Sachverhalt:
A.
A.a. Die X._ AG mit Sitz in A._ (Beschwerdeführerin) wurde am 27. Mai 2009 in das Handelsregister eingetragen und hat ihr Rechtsdomizil bei der Domizilhalterin Y._ AG in A._.
Mit Tagesregister-Eintrag vom 26. Oktober 2012 wurde die seit dem 5. Februar 2010 als Revisionsstelle fungierende Z._ AG aus dem Handelsregister gelöscht.
A.b. Mit Schreiben vom 31. Oktober 2012 teilte das Handelsregisteramt des Kantons Solothurn (Beschwerdegegner) der Beschwerdeführerin mit, dass die Z._ AG auf eigenes Begehren als Revisionsstelle im Handelsregister gelöscht worden sei. Damit verfüge die Gesellschaft über keine Revisionsstelle mehr. Das Handelsregisteramt forderte die Beschwerdeführerin daher gestützt auf <ref-law> i.V.m. Art. 727 f. OR auf, innert 30 Tagen ab Erhalt des Schreibens durch Anmeldung einer neuen Revisionsstelle den rechtsmässigen Zustand in der gesetzlich zwingenden Organisation der Gesellschaft wiederherzustellen. Schliesslich hielt das Handelsregisteramt fest, dass es dem zuständigen Gericht den Antrag stellen werde, die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen, falls die Gesellschaft den rechtmässigen Zustand nicht innert Frist herstelle.
B.
B.a. Mit Gesuch vom 11. Dezember 2012 beantragte das Handelsregisteramt dem Richteramt Thal-Gäu, es seien gegenüber der Beschwerdeführerin wegen Fehlens der Revisionsstelle die erforderlichen Massnahmen nach <ref-law> zu ergreifen.
Zur Begründung führte das Handelsregisteramt aus, die Beschwerdeführerin verfüge weder über eine Revisionsstelle noch sei ein Verzicht auf eine Revision i.S. von <ref-law> eingetragen worden. Der Verwaltungsrat habe die ihm angesetzte Frist zur Behebung des Organisationsmangels ungenutzt verstreichen lassen und trotz Ankündigung der Überweisung an den Richter keine neue Revisionsstelle angemeldet.
Mit prozessleitender Verfügung vom 13. Dezember 2012 stellte das Richteramt Thal-Gäu der Beschwerdeführerin ein Doppel des Gesuchs zu (Dispositiv-Ziffer 1) und setzte der Gesellschaft eine Frist bis 11. Januar 2013, um die neue Revisionsstelle anzumelden oder eine Stellungnahme einzureichen (Dispositiv-Ziffer 2). Weiter stellte das Richteramt der Beschwerdeführerin in Aussicht, diese in Anwendung von <ref-law> aufzulösen (Dispositiv-Ziffer 3).
Mit Eingabe vom 21. Dezember 2012 ersuchte die Beschwerdeführerin das Richteramt um Fristerstreckung bis 11. Februar 2013.
Mit Verfügung vom 7. Januar 2013 hiess das Richteramt das Fristerstreckungsgesuch gut und setzte der Beschwerdeführerin eine neue Frist bis 11. Februar 2013 zur Ernennung der Revisionsstelle.
Mit Eingabe vom 7. Februar 2013 teilte die Beschwerdeführerin dem Richteramt mit, dass sie ein Opting-out bezüglich der Revisionsstelle vorzunehmen gedenke, für die nötige Beschlussfassung aber mehr Zeit benötige. Sie ersuche daher um eine erneute Fristerstreckung bis 15. März 2013.
Mit Verfügung vom 12. Februar 2013 hiess das Richteramt das Fristerstreckungsgesuch gut.
Mit Verfügung vom 10. April 2013 erstreckte das Richteramt die Frist zur Behebung des Organisationsmangels ein letztes Mal bis 15. Mai 2013.
Mit E-Mail vom 28. Mai 2013 meldete die Beschwerdeführerin dem Handelsregisteramt die neu bestellte Revisionsstelle C._ Treuhand zur Eintragung im Handelsregister an. Als Beilagen waren der E-Mail die Anmeldung der Revisionsstelle, das Protokoll der Generalversammlung und die Annahmeerklärung der Revisionsstelle angehängt. Gleichentags und ebenfalls per E-Mail teilte das Handelsregisteramt der Beschwerdeführerin mit, die Eintragung könne nicht vorgenommen werden, da hierzu als Belege originalhandschriftlich unterzeichnete Dokumente oder jeweils beglaubigte Kopien des Originals erforderlich seien. Im Weiteren bestehe ein Widerspruch zwischen dem unterzeichnenden Protokollführer und dem Protokollführer im Rubrum des Protokolls.
Mit Urteil vom 11. Juni 2013 löste das Richteramt die Beschwerdeführerin auf und ordnete deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs an.
B.b. Das Obergericht des Kantons Solothurn wies die gegen das Urteil des Richteramtes eingelegte Berufung mit Urteil vom 16. Juli 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts aufzuheben und es sei für die Beschwerdeführerin die C._ Treuhand als Revisionsstelle einzusetzen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zur Ernennung der fehlenden Revisionsstelle der Beschwerdeführerin und Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens.
Das Handelsregisteramt beantragt in seiner Vernehmlassung, es seien wegen Fehlens der Revisionsstelle die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen und es sei die Beschwerdeführerin zur Tragung aller Gerichts- und Parteikosten in sämtlichen Verfahren zu verurteilen. Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Die Beschwerdeführerin hat eine Replik eingereicht.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 3. September 2013 wurde festgestellt, dass der Beschwerde im Umfang der gestellten Begehren von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung zukommt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1, 470 E. 1; <ref-ruling> E. 1).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Rechtsmittelentscheid eines oberen kantonalen Gerichts (<ref-law> i.V.m. <ref-law>), ist innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) von der mit ihren Rechtsbegehren unterlegenen Partei (<ref-law>) eingereicht worden und bei der Streitsache handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>) mit einem Fr. 30'000.-- übersteigenden Streitwert (74 Abs. 1 lit. b BGG; Urteil 4A_4/2013 vom 13. Mai 2013 E. 1.1 m.H.). Beschwerdegegner ist - entgegen dem Rubrum des angefochtenen Entscheids - nicht der Kanton Solothurn, sondern dessen Handelsregisteramt, welches in Organisationsmängelverfahren von Bundesrechts wegen als Partei auftreten kann (<ref-law> i.V.m. <ref-law> und <ref-law>).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des im Rahmen von <ref-law> zu beachtenden Verhältnismässigkeitsprinzips, indem die Vorinstanz direkt die Auflösung der Beschwerdeführerin angeordnet habe, anstatt die fehlende Revisionsstelle richterlich einzusetzen. Die direkte Auflösung der Beschwerdeführerin sei unverhältnismässig, da sich die Beschwerdeführerin durchaus (wenn auch erfolglos) bemüht habe, den Organisationsmangel zu beheben. Unter diesen Umständen rechtfertige es sich unter dem Gesichtspunkt der Verhältnismässigkeit nicht, sogleich zur ultima ratio der Auflösung zu schreiten. Vielmehr hätte die Vorinstanz das fehlende Organ ernennen sollen, zumal sich die C._ Treuhand bereits mit Schreiben vom 24. Mai 2013 bereit erklärt habe, ein solches Mandat anzunehmen.
2.1.
2.1.1. Aktiengesellschaften haben ihre Jahresrechnung durch eine Revisionsstelle ordentlich (<ref-law>) oder gegebenenfalls eingeschränkt (<ref-law>) prüfen zu lassen. Nach <ref-law> kann mit Zustimmung sämtlicher Aktionäre auf eine eingeschränkte Revision verzichtet werden, wenn die Gesellschaft im Jahresdurchschnitt nicht mehr als zehn Vollstellen hat (sog. Opting-out ).
2.1.2. Gemäss <ref-law> stellt der Handelsregisterführer dem Gericht bei Mängeln in der gesetzlich zwingenden Organisation einer Gesellschaft den Antrag, die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen. Nach <ref-law> kann das Gericht insbesondere der Gesellschaft unter Androhung ihrer Auflösung eine Frist ansetzen, binnen derer der rechtmässige Zustand wieder herzustellen ist (Abs. 1 Ziff. 1), das fehlende Organ oder einen Sachwalter ernennen (Abs. 1 Ziff. 2) oder die Gesellschaft auflösen und ihre Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs anordnen (Abs. 1 Ziff. 3).
2.1.3. Mit <ref-law> wollte der Gesetzgeber dem Gericht einen hinreichenden Handlungsspielraum gewähren, um eine mit Blick auf die konkreten Umstände des Einzelfalles angemessene Massnahme treffen zu können (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 298; <ref-ruling> E. 3.5 S. 170; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 371). Das Gericht ist bei der Ausübung dieses Handlungsspielraums freilich nicht ungebunden: Die in <ref-law> genannten Massnahmen stehen in einem Stufenverhältnis. Das Gericht soll die drastische Massnahme der Auflösung gemäss Ziffer 3 erst anordnen, wenn die milderen Massnahmen gemäss Ziffer 1 und Ziffer 2 nicht genügen oder erfolglos geblieben sind (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 298 f.). Es gilt mithin das Verhältnismässigkeitsprinzip: Nur wenn sich mildere Mittel nicht als sachgerecht bzw. zielführend erweisen, kommt als ultima ratio die Auflösung der Gesellschaft nach <ref-law> zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 299; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 280). Dies ist etwa der Fall, wenn Verfügungen nicht zustellbar sind oder wenn sich die Gesellschaft in keiner Art und Weise vernehmen lässt (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 299; für konkrete Anwendungsfälle, in denen sich die Auflösung als verhältnismässig herausgestellt hat, vgl. die Urteile 4A_158/2013 vom 8. Juli 2013 E. 2.1.6; 4A_706/2012 vom 29. Juli 2013 E. 2.2.2).
2.1.4. Fehlt der Gesellschaft die Revisionsstelle und wurde der Mangel innert richterlich angesetzter Frist nicht behoben, ist die Ernennung des fehlenden Organs grundsätzlich die angemessene Massnahme zur Beseitigung des Organisationsmangels (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 302; Urteil 4A_411/2012 vom 22. November 2012 E. 2.1.5). Denn gegenüber der Anordnung der Auflösung der Gesellschaft und deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs stellt die Ernennung des fehlenden Organs das mildere Mittel dar. Dem Gericht wird es regelmässig als verhältnismässig und den verfolgten Zielen angemessen erscheinen, der Ernennung einer Revisionsstelle gegenüber der Anordnung der Auflösung und der Liquidation der Gesellschaften nach den Vorschriften über den Konkurs den Vorzug zu geben (Urteil 4A_411/2012 vom 22. November 2012 E. 2.1.5 m.H.). Diese Lösung entspricht auch den Vorstellungen des Gesetzgebers, wollte dieser mit <ref-law> doch lediglich eine einheitliche Ordnung für die Behebung und Sanktionierung sämtlicher Mängel in der gesetzlich vorgeschriebenen Organisation der Gesellschaft schaffen, dabei aber die Fälle der Durchsetzung zwingender Vorgaben gegenüber dem bisherigen Recht nicht erweitern (Botschaft vom 19. Dezember 2001 zur Revision des Obligationenrechts [GmbH-Recht sowie Anpassungen im Aktien-, Genossenschafts-, Handelsregister- und Firmenrecht], BBl 2002, S. 3231 f.). Das bisherige Recht sah bei Fehlen einer Revisionsstelle die Ansetzung einer Frist zur Behebung des Mangels und bei deren erfolglosen Verstreichen die richterliche Ernennung der Revisionsstelle, nicht aber die Auflösung der Gesellschaft vor (aArt. 727f OR). Es ist nicht davon auszugehen, dass der Gesetzgeber mit <ref-law> die Stufenfolge dieser Massnahmen durchbrechen wollte (Urteile 4A_4/2013 vom 13. Mai 2013 E. 3.2; 4A_411/2012 vom 22. November 2012 E. 2.1.5).
Aus prozessökonomischen Gründen kann das Gericht der Gesellschaft bei Einsetzung einer Revisionsstelle freilich gleichzeitig unter Androhung der Auflösung bei Nichtbeachtung eine Frist zur Bezahlung des gemäss <ref-law> zu leistenden Vorschusses ansetzen. Ein solches Vorgehen ermöglicht dem Gericht, die Gesellschaft nach unbenutztem Fristablauf direkt aufzulösen, ohne auf ein erneutes Gesuch des Handelsregisterführers, eines Gesellschafters oder Gläubigers verwiesen zu sein (Urteile 4A_4/2013 vom 13. Mai 2013 E. 3.2; 4A_411/2012 vom 22. November 2012 E. 2.2.3).
2.2. Die Vorinstanz hielt fest, dass es der Beschwerdeführerin nicht gelungen sei, eine Revisionsstelle zu bestellen und im Handelsregister einzutragen. Zwar habe die Beschwerdeführerin eine Wahlannahmeerklärung einer neuen Revisionsstelle im Original eingereicht. Das Protokoll der Generalversammlung sowie die Handelsregisteranmeldung lägen demgegenüber aber nur in unbeglaubigter Kopie vor. Damit gelinge es der Beschwerdeführerin nicht, die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustandes bzw. der formell korrekten Anmeldung der Revisionsstelle im Handelsregister nachzuweisen. Die Beschwerdeführerin habe mehr als sieben Monate Zeit gehabt, um sich rechtmässig zu organisieren. Da sie es bis heute nicht geschafft habe, dem Handelsregisteramt ordnungsgemässe Unterlagen vorzulegen, erscheine es als gerechtfertigt, die Gesellschaft in Anwendung von <ref-law> aufzulösen.
2.3. Mit diesen Erwägungen verkennt die Vorinstanz das Verhältnismässigkeitsprinzip, welches bei der Auswahl der zur Behebung eines Organisationsmangels erforderlichen Massnahmen nach <ref-law> gilt. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung rechtfertigt sich die Auflösung gestützt auf <ref-law> grundsätzlich nur, wenn die mängelbehaftete Gesellschaft auf entsprechende Aufforderungen zur Behebung des Organisationsmangels hin überhaupt keine Reaktion zeigt. Diesfalls ist davon auszugehen, dass die Gesellschaft auch bei richterlicher Einsetzung einer Revisionsstelle gestützt auf <ref-law> keine Reaktion zeigen und insbesondere den Vorschuss gemäss <ref-law> nicht leisten würde. Die mildere Massnahme gemäss <ref-law> würde sich unter diesen Umständen nicht als sachgerecht bzw. zielführend erweisen (vgl. die Urteile 4A_158/2013 vom 8. Juli 2013 E. 2.1.6; 4A_706/2012 vom 29. Juli 2013 E. 2.2.2). Im vorliegenden Fall hat sich die Beschwerdeführerin jedoch bemüht, den Organisationsmangel zu beheben, indem sie eine neue Revisionsstelle gewählt und deren Wahlannahmeerklärung dem Handelsregisteramt im Original eingereicht hat. Unter diesen Umständen ist es unverhältnismässig, die ultima ratio der Auflösung anzuordnen (vgl. bereits Urteile 4A_4/2013 vom 13. Mai 2013 E. 3.3; 4A_411/2012 vom 22. November 2012 E. 2.2.2). Als milderes Mittel ist zunächst entsprechend der Stufenfolge der Massnahmen gemäss Art. 731b Abs. 1 Ziff. 1 - 3 OR richterlich die fehlende Revisionsstelle zu ernennen.
3.
Damit erweist sich die Rüge der Verletzung von <ref-law> als begründet und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben.
Die Beschwerdeführerin verlangt in ihrem Hauptantrag die Einsetzung der C._ Treuhand als Revisionsstelle. Bei der Auswahl der richterlich einzusetzenden Revisionsstelle sowie deren Instruktion kommt dem Sachrichter jedoch ein Ermessen zu, welches nicht durch das Bundesgericht, sondern durch das sachnähere kantonale Gericht auszuüben ist (vgl. BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, 2009, N. 20 zu <ref-law>). Die Sache wird daher in Gutheissung des Eventualantrags an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit diese gestützt auf <ref-law> die fehlende Revisionsstelle bezeichnet. Dabei kann die Vorinstanz der Beschwerdeführerin gleichzeitig unter Androhung der Auflösung bei Nichtbeachtung eine Frist zur Bezahlung des Vorschusses ansetzen. Weiter ist die Sache zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).
Dem Beschwerdegegner können im bundesgerichtlichen Verfahren keine Gerichtskosten auferlegt werden (<ref-law>). Demgegenüber ist der Beschwerdegegner entschädigungspflichtig (<ref-law>) : Zwar hat er formell nicht die Abweisung der Beschwerde, sondern das Ergreifen der "erforderlichen Massnahmen " beantragt; in seiner Vernehmlassung stellt er sich jedoch gegen die richterliche Einsetzung einer Revisionsstelle (Vernehmlassung, Ziff. 3 und 4), womit er sinngemäss die Bestätigung des angefochtenen Entscheids verlangt. Er ist damit als unterliegende Partei i.S. von <ref-law> entschädigungspflichtig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der angefochtene Entscheid des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 16. Juli 2013wird aufgehoben.
Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen zur Ernennung der fehlenden Revisionsstelle der Beschwerdeführerin und zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben. Die Bundesgerichtskasse erstattet der Beschwerdeführerin den Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zurück.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Dezember 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni