Sachverhalt:
A. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich bestätigte mit Entscheid vom 20. März 2006 den Einspracheentscheid der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 12. Januar 2005, wonach die 1961 geborene S._ bei einem Invaliditätsgrad von 24 Prozent keinen Anspruch auf eine Invalidenrente habe. Am 7. November 2005 meldete sich die Versicherte erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die Verwaltung lehnte das Gesuch wiederum ab, da sich am Gesundheitszustand nichts Wesentliches geändert habe (Verfügung vom 27. Februar 2007).
B. Das kantonale Gericht wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 20. November 2008).
C. S._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es sei ihr, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei die IV-Stelle zu verpflichten, zusätzliche medizinische Abklärungen zu veranlassen und anschliessend erneut über den Rentenanspruch zu befinden. Ausserdem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Vorinstanz erkannte, der Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin habe sich seit dem rechtskräftig abgeschlossenen früheren Verwaltungsverfahren nicht wesentlich verändert; es bestehe nach wie vor kein rentenbegründender Invaliditätsgrad. Massgebender Vergleichszeitpunkt hierfür ist der Einspracheentscheid vom 12. Januar 2005 (und nicht, wie vom kantonalen Gericht angenommen, die durch den Einspracheentscheid ersetzte Verfügung vom 29. Juli 2004). Zu prüfen ist, ob der vorinstanzliche Entscheid auf im Sinne von Gesetz und Rechtsprechung vollständigen Grundlagen beruht.
1.2 Das kantonale Gericht hat die einschlägigen Rechtsgrundlagen zutreffend dargelegt (Art. 87 Abs. 3 und 4 IVV; <ref-ruling> E. 5.3.1 S. 112; Urteil 9C_286/2009 vom 28. Mai 2009 E. 2.2).
1.3 Der Beurteilung von Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegt der Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Diesen kann das Bundesgericht von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Zu den Bundesrechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gehört auch die unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen (Urteil 9C_40/2007 vom 31. Juli 2007 E. 1) und die Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes als einer wesentlichen Verfahrensvorschrift (Urteil 8C_364/2007 vom 19. November 2007 E. 3.3).
2. 2.1 Das kantonale Gericht erwog, im früheren Verfahren habe es auf ärztliche Berichte abgestellt, in welchen im Wesentlichen übereinstimmend eine seronegative Polyarthritis sowie ein chronisches Lumbovertebralsyndrom diagnostiziert worden seien. Im Weiteren habe es damals angenommen, eine leichte, wechselbelastende Tätigkeit ohne besondere mechanische Beanspruchung der Hände sei zu 50 Prozent möglich. In Anwendung der (für Teilerwerbstätige massgeblichen) gemischten Methode der Invaliditätsbemessung habe sich - unter Annahme einer je hälftigen Tätigkeit in Erwerb und Haushalt - ein Invaliditätsgrad von 31 Prozent ergeben.
Die seitherigen Berichte der behandelnden Ärzte zeigten keine erheblichen Änderungen im Gesundheitszustand auf. Bei unveränderten Diagnosen seien keine (zusätzlichen) Befunde erhoben worden, welche die attestierte Arbeitsunfähigkeit (von 50 bis 70 respektive 100 Prozent) zu rechtfertigen vermöchten. Zudem fehle jeweils eine nähere Begründung. Es bestehe auch weiterhin eine Arbeitsfähigkeit von 50 Prozent in leidensangepasster Tätigkeit. Eine neuanmeldungsrechtlich relevante Verschlechterung der Arbeitsfähigkeit sei nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit ausgewiesen.
2.2 Die Beschwerdeführerin verweist auf den mit der Neuanmeldung vom 7. November 2005 eingereichten Bericht des Spitals X._ vom 17. November 2005 über eine Hospitalisation in dessen Rheumaklinik (vom 22. September bis 19. Oktober 2005) sowie auf den nach Erhalt des Vorbescheids ins Recht gelegten Bericht des behandelnden Rheumatologen Dr. K._ vom 11. Januar 2007. Die IV-Stelle hätte von Amtes wegen abzuklären gehabt, ob sich der Gesundheitszustand wie geltend gemacht verschlechtert habe (<ref-law>). Wenn die Vorinstanz schon darauf verweise, die eingereichten Arztberichte seien nicht näher begründet und es seien - bei unveränderter Diagnose - keine (neuen) Befunde erhoben worden, welche die attestierte Arbeitsunfähigkeit zu rechtfertigen vermöchten, so wäre sie aufgrund ihrer Abklärungspflicht, wie zuvor bereits die IV-Stelle, gehalten gewesen, bei Dr. K._ eine entsprechende Begründung zu verlangen oder aber die Beschwerdeführerin durch einen unabhängigen Arzt begutachten zu lassen. Stattdessen hätten die Vorinstanzen für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit unzulässigerweise auf die mehr als zwei Jahre alten Zeugnisse der Rheumaklinik am Spital X._ (vom 17. November 2005) und des Dr. P._ (vom 20. Januar 2005) abgestellt.
3. 3.1 Sobald die Verwaltung, wie im Falle der Beschwerdeführerin, auf eine Neuanmeldung eintritt, weil eine anspruchserhebliche Änderung des Sachverhalts glaubhaft gemacht ist (Art. 87 Abs. 3 und 4 IVV), kommt das Untersuchungsprinzip zum Tragen, nach welchem der Sachverhalt - hier die für die Annahme einer anspruchserheblichen Änderung wesentlichen Tatsachen - von Amtes wegen vollständig abgeklärt werden muss (vgl. <ref-law>); im Beschwerdefall gilt dasselbe für das kantonale Gericht (<ref-law>).
3.1.1 Der Untersuchungsgrundsatz schliesst die Beweislast im Sinne der Beweisführungslast begriffsnotwendig aus, da es - unter Vorbehalt der Mitwirkungspflichten der versicherten Person (<ref-law>) - Sache des Sozialversicherungsgerichts (oder der verfügenden Verwaltungsstelle) ist, für die Zusammentragung des Beweismaterials besorgt zu sein. Im Sozialversicherungsprozess tragen mithin die Parteien in der Regel eine Beweislast nur insofern, als im Falle der Beweislosigkeit der Entscheid zu Ungunsten jener Partei ausfällt, die aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableiten wollte. Diese Beweisregel greift allerdings erst Platz, wenn es sich als unmöglich erweist, im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes aufgrund einer Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (<ref-ruling> E. 3b S. 264).
3.1.2 Die Verfügung vom 27. Februar 2007 enthält nebst dem Dispositiv einzig die Feststellung, dass sich seit der Verfügung vom 29. Juli 2004 (recte: Einspracheentscheid vom 12. Januar 2005) am Gesundheitszustand nichts Wesentliches verändert habe. Diese Feststellung wird mit keinem Wort erläutert. Die Vorinstanz beanstandet das nicht, sondern leitet von der (als solche zutreffenden) Einschätzung, die neueren Arztberichte (des Dr. K._ vom 11. Januar 2007 und des Internisten Dr. P._ vom 20. Januar 2005) seien im Wesentlichen aufgrund ihres rudimentären Umfangs nicht geeignet, eine Änderung als überwiegend wahrscheinlich erscheinen zu lassen, direkt und abschliessend zur Feststellung über, der Gesundheitszustand sei unverändert.
3.1.3 Dieses Vorgehen verträgt sich nicht mit dem Untersuchungsgrundsatz - und ist somit bundesrechtswidrig -, da es im Ergebnis eine (hier nicht existierende) Beweisführungslast der versicherten Person voraussetzt. Einzig im Rahmen der (sich hier nicht stellenden) Frage, ob auf eine Neuanmeldung eingetreten werden kann, weil eine anspruchserhebliche Änderung des Sachverhalts glaubhaft gemacht ist, kann es mit der Feststellung sein Bewenden haben, die von der versicherten Person in das Verfahren eingebrachten Unterlagen seien nicht ausreichend substantiiert.
3.2 Die bisherige Aktenlage reicht offensichtlich nicht aus zur abschliessenden Entscheidung der Frage, ob eine anspruchserhebliche Änderung eingetreten sei. Der Bericht der Rheumaklinik am Spital X._ vom 17. November 2005 zeigt in zwei Punkten auf, dass eine solche nicht rechtsgenüglich ausgeschlossen werden kann: Anlässlich der im Herbst 2005 erfolgten, knapp einmonatigen Hospitalisation der Beschwerdeführerin im Spital X._ wurde zum ersten eine Therapieresistenz des chronischen lumbovertebralen und myofaszialen Schmerzsyndroms festgehalten; in einem Bericht der Rheumaklinik am Spital Y._ vom 22. Juli 2003 wurden demgegenüber noch verschiedene medikamentöse Therapien diskutiert. Zum zweiten wird eine seit Juli 1995 erfolgende Schmerzzunahme angesprochen.
Hinzu kommt, dass die Entwicklung des Sachverhalts prinzipiell, im Rahmen des Praktikablen, bis zum Abschluss des Verwaltungsverfahrens (hier mit Verfügung vom 27. Februar 2007) verfolgt und im Entscheid berücksichtigt werden muss. Auch aus diesem Grund hätte Dr. K._ zur Substantiierung seiner im Schreiben vom 11. Januar 2007 enthaltenen Beurteilung aufgefordert werden müssen, trotz einer Behandlung bestehe unter anderem wegen einer "Funktionseinschränkung sowohl betreffend die Wirbelsäule wie auch die Gelenke (u.a. auch Hände) (...) heute keine verwertbare Restarbeitsfähigkeit mehr". Auf einer solchen ergänzten Grundlage erst wäre zu entscheiden gewesen, ob tatsächlich weitere (spezifisch versicherungsmedizinische) Abklärungen nötig sind oder aber ob darauf verzichtet werden kann. Die IV-Stelle wird somit die notwendigen Abklärungen nachholen und gestützt darauf neu verfügen. Bei der Fragestellung zuhanden medizinischer Sachverständiger wird insbesondere dem Umstand Rechnung zu tragen sein, dass eine anspruchserhebliche Änderung auch gegeben sein kann, wenn sich ein Leiden - bei gleicher Diagnose - in seiner Intensität und in seinen Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit verändert hat (vgl. Urteil I 212/03 vom 28. August 2003 E. 2.2.3).
4. Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu erneuter Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235; Urteil 8C_671/2007 vom 13. Juni 2008 E. 4.1). Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten daher der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Der obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin steht eine Parteientschädigung zu. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. November 2008 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 27. Februar 2007 werden aufgehoben. Die Sache wird an die IV-Stelle zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Anspruch neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Oktober 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub