Sachverhalt:
A. A.a V._ erlitt am 9. Mai 1998 einen Fahrradunfall, bei welchem sie sich unter anderem eine Hirnerschütterung zuzog. Nach beruflichen Massnahmen der Invalidenversicherung vermochte sie ein rentenausschliessendes Einkommen zu erzielen (vgl. Verfügung der IV-Stelle des Kantons Bern vom 3. Oktober 2000). Im März 2001 meldete sich V._ erneut bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle gewährte ihr Berufsberatung (Verfügung vom 18. März 2002). Im Hinblick auf die beantragte Invalidenrente holte die Verwaltung ein interdisziplinäres Gutachten des Zentrums X._ ein und lehnte das Leistungsbegehren mit Verfügung vom 26. April 2002 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hiess am 6. Februar 2003 die dagegen eingereichte Beschwerde gut; es stellte einen rentenbegründenden Invaliditätsgrad von 40 Prozent fest. Die IV-Stelle richtete demgemäss mit Wirkung ab Oktober 2000 eine Viertelsrente aus (mit Entscheid des bernischen Verwaltungsgerichts vom 31. März 2005 bestätigter Einspracheentscheid vom 22. März 2004). Ein im Frühjahr 2005 eingereichtes Revisionsgesuch lehnte sie mit Einspracheentscheid vom 2. Dezember 2005 ab.
A.b Nach einer Hospitalisierung im März 2006 liess V._ erneut beantragen, die Invalidenrente sei zu erhöhen. Die IV-Stelle sah am 25. September 2007 eine interdisziplinäre Untersuchung im Zentrum Y._ vor. Die Versicherte liess die Notwendigkeit der Begutachtung im Allgemeinen und die in Aussicht genommene Begutachtungsstelle im Besonderen beanstanden. Auf die Beschwerde gegen eine Verfügung vom 25. Juni 2008, mit welcher die IV-Stelle an der Begutachtung durch das Zentrum Y._ festgehalten und auf die Folgen einer verweigerten Mitwirkung hingewiesen hatte, trat das kantonale Gericht nicht ein (Entscheid vom 9. September 2008). Am 10. September 2008 teilte der Rechtsvertreter der Versicherten der IV-Stelle mit, er habe seinerseits eine polydisziplinäre Abklärung beim Institut für Interdisziplinäre Medizinische Begutachtungen des Instituts Z._ in Auftrag gegeben. Da die Versicherte eine Begutachtung durch das Zentrum Y._ anhaltend verweigerte, annullierte die IV-Stelle dieses Mandat und wies das Gesuch um Erhöhung der Invalidenrente gestützt auf die Akten ab (Verfügung vom 22. Juli 2009).
A.c Am 6. August 2009 liess die Versicherte bei der IV-Stelle unter Beilage neuer medizinischer Unterlagen beantragen, die Verfügung vom 22. Juli 2009 sei in Wiedererwägung zu ziehen, zu revidieren oder anzupassen. Die IV-Stelle nahm die Eingabe als Revisionsgesuch entgegen. Das Zentrum Y._ wies die IV-Stelle darauf hin, nach mehrmaliger Annullierung von Untersuchungsterminen erachte es sich als befangen; das Institut empfahl eine Abklärung in einer anderen Medizinischen Abklärungsstelle (Schreiben vom 8. Dezember 2009).
B. V._ liess gegen die Verfügung vom 22. Juli 2009 zudem Beschwerde führen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies das Rechtsmittel ab (Entscheid vom 4. August 2010).
C. V._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Verwaltung zu verpflichten, eine ganze Invalidenrente auszurichten. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersuchte sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Die IV-Stelle verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. V._ lässt an ihren Anträgen festhalten.

Erwägungen:
1. Das BSV und die Beschwerdeführerin beanstanden jeweils das Vorgehen der Gegenseite im Zusammenhang mit einer parallel zum vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren eingereichten Aufsichtsanzeige. Die gegenseitigen Vorhaltungen sind nicht entscheidungserheblich, so dass darauf nicht weiter einzugehen ist.
2. Strittig ist, ob die anbegehrte Erhöhung der Invalidenrente (<ref-law>) nach den Vorgaben von <ref-ruling> zu beurteilen und zu diesem Zweck eine entsprechend ausgerichtete Begutachtung einzuholen sei. Die Beantwortung dieser Frage ist ausschlaggebend dafür, ob die Vorinstanz den mit Wirkung ab Oktober 2000 anerkannten Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Viertelsrente wegen einer Verletzung der Mitwirkungspflicht anhand der im medizinischen Dossier befindlichen Unterlagen bestätigen und das Rentenerhöhungsbegehren abweisen durfte (dazu unten E. 4).
2.1 Das kantonale Gericht begründete die Notwendigkeit einer interdisziplinären medizinischen Begutachtung damit, es bestehe im Wesentlichen ein chronisches Müdigkeitssyndrom (Chronic Fatigue Syndrome, CFS), während die Ärzte zuvor (auch) eine Somatisierungsstörung, eine Anpassungsstörung, eine Borderline-Persönlichkeitsstörung oder eine Depression diagnostiziert hätten. Die Vorinstanz erwog, zwar habe sich der Symptomenkomplex seit der ursprünglichen Rentenzusprechung verändert; die Versicherte beklage unter anderem eine andauernde Erschöpfung, ubiquitäre Schmerzen und Konzentrationsschwierigkeiten. Im Bemühen um eine korrekte Abbildung der Probleme der Beschwerdeführerin seien die Diagnosen immer wieder angepasst worden. Der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) der Invalidenversicherung habe aber zutreffend festgehalten, es seien keine neuen Diagnosen hinzugekommen, welche die Arbeitsfähigkeit beeinflussten. Freilich sei der Leidensdruck gestiegen; zu verzeichnen seien das Scheitern einer stationären Behandlung und eine zunehmende Perspektivlosigkeit und Verbitterung bei gleichzeitiger Ablehnung von Antidepressiva (Stellungnahme des RAD im August 2007). Ob vor diesem Hintergrund tatsächlich noch ein unveränderter Zustand gegeben sei, könne ohne umfassende medizinische Begutachtung nicht beurteilt werden.
2.2 Die gefestigte Rechtsprechung bezeichnet die Voraussetzungen, unter welchen pathogenetisch-ätiologisch unklare syndromale Beschwerdebilder ohne nachweisbare organische Grundlage (<ref-ruling> E. 4.3 S. 69 mit Hinweis) den Anspruch auf eine Invalidenrente auslösen können (130 V 352 E. 2.2.2 S. 353; zur Entstehungsgeschichte dieser Praxis <ref-ruling> E. 7.1.2 S. 212; im Folgenden ein Auszug aus <ref-ruling>, mit welcher die Kernerwägungen von <ref-ruling> konsolidiert wurden):
"Die Annahme eines psychischen Gesundheitsschadens, so auch einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung, setzt zunächst eine fachärztlich (psychiatrisch) gestellte Diagnose nach einem wissenschaftlich anerkannten Klassifikationssystem voraus (<ref-ruling> E. 5.3 und E. 6 S. 398 ff.). Wie jede andere psychische Beeinträchtigung begründet indes auch eine diagnostizierte anhaltende somatoforme Schmerzstörung als solche noch keine Invalidität. Vielmehr besteht eine Vermutung, dass die somatoforme Schmerzstörung oder ihre Folgen mit einer zumutbaren Willensanstrengung überwindbar sind. Bestimmte Umstände, welche die Schmerzbewältigung intensiv und konstant behindern, können den Wiedereinstieg in den Arbeitsprozess unzumutbar machen, weil die versicherte Person alsdann nicht über die für den Umgang mit den Schmerzen notwendigen Ressourcen verfügt. Ob ein solcher Ausnahmefall vorliegt, entscheidet sich im Einzelfall anhand verschiedener Kriterien. Im Vordergrund steht die Feststellung einer psychischen Komorbidität von erheblicher Schwere, Ausprägung und Dauer. Massgebend sein können auch weitere Faktoren, so: chronische körperliche Begleiterkrankungen; ein mehrjähriger, chronifizierter Krankheitsverlauf mit unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerdauernde Rückbildung; ein sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens; ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr beeinflussbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn; "Flucht in die Krankheit"); das Scheitern einer konsequent durchgeführten ambulanten oder stationären Behandlung (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) trotz kooperativer Haltung der versicherten Person (<ref-ruling>). Je mehr dieser Kriterien zutreffen und je ausgeprägter sich die entsprechenden Befunde darstellen, desto eher sind - ausnahmsweise - die Voraussetzungen für eine zumutbare Willensanstrengung zu verneinen (...).
Beruht die Leistungseinschränkung auf Aggravation oder einer ähnlichen Konstellation, liegt regelmässig keine versicherte Gesundheitsschädigung vor (...). Eine solche Ausgangslage ist etwa gegeben, wenn: eine erhebliche Diskrepanz zwischen den geschilderten Schmerzen und dem gezeigten Verhalten oder der Anamnese besteht; intensive Schmerzen angegeben werden, deren Charakterisierung jedoch vage bleibt; keine medizinische Behandlung und Therapie in Anspruch genommen wird; demonstrativ vorgetragene Klagen auf den Sachverständigen unglaubwürdig wirken; schwere Einschränkungen im Alltag behauptet werden, das psychosoziale Umfeld jedoch weitgehend intakt ist (...)."
Der Geltungsbereich der zunächst auf die somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 Ziff. F45.4) bezogenen Rechtsprechung nach <ref-ruling> wurde sukzessive auf weitere pathogenetisch-ätiologisch unklare syndromale Beschwerdebilder ausgedehnt. Zunächst wurde die Fibromyalgie (ICD-10 Ziff. M79.0) unterstellt (<ref-ruling>), sodann die dissoziative Sensibilitäts- und Empfindungsstörung (ICD-10 Ziff. F44.6; SVR 2007 IV Nr. 45 S. 149, I 9/07 E. 4), das chronische Müdigkeitssyndrom (CFS) und die Neurasthenie (SVR 2011 IV Nr. 26 S. 73, 9C_662/2009 E. 2.3; SVR 2011 IV Nr. 17 S. 44, 9C_98/2010 E. 2.2.2; Urteil I 70/07 vom 14. April 2008 E. 5), die Folgen von milden Verletzungen der Halswirbelsäule ("Schleudertrauma"; <ref-ruling>) sowie die nichtorganische Hypersomnie (<ref-ruling>).
Der Geltungsbereich der zunächst auf die somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 Ziff. F45.4) bezogenen Rechtsprechung nach <ref-ruling> wurde sukzessive auf weitere pathogenetisch-ätiologisch unklare syndromale Beschwerdebilder ausgedehnt. Zunächst wurde die Fibromyalgie (ICD-10 Ziff. M79.0) unterstellt (<ref-ruling>), sodann die dissoziative Sensibilitäts- und Empfindungsstörung (ICD-10 Ziff. F44.6; SVR 2007 IV Nr. 45 S. 149, I 9/07 E. 4), das chronische Müdigkeitssyndrom (CFS) und die Neurasthenie (SVR 2011 IV Nr. 26 S. 73, 9C_662/2009 E. 2.3; SVR 2011 IV Nr. 17 S. 44, 9C_98/2010 E. 2.2.2; Urteil I 70/07 vom 14. April 2008 E. 5), die Folgen von milden Verletzungen der Halswirbelsäule ("Schleudertrauma"; <ref-ruling>) sowie die nichtorganische Hypersomnie (<ref-ruling>).
2.3 2.3.1 Die Beschwerdeführerin beantragt, die in Aussicht genommene medizinische Begutachtung sei zu verwerfen und ihr auf der Grundlage der vorhandenen ärztlichen Untersuchungsberichte eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Die Zumutbarkeitsprüfung nach <ref-ruling> diskriminiere Personen mit psychosomatischen Krankheitsbildern gegenüber solchen mit (rein) körperlichen Leiden. Bei bestimmten Diagnosen werde die Frage nach der invalidisierenden Wirkung eines Gesundheitsschadens anhand besonderer Regeln beantwortet, ohne dass eine solche Ungleichbehandlung zu rechtfertigen sei. Diene die in Aussicht genommene Expertise einer diskriminierend wirkenden "Sonderrechtsprechung", so habe sie die entsprechend ausgerichtete Begutachtung mit Recht verweigert.
2.3.2 In <ref-ruling> E. 3.4.2.1 S. 252 hat sich das Bundesgericht mit der Rüge auseinandergesetzt, die frühere Rechtsprechung zu <ref-law> habe im Zusammenhang mit der Einholung von Gutachten den allgemeinen Standard der Verfahrensrechte in der Sozialversicherung zu Ungunsten von körperlich, geistig oder psychisch Behinderten abgeschwächt und damit gegen das Diskriminierungsverbot (<ref-law>; Art. 14 in Verbindung mit Art. 6 EMRK) verstossen. Der Umstand, dass die Rechtsprechung das Anwendungsfeld formeller Garantien hinsichtlich der Abklärung der Voraussetzungen für Leistungen an behinderte Menschen eng gezogen hat, bedeutet nicht, dass diese wegen dieses Merkmals bei der Rechtsanwendung ohne qualifizierte Rechtfertigung anders behandelt würden (zu den Merkmalen einer Diskriminierung statt vieler <ref-ruling> E. 7.1 S. 305). Diese Überlegung ist dem hiesigen Vorbringen sinngemäss entgegenzuhalten. Von einer Normauslegung im Bereich der Invalidenversicherung sind naturgemäss immer gesundheitlich beeinträchtigte Personen betroffen. Fehlt es mithin an einer - allein an die Zugehörigkeit zu einer verletzlichen Personengruppe knüpfende - Ungleichbehandlung, so handelt es sich von vornherein nicht um ein Problem der Diskriminierung.
2.3.3 In der ständigen Rechtsprechung zu den pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage sieht die Beschwerdeführerin zudem eine indirekte Diskriminierung von versicherten Personen, die aufgrund ihrer Herkunft, ihres Geschlechts oder weil sie in ihrer Lebensgeschichte besonderen, krankheitsbegünstigenden Belastungen ausgesetzt gewesen seien, ein erhöhtes Risiko hätten, etwa an einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung zu erkranken.
Die Beschwerdeführerin weist an sich zu Recht darauf hin, dass soziale und andere an die versicherte Person gebundene Faktoren an der Entstehung von Gesundheitsbeeinträchtigungen beteiligt sein können (vgl. dazu Gaebel/Zielasek, in: Psychiatrie, Psychosomatik, Psychotherapie, Bd. 1, Möller/Laux/Kapfhammer [Hrsg.], 2011, S. 99 f.). Der für Rentenleistungen der Invalidenversicherung geltende enge Begriff des Gesundheitsschadens klammert Wechselwirkungen von Psyche, Soma und sozialem Umfeld denn auch nur soweit aus, als es darum geht, die für die Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit kausalen versicherten Faktoren zu umschreiben. Soweit ein verselbständigter Gesundheitsschaden im Rechtssinne gegeben ist (vgl. <ref-ruling> E. 5a S. 299), ist für dessen Anspruchserheblichkeit nicht bedeutsam, ob soziale Umstände bei seiner Entstehung eine massgebende Rolle spielten. Kein verselbständigter Gesundheitsschaden liegt jedenfalls dann vor, wenn durch soziale Umstände verursachte psychische Störungen wieder verschwinden, wenn die Belastungsfaktoren wegfallen (SVR 2008 IV Nr. 62 S. 203, 9C_830/2007 E. 4.2). Die erwähnten Elemente fliessen auch in die Folgenabschätzung ein: Die funktionelle, letztlich erwerbsbezogene Auswirkung eines Gesundheitsschadens wird auch anhand der individuellen Eigenschaften der versicherten Person bestimmt (vgl. Andreas Brunner/Noah Birkhäuser, Somatoforme Schmerzstörung - Gedanken zur Rechtsprechung und deren Folgen für die Praxis, insbesondere mit Blick auf die Rentenrevision, BJM 2007 S. 181 ff.). Psychosoziale und soziokulturelle Faktoren sind also mittelbar invaliditätsbegründend, wenn und soweit sie den Wirkungsgrad der - unabhängig von den invaliditätsfremden Elementen bestehenden - Folgen des Gesundheitsschadens beeinflussen (vgl. <ref-ruling> E. 5a S. 299; SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43, I 514/06 E. 2.2.2.2; Thomas Locher, Die invaliditätsfremden Faktoren in der rechtlichen Anerkennung von Arbeitsunfähigkeit und Invalidität, in: Schmerz und Arbeitsunfähigkeit, Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], 2003, S. 253; vgl. aus medizinischer Sicht Jörg Jeger, Wer bemisst invaliditätsfremde (soziokulturelle und psychosoziale) Ursachen der Arbeitsunfähigkeit - der Arzt oder der Jurist?, in: Sozialversicherungsrechtstagung 2008, Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], 2009, S. 166 ff.). Die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> wahrt diese Vorgaben durchaus. Somit ist auch die Rüge der Beschwerdeführerin unbegründet, die Voraussetzungen für die Annahme einer invalidisierenden Wirkung pathogenetisch-ätiologisch unklarer syndromaler Beschwerdebilder führten zu einer indirekten Diskriminierung im eingangs umschriebenen Sinn. Im Gegenteil leisten die - sofern sachgemäss und differenziert gehandhabten - Kriterien gerade Gewähr dafür, dass Faktoren, welche die Kompensation der gesundheitlichen Einschränkung erschweren, bei der Einschätzung der Arbeits(un)fähigkeit rechtsgleich berücksichtigt werden.
2.4 Mit Bezug auf den Kriterienkatalog gemäss <ref-ruling> macht die Beschwerdeführerin geltend, dieser finde in der Medizin keine ausreichende Grundlage. Die verwendeten Kriterien seien wissenschaftlich nicht validiert.
Die kritisierte Praxis gibt den begutachtenden Fachpersonen und den Organen der Rechtsanwendung auf, die Arbeitsfähigkeit im Einzelfall mit Blick auf bestimmte Kriterien zu prüfen, um damit eine einheitliche und rechtsgleiche Einschätzung der Arbeitsfähigkeit zu gewährleisten (<ref-ruling> E. 7.1.3 S. 213). Die Gesamtheit der ursprünglich als fachpsychiatrische Prognosekriterien formulierten Gesichtspunkte (vgl. <ref-ruling> E. 7.1.2 S. 212; Klaus Foerster, Begutachtung und Erwerbsfähigkeit bei Patienten mit psychogenen Störungen, SZS 1996 S. 486 ff., 498) ist zu einem rechtlichen Anforderungsprofil verselbständigt worden. Mit diesem soll sichergestellt werden, dass die gesetzlichen Vorgaben zur Feststellung eines rechtserheblichen Gesundheitsschadens und von dessen anrechenbaren Folgen für die Leistungsfähigkeit erfüllt sind (vgl. Thomas Gächter, Die Zumutbarkeit und der sozialversicherungsrechtliche Beweis, in: Was darf dem erkrankten oder verunfallten Menschen zugemutet werden?, Murer [Hrsg.], 2008, S. 253 f.). Dementsprechend schlagen sich Neuformulierungen von Kriterienkatalogen in der medizinischen Fachliteratur nicht unmittelbar in den für diese Gruppe von Leiden geschaffenen Beurteilungselementen nieder (Urteil 8C_420/2011 vom 26. September 2011 E. 2.4). Die einzelnen Kriterien orientieren sich zwar an medizinischen Erkenntnissen. Eine direkte Anbindung besteht aber nicht, weshalb sich die Frage der Validierung hier nicht stellt. Davon abgesehen bestehen in der Schweiz nur verfahrensmässige Leitlinien (der Schweizerischen Gesellschaft für Versicherungspsychiatrie für die Begutachtung psychischer Störungen [Schweizerische Ärztezeitung, SAeZ 2004 S. 1048 ff.] sowie für die Begutachtung rheumatologischer Krankheiten und Unfallfolgen [der Schweizerischen Gesellschaft für Rheumatologie; SAeZ 2007 S. 736 ff.]), jedoch (noch) kein von involvierten Fachverbänden getragener, breit abgestützter materieller Grundkonsens in solchen Fragen, dies im Unterschied etwa zu Deutschland (vgl. Leitlinie für die Begutachtung von Schmerzen der Arbeitsgemeinschaft der Wissenschaftlichen Medizinischen Fachgesellschaften [AWMF], 2005-07, www.awmf.org; Jörg Jeger, Die Entwicklung der "Foerster-Kriterien" und ihre Übernahme in die bundesgerichtliche Rechtsprechung: Geschichte einer Evidenz, Jusletter vom 16. Mai 2011, Rz. 7 ff., 27 ff., 142 und 161).
2.5 Nach dem Gesagten dient eine Begutachtung der Beschwerdeführerin weder direkt noch indirekt diskriminierenden Zwecken. Mit Blick auf die rechtliche Natur des Kriterienkatalogs kann sie auch nicht mit der Begründung verweigert werden, die Rechtsprechung beruhe auf medizinwissenschaftlich unhaltbaren Annahmen.
3. Die Verwaltung hält im Fall der Beschwerdeführerin eine interdisziplinäre Begutachtung in einer Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) für notwendig, entschied aber ohne eine solche Expertise, weil die Versicherte diesbezüglich ihrer Mitwirkungspflicht nicht nachgekommen sei.
3.1 Das kantonale Gericht stellte fest, die Versicherte habe eine von der MEDAS verlangte Ermächtigung (unter anderem zur Einholung der zur Begutachtung notwendigen medizinischen Akten) weder fristgerecht noch im erforderlichen Umfang erteilt. Nachdem der Auftrag wegen fehlender Mitwirkung zurückgenommen wurde, sei nicht mehr erheblich gewesen, dass sich die Beschwerdeführerin am ursprünglich vorgesehenen Datum, dem 17. August 2009, doch noch in der Begutachtungsstelle eingefunden habe. Das Mahn- und Bedenkzeitverfahren (<ref-law>) sei korrekt durchgeführt worden (Schreiben der IV-Stelle vom 5. Juni 2009). Daher habe sich die IV-Stelle zu Recht auf die vorhandenen medizinischen Akten abgestützt.
Dem ist beizupflichten. Die erwähnten Feststellungen der Vorinstanz zum tatsächlichen Hergang binden das Bundesgericht (<ref-law>), da sie nicht offensichtlich unrichtig sind und nicht auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Das kantonale Gericht hat daraus den zutreffenden rechtlichen Schluss gezogen, die Versicherte habe die Mitwirkung bei der Beweiserhebung unberechtigterweise verweigert. Die Beschwerdeführerin hatte sich mindestens zeitweise ablehnend hinsichtlich einer gutachtlichen Abklärung als solcher geäussert mit der Begründung, angesichts der bereits erfolgten Untersuchungen sei die Begutachtung nicht notwendig und auch nicht zumutbar (vgl. die Schreiben des Rechtsvertreters an die IV-Stelle vom 20. Februar 2008, 4. März 2008 und 22. April 2008). Auch in der letztinstanzlichen Beschwerde vertritt sie die Auffassung, die zahlreichen vorliegenden Arztberichte wiesen eine vollständige Leistungsunfähigkeit aus. Davon abweichend liess die Versicherte der IV-Stelle am 10. September 2008 mitteilen, sie habe selber eine polydisziplinäre Abklärung im Institut für Interdisziplinäre Medizinische Begutachtungen des Instituts Z._ veranlasst. Mit Schreiben vom 10. und 25. Juni 2008 sowie vom 18. August 2009 beantragte sie jedoch eine Begutachtung durch die MEDAS (anstelle des Zentrums Y._). Die Beschwerdeführerin hielt also nicht daran fest, die Begutachtung sei an sich unzumutbar. Die Weigerung der Beschwerdeführerin, bei einer solchen Abklärung mitzuwirken, ist umso weniger hinzunehmen, als sie das Rentenerhöhungsbegehren auf ärztliche Berichte abgestützt sehen will, die sie selber zu den Akten gegeben hat. Das kantonale Gericht betonte zu Recht, dass die Begutachtung notwendig ist, um diese Dokumente auf ihren Beweiswert hin zu überprüfen. Der vorinstanzliche Schluss auf eine Verletzung der Mitwirkungspflicht ist bundesrechtskonform.
3.2 Der angefochtene Entscheid ist auch unter dem Gesichtspunkt des Vorbringens bundesrechtsmässig, die mit der umfassenden Abklärung des medizinischen Sachverhalts betraute MEDAS sei wegen wirtschaftlicher Abhängigkeit von der Invalidenversicherung aus grundsätzlich-institutionellen Gründen in den Ausstand zu verweisen. Das Bundesgericht hat dazu jüngst festgehalten, dass die Beschaffung der medizinischen Entscheidungsgrundlagen durch MEDAS verfassungs- und EMRK-konform ist. Latente Gefährdungen der Verfahrensgarantien, die sich aus dem institutionellen Verhältnis zwischen der Verwaltung und den auf tarifvertraglicher Grundlage für die Invalidenversicherung tätigen Begutachtungsinstituten ergeben, werden nunmehr durch Korrektive auf administrativer und gerichtlicher Ebene neutralisiert (<ref-ruling>).
3.3 Der hängige Rechtsstreit wäre nach Ergehen von <ref-ruling> (Urteil 9C_243/2010 vom 28. Juni 2011) in dieser Form nicht entstanden. Mit diesem Entscheid hat das Bundesgericht die Vereinbarkeit der IV-Abklärungen durch die MEDAS mit den Verfahrensgrundrechten unter anderem davon abhängig gemacht, dass die Expertise bei Uneinigkeit fortan durch eine anfechtbare Zwischenverfügung anzuordnen ist (<ref-ruling> E. 3.4.2.6 S. 256) und dass sich die versicherte Person vor der Begutachtung zu den Fragen der Verwaltung an die Sachverständigen äussern kann (<ref-ruling> E. 3.4.2.9 S. 258). Als das Urteil am 28. Juni 2011 gefällt wurde, war dieser Rechtsstreit bereits anhängig. Der in <ref-ruling> definierte Verfahrensstandard ist zwar an sich auch für laufende Verfahren verbindlich (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 369). Es wäre jedoch nicht verhältnismässig, wenn nach den alten Regeln eingeholte Gutachten ungeachtet ihrer jeweiligen Überzeugungskraft den Beweiswert einbüssten (<ref-ruling> E. 6 Ingress S. 266). Ebenso wenig gerechtfertigt wäre es, alle erteilten Aufträge zu (noch nicht durchgeführten) Begutachtungen zu stornieren. Bildet ein nach altem Standard in Auftrag gegebenes Gutachten die massgebende Entscheidungsgrundlage, so ist diesem Umstand allenfalls bei der Beweiswürdigung Rechnung zu tragen.
4. Zusammengefasst bestand die IV-Stelle zu Recht darauf, die medizinischen Revisionsvoraussetzungen anhand eines MEDAS-Gutachtens abzuklären. Angesichts der im Zentrum stehenden Diagnose des chronischen Müdigkeitssyndroms ist ein spezifischer Abklärungsbedarf gegeben. Mithin stellte die Vorinstanz zu Recht fest, die Beschwerdeführerin habe ihre Mitwirkungspflicht bei der Feststellung des Sachverhalts im Sinne von <ref-law> verletzt. Insoweit gilt eine anspruchserhebliche Änderung des Sachverhalts bis zum Abschluss des hier zur Diskussion stehenden Verwaltungsverfahrens (Verfügung vom 22. Juli 2009) im Sinne von <ref-law> gestützt auf die vorhandenen Akten als nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt (vgl. SVR 2010 IV Nr. 30 S. 94, 9C_961/2008 E. 6.3).
5. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; <ref-law>) kann gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz leisten wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indessen vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Philip Stolkin wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Dezember 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub