Sachverhalt:
A. A.a Die 1934 geborene G._ führt seit Jahren eine Praxis als Naturheilärztin in X._. Sie ist bei der Allianz Suisse Versicherungen (nachfolgend: Allianz oder Beschwerdegegnerin) gegen die Folgen von Unfällen im Rahmen des Bundesgesetzes über die Unfallversicherung freiwillig versichert. Am 29. März 1999 verletzte sie sich bei einem Sturz an beiden Schultern (Humeruskopffraktur beidseits). Die Allianz erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 14. Mai 2002, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 16. Dezember 2002, stellte sie sämtliche Leistungen per 1. November 2001 ein und schloss den Fall auf diesen Zeitpunkt hin folgenlos ab. Hiegegen liess G._ beschwerdeweise beantragen:
"1. Der Einspracheentscheid vom 16. Dezember 2002 sei aufzuheben.
2. Der Beschwerdeführerin seien die ihr seit der Einstellung der Versicherungsleistungen per 1. November 2001 zustehenden UVG-Ansprüche aus- bzw. nachzuzahlen.
3. Eventualiter sei die Vorinstanz anzuweisen, ein interdisziplinäres Gutachten einzuholen und anschliessend, nach erfolgter Stellungnahme der Beschwerdeführerin, neu zu entscheiden.
4. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beschwerdegegnerin."
In Gutheissung der Beschwerde von G._ hob das Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden mit Entscheid vom 19. November 2003 den Einspracheentscheid auf und wies die Allianz an, weiterhin die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Diesen Entscheid hob das Eidgenössische Versicherungsgericht (heute: Bundesgericht) auf Beschwerde der Allianz hin auf (Urteil U 44/04 vom 26. November 2004) und wies die Sache an das kantonale Gericht zurück, damit dieses zur abschliessenden Beantwortung der Frage nach der natürlichen Kausalität nochmals eine orthopädische, neurologische und allenfalls psychiatrische Begutachtung durchführen lasse.
A.b Nach Abschluss eines weiteren Gerichtsverfahrens zur Klärung der Zuständigkeitsfrage hinsichtlich der vom Bundesgericht angeordneten Sachverhaltsabklärung (Urteil U 192/05 vom 28. September 2005) holte das kantonale Gericht beim Institut Y._ das Gutachten vom 24. November 2006 ein. Gestützt darauf hiess es die Beschwerde der G._ mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 20. Juni 2007 im Hauptpunkt mit folgendem Dispositiv (Ziffer 1) gut:
"Die Beschwerde der G._ wird gutgeheissen. Der Einspracheentscheid der Allianz Suisse Versicherungen vom 16. Dezember 2002 wird aufgehoben. Die Beschwerdegegnerin wird angewiesen, über die per 1. November 2001 zustehenden UVG-Ansprüche neu zu verfügen. Dabei ist gemäss dem Gutachten von Dr. med. A. M. S._ vom 24. November 2006 davon auszugehen, dass die Arbeitsfähigkeit ab dem 31. Juli 2000 50 % betragen hat, dass der medizinische Endzustand am 14. Dezember 2002 erreicht wurde und die unfallbedingte Arbeitsunfähigkeit in der angestammten Tätigkeit 25 % beträgt. Der unfallbedingte Integritätsschaden beträgt 10 %."
Mit Verfügung vom 30. April 2008, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 14. Oktober 2008, sprach die Allianz der Versicherten Taggeldleistungen bei einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % vom 31. Juli bis 30. September 2000 sowie bei 25 % Arbeitsunfähigkeit vom 1. Oktober 2000 bis 14. Dezember 2002 zu; Heilbehandlung und Taggeld stellte die Allianz per 14. Dezember 2002 ein, setzte die Integritätsentschädigung auf der Basis einer dauerhaft verbleibenden Beeinträchtigung der gesundheitlichen Unversehrtheit von 10 % fest und verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der G._ wies das Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden mit Entscheid vom 19. August 2009 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ unter Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheids beantragen, die Allianz sei anzuweisen, der Versicherten in Vollzug des Entscheides vom 20. Juni 2007 des Verwaltungsgerichts von Appenzell Ausserrhoden eine Invalidenrente von 25 % ab 14. Dezember 2002 (zuzüglich Verzugszinsen) auszubezahlen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Während die Allianz auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen über den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung im Allgemeinen (<ref-law>) und auf eine Invalidenrente im Besonderen (<ref-law>) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Richtig ist auch, dass der Bundesrat gestützt auf <ref-law> in <ref-law> eine besondere Regelung für die Ermittlung des Invaliditätsgrades bei Versicherten getroffen hat, welche die Erwerbstätigkeit nach dem Unfall altershalber nicht mehr aufnehmen oder bei denen sich das vorgerückte Alter erheblich als Ursache der Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit auswirkt.
3. Streitig ist einzig, ob die Beschwerdeführerin mit Wirkung ab Mitte Dezember 2002 Anspruch auf eine Invalidenrente nach UVG hat.
4. Soweit die Versicherte geltend macht, die Vorinstanz habe ihr mit Rückweisungsentscheid an die Allianz vom 20. Juni 2007 rechtskräftig ab 14. Dezember 2002 einen Anspruch auf eine Invalidenrente nach UVG basierend auf einem Invaliditätsgrad von 25 % zugesprochen, ist die Beschwerde offensichtlich unbegründet. Zum einen verkennt die Beschwerdeführerin die unterschiedliche Bedeutung des Arbeitsunfähigkeits- und des Invaliditätsbegriffs (Art. 6 und 8 ATSG). Zum anderen finden sich im vorinstanzlichen Entscheid vom 20. Juni 2007 nicht die geringsten Hinweise darauf, dass das kantonale Gericht über die konkret zu berücksichtigende unfallbedingte Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>) oder den massgebenden Invaliditätsgrad (<ref-law> und <ref-law>) in abschliessender Weise befunden hätte. Abgesehen von der Tatsachenfeststellung, dass die Versicherte bei Heilbehandlungsabschluss (vgl. <ref-law>) in der angestammten Tätigkeit zu 25 % arbeitsunfähig war, vermag die Beschwerdeführerin aus dem rechtskräftigen Rückweisungsentscheid der Vorinstanz vom 20. Juni 2007 nichts zu ihren Gunsten abzuleiten. Sind Teilaspekte eines verfügungsweise festzulegenden Rechtsverhältnisses (beispielsweise bei Invalidenrenten der Invaliditätsgrad) nicht selbständig anfechtbar (<ref-ruling> E. 2b S. 416 mit Hinweisen; vgl. auch zur Frage des zulässigen Gegenstandes selbständig anfechtbarer [Teil-] Endentscheide <ref-ruling> E. 1.4.4 S. 146 mit Hinweis), kann hier mit Blick auf den vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid vom 20. Juni 2007 von einer materiell abschliessenden rechtskräftigen Beurteilung (res iudicata) des geltend gemachten Rentenanspruchs keine Rede sein.
5. Soweit die Versicherte für den Fall der Verneinung der res iudicata eventualiter anführt, die Voraussetzungen der Anwendbarkeit von <ref-law> seien hier nicht erfüllt, ist zu prüfen, ob Verwaltung und Vorinstanz zu Recht in Anwendung dieser Norm zur Bestimmung des Invaliditätsgrades in Sonderfällen darauf schlossen, dass sich das vorgerückte Alter der Beschwerdeführerin erheblich als Ursache der Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit auswirkt.
5.1 Wenn ein Versicherter nach dem Unfall die Erwerbstätigkeit altershalber nicht mehr aufnimmt (Variante I) oder sich das vorgerückte Alter erheblich als Ursache der Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit auswirkt (Variante II), sind gemäss <ref-law> für die Bestimmung des Invaliditätsgrades die Erwerbseinkommen massgebend, die ein Versicherter im mittleren Alter bei einer entsprechenden Gesundheitsschädigung erzielen könnte. Mit dieser Bestimmung wird bei der Invaliditätsbemessung zum einen dem Umstand Rechnung getragen, dass nebst der - grundsätzlich allein versicherten - unfallbedingten Invalidität auch das vorgerückte Alter eine Ursache der Erwerbslosigkeit oder -unfähigkeit bildet (Urteil U 313/06 vom 14. August 2007 E. 3.3). Zum andern wird berücksichtigt, dass die Invalidenrenten der Unfallversicherung bis zum Tod der Versicherten zur Ausrichtung gelangen (<ref-law>), wobei sie - in Abweichung von <ref-law> - nach dem Monat, in dem Männer das 65. und Frauen das 62. Altersjahr vollendet haben, nicht mehr revidiert werden können (<ref-law>). Mit <ref-law> soll demnach verhindert werden, dass bei älteren Versicherten zu hohe Invaliditätsgrade resultieren und Dauerrenten zugesprochen werden, wo sie mit Blick auf die unfallbedingte Invalidität eher die Funktion von Altersrenten aufweisen (<ref-ruling> E. 3a S. 421 f. mit Hinweisen).
5.2 Hier kommt einzig die Anwendung von Variante II des <ref-law> in Frage, da die Versicherte die angestammte Erwerbstätigkeit als Naturheilpraktikerin auch nach dem Unfall weiterhin ausübt. Im massgebenden Zeitpunkt (<ref-ruling> E. 1b S. 419 und 426 E. 2 S. 427; RKUV 1991 Nr. U 115 S. 389 U 106/89 E. 4d und e) des Rentenbeginns - Mitte Dezember 2002 (bei Heilbehandlungsabschluss; vgl. <ref-law>) - war die Beschwerdeführerin im 69. Lebensjahr. Von einem vorgerückten Alter nach <ref-law> ist - unter Berücksichtigung berufsspezifischer Gewohnheiten und allfälliger Besonderheiten des Einzelfalls - in der Regel ab rund 60 Jahren auszugehen (<ref-ruling> E. 4c S. 424; Urteile U 313/06 vom 14. August 2007 E. 3.4 und U 357/06 vom 28. Februar 2007 E. 5.2). Die altersmässige Voraussetzung für die Anwendung dieser Bestimmung ist hier zweifellos erfüllt (vgl. Urteil 8C_255/2009 vom 24. September 2009 E. 3.2.3 mit Hinweisen).
5.3 Als dauerhafte Folgen der am 29. März 1999 erlittenen subkapitalen Humerusfraktur beidseits verbleiben der Versicherten laut Gutachten des Instituts Y._ Funktionsstörungen an den oberen Extremitäten im Sinne einer mässigen Form der Periarthrosis humeroscapularis. Die Allianz hat ihr für diese bleibende unfallbedingte Beeinträchtigung der gesundheitlichen Unversehrtheit gemäss diesbezüglich unangefochten in Rechtskraft erwachsener Verfügung vom 30. April 2008 basierend auf einer Integritätseinbusse von 10 % eine Integritätsentschädigung von 9'720.- (zuzüglich Verzugszins) zugesprochen. Auf Grund des unfallbedingten Schulterschadens kann es zu Schwierigkeiten beim Einsatz des rechten Armes kommen, so dass beispielsweise bei Patientenuntersuchungen über Schulterhöhe oder beim Platzieren von Injektionskanülen mit der rechten Hand Einschränkungen auftreten können (Gutachten des Instituts Y._ S. 17). Dem orthopädischen Teilgutachten des Dr. med. E._, vom 30. September 2006 ist indes zu entnehmen, dass die Beschwerdeführerin ihre unfallbedingten Funktionseinschränkungen am rechten Arm teilweise durch den kompensatorischen Einsatz der linken Hand auszugleichen versteht und sowohl sich selber als auch ihren Patienten mit der linken Hand Injektionen zu applizieren vermag. Schliesslich stellte auch Dr. med. E._ anlässlich seiner Untersuchung der Versicherten - wie vor ihm bereits der Neurologe Prof. Dr. med. L._, gemäss Gutachten vom 14. Januar 2002 - fest, dass der verminderte Einsatz des rechten Armes beim Aus- und Ankleiden nicht auffallend zu beobachten war.
5.4 Das kantonale Gericht hat nach pflichtgemässer Beweiswürdigung gestützt auf das Gutachten des Instituts Y._ festgestellt, dass die Beschwerdeführerin sowohl in der angestammten Tätigkeit als Naturheilpraktikerin wie auch in anderen Tätigkeiten wieder voll arbeitsfähig wäre, wenn sie sich dieselben Unfallfolgen im "mittleren Alter" von 42 Jahren (<ref-ruling> E. 2 S. 427 mit Hinweis) zugezogen hätte. Nach dem im Sozialversicherungsrecht geltenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) ist die vorinstanzliche Feststellung dieser hypothetischen Tatsache nicht zu beanstanden, zumal die Anforderungen an den massgebenden Beweisgrad hier nicht überspannt werden dürfen (vgl. RKUV 2005 Nr. U 554 S. 315, U 340/04 E. 2.2 mit Hinweisen). Entgegen der Versicherten gelangten die medizinischen Experten im Gutachten des Instituts Y._ auf Grund ihrer Beurteilung der konkreten Unfallfolgen nicht im Sinne einer Vermutung, sondern ohne jeden Zweifel zur Auffassung, diese Beeinträchtigungen hätten sich bei einer Person mittleren Alters - im Gegensatz zur Beschwerdeführerin im vorgerückten Alter, welche ihre Arbeitsfähigkeit nur noch auf 75 % zu steigern vermochte - "weniger gravierend ausgewirkt", so dass sie "vermutlich" für den ausgeübten Beruf wie auch hinsichtlich anderer Tätigkeiten wieder eine volle Arbeitsfähigkeit erlangt hätte. Dr. med. S._ bestätigte am 22. Juni 2009 gegenüber der Vorinstanz , dass er mit der Verwendung des Wortes "vermutlich" die Meinung im Sinne von "überwiegend wahrscheinlich" habe zum Ausdruck bringen wollen. Es besteht keine Veranlassung, an der Beweiskraft dieser Aussage zu zweifeln, zumal sich die ursprüngliche Fragestellung im Sinne einer mutmasslichen Einschätzung auf die Feststellung einer hypothetischen Tatsache bezog.
5.5 Verwaltung und Vorinstanz haben gestützt auf die Beurteilung gemäss Gutachten des Instituts Y._ der physiologischen Altersgebrechlichkeit im gesamten Ursachenspektrum verglichen mit der unfallbedingten Körperschädigung (<ref-ruling> E. 4c S. 424 mit Hinweisen; vgl. auch PETER OMLIN, Die Invalidität in der obligatorischen Unfallversicherung, Freiburg 1995, S. 254) hinsichtlich der Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit eine erhebliche Bedeutung beigemessen und folglich dem vorgerückten Alter der Versicherten bei der Bestimmung des Invaliditätsgrades zutreffend in Anwendung von <ref-law> Rechnung getragen. Was die Beschwerdeführerin im Übrigen hiegegen vorbringt, ist unbegründet. Wäre sie nach fachärztlicher Beurteilung als versicherte Person mittleren Alters mit denselben Unfallrestfolgen voll arbeitsfähig, ist nicht zu beanstanden, dass das kantonale Gericht mit angefochtenem Entscheid die von der Allianz verfügte und mit Einspracheentscheid vom 14. Oktober 2008 bestätigte Verneinung des Rentenanspruchs nach UVG geschützt hat.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Juni 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Hochuli