Sachverhalt:
A. Die 1963 geborene E._ war als Sekretärin der Firma X._ bei der Alpina Versicherungen gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 9. Oktober 1997 einen Verkehrsunfall erlitt. Die Alpina Versicherungen anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Mit Verfügung vom 10. Januar 2007 und Einspracheentscheid vom 21. August 2007 stellte die Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachstehend: die Zürich) als Rechtsnachfolgerin der Alpina Versicherungen die Leistungen per 1. Oktober 2006 ein, da die über dieses Datum hinaus geklagten Beschwerden nicht natürlich und adäquat kausal auf das Unfallereignis vom 9. Oktober 1997 zurückzuführen seien.
B. Die von E._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 26. März 2009 ab. Eine öffentliche Gerichtsverhandlung wurde trotz rechtzeitig gestelltem Antrag nicht durchgeführt.
C. Mit Beschwerde beantragt E._, die Zürich sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheides zu verpflichten, ihre Leistungen auch über den 1. Oktober 2006 hinaus zu erbringen; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zur Durchführung einer EMRK-konformen öffentlichen Gerichtsverhandlung zurückzuweisen.
Während die Zürich auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, das kantonale Gericht habe Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt, indem es keine öffentliche Verhandlung durchgeführt habe. Diese formellrechtliche Rüge ist zuerst zu behandeln.
3. 3.1 Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jedermann Anspruch darauf, dass seine Sache in billiger Weise öffentlich und innerhalb einer angemessenen Frist von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht gehört wird, das über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen oder über die Stichhaltigkeit der gegen ihn erhobenen strafrechtlichen Anklage zu entscheiden hat (Satz 1). Dieselbe Konventionsbestimmung sieht Ausnahmen vom Öffentlichkeitsgrundsatz vor im Interesse der Sittlichkeit, der öffentlichen Ordnung oder der nationalen Sicherheit oder wenn die Interessen von Jugendlichen, der Schutz des Privatlebens von Prozessparteien oder die Gefahr einer Beeinträchtigung der Rechtspflege es gebieten (Satz 2).
3.2 Im Sozialversicherungsprozess hat das erstinstanzliche Gericht grundsätzlich eine öffentliche Verhandlung anzuordnen, wenn eine solche beantragt wird. Als Gründe für eine Ausnahme von diesem Prinzip fallen nebst den im zitierten Art. 6 Ziff. 1 Satz 2 EMRK genannten Umständen namentlich in Betracht, dass der Antrag nicht frühzeitig genug gestellt wurde, als schikanös erscheint oder auf eine Verzögerungstaktik schliessen lässt und damit dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwider läuft oder gar rechtsmissbräuchlich ist. Weiter erscheint der Verzicht auf eine beantragte öffentliche Verhandlung durch das erstinstanzliche Gericht als zulässig, wenn sich auch ohne eine solche mit hinreichender Zuverlässigkeit erkennen lässt, dass eine Beschwerde offensichtlich unbegründet oder unzulässig ist. Dasselbe gilt, wenn eine Materie hochtechnischen Charakters zur Diskussion steht, wobei darunter etwa rein rechnerische, versicherungsmathematische oder buchhalterische Probleme zu verstehen sind, nicht aber andere dem Sozialversicherungsprozess inhärente Fragestellungen wie beispielsweise die Würdigung medizinischer Gutachten. Schliesslich kann von einem nachträglichen Verzicht auf eine zunächst verlangte öffentliche Verhandlung ausgegangen werden, wenn das kantonale Gericht allein schon aufgrund der Akten zum Schluss gelangt, den materiellen Rechtsbegehren der die Verhandlung beantragenden Partei sei zu entsprechen (<ref-ruling> E. 3b S. 55 ff.; Urteil 8C_67/2007 vom 25. September 2007 E. 2.2).
4. Nach den dargelegten Gesichtspunkten ist zu prüfen, ob das kantonale Gericht von der Anordnung einer öffentlichen Verhandlung absehen durfte, ohne damit Art. 6 Ziff. 1 EMRK zu verletzen.
4.1 Der Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Gerichtsverhandlung wurde in der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift und damit rechtzeitig gestellt (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 56; Urteil 8C_67/2007 vom 25. September 2007 E. 3.1). Der Antrag war zudem klar und unmissverständlich.
4.2 Zu prüfen ist somit, ob das kantonale Gericht seinen Entscheid gestützt auf einen der rechtsprechungsgemäss vorgesehenen Ausnahmegründe (<ref-ruling> E. 3b S. 55 ff.) trotz Vorliegens eines entsprechenden Antrags ohne öffentliche Verhandlung fällen durfte. Als Gründe, welche die Ablehnung der beantragten Verhandlung allenfalls zu rechtfertigen vermöchten, fallen namentlich die bessere Eignung des schriftlichen Verfahrens bei hochtechnischen Fragen einerseits und die allgemein im Sozialversicherungsprozess gebotene Einfachheit und Raschheit des Verfahrens (vgl. <ref-law>) andererseits in Betracht, wobei letzterem Aspekt insbesondere bei offensichtlich unbegründeten oder unzulässigen Beschwerden Rechnung zu tragen ist (Urteile 8C_67/2007 vom 25. September 2007 E. 4.1 und I 98/07 vom 18. April 2007, E. 4.2).
4.3 In materieller Hinsicht ist streitig, ob die Beschwerdeführerin über den 1. Oktober 2006 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat. Dies hängt wesentlich davon ab, ob die über dieses Datum hinaus geklagten Beschwerden noch natürlich und adäquat kausal durch das Unfallereignis vom 9. Oktober 1997 verursacht sind. Vorinstanz und Verwaltung verneinten das Vorliegen von im Sinne der Rechtsprechung organisch hinreichend nachweisbaren Unfallfolgen (vgl. dazu das Urteil 8C_806/2007 vom 7. August 2008, E. 8.2 mit zahlreichen Hinweisen), weshalb die Adäquanz eines Kausalzusammenhanges speziell zu prüfen sei. Das kantonale Gericht verneinte die Adäquanz des von ihm bejahten natürlichen Kausalzusammenhanges nach den durch <ref-ruling> - während der Rechtshängigkeit des vorliegenden Verfahrens vor Vorinstanz - modifizierten Kriterien. Diese für das Sozialversicherungsrecht typische Thematik lässt sich nicht als "hochtechnisch" im Sinne der Rechtsprechung bezeichnen (vgl. <ref-ruling> E. 2d S. 52, 3b/ee S. 57 f.). Auch kann nicht gesagt werden, dass unter solchen Umständen eine zuverlässige Urteilsfindung eher in einem ausschliesslich schriftlichen Verfahren gewährleistet wäre und von einer zusätzlich durchgeführten mündlichen Verhandlung ohnehin keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären. Vielmehr erscheint eine mündliche Verhandlung gerade in solchen Fällen als grundsätzlich geeignet, zur Klärung allfälliger noch streitiger Punkte beizutragen (vgl. auch Urteil 8C_67/2007 vom 25. September 2007 E. 4.2). Triftige Gründe, welche dennoch gegen eine öffentliche Verhandlung sprechen würden, sind nicht ersichtlich und werden denn auch weder von der Vorinstanz noch von der Beschwerdegegnerin namhaft gemacht. Schliesslich kann - wie sich bereits aus dem Umfang der vorinstanzlichen Erwägungen ergibt - nicht von einer offensichtlich unbegründeten oder unzulässigen Beschwerde gesprochen werden.
5. Indem das kantonale Gericht unter den gegebenen Umständen von der ausdrücklich beantragten mündlichen Verhandlung gemäss Art. 6 Abs. 1 EMRK absah, hat es der konventionsrechtlich gewährleisteten Verfahrensgarantie nicht hinreichend Rechnung getragen. Es erweist sich deshalb als unumgänglich, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie den Verfahrensmangel behebe und die verlangte öffentliche Verhandlung, in deren Rahmen der Beschwerdeführerin auch Gelegenheit zu einer mündlichen Stellungnahme einzuräumen ist, durchführe. Diese wird auch über die Kosten der letztinstanzlich neu eingereichten Beweismittel zu entscheiden haben.
6. Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5). Diese hat der Beschwerdeführerin überdies eine Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 26. März 2009 aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 21. August 2007 neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. August 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Holzer