Faits :
A.
Dans le cadre d'une procédure tutélaire concernant la garde de la fille de X._, de nationalité américaine, et de A._, ressortissant norvégien, le Tribunal tutélaire du canton de Genève (devenu depuis le 1er janvier 2013 le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant; ci-après: le Tribunal tutélaire) a ordonné une expertise concernant l'enfant et ses parents par ordonnance du 6 mars 2012. Elle l'a confiée à la Dresse Y._, médecin psychiatre à Genève, qui a rendu son rapport le 29 juin 2012.
Le 28 juin 2013, X._ a déposé une plainte auprès de la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients du canton de Genève (ci-après: la Commission de surveillance) contre la Dresse Y._, reprochant notamment à celle-ci d'avoir tenu des propos racistes dans son rapport, manipulé les témoignages recueillis, posé un diagnostic manifestement erroné la concernant et de ne pas avoir rempli sa mission avec diligence.
B.
Le 31 juillet 2013, le bureau de la Commission de surveillance a classé la dénonciation de X._. Il a jugé que même si certaines des assertions de la Dresse Y._ pouvaient sembler critiquables, elles ne faisaient pas apparaître de grossières fautes professionnelles qui justifieraient l'ouverture d'une procédure disciplinaire à son encontre. Il a également relevé que les personnes ayant fait l'objet de l'expertise - en particulier X._ et sa fille - ne disposaient pas de la qualité de partie en raison de l'absence de lien thérapeutique les unissant à la Dresse Y._. Ladite décision leur était donc communiquée par simple avis.
X._ a interjeté un recours auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice), concluant à l'annulation de la décision de la Commission de surveillance et au renvoi de la cause à celle-ci. Par arrêt du 19 août 2014, la Cour de justice a déclaré le recours irrecevable. Elle a retenu en substance que dans la mesure où l'intéressée n'était pas une patiente de la Dresse Y._ elle n'avait pas la qualité de partie et ne pouvait dès lors pas se plaindre du classement de sa plainte.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de justice du 19 août 2014 et de renvoyer la cause pour nouvelle décision au sens des considérants.
La Cour de justice et la Commission de surveillance ont renoncé à formuler des observations. L'intimée conclut, sous suite de frais, au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité et à la confirmation de l'arrêt de la Cour de justice du 19 août 2014.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine librement et avec une pleine cognition la recevabilité des recours portés devant lui (<ref-ruling> consid. 2 p. 60).
1.1. Le présent recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), dans une cause de droit public au sens de l'<ref-law> ne tombant pas sous le coup d'une des exceptions prévues à l'<ref-law>, de sorte que la voie du recours en matière de droit public est en principe ouverte.
1.2. En l'espèce, l'objet du litige porte sur le point de savoir si c'est à tort que la qualité de partie de la recourante a été niée par les instances cantonales précédentes. Aux termes de l'<ref-law>, a qualité pour former un recours en matière de droit public quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a), est particulièrement atteint par la décision attaquée (let. b) et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celle-ci (let. c). La recourante a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. Elle a notamment un intérêt digne de protection à demander l'annulation de l'arrêt attaqué afin d'obtenir qu'il soit statué sur le fond de sa cause; cela indépendamment et sans préjudice du motif d'irrecevabilité retenu en procédure administrative, qui constitue l'objet de la contestation devant le Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 148).
1.3. Pour le surplus, déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prévues par la loi (<ref-law>), le recours est recevable.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine d'office le droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF). Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), l'on ne peut invoquer la violation du droit cantonal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (<ref-law> a contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2.5 p. 314; arrêt 2C_668/2013 du 19 juin 2014 consid. 2.1).
2.2. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement juridique sur les faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.5 p. 401) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 104; arrêt 2C_220/2014 du 4 juillet 2014 consid. 1.4).
3.
En substance, la recourante reproche à l'instance précédente de lui avoir dénié la qualité pour recourir contre la décision de classement de la Commission de surveillance du 31 juillet 2013. Elle invoque, d'une part, les dispositions spécifiques du droit genevois relatives au statut de patient. D'autre part, elle fait valoir que la qualité pour recourir devrait lui être reconnue en application des dispositions générales du droit genevois et de l'<ref-law>, disposition que les cantons doivent respecter en application de l'<ref-law>.
4.
Invoquant l'art. 9 Cst., la recourante soutient que l'instance précédente a appliqué les art. 2 al. 2 de la loi genevoise du 7 avril 2006 sur la santé (LS/GE; RSGE K 1 03) et 9 de la loi genevoise sur la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients (LComPS/GE; RSGE K 3 03) de manière arbitraire. Elle reproche à l'instance précédente d'avoir refusé de la considérer comme une "patiente" et partant d'avoir jugé qu'elle n'avait pas la qualité de partie au sens de l'art. 9 LComPS/GE, qui définit la qualité de partie dans le cadre d'une dénonciation à l'encontre d'un professionnel de la santé.
4.1. Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560), ce qu'il appartient à la partie recourante de démontrer en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 239; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 400).
4.2. Aux termes de l'art. 9 LComPS/GE, le patient qui saisit la Commission de surveillance, la personne habilitée à décider des soins en son nom, le professionnel de la santé ou l'institution de santé mis en cause ont la qualité de partie. La question de savoir si la recourante a la qualité de partie dépend dès lors de celle de savoir si elle doit être considérée comme patiente du médecin qui l'a expertisée dans le cadre de l'expertise judiciaire.
4.3. La notion de patient n'étant pas définie par la loi, la Cour de justice s'est notamment fondée sur sa jurisprudence, selon laquelle doit être considérée comme un patient au sens de l'art. 9 LComPS/GE, titulaire des droits reconnus et protégés par la LS/GE, toute personne qui entretient ou a entretenu une relation thérapeutique avec un professionnel de la santé dont l'activité est régie par cette loi. Les précédents juges se sont également appuyés sur un extrait de l'exposé des motifs du Projet de loi sur la santé (PL 9328), selon lequel:
le terme de «patient» doit s'entendre comme la personne qui recourt aux services (du domaine de la prophylaxie, du diagnostic, de la thérapeutique et des soins palliatifs) d'un professionnel de la santé ou d'une institution de santé, sans être nécessairement malade. Il appartiendra aux tribunaux, si besoin est, de déterminer dans des situations particulières si une personne peut se prévaloir des droits reconnus par le présent chapitre (PL 9328, p. 77).
Contrairement à celle de patient, la notion de soins est définie à l'art. 2 al. 2 LS/GE, qui dispose que "les soins comprennent tout service fourni à une personne, à un groupe de personnes ou à la population dans le but de promouvoir, de protéger, d'évaluer, de surveiller, de maintenir, d'améliorer ou de rétablir la santé humaine."
4.4. En l'espèce, la recourante reproche à l'instance précédente d'avoir arbitrairement retenu que l'intimée ne lui avait pas prodigué des soins, dans la mesure où celle-ci aurait posé un diagnostic sur la recourante et aurait dès lors "évalué" celle-ci au sens de l'art. 2 al. 2 LS/GE. Contrairement à ce que semble sous-entendre la recourante, l'autorité précédente n'a pas considéré que l'intimée n'avait pas "évalué" la recourante mais a relevé que la Dresse Y._ s'était limitée à l'expertiser et à rédiger un rapport d'expertise dans le cadre d'une procédure judiciaire. Or, il n'est pas arbitraire de considérer que le fait qu'un médecin expertise une personne uniquement à la demande du Tribunal tutélaire ne constitue pas un "service fourni à [cette] personne [...] dans le but d'évaluer [...] la santé humaine" au sens de l'art. 2 al. 2 LS/GE. En effet, l'objectif de l'expertise était de répondre aux questions posées par le Tribunal tutélaire dans le but de renseigner la justice dans le cadre d'une procédure opposant les parents relative à la garde de leur enfant. En outre, il convient de rappeler que pour arriver à la conclusion selon laquelle la recourante n'avait pas le statut de patiente au sens de l'art. 9 LComPS/GE, la Cour de justice s'est fondée sur le fait qu'aucun lien thérapeutique n'avait été créé entre la recourante et l'experte mandatée. La recourante conteste également cette argumentation. Elle ne démontre cependant pas en quoi il est arbitraire de distinguer la relation qui lie un expert mandaté par un tribunal dans le cadre d'une procédure judiciaire et la personne expertisée de celle qui lie ou a lié un patient et son médecin traitant. A cet égard, le Tribunal fédéral a d'ailleurs déjà eu l'occasion de relever qu'il est en principe exclu qu'un médecin avec qui un expertisé entretient une relation thérapeutique puisse intervenir comme expert judiciaire (<ref-ruling> consid. 4 p. 175; cf. également arrêt 9C_920/2013 du 20 mai 2014 consid. 3.4.1 qui opère une distinction entre le "mandat thérapeutique" et "mandat d'expertise" et arrêt 6B_956/2013 du 5 décembre 2013 consid. 3.2.2) Il découle d'ailleurs de l'art. 6 du Code de déontologie de la Fédération des médecins suisses du 12 décembre 1996 que la relation entre un patient et un expert est de nature non thérapeutique.
4.5. C'est en vain que la recourante se prévaut de l'arrêt 2C_537/2013, qui, selon elle, a reconnu qu'une expertisée pouvait être considérée comme une "patiente" au sens du droit fribourgeois, "dont le contenu est analogue au droit genevois" (mémoire de recours, p. 9). Cette affaire portait en réalité sur la question de savoir si le Tribunal cantonal fribourgeois avait arbitrairement dénié la qualité de partie à l'époux d'une personne expertisée dans le cadre d'une procédure matrimoniale opposant les conjoints. Le Tribunal fédéral a conclu que les juges cantonaux fribourgeois n'étaient pas tombés dans l'arbitraire en considérant que l'époux d'une personne expertisée n'avait pas le statut de patient et dès lors pas la qualité de partie au sens de l'art. 127c de la loi fribourgeoise du 16 novembre 1999 sur la santé (LSan/Fr; RSFR 821.0.1). La recourante ne peut rien tirer de cette jurisprudence. En effet, si le Tribunal fédéral a mentionné que, dans cette affaire, il n'était pas arbitraire d'assimiler l'épouse du recourant à une patiente au sens du droit cantonal fribourgeois, cela ne signifie nullement qu'il est arbitraire de considérer qu'une personne expertisée n'a pas le statut de patient au sens de l'art. 9 LComPS/GE.
4.6. Au vu de ce qui précède, la Cour de justice n'a pas appliqué les art. 2 al. 2 LS/GE et 9 LComPS/GE de manière arbitraire.
5.
La recourante se prévaut ensuite d'une violation des art. 89 et 111 LTF ainsi que d'une application arbitraire de l'art. 60 de la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA/GE; RSGE E 5 10). Elle reproche en particulier à l'instance précédente de ne pas avoir reconnu qu'elle avait un intérêt digne de protection au sens de l'art. 89 al. 1 let. c LTF.
5.1. Aux termes de l'<ref-law>, la qualité de partie à la procédure devant toute autorité cantonale précédente doit être reconnue à quiconque a qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral (al. 1); l'autorité qui précède immédiatement le Tribunal fédéral doit pouvoir examiner au moins les griefs visés aux art. 95 à 98 LTF (al. 3).
Il résulte de cette disposition que la qualité pour recourir devant les autorités cantonales ne peut pas s'apprécier de manière plus restrictive que la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral, les cantons demeurant libres de concevoir cette qualité de manière plus large (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 164; <ref-ruling> consid. 5 p. 149 et les arrêts cités).
5.2. En droit cantonal genevois, la qualité pour recourir est définie à l'art. 60 LPA/GE, qui reconnaît notamment la qualité pour recourir aux personnes suivantes: a) les parties à la procédure qui a abouti à la décision attaquée; b) toute personne qui est touchée directement par une décision et a un intérêt personnel digne de protection à ce qu'elle soit annulée ou modifiée. Dans son mémoire, la recourante se contente de mentionner l'application arbitraire de cette disposition, sans démontrer en quoi l'instance précédente l'aurait, le cas échéant, appliqué de manière arbitraire, de sorte que son grief ne répond pas aux exigences de motivation de l'<ref-law>. En tout état de cause, comme l'exige l'<ref-law> pour les causes susceptibles d'être portées devant le Tribunal fédéral, les lettres a et b de cette disposition correspondent à l'<ref-law> (cf. arrêt 1C_665/2013 du 24 mars 2014 consid. 3.1), qui sera examiné ci-après.
En l'occurrence, il convient donc d'examiner la qualité pour recourir sous l'angle de l'<ref-law>. S'agissant de droit fédéral (<ref-law>), le Tribunal fédéral examine cette question librement.
5.3. En vertu de l'<ref-law>, a qualité pour former un recours en matière de droit public quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a), est particulièrement atteint par la décision attaquée (let. b) et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (let. c).
Constitue un intérêt digne de protection au sens de l'art. 89 al. 1 let. c LTF, tout intérêt pratique ou juridique à demander la modification ou l'annulation de la décision attaquée. Il consiste donc dans l'utilité pratique que l'admission du recours apporterait au recourant, en lui évitant de subir un préjudice de nature économique, idéale, matérielle ou autre que la décision attaquée lui occasionnerait. Cet intérêt doit être direct et concret; en particulier, le recourant doit se trouver, avec la décision entreprise, dans un rapport suffisamment étroit, spécial et digne d'être pris en considération. Il doit être touché dans une mesure et avec une intensité plus grande que l'ensemble des administrés (<ref-ruling> consid. 2.1.2 p. 164 ; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 43 et les arrêts cités).
Dans une procédure non contentieuse, la seule qualité de plaignant ou de dénonciateur ne donne pas le droit de recourir contre la décision prise; le plaignant ou le dénonciateur doit encore pouvoir invoquer un intérêt digne de protection à ce que l'autorité de surveillance intervienne. La jurisprudence a ainsi dénié la qualité pour recourir au plaignant dans le cadre d'une procédure disciplinaire dirigée contre un avocat, considérant que celui-là n'avait pas un intérêt propre et digne de protection à demander une sanction disciplinaire à l'encontre de l'avocat pour une éventuelle violation de ses obligations professionnelles. En effet, la procédure de surveillance disciplinaire des avocats a pour but d'assurer l'exercice correct de la profession par les avocats et de préserver la confiance du public à leur égard, et non de défendre les intérêts privés des particuliers (<ref-ruling> consid. 2.1.2 p. 164 s.; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 150 ss; <ref-ruling> consid. 4.4 p. 255; <ref-ruling> consid. 2b p. 232). Cette jurisprudence a été reprise, sous l'angle de l'<ref-law>, dans le cadre d'une procédure disciplinaire dirigée contre un notaire (<ref-ruling> consid. 2 p. 471 ss).
5.4. La recourante se prévaut de l'arrêt 2C_260/2007, dans lequel le Tribunal fédéral s'est penché sur la qualité pour recourir au Tribunal fédéral (<ref-law>) d'une plaignante contre une décision constatant qu'il n'existait pas une violation des droits de la patiente. Dans cet arrêt, le Tribunal fédéral a laissé cette question ouverte, tout en ajoutant que la qualité pour recourir contre une décision constatant qu'il n'existe pas une violation des droits des patients pourrait être reconnue au regard des règles particulières des art. 20 al. 1 et 22 al. 2 LComPS/GE (cf. arrêt 2C_260/2007 du 26 novembre 2007 consid. 1.3; cf. également arrêts 2C_861/2010 du 15 novembre 2010 consid. 4 et 2C_440/2010 du 27 juillet 2010). Or, même si la qualité pour recourir avait été reconnue dans la jurisprudence susmentionnée - ce qui n'est pas le cas vu que cette question a été laissée ouverte - la recourante perd de vue que tant les considérants auxquels elle se réfère que les dispositions cantonales susmentionnées ainsi que les arrêts précités visent des cas dans lesquels la personne ayant déposé plainte avait le statut de patient et la qualité pour agir au sens de l'art. 9 LComPS/GE, ce qui n'est pas le cas en l'espèce (cf. supra consid. 4).
5.5. La recourante se prévaut ensuite de l'<ref-ruling> dans lequel un intérêt digne de protection au sens de l'<ref-law> a été reconnu à un justiciable qui se trouve privé de l'avocat de son choix en raison d'une décision interdisant à son mandataire de postuler, ainsi qu'à la partie qui se retrouve face à un ancien mandataire en raison d'une décision concluant à l'absence de conflit d'intérêts (<ref-ruling> consid. 2 p. 164 ss; cf. arrêt 1B_149/2013 du 5 septembre 2013 consid. 2.4.2). En l'espèce, on voit mal en quoi la situation de la recourante "présente une certaine analogie" avec l'<ref-ruling> (mémoire de recours, p. 6). La recourante ne fournit d'ailleurs pas davantage d'explications. Or, comme le relève l'intimée, il convient de rappeler que, dans l'arrêt précité, un lien contractuel existait entre l'avocat et son client. Tel n'est clairement pas le cas de la recourante en l'espèce - ce qui n'est d'ailleurs pas contesté - laquelle n'a jamais été patiente de l'intimée et n'a encore moins été privée des services de celle-ci suite à une décision interdisant à l'intimée de pratiquer.
5.6. La recourante soutient encore qu'elle aurait un intérêt digne de protection au sens de l'<ref-law> indépendamment de son statut de patient. Elle invoque les conséquences qu'elle a subies du point de vue économique (expertises privées, rallongement de la procédure) et "idéale" (atteintes à son honneur et à sa dignité) du fait de cette expertise. Le raisonnement de la recourante ne saurait être suivi. En effet, force est de constater que le préjudice de nature économique et idéale qu'elle allègue avoir subi n'est pas une conséquence de la décision de la Commission de surveillance du 31 juillet 2013 classant sa plainte, mais constitue tout au plus une conséquence éventuelle de l'expertise judiciaire du 29 juin 2012 ordonnée par le Tribunal tutélaire. En d'autres termes, si la Commission de surveillance avait décidé d'ouvrir une procédure disciplinaire contre l'intimée, et, le cas échéant, prononcé une sanction disciplinaire à l'encontre de celle-ci, cela n' "éviterait" pas à la recourante de subir le préjudice qu'elle allègue avoir subi, de sorte qu'elle ne dispose pas d'un intérêt digne de protection au sens de la jurisprudence précitée (cf. supra consid. 5.3).
Au vu de ce qui procède, le grief de la violation des art. 89 et 111 LTF est rejeté.
6.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours, dans dans la mesure où il est recevable.
Succombant, la recourante supporte les frais judiciaires (<ref-law>). Elle versera en outre à l'intimée, qui est défendue par un avocat, une indemnité à titre de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera, à titre de dépens, une indemnité de 2'000 fr. à l'intimée.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires de la recourante et de l'intimée, à la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lausanne, le 28 avril 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : Thalmann