Sachverhalt:
A. X._ stellte in der gegen Z._ beim Betreibungsamt Oberland, Dienststelle Oberland West, angehobenen Betreibung Nr. ... am 22. Juni 2011 beim Regionalgericht Oberland das Gesuch um definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 194'998.05, von Fr. 10'000.-- sowie von Fr. 3'492.35, je zuzüglich Zinsen. Er stützte sein Begehren auf einen Schiedsspruch vom 30. März 2011 sowie einen Kostenentscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 22. Mai 2009. Das Regionalgericht Oberland stellte zwar das Vorliegen eines definitiven Rechtsöffnungstitels fest, wies das Rechtsöffnungsgesuch indessen aufgrund verschiedener, verrechnungsweise geltend gemachten Forderungen am 9. Februar 2012 ab.
B. Gegen den Entscheid gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Bern, welches seine Beschwerde am 10. Mai 2012 abwies.
C. X._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 13. Juni 2012 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Z._ (Beschwerdegegner) schliesst auf Nichteintreten; zudem sei das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Rechtsöffnungsentscheid, mithin ein Endentscheid in einer Zwangsvollstreckungssache mit Vermögenswert (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 143). Die gesetzliche Streitwertgrenze ist erreicht (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher gegeben.
1.2 Die Beschwerdeschrift muss ein Rechtsbegehren enthalten (<ref-law>). Angesichts des reformatorischen Charakters der Beschwerde in Zivilsachen darf sich der Beschwerdeführer nicht mit einem blossen Aufhebungs- oder Rückweisungsantrag begnügen. Er hat vielmehr konkret anzugeben, inwiefern der angefochtene Entscheid angefochten wird und welche Abänderungen verlangt werden. Von der Stellung eines materiellen Antrags kann nur dann abgesehen werden, wenn das Bundesgericht im Gutheissungsfall nicht selber entscheiden könnte (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1). Dies ist vorliegend der Fall, wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz doch ausschliesslich die Missachtung verfahrensrechtlicher Grundsätze und des Gehörsanspruchs vor.
1.3 Mit der vorliegenden Beschwerde kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Es ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Anrufung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (<ref-law>), wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
2. Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt in erster Linie der Vorwurf des Beschwerdeführers, er habe als Gesuchsteller im Rechtsöffnungsverfahren zu den Schlussbemerkungen des Gesuchsgegners nicht mehr Stellung nehmen und dabei insbesondere die Einrede des fehlenden neuen Vermögens nicht erheben können. Dadurch sei sein Anspruch auf rechtliches Gehörs verletzt worden.
2.1 Der Entscheid über das Rechtsöffnungsgesuch ergeht im summarischen Verfahren (<ref-law>). Gemäss <ref-law> gibt der Rechtsöffnungsrichter dem Betriebenen sofort nach Eingang des Gesuchs Gelegenheit zur schriftlichen oder mündlichen Stellungnahme und eröffnet danach innert fünf Tagen den Entscheid. Zwar handelt es sich bei diesen Zeitvorgaben lediglich um Ordnungsvorschriften. Gleichwohl wird damit die gesetzlich vorgesehene Beschleunigung des Verfahrens verdeutlicht. Die Eigenheit des Rechtsöffnungsverfahrens kommt auch unter anderem dadurch zum Ausdruck, dass dem Gesuchsgegner keine Nachfrist zur Einreichung einer Stellungnahme gewährt wird (Urteil 5A_209/2012 vom 28. Juni 2012 E. 3.2.4, zur amtlichen Publikation bestimmt). In gleicher Weise kann der Gesuchsteller bei Aufforderung zur allfälligen Stellungnahme ohne Fristansetzung nicht unbegrenzte Zeit zuwarten.
2.2 Gemäss vorinstanzlicher Feststellung gab der Rechtsöffnungsrichter dem Gesuchsteller mit Verfügung vom 26. Januar 2012 Gelegenheit, sich zu den vom Gesuchsgegner am 9. und 13. Dezember 2011 eingereichten Schlussbemerkungen umgehend vernehmen zu lassen. Die genannten Eingaben lagen indessen der Verfügung nicht bei. Sie wurden dem Gesuchsteller auf Nachfrage am 1. Februar 2012 nachgereicht, wobei ein erneuter Hinweis auf eine mögliche Gelegenheit zur Vernehmlassung fehlte. Der Rechtsöffnungsentscheid erging am 9. Februar 2012 und wurde dem Gesuchsteller am 18. Februar 2012 zugestellt. Der Gesuchsteller hat sich bis zum Urteilsdatum und selbst zum Versanddatum nicht vernehmen lassen. Gemäss Auffassung des Obergerichts musste dem Beschwerdeführer aufgrund seiner vertieften juristischen Kenntnisse klar sein, dass eine allfällige Stellungnahme nach Erhalt der Belege umgehend hätte erfolgen müssen.
2.3 Der Beschwerdeführer beruft sich auf den Wortlaut der Verfügung vom 1. Februar 2012, wo von der Möglichkeit einer umgehenden Stellungnahme nicht mehr die Rede sei. Mit dieser Sichtweise lässt er ausser Acht, dass die Zustellung der Belege durch den Rechtsöffnungsrichter in Beantwortung seines Schreibens ergangen ist und in der genannten Verfügung erwähnt wird, dass diese im Nachgang an die erste Verfügung erfolge. Damit ist ein inhaltlicher Zusammenhang der beiden Verfügungen hergestellt, welcher vom Beschwerdeführer in nicht nachvollziehbarer Weise ausgeblendet wird, jedoch wahrgenommen werden konnte und musste. Der Vorinstanz ist beizupflichten, dass die Lesart des Beschwerdeführers sich als treuwidrig erweist (vgl. SPÜHLER/DOLGE/GEHRI, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 9. Aufl. 2010, 5. Kap. Rzn. 67 ff.).
2.4 Im Weiteren kritisiert der Beschwerdeführer die seiner Ansicht nach zu kurze Zeitspanne zwischen Erhalt der angeforderten Belege und der Urteilsfällung, welche maximal sieben Tage betragen habe. Weshalb "umgehend" länger als eine Woche bedeuten sollte, begründet er einzig mit der Einrede des neuen Vermögens. Erfolgt diese mit der Erhebung des Rechtsvorschlages, so gilt eine Frist von zehn Tagen (Art. 74 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Daraus kann aber keine grundsätzliche Verlängerung der Fristen im Schriftenwechsel abgeleitet werden. Die Vorinstanz hat zudem auf den Umstand verwiesen, dass der Beschwerdeführer anhand der Eingaben des Beschwerdegegners bereits wusste, worum es sich bei diesen Belegen handle, weshalb er sich auf die Erhebung der Einrede des neuen Vermögens habe vorbereiten können. Dieser Feststellung widerspricht der Beschwerdeführer nicht.
2.5 In welcher Weise und in welchem zeitlichen Rahmen sich eine Prozesspartei im Rechtsöffnungsverfahren äussern kann, ergibt sich nicht zuletzt aus den Regeln und dem Charakter des summarischen Verfahrens (E. 2.1). Ist hier keine Verletzung festzustellen, kann sich der Beschwerdeführer zu seinem angeblich missachteten Äusserungsrecht nicht mehr auf die Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) berufen.
3. Überdies rügt der Beschwerdeführer die Verletzung des rechtlichen Gehörs, da das Obergericht seine Kritik an der erstinstanzlichen Kostenregelung übergangen habe. Zwar wird diese Rüge im nunmehr angefochtenen Entscheid erwähnt. Indessen hat sich das Obergericht dazu in keiner Weise geäussert, womit der Anspruch des Beschwerdeführers auf Gewährung des rechtlichen Gehörs verletzt worden ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 455). Dies führt zur teilweisen Gutheissung der Beschwerde, zur Rückweisung der Sache an das Obergericht zwecks Prüfung der erstinstanzlichen Kosten und Neubeurteilung der Kostenfolgen des Beschwerdeverfahrens.
4. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde in der Hauptsache abzuweisen. Sie erwies sich zudem als von vornherein aussichtslos (<ref-law>). Hinsichtlich der vom Obergericht noch nicht beurteilten kantonalen Kostenfolgen ist die Beschwerde gutzuheissen. Die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>). Von der Zusprechung einer Parteientschädigung an den Beschwerdegegner wird abgesehen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. 1.1 Die Beschwerde in Zivilsachen wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Zivilabteilung, 1. Zivilkammer, vom 10. Mai 2012 wird mit Bezug auf die erstinstanzliche und vorinstanzliche Kostenregelung aufgehoben und die Sache in diesen Punkten an die Vorinstanz zur Beurteilung und neuen Entscheidung zurückgewiesen.
1.2 Im Übrigen wird die Beschwerde in Zivilsachen abgewiesen.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
4. Es wird keine Parteientschädigung an den Beschwerdeführer zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. August 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante