Faits:
A. F._ a travaillé comme boulanger-pâtissier, avant d'être engagé en tant qu'apprenti-peintre auprès d'une entreprise genevoise en 1995. Victime d'un accident de la circulation en décembre 1995, le prénommé a été mis au bénéfice d'une rente d'invalidité de l'assurance-accidents fondée sur un taux d'invalidité de 29 % à partir du 1er janvier 2000, ainsi que d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 15 % (décision sur opposition de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents du 19 septembre 2002, entrée en force à la suite du jugement du Tribunal administratif genevois du 3 février 2004, qui a rejeté le recours de l'assuré).
Entre-temps, le 26 novembre 1997, F._ s'est annoncé à l'assurance-invalidité. Après différentes mesures d'instruction ordonnées par l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI), il a commencé, le 1er décembre 1999, une formation d'agent de sécurité qu'il a cependant interrompue peu après. Par la suite, il a invoqué souffrir d'une atteinte psychique. L'office AI a alors requis l'avis du docteur V._, psychiatre traitant, selon lequel son patient présentait un épisode dépressif moyen avec syndrome somatique (F 32.1) et disposait d'une capacité de travail de 50 % au niveau psychosomatique. L'administration a également soumis l'assuré à un examen psychiatrique auprès de son Service médical régional pour la Suisse romande (SMR). La doctoresse L._ du SMR a rendu son rapport le 8 août 2006, en concluant à l'absence de diagnostic psychiatrique avec répercussion sur la capacité de travail. Par décision du 30 novembre 2006, l'office AI a nié le droit de F._ à une rente d'invalidité. Tenant compte d'une incapacité totale de travail de l'assuré dans les métiers de peintre et de boulanger, mais d'une capacité entière de travail dans l'activité d'agent de sécurité, il a considéré en substance que l'intéressé présentait un taux d'invalidité (de 27 %) insuffisant pour la reconnaissance du droit à une rente.
B. F._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève. Statuant le 20 juin 2007, le tribunal a rejeté le recours au sens des considérants, selon lesquels il n'avait pas à se prononcer sur le droit éventuel à de nouvelles mesures d'ordre professionnel.
C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Sous suite de dépens, il conclut, principalement, à la reconnaissance du droit à une rente d'invalidité "d'au moins 50 %"; à titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale "pour nouvelle décision dans le sens des considérants".
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurance sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 140).
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>) et peut rectifier ou compléter d'office les constatations de celle-ci si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
2. Le jugement entrepris expose correctement les règles légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la notion d'invalidité et à son évaluation, ainsi que la jurisprudence en matière de valeur probante des pièces médicales, applicables au présent cas. Il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 Se fondant sur les différents avis médicaux au dossier, la juridiction cantonale a constaté que le recourant disposait sur le plan somatique d'une capacité de travail entière dans une activité adaptée (tenant compte des limitations fixées par les médecins), ce que l'assuré ne conteste pas. Sur le plan psychique, l'autorité cantonale de recours a fait siennes les conclusions de la doctoresse L._ (du 8 août 2006), auxquelles elle a reconnu une pleine valeur probante malgré quelques "irrégularités" relatives à l'absence d'un diplôme FMH en psychiatrie et d'une autorisation de pratiquer cantonale (avant le 24 novembre 2006). Elle a ainsi retenu que le recourant ne présentait aucune atteinte psychique qui entraînait une incapacité de travail, en expliquant les raisons pour lesquelles elle s'écartait de l'avis contraire du docteur V._.
3.2 Dans un arrêt I 65/07 du 31 août 2007, la IIe Cour de droit social du Tribunal fédéral a considéré qu'un rapport médical signé par la doctoresse L._ ne pouvait se voir attribuer une pleine valeur probante, en raison d'irrégularités d'ordre formel liées, d'une part, à l'utilisation d'un titre - "Psychiatre FMH" - auquel ce médecin ne pouvait prétendre et, d'autre part, au fait qu'elle ne disposait pas de l'autorisation de pratiquer prévue par le droit cantonal. La Cour de céans a retenu qu'il n'était en conséquence pas possible de tirer d'un tel rapport des conclusions définitives sur l'état de santé d'un assuré, ni de fonder son appréciation uniquement sur cette pièce médicale.
En l'espèce, la juridiction cantonale a conclu à l'absence d'incapacité de travail en lien avec une atteinte à la santé psychiatrique, compte tenu du rapport médical élaboré et signé par la doctoresse L._ avec l'indication "psychiatre FMH", le 8 août 2006. A la lumière de l'arrêt I 65/07 cité, l'appréciation de l'autorité cantonale de recours qui repose essentiellement, en ce qui concerne l'existence éventuelle d'une incapacité de travail de nature psychique, sur le rapport du 8 août 2006 n'est pas conforme au droit et ne peut être suivie. En particulier, et quoi qu'en dise la juridiction cantonale, l'octroi de l'autorisation de pratiquer cantonale au médecin du SMR à partir du 24 novembre 2006 ne saurait en quelque sorte valider de manière rétroactive la situation antérieure. Le dossier ne comprend par ailleurs pas une autre évaluation émanant d'un spécialiste en psychiatrie qui permettrait d'apporter le point de vue circonstancié requis en l'espèce au vu de l'ensemble des pièces médicales, l'appréciation du docteur V._ relative à la capacité de travail ayant été écartée pour des motifs qui ne relèvent pas d'une constatation manifestement inexacte des faits, ni d'une violation des règles sur l'administration des preuves comme le soutient le recourant (sur l'appréciation anticipée des preuves, cf. <ref-ruling> consid. 4b p. 94; <ref-ruling> consid. 1d p. 162). Il convient dès lors d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer la cause à l'intimé pour qu'il complète l'instruction sous la forme d'une expertise psychiatrique, puis rende une nouvelle décision. A cette occasion, en fonction du résultat de l'instruction, il appartiendra à l'intimé de se prononcer également sur la requête subsidiaire du recourant, tendant à l'octroi de mesures de réadaptation d'ordre professionnel (cf. observations du 29 novembre 2006 à l'intimé).
4. Vu l'issue du litige, les frais de justice doivent être supportés par l'intimé qui succombe (art. 66 al. 1 première phrase LTF en relation avec l'<ref-law>). Représenté par un avocat, le recourant a droit à une indemnité à titre de dépens à la charge de l'intimé (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 20 juin 2007 et la décision de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité du 30 novembre 2006 sont annulés, la cause étant renvoyée à cet office pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera au recourant la somme de 2'500 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève statuera sur les frais et dépens pour la procédure de première instance, au regard de l'issue du procès de dernière instance
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 10 avril 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless