Faits:
A.
Par contrat du 4 décembre 2000, Banque X._ & Cie (ci-après: la bailleresse) a remis à bail à Z._ (ci-après: la locataire) un appartement de 3 pièces au 3ème étage de l'immeuble sis route ... à Carouge, pour un loyer fixé en dernier lieu à 560 fr. par mois, charges comprises.
Le bail s'est renouvelé tacitement d'année en année depuis son échéance initiale fixée au 31 décembre 2001.
La locataire a vécu dans ce logement avec A._ et leur enfant jusqu'à leur séparation en 2003, époque où elle est partie vivre au boulevard .... Depuis lors, A._ est le seul occupant de l'appartement et il s'acquitte du loyer au moyen de bulletins de versement envoyés par la bailleresse à la locataire à l'adresse des locaux loués.
Le 15 juillet 2009, la bailleresse, par l'intermédiaire de sa régie, a écrit une lettre recommandée à la locataire, à l'adresse du boulevard ..., lui rappelant qu'elle désirait savoir si elle comptait réintégrer son logement de la route ... et, dans la négative, la priait de résilier son bail.
Par courrier du 18 juillet 2009, la locataire a répondu qu'elle ne désirait pas résilier le bail de cet appartement.
La bailleresse a réitéré sa requête par courrier des 24 juillet et 28 août 2009, fixant à la locataire un délai au 15 septembre pour la communication de sa réponse.
Par avis officiel de résiliation du 30 septembre 2009, notifié à l'adresse du bail, la bailleresse a communiqué à la locataire son congé pour l'échéance contractuelle du 31 décembre 2010. Ce pli recommandé n'a pas été reçu par l'intéressée et est revenu à son expéditeur avec la mention " a déménagé, délai de réexpédition expiré ".
La bailleresse a dès lors retourné à la locataire, par pli simple du 9 novembre 2009, toujours à l'adresse des locaux loués, une copie noir et blanc de l'avis de résiliation du bail, ainsi que des directives de la régie relative à l'état des lieux de sortie. Le courrier d'accompagnement, signé, l'informait de la tenue d'un état des lieux de sortie le 3 janvier 2011. Dans ce document, la recourante fait référence à sa lettre recommandée du 30 septembre 2009 (soit à l'avis de résiliation du bail) qui n'a pas été retirée à la poste (arrêt entrepris consid. 2.4 p. 8) précisant qu'elle en maintient les termes (" Il va de soi que ce fait ne modifie en rien les termes de ladite lettre ") et qu'elle la lui remet en annexe de son courrier (" nous vous remettons sous ce pli, ... ") (complètement d'office: <ref-law>).
La locataire admet avoir reçu ce pli simple et le congé du 30 septembre 2009 n'a pas été contesté dans le délai légal.
Elle a refusé de libérer l'appartement. La locataire fait notamment valoir que le congé n'a pas été valablement notifié, l'avis officiel (original) du 30 septembre 2009 ne lui ayant pas été notifié et le pli simple du 9 novembre 2009 ne contenant qu'une photocopie de l'avis officiel.
B.
Par requêtes déposées le 27 avril 2011 au Tribunal des baux et loyers s'agissant de la locataire et au Tribunal de première instance s'agissant de A._, la bailleresse a requis, par la voie des cas clairs, leur évacuation de l'appartement.
Ces requêtes ont été déclarées irrecevables par ces juridictions les 5 septembre et 3 octobre 2011. Il a été retenu que la situation juridique n'était pas claire, au regard de l'<ref-law>, compte tenu de l'argument tiré de la nullité de la notification du congé et donc de l'absence de résiliation valable du bail.
Par requête déposée à la Commission de conciliation en matière de baux et loyers le 7 octobre 2011 et portée devant le Tribunal des baux et loyers le 22 mars 2012, la bailleresse a conclu à l'évacuation, avec exécution directe, de la locataire.
Par ordonnance du 30 mars 2012, le Tribunal des baux et loyers a limité dans un premier temps la procédure aux conclusions en évacuation.
Le Tribunal des baux et loyers, par jugement du 24 septembre 2012, a condamné la locataire à évacuer immédiatement l'appartement situé route ..., a réservé la suite de la procédure et a débouté les parties de toutes autres conclusions.
Sur appel de la locataire, la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice de Genève, par arrêt du 22 avril 2013, a annulé le jugement entrepris, constaté la nullité du congé donné par la bailleresse et débouté les parties de toutes autres conclusions.
C.
La bailleresse exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 22 avril 2013. Elle conclut, sous suite de dépens, à son annulation et, principalement, à la confirmation du jugement de première instance, subsidiairement, au renvoi de la cause à la cour cantonale. La recourante reproche à la cour précédente d'avoir transgressé l'<ref-law>, l'<ref-law>, l'<ref-law> et elle invoque l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits.
L'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.
La recourante a répliqué.

Considérant en droit:
1.
1.1. Lorsque - comme c'est le cas en l'espèce - le litige porte sur la validité d'un congé donné par le bailleur, la valeur litigieuse correspond au moins à trois ans de loyer, en raison du délai de protection, dans le cas où le locataire obtient gain de cause, qui est prévu par l'art. 271a al. 1 let. e CO (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 197; <ref-ruling> consid. 1 p. 386). Selon les constatations cantonales, la valeur litigieuse s'élève en l'espèce à 20'160 fr. (560 fr. x 36 mois).
Dans sa réponse, l'intimée soutient que son loyer, charges comprises, ne s'élève pas à 560 fr. (comme la cour cantonale l'a retenu), mais seulement à 340 fr., ainsi que cela ressort d'une facture de mai 2013 (jointe à sa réponse). Ce document a été établi postérieurement à la procédure cantonale qui a pris fin avec l'arrêt de la Cour de justice du 22 avril 2012; il constitue donc une preuve nouvelle qui ne peut être prise en compte par le Tribunal fédéral (<ref-law>). Pour le reste, l'intimée ne démontre pas en quoi le montant de 560 fr., retenu aussi bien par la cour cantonale que par le Tribunal des baux et loyers, aurait été établi de manière arbitraire (sur l'exigence, cf. infra consid. 1.3).
Il n'est donc pas douteux que la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. requise en matière de droit du bail par l'<ref-law> est ici atteinte.
Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions en validation du congé et en évacuation (<ref-law>) et dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (<ref-law>), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 45 al. 1, 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut donc également être formé pour violation d'un droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique d'office le droit dont il peut contrôler le respect (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 336; <ref-ruling> consid. 4 p. 317 s.). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 584; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 389; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400).
Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>).
1.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 187). La partie recourante qui se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit motiver son grief d'une manière qui réponde aux exigences de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
En l'espèce, le contenu du courrier du 9 novembre 2009, non contesté et ressortant à l'évidence du dossier, ne figure pas entièrement dans l'arrêt cantonal, alors qu'il est nécessaire pour la compréhension du litige; le Tribunal fédéral a procédé ci-dessus au complètement d'office en application de l'<ref-law>.
1.4. Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (<ref-law>).
Si le Tribunal fédéral admet le recours, il statue lui-même sur le fond ou renvoie l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle prenne une nouvelle décision (<ref-law>).
2.
2.1. En l'espèce, il n'est pas contesté que l'avis officiel de résiliation du bail du 30 septembre 2009 (qui contient la signature originale des représentants de la bailleresse) n'a pas atteint l'intimée. Il est établi que celle-ci a reçu, par pli simple du 9 novembre 2009, la photocopie de cet avis officiel et que le pli contenait également un courrier d'accompagnement sur lequel était apposée la signature manuscrite et originale des représentants autorisés de la recourante.
Dans son jugement du 24 septembre 2012, le Tribunal des baux et loyers a rappelé que, selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, la photocopie de l'original du formulaire de résiliation ne remplit pas la condition de la signature manuscrite (arrêt 4C.308/2004 du 10 novembre 2004 consid. 2.2.2). S'appuyant sur l'avis de trois auteurs de doctrine, la première instance a toutefois admis la validité du congé, la lettre d'accompagnement remplissant elle cette condition.
Dans son arrêt du 22 avril 2013, la cour cantonale, renvoyant à une décision de la Cour de céans (arrêt 4A_374/2012 du 6 novembre 2012), considère au contraire que c'est bien la formule officielle qui doit contenir une signature manuscrite et qu'il ne suffit pas qu'elle soit transmise sous forme de photocopie et accompagnée d'un courrier du bailleur dûment signé.
La recourante soutient que le raisonnement de la cour précédente viole l'<ref-law> et l'<ref-law>, le Tribunal fédéral ayant jugé, dans un arrêt 4C.32/1998 du 10 juillet 1998 (partiellement reproduit in MP 2000 p. 185), que la résiliation est valable si le courrier qui accompagne la formule officielle non signée est lui-même signé à la main.
2.2. L'état de fait retenu dans l'arrêt 4C.32/1998 auquel se réfère la recourante est effectivement comparable à celui objet de la présente procédure. La locataire soutenait que le congé notifié par le bailleur était nul parce que seule la lettre d'accompagnement, et non la formule officielle, contenait une signature manuscrite. Le Tribunal fédéral a alors tranché la question, affirmant qu'on tomberait dans l'excès si on suivait la thèse de la recourante et qu'il fallait, avec la cour cantonale, tenir comme suffisante une signature manuscrite apposée sur la lettre d'accompagnement (arrêt 4C.32/1998 déjà cité consid. 2 ; cf. également la décision de la Chambre d'appel en matière de baux et loyers de Genève du 10 novembre 1997 confirmée par cet arrêt, publiée in droit du bail No 11/1999, no 21 p. 29).
La doctrine unanime se réfère à cet arrêt, sans émettre la moindre critique ( DAVID LACHAT, Le bail à loyer, nouvelle éd. 2008, n. 2.2 p. 628; LACHAT/THANEI, in Mietrecht für die Praxis, 8e éd. 2009, n. 25/2.2 p. 510; MARINO MONTINI, in Droit du bail à loyer, Bohnet/Montini (éd.), 2010, no 18 ad <ref-law>; ROGER WEBER, in Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 5e éd. 2011, no 2 ad <ref-law>; Le droit suisse du bail à loyer - Commentaire SVIT, adaptation française de Burkhalter/Martinez-Favre, 2011, no 5a ad art. 266l-266o CO; RICHARD PERMANN, Mietrecht Kommentar, 2e éd. 2007, no 5 ad <ref-law>; en ce sens, antérieurement à la décision du Tribunal fédéral: PETER HIGI, in Zürcher Kommentar, 1995, no 18 ad <ref-law>; plaidant de manière générale pour un assouplissement de l'exigence de la signature manuscrite sur la formule officielle : RAOUL FUTTERLIEB, Formulaire de résiliation, MRA 2/05 p. 59 s.).
2.3. La position prise par la Cour de céans dans l'arrêt 4C.32/1998, partagée par la doctrine, est conforme à la lettre et à l'esprit de l'<ref-law> en lien avec les <ref-law>.
Le congé d'un bail d'habitation doit être donné par écrit (<ref-law>) et, lorsqu'il émane du bailleur, au moyen d'une formule officielle agréée par le canton (<ref-law>) . Il s'agit dans ce dernier cas de l'exigence d'une forme (écrite) qualifiée (arrêt 4C.308/2004 déjà cité consid. 2.2.2).
La forme écrite est régie par les <ref-law>. Elle implique - sous réserve des situations, qui n'entrent pas en ligne de compte en l'espèce, prévues à l'art. 14 al. 2 et 3 CO - que l'original comporte la signature manuscrite de l'auteur (<ref-law> ; entre autres auteurs : BERNARD CORBOZ, Les congés affectés d'un vice, 9e Séminaire sur le droit du bail, 1996, p. 16). L'apposition de la signature autographe, dans les déclarations où une forme est prescrite (<ref-law>), répond au besoin de pouvoir attribuer une déclaration à une personne clairement identifiable (<ref-ruling> consid. 2.4.2 p. 406).
C'est donc pour satisfaire à l'exigence de la forme écrite requise par l'<ref-law>, en lien avec les art. 11 al. 2, 13 al. 1 et 14 al. 1 CO, qu'une signature manuscrite doit être apposée par le bailleur sur la formule officielle (en l'absence de lettre d'accompagnement), et non parce qu'une telle signature serait spécialement exigée pour la formule officielle par l'<ref-law> ou l'<ref-law> (arrêts 4C.308/2004 déjà cité consid. 2.2.2 ; 4C.32/1998 déjà cité consid. 2 ; cf. également : décision de la Chambre d'appel en matière de baux et loyers de Genève du 10 novembre 1997, publiée in droit du bail No 11/1999, no 21 p. 29).
Ni l'<ref-law>, ni l'<ref-law> ne disposent que la signature manuscrite d'une formule officielle devrait être apposée au pied de l'acte lui-même (cf. en lien avec la forme écrite d'un acte: ATF 34 II 665 consid. 2 p. 672 s.). La manifestation de volonté (exprimée en l'occurrence dans la copie de l'avis de résiliation) peut résulter d'un document et la signature être apposée sur une autre pièce, comme une lettre d'accompagnement, pour autant qu'il existe entre ces documents un lien évident résultant du contenu de chacun d'eux (ATF 40 II 190 consid. 4 et 5 p. 194 ss; KRAMER/SCHMIDLIN, in Berner Kommentar, 1986, no 20 ad art. 12-15 CO et les références citées; SCHÖNENBERGER/JÄGGI, in Zürcher Kommentar, 1973, no 37 ad <ref-law>; en matière de reconnaissance de dette: <ref-ruling> consid. 4.1 p. 481; <ref-ruling> consid. 2 p. 126).
En l'espèce, ce lien existe puisque, la bailleresse, dans son courrier du 9 novembre 2009, fait référence à sa lettre recommandée du 30 septembre (soit l'avis de résiliation du bail), précise qu'elle en maintient les termes et informe qu'elle la remet en annexe. Ce courrier d'accompagnement et la formule officielle forment ainsi un tout, de telle sorte que l'on est en présence d'une déclaration signée qui est valable (cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 514; KRAMER/SCHMIDLIN, in Berner Kommentar, 1986, no 20 ad art. 12-15 CO).
2.4. Dans la décision du 6 novembre 2012 (arrêt 4A_374/2012) citée par la cour cantonale, le Tribunal fédéral devait déterminer si la date de la résiliation - qui doit figurer, selon l'<ref-law>, dans la formule officielle - pouvait valablement être indiquée exclusivement dans le courrier d'accompagnement. En l'espèce, l'autorité précédente se fonde sur une affirmation contenue au début du consid. 4 de cette décision. Dans ce bref passage, la Cour de céans a écarté l'argumentation du recourant qui, pour défendre sa thèse, tentait de faire une analogie entre l'exigence de la mention de la date du congé sur la formule officielle et celle de l'apposition de la signature du bailleur. C'est dans cette perspective qu'il a été fait référence à la question de la signature. Cet obiter dictum - qui renvoie d'ailleurs à un précédent arrêt (arrêt 4C.308/2004 du 10 novembre 2004 consid. 2.2.2) traitant exclusivement du contenu de la formule officielle (et non celui de la lettre d'accompagnement) - n'a donc pas la portée que lui attribue la cour précédente.
Il faut enfin relever que, contrairement à ce qu'affirme la cour cantonale, il n'importe que le courrier d'accompagnement daté du 9 novembre 2009 ne mentionne explicitement, dans son texte même, ni la volonté de la bailleresse de mettre fin au bail, ni la date à laquelle la résiliation envisagée est donnée. Il a été établi que le courrier en question, dûment signé, informait la locataire d'un état des lieux de sortie le 3 janvier et qu'il était accompagné d'une copie de l'avis de résiliation du bail (qui contenait toutes les indications exigées par l'<ref-law>), ainsi que des directives de la régie relatives à l'état des lieux de sortie. La volonté de la bailleresse de résilier le bail était donc patente et la date du congé contenue dans l'avis de résiliation. La locataire n'a d'ailleurs jamais allégué avoir eu un doute à ce sujet ; au cours de la procédure, elle s'est bornée à soutenir la thèse - écartée plus haut - selon laquelle l'envoi d'un pli contenant une simple photocopie de l'avis officiel accompagnée d'une lettre signée par le bailleur ne suffirait pas. Suivre la position de l'autorité précédente reviendrait au demeurant à exiger du bailleur, qui entend résilier le bail, d'attirer expressément l'attention du locataire sur le congé par d'autres moyens que le simple envoi de la formule officielle, ce qui n'est pas admissible, la loi ne prévoyant pas cette nécessité (cf. <ref-law> et <ref-law>).
Il résulte des considérations qui précèdent qu'il serait en l'espèce contraire au droit fédéral de retenir la nullité du congé parce que seule la lettre d'accompagnement, et non la formule officielle, contient une signature manuscrite originale.
Partant, en retenant que la résiliation du contrat par pli simple du 9 novembre 2009 était nulle, la cour cantonale a violé le droit fédéral.
3.
Le recours doit donc être admis pour ce motif, de sorte qu'il n'est pas nécessaire d'examiner les autres moyens développés par la recourante.
Par voie de réforme, il y a lieu de constater la validité du congé, celui-ci n'ayant pas été contesté dans le délai légal (arrêt entrepris p. 3 let. i). Le congé étant valable, la demande d'évacuation présentée par la bailleresse doit être admise, comme elle l'avait été par le Tribunal des baux et loyers dans son jugement du 24 septembre 2012.
Les frais et les dépens de la procédure fédérale sont mis à la charge de l'intimée, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Quant à la procédure antérieure, la cour cantonale, se référant à l'art. 22 de la loi genevoise d'application du Code civil et d'autres lois fédérales en matière civile du 11 octobre 2012 (LaCC; RSG E 1 05), a statué sans percevoir d'émolument ni allouer de dépens. La gratuité de la procédure résulte de l'art. 22 al. 1 LaCC qui prévoit qu'"il n'est pas prélevé de frais dans les causes soumises à la juridiction des baux et loyers". Cette règle cantonale reprend, au mot près, la formulation de l'art. 17 al. 1 de l'ancienne loi genevoise d'application du code civil suisse et autres lois fédérales en matière civile du 28 novembre 2010 (aLaCC). Il ressort des travaux préparatoires y relatifs que le mot "frais" doit être compris au sens de l'<ref-law> et qu'il comprend aussi bien les frais judiciaires que les dépens (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 185 s.).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé. La demande présentée par la banque X._ & Cie est admise en ce sens qu'il est ordonné à Z._ d'évacuer immédiatement, de sa personne, de ses biens, et de toute personne faisant ménage commun avec elle, les locaux situés route ..., 1227 Carouge (appartement no 32 au 3ème étage).
Les parties sont déboutées de toutes autres conclusions.
2.
La cause est renvoyée à la cour cantonale pour statuer sur l'exécution du jugement d'évacuation.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4.
L'intimée versera à la recourante une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre des baux et loyers.
Lausanne, le 7 novembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Piaget