Sachverhalt:
A. X._ unterzog sich zwischen dem 24. Juli 2000 und dem 31. Mai 2001 an der Psychotherapeutischen Praxisstelle des Psychologischen Instituts der Universität Bern (im Folgenden: Praxisstelle) einer Behandlung.
B. Mit einem förmlichen, der Praxisstelle am 19. Juni 2006 eingereichten Ersuchen beanstandete X._, dass diese am 23. November 2001 einen Behandlungsbericht über ihn mit ihm bislang nicht bekannten Informationen über Diagnose sowie Behandlungsart und -verlauf verfasst hatte und dass sie den Bericht Dr. med. O._ zugestellt hatte. Er verlangte gestützt auf das kantonale Datenschutzgesetz die Datenvernichtung und die Mitteilung an Dr. med. O._, ferner die Feststellung der widerrechtlichen Bearbeitung seiner Personendaten.
Der Dekan der Philosophisch-humanwissenschaftlichen Fakultät der Universität Bern (im Folgenden: Dekan) wies das Gesuch am 15. September 2006 ab. Er wies auf die Entbindung vom Berufsgeheimnis durch den Gesuchsteller selber und auf die Auskunftspflicht gemäss Allgemeinem Teil des Sozialversicherungsrechts hin und stellte fest, dass die Bearbeitung der Personendaten rechtmässig erfolgt sei.
Die Rekurskommission der Universität Bern (im Folgenden: Rekurskommission) trat in der Folge mit Entscheid vom 21. Mai 2007 auf die Beschwerde von X._ nicht ein. Sie hielt fest, es fehle das aktuelle Interesse an der Beschwerdeführung. Zudem seien Feststellungsbegehren gegenüber Leistungs- und Gestaltungsbegehren subsidiär.
Mit Entscheid vom 6. November 2007 trat die Erziehungsdirektion des Kantons Bern auf die Beschwerde von X._ nicht ein, hob indessen von Amtes wegen den Entscheid der Rekurskommission wegen offensichtlicher Unzuständigkeit auf.
Mit Urteil vom 19. Januar 2009 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die von X._ erhobene Beschwerde insoweit gut, als es den Entscheid der Erziehungsdirektion aufhob. Es bestätigte den Beschwerdeentscheid der Rekurskommission im Dispositiv ausdrücklich. Im Übrigen trat das Verwaltungsgericht auf die Beschwerde nicht ein.
C. Gegen dieses Urteil des Verwaltungsgerichts hat X._ am 19. Februar 2009 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids wegen Verletzung des Anspruchs auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht. Eventualiter ersucht er in der Sache um Aufhebung von Ziff. 1 Satz 1 und 2 des Dispositivs des Verwaltungsgerichtsurteils. Schliesslich stellt er den Antrag um Feststellung der widerrechtlichen Bearbeitung von Personendaten durch die Praxisstelle.
Die Universität Bern und das Verwaltungsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hielt in seiner Replik an seinen Anträgen fest. Die Universität Bern hat in ihrer Duplik ihre Auffassung bestätigt.

Erwägungen:
1. Das Verwaltungsgericht hat den Entscheid der Rekurskommission wiederhergestellt und diesen bestätigt. Der Entscheid der Rekurskommission besagt, dass auf die Beschwerde des Beschwerdeführers nicht eingetreten werde. Bei dieser Sachlage ist der Beschwerdeführer ohne Weiteres legitimiert, diesen Nichteintretensentscheid und dessen Bestätigung durch das Verwaltungsgericht wegen formeller Rechtsverweigerung im Sinne von <ref-law> bzw. wegen Verletzung der Rechtsweggarantie gemäss Art. 13 EMRK vor Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anzufechten. Insoweit kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
Nicht einzutreten ist hingegen auf die materielle Seite der Beschwerdesache und den Antrag um Feststellung einer widerrechtlichen Bearbeitung von Personendaten durch die Praxisstelle. In dieser Hinsicht fehlt es an einem materiellen Anfechtungsobjekt.
2. In formeller Hinsicht macht der Beschwerdeführer vorerst eine Verletzung von Art. 26 Abs. 1 KV/BE, <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK geltend. Er bringt vor, die Verwaltungsrichter Stalder und Keller sowie Kammerschreiber Feller erweckten in der vorliegenden Angelegenheit den Anschein der Befangenheit. Diese hätten am Institut für öffentliches Recht der Universität Bern Lehraufträge bzw. eine Assistenzstelle inne und stünden daher in einer wirtschaftlichen und beruflichen Dauerverbindung zur Universität. Bei dieser Sachlage könnten sie hinsichtlich der die Universität Bern betreffende Sache nicht als unvoreingenommen betrachtet werden.
Das Bundesgericht hat kürzlich die Rechtsprechung zur Frage zusammengefasst, wie es sich mit der Unbefangenheit von Ersatzrichtern verhält, die in einem früheren bzw. aktuellen Mandatsverhältnis zu einer der Prozessparteien standen bzw. stehen (<ref-ruling> E. 4.1 und 4.2).
Mit einer solchen Konstellation der Rechtsvertretung lässt sich die vorliegend streitige Situation nicht vergleichen. Weder ein Lehrauftrag noch eine Assistenz-Teilstelle an der juristischen Fakultät lassen gegenüber der Gesamtuniversität ein Engagement entstehen, das die Betroffenen in eine wirtschaftliche oder berufliche Dauerbeziehung zur Universität bringt und im gerichtlichen Verfahren den Eindruck der Voreingenommenheit hervorrufen könnte. Die Befürchtungen des Beschwerdeführers sind weitgehend abstrakter Natur und erweisen sich bei objektiver Betrachtung als unbegründet. Bei dieser Sachlage kann offen bleiben, ob der Beschwerdeführer den Ausstand bereits im Vorfeld des Verwaltungsgerichtsurteils hätte geltend machen müssen, wie das Verwaltungsgericht in seiner Vernehmlassung geltend macht. Die von den Parteien in dieser Hinsicht geforderte Sorgfaltspflicht ist vor dem Hintergrund der konkreten Verhältnisse zu prüfen und darf nicht überspannt werden (vgl. nicht publizierte E. 5 von <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 2).
Demnach erweist sich die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf einen unvoreingenommenen Richter als unbegründet.
3. Der Beschwerdeführer beanstandete mit seiner Eingabe vom 19. Juni 2006 eine widerrechtliche Bearbeitung seiner Personendaten. Der Dekan der Fakultät hat eine widerrechtliche Datenbearbeitung verneint und die Begehren des Beschwerdeführers am 15. September 2006 abgewiesen. Auf die dagegen eingereichte Beschwerde trat die Rekurskommission am 21. Mai 2007 nicht ein. Dieser Entscheid ist vom Verwaltungsgericht wiederhergestellt und insoweit bestätigt worden.
Der Beschwerdeführer macht geltend, der Nichteintretensentscheid verletze ihn in seinem Anspruch auf eine wirksame Beschwerde im Sinne von Art. 13 EMRK. Zur Begründung verweist er auf das Urteil des Europäischen Gerichtshofes i.S. Camenzind gegen die Schweiz vom 16. Dezember 1997 (Recueil CourEDH 1997-VIII, VPB 1998 Nr. 113).
3.1 Nach Art. 13 EMRK hat derjenige, der sich in den durch die Konvention garantierten Rechten und Freiheiten für beeinträchtigt hält, Anspruch darauf, bei einer nationalen Instanz eine wirksame Beschwerde einzulegen. Dies bedeutet nicht, dass ein Rechtsmittel an ein Gericht zur Verfügung stehen muss; eine Beschwerdemöglichkeit an eine hinreichend unabhängige Verwaltungsbehörde kann genügen. Hingegen ist erforderlich, dass Anspruch auf Prüfung der Vorbringen besteht und dass die Beschwerdebehörde den angefochtenen Akt gegebenenfalls aufheben bzw. dessen Auswirkungen beheben kann. Ausserdem müssen die rechtsstaatlich notwendigen minimalen Verfahrensrechte im Sinne von <ref-law> gewährleistet sein, insbesondere der Anspruch auf rechtliches Gehör und auf Begründung von Entscheiden (<ref-ruling> E. 6.1 S. 377, mit zahlreichen Hinweisen).
Art. 13 EMRK räumt dem Einzelnen in diesem Sinne ein Rechtsmittel ein. Dieses unterliegt indessen dem Regime des nationalen bzw. kantonalen Verfahrensrechts. Es kann den Kantonen nicht verwehrt sein, bei der Ausübung solcher Rechte die Einhaltung gewisser prozessualer Bestimmungen wie etwa von Frist- und Formvorschriften zu verlangen und die Folgen der Missachtung etwa im Sinne der Unzulässigkeit von Beschwerden zu bestimmen. Prozessuale Vorschriften dürfen indessen das Beschwerderecht nicht grundsätzlich aushöhlen. Sie müssen die Wirksamkeit des Rechtsmittels wahren (nicht veröffentlichte E. 6.2 von <ref-ruling>, mit Hinweisen; Urteil EGMR Sürmeli gegen Deutschland vom 8. Juni 2006 Ziff. 98-100 [EuGRZ 2007 S. 255]; Urteil Camenzind, a.a.O., Ziff. 54 ff.; Mark E. Villiger, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention, 2. Aufl. 1999, N. 650; Christoph Grabenwarter, Europäische Menschenrechtskonvention, 3. Aufl. 2008, N. 179 S. 398; Jens Meyer-Ladewig, Europäische Menschenrechtskonvention, 2. Aufl. 2006, Art. 13 N. 14; vgl. hinsichtlich von <ref-law> Andreas Kley, in: Die Schweizerische Bundesverfassung, 2. Auflage 2008, Art. 29a N. 9).
3.2 Im vorliegenden Verfahren erachtet sich der Beschwerdeführer wegen der angeblich widerrechtlichen Datenbearbeitung in seinen Ansprüchen aus Art. 8 EMRK beeinträchtigt. Er kann daher gestützt auf Art. 13 EMRK grundsätzlich einen Anspruch auf eine wirksame Beschwerde und eine materielle Behandlung seiner Beschwerde geltend machen.
3.3 Die Rekurskommission ist auf die Beschwerde des Beschwerdeführers in erster Linie mangels eines aktuellen praktischen Rechtsschutzinteresses hinsichtlich der Beurteilung einer allfälligen Verletzung des Datenschutzgesetzes nicht eingetreten. In Anbetracht der singulären Sachlage verneinte sie überdies Gründe, die für den ausnahmsweisen Verzicht auf das Erfordernis des aktuellen Interesses gesprochen hätten.
Das Verwaltungsgericht vermochte dieser Begründung insoweit nicht zu folgen, als sich eine allfällige mit dem Feststellungsbegehren bezweckte Genugtuungswirkung auch längere Zeit nach der strittigen Datenbearbeitung noch einstellen könne. Damit verwarf es die Hauptbegründung der Rekurskommission, es bestehe kein hinreichendes aktuelles Interesse. Von dieser Beurteilung ist Vormerk zu nehmen.
3.4 Ergänzend hatte die Rekurskommission darauf hingewiesen, dass im Beschwerdeverfahren kein Begehren auf Vernichtung der fraglichen Daten gestellt worden sei. Es könne dahingestellt bleiben, ob diesbezüglich ein Rechtsschutzinteresse bestanden hätte.
Das Verwaltungsgericht hat diese Argumentation aufgenommen. Es hat unter Hinweis auf Rechtsprechung und Doktrin ausgeführt, dass Feststellungsbegehren gegenüber Leistungsbegehren subsidiär seien. Soweit die Interessen mit einem Leistungs- oder Gestaltungsbegehren gewahrt werden können, müssten entsprechende Anträge gestellt werden. Reine Feststellungsbegehren seien diesfalls - unter dem Vorbehalt unzumutbarer Nachteile und spezialgesetzlicher Regelungen - nicht zulässig. Im vorliegenden Fall habe der Beschwerdeführer in seinem ursprünglichen Ersuchen über ein Feststellungsbegehren hinaus Begehren um Datenvernichtung und Mitteilung und insoweit Leistungsbegehren gestellt. Nach der materiellen Abweisung seiner Ersuchen durch den Dekan habe er bei der Rekurskommission bloss die Aufhebung des Dekanatsentscheids und eine entsprechende Feststellung verlangt, indes keine Leistungsbegehren gestellt. Weder dem Antrag noch der Begründung der Beschwerdeschrift könne die Aufrechterhaltung der Leistungsbegehren entnommen werden. Der Beschwerdeführer - bzw. sein Rechtsvertreter, dessen Verhalten er sich anrechnen lassen müsse - habe damit den Streitgegenstand aus eigenen Stücken auf das Feststellungsbegehren beschränkt. Ein solches aber sei wegen der Subsidiarität nicht zulässig. Bei dieser Sachlage sei die Rekurskommission zu Recht auf seine Beschwerde nicht eingetreten.
3.5 Es ist nunmehr zu prüfen, ob dieses Ergebnis vor der Garantie von Art. 13 EMRK standhält.
Das hier anwendbare Datenschutzgesetz des Kantons Bern (KDSG; Gesetzessammlung 152.04) sieht in Art. 23 einen Anspruch auf Berichtigung von Personendaten vor. Gemäss Art. 24 hat jede Person Anspruch darauf, dass Personendaten, die widerrechtlich bearbeitet worden sind, vernichtet werden oder sonst die Folgen der Widerrechtlichkeit beseitigt werden; weist die betroffene Person ein schützenswertes Interesse nach, so ist der Entscheid den von ihr bezeichneten Behörden und Dritten bekanntzugeben. Das KDSG - anders als etwa Art. 25 Abs. 1 lit. c des eidgenössischen Datenschutzgesetzes (DSG; SR 235.1) oder <ref-law> - kennt somit keinen speziellen Feststellungsanspruch von Gesetzes wegen. Dieser Umstand schliesst Feststellungsbegehren indes nicht grundsätzlich aus. Er hat allerdings zur Folge, dass die allgemeinen Prozessregeln zur Anwendung kommen, wonach Feststellungsbegehren gegenüber Leistungsbegehren grundsätzlich subsidiär sind. Der Grundsatz bedeutet, dass Feststellungsinteressen, vorbehältlich besonderer Situationen, nur dann massgeblich sein können, wenn Gestaltungs- oder Leistungsbegehren ausgeschlossen sind (vgl. hierzu etwa Urteil des Bundesgerichts 2C_803/2008 vom 21. Juli 2009 E. 4.2.2).
Im vorliegenden Fall hatte der Beschwerdeführer mit seinem ursprünglichen Gesuch vom 19. Juni 2006 die Feststellung der Widerrechtlichkeit der Datenbearbeitung, deren Mitteilung an Dr. med. O._ sowie die Vernichtung des Berichts verlangt. Mit seiner Beschwerde an die Rekurskommission verlangte er die Aufhebung des Dekanatsentscheids und die Feststellung der widerrechtlichen Datenbearbeitung. Ob er damit sein Ersuchen auf eine Feststellung beschränkt hatte, kann offen bleiben. Diesem Umstand kommt in Anbetracht der konkreten Gegebenheiten keine entscheidende Bedeutung zu.
Bei materieller Beurteilung der umstrittenen Begehren ist vor Augen zu halten, dass die Erstellung des umstrittenen Berichts und dessen Übermittlung an den Arzt bereits im Zeitpunkt der Gesuchsstellung beinahe fünf Jahre zurücklagen. Bei dieser besondern Sachlage hatten die Leistungsbegehren von vornherein nur eine beschränkte Wirkung. Die Anordnung, der Bericht sei zu vernichten, hätte praktisch nur die Exemplare bei der Praxisstelle und beim Arzt treffen können, kaum aber Kopien davon, die an weitere Personen oder Stellen (wie die IV) gelangt sein könnten. Eine derartige, in ihrer Wirkung beschränkte Vernichtungsanordnung käme einer förmlichen Feststellung der Widerrechtlichkeit weitgehend gleich. Eine solche Feststellung wäre unter den gegebenen Umständen im Sinne von Art. 24 Abs. 1 KDSG durchaus geeignet, die Folgen der Widerrechtlichkeit zu beseitigen. Ähnliches gilt für das Mitteilungsbegehren. Eine entsprechende Mitteilung könnte lediglich gegenüber Dr. med. O._ ergehen und hätte diesem gegenüber weitgehend die Bedeutung einer Feststellung. Weitere Personen, die vom Bericht Kenntnis erhalten haben könnten, würden nicht erfasst. Umgekehrt könnte eine blosse Feststellung der Widerrechtlichkeit auch solchen Personen entgegengehalten werden.
Daraus ergibt sich, dass im vorliegenden Fall das Feststellungsbegehren und die Leistungsbegehren weitgehend gleichwertig sind. Die blosse Feststellung einer Widerrechtlichkeit vermag kaum weniger zu bewirken als die Anordnung einer Mitteilung oder einer Vernichtung des Berichts. Der Beschwerdeführer vermochte seine Interessen mit dem Feststellungsbegehren nicht in geringerem Masse zu wahren als mit entsprechenden Leistungsbegehren. Die vom Verwaltungsgericht vorgenommene Unterscheidung zwischen Leistungs- und Feststellungsbegehren wird somit den tatsächlichen Gegebenheiten nicht gerecht. Damit rechtfertigt es sich im vorliegenden Fall vor dem Hintergrund der tatsächlichen Interessenlage nicht, das Feststellungsbegehren an der Subsidiarität scheitern zu lassen. Das Vorgehen des Verwaltungsgerichts ist damit geeignet, den Beschwerdeweg übermässig zu erschweren und damit den Zugang zu einer Beschwerdeinstanz im Sinne von Art. 13 EMRK auszuhöhlen.
Bei dieser Sachlage verletzt der angefochtene Entscheid vor dem Hintergrund der konkreten Verhältnisse den Anspruch von Art. 13 EMRK. Damit erweist sich die Beschwerde in diesem Punkte als begründet.
4. Demnach ist der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 19. Januar 2009 und mit ihm der Beschwerdeentscheid der Rekurskommission vom 21. Mai 2007 aufzuheben. Die Sache ist zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen, damit dieses selber in der Sache entscheide oder den materiellen Entscheid der Rekurskommission überlasse.
Bei diesem Ausgang sind keine Kosten zu erheben. Dem Beschwerdeführer ist mangels Vertretung keine Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 19. Januar 2009 und der Beschwerdeentscheid der Rekurskommission der Universität Bern vom 21. Mai 2007 werden aufgehoben.
2. Die Sache wird zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zurückgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Erziehungsdirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. September 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Steinmann