Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1956) und Y._ (geb. 1972) haben sich im Jahre 2007 vermählt. Sie haben eine gemeinsame Tochter, A._ (geb. 2008). Der Ehemann hat ausserdem einen vorehelichen Sohn (B._; geb. 2003). Die Ehefrau hat vier voreheliche Kinder.
B.
Mit Eheschutzentscheid vom 28. August 2008 genehmigte das Gerichtspräsidium Zofingen eine Trennungsvereinbarung, welche die Eheleute am 11. August 2008 unterzeichnet hatten. Die Parteien waren übereingekommen, A._ unter die Obhut der Mutter zu stellen. X._ versprach, an den Unterhalt seines Kindes monatlich Fr. 600.-- (zzgl. Kinderzulage) und an denjenigen seiner Frau Fr. 430.-- zu bezahlen. Die übrigen Abreden der Vereinbarung sind im Streit vor Bundesgericht nicht relevant.
C.
Am 22. März 2012 strengte X._ beim Gerichtspräsidium Zofingen ein Verfahren zur Abänderung des Eheschutzentscheids vom 28. August 2008 an. Es ging ihm darum, die Alimente für seine Tochter ab April 2012 auf Fr. 200.-- (zzgl. Kinderzulage) zu reduzieren und ihn von Unterhaltsleistungen an seine Frau ganz zu befreien. Mit Entscheid vom 24. Januar 2013 entsprach das Gerichtspräsidium diesen Begehren und änderte die Trennungsvereinbarung entsprechend ab. Schon am 12. April 2012 hatte Y._ beim Bezirksgericht Zofingen das Scheidungsverfahren anhängig gemacht.
D.
Erfolgreich legte Y._ gegen den erstinstanzlichen Abänderungsentscheid Berufung ein. Das Obergericht des Kantons Aargau hob den Entscheid mit Bezug auf die Unterhaltspflichten auf und setzte die ursprüngliche Unterhaltsregelung gemäss dem Eheschutzentscheid vom 28. August 2008 wieder in Kraft (Entscheid vom 4. Juli 2013).
E.
Mit Beschwerde vom 25. Juli 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Berufung von Y._ (Beschwerdegegnerin) abzuweisen. Der Entscheid des Gerichtspräsidiums sei zu bestätigen. Eventuell seien die Akten zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Weiter stellt er das Begehren, seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung entsprach diesem Begehren mit Verfügung vom 19. August 2013. Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, und ersucht ebenfalls um Gewährung des Armenrechts. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer ficht einen Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) über die Abänderung von Unterhaltsbeiträgen im Eheschutzverfahren (<ref-law>) an. Diese zivilrechtliche Streitigkeit (<ref-law>) ist vermögensrechtlicher Natur. Sie übersteigt die gesetzliche Streitwertgrenze (Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 4; 74 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
Eheschutzentscheide unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Diesbezüglich gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
3.
Umstritten ist, ob sich das Erwerbseinkommen des Beschwerdeführers, der als Taxifahrer im Stundenlohn angestellt ist, seit dem Eheschutzentscheid vom 28. August 2008 so stark verändert hat, dass sich eine Anpassung der Unterhaltsbeiträge rechtfertigt.
3.1. Verändern sich die Verhältnisse, so passt das Gericht auf Begehren eines Ehegatten die Massnahmen an oder hebt sie auf, wenn ihr Grund weggefallen ist (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung setzt eine Abänderung von Eheschutzmassnahmen voraus, dass seit der Rechtskraft des Urteils - namentlich im Bereich der Einkommensverhältnisse - eine wesentliche und dauerhafte Veränderung eingetreten ist oder dass sich die tatsächlichen Feststellungen, die dem Massnahmeentscheid zugrunde lagen, nachträglich als unrichtig erwiesen haben. Ein Ehegatte kann die Änderung ausserdem auch dann verlangen, wenn sich der Entscheid als nicht gerechtfertigt erweist, weil dem Massnahmerichter wesentliche Tatsachen nicht bekannt waren. Andernfalls steht die formelle Rechtskraft des Eheschutzentscheides einer Abänderung entgegen. Eine Abänderung ist ferner ausgeschlossen, wenn die vermeintlich neue Sachlage durch eigenmächtiges, widerrechtliches, mithin rechtsmissbräuchliches Verhalten herbeigeführt worden ist (Urteil 5P.473/2006 vom 19. Dezember 2006 E. 3, Zusammenfassung in FamPra.ch 2007 S. 373, bestätigt in Urteil 5A_101/2013 vom 25. Juli 2013 E. 3.1 mit Hinweis). Bei alledem gilt es zu berücksichtigen, dass es im Eheschutzverfahren auch unter der Herrschaft der Schweizerischen Zivilprozessordnung genügt, die behaupteten Tatsachen glaubhaft zu machen (Urteil 5A_661/2011 vom 10. Februar 2012 E. 2.3 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2b/bb S. 478; s. auch <ref-ruling> E. 3 S. 377).
3.2. Das Obergericht hält fest, der Beschwerdeführer habe sich "nur gerade" über seine Einkommensverhältnisse bis und mit 4. August 2012 ausgewiesen. Zum Nachweis seiner Einkünfte ab 5. August 2012 habe er - trotz novenrechtlicher Möglichkeit dazu - keinen einzigen Beleg eingereicht und weder die Lohnabrechnungen ab diesem Datum noch den Lohnausweis 2012 ins Recht gelegt. Das Obergericht wirft dem Beschwerdeführer "fehlende Mitwirkung" vor und weist darauf hin, dass er aufgrund der ihm obliegenden Behauptungs- und Substanziierungslast die Verantwortung für die Sachverhaltsermittlung trage. Gestützt auf diese Erwägungen kommt das Obergericht zum Schluss, der Beschwerdeführer, der als Taxifahrer im Stundenlohn angestellt ist, habe nicht glaubhaft dargetan, dass er seit April 2012 im Monatsdurchschnitt weniger als die Fr. 4'000.-- verdiene, die ihm der Eheschutzrichter angerechnet hatte.
Der Beschwerdeführer hält diese Erkenntnis für "klar aktenwidrig und willkürlich". Er habe bei Einreichung seiner Abänderungsklage nachgewiesen, dass er nicht mehr über das Einkommen verfüge, das dem Eheschutzentscheid zugrunde gelegen habe. Dies habe er mittels Vorlage aller Einkommensunterlagen seit 2010 dargetan. Daraus sei nebst dem Stundenlohn seine Arbeitszeit klar ersichtlich. Es sei nie in Frage gestellt worden, dass er nach wie vor zu den gleichen Bedingungen beim gleichen Arbeitgeber angestellt sei. Die Beschwerdegegnerin habe in ihrer Berufung nur angezweifelt, dass er zu 100 % arbeite. Dass dies der Fall sei, habe er begründet; mehr könne und dürfe von ihm nicht verlangt werden. Der Beschwerdeführer hält dem Obergericht entgegen, aus den eingereichten Belegen sei klar und eindeutig ersichtlich, dass sein Stundenlohn Fr. 16.60 brutto (inkl. Ferien) und sein Provisionsanteil durchschnittlich 37 % des Stundenlohns betrügen. Unter Berücksichtigung der Sozialversicherungsabzüge, einem Wochenpensum von 42 Stunden und einer Jahresarbeitszeit von 47 Wochen belaufe sich sein Erwerbseinkommen auf Fr. 37'965.60 pro Jahr bzw. Fr. 3'163.80 pro Monat.
3.3. Das Bezirksgericht, dessen Ausführungen das Obergericht wiedergibt, hält ausdrücklich fest, der Beschwerdeführer habe im Jahr 2011 nur noch durchschnittlich 156.4 Stunden pro Monat arbeiten können. Gemäss den eingereichten Lohnabrechnungen der Monate Januar bis Mai 2012 habe sich diese Tendenz im Jahre 2012 fortgesetzt. Die in den Jahren 2011 und 2012 geleisteten Stunden entsprächen einem effektiven 100%-Pensum; ein Unterhaltsschuldner könne nicht verpflichtet werden, seine Arbeitskraft zu mehr als 100 % zu verwerten. Unter diesen Voraussetzungen erscheine es glaubhaft, wenn der Beschwerdeführer sein Einkommen mit Fr. 3'200.-- (zzgl. Kinderzulagen von je Fr. 200.--) beziffere.
Angesichts dieser Ausgangslage erweckt die Vorgehensweise des Obergerichts in der Tat Bedenken. Zwar trifft es zu, dass die Untersuchungsmaxime die Parteien nicht davon entbindet, am Verfahren aktiv mitzuwirken, und dass es an ihnen ist, den Richter über den Sachverhalt zu unterrichten und ihn auf die greifbaren Beweismittel hinzuweisen (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 413 f.; bestätigt in: <ref-ruling> E. 3.2 S. 183 f.; ferner Urteil 5A_285/2013 vom 24. Juli 2013 E. 4.3). Entgegen dem, was die Beschwerdegegnerin anzunehmen scheint, dreht sich das vorliegende Beschwerdeverfahren aber nicht um diese Mitwirkungspflicht allein. Will sich ein Berufungsgericht mit dem erstinstanzlichen Beweisergebnis nicht zufriedengeben und nimmt es zugleich die (angeblich) fehlende Mitwirkung einer Partei bei der Feststellung des Sachverhalts im Berufungsverfahren zum Anlass, einen für diese Partei ungünstigen Entscheid zu fällen, so muss es offenlegen, weshalb es gestützt auf das erstinstanzliche Beweisergebnis keinen Entscheid fällen zu können glaubt und warum es die Mitwirkung der betreffenden Partei als ungenügend erachtet. Tut das Berufungsgericht dies nicht, kann der Rechtsunterworfene die gerichtliche Beweiswürdigung nicht nachvollziehen. Dies verkennt das Obergericht, wenn es dem Beschwerdeführer zum einen vorhält, für die Zeit ab dem 5. August 2012 keine weiteren Belege eingereicht zu haben, zum andern aber jegliche Erklärung vermissen lässt, warum es solch weiterer Belege überhaupt bedurfte. Das Obergericht legt nicht dar, inwiefern sich aufgrund der tatsächlichen Feststellungen der ersten Instanz nicht prüfen liesse, ob der Beschwerdeführer eine dauerhafte und erhebliche Veränderung seines Erwerbseinkommens glaubhaft gemacht hat. Dass bei unregelmässigen Einkommen eines Lohnbezügers auf den Durchschnittswert einer als massgebend erachteten Zeitspanne abgestellt werden kann, stellt das Obergericht nicht in Abrede. Ebenso wenig lässt sich dem angefochtenen Entscheid entnehmen, ob und gegebenenfalls aus welchem Grund das Obergericht die erstinstanzlich berücksichtigte Zeitspanne von immerhin siebzehn Monaten (Januar 2011 bis Mai 2012) als zu kurz erachtet, um die Lohnentwicklung hinreichend beurteilen zu können.
Nach dem Gesagten ist das Ergebnis der vorinstanzlichen Beweiswürdigung, wonach der Beschwerdeführer eine Veränderung der Verhältnisse nicht glaubhaft gemacht haben soll, schlechterdings nicht nachvollziehbar. Unter diesen Umständen kann auch nicht als gesichert gelten, dass der Beschwerdeführer, dessen monatliches Existenzminimum sich dem angefochtenen Entscheid zufolge auf Fr. 2'810.90 beläuft, die ursprünglich festgesetzten Frauen- und Kinderalimente von monatlich Fr. 1'030.-- weiterhin wird aufbringen können. Damit aber erweist sich der angefochtene Entscheid auch im Ergebnis (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133) als unhaltbar. Er läuft, wie der Beschwerdeführer zu Recht rügt, dem Gerechtigkeitsgedanken in stossender Weise zuwider, denn er ist nicht vereinbar mit dem Grundsatz, wonach dem Rentenschuldner mit Bezug auf alle familienrechtlichen Unterhaltskategorien zumindest das betreibungsrechtliche Existenzminimum stets voll zu belassen ist (<ref-ruling> E. 1a/aa S. 356, bestätigt in 135 III 66 E. 2 ff. S. 67 ff. mit Hinweisen und 137 III 59 E. 4.2.1 S. 62). Soweit die Beschwerdegegnerin in ihrer Vernehmlassung behauptet, der Beschwerdeführer verbrauche monatlich über Fr. 6'000.--, ist sie nicht zu hören. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, steht im vorliegenden Verfahren nicht der Notbedarf des Beschwerdeführers, sondern einzig sein Erwerbseinkommen zur Diskussion.
3.4. An alledem ändert nichts, dass das Obergericht auf Erwägung 3.2 des bundesgerichtlichen Urteils 5A_547/2008 vom 19. Juni 2009 verweist. Danach wäre ein Einkommen, das ein Unterhaltsschuldner im Zeitpunkt des Eheschutzverfahrens nur im Rahmen eines für ihn offensichtlich nicht zumutbaren und damit auch nicht dauerhaft realisierbaren Arbeitspensums erzielt, nicht für die Beurteilung einer erheblichen Veränderung der Verhältnisse heranzuziehen. Eine konkrete tatsächliche Feststellung, wonach diese Voraussetzung hier erfüllt wäre, lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen. Daher kann offenbleiben, ob ein Arbeitspensum über 100 Prozent einer Abänderung selbst dann entgegenstünde, wenn der Beschwerdeführer die ursprünglich festgesetzten Unterhaltsbeiträge bei einem regulären Vollpensum nur unter einer Einbusse in seinem Existenzminimum zu bestreiten vermöchte.
4.
4.1. Wie die vorstehenden Ausführungen zeigen, erweist sich die Willkürrüge des Beschwerdeführers als begründet. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau verstösst gegen <ref-law> und ist aufzuheben. In der Sache kann das Bundesgericht jedoch kein Urteil fällen, da es die Beweise nicht selbst würdigt, sondern den angefochtenen Entscheid lediglich auf seine Verfassungsmässigkeit hin überprüft. Im Sinne des Eventualantrags ist die Sache daher zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).
4.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, die Gerichtsgebühr vor Bundesgericht der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen, die sich zur Beschwerde hat vernehmen lassen und mit ihrem Abweisungsantrag unterliegt (<ref-law>). Dass ihm im bundesgerichtlichen Verfahren ein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden wäre, zeigt der - anwaltlich nicht vertretene - Beschwerdeführer nicht auf und ist nicht ersichtlich. Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege erweist sich deshalb als gegenstandslos. Dasjenige der Beschwerdegegnerin ist demgegenüber gutzuheissen, denn die gesetzlichen Voraussetzungen (<ref-law>) sind erfüllt. Die Beschwerdegegnerin wird darauf hingewiesen, dass sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, sofern sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, vom 4. Juli 2013 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdegegnerin Rechtsanwältin Hana Wüthrich als Rechtsbeiständin beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwältin Hana Wüthrich wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- entrichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn