Sachverhalt:
A. Die 1972 geborene L._ bezieht seit August 2006 eine Rente der Invalidenversicherung, im Einzelnen: von August 2006 bis Juli 2007 eine Viertelsrente, von August bis Dezember 2007 eine ganze Rente, von Januar bis September 2008 eine Viertelsrente, von Oktober 2008 bis Dezember 2009 eine ganze Rente sowie ab Januar 2010 eine halbe Invalidenrente. Die IV-Stelle des Kantons Basel-Stadt bemass die Invalidität anhand der gemischten Methode; sie ging davon aus, die Versicherte wäre bei guter Gesundheit zu 70 Prozent erwerbstätig und zu 30 Prozent im Haushalt beschäftigt (Verfügungen vom 13. Juli 2012).
B. L._ führte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt Beschwerde gegen die Verfügungen vom 13. Juli 2012, soweit diese Anspruchsperioden ab April 2007 betreffen. Das Sozialversicherungsgericht hiess das Rechtsmittel gut, hob die Verfügungen auf und wies die Sache zum Erlass einer neuen Verfügung im Sinne der Erwägungen an die Verwaltung zurück (Entscheid vom 23. Januar 2013).
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei insoweit aufzuheben, als das kantonale Gericht mit Wirkung ab Januar 2010 eine Dreiviertelsrente zugesprochen habe; ab diesem Zeitpunkt bestehe lediglich Anspruch auf eine halbe Invalidenrente. Ausserdem beantragt sie, es sei ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
L._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen und das kantonale Gericht verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Die Vorinstanz legte den Invaliditätsgrad für verschiedene Zeitabschnitte fest und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit diese die wechselnd hohen Rentenansprüche im Sinne der Erwägungen in einer neuen Verfügung eröffne. Ein kantonaler Beschwerdeentscheid, mit welchem über den Anspruch auf eine Invalidenrente befunden und die Sache lediglich zur Berechnung des Rentenbetrags an die IV-Stelle zurückgewiesen wird, ist verfahrensabschliessend. Da die Rückweisung nur noch der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient und der unteren Instanz kein Entscheidungsspielraum verbleibt, handelt es sich nicht - wie bei Rückweisungsentscheiden sonst grundsätzlich der Fall - um einen Zwischenentscheid, der bloss unter den Voraussetzungen der Art. 92 oder 93 BGG beim Bundesgericht anfechtbar wäre, sondern um einen - weiterziehbaren - Endentscheid im Sinne von <ref-law> (SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, 9C_684/2007 E. 1.1).
2. 2.1 Vor kantonalem Gericht zu prüfen war die Bemessung des Invaliditätsgrades ab April 2007.
2.1.1 Die Vorinstanz würdigte die tatsächlichen Verhältnisse und erkannte, die Versicherte wäre bei voller Gesundheit seit März 2007 zu 100 Prozent erwerbstätig. Somit sei ab diesem Zeitpunkt nicht mehr die gemischte Methode der Invaliditätsbemessung (<ref-law>; zur Bestimmung der Anteile beider Tätigkeitsbereiche: <ref-ruling> E. 3.2 S. 338 mit Hinweisen) anwendbar, sondern die Einkommensvergleichsmethode (<ref-law>). Dies wird nicht bestritten.
2.1.2 Den schwankenden Arbeitsunfähigkeiten sowie dem Wechsel der Bemessungsmethode Rechnung tragend schloss das kantonale Gericht, mit Wirkung ab April 2007 könne die Versicherte eine Dreiviertelsrente beanspruchen, ab August 2007 eine ganze Rente, ab Januar 2008 eine Dreiviertelsrente, ab Oktober 2008 eine ganze Rente sowie ab Januar 2010 eine Dreiviertelsrente.
2.2 Letztinstanzlich strittig bleibt allein, ob mit Wirkung ab Januar 2010 zu Recht eine Dreiviertelsrente zugesprochen wurde.
2.2.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung beruht (<ref-law>). Die Feststellung der Vergleichseinkommen nach <ref-law> (Validen- und Invalideneinkommen) stellt sich als Tatfrage dar, soweit sie auf konkreter Beweiswürdigung beruht, und nur dann als Rechtsfrage, wenn sich der Entscheid nach der allgemeinen Lebenserfahrung richtet (<ref-ruling> E. 3.3 S. 399).
2.2.2 Die beschwerdeführende Verwaltung macht geltend, das Valideneinkommen (hypothetisches Einkommen ohne Gesundheitsschaden) sei falsch ermittelt worden. Sie selber habe in den Verfügungen vom 13. Juli 2012 Lohnangaben des Alterszentrums Alban-Breite vom 3. September 2007, die sich auf das Jahr 2007 beziehen, auch für die Invaliditätsbemessung hinsichtlich der Jahre ab 2004 verwendet, dies unter zusätzlicher Berücksichtigung der seitherigen Nominallohnentwicklung. Die Vorinstanz habe die offensichtlich unrichtigen Zahlen für die Festsetzung der jeweiligen Valideneinkommen übernommen. Der Fehler wirke sich indes nur auf den Rentenanspruch ab Januar 2010 aus. Für die Festsetzung des Valideneinkommens sei richtigerweise von einem Betrag über Fr. 74'100.- (2007) auszugehen; unter Berücksichtigung der von 2007 bis 2009 aufgelaufenen Teuerung in Höhe von 2,76 Prozent errechne sich ein Valideneinkommen von Fr. 76'145.- (statt Fr. 79'560.-). Gemessen am Invalideneinkommen von Fr. 31'474.- betrage der Invaliditätsgrad aufgerundete 59 Prozent. Werde zu Gunsten der Beschwerdegegnerin auf die statistische branchenübliche Teuerung von 3,5 Prozent (2007 bis 2009) abgestellt, so führe dies zu einem Valideneinkommen von Fr. 76'694.-, mithin immer noch zu einem Invaliditätsgrad von 59 Prozent.
Weiter führt die Beschwerdeführerin aus, der ehemalige Arbeitgeber der Versicherten habe ihr auf Anfrage hin mit Schreiben vom 27. Februar 2013 mitgeteilt, diese hätte (im Gesundheitsfall) im Jahr 2009 einen monatlichen Bruttolohn von Fr. 5'900.-, mithin einen Jahreslohn von Fr. 76'700.-, erzielt. Diese Angabe decke sich praktisch mit dem ausgehend von der Lohnangabe aus dem Jahr 2007 errechneten Valideneinkommen. Die neue Zahl bestätige, dass der massgebende Invaliditätsgrad ab Januar 2010 unter 60 Prozent liege.
Weiter führt die Beschwerdeführerin aus, der ehemalige Arbeitgeber der Versicherten habe ihr auf Anfrage hin mit Schreiben vom 27. Februar 2013 mitgeteilt, diese hätte (im Gesundheitsfall) im Jahr 2009 einen monatlichen Bruttolohn von Fr. 5'900.-, mithin einen Jahreslohn von Fr. 76'700.-, erzielt. Diese Angabe decke sich praktisch mit dem ausgehend von der Lohnangabe aus dem Jahr 2007 errechneten Valideneinkommen. Die neue Zahl bestätige, dass der massgebende Invaliditätsgrad ab Januar 2010 unter 60 Prozent liege.
2.3 2.3.1 Aktenwidrige tatsächliche Feststellungen sind offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> (vgl. statt vieler <ref-ruling> E. 4.3 am Ende S. 317); in einem solchen Fall erfolgt eine Berichtigung oder Ergänzung des Sachverhalts auch von Amtes wegen. Das Bundesgericht legt seinem Entscheid daher den als zutreffend erkannten rechtserheblichen Sachverhalt zugrunde.
2.3.2 Die Beschwerdegegnerin stellt die in der Beschwerdeschrift dargelegte Berechnung des Valideneinkommens als solche zu Recht nicht in Frage. Hingegen wendet sie ein, die Beschwerdeführerin habe die unzutreffende Festsetzung des Valideneinkommens im bisherigen Verfahren nie hinterfragt, obwohl die einschlägigen Lohnangaben des ehemaligen Arbeitgebers seit September 2007 vorgelegen hätten; die ergänzende Gehaltsauskunft vom 27. Februar 2013 sei erst nach dem vorinstanzlichen Entscheid eingeholt worden. Mit Blick auf <ref-law>, wonach neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden dürfen, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, könne die seit Jahren falsche Festsetzung des Valideneinkommens im bundesgerichtlichen Verfahren nicht mehr gerügt werden. Dem ist entgegenzuhalten, dass eine Tatsache, die sich aus den vorinstanzlichen Akten ergibt, nicht im Sinne von <ref-law> neu ist (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 364). Die Vorbringen der Beschwerdeführerin zielen bloss auf eine zulässige Änderung in der Begründung ab.
2.3.3 Die in der Beschwerdeschrift nachgewiesenen Daten führen zu einem Valideneinkommen von Fr. 76'694.- resp. Fr. 76'700.- und zu einem Invalideneinkommen von Fr. 31'474.-. Der Invaliditätsgrad beträgt demnach per Januar 2010 59 Prozent. Somit hat die Beschwerdegegnerin mit Wirkung ab diesem Zeitpunkt Anspruch auf eine halbe Invalidenrente (vgl. <ref-law>).
3. Mit dem Entscheid in der Sache wird die Frage der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 23. Januar 2013 wird insoweit abgeändert, als die Beschwerdegegnerin mit Wirkung ab Januar 2010 Anspruch auf eine halbe Invalidenrente hat.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Mai 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub