Faits:
A. X._ est garde-chasse auxiliaire dans le canton du Jura. Le 6 octobre 2008, à A._, il est intervenu, dans le cadre d'une opération de surveillance, à l'encontre de Y._, soupçonné de braconnage. A cette occasion, il a tiré, à une distance de 16 m. environ, trois coups de feu en direction du véhicule occupé par Y._ au moyen d'un pistolet SIG 1220 et a volontairement heurté ce véhicule aux fins de l'immobiliser.
Par ordonnance du 12 novembre 2008, le Procureur général du canton du Jura a ordonné le renvoi de l'intéressé devant l'autorité pénale compétente sous les préventions de mise en danger de la vie d'autrui, de contrainte (éventuellement de tentative de contrainte), d'abus d'autorité, de dommages à la propriété et d'infraction à la loi fédérale du 20 juin 1997 sur les armes, les accessoires d'armes et les munitions (loi sur les armes; LArm; RS 514.54).
B. Le 14 octobre 2008, X._ a sollicité le bénéfice de l'assistance d'un avocat dans le cadre de la procédure pénale dirigée contre lui, en application de l'art. 58 de la loi jurassienne du 11 décembre 2002 sur la chasse et la protection de la faune sauvage (RS/JU 922.11; ci-après: la loi cantonale sur la chasse).
Le Gouvernement de la République et canton du Jura (ci-après: le Gouvernement cantonal) a refusé cette requête, par décision du 24 février 2009, au motif que X._ avait gravement violé ses devoirs de fonction en portant et faisant usage d'une arme d'ordonnance lors de l'intervention du 6 décembre 2008, cette faute excluant la prise en charge de ses frais de défense.
Saisi d'un recours dirigé contre la décision précitée du 24 février 2009 du Gouvernement cantonal, la Chambre administrative du Tribunal cantonal du canton du Jura (ci-après: le Tribunal cantonal) l'a rejeté, par arrêt du 9 juillet 2009. Il a retenu, en substance, que le législateur cantonal n'avait manifestement pas voulu accorder, dans le cadre de la loi cantonale sur la chasse, l'assistance judiciaire dans les cas de faute grave des fonctionnaires et employés de l'Etat et que X._ s'était rendu coupable d'une telle faute en portant et en faisant usage d'une arme de défense personnelle à l'occasion d'une opération de surveillance.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, avec suite de frais et dépens, principalement, d'admettre le recours et de le mettre au bénéfice de l'assistance d'un avocat, en la personne de Me Hubert Theurillat, dans la procédure pénale pendante, subsidiairement, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 9 juillet 2009 et de renvoyer le dossier à cette autorité pour nouvelle décision aux sens des considérants à rendre. Il se prévaut du principe de la présomption d'innocence et se plaint de l'application arbitraire du droit cantonal.
Le Tribunal cantonal renonce à formuler des observations et conclut au rejet du recours. Le Gouvernement cantonal conclut, avec suite de frais et dépens, au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 96).
1.1 La décision attaquée est l'arrêt du Tribunal cantonal qui confirme le refus, par le gouvernement jurassien, de la demande d'assistance judiciaire présentée par le recourant, garde chasse auxiliaire. Cette demande a été faite sur la base l'art. 58 de la loi cantonale sur la chasse, soit dans le cadre d'une procédure administrative indépendante de la procédure pénale pour laquelle le recourant demandait aussi l'assistance judiciaire. Il s'agit dès lors d'une décision finale au sens de l'art. 90 LTF.
1.2 Au surplus, le recours est dirigé contre une décision rendue dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), sans qu'aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF ne soit réalisée. Il a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF), ainsi que dans les formes prescrites (art. 42 LTF), par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF), de sorte qu'il convient d'entrer en matière.
2. Sous réserve des droits fondamentaux qui doivent être spécialement invoqués et motivés par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) qu'il ne peut rectifier ou compléter d'office que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
3. Le recourant requiert la production du dossier du juge pénal du Tribunal de première instance du canton du Jura. Dans la mesure où il admet dans son recours l'état de fait tel qu'arrêté par le Tribunal cantonal et que les faits de la cause sont suffisamment élucidés pour permettre au Tribunal fédéral de se prononcer, il n'y a pas lieu de donner suite à la requête du recourant.
4. 4.1 Invoquant le principe de la présomption d'innocence, consacré notamment à l'art. 32 al. 1 Cst. - et selon lequel toute personne est présumée innocente jusqu'à ce qu'elle fasse l'objet d'une condamnation entrée en force -, le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir retenu qu'il s'était rendu coupable d'une faute grave sans attendre l'issue de la procédure pénale.
4.2 Selon l'art. 58 de la loi cantonale sur la chasse, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 janvier 2010, lorsqu'un garde ou un garde auxiliaire est impliqué dans une procédure pénale en raison d'un acte survenu dans l'exercice de ses fonctions, l'Etat lui garantit, en principe, l'assistance d'un avocat. Il ressort de la formulation même du texte légal que le droit à l'assistance judiciaire n'est pas absolu et souffre des exceptions. Si l'on suivait l'argumentation du recourant, toute ouverture d'une enquête pénale entraînerait automatiquement l'octroi de cette assistance puisqu'au moment de la demande de la protection étatique, la culpabilité du prévenu ne serait pas établie par un jugement entré en force. Une telle conséquence se heurte au texte clair de la loi. Dès lors que le législateur a prévu la faculté de refuser l'assistance d'un avocat, il n'est pas arbitraire de considérer qu'il a voulu la réserver aux fonctionnaires et employés cantonaux qui, dans l'exercice de leur fonction, ont agi en conformité de leurs devoirs et obligations, et non pas en violation de ceux-ci.
En l'espèce, le reproche formulé à l'encontre du recourant consiste en une violation de ses devoirs de fonction, soit le port et l'usage prohibés d'une arme personnelle. Or, une telle violation de prescriptions de service n'est pas punissable pénalement mais relève de la procédure disciplinaire. L'éventuelle libération du recourant, au plan pénal, de la prévention d'infraction à la loi sur les armes n'est donc pas déterminante pour l'examen de la violation des devoirs de fonction. A cet égard, le recourant n'établit pas à satisfaction que le principe de la présomption d'innocence en matière pénale ferait obstacle à la prise en considération, au plan administratif, de violations de prescriptions de service et de sanctions de nature disciplinaire que cette violation pourrait entraîner.
Le grief tiré de la violation du principe de la présomption d'innocence doit en conséquence être écarté.
5. Le recourant fait valoir que le Tribunal cantonal a fait une application arbitraire du droit cantonal à divers titres (cf. consid. 5.2).
5.1 Une décision est arbitraire lorsqu'elle contredit clairement la situation de fait, lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif ou en violation d'un droit certain. De plus, il ne suffit pas que les motifs de la décision attaquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat. Il n'y a en outre pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle de l'autorité intimée paraît concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 ss).
5.1 Une décision est arbitraire lorsqu'elle contredit clairement la situation de fait, lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif ou en violation d'un droit certain. De plus, il ne suffit pas que les motifs de la décision attaquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat. Il n'y a en outre pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle de l'autorité intimée paraît concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 ss).
5.2 5.2.1 Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir ignoré les art. 51 et 52 de la loi cantonale sur la chasse.
Les art. 51 et 52 de la loi cantonale sur la chasse définissent la mission de surveillance confiée aux gardes et gardes auxiliaires et énumèrent les actes auxquels ceux-ci peuvent procéder pour la poursuite des infractions. L'art. 51 let. a de la loi cantonale sur la chasse prévoit que leur mission consiste à prévenir, rechercher et dénoncer les infractions en matière de chasse, de protection de la faune sauvage et du patrimoine naturel. Selon l'art. 52 de la loi cantonale sur la chasse, les organes chargés de la surveillance, à l'exclusion des gardes auxiliaires, ont, dans l'exercice de leur mission, qualité d'agents de la police judiciaire (al. 1); ils prennent toutes les mesures utiles pour établir les faits, identifier les délinquants et prévenir de nouvelles infractions (al. 2); pour les besoins de leur mission, ils ont accès aux terrains privés (al. 3); enfin, ils peuvent exiger que le permis, les autres documents ou tout autre matériel de chasse leur soient présentés (al. 4 let. a), examiner le contenu des sacs ou de tout autre équipement permettant de contenir du gibier ou de servir de transport d'armes et de munition (al. 4 let. b), intercepter et fouiller les véhicules (al. 4 let. c) et, en cas de flagrant délit, saisir le produit de l'infraction, les armes, véhicules et autres moyens de preuves, à charge pour eux d'en informer immédiatement l'autorité judiciaire (al. 4 let. d).
Ces dispositions sont muettes sur le point de savoir si le recourant était autorisé ou non à porter une arme de défense personnelle et en faire usage. Or, dans la mesure où le grief de violation des prescriptions de service porte précisément sur cette question, le Tribunal cantonal n'était nullement tenu de s'y référer. C'est à juste titre qu'il s'est fondé sur la disposition pertinente en l'espèce, soit l'art. 27 de l'ordonnance jurassienne du 6 février 2007 sur la chasse et la protection de la faune sauvage (RS/JU 922.111), selon lequel seul le garde est autorisé à porter une arme de défense personnelle, à l'inverse du garde auxiliaire qui ne dispose que des armes de chasse nécessaires à l'exécution de sa tâche. En effet, la formation adéquate en matière d'emploi et de maniement des armes de défense personnelle est dispensée aux gardes, mais pas aux gardes auxiliaires. Le Tribunal cantonal n'a donc pas fait preuve d'arbitraire en considérant que le recourant ne pouvait pas ignorer qu'il lui était interdit d'utiliser une arme de défense personnelle puisque non seulement cette interdiction ressort de l'ordonnance susmentionnée, mais qu'il savait pertinemment qu'il n'avait pas suivi la formation spéciale pour le maniement de telles armes, réservées aux seuls gardes.
5.2.2 C'est en vain que le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir procédé à l'examen de la cause sous l'angle limité de l'utilisation d'une arme à feu, sans faire état des autres chefs de prévention retenus par le juge pénal. En effet, le refus de l'assistance judiciaire sollicitée est fondé exclusivement sur le port et l'usage prohibé d'une arme de défense personnelle, constitutifs d'une violation des prescriptions de service. Il n'incombait donc pas au Tribunal cantonal de se prononcer sur les préventions de mise en danger de la vie d'autrui, de contrainte, d'abus d'autorité, de dommages à la propriété et d'infraction à la loi sur les armes. La condamnation ou la libération du recourant de ces chefs d'accusation est en effet sans incidence pour juger de l'existence ou non d'une faute grave dans l'exercice des fonctions de garde auxiliaire.
5.2.3 Finalement, le recourant estime que le Tribunal cantonal a fait une application arbitraire de l'art. 58 de la loi cantonale sur la chasse, en retenant que l'expression "en principe" permettait de refuser l'assistance d'un avocat et en s'inspirant, à cet effet, de dispositions légales fédérales ou cantonales en matière d'assurances privées ou d'assurances sociales. Selon lui, la locution adverbiale "en principe", assimilée par le Tribunal cantonal à l'expression "en général", ne permet pas de conclure que l'assistance d'un avocat serait exclue en cas de faute grave. Si tel était le cas, le législateur l'aurait expressément mentionné - comme il l'a fait à l'art. 31 de l'ordonnance jurassienne du 28 mars 2006 sur la police cantonale (RS/JU 551.11) -. L'intéressé fait donc valoir que même s'il s'était rendu coupable d'une faute grave dans l'exercice de ses fonctions, une telle faute ne justifierait pas, au regard du texte légal, le refus de l'assistance judiciaire requise.
Comme on l'a vu (cf. consid. 4.2 ci-dessus), la locution "en principe" autorise l'autorité compétente à refuser l'assistance judiciaire dans des circonstances particulières. Elle lui confère donc un certain pouvoir d'appréciation en la matière. L'art. 58 de la loi cantonale sur la chasse a pour but de protéger une catégorie de fonctionnaires ou d'employés cantonaux visés, plus que d'autres, par des attaques injustifiées de tiers ou confrontés à des situations difficiles susceptibles d'entraîner des réactions potentiellement constitutives d'infractions pénales. Le Tribunal cantonal a retenu, à cet égard, que l'assistance d'un avocat pouvait être refusée si l'agent de l'Etat se trouvait impliqué dans une procédure pénale en raison d'un abus de droit de sa part, d'une infraction qu'il aurait causée intentionnellement ou d'une faute grave qui lui serait imputable. Dans de telles situations, la dénonciation pénale ne résulte plus du risque lié à l'activité normale du fonctionnaire, soit un comportement conforme à ses devoirs et obligations justifiant la protection de l'Etat, mais d'un risque accru provoqué sans droit, dont l'auteur doit supporter seul les conséquences. Une telle interprétation est conforme à la ratio legis et à la marge d'appréciation que la loi confère à l'autorité. Dans ce sens, la décision attaquée n'est pas arbitraire dans son résultat. Il est donc superflu d'examiner si l'analyse comparative à laquelle le Tribunal cantonal s'est livré avec d'autres dispositions légales prévoyant une suppression ou une réduction de prestations en cas de faute grave est fondée ou non. Quant à l'art. 31 de l'ordonnance jurassienne sur la police cantonale, il n'offre aucun appui à l'argumentation du recourant. En prévoyant que l'assistance judiciaire est refusée en cas de faute grave d'un membre du corps de police, cette disposition ne fait que préciser la locution "en principe" qu'elle connaît également. L'absence d'une telle précision dans la loi cantonale sur la chasse n'empêche pas de considérer que la faute grave constitue l'une des exceptions à l'octroi de l'assistance d'un avocat entrant dans le champ d'application ouvert par l'expression "en principe".
Dans le cadre de l'argumentation relative à l'application arbitraire de l'art. 58 de la loi cantonale sur la chasse, le recourant mentionne le droit à l'assistance judiciaire gratuite des art. 29 al. 3 Cst. et 6 § 3 lit. c CEDH, sans toutefois se plaindre directement de l'éventuelle violation de ces dispositions. A cet égard, il convient de mentionner que le refus de l'assistance judiciaire de l'art. 58 de la loi cantonale sur la chasse n'exclut pas que le recourant puisse se voir octroyer cette assistance sur la base de l'art. 46 du code de procédure pénale de la République et Canton du Jura du 13 décembre 1990 (RS/JU 321.1).
5.2.4 Ainsi, les griefs du recourant liés à l'application arbitraire du droit cantonal sont infondés.
6. Compte tenu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Succombant, le recourant doit supporter des frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Le Gouvernement cantonal n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure et au Tribunal cantonal, Chambre administrative, du canton du Jura.
Lausanne, le 17 mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
R. Müller E. Kurtoglu-Jolidon