Erwägungen:
1.
1.1. A._ beantragte am 27. September 2011 beim Eidgenössischen Institut für Geistiges Eigentum (IGE) seine Eintragung in das Patentanwaltsregister. Mit Schreiben vom 2. Dezember 2011 teilte ihm das IGE mit, er erfülle die gesetzlichen Anforderungen für eine Eintragung nicht. Das IGE gab ihm Gelegenheit, zur beabsichtigten Abweisung des Antrags Stellung zu nehmen, was dieser mit Eingabe vom 24. Januar 2012 tat.
1.2. Mit Verfügung vom 8. Februar 2012 wies das IGE das Eintragungsgesuch ab. Am 25. Juni 2013 ersuchte A._ das IGE nochmals um Eintragung in das Patentanwaltsregister. Mit Verfügung vom 6. März 2014 wies das IGE auch den zweiten Antrag von A._ auf Eintragung in das Patentanwaltsregister ab.
1.3. Mit Eingabe vom 30. Juli 2014 erhob A._ Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. Er beantragte die Aufhebung der vorinstanzlichen Verfügung vom 6. März 2014 und seine Eintragung in das Patentanwaltsregister. Zudem führte er aus, die angefochtene Verfügung sei ihm erst am 4. Juli 2014 zugestellt worden. Die im Zusammenhang mit dem Zustellversuch vom 6. März 2014 vom Postboten deponierte Abholeinladung habe er nie in seinem Briefkasten vorgefunden. Mit Urteil vom 28. Juli 2015 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerde von A._ wegen Verspätung nicht ein.
1.4. Mit Eingabe vom 27. August 2015 erhebt A._ Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 28. Juli 2015 und die "Rückweisung an die Vorinstanz".
Auf die Anordnung eines Schriftenwechsels wurde verzichtet.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich als offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG mit summarischer Begründung und Verweis auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu erledigen ist.
Soweit der Beschwerdeführer auf Ausführungen und Akten vor der Vorinstanz verweist (vgl. Beschwerdeschrift Ziff. 4), tritt das Bundesgericht praxisgemäss nicht darauf ein. Die erhobenen Rügen müssen in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f. mit Hinweisen).
3.
3.1. Gemäss Art. 37 des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesverwaltungsgericht (Verwaltungsgerichtsgesetz, VGG; SR 173.23) richtet sich das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht nach dem Bundesgesetz vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (Verwaltungsverfahrensgesetz, VwVG; SR 172.021), soweit das VGG - wie hier - nichts anderes bestimmt. Nach Art. 50 Abs. 1 VwVG ist die Beschwerde innerhalb von 30 Tagen nach Eröffnung der Verfügung einzureichen.
3.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe nach dem durch die Post erfolgten Zustellversuch am 6. März 2014 keine Abholungseinladung in seinem Briefkasten vorgefunden. Die angefochtene Verfügung vom 6. März 2014 sei ihm erstmals am 4. Juli 2014 zugestellt worden. Es habe für ihn deshalb keine Möglichkeit bestanden, innerhalb von 30 Tagen nach dem Zustellversuch vom 6. März 2014 zu reagieren.
Die Vorinstanz hat dazu ausgeführt, der Beschwerdeführer habe keine konkreten Anhaltspunkte vorgebracht, welche eine fehlerhafte Zustellung der angefochtenen Verfügung als überwiegend wahrscheinlich indizieren würden. Weil er mit einer Sendung des IGE habe rechnen müssen, sei die Zustellfiktion ausgelöst worden und die vorinstanzliche Verfügung vom 6. März 2014 gelte als am 13. März 2014 zugestellt. Folglich sei die 30-tägige Beschwerdefrist am 12. April 2014 abgelaufen und auf die Beschwerde, die erst am 30. Juli 2014 eingereicht worden sei, könne nicht eingetreten werden.
3.3. Nach Art. 20 Abs. 2bis VwVG und der Rechtsprechung des Bundesgerichts zur Briefkasten- und Postfachzustellung gilt die Fiktion, dass eine eingeschriebene Sendung spätestens am letzten Tag einer Frist von sieben Tagen ab Eingang bei der Poststelle am Ort des Empfängers als zugestellt zu betrachten ist, sofern tatsächlich ein erfolgloser (Briefkasten- oder Postfach-) Zustellungsversuch (mit entsprechender Abholungseinladung) unternommen wurde und der Adressat mit der fraglichen Zustellung rechnen musste (so genannte "Zustellfiktion", vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 227; <ref-ruling> E. 4 S. 51 f.; je mit Hinweisen; vgl. auch Art. 44 Abs. 2 BGG bzw. Art. 138 Abs. 3 lit. a ZPO [SR 272]).
Die Beweislast für die Zustellung von Verfügungen und Entscheiden trägt die Behörde. Sie hat auf geeignete Art den Beweis dafür zu erbringen, dass und wann die Zustellung erfolgt ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.2) bzw. dass der erste -erfolglose - Zustellungsversuch tatsächlich stattgefunden hat (Urteil 2C_780/2010 vom 21. März 2011 E. 2.3 und 2.4). Entgegen dieser allgemeinen Beweislastverteilung gilt bei eingeschriebenen Sendungen eine widerlegbare Vermutung, dass der oder die Postangestellte den Avis ordnungsgemäss in den Briefkasten des Empfängers gelegt hat und das Zustellungsdatum korrekt registriert wurde. Dies gilt namentlich auch dann, wenn die Sendung im elektronischen Suchsystem "Track & Trace" der Post erfasst ist, mit welchem es möglich ist, die Sendung bis zum Empfangsbereich des Empfängers zu verfolgen (Urteil 2C_570/2011 vom 24. Januar 2012 E. 4.2). Es findet also in diesem Fall hinsichtlich der Ausstellung der Abholungseinladung insofern eine Umkehr der Beweislast in dem Sinn statt, als im Fall der Beweislosigkeit zuungunsten des Empfängers zu entscheiden ist, der den Erhalt der Abholungseinladung bestreitet (Urteil 2C_38/2009 vom 5. Juni 2009 E. 3.2). Diese Vermutung kann durch den Gegenbeweis umgestossen werden (Urteil 5A_98/2011 vom 3. März 2011 E. 2.3). Sie gilt so lange, als der Empfänger nicht den Nachweis einer überwiegenden Wahrscheinlichkeit von Fehlern bei der Zustellung erbringt. Da der Nichtzugang einer Abholungseinladung eine negative Tatsache ist, kann dafür naturgemäss kaum je der volle Beweis erbracht werden (Urteile 2C_780/2010 vom 21. März 2011 E. 2.4; 2C_38/2009 vom 5. Juni 2009 E. 3.2 und 4.1). Die immer bestehende theoretische Möglichkeit eines Fehlers bei der Poststelle genügt aber nicht, um die Vermutung zu widerlegen, solange nicht konkrete Anzeichen für einen derartigen Fehler vorhanden sind (vgl. Urteile 2C_128/2012 vom 29. Mai 2012 E. 2.2; 2C_38/2009 vom 5. Juni 2009 E. 5.3).
3.4. Das Bundesverwaltungsgericht hat diese bundesgerichtliche Praxis korrekt dargestellt und angewandt. Insbesondere hat es verbindlich festgestellt (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG), dass laut Zustellnachweis der Post ("Track & Trace") das Einschreiben am 6. März 2014 um 14.12 Uhr an die Adresse des Beschwerdeführers zur Abholung bis zum 13. März 2014 gemeldet wurde.
Der pauschale Einwand des Beschwerdeführers, die Anwendung der Zustellfiktion sei "widersinnig", ist unbegründet. Er legt nicht dar, inwiefern diese Rechtsprechung, die kürzlich bestätigt worden (Urteil 9C_396/2015 vom 10. Juli 2015 E. 3.2) und an der festzuhalten ist, bundesrechtswidrig sein soll. Der Beschwerdeführer stellt auch nicht (mehr) in Frage, dass er mit einer Zustellung habe rechnen müssen. Er bringt sodann nichts vor, was die Vermutung einer ordnungsgemässen Zustellung der betreffenden behördlichen Akte umzustossen vermöchte oder zumindest Anlass für diesbezügliche Abklärungen geben könnte. Er beschränkt sich im Wesentlichen auf allgemein gehaltene Ausführungen und führt etwa aus, es sei "fraglich, ob die im Urteil vorgenommene Anwendung der Zustellfiktion tatsächlich zu einer fairen Beurteilung der vorliegenden Situation führte". Zudem erwähnt er mögliche Fehlerquellen bei der Zustellung durch den Postboten; diese angeblichen Zustellmängel sind jedoch im Spekulativen verhaftet und vermögen den Gegenbeweis (zur Vermutung der ordnungsgemässen Zustellung) in keiner Weise zu erbringen. Ein solcher ergibt sich insbesondere nicht aus dem vom Beschwerdeführer geltend gemachten Umstand, dass gemäss dem Zustellnachweis die Meldung zur Abholung am 6. März 2015 um 14.12 Uhr erfolgte, während die Postzustellung üblicherweise am Vormittag erfolge. Dies ist kein hinreichendes Indiz dafür, dass der Zustellbeamte die Abholungseinladung nicht in den Briefkasten gelegt hat. Auch mit den übrigen Vorbringen gelingt es dem Beschwerdeführer nicht, nachzuweisen, dass Fehler bei der Zustellung der Abholungseinladung vorgekommen wären.
4.
Die Beschwerde erweist sich damit als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Zur Begründung wird ergänzend auf die Erwägungen im angefochtenen Urteil verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
Diesem Ausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 f. BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, und dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Dezember 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger