Sachverhalt:
A.
Die IV-Stelle Bern lehnte das Gesuch des 1971 geborenen D._ um Leistungen der Invalidenversicherung ab mit der Begründung, es liege kein im Rechtssinne invalidisierender Gesundheitsschaden vor (Verfügung vom 27. Juli 2012).
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die hiegegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 11. Februar 2013).
C.
D._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, ihm eine Invalidenrente zu gewähren. Eventuell sei die Sache zur Einholung eines Ergänzungsgutachtens an die Vorinstanz zurückzuweisen bzw. seien ihm andere Leistungen der Invalidenversicherung zuzusprechen. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsverbeiständung).

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von <ref-law> erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
Dem vorinstanzlichen Sachgericht steht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zu. Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn die Vorinstanz diesen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder willkürlich ausser Acht lässt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211; zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 2.4 S. 5; Urteil 9C_1019/2012 vom 23. August 2013 E. 1.2.3).
2.
Das kantonale Gericht stellte fest, die Verwaltung habe sich zu Recht massgeblich auf Aktenberichte ihres Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) gestützt. Die Berichte des RAD-Psychiaters Dr. B._ vom 3. August 2011 und 15. Mai 2012 erfüllten die Beweiswertanforderungen. Daraus ergebe sich, dass keine Diagnosen mit Auswirkung auf die Leistungsfähigkeit bestehen, so dass der Beschwerdeführer im erlernten Beruf wie in anderen, vergleichbaren Tätigkeiten vollständig arbeitsfähig sei. Diese Beurteilung bestehe auch vor dem Gutachten des Spitals X._ vom 24. Oktober 2011 und dem Bericht des Dr. L._ vom 1. Oktober 2009, in welchen wegen traumatisierender Kindheitserlebnisse (Flucht aus Vietnam im Jahr 1979) jeweils eine Posttraumatische Belastungsstörung (PTBS) diagnostiziert werde. Gegen das Vorliegen einer PTBS spreche insbesondere, dass der Beschwerdeführer trotz dieser Vorbelastung weder im Rahmen der Schul- und Berufsbildung noch der Familien- und Existenzgründung Anzeichen einer psychischen Störung gezeigt habe; laut ICD-10 trete die Störung indes innerhalb von sechs Monaten nach einem traumatischen Ereignis von aussergewöhnlicher Schwere auf. Auch andere ärztliche Stellungnahmen zeigten, dass typische Anzeichen einer PTBS (wie Überwachsamkeit, erhöhte Schreckhaftigkeit, Nachhallerinnerungen und Wiedererleben) fehlen. Auch eine Retraumatisierung durch Untersuchungshaft im Jahr 2007 sei nicht überwiegend wahrscheinlich; der Beschwerdeführer habe damals vereinzelt aufgetretene nächtliche Panikzustände in einen Zusammenhang mit Gedanken an die Familie gebracht und nicht mit Erlebnissen bei der Flucht aus Vietnam. Die in einem Bericht des Dr. L._ vom 5. August 2008 diskutierte anhaltende Persönlichkeitsveränderung nach psychischer Erkrankung (ICD-10: F62.1) sei später an keiner Stelle bestätigt worden. Die noch im Sommer 2008 dokumentierte rezidivierende depressive Störung schliesslich habe sich nach - mit weiteren medizinischen Akten übereinstimmender - Meinung des psychiatrischen Administrativsachverständigen Dr. S._ zurückgebildet (Gutachten vom 19. August 2010 und 5. Juli 2011). Das früher diagnostizierte depressive Geschehen scheine durch soziale Umstände (Geschäftsaufgabe, Scheidung, Untersuchungshaft) verursacht gewesen zu sein.
Die Vorinstanz schloss, die IV-Stelle sei zu Recht davon ausgegangen, dass kein invalidisierender Gesundheitsschaden vorliege. In antizipierter Beweiswürdigung sei auf die vom Versicherten beantragte Einholung einer Stellungnahme des Spitals X._ zu verzichten, da davon keine neuen Erkenntnisse zu erwarten seien.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe den Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>) verletzt. Die psychiatrischen Fachleute täten sich schwer, die Erkrankung diagnostisch einzuordnen. Dabei würden zwei verschiedene Linien verfolgt: Die eine gehe von einer schweren posttraumatischen Störung aus, die andere von rezidivierenden depressiven Episoden. Der Administrativgutachter des Spitals X._ vom 24. Oktober 2011 nehme eine chronifizierte posttraumatische Belastungsstörung mit verspätetem Beginn an, woraus er eine hälftige Arbeitsunfähigkeit in angepassten Tätigkeiten ableite. Unverständlich sei, dass die Vorinstanz nicht darauf, sondern auf die Stellungnahme des RAD-Arztes abgestellt habe. Der Beschwerdeführer beruft sich in diesem Zusammenhang auf das Urteil 8C_101/2011 vom 14. September 2011. Gemäss diesem kann lediglich gestützt auf widersprechende Stellungnahmen versicherungsinterner Ärzte grundsätzlich nicht ohne weitere Abklärungen von einem externen Gutachten im Sinne von <ref-law> abgewichen werden; sprechen konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit einer solchen Expertise, so ist ein weiteres Gutachten einzuholen (a.a.O. E. 3.3). Hier jedoch ist zu beachten, dass die Schlussfolgerung des kantonalen Gerichts, ein zu Arbeitsunfähigkeit führender Gesundheitsschaden liege nicht vor, nicht allein mit dem RAD-Bericht, sondern auch mit weiteren ärztlichen Berichten und Gutachten (namentlich auch denjenigen des Dr. S._ vom 19. August 2010 und 5. Juli 2011) zu begründen ist. Unter diesen Umständen war die Vorinstanz nicht gehalten, Instruktionsmassnahmen im Hinblick auf eine ergänzende Klärung des medizinischen Sachverhalts zu treffen. Aus dem gleichen Grund kann offen bleiben, ob, wie vom Beschwerdeführer geltend gemacht, in der Stellungnahme des RAD vom 15. Mai 2012 ein innerer Widerspruch enthalten ist, der den Beweiswert dieses Berichts in Mitleidenschaft ziehen könnte.
3.2. Des Weiteren macht der Beschwerdeführer geltend, Dr. L._, der eine anhaltende Persönlichkeitsveränderung nach psychischer Erkrankung bzw. eine komplexe PTBS und eine Erschöpfungsdepression diagnostiziert hatte (Berichte vom 5. August 2008 und vom 1. Oktober 2009), sei unter den involvierten psychiatrischen Fachleuten derjenige mit der grössten Erfahrung mit Patienten, die bei ihrer Flucht aus Vietnam traumatisiert worden seien. Dieser Umstand macht die vorinstanzliche Beweiswürdigung indes nicht zur willkürlichen (vgl. oben E. 1). Auch unter Berücksichtigung der Einschätzung der psychiatrischen Beurteilung durch Dr. U._, Spital X._, wonach eine chronifizierte PTBS mit verspätetem Beginn zu einer hälftigen Einschränkung der Arbeitsfähigkeit auch in leidensangepassten Tätigkeiten führe (Gutachten vom 24. Oktober 2011), ist die vorinstanzliche Feststellung, es liege kein invalidisierender Gesundheitsschaden vor, nicht offensichtlich unrichtig. Das kantonale Gericht bezog seine tatsächliche Schlussfolgerung, die funktionellen Einschränkungen seien massgeblich durch belastende Geschehnisse (Geschäftsaufgabe, Scheidung, Untersuchungshaft) herbeigeführt worden, vor allem auf die Frage, ob eine rezidivierende depressive Störung vorliege (vgl. auch die psychiatrischen Beurteilungen des Dr. H._ vom 12. November 2005, des Dr. G._ vom 9./17./31. Juli 2007 sowie des pract. med. A._ vom 9. Juni 2008). Zu Recht folgerte es, den erwähnten Vorgängen komme kein invalidisierender Charakter zu. Ein invalidisierender psychischer Gesundheitsschaden ist solange nicht gegeben, wie der Gutachter im Wesentlichen nur Befunde erhebt, welche in psychosozialen und soziokulturellen Umständen ihre hinreichende Erklärung finden, gleichsam in diesen aufgehen (<ref-ruling> E. 5a S. 299).
Die vorinstanzliche Einschätzung ist auf das umstrittene Vorliegen einer PTBS übertragbar. Das kantonale Gericht konnte sich dafür nicht nur auf den RAD-Bericht vom 15. Mai 2012 abstützen (vgl. oben E. 3.1 am Ende). Auch aus dem psychiatrischen Gutachten des Dr. S._ vom 19. August 2010 geht hervor, dass der Beschwerdeführer (bis auf eine frühere Periode der Depressivität) immer arbeitsfähig gewesen ist; die jetzige Einschränkung sei psychosozialen Umständen wie Untersuchungshaft und finanziellen Problemen zuzuschreiben (a.a.O. S. 17). Entgegen den Ausführungen in der Beschwerdeschrift ist der Umstand, dass sich Dr. S._ diagnostisch nicht endgültig festlegt, dem Beweiswert der erwähnten Beurteilung nicht abträglich.
3.3. Der psychiatrische Sachverständige am Spital X._, Dr. U._, legte dar, weshalb im konkreten Fall eine relativ lange Latenz zwischen Traumatisierung und Entwicklung einer krankheitswertigen Störung eingetreten sei: Nach der Flucht seien über Jahre hinweg "subsyndromale Ausprägungsgrade der Erkrankung vorhanden" gewesen; die Untersuchungshaft und die Scheidung hätten aus dieser Sicht die Störung akut werden lassen, was in angepassten Tätigkeiten zu einer Arbeitsunfähigkeit von 50 Prozent führe (Gutachten vom 24. Oktober 2011, S. 58).
Diese Auffassung des Dr. U._ ist indessen eine Annahme, welche in Anbetracht der äusserst diskrepanten psychiatrischen Aktenlage nicht geeignet ist, die für einen invalidisierenden Gesundheitsschaden erforderliche tatsächliche Anspruchsgrundlage als überwiegend wahrscheinlich zu beweisen. Daher war es nicht (offensichtlich) unrichtig, geschweige denn willkürlich, wenn die Vorinstanz dem Verständnis von Dr. S._ folgte und annahm, dass die geltend gemachten Leistungsausfälle nicht in einer PTBS begründet sind, zumal eine weitere psychiatrische Expertise, diejenige der Frau Dr. T._ vom 24. Juli 2008, diese Feststellung ebenfalls stützt (a.a.O. S. 12). Eine andere Betrachtungsweise drängt sich schliesslich auch nicht aufgrund der Überlegung auf, die von Dr. L._ diagnostizierte anhaltende Persönlichkeitsveränderung nach psychischer Erkrankung sei mit der gemäss Gutachten des Spitals X._ ausgewiesenen Chronifizierung der PTBS identisch; das kantonale Gericht führt zutreffend aus, dass die Auffassung des Dr. L._ in keiner der zahlreichen weiteren ärztlichen Beurteilungen geteilt wird.
Das Bundesgericht ist nach dem Gesagten an die vorinstanzliche Feststellung gebunden, es liege keine PTBS vor. Die für den gegenteiligen Fall erhobenen Rügen betreffend die Rechtsprechung nach <ref-ruling> sind daher gegenstandslos.
4.
Der angefochtene Entscheid, wonach kein invalidisierendes Leiden rechtsgenüglich nachgewiesen ist, woran mit hinreichender Wahrscheinlichkeit auch weitere medizinische Erhebungen nichts ändern würden, verletzt insgesamt Bundesrecht nicht.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Nach <ref-law> hat die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwalt Jaeggi, Bern, als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. September 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub