Faits :
A.
A.a. A.A._, né en 1967, et B.A._, née en 1970, se sont mariés le 12 septembre 1997. Deux enfants sont issus de leur union: C._, né le 11 décembre 2004, et D._, née le 30 janvier 2007.
L'épouse a quitté le domicile conjugal fin mars 2009. Les modalités de la vie séparée ont fait l'objet de plusieurs ordonnances de mesures protectrices de l'union conjugale et de mesures provisionnelles.
Par prononcé du 13 juillet 2009, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois (ci-après: le Tribunal) a, entre autres points, attribué la garde des enfants au père, fixé un droit de visite en faveur de la mère, mis une contribution d'entretien à la charge de celle-ci et confié un mandat d'évaluation des enfants au Service de protection de la jeunesse du canton de Vaud (ci-après: SPJ). Celui-ci a rendu son rapport le 15 mars 2010, suggérant la mise en oeuvre d'une expertise afin de confier la garde des enfants au parent qui serait le plus à même de s'en occuper.
Par prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale du 7 mai 2010, le Président du Tribunal a ordonné une expertise pédopsychiatrique de l'ensemble de la famille et instauré une curatelle d'assistance éducative au sens de l'<ref-law>, qui a été confiée au SPJ.
Par ordonnance du 24 juin 2010, le juge d'instruction en charge de l'enquête pénale, menée à la suite de la plainte déposée par le mari contre son épouse et l'ami de celle-ci pour mauvais traitements envers les enfants, a prononcé un non-lieu.
E._, psychologue FSP et psychothérapeute ASP, a été désigné pour réaliser l'expertise ordonnée le 7 mai 2010. Il a déposé son rapport le 11 octobre 2010, préconisant, entre autres conclusions, que la garde des enfants soit attribuée à l'épouse, qui avait su ne pas réagir aux attaques de son mari et ne pas le discréditer, alors que ce dernier faisait preuve d'une attitude irrationnellement méfiante à son égard et envers son ami, les suspectant en particulier de maltraiter les enfants, malgré l'absence de preuves matérielles ou d'indices probants allant dans ce sens.
Le Président du Tribunal a, par prononcé de mesures protectrices du 29 novembre 2010, transféré la garde des enfants à la mère, avec effet au 1er décembre 2010. Cette décision a été confirmée par prononcé du 1er février 2011, puis par arrêt du Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 10 mars 2011.
A.b. Par demande unilatérale déposée le 1er février 2012, l'épouse a ouvert action en divorce.
Par ordonnance de preuves du 25 janvier 2013, une nouvelle expertise pédopsychiatrique et familiale, sollicitée par le mari, a été confiée au Dr F._, psychiatre et psychothérapeute de l'enfant et de l'adolescent FMH, à Lausanne. Celui-ci a déposé son rapport d'expertise pédopsychiatrique et familiale, établi en collaboration avec une psychologue et un médecin assistant en psychiatrie, le 3 juillet 2013. Ce rapport concluait, entre autres points, au maintien de l'attribution de la garde des enfants à la mère.
Par courrier du 19 août 2013, le mari a conclu à la mise en oeuvre d'une contre-expertise, à laquelle l'épouse s'est opposée.
Le Service de l'enfant et de la jeunesse du canton de Fribourg (ci-après: SEJ) s'est déterminé le 26 août 2013 à propos de l'enquête sociale qui lui avait été confiée, vu le domicile de la fratrie dans ce canton. Il a relevé que, compte tenu de l'exhaustivité de l'expertise précitée et de la mise en oeuvre d'une mesure de curatelle, il ne lui paraissait pas nécessaire, voire même qu'il lui semblait préjudiciable à l'intérêt des enfants, de mener de plus amples investigations. Pour le surplus, il s'est rallié aux conclusions de dite expertise.
Lors de l'audience de plaidoiries finales, tenue le 28 janvier 2014, le mari a réitéré sa requête de nouvelle expertise pédopsychiatrique, requête qui a été rejetée par décision incidente.
B.
Par jugement du 17 juin 2014, le Tribunal a, notamment, prononcé le divorce des parties et ratifié, pour faire partie intégrante dudit jugement, la convention partielle sur les effets du divorce, laquelle prévoyait en particulier que l'autorité parentale serait exercée conjointement (III). Le Tribunal a en outre confié la garde des enfants à l'épouse (IV), accordé au mari un libre droit de visite, à exercer d'entente avec celle-ci, et dit qu'à défaut d'entente, il aurait les enfants auprès de lui, transports à sa charge, un week-end sur deux, du vendredi à 19 heures au dimanche à 19 heures, la moitié des vacances scolaires et alternativement à Pâques ou à Pentecôte, Noël ou Nouvel-An (V), instauré une curatelle de surveillance des relations personnelles au sens de l'<ref-law> en lieu et place de la curatelle éducative selon l'<ref-law> et confié ce mandat au Service de l'enfant et de la jeunesse du canton de Fribourg (VI), enfin, astreint le père à contribuer à l'entretien des enfants par le versement, pour chacun d'eux, dès jugement définitif et exécutoire, d'une pension mensuelle d'un montant de 500 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 550 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans, puis 600 fr. jusqu'à la majorité et, au-delà, jusqu'à l'achèvement de leur formation professionnelle, aux conditions de l'<ref-law>, allocations familiales et indexation non comprises (VII).
Par arrêt du 26 novembre 2014, notifié en expédition complète le 23 février 2015, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud, admettant partiellement l'appel du mari, a, entre autres points, réduit les montants des contributions d'entretien en faveur de chaque enfant à 425 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 475 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans, puis 525 fr. jusqu'à la majorité et, au-delà jusqu'à l'achèvement de la formation professionnelle, aux conditions de l'<ref-law>. Le jugement attaqué a été confirmé pour le surplus.
C.
Par acte posté le 25 mars 2015, A.A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Il conclut à sa réforme en ce sens que la garde des enfants lui est confiée, un droit de visite étant prévu en faveur de la mère et une pension étant mise à la charge de celle-ci. Subsidiairement, il demande qu'aucune contribution ne soit mise à sa charge, l'arrêt querellé étant en outre annulé en ce qui concerne les frais et dépens des instances cantonales et la cause renvoyée à l'autorité qui a statué pour nouvel arrêt dans le sens des considérants. A titre subsidiaire également, il requiert l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi du dossier à l'autorité intimée pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le recourant sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des réponses n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours a été déposé en temps utile (<ref-law> ) ainsi que dans la forme légale (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF) dans une affaire matrimoniale, autrement dit en matière civile (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1), par la partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente (<ref-law>). Le litige porte sur la garde des enfants et sur les contributions d'entretien en faveur de ceux-ci, ainsi que sur les frais et dépens de la procédure de première instance, en sorte que la cause est de nature non pécuniaire dans son ensemble (arrêts 5A_267/2015 du 3 juillet 2015 consid. 1.2; 5A_46/2015 du 26 mai 2015 consid. 1; 5A_724/2014 du 27 mars 2015 consid. 1.1). Le présent recours en matière civile est donc recevable au regard des dispositions qui précèdent.
1.2. Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les moyens des parties ni par les motifs de l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 1.4). Cependant, vu l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.4). Le recourant doit par conséquent critiquer les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 2 précité). Il doit exister un lien entre la motivation du recours et la décision attaquée. Le recourant doit se déterminer par rapport aux considérants de l'arrêt entrepris; il ne peut se contenter de reprendre presque mot pour mot l'argumentation formée devant l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 2.1; arrêt 5A_756/2014 du 23 juin 2015 consid. 1.2). Le Tribunal fédéral ne connaît en outre de la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et dûment motivé par le recourant ("principe d'allégation", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3), c'est-à-dire expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.2). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 10.1 et les arrêts cités).
1.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par la juridiction précédente (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La partie recourante qui soutient que les faits ont été constatés d'une manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2.2), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné ( cf. supra consid. 1.2), sous peine d'irrecevabilité.
2.
Le recourant soutient que l'autorité cantonale a fait preuve d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et violé l'art. 29 al. 2 Cst. en refusant la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise ou, à tout le moins, d'un complément d'expertise concernant l'attribution de la garde des enfants.
2.1.
2.1.1. Que le droit à la preuve soit fondé sur l'art. 29 al. 2 Cst. ou sur l'<ref-law>, qui s'applique si les moyens de preuve sont invoqués en relation avec un droit subjectif privé découlant d'une norme de droit matériel fédéral (arrêts 4A_354/2014 du 14 janvier 2015 consid. 6.1; 4A_228/2012 du 28 août 2012 consid. 2.3 non publié in <ref-ruling>; 5A_726/2009 du 30 avril 2010 consid. 3.1 non publié in <ref-ruling>), ses conditions n'en sont pas différentes. Le droit à la preuve n'existe que s'il s'agit d'établir un fait pertinent, qui n'est pas déjà prouvé, par une mesure probatoire adéquate, laquelle a été régulièrement offerte selon les règles de la procédure (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.2). Le droit d'être entendu n'empêche pas le juge de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de se forger une conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, il a la certitude qu'elles ne pourraient pas l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 6.3; arrêt 6B_909/2014 du 21 mai 2015 consid. 3.1.1). Savoir si l'autorité cantonale n'a pas pris en compte un moyen de preuve propre à modifier la décision relève de l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits (art. 9 Cst.).
2.1.2. Dans le domaine de l'appréciation des preuves et de la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 1b; <ref-ruling> consid. 9 et les références). Il n'intervient, pour violation de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis, sans motifs objectifs, de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 1.4.3; <ref-ruling> consid. 2.1 et les références).
Concernant plus particulièrement l'appréciation du résultat d'une expertise, le juge n'est en principe pas lié par le rapport de l'expert, qu'il doit apprécier en tenant compte de l'ensemble des autres preuves administrées. Toutefois, il ne peut s'en écarter que lorsque des circonstances ou des indices importants et bien établis en ébranlent sérieusement la crédibilité (<ref-ruling> consid. 4; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1c). Il est alors tenu de motiver sa décision de ne pas suivre le rapport d'expertise (<ref-ruling> consid. 4.2.3; <ref-ruling> consid. 4; <ref-ruling> consid. 2). Si les conclusions d'une expertise judiciaire apparaissent douteuses sur des points essentiels, le juge doit recueillir des preuves complémentaires pour tenter de dissiper ses doutes. A défaut, en se fondant sur une expertise non concluante, il pourrait commettre une appréciation arbitraire des preuves et violer l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1c).
2.2.
2.2.1. En l'espèce, l'autorité cantonale a considéré, en se référant au rapport d'évaluation du SPJ du 15 mars 2010, à l'expertise pédopsychiatrique de E._ du 11 octobre 2010, à celle du Dr F._ du 3 juillet 2013 et au rapport du SEJ du 26 août 2013 que plusieurs professionnels s'étaient penchés sur la problématique de la famille au cours de la procédure et que ceux-ci étaient tous parvenus aux mêmes conclusions. De plus, le mari avait déjà contesté l'expertise du 11 octobre 2010 lors d'un précédent appel à l'encontre du premier prononcé de mesures protectrices attribuant la garde des enfants à la mère, appel qui avait été rejeté. Pour l'autorité cantonale, l'analyse des premiers juges s'agissant de l'attribution de la garde ne prêtait pas le flanc à la critique. Ceux-ci avaient en effet relevé, à juste titre, que tous les intervenants avaient unanimement retenu que le père faisait preuve d'un comportement disqualifiant et irrationnellement méfiant à l'égard de la mère. En revanche, ils avaient tous mis en évidence le fait que celle-ci avait su rester adéquate tant avec les enfants qu'avec son mari, nonobstant les attaques et les critiques dont elle était la cible de la part de celui-ci. Le jugement de première instance relevait encore que le père avait systématiquement douté de la partialité et du professionnalisme des experts et des autres intervenants, ce qu'il démontrait d'ailleurs une fois encore dans son appel. Toutefois, comme l'avaient retenu les premiers juges, aucun élément objectif ne permettait de remettre en cause leur intégrité, la qualité de leur travail et la pertinence de leur analyse, ce qui pouvait être confirmé une nouvelle fois s'agissant de l'expertise du Dr F._. Le grief du mari selon lequel le Tribunal avait rejeté à tort sa requête de nouvelle expertise devait donc être rejeté.
2.2.2. Il appert ainsi que l'autorité cantonale a refusé la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise à la suite d'une appréciation anticipée des preuves, procédé qui ne viole pas le droit d'être entendu (cf. supra consid. 2.1), étant précisé que la maxime inquisitoire n'interdit pas au juge de procéder à une appréciation anticipée des preuve déjà recueillies pour évaluer la nécessité d'en faire administrer d'autres (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2.3 et les références; arrêts 5A_54372014 du 17 mars 2015 consid. 2.2.1; 5A_529/2014 du 18 février 2015 consid. 2.3; 5A_505/2013 du 20 août 2013 consid. 5.2.1, publié in FamPra.ch 2013 p. 1049 s.).
Or le recourant n'établit en rien le caractère arbitraire de l'appréciation des preuves à laquelle s'est livrée l'autorité cantonale. Il se borne à soutenir, d'une part, que l'intimée s'est toujours montrée beaucoup plus adéquate que lui avec les experts et les assistants sociaux, qui ont par conséquent systématiquement pris le parti de celle-ci, alors même qu'il présente des capacités parentales certaines. Il prétend, d'autre part, que la dernière expertise mise en oeuvre présente de graves contradictions, ainsi qu'un manque d'analyse et de rigueur, ce qui remet en cause sa validité. A cet égard, il reproche surtout à l'expert de ne pas avoir abordé la question des actes à caractère sexuel concernant son fils, actes qu'il avait dénoncés au Tribunal. Ce grief n'est toutefois pas fondé. Les juges précédents ont en effet relevé que le Dr F._ et ses co-experts s'étaient également prononcés sur les faits à caractère sexuel dénoncés par le père en indiquant que, d'après leurs observations cliniques et d'un point de vue tant médical que psychologique, rien dans l'attitude ou dans les paroles du fils des parties ne laissait apparaître un éventuel trauma lié à un tel épisode. Au demeurant, la mère n'avait, à leur sens, commis aucun acte légalement répréhensible dans sa relation à ses enfants, qui évoluaient dans un environnement stable et sain. Lesdits experts avaient par ailleurs rappelé qu'il était "tout à fait normal que les enfants de cet âge entament la découverte de leur corps et pratiquent des jeux qui pourraient aux yeux de non professionnels prendre des allures de faits inadéquats et situations inappropriées". Reprenant ses critiques formulées en appel, le recourant oppose sa propre appréciation à celle de l'autorité cantonale (<ref-law>; cf. supra consid. 1.2). Ce faisant, il n'établit pas en quoi les conclusions de l'expertise judiciaire seraient douteuses, voire erronées, en sorte que l'autorité cantonale aurait dû éprouver des doutes sur la nature probante de celle-ci et, par conséquent, ordonner un complément d'expertise ou une nouvelle expertise. Cela d'autant plus qu'il est établi que les différents professionnels qui ont évalué la situation des enfants sont parvenus aux mêmes conclusions.
Les griefs de violation du droit d'être entendu et d'arbitraire soulevés en relation avec l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doivent donc être rejetés, dans la mesure de leur recevabilité.
3.
Le recourant conteste ensuite la mise à sa charge d'une contribution à l'entretien de ses enfants, arguant qu'un revenu hypothétique ne peut lui être imputé. Il soulève à cet égard une violation des <ref-law> et 27 Cst.
3.1. Le moyen tiré d'une violation de la liberté économique (art. 27 al. 1 Cst.) est d'emblée irrecevable. Certes, l'application - sinon immédiate, du moins indirecte - des règles constitutionnelles aux relations entre les particuliers n'est pas exclue, s'agissant notamment de l'interprétation des clauses générales et des notions juridiques indéterminées du droit privé (<ref-ruling> consid. 4b et les références). Cependant, la reconnaissance de cet effet "horizontal" des droits fondamentaux n'empêche pas que les rapports entre particuliers relèvent directement des seules lois civiles et pénales. C'est donc par celles-ci que l'individu est protégé contre les atteintes que d'autres sujets de droit privé pourraient porter à ses droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 3a; arrêt 5A_44/2011 du 16 novembre 2011 consid. 7 et les références). En conséquence, le recourant ne saurait se prévaloir directement, dans une cause relevant du droit privé de la famille, de la garantie constitutionnelle de la liberté économique (arrêts 5A_506/2014 du 23 octobre 2014 consid. 4.3.2; 5A_44/2011 précité; 5A_871/2009 du 2 juin 2010 consid. 2).
3.2.
3.2.1. Aux termes de l'<ref-law>, les père et mère doivent pourvoir à l'entretien de l'enfant et assumer, par conséquent, les frais de son éducation, de sa formation et des mesures prises pour le protéger (al. 1); l'entretien est assuré par les soins et l'éducation ou, lorsque l'enfant n'est pas sous la garde de ses père et mère, par des prestations pécuniaires (al. 2). A teneur de l'<ref-law>, la contribution d'entretien doit correspondre aux besoins de l'enfant ainsi qu'à la situation et aux ressources des père et mère (arrêt 5A_874/2014 du 8 mai 2015 consid. 4.2 et la référence). La loi ne prescrit pas de méthode de calcul particulière pour arrêter la contribution d'entretien (<ref-ruling> consid. 3.2.2); sa fixation relève de l'appréciation du juge, qui jouit d'un large pouvoir d'appréciation (<ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 3b/bb; arrêt 5A_874/2014 du 8 mai 2015 consid. 4.2) et applique les règles du droit et de l'équité (<ref-law>; <ref-ruling> précité; arrêt 5A_296/2014 du 24 juin 2015 consid. 1.2). Il n'y a violation du droit fédéral que si le juge a abusé de son pouvoir d'appréciation en se référant à des critères dénués de pertinence ou en ne tenant pas compte d'éléments essentiels, ou encore si, d'après l'expérience de la vie, le montant fixé apparaît manifestement inéquitable (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 2c/aa).
L'obligation d'entretien trouve sa limite dans la capacité contributive du débirentier, en ce sens que le minimum vital de celui-ci doit être préservé (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 3b/bb et consid. 5 in fine ). S'agissant toutefois de l'obligation d'entretien d'enfants mineurs, les exigences à l'égard des père et mère sont plus élevées, en sorte que ceux-ci doivent réellement épuiser leur capacité maximale de travail et ne peuvent pas librement choisir de modifier leurs conditions de vie si cela a une influence sur leur capacité à subvenir aux besoins de l'enfant mineur (<ref-ruling> consid. 3.1; arrêt 5A_874/2014 du 8 mai 2015 consid. 6.2.1 et la référence). Il s'ensuit que lorsqu'il ressort des faits que l'un des parents, ou les deux, ne fournissent pas tous les efforts que l'on peut attendre d'eux pour assumer leur obligation d'entretien, le juge peut s'écarter du revenu effectif des parties pour fixer la contribution d'entretien et imputer un revenu hypothétique supérieur, tant au débiteur de l'entretien qu'au parent gardien. Il s'agit ainsi d'inciter la personne à réaliser le revenu qu'elle est en mesure de se procurer et dont on peut raisonnablement exiger d'elle qu'elle l'obtienne afin de remplir ses obligations à l'égard du mineur (<ref-ruling> consid. 4a; arrêt 5A_874/2014 précité consid. 6.2.1 et la jurisprudence citée).
3.2.2. Lorsqu'il entend imputer à un époux un revenu hypothétique supérieur à celui obtenu effectivement, le juge doit examiner successivement les deux conditions suivantes: tout d'abord, il doit décider si l'on peut raisonnablement exiger de cette personne qu'elle exerce une activité lucrative ou augmente celle-ci, eu égard, notamment, à sa formation, à son âge et à son état de santé; il s'agit d'une question de droit. Lorsqu'il tranche celle-ci, le juge ne peut pas se contenter de dire, de manière toute générale, que la personne en cause pourrait obtenir un revenu supérieur en travaillant; il doit préciser le type d'activité professionnelle que cette personne peut raisonnablement devoir accomplir. Ensuite, il doit examiner si la personne a la possibilité effective d'exercer l'activité ainsi déterminée et quel revenu elle peut en obtenir, compte tenu des circonstances subjectives susmentionnées, ainsi que du marché du travail; il s'agit là d'une question de fait (<ref-ruling> consid. 4.2.2; <ref-ruling> consid. 4c/bb; <ref-ruling> consid. 2b). Pour arrêter le montant du salaire, le juge peut éventuellement se baser sur l'enquête suisse sur la structure des salaires, réalisée par l'Office fédéral de la statistique, ou sur d'autres sources (<ref-ruling> consid. 3.2).
Le fait qu'un débirentier bénéficie actuellement d'un revenu d'insertion ne dispense pas le juge civil d'examiner si l'on peut lui imputer un revenu hypothétique. En effet, le juge civil n'est pas lié par l'instruction menée par les autorités administratives. En outre, les critères qui permettent de retenir un revenu hypothétique sont différents en droit de la famille et en droit social; en droit de la famille, lorsque l'entretien d'un enfant mineur est en jeu et que l'on est en présence de situations financières modestes, le débirentier peut notamment se voir imputer un revenu basé sur une profession qu'il n'aurait pas eu à accepter selon les règles prévalant en matière d'assurance sociale (<ref-ruling> consid. 3.1; arrêt 5A_588/2010 du 12 janvier 2011 consid. 2.3). C'est pourquoi l'octroi d'un revenu d'insertion depuis plusieurs années constitue tout au plus un indice permettant de retenir, en fait, qu'une personne a entrepris tout ce qu'on pouvait raisonnablement exiger d'elle pour éviter de se trouver sans revenus et, partant, qu'elle a fait des recherches pour retrouver un emploi (arrêt 5A_724/2009 du 26 avril 2010 consid. 5.3 publié in FamPra.ch 2010 p. 673).
3.3.
3.3.1. En l'occurrence, l'autorité cantonale a considéré que le mari était âgé de 47 ans et, bien qu'il n'ait pas de formation, était en bonne santé. Compte tenu de la situation financière précaire des parties, des exigences particulièrement élevées devaient être posées quant à la mise à profit de sa capacité de gain. Dans un tel contexte, l'argument consistant à dire que son travail de chauffeur de taxi lui plaisait et que ce serait un trop grand choc que de changer d'emploi était sans pertinence, les besoins vitaux de ses enfants étant prioritaires. Compte tenu de ses obligations d'entretien, on pouvait exiger de lui qu'il élargisse ses recherches à d'autres activités professionnelles, par exemple celle de chauffeur-livreur. Partant, un revenu hypothétique devait lui être imputé.
Cela étant, vu les circonstances, en particulier le fait que le mari avait, en accord avec son épouse, mis son activité professionnelle entre parenthèses pour s'occuper du ménage et des enfants lorsque le couple vivait encore ensemble, ainsi que son absence de formation spécifique, on ne pouvait s'en tenir qu'aux bas salaires de la catégorie des chauffeurs-livreurs. Selon les données de l'enquête de l'Office fédéral de la statistique sur la structure des salaires en 2010, un tel salaire s'élevait au moins à 3'890 fr. brut, soit 3'400 fr. net. En fixant les contributions d'entretien globales à 25% du revenu hypothétique retenu - comme l'avait fait le premier juge sans être critiqué en appel -, on parvenait à un montant de 425 fr. par enfant jusqu'à l'âge de 10 ans, 475 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans, puis 525 fr. jusqu'à la majorité et, au-delà, jusqu'à l'achèvement de la formation professionnelle.
3.3.2. Le recourant expose qu'on ne saurait lui imputer de revenu hypothétique dès lors qu'il ne dépend pas complètement de l'aide sociale, mais bénéficie d'un emploi stable comme chauffeur de taxi. Ce travail lui assure un gain certes faible, qui doit être complété par le revenu d'insertion. Il constitue cependant un facteur d'intégration sociale, d'autant qu'il a longtemps été père au foyer. Il ne serait donc pas équitable d'exiger davantage de lui, alors qu'il fait déjà l'effort de travailler et vise, à terme, un statut de chauffeur de taxi indépendant. Le forcer à changer d'emploi risquerait en outre de le placer dans une situation encore moins favorable qu'actuellement, dans la mesure où il risquerait de perdre ce nouveau travail et se retrouverait alors totalement à l'aide sociale, voire dans le meilleur des cas au chômage. Selon lui, le recours à un revenu hypothétique devrait concerner avant tout des personnes qui refusent de travailler, alors qu'elles seraient en mesure de le faire. Tel n'est pas le cas en l'espèce, puisqu'on l'oblige à quitter son emploi, ce qui est une mesure extrêmement violente.
Ces allégations, de nature essentiellement appellatoire, ne permettent pas de considérer que la juridiction cantonale aurait enfreint le droit fédéral en estimant, vu les circonstances (en particulier l'âge et l'état de santé de l'intéressé, la situation financière précaire des parties et l'obligation d'entretenir des enfants mineurs), qu'il pouvait raisonnablement être exigé de l'intimé qu'il s'efforce de réaliser un revenu supérieur à celui qu'il perçoit actuellement.
Par ailleurs, on ne discerne pas en quoi il serait insoutenable de retenir que l'intéressé a la possibilité effective de trouver un emploi dans le domaine des bas salaires, tel qu'une activité de chauffeur-livreur, et de percevoir un revenu mensuel de 3'400 fr. net à ce titre (et non pas 4'000 fr. comme l'allègue à tort le recourant). La juridiction précédente a fixé ce montant en se référant à l'enquête suisse sur la structure des salaires réalisée par l'Office fédéral de la statistique, ce qui est conforme à la jurisprudence ( cf. supra consid. 3.2.2). Or le recourant se contente d'affirmer, de manière toute générale, que l'autorité cantonale n'a pas tenu compte du marché du travail difficile dans ce secteur et du fait que son âge (47 ans) rend toute recherche d'emploi ardue, particulièrement s'agissant d'emploi peu qualifiés, les employeurs privilégiant des personnes plus jeunes. En définitive, l'autorité cantonale a déterminé le revenu hypothétique de l'intimé en appuyant son appréciation sur des considérations factuelles suffisantes, et dont le caractère arbitraire n'est pas démontré. Par conséquent, le grief doit être rejeté pour autant que recevable.
4.
Le recourant soutient en outre qu'il a fait valoir que son minimum vital ne tenait pas compte de ses charges réelles, soit du fait qu'il assumait les 3/4 du loyer - correspondant aux frais de logement pour lui et ses deux enfants, le dernier quart étant à la charge de sa concubine -, ni de ses frais d'assistance judiciaire et de ses impôts.
Selon l'arrêt querellé, le recourant a certes reproché aux premiers juges d'avoir retenu que sa compagne contribuait pour moitié au loyer et de ne pas avoir pris en compte dans ses charges les impôts ainsi que le montant de 100 fr. versé mensuellement à titre de remboursement de l'assistance judiciaire. En réponse à ces griefs, l'autorité cantonale a considéré qu'il était en principe admissible de retenir une participation à la charge du concubin de la moitié du loyer, même si ses revenus étaient inférieurs, vu les directives relatives aux normes d'insaisissabilité. Par ailleurs, lorsque la situation financière des parties était, comme ici, serrée, les impôts courants et arriérés de même que la franchise mensuelle de l'assistance judiciaire n'entraient pas dans le minimum vital du débiteur. L'analyse des premiers juges devait donc être entièrement confirmée s'agissant du calcul des charges incompressibles du débirentier.
Le recourant ne s'en prend pas à cette motivation, en sorte que son grief est irrecevable (cf. supra consid. 1.2).
5.
Le recourant reproche encore à l'autorité cantonale d'avoir confirmé la mise à sa charge de l'entier des frais et dépens de première instance, de même qu'un montant de 200 fr. pour la décision incidente prise sur le siège par le Tribunal.
Contrairement à ce que paraît prétendre le recourant, les juges précédents ont estimé que, compte tenu de l'admission très partielle de son appel, la répartition des frais judiciaires et l'allocation des dépens de première instance devaient être réexaminées. Dès lors qu'il avait obtenu une réduction minime de la pension due mais succombait entièrement sur tous les autres points, en particulier sur celui de la garde, qui constituait la question essentielle du litige, il se justifiait de mettre à sa charge les frais de justice de première instance à hauteur de 9/10 ainsi que des dépens réduits de 2/10. Quoi qu'il en soit, le grief du recourant consiste à reprendre presque mot pour mot l'argumentation formée devant l'autorité cantonale, sans se déterminer par rapport aux motifs de la décision entreprise. La critique est, partant, irrecevable (cf. supra consid. 1.2).
6.
Le chef de conclusions du recourant tendant à ce qu'une pension soit mise à la charge de l'intimée, outre qu'il n'est pas chiffré (<ref-ruling> consid. 2), n'a pas à être examiné, la garde des enfants restant confiée à celle-ci. Le recourant ne formule du reste aucune motivation sur ce point.
7.
En conclusion, le recours se révèle mal fondé et doit dès lors être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Vu l'issue - prévisible - de la procédure, la requête d'assistance judiciaire ne saurait être agréée (<ref-law>). Le recourant supportera par conséquent les frais de justice, dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à répondre.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 13 août 2015
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Mairot