Faits:
A. C._ a travaillé comme aide de cuisine dans un restaurant à E._ jusqu'au 10 avril 2002, date à laquelle il a été mis en arrêt de travail. Le 23 juillet 2003, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité visant singulièrement à l'octroi d'une rente, en invoquant souffrir, depuis le 12 mars 2002, d'ulcères dus à une insuffisance artérielle et veineuse.
En raison d'une aggravation de son état de santé, C._ a subi une amputation à la mi-jambe gauche (le 6 octobre 2004). L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a pris en charge les coûts d'une prothèse tibiale gauche et de chaussures orthopédiques. La situation s'étant stabilisée, l'administration a rejeté la demande de rente (décision du 13 octobre 2005) avant de recueillir, sur opposition de l'intéressé, de nouveaux rapports médicaux. Il a également chargé son Service médical régional (SMR) d'examiner l'assuré. Dans son rapport du 25 juillet 2006, le docteur T._, chirurgien-orthopédiste et médecin du SMR, a considéré que C._ était incapable de travailler dans son métier d'aide-cuisinier (ou d'ouvrier), mais était en mesure d'exercer à plein temps une activité adaptée (soit sédentaire, n'impliquant ni la position debout prolongée et de longues marches, ni le port de charges supérieures à 10 kilos) à partir du septième mois après l'intervention chirurgicale. Le prénommé a contesté cette appréciation en produisant un rapport de son médecin traitant, le docteur C._, du 20 octobre 2006.
Par décision du 28 novembre 2006, l'office AI a partiellement admis l'opposition de l'assuré, en lui allouant une rente entière d'invalidité du 1er avril 2003 au 31 août 2005. Il a considéré, pour le surplus, qu'à partir de cette date, C._ présentait une incapacité de gain de 16 %, insuffisante pour maintenir le droit à une rente.
B. Statuant le 29 mai 2007 sur le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève l'a rejeté dans la mesure où il était recevable.
C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Sous suite de dépens, il conclut "préalablement" à ce que soit ordonnée une expertise sur le plan cardiologique et, au fond, à l'octroi d'une rente entière d'invalidité à partir du 1er avril 2003 "sans limitation dans le temps".
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office. N'examinant en principe que les griefs invoqués, le Tribunal statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) et peut rectifier ou compléter d'office les constatations de celle-ci si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
A l'appui de son recours en matière de droit public, le recourant produit deux nouveaux avis du docteur C._ (datés des 20 et 29 juin 2007, avec une annexe datée du 30 mars précédent qui n'a pas été produite en instance cantonale). Il s'agit de preuves nouvelles au sens de l'art. 99 al. 1 LTF qui ne sont pas recevables: établies postérieurement au jugement entrepris, elles ne peuvent par définition "résulter" du jugement entrepris (Meyer, in: M. A. Niggli/P. Uebersax/H. Wiprächtiger [édit.], Bundesgerichtsgesetz, Bâle 2008, ad art. 99 LTF, n. 43 p. 979).
1.2 En ce qui concerne l'évaluation de l'invalidité, les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'<ref-ruling> consid. 3 p. 397 ss (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations relatives à l'existence d'une atteinte à la santé, de même que l'appréciation de la capacité de travail de l'assuré et du caractère exigible de l'exercice d'une activité lucrative adaptée relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398).
2. Le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence applicables au présent cas, notamment les principes relatifs à une décision par laquelle l'administration alloue une rente d'invalidité avec effet rétroactif puis réduit, supprime ou augmente la rente. Il suffit d'y renvoyer.
3. La juridiction cantonale ayant confirmé le droit du recourant à une rente entière d'invalidité du 1er avril au 31 juillet 2005 (recte août 2005), seul est litigieux le point de savoir si le recourant peut prétendre à une rente de l'assurance-invalidité à partir du 1er septembre 2005.
3.1 Les premiers juges ont répondu de manière négative à cette question. Faisant leurs les conclusions du docteur T._ du 25 juillet 2006, ils ont constaté que l'état de santé du recourant s'était amélioré de manière notable au printemps 2005, à la suite de la mise en place d'une prothèse au membre inférieur gauche, et qu'il était depuis lors capable d'exercer à plein temps une activité adaptée telle que décrite par le médecin. Examinant l'appréciation contraire du médecin traitant, selon laquelle son patient était incapable d'exercer une activité lucrative, ils ont expliqué les raisons qui les amenaient à s'en écarter et à ne pas tenir compte, en particulier, de la possibilité d'une aggravation future du status artériel à moyen terme dont avait fait état le docteur C._. Procédant ensuite à une comparaison des revenus déterminants (en 2005), la juridiction cantonale a constaté qu'il n'en résultait aucune perte de gain, de sorte que la suppression de la rente à partir du 1er août (recte septembre) 2005 était conforme au droit.
3.2 En substance, le recourant critique les constatations de fait de la juridiction cantonale, en ce qu'elle se serait fondée sur des conclusions médicales qui ne tenaient pas compte de l'ensemble des atteintes à la santé sur le plan vasculaire et cardiologique mises en évidence par le docteur C._.
4. 4.1 La juridiction cantonale a écarté l'appréciation du médecin traitant en considérant qu'il avait retenu les mêmes diagnostics que le docteur T._, mais en avait évalué différemment les répercussions sur la capacité de travail, cette divergence étant due à sa position de médecin traitant.
4.2 Dans un premier temps, les diagnostics posés par le médecin du SMR (rapport du 25 juillet 2006) et le docteur C._ (rapports des 26 octobre 2005 et 20 octobre 2006) se recoupaient dans une large mesure, même si le médecin traitant a évoqué des facteurs de risques cardio-vasculaires et une évolution défavorable et rapide de la maladie métabolique présentée par le patient. Dans un rapport du 4 janvier 2007, produit par l'assuré avec son mémoire de recours cantonal, le docteur C._ a toutefois fait état d'un nouveau diagnostic, en indiquant que C._ avait été soumis à des investigations cardiaques qui avaient mis en évidence un infarctus du myocarde inféro-latéral ancien. Il précisait que ce diagnostic laissait suspecter l'existence d'une maladie coronarienne qui devait être confirmée par un examen supplémentaire. Rendu postérieurement à la décision litigieuse du 28 novembre 2006, ce rapport fait cependant partie des pièces dont avaient à tenir compte les premiers juges dès lors qu'il a trait à un fait survenu avant le moment où cette décision a été rendue (cf. <ref-ruling> et les arrêts cités), même si la survenance de l'atteinte n'est pas datée avec exactitude.
4.3 Au regard de cette nouvelle observation médicale, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'état de santé de l'assuré fondées sur le rapport du docteur T._ apparaissent incomplètes, ce qui revient à une violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (en relation avec l'art. 97 al. 1). Elles ne tiennent en effet pas compte d'un élément médical supplémentaire qui pourrait avoir une influence dans l'appréciation de l'état de santé du recourant et des effets de celui-ci sur sa capacité de travail. Même si le médecin traitant ne s'est pas prononcé sur ces aspects dans son avis du 4 janvier 2007, la juridiction cantonale ne pouvait exclure d'emblée que le nouveau diagnostic modifiât l'évaluation du médecin du SMR, qui s'était prononcé essentiellement sur la situation du point de vue orthopédique sans avoir connaissance de la problématique cardiaque. Il lui appartenait tout au moins d'interroger le docteur T._ à cet égard.
Compte tenu du nouveau diagnostic, on peut par ailleurs se demander si une nouvelle expertise pluridisciplinaire ne devrait pas être réalisée, afin de déterminer si les limitations fonctionnelles décrites dans le rapport du 25 juillet 2006 sont compatibles avec les facteurs de risque cardio-vasculaire évoqués par le médecin traitant. A ce sujet, et en l'état du dossier, on constate qu'au regard des limitations décrites par les docteurs T._ et C._ (activité sédentaire [sans position stable prolongée]; pas de station debout prolongée; pas de port de charges de plus de 10 kg; courts déplacements) et aux difficultés propres au port d'une prothèse (adaptation, surcharge ou risque de frottements), les possibilités de réinsertion professionnelle qui seraient directement accessibles au recourant sans l'aide de l'assurance-invalidité semblent restreintes. Dans une telle situation, il appartient en règle générale à l'administration de mettre en oeuvre des mesures de réadaptation d'ordre professionnel, dans la mesure où elles sont compatibles avec l'état de santé de l'assuré; cet aspect devra donc également être pris en considération dans le cadre du complément d'instruction.
4.4 En conséquence de ce qui précède, il convient de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle complète l'instruction au sens des considérants, avant de rendre une nouvelle décision.
5. Les frais de procédure, qui n'est pas gratuite (art. 65 al. 4 LTF), seront supportés par l'intimé qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Par ailleurs, représenté par un avocat, le recourant qui obtient gain de cause a droit à des dépens à la charge de l'intimé (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 29 mai 2007 est annulé, la cause étant renvoyée au Tribunal pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera au recourant la somme de 2'500 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 6 mai 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
p. le Président: La Greffière:
Borella Moser-Szeless