Sachverhalt:
A.
Die 1981 geborene Kosovarin X._ reiste, nachdem sie bereits erfolglos zwei Asylanträge gestellt hatte, am 19. Januar 2003 in Begleitung ihres am 16. November 2000 im Kosovo geborenen Sohnes A._ erneut in die Schweiz ein und stellte tags darauf ein weiteres Asylgesuch. Am 27. Juni 2003 heiratete sie den 1947 geborenen Schweizer Y._ und zog daraufhin das Asylgesuch zurück. Am 28. März 2004 wurde der gemeinsame Sohn B._ geboren. Y._ erlag am 30. August 2007 seinem Krebsleiden.
Am 19. Mai 2008 ersuchte X._ um erleichterte Einbürgerung.
Am 17. September 2010 wies das Bundesamt für Migration (BFM) das Gesuch von X._ ab.
Am 25. März 2013 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde von X._ gegen diese Verfügung ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._, dieses Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben, sie und ihren Sohn A._ einzubürgern und die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens sowie die Anwaltskosten dem BFM aufzuerlegen.
C.
Das Bundesverwaltungsgericht und das BFM verzichten auf Vernehmlassung.
In ihrer "ergänzenden Replik" hält X._ an der Beschwerde fest.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Urteil des Bundesverwaltungsgerichts handelt es sich um einen Endentscheid über eine erleichterte Einbürgerung. Als solcher fällt er nicht unter die Ausnahme von Art. 83 lit. b BGG, womit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 82 ff. BGG zulässig ist. Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist vom angefochtenen Entscheid, der die Verweigerung ihrer Einbürgerung durch das Bundesamt bestätigte, zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, womit auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
2.1. Ausländer können gemäss Art. 26 Abs. 1 des Bürgerrechtsgesetzes vom 29. September 1952 (BüG; SR 141.0) erleichtert eingebürgert werden, wenn sie in der Schweiz integriert sind (lit. a), die schweizerische Rechtsordnung beachten (lit. b) und die innere oder äussere Sicherheit der Schweiz nicht gefährden (lit. c). Die Gattin eines in der Schweiz lebenden Schweizers kann nach Art. 27 Abs. 1 BüG ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn sie insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat (lit. a), seit einem Jahr hier wohnt (lit. b) und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit dem Schweizer Gatten lebt (lit. c). Im Gesetz nicht geregelt ist die Frage, wie sich dessen Tod auf das Einbürgerungsverfahren auswirkt. Dabei handelt es sich nicht um ein qualifiziertes Schweigen des Gesetzgebers in dem Sinne, dass er die erleichterte Einbürgerung bei Vorabsterben des Schweizer Ehegatten grundsätzlich ausschliessen wollte. Vielmehr überliess er es bewusst der Verwaltungs- und Gerichtspraxis, diese Lücke zu schliessen (<ref-ruling> E. 2.3).
2.2. Art. 27 BüG ermöglicht die erleichterte Einbürgerung des ausländischen Ehegatten eines Schweizer Bürgers, um die Einheit des Bürgerrechts im Hinblick auf die gemeinsame Zukunft zu fördern. Mit dem Tod des Schweizer Gatten kann dieser Zweck zwar nicht mehr erreicht werden. Der ausländische Ehegatte hat indessen mit der Heirat eine Vertrauensposition erworben, die er mit dem Tod des Partners nicht einfach verlieren soll; vielmehr ist er ausnahmsweise trotzdem einzubürgern, wenn ihn die Verweigerung der Einbürgerung unangemessen hart treffen würde. Das BFM hat diese gesetzgeberische Absicht sachgerecht umgesetzt, indem es eine Sonderregelung für die Prüfung von Härtefällen (vgl. unten E. 2.3) geschaffen hat. Wann ein Härtefall anzunehmen ist, kann nicht abstrakt im Voraus festgelegt, sondern nur im Einzelfall beurteilt werden. Dem Ausnahmecharakter dieser Härtefallregelung entsprechend ist sie restriktiv zu handhaben, und es obliegt der Bewerberin nachzuweisen, dass die Verweigerung der Einbürgerung untragbare Folgen für sie hätte (<ref-ruling> E. 2.5).
2.3. Nach Ziffer 4.6.3.3 der Weisungen des BFM zum Bürgerrecht (Kap. 4: Gemeinsame Voraussetzungen und Einbürgerungskriterien, unter www.bfm.admin.ch > Dokumentation > Rechtliche Grundlagen > Weisungen und Kreisschreiben > V. Bürgerrecht, Stand 6. August 2013) fällt die erleichterte Einbürgerung gestützt auf ein nach dem Tod des Schweizer Ehegatten gestelltes Gesuch im Sinne eines Härtefalls ausnahmsweise in Betracht, wenn die Bewerberin im Zeitpunkt des Todes des Schweizer Ehegatten die Fristen von Art. 27 BüG erfüllt und sie sich nicht vor dem Einbürgerungsentscheid mit einem Ausländer verheiratet hat. Zudem muss das Gesuch innert Jahresfrist nach dem Tod des Gatten gestellt worden und mindestens ein Kind aus der Ehe mit dem verstorbenen Gatten hervorgegangen sein oder die Bewerberin seit sehr langer Zeit in der Schweiz gewohnt haben. Auch wenn diese Erfordernisse für eine nachträgliche Prüfung gegeben sind, bleibt jedoch zu untersuchen, ob aus der Verweigerung der Einbürgerung eine unangemessene Härte resultiert (vgl. E. 2.2 hiervor).
3.
3.1. Unabdingbar für eine erleichterte Einbürgerung nach dem Tod des Schweizer Ehegatten ist, dass die Voraussetzungen von Art. 26 und 27 Abs. 1 BüG sowohl im Zeitpunkt der Gesuchstellung als auch des Einbürgerungsentscheids erfüllt sind (<ref-ruling> E. 2.2). Das Bundesverwaltungsgericht geht im angefochtenen Entscheid davon aus, dass die Beschwerdeführerin sämtliche Fristen von Art. 27 Abs. 1 BüG erfüllt, aber mit ihrem Gatten nicht in einer tatsächlichen, von gegenseitigem Ehewillen getragenen Lebensgemeinschaft gelebt hat (angefochtener Entscheid E. 6.3.4 S. 13). Selbst wenn sie aber eine echte Ehe geführt hätte, wären die Einbürgerungsvoraussetzungen nach Auffassung der Vorinstanz nicht erfüllt, da die Beschwerdeführerin schlecht integriert sei (angefochtener Entscheid E. 6.4 S. 13 ff.) und keinen Härtefall darstelle (angefochtener Entscheid E. 7 S. 16 f.).
3.2. Die äusseren Umstände der Eheschliessung erwecken tatsächlich den Verdacht, die Beschwerdeführerin habe sich mit der Eheschliessung einzig den Aufenthalt in der Schweiz sichern wollen und sei zu diesem Zweck eine Scheinehe eingegangen: Sie hatte bereits zweimal erfolglos um Asyl nachgesucht, als sie nach der Einreichung des dritten Gesuchs einen rund 34 Jahre älteren Schweizer heiratete. Nach anonymen Anschuldigungen und Gerüchten soll sie zudem auch nach ihrer Eheschliessung ein festes Verhältnis mit dem Vater ihres unehelichen Kindes, Z._, unterhalten und mit ihrem angeblich homosexuellen Ehemann keine echten ehelichen Beziehungen gepflegt haben. Bei Z._ handelt es sich nach den Feststellungen des BFM zudem um den Bruder der ersten Ehefrau von Y._, was ebenfalls auf eine arrangierte Scheinehe hindeuten könnte. Dieser Anfangsverdacht wurde im Verlaufe der vom BFM in Auftrag gegebenen, allerdings wenig eingehenden Abklärungen nicht erhärtet, sondern weitgehend entkräftet.
Nach den Akten ist davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin mit ihrem verstorbenen Mann ohne Unterbruch zusammenlebte. Während der Ehe gebar sie einen Sohn, als dessen Vater kraft unwiderlegter gesetzlicher Vermutung von Art. 255 Abs. 1 ZGB ihr Ehemann gilt. Weiter ergibt sich aus den Berichten der verschiedenen mit der Familie bzw. einzelnen Familienmitgliedern befassten Ärzten und Behörden (Abklärungs- und Erhebungsbericht der Kantonspolizei St. Gallen vom 21. Juni 2006, Berichte Dr. C._ vom 6. März 2010, Psychiatrie-Dienste Süd vom 12. März 2010, Dr. D._ vom 26.März 2010, Bericht der Amtsvormundschaft Werdenberg über die persönlichen Verhältnisse von Y._ vom 5. März 2008) dass die Beschwerdeführerin und ihr offenbar bisexueller Mann ein echtes Eheleben führten, was sich etwa auch daraus ergibt, dass die Beschwerdeführerin ihren krebskranken Mann über längere Zeit zu Hause pflegte und ihn kurz vor seinem absehbaren Tod auf eine Reise in den Kosovo zu ihrer Familie mitnahm, was er offenbar als beglückendes Ereignis wahrnahm. Demgegenüber konnten die Denunziationen und Gerüchte, wonach sie die ganze Ehedauer ein intimes Verhältnis mit Z._ gepflegt habe, der sie trotz Einreiseverbots immer wieder heimlich besucht habe, ebensowenig erhärtet werden wie die Behauptung, ihr Ehemann sei (ausschliesslich) homosexuell veranlagt gewesen, habe mit ihr keine sexuelle Beziehung unterhalten und sei dementsprechend auch nicht der Vater von B._. Damit hat das BFM den den Behörden obliegenden Nachweis einer Scheinehe (<ref-ruling> E. 3) nicht erbracht.
3.3. Nach Auffassung des Bundesverwaltungsgerichts ist die Beschwerdeführerin zudem ungenügend integriert. Ihr Deutsch reiche nur gerade für die Bewältigung des Alltags aus, und sie sei an ihrem Wohnort isoliert, habe kaum soziale Kontakte. Diese Beurteilung erscheint zwar streng und berücksichtigt insbesondere den Umstand nicht, dass sich die Beschwerdeführerin am Arbeitsplatz durchgesetzt hat und dort bereits zur Gruppenleiterin aufgestiegen ist (Bestätigung E._ AG vom 26. März 2013). Zudem war sie nebst ihrer beruflichen Tätigkeit sowohl mit der Pflege ihres kranken Ehemannes als auch mit der Erziehung ihrer beiden Söhne, von denen der ältere offenbar verhaltensauffällig ist, stark beschäftigt, sodass man sich mit Fug fragen könnte, ob sie überhaupt die Möglichkeit hatte, am gesellschaftlichen Leben teilzunehmen und weitere soziale Kontakte aufzubauen.
Das kann letztlich jedoch offen bleiben, da die Verweigerung der Einbürgerung für die Beschwerdeführerin jedenfalls klarerweise keine untragbare Härte zur Folge hat, die bei Vorabsterben des Schweizer Ehegatten allein eine erleichterte Einbürgerung rechtfertigen könnte (oben E. 2.2 und 2.3). Als alleinerziehende Mutter ihres über die schweizerische Staatsbürgerschaft verfügenden Sohnes B._ ist das Aufenthaltsrecht der Beschwerdeführerin in der Schweiz bzw. das Verbleiben in der bisherigen, gewohnten Umgebung dauerhaft gesichert, solange sie sich weder strafrechtlich noch ausländerrechtlich etwas zuschulden kommen lässt (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.2.4). Insofern stellt die Verweigerung der erleichterten Einbürgerung für sie keine unzumutbare Härte dar, auch wenn ein positiver Einbürgerungsentscheid in verschiedener Hinsicht vorteilhafter wäre. Das Gleiche gilt sinngemäss für den ausländischen Sohn A._ der Beschwerdeführerin, der das Schweizer Bürgerrecht ohnehin nur durch Einbezug in die Einbürgerung der Mutter erwerben könnte (Art. 33 BüG).
3.4. Damit erweist sich der angefochtene Entscheid als im Ergebnis haltbar und die Beschwerde dementsprechend als unbegründet.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. August 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Störi