Faits:
A.
A._ travaillait en qualité d'infirmière en soins généraux au sein de l'Hôpital B._ à un taux de 80 %. A ce titre, elle était assurée contre les accidents professionnels et non professionnels auprès de Helsana Accidents SA (ci-après: Helsana).
Le 25 janvier 2009, la prénommée a été victime d'un accident. En voulant retenir une personne obèse, elle a chuté en arrière, heurtant un mur de la tête et de la nuque, la personne qu'elle tentait de retenir tombant sur elle. A la suite de cet événement, l'assurée a ressenti d'importantes cervico-dorsalgies et des paresthésies au niveau de la main gauche pour lesquelles elle a consulté son médecin traitant, le docteur C._, médecin généraliste. Sous traitement conservateur, l'évolution a été partiellement favorable. Il n'y a pas eu d'arrêt de travail mais en raison de la persistance des douleurs, l'intéressée a bénéficié de physiothérapie cervicale dès mars 2009.
A._ a derechef été victime d'un accident le 24 juillet 2009. En mobilisant un patient, elle a perdu l'équilibre, provoquant un choc au niveau scapulaire et cervical. Elle a été en incapacité de travail totale dès le 27 juillet 2009. Le traitement conservateur n'ayant apporté que peu d'amélioration, un bilan radiologique cervical ainsi qu'un scanner cervical ont été réalisés le 12 août 2009, lesquels ont révélé la présence d'une hernie discale C6-C7 médiane, paramédiane droite et foraminale gauche en conflit avec la racine C7 gauche dans son trajet foraminal, une petite protrusion disco-ostéophytaire C5-C6 et une uncarthrose mineure.
L'assureur-accidents a soumis le cas à son médecin-conseil, le docteur D._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique. Ce dernier a estimé que le statu quo sine devait être fixé au 12 août 2009, date du scanner ayant révélé un problème dégénératif majeur (évaluation du docteur D._, du 2 novembre 2009).
Par décision du 2 décembre 2009, Helsana a mis fin à ses prestations au 13 août 2009 pour les deux accidents de janvier et juillet 2009.
L'assurée a formé opposition. Un nouveau bilan radiologique a été réalisé le 14 janvier 2010, faisant état d'une discopathie dégénérative en C6-C7 stable. Helsana a confié une expertise au docteur E._, spécialiste FMH en neurologie. Dans son rapport du 10 août 2010, ce médecin a posé les diagnostics suivants: cervico-brachialgies et troubles sensitifs des deux mains persistants; hernie discale C6-C7 médiane et paramédiane associée à un rétrécissement des trous de conjugaison des deux côtés; adénome hypophysaire de nature indéterminée (découverte fortuite); hypercorticisme anamnestique; hyperthyroïdie (maladie de Basedow) en traitement. L'expert a précisé que l'adénome hypophysaire et l'hyperthyroïdie étaient sans relation avec l'accident, mais que l'hypercorticisme était une conséquence du traitement des douleurs. Selon lui, il y avait lieu d'admettre une relation de causalité naturelle entre les troubles diagnostiqués et les deux événements accidentels pour une période de 6 mois après le deuxième accident. Au-delà, le rôle des facteurs dégénératifs était clairement prédominant.
Helsana a rendu le 12 mai 2011 une décision sur opposition modifiant partiellement sa précédente décision, en ce sens qu'elle prenait en charge les suites des accidents des 25 janvier et 24 juillet 2009 jusqu'au 31 janvier 2010, soit 6 mois après le dernier événement accidentel, ce qui correspondait à la survenance du statu quo sine vel ante. Elle a par ailleurs nié le droit de l'assurée à une indemnité pour atteinte à l'intégrité.
B.
A._ a recouru contre cette décision devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais en concluant à l'octroi d'indemnités journalières pour une incapacité de travail de 25 % au moins à partir du 31 janvier 2010 et d'une rente d'invalidité pour une incapacité de gain de 25 %. Elle a également requis une indemnité pour atteinte à l'intégrité d'un taux de 35 % au moins.
Le 17 octobre 2011, la recourante a informé la juridiction cantonale qu'elle avait été victime d'un grave accident de ski le 8 février 2011, lequel avait été pris en charge par la Bâloise Assurance, nouvel assureur-accidents de B._ depuis le 1 er janvier 2011. Par la suite elle a produit un rapport d'expertise privée du 11 janvier 2012 réalisée par le docteur F._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur. La recourante a produit une détermination du docteur F._ en réponse à une nouvelle appréciation du docteur D._. Elle a versé un rapport d'IRM et scanner cervical du 23 mai 2012 de la doctoresse G._ ainsi que deux appréciations du docteur F._, des 7 juin et 6 septembre 2012, faisant état d'une fracture de la 6 ème vertèbre cervicale.
Par jugement du 27 juin 2013, la Cour des assurances sociales a rejeté le recours après avoir tenu une audience de débats publics le 21 juin 2013.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, principalement à l'octroi de prestations d'assurance-accidents postérieurement au 31 janvier 2010 ainsi qu'à la prise en charge par Helsana des frais d'expertise du docteur F._ par 3'000 fr., subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour complément d'instruction et prise en charge par Helsana des frais d'expertise du docteur F._.
Helsana conclut au rejet du recours.
L'Office fédéral de la santé publique (OFSP) a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
2.1. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 12 mai 2011, à supprimer le droit de la recourante à des prestations d'assurance (traitement médical et indemnité journalière) à compter du 1 er février 2010.
2.2. Lorsque le jugement entrepris porte sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, comme c'est le cas ici, le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir d'examen étendu en ce qui concerne les faits communs aux deux types de prestations (voir arrêt 8C_890/2012 du 15 novembre 2013 consid. 2).
3.
Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs aux conditions d'octroi des prestations de l'assurance-accidents, en particulier la nécessité d'un rapport de causalité entre l'événement accidentel et l'atteinte à la santé. Il suffit d'y renvoyer.
4.
Dans son rapport d'expertise du 10 août 2010, le docteur E._ a exposé que les radiographies standards de la colonne cervicale du 12 août 2009 mettaient en évidence une discopathie C6-C7, sans signe d'atteinte post-traumatique, toujours présente dans les radiographies standards et fonctionnelles du 14 janvier 2010, mais à un stade plus évolué. L'IRM cervicale effectuée à la même date permettait de retrouver une hernie discale médiane et paramédiane bilatérale à prédominance droite C6-C7, associée à un rétrécissement des trous de conjugaison des deux côtés de nature disco-osthéophytaire, un peu plus marqué à gauche, sans signes de myélopathie, sans atteinte post-traumatique et sans autres pathologies intra-rachidiennes significatives. Répondant à la question relative au lien de causalité, l'expert a affirmé que le type d'événements accidentels survenus les 25 janvier et 24 juillet 2009 n'étaient très certainement pas de nature à provoquer une hernie discale, la présence indiscutable de la discopathie C6-C7 étant le signe d'une altération dégénérative discale préexistante. Le docteur E._ est parvenu à la conclusion que le premier accident représentait le facteur déclenchant et que le deuxième traumatisme constituait le facteur réaggravant d'une pathologie préexistante mais néanmoins asymptomatique, le plus probable étant que les deux événements accidentels avaient rendu symptomatique une hernie discale préexistante par un mécanisme d'étirement radiculaire lors de la distorsion cervicale. Il a estimé qu'une relation de causalité naturelle entre les plaintes et l'événement accidentel pouvait être admise pour 6 mois au maximum après le deuxième accident, période au terme de laquelle, au vu du caractère objectivement modeste des deux événements accidentels et de l'importance des troubles dégénératifs, le rôle des facteurs post-traumatiques était devenu mineur et le rôle des facteurs dégénératifs clairement prédominant.
La juridiction cantonale a fait siennes les conclusions de cette expertise.
5.
Dans un premier grief, la recourante reproche aux premiers juges d'avoir écarté les conclusions du docteur F._ - selon lesquelles il existe une relation de causalité naturelle entre la symptomatologie (hernie discale et fracture vertébrale en C6) et l'accident du 25 janvier 2009 - sous prétexte qu'elle aurait elle-même banalisé le premier accident, ce qu'elle conteste.
En l'occurrence, le grief de la recourante n'est pas fondé. Les premiers juges ont en effet expliqué les raisons pour lesquelles le rapport du docteur F._, du 11 janvier 2012, ne remettait pas en question l'avis de l'expert E._. Ils ont ainsi retenu que le docteur F._ ne faisait aucunement mention de l'accident survenu le 24 juillet 2009. Par ailleurs, il paraissait douteux qu'il ait eu accès à l'ensemble du dossier radiologique de la recourante, voire à l'expertise du docteur E._ dont il ne discutait pas l'argumentation. Le docteur F._ ne se prononçait pas non plus sur les clichés du 12 août 2009 révélant une discopathie C6-C7 sans signe d'atteinte post-traumatique ni sur ceux du 14 janvier 2010 faisant état d'une discopathie dégénérative C6-C7 plus évoluée. Son raisonnement tenait compte de l'absence d'antécédents au niveau de la colonne cervicale (raisonnement "post hoc, ergo propter hoc"). Enfin, il s'attachait à démontrer la gravité de l'accident du 25 janvier 2009 au moyen de critères définis par la jurisprudence pour l'examen de la causalité adéquate en cas de blessure de type "coup du lapin". Les premiers juges ont relevé qu'en l'occurrence, il ne s'agissait pas d'une telle lésion mais d'une hernie discale. Quoi qu'il en soit, les critères examinés par le docteur F._ servaient à l'examen de la causalité adéquate, laquelle était une notion juridique et non pas médicale. Le docteur F._ insistait ensuite sur l'importance du traumatisme au sens biomécanique. Cependant, sa description de l'événement ne différait pas de celle reproduite dans l'anamnèse de l'expert E._. Le premier en tirait des conséquences différentes du second, sans autre analyse hormis quelques considérations théoriques générales.
Cette appréciation des preuves et cette motivation exhaustive est convaincante et le Tribunal fédéral s'y rallie. Aussi, en ce qui concerne la décompensation symptomatique de la hernie discale C6-C7 déclenchée par l'accident du 25 janvier 2009 et réaggravée par celui du 24 juillet 2009, il y a lieu de considérer que le statu quo sine était atteint le 31 janvier 2010. L'intimée était dès lors fondée à supprimer le droit de la recourante à des prestations d'assurance (traitement médical et indemnité journalière) à partir de cette date.
6.
Dans un deuxième grief, la recourante reproche aux premiers juges de ne pas avoir pris en compte dans leur raisonnement la fracture du mur postérieur de la 6 ème vertèbre cervicale diagnostiquée en mai 2012.
En ce qui concerne le diagnostic de fracture vertébrale, celui-ci a été posé pour la première fois par le docteur F._ le 7 juin 2012, lequel s'est fondé sur le bilan radiologique (IRM et scanner cervical) réalisé par la doctoresse G._ en date du 23 mai 2012. Dans la mesure où ces nouvelles constatations sont postérieures à la décision sur opposition du 12 mai 2011, c'est à bon droit que les premiers juges n'ont pas tenu compte de la nouvelle lésion (fracture vertébrale) invoquée dans l'appréciation du droit de la recourante à des prestations d'assurance. En effet, selon une jurisprudence constante, le juge apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue. Les faits survenus postérieurement, et qui ont modifié cette situation, doivent normalement faire l'objet d'une nouvelle décision administrative (<ref-ruling> consid. 3.1.1. p. 220; <ref-ruling> consid. 1b p. 366 et les références). Au demeurant, on rappellera que malgré les nombreux examens radiologiques effectués dans la suite des accidents des 25 janvier et 24 juillet 2009, aucun spécialiste n'a fait état d'une fracture du mur postérieur de la 6 ème vertèbre. Enfin, il est rappelé que la recourante a subi un accident de ski le 8 février 2011, à propos duquel elle a allégué, dans la procédure l'opposant à son nouvel assureur-accidents Bâloise Assurances SA, qu'il s'agissait d'une "fracture de l'angle postéro-inférieur du corps de C6 dont l'origine était en l'état incertaine mais provenait très certainement de l'accident de ski du 9 février 2011". Au vu de ce qui précède, les constatations du docteur F._ selon lesquelles l'accident du 25 janvier 2009 serait à l'origine de la fracture vertébrale ne sauraient remettre en cause la décision sur opposition de l'intimée du 12 mai 2011.
7.
Dans un troisième grief, la recourante remet en cause la jurisprudence selon laquelle, d'après l'expérience médicale, pratiquement toutes les hernies discales s'insèrent dans un contexte d'altération des disques intervertébraux d'origine dégénérative, un événement accidentel n'apparaissant qu'exceptionnellement, et pour autant que certaines conditions particulières soient réalisées, comme la cause proprement dite d'une telle atteinte. A ce propos, elle invoque une violation de son droit d'être entendue au motif que la juridiction cantonale n'a pas donné suite à sa requête tendant à interpeller le professeur et docteur H._, sur le "consensus relatif au caractère traumatique d'une hernie discale au regard de la doctrine médicale actuelle".
7.1. Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment pour le justiciable le droit d'obtenir l'administration des preuves pertinentes et valablement offertes, de participer à l'administration des preuves essentielles et de se déterminer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 4.3.2 p. 469; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 277). Le magistrat peut renoncer à l'administration de certaines preuves, notamment lorsque les faits dont les parties veulent rapporter l'authenticité ne sont pas importants pour la solution du litige. Ce refus d'instruire ne viole le droit d'être entendu que si l'appréciation anticipée de la pertinence du moyen de preuve offert, à laquelle le juge a ainsi procédé, est entachée d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 236).
7.2. La recourante n'a pas démontré ni ne démontre en quoi l'interpellation du professeur H._ pouvait mettre en doute la pertinence de la jurisprudence du Tribunal fédéral critiquée par la recourante (cf. RAMA 2000 n° U 378 p. 190 consid. 3 [arrêt N. du 7 février 2000, U 149/99]). Le Tribunal cantonal pouvait dès lors, sans violer son droit d'être entendue, rejeter son offre de preuve.
8.
Comme en procédure cantonale, la recourante fait valoir que sa cause serait en tous points semblable à celle jugée par le Tribunal fédéral le 22 novembre 2011 (arrêt 8C_1003/2010).
Dans l'arrêt cité par la recourante, la question était uniquement de savoir si la hernie discale cervicale avait été déclenchée par l'accident, soit l'examen de la causalité. Dans le cas d'espèce en revanche, l'intimée a admis un lien de causalité entre l'accident et la hernie discale. La question porte sur le retour au statu quo sine vel ante, fixé par l'intimée au 31 janvier 2010.
9.
Mal fondé, le recours doit être rejeté. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Elle n'a en outre pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF). Dans la mesure où elle n'a pas obtenu gain de cause, la recourante ne saurait prétendre au remboursement de ses frais d'expertises privées.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 17 juin 2014
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : La Greffière :
Leuzinger Fretz Perrin