Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1962; mit US-amerikanischem Bürgerrecht) und Y._ (geb. 1980; ukrainische Staatsangehörige) haben im Jahr 2007 geheiratet und leben seit 1. Januar 2009 getrennt; sie sind die Eltern des Sohnes A._ (geb. 2008). In der Folge kam es zwischen den Eheleuten zu gerichtlichen Auseinandersetzungen über die Regelung ihres Getrenntlebens (vgl. Urteile 5A_564/2010 vom 4. Oktober 2010 und 5A_150/2012 vom 28. März 2012).
B. Am 11. Januar 2011 unterzeichneten die Parteien vor dem Bezirksgericht Luzern ein gemeinsames Scheidungsbegehren. Darauf ersuchte X._ das Gericht um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Scheidungsverfahren und stellte weiter den Antrag, Y._ zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses von Fr. 15'000.-- an ihn zu verpflichten (Eingabe vom 20. Mai 2011). Mit Entscheid vom 22. Februar 2012 wies das Bezirksgericht sowohl das Armenrechtsgesuch als auch den Antrag betreffend Prozesskostenvorschuss ab. Die hierauf erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 8. Mai 2012 ab.
C. Mit Beschwerde vom 12. Juni 2012 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben und Y._ zu verpflichten, einen angemessenen Kostenvorschuss von Fr. 7'000.-- zu leisten; gegebenenfalls seien "die Akten an die Vorinstanz zur Fällung des Prozesskostenvorschusses zurückzuleiten". Im Eventualbegehren ersucht der Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege; "subeventualiter" sei ihm die Bevorschussung der Gerichtskosten zu erlassen. Weiter verlangt er, die Akten des Hauptverfahrens "BG 02 2010 667" heranzuziehen, und stellt auch für das Verfahren vor Bundesgericht ein Armenrechtsgesuch.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 216; <ref-ruling> E. 1 S. 117, je mit Hinweisen).
1.2 Im Hauptbegehren wehrt sich der Beschwerdeführer gegen die kantonal letztinstanzliche (<ref-law>) Abweisung seines Antrags, seine Ehefrau zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses zu verurteilen. Auch wenn dieser Entscheid über eine Zivilsache (<ref-law>) während eines hängigen Scheidungsverfahrens gefällt wurde, handelt es sich um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>, denn sein Gegenstand unterscheidet sich von demjenigen des Hauptverfahrens und schliesst die kantonale Instanz im prozessrechtlichen Sinne ab (vgl. Urteile 5A_784/2009 vom 20. November 2009 E. 1.1; 5A_826/2008 vom 5. Juni 2008 E. 1.2). Soweit das Obergericht den besagten Antrag abweist, betrifft sein Entscheid eine rein vermögensrechtliche Streitigkeit, deren Streitwert - vor Obergericht verlangte der Beschwerdeführer einen Vorschuss von Fr. 7'000.-- - die gesetzliche Streitwertgrenze (<ref-law>) nicht erreicht. Nachdem eine gesetzliche Ausnahme vom Streitwerterfordernis nicht gegeben ist, steht im Streit um den Prozesskostenvorschuss einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> offen (vgl. Urteil 5A_826/2008 vom 5. Juni 2008 E. 1.2).
1.3 Eventualiter ersucht der Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (s. Sachverhalt Bst. C). Auch im Armenrechtsstreit zwischen dem Beschwerdeführer und dem Bezirksgericht Luzern richtet sich die Beschwerde gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit dem das Gesuch des Beschwerdeführers um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen wurde. Nach der Rechtsprechung ist dieser Entscheid ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann und daher gemäss <ref-law> selbständig anfechtbar ist (Urteile 5A_10/2007 vom 23. März 2007 E. 2.3; 5A_262/ 2008 vom 8. September 2008 E. 1.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). In diesem Fall hat das Verfahren in der Hauptsache die Scheidung der Ehe des Beschwerdeführers zum Gegenstand. In Frage steht also eine Zivilsache im Sinne von <ref-law>. Auch wenn dieser Streit neben den nicht vermögensrechtlichen vermögensrechtliche Fragen betrifft, wäre die Beschwerde in Zivilsachen in der Hauptsache ohne Streitwerterfordernis zulässig (Urteil 5A_311/2010 vom 3. Februar 2011 E. 1.1). Das gleiche Rechtsmittel steht gegen den angefochtenen Entscheid daher auch offen, soweit er die unentgeltliche Rechtspflege zum Gegenstand hat.
1.4 Wie der Anspruch gegenüber dem Staat auf unentgeltliche Rechtspflege beruht auch derjenige gegenüber dem Ehegatten auf einen Prozesskostenvorschuss unter anderem auf der - hier umstrittenen - tatsächlichen Bedürftigkeit des ansprechenden Ehegatten (vgl. Urteil 5A_170/2011 vom 9. Juni 2011 E. 4.3; 5P.346/2005 vom 15. November 2005 E. 4.4). Die beiden Streitsachen, die der Beschwerdeführer vor das Bundesgericht trägt, fussen mithin auf einem im Wesentlichen gleichartigen Grund, der es rechtfertigt, sie im gleichen Verfahren zu beurteilen. Der Umstand, dass die beiden Prozesse vor Bundesgericht verschiedenen Beschwerden unterliegen (E. 1.2 und 1.3), steht der gemeinsamen Beurteilung der Frage der Bedürftigkeit nicht im Weg. Die vorgebrachten Rügen sind nach den Vorschriften über die entsprechende Beschwerdeart zu prüfen.
1.5 Sowohl im Streit um den Prozesskostenvorschuss als auch in demjenigen um die unentgeltliche Rechtspflege geht es um die Frage, ob der Beschwerdeführer prozessarm ist. Der Anspruch auf einen Prozesskostenvorschuss geht dem Rechtspflegeanspruch vor (<ref-ruling> E. 3a S. 12; zuletzt das zur Publikation vorgesehene Urteil 5A_323/2012 vom 8. August 2012 E. 4.2.1 mit Hinweisen). Entsprechend dieser Rangordnung wäre - wie auch der Beschwerdeführer es verlangt - an sich zunächst die Begründetheit des Anspruchs auf einen Prozesskostenvorschuss zu prüfen. Nun steht diesbezüglich aber einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (E. 1.2), mit der lediglich die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-law>). Im Streit um die unentgeltliche Rechtspflege, bezüglich dessen die Beschwerde in Zivilsachen zulässig ist (E. 1.3), prüft das Bundesgericht demgegenüber mit freier Kognition, ob die Kriterien zur Bestimmung der Prozessarmut zutreffend angewendet worden sind (vgl. Urteil 5A_810/2011 vom 7. Februar 2012 E. 2.2). Es rechtfertigt sich, den angefochtenen Entscheid zunächst nach diesem Massstab zu überprüfen. So oder anders ist das Bundesgericht an die tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts hinsichtlich der Bedürftigkeit des Beschwerdeführers gebunden (Art. 105 Abs. 1 und 118 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, sie seien willkürlich (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 14 mit Hinweis). Was die Rüge willkürlicher Sachverhaltsfeststellung anbelangt, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Feststellungen für den Ausgang des Verfahrens (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22) im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein, das heisst mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, auf einem offenkundigen Versehen beruhen oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lassen sollen (<ref-ruling> E. 4.3 S. 62 mit Hinweisen).
2. Zu behandeln sind zunächst die Vorwürfe, welche der Beschwerdeführer in prozessualer Natur erhebt.
2.1 Von vornherein nicht zu hören ist der Beschwerdeführer, soweit er im vorliegenden Verfahren auf die Rüge der "offensichtlich und willentlich falschen Sachverhaltsfeststellung" zurückkommt, die er im Verfahren 5A_150/2012 mit Bezug auf das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 27. Dezember 2011 erhoben hat. Das Bundesgericht hat sich mit dieser Rüge bereits auseinandergesetzt und sie rechtskräftig beurteilt; wie auch der Beschwerdeführer einräumt, ist die Frist zur Revision des entsprechenden bundesgerichtlichen Urteils vom 28. März 2012 abgelaufen. Darauf ist auch dann nicht zurückzukommen, wenn der Beschwerdeführer die Nichtberücksichtigung dieses vermeintlichen Verfahrensfehlers nun als Verletzung seines Rechts auf Berufsfreiheit geprüft haben will.
2.2 Weiter verwahrt sich der Beschwerdeführer dagegen, dass seine im kantonalen Rechtsmittelverfahren geäusserten Erklärungen betreffend Bestreitung ständiger Reisen, der Versuch, die hohen Reise- und Lebenshaltungskosten zu rechtfertigen, sowie die Ausführungen zu seinem Gesundheitszustand im Sinne von <ref-law> neu und damit unbeachtlich sein sollen. Er zeigt jedoch nicht auf, inwiefern die fraglichen Tatsachenbehauptungen, falls sie berücksichtigt würden, am Ausgang des Verfahrens etwas zu ändern vermöchten. Nun ist es jedoch nicht Aufgabe des Bundesgerichts, in prozessualen Fragen korrigierend einzugreifen, wenn der Beschwerdeführer nicht dartut, dass und inwiefern der gerügte Fehler in der Anwendung des Prozessrechts von praktischer Relevanz ist.
3. In der Hauptsache dreht sich der Streit um die Bedürftigkeit als Voraussetzung zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
3.1 Als bedürftig gilt, wer für die Kosten eines Prozesses nicht aufkommen kann, ohne die Mittel anzugreifen, derer er zur Deckung des notwendigen Lebensunterhalts für sich und seine Familie bedarf (<ref-ruling> E. 2.5.1. S. 232; <ref-ruling> E. 3b S. 205). In zeitlicher Hinsicht ist die wirtschaftliche Situation des Gesuchstellers im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgeblich. Dabei ist die gesamte finanzielle Lage zu berücksichtigen. Der Gesuchsteller muss sowohl seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse als auch sämtliche finanziellen Verpflichtungen vollständig angeben und soweit möglich belegen (<ref-ruling> E. 3a S. 181; <ref-ruling> E. 2a S. 2, 97 E. 3b S. 98; <ref-ruling> E. 4a S. 370; Urteil 4D_41/2009 vom 14. Mai 2009 E. 3). Schuldverpflichtungen können bei der Ermittlung des Existenzminimums allerdings nur dazugerechnet werden, wenn sie tatsächlich erfüllt werden (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 22). Bei der Prüfung der Bedürftigkeit hat die entscheidende Behörde sämtliche Umstände im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung zu würdigen und der gesamten wirtschaftlichen Situation des Gesuchstellers Rechnung zu tragen. Zu diesem Zweck sind einerseits alle finanziellen Verpflichtungen des Gesuchstellers zu berücksichtigen und anderseits seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse zu prüfen. Wie dies die Schweizerische Zivilprozessordnung in Art. 56 ganz allgemein festhält, hat die Behörde allenfalls unbeholfene Rechtssuchende auch auf die Angaben hinzuweisen, die sie zur Beurteilung des Gesuches benötigt. Grundsätzlich obliegt es aber dem Gesuchsteller, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich auch zu belegen. Diesbezüglich trifft ihn eine umfassende Mitwirkungspflicht. An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Situation durch den Gesuchsteller selbst dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer diese Verhältnisse sind. Verweigert ein Gesuchsteller die zur Beurteilung seiner aktuellen Gesamtsituation erforderlichen Angaben oder Belege, so kann die Behörde die Bedürftigkeit ohne Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs verneinen (<ref-ruling> E. 3a S. 181 f.). Insbesondere ist die mit dem Gesuch befasste Behörde weder verpflichtet, den Sachverhalt von sich aus nach jeder Richtung hin abzuklären, noch muss sie unbesehen alles, was behauptet wird, von Amtes wegen überprüfen. Sie muss den Sachverhalt nur dort (weiter) abklären, wo noch Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, sei es, dass sie von einer Partei auf solche - wirkliche oder vermeintliche - Fehler hingewiesen wird, sei es, dass sie sie selbst feststellt (Urteil 5A_65/2009 vom 25. Februar 2009 E. 4.3 mit Hinweisen).
3.2 Anlass zur Beschwerde gibt die Erkenntnis des Obergerichts, der Beschwerdeführer habe seine Einkommens- bzw. Geldquellen und deren effektive Höhe nicht plausibel und nachvollziehbar belegt. Die Behauptung, er werde von seinem Onkel mit einem Darlehen von Fr. 70'000.-- unterstützt, hält das Obergerichts für nicht substanziiert, die als Nachweis hierfür vorgelegte Email vom 26. Februar 2011 für nicht beweiskräftig. Auch aus den übrigen Urkunden gehe nicht hervor, wie der Beschwerdeführer die geltend gemachten monatlichen Auslagen von Fr. 4'000.-- bestreite. Seine Behauptung, mit seiner Geschäftstätigkeit kein Einkommen generieren zu können, lasse sich mangels Offenlegung einer Buchhaltung nicht verifizieren. Die eingereichten "Sales Agreements" liessen vermuten, dass er im Hedge Fund-Bereich gewisse Erträge zu generieren vermöge. Anstatt Auskunft über die erzielten oder noch zu erzielenden Erträge zu geben, habe er aber nur gewisse Aufwandpositionen wie Miet- und Anstellungskosten nachgewiesen. Das Obergericht betont, dass unter den gegebenen Verhältnissen erhöhte Anforderungen an die Mitwirkungspflicht gestellt werden durften, verweist auf seinen Entscheid vom 5. Juli 2011, worin es den Beschwerdeführer hierauf aufmerksam gemacht hatte, und hält fest, dem Beschwerdeführer hätte bestens bekannt sein müssen, dass zur Überprüfung seiner finanziellen Verhältnisse eine Buchhaltung unerlässlich gewesen wäre. Auch die Untersuchungsmaxime entbinde ihn nicht von der Beweislast und kehre diese nicht um. Daher trage er das Risiko, wenn bei einzelnen Positionen Zweifel bestehen bleiben. Angesichts teilweise unverständlicher Rechnungsbelege habe das Bezirksgericht keine zusätzlichen Abklärungen treffen müssen.
3.3 Die hiergegen vorgetragenen Einwände erweisen sich als unbehelflich. Der Beschwerdeführer begnügt sich grösstenteils damit, den Sachverhalt oder die Rechtslage aus eigener Sicht dar- oder blosse Behauptungen aufzustellen.
Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, aufgrund des obergerichtlichen Entscheids vom 5. Juli 2011 gewusst zu haben, dass er seine Bedürftigkeit nach der Ansicht der Gerichte nicht genügend nachgewiesen hatte. Er durfte also grundsätzlich nicht davon ausgehen, die eingereichten Unterlagen seien genügend - auch wenn ihm zur Gesuchsergänzung keine Frist angesetzt wurde. Vergeblich beklagt sich der Beschwerdeführer in formeller Hinsicht über die "Nichtablage" des Protokolls der erstinstanzlichen Verhandlung vom 11. Januar 2011 und der Verfügung des Bezirksgerichts vom 28. Dezember 2010 in den Verfahrensakten. Nachdem er selbst über diese Dokumente verfügt, ist nicht ersichtlich, inwiefern ihm aus dieser Unterlassung ein Nachteil erwachsen wäre; auch von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs kann nicht die Rede sein. Sodann hat das Obergericht vom Beschwerdeführer für die Bedürftigkeit auch keinen strikten Beweis gefordert. Dies ergibt sich schon aus der Verwendung des Ausdrucks "plausibel". Ebenso wenig muss das Obergericht die Beweise willkürlich gewürdigt haben, weil es sich im angefochtenen Entscheid nicht ausdrücklich zu jedem Einwand oder jedem Beweismittel äusserte. Vielmehr durfte es sich auf die Elemente beschränken, die für den Entscheid wesentlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern sich die Berücksichtigung seines Schreibens vom 21. Juli 2011 im Ergebnis auf den angefochtenen Entscheid ausgewirkt hätte. Soweit sich der Beschwerdeführer alsdann auf die zivilrechtliche Gültigkeit des behaupteten Darlehens beruft, übersieht er, dass diese mit der Beweiskraft einer bestimmten Urkunde nichts zu tun hat. Nachdem das Obergericht der besagten Email die Beweiskraft bereits in seinem Entscheid vom 5. Juli 2011 abgesprochen hatte, hätte der Beschwerdeführer allen Anlass gehabt hätte, die Darlehensschuld im neuen Verfahren näher zu belegen. Allein mit dem Nachweis einer einmaligen, mit dem behaupteten Darlehensvertrag in zeitlicher Hinsicht in keinem Zusammenhang stehenden Aufladung einer prepaid-Kreditkarte in der Höhe von 10'000.-- US-Dollar lässt sich jedoch nicht dartun, dass der Onkel den Lebensunterhalt des Beschwerdeführers bestreitet. Was den Gang seiner Geschäftstätigkeit angeht, will der Beschwerdeführer Veränderungen mit neuen Unterlagen belegt und auch dargetan haben, warum er aus den eingereichten Sales Agreements bisher kein Einkommen erzielen konnte. Entgegen seien Beteuerungen hat das Obergericht von ihm jedoch nicht verlangt, sich in Verletzung von Rechnungslegungsgrundsätzen mittels einer Buchhaltung über (noch) nicht realisierte Erträge auszuweisen. Der Beschwerdeführer verschliesst sich unbeirrt und über alle Instanzen und Verfahren hinweg der Einsicht, dass allein die von ihm immer wieder behauptete Tatsache, mit seinen Hedge Fond-Geschäften bisher keine Erträge erzielt zu haben, kein Grund sein kann, den - angeblich schlechten - Geschäftsgang seines Unternehmens nicht nachvollziehbar in buchhalterischer Weise zu erfassen und auch sonst nicht zu erklären, wie er für seinen laufenden Bedarf aufkommt (vgl. Urteil 5A_150/2012 vom 28. März 2012 E. 2.2.2). Dem angefochtenen Entscheid lässt sich im Übrigen auch nicht entnehmen, dass das Obergericht dem Beschwerdeführer eine kaufmännische Buchführung im Sinne von <ref-law> abverlangt hätte und er seine finanzielle Lage nicht auf andere Art und Weise hätte erörtern können. Soweit sich der Beschwerdeführer hierzu auf seine Aufzeichnung vom 22. August 2011 für die Monate Oktober 2010 bis August 2011 beruft, die seiner Ansicht nach von den Vorinstanzen weder berücksichtigt noch erwähnt wurde, tut er nicht dar, inwiefern dieses Schriftstück über den Gang seiner Geschäfte Aufschluss gäbe. Dies ist auch nicht ersichtlich.
3.4 Nach dem Gesagten bleibt es bei der Erkenntnis, dass der Beschwerdeführer seine Einkommenssituation nicht nachvollziehbar belegt und keine plausible Erklärung dafür geliefert hat, wie er seinen Lebensunterhalt bestreitet. Scheitert die Anspruchsvoraussetzung der Bedürftigkeit aber am Nachweis der Einkünfte, so erübrigen sich Äusserungen zum zivilprozessualen Notbedarf des Beschwerdeführers, insbesondere zur Frage, wie es um die behaupteten Schulden des Beschwerdeführers und um deren Tilgung bestellt ist. Als Ergebnis ist festzuhalten, dass der angefochtene Entscheid vor Bundesrecht standhält, was die Frage der Bedürftigkeit als Voraussetzung für die Gewährung Armenrechts angeht. Im Verfahren um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ist die Beschwerde in Zivilsachen demnach abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.5 Soweit der Beschwerdeführer auch die Verweigerung des Armenrechts für das kantonale Rechtsmittelverfahren anficht, die das Obergericht mit der Aussichtslosigkeit seines Rechtsmittels begründet, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, denn diesbezüglich enthält die Beschwerde keine Ausführungen (<ref-law>). Unzulässig ist schliesslich das Subeventualbegehren, mit dem der Beschwerdeführer verlangt, es sei ihm die Bevorschussung der Gerichtskosten zu erlassen. Mit diesem Begehren war die Vorinstanz nicht befasst; es ist neu im Sinne von <ref-law>.
4. 4.1 Hinsichtlich des Prozesskostenvorschusses, den der Beschwerdeführer von seiner Ehefrau erstreiten will, hält das Obergericht fest, auch diesem Antrag könne nicht stattgegeben werden, weil unklar sei, was der Beschwerdeführer verdiene, und seine finanziellen Verhältnisse nicht nachvollziehbar und plausibel seien. Dass die Bedürftigkeit als Anspruchsvoraussetzung für den Prozesskostenvorschuss nach anderen Massstäben zu beurteilen wäre als bei der Prüfung des Armenrechtsanspruchs, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich (vgl. E. 1.4). Hält der angefochtene Entscheid bezüglich der Bedürftigkeit aber vor Bundesrecht stand (E. 3), so muss er sich hinsichtlich dieser Frage auch als mit den verfassungsmässigen Rechten des Beschwerdeführers vereinbar erweisen, deren Verletzung im Streit um den Prozesskostenanspruch als Einziges gerügt werden kann (E. 1.2). Zu prüfen bleibt nur, ob der Beschwerdeführer im Streit um den Prozesskostenvorschuss Verfassungsrügen erhebt, die sich - losgelöst von der Frage seiner Prozessarmut - auf andere Aspekte beziehen.
4.2 Der Beschwerdeführer bemängelt, dass die Vorinstanz in Ziffer 4 ihres Urteilsspruches angeordnet habe, den angefochtenen Entscheid seiner Ehefrau zuzustellen. Dieses Vorgehen sei willkürlich und stelle eine Verletzung seiner Privatsphäre gemäss <ref-law> dar; seine Ehefrau sei durch den angefochtenen Entscheid nicht betroffen, weil das Obergericht den Antrag auf Leistung eines Prozesskostenvorschusses gar nicht behandelt habe. Diese Vorbringen sind offensichtlich untauglich, auf irgendwelche Weise eine Verfassungswidrigkeit darzutun. Aus Erwägung 4.3 des angefochtenen Entscheids ergibt sich in aller Deutlichkeit, dass das Obergericht den Antrag auf Leistung eines Prozesskostenanspruches abweist (E. 4.1). Dass dieser Rechtsspruch im Urteilsdispositiv nicht ausdrücklich wiederholt wird, vermag daran ebenso wenig etwas zu ändern wie der Umstand, dass die Ehefrau des Beschwerdeführers im Rubrum des angefochtenen Entscheids nicht als Partei aufgeführt ist. Vor allem aber argumentiert der Beschwerdeführer selbst in entgegengesetzter Richtung, wenn er an anderer Stelle bestreitet, zur Erlangung eines Prozesskostenvorschusses ein separates Verfahren eingeleitet zu haben, und darauf hinweist, dass der Antrag ja im vorliegenden Verfahren abgewiesen wurde.
4.3 Aus den obigen Ausführungen ergibt sich, dass auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde abzuweisen ist, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er wird kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Bezirksgericht Luzern ist keine Parteientschädigung geschuldet (<ref-law>); ebenso wenig der Ehefrau des Beschwerdeführers, denn dieser ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen, soweit es überhaupt hinreichend begründet ist.
Der Beschwerdeführer wird darauf hingewiesen, dass sein prozessuales Verhalten nur bei grösstem Wohlwollen nicht als querulatorisch bezeichnet werden kann (<ref-law>). Er wird hiermit abgemahnt. In ähnlich gelagerten Fällen hat der Beschwerdeführer mit Prozessstrafen zu rechnen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht Luzern, Einzelrichter der 2. Abteilung, und dem Obergericht des Kantons Luzern, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn