Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Verfügung vom 20. April 2009 widerrief das Ausländeramt des Kantons St. Gallen (heute: Migrationsamt) die Niederlassungsbewilligung von A._ und wies diesen an, die Schweiz am Tag der Beendigung der am 9. November 2006 durch das Bezirksgericht Dielsdorf angeordneten ambulanten Massnahme zu verlassen. Die hiegegen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos. Bei der genannten Verfügung blieb es auch, nachdem das Migrationsamt zwischenzeitlich eine frühere Wegweisung angeordnet, das kantonale Verwaltungsgericht aber die alten Verhältnisse wieder hergestellt hatte.
Am 4. November 2011 teilte das Migrationsamt A._ mit, die ambulante Massnahme sei am 19. Dezember 2011 beendet und er habe deshalb die Schweiz an diesem Tag zu verlassen.
A.b. Mit Eingabe vom 1. Dezember 2011 ersuchte A._ um Wiedererwägung der Verfügung vom 20. April 2009 betreffend Widerruf der Niederlassungsbewilligung. Am 5. Dezember 2011 trat das Migrationsamt auf das Gesuch nicht ein, wurde aber rechtsmittelweise verpflichet, dies zu tun (Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 21. März 2012). Daraufhin wies das Migrationsamt das Gesuch am 29. Juni 2012 ab. Den hiegegen erhobenen Rekurs wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement am 16. April 2013 ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat.
A.c. A._ führte gegen diesen Entscheid mit Eingabe vom 1. Mai 2013 über seinen generalbevollmächtigten Rechtsvertreter Beschwerde beim Verwaltungsgericht. Dessen Präsident forderte diesen mit verfahrensleitender Verfügung vom 6. Mai 2013 auf, bis zum 23. Mai 2013 einen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zu leisten, ansonsten das Verfahren am Protokoll abgeschrieben werde. Der Kostenvorschuss wurde nicht bezahlt. Mit Entscheid vom 3. Juni 2013 schrieb der Präsident des Verwaltungsgerichts die Beschwerde deshalb wegen Nichtleistung des Kostenvorschusses ab.
B.
Mit Eingabe vom 7. Juni 2013 stellte A._ über seinen Rechtsvertreter beim Verwaltungsgericht ein Fristwiederherstellungsgesuch. Er machte im Wesentlichen geltend, seine Ehefrau habe am 8. Mai 2013 die Kanzlei seines Rechtsvertreters aufgesucht, um verschiedene Unterlagen vorbeizubringen. Dort sei ihr eine Kopie der Kostenvorschussverfügung vom 6. Mai 2013 zusammen mit dem Originaleinzahlungsschein ausgehändigt worden und der Rechtsvertreter habe ihr dargelegt, dass der Vorschuss bis zur genannten Frist bezahlt werden müsse. In grosser Not und Sorge, dass ihr der Ehemann bei einem negativen Ausgang des Verfahrens entrissen werde, habe sie offenbar auf der Heimfahrt alle diese Papiere verlegt und sich auch nicht mehr an den Inhalt der Besprechung mit dem Rechtsvertreter zu erinnern vermocht. So habe er - der Ehemann - vorerst nichts von der ihm auferlegten Vorschusspflicht erfahren und davon erst am 4. Juni 2013 - unmittelbar nach Eintreffen des Abschreibungsentscheides - davon vernommen. Wie zwei ärztliche Atteste vom 5. Juni 2013 jedoch belegten, sei seine Ehefrau wegen einer mittelgradigen Depression in Behandlung, wobei diese Störungen Konzentrationsprobleme, Vergesslichkeit und Müdigkeit verursachen könnten. Seine Partnerin stehe auch unter dem Einfluss von starken Psychopharmaka. Der hier zu beklagende Säumnisgrund liege daher in einer gegen aussen kaum wahrnehmbaren psychischen Störung seiner Ehefrau. Daher wäre es unannehmbar und stossend, ihn daran zu hindern, sein seit Jahren pendentes Gesuch um Wiedererwägung eines Widerrufs der Niederlassungsbewilligung materiell prüfen zu lassen, ausgerechnet einzig und allein deshalb, weil seiner Ehefrau ein schweres Missgeschick unterlaufen sei.
Mit Entscheid vom 25. Juni 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen das Fristwiederherstellungsgesuch ab.
C.
Mit Eingabe vom 27. August 2013 führt A._ "Beschwerde / Verfassungsbeschwerde" beim Bundesgericht mit den Anträgen, den letztgenannten Entscheid aufzuheben und ihm eine neue angemessene Frist zur Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen, nach dessen Zahlung das Verfahren vor Verwaltungsgericht wieder aufzunehmen und fortzuführen sei. Eventuell sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen sowie das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen beantragen Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Anfechtungsobjekt ist der kantonal letztinstanzliche Entscheid des Verwaltungsgerichts, mit dem dieses das Begehren des Beschwerdeführers um Fristwiederherstellung gestützt auf kantonales Verfahrensrecht (Art. 96 Abs. 2 des Gesetzes vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege [VRP/SG]) abgewiesen hat. Damit wird dem Beschwerdeführer der Rechtsmittelweg versperrt: Tritt der angefochtene Entscheid in Rechtskraft, gilt dies auch für den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 3. Juni 2013, womit dieses die Beschwerde gegen einen Departementsentscheid betreffend Wiedererwägung des Widerrufs der Niederlassungsbewilligung wegen Nichtleistung des Kostenvorschusses vom Protokoll abgeschrieben hat (vorne lit. A.c). Der angefochtene Entscheid schliesst damit das Verfahren ab; es handelt sich um einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG, gegen den - da in der Hauptsache (Widerruf der Niederlassungsbewilligung) die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG [e contrario], <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4) - eben dieses Rechtsmittel offen steht. Der Beschwerdeführer ist hierzu legitimiert (Art. 89 BGG). Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde besteht unter diesen Umständen kein Raum (Art. 113 BGG).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann nur geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Normen des Bundesrechts (Art. 95 lit. a BGG). Im Übrigen kann die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts lediglich im Lichte der verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze, namentlich des Willkürverbots (Art. 9 BV), sowie der kantonalen Verfassungsrechte (Art. 95 lit. c BGG) geprüft werden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 145; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351).
2.
Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.4. S. 5; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Die hier massgebenden Vorschriften lauten wie folgt:
Art. 96 VRP/SG besagt:
1 Die Behörde kann einen Kostenvorschuss verlangen.
2 Entspricht der Betroffene trotz Hinweis auf die Säumnisfolgen der Aufforderung nicht, so kann das Verfahren abgeschrieben werden oder die anbegehrte Amtshandlung unterbleiben, wenn nicht öffentliche Interessen entgegenstehen.
Art. 30ter VRP/SG sieht vor:
Ausser nach Art. 148 Abs. 1 der Schweizerischen Zivilprozessordnung vom 19. Dezember 2008 kann die Wiederherstellung auch angeordnet werden, wenn der Verfahrensgegner zustimmt.
Art. 148 Abs. 1 der besagten Eidgenössischen Zivilprozessordnung (ZPO, SR 272) lautet schliesslich:
Das Gericht kann auf Gesuch einer säumigen Partei eine Nachfrist gewähren oder zu einem Termin erneut vorladen, wenn die Partei glaubhaft macht, dass sie kein oder nur ein leichtes Verschulden trifft.
3.2. Die Bestimmung der ZPO, auf welche sich Art. 30 p VRP/SG bezieht und auf welche sich die Vorinstanz gestützt hat, gilt im vorliegenden Zusammenhang als subsidäres kantonales Verwaltungsrecht (Art. 6 Abs. 1 ZGB; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 229 ff., insb. 231). Dessen Anwendung prüft das Bundesgericht nicht frei, sondern - wie allgemein bei der Auslegung von kantonalem Recht - lediglich unter dem Gesichtswinkel der Willkür bzw. von Art. 95 lit. c BGG (Urteil 2C_692/2012 vom 10. Februar 2013 E. 2.2).
3.3. Das Verwaltungsgericht hat im Wesentlichen erwogen, in der Praxis werde leichtes Verschulden im Sinne von Art. 148 Abs. 1 ZPO nur mit Zurückhaltung angenommen. Es sei von einem objektivierten Sorgfaltsmassstab auszugehen, wobei auch die persönlichen Verhältnisse zu berücksichtigen seien. Dabei müsse sich aber der Gesuchsteller das Verhalten seines Rechtsvertreters anrechnen lassen. Vorliegend habe der Rechtsvertreter die gesundheitlichen Probleme der Ehefrau bereits in der Beschwerdeschrift vom 1. Mai 2013 (vgl. vorne lit. A.c) thematisiert und darin auch einen Beschwerdegrund erblickt. Die im Zusammenhang mit dem Wiederherstellungsgesuch vorgetragenen medizinischen Befunde - die Ehefrau betreffend - ergäben sich im Wesentlichen ebenfalls bereits aus den Beilagen zur Beschwerde vom 1. Mai 2013. Die Argumentation des Gesuchstellers, wonach die Auswirkungen der psychischen Störung seiner Ehefrau im Alltag nicht erkennbar gewesen seien, verfange deshalb nicht. Auch hätte es die Sorgfaltspflicht des Rechtsvertreters bei diesem Wissensstand geboten, sich vor Ablauf der Frist beim Gesuchsteller zu erkundigen, ob die Zahlung erfolgt sei.
3.4. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was diese Ausführungen als unhaltbar und damit willkürlich erscheinen lassen könnte:
Auf Wiederherstellung der Frist ist nur zu erkennen, wenn die Säumnis auf ein unverschuldetes Hindernis, also auf die objektive oder subjektive Unmöglichkeit, rechtzeitig zu handeln, zurückzuführen ist. Waren die gesuchstellende Person respektive ihre Vertretung wegen eines von ihrem Willen unabhängigen Umstands verhindert, zeitgerecht zu handeln, liegt objektive Unmöglichkeit vor. Subjektive Unmöglichkeit wird angenommen, wenn zwar die Vornahme einer Handlung objektiv betrachtet möglich gewesen wäre, die betroffene Person aber durch besondere Umstände, die sie nicht zu verantworten hat, am Handeln gehindert worden ist. Die Wiederherstellung ist nach der bundesgerichtlichen Praxis nur bei klarer Schuldlosigkeit zu gewähren (Urteile 1P.123/2005 vom 14. Juni 2005 E. 1, in: ZBl 107/2006 S. 390; 1C_294/2010 vom 28. Oktober 2010 E. 3 und 2C_222/2014 vom 10. März 2014 E. 2.4). Fehlleistungen ihrer Vertretung oder ihrer Hilfspersonen muss die Partei sich denn auch unmittelbar zurechnen lassen (Urteil 2C_699/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 3.2 und 3.4). Praxisgemäss gilt die Formel, dass diejenige Person, die den Vorteil hat, Pflichten durch eine Hilfsperson erfüllen zu lassen, auch die Nachteile daraus tragen soll (<ref-ruling> E. 2c und 2d S. 71; <ref-ruling> E. 2a S. 169).
Vorliegend waren die gesundheitlichen Schwierigkeiten der Ehefrau sowohl dem Beschwerdeführer selber wie auch dessen Rechtsvertreter bekannt. Der Standpunkt des Verwaltungsgerichts, wonach die Argumentation des Gesuchstellers betreffend die Erkennbarkeit der psychischen Störung seiner Ehefrau im Alltag nicht verfange und deshalb das Verschulden insgesamt nicht leicht wiege (S. 8 und 9 des angefochtenen Entscheides), erscheint daher vertretbar. Soweit der Rechtsverteter des Beschwerdeführers weitere Ausführungen zu Art und Umfang seiner Sorgfaltspflichten als Hilfsperson des Beschwerdeführers vorträgt, verkennt er, dass dafür das vorliegende Verfahren nicht zur Verfügung steht. Sodann kann der Beschwerdeführer auch nicht verlangen, dass die Vorinstanz ihm eine Nachfrist zum Nachholen der versäumten Prozesshandlung hätte ansetzen müssen: Die Kantone sind frei, in ihrem Verfahrensrecht die Folgen der nicht rechtzeitigen Leistung eines Kostenvorschusses zu ordnen und ohne Einräumung einer Nachfrist ein Nichteintreten auf die Rechtsvorkehr (bzw. hier deren Dahinfallen) vorzusehen. Darin, dass dem Beschwerdeführer keine Nachfrist zugestanden worden ist, liegt keine formelle Rechtsverweigerung, kein überspitzter Formalismus und auch keine Verletzung des Grundsatzes der Verhältnismässigkeit (vgl. Urteil 1C_330/2008 vom 21. Oktober 2008 E. 3.2). Dass gewisse Prozessordnungen - wie auch das Bundesgerichtsgesetz (Art. 62 Abs. 3 Satz 3 BGG) - bei nicht rechtzeitiger Bezahlung des Kostenvorschusses das Einräumen einer Nachfrist vorsehen oder vorschreiben, ändert nichts (genanntes Urteil, a.a.O.). Schliesslich erscheint angesichts des Umstandes, dass der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers vor der Vorinstanz als dessen Generalbevollmächtigter aufgetreten und in der "Angelegenheit 'Aufenthalt' (...) ermächtigt" war, "alle dazu erforderlichen Vorkehren im Namen des Vollmachtgebers / der Vollmachtgeberin zu treffen" (vgl. Vollmacht vom 15. November 2011), auch nicht willkürlich, wenn die verfahrensleitende Kostenvorschussverfügung vom 6. Mai 2013 nicht an den Beschwerdeführer selber, sondern an dessen Rechtsvertreter gerichtet wurde. Dieser hat die Verfügung denn auch richtig verstanden und sie dem Beschwerdeführer bzw. dessen Ehefrau zur Bezahlung übergeben.
4.
Die Beschwerde ist damit als unbegründet abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Mit dem Entscheid in der Hauptsache wird das zusammen mit der Beschwerdeeinreichung gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos. Der Beschwerdeführer trägt die Kosten des Verfahrens (Art. 65/66 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt, dem Sicherheits- und Justizdepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Mai 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein