Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 19. Juli 2007 sprach die IV-Stelle des Kantons Aargau K._ (geb. 1962) für die Zeit vom 1. September 2005 bis 31. März 2006 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung zu (Invaliditätsgrad: 46 %) und verneinte einen Rentenanspruch für die Folgezeit (Invaliditätsgrad: 34 %).
B. Beschwerdeweise liess K._ beantragen, die Verfügung sei aufzuheben und es sei ihm ab September 2005 eine ganze Rente zuzusprechen; eventualiter sei die Sache an die IV-Stelle zur weiteren medizinischen Abklärung zurückzuweisen. Mit Entscheid vom 14. Januar 2009 hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Beschwerde teilweise gut, hob die Verfügung auf und sprach K._ ab 1. September 2005 eine Dreiviertels- und ab 1. April 2006 eine halbe Rente zu.
C. Die IV-Stelle des Kantons Aargau führt Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben.
Während K._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, lässt sich das Bundesamt für Sozialversicherungen nicht vernehmen.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2 Auf der beruflich-erwerblichen Stufe der Invaliditätsbemessung charakterisieren sich als Rechtsfragen die gesetzlichen und rechtsprechungsgemässen Regeln über die Durchführung des Einkommensvergleichs (<ref-ruling> E. 3.4 S. 348 f., 128 V 29 E. 1 S. 30 f.), einschliesslich derjenigen über die Anwendung der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 475 f., 126 V 75 E. 3b/bb S. 76 f., 124 V 321 E. 3b/aa S. 322 f.). Die Feststellung der beiden hypothetischen Vergleichseinkommen stellt eine Tatfrage dar, soweit sie auf konkreter Beweiswürdigung beruht, hingegen eine Rechtsfrage, soweit sich der Entscheid nach der allgemeinen Lebenserfahrung richtet (<ref-ruling> E. 3.3 S. 399).
2. Es ist unbestritten, dass der Versicherte seit 2. Dezember 2003 wegen einer massiven Verschlechterung des Gehörs seiner bisherigen Tätigkeit auf dem Bau nicht mehr nachgehen konnte und er ab September 2004 aus psychiatrischer Sicht in seiner Arbeitsfähigkeit eingeschränkt war. Des Weitern steht fest, dass ab September 2005 zusätzlich rheumatologische Beschwerden auftraten. Eine leichte bis mittelschwere körperliche Tätigkeit ohne übermässigen Lärm und ohne die Notwendigkeit intensiver Kommunikation war ihm indessen ab September 2004 (Beginn der Wartezeit) bis Ende März 2006 zu 65 % und ab April 2006 (zufolge Verbesserung des Gesundheitszustandes) in vollem Umfang mit einer Leistungsminderung von 20 % zumutbar.
3. Das kantonale Gericht hat den Invaliditätsgrad anhand der Einkommensvergleichsmethode (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung) ermittelt. In ihrer Beschwerde wendet sich die IV-Stelle einzig gegen die vorinstanzliche Festsetzung des Valideneinkommens und auf Seiten des Invalideneinkommens gegen die von der Vorinstanz vorgenommene Erhöhung des leidensbedingten Abzuges (für die Zeit ab September 2005).
4. 4.1 Für die Ermitlung des Valideneinkommens stellte die Vorinstanz auf den vom Beschwerdegegner zuletzt, seit 1. Juli 2003, bei einer temporären Anstellung als Oberdreh-Kranführer erzielten Stundenlohn von Fr. 40.- ab. Diesen rechnete sie unter Berücksichtigung eines Jahresvollpensums von 1943 Stunden und des Nominallohnindexes auf das Jahr 2004 hoch und gelangte so zu einem Einkommen von Fr. 78'005.65.
4.2 Die IV-Stelle macht beschwerdeweise geltend, es könne nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit gesagt werden, dass der Versicherte als Gesunder Fr. 78'005.65 verdient hätte. Das Vorgehen der Vorinstanz, den temporären Stundenlohn - aus einer konjunkturellen und saisonalen Momentaufnahme heraus - auf ein Vollpensum umzurechnen und dann als Valideneinkommen einzusetzen, sei unzulässig. Es sei nicht davon auszugehen, dass der im Jahre 2005 43-jährige Versicherte und Familienvater, mit einer verbleibenden Arbeitskarriere von rund 22 Jahren, weiterhin Temporärarbeit geleistet hätte, sondern davon, dass der Versicherte spätestens 2005 die bisherige Tätigkeit auf dem Bau ohne Gesundheitsschaden in einem Festanstellungsverhältnis fortgesetzt hätte. Die IV-Stelle habe deshalb richtigerweise anhand der LSE ein Valideneinkommen von Fr. 64'296.- ermittelt. Die der Beschwerde beiliegenden IK-Auszüge würden zudem belegen, dass der Versicherte nie annähernd den Betrag von Fr. 78'005.65 verdient habe. Der anwaltlich vertretene Versicherte habe das von der IV-Stelle festgelegte Valideneinkommen weder im Vorbescheid- noch im Beschwerdeverfahren bestritten, weshalb die IV-Stelle keine weiteren Erläuterungen dazu abgegeben habe.
4.3 Zu Recht macht die IV-Stelle damit eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Valideneinkommens geltend. Denn aus den Akten ergibt sich zwar, dass der Versicherte immer wieder temporär angestellt war, ab Mai 1999 als Baggerführer zu einem Stundenlohn von Fr. 27.-, ab Oktober 2001 ebenfalls als Baggerführer zu einem Stundenlohn von Fr. 36.50 und schliesslich ab 1. Juni 2003 - nach Absolvierung einer Ausbildung zum Kranführer - temporär als Oberdreh-Kranführer zum Höchstansatz von Fr. 40.- pro Stunde. Dabei weisen die IK-Auszüge für die Jahre 1999 bis 2003 Einkommen zwischen Fr. 49'585.- und Fr. 66'096.- (1999: Fr. 51'395.-; 2000: Fr. 55'953.-; 2001: Fr. 51'501.-; 2002: Fr. 66'096.-; 2003: Fr. 49'585.-) und für das Jahr 2004 ein solches von Fr. 17'922.- aus. Bei dieser Sachlage, namentlich auch mit Blick auf den sich für die Jahre 1999 bis 2003 ergebenden, deutlich unter dem von der Vorinstanz ermittelten Einkommen von Fr. 78'005.65 liegenden Durchschnittslohn von Fr. 54'906.-, wendet die IV-Stelle zutreffend ein, dass die vorinstanzliche Umrechnung des im Rahmen des Temporärarbeitsverhältnisses bezahlten Stundenlohnes von Fr. 40.- auf ein Jahresgehalt - unter Zugrundelegung eines einer Festanstellung entsprechenden vollen Arbeitspensums von 1943 Stunden - rechtlich nicht angeht (vgl. auch Urteile 9C_177/2007 vom 10. Juli 2007 E. 3.2 und I 597/02 vom 27. August 2003 E. 4.1). Mit der IV-Stelle rechtfertigt sich vielmehr, für das Valideneinkommen auf Tabellenlöhne abzustellen, welches Vorgehen nach Aufrechnung auf die durchschnittliche wöchentliche Arbeitszeit (in der Baubranche 41.7 Stunden) und Berücksichtigung der Teuerung (in der Baubranche 2005 und 2006 je 1.1 %) zu einem Einkommen von Fr. 67'766.- im Jahr 2005 (LSE 2004, S. 53, TA1, Pos. 45, Niveau 3, Fr. 5'358.- : 40 x 41.7 [durchschnittliche wöchentliche Arbeitszeit] x 1.011 [Nominallohnbereinigung] x 12) und Fr. 68'511.- im Jahr 2006 führt. Dies entspräche bei einem zu einem Stundenlohn von Fr. 40.- eingegangenen Temporärarbeitsverhältnis einem Jahreseinsatz von knapp 1700 Stunden, was mit Blick auf die IK-Einträge und den diesen zugrunde liegenden Stundenlöhne realistisch sein dürfte.
5. 5.1 Was das (ebenfalls) anhand von Tabellenlöhnen zu ermittelnde Invalideneinkommen anbelangt, sind sich Vorinstanz und IV-Stelle uneinig, ob für die Zeit ab September 2005 ein leidensbedingter Abzug von 10 % (IV-Stelle) oder 15 % (Vorinstanz) vorzunehmen ist.
5.2 Zur Begründung der Erhöhung des leidensbedingten Abzuges auf 15 % führte die Vorinstanz an, eine Reduktion um 10 % trage allein den Umständen Rechnung, dass dem Versicherten nur noch Tätigkeiten zumutbar seien, bei welchen er weder übermässigem Lärm ausgesetzt sei noch intensiv zu kommunizieren habe, nicht aber den seit September 2005 ausgewiesenen rheumatologischen Beschwerden.
5.3 Wie die IV-Stelle richtig vorbringt, hat das kantonale Gericht mit dem zusätzlichen Abzug von 5 % sein Ermessen ohne triftigen Grund an die Stelle desjenigen der Verwaltung gesetzt und damit gegen die Rechtsgrundsätze der Ermessenskontrolle verstossen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 6 S. 81). Denn die vorinstanzliche abweichende Ermessensausübung erscheint nicht als naheliegender, zumal zusätzliche, neben den Bedingungen der lärmarmen Umgebung und der fehlenden Notwendigkeit intensiver Kommunikation bestehende Beeinträchtigungen auch nach dem Auftreten rheumatologischer Beschwerden nicht ersichtlich sind, sondern der Versicherte vielmehr weiterhin in der Lage war, selbst mittelschwere Tätigkeiten auszuüben. Die eingeschränkte Leistungsfähigkeit bei vollem Pensum ist durch die entsprechende Reduktion des Invalideneinkommens bereits berücksichtigt und kann nicht zu einem zusätzlichen Abzug führen (Urteil 9C_344/2008 vom 5. Juni 2008 E. 4 mit Hinweis).
5.4 Bei einem Abzug von 10 % resultiert für die Zeit ab 1. September 2005 ein Invalideneinkommen von Fr. 33'831.- (LSE 2004, S. 53, TA1, Total Männer, Anforderungsniveau 4, Nominallohnindex total von 1 %; Fr. 4'588.- x 1.01 [Nominallohnbereinigung] : 40 x 41.6 [durchschnittliche wöchentliche Arbeitszeit] x 12 x 0.65 x 0.9) und für die Zeit ab 1. April 2006 ein solches von Fr. 41'821.- (Fr. 4'588.- x 1.012 [Nominallohnbereinigung] : 40 x 41.7 [durchschnittliche wöchentliche Arbeitszeit] x 12 x 0.8 x 0.9).
6. Eine Gegenüberstellung der beiden Vergleichseinkommen führt für die Zeit ab 1. September 2005 zu einem Anspruch auf eine halbe Rente verleihenden Invaliditätsgrad von 50 % und für die Zeit ab 1. April 2006 zu einem rentenausschliessenden Invaliditätsgrad von gerundet 39 %.
7. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat von den Gerichtskosten die teilweise obsiegende IV-Stelle 1/5 und der Beschwerdegegner 4/5 zu tragen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat dem Beschwerdegegner überdies eine reduzierte Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Dem Gesuch des Versicherten um unentgeltliche Rechtspflege ist stattzugeben, da die entsprechenden gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 14. Januar 2009 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Aargau vom 19. Juli 2007 werden insoweit abgeändert, als der Beschwerdegegner für die Zeit vom 1. September 2005 bis 31. März 2006 Anspruch auf eine halbe Rente der Invalidenversicherung und für die Zeit ab 1. April 2006 keinen Anspruch auf eine Rente hat.
2. Dem Beschwerdegegner wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Von den Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle des Kantons Aargau Fr. 100.- und dem Beschwerdegegner Fr. 400.- auferlegt. Der Anteil des Beschwerdegegners wird vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Die IV-Stelle des Kantons Aargau hat dem Beschwerdegegner für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 400.- zu bezahlen.
5. Rechtsanwältin Susanne Schaffner-Hess, Olten, wird als unentgeltliche Anwältin des Beschwerdegegners bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'600.- ausgerichtet.
6. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
7. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Januar 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann