im Prozess aus Versicherungsvertrag), hat sich ergeben:
A.- P._ reichte am 30. Dezember 1993 beim Zivilgericht Basel-Stadt eine selbst verfasste Klage ein, in der er die Verurteilung der Zürich-Versicherungsgesellschaft zur Zahlung von Fr. 636'000.-- nebst Zinsen verlangte. Mit Verfügung vom 19. Dezember 1995 setzte der Instruktionsrichter des Zivilgerichts dem Advokaten X._, den P._ in der Folge mit der Rechtsvertretung beauftragt hatte, Frist an, um eine verbesserte, begründete Klage einzureichen.
Diese ging am 3. Mai 1996 beim Zivilgericht ein, wobei neue Rechtsbegehren mit einem Streitwert in der Höhe von nunmehr Fr. 1'085'415.-- gestellt wurden.
B.- Mit Urteil vom 16. März 2000 wies das Zivilgericht Basel-Stadt die Klage von P._ ab. Seinem amtlichen Rechtsvertreter X._ wurde ein Honorar von Fr. 28'000.--, zuzüglich Fr. 2'100.-- Mehrwertsteuer, aus der Gerichtskasse zugesprochen; dem gekürzten Honorar wurde laut Begründung der Streitwert von Fr. 636'000.-- gemäss ursprünglicher Klage zugrunde gelegt. Gegen die Festsetzung des Armenanwaltshonorars reichte X._ kantonale Beschwerde ein und verlangte im Wesentlichen, dass ihm, ausgehend vom Streitwert der verbesserten Klage, ein Honorar von Fr. 43'500.--, zuzüglich Mehrwertsteuer, aus der Gerichtskasse zuzusprechen sei. Mit Urteil vom 11. August 2000 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt die Beschwerde ab, soweit an ihr festgehalten wurde und darauf einzutreten war.
C.- X._ führt mit Eingabe vom 26. Oktober 2000 staatsrechtliche Beschwerde wegen Willkür und beantragt dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 11. August 2000 und das Urteil des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 16. März 2000 betreffend Bemessung des Armenanwaltshonorars aufzuheben. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Die vorliegende Beschwerde richtet sich sowohl gegen das Urteil des Zivilgerichts als auch das Urteil des Appellationsgerichts.
Mit staatsrechtlicher Beschwerde kann, von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen abgesehen, nur ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid angefochten werden (Art. 86 Abs. 1 OG). Der Entscheid einer unteren Instanz kann nur mitangefochten werden, soweit die letzte kantonale Rechtsmittelinstanz nicht alle Fragen, die Gegenstand der staatsrechtlichen Beschwerde bilden, mit gleicher Überprüfungsbefugnis wie das Bundesgericht beurteilen konnte (<ref-ruling> E. 1b S. 394f. , m.H.).
a) Der Beschwerdeführer rügt, das Zivilgericht habe sein Armenanwaltshonorar willkürlich gekürzt. Das Appellationsgericht hat die Anwendung kantonalen Rechts auf Willkür hin überprüft und damit mit der gleichen Kognition, wie sie dem Bundesgericht im vorliegenden Verfahren zusteht. Weiter rügt der Beschwerdeführer, das Zivilgericht habe die Kürzung des Honorars entgegen <ref-law> ohne jede Möglichkeit zur Stellungnahme erlassen. Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers hat das Appellationsgericht eine derartige Rüge überhaupt nicht überprüft, weil sie nicht vorgebracht wurde; es hätte indessen eine tatsächlich erhobene Rüge der Gehörsverletzung im Beschwerdeverfahren mit freier Kognition überprüfen können (<ref-law>/BS; Staehelin/Sutter, Zivilprozessrecht, § 21 Rz 67, 84, 85). Auf das Begehren, das Urteil des Zivilgerichts aufzuheben, kann daher mangels Letztinstanzlichkeit nicht eingetreten werden.
b) Beim angefochtenen Entscheid des Appellationsgerichts handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid; die frist- und formgerechte Beschwerde ist daher insoweit zulässig.
2.- Das Appellationsgericht hat festgehalten, dass die von P._ selbst eingereichte Klage nicht zurückgewiesen worden sei, weil das Rechtsbegehren unklar oder mangelhaft gewesen wäre. Der Beschwerdeführer habe in seiner Eingabe vom 2. November 1995 unter Hinweis auf die Eventualmaxime vielmehr selbst ausgeführt, dass P._ "seine Forderung zu begründen und zu beweisen" habe. Wenn der Instruktionsrichter des Zivilgerichts den Kläger in der Folge aufgefordert habe, eine "verbesserte, begründete Klage" einzureichen, habe er damit nicht die Möglichkeit eröffnet, beliebig neue Rechtsbegehren zu stellen. Aus <ref-law>/BS, der den Inhalt der Klage vorschreibe, lasse sich nicht ableiten, dass eine Rückweisung der Klage zur Verbesserung stets auch die Befugnis zur Änderung der Rechtsbegehren beinhalte. Die Änderung der Rechtsbegehren stelle eine Klageänderung dar, die nur auf entsprechendes Gesuch hin und nur unter den Voraussetzungen gemäss <ref-law>/BS zulässig sei. Somit habe das Zivilgericht bei der Bemessung des Honorars des Beschwerdeführers willkürfrei vom Streitwert der ursprünglich eingereichten Klage (Fr. 636'000.--) ausgehen dürfen.
3.- Der Beschwerdeführer wirft dem Appellationsgericht vorweg in formeller Hinsicht Verstösse gegen seinen Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> vor.
a) Soweit der Beschwerdeführer rügt, das Zivilgericht habe die Kürzung des Honorars ohne vorgängige Stellungnahme erlassen und die zweite Instanz habe den Entscheid nur auf Willkür hin überprüfen können, sind seine Vorbringen unbehelflich.
Er hat die Rüge einer Gehörsverletzung durch das Zivilgericht erstmals vor Bundesgericht erhoben, so dass sie neu und daher unzulässig ist (<ref-ruling> E. 2 S. 3).
b) Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, das Appellationsgericht habe die Höhe des Streitwertes nicht im Hinblick darauf überprüft, dass es dem Armenanwalt nicht gestattet sei, in aussichtsloser Weise zu überklagen, obwohl er im kantonalen Verfahren auf dieses Kriterium hingewiesen habe. Nach der Praxis zu Art. 4 aBV bzw. <ref-law> genügt, wenn die Behörde kurz die wesentlichen Überlegungen nennt, von denen sie sich leiten liess und auf welche sie ihren Entscheid stützt; ein Anspruch auf eine ausführliche schriftliche Begründung besteht nicht (<ref-ruling> E. 2b S. 102, m.H.). Wenn das Appellationsgericht ausgeführt hat, eine Rückweisung der Klage zur Verbesserung enthalte keine Befugnis zur Klageänderung gemäss <ref-law>/BS, hat es die Überlegungen genannt, welche im Wesentlichen seinem Urteil zugrunde liegen, so dass eine Verletzung von <ref-law> nicht ersichtlich ist, zumal es sich nicht mit jedem rechtlichen Einwand des Beschwerdeführers auseinander setzen musste.
4.- Der Beschwerdeführer rügt sodann eine Verletzung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege gemäss <ref-law> sowie des Willkürverbotes gemäss Art. 29 Abs. 1 (recte: Art. 9) BV, was die Anwendung kantonalen Rechts durch das Appellationsgericht in Bezug auf die Streitwertberechnung betrifft.
a) Die Streitwertberechnung des Appellationsgerichts sei willkürlich, weil ein Gericht, das auf einen Teil der eingeklagten Forderung nicht eintrete, keine Änderung am Streitwert vornehme, sondern den Streit entscheide; das Vorgehen des Appellationsgerichts führe dazu, dass bei Nichteintretensentscheiden keine Honorare und Kosten mehr zugesprochen werden könnten, was im Ergebnis <ref-law> sowie § 11 lit. e Advokaturgesetz/BS zuwiderlaufe. Diese Kritik des Beschwerdeführers ist unbehelflich. Entgegen seiner Darstellung hat das Appellationsgericht beurteilt, ob es rechtens sei, vom Streitwert der ursprünglich anhängig gemachten Klage, und nicht von demjenigen der verbesserten Klage auszugehen; dass das Appellationsgericht den Streitwert nach dem berechnet habe, was das Gericht zugesprochen hat, lässt sich der Begründung im angefochtenen Urteil in keiner Weise entnehmen. Inwiefern das Appellationsgericht gegen <ref-law> verstossen oder das Advokaturgesetz willkürlich angewendet habe, legt der Beschwerdeführer nicht dar, so dass er insoweit mit seinen Ausführungen nicht gehört werden kann (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 4c S. 230).
b) Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, in <ref-law>/BS sei ausdrücklich die Verbesserung der Klage und nicht nur der Klagebegründung normiert, dringt er ebenfalls nicht durch. Nach dieser Bestimmung prüft der Präsident die ihm eingereichte Klage und weist sie, falls er formelle Mängel und Unklarheiten in derselben findet, an den Kläger zur Verbesserung zurück; die Bestimmung ist Ausdruck der richterlichen Frage- und Aufklärungspflicht, die vor allem bei unbeholfenen Personen gilt (Staehelin/Sutter, a.a.O., § 11 Rz 20 u. 21, § 12 Rz 3). Wenn das Appellationsgericht festgehalten hat, die Aufforderung an den Beschwerdeführer als Anwalt zur Einreichung einer "verbesserten, begründeten Klage" betreffe die Klagebegründung und eröffne nicht die Möglichkeit, beliebig neue Rechtsbegehren zu stellen, hat es <ref-law>/BS nicht willkürlich angewendet, zumal das zuerst eingereichte Rechtsbegehren - nach der Sachverhaltsfeststellung des Appellationsgerichts (<ref-ruling> E. 5a S. 26) - nicht unklar oder mangelhaft war und die Klagesumme in der Folge erhöht wurde (vgl. zum Willkürbegriff <ref-ruling> E. 5b S. 134). Fehl geht der Beschwerdeführer auch insoweit, als er seine Vorbringen auf <ref-law>/BS stützen will. Diese Bestimmung schreibt lediglich vor, die Klage müsse ein Rechtsbegehren enthalten (<ref-law>/BS), was den Eintritt der Rechtshängigkeit und die Streitwertberechnung ermöglicht (vgl. Staehelin/Sutter, a.a.O., § 18 Rz 30, § 13 Rz 4 a.E.). Wenn das Appellationsgericht zur Auffassung gelangt ist, dass sich daraus keine Befugnis zur Änderung der Rechtsbegehren der ursprünglichen, bereits rechtshängigen Klage auf Verurteilung zur Zahlung von Fr. 636'000.-- ableiten lasse, kann von Willkür keine Rede sein.
c) Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, aus dem Wortlaut der ZPO/BS ergebe sich keinerlei Hinweis, dass für eine Verbesserung der Klagebegehren ein Gesuch um Klageänderung gemäss <ref-law>/BS einzureichen sei; wenn ein Kläger das Recht erhalte, eine Klage zu "verbessern", so sei in der Verbesserung auch das Recht zu einer Änderung enthalten. Das Appellationsgericht hat festgehalten, dass eine Klageänderung nur unter den Voraussetzungen von <ref-law>/BS zulässig sei, was auch gelte, wenn die Klageänderung im Rahmen einer Klageverbesserung erfolge; der Beschwerdeführer habe indessen kein Klageänderungsgesuch eingereicht. Gemäss <ref-law>/BS ist die Klageänderung vor dem Verhandlungstag und nur auf dem Weg möglich, dass das Gesuch um Änderungsbewilligung dem Präsidenten eingereicht wird, welcher nötigenfalls den Gegner anhört und es bloss dann bewilligt, wenn triftige Gründe dafür vorliegen.
Nach der Sachverhaltsfeststellung des Appellationsgerichts (<ref-ruling> E. 5a S. 26) hat der Beschwerdeführer im Vergleich zur ursprünglich eingereichten Klage das Klagebegehren von Fr. 636'000.-- auf Fr. 1'085'415.-- erhöht. Die Erhöhung der Klageforderung stellt indessen eine Änderung des Rechtsbegehrens dar, die im Rahmen der Klageänderung zu erfolgen hat und aufgrund der Eventualmaxime nur beschränkt zulässig ist (Staehelin/Sutter, a.a.O., § 11 Rz 49, § 13 Rz 40; vgl. Vogel, Zivilprozessrecht, 6.A., 8. Kap. Rz 52). Wenn das Appellationsgericht vor diesem Hintergrund zum Schluss gelangt ist, mangels Klageänderungsgesuch sei das Zivilgericht für die Honorarbemessung (§ 3 Honorarordnung/BS) willkürfrei vom Streitwert gemäss ursprünglich eingereichter Klage ausgegangen, ist dies nicht zu beanstanden. Unter diesen Umständen kann - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - ebenso wenig die Rede davon sein, das Appellationsgericht habe sein Gesuch um Klageverbesserung und die Bewilligung des Instruktionsrichters des Zivilgerichts zur Klageverbesserung einschränkend, in willkürlicher Weise ausgelegt.
d) Das Appellationsgericht hat darauf hingewiesen, die Kostenerlassverfügung des erstinstanzlichen Instruktionsrichters vom 19. Dezember 1995 habe sich ohnehin nur auf die in jenem Zeitpunkt hängige Klage vom 30. Dezember 1993 mit dem Streitwert von Fr. 636'000.-- bezogen. Der Beschwerdeführer wendet dagegen schliesslich erfolglos ein, der Kostenerlass sei gerade für die Klageverbesserung bewilligt worden, da - wie dargelegt - die Erhöhung des Klagebegehrens aus haltbaren Gründen versagt wurde.
5.- Aus diesen Gründen ist die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG); eine Entschädigungspflicht entfällt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 7. Dezember 2000
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: