Fatti:
A.
Il 22 dicembre 1999 A._ ha aperto una relazione bancaria presso la B._ SA comprendente un deposito titoli e un conto di risparmio sul quale ha versato in varie tappe la somma totale di fr. 570'000.--. La sua persona di riferimento presso la banca era C._. Questi, dal luglio 2000 fino al 2003, ha effettuato senza autorizzazione diverse operazioni di addebito e di accredito, di acquisto e vendita di titoli nonché su derivati, falsificando la firma del cliente o comunque a sua insaputa. Le trattative per una soluzione stragiudiziale non sono andate in porto, nonostante lo storno da parte della banca di diverse operazioni illecite. Il 16 dicembre 2004 A._, dopo avere venduto i titoli in deposito, ha chiuso il conto e prelevato il saldo di fr. 93'130.65.
Il 13 luglio 2006 la Corte delle assise criminali di Lugano ha condannato C._ a 2 anni e 10 mesi di reclusione per truffa e falsità in documenti in relazione alle malversazioni effettuate ai danni di diversi clienti della banca, tra i quali A._, le cui pretese di risarcimento sono state rinviate al foro civile.
B.
Con petizione dell'8 maggio 2006 A._ ha chiesto al Pretore di Bellinzona di condannare la B._ SA a pagargli fr. 476'869.35, la differenza tra la somma di fr. 570'000.-- versata sul conto e l'importo di fr. 93'130.65 incassato alla chiusura. L'attore ritiene la banca responsabile del danno causatogli dal dipendente per tutte le operazioni eseguite senza il suo consenso. La B._ SA si è opposta all'azione obiettando che i prelievi eseguiti con firme false erano già stati stornati, mentre le operazioni su titoli e derivati erano state volute dal cliente, il quale ne doveva sopportare i rischi.
Il Pretore ha respinto la petizione con decisione del 15 giugno 2009, confermata su appello di A._ il 23 novembre 2011 dalla II Camera civile del Tribunale di appello ticinese. Il ricorso in materia civile proposto da A._ contro tale sentenza è stato accolto con giudizio del 30 agosto 2012 (causa 4A_22/2012) dal Tribunale federale, che ha ritornato la causa all'autorità inferiore per nuovo giudizio nel senso che si dirà.
C.
La II Camera civile del Tribunale di appello si è pronunciata il 7 ottobre 2013, respingendo ancora l'appello.
A._ insorge di nuovo davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile dell'8 novembre 2013. In via principale chiede che la sentenza cantonale sia annullata e che la B._ SA sia condannata a pagargli fr. 436'869.35; subordinatamente postula che la causa sia rinviata all'autorità cantonale affinché statuisca di nuovo nel senso dei considerandi; il tutto con carico all'opponente di spese e ripetibili delle sedi cantonali e federale. L'opponente propone di respingere il ricorso e di confermare i giudizi delle due istanze inferiori con risposta del 24 gennaio 2014.
A._ ha replicato spontaneamente il 12 febbraio 2014; la B._ SA ha confermato la propria risposta con lettera del 27 febbraio 2014. L'autorità cantonale non si è pronunciata.

Diritto:
1.
Il ricorso è presentato dalla parte soccombente nella sede cantonale (<ref-law>), è tempestivo (<ref-law>) ed è volto contro una sentenza finale (<ref-law>) emanata su ricorso dall'autorità giudiziaria ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa civile (<ref-law>) con un valore litigioso superiore a fr. 30'000.-- (<ref-law>). Sotto questo profilo esso è pertanto ammissibile.
2.
Sulla cognizione del Tribunale federale per l'applicazione del diritto e l'esame dei fatti, nonché sulle esigenze di motivazione a cui sottostanno i ricorsi in materia civile nei due ambiti, è sufficiente rinviare al considerando 2 della sentenza emanata il 30 agosto 2012 da questa Corte fra le medesime parti; anche perché il ricorrente conosce la prassi, sulla quale si diffonde abbondantemente nella parte introduttiva del ricorso.
È invece utile ricordare che l'autorità cantonale alla quale la causa è stata ritornata deve porre a fondamento del suo nuovo giudizio le considerazioni di diritto della sentenza di rinvio; anche il Tribunale federale è del resto vincolato a tali considerazioni. Il punto controverso oggetto del rinvio non può essere ampliato né in fatto né in diritto. Giudici e parti non possono perciò basarsi su fatti diversi (con riserva tutt'al più dell'ammissibilità eccezionale dei nova ) o proporre interpretazioni giuridiche che il Tribunale federale ha già deciso o non ha preso in considerazione nel giudizio di rinvio (<ref-ruling> consid. 2 e rinvii).
3.
Nella loro prima decisione i giudici ticinesi avevano considerato che la convenuta risponde, secondo le regole della gestione di affari senza mandato, delle conseguenze degli atti di gestione che l'attore non aveva autorizzato, ovvero le operazioni successive al 3 gennaio 2000 (eccettuate le azioni Valentis), quelle sui derivati, nonché la vendita delle azioni Siemens e dell'obbligazione Volvo 5.125% Tr 2004. Il danno risarcibile, avevano precisato, è la differenza tra lo stato effettivo del patrimonio del cliente e quello ch'egli avrebbe avuto senza l'evento dannoso, se il portafoglio fosse stato gestito in conformità delle istruzioni del cliente (detto in seguito anche patrimonio ipotetico). I giudici cantonali avevano accertato che l'attore, che aveva rinunciato alla perizia giudiziaria chiesta in un primo tempo, non aveva provato l'ammontare di questo danno.
Questa Corte, nella sentenza del 30 agosto 2012, aveva stabilito che il concetto giuridico del danno applicato dall'autorità d'appello ticinese è conforme al diritto federale; tale danno corrisponde all'interesse positivo del creditore all'esecuzione corretta del contratto (consid. 4). Il ricorso dell'attore era nondimeno stato accolto per violazione del diritto di essere sentito (<ref-law>), poiché la Corte cantonale aveva omesso di verificare se, venuta a mancare la perizia, il danno potesse essere determinato sulla base delle altre prove raccolte. La causa era perciò stata ritornata all'autorità cantonale affinché esaminasse "se, posta l'assenza di una perizia, le allegazioni dell'attore e le prove raccolte a loro suffragio permettano o meno di quantificare l'asserito pregiudizio" (consid. 5.3).
4.
L'esame attuale è circoscritto a questo quadro giuridico e a questi fatti (cfr. sopra consid. 2). La decisione cantonale qui impugnata vi si attiene, il ricorrente no.
4.1. La Corte ticinese ha dapprima constatato che l'attore aveva sempre rivendicato il risarcimento del danno costituito dalla differenza tra il suo patrimonio prima e dopo le operazioni illecite eseguite dal dipendente della convenuta. Davanti al Pretore egli aveva chiesto il pagamento di fr. 476'869.35, ossia della differenza tra la somma di fr. 570'000.-- da lui versata sul conto e il saldo finale di fr. 93'130.65 rimasto alla chiusura; con l'appello aveva ridotto la domanda a fr. 436'869.35 per tenere conto di prelievi in contanti di fr. 40'000.--. L'autorità cantonale ha precisato che l'attore aveva affermato con la petizione, e ribadito con la replica, che l'esatto ammontare del danno sarebbe stato stabilito dal perito giudiziario, il quale avrebbe dovuto valutare in particolare l'evoluzione del suo portafoglio. Essa ha soggiunto che la convenuta aveva ammesso i dati relativi ai versamenti e ai prelievi, ma aveva "contestato integralmente la domanda di risarcimento con esplicito riferimento alle argomentazioni di petizione di pag. 14 e 15".
Chiarite le allegazioni delle parti, l'autorità cantonale ha osservato che le modalità di calcolo proposte dall'attore non corrispondono al metodo imposto dal diritto federale, secondo cui occorre raffrontare lo stato effettivo del conto con il patrimonio ipotetico, e che nemmeno i conteggi prodotti (sui quali si tornerà) consentono di effettuare tale confronto.
La conclusione della sentenza impugnata è che le allegazioni e i documenti prodotti dall'attore davanti al Pretore non consentono di accertare il danno.
4.2. Non è agevole individuare nell'atto di ricorso, prolisso e ripetitivo, delle censure precise; fanno eccezione quelle che sono esaminate nei considerandi che seguono.
Sono inammissibili d'entrata le argomentazioni con le quali il ricorrente ribadisce che nel caso specifico il calcolo del danno non va fatto secondo il metodo del raffronto scaturito dalla procedura pregressa e che si può in particolare prescindere dalla determinazione del patrimonio ipotetico. Esse sono espresse in modo esplicito nella parte finale del ricorso, ma traspaiono costantemente dall'intero atto: il ricorrente tenta in sostanza di sopperire all'assenza di prove del patrimonio ipotetico, accertata dalla Corte d'appello, reintroducendo nel calcolo del danno fattori estranei al metodo istituito dal diritto federale; ad esempio laddove spiega che il Tribunale di appello doveva tenere in considerazione perlomeno il valore che avevano i titoli al momento delle vendite non autorizzate, rispettivamente i capitali utilizzati per gli investimenti non autorizzati.
Queste tesi del ricorrente, come detto, sono già state esaminate e rigettate definitivamente con la sentenza del 30 agosto 2012. Ne viene anche l'infondatezza delle censure secondo le quali il Tribunale di appello avrebbe violato l'art. 29 cpv. 1 e 2 Cost. per non essersi confrontato con il diverso metodo di calcolo del danno proposto dal ricorrente.
5.
Emergono in modo sufficientemente chiaro alcune censure aventi per oggetto i conteggi che la Corte cantonale ha giudicato non idonei ai fini della determinazione del patrimonio ipotetico determinante per il calcolo del danno.
5.1. La sentenza impugnata ha stabilito che dal documento T prodotto dal ricorrente non è desumibile l'evoluzione del valore delle azioni Siemens e dell'obbligazione Volvo, entrambe vendute dall'opponente senza la sua autorizzazione. Con un ragionamento piuttosto astruso il ricorrente spiega che questa conclusione viola l'<ref-law>: siccome lui avrebbe chiesto che gli fosse risarcito soltanto il valore di azioni e obbligazione al momento della vendita, e non il guadagno che avrebbe potuto realizzare se non fossero state vendute, toccherebbe alla banca obiettare e provare che la vendita prematura aveva evitato delle perdite.
La critica è infondata. Con la sentenza di rinvio è stato chiarito definitivamente quali sono i patrimoni - uno reale, l'altro ipotetico - da raffrontare. In forza dell'<ref-law> (non dell'<ref-law>, il quale stabilisce semmai chi porta le conseguenze dell'assenza di prova) l'onere della prova dei due patrimoni è certamente a carico del ricorrente. Per di più il raffronto va fatto al momento della cessazione del rapporto di mandato (sentenza 4A_548/2013 del 31 marzo 2014 consid. 4.3 e sentenza 4A_351/2007 del 15 gennaio 2008 consid. 3.2.2 e 3.4). In questo calcolo il valore dei titoli al momento delle vendite non autorizzate non trova spazio.
Aggiungasi che proprio il metodo del raffronto voluto dal diritto federale permette di prendere in considerazione, a favore della banca, le perdite che avrebbe probabilmente comportato anche la gestione contrattualmente corretta del patrimonio del cliente (sentenza 4A_481/2012 del 14 dicembre 2012 consid. 3).
5.2. Per il ricorrente il suddetto accertamento concernente il documento T lede anche in modo arbitrario gli art. 170 cpv. 2 e 184 cpv. 2 CPC/TI, secondo i quali i fatti non contestati si presumono ammessi e oggetto di prova sono soltanto quelli contestati. A suo dire l'opponente avrebbe ammesso la veridicità dell'elenco e dei valori indicati nel documento.
L'argomento è manifestamente infondato. Il ricorrente stesso riporta un passaggio della risposta di causa nel quale l'opponente affermava che il documento T "lo possiamo prendere per buono, limitatamente all'elencazione dei titoli". Pretendere che esprimendosi così l'opponente avesse ammesso anche i valori rasenta la temerarietà. Valori che sarebbero comunque irrilevanti per l'esito della causa, dal momento che, secondo l'accertamento della sentenza cantonale, tra di essi non vi è quello dell'evoluzione delle azioni Siemens e dell'obbligazione Volvo.
5.3. Il ricorrente volge critiche analoghe a quelle appena commentate anche contro gli apprezzamenti negativi dei documenti S, U, V e VV, proponendo tuttavia soltanto raffronti di cifre e tabelle di carattere prettamente appellatorio. Ma soprattutto non si premura di spiegare per quale ragione un apprezzamento differente di questi documenti avrebbe potuto essere determinante per l'esito del procedimento (<ref-law>), ovvero fornire la prova - mancata - dello stato del patrimonio ipotetico al termine del rapporto contrattuale.
5.4. La Corte d'appello ha constatato che i documenti U, BB e EE elencano commissioni e spese addebitate all'attore ma non indicano a quali operazioni esse si riferiscono. Il ricorrente ritiene questo apprezzamento arbitrario, perché il Tribunale di appello avrebbe potuto verificare "agevolmente" che le commissioni elencate nella tabella EE corrispondono a quelle dei documenti prodotti e calcolare la posizione del danno con una semplice operazione di "addizione dei differenti importi parziali".
L'argomento è inammissibile nella misura in cui non si confronta con la motivazione del giudizio impugnato; infondato se volesse significare che la Corte di appello avrebbe dovuto spulciare di sua iniziativa gli atti per sopperire all'insufficienza delle allegazioni e delle informazioni contenute nel documento EE.
6.
Terminato il capitolo delle critiche contro gli apprezzamenti delle prove svolti dal Tribunale di appello, il ricorrente afferma che "è in realtà possibile fare un calcolo affidabile del danno subito (...), all'occorrenza per difetto"ed espone una lunga sequela di ipotesi, valutazioni, cifre e calcoli che lo portano a concludere che il saldo finale "provato sulla base degli atti"è di fr. 431'054.75, ma "prudenzialmente (...) vista l'esigua differenza, fa valere in sede federale l'importo di fr. 436'869.35" oltre agli interessi.
Tutta questa discussione, per quanto comprensibile, è inammissibile, poiché è appellatoria e fondata su fatti che non sono stati accertati nella sentenza impugnata (come quella analoga che il ricorrente aveva proposto nel primo ricorso al Tribunale federale).
7.
Ne viene che il ricorso, nella limitata misura in cui è ammissibile, è respinto. Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 7'000.-- sono poste a carico del ricorrente, il quale rinfonderà all'opponente fr. 8'000.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.