Sachverhalt:
A. Die 1951 geborene E._ erhob am 4. Juni 2009 eine Aufsichtsbeschwerde gegen die Volkswirtschaftsdirektion des Kantons Zürich betreffend ein arbeitsmarktliches Bewilligungsverfahren. Mit Beschluss Nr. 1277 vom 19. August 2009 gab der Regierungsrat des Kantons Zürich der Beschwerde keine weitere Folge und auferlegte der Anzeigerin die aus einer Staatsgebühr von Fr. 1'500.- sowie den Ausfertigungsgebühren von Fr. 290.- bestehenden Kosten des Verfahrens.
B. Gegen die Kostenauflage liess E._ entsprechend der Rechtsmittelbelehrung beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 28. September 2009 Beschwerde erheben. Das Verwaltungsgericht trat mit Beschluss vom 13. Januar 2010 darauf nicht ein und leitete die Angelegenheit an das aus seiner Sicht für die materielle Beurteilung der Beschwerde allenfalls zuständige Bundesgericht weiter. Auf eine Rechtsmittelbelehrung wurde mit Verweis auf die Weiterleitung verzichtet.
C. Das Bundesgericht eröffnet hierauf ein Dossier.
E._ erklärt auf Anfrage hin den Willen zur Beschwerdeführung vor Bundesgericht. Sodann nutzt sie mit Schriftsatz vom 7. Mai 2010 die Möglichkeit, die Eingabe vom 28. September 2009 mit einer Beschwerdeschrift gemäss Bundesgerichtsgesetz zu ergänzen. Sie lässt die Aufhebung der Kostendispositivziffer des regierungsrätlichen Beschlusses beantragen; eventualiter sei die Sache zur materiellen Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurück zu überweisen.
Sowohl der Regierungsrat wie auch das Verwaltungsgericht verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht beurteilt gemäss <ref-law> Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts, die von den in <ref-law> genannten Vorinstanzen ausgehen.
1.1 Ein Entscheid im Sinne von <ref-law> liegt vor, wenn in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit für einen einzelnen Bürger in verbindlicher und erzwingbarer Weise hoheitlich Rechte oder Pflichten begründet, aufgehoben, geändert werden oder deren Bestand oder Nichtbestand festgestellt wird (<ref-ruling> E. 4 S. 170; <ref-ruling> E. 1a S. 251; <ref-ruling> E. 2a S. 121; <ref-ruling> E. 1 S. 20; je mit Hinweisen). Diese Kriterien sind bei einer im Rahmen eines Aufsichtsbeschwerdeverfahrens hoheitlich verfügten Kostenauflage an den Anzeiger ohne weiteres erfüllt, wovon auch das kantonale Gericht im Ergebnis ausgeht.
1.2 <ref-law> schliesst für bestimmte Sachgebiete eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten aus. Diese Aufzählung ist abschliessender Natur. Entscheide in Aufsichtsbeschwerdeverfahren sind darin nicht erwähnt, weshalb ein in diesem Rahmen ergangener Kostenentscheid der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheit zugänglich bleibt.
Davon unberührt ist die Frage, ob weitere Elemente des ein Aufsichtsverfahren abschliessenden Beschlusses, so insbesondere die Verweigerung von Aufsichtsmassnahmen, anfechtbar sind: Fällt das Hauptverfahren nicht unter diese Ausnahmeregelung, erfasst diese auch den dabei ergangenen Kostenentscheid nicht (vgl. dazu etwa im Rahmen eines Asylentscheids gemäss <ref-law> beschlossene Nebenpunkte wie z.B. die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege [Urteile 2C_46/2007 vom 8. März 2007 und 2C_18/2007 vom 2. Juli 2007]).
1.3 Bei der Vorinstanz muss es sich gemäss <ref-law> in aller Regel um eine richterliche Behörde handeln. Abs. 3 dieser Bestimmung öffnet den Kantonen die Möglichkeit, für Entscheide mit vorwiegend politischem Charakter anstelle eines Gerichts eine andere Behörde als unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts einzusetzen.
Das kantonale Gericht vertritt - entgegen der sich aus der Rechtsmittelbelehrung ableitbaren regierungsrätlichen Auffassung - die Ansicht, bei der Kostenauflage im angefochtenen Beschluss handle es sich um einen solchen Entscheid. Allein weil er durch den Regierungsrat gefällt wurde, ist er noch nicht politisch im Sinne von <ref-law>. Als Ausnahmebestimmung ist diese restriktiv anzuwenden. Ebenso wenig weist ein Entscheid schon deswegen vorwiegend politischen Charakter auf, weil der Verwaltung ein gewisses Ermessen bei der Entscheidfindung zusteht. Der Begriff des vorwiegend politischen Charakters ist namentlich durch die fehlende Justiziabilität sowie die spezifische Ausgestaltung der demokratischen Mitwirkungsrechte und die damit verbundenen Aspekte der Gewaltenteilung geprägt (BBl 1997 I 524; Alain Wurzburger, in Commentaire de la LTF, 2009, N. 25 zu Art. 86; Yves Donzallaz, Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, 2008, N. 3015; HANSJÖRG SEILER, in: Bundesgerichtsgesetz (BGG), 2007, N. 21 zu Art. 86; Esther Tophinke, in Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 18 ff. zu Art. 86). Beides ist vorliegend offenkundig nicht erfüllt. Den individualrechtlichen Interessen der Beschwerdeführerin an der Überprüfung der Kostenauflage stehen insgesamt keine auch nur annähernd gleichwertigen politischen Erwägungen gegenüber, die einen Ausschluss der gerichtlichen Überprüfung auf kantonaler Ebene rechtfertigen könnten, welcher letztlich dazu führen würde, dass der Sachverhalt nie von einem Gericht frei überprüft würde. Dem Bundesgericht steht diese Möglichkeit nicht offen (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
1.4 Zusammengefasst ist zwar der Streitgegenstand grundsätzlich einer Beschwerde ans Bundesgericht zugänglich. Dies gilt indessen erst nachdem darüber als unmittelbare Vorinstanz eine richterliche Behörde befunden hat. Hiefür kommt gestützt auf Art. 86 Abs. 2 und Art. 130 Abs. 3 BGG in Verbindung mit § 41 Abs. 1 VRG/ZH einzig das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich in Frage. Dessen Beschluss vom 13. Januar 2010 erweist sich somit als nichtig. Es wird über die bei ihm am 28. September 2009 erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu befinden haben.
1.5 Die Beschwerde ist offensichtlich begründet, weshalb sie im Verfahren nach <ref-law> mit summarischer Begründung erledigt wird.
1.6 Auf Grund der besonderen Umstände rechtfertigt es sich gestützt auf Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG, die Gerichtskosten dem kantonalen Gericht zu überbinden, welches der Beschwerdeführerin überdies für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung schuldet (Art. 68 Abs. 4 in Verbindung mit <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und die Sache an das kantonale Verwaltungsgericht überwiesen, damit es über die am 28. September 2009 erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen den Beschluss Nr. 1277 des Regierungsrats des Kantons Zürich vom 19. August 2009 entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Kanton Zürich auferlegt.
3. Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. August 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Grünvogel