Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Zürich stellte mit nicht begründetem Urteil vom 10. Juni 2003 (und Berichtigungsverfügung vom 24. September 2003) fest, dass X._ der Vater von Y._ (geb. 2000) ist. Zudem verpflichtete es X._ zur Bezahlung der Kinderzulagen und von monatlichen, indexierten Unterhaltsbeiträgen für Y._, und zwar von Fr. 600.-- ab Geburt bis Ende Januar 2006, Fr. 650.-- ab 1. Februar 2006 bis 31. Januar 2012 und Fr. 700.-- ab 1. Februar 2012 bis zur Mündigkeit bzw. bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung. Das Bezirksgericht ordnete an, das Urteil X._ durch Publikation im Amtsblatt mitzuteilen. Zudem wies es darauf hin, dass das Urteil in Rechtskraft erwachse, wenn nicht innert zehn Tagen von der Zustellung an von einer Partei eine Begründung verlangt werde.
B.
Mit Eingabe vom 14. Dezember 2012 (Postaufgabe 15. Dezember 2012) an das Obergericht des Kantons Zürich erhob X._ Nichtigkeitsbeschwerde im Sinne von § 281 der Zürcher Zivilprozessordnung vom 13. Juni 1976 (ehemals LS 271; fortan ZPO/ZH). Er beantragte, es sei festzustellen, dass ihm die Unterlagen des bezirksgerichtlichen Verfahrens nicht gültig zugestellt worden seien und er deshalb sein Gehörsrecht nicht habe ausüben können. Das Urteil des Bezirksgericht vom 10. Juni / 24. September 2003 sei zu kassieren und die Angelegenheit an das Bezirksgericht zur Wiederaufnahme des Verfahrens zurückzuweisen.
Mit Beschluss vom 6. Februar 2013 trat das Obergericht auf die Nichtigkeitsbeschwerde nicht ein.
C.
Am 8. März 2013 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt, den Beschluss des Obergerichts vom 6. Februar 2013 aufzuheben. Es sei festzustellen, dass ihm die Unterlagen des bezirksgerichtlichen Verfahrens nicht gültig zugestellt worden seien und er deshalb sein Gehörsrecht nicht habe ausüben können. Zudem seien die Nichtigkeit des bezirksgerichtlichen Verfahrens und des Beschlusses vom 10. Juni 2003 festzustellen. Schliesslich ersucht er um aufschiebende Wirkung.
Mit Verfügung vom 11. März 2013 ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung als gegenstandslos abgeschrieben worden (Art. 103 Abs. 2 lit. a BGG).
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein obergerichtlicher Beschluss, in dem auf ein Rechtsmittel gegen ein die Vaterschaft feststellendes und Unterhalt zusprechendes Urteil nicht eingetreten wurde. In der Hauptsache geht es somit um eine zivilrechtliche Angelegenheit ohne Vermögenswert (Art. 72 Abs. 1 BGG; Urteil 5A_647/2008 vom 14. November 2008 E. 1.1). Das zutreffende Rechtsmittel an das Bundesgericht ist folglich die Beschwerde in Zivilsachen und nicht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG). Die in Letzterer erhobenen Verfassungsrügen können im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen geprüft werden (Art. 95 lit. a BGG).
2.
Das Obergericht hat festgehalten, dem Beschwerdeführer (kroatischer Staatsangehöriger mit Adresse in Kroatien) sei nach eigenen Angaben das bezirksgerichtliche Urteil durch das kroatische Sozialamt am 17. August 2012 ausgehändigt worden und er habe erst nach einem Akteneinsichtsgesuch an das Bezirksgericht am 21. November 2012 vom gesamten Verfahren (und insbesondere von der Eröffnung der Vorladungen und des Urteils im Amtsblatt) Kenntnis erhalten.
Das Obergericht hat sodann erwogen, das zutreffende Rechtsmittel gegen Endurteile sei die Berufung, wobei gegebenenfalls vorher, innert zehn Tagen seit Zustellung des Dispositivs, die schriftliche Begründung des Urteils verlangt werden müsse. Die Berufung sei das ordentliche Rechtsmittel. Die Nichtigkeitsbeschwerde richte sich demgegenüber gegen formell rechtskräftige Urteile, d.h. solche, die nicht mit einem ordentlichen Rechtsmittel weiterziehbar seien.
Folge man nun - so das Obergericht weiter - der Argumentation des Beschwerdeführers, so habe bis zum 21. November 2012 keine ordnungsgemässe Zustellung des bezirksgerichtlichen Urteils stattgefunden. Dieses habe damit nicht in Rechtskraft erwachsen können und damit sei auch die Nichtigkeitsbeschwerde ausgeschlossen. Der Beschwerdeführer hätte zuerst die Begründung des angefochtenen Urteils und nach deren Erhalt Berufung erklären müssen. Die Frist, um die Begründung zu verlangen, sei jedoch am 3. Dezember 2012 abgelaufen, wenn man davon ausgehe, dass das Urteil am 21. November 2012 zugestellt worden sei. Die Eingabe vom 15. Dezember 2012 sei somit verspätet, selbst wenn sie als Berufung entgegengenommen würde.
3.
Der Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens ist auf die Frage beschränkt, ob das Obergericht auf die Nichtigkeitsbeschwerde zu Recht nicht eingetreten ist. Da das Obergericht die Nichtigkeitsbeschwerde nicht inhaltlich behandelt hat, kann auch das Bundesgericht dies nicht tun. Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht inhaltlich auf seine Nichtigkeitsbeschwerde zurückkommt und Rechtsverletzungen im Zusammenhang mit dem Vorgehen des Bezirksgerichts rügt (insbesondere von Regeln betreffend Zustellung von gerichtlichen Schriftstücken im Ausland und von Art. 29 Abs. 2 BV), kann darauf nicht eingetreten werden. Insbesondere kann das Bundesgericht den Standpunkt des Beschwerdeführers nicht behandeln, dass das bezirksgerichtliche Urteil nichtig sei. Es braucht nicht beurteilt zu werden, ob der entsprechende Antrag des Beschwerdeführers, den er vor Bundesgericht zum ersten Mal erhebt und der inhaltlich über die bisher verlangte Kassation und Rückweisung an das Bezirksgericht hinausgeht, überhaupt zulässig ist (Art. 99 Abs. 2 BGG). Jedenfalls hat das Obergericht keine Tatsachenfeststellungen über die Abläufe des bezirksgerichtlichen Verfahrens getroffen, die dem Bundesgericht eine entsprechende Beurteilung erlauben würden, sondern es hat einzig die Behauptungen des Beschwerdeführers angeführt. Der Beschwerdeführer erhebt diesbezüglich keine Rüge, dass das Obergericht den Sachverhalt in offensichtlich unrichtiger - d.h. willkürlicher - Weise unvollständig festgestellt hätte (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Der Beschwerdeführer macht auch geltend, das Obergericht hätte die Nichtigkeit des angefochtenen Urteils von Amtes wegen feststellen müssen, umso mehr als er dies geltend gemacht habe. Gegen ein nichtiges Urteil sei keine Berufung möglich und es habe deshalb Nichtigkeitsbeschwerde eingereicht werden müssen.
Selbst wenn sich der Nichtigkeitsbeschwerde entnehmen liess, dass der Beschwerdeführer nicht bloss Nichtigkeitsgründe im Sinne von § 281 ZPO/ZH geltend machte, sondern sogar Nichtigkeit im Sinne von absoluter Unwirksamkeit des bezirksgerichtlichen Urteils in Betracht fiel (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3 S. 98 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 363 ff.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 346; zur Abgrenzung von Nichtigkeitsgründen gemäss den früheren kantonalen Nichtigkeitsrechtsmitteln und absoluter Nichtigkeit FRIDOLIN WALTHER, Die Nichtigkeit im schweizerischen Zivilprozess, SZZP 2005 S. 213 f.), so kann er daraus vorliegend nichts zu seinen Gunsten ableiten. Auch wenn die Nichtigkeit eines Urteils jederzeit und von allen Behörden von Amtes wegen beachtet werden muss (BGE <ref-ruling> E. 2 S. 363; <ref-ruling> E. 2.4.3 S. 226), so bedeutet dies nicht, dass eine beliebige Behörde in beliebiger Weise auf Feststellung des entsprechenden Mangels angegangen werden kann. Vielmehr bedeutet jene Wendung im vorliegenden Zusammenhang, dass die Nichtigkeit nicht nur in den üblichen Rechtsmittelverfahren geltend gemacht werden kann, die aufgrund der allenfalls heiklen Abgrenzung zur blossen Anfechtbarkeit ohnehin im Vordergrund stehen, sondern dass die Nichtigkeit auch in Form einer Einwendung in einem Vollstreckungsverfahren oder allenfalls in Form einer selbständigen Klage auf Feststellung der Nichtigkeit vorgebracht werden kann (vgl. FABIENNE HOHL, Procédure civile, Band II, 2. Aufl. 2010, Rz. 549; WALTHER, a.a.O., S. 220 f.; ferner MAX IMBODEN, Der nichtige Staatsakt, 1944, S. 50 ff.). Vorliegend geht es um die Geltendmachung des Mangels mit einem Rechtsmittel. Das Obergericht ist nun in Anwendung des früheren kantonalen Prozessrechts davon ausgegangen, dass das zutreffende Rechtsmittel gegen das bezirksgerichtliche Urteil die Berufung (mit vorgängiger Anforderung einer Urteilsbegründung) und nicht die Nichtigkeitsbeschwerde gewesen wäre. Da das Bundesgericht die Anwendung kantonalen Rechts grundsätzlich nicht frei überprüfen kann (Art. 95 BGG), müsste der Beschwerdeführer detailliert darlegen, inwiefern die Vorinstanz die Abgrenzung von Berufung und Nichtigkeitsbeschwerde willkürlich vorgenommen hat (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Er erhebt jedoch keine entsprechende Rüge. Er macht auch nicht geltend, dass die Frist zur Erhebung der Berufung entgegen der obergerichtlichen Beurteilung eingehalten gewesen wäre. Schliesslich behauptet er auch nicht, dass das Obergericht als Aufsichtsinstanz ausserhalb eines Rechtsmittelverfahrens die Frage der Nichtigkeit hätte prüfen müssen. Auf die Beschwerde kann somit nicht eingetreten werden.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Mai 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg