Sachverhalt:
A. Die Strafkammer des Kantonsgerichts Glarus verurteilte P._ am 4. November 2009 erstinstanzlich wegen Raubes und anderer Delikte zu einer Freiheitsstrafe von 30 Monaten. In diesem Verfahren war der Beschuldigte von Rechtsanwalt Daniel Althaus amtlich verteidigt.
B. Rechtsanwalt Daniel Althaus erhob am 15. Januar 2010 im Namen von P._ rechtzeitig Appellation und focht das erstinstanzliche Urteil in sämtlichen Punkten an.
Rechtsanwalt S._ von Zürich erkundigte sich am 22. Januar 2010 nach der Möglichkeit eines Wechsels der amtlichen Verteidigung, wies auf das gestörte Vertrauensverhältnis zwischen P._ und seinem bisherigen Vertreter hin und stellte am 2. Februar 2010 ein entsprechendes Gesuch. Der Obergerichtspräsident verfügte in der Folge am 18. Februar 2010, dass das Ersuchen von Rechtsanwalt S._ um Einsetzung als amtlicher Verteidiger von P._ abgewiesen werde und dass Rechtsanwältin Bettina Dürst-Hunziker in ihrer Funktion als gewählte öffentliche Verteidigerin mit der Verteidigung des Beschuldigten im Appellationsverfahren beauftragt werde.
C. Gegen diese Verfügung des Obergerichtspräsidenten haben P._ (Beschwerdeführer 1) und Rechtsanwalt S._ (Beschwerdeführer 2) beim Bundesgericht am 22. März 2010 subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheides, allenfalls die Einsetzung von S._ als amtlicher Verteidiger von P._. Überdies ersucht P._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Der Beschwerdeführer 1 macht im Wesentlichen Verletzungen von Art. 8 Abs. 2 und <ref-law>, Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK und Art. 14 Abs. 1 und 3 UNO-Pakt II geltend. Der Beschwerdeführer 2 bezieht sich auf die Wirtschaftsfreiheit gemäss <ref-law>.
Die als Verteidigerin eingesetzte Rechtsanwältin Bettina Dürst-Hunziker und das Obergericht haben auf Vernehmlassungen verzichtet.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 46). Dabei ist im vorliegenden Fall zwischen dem Beschwerdeführer 1 und dem Beschwerdeführer 2 zu unterscheiden.
Der angefochtene Entscheid des Obergerichtspräsidenten ist im Rahmen eines Strafverfahrens ergangen und stützt sich auf die Strafprozessordnung (StPO/GL; Gesetzessammlung III F/1) und das Gerichtsorganisationsgesetz (GOG/GL; Gesetzessammlung III A/2) des Kantons Glarus. Zulässig ist im Grundsatz die Beschwerde in Strafsachen gemäss <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 337). Es ist nicht von Bedeutung und schadet den Beschwerdeführern nicht, dass die vorliegende Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne von <ref-law> eingereicht worden ist.
2. Einer näheren Prüfung bedarf hinsichtlich des Beschwerdeführers 1 die Frage, ob unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> auf seine Beschwerde eingetreten werden kann. Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab, stellt einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid dar und kann nach <ref-law> nur angefochten werden, sofern er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann.
2.1 Nach der Rechtsprechung bedarf es für die Anfechtung eines Zwischenentscheides eines konkreten Nachteils rechtlicher Natur, der auch durch einen günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden könnte (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 263). Ein solcher liegt vor bei der Weigerung, die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren und einen amtlichen Rechtsvertreter zu bezeichnen (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 338). Die Rechtsprechung verneint indes einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Falle der Ablehnung eines Gesuchs des Beschuldigten um Auswechslung des Offizialverteidigers (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 263; Urteil 1B_70/2009 vom 7. April 2009). Dasselbe trifft grundsätzlich zu, wenn ein anderer als der gewünschte Rechtsanwalt zum Offizialverteidiger bestimmt wird (vgl. Urteil 1B_245/2008 vom 11. November 2008). Anders verhält es sich lediglich, wenn aufgrund besonderer Umstände eine wirksame Verteidigung nicht gewährleistet sein sollte. Das mag zutreffen, wenn der amtliche Verteidiger seine Pflichten erheblich vernachlässigt, die Strafjustizbehörden gegen den Willen des Angeschuldigten und seines Offizialverteidigers dessen Abberufung anordnen oder ein offensichtlicher Interessenkonflikt besteht (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 263; Urteil 1B_245/2008 vom 11. November 2008).
2.2 Im vorliegenden Verfahren ist der bisherige Offizialverteidiger abberufen und ist dem Beschwerdeführer 1 in der Person von Rechtsanwältin Bettina Dürst-Hunziker eine neue Offizialverteidigerin bestellt worden. Dieser ist nach wie vor amtlich verteidigt. Er bringt in keiner Weise vor, dass die neue Offizialverteidigerin die Strafverteidigung nicht in wirksamer Weise vornehmen könnte bzw. dass er nunmehr nicht mehr wirksam verteidigt sei und ein faires Strafverfahren verunmöglicht werde. Insoweit ist nicht ersichtlich, weshalb die Bestimmung von <ref-law> verletzt sein sollte. Ebenso wenig fehlt es an einer effektiven Verteidigung im Sinne von Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK. Nach der Rechtsprechung hat der Beschuldigte keinen unbedingten Anspruch darauf, dass der von ihm gewünschte Rechtsanwalt zum amtlichen Vertreter bestimmt wird (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.4 S. 220; Urteil 1B_74/2008 vom 18. Juni 2008, u.a. mit Verweis auf Urteil EGMR Croissant gegen Deutschland vom 25. September 1992, Ziff. 29, Serie A Nr. 237 B, EuGRZ 1992 S. 542). Der Beschwerdeführer vermag auch nicht darzulegen, dass die neue Offizialverteidigerin in willkürlicher Weise bestimmt worden wäre. In dieser Hinsicht zeigt sich vielmehr, dass der Obergerichtspräsident die neue Offizialverteidigerin in Anwendung von <ref-law>/GL aus dem Kreis der vom Landrat gewählten, im kantonalen Anwaltsregister eingetragenen Rechtsanwälte bestimmt hat (vgl. <ref-ruling> E. 5c S. 70). Ferner ist nicht ersichtlich, weshalb darin eine - im Übrigen nicht näher begründete - Diskriminierung im Sinne von <ref-law> vorliegen sollte.
Es liegen somit keine besondern Umstände vor, welche im vorliegenden Fall ein Abrücken von der Rechtsprechung rechtfertigen würden. Im Übrigen tut der Beschwerdeführer auch nicht dar, dass und inwiefern er durch den angefochtenen Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil erleiden würde, und genügt insoweit den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 251; <ref-ruling> E. 1 S. 356). Demnach ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit sie vom Beschwerdeführer 1 erhoben worden ist.
3. Der Beschwerdeführer 2 macht eine Verletzung der Wirtschaftsfreiheit im Sinne von <ref-law> geltend. Es mag offen bleiben, ob der angefochtene Entscheid in dieser Hinsicht einen Endentscheid darstellt.
Der amtlich bestellte Rechtsbeistand übernimmt mit der Vertretung einer bedürftigen Partei eine öffentliche Aufgabe und tritt zum Staat in ein vom Verfahrensrecht umschriebenes besonderes Rechtsverhältnis. Der Rechtsbeistand wird amtlich bestellt und wird vom Staat entschädigt. Ein Wechsel des Offizialverteidigers bedarf der behördlichen Genehmigung. Die im kantonalen Register eingetragenen Anwälte sind nach Art. 12 lit. g Anwaltsgesetz (SR 935.61) verpflichtet, amtliche Pflichtverteidigungen und im Rahmen der unentgeltlichen Rechtspflege Rechtsvertretungen zu übernehmen (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.4 S. 220; <ref-ruling> E. 5.1.4 S. 205). Diese Eigenheiten - die sich von der Konstellation der privaten Verteidigung unterscheiden - erklären sich mit der Pflicht des Staates, zugunsten bedürftiger Parteien für einen tatsächlichen Zugang zum Gericht, eine effektive Wahrung der Rechte und ein faires Verfahren zu sorgen (vgl. Urteil 1B_74/2008 vom 18. Juni 2008 E. 4). Kommt der Offizialverteidigung insoweit der Charakter einer öffentlichen Aufgabe zu, steht diese Tätigkeit nicht unter dem Schutz der Wirtschaftsfreiheit. Daran vermögen weder das Binnenmarktgesetz noch das Anwaltsgesetz etwas zu ändern (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 3 S. 281; <ref-ruling> E. 6 S. 71). Bei dieser Sachlage geht die Berufung des Beschwerdeführers 2 auf <ref-law> fehl und erweist sich die Beschwerde in dieser Hinsicht als unbegründet.
4. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer 1 ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Diese kann nach <ref-law> gewährt werden, soweit die Beschwerdesache nicht aussichtslos ist und der Beschwerdeführer auf einen Rechtsbeistand angewiesen ist. Die vorstehenden Erwägungen zeigen, dass die Beschwerde als aussichtslos zu bezeichnen ist. Demnach ist das Ersuchen abzuweisen. Es rechtfertigt sich indes, gegenüber dem Beschwerdeführer 1 auf die Erhebung von Kosten zu verzichten.
Im Übrigen unterliegt der Beschwerdeführer 2. Insoweit sind ihm die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers 1 um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen. Es werden ihm keine Kosten auferlegt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer 2 auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, Bettina Dürst-Hunziker, der Staatsanwaltschaft und dem Obergerichtspräsidenten des Kantons Glarus schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Steinmann