Fatti:
A.
Il 1° settembre 2009 la Commissione tutoria regionale di Bellinzona ha istituito una curatela di amministrazione e rappresentanza a favore di B.A._, allora ottantanovenne. L'8 settembre 2009 il figlio A.A._, che disponeva di una procura, ha prelevato fr. 43'800.-- dal conto di risparmio terza età intestato alla madre presso la Banca C._. Il curatore di B.A._, venuto a conoscenza dell'esistenza del conto e del prelievo quando la banca ha inviato i documenti di chiusura dell'esercizio al 31 dicembre 2009, ha chiesto inutilmente a A.A._ la restituzione della somma, prelevata a suo parere senza diritto, e gli ha fatto notificare un precetto esecutivo, al quale il debitore si è opposto.
B.
Il 3 novembre 2010 B.A._, rappresentata dal curatore, ha avviato davanti al Pretore di Bellinzona un'azione per arricchimento indebito contro A.A._; sostenendo che il prelevamento fosse avvenuto senza valida causa chiedeva che il figlio fosse condannato a pagarle fr. 43'800.-- e che fosse rigettata in via definitiva l'opposizione da lui dichiarata al precetto esecutivo. Il convenuto ha obiettato che la madre aveva acconsentito al prelevamento contestato, che il proprietario reale del conto di risparmio era lui, che i soldi provenivano dalle sue entrate lavorative accessorie e che l'intestazione del conto alla madre era soltanto fiduciaria ed era stata adottata consensualmente per "motivi di discrezione"e per beneficiare del tasso d'interesse vantaggioso degli anziani.
Il Pretore ha accolto la petizione con sentenza del 10 gennaio 2012, confermata il 20 agosto 2013 dalla II Camera civile del Tribunale di appello ticinese.
C.
A.A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 25 settembre 2013. Chiede, oltre alla concessione dell'effetto sospensivo, l'annullamento della decisione cantonale e la reiezione integrale della petizione. L'opponente, con risposta del 18 ottobre 2013, propone che il ricorso sia respinto e che la decisione d'appello sia mantenuta. Il ricorrente ha confermato la propria posizione con una breve replica spontaneadel 25 ottobre 2013. L'autorità cantonale non si è pronunciata.
Con decreto presidenziale del 20 novembre 2013 è stata respinta la domanda di effetto sospensivo.

Diritto:
1.
Il ricorso è presentato dalla parte soccombente nella sede cantonale (<ref-law>), è tempestivo (<ref-law>) ed è volto contro una sentenza finale (<ref-law>) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa civile (<ref-law>) con un valore litigioso superiore a fr. 30'000.-- (<ref-law>). Esso è perciò ammissibile.
2.
La violazione del diritto federale è motivo di ricorso secondo l'<ref-law>. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>). Tuttavia, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione imposto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, il cui mancato rispetto conduce all'inammissibilità del gravame (<ref-law>), esso considera di regola solo gli argomenti proposti nell'atto di ricorso (<ref-ruling> consid. 1.1).
In linea di massima il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può scostarsene o completarlo solo se è stato effettuato in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto (<ref-law>). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere censurato alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
Se rimprovera all'autorità cantonale un accertamento dei fatti manifestamente inesatto - che significa arbitrario (<ref-ruling> consid. 4.2, con rinvii) - il ricorrente deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.5 pag. 314; <ref-ruling> consid. 2.2). Siccome il giudice cantonale fruisce di un grande potere discrezionale nel campo dell'apprezzamento delle prove (e dell'accertamento dei fatti in genere), il ricorrente che invoca l'arbitrio deve dimostrare che la sentenza impugnata ha ignorato il senso e la portata di un mezzo di prova preciso, ha omesso senza ragioni valide di tenere conto di una prova importante suscettibile di modificare l'esito della lite, oppure ha ammesso o negato un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (<ref-ruling> consid. 4.1.2 pag. 62; <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62; <ref-ruling> consid. 2.1).
3.
La Corte cantonale ha dichiarato irricevibili tutti i passaggi dell'atto di appello che ha ritenuto semplici riproduzioni delle conclusioni presentate davanti al Pretore. Le prime censure sono volte contro questa parte del giudizio. Il ricorrente ritiene che l'autorità cantonale sia caduta in un "rigido e riduttivo schematismo"e abbia interpretato "impropriamente" la giurisprudenza federale e la dottrina maggioritaria, dalle quali non risulterebbe affatto che non si possa motivare l'appello riprendendo argomentazioni già espresse in precedenza. Egli aggiunge di essersi confrontato sufficientemente con la sentenza del Pretore, criticandola sia per il "ribaltamento dell'onere probatorio" sia per l'apprezzamento arbitrario delle prove. Si tratta di temi centrali del processo di prima istanza, conclude il ricorrente, per cui il ragionamento dei giudici ticinesi viola l'<ref-law> e costituisce "denegata giustizia per eccesso di formalismo".
3.1. Nella <ref-ruling> il Tribunale federale ha ricordato che l'<ref-law> obbliga l'appellante a dimostrare l'erroneità della decisione impugnata mediante una motivazione sufficientemente esplicita, che possa essere compresa facilmente dall'autorità superiore. Ciò presuppone la designazione precisa dei passaggi contestati e delle prove sulle quali si fondano le critiche. Non basta pertanto rinviare alle allegazioni proposte davanti alla prima istanza o rivolgere contro la sentenza impugnata solo delle critiche di carattere generale (<ref-ruling> consid. 4.3.1).
Queste regole sono analoghe a quelle che l'<ref-law> istituisce per la motivazione dei ricorsi davanti al Tribunale federale (cfr. DTF <ref-ruling> consid. 2.1-2.3).
3.2. Bisogna convenire con il ricorrente che, sulla base di questa giurisprudenza, non è tanto l'atto in sé del ricopiare passaggi di scritti precedenti a comportare l'inammissibilità dell'appello, quanto piuttosto l'assenza di un confronto critico e puntuale con la motivazione del giudizio emanato dall'istanza inferiore. La Corte ticinese ha però tenuto conto correttamente di questa regola. Dopo avere premesso che " la semplice trascrizione nell'appello delle conclusioni o la riproduzione di ampi stralci delle stesse è inammissibile", essa ha infatti precisato che l'appellante deve "spiegare non perché le sue argomentazioni sono fondate, ma perché sarebbero erronee o censurabili le motivazioni del Pretore, vale a dire che egli, nel proprio allegato, deve confrontarsi in modo puntuale con le argomentazioni addotte dal giudice di prime cure e indicare per quali motivi - giuridici e fattuali - le stesse sarebbero errate e non potrebbero essere condivise".
I principi che l'autorità cantonale ha posto a fondamento del proprio giudizio d'irricevibilità sono di conseguenza conformi alla giurisprudenza federale relativa all'<ref-law>.
3.3. Poste le regole, i giudici ticinesi le hanno applicate al caso concreto in modo differenziato, per nulla schematico, elencando in modo dettagliato d'un canto "le censure espressamente sollevate con l'atto di appello, che soddisfano le premesse sopra illustrate e che hanno una valenza autonoma rispetto alla parte ricopiata dalle conclusioni"e che possono di conseguenza essere esaminate; dall'altro i passaggi irricevibili perché "non si confrontano con la sentenza pretorile". Il ricorrente, come detto, menziona due temi a suo dire centrali della sentenza del Pretore, che ritiene di avere criticato a dovere anche in sede di appello - il rovesciamento dell'onere della prova e la valutazione arbitraria delle prove - ma vi accenna in modo generico, senza riferimenti precisi alla motivazione della decisione impugnata. Di fronte alla suddetta elencazione dettagliata egli avrebbe dovuto spiegare quali parti specifiche del suo appello sono state ritenute a torto inammissibili poiché, contrariamente a quanto ha asserito l'autorità cantonale, non sono semplici ricopiature delle conclusioni di prima istanza ma contengono critiche mirate contro le motivazioni del Pretore.
Ne viene che la censura di violazione dell'<ref-law>, nella misura in cui è ammissibile, è infondata.
4.
Nel seguito del ricorso il convenuto discute a ruota libera la sentenza, passando dai fatti al diritto senza riferirsi in modo lineare ai vari capitoli della motivazione impugnata, della quale estrapola soltanto qua e là alcuni passaggi.
Quanto ai fatti va chiarito subito che - con riserva di ciò che si dirà a proposito dell'intestazione del conto (consid. 5.4) - non sono individuabili censure motivate in modo corretto, ovvero che si propongano di dimostrare l'arbitrio. Laddove il ricorrente tratta l'accertamento dei fatti e la valutazione delle prove lo fa in modo appellatorio, elencando semplicemente gli elementi, trascurati a suo parere dal Tribunale di appello, che attesterebbero l'esistenza di un rapporto fiduciario con la madre e il di lei consenso al prelevamento litigioso. Tale modo di motivare è inammissibile davanti al Tribunale federale (cfr. consid. 2).
5.
In diritto il ricorrente adduce la violazione dell'<ref-law>. Rimprovera all'autorità cantonale di avere liberato l'opponente dall'onere della prova concernente l'assenza di una causa valida a giustificazione del prelevamento dal conto e di avere invece imposto a lui l'onere di provare il contrario.
5.1. Ove la legge non disponga altrimenti, chi vuole dedurre il suo diritto da una circostanza di fatto da lui asserita deve fornirne la prova (<ref-law>). La conseguenza è che, qualora fatti giuridicamente determinanti rimangano dubbi o non siano accertati, il giudice deve decidere a sfavore della parte che doveva provarli. Questo principio vale anche per la prova di fatti negativi quali l'inesistenza di una causa valida nel senso dell'<ref-law>. In questo caso le regole della buona fede impongono tuttavia alla controparte di collaborare al chiarimento dei fatti, in particolare offrendo la prova del contrario. L'<ref-law> garantisce il diritto a questa controprova: la controparte deve poter fare assumere le prove dei fatti suscettibili di contrastare e di mettere in dubbio il valore della prova principale. Il giudice si pronuncia nell'ambito dell'apprezzamento delle prove sul risultato di questa collaborazione (sentenze 4A_256/2013 del 17 ottobre 2013, consid. 2.2; 4C.117/2006 del 18 luglio 2006 consid. 3 e rif.; HANS PETER WALTER, Berner Kommentar, n. 529 segg. ad <ref-law>).
Va ricordato anche che, per giurisprudenza costante, se il giudice apprezzando le prove si convince che un fatto allegato da una parte è stato provato, la questione della ripartizione dell'onere della prova non si pone più e la censura di violazione dell'<ref-law> diviene senza oggetto. Questa norma, come detto, regola le conseguenze dell'assenza della prova di un fatto determinato; non prescrive quali prove debbano essere assunte e non ne disciplina l'apprezzamento (<ref-ruling> consid. 6.3; <ref-ruling> consid. 4.3.4; sentenza 4A_128/2010 del 23 agosto 2010 consid. 3).
5.2. Al considerando 7 della propria sentenza la Corte ticinese ha ripreso le predette regole succintamente (citando peraltro un passaggio dell'atto di appello del convenuto). Ha rammentato che l'attrice deve provare l'inesistenza di una causa valida dell'arricchimento, che la buona fede obbliga il convenuto a cooperare offrendo la prova del contrario e che il fallimento di quest'ultima prova contraria avvalora la tesi dell'attrice. Questa enunciazione di principio rispetta pienamente il diritto federale.
Nell'esame concreto della fattispecie la Corte cantonale, confermando il giudizio del Pretore, ha stabilito preliminarmente che l'intestazione del conto bancario alla madre faceva presumere ch'ella ne fosse anche la beneficiaria economica, non risultando dagli atti dichiarazioni contrarie. In seguito, in merito alla causa dell'arricchimento, i giudici ticinesi hanno confermato anche la conclusione del Pretore secondo la quale il convenuto non ha provato che la madre avesse acconsentito al prelevamento litigioso, in particolare poiché i testimoni, ch'egli aveva proposto per avvalorare la sua tesi, non avevano avuto una percezione diretta dei fatti. Hanno in seguito rimproverato al convenuto di non avere spiegato conformemente ai dettami dell'<ref-law> per quale motivo sarebbero errati gli accertamenti minuziosi del Pretore concernenti la proprietà dei soldi, aggiungendo però che in ogni caso l'apprezzamento delle prove effettuato dal primo giudice a questo proposito regge alle critiche. Infine la Corte d'appello ha reputato proceduralmente irricevibili le contestazioni riguardanti l'esistenza del rapporto fiduciario, ma ha comunque esaminato anche nel merito e confermato le valutazioni sfavorevoli al convenuto svolte dal Pretore a tale riguardo.
5.3. La motivazione della sentenza, riassunta sopra, mostra che l'autorità d'appello ha valutato - contrapponendole - sia le prove dell'opponente, segnatamente la documentazione bancaria, sia le testimonianze e i documenti proposti dal ricorrente come controprove; ne ha tratto il convincimento che il ricorrente non ha saputo provare né il rapporto fiduciario né il consenso della madre e non è pertanto riuscito a inficiare la "presunzione di proprietà" ricavata dall'intestazione del conto. Così facendo essa ha applicato correttamente le regole di diritto federale derivanti dall'<ref-law>: ha tenuto conto dell'onere principale dell'opponente di provare l'assenza di causa valida a giustificazione dell'arricchimento e, trattandosi di un fatto negativo, anche del dovere del ricorrente di collaborare. Ha per finire dato ragione all'opponente, accertando il fatto negativo, ossia l'assenza di causa valida. A questa conclusione è giunta per apprezzamento delle prove, atto che sfugge al campo di applicazione dell'<ref-law> (cfr. consid. 5.1).
Nel rispetto dell'<ref-law> il ricorrente ha anche potuto offrire e fare assumere delle controprove, le quali, come detto, sono state apprezzate a suo sfavore. Davanti al Tribunale federale egli non afferma che tale diritto gli fosse stato negato. Sostiene invece di essersi trovato in una situazione di "emergenza probatoria", non avendo potuto fare interrogare la madre, divenuta nel frattempo incapace. Non critica tuttavia, né prende in considerazione in alcuno modo, l'argomentazione chiara con la quale la Corte ticinese ha reputato che da tale circostanza, indipendente dalla volontà delle parti, non si possono trarre conclusioni.
5.4. A ben vedere, anche il ricorrente si rende conto che il giudizio impugnato è in sostanza il risultato dell'apprezzamento delle prove; egli scrive infatti ripetutamente, in forma diversa, che la Corte cantonale ha sbagliato considerando determinante l'intestazione del conto bancario al nome dell'opponente e privando di "efficacia probatoria" o valutando in modo arbitrario le prove da lui fornite a sostegno del rapporto di fiducia e del consenso della madre. A più riprese egli allude anche al "comportamento processuale renitente" dell'opponente, del quale il Tribunale di appello avrebbe dovuto tenere conto, consistente nella mancata produzione o richiamo del Formulario A.
Si tratta di censure volte contro l'accertamento dei fatti, che sono inammissibili per difetto di motivazione. Rientra nell'ambito dell'apprezzamento delle prove anche la determinazione della portata che ha - o che avrebbe potuto avere - il Formulario A nel contesto litigioso. Le allegazioni su questo tema sono comunque inammissibili poiché nuove, come osserva con ragione l'opponente.
5.5. Fa eccezione all'inammissibilità delle censure volte contro l'accertamento dei fatti il rimprovero mosso al Tribunale di appello di avere stabilito in modo arbitrario che l'intestazione del conto facesse presumere l'appartenenza economica del conto alla madre. Esso è motivato sufficientemente ma infondato. A prescindere da approfondimenti sulla nozione di avente diritto economico, che è di rilievo soprattutto nell'ambito della lotta contro il riciclaggio di denaro, non per i rapporti di diritto privato ( CARLO LOMBARDINI, Droit bancaire suisse, 2a ed. 2008, pag. 340), dal profilo fattuale non è per nulla insostenibile affermare, come ha fatto il Tribunale di appello, che nel caso specifico l'intestazione del conto di risparmio terza età all'anziana attrice fa presumere che i soldi fossero suoi.
6.
Ne viene che il gravame, nella misura in cui è ammissibile, è infondato. Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico del ricorrente, il quale rifonderà all'opponente fr. 2'500.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.