Erwägungen:
1. Das Obergericht des Kantons Zürich bestrafte mit Urteil vom 16. Juni 2004 den bosnisch-herzegowinischen Staatsangehörigen X._ (geb. 1959) wegen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz (SR 812.121), qualifizierter Geldwäscherei und Widerhandlung gegen ausländerrechtliche Regelungen mit acht Jahren und sieben Monaten Zuchthaus. Diese Verurteilung nahm der Regierungsrat des Kantons Zürich zum Anlass, am 26. September 2007 die Ausweisung von X._, der im Besitz einer Niederlassungsbewilligung war, für eine Dauer von zehn Jahren zu verfügen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies das dagegen erhobene Rechtsmittel am 23. Januar 2008 ab.
X._ beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 26. März 2008, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 23. Januar 2008 aufzuheben. Mit Eingabe vom 10. April 2008 ergänzte er seine Beschwerde; ausserdem ersuchte er um Verlängerung der Zahlungsfrist bzw. um Ratenzahlungen für den Kostenvorschuss, welche ihm mit Verfügung vom 11. April 2008 bewilligt wurden.
Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration sowie - für den Regierungsrat - die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich stellen den Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
2. Der regierungsrätliche Ausweisungsbeschluss erging vor dem 1. Januar 2008 und damit vor dem Inkrafttreten des neuen Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20). Wie die Vorinstanz zutreffend darlegt, ist die Rechtmässigkeit der Ausweisung - in analoger Anwendung von Art. 126 Abs. 1 AuG - nach dem bisherigen Recht zu beurteilen (nicht publizierte E. 1.1 von <ref-ruling>).
3. 3.1 Es ist unbestritten, dass die vom Beschwerdeführer verübten Straftaten einen Ausweisungsgrund bilden (Art. 10 Abs. 1 lit. a des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer [ANAG; BS 1 121], in der Fassung vom 8. Oktober 1948, AS 1949 I 221 227). Die Vorinstanz nimmt im angefochtenen Entscheid auch die nach Art. 11 Abs. 3 ANAG erforderliche Interessenabwägung vor und gelangt zum Schluss, dass das öffentliche Interesse an der Fernhaltung des Beschwerdeführers dessen private Interessen am weiteren Verbleib in der Schweiz überwiegen. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf Achtung des Privat- und Familienlebens im Sinne von <ref-law>. Die Ausweisung sei nicht durch ein überwiegendes Fernhalteinteresse gerechtfertigt und sei daher unverhältnismässig.
3.2 Das Verwaltungsgericht ist der Auffassung, dass beim Beschwerdeführer, der mehrfach und in zunehmend schwerer Weise gegen das Gesetz verstossen hat, eine "nicht unerhebliche Rückfallgefahr" besteht. Dieser macht demgegenüber geltend, die Justizvollzugsbehörden hätten ihn vorzeitig aus dem Strafvollzug entlassen. Er verweist auf eine Verfügung der Bewährungs- und Vollzugsdienste Zürich vom 18. Dezember 2007, worin ausgeführt wird, es dürfe grundsätzlich angenommen werden, der Beschwerdeführer habe aus dem Vollzug der Freiheitsstrafe "gewisse Lehren gezogen und werde versuchen, sich künftig regelkonform zu verhalten". Es kann offen gelassen werden, ob es sich bei diesem Vorbringen bzw. Dokument um ein unzulässiges Novum handelt (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 395; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343). Wie das Bundesgericht schon mehrfach ausgeführt hat, kann aus dem Umstand, dass ein Straftäter gemäss <ref-law> nach Verbüssung von zwei Dritteln seiner Strafe - wie hier - bedingt entlassen wird, nicht bereits geschlossen werden, es gehe keine Gefahr mehr von ihm aus. Die bedingte Entlassung wird regelmässig gewährt, wenn das Verhalten des Betreffenden während des Strafvollzugs nicht hiegegen spricht (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.3 S. 187 f. mit Hinweisen). Die Vorinstanz legt überzeugend und namentlich unter Hinweis auf die Anhörung des Beschwerdeführers vom 28. Juni 2007 dar, warum die erwähnte Rückfallgefahr gegeben ist. Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, so dass sich weitere Ausführungen dazu erübrigen. Auch hält das Verwaltungsgericht zutreffend fest, dass ein erhebliches Interesse besteht, Ausländer, die - wie der Beschwerdeführer - massgeblich am Handel mit harten Drogen im zweistelligen Kilobereich beteiligt waren, von der Schweiz fernzuhalten.
3.3 Zwar mag es zutreffen, dass ein über zwanzigjähriger Aufenthalt in der Schweiz als lang zu bezeichnen ist und der heute geschiedene Beschwerdeführer während mehreren Jahren berufstätig war. Mit der Vorinstanz ist aber davon auszugehen, dass dieser entgegen seiner Ansicht hier nicht sehr gut oder jedenfalls nicht über ein normales Mass hinaus integriert ist. Er spricht eigenen Angaben zufolge nur gebrochen Deutsch und befand sich die letzten fünf Jahre in Haft; unmittelbar davor war er wegen Verlusts des Führerscheins arbeitslos. Abgesehen von einem schweizerischen Freund gibt er zur Beschreibung seines Freundes- und Bekanntenkreises letztlich nur die Namen von Familienangehörigen und seiner von ihm geschiedenen Ehefrauen an. Dass der Beschwerdeführer nach der Haftentlassung ab dem 5. Februar 2008 eine Arbeitsstelle antreten konnte und dass sein in der Heimat verbliebener Vater inzwischen verstorben ist, ist nicht ausschlaggebend. Wie die Vorinstanz bemerkt, hat er in Bosnien-Herzegowina, wo er seine gesamte Schulzeit und einen Teil seines Lebens als Erwachsener verbracht hat, noch seine Mutter und einen grossen Familienkreis. Die Beziehung zu seiner Heimat hat er nie abgebrochen. Von dort aus kann er den Kontakt zu seinen in der Schweiz lebenden und eingebürgerten volljährigen Töchtern aus zwei geschiedenen Ehen aufrechterhalten. Ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis zu Familienangehörigen in der Schweiz besteht nicht (vgl. <ref-ruling> E. 1d und e S. 261 f.). Zwar mag die Situation in Bosnien-Herzegowina schwieriger sein wie in der Schweiz; das trifft den Beschwerdeführer jedoch nicht anders als seine dortigen Landsleute. Nach dem Gesagten ist ihm eine Rückreise in seine Heimat zumutbar.
3.4 Für alles Weitere wird auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (<ref-law>). Der Schluss der Vorinstanz, dass das öffentliche Interesse an der Fernhaltung des Beschwerdeführers dasjenige an seinem Verbleib in der Schweiz überwiegt, ist bundesrechts- und insbesondere verfassungskonform. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann daher im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> behandelt und abgewiesen werden.
4. Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 und 66 BGG). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Regierungsrat sowie dem Verwaltungsgericht, 2. Kammer, des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Merz