Faits:
A. Le 27 août 2005, X._ circulait au volant de sa voiture sur la route principale entre Muraz et Vionnaz (VS), lorsqu'il a été contrôlé à à la vitesse de 116 km/h (marge de sécurité déduite), alors que la vitesse était limitée à 80 km/h. Invité à se déterminer par le Service des automobiles et de la navigation du canton de Genève (ci-après: le SAN), l'intéressé a expliqué qu'il avait amené sa grand-mère à l'hôpital de Monthey et qu'il était accompagné de son grand-père diabétique, âgé de 86 ans. Ce dernier avait oublié son insuline au camping de Roche (VD), d'où ils étaient partis en urgence. Comme son grand-père s'est senti mal sur le chemin du retour, menaçant de tomber en hypoglycémie, X._ avait entrepris de le ramener au plus vite vers le camping en question. Par décision du 7 mars 2006, le SAN a retiré le permis de l'intéressé pour une durée de six mois.
B. Par arrêt du 31 août 2006, le Tribunal administratif du canton de Genève a rejeté le recours formé contre cette décision par X._. Il a considéré que les conditions permettant de retenir un état de nécessité au sens de l'art. 34 aCP n'étaient pas réunies. Contre cette décision, X._ a formé un recours de droit administratif, que la Cour de cassation pénale du Tribunal fédéral a admis par arrêt du 27 décembre 2006 (arrêt 6A.85/2006). L'arrêt attaqué a été annulé afin que le Tribunal administratif complète l'instruction sur la question de l'état de nécessité. Il convenait de déterminer s'il existait effectivement un danger imminent et impossible à détourner autrement, en établissant notamment si le lieu où l'excès de vitesse a été constaté se trouvait plus proche du camping de Roche ou de l'hôpital de Monthey.
C. Le 31 octobre 2006, le Juge d'instruction du Bas-Valais a rendu une ordonnance pénale reconnaissant X._ coupable de violation grave des règles de la circulation pour les faits susmentionnés et le condamnant à une amende de 600 francs.
D. Après avoir complété l'instruction de la cause, le Tribunal administratif a rendu un nouvel arrêt le 1er avril 2008. Il a constaté que le lieu de l'infraction se situait à 8 km de l'hôpital de Monthey et 17 km du camping de Roche et il a considéré que X._ ne démontrait pas l'existence d'une situation d'urgence, de sorte qu'un état de nécessité au sens de l'art. 34 aCP ne pouvait pas être retenu.
E. Agissant par la voie du recours de droit administratif, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et d'inviter le Tribunal administratif à nommer un expert et à tenir compte du temps écoulé depuis l'infraction. Il requiert en outre la mise en oeuvre d'une inspection locale ainsi que l'octroi de l'effet suspensif. Le Tribunal administratif se réfère à l'arrêt attaqué. L'Office fédéral des routes conclut au rejet du recours. Le SAN n'a pas présenté d'observations.
F. Par ordonnance du 27 mai 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a accordé l'effet suspensif au recours.

Considérant en droit:
1. La décision attaquée ayant été rendue après le 1er janvier 2007, la loi fédérale du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110) est applicable à la présente procédure de recours (<ref-law>). Dès lors que la loi fédérale d'organisation judiciaire (OJ) a été abrogée (<ref-law>), la décision litigieuse ne saurait être contestée par la voie du recours de droit administratif au sens des art. 97 ss OJ. Cela étant, à lui seul, l'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur si les conditions d'une conversion en la voie de droit adéquate sont réunies (<ref-ruling> consid. 1b p. 509 et les arrêts cités). La voie du recours en matière de droit public, au sens des <ref-law>, est en principe ouverte contre les décisions prises en dernière instance cantonale au sujet de mesures administratives de retrait du permis de conduire. Le recourant est particulièrement atteint par la décision attaquée - qui confirme le retrait de son permis de conduire pour une durée de six mois - et il a un intérêt digne de protection à son annulation; il a donc la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 let. a et b LTF. Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours satisfait aux exigences des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF et est recevable comme recours en matière de droit public.
2. Le Tribunal fédéral s'estimant suffisamment renseigné par le dossier, il n'y a pas lieu de procéder à l'inspection locale requise.
3. Le recourant, qui n'est pas assisté d'un avocat, reproche en substance au Tribunal administratif de n'avoir pas tenu compte de l'arrêt 6A.85/2006 susmentionné en omettant de mandater un médecin ou un expert pour déterminer les risques encourus par son grand-père. On comprend donc qu'il se plaint d'une mauvaise appréciation de l'état de nécessité au sens de l'<ref-law> (art. 34 aCP) et d'un établissement inexact des faits au sens de l'<ref-law>.
3.1 L'état de nécessité suppose que l'infraction ait été commise pour préserver un bien juridique d'un danger imminent et impossible à détourner autrement. Or, cette dernière condition fait défaut en l'espèce. En effet, à supposer que le danger imminent pour la vie ou la santé du grand-père du recourant soit établi, il pouvait être préservé autrement qu'en commettant l'excès de vitesse litigieux, dès lors qu'il était manifestement plus rapide et plus sûr de faire demi-tour pour regagner l'hôpital de Monthey, situé à 8 km du lieu de l'infraction, plutôt que de rouler en excès de vitesse jusqu'au camping de Roche, situé à 17 km. Le recourant ne saurait se prévaloir de l'ignorance de ce fait, puisqu'il venait d'effectuer le trajet en sens inverse. Il ne saurait davantage être suivi lorsqu'il allègue, selon ses explications données dans la procédure cantonale, que l'hôpital de Monthey se trouve sur la route de Morgins " après un col en lacet serré, de plusieurs kilomètres ". Comme cela ressort d'une simple lecture des cartes topographiques, l'hôpital en question est certes situé sur les hauts de la ville de Monthey, mais à quelques minutes seulement de celle-ci et en aucun cas après un col. Il est en outre desservi par une large route aisément praticable, qualifiée de route de 1ère classe (Office fédéral de topographie, carte nationale de la Suisse 1:25 000, édition 2006). Il est donc manifeste que le recourant pouvait rapidement regagner cet hôpital, où son grand-père aurait pu obtenir de l'insuline et des soins appropriés en cas de complications. Les conditions de l'état de nécessité au sens de l'<ref-law> (art. 34 aCP) ne sont dès lors pas réalisées.
3.2 Dans ces circonstances, il était superflu de déterminer si le grand-père de l'intéressé se trouvait effectivement en danger, une autre condition essentielle de l'état de nécessité faisant défaut. C'est donc à bon droit que le Tribunal administratif s'est dispensé de mandater un expert pour examiner cette question, si bien que les faits n'ont pas été constatés de façon manifestement inexacte au sens de l'<ref-law>.
4. Le recourant se prévaut également de l'écoulement du temps depuis la commission de l'infraction et soutient qu'après presque trois ans la peine apparaît disproportionnée.
4.1 Selon la jurisprudence, lorsqu'il s'est écoulé un temps relativement long depuis les faits qui ont provoqué la mesure, que l'intéressé s'est bien conduit pendant cette période et que la durée excessive de la procédure ne lui est pas imputable, l'autorité peut prononcer une mesure d'une durée inférieure au minimum légal et, le cas échéant, renoncer à toute mesure (<ref-ruling> consid. 3d p. 300; <ref-ruling> consid. 4e p. 510). En effet, l'éducation et l'amendement d'un auteur supposent que la mesure soit dans un rapport temporel approprié avec l'infraction commise. En outre, l'écoulement du temps relativise la nécessité d'une sanction éducative lorsque l'auteur s'est bien comporté dans l'intervalle. A défaut de norme spécifique en la matière, il y a lieu de s'inspirer des règles sur la prescription pénale. Toutefois, il n'est pas possible de dire abstraitement et en chiffres absolus à partir de quel moment une procédure doit être considérée comme trop longue. Pour répondre à cette question, il faut prendre en considération les circonstances du cas particulier (<ref-ruling> consid. 3d p. 300).
4.2 Selon la jurisprudence rendue en matière de contraventions, une procédure d'un peu plus de quatre ans est considérée comme étant trop longue (<ref-ruling>; arrêt 6A.80/2004 du 31 janvier 2005). S'agissant en revanche de violations graves des règles de la circulation routière ayant entraîné une condamnation pénale en application de l'<ref-law>, c'est une procédure de plus de cinq ans qui a été qualifiée d'excessive (<ref-ruling> consid. 5a p. 182; <ref-ruling>). Dans des arrêts récents, une durée de près de quatre ans n'a pas été considérée comme démesurée s'agissant d'excès de vitesse constitutifs d'infractions légères à graves (arrêts 1C_345/2007 du 24 janvier 2008 et 6A.114/2006 du 27 janvier 2007).
4.3 En l'occurrence, le temps écoulé entre la commission de l'infraction et la décision administrative de dernière instance cantonale est de trente-deux mois. Cela étant, aucun retard exagéré n'est imputable aux autorités cantonales. La décision du SAN du 7 mars 2006 a en effet été rendue dans un délai raisonnable et le recourant l'a contestée devant le Tribunal administratif, puis devant le Tribunal fédéral. Il a alors fallu procéder à divers compléments d'instruction, avant que le Tribunal administratif ne rende un nouvel arrêt, que le recourant a également contesté devant la Cour de céans. Dans ces conditions, la durée de la procédure n'apparaît pas excessive.
De plus, sur le vu de la jurisprudence susmentionnée, le fait qu'un peu moins de trois ans se soient écoulés depuis l'infraction litigieuse ne remet pas en cause les vertu d'éducation et d'amendement de la sanction, quand bien même l'intéressé n'aurait pas commis d'autres infractions depuis. On ne saurait ainsi reprocher aux autorités cantonales de ne pas avoir diminué la durée du retrait, ce d'autant moins que celui-ci était limité à la durée légale minimale.
5. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service des automobiles et de la navigation et au Tribunal administratif du canton de Genève ainsi qu'à l'Office fédéral des routes, Division circulation routière.
Lausanne, le 29 août 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener