Erwägungen:
1.
Vor dem Bezirksgericht Zürich sind Klagen von X._ gegen die Stadt Zürich aus Staatshaftung hängig. Das Bezirksgericht lehnte unter anderem im Verfahren (Proz. CG120036) das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. X._ beschwerte sich darüber am 20./22. März 2013 beim Obergericht des Kantons Zürich und beantragte, das Bezirksgericht habe ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Mit Verfügung vom 5. April 2013 forderte das Obergericht zur Verbesserung der als übermässig weitschweifig bzw. ungebührlich qualifizierten Rechtsschrift auf. Innert der hierfür angesetzten Frist reichte X._ eine neue, vom 24. April 2013 datierte Rechtsschrift ein, die von 69 auf 56 Seiten gekürzt war. Das Obergericht erachtete die neue Rechtsschrift als nach wie vor übermässig weitschweifig und teilweise ungebührlich. Es stellte fest, dass die Eingabe im Sinne von Art. 132 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> als nicht erfolgt gelte, und schrieb das Verfahren mit Beschluss RB130010-O/U vom 2. Mai 2013 (ohne Kostenerhebung) ab. Gegen diesen Beschluss gelangte X._ am 12. Juni 2013 (Postaufgabe) mit als Beschwerde in Zivilsachen zuzüglich subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneter, vom 9. Juni 2013 datierter Rechtsschrift an das Bundesgericht. Sie ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen. Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht verletze. Die Rüge, verfassungsmässige Rechte seien verletzt, bedarf spezifischer Geltendmachung und Begründung (<ref-law>). Die Begründung hat sachbezogen zu sein, d.h. sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen; die Beschwerde führende Partei muss sich gezielt mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzen.
Das Obergericht hat die bei ihm eingereichten zwei Rechtsschriften vom 20./22. März und 24. April 2013 als - gemessen am Verfahrensgegenstand (Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch das Bezirksgericht) - unnötig weitschweifig und ungebührlich gewertet, wobei es Letzteres mit Seiten-Verweisungen auf die Rechtsschrift vom 24. April 2013 untermauerte. Der Beschwerdeführer nimmt in seiner übermässig langen (98 Seiten) und mit Wiederholungen versehenen Rechtsschrift nicht gezielt Stellung zu der vom Obergericht geübten Handhabung des einschlägigen Verfahrensrechts; inwiefern dieses dabei schweizerisches Recht verletzt haben könnte, legt er auch nicht ansatzweise dar. Auf die Beschwerde ist wegen offensichtlichen Fehlens einer den gesetzlichen Anforderungen genügenden Begründung (s. <ref-law>) mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
Da die vorliegende Beschwerde aussichtslos erschien, kann auch dem für das Verfahren vor Bundesgericht gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (<ref-law>). Entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr ist der Art der Prozessführung Rechnung zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer weiss aus früheren Verfahren, dass die auch hier gewählte Vorgehensweise untauglich ist.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller