Sachverhalt:
A.
A.a. X._ (Kläger 1, Beschwerdeführer 1) war ab 16. März 2007 Gesellschafter und Geschäftsführer mit Einzelunterschrift der A._ GmbH mit Sitz an der Strasse B._ in Zürich. Y._ (Klägerin 2, Beschwerdeführerin 2) war ab gleichem Datum Geschäftsführerin mit Einzelunterschrift dieser Gesellschaft. Diese betrieb an der Strasse C._ in Zürich das Restaurant D._. Die Kläger sind Lebenspartner und haben einen gemeinsamen Sohn.
A.b. Am frühen Morgen des 19. Oktober 2007 brach im Restaurant D._ ein Brand aus. In diesem Zusammenhang wurde E._, der Bruder der Klägerin 2, vom Obergericht des Kantons Zürich durch Urteil vom 12. April 2011 wegen Brandstiftung verurteilt. Eine dagegen erhobene Beschwerde wurde mit dem Urteil des Bundesgerichts 6B_452/2011 vom 23. September 2011 abgewiesen. Auch gegen die beiden Kläger wurde ein Strafverfahren eröffnet. Dieses wurde am 26. Februar 2009 eingestellt.
A.c. Am 20. November 2008 wurde über die A._ GmbH der Konkurs eröffnet. In diesem Konkurs wurde eine Forderung des Klägers 1 von Fr. 320'699.60 und eine solche der Klägerin 2 von Fr. 141'641.-- je in der 3. Klasse kolloziert. Ferner wurde eine Forderung eines zweiten Sohnes der Klägerin 2, F._, im Betrag von Fr. 77'600.-- ebenfalls in der 3. Klasse kolloziert. Letztere Forderung hat sich die Klägerin 2 von ihrem Sohn abtreten lassen.
A.d. Mit Abtretungsverfügungen vom 31. Mai 2010 trat das Konkursamt Höngg-Zürich gestützt auf <ref-law> die Forderungen der Masse gegen die Versicherung Z._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) aus dem Brandschadenfall vom 19. Oktober 2007 an die beiden Kläger sowie an fünf weitere Personen ab.
B.
B.a. Mit Klagen vom 5. bzw. 6. Dezember 2012 beantragten die Kläger als Abtretungsgläubiger dem Handelsgericht des Kantons Zürich, die Beklagte sei zu verpflichten, ihnen bzw. der Konkursmasse A._ GmbH einen Betrag von Fr. 450'000.-- (bzw. Fr. 449'669.80) nebst Zins unter Vorbehalt des Nachklagerechts zu bezahlen.
B.b. Mit Beschluss vom 18. Dezember 2012 wies das Handelsgericht ein erstes Gesuch der Kläger um unentgeltliche Prozessführung ab, weil nicht nachgewiesen sei, dass G._, ein weiterer Abtretungsgläubiger, auf die Verfolgung der Ansprüche verzichtet habe. Nachdem die Kläger letzteres nachgewiesen hatten, prüfte das Handelsgericht die Gesuche um unentgeltliche Prozessführung erneut und wies sie mit Beschluss vom 15. Mai 2013 wegen Aussichtslosigkeit ab.
C.
Mit Beschwerden in Zivilsachen beantragen die Kläger dem Bundesgericht, der Beschluss des Handelsgerichts vom 15. Mai 2013 sei aufzuheben und die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Handelsgericht zurückzuweisen. Gleichzeitig stellen sie auch für das Verfahren vor Bundesgericht ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Ausserdem beantragen sie, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen. Aufgefordert, zum Gesuch um aufschiebende Wirkung Stellung zu nehmen, beantragt die Beschwerdegegnerin dessen Abweisung. Das Handelsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Es wurden keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
Wenn wie hier an den Verfahren dieselben Parteien beteiligt sind und den Beschwerden der gleiche Sachverhalt zugrunde liegt, behandelt das Bundesgericht die verschiedenen Eingaben in der Regel in einem einzigen Urteil (vgl. Urteil des Bundesgerichts 4A_627/2012 vom 9. April 2013 E. 1). Es rechtfertigt sich daher, die beiden Beschwerdeverfahren 4A_316/2013 und 4A_318/2013 zu vereinigen.
2.
Angefochten ist ein Zwischenentscheid, mit dem die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wurde. Derartige Zwischenentscheide können einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 131; <ref-ruling> E. 2a S. 210 mit Hinweisen), so dass die Beschwerde an das Bundesgericht offen steht. Der Rechtsweg von Zwischenentscheiden folgt grundsätzlich jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.), und der Streitwert bestimmt sich nach den Begehren, die vor der Instanz streitig geblieben sind, wo die Hauptsache hängig ist (<ref-law>). In der Hauptsache handelt es sich um eine Zivilsache, deren Streitwert den für Beschwerden in Zivilsachen erforderlichen Betrag von Fr. 30'000.-- übersteigt (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt rechtsgenüglich begründeter Rügen (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) - auf die Beschwerde einzutreten.
3.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweis).
Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
4.
Gemäss <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die für die Prozessführung erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Umstritten ist vorliegend die Aussichtslosigkeit.
4.1. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Praxis zu <ref-law>, die auch mit Bezug auf <ref-law> ihre Geltung beibehält, Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218 mit Hinweis).
4.2. Bei der Beurteilung der Frage der Aussichtslosigkeit ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, dem Sachgericht vorgreifend zu prüfen, ob das vom Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren gestellte Begehren zu schützen sei oder nicht. Bei der Abklärung, ob die fehlende Aussichtslosigkeit als Voraussetzung für einen grundrechtlichen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege gegeben ist, hat das Verfassungsgericht lediglich zu prüfen, ob der vom Bedürftigen verfolgte Rechtsstandpunkt im Rahmen des sachlich Vertretbaren liegt bzw. nicht von vornherein unbegründet erscheint (<ref-ruling> E. 3a S. 115). Die prognostische Beurteilung von Erfolgsaussichten eröffnet dem Sachgericht einen Beurteilungsspielraum, in welchen das Bundesgericht auch bei freier Prüfung der Rechtsfragen nur mit Zurückhaltung eingreift. Erforderlich ist, dass das Sachgericht von anerkannten Rechtsgrundsätzen abgewichen ist, dass es Umstände berücksichtigt hat, die für die Prognose im Einzelfall keine Rolle spielen dürfen oder umgekehrt Überlegungen ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen (Urteil des Bundesgerichts 4A_469/2009 17. November 2009 E. 2.1 mit Hinweisen).
5.
Die Vorinstanz stellte fest, der Brand im Restaurant sei auf Brandstiftung durch E._ zurückzuführen. Zudem sei ohne weiteres davon auszugehen, dass für den Fall, einer der Kläger habe als Organ und/oder Geschäftsführer bei der Herbeiführung des (behaupteten) Schadens absichtlich mitgewirkt, die Beklagte ihre Leistungen in Anwendung von Art. 14 Abs. 1 und (bei Täuschungsabsicht) <ref-law> verweigern könne und werde. Für eine Beteiligung einer der Kläger an der Brandstiftung trage die Beklagte die Behauptungs- und Beweislast. Das erforderliche Beweismass sei jenes der überwiegenden Wahrscheinlichkeit, soweit ein strikter Nachweis nach der Natur der Sache nicht möglich bzw. nicht zumutbar sei. Das treffe typischerweise auf den Fall der Brandstiftung und die damit verbundene Zuordnung der Täterschaft zu, da sich diese regelmässig nur aufgrund von Indizien ermitteln lasse. Nach Würdigung einer Vielzahl von Indizien kam die Vorinstanz zum Schluss, dass die Beklagte mit dem Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit werde beweisen können, dass eine der Klageparteien, insbesondere die Klägerin 2, an der Brandstiftung beteiligt gewesen ist. Auch unter Berücksichtigung der allenfalls weiter in Frage kommenden Beweismittel erscheine es als kaum möglich, dass die Kläger den von der Beklagten zu erbringenden Beweis würden erschüttern können. Eine nicht bedürftige Partei würde sich angesichts der vorliegend beträchtlichen Verlustgefahren nicht zu einem Prozess entschliessen.
6.
6.1. Die Beschwerdeführer machen in einer ersten Rüge geltend, dass die Vorinstanz von einem falschen Beweismass bezüglich des von der Beklagten zu erbringenden Beweises ausgehe. Eine Reduktion des Beweismasses sei angebracht, wenn der Versicherte den Beweis des Eintritts des Versicherungsfalls erbringen müsse (z. B. bei Diebstahl). Für den Nachweis des Betrugs (<ref-law>) bzw. einer absichtlichen Herbeiführung des Versicherungsfalls gemäss <ref-law> müsse aber der Versicherer den Beweis erbringen. Dabei liege eine Beweisnot nicht schon dann vor, wenn eine Tatsache, die ihrer Natur nach dem unmittelbaren Beweis zugänglich wäre, nicht bewiesen werden könne, weil dem beweisbelasteten Versicherer die Beweismittel fehlten. Daher hätte die Beschwerdegegnerin den strikten Beweis erbringen müssen.
6.2. Diese Rüge ist unbegründet. Ausnahmen vom Regelbeweismass des strikten Beweises, in denen eine überwiegende Wahrscheinlichkeit als ausreichend betrachtet wird, ergeben sich einerseits aus dem Gesetz selbst und andererseits sind sie durch Rechtsprechung und Lehre herausgearbeitet worden. Den Ausnahmen liegt die Überlegung zu Grunde, dass die Rechtsdurchsetzung nicht an Beweisschwierigkeiten scheitern darf, die typischerweise bei bestimmten Sachverhalten auftreten (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 324; <ref-ruling> E. 2b/aa S. 275). Die Beweiserleichterung setzt demnach eine "Beweisnot" voraus. Diese Voraussetzung ist erfüllt, wenn ein strikter Beweis nach der Natur der Sache nicht möglich oder nicht zumutbar ist, insbesondere wenn die von der beweisbelasteten Partei behaupteten Tatsachen nur mittelbar durch Indizien bewiesen werden können. Diese Überlegungen gelten unabhängig davon, welche Partei beweisbelastet ist. Das Bundesgericht hat denn auch in Bezug auf den vom Versicherer zu erbringenden Beweis der absichtlichen Herbeiführung des versicherten Ereignisses (<ref-law>) bereits entschieden, dass auch der Versicherer sich auf eine Reduktion des Beweismasses auf den Grad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit berufen könne, wenn der strikte Beweis nach der Natur der Sache nicht möglich bzw. nicht zumutbar sei. Diese Ausführungen betrafen - wie vorliegend - einen Schadenfall aus einem Brand (Urteil des Bundesgerichts 4A_431/2010 vom 17. November 2010 E. 2.6, teilw. publ. in: SJ 2011 I S. 137 ff. S. 140).
7.
7.1. Die Aussichtslosigkeit beweisbedürftiger rechtserheblicher Behauptungen kann nur in Ausnahmefällen vor der Durchführung des vollständigen Beweisverfahrens angenommen werden. Hängt jedoch die Erfolgsaussicht eines Klage- oder eines Rechtsmittelbegehrens primär davon ab, ob der gesuchstellenden Partei der Beweis für die fragliche Behauptung gelingen werde, kann dem Gericht nicht verwehrt sein, auf Grund der Aktenlage und des prozessualen Verhaltens der Parteien in vorweggenommener Würdigung die Erfolgsaussichten der Beweisführung zu beurteilen. Ist danach ein vorläufiger Schluss über die behauptete Tatsache möglich, ohne dass allfällige zusätzlich beantragte oder denkbare weitere Beweise mit ernsthafter Wahrscheinlichkeit noch etwas daran zu ändern vermöchten, so kann die Erfolgsaussicht eines Begehrens auch in tatsächlicher Hinsicht verneint werden (vgl. Urteile des Bundesgerichts 5A_468/2007 vom 15. November 2007 E. 5.3; 5P.154/2004 vom 3. Juni 2004 E. 1.3; 4P.178/2002 vom 10. September 2002 E. 1.2).
7.2. Die Beschwerdeführer machen gestützt auf das zitierte Urteil 5P.154/2004 geltend, bei der Beurteilung der Aussichtslosigkeit dürfe nur in Ausnahmefällen auf eine antizipierte Beweiswürdigung abgestellt werden. Jedenfalls dürfe dies nur dann geschehen, wenn die gesuchstellende Partei beweisbelastet sei. Eine antizipierte Beweiswürdigung sei aber dann nicht zulässig, wenn die Gegenpartei die Beweislast trage.
Aus der zitierten Rechtsprechung ergibt sich keine derartige Einschränkung. Zwar beziehen sich die erwähnten Entscheide auf den Gesuchsteller, der in jenen Fällen die beweisbelastete Partei war. Die antizipierte Beweiswürdigung ist aber eine Möglichkeit der Beweiswürdigung. Diese kann sich nicht danach unterscheiden, ob der Kläger oder der Beklagte den Beweis zu erbringen hat. Auch wenn die Beweislast bei der Gegenpartei liegt, würde eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung nicht zu einem Prozess entschliessen, wenn keine ernsthaften Zweifel daran bestehen können, dass der Gegenpartei der ihr obliegende Beweis gelingen wird. Dies ist für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege massgebend.
7.3. Bezogen auf die konkrete Beweiswürdigung rügt der Beschwerdeführer 1, die Vorinstanz habe sich, mit Ausnahme der staatsanwaltlichen Befragung der beiden Kläger vom 22. Juli 2008 auf Einvernahmen aus den Strafuntersuchungen gegen E._, Y._ und F._ gestützt. In diesen Verfahren sei er nicht Partei gewesen und diese Dokumente seien daher ohne Einflussmöglichkeiten seinerseits entstanden. Auch die Beschwerdeführerin 2 macht geltend, "Alle anderen Dokumente", auf welche die Vorinstanz verweise, seien nicht im Rahmen eines Verfahrens gegen sie entstanden und hätten somit von ihr auch nicht berichtigt werden können. Sie könnten daher im vorliegenden Verfahren nicht verwendet werden.
Was die Beschwerdeführer mit diesen Ausführungen genau geltend machen wollen, bleibt unklar, so dass bereits fraglich ist, ob die Beschwerde insoweit den Begründungsanforderungen genügt (vgl. E. 3 hiervor). Dass die Voraussetzungen für ein Beweisverwertungsverbot gegeben wären, behaupten die Beschwerdeführer zu Recht nicht. Das Verfahren betreffend Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung ist ein Summarverfahren (<ref-law>), in dem Beweise vorwiegend durch Urkunden erbracht werden (<ref-law>). Insbesondere kann im Rahmen der antizipierten Beweiswürdigung auf Erkenntnisse und Beweisergebnisse aus anderen Verfahren abgestellt werden (Alfred Bühler, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 246a zu <ref-law>.) Der Beschwerdeführer 1 kann auch nichts daraus ableiten, dass auf Einvernahmeprotokolle der Beschwerdeführerin 2 abgestellt wurde. Für eine Leistungsverweigerung der Versicherung gegenüber einer juristischen Person genügt es, worauf bereits die Vorinstanz hinwies, wenn der Schaden durch eines der Organe absichtlich herbeigeführt bzw. betrügerisch ein Versicherungsanspruch begründet wurde (Andreas Hönger/Marcel Süsskind, Basler Kommentar, Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag, 2001, N. 23 zu <ref-law>; Jürg Nef, Basler Kommentar, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>). Sollten die Beschwerdeführer schliesslich geltend machen wollen, den Einvernahmeprotokollen komme keine Beweiskraft zu, würden ihre pauschalen Vorbringen nicht genügen. Das gilt auch für ihren Einwand, die Vorinstanz habe hinsichtlich der Annahme einer finanziellen Schieflage der Gesellschaft einzig auf den Polizeibericht abgestellt und keine weiteren Abklärungen getroffen und auch dem Umstand, dass im Zeitpunkt des Brandausbruchs das Gebäude eingerüstet war und der Täter deshalb über das Gerüst verschwunden sein könnte, keine Bedeutung zugemessen. Sie setzen sich mit der einlässlichen Würdigung der Vorinstanz in tatsächlicher Hinsicht mit keinem Wort auseinander (vgl. E. 3 hiervor). Insbesondere legen sie nicht dar, welche aus ihrer Sicht massgeblichen Beweise im Hauptverfahren noch hätten abgenommen werden müssen.
7.4. Nicht nachvollziehbar ist schliesslich der Einwand, bis anhin habe die Beklagte nicht geltend gemacht, die Kläger hätten den Versicherungsanspruch gestützt auf <ref-law> verwirkt. Die Vorinstanz hat verbindlich festgestellt, die Beklagte habe sich in ihrer Stellungnahme zur Aussichtslosigkeit zusammengefasst auf den Hauptstandpunkt gestellt, es liege kein unfreiwilliger Schaden vor.
8.
Demnach sind die Beschwerden abzuweisen. Mit diesem Entscheid werden die Gesuche um aufschiebende Wirkung gegenstandslos. Da die Beschwerden von vornherein aussichtslos waren, kann den Gesuchen der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nicht entsprochen werden (<ref-law>). Die Gerichtskosten sind somit den unterliegenden Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat sich unter dem Titel der Gewährung der aufschiebenden Wirkung ausführlich zu den Erfolgsaussichten der Beschwerde vernehmen lassen. Die Tatsache, dass die Erfolgsaussichten bei der Gewährung der aufschiebenden Wirkung zu berücksichtigen sind, rechtfertigt es indessen nicht, in der ausdrücklich auf das Thema der aufschiebenden Wirkung beschränkten Vernehmlassung gleichsam eine summarische Beschwerdeantwort einzureichen. Für derartigen unnötigen Aufwand steht der Beschwerdegegnerin keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 4 i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gesuche der Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung für das bundesgerichtliche Verfahren werden abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden unter solidarischer Haftbarkeit den Beschwerdeführern auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. August 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak