Faits:
A.
Par décision du 25 janvier 2013, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a nié le droit de I._ à des mesures d'ordre professionnel et à une rente d'invalidité. Se fondant en particulier sur une expertise rendue le 12 juin 2012 par la Clinique X._, il a considéré que l'assurée ne présentait pas d'atteinte à la santé durable affectant sa capacité de travail, laquelle était entière dans son activité habituelle depuis toujours.
B.
Par écriture datée du 4 mars 2013, I._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales. Le 28 mars 2013, la Cour des assurances sociales a fixé un délai au 8 avril suivant à l'office AI pour qu'il produise d'éventuelles pièces qui se seraient ajoutées au dossier déjà versé à une procédure parallèle. L'administration a répondu qu'elle n'avait pas d'autre pièce à produire (lettre du 10 avril 2013). Le 17 avril 2013, l'assurée a requis de la Cour des assurances sociales que lui soient adressées les éventuelles pièces complémentaires de l'office AI. Elle a par ailleurs indiqué qu'elle allait se soumettre à des investigations médicales au mois de mai et se réservait le droit de verser de nouvelles pièces complémentaires, ainsi que de requérir de nouvelles mesures d'instruction. Statuant le 19 avril 2013, la Cour des assurances sociales a rejeté le recours.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, I._ demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal et de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle instruction et nouveau jugement. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que la juridiction cantonale a renoncé à formuler des observations.

Considérant en droit:
1.
La recourante voit une violation de son droit d'être entendue garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., dans le fait que la juridiction cantonale n'a pas donné suite à sa demande de consulter les dernières pièces versées au dossier cantonal par l'intimé et qu'elle n'a pas respecté ses droits de participation à la procédure, en rendant son jugement sans lui impartir un délai pour produire les résultats des investigations médicales annoncées par courrier du 17 avril 2013.
2.
2.1. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu, garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., celui pour le justiciable de s'expliquer avant qu'une décision soit prise à son détriment, celui de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision, celui d'avoir accès au dossier et celui de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 370 et les références). Une partie à un procès doit pouvoir prendre connaissance de toute observation ou pièce soumise au tribunal et se déterminer à son propos, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement de nature à influer sur le jugement à rendre. Il appartient en effet d'abord aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier contient des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Elles doivent à cette fin pouvoir s'exprimer dans le cadre de la procédure, ce qui suppose que la possibilité leur soit concrètement offerte de faire entendre leur point de vue. En ce sens, il existe un véritable droit à la réplique qui vaut pour toutes les procédures judiciaires (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 485; <ref-ruling> consid. 2 p. 197; <ref-ruling> consid. 4.3 - 4.6 p. 102 ss).
2.2. L'exercice du droit de réplique, tel que défini par la jurisprudence rappelée ci-avant, suppose que les parties au procès soient informées des réponses, prises de position ou nouvelles pièces versées au dossier. Sous cet angle déjà, la manière de procéder de la juridiction cantonale apparaît, en l'espèce, critiquable. Au vu des pièces au dossier cantonal, l'autorité judiciaire de première instance n'a pas transmis le courrier de l'office AI du 10 avril 2013 à la recourante, ni réagi à la demande de celle-ci (du 17 avril suivant) portant sur la consultation des éventuelles pièces complémentaires remises par l'intimé. Elle a ainsi - indépendamment du caractère déterminant ou non du courrier du 10 avril 2013 (au regard de l'absence de nouveau document recueilli par l'intimé) -, empêché la recourante de prendre connaissance de la réponse de l'intimé.
Par ailleurs, les premiers juges ont statué deux jours après que la recourante leur a annoncé qu'elle allait se soumettre à des investigations médicales complémentaires, dont elle se réservait le droit de produire les résultats; ils n'ont pas attendu la production des preuves annoncées ou, pour le moins, imparti un délai à l'assurée pour ce faire, alors que l'instruction n'était pas close, pas plus du reste que l'éventuel échange d'écritures. Ce faisant, ils n'ont pas respecté le droit d'être entendue de la recourante, sous l'angle du droit d'offrir des preuves et de participer à l'administration des preuves essentielles.
Certes, le droit d'être entendu n'empêche aucunement le juge de mettre fin à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de se forger une conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, il a la certitude qu'elles ne pourraient pas l'amener à modifier son avis (<ref-ruling> consid. 3 p. 157). En l'espèce toutefois, la juridiction cantonale ne pouvait pas, sans faire preuve d'arbitraire, retenir qu'"on ne saurait déduire du courrier du 17 avril 2013 de la recourante l'existence d'éléments médicaux pertinents susceptibles de remettre en cause les conclusions de l'expertise de la PMU, les investigations annoncées restant à l'état d'allégués" (p. 7 du jugement entrepris). L'offre de preuve du 17 avril 2013 avait précisément pour objet d'annoncer aux premiers juges que l'assurée allait se soumettre à des examens médicaux au mois de mai 2013. Ceux-ci ne pouvaient dès lors, à ce stade de la procédure (soit deux jours plus tard), qu'être allégués, leur mise en oeuvre étant prévue au courant du mois suivant. Écarter de cette manière l'offre de preuve de la recourante, en statuant deux jours plus tard sur le litige, revient à vider de son sens la possibilité pour les parties de participer à l'administration des preuves jusqu'à la clôture de la procédure d'instruction, en se voyant impartir, au besoin, un délai pour produire la preuve invoquée. Le grief de la violation du droit d'être entendu soulevé par la recourante est donc bien fondé.
2.3. Cette violation ne peut être réparée en instance fédérale compte tenu du pouvoir d'examen restreint du Tribunal fédéral dans un litige qui a trait au droit de la recourante à des prestations de l'assurance-invalidité (cf. art. 95 à 97 et 105 LTF). Elle entraîne l'annulation du jugement entrepris, sans qu'il y ait lieu d'examiner les griefs de la recourante sur le fond (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 390), et le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision prise à l'issue d'une procédure respectant les garanties de l'art. 29 al. 2 Cst.
3.
Vu l'issue de la procédure, les frais de justice doivent être mis à la charge de l'intimé (<ref-law>). La recourante a par ailleurs droit à une indemnité à titre de dépens (<ref-law>), ce qui rend sans objet sa requête d'assistance judiciaire.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et la décision du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 19 avril 2013 annulée. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle statue à nouveau en procédant conformément aux considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 octobre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless