Erwägungen:
1. X._ (geb. 1975) stammt aus dem Sudan. Er befand sich vom 18. Dezember 2007 bis zum 11. März 2008 in Durchsetzungshaft. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt nahm ihn am 24. Juli 2008 in Ausschaffungshaft, welche die Haftrichterin am Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt am 28. Juli 2008 prüfte und bis zum 23. Oktober 2008 genehmigte. X._ beantragt vor Bundesgericht, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Seine Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden; es erübrigt sich unter diesen Umständen, zu prüfen, ob die Beschwerde den Begründungsanforderungen von <ref-law> genügt:
2.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden und hätte das Land bis zum 30. Juli 2004 verlassen müssen, was er nicht getan hat. Auch nach Beendigung der Durchsetzungshaft weigerte er sich, Reisepapiere für die Rückkehr in seine Heimat zu beschaffen. Inzwischen sind Vorführungen auf der sudanesischen Botschaft wieder möglich, so dass der Vollzug seiner Wegweisung erneut absehbar erscheint und seine Ausschaffungshaft deshalb kein Bundesrecht verletzt. Aufgrund seines bisherigen Verhaltens besteht bei ihm Untertauchensgefahr im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und Ziff. 4 AuG ([SR 142.20]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f.); aufgrund der neuen Verhältnisse kann nicht gesagt werden, der Vollzug seiner Wegweisung sei rechtlich oder tatsächlich nicht möglich (Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG; <ref-ruling> E. 4.1.2 und 4.1.3 mit Hinweisen).
2.2 Was der Beschwerdeführer hiergegen einwendet, überzeugt nicht: Der Umstand, dass sich der Vollzug der Wegweisung schwierig gestaltet, lässt seine Festhaltung nicht bereits unverhältnismässig erscheinen; gerade wegen solcher Probleme hat der Gesetzgeber die maximale Dauer der Ausschaffungshaft erhöht und die Möglichkeit der Haftverlängerung - bis zu achtzehn Monaten - geschaffen (Art. 76 Abs. 3 AuG; vgl. <ref-ruling> E. 4.2). Der Beschwerdeführer kann seine Festhaltung verkürzen, indem er bei der Papierbeschaffung mithilft. Es ist nicht ersichtlich, wie er die Schweiz ohne gültige Reisepapiere rechtmässig verlassen könnte. Sollte er solche Papiere vorlegen, könnten die schweizerischen Behörden allenfalls prüfen, ob ein legaler Wegweisungsvollzug in einen anderen Staat als den Sudan möglich wäre (Art. 69 Abs. 2 AuG); andernfalls ist nur dieser verpflichtet, ihn zurückzunehmen (<ref-ruling> E. 4.2.2). Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, in seiner Heimat verfolgt zu werden, verkennt er, dass diese Frage nicht (mehr) Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens bildet (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 197 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 220); sein Asylgesuch ist durch die zuständigen Behörden rechtskräftig beurteilt worden.
3. Aufgrund der besonderen Umstände (Bedürftigkeit, Wegweisungsvollzug) sind keine Kosten zu erheben (vgl. <ref-law>). Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar