Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 20.01.1980) stammt aus dem Irak. Er reiste am 5. Mai 2003 in die Schweiz ein und ersuchte hier unter der Identität X._ (geb. 01.01.1983) erfolglos um Asyl. Das Bundesamt nahm ihn vorläufig auf, da es den Vollzug der Wegweisung wegen der prekären Sicherheitslage im Irak als unzumutbar erachtete (Entscheid vom 30. September 2005).
B.
B.a. Am 11. Juni 2008 ersuchte A._ das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau darum, ihm eine Härtefallbewilligung zu erteilen, was dieses am 12. März 2009 tat. In der Folge wurde die Bewilligung regelmässig verlängert, letztmals bis zum 28. Februar 2012.
B.b. A._ informierte am 24. März 2011 unter Einreichung eines entsprechenden Passes die Behörden darüber, dass er bisher eine falsche Identität (Name und Geburtsdatum) verwendet habe. Mit Strafbefehl vom 8. März 2012 verurteilte die Staatsanwaltschaft Baden ihn wegen Fälschens von Ausweisen zu einer bedingten Geldstrafe von 30 Tagessätzen zu je Fr. 80.00 und zu einer Busse von Fr. 600.--.
C.
Am 24. August 2012 lehnte das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau es ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern, da er im Asyl- und im Bewilligungsverfahren falsche Angaben gemacht und verfälschte Papiere benutzt habe. Die kantonalen Rechtsmittelinstanzen bestätigten diesen Entscheid. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau wies in seiner Begründung darauf hin, dass A._ auf den ersten Blick aus der Täuschung kein direkter Vorteil erwachsen sei; dies erscheine indessen irrelevant, da insbesondere "mit Blick auf generalpräventive Überlegungen" sich als entscheidend erweise, dass den Behörden aufgrund der falschen Identität jegliche Überprüfungsmöglichkeit genommen werde, weshalb von "grösster Relevanz" erscheine, über korrekte Identitätsangaben zu verfügen. A._ sei zwar gut integriert, habe jedoch keine derartige Verwurzelung in der Schweiz, dass ihm eine Rückkehr in sein Heimatland nicht zugemutet werden könnte. Eine Minderheit des Gerichts ging davon aus, dass die Nichtverlängerung der Bewilligung als unverhältnismässig zu gelten habe.
D.
D.a. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 16. August 2013 aufzuheben und das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau anzuweisen, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern bzw. zumindest beim Bundesamt für Migration um eine vorläufige Aufnahme zu ersuchen. Er macht geltend, dass er gestützt auf den Anspruch auf Schutz seines Privatlebens (Art. 8 EMRK) nach einem fast zehnjährigen Aufenthalt in der Schweiz Anspruch darauf habe, dass seine Bewilligung verlängert werde. Er habe sich hier ein gefestigtes und intensives Beziehungsnetz aufgebaut und werde von seinem Umfeld als "unverzichtbarer, verlässlicher Freund" beschrieben. Die öffentlichen Interessen hätten gegen die privaten zurückzutreten.
D.b. Das Verwaltungsgericht und das Departement Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Aargau beantragen unter Hinweis auf die Begründung im angefochtenen Entscheid, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Migration schliesst sich dem Antrag an. A._ hat am 27. November 2013 an seinen Ausführungen festgehalten und darauf hingewiesen, dass die Praxis in den Kantonen nicht einheitlich erscheine, was im bundesgerichtlichen Verfahren geklärt werden müsse.
E.
Der Präsident der Abteilung hat der Eingabe am 3. Oktober 2013 antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt.
F.
Mit Verfügung vom 11. November 2013 wurde das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mangels Bedürftigkeit abgewiesen.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Für das Eintreten genügt, wenn die betroffene Person in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein solcher Anspruch besteht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f.). In diesem Fall bildet die Frage, ob die Bewilligung zu erteilen oder zu verlängern ist, Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 287).
1.2. Der Beschwerdeführer beruft sich auf Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> (Schutz des Privatlebens). Für einen entsprechenden Anspruch bedarf es nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung besonders intensiver, über eine normale Integration hinausgehender Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. vertiefter sozialer Beziehungen zum ausserfamiliären bzw. ausserhäuslichen Bereich. In der Regel genügen hierfür eine lange Anwesenheit und die damit verbundene normale Integration nicht (<ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 2c S. 384 ff.; THOMAS HUGI YAR, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten - Ausländerrechtliches rund um die Ehe- und Familiengemeinschaft, in: Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht, 2012/2013, 2013, S. 31 ff., dort S. 37 f. mit zahlreichen Hinweisen). Art. 8 EMRK schützt indessen auch das Recht, Beziehungen zu anderen Menschen und der Aussenwelt herzustellen und zu pflegen, und umfasst generell sämtliche Aspekte der sozialen Identität des Menschen. Nach der Rechtsprechung des EGMR bilden deshalb alle sozialen Bindungen zwischen dem Einwanderer und der Gemeinschaft, in der dieser sein Leben und seinen Platz gefunden hat, Teil des Begriffs "Privatleben" im Sinn von Art. 8 EMRK (EGMR-Urteil Vasquez gegen Schweiz vom 26. November 2013 [Nr. 1785/08] § 37); dies gilt insbesondere bei jungen Erwachsenen, die im Aufnahmestaat aufgewachsen sind ( MINH SON NGUYEN, La protection de la vie privée et le droit des étrangers, in: Minh Son Nguyen [Hrsg.], Actualité du droit des étrangers, Jurisprudence et analyses, Bd. 1, 2013, S. 9 ff., dort 17 ff.).
1.3.
1.3.1. Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren in die Schweiz gekommen. Er kann nicht als junger Erwachsener der Zweitgeneration im Sinne der Rechtsprechung des EGMR gelten. Vor den Asyl- und Rückführungsbehörden hat er falsche Angaben zu seiner Person gemacht und über sein Geburtsdatum getäuscht. Dabei ging es ihm nach eigenen Angaben darum, nötigenfalls den Vollzug eines Wegweisungsentscheids zu vereiteln und sich damit weiterhin im Land aufhalten zu können. Seine falschen Angaben waren zwar allenfalls nicht geeignet, den Entscheid über die vorläufige Aufnahme im damaligen Zeitpunkt (2005) zu beeinflussen; der Beschwerdeführer hielt indessen seine falschen Angaben in den folgenden Bewilligungsverfahren aufrecht und unterlegte sie sogar mit gefälschten Papieren, die er sich über seine Eltern in der Heimat beschaffte. Im Zusammenhang mit der Ausstellung seines Führerausweises ersuchte das Strassenverkehrsamt das Amt für Migration und Integration am 28. September 2007, die Identität des Beschwerdeführers zu überprüfen, worauf dieser am 2. Oktober 2007 einen irakischen Reisepass lautend auf X._ (geb. 1.1.1983) einreichte, der am 29. Mai 2007 gestützt auf die von ihm beschaffte falsche Identitätskarte durch das Konsulat in Genf ausgestellt worden war. Hiermit erwirkte er in missbräuchlicher Weise und unter Umgehung der ausländerrechtlichen Bestimmungen die Erteilung und Verlängerung seiner Härtefallbewilligung (12. März 2009; vgl. Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 2 lit. a sowie Art. 62 lit. a AuG). Eine ausländische Person ist jedoch verpflichtet, an der Feststellung des Sachverhalts mitzuwirken und insbesondere im asyl- wie im ausländerrechtlichen Verfahren zutreffende, d.h. wahrheitsgetreue, und vollständige Angaben über die für die Regelung des Aufenthalts wesentlichen Tatsachen zu machen (<ref-law> [SR 142.31; offen legen der Identität] und 90 Abs. 1 lit. a AuG; Urteil 2C_161 vom 3. September 2013 E. 2.2.1). Als der Beschwerdeführer schon über den neuen (richtigen) Pass verfügte, liess er den gefälschten am 24. Februar 2011 noch bis zum 28. Mai 2015 verlängern, womit er offenbar bereit war, je nach Situation den einen oder den anderen zu gebrauchen und allenfalls den Vollzug eines Rückkehrentscheids zu vereiteln.
1.3.2. Zwar hat sich der Beschwerdeführer in der Schweiz (sprachlich und arbeitsmässig) integriert und vermochte er, gewisse Kontakte zu Arbeitskollegen und Bekannten zu knüpfen. Dies genügt jedoch nicht, um in vertretbarer Weise davon ausgehen zu können, er verfüge im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zum Schutz des Privatlebens einen Bewilligungsanspruch in Anwendung von Art. 8 EMRK (vgl. ZÜND/HUGI YAR, Aufenthaltsbeendende Massnahmen im schweizerischen Ausländerrecht, insbesondere unter dem Aspekt des Privat- und Familienlebens, in: EuGRZ 40/2014 S. 1 ff., dort S. 11 N. 35; Urteil 2C_266/2009 vom 2. Februar 2010). Der Beschwerdeführer ist nach dem durch die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellten Sachverhalt (vgl. <ref-law>) nicht überdurchschnittlich integriert: Er macht weder geltend, in der Schweiz über eine Partnerin noch über Kinder zu verfügen; aus den Akten ergeben sich auch keine spezifischen ausserberuflichen Aktivitäten. Der Beschwerdeführer hat sich während acht Jahren hier aufhalten können, weil er die Behörden getäuscht hat. Zu seinem Heimatland unterhält er nach wie vor enge Beziehungen.
1.3.3. Seine Eltern und weitere Angehörigen leben im Irak, den er im Alter von 23 Jahren verlassen hat; während seines ganzen Aufenthalts in der Schweiz hat er den Kontakt mit der Heimat gewahrt, wo er die Schulzeit und die prägenden Jugendjahre verbrachte. Seine Eltern haben ihm die erforderlichen falschen Papiere in der Heimat beschafft, damit er sich in Genf einen Pass ausstellen lassen konnte, den er dann zur Täuschung der Migrationsbehörden verwendete. Den echten Pass beschaffte er sich bei einem Ferienaufenthalt in der Heimat im Jahr 2011. Soweit er geltend macht, es könne ihm nicht vorgeworfen werden, dass er weiter mit seiner Familie in Kontakt gestanden habe, übersieht er, dass ihm nicht die Bindung zu seinen Angehörigen, sondern sein täuschendes Verhalten, welches von diesen gefördert wurde, vorgehalten wird. Die asylrechtliche Härtefall- als Ermessensbewilligung (vgl. Art. 14 Abs. 2 - 4 AsylG), auf deren Erteilung kein Anspruch besteht, setzt voraus, dass der Betroffene sich korrekt verhalten und mit den Behörden fair kooperiert hat (vgl. HUGI YAR, a.a.O., S. 104 ff.).
2.
2.1. Soweit der Beschwerdeführer mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde ausserhalb des Anspruchsbereichs von Art. 8 EMRK darum ersucht, er sei zumindest (wieder) vorläufig aufzunehmen, ist auf seine Eingabe mangels rechtsgenügender Begründung nicht einzutreten (<ref-law> [qualifizierte Begründungspflicht]; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254) : Gegen den Ermessensentscheid der kantonalen Behörde, das Bundesamt nicht um eine vorläufige Aufnahme zu ersuchen (vgl. <ref-law>; Art. 14 Abs. 2 - 4 AsylG), ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 348).
2.2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde kann nicht eingetreten werden, da der Beschwerdeführer sich diesbezüglich auf keine besonderen verfassungsmässigen Rechte beruft, die ihm unmittelbar ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von <ref-law> verschaffen würden (<ref-law>/Art. 2 EMRK [Recht auf Leben]; <ref-law>/Art. 3 EMRK [grausame und unmenschliche Behandlung oder Bestrafung] usw.: <ref-ruling> E. 3.3 S. 310). Der Hinweis, der angefochtene Entscheid sei unverhältnismässig bzw. rechtsungleich, genügt nicht, da das Bundesgericht nur bei einem rechtlich geschützten Interesse in der Sache selber eine entsprechend rechtsgenügend begründete Willkürrüge prüfen könnte (vgl. <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> ff.). Verfahrensrechtliche Rügen, welche ohne rechtlich geschütztes Interesse in der Sache selber zu prüfen wären ("Star"-Praxis; <ref-ruling> E. 4.1 S. 311), erhebt der Beschwerdeführer nicht.
3.
3.1. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nicht einzutreten bzw. sie ist abzuweisen, soweit darauf nicht eingetreten wird. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten.
3.2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig, nachdem sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung am 11. November 2013 abgewiesen worden ist (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1.2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Februar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar