Sachverhalt:
A.
A.a. A._, Titularprofessor an der Universität Y._ und bis 2009 tätig gewesen am Universitätsspital X._, machte im Zusammenhang mit der "widerrechtlichen Verweigerung der Herausgabe bzw. mutmasslichen Zerstörung" seiner "Forschungsdaten und -materialien" mit Klage vom 11. April 2012 beim Bezirksgericht Zürich gegen diese beiden Institutionen gestützt auf das kantonale Haftungsgesetz vom 14. September 1969 (HG/ZH) Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche geltend, wobei er die Schadenhöhe "nach vorläufiger Einschätzung" auf "ungefähr... CHF 13 Mio." bezifferte und ausdrücklich einen "Nachklagevorbehalt" anbrachte. Vorfrageweise verlangte er in dieser Sache die Feststellung der Zuständigkeit des Bezirksgerichts Zürich.
A.b. Mit Beschluss vom 21. Mai 2012 erwog das Bezirksgericht Zürich, beschränkt auf die Frage der Zuständigkeit würden die mutmasslichen Gerichtskosten Fr. 81'450.-- betragen, weshalb vom Kläger einstweilen ein Kostenvorschuss von Fr. 80'000.-- zu verlangen sei (Ziff. 1 des Dispositivs).
B.
Gegen diesen Beschluss erhob A._ am 8. Juni 2012 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Er verlangte die Aufhebung des genannten Beschlusses, eventuell eine Verfahrenssistierung und subeventuell die Festsetzung eines "neuen und angemessenen Kostenvorschusses". Gleichzeitig ersuchte er um aufschiebende Wirkung seiner Beschwerde.
Mit Verfügung vom 13. Juni 2012 trat das Obergericht auf das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung nicht ein und verlangte - nunmehr für das vor Obergericht angehobene Verfahren - seinerseits einen Kostenvorschuss von Fr. 6'000.--.
C.
Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 10. Februar 2013 (Verfahren 2C_692/2012) teilweise gut und legte der Beschwerde vom 8. Juni 2012 an das Obergericht des Kantons Zürich aufschiebende Wirkung bei. Im Übrigen wies es die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ab und trat auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht ein.
D.
Nachdem A._ - im Anschluss an die Abweisung eines entsprechenden Wiedererwägungsgesuches - den Kostenvorschuss von Fr. 6'000.-- beim Obergericht des Kantons Zürich geleistet hatte, hiess dieses mit Urteil vom 8. April 2013 die Beschwerde vom 8. Juni 2012 teilweise gut, hob die Dispositiv-Ziff. 1 des bezirksgerichtlichen Beschlusses vom 21. Mai 2012 auf und setzte A._ eine Frist von 10 Tagen an, "um für die erstinstanzlichen Gerichtskosten bei der Bezirksgerichtskasse Zürich ... einen Kostenvorschuss von Fr. 15'000.-- zu leisten". Im Übrigen wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Die zweitinstanzlichen Gerichtskosten setzte es auf Fr. 6'000.-- fest und auferlegte sie A._ im Umfang von einem Viertel ( Fr. 1'500.--). Parteientschädigungen sprach es nicht zu (Ziff. 3 des Urteilsdispositivs).
E.
Mit Eingabe vom 19. April -ergänzt am 6. Mai 2013 - führt A._ erneut Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht mit dem Hauptantrag, das letztgenannte Urteil - auch betreffend Prozessentschädigung - aufzuheben und das Bezirksgericht Zürich anzuweisen, auf die Klage vom 11. April 2012 ohne Erhebung eines Kostenvorschusses einzutreten; eventuell sei die Vorinstanz anzuweisen, einen neuen und angemessenen Kostenvorschuss für das erstinstanzliche Verfahren festzusetzen.
Das Universitätsspital X._ beantragt in der Sache Abweisung der Beschwerde. Die Universität Y._ stellt denselben Antrag. Das Obergericht des Kantons Zürich hat auf Vernehmlassung verzichtet.
F.
Mit Verfügung vom 15. Mai 2013 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Letztinstanzliche kantonale Entscheide aus dem Bereich der Staatshaftung - mit Ausnahme derjenigen aus medizinischer Tätigkeit - unterliegen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> (vgl. dazu ausführlich Urteil 2C_692/2012 vom 10. April 2013 E. 1.3). Die auf dem Gebiet der Staatshaftung geltende Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- ist vorliegend erreicht, da sich der Streitwert für den Kostenaspekt nach demjenigen in der Hauptsache bemisst (<ref-ruling> E. 1.2). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist damit grundsätzlich zulässig.
1.2. Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab und ist daher als selbständig eröffneter Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren. Gegen einen solchen Zwischenentscheid ist die Beschwerde - abgesehen von den hier nicht gegebenen Ausnahmefällen gemäss Art. 92 und Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG - nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>).
Diese Voraussetzung ist vorliegend erfüllt (vgl. E. 1.4.2 des - denselben Beschwerdeführer in derselben Hauptsache betreffenden - Urteils 2C_692/2012). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist damit einzutreten; die subsidiäre Verfassungsbeschwerde steht nicht zur Verfügung (vgl. genanntes Urteil, ebenda).
1.3. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Trotz der Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (<ref-law>), aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Verletzung von Grundrechten (Art. 7-34 BV, nebst den übrigen verfassungsmässigen Rechten der BV [<ref-ruling> E. 6.1 S. 31; <ref-ruling> E. 2 S. 640] und den Rechtsansprüchen der EMRK [<ref-ruling> E. 4.3 S. 106]), von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht es in jedem Fall nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Solche Rügen sind klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 2.8 S. 494).
1.4. Fragen des Bundesrechts klärt das Bundesgericht mit freier Kognition (<ref-law>). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann nur geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Normen des Bundesrechts (<ref-law>). Im Übrigen kann die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts lediglich im Lichte der verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze, namentlich des Willkürverbots (<ref-law>), sowie der kantonalen Verfassungsrechte (<ref-law>) geprüft werden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 145; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351).
Wird die Beurteilung einer öffentlich-rechtlichen Forderung vom kantonalen Gesetzgeber einem Zivilgericht überantwortet und stützt sich dieses im Rahmen seiner Tätigkeit auf (Bundes-) Zivil (prozess) recht, gelten diese Regelungen als subsidiäres kantonales Recht (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 231, Urteile 2C_692/2012 vom 10. Februar 2013 E. 2.2, 2C_940/2011 vom 23. November 2011, E. 5.1, und 2C_616/2008 vom 16. Juni 2009, E. 3.1). Dessen Anwendung prüft das Bundesgericht nicht frei, sondern - wie allgemein bei der Auslegung von kantonalem Recht - lediglich unter dem Gesichtswinkel der Willkür bzw. von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 231). Entsprechende Rügen haben den Anforderungen von <ref-law> zu genügen (vorne E. 1.3).
1.5. Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.4. S. 5; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153; je mit Hinweisen).
2.
2.1. Hier liegt namentlich im Streit, welche Kostenvorschussregelung in Staatshaftungsverfahren gegen den Kanton Zürich zur Anwendung kommt:
Art. 98 der auf den 1. Januar 2011 in Kraft getretenen Eidgenössischen Zivilprozessordnung vom 19. Dezember 2008 (ZPO, SR 272) lautet:
Das Gericht kann von der klagenden Partei einen Vorschuss bis zur Höhe der mutmasslichen Gerichtskosten verlangen.
Demgegenüber sieht § 15 des kantonalzürcherischen Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG/ZH, Marginale: "Kostenvorschuss") vor:
1 Entstehen aus der im Interesse eines Privaten veranlassten Untersuchung erhebliche Barauslagen, so kann die Durchführung der Untersuchung von der Leistung eines angemessenen Barvorschusses abhängig gemacht werden.
2 Ein Privater kann überdies unter der Androhung, dass auf sein Begehren sonst nicht eingetreten werde, zur Sicherstellung der Verfahrenskosten angehalten werden:
a. wenn er in der Schweiz keinen Wohnsitz hat,
b. wenn er aus einem erledigten und nicht mehr weiterziehbaren Verfahren vor einer zürcherischen Verwaltungs- oder Gerichtsbehörde Kosten schuldet,
c. wenn er als zahlungsunfähig erscheint.
Das Obergericht hat erwogen, in Staatshaftungsverfahren sei - bereits erstinstanzlich vor dem Bezirksgericht - die eidgenössische ZPO als subsidiäres kantonales Recht anzuwenden. Nach deren Art. 96 setzten die Kantone die Tarife für die Prozesskosten fest. § 199 des kantonalen Gesetzes vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG) sehe vor, dass das Obergericht eine Gebührenverordnung erlasse. Durch die subsidiäre Anwendung der ZPO gelange daher auch die Gebührenverordnung des Obergerichts (GebV OG) vom 8. September 2010 mit den darin enthaltenen Ansätzen zur Anwendung.
Der Beschwerdeführer hingegen macht geltend, Staatshaftungsverfahren seien gemäss der Rechtsprechung öffentlich-rechtliche Verfahren. Diese würden im Verwaltungsrechtspflegegesetz geregelt. Demgemäss komme in Staatshaftungsverfahren dieses Gesetz - und nicht die ZPO - zur Anwendung. § 15 VRG aber sehe - jedenfalls im Grundsatz - keine Kostenvorschusspflicht vor.
2.2.
2.2.1. Sowohl nach § 19 HG/ZH als auch nach § 2 VRG/ZH sind für Schadenersatzansprüche Privater gegen den Kanton die Zivilgerichte zuständig. Wie das Bundesgericht bereits entschieden hat, ist es nicht willkürlich, wenn die Zivilgerichte das generell für sie anwendbare Verfahrensrecht - hier also die eidgenössische Zivilprozessordnung - anwenden, auch wenn sie kantonalrechtliche Ansprüche beurteilen (zit. Urteil 2C_692/2012 E. 2.3.1). Zwar können die Kantone für die Kostenregelung von Staatshaftungsverfahren auch besondere, von der ZPO abweichende Bestimmungen erlassen (wie dies der Kanton Zürich gemäss dem angefochtenen Urteil in § 23 HG/ZH mit Bezug auf das Erfordernis eines Schlichtungsverfahrens getan hat), aber es ist nicht willkürlich oder sonstwie bundesrechtswidrig, wenn sie dies nicht tun.
2.2.2. Die eidgenössische Zivilprozessordnung enthält in ihrem 8. Titel (Art. 95 ff.) sodann eine gesetzliche Regelung über die Leistung von Kostenvorschüssen und Sicherheiten, so dass die Anforderungen an eine ausreichende gesetzliche Grundlage (vgl. <ref-law>) für die Erhebung öffentlicher Abgaben erfüllt sind (<ref-ruling> E. 3.2, 3.4 S. 404 f.). Eine solche ergäbe sich zwar auch aus § 15 VRG, doch erscheint es - weil das Verfahren auf Geltendmachung von Schadenersatz- und Genugtuungsansprüchen gegen den Staat nach kantonaler Ordnung eben gerade nicht als Verwaltungs- bzw. Verwaltungsjustizverfahren ausgestaltet ist - nicht willkürlich, in diesen Verfahren auf die Anwendung der in der Verwaltungsrechtspflege zum Zuge kommenden Kostenvorschussregelung zu verzichten und stattdessen auf diejenige der eidgenössischen Zivilprozessordnung zurückzugreifen.
2.2.3. Ebensowenig kann den kantonalen Gerichten Willkür vorgeworfen werden, wenn sie bereits für die Behandlung der Vorfrage, ob sie für die Beurteilung der bei ihnen angehobenen Streitsache überhaupt zuständig sind, einen Kostenvorschuss erheben. Die Vorinstanz hat diesem Umstand Rechnung getragen, indem sie mit Rücksicht auf den blossen Vorfragecharakter des vom Bezirksgericht Zürich noch zu fällenden Entscheides über seine Zuständigkeit zur Beurteilung der Haftungsklage vom 11. April 2012 (vgl. vorne lit. A) eine erhebliche Reduktion des Kostenvorschusses gegenüber dem Normalansatz vorgenommen hat. Sodann schliessen auch die allgemeinen Verfahrensgarantien von <ref-law> oder die Rechtsweggarantie von <ref-law> nicht aus - obwohl der Beschwerdeführer mit Bezug auf Staatshaftungsverfahren vom Gegenteil auszugehen scheint (Beschwerde S. 25) -, dass als Voraussetzung für die Anhandnahme und Beurteilung eines Begehrens ein Kostenvorschuss erhoben wird (vgl. Urteile 2C_703/2009 vom 21. September 2010 E. 4.4.2 und 1C_330/2008 vom 21. Oktober 2008 E. 3.1).
2.3. Die Rüge, der Streitwert sei willkürlich auf Fr. 13 Mio. festgesetzt worden, ist unbegründet. Die Vorinstanz hat berücksichtigt, dass diese Bezifferung vom Beschwerdeführer bloss vorläufig und unter Vorbehalt vorgenommen wurde. Wenn dieser aber - wie er selber vorbringt - einen Nachklagevorbehalt angebracht hat und damit davon ausgeht, dass der Schaden sogar noch höher ausfallen könnte, erscheint es - auch mit Blick auf <ref-law>, wonach die klagende Partei einen Mindestwert angeben muss, der als vorläufiger Streitwert dient - ohne weiteres vetretbar, dass der Haftungsklage ein Streitwert in der vom Beschwerdeführer genannten Höhe zu Grunde gelegt wurde.
2.4.
2.4.1. Der Beschwerdeführer rügt die im angefochtenen Urteil vorgenommene Kostenverteilung als willkürlich. Er macht geltend, das Obergericht habe den vom Bezirksgericht einverlangten Kostenvorschuss auf Beschwerde hin um mehr als 80 % reduziert (von Fr. 80'000.-- auf Fr. 15'000.--). Konsequenterweise hätten ihm damit die Gerichtsgebühren auch nur zu einem Fünftel (Fr. 1'200.--) - und nicht zu einem Viertel (Fr. 1'500.--) - auferlegt werden dürfen. Ebenso hätte ihm die Vorinstanz vier Fünftel (Fr. 5'579.--) der dort geltend gemachten Anwaltskosten (Fr. 6'974.--) als Parteientschädigung zusprechen müssen.
2.4.2. Auch bei der Verlegung der Gerichtskosten hat die Vorinstanz die eidgenössische Zivilprozessordnung als subsidiäres kantonales Recht angewendet und ausdrücklich auf <ref-law> verwiesen (vgl. Ziff. 8.1 des angefochtenen Urteils). <ref-law> hat folgenden Wortlaut:
Art. 106 Verteilungsgrundsätze
1 Die Prozesskosten werden der unterliegenden Partei auferlegt. (...).
2 Hat keine Partei vollständig obsiegt, so werden die Prozesskosten nach dem Ausgang des Verfahrens verteilt.
(...).
Diese Bestimmung - vorliegend als subsidiäres kantonales Recht herangezogen - ist vom Obergericht nicht willkürlich angewendet worden: Zwar ist es oft üblich, die Kosten in einem proportionalen Verhältnis des Obsiegens bzw. Unterliegens zu verlegen, es erscheint aber nicht unhaltbar, wenn das Gericht keine strenge Streitwert-Proportionalität vornimmt, sondern mitberücksichtigt, dass der Beschwerdeführer mit seinem Hauptantrag (grundsätzliche Befreiung von der Kostenvorschusspflicht) und seinem Eventualantrag (Sistierung des Verfahrens) unterlegen und bloss mit dem Subeventualbegehren (Reduktion des Kostenvorschusses) durchgedrungen ist.
2.4.3. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Parteientschädigung muss der Richter seinen Entscheid über die Höhe des anwaltlichen Honorars nicht begründen, wenn ein Tarif oder eine gesetzliche Regelung der Ober- und Untergrenze der Entschädigung besteht und das Gericht diesen Tarif beziehungsweise diese Bandbreite einhält und von der Partei keine aussergewöhnlichen Umstände vorgebracht werden (Urteil 5D_4/2011 vom 20. April 2011 E. 4.2.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2a S. 1 f. und 93 I 116 E. 2 S. 120 f.). In Bezug auf die Festsetzung von Anwaltshonoraren besteht aufgrund von <ref-law> unter bestimmten Umständen indessen ein Anspruch auf Begründung, namentlich wenn das Gericht den vorgesehenen Tarifrahmen verlässt (vgl. Urteil 9C_801/2012 vom 28. Oktober 2013 E. 5.1) oder den Rechtsvertreter zur Einreichung einer Kostennote aufgefordert hat und die Parteientschädigung abweichend von der Kostennote auf einen bestimmten, nicht der üblichen, praxisgemäss gewährten Entschädigung entsprechenden Betrag festsetzt (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 162, Urteile 5A_17/2013 vom 6. August 2013 E. 6.2, 5D_4/2011 vom 20. April 2011 E. 4.2.2).
Zwar macht der Beschwerdeführer nicht geltend, er - bzw. seine Rechtsvertreterin - sei zur Einreichung einer Kostennote aufgefordert worden, welche von der Vorinstanz später gekürzt worden sei. Aus dem angefochtenen Urteil geht aber weder hervor, auf welche gesetzliche Grundlage - sei es die ZPO als subsidäres kantonales Recht oder aber das VRG bzw. eine andere kantonale Regelung - sich Ziff. 3 des Urteilsdispositivs ("Parteientschädigungen werden keine zugesprochen") stützt, noch ist daraus ersichtlich, weshalb trotz mehrheitlichem Obsiegen keine Parteientschädigung zugesprochen wird. Das erscheint umso seltsamer, als die Vorinstanz von der Anwendbarkeit der ZPO auszugehen scheint, die ihrerseits vom Grundsatz der ausgangsgemässen Verteilung auch der Parteikosten ausgeht (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Aus dem angefochtenen Entscheid ist nicht ersichtlich, weshalb in Abweichung von diesem Grundsatz keine Parteientschädigung zugesprochen wurde. Das Obergericht des Kantons Zürich hat sich dazu auch vernehmlassungsweise nicht geäussert.
Selbst wenn für den Kostenentscheid mit Bezug auf die Festsetzung der Parteientschädigung herabgesetzte Begründungsanforderungen gelten (vorne), so sind dessen Grundlagen im vorliegenden Fall - auch für die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers - mangels Darlegung jeglicher Überlegungen zu Ziff. 3 des Urteilsdispositivs weder dargetan noch ersichtlich. Unter diesen Umständen verstösst das angefochtene Urteil in diesem Punkt gegen die Begründungspflicht von <ref-law> und ist insoweit aufzuheben.
2.5. Die Rüge, die Vorinstanz habe im angefochtenen Entscheid willkürlich und unter Verletzung des Verbots des überspitzten Formalismus ohne zeitliche Notwendigkeit die Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses von Fr. 15'000.-- an das Bezirksgericht zu kurz bemessen (10 Tage), erweist sich als gegenstandslos, da das Bundesgericht der vorliegenden Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt hat (vorne lit. F).
3.
3.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich nach dem Gesagten als teilweise begründet. Die Sache ist zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde kann nicht eingetreten werden (vorne E. 1. 2).
3.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Kosten des Verfahrens wie folgt zu verlegen:
Grundsätzlich gilt auch für das bundesgerichtliche Verfahren die Praxis gemäss <ref-ruling> und 159, wonach die Kosten und Entschädigungen aufgrund des Obsiegens bzw. Unterliegens nach Massgabe der Anträge des Rechtsmittelklägers zu verlegen sind. Nach der bundesgerichtlichen Praxis rechtfertigt sich indes eine Ausnahme von diesen Grundsätzen, wenn ein gravierender, vom Rechtsmittelbeklagten nicht mitverschuldeter Verfahrensfehler (Justizpanne) zur Gutheissung des Rechtsmittels führt und der Rechtsmittelbeklagte entweder die Gutheissung des Rechtsmittels beantragt oder sich eines Antrages enthalten hat (vgl. Urteil 5A_61/2012 vom 23. März 2012 E. 4 mit Hinweisen).
Vorliegend ist der Beschwerdeführer mit seinem Hauptanliegen (gänzliche Befreiung von der Kostenvorschusspflicht) unterlegen und er hat nur in einem Nebenpunkt obsiegt (Parteientschädigung). Es rechtfertigt sich daher, ihm drei Viertel der Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 BGG). Da die Universität Y._ und das Universitätsspital X._ - auch im vorliegenden Verfahren - vermögensrechtliche Interessen vertreten haben, tragen sie den vierten Viertel der bundesgerichtlichen Kosten unter solidarischer Haftung (Art. 66 Abs. 4 und 5 BGG). Sie haben dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren ausserdem - zumal sie in der Sache die vollumfängliche Abweisung der Beschwerde beantragt haben - eine nach Massgabe seines Obsiegens reduzierte Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>). Daran ändert nichts, auch soweit sie geltend machen, sie hätten sich vor Obergericht nicht gegen die Anträge des Beschwerdeführers gestellt und sich auch mit der Auffassung des Bezirksgerichts betreffend Kostenvorschuss von Fr. 80'000.-- nicht identifiziert.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird teilweise gutgeheissen und Ziff. 3 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 8. April 2013 aufgehoben.
Die Sache wird zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden zu drei Vierteln dem Beschwerdeführer (ausmachend Fr. 1'500.--) und zu einem Viertel dem Universitätsspital X._ sowie der Universität Y._ (ausmachend je Fr. 250.--) auferlegt.
4.
Das Universitätsspital X._ und die Universität Y._ haben den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Universitätsspital X._, der Universität Y._ (Universitätsleitung) und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein