Sachverhalt:
A. Im kantonalen Amtsblatt Nr. 37 vom 14. September 2007 schrieb der Staatsrat des Kantons Freiburg Arbeiten für den Bau der Poya-Brücke im offenen Verfahren zur Bewerbung aus. Gegenstand der öffentlichen Beschaffung waren unter anderem Schrägseile ("haubans"). Grundlage der Ausschreibung bildeten dabei u.a. die "besonderen Bedingungen" ("conditions particulières"), welche den Interessenten zusammen mit anderen Dokumenten ausgehändigt wurden. Verlangt war, dass die Offerte "vollständig" war, d.h. diesen besonderen Bedingungen entsprechen musste; zudem hatte der technische Rapport bestimmte Beilagen zu enthalten, so namentlich einen Nachweis der Dichtheit des Schrägseilsystems ("Annexes relatives aux essais de qualification de l'étanchéité des haubans", Ziff. 252 der besonderen Bedingungen). Bietergemeinschaften waren nicht zugelassen (Ziff. 3.6 der Ausschreibung).
B. Innert Frist (9. November 2007) gingen drei Offerten ein, darunter diejenige der Z._ SA sowie diejenige der X._ AG.
Am 14. Dezember 2007 forderte die Vergabebehörde die X._ AG u.a. auf, den fehlenden Dichtigkeitsnachweis nachzureichen ("Veuillez nous transmettre les rapports relatifs aux essais d'étanchéité des ancrages des haubans"). Hiezu nahm die X._ AG am 21. Dezember 2007 wie folgt Stellung:
"Für die bis heute ausgeführten Objekte wurde im Einverständnis der Kunden auf die Durchführung des aufwändigen Dichtheitsversuches nach fib oder CIP Setra verzichtet.
Beim _ System werden die Litzen individuell mit dem Ankerkopf verbunden und einzeln abgedichtet. Daraus abgeleitet wurden interne, inoffizielle Dichtheitsversuche an Kabeln mit einer Litze und in Anlehnung an die fib Recommendation mit positiven Ergebnissen durchgeführt. Ein offizieller Versuch an einem 7-litzigen Kabel ist zurzeit in Vorbereitung. Die Resultate sind im nächsten Jahr zu erwarten.
Sollte für das Objekt Pont de la Poya die Durchführung ein(es) weitere(n) Dichtheitsversuch(s) notwendig sein, so sind wir bereit, diesen Versuch, in Absprache mit dem MO für eine noch zu definierende Kabelgrösse, vor der Produktionsaufnahme der Schrägkabel durchzuführen".
C. Am 5. Mai 2008 erliess der Staatsrat des Kantons Freiburg den folgenden Beschluss:
"(...)
Les travaux de construction des HAUBANS du pont de la Poya sur la route cantonale H182 Fribourg-Morat, sont adjugés à Z._ SA pour le montant de Fr. 3'523'693.40 y compris la TVA, établi sur la base des prix unitaires de son offre du 8 novembre 2007.
Le marché est soumis à l'accord OMC (....)".
Dieser Beschluss wurde am 9. Mai 2008 zusammen mit einem Begleitschreiben u.a. der X._ AG eröffnet, welche mit ihrem Angebot von Fr. 2'900'955.90 nicht berücksichtigt worden war. Weder der Beschluss des Staatsrates noch das zugehörige Begleitschreiben enthielten eine Begründung.
Am 21. Mai 2008 kam es zwischen Vertretern der Vergabebehörde und der X._ AG zu einer Besprechung. Aus dem entsprechenden Protokoll geht hervor, dass deren Angebot als nicht zulässig ("non recevable") bezeichnet und aus dem Vergabeverfahren ausgeschlossen worden war, namentlich mit der Begründung, dass der Dichtheitsnachweis des Schrägseilsystems gefehlt habe ("... ne dispose pas des essais de qualification de l'étanchéité des haubans...").
D. In der Folge erhob die X._ AG Beschwerde beim Kantonsgericht Freiburg und verlangte, der Staatsrat sei anzuweisen, die Vergabe neu zu beurteilen und eine neue Zuschlagsverfügung zu erlassen; eventuell sei die Rechtswidrigkeit der Verfügung vom 5. Mai 2008 festzustellen.
Nachdem es einen mehrfachen Schriftenwechsel durchgeführt hatte, wies das Kantonsgericht Freiburg die Beschwerde mit Urteil vom 12. August 2008 ab.
E. Als Folge dieses Urteils schlossen der Kanton Freiburg und die Z._ SA am 14. August 2008 einen Vertrag ab, worin der Kanton zusichert, dass diejenige Unternehmung, welche den Zuschlag für den Brückenbau selber erhalten wird, auf der Basis des Vergabeentscheides vom 5. Mai 2008 und entsprechend dem Arbeitsprogramm mit der Z._ SA einen Vertrag über die Arbeiten betreffend die Schrägseile ("travaux de construction des haubans du pont de la Poya") abschliessen muss; umgekehrt verpflichtet sich die Z._ SA gegenüber dem Kanton, einen solchen Vertrag mit der Zuschlagsempfängerin abzuschliessen.
F. Mit Eingabe vom 4./15. September 2008 führt die X._ AG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten/subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Kantonsgerichts Freiburg vom 12. August 2008 (und damit die diesem zugrunde liegende Verfügung vom 5. Mai 2008) aufzuheben. Sodann sei das Kantonsgericht anzuweisen, die Sache dem Staatsrat zur Neubeurteilung zu übertragen; eventuell sei die Rechts- bzw. Verfassungswidrigkeit des angefochtenen Urteils vom 12. August 2008 festzustellen.
Die Z._ SA beantragt, auf die Beschwerde(n) wegen Unzulässigkeit nicht einzutreten, sie eventuell abzuweisen. Der Staatsrat des Kantons Freiburg, vertreten durch die Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion, schliesst auf Nichteintreten, eventuell auf Abweisung der Beschwerde(n), soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht Freiburg stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
G. Mit Verfügung vom 30. September 2008 wies der damalige Abteilungspräsident das gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung ab, soweit es nicht - von Anfang an - gegenstandslos war.

Erwägungen:
1. Zunächst ist zu prüfen, ob gegen das vorliegend angefochtene kantonal letztinstanzliche Urteil das ordentliche Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> offen steht, zumal die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nur dann in Frage kommen kann, wenn das genannte ordentliche Rechtsmittel unzulässig ist (vgl. <ref-law>).
1.1 Gemäss <ref-law> ist das Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen ausgeschlossen, wenn der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrages den massgebenden Schwellenwert des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen (BoeB, SR 172.056.1) oder des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Gemeinschaft über bestimmte Aspekte des öffentlichen Beschaffungswesens (SR 0.172.052.68) nicht erreicht (Ziff. 1) und wenn sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Ziff. 2). Die beiden genannten Bedingungen müssen kumulativ erfüllt sein, damit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen steht (<ref-ruling> E. 2 S. 398).
1.2 Die erstgenannte Voraussetzung ist vorliegend ohne weiteres erfüllt: Gemäss Art. 7 Abs. 2 BoeB ist bei Bauaufträgen zur Realisierung eines Bauwerkes deren Gesamtwert massgebend; dieser liegt hier gemäss den Ausführungen im angefochtenen Urteil (S. 19) weit über der Schwelle von 9,575 Millionen Franken (vgl. Art. 6 Abs. 1 lit. c BoeB in Verbindung mit Art. 1 lit. c der Verordnung des EVD vom 26. November 2007 über die Anpassung der Schwellenwerte im öffentlichen Beschaffungswesen für das Jahr 2008 [AS 2007 6627]). Mit über 3,5 Millionen Franken läge die vorliegend festgesetzte Auftragssumme aber auch über dem für Lieferungen geltenden Schwellenwert von Fr. 248'950 Franken (Art. 1 lit. a der genannten Verordnung).
1.3 Die Voraussetzung des Vorliegens einer "Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung" ("question juridique de principe", "questione di diritto d'importanza fondamentale") ist restriktiv zu handhaben (vgl. <ref-ruling> E.1.1, mit Hinweisen), zumal bei Unzulässigkeit des ordentlichen Rechtsmittels der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bei kantonalen Submissionen immer noch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zur Verfügung steht und bei Vergebungen durch Bundesorgane, soweit sie aufgrund ihres Auftragswertes überhaupt den Vorschriften des Beschaffungsrechts unterstehen (Art. 6 BoeB), das Bundesverwaltungsgericht als Rechtsmittelinstanz angerufen werden kann (Art. 27 Abs. 1 BoeB). Der blosse Umstand, dass die aufgeworfene Rechtsfrage noch nie entschieden wurde, genügt nicht. Es muss sich um eine Rechtsfrage handeln, deren Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann und von ihrem Gewicht her nach einer höchstrichterlichen Klärung ruft. Gemäss <ref-law> ist in der Beschwerdeschrift darzutun, dass und inwiefern die Voraussetzung des Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung erfüllt ist, widrigenfalls auf das Rechtsmittel nicht eingetreten wird (<ref-ruling> E. 2.2 S. 399; Urteile 2C_287/2007 vom 10. September 2007, E. 1.2 und 1.3; 2C_281/2007 vom 24. September 2007, E. 2.2; 2C_107/2007 vom 22. Januar 2008, E. 1.1).
1.4 Die Voraussetzung einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung wird vorliegend von der Beschwerdeführerin behauptet, und zwar einerseits in Bezug auf die Streitfrage, ob es sich bei der Beschwerdegegnerin (Zuschlagsempfängerin) um eine - gemäss Ausschreibung unzulässige (vgl. vorne lit. A) - Bietergemeinschaft gehandelt habe, und andererseits, ob der Ausschluss der Offerte der Beschwerdeführerin auf eine Diskriminierung durch technische Spezifikationen hinauslaufe. Diese Zulassungsvoraussetzung wird in der Praxis des Bundesgerichts restriktiv gehandhabt (vgl. etwa Urteil 2P.282/1999 vom 2. März 2000, E. 3). Bei den von der Beschwerdeführerin zum Gegenstand der Beschwerde gemachten beiden Streitpunkten geht es, wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen werden (E. 3.2 und E. 3.4), nicht um Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung, welche die Zulässigkeit des ordentlichen Rechtsmittels - der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten - zu begründen vermöchte. Offen steht einzig der Weg der subsidiären Verfassungsbeschwerde, als welche das vorliegende Rechtsmittel entgegenzunehmen und zu behandeln ist.
2. 2.1 Zur Verfassungsbeschwerde ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (<ref-law>), und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat (<ref-law>). Beide Voraussetzungen sind bei der Beschwerdeführerin gegeben: Einerseits hat sie als unterlegene Bewerberin gegen ihren Ausschluss aus dem Vergabeverfahren vor dem Kantonsgericht erfolglos Beschwerde geführt. Andererseits gilt das Interesse der potentiellen Bewerber, nach Massgabe der einschlägigen Vorschriften und Ausschreibungsbedingungen zur Offertstellung zugelassen zu werden und gegebenenfalls den Zuschlag zu erhalten, nach der heutigen Rechtsprechung als rechtlich geschützt (vgl. zur früheren staatsrechtlichen Beschwerde <ref-ruling> E. 4 S. 95 f., vgl. zur neuen Verfahrensordnung ADRIAN HUNGERBÜHLER, Das Bundesgericht als Rechtsmittelinstanz in Vergabesachen, in: ZUFFEREY/STÖCKLI [HRSG.], Aktuelles Vergaberecht 2008, Rz. 31 S. 360).
Die Beschwerdeführerin ist daher zur Erhebung der subsidiären Verfassungsbeschwerde berechtigt.
2.2 Ist der Zuschlagsentscheid schon in Vollzug gesetzt und mit dem ausgewählten Konkurrenten bereits ein Vertrag abgeschlossen worden, kann nur noch die Feststellung der Rechtswidrigkeit der angefochtenen Verfügung verlangt werden (vgl. Art. 9 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1995 über den Binnenmarkt [Binnenmarktgesetz, BGBM; SR 943.02], <ref-ruling> E. 5b S. 97 f.). Der Antrag in der Beschwerde kann insoweit nur noch auf Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Rechtsmittelentscheides sowie auf Feststellung der Rechtswidrigkeit der ergangenen Zuschlagsverfügung lauten (vgl. Urteil 2C_85/2007 vom 1. Oktober 2007, E. 3.2).
Da der Kanton Freiburg am 14. August 2008 mit der Beschwerdegegnerin bereits einen den Zuschlag vollziehenden Vertrag abgeschlossen hat (vgl. vorne lit. E), kann der im vorliegenden Verfahren ergehende Entscheid im Sinne der genannten Rechtsprechung nur noch auf die allfällige Rechtswidrigkeit des Zuschlages lauten, und die vorliegend gestellten Beschwerdebegehren sind in diesem Sinne zu verstehen bzw. umzudeuten. Die Einwendungen der Beschwerdeführerin, wonach der während der noch laufenden Beschwerdefrist erfolgte Vertragsabschluss mit Blick auf die Regelung von Art. 14 Abs. 1 der Interkantonalen Vereinbarung über das öffentliche Beschaffungswesen vom 25. November 1994/15. März 2001 (IVöB, AS 2003 196 ff.) unzulässig gewesen sei, sind unbehelflich: Die betreffende Regel gilt, wie aus dem französischen Wortlaut des Konkordates klar hervorgeht, nur für das Beschwerdeverfahren vor der kantonalen Instanz:
Le contrat ne peut être conclu avec l'adjudicataire qu'après l'écoulement du délai de recours et, en cas de recours, que si l'autorité juridictionnelle cantonale n'a pas accordé au recours l'effet suspensif.
Zudem haben sowohl die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wie auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde, von bei Vergabestreitigkeiten nicht in Betracht fallenden Ausnahmen abgesehen, von Gesetzes wegen keine aufschiebende Wirkung, so lange keine gegenteilige Anordnung ergeht (Art. 103 und Art. 117 BGG), und ein dahingehendes Begehren wurde vorliegend mit Präsidialverfügung vom 30. September 2008 abgelehnt (vorne lit. G).
2.3 Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist daher befugt, den letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid des Verwaltungsgerichts wegen Verletzung des Willkürverbotes bzw. des Grundsatzes von Treu und Glauben (<ref-law>), des Gleichbehandlungsgebotes (<ref-law>) oder wegen formeller Rechtsverweigerung (<ref-law>) anzufechten. Ausgeschlossen ist damit die Rüge der Missachtung von Staatsvertrags- und Konkordatsrecht; diesbezügliche Einwendungen können nur auf dem Umweg über das Willkürverbot erhoben werden. Gleiches gilt für die Rüge der Verletzung des den Submissionserlassen zugrunde liegenden Transparenzgebotes und des beschaffungsrechtlichen Diskriminierungsverbotes; die genannten Grundsätze sind keine selbständigen Verfassungsgarantien (Urteil 2C_85/2007 vom 1. Oktober 2007, E. 3.1, Hungerbühler, a.a.O, Rz. 37 S. 363).
2.4 Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten - worum es im Rahmen einer subsidiären Verfassungsbeschwerde einzig gehen kann (vgl. E. 2.3) - nur, soweit eine entsprechende Rüge vorgebracht und begründet worden ist. Es gilt das so genannte Rügeprinzip (<ref-law>, vgl. BBl 2001 4344). Dieses verlangt, dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe dartut, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Eine Rechtsanwendung von Amtes wegen, wie sie dem Bundesgericht hinsichtlich des Gesetzes- und Verordnungsrechts des Bundes zusteht (vgl. <ref-law>), findet nicht statt. Das Bundesgericht untersucht deshalb nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (vgl. die Rechtsprechung zur staatsrechtlichen Beschwerde, statt vieler <ref-ruling> E. 2 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 1d S. 201). Ruft der Beschwerdeführer das Willkürverbot an, muss er, wie schon im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, dartun, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 6 S. 397). Soweit die vorliegende Beschwerde diesen Anforderungen nicht genügt und sich in appellatorischer Kritik erschöpft, ist auf sie nicht einzutreten.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie verwende - im Vergleich mit den anderen Mitbewerbern - ein anderes Schrägseil-System ("_"), weshalb sie die Anforderung, vorgängig einen Dichtigkeitstest durchzuführen, gar nicht habe erfüllen können. Der fehlende Dichtigkeitsnachweis sei eine direkte Folge des von ihr entwickelten und vertretenen Schrägseilsystems und dürfe nicht zum Ausschluss aus dem Vergabeverfahren führen. Die Qualifikation des Dichtigkeitsnachweises als Produkteanforderung sei diskriminierend und damit unzulässig.
3.2 Dass der Auftraggeber potentielle Offerenten nicht durch ungerechtfertigte, bestimmte Produkte ohne sachliche Notwendigkeit ausschliessende oder bevorzugende technische Spezifikationen diskriminieren darf, ist eine im öffentlichen Beschaffungsrecht anerkannte Regel (vgl. Art. VI GPA [SR 0.632.231.422], Art. 11 IVöB; GALLI/MOSER/LANG/CLERC, Praxis des öffentlichen Beschaffungsrechts, 2. Auflage 2007, S. 104 ff., vgl. auch etwa Urteil 2P.282/1999 vom 2. März 2000, E. 3a), die im angefochtenen Urteil keineswegs in Frage gestellt wird (vgl. dort E. 9b S. 13); es geht einzig um die konkrete Tragweite dieser Regel in einem Einzelfall. Eine (neue) Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (vorne E. 1.4) ist nicht erkennbar. Zu prüfen ist allein, ob die im angefochtenen Entscheid vorgenommene Beurteilung gegen verfassungsmässige Rechte verstösst, wobei als Beschwerdegrund hier in erster Linie das Willkürverbot in Betracht fällt (vgl. vorne E. 2.3).
Das Kantonsgericht hat unter Bezugnahme auf das kantonale Reglement vom 28. April 1998 über das öffentliche Beschaffungswesen (Art. 25 lit. h) erwogen, ein Angebot könne vom Verfahren ausgeschlossen werden, wenn der Anbieter wesentliche Formerfordernisse verletzt habe, insbesondere durch Unvollständigkeit des Angebotes. Unvollständige Angebote seien zwingend von der weiteren Vergabe auszuschliessen und könnten nicht im Rahmen der Offertbereinigung nachträglich vervollständigt werden. Im vorliegenden Fall sei in den Ausschreibungsunterlagen festgehalten gewesen, dass der Nachweis der Dichtheit des Schrägseilsystems erbracht werden müsse. Die Anbieter hätten dies aufgrund der Unterlagen gewusst oder zumindest wissen müssen. Zwei von drei Anbietern seien dieser Anforderung denn auch nachgekommen. Die Darlegung der Vergabebehörde, dass für die angestrebte Lebensdauer des Bauwerks von 100 Jahren ein perfekter Schutz der Kabel und der Verankerungen garantiert werden müsse und dass nur mit Tests überprüft werden könne, ob keine Feuchtigkeit in die Verankerungszone bzw. in das Schrägseilsystem eindringen könne, erscheine nachvollziehbar (vgl. S. 14 des angefochtenen Entscheides). Wesentliches Element der Qualität des zu verwendenden Materials sei für die Vergabebehörde deshalb der Dichtigkeitstest gewesen. Die Beschwerdeführerin habe diesen Test nicht beigebracht; mithin habe sie ein unvollständiges Angebot eingereicht, was zwingend zu dessen Ausschluss habe führen müssen.
3.3 Damit hat das Kantonsgericht einlässlich dargelegt, dass und wieso die Vergabebehörde die Offerte der Beschwerdeführerin wegen Fehlens des verlangten Dichtigkeitsnachweises ausschliessen durfte. Die diesbezüglichen Einwendungen der Beschwerdeführerin vermögen - soweit sie sich nicht in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid erschöpfen - den Vorwurf der Willkür und der rechtsungleichen Behandlung jedenfalls nicht zu begründen. Es lag vorliegend in der Kompetenz der Bauherrschaft, den genannten Dichtigkeitsnachweis im Zeitpunkt der Offerteinreichung zu verlangen; und eine solche Anforderung - die im Übrigen unmissverständlich kommuniziert worden war (vgl. vorne lit. A) - erscheint auch keineswegs unhaltbar.
Aus der mitangerufenen Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>) kann die Beschwerdeführerin nichts zu ihren Gunsten ableiten, ergeben sich doch aus diesem Grundrecht für das Submissionsverfahren keine weiter gehenden Ansprüche (vgl. Urteil 2P.254 vom 15. März 2005, E. 2.4, publ. in ZBl 107 [2006] S. 273). Ebensowenig kann von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs gesprochen werden, umso weniger, als die Beschwerdeführerin von der Vergabebehörde am 14. Dezember 2007 nochmals ausdrücklich aufgefordert worden war, den verlangten Dichtigkeitsnachweis einzureichen. Dass der diesbezügliche "offizielle Versuch" bei dem von der Beschwerdeführerin verwendeten System damals noch "in Vorbereitung" war und die entsprechenden Resultate deshalb erst "im nächsten Jahr" erwartet werden konnten (vorne lit. B), hat sie selber zu vertreten.
3.4 Die Beschwerdeführerin beanstandet des weiteren die Berücksichtigung der Offerte der Z._ SA, weil die Ausschreibung Bewerbungen durch "Bietergemeinschaften" ("communauté des soumissionaires") untersagt habe. Die genannte Firma stütze sich technisch und betrieblich auf die Z._ International SA, d.h. auf ein Drittunternehmen ab, womit im Ergebnis eine verbotene Bietergemeinschaft vorliege. Das Verwaltungsgericht verneinte eine Verletzung dieser Vorgabe, weil die beiden Firmen eng miteinander verflochten seien und durch die gleiche Person geleitet würden, während es sich bei eigentlichen Bietergemeinschaften um die gemeinsame Offerte mehrerer selbständiger Gesellschaften handle (vgl. S. 16 des angefochtenen Entscheides).
Es ist grundsätzlich Sache des Auftraggebers, zu bestimmen, welche Anforderungen er an die Rechtsform der Anbieter stellen will (zu Begriff und Rechtsform der Bietergemeinschaft: MARTIN BEYELER, Öffentliche Beschaffungen, Vergaberecht und Schadenersatz, Zürich 2004, S. 338 f). Diesbezügliche Schranken müssen in der Ausschreibung enthalten sein und sind nach deren Wortlaut und Sinn auszulegen; es geht insoweit nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (vorne E. 1.4). Der Ausschluss von Bietergemeinschaften kann etwa dann gerechtfertigt sein, wenn nur wenige Anbieter auf dem Markt sind und durch das Verbot des Zusammenschlusses eine Konkurrenzsituation aufrecht erhalten wird (vgl. GALLI/LEHMANN/RECHSTEINER, Das öffentliche Beschaffungswesen in der Schweiz, Zürich 1996, S. 91). Aus welchen Gründen vorliegend in der Ausschreibung Angebote von Bietergemeinschaften als unzulässig erklärt wurden, geht zwar weder aus dem angefochtenen Entscheid noch aus den vorhandenen Akten eindeutig hervor. Wenn jedoch das Kantonsgericht in Übereinstimmung mit der Vergabebehörde aus dem blossen Umstand, dass die als Offertstellerin auftretende Z._ SA sich für die Erbringung ihrer Leistung auf die Zusammenarbeit mit der ihr eng verflochtenen Z._ International SA stützen kann, noch nicht auf das Vorliegen einer verbotenen Bietergemeinschaft schloss, erscheint dieser Standpunkt nach dem Gesagten ohne Willkür vertretbar, zumal formell nur eine Gesellschaft - die in _ domizilierte Z._ SA - als Vertragspartei auftritt und die allenfalls indirekt mitbeteiligte französische Gesellschaft zu ihr in keinem Konkurrenzverhältnis steht. Inwiefern die Befreiung dieser Drittgesellschaft von der Haftung der Beschwerdegegnerin - gegenüber den anderen Anbietern - einen unerlaubten Vorteil verschaffen soll (S. 27 der Beschwerdeschrift), ist nicht einzusehen. Die Beschwerde vermag auch in diesem Punkt nicht durchzudringen.
4. Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht eingetreten werden. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 65/66 BGG). Diese hat sodann die anwaltlich vertretene Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 10'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Staatsrat des Kantons Freiburg und dem Kantonsgericht Freiburg (II. Verwaltungsgerichtshof) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Klopfenstein