Faits:
A. B._ est propriétaire de la parcelle n° 220 du registre foncier de Montana, au lieu-dit les Toules. Sur la parcelle voisine n° 223, qui longe le bien-fonds de B._ à l'est, se trouve le bâtiment de la Communauté des copropriétaires de la propriété par étages A._ (ci-après: la communauté des copropriétaires).
Le 19 mars 2004, B._ a déposé une demande d'autorisation de construire sur la parcelle n° 220 un chalet de dix pièces et un garage pour quatre véhicules. La requête était accompagnée de plans illustrant le projet sur quatre niveaux et indiquait entre autres des "terrasses-baignoires" couvertes sur chacun des côtés est et ouest des combles. Ce projet a été mis à l'enquête publique, par avis paru au Bulletin officiel du canton du Valais du 26 mars 2004. C._, copropriétaire d'une part de la PPE voisine, a formé opposition en présentant notamment des critiques liées à la densité du projet. Il a retiré son opposition le 15 avril 2004.
Le 9 août 2004, le Conseil communal de Montana a délivré le permis de construire sollicité, sur la base des plans approuvés le 20 mai 2004. B._ a demandé des modifications, qui ont été mises à l'enquête publique par avis paru au Bulletin officiel du 7 octobre 2005 sans susciter d'opposition. Le 14 novembre 2005, le Conseil communal a autorisé le projet modifié. Il ressort du dossier que les plans relatifs à ces modifications ont été approuvés le 29 novembre 2005.
B. Le 4 octobre 2006, la communauté des copropriétaires susmentionnée, a fait part à la Commune de Montana de ses doutes quant à la régularité de la construction érigée sur la parcelle n° 220 et à sa conformité aux plans autorisés. Elle demandait la possibilité de consulter ces plans, en vue de requérir le cas échéant l'engagement d'une procédure de régularisation. Elle sollicitait également un contrôle des travaux en cours, accompagné au besoin d'un ordre d'arrêt des travaux non conformes. Empêchée de consulter le dossier, la communauté des copropriétaires a déposé auprès du Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) un recours pour retard injustifié contre la Commune de Montana. Ayant reçu un refus formel de cette dernière le 21 novembre 2006, la communauté des copropriétaires a formé un nouveau recours devant le Conseil d'Etat, en requérant la jonction des causes. A titre de mesure provisionnelle, elle demandait au Conseil d'Etat d'ordonner l'arrêt des travaux.
Le 12 décembre 2007, le Conseil d'Etat a classé la requête de mesure provisionnelle et rejeté les moyens liés à la consultation du dossier et au retard injustifié. Il a confirmé que les travaux contestés correspondaient aux plans que le Conseil communal de Montana avait approuvés en 2004 et 2005, notamment en ce qui concerne les "terrasses-baignoires". Il a également jugé que les documents déposés lors des enquêtes publiques étaient suffisants, de sorte que la dénonciatrice ne pouvait plus remettre en question la conformité des autorisations au droit des constructions, en particulier concernant l'indice d'utilisation du sol.
C. Le 1er février 2008, la communauté des copropriétaires a recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public (ci-après: le Tribunal cantonal), qui a rejeté le recours par arrêt du 8 mai 2008. Cette autorité a considéré que le droit d'être entendu de la communauté des copropriétaires n'avait pas été violé dans la procédure cantonale et que les travaux réalisés étaient conformes aux plans approuvés. En particulier, les "terrasses-baignoires" correspondaient bien aux plans approuvés le 20 mai 2004 et le 29 novembre 2005, la nouvelle fermeture vitrée de ces terrasses apparaissant sur les plans de façades nos 9 et 10 figurant dans le dossier mis à l'enquête en 2005. A cet égard, le Tribunal cantonal a estimé en substance que le volume fermé demeurait hors de l'enveloppe thermique du bâtiment malgré la fermeture de la terrasse, de sorte que c'était en vain que la communauté des copropriétaires tentait de qualifier différemment ce volume afin de démontrer un calcul erroné de l'indice d'utilisation.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la communauté des copropriétaires demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Elle se plaint d'une constatation manifestement inexacte des faits pertinents (<ref-law>) ainsi que d'une violation du principe de la bonne foi (art. 9 Cst.). Le Tribunal cantonal et la Commune de Montana ont renoncé à se déterminer. B._ conclut au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision rendue dans le domaine du droit public des constructions, le recours est recevable comme recours en matière de droit public conformément aux <ref-law>. La recourante est propriétaire du bien-fonds directement voisin de la parcelle n° 220 et elle allègue que les irrégularités de la construction litigieuse lèsent ses intérêts, en ce sens qu'elles provoquent une perte de vue et d'intimité ainsi qu'une augmentation de la masse du bâtiment et de la densité. L'admission de son recours lui permettrait d'obtenir la mise en conformité des "terrasses-baignoires", notamment celle qui fait face à son immeuble. On peut donc admettre que la recourante est touchée plus que quiconque par la décision attaquée et qu'elle a un intérêt digne de protection à obtenir son annulation (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 252; cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 433). Elle est dès lors habilitée à recourir au sens de l'<ref-law>. Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours est recevable au regard des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF.
2. Dans un premier grief, la recourante se plaint d'une constatation manifestement inexacte des faits pertinents au sens de l'<ref-law>.
2.1 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). L'existence de faits constatés de manière inexacte ou en violation du droit doit en outre être susceptible d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure (art. 97 al. 1 in fine LTF). Selon la jurisprudence, l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits sont arbitraires (art. 9 Cst.; pour une définition de l'arbitraire cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153) lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2a p. 41).
2.2 Selon la recourante, le Tribunal cantonal aurait fait preuve d'arbitraire en retenant un certain nombre d'éléments de fait concernant les "terrasses-baignoires". Elle reproduit le considérant 3d de l'arrêt attaqué, sans toutefois distinguer clairement quels sont les faits qui auraient été constatés arbitrairement. De plus, elle expose que les terrasses apparaissaient comme extérieures sur les plans de 2004 et qu'aucun plan des combles n'a été déposé en 2005, mais l'arrêt attaqué ne retient aucunement le contraire.
Les seules constatations de fait critiquées concrètement sont celles qui concernent la mention d'un toit à deux pans couvrant les terrasses sur les plans des combles de 2004 et la présence de fenêtres immédiatement derrière la barrière des terrasses sur les plans de 2005. Or, les plans de 2004 mentionnent clairement les toits à deux pans; le fait que ceux-ci figurent sur les plans de façades et non sur le plan des combles est logique et cet élément est sans incidence sur la bonne compréhension du projet, une simple consultation des plans permettant de constater que les terrasses seraient couvertes. Quant aux plans de 2005, ils permettent de discerner que les fenêtres se trouvent directement derrière les barrières des terrasses, en l'absence d'ombre portée des toits sur les fenêtres en question.
Par ailleurs, dans la mesure où une comparaison des plans de 2004 et de 2005 fait ressortir le déplacement des fenêtres et la fermeture des terrasses, il n'était pas insoutenable de retenir que les travaux réalisés étaient conformes à l'autorisation délivrée. Le fait que d'éventuels opposants ne pouvaient pas procéder à cette comparaison et que, par conséquent, la modification des terrasses était pour eux difficilement perceptible est certes malheureux, mais cet élément est sans incidence sur l'examen de la conformité des travaux. En effet, l'autorité ayant délivré le permis de construire en 2005 pouvait comparer les plans précités et était dès lors en mesure de déceler les modifications. Pour le surplus, s'il est vrai que les plans ne sont pas particulièrement clairs à cet égard, cela ne suffit pas pour considérer que le Tribunal cantonal a constaté les faits de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire. Ce premier moyen doit donc être rejeté.
3. La recourante invoque également le principe général de la bonne foi. Elle soutient que la mise à l'enquête de 2005 était trompeuse, la modification des "terrasses-baignoires" ayant été effectuée sur les plans de façades sans qu'un nouveau plan des combles ne soit déposé. Le dossier constitué en 2005 aurait donc pu "tromper d'éventuels voisins ou opposants qui viendraient consulter les plans mis à l'enquête".
Il est certes regrettable que la mise à l'enquête pour la modification du projet initial n'ait pas inclus un plan des combles du bâtiment et que l'autorité communale ait accepté ce procédé. Cela étant, la recourante ne prétend pas avoir été induite en erreur par les plans qu'elle aurait consultés à ce moment-là. En outre, elle ne démontre pas en quoi les règles relatives à la mise à l'enquête auraient été violées, ni quelles conséquences auraient dû en être tirées par les autorités cantonales. Elle ne se plaint pas non plus d'une application arbitraire du droit cantonal à cet égard.
Au demeurant, cette question ne fait pas l'objet de la présente procédure, dès lors que le litige ne porte pas sur la validité de la mise à l'enquête publique, mais bien sur la conformité des travaux réalisés par rapport aux plans autorisés. Dans la mesure où la recourante n'a pas fait opposition en 2005 et dès lors qu'elle ne prétend pas avoir été concrètement empêchée de le faire, elle ne saurait revenir sur la procédure de mise à l'enquête à l'occasion de sa dénonciation pour non-conformité. Par conséquent, ses critiques relatives à la mauvaise foi de l'intimé ou de l'autorité communale lors de la mise à l'enquête publique ne sont pas recevables dans le cadre du présent litige.
4. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. La recourante, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Elle versera en outre une indemnité à titre de dépens à l'intimé, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF). En revanche, il n'est pas alloué de dépens à la Commune de Montana (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3000 fr., sont mis à la charge de la Communauté des copropriétaires de la propriété par étages "A._".
3. Une indemnité de 2000 fr. est allouée à B._ à titre de dépens, à la charge de la Communauté des copropriétaires de la propriété par étages A._.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires de la recourante et de l'intimé, ainsi qu'à la Commune de Montana et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 25 novembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener