in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Entscheid des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss Art. 74 Abs. 2 BGG allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG sowie Art. 116 BGG), d.h. (entsprechend den altrechtlichen Anforderungen des Art. 90 Abs. 1 lit. b OG: Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4207ff., Ziff. 4.1.2.4 zu Art. 39 Entwurf, S. 4294) anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261f.), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG),
dass das Obergericht im angefochtenen Beschluss erwog, der erstinstanzliche Entscheid sei ein prozessleitender Entscheid ohne schwer wiedergutzumachenden Nachteil, ebenso fehle es an der alternativen Anfechtungsvoraussetzung der Aufwandersparnis (§ 282 ZPO/ZH), der Beschwerdeführer mache diese Voraussetzungen für eine selbstständige Anfechtung prozessleitender Verfügungen denn auch zu Recht nicht geltend, ausserdem habe der Rechtsöffnungsrichter inzwischen den Endentscheid gefällt, so dass es dem Beschwerdeführer unbenommen bleibe, im Rahmen einer Nichtigkeitsbeschwerde gegen den Endentscheid die Verweigerung der Verschiebung sowie den Umstand zu rügen, dass ihm angeblich die Abweisungsverfügung erst nach dem Rechtsöffnungsentscheid ausgehändigt worden sei,
dass sich der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht mit den entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen auseinandersetzt,
dass er erst recht nicht anhand dieser Erwägungen nach den erwähnten gesetzlichen Anforderungen darlegt, inwiefern der Beschluss vom 19. April 2007 des Obergerichts verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. Art 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (Art. 66 Abs. 1 BGG),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 BGG das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und der Abteilungspräsident zuständig ist,

verfügt:
verfügt:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Diese Verfügung wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juni 2007
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: