Sachverhalt:
A.
X._ war unentgeltlicher Rechtsvertreter von Y._ in einem von ihrem ehemaligen Ehemann angehobenen Verfahren auf Ergänzung des Scheidungsurteils. Umstritten war die Regelung des persönlichen Verkehrs hinsichtlich des gemeinsamen Sohnes (vgl. Urteil 5A_505/2013 vom 20. August 2013).
Für das Berufungsverfahren am Obergericht des Kantons Zürich, in dem Y._ als Berufungsklägerin auftrat, reichte X._ am 5. Juni 2013 eine Kostennote ein. Er verlangte eine Entschädigung von insgesamt Fr. 6'746.-- (Honorar Fr. 6'133.30 und Auslagenersatz Fr. 113.00, zuzüglich 8 % MWST).
Mit Beschluss vom 7. Juni 2013 legte das Obergericht die Entschädigung von X._ auf Fr. 4'982.05 fest (Honorar Fr. 4'500.-- und Auslagenersatz Fr. 113.--, zuzüglich 8 % MWST).
B.
Am 5. Juli 2013 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen, eventuell subsidiäre Verfassungsbeschwerde, an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt die Aufhebung des Beschlusses des Obergerichts und die Zusprechung einer Entschädigung von total Fr. 6'766.--; eventualiter sei die Sache zur Neufestsetzung der Entschädigung an das Obergericht zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Beschluss ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die zwar nicht auf Rechtsmittel hin, aber im Rahmen eines Rechtsmittelverfahrens über die amtliche Entschädigung des Beschwerdeführers befunden hat (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 42). Wird der Anwalt in einem Zivilverfahren eingesetzt, handelt es sich bei der Verfügung, die seine amtliche Entschädigung festsetzt, um einen unmittelbar mit Zivilrecht zusammenhängenden Entscheid öffentlich-rechtlicher Natur (<ref-law>; Urteil 5A_199/2012 vom 31. Mai 2012 E. 1.3).
Die Festsetzung der Entschädigung im kantonalen Verfahren richtet sich nach kantonalem Recht (<ref-law>). Mit dessen Verletzung kann - von hier nicht gegebenen Ausnahmen abgesehen - die Beschwerde in Zivilsachen nicht begründet werden (<ref-law>). Vielmehr kann nur gerügt werden, die Anwendung des kantonalen Rechts durch die Vorinstanz verletze das Bundesrecht im Sinne von <ref-law> - namentlich das Willkürverbot (<ref-law>) oder andere verfassungsmässige Rechte - oder das Völkerrecht im Sinne von <ref-law>. Der Beschwerdeführer rügt denn auch nur die Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) und des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Ist die Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts im beschriebenen Sinne eingeschränkt, kann offenbleiben, ob die Eingabe im Gefolge der ebenfalls vor Bundesgericht angefochtenen Hauptsache als nicht vermögensrechtliche zu behandeln ist, oder ob sie mangels Erreichens des erforderlichen Streitwerts (<ref-law>) als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln wäre (<ref-law>; zum Ganzen Urteil 5A_199/2012 vom 31. Mai 2012 E. 2.1).
Der Beschwerdeführer verlangt vor Bundesgericht eine um Fr. 20.-- höhere Entschädigung als vor Obergericht. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (<ref-law>).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, das Obergericht habe nicht begründet, weshalb es die von ihm geltend gemachte Entschädigung gekürzt habe.
2.2. Die Festsetzung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsvertreters muss in der Regel nicht oder lediglich summarisch begründet werden. Eine Begründungspflicht besteht, wenn dieser eine Kostennote einreicht und das Gericht die Entschädigung abweichend davon auf einen bestimmten, nicht der Praxis entsprechenden Betrag festsetzt (Urteil 8C_54/2013 vom 8. Mai 2013 E. 4.1; in: SVR 2013 IV Nr. 26 S. 75).
2.3. Das Obergericht hat das geltend gemachte Honorar gekürzt und einen Betrag von Fr. 4'500.-- als angemessen empfunden. Zur Begründung hat es auf § 13 Abs. 1 und 2, § 6 Abs. 1, § 5 Abs. 1 und § 11 Abs. 2 der Verordnung vom 8. September 2010 über die Anwaltsgebühren (AnwGebV; LS 215.3) verwiesen.
Gemäss § 5 Abs. 1 AnwGebV bemisst sich die Grundgebühr in nichtvermögensrechtlichen Streitigkeiten nach der Verantwortung und dem notwendigen Zeitaufwand des Anwalts sowie der Schwierigkeit des Falles. Die Grundgebühr beträgt in der Regel Fr. 1'400.-- bis Fr. 16'000.--. Diese Norm gilt gemäss § 6 Abs. 1 AnwGebV auch im Scheidungsverfahren. Die übrigen vom Obergericht angerufenen Normen legen fest, dass sich im Berufungsverfahren die Gebühr danach bemisst, was vor der Rechtsmittelinstanz noch streitig ist (§ 13 Abs. 1 AnwGebV) und sehen einen Einzelzuschlag für die Teilnahme an zusätzlichen Verhandlungen und für weitere notwendige Rechtsschriften vor, wobei dieser Zuschlag entweder pauschal berechnet wird oder je höchstens die Hälfte der sonst festgelegten Gebühr betragen soll (§ 11 Abs. 2 AnwGebV).
Das Obergericht hat demnach die Entschädigung des Beschwerdeführers im Wesentlichen mit einem Hinweis auf den Rahmentarif begründet. Die festgelegte Entschädigung bewegt sich im Rahmen, der gesetzlich als Regelfall vorgesehen ist. Hat sich das Obergericht demnach an den Rahmen des Üblichen gehalten, besteht kein Anlass, den Entschädigungsentscheid eingehender zu begründen. Eine solche Pflicht lässt sich auch nicht daraus ableiten, dass der Beschwerdeführer eine Honorarnote mit detaillierter Zeitabrechnung eingereicht hat (act. 197 der obergerichtlichen Akten). Das Gegenteil anzunehmen würde bedeuten, dass das Gericht jeden einzelnen Arbeitsschritt des unentgeltlichen Rechtsvertreters minutengenau anhand der Kriterien von § 5 Abs. 1 AnwGebV (Verantwortung, Notwendigkeit, Schwierigkeit) bewerten müsste, was einen unzumutbaren Aufwand für das Gericht zur Folge hätte bzw. in diesem Detaillierungsgrad gar nicht erbracht werden kann. Die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs ist mithin unbegründet.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer beruft sich zudem auf das Willkürverbot (<ref-law>). Sein zeitlicher Aufwand für die Vertretung seiner Mandantin sei gerechtfertigt, seine Eingaben seien auf das Notwendige beschränkt und der Aufwand für Besprechungen mit seiner Mandantin sei klein gehalten worden.
3.2. Eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts liegt nur dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder sogar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339). Es ist Sache der kantonalen Behörde, die Angemessenheit anwaltlicher Bemühungen zu beurteilen, wobei sie über ein beträchtliches Ermessen verfügt. Das Bundesgericht greift in diese Beurteilung nur mit grosser Zurückhaltung ein (<ref-ruling> E. 2d S. 136). Der angefochtene Entscheid ist erst dann aufzuheben, wenn der dem amtlichen Anwalt zugesprochene gesamthafte Betrag im Ergebnis willkürlich erscheint (<ref-ruling> E. 3d S. 112; Urteil 5A_199/2012 vom 31. Mai 2012 E. 2.2).
3.3. Vorliegend ist weder genügend dargetan (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246) noch ersichtlich, inwiefern die vorinstanzliche Festlegung der amtlichen Entschädigung im Ergebnis willkürlich sein könnte bzw. an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leiden soll. Insbesondere weist der Beschwerdeführer selber darauf hin, dass der Zeitaufwand nur eines von mehreren Bemessungskriterien darstellt und daneben auch die Schwierigkeit des Falls und die Verantwortung des Anwalts zu berücksichtigen sind (Art. 23 i.V.m. Art. 2 Abs. 1 AnwGebV ). Die Rüge ist unbegründet, soweit auf sie eingetreten werden kann.
4.
Ist der Beschwerde somit kein Erfolg beschieden, sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg