Faits:
A. C._, né en 1962, a travaillé en qualité de comptable au service de la société X._ (Suisse) SA. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Winterthur Assurances (aujourd'hui : Axa Winterthur Assurances; ci-après : Winterthur Assurances).
Le 1er novembre 2000, il a été victime d'un accident de la circulation ensuite duquel il a subi notamment une rupture traumatique de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite. Winterthur Assurances a pris en charge le cas.
Depuis lors, C._ a subi diverses périodes d'incapacité de travail entière et partielle en raison des séquelles de son accident. Il n'a pas repris d'activité professionnelle depuis le mois de mai 2002.
Après avoir recueilli différents avis médicaux, l'assureur-accidents a rendu une décision, le 7 février 2005, par laquelle il a supprimé le droit de l'assuré à toute prestation à partir du 31 août 2002, au motif que la symptomatologie douloureuse dont souffrait encore l'intéressé à cette date n'était pas en relation de causalité avec l'accident du 1er novembre 2000.
L'assuré ayant formé opposition contre cette décision, Winterthur Assurances a confié une expertise pluridisciplinaire aux médecins de l'Hôpital Y._ (rapport du 19 septembre 2006). De son côté, l'intéressé a produit une expertise qu'il avait demandée à titre privé aux médecins du Service V._ de l'Hôpital Z._ (rapport du 1er février 2006).
Par décision du 29 janvier 2007, Winterthur Assurances a alloué à l'assuré, à partir du 1er janvier 2007, une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 50 %. Saisie d'une opposition, elle l'a rejetée par décision du 19 mars 2007.
B. L'assuré a déféré cette décision sur opposition au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève en concluant à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 100 %.
Le 18 septembre 2007, la juridiction cantonale a entendu en qualité de témoins deux des auteurs des rapports d'expertise versés au dossier, à savoir le docteur H._, médecin à l'Hôpital Z._, et le docteur P._, médecin à l'Hôpital Y._.
Elle a rejeté le recours par jugement du 27 mai 2008.
C. Par décision sur opposition du 17 avril 2008, l'Office AI pour les assurés résidant à l'étranger a alloué à l'assuré, à partir du 1er novembre 2001, une demi-rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 50 %.
L'assuré a recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif fédéral en concluant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité.
D. Par écriture du 5 juin 2008, l'assuré a demandé au tribunal cantonal de "rétracter" son jugement du 27 mai précédent, au motif qu'il reposait à tort sur le principe que la décision sur opposition de l'Office AI du 17 avril 2008 était entrée en force.
La juridiction cantonale a transmis cette écriture au Tribunal fédéral comme objet de sa compétence.
Par ordonnance du 13 juin 2008, le Président de la Ire Cour de droit social a demandé à l'intéressé si sa lettre du 5 juin précédent constituait un recours contre le jugement du tribunal cantonal du 27 mai 2008, auquel cas il l'invitait à compléter dans le délai légal son écriture de manière à satisfaire aux exigences légales.
L'assuré a déposé en temps utile un mémoire de recours, par lequel il conclut à l'octroi d'une rente fondée sur un taux d'incapacité de gain de 100 %, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement après complément d'instruction, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le taux de la rente d'invalidité de l'assurance-accidents allouée au recourant.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente (<ref-law>).
2. 2.1 Si l'assuré est invalide (<ref-law>) à 10 % au moins par suite d'un accident, il a droit à une rente d'invalidité (<ref-law>). Selon l'<ref-law>, est réputée invalidité l'incapacité de gain totale ou partielle qui est présumée permanente ou de longue durée. Pour évaluer le taux d'invalidité, le revenu que l'assuré aurait pu obtenir s'il n'était pas invalide est comparé avec celui qu'il pourrait obtenir en exerçant l'activité qui peut raisonnablement être exigée de lui après les traitements et les mesures de réadaptation, sur un marché du travail équilibré (<ref-law>).
2.2 Par sa décision sur opposition litigieuse du 19 mars 2007, l'assureur-accidents a alloué à l'assuré une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 50 %. Faisant siennes les conclusions des médecins de l'Hôpital Y._ (rapport du 19 septembre 2006), il a considéré que l'intéressé était apte à accomplir son activité habituelle à raison de 50 %.
La juridiction cantonale a confirmé le point de vue de l'assureur-accidents en invoquant la jurisprudence selon laquelle la notion d'invalidité est, en principe, identique dans les différentes branches de l'assurance sociale, de sorte qu'il convient d'éviter que, pour une même atteinte à la santé, l'assurance-invalidité et l'assurance-accidents n'aboutissent à des appréciations divergentes quant au taux d'invalidité (<ref-ruling> consid. 2a p. 291). Selon le tribunal cantonal, Winterthur Assurances était donc liée par le taux d'invalidité de 50 % constaté par l'Office AI, dans la mesure où ce taux avait été fixé par une décision « entrée en force ». Par ailleurs, les premiers juges ont considéré qu'au demeurant, il n'y avait aucune raison de s'écarter de ce taux, sur le vu des rapports d'expertise versés au dossier.
2.3 Par un premier moyen, le recourant reproche au tribunal cantonal de s'être cru lié, en principe tout au moins, au taux d'invalidité fixé par les organes de l'assurance-invalidité, alors que la décision sur opposition de l'office AI du 17 avril 2008 n'est pas entrée en force à la suite du recours pendant devant le Tribunal administratif fédéral.
Il est à noter d'emblée que l'ancien Tribunal fédéral des assurances a précisé sa jurisprudence relative au principe d'uniformité de la notion d'invalidité dans l'assurance sociale en ce sens que l'évaluation de l'invalidité par les organes de l'assurance-invalidité n'a pas de force contraignante pour l'assureur-accidents (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 368). Récemment, le Tribunal fédéral a admis la réciprocité de cette règle à l'égard de l'assurance-invalidité en jugeant que celle-ci n'était pas liée par l'évaluation de l'invalidité de l'assurance-accidents au sens de l'arrêt <ref-ruling>, avec comme conséquence que l'office AI n'avait pas qualité pour faire opposition à la décision ni pour recourir contre la décision sur opposition de l'assureur-accidents concernant le droit à la rente en tant que tel ou le taux d'invalidité (<ref-ruling>). En l'espèce, il est donc possible de procéder à l'évaluation de l'invalidité du recourant indépendamment de la décision de l'office AI. Il n'est ainsi pas décisif que la procédure en matière d'invalidité fût ou non encore pendante ensuite du recours déposé devant le Tribunal administratif fédéral.
Il est à noter d'emblée que l'ancien Tribunal fédéral des assurances a précisé sa jurisprudence relative au principe d'uniformité de la notion d'invalidité dans l'assurance sociale en ce sens que l'évaluation de l'invalidité par les organes de l'assurance-invalidité n'a pas de force contraignante pour l'assureur-accidents (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 368). Récemment, le Tribunal fédéral a admis la réciprocité de cette règle à l'égard de l'assurance-invalidité en jugeant que celle-ci n'était pas liée par l'évaluation de l'invalidité de l'assurance-accidents au sens de l'arrêt <ref-ruling>, avec comme conséquence que l'office AI n'avait pas qualité pour faire opposition à la décision ni pour recourir contre la décision sur opposition de l'assureur-accidents concernant le droit à la rente en tant que tel ou le taux d'invalidité (<ref-ruling>). En l'espèce, il est donc possible de procéder à l'évaluation de l'invalidité du recourant indépendamment de la décision de l'office AI. Il n'est ainsi pas décisif que la procédure en matière d'invalidité fût ou non encore pendante ensuite du recours déposé devant le Tribunal administratif fédéral.
2.4 2.4.1 Par un deuxième moyen, le recourant se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves. Il fait grief aux premiers juges de s'être fondés, pour déterminer sa capacité de travail, sur les conclusions des médecins de l'Hôpital Y._ plutôt que sur celles des médecins de l'Hôpital Z._. Or, il conteste la valeur probante du rapport d'expertise de l'Hôpital Y._, au motif qu'il contient des lacunes et des incohérences par rapport au témoignage exprimé devant la juridiction cantonale par le docteur P._, médecin dans cet établissement. D'une part, il reproche à cet expert de n'avoir tenu compte, dans son appréciation, « ni des douleurs exprimées ni des conséquences desdites douleurs sur sa capacité de concentration et sa faculté de récupérer durant le sommeil ». D'autre part, il critique un manque de cohérence quant au point de savoir si l'activité exercée jusqu'alors était encore exigible à 50 %.
2.4.2 Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète la jurisprudence concernant la valeur probante de rapports médicaux et d'expertises mises en oeuvre par l'assureur. Il suffit dès lors d'y renvoyer.
Il convient d'ajouter que, selon la jurisprudence, une expertise présentée par une partie n'a pas la même valeur que des expertises mises en oeuvre par un tribunal ou par l'administration conformément aux règles de procédure applicables. En vertu des principes énoncés par la jurisprudence concernant l'appréciation des preuves, le juge est toutefois tenu d'examiner si elle est propre à mettre en doute, sur les points litigieux importants, l'opinion ou les conclusions de l'expert mandaté par le tribunal ou par l'administration (<ref-ruling> consid. 3c p. 354).
2.4.3 Dans leur rapport du 19 septembre 2006, sur lequel se sont fondés l'intimée et le tribunal cantonal pour admettre une capacité de travail de 50 % dans l'ancienne activité, les médecins de l'Hôpital Y._ ont fait état, au titre des diagnostics ayant une répercussion sur la capacité de travail, d'une épaule droite bloquée, d'une capsulite rétractile séquellaire avec douleurs scapulo-humérales persistantes et d'un trouble de l'adaptation avec réaction mixte anxieuse et dépressive. En outre, ils ont décrit diverses atteintes sans influence sur la capacité de travail. Parmi les activités que l'assuré ne pouvait plus exercer figuraient en particulier l'écriture prolongée et l'usage de claviers d'ordinateur, de souris ou d'autres outils informatiques avec la main droite. Sur la base de ces éléments, les experts ont attesté une capacité de travail de 50 % dans l'ancien emploi ou dans une autre activité adaptée aux limitations fonctionnelles décrites.
Pour leur part, les médecins de l'Hôpital Z._ se sont fondés, en ce qui concerne les troubles affectant l'épaule droite, sur des diagnostics superposables à ceux qui ont été posés par les médecins de l'Hôpital Y._. Ils ont toutefois apprécié différemment la capacité de travail du recourant. Selon eux, aucune activité n'est plus exigible aux motifs que les douleurs de l'assuré l'empêchent de « travailler même dans une situation de type administratif sans travaux lourds » et que sa réintégration dans la vie professionnelle est devenue problématique eu égard au nombre d'années passées sans emploi (rapport du 1er février 2006).
Lors de l'audience d'enquêtes du 18 septembre 2007, le docteur H._, médecin à l'Hôpital Z._, a indiqué que l'incapacité de travail attestée dans le rapport susmentionné tenait compte des plaintes subjectives du recourant, à savoir des problèmes de concentration et des troubles du sommeil. Pour le reste, il a confirmé les limitations objectives constatées par le docteur P._, cosignataire du rapport d'expertise de l'Hôpital Y._. Quant à ce médecin, il a confirmé en audience les conclusions de l'expertise du 19 septembre 2006 et affirmé avoir dûment tenu compte dans son appréciation des douleurs de l'assuré et de la baisse de rendement qui en découle. A son avis, l'intéressé disposait des ressources nécessaires pour surmonter ses douleurs et réintégrer le monde du travail à mi-temps.
Vu ce qui précède, les critiques formulées dans le recours ne sont pas de nature à mettre en doute les conclusions des experts de l'Hôpital Y._. D'une part, contrairement à ce qu'affirme le recourant, il n'existe pas de contradiction entre le témoignage du docteur P._ en audience d'enquêtes et les conclusions du rapport d'expertise de l'Hôpital Y._. Lors de son audition, le 18 septembre 2007, ce médecin a confirmé son appréciation antérieure quant au genre d'activité exigible de la part de l'assuré tout en précisant qu'il n'y avait pas lieu de se focaliser sur la profession antérieure. Ce faisant, il est d'avis que l'assuré pouvait reprendre son ancienne activité professionnelle à mi-temps à la condition que son poste fût adapté aux limitations fonctionnelles constatées. D'autre part, en dépit des allégations du recourant, tous les éléments médicaux pertinents ont été pris en considération par les experts de l'Hôpital Y._. En effet, d'après le témoignage du docteur P._, ses collègues et lui ont tenu compte non seulement des plaintes subjectives de l'assuré, mais également des conséquences de son atteinte à la santé sur l'ensemble de ses capacités. Les problèmes de concentration et de récupération ont donc été dûment pris en considération par les experts de l'Hôpital Y._. Quant au rapport d'expertise de l'Hôpital Z._ (du 1er février 2006), il ne démontre pas pourquoi l'assuré ne serait pas en mesure de reprendre son ancienne activité à mi-temps après adaptation de son poste de travail. En effet, les médecins de l'Hôpital Z._ se sont contentés de mentionner le caractère particulièrement invalidant des troubles de la concentration et du sommeil dont souffre l'assuré sans toutefois étayer leur appréciation par des constatations objectives précises. Au demeurant, ils ont justifié une incapacité de travail entière en évoquant la longue absence d'activité professionnelle, ce qui ne suffit pas pour nier toute capacité de travail. Vu ce qui précède, le rapport d'expertise de l'Hôpital Z._ et les déclarations du docteur H._ en audience d'enquêtes ne font apparaître aucun élément objectif propre à mettre en doute les conclusions convaincantes des experts de l'Hôpital Y._.
Cela étant, il n'y a pas lieu - sans qu'il soit nécessaire de renvoyer la cause aux premiers juges pour complément d'instruction, comme le requiert le recourant - de s'écarter des conclusions des experts de l'Hôpital Y._, selon lesquelles la capacité de travail de l'assuré est encore de 50 % dans son ancienne activité.
2.5 Par un troisième moyen, le recourant reproche aux juges cantonaux de ne pas avoir procédé à une comparaison des revenus avec et sans invalidité. Alléguant un revenu sans invalidité de 113'900 fr. et un revenu d'invalide de 30'000 fr., il est d'avis que le taux d'incapacité de gain est de 74 %.
Ce point de vue est mal fondé. Dans la mesure où la capacité de travail de l'intéressé est encore de 50 % dans son ancienne activité, le revenu qu'il pourrait obtenir en mettant à profit sa capacité résiduelle de travail correspond à une incapacité de gain de 50 %. (comparaison en pour-cent; <ref-ruling> consid. 3a p. 313; <ref-ruling> consid. 2b p. 136 s.).
2.6 Vu ce qui précède, l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 19 mars 2007, à allouer au recourant, à partir du 1er janvier 2007, une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 50 %. Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
3. Le recourant succombe, si bien que les frais judiciaires doivent être mis à sa charge (<ref-law>).
Par ailleurs, contrairement à ses conclusions, l'intimée, en sa qualité d'institution chargée de tâches de droit public, ne saurait prétendre des dépens (<ref-law>).

Le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais de justice, d'un montant de 750 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 17 mars 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd