Sachverhalt:
A. Der 1975 geborene M._ war als Dachdecker bei der Q._ GmbH angestellt und bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 24. Juli 2004 half er einem Bekannten auf dem Bauernhof beim Reinigen der Dachrinnen. Da die Regenrinne infolge eines Isolationsdefekts an einer Kabelleitung unter Strom stand, erlitt er eine Muskelverkrampfung. Nachdem der anwesende Besitzer die Stromeinwirkung hatte unterbrechen können, stürzte der inzwischen bewusstlos gewordene Versicherte mitsamt der Metallleiter aus rund drei Metern Höhe auf den Betonboden. Vom alarmierten Rettungsdienst wurde er daraufhin notfallmässig ins Spital X._ überwiesen, wo die behandelnden Ärzte folgende Diagnose stellten: Jochbeinfraktur rechts, commotio cerebri, kleine Subarachnoidalblutung rechts, contusio bulbi rechts, multiple Prellungen LWK, Sternum, Becken und posttraumatischer benigner paroxysmaler Lagerungsschwindel rechts. Über den Unfallhergang konnte der Versicherte gegenüber den Ärzten keine Angaben machen. Laut Austrittsbericht der Klinik für Hals- und Gesichtschirurgie vom 4. August 2004 wurde er wegen der commotio cerebri und der Subarachnoidalblutung zunächst überwacht, bevor am 27. Juli 2004 die Jochbeinfraktur operativ saniert werden konnte. In der Folge weilte M._ vom 23. August bis 1. Oktober 2004 zur Rehabilitation in der Klinik V._. Dort kam es am 1. September 2004 zu einem Sturz unklarer Ursache. Vom 7. Dezember 2005 bis 12. Januar 2006 folgte nochmals ein stationärer Aufenthalt in der Klinik V._. Wegen einer Exazerbation der Schmerzen wurde der Versicherte vom 1. bis 6. Februar 2008 und vom 18. bis 23. Februar 2008 im Spital X._ hospitalisiert. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen des Ereignisses vom 24. Juli 2004 und erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Gestützt auf die von ihr veranlassten psychiatrischen (Bericht vom 21. Februar 2008), neurologischen (Bericht vom 10. Juni 2008) und neuropsychologischen (Bericht vom 23. Januar 2008) Untersuchungen in der Klinik Z._ lehnte sie mit Verfügung vom 19. Dezember 2008 und Einspracheentscheid vom 10. September 2009 mit Wirkung ab Ende Dezember 2008 einen weitergehenden Leistungsanspruch ab, da die geklagten Beschwerden nicht mehr in einem ursächlichen Zusammenhang mit dem Unfall vom 24. Juli 2004 stünden.
B. Die von M._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 26. Mai 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt M._ beantragen, die SUVA sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheids zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen weiterhin zu erbringen; eventuell sei die Sache zur ergänzenden Abklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Während SUVA und kantonales Gericht auf Abweisung der Beschwerde schliessen, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Zusprechung von Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung setzt grundsätzlich das Vorliegen eines Berufsunfalles, eines Nichtberufsunfalles oder einer Berufskrankheit voraus (<ref-law>). Der Unfallversicherer haftet jedoch für einen Gesundheitsschaden nur insoweit, als dieser nicht nur in einem natürlichen, sondern auch in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum versicherten Ereignis steht (<ref-ruling> E. 3 S. 181). Dabei spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (<ref-ruling> E. 2 S. 111 f.; <ref-ruling> E. 5b/bb S. 103). Objektivierbar sind Untersuchungsergebnisse, die reproduzierbar sind und von der Person des Untersuchenden und den Angaben des Patienten unabhängig sind. Von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen kann somit erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (Urteil 8C_806/2007 vom 7. August 2008 E. 8.2 mit zahlreichen Hinweisen). Sind die geklagten Beschwerden natürlich unfallkausal, nicht aber in diesem Sinne objektiv ausgewiesen, so ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind gegebenenfalls weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 111 f.). Hat die versicherte Person einen Unfall erlitten, welcher die Anwendung der Schleudertrauma-Rechtsprechung rechtfertigt, so sind hierbei die durch <ref-ruling> E. 10 S. 126 ff. präzisierten Kriterien massgebend. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden die Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (<ref-ruling> E. 6c/aa S. 140; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.1 S. 112).
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat gestützt auf die medizinischen Unterlagen, insbesondere den Bericht der Neurologin Dr. med. B._ vom 22. Januar 2007 und das unter psychiatrischen (21. Februar 2008), neurologischen (10. Juni 2008) und neuropsychologischen (23. Januar 2008) Aspekten erstellte verwaltungsinterne Gutachten der Klinik Z._ (siehe dazu <ref-ruling> E. 3 S. 119 ff.) festgehalten, es seien keine organischen Gesundheitsschäden mehr ausgewiesen, die auf das Unfallereignis vom 24. Juli 2004 zurückzuführen wären. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, vermag zu keinem anderen Ergebnis zu führen. Die auf eingehenden Untersuchungen und bildgebenden Befunden abgestützten fachärztlichen Beurteilungen des Beschwerdebildes sind umfassend und stellen eine genügend fundierte Abklärung des medizinischen Sachverhalts dar. Es besteht daher kein Anlass zur Annahme, dass ergänzende Beweismassnahmen daran etwas zu ändern vermöchten. SUVA und kantonales Gericht konnten gestützt auf die Aktenlage ohne weiteres schliessen, dass mit überwiegender Wahrscheinlichkeit keine somatischen Unfallfolgen mehr vorliegen.
3.2 In psychiatrischer Hinsicht liegt laut Diagnose des Dr. med. K._ im Gutachten der Klinik Z._ vom 21. Februar 2008 eine Konversionsstörung vor (ICD-10: F44.7), gemischt mit gelegentlichen Momenten von dissoziativer Amnesie sowie starker Regressionsneigung und Symptomausweitung und Neigung zu Pseudologie auf der Grundlage einer auffälligen Persönlichkeit mit vorwiegend histrionischen Charakterzügen. Ebenfalls diagnostiziert wurden nebst einer leichten spezifischen Angststörung (ICD-10: F41.8), eine ab Dezember 2005 mindestens mittelgradige, jedoch spätestens seit März 2007 remittierte depressive Phase (depressive Episode; ICD-10: F32.1) sowie residuelle mögliche Folgen einer initial ausgeprägten psychotraumatologischen Störung infolge des Unfalls. Wie das kantonale Gericht zutreffend erwogen hat, ist das Vorliegen eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall und der vom Gutachter festgestellten psychischen Störung bzw. Fehlentwicklung zumindest im Sinne einer Teilursache zu bejahen. Da die natürliche Kausalität der psychischen Beschwerden mit dem Unfall angesichts der Aktenlage gegeben ist und von keiner Seite in Frage gestellt wird, bedarf der Sachverhalt auch diesbezüglich keiner Ergänzung oder Vervollständigung durch die Vorinstanz.
4. 4.1 Das kantonale Gericht und die Beschwerdegegnerin haben die Frage, ob die zumindest teilweise natürlich unfallkausale psychische Problematik auch in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 24. Juli 2004 stehe, nach den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Regeln geprüft (vgl. dazu <ref-ruling> E. 6c S. 140) und nicht nach der bei Schreckereignissen zur Anwendung kommenden allgemeinen Adäquanzformel (gewöhnlicher Lauf der Dinge und allgemeine Lebenserfahrung; <ref-ruling> E. 4.2 S. 185).
Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten richtig. Nach der Rechtsprechung werden schreckbedingte plötzliche Einflüsse auf die Psyche (sog. Schreckereignisse; zur Definition: <ref-ruling> E. 2.1 S. 179 f.; SVR 2009 UV Nr. 20 S. 75, 8C_533/2008 E. 2.2; 2008 UV Nr. 7 S. 22, U 548/06 E. 2.2) als Einwirkungen auf den menschlichen Körper im Sinne des Unfallbegriffs (<ref-law>; 830.1) anerkannt. Es handelt sich dabei um Ereignisse - wie etwa Brand- oder Erdbebenkatastrophen, Eisenbahn- oder Flugzeugunglücke, schwere Autokollisionen, Brückeneinstürze, Bombenabwürfe, verbrecherische Überfälle oder sonstige plötzliche Todesgefahren sowie Seebeben (Urteil 8C_387/2007 vom 25. Februar 2008 E. 5.2.1) - bei denen, anders als im Rahmen der üblichen Unfälle, die psychische Stresssituation im Vordergrund steht, wogegen dem somatischen Geschehen keine (entscheidende) Bedeutung beigemessen werden kann. Aus diesem Grund erweist sich in solchen Fällen die (analoge) Anwendung der in <ref-ruling> entwickelten Adäquanzkriterien als ungeeignet (<ref-ruling> E. 4.2 S. 184). Wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat, stand beim Beschwerdeführer nach dem Unfallereignis nicht eine psychische Stresssituation im Vordergrund. Vielmehr litt dieser an somatischen Beschwerden, welche im weiteren Verlauf von psychischen Problemen überlagert wurden.
Die Frage nach der anwendbaren Methode für die Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs spielt allerdings dann ohnehin keine Rolle, wenn dieser auch gemäss den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen zu bejahen ist. Ob dies zutrifft, ist umstritten und im Folgenden zu prüfen.
Die Frage nach der anwendbaren Methode für die Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs spielt allerdings dann ohnehin keine Rolle, wenn dieser auch gemäss den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen zu bejahen ist. Ob dies zutrifft, ist umstritten und im Folgenden zu prüfen.
4.2 4.2.1 Im Rahmen der adäquanzrechtlich nach objektiven Gesichtspunkten und ohne Berücksichtigung der Persönlichkeitsstruktur der versicherten Person vorzunehmenden Kategorisierung der Unfallschwere (RKUV 2005 Nr. U 555 S. 322, U 458/04 E. 3.4.1 mit Hinweisen) hat die Vorinstanz das Ereignis vom 24. Juli 2004 als mittelschweren Unfall im mittleren Bereich qualifiziert. Der Beschwerdeführer macht geltend, es liege ein schwerer Unfall vor.
4.2.2 Die Schwere des Unfalles bestimmt sich nach dem objektiv erfassbaren Unfallereignis und nicht nach den Kriterien, welche bei der Beurteilung der Adäquanz bei mittelschweren Unfällen Beachtung finden. Zu prüfen ist im Rahmen einer objektivierten Betrachtungsweise, ob der Unfall eher als leicht, als mittelschwer oder als schwer erscheint, wobei im mittleren Bereich gegebenenfalls eine weitere Differenzierung nach der Nähe zu den leichten oder schweren Unfällen erfolgt. Massgebend sind der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften, nicht jedoch Folgen des Unfalles oder Begleitumstände, die nicht direkt dem Unfallgeschehen zugeordnet werden können. Derartigen dem eigentlichen Unfallgeschehen nicht zuzuordnenden Faktoren ist gegebenenfalls bei den Adäquanzkriterien Rechnung zu tragen. Dies gilt etwa für die - ein eigenes Kriterium bildenden - Verletzungen, welche sich die versicherte Person zuzieht, aber auch für - unter dem Gesichtspunkt der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls zu prüfende - äussere Umstände, wie eine allfällige Dunkelheit im Unfallzeitpunkt oder Verletzungs- resp. gar Todesfolgen, die der Unfall für andere Personen nach sich zieht (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1). Immerhin können die erlittenen Verletzungen aber Rückschlüsse auf die Kräfte gestatten, die sich beim Unfall entwickelt haben (SVR 2009 UV Nr. 57 S. 203, 8C_77/2009 E. 4.1.1; Urteil 8C_396/2009 vom 23. September 2009 E. 4.4.2).
4.2.3 Gemäss den Abklärungen des Eidgenössischen Starkstrominspektorats vom Juli 2005 ereignete sich der Unfall vom 24. Juli 2004 wie folgt: Der Beschwerdeführer war bei regnerischem Wetter damit beschäftigt, Laub aus einer Dachrinne zu entfernen. Plötzlich hörte der Hofbesitzer diesen schreien und stöhnen und stellte fest, dass er mit der rechten Hand die Regenrinne umklammert hielt und nicht mehr loslassen konnte. Auf die Frage, ob er unter Strom stehe, konnte der Versicherte dies mit Kopfnicken bestätigen. Der Hofbesitzer eilte daraufhin zur Sicherungshauptverteilung und zog die Sicherung heraus. Der inzwischen bewusstlos gewordene Beschwerdeführer stürzte daraufhin mitsamt der Metallleiter zu Boden und blieb dort verletzt liegen.
Gemäss Polizeirapport vom 19. .August 2004 ereignete sich der Sturz - vermutlich in Seitenlage - aus rund drei bis vier Metern Höhe auf den harten Boden, wo sich der Beschwerdeführer Kopfverletzungen zugezogen hat. Von der Polizei wurde er auf dem Boden in einer kleinen Blutlache liegend und nur teilweise ansprechbar gefunden.
Der in der Folge beigezogene Elektroinstallateur stellte fest, dass das Regenfallrohr eine Spannung von ca. 230 Volt aufwies. Laut Starkstrominspektorat stand der Versicherte auf einer Metallleiter, welche an die untere geerdete Regenrinne gelehnt war. Bei der Erfassung der oberen Regenrinne sei er vom Strom durchflossen worden, was zu einer Muskelverkrampfung geführt habe, so dass er sich nicht mehr von der Stromeinwirkung habe befreien können. Da er das Bewusstsein verloren habe, sei er nach dem Entfernen der Sicherungen zu Boden gestürzt. Obwohl der Stromfluss durch den Körper die Gefahrenschwelle wesentlich überschritten habe, sei der Versicherte glücklicherweise von einem lebensgefährlichen Herzkammerflimmern verschont geblieben. Nicht bekannt ist, wie lange er effektiv unter Strom stand.
4.2.4 Aufgrund des geschilderten Geschehensablaufs ist davon auszugehen, dass der infolge der Stromeinwirkung bewusstlos gewordene Versicherte praktisch unkontrolliert mit einiger Wucht und entsprechenden Krafteinwirkung aus rund 3 Metern Höhe auf dem Betonboden aufschlug. Damit unterscheidet sich das Unfallereignis vom als mittelschwer beurteilten Geschehen, bei dem die versicherte Person bei einem Sturz vom Garagendach aus mindestens 3 Metern Höhe auf den Füssen landen konnte (vgl. Urteil U 11/07 vom 27. Februar 2008 E. 4.2). Zum bereits für sich allein als mittelschwer zu qualifizierenden Stromunfall mit Bewusstlosigkeit oder zumindest Benommenheit und Muskelkrämpfen (vgl. RKUV 1993 Nr. U 166 S. 92, U 29/92 E. 2b; Urteil U 137/93 vom 26. Oktober 1994 E. 2b) entwickelten sich aufgrund des Verlusts der Kontrolle über den eigenen Körper beim Leitersturz auf den Betonboden nochmals zusätzliche Kräfte, so dass das Unfallereignis vom 24. Juli 2004 insgesamt als mittelschwer im Grenzbereich zu den schweren Unfällen zu qualifizieren ist (vgl. dazu die in RKUV 2005 Nr. U 555 S. 322, U 458/04 E. 3.4.1 erwähnte Rechtsprechung). Der Auffassung des Beschwerdeführers, es handle sich um einen schweren Unfall, ist entgegenzuhalten, dass die von ihm geltend gemachten Umstände nicht die Schwere des Unfalls betreffen, sondern jenen Begleitumständen zuzurechnen sind, welche bei mittelschweren Unfällen den Ausschlag für die Bejahung oder Verneinung der Adäquanz geben (vgl. SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1; RKUV 2005 Nr. U 555 S. 322, U 458/04 E. 3.4.2).
4.2.4 Aufgrund des geschilderten Geschehensablaufs ist davon auszugehen, dass der infolge der Stromeinwirkung bewusstlos gewordene Versicherte praktisch unkontrolliert mit einiger Wucht und entsprechenden Krafteinwirkung aus rund 3 Metern Höhe auf dem Betonboden aufschlug. Damit unterscheidet sich das Unfallereignis vom als mittelschwer beurteilten Geschehen, bei dem die versicherte Person bei einem Sturz vom Garagendach aus mindestens 3 Metern Höhe auf den Füssen landen konnte (vgl. Urteil U 11/07 vom 27. Februar 2008 E. 4.2). Zum bereits für sich allein als mittelschwer zu qualifizierenden Stromunfall mit Bewusstlosigkeit oder zumindest Benommenheit und Muskelkrämpfen (vgl. RKUV 1993 Nr. U 166 S. 92, U 29/92 E. 2b; Urteil U 137/93 vom 26. Oktober 1994 E. 2b) entwickelten sich aufgrund des Verlusts der Kontrolle über den eigenen Körper beim Leitersturz auf den Betonboden nochmals zusätzliche Kräfte, so dass das Unfallereignis vom 24. Juli 2004 insgesamt als mittelschwer im Grenzbereich zu den schweren Unfällen zu qualifizieren ist (vgl. dazu die in RKUV 2005 Nr. U 555 S. 322, U 458/04 E. 3.4.1 erwähnte Rechtsprechung). Der Auffassung des Beschwerdeführers, es handle sich um einen schweren Unfall, ist entgegenzuhalten, dass die von ihm geltend gemachten Umstände nicht die Schwere des Unfalls betreffen, sondern jenen Begleitumständen zuzurechnen sind, welche bei mittelschweren Unfällen den Ausschlag für die Bejahung oder Verneinung der Adäquanz geben (vgl. SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1; RKUV 2005 Nr. U 555 S. 322, U 458/04 E. 3.4.2).
4.3 4.3.1 Im Falle eines schwereren Ereignisses im mittleren Bereich bzw. eines solchen im Grenzbereich zu den schweren Unfällen genügt es rechtsprechungsgemäss zur Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs, wenn nur eines der adäquanzrechtlich massgebenden Kriterien nach <ref-ruling> E. 6c/aa S. 140 (besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen, insbesondere ihre erfahrungsgemässe Eignung, psychische Fehlentwicklungen auszulösen; ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung; körperliche Dauerschmerzen; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit), nicht notwendigerweise in besonders ausgeprägter Weise, erfüllt ist (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3; RKUV 2005 Nr. U 555 S. 322, U 458/04 E. 3.5.1; Urteil 8C_396/2009 vom 23. September 2009 E. 4.5).
4.3.2 Gemäss dem angefochtenen Entscheid ist dem Unfall eine gewisse Eindrücklichkeit aus objektiver Sicht nicht abzusprechen. Ob von einer besonderen Eindrücklichkeit auch dann gesprochen werden kann, wenn sich der Versicherte nicht an das Unfallgeschehen erinnert, liess das kantonale Gericht offen, da dieses Kriterium alleine nicht genüge, um bei einem Unfall im eigentlichen mittleren Bereich die Adäquanz der psychischen Fehlentwicklung zu bejahen (vgl. dazu SVR 2010 UV Nr. 25 S. 100, 8C_897/2009 E. 4.5) und weitere Beurteilungsmerkmale nicht erfüllt seien.
Der Berücksichtigung des Kriteriums der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls liegt der Gedanke zugrunde, dass solche Umstände geeignet sind, bei der betroffenen Person während des Unfallgeschehens oder nachher psychische Abläufe in Bewegung zu setzen, die an den nachfolgenden psychischen Fehlentwicklungen mitbeteiligt sein können. Dabei sind objektive Massstäbe anzuwenden. Nicht was im einzelnen Betroffenen beim Unfall psychisch vorgeht - sofern sich dies überhaupt zuverlässig feststellen liesse -, soll entscheidend sein, sondern die objektive Eignung solcher Begleitumstände, bei Betroffenen psychische Vorgänge der genannten Art auszulösen (RKUV 1999 Nr. U 335 S. 207, U 287/97 E. 3b/cc). Zu beachten ist zudem, dass jedem mindestens mittelschweren Unfall eine gewisse Eindrücklichkeit eigen ist (8C_655/2010 vom 15. November 2010 E. 4.2.2).
Das Zusammenspiel verschiedener Faktoren, wie der unvorhersehbare Stromschlag beim Kontakt mit der Dachrinne, der dadurch verursachte Kontrollverlust über den eigenen Körper (Verkrampfung der Hände, nicht Loslassen können) auf einer in steilem Winkel an die Dachrinne gestellten Leiter, rund drei Meter über dem Betonboden, Verletzungen u.a. am Kopf, lassen das Ereignis vom 24. Juli 2004 objektiv betrachtet als besonders dramatisch bzw. eindrücklich erscheinen. Angesichts der Erinnerungslücke des Beschwerdeführers, welcher gegenüber den erstbehandelnden Ärzten und auch noch am 15. Oktober 2004 gegenüber dem Case Manager der SUVA keine Angaben über den Unfallhergang machen konnte, kommt dem Kriterium indessen nicht die gleiche Bedeutung zu, wie wenn eine ungetrübte Erinnerung an den Unfall bestehen würde (Urteil 8C_624/2010 vom 3. Dezember 2010 E. 4.2.1).
4.3.3 Im Urteil U 137/93 vom 26. Oktober 1994 führte das damalige Eidg. Versicherungsgericht aus, Stromunfälle seien erfahrungsgemäss geeignet, zu psychischen Leiden zu führen, wie sie beim Versicherten aufgetreten waren. Es betrachtete daher das Kriterium der "Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen, insbesondere ihre erfahrungsgemässe Eignung, psychische Fehlentwicklungen auszulösen", als erfüllt. Dr. med. K._ diagnostizierte im psychiatrischen Teilgutachten vom 21. Februar 2008 eine dissoziative Störung (Konversionsstörung) gemischt nach ICD-10: F44.7. Dissoziative Störungen sind als Folge von Stromunfällen bekannt (WOLFGANG ZSCHIESCHE, Stromunfälle am Arbeitsplatz, in: Arbeitsmed. Sozialmed., 2010, S. 166). Es ist daher auch im vorliegenden Fall davon auszugehen, dass das Kriterium erfüllt ist.
Da bereits die Erfüllung dieses einen Kriteriums den natürlichen Kausalzusammenhang als adäquat erscheinen lässt, brauchen die übrigen Kriterien nicht geprüft zu werden.
4.4 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die vom Beschwerdeführer geklagten psychischen Beschwerden in einem natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfallereignis vom 24. Juli 2004 stehen. Der vorinstanzliche Entscheid ist daher aufzuheben und die Sache zur Prüfung des Anspruchs auf die gesetzlichen Leistungen an die SUVA zurückzuweisen.
5. Die Beschwerde ist somit gutzuheissen.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5). Diese hat dem Beschwerdeführer überdies eine Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>), womit dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 26. Mai 2010 und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) vom 10. September 2009 werden aufgehoben. Es wird die Sache an die SUVA zurückgewiesen, damit sie über den Anspruch des Beschwerdeführers auf die gesetzlichen Leistungen für die Folgen des Unfalls vom 24. Juli 2004 im Sinne der Erwägungen neu befinde.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. März 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer