Sachverhalt:
A. X._ stellte am 16. April 2009 beim Gesundheitsamt des Kantons Solothurn das Gesuch für das Betreiben eines Fumoirs in der so genannten "Kronenbar" in seinem Betrieb Hotel Krone AG in Solothurn. Am 21. September 2009 wies das Departement des Innern des Kantons Solothurn dieses Gesuch ab mit der Begründung, das Fumoir erfülle die Kriterien an einen Nebenraum nicht, da es aufgrund seiner Lage im Betrieb (separater Eingang) als eigenständiger Betrieb wahrgenommen werde; zudem handle es sich um einen eigenen Gastronomiebereich (Bar).
Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 21. Dezember 2009 ab.
B. Mit Eingabe vom 8. Februar 2010 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, die Entscheide des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 21. Dezember 2009 und des Departementes des Inneren des Kantons Solothurn vom 21. Dezember 2009 aufzuheben. Ihm - dem Beschwerdeführer - sei zu bewilligen, in der Kronenbar des Hotels Krone in Solothurn - allenfalls unter Auflagen - ein Fumoir zu betreiben.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an das Departement des Innern des Kantons Solothurn zurückzuweisen. Das Gesundheitsamt des Kantons Solothurn beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid, der sich auf das Gesundheitsgesetz des Kantons Solothurn vom 27. Januar 1999 (im Folgenden: Gesundheitsgesetz) sowie die Verordnung zum Schutz vor Passivrauchen vom 24. März 2009 (im Folgenden auch: Verordnung) stützt. Er erging mithin in Anwendung von kantonalem öffentlichem Recht. Da kein Ausschlussgrund nach Massgabe von <ref-law> gegeben ist, steht dagegen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> offen. Der Beschwerdeführer ist hierzu legitimiert (<ref-law>). Nicht eingetreten werden kann auf die Beschwerde hingegen, soweit damit die Aufhebung des Entscheides des Departementes des Inneren des Kantons Solothurn verlangt wird. Dieser ist durch das Urteil des Verwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt inhaltlich als mitangefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
1.2 Der angefochtene Entscheid stützt sich zur Hauptsache auf kantonales Gesundheitsrecht. Insofern kommt als Beschwerdegrund im Wesentlichen die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht, insbesondere von verfassungsmässigen Rechten der Bundesverfassung, in Frage (<ref-law>). Die Anwendung des kantonalen Rechts als solches bildet nicht Beschwerdegrund. Überprüft werden kann insoweit nur, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung sonstwie gegen übergeordnetes Recht verstossen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.).
1.3 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287). Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Die Verhältnismässigkeit kantonalrechtlicher Anordnungen ausserhalb von Grundrechtseingriffen prüft das Bundesgericht nicht frei, sondern nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 156 f.).
1.4 Das Bundesgericht legt sodann seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2). Im Bereich der Beweiswürdigung steht dem Sachgericht ein erheblicher Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 4b S. 40). Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn das Sachgericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4b S. 40; <ref-ruling> E. 1b S. 30).
2. 2.1 Nach § 6bis Abs. 4 des Gesundheitsgesetzes ist das Rauchen in geschlossenen Räumen, die der Öffentlichkeit zugänglich sind, wie in Gebäuden der öffentlichen Verwaltung, in Spitälern, Heimen, Kultur- und Sportstätten, Schulen, Kindergärten und anderen Bildungsstätten und in allen Bereichen der Gastronomie verboten. Getrennte und entsprechend gekennzeichnete Räume mit ausreichender Belüftung können für Rauchende vorgesehen werden. Gemäss § 68 Abs. 1 des Gesundheitsgesetzes erlässt der Regierungsrat die zum Vollzug dieses Erlasses notwendigen Verordnungen.
Nach § 2 Abs. 1 der Verordnung zum Schutz vor Passivrauchen sind Fumoirs auf Dauer vom Rauchverbot ausgenommen. Betreffend Fumoirs enthält die Verordnung im Weiteren die folgenden Regelungen, welche am 1. Juli 2009 in Kraft traten:
§ 3. Fumoirs
1 Fumoirs sind baulich abgetrennte Nebenräume des Betriebes.
2 Der Hauptausschankraum eines Betriebes (Gaststube) nach § 12 Absatz 1 des Wirtschaftsgesetzes darf nicht als Fumoir benutzt werden. Mit baulichen Massnahmen kann der kleinere Teil der Gaststube als Fumoir abgetrennt werden, sofern die Auflagen gemäss § 4 eingehalten werden.
3 Im Fumoir dürfen nur Leistungen angeboten werden, die im übrigen Betrieb auch erhältlich sind.
4 Die Öffnungszeiten von Fumoirs dürfen nicht über jene des Nichtraucherbereichs hinausgehen.
§ 4. Anlage von Fumoirs
1 Fumoirs sind so anzulegen, dass
a) sie vom Nichtraucherbereich als feste Anlagen baulich getrennt sind;
b) kein Rauch in den übrigen Betrieb gelangen kann (selbsttätig schliessende Türen);
c) sie gut belüftet sind;
d) sie nicht als Durchgang zu anderen Betriebsräumen dienen;
e) sie klar als Räume für Raucherinnen und Raucher gekennzeichnet sind.
2 Die Fläche des Fumoirs darf höchstens einen Drittel der Gesamtfläche der Ausschankräume gemäss Wirteberechtigung betragen.
§ 5. Bewilligung von Fumoirs
1 Fumoirs bedürfen der Bewilligung des zuständigen Departementes. Gesuche für das Betreiben von Fumoirs sind mit Plänen und Beschrieb der Räume und Angabe der Flächen einzureichen.
2 Bestehen für Räume in derselben Liegenschaft verschiedene Patente oder Bewilligungen, so hat jede Person, der ein Patent oder eine Bewilligung erteilt ist, für ihren Bereich eine separate Bewilligung einzuholen.
§ 6. Übergangsrecht
Bis zur erfolgten Bewilligung bzw. Ablehnung eines Gesuchs nach § 5 dieser Verordnung können bisherige Fumoirs weiter betrieben werden, sofern sie den bisherigen Richtlinien entsprechen und das Gesuch bis 31. August 2009 eingereicht wurde.
Mit Fassung vom 23. Februar 2010 der Verordnung zum Schutz vor Passivrauchen wurden folgende Änderungen und Ergänzungen vorgenommen:
§ 3bis. Nebenräume
1 Nebenräume dürfen nicht über ein eigenständiges Angebot oder einen eigenen Gastronomiebereich verfügen, wobei folgende Bereiche unterschieden werden:
a) normaler Restaurationsbereich (Essen und Trinken);
b) Bars und barähnliche Räume (z.B. Lounges);
c) Räume mit speziellen Darbietungen bzw. Angeboten (z.B. Musik, Tanz, Cabaret, Spiele).
2 Weitere Kriterien für das Vorliegen eines Nebenraumes sind die Raumgrösse (in der Regel unter 80 m2), die Lage im Betrieb, die Eingangssituation und das Vorhandensein einer Ausschankeinrichtung.
§ 4. Anlage von Fumoirs
1 Fumoirs sind so anzulegen, dass
a) sie vom Nichtraucherbereich als feste Anlagen baulich getrennt sind;
b) kein Rauch in den übrigen Betrieb gelangen kann (selbsttätig schliessende Türen);
c) sie gut belüftet sind;
d) sie nicht als Durchgang zu anderen Betriebsräumen dienen;
e) sie klar als Räume für Raucherinnen und Raucher gekennzeichnet sind.
2 Die Fläche des Fumoirs darf höchstens einen Drittel der Gesamtfläche der Ausschankräume gemäss Wirteberechtigung betragen.
§ 5. Bewilligung von Fumoirs
(....)
3 Grundsätzlich wird nur ein Fumoir pro Betrieb bewilligt. Bei grösseren Betrieben (insbesondere mit verschiedenen Angeboten) kann von diesem Grundsatz abgewichen werden.
2.2 Das Problem der zeitlichen Geltung von Rechtserlassen ist im Allgemeinen weniger akut bei Ausführungsverordnungen, welche definitionsgemäss keine einschneidenden Änderungen herbeiführen sollten, als bei Gesetzen im formellen Sinne. Die Verordnung zum Schutz vor Passivrauchen enthält keine Übergangsregelung betreffend die geänderten Bestimmungen, weshalb die Frage des anwendbaren Rechts nach allgemeinen Prinzipien zu bestimmen ist. Massgeblich für die bundesgerichtliche Beurteilung ist danach grundsätzlich die Rechtslage, wie sie bestand, als der angefochtene Verwaltungsakt erging (<ref-ruling> E. 5 e/aa S. 598 mit Hinweisen). Massgebend ist damit vorliegend grundsätzlich die Verordnung zum Schutz vor Passivrauchen in ihrer ursprünglichen Fassung. Soweit die Vorinstanz Bezug nimmt auf die Änderungen vom 23. Februar 2010, oder auf die Bundesgesetzgebung zum Schutz vor Passivrauchen - d.h. auf das Bundesgesetz vom 3. Oktober 2008 zum Schutz vor Passivrauchen (SR 818.31) sowie auf die Verordnung vom 28. Oktober 2009 zum Schutz vor Passivrauchen (Passivrauchschutzverordnung, PaRV; SR 818.311), welche Erlasse beide am 1. Mai 2010 in Kraft traten -, sind ihre Äusserungen demnach grundsätzlich nicht relevant.
3. 3.1 Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Entscheid festgestellt, der Betrieb des Beschwerdeführers bestehe aus mehreren verschiedenen Bereichen, weshalb sich nicht von einem klaren Hauptraum und verschiedenen Nebenräumen sprechen lasse. Von der Bedeutung für den Betrieb her sei wohl vom Morgen bis zum Abend in aller Regel das Stadtrestaurant im Erdgeschoss, welches die traditionelle "Gaststube" bilde, als Hauptraum zu betrachten. Bei grösseren Veranstaltungen könne sich die Haupttätigkeit in das Obergeschoss mit den Bankettsälen verlagern, und ab dem späteren Abend bis zur Schliessungszeit in die Kronenbar. Von der Wahrnehmung her wirke die Kronenbar im Erdgeschoss des gesamten Gebäudes zweifellos als eigener Betrieb, verfüge sie doch über einen separaten Zugang und sei nicht direkt mit den anderen Ausschankräumen der Krone verbunden. Die Kronenbar könne mit den separaten Ausschankeinrichtungen auch weitgehend autonom funktionieren. Sie werde auch als Bar separat beworben und habe eigene und verlängerte Öffnungszeiten. Zwar würden die verlängerten Öffnungszeiten für den gesamten Betrieb der Hotel Krone AG gelten; in der Praxis würden sich diese aber - ausser bei traditionellen Veranstaltungen wie Fasnacht, Filmtagen, Classic-Openair etc. - ausschliesslich in der Kronenbar auswirken, da der übrige Restaurantbetrieb im Alltag nach den ordentlichen Schliessungszeiten nicht mehr frequentiert werde.
3.2 Der Beschwerdeführer bringt vor, die Kronenbar habe die gleichen Öffnungszeiten wie der ganze Betrieb; auf die verlängerten Öffnungszeiten für einen Barbetrieb sei vor längerer Zeit verzichtet worden. In der Kronenbar seien auch sämtliche Leistungen des übrigen Betriebes erhältlich wie im Stadtrestaurant und umgekehrt. Stadtrestaurant, Ambassadorenstube und Kronenbar würden durch die gleiche Küche bedient. In der Kronenbar habe es zwar einen eigenen Ausschank - wie im Stadtrestaurant, was jedoch nicht von Bedeutung sei. Es treffe zwar zu, dass die Kronenbar durch einen eigenen Zugang von der Hauptstrasse her erschlossen sei, er sei jedoch bereit, diesen Zugang zu verschliessen.
Mit diesen Vorbringen vermag der Beschwerdeführer nicht darzulegen (<ref-law>), dass die Feststellung des Sachverhaltes durch die Vorinstanz offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung beruht. Dem Urteil des Bundesgerichts ist daher der Sachverhalt zugrunde zu legen, wie ihn das kantonale Verwaltungsgericht festgestellt hat (vgl. E. 1.4).
4. 4.1 Die Vorinstanz hat aufgrund dieses Sachverhaltes den Schluss gezogen, die Kronenbar sei eigenständiger Betriebsteil oder Betrieb und decke einen eigenen Teil aus dem grossen Bereich der Gastronomie ab. Daraufhin gelangte das Verwaltungsgericht zum Ergebnis, die Kronenbar könne nicht als Nebenraum im Sinne der Gesetzgebung zum Schutz vor dem Passivrauchen qualifiziert werden. Der Beschwerdeführer rügt, diese Schlussfolgerungen beruhten auf willkürlicher Rechtsanwendung.
4. 4.1 Die Vorinstanz hat aufgrund dieses Sachverhaltes den Schluss gezogen, die Kronenbar sei eigenständiger Betriebsteil oder Betrieb und decke einen eigenen Teil aus dem grossen Bereich der Gastronomie ab. Daraufhin gelangte das Verwaltungsgericht zum Ergebnis, die Kronenbar könne nicht als Nebenraum im Sinne der Gesetzgebung zum Schutz vor dem Passivrauchen qualifiziert werden. Der Beschwerdeführer rügt, diese Schlussfolgerungen beruhten auf willkürlicher Rechtsanwendung.
4.2 4.2.1 Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.1 S.133; <ref-ruling> E. 1.2 S. 177, je mit Hinweisen).
4.2.2 Das Gesundheitsgesetz des Kantons Solothurn sieht vor, dass getrennte und entsprechend gekennzeichnete Räume mit ausreichender Belüftung für Rauchende vorgesehen werden können (§ 6bis Abs. 4). Nach § 68 Abs. 1 desselben Erlasses erlässt der Regierungsrat die zum Vollzug dieses Gesetzes notwendigen Verordnungen. In Wahrnehmung dieser Kompetenz regelte der Regierungsrat in der Verordnung zum Schutz vor Passivrauchen u.a., dass so genannte "Fumoirs" vom Rauchverbot ausgenommen sind (§ 2 Abs. 1), sowie dass Fumoirs baulich abgetrennte Nebenräume des Betriebes sind (§ 3 Abs. 1). Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, der Regierungsrat habe mit dieser Regelung die ihm erteilten Kompetenzen überschritten und die fraglichen Verordnungsbestimmungen seien nicht durch das Gesetz gedeckt. Hingegen bringt er vor, die Auslegung der Verordnung durch die Vorinstanzen sei durch das Gesetz nicht gedeckt, wobei seine Rüge darauf hinausläuft, dass er den Umstand, wonach die Kronenbar nicht als Nebenraum eingestuft wird, als nicht vom Gesetz gedeckt erachtet.
4.2.3 Der Auffassung des Beschwerdeführers kann nicht gefolgt werden. Die Vorinstanz legt im angefochtenen Entscheid dar, ein Hauptkriterium zur Beurteilung, ob es sich um einen Nebenraum im Sinne der Gesetzgebung zum Schutz vor dem Passivrauchen handle, sei, dass in diesem Raum kein eigenständiges Angebot vorhanden sei, bzw. kein eigener Gastronomiebereich damit abgedeckt werde, wobei sie zwischen normalem Restaurantbereich (Essen und Trinken), Bars und barähnlichen Räumen (z.B. Lounges) und Räumen mit speziellen Darbietungen oder Angeboten (Musik, Tanz, Carnotzet etc.) unterschied. Sie verweist dabei darauf, dass gemäss § 6bis Abs. 4 des Gesundheitsgesetzes das Rauchverbot für alle Bereiche der Gastronomie gelte. Diese Interpretation des Gesetzes ist durchaus sachgerecht. Sie trägt insbesondere dem Umstand Rechnung, dass ein normalerweise eigenständig geführter Betrieb, wie beispielsweise eine Bar, nicht bloss deshalb als Nebenraum qualifiziert werden kann, weil im gleichen Gebäude und unter einheitlicher wirtschaftlicher Führung weitere Gastronomiebetriebe geführt werden. Jedenfalls ist eine solche Auslegung des Gesetzes nicht willkürlich. Der Beschwerdeführer legt denn auch nicht dar, inwiefern diese von den Vorinstanzen vorgenommenen Abgrenzungen sich nicht in dem vom Gesundheitsgesetz vorgegebenen Rahmen halten sollten und er zeigt insbesondere nicht auf, weshalb die durch die Vorinstanzen vorgenommene Auslegung willkürlich sein sollte. Bei dieser Sachlage ist nicht weiter auf das Vorbringen des Beschwerdeführers einzugehen, wonach er bereit wäre, den Zugang zur Kronenbar zu ändern, ist dies doch nicht entscheidrelevant. Das gleiche gilt für seine Ausführungen, wonach er bereit wäre, die Kronenbar unter Auflagen zu betreiben, würde doch dies ebenfalls nichts daran ändern, dass diese Bar als eigener Gastronomiebereich zu qualifizieren wäre.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer rügt, der Entscheid des Verwaltungsgerichts verletzte den Grundsatz der persönlichen Freiheit (<ref-law>) und der Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>). Es würden Eingriffe in diese verfassungsmässigen Rechte verfügt, welche durch das Gesetz nicht gedeckt seien, bzw. indem das Gesetz in einer Art ausgelegt werde, die dem Wortlaut nicht entspreche. Der Beschwerdeführer beschränkt sich bei der Begründung dieser Rügen auf die Argumentation, das Rauchen in öffentlichen Räumen betreffe Aspekte der persönlichen Freiheit. Im Weiteren macht er geltend, das Rauchverbot in Gastgewerbebetrieben schränke ohne Zweifel sowohl die persönliche Freiheit wie auch die Wirtschaftsfreiheit ein.
5.2 Das Bundesgericht hat bereits mehrfach entschieden, das Rauchverbot in Restaurants, deren Haupttätigkeit im Angebot von Speisen und Getränken bestehe, schränke die Wirtschaftsfreiheit ihrer Betreiber nicht direkt ein (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 7.4). Wie in den beiden erstgenannten Fällen, welche den Kanton Bern betrafen, ist hier mit Bezug auf den Kanton Solothurn festzustellen, dass das Rauchverbot nicht das Wirten als solches verunmöglicht, d.h. insbesondere die Abgabe von Speisen oder Getränken zum Konsum gegen Entgelt. Diese Tätigkeiten können unter der Geltung des Passivraucherschutzes weiterhin vollumfänglich ausgeübt werden. Auch fällt das Rauchverbot nicht absolut aus. Ein abgetrennter Nebenraum, dessen Fläche einen gewissen Umfang nicht überschreitet und der weitere bauliche Voraussetzungen erfüllt, darf als Fumoir betrieben werden. Dabei wird das grundsätzliche Rauchverbot wieder erheblich gelockert. Entgegen der - nicht weiter begründeten - Meinung des Beschwerdeführers vermag daran nichts zu ändern, dass für die Beurteilung, ob es sich beim fraglichen Raum um einen Nebenraum handelt, nicht auf den Gesamtbetrieb abgestellt wird, sondern als massgebend erachtet wird, ob es sich um einen eigenständigen Gastronomiebereich handelt. Die identischen Überlegungen gelten im übrigen in gleicher Weise in Bezug auf den vom Beschwerdeführer gerügten Eingriff in das Grundrecht der persönlichen Freiheit.
5.3 Der Beschwerdeführer rügt schliesslich eine Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben bzw. des Vertrauensschutzes.
5.3.1 Der in <ref-law> verankerte Grundsatz von Treu und Glauben statuiert ein Verbot widersprüchlichen Verhaltens und verleiht einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens in behördliche Zusicherungen oder sonstiges, bestimmte Erwartungen begründendes Verhalten der Behörden. Gemäss Rechtsprechung ist dies der Fall, (a) wenn die Behörde in einer konkreten Situation mit Bezug auf bestimmte Personen gehandelt hat; (b) wenn sie für die Erteilung der betreffenden Auskunft zuständig war oder wenn die rechtsuchende Person die Behörde aus zureichenden Gründen als zuständig betrachten durfte; (c) wenn die Person die Unrichtigkeit der Auskunft nicht ohne weiteres erkennen konnte; (d) wenn sie im Vertrauen auf die Richtigkeit der Auskunft Dispositionen getroffen hat, die nicht ohne Nachteil rückgängig gemacht werden können, und (e) wenn die gesetzliche Ordnung seit der Auskunftserteilung keine Änderung erfahren hat (<ref-ruling> E. 6.1 S. 636 f.; <ref-ruling> E. 5 S. 480 f.; vgl. auch Urteil 2C_6/2009 vom 26. August 2009 E. 3.2). Wenn Private auf das ursprüngliche Verhalten der Behörden vertraut haben, kann ein geändertes Verhalten dieser Behörden also eine Verletzung des Vertrauensschutzprinzips (<ref-law>) darstellen. Eine Behörde darf aber unter bestimmten Voraussetzungen auf eine von ihr geschaffene Vertrauensgrundlage zurückkommen oder an eine Vertrauensbetätigung eines Privaten Nachteile knüpfen (<ref-ruling> E. 6.1 S. 636 f.; Urteil 1C_242/2007 vom 11. Juni 2008 E. 3.3.1; je mit Hinweisen).
5.3.2 Der Beschwerdeführer begründet die Berufung auf den Vertrauensschutz damit, dass er am 21. Juli 2008 den Leiter des Rechtsdienstes des Gesundheitsamtes des Kantons Solothurn aufgefordert habe, er solle ihm schriftlich bestätigen, dass das Rauchen in der Kronenbar nach Inkrafttreten des Gesundheitsgesetzes erlaubt bleibe. Der Leiter Rechtsdienst habe ihm am 24. Juli 2008 geschrieben, das geschilderte Konzept (Kronenbar als Raucherraum, übrige Lokalitäten des Betriebes rauchfrei) entspreche den Vorschriften des kantonalen Gesundheitsgesetzes. Gestützt auf diese Auskunft habe er in der Kronenbar die Lüftung verstärkt und einen "Rauchvernichter" installiert, so dass nichtrauchende Gäste durch Raucher nicht übermässig belästigt würden.
5.3.3 Die Anfrage des Beschwerdeführers datiert vom 21. Juli 2008 und die Auskunft des Leiters des Rechtsdienstes des Gesundheitsamtes des Kantons Solothurn vom 24. Juli 2008. Demgegenüber wurde die Verordnung zum Schutze vor Passivrauchen durch den Regierungsrat des Kantons Solothurn mit Beschluss vom 24. März 2009 erlassen. Mit dieser Verordnung hat der hiefür kompetente Regierungsrat die gesetzlichen Bestimmungen konkretisiert. Es handelt sich dabei nicht um eine blosse Anpassung der Praxis der Verwaltung, sondern vielmehr um eine das Gesetz konkretisierende Verordnungsregelung, welche durch das hierzu befugte Organ erlassen wurde und welche - wie bereits festgestellt wurde (vgl. E. 4.2) - gesetzeskonform ist. Das bedeutet, dass die gesetzliche Ordnung seit der Auskunftserteilung durch den Erlass dieser Vollzugbestimmungen eine Änderung erfahren hat. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, dass im Zeitpunkt der Auskunftserteilung diese konkrete Regelung bereits bekannt gewesen war. Aus diesem Grunde kann er sich nicht auf den Schutz seines Vertrauens in die - früher - erteilte behördliche Auskunft berufen.
6. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement des Innern des Kantons Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. August 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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