Sachverhalt:
A.
A.a. X._ (1974) und Y._ (1985) heirateten am xx.xx.2009. Ihr Sohn A._ kam am xx.xx.2010 auf die Welt. Am 31. Juli 2013 hob der Einzelrichter am Bezirksgericht Willisau den gemeinsamen Haushalt von X._ und Y._ auf und gab A._ unter Einräumung eines gerichtsüblichen Besuchsrechts in die Obhut der Mutter. Er setzte den Unterhaltsbeitrag an A._ ab 21. Dezember 2012 auf Fr. 1'000.-- und denjenigen an Y._ ab 27. Dezember 2012 auf Fr. 2'245.-- fest. Sodann ordnete er die Gütertrennung an und verpflichtete X._, seiner Frau den Schweizer Pass von A._ herauszugeben.
A.b. Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 15. August 2013 Berufung. Er beantragte, A._ unter seine Obhut zu stellen unter Einräumung eines Besuchsrechts an die Mutter. Gleichzeitig seien die Unterhaltsregelungen neu zu bestimmen, und er sei zu berechtigen, den Schweizer Pass von A._ zu behalten. Mit Urteil vom 23. September 2013 wies das Kantonsgericht Luzern die Berufung ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. Oktober 2013 wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, die "Staatsrechtliche Beschwerde" sei gutzuheissen (Ziff. 1). Das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben, und es sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 2). Eventualiter sei A._ unter seine Obhut zu stellen, Y._ (Beschwerdegegnerin) für berechtigt zu erklären, A._ auf eigene Kosten zu sich auf Besuch zu nehmen, und ihm zu erlauben, den Schweizer Pass seines Sohns bei sich zu behalten (Ziff. 3).
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer wehrt sich binnen Frist gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75, 90 und 100 BGG) über die Anordnung von Eheschutzmassnahmen (<ref-law>). Die Beschwerde wird ungeachtet ihrer teilweise falschen Bezeichnung ("Staatsrechtliche Beschwerde") als Beschwerde in Zivilsachen im Sinne von <ref-law> behandelt.
1.2. Eheschutzentscheide unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (s. dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Es gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen prüft. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es daher nicht aus, wenn der Beschwerdeführer die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat.
1.3. Der Beschwerdeführer reicht dem Bundesgericht Berichte von B._, Fachspezialisten Beobachtungen, zur Wahrnehmung des Besuchsrechts am 11./12./13. Oktober 2013 und am 25./26./27. Oktober 2013 ein. Die Berichte beruhen damit auf Beobachtungen, die erklärtermassen gemacht worden sind, nachdem das vorinstanzliche Urteil am 23. September 2013 ergangen ist. Sie können vom Bundesgericht nicht berücksichtigt werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 3 S. 395). Davon kann im vorliegenden Fall keine Rede sein. Aus dem gleichen Grund bleibt auch die Strafanzeige ausser Acht, die der Beschwerdeführer am 15. Oktober 2013 gegen die Beschwerdegegnerin sowie gegen weitere Beteiligte eingereicht hat.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer sieht seinen Anspruch auf rechtliches Gehör und das Gebot des Fair Trial verletzt, weil die Vorinstanz mit der Ansetzung einer Frist zur Zahlung des Gerichtskostenvorschusses die Frist zur Einreichung einer Berufungsantwort angesetzt habe. Dieses Vorgehen habe zur Folge gehabt, dass er erst zu einem Zeitpunkt auf die Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin habe reagieren können, als das vorinstanzliche Urteil bereits vorgelegen habe. Unstatthaft sei auch, dass die Vorinstanz über seine prozessualen Anträge, einen zweiten Schriftenwechsel durchzuführen und die Parteien persönlich anzuhören, erst mit dem Endentscheid vom 23. September 2013 entschieden habe.
2.2. Die Vorwürfe des Beschwerdeführers gehen an der Sache vorbei und sind unbegründet. Weder das Gesetz noch die Verfassung gewähren einer Partei einen Anspruch auf die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels. Vielmehr "kann" die Rechtsmittelinstanz einen solchen anordnen (<ref-law>). Ebensowenig war die Vorinstanz verpflichtet, über die prozessualen Anträge des Beschwerdeführers im Rahmen prozessleitender Verfügungen zu befinden. Hält ein Beschwerdeführer eine Stellungnahme von seiner Seite zu einer ihm zur Kenntnis zugestellten Vernehmlassung für erforderlich, so hat er diese unverzüglich zu beantragen oder einzureichen; die vorsorgliche Beantragung eines Replikrechts reicht nicht (<ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47). Im Übrigen lässt sich der Beschwerde nicht entnehmen, wann die Vorinstanz ihm die Berufungsantwort zur Kenntnis gebracht hat und bezüglich welcher Whats-app-Nachricht dies nicht geschehen sein soll. Der Beschwerdeführer tut mithin nicht dar, dass er unverzüglich reagiert hätte. Im Geltungsbereich des Rügeprinzips (vgl. E. 1.2) ist das Bundesgericht nicht gehalten, die Prozessakten auf mögliche Versäumnisse der Vorinstanz hin zu prüfen.
3.
3.1. Zusätzlich zum Anspruch auf rechtliches Gehör erachtet der Beschwerdeführer den Untersuchungs- und Offizialgrundsatz als verletzt, weil die Vorinstanz keine Verhandlung durchgeführt habe. Zur Begründung verweist er darauf, dass unklar sei, wo die Beschwerdegegnerin tatsächlich lebe. Die Vorinstanz hätte sich auch ein persönliches Bild durch eine Befragung der beiden Parteien machen müssen. Dadurch seien <ref-law> und der Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden.
3.2. Die Vorinstanz ist anderer Meinung. Sie verweist auf den summarischen Charakter des Eheschutzverfahrens. Dies erlaube es, das Berufungsverfahren im Gegensatz zum erstinstanzlichen Verfahren in der Regel schriftlich durchzuführen. Dies gelte auch dann, wenn die Kinderzuteilung keine wesentlichen Probleme aufwerfe und der Sachverhalt liquid sei.
3.3. Die Rüge, <ref-law> sei verletzt worden, kann lediglich unter Willkürgesichtspunkten geprüft werden (E. 1.2). Vor diesem Hintergrund ist das Vorgehen der Vorinstanz nicht zu beanstanden. Zwar sind die Prozessmaximen im Berufungsverfahren grundsätzlich die gleichen wie für das erstinstanzliche Verfahren, so dass auch die Vorinstanz den Sachverhalt von Amtes wegen abzuklären hat, soweit es um die Übertragung der Obhut geht (Art. 272 und <ref-law>). Dies schliesst es aber nicht aus, dass die Vorinstanz die Notwendigkeit einer mündlichen Verhandlung anders als die erste Instanz beurteilt und von einer solchen absieht, weil sie den Sachverhalt als klar oder unbestritten betrachtet (<ref-law>). Dies gilt umso mehr, als nach der ausdrücklichen Anordnung des Gesetzes die Rechtsmittelinstanz auch aufgrund der Akten entscheiden kann (<ref-law>). Der Beschwerdeführer tut nicht in einer den Rügeanforderungen genügender Art und Weise dar, dass die Vorinstanz die Untersuchungsmaxime verletzt hätte (Urteil 5A_452/2013 E. 4.2 mit Hinweis). Um diesen Nachweis zu erbringen, genügt es nicht, die Vorzüge einer Verhandlung zu betonen und auf tatsächliche oder vermeintliche Widersprüche der Beschwerdegegnerin in ihren schriftlichen Eingaben zu verweisen, zumal dann, wenn der Zusammenhang mit der Frage der Obhutszuteilung nicht auf der Hand liegt.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer sieht den Untersuchungs- und Offizialgrundsatz auch dadurch verletzt, dass keine kinderpsychologische Begutachtung erfolgt sei. Die Vorinstanz begründe ihre diesbezügliche Weigerung mit Hinweisen auf zwei nicht einschlägige Bundesgerichtsentscheide.
4.2. Die Vorinstanz stellt sich auf den Standpunkt, dass entsprechend dem Zweck des Eheschutzes sich das Verfahren in der Regel auf rasch greifbare Beweismittel wie Urkunden zu stützen habe. Umfangreiche Beweismassnahmen und -abnahmen sollten grundsätzlich unterbleiben. Auf die Einholung von Gutachten sei in der Regel zu verzichten. Zeugenaussagen sollten wenn überhaupt nur in beschränktem Masse erfolgen. Das Beweismass bei freier Beweiswürdigung sei auf das Glaubhaftmachen beschränkt.
4.3. Eheschutzentscheide ergehen im summarischen Verfahren (<ref-law>) mit der ihm eigenen Beweismittel- und Beweisstrengebeschränkung; es genügt blosses Glaubhaftmachen (<ref-ruling> E. 2b/bb S. 478). Lehre und Rechtsprechung gehen grundsätzlich davon aus, dass auf aufwändige Beweismassnahmen verzichtet werden kann (Urteile 5A_742/2008 vom 22. Januar 2009 E. 4.3; 5P.157/2003 vom 30. Juni 2003 E. 4.4; siehe auch Rolf Vetterli, in: FamKommentar Scheidung, 1. Aufl. 2005, N. 12 Vorbem. zu Art. 175-179 ZGB). Der Vorinstanz ist aber zu widersprechen, wenn sie den Verzicht auf eine kinderpsychologische Begutachtung allein damit begründen will, dass der Entscheid über die Obhutszuteilung im Eheschutzverfahren erging. In einem Eheschutzverfahren muss nicht zwingend ein Gutachten eingeholt werden, wenn Kinderbelange strittig sind (Urteil 5A_444/2008 vom 14. August 2008 E. 2.2 mit weiteren Hinweisen, nicht publ. in: FamPra 2009 S. 252; zuletzt Urteil 5A_452/2013, 5A_453/2013 vom 2. Dezember 2013 E. 5.1), ein solches ist aber keineswegs ausgeschlossen. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung gilt in Kinderbelangen der Freibeweis (<ref-ruling> E. 4a S. 55). Soweit sich das Gericht gestützt auf die abgenommenen Beweismittel bereits eine Überzeugung hat bilden können, verletzt seine Weigerung, zusätzlich beantragte Beweismittel (z.B. ein Gutachten) abzunehmen, weder den verfassungsmässigen Beweisanspruch (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 148) noch den Untersuchungsgrundsatz (Urteil 5A_444/2008 vom 14. August 2008 E. 2.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735). Die (vorweggenommene) Beweiswürdigung kann das Bundesgericht nur auf Willkür hin überprüfen (<ref-law>; vgl. zum Begriff: <ref-ruling> E. 4.3 S. 62). Vorliegend tut der Beschwerdeführer keine Willkür dar.
5.
5.1. Das Begehren, den Fall an die Vorinstanz zurückzuweisen, erweist sich auf Grund des Gesagten als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann. Zu prüfen bleibt der Eventualantrag. Die Vorinstanz hat A._ unter die alleinige Obhut der Mutter gestellt und dies damit begründet, dass sie ihren Sohn seit seiner Geburt betreut hat. Sie habe zum Kind zweifelsohne die engere emotionale Beziehung als der Vater. Sie sei auch weiterhin bereit, die Betreuungs- und Erziehungsaufgaben zu übernehmen. Demgegenüber spreche sich der Beschwerdeführer nicht darüber aus, wie er sich die Betreuung, die offensichtlich einzig durch Drittpersonen wahrgenommen würde, vorstellen könnte. Dies wäre indes eine Minimalvoraussetzung, um die Zuteilung von A._ unter seine Obhut überhaupt ernsthaft zu prüfen. Die bisherige und weiterhin beabsichtigte persönliche Betreuung von A._ durch die Mutter und deren tragfähiges emotionales Verhältnis zu ihm sprächen klarerweise für die Obhutszuteilung an die Beschwerdegegnerin. Daran änderten auch die geltend gemachten Vorfälle mit A._ (Schlucken von Hustensirup und Verbrennung des Arms) nichts. Der Beschwerdeführer behaupte nicht, dass die Beschwerdegegnerin darauf nicht adäquat reagiert habe. Das eine oder andere Ungeschick oder Unglück passiere auch in andern Familien.
5.2. Der Beschwerdeführer wehrt sich gegen den Vorwurf, im bisherigen Verfahren kein Betreuungskonzept vorgelegt zu haben. Anlässlich der Verhandlung vom 15. Mai 2013 habe er ausgeführt, dass er ein Kindermädchen anstellen könne, seine Eltern würden ebenfalls mithelfen, und es gebe eine Kita. Mehr und konkretere Angaben könnten von ihm im Augenblick nicht erwartet werden. Im Übrigen hält der Beschwerdeführer daran fest, dass die Beschwerdegegnerin für die Obhutszuteilung nicht in Frage komme, weil sie unehrlich sei und das Kind bei ihr in Gefahr sei. Schliesslich habe sie auch die Ausübung des Besuchsrechts verhindert.
5.3. Ob dem Beschwerdeführer vorgeworfen werden kann, kein Konzept für die Betreuung von A._ vorgelegt zu haben, kann offen bleiben. Selbst wenn er ein solches vorgelegt haben sollte, wie er behauptet, ist es nicht willkürlich, A._ in die Obhut der Mutter zu geben. Bei der Beurteilung der für die Obhutszuteilung massgebenden Kriterien verfügt das Sachgericht über grosses Ermessen (<ref-ruling> E. 2 und E. 3 S. 319 ff.). Auf Willkürbeschwerde hin kann das Bundesgericht nur eingreifen, wenn das Sachgericht grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn es Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn es umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Der Ermessensentscheid muss sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 1 S. 99 mit weiteren Hinweisen; vgl. zum Ganzen zuletzt Urteil 5A_157/2012 vom 23. Juli 2012 E. 3.1, in: FamPra.ch 2012, 1094). Der Beschwerdeführer tut auch nicht ansatzweise dar, dass der Vorinstanz diesbezüglich etwas vorzuwerfen wäre.
6.
Geht die Obhutszuteilung in Ordnung, erübrigt es sich, über den Antrag zu befinden, wonach die Beschwerdegegnerin berechtigt zu erklären sei, den gemeinsamen Sohn auf eigene Kosten zu sich auf Besuch zu nehmen. Mangels Begründung (<ref-law>) ist auch nicht auf den Antrag des Beschwerdeführers einzugehen, den Schweizer Pass von A._ behalten zu können.
7.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist durch den vorliegenden Entscheid kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Mai 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann