Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg führt gegen A._ ein Strafverfahren wegen des Verdachts auf sexuelle Handlungen mit einem Kind, wobei ein Verstoss gegen <ref-law> im Vordergrund steht. Am 28. April 2015 ersuchte A._ bei der Staatsanwaltschaft um die Bewilligung der amtlichen Verteidigung unter Einsetzung seines Rechtsanwalts als solchen. Mit Verfügung vom 22. Mai 2015 wies die Staatsanwaltschaft dieses Gesuch ab.
B.
Am 19. August 2015 wies das Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, eine dagegen erhobene Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 28. September 2015 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und ihm die amtliche Verteidigung per 28. April 2015 mit seinem Rechtsanwalt als amtlichen Verteidiger zu gewähren; in prozessualer Hinsicht ersucht er um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Die Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht des Kantons Aargau verzichteten je auf eine Stellungnahme.
D.
Am 19. Oktober 2015 reichte A._ eine ergänzende Eingabe mit Beilage ein. Weitere Rechtsschriften gingen beim Bundesgericht nicht mehr ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Entscheid des Obergerichts ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über die Gewährung der amtlichen Verteidigung in einem Strafverfahren. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen zulässig (Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 BGG). Es handelt sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 338; <ref-ruling> E. 1.1 S. 283 f.; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer ist als ursprünglicher Gesuchsteller und direkter Adressat des angefochtenen Entscheids zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Am 19. Oktober 2015 reichte der Beschwerdeführer eine ergänzende Eingabe mit neuem Beweismittel ein, wobei es sich um eine Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 14. Oktober 2015 handelt. Nach <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Die Einreichung von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben (sog. echte Noven), kann nicht durch den angefochtenen Entscheid veranlasst worden sein und ist unzulässig (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Das vom Beschwerdeführer am 19. Oktober 2015 nachgereichte Beweismittel ist daher aus dem Recht zu weisen. Die entsprechende Eingabe erweist sich überdies als verspätet, wurde sie doch nach Ablauf der Beschwerdefrist gemäss <ref-law> eingereicht.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, der angefochtene Entscheid verletze <ref-law> sowie Art. 6 Ziff. 3 EMRK. Sein Gesuch um Beigabe einer amtlichen Verteidigung hätte seiner Ansicht nach bewilligt werden müssen, da es sich nicht um einen Bagatellfall handle und die besonderen tatsächlichen und rechtlichen Schwierigkeiten des Falls die Beigabe eines Rechtsbeistands erforderten.
2.2. Liegt kein Fall notwendiger Verteidigung gemäss <ref-law> vor, ordnet die Verfahrensleitung eine amtliche Verteidigung an, wenn die beschuldigte Person nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und die Verteidigung zur Wahrung ihrer Interessen geboten ist (<ref-law>). Zur Wahrung der Interessen der beschuldigten Person ist die Verteidigung namentlich geboten, wenn es sich nicht um einen Bagatellfall handelt und (kumulativ) der Straffall in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, denen die beschuldigte Person allein nicht gewachsen wäre (<ref-law>). Wie sich aus dem Wortlaut dieser Bestimmung ("namentlich") ergibt, ist nicht ausgeschlossen, dass die Gewährung der amtlichen Verteidigung aus anderen als den genannten Gründen geboten sein kann. Nach <ref-law> liegt ein Bagatellfall jedenfalls dann nicht mehr vor, wenn eine Freiheitsstrafe von mehr als 4 Monaten, eine Geldstrafe von mehr als 120 Tagessätzen oder gemeinnützige Arbeit von mehr als 480 Stunden zu erwarten ist (vgl. die Urteile des Bundesgerichts 1B_66/2015 vom 12. August 2015 E. 2.1 und 1B_263/2013 vom 20. November 2014 E. 4.2, je mit Hinweisen).
2.3. Mit <ref-law> wurde die bisherige bundesgerichtliche Rechtsprechung zu <ref-law> und Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK kodifiziert (<ref-ruling> E. 4.3 S. 119). Demnach hat die bedürftige Partei Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, wenn ihre Interessen in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Falls das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition des Betroffenen eingreift, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten. Droht zwar eine erhebliche, nicht aber eine besonders schwere Freiheitsbeschränkung, müssen zur relativen Schwere des Eingriffs besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Betroffene - auf sich allein gestellt - nicht gewachsen wäre. Als besondere Schwierigkeiten, die eine Verbeiständung rechtfertigen können, fallen auch in der betroffenen Person liegende Gründe in Betracht, insbesondere deren Unfähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden (vgl. <ref-ruling> E. 2.5.2 S. 232 f.; <ref-ruling> E. 2c/bb S. 51 f., 275 E. 3a S. 276; je mit Hinweisen; Urteile 1B_257/2013 vom 28. Oktober 2013 E. 2.1; 1B_448/2012 vom 17. Oktober 2012 E. 2.3). Auch Sprachschwierigkeiten, mangelnde Vertrautheit mit dem schweizerischen Rechtssystem oder heikle Abgrenzungsfragen können tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten begründen, welche, insgesamt betrachtet, für die sachliche Notwendigkeit einer amtlichen Verteidigung sprechen (<ref-ruling> E. 6.3 f. S. 38 f.; Urteile 1B_66/2015 vom 12. August 2015 E. 2.2 und 1B_263/2013 vom 20. November 2013 E. 4.3; je mit Hinweisen).
2.4. Dem Beschwerdeführer wird vorgeworfen, seiner damals 13-jährigen Nichte bei deren Geburtstagsfest, als er allein mit ihr in der Küche war, ans Gesäss und an die Brüste sowie zwischen die Beine gegriffen zu haben.
2.4.1. Die Vorinstanz ist der Meinung, der strafrechtlich massgebliche Sachverhalt sei aus objektiver Sicht nicht kompliziert. Auch in beweisrechtlicher Hinsicht bestünden keine Schwierigkeiten, da es einzig um die Würdigung der verschiedenen Darstellungen der tatsächlichen Ereignisse durch den Beschwerdeführer und das mutmassliche Opfer gehe. Weitere Einvernahmen seien nicht durchgeführt worden und nicht zu erwarten. Der Aktenumfang sei überschaubar. Rechtlich würden sich ebenfalls keine Schwierigkeiten ergeben, und der Beschwerdeführer habe seinen Standpunkt bisher durchaus selbst und allein vertreten können, weshalb nicht ersichtlich sei, dass er auf eine fachkundige Vertretung angewiesen sei. Besondere sprachliche Einschränkungen bestünden nicht, zumal bei der Befragung des Beschwerdeführers ein Dolmetscher beigezogen worden sei. Nicht belegt seien sodann die behaupteten gesundheitlichen Beeinträchtigungen bzw. die angeblich damit verbundene Beschränkung der Fähigkeit, sich selbst zu verteidigen. Ob ein Bagatellfall vorliege, könne unter diesen Umständen offen bleiben.
2.4.2. Die gegenüber dem Beschwerdeführer erhobenen strafrechtlichen Beschuldigungen sind nicht banal. Vorgeworfen werden ihm sexuelle Handlungen mit einem Kind. Die entsprechende Strafdrohung von <ref-law> reicht bis zu fünf Jahren Freiheitsentzug. Aufgrund der dem Beschwerdeführer vorgehaltenen Handlungen ist nicht von vornherein davon auszugehen, dass eine möglicherweise auszusprechende Freiheitsstrafe die Dauer von vier Monaten nicht überschreiten wird. Damit handelt es sich in Anwendung von <ref-law> nicht um einen Bagatellfall. Sodann ist der Beschwerdeführer nicht geständig. Es liegt ein Vier-Augen-Delikt vor, in dem die Aussage des mutmasslichen Täters gegen diejenige des Opfers abzuwägen und zu würdigen ist, was tendenziell heikel erscheint. Dass das Opfer ein Kind und als seine Nichte mit dem Beschwerdeführer nahe verwandt ist, erleichtert die Abklärung und Würdigung der tatsächlichen Umstände nicht. Hinzu kommt, dass die Staatsanwaltschaft zunächst unzulässigerweise eine Einvernahme des Beschuldigten ohne Anwalt durchgeführt hat. Im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids war noch offen, ob diese Einvernahme überhaupt verwertbar war. Dabei handelt es sich nicht um eine einfache Rechtsfrage. Analoges gilt für die prozessuale Frage der amtlichen Verteidigung. Aber auch mit Blick auf die materiellrechtliche Beurteilung erscheint der vorliegende Fall nicht nur einfach, insbesondere hinsichtlich der strafrechtlichen Qualifikation der dem Beschwerdeführer vorgeworfenen Handlungen und der allfälligen Strafzumessung. Überdies attestiert die Vorinstanz dem Beschwerdeführer genügende Sprachkenntnisse; dennoch wurde für seine Befragung ein Dolmetscher beigezogen. Anscheinend besteht auch insofern eine gewisse Unsicherheit. Nicht belegt ist allerdings, dass der Beschwerdeführer aufgrund seiner psychischen Probleme, die offenbar zur Zusprechung einer Rente der Invalidenversicherung sowie von Ergänzungsleistungen geführt haben, in seinen Fähigkeiten, sich selbst zu verteidigen, eingeschränkt sein sollte. Trotzdem stellt die vorliegende Strafuntersuchung bei Würdigung sämtlicher Umstände tatsächliche und rechtliche Anforderungen, denen der Beschuldigte nicht gewachsen wäre, bliebe er auf sich alleine gestellt.
2.5. Obwohl die Vorinstanz die finanzielle Bedürftigkeit des Beschwerdeführers (im Sinne <ref-law>) im angefochtenen Entscheid nicht geprüft hat, wird diese von ihm im bundesgerichtlichen Verfahren nachvollziehbar dargetan und von den kantonalen Instanzen auch nicht bestritten. Damit verletzt die Ablehnung der amtlichen Verteidigung <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 3 EMRK.
3.
3.1. Die Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Das Bundesgericht entscheidet reformatorisch (<ref-law>) und setzt den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers (rückwirkend auf den Mandatsantritt) als amtlichen Verteidiger ein.
3.2. Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Aargau hat dem Beschwerdeführer für das kantonale Verfahren und für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen, die aus prozessökonomischen Gründen gesamthaft zu erheben ist (Art. 68 Abs. 2 und 5 BGG). Der betreffende Honoraranspruch wird dem amtlichen Verteidiger persönlich zugesprochen (vgl. <ref-law>). Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, vom 19. August 2015 wird aufgehoben. Advokat Oliver Borer wird für das Verfahren vor der Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg als amtlicher Verteidiger des Beschwerdeführers bestellt.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Aargau hat Advokat Oliver Borer für das kantonale Verfahren und das Verfahren vor Bundesgericht mit insgesamt Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. November 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax