Sachverhalt:
A. Nachdem die 1951 geborene M._ im März 2005 einen Schlaganfall erlitten hatte, meldete sie sich im November 2005 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle Luzern mit Verfügung vom 5. Mai 2008 einen Rentenanspruch bei einem Invaliditätsgrad von 36 %.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde der M._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 11. Juni 2010 in dem Sinn gut, als es die Verfügung vom 5. Mai 2008 aufhob und die Sache zur weiteren Sachverhaltsermittlung im Sinne der Erwägungen an die Verwaltung zurückwies (Dispositiv-Ziffer 1). Weiter auferlegte es der IV-Stelle die Gerichts- (Dispositiv-Ziffer 2) und Parteikosten (Dispositiv-Ziffer 3).
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die Ziffern 1, 2 und 3 des Rechtsspruchs des kantonalen Entscheids seien aufzuheben; eventuell sei die Richtigkeit der Verfügung vom 5. Mai 2008 zu bestätigen.
M._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung des Rechtsmittels, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Das kantonale Gericht hat dem MEDAS-Gutachten vom 19. September 2007, welches Grundlage für die Beurteilung des Rentenanspruchs durch die IV-Stelle bildete, die Beweiskraft abgesprochen. Es hat die Sache daher zur weiteren Abklärung des medizinischen Sachverhalts und der daraus sich ergebenden Arbeitsfähigkeit an die Verwaltung zurückgewiesen. Weiter hat es festgestellt, am 6. März 2006 sei ein (allenfalls befristeter) Anspruch auf eine ganze Invalidenrente entstanden. Somit wäre von der IV-Stelle abzuklären gewesen, wann und inwiefern sich die gesundheitliche Situation verbesserte. In Bezug auf die Invaliditätsbemessung hat es die Parallelisierung der Vergleichseinkommen sowie grundsätzlich die Berücksichtigung eines Leidensabzugs vom Invalideneinkommen für angezeigt gehalten.
1.2 Nach dem Wortlaut der Anträge verlangt die Beschwerdeführerin die Aufhebung des gesamten vorinstanzlichen Entscheids. Aus der Beschwerdebegründung, die zur Auslegung der Rechtsbegehren beizuziehen ist (Urteil 4A_330/2008 vom 27. Januar 2010 E. 2.1 am Ende, nicht publiziert in: <ref-ruling>; Anwaltsrevue 2009 8 S. 393, 9C_251/2009 E. 1.3 mit Hinweisen), ergibt sich indessen, dass der kantonale Entscheid, resp. die damit angeordnete Rückweisung nicht grundsätzlich angefochten wird, sondern nur insoweit, als davon der Rentenanspruch der Versicherten ab 6. März 2006 und - im Rahmen der Invaliditätsbemessung - der leidensbedingte Abzug vom Invalideneinkommen betroffen sind.
1.3 Der als Zwischenentscheid im Sinne des <ref-law> zu qualifizierende Rückweisungsentscheid (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f.) kann laut der genannten Bestimmung nur angefochten werden, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
1.4 Die Gutheissung der Beschwerde, wie sie nach dem Gesagten (E. 1.2) zu verstehen ist, könnte keinen Endentscheid herbeiführen. Hingegen ist die Beschwerdeführerin durch den angefochtenen - und nach ihrer Auffassung rechtswidrigen - Entscheid hinsichtlich Beginn und Umfang des Rentenanspruchs an die Vorgaben der Vorinstanz gebunden. In dieser Konstellation ist ein nicht wieder gutzumachender Nachteil zu bejahen und auf die Beschwerde einzutreten (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.). Anders verhält es sich indessen mit Bezug auf die Rüge betreffend den Leidensabzug. Diesen hat die Vorinstanz (unter Verweis auf <ref-ruling> E. 5.2 S. 327 f.) nur "grundsätzlich" und "gemäss der heutigen Aktenlage" für angezeigt gehalten, jedoch formuliert in der Möglichkeitsform und ohne sich zur Höhe zu äussern. Es fehlt daher an einer diesbezüglich klaren und verbindlichen Anordnung für die nach erfolgter Sachverhaltsabklärung vorzunehmende Beurteilung des Rentenanspruchs. Auf die entsprechende Rüge ist mangels eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils nicht weiter einzugehen.
2. 2.1 Die Vorinstanz hat festgestellt, die (auf die bisherige Tätigkeit bezogene) Arbeitsunfähigkeit sei am 5. März 2005 eingetreten. Nach Ablauf des Wartejahres habe sich die Versicherte vom 6. März bis 2. April 2006 in einem stationären Klinikaufenthalt befunden, weshalb zu diesem Zeitpunkt eine hundertprozentige Arbeitsunfähigkeit bestanden habe. Folglich hat sie einen Rentenanspruch ab 6. März 2006 bejaht (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz widerspreche damit ihrer eigenen Einschätzung, wonach die Aktenlage eine abschliessende Beurteilung der Arbeitsfähigkeit und Invalidität nicht zulasse. Ausserdem unterscheide sie nicht zwischen Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit.
2.2 Invalidität beruht auf ganzer oder teilweiser Erwerbsunfähigkeit im Sinn von <ref-law> (SR 830.1; <ref-law>). Der Anspruch auf eine Invalidenrente nach <ref-law> entsteht frühestens in dem Zeitpunkt, in dem der Versicherte während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens zu 40 Prozent arbeitsunfähig im Sinn von <ref-law> gewesen war (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 geltenden Fassung).
2.3 Dass die vorinstanzlichen Feststellungen offensichtlich unrichtig sein sollen, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Die vom kantonalen Gericht als notwendig erachteten weiteren Abklärungen betreffen nicht die Arbeitsfähigkeit in der bisherigen Tätigkeit als Hotel-Angestellte, zumal diese nicht für die Entstehung der Invalidität resp. des Rentenanspruchs, sondern lediglich für die Bestimmung des Rentenbeginns ausschlaggebend ist. Die Vorinstanz hat diesbezüglich in Übereinstimmung mit der Beschwerdeführerin selber sowie mit allen medizinischen Unterlagen (implizite) eine vollständige Einschränkung angenommen. Weiter ist es entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin notorisch, dass während eines stationären - und medizinisch indizierten - Aufenthalts in einer Klinik sowohl in den bisherigen als auch in allen zumutbaren Tätigkeiten keine Arbeitsfähigkeit besteht. Es ist daher nicht zu beanstanden, dass das kantonale Gericht für die Dauer des Spitalaufenthalts einen Invaliditätsgrad von 100 % angenommen und das Entstehen eines entsprechenden Rentenanspruchs bejaht hat. Dazu steht auch nicht im Widerspruch, dass es in Bezug auf die Zeit nach Beendigung der stationären Behandlung weitere Sachverhaltsabklärungen - insbesondere im Hinblick auf die Arbeitsfähigkeit in zumutbaren Tätigkeiten - für unabdingbar hält. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin kann eine allfällige Verbesserung des Gesundheitszustandes durchaus im Vergleich zum medizinisch indizierten Klinikaufenthalt vorgenommen werden.
3. Schliesslich ist mit Blick auf die von der Beschwerdeführerin beantragte aufschiebende Wirkung (vgl. <ref-law>) eine Klarstellung angezeigt. Die Verwaltung scheint davon auszugehen, bei Abweisung der Beschwerde die Rente vorläufig bezahlen zu müssen. Dem ist nicht so: Im Dispositiv des angefochtenen Zwischenentscheides (E. 1.3) ist nicht eine Rente zugesprochen, sondern lediglich festgelegt worden, dass beim - erst noch zu treffenden - Endentscheid von einem Anspruch auf eine ganze Rente der Invalidenversicherung ab 6. März 2006 auszugehen sein wird und dass der Sachverhalt in Bezug auf die Fragen, ob und gegebenenfalls inwieweit und ab welchem Zeitpunkt der Anspruch änderte, weiterer Abklärung bedarf.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Überdies hat sie der obsiegenden Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. November 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Dormann