Sachverhalt:
A. X._ wird vorgeworfen, am 5. März 2007 um 03 Uhr maskiert und bewaffnet in das Einfamilienhaus von A._ und B._ eingedrungen zu sein, sie im Schlafzimmer bedroht und gefesselt und das Haus mit Uhren, Schmuck, Bargeld, einer Medaillensammlung und Gold im Werte von 28'000 Franken wieder verlassen zu haben. Weiter sei er am 13. Dezember 2004 um 08.20 Uhr maskiert und mit einer nicht schiesstauglichen Pistole in ein Einfamilienhaus eingedrungen, habe die Pistole in der Waschküche auf G._ gerichtet, sie in ein Zimmer geführt und dort den Geschlechtsverkehr erzwungen. Ferner werden ihm mehrere Diebstähle, Sachbeschädigungen und Hausfriedensbrüche im Zusammenhang mit vier teilweise nur versuchten Einbruchdiebstählen im Oktober 2003, August und Oktober 2002 sowie Dezember 1999 zur Last gelegt.
B. An der Hauptverhandlung des Strafgerichts des Kantons Zug vom 4. Juli 2008 war X._ von seinem erbetenen Verteidiger RA V._ (seit 9. Juni 2008) sowie von seinem amtlichen Verteidiger RA W._ (seit 16. März 2007) verbeiständet. Beide Verteidiger hatten Anträge gestellt (strafgerichtliches Urteil S. 5 und 7; act. GD 10b). Die Gerichtspräsidentin informierte, dass der amtliche Verteidiger nicht entlassen worden sei, um sicher zu stellen, dass eine Verteidigung anwesend sei, und dass absprachegemäss und auf Wunsch des Angeklagten lediglich sein erbetener Verteidiger plädieren werde. Dieser erklärte, dass der Angeklagte keine Aussagen machen werde, was dieser bestätigte. Der Angeklagte bestätigte ferner, dass er die Anklageschrift und die Verlaufsberichte vom 26. Februar und 5. März 2008 kenne sowie das psychiatrische Gutachten vom 26. Mai 2007 mit dem Ergänzungsbericht vom 20. Juni 2008 gelesen habe. In der Befragung zu allfälligen Massnahmen sagte er abschliessend: "Ich habe nichts dagegen, ich brauche Therapie, weitere Behandlung. Wenn möglich, lockerere Massnahme als St. Johannsen" (Protokoll, act. 86).
Das Strafgericht stellte das Verfahren teilweise wegen Verjährung ein. Es sprach ihn schuldig des mehrfachen Diebstahls (<ref-law>) sowie des mehrfachen Versuchs dazu, des Raubes (<ref-law>), der mehrfachen Sachbeschädigung, des mehrfachen Hausfriedensbruchs und der Vergewaltigung (<ref-law>). Es bestrafte ihn mit 39 Monaten Freiheitsstrafe (unter Anrechnung von 197 Tagen Untersuchungshaft), ordnete eine stationäre therapeutische Massnahme gemäss Art. 59 Abs. 1 und 2 StGB an und schob den Vollzug der Freiheitsstrafe auf (<ref-law>).
C. X._ war am 14. März 2007 in Untersuchungshaft und am 27. September 2007 in den vorzeitigen Massnahmevollzug versetzt worden. Dieser wurde mit Verfügung des Obergerichts des Kantons Zug vom 27. Oktober 2008 abgebrochen. Es ordnete Sicherheitshaft im Rahmen des geschlossenen Vollzugs an (GD act. 2/8 f.). Nach einem Besuch in der Strafanstalt Zug beantragte der amtliche Verteidiger mit Eingaben vom 14. und 17. November 2008 eine strafvollzugsbegleitende ambulante Massnahme (act. 2/10 f.). X._ erklärte, diese Ausführungen des amtlichen Verteidigers entsprächen nicht den Tatsachen. Die Vertreterin des Amtes für Straf- und Massnahmevollzug bestätigte hingegen die Angaben des amtlichen Verteidigers. Das Obergericht wies das Gesuch am 3. Dezember 2008 ab (act. 2/15). Am 6. Oktober 2009 wurden der (unentgeltliche) amtliche Verteidiger von seinem Mandat entbunden und der heutige Rechtsvertreter zum amtlichen Verteidiger bestimmt sowie eine Nachfrist zur Ergänzung der Berufung angesetzt (act. 3/2 f.). Die ergänzte Berufung ging am 2. November 2009 beim Obergericht ein. Das Obergericht wies am 10. November 2009 ein Haftentlassungsgesuch ab (act. 3/12). Das Bundesgericht hiess am 7. Dezember 2009 die gegen diesen Entscheid eingereichte Beschwerde wegen Gehörsverletzung durch Nichtzustellung der staatsanwaltlichen Stellungnahme gut (Urteil 1B_325/2009). Am 19. November 2009 wies das Obergericht ein Ausstandsbegehren gegen den vorsitzenden Oberrichter und am 23. Dezember 2009 die Haftentlassungsgesuche ab (act. 3/21).
Das Obergericht war zunächst am 10. März 2009 auf die mit persönlicher Eingabe vom 10. September 2008 erhobene Berufung von X._ mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht eingetreten. Der amtliche Verteidiger hatte keine Berufung eingereicht. Der erbetene Verteidiger hatte Berufung erklärt und sein Mandat mit Schreiben vom 20. August 2008 niedergelegt. Das Bundesgericht hob diesen obergerichtlichen Nichteintretensentscheid am 28. September 2009 auf, weil der amtliche Verteidiger an der obergerichtlichen Hauptverhandlung nicht erschienen war (notwendige Verteidigung; <ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>), und wies die Sache an das Obergericht zurück (Urteil 6B_302/2009).
An der zweiten obergerichtlichen Verhandlung am 16. März 2010 wurde X._ zur Sache und zur Massnahme befragt (Protokoll, act. 3/39). Das Obergericht bestätigte das strafgerichtliche Urteil, wobei es neben den 197 Tagen Untersuchungshaft 505 Tage Sicherheitshaft anrechnete .
D. X._ erhebt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und die Sache zur Rückweisung an die erste Instanz und zur Durchführung einer neuen Hauptverhandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen sowie ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer begründet seinen Antrag auf Rückweisung an die erste Instanz gestützt auf Art. 409 Abs. 1 der noch nicht in Kraft gesetzten und damit nicht massgeblichen schweizerischen StPO (Beschwerde S. 7 Ziff. 25 f. sowie S. 22 Ziff. 56). Gemäss <ref-law> kann das Bundesgericht die Sache indessen auch an die Behörde zurückweisen, die als erste Instanz entschieden hat. Eine solche Konstellation ist nicht gegeben.
Der Beschwerdeführer verweist in ausführlichen Zitaten auf seine kantonale Berufungsbegründung. Die Beschwerde ist nur zulässig gegen den Entscheid letzter kantonaler Instanzen (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist nur insoweit einzutreten, als sich der Beschwerdeführer mit dem angefochtenen Urteil auseinandersetzt.
2. Der Beschwerdeführer rügt eine ungenügende Verteidigung. Unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 6b S. 105 macht er geltend, der Anwalt sei Verfechter von Parteiinteressen und als solcher einseitig für seinen jeweiligen Mandanten tätig. Verteidigung bedeute demzufolge "Pflicht zur Parteilichkeit". Die Anerkennung von Sachverhalten, welche die beschuldigte Person bestreite, sei ein grober Verstoss gegen diese Pflicht. Es sei deshalb von einer ungenügenden Verteidigung vor erster Instanz auszugehen. Aktenwidrig oder zumindest willkürlich sei die Behauptung der Vorinstanz, er sei mit einer stationären Therapie einverstanden gewesen.
2.1 Vor dem Strafgericht plädierte absprachegemäss einzig der erbetene Verteidiger. Der Beschwerdeführer erklärte in Anwesenheit von zwei Verteidigern mehrmals, dass nicht er selber, sondern nur sein erbetener Verteidiger sich zum Anklagesachverhalt äussern werde. Er bestritt dessen Ausführungen nicht, weshalb nicht die Rede davon sein kann, der Verteidiger habe Sachverhalte anerkannt, welche der Beschwerdeführer bestritten habe. Er legt denn auch nicht dar, was er anerkannt und was er nicht anerkannt hatte (<ref-law>). Der Verteidiger plädierte differenziert: So erklärte er, der Beschwerdeführer sei hinsichtlich des Raubes und Hausfriedensbruchs weitestgehend geständig, bestritt aber das Vorliegen einer qualifizierten Form des Raubes. Es erfolgte kein Schuldspruch wegen qualifizierten Raubes. Weiter wandte sich der Verteidiger gegen den Vorwurf der Vergewaltigung, nicht aber gegen den offenkundigen Hausfriedensbruch. Das Plädoyer wurde nicht mündlich vorgetragen (Protokoll, act. 86 S. 11 und 86/2). Entgegen der Beschwerde lässt sich den Verteidigern nicht kurzerhand eine ungenügende Verteidigung unterstellen.
Der amtliche Verteidiger hatte in einer Eingabe an das Strafgericht vom 25. Juni 2008 darauf hingewiesen, die "einseitige Interessenwahrung sei nicht schrankenlos möglich", es sei ihm bei der erdrückenden und unzweifelhaften Beweislage nicht möglich, den Raub und die Vergewaltigung in Abrede zu stellen (Beschwerde S. 5). Die Vorinstanz nimmt zutreffend an, dass diese Eingabe nicht zu seiner Entlassung führen musste, weil er nicht zu einer aussichtslosen Verteidigungsstrategie verpflichtet gewesen sei (angefochtenes Urteil S. 7).
2.2 Der Beschwerdeführer, der selber als Therapeut tätig gewesen war, erklärte, die psychiatrischen Dokumente gelesen zu haben. In der Befragung führte er abschliessend auf die Frage, ob er eine stationäre Massnahme ablehnen würde, aus, er habe nichts dagegen, er brauche eine Therapie, allerdings, wenn möglich, eine "lockerere Massnahme als St. Johannsen" (oben Lit. B). Vor der Vorinstanz erklärte er, dass er die Therapie im vorzeitigen Massnahmevollzug zunächst akzeptiert habe, dass ihm der Therapeut sehr geholfen habe, dass er sie dann verweigert habe ("Man wollte von mir ein Geständnis über alles."). In seinem Schlusswort wies er darauf hin, "dass eine stationäre Massnahme für mich zu viel ist" (Protokoll, act. 3/39).
Wie er vor Bundesgericht einräumt, hält die Vorinstanz zutreffend fest, dass seine Haltung zur Frage einer stationären Massnahme "schwankend" war. Die Ausführungen der Vorinstanz (angefochtenes Urteil S. 15) treffen zu. Die Massnahmebedürftigkeit ist gutachterlich ausgewiesen. Aus dem vorzeitigen Massnahmeantritt und dem Gesuch um strafvollzugsbegleitende ambulante Behandlung schliesst sie, dass er sich "insoweit" massnahmewillig zeigte und mit dem Antritt der stationären Massnahme einverstanden war. Daher könne von einer Pflichtverletzung des amtlichen Verteidigers, der eine stationäre Massnahme befürwortet hatte, keine Rede sein (angefochtenes Urteil S. 8). Auch der erbetene Verteidiger hatte vor dem Strafgericht eine stationäre Massnahme beantragt (Plädoyer, act. 86/2 S. 15). Diese Beweiswürdigung erweist sich nicht als willkürlich.
2.3 Der Angeklagte hat Anspruch auf wirksame Verteidigung. Bei schwerwiegenden Pflichtverletzungen der Verteidigung muss das Gericht eingreifen (<ref-ruling> E. 3d). Eine ungenügende Verteidigung kann unter Umständen auch noch im Rechtsmittelverfahren geheilt werden. Der Verteidiger hat aber grundsätzlich die Pflicht, an den wichtigsten Zeugeneinvernahmen teilzunehmen, und nach dem Grundsatz der effizienten Verteidigung prozessuale Vorkehren sachgerecht und kritisch abzuwägen (Kassationsgericht Zürich, ZR 100/2001 Nr. 43 E. 3 sowie Nr. 5).
Der amtliche Verteidiger würde seiner Aufgabe nicht gerecht, liesse er sich lediglich zum unkritischen Sprachrohr des Mandanten machen. Dieser zutreffenden Ansicht der Vorinstanz stimmt der Beschwerdeführer im Grundsatz zu. Vor dem Strafgericht waren zwei Verteidiger anwesend. Im zweiten Berufungsverfahren wurde der Beschwerdeführer von seinem heutigen Verteidiger vertreten. Der Beschwerdeführer gab vor der Vorinstanz an, er habe bisher nicht nur zwei, sondern sogar sechs Anwälte gehabt (Protokoll, act. 3/39 S. 4). Vor dem Strafgericht bestritt er die Ausführungen des erbetenen Verteidigers nicht. Zu Recht weist die Vorinstanz seine Behauptung zurück, die Ausführungen zur Sanktion und zur angedrohten Massnahme vor dem Strafgericht seien derartig dürftig gewesen, dass wohl ernsthaft von einer genügenden Verteidigung nicht gesprochen werden könne (Beschwerde S. 6 Ziff. 18). Das Verteidigerhandeln kann nicht losgelöst vom gesamten Verfahrensverlauf beurteilt werden.
Strafgerichte haben auf eine wirksame Verteidigung zu achten. In das Mandatsverhältnis und in die Verteidigungsstrategie haben sie aber nur einzugreifen, wenn der Verteidiger seine Berufspflichten zum Schaden des Angeschuldigten auf schwerwiegende Weise verletzt (<ref-ruling>). Das ist beispielsweise nicht bereits der Fall, wenn ein unerheblicher Vorfall nicht gerügt, ein Entscheid nicht oder nur teilweise angefochten oder wenn - wie vorliegend - die Schuldsprüche als solche materiellrechtlich nicht in Frage gestellt werden. Der Verteidiger ist nicht zu einem (sinnlosen) Handeln verpflichtet, das den Interessen des Angeschuldigten nicht dient. Er hat prozessuale Vorkehren sachgerecht und kritisch abzuwägen.
2.4 Schwerwiegende Pflichtverletzungen der früheren Verteidiger sind weder dargetan noch ersichtlich. Es erübrigt sich, diese anzuhören (<ref-law>).
3. Der Beschwerdeführer macht geltend, am 8. März 2007 sei die Telefonüberwachung des Festanschlusses von A._ und B._ angeordnet worden. Erst am 14. März 2007 sei beim Gericht um die Bewilligung nachgesucht worden. Das verstosse gegen <ref-law>. Der Strafgerichtspräsident habe die Telefonkontrolle am 15. März 2007 trotzdem bewilligt, ohne den Entscheid gemäss <ref-law> zu begründen. Die Überwachung sei ihm bis heute nicht eröffnet worden, wie das <ref-law> verlange (mit Hinweis auf Urteil 1P.15/2003 vom 14. Februar 2003), weshalb auch keine Beschwerdefrist gemäss <ref-law> gelaufen und die Überwachung noch nicht in Rechtskraft erwachsen seien, so dass darauf zu seinem Nachteil nicht abgestellt werden könne. Zwar sei nach dem reinen Wortlaut von <ref-law> im Falle der Überwachung eines Drittanschlusses die beschuldigte Person nicht beschwerdeberechtigt. Das könne aber nicht richtig sein. Die Telefonkontrolle sei nicht verwertbar.
3.1 Die Vorinstanz weist diese Argumentation mit drei Erwägungen zurück. Erstens falle die im Einverständnis mit dem Opfer bei diesem vorgenommene Überwachung des Festnetzanschlusses nicht in den Regelungsbereich des BÜPF. Zwar geniesse der Beschuldigte als Gesprächspartner einen verfassungsrechtlichen Schutz, die Aufklärung der Straftaten sei aber bei der Interessenabwägung hier höher zu gewichten. Zweitens führte selbst eine Anwendbarkeit des BÜPF nicht zur Unverwertbarkeit. Bei <ref-law> handle es sich um eine Ordnungsfrist. Der Genehmigungsentscheid sei mit "Überwachung einer Drittperson mit deren Einverständnis" im Sinne von <ref-law> kurz begründet. Ein Verdächtigter sei bei einer Drittüberwachung nicht zur Anfechtung legitimiert. Drittens wäre selbst im Falle, dass auf die Telefonüberwachung nicht abgestellt werden könnte, aufgrund der Ergebnisse der DNA-Analysen, der Aussagen von B._ und des Beschwerdeführers selbst sowie ergänzend derjenigen von A._ rechtsgenüglich erstellt, dass der Beschwerdeführer den Raubüberfall vom 5. März 2007 begangen habe.
Die Frage kann hier offen bleiben. Auf die vertiefte vorinstanzliche Begründung und die Einwände des Beschwerdeführers ist nicht weiter einzutreten. Dieser bestreitet nicht (<ref-law>), dass der Raub auch ohne Telefonüberwachung rechtsgenüglich erstellt ist.
3.2 Der Beschwerdeführer wendet in diesem Zusammenhang ferner ein, die Anordnung der Telefonüberwachung sei nicht rechtmässig gewesen und ihm bis heute nicht eröffnet worden, "weshalb in dieser Ausgangslage auf die Ergebnisse dieser Massnahme und dort insbesondere auch auf die darauf erfolgte Verhaftung und die weiteren Beweiserhebungen nicht abgestellt werden könne" (Beschwerde S. 13 Ziff. 24). Die Vorinstanz habe sich mit diesem Einwand nicht auseinandergesetzt und damit sein rechtliches Gehör verletzt.
Der Beschwerdeführer wurde zu Recht verhaftet. Auch für die Urteilsbegründung gilt das Verhältnismässigkeitsprinzip. Es ist nicht erforderlich, dass sich die Behörde mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Sie kann sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.3). Das Urteil ist ausführlich begründet. Eine Gehörsverletzung ist zu vereinen.
4. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Anspruchs auf Konfrontation mit den Aussagen von B._. Allein der Verteidiger habe bei der Befragung teilgenommen. Die Vorinstanz behaupte weder, dass er (der Beschwerdeführer) über die Möglichkeit einer Teilnahme informiert worden wäre, noch dass er darauf verzichtet hätte. Auch sei nicht belegt, dass der damalige Verteidiger ihm die Aussagen bekannt gemacht habe.
Die Vorinstanz führt aus, der amtliche Verteidiger sei bei der Befragung anwesend gewesen und habe die Aussagen dem Beschwerdeführer bekannt gemacht, welcher bei seiner Befragung direkt mit den Aussagen konfrontiert worden sei.
Es ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer grundsätzlich einen Anspruch auf Konfrontation mit dem ihn belastenden Opfer hat. Vor dem Strafgericht wurde diese Frage nicht aufgeworfen. Die damaligen Verteidiger hatten Akteneinsicht. Sie äusserten sich nicht dazu. Der Beschwerdeführer stellte im Verfahren auch keine diesbezüglichen Beweisanträge. Dass er Fragen an das Opfer hätte stellen oder stellen lassen können (Art. 6 Ziff. 3 lit. d EMRK), wird von ihm nicht in Abrede gestellt. Die Beweggründe der früheren Verteidiger und ihre Absprachen mit dem Beschwerdeführer sind nicht bekannt. In der Befragung vor dem Strafgericht erklärte der Beschwerdeführer wiederholt, nur sein Verteidiger werde sich äussern. Auch an der vorinstanzlichen Verhandlung vom 16. März 2010 äusserte sich der Beschwerdeführer nicht bzw. antwortete auf die Vorhalte nur nichtssagend. Es ist von einer Verteidigungsstrategie des Schweigens auszugehen. Es ist aktenkundig, dass der Beschwerdeführer Absprachen mit seinem amtlichen Verteidiger später vor Gericht bestritt und wahrheitswidrig behauptete, dessen Ausführungen entsprächen nicht den Tatsachen (oben Lit. C). Wird eine Konfrontation nicht von den Behörden verweigert, sondern verzichtet der Angeschuldigte darauf, ist Art. 6 Ziff. 3 lit. d EMRK nicht verletzt.
Der Beschwerdeführer beschränkt sich vor Bundesgericht darauf, den früheren Verteidigern massive Pflichtverletzungen vorzuwerfen. Diese Verteidiger wurden nicht befragt. Er hat im Verlaufe des Verfahrens nichts unternommen, um die Gründe des damaligen Verteidigerhandelns aktenkundig zu machen. Diese Beschwerdeführung genügt den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht.
5. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Anspruchs auf Konfrontation mit den Aussagen von G._. Gültigkeitserfordernis sei, dass die belastende Person aufgefordert werde, von sich aus Aussagen zu machen. Erst dann seien ihr frühere Aussagen vorzuhalten. Die Befragung der Geschädigten habe nur den Charakter der Ergänzung und Abrundung gehabt. Von einer eigentlichen Konfrontation könne nicht die Rede sein. Indem die Geschädigte "nicht aufgefordert wurde, den von ihr bereits früher wiedergegebenen Sachverhalt noch einmal in Anwesenheit [des Beschwerdeführers] zu wiederholen, wurde der Anspruch [des Beschwerdeführers] auf Konfrontation mit diesen Aussagen offensichtlich vereitelt". Darauf könne nicht abgestellt werden.
Die Vorinstanz stellt fest, die Geschädigte sei im Anschluss an die Tat am 13. und am 15. Dezember 2004 polizeilich befragt und am 14. Dezember 2004 untersuchungsrichterlich einvernommen worden. Die gegen unbekannte Täterschaft geführte Untersuchung sei sistiert worden. Am 21. Januar 2008 sei die Geschädigte erneut von der Staatsanwaltschaft einvernommen worden. An dieser hätten der Beschwerdeführer und sein amtlicher Verteidiger teilgenommen. Sie hätten Ergänzungsfragen stellen können. Es könne keine Rede davon sein, dass die Aussagen ungültig sein sollten, weil die Geschädigte nicht von sich aus zunächst den Sachverhalt wiedergegeben habe. Auch der Umstand, dass das Protokoll nicht unterzeichnet sei, führe nicht dazu, dass darauf nicht abgestellt werden könne. Weder die anwesende Rechtsvertreterin der Geschädigten noch der amtliche Verteidiger hätten Einwände gegen das Protokoll erhoben.
Diese vorinstanzliche Entscheidung verletzt weder konventions- noch verfassungsrechtliche Gewährleistungsansprüche des Beschwerdeführers.
6. Der Beschwerdeführer bezeichnet es als nicht nachvollziehbar, dass die Vorinstanz erwäge, der Umstand, dass seit der Begehung der einzelnen Delikte schon einige Zeit verstrichen sei, vermöge eine weitere Reduktion des Strafmasses nicht zu rechtfertigen. Völlig unberücksichtigt geblieben sei die überlange Dauer der einzelnen Verfahrensschritte im vorliegenden Verfahren. Zwischen dem strafgerichtlichen Urteil vom 4. Juli 2008 bis zum vorinstanzlichen Urteil am 16. März 2010 seien annähernd zwei Jahre vergangen.
6.1 Verhältnismässig lange Zeit im Sinne von <ref-law> ist grundsätzlich mit dem Ablauf von zwei Dritteln der Verfolgungsverjährungsfrist verstrichen (<ref-ruling>). Gemäss <ref-law> gilt seit dem 1. Oktober 2002 vorliegend eine Verfolgungsverjährung von 15 Jahren für Vergewaltigung, Raub und Diebstahl sowie von 7 Jahren für die übrigen Delikte (Hausfriedensbruch und Sachbeschädigung) und von drei Jahren für die Übertretung (<ref-law>). Nur Hausfriedensbruch und Sachbeschädigung kommen im strafgerichtlichen Urteilszeitpunkt am 4. Juli 2008 in den Bereich von <ref-law>. Das Verfahren wegen geringfügiger Sachbeschädigung im Oktober 2003 (Übertretung) sowie die Verfahren wegen Sachbeschädigung und Hausfriedensbruch im Dezember 1999 wurden wegen Verjährung eingestellt (Art. 109 bzw. <ref-law>). Die Hausfriedensbrüche vom März 2007 und Dezember 2004 fallen nicht in den Anwendungsbereich von <ref-law>. Die Hausfriedensbrüche vom Oktober 2003 sowie August und Oktober 2002, die Sachbeschädigungen vom August und Oktober 2002 kommen teilweise in den möglichen Anwendungsbereich der Strafmilderung. Hinsichtlich des Einbruchdiebstahls vom August 2002 weist die Vorinstanz auf den altrechtlichen Stillstand der Verjährung während des bundesgerichtlichen Verfahrens hin, mit Hinweis auf Urteil 6B_440/2008 vom 11. November 2008). Es ist nicht zu beanstanden, dass das Strafgericht den Zeitablauf dieser weiter zurückliegenden Delikte angesichts des im Jahr 2007 begangenen Raubes "nur marginal" berücksichtigte (indessen reduzierte es das Strafmass wegen der im mittleren Grade verminderten Schuldfähigkeit, auch wenn das Bundesgericht keine mathematische Reduktion vorschreibe, "in einem solchen Fall" um die Hälfte; strafgerichtliches Urteil S. 39). Die Vorinstanz schützt diese Beurteilung (Verschlechterungsverbot) und hält ohne Bundesrechtsverletzung fest, bei einem Strafrahmen von bis zu 15 Jahren Freiheitsstrafe erweise sich die Strafe als geradezu moderat, die Reduktion sei grosszügig ausgefallen, und der Umstand, dass seit der Begehung einzelner Delikte schon einige Zeit verstrichen sei, vermöge eine weitere Reduktion nicht zu rechtfertigen (angefochtenes Urteil S. 14).
6.2 Das Beschleunigungsgebot ist ebenfalls nicht verletzt. Die Vorinstanz führte zwei Berufungsverhandlungen durch und fällte mehrere weitere Entscheide. Zwei dieser Entscheide führten über den Instanzenzug ans Bundesgericht zu Neubeurteilungen (oben Lit. C).
7. 7.1 Hinsichtlich der angeordneten stationären Massnahme bringt der Beschwerdeführer erstens vor, die Vorinstanz weise darauf hin, dass er in der Strafanstalt Zug von Dr. P._ psychiatrisch betreut worden sei, wobei eine eigentliche Therapie nicht durchgeführt worden sei. Diese Feststellung sei nicht nur falsch, sondern verletze sein rechtliches Gehör. Jedenfalls sei sie nicht möglich, ohne den beantragten Bericht einzuholen.
Die Vorinstanz verweist dafür, dass eine eigentliche Therapie nicht durchgeführt worden sei, auf die Tatsache, dass das Gesuch des amtlichen Verteidigers auf eine strafvollzugsbegleitende Massnahme abgewiesen worden sei (vgl. oben Lit. C). Dazu äussert sich der Beschwerdeführer nicht. Er legt die Relevanz dieses Sachverhalts nicht dar. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist nicht begründet.
7.2 Er wirft der Vorinstanz zweitens vor, sie setze sich mit seinem Einwand nicht auseinander, dass eine Behandlung gegen seinen Willen wenig erfolgsversprechend sei. Das verletze sein rechtliches Gehör.
Die Vorinstanz stellt fest, der Gutachter erachte eine umfassende, langwierige und schwierige Psycho- und Soziotherapie als angezeigt. Im vorzeitigen Massnahmevollzug hätten keine nennenswerten therapeutischen Fortschritte erzielt werden können. Die Behandlungsbedürftigkeit sei gegeben und werde weder vom Beschwerdeführer selbst noch vom Verteidiger in Frage gestellt. Sie setzt sich mit der Frage der Massnahmewilligkeit auseinander (angefochtenes Urteil S. 15) und verweist auf das Urteil des Strafgerichts. Dieses führte aus, ob die fehlende Einsicht Einfluss auf seine Behandlungswilligkeit und/oder -fähigkeit habe, werde vom Gutachter dahingehend beantwortet, dass diese Umstände gerade Kennzeichen der Störung seien, aufgrund derer er die stationäre Massnahme vorgeschlagen habe. Es stehe von vornherein fest, dass die Behandlung langwierig und schwierig sein werde (strafgerichtliches Urteil S. 41). Ferner ist auf die Befragungen durch das Strafgericht und die Vorinstanz hinzuweisen (oben E. 2.1). Eine Gehörsverletzung ist nicht ersichtlich.
Unter den bundesrechtlichen Gesichtspunkten von <ref-law> stellt der Beschwerdeführer die Massnahme nicht in Frage. Die Einsicht des Betroffenen ist eine zentrale Kategorie im Straf- und Massnahmerecht (vgl. Urteil 6B_961/2009 vom 19. Januar 2010 E. 2.2.2 betr. bedingte Entlassung; Urteil 6B_981/2009 vom 25. Februar 2010 E. 1.2.3 betr. Aufschub des Strafvollzugs aus Gründen der Heilbehandlung). Die Therapiewilligkeit ist aber differenziert zu beurteilen (vgl. Urteil 6B_141/2009 vom 24. September 2009 E. 4.6). Die fehlende Motivation gehört bei schweren Störungen regelmässig zum Krankheitsbild (MARIANNE HEER, Strafrecht I, Basler Kommentar, 2. Auflage, Art. 59 N 78). Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt unbegründet.
8. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens abzuweisen (<ref-law>). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers kann mit herabgesetzten Gerichtskosten Rechnung getragen werden (Art. 65 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, Strafrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Briw