Sachverhalt:
A.
A.a. A.X._ und B.X._ sind in der Schweiz niedergelassene mazedonische Staatsangehörige. Sie haben drei Kinder (C.X._ [geb. xx.xx.1994], D.X._ [geb. xx.xx.1995], und E.X._ [geb. xx.xx.1998]), welche alle hier geboren und in die Niederlassungsbewilligung ihrer Eltern einbezogen wurden.
A.X._ erlitt 1999 einen Unfall, ist seither 100 % invalid und bezieht eine Invalidenrente.
Die drei Söhne lebten seit 2001 in Mazedonien beim Grossvater und besuchten über einen Zeitraum von elf Jahren dort die Schule in einem Internat.
A.b. Am 18. Januar 2012 meldete sich B.X._ beim zuständigen Sozialamt und ersuchte um finanzielle Unterstützung ihrer Söhne bei der Wohnungssuche und für Sprachkurse. Zur Begründung machte sie geltend, da die Söhne in Mazedonien keine Perspektiven hätten, sei beabsichtigt, dass sie wieder in die Schweiz zurückkehrten.
Im Frühjahr 2012 reisten die drei Söhne wieder in die Schweiz ein und leben seither bei ihren Eltern.
B.
Nachdem das Departement des Innern des Kantons Solothurn (Migration und Schweizer Ausweise) das rechtliche Gehör gewährt hatte, stellte es mit Verfügung vom 27. Juni 2012 fest, dass die Niederlassungsbewilligungen von C.X._, D.X._ und E.X._ erloschen seien. Das am 30. März 2012 eventualiter für die beiden damals noch minderjährigen Söhne D.X._ und E.X._ gestellte Gesuch um Familiennachzug wies es ab; ebenso verweigerte es dem volljährigen C.X._ die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung in Abweichung von den Zulassungsvoraussetzungen (Art. 30 [lit. b oder lit. k] des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20). Gleichzeitig wies es die drei Brüder X._ aus der Schweiz weg. Zur Begründung führte die Migrationsbehörde im Wesentlichen aus, die Niederlassungsbewilligung der drei Kinder sei infolge der langen Auslandsabwesenheit sowie der Verlegung des Lebensmittelpunktes nach Mazedonien erloschen. Die Frist für einen ordentlichen Familiennachzug sei bereits abgelaufen, und ein nachträglicher Familiennachzug könne mangels wichtiger familiärer Gründe nicht bewilligt werden.
Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 2. November 2012 ab, gewährte der Familie X._ jedoch antragsgemäss die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung, dies im Wesentlichen mit der Begründung, der Prozess sei nicht aussichtslos gewesen und die IV-Rente des Vaters vermöge den Unterhalt der Familie nur knapp zu decken.
C.
Mit gemeinsamer Eingabe vom 6. Dezember 2012 führen A.X._, B.X._ und C.X._ Beschwerde (in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten) beim Bundesgericht mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil in der Hauptsache aufzuheben und festzustellen, dass die Niederlassungsbewilligungen von C.X._, D.X._ und E.X._ nicht erloschen seien; eventuell sei das Familiennachzugsgesuch zugunsten von D.X._ und E.X._ zu bewilligen und C.X._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, subeventuell die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Das Departement des Innern (Migration und Schweizer Ausweise) sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn beantragen Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung.
D.
Mit Verfügung vom 17. Dezember 2012 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen kantonal letztinstanzliche Endentscheide über die Feststellung des Erlöschens einer Niederlassungsbewilligung ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, weil grundsätzlich ein Anspruch auf das Fortbestehen dieser Bewilligung gegeben ist (<ref-law> e contrario, Art. 86 lit. d und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4; Urteile 2C_540/2011 vom 19. Dezember 2011 E. 1.1 und 2C_853/2010 vom 22. März 2011 E. 2.1 mit Hinweisen). Ebenso ist die Beschwerde mit Bezug auf das Eventualbegehren zulässig, den - im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung noch minderjährigen Söhnen D.X._ und E.X._ - eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, da ledige Kinder unter 18 Jahren von Personen mit Niederlassungsbewilligung Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung haben, wenn sie mit diesen zusammenwohnen (Art. 43 AuG in Verbindung mit <ref-law> e contrario). Soweit kein solcher Anspruch (mit Bezug auf den im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung bereits volljährigen C.X._) besteht, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hingegen unzulässig (<ref-law>), und es kann insoweit auch nicht eine falsche Anwendung von Art. 30 AuG gerügt werden (vgl. Urteil 2C_803/2010 vom 14. Juni 2011 E. 3).
1.2. Das Bundesgericht prüft frei die Anwendung von Bundesrecht mit Einschluss des Verfassungs- und Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat; es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, d. h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Solche Mängel müssen in der Beschwerde rechtsgenüglich gerügt werden (<ref-law>).
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Echte Noven, das heisst solche Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Entscheid aufgetreten sind, können nicht durch den angefochtenen Entscheid veranlasst sein und sind deshalb unzulässig (<ref-ruling> E. 2.1 S. 344). Dies betrifft vorliegend den mit Eingabe vom 5. Februar 2013 nachgereichten Arztbericht von Frau Dr. Y._.
2.
Zu prüfen ist zunächst der Tatbestand des Erlöschens der Niederlassungsbewilligung:
2.1. Verlässt die Ausländerin oder der Ausländer die Schweiz, ohne sich abzumelden, so erlischt die Kurzaufenthaltsbewilligung nach drei Monaten, die Aufenthalts- und Niederlassungsbewilligung nach sechs Monaten. Auf Gesuch hin kann die Niederlassungsbewilligung während vier Jahren aufrechterhalten werden (Art. 61 Abs. 2 AuG). Diese Regelung entspricht im Wesentlichen der Rechtslage, wie sie unter Art. 9 Abs. 3 lit. c des inzwischen aufgehobenen Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) gegolten hat (vgl. Urteil 2C_853/2010 vom 22. März 2011 E. 5.1). Nach der zu Art. 9 Abs. 3 lit. c ANAG entwickelten Rechtsprechung konnten junge Ausländer, die sich zwecks Ausbildung während einiger Jahre im Ausland befanden, ihre Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung behalten, sofern sich ihr Lebensmittelpunkt weiterhin in der Schweiz befand. Dies bedurfte nach einem mehr als vier Jahre dauernden Studium im Ausland einer eingehenden Überprüfung. Es waren also gewisse Grenzen für den Fortbestand der Niederlassungsbewilligung zu setzen (vgl. Urteil 2C_609/2011 vom 3. April 2012 E. 3.4). Diese Grenzen sah das Bundesgericht im letztgenannten Fall - wo es um drei Kinder ging, die 103⁄4, 83⁄4 und 71⁄2 Jahre in der Heimat von der Grossmutter betreut worden waren und dort zur Schule gingen - als überschritten. Es befand, ein Integrationsprozess in der Schweiz habe in dieser Zeit nicht stattgefunden, weswegen nicht zu beanstanden sei, dass die Vorinstanzen angenommen hätten, der Lebensmittelpunkt der drei Kinder sei bis zum Zeitpunkt der Rückkehr in die Schweiz in ihrer Heimat gewesen. Ihre hiesigen Besuchsaufenthalte hätten die sechsmonatige Frist von Art. 9 Abs. 3 lit. c ANAG nicht zu unterbrechen vermögen (genanntes Urteil E. 3.6).
Nach dieser Rechtsprechung, die auch unter dem neuen Ausländergesetz fortzuführen ist, waren die Gründe für eine Schulung der Kinder in der Heimat nicht ausschlaggebend. Die von den Beschwerdeführern vorliegend als Grund für die familiäre Trennung ins Feld geführte Invalidität des Vaters kann deshalb für die Aufrechterhaltung der Niederlassungsbewilligungen der Kinder nicht entscheidend sein. Das entsprechende Argument erscheint darüber hinaus aber auch nicht ohne weiteres überzeugend, nachdem der Vater nach den für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (E. 1.2) bereits im Dezember 1999 verunfallt war, die Kinder des Ehepaars aber erst im Juli 2001 nach Mazedonien zogen. Es ist unter diesen Umständen schwer nachzuvollziehen, weshalb es der Ehefrau - wie geltend gemacht wird - nicht zumutbar war, während zehn/elf Jahren neben dem Ehemann auch noch die Kinder zu betreuen, sie genau dies aber heute ohne weiteres können soll und will.
2.2. Die Beschwerdeführer machen geltend, die drei Kinder seien nie länger als sechs Monate landesabwesend gewesen. Regelmässig seien sie in der Schweiz medizinisch versorgt worden und hätten auch immer ihre Ferien hier verbracht, wo sie sich zu Hause fühlten.
Diesen Umstand hat auch die Vorinstanz nicht übersehen: Er ist irrelevant; wenn der Schulbesuch im Ausland längere Zeit dauert, wird dieses zum Lebensmittelpunkt, woran sich auch durch regelmässige vorübergehende Ferienaufenthalte in der Schweiz nichts ändert (E. 2.1 hievor sowie Urteile 2C_609/2011 vom 3. April 2012 E. 3.6, 2C_853/2010 vom 22. März 2011 E. 5.2, und 2A.311/1999 vom 26. November 1999 E. 2c). Auch die übrigen im Verfahren vor der Vorinstanz eingereichten Unterlagen (Passkopien, Impfausweise, Arztberichte etc.) belegen im Übrigen nicht, dass der Lebensmittelpunkt der drei Kinder trotz ihres langjährigen Lebens im Ausland hier in der Schweiz geblieben wäre.
2.3. Dem Erlöschen der Niederlassungsbewilligung steht auch eine teilweise Integration seit der Wiedereinreise in die Schweiz nicht entgegen. Die vor der Rückkehr erloschenen Bewilligungen können dadurch nicht wieder automatisch aufleben (Urteil 2C_609/2011 vom 3. April 2012 E. 3.8).
Nach dem Gesagten sind auch im hier zu beurteilenden Fall die Niederlassungsbewilligungen der drei Kinder erloschen.
3.
Damit geht es noch um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs (für die beiden jüngeren Söhne D.X._ und E.X._ [E. 1.1 hievor]) :
3.1. Der Anspruch auf Familiennachzug muss innerhalb von fünf Jahren geltend gemacht werden. Kinder über zwölf Jahre müssen innerhalb von zwölf Monaten nachgezogen werden (Art. 47 Abs. 1 AuG). Diese Fristen beginnen bei Familienangehörigen von Ausländerinnen und Ausländern mit der Erteilung der Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung oder der Entstehung des Familienverhältnisses (Art. 47 Abs. 3 lit. b AuG).
Diese regulären Nachzugsfristen für den Familiennachzug sind vorliegend unstreitig (vgl. Beschwerdeschrift Ziff. 8 S. 11) verstrichen.
3.2. Die Bewilligung des Nachzugs nach Ablauf der Fristen soll dem Willen des Gesetzgebers zufolge die Ausnahme und nicht die Regel bilden (vgl. Urteil 2C_205/2011 vom 3. Oktober 2011 E. 4.4 [mit weiteren Hinweisen]). Ein nachträglicher Familiennachzug wird daher nur bewilligt, wenn wichtige familiäre Gründe geltend gemacht werden (Art. 47 Abs. 4 Satz 1 AuG, Art. 75 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit, VZAE; SR 142.201). Solche Gründe liegen etwa dann vor, wenn das Kindeswohl nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1 in fine S. 291 und Urteil 2C_44/2010 vom 26. August 2010 E. 2.1.2 in fine), beispielsweise wenn die weiterhin notwendige Betreuung der Kinder im Herkunftsland etwa wegen des Todes oder der Krankheit der betreuenden Person nicht mehr gewährleistet ist (Urteil 2C_132/2012 vom 19. September 2012 E. 2.3 und 2.4).
3.3. Die Vorinstanz hat sich mit diesen Fragen ausführlich auseinandergesetzt. Ihr Schluss, für den schon im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung fast volljährigen D.X._ sei keine intensive Betreuung mehr erforderlich, lässt sich nicht beanstanden. Ebenso wenig Anlass dazu geben die sachverhaltlichen Feststellungen der Vorinstanz und ihre daraus gezogenen rechtlichen Schlussfolgerungen mit Bezug auf den heute über fünfzehnjährigen E.X._: Zwar ist nach diesen Feststellungen der Grossvater lungen- und herzkrank. Doch hatte E.X._ in Mazedonien über Jahre ein Internat besucht, so dass die Vorinstanz mit Recht davon ausgehen durfte, er sei die meiste Zeit von der Schule betreut worden; eine Lösung, welche auch zukünftig weitergeführt werden könne. Auch die Annahme der Vorinstanz, unter diesen Umständen könne E.X._ an den Wochenenden mit der Unterstützung des Grossvaters heute weitgehend für sich selbst sorgen, erscheint nicht rechtswidrig.
3.4. Hinzu kommt, dass die Beschwerdeführer - (vgl. vorne lit. A.b, aber auch nach eigenen Angaben [S. 12 der Beschwerdeschrift]) - die Rückkehr der Kinder in die Schweiz jedenfalls anfänglich gar nicht mit dem Hinfall der bisherigen Betreuungssituation im Heimatland begründet haben, sondern es ging ihnen um finanzielle Unterstützung der Söhne durch die öffentliche Hand für die nach der Rückkehr geplanten Deutschkurse und für die Wohnungssuche.
Auch darüber hinaus sind keine Gründe ersichtlich, welche die Beurteilung der Vorinstanz als rechtswidrig erscheinen liesse.
3.5. Ebenso wenig ist Art. 8 EMRK verletzt: Nach der Rechtsprechung schützt die Garantie auf Achtung des Familien- und Privatlebens im Zusammenhang mit der Bewilligung des Aufenthalts in erster Linie die Kernfamilie, d. h. die Gemeinschaft der Ehegatten mit ihren minderjährigen Kindern (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146 mit Hinweisen). Nachdem im vorliegenden Fall die Eltern nach eigenem Entscheid ihre Söhne nahezu während der gesamten Kindheit in Mazedonien ausbilden liessen, ist keine Verletzung von Art. 8 EMRK gegeben, wenn dieser Zustand auch noch bis zur Volljährigkeit dauert, soweit diese nicht bereits eingetreten ist. Zudem liegt gegen die Söhne kein Einreiseverbot vor. Diese können - in Aufrechterhaltung des seit vielen Jahren bestehenden Zustandes - im Rahmen von Ferienaufenthalten weiterhin die Schweiz bzw. die Eltern besuchen und damit ihr Familienleben in der Weise weiter pflegen, wie sie es seit dem Jahre 2001 immer getan haben.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang werden die Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig (Art. 65/66 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann aber entsprochen werden: Es ist einerseits auch heute von ihrer Prozessarmut (dazu Urteil 5A_405/2011 vom 27. September 2011 E. 4.2.2) auszugehen. Andererseits waren ihre Begehren - namentlich mit Blick auf die neurechtlichen Regelungen des Ausländergesetzes vom 16. Dezember 2005 zum Familiennachzug - auch nicht im Sinne von <ref-law> aussichtslos.
Parteikosten sind keine zu sprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen:
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Frau Rechtsanwältin Stephanie Selig wird zur unentgeltlichen Rechtsvertreterin der Beschwerdeführer bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse ein Honorar von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Departement des Innern des Kantons Solothurn (Migration und Schweizer Ausweise), dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein