Caisse cantonale vaudoise de compensation AVS-AI-APG, Agence communale d'assurances sociales de la ville de Lausanne, Place Chauderon 7, 1003 Lausanne,
intimée.
Objet
Assurance vieillesse et survivants,
recours contre le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 23 juin 2010.
Faits:
A. D._, né en 1987, étudiant à l'Ecole X._ et affilié en cette qualité à la Caisse cantonale vaudoise de compensation, a demandé à l'Agence communale d'assurances sociales de la Ville de Lausanne à être dispensé du versement de la cotisation minimale AVS de l'année 2008. Par décision du 25 novembre 2009, la caisse a refusé la remise de ses cotisations personnelles AVS/AI/APG, dont le solde se montait à 194 fr. 85 pour l'année 2008. Dans une lettre datée du 18 janvier 2009 (recte: 2010), D._ a formé opposition contre cette décision, dont il affirmait qu'elle avait été reçue par son destinataire le 2 décembre 2009. La caisse a soumis le cas de l'assuré aux services sociaux de la Ville Z._, qui ont rendu le 26 février 2010 un préavis négatif en ce qui concerne une éventuelle prise en charge de ses cotisations. Par décision du 23 mars 2010, elle a déclaré irrecevable l'opposition, ce qui ne l'a pas empêchée d'entrer en matière sur l'opposition en considérant qu'elle devait de toute façon être rejetée vu que l'assuré ne remplissait pas la condition de la situation intolérable, étant donné que les parents de D._ assuraient gratuitement l'entier de son entretien, dont les cotisations personnelles AVS/AI/APG faisaient partie, et que ni l'assuré ni ses parents ne bénéficiaient de l'aide sociale.
B. Le 10 mai 2010, D._ a formé recours contre la décision sur opposition du 23 mars 2010 devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel. Par décision du 3 juin 2010, le Tribunal administratif, déclinant d'office sa compétence pour traiter le recours, a transmis la cause à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud comme objet de sa compétence.
Par arrêt du 23 juin 2010, la juridiction vaudoise a rejeté le recours. Relevant que la caisse ne s'était pas bornée à rendre un prononcé d'irrecevabilité et que la décision sur opposition du 23 mars 2010 comportait une double motivation, elle a laissé indécise la question de la tardiveté de l'opposition et a examiné si cette décision était sur le fond conforme au droit fédéral. Ainsi, dans le cas particulier où D._ concédait être entretenu par ses parents, qui lui remettaient mensuellement un certain montant, n'avait en principe pas d'autre revenu mais ne contestait nullement qu'il ne bénéficiait pas de l'aide sociale, il était manifeste au regard du montant litigieux (moins de 200 fr. selon la décision attaquée) et de "la situation du recourant et de sa famille" que l'on ne se trouvait pas dans un cas où la loi prescrit une remise des cotisations.
C. D._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, la cause étant renvoyée à la caisse pour nouvelle décision. A titre subsidiaire, il demande que lui soit accordée la remise du paiement des cotisations minimales AVS/AI/APG de l'année 2008. Il sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite.
La Caisse cantonale vaudoise de compensation déclare se rallier aux termes et conclusions du jugement entrepris. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions sur la remise de contributions ou l'octroi d'un sursis de paiement (art. 83 let. m LTF). Par contributions, il faut entendre d'une manière large tous les impôts, taxes et autres prélèvements d'ordre fiscal, ainsi que les cotisations aux assurances sociales (HANSJÖRG SEILER, in: Seiler/vonWerdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Berne 2007, n° 84 ad Art. 83 BGG; THOMAS HÄBERLI, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger, Basler Kommentar zum BGG, Bâle 2008, n° 216 ad Art. 83 BGG; ALAIN WURZBURGER, in: Commentaire de la LTF, Berne 2009, n° 126 ad art. 83 LTF).
1.2 Le jugement entrepris est une décision par laquelle le premier juge a statué sur la remise de contributions sociales, en confirmant le refus par l'intimée de mettre le recourant au bénéfice d'une remise de ses cotisations personnelles AVS/AI/APG de l'année 2008. Au regard de l'art. 83 let. m LTF, cette décision ne peut faire l'objet d'un recours en matière de droit public (arrêt 9C_690/2007 du 26 novembre 2007, consid. 1.1).
2. Il convient d'examiner si le recours est recevable au titre de recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 s. LTF).
2.1 Le recourant n'a pas formé, même à titre subsidiaire, un recours constitutionnel. L'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas cependant à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies et qu'il soit possible de convertir le recours dans son ensemble (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 382).
2.2 Il existe, si les conditions de l'art. 11 al. 2 LAVS sont remplies, un droit à la remise du paiement de la cotisation minimum AVS, soit un intérêt juridique protégé au sens de l'art. 115 let. b LTF (WURZBURGER, in op. cit., n° 128 ad art. 83 LTF, et la référence à l'arrêt 2D_40/2007 du 25 mai 2007), de sorte que la voie du recours constitutionnel subsidiaire est ouverte sur le fond.
2.3 Un tel recours peut être formé pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). L'acte de recours doit, à peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et préciser en quoi consiste la violation. Le Tribunal fédéral n'a donc pas à vérifier de lui-même si l'arrêt entrepris est en tous points conforme au droit et à l'équité, mais n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours (art. 106 al. 2 LTF en corrélation avec l'art. 117 LTF; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 143, 134 I 83 consid. 3.2 p. 88, 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287, 133 III 393 consid. 6 p. 397, 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254).
2.4 Dans la mesure où le recourant fait valoir comme motif de recours une violation de l'art. 11 al. 2 LAVS, soit du droit fédéral, ce motif n'a pas trait aux droits constitutionnels.
2.5 Même si, dans la décision sur opposition du 23 mars 2010, la caisse a déclaré l'opposition irrecevable parce que présentée hors délai, cela ne l'a pas empêchée d'entrer en matière sur l'opposition, en soumettant le cas de l'assuré aux services sociaux de la Ville Z._ et en examinant si la condition de la situation intolérable était réalisée. Le recourant ne démontre pas que la juridiction cantonale, en statuant directement sur la remise des cotisations aux assurances sociales compte tenu de la double motivation de la décision sur opposition du 23 mars 2010, ait violé son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.).
2.6 Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir enfreint le principe de l'égalité de traitement consacré à l'art. 8 al. 1 Cst. en interprétant l'art. 11 al. 2 LAVS à la lumière du droit aux prestations de l'aide sociale réglé par le droit cantonal, ce qui serait une source d'inégalité de traitement. Il lui reproche également d'avoir violé l'art. 9 Cst. en appliquant le critère de l'aide sociale de manière manifestement arbitraire et sans motifs objectifs, au lieu d'examiner la charge trop lourde en fonction du minimum vital selon le droit des poursuites. Ces griefs sont une critique de la jurisprudence (ATFA 1951 31), qui admet l'existence d'une situation intolérable si la personne astreinte au paiement de la cotisation minimum doit être soutenue par l'aide sociale (UELI KIESER, Alters- und Hinterlassenenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2ème éd., ch. 225 et la note n° 763). Ce que le recourant ne démontre pas, c'est que le premier juge ait enfreint les art. 8 al. 1 et 9 Cst. en se fondant sur "la situation du recourant et de sa famille" pour nier l'existence d'une situation intolérable. Les griefs du recourant ne satisfont donc pas aux exigences accrues de motivation prévues à l'art. 106 al. 2 LTF (supra, consid. 2.3).
2.7 En conséquence, les conditions d'une conversion du recours en matière de droit public en un recours constitutionnel subsidiaire ne sont pas remplies (arrêt 8C_151/2010 du 31 août 2010 consid. 4, non publié in DTA 2010 p. 265). Le recours est dès lors irrecevable.
3. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF). Représenté par son cousin, qui n'est pas avocat, il sollicite l'assistance judiciaire gratuite. Aux termes de l'art. 64 al. 1 LTF, une partie ne remplit les conditions de l'assistance judiciaire que si elle ne dispose pas de ressources suffisantes et si ses conclusions ne paraissent pas vouées à l'échec. D'après la jurisprudence, un procès est dépourvu de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre, et qu'elles ne peuvent donc être considérées comme sérieuses, de sorte qu'une personne raisonnable et de condition aisée renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'elle s'exposerait à devoir supporter (<ref-ruling> consid. 5 p. 616 et les références). Les griefs soulevés par le recourant n'étant pas de nature à mettre sérieusement en question le jugement entrepris, le procès était dépourvu de chances de succès et ses conclusions paraissaient vouées à l'échec. Cette condition d'octroi de l'assistance judiciaire n'étant pas réalisée, ce qui conduit au rejet de la demande, il n'y a pas lieu d'examiner plus avant s'il ne dispose pas de ressources suffisantes.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 11 juillet 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner