Sachverhalt:
A. Der 1960 geborene M._ arbeitete seit 15. Februar 1994 in der Firma Q._ AG als Bauarbeiter und war bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 8. September 2003 zog er sich bei einem Autounfall als Beifahrer eine Stauchung der rechten Hand zu. Anlässlich der kreisärztlichen Untersuchung vom 5. Februar 2004 stellte der SUVA-Arzt, Dr. med. K._, Allgemeine Chirurgie FMH, zusätzlich die Diagnose einer Halswirbelsäulen (HWS)-Distorsion. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggelder). Nach einem Bericht des Dr. med. R._, Neurochirurgie FMH, Klinik X._, vom 7. Dezember 2004 stellte die SUVA mit Verfügung vom 8. September 2005 die laufenden Versicherungsleistungen ab dem 30. September 2005 ein und verneinte einen Anspruch auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 12. Januar 2006 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern ab (Entscheid vom 12. Dezember 2006).
C. M._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen und das Rechtsbegehren stellen, ihm seien weiterhin Taggelder basierend auf einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit auszurichten; eventualiter sei ihm eine ganze Rente zuzusprechen.
Die SUVA beantragt Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das Bundesamt für Gesundheit auf Vernehmlassung verzichtet.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Damit wurden das Eidgenössische Versicherungsgericht und das Bundesgericht in Lausanne zu einem einheitlichen Bundesgericht (an zwei Standorten) zusammengefügt (Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, S. 10 Rz. 75) und es wurde die Organisation und das Verfahren des obersten Gerichts umfassend neu geregelt. Dieses Gesetz ist auf die nach seinem Inkrafttreten eingeleiteten Verfahren des Bundesgerichts anwendbar, auf ein Beschwerdeverfahren jedoch nur dann, wenn auch der angefochtene Entscheid nach dem Inkrafttreten dieses Gesetzes ergangen ist (<ref-law>). Da der kantonale Entscheid am 12. Dezember 2006 und somit vor dem 1. Januar 2007 erlassen wurde, richtet sich das Verfahren nach dem bis 31. Dezember 2006 in Kraft gestandenen Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) vom 16. Dezember 1943 (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat die Bestimmungen über den Anspruch auf Heilbehandlung (<ref-law>) und Taggelder (Art. 16 Abs. 1 und 2 UVG) sowie die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) zutreffend dargelegt (<ref-ruling> E. 1 S. 337). Entsprechendes gilt für die von der Judikatur entwickelten Grundsätze zum Erfordernis des adäquaten Kausalzusammenhanges im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 5a S. 461) sowie bei psychischen Unfallfolgen im Besonderen (<ref-ruling>), zur Bemessung der Integritätsentschädigung (<ref-ruling> E. 3a S. 157) und zum Beweiswert medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 1c S. 160). Darauf wird verwiesen.
2.2 Die Adäquanzbeurteilung nach HWS-Distorsionen (ohne organisch nachweisbare Unfallfolgeschäden) hat grundsätzlich nach der in <ref-ruling> E. 6a S. 366 und 369 E. 4b S. 382 dargelegten Rechtsprechung mit ihrer fehlenden Differenzierung zwischen körperlichen und psychischen Beschwerden zu erfolgen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2a S. 99, 119 V 335). Von diesem Grundsatz ist abzuweichen, wenn die zum typischen Beschwerdebild eines HWS-Schleudertraumas gehörenden Beeinträchtigungen zwar teilweise gegeben sind, im Vergleich zur ausgeprägten psychischen Problematik aber unmittelbar nach dem Unfall ganz in den Hintergrund treten oder die physischen Beschwerden im Verlaufe der ganzen Entwicklung vom Unfall bis zum Beurteilungszeitpunkt gesamthaft nur eine sehr untergeordnete Rolle gespielt haben: diesfalls ist die Prüfung der adäquaten Kausalität praxisgemäss unter dem Gesichtspunkt einer psychischen Fehlentwicklung nach Unfall gemäss <ref-ruling> vorzunehmen (<ref-ruling> E. 2a S. 99; RKUV 2002 Nr. U 465 S. 437 [Urteil U 164/01 vom 18. Juni 2002]).
3. Mit Blick auf die Aktenlage und die Parteivorbringen besteht kein Anlass, den vorinstanzlich in einlässlicher Würdigung der medizinischen Unterlagen bejahten (teilweisen) natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 8. September 2003 und dem über den 30. September 2005 hinaus fortdauernden, die Leistungsfähigkeit einschränkenden somatoformen Beschwerdebild des Versicherten letztinstanzlich erneut der richterlichen Überprüfung zu unterziehen (<ref-ruling> E. 4b S. 53). Zu beurteilen bleibt die - einzig - umstrittene Adäquanz des Kausalzusammenhangs.
3.1 Aus den Akten geht hervor, dass der Versicherte unmittelbar nach dem Unfall (Arztzeugnis UVG vom 25. September 2003/Rückfallmeldung vom 6. November 2003) eine Verstauchung der rechten Hand beklagte. Erst anlässlich der kreisärztlichen Untersuchung vom 5. Februar 2004 stellte der SUVA-Arzt, Dr. med. K._, die Diagnose einer HWS-Distorsion, wobei er den Verdacht des Hausarztes auf eine chronische Schmerzkrankheit bekräftigte und auch eine posttraumatische Belastungsstörung mit pathologischer Schmerzverarbeitung in Betracht zog. Im Austrittsbericht der Rehaklinik Y._ vom 28. April 2004 wurde die Diagnose der HWS-Distorsion bestätigt sowie ein zervikospondylogenes Schmerzsyndrom rechts und eine Anpassungsstörung mit gemischter Störung von Gefühlen und Sozialverhalten (ICD-10: F45.25) diagnostiziert. Die apparativen Untersuchungen (konventionell-radiologische Aufnahmen als auch MRI-Untersuchungen) ergaben keinen wesentlichen pathologischen Befund, welcher das Ausmass der subjektiv empfundenen Schmerzen erklären könnte. Das psychosomatische Konsilium vom 6. April 2004 schliesst eine posttraumatische Belastungsstörung und eine Depression mit Krankheitswert aus, weshalb die Ärzte Dres. O._, Leitender Arzt FMH Psychiatrie und Psychotherapie, und S._, Oberarzt Psychiater, aus psychischer Sicht eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit ausschlossen. Im kreisärztlichen Bericht vom 19. Oktober 2004 wurde sodann eine erhebliche Diskrepanz zwischen den bildgebenden Untersuchungen (Klinik X._ vom 14. April 2004) und den geklagten Beschwerden festgehalten, weshalb weitere Untersuchungen angeordnet wurden. Dr. med. G._, Röntgeninstitut Z._, hielt in seinem Befundbericht vom 2. November 2004 explizit fest, dass die Bilder altersentsprechend eine normale Darstellung der intracraniellen Strukturen ergaben, keine Raumforderung und keine Ischämie gegeben sei und keine alten posttraumatischen Veränderungen nachweisbar seien. Auch Dr. med. R._, Neurochirurgie FMH, Klinik X._, schliesst auf Aggravation, da alle klinischen, neurologischen und neuroradiologischen Befunde negativ waren. Gestützt auf die medizinischen Akten und den durchgeführten Untersuchungen gelangte schliesslich der SUVA-Arzt im Bericht vom 12. April 2005 zur Diagnose einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (ICD-10: F45.4). Bei dieser Sachlage ist davon auszugehen, dass die zum typischen Beschwerdebild nach Schleudertrauma der HWS auftretenden Beeinträchtigungen wenn überhaupt eine sehr untergeordnete Rolle gespielt haben und damit ganz in den Hintergrund getreten sind. Die Adäquanzbeurteilung hat daher nicht nach den für Schleudertrauma und schleudertraumaähnliche Verletzungen der HWS (<ref-ruling> ff: RKUV 2000 Nr. U 395 S. 317 E. 3: SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67), sondern nach den für psychische Unfallfolgen (<ref-ruling> ff.) geltenden Regeln zu erfolgen (<ref-ruling> E. 2a; RKUV 2002 Nr. U 465 S. 437). Daran vermögen auch die Ausführungen des Beschwerdeführers nichts zu ändern. Im Gegenteil wurden trotz mehreren klinischen und bildgebenden Untersuchungen keine physischen Befunde festgestellt, weshalb schliesslich in der kreisärztlichen Abschlussuntersuchung vom 12. April 2004 nur die Diagnose einer somatoformen Schmerzstörung festgehalten wurde.
4. 4.1 Einfache Auffahrunfälle werden im Rahmen der Adäquanzbeurteilung in der Regel als mittelschwer im Grenzbereich zu den leichten Unfällen qualifiziert (RKUV 2005 Nr. U 549 S. 237 E. 5.1.2). Die Adäquanz des Kausalzusammenhangs wäre daher zu bejahen, wenn ein einzelnes der in die Beurteilung einzubeziehenden Kriterien in besonders ausgeprägter Wiese erfüllt wäre oder mehrere der zu berücksichtigenden Kriterien gegeben wären (<ref-ruling>).
4.2 Der Unfall vom 8. September 2003 hat sich nicht unter besonders dramatischen Begleiterscheinungen ereignet noch war er - objektiv betrachtet (RKUV 1999 Nr. U 335 S. 209 E. 3b/cc) - von besonderer Eindrücklichkeit. Er hatte auch keine schweren Verletzungen oder Verletzungen besonderer Art zur Folge. Die Diagnose eines Schleudertraumas oder einer schleudertraumaähnlichen Verletzung der HWS vermag die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzung und insbesondere ihre erfahrungsgemässe Eignung, psychische Fehlentwicklungen auszulösen, für sich allein nicht zu begründen. Es bedarf hiezu einer besonderen Schwere der für das Schleudertrauma typischen Beschwerden oder besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können (Urteile vom 10. Februar 2006 [U 79/05] und vom 28. April 2005 [U 386/04]). Diese können beispielsweise in einer beim Unfall eingenommenen besonderen Körperhaltung und den dadurch bewirkten Komplikationen bestehen (RKUV 2003 Nr. U 489 S. 361 E. 4.3). Solche Umstände sind hier nicht gegeben, selbst wenn der Versicherte als Beifahrer zum Unfallzeitpunkt schlief, so verstauchte er sich lediglich die Hand. Nicht erfüllt ist sodann das Kriterium der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung. Die primäre Unfallbehandlung beschränkte sich auf ambulante Physiotherapie; in der Folge waren es somatoforme Beschwerden und psychische Beeinträchtigungen, welche zu weiteren Untersuchungen und Behandlungen Anlass gaben. Auch wenn später erneut kurzfristig physiotherapeutische Massnahmen durchgeführt wurden, handelte es sich insgesamt nicht um eine kontinuierliche, mit einer gewissen Planmässigkeit auf die Verbesserung des Gesundheitszustandes gerichtete ärztliche Behandlung von ungewöhnlich langer Dauer (Urteile vom 14. März 2005 [U 82/04] und vom 24. September 2003 [U 361/02]). Im Vordergrund stand die Behandlung eines weitgehend psychisch bedingten Schmerzsyndroms, was bei der Adäquanzbeurteilung unberücksichtigt zu bleiben hat (Urteil vom 10. Februar 2006 [U 79/05]). Von einer ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert hat, kann ebenso wenig gesprochen werden wie von einem schwierigen Heilungsverlauf und massiven Komplikationen. Vielmehr war es die psychische Symptomatik, welche zu einem protrahierten Heilungsverlauf geführt hat. Soweit eine physisch bedingte Beeinträchtigung der Leistungsfähigkeit bestanden hat, war sie nicht erheblicher Natur. Schliesslich ist auch das Kriterium der körperlichen Dauerschmerzen zu verneinen. Da somit weder eines der für die Adäquanzbeurteilung massgebenden Kriterien in besonders ausgeprägter Weise erfüllt ist noch mehrere der zu berücksichtigenden Kriterien gegeben sind, ist die Unfalladäquanz der geltend gemachten Beschwerden zu verneinen.
5. Der Einspracheentscheid der SUVA, mit welchem die Heilkosten- und Taggeldleistungen per 30. September 2005 eingestellt wurden, besteht mithin zu Recht, was zur Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde führt. Mangels einer Unfallkausalität der bestehenden Beeinträchtigungen erweisen sich auch die Begehren um Zusprechung einer Invalidenrente als unbegründet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 17. August 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: