Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer, der sich vom 25. Februar bis 27. April 2006 in Untersuchungshaft befand, stellte am 29. Januar 2009 bei den Behörden des Kantons Graubünden ein Begehren um Zahlung einer Genugtuungssumme von Fr. 10'000.-- für die ihm aus der ungerechtfertigten Untersuchungshaft erstandene seelische Unbill. Das zuständige Untersuchungsrichteramt lehnte das Gesuch mit Verfügung vom 23. März 2009 gestützt auf das kantonale Recht ab, weil der Anspruch auf Genugtuung in der Zwischenzeit verjährt sei. Im angefochtenen Entscheid wurde eine dagegen gerichtete Beschwerde abgewiesen.
Mit Beschwerde in Strafsachen kann nur die Verletzung von schweizerischem Recht im Sinne von <ref-law> gerügt werden. Der angefochtene Entscheid stützt sich indessen nicht auf schweizerisches, sondern auf kantonales Recht. Dessen Anwendung kann das Bundesgericht nur insoweit überprüfen, als eine Verletzung der Grundrechte des Betroffenen geltend gemacht wird. Eine solche Verletzung wird nicht von Amtes wegen, sondern nur geprüft, wenn sie in der Beschwerde ausdrücklich vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Es gilt das so genannte Rügeprinzip. Dieses verlangt, dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe dartut, welche verfassungmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Ruft er z.B. das Willkürverbot von <ref-law> an, so muss er darlegen, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.4). Beschränkt sich die Beschwerde auf appellatorische Kritik, so tritt das Bundesgericht darauf nicht ein.
Die vorliegende Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht. Darin wird im Wesentlichen geltend gemacht, der Beschwerdeführer sei mit der Auffassung der kantonalen Richter "nicht einverstanden", denn sie verstosse gegen einen "allgemeinen Rechtsgrundsatz". Sein Hinweis auf die Folgen einer mangelhaften Rechtsbelehrung geht indessen an der Sache vorbei, weil diese Frage mit der Verjährung von nicht rechtzeitig geltend gemachten Genugtuungsforderungen nichts zu tun hat. Eine angeblich verletzte Verfassungsbestimmung vermag der Beschwerdeführer denn auch nicht zu nennen. Auf die Beschwerde ist mangels hinreichender Begründung im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juni 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn