Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Konkurserkenntnis vom 12. Juli 2007 löste das Kreisgericht See-Gaster die Z._ AG mit Sitz in A._ auf.
X._ (Beschwerdeführer) war im Zeitpunkt der Konkurseröffnung einziger Verwaltungsrat der Gesellschaft.
Mit Entscheid vom 16. Oktober 2007 stellte das Kreisgericht See-Gaster das Konkursverfahren mangels Aktiven ein. Die Gesellschaft wurde am 25. Februar 2006 im Handelsregister gelöscht.
A.b. Mit Gesuch vom 16. Juli 2008 beantragte X._ dem Kreisgericht See-Gaster die Wiedereintragung der gelöschten Z._ AG in Liquidation in das Handelsregister. Zur Begründung führte er aus, im Dezember 2005 habe die Z._ AG in Liquidation der B._ AG ein in C._ (D) liegendes Grundstück verkauft. Voraussetzung für die Eigentumsübertragung sei damals der Nachweis der Kaufpreiszahlung über EUR 400'000.-- gegenüber dem beurkundenden Notar gewesen. Erst Ende 2007, d.h. nach Einstellung des Konkursverfahrens, sei X._ aufgefallen, dass diese Zahlung an die Z._ AG in Liquidation nie geleistet worden ist. Auf Antrag von X._ habe deshalb das deutsche Amtsgericht Bensheim am 7. April 2008 eine Verfügungssperre im deutschen Grundbuch eingetragen. Das Grundstück stelle für die Z._ AG in Liquidation ein gewichtiges Aktivum dar, weshalb es angezeigt sei, das Konkursverfahren wiederzueröffnen.
Das Kreisgericht See-Gaster überwies dieses Gesuch in der Folge an das zuständige Handelsgericht des Kantons St. Gallen.
Mit Entscheid vom 23. Juli 2008 wies das Handelsgericht das Handelsregisteramt des Kantons St. Gallen an, die im Handelsregister gelöschte Firma Z._ AG in Liquidation mit Sitz in A._ wieder in das Handelsregister einzutragen. Weiter wurde das Handelsregisteramt angewiesen, als einziges Mitglied des Verwaltungsrats und Liquidator mit Einzelunterschrift X._ einzutragen.
A.c. Mit Entscheid vom 3. September 2008 hob das Kreisgericht See-Gaster die Einstellung des Konkursverfahrens mangels Aktiven auf und ordnete die Durchführung des summarischen Konkursverfahrens über die Z._ AG in Liquidation an.
Mit Verfügung des Konkursrichters des Kreisgerichtes See-Gaster vom 29. Januar 2010 wurde das Konkursverfahren als geschlossen erklärt und die Gesellschaft von Amtes wegen gelöscht.
B.
Mit Eingabe vom 14. Mai 2013 beantragte X._ dem Handelsgericht, es sei die Z._ AG erneut in das Handelsregister einzutragen. Zur Begründung führte er aus, dass der einzige (weiterhin) noch unverteilte Vermögensgegenstand der Z._ AG das Haus im deutschen C._ sei. Dieses habe der Z._ AG erst vor Kurzem durch eine gütliche Einigung mit der B._ AG in Liquidation zugeführt werden können. Es bestehe damit "grünes Licht" für den Verkauf des Hauses. Das zuständige Grundbuchamt im deutschen Bensheim habe mit Schreiben vom 30. April 2013 den mit der Verkaufsabwicklung beauftragten Notar D._ aufgefordert, einen beglaubigten Handelsregisterauszug der Z._ AG einzureichen, damit der Eintrag auf den Käufer erfolgen könne.
Mit Entscheid vom 29. Juli 2013 wies das Handelsgericht das Gesuch ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt X._ dem Bundesgericht sinngemäss, es sei der Entscheid des Handelsgerichts aufzuheben, die Z._ AG sei wieder im Handelsregister einzutragen und X._ sei als Liquidator zu bestellen.
Das Handelsregisteramt hat sich nicht vernehmen lassen. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG), der von einem oberen kantonalen Gericht erging, das als Fachgericht für handelsrechtliche Streitigkeiten und einzige kantonale Instanz eingesetzt ist (Art. 75 Abs. 2 lit. b BGG), sie ist innert der Beschwerdefrist (Art. 100 BGG) von der mit ihren Rechtsbegehren unterlegenen Partei (Art. 76 Abs. 1 BGG) eingereicht worden und bei der Streitsache handelt es sich um eine Zivilsache (Art. 72 BGG). Eine Streitwertgrenze besteht für Beschwerden gegen Urteile kantonaler Handelsgerichte nicht (Art. 74 Abs. 2 lit. b BGG; <ref-ruling> E. 1.2).
1.2.
1.2.1. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.1/2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
1.2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4 S. 466). Soweit die Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_470/2009 vom 18. Februar 2010 E. 1.2). Überdies hat sie darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.2). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3, 396 E. 3.1 S. 399).
1.2.3. Diese Grundsätze verkennt der Beschwerdeführer. Er wiederholt in seiner Beschwerdeschrift lediglich die bereits im vorinstanzlichen Verfahren eingenommenen Rechtsstandpunkte, ohne sich auch nur ansatzweise mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinanderzusetzen und aufzuzeigen, inwiefern diese seines Erachtens rechtsfehlerhaft sein sollen. Zudem stützt er sich in tatsächlicher Hinsicht nicht auf den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt, sondern auf eine eigene Version desselben, ohne gleichzeitig taugliche Sachverhaltsrügen vorzubringen. Auf die Vorbringen des Beschwerdeführers ist nicht einzutreten.
2.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgerichtspräsident des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni