Sachverhalt:
A. A.a Zwischen X._ und seiner vormaligen Ehefrau als Gesuchstellerin ist vor dem a.o. Gerichtspräsidenten Nr._ des Gerichtskreises A._, Y._, ein Zivilverfahren (Gesuch um Neues Recht) hängig. Die Gesuchstellerin beantragte eine Abänderung der Scheidungskonvention zwischen ihr und X._.
A.b X._ ersuchte in der Vernehmlassung einerseits um Abweisung des Neurechtsgesuchs und andererseits um Beschränkung des Verfahrens auf die Frage seiner Zulässigkeitsvoraussetzungen.
Mit Verfügung vom 2. April 2009 wurde X._ vom a.o. Gerichtspräsidenten Nr._ aufgefordert, den Kaufvertrag der Liegenschaft B._-Gbbl. Nr._ sowie die Finanzierungszusage desjenigen Instituts, welches ihm die Kaufpreisfinanzierung gewährte, inkl. Tragbarkeitsrechnung, einzureichen.
Mit Eingabe vom 7. April 2009 bat X._ den a.o. Gerichtspräsidenten Nr._, die Verfügung vom 2. April 2009 in Wiedererwägung zu ziehen und verfassungskonform neu zu begründen.
Der a.o. Gerichtspräsident Nr._ hielt in einem Schreiben vom 15. April 2009 an seiner Verfügung vom 2. April 2009 fest und legte darin die hinter seinem Vorgehen stehenden Überlegungen dar.
B. Mit Eingabe vom 29. April 2009 stellte X._ den Antrag, der a.o. Gerichtspräsident Nr._ habe in der betreffenden Streitsache in den Ausstand zu treten. Das Obergericht des Kantons Bern wies das Ablehnungsgesuch mit Entscheid vom 9. Juni 2009 ab.
C. Am 10. Juli 2009 hat X._ (fortan: Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen sowie Rechtsverweigerungsbeschwerde gemäss <ref-law> erhoben. Er beantragt, der Entscheid des Obergerichts vom 9. Juni 2009 sei aufzuheben und der a.o. Gerichtspräsident Nr._ des Gerichtskreises A._ (fortan: Beschwerdegegner bzw. Gerichtspräsident) habe in den Ausstand zu treten.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Bevor auf den angefochtenen Entscheid eingegangen wird, ist kurz darzulegen, worum es sich beim Institut des Neuen Rechts handelt. Neues Recht gemäss Art. 367 ff. des bernischen Gesetzes über die Zivilprozessordnung (ZPO; BSG 271.1) entspricht dem ausserordentlichen Rechtsmittel der Revision. Vorliegend stützt sich die Gesuchstellerin auf den bundesrechtlichen Revisionsgrund von <ref-law>. Ein das Neurechtsgesuch abweisender oder zurückweisender Entscheid ist weiterziehbar, wenn es der alte Streit gewesen ist (<ref-law>). Der gutheissende Entscheid ist zusammen mit dem gleichzeitig erlassenen Sachurteil weiterziehbar (LEUCH UND ANDERE, Die Zivilprozessordnung für den Kanton Bern, 5. Aufl. 2000, N. 4a zu <ref-law>).
2. 2.1 Der angefochtene Entscheid betrifft den Ausstand eines Richters. Damit handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenent-scheid im Sinne von <ref-law>. Bei einem Zwischenentscheid folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.; Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2). In der Hauptsache sind vermögensrechtliche Nebenfolgen der Scheidung umstritten. Gemäss Angaben des Obergerichts liegt der Streitwert über Fr. 30'000.--. Damit ist die Streitwertgrenze von <ref-law> erreicht und der Anwendungsbereich der Beschwerde in Zivilsachen eröffnet.
2.2 Gegen den Entscheid des Obergerichts steht die kantonalrechtliche Nichtigkeitsklage gemäss Art. 359 und 360 ZPO nicht zur Verfügung (LEUCH UND ANDERE, a.a.O., N. 1b zu <ref-law>). Er stammt somit von der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>).
2.3 Der vorinstanzliche Entscheid wurde dem Beschwerdeführer am 10. Juni 2009 eröffnet. Die Beschwerde wurde am 10. Juli 2009 der Post übergeben, womit die dreissigtägige Beschwerdefrist gemäss <ref-law> gewahrt ist.
2.4 Der Beschwerdeführer war im kantonalen Verfahren Partei und ist mit seinen Anträgen nicht durchgedrungen; er ist folglich zur Beschwerde legitimiert (Art. 76 Abs. 1 lit. a und b BGG).
2.5 Der Beschwerdeführer hat neben der Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> auch eine Rechtsverweigerungsbeschwerde gemäss <ref-law> erhoben. Diese erübrigt sich jedoch, weil ein anfechtbarer Entscheid des Obergerichts vorliegt (vgl. BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 7 zu <ref-law>). Ihr kommt neben der Beschwerde in Zivilsachen keine selbständige Bedeutung zu. Vielmehr ist die Rüge der Rechtsverweigerung im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen zu behandeln.
2.6 Mit der Beschwerde nach <ref-law> kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und von kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Die unrichtige Feststellung des Sachverhalts kann hingegen nur vorgebracht werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Dabei bedeutet "offensichtlich unrichtig" willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 129 f. mit Hinweis).
Der Beschwerdeführer rügt einerseits die Verletzung von Bundesverfassungsrecht, die Verletzung der EMRK sowie von kantonalen verfassungsmässigen Rechten, andererseits die unrichtige Feststellung des Sachverhalts.
2.7 Die Beschwerde ist zu begründen (<ref-law>). Mit ihr ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie vom Obergericht verletzt worden sein sollen. Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254, je mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit Hinweis). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) zustande gekommen ist (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Die erhobenen Rügen müssen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein. Der blosse Verweis auf andere Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 400 mit weiteren Hinweisen). Der Hinweis des Beschwerdeführers, er halte die im Ablehnungsgesuch erhobenen Rügen aufrecht und verweise auf die diesbezüglichen Ausführungen, genügt diesen Anforderungen nicht. Auf die dort erhobenen Vorbringen ist deshalb, soweit sie nicht rechtsgenüglich in der Beschwerdeschrift wieder aufgenommen wurden, nicht einzutreten.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht zunächst vor, seiner Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör nicht nachgekommen zu sein. Abgesehen vom Sachverhalt, der Nennung einiger Grundzüge der Rechtsprechung und einiger, als irrelevant erachteter zivilprozessualer Erwägungen sei dem angefochtenen Entscheid keine materielle Auseinandersetzung mit den vorgebrachten Rügen zu entnehmen, womit nicht von einer einlässlichen und differenzierten Begründung gesprochen werden könne.
3.2 Das rechtliche Gehör gemäss <ref-law> gebietet, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid Betroffenen tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Sie kann sich vielmehr auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (BGE <ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit weiteren Hinweisen).
3.2.1 Der angefochtene Entscheid äussert sich zum Sachverhalt, gibt gerafft den Standpunkt des Beschwerdeführers sowie des Gerichtspräsidenten wieder und enthält einen kurzen Überblick zur bernischen Ablehnungsregelung von <ref-law> sowie über die bundesgerichtliche Rechtsprechung zur Ausstandsfrage. Die eigentliche Auseinandersetzung mit den Rügen des Beschwerdeführers erfolgt relativ knapp. Das Schwergewicht der Begründung liegt auf der Feststellung, dass Verfahrensmassnahmen, und dabei insbesondere die verweigerte Verfahrensbeschränkung, keinen Anschein der Befangenheit zu begründen vermögen. Auf die behauptete Verletzung der "civil rights" und des rechtlichen Gehörs durch den Gerichtspräsidenten wird hingegen nur insofern eingegangen, als festgestellt wird, dass auch diese angeblichen Verstösse keinen Anschein der Befangenheit zu erregen vermöchten. Schliesslich hält der Entscheid unter Hinweis auf die bernische Zivilprozessordnung fest, dass es im Ermessen des Instruktionsrichters liege, über die beantragte Verfahrensbeschränkung zu befinden.
3.2.2 Der angefochtene Entscheid bleibt eher im Allgemeinen haften. Die Subsumtion ist kurz ausgefallen. Trotzdem geht daraus die für die Vorinstanz massgebende Frage mit hinreichender Deutlichkeit hervor, nämlich inwieweit Verfahrensmassnahmen die Befangenheit des Instruktionsrichters indizieren können. Der Beschwerdeführer konnte somit den Entscheid sachgerecht anfechten. Demzufolge hat die Vorinstanz die bundesrechtlichen Anforderungen an die Begründung eines Urteils nicht verletzt. Die entsprechende Rüge des Beschwerdeführers ist unbegründet.
4. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz ausserdem vor, sie verletze seinen Anspruch auf Behandlung nach Treu und Glauben und handle willkürlich, indem sie ihm zumute, seine Streitsache von einem nicht unparteilichen und nicht neutralen Richter beurteilen zu lassen.
Inwiefern sich die Vorinstanz durch die behauptete rechtsfehlerhafte Anwendung der verfassungsrechtlichen Normen über die richterliche Unabhängigkeit zugleich wider Treu und Glauben (<ref-law>; Art. 11 KV/BE [SR 131.212]) verhalten haben soll, tut der Beschwerdeführer nicht dar. Seine Ausführungen erschöpfen sich letztlich in der Behauptung, eine fehlerhafte Rechtsanwendung stelle zugleich einen Verstoss gegen Treu und Glauben dar, ohne zu begründen, wieso dies der Fall sein soll. Auf eine solche, rein appellatorische Kritik kann nicht eingetreten werden.
Ebensowenig zeigt der Beschwerdeführer auf, inwiefern die Vorinstanz qualifiziert falsch und damit willkürlich (<ref-law>) entschieden haben soll. Auch auf diese Rüge kann mithin nicht eingetreten werden.
5. Der Beschwerdeführer rügt ferner die unrichtige Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz. Er kritisiert, das Obergericht habe den Sachverhalt dahingehend unrichtig festgestellt, als der Beschwerdeführer den Gerichtspräsidenten mit Schreiben vom 7. April 2009 nicht aufgefordert habe, seine Verfügung vom 2. April 2009 neu zu begründen, sondern diese überhaupt zu begründen.
Die Rüge ist offensichtlich unbegründet, so dass offen gelassen werden kann, ob der Beschwerdeführer überhaupt die Erfordernisse für das Eintreten auf eine Sachverhaltsrüge erfüllt hat. In seinem Brief vom 7. April 2009 hat der Beschwerdeführer den Gerichtspräsidenten nämlich wörtlich aufgefordert, seine Verfügung "neu zu begründen" und nicht etwa "überhaupt zu begründen".
Unter dem Titel der unrichtigen Sachverhaltsfeststellung erhebt der Beschwerdeführer weitere Rügen bezüglich der Befangenheit des Beschwerdegegners. Es geht dabei um das Schreiben vom 15. April 2009. Diesbezüglich ist allerdings nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt fehlerhaft festgestellt, insbesondere den Inhalt des genannten Schreibens falsch wiedergegeben hätte. Vielmehr geht es bei diesen weiteren Rügen um die juristische Bewertung des von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalts. Auf die entsprechenden Vorbringen ist deshalb erst im zutreffenden Zusammenhang näher einzugehen (E. 7).
6. 6.1 Die Befangenheit des Gerichtspräsidenten begründet der Beschwerdeführer mit verschiedenen, angeblich im Verfahren begangenen Fehlern. Zusammengefasst wirft er ihm vor, seine Stellungnahmen und Anträge beharrlich nicht zur Kenntnis zu nehmen und seine Entscheide nicht zu begründen. Konkret sei er auf den Antrag auf Verfahrensbeschränkung ohne Begründung nicht eingetreten. Des Weiteren habe er ein bestrittenes Editionsbegehren ohne Begründung gutgeheissen und damit einem unzulässigen Ausforschungsbeweis stattgegeben. Schliesslich weigere er sich auch, sich mit den rechtlichen und tatsächlichen Voraussetzungen des Neurechtsgesuches auseinanderzusetzen. Der Beschwerdeführer verweist auf eine angebliche Missachtung der Behauptungs- und Substanziierungslast, eine Umkehr der Beweislastverteilung und die mit all dem verbundene Verletzung seiner Persönlichkeitsrechte. Mit diesem Verhalten habe der Beschwerdegegner den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>; Art. 26 Abs. 2 KV/BE), den Anspruch auf Behandlung nach Treu und Glauben (<ref-law>), das Willkürverbot (<ref-law>), das Recht auf ein faires Verfahren (Art. 6 EMRK) sowie das Verbot der Rechtsverweigerung verletzt. Diese wiederholten Fehler würden die Befangenheit des Beschwerdegegners manifestieren, weshalb die Garantie auf ein unabhängiges Gericht verletzt sei (<ref-law>; Art. 6 Ziff. 1 EMRK).
Im Weiteren leitet der Beschwerdeführer die Befangenheit des Gerichtspräsidenten sinngemäss auch daraus ab, dass sich dieser mit seinem Schreiben vom 15. April 2009 inhaltlich bereits festgelegt habe und für das weitere Verfahren nicht mehr offen erscheine.
6.2 Nach den vom Beschwerdeführer angerufenen Bestimmungen von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, die im einschlägigen Punkt dieselbe Tragweite aufweisen, hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unabhängigen und unparteiischen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird (<ref-ruling> E. 2 S. 15 mit Hinweis). Die Garantie des verfassungsmässigen Richters ist verletzt, wenn bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (<ref-ruling> E. 2 S. 15; <ref-ruling> E. 3.4 S. 116 mit Hinweisen).
Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Diese können namentlich in einem bestimmten Verhalten des Richters begründet sein. Auf das bloss subjektive Empfinden einer Partei kann bei dieser Beurteilung nicht abgestellt werden. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 240).
Verfahrensmassnahmen eines Richters als solche, seien sie richtig oder falsch, vermögen im Allgemeinen keinen objektiven Verdacht der Befangenheit des Richters zu erregen, der sie verfügt hat (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 mit Hinweis; Urteil 5P.280/2006 vom 5. Dezember 2006 E. 3.2). Dasselbe gilt für einen allenfalls materiell falschen Entscheid (<ref-ruling> E. 3b S. 404). Anders liegt es nur, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, die als schwere Verletzung der Richterpflichten bewertet werden müssen (<ref-ruling> E. 3a S. 138; <ref-ruling> E. 3b S. 404; Urteil 1P.760/2004 vom 10. Februar 2005 E. 3.1). In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass Verfahrensverstösse im dafür vorgesehenen Rechtsmittelverfahren zu rügen sind und grundsätzlich nicht als Begründung für die Verletzung von <ref-law> herangezogen werden können (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 f. mit Hinweis; Urteil 5P.280/2006 vom 5. Dezember 2006 E. 3.2 mit Hinweisen).
6.3 Ansatzpunkt der Kritik des Beschwerdeführers an der Verfahrensführung des Gerichtspräsidenten bilden die Verfügung vom 2. April 2009 und das Schreiben vom 15. April 2009.
In tatsächlicher Hinsicht steht fest, dass der Beschwerdegegner seine Verfügung vom 2. April 2009 bezüglich der Editionsaufforderung und der nicht gewährten Verfahrensbeschränkung nicht begründet hat. Der obergerichtliche Entscheid erwähnt dies zwar nicht ausdrücklich; es ist jedoch für die Beurteilung der Rügen des Beschwerdeführers relevant und ergibt sich ohne weiteres aus den Akten. Somit kann diese Tatsache vom Bundesgericht in Anwendung von <ref-law> von Amtes wegen ergänzt werden.
Im dem vom Obergericht berücksichtigten Schreiben vom 15. April 2009 an den Beschwerdeführer legte der Gerichtspräsident zusammengefasst dar, dass er gestützt auf eine mündliche Parteiverhandlung (zunächst ohnehin) über die Zulässigkeit des Gesuchs um Neues Recht entscheide, wobei er die behaupteten neuen Tatsachen zu würdigen habe. Die Gutheissung des Beweisantrages der Gesuchstellerin habe nichts mit der Frage der Beschränkung des Verfahrens zu tun, da auch bei Verfahrensbeschränkung der Richter die erforderlichen Beweise abzunehmen und zu würdigen habe. Erscheine ihm das Gesuch um Neues Recht als unzulässig, so werde es abgewiesen, womit eine Verfahrensbeschränkung nicht nötig sei. Erweise sich das Gesuch als zulässig, habe der Richter das frühere Urteil aufzuheben und aufs Neue zu entscheiden. Die vom Gesetzgeber gewählte Koppelung und Zusammenfassung der beiden Entscheide sei insbesondere deshalb sinnvoll, weil neue Beweismittel und Tatsachen im Sinne von Art. 368 Ziff. 1 und 2 ZPO nur dann zu Neuem Recht führten, wenn ihre Berücksichtigung eine andere Beurteilung der Streitsache zur Folge habe. Ob Neues Recht zu gewähren sei, könne somit nicht ohne materielle Prüfung der Sache beurteilt werden, es sei denn, es mangle an einer allgemeinen Prozessvoraussetzung wie der Wahrung der Frist, oder es liege von vornherein kein Neurechtsgrund vor. Ob Letzteres zutreffe, werde am Verhandlungstermin entschieden.
6.4 Bei der umstrittenen Verfügung vom 2. April 2009 handelt es sich um eine blosse verfahrensleitende Massnahme. Wie soeben ausgeführt, vermögen Verfahrensmassnahmen grundsätzlich keinen Anschein der Befangenheit des anordnenden Richters zu begründen, unabhängig davon, ob sie materiell- oder prozessrechtlich richtig oder falsch sind. Anderes ist nur denkbar, wenn dem Richter besonders krasse Verstösse vorgeworfen werden können. Die angeblichen Verfahrensverstösse des Beschwerdegegners im Zusammenhang mit der genannten Verfügung sind deshalb einzig unter dem Aspekt zu prüfen, ob sie dermassen gravierend sind, dass sie als schwere Verstösse gegen die Richterpflicht beurteilt werden müssten und damit geeignet wären, dessen Befangenheit zum Ausdruck zu bringen. Eine umfassende rechtliche Überprüfung der materiellen und prozessualen Entscheide des Gerichtspräsidenten ist hingegen einem allfälligen Rechtsmittelverfahren in der Sache anheimgestellt.
6.4.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, der Gerichtspräsident setze sich über seine Vorbringen hinweg, begründe seine Entscheide überhaupt nicht, verletze damit den Anspruch auf rechtliches Gehör und erscheine demzufolge als befangen.
Wie bereits erwähnt, hat der Beschwerdegegner seine Verfügung vom 2. April 2009 zunächst tatsächlich nicht begründet. Inwieweit und in welchem Zeitpunkt er dies hätte tun müssen, kann jedoch offen bleiben. Denn mit seinem Schreiben vom 15. April 2009 hat er auf Aufforderung des Beschwerdeführers hin eine Begründung nachgereicht. Darin liess er erkennen, weshalb er dem Antrag auf Verfahrensbeschränkung nicht stattgegeben und den Editions- bzw. Beweismittelantrag der Gegenpartei gutgeheissen hat. Des Weiteren legte er darin die Optionen dar, wie mit dem Neurechtsgesuch prozessual weiter verfahren werden kann. Er setzte sich also mit den Voraussetzungen des Neurechtsgesuchs durchaus auseinander. Soweit er nicht auf alle vom Beschwerdeführer vorgetragenen Kritikpunkte eingegangen sein sollte, könnte darin jedenfalls kein derart grober Verfahrensfehler gesehen werden, dass er die Befangenheit des Beschwerdegegners indizieren würde. Selbst unter dem Gesichtswinkel des verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör ist der Richter nämlich nicht verpflichtet, auf alle Parteistandpunkte einlässlich einzugehen. Stattdessen kann er sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (BGE <ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit weiteren Hinweisen). Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass das von ihm ebenfalls zitierte kantonale Verfassungsrecht weitergehende Garantien einräumt. Im Übrigen ist daran zu erinnern, dass es im Rahmen von Zwischenentscheiden geradezu geboten sein kann, eine Begründung wenn schon knapp zu halten, um den Anschein einer bereits erfolgten Festlegung und damit der Befangenheit des Richters für das weitere Verfahren zu vermeiden (vgl. Urteil 8C_276/2007 vom 20. November 2007 E. 3.3 mit weiteren Hinweisen).
Der Rüge, der Gerichtspräsident weigere sich beharrlich, Eingaben des Beschwerdeführers zur Kenntnis zu nehmen, zu beurteilen und zu begründen, ist damit der Boden entzogen. Vielmehr beweist das Schreiben vom 15. April 2009, dass der Beschwerdegegner den Standpunkt des Beschwerdeführers durchaus zur Kenntnis genommen und beurteilt hat.
6.4.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, der Entscheid über die Verfahrensbeschränkung hätte ausführlicher begründet werden müssen, da es sich um einen Ermessensentscheid handle. Der Gerichtspräsident habe auch unter diesem Aspekt das rechtliche Gehör verletzt. Wie es sich damit im Einzelnen verhält, muss wiederum offen bleiben. Der Gerichtspräsident hat sich, wenn auch erst im Nachhinein, darüber geäussert, weshalb er die Verfahrensbeschränkung ablehnt. Ihm kann deshalb kein augenfälliger, zum Eindruck seiner Befangenheit führender Fehler vorgeworfen werden.
6.4.3 Der Beschwerdeführer wirft dem Gerichtspräsidenten des Weiteren eine Verletzung des Rechts auf ein faires Verfahren (Art. 6 EMRK) vor. Er missachte das Recht auf kontradiktorische Beweisaufnahme, indem er die Einwendungen des Beschwerdeführers gegen beantragte Beweismittel nicht zur Kenntnis nehme, und er weigere sich, seine Entscheide zu begründen. Diese Rüge erschöpft sich in der bereits behandelten Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs, womit ihr keine selbständige Bedeutung zukommt.
6.4.4 Ausserdem wirft der Beschwerdeführer dem Gerichtspräsidenten Rechtsverweigerung vor, weil er sich mit wesentlichen Rügen nicht auseinandergesetzt habe. Ein neuer Gesichtspunkt wird auch damit nicht angesprochen, denn die Rüge berührt sich mit dem schon behandelten Vorwurf der Verletzung des rechtlichen Gehörs (vgl. auch Urteil 1C_45/2007 vom 30. November 2007 E. 3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; MÜLLER/SCHEFER, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl. 2008, S. 830).
6.4.5 Der Beschwerdeführer wirft dem Gerichtspräsidenten schliesslich eine willkürliche und gegen Treu und Glauben verstossende Rechtsauslegung vor. Mit dieser nicht weiter ausgeführten Kritik genügt der Beschwerdeführer den Begründungsanforderungen bei Grundrechtsverletzungen nicht. Auf diese Rüge ist deshalb nicht einzutreten.
6.5 Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, der Gerichtspräsident habe mit seiner Editionsaufforderung einem unrechtmässigen Ausforschungsbeweis stattgegeben. Der Vorwurf, der Beschwerdegegner missachte Behauptungs- und Substanziierungslast und bewirke eine Umkehr der Beweislastverteilung, zielt in dieselbe Richtung.
Wie es sich damit materiell verhält, muss offen bleiben und ist wiederum der Überprüfung durch die Rechtsmittelinstanz überlassen. Das Ablehnungsverfahren kann nicht dazu dienen, beliebigen behaupteten Fehlern im Zusammenhang mit Beweisanordnungen eines Richters nachzuspüren. Der Gerichtspräsident hat in seinem Schreiben vom 15. April 2009 dargelegt, weshalb eine beschränkte materielle Prüfung der Streitsache bereits im Rahmen der Zulassung oder Nichtzulassung des Neurechtsverfahrens erforderlich ist. Für diese materielle Überprüfung erachtet er offenbar die Vorlage gewisser Urkunden durch den Beschwerdeführer als erforderlich. Darin ist kein geradezu in die Augen springender Fehler des Gerichtspräsidenten zu erkennen, der geeignet wäre, Zweifel an seiner Unbefangenheit aufkommen zu lassen.
Nicht ersichtlich und auch nicht rechtsgenüglich begründet ist schliesslich, inwiefern in der Anordnung des Gerichtspräsidenten vom 2. April 2009 eine Verletzung der Persönlichkeitsrechte des Beschwerdeführers liegen könnte. Darauf ist nicht einzutreten.
6.6 Zusammengefasst kann von einer beharrlichen Weigerung des Gerichtspräsidenten, den Standpunkt des Beschwerdeführers zur Kenntnis zu nehmen und zu beurteilen, sowie von besonders krassen Fehlern oder wiederholten Irrtümern, die eine schwere Verletzung der Richterpflichten darstellen, nicht gesprochen werden. Die prozessualen Anordnungen des Beschwerdegegners sind zwar bisher entgegen den Anträgen des Beschwerdeführers ausgefallen. Diese Vorkehren lassen aber keine Haltung des Gerichtspräsidenten erkennen, die an seiner Unbefangenheit zweifeln lassen. Ob der Beschwerdegegner mit seinem Vorgehen allenfalls materielles oder prozessuales Recht verletzt hat - sei es etwa durch den Zeitpunkt der Begründung seiner Verfügung, sei es durch die Begründungsdichte, sei es durch den Inhalt des Angeordneten selber - , kann und muss hier offen bleiben und wird gegebenenfalls einer Nachprüfung durch die Rechtsmittelinstanz unterliegen. Eine krasse Verfehlung, die seine Befangenheit zu demonstrieren geeignet wäre, ist jedenfalls nach dem Gesagten weder aus dem Vorgehen des Gerichtspräsidenten noch aus seiner Begründung dieses Vorgehens ersichtlich.
7. 7.1 Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, sie habe verkannt, dass der Beschwerdegegner durch seine Äusserungen im Schreiben vom 15. April 2009 seine Befangenheit manifestiert habe. Indem der Gerichtspräsident ausführe, dass das Gesuch um Neues Recht dann ohne materielle Prüfung abgewiesen werden könne, wenn kein Neurechtsgrund vorliege, erkläre er implizit, dass im vorliegenden Verfahren tatsächlich ein Neurechtsgrund vorliege. Sinngemäss macht der Beschwerdeführer damit geltend, dass der Beschwerdegegner sich bereits eine Meinung über die Streitsache gebildet habe, die ihn für das weitere Verfahren nicht mehr als offen erscheinen lasse.
7.2 Im Rahmen eines Ausstandsbegehrens ist einzig prüfen, ob sich der Richter in seiner verfahrensleitenden Verfügung in einer Art und Weise festgelegt hat, die ihn für das weitere Verfahren nicht mehr als offen erscheinen liesse. Eine provisorische Beweiswürdigung und summarische Einschätzung der Rechtslage, wie sie durch den Gerichtspräsidenten vorgenommen wurde, ist im Rahmen verfahrensleitender Massnahmen häufig unumgänglich, um den Prozess voranzutreiben. Gewisse Festlegungen sind notwendige Folge davon. Daraus kann aber nicht ohne weiteres seine Befangenheit abgeleitet werden. Einerseits ist in einem Prozessrecht, in welchem der Instruktionsrichter später auch als Sachrichter auftritt, eine gewisse Vorbefassung systemimmanent (Urteil U 391/04 vom 13. September 2005 E. 3.2.3 mit Hinweisen; vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 3.7.3 S. 121 ff. zur Frage der unentgeltlichen Prozessführung). Andererseits steht dem Instruktionsrichter bei der Ausgestaltung und allfälligen Begründung verfahrensleitender Verfügungen ohnehin ein grosser Gestaltungsspielraum zu (vgl. Urteil U 391/04 vom 13. September 2005 E. 4.1).
So bestehen denn auch vorliegend keine Anzeichen, dass sich der Gerichtspräsident unzulässig festgelegt hätte. Die Argumentation des Beschwerdeführers basiert ohnehin auf einer verkürzten Wiedergabe der Aussagen des Gerichtspräsidenten. Der Gerichtspräsident legt im Schreiben vom 15. April 2009 dar, auf eine materielle Prüfung könne verzichtet werden, wenn u.a. von vornherein kein Neurechtsgrund vorliege. Damit sind allem Anschein nach Fälle gemeint, in denen es auf den ersten Blick an einem Neurechtsgrund fehlt. Dies ist nach der Einschätzung des Gerichtspräsidenten jedoch nach derzeitigem Kenntnisstand offenbar nicht der Fall, führt er doch weiter aus, dass darüber erst am Verhandlungstermin entschieden werde. Damit hat er sich allerdings noch keineswegs festgelegt, wie er die Angelegenheit nach durchgeführtem Gerichtstermin und nach Abnahme der ihm nötig erscheinenden Beweismassnahmen beurteilen wird. Laut dem Schreiben vom 15. April 2009 ist eine Abweisung des Gesuchs immer noch möglich. Folglich erscheint der Ausgang des Verfahrens weiterhin offen, womit nicht von Befangenheit des Beschwerdegegners gesprochen werden kann.
8. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
9. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind dem Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. November 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zingg