Sachverhalt:
A.
Der 1965 geborene I._ war bei der Winterthur Versicherungen (heute: AXA Versicherungen AG; nachfolgend kurz AXA) gegen Unfälle versichert, als er sich am 2. Oktober 2001 bei einem Arbeitsunfall verschiedene Knochenbrüche zuzog. Die AXA erbrachte Heilbehandlung und richtete Taggeldleistungen aus. Mit Verfügung vom 31. Januar 2006 stellte sie die Taggelleistungen per 31. Mai 2005 ein und sprach I._ statt dessen eine Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 60 % zu.
Mit Verfügung vom 2. Mai 2011 stellte die AXA die Rente mit Wirkung ab 1. März 2011 neu auf die Basis eines Invaliditätsgrades von 26 %. Daran hielt sie auf Einsprache hin mit Entscheid vom 10. November 2011 fest.
B.
Eine dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 12. März 2013 teilweise gut und stellte in Aufhebung des Einspracheentscheids fest, dass I._ mit Wirkung ab 1. Dezember 2011 Anspruch auf eine Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrads von noch 35 % habe.
C.
I._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Entscheides sei ihm die Invalidenrente weiterhin auf der Grundlage eines Invaliditätsgrades von 60 % auszurichten; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Einholung eines Gerichtsgutachtens zurückzuweisen. Gleichzeitig lässt er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen.
Die AXA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft grundsätzlich aber nur die geltend gemachten Rügen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389 mit Hinweisen). Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE a.a.O. sowie 135 III 397 E. 1.4 S. 400). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz die Invalidenrente des Beschwerdeführers zu Recht auf 35 % festgesetzt hat.
3.
Das kantonale Gericht hat die massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen gemäss Gesetz und Rechtsprechung zutreffend dargelegt. Dies betrifft namentlich die Bestimmungen und Grundsätze zur Rentenrevision (Art. 17 Abs. 1 ATSG; <ref-ruling> E. 3 S. 132 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 5 S. 110 ff.) sowie zu den Anforderungen an beweiskräftige medizinische Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis). Darauf wird verwiesen.
4.
Die Vorinstanz hat dem Gutachten des Instituts X._ vom 7. Dezember 2010 volle Beweiskraft beigemessen und gestützt darauf einerseits festgestellt, der Gesundheitszustand des Versicherten habe sich seit der letzten Beurteilung 2005 wesentlich verbessert, und andererseits, die Arbeitsfähigkeit in einer behinderungsangepassten Tätigkeit betrage spätestens seit Oktober 2010 80 %. Es würdigte dabei die vom Beschwerdeführer angerufenen Arztberichte und legte dar, weshalb diese die von den Experten des Instituts X._ vorgenommene Einschätzung nicht zu erschüttern vermögen.
5.
Die kantonalgerichtliche Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen und überzeugenden Würdigung der in den Akten gelegenen Arztberichte.
Was der Beschwerdeführer dagegen vorträgt, überzeugt nicht:
5.1. Soweit er aus der Tatsache, dass die Invaliditätsbemessung der ursprünglichen Rentenverfügung auch (und nicht etwa, wie es den ersten Anschein macht, allein) auf der Basis der damals von Dr. med. S._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie, vorgenommenen medizinischen Einschätzung beruhte, einen Anspruch auf das (neuerliche) Abstellen auf die mit Bericht vom 24. August 2010 erfolgte Einschätzung dieses Arztes ableiten will, ist ihm die für die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht im Rahmen der Sachverhaltsabklärung massgebende freie Beweiswürdigung entgegen zu halten. Entscheidend ist, ob die vorgenommenen Abklärungen einen Entscheid in der Sache erlauben und die daraus gezogenen Schlussfolgerungen zutreffend sind.
5.2. Der Umstand, dass den Gutachtern offenbar nicht sämtliche der vom Beschwerdeführer angesprochenen Röntgenbilder vorgelegen haben, kommt keine entscheidwesentliche Bedeutung zu: Sie verfügten über die entsprechenden radiologischen Befundberichte und stellten darauf ab. Eine bildgebend erkennbare, wesentliche Veränderung des Gesundheitszustandes im hier interessierenden Vergleichszeitraum ist von keiner Seite behauptet, insbesondere auch nicht von den vom Beschwerdeführer angerufenen Ärzten. Deshalb verfängt der Einwand, die Gutachter hätten im unzureichenden Umfang neue Röntgenbilder erstellt, ebenso wenig. Soweit der Beschwerdeführer letztinstanzlich neu den Bericht von Dr. med. L._, vom 3. Mai 2013 ins Recht legt, worin von neu im Bereich der linken Schulter aufgetretenen Beschwerden die Rede ist, kann darauf nicht eingegangen werden, handelt es sich doch um ein unzulässiges Novum im Sinne von Art. 99 BGG. Abgesehen davon wäre darin ohnehin nichts über den vorliegend interessierenden Zeitraum ausgesagt. Insgesamt gesehen standen den Gutachtern des Instituts X._ die für eine abschliessende Einschätzung geforderten Grundlagen zur Verfügung.
5.3. Auch setzten sie sich mit den vom Beschwerdeführer angerufenen Berichten der Dres. med. K._ und S._ vom 18./19. Mai respektive 24. August 2010 auseinander und legten in der Folge einleuchtend dar, weshalb sie, anders als diese Ärzte, von einem seit 2005 veränderten Gesundheitszustand ausgingen.
5.3.1. Entgegen der Auffassung des Versicherten (und wohl auch einzelner der von ihm angerufenen Ärzte) ist nämlich eine Verbesserung des Gesundheitszustandes nicht bereits deswegen auszuschliessen, weil die Diagnosen des Gutachtens des Instituts X._ im Vergleich zu jenen von Dr. med. S._ und anderen im Wesentlichen gleich sind, da sich die Arbeitsfähigkeit häufig nicht bereits aus einer Diagnose allein ergibt, sondern u.a. aus der Intensität der Symptome.
5.3.2. Insbesondere diese hatte Dr. med. B._ im Bericht des Instituts X._ klinisch näher untersucht. Zwar ist einzuräumen, dass die in diesem Zusammenhang erstmals in der orthopädischen Beurteilung getätigte Aussage, fünf von fünf Waddell-Zeichen seien positiv, in den vorgängig geschilderten orthopädischen Untersuchungen/Befunden keine hinreichend klar erkennbare Grundlage findet. Umgekehrt diente diese Aussage lediglich als zusätzliche Erklärung der im übrigen hinreichend nachvollziehbar geschilderten, im Vergleich zu 2005 aus rein orthopädischer Sicht veränderten Beschwerdeintensität. So war der Lasègue-Test diesmal beidseits negativ, auch der früher durch die Dres. S._ (Bericht vom 18. Februar 2005) und U._ (Bericht vom 6. Dezember 2005) festgestellte Pseudolasègue war inzwischen weggefallen, d.h. die Verspannungszustände im unteren Rückenbereich hatten sich deutlich gebessert. Während der Beschwerdeführer gegenüber den Dres. med. S._ und U._ noch von einer maximalen Sitzverweildauer von ca. 30 Minuten sprach, sass er bei der orthopädischen Untersuchung durch Dr. med. B._ über eine Dreiviertelstunde ruhig und ohne Einnahme einer Schonhaltung. Auch dies deutet auf eine sich zwischenzeitig veränderte Situation hin. Die Operationsnarbe lumbal ist inzwischen auch nicht mehr druckschmerzhaft. Bei der Prüfung des Finger-Boden-Abstandes erreichte der Beschwerdeführer im Vergleich zu der früheren Untersuchung von Dr. med. S._ vom 18. Februar 2005 mit 80 cm mit neu 66 cm ein erkennbar verbessertes Ergebnis, wobei Dr. med. B._ zusätzlich darauf hinwies, dass sich der Versicherte bei der Schilderung seiner Beschwerden im Sitzen zügig bis zum Fuss hinab habe bücken und im Langsitz bei gestreckten Knien die Fingerspitzen bis über die Unterschenkelmitte hinaus habe führen können, was eigentlich für ein (noch) besseres Ergebnis sprechen müsste. Bei der Prüfung der Schulterfunktion zeigte sich sodann eine Einschränkung hauptsächlich aufgrund einer massiven Gegenspannung. Auf der anderen Seite waren aber die Cross body-, Impingement-, Jobe- und Palm up-Tests jeweils beidseits negativ. Die bei der Schulterabduktion links neurologisch festgestellte Kraftminderung samt ruckartiger Innervation konnte sodann bei später durchgeführten Untersuchungen der Schultergelenke nicht reproduziert werden. Auch die bei den früheren Untersuchungen noch vorhandene deutliche Funktionsbeeinträchtigung der Gelenksbeweglichkeit der linken Schulter (Impingement-Syndrom) war damit inzwischen weggefallen. Die geltend gemachten Druckdolenzen im Bereich der thorakalen Wirbelsäule waren sodann kaum reproduzierbar. All dies hatte Dr. med. B._ in seinem Teilbericht so festgehalten.
5.4. Es bleibt dabei, dass das Gutachten des Instituts X._ insgesamt die bundesrechtlichen Anforderungen an die Beweiskraft erfüllt und gestützt darauf von einem zumindest zum massgeblichen Zeitpunkt des Einspracheentscheids ausgewiesenen verbesserten Gesundheitszustand auszugehen ist. Es besteht daher auch keine Veranlassung für die beantragte Rückweisung (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 4b S. 94). Das Vorliegen eines Revisionsgrundes im Sinne von Art. 17 ATSG ist mit Vorinstanz und Verwaltung zu bejahen. Die Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit beträgt neu 80 %.
6.
Da im Übrigen der angefochtene Entscheid nicht weiter in Frage gestellt ist, hat es mit diesen Ausführungen sein Bewenden. Zu einer näheren Prüfung der Invaliditätsbemessung von Amtes wegen besteht kein Anlass (vgl. E. 1 hiervor).
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Bei der Festlegung der Höhe der Anwaltsentschädigung gilt es dem Umstand Rechnung zu tragen, dass der Vertreter für dieses und das parallel dazu verlaufende Invalidenversicherungsverfahren 8C_391/2013 zwar zwei getrennte Beschwerdeschriften eingereicht hat, deren Inhalte indessen weitgehend identisch sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Dr. Kurt Meier wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1500.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Oktober 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Grünvogel