Aufenthaltsbewilligung, hat sich ergeben:
A.- Der aus Algerien stammende A.H._ reiste im September 1993 in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch.
Das Bundesamt für Flüchtlinge (BFF) wies dieses Gesuch am 4. Mai 1994 ab; eine dagegen erhobene Beschwerde bei der Eidgenössischen Asylrekurskommission blieb erfolglos. In der Folge tauchte A.H._ unter. Im Oktober 1995 wurde er festgenommen, und am 10. Januar 1996 verurteilte ihn die Bezirksgerichtskommission Arbon wegen Widerhandlung gegen das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142. 20) zu einer Gefängnisstrafe von zwei Monaten (unter Gewährung des bedingten Strafvollzugs).
Am 9. Februar 1996 heiratete A.H._ die in der Schweiz geborene italienische Staatsangehörige G.H._, welche im Besitz der Niederlassungsbewilligung ist. Am 21. Juni 1996 erhielt A.H._ deshalb - im Rahmen des Familiennachzugs (Verbleib beim Ehepartner) - gestützt auf Art. 17 Abs. 2 ANAG die Aufenthaltsbewilligung, welche in der Folge mehrmals (jeweils um ein halbes Jahr) verlängert wurde.
B.- Nachdem die Fremdenpolizei des Kantons Thurgau A.H._ das rechtliche Gehör gewährt hatte, verfügte sie am 21. Juni 1999, die Aufenthaltsbewilligung werde nicht mehr verlängert. Zur Begründung führte die Fremdenpolizei aus, A.H._ sei seit der Erteilung der Aufenthaltsbewilligung keiner geregelten Erwerbstätigkeit nachgegangen.
Dies habe dazu geführt, dass er nicht in der Lage gewesen sei, seinen Lebensunterhalt selbst zu bestreiten. Seit Dezember 1996 habe er von der Gemeinde X._ über Fr. 33'000.-- an Fürsorgeleistungen bezogen. Ausländer, die der öffentlichen Hand fortgesetzt und in erheblicher Weise zur Last fielen, setzten einen Grund für ihre Ausweisung aus der Schweiz.
C.- Einen gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs wies das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau am 3. November 1999 ab. Es erwog im Wesentlichen, über drei Jahre lang habe A.H._ eine Arbeitsscheu an den Tag gelegt, die jeder Beschreibung spotte. Er habe ein Verhalten gezeigt, welches darauf schliessen lasse, dass er nicht gewillt oder nicht fähig sei, sich in die im Gaststaat geltende Ordnung einzufügen (Art. 10 Abs. 1 lit. b ANAG).
Seine ausgeprägte Arbeitsscheu und die daraus resultierende, selbstverschuldete Fürsorgeabhängigkeit lasse ihn in der Schweiz als unerwünscht erscheinen. Seit Dezember 1996 habe das Ehepaar H._ vom Fürsorgeamt X._ unterstützt werden müssen; gemäss dem letzten Schreiben des Fürsorgeamtes vom 11. Januar 1999 sei eine Gesamtschuld von Fr. 33'406. 85 aufgelaufen. Nach Auskunft des Fürsorgeamtes vom 7. Oktober 1999 bezögen die Eheleute H._ weiterhin Fürsorgegelder; zudem seien bis zu diesem Zeitpunkt keine Rückzahlungen vorgenommen worden. Damit sei auch der Ausweisungsgrund von Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG erfüllt.
Schliesslich kam das Departement zum Schluss, die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung erweise sich angesichts des schweren Verschuldens von A.H._ - welcher es offenbar vorziehe, "sich von der öffentlichen Wohlfahrt unterstützen zu lassen, anstatt selbst um seinen und den Unterhalt seiner Frau besorgt zu sein" - auch als verhältnismässig.
Eine gegen diesen Departementsentscheid gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 3. Mai 2000 ab.
D.- Mit Eingabe vom 4. September 2000 führen A.H._ und G.H._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 3. Mai 2000 sowie den Departementsentscheid vom 3. November 1999 und die Verfügung der Fremdenpolizei vom 21. Juni 1999 aufzuheben und dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 17 Abs. 2 ANAG um mindestens ein Jahr ab Rechtskraft des Entscheides (mit Verlängerungsmöglichkeit) zu verlängern.
Sodann sei dem Beschwerdeführer im Sinne einer vorsorglichen Massnahme zu bewilligen, bis zum rechtskräftigen Entscheid einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Für das bundesgerichtliche Verfahren beantragen die Eheleute H._ ferner die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Departement für Justiz und Sicherheit und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Ausländerfragen beantragt, die Beschwerde gutzuheissen und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
E.- Mit Verfügung vom 2. Oktober 2000 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Soweit weitergehend (d.h. betreffend das Ersuchen um Bewilligung einer Erwerbstätigkeit), wies der Abteilungspräsident das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen "im Sinne der Erwägungen" ab (Verfügung vom 2. November 2000).

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Nach Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde auf dem Gebiet der Fremdenpolizei unzulässig gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen, auf die das Bundesrecht keinen Anspruch einräumt. Gemäss Art. 4 ANAG entscheidet die zuständige Behörde, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt oder Niederlassung. Damit besteht grundsätzlich kein Anspruch auf Erteilung einer Bewilligung, es sei denn, der Ausländer könne sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrags berufen (<ref-ruling> E. 2 S. 381; <ref-ruling> E. 1a S. 363 f., je mit Hinweisen).
b) Gemäss Art. 17 Abs. 2 ANAG hat der Ehegatte eines Ausländers, der im Besitz der Niederlassungsbewilligung ist, Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, solange die Ehegatten zusammen wohnen. Der Beschwerdeführer ist mit einer italienischen Staatsangehörigen verheiratet, welche über die Niederlassungsbewilligung verfügt. Er lebt mit ihr zusammen und kann sich daher für die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung auf Art. 17 Abs. 2 ANAG berufen. Des Weitern ergibt sich nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung auch aus dem in Art. 8 Ziff. 1 EMRK garantierten Schutz des Familienlebens ein Anspruch auf Erteilung der Aufenthaltsbewilligung für einen Ausländer, dessen nahe Angehörige, insbesondere dessen Ehegatte, ein festes Anwesenheitsrecht in der Schweiz haben, sofern die familiäre Beziehung tatsächlich gelebt wird und intakt ist (BGE <ref-ruling> E. 1b S. 364, mit Hinweisen).
Auch diese Voraussetzungen erscheinen vorliegend erfüllt.
Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde erweist sich daher als zulässig. Ob im konkreten Fall die Bewilligung verweigert werden darf, ist eine Frage der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1 S. 8, mit Hinweisen).
c) Das Bundesgericht wendet im verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren das Bundesrecht von Amtes wegen an; es ist gemäss Art. 114 Abs. 1 OG an die von den Parteien vorgebrachten Begründungen nicht gebunden und kann die Beschwerde auch aus anderen als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder abweisen (<ref-ruling> E. 4a S. 117, mit Hinweis).
2.- Gemäss Art. 17 Abs. 2 letzter Satz ANAG erlischt der Anspruch des Ausländers auf Erteilung oder Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung, wenn er gegen die "öffentliche Ordnung" verstossen hat. Die Voraussetzung für ein Erlöschen des Anspruches ist weniger streng als im Fall des ausländischen Ehegatten eines Schweizers oder einer Schweizerin, bei dem gemäss Art. 7 Abs. 1 letzter Satz ANAG ein Ausweisungsgrund (Art. 10 ANAG) vorliegen muss und unter Beachtung der Kriterien von Art. 16 Abs. 3 der Vollziehungsverordnung vom 1. März 1949 zum Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAV; SR 142. 201) - Schwere des Verschuldens, Dauer der Anwesenheit, persönliche und familiäre Nachteile - eine Verhältnismässigkeitsprüfung nach Art. 11 Abs. 3 ANAG stattzufinden hat. Nach Art. 17 Abs. 2 ANAG genügt bereits ein Verstoss gegen die öffentliche Ordnung.
Zwar muss auch in diesem Falle die Verweigerung der Bewilligung nach den allgemeinen Regeln des Verwaltungsrechts verhältnismässig sein; da aber bereits geringere öffentliche Interessen für ein Erlöschen des Anspruchs genügen, sind auch die entgegenstehenden privaten Interessen weniger stark zu gewichten als bei einer Ausweisung (<ref-ruling> E. 4a S. 130 f., mit Hinweisen). Eine vergleichbare Interessenabwägung setzt im Übrigen gemäss Art. 8 Ziff. 2 EMRK auch ein Eingriff in das Recht auf Achtung des Familienlebens voraus (<ref-ruling> E. 2 S. 5 f., mit Hinweisen).
3.- a) Das Verwaltungsgericht gelangte im angefochtenen Urteil zur Auffassung, beim Beschwerdeführer sei "tatsächlich von Arbeitsscheu" auszugehen (S. 7 des angefochtenen Entscheides). Es stützte sich dabei auf die bisherige Aktenlage, ohne eigene Abklärungen vorzunehmen. Das Gericht erwog, der Beschwerdeführer behaupte zwar, die nun immer kleiner werdenden Schulden (beim Fürsorgeamt) würden kontinuierlich zurückbezahlt. Hierfür finde sich in den Akten allerdings kein Beweis. Vielmehr scheine es sich so zu verhalten, dass der Beschwerdeführer und seine Frau nach wie vor auf die Unterstützung der Fürsorgebehörden angewiesen seien.
Unter diesen Umständen könne ohne weiteres gesagt werden, beim Beschwerdeführer liege eine erhebliche und fortgesetzte Fürsorgeabhängigkeit vor, und es sei auch nicht damit zu rechnen, dass sich dies in Zukunft bessern werde. Der Beschwerdeführer erfülle zwei Ausweisungsgründe (Art. 10 Abs. 1 lit. b und lit. d ANAG), weshalb ohne weiteres gesagt werden könne, er habe gegen die öffentliche Ordnung verstossen.
Das Verwaltungsgericht kam sodann zum Schluss, die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung erweise sich als verhältnismässig (S. 8 und 9 des angefochtenen Entscheides).
b) Die Kognition des Bundesgerichts bei der Überprüfung des angefochtenen Urteils ergibt sich aus den zulässigen Beschwerdegründen gemäss Art. 104 lit. a-b und Art. 105 Abs. 2 OG. Da als Vorinstanz eine richterliche Behörde entschieden hat, ist das Bundesgericht an die Feststellung des Sachverhalts gebunden, soweit dieser nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen ermittelt worden ist.
Mit freier Kognition ist demgegenüber zu prüfen, ob das angefochtene Urteil Bundesrecht verletzt. Vorab stellt sich jedoch die Frage, ob die Sachverhaltsfeststellungen des Verwaltungsgerichts der Überprüfung nach Massgabe von Art. 105 Abs. 2 OG standhalten.
c) Der Beschwerdeführer hatte vor dem Verwaltungsgericht geltend gemacht, seine "nun immer kleiner werdenden Schulden" würden "kontinuierlich zurückbezahlt" (S. 5 der kantonalen Beschwerdeschrift). Am 1. März 2000 reichte er dem Verwaltungsgericht u.a. eine Schuldanerkennung vom 1. Dezember 1999 (auf dem Briefpapier des Fürsorgeamtes der Gemeinde X._) ein. Darin anerkennen die Beschwerdeführer, "in der Zeit von November 1996 bis 15. November 1999, Fürsorgeleistungen pro Saldo Fr. 31'104. 25 bezogen zu haben". Elf Monate vorher, am 11. Januar 1999, hatte das Fürsorgeamt X._ in einem Schreiben an die Einwohnerkontrolle - welches dem Verwaltungsgericht vorlag - demgegenüber festgehalten, bis im Januar 1999 sei eine "Gesamtschuld von Fr. 33'406. 85 aufgelaufen".
d) Damit ergibt sich, dass der Sachverhalt vom Verwaltungsgericht offensichtlich unrichtig oder jedenfalls unvollständig ermittelt worden ist. Das Gericht ging im Zeitpunkt seines Entscheides (am 3. Mai 2000) davon aus, die Beschwerdeführer seien "nach wie vor auf die Unterstützung der Fürsorgebehörden angewiesen", und es sei bezüglich der Fürsorgeabhängigkeit "auch nicht damit zu rechnen, dass sich dies in Zukunft bessern" werde. Angesichts der Tatsache, dass sich der Schuldensaldo zwischen Januar und Dezember 1999 offensichtlich reduziert hatte (was die Beschwerdeführer im oberinstanzlichen Verfahren mit der Einreichung einer entsprechenden Schuldanerkennung belegten), wäre das Verwaltungsgericht aber verpflichtet gewesen, eigene Abklärungen zu treffen. Es stellt sich nämlich die Frage, ob bzw. inwieweit die Beschwerdeführer im Jahre 1999 überhaupt noch Sozialhilfe bezogen haben, was wiederum (mit)entscheidend für die Beurteilung ist, ob bei ihnen eine fortgesetzte und erhebliche Fürsorgeabhängigkeit im Sinne von Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG besteht. Zwar ist richtig, dass es nicht allein darauf ankommen kann, ob im Zeitpunkt des Beschwerdeentscheides (noch) Unterstützungsleistungen bezogen werden; es ist jedoch immer von den aktuellen Verhältnissen auszugehen, und die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung ist auf längere Sicht abzuwägen (unveröffentlichtes Urteil vom 20. August 1998 i.S. Mehmeti, E. 3a, sowie <ref-ruling> E. 3b S. 6). Gesicherte Kenntnisse über den aktuellen Stand der Verschuldung sind insoweit unabdingbar.
e) Sodann ist dem Verwaltungsgericht entgegenzuhalten, dass der Bezug von Fürsorgeleistungen allein noch keinen Verstoss gegen die öffentliche Ordnung begründet (<ref-ruling> E. 3b S. 391). Zwar macht das Verwaltungsgericht in seiner Vernehmlassung geltend, es habe nicht allein die Bedürftigkeit der Beschwerdeführer als Begründung für die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung angeführt, sondern "zusammen mit dem bisherigen Verhalten" auf "ein erhebliches Fürsorgerisiko" geschlossen. Dies mag zutreffen; das Verwaltungsgericht hat sich in E. 3a des angefochtenen Entscheides mit dem gegenüber dem Beschwerdeführer erhobenen Vorwurf der Arbeitsscheu (vgl. Art. 16 Abs. 2 letzter Satz ANAV) auseinander gesetzt und diesen Vorwurf als begründet erachtet. Das Gericht hat ausgeführt, auch es habe "den Eindruck", dass der Beschwerdeführer "kaum je ernsthafte Bemühungen" unternommen habe, "sich ins hiesige Arbeitsleben einzufügen" (S. 7 des angefochtenen Entscheides).
Richtig ist, dass vom Beschwerdeführer erwartet werden kann, sich ernsthaft um die Bestreitung seines Lebensunterhaltes zu bemühen. Bei der Beurteilung der Intensität dieser Bemühungen ist jedoch (auch) die in den vergangenen Jahren erhöhte Arbeitslosenquote in der Schweiz zu berücksichtigen sowie der Umstand, dass dem Beschwerdeführer der Aufenthalt in der fraglichen Zeit jeweils bloss für weitere sechs Monate bewilligt worden ist (was seine Möglichkeiten auf dem Arbeitsmarkt zusätzlich eingeschränkt hat). Ob die vom Verwaltungsgericht aus den Akten herangezogenen Indizien ausreichen, um auf "Arbeitsscheu" im Sinne von Art. 16 Abs. 2 ANAV zu schliessen, kann aber letztlich dahingestellt bleiben.
Denn nach dem Gesagten ergibt sich, dass der Entscheid, ob der Anspruch des Beschwerdeführers auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung im Sinne von Art. 17 Abs. 2 ANAG erloschen ist, jedenfalls nicht ohne Klärung der Frage gefällt werden kann, in welcher Höhe und in welchen zeitlichen Abständen das Ehepaar Sozialhilfegelder bezieht oder bezogen hat bzw. unter welchen Umständen und von wem solche Gelder allenfalls zurückbezahlt worden sind (vgl. E. 3c). Ob tatsächlich ein Verstoss gegen die öffentliche Ordnung vorliegt, wird u.a. davon abhängen, inwieweit sich die Beschwerdeführer ernsthaft und erkennbar darum bemüht haben, die entsprechende Schuldenlast zu stabilisieren und abzutragen.
4.- Nach dem Gesagten ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache ist zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 114 Abs. 2 OG).
Entsprechend diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (Art. 156 Abs. 2 OG). Hingegen hat der Kanton Thurgau die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 159 Abs. 2 OG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 3. Mai 2000 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.- Es werden keine Kosten erhoben.
3.- Der Kanton Thurgau hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.- Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
5.- Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Departement für Justiz und Sicherheit sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Ausländerfragen schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 9. Februar 2001
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: