Sachverhalt:
A. Am 24. Februar 2010 erteilte der Landrat von Glarus der X._ AG die Konzession für die Ausnützung der Wasserkraft der Linth in Mitlödi zwischen der Ennetlinthbrücke und der Linthkrumm. Die Gültigkeitsdauer der Konzession wurde auf 80 Jahre festgesetzt, laufend ab dem Tag der Inbetriebsetzung des Kraftwerks. Weiter wurde festgelegt, dass eine dauernde Restwassermenge von 2'000 Litern pro Sekunde abgegeben werden müsse.
Der Konzessionsentscheid wurde am 18. März 2010 im Amtsblatt des Kantons Glarus publiziert mit dem Hinweis, dass gegen den Entscheid innert der bis zum 19. April 2010 dauernden Auflagefrist beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben werden könne.
B. WWF Schweiz, WWF Glarus, Pro Natura - Schweizerischer Bund für Naturschutz und Pro Natura Glarus führen mit Eingabe vom 19. April 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht sinngemäss mit den Anträgen, die Konzession vom 24. Februar 2010 sei aufzuheben, und die Angelegenheit sei zur Fortsetzung des Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese habe die Restwassermenge auf 5'000 Liter pro Sekunde festzulegen und die Konzessionsdauer auf 30 Jahre zu beschränken. Des Weiteren stellen die Beschwerdeführer diverse prozessuale Anträge. Sie beantragen namentlich, es sei festzustellen, dass entgegen der Rechtsmittelbelehrung im Amtsblatt vom 18. März 2010 nicht das Bundesgericht, sondern das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus für die Behandlung der Beschwerde zuständig sei. Eventualiter sei der Prozess vor Bundesgericht zu sistieren, bis das Verwaltungsgericht über seine Zuständigkeit entschieden habe. Ferner sei eine andere Behörde als der Landrat als erstinstanzlich zuständige Instanz zu bezeichnen.
Die Beschwerdeführer reichen gleichzeitig Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Glarus ein.
C. Mit Schreiben vom 29. April 2010 setzte das Bundesgericht dem Landrat des Kantons Glarus und der X._ AG Frist, um zur Frage der Zuständigkeit Stellung zu nehmen. Der Landrat verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die X._ AG beantragt, die (direkte) Zuständigkeit des Bundesgerichts sei zu bejahen.
D. Mit Verfügung vom 24. Juni 2010 wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens ab.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob und inwieweit auf ein Rechtsmittel eingetreten werden kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 251).
1.1 Angefochten ist ein kantonaler Endentscheid über die Erteilung einer Wasserrechtskonzession. Es handelt sich dabei um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>, welche grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt.
1.2 Die Kantone setzen als unmittelbare Vorinstanzen des Bundesgerichts obere Gerichte ein, soweit nicht nach einem anderen Bundesgesetz Entscheide anderer richterlicher Behörden der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen (<ref-law>). Für Entscheide mit vorwiegend politischem Charakter können die Kantone anstelle eines Gerichts eine andere Behörde als unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts einsetzen (<ref-law>).
In den Materialien wird nicht näher erläutert, was unter dem unbestimmten Gesetzesbegriff "Entscheide mit vorwiegend politischem Charakter" im Einzelnen zu verstehen ist (vgl. Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4327). Aufgrund des engen Zusammenhangs zwischen <ref-law> und der Rechtsweggarantie nach <ref-law> kommt der Ausschluss der richterlichen Beurteilung ausdrücklich nur für Ausnahmefälle in Betracht (<ref-ruling> E. 1.5 S. 45; vgl. auch Esther Tophinke, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, Art. 86 N. 19). Mit <ref-law> soll den Kantonen namentlich die Möglichkeit eingeräumt werden, nicht justiziable, politisch bedeutsame Verwaltungsakte des Parlaments von der verwaltungsgerichtlichen Überprüfung auszunehmen.
1.3 Die Erteilung von Wasserkraftkonzessionen hat zwar eine politische Komponente. Der angefochtene Konzessionsentscheid umfasst jedoch nicht einzig den blossen Verleihungsakt. Vielmehr werden neben den Rechten insbesondere auch die Pflichten der Konzessionärin detailliert geregelt. So wird etwa verlangt, dass die Konzessionärin die kantonalen und eidgenössischen Gesetzesbestimmungen über den Wasserbau und die Wasserbaupolizei einzuhalten und die Anlagen gemäss den geltenden Vorschriften für den Umwelt-, Natur- und Landschaftsschutz zu betreiben hat. Diese Aspekte sind justiziabel und weisen keinen vorwiegend politischen Charakter auf. Somit ist in einem gerichtlichen Verfahren zu prüfen, ob das Vorhaben der einschlägigen Gesetzgebung, insbesondere den Vorgaben des Bau-, Planungs- und Umweltrechts entspricht. Dass die erstinstanzliche Rechtsanwendung im Konzessionsentscheid des Landrats erfolgte, ändert daran nichts (vgl. Ruth Herzog, Auswirkungen auf die Staats- und Verwaltungsrechtspflege in den Kantonen, in: Pierre Tschannen (Hrsg.), Neue Bundesrechtspflege, 2007, S. 105).
Im konkreten Fall ist namentlich gerichtlich zu prüfen, ob - wie von den Beschwerdeführern geltend gemacht - die Mindestrestwassermenge mit 2'000 Liter pro Sekunde zu tief festgesetzt wurde und hierdurch die Bestimmungen von Art. 29 ff. des Gewässerschutzgesetzes (GSchG; SR 814.20) betreffend die Sicherung angemessener Restwassermengen falsch angewendet wurden (vgl. insoweit auch <ref-ruling>).
Zusammenfassend ist damit festzuhalten, dass der angefochtene Konzessionsentscheid mit seinen detaillierten, gerichtlich überprüfbaren Regelungen keinen Entscheid "mit vorwiegend politischem Charakter" darstellt, für welche der Kanton Glarus anstelle eines Gerichts den Landrat als unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts einsetzen könnte.
1.4 Angesichts der fehlenden Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheids ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (Art. 86 Abs. 2 und 3 BGG). Demzufolge ist nicht auf die weiteren Anträge und Rügen der Beschwerdeführer einzugehen. Mangels bundesgerichtlicher Zuständigkeit ist insbesondere nicht zu entscheiden, ob es bundesrechtswidrig ist, den Landrat als erstinstanzlich zuständige Behörde vorzusehen.
Zur Beurteilung öffentlich-rechtlicher Angelegenheiten ist auf kantonaler Ebene das Verwaltungsgericht zuständig (vgl. Art. 17 ff. des Gesetzes über die Gerichtsorganisation des Kantons Glarus [III A/2]). Da die Sache dort bereits hängig ist, ist von einer förmlichen Überweisung abzusehen.
2. Die Beschwerdeführer dringen damit mit ihrer Rüge durch, wonach entgegen der Rechtsmittelbelehrung im Amtsblatt nicht das Bundesgericht, sondern das Verwaltungsgericht zur Behandlung der Beschwerde zuständig ist. Die Beschwerdegegnerin erachtete demgegenüber zu Unrecht <ref-law> als erfüllt und stellte ausdrücklich den Antrag, die (direkte) Zuständigkeit des Bundesgerichts sei zu bejahen. Demzufolge gilt die Beschwerdegegnerin als unterliegend im Sinne von <ref-law> und hat die Gerichtskosten zu tragen. Sie hat den Beschwerdeführern eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführern eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien sowie dem Landrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Stohner