Sachverhalt:
A. X._ überschritt am 19. Februar 2009 in Aarwangen als Führer eines Personenwagens die zulässige Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h innerorts um 16 km/h (nach Abzug der Messtoleranz). Nachdem ihm bereits zuvor, am 19. November 2008, wegen einer Geschwindigkeitsüberschreitung ausserorts eine Verwarnung erteilt worden war, verfügte das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern am 8. Mai 2009 den Entzug seines Führerausweises für die Dauer von einem Monat. Gleichzeitig ordnete es an, X._ habe einen Tag Verkehrsunterricht zu besuchen.
B. Eine von X._ gegen die Anordnung des Verkehrsunterrichts erhobene Beschwerde wies die Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern am 2. Dezember 2009 ab, wogegen X._ mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht gelangte. Dieses hiess die Beschwerde am 19. Januar 2011 wegen einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör gut und wies die Sache an die Rekurskommission zurück, damit sie X._ Gelegenheit zur Stellungnahme zur Vernehmlassung des Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamts vom 20. November 2009 gebe und alsdann neu entscheide (Urteil 1C_326/2010). Nachdem die Rekurskommission X._ Gelegenheit zur Stellungnahme zur besagten Vernehmlassung gegeben hatte, wies sie seine Beschwerde am 23. März 2011 erneut ab.
C. Gegen den am 4. Juli 2011 versandten Entscheid der Rekurskommission gelangt X._ am 4. August 2011 mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wiederum ans Bundesgericht. Er beantragt, der Entscheid der Rekurskommission vom 23. März 2011 und Ziffer 4 der Verfügung des Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamts vom 8. Mai 2009, mit welcher der Besuch von einem Tag Verkehrsunterricht angeordnet worden ist, seien aufzuheben.
D. Mit Verfügung vom 12. September 2011 hat das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
E. Die Vorinstanz und das zur Stellungnahme eingeladene Bundesamt für Strassen beantragen unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde. Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Mit Entscheid vom 23. März 2011 bestätigte die Rekurskommission die Anordnung, wonach der Beschwerdeführer einen Tag Verkehrsunterricht zu besuchen habe. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d sowie Abs. 2 und Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist als Adressat des angefochtenen Entscheids und als direkt Betroffener zur Beschwerde legitimiert (vgl. <ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. Gemäss <ref-law> stellt der Bundesrat Vorschriften auf über den Verkehrsunterricht für Motorfahrzeugführer und Radfahrer, die wiederholt Verkehrsregeln übertreten haben. Gestützt auf diese Ermächtigung hat der Bundesrat in Art. 40 und 41 Verkehrszulassungsverordnung vom 27. Oktober 1976 (VZV; SR 741.51) Bestimmungen über den Verkehrsunterricht erlassen. Danach sollen die Kursteilnehmer durch eine gezielte Nachschulung zu korrektem Verhalten im Strassenverkehr veranlasst werden (<ref-law>). Zum Verkehrsunterricht können unter anderem Motorfahrzeugführer aufgeboten werden, die wiederholt in verkehrsgefährdender Weise gegen Verkehrsregeln verstossen haben (<ref-law>). Der Besuch des Verkehrsunterrichts kann allein oder in Verbindung mit anderen Massnahmen (Verwarnung, Entzug, Fahrverbot) verfügt werden (<ref-law>).
Eine wiederholte Verkehrsregelübertretung liegt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung schon dann vor, wenn der Betroffene innert kurzer Zeit zweimal Verkehrsregeln übertreten hat. Ob es sich jeweils um die gleiche oder um verschiedene Regeln handelt, ist unerheblich. Die Massnahme des Verkehrsunterrichts bezweckt einerseits, die Kenntnis der Verkehrsregeln zu erneuern und zu vertiefen; sie soll andererseits aber auch die Einstellung der Teilnehmer des Unterrichts zum Verkehrsgeschehen ganz allgemein beeinflussen, indem sie diese auf die Gefahren regelwidrigen Verhaltens im Strassenverkehr aufmerksam macht und dadurch fehlbare Motorfahrzeuglenker von künftigen Widerhandlungen abhält. Die Anordnung der Massnahme setzt mit Blick auf das Verhältnismässigkeitsprinzip (<ref-law>) voraus, dass anzunehmen ist, durch eine Verbesserung der Kenntnisse der Verkehrsvorschriften bzw. durch den Hinweis auf die Gefahren regelwidrigen Verhaltens im Strassenverkehr könne der Betroffene von künftigen Verstössen gegen die Strassenverkehrsregeln abgehalten werden. Ob dies der Fall ist, muss aufgrund der Umstände im Einzelfall entschieden werden. Die Anordnung des Verkehrsunterrichts erweist sich nicht nur dann als sinnvoll, wenn der fehlbare Fahrzeugführer im Laufe seiner Fahrpraxis immer wieder Verkehrsregeln übertreten hat und aufgrund verschiedenartigen Fehlverhaltens anzunehmen ist, seine Kenntnis der Verkehrsregeln sei ungenügend. Der Besuch des Verkehrsunterrichts ist schon dann gerechtfertigt, wenn aus den Umständen geschlossen werden muss, dass dem Betroffenen der Zweck einzelner Verkehrsvorschriften nicht einsichtig ist und er sich deswegen der Gefahren nicht bewusst ist, die er durch deren Übertretung für andere Verkehrsteilnehmer schafft (<ref-ruling> E. 1 S. 257 f.; Urteil 1C_204/2008 vom 25. November 2008 E. 4.1).
3. Am 28. September 2008 überschritt der Beschwerdeführer ausserorts die gesetzlich vorgeschriebene Höchstgeschwindigkeit von 80 km/h um 25 km/h, woraufhin ihm mit Verfügung vom 19. November 2008 in Anwendung von Art. 16a Abs. 1 und 3 SVG wegen einer leichten Verkehrsregelverletzung eine Verwarnung erteilt wurde. Am 19. Februar 2009 überschritt er innerorts die gesetzlich vorgeschriebene Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h um 16 km/h (nach Abzug der Messtoleranz). Gestützt auf Art. 16a Abs. 1 und 2 SVG entzog ihm das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt am 8. Mai 2009 wegen der zweiten leichten Verkehrsregelverletzung innert zwei Jahren den Führerausweis für die Dauer von einem Monat. Weder die Verwarnung vom 19. November 2008 noch der Ausweisentzug vom 8. Mai 2009 wurden vom Beschwerdeführer angefochten. Die Vorinstanz hielt im angefochtenen Entscheid fest, der Beschwerdeführer habe im Sinne von <ref-law> wiederholt in verkehrsgefährdender Weise gegen Verkehrsregeln verstossen. Dies wird vom Beschwerdeführer zu Recht nicht bestritten. Er ist aber der Ansicht, aufgrund der Umstände und mit Blick auf das Verhältnismässigkeitsprinzip hätte ein Aufgebot zum Verkehrsunterricht dennoch unterbleiben müssen.
4. 4.1 Aufgrund der Umstände kann nicht angenommen werden, es mangle dem Beschwerdeführer an genügender Kenntnis der Verkehrsregeln, wovon auch die Vorinstanz nicht ausging. Sie kam indessen zum Schluss, dem Beschwerdeführer seien in der Theorie zwar Sinn und Zweck von Geschwindigkeitsvorschriften bekannt, er nehme diese aber möglicherweise in der Praxis nicht (mehr) ernst. Daraus müsse gefolgert werden, dass ihm die Gefahren, die er durch die Übertretung von Geschwindigkeitsregeln für andere Verkehrsteilnehmer schaffe, nicht wirklich bewusst seien, weshalb offenkundig Lernbedarf bestehe. Zur Begründung wies die Vorinstanz darauf hin, dass der Beschwerdeführer innert weniger Monate zwei gleichartige Widerhandlungen (Überschreiten der Höchstgeschwindigkeit) begangen habe und Geschwindigkeitsüberschreitungen innerorts schwerwiegende Folgen haben könnten. Weiter führte die Vorinstanz aus, bei der Anordnung von Verkehrsunterricht handle es sich um ein Massengeschäft, bei dem praktisch nur auf die sichtbaren Fakten wie Art und Anzahl der Widerhandlungen sowie die äusseren Umstände und weniger auf die Persönlichkeit des einzelnen Fahrzeuglenkers abgestellt werden könne, zumal eine vorgängige umfassende Abklärung des Betroffenen angesichts des damit verbundenen Aufwands und der kurzen Dauer der Nachschulung offensichtlich unverhältnismässig wäre.
4.2 Zwar können Art, Anzahl und Schwere von Verkehrsregelverletzungen unter Umständen durchaus darauf schliessen lassen, der fehlbaren Person sei der Zweck einzelner Verkehrsregeln nicht einsichtig, ohne dass zwangsläufig weitere (umfassende) Abklärungen hinsichtlich der Persönlichkeit des Betroffenen notwendig wären. In denjenigen Fällen, in denen der Betroffene nur sehr wenige und leichte Verkehrsregelverletzungen begangen hat, darf allerdings nicht leichthin angenommen werden, dem Betroffenen seien der Zweck von Verkehrsregeln nicht einsichtig und die mit ihrer Übertretung verbundenen Gefahren nicht bewusst.
4.3 Der Vorinstanz ist darin beizupflichten, dass der Beschwerdeführer mit der Überschreitung von Geschwindigkeitsbeschränkungen in zwei Fällen andere Verkehrsteilnehmer zumindest abstrakt gefährdet hat. Wie aus den Strafentscheiden und den gestützt auf <ref-law> angeordneten Administrativmassnahmen hervorgeht, gingen indessen sowohl die Strafbehörden als auch das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt in beiden Fällen davon aus, der Beschwerdeführer habe nur eine geringe Gefahr für die Sicherheit anderer hervorgerufen und ihn habe dabei nur ein leichtes Verschulden getroffen. Davon ist vorliegend mangels gegenteiliger Anzeichen auszugehen. Zu beachten ist sodann, dass der Beschwerdeführer seit dem Erwerb des Führerausweises im Jahr 2000 nicht mehr als zwei Verkehrsregelverletzungen im Sinne von <ref-law> begangen hat. In einem solchen Fall müssten für die Anordnung von Verkehrsunterricht weitere Umstände hinzukommen, die Zweifel an der Einsichtigkeit des Beschwerdeführers und seinem Gefahrenbewusstsein aufkommen lassen würden.
Solche Umstände sind nicht ersichtlich. Im Gegenteil hat sich der Beschwerdeführer bereits in der Stellungnahme vom 27. April 2009 an das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt durchaus selbstkritisch und einsichtig gezeigt, indem er die Widerhandlung vom 19. Februar 2009 nicht verharmloste, sondern als nicht entschuldbare Unaufmerksamkeit einstufte. Die beiden Verfehlungen hätten ihn dazu angehalten, sich im Strassenverkehr wieder bewusster und konzentrierter zu bewegen. Der Gefahren einer Überschreitung der signalisierten Höchstgeschwindigkeit oder der Verletzung anderer Verkehrsregeln sei er sich bewusst, zumal er in seiner Tätigkeit als Fürsprecher zahlreiche Unfalldossiers eingesehen habe, auch solche von Unfällen mit schweren Verletzungen und tödlichen Folgen. Diese Ausführungen des Beschwerdeführers vermögen gerade auch deshalb zu überzeugen, weil er seit dem 19. Februar 2009 nicht mit weiteren Verkehrsregelverletzungen im Sinne von <ref-law> aufgefallen ist.
Unter diesen Umständen kann auch daraus, dass die beiden Widerhandlungen des Beschwerdeführers innerhalb weniger Monate geschehen sind, nicht geschlossen werden, ihm seien der Zweck von Geschwindigkeitsbeschränkungen nicht einsichtig und die mit ihrer Übertretung verbundenen Gefahren nicht bewusst. Im Übrigen weist die Formulierung der Vorinstanz, wonach dem Beschwerdeführer in der Theorie zwar Sinn und Zweck von Geschwindigkeitsvorschriften bekannt seien, er sie aber möglicherweise in der Praxis nicht (mehr) ernst nehme, darauf hin, dass auch sie gewisse Zweifel an seiner Uneinsichtigkeit bzw. am fehlenden Gefahrenbewusstsein hatte.
5. Damit ist die Beschwerde gutzuheissen, ohne dass die weiteren Rügen geprüft zu werden brauchen. Der angefochtene Entscheid der Rekurskommission sowie Ziffer 4 der Verfügung des Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamts vom 8. Mai 2009 sind aufzuheben und die Sache ist zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (vgl. <ref-law>). Der Kanton Bern hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Entschädigung zu bezahlen (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid der Rekurskommission vom 23. März 2011 sowie Ziffer 4 der Verfügung des Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamts vom 8. Mai 2009 werden aufgehoben. Die Sache wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Bern hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt und der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern sowie dem Bundesamt für Strassen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Februar 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle