Faits:
A.
Le 19 octobre 2013, vers 04h00, une bagarre a éclaté à la sortie de la discothèque "X._", à Sion, entre B._, d'une part, et C._ et D._, d'autre part. A un moment donné, A._ est intervenu, projetant violemment B._; ce dernier a alors heurté un pilier en béton. Grièvement blessé, il a été transporté aux urgences de l'hôpital de Sion où il est décédé quelques heures plus tard.
Ce même jour, une instruction pénale a été ouverte contre C._ et A._ pour lésions corporelles graves et rixe, ainsi que contre D._ pour rixe. Le lendemain, l'enquête a été étendue au chef de prévention de meurtre, subsidiairement d'homicide par négligence en ce qui concerne A._. Différentes mesures d'instruction ont été mises en oeuvre (auditions, rapports médicaux) et d'autres ont été envisagées, dont une reconstitution, ainsi qu'une expertise psychiatrique de A._. Le 27 novembre 2013, le Juge unique de la Chambre pénale du Tribunal cantonal valaisan a déclaré le recours du prévenu contre cette mesure irrecevable faute d'intérêt juridique et le Ministère public de l'Office régional du Valais central a délivré un mandat d'expertise le 2 décembre 2013.
Sur requête du Ministère public, la mise en détention provisoire de A._ a été ordonnée le 21 octobre 2013 par le Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) en raison de l'existence de risques de récidive et de collusion, décision confirmée le 13 novembre 2013 par le Juge unique de la Chambre pénale. En date du 25 novembre 2013, le Tmc, après avoir entendu A._, a rejeté sa requête de libération déposée le 7 novembre 2013 et a prolongé la détention provisoire jusqu'au 25 février 2014. Il a aussi indiqué que le prévenu pouvait présenter en tout temps une demande de mise en liberté. Le tribunal de première instance a retenu l'existence de risques de collusion (nouvelles auditions et reconstitution encore envisagées) et de réitération, considérant que l'attitude adoptée par le prévenu n'était pas celle d'une personne disposant de ses pleines capacités mentales et qu'il se justifiait donc d'attendre le rapport d'expertise psychiatrique.
B.
Le 30 décembre 2013, le Juge unique de la Chambre pénale a rejeté le recours intenté par A._ contre cette décision. Au regard de l'extrême gravité des faits, il a considéré que l'intérêt à la sécurité publique l'emportait sur la liberté personnelle du prévenu et qu'il était ainsi raisonnable d'attendre un délai de trois ou quatre mois pour la reddition du rapport d'expertise, laquelle comprendrait une appréciation du risque de récidive et des mesures envisageables. L'autorité cantonale a estimé qu'au regard des chefs de prévention examinés, la durée de la détention provisoire subie respectait le principe de la proportionnalité. Enfin, elle a retenu que, si A._ avait été détenu pendant les quatre premiers jours de sa détention dans une cellule dite de réflexion, cela ne constituait pas un traitement inhumain et dégradant, dès lors que sa cellule disposait d'une surface de 12.01 m 2, d'un volume de 28.82 m 3, d'une température de 22 o C, d'un éclairage par la lumière du jour avec deux ampoules, ainsi que d'une ventilation à pulsion et extraction. Au vu de l'existence d'un danger de réitération, le juge cantonal n'a pas examiné celui de collusion.
C.
Par acte du 31 janvier 2014, A._ forme un recours en matière pénale contre ce jugement, concluant à son annulation. Il demande sa libération immédiate et, à titre subsidiaire, sa mise en liberté assortie de mesures de substitution. Encore plus subsidiairement, il requiert le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Il sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Le Ministère public a renoncé à se déterminer, tandis que le Juge unique s'est référé aux considérants de sa décision. Le 13 février 2014, le recourant a demandé au Tribunal de céans de s'assurer que le dossier pénal à sa disposition contenait tous les actes de procédure effectués à ce jour, dont le procès-verbal de la reconstitution du 6 février 2014 durant laquelle l'un des témoins serait revenu sur ses précédentes déclarations.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière pénale (<ref-law>) est en principe ouvert contre les décisions relatives à la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté au sens des <ref-law>. Formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision prise en dernière instance cantonale (<ref-law>) et qui touche le recourant - actuellement détenu - dans ses intérêts juridiquement protégés (art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF), le recours en matière pénale est par conséquent recevable.
2.
Le recourant semble en substance requérir la production du procès-verbal de la reconstitution du 6 février 2014. Cependant, cette pièce est postérieure à l'arrêt entrepris et donc irrecevable.
En effet, selon l'<ref-law>, aucun fait nouveau ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Il en résulte que le Tribunal fédéral doit statuer sur la base de l'état de fait existant au moment du prononcé cantonal (arrêt 1C_543/2011 du 14 janvier 2013 consid. 2). Si le contenu de la pièce susmentionnée pourrait, selon le recourant, démontrer qu'il n'aurait pas donné de coup de pied à la victime lorsque celle-ci était au sol, cet élément n'était pas à la disposition de la juridiction cantonale au moment où elle a statué. Ce faisant, le recourant ne conteste pas un argument qui aurait été invoqué pour la première fois par la Chambre pénale dans l'arrêt entrepris, mais entend remettre en cause l'appréciation des preuves effectuées par celle-ci sur la base de pièces qui figuraient alors au dossier (arrêt 1B_694/2011 du 12 janvier 2012 consid. 2.2), ce qui n'est pas admissible. Il lui appartiendra, cas échéant, de faire valoir ses moyens dans une nouvelle requête de mise en liberté ou dans une procédure de prolongation de la détention.
3.
3.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). La partie recourante peut cependant critiquer les constatations de faits si ceux-ci ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, en particulier en violation de l'interdiction de l'arbitraire consacrée à l'art. 9 Cst. (<ref-law>). La correction du vice doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
3.2. En l'occurrence, le recourant entend tout d'abord par le biais de ses critiques sur les constatations des faits retenues par le juge cantonal démontrer que son intention n'aurait pas été de blesser la victime, mais uniquement de séparer les protagonistes (cf. ad 3.1 et 3.5 de son mémoire). Cependant, il n'appartient pas au juge de la détention d'examiner si les actes commis par le recourant résultent de l'intention ou de la négligence, ainsi que de la légitime défense ou d'un état d'excitation excusable, questions qui seront tranchées par le juge du fond. Dès lors, il apparaît qu'en l'état, il ne peut être contesté, ainsi que l'a retenu la juridiction précédente, que le recourant a ceinturé la victime, puis l'a projetée - terme utilisé par le recourant lui-même pour décrire les événements - sur sa gauche et qu'à la suite de ce geste, celle-ci a heurté un pilier en béton, ce qu'a vu le recourant (cf. les déclarations du recourant le 19 octobre 2013 à la police et devant le Procureur, ainsi que du 16 décembre 2013).
Quant à l'allégation tendant à soutenir qu'au "vu [de] l'absence de lésion traumatique, la victime n'était ainsi pas grièvement blessée à la tête", elle est manifestement infondée, puisqu'une telle constatation ressort du rapport préliminaire du Centre universitaire romand de médecine légale (CURML); ce dernier a en effet constaté - avec l'absence de lésion traumatique - un oedème cérébral consécutif à un arrêt cardiaque prolongé qui pouvait être la conséquence d'un traumatisme crâniocérébral. La juridiction cantonale pouvait donc retenir que la victime avait été grièvement blessée à la tête (cf. sa décision du 13 novembre 2013 à laquelle renvoie l'arrêt attaqué).
Enfin, le recourant ne démontre pas en quoi il serait arbitraire de la part de la Chambre pénale de rapporter les propos qu'il a tenus devant le Tmc à propos de son état "après quelques verres". Elle n'en déduit d'ailleurs pas qu'il n'aurait pas été alcoolisé au moment des faits. Quant à l'analogie alléguée avec les règles en matière de circulation routière, elle n'est d'aucune utilité pour le recourant dès lors que dans ce domaine, le législateur a fixé le taux d'alcool à partir duquel les conducteurs sont réputés être dans l'incapacité de conduire au sens de la loi fédérale du 19 décembre 1958 sur la circulation routière (LCR; RS 741.01) indépendamment de toute autre preuve et du degré de tolérance individuelle à l'alcool (cf. <ref-law>).
Il en résulte que le grief d'arbitraire dans l'établissement des faits doit être écarté.
4.
Une mesure de détention préventive n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et art. 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'<ref-law>. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst., <ref-law>). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par les besoins de l'instruction, un risque de fuite ou un danger de collusion ou de réitération (art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP).
Préalablement à l'examen de ces hypothèses, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes, soit de sérieux soupçons de culpabilité (<ref-law>; art. 5 § 1 let. c CEDH; arrêt 1B_63/2007 du 11 mai 2007 consid. 3 non publié in <ref-ruling>). Cette condition n'est pas remise en cause en l'espèce (cf. ad 2 du mémoire de recours), le recourant ayant reconnu avoir projeté la victime le 19 octobre 2013 et vu celle-ci heurter un pilier de béton.
5.
Le recourant conteste en revanche l'existence d'un risque de récidive. A cet égard, il soutient que la gravité des événements - décès d'un homme - ne justifierait pas d'attendre les résultats d'une expertise psychiatrique se prononçant notamment sur le danger susmentionné. De plus, il aurait agi par le biais d'un seul geste dans le but de mettre un terme à la bagarre opposant son ami à la victime. Il n'aurait ensuite pas pu imaginer la gravité de la situation au vu des circonstances (consommation d'alcool, absence de sang sur la victime, présence de tiers, départ du lieu en marchant, cigarette fumée à proximité et retour pour dormir à son domicile). Le recourant prétend encore que la durée de la détention subie violerait le principe de proportionnalité au regard de la peine concrète possible, ainsi que de sa possible prolongation jusqu'à la restitution du rapport d'expertise au 31 mars 2014. A titre de mesure de substitution, il requiert la mise en oeuvre d'un régime de détention lui permettant d'aller travailler la journée afin de conserver son emploi.
5.1. Aux termes de l'art. 221 al. 1 let. c CPP, la détention provisoire peut être ordonnée lorsqu'il y a lieu de craindre que le prévenu compromette sérieusement la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves après avoir déjà commis des infractions du même genre. Selon la jurisprudence, il convient de faire preuve de retenue dans l'appréciation du risque de récidive: le maintien en détention ne peut se justifier pour ce motif que si le pronostic est très défavorable et si les délits dont l'autorité redoute la réitération sont graves (<ref-ruling> consid. 4.5 p. 21; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 73 et les arrêts cités). La jurisprudence se montre moins sévère dans l'exigence de vraisemblance lorsqu'il s'agit de délits de violence graves, car le risque à faire courir aux victimes potentielles est alors considéré comme trop important; en pareil cas, il convient de tenir compte de l'état psychique du prévenu, de son imprévisibilité ou de son agressivité (<ref-ruling> consid. 2e p. 271).
Bien qu'une application littérale de l'art. 221 al. 1 let. c CPP suppose l'existence d'antécédents, le risque de réitération peut être également admis dans des cas particuliers alors qu'il n'existe qu'un antécédent, voire aucun dans les cas les plus graves. La prévention du risque de récidive doit en effet permettre de faire prévaloir l'intérêt à la sécurité publique sur la liberté personnelle du prévenu (<ref-ruling> consid. 3 à 4 p. 18 ss; arrêt 1B_133/2011 du 12 avril 2011 consid. 4.7 in SJ 2011 I p. 487). Le risque de réitération peut également se fonder sur les infractions faisant l'objet de la procédure pénale en cours, si le prévenu est fortement soupçonné - avec une probabilité confinant à la certitude - de les avoir commises (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 86 et les références citées).
5.2. En l'occurrence, le recourant a été mis en cause pour avoir ceinturé la victime - alors opposée à son comparse - , puis projeté - terme laissant sous-entendre l'usage d'une certaine force - celle-ci vers la gauche. Or, la victime n'a pas été seulement repoussée, mais à la suite du choc, elle est allée heurter un pilier en béton. Au sol, des coups de pied lui ont encore été assénés, pour le moins, par le prévenu C._. Si le recourant conteste avoir également effectué de tels gestes à ce moment-là, l'acte qui lui est reproché - dans la mesure où il serait le seul - est très grave, étant vraisemblablement l'une des causes principales du décès de la victime. Le comportement adopté ensuite par le recourant ne manque pas d'inquiéter. Il assure ne pas s'être rendu compte de la gravité de l'atteinte. Toutefois, le recourant a vu la victime frapper le béton - surface bien différente de celles où évoluent les sportifs adeptes de sport de combat - et a qualifié l'état de celle-ci de "KO" dès lors qu'elle était immobile au sol. Sa seule réaction est pourtant de quitter "immédiatement" les lieux; or, on rappellera qu'il sait que le vigile avait appelé la police. De plus, si fumer une cigarette lui a peut-être permis de faire redescendre l'adrénaline, il n'est pas pour autant retourné sur les lieux. Il n'a pas non plus trouvé utile d'indiquer lors du contrôle de police - qui cherchait à ce moment-là les protagonistes de la bagarre - qu'il y avait participé; il ne mentionne d'ailleurs pas cet épisode lors de ses premières auditions. Au contraire, il rentre chez lui se coucher, croyant peut-être n'avoir pas été identifié. Quant à son état d'alcoolisation - que le recourant qualifie lui-même d'ailleurs de "normal" -, le recourant oublie que les circonstances subjectives - notamment la taille et le poids - jouent un rôle dans l'absorption et la tolérance de l'alcool. Il appartiendra aux experts déterminer quel rôle a pu jouer son taux d'alcoolémie sur son impulsivité ou ses réactions.
S'agissant de l'expertise psychiatrique, le recourant a confirmé devant le Tmc qu'il ne s'y opposait plus. Ainsi, au vu de la conséquence tragique résultant notamment des actes du recourant, de sa réaction postérieure aux événements, ainsi que de son casier judiciaire où figurent tout de même une condamnation pour injure en 2009 et une enquête depuis septembre 2013 par la justice militaire pour insoumission et absence injustifiée, il semble judicieux d'attendre l'avis des experts appelés à se prononcer sur le risque de récidive et les mesures qui permettraient, cas échéant, d'y pallier, notamment au regard des circonstances - en l'état insuffisantes - invoquées par le recourant (famille, emploi, activités sportives). Cependant, en raison de l'incarcération du recourant, il appartiendra aux experts de faire diligence et de rendre un rapport intermédiaire sur la question du risque de récidive s'ils ne sont pas en mesure de déposer leur expertise définitive; cela permettra au Ministère public, puis au Tmc de se prononcer en connaissance de cause sur une éventuelle nouvelle prolongation de la détention, examen qui prendra par ailleurs également en considération les nouveaux éléments qui auraient été mis en évidence au cours de l'enquête.
Quant à la durée de la détention - quatre mois et demi jusqu'au 25 février 2014 -, la juridiction précédente a relevé à juste titre qu'elle était encore à ce jour proportionnée même dans l'hypothèse où seul le chef de prévention d'homicide par négligence (<ref-law>) devrait être finalement retenu. Le recourant se plaint enfin des conditions de détention. Cependant, il n'indique pas en quoi les indications détaillées données par la juridiction cantonale au sujet de la cellule occupée pendant quatre jours seraient erronées ou violeraient l'art. 3 CEDH. En ce qui concerne l'interdiction de visite, cela résulte du risque de collusion retenu au début de l'enquête et le recourant omet de mentionner que depuis le 5 décembre 2013, sa mère bénéficie d'une autorisation permanente de visite.
5.3. Le maintien en détention étant justifié par le danger de récidive, il n'est pas nécessaire d'examiner si cette mesure se justifie également en raison d'un risque de collusion.
6.
Le recours doit par conséquent être rejeté.
Le recourant a demandé l'assistance judiciaire et les conditions en paraissent réunies (<ref-law>). Il y a lieu de désigner Me Stéphane Udry en qualité d'avocat d'office et de fixer ses honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Le recourant est en outre dispensé des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise; Me Stéphane Udry est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Office régional du Ministère public du Valais central et au Juge unique de la Chambre pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 19 février 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf