Sachverhalt:
A.
Mit rechtskräftiger Verfügung vom 30. September 2009 verneinte die IV-Stelle Bern einen Anspruch der 1958 geborenen A._ auf eine Invalidenrente der Invalidenversicherung mit der Begründung, der Invaliditätsgrad betrage lediglich 2 %. Im Mai 2010 meldete sich A._ erneut zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle trat auf die Neuanmeldung ein und holte nebst weiteren Abklärungen ein kardiologisches Gutachten des Spitals C._ vom 9. Dezember 2011 und ein psychiatrisches Gutachten des Dr. med. B._ vom 21. Juni 2012 ein. Dr. med. B._ hatte bereits im vorangegangenen Verwaltungsverfahren am 8. Juni 2009 eine psychiatrische Expertise erstattet. Mit Verfügung vom 14. September 2012 verneinte die IV-Stelle wiederum einen Leistungsanspruch mit der Begründung, es liege kein invalidisierender Gesundheitsschaden vor.
B.
Die von A._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 8. April 2014 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die IV-Stelle zu verpflichten, ab 1. Juni 2012 eine Dreiviertelsrente zuzüglich allfälliger Kinderrenten und zuzüglich Verzugszins zu entrichten; eventuell seien die Akten zur weiteren Abklärung an die Vorinstanz resp. an die Verwaltung zurückzuweisen.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Soweit letztinstanzlich erstmalig Verzugszins beantragt wird, ist auf die Beschwerde mangels eines Anfechtungsgegenstandes nicht einzutreten.
3.
Im angefochtenen Entscheid sind die Bestimmungen und Grundsätze zu den Begriffen Invalidität und Erwerbsunfähigkeit, insbesondere auch bei psychischen Gesundheitsschäden, zum nach dem Grad der Invalidität abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente (mit dem mindestens erforderlichen Invaliditätsgrad von 40 %), zur Aufgabe von Arzt oder Ärztin bei der Invaliditätsbemessung, zu den bei einer Neuanmeldung nach vorangegangener rechtskräftiger Verneinung eines Rentenanspruchs analog anzuwendenden Regeln der Rentenrevision sowie zur Beweiswürdigung, namentlich bei ärztlichen Berichten und Gutachten, zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4.
Das kantonale Gericht hat in seinem diesbezüglich nicht umstrittenen Entscheid erkannt, die rentenverneinende Verfügung vom 30. September 2009 habe in medizinischer Hinsicht im Wesentlichen auf dem psychiatrischen Gutachten des Dr. med. B._ vom 8. Juni 2009 basiert. Darin sei aufgrund einer affektiven Erkrankung bzw. rezidivierenden depressiven Störung und einer Panikstörung von einer Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von rund 20 % ausgegangen worden. Der somatische Gesundheitszustand sei damals nicht weiter abgeklärt worden. Zu prüfen sei, ob sich der somatische und der psychische Gesundheitszustand im Zeitraum zwischen der Verfügung vom 30. September 2009 und der nunmehr streitigen Verfügung vom 14. September 2012 in rentenrelevanter Weise verändert hätten. Aufgrund der medizinischen Akten sei die Arbeitsfähigkeit in somatischer Hinsicht weiterhin nicht beeinträchtigt.
5.
Streitig ist, ob aufgrund einer Veränderung des psychischen Gesundheitszustandes und seiner Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit nunmehr ein Rentenanspruch besteht.
5.1. Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, Dr. med. B._ bestätige zwar im Gutachten vom 21. Juni 2012 aufgrund einer rezidivierenden depressiven Störung, gegenwärtig mittelgradige depressive Episode mit somatischen Symptomen, und einer undifferenzierten Somatisierungsstörung eine 50 %ige Arbeitsunfähigkeit. Die Verwaltung sei aber zu Recht zum Ergebnis gelangt, dass kein invalidisierender Gesundheitsschaden vorliege.
5.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, der depressiven Störung sei die invalidisierende Wirkung zu Unrecht abgesprochen worden.
5.2.1. Das kantonale Gericht hat hiezu erwogen, es frage sich insbesondere aufgrund des im Gutachten B._ vom 21. Juni 2012 geschilderten Aggravationsverhaltens der Versicherten, ob überhaupt von einer erheblichen gesundheitlichen Verschlechterung auszugehen sei. Das könne indessen offen bleiben, da der attestierten depressiven Erkrankung auch aktuell kein invalidisierender Charakter beizumessen sei. Dafür spreche neben dem Aggravationsverhalten, dass gemäss der Expertise vom 21. Juni 2012 unstreitig erhebliche psychosoziale resp. krankheitsunabhängige Probleme bestünden. Derartige Faktoren vermöchten medizinisch zwar die Diagnose einer mittelschweren Depression zu begründen, führten rechtlich aber nicht ohne Weiteres zu einer Invalidität. Es erscheine hier mehr als zweifelhaft, ob eine von der soziokulturellen oder psychosozialen Belastungssituation unzweideutig zu unterscheidende und in diesem Sinne verselbstständigte psychische Störung mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit gegeben sei. Vielmehr enthalte die Aktenlage deutliche Anhaltspunkte dafür, dass sich die invaliditätsfremden Elemente nicht klar vom medizinischen Leiden selbst trennen liessen. Entscheidend sei zudem, dass gemäss Dr. med. B._ die Therapiemöglichkeiten nicht als ausgeschöpft zu betrachten seien. Angesichts dieser fachmedizinischen Einschätzung und des Umstands, dass leichte bis höchstens mittelschwere Störungen aus dem depressiven Formenkreis als therapierbar gälten, sei zu folgern, dass die psychische Beeinträchtigung keinen invalidisierenden Charakter aufweise. Für denselben Schluss spreche auch das erwähnte Aggravationsverhalten.
5.2.2. Die Versicherte wendet ein, Dr. med. B._ habe mit der depressiven Störung entgegen der vorinstanzlichen Beurteilung eine von psychosozialen und soziokulturelle Belastungsfaktoren klar abgrenzbare selbstständige psychische Störung diagnostiziert und eine dadurch bewirkte Arbeitsunfähigkeit bestätigt. Die Vorinstanz hat hiezu erwogen, aus den Aussagen des Gutachters ergebe sich, dass die von ihm diagnostizierte Somatisierungsstörung den Hauptgrund für die attestierte Arbeitsunfähigkeit darstelle. Sodann habe der Experte keine Ausscheidung von invaliditätsfremden resp. psychosozialen Faktoren vorgenommen, sondern vielmehr festgehalten, psychosoziale Probleme seien für die psychiatrische Pathologie resp. das Verharren darin verantwortlich. Es stelle sich in der Konsequenz die Frage, ob - auch unter Berücksichtigung der im Vergleich zum Vorgutachten ähnlichen Befunde - die Diagnose einer mittelgradigen depressiven Episode überhaupt gestellt werden könne. Das könne aber offen bleiben. Diese Sachverhaltsfeststellungen des kantonalen Gerichts beruhen auf einer eingehenden Würdigung der gutachterlichen Aussagen. Was die Versicherte vorträgt, vermag sie weder als offensichtlich unrichtig noch als in anderer Weise bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen. Hiefür genügt namentlich auch die von der Vorinstanz abweichende Interpretation einzelner Aussagen des Experten nicht.
5.2.3. Geltend gemacht wird weiter, gemäss dem psychiatrischen Gutachter lasse eine Therapie zwar eine gewisse Aufhellung der Beschwerden, nicht aber eine wesentliche Verbesserung der Arbeitsfähigkeit erwarten. Die Vorinstanz hat hiezu erwogen, das sei auch der Einengung von Seiten der Biographie, der aktuell schwierigen psychosozialen Situation sowie dem Aggravationsverhalten und dem fehlenden Behandlungswillen der Versicherten zuzuschreiben. Diese tatsächliche Feststellung stützt sich auf die psychiatrische Expertise vom 21. Juni 2012 und ist im Rahmen der bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis nicht zu beanstanden. Aufgrund dieses Gutachtens - wie auch bereits des Vorgutachtens vom 8. Juni 2009 - bestehen klare Anhaltspunkte dafür, dass eine konsequent durchgeführte und nach Auffassung des Experten durchaus zumutbare Therapie Besserung erwarten liesse und dies bislang vor allem auch daran gescheitert ist, dass die Versicherte nun schon seit geraumer Zeit immer wieder Behandlungstermine nicht wahrnimmt und überdies keine Bereitschaft für eine zumutbare Intensivierung der Therapie zeigt. Dr. med. B._ sah sich denn auch in beiden Expertisen gehalten, ein Nichtbefolgen ärztlicher Anordnungen festzustellen.
5.2.4. Die Beschwerdeführerin bringt sodann vor, wenn das Gutachten B._ nicht als beweiswertig erachtet werde, seien weitere Abklärungen erforderlich. Indem die Vorinstanz davon abgesehen habe, habe sie die Abklärungspflicht verletzt. Die massgebliche Frage, ob nunmehr, anders als bei der erstmaligen Anmeldung zum Leistungsbezug, Umstände bestehen, welche auf einen rentenbegründenden Gesundheitsschaden schliessen lassen, konnte das kantonale Gericht indessen aufgrund der vorhandenen medizinischen Akten beantworten. Es hat daher zulässigerweise von weiteren Beweismassnahmen abgesehen.
5.2.5. Die vorinstanzliche Beurteilung, wonach die diagnostizierte depressive Störung aufgrund der dargelegten Umstände keinen Rentenanspruch zu begründen vermag, beruht auf einer eingehenden Würdigung der Sach- und Rechtslage. Sie überzeugt namentlich auch im Rahmen der Rechtsprechung zur invalidisierenden Wirkung psychischer Gesundheitsstörungen unter Berücksichtigung von psychosozialen und soziokulturellen Umständen (<ref-ruling> E. 5a S. 299; Urteil 8C_842/2013 vom 11. März 2014 E. 4 f. mit Hinweisen) sowie bei gegebener Therapierbarkeit (Urteil 9C_474/2013 vom 20. Februar 2014 E. 5.4; vgl. auch Urteil 8C_842/2013 E. 4.2, je mit Hinweisen).
5.3. Die zusätzlich diagnostizierte undifferenzierte Somatisierungsstörung ist gemäss dem angefochtenen Entscheid im Lichte der für anhaltende somatoforme Schmerzstörungen geltenden, hier sinngemäss anwendbaren Grundsätze nicht als invalidisierend zu betrachten. Diese Beurteilung wird von der Versicherten nicht in Frage gestellt und gibt keinen Anlass zu Weiterungen. Ein Rentenanspruch wurde somit auch unter diesem Aspekt zu Recht verneint. Die Beschwerde ist abzuweisen.
6.
Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. August 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz