Faits:
A.
A.a. A._, né en 1968, est atteint de schizophrénie paranoïde. Il a fait l'objet, en 2005 et 2007, de deux condamnations pénales, dans le cadre desquelles des mesures, sous la forme de traitements ambulatoires, ont été ordonnées.
A.b. Le 1er septembre 2010, le Centre neuchâtelois de psychiatrie, consultation ambulatoire, a alerté l'Autorité tutélaire sur le fait que l'intéressé ne prenait plus ses médicaments depuis quelques jours, qu'il refusait tout contact avec la psychiatrie et que son hospitalisation était nécessaire. Dans la crainte d'une nouvelle décompensation avec risque important de nouveaux passages à l'acte agressifs, l'Office d'application des peines (ci-après : l'OAP) a appuyé la demande d'hospitalisation précitée. A._ a ensuite été hospitalisé à Perreux du 9 septembre 2010 au 10 novembre 2010.
A.c. Le 9 décembre 2011, l'OAP a demandé l'institution d'une mesure de tutelle, relevant que la stabilité de la situation de A._ fluctuait en fonction de son état de santé psychique; lors d'épisodes de décompensation, il ne se rendait plus aux consultations, ce qui pouvait conduire finalement à la rupture du lien thérapeutique et nécessiter alors son hospitalisation forcée en milieu psychiatrique. Par ailleurs, l'OAP attirait l'attention sur les difficultés de l'intéressé à gérer ses ressources, tout l'argent étant dépensé en début de mois, essentiellement pour la consommation de cannabis, de sorte que les moyens manquaient pour acquérir de la subsistance et que le règlement de ses autres factures était mis en péril. Une expertise a alors été ordonnée, en vue d'une interdiction au sens de l'art. 369 aCC.
A._ a été à nouveau hospitalisé entre le 17 novembre 2011 et le 14 mars 2012. Après avoir menacé un tiers avec un couteau dans un magasin, il a fait l'objet d'une nouvelle hospitalisation entre le 2 novembre 2012 et le 4 février 2013. Dans ce contexte, l'OAP a réitéré son avis selon lequel il était opportun de nommer un tuteur à l'intéressé.
A._ a été entendu le 20 février 2013, se déclarant d'accord avec une curatelle «mais seulement si c'est pour m'aider».
B.
B.a. Par décision du 26 février 2013, l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte des Montagnes et du Val-de-Ruz (ci-après : l'APEA) a institué une curatelle de portée générale à l'égard de A._ et lui a désigné un curateur, considérant - au vu du dossier, du rapport d'expertise et de ses différentes hospitalisations - qu'en raison de son trouble psychique correspondant à une incapacité durable de discernement, il apparaissait totalement empêché d'assurer lui-même la sauvegarde de ses intérêts.
B.b. Par arrêt du 23 juillet 2013, la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte a rejeté le recours de A._ contre la décision de l'APEA.
C.
Par acte du 29 août 2013, A._ exerce un recours contre l'arrêt précité, concluant à l'annulation de cette décision et au renvoi du dossier à l'APEA. Il requiert également d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la présente procédure, en ce sens qu'il demande que lui soit accordée la «gratuité de frais de procédure ».

Considérant en droit:
1.
1.1. Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 en relation avec l'<ref-law>) et dans les formes légales (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>) confirmant une mesure de curatelle de portée générale (<ref-law>), partant prise en application de normes de droit public dans une affaire connexe au droit civil (protection de l'adulte; art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF), par une partie qui a été déboutée en dernière instance cantonale (art. 76 al. 1 et art. 75 al. 1 LTF), le recours est en principe recevable, en tant que recours en matière civile.
1.2. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.1). L'<ref-law> exige par ailleurs que le recourant discute au moins de manière succincte les considérants de la décision attaquée.
1.3. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influencer le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte (<ref-law>), à savoir que les constatations de fait sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.1; <ref-ruling> consid. 1.2.2), doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (<ref-law>; «principe d'allégation»). Le recourant ne saurait se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale. Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 1.3). Au surplus, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2.
Il découle en substance du recours que le recourant s'en prend d'une part à l'institution d'une curatelle de portée générale, concluant à l'annulation de la décision querellée, d'autre part au mandat conféré au curateur, concluant alors - en définitive, à titre subsidiaire - au renvoi du dossier à l'APEA.
2.1. Sur l'institution de la mesure de curatelle, la cour cantonale a d'abord relevé qu'il n'est ni contesté, ni contestable, que le recourant est atteint d'un trouble psychique au sens de l'<ref-law>. Se référant à l'expertise du Dr B._, elle a au surplus exposé que l'expert considère qu'il est nécessaire que l'intéressé bénéficie d'un traitement neuroleptique, que ses taux sanguins soient contrôlés et qu'il s'abstienne de consommer du cannabis, au risque de renforcer sa problématique psychotique; du point de vue psychiatrique, une mise sous tutelle est nécessaire, la « forte maladie» dont il souffre l'empêchant de gérer convenablement ses affaires; au surplus, la mesure préconisée permettrait d'assurer le suivi du traitement médical. Par ailleurs, la cour cantonale se réfère aux constatations de l'OAP sur la gestion inconsidérée des revenus, conduisant à des fins de mois difficiles qui contribuent à précipiter les décompensations. En définitive, elle considère que le besoin d'aide au sens de l'<ref-law> est avéré, ceci au vu de l'expertise psychiatrique, des nombreuses hospitalisations du recourant, ainsi que des infractions commises en raison de son état psychique d'une part, de ses difficultés à gérer son budget d'autre part.
Le recourant expose à cet égard qu'il s'estime en mesure de gérer sa rente AI et ses prestations complémentaires, ce qu'il fait depuis de nombreuses années, le contraire ne résultant pas de son dossier. Il conteste que ses problèmes de santé affectent sa capacité à gérer ses affaires et se réfère à un passage d'un courrier de son curateur indiquant qu'il paie régulièrement ses factures.
Aux termes de l'<ref-law>, une curatelle de portée générale est instituée lorsqu'une personne a particulièrement besoin d'aide, en raison notamment d'une incapacité durable de discernement. Par son argumentation, le recourant conteste en définitive son besoin d'aide. En tant qu'il s'en prend à la constatation selon laquelle il n'est pas capable de gérer son budget, il se contente d'opposer sa version des faits à celle de la cour cantonale, se fondant sur sa propre appréciation et se référant à un passage tronqué d'un courrier de son curateur, qu'il cite de façon imprécise et en le sortant de son contexte, le curateur se limitant à évoquer qu'il semble que les factures sont régulièrement payées, non sans avoir préalablement confirmé que le recourant lui-même lui avait indiqué que sa consommation de cannabis le privait régulièrement de toutes ressources financières dès le milieu du mois. Largement appellatoire, la critique, en tant qu'elle vise à remettre en cause l'établissement des faits, est dès lors irrecevable (cf. consid. 1.3 supra). Enfin, autant que l'on admette que le recourant invoque aussi une violation du droit fédéral et conteste en définitive que les conditions permettant d'instituer une curatelle de portée générale soient remplies, il fonde son grief sur des éléments de faits qui ne peuvent être retenus et ne s'en prend d'aucune autre manière à la motivation, cohérente, de la cour cantonale. Partant et autant que recevables, ses griefs sont manifestement infondés.
2.2. S'agissant du mandat du curateur, la cour cantonale s'exprime encore sur le courrier par lequel celui-ci lui a demandé de donner des précisions sur la tâche qui lui a été confiée, relevant à cet égard qu'il appartiendra à l'APEA (<ref-law>) de clarifier sa mission d'une part, d'examiner par ailleurs si un placement à des fins d'assistance (<ref-law>) se justifie éventuellement d'autre part.
Le recourant fait valoir que la curatelle n'est pas assez précise et qu'il aurait appartenu à l'APEA de définir celle-ci plus avant dans sa décision initiale. Il se réfère à cet égard à une expertise du dossier pénal du Dr C._ du 17 mai 2013, retenant qu'un traitement ambulatoire de sa maladie était suffisant.
Ce faisant, le recourant, qui exerce une critique sur une question qu'il n'a au demeurant pas soulevée en instance cantonale, se réfère au contenu d'une expertise récente émanant d'un dossier pénal; or, s'agissant d'une pièce nouvelle, celle-ci ne saurait être prise en considération (<ref-law>). Par ailleurs et autant que l'on admette que le recourant soulève implicitement, sans invoquer plus avant quelle norme serait violée, le grief de la violation du droit fédéral dans la fixation du contenu du mandat confié au curateur, force est de constater qu'il se limite à exposer que «la curatelle n'est pas assez précise», sans aucune autre considération, en particulier sans s'en prendre à la motivation de l'arrêt querellé, ni quant à son contenu ni quant à l'étendue de celle-ci. Insuffisamment motivé, son grief est d'emblée irrecevable (cf. consid. 1.2 supra).
3.
Il découle de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la faible mesure de sa recevabilité. Au vu des circonstances, le présent arrêt peut être rendu sans frais (art. 66 al. 1 seconde phr. LTF), ce qui rend la demande d'assistance judiciaire sans objet. Il n'y a pas lieu d'octroyer une indemnité de dépens à l'autorité intimée qui n'a au demeurant pas été invitée à se déterminer (art. 68 al. 1 à 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
La demande d'assistance judiciaire du recourant est sans objet.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte des Montagnes et du Val-de-Ruz et à la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 23 octobre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Mairot