Sachverhalt:
A. A.a Im Zusammenhang mit dem Ausbau der (Fussball-)Sportanlagen A._ (Erstellung eines 3. Spielfeldes sowie eines Garderobengebäudes) in X._/SZ (politische Gemeinde Y._/SZ) wurde dem FC X._ 1998 an den neuen Teilen der Anlage ein auf 30 Jahre befristetes Baurecht eingeräumt.
Nach einem Streit verliessen im Juli 2007 einige Mitglieder den FC X._ und gründeten einen neuen Verein, den FC Y._. Sie stellten am 3. August 2007 beim Gemeinderat Y._ das Gesuch um (Mit-)Benützung des Haupt- oder 2. Nebensportplatzes der Sportanlage A._ für die Durchführung der planmässigen Meisterschaftsspiele und für vier wöchentliche Trainingseinheiten à 90 Minuten sowie um diesbezügliche Benützung der Garderoben.
A.b Der Gemeinderat Y._ wies das Gesuch mit Beschluss vom 8. Februar 2010 ab, wobei er darauf u.a. bezüglich des Garderobengebäudes nicht eintrat, weil dieses im Eigentum des FC X._ stünde. Die dagegen vom FC Y._ erhobene Beschwerde hiess der Regierungsrat des Kantons Schwyz am 14. Dezember 2010 gut, soweit er darauf eintrat, und wies die Sache zur Regelung der Mitbenützung des Hauptspielplatzes und des Nebenspielplatzes (2. Spielfeld) sowie des Garderobengebäudes an den Gemeinderat zurück. Die gegen den regierungsrätlichen Beschluss erhobene Beschwerde des FC X._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 18. August 2011 ab. Auf eine dagegen vom FC X._ erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 2C_842/2011 vom 21. Oktober 2011 mangels eines anfechtbaren Zwischenentscheides nicht ein.
A.c Am 12. März 2012 verfügte der Gemeinderat Y._ Folgendes:
"1. Dem FC Y._ wird die Mitbenützungsmöglichkeit an der Sportanlage A._ für die Rückrunde 2011/12 wie folgt eingeräumt:
1.1 wöchentlich zwei Trainingseinheiten à 90 Minuten jeweils am Mittwochabend und am Freitagabend ab 20.30 Uhr auf dem Trainingsplatz;
1.2 Austragung von fünf Meisterschaftsspielen am 21. April 2012, 5. Mai 2012, 12. Mai 2012, 2. Juni 2012 und 16. Juni 2012 sowohl für den jeweiligen Samstag wie auch als Ausweichdatum für den darauf folgenden Sonntag (22. April 2012, 6. Mai 2012, 3. Juni 2012 und 17. Juni 2012) auf dem Hauptspielplatz im Sinne der Erwägungen;
1.3 Mitbenützung Garderobengebäude im Zusammenhang mit den wöchentlich zwei Trainingseinheiten sowie mit den Meisterschaftsspielen.
2. Der FC Y._ hat sich im Umfang der Mitbenützung gemäss Ziffer 1 an den Betriebs-, den Zins-, Amortisations- und allfälligen Erneuerungskosten des FC X._ mit 8.80% zu beteiligen.
3.1 Für zukünftige Meisterschaftsspiele ab der Saison 2012/13 hat der FC X._ dem FC Y._ für dessen Meisterschaftsspiele den Hauptspielplatz zur Benützung innerhalb der vom IFV vorgegebenen Zeitfenster zuzuteilen im Sinne der Erwägungen.
3.2 Ab der Saison 2012/13 hat der FC X._ dem FC Y._ wöchentlich zwei Trainingseinheiten à 90 Minuten jeweils ab 19.00 Uhr oder 20.30 Uhr zwischen Montag und Freitag auf einer Spielfeldhälfte des Trainingsplatzes einzuräumen, wobei zwischen der ersten und zweiten Trainingseinheit mindestens ein Tag Pause bestehen muss.
3.3 Ab der Saison 2012/13 hat der FC X._ dem FC Y._ die Mitbenützung der Garderobengebäude im Zusammenhang mit den wöchentlich zwei Trainingseinheiten sowie mit den Meisterschaftsspielen zu ermöglichen.
3.4 Der FC Y._ hat sich ab der Saison 2012/13 im Umfang der Mitbenützung an den Betriebs-, Zins-, Amortisations- und allfälligen Erneuerungskosten angemessen zu beteiligen. Die Beteiligung der FC Y._ errechnet sich aus dem Mittelwert der Anzahl Trainingseinheiten einerseits und der Anzahl Meisterschaftsspiele andererseits gemäss den Erwägungen."
B. B.a Gegen die Verfügung des Gemeinderates Y._ vom 12. März 2012 reichte der FC X._ am 18. April 2012 beim Regierungsrat des Kantons Schwyz Beschwerde ein. Er beantragte, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben und es sei dem FC Y._ die Mitbenützung sowohl des Hauptspielplatzes und des Trainingsplatzes (2. Spielfeld) als auch im Speziellen des Garderobengebäudes auf der Sportanlage A._ zu verweigern. Eventualiter sei der FC Y._ in Ergänzung von Dispositivziffer 3.4 des angefochtenen Entscheides zu verpflichten, (1) dem FC X._ unaufgefordert vorschüssige Zahlungen von jeweils Fr. 1'500.-- zu leisten, zahlbar jeweils am 1. August, 1. Dezember und 1. April; (2) dem FC X._ für die Mehraufwendungen im Zusammenhang mit den je Spielsaison zu erstellenden Abrechnungen inklusive Zusammenstellungen der Detailbelege eine Pauschalentschädigung von jährlich Fr. 500.-- zu leisten, aufgefordert zahlbar jeweils innert 10 Tagen nach Erhalt der Abrechnungen; (3) dem FC X._ eine Pauschalentschädigung von jährlich Fr. 750.-- zu leisten, unaufgefordert zahlbar jeweils vorschüssig Fr. 250.-- am 1. August, 1. Dezember und 1. April, sofern sich bei Meisterschaftsspielen des FC Y._ der Platzwart des FC X._ tatsächlich vor Ort zu befinden habe.
B.b Am 3. Mai 2012 überwies der Regierungsrat des Kantons Schwyz die Beschwerde zur Beurteilung an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz. Mit Zwischenentscheid vom 23. Mai 2012 entzog das Verwaltungsgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung, womit dem FC Y._ ab sofort die Mitbenützung der Sportanlage A._ gemäss Beschluss des Gemeinderates Y._ vom 12. März 2012 erlaubt wurde.
B.c In teilweiser Gutheissung der Beschwerde verpflichtete das Verwaltungsgericht mit Entscheid vom 20. Juni 2012 den FC Y._, dem FC X._ (1) trimestrig vorschüssige Zahlungen in jeweils gleicher Höhe im Umfang von insgesamt maximal 3/4 der auf ihn entfallenden approximativen Kosten für die Mitbenützung der Sportanlagen A._ (Hauptspielplatz, Trainingsplatz [2. Spielfeld], und Garderobengebäude) zu leisten; (2) eine einmalige Entschädigung von Fr. 300.-- für die erforderliche Anpassung an die Buchhaltung auszurichten und (3) allfällige zusätzlich beanspruchte Leistungen (namentlich Platzwart) nach den Tarifen der Gemeinde, subsidiär nach Marktpreisen, periodisch gegen Rechnung zu bezahlen. Im Übrigen wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C. Mit Eingabe vom 10. September 2012 erhebt der FC X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, es sei der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. Juni 2012, "soweit die Beschwerde abgewiesen wurde, jedenfalls aber bezüglich der verfügten Kosten- und Entschädigungsfolgen, aufzuheben, und es sei der diesem Verfahren zugrunde liegende Beschluss Nr. 171 des Gemeinderates der Gemeinde Y._ vom 8. Februar 2010 zu bestätigen und es sei dem FC Y._ die Mitbenützung sowohl des Hauptspielplatzes und des Trainingsplatzes (2. Spielfeld) als auch im Speziellen des Garderobengebäudes auf der Sportanlage A._ in X._ zu verweigern".
Der Regierungsrat des Kantons Schwyz und der Beschwerdegegner beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und der Gemeinderat Y._ verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die fristgerecht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid des Verwaltungsgerichts ist grundsätzlich zulässig (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 und Art. 100 BGG). Es ist kein Ausschlussgrund nach <ref-law> gegeben. Der Beschwerdeführer hat vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen, ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und besitzt ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>), womit er zur Beschwerde legitimiert ist.
1.2 Entgegen der Auffassung des Beschwerdegegners ist auf die Beschwerde sowohl in Bezug auf den angefochtenen Entscheid der Vorinstanz vom 20. Juni 2012 wie auch auf den ersten Entscheid vom 18. August 2011, den das Bundesgericht als nicht anfechtbaren Zwischenentscheid betrachtet hat (vgl. Sachverhalt lit. A.b), einzutreten, da es sich um einen Anwendungsfall von <ref-law> handelt (vgl. Urteil 2C_766/2010 vom 29. Juli 2011 E. 1.3, in: ASA 80 S. 412).
1.3 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Die weitschweifigen Ausführungen in der Beschwerdeschrift vermögen diese Anforderungen nur teilweise zu erfüllen; insofern ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
1.4 Das Bundesgericht legt sodann seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law> bzw. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
1.5 Soweit der Beschwerdeführer auf Ausführungen und Akten vor der Vorinstanz verweist (vgl. Beschwerdeschrift S. 3), tritt das Bundesgericht praxisgemäss nicht darauf ein. Die erhobenen Rügen müssen in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f. mit Hinweisen).
2. Der Beschwerdeführer rügt eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz (vgl. Beschwerdeschrift S. 6 f. bzw. S. 24 f.), legt jedoch entgegen seiner Begründungspflicht nicht dar, inwiefern dies der Fall sein soll bzw. die Feststellungen der Vorinstanz willkürlich wären (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62). Soweit er sodann geltend macht, das Verwaltungsgericht habe die relevanten Vereinbarungen zwischen der Gemeinde Y._ und dem Beschwerdeführer falsch ausgelegt bzw. die Vorinstanz habe dem Beschwerdeführer die Verfügungsgewalt über das Garderobengebäude abgesprochen, handelt es sich nicht um Sachverhalts-, sondern um Rechtsfragen, welche nachfolgend näher zu prüfen sein werden. Die Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung erweist sich somit vorab als unbegründet.
3. 3.1 In materieller Hinsicht rügt der Beschwerdeführer im Wesentlichen eine Verletzung der Eigentumsgarantie (<ref-law>), des Grundsatzes von Treu und Glauben sowie des Willkürverbots (<ref-law>). Er ist der Auffassung, das Garderobengebäude stehe in seinem Eigentum und er habe die "volle und uneingeschränkte Verfügungsmacht" darüber. Es habe auch nie eine "öffentliche Widmung dieser sich im Privateigentum befindlichen Anlage" stattgefunden. Durch die "erfolgte Verfügungsanmassung" würden die Eigentumsrechte des Beschwerdeführers in krasser und ungerechtfertigter Weise beschnitten. Vielmehr stehe ihm das "alleinige Sondernutzungsrecht der gesamten Infrastruktur der A._-Sportanlage" zu. Schliesslich sei das Vertrauen des Beschwerdeführers in die Vereinbarung mit dem Gemeinderat Y._ vom 10. Oktober 2000 und die Nachfolgevereinbarung vom 20. Oktober 2008 zu schützen.
3.2 Die Rügen des Beschwerdeführers vermögen - sofern die Begründungsanforderungen (vgl. E. 1.3 hiervor) überhaupt erfüllt sind - nicht zu überzeugen.
3.2.1 So hat die Vorinstanz im ersten Entscheid vom 18. August 2011, auf den sie im Urteil vom 20. Juni 2012 (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.2) verweisen durfte, in E. 3.3 ausführlich dargelegt, dass es sich - neben den Spielplätzen - auch beim Garderobengebäude trotz der zivilrechtlichen Eigentumsverhältnisse um eine öffentliche Sache und um einen Teil des Verwaltungsvermögens handle, womit dem Gemeinderat Y._ die Verfügungskompetenz über das Garderobengebäude zustehe. Dafür sprechen etwa der Verzicht auf einen Baurechtszins wie auch das Einsetzen einer Sportplatzkommission. Dieser Schluss der Vorinstanz ist aufgrund der für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellung nicht zu beanstanden.
3.2.2 Von entscheidender Bedeutung ist sodann, dass im Baurechts- und Dienstbarkeitsvertrag vom 15. Dezember 1998 in Ziff. III./3.1 der Beschwerdeführer verpflichtet wurde, die Benützung des neuen Fussballplatzes sämtlichen in der Gemeinde Y._ domizilierten Sportvereinen in der spiel- und trainingsfreien Zeit unentgeltlich zu gestatten. Entsprechend wurde in der Vereinbarung vom 10. April 2000 zwischen dem Gemeinderat und dem Beschwerdeführer (vgl. den Wortlaut im Entscheid vom 18. August 2011 E. 4.3.2) diesem zwar ein vorrangiges Nutzungsrecht, jedoch kein Sondernutzungsrecht am Hauptspielplatz und den Nebenspielplätzen eingeräumt. Aus der Nachfolgevereinbarung vom 20. Oktober 2008 kann der Beschwerdeführer dagegen nichts zu seinen Gunsten ableiten, da diese Vereinbarung vom ursprünglichen Baurechts- und Dienstbarkeitsvertrag erheblich abweicht und damit auch im Widerspruch zum Volksentscheid (Urnenabstimmung) vom 27. September 1998 steht.
Im Kontext der Entstehungsgeschichte durfte damit die Vorinstanz, ohne in Willkür zu verfallen, ebenso den Schluss ziehen, auch über das Garderobengebäude könne der Beschwerdeführer nur im Verbund mit der Gemeinde entscheiden (vgl. Entscheid vom 18. August 2011 E. 4.3.3).
3.2.3 Soweit sich der Beschwerdeführer auf den Vertrauensschutz beruft, kann ihm ebenso wenig gefolgt werden. Vielmehr ist der Vorinstanz insofern beizupflichten, als auch die Gemeinde einerseits den Gleichbehandlungsgrundsatz sowie das Willkürverbot zu beachten hat, und sich andererseits bei der Ausgestaltung von Verwaltungsvereinbarungen an die von der Stimmbevölkerung genehmigten Bestimmungen zu halten hat (vgl. Entscheid vom 18. August 2011 E. 4.2).
3.2.4 Auch die Ausführungen des Beschwerdeführers zur Eigentumsgarantie zielen an der Sache vorbei: Wie bereits dargelegt, wird das privatrechtliche Eigentum des Beschwerdeführers durch die öffentlichrechtliche Zwecksetzung begrenzt. Zwar steht dem Beschwerdeführer eine Vorzugsbehandlung zu, was aber den gänzlichen Ausschluss anderer, den organisierten Fussballsport betreibender Vereine nicht zu rechtfertigen vermag. Sodann ist die Eigentumsgarantie als Wertgarantie gar nicht betroffen, da der Beschwerdegegner im Verhältnis seines Benützungsanteils an der umstrittenen Anlage Beiträge an die Betriebs-, Zins-, Amortisations- und allfälligen Erneuerungskosten leisten muss. Der Umfang dieser Zahlungen wie auch die Höhe der übrigen von der Vorinstanz festgelegten Entschädigungen (vgl. Ziff. 1 des Dispositiv vom 20. Juni 2012) werden vom Beschwerdeführer vor dem Bundesgericht nicht mehr in Frage gestellt.
4. 4.1 Zu prüfen bleiben damit noch die vom Beschwerdeführer als fehlerhaft gerügten Kosten- und Entschädigungsfolgen. Das Verwaltungsgericht hat in Ziff. 2 des Dispositivs des angefochtenen Entscheides die Kosten des Verfahrens von insgesamt Fr. 2'500.-- zu 4/5 dem Beschwerdeführer und zu 1/5 dem Beschwerdegegner auferlegt. Zudem hat es in Ziff. 3 des Dispositivs den Beschwerdeführer angewiesen, dem Beschwerdegegner eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 1'200.-- zu bezahlen.
4.2 Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, die vorgenommene Kostenverlegung sei "stossend und willkürlich". Im angefochtenen Entscheid habe sich das Verwaltungsgericht einzig mit den Eventualanträgen (vorschüssige Zahlungen bzw. Pauschalentschädigungen, vgl. Sachverhalt lit. B.a hiervor) des Beschwerdeführers näher auseinandergesetzt. Demgegenüber habe das Verwaltungsgericht in Bezug auf den Hauptantrag (Verweigerung der Benützung der Sportanlagen) auf die Erwägungen seines Rückweisungsentscheides vom 18. August 2011 verwiesen. Der Beschwerdeführer habe im vorinstanzlichen Verfahren bezüglich der Eventualbegehren grösstenteils obsiegt und der Hauptantrag habe keinen weiteren Begründungsaufwand verursacht; im ersten Rechtsgang habe er zudem bereits Fr. 2'000.-- Verfahrenskosten leisten müssen.
4.3 Das Verwaltungsgericht hat hier die Verfahrenskosten bzw. die Parteientschädigung gestützt auf § 72 Abs. 2 der Verordnung [des Kantons Schwyz] vom 6. Juni 1974 über die Verwaltungsrechtspflege (VRP/SZ; SRSZ 234.110) bzw. §§ 2 und 14 des Gebührentarifs für Rechtsanwälte [des Kantons Schwyz] vom 27. Januar 1975 (GebT/SZ; SRSZ 280.411) festgelegt (vgl. angefochtener Entscheid E. 5). § 72 Abs. 2 VRP/SZ hält fest, dass bei einem teilweisen Unterliegen die Kosten auf die Parteien "anteilsmässig" verteilt werden. § 14 GebT/SZ legt sodann einen Rahmen von Fr. 300.-- bis Fr. 8'400.-- für die Parteientschädigung fest.
4.4 Die kantonalen Instanzen verfügen damit bei der Festsetzung der Parteientschädigung bzw. der Verfahrenskosten über ein weites Ermessen. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn die Vorinstanz von dem ihr zustehenden Ermessen einen willkürlichen Gebrauch gemacht hat (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 87 mit Hinweisen; Urteil 9C_178/2011 vom 20. Mai 2011 E. 3.4.1). Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist, das heisst, wenn die zugesprochene Entschädigung bzw. die auferlegten Kosten gesamthaft gesehen als willkürlich erscheinen (<ref-ruling> E. 4b S. 87), was der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde aufzuzeigen hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 219 mit Hinweisen).
4.5 Selbst wenn es hier zutreffen sollte, dass sich die auferlegten Verfahrenskosten mit Fr. 2'000.-- bzw. die zugesprochene Entschädigung mit Fr. 1'200.-- innerhalb des möglichen Rahmens eher im oberen Bereich bewegten, wäre daraus noch nicht zu schliessen, die festgesetzte Entschädigung sei offensichtlich unhaltbar, verletze einen Rechtsgrundsatz krass oder laufe in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwider. So ist der Beschwerdeführer vor der Vorinstanz im Hauptantrag vollumfänglich unterlegen und auch in den Nebenanträgen nur teilweise durchgedrungen, da die geforderten Abgeltungen erheblich reduziert worden sind.
Angesichts des dem kantonalen Gericht zustehenden weiten Ermessens kann in der vorinstanzlichen Festsetzung der Verfahrenskosten bzw. der Parteientschädigung somit keine Willkür erblickt werden.
5. Aus den dargelegten Gründen erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Entsprechend diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung für das Verfahren vor Bundesgericht zu entrichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger