Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 27. Februar 2004 sprach die IV-Stelle Uri der 1958 geborenen R._ rückwirkend ab 1. Februar 2003 bei einem Invaliditätsgrad von 59 % eine halbe Invalidenrente (nebst Zusatzrente für den Ehegatten und einer Kinderrente) der Invalidenversicherung zu. Den Invaliditätsgrad bestimmte die Verwaltung aufgrund der Annahme, die Versicherte wäre im Gesundheitsfall teils erwerblich und teils im Aufgabenbereich Haushalt tätig, nach der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung. Im Juni 2007 gab die Versicherte an, ihr Gesundheitszustand habe sich verschlechtert. Die IV-Stelle traf hierauf Abklärungen erwerblicher und medizinischer Art (u.a. Einholung eines psychiatrischen Gutachtens vom 1. Juli 2008) sowie im Haushalt (Abklärungsbericht vom 13. Oktober 2008). Sie gelangte zum Ergebnis, bei unveränderten Anteilen der hypothetischen Tätigkeitsbereiche im Gesundheitsfall habe sich der Gesundheitszustand nicht verschlechtert, sondern vielmehr in rentenrelevanter Weise verbessert, und hob die Invalidenrente mit Verfügung vom 27. März 2009 revisionsweise per Ende April 2009 auf.
B. R._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Uri hiess diese teilweise gut. Es ermittelte nach der gemischten Methode einen Invaliditätsgrad von nunmehr 41 % und sprach der Versicherten mit Wirkung ab 1. Mai 2009 eine Viertelsrente zu (Entscheid vom 21. Mai 2010).
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Verfügung vom 27. März 2009 zu bestätigen; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie über die Kostenverlegung und die Höhe der zugesprochenen Parteientschädigung neu entscheide.
R._ lässt beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen; eventuell: "Die Einschränkung im Aufgabenbereich Haushalt sei zu Gunsten der Beschwerdegegnerin zu korrigieren und entsprechend anzuheben. Der leidensbedingte Abzug sei auf 25 % festzulegen". Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) ersucht darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, und schliesst auf Gutheissung des Rechtsmittels.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2. Die Beschwerde hat - mit hier nicht anwendbaren Ausnahmen - in der Regel keine aufschiebende Wirkung (Art. 103 Abs. 1 und 2 BGG). Der Instruktionsrichter oder die Instruktionsrichterin kann über die aufschiebende Wirkung von Amtes wegen oder auf Antrag einer Partei eine andere Anordnung treffen (<ref-law>).
Die Befugnis, entsprechend Antrag zu stellen, ist nach dem erwähnten Gesetzeswortlaut den Parteien vorbehalten. Zu diesen zählt das BSV im vorliegenden Verfahren nicht. Auch für die Erteilung der aufschiebenden Wirkung von Amtes wegen bestand bei den gegebenen Verhältnissen kein Anlass.
3. Gemäss <ref-law> (in Verbindung mit <ref-law>; vgl. auch <ref-law>) wird bei einer erheblichen Änderung des Invaliditätsgrades eines Rentenbezügers die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben.
4. Die Versicherte hat den vorinstanzlichen, auf Zusprechung einer Viertelsrente ab 1. Mai 2009 lautenden Entscheid, und mithin die entsprechende revisionsweise Herabsetzung ihrer seit Februar 2003 bezogenen halben Invalidenrente, nicht angefochten. Zu beurteilen ist aufgrund der von der Verwaltung erhobenen Beschwerde, ob die Invalidenrente, wie am 27. Februar 2009 verfügt, gänzlich aufzuheben ist oder ob es bei der vom kantonalen Gericht zugesprochenen Viertelsrente bleibt.
Die Bestimmungen über den rentenbestimmenden Invaliditätsgrad (<ref-law> in der seit Anfang 2008 geltenden Fassung) und über die Invaliditätsbemessung bei teils erwerblich, teils im Aufgabenbereich tätigen Versicherten (Art. 28a Abs. 2 und 3 IVG) sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Danach wird bei Versicherten, die nur zum Teil erwerbstätig sind, für diesen Teil die Invalidität mittels Einkommensvergleich gemäss <ref-law> festgelegt. Waren sie daneben noch im Aufgabenbereich tätig, so wird für die Bemessung der Invalidität für diese Tätigkeit darauf abgestellt, in welchem Masse sie unfähig sind, sich im Aufgabenbereich zu betätigen. In diesem Fall sind der Anteil der Erwerbstätigkeit und der Anteil der Tätigkeit im Aufgabenbereich festzulegen und der Invaliditätsgrad in beiden Bereichen zu bemessen. Die Rechtsprechung hat zu dieser sog. gemischten Methode der Invaliditätsbemessung Regeln aufgestellt (vgl. namentlich: <ref-ruling>). Darauf wird nachfolgend zurückzukommen sein.
5. Der Invaliditätsgrad ist im hier zu beurteilenden Rentenrevisionsverfahren unstreitig - wie im damaligen Rentenzusprechungsverfahren - nach der gemischten Methode zu bestimmen. Bezüglich der Anteile der Tätigkeiten im Beruf und im Aufgabenbereich (hier im Haushalt) an der Gesamttätigkeit im Gesundheitsfall gilt Folgendes:
Die Verwaltung ist in der Rentenrevisionsverfügung vom 27. März 2009 davon ausgegangen, die Versicherte wäre im Gesundheitsfall je hälftig erwerblich und im Aufgabenbereich Haushalt tätig. Demgegenüber ist das kantonale Gericht zum Ergebnis gelangt, der Anteil der Erwerbstätigkeit sei auf 73 % und der Anteil Haushalttätigkeit auf 27 % festzusetzen. Diese, auf eine Würdigung konkreter Umstände gestützte Feststellung ist tatsächlicher Art, damit für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-ruling> E. 3.2 S. 507 mit Hinweisen) und im Übrigen letztinstanzlich auch nicht umstritten.
6. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die Versicherte sei im Aufgabenbereich Haushalt gesundheitsbedingt noch zu 4 % - gegenüber 17.6 % im Zeitpunkt der rentenzusprechenden Verfügung vom 17. Februar 2004 - eingeschränkt.
Diese Beurteilung beruht auf einer einlässlichen Auseinandersetzung mit den Akten, stützt sich namentlich auf den Abklärungsbericht Haushalt vom 13. Oktober 2008 und ist im Rahmen der bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis nicht zu beanstanden. Das gilt auch für das Ausmass der Unterstützung, welche vom Ehegatten im Haushalt erwartet werden darf. Die entsprechende Mithilfe wurde im Abklärungsbericht Haushalt überzeugend umschrieben und hält sich im Rahmen des rechtsprechungsgemäss (<ref-ruling> E. 4.2 S. 509 f.) Zumutbaren. Dass hiebei - wie die Versicherte geltend macht - dem Ehegatten praktisch die gesamte Haushalttätigkeit zugemutet wird, trifft nicht zu.
7. 7.1 Die Vorinstanz hat gestützt auf die medizinischen Akten, insbesondere das psychiatrische Gutachten vom 1. Juli 2008, erkannt, dass die Restarbeitsfähigkeit im erwerblichen Tätigkeitsbereich nunmehr 50 % - gegenüber 0 % im Zeitpunkt der rentenzusprechenden Verfügung vom 27. Februar 2004 - beträgt. Das ist nicht umstritten.
Streitig und zu prüfen ist, wie sich diese Einschränkung des Leistungsvermögens auf den erwerblichen Tätigkeitsbereich und bezüglich Gesamtinvalidität auswirkt.
7.2 7.2.1 Das kantonale Gericht hat zur Bestimmung der gesundheitsbedingten Einschränkung der Erwerbsfähigkeit einen Einkommensvergleich vorgenommen. Es erwog zum ohne Gesundheitsschaden mutmasslich erzielten Einkommen (Valideneinkommen), die Versicherte hätte gemäss Angabe der früheren Arbeitgeberin im Jahr 2001 bei einem Pensum von 73 % einen Lohn von Fr. 26'859.- erzielt. Bei einem vollen Arbeitspensum hätte der Lohn mithin Fr. 36'793.- betragen. Werde das Valideneinkommen hingegen unter Verwendung von statistischen Durchschnittslöhnen gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) berechnet, wäre es für das Jahr 2001 auf Fr. 47'018.- festzusetzen. Das gestützt auf den tatsächlichen Lohn bestimmte Einkommen sei demnach rund 22 % niedriger. Diesem Umstand sei dadurch Rechnung zu tragen, dass dem Einkommensvergleich das mittels LSE festgesetzte Valideneinkommen zugrunde gelegt werde. Das im Jahr 2001 trotz invalidisierender Gesundheitsschädigung zumutbarerweise realisierbare Einkommen (Invalideneinkommen) bestimmte die Vorinstanz ebenfalls mittels LSE-Löhnen. Sie erwog, es sei vom selben Tabellenlohn wie beim Valideneinkommen auszugehen und ein leidensbedingter Abzug von 10 % vorzunehmen. Bei einer Restarbeitsfähigkeit von 50 % und unter Berücksichtigung des besagten Abzuges resultiere für den erwerblichen Tätigkeitsbereich ein Invaliditätsgrad von 55 %.
Diesen Teilinvaliditätsgrad gewichtete das kantonale Gericht mit 73 % und den Teilinvaliditätsgrad im Aufgabenbereich Haushalt (4 %; vgl. E. 4 hievor) mit 27 %, entsprechend den Anteilen an der Gesamttätigkeit im Gesundheitsfall. Dies führte zu einem Gesamtinvaliditätsgrad von 41 %. Damit bestünde Anspruch auf eine Viertelsrente (<ref-law>).
7.3 Die Versicherte beanstandet den leidensbedingten Abzug beim Invalideneinkommen. Dieser sei auf 25 % festzusetzen.
Praxisgemäss kann von dem anhand von LSE-Tabellenlöhnen ermittelten Invalideneinkommen unter bestimmten Voraussetzungen ein leidensbedingter Abzug von höchstens 25 % vorgenommen werden (massgeblich: <ref-ruling>; vgl. auch: <ref-ruling> E. 5.2 S. 301 mit Hinweisen). Die Bestimmung der Höhe eines solchen Abzuges ist Ermessensfrage, deren Beantwortung letztinstanzlicher Korrektur nur dort zugänglich ist, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung vorliegt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 in fine S. 399; Urteil 8C_652/2008 vom 8. Mai 2009 E. 4, nicht publ. in: <ref-ruling>).
Die Vorinstanz hat einlässlich begründet, weshalb sie vorliegend einen Abzug von 10 % für gerechtfertigt erachtet. Die Versicherte bringt nichts vor, was den Schluss gestatten würde, das kantonale Gericht habe hiebei sein Ermessen überschritten, missbraucht oder unterschritten. Ihr Einwand ist daher nicht begründet.
7.4 IV-Stelle und BSV beanstanden ihrerseits die vorinstanzliche Beurteilung in mehrfacher Hinsicht. Nach ihrer Auffassung würde bei korrektem Vorgehen kein rentenbegründender Invaliditätsgrad resultieren.
7.4.1 Geltend gemacht wird zunächst, das kantonale Gericht habe die Regeln über die Einkommensparallelisierung bei unterdurchschnittlichem Valideneinkommen falsch angewendet.
7.4.1.1 Rechtsprechungsgemäss ist das dem Einkommensvergleich zugrunde zu legende Valideneinkommen in der Regel anhand des zuletzt verdienten, nötigenfalls der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung angepassten Verdienstes zu ermitteln. Bei unterdurchschnittlichem Valideneinkommen kann ausnahmsweise von diesem Regelfall abgewichen und eine Einkommensparallelisierung vorgenommen werden. Diese kann praxisgemäss entweder auf Seiten des Valideneinkommens durch eine entsprechende Heraufsetzung des effektiv erzielten Einkommens oder durch Abstellen auf die statistischen Werte oder aber auf Seiten des Invalideneinkommens durch eine entsprechende Herabsetzung des statistischen Wertes erfolgen. Voraussetzung ist - nebst anderem -, dass der tatsächlich erzielte Verdienst mindestens 5 % unter dem branchenüblichen LSE-Tabellenlohn liegt (<ref-ruling> E. 6.1.1 S. 302 und 6.1.2 S. 303). Trifft dies zu, ist indessen nur in dem Umfang zu parallelisieren, in welchem die prozentuale Abweichung den Erheblichkeitsgrenzwert von 5 % übersteigt (<ref-ruling> E. 6.1.3 S. 304).
7.4.1.2 Dass der tatsächlich erzielte Verdienst um rund 22 % unter dem mittels LSE-Tabellenlöhnen festgelegten Valideneinkommen liegt und auch die weiteren Voraussetzungen für die Einkommensparallelisierung erfüllt sind, ist nicht umstritten. Indem die Vorinstanz den vollen, nach Tabellenlöhnen bestimmten Verdienst als Valideneinkommen anrechnete, hat sie indessen unberücksichtigt gelassen, dass die Parallelisierung nur um die 5 % übersteigende Differenz, demnach um 17 %, zu erfolgen hat. Der von der IV-Stelle und dem BSV erhobene Einwand ist mithin berechtigt. Wird der korrekte Prozentwert durch Abzug von dem anhand von Tabellenlöhnen bestimmten Einkommen berücksichtigt, resultiert ein Valideneinkommen von Fr. 39'025.- (Fr. 47'018.- - 17 %).
7.4.1.3 Diese Korrektur wirkt sich - bei ansonsten gleichbleibenden Bemessungsfaktoren - wie folgt aus:
Für die Bestimmung des Invalideneinkommens ging das kantonale Gericht wie oben dargelegt (E. 7.2.1 hievor) ebenfalls von dem anhand von Tabellenlöhnen ermittelten Einkommen (demnach von Fr. 47'018.-) aus, rechnete davon entsprechend der Restarbeitsfähigkeit von 50 % die Hälfte an und nahm vom Ergebnis den erwähnten leidensbedingten Abzug von 10 % vor. Daraus resultiert ein Invalideneinkommen von Fr. 21'158.-. Die Gegenüberstellung mit dem Valideneinkommen von Fr. 39'025.- ergibt eine Erwerbseinbusse von Fr. 17'867.-, entsprechend einem Teilinvaliditätsgrad für den erwerblichen Bereich von 46 %. Die Gewichtung der Tätigkeitsbereiche nach deren Anteilen (73 % resp. 27 %) an der Gesamttätigkeit führt zu einem Gesamtinvaliditätsgrad von (gerundet) 35 % (33.58 % [46 % x 0.73] im Erwerblichen + 1.08 [4 % x 0.27] im Haushalt). Damit wird der für einen Rentenanspruch erforderliche Invaliditätsgrad von mindestens 40 % (<ref-law>) nicht erreicht.
7.4.2 Die weiteren Einwände der IV-Stelle und des BSV betreffen die korrekte Anwendung der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung und die Bestimmung des für den Einkommensvergleich massgebenden Zeitpunktes.
7.4.2.1 Zu ersterem wird geltend gemacht, rechtsprechungsgemäss sei das Valideneinkommen im Rahmen der gemischten Methode nicht nach Massgabe eines Vollzeitpensums zu bestimmen, sondern habe sich nach dem Pensum zu richten, welches die versicherte Person im Gesundheitsfall hypothetisch ausüben würde.
Das Vorgehen der Vorinstanz entspricht in der Tat nicht den von der Rechtsprechung aufgestellten Grundsätzen (einlässlich: <ref-ruling>). Diese sind zwar nicht unbestritten geblieben, aber wiederholt bestätigt worden (u.a. <ref-ruling>; <ref-ruling>; SVR 2006 IV Nr. 42 S. 151, I 156/04; vgl. auch <ref-ruling>) und nach wie vor als massgeblich zu betrachten. Die Vorinstanz begründet denn auch nicht, weshalb es sich anders verhalten solle.
Wie sich ein rechtsprechungsgemässes Vorgehen in konkreten Zahlen auswirken würde, braucht nicht abschliessend ermittelt zu werden, da jedenfalls ein Invaliditätsgrad noch unter den vorgenannten 35 % (E. 7.4.1.3) resultiert.
7.4.3 Bezüglich Vergleichszeitpunkt wird vorgebracht, für die Prüfung, ob seit der Rentenzusprechung eine revisionsbegründende Änderung des Invaliditätsgrades eingetreten sei, hätten die Vergleichseinkommen nach Massgabe der Verhältnisse im Jahr 2009, für welches die Revisionsfrage zu beantworten sei, bestimmt werden müssen.
Der Einwand ist ebenfalls berechtigt. Dies hat aber im vorliegenden Fall keine weiteren Auswirkungen, da beide Vergleichseinkommen aufgrund desselben Tabellenlohnes bestimmt und von den identischen Faktoren - wie etwa bezüglich statistischer Lohnentwicklung - beeinflusst werden.
8. Zusammenfassend ergibt sich, dass der Invaliditätsgrad im Revisionszeitpunkt keinen Rentenanspruch mehr begründet. Die Beschwerde ist daher gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben.
9. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdegegnerin zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, vom 21. Mai 2010 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. September 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz