Faits:
Faits:
A. En 1989, la banque X._ SA (ci-après: X._) a engagé A._ comme gestionnaire. En dernier lieu, les parties étaient liées par un contrat du 27 février 1998, prenant effet pour trois ans dès le 1er septembre 1998 et renouvelable pour une période indéterminée, sauf résiliation écrite six mois avant l'échéance.
Ce contrat accordait à X._ le droit de se substituer toute autre société du groupe X._. Il contenait également une clause de non-concurrence par laquelle A._ était tenu de n'exercer aucune activité professionnelle ou rémunérée, directe ou indirecte, dans le domaine de la gestion privée d'avoirs de la clientèle, pour le compte d'un autre établissement bancaire ou financier, ou pour lui-même, pendant une période de douze mois après la cessation de ses activités auprès de X._. En contrepartie, la banque s'engageait à verser à A._ une indemnité égale à sa rémunération annuelle, y compris les bonus perçus dans l'année fiscale précédant la fin de son engagement; l'indemnité devait être fractionnée en douze versements mensuels. En cas de violation de la clause de non-concurrence, A._ s'obligeait à payer une peine conventionnelle de 275 000 fr., la réparation de tout dommage supplémentaire étant réservée et le versement de l'indemnité précitée étant suspendu.
Le 31 janvier 2000, X._ a été intégrée dans le groupe Z._ par une fusion qui a donné naissance à la banque Z._ SA (ci-après: Z._).
Par lettre du 19 février 2001, A._ a annoncé au président de la direction générale de Z._ qu'il mettait un terme au contrat de travail pour le 31 août 2001.
Le 22 mai 2001, il a conclu avec la banque Y._ SA (ci-après: Y._) un contrat de travail prenant effet au 3 septembre 2001.
Par courrier du 30 mai 2001, Z._ a avisé A._ qu'elle entendait invoquer la clause de non-concurrence et que l'indemnité prévue lui serait versée conformément au contrat, à partir du 1er septembre 2001.
Par l'intermédiaire de son conseil, A._ a fait savoir à Z._ qu'il lui déniait le droit de se prévaloir de la clause de non-concurrence; il l'a également informée qu'il avait l'intention de travailler pour Y._ dès le 1er septembre 2001, conformément à ses engagements.
Par l'intermédiaire de son conseil, A._ a fait savoir à Z._ qu'il lui déniait le droit de se prévaloir de la clause de non-concurrence; il l'a également informée qu'il avait l'intention de travailler pour Y._ dès le 1er septembre 2001, conformément à ses engagements.
B. B.a Le 20 août 2001, Z._ a requis des mesures préprovisionnelles et provisionnelles. Statuant le même jour sur mesures préprovisoires, le Tribunal de première instance du canton de Genève a ordonné à A._ de respecter la clause de non-concurrence jusqu'à nouvelle décision, après audition des parties.
A._ n'a pas commencé son travail auprès de Y._ début septembre 2001.
Par ordonnance de mesures provisoires du 12 octobre 2001, le tribunal a confirmé les mesures préprovisoires.
Par arrêt du 14 mars 2002, la Cour de justice a annulé les ordonnances rendues par le Tribunal de première instance et débouté Z._ des fins de sa requête en mesures provisionnelles.
B.b Par demande du 21 novembre 2001, Z._ a ouvert action au fond.
Par jugement du 8 avril 2002 notifié le 19 septembre 2002, le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève a:
«- fait interdiction à A._ d'exercer, directement ou indirectement, une quelconque activité dans le domaine de la gestion de fortune, en particulier au service ou pour le compte de la banque Y._ SA, jusqu'au 31 août 2002 y compris, cela sous la menace des peines prévues à l'article 292 CP, soit les arrêts ou l'amende;
- fait interdiction à A._ d'exploiter ou d'utiliser pour son propre compte ou encore de transmettre, révéler ou divulguer à tout tiers, notamment à toute personne travaillant pour la banque Y._ SA, directement ou indirectement, des documents et/ou des secrets d'affaires dont A._ a eu connaissance à l'occasion de son activité pour la banque Z._ SA, en particulier les noms des clients, cela sous la menace des peines prévues à l'article 292 CP, soit les arrêts ou l'amende;
- fait interdiction à A._ de prendre contact d'une quelconque façon, directement ou indirectement, avec des clients de la banque Z._ SA ou d'inciter d'une quelconque façon ces clients à transférer tout ou partie de leurs avoirs déposés auprès de la banque Z._ SA vers un tiers, jusqu'au 31 août 2002, cela sous la menace des peines prévues à l'article 292 CP, soit les arrêts ou l'amende.»
A._ a interjeté appel de ce jugement auprès de la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève. Il concluait à la réouverture des enquêtes, à l'audition de témoins et à l'annulation du jugement de première instance.
Le travailleur a pris son emploi à la banque Y._ en date du 15 avril 2002.
Par arrêt du 28 avril 2003, la cour cantonale a déclaré l'appel irrecevable par une double motivation. D'une part, elle a dénié à A._ un intérêt juridique actuel à obtenir la modification du jugement attaqué, dont les effets avaient cessé le 31 août 2002. D'autre part, elle a estimé que l'appelant déplaçait l'objet du litige de l'interdiction de concurrence à la question de la peine conventionnelle, alors qu'aucune des exceptions prévues à l'art. 312 de la loi de procédure civile genevoise (LPC/GE) n'était réalisée.
Par arrêt du 28 avril 2003, la cour cantonale a déclaré l'appel irrecevable par une double motivation. D'une part, elle a dénié à A._ un intérêt juridique actuel à obtenir la modification du jugement attaqué, dont les effets avaient cessé le 31 août 2002. D'autre part, elle a estimé que l'appelant déplaçait l'objet du litige de l'interdiction de concurrence à la question de la peine conventionnelle, alors qu'aucune des exceptions prévues à l'art. 312 de la loi de procédure civile genevoise (LPC/GE) n'était réalisée.
C. A._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral; il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué.
Z._ propose, principalement, de déclarer le recours irrecevable et, subsidiairement, de le rejeter.
Pour sa part, la cour cantonale se réfère aux considérants de sa décision.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et avec une pleine cognition la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid.1, 185 consid. 1 p. 188; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 290).
1.1 Lorsque la décision attaquée se fonde sur plusieurs motivations indépendantes, alternatives ou subsidiaires, toutes suffisantes, chacune doit, sous peine d'irrecevabilité, être attaquée avec le moyen de droit approprié (<ref-ruling> consid. 2a p. 302; <ref-ruling> consid. 2b, 398 consid. 2b; cf. également <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2a p. 441). Le cas échéant, le recourant devra attaquer l'une des deux motivations par la voie du recours en réforme, en démontrant qu'elle viole le droit fédéral, et l'autre par celle du recours de droit public, en faisant valoir qu'elle porte atteinte à ses droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2a p. 302; <ref-ruling> consid. 2b; cf. également <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1b); à défaut, le recours est entièrement irrecevable (<ref-ruling> consid. 6a p. 730).
1.2 En l'espèce, le recourant fait valoir que les deux motivations de l'arrêt attaqué reposent sur une application arbitraire du droit cantonal de procédure. De plus, le considérant fondé sur le défaut d'intérêt au recours consacrerait un déni de justice formel.
Il convient d'examiner en premier lieu si le recours de droit public est la voie de droit adéquate pour attaquer les deux motivations qui ont conduit la cour cantonale à déclarer l'appel irrecevable.
Il convient d'examiner en premier lieu si le recours de droit public est la voie de droit adéquate pour attaquer les deux motivations qui ont conduit la cour cantonale à déclarer l'appel irrecevable.
2. A lire le recours, la Cour d'appel a violé arbitrairement le droit genevois de procédure civile, singulièrement l'<ref-law>/GE, en déniant à l'appelant un intérêt juridique actuel pour recourir contre le jugement du 8 avril 2002. Selon le recourant, l'interdiction de travailler prévue dans le dispositif du jugement de première instance a pour effet d'entériner la validité et l'opposabilité de la clause de non-concurrence contestée par le travailleur; ainsi, forte de ce jugement entré en force, l'intimée pourrait réclamer à son ancien collaborateur le paiement de la peine conventionnelle sanctionnant la violation de la clause de prohibition de concurrence.
En ne reconnaissant pas, à tort, l'intérêt au recours du travailleur, les juges genevois auraient également commis un déni de justice formel. Tel que formulé, ce dernier grief n'a toutefois pas de portée propre, puisqu'il se réfère expressément à la démonstration d'arbitraire liée au premier moyen.
2.1 De manière générale, une personne n'est admise à agir ou à recourir que si elle a un intérêt juridiquement protégé à le faire (<ref-ruling> consid. 2b p. 201; <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 2a p. 7; <ref-ruling> consid. 2 p. 190; <ref-ruling> consid. 3 p. 506; Fabienne Hohl, Procédure civile, tome II, n. 2993, p. 264). Le recourant doit ainsi être lésé par la décision attaquée, plus particulièrement par son dispositif. Il y a lésion formelle (formelle Beschwer) lorsque la partie n'a pas obtenu le plein de ses conclusions. Mais il faut en plus une lésion matérielle (materielle Beschwer): le jugement attaqué doit atteindre les droits de la partie et lui être défavorable quant à ses effets juridiques. En principe, un tel intérêt existe en cas de lésion formelle (ATF <ref-ruling> consid. 2a p. 7/8; arrêt 4P.128/1999 du 9 août 1999, consid. 2c/aa; Leuch/Marbach/Kellerhals/Sterchi, Die Zivilprozessordnung für den Kanton Bern, 5e éd., n. 3 ad art. 333 CPCB, p. 730-732). Par ailleurs, le recourant doit en règle générale justifier d'un intérêt actuel, c'est-à-dire qui existe déjà et subsiste au moment du dépôt du recours (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 62/63; Poudret, COJ II, n. 5.4 ad art. 53). La recevabilité d'un moyen de droit suppose que le jugement soit de nature à procurer au recourant l'avantage qu'il recherche. Le juge n'a pas à statuer sur un recours qui, s'il devait être admis, ne modifierait pas la situation juridique dans le sens des conceptions du plaideur (<ref-ruling> consid. 6 p. 729; <ref-ruling> consid. 2 p. 190; arrêt 4P.169/1993 du 7 février 1994, consid. 3).
2.2 Selon la jurisprudence, le droit cantonal est déterminant pour savoir si une partie est lésée et si elle est ainsi recevable à user d'une voie de droit cantonale (<ref-ruling> consid. 5 p. 296; 71 II 132 consid. 2 p. 137; arrêt 4P.128/1999 du 9 août 1999, consid. 2c/aa). Cette affirmation mérite toutefois d'être nuancée pour les raisons suivantes.
ll est vrai que, s'agissant d'une décision cantonale, la notion de lésion formelle se définit selon le droit cantonal, puisqu'elle dépend du dispositif dont l'interprétation relève avant tout de règles cantonales, le droit fédéral s'appliquant tout au plus par analogie. Sous réserve d'un intérêt juridiquement protégé relevant du droit fédéral, le droit cantonal peut également ne pas soumettre la recevabilité d'un recours à l'exigence d'une lésion formelle (ATF 71 II 132 consid. 2 p. 137).
En revanche, une réglementation cantonale des voies de droit ne saurait entraver l'application du droit fédéral. En ce qui concerne les prétentions fondées sur le droit fédéral, il est clairement admis que l'existence d'un intérêt suffisant à l'action se détermine exclusivement au regard du droit fédéral (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 7b p. 429, 49 consid. 1a; <ref-ruling> consid. 3a p. 282; <ref-ruling> consid. 3a p. 354/355). Ce principe développé pour la qualité pour agir, en particulier dans l'action en constatation, s'impose également pour les procédures de recours, à tout le moins dans les causes susceptibles d'un recours en réforme. C'est également selon le droit fédéral qu'il convient de juger s'il subsiste ou non un intérêt juridiquement protégé résultant du droit fédéral (arrêt 4C.123/1992 du 13 janvier 1993, consid. 2b/bb). Le droit cantonal demeure déterminant lorsque l'intérêt au recours ne met pas en jeu le droit fédéral; tel est le cas, par exemple, si la partie qui a succombé n'a plus d'intérêt à recourir au fond vu l'échéance d'un délai d'interdiction, mais qu'elle entend néanmoins attaquer la mise à sa charge des frais et dépens cantonaux.
Selon la jurisprudence la plus récente, le principe de la primauté (ou de la force dérogatoire) du droit fédéral est violé lorsque, dans une cause susceptible d'un recours en réforme, des règles cantonales de compétence excluent tout recours ordinaire à l'instance cantonale suprême, privant ainsi les parties de la possibilité de recourir en réforme au Tribunal fédéral. En effet, le droit cantonal ne doit pas empêcher le Tribunal fédéral de pouvoir contrôler librement l'application du droit fédéral dans un tel litige (<ref-ruling>). De même, dans les causes susceptibles d'un recours en réforme, il est interdit à une autorité cantonale de ne pas entrer en matière sur un recours faute d'intérêt juridique, alors qu'il existerait un intérêt suffisant pour interjeter un recours en réforme. Dans la mesure où elle recouvre l'intérêt juridique, la notion de lésion matérielle ne doit pas être interprétée de manière plus restrictive en droit cantonal qu'en droit fédéral. Du reste, pour les litiges pouvant faire l'objet d'un recours de droit administratif devant le Tribunal fédéral, ce principe est concrétisé à l'art. 98a al. 3 OJ, aux termes duquel la qualité pour recourir au niveau cantonal doit être admise au moins aussi largement que pour le recours de droit administratif (cf. <ref-ruling> consid. 2a p. 268).
En conclusion, pour autant que l'intérêt à recourir puisse se fonder sur le droit fédéral, sa méconnaissance dans une procédure cantonale constitue une violation du principe de la primauté du droit fédéral (art. 49 Cst.). Dans les causes susceptibles d'un recours en réforme, c'est par cette voie que le recourant doit se plaindre d'une telle violation (<ref-ruling> consid. 1c p. 353; <ref-ruling> consid. 3 p. 184; <ref-ruling> consid. 2b p. 217); en raison de son caractère subsidiaire (art. 84 al. 2 OJ), le recours de droit public est irrecevable en la matière.
2.3 Le dispositif du jugement du 8 avril 2002 interdit notamment au recourant, jusqu'au 31 août 2002, toute activité de gestion de fortune, concurrente à celle de l'intimée. Comme cette décision a été notifiée le 19 septembre 2002, l'interdiction prononcée par les premiers juges ne pouvait plus déployer d'effets lors du dépôt de l'appel. Le recourant craint toutefois que le jugement de première instance puisse lui être opposé dans une action ultérieure en paiement de la peine conventionnelle ou en dommages-intérêts. En d'autres termes, il fonde son intérêt à l'appel sur le risque que la décision du 8 avril 2002 ait autorité de chose jugée lors d'un procès subséquent. Or, pour les prétentions de droit matériel fédéral, l'autorité de la chose jugée est un principe de droit fédéral (<ref-ruling> consid. 1 p. 242; <ref-ruling> consid. 2a p. 354/355; <ref-ruling> consid. 2a p. 90). Savoir si un intérêt juridique subsiste malgré la fin de l'interdiction prononcée relève ainsi du droit fédéral. Partant, c'est une question de droit fédéral que de déterminer si la Cour d'appel n'est, à juste titre, pas entrée en matière sur l'appel faute d'intérêt juridique. La valeur litigieuse dépassant largement 8000 fr. en l'espèce (art. 46 OJ), le recourant aurait dû faire valoir ses griefs dans un recours en réforme, ouvert pour violation du droit fédéral (art. 43 et 55 al. 1 let. c OJ). Le recours de droit public est exclu en l'occurrence.
2.4 Comme le recours est irrecevable sur la première motivation de l'arrêt attaqué, il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur le grief adressé à la seconde motivation, conformément à la jurisprudence rappelée au consid. 1.1. Le recours est irrecevable dans son entier.
2.4 Comme le recours est irrecevable sur la première motivation de l'arrêt attaqué, il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur le grief adressé à la seconde motivation, conformément à la jurisprudence rappelée au consid. 1.1. Le recours est irrecevable dans son entier.
3. Au demeurant, le moyen tiré de l'autorité de la chose jugée est mal fondé.
En effet, l'autorité de la chose jugée ne s'attache qu'au dispositif du jugement; le juge appelé à statuer dans un litige ultérieur n'est ainsi lié ni par les faits, ni par les considérants en droit dudit jugement (entre autres, <ref-ruling> consid. 4a p. 478). Or, dans le dispositif de son jugement du 8 avril 2002, le Tribunal des prud'hommes a prononcé uniquement des interdictions; il n'a pas constaté la validité de la clause de prohibition de concurrence en tant que telle. C'est dire que ce jugement ne saurait avoir autorité de chose jugée par rapport à un éventuel procès portant sur le paiement de la peine conventionnelle et que rien n'empêcherait le juge saisi d'une demande en paiement d'examiner librement la validité de la clause d'interdiction de concurrence.
On ajoutera qu'au moment où il a commencé de travailler pour Y._, soit le 15 avril 2002, le recourant n'avait pas connaissance du jugement du 8 avril 2002, qui n'a été notifié que le 19 septembre 2002; il n'était pas non plus sous le coup d'une mesure provisionnelle. On ne saurait ainsi faire valoir qu'il n'a pas respecté une décision de justice.
4. Comme la valeur litigieuse dépassait manifestement 30 000 fr. à l'ouverture de l'action, la procédure n'est pas gratuite (art. 343 al. 2 et 3 CO; <ref-ruling> consid. 5b). Conformément à l'issue de la procédure, le recourant prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 156 al. 1 OJ) et versera à l'intimée une indemnité à titre de dépens (art. 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
1. Le recours est irrecevable.
2. Un émolument judiciaire de 3000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 3000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 3500 fr. à titre de dépens.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 3500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 17 novembre 2003
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière: