Sachverhalt:
A.
A._ erstattete am 26. September 2012 Anzeige gegen B._ wegen falschem Zeugnis (<ref-law>) und übler Nachrede (<ref-law>). Am 11. März 2014 verfügte die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat die Nichtanhandnahme. Zur Begründung führte sie aus, es liege nicht einmal ansatzweise ein hinreichender Tatverdacht vor. Dagegen erhob Rechtsanwalt Bernhard Hediger im Namen von A._ Beschwerde ans Obergericht des Kantons Zürich.
Mit Verfügung vom 16. April 2014 setzte das Obergericht Rechtsanwalt Hediger eine Frist von 10 Tagen, um eine Vollmacht einzureichen; bei Säumnis werde auf die Beschwerde nicht eingetreten. Ebenfalls mit der Androhung, dass auf die Beschwerde sonst nicht eingetreten werde, setzte es A._ eine Frist von 10 Tagen, um eine Prozesskaution von Fr. 1'000.-- zu leisten. Rechtsanwalt Hediger ersuchte das Obergericht in der Folge unter Vorlage einer Vollmacht, diese Verfügung in Wiedererwägung zu ziehen. Er machte geltend, in einem gegen A._ geführten Strafverfahren als dessen amtlicher Verteidiger eingesetzt worden zu sein und als solcher die Anzeige gegen B._ eingereicht zu haben. Wenn das Obergericht gestützt auf <ref-law> eine Sicherheitsleistung anordne, übersehe es zudem, dass dies nur gegenüber der Privatklägerschaft, nicht aber gegenüber dem Anzeigeerstatter möglich sei.
Am 9. Mai 2014 erliess das Obergericht eine weitere Verfügung. Es erwog, dass Rechtsanwalt Hediger im Verfahren gegen B._ nicht amtlicher Verteidiger sei. Hinsichtlich der Sicherheitsleistung wies es darauf hin, dass A._, wenn er bloss Anzeigeerstatter wäre, keine Aktivlegitimation zukommen würde. Es verfügte deshalb, Rechtsanwalt Hediger werde im Beschwerdeverfahren gegen die Nichtanhandnahmeverfügung nicht als amtlicher Verteidiger von A._ betrachtet und Letzterem werde ein Nachfrist von 10 Tagen gesetzt, um die Kaution zu leisten. Bei Säumnis werde auf die Beschwerde nicht eingetreten.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde ans Bundesgericht vom 28. Mai 2014 beantragt A._, die beiden Verfügungen des Obergerichts vom 16. April und 9. Mai 2014 seien aufzuheben. Das Obergericht sei anzuweisen, auf die Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung einzutreten. Zudem sei festzustellen, dass er Anzeigeerstatter ohne Kautionspflicht, aber mit Parteirechten sei, und dass das Rechtsanwalt Hediger verliehene Mandat der amtlichen Verteidigung auch in diesem Verfahren gelte.
Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft haben auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf das Wiedererwägungsgesuch des Beschwerdeführers hin hat das Obergericht seine Verfügung vom 16. April 2014 durch jene vom 9. Mai 2014 ersetzt. Nur Letztere bildet vorliegend Verfahrensgegenstand. Soweit der Beschwerdeführer auch die frühere Verfügung anficht, ist auf seine Beschwerde nicht einzutreten.
1.2. Die Verfügung vom 9. Mai 2014 ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Strafsache. Dagegen ist grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen zulässig (Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 BGG). Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, gegen welchen die Beschwerde unter anderem dann zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>). Sowohl in der Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung wie auch in der Aufforderung zur Leistung einer Prozesssicherheit unter der Androhung, dass im Säumnisfall auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde, liegt ein solcher Nachteil begründet (<ref-ruling> E. 2b und c S. 202 ff.; Urteil 2C_230/2009 vom 2. Juli 2009 E. 1.3; je mit Hinweisen).
1.3. Die Beschwerde in Strafsachen erfordert gemäss <ref-law> ein rechtlich geschütztes Interesse. Der Beschwerdeführer leitet seine Beschwerdelegitimation aus Ziff. 6 dieser Bestimmung ab. Danach hat die Person, die den Strafantrag stellt, ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids, soweit es um das Strafantragsrecht als solches geht. Letzteres ist hier nicht der Fall. Der Beschwerdeführer kann indessen unabhängig von seiner Legitimation in der Sache vor Bundesgericht geltend machen, im vorinstanzlichen Verfahren in seinen Parteirechten verletzt worden zu sein, soweit er auf diesem Weg keine (indirekte) Überprüfung des Entscheids in der Hauptsache zu erwirken sucht (<ref-ruling> E. 1.3 S. 79 f.; <ref-ruling> E. 1.4 S. 222; <ref-ruling> E. 3c S. 312 f.; je mit Hinweisen). Das Beschwerderecht ist insofern gegeben.
1.4. Der Beschwerdeführer rügt, das Obergericht habe das rechtliche Gehör (<ref-law>) verletzt, indem es die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft geschützt habe. Über diese hat das Obergericht jedoch mit seiner Verfügung vom 9. Mai 2014 nicht befunden. Der Beschwerdeführer geht in dieser Hinsicht über den Prozessgegenstand hinaus. Darauf ist nicht einzutreten (<ref-law>).
1.5. Im Übrigen ist auf die Beschwerde in Strafsachen unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten. Mit ihr kann auch die Verletzung von Verfassungsrecht gerügt werden (<ref-law>). Damit besteht kein Raum für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, er sei zur Beschwerde vor Obergericht als Strafantragsteller befugt. Hingegen habe er sich nie als Privatkläger konstituiert. Es dürfe von ihm deshalb auch nicht gestützt auf <ref-law> eine Sicherheitsleistung verlangt werden. Insofern sei auch das Argument des Obergerichts nicht zu hören, wonach ihm keine Aktivlegitimation zukomme. Das Obergericht habe <ref-law> sowie Art. 5, 6, 7, 303 und 305 StPO verletzt. Es betreibe zudem Rechtsverweigerung und leiste der Strafvereitelung Vorschub.
2.2. Nach <ref-law> ist der Strafantrag der Erklärung, sich am Strafverfahren als Straf- oder Zivilklägerin oder -kläger zu beteiligen, gleichgestellt. Die Kritik des Beschwerdeführers, der sich darauf beruft, als Strafantragsteller beschwerdeberechtigt zu sein, ist insofern unbegründet. Weshalb die weiteren angeführten Gesetzesbestimmungen verletzt sein sollten, legt er nicht dar. Darauf ist mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, das Obergericht habe Rechtsanwalt Hediger im Verfahren betreffend die Nichtanhandnahme der Strafuntersuchung gegen B._ zu Unrecht nicht als amtlichen Verteidiger akzeptiert. Im Strafverfahren gegen ihn selbst sei Rechtsanwalt Hediger ab dem 3. Juli 2012 als amtlicher Verteidiger eingesetzt worden. Rechtsanwalt Hediger habe in dieser Funktion gegen B._ Strafanzeige wegen falscher Zeugenaussage eingereicht. Dieser habe ihn nämlich zu Unrecht der Drohung bezichtigt. Würde B._ nun verurteilt, müsste er selbst in Bezug auf die ihm vorgeworfene Drohung freigesprochen werden. Dieser Zusammenhang gebiete es, dass sein amtlicher Verteidiger ihn auch im vorliegenden Verfahren als solcher vertreten dürfe.
3.2. Das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer und jenes gegen B._, das die Staatsanwaltschaft nicht anhand genommen hat, sind voneinander unabhängig. Die amtliche Verteidigung, ja die Verteidigung überhaupt, bezieht sich ausschliesslich auf jenes Verfahren, in welchem der Betroffene beschuldigt ist (vgl. <ref-law>). Auch ein enger Zusammenhang, wie ihn der Beschwerdeführer geltend macht, rechtfertigt es nicht, die amtliche Verteidigung quasi im Sinne der unentgeltlichen Rechtspflege auf andere Verfahren zu übertragen. Dafür gibt es keine gesetzliche Grundlage. Auch kann Rechtsanwalt Hediger nicht als Rechtsbeistand im Rahmen einer unentgeltlichen Rechtspflege für die Privatklägerschaft, welche gemäss <ref-law> für die Durchsetzung derer Zivilansprüche vorgesehen ist, qualifiziert werden. Dies hat der Beschwerdeführer bisher nicht beantragt. Seine Rüge ist deshalb unbegründet.
4.
Nach dem Ausgeführten ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten und ist die Beschwerde in Strafsachen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung für die Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens wird damit gegenstandslos.
Der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer hat es unterlassen, im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege zu ersuchen. Die Voraussetzungen dafür wären auch nicht erfüllt. Gemäss <ref-law> befreit das Bundesgericht eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Als aussichtslos gelten nach konstanter Praxis Rechtsbegehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren (<ref-ruling> E. 1.2 S. 397 mit Hinweisen). Ob eine Beschwerde aussichtsreich ist, erschliesst sich aus den Begehren und ihrer Begründung durch den Beschwerdeführer (Urteil 6B_588/2007 vom 11. April 2008 E. 6.2, in: Pra 2008 Nr. 123 S. 766). Wie sich aus den vorangehenden Erwägungen ergibt, ist die Beschwerde in den Punkten, in welchen sie hinreichend substanziiert wurde, offensichtlich unbegründet. Der Beschwerdeführer trägt somit die Gerichtskosten (<ref-law>). Er hat zudem keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Strafsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold