerätekomponenten. Sie ist Gläubigerin der A._ AG, die im Jahre 2002 aus der 1996 gegründeten B._ AG hervorgegangen war. Seit 1996 war die B._ AG bzw. die A._ AG Hauptaktionärin der C._ AG. Am 12. Januar 2005 wurde über die C._ AG der Konkurs eröffnet und am 16. September 2005 über die A._ AG.
X._ (mit Wohnsitz in Deutschland) war Gründungsmitglied und erster Verwaltungsratspräsident der B._ AG von 1996 bis 2001. Er ist der Vater von D._. D._ war Geschäftsführer der A._ AG und ab 2004 bis zu ihrem Konkurs deren einziger Verwaltungsrat.
Am 30. Mai 2005 verkaufte D._ als Organ der A._ AG seinem Vater die US-Patentanmeldung Nr. xxx zum Preis von Fr. 25'000.--. Das US-Patentamt erteilt das Patent (Nr. yyy) am 6. Dezember 2005.
A.b. Im Konkurs der A._ AG wurde die Y._, Inc. mit einer Forderung von Fr. 1'997'054.80 in der dritten Klasse zugelassen. Am 23. Februar 2007 ermächtigte das als Konkursverwaltung handelnde Konkursamt des Kantons Thurgau die Y._, Inc. gemäss <ref-law> zur Geltendmachung des Anspruchs gegen X._ auf paulianische Anfechtung des Kaufvertrags vom 30. Mai 2005 über das Patent. Bereits am 12. Februar 2007 hatte X._ das Patent der E._, LLC verkauft.
B.
Am 28. Januar 2008 erhob die Y._, Inc. am Bezirksgericht Kreuzlingen Klage gegen X._ und die E._, LLC. Am 16. September 2009 zog die Y._, Inc. die Klage gegen die E._, LLC zurück. Das Bezirksgericht wies mit Urteil vom 24. Februar / 19. August 2010 die Klage gegen X._ ab und schrieb sie hinsichtlich der E._, LLC als durch Klagerückzug erledigt ab.
Demgegenüber kam das Obergericht des Kantons Thurgau mit Berufungsurteil vom 17. Mai 2011 zum Schluss, die Anfechtungstatbestände der Schenkungs- und der Deliktspauliana seien erfüllt, wenn der von X._ bezahlte Kaufpreis in einem objektiven Missverhältnis zum Wert des Patents stehe. Zur Durchführung eines Beweisverfahrens, primär durch Einholung eines Gutachtens über die Werthaltigkeit des Patents im Februar 2007, wies es die Sache an das Bezirksgericht zurück.
Mit Entscheid vom 21. August / 25. Oktober 2013 schützte das Bezirksgericht die Klage im Umfang von Fr. 500'167.--. Es stellte dabei auf das eingeholte Gutachten ab, das den Patentwert per 12. Februar 2007 auf USD 401'000.-- beziffert hatte, womit die Voraussetzungen der Schenkungspauliana erfüllt seien.
Dagegen erhob X._ am 27. November 2013 Berufung an das Obergericht. Er verlangte die Aufhebung des bezirksgerichtlichen Entscheids und die Abweisung der Klage, allenfalls die Rückweisung an die Vorinstanz.
Mit Gesuch vom 6. Dezember 2013 beantragte die Y._, Inc. die Bewilligung der vorzeitigen Vollstreckbarkeit des bezirksgerichtlichen Entscheids. Zudem sei X._ Frist zur Leistung einer angemessenen Sicherheit für die allfällige Parteientschädigung anzusetzen.
Mit Verfügung vom 25. Februar 2014 bewilligte das Obergericht die vorzeitige Vollstreckbarkeit des Entscheids des Bezirksgerichts und es verpflichtete X._, bis 20. März 2014 für die im Berufungsverfahren allfällig an die Y._, Inc. zu bezahlende Parteientschädigung eine Sicherheit von Fr. 15'000.-- zu leisten.
C.
Am 17. März 2014 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er verlangt die Aufhebung der Verfügung vom 25. Februar 2014. Die Gesuche um vorzeitige Vollstreckbarerklärung und um Sicherstellung der Parteientschädigung seien abzuweisen. Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung.
Nachdem das Obergericht auf Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet und sich die Y._, Inc. (Beschwerdegegnerin) dem Gesuch widersetzt hat, hat das Bundesgericht der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 1. April 2014 aufschiebende Wirkung zuerkannt.
In der Sache hat das Obergericht auf Vernehmlassung verzichtet. Mit Beschwerdeantwort vom 9. Juli 2014 verlangt die Beschwerdegegnerin Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten sei. Dazu hat sich der Beschwerdeführer am 26. Juli 2014 nochmals vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine bei ihm eingereichte Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 475; <ref-ruling> E. 1 S. 417).
1.1.
1.1.1. In der angefochtenen Verfügung hat das Obergericht zunächst den Entscheid des Bezirksgerichts für vorzeitig vollstreckbar erklärt (<ref-law>). Da der Beschwerdeführer in Deutschland wohne und sich sein Vermögen dort befinde, werde die vorzeitige Vollstreckbarkeit dort ihre Wirkungen entfalten. Werde die vorzeitige Vollstreckbarkeit bewilligt, könne die Beschwerdegegnerin in Deutschland Massnahmen veranlassen, die auf Sicherung der Forderung gerichtet seien (unter Verweis auf <ref-law> [SR 0.275.12]). In Frage kämen Massnahmen nach §§ 720a (Sicherungsvollstreckung; insbesondere Sicherungshypothek), 928 und 930 (Arrest) der deutschen ZPO.
1.1.2. Die angefochtene Verfügung ist ein Zwischenentscheid. Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (<ref-law>), ist die Beschwerde an das Bundesgericht gemäss <ref-law> zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Vorliegend kommt einzig die Variante von lit. a in Betracht. Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von <ref-law> muss rechtlicher Natur sein. Das setzt voraus, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382; <ref-ruling> E. 6 S. 192; je mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung obliegt es dem Beschwerdeführer darzutun, dass die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 329; <ref-ruling> E. 1.2 S. 429).
Es ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht hinreichend begründet, inwiefern die Vollstreckbarerklärung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte. Nach den Ausführungen der Vorinstanz drohen dem Beschwerdeführer in Deutschland höchstens einstweilige Sicherungsmassnahmen, nämlich die Pfändung beweglicher Vermögenswerte und die Eintragung einer Sicherungshypothek auf den unbeweglichen Vermögenswerten. Dies wird vom Beschwerdeführer nicht bestritten. Er beruft sich denn auch in erster Linie auf das mit diesen Massnahmen verbundene Verfügungsverbot, um die Zulässigkeit der Beschwerde zu begründen. Dabei handelt es sich jedoch grundsätzlich um einen Nachteil tatsächlicher Natur, der mit einem für den Beschwerdeführer günstigen Endurteil dahinfällt. Inwiefern ihm durch die vorübergehende Blockierung allfälliger Vermögenswerte weitergehende Nachteile drohen könnten, ist nicht ersichtlich. Die blosse Berufung auf die allenfalls lange Verfahrensdauer reicht dazu nicht. Auch die Tatsache, dass er nach der Vollstreckbarerklärung allenfalls in ein Gerichtsverfahren in Deutschland, also an seinem Heimatgerichtsstand, verwickelt wird, stellt entgegen seiner Auffassung keinen rechtlichen Nachteil dar. Seine Behauptung, dass der deutsche Richter die Akten des Schweizer Prozesses nicht kennen werde, entspringt schliesslich reiner Spekulation. Auf die Beschwerde ist demnach nicht einzutreten, soweit sie die Bewilligung der vorzeitigen Vollstreckbarkeit betrifft.
1.2.
1.2.1. Das Obergericht hat den Beschwerdeführer sodann zu einer Sicherheitsleistung gestützt auf <ref-law> verpflichtet.
1.2.2. Auch dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> anfechtbar ist. Er kann zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> führen, denn bei Nichtleistung der Sicherheit (binnen Nachfrist) tritt das Gericht auf das Rechtsmittel des Beschwerdeführers nicht ein (<ref-law>; Urteil 4A_26/2013 vom 5. September 2013 E. 1.1 mit Hinweisen).
Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Bei dieser handelt es sich um eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache (<ref-law>). Der für die Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist demnach hinsichtlich der Auferlegung einer Sicherheitsleistung grundsätzlich zulässig.
2.
Das Obergericht hat die Sicherheitsleistung auf den Kautionsgrund von <ref-law> (andere Gründe für eine erhebliche Gefährdung der Parteientschädigung) gestützt. Eine erhebliche Gefährdung sei in der Regel bereits dann gegeben, wenn die klagende (bzw. hier die das Rechtsmittel einlegende) Partei einer Verpflichtung gegenüberstehe, die ihre Aktiven bei weitem übersteige. Die finanzielle Verpflichtung des Beschwerdeführers betrage rund Fr. 700'000.-- (inkl. Zinsen und Parteientschädigung), wenn seine Berufung unbegründet sein sollte, und sei damit immens. Die Gefährdung der späteren Bezahlung der Parteientschädigung ergebe sich aus denselben Gründen wie im Zusammenhang mit der vorzeitigen Vollstreckbarerklärung ausgeführt. Damit verweist das Obergericht darauf, dass die in diesem Zusammenhang gestellte Hauptsachen- und Nachteilsprognose für den Beschwerdeführer negativ ausfielen. Was die Hauptsachenprognose betrifft, so schütze der angefochtene Entscheid des Bezirksgerichts den Anspruch der Beschwerdegegnerin. Dieser Entscheid schliesse an den Rückweisungsentscheid des Obergerichts an und es gehe nur noch um den Wert des Patents. Zwar sei die Berufung nicht sofort beurteilbar, doch könne jedenfalls nicht die Rede davon sein, dass Gutachter und Bezirksgericht verbindliche Anweisungen des Rückweisungsentscheids missachtet hätten. Im Rahmen der Nachteilsprognose zog das Obergericht in Erwägung, aus einer allfälligen Bestätigung des bezirksgerichtlichen Entscheids würde sich ergeben, dass der Beschwerdeführer bereits einmal mitgeholfen habe, Vermögenswerte beiseite zu schaffen, so dass die spätere Vollstreckung gefährdet erscheine.
3.
Bei der "erheblichen Gefährdung der Parteientschädigung" im Sinne von <ref-law> handelt es sich um einen unbestimmten Rechtsbegriff. Wann eine erhebliche Gefährdung vorliegt, hat das Gericht ermessensweise zu beurteilen ( MARTIN H. STERCHI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 27 zu <ref-law>). Das Bundesgericht hält sich bei der Überprüfung von Ermessensentscheiden zurück. Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, d.h. wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 51; <ref-ruling> E. 4.3 S. 576).
Der Beschwerdeführer bestreitet zunächst, dass er einer Verpflichtung gegenüberstehe, die seine Aktiven bei weitem übersteige. Den Akten könnten seine Vermögensverhältnisse nicht entnommen werden und die Parteien hätten dazu keine Behauptungen aufgestellt. Er übersieht jedoch, dass das Obergericht gar keinen Vergleich zwischen seiner allfälligen Verpflichtung und seinem Vermögen angestellt hat. Zu Letzterem sagt die angefochtene Verfügung nichts. Zwar ist nach Auffassung des Obergerichts <ref-law> regelmässig erfüllt, wenn die Verpflichtung die Aktiven des Schuldners bei weitem übersteige. Das Obergericht übernimmt damit ein in der Lehre genanntes Kriterium (Viktor Rüegg, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 17 zu <ref-law>), doch hat es dieses nicht angewendet. Das Obergericht hat bloss festgestellt, die Verpflichtung betrage rund Fr. 700'000.--, was immens sei. Die Höhe der allfälligen Schuld wird vom Beschwerdeführer nicht bestritten. Diese als immens zu bewerten ist auch ohne konkrete Feststellungen zur Höhe der Aktiven des Beschwerdeführers nicht unhaltbar, bedürfte er doch eines erheblichen Vermögens, um diese Summe ohne weiteres bezahlen zu können. Dass dies so wäre, macht er nicht geltend und stünde auch in einem gewissen Spannungsverhältnis zur angeblich starken Belastung durch die ihm drohenden Sicherungsmassnahmen.
Das Obergericht hat die Gefährdung der Parteientschädigung sodann mit Verweis auf diejenigen Gründe als gegeben erachtet, die zur Bewilligung der vorzeitigen Vollstreckbarkeit geführt haben. Auch diese Gründe werden vom Beschwerdeführer bestritten. Gegen die Hauptsachenprognose bringt er vor, diese sei willkürlich, denn das Obergericht halte selber eine sofortige Beurteilbarkeit der Berufung für ausgeschlossen, erachte das Verfahren als anspruchsvoll und rechne mit einem längeren Schriftenwechsel. Zudem treffe die Prognose inhaltlich nicht zu, denn der Wert des Patents sei vom Experten offensichtlich falsch festgestellt worden. Die Auffassung des Beschwerdeführers läuft darauf hinaus, dass jede Hauptsachenprognose unmöglich wäre, ausser dann, wenn der zu beurteilende Fall ohnehin so einfach gelagert ist, dass er sofort beurteilt und der Prozess beendet werden könnte. Diese Ansicht trifft nicht zu und würde z.B. die Beurteilung von Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege (Kriterium der fehlenden Aussichtslosigkeit; <ref-law>) verunmöglichen. Im Übrigen beschränkt sich der Beschwerdeführer darauf, seine eigene Einschätzung der Erfolgsaussichten der Berufung darzustellen. Auf solche appellatorischen Einwände ist nicht einzutreten. Im Rahmen der Nachteilsprognose wendet sich der Beschwerdeführer dagegen, dass ihm das Obergericht unterstelle, bereits einmal Vermögenswerte verheimlicht zu haben. Dies komme einer Vorverurteilung gleich. Es sei auch keineswegs glaubhaft gemacht worden, dass eine Verschleierung von Vermögenswerten drohe. Die Beweiswürdigung sei willkürlich. Die Beschwerdegegnerin habe insgesamt keinen Nachweis erbracht, dass die Parteientschädigung gefährdet sei. Diese Einwände sind unbegründet. Der Vorwurf des Obergerichts, wonach der Beschwerdeführer bereits einmal Vermögenswerte einer Konkursmasse entzogen habe, steht im Zusammenhang mit der - für den Beschwerdeführer - negativen Hauptsachenprognose und folgt aus der Annahme, dass er auch in der Berufung unterliegen werde. Wenn das Obergericht daraus eine Gefährdung nicht nur der künftigen Vollstreckung der Hauptforderung, sondern auch der Parteientschädigung abgeleitet hat, so hat es damit sein Ermessen nicht überschritten (vgl. HANS SCHMID, in: Kurzkommentar ZPO, 2. Aufl. 2014, N. 12 zu <ref-law>; SUTER/VON HOLZEN, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 35 zu <ref-law>).
Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Das Obergericht wird dem Beschwerdeführer demnach eine angemessene neue Frist zur Bezahlung der Sicherheitsleistung von Fr. 15'000.-- anzusetzen haben.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Er hat die Beschwerdegegnerin angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. September 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg