Faits:
A. X._, né en 1970, et Y._, née en 1973, ont fait ménage commun de 1994 à mai 2006. Un enfant est issu de leur union: A._, née le 26 avril 2006 à Genève. La mère exerce l'autorité parentale et la garde de l'enfant.
Par convention du 30 janvier 2007, le père s'est engagé à verser mensuellement en faveur de sa fille, allocations familiales non comprises, la somme de 2'700 fr. du 1er janvier 2007 jusqu'aux 18 ans révolus de l'enfant et au-delà en cas d'études sérieuses et suivies.
Les parents ont, par convention du 18 juillet 2008 [recte: 2007], réduit le montant de la contribution d'entretien à 1'700 fr. par mois du 1er août 2007 jusqu'aux 18 ans révolus de l'enfant et au-delà en cas d'études sérieuses et suivies. Il était précisé que ladite contribution pourrait être revue si la situation d'une des parties devait se modifier de façon durable et importante.
Cette seconde convention a été approuvée par le Tribunal tutélaire du canton de Genève le 8 août 2007. Dans leur courrier commun du 19 juillet 2007 soumettant ledit accord à approbation, les père et mère ont indiqué que même si le montant convenu était «certainement légèrement supérieur à la norme», il correspondait aux besoins de leur fille.
Sur requête du père, le droit de visite a été fixé par ordonnance du Tribunal tutélaire du 30 juin 2008 puis, l'intéressé ayant recouru, par décision de l'Autorité de surveillance des tutelles du 17 novembre 2008.
B. Le 30 décembre 2008, le père a requis - en dirigeant son action exclusivement contre Y._ - la modification de la contribution alimentaire, proposant de verser mensuellement en faveur de sa fille, dès le 1er janvier 2009, une contribution d'entretien de 1'000 fr. jusqu'à l'âge de 5 ans, 1'100 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 1'200 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans et 1'300 fr. jusqu'à la majorité, voire au-delà en cas d'études.
Le Tribunal de première instance de Genève l'a débouté de ses conclusions le 14 mai 2009. Ce jugement a été confirmé le 24 septembre suivant par la Cour de justice du canton de Genève, qui a cependant rectifié la dénomination des parties en ce sens que la défenderesse est l'enfant, A._, représentée par sa mère, Y._.
C. Par acte du 26 octobre 2009, le père exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt de la Cour de justice du 24 septembre 2009, en reprenant ses conclusions de première instance.
Dans sa détermination du 29 janvier 2010, A._ propose le rejet du recours. A titre liminaire, elle rappelle que le Tribunal de première instance a été requis de se prononcer sur la question de la légitimation passive, dès lors que la demande a été déposée contre sa mère, Y._, alors qu'elle-même est créancière de la contribution d'entretien et, partant, titulaire des droits dont le demandeur souhaite la modification.
La Cour de justice s'est référée aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) prise en matière civile (<ref-law>) par l'autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF). La valeur litigieuse minimale est par ailleurs atteinte (<ref-law>). Interjeté en temps utile (<ref-law>) et en la forme prévue par la loi (<ref-law>), par la partie qui a succombé dans ses conclusions en instance cantonale (<ref-law>), le recours est en outre recevable sous l'angle de ces dispositions.
1.2 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de la juridiction précédente, ni par les moyens des parties (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 550). Cependant, compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), à l'<ref-law>, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui peuvent se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 152). Le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits constitutionnels que si ce grief a été dûment invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé d'une manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 3 p. 352 et les arrêts cités), les critiques de nature appellatoire étant irrecevables (<ref-ruling> consid. 2 p. 591/592 et les arrêts cités).
1.3 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'écarter des constatations de la juridiction cantonale doit exposer de manière circonstanciée en quoi les exceptions prévues par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi on ne saurait tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui figurant dans la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 466/467; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 152). Les faits nouveaux et les preuves nouvelles sont prohibés, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>); il en est ainsi même lorsque la maxime inquisitoire est applicable, ce qui est le cas s'agissant du sort des enfants (<ref-ruling> consid. 1c p. 231/232).
Dans la mesure où le recourant s'écarte des constatations de fait retenues sans exposer en quoi l'exception de l'<ref-law> serait réalisée, ses allégations sont irrecevables.
2. En première instance cantonale, le recourant a dirigé sa «requête en fixation d'une pension alimentaire» contre la mère de l'enfant. Dans son mémoire de réponse, celle-ci a indiqué qu'elle s'en rapportait à justice quant à la légitimation passive, l'enfant étant en réalité le créancier de la contribution d'entretien et donc le titulaire des droits dont le demandeur souhaitait la modification. Le Tribunal de première instance ne s'est pas prononcé sur ce point. Quant à la Cour de justice, elle a, de son propre chef et sans aucune motivation, modifié la dénomination des parties, tant dans le rubrum que dans le corps de l'arrêt, en ce sens que la demande est dirigée contre l'enfant représenté par sa mère. Dans sa réponse au présent recours, l'enfant rappelle, à titre liminaire, que le Tribunal de première instance a été requis de se prononcer sur la question de la légitimation passive, dès lors que la demande a été déposée contre sa mère alors qu'elle-même est créancière de la contribution d'entretien et, partant, titulaire des droits dont le demandeur souhaite la modification.
2.1 La qualité pour agir et la qualité pour défendre appartiennent aux conditions matérielles de la prétention litigieuse. Elles se déterminent selon le droit au fond et leur défaut conduit au rejet de l'action, qui intervient indépendamment de la réalisation des éléments objectifs de la prétention litigieuse. Ainsi, l'admission de la qualité pour défendre signifie que le demandeur peut faire valoir sa prétention contre le défendeur, en tant que sujet passif de l'obligation en cause. Cette question, qui ressortit au droit fédéral (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 424), doit en particulier être examinée d'office et librement (<ref-ruling> consid. 2 p. 551 s.; <ref-ruling> consid. 1a p. 63).
2.2 Selon l'<ref-law>, les père et mère administrent les biens de l'enfant aussi longtemps qu'ils ont l'autorité parentale. La jurisprudence en a déduit que le détenteur de l'autorité parentale, qui a l'administration et la jouissance des biens de l'enfant mineur en vertu d'un droit propre, peut protéger en son nom les droits patrimoniaux de l'enfant et les faire valoir en justice en agissant personnellement comme partie (<ref-ruling> p. 245, relatif à l'art. 290 al. 1 aCC, dont la teneur est identique à l'actuel <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3 p. 355/356). La doctrine partage majoritairement ce point de vue, considérant par exemple que la demande de modification de la contribution à l'entretien de l'enfant fixée par le jugement de divorce peut être dirigée contre le détenteur de l'autorité parentale en tant que «Prozessstandschafter», disposant de la faculté d'être poursuivi en justice pour le droit d'autrui (cf. par exemple BÜHLER/SPÜHLER, Berner Kommentar und Ergänzungsband, n. 59 et n. 279 ad art. 156 aCC; Hegnauer, Berner Kommentar, n. 63 ad <ref-law>). Le Tribunal fédéral en a jugé de même dans le contexte d'une procédure de modification du jugement de divorce tendant également à la restitution de contributions d'entretien payées en trop, estimant que celles-ci faisaient partie de la fortune de l'enfant et que la faculté du détenteur de l'autorité parentale de conduire un procès en son propre nom et comme partie à la place de l'enfant obligé concerne la fortune de celui-ci considérée dans son ensemble (<ref-ruling> consid. 7 et 9 non publiés).
Le principe selon lequel, en vertu de l'<ref-law>, le détenteur de l'autorité parentale a qualité pour exercer en son nom les droits de l'enfant mineur et pour les faire valoir en justice ou dans une poursuite en agissant personnellement comme partie doit finalement valoir pour toutes les questions de nature pécuniaire et, par conséquent aussi, d'une manière générale, pour celles relatives à des contributions d'entretien. Il s'ensuit que la légitimation active ou passive doit être reconnue aussi bien au détenteur de l'autorité parentale qu'à l'enfant mineur (cf. <ref-ruling> précité). Tel est également le cas lorsque, comme en l'espèce, le litige porte sur la modification d'une contribution d'entretien fixée par convention approuvée par l'autorité tutélaire pour un enfant né hors mariage. Dès lors, la jurisprudence contraire de l'arrêt 5A_104/2009 du 19 mars 2009 ne saurait être maintenue. La légitimation passive de la mère, contre qui l'action a été dirigée, doit donc être admise. Il convient, par conséquent, de modifier dans ce sens la dénomination des parties telle qu'elle ressort de l'arrêt déféré.
3. Se plaignant d'une violation de son droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., le recourant reproche à la Cour de justice d'avoir refusé d'ordonner la production des certificats de salaire de l'intimée pour l'année 2008 ainsi que de tout document attestant d'éventuels primes ou bonus perçus par celle-ci.
3.1 Un droit à la preuve et à la contre-preuve est déduit de l'<ref-law>. Ainsi, le juge enfreint l'<ref-law> s'il refuse d'administrer une preuve régulièrement offerte, dans les formes et les délais prévus par la loi de procédure, et portant sur un fait pertinent pour l'appréciation juridique de la cause (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 195, 295 consid. 7. 1 p. 299 et les arrêts cités). Si des moyens de preuve sont invoqués en relation avec un droit subjectif privé découlant d'une norme de droit matériel fédéral, le recourant doit donc se plaindre, sauf exception qui n'entre pas en considération ici (arrêt 5A_561/2009 du 1er décembre 2009, consid. 2.1), de la violation de l'<ref-law>, et non de celle de son droit d'être entendu au sens de l'art. 29 al. 2 Cst. (arrêt 5A_620/2007 du 7 janvier 2010, consid. 6.1 et les références). S'agissant d'une prétention de droit privé fédéral, les critiques du recourant seront donc examinées à l'aune de l'<ref-law>, dont les conditions sont identiques à celles de l'art. 29 al. 2 Cst. (arrêt 5A_620/2007 précité et la jurisprudence mentionnée).
Le juge enfreint en particulier l'<ref-law> s'il tient pour exactes les allégations non prouvées d'une partie, nonobstant leur contestation par l'autre, ou s'il refuse toute administration de preuve sur des faits pertinents en droit (<ref-ruling> consid. 5.4 p. 601 s.; <ref-ruling> consid. 2a p. 291). En revanche, cette disposition ne régit pas l'appréciation des preuves, de sorte qu'elle ne prescrit pas quelles sont les mesures probatoires qui doivent être ordonnées (<ref-ruling> consid. 2a p. 522), ni ne dicte au juge comment forger sa conviction (<ref-ruling> consid. 2d p. 25; <ref-ruling> consid. 3a p. 253, 519 consid. 2a p. 522); elle n'exclut pas non plus que le juge puisse, sur la base d'une appréciation anticipée des preuves déjà disponibles, refuser l'administration d'une preuve supplémentaire au motif qu'il la tient pour impropre à modifier sa conviction (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 226; <ref-ruling> consid. 2.6 p. 24 ss). Si le juge a refusé une mesure probatoire en procédant à une appréciation anticipée des preuves, celle-ci ne peut être contestée qu'en invoquant l'arbitraire (art. 9 Cst.).
3.2 En l'espèce, l'autorité cantonale a refusé d'ordonner la production d'autres pièces relatives aux revenus de la mère de l'enfant aux motifs, d'une part, que l'augmentation de salaire de celle-ci de juillet 2007 à janvier 2009 n'était pas contestée et, d'autre part, qu'il était notoire dans un cas, hautement vraisemblable dans l'autre, que l'intéressée ne percevait pas - ou quasiment pas - de primes ou bonus de la part de ses deux employeurs. Les juges précédents ont ainsi procédé à une appréciation anticipée des moyens de preuve offerts, ce qui ne viole pas l'<ref-law>. En l'occurrence, le recourant ne prétend pas, ni a fortiori n'établit, que les motifs avancés par la Cour de justice pour considérer que la mère ne reçoit pas de bonus - ou seulement d'une faible importance - seraient insoutenables: il se contente en effet d'affirmer qu'il ne s'agit que de suppositions, ce qui ne suffit pas à en démontrer l'arbitraire (cf. supra, consid. 1.3).
4. Le recourant se plaint en outre d'appréciation arbitraire des preuves. Il reproche à la juridiction précédente d'avoir retenu que les charges incompressibles de l'enfant et de sa mère s'élevaient, en juillet 2007, à 3'663 fr. par mois, alors qu'en additionnant correctement les montants retenus à ce titre, y compris les impôts, elles se montaient en réalité à 4'009 fr. par mois. L'autorité cantonale aurait donc constaté à tort qu'au moment de la signature de la convention, les intéressées subissaient un déficit de 680 fr., et non de 1'026 fr. (2'983 fr. de revenu - 4'009 fr. de charges). En 2009, ce déficit n'était plus que de 342 fr. (3'974 fr. 83 de salaire - 4'316 fr. de charges), voire, si l'on tenait compte du concubinage de la mère, s'était transformé en un disponible de 711 fr. (3'974 fr. 83 de salaire - 3'264 fr. de charges). Dans la première hypothèse, la réduction de son déficit était donc de 684 fr. et devait être qualifiée d'importante; dans la seconde, soit en tenant compte du concubinage, l'amélioration de sa situation financière, d'un montant de 1'737 fr. (1'026 fr. + 711 fr.), devait être considérée comme très importante et ne pouvait dès lors profiter intégralement à l'enfant.
4.1 De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît dans ce domaine aux autorités cantonales (cf. notamment: <ref-ruling> consid. 4b p. 40; <ref-ruling> consid. 9 p. 399 et les arrêts cités). Il n'intervient, pour violation de l'art. 9 Cst., que si l'autorité cantonale n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les références; cf. aussi: <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254/255).
4.2 L'autorité cantonale a retenu que les revenus de la mère de l'enfant avaient augmenté de 2'983 fr. par mois en juillet 2007 à 3'974 fr. en 2009. En juillet 2007, ses charges incompressibles comprenaient 1'153 fr. de loyer, 290 fr. d'assurance maladie, 650 fr. de frais de crèche, 70 fr. de frais de transports publics, 304 fr. d'impôts cantonaux et communaux, 42 fr. d'impôt fédéral direct ainsi que les minima vitaux, d'un montant de 1'250 fr. pour elle-même et de 250 fr. pour l'enfant. Comme l'invoque à juste titre le recourant, l'addition de ces chiffres donne un résultat de 4'009 fr. et non de 3'663 fr.; partant, le déficit de la mère en juillet 2007 n'était pas de 680 fr., mais bien de 1'026 fr.
L'erreur de la cour cantonale ne doit cependant être prise en considération que dans la mesure où elle influence la question de la répartition entre les parents du coût d'entretien de l'enfant. Selon les constatations de l'arrêt attaqué, la comparaison des revenus et des charges de la mère en 2009 révèle un déficit de 342 fr. (3'974 fr. de salaire - 4'316 fr. de charges), voire, si l'on tient compte de l'aide financière de son compagnon, un disponible de 711 fr. (3'974 fr. de salaire - 3'264 fr.). En juillet 2007, elle subissait, après rectification de l'erreur commise par la Cour de justice, un déficit de 1'026 fr. Si l'on ne tient pas compte de l'aide financière éventuelle de son compagnon, sa situation financière s'est donc améliorée de 684 fr. et, dans le cas contraire, de 1'737 fr. par mois, ce qui n'apparaît certes pas négligeable. Il convient toutefois de rappeler que, selon la jurisprudence, l'amélioration des ressources du détenteur de l'autorité parentale ne suffit en principe pas pour justifier la réduction de la contribution due par l'autre parent, car ce sont les enfants qui doivent en profiter au premier chef par des conditions de vie plus favorables, notamment par l'acquisition d'une meilleure formation; une telle circonstance ne peut justifier la diminution de la contribution de l'autre parent que si, en raison de sa condition modeste, le paiement de la pension représente pour lui une charge particulièrement lourde (<ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 339/340; <ref-ruling> consid. 2c p. 84; arrêt 5C.27/2004 du 30 avril 2004 consid. 4.2, publié in FamPra.ch 2004 p. 728), la charge d'entretien devant rester équilibrée pour chacune des personnes concernées (Breitschmid, Basler Kommentar, 3e éd., n. 13 ad <ref-law>). Il convient dès lors de tenir également compte de l'évolution de la situation financière du débirentier.
En l'occurrence, l'arrêt attaqué retient que le recourant a réalisé en 2008 un revenu mensuel net de 8'534 fr. 35 pour des charges incompressibles de 3'094 fr. Partant, son disponible mensuel, qui était d'environ 5'100 fr. en juillet 2007 (revenus: 7'955 fr. - charges: 2'860 fr.), avait augmenté à 5'440 fr. en 2009 (revenus: 8'534 fr. 35 - charges: 3'094 fr.). Il n'avait pas produit de fiches de salaire postérieures à 2008, mais il était notoire que les salaires des employés de l'État de Genève avaient augmenté en 2009. Par conséquent, la situation financière du recourant s'était aussi améliorée, son disponible s'élevant actuellement, à tout le moins, à 5'440 fr.
Sur le vu de ces constatations, on ne saurait considérer que la charge d'entretien de sa fille, d'un montant de 1'700 fr. par mois, représente une charge particulièrement lourde pour le recourant, puisqu'il dispose encore, après paiement de la contribution, d'un solde d'au moins 3'740 fr. (contre 711 fr., au mieux, pour la mère). Il convient ainsi d'admettre, à l'instar de l'autorité cantonale, que l'amélioration de la situation financière de l'intimée doit in casu profiter à l'enfant.
5. Le recourant reproche en outre à l'autorité cantonale d'avoir violé les art. 276, 285 et 286 al. 2 CC. Il soutient d'abord que le coût d'entretien de l'enfant retenu par la Cour de justice est supérieur aux besoins réels de sa fille, de sorte que le montant de la contribution, qui aurait d'ailleurs dû être fixé par paliers, serait excessif. Ce faisant, il méconnaît que le présent litige ne porte pas sur la fixation de la contribution à l'entretien de l'enfant, mais sur la modification de la pension sur laquelle les parties se sont accordées par convention du 18 juillet 2007, approuvée par le Tribunal tutélaire le 8 août 2007. Or, la procédure de modification de la contribution d'entretien n'a pas pour but de corriger le premier jugement, mais de l'adapter aux circonstances nouvelles (<ref-ruling> consid. 3a p. 178, 285 consid. 4b p. 292). Le grief selon lequel l'amélioration de la situation financière de l'intimée ne peut profiter intégralement à l'enfant n'apparaît pas non plus fondé, comme il a été exposé ci-dessus (cf. supra, consid. 4.2 in fine).
Enfin, le recourant prétend que son droit de visite, restreint et irrégulier au moment de la signature de la convention, doit être qualifié de large depuis l'arrêt de l'Autorité de surveillance des tutelles du 17 novembre 2008. A cet égard, les juges précédents ont estimé à juste titre que le droit de visite actuel du recourant correspondait à un droit de visite habituel, dès lors que l'arrêt attaqué constate qu'il s'exerce, hormis durant les vacances, à raison d'un week-end sur deux du samedi à 9 heures au dimanche à 18 heures, en alternance avec un mercredi sur deux dès 12 heures suivi de la nuit jusqu'au retour à la crèche ou à l'école le jeudi matin. Il résulte en outre des faits retenus par l'autorité cantonale qu'après les vacances d'été de 2007 et jusque vers la mi-octobre 2007, soit durant la période correspondant à la signature de la convention, l'enfant voyait son père un week-end sur deux du vendredi en fin de journée au lundi matin, ainsi que tous les mercredis du début de l'après-midi au jeudi matin. Par la suite, sur décision de la mère, le père a exercé son droit de visite un week-end sur deux du samedi matin au dimanche soir et, en alternance, du mercredi après-midi au jeudi matin. A partir de janvier 2008, les relations personnelles ont été réduites à un week-end sur deux du samedi 9 heures au dimanche 18 heures. La réglementation actuelle ne prévoit toutefois que deux mercredis par mois de plus. Au demeurant, le recourant ne prétend pas qu'au moment de la signature de la convention du 18 juillet 2007, il aurait accepté de payer une contribution d'entretien plus élevée pour tenir compte d'un droit de visite particulièrement restreint. Dès lors, la réglementation actuelle du droit de visite, fixé judiciairement à la demande du père, ne saurait constituer une modification importante au sens de l'<ref-law>, qui commanderait une diminution de la contribution d'entretien (cf. <ref-ruling> consid. 2.7.4 p. 199/200; <ref-ruling> et 285 précités).
6. En conclusion, le recours se révèle mal fondé et doit par conséquent être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera dès lors les frais judiciaires (<ref-law>) et versera en outre des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 30 avril 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot