Erwägungen:
1. Die aus Serbien stammenden A._ und B.X._ (geb. 1954 bzw. 1959) sowie ihre drei Kinder C._, D._ und E.X._ (geb. 1993, 1995, 1998) ersuchten am 18. Februar 1999 um Asyl. Das Gesuch wurde 25. Oktober 1999, unter gleichzeitiger Anordnung der Wegweisung, abgewiesen. Ein erstes Wiedererwägungsgesuch blieb erfolglos. Das Bundesamt für Migration wies am 2. Dezember 2005 auch ein zweites Wiedererwägungsgesuch ab. Nachdem dagegen erfolgreich Beschwerde an die Schweizerische Asylrekurskommission erhoben worden war, hob das Bundesamt für Migration am 4. August 2004 die ursprüngliche Verfügung vom 25. Oktober 1999 teilweise auf, und der Vollzug der Wegweisung wurde zugunsten der vorläufigen Aufnahme der Familie X._ aufgeschoben. Ein Gesuch der Familie um Erteilung der Aufenthaltsbewilligung im Kanton Zürich wies die Sicherheitsdirektion (Migrationsamt) des Kantons Zürich am 21. November 2006 ab. Am 5. März 2008 wies der Regierungsrat des Kantons Zürich den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs ab.
Mit vom 10. April 2008 datiertem, am 11. April 2008 zur Post gegebenem Schreiben beschweren sich A._ und B.X._ sowie ihre drei Kinder über den Rekursentscheid des Regierungsrats; zugleich erstatten sie Anzeige gegen verschiedene Personen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Die Beschwerdeführer haben keinen Rechtsanspruch auf die Erteilung der nachgesuchten Aufenthaltsbewilligung; es kann dazu vollumfänglich auf die Ausführungen in E. 2 des angefochtenen Entscheids verwiesen werden, denen nichts beizufügen ist. Damit kann der Rekursentscheid letztinstanzlich nicht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht angefochten werden (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Zur Verfügung steht höchstens die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG ff.), mit welcher indessen bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (Art. 116 BGG). Ob ein Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzt, prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge vorgebracht und begründet wird (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 BGG).
2.2 Die Beschwerdeführer nennen nicht ausdrücklich verfassungsmässige Rechte, die durch den regierungsrätlichen Entscheid verletzt worden sein sollen; nicht näher erläutert wird, was es mit der "Genfer-Konvention für die Menschenrechte" für eine Bewandtnis habe. Ohnehin wären die Beschwerdeführer, mangels Rechtsanspruchs auf die nachgesuchte Bewilligung, nicht berechtigt, Rügen in der Sache selber, d.h. bezüglich der materiellen Bewilligungsfrage, vorzutragen (Art. 115 lit. b BGG, vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 197 ff.). Legitimiert wären sie bloss zur Rüge, es seien ihnen zustehende Parteirechte missachtet worden, deren Verletzung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft (<ref-ruling> E. 6.2 S. 198 f.), wobei aber Vorbringen nicht zulässig sind, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des Bewilligungsentscheids abzielen, so der Vorwurf, die Begründung des angefochtenen Entscheids sei unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen und setze sich nicht mit sämtlichen von der Partei vorgetragenen Argumenten auseinander (<ref-ruling> E. 1.4 S. 222; <ref-ruling> E. 1 c S. 236; <ref-ruling> E. 4a S. 95). Soweit mit dem Vorwurf, der Regierungsrat habe die wichtigsten Argumente der Rekursschrift vom 15. Dezember 2006 nicht in Betracht gezogen, sinngemäss eine Gehörsverweigerung gerügt werden soll, erweist sich die Rüge nach dem Gesagten als unzulässig.
Was sodann im Sinne von Strafanzeigen gegen verschiedene Personen vorgebracht wird, kann dem Bundesgericht weder im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde noch unter einem anderen Titel unterbreitet werden.
Auf die in jeder Hinsicht offensichtlich unzulässige subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG) ist im vereinfachten Verfahren nicht einzutreten.
2.3 Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) den Beschwerdeführern 1 und 2 aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr (Art. 65 Abs. 2 BGG) ist der Umstand zu berücksichtigen, dass die Beschwerdeführer in einer weder dem Verfahrensgegenstand noch den üblichen Gepflogenheiten angepassten Weise gegen verschiedenste Personen heftige Vorwürfe erheben (Art der Prozessführung, Art. 65 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Die Eingabe vom 10./11. April 2008 wird als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen; es wird darauf nicht eingetreten.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird den Beschwerdeführern 1 und 2 auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern sowie der Sicherheitsdirektion und dem Regierungsrat des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. April 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller