Sachverhalt:
A.
Dr. med. A._ (geb. 1952) war als Fachärztin für Gynäkolo gie und Geburtshilfe mit eigener Praxis in W._ tätig. In den Jahren 2004, 2006 und 2007 war es bei drei von ihr operierten Patientinnen zu Komplikationen gekommen. Die Patientinnen mussten aufgrund von starken Nachblutungen im Kantonsspital U._ notoperiert werden.
B.
B.a. Am 2. März 2007 erliess das Departement Gesundheit und Soziales (DGS) vorsorglich ein Operationsverbot. Dr. med. A._ wurde untersagt, "selbstständig operativ tätig zu sein", wobei dieses Verbot sowohl "die Tätigkeit als Erste-Hand-Operateurin als auch die selbstständige Durchführung jeglicher invasiver Eingriffe" umfasste. Einer allfälligen Beschwerde hiergegen wurde die aufschiebende Wirkung entzogen.
Mit Verfügung vom 5. Juni 2007 untersagte das DGS Dr. med. A._, selbstständig operativ tätig zu sein. Eine dagegen geführte Beschwerde wies der Regierungsrat am 13. Mai 2009 ab. Gegen den regierungsrätlichen Beschlusserhob Dr. med. A._ am 17. Juni 2009 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau (Bezeichnung im vorinstanzlichen Urteil: WBE 2009.205).
B.b. Am 20. Juni 2008 wurden ein Disziplinarverfahren gegen Dr. med. A._ eingeleitet und eine Praxisinspektion durchgeführt. Mit Verfügung vom selben Tag wurde für die Dauer des Disziplinarverfahrens die Bewilligung zur Ausübung der selbstständigen Berufstätigkeit entzogen, unter Androhung einer Busse im Widerhandlungsfall und Entzug der aufschiebenden Wirkung einer Beschwerde. Mit Präsidialverfügung des Regierungsrates vom 3. Juli 2008 wurde der Antrag um Wiedererteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen. Die dagegen erhobene Beschwerde lehnte das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 15. September 2008 ab.
Mit Verfügung vom 1. September 2008 ordnete das Departement DGS den Vollzug der Verfügung vom 20. Juni 2008 betreffend Entzug der Bewilligung zur Ausübung einer selbstständigen Berufstätigkeit bzw. die Praxisschliessung an. Der Regierungsrat wies die dagegen erhobene Beschwerde unter Entzug der aufschiebenden Wirkung ab.
Das gegen den Entzug der Bewilligung zur selbstständigen Berufsausübung für die Dauer des Disziplinarverfahrens ergriffene Rechtsmittel lehnte der Regierungsrat mit Entscheid vom 24. Juni 2009 ab.
B.c. Am 21. Oktober 2010 verfügte das Departement DSG ein definitives Verbot der selbstständigen Berufsausübung. Es begründete dieses insbesondere damit, dass Dr. med. A._ entgegen den behördlichen Anweisungen weiterhin ärztlich und operativ tätig gewesen sein soll und Pflichtverletzungen bei Schwangerschaftsabbrüchen vorlägen. Eine hiergegen erhobene Beschwerde wies der Regierungsrat am 26. Juni 2013 ab.
Gegen den Entscheid des Regierungsrates betreffend definitives Verbot der selbstständigen Berufsausübung führte Dr. med. A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht (Bezeichnung im vorinstanzlichen Urteil: WBE 2013.418). In der Beschwerdebegründung wurde ein Gutachten dafür verlangt, ob es sich bei den vorgenommenen Eingriffen um (untersagte) invasive Eingriffe handelt.
B.d. Das Verwaltungsgericht hat die beiden Beschwerdeverfahren betreffend Operationsverbot und Berufsverbot infolge engen Sachzusammenhangs vereinigt und mit Urteil vom 3. April 2014 abgewiesen.
C.
Mit Eingabe vom 27. Mai 2014 beantragt Dr. med. A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 3. April 2014 betreffend definitives Berufsausübungsverbot sei aufzuheben. Dasselbe gelte für die Verfügungen vom 5. Juni 2007 zur Einschränkung der Bewilligung zur selbstständigen Berufstätigkeit als Fachärztin (Operationsverbot) bzw. vom 20. Juni 2008 betreffend Verbot der selbstständigen Berufsausübung. Eventuell sei das Berufsausübungsverbot bis zum 31. Dezember 2014 zu befristen.
Die Beschwerdeführerin ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Mit Schreiben vom 20. Juni 2014 zieht sie dieses Begehren zurück.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau und das Bundesamt für Gesundheit haben darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil unterliegt als verfahrensabschliessender, kantonal letztinstanzlicher Gerichtsentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>, <ref-law>, <ref-law>).Ein Ausschlussgrund im Sinn von <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerde ist grundsätzlich zulässig. Auf die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde, die sich ebenfalls gegen den Entzug der Berufsausübungsbewilligung als Ärztin richtet, ist nicht einzutreten (<ref-law>). Die damit geltend gemachte Verletzung von Art. 29 Abs. 2, Art. 9 und <ref-law> sowie Art. 6 EMRK sind gemäss <ref-law> im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu prüfen.
1.2. Die Beschwerdeführerin hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Sie ist durch das angefochtene Urteil, das ihr die Berufsausübung vollumfänglich verbietet, besonders berührt und hat an dessen Aufhebung ein schutzwürdiges Interesse. Die Beschwerdelegitimation gemäss <ref-law> ist damit gegeben. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 100 Abs. 1 BGG) ist insofern einzutreten.
1.3. Die Beschwerde beschlägt materiell grundsätzlich auch die Verfügungen vom 5. Juni 2007 bzw. vom 20. Juni 2008. Die Verfügung vom 20. Juni 2008 (Entzug der Bewilligung zur Ausübung der selbstständigen Berufstätigkeit für die Dauer des Disziplinarverfahrens) ist hinsichtlich der Verfügung vom 21. Oktober 2010, womit ein definitives Berufsausübungsverbot ausgesprochen wurde, als Zwischenentscheid zu betrachten und könnte formell nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> noch mitangefochten werden. Die Beschwerdeführerin zeigt nicht spezifisch auf, inwiefern auch im Rahmen der Überprüfung des definitiven Berufsausübungsverbots noch ein Interesse an einer formellen Aufhebung des Zwischenentscheids bestünde (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 292). Die Verfügung vom 5. Juni 2007 betreffend Operationsverbot ist - soweit sie nicht (faktisch) ebenfalls als Zwischenverfügung zum definitiven Berufsausübungsverbot vom 21. Oktober 2010 zu betrachten ist - im vereinigten Verfahren durch das Urteil des Verwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt insofern als inhaltlich mitangefochten (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 171; <ref-ruling> E. 1.4 S. 144; <ref-ruling> E. 1 S. 441). Auf das Begehren um Aufhebung der Verfügungen vom 5. Juni 2007 bzw. vom 20. Juni 2008 kann demnach nicht eingetreten werden.
1.4. Das Bundesgericht prüft frei und von Amtes wegen die richtige Anwendung des Bundesrechts (Art. 95 lit. a und Art. 106 Abs. 1 BGG). Es legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur als unzutreffend gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 bzw. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
2.
2.1. Die selbstständige Tätigkeit als Arzt oder Ärztin bedarf einer Bewilligung des Kantons, auf dessen Gebiet sie ausgeübt wird (Art. 34 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2006 über die universitären Medizinalberufe [Medizinalberufegesetz, MedBG; SR 811.11]). Die Bewilligung wird erteilt, wenn die gesuchstellende Person ein entsprechendes eidgenössisches Diplom besitzt (<ref-law>) und vertrauenswürdig ist sowie physisch und psychisch Gewähr für eine einwandfreie Berufsausübung bietet (<ref-law>). Die Bewilligung wird entzogen, wenn ihre Voraussetzungen nicht mehr erfüllt sind oder nachträglich Tatsachen festgestellt werden, aufgrund derer sie hätte verweigert werden müssen (<ref-law>; hierzu Urteil 2C_853/2013 vom 17. Juni 2014 E. 5.3).
2.2. Selbstständig tätige Arztpersonen halten sich zudem an die in <ref-law> normierten Berufspflichten. Gemäss der Generalklausel von <ref-law> üben sie ihren Beruf sorgfältig und gewissenhaft aus; sie halten sich an die Grenzen der Kompetenzen, die sie im Rahmen der Aus-, Weiter- und Fortbildung erworben haben (vgl. dazu Urteil 2C_901/2012 vom 30. Januar 2013 E. 3.2). <ref-law> sieht neben der Verwarnung (lit. a), dem Verweis (lit. b) und der Busse bis zu 20'000 Franken (lit. c) ein (befristetes) Verbot der selbstständigen Berufsausübung für längstens sechs Jahre (lit. d) und ein definitives (unbefristetes) Verbot der selbstständigen Berufsausübung für das ganze oder einen Teil des Tätigkeitsspektrums (lit. e) vor (vgl. Urteile 2C_410/2014 vom 22. Januar 2015 E. 4.1; 2C_504/2014 vom 13. Januar 2015 E. 3.2 und 3.3; 2C_879/2013 vom 17. Juni 2014 E. 4.2 und 4.3). Mit den Disziplinarmassnahmen nach <ref-law> sollen Verfehlungen im Zusammenhang mit der selbstständigen beruflichen Tätigkeit nachträglich sanktioniert werden. Dies gilt auch für das disziplinarische Verbot der selbstständigen Berufsausübung nach Art. 43 Abs. 1 lit. d und e MedBG (Urteile 2C_504/2014 vom 13. Januar 2015 E. 3.3; 2C_879/2013 vom 17. Juni 2014 E. 4.3; 2C_853/2013 vom 17. Juni 2014 E. 5.3). Ein Verbot der selbstständigen Berufsausübung nach Art. 43 Abs. 1 lit. d und e MedBG beschlägt das gesamte Gebiet der Schweiz; es setzt jede Bewilligung zur selbstständigen Berufsausübung ausser Kraft (<ref-law>).
2.3. Gemäss <ref-law> verjährt die disziplinarische Verfolgung zwei Jahre, nachdem die Aufsichtsbehörde vom beanstandeten Vorfall Kenntnis erhalten hat. Diese Frist wird durch jede Untersuchungs- oder Prozesshandlung über den beanstandeten Vorfall unterbrochen, welche die Aufsichtsbehörde, eine Strafverfolgungsbehörde oder ein Gericht vornimmt (<ref-law>). Die absolute Verjährungsfrist beträgt zehn Jahre (<ref-law>). Wird gegen eine Person ein Disziplinarverfahren durchgeführt, so kann die Aufsichtsbehörde zur Beurteilung der von ihr ausgehenden Gefährdung der öffentlichen Gesundheit nach dem ausdrücklichen Willen der Gesetzgebung auch Sachverhalte berücksichtigen, die verjährt sind (<ref-law>). Nach <ref-law> finden die Disziplinarmassnahmen des Art. 43 keine Anwendung auf Vorfälle, die sich vor Inkrafttreten des Gesetzes am 1. September 2007 ereignet haben. Aufgrund der Verletzung von Berufspflichten gemäss <ref-law>, die sich vor Inkrafttreten dieses Gesetzes ereignet hat, kann jedoch ein befristetes oder definitives Verbot der selbstständigen Berufsausübung ausgesprochen werden, wenn es zum Schutz der öffentlichen Gesundheit unabdingbar erscheint (<ref-law>).
3.
3.1. Das Verwaltungsgericht hat das definitive Verbot gegenüber der Beschwerdeführerin zur selbstständigen Berufsausübung als Ärztin bestätigt. Als Grundlage hierfür stellte es fest, dass nach drei Vorfällen bei von ihr durchgeführten operativen Eingriffen in den Jahren 2004, 2006 und 2007 - drei Patientinnen mussten wegen starken Nachblutungen ins Kantonsspital eingeliefert und notoperiert werden - die Bewilligung zur freien Berufsausübung als Ärztin eingeschränkt wurde (zunächst Operationsverbot; später Verbot der selbstständigen ärztlichen Tätigkeit). Nach der verfügten Einschränkung der Berufsausübungsbewilligung soll es unter mehrfacher Missachtung der Auflagen zu weiteren und teilweise gravierenden Verletzungen der Berufspflichten gekommen sein (<ref-law>), sodass das Departement am 21. Oktober 2010 ein definitives (unbefristetes) Berufsverbot gegen die Beschwerdeführerin gestützt auf <ref-law> aussprach.
3.2. Die Beschwerdeführerin anerkennt einen Teil der durch die Vorinstanz festgehaltenen Verletzung der Berufspflichten. Dies betrifft die Vorwürfe, ohne Bewilligung und ausserhalb der Erst- und Notfallversorgung Medikamente direkt an Patientinnen abgegeben zu haben (Verstoss gegen das Selbstdispensationsverbot). Weiter akzeptiert sie den Vorwurf, einen Schwangerschaftsabbruch vor der 12. Woche ohne schriftliches Gesuch und ohne Aushändigung des Leitfadens an die Patientin sowie weitere Eingriffe durchgeführt zu haben. Ebenfalls anerkennt sie Beanstandungen mit Bezug auf die Führung der Krankengeschichten. Demgegenüber bestreitet sie in tatsächlicher Hinsicht, dass die Vorkommnisse, die zum Operationsverbot und zur Einschränkung der freien Berufsausübung geführt haben, auf Sorgfaltspflichtverletzungen zurückzuführen seien. Sie weist darauf hin, nach der verfügten Einschränkung nicht mehr selbstständig, sondern nur noch unter Aufsicht tätig gewesen zu sein (Übergabe der Praxis an Prof. G._). Die an sich anerkannten Berufspflichtverletzungen betreffend Betäubungsmittelkontrolle und direkte Medikamentenabgabe seien sodann durch spezifische Umstände ein Stück weit zu relativieren.
4.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zu den drei Vorkommnissen, die zur Einschränkung der Berufsausübungsbewilligung und einem Operationsverbot führten, seien unter Missachtung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>; Art. 6 EMRK) sowie in willkürlicher Weise (<ref-law>) getroffen worden. Die Vorkommnisse seien nicht auf Berufs- und Sorgfaltspflichtverletzungen zurückzuführen. Vielmehr seien - soweit es sich nicht um ohnehin verjährte Vorkommnisse handle - für Aborte übliche, zu erwartende Komplikationen eingetreten.
4.1. Anlässlich des ersten der Beschwerdeführerin zur Last gelegten Eingriffs am 20. August 2004 (Patientin A.S.) nahm diese eine laparoskopische Operation (Bauchspiegelung) am linken Ovar vor. Dabei kam es zu einer massiven Blutung aus dem rechten Adnexgebiet, die erst mit der Einlieferung der Patientin ins nahegelegene Spital und einer weiteren Operation gestoppt werden konnte. Nach den Ausführungen des vom Regierungsrat bestellten Gutachters (Prof. C._, Spital V._; Gutachten vom 30. Juli 2008) kann es bei einer Bauchspiegelung jederzeit zu einer stärkeren Blutung aus einem grösseren Gefäss kommen, welche nicht mittels Bauchspiegelung gestoppt werden kann. Daher sei notwendig, dass überall, wo laparoskopisch operiert werde, sehr schnell auf eine Laparotomie (Bauchschnitt) und die hierfür erforderlichen Spitalbedingungen umgestellt werden könne. Die Wahl der Umgebung für die Operation sei inadäquat gewesen und stelle eine Sorgfaltspflichtverletzung durch die Beschwerdeführerin dar.
4.1.1. Die Beschwerdeführerinverweistauf ein Schreiben vom 9. März 2006 von Frau Prof. H._, X._. Dieses stellt gestützt auf den Operationsbericht das Fehlen eines Kunstfehlers fest, äussert sich indessen nicht zum Vorwurf der unzureichenden Operationsbedingungen. Das Verwaltungsgericht durfte der Stellungnahme für die Beurteilung der konkret beanstandeten Sorgfaltspflichtverletzung (inadäquate Umgebung) wenig Gewicht einräumen, ohne dass dies als offensichtlich unrichtig zu gelten hätte. Wenn die Beschwerdeführerin vorbringt, sie habe nach dem Vorfall eine neue Praxis mit einem modernen Operationssaal eröffnet, vermag ihr dies mit Bezug auf die beanstandete Sorgfaltspflichtverletzung nichts zu helfen. Es hätte an ihr gelegen, auch vor April 2007 vorgenommene Eingriffe in adäquater Umgebung durchzuführen und ihre Patienten entsprechenden erhöhten Risiken nicht auszusetzen.
4.1.2. Soweit die Beschwerdeführerin sodann rügt, dieser Vorfall aus dem Jahr 2004 hätte angesichts von <ref-law> und der dort vorgesehenen Verjährungsfrist von zwei Jahren disziplinarrechtlich nicht weiter berücksichtigt werden dürfen, übersieht sie, dass die Behörde nach dem Willen des Gesetzgebers bei Eröffnung eines Disziplinarverfahrens auch Sachverhalte berücksichtigen kann, die verjährt sind (<ref-law>). Bei der Untersuchung und Beurteilung der schwerwiegenden Vorwürfe durfte das Verwaltungsgericht demnach auch die weiter zurückliegenden Vorkommnisse berücksichtigen (vgl. hiervorE. 2.3).
4.2. Bezüglich des Eingriffs am 25. September 2006 (Patientin C.L.) wird der Beschwerdeführerin die Verletzung des Uterus (Zerreissung der Uteruscervix) bei der Durchführung einer Curettage (Abort) vorgeworfen, was zu einer erheblichen Blutung führte.
4.2.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die vom Kantonsspital U._ anlässlich der Notoperation festgestellte Zerreissung des Uterus sei nicht auf eine Sorgfaltspflichtverletzung zurückzuführen. Vielmehr beruhe diese auf einer Vorschädigung der Uteruswand der Patientin nach zwei traumatischen Geburten in den Jahren 2001 und 2002. Damals sei im Kantonsspital U._ auf die lege artis gebotene Durchführung eines Kaiserschnitts verzichtet worden; Folge seien erhebliche Nachblutungen und Narbenbildung im Uterus gewesen. Zur Blutung nach ihrem Eingriff sei es demnach nicht wegen einer inadäquaten Operationstechnik beim Abort, sondern als Komplikation aufgrund einer vorbestehenden Gewebsschädigung gekommen. Die Uteruswand sei von Prof. I._ histologisch untersucht worden. Zu Unrecht habe das Verwaltungsgericht darauf verzichtet, diesen anzuhören.
4.2.2. Die Vorinstanz hat das Gutachten vom 30. Juli 2008 (Prof. C._, Spital V._) herangezogen und festgestellt, dass dieses die Verursachung des Risses an der Gebärmutter allein durch Narbengewebe als "absolut unwahrscheinlich" einschätzt. Vor diesem Hintergrund durfte davon abgesehen werden, eine Anamnese über die schwierigen Geburten einzuholen. Ebenso durfte darauf verzichtet werden, Prof.I._ zum histologischen Befund des Gebärmutterpräparates und der Vernarbung anzuhören. Das Verwaltungsgericht hat sodann der Stellungnahme von Prof. K._ vom 23. Februar 2007, der im Gegensatz zum gerichtlich bestellten Gutachterauf eine bereits vorgeschädigte Gebärmutter als Grund für die Blutung verweist, weniger Gewicht zuerkannt. Sie begründet dies unter anderem damit, dass Prof. K._ zwar verschiedene Operationen der Beschwerdeführerin assistierte, aber bei der Operation, die zum zweiten Vorfall führte, nicht anwesend war und auch nicht darlegte, auf welche Unterlagen er sich für seine Einschätzung abstützte. Die weniger starke Gewichtung seiner Einschätzung kann entgegen der Vorbringen nicht als unhaltbar gelten (vgl. hiervor E. 1.4).
4.3. Beim Vorfall vom 24. Januar 2007 (Patientin B.G.) war nach einem Eingriff der Beschwerdeführerin und einer Notfalloperation im Kantonsspital U._ ebenfalls eine Zerreissung der Uteruswand und eine Verletzung der Uterinarterie festgestellt worden.
4.3.1. Die Beschwerdeführerin rügt, genau an der Stelle des vom damaligen Chefarzt der Frauenklinik des Kantonsspitals U._, Prof. B._, umschriebenen Hämatoms habe dessen Assistentin bei einem Kaiserschnitt drei Jahre zuvor bereits ein intraligamentäres Myom festgestellt. Dies lasse die Richtigkeit des Berichts des Kantonsspitals U._ hinsichtlich des Hämatoms erheblich anzweifeln. Dass sich die Vorinstanz auf ein Gutachten stütze, das sich allein auf den Austrittsbericht und ein Schreiben von Prof. B._ vom 5. Februar 2007 an den Kantonsarzt beziehe, sei willkürlich. Dieser bzw. die leitende Ärztin hätten ihrerseits die gutartigen Verwachsungen nicht erkannt. Prof. B._ stehe ihr zudem aufgrund ihrer Aussagen in einem gegen ihn angestrengten Disziplinarverfahren sowie der Konkurrenzsituation feindselig gegenüber. Bei der Patientin seien im März 2014 zudem weitere gutartige Geschwulste festgestellt worden, was die Wahrscheinlichkeit, dass das Hämatom auf eine Verletzung der Arterie durch mangelhafte Operationstechnik zurückzuführen sei, weiter reduziere.
4.3.2. Das beigezogene unabhängige Gutachten (Prof. C._, Spital V._) war zum Schluss gekommen, die Verletzung der Uterinarterie stelle keine Komplikation dar. Sie komme so selten vor, dass sie in der Literatur kaum beschrieben werde und weise auf eine inadäquate Operationstechnik hin. Auch kämen starke Blutverluste gemäss umfangreichen Studien zu Abort Curretagen äusserst selten vor (Häufigkeit von 0.15%). Es sei zudem sehr unüblich, dass entsprechende Perforationen nicht sofort entdeckt würden. Er zählte Situationen auf, in denen es bei Frühschwangerschaften als Folge des Wundverschlusses bei einem früheren Kaiserschnitt ausnahmsweise zu spontanen Rupturen der Uteruswand kommen könnte, und grenzte diese von der zu beurteilenden Konstellation klar ab. Wenn die Vorinstanz gestützt auf diese Einschätzung zum Schluss gekommen ist, die Verletzung der Uterinarterie sei auf eine inadäquate Operationstechnik der Beschwerdeführerin zurückzuführen, so ist dies nicht unhaltbar. Vor diesem Hintergrund können auch neuerlich festgestellte gutartige Geschwulste eine unsachgemässe Arterienverletzung nicht ausschliessen und lassen die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen (vgl. hiervor E. 1.4). Auf die Anhörung von Dr. med. D._, W._, der 2014 neuere gutartige Verwachsungen der Uteruswand bei der Patientin festgestellt haben soll, konnte verzichtet werden (<ref-law>).
4.3.3. Unbegründet ist auch der Vorwurf, die Vorinstanz stütze sich "allein" auf die Berichte von Prof. B._ ab, obwohl zwischen ihm und der Beschwerdeführerin Feindseligkeiten bestanden hätten. Nach den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen hat der Regierungsrat die Ausarbeitung des Gutachtens gestützt auf die Patientenakten in Auftrag gegeben. Der Beschwerdeführerin wurde Gelegenheit gegeben, Einwände zum Gutachter und den Fragen zu erheben. Sie hat davon nicht Gebrauch gemacht, jedoch am 8. August 2008 (gemäss den Akten vom 4. August 2008) eine inhaltliche Stellungnahme abgegeben. Aufgrund der Stellungnahme wurden dem Gutachter Ergänzungsfragen gestellt. Dass die Patientenakten auch die Operationsberichte des ehemaligen Chefarztes des Kantonsspitals Prof. B._ beinhalteten, der für die Notoperationen verantwortlich war, vermag die Einschätzungen des Gutachters nicht als willkürlich erscheinen zu lassen. Sodann konnte von einer Befragung des Herrn E._, dessen Gattin durch einen Kunstfehler von Prof. B._ geschädigt worden sein soll, abgesehen werden, weil es im vorliegenden Verfahren nicht um eine Beurteilung der behaupteten Sorgfaltspflichtverletzung von Prof. B._ geht (Übersehen der Myome). Auf die beantragte Anhörung konnte verzichtet werden, ohne dass dies eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör der Beschwerdeführerin bedeutete (<ref-law>).
4.3.4. Die Beschwerdeführerin hat schliesslich ein kurzes Schreiben von Prof. F._ vom 22. Mai 2007 ins Recht gelegt. Im Brief über wenige Zeilen hält dieser fest, sich mit den Komplikationen beschäftigt zu haben. Es fehlen indessen die Grundlagen, worauf sich seine Einschätzung, die im Wesentlichen vage bleibt, stützen soll: So wird in allgemeiner Weise festgehalten, dass es sich wohl um keine Kunstfehler handle ("ich glaube, dass diese Komplikationen vorkommen können und dass es sich dabei um keine Kunstfehler handelt"). Dass die Vorinstanz dieser eher allgemein gehaltenen Einschätzung weniger Gewicht beimass als dem ausführlicheren Gutachten des für das Verfahren herangezogenen Gutachters Prof. C._, ist nicht zu beanstanden.
4.4. Insgesamt zeigt sich eine Häufung ähnlicher Vorfälle innert kurzer Zeitspannen. Auch vor diesem Hintergrund ist die Vorinstanz der Einschätzung des von ihr bestellten Gutachters, wonach es sich bei den Vorkommnissen nicht bloss um zu erwartende Komplikationen, sondern vielmehr um Sorgfaltspflichtverletzungen handelt, zu Recht und ohne Verletzung von Verfahrensrechten gefolgt.
5.
5.1. Die Vorinstanz stellte sodann weitere Verletzungen der Berufspflichten nach <ref-law> fest. Namentlich soll die Beschwerdeführerin nach der verfügten Einschränkung der Berufsausübungsbewilligung des Departements weiterhin ärztlich tätig gewesen sein und auch nach dem Operationsverbot in mindestens zwölf Fällen weiterhin invasive (operative) Eingriffe durchgeführt haben. Sodann sei es zu weiteren Verstössen gegen die Berufspflichten gekommen. Wie vor der Vorinstanz bestreitet die Beschwerdeführerin, das Operationsverbot des Departements vom 5. Juni 2007 und das Verbot der selbstständigen Berufsausübung vom 20. Juni 2008 wiederholt missachtet zu haben. Sie sei stets unter der Aufsicht von Prof. G._ tätig gewesen, was von der Vorinstanz ohne Verletzung von Verfahrensrechte hätte festgestellt werden sollen. Insbesondere sei ihre ärztliche Tätigkeit und allfällige Verstösse gegen Berufspflichten im vorliegenden Verfahren nicht unter strafrechtlichen Gesichtspunkten, sondern rein aufsichtsrechtlich zu beurteilen.
5.2. Das gestützt auf <ref-law> erlassene Berufsausübungsverbot bezieht sich nach dem Wortlaut des Gesetzes auf die selbstständige ärztliche Tätigkeit (vgl. Urteil 2C_879/2013 vom 17. Juni 2014 E. 4.3 und 7.2.3). Die Vorinstanz hat willkürfrei festgehalten, nach § 23 des damals in Kraft stehenden Gesundheitsgesetzes des Kantons Aargau vom 10. November 1987 habe ein Arzt seine Praxis persönlich zu führen (Abs. 1); die Beschäftigung eines Assistenten oder die Einstellung eines Stellvertreters waren bewilligungspflichtig (Abs. 2; vgl. heute § 8 des Gesundheitsgesetzes vom 20. Januar 2009 [GesG/AG] mit der Überschrift "Unselbstständige Tätigkeiten von Personen mit universitären Medizinalberufen; Bewilligungspflicht"). Für die Beschwerdeführerin seien keinerlei Bewilligungen für eine solche Tätigkeit eingeholt worden. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies nicht, bringt aber vor, dies könne ihr nicht zum Vorwurf gemacht werden, da ausschliesslich Prof.G._ als selbstständig praktizierender Arzt befugt gewesen wäre, ein Gesuch um eine Assistenz- oder Stellvertreterbewilligung zu stellen. Die Rüge ist abzuweisen: Aufgrund der Vorkommnisse und des verfügten Bewilligungsentzugs hätte es an der Beschwerdeführerin gelegen, entsprechende Vorkehrungen zu treffen und sich zu informieren, um den verfügten Bewilligungsentzug für die selbstständige Tätigkeit nicht zu verletzen. Dass sie in ihrer Praxis auch nach dem Bewilligungsentzug ärztlich tätig war, bestreitet sie im bundesgerichtlichen Verfahren nicht mehr. Die Beschwerdeführerin hat demnach trotz verfügtem Verbot, ihre Berufstätigkeit frei auszuüben, weiter praktiziert, ohne dass die Voraussetzungen für ein Anstellungsverhältnis vorgelegen hätten. Die vorinstanzlichen Ausführungen, wonach sie in mehrfacher Weise gegen die Verfügung von 2007 und 2008 verstossen hat, indem sie in mindestens 17 Fällen unbeirrt weiter Patienten empfangen hat, sind weder willkürlich (<ref-law>) noch verletzen sie den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör (<ref-law>).
5.3. Die Vorinstanz wirft der Beschwerdeführerin sodann verschiedene Verstösse gegen die Berufspflichten im Zusammenhang mit der Durchführung von Aborten vor. In einem Fall habe die Beschwerdeführerin die Patientin (Q.V.) nach der 12. Schwangerschaftswoche mit Diagnosevermerk "Interruptionswunsch" zum Abort in der Klinik L._ angemeldet. Die Patientin hatte zuvor vier Kontrolltermine bei der Beschwerdeführerin und eine vorgeburtliche Untersuchung am Universitätsspital Zürich wahrgenommen, wo das Geschlecht des Kindes bestimmt wurde. Wenige Tage später fand ein medikamentöser Schwangerschaftsabbruchversuch durch die Beschwerdeführerin statt. Diese bringt nunmehr vor, der Abort sei vor der 12. Schwangerschaftswoche vorgenommen worden und sie habe mit der medikamentösen Behandlung die Schwangerschaft nicht unterbrechen, sondern den Abgang des bereits toten Fötus mit Nalador herbeiführen wollen. Diese Vorbringen vermögen die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung nicht infrage zu stellen: Der von ihr selbst vermerkte Interruptionswunsch aufgrund des Geschlechts liegt in den Akten (vgl. vorinstanzliche Akten Nr. 100 ff.). Wie die Vorinstanz willkürfrei feststellt, verlief die Schwangerschaftnach den Berichten des Universitätsspitals Zürich bis kurz vor der Einleitung des Abgangs problemlos. Die Beschwerdeführerin bezieht sich auch nicht auf eine Notlage der Patientin, wie dies im Übrigen auch für eine Schwangerschaftsunterbrechung vor der 12. Woche erforderlich ist (vgl. <ref-law>). Das Verwaltungsgericht durfte die Durchführung desmedikamentösen Abbruchsversuchs als weiteren erheblichen Verstoss gegen die Berufspflichten werten.
Dass die Beschwerdeführerin bei einer weiteren Patientin (G.G.) einen medikamentösen Schwangerschaftsabbruch ohne schriftliches Gesuch der Schwangeren und ohne die hierfür erforderliche Aufklärung vorgenommen hatte, bestreitet sie im bundesgerichtlichen Verfahren nicht mehr (vgl. E. 3.2). Entgegen der Vorbringen durfte die Vorinstanz die geschilderten Geschehnisse für das Disziplinarverfahren als Verletzungen der Berufspflichten sowie - aufgrund der unbestrittenen vorinstanzlichen Aufzählung von zwölf invasiven Eingriffen - als wiederholte Verstösse gegen das Operationsverbot und die verfügte Einschränkung der Berufsausübungsbewilligung bewerten. Die Beurteilung der Verletzung der Berufspflichten unter aufsichtsrechtlichen Gesichtspunkten ist demgegenüber kein Präjudiz für ein allfälliges strafrechtliches Verfahren (vgl. Urteil 1B_163/2014 vom 18. Juli 2014 E. 2.4).
5.4. Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, die von der Vorinstanz festgestellten Verstösse gegen das Verbot der direkten Medikamentenabgabe seien zu relativieren. So habe es oft, wenn nicht täglich, Notfallsituationen in ihrer Praxis gegeben. Zudem habe sie nicht-rezeptpflichtige Substanzen aus dem Kosmetikbereich verkauft. Die Vorinstanz hat zunächst festgestellt, dass die Beschwerdeführerin über keine Bewilligung für die direkte Medikamentenabgabe verfügt (Art. 30 des Bundesgesetzes über Arzneimittel und Medizinprodukte [SR 812.21]; § 32 Abs. 1 und 2 aGesG/AG). Sie verweist gleichzeitig auf die durchgeführte Inspektion und die in der Praxis angetroffenen grossen Medikamentenlager, wovon nur ein Teil der gelagerten Medikamente (namentlich Schmerzmittel und Antibiotika) überhaupt akut einsetzbar waren. Sodann wiesen Sofortrechnungen darauf hin, dass die Beschwerdeführerin verschiedene Medikamente direkt an ihre Patienten abgegeben hat, was sich schliesslich auch aus der Anhörung der medizinischen Praxisassistentin ergab. Die Feststellungen der Vorinstanz zur direkten Medikamentenabgabe können somit nicht als willkürlich gelten und ebenso wenig, dass damit ein Verstoss gegen § 32 des damals in Kraft stehenden kantonalen Gesundheitsgesetzes vorliegt (vgl. heute § 44 Abs. 1 und 2 GesG/AG; vgl. Urteil 2C_879/2013 vom 17. Juni 2014 E. 5.4).
5.5. Gemäss Art. 9 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 17 Abs. 4 des Bundesgesetzes über die Betäubungsmittel und die psychotropen Stoffe (SR 812.121) haben sich selbstständige Ärztinnen und Ärzte über die Verwendung der bezogenen Arzneimittel auszuweisen. Sie tragen die Verantwortung für die korrekte Aufbewahrung und haben den Verbrauch zu dokumentieren (vgl. Art. 44 Abs. 4 der Betäubungsmittelkontrollverordnung [SR 812.121.1]). Auch vor Inkrafttreten der Betäubungsmittelkontrollverordnung am 1. Juli 2011 mussten Betäubungsmittel getrennt von allen anderen Waren gelagert werden (Art. 53 Abs. 1 aBetMV; AS 1996 1679). Die Beschwerdeführerin bestreitet, dass ihre Betäubungsmittelkontrolle ungenügend war. Sie verweist auf einen von der Staatsanwaltschaft beschlagnahmten PC und bringt vor, auch wenn sie nicht physisch Buch über die Betäubungsmittel führte, habe sie eine präzise und kurierte Kontrolle bezüglich der Verwendung derselben besessen. Die Vorbringen sind nicht geeignet, die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen infrage zu stellen: Bei der Praxisinspektion am 20. Juni 2008 wurden unter anderem Opiate ungesichert im Schrank des Untersuchungszimmers vorgefunden; den Umstand, dass Betäubungsmittel nicht unter Verschluss gelagert wurden, bestätigten ehemalige Praxisassistenten übereinstimmend. Die Vorinstanz durfte demnach auch ohne Auswertung des gemäss den Vorbringen bei der Staatsanwaltschaft beschlagnahmten Computers davon ausgehen, die Betäubungsmittelkontrolle genüge den gesetzlichen Anforderungen nicht.
5.6. Zusammenfassend ergibt sich demnach, dass die Beschwerdeführerin weder den Vorwurf der Missachtung der Einschränkung der Berufsausübungsbewilligung (Durchführung von operativen, d.h. gewebsverletzenden Eingriffen; Konsultationen ausserhalb eines Angestelltenverhältnis) noch die von der Vorinstanz festgestellten weiteren und teils erheblichen Berufspflichtverletzungen zu entkräften vermag. Ihre Rügen sind abzuweisen.
6.
Die Beschwerdeführerin bringt schliesslich vor, der vorinstanzliche Entscheid verletze das durch die Verfassung garantierte Recht auf privatwirtschaftliche Erwerbstätigkeit (<ref-law>).
6.1. <ref-law> gewährleistet die Wirtschaftsfreiheit, insbesondere die freie Wahl des Berufes sowie den freien Zugang zu einer privatwirtschaftlichen Erwerbstätigkeit und deren freie Ausübung. Die Tätigkeit einer Ärztin fällt in den Schutzbereich von <ref-law> (vgl. Urteil 2C_477/2012 vom 7. Juli 2014 E. 6.1 mit zahlreichen Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.). Beschränkungen unter den für Grundrechtseingriffe allgemein geltenden Voraussetzungen des <ref-law> sind zulässig (<ref-ruling> E. 6.1 S. 384 f., E. 6.3 S. 387 und E. 8.3 S. 394; <ref-ruling> E. 4.2 S. 231; <ref-ruling> E. 4b/aa S. 435; je mit Hinweisen). Das in <ref-law> verankerte Verhältnismässigkeitsprinzip gebietet, dass eine Grundrechtseinschränkung zur Erreichung des angestrebten Ziels geeignet und erforderlich sowie für die betroffene Person zumutbar sein muss (<ref-ruling> E. 4.3 S. 224; <ref-ruling> E. 6.2 S. 151; vgl. für Disziplinarmassnahmen gegenüber Medizinalpersonen auch etwa Urteil 2C_410/2014 vom 22. Januar 2015 E. 8).
6.2. Der dauerhafte Entzug der Berufsausübungsbewilligung stellt für die Beschwerdeführerin eine schwere Einschränkung der in <ref-law> verankerten Wirtschaftsfreiheit dar. Mit <ref-law> besteht eine hinreichende spezialgesetzliche Grundlage, um das ihr zweifellos zustehende Recht auf Wirtschaftsfreiheit rechtmässig einzuschränken. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies nicht, bringt jedoch vor, sie wäre anstelle eines definitiven Entzugs ihrer Berufsausübungsbewilligung als mildere Massnahme zu verwarnen oder zur Bezahlung einer Busse zu verpflichten gewesen. Der unbefristete Entzug der Berufsausübungsbewilligung aufgrund der angeführten Vorkommnisse, die zu einem grossen Teil nicht erhebliche Verstösse gegen die Berufspflichten darstellten, sei nicht zumutbar.
6.2.1. Der Zweck von <ref-law> besteht hauptsächlich im Schutz der Patientinnen und Patienten, mittelbar aber auch im Schutz eines funktionierenden Gesundheitssystems (vgl. Urteil 2C_879/2013 vom 17. Juni 2014 E. 7.2). In den Jahren 2004, 2006 und 2007 war es zu drei gravierenden Vorfällen gekommen, bei denen die Patientinnen nach ihren Eingriffen in einem lebensbedrohlichen (präschockierten) Zustand ins Spital eingeliefert und notoperiert werden mussten. Dies führte zunächst zu nur einen Teil ihres Tätigkeitsspektrums betreffenden Verboten (Operationsverbot; Verbot der Ausführung selbstständiger ärztlicher Tätigkeit). Das definitive Verbot der Berufsausübung erfolgte erst nach neuerlichen Verstössen, die in klarer Missachtung der ihr mit den zwei früheren Verfügungen gemachten Auflagen erfolgten (Weiterführung einer ärztlichen Tätigkeit ausserhalb eines Angestellten-Verhältnisses; Vornahme von zwölf invasiven Eingriffen und von Schwangerschaftsabbrüchen, für welche die gesetzlichen Voraussetzungen nicht erfüllt waren) sowie der Feststellung weiterer Verletzungen der Berufspflichten (Verstösse gegen das Betäubungsmittelgesetz und die Bestimmungen zur direkten Medikamentenabgabe). Die erste Verfügung als mildere Massnahme blieb von der Beschwerdeführerin somit unbeachtet und weitere, teils erhebliche Verstösse gegen die Berufspflichten kamen hinzu. Insofern ist entgegen der beschwerdeführerischen Vorbringen davon auszugehen, der Entzug der Berufsausübungsbewilligung sei erforderlich gewesen, um das Publikum wirksam vor weiteren Regelverstössen zu schützen.
6.2.2. Die Beschwerdeführerin bringt schliesslich vor, Eingriffszweck und Eingriffswirkung stünden in einem Missverhältnis. Die Vorwürfe unter anderem wegen der direkten Medikamentenabgabe und der Verstösse gegen das Betäubungsmittelgesetz rechtfertigten keinen dauerhaften Entzug der Berufsausübungsbewilligung. Der Beschwerdeführerin müssen indessen folgende Verletzungen der Berufspflichten zur Last gelegt werden:
- Missachtung des behördlichen Operationsverbots in zahlreichen Fällen
- Ausübung selbstständiger ärztlicher Tätigkeiten nach Entzug der Bewilligung
- Sorgfaltspflichtverletzung bei einem operativen Eingriff
- Verletzung der ärztlichen Kunst bei operativen Eingriffen in zwei Fällen
- Vornahme eines Schwangerschaftsabbruches nach der 12. Woche ohne medizinische Indikation oder seelische Notlage der Schwangeren
- Vornahme eines Schwangerschaftsabbruches ohne schriftliches Gesuch und ohne Aushändigung des Leitfadens
- Verletzung der Aufbewahrungspflichten von Betäubungsmitteln
- Verletzungen des Verbots der Selbstdispensation.
In Anbetracht der zahlreichen und teils gravierenden Verstösse - unter mehrfacher Missachtung behördlicher Auflagen - erweist sich das definitive Verbot der Ausübung einer selbstständigen ärztlichen Erwerbstätigkeit als verhältnismässig. Die Einschränkung der privatwirt schaftlichen Erwerbstätigkeit der Beschwerdeführerin ist mit <ref-law> vereinbar.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang hat die Beschwerdeführerin für die Kosten aufzukommen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni