Sachverhalt:
A. A.a X._ ist heute Alleinerbe seines am 5. August 2000 verstorbenen Onkels und Paten Y._, der in F._ gewohnt hatte. Auf eigenes Ersuchen war für Y._ durch Beschluss der Sozial- bzw. Vormundschaftsbehörde F._ vom 5. Juli 1999 eine Beistandschaft im Sinne von <ref-law> errichtet und wunschgemäss G._ als Beiständin ernannt worden. Y._ rekurrierte, zog aber das Rechtsmittel am 7. September 1999 wieder zurück. Nachdem G._ trotz verschiedener Aufforderungen und Mahnungen kein Eröffnungsinventar erstellt hatte, beschloss die erwähnte Behörde am 23. Mai 2000, die Beiständin per sofort im Sinne von <ref-law> in ihrem Amt vorläufig einzustellen. Gleichzeitig wurde Treuhänder H._ als vorläufiger Beistand eingesetzt. Laut der von diesem nach dem Tod des Verbeiständeten vorgelegten Schlussabrechnung fehlten für einen Betrag von Fr. 108'140.55 Belege, die von G._ nicht beigebracht worden waren.
A.b Mit Eingabe vom 22. August 2002 erhob X._ beim Bezirksgericht I._ Klage gegen G._ und verlangte, diese zu verpflichten, ihm Fr. 108'140.55 nebst Zins zu 5 % seit 2. April 2002 zu zahlen. G._ erklärte Anerkennung der Klage, worauf das Verfahren durch Beschluss vom 17. Oktober 2002 als durch Klageanerkennung erledigt abgeschrieben wurde. In der Folge stellte sich heraus, dass G._ überschuldet war und die Forderung deshalb als uneinbringlich erschien.
B. Unter Berufung auf die <ref-law> reichte X._ hierauf mit Eingabe vom 23. September 2003 beim Bezirksgericht I._ eine Klage gegen A._, B._, C._, D._ und E._, alle fünf Mitglieder der Sozial- bzw. Vormundschaftsbehörde F._, ein und beantragte, sie zu verpflichten, ihm Fr. 115'231.75 nebst Zins zu 5 % auf Fr. 108'140.55 seit 2. April 2002 und auf Fr. 7'091.20 (Prozessentschädigung aus dem Verfahren gegen G._ sowie Weisungskosten) seit 17. April 2003 zu zahlen.
Das Bezirksgericht (II. Abteilung) und das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich wiesen die Klage mit Urteilen vom 14. September 2006 bzw. vom 12. Juni 2007 ab.
Am 30. Juni 2008 wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich die von X._ gegen den obergerichtlichen Entscheid erhobene Nichtigkeitsbeschwerde ab, soweit darauf einzutreten war.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. September 2008 beantragt X._, die Entscheide des Obergerichts und des Kassationsgerichts aufzuheben und die Beschwerdegegner A._, B._, C._, D._ und E._ zu verpflichten, ihm die bereits im kantonalen Verfahren geforderten Beträge zu zahlen; allenfalls seien die beiden Entscheide aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
Durch Präsidialverfügung vom 10. September 2008 ist das vom Beschwerdeführer gleichzeitig gestellte Gesuch, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, abgewiesen worden.
Die Beschwerdegegner schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Ober- und Kassationsgericht haben auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Ist der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts mit einem Rechtsmittel, das nicht alle Rügen nach den Art. 95-98 BGG zulässt, bei einer zusätzlichen kantonalen Gerichtsinstanz angefochten worden, so beginnt die Beschwerdefrist erst mit der Eröffnung des Entscheids dieser Instanz (<ref-law>). Die innert der - mit der Zustellung des Beschlusses des Kassationsgerichts ausgelösten und durch den Stillstand gemäss Art. 46 Abs. 1 lit. b (15. Juli bis und mit 15. August) verlängerte - Frist von 30 Tagen (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist daher auch bezüglich der Anfechtung des obergerichtlichen Urteils rechtzeitig, zumal das Kassationsgericht wenigstens teilweise auf die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde eingetreten ist und letztere insoweit somit zulässig war (dazu <ref-ruling> E. 1.4 S. 95).
1.2 Angefochten sind Entscheide über die vermögensrechtliche Verantwortlichkeit eines vormundschaftlichen Organs. Auseinandersetzungen dieser Art stehen - wie diejenigen auf dem Gebiet der Aufsicht über die Vormundschaftsbehörden (dazu ausdrücklich Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 BGG) - in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht, zumal sich die Haftungsvoraussetzungen nach privatrechtlichen Grundsätzen beurteilen (vgl. KATHRIN KLETT/ELISABETH ESCHER, Basler Kommentar, N. 8 zu <ref-law>). Auch sie unterliegen daher der Beschwerde in Zivilsachen (so auch Rolando Forni/Giorgio Piatti, Basler Kommentar, 3. Auflage, N. 13 zu den Art. 426-429 ZGB). Auf die Beschwerde ist mithin auch aus dieser Sicht ohne weiteres einzutreten.
2. 2.1 Für den Beistand gelten, soweit - wie für die hier zu beurteilenden Fragen - keine besonderen Vorschriften aufgestellt sind, die Bestimmungen über den Vormund (<ref-law>). Demnach haben aufgrund von <ref-law> der Beistand und die Mitglieder der vormundschaftlichen Behörden bei der Ausübung ihres Amtes die Regeln einer sorgfältigen Verwaltung zu beobachten; sie haften alle für den Schaden, den sie (absichtlich oder fahrlässig) verschulden. Wird die vormundschaftliche Behörde aus der Führung der Vormundschaft bzw. Beistandschaft verantwortlich, so ist jedes Mitglied haftbar, soweit es nicht nachweisen kann, dass ihm kein Verschulden zur Last fällt (<ref-law>); jedes der haftbaren Mitglieder trägt den Schaden für seinen Anteil (<ref-law>). Falls der Vormund bzw. Beistand und die Mitglieder der Vormundschaftsbehörde zugleich haftbar sind, so haften letztere nur für das, was vom Vormund bzw. Beistand nicht erhältlich ist (<ref-law>); aus Arglist (d.h. einem absichtlichen Verhalten) haften jedoch alle verantwortlichen Personen unmittelbar und solidarisch (<ref-law>).
2.2 Die Klage bezieht sich auf das Verhältnis zwischen der Beiständin und dem (verstorbenen) Verbeiständeten. Da es sich beim klagenden Beschwerdeführer nicht um eine Drittperson, sondern um den Universalsukzessor handelt (vgl. <ref-law>), sind auf den vorliegenden Fall die angeführten Haftungsnormen anwendbar, und nicht etwa die allgemeinen Bestimmungen von <ref-law> über die Haftung aus unerlaubter Handlung (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 17). Der Beschwerdeführer wirft den Beschwerdegegnern die Verletzung von Pflichten vor, die sich aus dem Bundesrecht (Art. 379-381 und 398 in Verbindung mit <ref-law>) ergeben. Es kommen deshalb auch aus dieser Sicht die <ref-law> zum Tragen (dazu BGE 57 II 3 E. 2 S. 3 f.).
2.3 Eine Haftung nach den <ref-law> setzt - wie eine solche nach den <ref-law> - Schaden, Widerrechtlichkeit (hier durch Verstoss gegen die Regeln einer sorgfältigen Vermögensverwaltung), adäquaten Kausalzusammenhang zwischen der beanstandeten Handlung oder Unterlassung und dem eingetretenen Schaden sowie Verschulden der ins Recht gefassten Person voraus (dazu Forni/Piatti, a.a.O., N. 1, 5 und 6 zu Art. 426-429 ZGB). Soweit die Haftung der Beschwerdegegner für das Verhalten der Beiständin in Frage steht, sind sodann im Sinne von <ref-law> die für die Geschäftsherrenhaftung (<ref-law>) bestehenden Regeln heranzuziehen (vgl. VICTOR LIEBER, Zürcher Kommentar, 3. Auflage, Zürich 1998, N. 87 zu <ref-law>). Es gelten mit anderen Worten die für diesen Tatbestand entwickelten Sorgfaltsgrundsätze betreffend das Auswählen, die Instruktion und die Beaufsichtigung einer Hilfsperson (cura in eligendo, in instruendo et in custodiendo).
3. Das Obergericht hat offen gelassen, ob ein Schaden, den der Beschwerdeführer in der Höhe des Geldbetrags von Fr. 108'140.55 erblicke, für den die frühere Beiständin nicht habe Rechenschaft ablegen können bzw. den sie verprasst habe, überhaupt eingetreten sei. Falls die Voraussetzungen für eine Haftung der Beschwerdegegner erfüllt sind, wird die kantonale Berufungsinstanz noch Abklärungen zur Höhe des Schadens zu treffen oder allenfalls die Sache zu solchen Abklärungen an das Bezirksgericht zurückzuweisen haben.
4. 4.1 Ebenso wenig hat das Obergericht sich zur Frage der Widerrechtlichkeit einer allfälligen schädigenden Handlung abschliessend geäussert. Mit der ersten Instanz und unter Hinweis auf deren Erwägungen verneinte es das Vorliegen eines haftungsbegründenden schuldhaften Verhaltens der Beschwerdegegner, das der Beschwerdeführer darin sehe, dass diese die Beiständin nicht sorgfältig ausgewählt und dann auch nicht genügend instruiert und überwacht hätten. Dem Vorbringen des Beschwerdeführers, G._ habe angesichts ihrer nur minimalen schulischen Ausbildung und des Fehlens einer Berufsausbildung und von Kenntnissen über die Vermögensverwaltung die notwendigen Voraussetzungen für das Amt einer Beiständin nicht erfüllt und hätte deshalb von den Beschwerdegegnern nicht ernannt werden dürfen, hält das Obergericht ergänzend entgegen, der Verbeiständete habe diese Ernennung selbst gewünscht, er hätte daher der Vormundschaftsbehörde nicht nachträglich vorwerfen können, die falsche Person ausgewählt bzw. bei der Ernennung der Beiständin ihre Sorgfaltspflicht verletzt zu haben; ein solcher Vorwurf hätte in krasser Weise gegen den Grundsatz von Treu und Glauben verstossen. Da der Beschwerdeführer nur Ansprüche geltend zu machen befugt sei, die er vom Verbeiständeten geerbt habe, könne auch er sich nicht mit Erfolg auf die Verletzung der cura in eligendo durch die Beschwerdegegner berufen. Mit dem Hinweis, G._ sei durch den Sozialsekretär K._ persönlich über die Pflichten einer Beiständin informiert worden, hat die kantonale Berufungsinstanz erklärt, den Beschwerdegegnern könne auch nicht vorgeworfen werden, sie hätten ihre Instruktionspflicht verletzt.
Zum Vorwurf mangelnder Beaufsichtigung führt das Obergericht sodann aus, der Beschwerdeführer begründe diesen im Wesentlichen damit, dass die Beschwerdegegner die Verschleppung der Erstellung des Eröffnungsinventars durch die Beiständin zugelassen und dem Verkauf der Eigentumswohnung des Verbeiständeten zugestimmt hätten, obwohl das erwähnte Inventar noch nicht vorgelegen habe. Unter Hinweis auf die Darlegungen der ersten Instanz bezeichnet es den Vorwurf als unbegründet. Es sei im Übrigen nicht ersichtlich, inwiefern die sofortige Erstellung des Inventars den behaupteten Schaden hätte vermeiden können; auch wenn die Beiständin diese Aufgabe unmittelbar nach Übernahme des Amtes korrekt erfüllt hätte und die Wohnung erst darnach verkauft worden wäre, wären flüssige finanzielle Mittel in der Höhe von Fr. 108'500.-- zugeflossen, so dass auch eine nach Auffassung des Beschwerdeführers korrekte Überwachung der Tätigkeit der Beiständin im Zusammenhang mit der Erstellung des Eröffnungsinventars nicht hätte verhindern können, dass die Beiständin den Verkaufserlös ohne Zustimmung des Verbeiständeten teils zu eigenem Nutzen verbraucht hätte. Ausserdem werde nicht geltend gemacht, der Verbeiständete habe die Verzögerung bei der Inventaraufnahme gerügt, und wäre eine nachträgliche Beanstandung deshalb treuwidrig gewesen, was der Beschwerdeführer als Rechtsnachfolger sich entgegenhalten zu lassen habe.
Das Obergericht erklärt schliesslich, dass entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers auch aus dem Beschluss vom 5. Februar 2001, worin die Sozialbehörde (Vormundschaftsbehörde) F._ die unter den Aktiven die Position "Kontokorrent Beiständin Fr. 108'140.55" ausweisende Schlussrechnung genehmigt habe, kein Haftungsanspruch gegenüber den Beschwerdegegnern abgeleitet werden könne.
4.2 Das Kassationsgericht ist einzig auf das Vorbringen des Beschwerdeführers eingetreten, er habe entgegen den Erwägungen des Obergerichts effektiv bestritten, dass die Beiständin durch den Sozialsekretär persönlich instruiert worden sei, und hat die Rüge verworfen. Soweit eine Verletzung klaren materiellen Rechts geltend gemacht worden war, trat es auf die Beschwerde nicht ein, zum einen, weil die beanstandete Missachtung kantonalen Rechts für den Ausgang des Verfahrens unerheblich geblieben sei, zum anderen, weil die Verletzung von Bundesrecht im Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde nicht gerügt werden könne.
4.3 Der Beschwerdeführer macht nach wie vor geltend, die Beschwerdegegner hätten mit der Ernennung von G._ als Beiständin wie auch bei deren Instruktion und Beaufsichtigung die ihnen obliegenden Sorgfaltspflichten verletzt, und rügt die gegenteilige Auffassung der beiden kantonalen Rechtsmittelinstanzen als bundesrechtswidrig. Im Einzelnen beanstandet er die dem Wunsch des Verbeiständeten bezüglich der als Beistand zu ernennenden Person beigemessene Bedeutung. Ferner bringt er vor, eine Instruktion von G._ habe nicht stattgefunden, eine solche sei auf jeden Fall deren Person nicht angemessen gewesen. Eine Verletzung von Bundesrecht erblickt der Beschwerdeführer ebenfalls darin, dass von den Beschwerdegegnern nicht ein Beharren auf fristgerechter Erstellung eines Eröffnungsinventars gefordert und zudem angenommen worden sei, der Schaden wäre wohl auch dann eingetreten, wenn die einschlägigen Vorschriften eingehalten worden wären. Er bemerkt, dass bei einem Bestehen auf die bei der Erstellung des genannten Inventars zu beachtenden Fristen festgestellt worden wäre, dass die Beiständin ihrer Aufgabe gar nicht gewachsen gewesen sei. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer, dass das Obergericht die Haftungsvoraussetzungen des Schadens, der Widerrechtlichkeit und des adäquaten Kausalzusammenhangs, die er ausser dem Verschulden der Beschwerdegegner ebenfalls für erfüllt hält, nicht geprüft hat.
5. Das Bezirksgericht I._, auf dessen Ausführungen zum Vorwurf der mangelnden Beaufsichtigung der Beiständin das Obergericht verweist, war in tatsächlicher Hinsicht davon ausgegangen, dass G._ nach Eintritt der Rechtskraft des die Beistandschaft anordnenden und sie zur Beiständin ernennenden Beschlusses der Vormundschaftsbehörde vom 5. Juli 1999 am 24. September 1999 schriftlich gebeten worden sei, sich im Zusammenhang mit dem Verkauf der Eigentumswohnung des Verbeiständeten mit der Sozialbehörde in Verbindung zu setzen. Die Beiständin habe dies getan und sich in der Folge um den Verkauf gekümmert. Mit Schreiben vom 29. November 1999 habe sie einen Antrag auf Zustimmung zum Verkauf der Wohnung zum Preis von 200'000 Franken gestellt, dem die Sozialbehörde am 13. Dezember 1999 stattgegeben habe. Durch Schreiben vom 3. Januar 2000 sei G._ dann erstmals schriftlich darauf aufmerksam gemacht worden, dass noch kein Eröffnungsinventar und auch kein Zwischenbericht per 30. November 1999 eingegangen sei. Sie sei aufgefordert worden, bis zum 11. Januar 2000 sich mit dem Sekretär der Sozialbehörde in Verbindung zu setzen, um einen Besprechungstermin zu vereinbaren, und die erforderlichen Unterlagen bereit zu halten. Am 15. Januar 2000 habe sie reagiert und Auszüge aus dem Postcheckkonto des Verbeiständeten eingereicht. Da damit noch nicht alle angeforderten Unterlagen eingereicht gewesen seien, sei die Beiständin mit Schreiben vom 1. Februar 2000 aufgefordert worden, das Versäumte bis zum 11. Februar 2000 nachzuholen. Nachdem auch diese Frist unbenutzt abgelaufen sei, sei am 14. Februar 2000 eine neue Frist bis zum 8. März 2000 angesetzt worden, um die für das Eröffnungsinventar erforderlichen Belege und einen Zwischenbericht einzureichen. Am 2. März 2000 habe G._ hierauf angerufen, doch habe sie den zuständigen Sekretär wegen dessen Ferienabwesenheit nicht erreichen können. Mit Schreiben vom 9. März 2000 sei sie alsdann auf den 14. März 2000 zu einer Besprechung vorgeladen worden. Zu dieser habe sie Quittungen über für den Verbeiständeten ausgeführte Zahlungen mitgebracht. Gleichzeitig habe sie versprochen, raschmöglichst das Eröffnungsinventar und die Buchhaltung abzuliefern. Da in der Folge jedoch keine weiteren Unterlagen eingegangen seien, sei die Beiständin mit Schreiben vom 11. April 2000 auf die Pendenz hingewiesen und ihr eine letzte Frist bis 27. April 2000 angesetzt worden, verbunden mit der Ankündigung, dass im Säumnisfall ein Amtsenthebungsverfahren durchgeführt werde. G._ habe am 25. April 2000 wieder mit einem Anruf reagiert und mitgeteilt, sie werde bis 5. Mai 2000 in den Ferien weilen, die fehlenden Unterlagen jedoch in der Woche vom 8. bis 12. Mai 2000 abgeben. Auf eine nochmalige Mahnung mit Fristansetzung vom 18. Mai 2000 habe sie dann am 23. Mai 2000 diverse Quittungen und Belege eingereicht, doch seien auch diese nicht geeignet gewesen, ein Eröffnungsinventar oder eine Buchhaltung zu erstellen. Noch am selben 23. Mai 2000 sei deshalb die vorläufige Amtseinstellung von G._ und die Einsetzung von H._ als Beistand beschlossen worden.
6. 6.1 Damit ein Beistand seine Aufgabe als Vermögensverwalter richtig erfüllen kann, muss er wissen, woraus das zu verwaltende Vermögen überhaupt besteht (Hans Michael Riemer, Grundriss des Vormundschaftsrechts, 2. Auflage, Bern 1997, § 4 N. 156). Art. 398 Abs. 1 (in Verbindung mit Art. 367 Abs. 3) ZGB sieht deshalb vor, dass bei Übernahme der Vormund- bzw. Beistandschaft ein Inventar über dieses Vermögen aufzunehmen ist. Es liegt in der Natur der Sache, dass dies rasch, nachdem die Anordnung der Beistandschaft rechtskräftig geworden ist, zu geschehen hat (dazu Joseph Kaufmann, Berner Kommentar, N. 7 zu <ref-law>, wonach das Inventar gemeinsam durch den Vormund und den Vertreter der Vormundschaftsbehörde aufgenommen wird und der Vormund bei einem Zögern der Vormundschaftsbehörde verpflichtet ist, die sofortige Festsetzung eines Termins zu verlangen; nach A. Egger, Zürcher Kommentar, N. 16 zu <ref-law>, Peter Tuor/Bernhard SCHNYDER/JÖRG SCHMID/ALEXANDRA RUMO-JUNGO, Das Schweizerische Zivilgesetzbuch, 12. Auflage, Zürich 2002, S. 522, und Albert Guler, Basler Kommentar, 3. Auflage, N. 3 zu <ref-law>, ist das Inventar "unverzüglich" bzw. "möglichst bald nach Amtsantritt" bzw. "so rasch als möglich nach der Amtsübernahme" aufzunehmen, wobei der letztgenannte Autor beifügt, dass für die Inventaraufnahme auf jeden Fall ein Zeitpunkt zu wählen sei, der vor den ersten den Vermögensstand beeinflussenden Amtshandlungen liege).
6.2 Aus den vom Obergericht übernommenen Feststellungen des Bezirksgerichts zum zeitlichen Ablauf der Geschehnisse ergibt sich, dass nicht nur G._, sondern auch die Beschwerdegegner als Mitglieder der Vormundschaftsbehörde in krasser Weise gegen <ref-law> verstossen haben: Aufgrund der sie treffenden Beaufsichtigungspflicht hätten die Beschwerdegegner - durch entsprechende Weisungen an den für die Vormundschaftsbehörde handelnden Sekretär - vorbehaltlos auf eine rasche Erstellung und Einreichung des Eröffnungsinventars dringen müssen. Bei einer Nichtbefolgung der sich dabei aufdrängenden Anordnungen durch die Beiständin hätten sie diese alsdann sofort in ihrem Amt einstellen müssen. Statt dessen haben sie zugelassen, dass G._ erst am 3. Januar 2000, d.h. mehr als drei Monate, nachdem die Anordnung der Beistandschaft in Rechtskraft erwachsen war, und ausserdem zu einem Zeitpunkt, da die Zustimmung zum Verkauf der Wohnung des Verbeiständeten durch die Beiständin (13. Dezember 1999) bereits erteilt war, schriftlich auf das Fehlen des Eröffnungsinventars aufmerksam gemacht und aufgefordert wurde, sich mit dem Sekretär der Sozialbehörde in Verbindung zu setzen. Bis zum Beschluss vom 23. Mai 2000 über die vorläufige Amtseinstellung von G._ vergingen dann noch fast fünf weitere Monate. Es braucht unter den gegebenen Umständen gar nicht näher erörtert zu werden, ob die vom Beschwerdeführer angesprochene in § 111 des Zürcher EG zum ZGB dem Vormund für die Berichterstattung über die persönliche Fürsorge des Bevormundeten bzw. für die Einreichung der Rechnung eingeräumte Frist von sechs Wochen in einem Fall der vorliegenden Art überhaupt herangezogen werden kann. Dass der Beschwerdeführer sich auf das dargelegte säumige Verhalten der Beiständin bzw. der Beschwerdegegner im Zusammenhang mit der Erstellung des Eröffnungsinventars beruft, verstösst entgegen der Auffassung des Obergerichts ungeachtet der Tatsache, dass der Verbeiständete keine entsprechenden Rügen erhoben hatte, nicht gegen das Gebot von Treu und Glauben: Es war nämlich in jedem Fall Pflicht der Vormundschaftsbehörde selbst, für eine fristgerechte Erfüllung der Inventarisationspflicht zu sorgen. Unter diesen Umständen mag dahin gestellt bleiben, ob der Verbeiständete überhaupt in der Lage gewesen wäre, die Pflichtverletzung der Beiständin rechtzeitig zu erkennen.
7. Nach dem Gesagten ist die Haftungsvoraussetzung der Widerrechtlichkeit in dem Sinne erfüllt, dass die Beschwerdegegner das Untätigsein der Beiständin viel zu lange geduldet haben und damit den sich aus <ref-law> für sie ergebenden Pflichten nicht nachgekommen sind. In der dargelegten Verletzung der Beaufsichtigungspflicht liegt zudem auch das für eine Haftung der Beschwerdegegner vorausgesetzte Verschulden. Aufgrund des Festgestellten mag offen bleiben, ob die Beschwerdegegner ihre Sorgfaltspflichten schon mit der Auswahl der Person der Beiständin (cura in eligendo) oder bei deren Einführung in das Amt (cura in instruendo) verletzt haben. Was die Auswahl betrifft, sei immerhin bemerkt, dass das Vorschlagsrecht der zu bevormundenden bzw. zu verbeiständenden Person (Art. 381 in Verbindung mit <ref-law>) keinen Anspruch auf Berücksichtigung des Vorschlags beinhaltet (<ref-ruling> E. 2 S. 230 f.; <ref-ruling> S. 506 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 506); ein allfälliger Vorschlag ändert nichts daran, dass die Vormundschaftsbehörde eine "geeignete" Person zu bestimmen (<ref-law>) bzw. zu prüfen hat, ob nicht wichtige Gründe gegen eine Wahl des oder der Vorgeschlagenen sprechen (<ref-law>). Entgegen der Auffassung des Obergerichts verstösst es daher auch nicht gegen Treu und Glauben, wenn der Verbeiständete bzw. sein Rechtsnachfolger im Falle einer Ernennung der von jenem gewünschten Person eine Verletzung der cura in eligendo geltend macht.
8. Mit der Feststellung, auch eine korrekte Überwachung der Amtsführung der Beiständin hätte nicht verhindern können, dass diese den Erlös aus dem Verkauf der Wohnung des Verbeiständeten teils zu eigenem Nutzen verbraucht hätte, verneint das Obergericht - angesichts der tatsächlichen Gegebenheiten zu Unrecht - einen (adäquaten) Kausalzusammenhang zwischen dem dargelegten Fehlverhalten der Beschwerdegegner und dem Schaden. Wie der Beschwerdeführer mit Recht betont, wäre bei einem - vom Gesetz geforderten - Beharren der Beschwerdegegner auf fristgerechter Erstellung des Eröffnungsinventars sehr rasch zutage getreten, dass G._ überhaupt nicht in der Lage (oder aber nicht willens) war, das ihr übertragene Amt einer Beiständin korrekt auszuüben. Dies hätte zwangsläufig zur Einstellung der Beiständin in ihrem Amt vor Ende November/anfangs Dezember 1999 führen müssen, so dass sich die Frage einer Zustimmung zum Verkauf der Wohnung des Verbeiständeten durch sie von vornherein nicht gestellt hätte. Der in einem Verbrauch des erzielten Verkaufserlöses bestehende Schaden hätte somit gar nicht eintreten können.
9. Zusammenfassend ergibt sich, dass alle Voraussetzungen für eine grundsätzliche Haftung der Beschwerdegegner gegeben sind. Die Beschwerde ist daher gutzuheissen, und die beiden angefochtenen Entscheide sind aufzuheben. Als Mitglieder der Vormundschaftsbehörde haften die Beschwerdegegner für das, was von der Beiständin nicht erhältlich ist (Art. 429 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>). Es ist unbestritten, dass G._ zahlungsunfähig ist. Ein vorsätzliches Fehlverhalten der Beschwerdegegner, d.h. Arglist im Sinne von <ref-law>, liegt nicht vor, so dass diese nicht solidarisch, sondern anteilsmässig haften (Art. 428 Abs. 1 erster Teil und Abs. 2 ZGB). Abzuklären ist noch, ob einzelne Beschwerdegegner allenfalls Exkulpationsgründe darzutun vermögen (Art. 428 Abs. 1 zweiter Teil ZGB) oder ob bei gewissen Beschwerdegegnern das individuelle Verschulden eine Reduktion des Anteils zu rechtfertigen vermöge (dazu Tuor/ Schnyder/Schmid/Rumo-Jungo, a.a.O. S. 536). Hierzu - wie auch zur Bestimmung des Schadensbetrages (s. oben E. 3) - ist die Sache an das Obergericht zurückzuweisen, das anschliessend neu zu entscheiden haben wird.
10. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten - unter Solidarhaft - den Beschwerdegegnern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Diese sind ausserdem - ebenfalls unter Solidarhaft - zu verpflichten, den Beschwerdeführer für seine Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. 1.1 In Gutheissung der Beschwerde werden das Urteil des Obergerichts (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich vom 12. Juni 2007 und der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 30. Juni 2008 aufgehoben.
1.2 Die Sache wird zu neuer Beurteilung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden unter Solidarhaft den Beschwerdegegnern auferlegt.
3. Die Beschwerdegegner werden verpflichtet, den Beschwerdeführer für seine Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren unter Solidarhaft mit Fr. 8'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel