Ablehnungsbegehren, hat sich ergeben:
A.- Die Bezirksanwaltschaft I für den Kanton Zürich, vertreten durch Bezirksanwältin A._, führt gegen Rechtsanwalt X._ und dessen Sohn Y._ ein Strafverfahren wegen Verdachts der Erpressung, der Nötigung und des Betruges sowie der Widerhandlung gegen das Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer. X._ wird vorgeworfen, er habe von Angehörigen eines ausländischen Staatsangehörigen Geldbeträge für die Verteidigung verlangt und entgegengenommen, obwohl er bereits als vom Staat bezahlter amtlicher Verteidiger bestellt worden sei. Ausserdem sollen X._ und sein Sohn Y._ ausländische Staatsangehörige, vor allem Asylanten, welche die Schweiz hätten verlassen müssen, unter falschen Angaben aufgefordert haben, im Lande zu verbleiben.
Am 16. April 1999 stellte X._ vor Beginn der (in der Folge nicht durchgeführten) Schlusseinvernahme den Antrag auf Einstellung des Strafverfahrens. Nachdem die Bezirksanwältin diesem Begehren nicht entsprochen hatte, übergab er ihr ein Schreiben, in welchem er sie wegen Befangenheit ablehnte. Mit der gewissenhaften Erklärung, nicht befangen zu sein, übermittelte Bezirksanwältin A._ am 20. April 1999 das Ablehnungsbegehren an die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich, mit dem Antrag, es sei abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft wies das Begehren am 22. April 1999 ab. X._ rekurrierte an die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich. Diese wies den Rekurs mit Entscheid vom 7. Juli 1999 ab.
B.- X._ erhob am 14. September 1999 gegen den Entscheid der Justizdirektion staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei an die kantonale Instanz zurückzuweisen. Ausserdem stellt er das Gesuch, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
C.- Die Bezirksanwaltschaft und die Staatsanwaltschaft verzichteten auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde. Die Justizdirektion stellt den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Seit 1. Januar 2000 ist nicht mehr die alte Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft vom 29. Mai 1874 (aBV), sondern die neue Bundesverfassung vom 18. April 1999 (BV) in Kraft (AS 1999 2555).
2.- Der Beschwerdeführer macht geltend, die Abweisung seines Ablehnungsbegehrens gegen Bezirksanwältin A._ verletze den Anspruch auf einen unbefangenen Justizbeamten, wie er in § 96 Ziff. 4 des zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetzes (GVG) sowie in den Art. 4 aBV, 58 aBV und 6 Ziff. 1
EMRK gewährleistet sei.
Der Anspruch auf einen unabhängigen und unbefangenen Richter nach Art. 58 aBV (<ref-law>) und Art. 6 Ziff. 1 EMRK gilt auch für Strafuntersuchungs- und Anklagebehörden, sofern sie in richterlicher Funktion tätig sind (<ref-ruling> E. 2a, zu Art. 58 aBV). Der zürcherische Bezirksanwalt übt dann eine richterliche Funktion aus, wenn er einen Strafbefehl erlässt oder wenn er das Strafverfahren einstellt (<ref-ruling> E. 2b, zu Art. 58 aBV). Der Beschwerdeführer ist zu Unrecht der Meinung, weil die Bezirksanwältin über den von ihm am 16. April 1999 gestellten Antrag auf Einstellung des Verfahrens entschieden habe, sei sie nicht nur als Untersuchungsorgan, sondern auch in richterlicher Funktion tätig gewesen. Es kann nur dort gesagt werden, die Untersuchungsbehörde nehme die Funktion eines eigentlichen Richters ein, wo sie das Strafverfahren zum Abschluss bringt, sei es durch einen Strafbefehl oder durch eine Einstellungsverfügung (<ref-ruling> E. 2b, zu Art. 58 aBV). Im vorliegenden Fall hat die Bezirksanwältin weder einen Strafbefehl noch eine Einstellungsverfügung erlassen. Sie war somit nicht in richterlicher Funktion tätig, weshalb sich der Beschwerdeführer nicht auf die Garantien von Art. 58 aBV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK berufen kann.
Die Frage der Ausstandspflicht der Bezirksanwältin als Untersuchungsorgan beurteilt sich aufgrund des kantonalen Verfahrensrechts und der aus Art. 4 aBV (Art. 29 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>) abgeleiteten Prinzipien. Nach diesen Grundsätzen kann ein Justizbeamter abgelehnt werden, wenn Umstände vorliegen, die ihn als befangen erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 2d, zu Art. 4 aBV, mit Hinweisen). Im gleichen Sinn ist § 96 Ziff. 4 GVG zu verstehen. Das bedeutet jedoch nicht, dass entscheidend auf die subjektive Meinung des Ablehnenden abzustellen wäre. Vielmehr müssen Umstände vorliegen, welche nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (<ref-ruling> E. 2d, zu Art. 4 aBV, mit Hinweisen).
3.- a) Der Beschwerdeführer stützte sich in seinem Ablehnungsbegehren in erster Linie auf ein Rundschreiben der Bezirksanwältin vom 6. Dezember 1993, das an die Präsidenten der zürcherischen Bezirksgerichte gerichtet war. Die Bezirksanwältin hatte in diesem Schreiben festgehalten, sie führe gegen den Beschwerdeführer eine Strafuntersuchung wegen Erpressung, ev. Nötigung, ev. Betruges etc. Aufgrund einer Strafanzeige bestehe der Verdacht, dass der Beschwerdeführer als amtlicher Verteidiger Angehörige eines Klienten (Ausländer und Asylbewerber, die mit der schweizerischen Rechtsordnung nicht vertraut seien) unter der Androhung, er könne die Verteidigung sonst nicht weiterführen, zur Bezahlung von (grösseren) Geldbeträgen veranlasst habe, sich daneben aber auch vom Gericht alle Aufwendungen habe vergüten lassen, wobei er sogar Leistungen, die sein Sohn - ein Jus-Student - erbracht habe, zum üblichen Anwaltstarif verrechnet habe. Es bestünden Anhaltspunkte, dass es sich dabei nicht um einen Einzelfall handeln könnte. Die Bezirksanwältin bat die Gerichtspräsidenten um Mitteilung, ob ihnen Unregelmässigkeiten in den Abrechnungen des Beschwerdeführers betreffend amtliche Verteidigungen aufgefallen seien.
b) Die Staatsanwaltschaft vertrat die Ansicht, das Rundschreiben sei im Rahmen des Strafverfahrens geboten gewesen. Es vermöge keine Befangenheit der Bezirksanwältin darzutun.
c) Die Justizdirektion verwarf den Einwand des Beschwerdeführers, die Staatsanwaltschaft habe mit dieser Einschätzung den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, da sie offensichtlich nicht bereit gewesen sei, sich ernsthaft mit seinen Vorbringen betreffend das Rundschreiben zu befassen. Die Justizdirektion erklärte im angefochtenen Entscheid, der Beschwerdeführer habe in seinem Ablehnungsgesuch vom 16. April 1999 ausführlich dargelegt, dass und weshalb das fragliche Rundschreiben die Befangenheit der Bezirksanwältin belege. Diese habe sich in ihrer Vernehmlassung vom 20. April 1999 hierzu geäussert und dargetan, weshalb sie das Rundschreiben als gebotenes und angemessenes Untersuchungsmittel erachtet habe. Die Staatsanwaltschaft sei damit in die Lage versetzt worden, den Aspekt ausgewogen zu prüfen, und sei zur Überzeugung gekommen, das fragliche Rundschreiben sei seinerzeit eine gebotene Untersuchungshandlung gewesen. Der Umstand, dass sie diese Einschätzung in ihrem Entscheid nicht näher begründet habe, sei kein Indiz dafür, dass sie das Vorbringen des Beschwerdeführers nicht ernsthaft geprüft habe.
Im Weiteren führte die Justizdirektion aus, auch in materieller Hinsicht erweise sich die Schlussfolgerung der Staatsanwaltschaft als korrekt, zumal die entsprechende Argumentation der Bezirksanwältin in Bezug auf die Veranlassung des Rundschreibens ohne weiteres überzeuge. Eine missliebige Verfahrenshandlung vermöge keine Befangenheit zu begründen. Die Staatsanwaltschaft habe zu Recht angenommen, das Rundschreiben sei nicht geeignet, den Anschein der Voreingenommenheit der Bezirksanwältin zu erwecken.
d) Der Beschwerdeführer wendet in formeller Hinsicht ein, es gehe nicht an, dass die Justizdirektion bloss auf die Vernehmlassung der Bezirksanwältin (zum Ablehnungsgesuch) verweise und die entsprechende Argumentation als ohne weiteres überzeugend bezeichne, "ohne sich in ihrer Verfügung nur mit einem Wort damit zu beschäftigen", warum denn die Argumentation der Bezirksanwältin ohne weiteres überzeuge. Mit diesem Vorgehen habe die Justizdirektion die sich aus § 161 GVG, den §§ 10 Abs. 2 und 28 Abs. 1 des zürcherischen Verwaltungsrechtspflegegesetzes (VRG) sowie aus Art. 4 aBV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ergebende Begründungspflicht verletzt.
Die aus Art. 4 aBV (<ref-law>) folgende Pflicht zur Begründung der Entscheide bedeutet nicht, dass sich die urteilende Instanz mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinander setzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Sie kann sich auf die für ihren Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Es genügt, wenn sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinn müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde leiten liess und auf welche sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 1a; <ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 4, 481 E. 6b/bb, zu Art. 4 aBV, je mit Hinweisen). Aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK und den angerufenen Vorschriften des kantonalen Rechts ergeben sich keine höheren Anforderungen an die Begründungspflicht. Nach dem für Rekursentscheide massgebenden § 28 Abs. 1 VRG ist es im Gegenteil zulässig, in der Begründung des Rekursentscheids auf die Erwägungen der Vorinstanz zu verweisen, soweit ihnen zugestimmt wird.
Die Justizdirektion legte im angefochtenen Entscheid in hinreichender Weise dar, weshalb sie die Rügen, die der Beschwerdeführer gegen die Erwägungen der Staatsanwaltschaft im Zusammenhang mit dem Rundschreiben erhoben hatte, für nicht stichhaltig hielt. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör bzw. der Begründungspflicht liegt nicht vor.
e) In materieller Hinsicht macht der Beschwerdeführer geltend, die Justizdirektion habe § 34 Abs. 1 der zürcherischen Strafprozessordnung (StPO) und Art. 4 aBV verletzt, indem sie das "völlig unangemessene und unverhältnismässige Rundschreiben", welches das Untersuchungsgeheimnis und die Unschuldsvermutung verletze, nicht als Grund für den objektiven Anschein der Befangenheit der Bezirksanwältin betrachtet habe.
aa) Der Beschwerdeführer ist zu Unrecht der Meinung, das Rundschreiben verletze die Unschuldsvermutung. Mit der im ersten Satz des Schreibens enthaltenen Formulierung, die Bezirksanwaltschaft führe gegen den Beschwerdeführer eine Strafuntersuchung "wegen Erpressung, ev. Nötigung, ev. Betruges etc. ", wird, auch wenn auf den Zusatz "wegen Verdachts der Erpressung .." verzichtet wurde, nicht der Eindruck erweckt, der Beschwerdeführer habe sich der betreffenden Delikte schuldig gemacht (<ref-ruling> E. 2g).
bb) Gemäss <ref-law> ist den Beamten und Angestellten untersagt, aus den Akten einer schwebenden Untersuchung Mitteilungen an Dritte zu machen. Vorbehalten bleiben Fälle, in denen solche Mitteilungen für den Zweck der Untersuchung förderlich sind oder wo überwiegende öffentliche Interessen eine Aufklärung gebieten (<ref-law>).
Das gegen den Beschwerdeführer laufende Strafverfahren wurde durch ein Schreiben des stellvertretenden Präsidenten des Bezirksgerichts Zürich vom 12. August 1993 ausgelöst. Dieser hatte damals der Staatsanwaltschaft die Akten in der Strafsache M._ übermittelt, zur Prüfung der Frage, ob gegen den Beschwerdeführer ein Strafverfahren einzuleiten sei. Der stellvertretende Präsident führte in seinem Schreiben aus, es bestünden ernst zu nehmende Hinweise, dass sich der Beschwerdeführer allenfalls der Verwirklichung eines Erpressungs- bzw. Nötigungstatbestandes und möglicherweise auch von Betrugstatbeständen schuldig gemacht haben könnte, indem er ausländische Klienten unter entsprechender Druckausübung zu privaten Honorarzahlungen veranlasst habe, obwohl er bereits als amtlicher Verteidiger bestellt worden sei. Der stellvertretende Präsident hielt am Schluss des genannten Schreibens fest, er sei der Ansicht, dass die dargelegten Fakten und Verhaltensweisen des Beschwerdeführers "zu einer Überprüfung hinsichtlich des allfälligen Vorliegens von Betrugstatbeständen in gleich gelagerten abgeschlossenen Fällen und insbesondere natürlich im vorliegenden Fall Anlass geben müssten".
Die Bezirksanwältin führte in ihrer Vernehmlassung zum Ablehnungsbegehren aus, diese Strafanzeige sowie die beim Beschwerdeführer in dessen Anwaltskanzlei sichergestellten Akten hätten den Verdacht aufkommen lassen, dass es sich beim Vorwurf, der Beschwerdeführer habe im Fall M._ Geld entgegengenommen, obwohl er amtlicher Verteidiger gewesen sei, um keinen Einzelfall handeln könnte. Die Anfragen an die Bezirksgerichte des Kantons Zürich, ausdrücklich an die Präsidenten adressiert, seien daher sachlich begründet gewesen.
Die Auffassung der Justizdirektion, diese Argumentation der Bezirksanwältin sei überzeugend, ist nicht zu beanstanden. Es lässt sich mit Grund annehmen, unter den gegebenen Umständen sei die an die Präsidenten der Bezirksgerichte erfolgte Mitteilung für den Zweck der Untersuchung förderlich und daher nach <ref-law> zulässig gewesen. Die kantonalen Instanzen verletzten die Verfassung nicht, wenn sie zum Schluss gelangten, bei objektiver Betrachtungsweise sei das Rundschreiben nicht geeignet, den Anschein der Befangenheit der Bezirksanwältin zu erwecken.
4.- a) Der Beschwerdeführer hatte die behauptete Befangenheit der Bezirksanwältin auch damit begründet, sie habe ihm über längere Zeit wesentliche Akten vorenthalten, ohne dass dies mit der Gefährdung des Untersuchungszweckes hätte gerechtfertigt werden können; insbesondere habe sie ihm mit Verfügung vom 23. März 1999 vor der Schlusseinvernahme die Einsicht in einen wesentlichen Teil der Akten verweigert.
b) Die Staatsanwaltschaft hielt diese Gründe für unangebracht, da die Frage der verweigerten Akteneinsicht in einem speziellen Rekursverfahren behandelt werde.
c) In dem an die Justizdirektion gerichteten Rekurs warf der Beschwerdeführer der Staatsanwaltschaft eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehörs vor, weil sie sich nicht ernsthaft mit seinen Vorbringen betreffend die Verweigerung der Akteneinsicht befasst habe. Ausserdem machte er geltend, die Bezirksanwaltschaft habe ihm am 10. Mai 1999 die Akten vollständig zur Einsicht zur Verfügung gestellt, woraus sich ergebe, dass die am 23. März 1999 erfolgte Beschränkung der Akteneinsicht unkorrekt gewesen sei.
Die Justizdirektion hielt diese Einwände für verfehlt. Sie führte im angefochtenen Entscheid aus, die Bezirksanwältin habe mit Verfügung vom 23. März 1999 eine auf einen Teil der Akten beschränkte Einsicht gewährt. Gegen diese Einschränkung habe der Beschwerdeführer am 12. April 1999 Rekurs bei der Staatsanwaltschaft erhoben. Der Umstand, dass die Staatsanwaltschaft die Frage der Zulässigkeit der teilweisen Verweigerung der Akteneinsicht einem separaten Verfahren vorbehalten habe, zeige, dass sie gewillt gewesen sei, die betreffende Frage einer eingehenden Prüfung zu unterziehen. Von einer Verweigerung des rechtlichen Gehörs könne nicht die Rede sein. Auch die Auffassung, dass die nachträgliche Gewährung der vollständigen Akteneinsicht die Unzulässigkeit der ursprünglichen Beschränkung und damit die Befangenheit der Bezirksanwältin belege, sei nicht stichhaltig. Diese habe in ihrer Vernehmlassung zum Ablehnungsbegehren die Gründe für die teilweise Verweigerung einer früheren Akteneinsicht in plausibler und nachvollziehbarer Weise dargetan. Das Verhalten der Bezirksanwältin sei somit unter objektiven Gesichtspunkten nicht geeignet, den Anschein der Befangenheit zu erwecken.
d) Der Beschwerdeführer wendet ein, indem die Justizdirektion die äusserst ungewöhnliche Akteneinsichtspraxis nicht als Indiz für den Anschein der Befangenheit der Bezirksanwältin betrachtet habe, sei sie in Willkür verfallen.
Die Rüge ist unbegründet. Die oben (E. 4c Abs. 2) angeführten Überlegungen der kantonalen Instanz sind überzeugend. Die Justizdirektion handelte nicht verfassungswidrig, wenn sie annahm, die vom Beschwerdeführer beanstandete Akteneinsichtspraxis der Bezirksanwältin sei bei objektiver Betrachtungsweise nicht geeignet, den Anschein der Befangenheit zu erwecken. Diese Annahme liesse sich übrigens auch dann nicht beanstanden, wenn die am 23. März 1999 vorgenommene Beschränkung der Akteneinsicht nicht korrekt gewesen wäre. Verfahrensverstösse sind im dazu vorgesehenen Rechtsmittelverfahren zu rügen und können grundsätzlich nicht als Begründung für eine Ablehnung herangezogen werden (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3b/bb). Nur sehr schwere oder wiederholt begangene Fehler, die eine gravierende Amtspflichtverletzung darstellen, können den Anschein der Befangenheit begründen (<ref-ruling> E. 3e; <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3b). Von solchen Verfehlungen kann hier nicht die Rede sein.
5.- Der Beschwerdeführer hatte sich in seinem Ablehnungsbegehren ausserdem auf verschiedene Handlungen der Bezirksanwältin im Zusammenhang mit Zeugeneinvernahmen gestützt. Er vertrat die Ansicht, das von ihm unter den Ziff. III/a-d seines Gesuchs geschilderte Verhalten der Bezirksanwältin erwecke den Anschein der Befangenheit.
Die Justizdirektion legte im angefochtenen Entscheid eingehend dar, dass und weshalb die betreffenden Handlungen der Bezirksanwältin keinesfalls als Indizien für deren Voreingenommenheit zu werten seien. Ihre diesbezüglichen Erwägungen (Ziff. 6 und 7, S. 3 und 4), auf die hier verwiesen wird, sind sachlich vertretbar. In der staatsrechtlichen Beschwerde wird nichts vorgebracht, was geeignet wäre, die Überlegungen der kantonalen Instanz als verfassungswidrig erscheinen zu lassen.
Zusammenfassend ergibt sich, dass die Justizdirektion den durch die Verfassung garantierten Anspruch des Beschwerdeführers auf einen unbefangenen Justizbeamten nicht verletzte, wenn sie den Rekurs gegen den Entscheid der Staatsanwaltschaft betreffend das Ablehnungsbegehren abwies.
Die staatsrechtliche Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist daher abzuweisen. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wird damit gegenstandslos.
6.- Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG), und er hat keinen Anspruch auf eine Entschädigung (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000. -- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Bezirksanwältin A._, Bezirksanwaltschaft I für den Kanton Zürich, der Staatsanwaltschaft sowie der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 24. Februar 2000
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: