Sachverhalt:
A.

A._ (Beschwerdeführerin), Jahrgang 1979, und B._, Jahrgang 1969, sind die Eltern der Kinder C._, geboren 2005, und D._, geboren 2008. Aufgrund wiederholter Gefährdungsmeldungen seit Mitte 2008 wurde den Kindern ein Beistand zwecks Familienbegleitung bestellt (2010) und in Gesprächen (2011 und 2012) mit der Beschwerdeführerin als Obhutsberechtigten deren Kooperationsbereitschaft angemahnt unter Hinweis auf eine widrigenfalls in Erwägung zu ziehende Fremdplatzierung der Kinder. Bei der Scheidung ihrer Eltern wurden die Kinder unter die alleinige elterliche Sorge der Beschwerdeführerin gestellt.
B.
B.a. Auf Antrag des Beistands und nach einer weiteren Gefährdungsmeldung beschloss die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) der Stadt Zürich infolge Dringlichkeit ohne vorgängige Anhörung der Eltern, die Kinder unter Aufhebung der elterlichen Obhut im Sinne einer superprovisorischen Massnahme vorläufig je an einem der Behörde bekannten Ort unterzubringen (Dispositiv-Ziff. 1). Die KESB regelte die damit zusammenhängenden weiteren Fragen (Dispositiv-Ziff. 2-5) und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung (Dispositiv-Ziff. 6 der Zirkulationsbeschlüsse vom 9. Juli 2013). Die Fremdplatzierung der Kinder erfolgte am 10. Juli 2013. Die Anhörung der Eltern fand am 11. Juli 2013 statt.
B.b. Die Beschwerdeführerin legte gegen die Zirkulationsbeschlüsse am 19. Juli 2013 eine Beschwerde ein und beantragte, die jeweiligen Dispositiv-Ziff. 1 aufzuheben, die Kinder sofort wieder in ihre Obhut zu geben, eventuell die Unterbringung der Kinder gemäss ihren Vorschlägen zu gestalten sowie umgehend den Entzug der aufschiebenden Wirkung aufzuheben und die aufschiebende Wirkung zu gewähren. Der Bezirksrat Zürich entschied vorweg über den Antrag auf Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung. Er wies den Antrag ab und hielt fest, dass die beiden Kinder für die Dauer des Verfahrens fremdplatziert bleiben (Beschluss vom 22. August 2013).
B.c. Den Beschluss des Bezirksrats über die aufschiebende Wirkung focht die Beschwerdeführerin am 2. September 2013 beim Obergericht des Kantons Zürich an. Sie begehrte, den Entzug der aufschiebenden Wirkung aufzuheben, die beiden Kinder sofort wieder in ihre Obhut zu geben und den Bezirksrat zum sofortigen Entscheid über ihr Eventualbegehren zu verpflichten, eventuell die Unterbringung der Kinder gemäss ihren Vorschlägen zu gestalten. Das Obergericht verneinte die Beschwerdefähigkeit von superprovisorischen Massnahmen grundsätzlich (E. II/3 S. 4 ff.) und hielt im konkreten Fall dafür, der Bezirksrat hätte als untere Beschwerdeinstanz nicht auf die Beschwerde gegen die superprovisorischen Massnahmen der KESB eintreten dürfen und es habe nunmehr möglichst zeitnah der Entscheid der KESB über die vorsorglichen Massnahmen zu ergehen (E. II/4 S. 7 f.). Das Obergericht trat auf die Beschwerde nicht ein (Dispositiv-Ziff. 1), bestellte der Beschwerdeführerin einen unentgeltlichen Rechtsbeistand (Dispositiv-Ziff. 3) und legte dessen Entschädigung auf Fr. 3'000.-- fest (Dispositiv-Ziff. 6 des Beschlusses vom 12. September 2013).
B.d. Mit Eingabe vom 14. Oktober 2013 beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, Dispositiv-Ziff. 1 des obergerichtlichen Beschlusses aufzuheben und das Obergericht zu verpflichten, auf die Beschwerde einzutreten, eventuell ohne Rückweisung selbst in der Sache zu entscheiden, sowie Dispositiv-Ziff. 6 des obergerichtlichen Beschlusses zu ergänzen und die Entschädigung an den unentgeltlichen Rechtsbeistand nach gerichtlichem Ermessen angemessen zu erhöhen, eventuell das Obergericht zur Ergänzung der Entschädigung zu verpflichten. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersucht die Beschwerdeführerin insbesondere um unentgeltliche Rechtspflege. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat weitere Verfahrensanträge der Beschwerdeführerin abgelehnt und ist auf deren Gesuch um vorsorgliche Massnahmen nicht eingetreten (Verfügungen vom 17. Oktober 2013 und vom 19. November 2013). Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die KESB beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darin ein Entscheid in der Sache selbst verlangt werde, und in formaler Hinsicht die Rechtsmittelfähigkeit superprovisorischer Entscheide im Kindes- und Erwachsenenschutz festzustellen. Die Beschwerdeführerin hat mit Eingabe vom 9./10. Dezember 2013 ihr Replikrecht ausgeübt.
C.
Mit Beschlüssen vom 14. November 2013 bestätigte die KESB die am 9. Juli 2013 superprovisorisch angeordnete Fremdplatzierung der beiden Kinder. Sie wies den Antrag der Beschwerdeführerin auf Aufhebung des Obhutsentzugs ab und traf weitere Anordnungen betreffend Aufgaben und Anträge des Beistandes. Gleichzeitig verfügte die KESB im Sinne einer superprovisorischen Massnahme die Umplatzierung von C._ in ein anderes Wohnheim. Allfälligen Beschwerden wurde die aufschiebende Wirkung entzogen. Die Beschwerdeführerin legte gegen die Beschlüsse beim Bezirksrat und beim Obergericht erfolglos Beschwerden ein. Gegen das Urteil des Obergerichts vom 14. Februar 2014 ist sie mit Eingabe vom 19. März 2014 an das Bundesgericht gelangt (Verfahren 5A_233/2014).
Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin beantragt, die Verfahren 5A_772/2013 und 5A_233/2014 zu vereinigen. Da sich die Beschwerde 5A_772/2013 aus nachstehenden Gründen insgesamt als unzulässig erweist, ist eine Vereinigung der Verfahren nicht gerechtfertigt und der entsprechende Antrag abzuweisen.
2.
Zur Hauptsache richtet sich die Beschwerde gegen Dispositiv-Ziff. 1 des obergerichtlichen Beschlusses, wonach auf Beschwerden gegen superprovisorische Massnahmen der KESB nicht einzutreten ist.
2.1. Die sog. superprovisorischen Massnahmen haben ihre Grundlage in <ref-law>, wonach die Erwachsenenschutzbehörde bei besonderer Dringlichkeit vorsorgliche Massnahmen sofort ohne Anhörung der am Verfahren beteiligten Personen treffen kann, diesen gleichzeitig Gelegenheit zur Stellungnahme gibt und anschliessend neu entscheidet. Die Bestimmung ist im Kindesschutzverfahren sinngemäss anwendbar (<ref-law>). Im vorliegenden Fall hat die KESB die Beschwerdeführerin und den Kindsvater zwei Tage nach Erlass der superprovisorischen Massnahmen vom 9. Juli 2013 angehört und anschliessend am 14. November 2013 die superprovisorischen Massnahmen als vorsorgliche Kindesschutzmassnahmen bestätigt. Die Bestätigungsbeschlüsse haben die vorausgegangenen superprovisorischen Massnahmen ersetzt und dahinfallen lassen. Damit ist auch das Rechtsschutzinteresse bei einer Beschwerde gegen die superprovisorischen Massnahmen entfallen (Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7001 S. 7077; zum vergleichbaren <ref-law>: <ref-ruling> E. 1.4 S. 420).
2.2. Die Beschwerdeführerin ist sich bereits im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung bewusst gewesen, dass ihr schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids (<ref-law>) während des bundesgerichtlichen Verfahrens entfällt und ihre Beschwerde gegenstandslos wird, falls die KESB die superprovisorischen Massnahmen als vorsorgliche Kindesschutzmassnahmen bestätigt, ändert oder aufhebt und damit ersetzt. Sie ersucht das Bundesgericht wegen der grundsätzlichen Bedeutung der Rechtsfrage (S. 5 f. Ziff. 5) und in Anbetracht einer Angelegenheit von grossem öffentlichem Interesse (S. 15 f. Ziff. 8) gleichwohl auf ihre Beschwerde einzutreten. Das damit geltend gemachte virtuelle Interesse (zum Begriff: <ref-ruling> E. 1.1 S. 93 f.) bejaht das Bundesgericht praxisgemäss nur in Ausnahmefällen (zuletzt Urteile 5A_391/2013 vom 7. November 2013 E. 2 und 5A_844/2012 vom 15. August 2013 E. 2) und ist auch im vorliegenden Fall zu verneinen. Es kommt hinzu, dass die vorsorglichen Massnahmen, die das Superprovisorium beendet haben, inzwischen bereits wieder vor den kantonalen Beschwerdeinstanzen und teilweise bis vor Bundesgericht angefochten sind.
2.3. Soweit sie sich gegen die Dispositiv-Ziff. 1 des angefochtenen Beschlusses richtet, muss die Beschwerde aus den dargelegten Gründen als gegenstandslos abgeschrieben werden.
3.
Die Beschwerde richtet sich weiter gegen Dispositiv-Ziff. 6 des angefochtenen Beschlusses und dabei gegen die Bemessung der Entschädigung an den unentgeltlichen Rechtsbeistand. Der nachträgliche Wegfall des schutzwürdigen Interesses an der Beschwerde in der Sache bewirkt nicht die Gegenstandslosigkeit der Beschwerde gegen die Bemessung der Entschädigung an den unentgeltlichen Rechtsbeistand. Gleichwohl erweist sich die Beschwerde als unzulässig. Denn die (angeblich zu tief angesetzte) Entschädigung an den unentgeltlichen Rechtsbeistand kann nur von diesem Rechtsbeistand selber beim Bundesgericht angefochten werden, während dazu die Beschwerdeführerin persönlich genau so wenig wie ihr Rechtsvertreter, wenn er - wie hier (S. 1 f.) - ausschliesslich in ihrem Namen eine Beschwerde führt, legitimiert ist (vgl. Urteile M 2/06 vom 17. September 2007 E. 5.3.2, in: Anwaltsrevue 2008 S. 32, und 9C_991/2008 vom 18. Mai 2009 E. 2.2.1, in: SZZP 2009 S. 392; Alfred Bühler, Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 48, und Denis Tappy, CPC. Code de procédure civile commenté, 2011, N. 22 zu <ref-law>, je mit Hinweisen). Soweit sich die Beschwerde gegen die Dispositiv-Ziff. 6 des angefochtenen Beschlusses richtet, kann darauf aus den dargelegten Gründen nicht eingetreten werden.
4.
4.1. Insgesamt ist die Beschwerde teils für gegenstandslos zu erklären (E. 2), teils darauf nicht einzutreten (E. 3). Beide Teile sind für die Regelung der Kosten und Entschädigungen und damit verbunden für den Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren zu berücksichtigen (vgl. Felix Addor, Die Gegenstandslosigkeit des Rechtsstreits, 1997, S. 224).
4.2. Was den Nichteintretensentscheid angeht, hat die Beschwerdeführerin von Beginn an ohne Aussicht auf Erfolg die Entschädigung an ihren Rechtsvertreter als zu niedrig angefochten. Das Erfordernis der Beeinträchtigung in eigenen Interessen ist als allgemeiner Verfahrensgrundsatz bekannt (vgl. etwa Bernard Corboz, Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 22 ff. zu <ref-law>, mit Hinweisen) und gilt auch im Bereich der unentgeltlichen Rechtspflege (E. 3). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist deshalb abzuweisen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin wird damit kosten-, hingegen nicht entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 3 BGG). Mit Rücksicht auf ihre Fürsorgeabhängigkeit wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>).
4.3. Mit Bezug auf die Gegenstandslosigkeit der Beschwerde in der Sache ergibt sich Folgendes:
4.3.1. In Fällen von Gegenstandslosigkeit erklärt das Bundesgericht die Beschwerde nach Vernehmlassung der Parteien ohne weitere Parteiverhandlung als erledigt und entscheidet mit summarischer Begründung über die Prozesskosten auf Grund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Es steht ihm dabei ein weites Ermessen zu. Die Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen hat in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens abzustellen. Sie erfolgt auf Grund einer lediglich summarischen Prüfung, bei der nicht auf alle Rügen einzeln und detailliert einzugehen ist, und mit bloss summarischer Begründung, weil nicht auf dem Weg über den Kostenentscheid ein materielles Urteil gefällt oder vorweggenommen werden darf. Lässt sich der mutmassliche Ausgang des Verfahrens nicht ohne Weiteres feststellen, ist auf allgemeine prozessrechtliche Kriterien zurückzugreifen. Danach wird in erster Linie jene Partei kosten- und entschädigungspflichtig, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst hat oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geführt haben. Die Regelung bezweckt, denjenigen, der in guten Treuen Beschwerde erhoben hat, nicht im Kostenpunkt dafür zu bestrafen, dass die Beschwerde infolge nachträglicher Änderung der Umstände abzuschreiben ist, ohne dass ihm dies anzulasten wäre (<ref-ruling> E. 4a S. 494 f.; Urteile K 139/03 vom 2. Dezember 2004 E. 2.1, in: Anwaltsrevue 2005 S. 123, und 2C_237/2009 vom 28. September 2009 E. 3.1, in: SZZP 2010 S. 54).
4.3.2. Da sich die Beschwerdeführerin bereits in ihrer Beschwerde zu einer allfälligen Gegenstandslosigkeit geäussert hat und sich in ihrer Replik dazu nochmals hat äussern können, erübrigt es sich, weitere Vernehmlassungen einzuholen. Inzwischen ergangene Urteile des Bundesgerichts zur Frage der Zulässigkeit einer Beschwerde gemäss <ref-law> gegen superprovisorische Massnahmen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) haben im Zeitpunkt der Erhebung ihrer Beschwerde noch nicht vorgelegen, so dass sie sich die Beschwerdeführerin nach Treu und Glauben auch nicht entgegenhalten lassen muss (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 329).
4.3.3. Der obergerichtliche Nichteintretensbeschluss stützt sich im Wesentlichen auf die Lehrmeinung, wonach die selbstständige Anfechtbarkeit von superprovisorischen Kindesschutzmassnahmen zu verneinen oder - wenn überhaupt - auf Ausnahmefälle zu beschränken sei (Christoph Auer/Michèle Marti, Basler Kommentar, 2012, N. 32 zu <ref-law>; Hermann Schmid, Erwachsenenschutz. Kommentar, 2010, N. 12. zu <ref-law>). Er widerspricht damit den gegenteiligen Erläuterungen des Bundesrates in der Botschaft (BBl 2006 7001 S. 7077), denen das Schrifttum überwiegend folgt (statt vieler: Daniel Steck, in: FamKomm Erwachsenenschutz, 2013, N. 19 f. zu <ref-law>, und Philippe Meier/Suzana Lukic, Introduction au nouveau droit de la protection de l'adulte, 2011, N. 107 S. 49, je mit Hinweisen). In der Lehre wird auch vertreten, die Zulässigkeit der Beschwerde ergebe sich aus dem Gesetzeswortlaut (François Bohnet, Autorités et procédure en matière de protection de l'adulte, in: Le nouveau droit de la protection de l'adulte, 2012, N. 157 S. 87) oder aus der Systematik (Heinz Hausheer/Thomas Geiser/Regina E. Aebi-Müller, Das Familienrecht des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, 5. Aufl. 2014, S. 460 Rz. 19.86) und dürfe insbesondere unter Berücksichtigung der auf dem Spiele stehenden Interessen nicht verneint werden (Yvo Biderbost, Rechtsmittelbelehrung bei superprovisorischen Verfügungen im Vormundschaftswesen, Zeitschrift für Vormundschaftswesen, ZVW 61/2006 S. 67 ff.).
4.3.4. Richtig ist, dass wegen Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung jederzeit Beschwerde geführt werden kann (Art. 450a Abs. 2 und Art. 450b Abs. 3 ZGB) und damit ein Rechtsbehelf zur Verfügung steht, die Dauer eines Superprovisoriums zu beschränken und dessen Ersetzung durch eine vorsorgliche Massnahme zu bewirken (<ref-law>), gegen die innert zehn Tagen nach deren Mitteilung Beschwerde erhoben werden kann (<ref-law>). Es fällt auf, dass das Obergericht über zwei Monate nach der superprovisorischen Fremdplatzierung der Kinder lediglich in seinen Erwägungen darauf hingewiesen hat, es habe nunmehr möglichst zeitnah der Entscheid der KESB über die vorsorgliche Massnahme zu ergehen (E. II/4 S. 7 f.), und nicht autoritativ eine Rechtsverzögerung festgestellt und der KESB klare Anweisungen erteilt hat. Dass die KESB am 14. November 2013 und damit rund vier Monate nach Erlass der superprovisorischen Anordnungen vorsorgliche Massnahmen erlassen hat und dass erst dadurch das Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht gegenstandslos geworden ist, kann unter diesen Umständen nicht der Beschwerdeführerin angelastet werden.
4.3.5. Was die Gegenstandslosigkeit angeht, kann somit nicht gesagt werden, dass die Beschwerdeführerin den Grund dafür gesetzt und ohne ausreichende Veranlassung gegen den angefochtenen Beschluss eine Beschwerde an das Bundesgericht erhoben hat. Der Kanton Zürich wird deshalb entschädigungspflichtig (<ref-law>), hingegen nicht kostenpflichtig (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>) erweist sich in diesem Punkt als gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Der Antrag auf Vereinigung der Verfahren 5A_772/2013 und 5A_233/2014 wird abgewiesen.
2.
2.1. Die Beschwerde gegen Dispositiv-Ziff. 1 des Beschlusses des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 12. September 2013 wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.2. Auf die Beschwerde gegen Dispositiv-Ziff. 6 des Beschlusses des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 12. September 2013 wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Mai 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten