Erwägungen:
1. Mit Schreiben vom 26. Juli 2010 erhob X._ zu Handen des Kantonsrates Zürich Beschwerde gegen verschiedene Institutionen bzw. Kantons- und Bundesbehörden.
Mit Schreiben bzw. Entscheid vom 19. August 2010 teilte die Geschäftsleitung des Kantonsrates X._ mit, zur Behandlung einer derartigen Beschwerde sei der Kantonsrat nicht zuständig; wegen dessen offensichtlicher Unzuständigkeit werde die Beschwerde nicht an die Justizkommission weitergeleitet. Im Hinblick darauf, dass X._ die ihm in einem früheren Aufsichtsbeschwerdeverfahren verrechneten Verfahrenskosten nicht bezahlt hatte, wurde ihm sodann mitgeteilt, dass für die Behandlung weiterer Beschwerden ein Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- verlangt werde.
Mit Eingabe vom 9. September 2010 ersuchte X._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Entscheid vom 16. September 2010 teilte die Geschäftsleitung des Kantonsrates X._ mit, dem Gesuch könne wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden.
2. Gegen die Entscheide vom 19. August bzw. 16. September 2010 führt X._ Beschwerde ans Bundesgericht.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, beim Obergericht eine Vernehmlassung einzuholen.
3. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer macht auf ganz allgemeine Weise zahlreiche Rechtsverletzungen geltend, die er über die angefochtenen Entscheide hinaus einer Vielzahl von Behörde- bzw. Gerichtsmitgliedern zur Last legt. Er führt jedoch nicht im Einzelnen aus, inwiefern die den angefochtenen Entscheiden zugrunde liegenden Begründungen bzw. die Entscheide im Ergebnis im Sinn der oben erwähnten Bestimmungen rechts- bzw. verfassungswidrig sein sollen.
Schon mangels einer hinreichenden Begründung ist daher auf die Beschwerde nicht weiter einzutreten, womit die übrigen Eintretensvoraussetzungen nicht weiter zu erörtern sind. Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung beizulegen, gegenstandslos.
Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde offensichtlich aussichtslos, weshalb das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um unentgeltliche Prozessführung abzuweisen ist (<ref-law>). Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und der Geschäftsleitung des Kantonsrates des Eidgenössischen Standes Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp