A.- A._ a travaillé comme aide-charpentier à B._ dès le mois de juillet 1989. Le 11 octobre 1994, il a consulté son médecin traitant, le docteur C._, en raison de douleurs dorsales irradiant dans la jambe gauche. Les examens médicaux ont révélé l'existence d'une hernie discale L4-L5 paramédiane gauche et d'une sténose osseuse, ce qui a donné lieu à une intervention chirurgicale par le docteur D._, spécialiste FMH en neurochirurgie, le 8 mai 1995.
Le 7 décembre 1995, A._ a présenté une demande de prestations à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après : l'office AI). Dans un rapport du 29 décembre 1995, son médecin traitant attesta d'une incapacité de travail totale depuis le 16 novembre 1994 dans la profession exercée précédemment par son patient, sous réserve de deux tentatives de reprise de son activité, du 12 au 22 décembre 1994 et, à temps partiel, du 1er au 6 décembre 1995. D'après lui, des mesures d'ordre professionnel étaient indiquées.
L'assuré a ensuite effectué un stage dans un centre d'observation professionnelle de l'assurance-invalidité (COPAI), à B._, du 10 février au 7 mars 1997.
D'après les constatations du centre, il a montré une pleine capacité de travail dans une activité ne nécessitant pas le port de charges supérieures à 10 kg, par exemple pour des travaux de montage et comme mécanicien sur motos et vélos, magasinier dans un garage ou opérateur spécialisé. Le médecin-conseil du COPAI, le docteur E._, faisait toutefois état d'un syndrome somatoforme douloureux, alors que l'examen physique révélait tout au plus une petite contracture paralombaire L4-L5 gauche (rapport du 10 mars 1997). Aussi, le docteur C._ a adressé son patient aux docteurs F._ et G._, du Centre psychosocial de X._, lesquels ont diagnostiqué un syndrome somatoforme douloureux persistant chez une personnalité de structure psychotique (rapport du 26 mars 1997).
Le 30 juin 1997, l'office AI a placé A._ en stage dans une entreprise de micro-mécanique. A la suite de l'interruption de ce stage par l'assuré, après une journée et demie de travail, l'office a demandé un rapport médical complémentaire à la doctoresse G._. Cette dernière a fait état d'une capacité de travail de 75 % dans une activité légère, telle que la micro-mécanique, au vu des troubles psychiques constatés (rapport du 12 septembre 1997). L'office AI a alors alloué un quart de rente à l'assuré, avec effet au 1er novembre 1995 (décision du 6 avril 1998).
B.- Contre cette décision, A._ a interjeté un recours devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant à l'allocation d'une rente entière d'invalidité, subsidiairement au renvoi de la cause à l'office AI pour qu'il se prononce sur son droit à une demirente pour cas pénible. A l'appui de son recours, il a déposé un rapport d'expertise établi le 5 décembre 1997 par le docteur H._, spécialiste FMH en médecine physique et rééducation, lequel attestait d'un syndrome lombovertébral, avec de multiples contractures et une hypoextensibilité musculaire dans le cadre d'un important déconditionnement, mais sans affection neurologique. Au terme de son rapport, le docteur H._ évaluait la capacité de travail résiduelle de l'assuré à 30 ou 40 % dans une activité extrêmement légère, mais précisait que ce taux ne prenait pas en considération d'éventuels troubles psychiques.
Par la suite, à l'occasion d'une audience aménagée le 15 juin 2000 par la juridiction cantonale, il a toutefois revu cette appréciation et fait état d'une capacité de travail résiduelle de 60 à 70 % dans une activité adaptée.
A cette même audience, le docteur C._ a estimé la capacité de travail à 40 à 50 % dans une activité légère, alors que la doctoresse G._ a confirmé son appréciation relative à l'incapacité de travail de l'assuré liée à ses troubles psychiques.
Par jugement du 15 juin 2000, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a réformé la décision du 6 avril 1998 de l'office AI et alloué à l'assuré une demi-rente d'invalidité dès le 1er novembre 1995, fondée sur un taux d'invalidité de 58 %.
C.- L'office AI interjette un recours de droit administratif contre ce jugement, dont il demande l'annulation.
L'intimé conclut au rejet du recours avec suite de frais et dépens et demande a être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire. Pour sa part, l'Office fédéral des assurances sociales propose l'admission du recours.

Considérant en droit :
1.- Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité, de sorte que le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral des assurances n'est pas limité à la violation du droit fédéral - y compris l'excès et l'abus du pouvoir d'appréciation - mais s'étend également à l'opportunité de la décision attaquée. Le tribunal n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure, et il peut s'écarter des conclusions des parties à l'avantage ou au détriment de celles-ci (art. 132 OJ). Il peut admettre ou rejeter un recours sans égard aux griefs soulevés par le recourant ou aux raisons retenus par les premiers juges (art. 114 al. 1 en corrélation avec l'art. 132 OJ; <ref-ruling> consid. 2b).
2.- Selon l'<ref-law>, l'invalidité est la diminution de la capacité de gain, présumée permanente ou de longue durée, qui résulte d'une atteinte à la santé physique ou mentale provenant d'une infirmité congénitale, d'une maladie ou d'un accident. L'assuré a droit à une rente entière s'il est invalide à 66 2/3 % au moins, à une demi-rente s'il est invalide à 50 % au moins, ou à un quart de rente s'il est invalide à 40 % au moins (<ref-law>); dans les cas pénibles, il peut prétendre une demirente s'il est invalide à 40 % au moins (<ref-law>).
Pour l'évaluation de l'invalidité, le revenu du travail que l'invalide pourrait obtenir en exerçant l'activité qu'on peut raisonnablement attendre de lui, après exécution éventuelle de mesures de réadaptation et compte tenu d'une situation équilibrée du marché du travail, est comparé au revenu qu'il aurait pu obtenir s'il n'était pas invalide (<ref-law>).
3.- a) Le juge des assurances sociales doit, quelle que soit leur provenance, examiner l'ensemble des moyens de preuve de manière objective et décider s'ils permettent de trancher la question des droits litigieux de manière sûre.
En particulier, le juge ne saurait statuer, en présence de rapports médicaux contradictoires, sans avoir examiné l'ensemble des preuves disponibles et sans indiquer les motifs qui le conduisent à retenir un avis médical plutôt qu'un autre (<ref-ruling> consid. 3a).
Les moyens de preuves ressortant de la procédure menée devant l'assureur social peuvent être considérés comme suffisants par le juge, qui renoncera alors à mettre en oeuvre de nouvelles mesures d'instruction. Toutefois, dans ce cas, l'appréciation anticipée des preuves est soumise à des exigences sévères. En cas de doute, même léger, sur le caractère pertinent ou complet des rapports médicaux figurant au dossier, le juge doit faire procéder lui-même à une expertise ou renvoyer la cause à l'assureur social pour instruction complémentaire (<ref-ruling> consid. 1d).
b) Les juges cantonaux ont, dans un premier temps, considéré que l'intimé ne pouvait plus travailler comme aide-charpentier, mais devait se reclasser dans une profession légère à moyennement lourde. Sur ce point, les rapports médicaux figurant au dossier concordent et le jugement entrepris n'est pas critiquable.
La juridiction cantonale a ensuite constaté que le taux d'invalidité de l'intimé dans une profession adaptée à son handicap faisait l'objet d'évaluations médicales divergentes.
Elle a alors tenté de déterminer dans quelle mesure les docteurs C._ et H._ avaient pris en considération les atteintes à la santé psychique de l'intimé, attestées par la doctoresse G._. En revanche, à ce stade de son jugement (consid. 4b), elle a passé sous silence le rapport établi par le COPAI sur la base d'observations concrètes réalisées en ateliers, en collaboration avec le docteur E._. Or, les conclusions de ce rapport divergent de manière importante de celles des docteurs H._ et C._ ainsi que de la doctoresse G._, puisque l'intimé y est décrit comme pleinement capable de travailler dans une profession ne nécessitant pas le port de charges supérieures à 10 kg.
Dans ces conditions, la juridiction cantonale ne pouvait pas considérer que les faits de la cause étaient suffisamment établis : elle devait mettre en oeuvre une expertise médicale pluridisciplinaire relative à la capacité de travail résiduelle de l'intimé avant de procéder à une comparaison de revenus. Aussi, la cause lui sera renvoyée pour qu'une telle expertise soit aménagée.
4.- L'intimé peut être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire. En effet, les moyens dont il dispose n'apparaissent pas supérieurs à ceux qui sont nécessaires pour subvenir aux besoins normaux d'une famille modeste (RAMA 1996 no U 254 p. 209 consid. 2) et l'assistance d'un avocat était indiquée (art. 152 OJ, en relation avec l'art. 135 OJ; cf. également <ref-ruling> consid. 4a, 372 consid. 5b et les références).
Il est toutefois rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du tribunal s'il devient ultérieurement en mesure de le faire (art. 152 al. 3 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances,
prononce :
I. Le recours est admis en ce sens que le jugement du 15 juin 2000 du Tribunal des assurances du canton de
Vaud est annulé, la cause étant renvoyée à cette autorité
judiciaire pour complément d'instruction au sens
des considérants et nouveau jugement.
II. Il n'est pas perçu de frais de justice.
III. L'assistance judiciaire est accordée à l'intimé. Les honoraires (y compris la taxe à la valeur ajoutée) de Me Lattion, avocat d'office, sont fixés à 2500 fr.
pour la procédure fédérale et seront supportés par la
caisse du tribunal.
IV. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud, à la Caisse cantonale vaudoise de compensation et à l'Office
fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 22 juin 2001
Au nom du
Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIIe Chambre :
Le Greffier :