Faits:
A.
B._, né en 1950, travaillait en qualité de magasinier-livreur pour le compte de l'entreprise X._ SA à V._, laquelle avait pour président et administrateur unique M._, fils de B._. Les rapports de travail ont été résiliés par l'employeur le 28 octobre 2010, avec effet au 30 novembre 2010 pour des motifs économiques. Par convention du 7 février 2011, la fin du délai de congé a été reportée au 31 janvier 2011 et l'employeur a reconnu devoir le salaire de décembre 2010, le 13 ème salaire 2010 ainsi que le salaire de janvier 2011, soit un montant total de 11'107 fr. 30. L'employeur s'est engagé à payer ce montant avant le 30 juin 2011.
Le 11 janvier 2012, B._ a adressé un courrier à X._ SA sommant ce dernier de lui verser les arriérés fixés dans la convention du 7 février 2011, à défaut de quoi une procédure par voie légale serait ouverte.
X._ SA a été déclarée en faillite par jugement du 14 février 2012. Le 29 février 2012, B._ a déposé une demande d'indemnité en cas d'insolvabilité pour la période allant du 1 er octobre 2010 au 31 janvier 2011 pour un montant total de 10'606 fr. 90. A l'appui de sa demande, il a expliqué que des problèmes de santé l'avaient empêché d'agir rapidement pour tenter de recouvrer les créances de salaire auprès de X._ SA et fourni à la caisse de chômage un certificat médical émis le 16 avril 2012 par le docteur K._, indiquant qu'il avait été hospitalisé du 28 au 30 octobre 2007 ainsi que du 7 au 11 juin 2010.
Par décision du 23 avril 2012, confirmée sur opposition le 5 juin 2012, la caisse cantonale de chômage a refusé le droit aux indemnités en cas d'insolvabilité à B._ au motif qu'il avait laissé à son employeur un délai de presque cinq mois pour s'acquitter des salaires dus puis avait attendu plus de six mois avant de le mettre formellement en demeure, enfreignant ainsi son obligation de diminuer le dommage.
B.
Saisie d'un recours contre la décision sur opposition du 5 juin 2012, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du Valais l'a rejeté par jugement du 25 octobre 2012.
C.
B._, représenté par le service juridique des Syndicats chrétiens du Valais, interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Sous suite de frais et dépens, il conclut à son annulation et demande que son droit à l'indemnité en cas d'insolvabilité soit reconnu. Partant, il demande que la caisse soit condamnée à lui verser le montant de 11'107 fr. 30.
La caisse de chômage et le Secrétariat d'Etat à l'économie (Seco) ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 2.5 p. 262; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 140).
1.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut cependant rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
2.
Est litigieux le droit du recourant à l'indemnité en cas d'insolvabilité pour la période du 1 er octobre 2010 au 31 janvier 2011.
3.
Aux termes de l'art. 51 al. 1 let. a LACI, les travailleurs assujettis au paiement des cotisations, qui sont au service d'un employeur insolvable sujet à une procédure d'exécution forcée en Suisse ou employant des travailleurs en Suisse, ont droit à une indemnité pour insolvabilité lorsqu'une procédure de faillite est engagée contre leur employeur et qu'ils ont, à ce moment-là, des créances de salaire envers lui. Selon l'art. 55 al. 1 LACI, dans la procédure de faillite ou de saisie, le travailleur est tenu de prendre toutes les mesures propres à sauvegarder son droit envers l'employeur, jusqu'à ce que la caisse l'informe de la subrogation dans ladite procédure. Lorsque la faillite est prononcée postérieurement à la dissolution des rapports de travail, le travailleur qui n'a pas reçu son salaire, en raison de difficultés économiques rencontrées par l'employeur, a l'obligation d'entreprendre à l'encontre de ce dernier les démarches utiles en vue de récupérer sa créance, sous peine de perdre son droit à l'indemnité en cas d'insolvabilité. Cette condition à laquelle est subordonnée le droit à l'indemnité ressort de l'arrêt <ref-ruling> consid. 3d p. 59.
Cela ne veut cependant pas dire qu'il faille exiger du salarié qu'il introduise sans délai une poursuite contre son ancien employeur (impliquant la notification d'un commandement de payer aux frais de l'assuré). Il s'agit seulement d'éviter que l'assuré reste inactif et n'entreprenne rien pour récupérer son salaire impayé, en attendant le prononcé de la faillite de son ex-employeur (DTA 1999 n° 24 p. 143).
4.
La juridiction cantonale a retenu qu'en attendant une année avant de mettre son employeur en demeure depuis le moment où les créances de salaire étaient échues, l'assuré avait tardé à entreprendre des démarches concrètes afin de diminuer son dommage. L'assuré aurait dû à tout le moins exiger des sûretés, ce d'autant plus qu'il savait que X._ SA était dans une mauvaise situation financière. Compte tenu du temps écoulé jusqu'à l'envoi de la sommation le 11 janvier 2012, il y avait lieu de considérer que l'assuré s'était accommodé de cette situation, acceptant de différer l'encaissement de sa créance à d'éventuels jours meilleurs et prenant ainsi le risque de ne plus pouvoir encaisser ses arriérés de salaire. La juridiction cantonale a ajouté que les séjours hospitaliers de l'assuré en 2007 et 2010 ne le dispensaient pas des démarches qui auraient dû être accomplies en 2011. Au demeurant, l'envoi de simples lettres de sommation, une demande de sûretés voire une mise en poursuites n'étaient pas incompatibles avec un mauvais état de santé physique.
5.
Le recourant invoque une appréciation arbitraire des faits ainsi qu'une violation des art. 51 al. 1 et 55 al. 1 LACI. Il fait valoir que sur la base des faits établis par la juridiction cantonale, à savoir la conclusion d'une transaction extrajudiciaire le 7 février 2011 dans laquelle l'employeur s'est engagé à régler les salaires impayés, une mise en demeure écrite du 11 janvier 2012 par laquelle il a sommé l'employeur d'exécuter la transaction dans les 10 jours et les réclamations orales entre la fin du mois de juin 2011 et le mois de janvier 2012, il était arbitraire de considérer qu'il n'avait pas rempli son obligation de réduire le dommage.
6.
En l'espèce, les rapports de travail ont initialement pris fin le 30 novembre 2010 et ce, pour des motifs économiques. L'assuré a cependant continué de travailler sans percevoir de salaire jusqu'au 31 janvier 2011. Le 7 février 2011, les parties ont signé une convention par laquelle l'employeur s'est engagé à payer jusqu'au 30 juin 2011 les salaires afférents aux mois de décembre 2010 et janvier 2011 ainsi que le 13 ème salaire de l'année 2010. Par lettre du 11 janvier 2012, le recourant a mis son employeur en demeure de lui verser les arriérés de salaire tels que fixés dans la convention du 7 février 2011.
Il ressort de cet état de fait qu'entre le 30 juin 2011 et le 11 janvier 2012, le recourant est resté totalement inactif. L'absence de réaction de l'assuré durant un tel laps de temps constitue, au regard de la jurisprudence (arrêts 8C_630/2011 du 3 octobre 2011, C 367/01 du 12 avril 2002 et C 91/01 du 4 septembre 2001), une violation de l'obligation de réduire le dommage. Le recourant allègue toutefois qu'au cours de cette période, il a procédé à des réclamations orales. Supposées avérées, ces interventions orales ne suffisent pas pour satisfaire à l'obligation de réduire le dommage (voir à cet égard les arrêts C 121/03 et C 145/03 du 2 septembre 2003, et C 367/01 du 12 avril 2002). Compte tenu de ce qui précède, la juridiction cantonale n'a pas violé le droit en retenant que l'absence de démarches de l'assuré pendant plus de six mois constituait une violation de l'obligation de réduire le dommage et, partant, entraînait la perte du droit à l'indemnité en cas d'insolvabilité.
Mal fondé, le recours doit être rejeté.
7.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 19 août 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Ursprung
La Greffière: Fretz Perrin