Faits:
A. A.a A._ et B.X._ sont les parents de C._, né en 2004 et de D._, née en 2007. Des mesures provisoires de retrait du droit de garde et de curatelle ont été ordonnées d'emblée en faveur de ces deux enfants, qui ont ainsi vécu en institution depuis leur naissance.
Par lettre adressée le 12 mai 2011 à la Justice de paix du district d'Aigle (ci-après : la Justice de paix), le Service de protection de la jeunesse (ci-après : le SPJ) a fait part de ses inquiétudes concernant la naissance prochaine d'un troisième enfant. Il s'est référé aux soucis de santé de la mère, soit une très forte sensibilité épileptique qui la contraignait à suivre un traitement assez conséquent, de sorte que pour pouvoir s'occuper d'un nouveau-né, elle devait être secondée dans toutes les tâches par une autre personne. Il a par ailleurs déclaré que le père, bénéficiaire de l'AI pour des raisons psychiatriques, était dans l'impossibilité d'accomplir les soins de base nécessaires au bien-être d'un bébé. Enfin, il a exposé que les parents étaient disposés à accepter le soutien d'une infirmière de la petite enfance à leur domicile, mais qu'ils s'étaient opposés à un placement.
A.b Par courrier du 16 mai 2011, le SPJ a informé la Justice de paix de la naissance de E._, en 2011, et de son hospitalisation en pédiatrie. Il a requis le retrait du droit de garde des parents sur leur dernière fille, ce droit lui étant confié afin de placer l'enfant au mieux de ses intérêts. Par ordonnance de mesures préprovisionnelles du même jour, le Juge de paix du district d'Aigle a retiré à A._ et B.X._ le droit de garde sur leur fille E._.
Après avoir entendu les parents, le 25 mai 2011, il a rendu, le même jour, une ordonnance de mesures provisionnelles confirmant dite mesure et confiant le droit de garde au SPJ, le chargeant de placer l'enfant au mieux de ses intérêts et de produire, dans les 60 jours, un rapport de situation circonstancié. Les parents ont recouru contre l'ordonnance précitée. Dans ses déterminations du 30 juin 2011, le SPJ a conclu au rejet du recours. Il exposait que si le père était apte à donner les soins de base, celui-ci était dans l'incapacité de seconder son épouse dans la prise en charge globale de l'enfant sur le long terme. Les parents procédaient certes aux soins de base sur instruction des éducateurs, mais n'arrivaient pas à interagir avec le bébé. Par ailleurs, le SPJ signalait la forte emprise du père sur son épouse, celle-ci n'osant pas s'opposer à lui. En définitive, la capacité d'assurer le bon développement de l'enfant faisait défaut aux parents, qui étaient au demeurant dans le déni de leurs limites. Par arrêt du 16 août 2011, la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours des parents contre l'ordonnance de mesures provisionnelles du 25 mai 2011.
B. Par décision du 3 novembre 2011, tenant notamment compte du rapport d'évaluation du SPJ du 1er septembre 2011 et après avoir entendu les parents, la Justice de paix a retiré le droit de garde de E._ à ces derniers et désigné le SPJ en qualité de gardien, en le chargeant de veiller à la poursuite du placement de l'enfant au mieux de ses intérêts.
Par arrêt du 24 janvier 2012, la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours des parents et confirmé la décision de la Justice de paix.
C. Par acte du 28 avril 2012, adressé par erreur au Tribunal administratif fédéral et transmis par la suite à la cour de céans, A._ et B.X._ exercent un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Ils demandent à «avoir la garde de [leurs] trois enfants», soit en substance à ce que la mesure de retrait du droit de garde soit annulée. Par ailleurs, les recourants requièrent l'audition de leur fils C._ en tant que témoin.
Des déterminations n'ont pas été demandées.

Considérant en droit:
1. Interjeté dans le délai légal (<ref-law>) et la forme requise (<ref-law>) par des parties qui ont succombé dans leurs conclusions prises devant l'autorité précédente (<ref-law>) et dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue en matière de protection de l'enfant (art. 72 al. 2 let. b ch. 7 LTF), prise sur recours par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), le recours en matière civile est en principe recevable.
2. 2.1 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut ainsi être exercé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), qui comprend les droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 447, 462 consid. 2.3 p. 466). Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104 s.).
2.2 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par la juridiction précédente (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte - à savoir arbitraire (<ref-ruling> consid. 8.1 p. 153; <ref-ruling> consid. 1.5 p. 129 s., 397 consid. 1.5 p. 401) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte (<ref-law>), à savoir que les constatations de fait sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst., doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation. Le Tribunal fédéral n'examine en effet la violation de l'interdiction de l'arbitraire que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>; ATF <ref-ruling> consid. 1.6 p. 130), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (principe d'allégation; <ref-ruling> consid. 1.5 p. 674; <ref-ruling> consid. 3 p. 352; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.8 p. 494; <ref-ruling> consid. 2 p. 591/592). En matière de constatations de fait et d'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral se montre réservé vu le large pouvoir qu'il reconnaît en ce domaine aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 4b p. 40; <ref-ruling> consid. 9 p. 399). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 1b p. 30).
Par ailleurs, les faits nouveaux et les preuves nouvelles sont exclus, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Il en découle que la réquisition de preuve tendant à l'audition comme témoin - par la cour de céans - de l'enfant C._ est irrecevable.
2.3 Le mémoire de recours doit indiquer les conclusions et exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (art. 42 al. 1 et 2 LTF). En tant que les recourants retiennent des conclusions en relation avec le droit de garde sur leurs enfants aînés, C._ et D._, celles-ci ne concernent pas la présente procédure et sont d'emblée irrecevables.
3. La décision querellée porte sur une mesure de protection de l'enfant. Elle a plus précisément pour objet le retrait du droit de garde sur l'enfant E._.
3.1 Selon l'<ref-law>, lorsqu'elle ne peut éviter autrement que le développement de l'enfant ne soit compromis, l'autorité tutélaire retire l'enfant aux père et mère ou aux tiers chez qui il se trouve et le place de façon appropriée. Cette mesure de protection a pour effet que le droit de garde passe des père et mère à l'autorité tutélaire, qui détermine dès lors le lieu de résidence de l'enfant et, partant, choisit son encadrement. La cause du retrait doit résider dans le fait que le développement corporel, intellectuel ou moral de l'enfant n'est pas assez protégé ou encouragé dans le milieu de ses père et mère ou dans celui où ceux-ci l'ont placé. Les raisons de la mise en danger du développement importent peu: elles peuvent être liées au milieu dans lequel évolue l'enfant ou résider dans le comportement inadéquat de celui-ci, des parents ou d'autres personnes de l'entourage. Le fait que les parents soient ou non responsables de la mise en danger ne joue pas non plus de rôle. Il convient d'être restrictif dans l'appréciation des circonstances, un retrait n'étant envisageable que si d'autres mesures ont été vouées à l'échec ou apparaissent d'emblée insuffisantes (arrêt 5A_238/2010 du 11 juin 2010 consid. 4, in FamPra.ch 2010 p. 713).
3.2 La Chambre des tutelles se base essentiellement sur les considérations du SPJ pour en conclure qu'à l'heure actuelle, ni la mère, ni le père, n'apparaissent à même d'assumer à satisfaction la garde de E._. Se référant au rapport d'évaluation du 1er septembre 2011, elle retient ainsi, notamment, que les parents n'ont pas les compétences nécessaires pour pouvoir accueillir leur fille chez eux, dès lors qu'ils ont tous deux besoin d'être accompagnés dans tous les gestes de la vie quotidienne et ne reconnaissent pas les besoins de leur enfant, tels que les rythmes de sommeil et de faim. L'autorité cantonale estime en outre que les parents ne semblent pas en mesure de prendre conscience de leurs limites et dénient les problèmes de santé de E._, qui nécessitent une vigilance et une attention particulière. Les juges précédents se réfèrent par ailleurs à la prise de position du SPJ du 17 janvier 2012, laquelle fait état d'une péjoration de la situation durant l'été et l'automne 2011, du développement d'une attitude oppositionnelle des parents envers les intervenants et de l'implication inadéquate des enfants aînés dans le conflit qui oppose lesdits parents aux professionnels en question.
3.3 Les recourants critiquent de manière générale l'intervention du SPJ et exposent que les inquiétudes et les craintes exprimées ne sont pas «fondées sur la réalité de [leurs] capacités parentales». Ils déplorent, en résumé, les «efforts manifestes à mettre des préjugés ou des faussetés», par exemple en relation avec la situation personnelle du père, à l'AI. Citant l'avis du neurologue de la mère, ils considèrent que les problèmes de santé de celle-ci ne sont pas de nature à empêcher une prise en charge du bébé avec l'aide d'une tierce personne, singulièrement du père. Ils contestent que celui-ci ait une forte emprise sur son épouse ou que celle-ci désirerait «pouvoir s'occuper et rendre visite à sa fille seule». Ils estiment pouvoir «apprendre tous les jours». S'agissant de l'état de santé de leur fille E._, ils précisent que la gynécologue concernée «peut témoigner qu'aucun signe alarmant [...] n'était à signaler durant toute la grossesse».
Par cette argumentation, les recourants remettent en cause l'établissement des faits et l'appréciation des preuves de l'autorité cantonale et considèrent en substance que le retrait du droit de garde n'est pas une mesure appropriée en l'état. Dans la mesure où ils s'écartent des constatations de l'arrêt querellé sans démontrer d'arbitraire à cet égard (cf. supra, consid. 2.2), leur motivation ne saurait toutefois être prise en considération. Tel est en particulier le cas, indépendamment de la pertinence de ces éléments, de la référence aux avis du neurologue et de la gynécologue de la mère. Par ailleurs, en tant qu'ils soutiennent que la mesure prise n'est pas appropriée, les recourants se limitent à opposer leur propre appréciation des circonstances à celle de la Chambre des tutelles, en sorte que le moyen est également irrecevable (cf. supra, consid. 2.2); au demeurant, la critique - insuffisamment motivée - des recourants n'est pas de nature à remettre en cause l'appréciation de l'autorité cantonale, à l'encontre de laquelle le Tribunal fédéral n'intervient qu'avec réserve (cf. supra, consid. 2.2).
4. Sur le vu de ce qui précède, le recours se révèle entièrement irrecevable. Les frais judiciaires seront dès lors mis solidairement à la charge des recourants, qui succombent (art. 66 al. 1 et 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis solidairement à la charge des recourants.
3. Le présent arrêt est communiqué aux recourants, à la Justice de paix du district d'Aigle et à la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 21 juin 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Escher
La Greffière: Mairot