Faits:
A.
X._ est propriétaire de l'établissement public "A._" situé sur la commune de Sion. A proximité se trouve l'établissement "B._", propriété de la société C._ SA.
A.a. Le 14 décembre 2006, D._ a demandé une autorisation pour exploiter le dancing B._.
Le 5 janvier 2007, Me F._, déclarant agir au nom et pour le compte de E._, ainsi que des propriétaires et voisins directs du dancing B._, a formé opposition, en annexant à son écriture treize listes de signatures d'opposants et un courrier de E._ daté du 5 janvier 2007. Ce dernier y soulignait la volonté des habitants du quartier concerné de s'opposer à la délivrance de l'autorisation d'exploiter le B._ et ajoutait que les mêmes remarques valaient aussi pour l'exploitation du A._. Le 1 er février 2007, la commune de Sion a refusé de délivrer l'autorisation sollicitée.
Le 2 mars 2007, E._, pour lui-même et pour les personnes résultant des oppositions signées le 5 janvier 2007 a établi une procuration en faveur de Me F._, afin qu'il le (s) représente "dans le cadre des affaires suivantes: délivrance d'une autorisation d'exploiter le dancing B._ (X._ et/ou tout autre requérant) ".
A.b. Le 16 mars 2007, X._ a déposé une demande en vue d'exploiter le dancing A._ à partir du début juin 2007.
Le 28 mars 2007, Me F._ a formé opposition au nom et pour le compte de E._ et "de personnes ressortant de la pièce 6, à savoir des propriétaires et voisins directs du dancing A._".
X._ a contesté la valeur juridique de cette opposition, au motif qu'elle n'avait pas été déposée avec une procuration signée par tous les opposants. Le 26 avril 2007, le Conseil communal de Sion a rejeté l'opposition, sans trancher la question de sa recevabilité et a délivré à X._ l'autorisation sollicitée sous certaines conditions.
Le 11 juin 2007, Me F._, agissant au nom de E._ et des propriétaires et voisins directs du dancing A._, "selon procurations jointes", a recouru contre la décision du conseil communal du 26 avril 2007 auprès du Conseil d'État du canton du Valais (ci-après le Conseil d'État).
Par arrêt du 5 décembre 2007, le Conseil d'État a admis le recours et renvoyé le dossier à la municipalité de Sion. Aucun recours n'a été déposé à l'encontre de cet arrêt.
Le 28 décembre 2007, X._ a reçu l'ordre de fermer immédiatement le A._ jusqu'à nouvelle décision de la municipalité.
A.c. Après diverses péripéties procédurales et nouvelles requêtes, le A._ a finalement fait place, dans les mêmes locaux, à un nouvel établissement public, le dancing/night club "G._", géré par H._, qui a pu en commencer l'exploitation à fin 2008.
B.
Le 21 juin 2010, X._ a ouvert une action en responsabilité à l'encontre de l'État du Valais, lui réclament le versement de CHF 139'917.20 avec intérêt à 5 % dès le 5 décembre 2007.
X._ a déposé à tort une action similaire auprès du Tribunal fédéral qui, par arrêt du 5 juillet 2010, a déclaré celle-ci irrecevable (cause 2C_430/2010).
Le 11 octobre 2011, le juge II du district de Sion a rejeté la demande. Statuant sur appel, le Tribunal cantonal valaisan, par jugement du 15 octobre 2012, a également rejeté l'action de X._ et mis à sa charge les frais judiciaires et les dépens.
C.
Contre le jugement du 15 octobre 2012, X._ forme un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'admission du recours, à l'annulation du jugement attaqué et à la condamnation de l'État du Valais à lui verser CHF 91'917.20 plus intérêt à 5 % dès le 5 décembre 2007. A titre subsidiaire, il demande le renvoi au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
L'État du Valais et le Tribunal cantonal ont été invités à produire leur dossier, sans échange d'écritures.

Considérant en droit:
1.
La deuxième Cour de droit public du Tribunal fédéral traite des recours en matière de droit public dans le domaine de la responsabilité de l'État (art. 30 let. c ch. 1 du règlement du 20 novembre 2006 du Tribunal fédéral [RTF; RS 173.110.131) lorsque, comme en l'espèce, la valeur litigieuse est supérieure à CHF 30'000.- (cf. <ref-law> a contrario). Dirigé contre un jugement final (<ref-law>) rendu par une autorité judiciaire cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>), par le recourant légitimé à agir selon l'<ref-law> et dans les formes prescrites par la loi (art. 42 al. 1 et 2 LTF). Il est donc recevable.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), alors qu'il ne revoit le droit cantonal, sous réserve d'exceptions non réalisées en l'espèce (cf. <ref-law>), que sous l'angle de la violation des droits fondamentaux - en particulier l'arbitraire -, qu'il appartient au recourant de motiver d'une façon conforme à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 314).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (cf. ATF I 58 consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 314) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
3.
3.1. A l'appui de son action, le recourant soutient que le Conseil d'État, dans sa décision du 5 décembre 2007, aurait dû déclarer irrecevable ou rejeter le recours du 11 juin 2007 au motif que Me F._ avait déposé une opposition, le 28 mars 2007, alors que, selon les documents produits, il ne disposait pas du pouvoir de représenter les opposants au nom desquels il déclarait agir. Cette issue de la procédure aurait permis au recourant d'exploiter avec effet immédiat le dancing. Il y voit une violation grave des devoirs de fonction de nature à entraîner la responsabilité de l'État.
3.2. L'arrêt attaqué rejette l'action pour deux motifs distincts. Premièrement, les juges cantonaux estiment que l'on ne peut faire aucun reproche au Conseil d'État en relation avec la prétendue absence de pouvoir de l'avocat pour former opposition. En effet, le fait que l'opposition déposée par Me F._ le 28 mars 2007 n'ait pas été munie d'une procuration en bonne et due forme ne signifie pas encore que l'avocat ne bénéficiait pas du pouvoir d'agir au nom et pour le compte des personnes qu'il mentionnait. Il se trouve que le conseil municipal de Sion n'avait pas exigé de Me F._ qu'il produise une procuration écrite, car, sur la base des pièces annexées à l'opposition du 28 mars 2007, l'autorité communale pouvait légitimement considérer que l'avocat était habilité à représenter les personnes citées dans son opposition. Au demeurant, dans son recours du 11 juin 2007 au Conseil d'État, Me F._ avait produit une procuration écrite, munie des signatures des personnes concernées, attestant de ses pouvoirs de représentation notamment pour former opposition et recours en relation avec le dancing A._. Partant, on ne pouvait reprocher aucun acte illicite au Conseil d'État. En second lieu, les juges ont relevé qu'il appartenait au recourant d'attaquer, par les voies de droit ordinaires, la décision du Conseil d'État du 5 décembre 2007, s'il estimait que c'était à tort que cette autorité avait considéré qu'une partie des recourants étaient légitimés. Ayant renoncé à recourir contre cette décision, il ne pouvait fonder son action en responsabilité sur la validité de ce prononcé.
3.3. Chacune de ces motivations permettant de justifier le jugement attaqué, il appartient au recourant de les contester individuellement, sous peine d'irrecevabilité (cf. <ref-ruling> consid. 4.1.4 p. 100 et les arrêts cités). Tel étant le cas en l'espèce, il convient d'entrer en matière.
4.
Le recourant se plaint d'arbitraire dans la constatation des faits, ainsi que dans l'application des art. 11 al. 2 et 44 al. 2 de la loi valaisanne du 6 octobre 1976 sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RS-VS 172.6), ainsi que de l'art. 4 al. 1 de la loi valaisanne du 10 mai 1978 sur la responsabilité des collectivités publiques et de leurs agents (LRCPA; RS-VS 170.1).
4.1. Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. Il ne suffit pas que la motivation de la décision critiquée soit insoutenable; encore faut-il que celle-ci se révèle arbitraire dans son résultat (cf. <ref-ruling> consid. 7.1 p. 51; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379 s.; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 21 s.).
4.2. S'agissant des faits, le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir retenu que, le 28 mars 2007, Me F._ avait formé opposition en déclarant agir au nom et pour le compte de E._, "ainsi que de personnes ressortant de la pièce 6, à savoir des propriétaires et voisins directs du dancing A._", sans examiner la teneur véritable des documents produits sous cette pièce. Or, ceux-ci ne conféreraient un pouvoir de représentation à l'avocat qu'en rapport avec l'établissement B._.
4.2.1. Ce faisant le recourant confond la question de la communication du pouvoir de représentation, au moyen d'une procuration écrite, avec celle de l'existence même du pouvoir du mandataire de représenter son client. La procuration écrite fournie par l'avocat à l'autorité permet de prouver un pouvoir de représentation et entraîne la protection des tiers de bonne foi, mais elle ne fait pas naître un tel pouvoir (cf. CHRISTINE CHAPPUIS, in LUC THÉVENOZ/FRANZ WERRO (ÉD.), Commentaire romand du Code des obligations I, n° 20 ad <ref-law>). A contrario, lorsqu'un avocat ne joint pas de procuration à son mémoire ou seulement une procuration lacunaire, cela ne signifie pas de facto qu'il agirait sans pouvoir de représentation, ce dernier n'étant pas subordonné à la forme écrite (cf. arrêt 4P.184/2003 du 2 février 2004 consid. 2.3.2). Partant, le Conseil d'État pouvait ne pas accorder une importance déterminante aux documents produits par l'avocat en annexe de son opposition, si d'autres éléments permettaient de démontrer que les personnes désignées dans l'écriture du 28 mars 2007 entendaient bien former opposition et désigner Me F._ comme représentant.
Sur ce point, le jugement entrepris retient en particulier que l'avocat, en annexe à son recours du 11 juin 2007 devant le Conseil d'État et pour lever toute ambiguïté à la suite de la contestation de ses pouvoirs dans la procédure d'opposition, a produit quinze listes comportant les noms et les signatures de personnes lui donnant pleine et entière procuration pour les représenter notamment pour faire opposition et recours en relation avec l'exploitation du A._. Il n'est pas insoutenable de considérer que ces procurations, mêmes postérieures au 28 mars 2007, suffisaient à établir que l'avocat, en formant opposition, n'avait pas outrepassé ses pouvoirs de représentation. En retenant que l'avocat était légitimé à agir sur la base de ces documents, indépendamment du contenu de l'annexe 6 de l'opposition, les juges cantonaux ne sont donc pas tombés dans l'arbitraire.
4.2.2. Selon l'art. 11 al. 2 LPJA, l'autorité peut exiger du mandataire qu'il justifie ses pouvoirs par une procuration écrite. S'il ne donne pas suite à la sommation, elle lui impartit un bref délai supplémentaire, en l'avertissant que son écriture sera déclarée irrecevable au cas où la procuration n'est pas déposée à temps. Quant à l'art. 44 al. 2 de cette même loi, il prévoit que n'a pas qualité pour recourir celui qui a négligé d'agir devant une instance inférieure alors qu'il en avait la possibilité.
L'art. 11 al. 2 LPJA n'impose pas à l'autorité l'obligation d'exiger une procuration écrite. Si elle y renonce, l'écriture déposée par un avocat qui n'aurait pas joint de procuration ou une procuration insuffisante ne peut être déclarée irrecevable; il faut pour cela que le mandataire ait été en mesure de réparer le vice. En l'occurrence, la commune de Sion n'a pas fixé de délai à l'avocat pour qu'il fournisse une procuration écrite en bonne et due forme. En outre, dans son recours devant le Conseil d'Etat, le mandataire a fourni des documents attestant que les personnes pour lesquelles il agissait l'avaient mandaté pour former opposition et recourir en vue d'empêcher l'exploitation du A._ (cf. supra consid. 4.2.1). Partant, on ne voit pas que le Conseil d'État aurait dû, sur la base des art. 11 al. 2 et 44 al. 2 LPJA, déclarer le recours irrecevable, voire le rejeter au motif qu'une telle procuration n'aurait pas déjà été produite au stade de l'opposition. Partant, le jugement entrepris n'applique à l'évidence pas arbitrairement le droit cantonal en refusant de reconnaître un manquement du Conseil d'État en relation avec les art. 11 al. et 44 al. 2 LJPA.
4.3. Reste à examiner si, sur la base des faits établis sans arbitraire, le Tribunal cantonal a méconnu de manière insoutenable l'art. 4 al. 1 LRCPA en refusant de retenir un acte illicite.
4.3.1. Selon l'art. 4 al. 1 LRCPA, l'État et les collectivités communales répondent du dommage causé illicitement à un tiers par un agent dans l'exercice de sa fonction. S'agissant de définir la notion d'acte illicite, il convient, en l'absence de disposition spécifique de droit cantonal, de se fonder sur la jurisprudence du Tribunal fédéral (cf. arrêt 2C_275/2012 du 11 décembre 2012 consid. 3.1), ce qu'a d'ailleurs fait le Tribunal cantonal. Selon cette jurisprudence, toute illégalité ne peut pas être qualifiée d'acte illicite lorsque l'on a affaire non pas à un acte matériel, mais à une décision administrative ou judiciaire. La responsabilité d'une collectivité publique en raison de l'illicéité d'une décision n'est admise qu'à des conditions restrictives. Ainsi, le comportement d'un magistrat ou d'un agent n'est illicite que lorsque celui-ci viole un devoir essentiel à l'exercice de sa fonction ou commet une erreur grave et manifeste qui n'aurait pas échappé à un homologue consciencieux (cf. <ref-ruling> consid. 3.3 p. 457). Le simple fait qu'une décision se révèle par la suite inexacte, contraire au droit ou même arbitraire ne suffit pas (cf. <ref-ruling> consid. 4d/dd p. 582; confirmé notamment in arrêt 2C_275/2012 précité consid. 3.2 et les nombreuses références).
4.3.2. En l'occurrence, de telles conditions ne sont à l'évidence pas remplies. Le recourant part de la prémisse erronée que l'avocat ne possédait pas le pouvoir de former opposition au nom et pour le compte des personnes désignées dans son acte du 28 mars 2007. Comme déjà indiqué (cf. supra consid. 4.2.1), les procurations fournies par l'avocat dans le cadre de son recours auprès du Conseil d'État démontrent que les personnes mentionnées dans l'opposition du 28 mars 2007 entendaient bien contester l'ouverture du A._ et désigner Me F._ comme représentant. Partant, on ne peut reprocher aucun manquement au Conseil d'État lorsqu'il a statué, le 5 décembre 2007, au motif qu'il n'aurait pas rejeté ou déclaré irrecevable le recours en raison d'un défaut lié à la qualité pour former opposition. En niant l'existence d'un acte illicite, le jugement entrepris n'applique donc manifestement pas l'art. 4 al. 1 LRCPA de manière arbitraire.
4.4. Une des conditions à la responsabilité de l'État prévue dans la LRCPA faisant défaut, le recours ne peut qu'être rejeté, sans qu'il y ait lieu d'examiner au surplus les griefs formés au sujet de la motivation alternative figurant dans l'arrêt attaqué (cf. supra consid. 3.3).
5.
Compte tenu de l'issue du litige, le recourant supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Aucun échange d'écritures n'ayant été ordonné, il n'y a pas lieu d'allouer des dépens au canton du Valais (cf. arrêts 2C_852/2011 du 10 janvier 2012 consid. 6 et 2C_158/2010 du 18 août 2010 consid. 4).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à CHF 3'000.-, sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour civile II.
Lausanne, le 23 janvier 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Beti