Fatti:
A. Con una transazione giudiziale sottoscritta il 3 agosto 2011 la A._ SA si è riconosciuta debitrice di fr. 350'000.-- verso la B._ SA e si è impegnata a pagare tale somma entro il 30 settembre 2011. La scadenza non è stata rispettata. Ne è seguita la procedura esecutiva n. 769920 dell'Ufficio di esecuzione e fallimenti di Mendrisio. L'opposizione della debitrice al precetto esecutivo, che indicava come titolo del credito la predetta transazione giudiziale, è stata rigettata in via definitiva il 20 dicembre 2011 per fr. 350'000.-- con interessi al 5 % dal 30 settembre 2011 dal Pretore di Mendrisio-Sud, il cui giudizio è stato confermato il 7 febbraio 2012 dalla Camera di esecuzione e fallimenti del Tribunale di appello ticinese.
La procedura esecutiva è proseguita con la notificazione della comminatoria di fallimento, dopo di che, l'11 aprile 2012, la B._ SA ha chiesto il fallimento della A._ SA. Il 18 aprile 2012 questa società ha preannunciato al Pretore un'azione di accertamento dell'inesistenza del debito (<ref-law>) e ha presentato nel contempo un'istanza di sospensione provvisoria dell'esecuzione in via provvisionale e superprovvisionale (<ref-law>). Il 24 aprile 2012 il Pretore, agendo questa volta come giudice del fallimento, ha preso atto di questa iniziativa della debitrice e ha differito la procedura fallimentare "sino alla definizione giudiziale della domanda di sospensione dell'esecuzione" (<ref-law>).
B. Con petizione del 3 maggio 2012 la A._ SA ha chiesto che fosse accertata l'inesistenza del suo debito verso la B._ SA e annullata l'esecuzione n. 769920; sosteneva - in breve - che la transazione giudiziale del 3 agosto 2011 fosse viziata da errore essenziale o dolo. In via provvisionale essa ha inoltre domandato che l'esecuzione fosse sospesa provvisoriamente in forza dell'<ref-law>. La creditrice si è opposta a entrambe le domande. Nel frattempo, durante un'udienza svoltasi il 9 maggio 2012, la pregressa procedura provvisionale era stata stralciata dai ruoli consensualmente.
Il Pretore ha respinto la domanda di sospensione provvisoria dell'esecuzione con sentenza del 28 giugno 2012. La A._ SA ha impugnato il giudizio davanti al Tribunale di appello ticinese, ribadendo la domanda di sospensione della procedura esecutiva e chiedendo che all'appellazione fosse attribuito effetto sospensivo secondo l'<ref-law>. Quest'ultima domanda è stata respinta con decisione 24 luglio 2012 della Presidente della Seconda Camera civile dell'autorità cantonale.
C. La A._ SA (d'ora in poi la ricorrente) insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 24 agosto 2012. Chiede che la decisione cantonale sia annullata e che sia attribuito l'effetto sospensivo al suo appello. La B._ SA (in seguito l'opponente) propone che il ricorso sia dichiarato irricevibile o, subordinatamente, che sia respinto. L'autorità cantonale non ha preso posizione.
Al ricorso in materia civile è stato concesso effetto sospensivo con decreto presidenziale del 25 settembre 2012.

Diritto:
1. Il ricorso è presentato dalla parte soccombente nella sede cantonale (<ref-law>), è tempestivo (<ref-law>) ed è volto contro una sentenza emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa civile (<ref-law>) con valore litigioso superiore a fr. 30'000.-- (<ref-law>).
La decisione cantonale cautelare di rifiuto dell'effetto sospensivo è incidentale. Contro di essa il ricorso è pertanto ammissibile soltanto se incombe un pregiudizio irreparabile di natura giuridica, circostanza che va dimostrata nel gravame (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1). La ricorrente sostiene di essere minacciata da un danno simile, poiché il fallimento sarebbe dichiarato "a brevissimo termine" qualora la decisione cautelare del Pretore del 28 giugno 2012 divenisse esecutiva. Questo aspetto va approfondito dal Tribunale federale, d'ufficio e con potere di esame libero (<ref-ruling> consid. 3 e rif.).
2. La vicenda giudiziaria è un poco intricata; vi concorrono diverse procedure, che in parte si sovrappongono. È opportuno definire correttamente la portata della decisione impugnata.
2.1 Con il giudizio del 28 giugno 2012, emanato in connessione con la causa di accertamento dell'inesistenza del debito secondo l'<ref-law>, il Pretore ha rifiutato di sospendere in via provvisoria l'esecuzione in applicazione dell'<ref-law>; correttamente egli ha trattato l'istanza in tale senso presentata dalla ricorrente alla stregua di una domanda cautelare o provvisionale (<ref-ruling> consid. 2c).
Nella procedura di appello contro la decisione negativa del Pretore la ricorrente ha chiesto che le fosse concesso l'effetto sospensivo. La domanda era posta male, poiché sospendere nell'ambito di una procedura di appello l'esecutività di una decisione provvisionale a sua volta negativa, che di per sé non ordina nulla, ha poco senso. In realtà la ricorrente, agendo nel campo d'applicazione dell'<ref-law>, intendeva ottenere la sospensione superprovvisionale della procedura esecutiva, pendente l'appello; misura che il giudice ha la facoltà di ordinare anche nell'ambito di una domanda di sospensione provvisoria dell'esecuzione secondo l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2 pag. 590).
2.2 L'autorità cantonale ha esaminato l'istanza della ricorrente sotto questa luce. Infatti, pur avendo nel dispositivo semplicemente respinto "la domanda di concessione dell'effetto sospensivo", essa ha concluso la propria motivazione osservando che "in concreto non vi sono quindi circostanze eccezionali tali da imporre una modifica della decisione impugnata già in pendenza di appello". Di per sé questa situazione potrebbe effettivamente portare alla dichiarazione di fallimento, paventata dalla ricorrente, prim'ancora che il Tribunale di appello si sia pronunciato sul buon fondamento materiale del giudizio negativo del Pretore sulla sospensione provvisoria dell'esecuzione secondo l'<ref-law>. Un rischio simile è di per sé suscettibile di comportare danni irreparabili nel senso dell'<ref-law> (sentenza 5A_534/2010 del 28 ottobre 2010, consid. 1 e rif., non pubblicato in <ref-ruling>; per il previgente ricorso di diritto pubblico si veda la sentenza 5P.69/2003 del 4 aprile 2003, consid. 4.1.2 e 4.2).
Sennonché, il fallimento è stato differito dal Pretore con la decisione del 24 aprile 2012 "sino alla definizione giudiziale della domanda di sospensione dell'esecuzione". Tale decisione è fondata sull'<ref-law>, il quale, messo in relazione con l'<ref-law>, vuole d'un canto che il debitore, per potere beneficiare del differimento, presenti l'istanza di sospensione provvisoria prima che si svolga l'udienza nella procedura di fallimento; dall'altro, come corollario, che qualora il debitore abbia compiuto correttamente tale passo, il fallimento non possa essere dichiarato prima che sia decisa la domanda di sospensione (<ref-ruling> consid. 3.2).
2.3 Nel caso specifico è accertato che la ricorrente ha chiesto la sospensione provvisoria dell'esecuzione in via superprovvisionale il 18 aprile 2012 e ha ribadito la domanda con la petizione del 3 maggio 2012. L'opponente aveva già presentato l'istanza di fallimento l'11 aprile 2012, ma l'udienza non aveva ancora avuto luogo. La procedura fallimentare è stata differita il 24 aprile 2012. Ne viene che la sentenza impugnata non è suscettibile di comportare per la ricorrente un danno irreparabile nel senso dell'<ref-law>, poiché il differimento del fallimento deve permanere fino alla crescita in giudicato della decisione sul merito della sospensione secondo l'<ref-law>. Non sono pertanto date le condizioni per potere ammettere eccezionalmente il ricorso in materia civile contro una decisione incidentale (provvisionale o superprovvisionale).
Si osservi che l'autorità cantonale ha seguito un ragionamento analogo: ha infatti negato che la mancata sospensione provvisoria della procedura esecutiva potesse causare alla ricorrente un pregiudizio difficilmente riparabile "per il fatto che il fallimento non è ancora stato pronunciato e che essa (la ricorrente) può quindi ancora far valere tutte le possibilità offerte all'escusso in tale ambito". Alludeva indubbiamente ai diritti che gli art. 173 cpv. 1 e 85a cpv. 2 LEF concedono al debitore, dei quali la ricorrente continua a fruire fintanto che non sarà dichiarato il fallimento (cfr. consid. 2.2).
2.4 Per sostanziare il danno irreparabile la ricorrente ha invero prodotto, con il gravame, la decisione del 7 agosto 2012 con la quale il Pretore, pronunciatosi come giudice del fallimento, dopo avere costatato che la procedura esecutiva non è stata sospesa provvisoriamente né dal proprio giudizio cautelare del 28 giugno 2012 né dalla successiva decisione di diniego dell'effetto sospensivo dell'autorità cantonale, ha ritenuto non più "giustificato" il differimento e ha conseguentemente convocato le parti per il contraddittorio sul fallimento. Tale atto, posteriore all'emanazione della sentenza impugnata, e l'argomentazione giuridica che la ricorrente ne ricava non possono tuttavia essere presi in considerazione.
La situazione giuridica esistente quando è stata emanata la decisione cantonale, rispettivamente nel momento in cui è stato inoltrato il ricorso contro di essa al Tribunale federale, è quella descritta nel considerando 2.3. Se nel frattempo il fallimento fosse divenuto imminente, il pregiudizio irreparabile che minaccerebbe la ricorrente sarebbe semmai causato dalla nuova decisione del Pretore, che ha in sostanza revocato il differimento, non da quella cantonale impugnata in questa procedura.
3. Per le considerazioni che precedono il ricorso in materia civile è inammissibile. Gli oneri processuali seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è inammissibile.
2. Le spese giudiziarie di fr. 4'000.-- sono poste a carico della ricorrente, la quale rifonderà all'opponente fr. 5'000.-- per ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla Presidente della II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino.