Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer wurde im angefochtenen Urteil vom 5. Mai 2010 im Berufungsverfahren unter anderem wegen Vergehens gegen das Betäubungsmittelgesetz unter Einbezug zweier widerrufener Strafen mit fünf Monaten Freiheitsstrafe als Gesamtstrafe sowie mit einer Busse von Fr. 300.-- bzw. einer Ersatzfreiheitsstrafe von drei Tagen bestraft. Nachdem sich der Beschwerdeführer mit einem in Amharisch abgefassten Schreiben vom 20. Juni 2010 an die Vorinstanz gewandt hatte, liess diese das Schreiben amtlich übersetzen. Da sich daraus ergibt, dass der Beschwerdeführer mit dem Urteil der Vorinstanz nicht einverstanden ist und Einsprache erhebt, überwies die Vorinstanz die Angelegenheit dem Bundesgericht. Das Schreiben vom 20. Juni 2010 ist als Beschwerde in Strafsachen gemäss <ref-law> entgegenzunehmen.
Der Beschwerdeführer macht geltend, dass eine ebenfalls angeschuldigte Drittperson falsch gegen ihn ausgesagt habe. Die Vorinstanz kam indessen nach ausführlicher Würdigung zum Schluss, es bestünden keine vernünftigen Zweifel, dass die Aussagen der Drittperson der Wahrheit entsprächen und sich der eingeklagte Sachverhalt demnach so zugetragen habe (angefochtener Entscheid S. 10 E. 1.5.). Diese tatsächliche Feststellung könnte vor Bundesgericht mit Erfolg nur bemängelt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> bzw. willkürlich im Sinne von <ref-law> wäre. Willkürlich ist eine Feststellung, wenn die Vorinstanz von einem Sachverhalt ausgeht, der mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (<ref-ruling> E. 1.3). Die Rüge der Willkür muss vor Bundesgericht präzise vorgebracht und begründet werden, ansonsten darauf nicht eingetreten wird (<ref-law>). Die Behauptung, die Aussagen eines Belastungszeugen seien falsch, genügt den Begründungsanforderungen nicht.
Der Beschwerdeführer beantragt für den Fall eines Schuldspruchs eine mildere Strafe, z.B. eine Geld- oder Arbeitsstrafe. Es ist fraglich, ob die Beschwerde in diesem Punkt den Begründungsanforderungen genügt. Es kann indessen in Anwendung von <ref-law> auf die Ausführungen der kantonalen Richter verwiesen werden (vgl. angefochtenen Entscheid S. 11-13 mit Hinweis auf das Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 3. November 2009 S. 12-15). Insbesondere ist mit der Vorinstanz festzustellen, dass sich der Beschwerdeführer nicht legal in der Schweiz aufhält, weshalb die Möglichkeit von gemeinnütziger Arbeit entfällt. Zudem hat er sich nicht von zwei früheren Verurteilungen zu Geldstrafen beeindrucken lassen, so dass auch diese Strafe nicht mehr als zweckmässig erscheint (angefochtener Entscheid S. 12). Gesamthaft gesehen ist die ausgefällte Strafe bundesrechtlich nicht zu beanstanden.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Ausnahmsweise kann auf eine Kostenauflage verzichtet werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juli 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn