Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Seit 1. Februar 2003 wohnt X._ zusammen mit G._ und der gemeinsamen Tochter in Dornach (SO), wo sie um die Gewährung von Sozialhilfebeiträgen ab 1. März 2003 ersuchte. Die Gemeinde Dornach beurteilte dieses Begehren abschlägig, weil die Gesuchstellerin mit G._ in einem stabilen Konkubinat lebe und Letzterer ein monatliches Einkommen von Fr. 5'100.-- erziele (Verfügung der Sozialhilfekommission vom 13. Februar 2003). Hiergegen beschwerte sich X._ erfolglos beim Departement des Innern des Kantons Solothurn (Verfügung vom 17. April 2003) und beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn (Entscheid vom 2. Juli 2003).
A. Seit 1. Februar 2003 wohnt X._ zusammen mit G._ und der gemeinsamen Tochter in Dornach (SO), wo sie um die Gewährung von Sozialhilfebeiträgen ab 1. März 2003 ersuchte. Die Gemeinde Dornach beurteilte dieses Begehren abschlägig, weil die Gesuchstellerin mit G._ in einem stabilen Konkubinat lebe und Letzterer ein monatliches Einkommen von Fr. 5'100.-- erziele (Verfügung der Sozialhilfekommission vom 13. Februar 2003). Hiergegen beschwerte sich X._ erfolglos beim Departement des Innern des Kantons Solothurn (Verfügung vom 17. April 2003) und beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn (Entscheid vom 2. Juli 2003).
B. Am 18. Juli 2003 hat X._ beim Bundesgericht "Beschwerde" eingereicht mit dem Antrag, den angefochtenen Entscheid aufzuheben. Sie rügt sinngemäss eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>).
Das Departement des Innern und das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Angefochten ist ein auf dem kantonalen Sozialhilferecht beruhender kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (vgl. Art. 87 OG), wogegen als Rechtsmittel auf Bundesebene einzig die staatsrechtliche Beschwerde in Frage kommt (vgl. Art. 84 Abs. 2 OG), weshalb die Eingabe der Beschwerdeführerin als solche entgegen zu nehmen ist. Das gemäss Art. 88 OG erforderliche rechtlich geschützte Interesse ist bei einem Streit über Fürsorgeleistungen nur insoweit gegeben, als dem Betroffenen ein verfassungsrechtlicher oder gesetzlicher Anspruch auf Sozialhilfe zusteht. Weil das Solothurner Sozialhilfegesetz vom 2. Juli 1989 (SHG) - das Erfüllen der allgemeinen gesetzlichen Anforderungen vorausgesetzt - einen Rechtsanspruch auf Fürsorgeleistungen gewährt (vgl. §§ 12, 17 Abs. 1 u. 27 ff. SHG), ist die Beschwerdeführerin zur staatsrechtlichen Beschwerde legitimiert.
2. Das Verwaltungsgericht hat festgestellt, die Beschwerdeführerin lebe unbestrittenermassen seit mehr als zwei Jahren mit ihrem Partner und dem gemeinsamen Kind zusammen. Nach der kantonalen Praxis liege mithin ein stabiles Konkubinat vor, weshalb für die sozialhilferechtliche Bedarfsberechnung von einer dreiköpfigen Familie auszugehen sei. Die Beschwerdeführerin rügt, diese Sachverhaltsfeststellung sei offensichtlich falsch und damit willkürlich, lebe sie doch erst seit März 2002 mit G._ zusammen; sie sei von den Solothurner Behörden auch gar nie zur Dauer des Konkubinatsverhältnisses befragt worden.
2.1 Ein Verstoss gegen das Willkürverbot (<ref-law>) liegt vor, wenn eine Behörde ihrem Entscheid Tatsachenfeststellungen zugrunde legt, die mit den Akten in klarem Widerspruch stehen, oder wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offensichtlichen Versehen beruht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (vgl. <ref-ruling> E. 1b S. 30, mit Hinweisen).
2.2 Die Sozialhilfe ist subsidiärer Natur und wird grundsätzlich nur geleistet, soweit der Bedürftige sich nicht selbst helfen oder Hilfe von Familie oder Dritten verlangen kann (§ 17 f. SHG; Felix Wolffers, Grundriss des Sozialhilferechts, 2. Auflage, Bern 1999, S. 71). Durch Beratung, Betreuung, Vermittlung von Dienstleistungen und - soweit erforderlich - auch wirtschaftliche Hilfe sollen Personen, die in Not geraten sind, wieder in die Lage kommen, in geordneten Verhältnissen, eigenverantwortlich und ohne Unterstützung durch die Gesellschaft zu leben (vgl. § 1 Abs. 2 u. 3 SHG). Die finanziellen Zuschüsse der Sozialhilfe dienen demnach zur Überbrückung von Notlagen (vgl. § 12 SHG) und sollen kein über längere Zeit fliessendes Ergänzungs- oder Mindesteinkommen darstellen.
2.3 Das Konkubinat führt zwar zu keinen rechtlichen Unterhalts- und Beistandsansprüchen zwischen den Partnern (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 6, mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 2 S. 4); die zivilrechtliche Praxis im Bereich des alten Scheidungsrechts gewährte dem Unterhaltsschuldner aber dennoch einen Anspruch auf Aufhebung der Scheidungsrente, wenn dessen Exgatte in einem gefestigten Konkubinat lebte (<ref-ruling> E. 2a/aa S. 54, mit Hinweisen; vgl. auch Adolf Lüchinger/Thomas Geiser, in: Basler Kommentar, N 20 zu <ref-law>). Entscheidend war dabei nicht, ob das Konkubinat als eheähnliche Gemeinschaft gleiche wirtschaftliche Sicherheit wie die Ehe bot, sondern allein, ob die Bindung zwischen den beiden Partnern derart eng war, dass sich diese gegenseitig so beistanden, wie sie es gemäss <ref-law> hätten tun müssen, wenn sie verheiratet gewesen wären (<ref-ruling> E. 3 S. 397 f.). Ein entsprechend enges Verhältnis wurde ab dem Zeitpunkt vermutet, in welchem das Konkubinat fünf Jahre angedauert hatte (vgl. <ref-ruling> E. 1b S. 298). Der Gedanke, welcher dieser Praxis zugrunde lag, lässt sich in das Sozialhilferecht übertragen: Lebt der Bedürftige in einer stabilen Konkubinatsbeziehung, so darf dieser Umstand (willkürfrei) bei der Ermittlung seines Unterstützungsbedarfs berücksichtigt werden, auch wenn ein Konkubinat keine klagbaren Ansprüche auf finanzielle Unterstützung begründet. Es darf insoweit von einer gegenseitigen Unterstützung der Konkubinatspartner ausgegangen werden. Dieses Ergebnis entspricht der neusten Praxis, wonach die finanziellen Verhältnisse des Konkubinatspartners beim Entscheid über die Alimentenbevorschussung berücksichtigt werden dürfen. Zwar ist es vor dem Willkürverbot nicht haltbar, das Einkommen des Partners allein deswegen anzurechnen, weil das Paar vorübergehend zusammenlebt; unter der Voraussetzung, dass ein stabiles Konkubinat besteht, ist die Berücksichtigung beider Einkommen jedoch zulässig (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 7).
2.4 Wenn ein Paar ein gemeinsames Kind hat und eine gemeinsame Wohnung bezieht, so lebt es eigentlich als Familie zusammen. Übernimmt der eine Partner die Besorgung des Haushalts und die Kinderbetreuung, während der andere einer Erwerbstätigkeit nachgeht, so besteht zudem eine klare Rollenteilung. Die Frage, ob der haushaltsführende Partner wirtschaftliche Not leidet und der Unterstützung durch die Allgemeinheit bedarf, lässt sich bei solchen Gegebenheiten nicht unabhängig von den finanziellen Verhältnissen des erwerbstätigen Partners beurteilen; es drängt sich geradezu auf, für die Beurteilung des Anspruchs des Ersteren auf Sozialhilfe die Einkünfte beider Partner zu berücksichtigen. Mit Blick hierauf ist es von Verfassungs wegen nicht zu beanstanden, wenn eine Konkubinatsbeziehung, sobald das Paar mit einem gemeinsamen Kind zusammenlebt, für den Bereich der Sozialhilfe als "stabil" oder "gefestigt" betrachtet wird, ohne dass weitere Voraussetzungen - insbesondere hinsichtlich der Dauer des Konkubinats - erfüllt sind. Es verstösst, wenn das Paar mit einem gemeinsamen Kind zusammenlebt, nicht gegen das Willkürverbot, für die Prüfung des Sozialhilfeanspruchs von Mutter und Kind die Einkommen beider Partner zu addieren.
2.5 Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn vertritt, wie aus den Erwägungen seines Urteils (S. 9 Erw. 3b) hervorgeht, demgegenüber die Auffassung, dass bei Konkubinatspaaren generell - d.h. auch bei Paaren mit gemeinsamen Kindern - erst nach einem zweijährigen Zusammenwohnen ein stabiles Konkubinat anzunehmen sei, weshalb erst ab diesem Zeitpunkt dem Bedürftigen das gesamte Einkommen seines Partners angerechnet werden dürfe. Einer solchen weitergehenden Praxis steht verfassungsrechtlich nichts entgegen. Danach würde vorliegend die volle Berücksichtigung des Einkommens von G._, wovon das angefochtene Urteil denn auch ausgeht, aber voraussetzen, dass dieser und die Beschwerdeführerin bereits während zwei Jahren in einem gemeinsamen Haushalt zusammengelebt haben. Entgegen der Auffassung des Verwaltungsgerichts ist Entsprechendes hier nicht erstellt: Aufgrund der vorliegenden Akten ist im Gegenteil davon auszugehen, dass die Partner - wie die Beschwerdeführerin vorbringt - erst seit März 2002 über eine gemeinsame Wohnung verfügen. Die Sozialhilfebehörde der Stadt Basel hat für die Bedarfsberechnung der Beschwerdeführerin nämlich erst ab April 2002 eine Haushaltsentschädigung von G._ berücksichtigt (vgl. Verfügungen vom 8. und 19. März 2002). Demgegenüber findet sich für die Annahme des Verwaltungsgerichts, das Konkubinat bestehe schon länger als zwei Jahre, keine Stütze: Die Einwohnergemeinde Dornach ist in ihrer abschlägigen Verfügung ohne Begründung und offenbar ohne Abklärungen einfach davon ausgegangen, dass ein "stabiles Konkubinat" vorliege. Diese Annahme wurde in der Folge von den Rechtsmittelinstanzen ungeprüft übernommen, wobei erst der angefochtene Verwaltungsgerichtsentscheid die Kriterien der kantonalen Praxis für die Annahme eines Konkubinats und dessen Bedeutung für den Anspruch auf Sozialhilfe deutlich zum Ausdruck brachte. Unter diesen Umständen kann von einer unbestrittenen Tatsache keine Rede sein; die Feststellung, die Beschwerdeführerin lebe seit mehr als zwei Jahren mit G._ zusammen und erfülle demnach die Voraussetzungen für ein stabiles Konkubinat im Sinne der kantonalen Praxis, steht vielmehr in klarem Widerspruch zu den (verfügbaren) Akten und verstösst mithin gegen das Willkürverbot.
2.5 Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn vertritt, wie aus den Erwägungen seines Urteils (S. 9 Erw. 3b) hervorgeht, demgegenüber die Auffassung, dass bei Konkubinatspaaren generell - d.h. auch bei Paaren mit gemeinsamen Kindern - erst nach einem zweijährigen Zusammenwohnen ein stabiles Konkubinat anzunehmen sei, weshalb erst ab diesem Zeitpunkt dem Bedürftigen das gesamte Einkommen seines Partners angerechnet werden dürfe. Einer solchen weitergehenden Praxis steht verfassungsrechtlich nichts entgegen. Danach würde vorliegend die volle Berücksichtigung des Einkommens von G._, wovon das angefochtene Urteil denn auch ausgeht, aber voraussetzen, dass dieser und die Beschwerdeführerin bereits während zwei Jahren in einem gemeinsamen Haushalt zusammengelebt haben. Entgegen der Auffassung des Verwaltungsgerichts ist Entsprechendes hier nicht erstellt: Aufgrund der vorliegenden Akten ist im Gegenteil davon auszugehen, dass die Partner - wie die Beschwerdeführerin vorbringt - erst seit März 2002 über eine gemeinsame Wohnung verfügen. Die Sozialhilfebehörde der Stadt Basel hat für die Bedarfsberechnung der Beschwerdeführerin nämlich erst ab April 2002 eine Haushaltsentschädigung von G._ berücksichtigt (vgl. Verfügungen vom 8. und 19. März 2002). Demgegenüber findet sich für die Annahme des Verwaltungsgerichts, das Konkubinat bestehe schon länger als zwei Jahre, keine Stütze: Die Einwohnergemeinde Dornach ist in ihrer abschlägigen Verfügung ohne Begründung und offenbar ohne Abklärungen einfach davon ausgegangen, dass ein "stabiles Konkubinat" vorliege. Diese Annahme wurde in der Folge von den Rechtsmittelinstanzen ungeprüft übernommen, wobei erst der angefochtene Verwaltungsgerichtsentscheid die Kriterien der kantonalen Praxis für die Annahme eines Konkubinats und dessen Bedeutung für den Anspruch auf Sozialhilfe deutlich zum Ausdruck brachte. Unter diesen Umständen kann von einer unbestrittenen Tatsache keine Rede sein; die Feststellung, die Beschwerdeführerin lebe seit mehr als zwei Jahren mit G._ zusammen und erfülle demnach die Voraussetzungen für ein stabiles Konkubinat im Sinne der kantonalen Praxis, steht vielmehr in klarem Widerspruch zu den (verfügbaren) Akten und verstösst mithin gegen das Willkürverbot.
3. Nach dem Gesagten ist die staatsrechtliche Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Es wird Sache des Verwaltungsgerichts sein, den Sachverhalt, soweit erforderlich, näher abzuklären (oder abklären zu lassen) und auf korrekter Grundlage über den Streitfall neu zu entscheiden.
3. Nach dem Gesagten ist die staatsrechtliche Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Es wird Sache des Verwaltungsgerichts sein, den Sachverhalt, soweit erforderlich, näher abzuklären (oder abklären zu lassen) und auf korrekter Grundlage über den Streitfall neu zu entscheiden.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Gemeinde Dornach, um deren Vermögensinteressen es letztlich geht, kostenpflichtig (vgl. Art. 156 Abs. 1 u. Abs. 2 OG). Parteientschädigung ist keine auszurichten, zumal die obsiegende Beschwerdeführerin nicht anwaltlich vertreten ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 2. Juli 2003 aufgehoben.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 2. Juli 2003 aufgehoben.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Gemeinde Dornach auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Gemeinde Dornach auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Sozialhilfekommission der Gemeinde Dornach und dem Departement des Innern sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Januar 2004
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: