Sachverhalt:
A. X._ trat am 22. November 1993 beim ehemaligen Zweckverband für die Familien- und Säuglingsfürsorge in den Bezirken Thal und Gäu eine Arbeitsstelle als Gesundheitsschwester, Fachbereich Mütterberatung, an.
Am 23. September 2005 erteilte der mittlerweile in Zweckverband für soziale Dienstleistungen der Amtei Thal-Gäu umbenannte Arbeitgeber X._ einen schriftlichen Verweis wegen Reklamationen seitens von Fachpersonen, inakzeptablen Umgangs mit dem Vorgesetzten und einer Reihe von Vorfällen.
Mit Schreiben vom 9. März 2006 kündigte der Zweckverband das Arbeitsverhältnis auf den 30. Juni 2006. Zur Begründung verwies er auf den schriftlichen Verweis. Als weitere Gründe nannte er eine Kompetenzüberschreitung, generell eine schlechte Arbeitshaltung, mangelnde Kritik- und Teamfähigkeit sowie Zweifel an der fachlichen Kompetenz der Arbeitnehmerin.
X._ erhob gegen die Kündigung Verwaltungsbeschwerde, welche das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 18. Oktober 2006 abwies.
In teilweiser Gutheissung der von X._ erhobenen Beschwerde stellte das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 21. Mai 2007 die Missbräuchlichkeit der Kündigung fest, wies das Begehren um Wiederanstellung der Beschwerdeführerin ab und verpflichtete den Zweckverband, X._ eine Abgangsentschädigung im Umfang von sechs Monatslöhnen zu bezahlen.
B. Der Zweckverband für soziale Dienstleistungen der Amtei Thal-Gäu hat gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und Verfassungsbeschwerde wegen Verletzung von Art. 9 und Art. 50 BV sowie Verletzung von kantonalem Verfassungsrecht erhoben. Neben der Aufhebung des angefochtenen Urteils beantragt er, es sei festzustellen, dass die Kündigung rechtmässig erfolgt und das Dienstverhältnis beendet sei. Eventualiter sei er zur Entrichtung einer Entschädigung im Umfang von höchstens einem Monatslohn zu verurteilen. Subeventualiter sei die Angelegenheit zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersucht er um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde.
C. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. X._ beantragt ebenfalls die Abweisung der Beschwerde. Das Volkswirtschaftsdepartement, vertreten durch das Amt für Gemeinden, schliesst auf Gutheissung der Beschwerde.
D. Mit Verfügung vom 28. August 2007 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG; SR 173.110) in Kraft getreten. Der angefochtene Entscheid erging später. Gemäss <ref-law> ist hier deshalb das Bundesgerichtsgesetz anwendbar.
2. Der Beschwerdeführer erhebt sowohl Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) als auch Verfassungsbeschwerde (<ref-law>). Infolge der subsidiären Natur der Verfassungsbeschwerde (vgl. <ref-law>) ist zuerst zu prüfen, ob die Eintretensvoraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erfüllt sind.
2.1 Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts, ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG), betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinn von <ref-law>. Der Verfahrensgegenstand betrifft eine Abgangsentschädigung von sechs Monatslöhnen in der Höhe von insgesamt Fr. 38'424.30. Es handelt sich um eine vermögensrechtliche Streitigkeit, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht gegeben ist. Die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.-- ist erreicht (<ref-law>).
2.2 Der Beschwerdeführer ist ein kommunaler Zweckverband und somit eine öffentlich-rechtliche Körperschaft mit eigener Rechtspersönlichkeit (§ 166 Abs. 1 des Gemeindegesetzes vom 16. Februar 1992 des Kantons Solothurn [GG/SO]). Er ist durch das angefochtene Urteil als Träger hoheitlicher Gewalt betroffen, weshalb er gestützt auf <ref-law> die Verletzung von Garantien rügen kann, die ihm die Kantons- oder Bundesverfassung einräumt. Die Vorschrift übernimmt die diesbezügliche Rechtsprechung der staatsrechtlichen Beschwerde (Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4330). In diesem Rahmen kann der Beschwerdeführer auch eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) rügen, soweit dieses Vorbringen mit der Autonomieverletzung in engem Zusammenhang steht (<ref-ruling> E. 1 S. 93, mit Hinweisen).
2.3 Näher zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer auch ohne Zusammenhang mit einer Autonomieverletzung zur Beschwerdeführung legitimiert ist.
Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c).
Dieses allgemeine Beschwerderecht, das an die bisherige Beschwerdelegitimation für die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach Art. 103 lit. a OG anknüpft, ist grundsätzlich auf Privatpersonen zugeschnitten (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 406). Nach der zu Art. 103 lit. a OG entwickelten Praxis können sich Gemeinwesen jedoch dann auf diese allgemeine Umschreibung der Legitimation berufen, wenn sie gleich oder ähnlich wie ein Privater betroffen oder aber in schutzwürdigen eigenen hoheitlichen Interessen berührt sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 61 ff., 753 E. 4.3 S. 757 ff.; <ref-ruling> E. 3b S. 304; <ref-ruling> E. 2c S. 374 f., je mit Hinweisen). Hingegen begründet nach ständiger Praxis das blosse allgemeine Interesse an der richtigen und einheitlichen Anwendung des Rechts keine Beschwerdelegitimation des Gemeinwesens; insbesondere ist die in einem Rechtsmittelverfahren unterlegene Vorinstanz nicht legitimiert (BGE <ref-ruling> E. 2d S. 375 mit Hinweisen).
Unter der Geltung des OG stellte sich die Frage der Beschwerdelegitimation von Gemeinwesen im Bereich des Personalrechts kaum: Gegen Entscheide der eidgenössischen Personalrekurskommission konnte die Bundesverwaltung gestützt auf Art. 103 lit. b OG Beschwerde führen; gegen kantonale Entscheide stand nur die staatsrechtliche Beschwerde offen, zu deren Erhebung (von Autonomiebeschwerden ausgenommen) nur Private legitimiert waren (Art. 88 OG). Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde war allerdings gegen sämtliche Verfügungen uneingeschränkt zulässig, die sich auf das Bundesgesetz vom 24. März 1995 über die Gleichstellung von Frau und Mann (Gleichstellungsgesetz, GlG; SR 151.1) stützten. In diesem Bereich wurde die Legitimation von Gemeinden und Kantonen anerkannt, weil das Gleichstellungsgesetz in seinen zentralen materiellrechtlichen Bestimmungen gleichermassen für privatrechtliche und öffentlich-rechtliche Arbeitsverhältnisse gilt und der öffentliche Arbeitgeber, der seinen Angestellten eine Leistung nach <ref-law> ausrichten muss, dadurch in gleicher Weise berührt wird wie ein privater Arbeitgeber (<ref-ruling> E. 1e/dd S. 419).
In Anknüpfung an diese Rechtsprechung ist die Legitimation von Gemeinwesen zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> zu bejahen, wenn diese in gleicher oder zumindest ähnlicher Weise berührt werden wie ein privater Arbeitgeber. Dies ist bei vermögensrechtlichen Streitigkeiten im Bereich des öffentlichen Dienstrechts grundsätzlich zu bejahen, auch wenn sich die Arbeitsverhältnisse nicht nach OR, sondern nach öffentlichem Recht richten. Wird zum Beispiel um die Höhe des Lohns oder über eine Abgangsentschädigung wegen angeblich missbräuchlicher Kündigung gestritten, befindet sich das Gemeinwesen in der Rolle des Arbeitgebers und somit in einer dem privaten Arbeitgeber vergleichbaren Situation (Pierre Moor, La qualité pour agir des autorités et collectivités dans les recours de droit public et de droit administratif, in: Etudes de procédure et d'arbitrage en l'honneur de Jean-François Poudret, Lausanne 1999, S. 18 f.). In diesen Fällen hat das Gemeinwesen ein besonderes schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung eines Entscheides. Wie es sich verhält bei nicht vermögensrechtlichen Streitigkeiten und solchen, die der subsidiären Verfassungsbeschwerde unterliegen, ist hier nicht zu prüfen.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerdeführer, der sich gegen die Verurteilung zur Zahlung einer Abgangsentschädigung wehrt, gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert.
3. 3.1 Als erstes stellt sich die Frage, welche Vorschriften auf die Kündigung des Anstellungsverhältnisses zwischen dem Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin anwendbar sind. Unbestritten ist, dass es sich um ein öffentlich-rechtliches Anstellungsverhältnis handelt (vgl. § 120 Abs. 1 GG/SO, wonach das Dienstverhältnis der Angestellten in der Regel öffentlich-rechtlich ist). Das vom Beschwerdeführer erlassene Personalreglement vom 21. April 1981 (Ziff. 4.1.3) und der Anstellungsvertrag zwischen Beschwerdeführer und Beschwerdegegnerin vom 9. Juni 1993 (Ziff. 1) sehen vor, dass beide Parteien unter Beachtung einer dreimonatigen Kündigungsfrist auf Monatsende kündigen können. Für alle nicht geregelten Fragen verweisen sowohl das Personalreglement (Ziff. 1.2) als auch der Vertrag (Ziff. 6) auf die Vorschriften des Obligationenrechts.
Das Verwaltungsgericht ist der Auffassung, dass trotz Verweis auf die Vorschriften des OR sowohl im Personalreglement als auch im Anstellungsvertrag die Frage der Rechtmässigkeit der Kündigung und des Kündigungsverfahrens sich nach dem Gesetz des Kantons Solothurn vom 27. September 1992 über das Staatspersonal (StPG/SO) richte. Der Vertrag stamme aus dem Jahr 1993, das Personalreglement aus dem Jahr 1981. Zu diesem Zeitpunkt hätten öffentlich-rechtliche Bedienstete praktisch ausnahmslos Beamtenstatus gehabt. Der regionale oder kommunale Arbeitgeber habe damals bei der Ausgestaltung der Dienstverhältnisse an das kantonale Personalrecht angeknüpft, bei der Frage der Kündigung aber jeweils auf das Obligationenrecht verwiesen, um überhaupt eine Kündigungsmöglichkeit zu haben und nicht an die für Beamte geltenden Einschränkungen gebunden zu sein. Das kantonale Staatspersonalgesetz von 1992 sei am 8. November 2000 teilrevidiert und neue Kündigungsvorschriften eingeführt worden. Seither richte sich die Kündigung gemäss § 27 Abs. 7 StPG/SO nur noch bei zivilrechtlichen Anstellungsverhältnissen nach dem Obligationenrecht. Ein solches liege hier nicht vor. Der Beschwerdeführer ist dagegen der Auffassung, infolge des Verweises auf das OR im Personalreglement und im Vertrag kämen die obligationenrechtlichen Kündigungsvorschriften als subsidiäres öffentliches Recht zur Anwendung. Die gegenteilige Schlussfolgerung des Verwaltungsgerichts sei mit dem Willen des kommunalen Gesetzgebers nicht vereinbar.
3.2 Der vom Beschwerdeführer vertretene Standpunkt, das Obligationenrecht komme auf alle im Personalreglement und dem Anstellungsvertrag nicht geregelten Fragen als subsidiäres kommunales Recht zur Anwendung, kann sich auf den Wortlaut sowohl des Reglements als auch des Vertrages stützen. Dennoch ist die Rechtsauffassung des Verwaltungsgerichts, dass im vorliegenden Zusammenhang das Staatspersonalgesetz anzuwenden sei, vertretbar. Wie die Vorinstanz mit Recht festhielt, bestanden zur Zeit des Erlasses des Personalreglements im Jahr 1981 noch keine Vorschriften betreffend die Kündigung öffentlich-rechtlicher Anstellungsverhältnisse, weshalb der kommunale Gesetzgeber damals keine andere Wahl hatte, als auf die Vorschriften des OR zu verweisen. Sodann verweist das Personalreglement in verschiedenen Belangen (etwa betreffend Ferienanspruch [4.4.1], Teuerungszulagen [4.5.2], Reallohnverbesserungen [4.5.2], Dienstalterszulagen [4.5.3]) auf die für das Staatspersonal geltenden Bestimmungen. Daher ist unter dem Blickwinkel des Willkürverbots nicht zu beanstanden, wenn das Verwaltungsgericht das Personalreglement dahin auslegt, dass es dessen Sinn und Zweck besser entspricht, auf die im Jahr 2000 eingeführten Kündigungsvorschriften des Staatspersonalgesetzes anstatt auf diejenigen des OR abzustellen.
4. 4.1 Das Verwaltungsgericht und der Beschwerdeführer gehen übereinstimmend davon aus, dass das Verhalten der Beschwerdegegnerin ab dem Jahr 2001 zu Beanstandungen Anlass gab. Gemäss dem angefochtenen Urteil war das Kündigungsverfahren aber mangelhaft. Der Beschwerdeführer macht demgegenüber geltend, die Kündigung sei sachlich gerechtfertigt und habe deshalb als rechtmässig zu gelten. Die Kündigung dürfe daher, selbst wenn Verfahrensvorschriften verletzt worden wären, keine Sanktionen nach sich ziehen.
4.2 Gemäss dem kantonalen Staatspersonalgesetz kann die Anstellungsbehörde das Anstellungsverhältnis nach Ablauf der Probezeit kündigen, wenn wesentliche Gründe diesen Schritt rechtfertigen (§ 27 Abs. 3 StPG/SO). Ein wesentlicher Grund liegt namentlich vor, wenn der oder die Angestellte wegen mangelnder Eignung (Fach-, Führungs- oder Sozialkompetenz) nicht in der Lage ist, seine oder ihre Aufgaben zu erfüllen oder wenn er oder sie ungenügende Leistungen erbringt oder sein oder ihr Verhalten zu berechtigten Klagen Anlass gibt (§ 27 Abs. 4 lit. b StPG/SO). Eine Kündigung durch die Anstellungsbehörde wegen mangelnder Eignung kann nur ausgesprochen werden, wenn dem oder der Angestellten vorgängig eine angemessene Bewährungsfrist eingeräumt und für den Fall der Nichtbewährung die Kündigung angedroht worden ist (§ 27 Abs. 5 StPG/SO). Einzelheiten des Kündigungsverfahrens sind in § 11 der Verordnung vom 27. März 2001 zum Gesetz über das Staatspersonal geregelt.
Jede Kündigung ohne wesentlichen Grund ist missbräuchlich (§ 27ter Abs. 1 StPG/SO). Sie zieht entweder, wenn möglich, die Weiterbeschäftigung am bisherigen oder an einem anderen möglichst gleichwertigen Arbeitsplatz oder aber einen Entschädigungsanspruch nach sich (§ 33 Abs. 1 StPG/SO).
4.3 Vorliegend erteilte der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin am 23. September 2005 einen schriftlichen Verweis wegen Reklamationen von Fachpersonen, inakzeptablen Umgangs mit dem Vorgesetzten und einer Reihe von Vorkommnissen und drohte der Beschwerdegegnerin mit der Kündigung, sofern sich in der Zukunft weitere Vorfälle ereignen sollten. Gemäss den Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Urteil ist der weitere Geschehensablauf betreffend Leistungen und Verhalten der Beschwerdegegnerin bis zur Kündigung am 9. März 2006 unklar. Es seien keine Vorfälle dokumentiert, so dass nicht davon ausgegangen werden könne, die Beschwerdegegnerin habe nach Erteilung des Verweises wesentliche Gründe im Sinne von § 27 Abs. 4 lit. b StPG/SO gesetzt, die eine Kündigung gerechtfertigt hätten.
Diese tatsächlichen Feststellungen hat der Beschwerdeführer nicht angefochten. Das Bundesgericht ist deshalb daran gebunden (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Dem Kündigungsschreiben ist ebenfalls nicht klar zu entnehmen, inwiefern die Beschwerdegegnerin seit Erteilung des Verweises einen Kündigungsgrund gesetzt hätte. Es wird darin im Wesentlichen auf deren Verhalten vor Ansetzen der Bewährungszeit verwiesen und Kritik pauschaler Art geübt. Einzig bezüglich der persönlich geführten Korrespondenz der Beschwerdegegnerin mit einem Unternehmen für Babynahrung rügte der Beschwerdeführer eine Kompetenzüberschreitung. Das Verwaltungsgericht erachtet dieses Vorkommnis nicht als wesentliche Pflichtverletzung, was der Beschwerdeführer nicht beanstandete.
In Anbetracht dessen, dass seit Erteilung des Verweises keine weiteren wesentlichen Pflichtverletzungen seitens der Beschwerdegegnerin nachgewiesen sind, ist nicht zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht die Kündigung als sachlich nicht gerechtfertigt betrachtet. Ob weitere Verfahrensfehler, namentlich eine Verletzung des Gehörsanspruchs, vorliegen, erübrigt sich zu prüfen.
5. 5.1 Eine sachlich nicht gerechtfertigte und somit missbräuchliche Kündigung hat einen Anspruch auf Wiederanstellung oder auf Entschädigung zur Folge (§ 33 Abs. 1 StPG/SO). Vorliegend steht die Höhe des der Beschwerdegegnerin zugesprochenen Entschädigungsanspruchs zur Diskussion. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, dass ein Entschädigungsanspruch von höchstens einem Monatslohn geschuldet sei. Er macht geltend, die Beschwerdegegnerin habe immerhin einen Kündigungsgrund gesetzt, weshalb die Zusprechung einer Entschädigung von sechs Monatslöhnen nicht gerechtfertigt erscheine.
5.2 Wie oben ausgeführt (E. 5.3 hiervor), gab das Verhalten der Beschwerdegegnerin Anlass zur Ansetzung einer Bewährungsfrist, nicht hingegen zur Kündigung des Arbeitsverhältnisses.
Gemäss dem Staatspersonalgesetz beträgt die Entschädigung bei missbräuchlicher Kündigung mindestens sechs Monatslöhne und höchstens einen Jahreslohn (§ 33 Abs. 1 StPG/SO). Die Höhe der Entschädigung richtet sich insbesondere nach der Dauer des Arbeitsverhältnisses, dem Alter des Arbeitnehmers oder der Arbeitnehmerin, der Schwere der Missbräuchlichkeit und der sozialen Lage des oder der Angestellten (§ 33 Abs. 3 StPG/SO).
Das Verwaltungsgericht bejahte einen Entschädigungsanspruch von sechs Monatslöhnen, was dem gesetzlichen Mindestanspruch entspricht. Die Höhe der Entschädigung kann damit keinesfalls als willkürlich beurteilt werden.
Im Übrigen wäre die Höhe der Entschädigung selbst im Fall, dass, wie der Beschwerdeführer annimmt, das Obligationenrecht sinngemäss zur Anwendung käme, verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden. Nach <ref-law> hat diejenige Partei, die das Arbeitsverhältnis missbräuchlich kündigt, der anderen Partei eine Entschädigung auszurichten (Abs. 1). Die Entschädigung wird vom Richter unter Würdigung aller Umstände festgesetzt, darf aber den Betrag nicht übersteigen, der dem Lohn des Arbeitnehmers für sechs Monate entspricht (Abs. 2). Die der Beschwerdegegnerin zugesprochene Entschädigung von sechs Monatslöhnen würde somit dem gesetzlichen Höchstbetrag von <ref-law> entsprechen. Bei der Festlegung der Entschädigung handelt es sich indessen um einen Ermessensentscheid. Das Verwaltungsgericht durfte dabei die lange Dauer des Anstellungsverhältnisses von zwölfeinhalb Jahren sowie die soziale Lage der Beschwerdegegnerin, welche einen nicht als hoch zu betrachtenden Monatslohn von Fr. 6'404.05 bezog, berücksichtigen. Eine verfassungsrechtlich zu beanstandende Ermessensüberschreitung läge somit auch in diesem Fall nicht vor.
6. Zusammenfassend ergibt sich, dass das Verwaltungsgericht das kommunale Recht nicht willkürlich angewendet hat, indem es die Kündigung als unrechtmässig betrachtet und deshalb eine Entschädigung von sechs Monatslöhnen zusprach. Das Begehren um Wiederanstellung stand vor Bundesgericht nicht mehr zur Diskussion. Es liegt damit weder eine Verletzung von Bundesverfassungsrecht (Art. 9, 50 BV) noch eine solche des kantonalen Verfassungsrechts vor. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich demzufolge als unbegründet und ist abzuweisen. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten. Es werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat aber der privaten Beschwerdegegnerin eine angemessene Prozessentschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Volkswirtschaftsdepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Februar 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder