Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. 1960), aus der Türkei stammend, lernte im Sommer 1992 in seinem Heimatland die Schweizer Bürgerin A._ (geb. 1958) kennen. Zu diesem Zeitpunkt war er mit der türkischen Staatsangehörigen B._ geb. ... verheiratet und Vater von vier Kindern. Nach weiteren Treffen, die teils in der Türkei, teils in der Schweiz stattfanden, liess sich X._ am 14. Oktober 1993 von seiner türkischen Ehefrau scheiden. Die elterliche Gewalt über die vier Kinder wurde der Mutter übertragen. Am 14. Februar 1994 reiste X._ in die Schweiz ein, wo er sich gleichentags mit A._ verheiratete. In der Folge erhielt er von der kantonalen Migrationsbehörde eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Schweizer Ehefrau. Aus dieser Ehe ging der Sohn C._ (geb. 1995) hervor.
Gestützt auf seine Ehe stellte X._ am 3. März 1999 ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Im Rahmen des Einbürgerungsverfahrens unterzeichneten die Eheleute am 20. September 2001 gemeinsam eine Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen Ehegemeinschaft an derselben Adresse zusammenleben und weder Trennnungs- noch Scheidungsabsichten bestehen würden. Gleichzeitig nahmen sie unterschriftlich zur Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich ist, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt hat oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr besteht. Ebenfalls bestätigten sie ihre Kenntnisnahme davon, dass die Verheimlichung dieser Umstände zur Nichtigkeit der Einbürgerung führen könne. Am 23. Oktober 2001 wurde X._ erleichtert eingebürgert und erwarb neben dem Schweizer Bürgerrecht das kantonale Bürgerrecht von Bern sowie das Gemeindebürgerrecht von Lauperswil (BE).
Am 13. September 2002 liess die Schweizer Ehefrau ein Eheschutzverfahren in die Wege leiten, woraufhin das Bezirksgericht Arlesheim den Eheleuten am 30. Oktober 2002 das Getrenntleben bewilligte und das gemeinsame Kind für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut der Mutter stellte.
Bereits zuvor, am 25. September 2002, hatte X._ beim Amt für Migration des Kantons Basel-Landschaft für seine aus erster Ehe stammende Tochter D._ (geb. 1985) ein Gesuch um Familiennachzug gestellt. Dies wurde möglich, nachdem das Zivilgericht im türkischen Manavgat mit Urteil vom 18. Juli 2002 einer am 12. Juli 2002 eingereichten Klage von X._ gegen seine türkische Ex-Ehefrau auf Änderung der elterlichen Gewalt stattgegeben hatte.
A.b Vom Amt für Migration des Kantons Basel-Landschaft auf die erwähnten Sachumstände aufmerksam gemacht, teilte das Bundesamt für Migration (BFM) X._ in einem Schreiben vom 17. Oktober 2003 mit, es erwäge die Einbürgerung für nichtig zu erklären. Es bestehe Grund zur Annahme, dass er sich die erleichterte Einbürgerung erschlichen habe. X._ wurde eingeladen, Stellung zu nehmen und seine Einwilligung an das BFM zur Einsichtnahme in die Eheschutzakten zu erteilen. Dies verweigerte er.
In der Folge veranlasste das BFM eine Befragung der schweizerischen Ehefrau. Diese wurde am 17. Mai 2004 durch die Justiz-, Polizei- und Militärdirektion des Kantons Basel-Landschaft durchgeführt. Die schweizerische Ehefrau erklärte sich im fraglichen Gesprächsprotokoll nicht bereit, X._ mit ihren Aussagen zu konfrontieren.
Am 31. Mai 2005 meldete sich X._ bei den Einwohnerdiensten seines Wohnortes Muttenz ab und begab sich, ohne eine Adresse zu hinterlassen, in sein Heimatland. Auch eine Immatrikulation auf der zuständigen Schweizer Vertretung in Ankara erfolgte nicht.
Mit Urteil vom 4. August 2005 wurde die Ehe zwischen X._ und seiner zweiten Ehefrau vom Bezirksgericht Arlesheim auf gemeinsames Begehren hin geschieden.
Das BFM gab X._ am 15. März 2006 Gelegenheit zu einer abschliessenden Stellungnahme. Am 7. September 2006 erteilte der Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst des Kantons Bern auf Ersuchen des BFM die Zustimmung zur Nichtigerklärung der Einbürgerung.
Daraufhin erklärte das BFM mit Verfügung vom 3. Oktober 2006 die erleichterte Einbürgerung von X._ für nichtig.
X._ beschwerte sich am 14. Dezember 2006 gegen die Verfügung des BFM beim Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement (EJPD). Das Bundesverwaltungsgericht, welches die beim EJPD am 1. Januar 2007 hängigen Beschwerden übernahm, wies das Rechtsmittel mit Urteil vom 20. Januar 2009 ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._ die Aufhebung des Urteils vom 20. Januar 2009 des Bundesverwaltungsgerichts sowie der Verfügung vom 3. Oktober 2006 des BFM, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen im bundesgerichtlichen und im bundesverwaltungsgerichtlichen Verfahren.
C. Das Bundesverwaltungsgericht und das BFM verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil des Bundesverwaltungsgerichts betrifft eine Nichtigerklärung einer gestützt auf Art. 27 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0) ergangenen erleichterten Einbürgerung. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) grundsätzlich offen (BGE 1C_190/2008 vom 29. Januar 2009 E. 1).
1.2 Die Verfügung des BFM ist durch das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt als mitangefochten. Die selbständige Beanstandung der erstinstanzlichen Verfügung ist ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 1 S. 441). Der Antrag, auch den erstinstanzlichen Entscheid des BFM aufzuheben, ist daher unzulässig.
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law> bzw. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge, die rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 6.2 S. 288; je mit Hinweisen), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen gemäss <ref-law> nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Werden neue Tatsachen oder Beweismittel vorgebracht, ist in der Beschwerde darzutun, inwiefern erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gegeben hat (<ref-ruling> E. 3 S. 395).
Ob die vorliegende Beschwerdeschrift diesen Anforderungen genügt, wird im Zusammenhang mit den einzelnen Vorbringen geprüft.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer bestreitet, dass die Voraussetzungen zur Nichtigerklärung der Einbürgerung nach <ref-law> erfüllt sind. Er macht geltend, das Bundesverwaltungsgericht habe diesbezüglich die Beweise willkürlich gewürdigt bzw. die betreffenden Sachverhaltsfeststellungen seien offensichtlich falsch.
2.2 Bei der Nichtigerklärung einer gestützt auf die Ehe mit einem Schweizer oder einer Schweizerin erleichterten Einbürgerung ist in Anwendung von <ref-law> von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu <ref-law> kann eine solche eheliche Gemeinschaft nur dann bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist (BGE 1C_190/2008 vom 29. Januar 2009 E. 2 mit Hinweisen). Nach <ref-law> kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115).
Da es bei der Untersuchung, ob im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchstellung und der Einbürgerung eine tatsächlich gelebte eheliche Gemeinschaft bestand, im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden. Die tatsächliche Vermutung bewirkt keine Umkehr der Beweislast, sondern betrifft die Beweiswürdigung. Die Beweislast trifft die Behörde (<ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.). Diese würdigt die Beweise nach freier Überzeugung (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Die betroffene Person kann Gründe angeben, die es plausibel erscheinen lassen, dass sie im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung im Einbürgerungsverfahren mit dem Schweizer Ehepartner in einer stabilen Ehegemeinschaft gelebt und diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder die betroffene Person kann darlegen, aus welchem Grund sie die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als sie die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit dem Schweizer Ehepartner auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (BGE 1C_190/2008 vom 29. Januar 2009 E. 3).
2.3 Nach den tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Urteil des Bundesverwaltungsgerichts kam es schon lange vor der Trennung zu Schwierigkeiten zwischen dem Beschwerdeführer und seiner Schweizer Ehefrau. In der Wahrnehmung der zweiten Ehefrau hätten diese nach der Geburt des gemeinsamen Kindes (geb. 1995) angefangen. Laut Eheschutz- und Scheidungsakten hätten die Gründe darin gelegen, dass der Beschwerdeführer seine Arbeitseinkünfte nie für den Unterhalt der Familie verwendet habe. In der Einvernahme vom 17. Mai 2004 habe die Ex-Ehefrau diesen Sachverhalt in abgeschwächter Form bestätigt und ergänzt, der Beschwerdeführer sei fast nie zu Hause gewesen, und es sei schon früher fast einmal zur Trennung gekommen. Unbestritten sei, dass der Beschwerdeführer seinen Erwerb stattdessen in die Türkei überwies, teils als Unterstützung für seine Kinder aus erster Ehe, teils zum Aufbau eines Motels. Der im Eheschutzverfahren auferlegten Unterhaltspflicht für den gemeinsamen Sohn sei der Beschwerdeführer nur teilweise nachgekommen.
Im August 2002 habe der Beschwerdeführer seine Arbeitsstelle verloren. Praktisch zur gleichen Zeit habe er versucht, seine älteste Tochter aus erster Ehe in die Schweiz zu holen. Noch während des hängigen Scheidungsverfahrens habe er sich im Mai 2005 in sein Heimatland begeben und sich um das Motelprojekt gekümmert. Dieser Tourismusbetrieb sei laut Darstellung des Parteivertreters aber wenig erträglich. Nach Erlass der angefochtenen Verfügung des BFM habe sich der Beschwerdeführer zur Rückkehr in die Schweiz entschlossen, wo er wieder eine Erwerbstätigkeit aufgenommen habe.
Nach Ansicht des Bundesverwaltungsgerichts begründen die dargestellten Eckdaten, namentlich die gravierenden Spannungen während der Ehe, die Gründe für die Auflösung der ehelichen Gemeinschaft, die vom Beschwerdeführer gesetzten Prioritäten und die vergleichsweise kurze Zeitspanne von zehneinhalb Monaten zwischen der erleichterten Einbürgerung und der Einleitung des Eheschutzverfahrens, eine tatsächliche Vermutung dafür, dass im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung des Ehepaares bzw. der erleichterten Einbürgerung keine stabile, auf die Zukunft gerichtete ehelichen Gemeinschaft mehr bestanden habe.
Dem Beschwerdeführer sei es nicht gelungen, plausible Gründe vorzubringen, um die tatsächliche Vermutung der Erschleichung der Einbürgerung durch bewusstes Verheimlichen erheblicher Tatsachen in Zweifel zu ziehen. Der Beschwerdeführer mache geltend, erst der Verlust der Arbeitsstelle im August 2002, d.h. ein Ereignis nach der am 23. Oktober 2001 erfolgten Einbürgerung, habe zum ehelichen Zerwürfnis geführt. Diese Ausführungen würden aber in offenkundigem Widerspruch zu den Eheschutz- und Scheidungsakten stehen, wonach die fortwährende Weigerung des Beschwerdeführers, seine Schweizer Familie finanziell zu unterstützen, die eindeutige Hauptursache für das Scheitern der Ehe gewesen sei. Von einem Arbeitsplatzverlust als Trennungs- resp. Scheidungsgrund sei darin nicht die Rede. Dieses Argument sei vom Beschwerdeführer bezeichnenderweise erst im Rechtsmittelverfahren vorgetragen worden. In Wirklichkeit habe sich die Sachlage im Sommer 2002 weit gravierender präsentiert. So werde in den Eheschutzakten von seit Jahren bestehenden massiven Problemen und Spannungen sowie von Drohungen und einer aus Sicht von Mutter und Kind unerträglich gewordenen Situation gesprochen. Es habe ein Scheidungsgrund vorgelegen, der typischerweise den Endpunkt einer längeren Entwicklung dargestellt habe.
Auch würden die im Gesprächsprotokoll vom 17. Mai 2004 festgehaltenen Aussagen in ihrer Gesamtheit auf eine erhebliche Destabilisierung der Ehe bereits vor und während des Einbürgerungsverfahrens hindeuten. Soweit die Äusserungen in der besagten Einvernahme von den Eheschutz- und Scheidungsakten divergieren, gelte darauf hinzuweisen, dass sich die Partei frühere Ausführungen in einem Scheidungsverfahren auch in einem nachfolgenden anderen Verfahren anzurechnen habe.
Anhaltspunkte für einen Missbrauch der erleichterten Einbürgerung würden sich auch aus der Art und Weise ergeben, wie der Beschwerdeführer seine Geldangelegenheiten gehandhabt und seine Präferenzen gesetzt habe. Aus den Akten werde ersichtlich, dass er seine Erwerbseinkünfte vor allem für die Kinder aus der ersten Ehe und für ein Motelprojekt in der Türkei - eine Ferienanlage mit Übernachtungsmöglichkeiten und einem Restaurant für 300 Gäste - verwendet habe. Auch sonst habe sich der Beschwerdeführer wenig um seine Schweizer Familie gekümmert. Als symptomatisch für dieses egoistische Verhalten habe sich seine Absicht erwiesen, ungeachtet der finanziellen Engpässe, mit welchen die Schweizer Ehefrau zu kämpfen gehabt habe, seine älteste Tochter aus erster Ehe aus der Türkei nachziehen und im gemeinsamen Haushalt wohnen zu lassen.
Da das Scheitern der Ehe auf Gründe hindeute, die nicht geeignet seien, den Ehewillen abrupt und in unvorhersehbarer Weise zu zerstören, dränge sich der Schluss auf, der Wille des Beschwerdeführers zu einer auf Zukunft ausgerichteten ehelichen Gemeinschaft sei bereits während des Einbürgerungsverfahrens nicht intakt gewesen. Die behauptete Wiederannäherung betreffe die Zeit nach der Scheidung. Die hierfür eingereichten Beweismittel würden sich deshalb nicht für den Nachweis einer tatsächlichen Ehegemeinschaft während des Einbürgerungsverfahrens eignen.
2.4 Im Einzelnen macht der Beschwerdeführer geltend, Meinungsverschiedenheiten kämen in jeder Ehe vor. Entscheidend sei im vorliegenden Fall, dass im Zeitpunkt seiner Einbürgerung die Eheleute nach wie vor Zuneigung füreinander empfunden und an eine gemeinsame Zukunft geglaubt hätten. Dies ergebe sich klar aus den Aussagen der Ex-Ehefrau vom 17. Mai 2004. Nach deren Einschätzung sei der Verlust der Arbeitsstelle für die eheliche Zerrüttung massgeblich gewesen. Wenn seine Ex-Ehefrau im Eheschutz- und Scheidungsverfahren etwas anderes ausgesagt habe, so habe sie dies aus eigenen, insbesondere finanziellen Interessen getan. Es gehe nicht an, die im Verfahren der Nichtigerklärung getätigten Aussagen der Ex-Ehefrau unberücksichtigt zu lassen und einzig auf die Aussagen im Eheschutz- und Scheidungsverfahren abzustellen. Seine Ex-Ehefrau hätte zumindest als Zeugin oder Auskunftsperson befragt werden müssen.
Der eigentliche Grund für die Auflösung der Ehe sei seine Spielsucht gewesen. Nach dem Verlust der Arbeitsstelle habe sich die Sucht dermassen verschlimmert, dass die Ex-Ehefrau keinen anderen Ausweg als die Trennung mehr gefunden habe. Erst nach dieser schmerzlichen Trennung habe der Beschwerdeführer einen Arzt aufgesucht und dabei erkannt, dass es sich bei der Spielsucht um eine Krankheit handle. Er habe nach wie vor den Willen zur Fortführung der Ehe gehabt. Dies zeige sich daran, dass er die eheliche Wohnung erst verlassen habe, nachdem er im Eheschutzverfahren angewiesen worden sei. Im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung im Einbürgerungsverfahren und der Einbürgerung sei die Ehe noch intakt gewesen. Selbst wenn dem nicht so gewesen wäre, müsste ihm zugutegehalten werden, dass er die wegen seiner Spielsucht bestehenden ehelichen Probleme nicht erkannt habe. Es könne ihm daher nicht vorgeworfen werden, die Einbürgerung erschlichen zu haben.
2.5 Was der Beschwerdeführer vorbringt, ist nicht geeignet, die Beweiswürdigung der Vorinstanz als offensichtlich falsch resp. willkürlich darzustellen. Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz die Protokollaussagen der Ex-Ehefrau vom 17. Mai 2004 gewürdigt. Wenn sie dabei nicht nur auf diese Aussagen, sondern auch auf die Eheschutz- und Scheidungsakten abgestellt hat, verfiel sie damit keineswegs in Willkür. Im Übrigen äusserte sich die Ex-Ehefrau anlässlich der Befragung vom 17. Mai 2004 dahingehend, dass der Beschwerdeführer wohl auf den Schweizer Pass aus war. Zu dieser Aussage äussert sich der Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren wohlweislich nicht.
Der Beschwerdeführer setzt sich nicht mit den Erwägungen im angefochtenen Urteil (E. 2.2) auseinander, wonach der Beweisantrag der Befragung der Ex-Ehefrau im bundesverwaltungsgerichtlichen Verfahren nicht zu neuen massgebenden Erkenntnissen bezüglich der Beziehung der Eheleute und der Trennungsgründe führen würde. Die Rüge der antizipierten willkürlichen Beweiswürdigung ist in diesem Punkt daher unzulässig. Ebenfalls unzulässig ist das erst vor Bundesgericht aufgelegte Schreiben der Ex-Ehefrau über den Zeitpunkt des ehelichen Zerwürfnisses, zu welchem keineswegs das vorinstanzliche Urteil Anlass gab (vgl. E. 1.3 hiervor).
Die übrigen Ausführungen, mit denen die Rüge der willkürlichen Beweiswürdigung untermauert werden soll, sind neu (Spielsucht) oder appellatorisch und damit unzulässig. Dies gilt insbesondere für die wiederholten Hinweise auf das unzulässige neue Dokument vom 12. Februar 2009. Dass, wie die Vorinstanz ausführt, Anhaltspunkte für den Missbrauch der Einbürgerung sich auch daraus ergeben würden, dass der Beschwerdeführer seine Einkünfte nicht für seine Schweizer Familie, sondern für die Kinder aus erster Ehe und das Motelprojekt in der Türkei verwendet habe, wird nicht einmal bestritten.
3. Nach dem Gesagten ist keine offensichtlich falsche Sachverhaltsfeststellung resp. willkürliche Beweiswürdigung und keine sonstige Bundesrechtsverletzung auszumachen. Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Zusprechung einer Parteientschädigung fällt ausser Betracht (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder