Sachverhalt:
A. X._ führt einen Landwirtschaftsbetrieb im Weiler A._ (Gemeinde B._). Am 5. Mai 2009 stellte er ein Gesuch für Direktzahlungen für das Jahr 2009. Am 18. Dezember 2009 verfügte das Landwirtschaftsamt des Kantons Thurgau wie folgt:
"1. X._ hat für das Jahr 2009 ausschliesslich ein Gesuch für die Öko-Qualitätsbeiträge, die Beiträge für Obstgärten nach ÖQV sowie für RAUS- und BTS-Beiträge eingereicht.
2. Die Anforderungen an den ökologischen Leistungsnachweis (ÖLN) sind im Jahr 2009 auf dem Betrieb von X._ nicht erfüllt.
3. X._ werden für das Jahr 2009 keine Direktzahlungen und Beiträge gemäss ÖQV ausgerichtet.
4. Es wird festgestellt, dass X._ das Gewässerschutzgesetz noch immer nicht vollumfänglich einhält. Dies hätte zur Folge, dass X._ für das Jahr 2009 eine Kürzung der Direktzahlungen von Fr. 8'000.-- auferlegt werden müsste.
5. Die Kosten für den Mehraufwand für die durch X._ erschwerten ÖLN-Kontrollen im Jahr 2009 betragen insgesamt Fr. 3'795.-- und werden X._ auferlegt. Sie werden mit allfälligen X._ zustehenden Direktzahlungen für das Jahr 2009 oder für eines der folgenden Jahre verrechnet oder X._ von den betreffenden Ämtern und Stellen separat und direkt in Rechnung gestellt.
6. - 8. [...]."
Dieser erhob dagegen Rekurs an das Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau (DIV), welches das Rechtsmittel mit Entscheid vom 11. Juni 2010 abwies.
B. X._ erhob gegen den Entscheid des DIV Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht, worin er im Wesentlichen die Ausrichtung der landwirtschaftlichen Direktzahlungen für das Jahr 2009 und die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege beantragte. Mit Zwischenverfügung vom 3. September 2010 wies das Bundesverwaltungsgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und X._ überwies in der Folge den Kostenvorschuss. Mit Urteil vom 26. April 2011 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C. X._ erhebt mit Eingabe vom 30. Mai 2011 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er beantragt, es sei unter Aufhebung des angefochtenen Urteils festzustellen, dass er zum Bezug von Direktzahlungen für das Bewirtschaftungsjahr 2009 berechtigt sei. Weiter seien ihm sämtliche für das Bewirtschaftungsjahr 2009 zustehenden landwirtschaftlichen Direktzahlungen zuzüglich Verzugszins zu 5 % seit 31. Dezember 2009 auszurichten. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem beantragt er für das bundesgerichtliche wie für die vorinstanzlichen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
D. Das Landwirtschaftsamt des Kantons Thurgau und das DIV beantragen Abweisung der Beschwerde. Das Eidgenössische Volkswirtschaftsdepartement und das Bundesamt für Landwirtschaft äussern sich, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Entscheid über die Ausrichtung von Direktzahlungen gemäss Art. 70 ff. des Bundesgesetzes vom 29. April 1998 über die Landwirtschaft (Landwirtschaftsgesetz, LwG; SR 910.1). Es handelt sich um einen Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht grundsätzlich zulässig ist (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Auf die fraglichen bundesrechtlich geregelten Beiträge besteht Anspruch, und es gilt insofern kein gesetzlicher Ausschlussgrund (vgl. Art. 83 lit. k und s BGG; Urteil 2C_560/2010 vom 18. Juni 2011 E. 1.1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>).
Die Verfassungsbeschwerde ist im Verhältnis zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten subsidiär (Art. 113 BGG). Sie kann sich überdies nicht gegen den Entscheid einer Bundesbehörde richten, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
1.2 Der Beschwerdeführer hat die vom DIV am 11. Juni 2010 ausgesprochene Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Rekursverfahren im vorinstanzlichen Verfahren nicht beanstandet; darüber wurde im angefochtenen Entscheid nicht befunden, so dass sie gemäss Art. 99 Abs. 2 BGG auch nicht Streitgegenstand vor Bundesgericht bilden kann (vgl. Urteil 2C_737/2010 vom 18. Juni 2011 E. 1.2.3). Demnach ist auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten, als sich der Antrag, es sei für die vorinstanzlichen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, auch auf das Verfahren vor dem DIV bezieht.
1.3 Der Beschwerdeführer beantragt die Durchführung einer mündlichen Verhandlung mit Partei- und Zeugenbefragung. Wie sich aus dem Nachfolgenden ergibt, ist eine Verhandlung zwecks Feststellung des Sachverhalts nicht erforderlich, zumal das Bundesgericht ohnehin grundsätzlich auf den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt abstellt (Art. 105 Abs. 1 BGG). Eine Verhandlung gemäss Art. 6 EMRK hat der Beschwerdeführer vor der Vorinstanz nicht verlangt; ein allfälliger Anspruch auf Verhandlung wäre damit verwirkt (<ref-ruling> E. 2.3 S. 333 f.), so dass offen bleiben kann, ob die vorliegende Streitsache überhaupt in den Anwendungsbereich von Art. 6 EMRK fällt.
1.4 Näher zu prüfen ist, was im vorliegenden Verfahren Streitgegenstand bildet:
1.4.1 Gemäss der Verfügung des Landwirtschaftsamts vom 18. Dezember 2009 wurden dem Beschwerdeführer für das Jahr 2009 "Direktzahlungen und Beiträge gemäss ÖQV" verweigert (Ziff. 3 der Verfügung). Zugleich hielt das Landwirtschaftsamt fest, dass der Beschwerdeführer für das Jahr 2009 "ausschliesslich ein Gesuch für die Öko-Qualitätsbeiträge, die Beiträge für Obstgärten nach ÖQV sowie für RAUS- und BTS-Beiträge eingereicht" habe (Ziff. 1 der Verfügung). Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid (E. 6) dazu ausgeführt, der Beschwerdeführer habe im "Formular A: Allgemeine Angaben 2009" die Felder für Flächen- und RGVE-Beiträge nicht angekreuzt. Direktzahlungen würden nur auf Gesuch hin ausgerichtet und nicht fristgerecht eingereichte Gesuche gälten als verwirkt. Die Rüge, das Landwirtschaftsamt verhalte sich überspitzt formalistisch, erweise sich als unbegründet. Der Beschwerdeführer macht demgegenüber geltend, dass er wie in den Vorjahren auch 2009 die allgemeinen Direktbeiträge beantragt habe.
1.4.2 Das Bundesgericht hat sich bereits im Verfahren 2C_560/2010 (betreffend die Direktzahlungen für das Jahr 2008 für den Beschwerdeführer) mit der gleichen Fragestellung befasst. Es hat ausgeführt, dass in dem damals vom Beschwerdeführer eingereichten Gesuchsformular - welches mit dem hier eingereichten Gesuch (vgl. Formular A: Allgemeine Angaben 2009) identisch ist - in der Rubrik "Beitragsgesuche" einzig das Feld "Öko-Qualitätsbeiträge" angekreuzt war. Es handelt sich dabei um ein vom Landwirtschaftsamt vorausgedrucktes Formular, das den Vermerk "Bitte alle vorgedruckten Daten überprüfen und wenn nötig korrigieren und ergänzen" enthält. In der Rubrik "Beitragsgesuche" steht zusätzlich: "(Angaben gemäss Vorjahr, bitte überprüfen und allenfalls korrigieren)". Bis zum Jahr 2007 hat der Beschwerdeführer jeweils weitere Beiträge (namentlich die allgemeinen Direktzahlungen) ebenfalls beantragt und zugesprochen erhalten. Der Vordruck, in welchem für das Jahr 2009 - wie schon im Jahr 2008 - einzig das Feld Öko-Qualitätsbeiträge angekreuzt ist, stimmt offensichtlich nicht überein mit den Gesuchsformularen der Vorjahre, wo - ebenfalls vorgedruckt - auch bei den übrigen Beiträgen ein Kreuz steht. Als plausible Erklärung dafür ist einzig ein Versehen denkbar, denn es ist kein Grund ersichtlich, weshalb der Beschwerdeführer freiwillig auf den grössten Teil der ihm bisher zugesprochenen Beiträge hätte verzichten wollen. Hinzu kommt, dass die Verwaltung bei den Beiträgen für das Jahr 2008, für welches der Beschwerdeführer die gleichen Angaben gemacht hatte wie für das Jahr 2009, mit einer materiellen Begründung auch die übrigen Beiträge verweigert hatte, ohne eine unvollständige Antragstellung zu beanstanden; erst im Verfahren vor Bundesgericht hatte sich die Verwaltung darauf berufen, das Formular sei unvollständig ausgefüllt worden. Unter diesen Umständen wäre es - wie schon in Bezug auf das Jahr 2008 - auch in Bezug auf das Jahr 2009 überspitzt formalistisch, auf das offensichtlich versehentlich falsch ausgefüllte Gesuchsformular abzustellen (vgl. Urteil 2C_560/2010 vom 18. Juni 2011 E. 1.3.2, nicht publ. in: <ref-ruling> mit Hinweis).
1.4.3 Im Sinne einer Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 2 BGG) ist somit festzuhalten, dass folgende Direktzahlungen für das Jahr 2009 Streitgegenstand im vorliegenden Verfahren bilden: Flächenbeiträge (Art. 72 LwG; Art. 27 der Verordnung vom 7. Dezember 1998 über die Direktzahlungen an die Landwirtschaft [Direktzahlungsverordnung, DZV; SR 910.13]), Beiträge für die Haltung Raufutter verzehrender Nutztiere (im Folgenden: RGVE-Beiträge; Art. 73 LwG; Art. 28 ff. DZV), Beiträge für den ökologischen Ausgleich (Art. 76 LwG; Art. 40 ff. DZV und Verordnung über die regionale Förderung der Qualität und der Vernetzung von ökologischen Ausgleichsflächen in der Landwirtschaft [Öko-Qualitätsverordnung, ÖQV; SR 910.14]) sowie Ethobeiträge (Beiträge für besonders tierfreundliche Stallhaltungssysteme [BTS] bzw. Beiträge für regelmässigen Auslauf im Freien [RAUS], Art. 76a LwG; Art. 59 ff. DZV).
2. 2.1 Der Bund richtet Bewirtschaftern und Bewirtschafterinnen von bodenbewirtschaftenden bäuerlichen Betrieben unter der Voraussetzung des ökologischen Leistungsnachweises allgemeine Direktzahlungen, Ökobeiträge und Ethobeiträge aus (Art. 70 Abs. 1 LwG); der ökologische Leistungsnachweis (ÖLN) umfasst u.a. eine tiergerechte Haltung der Nutztiere (Art. 70 Abs. 2 lit. a LwG). Voraussetzung und Auflage für die Ausrichtung von Direktzahlungen ist die Einhaltung der für die landwirtschaftliche Produktion massgeblichen Bestimmungen der Gewässerschutz-, der Umweltschutz- und der Tierschutzgesetzgebung (Art. 70 Abs. 4 LwG; Art. 5 DZV). Nach Art. 170 Abs. 1 LwG können die Beiträge gekürzt oder verweigert werden, wenn der Gesuchsteller das Landwirtschaftsgesetz, die Ausführungsbestimmungen oder die gestützt darauf erlassenen Verfügungen verletzt. Die Direktzahlungen werden gemäss der Richtlinie der Landwirtschaftsdirektorenkonferenz vom 27. Januar 2005 (Fassung vom 12. September 2008) zur Kürzung der Direktzahlungen (im Folgenden: Kürzungsrichtlinie) gekürzt oder verweigert, wenn der Gesuchsteller u.a. Kontrollen erschwert oder landwirtschaftsrelevante Vorschriften des Gewässerschutz-, des Umweltschutz- oder des Natur- und Heimatschutzgesetzes nicht einhält (Art. 70 Abs. 1 lit. b und e DZV). Die Nichteinhaltung solcher Vorschriften muss mit einem rechtskräftigen Entscheid festgestellt werden (Art. 70 Abs. 2 DZV). Bei vorsätzlicher oder wiederholter Verletzung von Vorschriften können die Kantone die Gewährung von Beiträgen bis höchstens fünf Jahre verweigern (Art. 70 Abs. 3 DZV).
2.2 Die Vorinstanzen haben die Verweigerung der Direktzahlungsbeiträge für das Jahr 2009 mit der Begründung verweigert, der Beschwerdeführer erfülle die Anforderungen an den ökologischen Leistungsnachweis - insbesondere in Bezug auf die Tierschutzbestimmungen - auf seinem Betrieb nicht. Die Vorinstanz führt dazu aus, dass die zuständige Kontrollstelle nach der Betriebskontrolle vom 2. Oktober 2009 einen ausdrücklichen Vorbehalt bezüglich der Einhaltung der Tierschutzgesetzgebung angebracht und auf die Feststellungen des Veterinäramtes verwiesen habe. Das Veterinäramt habe wiederum wiederholte und schwere Zuwiderhandlungen gegen die Tierschutzvorschriften festgestellt (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.2 und 5.3). Der Umstand, dass die beanstandeten Mängel anlässlich der Kontrolle des Veterinäramts vom 13. November 2009 behoben waren, ändere nichts daran, dass die Tierschutzbestimmungen während des ganzen Beitragsjahres einzuhalten seien (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.5) Die Vorinstanz kommt zum Schluss, die gemäss Kürzungsrichtlinie angerechneten Strafpunkte und der in der Folge verfügte Ausschluss von den Direktzahlungen sich im von der Kürzungsrichtlinie vorgesehen Rahmen bewege (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.10).
2.3 Der Beschwerdeführer bringt dagegen vor, er habe den ökologischen Leistungsnachweis bereits mit dem Kontrollbericht der kantonalen Kontrollstelle vom 2. Oktober 2009 "weitgehend erbracht". Mit der veterinäramtlichen Nachkontrolle seines Betriebes am 13. November 2009 habe er diesen vervollständigt. Im Übrigen sei die vorgenommene Kürzung bzw. Streichung der Direktzahlungen gestützt auf die Kürzungsrichtlinie willkürlich, basiere auf der falschen Anwendung von Bundesrecht und verstosse gegen den Verhältnismässigkeitsgrundsatz.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer wurde mit Urteil (des Bundesgerichts) 6B_711/2009 vom 26. Februar 2010 unter anderem wegen mehrfacher Tierquälerei und mehrfacher Übertretung des Tierschutzgesetzes rechtskräftig verurteilt. Dieses Urteil betrifft jedoch Sachverhalte, die sich vor allem im Jahr 2007 zugetragen haben; die erfolgten Verstösse gegen die Tierschutzgesetzgebung können deshalb in erster Linie zu einer Verweigerung der Beiträge für das Jahr 2008 herangezogen werden (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 und 3.3.1 S. 368 f.). Das Obergericht des Kantons Thurgau verurteilte den Beschwerdeführer zudem mit Urteil vom 27. April 2011 wegen des mehrfachen Missbrauchs einer Fernmeldeanlage, der Widerhandlung gegen das Gewässerschutzgesetz, der mehrfachen Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte, der Tierquälerei sowie der mehrfachen übrigen Widerhandlungen gegen das Tierschutzgesetz zu einer (unbedingten) Freiheitsstrafe von neun Monaten und zu einer Busse von Fr. 700.--. Die tierschutzrechtlichen Verstösse erfolgten hier im Wesentlichen im Frühling 2009. Das Bundesgericht bestätigte mit Urteil 6B_592/2011 vom 5. Dezember 2011 den Entscheid des Obergerichts vollumfänglich.
3.2 Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> E. 3.2 S. 369 festgehalten, dass mit der Missachtung der Tierschutzvorschriften nicht die Verweigerung jeder Art von Direktzahlungen begründet werden kann. Es muss vielmehr ein Zusammenhang zwischen der Sanktion (Beitragskürzung oder -verweigerung) und der verletzten Bestimmung bestehen. Weiter hat das Bundesgericht ausgeführt, dass die Voraussetzungen für RGVE-Beiträge sowie Ethobeiträge nicht erfüllt sind, wenn Tierschutzvorschriften missachtet werden (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 370). Demgegenüber fehlt es an einem sachlichen Zusammenhang zwischen der Verletzung von Tierschutzvorschriften und Flächenbeiträgen, Beiträgen für den ökologischen Ausgleich und Öko-Qualitätsbeiträgen; diese dürfen nicht mit der Begründung verweigert werden, es seien Tierschutzvorschriften verletzt worden (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 370). Entgegen der Ansicht des Landwirtschaftsamtes und des DIV ist an dieser erst kürzlich begründeten Praxis festzuhalten (vgl. auch die zustimmende Kritik bei PAUL RICHLI, in: Blätter für das Agrarrecht, 2011/Heft 2, S. 43 ff.). Zwar hat der Ständerat am 20. Dezember 2011 die Motion 11.3924 angenommen (AB 2011 S 1250), welche - in Reaktion auf den genannten Bundesgerichtsentscheid - verlangt, dass die Nichteinhaltung von (u.a.) Tierschutzvorschriften zur Kürzung oder Verweigerung sämtlicher Beiträge führt. Diese Motion hat aber noch nicht zu einer entsprechenden gesetzlichen Regelung geführt; sie ist für das Bundesgericht nicht verbindlich (vgl. auch Art. 118 Abs. 4 ParlG [SR 171.10]).
3.3 Daraus folgt zunächst, dass sich in Bezug auf die vom Beschwerdeführer geltend gemachten RGVE-Beiträge bzw. die Etho-Beiträge (RAUS- und BTS-Beiträge) die Beschwerde von vornherein als unbegründet erweist: Aufgrund der im April 2009 festgestellten massiven Verstösse gegen die Tierschutzgesetzgebung ist die Verweigerung der entsprechenden Beiträge für das Jahr 2009 nicht zu beanstanden, da sich gemäss Art. 29 Abs. 1 lit. a DZV der Beitragsanspruch für diese Beiträge nach den Verhältnissen zwischen dem 1. Mai des Vorjahres und dem 30. April des Beitragsjahres richtet (<ref-ruling> E. 3.1 S. 368). Zwar spricht Art. 70 Abs. 1 lit. e DZV nur von Vorschriften des Gewässerschutz-, des Umweltschutz- oder des Natur- und Heimatschutzgesetzes; indessen ist nach Art. 70 Abs. 4 LwG und Art. 5 DZV auch die Einhaltung der Tierschutzvorschriften Voraussetzung für die Ausrichtung von Direktzahlungen. Aus dem Umstand, dass bis zur veterinäramtlichen Untersuchung vom 13. November 2009 offenbar diverse Mängel behoben worden sind, kann der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten ableiten. Zu Recht hat die Vorinstanz dazu ausgeführt, dass die Tierschutzbestimmungen während des ganzen Beitragsjahres einzuhalten sind, weshalb auch zeitlich beschränkte Verstösse eine Nichteinhaltung dieser Voraussetzung darstellen (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.5). Ebenso wenig vermag der Beschwerdeführer konkret aufzuzeigen, inwiefern die Kürzungsrichtlinie nicht mehr anwendbar bzw. falsch angewendet worden sein soll. Entgegen seinen Ausführungen kann er auch aus dem Verhältnismässigkeitsgrundsatz nichts für sich ableiten: Art. 70 Abs. 3 DZV sieht vielmehr vor, dass die Kantone bei wiederholter Verletzung von Vorschriften die Gewährung von Beiträgen bis höchstens fünf Jahre verweigern können.
3.4 In Bezug auf die vom Beschwerdeführer weiter geltend gemachten Flächenbeiträge, Beiträge für den ökologischen Ausgleich und Öko-Qualitätsbeiträge ist zu prüfen, ob die Verweigerung aufgrund der Missachtung von anderen Vorschriften als den Tierschutzbestimmungen zu rechtfertigen ist (vgl. E. 3.2 hiervor).
3.4.1 Am 2. Oktober 2009 fand auf dem Hof des Beschwerdeführers eine Betriebskontrolle statt. Gemäss den Feststellungen der Vorinstanz (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.1) hat die Kontrollstelle für Ökomassnahmen und Labelproduktion (KOL) in ihrem Kontrollbericht nur bezüglich der Einhaltung der Tierschutzgesetzgebung einen ausdrücklichen Vorbehalt angebracht. Die Vorinstanz hat sodann die Frage der Verweigerung der Direktzahlungen nur unter dem Aspekt der verletzten Tierschutzvorschriften geprüft (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.2 bis 5.11); sie hat es dagegen unterlassen, die Kürzung bzw. Verweigerung der anbegehrten Beiträge etwa unter dem Gesichtswinkel der Erschwerung der Kontrollen durch den Beschwerdeführer (Art. 70 Abs. 1 lit. b DZV) oder der Nichteinhaltung von landwirtschaftsrelevanten Vorschriften des Gewässerschutzgesetzes (Art. 70 Abs. 1 lit. e DZV) zu beurteilen.
Unter diesen Umständen kann somit nicht ohne Weiteres angenommen werden, der ÖLN für das Jahr 2009 sei nicht erbracht. Die Tierschutzvorbehalte sind wie bereits dargelegt für die noch in Frage stehenden Flächenbeiträge und ökologischen Ausgleichsbeiträge nicht von Bedeutung. Hingegen könnte die Erschwerung von Kontrollen bzw. die Verletzung von Gewässerschutzvorschriften zu einer Kürzung oder Verweigerung von Direktzahlungen führen, sofern sie im Zusammenhang mit der landwirtschaftlichen Nutzung steht (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 369). Voraussetzung ist jedoch, dass die Nichteinhaltung solcher Vorschriften mit einem rechtskräftigen Entscheid festgestellt ist (Art. 70 Abs. 2 DZV).
3.4.2 Das Landwirtschaftsamt hat in seinem Entscheid vom 18. Dezember 2009 zwar auch auf die Nichteinhaltung des Gewässerschutzgesetzes Bezug genommen (Erwägung Ziff. 6) und dazu festgestellt, dass der Beschwerdeführer das Gewässerschutzgesetz immer noch nicht vollumfänglich einhalte; dies hätte zur Folge, dass dem Beschwerdeführer für das Jahr 2009 eine Kürzung der Direktzahlungen von Fr. 8'000.-- auferlegt werden müsste (Dispositiv Ziff. 4). Weiter hat das Landwirtschaftsamt die Kosten für den Mehraufwand für die durch den Beschwerdeführer erschwerten ÖLN-Kontrollen im Jahr 2009 in der Höhe von Fr. 3'795.-- dem Beschwerdeführer auferlegt; diese wurden mit allfälligen Direktzahlungen für das Jahr 2009 oder für eines der folgenden Jahre verrechnet oder dem Beschwerdeführer direkt in Rechnung gestellt (vgl. Erwägung Ziff. 7 und Dispositiv Ziff. 5). Der Entscheid des DIV vom 11. Juni 2010 nimmt darauf Bezug (E. 4d und 4e, 5b und 5c) und hält fest, die erwähnten Kürzungen seien nicht zu beanstanden. In der Folge haben sich weder der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde vom 15. Juli 2009 an das Bundesverwaltungsgericht noch die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid näher mit diesen Kürzungen befasst. Es bleibt somit unklar, ob sich der Beschwerdeführer mit diesen Kürzungen abgefunden hat. Immerhin ergibt sich inzwischen aus dem Urteil 6B_592/2011 vom 5. Dezember 2011, dass der Beschwerdeführer rechtskräftig wegen Widerhandlungen gegen das Gewässerschutzgesetz (E. 4) verurteilt worden ist, wobei ein Zusammenhang mit der landwirtschaftlichen Nutzung zu bejahen ist (Abführung von Schmutzwasser des Hofs direkt auf das Feld). Zudem wurde der Beschwerdeführer wegen mehrfacher Gewalt und Drohung gegen den zuständigen Spezialisten für Gewässerschutz des kantonalen Amtes für Umwelt bzw. den Kantonstierarzt (E. 5) verurteilt; damit ist der Schluss des Landwirtschaftsamtes, er habe die Kontrollen erschwert, grundsätzlich nicht zu beanstanden.
3.4.3 Letztlich kann aber das Bundesgericht die Rechtmässigkeit der Kürzungen für die hier zur Diskussion stehenden Beiträge bzw. die Frage, ob die Verstösse des Beschwerdeführers zu einer vollständigen Verweigerung der noch zur Diskussion stehenden Beiträge (Flächenbeiträge, Beiträge für den ökologischen Ausgleich und Öko-Qualitätsbeiträge) oder nur zu einer Kürzung in noch zu definierender Höhe führen können, aufgrund der vorliegenden Unterlagen nicht abschliessend beurteilen.
Die Sache ist daher an das Landwirtschaftsamt des Kantons Thurgau zurückzuweisen. Dieses wird zu prüfen haben, ob die für den hier massgeblichen Zeitraum vorliegenden rechtskräftigen Entscheide (allenfalls auch unter Berücksichtigung bis jetzt nicht vorgebrachter Entscheide) betreffend die Missachtung von Gewässerschutzvorschriften bzw. die festgestellte Erschwerung der Kontrollen, zu einer Kürzung bzw. vollständigen Verweigerung der anbegehrten Beiträge führen kann. Gestützt auf diese Abklärungen wird es über diese Beiträge neu verfügen müssen, gegebenenfalls samt Verzugszins gemäss Art. 24 des Bundesgesetzes vom 5. Oktober 1990 über Finanzhilfen und Abgeltungen (Subventionsgesetz, SuG; SR 616.1), welches für Direktzahlungen anwendbar ist (Urteil 2C_560/2010 vom 18. Juni 2011 E. 4.8 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>).
4. Die Beschwerde erweist sich damit als teilweise begründet; die entsprechenden Kostenfolgen (Art. 66 BGG), auch in Bezug auf den vorinstanzlichen Entscheid (Art. 63 Abs. 1 VwVG), kann das Bundesgericht selber regeln (Art. 67 BGG). In Bezug auf die tierbezogenen Beiträge erweist sich die Beschwerde angesichts der klar ausgewiesenen Verletzungen von Tierschutzvorschriften jedoch als aussichtslos, so dass insoweit die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch die Vorinstanz nicht zu beanstanden ist (Art. 65 Abs. 1 VwVG). Aus dem gleichen Grund ist sie auch vor Bundesgericht nicht zu gewähren (Art. 64 Abs. 1 BGG), soweit das Gesuch infolge des teilweisen Obsiegens ohnehin nicht gegenstandslos geworden ist. Der Kanton Thurgau trägt keine Verfahrenskosten (Art. 63 Abs. 2 VwVG; Art. 66 Abs. 4 BGG), hat aber dem Beschwerdeführer für das vorinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 64 Abs. 1 und 2 VwVG; Art. 68 Abs. 1, 2 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 26. April 2011 insoweit aufgehoben, als damit Flächenbeiträge und ökologische Ausgleichsbeiträge für das Jahr 2009 verweigert werden; die Sache wird an das Landwirtschaftsamt des Kantons Thurgau zurückgewiesen, damit es über diese Beiträge im Sinne der Erwägungen neu entscheidet. Die Verfahrenskosten für das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht werden zur Hälfte, ausmachend Fr. 1'500.--, dem Beschwerdeführer auferlegt. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden zur Hälfte, ausmachend Fr. 1'000.--, dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Der Kanton Thurgau hat dem Beschwerdeführer für das vorinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung von insgesamt Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
6. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Landwirtschaftsamt und dem Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, dem Bundesamt für Landwirtschaft sowie dem Eidgenössischen Volkswirtschaftsdepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Januar 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger