Fatti:
A. G._ è stato assunto con effetto dal 17 febbraio 2003 quale autista dalla Società X._ e in quanto tale è stato assicurato per la previdenza professionale presso la Cassa Pensioni X._. A seguito di prolungate assenze dovute a problemi di salute (dolori lombari, depressione e cervicobrachialgia), il datore di lavoro ha sciolto il rapporto contrattuale per il 30 novembre 2004. Dal 14 febbraio 2004 l'assicurato non ha più esercitato alcuna attività lucrativa.
Il 26 novembre 2004 G._ ha presentato una domanda volta all'ottenimento di prestazioni AI. Esperiti gli accertamenti del caso, l'Ufficio AI del Cantone Ticino ha riconosciuto all'assicurato una rendita intera dal 1° aprile 2007 per un grado d'invalidità totale (decisioni del 25 luglio e dell'11 settembre 2008).
G._ si è in seguito rivolto alla Cassa Pensioni X._ per ottenere prestazioni della previdenza professionale. Dopo avere preso atto della decisione dell'UAI e avere consultato il relativo incarto, la Cassa pensione ha rifiutato l'erogazione di proprie prestazioni per essere l'incapacità (psichica) lavorativa rilevante intervenuta in un momento in cui l'assicurato non sarebbe più stato affiliato presso di lei. Inoltre ha comunicato la rescissione, per reticenza, del contratto di previdenza per la parte sovraobbligatoria, avendo l'assicurato risposto in maniera inveritiera ad alcune domande e avendo in particolare sottaciuto preesistenti dolori lombari, problemi respiratori, un abuso nicotinico e uno stato di adiposità (scritto del 28 ottobre 2008).
B. G._ ha convenuto la Cassa pensione dinanzi al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino al quale ha chiesto il riconoscimento di una rendita d'invalidità della previdenza professionale, per sé e per i suoi familiari (per la moglie S._ e la figlia D._), dal 10 febbraio 2006 (petizione del 10 dicembre 2008). Esperita l'istruttoria, la Corte cantonale ha accolto la petizione e ha condannato la Cassa pensione a versare all'assicurato una rendita d'invalidità di fr. 18'929.-- annui a partire dal 1° aprile 2007 (pronuncia del 14 dicembre 2009). In sostanza, i primi giudici hanno, da un lato, accertato che la causa dell'incapacità (psichica) lavorativa che ha poi originato l'invalidità dell'assicurato era insorta - perdurando senza interruzioni di rilievo - agli inizi del 2004 quando quest'ultimo era ancora assicurato presso la convenuta. Dall'altro, pur riconoscendo l'esistenza dei presupposti di una reticenza, hanno osservato che l'istituto di previdenza aveva dichiarato tardivamente la rescissione del contratto poiché, con la comunicazione del 28 ottobre 2008, aveva agito al di là del termine - decorrente dalla ricezione dell'incarto AI - di quattro settimane prescritto dall'art. 6 LCA. In tali condizioni, il Tribunale cantonale ha reputato perento il diritto della Cassa a recedere dal contratto per la parte sovraobbligatoria e l'ha di conseguenza condannata ad erogare all'assicurato una rendita intera sia della previdenza obbligatoria sia della previdenza più estesa.
C. La Cassa pensione interpone ricorso al Tribunale federale al quale chiede di annullare il giudizio cantonale e di respingere integralmente la petizione.
G._ propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi.

Diritto:
1. 1.1 Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. ll Tribunale federale applica d'ufficio il diritto (<ref-law>). Esso non è vincolato né dagli argomenti sollevati nel ricorso né dai motivi addotti dall'autorità inferiore; può quindi accogliere un ricorso per motivi diversi da quelli invocati e respingerlo sulla base di una motivazione differente da quella posta a fondamento del giudizio impugnato (cfr. <ref-ruling> consid. 1.4.1 pag. 254; <ref-ruling> consid. 1.4 pag. 140). Nondimeno, secondo l'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF il ricorso dev'essere motivato in modo sufficiente. Nei motivi occorre spiegare in modo conciso perché l'atto impugnato viola il diritto. Il Tribunale federale esamina in linea di principio solo le censure sollevate; esso non è tenuto a vagliare, come lo farebbe un'autorità di prima istanza, tutte le questioni giuridiche che si pongono, se queste ultime non sono più presentate nella sede federale.
1.2 Per il resto, in linea di principio il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>), potendosene scostare solo se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto (<ref-law>) e a condizione che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
2. Unico oggetto del contendere è la questione di sapere se la Corte cantonale ha, a ragione o a torto, dichiarato perento il diritto della ricorrente a fare valere la reticenza e a recedere così dal contratto per la previdenza più estesa. Per contro, sebbene la ricorrente postuli formalmente la reiezione integrale della petizione, non è più (debitamente) contestato l'obbligo di prestazione dell'istituto di previdenza per la parte obbligatoria. Le allegazioni delle parti e lo stato degli atti non danno del resto motivo di ritornare sulla decisione dei primi giudici che hanno ammesso, in conformità ai documenti di causa, la necessaria connessione materiale e temporale tra l'incapacità lavorativa psichica manifestatasi agli inizi del 2004 e la susseguente invalidità (sul tema cfr. <ref-ruling> consid. 2.6; <ref-ruling> consid. 3 pag. 21 segg.; <ref-ruling> consid. 4.1 pag. 275; <ref-ruling> consid. 1c pag. 264).
3. 3.1 Come giustamente rilevato dalla precedente istanza, le parti erano vincolate da un contratto di previdenza. Ora, contrariamente a quanto previsto per la previdenza obbligatoria LPP, nel cui ambito gli istituti non hanno il diritto di porre riserve per la copertura dei rischi decesso e invalidità (<ref-ruling> consid. 6 pag. 223), in materia di previdenza più estesa gli assicuratori hanno la libertà di organizzarsi entro i limiti fissati dall'<ref-law>. In tale contesto possono porre, nelle condizioni di ammissione, delle esigenze relative allo stato di salute dell'assicurato e fissare, se del caso, delle riserve (v. RSAS 2000 pag. 61 [B 59/97] consid. 2). A tale scopo e per potere apprezzare adeguatamente il rischio, gli istituti di previdenza sono in linea di massima legittimati a formulare domande ben precise sullo stato di salute del proponente alle quali quest'ultimo è tenuto a rispondere in maniera veritiera. Se ciò non avviene, l'assicurato incorre in una falsa dichiarazione e deve, se del caso, sopportare le conseguenze della reticenza. In assenza di specifiche disposizioni statutarie o regolamentari, nell'ambito della previdenza più estesa la reticenza e le sue conseguenze si determinano per analogia secondo le regole degli art. 4 segg. LCA (cfr. <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 11 con riferimenti). Nel caso di specie l'art. 57 cifre 1-3 del regolamento della Cassa pensioni X._ (nella versione applicabile del 1998) disciplina la reticenza e le sue conseguenze. Ciò significa che sarà in primo luogo questa disposizione a essere determinante per il giudizio della presente fattispecie.
3.2 Contrariamente a quanto eccepito dall'opponente con le osservazioni al ricorso, non è vero che la ricorrente sostiene per la prima volta in sede federale l'applicabilità dell'art. 57 del regolamento e che in questo modo allegherebbe un nuovo fatto inammissibile (cfr. <ref-law>). A prescindere dal fatto che già in occasione della sua comunicazione del 28 ottobre 2008 la Cassa richiamò espressamente il disposto regolamentare in esame, l'interessato sembra dimenticare che l'esistenza e il contenuto di tale disposizione - compresa quindi anche la constatazione relativa al termine di sei mesi per fare valere la reticenza - sono stati accertati nella decisione impugnata. Già solo per questo motivo, il suo richiamo non può configurare un fatto nuovo (cfr. Bernard Corboz, in Commentaire de la LTF, 2009, n. 15 ad art. 99).
3.3 L'art. 57 del regolamento ("Informazioni"), nella sua versione applicabile in concreto, stabilisce:
"1. Le persone assicurate ed i beneficiari di prestazioni della Cassa sono tenuti ad informare in modo tempestivo, completo e veritiero i suoi organi o il medico fiduciario su tutti i fatti che possono rivestire importanza in materia di prestazioni della Cassa. Ogni cambiamento della situazione dev'essere annunciato tempestivamente e spontaneamente.
2. Le persone menzionate al cpv. 1 sono responsabili nei confronti della Cassa per ogni danno causatole in seguito a informazioni sottaciute, tardive, inesatte o incomplete, salvo che possano provare che non vi sia colpa da parte loro. Prestazioni indebitamente riscosse devono essere restituite alla cassa, indipendentemente dalla colpa.
3. In caso di reticenza, tutte le prestazioni vengono ridotte al minimo obbligatorio per legge. Se diventa esigibile una prestazione, la Cassa dispone di un termine di sei mesi per comunicare alla persona assicurata la riduzione. Il termine decorre solo dal momento in cui la Cassa viene a conoscenza di fatti attendibili da cui si può desumere con sicurezza la reticenza."
3.4 Secondo l'art. 57 cifra 3 del regolamento, il termine per recedere dal contratto decorre dal momento in cui la Cassa viene a conoscenza di fatti attendibili da cui possa desumere con certezza l'esistenza di una reticenza. Questa regolamentazione corrisponde dal profilo sostanziale alla giurisprudenza sviluppata a proposito dell'art. 6 LCA per determinare l'inizio del termine di perenzione (di quattro settimane; cfr. <ref-ruling> consid. 5a pag. 287 seg.; <ref-ruling> consid. 3a pag. 339; cfr. inoltre pure sentenze B 79/06 del 13 agosto 2007 consid. 4.3 e 5C.5/2005 del 23 giugno 2005, in Pra 2006 n. 55 pag. 405 consid. 3.2).
4. 4.1 Emerge dagli atti che l'11 febbraio 2003 l'opponente ha compilato e sottoscritto il modulo "Dichiarazione di salute della persona da assicurare". Alla domanda n. 1 se egli fosse "attualmente sano/a e completamente abile al lavoro senza alcun disturbo" e lo fosse sempre stato anche nel corso degli ultimi 12 mesi, l'assicurato rispose affermativamente. Per contro egli rispose negativamente alle ulteriori domande, e più precisamente: se fosse affetto da una malattia cronica (per esempio diabete, ipertensione) o soffrisse le conseguenze di una malattia o di un infortunio precedente (n. 2); se soffrisse di un'infermità congenita (n. 3); se assumesse regolarmente medicinali (n. 4) e se negli ultimi dieci anni avesse sofferto di una malattia grave (per esempio con ricovero ospedaliero), avesse subito un infortunio grave o si fosse sottoposto a un'operazione (n. 8). Con la firma del modulo prestampato, egli dichiarò infine di "aver risposto in modo veritiero e completo alle domande, conoscendo le conseguenze derivanti da informazioni sottaciute inveritiere ai sensi dell'art. 57 del regolamento CPM" e di avere quindi preso "conoscenza delle conseguenze derivanti da una falsa dichiarazione (art. 57 del regolamento CPM)".
4.2 Il Tribunale cantonale ha esaminato gli atti medici all'inserto e ha inoltre raccolto informazioni presso il medico curante, dott. T._. Da queste è emerso che il paziente, da lui seguito dal 1996, presentava regolarmente episodi recidivanti di lombalgia e di infetti bronchiali rientranti nel quadro tipico di una bronchite asmatiforme, rispettivamente di una sindrome bronco ostruttiva cronica con relativa somministrazione di medicinali, e che nei dodici mesi prima del febbraio 2003 aveva fatto capo alle sue cure per ben cinque volte (di cui l'ultima - per una bronchite asmatiforme - il giorno prima della compilazione del questionario). Alla luce di queste circostanze come pure del fatto che nell'ottobre del 2001 l'assicurato era stato visitato dal dott. Q._, pneumologo presso l'Ospedale Y._, per i sintomi di una probabile broncopneumopatia cronica ostruttiva incipiente e di una bronchite cronica con componente asmatiforme, il Tribunale cantonale ha concluso per una violazione, da parte dell'interessato, del suo obbligo di notifica nei confronti della Cassa pensione e quindi per l'esistenza di un caso di reticenza. In particolare, i primi giudici hanno ritenuto che le varie consultazioni mediche con relativa somministrazione di medicinali dovevano indurlo a rispondere diversamente, segnatamente alle domande n. 1 e 2.
4.3 Come già evidenziato dal Tribunale federale in occasione di altre vertenze aventi per oggetto l'interpretazione dei disposti regolamentari qui in esame (v. ad esempio sentenze B 89/06 del 24 agosto 2007 consid. 4.3 in fine e B 103/06 del 2 luglio 2007 consid. 3.3), le domande poste nel questionario in parola erano chiare e inequivocabili. Ciò significa che, in assenza di una prova contraria fornita dall'assicurato (DTF <ref-ruling> consid. 2 pag. 336; <ref-ruling> consid. 4e pag. 82; <ref-ruling> consid. 5 pag. 352), i fatti dichiarati dall'assicurato su espressa domanda dell'assicuratore potevano giustamente presumersi rilevanti ai sensi dell'art. 4 cpv. 3 LCA. Per il resto, oltre a risultare dalle tavole processuali, non è contestato il carattere inveritiero delle risposte date (quantomeno) alle domande n. 1 e 2. Tenuto conto delle circostanze concrete che non permettevano di ritenere i disturbi in esame alla stregua di sporadiche indisposizioni senza importanza (v. <ref-ruling> consid. 1b pag. 340 con riferimenti; inoltre sentenza 4A_45/2008 del 23 aprile 2008 consid. 4.1.2), all'interessato non poteva infatti sfuggire la portata delle domande e dei fatti indicati (DTF <ref-ruling> consid. 2b pag. 337; Urs Ch. Nef, Basler Kommentar, Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag, n. 26 ad art. 4 LCA). Anche perché questo Tribunale ha già avuto modo di stabilire che non può considerarsi in buona salute una persona che si reca ripetutamente dal medico e il cui stato di salute richiede un trattamento medicamentoso (cfr. RSAS 1998 pag. 308 [B 10/95]).
5. Confermata l'esistenza di una falsa dichiarazione in merito a fatti rilevanti, restano da verificarne le conseguenze. Come giustamente evidenziato dalla Corte cantonale, in assenza di specifiche disposizioni statutarie o regolamentari, la reticenza e le sue conseguenze sono regolate dall'art. 6 LCA. Dal momento però che questa disposizione è stata modificata, anche sotto il profilo sostanziale, da una legge federale del 17 dicembre 2004, entrata in vigore il 1° gennaio 2006 (RU 2005 5250), occorre preliminarmente stabilire la versione applicabile al caso di specie.
5.1 La norma transitoria di cui all'art. 102 cpv. 4 LCA rimanda all'art. 882 vCO, che è stato sostituito il 1° gennaio 1912 dall'art. 1 cpv. 1 del Titolo finale CC (cfr. sentenza 4A_579/2009 del 1° febbraio 2010 consid. 2.2; Rolf Nebel, Basler Kommentar, Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag, n. 1 e 3 ad. art. 102 LCA). L'art. 1 cpv. 1 del Titolo finale consacra il principio della non retroattività delle leggi (cfr. <ref-ruling> consid. 3.2.1 pag. 230). Ne segue che il contratto di previdenza litigioso, che è stato concluso nel febbraio 2003, soggiace all'art. 6 LCA nella sua versione anteriore al 1° gennaio 2006 (sentenza citata 4A_579/2009 consid. 2.2; cfr. pure <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 11 seg., secondo cui fa stato la situazione giuridica in vigore al momento dell'ammissione nella previdenza più estesa). Il fatto - accennato dall'opponente - che questa precedente versione dell'art. 6 LCA sia stata duramente criticata in dottrina e sia stata modificata dal legislatore, non costituisce per contro valido motivo per negarne l'applicazione. In effetti, come nel diritto civile, anche nel presente ambito non ci si può prevalere del principio della lex mitior altrimenti valido nel diritto penale (<ref-law>). Di conseguenza, una norma va di massima applicata a una fattispecie realizzatasi sotto l'imperio del previgente ordinamento anche se una regolamentazione entrata in vigore successivamente dovesse avere apportato dei vantaggi a favore di una parte (ma a scapito dell'altra; cfr. sentenza 4A_285/2009 del 22 ottobre 2009 consid. 4.4).
5.2 Per l'art. 6 LCA, nel tenore applicabile in concreto, se il postulante all'atto della conclusione del contratto di assicurazione dichiara inesattamente o ha taciuto un fatto rilevante che conosceva o doveva conoscere, l'assicuratore non è vincolato al contratto purché ne sia receduto entro quattro settimane da quando ebbe cognizione della reticenza.
Questa disposizione consente all'assicuratore, in caso di reticenza, di rescindere il contratto con effetto retroattivo e di rifiutare le sue prestazioni (in casu: solo per la parte sovraobbligatoria) per un danno già realizzatosi, anche se questo non è correlato con il fatto all'origine della reticenza (<ref-ruling> consid. 3a pag. 391 seg.; <ref-ruling> consid. 3c pag. 64; <ref-ruling> consid. 4 pag. 352; cfr. pure sentenza B 125/06 dell'8 maggio 2007 consid. 4.2). Come già accennato, essendo questa regola sovente stata giudicata troppo severa, il legislatore ha deciso di modificarla sancendo un diritto di recesso senza effetto retroattivo e consentendo all'assicuratore di liberarsi dall'obbligo di fornire la sua prestazione soltanto a condizione che esista un nesso causale tra il fatto taciuto o dichiarato in modo inesatto e il danno intervenuto in seguito (Messaggio del 9 maggio 2003 concernente una legge sulla sorveglianza delle imprese di assicurazione e la modifica della legge federale sul contratto d'assicurazione, FF 2003 3249). Tuttavia, come poc'anzi illustrato (consid. 5.1), la nuova versione dell'art. 6 LCA non è applicabile al caso di specie.
5.3 Ciò significa che in difetto di una specifica norma statutaria o regolamentare contraria - che l'assicurato opponente peraltro nemmeno invoca -, la Cassa ricorrente poteva effettivamente, sulla base dell'art. 6 LCA applicabile in concreto, rescindere (con effetto retroattivo) il contratto di previdenza per la parte sovraobbligatoria anche se i disturbi sottaciuti non erano la causa dell'invalidità sopraggiunta successivamente (così pure sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni B 131/05 del 27 marzo 2006 consid. 3.2, pure concenente l'applicazione del regolamento della Cassa ricorrente nel tenore qui applicabile; Urs Ch. Nef, op. cit., n. 55 ad art. 4 LCA). Trattandosi dell'interpretazione consolidata di una norma legale e non di una disposizione contrattuale prestampata, l'assicurato non può prevalersi del principio "in dubio contra assicuratorem" per sovvertire l'esito di questo apprezzamento (v. <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 29; cfr. pure <ref-ruling> consid. 2.2.2.3 pag. 69).
6. Ciò premesso, occorre ora stabilire se la Cassa ricorrente abbia rescisso tempestivamente il contratto di previdenza più estesa.
6.1 Negando l'applicabilità del termine regolamentare di sei mesi perché ritenuto contrario alla norma semi-imperativa dell'art. 6 vLCA (v. art. 98 LCA), la Corte cantonale ha fatto decorrere il termine di perenzione di quattro settimane dal 6 settembre 2008, vale a dire dal giorno successivo alla ricezione dell'incarto AI, dal quale sarebbero stati immediatamente - senza necessità di accertamenti o interpretazioni aggiuntivi - deducibili tutti gli elementi costitutivi della reticenza. Avendo la Cassa dichiarato la rescissione del contratto (per la previdenza più estesa) solo con la lettera del 28 ottobre 2008, dopo avere ricevuto la presa di posizione del proprio medico fiduciario dott. E._, i giudici cantonali hanno dichiarato perento tale diritto. Per la Corte cantonale, il risultato sarebbe peraltro stato il medesimo anche qualora il termine di quattro settimane fosse stato fatto decorrere dal 23 settembre 2008, data alla quale la Cassa ha sostenuto - in contrasto con le tavole processuali - di avere ricevuto il fascicolo dell'AI.
6.2 In sostanza, la Cassa ricorrente osserva da parte sua che in presenza di una norma specifica contraria che stabilisce in sei mesi il termine di perenzione (art. 57 cifra 3 regolamento), questa regolamentazione prevale su quella dell'art. 6 LCA. A sostegno della sua tesi richiama alcune sentenze del Tribunale federale (delle assicurazioni) riguardanti l'applicazione del medesimo disposto regolamentare. In tali circostanze, anche volendo fare decorrere il termine di perenzione dal 6 settembre 2008 come giudicato dall'istanza precedente, la rescissione del contratto sarebbe ampiamente tempestiva.
6.3 Come pertinentemente osservato dalla Cassa ricorrente, questa Corte ha già avuto modo di occuparsi della questione. Ad esempio nella sentenza citata B 89/06 ha precisato che il termine di quattro settimane dell'art. 6 LCA non riveste carattere imperativo nell'ambito della previdenza professionale più estesa. Oltre a potere prevedere una regolamentazione totalmente divergente dall'art. 6 LCA, gli istituti di previdenza possono così anche solo limitarsi a prescrivere dei termini di perenzione più lunghi. Se, come in concreto, il regolamento prevede una disposizione esaustiva in merito al termine entro il quale la Cassa deve agire per recedere dal contratto, non rimane più spazio - relativamente a questo aspetto - per un'applicazione dell'art. 6 LCA (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni B 106/05 del 7 dicembre 2006 consid. 6.3 in fine). Del resto, il termine di sei mesi sancito dall'art. 57 cifra 3 del regolamento della Cassa ricorrente è già stato dichiarato conforme alla legge (sentenza citata B 89/06 consid. 3.3).
6.4 Alla luce di queste considerazioni come pure del fatto che le parti giustamente non contestano (più) l'avvenuta presa di conoscenza effettiva di tutti gli elementi costitutivi della reticenza (v. DTF <ref-ruling> consid. 3a pag. 400) al momento della ricezione - il 5 settembre 2008 - del fascicolo dell'AI (per contro, sull'irrilevanza, per l'inizio del termine di perenzione, della successiva presa di posizione del medico di fiducia se gli atti AI contengono già le informazioni necessarie, cfr. SVR 2004 BVG n. 15 pag. 49 consid. 3 [B 50/02]), la comunicazione del 28 ottobre 2008 con cui la ricorrente ha dichiarato di recedere dal contratto di previdenza per la parte sovraobbligatoria dev'essere considerata tempestiva in quanto avvenuta entro il termine di sei mesi previsto per regolamento. In questa misura, dunque, il ricorso va accolto. Essendo però gli effetti della rescissione contrattuale limitati alla sola parte più estesa e dovendosi per il resto, per la parte obbligatoria, confermare il giudizio cantonale, il ricorso, che ha chiesto formalmente la reiezione integrale della petizione del 10 dicembre 2008, può trovare accoglimento solo parziale. La pronuncia impugnata va pertanto modificata nel senso che la petizione è parzialmente accolta e a G._ - per quanto chiesto in subordine in sede di risposta al ricorso (<ref-law>) - è riconosciuto il diritto a una rendita intera di invalidità della previdenza professionale obbligatoria di fr. 10'308.-- annui (ossia fr. 859.-- mensili), oltre alla rendita per la figlia D._ (nata nel 1994) di fr. 2'064.-- annui (ossia: fr. 172.-- mensili; cfr. conteggi della Cassa), per un totale fr. 12'372.-- annui e questo (per quanto accertato in conformità agli atti al Tribunale cantonale) dal 1° aprile 2007.
7. Le spese seguono la soccombenza e vanno suddivise a metà tra le parti. Parzialmente vincente in lite, l'opponente, patrocinato da un legale, ha diritto a ripetibili ridotte. Per contro, sebbene risulti ugualmente parzialmente vincente e patrocinata da un legale esterno, la Cassa ricorrente non ha diritto a ripetibili poiché è incaricata di compiti di diritto pubblico (<ref-law>; cfr. sentenza citata B 79/06 consid. 7).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è parzialmente accolto. Il giudizio del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 14 dicembre 2009 è modificato nel senso che, in accoglimento parziale della petizione del 10 dicembre 2008, al ricorrente è riconosciuto il diritto a una rendita intera della previdenza professionale obbligatoria, oltre alla rendita per la figlia D._, di complessivi fr. 12'372.-- annui. Per il resto, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 500.-- sono poste per fr. 250.-- a carico della ricorrente e per fr. 250.-- a carico dell'opponente.
3. La ricorrente verserà all'opponente la somma di fr. 1000.-- a titolo di ripetibili della sede federale.
4. Il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino statuirà di nuovo sulla questione delle spese ripetibili di prima istanza, tenuto conto dell'esito del procedimento in sede federale.
5. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.