Faits:
A. Par ordonnance du 10 avril 2008, le Juge d'instruction de l'arrondissement de Lausanne a condamné X._, pour violation d'une obligation d'entretien (<ref-law>), à nonante jours-amende de 50 francs.
Contre cette ordonnance, X._ a formé le 24 novembre 2009 une opposition que le Président du Tribunal d'arrondissement de Lausanne a déclarée tardive par un prononcé du 8 décembre 2009.
B. Par arrêt du 17 février 2010, notifié au recourant le 30 mars 2010, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a confirmé cette décision.
C. X._ recourt au Tribunal fédéral contre cet arrêt, par une lettre du 28 avril 2010 et par un mémoire complémentaire du 21 mai 2010.
Il assortit son recours d'une requête d'effet suspensif et d'une demande d'assistance judiciaire.
D. À réception de la lettre du 28 avril 2010, le président de la cour de céans a rappelé au recourant le délai et les formes du recours au Tribunal fédéral. En particulier, il lui a expressément indiqué que le mémoire de recours motivé devait être déposé dans les trente jours suivant la notification de la décision attaquée.
Il lui a aussi demandé de motiver sa demande d'assistance judiciaire, en précisant qu'il devait le faire rapidement, afin que l'avocat qui lui serait peut-être désigné puisse agir dans le délai légal de recours.
Enfin, il lui a imparti un délai au 21 mai 2010 pour produire l'arrêt attaqué.

Considérant en droit:
1. En vertu de l'<ref-law>, le mémoire de recours doit être déposé devant le Tribunal fédéral dans les trente jours qui suivent la notification de l'expédition complète de la décision attaquée. Ce délai est suspendu du septième jour avant Pâques au septième jour après Pâques inclusivement (<ref-law>).
En l'espèce, l'arrêt attaqué ayant été notifié au recourant le 30 mars 2010, le délai de recours a expiré le 11 mai 2010. Le mémoire complémentaire du 21 mai est dès lors tardif et, comme tel, irrecevable. Seule sera prise en considération la lettre du 28 avril 2010.
2. Dans sa lettre du 28 avril, le recourant se plaint de n'avoir jamais pu bénéficier de l'assistance d'un avocat d'office, en quelque étape de la procédure que ce soit. Il fait ainsi valoir, avec toute la clarté requise d'un plaideur non assisté (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 14), une violation de son droit constitutionnel à la désignation d'un défenseur d'office (art. 29 al. 3 Cst. et 6 § 3 al. c CEDH). Il avait soulevé ce grief devant la cour cantonale, à laquelle il avait en outre demandé la désignation d'un défenseur d'office pour la procédure de deuxième instance cantonale. Le grief et la demande d'assistance judiciaire ont été implicitement rejetés par la cour cantonale.
2.1 L'accusé a le droit d'être pourvu spontanément d'un avocat d'office dans les cas de défense obligatoire (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 352/353), c'est-à-dire lorsqu'il se trouve en détention préventive depuis quelque temps ou qu'il encourt une peine privative de liberté importante. En revanche, lorsque, comme en l'espèce, les conditions de la défense obligatoire ne sont pas remplies, il n'a pas de droit à ce que l'autorité compétente lui désigne spontanément un défenseur d'office; il lui appartient d'en faire la demande.
En l'espèce, par un arrêt du 18 février 2008, le Tribunal d'accusation du canton de Vaud a confirmé le rejet de la demande de désignation d'un défenseur d'office que le recourant avait présentée lorsque sa cause était pendante devant le juge d'instruction. Le recourant n'a pas attaqué cet arrêt au Tribunal fédéral. En outre, il n'a pas déposé de nouvelle demande d'assistance judiciaire avant l'ordonnance de condamnation du 10 avril 2008. Le recourant n'a donc pas été lésé dans ses droits constitutionnels par le fait qu'il n'a pas été pourvu d'un défenseur avant sa condamnation.
2.2 Le recourant a demandé pour la seconde fois la désignation d'un défenseur d'office lorsqu'il a déféré au Tribunal cantonal le prononcé présidentiel déclarant son opposition irrecevable.
Il résulte du texte même de l'art. 29 al. 3 Cst. que le droit constitutionnel à la désignation d'un avocat d'office suppose que la cause n'apparaisse pas dépourvue de toute chance de succès. Devant le Tribunal cantonal, le recourant contestait l'irrecevabilité de son opposition. Il soutenait que, contrairement à ce qu'avait considéré le président du tribunal d'arrondissement, l'ordonnance de condamnation ne lui avait pas été valablement notifiée le 11 avril 2008, et que, par conséquent, son opposition du 24 novembre 2009 n'était pas tardive. Cependant, il était établi que, lorsqu'il avait été inculpé, le recourant avait indiqué qu'il vivait chez son père, le courrier pouvant (et non devant) lui être adressé à la case postale qu'il avait ouverte à son propre nom. Il vivait encore chez son père en avril 2008. Or, un acte judiciaire expédié sous pli recommandé est notifié lorsque le pli parvient dans la sphère d'influence du destinataire et que celui-ci est à même d'en prendre connaissance. Tel est en particulier le cas lorsqu'il est distribué à une personne qui fait ménage commun avec le destinataire et qui est donc habilitée, en vertu des règles relatives aux services de la poste, à recevoir des plis pour le compte du destinataire. Il était dès lors manifeste que, remise en mains du père du recourant le 11 avril 2008, l'ordonnance de condamnation avait été valablement notifiée à cette date et que l'opposition formée le 24 novembre 2009 était tardive. La cause étant ainsi dénuée de toute chance de succès, la cour cantonale pouvait rejeter la demande d'assistance judiciaire du recourant sans violer les droits constitutionnels de celui-ci.
Aussi le recours doit-il être rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Comme ses conclusions sont apparues d'emblée dénuées de toute chance de succès, le recourant doit être débouté de sa demande d'assistance judiciaire (<ref-law> a contrario) et supporter les frais de justice (<ref-law>). Ceux-ci seront réduits pour tenir compte de sa situation financière.
4. La cause étant ainsi jugée, la requête d'effet suspensif n'a plus d'objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. La requête d'effet suspensif n'a plus d'objet.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de cassation pénale.
Lausanne, le 22 juin 2010
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Favre Oulevey