Erwägungen:
1. 1.1 Die serbische Staatsangehörige X._ (geb. 1967) hielt sich in den Jahren 2001 bzw. 2003 besuchsweise bei ihren in der Schweiz wohnhaften Eltern auf, bei denen seit 1999 ihre beiden aus erster Ehe stammenden Söhne (geb. 1985 bzw. 1988) lebten. Am 2. Mai 2003 stellten die Eltern ein Gesuch um Aufenthaltsbewilligung für X._, das am 1. Juli 2003 erstinstanzlich abgewiesen wurde. Eine weitere Einreise zu Besuchszwecken wurde angesichts des hängigen Gesuchs um Aufenthaltsbewilligung nicht bewilligt.
Am 10. November 2003 heiratete X._ im Ausland einen Landsmann (geb. 1963), der in der Schweiz über eine Aufenthaltsbewilligung verfügte. Am 18. November 2003 stellte der Ehemann im Kanton Basel-Stadt ein Familiennachzugsgesuch, das infolge seines Wegzugs in den Kanton Solothurn abgeschrieben wurde. Am 21. März 2005 ersuchte der Ehemann sodann bei der Migrationsbehörde des Kantons Solothurn um Familiennachzug für seine Ehefrau und die gemeinsame Tochter (geb. 2004). Da es sich um seine vierte Ehe mit Personen aus seinem Herkunftsland innert kurzer Zeit handelte, erwog die Migrationsbehörde vorerst das Gesuch abzulehnen, aber bewilligte schliesslich den Familiennachzug am 29. Juni 2005, worauf X._ am 6. Juli 2005 zusammen mit ihrer Tochter in die Schweiz einreiste und im Kanton Solothurn eine Aufenthaltsbewilligung erhielt (letztmals verlängert bis zum 30. Juni 2008). Die Tochter wurde in der Folge in die dem Ehemann am 19. Juli 2006 erteilte Niederlassungsbewilligung miteinbezogen.
1.2 Am 1. April 2008 ersuchte X._ um Erlaubnis, im Kanton Basel-Stadt Wohnsitz zu nehmen. Am 13. Mai 2008 teilte der Ehemann der Migrationsbehörde des Kantons Solothurn mit, dass X._ ihn zusammen mit der Tochter am 11. Februar 2008 verlassen habe und nach Basel gezogen sei, wo ihre Eltern sowie die Söhne aus erster Ehe lebten. Mit Eheschutzverfügung vom 24. Juli 2008 wurde das Getrenntleben bewilligt, festgestellt, dass die Ehegatten seit dem 11. Februar 2008 getrennt lebten, und die Tochter unter die elterliche Obhut der Mutter gestellt. Am 6. Oktober 2010 wurde die Ehe in Serbien geschieden. Mit Einredeentscheid und Verfügung des Richteramtes A._ vom 21. Februar 2011 betreffend Ergänzung des Scheidungsurteils wurden u.a. die durch den Ehemann während der Dauer des Verfahrens zu leistenden Unterhaltsbeiträge festgesetzt.
Mit Verfügung vom 3. November 2008 verweigerte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt X._ den Kantonswechsel. Mit in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 31. Mai 2010 wurde der dagegen erhobene Rekurs abgewiesen. Dennoch verblieb X._ im Kanton Basel-Stadt, wo ihre Tochter seit dem 10. August 2009 eingeschult ist.
1.3 Mit Verfügung vom 25. Juni 2009 erklärte sich die Migrationsbehörde des Kantons Solothurn bereit, die Aufenthaltsbewilligung von X._ gestützt auf Art. 8 EMRK zu verlängern, und ersuchte am 26. Juni 2009 das Bundesamt für Migration (BFM) um Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung.
Das Bundesamt für Migration verweigerte mit Verfügung vom 9. April 2010 die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ und wies sie aus der Schweiz weg. Mit Urteil vom 19. August 2011 wies das Bundesverwaltungsgericht die dagegen erhobene Beschwerde ab.
1.4 Mit Beschwerde vom 22. September 2011 beantragt X._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 19. August 2011 aufzuheben und die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin zu verlängern (recte: die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu erteilen) und der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Zudem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Bundesverwaltungsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 30. September 2011 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde hinsichtlich der Ausreiseverpflichtung antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin macht einen Anspruch nach Art. 50 AuG geltend. Insoweit ist ihre Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten trotz der Ausschlussbestimmung des <ref-law> zulässig (Urteil 2C_304/2009 vom 9. Dezember 2009 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.). Aufgrund ihrer Beziehung zu ihrer minderjährigen Tochter kann sie sich zusätzlich auch auf Art. 8 EMRK berufen.
2.2 Gegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens ist die Verweigerung der Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin im Kanton Solothurn. Die Beschwerdeführerin hält sich indessen seit 2008 rechtswidrig im Kanton Basel-Stadt auf, der ihr den Kantonswechsel rechtskräftig verweigert hat. Da die Voraussetzungen für eine Bewilligungsverlängerung ohnehin nicht erfüllt sind, kann dahingestellt bleiben, inwiefern der Kanton Solothurn der in einem anderen Kanton wohnhaften Beschwerdeführerin überhaupt die Aufenthaltsbewilligung verlängern könnte.
3. 3.1 Ausländische Ehegatten von Personen mit Niederlassungsbewilligung haben unter Vorbehalt von Art. 51 Abs. 2 AuG Anspruch auf Erteilung und Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit dem Partner zusammenwohnen (Art. 43 Abs. 1 AuG). Gemäss Art. 50 AuG besteht nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft der Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Art. 43 AuG weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration gegeben ist (lit. a) oder wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (lit. b).
3.2 Wie die Vorinstanz zu Recht ausgeführt hat, verlangt Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG eine dreijährige Ehegemeinschaft in der Schweiz (<ref-ruling> E. 3.3.5 S. 120). Die Zeitspanne zwischen der Hochzeit im Ausland und der Einreise in die Schweiz kann deshalb für die Berechnung der Dreijahresfrist nicht berücksichtigt werden. Auf die Umstände, die eine frühere Einreise verhinderten, kommt es dabei nicht an. Da die eheliche Gemeinschaft somit weniger als drei Jahre gedauert hat (vom 6. Juli 2005 bis zum 11. Februar 2008, d.h. 2 Jahre und sieben Monate), kommt der Beschwerdeführerin aus Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG von vornherein kein Anspruch auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung zu. Ob eine erfolgreiche Integration besteht, muss unter diesen Umständen nicht geprüft werden.
3.3 Die Beschwerdeführerin beruft sich auch vergeblich auf den nachehelichen Härtefall nach Art. 50 Abs. 1 lit. b i.V.m. Abs. 2 AuG. Es ist im vorliegenden Fall - wie die Vorinstanz ohne Verletzung von Bundesrecht feststellen durfte - nicht ersichtlich, inwiefern die Rückkehr der Beschwerdeführerin in ihr Heimatland mit besonderen Schwierigkeiten verbunden sein sollte, die in einem hinreichend engen Zusammenhang zur anspruchsbegründenden Ehe und dem damit verbundenen bisherigen (bewilligten) Aufenthalt in der Schweiz stünden (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 350). Die Berufung auf Art. 8 EMRK ist ihr ebenfalls unbehelflich.
3.3.1 Die Beschwerdeführerin hat den Grossteil ihres Lebens in der Heimat verbracht und ist erst im Juli 2005 im Alter von 38 Jahren in die Schweiz eingereist. Dass sie über keine Beziehungen zu Serbien mehr verfüge, ist daher wenig glaubwürdig. Zudem hat sie auch bereits vor ihrer Einreise in die Schweiz mit ihrer Tochter dort gelebt. Sie kann ihre Beziehungen zu den hier anwesenden Familienmitgliedern ohne Weiteres besuchsweise pflegen, wie sie dies schon vor ihrer Einreise getan hat. Besonders intensive, über eine normale Integration hinausgehende private Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. entsprechende vertiefte soziale Beziehungen zum ausserfamiliären Bereich (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286 mit Hinweisen), die ein Recht auf Verbleib gestützt auf den Schutz des Privatlebens (Art. 8 EMRK) zu begründen vermöchten, sind nicht erkennbar.
3.3.2 Ihre Tochter, die ebenfalls serbische Staatsangehörige ist, verfügt zwar über die Niederlassungsbewilligung und damit über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz. Wie die Vorinstanz zutreffend festhält, gilt die Rechtsprechung betreffend den sogenannten "umgekehrten Familiennachzug" im Fall schweizerischer Kinder nicht unbesehen bei aufenthaltsberechtigten oder niedergelassenen ausländischen Kindern aus Drittstaaten (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 und 4.2.3 mit Hinweisen), da in diesen Fällen keine spezifischen bürgerrechtlichen Überlegungen zu berücksichtigen sind. Hier genügt die Zumutbarkeit der Ausreise des Kindes für eine Bewilligungsverweigerung an den sorge- bzw. obhutsberechtigten Elternteil, wobei die Möglichkeit der Ausübung des Besuchsrechts des in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Elternteils sachgerecht mitberücksichtigt werden kann (vgl. Urteil 2C_364/2010 vom 23. September 2010 E. 2.2.2).
Die Vorinstanz ging zu Recht davon aus, dass vorliegend zwischen der Tochter und dem in der Schweiz wohnhaften (serbischen) Vater keine besonders intensive Beziehung in affektiver und wirtschaftlicher Hinsicht besteht. Ob das Verhalten der Beschwerdeführerin als tadellos bezeichnet werden könnte, nachdem sie seit 2008 rechtswidrig im Kanton Basel-Stadt lebt, kann unter diesen Umständen dahingestellt bleiben. Für die Ausübung des Besuchsrechts ist nicht zwingend erforderlich, dass das Kind in der Schweiz lebt. Die Vater-Tochter-Beziehung kann - wenn auch in teilweise anderer Form (z.B. durch gelegentliche Besuchsaufenthalte in Serbien bzw. in der Schweiz) - auch von Serbien bzw. von der Schweiz aus gepflegt werden, wie dies im Übrigen die Beschwerdeführerin gegenüber ihren in der Schweiz bei den Grosseltern aufgewachsenen, inzwischen volljährigen Söhnen aus erster Ehe praktiziert hat.
Die Tochter ist erst siebenjährig und befindet sich damit noch in einem anpassungsfähigen Alter. Der in Basel erfolgten Einschulung kommt daher keine entscheidende Bedeutung zu. Es ist der Tochter zuzumuten, mit der Beschwerdeführerin nach Serbien auszureisen. Ist die Ausreise ins gemeinsame Heimatland für die sorgeberechtigte Beschwerdeführerin sowie das Kind zumutbar und zudem der Kontakt zum über ein Besuchsrecht verfügenden Elternteil dadurch nicht verunmöglicht, verstösst die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung auch nicht gegen das Recht auf Achtung des Familienlebens gemäss Art. 8 EMRK.
4. Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> mit summarischer Begründung abzuweisen. Ergänzend ist auf die Erwägungen im angefochtenen Urteil zu verweisen (<ref-law>).
Da dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung vor Bundesgericht infolge Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren nicht entsprochen werden kann (<ref-law>), hat die unterliegende Beschwerdeführerin grundsätzlich die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen. Der finanziellen Lage der Beschwerdeführerin wird indessen bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Dubs