Erwägungen:
1. Im Zusammenhang mit zwei Sanierungsprojekten der Gemeinde A._ (Kursaal A._ und "Käslädeli" Altersheim G._) gelangte X._ mit einer Aufsichtsbeschwerde an den Regierungsrat des Kantons Appenzell A.Rh. Mit Beschluss vom 12. August 2008 gab dieser der Aufsichtsbeschwerde keine Folge. X._ reichte dagegen am 17. September 2008 (Postaufgabe) eine vom 13. September 2008 datierte "Verwaltungsbeschwerde (<ref-law> und <ref-law>)" ein. Er stellt den Antrag, den regierungsrätlichen Beschluss aufzuheben und den Gemeinderat A._ dazu anzuhalten, die gesetzwidrigen Beschlüsse zu korrigieren und gemäss Gesetz und Verordnung über das Beschaffungswesen die beiden Projekte zu behandeln.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Als bundesrechtliches Rechtsmittel kommen - höchstens - die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) oder, bei deren Unzulässigkeit, die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) in Betracht.
2.1.1 Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen, wenn der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrags den massgebenden Schwellenwert des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen oder des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Gemeinschaft über bestimmte Aspekte des öffentlichen Beschaffungswesens nicht erreicht wird (Ziff. 1); ebenso ist sie unzulässig, wenn sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Ziff. 2). Wie es sich mit den Schwellenwerten verhält (unterschiedlich für Lieferungen und Dienstleistungen einerseits, Bauarbeiten andererseits), kann offen bleiben, weil sich jedenfalls keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, wovon schon mangels ausdrücklicher diesbezüglicher Beschwerdebegründung auszugehen ist (vgl. <ref-law>). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist damit offensichtlich unzulässig (<ref-law>). Ohnehin wäre der Beschwerdeführer zu diesem Rechtsmittel nicht legitimiert (Näheres dazu nachfolgend in E. 2.1.2).
2.1.2 Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann gemäss <ref-law> bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden, wobei solche Rügen ausdrücklich zu erheben und substantiiert zu begründen sind (Art. 106 Abs. 2 und Art. 42 Abs. 2 BGG). An solchen Rügen fehlt es.
Zudem wäre zur subsidiären Verfassungsbeschwerde bloss legitimiert, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Beim angefochtenen Regierungsratsbeschluss handelt es sich um ein aufsichtsrechtliches Erkenntnis. Im Aufsichtsverfahren hatte der Regierungsrat zu prüfen, ob die vom Beschwerdeführer angezeigten Tatsachen Anlass für ein Einschreiten gegen den Gemeinderat A._ gaben. Als Anzeiger im Aufsichtsverfahren hatte der Beschwerdeführer keine Parteistellung; er konnte bloss verlangen, dass ihm Auskunft über die Erledigung der Anzeige gegeben werde (Art. 43 Abs. 1 und 2 des Gesetzes des Kantons Appenzell A.Rh. vom 9. September 2002 über die Verwaltungsrechtspflege [VRPG]). Da er nicht als Anbieter in einem allfälligen öffentlichen Vergabeverfahren aufzutreten gedachte und mit seiner Anzeige bloss allgemein die korrekte Anwendung des Vergaberechts monierte, war der Beschwerdeführer durch dieses Vergabegeschäft nicht stärker betroffen als jedermann und stand er nicht in einer besonderen, beachtenswert nahen Beziehung zu diesem. Nicht nur hätte ihm damit die Legitimation zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gefehlt, wenn dieses ordentliche Rechtsmittel gegeben wäre (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 122; <ref-ruling> E. 1 S. 470 zu <ref-law>). Vielmehr fehlte ihm - auch unter Berücksichtigung der Ausgestaltung des Aufsichtsverfahrens - in jeder Hinsicht ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von <ref-law> an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen rein aufsichtsrechtlichen Beschlusses (vgl. BGE 129 II E. 2.1 S. 300; 121 Ia 42 E. 2a S. 45, 87 E. 1a S. 90; <ref-ruling>). Auf die Beschwerde kann auch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht eingetreten werden.
2.1.3 Unerheblich ist der (bloss in der Betitelung seiner Beschwerde enthaltene) nicht näher diskutierte Hinweis des Beschwerdeführers auf <ref-law>. Abgesehen davon, dass die Kantone nicht verpflichtet sind, die in dieser Verfassungsnorm enthaltene Rechtsweggarantie vor 2009 zu verwirklichen (vgl. <ref-law>), beschlägt diese nur "Rechtsstreitigkeiten", wozu reine Aufsichtsbeschwerdeverfahren wohl grundsätzlich nicht gehören ("procédure non contentieuse"; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 471; <ref-ruling> E. 3).
2.2 Auf die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten.
2.3 Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gemeinderat A._ und dem Regierungsrat des Kantons Appenzell A.Rh. schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller