Faits:
A. Le 16 septembre 2008, la Commission des examens d'avocats du canton de Berne a signifié à X._ qu'au vu de ses résultats à la session d'automne 2008, elle allait proposer à la Cour suprême dudit canton de ne pas lui accorder le brevet d'avocat.
Le 6 octobre 2008, X._ a déposé un recours auprès du Tribunal administratif du canton de Berne contre ce second refus d'octroi du brevet d'avocat et a requis l'assistance judiciaire.
Simultanément, il a déposé une demande de récusation dirigée contre les juges A._, B._ et C._, ainsi que contre le greffier de chambre D._. Cette demande de récusation a été rejetée, par jugement du Tribunal administratif du 11 décembre 2008, devenu définitif et exécutoire.
B. Le 18 mars 2009, la juge A._, chargée de l'instruction du recours du 6 octobre 2008, a rendu une décision intitulée "jugement incident (assistance judiciaire) et ordonnance", qui rejetait la requête d'assistance judiciaire gratuite formée par X._ et lui fixait un délai, en cas d'absence de recours auprès du Tribunal fédéral, pour indiquer s'il entendait maintenir ou retirer son recours; en cas de maintien, le recourant était invité à verser une avance de frais de procédure s'élevant à 2'500 fr.
C. Par courrier daté du 6 avril 2009, posté le lendemain, X._ a déposé un recours constitutionnel subsidiaire auprès du Tribunal fédéral à l'encontre de la décision du 18 mars 2009, en concluant à son annulation et à ce que l'assistance judiciaire lui soit octroyée sur le plan cantonal. Préalablement au dépôt de son recours, il a présenté une demande d'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
La Commission des examens d'avocats a renoncé à se déterminer. La juge du Tribunal cantonal chargée de l'instruction s'est prononcée sur un des griefs du recourant, tout en se référant, pour le surplus, à son jugement du 18 mars 2009.

Considérant en droit:
1. 1.1 La décision attaquée, qui refuse l'assistance judiciaire et ordonne le versement d'une avance de frais en cas de maintien du recours, est une décision incidente (art. 93 LTF). La jurisprudence considère que les décisions refusant l'assistance judiciaire sont de nature à causer au requérant un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, de sorte qu'elles peuvent faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral (ATF 133 IV 355 consid. 4 p. 338; arrêt 8C_530/2008 du 25 septembre 2008 in RSAS 2009 p. 135, consid. 2.3).
1.2 Pour déterminer le type de recours ouvert, il faut examiner le droit matériel applicable au fond, même si la décision attaquée, de nature incidente, repose exclusivement sur le droit de procédure (arrêt 2C_18/2007 du 2 juillet 2007 consid. 2). En l'occurrence, la décision sur l'assistance judiciaire a été rendue dans le cadre d'un litige concernant le refus d'accorder au recourant son brevet d'avocat en raison de l'échec à ses examens. La cause au fond relève donc du droit public. Comme il s'agit d'une décision sur le résultat d'examens qui porte sur l'évaluation des capacités du recourant, la voie du recours en matière de droit public est cependant fermée (art. 83 let. t LTF; arrêt 2C_438/2008 du 16 octobre 2008 consid. 2.1). C'est donc à juste titre que le recourant a déclaré former un recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
1.3 Le recourant, qui s'est vu refuser l'assistance judiciaire, a qualité pour recourir (art. 115 LTF). Déposé en temps utile (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans les formes prévues par la loi (art. 42 LTF), contre une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable (cf. supra consid. 1.1) et émanant d'un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 114 et 86 LTF), le recours constitutionnel subsidiaire est en principe recevable.
2. 2.1 Le recours constitutionnel subsidiaire ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral ne se saisit que des griefs soulevés et motivés de façon détaillée par la partie recourante (art. 106 al. 2 et 117 LTF; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 444). Seuls les griefs du recourant répondant à ces exigences seront examinés.
2.2 Saisi d'un recours constitutionnel subsidiaire, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés dans la décision attaquée; il peut seulement rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis en violation des droits constitutionnels (art. 118 LTF).
3. Le recourant reproche tout d'abord au jugement attaqué de ne pas mentionner le nom de la greffière qui l'a rédigé, mais de comporter seulement sa signature. Il y voit une violation grave des règles de procédure prévues dans le droit cantonal et une atteinte à son droit d'être entendu découlant des art. 29 al. 2 Cst. et 26 al. 2 Cst. bernoise.
Dès lors que le recourant n'indique pas quelles seraient les règles de procédure cantonale gravement violées, pas plus qu'il n'explique en quoi la Constitution cantonale offrirait une garantie supérieure à la Constitution fédérale, sa critique sera examinée exclusivement à la lumière de l'art. 29 al. 2 Cst.
Selon la jurisprudence, le droit des parties à une composition régulière du tribunal, qui est notamment une composante du droit d'être entendu (<ref-ruling> consid. 4c p. 132), impose des exigences minimales en procédure cantonale; il interdit les tribunaux d'exception et la mise en oeuvre de juges ad hoc ou ad personam et exige dès lors, en vue d'empêcher toute manipulation et afin de garantir l'indépendance nécessaire, une organisation judiciaire et une procédure déterminées par un texte légal (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 338 et les arrêts cités; confirmé in arrêt 9C_731/2007 du 20 août 2008 consid. 2.2.1).
Comme l'a relevé la juge chargée de l'instruction dans ses déterminations, il découle de l'art. 111 al. 4 de la loi cantonale bernoise sur la procédure et la juridiction administratives du 23 mai 1989 (ci-après LPJA; RS BE 155.21) que la compétence d'octroyer l'assistance judiciaire, pour une affaire portée directement devant le Tribunal administratif, appartient à l'autorité chargée de l'instruction. Il n'est pas exigé qu'un greffier intervienne. Par conséquent, dès lors que la décision attaquée comporte le nom et la signature de la juge chargée de l'instruction, soit de l'autorité compétente en vertu de la loi, elle ne viole pas l'art. 29 al. 2 Cst. Le fait que le nom de la greffière qui a signé cette décision ait été omis sur ce jugement est certes regrettable, dès lors que le justiciable peut s'attendre à connaître le nom des personnes ayant participé à la décision, mais ne saurait en justifier l'annulation en
raison d'une composition irrégulière du tribunal contraire à l'art. 29 al. 2 Cst.
4. Selon le recourant, le fait que le jugement incident ait été rendu deux jours ouvrables après le dépôt de sa réplique constituerait une violation de son droit d'être entendu, la juge chargée de l'instruction n'ayant pas satisfait à son devoir minimum de traiter les problèmes pertinents.
Une telle critique est infondée, dans la mesure où elle peut être tenue pour recevable. On ne saurait inférer d'un tribunal qu'il viole le droit d'être entendu en ne satisfaisant pas à son devoir minimum de traiter les problèmes pertinents (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 236; <ref-ruling> consid. 2b p. 102), au seul motif qu'il fait diligence et se prononce sans tarder. Au surplus, il appartenait au recourant d'indiquer précisément quels points déterminants, soulevés dans sa réplique, n'auraient pas été traités par la juge dans la décision attaquée (cf. art. 106 al. 2 LTF par renvoi de l'art. 117 LTF), ce qu'il ne fait nullement.
5. Le recourant se plaint d'une violation du principe de l'égalité et de la garantie de l'accès à un juge indépendant et impartial. Il soutient que la juge chargée de l'instruction, A._, aurait été prévenue à son égard, d'une part, en raison de la demande de récusation qu'il avait déjà formulée à son encontre et, d'autre part, parce qu'elle désirerait empêcher que son chef hiérarchique ne soit touché par le recours.
Sur ce point, le recourant perd de vue qu'il a déjà déposé, dans le cadre du même litige sur le plan cantonal, une demande de récusation, dirigée notamment contre la juge chargée de l'instruction de son recours du 6 octobre 2008, qui a été rejetée par jugement du Tribunal administratif bernois du 11 décembre 2008. Ce jugement aurait donc dû faire l'objet d'un recours immédiat devant le Tribunal fédéral, car en vertu de l'art. 92 al. 2 LTF, il ne peut plus être attaqué ultérieurement. A cet égard, le recourant ne saurait se prévaloir du fait que son absence de moyens financiers l'aurait empêché de poursuivre la procédure devant le Tribunal fédéral et remettre ainsi en cause un jugement entré en force, par le biais d'un recours contre une décision ultérieure rendue par la juge concernée.
Le grief doit dès lors être déclaré irrecevable.
6. Dans la dernière partie de son écriture, le recourant soutient en substance que la juge chargée de l'instruction aurait établi les faits de manière insoutenable et appliqué arbitrairement les dispositions fédérales et cantonales relatives à l'assistance judiciaire.
6.1 Hormis l'art. 29 al. 3 Cst. fédérale, le recourant invoque l'art. 26 al. 3 Cst. bernoise et l'art. 77 al. 1 du code de procédure civile du canton de Berne (RS BE 271.1), applicable par renvoi de l'art. 111 al. 1 LPJA . Ces textes ne vont pas au-delà de l'art. 29 al. 3 Cst., ce que ne prétend du reste pas le recourant. En effet, ils confèrent le droit à l'assistance judiciaire à quiconque n'a pas les ressources suffisantes à condition que l'action ne paraisse pas de prime abord dépourvue de chances de succès. Il suffit dès lors d'examiner si la décision respecte les exigences en matière d'assistance judiciaire que la pratique a tirées de l'art. 29 al. 3 Cst. (<ref-ruling> consid. 3a p. 204), en particulier en ce qui concerne l'absence de chances de succès.
6.2 D'après la jurisprudence, un procès est dépourvu de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre, et qu'elles ne peuvent donc être considérées comme sérieuses, de sorte qu'une personne raisonnable et de condition aisée renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'elle s'exposerait à devoir supporter; il ne l'est pas non plus lorsque les chances de succès et les risques d'échec s'équilibrent à peu près, ou que les premières ne sont que légèrement inférieures aux secondes (<ref-ruling> consid. 5 p. 616; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 135/136). L'élément déterminant réside dans le fait que l'indigent ne doit pas se lancer, parce qu'il plaide aux frais de la collectivité, dans des démarches vaines qu'une personne raisonnable n'entreprendrait pas si, disposant de moyens suffisants, elle devait les financer de ses propres deniers (ATF <ref-ruling> consid. 2.2 p. 133/134 et les références).
6.3 La juge chargée de l'instruction s'est prononcée de manière détaillée sur les chances de succès du recours; elle a tout d'abord relevé que les conclusions visant à l'annulation des examens non réussis et à l'autorisation à repasser lesdites épreuves ne correspondaient pas à la motivation du recours. Ensuite, elle a indiqué que, sur les neuf notes insuffisantes contestées (étant précisé que trois examens écrits comptaient double) sur un total de onze notes, les griefs soulevés ne parvenaient pas à remettre sérieusement en cause à tout le moins quatre notes taxant des écrits. Comme, selon le droit cantonal, trois notes insuffisantes au maximum sont autorisées, à condition que la moyenne soit de 4 au minimum, la juge a estimé que le recourant ne pourrait pas obtenir la correction d'un nombre suffisant de notes n'atteignant pas la moyenne, qui seule permettrait de modifier le résultat global de l'examen. La juge a encore ajouté qu'elle pouvait se référer aux arguments qui avaient déjà été développés dans le cadre d'une demande de récusation engagée à la suite de la première session d'examen. Enfin, s'agissant de l'attitude de l'une des expertes critiquée par le recourant, elle était sans incidence, puisque rien au dossier ne permettait de comprendre sur quelle erreur d'appréciation concrète des notes plus élevées pourraient se justifier.
6.4 Le recourant considère que ce raisonnement se fonde sur des constatations de fait arbitraires. Ses critiques relèvent pour partie d'une mauvaise lecture de la décision attaquée. Par exemple, il allègue qu'il était insoutenable de retenir qu'il avait obtenu neuf notes insuffisantes et non pas six, perdant de vue que la juge a expressément souligné que ce chiffre tenait compte de trois examens écrits qui comptaient double; il soutient également que la juge aurait volontairement omis de signaler qu'il aurait réussi deux examens, alors qu'on le déduit clairement de la décision attaquée, qui retient qu'il n'a pas contesté deux notes. Pour une autre partie, l'argumentation du recourant revient à critiquer l'appréciation des preuves, en opposant sa propre interprétation des faits à celle retenue dans le jugement entrepris, mais sans établir aucunement que cette dernière serait insoutenable. Une telle argumentation est inapte à établir l'arbitraire, de sorte qu'elle n'a pas à être examinée (cf. supra consid. 2.1), étant rappelé que le Tribunal fédéral n'est pas une juridiction d'appel (cf. <ref-ruling> consid. 7.1 p. 398). Enfin, le recourant cherche à remettre en cause, au travers du présent recours, des décisions antérieures entrées en force, ce qui n'est pas admissible.
En définitive, aucun élément soulevé par le recourant ne permet de conclure que les faits figurant dans la décision attaquée auraient été établis en violation des droits constitutionnels, de sorte que la Cour de céans n'a aucune raison de s'en écarter (cf. art. 118 al. 2 LTF).
6.5 Reste l'appréciation juridique de ces éléments par la juge chargée de l'instruction. Le recourant soutient qu'en concluant à l'absence de chance de succès, la magistrate a appliqué arbitrairement le droit. Toutefois, comme pour ses critiques concernant les faits, il ne s'en prend pas au raisonnement figurant dans la décision entreprise, mais présente sa propre interprétation juridique, reprenant pour l'essentiel les griefs présentés à l'appui de son recours sur le fond. Ce faisant, le recourant perd de vue que la procédure d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite ne doit pas constituer une sorte de procès à titre préjudiciel (arrêt 4P.264/2005 du 17 janvier 2006 consid. 4.1.2) et que l'autorité doit se contenter d'examiner la cause prima facie. La juge chargée de l'instruction n'avait donc pas à prendre position sur tous les griefs invoqués dans le recours. Il lui suffisait de présenter pour quels motifs elle estimait, de prime abord, le recours dépourvu de chances de succès. Elle a notamment relevé que, dans la mesure où le recourant ne pouvait valablement remettre en cause quatre notes insuffisantes obtenues à des examens écrits, les conditions posées par le droit cantonal pour réussir l'examen d'avocat n'étaient a priori pas réunies. Un tel raisonnement n'est pas critiquable.
Par conséquent, en considérant, sur cette base, que le recours était de prime abord dépourvu de chances de succès, ce qui justifiait le rejet de la demande d'assistance judiciaire, la juge chargée de l'instruction n'est nullement tombée dans l'arbitraire.
7. Dans ces circonstances, le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
Au vu de ce qui précède, les conclusions du recourant devant le Tribunal fédéral étaient vouées à l'échec, de sorte que l'assistance judiciaire doit être refusée sur le plan fédéral (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant supportera donc les frais judiciaires (art. 65 et 66 LTF), étant précisé que ceux-ci seront fixés en tenant compte de sa situation financière (art. 65 al. 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais de justice, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Commission des examens d'avocat et à la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne.
Lausanne, le 25 mai 2009
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Müller Rochat