Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1963) und B._ (geb. 1960) heirateten am 28. August 1992. Aus ihrer Ehe gingen die Tochter C._ (geb. 1992) und der Sohn D._ (geb. 1995) hervor. Mit Urteil des Tribunal de Première Instance Genève vom 30. April 2003 wurden die Parteien geschieden. In Bezug auf den Kindesunterhalt legte der Entscheid fest:
4. Donne acte aux parties de ce qu'elles s'engagent à subvenir chacune à l'entretien courant des enfants pendant leur période de prise en charge et à se partager les frais nécessaires ainsi que ceux qui ont été décidé d'un commun accord.
5. Donne acte à B._ de ce qu'il s'engage à prendre seul en charge les frais d'écolage de l'institut fréquenté actuellement par les enfants à l'étranger.
Die Kinder besuchten zu dieser Zeit ein Internat in Indien. Die elterliche Sorge wurde den Eltern gemeinsam übertragen.
B.
Am 3. Oktober 2010 leitete B._ ein Abänderungsverfahren ein. Er beantragte die alleinige elterliche Sorge für beide Kinder. Weiter sei die Mutter zu verpflichten, Kindesunterhalt zu bezahlen. Der zuständige Richter teilte B._ am 28. Oktober 2010 mit, dass bezüglich der volljährigen Tochter im Abänderungsverfahren keine Anordnungen mehr getroffen werden könnten, worauf dieser seine Anträge auf den Sohn beschränkte. A._ schloss auf Abweisung. Der Einzelrichter hörte den Sohn D._ am 16. Juni 2011 persönlich an und befragte im Anschluss die Eltern. B._ zog dabei den Antrag auf Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge zurück, machte dies indes schriftlich rückgängig.
Mit Urteil vom 3. Oktober 2011 wies der Einzelrichter des Bezirks Höfe den Antrag auf Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge ab. Er verpflichtete A._ in Abänderung des Scheidungsurteils, B._ für die Ausbildungskosten des Sohnes rückwirkend ab 1. August 2010 bis zur Mündigkeit monatlich Fr. 575.-- zu bezahlen, unter Vorbehalt von <ref-law>.
C.
A._ erhob am 4. November 2011 Berufung gegen dieses Urteil und verlangte dessen Aufhebung. Eventualiter sei das Scheidungsurteil dahingehend abzuändern, dass sie ab dem 4. Monat seit Rechtskraft des Urteils des Bezirksgerichts Höfe Fr. 100.-- und ab dem 7. Monat Fr. 250.-- pro Monat bezahle. Mit Anschlussberufung vom 15. Dezember 2011 beantragte B._ erneut die Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge für den Sohn sowie eine Neuberechnung des Anteils, welchen A._ an den Bedarfskosten des Sohnes von mindestens Fr. 2'410.-- übernehmen müsse. A._ schloss auf Abweisung der Anschlussberufung.
Das Kantonsgericht Schwyz wies Berufung und Anschlussberufung mit Urteil vom 12. Juni 2012 ab und bestätigte das Urteil des Einzelrichters des Bezirks Höfe vom 3. Oktober 2011.
D.
Mit Eingabe vom 14. September 2012 hat A._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Sie beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts Schwyz sei bezüglich Unterhaltspflicht (Ziff. 1) aufzuheben oder eventualiter zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Die vom Kantonsgericht getroffene Kostenregelung (Ziff. 2 und 3) sei ebenfalls aufzuheben und vom Bundesgericht neu festzusetzen, eventualiter zur Neufestsetzung an die Vorinstanz zurückzuweisen; alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten von B._ (nachfolgend Beschwerdegegner).
Die Vorinstanz schloss in ihrer Stellungnahme vom 12. März 2013 unter Verweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. In seiner Vernehmlassung vom 29. April 2013 beantragt der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdegegner, die Beschwerde sei abzuweisen. Zudem sei, wenn möglich, der Unterhaltsbeitrag rückwirkend ab 1. April 2010 zuzusprechen (anstatt erst ab 1. August 2010), der Betrag zu erhöhen und das Verfahren auf die mündige Tochter auszudehnen.
Die Beschwerdeführerin gelangte mit Stellungnahme vom 24. Mai 2013 (Postaufgabe) persönlich an das Bundesgericht, bleibt offensichtlich aber anwaltlich vertreten. Sie reicht ein Schreiben ihrer Ärztin vom 24. Mai 2013 sowie Mails der beiden Kinder ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten sind die Fr. 30'000.-- übersteigenden vermögensrechtlichen Folgen eines kantonal letztinstanzlichen Entscheides betreffend Abänderung eines Scheidungsurteils (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die Beschwerdefrist (<ref-law>) ist ebenfalls eingehalten, womit die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist.
1.2. Nachdem das BGG keine Anschlussbeschwerde kennt (zu den vorliegend nicht gegebenen Voraussetzungen, unter denen ausnahmsweise von diesem Grundsatz abgewichen werden kann vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 110 f.) und der Beschwerdegegner gegen den vorinstanzlichen Entscheid keine Beschwerde erhoben hat, ist auf seine über die Abweisung der Beschwerde hinausgehenden Anträge (weitergehende Rückwirkung der Unterhaltsbeiträge, Erhöhung des Betrages, Ausdehnung auf die mündige Tochter) nicht einzutreten.
Die von der Beschwerdeführerin am 24. Mai 2013 eingereichten neuen Beweismittel sind nicht zulässig (<ref-law>).
2.
In rechtlicher Hinsicht sind alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig und das Bundesgericht wendet in diesem Bereich das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), was heisst, dass es behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) mit freier Kognition prüft.
Das Bundesgericht ist indes an den von den kantonalen Instanzen festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (<ref-law>) oder er beruhe auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
Willkür (<ref-law>) in der Beweiswürdigung liegt vor, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges Beweismittel, das für den Entscheid wesentlich sein könnte, unberücksichtigt gelassen hat oder wenn es auf Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen getroffen hat. Vorausgesetzt ist dabei, dass die angefochtene Tatsachenermittlung den Entscheid im Ergebnis und nicht bloss in der Begründung als willkürlich erscheinen lässt (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2 S. 560).
3.
3.1. Gemäss den Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Urteil, besuchten die beiden Kinder seit der Scheidung der Eltern im Jahr 2003 ein Internat in Indien. Wie im Scheidungsurteil vorgesehen, sei der Vater für diese Schulkosten der Kinder alleine aufgekommen. Nachdem die Tochter C._ an eine amerikanische Schule gewechselt habe, sei ihr der Sohn D._ nachgefolgt und besuche seit August 2010 die Lutheran High School of Saint Charles County in den USA. Auch nach dem Umzug in die USA habe unbestrittenermassen der Beschwerdegegner alleine die Kosten des Sohnes (wie auch der vom vorliegenden Verfahren nicht betroffenen Tochter) bezahlt. Die Schul- und übrigen Unterhaltskosten von D._ in den USA bezifferte die Vorinstanz auf rund Fr. 1'760.-- pro Monat.
3.2. Die Beschwerdeführerin sei zu 50% in der Personalabteilung der Stadt Genf angestellt und habe 2010 ein Nettomonatseinkommen von Fr. 3'430.-- erzielt, im Jahr 2011 leicht weniger. Indes sei ihr rückwirkend ab 1. August 2010 ein hypothetisches Einkommen von Fr. 5'700.-- anzurechnen. Dem stehe ein monatlicher Bedarf von Fr. 4'002.-- gegenüber. Sie sei wieder verheiratet.
Der Beschwerdegegner arbeite zu 100% im IT-Bereich bei der UBS in Zürich. Sein monatliches Nettoeinkommen betrage Fr. 10'346.--. Bei seinem Bedarf sei von nicht weniger als Fr. 4'000.-- auszugehen. Hinzu kämen die Unterhaltskosten der mündigen Tochter, für welche er unbestrittenermassen aufkomme.
3.3. Ausgehend von diesen Sachverhaltsfeststellungen und in Erwägung, dass das Scheidungsurteil nur die Kostentragung für das Internat in Indien geregelt habe und die Schul- und Unterhaltskosten seit dem Wechsel in die USA wesentlich höher seien, befand die Vorinstanz, es liege eine erhebliche Veränderung der Verhältnisse vor, welche eine Neuregelung der Unterhaltsfrage rechtfertige. Eine allfällige Unterhaltspflicht könne die Beschwerdeführerin nicht mit der Begründung in Abrede stellen, sie sei mit dem Schulwechsel nicht einverstanden gewesen.
Angesichts eines monatlichen Überschusses der Beschwerdeführerin von rund Fr. 1'700.-- und eines solchen des Beschwerdegegners von Fr. 6'350.-- (vor Abzug der Unterhaltskosten für die Tochter), erachtete die Vorinstanz eine Beteiligung der Beschwerdeführerin von Fr. 575.-- (d.h. rund ein Drittel der monatlichen Ausbildungskosten des Sohnes) für angemessen.
4.
Die Beschwerdeführerin bestreitet die Veränderung der Verhältnisse im Sinne von <ref-law> nicht. Sie wehrt sich aber in verschiedener Hinsicht gegen die Anrechnung des hypothetischen Einkommens.
4.1. In erster Linie rügt sie, die Vorinstanz habe in willkürlicher Würdigung des vorgelegten Arztzeugnisses darauf geschlossen, dass sie mehr als 50% arbeiten könne.
4.1.1. Dem Arztzeugnis von Dr. E._ vom 2. November 2011 lässt sich entnehmen, dass die Beschwerdeführerin in den Jahren 2005 und 2006 Eierstockzysten operieren lassen musste. Im Jahr 2007 musste die linke Nebenniere infolge eines Tumors entfernt werden. Weiter hält die Ärztin fest:
"Madame A._ continue à présenter des accès de céphalées et de palpitations faisant évoquer une récidive du phéochromocytome, ce qui a pu être exclu en février 2010, mais est toujours possible dans l'avenir. (...) il est médicalement déconseillé que Madame A._ augmente son temps de travail à plus de 50%, adapté à ses possibilités actuelles et qui pourrait être délétère."
4.1.2. Die Vorinstanz erwog, dem Arztzeugnis sei kein Beweis einer anhaltenden Einschränkung der Arbeitsfähigkeit zu entnehmen. Die Operationen hätten vor fünf Jahren und mehr stattgefunden und sprächen per se nicht gegen eine Erhöhung des Arbeitspensums.
Die Beschwerdeführerin bringt demgegenüber vor, die Vorinstanz habe zu Unrecht nur auf die früheren Operationen abgestützt. Das Arztzeugnis müsse so verstanden werden, dass die gesundheitlichen Beschwerden weiterhin bestünden und eine Erhöhung des Arbeitspensums nicht möglich sei. Zudem habe sie bereits in ihrer Klagebegründung vom 7. Oktober 2010 darauf hingewiesen, dass sie nach der vollzeitlichen Vertretung einer Kollegin im Dezember 2009 unmittelbar wieder Probleme gehabt habe. Der Beschwerdegegner ist demgegenüber der Ansicht, die Interpretation der Beschwerdeführerin gehe über die französische Wortbedeutung hinaus; es sei der Vorinstanz in ihrer Auslegung beizupflichten.
4.1.3. Das Arztzeugnis erwähnt keine Arbeitsunfähigkeit (auch nicht eine teilweise Arbeitsunfähigkeit). Im Übrigen kann das Arztzeugnis, wie die verschieden Interpretationen durch die Vorinstanz und die Parteien zeigen, unterschiedlich ausgelegt werden. Weitere Arztzeugnisse hat die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren nicht vorgelegt. Auch bezüglich der behaupteten Verschlechterung nach der Vertretung ihrer Kollegin bringt sie keinerlei Belege bei, obwohl es im Falle wesentlicher gesundheitlicher Beschwerden solche hätte geben müssen. Der Schluss der Vorinstanz, dass keine gesundheitlichen Gründe gegen eine Ausdehnung des Arbeitspensums sprächen, ist daher nicht willkürlich.
4.2. Sodann kritisiert die Beschwerdeführerin die vorinstanzliche Feststellung als willkürlich, dass sie ihr Arbeitspensum freiwillig reduziert habe. Die Reduktion sei aufgrund ihrer Krankheit und der Operationen erfolgt.
Die Vorinstanz hat festgestellt, dass die Parteien im Scheidungszeitpunkt von einer vollzeitlichen Arbeitstätigkeit der Beschwerdeführerin ausgegangen seien, was die Beschwerdeführerin nicht bestreitet. Ob die Reduktion des Pensums danach freiwillig erfolgte oder nicht, ist irrelevant. Vorliegend entscheidend ist, dass gegenwärtig keine Arbeitsunfähigkeit nachgewiesen ist (vgl. vorstehend E. 4.1), womit sie mehr als 50% arbeiten kann.
4.3. Weiter beanstandet die Beschwerdeführerin, dass ihr die Vorinstanz willkürlich fehlende Arbeitsbemühungen vorgeworfen habe. Aufgrund ihres Gesundheitszustands habe sie gar keine Arbeitsbemühungen tätigen müssen.
Angesichts des Ergebnisses in Erwägung 4.1.3 ist diese Rüge gegenstandslos.
4.4. Ihre weiteren Einwendungen gegen die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens erschöpfen sich in appellatorischer Kritik (die Vorinstanz habe ihr quasi vorgeworfen, kein IV-Verfahren eingeleitet zu haben, und gleichzeitig gesundheitliche Einschränkungen verneint; die Beweise seien willkürlich gewürdigt worden; es fehle eine reale Möglichkeit einer Einkommenssteigerung). Mit den Erwägungen der Vorinstanz, wonach sie seit der Scheidung 2003 zumindest mehrheitlich arbeitstätig gewesen sei, dass sie keine Kinderbetreuungspflichten habe, dass eine Erhöhung unter Berücksichtigung der Ausbildung, ihres Alters und der Berufserfahrung möglich sei und dass sie auch nicht geltend gemacht habe, die Arbeitsmarktverhältnisse würden kein 100%-Pensum zulassen, setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander. Überdies beanstandet sie mit keinem Wort die von der Vorinstanz ermittelte Höhe des angerechneten hypothetischen Einkommens.
Vor diesem Hintergrund ist keine Willkür dargetan, wenn die Vorinstanz befand, dass der Beschwerdeführerin durch Erhöhen des Arbeitspensums das Erzielen eines Einkommens von Fr. 5'700.-- möglich und zumutbar sei.
5.
Zu prüfen bleibt die Rüge der Beschwerdeführerin, dass nicht rückwirkend ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden könne.
5.1. Die Vorinstanzen bestimmten den 1. August 2010 als massgebliches Datum, was sich mit dem Schulantritt des Sohnes in den USA deckt. Sie begründeten dies damit, dass die Parteien bereits im Februar desselben Jahres gewusst hätten, dass der Sohn dort eingeschult werde, womit die Beschwerdeführerin genügend Zeit gehabt hätte, sich auf die neuen Gegebenheiten einzustellen, d.h. ihr Arbeitspensum auszudehnen. Die Vorinstanz stützt sich namentlich auf ein Dokument vom 6. Oktober 2009, in welchem der Beistand der Kinder die Beschwerdeführerin auf ihre Unterhaltspflicht hingewiesen habe, sowie auf einen Beschluss der Vormundschaftsbehörde vom 24. Februar 2010.
5.2. Die Beschwerdeführerin wendet ein, beim Schreiben des Beistands vom 6. Oktober 2009 habe es sich um eine E-Mail gehandelt, welche nur die Tochter betroffen habe. Auch dem Beschluss der Vormundschaftsbehörde habe sie nichts in Bezug auf eine konkrete Unterhaltspflicht zugunsten des Sohnes entnehmen können. Die Abänderungsklage sei vom Beschwerdegegner am 3. Oktober 2010 eingeleitet worden, das Urteil sei am 3. Oktober 2011 ergangen und sei noch nicht rechtskräftig. Indem die Vorinstanz für die Anrechnung des hypothetischen Einkommens auf den 1. August 2010 abgestellt habe, sei ihr keine angemessene Übergangsfrist gewährt worden. Ihr sei eine solche Frist (ab Rechtskraft des Urteils, welches sie zur Unterhaltszahlung verpflichte) zu gewähren.
Der Beschwerdegegner äussert sich in seiner Vernehmlassung ausführlich dazu, dass die Beschwerdeführerin gewusst habe, dass der Sohn in eine amerikanische Schule wechseln werde. Ausserdem macht er geltend, es seien bereits vor dem Schulantritt im August 2010 höhere Kosten angefallen, weshalb er um Zusprechung der Beiträge ab April 2010 und ausserdem einen höheren Betrag verlange (vgl. hierzu E. 1.2 ).
5.3. Im Scheidungsurteil vom 30. April 2003 war die Unterhaltsfrage zwischen den Parteien auf der Basis einer Scheidungskonvention geregelt worden. Die Beschwerdeführerin musste nach dieser Regelung für keine Schulkosten aufkommen. Das Urteil sah zudem keine automatische Anpassung vor für den Fall, dass die Kinder die Schule wechseln sollten.
Bejaht der Richter die Pflicht zur Aufnahme oder Ausweitung der Erwerbstätigkeit und verlangt er von der betreffenden Partei durch die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens eine Umstellung ihrer Lebensverhältnisse, ist der verpflichteten Partei hinreichend Zeit zu lassen, die rechtlichen Vorgaben in die Tat umzusetzen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 421; <ref-ruling> E. 5 S. 17).
Vorliegend durfte die Beschwerdeführerin grundsätzlich vom Bestand des Scheidungsurteils ausgehen und musste sie erst mit der Kenntnisnahme des Abänderungsgesuchs des Beschwerdegegners vom 3. Oktober 2010 damit rechnen, dass sie an den Unterhalt des Sohnes einen Beitrag zu leisten und hierfür ihre Arbeitstätigkeit auszudehnen hätte. Ab diesem Zeitpunkt ist ihr eine Übergangsfrist zu gewähren, wobei unter den gegebenen Umständen rund sechs Monate als angemessen erscheinen.
Die Beschwerde ist somit teilweise gutzuheissen und der Beginn der Unterhaltspflicht auf den 1. April 2011 festzusetzen.
6.
Angesichts des Ausgangs des Verfahrens sind die Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren der Beschwerdeführerin zu 3/4 und dem Beschwerdegegner zu 1/4 aufzuerlegen. Die Parteikosten sind wettzuschlagen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).
Sowohl das Kantonsgericht Schwyz als auch das Bezirksgericht Höfe haben die Gerichtskosten den Parteien je hälftig auferlegt und die Parteikosten wettgeschlagen. Es besteht kein Anlass, die kantonale Kostenregelung abzuändern (vgl. auch <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde und dahingehender Abänderung des Urteils des Kantonsgerichts Schwyz vom 12. Juni 2012 wird der Beginn der Unterhaltspflicht der Beschwerdeführerin auf den 1. April 2011festgelegt.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren von insgesamt Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin zu 3/4 und dem Beschwerdegegner zu 1/4 auferlegt.
3.
Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juni 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann