Sachverhalt:
A.
Vor dem Bezirksgericht Dietikon ist ein Verfahren hängig, das eine Klage von A._ (Kläger, Beschwerdeführer) auf richterliche Aufhebung oder Einstellung der gegen ihn laufenden Betreibung im Sinne von <ref-law> zum Gegenstand hat. Mit Verfügung vom 8. April 2014 wies das Bezirksgericht das Gesuch des Klägers um unentgeltliche Rechtspflege für dieses Verfahren ab.
Der Kläger focht die besagte Verfügung beim Obergericht des Kantons Zürich an. Dieses wies mit Urteil vom 21. Mai 2014 sowohl die kantonale Beschwerde als auch das darin gestellte Gesuch des Klägers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab.
B.
Der Kläger begehrt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts vom 21. Mai 2014 sei aufzuheben. Dem Beschwerdeführer sei die unentgeltliche Prozessführung sowie die unentgeltliche Rechtsverbeiständung zu gewähren. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung "an die Vorinstanz" zurückzuweisen.
Sodann ersucht der Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Es wurden keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt.
C.
Mit Präsidialverfügung vom 25. August 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1 ; <ref-ruling> E. 1).
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein letztinstanzlicher (<ref-law>) Zwischenentscheid, der das kantonale Verfahren nicht abschliesst. Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde nach <ref-law> zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können. Zwischenentscheide wie derjenige des Obergerichts, mit denen einer Partei die unentgeltliche Rechtspflege verweigert bzw. die Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen wird, erfüllen gemäss der Rechtsprechung diese Voraussetzung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2a S. 210 mit Hinweisen).
Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 2.2). Der Streitwert übersteigt gemäss der Feststellung der Vorinstanz die nach <ref-law> geltende Grenze von Fr. 30'000.--. Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher - unter Vorbehalt einer hinlänglichen Begründung (Erwägung 2) - zulässig.
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls darauf nicht eingetreten werden kann. I n der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen ( <ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5).
3.
In formeller Hinsicht rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung seines verfassungs- und konventionsrechtlichen Anspruchs auf einen unabhängigen Richter. Er bemängelt, am angefochtenen Entscheid des Obergerichts habe unzulässigerweise Ersatzoberrichter Dr. Stephan Mazan mitgewirkt, der zugleich ordentlicher Bezirksrichter am Bezirksgericht Dietikon sei.
3.1. Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Umstände vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, die also geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei ihrer Beurteilung ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 4.1; Urteil 2C_89/2013 vom 13. Juni 2014 E. 2.2, zur Publikation vorgesehen; je mit weiteren Hinweisen).
<ref-law> umschreibt die Ausstandsgründe für die Zivilgerichte auf Gesetzesebene.
3.2. Der Beschwerdeführer macht zu Recht nicht geltend, es liege eine Vorbefassung im Sinne von <ref-law> vor, hat doch Dr. Stephan Mazan an der Verfügung des Bezirksgerichts anerkanntermassen nicht mitgewirkt. Der Beschwerdeführer behauptet auch nicht, Dr. Stephan Mazan sei in das erstinstanzliche Verfahren sonst in irgendeiner Form persönlich involviert gewesen. Vielmehr argumentiert er, die Befangenheit von Dr. Stephan Mazan ergebe sich bereits aus dessen Funktion als Mitglied des Bezirksgerichts Dietikon. Dieser Umstand wecke im vorliegenden Fall objektiv betrachtet Zweifel an seiner Unabhängigkeit als Ersatzoberrichter.
3.3. Gemäss der Rechtsprechung bewirkt die blosse Kollegialität unter Gerichtsmitgliedern keine Ausstandspflicht, da die Mitglieder einer Kollegialbehörde in ihrer Stellung von einander unabhängig sind (<ref-ruling> E. 5.3 und 5.4; <ref-ruling> E. 6.4.4; Urteile 5A_283/2014 vom 3. September 2014 E. 4.2; 1B_121/2014 vom 13. Juni 2014 E. 2.1). In diesem Sinne entschied das Bundesgericht, der Umstand, dass ein Parteivertreter in Drittverfahren am Gericht ein Ersatzrichteramt bekleide, stelle die Unbefangenheit der Gerichtsmitglieder nicht generell in Frage (<ref-ruling> E. 5). Ferner erschien dem Bundesgericht die Neutralität unterinstanzlicher Richter objektiv nicht dadurch gefährdet, dass ein Parteivertreter gleichzeitig im Nebenamt Mitglied einer Rechtsmittelinstanz ist (BGE <ref-ruling> E. 6.7). Dabei war für das Bundesgericht namentlich von Bedeutung, dass der unterinstanzliche Richter keinen persönlichen Vorteil daraus zieht, wenn seine Entscheide von der Rechtsmittelinstanz geschützt werden, ebenso wenig wie seine Stellung dadurch erschüttert wird, dass ein Rechtsmittelentscheid anders ausfällt als sein eigener Entscheid (BGE <ref-ruling> E. 6.5.2). Ebenso verneinte das Bundesgericht den Anschein der Befangenheit einer Bundesstrafrichterin, die in ihrer früheren Funktion als Staatsanwältin bei jener Staatsanwaltschaft, gegen deren Entscheid sich die Beschwerde richtete, mit der vorliegenden Rechtshilfesache nichts zu tun hatte, darauf keinen Einfluss nahm und hierzu auch keine Möglichkeit hatte (Urteil 1C_216/2007 vom 20. September 2007 E. 2.2.4 mit Hinweis auf die Rechtsprechung des EGMR).
Dementsprechend ist es grundsätzlich auch nicht verfassungswidrig, wenn ein Ersatzrichter einer oberen Gerichtsbehörde über ein Rechtsmittel gegen einen Entscheid einer unteren Gerichtsbehörde befindet, der er selber als ordentliches Mitglied angehört. Dass ein Richter einen Entscheid zu überprüfen hat, an dessen Fällung Personen mitgewirkt haben, mit denen er zusammen in derselben Kollegialbehörde als Richter tätig ist, vermag für sich allein noch nicht den Anschein von Befangenheit zu bewirken und zum Verlust der Unabhängigkeit zu führen. Die blosse Kollegialität unter Behördenmitgliedern hat auch in diesem Zusammenhang keine Ausstandspflicht zur Folge (vgl. Urteile 5A_448/2012 vom 17. Januar 2013 E. 3.2.4.1; 2A.295/2003 vom 3. Juni 2004 E. 1.2).
Mit Blick auf das Vertrauen in die Unabhängigkeit der Justiz mag es wohl wünschenswert erscheinen, dass eine Gerichtsperson, die bei mehreren einander im Instanzenzug über- respektive untergeordneten rechtsprechenden Behörden tätig ist, nicht an einem Rechtsmittelverfahren gegen eine Entscheidung ihrer eigenen Behörde mitwirkt. Das vom Beschwerdeführer geforderte entsprechende Verbot ergibt sich indessen weder aus <ref-law> oder Art. 6 Ziff. 1 EMRK noch aus <ref-law>.
3.4. Der Beschwerdeführer stützt seine Argumentation alleine auf die unbelegte Annahme, es bestehe "ein enges Verhältnis" zwischen den Richtern des Bezirksgerichts. Dies genügt nach dem Gesagten nicht, um einen Ausstandsgrund zu belegen. Da der Beschwerdeführer demnach keine Umstände geltend macht, die den Anschein der Befangenheit der am Beschwerdeentscheid des Obergerichts mitwirkenden Gerichtspersonen erwecken könnten, geht seine Verfassungsrüge fehl.
4.
In der Sache beanstandet der Beschwerdeführer, die Vorinstanzen hätten sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu Unrecht wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen und dadurch im Ergebnis <ref-law> verletzt.
4.1. Gemäss <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (b).
Aussichtslos sind nach der Rechtsprechung Begehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Entscheidend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung des Prozessstoffs, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.2.4).
Das Bundesgericht untersucht in rechtlicher Hinsicht frei, ob der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege verletzt wurde; soweit es um tatsächliche Feststellungen der kantonalen Instanz geht, ist seine Prüfungsbefugnis auf Willkür beschränkt (<ref-ruling> E. 2.1).
4.2. In der Sache geht es im kantonalen Verfahren um eine behauptete Darlehensforderung der Beklagten. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe weder ein Darlehen erhalten noch einen entsprechenden Vertrag unterzeichnet. Sein Klagebegehren lautet auf Feststellung, dass keine Schuld besteht.
Das Bezirksgericht stützte seine Einschätzung, wonach die Klage des Beschwerdeführers aussichtslos sei, auf die Sachbehauptungen sowie die Beweismittel und Beweisanträge der Parteien, insbesondere auf die von der Beklagten ins Recht gelegten Darlehensverträge vom 2. März 2009 und vom 10. August 2010. Das Obergericht überprüfte und bestätigte die Beurteilung des Bezirksgerichts, wobei es sich ausführlich mit dem Prozessstoff und den Argumenten des Beschwerdeführers auseinandersetzte. Für entscheidend hielt es, ob die beiden Darlehensverträge tatsächlich vom Beschwerdeführer unterschrieben worden seien. Es befand, die Sachdarstellung des Beschwerdeführers, wonach seine Unterschriften gefälscht seien, wirke wenig überzeugend. Das prozessuale Verhalten, die tatsächlichen Vorbringen und die verfügbaren Beweismittel liessen den Einwand der Fälschung bei summarischer Prüfung trotz der (vom Beschwerdeführer) genannten Zeugin als blosse Schutzbehauptung erscheinen. Damit sei die Klage aussichtslos, und das Bezirksgericht habe dem Beschwerdeführer im Ergebnis zu Recht die unentgeltliche Rechtspflege verwehrt.
Das Obergericht schloss, die Beschwerde sei als offensichtlich unbegründet abzuweisen. Da sie als aussichtslos bezeichnet werden müsse, sei auch das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren abzuweisen.
4.3. Der Beschwerdeführer wendet sich in verschiedener Hinsicht gegen diese Beurteilung. Seine Ausführungen reissen allerdings einzelne Elemente aus dem Zusammenhang der vorinstanzlichen Würdigung und erschöpfen sich überdies weitgehend in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid. So wiederholt er seine Behauptung aus dem kantonalen Verfahren, er habe der Beklagten Blankounterschriften gegeben, die aber zweckentfremdet worden seien. Er räumt zwar selber ein, dass das Ausstellen von Blankounterschriften "ex ante betrachtet 'erstaunlich' erscheinen" möge, versucht dieses Verhalten aber durch die Behauptung zu begründen, zu "jener Zeit" habe ein Vertrauensverhältnis zwischen den Parteien bestanden und es seien "davor auch bereits Vollmachten ausgestellt" worden. Ferner meint er, aus der Position der Unterschriften auf den Vertragsdokumenten könne entgegen der Vorinstanz nichts für deren Echtheit abgeleitet werden.
Soweit diese Ausführungen überhaupt zu hören sind, vermag der Beschwerdeführer damit die ausführliche und nachvollziehbare tatsächliche Würdigung der Vorinstanz nicht umzustossen. Namentlich bietet er keine Erklärung für die vorinstanzliche Feststellung, dass er zunächst geltend gemacht habe, die Unterschriften als solche seien nicht echt. Den entsprechenden Widerspruch in der Argumentation berücksichtigte die Vorinstanz zu Recht.
4.4. Sodann sieht der Beschwerdeführer Art. 53 Abs. 1 sowie Art. 157 ZPO verletzt. Er meint, die Vorinstanz gehe in unzulässiger antizipierter Beweiswürdigung davon aus, die Aussage der von ihm angerufenen Zeugin vermöge seine Prozesschancen nicht entscheidend zu verbessern, ohne auch nur eine Ahnung zu haben, was die Zeugin überhaupt aussagen werde.
In der Tat kann die Aussichtslosigkeit beweisbedürftiger rechtserheblicher Behauptungen nur in Ausnahmefällen vor der Durchführung des vollständigen Beweisverfahrens angenommen werden. Hängt jedoch die Erfolgsaussicht eines Klage- oder eines Rechtsmittelbegehrens wie vorliegend primär davon ab, ob der gesuchstellenden Partei der Beweis für die fragliche Behauptung gelingen werde, kann dem Gericht nicht verwehrt sein, aufgrund der Aktenlage und des prozessualen Verhaltens der Parteien in vorweggenommener Würdigung die Erfolgsaussichten der Beweisführung zu beurteilen. Ist danach ein vorläufiger Entscheid über die behauptete Tatsache möglich, ohne dass allfällige zusätzlich beantragte oder denkbare weitere Beweise mit ernsthafter Wahrscheinlichkeit noch etwas daran zu ändern vermöchten, so kann die Erfolgsaussicht eines Begehrens auch in tatsächlicher Hinsicht verneint werden (Urteil 4A_316/2013 vom 21. August 2013 E. 7.1 mit Hinweisen).
Wenn die Vorinstanz die Sachdarstellung des Beschwerdeführers (hinsichtlich der Fälschung) als blosse Schutzbehauptung bezeichnete, ging sie offenkundig davon aus, die Abnahme der beantragten Beweise sei in diesem Fall ausnahmsweise entbehrlich. Der Beschwerdeführer vermag diese Einschätzung nicht als bundesrechtswidrig auszuweisen, zumal er nicht einmal substanziiert dartut, was er durch die in Aussicht gestellten "sachdienliche[n] Aussagen" der von ihm genannten Zeugin genau hätte beweisen wollen.
Ferner meint der Beschwerdeführer unter dem gleichen Rechtstitel, die Vorinstanz hätte nicht einfach offen lassen dürfen, wie es sich mit den von der Beklagten eingereichten Quittungen für Darlehensrückzahlungen über total Fr. 35'880.-- verhalte, nachdem er (der Beschwerdeführer) selber dazu verschiedene Zeugen genannt habe. Inwiefern die Vorinstanz indessen gegen Bundesrecht verstossen haben soll, wenn sie die behaupteten Rückzahlungen gerade nicht zu Gunsten der Beklagten berücksichtigte, sondern die Klage bereits unabhängig davon für aussichtslos hielt, ist nicht erkennbar.
Die gerügte Rechtsverletzung ist unter diesen Umständen nicht ausgewiesen.
4.5. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz bundesrechtskonform die kantonale Beschwerde abgewiesen und dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit seiner Begehren auch für das Beschwerdeverfahren verweigert.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Sie war von vornherein aussichtslos, weshalb dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nicht entsprochen werden kann (vgl. <ref-law>).
Ausgangsgemäss wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es ist keine Parteientschädigung zu sprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. September 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz