Sachverhalt:
A. Der 1955 geborene M._ bezog seit Juli 2009 Arbeitslosenentschädigung. Auf dem Formular "Angaben der versicherten Person" für den Monat Januar 2010, welches er Ende des Monats zusammen mit der entsprechenden Lohnabrechnung der Öffentlichen Arbeitslosenkasse des Kantons Aargau einreichte, gab er an, vom 12. bis 22. Januar 2010 während insgesamt 9 Tagen bei der S._ AG einen Zwischenverdienst erzielt zu haben. Mit Schreiben vom 2. März 2010 forderte ihn die Arbeitslosenkasse unter anderem auf, die "Bescheinigung über Zwischenverdienst für den Monat Januar 2010" einzureichen. Nachdem M._ ihr am 13. März 2010 das obige Schreiben mit dem Vermerk "alles am 31.1. schon geschickt" retourniert hatte, teilte ihm diese am 6. April 2010 mit, er habe die noch fehlende Bescheinigung über Zwischenverdienst bis 30. April 2010 einzureichen; andernfalls verfalle der Leistungsanspruch für den Monat Januar 2010. Mit Verfügung vom 19. Mai 2010 lehnte die Arbeitslosenkasse den für den Monat Januar 2010 geltend gemachten Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab und bestätigte dies mit Einspracheentscheid vom 10. Juni 2010.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 30. November 2010 gut, hob den Einspracheentscheid vom 10. Juni 2010 auf und wies die Sache an die Arbeitslosenkasse zurück, damit sie über den Anspruch des Versicherten auf Arbeitslosenentschädigung für den Kontrollmonat Januar 2010 im Sinne der Erwägungen neu befinde.
C. Die Arbeitslosenkasse führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheids seien die Verfügung vom 19. Mai 2010 und der Einspracheentscheid vom 10. Juni 2010 zu bestätigen.
Sowohl M._ wie auch das Staatssekretariat für Wirtschaft haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid weist die Sache an die Arbeitslosenkasse zurück, damit diese über den Anspruch des Versicherten auf Arbeitslosenentschädigung für den Monat Januar 2010 im Sinne der Erwägungen neu befinde. In den Erwägungen hielt das kantonale Gericht fest, die Geltendmachung des Entschädigungsanspruchs sei nicht verwirkt, weshalb dem Versicherten das Formular "Bescheinigung über Zwischenverdienst" zuzustellen und ihm eine neue Frist zur Einreichung des ausgefüllten und vom Arbeitgeber unterzeichneten Formulars anzusetzen sei. Mit der Rückweisung der Sache an die Verwaltung wird das Verfahren nicht abgeschlossen, sondern zur Durchführung des arbeitslosenversicherungsrechtlichen Abklärungsverfahrens an die verfügende Behörde zurückgewiesen. Gemäss <ref-law> ist gegen (andere) selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide die Beschwerde zulässig, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde. Darauf beruft sich die Beschwerdeführerin. Diese Voraussetzungen liegen hier vor: Wäre die Beschwerde gutzuheissen und die erneute Prüfung des Anspruchs des Versicherten auf Arbeitslosenentschädigung zu verneinen, könnte der Entschädigungsanspruch des Versicherten sofort abgewiesen werden und der Beschwerdeführerin bliebe weiterer Aufwand erspart.
Im Übrigen liegt nach der Rechtsprechung bei einem Rückweisungsentscheid, welcher - wie vorliegend - der Verwaltung Vorgaben für den Erlass einer ihres Erachtens rechtswidrigen Verfügung macht, für diese ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> vor (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483).
Da alle übrigen Sachurteilsvoraussetzungen vorliegen, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen über die Voraussetzungen des Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung, insbesondere dessen rechtzeitige Geltendmachung (<ref-law> in Verbindung mit Art. 29 Abs. 1 und 2 AVIV [in der bis 31. März 2011 gültig gewesenen Fassung]; zum Begriff der Kontrollperiode siehe <ref-law> in Verbindung <ref-law>) und die diesbezüglichen Säumnisfolgen (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>), zutreffend dargelegt. Dabei gilt hinsichtlich der Modalitäten, welche für die Wahrung des Anspruchs für eine weitere Kontrollperiode zu beachten sind, dass die versicherte Person der Kasse unter anderem die Arbeitsbescheinigung für Zwischenverdienste vorzulegen hat (<ref-law>).
Ebenfalls richtig wiedergegeben hat das kantonale Gericht die Rechtsnatur der in <ref-law> für die Geltendmachung des Entschädigungsanspruchs gesetzten Frist als einer Verwirkungsfrist, welche weder einer Erstreckung noch einer Unterbrechung zugänglich ist (<ref-law>), aber unter gewissen Voraussetzungen wiederhergestellt werden kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3a S. 245; <ref-ruling>). Nach der Rechtsprechung tritt die Verwirkungsfolge auch dann ein, wenn der Anspruch zwar innert der Anmeldefrist geltend gemacht wird, die versicherte Person aber innerhalb dieses Zeitraums oder einer ihr allenfalls - gestützt auf <ref-law> - gesetzten Nachfrist, nicht alle für die Anspruchsbeurteilung erforderlichen Unterlagen beibringt. Dies gilt jedoch nur, wenn die Arbeitslosenkasse die Antrag stellende Person ausdrücklich und unmissverständlich auf die Verwirkungsfolge bei verspäteter Einreichung der für die Beurteilung des Leistungsanspruchs wesentlichen Unterlagen hingewiesen hat (ARV 2002 S. 186, C 312/01 E. 3c; Urteil C 167/06 vom 7. November 2006).
4. Die Vorinstanz hat für das Bundesgericht verbindlich festgestellt, dass der Beschwerdegegner der Arbeitslosenkasse das Formular "Bescheinigung über den Zwischenverdienst" für den Monat Januar 2010 bis zur am 30. April 2010 abgelaufenen Verwirkungsfrist nicht zugestellt hat. Nach den Erwägungen des kantonalen Gerichts tritt die Verwirkungsfolge bei nicht rechtzeitiger Einreichung einverlangter Unterlagen indessen nur dann ein, wenn diese für die Beurteilung des geltend gemachten Anspruchs von Bedeutung sind. Aufgrund einer Gesamtwürdigung der Akten schloss das Versicherungsgericht, der Versicherte sei von Anfang an darum bemüht gewesen, die erforderlichen Unterlagen beizubringen. Der Arbeitslosenkasse habe er am 13. März 2010 erneut lediglich deshalb nur das Formular "Angaben der versicherten Person" mit beigelegter Lohnabrechnung der S._ AG zugesandt, weil ihm offensichtlich nicht bewusst gewesen sei - und er mangels eines ausdrücklichen Hinweises der Arbeitslosenkasse in den Schreiben vom 2. März und 6. April 2010 oder der Zustellung des entsprechenden Formulars auch nicht habe erkennen können -, dass mit "Bescheinigung über den Zwischenverdienst" ein bestimmtes, vorgedrucktes Formular gemeint gewesen sei. Mit dem Unterlassen eines klärenden Hinweises habe die Arbeitslosenkasse ihre Pflicht verletzt, sich nach Treu und Glauben zu verhalten und den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen. Indem der Versicherte seinen Zwischenverdienst mittels der ihm zur Verfügung gestandenen Lohnabrechnung bescheinigt habe, sei er seiner Mitwirkungspflicht nachgekommen, weshalb die Verwirkungsfolge noch nicht eingetreten sei.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin rügt die vorinstanzliche Auslegung von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> als bundesrechtswidrig. Aus diesen Bestimmungen ergebe sich klar, wie die Geltendmachung des Entschädigungsanspruchs zu erfolgen habe. Spätestens aufgrund der unmissverständlichen Formulierung im Schreiben vom 6. April 2010 habe dem Versicherten bewusst sein müssen, dass die Arbeitslosenkasse, abgesehen von der bereits zweimal eingereichten Lohnabrechnung, auch noch das ausgefüllte Zwischenverdienstformular verlange. Für diese Annahme spreche insbesondere der Umstand, dass dieser innerhalb der laufenden Rahmenfrist für den Leistungsbezug den Anspruch früherer Monate mit Zwischenverdienst mittels korrekt ausgefüllter Bescheinigung über den Zwischenverdienst geltend gemacht habe. Zudem würden die Formulare und Bescheinigungen den Versicherten beim Erstgespräch der Regionalen Arbeitsvermittlung eingehend erklärt. Es sei daher überspitzt formalistisch und widerspreche dem Sinn und Zweck von <ref-law> (in Verbindung mit <ref-law>), die Anwendbarkeit dieser Bestimmung von der Verwendung des Begriffs "Formular" im Aufforderungsschreiben abhängig zu machen. Mit überwiegender Wahrscheinlichkeit habe der Versicherte mit seinem Vorgehen vermeiden wollen, dass die neue Arbeitgeberin von seiner Arbeitslosigkeit Kenntnis erhalte. Nachdem er von der Kasse mit dem Mahnschreiben vom 6. April 2010 in rechtsgenüglicher Weise auf die Folgen einer allfälligen Unterlassung hingewiesen worden sei, erweise sich der geltend gemachte Entschädigungsanspruch für den Monat Januar 2010 als verwirkt.
5.2 Zweck der in <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> statuierten Dreimonatsfrist für die Geltendmachung des Taggeldanspruchs ist es, der Arbeitslosenkasse die rechtzeitige Prüfung der Anspruchsvoraussetzungen und Bemessungsgrundlagen zu ermöglichen sowie allfällige Missbräuche zu verhindern (vgl. <ref-ruling> E. 4b/bb S. 80; <ref-ruling> E. 1b S. 68). Dabei ist der Entschädigungsanspruch nicht nur beim Zwischenverdienst (<ref-law>), sondern bereits für die erste Kontrollperiode während der Rahmenfrist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) mittels einer Arbeitsbescheinigung geltend zu machen. Die in <ref-law> angeführte Arbeitsbescheinigung für Zwischenverdienste - wie auch die Arbeitsbescheinigung nach <ref-law> - dient dazu, die Kasse in die Lage zu versetzen, eine umfassende Prüfung der Anspruchsvoraussetzungen vorzunehmen. So soll die Verwaltung neben der beitragspflichtigen Beschäftigung insbesondere auch abklären können, ob die versicherte Person ihre Arbeitslosigkeit selber verschuldet hat. Kann die versicherte Person Tatsachen, die für die Beurteilung ihres Anspruchs erheblich sind, nicht durch Bescheinigung nachweisen, steht der Kasse gemäss <ref-law> die Möglichkeit offen, vom Ansprecher eine der Bescheinigung inhaltlich entsprechende, unterschriebene Erklärung einzuholen.
Bei der Arbeitsbescheinigung handelt es sich somit um eine für die Beurteilung des Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung notwendige Unterlage, welche nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> durch eine unterschriebene Erklärung ersetzt werden kann.
5.3 Auf dem vom Beschwerdegegner ausgefüllten und unterzeichneten Formular "Angaben der versicherten Person" für den Monat Januar 2010 wurde dieser darauf hingewiesen, dass er Bescheinigungen über Zwischenverdienst und Lohnabrechnungen beizulegen habe, sofern er in diesem Monat bei einem oder mehreren Arbeitgebern gearbeitet habe. Er wurde zudem darauf aufmerksam gemacht, dass die Kasse keine Auszahlungen vornehmen könne, falls das Formular nicht vollständig ausgefüllt sei oder Beilagen fehlten. Dem Versicherten musste daher bereits aufgrund dieser Angaben klar sein, dass die Lohnabrechnung allein für die Geltendmachung des Anspruchs nicht genügt. Am 2. März 2010 ersuchte ihn die Arbeitslosenkasse unter anderem, die Bescheinigung über Zwischenverdienst für den Monat Januar 2010 zuzustellen. Sie wies zudem explizit darauf hin, dass für die Geltendmachung des Anspruchs alle notwendigen Formulare gemäss <ref-law> einzureichen seien. Dieses Schreiben hat der Versicherte am 13. März 2010 unterzeichnet. Das Mahnschreiben der Arbeitslosenkasse vom 6. April 2010 enthielt nochmals den ausdrücklichen Hinweis auf die Notwendigkeit der in der Verordnungsbestimmung erwähnten Formulare für die Geltendmachung des Anspruchs. Die Arbeitslosenkasse ist ihrer Informationspflicht (<ref-law>) somit vollumfänglich nachgekommen. Aufgrund ihrer Angaben hätte der Beschwerdegegner wissen müssen, dass es sich bei der verlangten Bescheinigung über den Zwischenverdienst im Sinne von <ref-law> um ein Formular handelte. Gestützt auf seine Mitwirkungspflicht (Art. 28 Abs. 1 und Art. 29 Abs. 1 ATSG) wäre er daher gehalten gewesen, der Kasse das Fehlen des Formulars mitzuteilen, es anzufordern und nachzureichen (Urteil C 286/03 vom 27. Januar 2004 E. 2.2). Indem er seinen für die Anspruchsberechtigung unabdingbaren Obliegenheiten nicht nachkam, hat er - da in rechtskonformer Weise auf die bei Säumnis eintretenden Rechtsfolge aufmerksam gemacht - für die sich daraus ergebende Konsequenz des Anspruchsuntergangs einzustehen.
5.4 Nach dem Gesagten erweist sich die vorinstanzliche Betrachtungsweise, wonach der Entschädigungsanspruch für den Monat Januar 2010 trotz Säumnisses (noch) nicht verwirkt sei, als bundesrechtswidrig.
6. Die Beschwerde ist daher gutzuheissen. Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat der Beschwerdegegner die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 30. November 2010 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Mai 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer