Sachverhalt:
A. Dem 1963 geborenen C._ wurden mit Verfügungen der IV-Stelle Schwyz vom 7. März 2008 ab 1. Dezember 2004 eine halbe und ab 1. Juli 2005 eine ganze Invalidenrente (jeweils nebst einer resp. zwei Kinderrenten) zugesprochen. Die IV-Stelle veranlasste in der Folge eine polizeiliche Überwachung, über welche am 10. Juni 2009 Bericht erstattet wurde. Mit Verfügung vom 30. Juni 2009 sistierte die Verwaltung die Rentenleistungen ab sofort und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
B. Die von C._ hiegegen erhobene Beschwerde auf Aufhebung der Verwaltungsverfügung vom 30. Juni 2009 und Weiterausrichtung der Rentenleistungen wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz ab. Es erklärte zugleich, infolge seines ohne Verzug erfolgten Entscheids erübrige sich, über das zudem gestellte Gesuch um superprovisorische Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde zu befinden (Entscheid vom 28. September 2009).
C. C._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde erheben mit den Anträgen, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei die Invalidenrente (einschliesslich Kinderrenten) weiterhin auszurichten; eventuell sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zur - unter Gewährung des rechtlichen Gehörs - ergänzenden Sachverhaltsabklärung und Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Weiter wird beantragt, die von der IV-Stelle entzogene und von der Vorinstanz nicht wieder hergestellte aufschiebende Wirkung der Beschwerde sei gemäss <ref-law> wiederherzustellen, worüber superprovisorisch zu entscheiden sei.
Die kantonalen Akten wurde eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid betrifft mit der von der Verwaltung verfügten vorläufigen Rentensistierung eine vorsorgliche Massnahme. Seine Anfechtbarkeit ergibt sich aus <ref-law>. Die übrigen Voraussetzungen, um auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten, sind ebenfalls erfüllt. Damit bleibt kein Raum für die ebenfalls erhobene Verfassungsbeschwerde (<ref-law>), auf welche daher nicht einzutreten ist.
1.2 Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). In praktischer Hinsicht stehen bei der Anfechtung von vorsorglichen Massnahmen vor Bundesgericht regelmässig die Rügen der Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) und der allgemeinen Verfahrensgarantien (<ref-law>) im Vordergrund. Demgegenüber kann vor den Vorinstanzen regelmässig das Fehlen der gesetzlichen Voraussetzungen der angefochtenen Massnahme gerügt werden. Eine Änderung der rechtlichen Begründung ist vor Bundesgericht jedoch zulässig (MARKUS SCHOTT, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 23 zu Art. 98;, vgl. auch HANSJÖRG SEILER, in: SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz, 2007, N. 14 ff. zu Art. 98).
2. 2.1 An Verfassungsrügen bringt der Beschwerdeführer vor, die Verwaltung habe seinen durch <ref-law> gewährleisteten Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt: Zum einen sei er vor Erlass der Sistierungsverfügung vom 30. Juni 2009 nicht über den polizeilichen Bericht vom 10. Juni 2009 und weitere vorhandene Akten in Kenntnis gesetzt worden. Zum anderen sei die Sistierungsverfügung ungenügend begründet.
2.2 Das Verwaltungsgericht hat eine Gehörsverletzung verneint. Die Begründung der Verwaltungsverfügung sei ausreichend. Selbst wenn im Übrigen von einer Gehörsverletzung auszugehen wäre, wäre diese im Beschwerdeverfahren, in welchem es mit voller Überprüfungsbefugnis urteile, geheilt worden.
Diese Beurteilung ist richtig. Die Verfügungsbegründung ist zwar als knapp, aber nach Massgabe des Gehörsanspruchs noch genügend zu betrachten. Festzuhalten ist im Weiteren, dass ein allfälliger Verfahrensmangel durch unterlassene Mitteilung über vorhandene Akten einer Heilung im kantonalen Prozess grundsätzlich zugänglich war. Dem Versicherten wäre sodann freigestanden, während der Beschwerdefrist oder auch noch nach Erhalt der Vernehmlassung der IV-Stelle vom 10. August 2009 Akteneinsicht zu verlangen. Er hat dennoch Beschwerde erhoben und sich im Rahmen der Replik vom 19. August 2009 geäussert, ohne in die Akten Einsicht zu nehmen. Dabei war bereits aufgrund der Verwaltungsverfügung vom 30. Juni 2009 zumindest zu vermuten, dass die IV-Stelle über Akten verfüge, welche sie zur Rentensistierung veranlassten. Zudem hat die Verwaltung in der Vernehmlassung vom 10. August 2009 auf das Vorliegen des Polizeiberichtes hingewiesen. Wenn der Versicherte dennoch darauf verzichtete, die Akten einzusehen, und sich dadurch selbst der Möglichkeit beraubte, zu diesen Stellung zu nehmen, kann die fehlende Aktenkenntnis der Heilung einer allfälligen Gehörsverletzung nicht entgegenstehen. Daran ändert der Umstand nichts, dass der Versicherte von einzelnen Akten allenfalls erst durch den hier angefochtenen Entscheid Kenntnis erhalten hat. Denn diese Kenntnis hätte er bereits früher erhalten, wenn er von der - unstreitig gegebenen - Möglichkeit der Akteneinsicht Gebrauch gemacht hätte. Die weiteren Vorbringen in der Beschwerde, welche sich in erster Linie mit Aspekten ausserhalb der verfassungsrechtlichen Verfahrensgarantien befassen, vermögen keine andere Betrachtungsweise zu begründen. Inwiefern der angefochtene Entscheid in anderer Weise Verfassungsrecht verletzen solle, wird nicht dargetan. Die Beschwerde ist mithin, ohne dass ein Schriftenwechsel erforderlich wäre (<ref-law>), abzuweisen.
3. Da das vorliegende Urteil rasch ergeht, ist das Gesuch betreffend aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos und als erledigt zu erklären.
4. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
3. Das Gesuch betreffend aufschiebende Wirkung der Beschwerde wird als erledigt erklärt.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Dezember 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Frésard Lanz