Sachverhalt:
A.
Der 1968 geborene B._ meldete sich am 14. September 2006 unter Hinweis auf einen am 31. Januar 2005 erlittenen Auffahrunfall in stockendem Kolonnenverkehr mit Beschleunigungstrauma der Halswirbelsäule bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Bei der Abklärung des medizinischen Sachverhalts schloss sich die IV-Stelle des Kantons Zürich der vom Unfallversicherer in Aussicht genommenen Begutachtung durch das versicherungsmedizinische Institut X._ an. Das Gutachten wurde am 28. Mai 2009 erstattet. Unter Hinweis auf die Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 4. August 2009 bezeichnete die IV-Stelle das psychiatrische Teilgutachten als für die Belange der Invalidenversicherung nicht aussagekräftig. Sie veranlasste daher das Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ vom 6. Januar 2011. Im Rahmen des Vorbescheidverfahrens holte sie bei den Gutachtern der medizinischen Abklärungsstelle Y._ die ergänzende Stellungnahme vom 4. Mai 2011 ein. Der Versicherte reichte den Bericht des behandelnden Psychiaters, med. pract. K._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 27. September 2011 ein. Gestützt auf das Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 24. Mai 2012 einen Rentenanspruch, da der Versicherte sowohl in der zuletzt ausgeübten als auch in einer angepassten Tätigkeit zu 70 Prozent arbeitsfähig sei.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 16. September 2013 ab.
C.
B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und Aufhebung des angefochtenen Entscheids beantragen. Es sei ihm eine Invalidenrente basierend auf einem Invaliditätsgrad von mindestens 70 Prozent zuzusprechen. Eventualiter seien den Gutachtern des versicherungsmedizinischen Instituts X._ Zusatzfragen zu unterbreiten, eventualiter ein psychiatrisches Gerichtsgutachten einzuholen. Subeventualiter sei die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen zwecks Einholung eines neuen polydisziplinären Gutachtens. Ferner wird um unentgeltliche Verbeiständung für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Überdies wird die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels verlangt.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Wie sich aus dem Folgenden ergeben wird, ist die Sach- und Rechtslage klar. Ein Schriftenwechsel ist nicht erforderlich (<ref-law>), weshalb keine Vernehmlassungen eingeholt wurden. Es besteht daher kein Anlass, den vom Beschwerdeführer ohne nähere Begründung beantragten zweiten Schriftenwechsel anzuordnen (<ref-law>).
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 317 f. mit Hinweis). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 39). Die entsprechende Rüge prüft das Bundesgericht nur insoweit, als sie in der Beschwerde explizit vorgebracht und substanziiert begründet worden ist.
2.3. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigung nach Art. 43 und 61 lit. c ATSG Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil 9C_186/2013 vom 12. Juli 2013 E. 1.2). Die konkrete Beweiswürdigung betrifft eine Tatfrage (Urteil 8C_763/2008 vom 19. Juni 2009 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.
Das kantonale Gericht hat erwogen, entgegen der Annahme der Beschwerdegegnerin in der Verfügung vom 24. Mai 2012 sei das Wartejahr gemäss <ref-law> als am 30. Januar 2006 bestanden zu betrachten. Diesbezüglich sei der Kritik des Beschwerdeführers an der Begründungsqualität der angefochtenen Verfügung beizupflichten. Die Vorinstanz hat die streitige Verfügung somit in diesem Punkt zu Gunsten des Beschwerdeführers korrigiert. Soweit dieser geltend macht, die Verfügung sei somit fehlerhaft und hätte vom kantonalen Gericht aus diesem Grund aufgehoben werden müssen, kann ihm nicht gefolgt werden. Denn es ist nicht ersichtlich, inwiefern dem Versicherten aus der behaupteten mangelhaften Eröffnung der Verfügung ein Nachteil erwachsen wäre (vgl. <ref-law>).
4.
Wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren macht der Beschwerdeführer geltend, den Gutachtern der medizinischen Abklärungsstelle Y._ hätten nicht sämtliche entscheidrelevanten Akten des Unfallversicherers zur Verfügung gestanden, weshalb darauf nicht abgestellt werden könne. Das kantonale Gericht hielt dem entgegen, mangels konkreter Hinweise, welche Akten gefehlt haben sollen, sei der Einwand nicht nachvollziehbar und daher unbegründet. Auch im letztinstanzlichen Verfahren legt der Beschwerdeführer nicht dar, um welche Akten es sich handeln soll. Auf die Rüge ist daher nicht einzugehen.
5.
In materieller Hinsicht streitig ist der Anspruch des Versicherten auf Invalidenrente.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt eine unrichtige und unvollständige Feststellung des medizinischen Sachverhalts, eine willkürliche Würdigung der Beweise und eine Verletzung von <ref-law>. Er macht im Wesentlichen geltend, die Vorinstanz habe sich nicht mit seinem Einwand auseinandergesetzt, beim Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ handle es sich um eine unzulässige "second opinion". Mit dem polydisziplinären Gutachten des versicherungsmedizinischen Instituts X._ liege hingegen eine schlüssige medizinische Expertise vor, auf welche abgestellt werden könne. Offene Fragen oder Zweifel an deren Schlussfolgerungen wären laut Bescherdeführer allenfalls durch Ergänzungsfragen an die Gutachter des versicherungsmedizinischen Instituts X._ zu klären gewesen. Stattdessen habe die Vorinstanz die umstrittene Diagnose der Gutachter des versicherungsmedizinischen Instituts X._ einer leichten posttraumatischen Belastungsstörung (ICD-10:F43.1) kritisiert und die weiteren Diagnosen mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit einer leichten depressiven Störung (ICD-10:F32.0) und einer gemischten Angststörung (ICD-10:F41.3) ohne ersichtlichen Grund von der Beweiswürdigung ausgeschlossen. Als willkürlich rügt der Beschwerdeführer sodann das Vorgehen des kantonalen Gerichts, an Stelle der psychiatrischen Beurteilung der Gutachter des versicherungsmedizinischen Instituts X._ auf einen Kurzbericht der psychiatrischen Begutachtungsstelle Z._ vom 13. Januar 2010 abzustellen, in welchem die Ärzte eine leichte depressive Episode mit somatischem Syndrom (ICD-10:F32.01) und eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD10:F45.4) diagnostizierten, ohne sich jedoch zur zumutbaren Arbeitsfähigkeit zu äussern.
5.2.
5.2.1. Die IV-Stelle hat für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers auf das Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ abgestellt, welches aus psychiatrischer Sicht infolge einer generalisierten Angststörung (ICD-10:F41.1) eine Arbeitsunfähigkeit von 30 Prozent attestiert hat und in somatischer Hinsicht von einer vollen Arbeitsfähigkeit ausging. Die Vorinstanz hat das Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ nicht in seine Beweiswürdigung miteinbezogen mit der Begründung, der Versicherte habe deutlich zum Ausdruck gebracht, dass seines Erachtens in psychiatrischer Hinsicht nicht darauf abgestellt werden könne. Gegen den Austrittsbericht der psychiatrischen Begutachtungsstelle Z._ habe er hingegen keine Einwände erhoben. Damit fehlt es an einer umfassenden, sorgfältigen, objektiven und inhaltsbezogenen Würdigung der medizinischen Unterlagen unter Angabe der Gründe, warum auf die eine und nicht auf die andere medizinische These abgestellt werden kann. Zur Vornahme einer solchen Beweiswürdigung wäre das kantonale Gericht gemäss der Verfahrensvorschrift von <ref-law> indessen verpflichtet gewesen (E. 2.3 hievor). Eine gegen wesentliche Verfahrensvorschriften verstossende Beweiswürdigung stellt eine vom Bundesgericht zu korrigierende Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> dar ( ULRICH MEYER/JOHANNA DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 60 zu <ref-law>). Folglich kann das Bundesgericht die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen ergänzen (<ref-law>). Zudem ist die Begründung der Vorinstanz widersprüchlich und kaum nachvollziehbar. So vermag nicht ohne weiteres einzuleuchten, weshalb für die Beurteilung der psychisch bedingten Beeinträchtigungen auf einen nicht näher begründeten Kurzbericht der psychiatrischen Begutachtungsstelle Z._ abzustellen ist und nicht auf das Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._. Unklar bleibt aufgrund der vorinstanzlichen Erwägungen auch, weshalb in somatischer Hinsicht auf das Gutachten des versicherungsmedizinischen Instituts X._ und nicht auf jenes der medizinischen Abklärungsstelle Y._ abzustellen sei. Wie nachstehend dargelegt wird, drängt sich auf, anstatt das Gutachten des versicherungsmedizinischen Instituts X._ und den Austrittsbericht der psychiatrischen Begutachtungsstelle Z._ das Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers heranzuziehen.
5.2.2. Beim Austrittsbericht der psychiatrischen Begutachtungsstelle Z._ vom 13. Januar 2010 handelt es sich um einen Kurzbericht über die Behandlung des Versicherten in der Akuttagesklinik. Der Bericht enthält zwar eine Diagnose, jedoch keine Beurteilung der zumutbaren Arbeitsfähigkeit. Da er im Wesentlichen nur das Behandlungsergebnis zusammenfasst, ist er für die Beurteilung der hier streitigen Belange nicht umfassend. Er setzt sich auch nicht mit den abweichenden Diagnosen und Beurteilungen der zumutbaren Arbeitsfähigkeit anderer mit dem Versicherten befasster Ärzte auseinander. Bei dieser Konstellation kann er nicht für die Urteilsfindung herangezogen werden, da er keine zuverlässige Beurteilung der medizinischen Situation gestattet. Nur weil der Versicherte bisher keine Einwendungen dagegen vorgebracht hatte, kann dies nicht Grund sein, diese Beurteilung als massgebend zu betrachten.
5.2.3. Die Gutachter des versicherungsmedizinischen Instituts X._ gingen bei der Beurteilung der Arbeitsfähigkeit davon aus, dass aus neurologischer und rheumatologischer Sicht keine dauerhafte Einschränkung bestehe. Chronische Kopfschmerzen und Schmerzen im Bereich des Torsos würden jedoch zu einer verminderten körperlichen Belastbarkeit und einer verminderten zeitlichen Leistungsfähigkeit von höchstens 20 Prozent führen. Psychosoziale Faktoren spielen laut den Gutachtern eine wesentliche Rolle für die Entstehung der psychischen Störungen. Trotzdem müsse aktuell davon ausgegangen werden, dass die Arbeitsunfähigkeit vor allem auf ein psychisches Leiden mit Krankheitswert zurückzuführen sei. Die Arbeitsfähigkeit werde durch Ängste, Kopf- und Nackenschmerzen, Konzentrationsschwierigkeiten und Vergesslichkeit, körperliche Dekonditionierung und leichte depressive Beschwerden beeinträchtigt. Aus psychiatrischer Sicht bestehe in der bisherigen Tätigkeit keine verwertbare Arbeitsfähigkeit. Andere körperlich leichte bis mittelschwere Arbeiten seien aus somatischer Sicht zumutbar, aus psychiatrischer Sicht während 3 Stunden täglich mit reduzierter Leistung, bei einem Steigerungspotential auf 6 Stunden pro Tag. In seiner Stellungnahme vom 4. August 2009 schlug der RAD die Einholung eines MEDAS-Gutachtens vor, da das vom Unfallversicherer eingeholte Gutachten des versicherungsmedizinischen Instituts X._ vom 28. Mai 2009 die inhaltlichen und beweismässigen Anforderungen an eine für die Belange der Invalidenversicherung zu erstellende Begutachtung nicht erfülle. Insbesondere sei nicht nachvollziehbar und werde von den Gutachtern nicht begründet, weshalb die von ihnen festgestellten, leichten psychiatrischen Einschränkungen eine annähernd volle Arbeitsunfähigkeit zu begründen vermöchten. Ein organisch objektivierbares Beschwerdebild sei zudem nicht zu finden. Wenn sich die IV-Stelle mit Blick auf den zu jenem Zeitpunkt nicht entscheidreifen medizinischen Sachverhalt veranlasst sah, im Rahmen der Abklärungspflicht (<ref-law>) selber ein MEDAS-Gutachten einzuholen, beruhte dieses Vorgehen auf nachvollziehbaren Gründen. Aufgrund des Untersuchungsgrundsatzes war sie bei dieser Sachlage zu ergänzenden medizinischen Abklärungen verpflichtet (<ref-law>). Bei diesen Gegebenheiten kann entgegen der vom Beschwerdeführer vertretenen Auffassung nicht von einem Zweitgutachten im Sinne einer unzulässigen sog. "second opinion" ausgegangen werden (vgl. hiezu <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 245; <ref-ruling> E. 3.3 S. 158). Wie die Vorinstanz zu Recht festhält, vermag die Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung im Zusammenhang mit einem Auffahrunfall im stockenden Kolonnenverkehr nicht zu überzeugen. Eine leichte depressive Episode stellt sodann kein schweres psychisches Leiden dar, weshalb fraglich ist, ob und allenfalls über welchen Zeitraum hinweg sich eine solche massgeblich auf die Arbeitsfähigkeit des Versicherten auswirkte. Weiter unterscheiden die Gutachter des versicherungsmedizinischen Instituts X._ im Rahmen der Beurteilung der Arbeitsfähigkeit nicht zwischen den psychischen Leiden und den ebenfalls festgestellten, nicht invalidisierenden psychosozialen Belastungsfaktoren, weshalb auf die von ihnen vorgenommene Einschätzung der Arbeitsfähigkeit auch aus diesem Grund nicht abgestellt werden kann. Fraglich erscheint auch die attestierte invalidisierende Auswirkung von auf leichte Analgetika ansprechenden Kopfschmerzen. Auf das Gutachten des versicherungsmedizinischen Instituts X._ kann daher nicht abgestellt werden. Eine Präzisierung durch die mit dem Versicherten befassten Fachärzte wäre wegen der grundlegenden, über eine einfache Ergänzungsbedürftigkeit hinausgehenden Mängel des Gutachtens nicht zielführend. Der beschwerdeführerische Antrag auf Einholung eines Zusatzgutachtens beim versicherungsmedizinischen Institut X._ ist daher auch letztinstanzlich abzuweisen.
5.2.4. Das von der IV-Stelle eingeholte Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ vom 6. Januar 2011 hält fest, der Versicherte sei unter Berücksichtigung aller Gegebenheiten und Befunde aus somatischer (internistischer, rheumatologischer und neurologischer Sicht) für alle bisherigen Tätigkeiten sowie für eine entsprechende Verweistätigkeit zu 100 Prozent arbeitsfähig. Aus psychiatrischer Sicht bestehe aktuell eine Einschränkung in der Arbeitsfähigkeit von 30 Prozent, bedingt durch die diagnostizierte generalisierte Angststörung (ICD-10:F41.1). Diese Beurteilung beruht auf einer umfassenden Begründung der eigenen Diagnosen und einer ausdrücklichen und überzeugenden Stellungnahme zu abweichenden Beurteilungen, vor allem der Gutachter des versicherungsmedizinischen Instituts X._. Laut Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ zeigten insbesondere die aktuellen Röntgenbilder der HWS wie bereits die Voraufnahmen keine Pathologien, die das Ausmass der vom Versicherten geklagten Beschwerden erklären könnten. LWS und BWS seien altersentsprechend frei beweglich und unauffällig. Hingegen falle eine muskuläre Dysbalance im Nacken- und Schultergürtelbereich auf, welche jedoch therapierbar sei. Insgesamt liessen sich die geltend gemachten Beschwerden nur zu einem geringen Teil mit den erhobenen rheumatologischen Befunden erklären. Die neurologische Untersuchung ergab keinen sicheren Hinweis für eine behindernde Läsion am zentralen und peripheren Nervensystem. Ein behinderndes Kopfschmerzsyndrom konnte nicht mit der gebotenen überwiegenden Wahrscheinlichkeit attestiert werden. Biologische Läsionen, welche die unfallbedingte leichtgradige HWS-Distorsion unterhalten würden oder auf eine cerebrale Schädigung hinweisen würden, fehlten. Aus psychiatrischer Sicht waren die Kriterien einer gemäss Gutachten des versicherungsmedizinischen Instituts X._ diagnostisch ohnehin nur knapp erfüllten posttraumatischen Belastungsstörung und eines depressiven Zustandsbildes nicht mehr erfüllt. Deutlich vorhanden sei hingegen noch ein stark vermindertes Selbstwertgefühl. Eine generalisierte Angststörung sei ausgewiesen, wobei es sich dabei gegenüber dem Gutachten des versicherungsmedizinischen Instituts X._ (gemischte Angststörung) nicht um eine andere Diagnosestellung, sondern um eine andere Gewichtung der einzelnen Symptome handle. Die Reduktion der Arbeitsfähigkeit von 30 Prozent begründen die Gutachter damit, dass der Versicherte aufgrund seines angespannten, ängstlichen Zustandsbildes während des Arbeitsprozesses immer wieder Rückzugsmöglichkeiten brauche, um sich etwas erholen zu können. Die Arbeitsfähigkeit sollte laut den Gutachtern indessen bei adäquater Behandlung und beruflicher Reintegration im Laufe eines Jahres deutlich gesteigert werden können. Angesichts der umfassenden und schlüssigen Begutachtung durch die medizinische Abklärungsstelle Y._ besteht keine Veranlassung für das Gericht, von dessen Beurteilung der Arbeitsfähigkeit abzuweichen. Die vom behandelnden Psychiater, med. pract. K._, in der Stellungnahme vom 27. September 2011 gegen das Gutachten erhobene Kritik rechtfertigt nicht, das Gutachten nicht als aussagekräftig zu beurteilen. Wenn der Psychiater zu einer anderen Beurteilung kommt, heisst das nicht, dass die Beurteilung der Gutachter der medizinischen Abklärungsstelle Y._ unzutreffend wäre. Insbesondere geht es nicht an, eine medizinische Expertise stets dann in Frage zu stellen und zum Anlass weiterer Abklärungen zu nehmen, wenn die behandelnden Ärzte nachher zu unterschiedlichen Einschätzungen gelangen oder an vorgängig geäusserten abweichenden Auffassungen festhalten. Anders verhält es sich, wenn die behandelnden Ärzte objektiv feststellbare Gesichtspunkte vorbringen, welche im Rahmen der psychiatrischen Begutachtung unerkannt geblieben und geeignet sind, zu einer abweichenden Beurteilung zu führen. Dies ist vorliegend jedoch nicht der Fall. Von der beantragten Einholung eines psychiatrischen Gerichtsgutachtens sind keine neuen Erkenntnisse zu erwarten, weshalb in antizipierter Beweiswürdigung davon abzusehen ist. Mit Blick auf das schlüssige Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle Y._ besteht auch kein Anlass, die Sache zwecks Einholung eines polydisziplinären Gutachtens an die IV-Stelle zurückzuweisen.
5.3. In erwerblicher Hinsicht legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern es ihm entgegen der Auffassung der IV-Stelle gemäss Verfügung vom 24. Mai 2012 nicht möglich sein soll, die verbleibende Arbeitsfähigkeit in rentenausschliessendem Ausmass zu verwerten. Auch der vorinstanzliche Entscheid blieb diesbezüglich unbeanstandet.
5.4. Die Beurteilung der Vorinstanz, dass beim Beschwerdeführer kein rentenbegründender Invaliditätsgrad resuliert, ist somit im Ergebnis zu bestätigen.
6.
Aufgrund der Umstände verzichtet das Bundesgericht vorliegend auf die Erhebung von Gerichtskosten (<ref-law>). Die unentgeltliche Verbeiständung (<ref-law>) kann gewährt werden. Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Verbeiständung gewährt und Rechtsanwalt Massimo Aliotta wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Dezember 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Hofer