Sachverhalt:
A. Im April 2003 lud die Einwohnergemeinde Sigriswil drei Unternehmungen zur Einreichung von Offerten für Kücheneinrichtungen im kommunalen Alters- und Pflegeheim "Schärmtanne" ein. Von den drei eingereichten Angeboten erwies sich dasjenige von X._ mit Fr. 16'389.55 als das günstigste.
Nachdem die Hoch- und Tiefbaukommission der Gemeinde zunächst beschlossen hatte (vgl. Protokollauszug vom 6. Mai 2003), den Auftrag an X._ zu vergeben, erfuhr sie, dass dieser Steuerausstände hatte. Am 26. August 2003 schloss sie X._ daher von der Vergabe aus und entschied, die Arbeiten an eine Konkurrentin, die A._AG, zu vergeben. Dies eröffnete sie X._ mit Verfügung vom 22. Oktober 2003.
B. Auf eine gegen diese Verfügung gerichtete Beschwerde trat der Regierungsstatthalter von Thun mit Entscheid vom 18. Februar 2004 nicht ein, da gemäss Art. 13 Abs. 3 des kantonalen Gesetzes vom 11. Juni 2002 über das öffentliche Beschaffungswesen (ÖBG) Auftragsvergaben unterhalb der Schwellenwerte des Einladungsverfahrens oder tieferer kommunaler Schwellenwerte (hier Fr. 50'000.--, vgl. Art. 5 Abs. 1 des Beschaffungsreglements vom 4. Dezember 2000 der Einwohnergemeinde Sigriswil) nicht anfechtbar seien.
Hiergegen gelangte X._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern und verlangte, auf seine Beschwerde sei einzutreten. Er machte geltend, der Regierungsstatthalter habe übersehen, dass die kantonale Submissionsgesetzgebung gemäss Art. 9 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1995 über den Binnenmarkt (Binnenmarktgesetz, BGBM; SR 943.02) wenigstens ein Rechtsmittel an eine verwaltungsunabhängige kantonale Beschwerdeinstanz vorsehen müsse.
Mit Urteil vom 7. Juni 2004 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Beschwerde ab.
C. Mit Eingabe vom 31. Juli 2004 führt X._ staatsrechtliche Beschwerde. Er ersucht das Bundesgericht, "festzustellen, inwiefern die angefochtene Verfügung Bundesrecht verletzt". Eventuell sei das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 7. Juni 2004 aufzuheben bzw. das Verwaltungsgericht oder der Regierungsstatthalter anzuweisen, auf die Beschwerde vom 3. November 2003 an das Regierungsstatthalteramt Thun einzutreten.
Die Beschwerdegegnerin und der Regierungsstatthalter von Thun haben auf Vernehmlassung verzichtet. Die Einwohnergemeinde Sigriswil beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid, mit dem die gegen den Nichteintretensentscheid des Regierungsstatthalters erhobene Beschwerde abgewiesen wird. Das angefochtene Urteil stützt sich auf kantonales Recht, weshalb als Rechtsmittel auf Bundesebene nur die staatsrechtliche Beschwerde in Betracht kommt (Art. 84 Abs. 2, Art. 86 und Art. 87 OG). Der Beschwerdeführer rügt, die Verweigerung des Rechtsschutzes für Auftragsvergebungen unterhalb der kantonalrechtlich vorgesehenen Schwellenwerte beruhe auf einer gegen Art. 9 des Binnenmarktgesetzes verstossenden Ausgestaltung des kantonalen Verfahrensrechts. Zu dieser Rüge, mit der sinngemäss eine Verletzung der derogatorischen Kraft des Bundesrechts (<ref-law>) geltend gemacht wird, ist er als durch die Verweigerung des Rechtsschutzes in der Sache belastete Prozesspartei legitimiert (Art. 88 OG). Die übrigen Verfassungsrügen (Art. 5, 9, 29 und 36 BV) vermögen nicht zu greifen oder haben neben dem erwähnten Vorwurf keine selbständige Bedeutung.
1.2 Die staatsrechtliche Beschwerde ist, von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen, rein kassatorischer Natur (<ref-ruling> E. 1.5 S. 176 mit Hinweis). Zulässig ist daher einzig der (Eventual-)Antrag auf Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils. Falls sich ergeben sollte, dass aufgrund von <ref-law> der Beschwerdeweg gegen die streitige Vergebung eröffnet werden müsste, hätte das Verwaltungsgericht die Beschwerde gegen den Nichteintretensentscheid des Regierungsstatthalters gutzuheissen, und es wäre alsdann zunächst Sache der kantonalen Rechtspflegeinstanzen, über die Rechtmässigkeit der streitigen Vergebung zu befinden. Auf das vor Bundesgericht als Hauptantrag gestellte Begehren um Feststellung der Rechtswidrigkeit der "angefochtenen Verfügung" ist nicht einzutreten, ebenso wenig auf das Eventualbegehren um eine Anweisung an den Regierungsstatthalter, auf die bei ihm erhobene Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Art. 9 des eidgenössischen Binnenmarktgesetzes hat - soweit hier interessierend - folgenden Wortlaut:
"1 Beschränkungen des freien Zugangs zum Markt, insbesondere im Bereich des öffentlichen Beschaffungswesens, sind in Form einer anfechtbaren Verfügung zu erlassen.
2 Das kantonale Recht sieht wenigstens ein Rechtsmittel an eine verwaltungsunabhängige kantonale Beschwerdeinstanz vor. Diese entscheidet endgültig; vorbehalten bleibt die staatsrechtliche Beschwerde an das Bundesgericht.
3 Erweist sich ein kantonales Rechtsmittel oder eine staatsrechtliche Beschwerde im Bereich des öffentlichen Beschaffungswesens als begründet und ist mit der Anbieterin oder dem Anbieter bereits ein Vertrag abgeschlossen worden, so stellt die kantonale Rekursinstanz oder das Bundesgericht lediglich fest, inwiefern die angefochtene Verfügung Bundesrecht verletzt.
4 (...)."
2.2 Die Regelung von <ref-law> hat zwar vor allem den Rechtsschutz im öffentlichen Beschaffungswesen vor Augen; sie bezieht sich in den ersten beiden Absätzen aber auf alle Arten von Beschränkungen des freien Zugangs zum Markt, d.h. auch auf die in Art. 2 - 4 BGBM erfassten weiteren Bereiche, für welche sich die Frage der Gewährung des Rechtsschutzes nach Massgabe eines quantitativen Kriteriums - anders als im öffentlichen Beschaffungswesen - gar nicht stellt. <ref-law> überlässt die nähere Ausgestaltung des verlangten Rechtsschutzes, von der Sonderregelung in Abs. 3 abgesehen, dem kantonalen Gesetzgeber, der dabei einen entsprechenden Spielraum für sich in Anspruch nehmen darf.
2.3 Der in <ref-law> verwendete Begriff der Beschränkung des freien Marktzuganges führt, wie vom Verwaltungsgericht zutreffend dargelegt, für die hier zu beurteilende Streitfrage zu keinen klaren Schlüssen. Die im angefochtenen Urteil zitierte Doktrin geht - aufgrund der Ausführungen in der Botschaft zum BGBM (vgl. BBl 1995 I 1213 ff.), wonach bei der in Frage stehenden Rechtsschutzregelung auf eine "Bagatellklausel" bewusst verzichtet worden sei - davon aus, die Formulierung von <ref-law> lasse im Bereich der öffentlichen Beschaffungen für eine Abhängigkeit des Rechtsschutzes von Schwellenwerten keinen Raum und verlange eine innerkantonale Beschwerdemöglichkeit gegenüber sämtlichen Vergabeentscheiden, die dementsprechend in Form einer anfechtbaren Verfügung zu ergehen hätten (vgl. etwa Evelyne Clerc, in: Tercier/Bovet [Hrsg.], Commentaire Romand, Droit de la Concurrence, 2002, N. 38 zu <ref-law>, Attilio Gadola, Rechtsschutz und andere Formen der Überwachung der Vorschriften über das öffentliche Beschaffungswesen, in: AJP 1996 S. 967 ff., 976, Galli/Lehmann/Rechsteiner, Das öffentliche Beschaffungswesen in der Schweiz, 1996, S. 170). Nach Thomas Cottier/Benoît Merkt (in: Die neue schweizerische Wettbewerbsordnung im internationalen Umfeld, Berner Tage für die juristische Praxis 1996, S. 76/77) soll bei formlos (bzw. freihändig) erfolgten Vergebungen der nicht berücksichtigte Anbieter aufgrund von <ref-law> zumindest ex post eine Feststellungsverfügung verlangen können, um den Rechtsweg zur Überprüfung einer behaupteten unrechtmässigen behördlichen Praxis im Bereich der freihändigen Beschaffungen zu eröffnen. Das bernische Submissionsgesetz bestimmt demgegenüber Schwellenwerte, ab denen die kantonalen oder kommunalen Behörden für die Vergebung von Aufträgen ein offenes/selektives oder ein Einladungsverfahren durchführen müssen, wobei die Gemeinden für ihre Beschaffungen tiefere Schwellenwerte festlegen dürfen (Art. 3 - 5 ÖBG). Bei Nichterreichung des Schwellenwertes "kann" der Auftrag im "freihändigen Verfahren" vergeben werden (Art. 6 ÖBG). In diesem Fall besteht gegen den "Zuschlag" keine Beschwerdemöglichkeit (Art. 11 Abs. 2 lit. b ÖBG). Art. 12 Abs. 3 (Marginale: "Rechtsmittel bei kantonalen Aufträgen") und Art. 13 Abs. 3 ÖBG (Marginale: "Rechtsmittel bei kommunalen Aufträgen") sehen überdies ausdrücklich vor, dass "Auftragsvergaben unterhalb der Schwellenwerte des Einladungsverfahrens" bzw. "Auftragsvergaben unterhalb der Schwellenwerte des Einladungsverfahrens oder tieferer kommunaler Schwellenwerte" nicht anfechtbar sind.
2.4 Für die Zulässigkeit der vom bernischen Gesetzgeber gewählten Regelung lassen sich, wie im angefochtenen Urteil dargelegt, eine Reihe gewichtiger Gründe anführen. Von Bedeutung ist zunächst, dass der Bundesgesetzgeber für die öffentlichen Beschaffungen des Bundes selber eine analoge Beschränkung des Rechtsschutzes vorgesehen hat: Das Bundesgesetz vom 16. Dezember 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen (BoeB, SR 172.056.1) ist gemäss seinem Artikel 6 nur anwendbar, wenn der geschätzte Wert des zu vergebenden öffentlichen Auftrages bestimmte Schwellenwerte (vgl. Art. 6 Abs. 1 lit. a - d BoeB) erreicht. Liegt der Auftragswert darunter, sind auch die Verfahrens- und Rechtsschutzbestimmungen des Gesetzes (Art. 26 ff. BoeB) nicht anwendbar. Dass und wieso der Bund den Kantonen einen weiter gehenden Rechtsschutz vorschreiben wollte, liegt nicht ohne weiteres auf der Hand; es ist nicht ersichtlich, weshalb die Kantone bundesrechtlich verpflichtet sein sollten, auch für Bagatellvergaben Rechtsmittelverfahren vorzusehen, wenn der Bund selber für solche Fälle keinen Rechtsschutz kennt.
Sodann hat die Gewährung einer Anfechtungsmöglichkeit grundsätzlich nur dort einen Sinn, wo das einschlägige Submissionsrecht im Hinblick auf die Bedeutung des Auftrages ein formalisiertes Vergabeverfahren, welches auf die Einholung und Evaluierung von Offerten nach Massgabe bestimmter Vorgaben ausgerichtet ist, überhaupt vorsieht. Die freihändige Vergebung ist kein derartiges Verfahren (Peter Gauch, Das neue Beschaffungsgesetz des Bundes - Bundesgesetz über das öffentliche Beschaffungswesen vom 16. Dezember 1994, in: ZSR 114/1995 I S. 313 ff. , 314). Dass zwischen dem Verfahrensaufwand und der Bedeutung des zu vergebenden Auftrages ein vernünftiges Verhältnis bestehen soll, kommt auch in <ref-law> zum Ausdruck, wonach nur Vorhaben für "umfangreiche" öffentliche Einkäufe, Dienstleistungen und Bauten unter Angabe der Kriterien für Teilnahme und Zuschlag amtlich zu publizieren sind.
Es steht sodann ausser Frage, dass der kantonale Gesetzgeber die Ausgestaltung des Submissionsverfahrens bzw. den damit für die Behörde verbundenen Evaluationsaufwand u.a. von der Bedeutung der Vergebung, d.h. von zu erreichenden Schwellenwerten, abhängig machen darf; <ref-law> schliesst derartige Differenzierungen nicht aus. Ebenso ist klar, dass nicht für jede kleine und kleinste Vergebung der öffentlichen Hand ein förmliches Verfahren durchgeführt und entsprechende Anordnungen unabhängig vom Wert des Auftrages immer in die Form einer anfechtbaren Verfügung gekleidet werden müssen; dies widerspräche der Realität (vgl. Thomas Cottier/Benoît Merkt, a.a.O., S. 76 und die dort zitierten Beispiele [Kauf von Büromaterial für die Verwaltung bzw. von Büchern für die Universitätsbibliothek]).
2.5 Soweit der kantonale Gesetzgeber im Einklang mit dem übergeordneten Recht (GATT/WTO-Übereinkommen vom 15. April 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen [SR 0.632.231.422], BGBM [insbesondere Art. 5], BoeB, Interkantonale Vereinbarung vom 25. November 1994/15. März 2001 über das öffentliche Beschaffungswesen [IVöB; AS 2003 S. 196]) unterhalb der von ihm bestimmten Schwellenwerte die freihändige Vergebung vorsehen darf, impliziert dies zugleich, dass grundsätzlich auch kein förmlicher Vergebungsentscheid zu ergehen hat, der Anfechtungsobjekt eines Rechtsmittelverfahrens bilden könnte. Eine (ordentliche) Beschwerdemöglichkeit für Dritte gegen im freihändigen Verfahren erfolgte Vergebungen würde voraussetzen, dass der "Zuschlag" publiziert und der Kreis der zur Anfechtung Legitimierten bestimmt wird, und es müssten taugliche materielle Kriterien vorliegen, anhand derer die Rechtmässigkeit der Vergebung zu beurteilen wäre. Bei einer freihändigen Vergebung wäre nicht nur der Kreis der Beschwerdeberechtigten völlig offen oder jedenfalls schwer abzugrenzen, sondern es würde - anders als bei formellen Submissionsverfahren mit verbindlicher Umschreibung des Auftrages und der Zuschlagskriterien - weitgehend auch an einem ausreichend bestimmten Massstab für die Beurteilung der Vergebung fehlen. Die Beschwerdemöglichkeit würde in den meisten Fällen darauf hinauslaufen, dass nachträglich weitere, allenfalls günstigere Offerten für den betreffenden Auftrag eingereicht werden, um die Richtigkeit oder Zweckmässigkeit der bereits erfolgten Vergebung in Frage zu stellen.
Müsste vor dem Vollzug der freihändig erfolgten Vergebung das allfällige Ergebnis eines solchen Rechtsmittelverfahrens abgewartet werden, widerspräche dies dem Sinn und Zweck der freihändigen Vergebung, welche bei niedrigen Beträgen regelmässig auf eine formlose und rasche Abwicklung der betreffenden Beschaffung ausgerichtet ist; das Rechtsmittel würde im Ergebnis zu einem nachträglichen Submissionsverfahren. Könnte die Anfechtung des freihändig erfolgten Zuschlages die Gültigkeit der Vergebung dagegen zum Vornherein nicht mehr beeinflussen, hätte ein solches Rechtsmittelverfahren wenig Sinn; der damit verbundene Aufwand könnte, da der Vergebung kein Ausschreibungsverfahren vorangegangen ist, auch nicht mit dem Interesse an der Geltendmachung von Schadenersatz für die Kosten der Offerte gerechtfertigt werden.
2.6 Gewisse submissionsrechtliche Anordnungen sind gemäss dem bernischen Gesetz unabhängig von der Erreichung der Schwellenwerte anfechtbar, nämlich der Ausschluss eines Unternehmers von künftigen Vergabeverfahren sowie die Aufnahme bzw. Streichung eines Anbieters aus einer ständigen Liste, ferner der (unter gewissen Voraussetzungen publikationspflichtige) Entscheid über die Durchführung des freihändigen Verfahrens gemäss Art. XV des GATT/WTO-Abkommens (Art. 11 Abs. 1 lit. a - c in Verbindung mit Art. 6 Abs. 1 lit. a ÖBG). Darüber hinaus dürfte ein Anspruch auf Eröffnung einer Beschwerdemöglichkeit unmittelbar aufgrund von <ref-law> bei freihändig durchgeführter Vergebung wohl bestehen, soweit ein interessierter Unternehmer geltend machen will, dass die betreffende Vergebung nach den einschlägigen Normen nicht freihändig, sondern nur aufgrund eines Submissionsverfahrens hätte erfolgen dürfen (vgl. auch Cottier/Merkt, a.a.O., S. 76/77).
Unmittelbar gestützt auf <ref-law> bzw. selbst ohne Grundlage im kantonalen Verfahrensrecht könnte die Anerkennung eines Anspruchs auf eine Beschwerdemöglichkeit allenfalls auch dann in Erwägung gezogen werden, wenn die Auswahl des Vertragspartners bei einer (zulässigerweise) freihändig erfolgten Vergebung offensichtlich auf gegen das Binnenmarktgesetz verstossenden Vorschriften oder Weisungen beruht, welche auf den Ausschluss ortsfremder Anbieter ausgerichtet sind, oder wenn sich der Vergebungsentscheid erklärtermassen auf eine dahingehende behördliche Praxis stützt. Die Frage braucht hier jedoch nicht abschliessend geprüft zu werden, da die Voraussetzungen für eine allfällige Abweichung von der kantonalgesetzlichen Rechtsmittelordnung zum Vornherein nicht als gegeben erscheinen (vgl. sogleich E. 2.7).
2.7 Dass die Gemeinde Sigriswil nach den einschlägigen kantonalen Vorschriften zur freihändigen Vergebung befugt war, wird auch vom Beschwerdeführer nicht in Frage gestellt. Er macht sodann nicht geltend, dass die streitige Vergebung auf gegen die Grundsätze des Binnenmarktgesetzes verstossenden Normen bzw. Weisungen oder einer entsprechenden behördlichen Praxis beruhe, die sich für ihn als rechtswidrige Schranke für den Marktzugang auswirkt. Die Art und Weise, wie die Gemeinde bei der vorliegenden Auftragsvergebung vorgegangen ist, mag zwar gewisse Fragen aufwerfen, doch kann nicht im erwähnten Sinne von einem Verstoss gegen die Grundsätze des Binnenmarktgesetzes gesprochen werden. Die Gemeinde durfte bei der freihändigen Vergebung ihren Entscheid zulässigerweise u.a. auch davon abhängig machen, ob der ins Auge gefasste Anbieter seinen Steuerpflichten gegenüber dem Gemeinwesen nachgekommen ist (vgl. dazu Herbert Lang, Offertenbehandlung und Zuschlag im öffentlichen Beschaffungswesen, in ZBl 101/2000 S. 234). Sie durfte daher, nachdem sie von den Steuerausständen des Beschwerdeführers erfahren hatte, auf ihren ursprünglichen, nicht formell eröffneten Beschluss vom 6. Mai 2003 zurückkommen und den Auftrag anderweitig vergeben, obwohl die betreffende Steuerschuld inzwischen bezahlt worden war. Das Bedürfnis des Beschwerdeführers zu kontrollieren, ob der berücksichtigte Anbieter keine Steuerrückstände (gehabt) habe, reicht nicht aus, um die Durchführung eines Rechtsmittelverfahrens verlangen zu können. Dass die Gemeinde im Rahmen der freihändigen Vergebung mehrere Offerten eingeholt und diese miteinander verglichen hat, kann ebenfalls nicht zur Folge haben, dass deswegen eine Anfechtungsmöglichkeit der Offerenten gegen den Zuschlag eröffnet werden müsste; es wäre sachwidrig, ein solches Vorgehen, das auch bei einer freihändigen Vergebung zweckmässig sein kann, durch das Risiko von Rechtsmittelverfahren zu erschweren.
Wenn das Verwaltungsgericht vorliegend entsprechend der kantonalgesetzlichen Ordnung die Zulässigkeit einer Beschwerde gegen die freihändige Vergebung verneinte und den Nichteintretensentscheid des Regierungsstatthalters schützte, verstiess es damit weder gegen <ref-law> bzw. den Grundsatz der derogatorischen Kraft des Bundesrechts (<ref-law>) noch gegen das Willkürverbot (<ref-law>) oder andere Verfassungsgarantien.
3. Dies führt zur Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG).
Der Beschwerdegegnerin ist im vorliegenden Verfahren kein Aufwand entstanden. Sie hat keinen Anspruch auf Parteikostenersatz, ebenso wenig wie die nicht anwaltlich verbeiständete Gemeinde Sigriswil (vgl. Art. 159 Abs. 2 OG analog).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Sigriswil, dem Regierungsstatthalteramt von Thun und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern (Verwaltungsrechtliche Abteilung) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2005
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: