Faits:
A. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a alloué à C._ une rente entière d'invalidité à partir du 1er mars 1998 (décision du 19 décembre 2003, rendue en lieu et place d'une décision du 19 mars 2003 qui elle-même remplaçait une décision du 3 septembre 2001).
Par décision du 25 février 2008, l'office AI a supprimé, par la voie de la révision, le droit de C._ à une rente d'invalidité avec effet dès le premier jour du 2ème mois suivant la notification de la décision. Il indiquait que dans l'hypothèse où la tumeur opérée en juin 2007 occasionnerait une incapacité de travail de longue durée, une nouvelle demande pourrait être déposée.
B. Statuant sur le recours formé par C._ contre cette décision, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, par arrêt du 6 mai 2010, l'a partiellement admis (ch. 1 du dispositif), annulé la décision du 25 février 2008 et renvoyé la cause à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision (ch. 2 du dispositif), mis à la charge de C._ un émolument de décision de 200 fr. et les débours par 40 fr., montants compensés par son avance de frais, dont le solde lui était restitué (ch. 3 du dispositif), mis à la charge de l'office AI un émolument de décision de 100 fr. et les débours par 20 fr. (ch. 4 du dispositif) et alloué à C._ une indemnité de dépens partielle de 300 fr., à charge de l'office AI (ch. 5 du dispositif).
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, C._ demande que ce jugement soit partiellement annulé et invite le Tribunal fédéral à constater qu'il présente toujours un taux d'invalidité de 100 % entraînant une incapacité totale de travail depuis l'événement survenu le 22 mars 1997.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (<ref-law>) et contre toute décision qui statue sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause ou qui met fin à la procédure à l'égard d'une partie des consorts (décision partielle; <ref-law>). Il est également recevable contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (<ref-law>). Les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément ne peuvent faire l'objet d'un recours que si elles peuvent causer un préjudice irréparable (<ref-law>), ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>).
1.2 L'arrêt attaqué, dont le ch. 2 du dispositif annule la décision de suppression du droit à la rente du 25 février 2008 et renvoie la cause à l'intimé pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision, ne met pas définitivement fin à la procédure, mais constitue une étape vers la décision finale. Il ne s'agit par conséquent pas d'une décision finale, ni d'une décision partielle (faute de statuer sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause). Le jugement déféré doit être considéré comme une décision incidente, contre laquelle un recours n'est admissible qu'aux conditions de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 143, 133 V 477 consid. 4.2 p. 481 s.), étant relevé que l'<ref-law> n'entre pas ici en considération.
2. 2.1 Une décision sur l'administration des preuves ne cause en général pas de préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> puisqu'il est normalement possible, en recourant contre la décision finale, d'obtenir l'administration de la preuve refusée à tort ou d'obtenir que la preuve administrée à tort soit écartée du dossier (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 483; BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2009, ad <ref-law> n° 17 p. 904). Au consid. 5b du jugement attaqué, les premiers juges ont relevé que si les rapports médicaux des docteurs H._ et L._ n'étaient certes pas suffisants pour retenir que l'adénocarcinome dont avait été atteint le recourant et les suites de l'intervention chirurgicale qu'il avait subie avaient engendré une incapacité de travail durable et, cas échéant, quel en serait le taux, l'intimé ne pouvait cependant pas occulter purement et simplement les éléments dont avaient fait état ces médecins et considérer qu'ils devaient faire l'objet d'une nouvelle demande, s'agissant de faits survenus antérieurement au prononcé de la décision du 25 février 2008. Pour ce motif, ils ont renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il procède à une instruction complémentaire sur ce point et rende une nouvelle décision. Le recourant ne subit donc pas un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law>.
2.2 Pour justifier un recours immédiat, il ne suffit pas que la décision du Tribunal fédéral puisse mettre fin immédiatement à la procédure, il faut encore que cette décision permette d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (BERNARD CORBOZ, in op. cit., ad <ref-law> n° 30 p. 909). Cette seconde condition de l'<ref-law> fait défaut, dès lors que le renvoi de la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision ne se confond pas avec une procédure probatoire prenant un temps considérable et exigeant des frais importants (par ex. arrêt 9C_446/2007 du 5 décembre 2007 consid. 3).
3. En raison de son caractère accessoire, la décision sur les frais (émolument, débours) et dépens ne cause pas non plus au recourant un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 647). Sous l'angle de l'<ref-law>, on relèvera qu'un arrêt du Tribunal fédéral sur la répartition des frais et dépens en instance cantonale ne conduirait pas à une décision finale sur le fond.
4. Les conditions de l'<ref-law> ne sont dès lors pas réalisées en l'espèce. Le recours doit être déclaré irrecevable, selon la procédure simplifiée de l'<ref-law>. En application de l'art. 66 al. 1, 2ème phrase, LTF, il convient de renoncer à la perception des frais judiciaires, vu les circonstances.

Par ces motifs, le Président prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et Canton de Neuchâtel, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 1er juillet 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner