Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die Eltern des 2005 geborenen C._. Dieser besuchte im Schuljahr 2012/2013 in X._ die erste Klasse. Nach diversen Gesprächen ordnete der Schulleiter am 24. Mai 2013 die Umteilung von C._ in eine Mehrjahrgangsklasse an. Diesen Entscheid bestätigte die Schulpflege X._ mit Beschluss vom 12. Juni 2013. Einen Rekurs der Eltern wies der Bezirksrat Horgen am 14. August 2013 im Wesentlichen ab.
B.
Mit Urteil vom 23. Oktober 2013 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eine Beschwerde von A._ und B._ teilweise gut, hob den Beschluss des Bezirksrats Horgen vom 14. August 2013 auf und wies die Sache im Sinne der Erwägungen an den Bezirksrat zurück. Es befand, die Eltern von C._ hätten ein ausführliches Zeugnis eines Facharztes für Kinder- und Jugendpsychiatrie eingereicht. Dieses sei in sich schlüssig und gelange zum Ergebnis, eine Umteilung würde die seelische und schulische Entwicklung von C._ gefährden. Wenn der Bezirksrat diesem Gutachten nicht hätte folgen wollen, hätte er eine Expertise einer unabhängigen Fachperson anordnen müssen; es verletzte den Anspruch auf rechtliches Gehör, wenn der Bezirksrat stattdessen einfach auf seine eigene, nicht fachkundige Meinung abgestellt habe.
C.
Die Schulpflege X._ (Beschwerdeführerin) erhebt mit Eingabe vom 2. Dezember 2013 gegen dieses Urteil Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt dessen Aufhebung.
A._ und B._ (Beschwerdegegner) beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht beantragt sinngemäss die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; Urteil 2C_794/2012 vom 11. Juli 2013 E. 1, nicht publ. in <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 6 S. 320 mit Hinweisen).
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen letztinstanzlichen Entscheid einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law> in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, der grundsätzlich mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden kann (Art. 82 lit. a und <ref-law>). Eine Ausnahme nach <ref-law> liegt nicht vor; insbesondere findet der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. t BGG keine Anwendung. Gemäss Art. 90 und Art. 91 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten allerdings grundsätzlich nur gegen Entscheide zulässig, die das Verfahren vollständig oder zumindest teilweise abschliessen (Endentscheide).
1.2. Es ist somit zu prüfen, ob es sich beim Urteil des Verwaltungsgerichts um einen solchen Endentscheid handelt.
1.2.1. Die Vorinstanz hat den Beschluss des Bezirksrats Horgen aufgehoben und die Sache im Sinne der Erwägungen an diesen zurückgewiesen. Angefochten ist somit ein Rückweisungsentscheid. Solche Entscheide sind grundsätzlich Zwischenentscheide, gegen die nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 oder 93 BGG beim Bundesgericht Beschwerde erhoben werden kann, selbst wenn damit über materielle Teilaspekte der Streitsache entschieden wird (<ref-ruling> E. 1.3 S. 127; <ref-ruling> E. 4.2 und 4.3 S. 481 f.). Wenn jedoch der unteren Instanz, an welche die Sache zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung nur noch der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient, handelt es sich in Wirklichkeit um einen Endentscheid (<ref-ruling> E. 1.1 S. 143; <ref-ruling> E. 1.3 S. 127; Urteil des Bundesgerichts 9C_684/2007 vom 27. Dezember 2007 E. 1.1). Dies ist vorliegend indes nicht der Fall, denn die Vorinstanz hat nicht materiell über die Umteilung des Kindes entschieden. Sie hat bloss erkannt, der Bezirksrat dürfe sich nicht über die fachkundige und in sich schlüssige Meinungsäusserung des von den Eltern eingereichten Gutachtens hinwegsetzen, ohne einen Bericht einer unabhängigen Fachperson einzuholen.
1.2.2. Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich folglich nicht um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>, sondern um einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>. Dagegen ist die Beschwerde nur dann zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>) oder die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Die letztgenannte Tatbestandsvariante fällt vorliegend von vornherein ausser Betracht, da bei Gutheissung der Beschwerde der Schulgemeinde das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht seinen Fortgang nähme und dieses zu prüfen hätte, ob sich der Entscheid des Bezirksrats in der Sache als zutreffend erwiese. Weil es dabei um die Anwendung kantonalen Rechts geht, könnte das Bundesgericht nicht selbst als erste Gerichtsbehörde einen Sachentscheid fällen. Auch die Variante von <ref-law> der ausnahmsweisen Anfechtbarkeit eines Zwischenentscheids ist nicht gegeben: Rein tatsächliche Nachteile wie eine Verlängerung und Verteuerung des Verfahrens allein reichen nach gefestigter Rechtsprechung nicht aus, um einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil anzunehmen (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382 mit Hinweisen).
1.2.3. Somit handelt es sich beim angefochtenen Urteil des Verwaltungsgerichts um keinen mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anfechtbaren Entscheid. Auf die Beschwerde ist bereits deshalb nicht einzutreten.
1.3. Auf das Rechtsmittel der Schulpflege X._ wäre allerdings auch aus einem andern Grund nicht einzutreten:
1.3.1. Bei der Beschwerdeführerin handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Körperschaft. Deren Beschwerderecht wird in erster Linie in <ref-law> geregelt, wobei vorliegend einzig lit. c dieser Bestimmung in Betracht fällt. Demgemäss sind Gemeinden und andere öffentlich-rechtliche Körperschaften zur Beschwerde befugt, wenn sie die Verletzung von Garantien rügen, die ihnen die Kantons- oder Bundesverfassung gewährt. Angesprochen wird dabei insbesondere die in <ref-law> enthaltene Gemeindeautonomie (<ref-ruling> E. 1 S. 92 ff. mit Hinweisen). Damit das Bundesgericht auf eine solche Beschwerde eintritt, muss allerdings die Rüge des Verstosses gegen die Gemeindeautonomie vorgebracht und hinreichend begründet werden (<ref-ruling> E. 1.1 S. 92 f. mit Hinweisen). Diesen Voraussetzungen genügt die vorliegende Beschwerde nicht; zwar erwähnt die Beschwerdeführerin die Möglichkeit der Autonomiebeschwerde, doch macht sie nicht geltend, das angefochtene Urteil beschlage ein Rechtsgebiet, in welchem ihr eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit zukomme, und sie nennt auch keine Bestimmung des kantonalen Rechts, aus dem sich solcherlei ergeben könnte.
1.3.2. Nach der allgemeinen Umschreibung der Beschwerdebefugnis im Sinne von <ref-law> ist sodann zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Diese Regelung ist in erster Linie auf Privatpersonen zugeschnitten, doch kann sich auch das Gemeinwesen darauf stützen, falls es durch einen angefochtenen Entscheid gleich oder ähnlich wie ein Privater oder aber in spezifischer Weise in der Wahrnehmung einer hoheitlichen Aufgabe betroffen wird und nicht bloss das allgemeine Interesse an der richtigen Rechtsanwendung geltend macht (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 93).
Die Beschwerdeführerin macht geltend, mit dem Urteil des Verwaltungsgerichts würden ihr mit Bezug auf das Vorgehen bei der Zuteilung von Kindern in Klassen neue Pflichten mit weitreichenden Folgen auferlegt. Damit sei ein personeller und finanzieller Mehraufwand verbunden, weshalb eine besondere Betroffenheit der Schulgemeinde in ihren vermögensrechtlichen Interessen zu bejahen sei. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts betreffend die Anwendung von <ref-law> zur Legitimation von öffentlich-rechtlichen Körperschaften ist eine legitimationsbegündende besondere Betroffenheit im Sinne dieser Bestimmung nur zu bejahen, wenn die Körperschaft in hoheitlichen Befugnissen berührt ist und zentrale öffentliche Interessen auf dem Spiel stehen. Es handelt sich um eine "de minimis"-Klausel, die verhindern will, dass das Bundesgericht mit Bagatellfällen belastet wird (<ref-ruling> E. 1.2.4 S. 94). Mit dieser Überlegung lässt sich die Beschwerdebefugnis der Schulgemeinde vorliegend nicht begründen. Zunächst dürften die Fälle von Umteilungen einzelner Schüler schon zahlenmässig gering sein. Wo eine solche Massnahme dennoch erforderlich ist, entstehen der (Schul-) Gemeinde keine Kosten, solange der Umteilungsentscheid von den Betroffenen akzeptiert wird und weitere Abklärungen werden nur dann nötig sein, wenn die Umteilung mittels eines schlüssigen fachärztlichen Gutachtens bestritten wird. Es ist somit nicht davon auszugehen, dass der Entscheid der Vorinstanz die finanziellen Interessen der Beschwerdeführerin in zentraler Weise betrifft; etwas anderes wird von dieser auch nicht dargelegt.
2.
Im Übrigen wäre die Beschwerde ohnehin abzuweisen, wenn darauf eingetreten werden könnte:
2.1. In der Sache macht die Beschwerdeführerin die Verletzung verschiedener Normen des kantonalen Rechts geltend. Zum einen habe die Vorinstanz den Zuteilungsentscheid zu Unrecht als Verfügung angesehen. Zudem habe sie neben den in § 25 der Zürcher Volksschulverordnung vom 28. Juni 2006 (VSV/ZH) genannten Zuteilungskriterien weitere, dort nicht erwähnte Kriterien zur Anwendung gebracht. Sodann macht die Beschwerdeführerin geltend, bisher sei einem privaten ärztlichen oder psychologischen Gutachten ohne schulpsychologische Überprüfung kein Beweiswert zugekommen.
2.2. Das Bundesgericht prüft die Auslegung und Anwendung von kantonalen Gesetzesbestimmungen, unter Vorbehalt von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen (siehe <ref-law>), nicht frei, sondern nur mit einer auf Willkür beschränkten Kognition. Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür nicht bereits dann vor, wenn ein anderes Normverständnis ebenfalls möglich oder gegenüber demjenigen der kantonalen Behörde gar vorzuziehen wäre. Willkür in der Rechtsanwendung ist nur dann zu bejahen, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.3 S. 319 mit Hinweis).
2.3.
2.3.1. Gemäss § 41 Abs. 1 des Zürcher Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG/ZH) beurteilt das Verwaltungsgericht Beschwerden gegen Akte im Sinne von § 19 Abs. 1 VRG/ZH. Zu diesen gehören - neben anderen, hier nicht interessierenden Hoheitsakten - sog. Anordnungen, einschliesslich raumplanungsrechtlicher Festlegungen (§ 19 Abs. 1 lit. a VRG/ZH). Materiell muss ein Hoheitsakt aber auch nach der Regelung des Zürcher Verwaltungsrechtspflegegesetzes dem Verfügungsbegriff genügen, um ein taugliches Objekt der Verwaltungsrechtspflege zu sein (Urteil 2C_52/2013 vom 12. Juli 2013 E. 4.1). Es trifft zwar zu, dass rein schulorganisatorische Massnahmen grundsätzlich nicht unter den Verfügungsbegriff fallen. Indes steht den Eltern nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung eine Anfechtungsmöglichkeit offen, wenn derartige Massnahmen in erheblicher Weise in den Tagesablauf des betroffenen Kindes eingreifen (Urteil 2P.324/2001 vom 28. März 2003 E. 3.4; vgl. auch Urteil 2C_272/2012 vom 9. Juli 2012 E. 4.4.3). Es ist keineswegs willkürlich, vorliegend einen solchen Eingriff und damit die Anfechtbarkeit einer schulorganisatorisch motivierten Anordnung zu bejahen, denn diese hätte zur Folge, dass das Kind aus seiner angestammten Schulklasse versetzt würde, in die es sich gut integriert hat, was nach fachärztlicher Auffassung mit erheblichen Nachteilen für seine seelische und schulische Entwicklung verbunden wäre.
2.3.2. Ebensowenig kann von einer willkürlichen Auslegung von § 25 VSV/ZH die Rede sein. In dieser Bestimmung, welche die für die Klassenzuteilung massgeblichen Aspekte aufführt, werden zwar die für das betroffene Kind mit dem Zuteilungsentscheid verbundenen persönlichen Nachteile nicht explizit angeführt, doch kann aus dem Wort "namentlich" geschlossen werden, dass auch andere als die dort ausdrücklich erwähnten Kriterien eine Rolle spielen können. Im Übrigen liegt es auf der Hand, dass bei schulischen Massnahmen - wie ganz allgemein bei staatlichen Handlungen mit Wirkungen auf Kinder - das Kindswohl mit berücksichtigt wird (vgl. dazu namentlich Art. 3 Abs. 1 des Übereinkommens über die Rechte des Kindes vom 20. November 1989 [Kinderrechtskonvention; SR 0.107]).
2.3.3. Schliesslich sind auch die Überlegungen der Vorinstanz zum Beweiswert von Privatgutachten nicht willkürlich. Nach der anwendbaren Verwaltungsprozessordnung ermittelt das Verwaltungsgericht den Sachverhalt von Amtes wegen (§ 60 VRG/ZH) und Gutachten stellen allgemein anerkannte Beweismittel dar. Es entspricht sodann der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, dass in sich schlüssigen Gutachten einer Fachperson nicht bereits deshalb jeder Beweiswert abgesprochen werden darf, weil sie nicht von der Behörde selbst eingeholt, sondern von einer Partei ins Verfahren eingebracht worden sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 270 mit Hinweisen). Diese sind zumindest als substanziierte Parteibehauptung zu würdigen. Somit ist es nicht willkürlich, wenn es die Vorinstanz als unzulässig erachtet hat, dass der Bezirksrat ohne weitere sachverhaltliche Abklärungen von der gutachterlichen Auffassung abgewichen ist und stattdessen die eigene, nicht fachkundige Meinung als massgeblich erachtet hat.
3.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Da die unterliegende Beschwerdeführerin in ihrem amtlichen Wirkungskreis tätig war und der Rechtsstreit keine Vermögensinteressen betrifft, trägt sie keine Verfahrenskosten (<ref-law>). Jedoch hat sie der Beschwerdegegnerin und dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung auszurichten, die ermessensweise auf insgesamt Fr. 2'500.-- festgesetzt wird (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Verfahrenskosten erhoben.
3.
Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin und dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 2'500.-- zu entrichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juni 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler