Faits:
A. Le 16 septembre 2005, l'Association "Les Amis de la Passerelle" a requis des Conseils communaux de Saillon et de Leytron une autorisation de construire un parcours d'escalade ("via ferrata") sur des terrains situés sur ces communes, au lieu-dit "Gorges de la Salentze", classés en zone agricole protégée, selon les plans de zone homologués par le Conseil d'Etat du canton du Valais. Par avis paru au Bulletin officiel du canton du Valais du 30 septembre 2005, cette demande d'autorisation de construire a été mise à l'enquête publique. L'avis indiquait un délai d'opposition de dix jours dès la publication, conformément à l'art. 41 al. 1 de la loi cantonale sur les constructions du 8 février 1996 (LC; RS/VS 705.1).
B. Le 24 octobre 2005, la Fondation WWF Suisse (ci-après: le WWF Suisse) et l'Association WWF Valais ont formé opposition en invoquant une atteinte à un site bien préservé. Elles estimaient notamment que l'avis mentionnait inexactement un délai d'opposition de dix jours, contrairement à ce que prévoyait la loi fédérale sur la protection de la nature et du paysage du 1er juillet 1966 (LPN; RS 451).
Par décision du 20 février 2007, la Commission cantonale des constructions (ci-après: la Commission des constructions), autorité compétente pour autoriser les projets d'installations hors zone à bâtir, a accordé le permis de construire et déclaré l'opposition du 24 octobre 2005 irrecevable puisque tardive.
Le 11 juin 2007, un recours contre cette décision a été déposé par le WWF Suisse (en accord avec le WWF Valais) auprès du Conseil d'Etat du canton du Valais qui l'a jugé irrecevable par décision du 10 décembre 2007. Contre cette décision, le WWF Suisse a recouru auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal) en date du 14 janvier 2008.
C. Par arrêt du 28 mars 2008, le Tribunal cantonal a rejeté le recours. Il a préalablement considéré que la décision du Conseil d'Etat du canton du Valais, présentée par inadvertance comme une décision d'irrecevabilité, déboutait en réalité le recourant sur le fond. Il a ensuite établi que l'ancien <ref-law> (en vigueur du 1er janvier 2000 au 30 juin 2007) repris dans l'actuel <ref-law> (en vigueur depuis le 1er juillet 2007) qui prévoit une durée de mise à l'enquête "en règle générale" de trente jours, est "une règle de droit fédéral qui, tout en préférant un délai d'opposition de l'ordre d'un mois, s'accommode de délais plus courts que les cantons peuvent conserver, en attendant de les allonger s'ils pensent y avoir motif". Le Tribunal cantonal a estimé ne pas être lié par son arrêt du 2 juin 2003, dans lequel il avait retenu que l'<ref-law> fixait le délai de l'enquête publique à trente jours.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le WWF Suisse demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 28 mars 2008 et de déclarer recevable l'opposition qu'il a déposée le 24 octobre 2005. Il conclut également à ce que la cause soit renvoyée à la Commission des constructions pour qu'elle rende une décision au fond. Il conteste l'interprétation que fait le Tribunal cantonal de la seconde phrase de l'<ref-law>.
Le Conseil d'Etat du canton du Valais, l'Association "Les Amis de la Passerelle" et la Commune de Saillon se sont déterminés et concluent au rejet du recours. La Municipalité de Leytron se réfère à la position de la Commune de Saillon.
E. Par ordonnance du 29 septembre 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif présentée par le recourant.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours dont il est saisi (<ref-ruling> consid. 1 p. 236).
1.1 La voie du recours en matière de droit public est ouverte contre une décision finale (<ref-law>) prise par l'autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans une contestation de droit public (<ref-law>) portant sur l'application des règles relatives à la procédure d'autorisation de construire hors de la zone à bâtir au sens des art. 24 ss de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire du 22 juin 1979 (LAT; RS 700). Aucune des exceptions mentionnées à l'<ref-law> n'est réalisée.
1.2 Le WWF Suisse a manifestement qualité pour recourir au sens des art. 89 al. 1 let. a et al. 2 let. d LTF (<ref-ruling> consid. 1e p. 292 et les arrêts cités; <ref-law> en relation avec l'art. 1 et le ch. 3 de l'annexe de l'ordonnance relative à la désignation des organisations habilitées à recourir dans les domaines de la protection de l'environnement ainsi que de la protection de la nature et du paysage [ODO; RS 814.076]). Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>). Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2. Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir appliqué le délai de dix jours prévu par l'art. 41 de la loi valaisanne sur les constructions et d'avoir estimé que le délai de trente jours prévu par la seconde phrase de l'ancien <ref-law> repris dans l'actuel <ref-law> (la seule disposition à laquelle on se référera ci-après est l'<ref-law>, étant donné que la teneur de la seconde phrase de ces deux articles est identique) n'était pas impératif pour les cantons. Il critique l'interprétation de la seconde phrase de l'<ref-law> que l'autorité cantonale aurait faite en se fondant principalement sur une interprétation littérale du terme "en règle générale" et sur l'intervention du Conseiller aux Etats rapporteur lors des débats parlementaires, sans tenir compte du but de la loi qui l'a introduite et de l'intégralité desdits débats.
2.1 Il y a d'abord lieu de poser le cadre dans lequel s'inscrit le présent litige. L'installation hors de la zone à bâtir de la "via ferrata" ne peut être réalisée sans l'octroi préalable d'une autorisation exceptionnelle délivrée par l'autorité compétente (art. 24 ss LAT). Le droit cantonal règle la procédure relative aux oppositions qui peuvent frapper les autorisations de construire (cf. art. 25 LAT). Dans le canton du Valais, de telles oppositions doivent se faire dans les dix jours à compter de la publication dans le Bulletin officiel (art. 41 al. 1 LC).
Or, selon la jurisprudence, l'application des art. 24 ss LAT relève de l'accomplissement d'une tâche fédérale au sens de l'<ref-law> et de l'art. 78 Cst., pour autant que la mesure contestée soit susceptible de porter atteinte notamment aux intérêts de la nature et du paysage (<ref-ruling> consid. 1e p. 292; 5 consid. 2c p. 7; <ref-ruling> consid. 5a/bb p. 510). Dès lors, les <ref-law> confèrent aux organisations reconnues et aux communes le droit de recourir contre de telles décisions. Dans ce cadre, la seconde phrase de l'<ref-law> règle également la participation de ces organisations aux phases antérieures de la procédure, notamment au stade de l'opposition. Elle prévoit que "en règle générale, la durée de la mise à l'enquête publique est de trente jours". Ces règles fédérales sont complémentaires à celles du droit cantonal et doivent s'appliquer en vertu du principe de la force dérogatoire du droit fédéral (art. 49 Cst.).
Il s'agit donc en l'espèce d'interpréter la seconde phrase de l'<ref-law>, afin de déterminer la place qu'elle laisse aux règles de procédure cantonale. La Cour de céans n'a pas encore eu l'occasion d'examiner cette question laissée ouverte dans un arrêt récent (arrêt du Tribunal fédéral 1A.10/2006 du 14 décembre 2006, in DEP 2007 p. 196 consid 3.4 p. 199).
2.2 La loi s'interprète en premier lieu selon sa lettre. D'après la jurisprudence, il n'y a lieu de déroger au sens littéral d'un texte clair par voie d'interprétation que lorsque des raisons objectives permettent de penser que ce texte ne restitue pas le sens véritable de la disposition en cause. De tels motifs peuvent découler des travaux préparatoires, du but et du sens de la disposition, ainsi que de la systématique de la loi. Si le texte n'est pas absolument clair, si plusieurs interprétations de celui-ci sont possibles, il convient de rechercher quelle est la véritable portée de la norme, en la dégageant de tous les éléments à considérer, soit notamment des travaux préparatoires, du but de la règle, de son esprit, ainsi que des valeurs sur lesquelles elle repose ou encore de sa relation avec d'autres dispositions légales. Le Tribunal fédéral ne privilégie aucune méthode d'interprétation, mais s'inspire d'un pluralisme pragmatique pour rechercher le sens véritable de la norme; en particulier, il ne se fonde sur la compréhension littérale du texte que s'il en découle sans ambiguïté une solution matériellement juste (<ref-ruling> consid. 3.3.1 p. 178; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 61; <ref-ruling> consid. 3.3.5 p. 237; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 315 s.).
2.3 En l'occurrence, l'interprétation littérale ne permet pas d'aboutir à un résultat clair, l'indication précise de la durée de la mise à l'enquête publique (trente jours) étant relativisée par la locution adverbiale "en règle générale". Il s'agit dès lors d'examiner les travaux préparatoires.
2.3.1 La seconde phrase de l'ancien <ref-law> a été introduite lors de l'adoption de la loi fédérale du 18 juin 1999 sur la coordination et la simplification des procédures de décision (RO 1999 3071 ss). Elle ne figurait cependant pas dans le texte du projet de loi du Conseil fédéral (FF 1998 2221 ss), mais a été introduite au stade des débats parlementaires sur proposition de la Conseillère nationale Nabholz (BO 1999 CN 57-58). En l'absence de message du Conseil fédéral ou de prises de position écrites émanant des commissions législatives, il y a lieu d'examiner les déclarations des parlementaires et plus particulièrement celles de l'auteur de la seconde phrase de l'<ref-law>.
La Conseillère nationale Nabholz a présenté sa proposition en rappelant tout d'abord que lors de la révision de la LPN entrée en vigueur le 1er février 1996, le Conseil fédéral avait renoncé à introduire un délai pour la durée de la mise à l'enquête publique, afin de ne pas empiéter sur la souveraineté cantonale (BO 1999 CN 57). Dans son message, il avait cependant relevé qu' "en obligeant les autorités à fixer un délai d'opposition raisonnable, on entend garantir que l'exercice du droit de recours ne soit pas entravé par des délais trop brefs. Eu égard au nombre relativement élevé de projets pouvant faire l'objet d'un recours et aux possibilités restreintes des organisations habilitées à recourir, le délai ne devrait en principe pas être inférieur à trente jours" (Message concernant la révision de la loi fédérale sur la protection de la nature et du paysage du 26 juin 1991, FF 1991 III 1156 ch. 22).
La Conseillère nationale Nabholz a ensuite illustré ses propos en relevant la rigueur du système du droit valaisan si l'on combine les délais et les modalités d'exercice de l'opposition (notamment lorsque la mise à l'enquête publique débute un vendredi et que le délai de dix jours compte ainsi deux week-ends ou lorsque les heures d'ouverture des guichets des administrations communales sont limitées à quelques heures par semaine). Elle a dénoncé le fait qu'un tel traitement procédural pouvait empêcher l'exercice du droit de recours et en a tiré la conclusion que les courts délais d'opposition, inférieurs à vingt jours, étaient inacceptables (BO 1999 CN 57).
Cette proposition a suscité un débat au sein du Conseil national, les parlementaires Grobet et Baumgartner s'y étant opposés, relevant notamment l'absence de clarté de l'expression "en règle générale" et le caractère récent de la révision de la LPN entrée en vigueur le 1er février 1996, soit trois ans auparavant (BO 1999 CN 58). Le Conseiller fédéral Leuenberger a également recommandé de rejeter cette proposition, au motif qu'elle empiétait sur la souveraineté des cantons (BO 1999 CN 58).
La proposition de la Conseillère nationale Nabholz n'en fut pas moins adoptée par le Conseil national à 76 voix contre 58, dans la forme proposée. Il faut en déduire que ledit Conseil n'a pas tenu pour décisive l'argumentation des opposants à la proposition et a voulu exclure les délais d'opposition cantonaux excessivement brefs, soit ceux inférieurs à vingt jours. Devant le Conseil des Etats, le Conseiller aux Etats rapporteur a expliqué que la phrase litigieuse devait être comprise "pour ce qui concerne les autorités et les procédures cantonales [...] comme une invitation aux cantons à fixer dans la loi un délai de trente jours" puisque "dans le cas où la décision relève de la compétence cantonale, il est clair que c'est le droit cantonal ou même le droit de procédure cantonale qui s'applique" (BO 1999 CE 440). Le Conseil des Etats a voté ce texte sans discussion. L'intervention du parlementaire rapporteur ne saurait remettre en cause l'interprétation retenue par le Conseil national, dans la mesure où le Conseil des Etats connaissait les opinions exprimées devant le Conseil précédent et le sort qui leur avait été réservé.
2.3.2 Ainsi, l'analyse des travaux préparatoires montre que le législateur a introduit la locution "en règle générale" dans le but de ne pas conférer une portée absolument contraignante à la norme en cause, tout en excluant ainsi les délais inférieurs à vingt jours. Au surplus, de manière générale, la doctrine récente en matière de procédure administrative fédérale se montre critique à l'encontre des délais inférieurs à vingt jours (Patrick Sutter, in Auer/Müller/Schindler, Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren (VwVG), 2008, n° 9 ad <ref-law>). Dans ces conditions et pour des motifs de sécurité du droit, il y a lieu de retenir que l'<ref-law> interdit les délais cantonaux, respectivement de mise à l'enquête publique et d'opposition, inférieurs à vingt jours.
2.4 Le délai prévu à l'<ref-law> ne vaut que pour les communes et les organisations reconnues au sens des <ref-law>. Se pose dès lors la question de savoir quel délai accorder à tout autre opposant. Selon la jurisprudence, le principe de l'égalité de traitement interdit de faire des distinctions qu'aucun fait important ne justifie, ou de soumettre à un régime identique des situations de fait qui présentent entre elles des différences importantes et de nature à rendre nécessaire un traitement différent (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 260s.; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 74; <ref-ruling> consid. 3 p. 3). En l'espèce, il paraît contraire au principe d'égalité de traitement de soumettre à un régime procédural différent les opposants à un même permis de construire. En effet, les difficultés auxquelles peuvent être confrontées certaines organisations dans l'exercice de leur droit d'opposition peuvent tout aussi bien être rencontrées par des particuliers, notamment lorsqu'ils ne sont pas domiciliés dans la commune en question.
Le principe de la coordination ancré à l'art. 25a al. 1 LAT conduit également à imposer le même délai à tout opposant concerné par une procédure soumise à l'<ref-law>. Selon le Conseil fédéral, cette disposition-là exige en effet la coordination des procédures applicables à toutes les décisions nécessaires à l'obtention d'une autorisation de construire (Message concernant la modification de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire du 30 mai 1994, FF 1994 III 1071, ch. 222.2).
2.5 Vu ce qui précède, le délai d'opposition prévu par le droit cantonal valaisan à l'art. 41 al. 1 LC n'est pas conforme au droit fédéral. L'<ref-law> impose en effet que toute opposition soit déposée dans un délai d'au moins vingt jours. A cet égard, il appartiendra à l'autorité compétente d'adapter la législation et la pratique cantonales au droit fédéral, en arrêtant le délai précité à une durée de vingt jours au moins.
3. A titre subsidiaire, le recourant se prévaut du droit à la protection de la bonne foi et du principe de la sécurité du droit. Il allègue avoir légitimement agi en se fondant sur un arrêt du Tribunal cantonal du 2 juin 2003, dans lequel celui-ci affirmait que dans la mesure où une organisation reconnue de protection de la nature agissait en application des <ref-law>, le délai légal d'opposition devait être fixé à trente jours.
3.1 Dans cet arrêt, le Tribunal cantonal avait jugé que le délai de l'ancien <ref-law> valait pour toutes les affaires où étaient applicables les art. 12 ss de cette loi. Il y était expressément admis que l'ancien <ref-law> fixait le délai de l'enquête publique à trente jours et prévalait sur l'art. 34 al. 4 de la loi cantonale valaisanne du 23 janvier 1987 concernant l'application de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire (RS/VS 701.1), dans sa teneur du 1er juin 1999.
3.2 Une modification de jurisprudence ne contrevient pas à la sécurité du droit, au droit à la protection de la bonne foi et à l'interdiction de l'arbitraire lorsqu'elle s'appuie sur des raisons objectives, telles qu'une connaissance plus exacte ou complète de l'intention du législateur, la modification des circonstances extérieures, un changement de conception juridique ou l'évolution des moeurs (<ref-ruling> consid. 3c/aa et les arrêts cités).
En principe, une nouvelle jurisprudence doit s'appliquer immédiatement et aux affaires pendantes au moment où elle est adoptée (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 159; <ref-ruling> consid. 3c/bb p. 59 s. et les arrêts cités). Le droit à la protection de la bonne foi, qui découle de l'art. 9 Cst., doit néanmoins être pris en considération. Le Tribunal fédéral a précisé, à ce propos, que la modification d'une jurisprudence relative aux conditions de recevabilité d'un recours, notamment à la computation des délais de recours, ne doit pas intervenir sans avertissement, si elle provoque la péremption d'un droit (<ref-ruling> consid. 3c/bb p. 60; <ref-ruling> consid. 1 p. 6).
3.3 En l'espèce, l'arrêt attaqué instaure une nouvelle solution jurisprudentielle, considérant que le précédent raisonnement "tablait sur une prémisse erronée" qui ne correspondait ni à la volonté du législateur ni au texte de la seconde phrase de l'<ref-law>. Ce changement de jurisprudence repose ainsi sur des motifs objectifs tirés à la fois du texte de la norme et de sa genèse, qui suffisent à justifier la nouvelle interprétation.
Par ailleurs, on peut concevoir qu'en abrégeant le délai pour déposer une opposition, l'autorité empêche en définitive le justiciable de faire valoir ses droits, alors qu'il eût été en mesure de les invoquer en temps utile s'il avait connu la nouvelle jurisprudence. Le recourant n'avait en outre aucune raison de penser que le Tribunal cantonal reviendrait sur son arrêt du 2 juin 2003. Dès lors, le principe de la bonne foi commandait audit tribunal d'avertir préalablement les justiciables de son changement de jurisprudence ou à tout le moins de ne pas les empêcher de faire valoir leurs droits dans le cas particulier.
Par conséquent, le recourant doit être mis au bénéfice de la pratique retenue par le Tribunal cantonal dans son arrêt du 2 juin 2003, dès lors qu'aucune information sur un changement à ce sujet n'a été donnée. Dans ces conditions, le prononcé d'irrecevabilité pour tardiveté viole le droit à la protection de la bonne foi. Le recours doit être admis pour ce dernier motif et l'autorité cantonale doit admettre à titre exceptionnel que l'opposition a été formée en temps utile.
4. Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être admis, l'arrêt attaqué annulé et l'affaire renvoyée au Tribunal cantonal, à charge pour ce dernier de désigner l'autorité qui devra se saisir de la cause, afin qu'il soit à nouveau statué sur l'opposition et sur l'autorisation de construire (<ref-law>).
L'Association "Les Amis de la Passerelle", qui succombe, supportera des frais judiciaires réduits vu les circonstances (<ref-law>); les communes et le canton sont quant à eux dispensés de par la loi du paiement des frais de justice (<ref-law>). Obtenant gain de cause avec l'assistance d'un avocat, le recourant a droit à des dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Ceux-ci sont mis à la charge de l'Association "Les Amis de la Passerelle".

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt du Tribunal cantonal du 28 mars 2008 est annulé. L'affaire est renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision au sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'Association "Les Amis de la Passerelle".
3. Une indemnité de 2'000 fr. est allouée à la Fondation WWF Suisse à titre de dépens, à la charge de l'Association "Les Amis de la Passerelle".
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Association "Les Amis de la Passerelle", au Conseil communal de Leytron, au Conseil communal de Saillon, au Conseil d'Etat du canton du Valais, à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais, à l'Office fédéral du développement territorial et à l'Office fédéral de l'environnement.
Lausanne, le 21 janvier 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Féraud Tornay