Sachverhalt:
A. Die 1943 geborene W._ meldete sich im Februar 2011 (ein zweites Mal) bei der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau, Ausgleichskasse, zum Bezug von Ergänzungsleistungen (EL) zur Altersrente der AHV an. Die Ausgleichskasse berücksichtigte bei der Berechnung des EL-Anspruchs u.a. ein Verzichtsvermögen von Fr. 280'000.-, was zu einem Einnahmenüberschuss führte. Mit Verfügung vom 28. März 2011 lehnte sie daher das Leistungsbegehren ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 30. Juni 2011 fest.
B. Die Beschwerde der W._ wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 8. November 2011 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt W._ sinngemäss die Aufhebung des Entscheids vom 8. November 2011 und die Neuberechnung des EL-Anspruchs ohne Anrechnung eines Verzichtsvermögens.
Die Ausgleichskasse beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Versicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Die jährliche Ergänzungsleistung entspricht dem Betrag, um den die anerkannten Ausgaben die anrechenbaren Einnahmen übersteigen (Art. 9 Abs. 1 ELG). Als Einnahmen angerechnet werden u.a. Einkünfte und Vermögenswerte, auf die verzichtet worden ist (Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG). Der anzurechnende Betrag von Vermögenswerten, auf die verzichtet worden ist, wird jährlich um 10'000 Franken vermindert (Art. 17a Abs. 1 ELV).
In Anwendung dieser Regelung berücksichtigte die Ausgleichskasse bei der Berechnung des EL-Anspruchs für 2011 die Summe von Fr. 280'000.-, was die Vorinstanz bestätigt hat.
2. Die Beschwerdeführerin hatte in ihren Eingaben an die Ausgleichskasse angegeben, sie habe 1996 der Bank X._ die Summe von Fr. 632'000.- zur Vermögensverwaltung anvertraut und eine Vollmacht unterschrieben zugunsten des Vizedirektors H., von dem sie angenommen habe, dass er ihr Vertrauen verdiene. 1999 habe dieser jedoch zwischen Fr. 400'000.- und Fr. 500'000.- in japanische Aktien verspekuliert. Dabei seien auch viele andere Kunden geschädigt worden. Herr H. habe sämtliche Transaktionen und Belege verschwinden lassen. Die Bank habe aufgrund der unterzeichneten Vollmacht Eigenverschulden angenommen und keine Haftung übernommen. Gegen die Verantwortlichen sei keine Klage erhoben worden. Ein Gerichtsurteil, aus dem sie als Geschädigte hervorgehe, gebe es nicht.
Diese Angaben hat die Vorinstanz dahingehend gewürdigt, es sei davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin dem Vizedirektor eine sehr weitreichende uneingeschränkte Vollmacht ausgestellt, insbesondere wenig bis keine Weisungen in Bezug auf die Anlagestrategie erteilt und die Transaktionen nicht in ausreichendem Masse mitverfolgt und kontrolliert habe. Ein vernünftiger Mensch hätte sich bei einer Geldanlage von mindestens Fr. 632'000.- anders verhalten. Unter den gegebenen Umständen und da ein Urteil fehle, aus dem sich eine strafbare Handlung zu ihrem Nachteil ergeben könnte, sei das in Frage stehende Anlageverhalten als grobfahrlässig zu qualifizieren. Die Ausgleichskasse habe daher zu Recht ein Verzichtsvermögen angenommen.
3. Die Beschwerdeführerin wehrt sich gegen den Vorwurf, "mit der Unterzeichnung einer Vollmacht zur Vermögensverwaltung auch eine Vermögensverzichtserklärung unterschrieben" zu haben. Sinngemäss könne nicht per se von einem grobfahrlässigen Verhalten gesprochen werden, wenn einer schweizerischen Bank Geld zur Vermögensverwaltung anvertraut werde.
4. 4.1 Nach der Rechtsprechung ist der Tatbestand des Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG erfüllt, wenn der Anspruchsberechtigte ohne rechtliche Verpflichtung und ohne adäquate Gegenleistung auf Einkünfte oder Vermögen verzichtet hat (<ref-ruling> E. 3.2 S. 70; <ref-ruling> E. 4.2 S. 332 mit Hinweisen). Die Anlage eines Vermögens ist trotz des auch hier bestehenden Verlustrisikos grundsätzlich kein Vermögensverzicht (SVR 2007 EL Nr. 6 S. 12, P 55/05 E. 3.2). Anders zu entscheiden ist, wenn unter den konkreten Umständen von Anfang an mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit mit dem Verlust des gesamten oder eines grossen Teils des Vermögens gerechnet werden musste, sodass kein vernünftiger Mensch eine solche Anlage getätigt hätte (Urteile 9C_180/2010 vom 15. Juni 2010 E. 5.2 und E. 6 sowie 8C_567/2007 vom 2. Juli 2008 E. 6.5). Wird eine Drittperson mit der Anlage des Vermögens betraut, so gilt folgende Regel: Je weniger die Vollmacht diesbezügliche Einschränkungen und Weisungen enthält und der Auftraggeber sich entsprechend wenig um den Geschäftsgang kümmert, umso eher hat er sich das Anlageverhalten des Beauftragten anrechnen zu lassen.
4.2 Die EL-ansprechende Person hat im Rahmen ihrer Mitwirkungspflicht bei der Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts mitzuwirken (<ref-law> und <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und Art. 1 Abs. 1 ELG; SVR 2010 EL Nr. 7 S. 19, 9C_724/2009 E. 3.2.3.1 und 3.2.3.2; Urteil 8C_567/2007 vom 2. Juli 2008 E. 6.3). Insbesondere hat sie bei einer ausserordentlichen Abnahme des Vermögens darzutun bzw. diejenigen Tatsachen zu behaupten und soweit möglich auch zu belegen, die einen Vermögensverzicht ausschliessen (vgl. <ref-ruling> E. 4b in fine S. 206; ferner ZAK 1989 S. 408, P 11/88 E. 3b). Davon ausgehend durfte die Vorinstanz bei der Prüfung der Verzichtsfrage in Bezug auf die Vermögensanlage bei der Bank X._ wie schon die Verwaltung auf die Angaben der Beschwerdeführerin im Rahmen des (sowohl ersten als auch zweiten) EL-Gesuchs abstellen (vorne E. 2). Dabei hat sie jedoch offensichtlich nicht alle entscheidrelevanten Vorbringen der EL-Ansprecherin in die tatsächliche und rechtliche Sachverhaltswürdigung miteinbezogen:
4.2.1 Im Schreiben vom 6. April 2011 führte die Beschwerdeführerin u.a. aus, sie habe eine Vollmacht lediglich zum Kauf von Aktien und Obligationen gegeben. Der Vizedirektor der Bank, der ihr Geld verspekuliert habe, sei ins Gefängnis gekommen und "trotz Versuch mit meiner Anwältin etwas zu retten, hiess es am Schluss, ausser Spesen nichts gewesen". In der Eingabe vom 1. Juni 2011 äusserte sie sich dahingehend, es gebe zwar ein Gerichtsurteil, in dem sie jedoch nicht aufgelistet sei, "da ich damals ja auch keine Klage einreichen konnte, wie bereits erklärt". Aus Gründen des Personen- und Datenschutzes sowie des Bankgeheimnisses habe man ihr auch auf der Bank keine diesbezüglichen Auskünfte erteilt.
4.2.2 Der Vizedirektor wurde somit offenbar strafrechtlich zur Verantwortung gezogen. Steht die Verurteilung im Zusammenhang mit seiner Tätigkeit bei der Bank, kann diesem Umstand nicht von vornherein die Relevanz für die Frage eines Vermögensverzichts durch die Beschwerdeführerin abgesprochen werden, dies jedenfalls so lange nicht, als nicht geklärt ist, aus welchen Gründen sie nicht als Privatstrafklägerin am Verfahren beteiligt war (vgl. Urteil 8C_567/2007 vom 2. Juli 2008 E. 6.5). Immerhin hatte sie sich offenbar anwaltlichen Rat eingeholt, was darauf hindeutet, dass sie nicht gewillt war, diesen massiven Vermögensverlust einfach hinzunehmen. Die Vorinstanz wäre daher im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes verpflichtet gewesen, bei der betreffenden Rechtsanwältin und bei der Bank, soweit rechtlich möglich bzw. gesetzlich zulässig (allenfalls unter Entbindung vom Berufs- resp. Geschäftsgeheimnis) sachdienliche Beweisauskünfte einzuholen.
4.2.3 Im Weitern ist zu beachten, dass die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren ein vom Februar 1999 datierendes Schreiben der Bank, unterzeichnet vom Direktor und von einem (anderen) Vizedirektor, eingereicht hatte, mit dem ihr der Performanceausweis 1998 für ihr Depot zugestellt worden war. Dieses Dokument ist Indiz für die Richtigkeit ihrer Angabe, dass der Grossteil ihres angelegten Vermögens 1999 verspekuliert worden sei (vorne E. 2). Entscheidend stellt sich - aus zeitlicher Sicht - die Frage, ob es sich dabei um risikoreiche Neuanlagen handelte oder sich einfach die "ursprünglichen" Marktverhältnisse negativ entwickelt haben.
4.3 Das Tatsachenfundament des angefochtenen Entscheids beruht somit auf einem unvollständig abgeklärten Sachverhalt. Die Vorinstanz wird die im Sinne des Vorstehenden notwendigen Abklärungen vorzunehmen haben und danach über den streitigen EL-Anspruch ab 1. Januar 2011 neu entscheiden.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Ausgleichskasse die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist demzufolge gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 8. November 2011 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. März 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler