Sachverhalt:
A. A.a Mit Verfügung vom 29. Oktober 1997 verneinte die IV-Stelle des Kantons Solothurn einen Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung der 1958 geborenen B._ (Invaliditätsgrad von 30 %). Das Eidgenössische Versicherungsgericht hob am 20. Oktober 1999 Verfügung und den die Leistungsabweisung bestätigenden Entscheid des Versicherungsgerichtes des Kantons Solothurn vom 27. Oktober 1998 wegen ungenügend abgeklärten Sachverhalts auf. Es wies die Sache zu weiterer Abklärung und neuer Verfügung an die Verwaltung zurück. Am 2. August 2000 sprach die IV-Stelle mit Wirkung ab 1. Oktober 1995 verfügungsweise eine halbe Invalidenrente zu. Die Verfügung blieb unangefochten. Zufolge einer dem Ehemann der Versicherten zugesprochenen Invalidenrente berechnete die IV-Stelle den Leistungsanspruch von B._ bei unverändertem Invaliditätsgrad neu, was sie am 17. Mai 2006 verfügte.
A.b Am 16. Februar 2004 meldete B._ eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes, worauf die IV-Stelle die Versicherte im Center X._ polydisziplinär begutachten liess (Expertise vom 30. März 2006). Sodann holte sie bei Dr. med. I._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, eine Expertise ein (Gutachten vom 20. Dezember 2007). Überdies beauftragte die Verwaltung die Medizinische Abklärungsstation des Spitals Y._ (MEDAS) mit der Erstellung eines Gutachtens unter Berücksichtigung der Orthopädie, Neurologie und Psychiatrie; dieses datiert vom 17. März 2009. Darauf abgestützt ermittelte die Verwaltung einen Invaliditätsgrad von 20 %, weswegen sie die Verfügung vom 2. August 2000 wiedererwägungsweise aufhob und die Zahlung der halben Rente auf Ende des der Zustellung der Verfügung folgenden Monats einstellte (Verfügung vom 3. August 2009).
B. Die gegen die Verfügung vom 3. August 2009 erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 27. Januar 2010 ab.
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es sei ihr, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids, eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zuzusprechen; eventuell sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem stellt sie das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle des Kantons Solothurn und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4).
2. Streitig und zu prüfen ist die wiedererwägungsweise Aufhebung der ab 1. Oktober 1995 gewährten halben Rente der Invalidenversicherung auf Ende September 2009.
2.1 Der Versicherungsträger kann auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Die Wiedererwägung im Sinne dieser Bestimmung dient der Korrektur einer anfänglich unrichtigen Rechtsanwendung einschliesslich unrichtiger Feststellung im Sinne der Würdigung des Sachverhalts (<ref-ruling> E. 2c S. 17 mit Hinweis; Urteil 9C_215/2007 vom 2. Juli 2007 E. 3.1; Urteil I 545/02 vom 17. August 2005, publ. in: SVR 2006 IV Nr. 21 S. 75 E. 1.2). Darunter fällt insbesondere eine unvollständige Sachverhaltsabklärung aufgrund einer klaren Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (vgl. <ref-law> und <ref-law>; Urteil 9C_1014/2008 vom 14. April 2009 E. 3.2.2). Zweifellos ist die Unrichtigkeit, wenn kein vernünftiger Zweifel daran möglich ist, dass die Verfügung unrichtig war. Es ist nur ein einziger Schluss - derjenige auf die Unrichtigkeit der Verfügung - möglich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 6a S. 393; Urteil U 378/05 vom 10. Mai 2006 E. 5.2 und 5.3, publ. in: SVR 2006 UV Nr. 17 S. 62 f. und Urteil C 29/04 vom 24. Januar 2005 E. 3.1.1, publ. in: SVR 2005 Arbeitslosenversicherung Nr. 8 S. 27, ferner etwa Urteil I 912/05 vom 5. Dezember 2006 E. 3.2, je mit Hinweisen).
Das Erfordernis der zweifellosen Unrichtigkeit ist in der Regel erfüllt, wenn die gesetzeswidrige Leistungszusprechung auf Grund falscher oder unzutreffender Rechtsregeln erlassen wurde oder wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden (<ref-ruling> E. 2a S. 128; Urteil C 151/94 vom 30. Mai 1995 E. 3c, publ. in: ARV 1996/97 Nr. 28 S. 158).
Anders verhält es sich, wenn der Wiedererwägungsgrund im Bereich materieller Anspruchsvoraussetzungen liegt, deren Beurteilung in Bezug auf gewisse Schritte und Elemente (z.B. Invaliditätsbemessung, Einschätzungen der Arbeitsunfähigkeit, Beweiswürdigungen, Zumutbarkeitsfragen) notwendigerweise Ermessenszüge aufweist. Erscheint die Beurteilung solcher Anspruchsvoraussetzungen (einschliesslich ihrer Teilaspekte wie etwa die Einschätzung der Arbeitsfähigkeit) vor dem Hintergrund der Sach- und Rechtslage, wie sie sich im Zeitpunkt der rechtskräftigen Leistungszusprechung darbot, als vertretbar, scheidet die Annahme zweifelloser Unrichtigkeit aus (Urteil des Bundesgerichts I 907/06 vom 7. Mai 2007 E. 3.2.1 mit Hinweisen; Urteil 9C_215/2007 vom 2. Juli 2007 E. 3.2 mit Hinweisen, 9C_421/2010 E. 3).
2.2 Das kantonale Gericht erwog, nicht die Verfügung vom 2. August 2000, sondern jene vom 17. Mai 2006 sei auf ihre offensichtliche Unrichtigkeit hin zu überprüfen gewesen, weil sie diejenige vom 2. August 2000 ersetzt habe und damit Grundlage für die Ausrichtung der Rentenleistungen geworden sei. Bei der wiedererwägungsweisen Aufhebung der Verfügung vom 2. August 2000 handle es sich um ein offensichtliches Versehen der Verwaltung, welches ihr nicht zum Nachteil gereiche. Darin erkennt die Beschwerdeführerin eine offensichtliche Unrichtigkeit, da mit der Verfügung vom 17. Mai 2006 lediglich der auszuzahlende Rentenbetrag angepasst worden sei und weder das Revisionsgesuch der Versicherten noch das Gutachten des Centers X._ vom 30. März 2006 Niederschlag gefunden habe. Eine Sachverhaltsbeurteilung liege der Neuberechnung vom 17. Mai 2006 nicht zugrunde.
2.3 Zutreffend erwähnt die Beschwerdeführerin, dass der Invaliditätsgrad nicht Gegenstand der Verfügung vom 17. Mai 2006 war, sondern eine Leistungsanpassung zufolge einer dem Ehemann der Versicherten zugesprochenen Invalidenrente. Der Verwaltungsakt ersetzte demnach die Verfügung vom 2. August 2000 nur in Bezug auf die Neuberechnung des Rentenbetreffnisses (inkl. Kinderrenten), weswegen deren zweifellose Unrichtigkeit und ihre Wiedererwägung nur diesen Gegenstand hätte beschlagen können (<ref-law>). Wird jedoch der Invaliditätsgrad wiedererwogen, bedingt dies die Überprüfung der Verfügung vom 2. August 2000 und erst als Folge davon ist auch jene vom 16. Mai 2006 anzupassen. Ob eine offensichtliche Unrichtigkeit gemäss <ref-law> vorliegt, beurteilt sich somit - entgegen angefochtenem Entscheid - nach der Aktenlage im Zeitpunkt des Verfügungserlasses vom 2. August 2000 (E. 2.1 hievor).
3. 3.1 Die Versicherte trägt vor, das Eidgenössische Versicherungsgericht habe mit Urteil vom 20. Oktober 1999 die Sache zur Klärung der Auswirkungen allfälliger somatischer Gesundheitsschädigungen auf die Erwerbsfähigkeit zurückgewiesen. Demzufolge habe das Gericht den Sachverhalt mit Bezug auf die psychiatrischen Befunde und nach Massgabe des psychiatrischen Gutachtens des Dr. med. W._ vom 17. September 1997 für genügend erhoben erachtet, weswegen die darauf abgestützte Rentenzusprache vom 2. August 2000 zu Recht erfolgt sei, und eine Wiedererwägung ausser Betracht falle.
3.2 Mit Rückweisungsurteil vom 20. Oktober 1999 verhielt das Eidgenössische Versicherungsgericht die Verwaltung, die Verhältnisse vor allem in neurologischer sowie neuropsychologischer Hinsicht weiter abzuklären und den Invaliditätsgrad nicht nach der gemischten Methode, sondern auf der Grundlage eines Einkommensvergleichs zu bestimmen. Ohne die letztinstanzlich angeordnete Sachverhaltsabklärung durchgeführt zu haben, verfügte die IV-Stelle jedoch am 2. August 2000 rückwirkend auf den 1. Oktober 1995 eine halbe Invalidenrente. Mit diesem Vorgehen hat die Verwaltung gegen den Untersuchungsgrundsatz verstossen, was einen Rechtsfehler darstellt, der einen hinreichenden Grund für die Wiedererwägung der Verfügung bildet (E. 2.1 hievor). Die Voraussetzungen der Wiedererwägung sind erfüllt (vgl. E. 2.2 hievor) und im Ergebnis ist die Aufhebung der Verfügung vom 2. August 2000 bundesrechtlich nicht zu beanstanden.
3.3 Die Aufhebung der ursprünglichen leistungszusprechenden Verfügung bedeutet, dass der Rentenanspruch neu und umfassend zu prüfen ist. Namentlich ist die psychiatrisch bedingte Leistungseinschränkung nicht bloss im Lichte der im Zeitpunkt des Erlasses der in Wiedererwägung gezogenen Verfügung vorhandenen, sondern gleichermassen unter Einbezug der danach ergangenen Akten zu bestimmen. Auch wenn die Verfügung vom 2. August 2000 mit der zugesprochenen halben Invalidenrente ausschliesslich auf der Grundlage des von Dr. med. W._ erstellten psychiatrischen Gutachtens vom 17. September 1997 ergangen wäre, hätte dies mithin nicht zur Folge, dass von dieser Expertise nur unter wiedererwägungsrechtlichen Aspekten abgewichen werden könnte. Ob es sich bei den später erstellten Gutachten um zu Dr. med. W._ bloss abweichenden Würdigungen eines ansonsten gleich gebliebenen Sachverhalts handelt, ist folglich unmassgeblich (vgl. E. 2.1). Vielmehr sind sämtliche aktenkundige Gutachten nach den gleichen beweisrechtlichen Grundsätzen zu beurteilen (vgl. hiezu <ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352).
4. 4.1 Verwaltung und Vorinstanz haben den Anspruch auf Rentenleistungen ex nunc et pro futuro geprüft und verneint. Daher sind die Leistungsvoraussetzungen im Lichte der letztinstanzlich geltenden Kognitionsregeln ab der Renteneinstellung zu prüfen (Oktober 2009).
4.2 In beweisrechtlicher Hinsicht ist festzuhalten, dass die Ergebnisse der Beweiswürdigung im Allgemeinen (vgl. Ulrich Meyer, in: Basler Kommentar Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 34 zu <ref-law> [BSK BGG]; Markus Schott, in: BSK BGG, N. 29 zu <ref-law>) und insbesondere die auf der Würdigung ärztlicher Berichte und Gutachten beruhenden gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitsschaden und zur (Rest-) Arbeitsfähigkeit (Art. 6 und Art. 16 ATSG) tatsächlicher Natur sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398 f.) und somit einer bundesgerichtlichen Korrektur nur nach Massgabe des <ref-law> zugänglich sind (E. 1.1 hievor). Zu den in dieser Bestimmung erwähnten, frei zu prüfenden Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gehören u.a. die Missachtung der bundesrechtlichen Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (vgl. Urteil I 853/06 vom 3. Oktober 2007 E. 4.1; E. 3.3 hievor), des Untersuchungsgrundsatzes, der Pflicht zu inhaltsbezogener, umfassender, sorgfältiger und objektiver Beweiswürdigung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 400) sowie der Regeln über die antizipierte Beweiswürdigung (dazu im Einzelnen: Urteil I 362/99 vom 8. Februar 2000 E. 4, publ. in: SVR 2001 IV Nr. 10 S. 28).
4.2 In beweisrechtlicher Hinsicht ist festzuhalten, dass die Ergebnisse der Beweiswürdigung im Allgemeinen (vgl. Ulrich Meyer, in: Basler Kommentar Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 34 zu <ref-law> [BSK BGG]; Markus Schott, in: BSK BGG, N. 29 zu <ref-law>) und insbesondere die auf der Würdigung ärztlicher Berichte und Gutachten beruhenden gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitsschaden und zur (Rest-) Arbeitsfähigkeit (Art. 6 und Art. 16 ATSG) tatsächlicher Natur sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398 f.) und somit einer bundesgerichtlichen Korrektur nur nach Massgabe des <ref-law> zugänglich sind (E. 1.1 hievor). Zu den in dieser Bestimmung erwähnten, frei zu prüfenden Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gehören u.a. die Missachtung der bundesrechtlichen Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (vgl. Urteil I 853/06 vom 3. Oktober 2007 E. 4.1; E. 3.3 hievor), des Untersuchungsgrundsatzes, der Pflicht zu inhaltsbezogener, umfassender, sorgfältiger und objektiver Beweiswürdigung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 400) sowie der Regeln über die antizipierte Beweiswürdigung (dazu im Einzelnen: Urteil I 362/99 vom 8. Februar 2000 E. 4, publ. in: SVR 2001 IV Nr. 10 S. 28).
4.3 4.3.1 In bundesrechtlich nicht zu beanstandender Weise sprach die Vorinstanz dem Gutachten der MEDAS vom 17. März 2009 und der Expertise des Dr. med. I._ vom 20. Dezember 2007 volle Beweistauglichkeit zu. Die Beschwerdeführerin trägt dagegen vor, die in diesen Gutachten ausgeschlossene Arbeitsunfähigkeit sei wohl auf die zwischenzeitlich strengere Gerichtspraxis zurückzuführen. Hingegen sagten sie wenig über die gesundheitliche Situation im Jahr 2000 aus. Daraus lässt sich für eine verminderte Beweiskraft der eingangs erwähnten Gutachten nichts herleiten, zumal die Sichtweise der Beschwerdeführerin auf einer durch Aktenstellen nicht untermauerten blossen Annahme gründet. Zudem ist der Rentenanspruch ab Oktober 2009 zu beurteilen (vgl. E. 4.1 hievor), weshalb den aktuelleren Befunden beweismässig eine erhöhte Bedeutung zukommt.
4.3.2 Vor Bundesrecht hält zudem die vorinstanzliche Würdigung der Gutachten des Dr. med. W._ vom 17. September 1997 und des Centers X._ vom 30. März 2006 sowie der Einschätzung des behandelnden Arztes Dr. med. M._ vom 29. November 2008 stand. Der zuletzt erwähnten Stellungnahme folgte das Gericht schon wegen ihres formellen Ungenügens (fehlende Anamnese und keine Auseinandersetzung mit den Akten) mit Recht nicht. Darüber hinaus weist der angefochtene Entscheid zutreffend auf die widersprüchliche und deswegen nicht überzeugende Zumutbarkeitseinschätzung im polydisziplinären Gutachten des Centers X._ vom 30. März 2006 hin, wonach im orthopädischen Teilgutachten eine geringfügige Einschränkung der Arbeitsfähigkeit attestiert werde, wogegen an anderer Stelle ohne nähere Erklärung eine orthopädisch bedingte Arbeitsunfähigkeit von 50 % angeführt sei. Ferner seien in die psychiatrische Leistungseinschätzung nicht invalidisierende psychosoziale Faktoren eingeflossen. Der Einschätzung des Dr. med. W._ vom 17. September 1997 ist sodann nicht zu folgen, weil sie mehr als zehn Jahre zurückliegt und ausserdem Fragen aufwirft, indem darin gleichzeitig die Eheprobleme und die "Unterintelligenz" als jeweils psychiatrisch im Vordergrund stehend erklärt werden. Davon abgesehen handelt es sich beim ersten Faktor um einen invalidenversicherungsrechtlich für sich allein irrelevanten Befund (<ref-ruling> E. 5a S. 299) und die diagnostizierte Minderintelligenz hielt die Beschwerdeführerin über eine längere Zeit nicht davon ab, einer Arbeit nachzugehen. Überdies geht aus anderer Stelle hervor, dass die Beschwerdeführerin im handlungsmässigen praktischen Bereich womöglich deutlich höhere IQ-Werte aufweise.
5. Letztinstanzlich verbindlich (E. 1.1 hievor) stellte das kantonale Gericht gestützt auf das polydisziplinäre Gutachten der MEDAS vom 17. März 2009 sowie die psychiatrische Expertise des Dr. med. I._ vom 20. Dezember 2007 eine ganztägige Arbeitsfähigkeit mit einer Leistungsminderung von 10 % bei leichter bis mittelschwerer Tätigkeit ohne Tragen schwerer Lasten und ohne grosse intellektuelle Anforderungen fest. Gestützt darauf und die hier weder in tatsächlicher noch in rechtlicher Hinsicht beanstandeten und folglich nicht zu prüfenden Bemessungsfaktoren (<ref-ruling> E. 1b und 2c S. 415 ff.; 110 V E. 4a S. 53), ermittelte die Vorinstanz einen Invaliditätsgrad von 27 %. Dieser berechtigt nicht zu einer Rente der Invalidenversicherung (<ref-law>). Die Berichtigung der rentenzusprechenden Verfügung vom 2. August 2000 ist demzufolge von erheblicher Bedeutung und deren wiedererwägungsweise Aufhebung auch in dieser Hinsicht rechtens (<ref-law>).
6. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist stattzugeben, da der Prozess nicht aussichtslos erscheint, die Partei bedürftig und die anwaltliche Verbeiständung geboten ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach die Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwältin Susanne Schaffner-Hess, Olten, wird als unentgeltliche Anwältin der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. September 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Borella Ettlin