Sachverhalt:
A. Im Verfahren betreffend Eheschutzmassnahmen stellte die Einzelrichterin am Bezirksgericht Hinwil mit Verfügung vom 20. Dezember 2007 fest, dass X._ (nachfolgend: Beschwerdeführer) und Z._ (nachfolgend: Beschwerdegegnerin) zum Getrenntleben berechtigt seien und bereits seit dem 30. Juli 2007 getrennt lebten (Dispositiv Ziffer 1). Sie traf unter anderem folgende Anordnungen: Die beiden Kinder S._, geboren 2004, und T._, geboren 2007, wurden für die Dauer des Getrenntlebens unter die elterliche Obhut der Beschwerdegegnerin gestellt (Dispositiv Ziffer 2). Sodann regelte die Einzelrichterin das Besuchsrecht des Beschwerdeführers (in den ersten vier Monaten ein begleitetes) und ordnete eine Besuchsrechtsbeistandschaft an (Dispositiv Ziffern 3-6). Sie verpflichtete den Beschwerdeführer, der Beschwerdegegnerin für September 2007 einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 2'047.-- pro Monat (Fr. 747.-- für die Beschwerdegegnerin und je Fr. 650.-- zuzüglich Kinderzulagen für die beiden Kinder) und ab Oktober 2007 Fr. 2'137.-- pro Monat (Fr. 837.-- für die Beschwerdegegnerin und je Fr. 650.-- zuzüglich Kinderzulagen für die beiden Kinder) zu bezahlen (Dispositiv Ziffer 8). Die eheliche Liegenschaft wies sie für die Dauer des Getrenntlebens der Beschwerdegegnerin zur Benützung zu (Dispositiv Ziffer 9). Weiter wies die Einzelrichterin den Personenwagen Jeep Cherokee der Beschwerdegegnerin und die Personenwagen Mercedes und Pontiac dem Beschwerdeführer zur Benützung zu (Dispositiv Ziffer 10). Die Einzelrichterin verpflichtete die Parteien, verschiedene in der Verfügung aufgeführte Gegenstände der jeweiligen Gegenpartei herauszugeben (Dispositiv Ziffern 11 und 12). Weiter ordnete sie mit Wirkung ab 26. Juli 2007 die Gütertrennung an (Dispositiv Ziffer 14).
Gegen diese Verfügung erhob der Beschwerdeführer Rekurs beim Obergericht.
B. Das Obergericht (I. Zivilkammer) entzog auf Gesuch der Beschwerdegegnerin hin mit Beschluss vom 22. April 2008 dem Rekurs gegen Dispositiv Ziffer 3 Abs. 1 der erstinstanzlichen Verfügung (begleitetes Besuchsrecht) insoweit die aufschiebende Wirkung, als der Beschwerdeführer berechtigt erklärt wurde, die beiden Kinder ab Aufhebung des Kontaktverbots und Errichtung der Besuchsrechtsbeistandschaft jeweils am zweiten Sonntag eines jeden Monats zwischen 11.00 Uhr und 17.00 Uhr für die Dauer von zwei Stunden - aufbauend, je nach Verlauf - auf eigene Kosten im Besuchertreff A._ zu besuchen. Weiter entzog das Obergericht dem Rekurs gegen Dispositiv Ziffern 5 und 6 der erstinstanzlichen Verfügung (Errichtung einer Besuchsrechtsbeistandschaft und Umschreibung der Aufgabe der Beiständin bzw. des Beistands) die aufschiebende Wirkung, bezüglich der Aufgaben der Beiständin bzw. des Beistands unter teilweiser Umformulierung der betreffenden Umschreibung. Dem Rekurs gegen Dispositiv Ziffer 8 der erstinstanzlichen Verfügung (Unterhaltsbeiträge) wurde insoweit die aufschiebende Wirkung entzogen, als der Beschwerdeführer verpflichtet wurde, der Beschwerdegegnerin für sich und die beiden Kinder ab sofort einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 2'062.-- zu bezahlen. Weiter wies das Obergericht das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Rechtsvertretung sowie die Gesuche des Beschwerdeführers um Erlass superprovisorischer Massnahmen ab, soweit es darauf eintrat. Sodann wurde dem Beschwerdeführer eine Frist von 10 Tagen ab Zustellung des Beschlusses angesetzt, um für die Gerichtskosten und eine allfällige Prozessentschädigung an die Beschwerdegegnerin für das Rekursverfahren bei der Obergerichtskasse eine Prozesskaution von Fr. 10'000.-- zu leisten. Bei Säumnis würde auf den Rekurs nicht eingetreten.
C. Die Eingabe des Beschwerdeführers vom 5. Mai 2008 an das Obergericht überwies dieses als Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht. Mit Eingabe vom 23. Mai 2008 ergänzte der Beschwerdeführer seine Nichtigkeitsbeschwerde.
Nachdem mit Verfügung vom 26. Mai 2008 verschiedene Begehren des Beschwerdeführers um Erlass vorsorglicher Massnahmen zuständigkeitshalber an das Obergericht überwiesen wurden, trat das Kassationsgericht auf die Beschwerde nicht ein und wies das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab. Sodann setzte das Kassationsgericht die Frist zur Leistung der Prozesskaution durch den Beschwerdeführer wieder an.
D. Mit Beschwerde vom 10. Oktober 2008 stellt der Beschwerdeführer folgendes Rechtsbegehren:
"Wegen mangelnder Prozessvoraussetzung seien in der Sache X._ - Z._ sämtliche Entscheide und Verfügungen aller Instanzen aufzuheben, verbunden mit der Feststellung, dass auf das Rechtsmittel mangels Prozessvoraussetzung nicht eingetreten werden kann. Eventualiter seien im Falle einer Gutheissung aller Prozessvoraussetzungen, die angefochtenen Verfügungen des Ober- und des Kassationsgerichtes aufzuheben. - Unter Kosten- und Entschädigungsfolge. Insbesondere sei die Entschädigung durch den Staat Zürich nach richterlichem Ermessen zu schätzen."
Mit Verfügung vom 3. November 2008 wurden die Gesuche um aufschiebende Wirkung und um vorsorgliche Massnahmen abgewiesen. Es wurden keine Vernehmlassungen zur Sache eingeholt.

Erwägungen:
1. Angefochten ist mit dem Entscheid des Kassationsgerichts ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (Art. 75 Abs. 1) betreffend vorsorgliche Massnahmen (Entzug der aufschiebenden Wirkung eines kantonalen Rekurses) sowie unentgeltliche Rechtspflege in Eheschutzsachen, somit in Zivilsachen (<ref-law>; zur Mitanfechtung des obergerichtlichen Entscheids s. unten, E. 3). Es handelt sich dabei um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid gemäss <ref-law>, gegen welchen die Beschwerde in Zivilsachen zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>).
2. Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht die Aufhebung sämtlicher Entscheide und Verfügungen wegen mangelnder Prozessvoraussetzung, die Feststellung, dass auf die Begehren der Beschwerdegegnerin mangels Prozessvoraussetzung nicht eingetreten werden kann, sowie die Schätzung einer Entschädigung beantragt, ist nicht ersichtlich, inwieweit er sich gegen den vorinstanzlichen Entscheid richtet. Der Beschwerdeführer verkennt offensichtlich, dass die Vorinstanzen in der Sache noch nicht entschieden, sondern erst über die Fragen der aufschiebenden Wirkung und der unentgeltlichen Rechtspflege befunden haben. Daher gehen seine diesbezüglichen Begehren und die damit verbundenen Ausführungen zur Begründung - soweit sie nicht neue Tatsachen bzw. Rechtsbegehren darstellen und daher von vornherein unzulässig sind (Art. 99 Abs. 1 und 2 BGG) - an der Sache vorbei. Daran ändert auch die Geltendmachung einer angeblichen Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung nichts. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang eine Verletzung des rechtlichen Gehörs rügt, indem er geltend macht, das Kassationsgericht habe ihn nicht angehört und sei seiner Darlegung der Nichtigkeitsgründe ausgewichen, tut er nicht substanziiert dar, worin eine Verletzung von <ref-law> liegen soll. Nicht zulässig sind im Weiteren seine Verweise auf kantonale Eingaben. Insofern ist auf die Beschwerde somit nicht einzutreten.
Soweit sich der Beschwerdeführer in seinem Eventualbegehren auch materiell gegen die vorinstanzlichen Entscheide richtet, stellt er kein reformatorisches Begehren, sondern beschränkt sich darauf, deren Aufhebung zu beantragen. Dies führt grundsätzlich zur Unzulässigkeit einer Beschwerde in Zivilsachen, da diese gemäss <ref-law> ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 489). Gleichwohl ist zu Gunsten des Beschwerdeführers und mit Blick auf den Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens davon auszugehen, dass er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Verfahren und sinngemäss die Abweisung des beschwerdegegnerischen Gesuchs um Entzug der aufschiebenden Wirkung des Rekurses vor Obergericht beantragt, sodass die Beschwerdeschrift insofern den Anforderungen an das Rechtsbegehren gemäss <ref-law> genügt.
3. Die Beschwerde richtet sich gegen den Beschluss des Obergerichts vom 22. April 2008 sowie gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 5. September 2008.
Wird ein ausserordentliches kantonales Rechtsmittel ergriffen, so beginnt die Beschwerdefrist gegen den Entscheid des oberen kantonalen Gerichts erst mit der Eröffnung des Entscheids der zusätzlichen Rechtsmittelinstanz (<ref-law>). Können allerdings mit dem ausserordentlichen kantonalen Rechtsmittel alle vor Bundesgericht zulässigen Rügen geltend gemacht werden, erfordert <ref-law> die Erschöpfung dieses kantonalen Rechtsmittelzuges und ist die Beschwerde gegen den Entscheid des oberen kantonalen Gerichts unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1 S. 586).
Nach § 281 der Zivilprozessordnung des Kantons Zürich vom 13. Juni 1976 (ZPO/ZH; OS 271) kann gegen Vor-, Teil-, und Endentscheide sowie gegen Rekursentscheide und Rückweisungen im Berufungsverfahren Nichtigkeitsbeschwerde erhoben werden, wenn geltend gemacht wird, der angefochtene Entscheid beruhe zum Nachteil des Nichtigkeitsklägers auf einer Verletzung eines wesentlichen Verfahrensgrundsatzes (Ziff. 1), auf einer aktenwidrigen oder willkürlichen tatsächlichen Annahme (Ziff. 2) oder auf einer Verletzung klaren materiellen Rechts (Ziff. 3). Sodann können nach <ref-law>/ZH prozessleitende Entscheide auch selbständig mit der Nichtigkeitsbeschwerde angefochten werden, wenn ein schwer wiedergutzumachender Nachteil droht (Ziff. 1) oder wenn damit ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Verfahren erspart werden kann (Ziff. 2). Ausgeschlossen ist die Nichtigkeitsbeschwerde, wenn das Bundesgericht einen Mangel frei überprüfen kann, wobei die Nichtigkeitsbeschwerde jedoch stets zulässig ist, wenn eine Verletzung von Art. 8, 9, 29 oder 30 der Bundesverfassung oder von Art. 6 EMRK geltend gemacht wird (<ref-law>/ZH).
Der Beschwerdeführer rügt verschiedene Verletzungen des Willkürverbots (<ref-law>) sowie die Verweigerung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>). Diese Rügen konnten grundsätzlich mit der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde geltend gemacht werden, auch wenn das Kassationsgericht auf die Beschwerde mangels Begründung nicht eintrat. Daher ist die Beschwerde, soweit sie sich gegen den Beschluss des Obergerichts richtet, mangels Erschöpfung des kantonalen Instanzenzuges unzulässig und ist auf sie insofern nicht einzutreten.
4. Soweit sich der Beschwerdeführer gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts wendet, ist darauf hinzuweisen, dass das Kassationsgericht auf die Nichtigkeitsbeschwerde gegen den obergerichtlichen Beschluss mit der Begründung nicht eingetreten ist, der Beschwerdeführer beklage sich zwar bitter über das Handeln der Beschwerdegegnerin und der Vorinstanzen. Er unterlasse es jedoch vollständig, sich mit den Erwägungen des obergerichtlichen Beschlusses auseinanderzusetzen. Es fehle daher die sachbezogene Begründung. Der Beschwerdeführer legt im bundesgerichtlichen Verfahren nicht dar, ob und inwiefern der Nichteintretensbeschluss des Kassationsgerichts gegen die von ihm angerufenen Vorschriften (s. oben, E. 3) verstossen soll. Insbesondere zeigt er nicht auf, inwiefern er sich vor Kassationsgericht hinreichend mit den entscheidrelevanten Erwägungen des Obergerichts auseinandergesetzt habe. Bei dieser Sachlage fehlt auch der Beschwerde an das Bundesgericht die sachbezogene Begründung, sodass darauf nicht eingetreten werden kann. Daher kann offen bleiben, ob die Voraussetzungen für die Anfechung eines Zwischenentscheids überhaupt erfüllt sind (s. oben, E. 1).
5. Zusammenfassend ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Da dem Begehren der Beschwerdegegnerin um Ablehnung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung vor Bundesgericht entsprochen worden ist, ist ihr insofern für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Rapp