Sachverhalt:
A. A.a X._ (xxxx 1975) leidet seit Jahren an einer chronischen Schizophrenie, weswegen er im Zeitraum von 2003 bis heute insgesamt 11 Mal in der psychiatrischen Klinik A._ untergebracht war. In den Jahren 2006 und 2007 verbrachte er längere Zeit in der psychiatrischen Klinik B._. Im Weiteren leidet er an einer lebensbedrohlichen Blutgerinnungsstörung. Am 31. Dezember 2009 trat er freiwillig in die psychiatrische Klinik C._ ein, die er bereits einige Tage später wieder verlassen wollte. Die Klinik ordnete daher am 6. Januar 2010 die Zurückbehaltung X._s im Rahmen einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung an. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug wies eine dagegen eingereichte Beschwerde am 21. Januar 2010 ab. Eine gegen dessen Urteil beim Bundesgericht erhobene Beschwerde in Zivilsachen blieb erfolglos (Urteil 5A_103/2010 vom 19. Februar 2010).
A.b Am 10. März 2010 bestätigte der Gemeinderat R._ die fürsorgerische Freiheitsentziehung und wies X._ in die Therapeutische Wohngruppe D._ ein. Am 25. Januar 2011 ersuchte X._ um Entlassung aus dieser Einrichtung, die ihm der Gemeinderat mit Beschluss vom 27. April 2011 verweigerte.
B. X._ gelangte dagegen mit Beschwerde vom 9. Mai 2011 an das Verwaltungsgericht des Kantons Zug. Die angerufene gerichtliche Instanz holte ein Gutachten ein, welches am 24. Mai 2011 erstattet wurde. Ferner bewilligte sie X._ am 26. Mai 2011 einen unentgeltlichen Rechtsbeistand und hörte den von der fürsorgerischen Freiheitsentziehung Betroffenen in Gegenwart seines Rechtsbeistands an. Mit Urteil vom 1. Juni 2011 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde X._s ab und setzte die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes auf Fr. 2'736.50 fest.
C. X._ hat gegen das am 3. Juni 2011 versendete Urteil des Verwaltungsgerichts mit Eingabe vom 4. Juli 2011 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt, die fürsorgerische Freiheitsentziehung aufzuheben und ihn aus der Therapeutischen Wohngruppe D._ zu entlassen. Ferner stellt er den Antrag, es sei ihm für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 5'222.70 zulasten des Gemeinderates R._ zu bezahlen. Eventualiter sei seinem Anwalt für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 5'222.70 auszurichten.
Das Verwaltungsgericht schliesst in seiner Vernehmlassung vom 8. Juli 2011 (Postaufgabe) auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer liess dem Bundesgericht am 6. und 8. Juli 2011 weitere Eingaben zukommen. Am 14. Juli 2011 (Postaufgabe) hat er zur Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts Stellung genommen.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzliches kantonales Urteil über fürsorgerische Freiheitsentziehung (<ref-law>) und damit ein öffentlich-rechtlicher Entscheid im Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Mit dem Verwaltungsgericht hat zudem ein oberes kantonales Gericht als Rechtsmittelinstanz gegen Beschlüsse des Gemeinderates R._ (der anordnenden Behörde) entschieden (<ref-law>; § 79a des Verwaltungsrechtspflegegesetzes, VRG/ZG). Dass die Beschwerde rechtzeitig (<ref-law>) eingereicht worden ist, muss zugunsten des Beschwerdeführers angenommen werden, zumal sich die ordentliche Zustellung des mit einer Begründung versehenen Urteils (<ref-law>) anhand der Akten nicht feststellen lässt. Das Verwaltungsgericht wird darum ersucht, in Zukunft eine Zustellung seiner begründeten Urteile gegen Empfangsbestätigung bzw. auf eine Weise vorzunehmen und in den Akten zu dokumentieren, dass die Rechtzeitigkeit der Beschwerde an das Bundesgericht ohne weiteres überprüft werden kann. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist mit Bezug auf die fürsorgerische Freiheitsentziehung einzutreten.
