Sachverhalt:
A.
A.a. Nach Einholung eines interdisziplinären Gutachtens des Instituts X._, vom 18. Februar 2008 lehnte die IV-Stelle Luzern das Gesuch des M._ um Leistungen der Invalidenversicherung ab (Einspracheentscheid vom 24. Juli 2008). Auf Beschwerde hin wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Sache an die IV-Stelle zurück, damit diese eine neue psychiatrische Abklärung veranlasse und sodann neu verfüge. Zur Begründung führte das kantonale Gericht aus, das im Rahmen der Expertise des Instituts X._ erstattete versicherungspsychiatrische Teilgutachten des Dr. Y._ vom 11. Februar 2008 sei hinsichtlich Abklärungen und Beweiswert ungenügend (Entscheid vom 25. Februar 2010).
Die IV-Stelle sah für die angeordnete psychiatrische Abklärung wiederum das Institut X._ als Abklärungsstelle vor. Der Versicherte lehnte dieses ab. Insbesondere der dort tätige Psychiater Dr. Y._ sei vorbefasst und befangen; da er die Geschicke des Instituts X._ bestimme, erstrecke sich die Befangenheit auch auf die weiteren dem Institut angeschlossenen Gutachter. Nach einem ergebnislosen Meinungsaustausch trat die IV-Stelle auf das Leistungsbegehren nicht ein mit der Begründung, der Versicherte verweigere die Mitwirkung bei zumutbaren Abklärungen (Verfügung vom 30. September 2010).
A.b. Am 4. Juli 2011 liess M._ der IV-Stelle mitteilen, sein Gesundheitszustand habe sich verschlechtert. Er stelle sich einer Begutachtung durch das Institut X._. Nachdem die Verwaltung das medizinische Dossier auf den aktuellen Stand gebracht hatte, gab sie dem Versicherten mit Schreiben vom 12. März 2012 Gelegenheit, zuhanden der Begutachtungsstelle Ergänzungsfragen zu stellen, Einwendungen gegen Gutachterpersonen zu erheben und Gegenvorschläge einzureichen. Noch gleichentags erteilte sie dem Institut X._ den Begutachtungsauftrag.
M._ lehnte das Institut X._ wiederum ab (Schreiben vom 19. März 2012). Am 14. Mai 2012 teilte er der IV-Stelle unter Beilage eines kardiologischen Berichts mit, dass er einer herzspezifischen Abklärung bedürfe. Nachdem er wiederholt den Erlass einer Verfügung über die Anordnung der Begutachtung verlangt hatte, reichte er beim kantonalen Gericht eine Rechtsverweigerungs- bzw. -verzögerungsbeschwerde ein. Das Gericht stellte hinsichtlich des Einwandes, es sei eine herzspezifische Abklärung notwendig, sowie mangels Erlasses einer Zwischenverfügung betreffend die Einwände gegen vorgesehenen Gutachter eine formelle Rechtsverweigerung fest und wies die Sache zum Erlass einer Zwischenverfügung an die IV-Stelle zurück. Hingegen sei keine Rechtsverzögerung gegeben (Entscheid vom 29. November 2012).
A.c. Am 6. März 2013 verfügte die IV-Stelle, die psychiatrische Abklärung sei vom Institut X._ durchzuführen.
B.
Das Kantonsgericht Luzern wies die gegen die Verfügung vom 6. März 2013 erhobene Beschwerde einschliesslich des Gesuchs um unentgeltliche Rechtsverbeiständung ab (Entscheid vom 27. Juni 2013).
C.
M._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, eine - inzwischen geheilte - formelle Rechtsverweigerung bezüglich der kardiologischen Abklärung festzustellen sowie das Ausstandsbegehren gegen Dr. Y._ gutzuheissen. Der Beschwerde sei insofern die aufschiebende Wirkung zu erteilen, als die IV-Stelle bis zum Abschluss des Beschwerdeverfahrens von weiteren Aufforderungen zur Begutachtung beim Institut X._ oder bei Dr. Y._ abzusehen habe. Weiter sei ihm für das Verfahren vor Kantonsgericht die unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung zu gewähren. Schliesslich stellt er auch für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
Gegenstand des Verfahrens ist der Zwischenentscheid vom 27. Juni 2013, welcher in Bestätigung der Verfügung vom 6. März 2013 vorsieht, dass die offene psychiatrische Abklärung vom Institut X._ durchzuführen sei.
2.
2.1. Was die von der Verwaltung geplante Begutachtung angeht, stellt der Beschwerdeführer das Rechtsbegehren, es sei das Ausstandsbegehren gegen Dr. Y._ gutzuheissen. Im Zusammenhang mit der Frage der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde verlangt er, es sei bis zum Beschwerdeentscheid "von weiteren Aufforderungen zur Begutachtung beim Institut X._ oder bei Dr. Y._ abzusehen".
2.2. Das Rechtsbegehren des Beschwerdeführers bezieht sich in der Sache auf den Ausstand des Institutsleiters des Instituts X._, Dr. Y._, welcher die im Entscheid des kantonalen Gerichts vom 25. Februar 2010 beanstandete psychiatrische Begutachtung vorgenommen hatte (Teilexpertise vom 11. Februar 2008). Wohl benannte das Institut X._ zuletzt wiederum Dr. Y._ als Untersucher (Mitteilung vom 21. Februar 2013; vgl. Aktenvermerk der IV-Stelle vom 25. Februar 2013), nachdem zeitweise Dr. G._ als psychiatrischer Sachverständiger vorgesehen war (Einladung vom 1. Oktober 2012). Jedoch kann dem angefochtenen Entscheid nicht entnommen werden, dass eine erneute Begutachtung durch Dr. Y._ zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 109; Urteil 8C_89/2007 vom 20. August 2008 E. 6.2 a.E. und E. 7.2). Mit Blick auf die Vorgeschichte hob die Vorinstanz denn auch hervor, dass dieser Gutachter nicht mehr vorgesehen sei (E. 3.2 S. 9 unten). Kann es demnach nicht mehr darum gehen, ob die neue psychiatrische Untersuchung wieder durch Dr. Y._ vorzunehmen sei, ist das diesbezügliche Rechtsbegehren gegenstandslos.
Mit Bezug auf die Frage, ob es dem Beschwerdeführer ausstandsrechtlich zumutbar sei, einem anderen Gutachter der gleichen Institution das erforderliche Vertrauen entgegenzubringen, enthält die letztinstanzliche Beschwerdeschrift keinen Antrag. Ein solcher lässt sich auch nicht aus deren Begründung erschliessen (vgl. zur Auslegung von Rechtsbegehren nach Treu und Glauben, insbesondere im Lichte der dazu gegebenen Begründung: <ref-ruling> E. 1 S. 127; Urteile 9C_251/2009 vom 15. Mai 2009 E. 1.3 und I 138/02 vom 27. Oktober 2003 E. 3.2.1 = SVR 2004 IV Nr. 25 S. 75). Insoweit kann die Beschwerde nicht an die Hand genommen werden (Art. 42 Abs. 1 und Art. 107 Abs. 1 BGG).
3.
Unbegründet ist die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe ihm die unentgeltliche Verbeiständung zu Unrecht versagt. Im kantonalen Rechtsmittel hatte er verlangt, "die designierte Gutachterstelle des Instituts X._ und insbesondere Dr. Y._ seien wegen Vorbefassung abzulehnen". Die strittige Verwaltungsverfügung vom 6. März 2013 sieht eine ambulante medizinische Abklärung durch das Institut X._ vor, und nicht durch Dr. Y._, was streitgegenstandsrechtlich entscheidend ist. Eine verfügungsweise Anordnung der psychiatrischen Begutachtung durch Dr. Y._ ist nicht ergangen. Damit war das vorinstanzliche Begehren gegenstandslos, soweit es um die Ablehnung von Dr. Y._ ging. Aussichtslos war das Rechtsmittel auch, soweit das Institut X._ als solches abgelehnt wurde: Ein Ausstandsbegehren kann sich stets nur gegen Personen, nicht aber gegen Gutachterstellen richten (<ref-ruling> E. 1.3.3 S. 227 mit Hinweisen).
4.
Das kantonale Gericht hatte mit Beschwerdeentscheid vom 29. November 2012 (betreffend Rechtsverweigerung) erkannt, im Zusammenhang mit beantragten kardiologischen Abklärungen liege eine Rechtsverweigerung vor. Dazu führt der Beschwerdeführer selber aus, die Rechtsverweigerung sei geheilt, nachdem inzwischen beim Kardiologen Dr. H._ ein Arztbericht vom 6. März 2013 eingeholt worden sei. Somit fehlt es bezüglich seines Rechtsbegehrens, es sei eine formelle Rechtsverweigerung im Zusammenhang mit der kardiologischen Abklärung festzustellen, an einem aktuellen Rechtsschutzinteresse (<ref-law>). Auch insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
5.
Mit diesem Entscheid ist die Frage der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
6.
Umständehalber wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Was die Prozessführung angeht, ist das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege somit gegenstandslos. Hinsichtlich der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung ist es infolge Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 109 Abs. 2 lit. a BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im letztinstanzlichen Verfahren wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. November 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub