Sachverhalt:
A. Der 1974 geborene jordanische Staatsangehörige X._ reiste gemäss eigenen Angaben im April 2002 in die Schweiz ein und stellte hier unter falscher Identität und ohne Erfolg ein Asylgesuch. Nachdem er sich zwischenzeitlich - während des hängigen Asylverfahrens - in Syrien und Italien aufgehalten hatte, heiratete er am 18. März 2004 eine 15 Jahre ältere schweizerische Staatsangehörige, worauf er eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau erhielt.
Per 1. Mai 2005 gaben die Ehegatten den gemeinsamen Haushalt auf und lebten bis zum 31. Oktober 2005 getrennt. Am 1. November 2005 zog X._ vorübergehend wieder mit seiner Ehefrau zusammen, doch wurde der gemeinsame eheliche Haushalt am 1. Januar 2007 erneut aufgelöst. Am 16. April 2010 wurde die Ehe geschieden.
Mit Gesuch vom 17. Januar 2008 ersuchte X._ das Migrationsamt des Kantons Aargau (heute: Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau) darum, seine am 31. März 2008 ablaufende Aufenthaltsbewilligung in eine Niederlassungsbewilligung umzuwandeln.
B. Mit Verfügung vom 15. Dezember 2009 lehnte das Migrationsamt die Erteilung der Niederlassungsbewilligung ab. Die von X._ hiergegen ergriffenen Rechtsmittel wurden vom Rechtsdienst des Migrationsamtes (Einspracheentscheid vom 1. September 2010) und vom Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau (Urteil vom 29. September 2011) abgewiesen.
C. Mit Eingabe vom 1. November 2011 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und stellt im Wesentlichen den Antrag, es sei das Departement Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Aargau anzuweisen, ihm die Niederlassungsbewilligung zu erteilen.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen wurde verzichtet.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 3).
1.1 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht ausgeschlossen betreffend ausländerrechtliche Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
Gemäss Art. 42 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20), welches auf die Beurteilung des vorliegenden Falles anwendbar ist (Art. 126 Abs. 1 AuG e contrario), haben ausländische Ehegatten von Schweizerinnen Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wobei vorausgesetzt wird, dass sie mit diesen zusammenwohnen. Art. 42 Abs. 3 AuG bestimmt sodann, dass die Ehegatten nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung haben.
Auf die letztere Bestimmung beruft sich der Beschwerdeführer und behauptet, dass die darin statuierten Anspruchsvoraussetzungen für die Erteilung der Niederlassungsbewilligung erfüllt seien. Dies bedarf näherer Prüfung. Ob dem Beschwerdeführer tatsächlich eine Bewilligung zu erteilen ist, bildet Gegenstand der nachfolgenden materiellen Beurteilung (vgl. Urteile 2C_460/2009 vom 4. November 2009 E. 2.1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_304/2009 vom 9. Dezember 2009 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>13). Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen Endentscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG) ist deshalb grundsätzlich einzutreten, zumal der Beschwerdeführer als Adressat des angefochtenen Entscheids ohne Weiteres zur Beschwerdeführung legitimiert ist (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt u.a. hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287). Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
1.3 Das Bundesgericht stellt grundsätzlich auf den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt ab (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diese Sachverhaltsfeststellungen können vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Die Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden, ist gleichbedeutend mit der Willkürrüge und muss daher gemäss den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerdeschrift begründet werden (<ref-ruling> E. 1.2.2 und E. 1.4.3 S. 252 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 351 f.). Vorausgesetzt ist zudem, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer begründet den von ihm behaupteten Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung im Wesentlichen damit, dass Art. 42 Abs. 3 AuG seiner Ansicht nach - anders als die Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gemäss Art. 42 Abs. 1 AuG - kein Zusammenleben der Ehegatten voraussetzen würde. Diese Ausführungen des Beschwerdeführers gehen jedoch fehl: Das Bundesgericht hat bereits in mehreren Entscheiden im Einklang mit der Literatur festgehalten, dass auch der Anspruch gemäss Art. 42 Abs. 3 AuG das Bestehen des ehelichen Zusammenlebens bzw. einer Haushaltsgemeinschaft während fünf Jahren voraussetzt (Urteile 2C_568/2011 vom 16. November 2011 E. 3.2; 2C_284/2011 vom 21. September 2011 E. 2.2; 2C_220/2011 vom 1. Juni 2011 E. 2.3; MARTINA CARONI, in: Caroni et al. [Hrsg.], Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, 2010, Rz. 55 zu Art. 42 AuG; MARC SPESCHA, in: Spescha/Thür/Zünd [Hrsg.], Migrationsrecht, 2. Aufl. 2009, Rz. 9 zu Art. 42 AuG). Dieses Erfordernis ist im vorliegenden Fall nicht erfüllt.
2.2 Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers entspricht die aufgezeigte Rechtslage auch der Praxis zu Art. 17 Abs. 2 Satz 2 des früheren Bundesgesetzes vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; in Kraft gewesen bis zum 31. Dezember 2007; vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2/3 S. 53 f.; <ref-ruling> E. 1c S. 64), der für die Ehegatten von Niedergelassenen die gleiche Regelung enthielt, wie sie heute Art. 42 Abs. 3 AuG für die Ehegatten von Schweizern enthält. Es trifft gerade nicht zu, dass im Rahmen von Art. 17 Abs. 2 ANAG gleichermassen wie bei Art. 7 ANAG nur der Rechtsmissbrauch geprüft worden wäre (<ref-ruling> E. 4.1 S. 116). Ebenso wenig besteht ein Anlass, auf das erst nach dem Inkrafttreten des AuG gestellte Gesuch noch die Regelung von Art. 7 Abs. 1 ANAG anzuwenden, zumal beim Inkrafttreten des AuG die Ehe noch nicht fünf Jahre gedauert hatte, und der Anspruch auf Niederlassungsbewilligung somit - anders als in den vom Beschwerdeführer zitierten <ref-ruling> und 135 II 1 - auch unter altem Recht noch nicht entstanden war. Aus <ref-ruling>, der sich nur zum Begriff des ordnungsgemässen Aufenthalts äussert, ergibt sich nichts in Bezug auf das Erfordernis des Zusammenlebens. Die vom Beschwerdeführer zitierte Erwägung 1.2 des Urteils 2C_431/2010 vom 25. Juli 2011 prüft sodann nur im Rahmen des Eintretens den (hypothetischen) Fall, dass der Beschwerdeführer vor der Scheidung einen Anspruch auf Niederlassungsbewilligung gehabt haben sollte, äussert sich aber nicht dazu, ob das der Fall war; materiell war die Frage belanglos, da ohnehin eine Scheinehe vorlag. Analoges gilt in Bezug auf das Urteil 2C_855/2010 vom 25. Mai 2011, wo es im Übrigen nicht um Art. 42 Abs. 3 AuG ging. Schliesslich hat auch das Migrationsamt in seinem Schreiben vom 13. November 2009 entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers in Bezug auf die Niederlassungsbewilligung klar festgehalten, dass darauf das neue Recht Anwendung finde und der Anspruch auf Niederlassungsbewilligung mangels Zusammenlebens erloschen sei.
3. Ein Anspruch des Beschwerdeführers auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung ist nach dem Ausgeführten nur dann vorstellbar, wenn die in Art. 49 AuG vorgesehene Ausnahme vom Erfordernis des Zusammenwohnens zur Anwendung gelangt, d.h. wenn wichtige Gründe für das Getrenntleben der Ehegatten bei gleichzeitigem Fortbestand der Familiengemeinschaft vorlagen, wozu insbesondere berufliche Verpflichtungen oder eine vorübergehende Trennung wegen erheblicher familiärer Probleme gehören (Art. 76 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]).
In diesem Zusammenhang hat das Rekursgericht festgestellt, dass der Beschwerdeführer ab dem 1. Januar 2007 getrennt von seiner damaligen Schweizer Ehefrau gelebt habe und die Ehegatten am 5. bzw. 14. November 2007 eine Trennungsvereinbarung unterzeichnet hätten. Darin sei festgehalten worden, dass die bestehende Trennung vorläufig beibehalten und die Situation im Sommer 2008 noch einmal überprüft werden solle, um dann konkret über eine mögliche Scheidung zu sprechen. In der Folge sei es dann auch effektiv am 16. April 2010 zur Scheidung gekommen, wobei keine Anzeichen ersichtlich seien, dass es während der Zeit des Getrenntlebens je zu einer Wiederannäherung der Ehegatten oder gar zu konkreten Bestrebungen zur Wiederaufnahme des gemeinsamen ehelichen Haushaltes gekommen wäre.
Diese Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz werden vom Beschwerdeführer nicht in rechtsgenüglicher Weise in Frage gestellt und sind für das Bundesgericht deshalb verbindlich (vgl. E. 1.3 hiervor). Bei dieser Sachlage (vergleichsweise kurzes eheliches Zusammenleben gefolgt von einer langen Trennungsphase ohne zwischenzeitliche Bemühung um Wiederannäherung und schliesslich der Scheidung) ist der Schluss des Rekursgerichts nicht zu beanstanden, dass hier jedenfalls nicht von einer kurzfristigen, bloss vorübergehenden Trennung der Ehegatten i.S. von Art. 76 VZAE gesprochen werden kann. Im Übrigen erscheinen die Gründe, welche der Beschwerdeführer für das lange Getrenntleben vorbringt, als wenig stichhaltig: Namentlich ist nicht einzusehen, weshalb der Beschwerdeführer aufgrund eines Auffahrunfalls am 6. April 2008 bzw. der darauffolgenden ärztlichen Betreuung gänzlich ausserstande gewesen sein soll, sich über das Fortbestehen der Ehe mit seiner Schweizer Gattin Gedanken zu machen. Nicht näher substantiiert wird vom Beschwerdeführer auch seine Behauptung, dass gesundheitliche Beeinträchtigungen infolge eines im Jahr 2002 erlittenen Messerangriffs das Zusammenleben der Ehegatten im gleichen Haushalt erschwert hätten.
Dies berücksichtigend, kann im vorliegenden Fall von wichtigen Gründen für getrennte Wohnorte keine Rede sein. An diesem Ergebnis würde sich selbst dann nichts ändern, wenn man mit dem Beschwerdeführer davon ausginge, dass das eheliche Zusammenleben während der Zeit, in welcher noch das ANAG in Kraft stand, nicht massgeblich sei; auch am 31. Dezember 2007 hatte die Ehe noch nicht während fünf Jahren bestanden.
4. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich im Zusammenhang mit seinen Ausführungen zum Autounfall vom 6. April 2008 beanstandet, dass die Vorinstanz entgegen seinen Anträgen weder die beiden behandelnden Ärzte noch seine geschiedene Ehefrau oder ihn selbst persönlich befragt habe, geht seine Rüge ebenfalls ins Leere: Die Unfallfolgen sowie die daraufhin eingeleiteten Behandlungen sind in den Akten durch eine Vielzahl von ärztlichen Berichten und Gutachten hinlänglich dokumentiert, sodass von einer zusätzlichen Zeugenbefragung keine wesentlichen neuen Erkenntnisse zu erwarten gewesen wären. Das Rekursgericht durfte deshalb in antizipierter Beweiswürdigung auf die beantragten Einvernahmen verzichten, ohne hierdurch den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör zu verletzen (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 157 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 428 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 211, je mit Hinweisen).
5. Gemäss den obenstehenden Erwägungen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unbegründet und somit abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann jedoch bewilligt werden, da die Beschwerde nicht als geradezu aussichtslos erschien, der Beschwerdeführer bedürftig und die Beigabe eines Anwalts notwendig ist (Art. 64 BGG). Für die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes ist der notwendige Arbeitsaufwand massgebend.

Das Bundesgericht erkennt:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen:
a) Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
b) Rechtsanwalt Ernst H. Haegi, Oberrieden, wird als unentgeltlicher Rechtsbeistand des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau, dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. April 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler