Faits:
A.
Le 12 décembre 2005, K._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le 9 juin 2006, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a rendu une décision de refus de rente. K._ a formé opposition contre cette décision. Par décision du 10 septembre 2009, l'office AI a rejeté l'opposition. K._ ayant formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (aujourd'hui: Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public), la juridiction cantonale, par arrêt du 28 décembre 2010, l'a annulée et a renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il lui accorde un quart de rente d'invalidité. Par arrêt du 24 octobre 2011, le Tribunal fédéral a rejeté le recours que K._ a formé contre ce jugement.
Le 22 août 2012, l'office AI a rendu un préavis rejetant la demande du 12 décembre 2005, au motif que K._ présentait selon le SMR une capacité de travail exigible dans une activité adaptée depuis 1985 et qu'à cette époque-là, elle n'avait pas la qualité d'assurée. Celle-ci a fait part à l'office AI de ses observations. Par décision du 1 er octobre 2012, l'office AI a nié tout droit de K._ à une rente d'invalidité pour le motif exposé dans son préavis.
B.
K._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, la cause étant renvoyée à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel pour l'octroi d'un quart de rente d'invalidité.
Par arrêt du 28 mars 2013, la juridiction cantonale a admis le recours et annulé la décision entreprise du 1 er octobre 2012 (ch. 1 du dispositif) et renvoyé la cause à l'office AI au sens des considérants (ch. 2 du dispositif).
C.
Dans un mémoire du 7 mai 2013, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais, à son annulation. Simultanément, il demande la révision de l'arrêt du Tribunal fédéral du 24 octobre 2011 (9C_108/2011) en ce sens que le jugement du 28 décembre 2010 du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (TA.2009.392) est annulé.

Considérant en droit:
1.
La demande de révision de l'arrêt du Tribunal fédéral du 24 octobre 2011 (9C_108/2011) fait l'objet du dossier séparé 9F_8/2013.
2.
Le dispositif du jugement entrepris a pour objet l'annulation de la décision du recourant du 1 er octobre 2012 (ch. 1) et le renvoi de la cause à celui-ci pour qu'il se conforme à l'arrêt de renvoi du 28 décembre 2010 (ch. 2, lequel renvoie aux considérants, dont le consid. 3 du jugement entrepris). En tant qu'il renvoie la cause à l'administration, le jugement entrepris doit être qualifié de décision incidente qui peut être attaquée aux conditions de l'<ref-law>. Dans la mesure où le jugement entrepris comprend des instructions impératives destinées au recourant, selon lesquelles il doit se conformer à l'arrêt du 28 décembre 2010 lui renvoyant la cause pour qu'il accorde à l'intimée un quart de rente d'invalidité, l'office AI est tenu de rendre une décision qui, selon lui, est contraire au droit fédéral. En cela, il subit un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 127 sv. et les références; <ref-ruling> consid. 5.2.4 p. 484; arrêt 9C_678/2011 du 4 janvier 2012, consid. 1 in SVR 2012 IV Nr. 35 p. 136 et les références). Il y a lieu dès lors d'entrer en matière sur le recours.
3.
3.1. D'après un principe applicable dans la procédure administrative en général, lorsqu'une autorité de recours statue, explicitement ou implicitement, par une décision de renvoi, l'autorité à laquelle la cause est renvoyée, de même que celle qui a rendu la décision sur recours sont tenues de se conformer aux instructions du jugement de renvoi. Ainsi, l'autorité inférieure doit fonder sa nouvelle décision sur les considérants de droit du jugement de renvoi. L'autorité inférieure voit donc sa latitude de jugement limitée par les motifs du jugement de renvoi, en ce sens qu'elle est liée par ce qui a été déjà définitivement tranché par l'autorité de recours, laquelle ne saurait, de son côté, revenir sur sa décision à l'occasion d'un recours subséquent (cf. par exemple arrêt 9C_350/2011 du 3 janvier 2012, consid. 4.1).
3.2. Des faits "nouveaux" importants, qui existaient déjà avant l'arrêt de renvoi mais ont été découverts subséquemment par l'intéressé (faux nova), peuvent rompre l'autorité attachée à l'arrêt de renvoi (arrêt 8C_152/2012 du 3 août 2012, consid. 4.1 et 4.2).
3.3. La décision originelle du 10 septembre 2009, dans laquelle l'office AI a considéré que la question de la clause d'assurance ne se posait plus vu que l'intimée était désormais de nationalité suisse, était affectée d'un défaut juridique, dans la mesure où la qualité d'assurée fait défaut. Le nouveau point de vue juridique du recourant dans la décision du 1 er octobre 2012 ne peut pas, cependant, être pris en considération dans le cadre d'un arrêt de renvoi. En effet, les faits sur lesquels le recourant se fonde dans la décision administrative litigieuse pour motiver son nouveau point de vue étaient connus de lui bien avant l'arrêt de renvoi du 28 décembre 2010 et n'ont donc pas été découverts subséquemment. L'office AI avait la possibilité d'attaquer par la voie du recours le jugement du 28 décembre 2010 lui renvoyant la cause pour qu'il accorde à l'intimée un quart de rente d'invalidité. Le fait qu'il n'a pas recouru contre ce jugement ne peut pas être réparé par la voie de la révision procédurale. Il ne s'agit nullement ici de faux nova, seuls susceptibles de rompre l'autorité attachée à l'arrêt de renvoi (supra, consid. 3.2). Il convient d'ajouter que la possibilité existe pour l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) d'attaquer la décision (contraire au droit) que rendra l'office AI sur la base de l'arrêt de renvoi (ATF <ref-ruling> consid. 5.2.4 p. 485). Le recours est mal fondé.
3.4. La juridiction cantonale a indiqué dans le jugement entrepris (consid. 2c) que dans la mesure où, en l'espèce, le Tribunal fédéral avait statué au fond le 24 octobre 2011, elle ne saurait entrer en matière sur une quelconque demande en révision de son arrêt du 28 décembre 2010. Il convient de renvoyer sur ce point au dossier séparé 9F_8/2013.
4.
Vu le sort du litige, la requête d'effet suspensif n'a plus d'objet.
Les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 juin 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Wagner