Sachverhalt:
A.
Der 1980 geborene A._ schloss 2002 eine Lehre als Betriebspraktiker ab. Im November 2003 hatte er sich erstmals bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle Luzern übernahm als erstmalige berufliche Ausbildung eine Attestlehre als Büroassistent, die A._ am 20. August 2008 erfolgreich abschloss. Am 23. September 2009 meldete er sich unter Hinweis auf eine Trichterbrust und eine Angsterkrankung wiederum bei der Invalidenversicherung an. Vom 4. Januar bis 28. August 2011 absolvierte er auf Veranlassung durch die Invalidenversicherung bei der Interessengemeinschaft Arbeit ein Arbeitstraining, anschliessend bis 23. Dezember 2011 einen Berufsförderungskurs. Mit Verfügung vom 10. August 2012 lehnte die IV-Stelle den Anspruch des Versicherten auf eine Invalidenrente ab. Die von A._ eingereichte Beschwerde hiess das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 4. September 2013 dahingehend gut, dass es die angefochtene Verfügung aufhob und die Sache zu weiteren psychiatrischen Abklärungen und neuer Beurteilung an die Verwaltung zurückwies. Die IV-Stelle holte in der Folge ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. B._ vom 17. Februar 2014 ein. Der Versicherte reichte seinerseits einen Bericht des Psychiaters und Neurologen Dr. med. C._ vom 5. Mai 2014 ein. Mit Verfügung vom 10. Juli 2014 sprach die IV-Stelle A._ auf der Grundlage eines Invaliditätsgrades von 50 % rückwirkend ab 1. Januar 2014 eine halbe Invalidenrente zu.
B.
Die vom Versicherten hiegegen eingereichte Beschwerde, mit welcher er zur Hauptsache die Aufhebung der Verfügung und die Zusprechung mindestens einer Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung hatte beantragen lassen, wies das Kantonsgericht Luzern nach Einholung einer Ergänzung des Gutachtens des Dr. med. B._ vom 25. Juni 2015 und Eingang einer Stellungnahme des Dr. med. C._ (vom 6. Juli 2015) mit Entscheid vom 10. September 2015 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren erneuern; des Weiteren beantragt er, das kantonale Gericht habe ihm die zusätzlichen medizinischen Abklärungskosten der Dres. med. C._ und D._ zu vergüten. Ferner ersucht er um die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (<ref-law>).
2.
Die Bestimmungen über die Entstehung des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 1 und 29 Abs. 1 IVG), dessen Höhe (<ref-law>) sowie die Bemessung des Invaliditätsgrades nach der Einkommensvergleichsmethode (<ref-law>) sind in der Verfügung der IV-Stelle wiedergegeben. Die Vorinstanz hat ferner die Rechtsprechung zu den psychischen Gesundheitsschäden, welche in gleicher Weise wie die körperlichen eine Invalidität im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> bewirken, zutreffend dargelegt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 554, 136 V 279 E. 3.2.1 S. 281). Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. Die Vorinstanz stützte sich in medizinischer Hinsicht hauptsächlich auf die psychiatrische Expertise des Dr. med. B._ vom 17. Februar 2014, der aufgrund der schweren Persönlichkeitsstörung, der ausgeprägten sozialen Phobie, der depressiven Störung sowie der geringgradig ausgeprägten Somatisierungsstörung eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 50 % bescheinigt hatte. Daran änderte laut kantonalem Gericht der vom Beschwerdeführer eingeholte Bericht des Dr. med. C._ vom 5. Mai 2014 nichts. Die nebst einer Persönlichkeitsstörung und der depressiven Störung aufgeführte Diagnose einer Aufmerksamkeitsdefizit- und Hyperaktivitätsstörung (ADHS) mit Persistenz im Erwachsenenalter (ICD-10 F 90.0) erachtete das kantonale Gericht nicht als erstellt. Gestützt auf eine Stellungnahme des Dr. med. B._ vom 25. Juni 2015 hielt es fest, angesichts der zahlreichen psychiatrischen Abklärungen und Behandlungen, auch stationärer Art, sei es kaum denkbar, dass beim Beschwerdeführer eine ADHS mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit bis zum Konsilium von Dr. med. C._ übersehen wurde. Die verschiedenen Merkmale einer ADHS, die schon während der Kindheit auftreten müssten, seien in keinem ärztlichen und beruflichen Abklärungsbericht erwähnt worden. Deshalb sei diese Diagnose nicht als zusätzlich die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigender Gesundheitsschaden in die Beurteilung miteinzubeziehen. Dies gelte umso mehr, als für die Belange der Invalidenversicherung nicht die Diagnose, sondern die funktionellen Auswirkungen der Beschwerden entscheidend seien. In Würdigung der fachärztlichen Angaben erkannte das Kantonsgericht dem psychiatrischen Administrativgutachten des Dr. med. B._ im Sinne von <ref-ruling> E. 3b/bb S. 353 vollen Beweiswert zu. Aufgrund eines Prozentvergleichs und unter Vornahme eines leidensbedingten Abzuges infolge Teilzeittätigkeit sowie der Ausübung einer Arbeit mit wenig sozialen Kontakten in einer wohlwollenden Umgebung von insgesamt 15 % ermittelte die Vorinstanz einen Invaliditätsgrad von 57,5 %, womit es beim Anspruch auf eine halbe Invalidenrente gemäss Verfügung vom 10. Juli 2014 blieb; indessen setzte das kantonale Gericht den Rentenbeginn auf den 1. März 2010 fest.
3.2. Der Beschwerdeführer bestreitet den Beweiswert der Expertise des Dr. med. B._ und beruft sich auf die von ihm beigebrachte Stellungnahme des Dr. med. C._, namentlich die von diesem diagnostizierte ADHS. Dieses Leiden beeinträchtige die Arbeitsfähigkeit zusätzlich, sodass der Versicherte voll arbeitsunfähig sei. Im Weiteren weist dieser darauf hin, dass er bei der Ausbildung zum Büroassistenten auf das Verständnis und die Geduld des Lehrbetriebes angewiesen gewesen sei und seine schulischen Leistungen nur knapp den Anforderungen entsprochen hätten. Bei Antritt einer Stelle sei er auf ein solches Entgegenkommen eines Arbeitgebers angewiesen. Beim Einkommensvergleich sodann erachtet der Beschwerdeführer einen leidensbedingten Abzug von 25 % vom Invalideneinkommen als gerechtfertigt.
4.
Der Beschwerdeführer kritisiert das Administrativgutachten des Dr. med. B._, welches die Vorinstanz als Grundlage ihres Entscheides heranzieht, ohne auszuführen oder gar eingehend zu begründen, inwiefern das kantonale Gericht als Folge davon den rechtserheblichen Sachverhalt offensichtlich unrichtig oder anderweitig in Verletzung von Bundesrecht festgestellt habe. Vielmehr erschöpfen sich die Einwendungen des Versicherten über weite Strecken in einer im Rahmen der gesetzlichen Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts (E. 1 hievor) unbeachtlichen appellatorischen Kritik an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung. Soweit sich der Beschwerdeführer auf die fachärztlichen Stellungnahmen des Dr. med. C._ und dessen Diagnose einer ADHS beruft, hat er sich entgegenhalten zu lassen, dass die Vorinstanz gestützt auf den ergänzenden Bericht des Dr. med. B._ vom 25. Juni 2015 ausführlich die Gründe dargelegt hat, welche gegen das Vorliegen des betreffenden Gesundheitsschaden sprechen. Im Übrigen hat sie ausgeführt, dass das Vorliegen des entsprechenden Leidens auf den Verfahrensausgang keinen Einfluss hätte. Von einer willkürlichen Beweiswürdigung kann nicht die Rede sein. Der Einwand, dass der Beschwerdeführer nur an einem auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt nicht vorhandenen Arbeitsplatz tätig sein könnte, wo ihm Rücksicht und Wohlwollen entgegengebracht werden, ist nicht stichhaltig. Administrativgutachter Dr. med. B._ hielt fest, dem Beschwerdeführer sei eine berufliche Tätigkeit mit wenig sozialen Kontakten und in wohlwollender Umgebung zu 50 % zumutbar. Ob der Versicherte konkret eine derartige Arbeitsgelegenheit findet, ist nicht entscheidend. Massgebend ist, dass der ausgeglichene Arbeitsmarkt, auf welchen bei der Invaliditätsbemessung im Sinne eines objektiven Tatbestandselements (<ref-ruling> E. 5.3 S. 275; zum Begriff des ausgeglichenen Arbeitsmarktes siehe <ref-ruling> E. 4b S. 276) abzustellen ist (<ref-law>), solche Stellen kennt. Was schliesslich den leidensbedingten Abzug vom hypothetischen Invalideneinkommen betrifft, den der Beschwerdeführer auf 25 % erhöhen möchte, ist darauf aufmerksam zu machen, dass es sich bei der Höhe dieses Abzugs um eine typische Ermessensfrage handelt, deren Beantwortung letztinstanzlicher Korrektur nur mehr dort zugänglich ist, wo das kantonale Gericht das Ermessens rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung vorliegt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 399). Inwieweit das Kantonsgericht mit der Festsetzung des leidensbedingten Abzugs auf 15 % sein Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt haben soll, vermag der Beschwerdeführer nicht darzutun.
5.
Eine Vergütung der Abklärungskosten für die vom Versicherten veranlassten medizinischen Untersuchungen durch Dr. med. C._, wie sie in der Beschwerde beantragt wird, fällt ausser Betracht. Die Übernahme der Kosten der vom unterliegenden Versicherten eingereichten Gutachten durch die Verwaltung käme nur in Frage, wenn sich der medizinische Sachverhalt erst aufgrund des im kantonalen Beschwerdeverfahren beigebrachten Untersuchungsergebnisses schlüssig hätte feststellen lassen (vgl. statt vieler Urteil 9C_884/2014 vom 24. April 2015 E. 7). Diese Voraussetzungen sind hier nicht erfüllt. Die Stellungnahmen des Dr. med. C._ haben nicht zu einer wesentlichen Erhellung der medizinischen Situation beigetragen, dank welcher eine schlüssige Feststellung des Gesundheitszustandes des Versicherten erst möglich geworden wäre.
6.
Dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist stattzugeben, da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>). Der Beschwerdeführer wird jedoch darauf hingewiesen, dass er der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwalt Marco Unternährer wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Dezember 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Widmer