Erwägungen:
1.
Vor dem Zwangsmassnahmengericht des Kantons Graubünden ist in Bezug auf A._ ein Verfahren betreffend Anordnung einer Friedensbürgschaft hängig. Im Rahmen dieses Verfahrens setzte der zuständige Einzelrichter des Zwangsmassnahmengerichts am 12. Dezember 2013 die Hauptverhandlung auf den 19. Dezember 2013 an und wies darauf hin, dass er dannzumal als Einzelrichter die Verhandlung führen werde.
Mit Schreiben vom 17. Dezember 2013 teilte A._ dem Zwangsmassnahmengericht mit, er lehne den Einzelrichter nicht nur wegen Befangenheit, sondern auch wegen aktenkundigen Straftaten ab, da dieser in seiner Angelegenheit bereits mehrfach rechtswidrig gehandelt/geurteilt habe und es sich bei den betreffenden Urteilen um Straftaten im Sinne von Art. 25, 173, 180, 181, 260, 275, 287, 303, 305, 312, 337 etc. StGB handle.
Am 18. Dezember 2013 liess das Zwangsmassnahmengericht das Ausstandsgesuch zuständigkeitshalber dem Kantonsgericht von Graubünden zukommen. Mit Verfügung vom 24. Januar 2014 ist der Vorsitzende der II. Strafkammer des Kantonsgerichts auf das Ausstandsgesuch mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht eingetreten.
2.
Mit Eingabe vom 5. März (Postaufgabe: 9. März) 2014 führt A._ Beschwerde ans Bundesgericht. Zur Hauptsache, soweit hier wesentlich, beantragt er, die Verfügung vom 24. Januar 2014 sei aufzuheben.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen einzuholen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch <ref-law>; zudem <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer übt ganz allgemein Kritik am kantonsgerichtlichen Nichteintretenseintscheid vom 24. Januar 2014, wobei er auf verschiedene ihn betreffende vorausgegangene Verfahren verweist und pauschal, mit Blick auf mehrere angeblich zu seinem Nachteil ergangene Urteile, quasi die gesamte Bündner Justiz als straffällig geworden bezeichnet. Dabei setzt er sich jedoch nicht rechtsgenüglich mit der angefochtenen Verfügung auseinander. Insbesondere legt er mit seinen pauschalen Vorwürfen nicht im Einzelnen dar, inwiefern durch die der Verfügung zugrunde liegende Begründung bzw. durch die Verfügung selbst im Ergebnis Recht im Sinne von <ref-law> verletzt worden sein soll. Abgesehen davon missachtet er mit einem Grossteil seiner Ausführungen die den prozessualen Anstand betreffenden Regeln (s. <ref-law>).
Demgemäss ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Dies betrifft insbesondere auch die verschiedenen mit der Beschwerde gestellten Nebenbegehren, welche über den auf Aufhebung der Verfügung vom 24. Januar 2014 lautenden Hauptantrag hinausgehen und damit in keinem direkten Zusammenhang mit dieser Verfügung stehen.
Nach dem Gesagten ist der Begründungsmangel offensichtlich, weshalb über die vorliegende Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Auch keinen unmittelbaren Bezug zum Streitgegenstand hat das Sistierungsgesuch, mit welchem der Beschwerdeführer die Aussetzung des vorliegenden Verfahrens verlangt, dies bis zu der "erst am 11. März 2014 möglichen Sühneverhandlung vor Vermittleramt Kreis Fünf Dörfer Landquart mit evtl. nachfolgenden Klagen vor Gericht" bzw. bis die betreffenden Verfahren beendet und "eindeutige Verhältnisse geschaffen" seien (Beschwerde S. 2 oben). Das Gesuch ist daher abzuweisen.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Den Beschwerdegegnern ist durch das vorliegende Verfahren kein Aufwand entstanden, so dass ihnen keine Parteientschädigung zuzusprechen ist.

Demnach wird erkannt:
1.
Das Sistierungsgesuch wird abgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons Graubünden und dem Kantonsgericht Graubünden, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp