Sachverhalt:
A. In einer der Schiedsgerichtsbarkeit unterstehenden Auseinandersetzung zwischen X._ und der Stockwerkeigentümergemeinschaft B._ wurde am 26. Februar 2008 Rechtsanwalt Y._ durch den Gerichtspräsidenten Z._ des Gerichtskreises A._ zum Obmann des Schiedsgerichts ernannt (Verfahren Z 08 36).
Mit einer persönlich verfassten Eingabe stellte X._ am 29. Mai 2008 beim Obergericht des Kantons Bern gegen Rechtsanwalt Y._ ein Ablehnungsgesuch. Das Obergericht (Appellationshof, 2. Zivilkammer) erklärte sich am 24. Juli 2008 für nicht zuständig und trat auf das Gesuch nicht ein. X._ erneuerte ihr Ablehnungsbegehren mit Eingabe vom 10. September 2008 beim Gerichtspräsidium des Gerichtskreises A._ und verlangte, es sei Rechtsanwalt Y._ für befangen zu erklären und anzuweisen, in den Ausstand zu treten; ferner seien die Parteischiedsrichter des Schiedsgerichts Stockwerkeigentümergemeinschaft B._ anzuhalten, gemäss Schiedsabrede einen neuen Obmann einzusetzen.
Der Gerichtspräsident Z._ des Gerichtskreises A._ wies das Ablehnungsgesuch am 24. September 2008 ab. Gleichzeitig wies er auch ein Begehren von X._, ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ab und auferlegte ihr die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 600.--.
B. X._ beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 24. Oktober 2008, den Entscheid des Gerichtspräsidenten vom 24. September 2008 aufzuheben, und erneuert im Übrigen die im kantonalen Verfahren gestellten Rechtsbegehren; allenfalls sei die Sache zu neuer Beurteilung an die kantonale Instanz zurückzuweisen.
Rechtsanwalt Y._ und der Gerichtspräsident Z._ des Gerichtskreises A._ haben unter Hinweis auf das bundesgerichtliche Urteil vom 6. Oktober 2008 (Verfahren 5A_201/2008) bzw. auf den angefochtenen Entscheid auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde verzichtet .
C. Mit Urteil vom 6. Oktober 2008 (Verfahren 5A_201/2008) hatte die erkennende Abteilung in Gutheissung einer Beschwerde von X._ einen weiteren Entscheid des Gerichtspräsidenten Z._ des Gerichtskreises A._ vom 26. Februar 2008 (Z 08 119) aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid an die kantonale Instanz zurückgewiesen. Im aufgehobenen Entscheid hatte der Gerichtspräsident das Ablehnungsgesuch abgewiesen, das X._ in einem anderen gegen die Stockwerkeigentümergemeinschaft B._ geführten Schiedsverfahren gegen die Einsetzung von Rechtsanwalt Y._ als Obmann eingereicht hatte.

Erwägungen:
1. Die am Verfahren Beteiligten und vom angefochtenen Entscheid Betroffenen sind die gleichen wie im Fall, der dem Urteil der erkennenden Abteilung vom 6. Oktober 2008 (5A_201/2008) zugrunde gelegen hatte. Aus den Darlegungen in jenem Entscheid (E. 1) geht hervor, dass aus formeller Sicht auf die vorliegende Beschwerde ohne weiteres einzutreten ist.
2. Wie schon im früheren Fall hatte die Beschwerdeführerin das vom Gerichtspräsidenten mit dem angefochtenen Entscheid abgewiesene Ablehnungsbegehren unter anderem damit begründet, dass Rechtsanwalt Y._ in einem anderen (gegen eine Drittperson geführten) Rechtsstreit ihre Gegenpartei vertrete.
2.1 Zum einen hält der Gerichtspräsident unter Berufung auf seine Ausführungen im Entscheid vom 26. Februar 2008 (Verfahren Z 08 119) dafür, das von der Beschwerdeführerin Vorgebrachte vermöge Rechtsanwalt Y._ nicht als befangen erscheinen zu lassen. Wie die erkennende Abteilung in dem jenen Entscheid betreffenden Urteil vom 6. Oktober 2008 erklärt hat (E. 4.3), ist der Auffassung des kantonalen Richters indessen nicht beizupflichten. Es ist auf die dortigen Darlegungen zu verweisen und festzuhalten, dass das in dem gegen eine Drittperson hängigen Prozess ausgeübte Mandat als Vertreter der Gegenpartei der Beschwerdeführerin Rechtsanwalt Y._ auch im neuen Schiedsverfahren gegen die Stockwerkeigentümergemeinschaft B._ unfähig erscheinen lässt, als Obmann mitzuwirken.
2.2 Der Gerichtspräsident hält den geltend gemachten Ablehnungsanspruch zum anderen für verwirkt : Die Beschwerdeführerin habe im früheren Ablehnungsgesuch (das dem Urteil der erkennenden Abteilung vom 6. Oktober 2008 zugrunde gelegen hatte) vorgebracht, sie habe Ende Dezember 2007 festgestellt, dass Rechtsanwalt Y._ in einem anderen Rechtsstreit ihre Gegenpartei vertrete. Das Ablehnungsgesuch an den unzuständigen Appellationshof habe sodann vom 29. Mai 2008 datiert, womit seit der angegebenen Feststellung fünf volle Monate verstrichen seien. Das Gesuch an die richtige Instanz sei dann wiederum erst eineinhalb Monate nach Erlass des obergerichtlichen Nichteintretensentscheids eingereicht worden. Den Ablehnungsgrund habe die Beschwerdeführerin mithin offensichtlich nicht unverzüglich nach seiner Kenntnisnahme geltend gemacht.
Vorab ist festzuhalten, dass die Beschwerdeführerin erst dann Anlass hatte, Rechtsanwalt Y._ abzulehnen, als sie von der vom 26. Februar 2008 datierten Ernennung des Schiedsobmanns erfuhr. Wann sie von diesem - laut Mitteilungssatz im betreffenden Entscheid einzig den beiden Parteischiedsrichtern und dem als Obmann Eingesetzten zugestellten - Entscheid Kenntnis erhielt, ist dem angefochtenen Entscheid nicht zu entnehmen. Zwischen jenem Zeitpunkt und dem Einreichen des Ablehnungsbegehrens beim Obergericht (Ende Mai 2008) konnten aber auf jeden Fall nicht mehr als drei Monate verstrichen sein. Wie es sich damit genau verhielt, braucht indessen nicht abschliessend erörtert zu werden. Es trifft zu, dass aufgrund des Gebots von Treu und Glauben ein (Schieds-)Richter so früh wie möglich abzulehnen bzw. eine Partei mit Ablehnungsgründen ausgeschlossen ist, die sie nicht unverzüglich nach Entdeckung dem (Schieds-)Gericht und der Gegenpartei mitteilt (<ref-ruling> E. 3c S. 253 f. mit Hinweisen). Hier ist indessen hervorzuheben, dass der Gerichtspräsident am gleichen 26. Februar 2008, an dem er im neuen Verfahren wiederum Rechtsanwalt Y._ zum Obmann des Schiedsgerichts ernannte, auch das von der Beschwerdeführerin im ersten Schiedsverfahren der gleichen Beteiligten aus den nämlichen Gründen gegen Rechtsanwalt Y._ eingereichte Ablehnungsgesuch abwies (wogegen die Beschwerdeführerin in der Folge mit Beschwerde vom 31. März 2008 an das Bundesgericht gelangte). Sämtlichen Beteiligten waren die Einwände der Beschwerdeführerin gegenüber der Person von Rechtsanwalt Y._ deshalb bereits im Zeitpunkt der zweiten Ernennung zum Obmann bekannt. Von einem treuwidrigen Zuwarten mit dem Ablehnungsgesuch im zweiten Verfahren und einer Verwirkung des geltend gemachten Ablehnungsanspruchs kann unter diesen Umständen nicht gesprochen werden.
3. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten gutzuheissen, und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Sodann ist die Sache an den vorinstanzlichen Richter zurückzuweisen, damit er über das weitere Begehren der Beschwerdeführerin, die Parteischiedsrichter seien anzuweisen, gemäss Schiedsabrede einen neuen Obmann einzusetzen, befinde.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (<ref-law>). Hingegen ist der Kanton Bern zu verpflichten, die Beschwerdeführerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Gerichtspräsidenten Z._ des Gerichtskreises A._ vom 24. September 2008 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die kantonale Instanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Bern wird verpflichtet, die Beschwerdeführerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, Rechtsanwalt Y._ und dem Gerichtspräsidenten Z._ des Gerichtskreises A._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel