Sachverhalt:
A. X._ überschritt am 30. August 2011, um 04.52 Uhr, mit seinem Personenwagen auf der Zilstrasse in St. Gallen die Höchstgeschwindigkeit von 30 km/h um 31 km/h (nach Abzug der Sicherheitsmarge von 3 km/h). Er war unterwegs in Richtung Klinik Stephanshorn, nachdem ihn diese angerufen hatte, sein Neugeborenes habe schwere Atemaussetzer und er solle im Hinblick auf nötige Entscheidungen für das Kind unverzüglich in die Klinik kommen. Das Neugeborene wurde später in Begleitung seines Vaters notfallmässig ins Kinderspital überführt.
B. Mit Verfügung vom 24. Oktober 2011 nahm die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen die Strafverfolgung wegen grober Verletzung der Verkehrsregeln gemäss Art. 90 Ziff. 2 SVG nicht an die Hand. Sie begründete ihren Entscheid damit, die Geschwindigkeitsüberschreitung sei durch Notstandshilfe gerechtfertigt gewesen.
Am 24. November 2011 entzog das Strassenverkehrsamt des Kantons Thurgau X._ in Anwendung von Art. 16c Abs. 1 lit. a und Abs.2 lit. c SVG den Führerausweis für die Dauer von 12 Monaten.
Am 20. Januar 2012 wies die Rekurskommission für Strassenverkehrssachen des Kantons Thurgau (nachfolgend: Rekurskommission) den von X._ dagegen erhobenen Rekurs ab. Sie kam zum Schluss, es liege kein rechtfertigender Notstand vor.
Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 30. Mai 2012 gut. Es begründete sein Urteil damit, das Strassenverkehrsamt und die Rekurskommission seien an den Entscheid der Staatsanwaltschaft zur Notstandsfrage gebunden.
C. Das Strassenverkehrsamt führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und X._ den Führerausweis für mindestens 12 Monate zu entziehen.
X._ beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Strassen schliessen ebenfalls auf deren Abweisung. Der Präsident der Rekurskommission beantragt deren Gutheissung.

Erwägungen:
1. Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss Art. 82 lit. a BGG die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben.
Das Strassenverkehrsamt ist nach Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG i.V.m. Art. 24 Abs. 2 lit. a SVG zur Beschwerde berechtigt.
Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. Der Beschwerdeführer rügt die Verletzung von Bundesrecht, da die Vorinstanz zu Unrecht entschieden habe, die Verwaltungsbehörden seien an die Erkenntnis der Staatsanwaltschaft gebunden.
2.1 Die Bestimmungen zum Notstand gemäss Art. 17 f. StGB sind beim Warnungsentzug sinngemäss anwendbar (Urteil 1C_4/2007 vom 4. September 2007 E. 2.2; 6A.28/2003 vom 11. Juli 2003 E. 2.2; 6A.58/1992 vom 16. November 1992 E. 4a; je mit Hinweisen).
Nach Art. 17 StGB handelt rechtmässig, wer eine mit Strafe bedrohte Tat begeht, um ein eigenes oder das Rechtsgut einer anderen Person aus einer unmittelbaren, nicht anders abwendbaren Gefahr zu retten, wenn er dadurch höherwertige Interessen wahrt.
Die Verwaltungsbehörden verneinen einen die Geschwindigkeitsüberschreitung rechtfertigenden Notstand. Damit weichen sie von der Verfügung der Staatsanwaltschaft ab, die für denselben Lebensvorgang zuvor erkannte, die Voraussetzungen von Art. 17 StGB seien erfüllt.
Streitig ist damit, ob die Verwaltungsbehörden in Bezug auf die Notstandsfrage an den Entscheid der Staatsanwaltschaft gebunden sind.
2.2 Nach der Rechtsprechung darf die Verwaltungsbehörde von den tatsächlichen Feststellungen im Strafentscheid unter anderem dann abweichen, wenn sie Tatsachen feststellt und ihrem Entscheid zugrunde legt, die dem Strafrichter unbekannt waren oder die er nicht beachtet hat; wenn sie zusätzliche Beweise erhebt, deren Würdigung zu einem anderen Entscheid führt, oder wenn die Beweiswürdigung durch den Strafrichter den feststehenden Tatsachen klar widerspricht; hat sie hingegen keine zusätzlichen Beweise erhoben, hat sie sich grundsätzlich an die Würdigung des Strafrichters zu halten (<ref-ruling> E. 1c/aa S. 106 mit Hinweisen).
Hängt die rechtliche Würdigung sehr stark von der Würdigung von Tatsachen ab, welche der Strafrichter besser kennt als die Verwaltungsbehörde (was etwa dann der Fall ist, wenn er den Beschuldigten persönlich einvernommen hat), so ist diese auch in Bezug auf die Rechtsanwendung an die rechtliche Beurteilung des Sachverhaltes durch den Strafentscheid gebunden (<ref-ruling> E. 1c/bb S. 106 f.; 102 Ib193 E. 3c S. 196).
Hängt die rechtliche Würdigung sehr stark von der Würdigung von Tatsachen ab, welche der Strafrichter besser kennt als die Verwaltungsbehörde (was etwa dann der Fall ist, wenn er den Beschuldigten persönlich einvernommen hat), so ist diese auch in Bezug auf die Rechtsanwendung an die rechtliche Beurteilung des Sachverhaltes durch den Strafentscheid gebunden (<ref-ruling> E. 1c/bb S. 106 f.; 102 Ib193 E. 3c S. 196).
2.3 2.3.1 Die Strafbehörden haben die zur Beurteilung des Notstands erheblichen Tatsachen hinreichend abgeklärt. Die Verwaltungsbehörden haben keine eigenen Beweise erhoben, sondern ihre Entscheide im Wesentlichen auf die Erkenntnisse aus dem strafprozessualen Vorverfahren gestützt. Soweit ihre tatsächlichen Feststellungen von jenen der Strafbehörden abweichen, bleiben sie folglich unbelegt. Insbesondere lässt auch die Rekurskommission ihre Annahme unbewiesen, dass der Beschwerdegegner für sein Kind keine Entscheidungen habe treffen müssen und seine Anwesenheit im Spital nicht erforderlich gewesen sei. Damit vermag sie den von den Strafbehörden erstellten Sachverhalt nicht in Zweifel zu ziehen, wonach die Gegenwart des Vaters in der Klinik nötig gewesen sei, um dort anstelle seiner nicht ansprechbaren Ehefrau für das Kind über die Vornahme lebenswichtiger Massnahmen entscheiden zu können. Auch im Übrigen haben die Entzugsbehörden nicht dargetan, inwiefern die Beweiswürdigung der Staatsanwaltschaft klar den Tatsachen widerspreche. Die tatsächlichen Feststellungen der Strafbehörde sind für die Verwaltungsbehörden somit verbindlich.
2.3.2 Die rechtliche Beurteilung der Frage, ob Notstand vorliegt, hängt stark von der Würdigung der betreffenden Tatsachen ab. Die Umstände des Einzelfalls sind etwa ausschlaggebend dafür, welche Rechtsgüter betroffen sind und welche Fahrweise zur Abwehr der konkreten Gefahr noch in einem vernünftigen Verhältnis steht (<ref-ruling> E. Fd S. 4; vgl. auch KURT SEELMANN, in: Basler Kommentar, Strafrecht, 2. Aufl. 2007, N. 9 zu Art. 17 StGB; ERNST BRÄGGER, der Notstand im Schweizerischen Strafrecht, 1937, S. 129, 142).
Die Strafbehörden kennen diese Tatsachen besser als die Verwaltungsbehörden. Die Feststellung des Sachverhalts ist das Ergebnis polizeilicher Ermittlungen, die unter der Aufsicht der Staatsanwaltschaft standen. Die Kantonspolizei hat den Beschwerdegegner zu den Umständen der Geschwindigkeitsüberschreitung persönlich einvernommen und die medizinischen Falldaten zur notfallmässigen Behandlung des Kindes eingeholt. Die Entzugsbehörden haben dagegen keine eigenen Sachverhaltsabklärungen durchgeführt.
In Abwägung der Rechtsgüter und Würdigung der Tatumstände ist die Staatsanwaltschaft sodann zum Schluss gekommen, der Beschwerdegegner habe sich in einem Notstand befunden, wobei sein Verhalten verhältnismässig gewesen sei. Im Gegensatz dazu haben sich die Verwaltungsbehörden bei ihren Entscheiden nicht mit den Gegebenheiten des Einzelfalls auseinandergesetzt. Das Strassenverkehrsamt hat in seiner Entzugsverfügung einen möglichen Notstand ganz ausser Acht gelassen. Die Rekurskommission hat einen solchen zwar erwogen. Dabei hat sie aber weder die Rechtsgüter gegeneinander abgewogen noch die konkreten Tatumstände gewürdigt. Auf eine Verhältnismässigkeitsprüfung hat sie in der Annahme verzichtet, die Anwesenheit des Vaters im Spital sei nicht nötig gewesen, womit dieser durch die Geschwindigkeitsüberschreitung gar kein Rechtsgut geschützt habe. Wie zuvor dargelegt, findet diese Sachverhaltsdarstellung in den Akten jedoch keine Stütze.
Die rechtliche Beurteilung der Frage, ob ein Notstand vorliegt, hängt demnach stark von der Würdigung von Tatsachen ab, welche die Staatsanwaltschaft besser kennt und mit denen sie sich in ihrem Entscheid eingehender befasst hat als die Verwaltungsbehörden und die Rekurskommission. Diese sind daher nicht nur an die tatsächlichen Feststellungen, sondern auch an die rechtliche Beurteilung der Staatsanwaltschaft gebunden.
Der angefochtene Entscheid verletzt somit kein Bundesrecht. Die Beschwerde ist unbegründet.
3. Sie ist abzuweisen.
Der Beschwerdeführer trägt keine Kosten (Art. 66 Abs. 4 BGG). Er hat den anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Thurgau hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Rekurskommission für Strassenverkehrssachen des Kantons Thurgau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Januar 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Geisser