Sachverhalt:
A. H._, geboren am 6. Dezember 1924, wurde am 28. Oktober 1999 in das Spital A._ in Bern, dessen Trägerschaft die Stiftung A._ ist, aufgenommen, um sich am 1. November 1999 einem erfolgreich verlaufenen chirurgischen Eingriff am Herz zu unterziehen. Es wurden eine Aortaklappe ersetzt und drei Bypässe eingeführt. Nach einem anschliessenden Aufenthalt auf der Intensivstation wurde H._ am 2. November 1999 um 10 Uhr auf die Bettenstation verlegt. Was dort geschah, wird in der Krankengeschichte wie folgt festgehalten:
-. Um 14.45 Uhr wurde festgestellt, dass H._ "noch nicht ganz adäquat" war, zum Teil nicht wusste, wo er sich befand.
-. Um 17.00 Uhr wurde bemerkt, dass er den Schlauch zur Infusionsflasche entfernt hatte, so dass überall Blutspuren sichtbar waren.
-. Um 19.00 Uhr hat er wiederum das Bett verlassen und den Infusionsschlauch entfernt.
-. Um 19.30 Uhr hat er den zentralen Venenkatheter vollständig gezogen, wobei er zeitlich und örtlich desorientiert war. Es wurden ihm 3 Tropfen Haldol verabreicht.
-. Um 22.00 Uhr schien H._ etwas beruhigt, aber immer noch örtlich und zeitlich desorientiert.
-. Um 23.30 Uhr sass H._ am Bettrand, nachdem er die Venenverweilkanäle herausgezogen hatte, was bewirkte, dass alles "wohin das Auge reicht" blutverschmiert war. Dabei war er zeitlich und örtlich desorientiert. Es wurden ihm acht Tropfen Haldol und das Schlafmittel Stilnox verabreicht, nachdem sich der Zustand am späten Abend ausgeprägt hatte.
-. Um 00.15 Uhr stellte ein Arzt fest, dass H._ ruhig war, adäquat antwortete und neurologisch unauffällig war.
-. Um 00.35 Uhr sprang er vom Balkon des Nachbarzimmers in den Tod.
B. Einigkeit besteht darin, dass ein Verwirrtheitszustand von H._ zum Todessturz geführt hat. Dabei geht es um ein nach herzchirurgischen Eingriffen "nahezu alltägliches Problem", das mit einer Wahrscheinlichkeit von 20-30 % auftritt, wobei ältere Personen häufiger davon betroffen sind als jüngere. Das Hauptmerkmal des mit den Begriffen "Verwirrtheitszustand", "Delir" oder "Durchgangssyndrom" bezeichneten Zustandes besteht stets in der Störung der Aufmerksamkeit, die meist fluktuiert. Eine ausgewogene und geordnete Wahrnehmung und Reizverarbeitung im Gehirn der Patientin oder des Patienten ist im akuten Stadium des Delirs nicht mehr möglich.
Über die Pathogenese der Krankheit, das heisst über deren Entstehung und Entwicklung, besteht Unklarheit. Als Ursache wird vor allem eine metabolische Störung des Zentralnervensystems angenommen.
Typisch ist der unvorhersehbare Verlauf der Krankheit. Ein stilles, in sich gekehrtes Verhalten kann abrupt in ein bettflüchtiges oder agressives Verhalten gegen sich oder gegen andere umschlagen. Auch der Grad der Verwirrtheit kann sich rasch ändern. Zudem ist bekannt, dass im Zusammenhang mit dem Delir immer wieder Todesfälle auftreten.
C. Am 27. Oktober 2000 klagten die Ehefrau des Verstorbenen X._ (Beschwerdeführerin 1) und dessen Töchter Y._ (Beschwerdeführerin 2) sowie Z._ (Beschwerdeführerin 3) beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit dem Antrag, die Stiftung A._ sei zur Leistung von Schadenersatz und Genugtuung in der Höhe von insgesamt Fr. 284'658.-- nebst Zins von 5 % seit 3. November 1999 zu verpflichten. Zur Begründung führten sie an, die Beklagte habe eine Reihe von Sorgfaltspflichten verletzt:
-. Sie habe es versäumt, Richtlinien zur Behandlung von postoperativen Verwirrtheitszuständen zu erlassen.
-. Sie habe keine adäquate Diagnose gestellt.
-. Sie habe keinen Facharzt der Psychiatrie beigezogen.
-. Sie habe nicht für eine hinreichende medikamentöse Therapie gesorgt.
-. Sie habe keine hinreichenden Massnahmen für die Sicherheit des Patienten angeordnet (Sitzwache, Fixierung etc.).
-. Sie habe die ärztliche Aufklärungspflicht verletzt.
C. Der Instruktionsrichter beschränkte das Verfahren auf die Frage der grundsätzlichen Haftung der Beklagten und ordnete drei Begutachtungen an. Gutachter waren: Prof. B._, damals Oberarzt der Klinik für Psychiatrie und Psychotherapie im Klinikum der Universität C._; Prof. D._, Chefarzt an der Klinik für Herz- und Thoraxchirurgie des Kantonsspitals E._; Prof. F._, Direktor der Klinik und Poliklinik für Psychiatrie und Psychotherapie der technischen Universität G._.
Mit Urteil vom 15. März 2004 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Klage ab.
D. Die Klägerinnen erhoben staatsrechtliche Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 15. März 2004. Das Bundesgericht hiess mit Entscheid vom 19. Oktober 2004 die Beschwerde gut und hob das Urteil des Verwaltungsgerichts auf.
E. Am 14. Januar 2005 setzte das Verwaltungsgericht das Verfahren fort, indem es die Parteien zum Urteil des Bundesgerichts Stellung nehmen liess. Am 8. März 2005 verfügte der Instruktionsrichter, das Verfahren sei weiterhin auf die Frage der Haftung beschränkt, Er forderte die Beklagte zudem auf, zusätzliche Fragen in Bezug auf die Sitzwachen zu beantworten und Unterlagen einzureichen. Dieser Aufforderung kam die Beklagte am 8. April 2005 nach. Die Klägerinnen nahmen mit Eingabe vom 13. Juni 2005 dazu Stellung.
Mit Urteil vom 25. Juli 2005 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Klage zum zweiten Mal ab.
F. Die Klägerinnen haben gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 25. Juli 2005 staatsrechtliche Beschwerde eingereicht mit dem Antrag, diesen Entscheid aufzuheben.
Die Beklagte und das Verwaltungsgericht schliessen in ihren Vernehmlassungen auf Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten sei.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.1 Die Beschwerdeführerinnen erheben als Erstes die Rüge, das Verwaltungsgericht habe die vom Bundesgericht mit dem Rückweisungsentscheid erteilten verbindlichen Weisungen missachtet, indem es die Haftung der Beschwerdegegnerin verneint habe. Das Verwaltungsgericht bezeichnet diese Rüge in seiner Vernehmlassung als unbegründet. Es bringt vor, entgegen der Darstellung der Beschwerdeführerinnen habe das Bundesgericht die Haftung der Beschwerdegegnerin nicht bejaht; eine solche Aussage lasse sich den höchstrichterlichen Erwägungen auch implizit nicht entnehmen. Ebenso wenig finde sich eine abschliessende Beurteilung der finanziellen Zumutbarkeit von wirksamen, aufgrund der ärztlichen Sorgfaltspflicht gebotenen Massnahmen (Sitzwache, Rückverlegung auf die Intensivstation). Das Verwaltungsgericht sei daher gehalten gewesen, in diesem Bereich zusätzliche Abklärungen vorzunehmen. Es habe seinem Urteil mithin keinen Sachverhalt oder eine rechtliche Würdigung zugrunde gelegt, die den bundesgerichtlichen Erwägungen widersprechen. Ein willkürliches Abweichen vom Bundesgerichtsurteil liege damit nicht vor.
1.2 Der in den Art. 66 Abs. 1 OG und Art. 277ter Abs. 2 BStP niedergelegte Grundsatz, wonach die kantonale Instanz im Rückweisungsverfahren ihrer Entscheidung die rechtliche Begründung des Bundesgerichts zugrunde zu legen hat, gilt auch für das staatsrechtliche Verfahren. Das heisst, dass die Erwägungen des Urteils des Bundesgerichts den Gegenstand des Prozesses endgültig abgrenzen und insoweit sowohl das kantonale Gericht, an das zurückgewiesen wird, wie das Bundesgericht selbst binden (<ref-ruling> E. 1 mit Hinweis).
Zu beachten ist allerdings, dass die Natur der staatsrechtlichen Beschwerde die Bindung des kantonalen Gerichts an den Entscheid des Bundesgerichts in bestimmtem Ausmass einschränkt. Zum einen überprüft das Bundesgericht in der Regel den kantonalen Entscheid lediglich auf der Grundlage der im Beschwerdeverfahren erhobenen Rügen. Sodann beschränkt es sich im Allgemeinen auf die Aufhebung dieses Entscheides, womit die gerügte Verfassungsverletzung behoben ist. Das Urteil des Bundesgerichts tritt in diesen Fällen nicht an die Stelle des aufgehobenen kantonalen Entscheides. Zum andern greift das Bundesgericht in der Regel bloss ein, wenn der kantonale Entscheid nicht nur durch seine Begründung, sondern auch im Ergebnis die Verfassung verletzt. Das gibt dem Bundesgericht die Möglichkeit, die verfassungswidrige Begründung des angefochtenen Entscheides durch eine verfassungskonforme zu ersetzen. Hat es jedoch auf eine solche Substitution der Motive verzichtet, kann das kantonale Gericht nach der Rückweisung selbst so vorgehen, soweit das Bundesgericht nicht bereits bestimmte Urteilsgründe im Rückweisungsentscheid ausdrücklich oder implizit verworfen hat (<ref-ruling> E. 3a/bb S. 354 f.).
2. 2.1 In seinem ersten Urteil vom 15. März 2004 hielt das Verwaltungsgericht zu den rechtlichen Voraussetzungen der eingeklagten Ansprüche fest, dass nach dem massgebenden kantonalen Recht (Art. 49 Abs. 1 PG; Personalgesetz; BSG 153.01) eine Kausalhaftung der Beklagten für den Schaden bestehe, den ihre Organe oder Angestellten Dritten in Erfüllung ihrer Aufgabe widerrechtlich zugefügt haben. Damit müssten für einen Schadenersatz- bzw. Genugtuungsanspruch folgende Voraussetzungen kumulativ erfüllt sein: Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe, materieller bzw. immaterieller Schaden, Widerrechtlichkeit sowie Kausalzusammenhang zwischen widerrechtlicher Aufgabenerfüllung und Schaden (E. 3 S. 10). In einer weiteren Erwägung (E. 4.1, S. 11) wies das Verwaltungsgericht darauf hin, dass auch bei einer Staatshaftung, die als Kausalhaftung ausgestaltet ist, im Rahmen der Widerrechtlichkeit zu prüfen ist, ob eine Sorgfaltspflichtverletzung vorliegt. Eine Haftung der Beklagten komme mithin nur in Betracht, wenn den Ärzten des Spital A._ eine Verletzung der objektiv gebotenen Sorgfalt vorgeworfen werden müsse.
Das Verwaltungsgericht verneinte in den folgenden Erwägungen unter Bezugnahme auf die von den Klägerinnen im Einzelnen erhobenen Vorwürfe eine Verletzung der objektiv gebotenen Sorgfalt. Die Klägerinnen hatten namentlich geltend gemacht, nach der Operation sei die Sicherheit des Patienten vernachlässigt worden. Als Massnahmen, die vom Spital hätten ergriffen werden müssen, nannten sie die Rückverlegung des Patienten auf die intermediate-care Abteilung, dessen Fixierung oder aber eine Sitzwache. Das Verwaltungsgericht verneinte eine Sorgfaltspflichtverletzung in dieser Hinsicht mit der Begründung, eine Fixierung des Patienten sei unter den gegebenen Umständen nicht angezeigt gewesen (E. 7.4.2, S. 42) und der Entscheid, auf eine Sitzwache bzw. die Rückverlegung zu verzichten, habe mit Blick auf den ungewöhnlichen Ablauf der Ereignisse im Ermessen der Ärzte bzw. des Pflegepersonals gelegen (E. 7.4.7, S. 45 f.).
2.2 In seinem Entscheid vom 19. Oktober 2004 hielt das Bundesgericht zunächst fest (E. 1.1 und 1.2), die Anwendbarkeit der vom Verwaltungsgericht erörterten kantonalen Haftungsordnung auf den vorliegenden Fall werde zu Recht von keiner Prozesspartei bestritten. Infolge der Einschränkung des kantonalen Verfahrens auf die Frage der grundsätzlichen Haftung seien allerdings die Haftungsvoraussetzungen des Kausalzusammenhangs und des Schadens vom Verwaltungsgericht bisher nicht geprüft worden. Vor Bundesgericht sei ausschliesslich die Frage der Widerrechtlichkeit streitig. Der Entscheid des Bundesgerichts beschränke sich dementsprechend auf die Beurteilung der grundsätzlichen Haftung und insbesondere auf die Frage der Widerrechtlichkeit des Verhaltens der für die Beschwerdegegnerin handelnden Personen.
Im Folgenden äusserte sich das Bundesgericht zu den einzelnen, gegen den angefochtenen Entscheid gerichteten Rügen der Beschwerdeführerinnen, auf die es zum grossen Teil nicht eintrat bzw. die es für unbegründet erklärte (E. 3 und 4). Anders verhielt es sich dagegen mit den Rügen bezüglich des Vorwurfs einer Sorgfaltspflichtverletzung wegen Unterlassens hinreichender Massnahmen für die Sicherheit des Patienten. In diesem Punkt erklärte das Bundesgericht die Beschwerde für begründet. In der für das heutige Verfahren entscheidenden Erwägung 5 (publiziert in <ref-ruling>) zitierte das Bundesgericht einschlägige Passagen aus den Gutachten der Professoren D._ und F._ und stellte fest, dass das Verwaltungsgericht dem Gutachten F._ gefolgt sei, ohne das Gutachten D._ konkret in Frage zu stellen (E. 5.1.2). Danach fasste es die Begründung des Verwaltungsgerichts zusammen und hielt anschliessend fest (E. 5.1.3), dass unter den beiden Gutachtern Einigkeit darüber herrsche, dass bei diesem Patienten ein Verwirrungszustand vorgelegen habe, dessen Verlauf unberechenbar war, und dass auch Einigkeit über das Fortbestehen eines Todessturzrisikos bestehe, das sich mit den getroffenen Massnahmen allein nicht habe ausschliessen lassen. Hauptstreitpunkt unter den Experten sei daher nicht etwa die Zweckmässigkeit einer permanenten Sitzwache, sondern die Frage, ob eine solche Massnahme bei den vorhandenen personellen und finanziellen Ressourcen für jeden nach einer Herzoperation unter einem Verwirrungszustand leidenden Patienten zu verkraften wäre. Das Verwaltungsgericht halte dagegen für ausschlaggebend, dass die konkrete Risikolage die Anordnung einer permanenten Sitzwache darum nicht als angezeigt habe erscheinen lassen, weil der Geschehensablauf singulär und nicht voraussehbar gewesen sei.
Diese Begründung des Verwaltungsgerichts wurde vom Bundesgericht in der nachfolgenden Erwägung (E. 5.3) als willkürlich verworfen. Es hielt fest, das Unterlassen, eine Sitzwache oder eine Rückverlegung auf die Intensivpflegestation anzuordnen und damit negative oder gar fatale Auswirkungen des durch den operativen Eingriff bedingten Zustandes des Patienten zu verhindern, sei unter den gegebenen Umständen objektiv vorwerfbar. Das werde vom Verwaltungsgericht an sich auch nicht in Zweifel gezogen. Dieses verlange aber als weitere Voraussetzung der Vorwerfbarkeit, dass das Personal der Beschwerdegegnerin auch die konkrete Form der Verwirklichung der Selbstgefährdung hätte voraussehen müssen. Damit verkenne es die Tragweite der an sich offenkundigen Verwirrtheit im Hinblick auf eine mögliche Selbstschädigung, die krankheitsbedingt nicht voraussehbare Verhaltensweisen miteingeschlossen habe. Indem das Verwaltungsgericht die Symptome des Delirs als Krankheitszustand im Einklang mit den Gutachtern klar herausgearbeitet und dabei insbesondere auf das für solche Patienten typische unvorhersehbare Verhalten und die abrupten Verhaltensänderungen hinweise, die Vorwerfbarkeit aber an die zusätzliche Voraussetzung der Voraussehbarkeit des konkreten Verhaltens, das bei dem Patienten auf singuläre Weise zum Tod geführt habe, knüpfen wolle, stelle es auf ein unsachliches Argument ab und verstricke sich in einen unauflösbaren Widerspruch. Der Verzicht auf die Anordnung einer Sitzwache könne nicht damit gerechtfertigt werden, dass die konkret eingetretene Äusserungsform des Verwirrtheitszustandes (Sturz vom Balkon des Nachbarzimmers) noch nie vorgekommen sei. Auch wenn dieser Geschehensablauf zum ersten Mal eingetreten sein möge, liege er doch im Spektrum der bei einem Delir typischen Verhaltensformen, die sich eben gerade durch ihre Unvorhersehbarkeit charakterisierten. Im Übrigen hätte die Anordnung einer ständigen Überwachung, wie sie angesichts des Krankheitszustandes des Patienten und der verbleibenden - zwangsläufig nur generell voraussehbaren - Risiken geboten gewesen wäre, das tödliche Ereignis mit hoher Wahrscheinlichkeit verhindert.
In der folgenden Erwägung (E. 5.4.1) hielt das Bundesgericht fest, ein Gericht dürfe nicht auf eine Expertenaussage abstellen, wenn mit dieser eine Rechtsfrage beantwortet werde. Das habe das Verwaltungsgericht jedoch getan, indem es sich auf die Auffassung des Gutachters F._ berufen habe, wonach die Beschwerdegegnerin mit den von ihr getroffenen Massnahmen ihre Sorgfaltspflichten erfüllt habe. Es wäre vielmehr Sache des Verwaltungsgerichts gewesen, die finanzielle Zumutbarkeit der als wirksam erkannten Massnahmen (Sitzwache, Rückverlegung auf die Intensivstation) einzuschätzen. Das Verwaltungsgericht lege aber nicht dar, aus welchen Gründen es der Beschwerdegegnerin nicht zuzumuten gewesen wäre, denselben Aufwand wie die vom Experten D._ genannten anderen Spitäler zu betreiben.
2.3 Zusammenfassend kann somit festgehalten werden, dass das Bundesgericht in seinem Entscheid vom 19. Oktober 2004 die Haftungsvoraussetzung der Widerrechtlichkeit wegen Unterlassens der nötigen Sicherheitsmassnahmen im Gegensatz zum Verwaltungsgericht grundsätzlich bejahte und in diesem Zusammenhang namentlich das Argument des Verwaltungsgerichts verwarf, der ungewöhnliche Verlauf der Ereignisse schliesse die Widerrechtlichkeit aus. Das Bundesgericht behielt lediglich die finanzielle Zumutbarkeit der Sicherheitsmassnahmen (Sitzwache, Rückverlegung auf die Intensivstation) vor, zu welcher Frage sich das Verwaltungsgericht damals noch nicht geäussert hatte.
3. 3.1 In seinem neuen Urteil vom 25. Juli 2005 befasst sich das Verwaltungsgericht erneut mit der Frage, ob der Beschwerdegegnerin das Unterlassen einer Sitzwache als Sorgfaltspflichtverletzung vorgeworfen werden könne. Es kommt nach ausführlichen Erwägungen (E. 3 und 4 S. 8-18) zu folgendem Ergebnis: "Es kann somit beweismässig davon ausgegangen werden, dass wohl möglicherweise in anderen Kliniken eine Sitzwache angeordnet worden wäre, in anderen Kliniken dies aber ebenfalls unterblieben wäre. Kommen somit nach Beurteilung verschiedener Gutachter unterschiedliche Praktiken vor, welche dem ärztlichen Standard entsprechen, so kann nicht gesagt werden, dass die eine davon eine Sorgfaltspflichtverletzung darstellt."
3.2 Damit hat das Verwaltungsgericht über eine Frage entschieden, welche das Bundesgericht in seinem Urteil vom 19. Oktober 2004 verbindlich beurteilt hat. Das Verwaltungsgericht scheint sein Vorgehen mit der Begründung rechtfertigen zu wollen, dass das Bundesgericht die Frage aufgrund einer falschen tatsächlichen Grundlage beurteilt habe, weil es angenommen habe, dass das für die Beschwerdegegnerin handelnde Personal erkannt habe, "dass die im Patientenzimmer des H._ vorgenommene Verriegelung als Sicherheitsmassnahme nicht genügte, weil er mangels permanenter Bewachung sein Zimmer verlassen und sich sein lebensbedrohendes Selbstgefährdungspotential - in welcher Form auch immer - ausserhalb des Zimmers verwirklichen konnte". Nach Auffassung des Verwaltungsgerichts ist dieser Satz zweideutig, weil unklar sei, ob das Bundesgericht damit festgestellt habe, dass das Personal der Beschwerdegegnerin in genereller Weise die Möglichkeit einer Selbstgefährdung erkannt oder aber konkret das Ereignis vorhergesehen habe; letzteres aber wäre nach dem angefochtenen Urteil (E. 3.4, S. 11 f.) als aktenwidrige Aussage zu betrachten.
Entgegen den Äusserungen des Verwaltungsgerichts ist der Sinn des zitierten Satzes indes eindeutig, wenn der Zusammenhang des Textes berücksichtigt wird. Das Bundesgericht verwarf dort das Argument des Verwaltungsgerichts, dass die objektive Vorwerfbarkeit nicht gegeben sei, weil das Spitalpersonal die konkrete Form der Verwirklichung der Selbstgefährdung nicht habe voraussehen können. Das Bundesgericht hielt fest, dass es auf die Vorhersehbarkeit des konkreten Ereignisablaufs nicht ankomme, sondern dass die Vorhersehbarkeit in genereller Weise für die objektive Vorwerfbarkeit als Voraussetzung der Widerrechtlichkeit genüge. Es entschied damit über eine Rechtsfrage und nicht über eine Tatfrage, wie das Verwaltungsgericht anzunehmen scheint. Im Übrigen geht aus dem Textganzen ebenfalls hervor, dass das Bundesgericht auf den Sachverhalt abstellte, so wie er vom Verwaltungsgericht in seinem Entscheid vom 15. März 2004 festgestellt worden war. Damit blieb aber in Bezug auf diese Frage weder in tatsächlicher noch in rechtlicher Hinsicht Raum für eine Substitution von Motiven und eine gegenteilige Entscheidung durch das Verwaltungsgericht, wie es dies im angefochtenen Urteil getan hat. Es hat somit gegen den Grundsatz der Bindung an den Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts vom 19. Oktober 2004 verstossen.
3.3 Anzumerken bleibt, dass die Kognition des Bundesgerichts in Bezug auf die Frage der Verbindlichkeit eines Rückweisungsentscheides keineswegs auf eine Willkürprüfung beschränkt ist, wie das Verwaltungsgericht in seiner Vernehmlassung anzunehmen scheint. Das Bundesgericht prüft vielmehr frei, ob eine kantonale Vorinstanz gegen die erwähnten prozessualen Grundsätze des Bundesrechtes verstossen hat.
4. Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Entscheid auch die Frage der finanziellen Zumutbarkeit von Sitzwachen für am Herzen operierte Patientinnen und Patienten verneint (E. 5 S. 19-24). In tatsächlicher Hinsicht stellt es fest, dass nach den Angaben der Beschwerdegegnerin im Spital A._ Sitzwachen mit Fr. 22.-- bis 30.-- pro Stunde entschädigt werden, wobei für Nachteinsätze der oberste Ansatz von Fr. 30.-- gelte. Würden pro Nacht acht Stunden angenommen, koste somit eine einwöchige Sitz(nacht)wache Fr. 1'680.--. Das Verwaltungsgericht hält sodann fest, dass nach der von der Beschwerdegegnerin eingereichten Statistik im Spital A._ jährlich ca. 1'100 bis 1'300 Herzoperationen durchgeführt würden. Werde davon ausgegangen, dass bei 20-30 % der Fälle Verwirrtheitszustände aufträten, ergebe sich, dass jährlich mit 220-390 (Mittelwert ca. 305) Delirfällen zu rechnen sei.
4.1 Aufgrund dieser Zahlen können für das Spital A._ jährliche Gesamtkosten von Fr. 369'600.-- bis Fr. 655'200.-- (Mittelwert Fr. 512'400.--) für Sitznachtwachen in Delirfällen errechnet werden. Das Verwaltungsgericht hält eine solche Rechnung indessen nicht für massgebend. Nach seiner Auffassung muss die Wahrscheinlichkeit des Eintritts des konkreten Ereignisses - im vorliegenden Fall also des Sturzes des Patienten aus dem Fenster des Nachbarzimmers - berücksichtigt werden. Diese Wahrscheinlichkeit wird vom Verwaltungsgericht für die Bevölkerung der "industrialisierten Länder der ersten und zweiten Welt" (Urteil E. 5.4.4 S. 22) auf höchstens ein Ereignis pro 1 Million Delirfälle geschätzt, was dazu führt, dass es die Kosten für ein gerettetes Menschenleben auf mindestens 1,7 Milliarden Franken berechnet. Umgerechnet auf die durchschnittliche Lebenserwartung des im Zeitpunkt der Operation 75-jährigen Patienten ergebe dies Kosten von mindestens 150 Millionen Franken pro gerettetes Menschenlebensjahr (Urteil E. 5.4.6 S. 23).
4.2 Gegen diese volkswirtschaftliche Berechnung wird in der Beschwerdeschrift zu Recht die Rüge erhoben, sie verstosse gegen den Grundsatz der Bindung an den Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts. Gemäss dem Rückweisungsentscheid hatte das Verwaltungsgericht die Frage zu beurteilen, ob die Kosten von Sitzwachen für das Spital A._ zumutbar seien und nicht für die Bevölkerung der "industrialisierten Länder der ersten und zweiten Welt". Sodann wurde vom Bundesgericht der konkrete Ereignisablauf (Sturz aus dem Fenster des Nachbarzimmers) als für die rechtliche Beurteilung unerheblich betrachtet, wie bereits festgehalten worden ist (vorne E. 3.2). Das gilt auch im Zusammenhang mit der Beurteilung der finanziellen Zumutbarkeit von Sitzwachen im Spital A._, weshalb das Verwaltungsgericht nicht befugt war, diesem Umstand auf dem Umweg über eine Schätzung der statistischen Häufigkeit des Ereignisses - in den industrialisierten Ländern der ersten und zweiten Welt - dennoch rechtliche Bedeutung zu verleihen.
4.3 Der angefochtene Entscheid ist somit als Ganzes aufzuheben, was zur Folge hat, dass das Verwaltungsgericht ein drittes Mal über die Streitsache entscheiden muss. Dabei hat es davon auszugehen, dass das Bundesgericht mit dem vorliegenden Urteil die Frage der Widerrechtlichkeit als Haftungsvoraussetzung verbindlich bejaht hat. Aufgrund der tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid betreffend der Kosten von Sitznachtwachen im Spital A._ kann das Bundesgericht diese Frage nämlich selbst beurteilen und bejahen. Nach den bereits aufgeführten Zahlen (vorne E. 4.1) ergeben sich pro Delirfall Kosten von Fr. 1'680.-- und für alle Delirfälle zusammen jährliche Kosten von Fr. 369'600.-- bis Fr. 655'200.--. Diese Kosten erscheinen als finanziell ohne weiteres zumutbar, insbesondere wenn sie mit den weit höheren Kosten der Operationen selbst verglichen werden, die an solchen Patienten vorgenommen werden. Noch viel eindeutiger ist das Ergebnis im Übrigen, wenn die vom Verwaltungsgericht befürwortete volkswirtschaftliche Betrachtungsweise übernommen würde. Danach wird von Grenzkostenbeträgen von maximal zwanzig Millionen Franken pro gerettetes Menschenleben und von zwischen Fr. 300'000.-- bis Fr. 500'000.-- pro gerettetes Menschenlebensjahr ausgegangen (Urteil E. 5.2 S. 20). Für H._ mit einer zur Zeit der Operation rund 11,5 Jahre betragenden durchschnittlichen Lebenserwartung (angef. Urteil E. 5.4.6) würden sich so Grenzkostenbeträge von Fr. 3'450'000.-- bis Fr. 5'750'000.-- ergeben. Verglichen mit diesen Beträgen erscheint der erforderliche Aufwand von Fr. 1'680.-- für eine einwöchige Sitznachtwache verschwindend gering, weshalb auch unter diesem Aspekt die finanzielle Zumutbarkeit ohne weiteres bejaht werden kann.
5. Aus diesen Gründen ist der angefochtene Entscheid in Gutheissung der staatsrechtlichen Beschwerde aufzuheben.
Die Gerichtskosten sind entsprechend dem Verfahrensausgang der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen, welche die Beschwerdeführerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen hat (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 25. Juli 2005 aufgehoben.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 6'000.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2006
Im Namen der I. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: