Sachverhalt:
A.
Die Bundesanwaltschaft (BA) führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen des Verdachts der qualifizierten Geldwäscherei, der Veruntreuung und der qualifizierten ungetreuen Geschäftsbesorgung. Am 31. August 2012 wurde der Beschuldigte in Untersuchungshaft versetzt. Mit Entscheid vom 1. Juni 2013 des Bezirksgerichtes Zürich, Zwangsmassnahmengericht, wurde die Haft (gestützt auf ein Haftverlängerungsgesuch der BA vom 24. Mai 2013) zuletzt bis zum 1. Dezember 2013 verlängert. Eine am 5. Juni 2013 dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, mit Beschluss vom 3. Juli 2013 ab.
B.
Gegen den Entscheid der Beschwerdekammer gelangte X._ mit Beschwerde vom 15. Juli 2013 an das Bundesgericht. Da seine Eingabe irrtümlich an die Adresse des Bundesstrafgerichtes (in Bellinzona) adressiert war, wurde sie am 17. Juli 2013 durch das Bundesstrafgericht an das Bundesgericht weitergeleitet. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz.
Das Bundesstrafgericht und die BA liessen sich am 23. Juli bzw. 5. August 2013 vernehmen, während das Bezirksgericht auf eine Stellungnahme verzichtet hat. Der Beschwerdeführer replizierte am 19. August 2013 innert erstreckter Frist.

Erwägungen:
1.
Zunächst ist der Streitgegenstand der Beschwerde zu klären. Der Beschwerdeführer macht geltend, das erhobene Rechtsmittel richte sich "gegen den Umstand", dass "ihm selbst kein rechtliches Gehör gewährt" worden sei. Dementsprechend beantragt er die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Die Beschwerdekammer habe ihm Gelegenheit zu geben, zum Haftverlängerungsgesuch vom 24. Mai 2013 Stellung zu nehmen; ausserdem sei eine mündliche Haftverhandlung durchzuführen. Ein Haftentlassungsgesuch stellt der Beschwerdeführer (gemäss Rechtsbegehren) nicht.
Soweit die Beschwerdeschrift appellatorische Rügen enthält, die sich mit dem Gegenstand des angefochtenen Entscheides nicht substanziiert auseinandersetzen, kann darauf nicht eingetreten werden (<ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen (von <ref-law>) sind grundsätzlich erfüllt und geben zu keinen Vorbemerkungen Anlass.
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanzen hätten sein rechtliches Gehör verletzt, indem ihm keine Gelegenheit eingeräumt worden sei, persönlich zum Haftverlängerungsgesuch vom 24. Mai 2013 Stellung zu nehmen. Die erfolgte Zustellung des Gesuches an seinen amtlichen Verteidiger sei nicht ausreichend, zumal er separat die Auswechslung des amtlichen Verteidigers beantragt habe.
2.1. Der Beschwerdeführer räumt ein, dass er "zurzeit" durch seinen amtlichen Verteidiger verbeiständet ist. Sein separates Gesuch vom 14. Mai 2013 um Wechsel des Verteidigers bildet nicht Gegenstand des angefochtenen Haftprüfungsentscheides. Die amtliche Verteidigung ist bis zu einer allffälligen Aufhebung des Mandates rechtswirksam bestellt. Wie sich aus den Akten ergibt, reichte die BA am 24. Mai 2013 ihr Haftverlängerungsgesuch beim Zwangsmassnahmengericht ein. Dieses gab dem Beschwerdeführer und seinem amtlichen Verteidiger Gelegenheit zur Akteneinsicht und Stellungnahme. Nachdem der Beschwerdeführer beantragt hatte, auch persönlich Stellung nehmen zu wollen, stellte die BA dem amtlichen Verteidiger am 27. Mai 2013 eine Kopie des Haftverlängerungsgesuchs zur Weiterleitung an den Beschwerdeführer zu.
2.2. Wie im angefochtenen Entscheid (E. 2.3 S. 5) zutreffend dargelegt wird, sind die Aktenzustellungen über den amtlichen Verteidiger rechtsgültig erfolgt. Zwar wirft der Beschwerdeführer seinem Offizialverteidiger vor, dieser habe ihm das Haftverlängerungsgesuch erst verspätet (bzw. an eine veraltete Adresse) zugestellt. Es kann jedoch offen bleiben, ob dieser Vorwurf zutrifft und inwieweit es sich dabei um ein zulässiges neues Vorbringen handelt (vgl. <ref-law>). Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei jedenfalls "am 6. Juni 2013" im Besitz des Haftverlängerungsgesuchs gewesen. Damit hatte er spätestens im Beschwerdeverfahren vor der Vorinstanz die Möglichkeit, sich zum Gesuch zu äussern. Selbst wenn die erfolgten Zustellungen an den amtlichen Verteidiger durch das Zwangsmassnahmengericht und die BA als unzureichend anzusehen gewesen wären, was das Bundesstrafgericht mit Recht verneint, wäre eine allfällige Verletzung des rechtlichen Gehörs spätestens im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren "geheilt" worden.
2.3. Beiläufig kritisiert der Beschwerdeführer auch (nochmals), dass keine mündliche Verhandlung vor dem Zwangsmassnahmengericht bzw. dem Bundesstrafgericht durchgeführt worden sei. Dabei setzt er sich jedoch mit den zutreffenden Erwägungen der Beschwerdekammer, wonach im Haftverlängerungs- bzw. Haftbeschwerdeverfahren in der Regel keine mündliche Haftverhandlung durchzuführen ist und hier keine begründete Ausnahme vorliegt, nicht auseinander. Die Rüge der Gehörsverletzung erweist sich als unbegründet, soweit sie überhaupt ausreichend substanziiert erscheint (<ref-law>).
3.
Was die ergänzenden Erwägungen der Vorinstanz zu den Haftgründen betrifft, betont der Beschwerdeführer, dass diese gar nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens gebildet hätten. Die "Tatvorwürfe" (bzw. der allgemeine Haftgrund des dringenden Tatverdachtes) seien "inhaltlich nicht Bestandteil der Beschwerde". Dementsprechend stellt er auch kein Haftentlassungsgesuch.
3.1. Auf Vorbringen, die sich gar nicht auf den Streitgegenstand beziehen, ist grundsätzlich nicht einzutreten. Darüber hinaus wäre auch in den ergänzenden obiter dicta bzw. Eventualerwägungen der Beschwerdekammer keine Bundesrechtswidrigkeit ersichtlich:
3.2. Das Bundesstrafgericht legt den dringenden Tatverdacht von qualifizierter Geldwäscherei, qualifizierter ungetreuer Geschäftsbesorgung bzw. Veruntreuung ausführlich dar (vgl. angefochtener Entscheid E. 4.2-4.3, S. 6-9; s. ergänzend auch die Stellungnahme der BA vom 5. August 2013, S. 11-19). Die Einwände des Beschwerdeführers lassen den geschilderten Tatverdacht nicht dahinfallen. Dies gilt namentlich für die Vorbringen, er sei von Geschäftspartnern, die teilweise selber verhaftet wurden, "für deren unrechtes Vorgehen missbraucht" worden, oder die Beschuldigungen durch die BA beruhten auf angeblichen Fälschungen bzw. "absurden Interpretationen".
3.3. Bundesrechtskonform sind auch die ergänzenden Erwägungen der Vorinstanz zum besonderen Haftgrund der Fluchtgefahr und zur Frage allfälliger Ersatzmassnahmen (vgl. angefochtener Entscheid, E. 5 S. 9 f.). Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass er über keinen festen Wohnsitz in der Schweiz verfügt und gestützt auf einen internationalen Haftbefehl in Monaco verhaftet wurde. Die BA legt dar, dass er sich von Juli 2011 bis zu seiner rechtshilfeweisen Festnahme in Monaco im Mai 2012 der Strafuntersuchung entzogen habe; ihrer Vorladung zu einer ersten Einvernahme am 20. Juli 2011 habe er unbegründet keine Folge geleistet. Der Beschwerdeführer legt sodann selber dar, dass er internationale Geschäftskontakte pflegt und über ein weitgespanntes Beziehungsnetzwerk (sowie über grosse Reisegewandtheit) verfügt. Als zusätzlichen Fluchtanreiz durfte die Vorinstanz auch die ihm (im Falle einer Verurteilung) drohende empfindliche Freiheitsstrafe mitberücksichtigen. Zuzustimmen ist schliesslich auch der Einschätzung des Bundesstrafgerichtes, dass die vom Beschwerdeführer vorgeschlagenen Ersatzmassnahmen im jetzigen Verfahrensstadium nicht geeignet erscheinen, der dargelegten Fluchtneigung ausreichend zu begegnen.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, der Schweizerischen Bundesanwaltschaft, Zweigstelle Zürich, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, sowie Rechtsanwalt David Gibor schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. August 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster