Faits:
A. Entre 1987 et 1994, T._, né en 1964, a annoncé 14 accidents à la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après : CNA). Il s'agissait notamment de deux accidents de voiture, à savoir une sortie de route le 13 août 1992 (diagnostic posé : syndrome cervical; incapacité de travail attestée médicalement du 13 au 30 août 1992) et d'une collision le 4 novembre 1992 (diagnostic posé : syndrome lombo-vertébral; incapacité de travail attestée du 7 décembre 1992 au 13 janvier 1993), ainsi que d'une chute, en deux temps, d'un échafaudage d'une hauteur de 12 mètre, le 24 janvier 1994 (hospitalisation de deux jours pour observation; diagnostic : contusions des vertèbres lombaires, de la hanche et de la cuisse droite, lésions dentaires; incapacité de travail totale attestée du 24 janvier au 21 février 1994, puis de 50 % du 3 mars au 2 octobre 1994). La CNA a pris en charge le traitement des atteintes à la santé et alloué des indemnités journalières à la suite de ces accidents, jusqu'à la fin de l'année 1994.
T._ a été victime d'un nouvel accident de voiture le 27 novembre 1996 (diagnostic : traumatisme cervical; incapacité de travail totale attestée du 27 novembre 1996 au 23 février 1997, puis de 50 % jusqu'au 21 novembre 1997). La CNA a alloué des indemnités journalières et pris en charge le traitement médical. Par décision du 9 janvier 1998 et décision sur opposition du 17 février 2000, elle a mis fin à toutes ses prestations en relation avec cet accident.
Entre-temps, l'assuré avait encore annoncé qu'il s'était ouvert le coude lors d'une glissade le 20 novembre 1999 (diagnostic : bursite de la bourse olécranienne gauche; incapacité de travail attestée dès le 21 novembre 1997 pour une durée indéterminée, selon un rapport du 11 mai 2000 du médecin traitant; le 5 juillet 2000, le docteur K._, médecin d'arrondissement de la CNA, attestait une pleine capacité de travail). Par la suite, T._ a annoncé à la CNA s'être fracturé le pied droit lors d'une chute dans des escaliers, le 27 juin 2001, puis être sorti de la route au volant de son véhicule et avoir terminé sa course dans le lac Léman, le 23 décembre 2001. Selon le rapport de police établi après ce dernier accident, l'assuré, choqué, a été transporté à l'Hôpital X._. Il a ensuite été transféré à l'Hôpital Y._, où le docteur S._ a posé le diagnostic de contusion des lombes et du bassin, tout en mentionnant, en anamnèse, un traumatisme crânien avec perte de connaissance et amnésie circonstancielle. Les examens pratiqués n'ont pas mis en évidence de lésion visible.
La CNA a pris en charge les suites des accidents des 27 juin et 23 décembre 2001. L'assuré a notamment été examiné par le docteur G._, médecin d'arrondissement de la CNA, le 8 mars 2002. Il lui a fait part de douleurs persistantes dans le dos et la nuque depuis l'accident de janvier 1994, ainsi que de douleurs dans le coude gauche depuis l'accident de novembre 1999. Le docteur G._ n'a toutefois pas constaté d'atteinte objective à la santé physique pouvant expliquer ces plaintes et a conclu à une simple contusion du bassin et des vertèbres lombaires dont les symptômes devraient disparaître en quelques mois; d'autres facteurs étaient à son avis à l'origine du syndrome douloureux persistant. L'assuré a par ailleurs séjourné à la Clinique Z._ du 10 avril au 10 mai 2002, puis du 23 juin au 28 juin 2004. Les diagnostics de trouble dépressif majeur de degré sévère, état de stress post-traumatique, rachialgies, omalgies et gonalgies chroniques ont été posés. Les médecins de la clinique ont attesté une incapacité de travail totale en raison des troubles psychiques constatés.
Postérieurement au 23 décembre 2001, T._ a encore annoncé une dizaine d'accidents, entre le 27 février 2003 et le 30 juillet 2004, à savoir essentiellement des chutes dans des escaliers et des glissades sur le sol mouillé (salle de bains, baignoire). L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Berne (ci-après : l'office AI) lui a alloué une demi-rente d'invalidité avec effet dès le 1er novembre 1997, par décisions des 13 décembre 2005 et 10 janvier 2006).
Par décision du 22 janvier 2003 et décision sur opposition du 16 novembre 2005, la CNA a mis fin, avec effet dès le 1er mars 2003, à toutes prestations en raison de l'accident du 23 décembre 2001 ou de tout autre accident antérieur à cette date. Elle a considéré que les atteintes à la santé de l'assuré qui pourraient encore nécessiter un traitement médical ou entraîner une incapacité de travail n'étaient pas en relation de causalité adéquate avec l'un de ces accidents.
B. T._ a déféré la cause au Tribunal administratif du canton de Berne, qui a rejeté le recours par jugement du 20 novembre 2006.
C. L'assuré interjette un recours de droit administratif contre ce jugement. Il en demande l'annulation, ainsi que celle de la décision sur opposition litigieuse, et conclut au renvoi de la cause à l'intimée «pour nouvelle décision reconnaissant les prestations d'assurance-accident, subsidiairement pour complément d'instruction et nouvelle décision», le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimée conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L' acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 395).
2. Le jugement entrepris expose les règles légales et la jurisprudence concernant la nécessité d'un rapport de causalité (naturelle et adéquate) entre une atteinte à la santé et un accident assuré pour qu'il y ait lieu à prestations de l'assureur-accidents, ainsi que sur les critères à prendre en considération pour statuer sur l'existence d'une rapport de causalité adéquate entre un accident et une atteinte à la santé psychique. Sur ces points, il convient d'y renvoyer.
3. 3.1 La décision sur opposition litigieuse porte sur le point de savoir si le recourant peut prétendre des prestations de l'assurance-accidents postérieurement au 28 février 2003, en raison de l'un des accidents subis jusqu'au 23 décembre 2001 ou d'une rechute de l'un de ces accidents. L'intimée a expressément renoncé à statuer, dans la décision sur opposition du 16 novembre 2005, sur les conséquences éventuelles d'autres accidents subis postérieurement au 23 décembre 2001. Les premiers juges ont approuvé le procédé, alors que d'après le recourant, tous les accidents survenus jusqu'à la décision sur opposition du 16 novembre 2005 auraient dû être pris en considération.
3.2 L'assurance-accidents statuant sur opposition est tenue de prendre en considération toutes les faits pertinents survenus jusqu'au moment de la décision sur opposition (RAMA 2001 no U 419 p. 101 [U 170/00] consid. 2c; voir également <ref-ruling> consid. 1b p. 366, 116 V 246 consid. 1a p. 248). Cela étant, le rapport juridique sur lequel elle se prononce peut être limité aux prestations dues en raison d'un accident en particulier, quand bien même plusieurs autres événements accidentels se seraient produits avant la décision sur opposition. Dans certaines circonstances, la jurisprudence admet que les conséquences de plusieurs accidents successifs soient constatées dans des décisions séparées (cf. parmi d'autres, arrêts U 104/02 du 13 février 2003 consid. 1, U 391/01 du 17 décembre 2002, consid. 4.2, U 6/01 du 22 juillet 2002 consid. 1). Cette manière de procéder peut, certes, nuire à l'établissement des faits dans certains cas; mais elle peut aussi contribuer au traitement de l'opposition dans un délai approprié (cf. <ref-law>). En cas d'accidents successifs, l'assurance-accidents devra donc procéder à une pesée des intérêts avant de décider si elle entend se prononcer sur les conséquences de tous les accidents en une seule décision (sur opposition) ou si elle entend rendre plusieurs décisions.
3.3 Le recourant a annoncé à l'intimée 27 accidents entre 1987 et juillet 2004, dont une dizaine entre la décision du 22 janvier 2003 et la décision sur opposition du 16 novembre 2005. Interdire à l'intimée de restreindre l'objet de la décision sur opposition aux suites des seuls accidents survenus jusqu'au 23 décembre 2001 et l'obliger à statuer sur le droit aux prestations compte tenu de tous les accidents survenus jusqu'au moment de la décision sur opposition reviendrait à prolonger la procédure indéfiniment, voire à rendre impossible le prononcé d'une telle décision. On voit mal quel intérêt le recourant pourrait y trouver. L'intimée et les premiers juges ont donc à juste titre limité l'objet de la contestation aux seules prestations en rapport avec les accidents survenus jusqu'au 23 décembre 2001. Il n'y a pas lieu d'aller au-delà de cet objet en instance fédérale et les conclusions du recourant sont irrecevables dans la mesure où elles s'en écartent (sur la notion d'objet de la contestation : cf. <ref-ruling>; Meyer/von Zwehl, L'objet du litige en procédure de droit administratif fédéral, in : Mélanges Pierre Moor, Berne 2005, p. 437 ss).
4. 4.1 Les premiers juges ont exposé de manière convaincante pour quels motifs ils considéraient que l'assuré ne subissait plus d'atteintes à sa santé physique en relation de causalité naturelle avec l'un des accidents survenus jusqu'au 23 décembre 2001, les symptômes présentés relevant de troubles psychiques (en excluant l'existence de séquelles d'un traumatisme de type «coup du lapin» ou d'une autre atteinte assimilable). Le recourant ne soulève aucun argument contre cet aspect du jugement entrepris, auquel il convient donc de renvoyer.
4.2 Le recourant conteste la manière dont les premiers juges ont analysé la question de la causalité adéquate entre les troubles psychiques dont il souffre et les accidents entrant en considération. Alors que la juridiction cantonale a considéré chacun des accidents séparément, le recourant demande que les critères posés par la jurisprudence en la matière soient appliqués en prenant en considération tous les accidents subis, sans procéder à une analyse séparée pour chacun d'entre eux. Cette exigence se heurte toutefois à plusieurs arrêts déjà exposés par les premiers juges (SVR 2003 UV no 12 p. 36 [U 78/02] consid. 3.2.2, RAMA 1996 p. 176 [U 213/95], arrêts U 12/01 du 4 avril 2002 consid. 4c, U 300/00 du 22 février 2002, résumé dans REAS/HAVE 2002 p. 220; cf. également SVR 2007 UV no 1 p. 1 consid. 3.2.2 [U 39/04]). Au demeurant, même en tenant compte, dans l'examen des suites du dernier accident entrant en considération (accident du 23 décembre 2001), du fait que l'assuré était déjà fragilisé par d'autres événement accidentels survenus antérieurement, il n'y aurait pas lieu d'admettre l'existence du rapport de causalité adéquat litigieux. Les atteintes à la santé physiques provoquées par ces accidents étaient relativement bénignes et aucune complication n'est apparue en cours de traitement; par ailleurs, les incapacités de travail attestées en raison d'atteintes à la santé physiques objectivables n'étaient pas de longue durée, comme le précise à juste titre le jugement entrepris.
5. Vu ce qui précède, le recourant voit ses conclusions rejetées et ne peut prétendre de dépens à la charge de l'intimée (art. 159 al. 1 OJ). Par ailleurs, la procédure porte sur l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, de sorte qu'elle est gratuite (art. 134 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de droit administratif est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 9 mai 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier: