Sachverhalt:
A. A.a Die 1950 geborene S._ war in verschiedenen Positionen, bis hin zur Geschäftsstellenleiterin, bei der Filiale der Bank X._ tätig. Im Dezember 1993 zog sie sich bei einem Skiunfall ein Schleudertrauma der basalen Halswirbelsäule zu. Die Zürich Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Zürich), bei welcher sie gegen die Folgen von Unfällen versichert war, erbrachte Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen. Nach einem Sturz in einem Badezimmer am 11. Mai 1996 kam es zu einer vorübergehenden Verschlimmerung der Beschwerden. Wie bereits nach dem ersten Unfall erlangte S._ jedoch bald wieder eine volle Arbeitsfähigkeit. Gestützt auf ein Gutachten des Dr. med. F._, Facharzt für Neurologie FMH, richtete die Unfallversicherung S._ mit Verfügung vom 6. August 1998 eine Integritätsentschädigung entsprechend einer Einbusse von 10% aus und sicherte ihr zusätzlich zur Aufrechterhaltung der vollen Arbeitsfähigkeit die Übernahme der weiteren Heilbehandlung zu. Eine Rente wurde nicht ausgerichtet, da keine Erwerbsunfähigkeit vorlag.
A.b Am 8. März 2001 und am 23. Januar 2004 erlitt S._ zwei weitere Unfälle mit Schädigungen im Bereich der Halswirbelsäule und des Kopfes. In jenem Zeitraum war sie bei der Winterthur Versicherungsgesellschaft (nunmehr AXA Versicherungen AG; nachfolgend: AXA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert. Nach dem ersten der beiden Unfälle war sie ab 13. März 2003 wieder zu 50% arbeitsfähig; nach dem letzten Unfall nahm sie ihre Tätigkeit nicht mehr auf. S._ wurde im Auftrag der beiden Unfallversicherer sowie der Invalidenversicherung von verschiedenen Instituten polydisziplinär begutachtet.
A.c Mit Verfügung vom 14. Mai 2008 stellte die AXA ihre Leistungen für die Folgen des Unfalles vom 23. Januar 2004 per 23. Januar 2006 ein und vertrat den Standpunkt, für die Folgen des Ereignisses vom 8. März 2001 sei sie nicht leistungspflichtig, da dieses sich im Rahmen der Behandlung der Unfallfolgen von 1993 ereignete; mit Einspracheentscheid vom 7. Dezember 2011 hielt sie daran fest.
A.d Die Zürich eröffnete S._ mit Verfügung vom 2. Juni 2008, sie ziehe ihre Verfügung vom 6. August 1998 in Wiedererwägung und hebe diese auf. Sie stelle ihre Leistungen rückwirkend auf den 6. August 1998 ein, da ab diesem Zeitpunkt zwischen den Beschwerden und den versicherten Unfällen kein adäquater Kausalzusammenhang mehr bestehe. Für den nach diesem Datum gemeldeten Rückfall erbringe sie keine Leistungen. Die von S._ und von deren Krankenkasse, der Visana Versicherungen AG (nachfolgend: Visana), je separat erhobenen Einsprachen wies die Zürich mit Einspracheentscheid vom 22. April 2009 ab.
S._, die Visana und die AXA erhoben gegen den Einspracheentscheid Beschwerden, welche vom Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 23. März 2010 vereinigt und in dem Sinne gutgeheissen wurden, als der Einspracheentscheid aufgehoben, die Voraussetzungen für eine Wiedererwägung der Verfügung vom 6. August 1998 verneint und die Sache zu Abklärungen und zum Entscheid über eine weitere Leistungspflicht an die Zürich zurückgewiesen wurde.
Das Bundesgericht wies die dagegen von der Zürich erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 8C_290/2010 vom 21. September 2010).
A.e Im Nachgang zu diesem Entscheid des Bundesgerichts schloss die Zürich mit S._ einen Vergleich ab, welchen sie mit Verfügung vom 3. Februar 2012 der AXA zustellte. Diese erhob dagegen Einsprache, worauf die Zürich mit Einspracheentscheid vom 25. April 2012 nicht eintrat.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 8. Oktober 2012 ab, soweit es darauf eintrat.
C. Die AXA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, es sei festzustellen, dass der Vergleich zwischen der Zürich und S._ nichtig sei, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Zürich zu verpflichten, neu zu verfügen; eventualiter sei die Sache unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids an die Zürich zurückzuweisen, damit sie auf die Einsprache der AXA eintrete.
Die Vorinstanz, die Zürich, S._ sowie das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist einzig, ob die Zürich zu Recht auf die Einsprache der AXA gegen die Verfügung vom 3. Februar 2012 nicht eingetreten ist. Soweit in der Beschwerde mehr oder anderes verlangt wird, ist darauf nicht einzutreten.
2. Da es nicht um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung, sondern um eine prozessuale Frage (Beschwerdelegitimation der AXA) geht, gelangen die Ausnahmen von Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG nicht zur Anwendung. Das Bundesgericht entscheidet im Rahmen der üblichen engen Kognition (vgl. etwa <ref-ruling> sowie SVR 2012 UV Nr. 29 S. 107 E. 1.2 [8C_455/2011] und SVR 2010 UV Nr. 16 S. 61 E. 2 [8C_622/2009]).
3. Die Vorinstanz hat die Bestimmungen und Grundsätze zum Beschwerdeverfahren und insbesondere zur Beschwerdelegitimation im Sozialversicherungsrecht (Art. 49 Abs. 4 und <ref-law>; <ref-ruling>, 131 V 298, 130 V 560; SVR 2009 UV Nr. 5 S. 16 = SVR 2009 UV Nr. 11 S. 45 [8C_606/2007]) richtig wiedergegeben. Zutreffend sind auch die Ausführungen zu <ref-law>, wonach bei geldwerten Streitigkeiten zwischen Versicherern das Bundesamt für Gesundheit eine Verfügung zu erlassen hat. Darauf kann verwiesen werden.
4. 4.1 Die Vorinstanz hat im Wesentlichen ausgeführt, die Beschwerdelegitimation gemäss <ref-law> sei in erster Linie auf Privatpersonen zugeschnitten. Nach der Rechtsprechung schliesse dies indessen nicht aus, dass sich auch eine Behörde zur Begründung ihrer Beschwerdebefugnis auf diese Bestimmungen berufen könne, sofern sie wie ein Privater ein bestimmtes, eigenes finanzielles Interesse verfolge. Eine Legitimation Dritter zur Anfechtung "pro Adressat" komme in Betracht, wenn sie ein selbstständiges, eigenes Rechtsschutzinteresse an der Beschwerdeführung in Anspruch nehmen könne. Mache hingegen ein Versicherungsträger im eigenen Namen und nicht zu Gunsten einer versicherten Person Leistungen geltend, komme das Verfahren nach <ref-law> zur Anwendung. Es stehe fest, dass die Zürich ihre Leistungen gegenüber der Versicherten eingestellt und diese gegen die entsprechende Verfügung vom 3. Februar 2012 keine Einsprache erhoben habe, weshalb sie mit dem Vergleich einverstanden sei. Weiter sei aktenkundig, dass auch die AXA ihre Leistungen gegenüber der Versicherten rechtskräftig eingestellt habe. Sie müsse daher nicht mehr damit rechnen, von der Versicherten in Anspruch genommen zu werden. Ihre Leistungen habe sie gegenüber der Versicherten vollständig erbracht. Das Interesse der AXA an einer Anfechtung der Verfügung vom 3. Februar 2012 betreffe vielmehr ihre Rückerstattungsansprüche als vorleistungspflichtige Versicherung gegenüber der Zürich. Dabei handle es sich um Ansprüche, welche die AXA in eigenem Namen erheben wolle. Hiefür stehe ihr das Verfahren nach <ref-law> offen, weshalb die Zürich zu Recht nicht auf ihre Einsprache eingetreten sei.
4.2 Demgegenüber macht die AXA geltend, die Verfügung der Zürich vom 3. Februar 2012 leide an mehreren, offensichtlichen und unheilbaren Mängeln und sei daher nichtig. Der zwischen der Zürich und der Versicherten abgeschlossene Vergleich widerspreche insbesondere dem Urteil 8C_290/2010 des Bundesgerichts vom 21. September 2010, in dem festgestellt worden sei, dass die Zürich der Versicherten gegenüber weitere Leistungen zu erbringen habe. Die Beschwerdelegitimation der AXA dürfe nicht davon tangiert werden, dass sich die Versicherte mit der Zürich verglichen habe. Die AXA habe unmissverständlich ein Leistungsbegehren zu Gunsten der Versicherten gestellt und sei daher "pro Adressat" zur Einsprache legitimiert. Durch den Verzicht der Versicherten auf weitergehende Leistungen gegenüber der Zürich seien zu Lasten der AXA Fakten geschaffen worden, die dieser im Regressverfahren entgegengehalten werden könnten. Es müsse ihr möglich sein, sich dagegen im Beschwerdeverfahren zur Wehr zu setzen, weshalb ihre Legitimation zu bejahen sei.
5. 5.1 Die AXA hat ihre Leistungen durch die rechtskräftige Verfügung vom 14. Mai 2008 (resp. dem unangefochten gebliebenen Einspracheentscheid vom 7. Dezember 2011) gegenüber der Versicherten eingestellt. Sie kann daher von jener - vorbehältlich Rückfälle und Spätfolgen (siehe dazu E. 5.4) - nicht mehr in Anspruch genommen werden. Ebenso wenig kann die Versicherte nach Annahme des Vergleichs bzw. nach Rechtskraft der diesen Vergleich bestätigenden Verfügung vom 3. Februar 2012 Leistungen gegenüber der Zürich geltend machen. Ein direkter Leistungsanspruch der Versicherten gegenüber den beiden im Streit stehenden Versicherungsträgern ist daher nicht mehr möglich.
5.2 Unter diesen Umständen kann das weitere Verfahren nur noch die beiden Versicherer betreffen und sich insbesondere, wie die AXA selbst darlegt, auf ihre Regressansprüche als vorleistungspflichtige Versicherung beziehen. Dabei handelt es sich aber, wie die Vorinstanz richtig ausgeführt hat, um ihre eigenen Ansprüche gegenüber der Zürich. Die Versicherte selber ist von diesem Verfahren nicht betroffen und hat keinerlei Interesse, sich daran zu beteiligen. Nachdem sie auf weitere Leistungen verzichtet hat, besteht kein Anlass, sie in dieses Verfahren miteinzubeziehen. Dadurch würde dem eigentlichen Zweck des sozialversicherungsrechtlichen Verfahrens, dem Schutz der Versicherten zum Durchbruch zu verhelfen, nicht gedient. Im Verfahren zwischen den beiden Versicherungsträgern wird es ausschliesslich um Regressansprüche gehen, für welche das Verfahren nach <ref-law> vorgesehen ist.
5.3 An dieser Betrachtungsweise ändert auch das von der AXA erwähnte Urteil des Bundesgerichts 8C_606/2007 vom 27. August 2008 (SVR 2009 UV Nr. 5 S. 16 = SVR 2009 UV Nr. 11 S. 45) nichts. Darin hatte sich das Gericht mit einer anderen Konstellation auseinanderzusetzen. Zu prüfen war, ob ein Versicherer gegen eine - leistungsablehnende - Verfügung eines anderen Versicherers beschwerdelegitimiert sei. Das Bundesgericht hat diese Frage auch für den Bereich der Unfallversicherung bejaht. Es hat festgestellt, der durch die leistungsablehnende Verfügung berührte Unfallversicherer sei zur Anfechtung "pro Adressat" befugt. Er habe ein selbstständiges Rechtsschutzinteresse, da er damit rechnen müsse, fortan für die Ausrichtung von Versicherungsleistungen hinsichtlich der noch bestehenden gesundheitlichen Beschwerden von der versicherten Person in Anspruch genommen zu werden. Diese damals zu beurteilende Konstellation weicht von der hier zu beurteilenden Frage insoweit ausschlaggebend ab, als die AXA in casu nicht zu Gunsten der Versicherten (und damit "pro Adressat") handelt, weil die Versicherte nicht mit einer einseitig angeordneten Leistungseinstellung konfrontiert ist, sondern im Rahmen des Vergleichs an der verfügten Lösung mitgewirkt und damit ein Interesse am Bestand der Verfügung vom 3. Februar 2012 hat, weshalb sie diese nicht in Frage stellen wird.
5.4 Daran ändert auch der Umstand nichts, dass die Versicherte - bei Vorliegen der entsprechenden gesetzlichen Voraussetzungen - an sich jederzeit Ansprüche für Rückfälle oder Spätfolgen geltend machen könnte. Diese Möglichkeit bleibt der versicherten Person auch erhalten, wenn der AXA im vorliegenden Verfahren die Legitimation zuerkannt würde. Macht die Versicherte allenfalls einen Rückfall oder Spätfolgen geltend, wird ein neues Verfahren eröffnet werden müssen, in dessen Rahmen der AXA alle Verfahrensrechte offen stehen. Sie erleidet daher keine verfahrensrechtlichen Nachteile.
5.5 Schliesslich kann auch nicht gesagt werden, die Legitimation der AXA sei deshalb zu bejahen, da sie in einem allfälligen Regressverfahren gegenüber der Zürich nach <ref-law> an die Verfügung vom 3. Februar 2012 bzw. den dieser zu Grunde liegenden Vergleich gebunden sei. Ein solche Bindungswirkung setzte aber voraus, dass die AXA den Vergleich zwischen der Zürich und der Versicherten anfechten könnte. Nachdem der AXA keine Beschwerdelegitimation zusteht, entfaltet der Vergleich keine solche Wirkung. Deshalb kann im vorliegenden Verfahren auch ungeprüft bleiben, ob der Vergleich an offensichtlichen, unheilbaren Mängeln leidet und daher nichtig ist oder gegen das Urteil 8C_290/2010 des Bundesgerichts vom 21. September 2010 verstösst. Derartige Einwendungen wird die AXA in einem allfälligen Regressverfahren gegen die Zürich nach <ref-law> geltend machen können.
6. Das Verfahren ist kostenpflichtig. Die AXA hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Zürich hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung, da sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, S._, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. März 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Riedi Hunold