1.2 Bei der unentgeltlichen Verbeiständung handelt es sich um ein öffentlich-rechtliches Verhältnis zwischen dem Staat und dem Rechtsanwalt (<ref-ruling> E. 5.1.4 S. 205), das einen Honoraranspruch des Rechtsbeistands gegenüber dem Staat und nicht gegenüber dem Vertretenen begründet. Entschädigt der Staat im Rahmen der gewährten unentgeltlichen Rechtspflege den amtlichen Vertreter, kann dieser keine weitergehende Honorarforderung an die von ihm vertretene Partei stellen (<ref-ruling> E. 1 S. 12; <ref-ruling> E. 4e S. 26; <ref-ruling> E. 3b S. 325). Die Frage, ob die amtlich verbeiständete Partei legitimiert ist, gegen die Höhe der ihrem Rechtsbeistand vom Staat entrichteten Entschädigung Beschwerde zu führen, wird in der Rechtsprechung nicht einheitlich behandelt. Zum Teil erachtet sie die vertretene Partei als legitimiert, mit der Begründung, dass der Staat die dem amtlichen Anwalt ausbezahlte Entschädigung von der in unentgeltlicher Rechtspflege prozessierenden Partei zurückfordern kann, wenn diese später zu ausreichenden finanziellen Mittel gelangt (Urteil 5A_595/2008 vom 9. Januar 2009 E. 2.1). Teilweise wird der vertretenen Partei die Legitimation abgesprochen, weil der Anwalt bei einem zu tief festgesetzten Honorar, von seinem Klienten nicht zusätzlich ein Honorar verlangen darf (Urteile M 2/06 vom 17. September 2007 E. 5.3.3; 5A_312/2007 vom 10. Juli 2007 E. 1.3). Im vorliegenden Fall behauptet der Beschwerdeführer nicht substanziiert, dass nach dem massgebenden kantonalen Recht ein Nachforderungsanspruch des Staates besteht, wenn er nachträglich zu hinreichenden finanziellen Mitteln gelangt. Sodann vermag nicht einzuleuchten, worin ein schützenswertes Interesse des Beschwerdeführers an der Erhöhung der Entschädigung seines amtlichen Anwalts bestehen könnte, zumal damit der Betrag erhöht würde, den er gegebenenfalls dem Gemeinwesen zurückzuzahlen hätte. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten, soweit damit eine Erhöhung der dem Anwalt des Beschwerdeführers zugesprochenen Entschädigung verlangt wird.
2. Eine mündige oder entmündigte Person darf wegen Geisteskrankheit, Geistesschwäche, Trunksucht, anderen Suchterkrankungen oder schwerer Verwahrlosung in einer geeigneten Anstalt untergebracht oder zurückbehalten werden, wenn ihr die nötige persönliche Fürsorge nicht anders erwiesen werden kann (<ref-law>).
2.1 Das Verwaltungsgericht hat sich sehr ausführlich mit den Voraussetzungen von <ref-law> befasst. Insbesondere ist es aufgrund der Akten sowie der Befragung der behandelnden Ärzte, aber auch aufgrund eines aktuellen von Dr. med. G._ erstellten Gutachtens vom 24. Mai 2011 davon ausgegangen, beim Beschwerdeführer liege eine chronische Schizophrenie (ICD-10; F.20.0) vor, worin eine Geisteskrankheit und damit ein Schwächezustand im Sinn von <ref-law> zu erblicken sei. Mit Bezug auf den Fürsorgebedarf kann dem angefochtenen Urteil entnommen werden, dass der Beschwerdeführer abgesehen von seiner psychischen Erkrankung auch an einer lebensbedrohlichen Blutgerinnungsstörung leidet, wobei beide Erkrankungen eine konsequente, überwachte Medikamenteneinnahme erfordern. Insbesondere ist im Fall unterbliebener Behandlung der Gerinnungsstörung mit tödlichen Blutungen bzw. tödlichen Thrombosen oder Embolien zu rechnen, was zu akuten Notfallsituationen und unmittelbarer Lebensgefahr führen kann. Das Verwaltungsgericht hält im Weiteren dafür, im Falle sofortiger Entlassung müsse in Kürze mit einer neuen Einweisung gerechnet werden, zumal der Beschwerdeführer krankheitsuneinsichtig sei und damit keine Gewähr dafür bestehe, dass er seine Medikamente selbst einnehme. Im Übrigen wird auch eine gewisse Verwahrlosungstendenz erwähnt. Das Verwaltungsgericht gelangt zusammenfassend zum Schluss, der Beschwerdeführer weise bei einer sofortigen Entlassung ein erhebliches und unmittelbar drohendes Selbstgefährdungspotenzial auf.
Das Verwaltungsgericht hat schliesslich geprüft, ob dem Beschwerdeführer die nötige Fürsorge durch eine mildere Massnahme als durch eine fürsorgerische Freiheitsentziehung gewährt werden kann und hat diesbezüglich zusammengefasst erwogen, der Beschwerdeführer sei nicht krankheitseinsichtig. Die sozialen Begleitumstände seien ungünstig, da er weder über eine Tagesstruktur noch über eine sinnvolle Beschäftigung verfüge und praktisch nur zu seiner Mutter soziale Beziehungen pflege. Mit der Unterbringung in der Villa D._ sei zwar - entgegen früheren Erwartungen - keine wesentliche Verbesserung erreicht worden; immerhin sei aber eine gewisse Stabilisierung auf tiefem Niveau zu verzeichnen und sei es im Gegensatz zu den in der Vorgeschichte erwähnten Fällen nicht mehr zu notfallmässigen Hospitalisationen gekommen. Nach übereinstimmender Meinung der behandelnden Fachperson, Dr. med F._, und des Gutachters stelle die Villa D._ nach wie vor eine geeignete Unterbringungsform für den Beschwerdeführer dar. Das Verwaltungsgericht hält im Weiteren dafür, nach Ansicht des Gutachters würde sich der Beschwerdeführer zumindest subjektiv bei seiner Mutter besser fühlen, weshalb eine Rückkehr nach Hause mit einer engmaschigen Betreuung durch die Mutter, den Psychiater, die Spitex und andere Organisationen nach Ansicht des Gutachters zumindest in Erwägung zu ziehen und zu prüfen wäre. Die Behandlung und Betreuung des Beschwerdeführers habe jedoch - so das Verwaltungsgericht - in der Vergangenheit zu einer unzumutbaren Belastung und Überforderung der Mutter geführt. Zudem sei auch die Spitex ihren eigenen Angaben zufolge nicht in der Lage, die erforderliche Betreuung zu gewährleisten. Das Verwaltungsgericht hat daher eine weitere Zurückbehaltung des Beschwerdeführers als verhältnismässig erachtet.
2.2 Der Beschwerdeführer stellt weder den rechtlichen Schluss bezüglich des Schwächezustandes noch den Fürsorgebedarf insgesamt noch den Umstand infrage, dass er auf Pflege und Betreuung durch Dritte angewiesen ist, er somit sein Leben nicht ohne fremde Hilfe bewältigen kann und insbesondere die rechtzeitige Einnahme der Medikamente ohne fremde Hilfe nicht sichergestellt ist. Er macht hingegen in seinen beiden Eingaben im Wesentlichen geltend, das öffentliche Interesse an der zwangsweisen Zurückbehaltung müsse das Interesse an der persönlichen Freiheit und insbesondere das Interesse, bei seiner Mutter leben zu können (<ref-law> und Art. 5 EMRK), überwiegen. Eine Zurückbehaltung sei nur verhältnismässig, wenn mit ihr das Ziel der raschen Entlassung in gebessertem Zustand erreicht werden könne. Sie müsse dagegen aufgehoben werden, wenn die angebotenen Therapiemöglichkeiten nicht zum Erfolg führten. Dem Gutachten von Dr. G._ vom 24. Mai 2011 sei zu entnehmen, dass die Villa D._ nicht mehr die optimale Betreuungsform für ihn darstelle. Der individuelle Nutzen des therapeutischen Milieus sei sehr klein und es sei offensichtlich, dass für ihn das Beste sei, zu Hause von seiner Mutter umsorgt und gepflegt zu werden. Die Hoffnung der Behörden, bei ihm durch eine geeignete sozialtherapeutische Einrichtung namhafte Verbesserungen bezüglich Krankheitseinsicht und Selbstständigkeit zu erzielen, habe sich als Illusion erwiesen. Auch nach Ansicht des Gutachters sei eine Rückkehr zur Mutter zu begrüssen, vorausgesetzt, die medikamentöse Behandlung sei dort sichergestellt. Im Weiteren treffe auch nicht zu, dass ihm bei einer sofortigen Entlassung eine Verschlechterung seines Gesundheitszustandes drohe, zumal seine Mutter als berufserfahrene und vom Schweizerischen Roten Kreuz ausgebildete Pflegehelferin mit der Pflege und Betreuung kranker Personen vertraut sei und überdies durch die örtliche Spitex in ihren Bemühungen unterstützt werde. Damit sei das Interesse des Beschwerdeführers an der persönlichen Freiheit höher zu gewichten. Dass die Mutter des Beschwerdeführers nicht in der Lage sei, sich um ihren Sohn zu kümmern, treffe nicht zu, da sie ihr Arbeitspensum um 50% zu reduzieren beabsichtige. Zudem treffe auch nicht zu, dass die Spitex die Pflege nicht wahrnehmen könne, verfüge sie doch über einen psychiatrischen Pflege- und Betreuungsdienst.
2.3 Der Beschwerdeführer beanstandet eine Verletzung von <ref-law> (persönliche Freiheit) bzw. von Art. 5 EMRK. Er kritisiert insbesondere, die Anstalt sei nicht geeignet und eine fürsorgerische Freiheitsentziehung sei in seinem Fall nicht verhältnismässig. Er macht damit im Ergebnis geltend, die Voraussetzungen für eine Beibehaltung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung seien nicht erfüllt bzw. zu Unrecht bejaht worden. Seine Eingabe ist somit als Rüge der Verletzung von <ref-law> zu behandeln.
2.3 Der Beschwerdeführer beanstandet eine Verletzung von <ref-law> (persönliche Freiheit) bzw. von Art. 5 EMRK. Er kritisiert insbesondere, die Anstalt sei nicht geeignet und eine fürsorgerische Freiheitsentziehung sei in seinem Fall nicht verhältnismässig. Er macht damit im Ergebnis geltend, die Voraussetzungen für eine Beibehaltung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung seien nicht erfüllt bzw. zu Unrecht bejaht worden. Seine Eingabe ist somit als Rüge der Verletzung von <ref-law> zu behandeln.
2.4 2.4.1 Was unter einer geeigneten Anstalt zu verstehen ist, umschreibt das Bundesrecht (<ref-law>) nicht näher (<ref-ruling> E. 3, auch zu den Gründen; zum Begriff der Anstalt allgemein <ref-ruling> E. 2b S. 308). Aus dem in der genannten Bestimmung erwähnten Zweck der fürsorgerischen Freiheitsentziehung, der eingewiesenen Person die nötige persönliche Fürsorge zu erbringen, ergibt sich aber, dass es sich um eine Institution handeln muss, die mit den ihr normalerweise zur Verfügung stehenden organisatorischen und personellen Mitteln in der Lage ist, die wesentlichen Bedürfnisse der eingewiesenen Person bezüglich Fürsorge und Betreuung zu befriedigen (<ref-ruling> E. 4c S. 490; <ref-ruling> E. 7 S. 218). Mithin muss im Einzelfall das Betreuungs- und Therapieangebot der Anstalt den vorrangigen Bedürfnissen der betroffenen Person entsprechen (<ref-ruling> E. 5 und 6 S. 490 ff.). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers wird jedoch nicht verlangt, dass die gewählte Anstalt geradezu ideal sei (THOMAS GEISER, Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 4. Aufl. 2011, N. 25 zu <ref-law>; Urteil 5C.213/2003 vom 3. November 2003 E. 3.1).
2.4.2 Dem angefochtenen Urteil, das sich insbesondere auf das Gutachten von Dr. G._ vom 24. Mai 2011 stützt, kann entnommen werden, dass mit der Unterbringung in der Villa D._ - entgegen den früheren zu optimistischen Vorstellungen - keine wesentliche Verbesserung des psychischen Gesundheitszustandes des Beschwerdeführers erreicht werden konnte. Festgestellt wird aber immerhin auch, dass sich der Zustand des Beschwerdeführers - wenn auch auf tiefem Niveau - stabilisiert hat. Sodann mussten auch keine notfallmässigen Klinikeinweisungen (als Folge der Blutgerinnungsstörung) vorgenommen werden. Insgesamt spricht sich der Gutachter denn auch nicht gegen den weiteren Verbleib des Beschwerdeführers in dieser Einrichtung aus. Aufgrund der im angefochtenen Entscheid aufgeführten tatsächlichen Feststellungen kann somit nicht gesagt werden, die Villa D._ sei insgesamt nicht geeignet. Auch wenn vorliegend die Unterbringung in dieser Einrichtung nur in geringem Mass erzieherisch und therapeutisch zu wirken vermag, wird dort die notwendige persönliche Betreuung des Beschwerdeführers und die erforderliche Behandlung seiner Blutgerinnungsstörung sowie der psychischen Krankheit sichergestellt und ihm damit ein menschenwürdiges Dasein ohne ständige Klinikeinweisungen ermöglicht (vgl. dazu GEISER, a.a.O., N. 9 zu <ref-law> am Ende). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers erweist sich die Villa D._ als geeignete Einrichtung.
2.5 Die Vorinstanz hat geprüft, ob ihm die nötige persönliche Fürsorge auch ausserhalb einer Einrichtung gewährt werden kann. Insbesondere hat sie auch beurteilt, ob die Mutter eine Pflege und Betreuung zu Hause übernehmen könnte. Diesbezüglich hat sie aber festgestellt, dass die Mutter zwar guten Willen an den Tag legt, jedoch in der Vergangenheit durch die Betreuung ihres Sohnes in unzumutbarer Weise belastet worden und überdies mit dieser Aufgabe überfordert gewesen ist. Das Verwaltungsgericht hat denn auch aufgrund der Vorgeschichte den Schluss gezogen, dass die erforderliche Medikamenteneinnahme trotz Einbezugs des Hausarztes, der Spitex und der Mutter nicht sichergestellt werden kann. Soweit der Beschwerdeführer nunmehr in der Beschwerde Gegenteiliges behauptet und meint, die Mutter sei in der Lage, seine Pflege und Betreuung zu übernehmen, richtet er sich gegen anderslautende tatsächliche Feststellungen der Vorinstanz, ohne aber darzulegen, inwiefern diese willkürlich sein bzw. auf andere Weise gegen Bundesrecht verstossen könnten (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255). Darauf ist nicht einzutreten. Abgesehen davon hat auch der Gutachter Vorbehalte bezüglich der Eignung der Mutter angebracht, da sie sich ihm gegenüber abfällig über Ärzte und Medikamente geäussert hat. Zudem nimmt das Bundesgericht keine Beweise ab, womit die Einvernahme der Mutter im bundesgerichtlichen Verfahren nicht infrage kommt. Im Weiteren ist auch festgestellt worden, dass die Spitex dem Pflegebedarf des Beschwerdeführers nicht nachzukommen vermag. Die Ausführungen des Beschwerdeführers in seiner Replik gehen an den tatsächlichen Feststellungen über die Möglichkeit der Betreuung durch die Spitex vorbei. Darauf ist aus dem bereits genannten Grund nicht einzutreten. Aufgrund der nicht ordnungsgemäss als bundesrechtswidrig beanstandeten Sachverhaltsfeststellungen hat die Vorinstanz ohne Verletzung des ihr zustehenden Ermessensspielraums (dazu: GEISER, a.a.O., N. 12 zu <ref-law>; vgl. auch Urteil 1P.337/1998 vom 23. September 1998 E. 4a) annehmen dürfen, die Zurückbehaltung des Beschwerdeführers sei die einzige hier angepasste Lösung und daher verhältnismässig.
3. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Den Umständen des konkreten Falles entsprechend werden keine Kosten erhoben (<ref-law>).
4. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden, weshalb es an den materiellen Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege fehlt (<ref-law>) und das entsprechende Gesuch abgewiesen werden muss.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juli 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden