Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. K._ (geb. 1959) absolvierte vom März 1977 bis März 1981 eine Ausbildung zur Hotelfachassistentin. 1981 und 1985 gebar sie zwei Söhne. Im September 1994 wurde die Ehe geschieden, nachdem K._ sich wegen Gewalttätigkeit des Ehemannes ein halbes Jahr im Frauenhaus aufgehalten hatte. Seit 1989 übt sie eine Tätigkeit als Heimarbeiterin aus. Weiter nahm sie Stellen als Haushalthilfe und Raumpflegerin an. Wegen psychischen Problemen, Zähneklappern, Zittern, Schlafstörungen und Schweissausbrüchen meldete sich K._ am 29. Oktober 1996 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach medizinischen, erwerblichen und Haushaltsabklärungen sprach ihr die IV-Stelle Luzern mit Verfügung vom 19. Juli 2001 bei einem Invaliditätsgrad von 41 % eine Viertelsrente zu. Ein eventueller Härtefall konnte nicht geprüft werden, da das Ergänzungsblatt 3 nicht ausgefüllt zurückgesandt worden war.
A. K._ (geb. 1959) absolvierte vom März 1977 bis März 1981 eine Ausbildung zur Hotelfachassistentin. 1981 und 1985 gebar sie zwei Söhne. Im September 1994 wurde die Ehe geschieden, nachdem K._ sich wegen Gewalttätigkeit des Ehemannes ein halbes Jahr im Frauenhaus aufgehalten hatte. Seit 1989 übt sie eine Tätigkeit als Heimarbeiterin aus. Weiter nahm sie Stellen als Haushalthilfe und Raumpflegerin an. Wegen psychischen Problemen, Zähneklappern, Zittern, Schlafstörungen und Schweissausbrüchen meldete sich K._ am 29. Oktober 1996 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach medizinischen, erwerblichen und Haushaltsabklärungen sprach ihr die IV-Stelle Luzern mit Verfügung vom 19. Juli 2001 bei einem Invaliditätsgrad von 41 % eine Viertelsrente zu. Ein eventueller Härtefall konnte nicht geprüft werden, da das Ergänzungsblatt 3 nicht ausgefüllt zurückgesandt worden war.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Einholen eines gerichtlichen Gutachtens von Dr. med. B._, Spezialarzt FMH für Psychiatrie, vom 24. August 2002 gut und sprach K._ ab dem 1. Januar 1996 eine ganze IV-Rente zu.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Einholen eines gerichtlichen Gutachtens von Dr. med. B._, Spezialarzt FMH für Psychiatrie, vom 24. August 2002 gut und sprach K._ ab dem 1. Januar 1996 eine ganze IV-Rente zu.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt die IV-Stelle beantragen, es sei festzustellen, dass die Versicherte ab 1. Januar 1996 bis zum Erlass der angefochtenen Verfügung als zu je 50% als Erwerbstätige und im Haushalt Tätige zu betrachten sei, und die Sache sei an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es die Berechnung der Invaliditätsgrade der Jahre 1996 bis 2001 nach der gemischten Methode neu vornehme.
K._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen und die unentgeltliche Verbeiständung beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen zum Invaliditätsbegriff (<ref-law>), zu Voraussetzungen und Umfang des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 1 und 1bis IVG), zu den verschiedenen Methoden der Invaliditätsbemessung bei erwerbstätigen und teilerwerbstätigen Versicherten (Art. 28 Abs. 2 und 3 IVG; Art. 27 Abs. 1 und 2, <ref-law>; sämtliche Vorschriften in den jeweils bis Ende 2002 gültig gewesenen Fassungen) sowie die Rechtsprechung zur Bedeutung ärztlicher Auskünfte im Rahmen der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> Erw. 4, 115 V 134 Erw. 2, 114 V 314 Erw. 3c, 105 V 158 Erw. 1) richtig wiedergegeben. Darauf wird verwiesen. Ferner trifft zu, dass das ATSG vorliegend nicht anwendbar ist. Zu ergänzen ist, das die am 1. Januar 2004 in Kraft getretenen Änderungen des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung vom 21. März 2003 und der Verordnung über die Invalidenversicherung vom 21. Mai 2003 ebenfalls nicht zur Anwendung gelangen (<ref-ruling> Erw. 1.2).
1. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen zum Invaliditätsbegriff (<ref-law>), zu Voraussetzungen und Umfang des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 1 und 1bis IVG), zu den verschiedenen Methoden der Invaliditätsbemessung bei erwerbstätigen und teilerwerbstätigen Versicherten (Art. 28 Abs. 2 und 3 IVG; Art. 27 Abs. 1 und 2, <ref-law>; sämtliche Vorschriften in den jeweils bis Ende 2002 gültig gewesenen Fassungen) sowie die Rechtsprechung zur Bedeutung ärztlicher Auskünfte im Rahmen der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> Erw. 4, 115 V 134 Erw. 2, 114 V 314 Erw. 3c, 105 V 158 Erw. 1) richtig wiedergegeben. Darauf wird verwiesen. Ferner trifft zu, dass das ATSG vorliegend nicht anwendbar ist. Zu ergänzen ist, das die am 1. Januar 2004 in Kraft getretenen Änderungen des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung vom 21. März 2003 und der Verordnung über die Invalidenversicherung vom 21. Mai 2003 ebenfalls nicht zur Anwendung gelangen (<ref-ruling> Erw. 1.2).
2. Streitig und zu prüfen sind der Zeitpunkt des Rentenbeginns bzw. die Frage, ab wann die Versicherte ohne Beeinträchtigung der Gesundheit voll erwerbstätig geworden wäre, die massgebende Einschränkung der Leistungsfähigkeit und die Berechnung des Invaliditätsgrades nach der gemischten Methode.
2.1 Die Invalidität gilt als eingetreten, sobald sie die für die Begründung des Anspruchs auf die jeweilige Leistung erforderliche Art und Schwere erreicht hat (<ref-law>). Im Falle einer Rente gilt die Invalidität in dem Zeitpunkt als eingetreten, in dem der Anspruch nach <ref-law> entsteht, d.h. frühestens wenn die versicherte Person mindestens zu 40% bleibend erwerbsunfähig geworden ist (lit. a) oder während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich zu 40% arbeitsunfähig gewesen ist (lit. b; <ref-ruling>18 Erw. 2.1).
2.2 Sowohl im Rahmen einer erstmaligen Prüfung des Rentenanspruchs als auch anlässlich einer Rentenrevision (<ref-law>) stellt sich unter dem Gesichtspunkt der Art. 4 und 5 IVG die Frage nach der anwendbaren Invaliditätsbemessungsmethode (Art. 28 Abs. 2 und Art. 3 IVG in Verbindung mit Art. 27 f. IVV). Ob eine versicherte Person als ganztägig oder teilzeitlich erwerbstätig zu betrachten ist, beurteilt sich praxisgemäss nicht danach, ob sie vor ihrer Heirat erwerbstätig war oder nicht. Diese Tatsache kann allenfalls ein Indiz darstellen. Entscheidend ist vielmehr, welche Tätigkeit sie ausüben würde, wenn sie nicht invalid geworden wäre. Es ist demnach zu prüfen, ob die Person ohne Invalidität mit Rücksicht auf die gesamten Umstände (dazu gehören die persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnisse) vorwiegend erwerbstätig oder im Haushalt beschäftigt wäre (<ref-ruling>, 98 V 263 Erw. 1 und 268 Erw. 1c). Für die Beurteilung und Festlegung des im Gesundheitsfall mutmasslich ausgeübten Aufgabenbereichs sind ausser der finanziellen Notwendigkeit, eine Erwerbstätigkeit wieder aufzunehmen oder auszudehnen, auch allfällige Erziehungs- und Betreuungsaufgaben gegenüber Kindern, das Alter, die beruflichen Fähigkeiten und die Ausbildung sowie die persönlichen Neigungen und Begabungen zu berücksichtigen (<ref-ruling> Erw. 2c, 117 V 195; AHI 1997 S. 289, 1996 S 197 Erw. 1c).
2.2 Sowohl im Rahmen einer erstmaligen Prüfung des Rentenanspruchs als auch anlässlich einer Rentenrevision (<ref-law>) stellt sich unter dem Gesichtspunkt der Art. 4 und 5 IVG die Frage nach der anwendbaren Invaliditätsbemessungsmethode (Art. 28 Abs. 2 und Art. 3 IVG in Verbindung mit Art. 27 f. IVV). Ob eine versicherte Person als ganztägig oder teilzeitlich erwerbstätig zu betrachten ist, beurteilt sich praxisgemäss nicht danach, ob sie vor ihrer Heirat erwerbstätig war oder nicht. Diese Tatsache kann allenfalls ein Indiz darstellen. Entscheidend ist vielmehr, welche Tätigkeit sie ausüben würde, wenn sie nicht invalid geworden wäre. Es ist demnach zu prüfen, ob die Person ohne Invalidität mit Rücksicht auf die gesamten Umstände (dazu gehören die persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnisse) vorwiegend erwerbstätig oder im Haushalt beschäftigt wäre (<ref-ruling>, 98 V 263 Erw. 1 und 268 Erw. 1c). Für die Beurteilung und Festlegung des im Gesundheitsfall mutmasslich ausgeübten Aufgabenbereichs sind ausser der finanziellen Notwendigkeit, eine Erwerbstätigkeit wieder aufzunehmen oder auszudehnen, auch allfällige Erziehungs- und Betreuungsaufgaben gegenüber Kindern, das Alter, die beruflichen Fähigkeiten und die Ausbildung sowie die persönlichen Neigungen und Begabungen zu berücksichtigen (<ref-ruling> Erw. 2c, 117 V 195; AHI 1997 S. 289, 1996 S 197 Erw. 1c).
3. 3.1 Die Vorinstanz gelangte nach Würdigung der Umstände zur Auffassung, dass die Beschwerdegegnerin ab 1996 als zu je 50% erwerbstätig und im Haushalt tätig und ab August 2000 als voll erwerbstätig zu betrachten sei. Die Beschwerdeführerin erachtet diese Auffassung als willkürlich. Die Rechtsprechung in Scheidungs- und Trennungsfällen gehe davon aus, dass der erziehungsberechtigten Person erst ab dem erreichten 16. Altersjahr des jüngsten Kindes wieder eine volle ausserhäusliche Erwerbstätigkeit zugemutet werden könne. Es gebe im vorliegenden Fall, in dem das jüngste Kind ein Problemkind gewesen sei, keinen Anlass, von dieser Alterslimite nach unten abzuweichen, zumal die Beschwerdegegnerin gemäss Scheidungsurteil bis Ende August 2001 Anspruch auf persönliche Unterhaltsbeiträge des geschiedenen Ehemannes gehabt habe.
3.2 Die Beschwerdeführerin bezieht sich auf die Rechtsprechung zu dem seit 1. Januar 2000 gültigen <ref-law>, der zum Zeitpunkt des die Versicherte betreffenden Scheidungsurteils noch nicht in Kraft war. Ist einem Ehegatten nicht zuzumuten, dass er für den ihm gebührenden Unterhalt unter Einschluss einer angemessenen Altersvorsorge selbst aufkommt, hat ihm der andere einen angemessenen Betrag zu leisten (<ref-law>). Beim Entscheid, ob ein solcher geschuldet sei, und gegebenenfalls in welcher Höhe und wie lange, sind insbesondere die Kriterien nach Art. 125 Abs. 2 Ziff. 1 - 6 ZGB zu berücksichtigen. Diese entstammen weitgehend der Rechtsprechung des Bundesgerichts zum alten Recht (Ingeborg Schwenzer [Hrsg.], Praxis Kommentar zum Scheidungsrecht, Helbing & Lichtenhahn, Basel, Genf, München 2000, N 40 zu <ref-law>). In der Tat stellte das Bundesgericht in dieser Rechtsprechung zur Zumutbarkeit einer Erwerbstätigkeit neben der Kinderbetreuung den Grundsatz auf, dass eine Vollzeiterwerbstätigkeit erst zumutbar sei, wenn das jüngste Kind das 16. Altersjahrs vollendet hat (vgl. <ref-ruling>, 10; <ref-ruling>, 289 f.; Schwenzer, a.a.O., N 59 zu <ref-law>). Indessen ist der entsprechende Einwand der IV-Stelle im vorliegenden Zusammenhang unbeachtlich. Im Scheidungsrecht beschlägt die Frage der Zumutbarkeit einer Vollzeiterwerbstätigkeit für den die Kinder betreuenden Elternteil einen in der Zukunft liegenden Sachverhalt. Die Frage der Zumutbarkeit muss zwangsläufig für den Regelfall normativ beantwortet werden, wobei sich die Frage nach der künftigen Zumutbarkeit der Vollzeiterwerbstätigkeit und weniger nach den tatsächlichen, künftigen Verhältnissen im Einzelfall stellt. Bei der Rentenbemessung nach IVG hingegen ist für die Frage, ob eine versicherte Person als ganztägig oder zeitweilig erwerbstätig zu betrachten sei, der Sachverhalt konkret im individuellen Fall zu beurteilen. So kann das Verhalten der versicherten Person vor und nach der Scheidung sowie vor und nach der gesundheitlichen Beeinträchtigung mitberücksichtigt werden, was der beurteilenden Instanz eine vertiefte Auseinandersetzung mit den tatsächlichen Verhältnissen abverlangt und damit eine präzisere Annäherung an die wahrscheinlichen Verhältnisse im Einzelfall erlaubt.
3.3 Nachdem die Beschwerdegegnerin in ihrer Jugend zuerst aus gesundheitlichen Gründen eine Lehre als Sarner-Schwester abbrach, absolvierte sie im Anschluss daran 1981 mit Erfolg eine Hotelfachassistentinnen-Schule. Im selben Jahr gebar sie ihren ersten Sohn. Wegen knapper finanzieller Verhältnisse arbeitete die Versicherte während der Ehe an Wochenenden im Service, später als Hauswartin. Seit 1989 war sie für das Firma Z._ als Heimarbeiterin tätig. 1994 versuchte sie trotz ihrer gesundheitlichen Leiden und den betreuungsbedürftigen Kindern, ihre Arbeitstätigkeit auszubauen. Diesen Versuch wiederholte sie 1999 als Raumpflegerin für die Gemeinde X._. Die Beschwerdegegnerin hat damit unter allen Umständen vor, während und nach der Ehe mit und ohne gesundheitliche Beeinträchtigungen den Tatbeweis erbracht, dass sie willens und fähig gewesen wäre, sich und ihre Familie so zu organisieren, dass sie zum für sie frühest möglichen Zeitpunkt ihre Arbeitskraft wiederum voll realisiert hätte. Auf der andern Seite sind jedoch die Eindrücke der schlimmen Ereignisse in der Ehe und des Mordes im Frauenhaus auf die Psyche der Kinder und deren daraus resultierende, erhöhte Betreuungsbedürftigkeit nicht zu unterschätzen. Daher erscheint eine Vollzeiterwerbstätigkeit bereits im Jahre 1998, wie sie die Beschwerdegegnerin geltend macht, als unrealistisch. Es finden sich keine Gründe, von der Auffassung der Vorinstanz abzuweichen, wonach davon auszugehen ist, dass die Beschwerdegegnerin ohne ihre gesundheitlichen Probleme ab 1996 als zu je 50% erwerbs- und im Haushalt tätig und ab August 2000 voll erwerbstätig gewesen wäre.
3.3 Nachdem die Beschwerdegegnerin in ihrer Jugend zuerst aus gesundheitlichen Gründen eine Lehre als Sarner-Schwester abbrach, absolvierte sie im Anschluss daran 1981 mit Erfolg eine Hotelfachassistentinnen-Schule. Im selben Jahr gebar sie ihren ersten Sohn. Wegen knapper finanzieller Verhältnisse arbeitete die Versicherte während der Ehe an Wochenenden im Service, später als Hauswartin. Seit 1989 war sie für das Firma Z._ als Heimarbeiterin tätig. 1994 versuchte sie trotz ihrer gesundheitlichen Leiden und den betreuungsbedürftigen Kindern, ihre Arbeitstätigkeit auszubauen. Diesen Versuch wiederholte sie 1999 als Raumpflegerin für die Gemeinde X._. Die Beschwerdegegnerin hat damit unter allen Umständen vor, während und nach der Ehe mit und ohne gesundheitliche Beeinträchtigungen den Tatbeweis erbracht, dass sie willens und fähig gewesen wäre, sich und ihre Familie so zu organisieren, dass sie zum für sie frühest möglichen Zeitpunkt ihre Arbeitskraft wiederum voll realisiert hätte. Auf der andern Seite sind jedoch die Eindrücke der schlimmen Ereignisse in der Ehe und des Mordes im Frauenhaus auf die Psyche der Kinder und deren daraus resultierende, erhöhte Betreuungsbedürftigkeit nicht zu unterschätzen. Daher erscheint eine Vollzeiterwerbstätigkeit bereits im Jahre 1998, wie sie die Beschwerdegegnerin geltend macht, als unrealistisch. Es finden sich keine Gründe, von der Auffassung der Vorinstanz abzuweichen, wonach davon auszugehen ist, dass die Beschwerdegegnerin ohne ihre gesundheitlichen Probleme ab 1996 als zu je 50% erwerbs- und im Haushalt tätig und ab August 2000 voll erwerbstätig gewesen wäre.
4. Die Vorinstanz legte gestützt auf das gerichtlich in Auftrag gegebene Gutachten von Dr. med. B._ vom 24. August 2002 den Beginn der Arbeitsunfähigkeit von 50 - 55% auf September 1994 fest. Die Beschwerdeführerin rügt, dass das fragliche Gutachten aus dem Jahre 2002 stamme, sich aber zu einer acht Jahre zurückliegende Arbeitsunfähigkeit äussere. Es sei gerade im Bereich der psychischen Erkrankungen, wo grosse Schwankungen auftreten könnten, äusserst heikel, Einschätzungen des Gesundheitszustandes oder der medizinisch-theoretischen Arbeitsfähigkeit über einen grösseren Zeitraum rückwirkend abzugeben. Es sei nicht nachvollziehbar und auch nicht gerechtfertigt, auf diese Einschätzung abzustellen, da die im Jahre 1997 behandelnde Ärztin, Frau Dr. med. S._, FMH für Psychiatrie, in ihrem Bericht vom 20. August 1997 die Arbeitsunfähigkeit lediglich "ca. 1 1/2 Jahre" zurückdatiert habe. Es fehle an Gründen, sich beim Zeitpunkt des Rentenbeginns auf das Gerichtsgutachten abzustützen. Zu prüfen ist somit, ob und ab wann die Beschwerdegegnerin während eines Jahres durchschnittlich mindestens 40% arbeitsunfähig gewesen war (<ref-law>).
4.1 Die Beschwerdegegnerin meldete sich am 29. Oktober 1996 zum Leistungsbezug an. Der Anmeldung lag eine Adressliste bei. Dieser ist zu entnehmen, dass die ärztliche Behandlung am 16. November 1993 bei Dr. med. C._, FMH für Psychiatrie, begann (Dauer bis 14. März 1995). Zum Zeitpunkt der Anmeldung war die Versicherte bei Frau Dr. med. S._ und beim Hausarzt Dr. med. I._, Allgemeine Medizin FMH, in Behandlung. An Medikamenten nahm sie damals gemäss der erwähnten Liste Deanxit, Zoloft, Akineton, Melleril 10 mg und 25 mg, Xanax 0,5 mg und Temesta 1.0 mg ein, somit fünf verschiedene Psychopharmaka und ein Medikament gegen Tremor. Ergänzte Medikamentenlisten finden sich im Bericht von Dr. med. I._ vom 7. Mai 1997 (Zoloft, Deanxit, Melleril, Xanax und Akineton bei Bedarf) und im Abklärungsbericht zum Haushalt vom 3. Januar 1998 (Zoloft, Deanxid, Truxal, Temesta, Litarex).
4.2 In den Akten liegen ferner ein Bericht von Dr. med. T._, Chefarzt der Klinik für Orthopädie am Spital U._, vom 27. März 1997 mit Befunden am linken Knie (Knorpelfraktur in der Hauptbelastungszone des Condylus femoris medialis) ohne Hinweis auf die Auswirkungen auf die Arbeitsunfähigkeit, der erwähnte Bericht von Dr. med. I._ vom 7. Mai 1997 mit ausführlichen Diagnosen und dem Hinweis, dass die behandelnde Psychiaterin vertiefte Auskünfte geben könne, und einer bestätigten Arbeitsunfähigkeit von 50%, ein Bericht von Frau Dr. med. S._ vom 20. August 1997 mit der Diagnose "schwere chronische Depression", einer Bestätigung, dass die Beeinträchtigung der Arbeitsunfähigkeit seit ca. 1 1/2 Jahren andauere und einem Beiblatt mit handschriftlichem Vermerk der Abklärungsperson, dass sie die Versicherte im Gegensatz zur Ärztin für nicht fähig halte, ihre beiden Kinder zu unterstützen. Weiter finden sich ein erneuter Bericht von Frau Dr. med. S._ vom 15. Mai 1998 mit der Angabe einer je 50%-igen Arbeitsunfähigkeit im Erwerbsbereich und im Haushalt, ein Bericht vom 6. Oktober 1998 von Dr. med. C._ ohne Angaben zur Arbeitsunfähigkeit, aber mit der Bemerkung, dass die Beschwerdegegnerin bei ihm vom 16. November 1993 bis 14. März 1995 wegen traumatischer Ehesituationen mit Angst- und Zitteranfällen in Behandlung war, und ein Abklärungsbericht zum Haushalt vom 3. Januar 1998 mit der Schlussfolgerung, dass die Versicherte bei einem Anteil der Haushaltsarbeit von 50% zu 47% eingeschränkt sei, was einen Invaliditätsgrad von 23.5% ausmache. Im Bericht vom 15. Juli 1999 führt Frau Dr. med. S._ aus, die Arbeitsunfähigkeit der Versicherten hinsichtlich Haus- und Heimarbeit liege je nach psychischem Zustand schwankend zwischen 25% - 50%. Eine Halbtagsarbeit ausser Haus sei ihr aber nicht möglich.
4.3 Im Bericht vom 18. April 2000 bestätigt der die Versicherte behandelnde Psychotherapeut, lic. phil. G._, Psychotherapeut SPV, psychotherapeutische Praxis, der Versicherten eine 50%-ige Arbeitsfähigkeit im Haushalt und für Heimarbeiten, unter anderem weil sie diese Arbeiten zeitlich mit ihrem jeweiligen Befinden koordinieren könne. Als Teilerwerbstätige ausser Haus sei sie aber arbeitsunfähig. Parallel sei die Versicherte noch in rheumatologischer und homöopathischer Behandlung. Aus rheumatologischer Sicht sei sie gemäss der behandelnden Rheumatologin, Frau Dr. med. W._, Physika-lische Medizin FMH, speziell Rheumaerkrankungen, für Arbeiten als Raumpflegerin zu 100% arbeitsunfähig. Für leichte Arbeiten sei sie 50% arbeitsfähig. Die Tätigkeit müsste aber die Möglichkeit wechselnder Körperstellung mit Pausen gewährleisten.
4.4 Der von der Vorinstanz beauftragte Dr. med. B._ hielt in seiner Expertise vom 24. August 2002 dafür, dass die Ereignisse um die Ehescheidung das psychophysische Gesamtbefinden der Versicherten derart in Mitleidenschaft gezogen hätten, dass ihre Arbeitsfähigkeit in wesentlichem Ausmass beeinträchtigt worden sei. Seit September 1994 habe diese höchstens noch 45% - 50% betragen und sei im Verlauf der folgenden Jahre bis zum 19. Juli 2001 weiter gesunken, so dass sie zum Zeitpunkt der IV-Verfügung höchstens noch 25% - 30% ausgemacht habe.
4.5 Der Beschwerdeführerin ist zwar zuzustimmen, dass retrospektive Beurteilungen der Arbeitsunfähigkeit schwierig sind und entsprechende Begutachtungen deshalb erhöhten Ansprüchen genügen sollten. Die Gutachterin bzw. der Gutachter hat - soweit nötig - hierbei alle Informationsquellen zu berücksichtigen, die zur Verfügung stehen, wie die Krankengeschichten der behandelnden Ärztinnen und Ärzte, ausführliche Patienten-, Fremd- und Sozialanamnesen und die vollständigen Akten der involvierten Sozialversicherer und Behörden (allenfalls inkl. Unterlagen der Krankenversicherer). Dem der Argumentation der Beschwerdeführerin implizite zu entnehmenden Ansinnen, rückwirkende Beurteilungen der Arbeitsunfähigkeiten etwa bei psychischen Leiden zu erschweren oder gar grundsätzlich abzulehnen, kann aber nicht gefolgt werden.
4.6 Vorliegend bringt die Beschwerdeführerin gegen das Abstützen der Vorinstanz auf das Gerichtsgutachten lediglich die Rüge vor, der Experte sei in nicht nachvollziehbarer Weise von der früheren Beurteilung der behandelnden Ärztin hinsichtlich Beginn der Arbeitsunfähigkeit abgewichen.
4.6.1 Bei Gerichtsgutachten weicht das Gericht nach der Praxis nicht ohne zwingende Gründe von der Einschätzung der medizinischen Fachleute ab, deren Aufgabe es ist, ihre Fachkenntnisse der Gerichtsbarkeit zur Verfügung zu stellen, um einen bestimmten Sachverhalt medizinisch zu erfassen. Ein Grund zum Abweichen kann vorliegen, wenn die Expertise widersprüchlich ist oder wenn ein vom Gericht eingeholtes Obergutachten in überzeugender Weise zu anderen Schlussfolgerungen gelangt. Abweichende Beurteilung kann ferner gerechtfertigt sein, wenn gegensätzliche Meinungsäusserungen anderer Fachleute dem Gericht als triftig genug erschienen, die Schlüssigkeit des Gerichtsgutachtens in Frage zu stellen, sei es, dass es die Überprüfung durch eine weitere Fachperson im Rahmen einer Oberexpertise für angezeigt hält, sei es, dass es ohne eine solche vom Ergebnis des Gerichtsgutachtens abweichende Schlussfolgerungen zieht (<ref-ruling> Erw. 3b/aa mit Hinweisen).
4.6.2 Die Vorinstanz hat sich mit Recht auf das gerichtliche Gutachten abgestützt. Zwar hat die ab 1996 behandelnde Psychiaterin im Bericht vom 20. August 1997 auf die Zusatzfrage, seit wann und in welchem Ausmass aus psychiatrischer Sicht eine Einschränkung der Arbeitsunfähigkeit bestehe, den Beginn der Arbeitsunfähigkeit in der Tat lediglich anderthalb Jahre zurückverlegt. Tatsache ist aber, dass die Versicherte seit 1993 in psychiatrischer Behandlung war und sie gleichzeitig an physischen Beschwerden litt, die nicht in die psychiatrische Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit von Frau Dr. med. S._ eingeflossen sind. Diese beantwortete zudem im selben Arztzeugnis die Frage, seit wann der Gesundheitsschaden bestehe mit: "seit der Kindheit". Mit der eher optimistischen Beurteilung der Arbeitsfähigkeit im Haushalt durch Frau Dr. med. S._ war zudem die mit den Haushaltabklärungen betraute Mitarbeiterin der IV-Stelle nicht einverstanden. Auch der medizinische Dienst der Beschwerdeführerin nimmt an, dass die 50%-ige Arbeitsunfähigkeit bereits seit der Scheidung bestanden hatte. Die initiale Auslösung der Arbeitsunfähigkeit durch die schweren psychischen Leiden als Folge von Ereignissen vor und während der Scheidung und des miterlebten Mordes im Frauenhaus U._ erscheint einleuchtend, so dass der Vorinstanz gefolgt werden kann und in der Prüfung der Ansprüche der Beschwerdegegnerin auf die Ergebnisse des gerichtlichen Gutachtens abzustellen ist.
4.6.2 Die Vorinstanz hat sich mit Recht auf das gerichtliche Gutachten abgestützt. Zwar hat die ab 1996 behandelnde Psychiaterin im Bericht vom 20. August 1997 auf die Zusatzfrage, seit wann und in welchem Ausmass aus psychiatrischer Sicht eine Einschränkung der Arbeitsunfähigkeit bestehe, den Beginn der Arbeitsunfähigkeit in der Tat lediglich anderthalb Jahre zurückverlegt. Tatsache ist aber, dass die Versicherte seit 1993 in psychiatrischer Behandlung war und sie gleichzeitig an physischen Beschwerden litt, die nicht in die psychiatrische Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit von Frau Dr. med. S._ eingeflossen sind. Diese beantwortete zudem im selben Arztzeugnis die Frage, seit wann der Gesundheitsschaden bestehe mit: "seit der Kindheit". Mit der eher optimistischen Beurteilung der Arbeitsfähigkeit im Haushalt durch Frau Dr. med. S._ war zudem die mit den Haushaltabklärungen betraute Mitarbeiterin der IV-Stelle nicht einverstanden. Auch der medizinische Dienst der Beschwerdeführerin nimmt an, dass die 50%-ige Arbeitsunfähigkeit bereits seit der Scheidung bestanden hatte. Die initiale Auslösung der Arbeitsunfähigkeit durch die schweren psychischen Leiden als Folge von Ereignissen vor und während der Scheidung und des miterlebten Mordes im Frauenhaus U._ erscheint einleuchtend, so dass der Vorinstanz gefolgt werden kann und in der Prüfung der Ansprüche der Beschwerdegegnerin auf die Ergebnisse des gerichtlichen Gutachtens abzustellen ist.
5. Zu prüfen bleibt die Berechnung des Invaliditätsgrades. Die Vorinstanz sprach der Beschwerdegegnerin eine ganze Invalidenrente ab dem Jahr 1996 zu. Ab diesem Zeitpunkt sei bei der Berechnung des Invaliditätsgrades erstmals von je 50% Haushalts- und auswärtiger Erwerbstätigkeit als Hotelfachassistentin auszugehen. Bei Annahme eines Mindestlohnes von Fr. 3'050.- nach Art. 29 Abs. 1 des Landes-Gesamtarbeitsvertrags des Gastgewerbes Stand 1996 hätte dies inkl. 13. Monatslohn und 50%iger Arbeitstätigkeit einen Jahreslohn von Fr. 19'825.- ergeben. Im Verhältnis zum ausgewiesenen effektiven Lohn von Fr. 12'089.- für 1996 resultiere ein Invaliditätsgrad von 39%. Werde von einem progredierenden Verlauf der Arbeitsunfähigkeit ausgegangen, sei für 1996 von einer Arbeitsunfähigkeit im Haushalt von 57% auszugehen. Diese ergebe für den Haushalt einen Invaliditätsgrad von 28.5%. Die Vorinstanz errechnete in der Folge: "Zusammen mit dem IV-Grad im erwerblichen Bereich von 39% ergibt dies einen IV-Grad von total 67.5%, was ab 1996 erstmals einen Anspruch auf Rentenleistung und zwar auf eine ganze Rente ergibt." Die Parameter der Vorinstanz zur Kalkulation der Invalidität sind unbestritten. Doch die Beschwerdeführerin rügt zu Recht, dass es die Vorinstanz fälschlicherweise unterlassen habe, lediglich von einem hälftigen Invaliditätsgrad bei der Erwerbstätigkeit auszugehen. In der Tat machte der Anteil der Erwerbstätigkeit bei der Versicherten damals nur 50% aus. Die Beschwerdegegnerin hat deshalb ab dem 1. Januar 1996 bei einem Invaliditätsgrad von 48% Anspruch auf eine Viertelsrente (zu dieser Berechnungsweise vgl. auch <ref-ruling>).
5. Zu prüfen bleibt die Berechnung des Invaliditätsgrades. Die Vorinstanz sprach der Beschwerdegegnerin eine ganze Invalidenrente ab dem Jahr 1996 zu. Ab diesem Zeitpunkt sei bei der Berechnung des Invaliditätsgrades erstmals von je 50% Haushalts- und auswärtiger Erwerbstätigkeit als Hotelfachassistentin auszugehen. Bei Annahme eines Mindestlohnes von Fr. 3'050.- nach Art. 29 Abs. 1 des Landes-Gesamtarbeitsvertrags des Gastgewerbes Stand 1996 hätte dies inkl. 13. Monatslohn und 50%iger Arbeitstätigkeit einen Jahreslohn von Fr. 19'825.- ergeben. Im Verhältnis zum ausgewiesenen effektiven Lohn von Fr. 12'089.- für 1996 resultiere ein Invaliditätsgrad von 39%. Werde von einem progredierenden Verlauf der Arbeitsunfähigkeit ausgegangen, sei für 1996 von einer Arbeitsunfähigkeit im Haushalt von 57% auszugehen. Diese ergebe für den Haushalt einen Invaliditätsgrad von 28.5%. Die Vorinstanz errechnete in der Folge: "Zusammen mit dem IV-Grad im erwerblichen Bereich von 39% ergibt dies einen IV-Grad von total 67.5%, was ab 1996 erstmals einen Anspruch auf Rentenleistung und zwar auf eine ganze Rente ergibt." Die Parameter der Vorinstanz zur Kalkulation der Invalidität sind unbestritten. Doch die Beschwerdeführerin rügt zu Recht, dass es die Vorinstanz fälschlicherweise unterlassen habe, lediglich von einem hälftigen Invaliditätsgrad bei der Erwerbstätigkeit auszugehen. In der Tat machte der Anteil der Erwerbstätigkeit bei der Versicherten damals nur 50% aus. Die Beschwerdegegnerin hat deshalb ab dem 1. Januar 1996 bei einem Invaliditätsgrad von 48% Anspruch auf eine Viertelsrente (zu dieser Berechnungsweise vgl. auch <ref-ruling>).
6. 6.1 Ändert sich der Grad der Invalidität eines Rentenbezügers in einer für den Anspruch erheblichen Weise, so ist gemäss <ref-law> die Rente für die Zukunft entsprechend zu erhöhen, herabzusetzen oder aufzuheben. Anlass zur Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Rentenanspruch zu beeinflussen. <ref-law> ist die gesetzliche Grundlage für die Anpassung des nach Art. 28 f. IVG entstandenen und formell rechtskräftigen festgesetzten Rentenanspruches an seither eingetretene anspruchserhebliche geänderte tatsächliche Verhältnisse.
6.2 Der von der Beschwerdegegnerin geltend gemachte Wechsel von der Teilzeit- zur Vollzeiterwerbsfähigkeit per August 2000 ist eine Tatsachenänderung, die eine Neuprüfung des Rentenanspruchs rechtfertigt. Im Jahre 2000 konnte die Versicherte in ihrer Anstellung als Heimarbeiterin der Firma Z._ ein Einkommen von Fr. 11'405.- und als Angestellte der Gemeindeverwaltung X._ ein solches von Fr. 2152.-, total ausmachend Fr. 13'557.-, realisieren (Invalidenlohn). Beim Validenlohn ist weiterhin vom Verdienst einer Hotelfachassistentin auszugehen. Die Vorinstanz ging hier für 1996 von Fr. 39'650.- aus. Bei der für die Beschwerdegegnerin schlechtesten Annahme, dass sie nach dem ersten Arbeitsjahr keine Lohnanpassung erhalten und sich ihr Lohn ab 1997 gemäss dem Nominallohnindex der Frauen entwickelt hätte (Schweizerische Lohnstrukturerhebung [LSE] 2000, Tabelle T1.2.93 Abschnitt G, H für Handel, Reparatur; Gastgewerbe), ergäbe dies für das Jahr 2000 einen Validenlohn von Fr. 40'721.-. Selbst wenn im Invalidenlohn des Jahres 2000 der Lohn als Raumpflegerin mit berücksichtigt wird, obwohl diese Arbeit der Beschwerdegegnerin unbestritten nicht zuzumuten war, ergibt dies einen Invaliditätsgrad von 66.7% (aufgerundet 67%, <ref-ruling> Erw. 3), was einem Anspruch auf eine ganze Rente entspricht.
6.2 Der von der Beschwerdegegnerin geltend gemachte Wechsel von der Teilzeit- zur Vollzeiterwerbsfähigkeit per August 2000 ist eine Tatsachenänderung, die eine Neuprüfung des Rentenanspruchs rechtfertigt. Im Jahre 2000 konnte die Versicherte in ihrer Anstellung als Heimarbeiterin der Firma Z._ ein Einkommen von Fr. 11'405.- und als Angestellte der Gemeindeverwaltung X._ ein solches von Fr. 2152.-, total ausmachend Fr. 13'557.-, realisieren (Invalidenlohn). Beim Validenlohn ist weiterhin vom Verdienst einer Hotelfachassistentin auszugehen. Die Vorinstanz ging hier für 1996 von Fr. 39'650.- aus. Bei der für die Beschwerdegegnerin schlechtesten Annahme, dass sie nach dem ersten Arbeitsjahr keine Lohnanpassung erhalten und sich ihr Lohn ab 1997 gemäss dem Nominallohnindex der Frauen entwickelt hätte (Schweizerische Lohnstrukturerhebung [LSE] 2000, Tabelle T1.2.93 Abschnitt G, H für Handel, Reparatur; Gastgewerbe), ergäbe dies für das Jahr 2000 einen Validenlohn von Fr. 40'721.-. Selbst wenn im Invalidenlohn des Jahres 2000 der Lohn als Raumpflegerin mit berücksichtigt wird, obwohl diese Arbeit der Beschwerdegegnerin unbestritten nicht zuzumuten war, ergibt dies einen Invaliditätsgrad von 66.7% (aufgerundet 67%, <ref-ruling> Erw. 3), was einem Anspruch auf eine ganze Rente entspricht.
7. Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG). Zufolge teilweisen Obsiegens steht der Beschwerdegegnerin eine reduzierte Parteientschädigung zu Lasten der IV-Stelle zu (Art. 159 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG). Insoweit ist ihr Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung gegenstandslos. Im Übrigen kann diesem entsprochen werden, da die hierfür nach Gesetz (Art. 152 in Verbindung mit Art. 135 OG) und Rechtsprechung (<ref-ruling> Erw. 4a und 372 Erw. 5b, je mit Hinweisen) erforderlichen Voraussetzungen erfüllt sind. Die Beschwerdegegnerin wird indessen ausdrücklich auf Art. 152 Abs. 3 OG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande sein sollte.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 14. Februar 2003, soweit er die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente ab dem 1. Januar 1996 betrifft, aufgehoben, und es wird festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin ab dem 1. Januar 1996 Anspruch auf eine Viertelsrente und ab dem 1. August 2000 auf eine ganze IV-Rente hat.
1. In teilweiser Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 14. Februar 2003, soweit er die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente ab dem 1. Januar 1996 betrifft, aufgehoben, und es wird festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin ab dem 1. Januar 1996 Anspruch auf eine Viertelsrente und ab dem 1. August 2000 auf eine ganze IV-Rente hat.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die IV-Stelle Luzern hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Entschädigung von Fr. 1'250.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die IV-Stelle Luzern hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Entschädigung von Fr. 1'250.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Rechtsanwalt Dr. Bruno Häfliger, Luzern, für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'250.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) ausgerichtet.
4. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Rechtsanwalt Dr. Bruno Häfliger, Luzern, für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'250.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) ausgerichtet.
5. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wird über eine Parteientschädigung sowie über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das kantonale Verfahren entsprechend dem Ausgang des letzt-instanzlichen Prozesses zu befinden haben.
5. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wird über eine Parteientschädigung sowie über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das kantonale Verfahren entsprechend dem Ausgang des letzt-instanzlichen Prozesses zu befinden haben.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 26. Juli 2004
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber:
i.V. i.V.