Sachverhalt:
A. Die 1957 geborene G._ war nach einer Lehre als Coiffeuse vom 1. Mai 1978 bis 15. April 1981 in der Damenmaske der Firma X._ tätig und danach als Maskenbildnerin in einem Teilpensum von 50 % bei der Firma X._ AG angestellt. Gestützt auf dieses Arbeitsverhältnis war sie bei der Personalvorsorge-Stiftung der Firma X._ (im Folgenden: Personalvorsorge-Stiftung) berufsvorsorgeversichert. Seit 10. April 2002 war sie aus psychischen Gründen, die auf Problemen mit Arbeitskollegen/ innen und ihrem Vorgesetzten beruhten, zu 100 % arbeitsunfähig. Mit Arztzeugnissen vom 20. Februar und 17. März 2004 bestätigte PD Dr. med. S._, Spezialarzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, dass die Arbeitsunfähigkeit von G._ mit Bezug auf ihre angestammte Tätigkeit weiterhin bestehe. Es sei ihr aus psychischen Gründen nicht zumutbar, am 10. April 2004 an ihre bisherige Arbeitsstelle zurückzukehren. Hingegen könne sie nicht als "allgemein erwerbsunfähig" gelten, sondern sei ab 10. April 2004 für andere Stellen voll arbeitsfähig. Mit Schreiben vom 23. März 2004 kündigte die Firma X._ AG das Arbeitsverhältnis auf den 30. Juni 2004. Nach Bezug von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung war G._ ab 1. Januar 2005 als selbstständigerwerbende Maskenbildnerin tätig.
Mit am 10. September 2004 einsetzender Korrespondenz liess G._ die Ausrichtung einer Umschulungsrente zufolge Berufsunfähigkeit geltend machen, was die Personalvorsorge-Stiftung ablehnte.
B. Am 12. Juni 2006 liess G._ Klage mit dem Rechtsbegehren erheben, die Personalvorsorge-Stiftung sei zu verpflichten, ihr Fr. 52'497.- nebst Zins zu 5 % seit 10. September 2004 zu bezahlen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich führte einen doppelten Schriftenwechsel durch und gab der Klägerin Gelegenheit, zu den Noven der Duplik und einer weiteren Eingabe der Beklagten Stellung zu nehmen. Mit Entscheid vom 14. April 2008 hiess es die Klage teilweise gut und verpflichtete die Personalvorsorge-Stiftung, G._ Fr. 28'608.60 nebst Zins zu 5 % seit 12. Juni 2006 sowie eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.- zu bezahlen.
C. Die Personalvorsorge-Stiftung lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass sie nicht zu Geldleistungen, insbesondere nicht zur "Auszahlung einer Umschulungsrente" verpflichtet sei.
G._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2. 2.1 Streitig ist der Anspruch der Beschwerdegegnerin auf eine Umschulungsrente gemäss Art. 17 des Reglementes der Personalvorsorge-Stiftung, wobei im Verfahren vor Bundesgericht nur noch der Sinn und die Tragweite, welche das kantonale Gericht der Bestimmung von Art. 17.2 des Reglementes beigemessen hat, gerügt wird. Diese Bestimmung lautet:
"17.2 Berufsinvalidität liegt vor, wenn die Auflösung des Dienstverhältnisses deshalb erfolgen muss, weil ein Versicherter den Anforderungen der Firma X._ aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr zu genügen vermag, jedoch nicht als erwerbsunfähig betrachtet werden kann."
Die Auslegung von Bestimmungen des Vorsorgereglementes einer privaten Personalvorsorge-Stiftung ist eine vom Bundesgericht frei zu prüfende Rechtsfrage (in <ref-ruling> nicht publ. E. 2; Seiler/von Werdt/Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, N 28 zu <ref-law>).
2.2 Allseits unstreitig ist, dass es sich bei der Umschulungsrente nach Art. 17 des Reglementes der Beschwerdeführerin um eine überobligatorische Leistung der Berufsvorsorgeversicherung handelt. Die Rechtsbeziehungen zwischen den versicherten Arbeitnehmern und einer privaten Vorsorgeeinrichtung werden im Bereich der weitergehenden beruflichen Vorsorge durch den Vorsorgevertrag geregelt. Auf diesen von der Lehre den Innominatsverträgen sui generis zugeordneten Vertrag ist der Allgemeine Teil des Obligationenrechts anwendbar (Art. 1-183 OR). Reglement oder Statuten stellen den vorformulierten Inhalt des Vorsorgevertrages dar, vergleichbar Allgemeinen Vertrags- oder Versicherungsbedingungen, denen sich der Versicherte konkludent, durch Antritt des Arbeitsverhältnisses und unwidersprochen gebliebene Entgegennahme von Versicherungsausweis und Vorsorgereglement unterzieht (<ref-ruling> E. 3.1 S. 227). Die Vorinstanz hat die aus dem Vertrauensprinzip (<ref-law>; <ref-law>) fliessenden Auslegungsgrundsätze, nach denen der objektive Rechtssinn von Reglementsbestimmungen der überobligatorischen Berufsvorsorge und die dabei - in Analogie zur Auslegung von Allgemeinen Geschäftsbedingungen - zu beachtenden Auslegungsregeln zutreffend dargelegt. Darauf und auf <ref-ruling> E. 5 S. 150/151 kann verwiesen werden.
Beizufügen ist, dass das Gericht bei der Ermittlung des objektiven Rechtssinnes einer Reglementsbestimmung zu berücksichtigen hat, was sachgerecht ist, weil nicht anzunehmen ist, die Parteien hätten eine unvernünftige Lösung gewollt (Kramer, Berner Kommentar, N 42 zu <ref-law>).
Ferner ist festzuhalten, dass analog der Vertragsauslegung auch bei der Ermittlung des objektiven Sinnes von Vorsorgereglementen dem Wortlaut der Vorrang gegenüber den ergänzenden, sekundären Auslegungsmitteln zukommt (Jäggi/Gauch, Zürcher Kommentar, N 369 zu <ref-law>). Zwar gibt es den sog. "klaren" oder eindeutigen Wortlaut, der keinerlei Auslegung zugänglich ist, nicht. Vom Wortlaut einer Reglementsklausel darf aber nur dann abgewichen werden, wenn ernsthafte Gründe dafür vorliegen, dass er nicht den objektiven Rechtssinn einer Bestimmung wiedergibt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 425, 129 III 118 E. 2.5 S. 122, 127 III 444 E. 1b S. 445; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.4.1 S. 163).
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat die in Art. 17.2 des Vorsorgereglementes der Beschwerdeführerin formulierten Anspruchsvoraussetzungen für eine Umschulungsrente im Wesentlichen gestützt auf das Arztzeugnis von PD Dr. med. S._ vom 17. März 2004 als erfüllt erachtet, weil der Beschwerdegegnerin aufgrund einer im April 2004 nach wie vor bestehenden psychischen Krankheit eine Rückkehr an ihren angestammten Arbeitsplatz bei der Firma X._ nicht mehr zumutbar gewesen sei. Weder ihre Arbeitsfähigkeit auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt für Maskenbildnerinnen und der Bezug von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung ab 12. April 2004 noch das Fehlen einer Umschulung im Sinne einer beruflichen Neuorientierung stehe dem Vorliegen einer Berufsunfähigkeit im Sinne der erwähnten Reglementsbestimmung entgegen. Denn nach der reglementarischen Definition beziehe sich die Berufsunfähigkeit nur auf die Berufstätigkeit bei der Firma X._. Der Zweck der reglementarischen Umschulungsrente sei auch auf eine berufliche Neuorientierung im bisherigen Beruf oder - wie im Falle der Beschwerdegegnerin - auf die Aufnahme einer selbständigen Erwerbstätigkeit gerichtet.
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat die in Art. 17.2 des Vorsorgereglementes der Beschwerdeführerin formulierten Anspruchsvoraussetzungen für eine Umschulungsrente im Wesentlichen gestützt auf das Arztzeugnis von PD Dr. med. S._ vom 17. März 2004 als erfüllt erachtet, weil der Beschwerdegegnerin aufgrund einer im April 2004 nach wie vor bestehenden psychischen Krankheit eine Rückkehr an ihren angestammten Arbeitsplatz bei der Firma X._ nicht mehr zumutbar gewesen sei. Weder ihre Arbeitsfähigkeit auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt für Maskenbildnerinnen und der Bezug von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung ab 12. April 2004 noch das Fehlen einer Umschulung im Sinne einer beruflichen Neuorientierung stehe dem Vorliegen einer Berufsunfähigkeit im Sinne der erwähnten Reglementsbestimmung entgegen. Denn nach der reglementarischen Definition beziehe sich die Berufsunfähigkeit nur auf die Berufstätigkeit bei der Firma X._. Der Zweck der reglementarischen Umschulungsrente sei auch auf eine berufliche Neuorientierung im bisherigen Beruf oder - wie im Falle der Beschwerdegegnerin - auf die Aufnahme einer selbständigen Erwerbstätigkeit gerichtet.
3.2 3.2.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die vorinstanzliche Interpretation von Art. 17 des Reglementes widerspreche dem Wortlaut der Bestimmung. Sie bringt zunächst vor, die Vorinstanz habe übersehen, dass sich das Wort "weil" und die Formulierung "... den Anforderungen der Firma X._ ... nicht mehr zu genügen vermag ..." ausschliesslich auf den Grund der Auflösung des Arbeitsverhältnisses beziehe. Dieser Passus wolle nicht den Begriff der Berufsunfähigkeit neu definieren. Vielmehr sei damit gemäss Wortlaut für den Anspruch auf eine Umschulungsrente erforderlich, dass einerseits Berufsunfähigkeit vorliege und zudem das Arbeitsverhältnis allein deshalb aufgelöst worden sei, weil die Versicherte den Anforderungen der Firma X._ aus gesundheitlichen Gründen nicht zu genügen vermochte. Dabei sei die Berufsunfähigkeit gemäss Reglementstext im allgemein gebräuchlichen Sinn zu verstehen; sie erfordere also eine Arbeitsunfähigkeit im bisherigen Tätigkeitsbereich als Maskenbildnerin nicht nur bei der Firma X._, sondern auch bei einem anderen Arbeitgeber. PD Dr. med. S._ erachte die Versicherte ab 10. April 2004 für andere Stellen als voll arbeitsfähig. Dass die Beschwerdegegnerin aus psychischen Gründen nicht mehr in der Firma X._ habe arbeiten können, begründe daher keine Berufsinvalidität im Sinne des Reglementes.
Mit der (einen begründenden Nebensatz einleitenden) Konjunktion "weil" wird jedoch durch die vorangebende Konjunktion "wenn" auf den Hauptsatz "Berufsinvalidität liegt vor, ..." Bezug genommen und damit in dem ihm nachfolgenden Nebensatz indirekt die Ursache der Berufsinvalidität und nicht nur der Grund für die Auflösung des Dienstverhältnisses umschrieben. Auch aus der Satzfolge ergibt sich, dass es um die nähere Umschreibung der Berufsinvalidität geht und nicht um die Nennung des (ausschliesslichen) Grundes für die Auflösung des Dienstverhältnisses. Hätte der Reglementsredaktor letzteres anvisiert, hätte er vernünftigerweise in dem mit der Konjunktion "wenn" eingeleiteten ersten Nebensatz auch den Kündigungsgrund oder die kündigende Vertragspartei angegeben und nicht einfach neutral "die Auflösung des Dienstverhältnisses" als Anspruchsvoraussetzung formuliert.
3.2.2 Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz sodann vor, sie messe dem Begriff der Berufsunfähigkeit nicht den allgemein gebräuchlichen Sinn bei, verstehe seine gesetzliche Bedeutung falsch und verletze so den Grundsatz, dass die massgeblichen gesetzlichen Begriffe auch im Bereich der überobligatorischen Berufsvorsorge anzuwenden sei. Sie verweist diesbezüglich auf das Urteil B 136/06 vom 9. Juli 2007.
Diesbezüglich ist vorab festzuhalten, dass die Vorsorgeeinrichtungen gemäss Art. 49 Abs. 1 BVG im überobligatorischen Bereich ihre Leistungen unter Vorbehalt der obligatorischen Mindestleistungen und der in Art. 49 Abs. 2 BVG aufgeführten zwingenden gesetzlichen Regelungen privatautonom ausgestalten können. Dabei sind sie keineswegs an die gesetzlichen Begriffe der einzelnen Leistungsarten gebunden, sondern können diese in der überobligatorischen Vorsorgeversicherung in einem weiteren, die Versicherten begünstigenden Sinn verwenden oder weitergehende nichtobligatorische Leistungsarten vorsehen. Nichts anderes hat das Bundesgericht im erwähnten Urteil vom 9. Juli 2007 gesagt. Vielmehr hat es sich dort zur analogen Anwendung von gesetzlichen Begriffen und Regeln beim Füllen von Lücken einer bezüglich der überobligatorischen Invalidenleistungen unvollständigen reglementarischen Regelung geäussert.
Das kantonale Gericht hat ferner den Begriff der Berufsunfähigkeit nicht verkannt, wenn es diesen mit der Arbeitsunfähigkeit gleichgesetzt hat. Denn so wie sich die Arbeitsunfähigkeit nach der Legaldefinition von <ref-law> (zur Rechtsprechung bis zum Inkrafttreten des ATSG vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 345) auf die vollständige oder teilweise Unfähigkeit zur Leistung von zumutbarer Arbeit im bisherigen Beruf (oder Aufgabenbereich) bezieht, wird auch bei der Berufsunfähigkeit darauf abgestellt, ob und in welchem Umfang ein Versicherter in seiner bisherigen Tätigkeit eingeschränkt ist (Kieser, Schweizerisches Sozialversicherungsrecht, Zürich/St. Gallen 2008, S. 179 Rz. 6/80). Abgesehen davon hat die Vorinstanz den in Art. 17.2 des Reglementes der Beschwerdeführerin verwendeten Begriff der Berufsinvalidität im vorliegend Fall zutreffend nicht als Berufsunfähigkeit auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt für Maskenbildnerinnen, sondern in Übereinstimmung mit dem Wortlaut des Reglementes ("... Anforderungen der Firma X._ ... nicht zu genügen vermag") enger als Unfähigkeit, den angestammten Beruf in der Firma X._ weiter auszuüben, verstanden. Der in diesem Zusammenhang vorgebrachte Hinweis der Beschwerdeführerin auf <ref-law> ist unbehelflich.
3.2.3 Soweit die Beschwerdeführerin des Weiteren rügt, das kantonale Gericht habe zu Unrecht als unerheblich erachtet, ob der Arbeitgeber oder die Versicherte das Arbeitsverhältnis aufgelöst hat, kann auf das oben zur reglementarischen Formulierung "Auflösung des Dienstverhältnisses" Gesagte verwiesen werden (E. 3.2.1).
3.2.4 Zusätzlich macht die Beschwerdeführerin geltend, entgegen der Annahme der Vorinstanz habe die Beschwerdegegnerin die Stelle nicht aus gesundheitlichen, sondern finanziellen Gründen gekündigt. Das ist, soweit im Lichte von <ref-law> überhaupt zulässig, eine Sachverhaltskritik, die aber im Lichte von Art. 97 und 105 BGG nicht durchdringt.
3.3 Zusammenfassend bringt die Beschwerdeführerin keinerlei gewichtige Gründe vor, die es rechtfertigen könnten, den von der Vorinstanz zutreffend ermittelten Rechtssinn der Reglementsbestimmung von Art. 17.2 abweichend von ihrem Wortsinn zu verstehen. Die Beschwerde ist damit unbegründet.
4. Ausgangsgemäss hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. September 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Helfenstein Franke