Faits :
A.
A._ travaillait pour le compte de B._ SA, à U._ (aujourd'hui C._ SA, à V._). Le 9 mai 2008, alors qu'il était en train de nettoyer un tour (de 270 kg), il a fait basculer en avant le socle de cette machine avant de s'apercevoir du poids de celui-ci (entre 80 et 120 kg). Pour retenir ce socle, A._ a fourni un important effort, lequel a été suivi immédiatement par un premier blocage du dos. La déclaration de sinistre LAA à l'attention de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a été établie par la suite (le 7 août 2012).
Le 13 mai 2008, l'assuré a consulté son médecin de famille, le docteur D._, qui a diagnostiqué une petite hernie L4-L5 et a préconisé un traitement conservateur (avec anti-douleurs, anti-inflammatoires et physiothérapie durant un mois; rapport du 28 septembre 2012).
Le contrat de travail de durée déterminée liant A._ à B._ SA a pris fin le 31 mai 2008, si bien que celui-ci n'a pas repris le travail. Il a touché des indemnités de chômage jusqu'au 31 octobre 2008. A partir du 1er novembre 2008, il a été engagé en qualité de sommelier au Restaurant E._. Il a été licencié pour le 30 juin 2010 (questionnaire pour l'employeur du 15 août 2010).
En raison de ses problèmes de dos, l'assuré a consulté les services de neurochirurgie de l'Hôpital F._ et de l'Hôpital G._, où il a subi une discectomie le 14 avril 2011.
Dans un rapport du 24 septembre 2012, le docteur H._, chirurgien orthopédiste et médecin d'arrondissement de la CNA, a retenu que le lien de causalité entre l'événement du 9 mai 2008 et les troubles dorsaux était au mieux possible; il n'existait aucun critère de Krämer permettant d'admettre l'origine post-traumatique de la hernie et il n'y avait pas de lésion assimilée à un accident.
Par décision du 2 octobre 2012, la CNA a refusé de prester, au motif qu'il n'existait aucun lien de causalité certain, ou pour le moins établi au degré de la vraisemblance prépondérante, entre l'événement du 9 mai 2008 et les troubles dorsaux annoncés.
Statuant sur l'opposition de A._, la CNA l'a rejetée en reprenant l'argumentation de sa décision précédente (décision sur opposition du 14 novembre 2012).
B.
A._ a déféré cette dernière décision à la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois, qui, par jugement du 10 mars 2014, a rejeté le recours.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à son annulation. Il demande, principalement, que son droit aux prestations de l'assurance-accidents pour les conséquences de l'événement du 9 mai 2008 soit reconnu et, subsidiairement, que la cause soit renvoyée à la juridiction cantonale pour nouvelle décision, après un éventuel complément d'instruction. Il sollicite également le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite.
L'intimée conclut au rejet du recours tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le litige porte sur le droit du recourant aux prestations de l'assurance-accidents en raison de l'événement du 9 mai 2008. Le Tribunal fédéral n'est donc pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
2.
La juridiction cantonale s'est fondée sur les avis médicaux au dossier pour en déduire que les troubles dorsaux dont souffrait le recourant n'étaient pas d'origine traumatique. Elle a conclu, que dans ces conditions, il était inutile de se prononcer sur la question de savoir si l'événement en cause constituait ou non un accident. Elle a également retenu qu'une hernie discale ne pouvait être considérée comme une lésion corporelle assimilée à un accident.
3.
Le recourant fait grief à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une constatation inexacte de faits et d'avoir violé le droit fédéral en se fondant sur l'appréciation du docteur H._, médecin d'arrondissement, alors que d'autres médecins avaient émis des avis contraires. De plus, il soutient que la juridiction cantonale a commis un déni de justice en ne se prononçant pas sur le caractère accidentel de l'événement du 9 mai 2008.
4.
Conformément à la jurisprudence (RAMA 2000 N° U 378 p. 190 consid. 3 et les références), si la hernie discale est seulement déclenchée, mais pas provoquée par l'accident, l'assurance-accidents prend en charge le syndrome douloureux lié à l'événement accidentel.
En l'espèce, la juridiction cantonale s'est bornée à nier l'existence d'un lien de causalité entre l'événement du 9 mai 2008 et les douleurs dorsales. Elle n'a pas examiné si celles-ci avaient été déclenchées par l'événement en question.
Compte tenu de l'éventuel droit du recourant à des prestations liées au syndrome douloureux, il eût incombé à la juridiction cantonale d'examiner ce point. Il n'est cependant pas nécessaire de lui renvoyer la cause pour qu'elle se prononce sur cette question. En effet, le droit à des prestations est lié au fait qu'on se trouve en présence d'un accident dont répond l'assurance-accidents et que celui-ci ait provoqué ou simplement déclenché l'atteinte à la santé. Or, il s'avère que les éléments du dossier permettent au Tribunal fédéral de nier la survenance d'un accident le 9 mai 2008.
5.
5.1. L'art. 4 LPGA définit l'accident comme une atteinte dommageable, soudaine et involontaire, portée au corps humain par une cause extérieure extraordinaire qui compromet la santé physique, mentale ou psychique ou qui entraîne la mort. Il résulte de la définition même de l'accident que le caractère extraordinaire de l'atteinte ne concerne pas les effets du facteur extérieur, mais seulement ce facteur lui-même. Dès lors il importe peu que le facteur extérieur ait entraîné, le cas échéant, des conséquences graves ou inattendues. Le facteur extérieur est considéré comme extraordinaire lorsqu'il excède, dans le cas particulier, le cadre des événements et des situations que l'on peut, objectivement, qualifier de quotidiens ou d'habituels (<ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 79 ainsi que la référence). Comme le montre l'abondante casuistique en relation avec les lésions dues à l'effort (voir JEAN-MAURICE FRÉSARD/MARGIT MOSER-SZELESS, L'assurance-accidents obligatoire in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2 ème éd., p. 861 no 73), les circonstances particulières du cas d'espèce sont décisives pour apprécier le caractère extraordinaire ou non du facteur extérieur. Ainsi, il faut examiner de cas en cas si l'effort (soulèvement, déplacement de charges notamment) doit être considéré comme extraordinaire, en tenant compte de la constitution physique et des habitudes, professionnelles ou autres, de l'intéressé. La jurisprudence a, par exemple, nié l'existence d'un facteur extérieur extraordinaire en cas de déplacement de charges pesant entre 60 et 100 kg (arrêt U 100/06 du 30 mai 2006 consid. 4.1 et les références).
5.2. En l'espèce, en décrivant l'événement du 9 mai 2008, le recourant a déclaré qu'il devait nettoyer une machine et qu'il avait ressenti un fort craquement au bas du dos avec des douleurs immédiates lorsqu'il avait fait basculer le socle (dont le poids se situait entre 80 et 120 kg). Il ressort clairement de ces éléments, que le recourant n'a pas porté le socle en question mais s'est limité à l'incliner. Ainsi, il n'a eu à retenir qu'une partie de la charge. Pour cet ouvrier, au bénéfice de dix mois d'expérience dans l'entreprise, un tel effort ne saurait être considéré comme extraordinaire.
En conséquence, l'événement du 9 mai 2008 ne constituait pas un accident et n'était donc pas de nature à faire naître un droit aux prestations de l'intimée.
En l'absence d'accident, la question de savoir si les troubles dorsaux étaient en relation de causalité naturelle avec l'événement en question peut rester indécise.
Le recours doit dès lors être rejeté.
6.
Les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF). Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci est accordée au recourant, son attention étant attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4.
Maître Marino Montini est désigné en tant qu'avocat d'office du recourant et une indemnité de 2'800 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, supportée par la caisse du Tribunal.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 18 août 2014
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : La Greffière :
Leuzinger Berset