Faits:
A. P._, né en 1943, a été victime de deux accidents en 1999. L'assurance-invalidité lui a alloué une rente entière depuis le 1er mai 2000, fondée sur un degré d'invalidité de 100 %, ainsi que des rentes pour enfants. De son côté, la CNA l'a mis au bénéfice d'une rente d'invalidité d'un taux de 100 %.
Le 15 juin 2005, la Caisse inter-entreprises de prévoyance professionnelle (CIEPP) a fait savoir à P._ qu'en raison du versement de rentes entières de l'AI (3'038 fr.) et de la CNA (1'911 fr.), soit au total 4'949 fr., elle ne pouvait lui allouer de prestations du 2e pilier pour cause de surindemnisation, calculée sur la base de 90 % du revenu réalisé en 1999.
Par lettre du 17 septembre 2008, P._ a annoncé à la caisse CIEPP qu'il avait atteint l'âge de la retraite le 10 septembre 2008 et a demandé à être renseigné sur sa situation future. Le 25 novembre 2008, l'institution de prévoyance lui a répondu que les règles de surindemnisation restaient applicables après l'âge de la retraite. Comme l'assuré bénéficiait de rentes mensuelles de l'AVS (3'342 fr., y compris les rentes pour enfants) et de la CNA (2'490 fr. 55) d'un montant total supérieur au 90 % de son dernier salaire mensuel de 3'669 fr. (en 1999) annoncé par l'ancien employeur, aucune prestation complémentaire au titre du 2e pilier ne pourrait être allouée. La CIEPP a précisé que le versement d'une rente et d'un capital était exclu.
B. Le 1er septembre 2009, P._ a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève d'une demande en paiement dirigée contre la CIEPP, en concluant à la condamnation de la défenderesse à lui payer un montant de 50'000 fr. avec intérêts à 5 % dès le 10 septembre 2008. Il entendait obtenir le versement de son "avoir du 2e pilier" (dont il s'est dit "indûment privé du droit à la libération"), par 20'909 fr. 83, le surplus (jusqu'à concurrence de 50'000 fr.) étant constitué de "ce qu'il aurait touché au titre de l'invalidité, ainsi que ses frais de poursuite et une indemnité pour tort moral".
En cours d'instance, le demandeur a conclu au versement d'une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle d'un montant compris entre 82 fr. 45 (minimum) et 577 fr. 45 (maximum), subsidiairement au versement d'une prestation en capital en lieu et place de la rente d'invalidité (déterminations du 26 avril 2010, pp. 3 et 4).
Le tribunal cantonal a constaté que le demandeur bénéficiait de rentes de l'assurance-invalidité et de l'assurance-accidents fondées sur un degré d'invalidité de 100 %. Par jugement du 12 octobre 2010, il a rejeté la demande au motif qu'on se trouvait en présence d'un cas de surindemnisation excluant toute prestation de l'intimée, sous forme de rente ou de capital. Cependant, il a rappelé au demandeur que toute modification des rentes d'invalidité devait être annoncée à l'institution de prévoyance défenderesse, laquelle devrait à chaque fois effectuer un nouveau calcul de surindemnisation; cela pourrait être le cas à l'avenir lors de la suppression des rentes complémentaires pour enfants.
C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à ce que la CIEPP soit condamnée à le rétablir dans son droit et à lui verser son "capital de prévoyance sociale". A l'appui de ses conclusions, le recourant se réfère notamment aux circonstances de l'accident de la circulation dont il a été victime en mai 1999 ainsi qu'à sa situation personnelle. En ce qui concerne la question de la surindemnisation, le recourant en conteste le calcul et indique qu'il aurait souhaité obtenir de plus amples informations à ce sujet. Il conteste apparemment aussi le montant du salaire dont il bénéficiait autrefois.
Invité à se déterminer sur le recours, le tribunal cantonal propose de modifier le calcul de la surindemnisation dès le 1er octobre 2008 (réponse du 2 mars 2011). De son côté, l'intimée conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet, avec suite de frais (réponse du 3 mars 2011).
Dans ses observations du 7 avril 2011 sur les deux écritures précitées, le recourant modifie ses conclusions et conclut désormais à la condamnation de l'intimée au versement d'une somme de 50'000 fr. ou d'un montant à dire de justice, ainsi qu'à une juste indemnisation des frais occasionnés. Il s'oppose au renvoi de la cause à la juridiction cantonale et invite le Tribunal fédéral à trancher lui-même le fond du litige.

Considérant en droit:
1. Selon l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, le recours doit indiquer, entre autres exigences, les conclusions, les motifs et les moyens de preuve, en exposant succinctement en quoi l'acte attaqué est contraire au droit.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 p. 43; <ref-ruling> consid. 1 p. 331 et les arrêts cités). Par ailleurs, il n'examine en principe que les griefs allégués, eu égard à l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>).
2. Devant le Tribunal fédéral, le recourant a restreint ses prétentions au versement de son "capital de prévoyance sociale". Si l'acte de recours du 18 novembre 2010 contient ainsi une conclusion, portant certes implicitement sur le versement d'un montant de 20'909 fr. 83 (voir l'avant-dernière page de la demande du 1er septembre 2009, let. G), sa motivation est en revanche insuffisante (<ref-law>). En effet, on ne peut pas déduire en quoi les constatations des premiers juges seraient inexactes, au sens de l'<ref-law>, ni en quoi l'acte attaqué serait contraire au droit à propos du refus du versement d'un tel capital.
Le recourant n'a pas contesté le jugement attaqué dans la mesure où le versement d'une rente lui a été refusé. Il s'ensuit que le jugement entrepris est passé en force sur ce point, faute de conclusions et de motifs.
Quant à la question de l'indemnisation des frais occasionnés et du droit du recourant à une indemnité pour tort moral, apparemment par 29'090 fr. 17 (50'000.00 - 20'909.83), on pourrait s'interroger sur la compétence du tribunal cantonal des assurances pour connaître de pareilles prétentions, auxquelles cette autorité n'a d'ailleurs pas donné suite (consid. 9c p. 19 du jugement). Quoi qu'il en soit, le recourant n'a pas non plus remis en cause ces points du jugement cantonal dans son mémoire de recours du 18 novembre 2010. Les conclusions formées dans son écriture du 7 avril 2011 (p. 2, in fine) sont donc irrecevables, aussi bien sous l'angle de la chose jugée qu'en vertu de l'<ref-law>.
3. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>).
L'intimée n'a pas droit à des dépens (<ref-law>), qu'elle n'a du reste pas demandés.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 200 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 11 mai 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud