Sachverhalt:
A. Am 24. September 2008 benachrichtigte A._, Gesellschafter und einzelzeichnungsberechtigter Geschäftsführer der Y._ GmbH (mit Sitz in B._), das Richteramt Solothurn-Lebern (Zivilabteilung), dass die Gesellschaft überschuldet sei. Mit Urteil vom 30. Oktober 2008, 14 Uhr, eröffnete der Amtsgerichtspräsident über die Y._ GmbH zufolge Überschuldung den Konkurs. Gegen das Konkursdekret erhob X._, Gesellschafterin und einzelzeichnungsberechtigte Geschäftsführerin der Y._ GmbH, am 10. November 2008 Rekurs.
B. Mit Urteil vom 23. März 2009 trat das Obergericht (Zivilkammer) des Kantons Solothurn auf den Rekurs nicht ein und setzte den Zeitpunkt der Eröffnung des Konkurses über die Y._ GmbH auf den 23. März 2009, 11 Uhr, fest.
C. X._ führt mit Eingabe vom 31. März 2009 Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, das angefochtene Urteil und die Konkurseröffnung seien aufzuheben; eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Weiter ersucht die Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege.
Die Y._ GmbH als Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet und schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Konkursamt verlangt in einer unaufgefordert eingereichten Vernehmlassung im Wesentlichen die Abweisung der Beschwerde.
Mit Präsidialverfügung vom 22. April 2009 wurde der Beschwerde im Sinne der Erwägungen aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. Das Konkurserkenntnis ist ein Entscheid in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, welcher der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (<ref-law>). Die Beschwerde gegen Entscheide des Konkursrichters ist an keinen Streitwert gebunden (<ref-law>). Der Entscheid des Konkursgerichts gemäss <ref-law> ist in einem eigenen Verfahren ergangen, womit er einen Endentscheid nach <ref-law> darstellt. Hingegen kommt er keiner einstweiligen Verfügung gleich, über die in einem späteren Hauptverfahren entschieden wird (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 689). Daraus ergibt sich, dass die Beschwerdeführerin sämtliche Beschwerdegründe vorbringen kann (<ref-law>).
2. Das Obergericht hat zunächst festgehalten, dass die Beschwerdeführerin als Gesellschafterin und einzelzeichnungsberechtigte Geschäftsführerin ohne weiteres befugt sei, im Namen der konkursiten Gesellschaft ein Rechtsmittel einzulegen. Die Beschwerdeführerin habe jedoch in ihrem eigenen Namen Rekurs gegen die Konkurseröffnung eingereicht. Sie könne sich nicht auf ihre Legitimation als Organ der GmbH berufen, sondern sie hätte im Namen der Y._ GmbH rekurrieren müssen.
Weiter hat das Obergericht geprüft, ob die Beschwerdeführerin, welche Lohnforderungen aus Arbeitsvertrag gegenüber der GmbH geltend macht, als Gläubigerin gegen die Konkurseröffnung rekurslegitimiert sei. Da die Beschwerdeführerin kein Gesuch um Konkursaufschub gestellt habe, obwohl sie von der Überschuldungsanzeige des anderen Geschäftsführers Kenntnis gehabt habe, könne auf ihren Rekurs auch unter diesem Blickwinkel mangels Rechtsmittellegitimation nicht eingetreten werden.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht vor, es habe ihr als Organ der GmbH zu Unrecht die Legitimation abgesprochen, um das Konkursdekret weiterzuziehen. Sie habe ausdrücklich (auch) in ihrer Funktion als Organ rekurriert, und die Vorinstanz sei zu Unrecht auf das Rechtsmittel nicht eingetreten; sie habe das Rechtsmittel nicht "im Namen der GmbH" erhoben, jedoch habe sie das Konkursdekret offensichtlich im Interesse der Gesellschaft angefochten.
3.2 Anlass zur Beschwerde gibt die Konkurseröffnung über eine Gesellschaft mit beschränkter Haftung (GmbH) nach <ref-law>. Der gegen die Konkurseröffnung erhobene kantonale Rekurs stützt sich auf Art. 194 i.V.m. <ref-law>. Die Weiterziehung des Entscheides des Konkursgerichts erfolgte von der Beschwerdeführerin als einzelzeichnungsberechtigter Gesellschafterin mit Geschäftsführungsbefugnis, während die Überschuldungsanzeige durch den anderen, ebenfalls einzelzeichnungsberechtigten Gesellschafter und Geschäftsführer erfolgt war, jedoch ausdrücklich im Namen der GmbH. Umstritten ist, ob das Obergericht die Weiterziehung des Konkursdekretes durch die Beschwerdeführerin als unzulässig erachten durfte.
3.2.1 Über eine Gesellschaft mit beschränkter Haftung (GmbH) kann der Konkurs wie über eine Aktiengesellschaft wegen Überschuldung eröffnet werden; die Regelung des Aktienrechts ist entsprechend anwendbar (<ref-law> [in der seit 1. Januar 2008 in Kraft stehenden Fassung]; Art. 725 f. OR). Grundlage der Benachrichtigung wegen Überschuldung ist grundsätzlich ein gültiger Beschluss der Geschäftsführer (Wüstiner, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht II, 3. Aufl. 2008, N. 7a zu Art. 820; BUCHWALDER, Commentaire romand, Code des obligations II, 2008, N. 3 zu Art. 820; VOUILLOZ, Le surendettement de la Sàrl et son éventuel assainissement, Jusletter 22. August 2005, Rz. 6; MONTAVON, Droit suisse de la Sàrl, 2008, S. 363).
3.2.2 Für die Konkurseröffnung über eine überschuldete GmbH wird in der kantonalen Praxis der Nachweis für den Beschluss der Geschäftsführer verlangt (Krampf/Schuler, Die aktuelle Praxis des Konkursrichters des Bezirksgerichts Zürich zu Überschuldungsanzeige, Konkursaufschub und Insolvenzerklärung juristischer Personen, AJP 2002 S. 1072). Es kann nämlich vorkommen, dass ein Geschäftsführer einer GmbH ohne Rücksprache mit den anderen Geschäftsführern den Überschuldungsfall angemeldet hat und kein gültiger Beschluss vorliegt. Die Frage, ob in Fällen dieser Art ein (anderer) einzelner vertretungsberechtigter Gesellschafter und Geschäftsführer das Konkursdekret weiterziehen kann, wird daher zu Recht bejaht (vgl. Rutz, Weiterziehung des Konkursdekretes, in: Angst/Cometta/Gasser [Hrsg.], Schuldbetreibung und Konkurs im Wandel, 2000, S. 355 f.; vgl. BJM 1999, S. 326; ZR 1987 Nr. 44 S. 100).
3.3 Das Obergericht ist vorliegend auf die Weiterziehung nicht eingetreten, weil diese von der Beschwerdeführerin "persönlich", und nicht "im Namen der Gesellschaft" eingereicht worden sei. Die Beschwerdeführerin bestätigt, dass sie das Konkursdekret nicht "im Namen der Gesellschaft" weitergezogen habe, besteht aber darauf, dass die Legitimation zur Weiterziehung gegeben sei, weil sie das Rechtsmittel ausdrücklich unter Hinweis auf ihre Eigenschaft als Organ der GmbH erhoben habe.
3.3.1 Die Vorinstanz scheint ihren Nichteintretensentscheid darauf zu stützen, dass die Beschwerdeführerin die Weiterziehung deshalb nicht "im Namen der Gesellschaft" erhoben habe, weil sie das Rechtsmittel insoweit nicht mit der Firma der GmbH und ihrem beigefügten Namen gezeichnet hat (vgl. <ref-law>). Es ist allerdings anerkannt, dass im Fall, in dem die Zeichnung "im Namen der Gesellschaft" fehlt, <ref-law> gilt, wonach die Vertretungswirkung dennoch zustande kommen kann, wenn der Dritte auf ein Vertretungsverhältnis schliessen musste (Watter, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht II, 3. Aufl. 2008, N. 6 zu Art. 719). Die Beschwerdeführerin besteht jedoch darauf, als Organ Parteistellung zu haben und nicht für die Gesellschaft handeln zu wollen, auch wenn sie stellenweise vorbringt, das Konkursdekret im Interesse der Gesellschaft angefochten zu haben. Dass das Obergericht aufgrund der Vorbringen im Rekurs zum Schluss kommen musste, die Beschwerdeführerin habe das Konkursdekret (nach <ref-law>) für die Gesellschaft weitergezogen, macht sie jedoch nicht geltend, so dass die Frage nicht zu erörtern ist.
3.3.2 Zu klären ist, ob in der vorliegenden Weiterziehung nach <ref-law> die GmbH oder das rekurrierende Organ Parteistellung hat. Wo - wie hier - ein anderer einzelner vertretungsberechtigter Gesellschafter und Geschäftsführer das Konkursdekret weiterziehen kann, weil angeblich ein gültiger Geschäftsführerbeschluss fehle (vgl. E. 3.2.2), hat der Gesellschafter selber ein eigenes Interesse am Ausgang des Verfahrens, zumal dieser der Organhaftung nach <ref-law> unterliegt (vgl. Rutz, a.a.O.). Deshalb erscheint es sachgerecht, ein strittiges Verfahren zwischen der konkursit erklärten Gesellschaft und dem betreffenden Geschäftsführer anzunehmen (in diesem Sinn Brunner, in: Basler Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 1996, N. 22 zu Art. 192). Entgegen der Auffassung der Vorinstanz kann daher der GmbH-Geschäftsführer im Fall, dass die Überschuldungsanzeige auf einem angeblich ungültigen Geschäftsführungsbeschluss beruhe, die Konkurseröffnung selber weiterziehen.
3.3.3 Die Benachrichtigung des Konkursrichters erfolgte vorliegend durch A._, welcher einzelzeichnungsberechtigter Gesellschafter und Geschäftsführer der GmbH ist. Bereits im kantonalen Verfahren hat die Beschwerdeführerin die Gültigkeit des Geschäftsführungsbeschlusses in Frage gestellt. Die Beschwerdeführerin hält in ihrer Beschwerdeschrift zu Recht fest, dass sie im Weiterziehungsverfahren geltend gemacht habe, "Geschäftsführerin der GmbH" zu sein und "ein offensichtliches Interesse daran zu haben, die Konkurseröffnung rückgängig zu machen". Im Weiteren spricht die Vorinstanz selber davon, die Beschwerdeführerin rekurriere als "Organ der GmbH".
3.3.4 Nach dem Dargelegten ist mit den Regeln über die Weiterziehung des Konkursdekretes (Art. 174 i.V.m. <ref-law>) nicht vereinbar, wenn das Obergericht auf den kantonalen Rekurs nicht eingetreten ist, soweit dieser von der Beschwerdeführerin als Organ der GmbH erhoben wurde. Die Beschwerde in Zivilsachen ist insoweit begründet und der Nichteintretensentscheid aufzuheben. Bei diesem Ergebnis ist nicht weiter zu prüfen, ob das Obergericht die Weiterziehung insoweit als unzulässig erachten durfte, als sich die Beschwerdeführerin auf ihre Gläubigereigenschaft beruft.
4. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde in Zivilsachen gutzuheissen, und der angefochtene Nichteintretensentscheid sowie die (Neu-) Eröffnung des Konkurses sind aufzuheben. Die Sache ist zu neuer Entscheidung in der Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 1 BGG). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Gegenstandslosigkeit abzuschreiben. Das vorliegende Urteil ist den in <ref-law> genannten Behörden mitzuteilen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts (Zivilkammer) des Kantons Solothurn vom 23. März 2009, mit welchem auf den Rekurs von X._ nicht eingetreten und der Konkurs über die Y._ GmbH, in B._, eröffnet worden ist, wird aufgehoben, und die Sache wird zu neuer Entscheidung an der Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht (Zivilkammer) des Kantons Solothurn, dem Konkursamt des Kantons Solothurn, dem Handelsregisteramtes des Kantons Solothurn, dem Grundbuchamt Region Solothurn und dem Betreibungsamt Region Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Mai 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante