Sachverhalt:
A.
A.a. X._ und Y._ heirateten am 24. September 2011 in Conakry (Guinea). Am 5. Dezember 2012 beantragte X._ beim Gerichtspräsidium Baden die Regelung des Getrenntlebens, u.a. mit dem Antrag um Leistung eines monatlichen Unterhaltsbeitrags von Fr. 3'420.--. Zudem forderte sie von Y._ einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 3'500.--. Eventualiter stellte sie ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
A.b. Am 29. Januar 2013 sprach die Präsidentin des Familiengerichts Baden X._ die folgenden monatlichen Unterhaltsbeiträge zu: Fr. 3'420.-- ab 5. Dezember 2012 und Fr. 1'870.-- ab 1. April 2013. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wurde abgewiesen.
B.
B.a. Sowohl X._ als auch Y._ gelangten an das Obergericht des Kantons Aargau. Mit Urteil vom 24. September 2013 setzte dieses den umstrittenen Unterhaltsbeitrag ab 1. April 2013 auf Fr. 1'760.-- fest. Die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens von Fr. 2'000.-- wurden den Parteien je zur Hälfte auferlegt und die Parteikosten wettgeschlagen.
B.b. Vom Obergericht abgewiesen wurde die Beschwerde von X._ gegen die Abweisung ihres Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das erstinstanzliche Verfahren. Die darauf entfallenden Gerichtskosten von Fr. 500.-- auferlegte das Obergericht X._. Auch ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren wies das Obergericht ab, ohne dafür Gerichtskosten zu erheben.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. Oktober 2013 wendet sich X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, dass ihr für das Verfahren vor der ersten und zweiten Instanz die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Markus Läuffer als unentgeltlicher Vertreter bestimmt wird. Die ihr im vorinstanzlichen Verfahren auferlegten Gerichtskosten seien einstweilen vom Kanton zu übernehmen. Die Gerichtskasse Baden und die Gerichtskasse des Obergerichts seien anzuweisen, ihrem Rechtsvertreter den Betrag von Fr. 2'754.-- für das erstinstanzliche und Fr. 2'203.20 für das zweitinstanzliche Verfahren zu bezahlen. Auch für das Verfahren vor Bundesgericht ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin wehrt sich gegen ein Urteil des Obergerichts, mit dem dieses ihre Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege vor erster Instanz und ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren abgewiesen hat. In der Sache handelt es sich um ein Eheschutzverfahren. Dieses führte zu einem Endentscheid (<ref-law>). Die nämliche Qualifikation gilt auch für den nicht selbständig eröffneten Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege (Urteil 5A_740/2012 vom 11. März 2013 E. 1.1 mit Hinweisen). Die Eingabe ist als ordentliche Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen. Dass das Obergericht mit Bezug auf das Armenrechtsgesuch für das Rechtsmittelverfahren nicht als Rechtsmittelinstanz im Sinne von <ref-law> entschieden hat, steht der Zulässigkeit des Rechtsmittels nicht entgegen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426 f.). Auf die fristgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
Sind die Beschwerdegründe im Hauptverfahren - wie hier im Eheschutzprozess (BEG 133 III 393 E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.) - auf die Geltendmachung verfassungsmässiger Rechte beschränkt, so gilt dies auch im Streit um die unentgeltliche Rechtspflege (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2). Es gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Die rechtsuchende Partei muss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte in der Beschwerde präzise vorbringen und begründen. Im Schriftsatz ist im Einzelnen substanziiert darzulegen, worin die Verletzung besteht (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht beurteilt nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.). Sind die Anforderungen des Rügeprinzips erfüllt, so prüft das Bundesgericht frei, ob die angerufenen verfassungsmässigen Rechte verletzt sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 31 mit Hinweisen). Dabei ist es allerdings an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Von diesen Sachverhaltsfeststellungen kann das Bundesgericht nur abweichen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kamen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), was wiederum präzise geltend zu machen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 445).
3.
Die Beschwerdeführerin rügt zur Hauptsache eine Verletzung der Art. 117 bis 123 ZPO. Darauf kann nicht eingetreten werden, da es sich bei den erwähnten Bestimmungen um einfaches Gesetzesrecht handelt und die Beschwerdeführerin nicht dartut, inwiefern die Vorinstanz diese Bestimmungen in verfassungswidriger Weise, insbesondere in Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) angewendet haben soll (vgl. E. 2).
4.
4.1. Sinngemäss macht die Beschwerdeführerin auch eine Verletzung von <ref-law> geltend. Danach hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
4.2. Die Vorinstanz hat einen Anspruch der Beschwerdeführerin auf unentgeltliche Rechtspflege deshalb verneint, weil die Beschwerdeführerin in Ghana über ein Grundstück verfügt, für dessen Erwerb ihr der Ehemann Fr. 15'000.-- zur Verfügung gestellt hatte. Die Beschwerdeführerin ist der Meinung, dass ihr die Vorinstanz damit keinen "Notgroschen-Freibetrag" belassen, ja die Frage nicht einmal geprüft hat. Die Kritik der Beschwerdeführerin ist unbegründet.
4.3.
4.3.1. Soweit die Beschwerdeführerin klagt, die Vorinstanz habe den angefochtenen Entscheid nicht hinreichend begründet, gilt Folgendes: Aus dem verfassungsmässigen Gehörsanspruch (<ref-law>) folgt die Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen (s. dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445). Zu begründen ist das Ergebnis des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Person berührt. Die Begründung ist nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen. Über dessen Tragweite - und nicht über ihm zugrunde liegende Erwägungen - soll sich der Betroffene anhand der Begründung Rechenschaft geben können (Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1). Eingedenk dessen ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden. Die vorinstanzlichen Erwägungen lassen klar erkennen, weshalb das Obergericht dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen hat. Unter dem Gesichtspunkt der Begründungspflicht hält es vor der Verfassung stand, wenn sich die Vorinstanz nicht näher mit der Frage des "Notgroschen-Freibetrags" befasst.
4.3.2. In der Sache verlangt die Beschwerdeführerin den Schutz eines "Notgroschen-Freibetrags" in der Höhe von (mindestens) Fr. 10'000.--. Sie verkennt dabei die Vorgaben der bundesgerichtlichen Rechtsprechung. Danach bestimmt sich der Freibetrag nach den künftigen Bedürfnissen desjenigen, der einen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege geltend macht, wobei die besonderen Umstände des konkreten Falls zu berücksichtigen sind. Dazu zählen namentlich der Gesundheitszustand und das Alter (Urteil 1P.450/2004 vom 28. September 2004 E. 2.2 mit Hinweisen). Eine feste Untergrenze für das Vermögen, das der Person zu belassen ist, die ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege stellt, lässt sich der Rechtsprechung nicht entnehmen (vgl. auch Urteil 5P.375/2006 vom 18. Dezember 2006 E. 3.4).
Vorliegend steht fest und ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin gesund ist. Entsprechend ist die Vorinstanz davon ausgegangen, dass sie ab April 2013 voll arbeiten und dabei ein Erwerbseinkommen von Fr. 3'000.-- erzielen kann. Damit sind keine besonderen Umstände für die Rücklage eines Notgroschens auszumachen. Solche werden von der Beschwerdeführerin auch gar nicht erst dargetan. Auch behauptet die Beschwerdeführerin nicht, ihr in Ghana gelegenes Grundstück nicht (oder nur mit Verlust) verkaufen oder belasten zu können. Dazu kommt, dass der Erwerb dieses Grundstücks durch eine Zuwendung ihres Manns ermöglicht wurde. Vor diesem Hintergrund macht sich die Vorinstanz keiner Verletzung der Verfassung schuldig, wenn sie die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin verneint. Offenbleiben kann, ob die Vorinstanz die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin auch deshalb verneinen durfte, weil sie gegen ihren Ehemann einen Anspruch auf einen Prozesskostenvorschuss (provisio ad litem) hat und dieser dem Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege vorgeht (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 674).
5.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Kanton ist keine Parteientschädigung geschuldet (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird entsprochen (<ref-law>). Die Beschwerde kann nicht als aussichtslos bezeichnet werden. Die Tatsache, dass die Beschwerdeführerin im erst- und zweitinstanzlichen Verfahren nicht bedürftig war, hindert das Bundesgericht nicht, für das bundesgerichtliche Verfahren gegenteilig zu entscheiden. Dies ist auch deshalb sachgerecht, weil die Beschwerdeführerin bereits für ihren Anteil an den Prozesskosten im kantonalen Verfahren und für ihre Parteikosten aufkommen muss. Die Beschwerdeführerin hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwalt Markus Läuffer als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwalt Markus Läuffer wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. September 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn