Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde kann nur so weit eingetreten werden, als Sozialversicherungsbeiträge kraft Bundesrechts streitig sind. Im vorliegenden Verfahren ist daher nicht zu prüfen, wie es sich bezüglich der Beitragsschuld gegenüber der Ausgleichskasse für kantonale Familienzulagen verhält (<ref-ruling> Erw. 1 mit Hinweis).
2.- Da keine Versicherungsleistungen streitig sind, hat das Eidgenössische Versicherungsgericht nur zu prüfen, ob der vorinstanzliche Entscheid Bundesrecht verletzt, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt worden ist (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
Ferner ist Art. 114 Abs. 1 OG zu beachten, wonach das Eidgenössische Versicherungsgericht in Abgabestreitigkeiten an die Parteibegehren nicht gebunden ist, wenn es im Prozess um die Verletzung von Bundesrecht oder um die unrichtige oder unvollständige Feststellung des Sachverhalts geht.
3.- Das kantonale Gericht legt in seinem Entscheid unter Berücksichtigung der massgebenden gesetzlichen Bestimmungen und Grundsätze über die Abgrenzung der selbstständigen von der unselbstständigen Erwerbstätigkeit (Art. 5 Abs. 2 und Art. 9 Abs. 1 AHVG; <ref-ruling> Erw. 1, 122 V 171 Erw. 3a, 283 Erw. 2a, 119 V 161 Erw. 2, je mit Hinweisen; zum beitragsrechtlichen Statut von Vertragsfahrern vgl. auch ZAK 1992 S. 163 mit Hinweisen) zutreffend dar, dass es sich bei den Transportfahrten von P._ für den Beschwerdeführer um eine unselbstständige Beschäftigung gehandelt hat, weshalb auf den entsprechenden Entgelten paritätische Sozialversicherungsbeiträge geschuldet sind. Die Nachzahlungsverfügung vom 10. Juni 1999 erweist sich daher als Rechtens, wobei die gleichlautende Verfügung vom 6. Juli 1999 über dasselbe Beitragsjahr mit dem kantonalen Gericht als nichtig zu betrachten ist. Zu Recht legen Ausgleichskasse und Vorinstanz Gewicht auf die Tatsache, dass P._ die Fahrten mit einem Lastwagen des Beschwerdeführers ausgeführt hat, was gegen die Tragung eines spezifischen Unternehmerrisikos spricht.
Dass P._ für seine Fahrschule als Selbstständigerwerbender der Ausgleichskasse angeschlossen ist, spielt für die Qualifikation des strittigen Entgelts keine Rolle. Bei einer beitragspflichtigen Person, die gleichzeitig verschiedene Tätigkeiten ausübt, ist jedes Erwerbseinkommen gesondert darauf hin zu überprüfen, ob es aus selbstständiger oder unselbstständiger Tätigkeit stammt (<ref-ruling> Erw. 4a mit Hinweis). Auch die weiteren vom Beschwerdeführer und vom Mitinteressierten erhobenen Einwendungen lassen weder die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts als mangelhaft im Sinne von Art. 105 Abs. 2 OG noch die rechtliche Würdigung als bundesrechtswidrig erscheinen.
4.- Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens gehen die Kosten zu Lasten des unterliegenden Beschwerdeführers (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG), dem damit auch keine Parteientschädigung zusteht (Art. 159 Abs. 1 e contrario in Verbindung mit Art. 135 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen,
soweit darauf einzutreten ist.
II. Die Gerichtskosten von total Fr. 900.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt und mit dem geleisteten Kostenvorschuss verrechnet.
III. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Bundesamt für Sozialversicherung und P._ zugestellt.
Luzern, 25. September 2000
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: