Sachverhalt:
A.
X._ ist Eigentümer eines Einfamilienhauses in Adligenswil. Am 12. Februar 2012 forderte der Gemeinderat von Adligenswil (nachfolgend: Gemeinderat) X._ auf, für die ausgeführte Erweiterung seines Wintergartens ein Baugesuch einzureichen. Mit Eingabe vom 2. März 2012 ersuchte X._ nachträglich um Bewilligung des nicht beheizten Wintergartens und reichte dazu die entsprechenden Baupläne ein. Mit Entscheid vom 5. Juli 2012 wies der Gemeinderat das Gesuch ab. Gegen den Bauabschlag erhob X._ am 25. Juli 2012 Verwaltungsgerichtsbeschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 28. September 2012 ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 5. November 2012 beantragt X._, der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben, und sein nachträgliches Baugesuch sei zu bewilligen.
Das Verwaltungsgericht stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung. Der Gemeinderat beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hält an seinen Anträgen und an seinem Standpunkt fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil der Vorinstanz ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren über eine baurechtliche Bewilligung und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zugrunde. Das Bundesgerichtsgesetz enthält auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts keinen Ausschlussgrund von der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a und Art. 83 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 251; 409 E. 1.1 S. 411).
Die Vorinstanz wies die Beschwerde des Beschwerdeführers ab und bestätigte den Entscheid des Gemeinderats, mit welchem das nachträgliche Baugesuch des Beschwerdeführers abgewiesen wurde. Der Beschwerdeführer ist als Baugesuchsteller durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Er ist damit gemäss <ref-law> zur Beschwerdeführung legitimiert. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>; nachfolgend E. 2) und eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts sowie in diesem Zusammenhang einen Verstoss gegen Treu und Glauben (<ref-law>; nachfolgend E. 3).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer führt aus, der Gemeinderat habe seinen Abweisungsentscheid vom 5. Juli 2012 damit begründet, mit der Erweiterung des Wintergartens werde die maximal zulässige Geschossfläche überschritten. Erst in seiner Vernehmlassung im vorinstanzlichen Verfahren vom 30. August 2012 habe der Gemeinderat vorgebracht, es läge gar kein Wintergarten im baurechtlichen Sinn vor. Diese neue Begründung sei von der Vorinstanz im angefochtenen Urteil vom 28. September 2012 übernommen worden. Dieses "Nachschieben" einer neuen Begründung verletze seinen Anspruch auf rechtliches Gehör. Hinzu komme, dass ihm im vorinstanzlichen Verfahren keine Gelegenheit eingeräumt worden sei, zur Vernehmlassung des Gemeinderats Stellung zu nehmen, was ebenfalls gegen <ref-law> verstosse.
2.2. Die Rügen des Beschwerdeführers erweisen sich als unbegründet:
2.2.1. Aus <ref-law> lässt sich kein genereller Anspruch der Verfahrensbeteiligten ableiten, sich vor Erlass eines Entscheids zu dessen Begründung äussern zu können. Ein solcher Anspruch bestünde nur, wenn die Vorinstanz ihren Entscheid mit einer rechtlichen Würdigung zu begründen beabsichtigt hätte, die für den Beschwerdeführer völlig überraschend gekommen wäre (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 22). Dies ist vorliegend nicht der Fall.
Der Gemeinderat führte in der Begründung seines Entscheids vom 5. Juli 2012 die baurechtlichen Voraussetzungen auf, welche ein Raum aus seiner Sicht erfüllen muss, um als Wintergarten zu gelten; insbesondere müssten das Dach vollständig und die Seitenwände überwiegend verglast sein (Entscheid des Gemeinderats vom 5. Juli 2012, Ziffer 5). In seiner Vernehmlassung vom 30. August 2012 hielt der Gemeinderat fest, es liege kein Wintergarten im baurechtlichen Sinn vor, denn der Raum erscheine aufgrund seiner Gestaltung als blosse Wohnraumerweiterung, das Dach verfüge über keinen Glasanteil und der Verglasungsanteil der Seitenwände liege unter 50 %; ferner sei der als Wintergarten bezeichnete Raum nicht hinreichend vom rückwärtigen Wohnbereich abgetrennt (Vernehmlassung des Gemeinderats vom 30. August 2012, zu Beschwerde-Ziffer 9). Die wesentlichen baulichen und konstruktiven Anforderungen an einen Wintergarten wurden damit bereits vom Gemeinderat thematisiert. Zudem hat die Vorinstanz das Recht von Amtes wegen anzuwenden (vgl. § 37 Abs. 2 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 [VRG/LU; SRL Nr. 40]), weshalb sie zu prüfen hatte, ob der vom Beschwerdeführer als Wintergarten bezeichnete Raum baurechtlich als solcher zu qualifizieren ist. Die rechtliche Würdigung der Vorinstanz kam somit für den Beschwerdeführer nicht völlig überraschend.
2.2.2. Gemäss Art. 29 Abs. 1 und 2 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK (in Bezug auf zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen und strafrechtliche Anklagen) haben die Parteien eines Gerichtsverfahrens Anspruch auf rechtliches Gehör und auf ein faires Gerichtsverfahren, unter Beachtung des Grundsatzes der Waffengleichheit. Diese Garantien umfassen das Recht, von allen bei Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können, unabhängig davon, ob die Eingaben neue und/oder wesentliche Vorbringen enthalten (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197; <ref-ruling> E. 4.3-4.7 S. 102 ff.). Es ist Sache der Parteien zu entscheiden, ob eine Entgegnung erforderlich ist oder nicht. Nach der neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung besteht dieses Replikrecht unabhängig davon, ob ein zweiter Schriftenwechsel angeordnet, eine Frist zur Stellungnahme angesetzt oder die Eingabe lediglich zur Kenntnisnahme oder zur Orientierung zugestellt worden ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 99). Dabei wird erwartet, dass eine Partei, die eine Eingabe ohne Fristansetzung erhält und dazu Stellung nehmen will, dies umgehend tut oder zumindest beantragt; ansonsten wird angenommen, sie habe auf eine weitere Eingabe verzichtet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 486; <ref-ruling> E. 4.8 S. 105). Im Urteil Joos gegen Schweiz vom 15. November 2012 (insb. §§ 30-32) verneinte der EGMR eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK in einem Fall, in welchem das Bundesgericht nach der Zustellung einer zweiseitigen Vernehmlassung mehr als drei Wochen zugewartet hatte bis zur Urteilsfällung. Der EGMR erwog, der Beschwerdeführer habe ausreichend Zeit gehabt, um den Inhalt der Vernehmlassung zu prüfen, zu entscheiden, ob er dazu Stellung nehmen wolle, und - wenn ja - eine Stellungnahme (mit Fristansetzung) zu beantragen (vgl. hierzu auch <ref-ruling> E. 2.3 S. 486 f.).
Im zu beurteilenden Fall verhält es sich vergleichbar. Die Vorinstanz stellte dem Beschwerdeführer die dreiseitige Vernehmlassung des Gemeinderats vom 30. August 2012 mit Schreiben vom 3. September 2012 zur Kenntnisnahme zu. Das vorinstanzliche Urteil erging am 28. September 2012. Dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer stand somit genügend Zeit zur Verfügung, um eine Stellungnahme einzureichen oder zumindest um die Ansetzung einer Frist zur Stellungnahme zu ersuchen. Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz den Schluss ziehen, der Beschwerdeführer habe auf sein Replikrecht verzichtet.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat erwogen, zu prüfen sei in einem ersten Schritt, ob ein Wintergarten im Sinne von § 10 Abs. 1 lit. d der Planungs- und Bauverordnung des Kantons Luzern vom 27. November 2001 (PBV/LU; SRL Nr. 746) vorliege. Nur falls dies bejaht werde, stelle sich in einem zweiten Schritt die Frage, ob mit der Erweiterung die maximal zulässige Geschossfläche überschritten werde. Nach § 10 Abs. 1 lit. d PBV/LU würden die tatsächlichen Flächen der verglasten Balkone, Veranden und Wintergärten bis zu 15 Prozent der anrechenbaren Geschossflächen der zugehörigen Wohnung nicht angerechnet; sie dürften keine heiztechnischen Einrichtungen haben und müssten gegenüber den anrechenbaren Räumen abgeschlossen sein.
Die Vorinstanz hat weiter ausgeführt, weder die PBV/LU noch das Bau- und Zonenreglement der Gemeinde Adligenswil enthielten eine Definition des Begriffs Wintergarten. Nach der kantonalen Rechtsprechung seien für die Qualifizierung eines Raums als Wintergarten im Sinne von § 10 Abs. 1 lit. d PBV/LU zwei prägende Elemente wesentlich: Einerseits die funktionale Überlegung, dass ein Wintergarten nicht bloss Wohnraumerweiterung sein dürfe, und andererseits der Verglasungsanteil des Dachs sowie der Seitenwände.
Der zu beurteilende Raum füge sich auf der Südwestfassade nahtlos und harmonisch in die übrige Fassadenfront ein und bilde mit dieser eine Einheit; auch auf der Nordwestfassade unterscheide sich der Raum nicht klar vom übrigen Gebäude. Dieser Eindruck werde dadurch verstärkt, dass die Fensterfronten des Wintergartens auf gleicher Höhe liegen würden wie die Fassaden des restlichen Baukubus. Der Wintergarten sei damit aufgrund seiner Gestaltung und seiner Einfügung in das Wohnhaus kaum als solcher erkennbar, sondern werde vom Betrachter als Verlängerung der Fassaden und folglich als blosse Wohnraumerweiterung wahrgenommen. Ferner sei der Raum von der Wohnung aus durch fünf Türen betretbar. Der Raum sei daher nicht hinreichend vom Wohnbereich abgegrenzt und könne leicht der Wohnraumerweiterung dienen.
Auch der Verglasungsanteil spreche gegen das Vorliegen eines Wintergartens im baurechtlichen Sinn. Das Dach bestehe nach den Angaben des Beschwerdeführers aus einer Holzkonstruktion mit Metalleindeckung und weise somit keine Verglasung auf. Zudem könne nur dann von einem Wintergarten gesprochen werden, wenn der Verglasungsanteil bei den Seitenwänden überwiege, also mehr als 50 % betrage. Dies sei vorliegend nicht der Fall, denn aus den Bauplänen ergebe sich, dass die gemauerten Seitenwände die grössere Fläche aufwiesen als die verglasten.
Der Raum erfülle demnach mehrere Kriterien für die Qualifikation als Wintergarten im Sinne von § 10 Abs. 1 lit. d PBV/LU nicht. Damit sei die gesamte Fläche des Raums anzurechnen, sodass die maximal zulässige Geschossfläche überschritten werde. Der Gemeinderat habe folglich die nachträgliche Baubewilligung im Ergebnis zu Recht verweigert und werde nun die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands zu prüfen haben.
3.2. Der Beschwerdeführer führt aus, die Vorinstanz sei fälschlicherweise davon ausgegangen, das Dach des Wintergartens sei nicht aus Glas. Er habe zwar im Baugesuch bei den projektbezogenen Angaben unter dem Stichwort "Bedachung (Materialiserung / Farbgebung) " angegeben, das Dach bestehe aus einer "Holzkonstruktion mit Metalleindeckung". Diese Beschreibung betreffe jedoch nur den Übergang vom bestehenden Hausdach zum Wintergarten. Das Wintergartendach als solches sei aus Glas, was durch die im bundesgerichtlichen Verfahren neu eingereichte Projektskizze belegt werde.
Willkürlich falsch sei auch die Behauptung der Vorinstanz der Verglasungsanteil der Seitenwände des Wintergartens betrage weniger als 50 %. Entgegen den Ausführungen im angefochtenen Urteil dürften die gemauerten Seitenwände, d.h. die ans Haus angebauten Innenwände, nicht zur vertikalen Bauhülle gerechnet werden. Bei der Glasanteilsberechnung zu berücksichtigen seien einzig die Aussenwände, und diese bestünden ausschliesslich aus Glas. Die gegenteilige Auffassung der Vorinstanz widerspreche dem Merkblatt des Amts für Abfall, Wasser, Energie und Luft (AWEL) des Kantons Zürich "Wintergarten aus rechtlicher Sicht im Kanton ZH" von Juli 2009.
Nicht haltbar sei auch die tatsächliche Feststellung der Vorinstanz, der Wintergarten sei aufgrund seiner Gestaltung und Einfügung in das Wohnhaus kaum als solcher erkennbar. Überdies sei der Wintergarten durch die Fenstertüren baulich hinreichend vom Wohnbereich abgegrenzt. Wenn die Vorinstanz ferner ausführe, der Raum könne der Wohnraumerweiterung dienen, so unterstelle sie ihm implizit eine geplante zukünftige Verletzung der Nutzung, was den Grundsatz von Treu und Glauben verletze. Gegen diesen Grundsatz habe die Vorinstanz schliesslich auch deshalb verstossen, weil sie nicht von Amtes wegen geprüft habe, ob der Raum statt als Wintergarten als Veranda oder als Balkon bewilligt werden könne.
3.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 bzw. <ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5 S. 129). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
3.4.
3.4.1. Soweit der Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren eine Projektskizze des Wintergartens als neues Beweismittel einreicht, um zu belegen, dass das Dach aus Glas bestehe, ist ihm entgegenzuhalten, dass er dieses Beweismittel bereits im kantonalen Verfahren hätte vorlegen können und müssen. In den Baugesuchsunterlagen beschrieb der Beschwerdeführer die Bedachung des Raums als Holzkonstruktion mit Metalleindeckung. Dass sich diese Beschreibung einzig auf den Übergang vom bestehenden Hausdach zum Wintergarten beziehen soll, geht aus den Planunterlagen nicht hervor. Zudem hatte der Gemeinderat in seinem Entscheid vom 5. Juli 2012 darauf hingewiesen, dass das Dach verglast sein müsse, und alsdann in seiner Vernehmlassung im vorinstanzlichen Verfahren vom 30. August 2012 ausdrücklich festgehalten, das Dach verfüge über keinen Glasanteil. Der Beschwerdeführer verzichtete trotz Kenntnis dieser Stellungnahme darauf, sich im Rahmen einer Replik zu diesem Punkt zu äussern, und kam damit seiner Mitwirkungspflicht bei der Feststellung des Sachverhalts (vgl. § 55 Abs. 1 VRG/LU) nicht nach. Bei der im bundesgerichtlichen Verfahren eingereichten Projektskizze handelt es sich mithin um ein unzulässiges neues Beweismittel, da nicht erst der vorinstanzliche Entscheid Anlass geboten hat, dieses einzureichen (vgl. <ref-law>).
Letztlich kann aber die Frage der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung bezogen auf die Materialisierung des Dachs ohnehin offen gelassen werden, da die Behebung eines allfälligen Mangels für den Ausgang des Verfahrens nicht entscheidend ist. So hat die Vorinstanz ihren Schluss, es liege kein Wintergarten im baurechtlichen Sinne vor, ausdrücklich damit begründet, mehrere Kriterien (und nicht nur jenes der Dachverglasung) seien nicht erfüllt.
3.4.2. Die Einschätzung der Vorinstanz, der als Wintergarten bezeichnete Raum sei aufgrund seiner Gestaltung und seiner Einfügung in das Wohnhaus kaum als solcher erkennbar, ist - wie sich aus den Bauplänen ergibt - ohne Weiteres haltbar. Dabei ist es nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz den bestehenden und den erweiterten Teil des Raums gesamthaft betrachtet hat, da mit dem Umbau (Abbruch bestehender Wände beim gedeckten Sitzplatz) ein einheitlicher neuer Raum geschaffen worden ist. Dass, wie der Beschwerdeführer geltend macht, die Hausfassade nicht bündig zum als Wintergarten bezeichneten Raum verläuft, sondern "15 cm weiter nordwestlich" steht, fällt nicht entscheidend ins Gewicht und lässt die Beurteilung der Vorinstanz, der Raum bilde mit dem Wohnbereich eine Einheit, jedenfalls nicht als willkürlich erscheinen. Gleiches gilt für die Erwägung der Vorinstanz, aufgrund der fünf eingebauten Fenstertüren könne der Raum leicht der Wohnraumerweiterung dienen.
3.4.3. Ebenso wenig ist die Vorinstanz in Willkür verfallen, indem sie die gemauerten Seitenwände bei der Glasanteilsberechnung berücksichtigt hat. Ob diese Berechnungsweise dem Merkblatt des AWEL des Kantons Zürich widerspricht oder nicht, kann schon deshalb offen bleiben, weil die Vorinstanz bei ihrer Beurteilung ohnehin nicht an diese ausserkantonale Richtlinie gebunden ist. Im Übrigen verlangt die Vorinstanz in Abweichung vom zürcherischen Merkblatt, wonach 70 % der vertikalen Bauhüllenteile gegen Aussenluft als verglaste Elemente ausgebildet sein müssen, nur eine überwiegende Verglasung (mehr als 50 %).
3.4.4. Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben geltend macht, ist seine Argumentation nicht stichhaltig. Entgegen seiner Behauptung unterstellt ihm die Vorinstanz in ihrer Urteilsbegründung keinen künftigen vorsätzlichen Verstoss gegen § 10 Abs. 1 lit d PBV/LU, sondern hält einzig fest, dass der Raum der Wohnraumerweiterung dienen könne.
Der Beschwerdeführer bezeichnete den Raum in seiner Baueingabe und in seiner Beschwerde an die Vorinstanz als Wintergarten und macht nun im bundesgerichtlichen Verfahren erstmals geltend, die Vorinstanz hätte prüfen müssen, ob der Raum als Veranda oder als Balkon qualifiziert werden könne. Zwar sind neue rechtliche Vorbringen auch im Verfahren vor Bundesgericht zulässig. Eine willkürliche (Nicht-) Anwendung kantonalen Rechts, d.h. von § 10 Abs. 1 lit. d PBV/LU, rügt der Beschwerdeführer jedoch nicht substanziiert. Eine solche ist auch nicht ersichtlich. Nach allgemeinem Verständnis weist eine Veranda keine durchgehenden geschlossenen Seitenwände auf und ragt ein Balkon, über dem Geländeniveau liegend, aus dem Baukörper hinaus. Diese Anforderungen erfüllt der zu beurteilende Raum nicht. Entsprechend ist die Vorinstanz nach Treu und Glauben auch nicht gehalten gewesen, das Vorhaben von Amtes wegen unter diesen weiteren Gesichtspunkten zu überprüfen.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Gemeinde Adligenswil, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Gemeinde Adligenswil und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juli 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner