Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdegegner) beanspruchte infolge eines Autounfalls von der X._ Versicherungen AG (Beschwerdeführerin) Leistungen aus einer Kollektiv-Krankentaggeldversicherung.
B. Nachdem sich die Parteien über die zu erbringenden Leistungen nicht hatten einigen können, klagte der Beschwerdegegner am 23. Juni 2008 beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau gegen die Beschwerdeführerin mit dem Hauptbegehren, es sei die Beschwerdeführerin zur Zahlung von insgesamt Fr. 124'930.32 zu verurteilen, zuzüglich 5 % Zins ab Klageeinreichung. Dem Beschwerdegegner wurde im kantonalen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege samt Verbeiständung bewilligt.
Mit Urteil vom 21. Januar 2010 verpflichtete das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Beschwerdeführerin in teilweiser Gutheissung der Klage, dem Beschwerdegegner Fr. 3'015.95 zuzüglich Zins zu 5 % ab dem 23. Juni 2008 zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage des Beschwerdegegners ab (Dispositiv-Ziff. 1). Das Versicherungsgericht erhob keine Verfahrenskosten (Dispositiv-Ziff. 2) und sprach auch keine Parteientschädigungen zu (Dispositiv-Ziff. 3).
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei ihr eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 11'424.30, zuzüglich Fr. 456.95 Spesenentschädigung und Fr. 902.95 MWST aus dem Prozess vor dem Versicherungsgericht zuzusprechen.
Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde. Gleichzeitig beantragt er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege samt Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Vorinstanz hat auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung unterliegen nach Art. 12 Abs. 2 und 3 des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) dem Versicherungsvertragsgesetz vom 2. April 1908 (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 442 mit Hinweis).
1. 1.1 Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung unterliegen nach Art. 12 Abs. 2 und 3 des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) dem Versicherungsvertragsgesetz vom 2. April 1908 (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 442 mit Hinweis).
1.2 1.2.1 Bei der vorliegenden Streitsache handelt es sich um eine vermögensrechtliche Angelegenheit. Demnach ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig, sofern der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>). Im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht zu beurteilen ist nicht die vor der Vorinstanz in der Hauptsache streitig gebliebene Ausrichtung von Taggeldleistungen, sondern nur noch die vorinstanzliche Festsetzung der als Nebenrecht geltend gemachten Parteientschädigung. Zur Frage, wie der Streitwert zu berechnen ist, wenn nur der Kostenentscheid der Vorinstanz angefochten wird, besteht keine einheitliche Rechtsprechung (vgl. etwa die Urteile 8C_60/2010 vom 4. Mai 2010 E. 1.2; 5A_52/2009 vom 27. Februar 2009 E. 1; 5D_175/2008 vom 6. Februar 2009 E. 1.1; 1C_406/2008 vom 5. Februar 2009 E. 1.1).
1.2.2 Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Endentscheid. Der Streitwert bestimmt sich nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben sind (<ref-law>). Nicht entscheidend für die Streitwertberechnung ist nach der gesetzlichen Regelung das konkrete Interesse der beschwerdeführenden Partei vor Bundesgericht, mithin der vor Bundesgericht noch streitige Betrag (JEAN-MAURICE FRÉSARD, in: Bernard Corboz et al. [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2009, N. 1 und 18 zu <ref-law>; Yves Donzallaz, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, Rz. 1382 ff.; BEAT RUDIN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 22 f. zu <ref-law>; vgl. auch JEAN-FRANÇOIS POUDRET, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, Bd. I, 1990, N. 3.6 zu Art. 36 OG, S. 267). Zu beachten ist zudem, dass - wie hier - als Nebenrecht geltend gemachte Parteientschädigungen bei der Berechnung ausser Betracht fallen (<ref-law>).
Die vom Beschwerdegegner bei der Vorinstanz eingeklagten Taggeldleistungen übersteigen die nach <ref-law> vorgesehene Streitwertgrenze von Fr. 30'000.--. Entsprechend ist das Streitwerterfordernis erfüllt, auch wenn mit der Beschwerde einzig die Verweigerung einer Parteientschädigung angefochten und die Zusprechung eines Gesamtbetrags von Fr. 12'784.20 beantragt wird.
1.2.3 Zur Frage der Streitwertberechnung fand zwischen allen betroffenen Abteilungen ein Meinungsaustausch statt (<ref-law>). Die vorgelegte Rechtsfrage, ob die Beschwerde zulässig ist, wenn die vor der Vorinstanz streitig gebliebenen Begehren den erforderlichen Streitwert erreichen würden, die einzig angefochtene Parteientschädigung jedoch unter diesem Streitwert bleibt, wurde von der Vereinigung der Abteilungen bejaht.
2. Die Beschwerdeführerin erblickt im Umstand, dass die Vorinstanz ihr keine Parteientschädigung zugesprochen hat, eine Verletzung von Art. 85 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 17. Dezember 2004 betreffend die Aufsicht über Versicherungsunternehmen (Versicherungsaufsichtsgesetz, VAG; SR 961.01).
2.1 Die Vorinstanz sprach dem Beschwerdegegner keine Parteientschädigung zulasten der Beschwerdeführerin zu, da er nur in einem sehr geringen Ausmass (entsprechend 2.4 % der eingeklagten Forderung) obsiegte. Hinsichtlich der Parteientschädigung der Beschwerdeführerin hält der angefochtene Entscheid fest, dass diese im Rahmen der Krankentaggeldversicherungen nach VVG Privatversichererin und nicht Sozialversicherungsträgerin sei, weshalb sie bei Obsiegen grundsätzlich Anspruch auf eine Parteientschädigung habe. Einer solchen Entschädigung stehe jedoch der "nach geltendem Recht in allen Sozialversicherungszweigen gesetzlich festgeschriebene Grundsatz der Kostenfreiheit als tragendes Prinzip des Sozialversicherungsprozesses gegenüber". Die in Art. 85 Abs. 3 VAG angeordnete Kostenfreiheit würde nach Ansicht der Vorinstanz weitgehend ihres Gehalts entleert, wenn die versicherte Person im Fall ihres Unterliegens damit rechnen müsste, zwar keine Gerichtskosten, hingegen eine hohe Parteientschädigung an den obsiegenden Privatversicherer zu bezahlen. Es rechtfertige sich daher, den in allen Sozialversicherungszweigen geltenden Grundsatz, wonach der obsiegende Sozialversicherungsträger - ausser bei mutwilliger und leichtsinniger Prozessführung - keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung zu Lasten des Versicherten habe, auch im Verfahren betreffend Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung anzuwenden. Entsprechend sprach die Vorinstanz auch der Beschwerdeführerin keine Parteientschädigung zu.
2.1 Die Vorinstanz sprach dem Beschwerdegegner keine Parteientschädigung zulasten der Beschwerdeführerin zu, da er nur in einem sehr geringen Ausmass (entsprechend 2.4 % der eingeklagten Forderung) obsiegte. Hinsichtlich der Parteientschädigung der Beschwerdeführerin hält der angefochtene Entscheid fest, dass diese im Rahmen der Krankentaggeldversicherungen nach VVG Privatversichererin und nicht Sozialversicherungsträgerin sei, weshalb sie bei Obsiegen grundsätzlich Anspruch auf eine Parteientschädigung habe. Einer solchen Entschädigung stehe jedoch der "nach geltendem Recht in allen Sozialversicherungszweigen gesetzlich festgeschriebene Grundsatz der Kostenfreiheit als tragendes Prinzip des Sozialversicherungsprozesses gegenüber". Die in Art. 85 Abs. 3 VAG angeordnete Kostenfreiheit würde nach Ansicht der Vorinstanz weitgehend ihres Gehalts entleert, wenn die versicherte Person im Fall ihres Unterliegens damit rechnen müsste, zwar keine Gerichtskosten, hingegen eine hohe Parteientschädigung an den obsiegenden Privatversicherer zu bezahlen. Es rechtfertige sich daher, den in allen Sozialversicherungszweigen geltenden Grundsatz, wonach der obsiegende Sozialversicherungsträger - ausser bei mutwilliger und leichtsinniger Prozessführung - keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung zu Lasten des Versicherten habe, auch im Verfahren betreffend Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung anzuwenden. Entsprechend sprach die Vorinstanz auch der Beschwerdeführerin keine Parteientschädigung zu.
2.2 2.2.1 Die Beschwerdeführerin wendet hiergegen zutreffend ein, dass es sich im zu beurteilenden Fall nicht um eine sozialversicherungsrechtliche Angelegenheit, sondern um einen Rechtsstreit privatrechtlicher Natur handle (<ref-ruling> E. 2.1 S. 442 mit Hinweisen). Entgegen der Ansicht der Vorinstanz lässt sich die Verweigerung einer Parteientschädigung nicht auf Art. 85 Abs. 3 VAG stützen. Die in dieser Bestimmung vorgesehene Kostenlosigkeit betrifft nur die Verfahrenskosten in Form von Gerichtskosten und schliesst die Auferlegung einer Parteientschädigung nicht von Bundesrechts wegen aus (Urteil 4A_359/2008 vom 20. August 2008).
Bereits unter der Geltung von Art. 47 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 1978 betreffend die Aufsicht über die privaten Versicherungseinrichtungen (Versicherungsaufsichtsgesetz, aVAG; AS 1995 1364), dem Art. 85 Abs. 3 VAG inhaltlich entspricht, hatte das Bundesgericht entschieden, aus der Bestimmung gehe sinngemäss hervor, dass bloss keine Gerichtskosten erhoben werden dürften. Dass Parteientschädigungen zugesprochen werden können, folge auch aus einem Vergleich von Art. 47 Abs. 3 Halbsatz 2 aVAG mit Art. 343 Abs. 3 Halbsatz 2 OR, nach welcher Bestimmung eine Parteientschädigung zuzusprechen sei (vgl. Urteile 5C.244/2000 vom 9. Januar 2001 E. 5; 5C.192/1997 vom 7. Mai 1998 E. 4, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.).
Die Ansicht, wonach Art. 85 Abs. 3 VAG einer Parteientschädigung nicht entgegensteht, wird im Übrigen durch die Gesetzesänderungen im Zusammenhang mit der Einführung der Schweizerischen Zivilprozessordnung vom 19. Dezember 2008 (Zivilprozessordnung, ZPO; SR 272) bestätigt. Gemäss <ref-law> werden bei Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung nach dem KVG im Entscheidverfahren keine Gerichtskosten gesprochen; im Gegenzug wird Art. 85 Abs. 3 VAG aufgehoben. Aus der Formulierung von <ref-law> ergibt sich, dass die Bestimmung nur Gerichtskosten betrifft, nicht aber die Parteientschädigung an die Gegenpartei (vgl. VIKTOR RÜEGG, in: Basler Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2010, N. 1 zu <ref-law>). Mit dieser Regelung wird jedoch keine Änderung der Kostenfolgen im Vergleich zum aktuellen Rechtszustand angestrebt, vielmehr entspricht sie dem geltenden Recht (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], BBl 2006 7300).
2.2.2 Die Vorinstanz hat der Beschwerdeführerin, die im kantonalen Verfahren zu gut 97 % obsiegte, somit zu Unrecht gestützt auf Art. 85 Abs. 3 VAG die Zusprechung einer Parteientschädigung verweigert. Der Einwand des Beschwerdegegners, es liege - selbst wenn der Ansicht der Beschwerdeführerin gefolgt werde und die erwähnte Bestimmung die Parteientschädigung nicht betreffe - keine Bundesrechtsverletzung vor, verfängt nicht. Zwar trifft zu, dass sich die Verteilung der Parteikosten im zu beurteilenden Fall nach kantonalem Prozessrecht richtet. Die Vorinstanz hat der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung jedoch ausschliesslich gestützt auf Art. 85 Abs. 3 VAG verweigert; kantonales Prozessrecht hat sie nicht angewendet. Es kann der Beschwerdeführerin daher nicht vorgeworfen werden, sie habe die Verweigerung einer Entschädigung durch die Vorinstanz nicht als willkürlich gerügt.
3. Die Beschwerde ist gutzuheissen, Dispositiv-Ziffer 3 des angefochtenen Urteils ist aufzuheben und die Sache ist zur neuen Entscheidung hinsichtlich der Parteientschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Gestützt auf <ref-law> ist dem Beschwerdegegner, dem schon im kantonalen Verfahren die unentgeltliche Prozessführung samt Verbeiständung bewilligt worden war, im Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege (Befreiung von Gerichtskosten und Bezeichnung des Rechtsanwalts Stefan Galligani als Rechtsbeistand) zu gewähren. Es wird indessen auf <ref-law> hingewiesen, wonach die Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist. Der Beschwerdegegner hat zudem der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>), wovon ihn die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht befreit (THOMAS GEISER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 28 zu <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Dem Beschwerdegegner wird für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und es wird ihm Rechtsanwalt Stefan Galligani als Rechtsvertreter beigegeben.
2. Die Beschwerde wird gutgeheissen, Dispositiv-Ziffer 3 des Urteils des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 26. Januar 2010 wird aufgehoben und die Sache wird zur neuen Entscheidung hinsichtlich der Parteientschädigung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Rechtsanwalt Stefan Galligani wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- ausgerichtet.
5. Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann