Sachverhalt:
A. Die 1952 geborene W._ lebt im Konkubinat mit H._ und besorgt den gemeinsamen Haushalt. Am 1. Januar 1999 schlossen die Konkubinatspartner einen ab diesem Zeitpunkt geltenden Arbeitsvertrag. Darin vereinbarten sie, dass W._ von H._ für die Übernahme des auf ihn entfallenden Anteils der Haus- und Gartenarbeit, entsprechend einem Pensum von 20 % resp. 8 Wochenstunden, ein monatliches Gehalt von Fr. 1400.- brutto bezieht. Am 6. Dezember 2000 meldete sich H._ unter Hinweis auf diesen Sachverhalt bei der AHV an, worauf er rückwirkend ab 1. Januar 1999 als Hausdienstarbeitgeber erfasst wurde (Bestätigung AHV-Zweigstelle T._ vom 28. September 2001). Am 6. März 2001 stellte H._ als Arbeitgeber (Betriebsart "Haushalthilfe Privathaushalt") bei der "Schweizerische Mobiliar Versicherungsgesellschaft" (nachstehend: Mobiliar) Antrag auf Abschluss eines Vertrages über die obligatorische Versicherung UVG gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen bei sofortigem Vertragsbeginn. Die Mobiliar entsprach diesem Antrag und stellte am 2. Mai 2001 die Police Nr. X._ aus, welche am 9. Mai 2001 an H._ und W._ versandt wurde.
Am 13. April 2001 erlitt W._ einen ersten und am 23. Juni 2001 einen zweiten Zeckenbiss. Als Folge dieser Ereignisse wurde von ärztlicher Seite eine mit Behandlungsbedürftigkeit und Arbeitsunfähigkeit verbundene Borreliose diagnostiziert. Den ersten Zeckenbiss vom 13. April 2001 meldete H._ der Mobiliar am 13. Januar 2002 als Unfall. Mit Verfügung vom 16. April 2002 verneinte der Unfallversicherer seine Leistungspflicht für das Ereignis und erklärte den Versicherungsvertrag rückwirkend per 6. März 2001 als aufgehoben mit der Begründung, W._ sei als Konkubinatspartnerin von der obligatorischen Unfallversicherung ausgeschlossen. Daran hielt die Mobiliar auf die von W._ und H._ gemeinsam sowie von der Krankenkasse Steffisburg, als obligatorischer Krankenversicherer der W._, erhobenen Einsprachen hin fest. Sie führte dabei zusätzlich an, der Versicherungsvertrag wäre ohnehin erst mit der Zustellung der Police vom 2. Mai 2001 und somit nach dem gemeldeten Zeckenbiss vom 13. April 2001 zustande gekommen, was eine Leistungsberechtigung gegenüber der Mobiliar selbst bei Geltung des Versicherungsobligatoriums für W._ ausschlösse (Einspracheentscheide vom 8. August 2002).
B. Hiegegen erhoben W._ und H._ einerseits und die Krankenkasse Steffisburg anderseits je Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern vereinigte die beiden Verfahren. Mit Entscheid vom 15. Oktober 2003 hiess es die Rechtsmittel insoweit gut, als es, den obligatorischen Unfallversicherungsschutz für W._ und das Bestehen der Versicherungsdeckung bei der Mobiliar bei Eintritt des Schadenereignisses vom 13. April 2001 bejahend, den Unfallversicherer verpflichtete, den Anspruch der Versicherten auf die gesetzlichen Leistungen nach UVG zu prüfen und darüber zu verfügen. Auf weitere Beschwerdeanträge (betreffend den zweiten Zeckenbiss vom 23. Juni 2001 und die eventualiter geltend gemachte Aufnahme in die freiwillige Versicherung nach UVG) trat es nicht ein.
C. Die Mobiliar führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei das Leistungsbegehren betreffend Unfallereignis von W._ vom 13. April 2001 abzuweisen.
W._ und H._ schliessen auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Die Krankenkasse Steffisburg lässt sich mit demselben Antrag vernehmen, ohne sich weiter zur Sache äussern. Das Bundesamt für Gesundheit, Abteilung Kranken- und Unfallversicherung, beantragt, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei in dem Sinne gutzuheissen, dass zwar ein UVG-Vertrag zwischen der Mobiliar und H._ zustande gekommen, indessen W._ als Konkubinatspartnerin in dieser Eigenschaft nicht obligatorisch unfallversichert sei.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 mit der zugehörigen Verordnung (ATSV) vom 11. September 2002 in Kraft getreten. Mit diesen Erlassen sind zahlreiche Bestimmungen im Unfallversicherungsbereich geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben, und weil ferner das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses des streitigen Einspracheentscheids (hier: 8. August 2002) eingetretenen Sachverhalt abstellt, sind im vorliegenden Fall die bis zum 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Bestimmungen anwendbar (<ref-ruling> Erw. 1.2). Dies hat das kantonale Gericht richtig erkannt.
2. Im Streite steht, ob W._ für den als Unfall gemeldeten Zeckenbiss vom 13. April 2001 und dessen Folgen bei der Mobiliar obligatorisch unfallversichert ist. Der Beschwerde führende Unfallversicherer verneint dies und damit seine Leistungspflicht aus dem besagten Ereignis. Zur Begründung führt er zum einen an, W._ sei für die als Partnerin eines Konkubinates geleistete Haushaltarbeit von der obligatorischen Unfallversicherung ausgeschlossen. Das gilt es als Erstes zu prüfen. Denn trifft dieses Rechtsverständnis zu, ist offen zu lassen, ob das Versicherungsverhältnis zwischen Arbeitgeber und Unfallversicherer rechtsgültig und rechtzeitig in dem Sinne zustande gekommen ist, dass das Ereignis vom 13. April 2001 davon erfasst wird. Dies wird von der Mobiliar ebenfalls verneint.
3. 3.1 Obligatorisch versichert sind nach dem Bundesgesetz vom 20. März 1981 über die Unfallversicherung (UVG) die in der Schweiz beschäftigten Arbeitnehmer, einschliesslich der Heimarbeiter, Lehrlinge, Praktikanten, Volontäre sowie der in Lehr- oder Invalidenwerkstätten tätigen Personen (Art. 1 [seit 1. Januar 2003: Art. 1a bei unverändertem Inhalt] Abs. 1 UVG).
Der Bundesrat kann die Versicherungspflicht ausdehnen auf Personen, die in einem arbeitsvertragsähnlichen Verhältnis stehen. Er kann Ausnahmen von der Versicherungspflicht vorsehen, namentlich für mitarbeitende Familienmitglieder, unregelmässig Beschäftigte und Arbeitnehmer internationaler Organisationen und ausländischer Staaten (Art. 1 [seit 1. Januar 2003: Art. 1a bei unverändertem Inhalt] Abs. 2 UVG). Von dieser Befugnis hat der Bundesrat auf dem Verordnungsweg Gebrauch gemacht. Von Interesse ist hier der mit "Ausnahmen von der Versicherungspflicht" überschriebene Art. 2 der Verordnung vom 20. Dezember 1982 über die Unfallversicherung (UVV) und dabei namentlich Abs. 1 lit. g dieser Bestimmung. Danach sind Konkubinatspartnerinnen und -partner, die in dieser Eigenschaft AHV-beitragspflichtig sind, nicht obligatorisch versichert.
3.2 Nach dem Verständnis des kantonalen Gerichts gelangt der in Art. 2 Abs. 1 lit. g UVV vorgesehene Ausschluss vom Versicherungsobligatorium nicht zur Anwendung, wenn eine im Konkubinat lebende Person für Arbeiten entschädigt wird, welche über die in einem Konkubinatsverhältnis üblicherweise zu erbringenden Leistungen hinausgehen. Darunter sollen namentlich Leistungen fallen, die von einer Konkubinatspartnerin resp. einem Konkubinatspartner für den andern resp. die andere aufgrund eines zwischen den beiden geltenden Arbeitsvertrages gegen einen vereinbarten Lohn entrichtet werden.
3.3 Die Beschwerdeführerin erachtet diese Auslegung von Art. 2 Abs. 1 lit. g UVV für falsch. Das Bundesamt für Gesundheit schliesst sich ihrer Auffassung an und führt aus, die Verordnungsbestimmung sei geschaffen worden, um jene Personen, welche in der AHV als erwerbstätig erfasst werden und deren Arbeit in der Haushaltführung im Konkubinat besteht, von der obligatorischen Unfallversicherung auszunehmen. Dies liege darin begründet, dass der Nachweis der entsprechenden Tätigkeit kaum zu erbringen sei und einen Eingriff in die Privatsphäre der betreffenden Personen bedinge. Die Art der Entschädigung unter den Konkubinatspartnern dürfe nicht über eine allfällige UVG-Entschädigungspflicht entscheiden, da dadurch die Rechtssicherheit nicht mehr gewährleistet wäre und dem Abschluss fiktiver Arbeitsverträge Vorschub geleistet würde. Auch bestehe die Gefahr, dass die Betroffenen erst nach einem Unfall Prämien bezahlten, um in den Genuss der vom UVG vorgesehenen Leistungen zu gelangen. Alleine der Umstand, dass an Stelle von oder zusätzlich zu Kost und Logis ein Lohn bezahlt werde, könne daher nicht entscheidend dafür sein, ob Konkubinatspartner obligatorisch unfallversichert seien.
3.4 Gemäss Wortlaut von Art. 2 Abs. 1 lit. g UVV sind von der Versicherungspflicht ausgenommen "Konkubinatspartnerinnen und -partner, die in dieser Eigenschaft AHV-beitragspflichtig sind". Wer damit gemeint ist, ergibt sich aus dem entstehungsgeschichtlichen Hintergrund der Bestimmung.
3.4.1 Art. 2 Abs. 1 lit. g UVV wurde mit der am 1. Januar 1998 in Kraft getretenen UVV-Revision vom 15. Dezember 1997 (AS 1998 151) neu aufgenommen. Eine wesentliche Zielsetzung der - noch verschiedene weitere Ausführungsbestimmungen beschlagenden - Revision bildete die Verbesserung der Koordination mit den anderen Sozialversicherungen, namentlich auch bei der Umschreibung des Arbeitnehmerbegriffs (RKUV 1998 S. 71). Der Bundesrat entschied sich, hiefür in den Ausführungsbestimmungen zum UVG direkt auf die AHV-Gesetzgebung zu verweisen (Erläuterungen zur Änderung der UVV, in: RKUV 1998 S. 87). Als Arbeitnehmer im Sinne von Art. 1 (resp. seit 1. Januar 2003: Art. 1a) Abs. 1 UVG gilt demnach, wer eine unselbstständige Erwerbstätigkeit im Sinne der Bundesgesetzgebung über die AHV ausübt (Art. 1 UVV in der seit 1. Januar 1998 geltenden Fassung). Die von diesem Grundsatz abweichenden Ausnahmen und Sonderfälle sind in den Art. 1a und 2 UVV abschliessend genannt (Erläuterungen zu Änderung der UVV, in: RKUV 1998 S. 87). Die Ausnahmefälle wurden bei der Verordnungsrevision vom 15. Dezember 1997 mit den in Art. 2 Abs. 1 lit. f, g und h UVV genannten Personengruppen ergänzt. Dabei handelt es sich um Personen, "die aus praktischen und konzeptionellen Überlegungen nicht mit Arbeitnehmern gleichzustellen sind, obwohl sie AHV-rechtlich als Unselbstständigerwerbende erfasst werden" (Erläuterungen zur Änderung der UVV in: RKUV 1998 S. 88). Es ging dem Verordnungsgeber dabei nicht um Personen, welche eine Erwerbstätigkeit ausüben und deswegen der AHV-Beitragspflicht unterstehende Arbeitnehmer (im Sinne von Art. 1 UVV in Verbindung mit Art. 1 [seit 1. Januar 2003: Art. 1a] Abs. 1 UVG) darstellen, also diesen nicht lediglich gleichgestellt sind. Gemeint kann mit den revisionsweise neu der Ausnahmeregelung unterstellten Personen vielmehr nur sein, wer keine Erwerbstätigkeit ausübt und dennoch AHV-beitragsrechtlich als unselbstständigerwerbend behandelt wird.
3.4.2 Wer als Konkubinatspartnerin oder -partner zu diesen Personen zählt, ist im Lichte des Rechtsverständnisses zu sehen, welches zur Zeit der UVV-Revision vom 15. Dezember 1997 herrschte. Danach wurde die im Konkubinat lebende Person, welche den gemeinsamen Haushalt besorgt und hiefür mit Naturalleistungen (in Form von Kost und Logis) sowie allenfalls zusätzlich einem Taschengeld entschädigt wird, AHV-beitragsrechtlich als unselbstständigerwerbend betrachtet, auch wenn sie keiner Erwerbstätigkeit nachging (<ref-ruling>, 110 V 1; SVR 1995 AHV Nr. 52 S. 143; ZAK 1990 S. 427, 1988 S. 508). Die so umschriebene Personengruppe ist unter "in dieser Eigenschaft AHV-beitragspflichtig" im Sinne von Art. 2 Abs. 1 lit. g UVV zu verstehen und nach dieser Bestimmung vom UVG-Versicherungsobligatorium ausgenommen.
An diesem Verständnis von Art. 2 Abs. 1 lit. g UVV hat sich mit der zwischenzeitlich vom Eidgenössischen Versicherungsgericht vorgenommenen Praxisänderung, wonach die im Konkubinat lebende Person, welche ausschliesslich den gemeinsamen Haushalt führt und dafür vom Partner resp. der Partnerin Kost und Logis sowie allenfalls zusätzlich ein Taschengeld erhält, beitragsrechtlich als nichterwerbstätig gilt (<ref-ruling>), nichts geändert. Nicht von dieser Verordnungsbestimmung erfasst wird somit die im Konkubinat lebende Person, welche einer Erwerbstätigkeit nachgeht und deswegen als Arbeitnehmer der AHV-Beitragspflicht untersteht. Das gilt entgegen dem Verständnis von Beschwerdeführerin und Bundesamt auch, wenn die Erwerbstätigkeit in der Haushaltführung im Konkubinat besteht, für diese Tätigkeit mithin im Rahmen eines Arbeitsvertrages ein Lohn ausgerichtet wird. Wollte man die innerhalb des Konkubinatsverhältnisses erwerbstätigen Personen ebenfalls nicht dem UVG-Versicherungsobligatorium unterstellen, müssten die Rechtsgrundlagen, welche die Ausnahmefälle regeln, entsprechend geändert werden.
An diesem Verständnis von Art. 2 Abs. 1 lit. g UVV hat sich mit der zwischenzeitlich vom Eidgenössischen Versicherungsgericht vorgenommenen Praxisänderung, wonach die im Konkubinat lebende Person, welche ausschliesslich den gemeinsamen Haushalt führt und dafür vom Partner resp. der Partnerin Kost und Logis sowie allenfalls zusätzlich ein Taschengeld erhält, beitragsrechtlich als nichterwerbstätig gilt (<ref-ruling>), nichts geändert. Nicht von dieser Verordnungsbestimmung erfasst wird somit die im Konkubinat lebende Person, welche einer Erwerbstätigkeit nachgeht und deswegen als Arbeitnehmer der AHV-Beitragspflicht untersteht. Das gilt entgegen dem Verständnis von Beschwerdeführerin und Bundesamt auch, wenn die Erwerbstätigkeit in der Haushaltführung im Konkubinat besteht, für diese Tätigkeit mithin im Rahmen eines Arbeitsvertrages ein Lohn ausgerichtet wird. Wollte man die innerhalb des Konkubinatsverhältnisses erwerbstätigen Personen ebenfalls nicht dem UVG-Versicherungsobligatorium unterstellen, müssten die Rechtsgrundlagen, welche die Ausnahmefälle regeln, entsprechend geändert werden.
3.5 3.5.1 Die Beschwerdeführerin begründet ihre abweichende Auffassung namentlich damit, das Konkubinat stelle eine nicht teilbare Rechtsbeziehung dar und schliesse als Verhältnis unter gleichberechtigten Partnern per definitionem die Annahme eines Arbeitsvertrages aus.
Der Einwand ist nicht stichhaltig. Die eheähnliche Gemeinschaft, das Konkubinat, ist im ZGB nicht geregelt (<ref-ruling> Erw. 3b, 121 V 128 Erw. 2c/cc; Urteil K. vom 14. Juli 2004 Erw. 3.1, U 104/03). Den Partnern des Konkubinates steht es frei, die Beziehungen unter sich durch vertragliche Vereinbarungen zu bestimmen und damit die von ihnen gewünschten gegenseitigen Rechte und Pflichten verbindlich vorzusehen (<ref-ruling> Erw. 3.2.4; Urteil K. vom 14. Juli 2004 Erw. 3.2, U 104/03). Insbesondere ist es ihnen entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht verwehrt, die von der einen Seite für die andere verrichteten Tätigkeiten arbeitsvertraglich zu regeln, wobei in Ermangelung eines förmlichen Vertrages gegebenenfalls auch die arbeitsvertragliche Abschlussvermutung nach Art. 320 Abs. 2 OR zur Anwendung gelangen kann. Dass ein Arbeitsvertrag ein Subordinationsverhältnis zwischen Arbeitgeber und -nehmer voraussetzt, steht dem nicht entgegen (vgl. <ref-ruling>; Pra 2000 Nr. 47 S. 268). Es besteht auch kein begründeter Anlass, die Tätigkeit der Haushaltführung im Konkubinat anders zu behandeln.
3.5.2 Die vom Bundesamt geäusserten Bedenken können ebenfalls nicht geteilt werden. Voraussetzung für die Versicherungspflicht der den Haushalt führenden Konkubinatspartner ist, dass ein Arbeitsvertrag nach OR zustande gekommen ist und ein AHV-pflichtiger Lohn ausbezahlt wird. Es ist nicht ersichtlich, wie bei diesen Verhältnissen eine Versicherungsdeckung nach einem Unfallereignis herbeigeführt werden könnte. Die Situation unterscheidet sich insofern nicht wesentlich von Arbeitsverhältnissen ausserhalb von Konkubinaten. Sodann verdient offenbarer Rechtsmissbrauch, wie er etwa in fiktiven Arbeitsverträgen zu sehen wäre, ohnehin keinen Schutz (Art. 2 ZGB).
3.5.3 In ähnlichem Zusammenhang zu sehen ist der Hinweis der Beschwerdeführerin auf Art. 13 Abs. 1 UVV. Danach sind nur diejenigen Teilzeitbeschäftigten, deren wöchentliche Arbeitszeit bei einem Arbeitgeber mindestens acht Stunden beträgt, auch gegen Nichtberufsunfälle (nebst den Berufsunfällen) versichert.
Im vorliegenden Fall ist eine wöchentliche Arbeitszeit von acht Wochenstunden vereinbart. Insofern ist für das Bestehen der Versicherungsdeckung die Unterscheidung zwischen Berufs- und Nichtberufsunfällen erlässlich. In Fällen mit geringeren Wochenarbeitszeiten hingegen kann sich tatsächlich die Frage stellen, ob ein Unfall bei der bar entlöhnten Arbeit eingetreten und damit - als Berufsunfall - versichert ist. Den dadurch hervorgerufenen Abgrenzungsschwierigkeiten wird vorteilhafterweise dadurch zu begegnen sein, dass die gegen Lohn entrichteten Haushaltsarbeiten von den Konkubinatspartnern und Arbeitsvertragsparteien möglichst genau umschrieben werden. Das empfiehlt sich namentlich auch vor dem Hintergrund, dass der leistungsbegründende Sachverhalt - beispielsweise der Eintritt eines Unfalles bei der Arbeit - vom Leistungsansprecher im Rahmen seiner Mitwirkungspflichten darzutun ist, soweit nicht der vom Versicherungsträger und im Beschwerdefall vom Gericht zu beachtende Untersuchungsgrundsatz greift (<ref-ruling> Erw. 2, 122 V 158 Erw. 1a, je mit Hinweisen; vgl. auch Art. 53 und Art. 55 UVV und zur Mitwirkungspflicht des Arbeitgebers Art. 56 UVV). Ein Absehen von der Versicherungspflicht hingegen lässt sich mit der besagten Abgrenzungsproblematik, welche im Übrigen mutatis mutandis auch bei den mitarbeitenden Familiengliedern mit oder ohne Barlohn (vgl. Art. 2 Abs. 1 lit. a UVV) besteht, nicht begründen.
3.6 Als Zwischenergebnis kann festgehalten werden, dass arbeitsvertragliche Vereinbarungen zwischen den Konkubinatspartnern auch über die Haushaltführung zulässig sind und die Unterstellung der Arbeitnehmerseite unter das UVG-Versicherungsobligatorium zur Folge haben.
3.7 Auf die konkret gegebenen Verhältnisse bezogen erhebt die Beschwerdeführerin weiter den Einwand, der Arbeitsvertrag zwischen H._ und W._ sei fiktiv.
Es bestehen indessen keine begründeten Anhaltspunkte dafür, dass die Konkubinatspartner die arbeitsvertragliche Regelung der Haushaltbesorgung nicht ernsthaft gewollt, sondern zwecks Unterstellung von W._ unter das UVG-Versicherungsobligatorium vorgetäuscht haben. Gegen diese Annahme spricht namentlich auch, dass sich H._ vor der Antragstellung beim Unfallversicherer unter Hinweis auf den für die Haushaltarbeiten ausgerichteten Lohn bei der AHV gemeldet hatte und in der Folge - wenn auch mit Verzögerung - rückwirkend ab Arbeitsvertragsbeginn als Arbeitgeber erfasst und damit der Pflicht zur Entrichtung der paritätischen AHV-Beiträge unterstellt worden war. Wohl erfolgte die Anmeldung bei der AHV erst im Dezember 2000 und damit fast zwei Jahre nach Abschluss des Arbeitsvertrages vom 1. Januar 1999. H._ legt aber glaubwürdig dar, dass er bis zu diesem Zeitpunkt in guten Treuen davon ausgegangen war, diesen Schritt nicht unternehmen zu müssen.
4. Nach dem Gesagten untersteht W._ in Bezug auf ihre arbeitsvertraglich geregelte Besorgung des Konkubinatshaushaltes dem UVG-Versicherungsobligatorium. Zu prüfen bleibt, ob die Mobiliar als für das Ereignis vom 13. April 2001 zuständiger obligatorischer Unfallversicherer zu betrachten ist.
4.1 Die Mobiliar bestreitet dies mit Hinweis auf Art. 9 des Bundesgesetzes vom 2. April 1908 über den Versicherungsvertrag (VVG). Gemäss dieser Bestimmung ist ein Versicherungsvertrag - unter bestimmten Vorbehalten - nichtig, wenn im Zeitpunkt des Abschlusses der Versicherung die Gefahr bereits weggefallen oder das befürchtete Ereignis schon eingetreten war. In der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird hiezu weiter ausgeführt, entscheidend für das Zustandekommen eines Versicherungsvertrages sei nach Art. 1 VVG in Verbindung mit Art. 1 OR der Zeitpunkt, in welchem die Annahmeerklärung des Versicherers beim Versicherungsnehmer eintreffe. Der fragliche Zeckenbiss habe sich am 13. April 2001 ereignet, mithin vor dem Vertragsabschluss, welcher erst durch Zustellung der am 9. Mai 2001 der Post übergebenen Police erfolgt sei. Damit sei der Vertrag im Sinne von Art. 9 VVG nichtig.
4.2 In diesem Zusammenhang beanstandet die Beschwerdeführerin zusätzlich, das kantonale Gericht habe sich mit ihrem bereits vorinstanzlich geäusserten Einwand betreffend Art. 9 VVG nicht auseinandergesetzt.
Diese, vorab zu behandelnde, formellrechtliche Rüge ist unbegründet. Das kantonale Gericht ist gestützt auf eine Würdigung der aus seiner Sicht massgeblichen Rechtsgrundlagen und Tatsachen zum Ergebnis gelangt, der Versicherungsvertrag zwischen Arbeitgeber und Mobiliar sei rechtsgültig und mit Wirkung bereits ab 6. März 2001 zustande gekommen. Es hat damit die ein anderes Verständnis zum Ausdruck bringenden Argumente der Mobiliar verworfen. Die Motive hiefür sind im angefochtenen Entscheid in rechtsgenüglicher Form dargelegt. Wenn die Vorinstanz nicht ausdrücklich auf jedes Begründungselement in den Rechtsschriften des Unfallversicherers im Detail eingegangen ist, kann darin keine Verletzung des rechtlichen Gehörs gesehen werden (<ref-ruling> Erw. 5b/dd mit Hinweis, 126 I 102 f. Erw. 2b mit Hinweisen; SVR 2003 AHV Nr. 17 S. 45 Erw. 3.1). Eine solche wäre gegebenenfalls zu bejahen, wenn entscheidrelevante Vorbringen der Beschwerdeführerin in den vorinstanzlichen Erwägungen überhaupt keinen Niederschlag gefunden hätten. Dies trifft nicht zu.
4.3 Die materiellrechtliche Argumentation der Beschwerdeführerin geht vom Verständnis aus, das VVG gelte ohne weiteres auch für Verträge über die Unfallversicherung nach UVG.
Das Bundesamt vertritt zu Recht eine andere Auffassung. Es entspricht der ratio legis, den Vertrag über die Unfallversicherung nach UVG als selbstständigen Vertrag im Sinne dieses Gesetzes zu verstehen. Sowohl die Versicherungsgesellschaften als auch die Krankenkassen, welche gemäss Art. 68 UVG als Versicherer zugelassen sind, sind Träger hoheitlicher Gewalt, da das Gesetz ihnen die Befugnis einräumt, Verfügungen im Sinne des Verwaltungsrechts zu erlassen. Sie schliessen als solche Träger ihre Versicherungsverträge mit den Arbeitgebern ab und regeln Inhalte, die dem öffentlichen Recht zuzuordnen sind. Ihre Verträge lassen sich zwanglos als besondere öffentlich-rechtliche Verträge nach UVG verstehen, welche weder an das VVG noch an das KVG gebunden sind (Maurer, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, Bern 1985, S. 134 f.; vgl. vom selben Autor auch: Schweizerisches Sozialversicherungsrecht, Bd. I, Bern 1979, S. 258, und: Schweizerisches Privatversicherungsrecht, 3. Auflage, Bern 1995, S. 218). Die Regeln, denen die Versicherungsverträge nach UVG unterliegen, sind durch Auslegung des UVG und, wo Gesetzeslücken bestehen, durch deren Füllung zu bestimmen, wobei Regelungsinhalte übernommen werden können, die für Versicherungsverträge im VVG oder im KVG festgelegt worden sind. Wie allgemein bei öffentlich-rechtlichen Verträgen kommen ergänzend auch Bestimmungen des OR zur Anwendung, z.B. jene über das Zustandekommen, die Willensmängel, die Nichtigkeit usw. Bei der Übernahme der Regeln aus dem Privatrecht oder auch aus dem öffentlichen Recht ist stets zu prüfen, ob sie Sinn, Zweck und System des UVG entsprechen (Maurer, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, S. 135; vgl. vom selben Autor auch: Schweizerisches Privatversicherungsrecht, S. 218). Maurer führt an anderer Stelle (Bundessozialversicherungsrecht, 2. unveränderte Auflage, Basel 1994, S. 339) aus, alle mit der Existenz des Versicherungsvertrages nach UVG zusammenhängenden Fragen beurteilten sich nach dem VVG. Sollte der Autor dabei davon ausgehen, das VVG sei entgegen den zuvor dargelegten Regeln zumindest teilweise direkt anwendbar, könnte ihm indessen nicht gefolgt werden.
4.4 Im vorliegenden Fall hat der Arbeitgeber den Versicherungsantrag am 6. März 2001 gestellt und sich für die Dauer von 14 Tagen als daran gebunden erklärt. Die Mobiliar hat den Antrag vorbehaltlos angenommen. Ausdrücklich hat sie dies dem Antragsteller zwar erst mit der Zusendung der vom 2. Mai 2001 datierten Police bestätigt. Es ist aber davon auszugehen, dass sie den Antrag rechtzeitig annehmen wollte und sich die Annahmeerklärung aus administrativen Gründen über die Bindungswirkung hinaus verzögert hat. Ansonsten wäre die Zustellung der Police wiederum als Offerte des Unfallversicherers zu verstehen, was von diesem nicht geltend gemacht wird und nach Lage der Akten nicht dem Verständnis der Vertragsparteien entsprach. Wenn sich die Mobiliar nun im Versicherungsfall dennoch darauf beruft, der Versicherungsvertrag sei erst mit der Zustellung der Police zustande gekommen, verstösst dies gegen Treu und Glauben (vgl. Maurer, Schweizerisches Privatversicherungsrecht, a.a.O., S. 216 FN 444) und verdient keinen Rechtsschutz.
Nach dem Gesagten ist der Versicherungsvertrag vor dem fraglichen Zeckenbiss vom 13. April 2001 zustande gekommen und rechtswirksam geworden, weshalb der angefochtene Entscheid zu Recht besteht. Weiterungen, namentlich zu den von den Verfahrensbeteiligten unterschiedlich beantworteten Fragen der - analogen - Anwendbarkeit des Art. 9 VVG, der Rückwirkung des Vertrags ab Datum der Antragsstellung und der vorläufigen Versicherungsdeckung, erübrigen sich.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Schweizerische Mobiliar Versicherungsgesellschaft hat den Beschwerdegegnern W._ und H._ für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zugestellt.
Luzern, 19. August 2004
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der I. Kammer: Der Gerichtsschreiber: