Sachverhalt:
A. Die 1951 geborene H._ war von 1989 bis zum gesundheitsbedingten Ausscheiden auf Ende Februar 2004 im Pflegeheim X._ mit einem Pensum von 70 Prozent als Hausangestellte tätig. Sie leidet an Rückenproblemen (persistierende rezidivierende Lumboischialgien, Status nach Spondylodese L3-S1) und an einer mässigen Arthrose des rechten Knies. Am 15. Dezember 2003 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen klärte den medizinischen sowie erwerblichen Sachverhalt und erhob eine Einschränkung von 34 Prozent im Haushalt (Abklärungsbericht vom 15. Oktober 2004). Der Regionale Ärztliche Dienst der Invalidenversicherung (RAD) ermittelte eine Arbeitsunfähigkeit von 80 Prozent in der angestammten Arbeit und von 60 Prozent in einer leidensangepassten Tätigkeit (Bericht vom 8. März 2005). Die IV-Stelle sprach H._ mit Wirkung ab März 2004 eine Viertelsrente bei einem Invaliditätsgrad von 48 Prozent zu (durch Einspracheentscheid vom 8. Juni 2006 bestätigte Verfügung vom 3. November 2005).
B. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die dagegen erhobene Beschwerde teilweise gut und sprach H._ eine halbe Invalidenrente zu (Entscheid vom 7. Juni 2007).
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben.
Die Versicherte lässt beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne; eventuell sei die Sache zur Abklärung der Leistungsfähigkeit in Erwerb und Haushalt an die Verwaltung zurückzuweisen. Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Sozialversicherungen auf deren Gutheissung.

Erwägungen:
1. Die Vorinstanz schützte die Invaliditätsbemessung nach der gemischten Methode (<ref-law>; <ref-ruling>; <ref-ruling>; vgl. <ref-ruling>) dem Grundsatz nach, bestätigte die hypothetische Aufteilung der Tätigkeitsbereiche im Gesundheitsfall (70 Prozent Erwerb, 30 Prozent Haushalt) und schloss sich hinsichtlich der Feststellung der medizinischen Entscheidungsgrundlagen sowie der Beurteilung der erwerblichen Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit (Teilinvaliditätsgrad von 37,8 Prozent) der Verwaltung an. Bezüglich der Ermittlung der Invalidität im Haushalt gelangte die Vorinstanz demgegenüber zum Schluss, eine Einschränkung bei häuslichen Verrichtungen von lediglich 20 bis 30 Prozent sei nicht mit dem Umstand zu vereinbaren, dass selbst für leichte leidensadaptierte erwerbliche Tätigkeiten eine Arbeitsunfähigkeit von 60 Prozent angenommen werde. Bei der hauswirtschaftlichen Abklärung sei eine gebührende Berücksichtigung des fachärztlich attestierten Restleistungsvermögens verlangt. Nach einer Korrektur der Leistungsminderungsschätzung in einzelnen Bereichen der Haushaltführung (Ernährung, Wäsche und Kleiderpflege, Einkauf) betrage hier die Einschränkung 52 Prozent, mithin die Teilinvalidität 15,6 Prozent (anstelle der von der IV-Stelle angenommenen 34 respektive 10,2 Prozent). Der Gesamtinvaliditätsgrad erhöhe sich dadurch auf 53 Prozent (0,7 x 54 Prozent plus 0,3 x 52 Prozent), was den Anspruch auf eine halbe Invalidenrente begründe.
2. Streitig ist, ob die auf einer abweichenden Beurteilung der massgebenden Einschränkung im Haushalt beruhende leistungsrelevante Anhebung des Invaliditätsgrades durch das kantonale Gericht rechtmässig sei.
2.1 Die vorinstanzliche Feststellung über das Ausmass einer Einschränkung ist grundsätzlich eine Sachverhaltsfeststellung (Urteil I 693/06 vom 20. Dezember 2006, E. 6.3; vgl. <ref-ruling> E. 3.2), die im Rahmen von Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG für das Bundesgericht verbindlich ist. Vom Bundesgericht frei zu prüfende Rechtsfrage ist hingegen, ob die Vorinstanz dabei von zutreffenden Rechtsbegriffen ausgegangen ist. Die vorinstanzliche Annahme einer Einschränkung im Haushalt von 53 Prozent erscheint im Vergleich zum erwerblichen Bereich nicht als offensichtlich unrichtig: Die Beschwerdegegnerin war nach ärztlichem Bekunden, auf welches das kantonale Gericht und die IV-Stelle abstellten, in der früheren Tätigkeit einer Hausangestellten, welche im Wesentlichen Putzarbeiten umfasste, zu 80 Prozent und in einer leidensadaptierten, das heisst leichten und wechselbelastenden Arbeit immer noch zu 60 Prozent arbeitsunfähig (Bericht des RAD vom 8. März 2005). Auch unter Berücksichtigung des Umstands, dass die Auswirkungen des Gesundheitsschadens auf die Leistungsfähigkeit durch geeignete organisatorische Massnahmen und - im Rahmen der Verhältnismässigkeit - durch die Mithilfe der Familienangehörigen möglichst zu mildern sind (vgl. <ref-ruling>), ist es plausibel, dass die Einschränkung im Haushalt unter den gegebenen Umständen jedenfalls nicht wesentlich geringer einzuschätzen ist als in einer leidensangepassten Tätigkeit; dies zumal der Spielraum für eine der gesundheitlichen Beeinträchtigung Rechnung tragenden Einteilung der Arbeit, für Pausen etc. bei einem Anteil der Betätigung im Haushalt von einem knappen Drittel der Gesamtaktivität geringer ist als bei einem grösseren Pensum in diesem Aufgabenbereich (vgl. Urteil I 681/02 vom 11. August 2003, E. 5.1).
2.2 Nach vorinstanzlicher Rechtsauffassung muss für die Festlegung des Ausmasses der Einschränkung im Aufgabenbereich Haushalt stets danach gefragt werden, wie es sich mit der Leistungsfähigkeit verhalte, wenn die einzelne Verrichtung vollzeitlich ausgeübt werden müsste. Diese methodische Vorgabe ist, wie die Beschwerdeführerin zu Recht geltend macht, zu verwerfen: Massgebend ist nicht die hypothetische Einschränkung, wenn jede der einzelnen Tätigkeiten in einem Vollpensum ausgeübt würde, sondern die konkrete Einschränkung in der bisher ausgeübten Tätigkeit (Urteile I 300/04 vom 19. Oktober 2004, E. 6.2.2, und I 693/06 vom 20. Dezember 2006, E. 6.5). Im Ergebnis wird der angefochtene Entscheid indes auch durch die aktuelle bundesgerichtliche Rechtsprechung zur Beachtung von Wechselwirkungen im Rahmen der gemischten Invaliditätsbemessungsmethode gestützt (vgl. <ref-law>). Mit Urteil I 156/04 vom 13. Dezember 2005 (SVR 2006 IV Nr. 42 S. 151) hatte das Bundesgericht festgehalten, die ärztliche Einschätzung der Leistungseinbusse in Erwerb und Haushalt habe grundsätzlich auch allenfalls leistungsmindernde Auswirkungen der jeweils anderen Tätigkeit miteinzubeziehen (E. 6.2). In Präzisierung dieses Grundsatzes definierte das Bundesgericht später eine Reihe von Voraussetzungen, unter denen die Beanspruchung im jeweils anderen Tätigkeitsfeld zu berücksichtigen ist (BGE I 246/05 vom 30. Oktober 2007, E. 7). So erscheint die Möglichkeit einer gegenseitigen Beeinflussung umso geringer, je komplementärer die Anforderungsprofile der Tätigkeitsgebiete ausgestaltet sind (E. 7.3.1). Mit Blick auf die ärztliche Zumutbarkeitsbeurteilung und das berufliche Curriculum der Beschwerdegegnerin sind die Belastungen in beiden versicherten Bereichen weitgehend ähnlich: Die Inanspruchnahme des vom Leiden betroffenen Bewegungsapparats ist im Haushalt unausweichlich; auch adaptierte erwerbliche Tätigkeiten dürften zwangsläufig wiederum mit einer Belastung des Achsenorgans verbunden sein. Die erwähnte Komplementarität ist mithin kaum gegeben, so dass sich das Vorhandensein nachteiliger Wechselwirkungen aufdrängt. Weitere der im zitierten Entscheid erwähnten Voraussetzungen (E. 7.3.2-7.2.5) sind hier nicht einschlägig. Unter Annahme einer zusätzlichen Einschränkung im Umfang von (ungewichteten) 15 Prozentpunkten (vgl. BGE I 246/05, E. 7.3.6) errechnet sich ein Gesamtinvaliditätsgrad von (gerundeten; <ref-ruling>) 53 Prozent, was ziemlich genau dem vorinstanzlichen Ergebnis entspricht.
3. Unter Beibehaltung aller übrigen Parameter der Invaliditätsbemessung bleibt es somit bei einem Invaliditätsgrad, aufgrund dessen die Beschwerdegegnerin mit Wirkung ab März 2004 Anspruch auf eine halbe Invalidenrente hat.
4. Die Gerichtskosten werden der beschwerdeführenden Behörde als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>; Urteil 8C_67/2007 vom 25. September 2007, E. 6). Diese hat der obsiegenden Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. März 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub