Faits :
A.
A.a. A._ s'est fait engager le 18 juillet 2008 par B._ SA comme apprenti en mécatronique d'automobiles pour la période du 4 août 2008 au 3 août 2012. Il avait déjà suivi une formation d'automaticien couronnée par un certificat fédéral de capacité (CFC), ce qui a été pris en compte dans sa rémunération progressive (1'300 fr. la première année, puis 1'400 fr., 1'600 fr. et 1'800 fr. les années suivantes).
Né en juillet 1987, le prénommé est passionné par le sport automobile et les belles mécaniques. Il a effectué des cours de pilotage sur neige et sur circuit et s'est profilé comme organisateur de sorties sur circuit.
A.b. Dans un rapport du 1er décembre 2009, le formateur responsable de l'apprenti a indiqué que les exigences requises en conformité avec l'ordonnance sur la formation n'étaient que partiellement atteintes dans les domaines suivants: quantité/rythme de travail; maniement des moyens et équipements; stratégie d'apprentissage et de travail; collaboration et communication. Dans la rubrique "objectifs pour le prochain semestre", il était mentionné que l'apprenti était appliqué, mais pouvait améliorer ses compétences professionnelles et méthodologiques.
A.c. Le 25 juin 2010, B._ SA (ci-après: l'employeuse) a demandé à l'apprenti d'aller chercher une Jaguar de collection au domicile d'un client et d'amener ce véhicule au garage. L'apprenti a effectué un détour non autorisé. Par ailleurs, le moteur a été fortement endommagé lors du trajet à cause d'une fuite d'huile. Les pompiers ont dû intervenir; dans leur rapport, ils ont fait état d'une traînée d'huile s'étendant sur plusieurs kilomètres.
Le 29 juin 2010, l'employeuse a exprimé son insatisfaction quant au travail de l'apprenti et lui a annoncé son intention de résilier le contrat à titre anticipé. Les parties se sont entendues sur l'octroi d'un délai supplémentaire de deux mois afin de permettre à l'intéressé de poursuivre son apprentissage et de trouver une nouvelle place.
Par lettre du 30 juin 2010, adressée en copie au commissaire d'apprentissage, l'employeuse a déclaré résilier le contrat de l'apprenti pour le 3 août 2010. Elle précisait notamment ce qui suit: " Suite au dernier incident survenu avec la Jaguar Type E [...], nous n'avons plus confiance en vos capacités d'effectuer un travail qui correspond aux attentes de notre entreprise ".
Le 6 juillet 2010, l'apprenti a contesté le contenu de cette lettre et s'est opposé à la résiliation anticipée. Il a été en incapacité de travail pour cause de maladie du 5 juillet au 5 septembre 2010. Sur requête de l'apprenti, l'employeuse a confirmé par lettre du 24 août 2010 qu'elle l'avait libéré de son obligation de travailler et qu'il était autorisé à poursuivre son apprentissage auprès de n'importe quel concurrent.
L'apprenti a été engagé par un autre garage le 6 septembre 2010, mais a ensuite été licencié pour le 5 novembre 2010, au motif qu'il exerçait parallèlement une activité proche de celle de son employeur.
La Jaguar endommagée a été réparée et restituée au client le 24 novembre 2010. L'employeuse a établi une facture de 20'651 fr. 55. Son assurance responsabilité civile a refusé de prendre le cas en charge, arguant notamment du fait que la fuite provenait d'un filtre desserré dont le montage était incorrect.
B.
B.a. Le 24 décembre 2010, l'apprenti a déposé une demande contre l'employeuse devant le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne. Il concluait à la délivrance d'un certificat de travail, à une indemnité de 9'600 fr. pour licenciement immédiat injustifié et au paiement de 20'993 fr. 15.
L'employeuse a conclu au rejet, en invoquant la compensation. A titre reconventionnel, elle a requis le paiement de 811 fr. 25 pour des vacances prises sans droit, respectivement de 20'651 fr. 55 pour le dommage causé sur la Jaguar.

B.b. Une expertise judiciaire a été mise en oeuvre. L'expert considère que le coût des travaux de réparation de la Jaguar (20'651 fr. 55) est correct et justifié. La destruction du moteur est due à l'importante perte d'huile survenue lors du trajet accompli par l'apprenti. Selon toute vraisemblance, une accélération trop rapide a entraîné une brusque montée de la pression dans le circuit d'huile, suite à quoi le tuyau de sortie d'huile s'est dégagé de son raccord, qui n'était pas suffisamment serré. Le détenteur du véhicule n'a pas pu provoquer ce problème, dès lors qu'il avait reçu des instructions précises sur la vitesse à ne pas dépasser. La cause du dommage est liée à la manière de conduire de l'apprenti, sans qu'on puisse dire qu'il a commis une faute; le fait d'utiliser le véhicule dans toute sa plage possible ne peut pas être assimilé à une faute professionnelle. Les dommages causés au moteur auraient pu être minimisés si l'apprenti avait arrêté le véhicule au premier signe de baisse de la pression d'huile due à la fuite. Toutefois, une telle baisse est relativement peu aisée à déceler. Lorsque le moteur tourne au ralenti, la pression d'huile est relativement faible et l'aiguille du manomètre bouge très peu. Le problème n'est perceptible que pour des personnes parfaitement au courant des spécificités de ces véhicules.
Plusieurs témoins ont été entendus. C._, qui était apprenti en même temps que le demandeur, a déclaré que celui-ci n'était pas toujours motivé et qu'il avait reçu à plusieurs reprises des remarques concernant ses aptitudes professionnelles. Ses dires ont été confirmés par D._, responsable du service après-vente. Selon ce témoin, l'apprenti était censé être un bon élément, mais s'était finalement révélé inapte au métier, n'ayant pas les compétences escomptées et se montrant prétentieux et hermétique aux instructions prodiguées par ses supérieurs. Le témoin avait repris personnellement l'apprenti sur des manquements graves et lui avait donné oralement plusieurs avertissements formels en mai et juin 2009. Il a expliqué que l'apprenti avait enlevé avec un cutter des autocollants apposés sur un Hummer, endommageant ainsi de manière irrémédiable la peinture de la carrosserie; il avait aussi tenté d'enlever des autocollants sur une Lotus à l'aide d'un foehn, causant un décollement de la peinture qui avait nécessité des travaux de carrosserie à charge de l'employeuse; enfin, il avait tenté d'enlever le bouchon de vidange d'une Maserati en se servant d'une déboulonneuse à air comprimé sur un carter en aluminium, provoquant une projection d'huile sur lui et tout le moteur; le témoin jugeait ce dernier procédé intolérable de la part d'une personne ayant plus de six mois d'expérience. Un autre collègue de l'apprenti a également affirmé que l'employeuse n'était pas toujours satisfaite de ses services. Pour ces trois témoins, l'apprenti aurait dû se rendre compte de la fuite d'huile et de la perte d'adhérence du véhicule.
B.c. Par jugement du 25 avril 2013, le Tribunal civil a très partiellement admis la demande de l'apprenti en condamnant l'employeuse à lui délivrer un certificat de travail et à lui verser 2'492 fr. 30 plus intérêts à titre d'heures supplémentaires non payées et de vacances non compensées. Il a rejeté l'action principale pour le surplus, ainsi que l'action reconventionnelle.
B.d. Les deux parties ont interjeté appel. Par arrêt du 4 novembre 2013, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a confirmé le jugement entrepris.
C.
L'apprenti saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile, dans lequel il conclut à la réforme de l'arrêt sur appel, en ce sens que l'employeuse, en sus du paiement de 2'492 fr. 30, est condamnée à lui verser une indemnité de 9'600 fr. pour licenciement immédiat injustifié, et un montant de 14'040 fr. représentant une partie du salaire qu'il aurait dû toucher jusqu'à l'expiration régulière de son contrat.
L'employeuse intimée conclut au rejet. L'autorité précédente se réfère à son arrêt.
Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont satisfaites sur le principe; en particulier la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. requise pour les conflits de droit du travail est atteinte (art. 74 al. 1 let. a LTF).
2.
2.1. Le recourant dénonce une violation des art. 337 et 346 CO, en contestant principalement l'existence de justes motifs de licenciement. Il fait remarquer qu'aux dires mêmes de l'expert, il n'a commis aucune faute professionnelle lors de la panne du 25 juin 2010, qui aurait pu arriver à n'importe qui; il ne saurait être question de l'"épisode de trop", alors que les manquements précédents n'ont fait l'objet d'aucun avertissement assorti d'une menace de résilier le contrat.
2.2. L'intimée reproche au recourant de reprendre pour l'essentiel l'argumentation présentée en appel.
Le recourant n'a pas obtenu gain de cause devant l'autorité précédente; il fait suffisamment ressortir pour quels motifs le droit fédéral a, de son point de vue, été violé par la Cour d'appel qui, pour l'essentiel, fait sienne l'argumentation des premiers juges.
2.3. Le contrat d'apprentissage est de durée déterminée; il prend fin à l'expiration du terme convenu (art. 334 al. 1 CO, par renvoi de l'art. 355 CO; cf. par ex. WOLFGANG PORTMANN, in Basler Kommentar, 5 e éd. 2011, n° 1 ad art. 346 CO). L'art. 346 al. 2 CO réserve toutefois la possibilité de résilier immédiatement le contrat pour de justes motifs au sens de l'art. 337 CO. Cette disposition énumère à titre non exhaustif trois motifs liés aux objectifs de formation du contrat. Pour le surplus, les conditions sont en principe celles de l'art. 337 CO, auquel la loi renvoie expressément (arrêt 4C.370/2004 du 23 décembre 2004, consid. 2.2; PORTMANN, op. cit., n° 4 ad art. 346 CO).
Selon l'art. 337 CO, l'employeur et le travailleur peuvent résilier immédiatement le contrat en tout temps pour de justes motifs (al. 1). Sont notamment de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail (al. 2).
La résiliation immédiate est une mesure exceptionnelle qui ne doit être admise que de façon restrictive. Les faits invoqués à l'appui d'une telle mesure doivent objectivement et subjectivement détruire la confiance qui est le fondement du contrat de travail, ou l'ébranler à un point tel que la continuation des relations contractuelles ne peut plus être exigée (<ref-ruling> consid. 2.1.1; <ref-ruling> consid. 2.1).
Seul un manquement particulièrement grave du travailleur justifie son licenciement immédiat. Si le manquement est moins grave, il ne peut entraîner une telle sanction que s'il a été répété malgré un avertissement (ATF <ref-ruling> consid. 2.1). Par manquement, l'on entend généralement la violation d'une obligation contractuelle, mais d'autres incidents peuvent justifier une résiliation immédiate (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 31). L'avertissement ne doit pas nécessairement comporter dans chaque cas une menace expresse de résiliation immédiate. Il n'en demeure pas moins qu'en avertissant le travailleur, l'employeur doit clairement lui faire comprendre qu'il considère le comportement incriminé comme inadmissible et que sa répétition ne restera pas sans sanction; le travailleur doit savoir quelle attitude ne sera plus tolérée à l'avenir (arrêts 4C.10/2007 du 30 avril 2007 consid. 2.1, in JAR 2008 188; 4C.364/2005 du 12 janvier 2006 consid. 2.3, in RSJ 2006 214). Ceci dit, l'on ne saurait poser des règles rigides sur le nombre et le contenu des avertissements dont la méconnaissance, par le travailleur, est susceptible de justifier un licenciement immédiat. Sont décisives les circonstances concrètes, notamment la nature et la gravité des manquements, leur fréquence ou leur durée, de même que l'attitude du travailleur face aux injonctions ou menaces formulées à son encontre (<ref-ruling> consid. 1c p. 157).
2.4. En l'occurrence, la résiliation pour justes motifs est consécutive à l'épisode du 25 juin 2010 au cours duquel le moteur de la Jaguar a été sérieusement endommagé, pour un montant de quelque 20'000 fr. La Cour d'appel a jugé que l'apprenti n'avait pas à répondre de ce dommage, à défaut notamment d'un lien de causalité adéquate entre son comportement et le résultat. En revanche, elle a admis que les conditions d'une résiliation immédiate étaient réalisées, ce que l'apprenti conteste.
A l'instar de l'expert, l'autorité précédente a jugé que le fait d'utiliser le véhicule dans toute sa plage possible et d'accélérer trop rapidement n'était pas une faute en soi; qu'en outre, l'on ne pouvait reprocher à un apprenti en formation de n'avoir pas décelé un dysfonctionnement (baisse du niveau d'huile) que seule une personne expérimentée pouvait repérer. En définitive, le seul manquement imputable à l'apprenti était d'avoir effectué un détour non autorisé de quelques kilomètres supplémentaires, étant précisé que le serrage du moteur aurait tout aussi bien pu arriver si l'apprenti n'avait pas effectué ce détour avant d'arriver au garage. Un tel manquement ne pouvait justifier à lui seul une résiliation immédiate, mais il s'ajoutait à des précédents, de sorte que la mesure prise par l'employeuse se révélait légitime.
2.5. L'expert donne des indications d'ordre technique lorsqu'il s'exprime sur la cause du dommage et sur la facilité à déceler une panne d'huile; en revanche, il émet une appréciation qui ne lie pas le juge lorsqu'il se prononce sur la faute de l'apprenti. En l'occurrence, l'employeur qui charge un collaborateur de ramener un véhicule de collection au garage doit pouvoir attendre de lui un comportement exemplaire. L'employé doit adopter une conduite prudente et rentrer sans tarder au garage; il ne saurait saisir l'occasion de faire un détour et de tester la puissance du moteur pour assouvir sa passion pour le sport automobile. L'apprenti, déjà âgé de 23 ans au moment des faits, ne pouvait ignorer ses obligations. Le manquement commis n'est certainement pas anodin; il est propre à entamer dans une certaine mesure la confiance de l'employeur dans son apprenti. Ceci dit, il faut admettre avec la Cour d'appel qu'il ne revêtait pas une gravité suffisante pour justifier une résiliation immédiate, la jurisprudence exigeant un comportement particulièrement grave.
Contrairement à ce que plaide le recourant, il n'est pas contradictoire de dénier toute responsabilité pour le dommage causé au moteur, faute de lien de causalité adéquate, et de néanmoins retenir une violation des obligations découlant du contrat d'apprentissage. Le fait d'accélérer subitement et de faire un détour de quelques kilomètres n'est, selon le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, pas de nature à causer une fuite d'huile et un serrage du moteur; cela n'enlève rien au fait qu'il s'agit d'une violation des obligations découlant du contrat d'apprentissage. Il reste à examiner si une résiliation anticipée pouvait se justifier en raison d'un concours de manquements.
2.6.
2.6.1. Le Tribunal cantonal a reproché à l'apprenti, témoignages à l'appui, d'avoir déjà violé à plusieurs reprises son devoir de diligence en agissant de manière inadaptée et préjudiciable sur plusieurs véhicules qui lui avaient été confiés; le tribunal a cité les trois épisodes relatifs au décollement des autocollants et au bouchon de vidange (supra, let. Bb). Il a ajouté que l'apprenti s'était montré buté et hermétique aux instructions de ses supérieurs et avait essuyé plusieurs fois des remarques sur ses aptitudes professionnelles. Pour les juges cantonaux, l'accumulation de ces divers manquements avait rendu impossible la continuation des rapports de travail jusqu'à l'échéance du contrat quelque deux ans plus tard, soit le 3 août 2012.
2.6.2. Le recourant soulève un moyen de fait, reprochant à l'autorité précédente d'avoir versé dans l'arbitraire en retenant systématiquement les témoignages à charge au détriment des témoignages en sa faveur.
Le recourant s'est abstenu de contester l'appréciation des preuves au stade de l'appel; de surcroît, le grief n'est pas suffisamment étayé pour répondre aux exigences de motivation plus strictes concernant un droit constitutionnel tel que la prohibition de l'arbitraire (art. 9 Cst.; cf. art. 106 al. 2 LTF et <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2 et 1.4.3). Ceci dit, il n'est pas contradictoire de retenir sur un certain point un témoignage qui est corroboré par d'autres éléments de preuve, tout en l'écartant sur un autre point pour manque de crédibilité, alors que d'autres preuves infirment ce témoignage.
2.6.3. En droit, il apparaît que trois manquements précis sont reprochés à l'apprenti pour la période antérieure au 25 juin 2010: le décollement inapproprié d'autocollants, qui a endommagé irrémédiablement la peinture de la carrosserie dans un cas, et nécessité des travaux à la charge de l'employeuse dans l'autre cas. A cela s'ajoute une erreur sur l'enlèvement du bouchon de vidange, qui a provoqué une projection d'huile sur le moteur et sur l'apprenti. Par ailleurs, des critiques d'ordre général sont émises quant aux aptitudes professionnelles de l'apprenti, à sa motivation chancelante et à son caractère, jugé prétentieux et hermétique aux instructions selon le chef du service après-vente. Ce dernier estime qu'il n'était pas fait pour le métier.
L'apprenti a reçu plusieurs avertissements oraux qui lui ont été signifiés par le chef du service après-vente en mai et juin 2009. Si l'on ignore le contenu précis de ces avertissements, tout porte à croire qu'ils se rapportent aux trois manquements évoqués ci-dessus, soit les seuls épisodes sur lesquels le témoin donne des détails. Le témoin indique du reste que l'erreur commise avec le bouchon de vidange est inacceptable de la part d'une personne ayant "plus de six mois d'expérience"; l'apprenti étant entré en service en août 2008, l'incident semble bien se situer dans le premier semestre 2009. Il n'est en tout cas pas établi que ces épisodes seraient postérieurs au rapport établi le 1er décembre 2009 par le formateur responsable de l'apprenti. Ce document révèle que certaines exigences ne sont que partiellement atteintes, en particulier quant à la quantité de travail et à la collaboration et communication. Dans la rubrique "objectifs pour le prochain semestre", il est précisé que l'apprenti est appliqué, mais susceptible d'améliorer ses compétences professionnelles et méthodologiques. Au vu de cette évaluation, l'employé devait certes comprendre que son employeuse n'était pas entièrement satisfaite de ses prestations et attendait des améliorations. Mais l'on ne discerne aucun élément faisant inférer qu'elle lui tenait rigueur des incidents ayant suscité des avertissements en mai et juin 2009, respectivement qu'elle attendait de sa part une modification de son comportement et qu'il planait une menace sur la poursuite des rapports de travail. Rien n'indique qu'après ce rapport, l'employé ait fait l'objet de nouveaux avertissements. Il n'est pas constaté de manquements précis entre ce rapport et l'épisode du 25 juin 2010.
En résumé, l'apprenti a commis un nouveau manquement qui ne saurait être qualifié de peu grave lorsqu'il a effectué un détour avec un véhicule de collection qu'il était chargé de ramener au garage, et dont il a "poussé" le moteur. Il avait déjà fait l'objet d'avertissements un an auparavant et commis trois erreurs précises. Toutefois, dans l'intervalle, il a été l'objet d'un rapport plutôt positif, l'invitant certes à améliorer ses compétences professionnelles et méthodologiques, mais reconnaissant qu'il se montrait appliqué. Si l'apprenti ne donnait pas satisfaction et n'était pas fait pour ce métier, comme le souligne un supérieur, il incombait à l'employeuse de le lui signifier clairement et de lui indiquer quel comportement elle attendait de sa part à l'avenir. Or, il n'apparaît pas qu'une telle mise au point ait été faite. Les critiques peu spécifiques émises à propos de l'apprenti ne permettent pas non plus d'inférer qu'un avertissement était superflu et qu'il devait sans autre comprendre que son emploi était menacé et qu'un nouvel écart de sa part serait sanctionné par une résiliation extraordinaire. Dans ces circonstances, l'employeuse ne pouvait mettre fin aux rapports de travail sans avoir adressé à l'apprenti un avertissement clair qu'elle attendait désormais un comportement exemplaire et ne tolérerait plus aucun manquement à l'avenir. L'autorité précédente a enfreint l'art. 337 CO en considérant que les conditions d'une résiliation immédiate étaient réalisées.
2.7. Les considérations qui précèdent rendent superflu l'examen des autres griefs du recourant.
2.8. En définitive, l'arrêt attaqué doit être annulé et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle statue à nouveau sur les prétentions émises en relation avec le licenciement immédiat injustifié, respectivement sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
3.
L'intimée succombe. En conséquence, elle supportera les frais de la présente procédure et versera une indemnité de dépens au recourant (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle rende une nouvelle décision.
2.
Les frais de la présente procédure, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
L'intimée versera au recourant une indemnité de 1'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 8 octobre 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Klett
La Greffière : Monti