Erwägungen:
1.
Am Kreisgericht St. Gallen sind drei Strafverfahren hängig, an denen X._ entweder als Strafantragsteller/Privatkläger oder als beschuldigte Person beteiligt ist. Am 22. März 2013 lud Kreisrichter Roman Schoch alle Verfahrensbeteiligten der drei Verfahren auf den 3. Mai 2013 zu einer Einigungsverhandlung und zur eventuellen anschliessenden Hauptverhandlung ein. In einem Begleitschreiben begründete er dieses Vorgehen im Wesentlichen damit, dass die drei Strafverfahren Antragsdelikte zum Gegenstand hätten und sie alle im Zusammenhang mit dem Nachbarschaftsverhältnis in der Liegenschaft Scheidwegstrasse 3, St. Gallen, stünden. Gegen die verfügten Verfahrenshandlungen reichte X._ am 13. April 2013 eine Beschwerde sowie ein Ausstandsbegehren gegen Kreisrichter Roman Schoch beim Kreisgericht ein. Dieses übermittelte die Eingabe zuständigkeitshalber an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen.
Die Anklagekammer trat mit Entscheid vom 29. Mai 2013 auf die Beschwerde und auf das Ausstandsbegehren nicht ein und auferlegte X._ die Entscheidgebühr von Fr. 1'500.--. Zur Begründung führte die Anklagekammer zusammenfassend aus, dass die Eintretensvoraussetzungen bezüglich der Beschwerde gegen die Verfahrenshandlungen des Kreisgerichts St. Gallen nicht gegeben seien. Das Ausstandsbegehren sei verspätet gestellt worden. Ausserdem sei es sachlich nicht gerechtfertigt. Weder liege eine unzulässige Vorbefassung noch eine unzulässige Mehrfachbefassung vor. Auch werde nicht konkret dargelegt, weshalb eine Befangenheit vorliegend sollte.
2.
X._ führt mit Eingabe vom 24. Juni 2013 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 29. Mai 2013. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung der Anklagekammer, die zum Nichteintreten auf die Beschwerde und auf das Ausstandsbegehren führte, nicht rechtsgenüglich auseinander. Er legt nicht dar, inwiefern die Anklagekammer in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise die Eintretensvoraussetzungen für die Beschwerde verneint haben sollte. Gleiches gilt soweit die Anklagekammer das Ausstandsbegehren als verspätet erachtete und dem Beschwerdeführer aufgrund seines Unterliegens eine Entscheidgebühr auferlegte. Aus der Beschwerde ergibt sich demnach nicht, inwiefern die Begründung der Anklagekammer bzw. deren Entscheid selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kreisgericht St. Gallen und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli