Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Die in Frankreich wohnhafte X._ besitzt das Basler Bürgerrecht. Sie stellte erstmals im Mai 2002 beim Amt für Ausbildungsbeiträge des Kantons Basel-Stadt ein Gesuch um Gewährung von Ausbildungsbeiträgen für den Besuch eines zweijährigen Kurses in Frankreich (Strassburg). Das Amt lehnte das Begehren am 2. November 2002 mit der Begründung ab, dass die Ausbildungsförderung von Auslandschweizern im Falle der Bedürftigkeit nur für Ausbildungen in der Schweiz möglich sei. Der gegen diese Verfügung erhobene Rekurs wurde im Hinblick auf weitere Abklärungen zurückgezogen. Die Kommission für Ausbildungsbeiträge des Kantons Basel-Stadt lehnte das Stipendiengesuch am 7. Juli 2003 erneut ab. Mit Urteil vom 19. Dezember 2003 trat das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht (nachfolgend Verwaltungsgericht) auf den gegen diesen Entscheid erhobenen Rekurs insoweit nicht ein, als die Zusprechung von Schadenersatz im Betrag von Fr. 900.-- begehrt wurde; im Übrigen hob es den fraglichen Entscheid in Gutheissung des Rekurses auf und wies die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen, d.h. zur Festsetzung der Höhe des auszurichtenden Stipendiums, an die Kommission zurück.
Diese gewährte X._ am 25. Februar 2004 für die Ausbildungsjahre 2002/2003 und 2003/2004 je ein Stipendium von Fr. 10'400.--, machte die Auszahlung aber vom Nachweis der erfolgreichen Absolvierung des ersten Ausbildungsjahres bzw. des ersten Semesters des zweiten Jahres abhängig (Prüfungsresultate und Referenzen). Einen gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs schrieb das Verwaltungsgericht am 21. Juni 2004 als gegenstandslos ab, weil das Stipendium, nach Erbringung des geforderten Erfolgsnachweises, mittlerweile ausbezahlt worden war. Die gegen dieses Urteil erhobene staatsrechtliche Beschwerde wies das Bundesgericht ab, soweit es darauf eintrat, wobei es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abwies und X._ die Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- auferlegte (Urteil 2P.268/2004 vom 22. Februar 2005).
1.2 Schon am 29. März 2004 hatte X._ beim Zivilgericht Basel-Stadt Klage eingereicht mit den Anträgen, das Amt für Ausbildungsbeiträge sei zu verurteilen, ihr einerseits Verzugszinsen und Zinseszins ab 28. September 2002 bis zum Zahlungseingang des Stipendiums für das erste Schuljahr sowie ab 1. September 2003 bis zum Zahlungseingang des Stipendiums für das zweite Schuljahr, andererseits einen Betrag von Fr. 3'300.-- als Schadenersatz für die durch die Verfolgung des Rechtswegs entstandenen Kosten und Verdienstausfall zu bezahlen. Der Zivilgerichtspräsident wies, nachdem er das Verfahren zuvor sistiert hatte, die Klage am 18. April 2005 hinsichtlich der Schadenersatzforderung ab; in Bezug auf die Verzugszinsforderung trat er darauf nicht ein. Zugleich wies er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab, auferlegte der Klägerin einen Teil der Verfahrenskosten (Fr. 410.--) und verpflichtete sie zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 500.-- an die Gegenpartei.
Am 7. Juli 2005 wies der Ausschuss des Appellationsgerichts eine Beschwerde gegen das Urteil des Zivilgerichtspräsidenten ab.
1.3 Gegen das Urteil vom 7. Juli 2005 hat X._ am 25. Oktober 2005 beim Schweizerischen Generalkonsulat in Strassburg zu Handen des Bundesgerichts fristgerecht eine Beschwerde eingereicht.
Das Appellationsgericht beantragt unter Hinweis auf sein schriftlich begründetes Urteil, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Amt für Ausbildungsbeiträge hat die Akten eingereicht und auf Vernehmlassung verzichtet.
1.4 Nach Ausfällung des vorliegenden Urteils, welches im vereinfachten Verfahren (Art. 36a OG), teilweise unter Verweis auf die Ausführungen im angefochtenen Urteil, ergeht (vgl. Art. 36a Abs. 3 OG), erübrigt sich ein separater Entscheid zum Gesuch um aufschiebende Wirkung, welchem am 14. Dezember 2005 superprovisorisch entsprochen worden ist.
1.4 Nach Ausfällung des vorliegenden Urteils, welches im vereinfachten Verfahren (Art. 36a OG), teilweise unter Verweis auf die Ausführungen im angefochtenen Urteil, ergeht (vgl. Art. 36a Abs. 3 OG), erübrigt sich ein separater Entscheid zum Gesuch um aufschiebende Wirkung, welchem am 14. Dezember 2005 superprovisorisch entsprochen worden ist.
2. 2.1 Für die Beurteilung des Rechtsstreits (Staatshaftung) ist ausschliesslich kantonales Recht massgeblich. Das Urteil des Ausschusses des Appellationsgerichts kann allein mit dem ausserordentlichen Rechtsmittel der staatsrechtlichen Beschwerde angefochten werden, wobei nur gerügt werden kann, verfassungsmässige Rechte der Beschwerdeführerin seien verletzt worden. Das Bundesgericht kann das angefochtene Urteil entsprechend nicht frei überprüfen und dieses bloss dann aufheben, wenn die - allenfalls falsche - Anwendung von kantonalem Recht auf eine Verfassungsverletzung, insbesondere auf Willkür, hinausläuft.
2. 2.1 Für die Beurteilung des Rechtsstreits (Staatshaftung) ist ausschliesslich kantonales Recht massgeblich. Das Urteil des Ausschusses des Appellationsgerichts kann allein mit dem ausserordentlichen Rechtsmittel der staatsrechtlichen Beschwerde angefochten werden, wobei nur gerügt werden kann, verfassungsmässige Rechte der Beschwerdeführerin seien verletzt worden. Das Bundesgericht kann das angefochtene Urteil entsprechend nicht frei überprüfen und dieses bloss dann aufheben, wenn die - allenfalls falsche - Anwendung von kantonalem Recht auf eine Verfassungsverletzung, insbesondere auf Willkür, hinausläuft.
2.2 2.2.1 Gemäss § 3 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 17. November 1999 über die Haftung des Staates und seines Personals (Haftungsgesetz, HG) haftet der Staat nach den Bestimmungen dieses Gesetzes für den Schaden, den sein Personal in Ausübung seiner amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich zufügt. Unabdingbare Voraussetzung der Haftung ist nebst dem konkreten Schadensnachweis das Vorliegen einer widerrechtlichen Handlung. Die Beschwerdeführerin macht geltend, ihr sei dadurch finanzieller Schaden entstanden, dass ihr die Stipendien erstinstanzlich verweigert worden seien und sie deren Auszahlung im aufwendigen Rechtsmittelweg habe erstreiten müssen; der Nachweis der Widerrechtlichkeit ist ihrer Auffassung nach durch die Aufhebung der die Ausrichtung der Beiträge verweigernden Verfügung im Rechtsmittelverfahren erbracht. Das Appellationsgericht führt hiezu unter anderem aus (E. 3.2 des angefochtenen Urteils), dass Widerrechtlichkeit i.S. des Haftungsgesetzes nicht schon darin liege, dass eine Amtsstelle einen Sachverhalt anders beurteile und daraus andere rechtliche Schlüsse ziehe als eine übergeordnete Instanz. Diese Auslegung des Widerrechtlichkeitsbegriffs im Staatshaftungsrecht hält verfassungsmässiger Prüfung stand; es ist nicht ersichtlich, inwiefern sie willkürlich sein sollte. Grundsätzlich sind möglicherweise fehlerhafte Verwaltungsakte durch das Ergreifen von Rechtsmitteln zu korrigieren; diesbezüglich auch noch den Weg eines Staatshaftungsverfahrens zu öffnen, ist sachwidrig (Grundsatz der Einmaligkeit des Rechtsschutzes bzw. des Instanzenzugs, vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 147 ff.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 142).
Dass die Beschwerdeführerin mit Urteil des Verwaltungsgerichts vom 19. Dezember 2003 für eigentliche Schadenersatzbegehren an den für Staatshaftungsforderungen zuständigen Zivilrichter verwiesen wurde, ist diesbezüglich unerheblich. Die entsprechende Belehrung war dem Grundsatz nach zutreffend; es oblag der Beschwerdeführerin wie jeder anderen Partei, vor Erhebung der entsprechenden Klage zu prüfen, welche Forderungen sie mit welchen Erfolgsaussichten im Klageverfahren würde geltend machen können. Sofern das Verwaltungsgericht im Übrigen die Schadenersatzforderung schon dannzumal ausschliesslich als Forderung um Ersatz der Prozessaufwendungen verstanden hätte, hätte es sie selber in seinem Urteil vom 19. Dezember 2003 ohne weiteres abgewiesen: Wie das Appellationsgericht im vorliegend angefochtenen Urteil darlegt, werden Parteientschädigungen nach kantonalem Recht (§ 172 der Zivilprozessordnung der Kantons Basel-Stadt vom 8. Februar 1875 [ZPO] in Verbindung mit §§ 30 Abs. 1 Satz 2 sowie 21 Abs. 1 des kantonalen Gesetzes vom 14. Juni 1928 über die Verwaltungsrechtspflege [VRPG]) nur für tatsächlich angefallene Anwaltshonorare zugesprochen, nicht aber für Zeitaufwand der Partei selber; weder ist diese Regelung durch die kantonale Behörde willkürlich interpretiert worden noch ist sie als solche verfassungswidrig.
Nach dem Gesagten sind keine verfassungmässigen Rechte der Beschwerdeführerin dadurch verletzt worden, dass ihr Entschädigungszahlungen sowohl unter dem Aspekt der Staatshaftung als auch unter dem Titel Parteientschädigung verweigert wurden. Unerfindlich ist sodann, inwiefern unter den gegebenen Umständen "willkürliche und dadurch schädigende Prozessführung in der ersten Instanz" durch den Zivilgerichtspräsidenten vorliegen könnte. Es besteht kein Anlass, den diesbezüglichen zutreffenden Ausführungen in E. 4 (s. zudem E. 2) des angefochtenen Urteils, auf welche verwiesen werden kann, etwas beizufügen.
2.2.2 Es bleiben die Rügen betreffend Verzugszinsforderung. Das Appellationsgericht nimmt an, die Beschwerdeführerin hätte entsprechende Forderungen im Verwaltungsverfahren (Stipendienstreit) bzw. im diesbezüglichen Rechtsmittelverfahren geltend machen müssen, nicht im Staatshaftungsverfahren. Diese Auffassung ist (jedenfalls unter verfassungsrechtlichem Gesichtswinkel) nicht zu beanstanden.
Das Appellationsgericht stellt fest, die Beschwerdeführerin habe einen Antrag auf Bezahlung von Verzugszinsen im Verwaltungsverfahren nicht rechtzeitig gestellt. Die Beschwerdeführerin hält dem Appellationsgericht vor, es irre sich diesbezüglich. In der Tat verhält es sich so, dass sie im ersten Rekursverfahren vor dem Verwaltungsgericht Verzugszinsen gefordert hat (s. insbesondere S. 9 der Rekursbegründung vom 11. August 2003); die gegenteilige Annahme des Appellationsgerichts ist insofern falsch. Dies ist jedoch unerheblich:
In seinem Urteil vom 19. Dezember 2003 erwähnte das Verwaltungsgericht die Verzugszinsforderung mit keinem Wort, weder im Sachverhaltsteil noch in den rechtlichen Erwägungen oder im Entscheidspruch. Die Beschwerdeführerin wurde hiefür, anders als für das Schadenersatzbegehren von Fr. 900.--, auch nicht etwa ins Staatshaftungsverfahren verwiesen (und diesbezüglich durch die Behörde in einen Irrtum versetzt). Im zweiten Rekursverfahren vor dem Verwaltungsgericht stellte die Beschwerdeführerin dann keine Verzugszinsforderung (s. das diesbezügliche Urteil 2P.268/2004 des Bundesgerichts vom 22. Februar 2005 E. 3.1 erster Absatz). Dass das Verwaltungsgericht die Verzugszinsforderung nicht behandelte und sie sogar völlig ignorierte, hätte mit staatsrechtlicher Beschwerde gerügt werden müssen. Zwar handelte es sich beim Urteil vom 19. Dezember 2003 um einen Zwischenentscheid, gegen welchen kaum unmittelbar hätte staatsrechtliche Beschwerde erhoben werden können (Art. 87 Abs. 2 OG). Er hätte aber, zusammen mit dem Urteil vom 21. April 2004, ausdrücklich mitangefochten werden können (Art. 87 Abs. 3 OG), was die Beschwerdeführerin unterlassen hat. Mit dem Abschreibungsurteil des Verwaltungsgerichts vom 21. Juni 2004 (bzw. dem bundesgerichtlichen Urteil vom 22. Februar 2005) ist das Stipendienverfahren, in welchem Verzugszinsen hätten geltend gemacht werden müssen, endgültig abgeschlossen worden. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin zur Verzugszinsforderung stossen damit letztlich ins Leere. Jedenfalls aber ist auch in dieser Hinsicht nicht erkennbar, inwiefern das Appellationsgericht verfassungsmässige Rechte der Beschwerdeführerin verletzt haben könnte.
2.3 Die staatsrechtliche Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
2.4 Die Beschwerdeführerin stellt für das Verfahren vor Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Ihr Gesuch ist wegen Aussichtslosigkeit der staatsrechtlichen Beschwerde abzuweisen (Art. 152 OG). Demnach sind ihr als unterliegender Partei die bundesgerichtlichen Kosten aufzuerlegen (Art. 156 in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kommission für Ausbildungsbeiträge des Kantons Basel-Stadt, dem Zivilgerichtspräsidenten Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Januar 2006
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: