Faits:
A. La société Y._ Inc. (ci-après: Y._), qui a son siège à New-York (Etats-Unis d'Amérique) et qui est active notamment dans le commerce de montres, est entrée en relation d'affaires avec X._ SA (ci-après: X._), une société dont le siège est à Genève et qui est active dans le commerce de l'horlogerie d'art, organisant notamment des ventes aux enchères sur les marchés de Genève, Hong Kong et New-York. Entre 2004 et 2007, Y._ a acheté des montres à X._ et lui en a confié d'autres pour qu'elle les vende aux enchères. Les parties avaient établi un compte courant où était comptabilisé l'ensemble de leurs opérations.
Au début des relations entre les parties, Y._ était représentée par son administrateur unique, A._, tandis que X._ était représentée par son administrateur-président avec signature individuelle, B._, et par un autre administrateur avec signature collective à deux, C._. Des difficultés étant apparues pour déterminer le solde dû sur le compte courant, C._, déclarant agir avec l'accord de B._, a proposé à A._ d'être dorénavant l'unique interlocuteur de Y._, aux fins de simplifier ses rapports avec X._. Cette proposition n'a été refusée ni par Y._, ni par X._ et cette nouvelle organisation a fonctionné depuis fin 2006 jusqu'en automne 2007.
Lors d'une réunion tenue le 15 juin 2007 à New-York, les parties, représentées respectivement par A._ et C._, se sont mises d'accord sur un solde de 65'238 USD dû par X._ à Y._.
Il a été retenu que ce solde n'a pas été immédiatement payé, parce que les parties voulaient préalablement régler aussi le problème de trois montres que Y._ réclamait à X._. S'agissant de ces trois montres, seul le sort de l'une d'entre elles reste litigieux. Il a été retenu que A._, agissant pour Y._, avait remis à B._ deux montres le 12 juillet 2005. L'une d'entre elles, une "... " était seulement prêtée et ne devait pas être vendue. Cependant, cette montre a été vendue par erreur par X._ à un tiers au prix de 104'000 fr. Il a été établi qu'une montre similaire a été vendue aux enchères à Milan, en novembre 2007, pour le prix d'environ 210'000 fr.
X._ est entrée en conflit, sur le plan pénal et civil, avec ses deux administrateurs B._ et C._ pour des motifs étrangers à la présente cause, le premier nommé ayant été licencié le 2 août 2007 et le second entre octobre et novembre 2007.
B. Par demande déposée le 24 février 2009 auprès du Tribunal de première instance de Genève, Y._ a conclu principalement à ce que X._ soit condamnée à lui payer la somme de 65'238,44 USD avec intérêts à 5% dès le 15 juin 2007, à lui restituer deux montres (dont la " ...", ainsi que trois certificats relatifs à des montres. En cours d'instance, X._ a formé une demande reconventionnelle et conclu au paiement en sa faveur d'une somme de 17'813 fr.30 avec intérêts à 1,5% par mois dès le 3 juillet 2007 et d'une somme de 20'470 fr.
Par jugement rendu le 7 septembre 2011, le Tribunal de première instance a condamné X._ à payer à Y._:
- 62'596,33 USD avec intérêts à 5% dès le 12 décembre 2007;
- 10'000 USD avec intérêts à 5% dès le 12 décembre 2007;
- 150'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 12 décembre 2007.
Il a condamné également la défenderesse à restituer un certificat de montre.
Quant à la demande reconventionnelle, le tribunal l'a rejetée.
X._ a appelé de ce jugement, concluant au rejet de la demande principale et, sur demande reconventionnelle, à la condamnation de sa partie adverse à lui payer la somme de 17'813 fr.30 avec intérêts.
Statuant par arrêt du 8 juin 2012, la Chambre civile de la Cour de justice genevoise a rejeté l'appel et confirmé le jugement entrepris.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits ainsi qu'une violation du droit fédéral en relation avec le pouvoir de représentation et la solidarité, elle conclut, principalement, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à la condamnation de sa partie adverse à lui payer la somme de 17'813 fr.30 avec intérêts à 1,5% par mois dès le 3 juillet 2007. Elle prend par ailleurs diverses conclusions subsidiaires. Sa requête d'effet suspensif a été accordée par ordonnance présidentielle du 27 septembre 2012.
L'intimée propose le rejet du recours.
Les parties ont répliqué et dupliqué.

Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie qui a succombé à la fois dans ses conclusions libératoires (sur la demande principale) et sur ses conclusions en paiement (sur la demande reconventionnelle) et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut donc être formé pour violation d'un droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique d'office le droit dont il peut contrôler le respect (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été articulés ou, à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 336; <ref-ruling> consid. 4 p. 317 s.). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 584; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 389). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 187). Si la partie recourante entend se plaindre d'arbitraire dans l'appréciation des preuves, elle doit motiver ce grief d'une manière répondant aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, dans la mesure où la recourante, en présentant son propre état de fait, voudrait modifier les constatations cantonales, il n'y a pas lieu d'en tenir compte tant qu'elle ne formule pas un grief d'arbitraire motivé de manière précise.
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. 2.1 Le litige soumis au Tribunal fédéral ne comporte plus que deux volets, à savoir le solde du compte courant et les dommages-intérêts pour la montre vendue indûment. Il n'y a pas lieu de revenir sur les questions qui ne sont plus discutées.
2.2 S'agissant de la relation de compte courant, il faut constater que la cause présente un caractère international en raison du siège à l'étranger de l'intimée. Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral doit contrôler d'office la question du droit applicable, laquelle se résout selon la loi du for, soit en l'occurrence la loi fédérale sur le droit international privé du 18 décembre 1987 (LDIP; <ref-ruling> consid. 2.1). La qualification du rapport juridique litigieux doit être effectuée selon le droit interne du for (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 144).
Il résulte des constatations cantonales - qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - que les parties ont conclu, au sens du droit interne suisse, un contrat de compte courant (sur cette figure juridique: cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 83). Aucune élection de droit n'ayant été constatée (cf. art. 116 al. 1 LDIP), il faut donc déterminer quel est le droit avec lequel la cause présente les liens les plus étroits (art. 117 al. 1 LDIP). En matière bancaire, il a été jugé que le contrat de compte courant était régi par le droit du siège de la banque, parce que celle-ci gère professionnellement le compte (<ref-ruling> consid. 5b p. 208 s.; BERNARD DUTOIT, Droit international privé suisse, 4e éd. 2005, n° 18 ad art. 117 LDIP). Cette jurisprudence n'est pas transposable en l'espèce, puisque les deux parties tenaient chacune leur compte. Il faut plutôt rechercher quel est le centre de gravité des relations d'affaires qui donnaient lieu à des opérations portées en compte courant. Il a été constaté en fait (art. 105 al. 1 LTF) que la recourante vendait des montres à l'intimée et effectuait pour elle des ventes aux enchères. Les relations entre les parties relevaient donc de la vente et du contrat de commission (qui est une forme de mandat: art. 425 al. 2 CO), de sorte que la prestation caractéristique, dans les deux cas, était fournie par la recourante, qui a son siège en Suisse (art. 117 al. 2 et 3 let. a et c, 118 LDIP). En conséquence, il faut appliquer le droit suisse.
2.3 Dans un contrat de compte courant, les parties sont convenues que les prétentions et contre-prétentions entrant dans le compte s'éteignent par compensation, sans qu'une déclaration particulière ne soit nécessaire, et qu'une nouvelle créance prend naissance à concurrence du solde (<ref-ruling> consid. 2b p. 150; <ref-ruling> consid. 3 p. 83). Il y a novation lorsque le solde du compte a été arrêté et reconnu par les parties (art. 117 al. 2 CO). La novation suppose cependant une cause valable; la reconnaissance du solde vaut certes renonciation à invoquer les exceptions et objections connues, mais elle n'exclut pas que la reconnaissance puisse être affectée d'un vice du consentement (<ref-ruling> consid. 2b p. 150; <ref-ruling> consid. 3a p. 196).
En l'espèce, la recourante ne prétend pas que ce solde serait affecté d'un vice du consentement. Elle tente néanmoins de soutenir qu'il serait faux, en invoquant la distinction entre deux sociétés, mais elle ne parvient pas à apporter la preuve de son affirmation (cf. ATF <ref-ruling> ibidem), étant observé qu'il s'agit d'une question de fait qui ne peut pas être revue librement par le Tribunal fédéral (art. 105 LTF).
2.4 Pour échapper aux conséquences de la novation, la recourante soutient cependant que le solde n'a pas été reconnu par un représentant autorisé.
Le pouvoir de représenter la recourante relève du droit suisse, puisqu'elle s'est constituée selon ce droit (art. 154 al. 1 et 155 let. i LDIP).
En principe, une société anonyme peut être représentée par chaque membre du conseil d'administration (art. 718 al. 1 CO). Le pouvoir de représentation des administrateurs peut cependant être restreint, notamment en exigeant une signature collective, ce qui requiert l'inscription au registre du commerce (cf. art. 718a al. 2 CO; <ref-ruling> consid. 3 et 4).
Il est exact en l'espèce que le solde a été reconnu par un administrateur qui n'avait que la signature collective à deux.
2.5 Le problème n'est toutefois pas là. En effet, le système de représentation mis en place par l'organisation sociale n'exclut nullement qu'une société anonyme puisse se faire représenter, selon les règles des art. 32 ss CO, par un administrateur, un actionnaire ou même un tiers, par exemple un avocat (arrêt 4A_36/2011 du 15 mars 2011 consid. 2.2.2 et la doctrine citée).
Or, c'est précisément ce que la cour cantonale a retenu en l'espèce.
Il n'y a aucune raison de penser que ce pouvoir de représentation ne relèverait pas du droit suisse (cf. art. 126 al. 2 et 3 LDIP).
Dès lors qu'il y avait un litige entre les parties sur le solde du compte courant, il est évident que l'administrateur n'a pas reconnu le montant en cause en son nom personnel, mais bien en agissant en tant que représentant de la société, ce qui n'est d'ailleurs pas vraiment contesté. Il a donc agi en se faisant connaître comme représentant (art. 32 al. 1 CO). La question est de savoir s'il avait les pouvoirs de le faire (art. 33 al. 2 CO). Cette question est étroitement liée à l'appréciation des preuves et l'établissement des faits.
Des difficultés étant apparues, l'administrateur a clairement proposé d'agir désormais en tant que seul représentant de la recourante. Cette proposition claire n'a suscité aucune réaction négative ni de la part de la recourante, ni de la part de l'intimée. De fait, il a été constaté - sans que l'arbitraire ne soit démontré sur ce point - que l'administrateur en question a désormais agi seul au su des deux parties et sans aucune protestation. Il a d'ailleurs affirmé qu'il avait l'accord de l'autre administrateur, lequel avait la signature individuelle et pouvait lui conférer le pouvoir de représenter la société. Cet autre administrateur n'a nullement contesté ce point dans la procédure. Au vu de ces éléments, la cour cantonale a retenu que la recourante avait la volonté d'accorder à cet administrateur le pouvoir de représenter seul la société dans ses rapports avec l'intimée. Cette appréciation des preuves est peut-être discutable, mais elle ne peut en aucun cas être qualifiée d'arbitraire (sur la notion d'arbitraire dans l'appréciation des preuves: cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9). Le Tribunal fédéral est donc lié par cette constatation de fait (art. 105 al. 1 LTF). Il faut en déduire que la société, par son administrateur à signature individuelle, avait valablement, en raison de la volonté de celui-ci, accordé un pouvoir de représentation individuelle à celui qui a reconnu le solde du compte courant.
2.6 Procédant à une appréciation des preuves apportées, la cour cantonale est parvenue à la conclusion que le représentant de la recourante avait reconnu le solde de 65'238 USD (ramené ensuite à 62'596 USD par un ajustement effectué par la créancière). La recourante ne présente pas une motivation répondant aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF pour démontrer que la reconnaissance du solde (entraînant novation) a été constatée de manière insoutenable. Il résulte aussi des constatations cantonales - sans que l'arbitraire ne soit clairement invoqué sur ce point - qu'il s'agissait d'arrêter le solde dû entre les parties, et non pas le solde dû par une société tierce, fût-elle apparentée à la recourante. La recourante ayant reconnu le solde par l'entremise de son représentant autorisé, elle en est elle-même débitrice selon les règles qui régissent le contrat de compte courant (art. 117 al. 2 CO). Peu importe donc de savoir si certaines opérations portées sur le compte concernaient une société apparentée à la recourante; les développements sur la solidarité présentés à ce sujet par la recourante sont sans pertinence.
Ainsi, la cour cantonale a retenu, sans violer le droit fédéral, que la recourante était débitrice du solde arrêté et reconnu du compte courant.
2.7 Il reste à examiner l'autre point demeuré litigieux devant le Tribunal fédéral, qui concerne la montre "...".
Procédant à une appréciation des preuves, la cour cantonale a retenu que la recourante (et non pas une autre personne ou une autre société) avait vendu cette montre aux enchères. L'argumentation présentée dans l'acte de recours ne démontre en aucune façon - contrairement aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF - que ce point de fait aurait été constaté arbitrairement. Il est peut-être discutable d'avoir admis l'existence de cette vente sans aucune pièce et sur la base du témoignage de l'ancien administrateur-président de la recourante, mais cela ne peut pas être qualifié d'arbitraire. La cour cantonale a également retenu que la recourante n'avait pas l'autorisation de vendre cette montre, laquelle appartenait à l'intimée. Sur ces éléments factuels, la recourante n'invoque même pas clairement l'arbitraire. Il faut donc raisonner sur cette base (art. 105 al. 1 LTF). Il découle des constatations cantonales que la recourante a vendu par négligence une chose appartenant à autrui. Le droit de propriété étant de nature absolu, on se trouve en présence d'un acte illicite (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 330; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 130).
Le lieu de la vente n'a pas été constaté. Les parties se sont cependant constamment référées à des notions du droit suisse et à la jurisprudence fédérale, de sorte que l'on peut admettre qu'elles ont voulu que ce point soit également tranché en application du droit suisse, ce que l'art. 132 LDIP autorise.
Il apparaît d'emblée que toutes les conditions de l'art. 41 CO sont réalisées (cf. <ref-ruling> consid. 5.2 p. 544).
Le seul point qui reste litigieux est la fixation du dommage. Comme la montre ne peut pas être récupérée, la recourante doit en payer, à titre de dommages-intérêts, la contre-valeur (sur la notion juridique du dommage: cf. <ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 471).
Fixer le montant du dommage est une question de fait, que le Tribunal fédéral ne peut revoir que sous l'angle restreint de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 576; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 23).
La cour cantonale a constaté - sans que l'arbitraire ne soit invoqué à ce propos - qu'une montre semblable a été vendue en Italie à la même époque pour le prix d'environ 210'000 fr. Sur cette base, la cour cantonale a fixé le montant du dommage à 150'000 fr., cette somme devant être comprise nette de commission et de TVA (cf. consid. 3.1 de l'arrêt attaqué). On ne voit pas en quoi la fixation du dommage pourrait en l'espèce être considérée comme arbitraire (sur la définition de l'arbitraire: cf. <ref-ruling> consid. 7.1 p. 51; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379 s.; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 22).
L'arrêt attaqué ne viole ainsi pas le droit fédéral, de sorte que le recours doit être rejeté.
3. Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimée une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 7 janvier 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet