(unentgeltliche Rechtspflege), hat sich ergeben:
A.- Am 3. April 1997 verfügte der Rektor der Universität St. Gallen, B._ habe die Diplomprüfung des juristischen Lehrganges endgültig nicht bestanden. Der von B._ bei der Rekurskommission der Universität erhobene Rekurs blieb ohne Erfolg. Am 8. Dezember 1997 wies der Universitätsrat einen gegen den Entscheid der Rekurskommission gerichteten Rekurs ab. In Ziffer 12 seiner Erwägungen hielt der Rat fest, dass der Entscheid endgültig sei, "d.h. mit keinem ordentlichen Rechtsmittel anfechtbar".
Am 3. Februar 1998 reichte B._ gegen diesen Entscheid staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht ein. In seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht machte der Universitätsrat unter anderem geltend, es liege kein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid vor, da noch das ausserordentliche Rechtsmittel der Rechtsverweigerungsbeschwerde an die Regierung hätte ergriffen werden können.
Die Stellungnahme des Universitätsrates ging am 3. April 1998 beim Rechtsvertreter von B._ ein, welcher sich am 6. April 1998 schriftlich an den Rechtsdienst des Erziehungsdepartements des Kantons St. Gallen wandte und eine Erklärung für die vom Universitätsrat vertretene Argumentation verlangte.
B.- Am 22. April 1998 liess B._ durch seinen Rechtsvertreter ein Wiederherstellungsgesuch beim Erziehungsdepartement stellen und beantragte, es sei ihm eine Frist zur Einreichung einer Rechtsverweigerungsbeschwerde an das zuständige Departement gegen den Entscheid des Universitätsrates vom 8. Dezember 1997 zu gewähren und ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung zu bewilligen.
Das Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen wies am 27. August 1998 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung mangels Bedürftigkeit ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde wurde vom Präsidenten des Verwaltungsgerichtes des Kantons St. Gallen am 22. September 1998 gutgeheissen.
Am 3. Dezember 1998 trat das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons St. Gallen - in Vertretung des Erziehungsdepartements - wegen Verspätung auf das Wiederherstellungsgesuch nicht ein. Amtliche Kosten wurden nicht erhoben. Dem Vertreter von B._ wurde im Rahmen der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung eine Entschädigung von Fr. 800. -- zugesprochen.
Gegen diesen Entscheid erhob B._ Rekurs bei der Regierung des Kantons St. Gallen mit dem Antrag, es sei der Entscheid des Volkswirtschaftsdepartementes aufzuheben und es sei ihm eine Frist von 30 Tagen zur Einreichung einer Rechtsverweigerungsbeschwerde gegen den Entscheid des Universitätsrates vom 8. Dezember 1997 zu gewähren. Ausserdem sei die ausseramtliche Entschädigung auf Fr. 2'200. -- heraufzusetzen und auch für das Rekursverfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung zu gewähren.
C.- Mit Verfügung vom 11. Februar 1999 lehnte das für diese Frage zuständige Justiz- und Polizeidepartement das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung im Rekursverfahren vor der Regierung wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels ab.
Eine gegen diese Verfügung gerichtete Beschwerde wies der Präsident des Verwaltungsgerichtes mit Entscheid vom 10. März 1999 ab.
D.- Mit Eingabe vom 26. April 1999 hat B._ gegen den Entscheid des Präsidenten des Verwaltungsgerichtes staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht wegen Verletzung von Art. 4 aBV erhoben. Er beantragt u.a., den angefochtenen Entscheid aufzuheben. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die "Vorinstanz" zurückzuweisen. Sodann verlangt B._ für das Verfahren vor Bundesgericht die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Der Präsident des Verwaltungsgerichtes beantragt, auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht einzutreten. Das Justiz- und Polizeidepartement schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Die staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 4 aBV ist erst gegen letztinstanzliche Endentscheide zulässig, gegen letztinstanzliche Zwischenentscheide nur, wenn sie für den Betroffenen einen nichtwiedergutzumachenden Nachteil zur Folge haben (Art. 87 OG). Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Es handelt sich nach ständiger Praxis um einen Zwischenentscheid, der für den Beschwerdeführer einen nichtwiedergutzumachenden Nachteil zur Folge hat; seine gesonderte Anfechtung ist daher grundsätzlich zulässig (<ref-ruling> E. 1 S. 162; <ref-ruling> E. 2a S. 277 ff.).
b) Die staatsrechtliche Beschwerde ist, von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen, rein kassatorischer Natur (<ref-ruling> E. 1f S. 355). Soweit der Beschwerdeführer - in Ziff. 2 - 4 seiner Rechtsbegehren - mehr verlangt als die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
c) Die staatsrechtliche Beschwerde muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1d S. 201, 110 Ia 1 E. 2a S. 3). Der Beschwerdeführer muss sich mit der Begründung im angefochtenen Entscheid in verfassungsrechtlicher Sicht auseinander setzen; auf bloss appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1c S. 73; <ref-ruling> E. b).
Die vorliegende Beschwerde erschöpft sich weitgehend in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid. Appellatorisch sind insbesondere die Ausführungen des Beschwerdeführers zu den Kosten- und Entschädigungsfolgen. So wird die Erwägung des Präsidenten des Verwaltungsgerichtes bezüglich der mangelnden Legitimation des Beschwerdeführers zur Anfechtung des Honorars seines unentgeltlichen Vertreters nicht mit einer tauglichen, den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügenden Begründung angefochten. Der Beschwerdeführer begnügt sich mit einer blossen Wiederholung seiner Standpunkte. Nach dem Gesagten ist darauf nicht weiter einzugehen.
2.- a) Gerügt wird eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, weil der angefochtene Entscheid die Eingaben bzw. Argumente des Beschwerdeführers gar nicht oder nicht angemessen berücksichtige.
b) Der Anspruch auf rechtliches Gehör wird zunächst durch die kantonalen Verfahrensvorschriften umschrieben. Erst wo sich dieser Rechtsschutz als ungenügend erweist, greifen die unmittelbar aus Art. 4 aBV (vgl. Art. 29 Abs. 2 der neuen Bundesverfassung, BV) folgenden bundesrechtlichen Minimalgarantien Platz (<ref-ruling> E. 1a S. 7; <ref-ruling> E. 3b S. 16). Da der Beschwerdeführer keine Verletzung kantonaler Verfahrensvorschriften rügt, ist einzig - und zwar mit voller Kognition - zu prüfen, ob unmittelbar aus Art. 4 aBV folgende Regeln missachtet worden sind (<ref-ruling> E. 4a S. 268, mit Hinweisen).
c) Das rechtliche Gehör als persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht verlangt, dass der Richter die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, sorgfältig und ernsthaft prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Dies bedeutet indessen nicht, dass sich die urteilende Instanz ausdrücklich mit allen Parteistandpunkten auseinander setzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegen muss. Vielmehr kann sich die urteilende Behörde auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Es genügt, wenn sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheides Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache weiterziehen kann (<ref-ruling> E. 2a S. 149; <ref-ruling> E. 2c S. 57, mit Hinweisen).
d) Der Beschwerdeführer lässt vortragen, der angefochtene Entscheid gehe so gut wie gar nicht auf seine Ausführungen bezüglich der materiellen Rechtskraft des Entscheides des Verwaltungsgerichtspräsidenten vom 22. September 1998 ein (wo dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung noch gewährt worden war). Sodann wird gerügt, die Argumentation des Beschwerdeführers hinsichtlich des Beginns des Fristenlaufs zur Einreichung des Wiederherstellungsgesuches werde vom Verwaltungsgerichtspräsidenten nicht "reflektiert". Ebenso finde im angefochtenen Entscheid die Tatsache keine Berücksichtigung, dass das Verhalten des Justiz- und Polizeidepartements im Verfahren vor dem Volkswirtschaftsdepartement als qualifiziertes Schweigen gewertet werden müsse.
e) Der Präsident des Verwaltungsgerichts hat in seinem Entscheid erwogen, die Aussichtslosigkeit sei vom Justiz- und Polizeidepartement im ersten Beschwerdeverfahren nicht geltend gemacht worden, weshalb unter Berücksichtigung des Rügeprinzips kein zwingender Grund bestanden habe, diese Frage im Beschwerdeentscheid von Amtes wegen aufzuwerfen. Somit gehe der Einwand des Beschwerdeführers fehl, der Verwaltungsgerichtspräsident habe die Aussichtslosigkeit durch qualifiziertes Schweigen im Entscheid vom 22. September 1998 verneint.
Mit dieser Erwägung (vgl. S. 7 des angefochtenen Entscheides) hat der Präsident des Verwaltungsgerichtes indirekt zum Ausdruck gebracht, dass dem Entscheid vom 22. September 1998 hinsichtlich der Frage der Aussichtslosigkeit keinerlei materielle Rechtskraft zukomme. Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers hat sich der Präsident des Verwaltungsgerichts somit auch mit dem Vorbringen des Beschwerdeführers hinsichtlich des Vorliegens eines qualifizierten Schweigens bezüglich der Aussichtslosigkeit im Verfahren vor dem Volkswirtschaftsdepartement auseinander gesetzt. Unerheblich ist dabei, dass die gerichtlichen Motive weniger ausführlich ausgefallen sind als die Beschwerdebegründung des Beschwerdeführers.
Unbehelflich ist in diesem Zusammenhang auch der Einwand des Beschwerdeführers, der angefochtene Entscheid gehe auf das Argument nicht ein, dass einer Partei aus einer fehlerhaften Rechtsauskunft grundsätzlich keine Nachteile erwachsen dürften. Der Präsident des Verwaltungsgerichtes musste sich mit dieser Frage nicht auseinander setzen, nachdem das Volkswirtschaftsdepartement in seinem Entscheid vom 3. Dezember 1998 auf das - als verspätet erachtete - Wiederherstellungsgesuch gar nicht eingetreten war und somit die aufgeworfene Frage keiner materiellen Prüfung unterzogen hatte.
Genügt demnach die Begründung des angefochtenen Entscheids den Anforderungen von Art. 4 aBV, so erweist sich die Rüge der Gehörsverletzung als unbegründet.
3.- Der Beschwerdeführer rügt, der angefochtene Entscheid verletze den direkt aus Art. 4 aBV abgeleiteten Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung, weil die im Rekurs vom 21. Dezember 1998 gestellten Rechtsbegehren zu Unrecht als aussichtslos bezeichnet worden seien.
a) Entsprechend den Vorbringen des Beschwerdeführers ist der angefochtene Entscheid einzig unter dem Gesichtspunkt des subsidiären, unmittelbar aus Art. 4 aBV fliessenden Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege zu prüfen (<ref-ruling> E. 2a S. 306, mit Hinweisen). Die Anwendung des kantonalen Verfahrensrechtes durch das Justiz- und Polizeidepartement bzw. den Präsidenten des Verwaltungsgerichtes ist dagegen nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens (Art. 90 Abs. 1 OG).
b) Art. 4 aBV (vgl. <ref-law>) verschafft einer bedürftigen Partei in einem für sie nicht aussichtslosen Verfahren den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, der auch die Vertretung durch einen unentgeltlichen Rechtsbeistand umfasst, sofern ein solcher zur gehörigen Interessenwahrung erforderlich ist.
Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als Verlustgefahren und die deshalb nicht als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde (<ref-ruling> E. 4b S. 275; <ref-ruling> E. 2c S. 306; <ref-ruling> E. 2b S. 271, mit Hinweisen). Wie es sich damit verhält, prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 4b S. 275, mit Hinweisen). Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich nach den Verhältnissen im Zeitpunkt, in welchem das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wurde (<ref-ruling> E. 4b S. 275, mit Hinweisen). Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Rechtsmittelverfahren ist insofern differenziert anzugehen, als auch das Resultat des vorinstanzlichen Verfahrens und die Anträge im eingeleiteten Rechtsmittelverfahren bei der Überprüfung der Aussichtslosigkeit miteinzubeziehen sind. Bei der Abklärung, ob die Nichtaussichtslosigkeit als Voraussetzung für einen grundrechtlichen Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung gegeben ist, hat der Verfassungsrichter lediglich zu prüfen, ob der vom Bedürftigen verfolgte Rechtsstandpunkt grundsätzlich im Rahmen des vernünftig Vertretbaren liegt bzw. nicht zum Vornherein unbegründet erscheint (<ref-ruling> E. 5b/dd S. 284; <ref-ruling> E. 3c S. 18, mit Hinweis).
c) Der Präsident des Verwaltungsgerichtes ist im angefochtenen Urteil zum Schluss gekommen, der Rekurs des Beschwerdeführers gegen den Nichteintretensentscheid des Volkswirtschaftsdepartementes sei vom Justiz- und Polizeidepartement zu Recht als aussichtslos qualifiziert worden.
Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers habe sich offenkundig im Irrtum über die Geltung der Gerichtsferien befunden und das Wiederherstellungsgesuch verspätet eingereicht.
d) Der Beschwerdeführer hat nach eigenen Angaben die Vernehmlassung des Universitätsrates an das Bundesgericht am 3. April 1998 erhalten. Er ging davon aus, dass mit seiner Eingabe vom 22. April 1998 - dem Wiederherstellungsgesuch - eine allfällige zehntägige Frist in Analogie zu Art. 85 ff. des st. gallischen Gerichtsgesetzes vom 2. April 1987 (GerG) unter der Berücksichtigung der Gerichtsferien gewahrt sei.
e) Gemäss Art. 87 Abs. 1 GerG ist das Gesuch um Wiederherstellung innert zehn Tagen, nachdem das Hindernis weggefallen oder der Versäumnisentscheid eröffnet worden ist, schriftlich einzureichen. Nach Art. 77 GerG können Fristen, die das Gesetz festlegt, nicht erstreckt werden, und haben bei Nichtbeachtung Verwirkungsfolge, wenn das Gesetz nichts anderes bestimmt. Art. 30 Satz 2 des Gesetzes vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG) schreibt vor, dass die Gerichtsferien im Verfahren vor den Verwaltungsbehörden nicht gelten. Der Präsident des Verwaltungsgerichtes hat zwar eingeräumt, dass nach der st. gallischen Praxis auch Fristen, die zum Gericht führen, den Gerichtsferien unterlägen. Daraus könne aber nicht gefolgert werden, auch Rechtsmittel an Verwaltungsbehörden fielen darunter (vgl. S. 8 des angefochtenen Entscheides).
Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, ist nicht stichhaltig. Namentlich begründet die Tatsache, dass beim anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer Unkenntnis darüber bestand, dass bei der Frage, ob die Gerichtsferien im Verwaltungsverfahren gelten würden, zwischen Verwaltungs- und Verwaltungsjustizorganen differenziert würde, keinen Grund, den Geltungsbereich der Gerichtsferien aus Vertrauensschutzgründen auch auf Rechtsmittelverfahren vor Verwaltungsbehörden auszudehnen. Der Beschwerdeführer weist in seiner staatsrechtlichen Beschwerde - unter Berufung auf Cavelti (Urs Peter Cavelti, Die Verfahren vor dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Diss. St. Gallen, 1994, S. 224) - selber darauf hin, dass die Gerichtsferien vor Verwaltungsbehörden grundsätzlich nicht gelten. Angesichts des klaren Wortlautes von Art. 30 Satz 2 VRG bestand auch keine Pflicht der Verwaltungsbehörden im Sinne von Art. 92 Abs. 2 GerG, den Beteiligten das Laufen einer Frist trotz Gerichtsferien anzuzeigen. Die Berufung des Beschwerdeführers auf den Vertrauensschutz stösst daher ins Leere, soweit die entsprechende Rüge überhaupt genügend substantiiert vorgetragen wird (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG).
Der Beschwerdeführer vermag auch aus dem Umstand, dass sich der Präsident des Verwaltungsgerichtes in seinem ersten Entscheid (vom 22. September 1998) nicht zur Aussichtslosigkeit des Begehrens um Wiederherstellung der Frist äusserte, nichts zu seinen Gunsten abzuleiten, da diese Frage gar nicht Gegenstand dieses Verfahrens war. Wie der Präsident des Verwaltungsgerichtes zu Recht erwog, ist die Aussichtslosigkeit stets in Bezug auf das konkrete Rechtsmittel, für welches die unentgeltliche Rechtspflege beantragt wird, zu prüfen. So kann ein erstinstanzliches Verfahren als nicht aussichtslos qualifiziert werden, währenddem einem zweitinstanzlichen Verfahren aufgrund des Resultats des vorinstanzlichen Verfahrens keine reellen Erfolgschancen zu attestieren sind und es daher zum Vornherein als offensichtlich aussichtslos zu beurteilen ist.
Nach dem Gesagten ergibt sich, dass das vom Beschwerdeführer angestrengte Rekursverfahren gegen den Nichteintretensentscheid vom 3. Dezember 1998, wie das Justiz- und Polizeidepartement und der Präsident des Verwaltungsgerichtes zu Recht erwogen, zum Vornherein offensichtlich aussichtslos war. Es ist daher unter dem Gesichtspunkt von Art. 4 aBV nicht zu beanstanden, wenn dem Beschwerdeführer hierfür die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung versagt worden war.
4.- Die staatsrechtliche Beschwerde ist demnach als unbegründet abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann wegen der Aussichtslosigkeit der gestellten Rechtsbegehren nicht entsprochen werden (Art. 152 Abs. 1 OG). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr wird auch der Art der Prozessführung (weitschweifige, überwiegend appellatorische Eingabe) Rechnung getragen (vgl. Art. 153a Abs. 1 OG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 159 Abs. 2 OG analog).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen soweit darauf einzutreten ist.
2.- Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000. -- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen und dem Präsidenten des Verwaltungsgerichtes des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 22. März 2000
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: