Sachverhalt:
A.
Der 1957 geborene K._ war ab 1. Juni 2000 als Isoleur für die Einzelfirma des L._ tätig. Der von K._ im Nachgang zur Eröffnung des Konkursverfahrens über L._ (... Mai 2008; Einstellung des Verfahrens mangels Aktiven: ... September 2008) im Juni 2008 gestellte Antrag auf Insolvenzentschädigung bezüglich im August 2007 und von Oktober bis Dezember 2007 nicht geleisteter Lohnzahlungen im Gesamtbetrag von Fr. 26'614.90 wurde von der Arbeitslosenkasse des Kantons Zürich abgelehnt (Verfügung vom 11. November 2008).
Am 1. Januar 2008 war das Arbeitsverhältnis von L._ auf die seit dem ... April 2007 im Handelsregister eingetragene L._ AG, übergegangen. Da die Aktiengesellschaft die Löhne ebenfalls unregelmässig und unvollständig erbrachte, liess K._, vertreten durch einen Rechtsanwalt, die Arbeitgeberin am 10. Juni 2008 schriftlich mahnen und setzte unter Androhung der fristlosen Kündigung eine Frist bis 25. Juni 2008 zur Bezahlung eines Teils der Schuld in der Höhe von Fr. 10'000.-. Nach unbenutztem Ablauf der Frist löste er das Arbeitsverhältnis am 27. Juni 2008 per sofort auf. Am 4. Juli 2008 liess er der L._ AG eine Forderungsaufstellung über Ausstände von total Fr. 60'435.15 für die Jahre 2007 und 2008 zukommen und eine letzte Frist für die erste Teilzahlung bis 9. Juli 2008 ansetzen. Da die Zahlung ausblieb, leitete er am 14. Juli 2008 die Betreibung ein. Zur Beseitigung des im Betreibungsverfahren von der L._ AG erhobenen Rechtsvorschlags ersuchte er beim Friedensrichteramt X._ am 6. Oktober 2008 um Durchführung des Sühnverfahrens betreffend Forderungen aus dem Arbeitsverhältnis. Am 21. November 2008 reichte er die am 13. November 2008 ausgestellte friedensrichterliche Weisung beim Bezirksgericht A._ ein. Nachdem sich die ehemalige Arbeitgeberin mit K._ und der dem Prozess beigetretenen Arbeitslosenkasse vergleichsweise darauf geeinigt hatte, K._ Fr. 55'385.- netto und der Kasse Fr. 4'615.- zu schulden und bezüglich beider Forderungen eine Stundung bis 31. Juli 2009 vereinbart worden war (verbunden mit der Übereinkunft, dass die Schuld bei Zahlung von Fr. 45'000.- an K._ und Fr. 3'750.- an die Kasse bis Ende Juli 2009 als getilgt gelte), wurde der Prozess mit Beschluss vom 15. April 2009 als durch Vergleich erledigt abgeschrieben. Am 24. Juli 2009 teilte ihm die Gesellschaft mit, sie beabsichtige, noch im gleichen Monat Fr. 20'000.-, im August 2009 Fr. 15'000.- und im September 2009 Fr. 10'000.- zu bezahlen. K._ war damit zunächst nicht einverstanden (Schreiben vom 27. Juli 2009), erklärte dann aber am 28. Juli 2009 seine Bereitschaft zur vorgeschlagenen Stundung und zum Verzicht auf den Restbetrag von Fr. 10'385.-. Mangels Zahlung der ersten Rate liess er seine Bedingungen am 11. August 2009 wiederholen und verlangte die erste Teilzahlung spätestens per 12. August 2009. Am 12. August 2009 kündigte die Gesellschaft die Zahlung von Fr. 20'000.- an, richtete jedoch erst am 1. September 2009 eine auf Fr. 5'000.- reduzierte Teilzahlung aus. Dabei blieb es. Am ... November 2009 wurde über die L._ AG der Konkurs eröffnet und - mangels Aktiven - am ... Dezember 2009 wieder eingestellt. K._ liess am 18. Dezember 2009 eine Forderung von Fr. 51'105.75 im Konkurs geltend machen und gleichentags bei der Arbeitslosenkasse des Kantons Zürich Antrag auf Insolvenzentschädigung in der Höhe von Fr. 18'736.75 für vom 28. Februar bis 27. Juni 2008 ausstehenden Lohn stellen. Mit Verfügung vom 14. Februar 2011 lehnte die Arbeitslosenkasse ihre Leistungspflicht mit der Begründung ab, K._ sei seiner Schadenminderungspflicht nicht in genügendem Mass nachgekommen. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 28. Juni 2011).
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 15. März 2013).
C.
K._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es sei ihm eine Insolvenzentschädigung im Betrag von Fr. 18'736.75 zuzusprechen; eventualiter sei die Angelegenheit zur Ergänzung des Sachverhaltes und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Arbeitslosenkasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Im angefochtenen Gerichtsentscheid werden die Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf Insolvenzentschädigung (Art. 51 Abs. 1 und Art. 58 AVIG; vgl. auch <ref-ruling>), zum Umfang des Anspruchs (<ref-law>) sowie zu den Pflichten des Arbeitnehmers im Konkurs- oder Pfändungsverfahren (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3d S. 59; ARV 2002 Nr. 8 S. 62, C 91/01, und Nr. 30 S. 190, C 367/01; ARV 1999 Nr. 24 S. 140, C 183/97) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.2. Die Bestimmung von <ref-law>, wonach der Arbeitnehmer im Konkurs- oder Pfändungsverfahren alles unternehmen muss, um seine Ansprüche gegenüber dem Arbeitgeber zu wahren, bezieht sich dem Wortlaut nach auf das Konkurs- und Pfändungsverfahren. Sie bildet jedoch Ausdruck der allgemeinen Schadenminderungspflicht, welche auch dann Platz greift, wenn das Arbeitsverhältnis vor der Konkurseröffnung aufgelöst wird (<ref-ruling> E. 4 S. 60; ARV 1999 Nr. 24 S. 140, C 183/97). Die Vorinstanz hält in diesem Zusammenhang richtig fest, auch eine ursprüngliche Leistungsverweigerung infolge Verletzung der Schadenminderungspflicht im Sinne der zu <ref-law> ergangenen Rechtsprechung setze voraus, dass dem Versicherten ein schweres Verschulden, also vorsätzliches oder grobfahrlässiges Handeln oder Unterlassen vorgeworfen werden kann (vgl. URS BURGHERR, Die Insolvenzentschädigung, S. 166). Das Ausmass der geforderten Schadenminderungspflicht richtet sich nach den jeweiligen Umständen des Einzelfalls.
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat in Würdigung der Aktenlage erkannt, dass dem Beschwerdeführer in der Zeit bis zum 15. April 2009 (Datum des Abschreibungsbeschlusses des Bezirksgerichts infolge vergleichsweiser Einigung) keine Pflichtverletzung zur Last gelegt werden könne. Im Gegenteil habe er seine Lohnforderung auf dem Betreibungs- und Gerichtsweg zielgerichtet durchgesetzt. Für die Zeitspanne bis 31. Juli 2009 seien ihm aufgrund des geschlossenen Vergleichs die Hände gebunden gewesen. Gleichwohl habe er sich diese Zeit von dreieinhalb Monate "als Untätigkeit" anrechnen zu lassen, weil er seiner ehemaligen Arbeitgeberin faktisch einen Zahlungsaufschub gewährt und damit den Fortgang des Vollstreckungsverfahrens gehindert habe. Hernach wäre eine sofortige Durchsetzung nötig gewesen. Das weitere Einlassen auf erneute, vergleichswidrige Ratenzahlungsvorschläge sei pflichtwidrig gewesen, denn dem Versicherten sei aus den seit Jahren anhaltenden Zahlungspflichtverletzungen des L._ bewusst gewesen, dass es um die Aktiengesellschaft nicht gut habe bestellt sein können, zumal er seit Beginn seiner Arbeitstätigkeit für die neue Arbeitgeberin ab 1. Januar 2008 seinen Lohn nicht zeitgerecht bzw. grösstenteils überhaupt nicht erhalten habe. Die Teilzahlung von Fr. 5'000.- vom 1. September 2009 ändere daran nichts, da bis zu diesem Zeitpunkt schon längstens die gerichtlich vereinbarte Summe von Fr. 45'000.- zu begleichen gewesen wäre. Dem Beschwerdeführer hätte klar sein müssen, dass die (ehemalige) Arbeitgeberin ihre Schuld nicht ohne Zwang begleichen würde. Damit seien für die Zeitspanne vom 15. April 2009 bis zur Konkurseröffnung am ... November 2009 während sechseinhalb Monaten - abgesehen von weiteren Gesprächen und vom faktischen Ausserkraftsetzen des gerichtlichen Vergleichs - keine Vollstreckungsbemühungen ersichtlich. Angesichts des gerichtlichen Vergleichs und der darin vereinbarten Frist hätte der Versicherte auf deren Einhaltung bestehen müssen, da ihm die Hinhaltetaktik der Arbeitgeberin zur Genüge bekannt gewesen sei und er nicht ernsthaft davon habe ausgehen können, dass sein ausstehendes Guthaben mit weiterem Zuwarten hätte erhältlich gemacht werden können. Die Zeitspanne von sechseinhalb Monaten "ohne zwingende Vollstreckungsbemühungen" zwischen Gerichtsentscheid und Konkurs der Aktiengesellschaft sei "als Verletzung der Schadenminderungspflicht zu werten". Der Beschwerdeführer sei zwar nicht untätig geblieben, er habe aber seine gerichtlich festgestellten Ansprüche nicht konsequent durchgesetzt, weshalb die Kasse die Ausrichtung einer Insolvenzentschädigung zu Recht verweigert habe.
3.2. Der Versicherte lässt unter anderem vorbringen, das kantonale Gericht habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt, indem es aktenwidrig davon ausgegangen sei, dass im Zeitraum vom 15. April bis ... November 2009 keine relevanten Vollstreckungsbemühungen unternommen worden seien. Bereits in der Beschwerdeschrift vom 22. Juli 2011 sei ausdrücklich geltend gemacht worden, dass das Betreibungsamt Y._ die Konkursandrohung vom 23. September 2009 aufgrund des Begehrens des Versicherten vom 22. September 2008 (recte: 2009) ausgestellt habe. Die Konkursandrohung sei der Vorinstanz als Beschwerdebeilage eingereicht worden.
3.3. Die Arbeitslosenkasse macht geltend, die Vorinstanz habe ausser Acht gelassen, dass der Versicherte bereits ab August 2007 von der Einzelfirma L._ nur noch einzelne Teilzahlungen erhalten habe, so dass sich der Lohnausstand Ende Dezember 2007 auf Fr. 28'532.25 belaufen habe. Trotzdem habe er ab Januar 2008 nahtlos für die vom Eigentümer der Einzelfirma gegründete L._ AG und somit faktisch für denselben Arbeitgeber weitergearbeitet. Er habe auch von der L._ AG den Lohn nicht bzw. nur teilweise erhalten, diesen erstmals mit Schreiben vom 10. Juni 2008 gemahnt und gleichzeitig eine Akontozahlung sowie einen Abzahlungsvorschlag verlangt. Die über fünfmonatige Untätigkeit ab anfangs 2008 sei bereits als grobfahrlässige Verletzung der Schadenminderungspflicht zu werten, da nebst den Lohnansprüchen von Fr. 28'532.25 gegenüber dem "Eigentümer" seiner Arbeitgeberin weitere Ausstände bis zum Betrag von Fr. 55'385.- entstanden seien. Daran ändere nichts, dass der Beschwerdeführer nach der Mahnung vom 10. Juni 2008 seine Lohnforderung zielgerichtet bis zum vor Bezirksgericht am 15. April 2009 geschlossenen Vergleich geltend gemacht habe.
4.
4.1. Die Feststellung des kantonalen Gerichts, wonach der Beschwerdeführer die vorliegend relevanten Lohnausstände (für die Zeit vom 28. Februar bis 27. Juni 2008 im Gesamtbetrag von Fr. 18'736.75) bis zum gerichtlichen Abschreibungsbeschluss vom 15. April 2009 konsequent zunächst bei der ehemaligen Arbeitgeberin geltend gemacht und anschliessend zielgerichtet durch Einleitung des Zwangsvollstreckungsverfahrens wie auch durch eine Lohnklage durchzusetzen versucht habe, ist nicht offensichtlich unrichtig. Die Arbeitslosenkasse weist zwar zu Recht darauf hin, dass der Versicherte aufgrund des bisherigen Zahlungsverhaltens von L._ nicht auf eine reibungslose Befriedigung seiner Lohnansprüche durch die L._ AG ab 1. Januar 2008 vertrauen durfte. Mit Blick darauf, dass der Beschwerdeführer im Januar 2008 keine Arbeit für die L._ AG geleistet hatte (weshalb über seinen Lohnanspruch eine gewisse Unsicherheit bestehen konnte), und für seine Beschäftigung im Februar und März 2008 jeweils namhafte Teilzahlungen geleistet wurden, ist die Verneinung einer Grobfahrlässigkeit in Bezug auf das Zuwarten mit einer schriftlichen Mahnung (und Androhung der fristlosen Kündigung) ab Ausbleiben der Lohnzahlung für den Monat April bis zum 10. Juni 2008, also während einer Zeit von ungefähr eineinhalb Monaten, nicht rechtsfehlerhaft.
Entgegen der Auffassung der Vorinstanz kann für die nachfolgende Zeit bis zur Konkurseröffnung am ... November 2009 ebenfalls keine grobfahrlässige Unterlassung festgestellt werden. Im angefochtenen Gerichtsentscheid wird tatsächlich übersehen, dass der Versicherte im Betreibungsverfahren am 22. September 2009 das Fortsetzungsbegehren gestellt hatte. Infolgedessen verfasste das Betreibungsamt Y._ am 23. September 2009 die Konkursandrohung, welche der ehemaligen Arbeitgeberin am 16. Oktober 2009 zugestellt wurde. Dies machte der Beschwerdeführer schon im vorinstanzlichen Prozess geltend und legte der Beschwerdeschrift auch eine Kopie der Konkursandrohung vom 23. September 2009 bei. Seine Rüge der offensichtlich falschen Sachverhaltsfeststellung durch das kantonale Gericht ist daher begründet. Sodann rechnet die Vorinstanz dem Versicherten die Zeit vom 15. April 2009 bis 31. Juli 2009 als "Untätigkeit" an, weil er seiner Arbeitgeberin faktisch einen Zahlungsaufschub (bis 31. Juli 2009) gewährt und dadurch den Fortgang des Vollstreckungsverfahrens gehindert habe. Gleichzeitig stellt sie aber fest, es seien ihm während dieser Dauer - aufgrund des abgeschlossenen Vergleichs - die Hände gebunden gewesen. Zu berücksichtigen ist in diesem Zusammenhang, dass die Arbeitslosenkasse im Lohnprozess gegen die Aktiengesellschaft neben dem Beschwerdeführer als Klägerin aufgetreten war und in der Parteivereinbarung den ihr geschuldeten Betrag von Fr. 4'615.- (bzw. Fr. 3'750.- bei Bezahlung bis spätestens 31. Juli 2009) ebenfalls bis zum 31. Juli 2009 stundete (Beschluss des Bezirksgerichts A._ vom 15. April 2009, Ziffern 1 bis 3 der Parteivereinbarung). Der vorinstanzliche, an den Versicherten gerichtete Vorwurf der Untätigkeit ist mit Blick auf die Einwilligung der Arbeitslosenkasse in dieselbe Stundungsdauer willkürlich. Im angefochtenen Gerichtsentscheid wird an anderer Stelle denn auch zugestanden, dass die vergleichsweise Stundung dem Beschwerdeführer insofern nicht entgegengehalten werden könne, als die Kasse als selber am Prozess beteiligte Partei ebenfalls zugestimmt habe und den Versicherten im Rahmen der Vergleichsgespräche nicht aufgefordert habe, davon Abstand zu nehmen. Die Bemühungen des Rechtsvertreters des Versicherten auf den Vorschlag der Aktiengesellschaft vom 24. Juli 2009 hin, eine Zahlung von insgesamt Fr. 45'000.- in drei Raten in den Monaten Juli bis September 2009 zu leisten, blieben im Übrigen nicht fruchtlos. Immerhin erbrachte die ehemalige Arbeitgeberin am 1. September 2009 eine Teilzahlung von Fr. 5'000.-, nachdem der Beschwerdeführer am 27. und 28. Juli sowie 11. August 2009 schriftlich auf umgehende Begleichung der Lohnansprüche gedrängt hatte. Ob er - gemäss Ansicht der Vorinstanz - auf der Einhaltung des gerichtlichen Vergleichs hätte bestehen müssen oder ob er einer Verlängerung der Stundung zustimmen durfte, kann dahingestellt bleiben. So oder anders liegt im Zuwarten mit der Stellung des Fortsetzungsbegehrens um etwas mehr als eineinhalb Monate nach Ablauf der ursprünglichen, vergleichsweise vereinbarten Stundungsdauer (31. Juli 2009) bis zum 22. September 2009 keine Verletzung der Schadenminderungspflicht, nachdem sich der Versicherte unter fachkundiger Mithilfe auch nach Verstreichen der Frist vom 31. Juli 2009 weiterhin und teilweise erfolgreich um die Eintreibung der Schuld bemüht hatte. Die Konkurseröffnung (vom ... November 2009) folgte verhältnismässig schnell, nachdem Drittgläubiger das Fortsetzungsbegehren offenbar schon früher gestellt hatten. Jedenfalls liess sich das Vollstreckungsverfahren nach dem 22. September 2009 nicht weiter beschleunigen.
4.2. Zusammenfassend kann dem Beschwerdeführer keine grobe Verletzung der Schadenminderungspflicht vorgeworfen werden. Unter diesen Umständen erübrigt es sich, auf die weiteren Vorbringen des Versicherten, so auch auf seine Rüge, zwischen dem Verhalten des Beschwerdeführers und dem eingetretenen "Lohnausfall-Schaden" müsse ein Kausalzusammenhang bestehen, um einen Insolvenzentschädigungsanspruch verneinen zu können, einzugehen.
5.
Die Sache ist an die Arbeitslosenkasse zurückzuweisen, damit sie die weiteren Anspruchsvoraussetzungen prüfe und über den Anspruch auf Insolvenzentschädigung neu verfüge.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Prozessausgang entsprechend sind die Gerichtskosten von der Beschwerdegegnerin als unterliegender Partei zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 15. März 2013 und der Einspracheentscheid der Arbeitslosenkasse des Kantons Zürich vom 28. Juni 2011 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Arbeitslosenkasse des Kantons Zürich zurückgewiesen, damit sie nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen über den Anspruch auf Insolvenzentschädigung neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zürich und dem SECO schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. September 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz