Sachverhalt:
A. Die Bausektion des Stadtrates Zürich erteilte dem Bundesamt für Bauten und Logistik (BBL) am 3. Juni 2008 die baurechtliche Bewilligung für einen Erweiterungsbau und die Sanierung des Kunstgewerbeflügels des Schweizerischen Landesmuseums an der Museumsstrasse 2 und 6. Gleichzeitig eröffnete sie die Bewilligung der Baudirektion des Kantons Zürichs vom 17. April 2008 für das gleiche Bauvorhaben.
B. Einen von der Schweizerischen Gesellschaft für Gartenkultur (SGGK) gegen diese Entscheide erhobenen Rekurs wies die Baurekurskommission I des Kantons Zürich am 8. Mai 2009 ab.
C. Gegen den Entscheid der Baurekurskommission erhob die SGGK Beschwerde, welche vom Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 13. Januar 2010 abgewiesen wurde.
D. Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts hat die SGGK am 26. Februar 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Weiterbehandlung und zum Neuentscheid an die Vorinstanz, eventuell an die erstinstanzlichen Bewilligungsbehörden zurückzuweisen.
E. Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Baudirektion, die Bausektion und das BBL beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen.
F. Die Beschwerdeführerin wurde am 20. Mai 2010 zu einer allfälligen Stellungnahme zu den eingegangenen Vernehmlassungen des BBL und der Bausektion eingeladen. Sie äusserte sich indessen nicht mehr dazu.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit von Amtes wegen (<ref-law>). Es untersucht deshalb grundsätzlich von Amtes wegen, ob und inwiefern auf eine Beschwerde eingetreten werden kann. Immerhin ist die Beschwerde gemäss <ref-law> hinreichend zu begründen.
2. Der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit, gegen den grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen steht (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG).
3. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (lit. c). Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer, dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht. Nach <ref-law> sind ferner Personen, Organisationen und Behörden, denen ein anderes Bundesgesetz dieses Recht einräumt, zur Beschwerde berechtigt. Die Begründungspflicht hat auch eine besondere Bedeutung für die Beschwerdebefugnis. Der Beschwerdeführer hat darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen gegeben sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 251).
3.1 Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Sie macht indessen nicht geltend, sie sei in der Sache selbst durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt bzw. habe ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Auch bringt sie nicht vor, ein anderes Bundesgesetz als das BGG räume ihr die Beschwerdeberechtigung ein. Sie macht aber geltend, sie sei nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst zur Rüge befugt, sie sei in ihrem Anspruch auf rechtliches Gehör sowie ihren sich aus dem kantonalen Recht ergebenden Teilnahmerechten im Begutachtungsverfahren verletzt worden.
3.2 Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann ein Beschwerdeführer eine Verletzung der Verfahrensgarantien geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigrung im Sinne von <ref-law> darstellt (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 253; <ref-ruling> E. 6.2 S. 198). Das nach <ref-law> erforderliche schutzwürdige Interesse ergibt sich diesfalls nicht aus einer Berechtigung in der Sache, sondern aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Eine solche besteht dann, wenn dem Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren Parteistellung zukommt. Damit kann der Beschwerdeführer, der in der Sache nicht berechtigt ist, dem aber im kantonalen Verfahren Parteistellung zukam, beispielsweise geltend machen, auf ein Rechtsmittel sei zu Unrecht nicht eingetreten worden, er sei nicht angehört worden, habe keine Gelegenheit erhalten, Beweisanträge zu stellen, oder er habe nicht Akteneinsicht nehmen können. Hingegen kann er weder die Würdigung der beantragten Beweise noch die Tatsache, dass seine Anträge wegen Unerheblichkeit oder aufgrund vorweggenommener Beweiswürdigung abgelehnt wurden, rügen. Die Beurteilung dieser Fragen kann nämlich nicht von der Prüfung der Sache selber getrennt werden. Auf eine solche hat der in der Sache selbst nicht Legitimierte keinen Anspruch (<ref-ruling> E. 3c S. 312 f.).
3.3 Die Vorinstanz hielt in ihrem Entscheid fest, dass sich die Durchführung eines Augenscheins erübrige, nachdem die Rekurskommission einen solchen durchgeführt habe und die örtlichen Verhältnisse aus den Akten hinreichend ersichtlich seien. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz hätte einen Augenschein durchführen müssen. Indem dies unterblieben sei, habe die Vorinstanz die Untersuchungspflicht sowie ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
Zu dieser Rüge, welche die Sachverhaltsfeststellung und die Beweiswürdigung betrifft, ist die in der Sache selbst nicht beschwerte Beschwerdeführerin nach dem Gesagten nicht legitimiert, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
3.4 Weiter führte die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid aus, nachdem die zuständigen kantonalen Sachverständigenkommissionen bereits im Rahmen des Festlegungsverfahrens für den Gestaltungsplan angehört worden seien und sich in ihren Gutachten jeweils implizit auch zum Projekt selber ausgesprochen hätten, sei die Einholung weiterer Stellungnahmen im Baubewilligungsverfahren rechtlich nicht geboten gewesen. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Einholung von Gutachten und Stellungnahmen der kantonalen Sachverständigenkommissionen sei rechtlich durchaus geboten gewesen. Indem die Behörden darauf verzichtet hätten, seien zugleich ihre Verfahrensrechte, namentlich ihr Anspruch auf rechtliches Gehör sowie ihre auf die kantonale Verordnung über die Sachverständigenkommissionen gestützten Verfahrensrechte verletzt worden. Die Beschwerdeführerin ist nämlich der Ansicht, ihr hätte - wenn die kantonalen Sachverständigenkommissionen im Baubewilligungsverfahren noch einmal zur Einreichung eines Gutachtens bzw. einer Stellungnahme aufgefordert worden wären - nach kantonalem Recht Gelegenheit zur Anhörung bzw. zur Teilnahme an von den Kommissionen durchzuführenden Augenscheinen gegeben werden müssen. Dies hätte es ihr ermöglicht, ihre Einwände gegen das Bauprojekt frühzeitig einzubringen.
Die Beschwerdeführerin macht demnach nicht geltend, es sei auf ein Rechtsmittel von ihr zu Unrecht nicht eingetreten worden oder sie sei im Rahmen des durchgeführten Baubewilligungsverfahrens direkt in ihren Mitwirkungsrechten verletzt worden. Sie rügt aber eine indirekte Verletzung ihrer Verfahrensrechte. Diese soll darin bestehen, dass die Behörden gesetzlich gebotene Stellungnahmen von Sachverständigenkommissionen nicht eingeholt hätten, was dazu geführt habe, dass sie ihre Mitwirkungsrechte, welche ihr im Zusammenhang mit diesen Stellungnahmen zugestanden hätten, nicht habe wahrnehmen können. Das Geltendmachen einer solchen indirekten Verletzung von Mitwirkungsrechten vermag die Beschwerdelegitimation der in der Sache nicht beschwerten Beschwerdeführerin für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht allerdings nicht zu begründen, zumal nicht gesagt werden kann, dass das Vorgehen der Behörden eine formelle Rechtsverweigerung im Sinne von <ref-law> gegenüber der Beschwerdeführerin darstellen würde.
4. Damit fehlt der Beschwerdeführerin die Beschwerdelegitimation für die vorgebrachten Rügen, weshalb auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht einzutreten ist. Bei diesem Ausgang trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Das Schweizerische Landesmuseum ist Bestandteil des Schweizerischen Nationalmuseums, welches eine öffentlich-rechtliche Anstalt des Bundes ist (Art. 5 Abs. 1 i.V.m. Art. 6 lit. a des Museums- und Sammlungsgesetzes vom 12. Juni 2009 [MSG; SR 432.30]). Das BBL, welches beim vorliegenden Bauprojekt die Bauherrschaft innehat, obsiegt somit in seinem amtlichen Wirkungskreis, weshalb ihm für das bundesgerichtliche Verfahren keine Parteientschädigung zusteht (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Bundesamt für Bauten und Logistik, der Bausektion des Stadtrates Zürich sowie der Baudirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Oktober 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Mattle