Faits:
A. Par arrêt du 13 décembre 2010, confirmant un jugement du Tribunal des baux et loyers du canton de Genève du 15 juin 2010, le congé signifié pour le 30 juin 2008 à X._, locataire, par Y._ GmbH (ci-après: Y._), bailleresse, en relation avec des locaux d'un immeuble sis à Carouge, dans lesquels était exploité un établissement public, a été déclaré valable par la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du même canton, la demande du locataire tendant à en constater l'inefficacité, voire à en obtenir l'annulation, étant rejetée.
Le 28 février 2011, la bailleresse a requis l'évacuation du locataire. Statuant le 11 mai 2011, le Tribunal des baux et loyers a condamné X._ à évacuer immédiatement les locaux en question. La Chambre des baux et loyers de la Cour de justice a confirmé le jugement de première instance par arrêt du 17 octobre 2011. Un recours en matière civile interjeté par X._ contre cet arrêt a été déclaré irrecevable par la Présidente de la Ire Cour de droit civil du Tribunal fédéral en date du 21 décembre 2011 (cause 4A_708/2011).
B. Le 4 janvier 2012, Y._ a déposé une requête tendant à l'exécution du jugement d'évacuation du 11 mai 2011.
Après avoir entendu les parties, le Tribunal des baux et loyers, statuant le 15 mars 2012, a autorisé la requérante à faire exécuter ledit jugement par la force publique dès le 31 mai 2012. Il ressort du considérant topique de cette décision que le délai accordé à fin mai 2012 devait permettre à l'intimé de trouver de nouveaux locaux et de terminer son activité actuelle, le Tribunal des baux et loyers soulignant, à cet égard, que l'intéressé connaissait déjà la situation depuis 2008 et avait eu, dès lors, la possibilité d'anticiper ses recherches.
Le 5 avril 2012, X._ a formé, contre le jugement du 15 mars 2012, un recours, au sens des <ref-law>, assorti d'une requête d'effet suspensif.
Par décision du 12 avril 2012, la Présidente de la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice a refusé l'effet suspensif pour les motifs suivants: "l'exécution du jugement a été fixée au 31 mai 2012; le recourant ne rend pas vraisemblable un préjudice difficilement réparable; la courte durée présumable de la procédure de recours".
C. Le 14 mai 2012, X._ a adressé au Tribunal fédéral un mémoire intitulé "Recours constitutionnel subsidiaire". Il a conclu, principalement, à l'annulation de la décision du 12 avril 2012 et à l'octroi de l'effet suspensif pour la procédure de recours cantonale, requérant à titre subsidiaire le renvoi du dossier à la magistrate intimée pour qu'elle rende une nouvelle décision accordant l'effet suspensif.
La requête tendant à l'octroi de l'effet suspensif au recours à titre superprovisoire a été rejetée par ordonnance présidentielle du 22 mai 2012.
L'intimée et la Présidente de la Chambre des baux et loyers, qui a produit le dossier de la cause, n'ont pas été invitées à déposer une réponse.

Considérant en droit:
1. La décision prise le 12 avril 2012 par la Présidente de la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice genevoise est une décision incidente visée par l'<ref-law>. Elle est de nature à causer un préjudice irréparable au recourant, si comme celui-ci le soutient, l'exécution à bref délai du jugement d'évacuation du 11 mai 2011, telle qu'elle a été autorisée par le Tribunal des baux et loyers dans son jugement du 15 mars 2012, entraînerait un dommage - cessation d'activité avec licenciement du personnel et perte d'un investissement de plusieurs centaines de milliers de francs - qui ne pourrait pas être réparé au cas où, à l'issue de la procédure d'appel, le recourant obtiendrait une décision l'autorisant à différer de plusieurs mois la remise des locaux à l'intimée. La décision attaquée est donc susceptible de recours selon l'<ref-law>.
2. La décision attaquée a été prise en matière civile (<ref-law>), quant à l'objet du litige principal, et en dernière instance cantonale (<ref-law>). Selon le recourant, la valeur litigieuse serait de 55'380 fr. Il ressort de cette évaluation, quel qu'en soit le bien-fondé, de même que du calcul effectué dans l'arrêt 4A_708/2011 précité (consid. 2), que la valeur litigieuse atteint en tout cas le seuil fixé à l'<ref-law> pour la recevabilité du recours en matière civile dans les affaires pécuniaires relatives au droit du bail à loyer. Il s'ensuit que cette voie de droit est ouverte en l'espèce, si bien que celle du recours constitutionnel subsidiaire ne l'est pas (<ref-law>). Cependant l'intitulé erroné du présent recours ne nuit pas à son auteur, dès lors que les griefs fondés sur le droit constitutionnel, qui y sont soulevés, ont également leur place dans un recours en matière civile, sous l'angle de la violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382).
Le recours a été introduit en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
3. La décision qui octroie ou refuse l'effet suspensif est une décision sur mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.5 p. 196 s.). En conséquence, seule peut être invoquée, à son encontre, la violation des droits constitutionnels (arrêt 4D_13/2012 du 6 mars 2012 consid. 3.1 et l'arrêt cité).
4. En vertu de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral ne peut compléter les constatations de l'autorité précédente que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. arrêt 4A_280/209 du 31 juillet 2009 consid. 1.4).
En l'espèce, le recourant se contente de formuler quinze allégations de fait, en se référant à des pièces du dossier cantonal et en s'en remettant pour le surplus à l'appréciation du Tribunal fédéral (recours, ch. III./2.). Il précise qu'il se réfère expressément aux constatations de fait de la décision attaquée et prie le Tribunal fédéral d'en faire de même. Or, ladite décision ne contient pas la moindre constatation de fait. Comme le recourant n'expose pas en quoi cet état de choses résulterait d'une appréciation arbitraire des preuves ou d'une violation du droit, les conditions autorisant un complètement de l'état de fait de la décision entreprise ne sont pas réalisées dans le cas particulier. Abstraction sera, dès lors, faite des allégations en question dans le cadre de l'examen des griefs articulés dans le recours.
5. Le recourant reproche à la magistrate intimée d'avoir violé l'interdiction de l'arbitraire et commis un déni de justice formel.
5.1 L'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable. Le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 318 s.; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560).
Commet un déni de justice formel, et viole par conséquent l'art. 29 al. 1 Cst., l'autorité qui ne statue pas ou n'entre pas en matière sur un recours ou un grief qui lui est soumis dans les formes et délais légaux, alors qu'elle était compétente pour le faire (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.3).
5.2 Considérée à la lumière de ces principes jurisprudentiels, la motivation du recours laisse fortement à désirer et ne suffit en aucun cas à démontrer la réalité des violations de droits constitutionnels imputées à la magistrate cantonale.
Qualifier l'argumentation juridique critiquée de "défaillante, lapidaire, respectivement inopportune", ou de génératrice d'une "situation ubuesque", comme le fait le recourant, ne saurait remplacer une motivation exposant en quoi cette décision ne serait pas compatible avec les deux garanties constitutionnelles invoquées.
S'agissant du déni de justice formel dont se plaint le recourant, il ne saurait en être question in casu, étant donné que la magistrate intimée s'est penchée sur la requête d'effet suspensif qui lui était soumise et a statué sur cette requête en expliquant pourquoi elle jugeait qu'il n'y avait pas lieu de l'accueillir.
Quant aux motifs retenus par elle pour justifier le refus d'octroyer l'effet suspensif au recours cantonal, ils sont certes concis, mais cette circonstance s'explique par la nature même de la décision incidente à rendre. Ils sont du reste suffisants pour que le destinataire de cette décision puisse se rendre compte des raisons qui ont poussé l'auteur de celle-ci à rejeter sa requête d'effet suspensif. Pour le surplus, quand bien même ils pourraient être en partie discutés, voire sembler discutables, ces motifs ne font pas apparaître la décision qu'ils étayent comme arbitraire dans son résultat, ce qui seul importe.
Il faut bien voir, en effet, sur un plan général et en replaçant la décision querellée dans son contexte, que l'on a affaire à un congé qui a été signifié pour le 30 juin 2008 déjà et à une procédure d'évacuation qui a débuté le 28 février 2011, a donné lieu à un jugement d'expulsion prononcé le 11 mai 2011 et a pris fin, au niveau fédéral, le 21 décembre 2011. Aussi le refus obstiné du recourant de quitter les lieux en dépit d'un jugement d'évacuation en force et la multiplication des démarches procédurales visant à retarder à tout prix un départ inéluctable ont de quoi susciter des interrogations sous l'angle du respect des règles de la bonne foi (cf. <ref-law>).
Pour le surplus, il n'y avait rien d'insoutenable, de la part de la présidente de l'autorité chargée de statuer sur le recours de X._, à prévoir, à la date du 12 avril 2012, que la procédure de recours serait sans doute de courte durée et de sous-entendre qu'elle prendrait fin, selon toute vraisemblance, avant le 31 mai 2002, date à partir de laquelle l'intimée pourrait faire exécuter le jugement d'évacuation par la force publique. La magistrate cantonale pouvait donc admettre sans arbitraire qu'à fin mai 2012, l'autorité de recours aurait déjà rendu sa décision, partant que l'octroi de l'effet suspensif au recours ne s'imposait pas, rien n'empêchant d'ailleurs le recourant de formuler une nouvelle requête d'effet suspensif au cas où cette prévision se révélerait erronée. Semblable raisonnement rendait sans portée concrète le troisième motif, fondé sur l'absence de démonstration du risque d'un préjudice difficilement réparable, puisqu'il supposait qu'un tel risque ne se concrétiserait pas avant droit jugé sur le recours cantonal pendant. Point n'est donc besoin d'examiner les critiques formulées dans le recours au sujet de ce motif-là.
Le présent recours ne peut, dès lors, qu'être rejeté dans ces conditions.
6. Le recourant, qui succombe, devra payer les frais de la procédure fédérale (<ref-law>). En revanche, il n'aura pas à indemniser l'intimée, celle-ci n'ayant pas été invitée à déposer une réponse.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Présidente de la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 14 juin 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Carruzzo