Faits:
A. Y._ SA est une société active dans le transport des objets d'art et de valeur, y compris leur emballage, déménagement et entreposage, tandis que X._ Inc. pratique le commerce des tableaux et oeuvres d'art. En 1999, celle-ci avait en permanence l'usage d'un compartiment ou case dans l'entrepôt de celle-là à Genève.
Sur demande de sa cliente, Y._ SA s'est chargée de transporter ou de faire transporter six tableaux d'une galerie de New-York jusqu'à l'entrepôt genevois. L'une de ces oeuvres était le Pèlerin de l'absolu du peintre belge Marc Eemans. Les tableaux furent enlevés de la galerie le 25 août 1999; parvenue à Genève, la caisse réalisée spécialement pour leur transport fut déposée dans le compartiment. Le Pèlerin de l'absolu ne s'y trouvait pas lorsqu'elle fut ouverte au début de novembre 1999. Les recherches faites pour le retrouver restèrent infructueuses.
Conformément aux instructions de X._ Inc., Y._ SA avait indiqué, pour ce tableau, une valeur de 50'000 fr. dans les documents accompagnant le transport; aucune assurance n'était conclue.
A New-York, lors d'une exposition consacrée à la peinture belge, le Pèlerin de l'absolu avait été mis en vente au prix de 250'000 dollars mais il n'avait pas trouvé preneur.
B. Le 27 mai 2004, X._ Inc. a ouvert action contre Y._ SA devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Tenue pour responsable de la perte du tableau, la défenderesse devait être condamnée à payer des dommages-intérêts au montant de 375'000 fr., avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er septembre 1999.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action.
Le tribunal s'est prononcé le 24 avril 2008. Il a reconnu la responsabilité de la défenderesse sur la base des règles du droit suisse applicables au contrat de transport; toutefois, le prix de vente demandé à New-York ne prouvait pas que l'oeuvre perdue valût effectivement ce montant, et de toute manière, les dommages-intérêts devaient être limités à la valeur que la demanderesse avait elle-même annoncée pour les documents de transport; le tribunal a donc condamné la défenderesse à payer 50'000 fr. avec intérêts au taux de 5% par an dès le 3 septembre 1999.
Cette partie ayant appelé du jugement, l'autre partie a usé de l'appel incident. Elle a offert de nouvelles preuves afin d'établir le dommage consécutif à la perte du tableau. La Cour de justice a statué le 20 février 2009. La responsabilité de la défenderesse était confirmée sur la base des règles applicables au commissionnaire-expéditeur mais la demanderesse n'avait pas apporté les éléments nécessaires à une évaluation du dommage subi, celui-ci correspondant à la valeur du tableau; les pièces produites en appel étaient certes recevables, mais insuffisantes, et pour le surplus, l'offre de preuves portant sur l'audition de témoins et sur une expertise était tardive. Sur la base de ces considérations, la Cour a annulé le jugement et rejeté l'action.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, la demanderesse requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour de justice en ce sens que la défenderesse soit condamnée à payer 375'000 fr. avec intérêts au taux de 5% par an dès le 3 septembre 1999. Des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à la Cour de justice.
La défenderesse conclut au rejet du recours.
La demanderesse a versé des sûretés en garantie des frais judiciaires et des dépens.

Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF). Introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours est en principe recevable.
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 246; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); en règle générale, les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont irrecevables (art. 99 al. 1 LTF). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2. A bon droit, les précédents juges ont statué sur la base du droit suisse, à raison du lieu où la partie ayant promis une prestation de transport (<ref-ruling> consid. 2c p. 125) ou d'expédition (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 630) avait son établissement (art. 117 al. 2 et 117 al. 3 let. c LDIP).
3. En l'état de la cause, il n'est plus contesté que la défenderesse soit en principe tenue de réparer le dommage consécutif à la disparition du Pèlerin de l'absolu. Le Tribunal fédéral doit seulement vérifier si la Cour de justice a pu valablement retenir qu'elle n'était pas en mesure d'évaluer le montant de ce dommage, et, pour ce motif, dénier toute prétention à la demanderesse.
La Cour s'est référée à l'art. 42 al. 1 et 2 CO pour retenir qu'il incombait à la demanderesse d'alléguer et de prouver des faits suffisamment précis et concluants pour permettre une évaluation de la valeur du tableau à l'époque de sa disparition. A l'instar du premier juge, la Cour a retenu que l'offre de vente au prix de 250'000 dollars, pendant l'exposition du tableau à New-York, ne révélait pas la valeur vénale de l'oeuvre car cette vente n'avait précisément pas abouti. L'une des pièces nouvellement produites attestait d'un achat effectif au prix de 130'000 fr. en 1989; deux autres consistaient en des estimations de la valeur actuelle du Pèlerin de l'absolu et elles divergeaient de 200'000 fr.; d'autres encore concernaient les ventes de deux autres tableaux du même peintre, en 2004 et 2007, à des prix supérieurs à 100'000 francs. La force probante de ces documents était douteuse car leurs auteurs, des spécialistes avec lesquels la demanderesse se trouvait ou s'était trouvée en relations d'affaires, n'avaient pas été entendus en justice pour les confirmer. L'audition de ces personnes, de même qu'une expertise, n'avaient pas été requises, sinon en appel alors qu'elles auraient pu l'être, déjà, en première instance et d'entrée de cause; cette offre de preuves était donc tardive au regard du droit cantonal. De plus, les pièces produites n'apportaient que des indications disparates; compte tenu que la demanderesse avait elle-même indiqué une valeur de 50'000 fr. à mentionner dans les documents de transport, elles ne permettaient pas à la Cour d'évaluer « avec une sûreté raisonnable » la valeur du tableau en 1999.
4. La demanderesse se plaint de violation des art. 8 CC et 9 Cst.; en réalité, dans une large mesure, ses arguments portent sur l'application de l'art. 42 al. 1 et 2 CO.
4.1 Aux termes de l'art. 8 CC, chaque plaideur doit, si la loi ne prescrit le contraire, prouver les faits qu'il allègue pour en déduire son droit. Lorsque le juge ne parvient pas à constater un fait dont dépend le droit litigieux, il doit statuer au détriment de la partie qui aurait dû prouver ce même fait (<ref-ruling> consid. 2b p. 191/192; voir aussi <ref-ruling> consid. 4.5 p. 701/702; <ref-ruling> consid. 2.6 p. 24). Chaque partie a le droit de prouver les faits dont elle se prévaut (<ref-ruling> consid. 3 p. 303), pour autant qu'ils soient juridiquement pertinents au regard du droit fédéral applicable à la cause, que la partie les ait régulièrement allégués selon le droit cantonal de procédure et que l'offre de preuve correspondante satisfasse, quant à la forme et au délai, aux exigences de ce droit (<ref-ruling> consid. 4a p. 317; <ref-ruling> consid. 3c p. 223/224). Pour le surplus, l'art. 8 CC ne régit pas l'appréciation des preuves et il n'exclut pas non plus que le juge puisse, sur la base d'une appréciation anticipée des preuves déjà disponibles, refuser l'administration d'une preuve supplémentaire au motif qu'il la tient pour impropre à modifier sa conviction (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 226; <ref-ruling> consid. 2.6 p. 24/25).
Selon l'art. 42 al. 1 CO, la preuve d'un dommage incombe à celui qui en demande réparation. L'art. 42 al. 2 CO prévoit que si le montant exact du dommage ne peut pas être établi, le juge le détermine équitablement, en considération du cours ordinaire des choses et des mesures prises par la partie lésée. Cette dernière disposition tend à instaurer une preuve facilitée en faveur du lésé; néanmoins, elle ne le libère pas de la charge de fournir au juge, dans la mesure où cela est possible et où on peut l'attendre de lui, tous les éléments de fait qui constituent des indices de l'existence du dommage et qui permettent ou facilitent son estimation; elle n'accorde pas au lésé la faculté de formuler sans indications plus précises des prétentions en dommages-intérêts de n'importe quelle ampleur. Au demeurant, l'estimation du dommage relève de la constatation des faits et elle échappe donc, sous réserve de la protection contre l'arbitraire, au contrôle du Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 363/364; voir aussi <ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 471).
4.2 Une décision est arbitraire, donc contraire à l'art. 9 Cst., lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (<ref-ruling> consid. 5.4 p. 148; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 17). En ce qui concerne l'appréciation des preuves et la constatation des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en considération, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, sur la base des éléments recueillis, elle parvient à des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1; voir aussi <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62).
Selon la jurisprudence relative aux recours formés pour violation de droits constitutionnels (art. 106 al. 2 ou 116 LTF), celui qui se plaint d'arbitraire doit indiquer de façon précise en quoi la décision qu'il attaque est entachée d'un vice grave et indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 400).
5. La demanderesse persiste à soutenir qu'en 1999, le Pèlerin de l'absolu valait 250'000 dollars étasuniens - soit plus de 375'000 fr. d'après le cours de cette devise et à cette époque - conformément au prix de vente fixé par l'organisateur de l'exposition à New-York. Elle fait état du professionnalisme et du sérieux de l'organisateur, lequel a témoigné devant le Tribunal de première instance, mais elle n'indique pas en quoi l'appréciation de la Cour de justice, fondée sur le fait que le tableau n'a pas trouvé preneur à ce prix, devrait être jugée arbitraire. Sur ce point, l'argumentation présentée est donc irrecevable.
6. Selon la demanderesse, la Cour de justice a violé l'art. 8 CC en refusant les témoignages supplémentaires et l'expertise proposés, puis elle a apprécié arbitrairement les éléments de preuve à sa disposition, sur la base desquels elle aurait dû estimer la valeur du tableau. En particulier, la demanderesse affirme que l'existence d'un dommage est indéniable et que la décision attaquée se trouve donc, dans son résultat, en contradiction manifeste avec la situation effective.
Le refus des témoignages et de l'expertise est fondé sur le droit cantonal de procédure, réservé selon la jurisprudence précitée relative à l'art. 8 CC, concernant les formes et les délais à observer pour l'offre de preuves. La demanderesse ne tente pas de démontrer une application arbitraire de ce droit. Sans avancer aucune référence juridique, elle affirme que le Tribunal de première instance aurait dû ordonner d'office une expertise; elle prétend aussi, sans plus de justification, n'avoir pu présenter l'offre de preuves « qu'au plus tôt devant la Cour de justice ». Rien de cela n'établit une violation de l'art. 8 CC.
On a vu qu'en principe, celui qui demande la réparation d'un dommage doit le prouver (art. 42 al. 1 CO). Il bénéficie d'un allégement de la preuve (art. 42 al. 2 CO) si le dommage n'est pas susceptible d'une preuve stricte et que de plus, dans la mesure où cela est possible et où on peut l'attendre de lui, le demandeur a prouvé tous les éléments de fait qui constituent des indices de l'existence de ce dommage et qui permettent ou facilitent son estimation. Si, dans les circonstances particulières de l'espèce, le demandeur n'a pas entièrement satisfait à son devoir de fournir des éléments utiles à l'estimation, l'une des conditions dont dépend l'application de l'art. 42 al. 2 CO n'est pas réalisée, alors même que, le cas échéant, l'existence d'un dommage est certaine. Le demandeur est alors déchu du bénéfice de cette disposition; la preuve du dommage n'est pas apportée et, en conséquence, conformément au principe de l'art. 8 CC, le juge doit refuser la réparation (Walter Fellmann, Art. 42 OR als Frucht der Anpassung des Obligationenrechts an das Zivilgesetzbuch, in ZGB gestern - heute - morgen, 2007, p. 293/294, avec référence à l'arrêt 4C.55/2006 du 12 mai 2006, consid. 2.3 et 2.4).
Dans la présente affaire, on pouvait attendre de la demanderesse qu'elle offrît - en temps utile selon le droit cantonal - le témoignage des spécialistes dont elle a produit diverses attestations ou estimations. Leurs dépositions auraient vraisemblablement permis de corroborer ou de nuancer leurs déclarations écrites, et elles auraient peut-être apporté, encore, d'autres renseignements propres à favoriser une estimation sérieuse. On pouvait aussi attendre de la demanderesse l'offre d'une expertise, en tant que les recherches d'un autre spécialiste, désigné par le juge ou choisi d'entente entre les parties, pouvaient aussi apporter des éléments supplémentaires. Au regard de cette situation et des conditions précitées dont dépend l'application de l'art. 42 al. 2 CO, la Cour de justice aurait dû refuser l'estimation du Pèlerin de l'absolu et rejeter l'action en dommages-intérêts au motif que l'une de ces conditions, cumulatives, n'était pas réalisée. La décision attaquée se révèle donc, dans son résultat, conforme à cette disposition de droit fédéral, de sorte qu'il n'est pas nécessaire de discuter plus avant l'appréciation des éléments effectivement soumis à la Cour.
7. Le recours se révèle privé de fondement, dans la mesure où les griefs présentés sont recevables. A titre de partie qui succombe, son auteur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. La demanderesse acquittera un émolument judiciaire de 6'500 fr. par prélèvement sur les sûretés versées en garantie de cet émolument.
3. Par prélèvement sur les sûretés versées en garantie des dépens, la caisse du Tribunal fédéral versera, à titre de dépens, une indemnité de 7'500 fr. à la défenderesse.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 8 septembre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin