Sachverhalt:
A. Auf Privatstrafklage von X._ hin führt das Untersuchungsrichteramt III Bern-Mittelland (URA) eine Voruntersuchung gegen zwei Personen wegen falscher Anschuldigung und Verleumdung. Am 15. September 2009 lud das URA einen (in Belgien wohnhaften) Angeschuldigten auf den 29. Oktober 2009 zu einer Einvernahme vor. Eine von diesem gegen die Vorladungsverfügung erhobene Beschwerde hiess die Anklagekammer des Obergerichtes des Kantons Bern mit Beschluss vom 20. Oktober 2009 gut, indem sie die Vorladungsverfügung aufhob.
B. Gegen den Entscheid der Anklagekammer vom 20. Oktober 2009 erhob X._ am 20. November 2009 Beschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und das URA anzuweisen, die Einvernahme durchzuführen.
Das Obergericht beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Das URA liess sich am 3. Dezember 2009 vernehmen. Die Beschwerdeführerin replizierte am 29. Januar 2010.

Erwägungen:
1. Als oberste rechtsprechende Behörde des Bundes soll sich das Bundesgericht in der Regel nur einmal mit der gleichen Streitsache befassen müssen. Nach ständiger Praxis zu <ref-law> ist ein Vor- oder Zwischenentscheid daher nur ausnahmsweise anfechtbar, sofern ein konkreter rechtlicher Nachteil droht, der auch durch einen (für die rechtsuchende Partei günstigen) Endentscheid nachträglich nicht mehr behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 1.2 S. 263 mit Hinweisen). Bei Beschwerden gegen die Ablehnung von Beweisanträgen im Strafuntersuchungsverfahren ist diese Sachurteilsvoraussetzung in der Regel nicht erfüllt (vgl. 133 IV 139 E. 4 S. 141; <ref-ruling> E. 1 S. 438; <ref-ruling> E. 1a S. 2; <ref-ruling> E. 3a S. 464 f.; je mit Hinweisen; Urteil 1B_226/2007 vom 11. Januar 2008 E. 3; s. auch <ref-ruling>). Ein Nachteil im Sinne von <ref-law> kann allenfalls bei drohendem Beweisverlust gegeben sein (vgl. Urteile 1B_301/2009 vom 31. März 2010 E. 1.1-1.2; 1B_161/2008 vom 27. November 2008 E. 3; 1B_226/2007 vom 11. Januar 2008 E. 3.2-3.4; 4P.335/2006 vom 27. Februar 2007 E. 1.2.4).
2. Die Beschwerdeführerin beanstandet die Nichtvornahme einer Untersuchungshandlung durch die kantonalen Strafjustizbehörden. Sie macht geltend, die streitige Vorladung zur Einvernahme sei vom Obergericht zu Unrecht aufgehoben worden. Da es ihr als Privatstrafklägerin dadurch verunmöglicht werde, "dem Angeschuldigten Fragen zu stellen oder beispielsweise eine gütliche Einigung über ihre zivilrechtlichen Ansprüche zu finden", bewirke der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil.
Die Ablehnung von Beweisanträgen im Strafuntersuchungsverfahren bzw. die Nichtvornahme von Untersuchungshandlungen begründet nach der dargelegten Praxis grundsätzlich keinen drohenden Rechtsnachteil im Sinne von <ref-law>. Nicht nur können abgelehnte Beweisanträge vor dem Abschluss der Voruntersuchung bzw. vor Gericht (nötigenfalls) nochmals gestellt werden (vgl. Art. 234 Abs. 2, Art. 244 Abs. 1, Art. 249 Abs. 2, Art. 281 und Art. 304 StrV/BE). Darüber hinaus weist die Vorinstanz in ihrer Stellungnahme darauf hin, dass einer rechtshilfeweisen (rogatorischen) Einvernahme der fraglichen Person (unter Wahrung der Parteirechte der Beschwerdeführerin) nichts im Wege stünde. Ein drohender Beweisverlust, der auch durch einen für die Beschwerdeführerin günstigen Endentscheid nicht mehr abgewendet werden könnte, ist somit nicht ersichtlich. Dass die von der Privatstrafklägerin verlangte Untersuchungshandlung bisher unterblieben ist, stünde auch einer allfälligen gütlichen Einigung über zivilrechtliche Ansprüche nicht definitiv entgegen; eine solche könnte von den Parteien insbesondere auf dem Korrespondenzwege (oder noch an der Hauptverhandlung, vgl. Art. 271 Abs. 2 StrV/BE) getroffen werden.
3. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend, sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Untersuchungsrichteramt III Bern-Mittelland und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Forster