Sachverhalt:
A. A._ (Jg. 1949) war ab 10. April 2001 bis 13. Mai 2002 teilzeitlich in der Firma Y._ AG als Raumpflegerin angestellt. Wegen Rückenschmerzen mit Ausstrahlungen in beide Beine musste sie diese Tätigkeit aufgeben. Weiter bestehen rechtsseitig Schmerzen im Schulterbereich und auch am rechten Arm. Zudem ist eine psychische Problematik in Form depressiver Verstimmungen aktenkundig. Am 3./11. November 2002 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Auf Grund ihrer Abklärungen medizinischer und erwerblicher Art lehnte die IV-Stelle des Kantons Zürich das Leistungsbegehren mit Verfügung vom 28. November 2003 mangels rentenrelevanter Invalidität (bei einem Invaliditätsgrad von 13 %) ab. Daran hielt sie nach Einholung weiterer medizinischer Berichte mit Einspracheentscheid vom 2. Juni 2006 (bei einem Invaliditätsgrad von nunmehr 36 %) fest.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, ausgehend von einem Invaliditätsgrad von 14 %, mit Entscheid vom 20. Dezember 2007 ab.
C. A._ lässt mit Beschwerde die Zusprache einer halben Invalidenrente beantragen; eventuell sei die Sache zur Abklärung des Sachverhalts und zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Den Antrag auf unentgeltliche Verbeiständung zieht sie am 11. April 2008 unter Hinweis auf die von ihrer Rechtsschutzversicherung unterdessen erklärte Zusicherung, die Anwaltskosten zu übernehmen, zurück. Den zur SichersteIlung der Gerichtskosten verlangten Kostenvorschuss bezahlt sie in der Folge.
Die IV-Stelle schliesst unter Hinweis auf die Erwägungen im vorinstanzlichen Entscheid auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Zur auch unter der Geltung des BGG massgebenden Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen im Bereich der Invaliditätsbemessung nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> (ab 1. Januar 2004 bis 31. Dezember 2007: <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; bis 31. Dezember 2002: <ref-law>) wird auf <ref-ruling> verwiesen.
1.2 Die für die Beurteilung des streitigen Rentenanspruchs massgebenden Grundlagen sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt worden. Es betrifft dies insbesondere die Invaliditätsbemessung bei teilerwerbstätigen Versicherten nach der so genannten gemischten Methode (Art. 28a Abs. 3 in Verbindung mit Abs. 2 IVG und <ref-law> [bis 31. Dezember 2007: Art. 28 Abs. 2ter in Verbindung mit Abs. 2bis IVG, <ref-law> und <ref-law>]).
2. 2.1 In der Beschwerdeschrift wird unter Hinweis auf <ref-law> geltend gemacht, vor Bundesgericht könne neben Rechtsverletzungen auch jede unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gerügt werden. Dies trifft nicht zu. <ref-law> spricht einzig von Geldleistungen der Militär- und der Unfallversicherung, nicht aber der Invalidenversicherung. Im invalidenversicherungsrechtlichen Beschwerdeverfahren kann die Feststellung des Sachverhalts auf Grund von <ref-law> letztinstanzlich nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht.
2.2 Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist im invalidenversicherungsrechtlichen Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht auf Grund der Vorbringen in der Beschwerdeschrift zu prüfen, ob der angefochtene kantonale Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Hingegen hat unter der Herrschaft des BGG eine freie Überprüfung des vorinstanzlichen Entscheids in tatsächlicher Hinsicht ebenso zu unterbleiben wie eine Prüfung der Ermessensbetätigung nach den Grundsätzen zur Angemessenheitskontrolle (<ref-ruling> E. 6 S. 81 zu Art. 132 lit. a OG [in der bis 30. Juni 2006 gültig gewesenen Fassung]).
3. Unbestrittenermassen ist die Beschwerdeführerin als teilerwerbstätige Hausfrau zu qualifizieren, sodass die Invaliditätsbemessung nach der gemischten Methode (vgl. E. 1.2 hievor) zu erfolgen hat. Das kantonale Gericht hat den Anteil der auf die Erzielung eines Erwerbseinkommens ausgerichteten Tätigkeit auf 28 % und denjenigen im Haushalt auf 72 % des gesamten Aufgabenbereichs veranschlagt. Streitig ist im Wesentlichen das Ausmass der leidensbedingten Beeinträchtigung in den einzelnen Tätigkeitsbereichen. Weiter beanstandet die Beschwerdeführerin die von der Vorinstanz angenommenen Einkünfte, welche sie ohne Gesundheitsschädigung mutmasslich erzielen würde (Valideneinkommen) und welche sie trotz ihrer leidensbedingten Behinderung zumutbarerweise erzielen könnte (Invalideneinkommen). Überdies wird die prozentuale Aufteilung der beiden Bereiche 'Erwerbstätigkeit' einerseits (28 %) und 'Haushaltführung' andererseits (72 %) bemängelt.
3.1 Nach eingehender Auseinandersetzung mit den ärztlichen Stellungnahmen ist die Vorinstanz vor allem gestützt auf das polydisziplinäre Gutachten des medizinischen Zentrums X._, vom 5. April 2006 davon ausgegangen, dass die Beschwerdeführerin in ihrer früheren Erwerbstätigkeit als Raumpflegerin zu 50 %, an einer ihrem Leiden angepassten Stelle hingegen zu 80 % einsatzfähig wäre. Als behinderungsangepasst bezeichnen die Ärzte des medizinischen Zentrums X._ Tätigkeiten, die nicht mit Tragen und Heben schwerer Lasten verbunden sind und in wechselnden, rückenergonomisch günstigen Positionen vorgenommen werden können.
3.1.1 Diese Einschätzung des noch vorhandenen Leistungsvermögens durch das kantonale Gericht ist das Ergebnis einer nach gründlicher Prüfung der medizinischen Unterlagen erfolgten Würdigung der Aktenlage. Als solche ist sie zur vorinstanzlichen Sachverhaltsermittlung zu zählen, welche einer letztinstanzlichen Überprüfung grundsätzlich entzogen ist (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Eine im Sinne von <ref-law> offensichtlich unrichtige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts, die einer Korrektur durch das Bundesgericht zugänglich wäre, ist nicht ersichtlich und wird in der Beschwerdeschrift auch nicht geltend gemacht. Auf die Auseinandersetzungen der Beschwerdeführerin mit den einzelnen Arztberichten ist demnach nicht weiter einzugehen. Angesichts der in medizinischer Hinsicht hinreichend dokumentierten Aktenlage besteht auch kein Anlass für die eventualiter beantragte Rückweisung an die Vorinstanz zur weiteren Abklärung (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 4b S. 94).
3.1.2 Bei der Bestimmung des Valideneinkommens hat die Vorinstanz auf den beim letzten Arbeitgeber erzielten Lohn abgestellt und diesen auf das Jahr 2003, den mutmasslichen Rentenbeginn, hochgerechnet. Das Abstellen auf die Verhältnisse am früheren Arbeitsplatz entspricht der üblicherweise angewandten Methode. Inwiefern darin eine Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> zu erblicken sein sollte, ist nicht auszumachen und lässt sich insbesondere nicht aus dem Umstand ableiten, dass das auf Grund von statistikmässig erfassten Erfahrungswerten laut Lohnstrukturerhebung (LSE) des Bundesamtes für Statistik ermittelte Invalideneinkommen vor Vornahme von Abzügen höher als das Valideneinkommen ausfällt. Dies zeigt nur, dass der seinerzeitige Lohn offenbar eher unterdurchschnittlich bemessen war, bildet aber keinen Grund, das festgestellte Valideneinkommen in Zweifel zu ziehen. Weil die Ursache für die geringe Entlöhnung im früheren Arbeitgeberbetrieb in invaliditätsfremden Faktoren zu sehen ist, reduzierte die Vorinstanz auch das Invalideneinkommen um 15 %, womit dem Grundsatz Nachachtung verschafft wurde, dass die beiden Vergleichseinkommen aus nicht invaliditätsbedingten Gründen entweder überhaupt nicht oder aber beide im gleichen Ausmass zu reduzieren sind (Parallelisierung der Vergleichseinkommen; zur Publikation in BGE 134 V bestimmtes Urteil 8C_255/2007 vom 12. Juni 2008, E. 4.1). Dass das kantonale Gericht beim Invalideneinkommen zusätzlich einen behinderungsbedingten Abzug von 10 % zubilligte, kann sich ausschliesslich zum Vorteil der Beschwerdeführerin auswirken, weshalb kein vernünftiger Grund dafür ersichtlich ist, dass sie sich in ihrer Rechtsschrift auch gegen diesen Abzug zur Wehr setzt.
3.1.3 Sind nach dem Gesagten die auf Grund der medizinischen Unterlagen erfolgten Feststellungen zum Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin und zum verbliebenen Leistungsvermögen im erwerblichen Bereich einer Überprüfung durch das Bundesgericht nicht zugänglich (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.; E. 3.1.1 hievor) und lassen sich auch die für einen Einkommensvergleich erforderlichen Vergleichseinkommen nicht beanstanden (E. 3.1.2 hievor), muss es mit der vom kantonalen Gericht ermittelten Invalidität im erwerblichen Bereich von 3 % - und bezogen auf den gesamten Tätigkeitsbereich (gerundet) noch 1 % (3 x 0.28) - sein Bewenden haben.
3.2 Die von den Gutachtern des medizinischen Zentrums X._ auf 50 % geschätzte Einschränkung im Haushaltsbereich erachtete die Vorinstanz als zu Gunsten der Beschwerdeführerin "äusserst grosszügig" bemessen. Als zuverlässige Grundlage für die Beurteilung der beeinträchtigten Arbeitsfähigkeit im Haushalt betrachtete sie die am 7. November 2003 von einer Abklärungsperson der Beschwerdegegnerin vor Ort getätigten Erhebungen, welche diese in einem Bericht vom 10. November 2003 festgehalten hat. Aus diesem ergibt sich eine Verminderung des Leistungsvermögens im Haushalt von 18 %, welchen Wert das kantonale Gericht übernommen hat.
3.2.1 Der Abklärungsbericht über die Verhältnisse im Haushalt stellt in der Regel eine geeignete und auch genügende Grundlage für die Invaliditätsbemessung in diesem Tätigkeitsbereich dar. Hinsichtlich seines Beweiswertes sind - analog zur Rechtsprechung zur Beweiskraft von Arztberichten (<ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis) - verschiedene Faktoren zu berücksichtigen. Es ist wesentlich, dass der Bericht von einer qualifizierten Person verfasst wird, die Kenntnis der örtlichen und räumlichen Verhältnisse sowie der sich aus den medizinischen Diagnosen ergebenden Beeinträchtigungen und Behinderungen hat. Weiter sind die Angaben der versicherten Person zu berücksichtigen, wobei divergierende Meinungen der Beteiligten im Bericht aufzuzeigen sind. Der Berichtstext schliesslich muss plausibel begründet und angemessen detailliert bezüglich der einzelnen Einschränkungen sein sowie in Übereinstimmung mit den an Ort und Stelle erhobenen Angaben stehen. Trifft all dies zu, ist der Abklärungsbericht voll beweiskräftig (AHI 2003 S. 215 E. 2.3.2). Des Beizugs eines Arztes, der sich zu den einzelnen Positionen der Haushaltführung unter dem Gesichtswinkel der Zumutbarkeit äussert, bedarf es rechtsprechungsgemäss nur in Ausnahmefällen, namentlich bei unglaubwürdigen Angaben der versicherten Person, welche sich mit den Feststellungen in einer medizinischen Expertise nicht in Einklang bringen lassen (AHI 2004 S. 137 E. 5.3 und 2001 S. 158 E. 3c). Insbesondere kommt ärztlichen Einschätzungen der Arbeitsfähigkeit kein genereller Vorrang gegenüber den Ergebnissen einer von der Invalidenversicherung vor Ort durchgeführten Haushaltabklärung zu (SVR 2005 IV Nr. 21 S. 84 E. 5.1.1). Der Richter greift, sofern der Bericht eine zuverlässige Entscheidungsgrundlage im eben umschriebenen Sinne darstellt, in das Ermessen der Abklärungsperson nur ein, wenn klar feststellbare Fehleinschätzungen oder Anhaltspunkte für die Unrichtigkeit der Abklärungsresultate (z.B. infolge von Widersprüchlichkeiten) vorliegen. Das gebietet insbesondere der Umstand, dass die fachlich kompetente Abklärungsperson näher am konkreten Sachverhalt steht als das im Beschwerdefall zuständige Gericht (vgl. <ref-ruling>). Erfüllt ein Abklärungsbericht diese Anforderungen, ist die Gewichtung der einzelnen im Haushalt anfallenden Aufgaben eine Ermessensfrage, die von einer Beurteilung der konkreten Gegebenheiten des Einzelfalls abhängt und vom Bundesgericht nur im Hinblick auf eine allfällige Ermessensüberschreitung oder einen Ermessensmissbrauch geprüft werden kann. Die Feststellung der Einschränkung in den einzelnen Aufgabenbereichen der Haushaltführung schliesslich ist - analog zur Feststellung der Arbeitsunfähigkeit im erwerblichen Bereich (E. 3.1.1 hievor) - eine Tatfrage, die einer letztinstanzlichen Überprüfung nur in den sich aus E. 1 und 2 hievor ergebenden Schranken zugänglich ist.
3.2.2 Entgegen der Argumentation in der Beschwerdeschrift, bildet der Abklärungsbericht vom 10. November 2003 durchaus eine genügende Grundlage, um die Einschränkungen im Haushalt zu beurteilen. Allein der Umstand, dass anlässlich der Abklärung vom 7. November 2003 nicht die Beschwerdeführerin selbst, sondern - offenbar aus sprachlichen Gründen - nur deren Sohn und ihr Ehemann Auskünfte erteilten, spricht nicht gegen die Zuverlässigkeit des Abklärungsberichts. Es darf davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdeführerin in der Lage war, dem Gesprächsverlauf zu folgen, und bei unzutreffenden Angaben der mit ihrem Einverständnis anwesenden Übersetzungshilfen die Möglichkeit zu einer Intervention gehabt und auch ergriffen hätte. Im Übrigen sind die in der Beschwerdeschrift erhobenen Einwendungen zu allgemein und unpräzis formuliert, um die Zuverlässigkeit dieses invalidenversicherungsrechtlichen Beweismittels ernsthaft in Frage zu stellen. Was die Gewichtung der einzelnen Tätigkeitsbereiche im Haushalt anbelangt, kann nicht von einer Ermessensüberschreitung oder einem Ermessensmissbrauch (vgl. E. 3.2.1 hievor) gesprochen werden. Die Feststellung der Einschränkung in den einzelnen Aufgabenbereichen schliesslich kann als Tatfrage vom Bundesgericht nicht in dem in der Beschwerdeschrift geforderten Umfang überprüft werden. Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltserhebung jedenfalls liegt auch insoweit nicht vor. Schliesslich hat die Vorinstanz zutreffend festgehalten, dass sich selbst dann kein rentenrelevanter Invaliditätsgrad ergeben würde, wenn man auf die von den Ärzten des medizinischen Zentrums X._ für den Haushaltbereich ohne nähere Begründung auf 50 % geschätzte Verminderung des Leistungsvermögens abstellen wollte.
3.3 Bezogen auf die Gesamttätigkeit resultiert demnach aus dem erwerblichen Bereich eine Teilinvalidität von 0,84 % (3 x 0,28) und aus dem Haushaltbereich eine solche von 12,96 % (18 x 0,72), insgesamt somit (gerundet) 14 %. Die - im letztinstanzlichen Verfahren erstmals - beanstandete prozentuale Aufteilung der beiden Bereiche 'Erwerbstätigkeit' und 'Haushaltführung' betrifft eine von der Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellte Tatfrage und kann als solche nur in den in Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG genannten Schranken überprüft werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 507 mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat den Anteil der Erwerbstätigkeit in Relation zu der im früheren Arbeitgeberbetrieb eingehaltenen Arbeitszeit von wöchentlich 44 Stunden und nicht, wie in der Beschwerde angeregt, zu der für das Jahr 2003 statistikmässig ausgewiesenen durchschnittlich üblich gewesenen Arbeitszeit von 41,7 Stunden pro Woche gesetzt. Ob darin eine offensichtlich unrichtige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts oder gar eine Rechtsverletzung zu erblicken ist, braucht nicht abschliessend geklärt zu werden, da die Beschwerdeführerin auch keinen rentenbegründenden Invaliditätsgrad erreichen würde, wenn - wie von ihr beschwerdeweise gefordert - die Erwerbstätigkeit auf 30 % der Gesamttätigkeit veranschlagt würde.
4.1 Da die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im Verfahren nach <ref-law> erledigt.
4.2 Weil die Beschwerde - schon im Hinblick auf die dem Bundesgericht zukommende eingeschränkte Überprüfungsbefugnis (E. 1 und 2 hievor) - von vornherein aussichtslos war, sind die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Sinne einer Befreiung von den Gerichtskosten nicht erfüllt. Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. August 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl