Sachverhalt:
A. Der Einzelrichter am Kantonsgericht Zug erteilte mit Verfügung vom 29. Februar 2012 definitive Rechtsöffnung für Fr. 10'006.65 nebst 5 % Zins seit 24. September 2011 in der von Z._ gegen die X._ AG eingeleiteten Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts Zug.
Die X._ AG wandte sich dagegen mit Beschwerde vom 19. März 2012 an das Obergericht des Kantons Zug. Mit Präsidialverfügung vom 22. März 2012 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein.
B. Am 30. April 2012 erhob die X._ AG (Beschwerdeführerin) Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragt, die obergerichtliche Verfügung aufzuheben und das Rechtsöffnungsgesuch abzuweisen. Allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Zudem ersucht sie um aufschiebende Wirkung.
Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Verfügung vom 1. Mai 2012 abgewiesen.
Ebenfalls am 1. Mai 2012 hat das Bundesgericht das Obergericht aufgefordert, die Akten einzureichen. Mit Verfügung vom 8. Juni 2012 hat das Bundesgericht das Obergericht aufgefordert, die eingereichten Akten zu vervollständigen (vgl. E. 1).
Am 19. Juni 2012 hat das Obergericht beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten und das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen. Im Übrigen hat es auf Vernehmlassung verzichtet. Z._ (Beschwerdegegner) ersucht mit Beschwerdeantwort vom 28. Juni 2012 um Abweisung der Beschwerde und darum, der Beschwerdeführerin eine Ordnungsbusse wegen mutwilliger Prozessführung aufzuerlegen. Zudem fordert er das Bundesgericht auf, den tatsächlichen Verfasser der Beschwerde - mutmasslich Rechtsanwalt V._ - zu eruieren und ebenso zu disziplinieren.

Erwägungen:
1. Gemäss <ref-law> hat die Vorinstanz dem Bundesgericht binnen der angesetzten Frist die Vorakten einzureichen. Dazu gehören auch die Beilagen der Parteien zu ihren kantonalen Eingaben. Da das Obergericht diese nicht eingesandt, sondern offensichtlich vor Ablauf der Beschwerdefrist den Parteien zurückgeschickt hat, liegen sie dem Bundesgericht nur insoweit vor, als die Parteien sie ihren Rechtsschriften an das Bundesgericht beigelegt haben. Das Obergericht ist darauf hinzuweisen, dass ein solches Vorgehen nicht zulässig ist und die Beurteilung vereiteln könnte, ob eine dem Bundesgericht vorgetragene Tatsache bzw. das entsprechende Beweismittel im Sinne von <ref-law> neu ist oder ob die Tatsache bereits vor den kantonalen Instanzen behauptet und belegt wurde. Vorliegend hat dies jedoch keine Konsequenzen, da die Beschwerde ohne Beizug der Beilagen behandelt werden kann.
2. Die angefochtene Verfügung betrifft eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache (<ref-law>). Da der für eine Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert nicht erreicht ist (<ref-law>) und die Beschwerdeführerin keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung geltend macht (<ref-law>), ist die nicht näher bezeichnete Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (<ref-law>). Diese ist grundsätzlich zulässig (Art. 114 i.V.m. <ref-law>, <ref-law>; Art. 117 i.V.m. Art. 90 und 100 Abs. 1 BGG).
Mit Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Bei Verfassungsrügen gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Die Rügen müssen in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88; <ref-ruling> E. 1.4 S. 400 f.). Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234 mit Hinweisen).
3. 3.1 Das Obergericht ist auf die kantonale Beschwerde der Beschwerdeführerin nicht eingetreten, weil sie offensichtlich nicht hinreichend begründet sei. Die Beschwerdeführerin lege weder dar noch sei ersichtlich, inwiefern das Kantonsgericht mit seinen Erwägungen zur angeblichen Tilgung der in Betreibung gesetzten Forderung durch Verrechnung das Recht unrichtig angewendet oder den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt haben soll. In der umstrittenen Erwägung hatte das Kantonsgericht festgehalten, für die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Forderung liege keine Schuldanerkennung im Sinne von <ref-law> vor, da aus den Aussagen des Beschwerdegegners an einer Parteibefragung vor dem Gerichtspräsidium Lenzburg keine Verpflichtungserklärung im Sinne der genannten Norm auf Bezahlung von Fr. 50'000.-- herausgelesen werden könne.
3.2 Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht Willkür und eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor. Der Nichteintretensentscheid des Obergerichts sei nicht hinreichend begründet. Sie habe zudem in ihrer kantonalen Beschwerde den Beweis für die Tilgung der Schuld erbracht. Der Beschwerdegegner habe ihre Behauptungen auch nicht bestritten und damit anerkannt, so dass das Rechtsöffnungsgesuch abzuweisen sei.
4. 4.1 Das rechtliche Gehör nach <ref-law> verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236 mit Hinweisen).
4.2 Die angefochtene Verfügung ist zwar knapp, verstösst jedoch nicht gegen die Verpflichtung zur Entscheidbegründung. Die Vorinstanz hat dargelegt, aus welchem Grund sie auf die kantonale Beschwerde nicht eintritt und mit welcher Erwägung der ersten Instanz sich die Beschwerdeführerin eingehender hätte auseinandersetzen müssen. Eine sachgerechte Anfechtung dieser Begründung vor Bundesgericht wäre der Beschwerdeführerin möglich gewesen, indem sie hätte darlegen können, inwiefern sie ihrer Pflicht zur Begründung der kantonalen Beschwerde entgegen der Ansicht der Vorinstanz doch nachgekommen ist und die abweichende Auffassung der Vorinstanz verfassungswidrig sein soll. Dies macht sie nun jedoch vor Bundesgericht nicht. Sie behauptet zwar, bereits in ihrer kantonalen Beschwerde genügend nachgewiesen zu haben, dass die betriebene Forderung durch Verrechnung untergegangen sei. Sie belegt dies jedoch nicht weiter; insbesondere weist sie nicht auf angeblich übergangene Stellen ihrer Beschwerde hin. Stattdessen erschöpfen sich ihre Ausführungen in einer appellatorischen Darstellung der eigenen Sachverhalts- und Rechtsauffassung. Dies genügt den Begründungsanforderungen an eine Verfassungsbeschwerde nicht. Die Beschwerde ist folglich abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
5. Der Beschwerdegegner verlangt, der Beschwerdeführerin und weiteren Personen eine Ordnungsbusse wegen mutwilliger Prozessführung aufzuerlegen (vgl. <ref-law>).
Die Disziplinargewalt für bundesgerichtliche Verfahren liegt alleine beim Bundesgericht. Entsprechende Parteianträge sind unzulässig (Urteil 1C_5/2008 vom 29. Februar 2008 E. 4). Auch wenn der Ausgang des Verfahrens absehbar war, liegt im Übrigen kein Grund vor, die Beschwerdeführerin oder sonst jemanden zu sanktionieren.
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Es rechtfertigt sich, keine Parteientschädigungen zu sprechen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner äussert sich in der Beschwerdeantwort primär zur Rechtsöffnung und nicht zur vom Bundesgericht zu behandelnden Frage der Rechtmässigkeit des vorinstanzlichen Nichteintretensentscheids. Darüber hinaus stellt er unzulässige Verfahrensanträge (oben E. 5).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Auf das Gesuch des Beschwerdegegners um Disziplinierung der Beschwerdeführerin und allfälliger weiterer Personen wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Es werden keine Parteientschädigungen gesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, II. Beschwerdeabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juli 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg