Sachverhalt:
A.
X._ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) meldete sich auf ein Zeitungsinserat der Y._ Immobilien AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin), gemäss welchem für Immobilien in Stadt und Region Zürich mit jährlichen Bruttomieteinnahmen von ca. Fr. 20 Mio. die Liegenschaftsverwaltung zu vergeben sei. Nach Vertragsverhandlungen übersandte schliesslich der damalige Rechtsvertreter der Klägerin der Beklagten am 14. Juli 2002 eine überarbeitete Vertragsversion unter dem Titel "Zusammenarbeits-Vereinbarung", die von den Parteien am 16. Juli 2002 unterzeichnet wurde.
A.a. Gemäss diesem Vertrag verlegte die Klägerin ihre Abteilung Liegenschaftsverwaltung in die Räumlichkeiten der Beklagten. Letzterer oblag die Organisation und Leitung dieser Abteilung. Die konkreten Aufgaben der Liegenschaftsverwaltung gemäss Ziffer 1 der Zusammenarbeits-Vereinbarung wurden dagegen weiterhin von Angestellten der Klägerin ausgeführt. Die Beklagte war im Rahmen ihrer Leitungs- und Organisationsaufgabe befugt zu entscheiden, ob sie die Angestellten der Abteilung Liegenschaftsverwaltung der Klägerin - im Vertragszeitpunkt fünf Personen - übernimmt oder ersetzt, dies nach Absprache mit der Klägerin. Die Beklagte konnte auch deren Anstellungsbedingungen und Zeichnungsberechtigung bestimmen. Die fünf Angestellten wurden bis zur Beendigung des Vertrages vollständig durch andere Personen ersetzt. Gegen aussen trat die Klägerin weiterhin unter eigener Firma mit ihrem Logo, Briefpapier, Postadresse, Firmentafel, Telefonbeantwortung usw. auf, und die Mietverträge betreffend die Liegenschaften der Klägerin wurden im Namen der Klägerin und ohne Vertretungszusatz abgeschlossen. Im Rahmen des Vertrages wurde der Beklagten sodann eine Vollmacht für das Betriebskonto der Klägerin erteilt. Die Entschädigung der Beklagten war so geregelt, dass diese dem Betriebskonto der Klägerin die Betriebskosten - namentlich für Personal, Mitbenützung der Räumlichkeiten und der Infrastruktur - belasten konnte, wobei sie dafür zu sorgen hatte, dass die Summe dieser Belastungen den Betrag von 3,25 % der Sollmieten nicht übersteigt. Es wird eine Reihe vom Barauslagen aufgezählt, die nicht auf diese Limite angerechnet werden, so für Mieter-, Steuer- und Betreibungsauskünfte, Betreibungsgebühren, Gerichts- und Anwaltskosten (nach Genehmigung des Beizugs eines Anwaltes durch den Verwaltungsrat der Klägerin) und ev. MWSt, die nicht vermeidbar ist. Weiter war vereinbart, dass die Beklagte den Rahmen von 3,25 % durch Belastungen beliebiger Art im Laufe des Jahres möglichst ausschöpfen sollte. Bei einer Über- oder Unterschreitung gemäss Jahresabrechnung sollte ein entsprechender Vortrag respektive Ausgleich im nächsten Betriebsjahr erfolgen.
A.b. Der Vertrag wurde fest abgeschlossen für eine Dauer von fünf Jahren bis 31. Dezember 2007 und sollte sich jeweils um ein Jahr verlängern, falls er nicht mit einer Frist von 12 Monaten auf den Ablauf hin gekündigt würde. Für den Fall einer vorzeitigen Beendigung aus wichtigen Gründen sah die Vereinbarung vor, dass die Partei, in deren Bereich der wichtige Grund aufgetreten ist, der anderen Partei eine Entschädigung von Fr. 200'000.-- schuldet. Ein wichtiger Grund musste der andern Partei vorerst schriftlich mitgeteilt werden unter Ansetzung einer Frist von 30 Tagen zur Behebung des Mangels.
A.c. Schliesslich überliess die Klägerin der Beklagten Fremdmandate, also von ihr bisher ausgeführte Liegenschaftenverwaltungen für Dritte, zur Bewirtschaftung in eigenem Namen und auf eigene Rechnung. Gleichzeitig mit dem Abschluss der Zusammenarbeits-Vereinbarung übernahm die Beklagte für eine der Tochtergesellschaften der Klägerin die Abrechnung der Buchhaltung 2002/2003 der Stockwerkeigentümergemeinschaft A._.
A.d. Mit Schreiben vom 27. Juli 2004 kündigte die Klägerin die Zusammenarbeits-Vereinbarung per 30. September 2004 gestützt auf <ref-law>. Noch im September 2004 tätigte die Beklagte vom Betriebskonto verschiedene Überweisungen an sich selbst, namentlich um sich für Ausfälle wegen der vorzeitigen Vertragsbeendigung zu entschädigen. Das Vertragsverhältnis wurde am 30. September 2004 beendet.
B.
B.a. Mit Klage beim Handelsgericht des Kantons Zürich verlangte die Klägerin von der Beklagten einen Betrag von insgesamt Fr. 473'020.25. Dieser Betrag setzte sich wie folgt zusammen:
- Entschädigung/Konventionalstrafe Fr. 200'000.-- - Untermietzins Fr. 20'000.-- - Managementleistungen Fr. 20'023.-- - Lohnkosten Oktober bis Dezember 2004 Fr. 77'881.20 - Honorar Stockwerkeigentümergemeinschaft A._ Fr. 24'000.-- - Renovationsarbeiten A._ Fr. 52'563.35 - Migrationskosten Fr. 31'300.85 - Posteinzahlungsspesen Fr. 18'273.-- - Doppelverrechnung Strasse L._ Fr. 4'590.-- - Doppelverrechnung Strasse M._ Fr. 2'243.65 - Zusatzaufwand Strasse N._ Fr. 2'154.70 - Kürzung Subventionsgelder Fr. 7'749.-- - Wasserschaden Strasse O._ Fr. 12'241.50
Ihren Anspruch begründete die Klägerin einerseits mit eigenmächtigen Bezügen der Beklagten vom Betriebskonto. Andererseits bestünden Ansprüche gegen die Beklagte wegen der Verletzung von Pflichten aus der Zusammenarbeits-Vereinbarung. Schliesslich leitete sie die Position Honorar Eigentümergemeinschaft A._ aus einem der Beklagten separat erteilten Auftrag ab.
Die Beklagte anerkannte die Doppelverrechnungen der Strasse L._ und der Strasse M._; ausserdem einen Teilbetrag von Fr. 13'943.-- für Managementleistungen. Bezüglich letzterer und auch betreffend weiterer Rückforderungen von angeblich zu Unrecht bezogener Zahlungen aus dem Betriebskonto erhob sie die Einrede der Verjährung. Im Umfang der Anerkennung und für den Fall, dass einzelne Forderungen der Klägerin als begründet beurteilt würden, erklärte sie Verrechnung mit eigenen Ansprüchen gegen die Klägerin, nämlich für einen Betrag von Fr. 172'499.40 (36 Monate à Fr. 4'791.65) wegen schuldhafter Verkürzung der Zusammenarbeit auf zwei statt wie vertraglich vereinbart fünf Jahre und Fr. 109'121.70 (15 Monate à Fr. 7'274.78) als Mietzins für die Büroräumlichkeiten im Zeitraum vom 1. Oktober 2004 bis Ende 2005.
B.b. Das Handelsgericht verpflichtete die Beklagte mit Urteil vom 17. April 2013, der Klägerin Fr. 297'137.15 nebst Zins zu bezahlen. Der Betrag setzte sich - nebst den anerkannten Positionen der Strasse L._ (Fr. 4'590.--) und der Strasse M._ (Fr. 2'243.65) - wie folgt zusammen: Entschädigung/Konventionalstrafe (Fr. 200'000.--), Untermietzins (Fr. 20'000.--), Managementleistungen (Fr. 15'002.65), Migrationskosten (Fr. 31'300.85) sowie Honorar Stockwerkeigentümergemeinschaft A._ (Fr. 24'000.--). Die übrigen Positionen wies es ab. Es nahm an, bei der Zusammenarbeits-Vereinbarung habe es sich um ein Auftragsverhältnis mit untergeordneten pachtrechtlichen Elementen gehandelt, das gemäss <ref-law> aufgelöst werden konnte, sodass der Beklagten grundsätzlich keine Ansprüche aus Nichteinhaltung der Vertragsdauer von fünf Jahren zuständen. Die Ansprüche der Klägerin seien auch nicht verjährt.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, das Urteil des Handelsgerichts sei aufzuheben und die Sache zur Durchführung eines Beweisverfahrens und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Klage abzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin trägt auf Nichteintreten, eventuell Abweisung der Beschwerde an. Die Beschwerdeführerin reichte unaufgefordert eine Replik ein. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Dazu zählt auch die Verletzung verfassungsmässiger Rechte. Es ist daher unnötig, dass die Beschwerdeführerin zur Geltendmachung bestimmter Verstösse gegen verfassungsmässige Rechte auch subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhebt. Die entsprechenden Rügen können im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen geprüft werden. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist demnach nicht einzutreten (<ref-law>).
1.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht des Beschwerdeführers (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4 S. 400; <ref-ruling> E. 1.1 S. 105).
Die Beschwerdeführerin hatte für Managementleistungen einen Betrag von Fr. 13'943.00 vorinstanzlich anerkannt. Die Vorinstanz sprach unter diesem Titel Fr. 15'002.65 zu. Die Beschwerdeführerin rügt die Forderung für Managementleistungen nur im Hinblick auf deren Verjährung. Mit der vorinstanzlichen Begründung zum Quantitativen setzt sie sich nicht auseinander. Mangels genügender Rüge ist darauf nicht mehr zurückzukommen.
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130, 397 E. 1.5 S. 397; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 466 f.). Soweit sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile des Bundesgerichts 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.
Umstritten sind noch die Klagepositionen Managementleistungen (nur die Verjährung), Entschädigung/Konventionalstrafe, Untermietzins, Migrationskosten und Honorar Stockwerkeigentümergemeinschaft A._. Für den Fall eines (ganzen oder teilweisen) Schutzes dieser Positionen sowie im Hinblick auf die anerkannten Doppelverrechnungen der Strasse L._ und der Strasse M._ sind sodann die Verrechnungspositionen zu beurteilen. Abgesehen vom Honorar Stockwerkeigentümergemeinschaft A._ führt die Beschwerdegegnerin sämtliche der noch strittigen Klagepositionen auf die Zusammenarbeits-Vereinbarung vom 16. Juli 2002 zurück.
2.1. Die Beschwerdeführerin tätigte noch vor Beendigung der Zusammenarbeits-Vereinbarung im September 2004 unter dem Titel Entschädigung/Konventionalstrafe (Fr. 200'000.--), Untermietzins (Fr. 20'000.-- aconto für letztes Quartal 2004) und Migrationskosten (Fr. 31'300.85) Bezüge zulasten des Betriebskontos für angebliche Ansprüche wegen verfrühter Vertragsauflösung. Ausserdem bezog sie zulasten der Abrechnung über laufende Betriebskosten und Honorar einen Pauschalbetrag für Managementleistungen. Die Beschwerdegegnerin ist der Ansicht, diese Bezüge seien vertragswidrig erfolgt.
2.2. Die Beschwerdeführerin behauptet, sie sei ermächtigt gewesen, die Belastungen vorzunehmen. Soweit Belastungen zu Unrecht erfolgt sein sollten, beruft sie sich auf Verjährung oder macht Verrechnung mit eigenen Forderungen aus der in ihren Augen unzulässigen Vertragsbeendigung geltend. Sie ist der Auffassung, die Inkorporierung der Liegenschaftsabteilung der Beschwerdegegnerin in ihre Unternehmensstruktur habe einem sog. "Contractual Joint Venture" entsprochen, das durch die Lehre als einfache Gesellschaft qualifiziert werde. Diese sei gekoppelt gewesen mit einem auf fünf Jahre fest eingegangenen Untermietvertrag. Eine Auflösung vor Ablauf von fünf Jahren sei somit nicht bzw. nur aus wichtigen Gründen gemäss Ziffer 4 des Vertrages möglich gewesen. Die Bezüge für Entschädigung/Konventionalstrafe, für die Untermiete und die Migrationskosten seien zur Deckung des durch die vertragswidrige vorzeitige Beendigung verursachten Schadens gemacht worden.
2.3. Die Vorinstanz qualifizierte die Vereinbarung als Auftragsverhältnis mit untergeordneten pachtvertraglichen Elementen, auf dessen Beendigung <ref-law> anwendbar sei. Sie erachtete die Kündigung daher grundsätzlich für zulässig.
2.3.1. Sie ging davon aus, die der Beschwerdeführerin erteilte Vollmacht habe sämtliche Kontobelastungen abgedeckt; diese seien somit nicht vertragswidrig erfolgt. Jedoch bestehe eine vertragliche Forderung der Beschwerdegegnerin, soweit die Bezüge die Limite von 3,25 % der Sollmieten überschritten und es sich dabei nicht um Barauslagen gemäss Ziffer 3 drittes Lemma der Zusammenarbeits-Vereinbarung handelte, die nicht an die Limite anzurechnen waren. Die Positionen Entschädigung/Konventionalstrafe, Untermietzins und Migrationskosten erachtete die Vorinstanz ebenso wie die Belastung für Managementleistungen als auf die Limite anrechenbar. Da die Limite anderweitig schon überschritten worden sei, hätten diese zusätzlichen Belastungen vollumfänglich zu einer weiteren Überschreitung geführt und in ihrem gesamten Umfang zu einer vertraglichen (Rück-) Forderung der Klägerin, auf die <ref-law> anwendbar und die demnach nicht verjährt sei.
2.3.2. Die Vorinstanz erkannte, allfällige Schadenersatzansprüche könnten höchstens nach Massgabe von <ref-law> bestehen im Ausmass des negativen Vertragsinteresses. Sie liess offen, ob mit der vereinbarten Entschädigung von Fr. 200'000.-- dieser Schaden zulässigerweise "durch eine Konventionalstrafe pauschaliert", oder das jederzeitige Kündigungsrecht (<ref-law>) unzulässig eingeschränkt werden sollte. Die Regelung beziehe sich nur auf die Fälle vorzeitiger Beendigung aus wichtigen Gründen, und die Vertragsauflösung sei nicht aus einem wichtigen, von der Beschwerdegegnerin zu vertretenen Grund erfolgt. Die Vorinstanz kam zum Schluss, da sich die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten und zur Verrechnung gestellten Schadensposten entweder nicht unter das negative Vertragsinteresse subsumieren liessen oder die Beschwerdeführerin keine hinreichenden Behauptungen zum negativen Vertragsinteresse aufgestellt habe, bestünde keine Schadenersatzforderung, die zur Verrechnung gebracht werden könnte.
3.
Zunächst ist zu ermitteln, welche gesetzlichen Bestimmungen auf die von den Parteien geschlossene Vereinbarung anwendbar sind. Danach bestimmt sich, ob der Beschwerdeführerin die Ansprüche aus der vorzeitigen Vertragsauflösung zustehen, die sie zu ihren Gunsten verbucht hat beziehungsweise zur Verrechnung bringen will.
3.1. Die einfache Gesellschaft ist die vertragsmässige Verbindung von zwei oder mehreren Personen zur Erreichung eines gemeinsamen Zwecks mit gemeinsamen Kräften oder Mitteln (<ref-law>). Schliessen sich nur zwei Personen zusammen oder werden die Rechte und Pflichten der Beteiligten ungleich geregelt, so nähert sich die einfache Gesellschaft dem zweiseitigen Vertrag. Bei der Gesellschaft wird durch den Zusammenschluss jedoch ein gemeinsamer Zweck gefördert; jeder Gesellschafter hat durch seine Leistungen, deren Inhalt sehr verschieden sein kann und nicht zum Vornherein bestimmt sein muss, etwas zum gemeinsamen Zweck beizutragen; Dienstleistungen erfolgen dabei im Interesse aller. Die synallagmatischen oder zweiseitigen Verträge sind hingegen durch den Interessengegensatz zwischen den Vertragsparteien sowie durch die Bestimmtheit ihres Gegenstandes charakterisiert; durch den Austausch von Gütern oder Dienstleistungen werden entgegengesetzte Interessen befriedigt. Auftrag und einfache Gesellschaft voneinander abzugrenzen, kann namentlich dann schwierig sein, wenn sowohl der Auftraggeber wie der Beauftragte an der Ausführung des Auftrags interessiert sind. Diesfalls ist ein Auftrag anzunehmen, wenn ihr Interesse am Geschäft nicht gleicher Art ist. Dass beim Auftrag ein Gewinnanteil ausbedungen wird, macht das Vertragsverhältnis zwar zu einem gesellschaftsähnlichen, aber nicht zu einer einfachen Gesellschaft (<ref-ruling> E. 2 S. 111 f.; Urteil des Bundesgerichts 4C.30/2007 vom 16. April 2007 E. 4.1).
3.2. Der Inhalt eines Vertrages bestimmt sich in erster Linie nach dem übereinstimmenden wirklichen Parteiwillen (<ref-law>). Die Feststellung des tatsächlichen, wirklichen Parteiwillens, wozu namentlich auch der Wille zur gemeinsamen Zweckverfolgung gehört (Urteil des Bundesgerichts 4A_21/2011 vom 4. April 2011 E. 3.1), beschlägt eine Tatfrage bzw. die Sachverhaltsfeststellung (<ref-ruling> E. 2e/aa S. 379) und ist daher vom Bundesgericht grundsätzlich nicht überprüfbar (<ref-law>; vgl. E. 1.2 hiervor). Nur wenn der tatsächliche Parteiwille unbewiesen bleibt, sind zur Ermittlung des mutmasslichen Parteiwillens die Erklärungen der Parteien aufgrund des Vertrauensprinzips so auszulegen, wie sie nach ihrem Wortlaut und Zusammenhang sowie den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten (<ref-ruling> E. 3.2 S. 413; <ref-ruling> E. 4.1 S. 611). Für die Auslegung nach dem Vertrauensprinzip ist der Zeitpunkt des Vertragsabschlusses massgeblich. Nachträgliches Parteiverhalten ist dafür nicht von Bedeutung (<ref-ruling> E. 3.1 S. 632 mit Hinweisen). Die rechtliche Einordnung des Vertrages nach Feststellung seines Inhalts ist als Rechtsfrage Sache des Richters und daher dem Parteiwillen entzogen (<ref-ruling> E. 2 S. 496; Urteil des Bundesgerichts 4A_509/2010 vom 11. März 2011 E. 5.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 2a S. 266; <ref-ruling> E. 3.1 S. 667).
3.3. Die Vorinstanz stellte fest, die Parteien hätten keinen übereinstimmenden wirklichen Willen behauptet. Das gelte namentlich auch für die Beschwerdeführerin. Diese führe nur aus, die Beschwerdegegnerin habe keinen Geschäftsbesorgungsvertrag gewollt und was die Parteien effektiv gewollt hätten, unterliege bereits nach dem Vertragswortlaut in Verbindung mit den Begleitschreiben des damaligen Rechtsvertreters keinem Zweifel. Dabei handle es sich nicht um Behauptungen zu einem tatsächlich übereinstimmenden Willen, sondern um Elemente der objektivierten Auslegung. Im Rahmen ihrer normativen Auslegung erkannte die Vorinstanz, die Parteien hätten keinen gemeinsamen Zweck verfolgt. Die Interessen der Beschwerdegegnerin seien auf optimale Verwaltung ihrer Liegenschaften und namentlich auch auf die bestmögliche Leitung und Organisation ihrer Abteilung Liegenschaftenverwaltung gerichtet gewesen. Demgegenüber hätten sich die Interessen der Beschwerdeführerin nicht auf die Bewirtschaftung der Liegenschaften bezogen, sondern auf das mit den übernommenen Aufgaben erzielbare Entgelt. Auch aus dem Schreiben der Beschwerdegegnerin vom 23. August 2002 lasse sich nichts Gegenteiliges ableiten, da sie damit nicht mehr mitgeteilt habe, als was sich auch aus dem Vertragswortlaut ergebe. Die Zusammenarbeitsvereinbarung sei vielmehr hinsichtlich der Verpflichtung der Beschwerdeführerin zur Leitung und Organisation der Abteilung Liegenschaftenverwaltung als Auftrag im Sinn von <ref-law> zu qualifizieren.
Unter Hinweis auf das Urteil des Bundesgerichts 4C.145/2002 vom 19. August 2002 hielt die Vorinstanz sodann fest, die Verlegung der Abteilung Liegenschaftenverwaltung der Beschwerdegegnerin in die Räumlichkeiten der Beschwerdeführerin unter Verwendung der dortigen Infrastruktur sei als Pachtvertrag im Sinn von <ref-law> zu qualifizieren, da es sich um eine Nutzungsüberlassung vollständig eingerichteter Geschäftsräume inklusive aller nötigen EDV-Ausstattung gegen Entgelt gehandelt habe. Die Rechtsbeziehungen der Parteien seien aber schwergewichtig durch die Geschäftsbesorgung der Leitung und Organisation der Abteilung Liegenschaftsverwaltung der Beklagten geprägt gewesen. Das pachtrechtliche Element erscheine im Vergleich dazu als untergeordnet. Daher sei auch die Anwendung der pachtrechtlichen Bestimmungen über die Vertragsbeendigung ausgeschlossen. Vielmehr sei für die Auflösung des gesamten Vertrages das Auftragsrecht und mithin die Regelung zu Widerruf und Kündigung nach <ref-law> anwendbar.
3.4. Die Beschwerdeführerin rügt, sie habe in ihrer Klageantwort (Rz. 120-131) sowie in der Duplik (Rz. 96) sehr wohl einen tatsächlich übereinstimmenden Parteiwillen behauptet. Dort habe sie geltend gemacht, der übereinstimmende Parteiwille sei auf die Bildung einer Unternehmensstruktur gerichtet gewesen, innerhalb welcher unter gemeinsamem Management mit gemeinsamen Kräften von gemeinsamen Büros aus die Liegenschaften der Y._-Gruppe verwaltet werden sollten. Die Beschwerdeführerin qualifiziert den Vertrag als "Contractual Joint Venture" und damit als einfache Gesellschaft.
3.4.1. Die Beschwerdeführerin führte an den zitierten Stellen vor der Vorinstanz namentlich aus, die Klägerin habe eine Partnerin gesucht, mit der sie die derzeitigen und zukünftigen eigenen Liegenschaften ebenso wie die Liegenschaften von Frau B.Y._ persönlich und der Tochtergesellschaften C._ AG und D._ Immobilien AG gemeinsam bewirtschaften konnte. Sie habe keinen Geschäftsbesorgungsvertrag gewollt. "Was die Parteien effektiv wollten", habe bereits nach dem Vertragswortlaut in Verbindung mit den Begleitschreiben des Dr. E._ vom 29. Juni und 14. Juli 2002 gar keinem Zweifel unterlegen - "sie wollten die [...] genannten Liegenschaften gemeinsam, also nicht im Rahmen einer reinen Geschäftsbesorgung und einer einseitigen Interessenwahrung durch die Beklagte, bewirtschaften".
Eine Partei kann zwar auch gestützt auf die Elemente der objektivierten Auslegung einen tatsächlich übereinstimmenden Parteiwillen behaupten. Allein gestützt auf diese Elemente weicht der tatsächliche Wille aber nicht vom Auslegungsergebnis nach dem Vertrauensprinzip ab. Entsprechend hat die Vorinstanz nach der Auslegung nach dem Vertrauensprinzip geprüft, ob das Schreiben vom 23. August 2002, das als nachträgliches Parteiverhalten bei dieser Auslegung nicht zu berücksichtigen wäre, an ihrer Einschätzung etwas zu ändern vermag. Sie hat dies mit Blick auf die Übereinstimmung mit der geschlossenen Vereinbarung verneint.
3.4.2. Es entspricht der bundesgerichtlichen Rechtsprechung für die Abgrenzung der einfachen Gesellschaft von einem Auftrag von der Frage der gemeinsamen Zweckverfolgung auszugehen, wie es die Vorinstanz getan hat. Ein gemeinsames Interesse oder Motiv genügt nicht. Ein solches liegt, wenn die Entschädigung in Form einer Gewinnbeteiligung vereinbart wurde, immer vor. Vielmehr setzt die einfache Gesellschaft voraus, dass die Parteien einen gemeinsamen Zweck als Gegenstand einer gemeinsamen vertraglichen Pflicht vereinbart haben, der über das durch die Gewinnbeteiligung gesteigerte Interesse am Erfolg oder an der richtigen Vertragserfüllung hinausgeht ( LUKAS HANDSCHIN/RETO VONZUN, Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 2009, N. 214 zu <ref-law>).
3.4.3. Es ist unbestritten und ergibt sich klar aus der Zusammenarbeits-Vereinbarung, dass die ordentliche Liegenschaftsverwaltung der Beschwerdegegnerin in die Räumlichkeiten der Beschwerdeführerin verlegt und dort von dieser organisiert und geleitet werden sollte. Diese Form der Zusammenarbeit, die offensichtlich von beiden Parteien gewollt war, genügt indessen nicht für die Annahme einer einfachen Gesellschaft, sofern die eine Partei mit dem Geschäft die Verwaltung der von ihr betreuten Liegenschaften zu optimieren sucht, während die andere nach einem möglichst hohen Entgelt für die von ihr gemäss der Vereinbarung zu erbringende Leistung trachtet. Diesfalls ist das beiderseitige Interesse der Parteien am Geschäft nicht gleicher Art, und sie verfolgen keinen gemeinsamen Zweck.
3.4.4. Gemäss der getroffenen Vereinbarung erhält die Beschwerdeführerin als Entschädigung einen Anteil der Sollmieten von 3,25 %. Daraus sind gewisse Auslagen zu bestreiten, während andere bei der Verwaltung anfallende Kosten zwar dem Konto zu belasten sind, aber nicht auf die Limite angerechnet werden. Die nach Abzug der anzurechnenden Auslagen bis zum Erreichen der Limite verbleibende Differenz, soll die Beschwerdeführerin durch beliebige Belastungen möglichst ausschöpfen. In dieser Differenz liegt der eigentliche Geschäftserfolg für die Beschwerdeführerin und der von ihr verfolgte Zweck. Das Interesse der Bescherdeführerin geht darauf, die auf die Quote anrechenbaren für die Verwaltung notwendigen Ausgaben möglichst gering zu halten, was für die Beschwerdegegnerin keine Rolle spielt. Diese lässt für eine Entschädigung von 3,25 % der Sollmieten die von ihr betreuten Liegenschaften unter der Leitung der Beschwerdeführerin verwalten. Sie optimiert dadurch die Verwaltung und wälzt das Risiko der auf die Limite anzurechnenden Auslagen auf die Beschwerdeführerin ab. Für ihren Geschäftserfolg spielen die nicht auf die Quote anzurechnenden Auslagen eine Rolle, die für das Ergebnis der Beschwerdeführerin nicht massgebend sind. Das Interesse der Beschwerdegegnerin richtet sich auf die Dienstleistung der Beschwerdeführerin, deren Interesse auf das dafür geschuldete Entgelt. Dies ist die typische Situation eines synallagmatischen Vertragsverhältnisses. Die Interessenlage unterscheidet sich nicht von einer klassischen Liegenschaftsverwaltung. Unterschiede bestehen lediglich bezüglich der Art und Weise, wie die Verwaltung ausgeübt wird. Aus dem zweifellos vorhandenen beiderseitigen Interesse, die Liegenschaftsbewirtschaftung möglichst gewinnbringend zu gestalten, kann die Beschwerdeführerin nichts Entscheidendes ableiten, da sie kein Eigeninteresse an der Verwaltung der Liegenschaften dartut, das über ihr Interesse am Entgelt für die erbrachte Leistung hinausgeht. Am Interessengegensatz vermöchte ein übereinstimmender Wille zur gemeinsamen Bewirtschaftung der Liegenschaften nichts zu ändern. Für die dem Parteiwillen entzogene rechtliche Qualifikation des Vertrages ist nicht die übereinstimmend gewollte Zusammenarbeit der Parteien ausschlaggebend, die sich auch aus dem Schreiben vom 23. August 2002 ergibt, sondern welche Zwecke die Parteien damit verfolgten.
3.4.5. Auch ein sog. "Contractual Joint Venture", in dem die Parteien, ohne eine juristische Person zu gründen, auf vertraglicher Basis ein gemeinsames Unternehmen betreiben (ein typisches Beispiel sind Baukonsortien; vgl. Urteil des Bundesgerichts 4C.22/2006 vom 5. Mai 2006 E. 5 und 6; Thomas Probst, Le contrat de joint venture, in: La pratique contractuelle: actualité et perspectives, Pichonnaz/Werro [Hrsg.], 2009, S. 45 ff., S. 50ff., Marc Amstutz/Ariane Morin/Walter R. Schluep, Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 5. Aufl. 2011, N. 402 Einl. vor <ref-law>; Claude Reymond, Le contrat de joint venture, in: Innominatverträge, Festgabe zum 60. Geburtstag von Walter R. Schluep, 1988, S. 383 ff., S. 385) setzt eine Vergemeinschaftung des Zwecks voraus. Die blosse örtliche Platzierung der Liegenschaftsabteilung der Beschwerdegegnerin in den Räumen der Beschwerdeführerin und deren Führung durch die Beschwerdeführerin beinhaltet keine solche Zweckgemeinschaft.
3.4.6. Nichts Entscheidendes ergibt sich schliesslich entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin aus der vertraglich vereinbarten Dauer von fünf Jahren, denn auch der Auftrag kann, ungeachtet des jederzeitigen Widerrufsrechts nach <ref-law>, als Dauerschuldverhältnis ausgestaltet sein ( ROLF H. WEBER, Basler Kommentar, a.a.O., N. 4 zu <ref-law> mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin macht selbst geltend, als sie erkannt habe, dass die Gegenpartei Fr. 400'000.-- als Entschädigung für die künftige Zusammenarbeit verlange, habe sie stattdessen eine Reduktion ihres Gewinnanteils von 3,5 % auf 3,25 % vorgeschlagen sowie weitere Entgegenkommen. Es verstehe sich von selbst, dass sie zur Reduktion ihres Gewinnanteils nur aufgrund einer auf fünf Jahre hinaus kalkulierten Gewinnerwartung bereit gewesen sei. Aus diesen Ausführungen der Beschwerdeführerin selbst ergibt sich, dass der von ihr verfolgte Zweck primär im Erreichen eines bestimmten Gewinns für die von ihr angebotene Leistung bestand.
3.4.7. Dass mit der gewählten Vorgehensweisen Mehrwertsteuern vermieden werden sollten, ergibt sich bereits aus dem oben zitierten Schreiben vom 23. August 2002. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die damit bekundete Interessenlage spreche ganz besonders deutlich für die Qualifikation der Zusammenarbeits-Vereinbarung als einfache Gesellschaft. Der Beschwerdeführerin ist zwar zu folgen, wenn sie ausführt, im Rahmen eines gewöhnlichen Liegenschaftsverwaltungsauftrag würden die Kostenpositionen gemäss Ziffer 3 der Zusammenarbeits-Vereinbarung in die Kalkulation des Beauftragten einfliessen und daher ein höheres Verwaltungshonorar generieren, sodass auf dem gesamten (höheren) Betrag Mehrwertsteuer zu bezahlen wäre, und dass gerade solches offenbar vermieden werden sollte. Jedoch lässt sich damit nur begründen, dass die Parteien eben deshalb keinen gewöhnlichen Liegenschaftsverwaltungsvertrag abschliessen wollten und daher vom ersten Vertragsentwurf abwichen, wie auch die Vorinstanz zutreffend festhielt. Es zeigt nur, dass die Beschwerdegegnerin mit dem gewählten Konstrukt den mehrwertsteuerpflichtigen Teil möglichst gering halten wollte und zwar unabhängig davon, ob die Managementleistungen im Rahmen eines synallagmatischen Vertragsverhältnisses oder als Gesellschafterleistungen innerhalb einer einfachen Gesellschaft erbracht wurden. Mit der Vermeidung der Mehrwertsteuer verfolgt die Beschwerdegegnerin den Zweck, die Verwaltung zu optimieren, während die unvermeidbare MWSt gemäss der getroffenen Vereinbarung auf die Limite nicht angerechnet wird und so die Entschädigung der Beschwerdeführerin nicht schmälert. Auch in diesem Punkt tritt das Interesse an der Optimierung der Verwaltung einerseits und am Entgelt für die erbrachte Dienstleistung andererseits zu Tage.
3.5. Zu prüfen bleibt, ob das Handelsgericht den Regelungsschwerpunkt dieses synallagmatischen Vertragsverhältnisses zu Recht im Auftragsrecht sah und gestützt darauf für die Vertragsbeendigung auf <ref-law> abstellte.
3.5.1. Nach <ref-law> kann ein Auftrag jederzeit widerrufen oder gekündigt werden. Dieses Beendigungsrecht ist zwingend und darf weder vertraglich wegbedungen noch eingeschränkt werden. Es besteht daher auch, wenn ein Auftrag mit einer festen Dauer vereinbart wurde (<ref-ruling> E. 4 S. 115 ff.). Es gilt sowohl für reine Auftragsverhältnisse als auch für gemischte Verträge, für welche hinsichtlich der zeitlichen Bindung der Parteien die Bestimmungen des Auftragsrechts als sachgerecht erscheinen (<ref-ruling> E. 2 S. 382, 109 II 362 E. 3d S. 466). Auch auf atypische Auftragsverhältnisse findet es Anwendung. Das Bundesgericht hat trotz Kritik der Lehre an dieser Praxis festgehalten (<ref-ruling> E. 2a S. 466 f.; Urteil des Bundesgerichts 4A_141/2011 vom 6. Juli 2011 E. 2.2 und 2.3 mit Hinweisen). Für die Frage, ob hinsichtlich der zeitlichen Bindung der Parteien die Bestimmungen des Auftragsrechts als sachgerecht erscheinen, wird vor allem darauf abgestellt, ob nach Art des Vertrages ein Vertrauensverhältnis zwischen den Parteien unerlässlich ist und ihm besondere Bedeutung zukommt (Urteil des Bundesgerichts 4C.24/1989 vom 24. April 1990 E. 2c).
3.5.2. Mit der geschlossenen Vereinbarung wurde die ordentliche Liegenschaftsverwaltung der Beschwerdegegnerin in die Räumlichkeiten der Beschwerdeführerin verlegt und dort von dieser organisiert und geleitet. Entgegen der Vorinstanz ist darin kein pachtvertragliches Vertragselement zu erkennen. Ein Pachtvertrag setzt die Überlassung einer Sache (oder eines Rechts) zur Nutzung voraus. Die Beschwerdeführerin hat ihre Räume samt Infrastruktur aber nicht überlassen, sondern selbst genutzt. Sie hat der Beschwerdegegnerin nur ein Mitbenutzungsrecht eingeräumt. Auch dieses Mitbenutzungsrecht wurde der Beschwerdegegnerin indessen nicht selbstständig eingeräumt, sondern integriert in die Organisation der Beschwerdeführerin unter deren Leitung. Das Mitbenutzungsrecht selbst basiert mithin auf dem zwischen den Parteien bestehenden Vertrauensverhältnis. Nach aussen trat aber die Liegenschaftsverwaltung der Beschwerdegegnerin weiterhin unter eigener Firma auf. Es wurde der Beschwerdeführerin eine Vollmacht über das Betriebskonto erteilt, auf das sie selbstständig Abbuchungen vornehmen konnte. Die Beschwerdeführerin durfte in Absprache mit der Beschwerdegegnerin auch die Personalpolitik bestimmen. Während die von den Parteien mit der Zusammenarbeit verfolgten Zwecke und Interessen weitgehend denjenigen eines normalen Liegenschaftsverwaltungsvertrages entsprechen, setzt die Eingliederung in den Betrieb der Beschwerdeführerin und die umfangreichen Kompetenzen, die ihr übertragen werden, im Vergleich zu einer gewöhnlichen Liegenschaftsverwaltung ein gesteigertes Vertrauensverhältnis voraus. Dieses lässt die Anwendung der auftragsrechtlichen Bestimmungen auf die Vertragsauflösung als sachgerecht erscheinen. Insoweit ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden.
3.6. Die vereinbarte Integration kann allerdings ohne finanzielle Konsequenzen nicht jederzeit umgehend rückgängig gemacht werden. Damit stellt sich die Frage, ob die Kündigung allenfalls zur Unzeit (<ref-law>) erfolgte.
3.6.1. Schadenersatz ist nach <ref-law> grundsätzlich im Ausmass des negativen Interesses zu leisten. So kann beispielsweise Ersatz verlangt werden für mit Blick auf den Auftrag getätigte, nutzlos gewordene Aufwendungen oder für Gewinn, auf den der Beauftrage verzichtet hat, um sich dem Auftrag zu widmen. Das Interesse an der Fortdauer des Auftrages wird durch <ref-law> nicht geschützt (Urteil des Bundesgerichts 4A_294/2012, 4A_300/2012 vom 8. Oktober 2012 E. 7.2 mit Hinweisen). Eine vereinbarte Konventionalstrafe ist nach der Rechtsprechung nur insoweit gültig, als sie nicht über den Rahmen hinausgeht, der gemäss <ref-law> Voraussetzung der Schadenersatzpflicht der zurücktretenden Vertragspartei bildet (<ref-ruling> E. 3a S. 383; <ref-ruling> E. 4b und d).
3.6.2. Die Beschwerdeführerin lässt in der Beschwerde selbst ausführen, sie habe im gesamten Kontext ihrer vorinstanzlichen Rechtsschriften nirgends einen Anspruch aus <ref-law> erhoben geschweige denn zur Verrechnung gestellt. Unter dieser Voraussetzung verletzt die Vorinstanz kein Recht, wenn sie der Beschwerdeführerin unter diesem Titel nichts zugesprochen hat. Dass sich die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht oder gar vor der Vorinstanz subsidiär auf <ref-law> berufen hat oder ausführt, eine von ihr unter dem Titel des positiven Interesses geforderte Schadensposition entspreche dem negativen Interesse nach <ref-law>, genügt zur Geltendmachung des Schadenersatzanspruches nicht. Die Beschwerdegegnerin hat den Vertrag nicht fristlos gekündigt, sondern mit Schreiben vom 27. Juli 2004 auf den 30. September 2004. Bevor die Beschwerdeführerin einen Anspruch aus <ref-law> ableiten könnte, müsste sie aufzeigen, inwiefern die Kündigung trotz der gewährten Frist zur Unzeit erfolgte, und welcher Schaden ihr daraus konkret entstanden ist. Dass sie dies getan hätte, zeigt sie nicht auf und hat die Vorinstanz nicht festgestellt. Damit kann die Beschwerdeführerin wegen der Vertragsauflösung weder Schadenersatz noch die Konventionalstrafe beanspruchen. Die dafür erfolgten Abbuchungen sind zu Unrecht erfolgt. Auch die zur Verrechnung gestellten Forderungen, welche die Beschwerdeführerin auf den ihr aus der vertragswidrigen vorzeitigen Beendigung entstandenen Schaden stützt, bestehen nicht. Zu prüfen bleibt, ob die Beschwerdegegnerin die getätigten Bezüge zurückverlangen kann oder ob der Rückforderungsanspruch verjährt ist.
4.
Rückerstattungsansprüche können nach der allgemeinen Unterscheidung des Gesetzes wie andere Forderungen aus Vertrag, aus unerlaubter Handlung oder aus ungerechtfertigter Bereicherung entstehen und unterliegen je nach ihrem Entstehungsgrund verschiedenen Verjährungsfristen (<ref-ruling> E. 4.4.1 S. 247 f. mit Hinweisen). Massgebend ist der Entstehungsgrund des Rückforderungsanspruchs (Urteil des Bundesgerichts 4C.300/1993 vom 25. Februar 1994 E. 4c/bb; zit. Urteil 4C.24/1989 E. 1a). Zunächst ist stets zu prüfen, ob die zurückverlangte Leistung eine vertragliche Grundlage hatte (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 359; <ref-ruling> E. 3 S. 424 f.). Wer ohne jeglichen Vorbehalt in (vermeintlicher) Erfüllung des Vertrages mehr leistet als das vertraglich Geschuldete, kann die Differenz auf der Grundlage des Bereicherungsrechts zurückfordern. Anders verhält es sich, wenn die Leistung in Form vertraglich vereinbarter Akontozahlungen erbracht, aber eine spätere Abrechnung vorbehalten wurde. In diesem Fall ist der Rückforderungsanspruch der zuviel geleisteten Akontozahlungen vertraglicher Natur (<ref-ruling> E. 6.4 S. 512). Demgegenüber ist auch im vertraglichen Abrechnungsverhältnis nach erfolgter und anerkannter Saldoziehung die Korrektur einer Fehlbuchung über das Bereicherungsrecht auszugleichen. Diese Rechtsprechung gelangt namentlich bei zu viel bezahlten Mietnebenkosten zur Anwendung (<ref-ruling> E. 3.2.2. S 359; Urteil 4A_89/2012 vom 17. Juli 2012 E. 3.2.2 betreffend eine Abrechnung in einem Auftragsverhältnis).
4.1. Die Vorinstanz nahm wie dargelegt an, die Kontobelastungen seien von der Vollmacht abgedeckt gewesen. Soweit die Bezüge aber die Limite von 3,25 % der Sollmieten überschritten, bestehe eine vertragliche Rückforderung.
4.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie sei ermächtigt gewesen, alle Belastungen, also auch jene für die Pauschalentschädigung/Konventionalstrafe, Untermietzins und Migrationskosten vorzunehmen. Ziffer 3 der Zusammenarbeits-Vereinbarung habe sich auf die laufende Belastung für Betriebskosten und ihren Gewinnanteil bezogen. Nur Insoweit sei die Limite von 3,5 % zu beachten gewesen und habe eine entsprechende Abrechnungspflicht bestanden. Massgeblich sei, dass auch nach der faktischen Aufkündigung der Zusammenarbeit die Vollmacht über das Konto belassen wurde, obwohl die Verwaltungsrätin der Klägerin dieses jederzeit hätte sperren lassen können. Soweit die Beschwerdegegnerin Rückforderungen wegen ungerechtfertigter Belastung des Kontos geltend mache, handle es sich daher nicht um vertragliche, sondern um bereicherungsrechtliche Ansprüche. Auch wenn man von einem vertraglichen Abrechnungsverhältnis ausginge, wären allfällige nicht berechtigte Buchungen nach erfolgter Saldoziehung über das Betriebskonto bereicherungsrechtlich auszugleichen. Dasselbe gelte für den unter dem Titel Managementleistungen eingeklagten Anspruch.
4.2.1. Die Vorinstanz äusserte sich nicht zu einer Saldoziehung. Die Beschwerdeführerin müsste somit dartun können, dass die Vorinstanz in willkürlicher Weise den Sachverhalt unvollständig festgestellt hat (vgl. E. 1.2 hiervor). Eine solche Rüge erhebt sie nicht. Im Übrigen ist die Argumentation der Beschwerdeführerin nicht nachvollziehbar. Sie leitet die Saldoziehung daraus ab, dass auch die Beschwerdegegnerin die Abrechnung über die Ansprüche aus Managementleistungen anerkannt habe. Es trifft zu, wie die Beschwerdeführerin darlegt, dass darin neun Mietzinse à je Fr. 20'000.-- enthalten sind für den Zeitraum bis Ende September 2004. Jedoch ist unerfindlich, weshalb die Beschwerdegegnerin damit Ansprüche für den Zeitraum ab 1. Oktober 2004 anerkannt haben soll.
4.2.2. In Ziffer 1 der Vereinbarung wurde der Beschwerdeführerin unter dem Titel "Zahlungsverkehr" eine Verfügungsmacht über das Betriebskonto eingeräumt. Unter Ziffer 3, die ihre Entschädigung regelt, wurde sie als berechtigt erklärt, verschiedene "Betriebskosten [...] laufend aus dem erwähnten Betriebskonto [...] zu zahlen". Diese Belastungen (der Betriebskosten) sollten 3,5 % der Sollmietzinsen nicht übersteigen. Vorliegend interessiert nicht das Aussenverhältnis, d.h. inwieweit die Beschwerdeführerin durch Verfügen über das Konto die Beschwerdegegnerin gegenüber der Bank verpflichten konnte. Vielmehr wird in Ziffer 3 umschrieben, welche Rechte der Beschwerdeführerin im Innenverhältnis zwecks Befriedigung ihrer eigenen Ansprüche gegen die Beschwerdegegnerin zustehen. Die Limite von 3,5 % bezieht sich auf die Betriebskosten, nicht auf allfällige Ersatzforderungen wegen der Kündigung des Vertrages. Es würde weder dem Sinn der Vereinbarung noch dem Zweck allfälliger Ersatzansprüche entsprechen, wenn diese auf die Entgeltquote der Beschwerdeführerin angerechnet würden. Eine vertragliche Rückforderung gestützt auf die Abrechnungspflicht gemäss Ziffer 3 der Zusammenarbeits-Vereinbarung besteht daher nur hinsichtlich des überhöhten Bezugs für Managementleistungen.
4.2.3. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, sie sei auch zur Abbuchung derartiger Ersatzansprüche befugt gewesen, ist ihr aber nicht zu folgen. Damit vermischt sie ihre Befugnisse im Aussenverhältnis gegenüber der Bank und jene im Innenverhältnis gegenüber der Beschwerdegegnerin. Vielmehr besass sie für Belastungen, die nicht mit den laufenden betrieblichen Aufwendungen und ihrem Gewinnanteil (Honorar für Managementleistungen) zusammenhingen, überhaupt keine Ermächtigung seitens der Beschwerdegegnerin. Diesbezüglich handelte sie vertragswidrig. Soweit die Beschwerdeführerin sinngemäss die Auffassung vertritt, die Beschwerdegegnerin habe die Überweisungen gebilligt, ist ihr nicht zu folgen. Dem von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt kann dies nicht entnommen werden, und die Beschwerdeführerin legt auch nicht dar, dass die Vorinstanz eine entsprechende Feststellung in willkürlicher Weise unterlassen hätte (vgl. E. 1.2 hiervor). Die vertragliche Natur der Rückforderungen lässt sich aber entgegen der Vorinstanz und anders als für die Bezüge betreffend Managementleistungen nicht aus Ziffer 3 der Zusammenarbeits-Vereinbarung ableiten.
4.2.4. Trotzdem sind auch diese Rückforderungen vertraglicher Natur. Für die Frage der Rechenschaftsablegung ist <ref-law> anwendbar. Der mit <ref-law> dem Beauftragten auferlegten Pflicht, alles zu erstatten, was ihm infolge der Geschäftsführung aus irgend einem Grunde zugekommen ist, kommt nach ihrem Sinn und Zweck gerade auch dann Bedeutung zu, wenn der Beauftragte vertragswidrig über Vermögen oder Guthaben des Auftraggebers verfügt hat. In diesen Fällen ist daher die Rückerstattungsforderung eine vertragliche (zit. Urteil 4C.24/1989 E. 1b mit Hinweisen). Im Rahmen ihrer Abrechnungspflicht hat die Beschwerdeführerin die eigenmächtigen Belastungen des Betriebskontos zurückzuerstatten. Diese Rückforderungsansprüche sind vertraglicher Natur und daher nicht verjährt.
5.
Mit Blick auf die sich aus der Vereinbarung ergebenden Ansprüche ist der angefochtene Entscheid mithin nicht zu beanstanden. Zu prüfen bleibt die Forderung der Beschwerdegegnerin betreffend das Honorar Stockwerkeigentümergemeinschaft A._.
5.1. Die Vorinstanz stellte fest, gleichzeitig mit dem Abschluss der Zusammenarbeits-Vereinbarung habe die Beschwerdeführerin auch die Verwaltung der Stockwerkeigentümergemeinschaft von einer Tochtergesellschaft der Beschwerdegegnerin übernommen. Die Beschwerdeführerin sei formell mit Wirkung ab 1. Juli 2003 als Verwaltung dieser Stockwerkeigentümergemeinschaft gewählt worden und habe ab diesem Zeitpunkt somit einen Auftrag von dieser gehabt. In einem weiteren Auftragsverhältnis habe sie sich aber gegenüber der Beschwerdegegnerin verpflichtet, für deren Tochtergesellschaft, die davor als Verwalterin geamtet hatte, auch die Buchhaltung für das Abrechnungsjahr 1. Juli 2002 bis 30. Juni 2003 zu übernehmen. Als Entgelt für diesen Auftrag sollte die Beschwerdeführerin von den durch die Stockwerkeigentümergemeinschaft an sie bezahlten Honoraren der Verwaltungsjahre 2001/2002 und 2002/2003 von je Fr. 24'000.--, insgesamt Fr. 24'000.--, behalten. Diese Vereinbarung betreffend Aufteilung der Honorare sei unbestritten. Den darüber hinausgehenden Betrag von weiteren Fr. 24'000.-- habe die Beschwerdeführerin dagegen nach <ref-law> an die Beschwerdegegnerin herausgeben müssen. Die Beschwerdeführerin habe mit der Beschwerdegegnerin für das Abrechnungsjahr 2002/2003 ein fixes Honorar von Fr. 24'000.-- und nicht eine Abrechnung nach Stunden vereinbart. Daher könne sie jetzt nicht einwenden, der Aufwand sei viel grösser gewesen und bei einer Abrechnung nach Stunden hätte sie einen Honoraranspruch von Fr. 47'000.-- gehabt. Der Anspruch der Beschwerdegegnerin sei ein vertraglicher, der gemäss <ref-law> verjähre und somit nicht verjährt sei.
5.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet, dass sie im Auftrag der Beschwerdegegnerin für die Stockwerkeigentümergemeinschaft tätig gewesen sei. Darauf kommt es aber nicht an. Massgeblich ist vielmehr die Feststellung der Vorinstanz, die Parteien hätten unbestritten eine Vereinbarung über die Aufteilung der Honorare getroffen und für das Abrechnungsjahr 2002/2003 ein fixes Honorar von Fr. 24'000.-- vereinbart. Es kann offen bleiben, wie diese Vereinbarung zu qualifizieren ist. Jedenfalls handelt es sich um eine vertraglich vereinbarte Ablieferungspflicht, auf welche die Vorinstanz zu Recht die zehnjährige Verjährungsfrist (<ref-law>) anwendete. Die Beschwerdeführerin müsste somit darlegen, dass die Feststellung der Vorinstanz betreffend das Bestehen der entsprechenden Vereinbarung willkürlich ist (vgl. E. 1.2 hiervor). Die Beschwerdeführerin macht aber nur geltend, es sei "unbestritten [...], dass die Beschwerdeführerin ursprünglich bereit war, der Beschwerdegegnerin für die Überlassung des Auftrags A._ CHF 24'000.-- der Honorarzahlungen von A._ weiterzuleiten ... ". Damit kann sie offensichtlich keine willkürliche Feststellung der Vorinstanz begründen. Diese erachtete somit die Forderung von Fr. 24'000.-- zu Recht als ausgewiesen.
6.
Damit ist der angefochtene Entscheid insgesamt im Ergebnis nicht zu beanstanden. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde war nicht einzutreten. Die Beschwerde in Zivilsachen erweist sich als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Februar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak