Sachverhalt:
A.
Der 1960 geborene A._ war bei der Firma B._ angestellt und aufgrund dieses Arbeitsverhältnisses bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als er am 30. Juni 2010 bei Dachdeckerarbeiten ausrutschte und sich beim anschliessenden Sturz eine Schulterluxation rechts zuzog. Die SUVA erbrachte in der Folge die gesetzlichen Leistungen. Ab 9. August 2010 war der Versicherte wieder voll arbeitsfähig. Bereits im Oktober 2008 hatte sich A._ beim Heben eines schweren Gegenstandes an der rechten Schulter eine grosse Unterflächenpartialläsion der Supraspinatussehne, eine Partialläsion des Subscapularis sowie eine Bicepssehnenruptur zugezogen, wofür die SUVA mangels Unfallereignis Leistungen ablehnte.
Am 24. Oktober 2011 wurde eine komplette Ruptur der Supraspinatussehne festgestellt. Mit Verfügung vom 17. Januar 2013 verneinte die SUVA einen Anspruch auf Versicherungsleistungen, da es an einem zumindest wahrscheinlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 30. Juni 2010 und den ab Oktober 2011 abgeklärten und behandelten rechtsseitigen Schulterbeschwerden fehle und vielmehr Folgen des Schadenfalls vom 2. Oktober 2008 vorlägen. Die dagegen erhobene Einsprache, in deren Folge u.a. ein Schreiben des Dr. med. C._, Chefarzt a.i. am Spital D._, Klinik für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, vom 25. November 2013 aufgelegt wurde, wies die SUVA mit Einspracheentscheid vom 17. März 2014 ab, nachdem sie zuvor eine Beurteilung des Kreisarztes Dr. med. E._, Facharzt für Chirurgie, vom 6. März 2014 eingeholt hatte.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde, in deren Folge ein Bericht der PD Dr. med. F._, leitende Ärztin am Spital D._, Orthopädie und Traumatologie des Bewegungsapparates, vom 5. August 2014 und von Seiten der Unfallversicherung eine Beurteilung des SUVA-Arztes Dr. med. G._, Facharzt für Chirurgie FMH sowie Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, vom 28. August 2014 eingereicht wurden, wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 13. Juli 2015 ab.
C.
Der Versicherte lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei festzustellen, dass die Ruptur der Supraspinatussehne rechts Folge des Unfallereignisses vom 30. Juni 2010 sei. Eventualiter sei ein medizinisches Gutachten anzuordnen zur Beantwortung der Frage, ob das Unfallereignis vom 30. Juni 2010 die (alleinige) Ursache oder zumindest eine Teilursache für die Ruptur der Supraspinatussehne rechts sei.
Während die SUVA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
2.1. Im angefochtenen Entscheid werden die für die Beurteilung der Streitsache massgebenden rechtlichen Grundlagen, namentlich betreffend den für den Leistungsanspruch nebst anderem vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen), insbesondere auch bei Rückfällen und Spätfolgen (RKUV 1997 Nr. U 275 S. 191, U 93/96, E. 1c in fine, 1994 Nr. U 206 S. 328, U 180/93, E. 3b) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt in Bezug auf den im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) sowie die Ausführungen zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 4.3 S. 468 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Korrekt sind auch die Hinweise zum Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>) und zur Beweislast im Sozialversicherungsprozess (<ref-ruling> E. 3b S. 264). Darauf wird verwiesen.
2.2. Zu betonen ist, dass bei Entscheiden gestützt auf versicherungsinterne ärztliche Beurteilungen, die im Wesentlichen oder ausschliesslich aus dem Verfahren vor dem Sozialversicherungsträger stammen, an die Beweiswürdigung strenge Anforderungen zu stellen sind. Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der ärztlichen Feststellungen, ist eine versicherungsexterne medizinische Begutachtung im Verfahren nach <ref-law> oder ein Gerichtsgutachten anzuordnen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 229; <ref-ruling> E. 4.4 S. 470).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob die SUVA für die am 24. Oktober 2011 festgestellte Ruptur der Supraspinatussehne leistungspflichtig ist, bzw. ob die Sehnenruptur mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf den Unfall vom 30. Juni 2010 zurückzuführen ist.
4.
4.1. Nach Würdigung der medizinischen Aktenlage gelangte die Vorinstanz zum Schluss, es sei nicht überwiegend wahrscheinlich, dass der Unfall vom 30. Juni 2010 zur Sehnenruptur führte bzw. einen vorbestehenden Krankheitszustand richtungsweisend verschlechterte. Es sei vielmehr davon auszugehen, dass kein ursächlicher Zusammenhang zwischen dem Unfallereignis und der später eingetretenen Gesundheitsschädigung bestehe. Sie stützte sich dabei in Bestätigung der Verwaltung auf die Berichte der SUVA-Kreisärzte, insbesondere die ausführliche Stellungnahme des SUVA-Arztes Dr. med. G._ vom 28. August 2014. Sie erwog, die SUVA-Ärzte würden nachvollziehbar und überzeugend darlegen, dass diese Läsion (Ruptur der Supraspinatussehne) einerseits ohne weiteres mit dem Fortschreiten der vorbestehenden, krankhaften Degenerationserscheinungen an der rechten Schulter erklärt werden könne. Anderseits werde festgehalten, dass zwei Wochen nach dem Unfall noch keine Ruptur im Sinne einer unterbrochenen Sehnenkontinuität nachweisbar gewesen sei. Die übrigen Arztberichte in den Akten seien nicht geeignet, Zweifel an dieser Einschätzung zu wecken. Zum abweichenden Bericht des Dr. med. C._ führte die Vorinstanz aus, dieser halte es zwar für wahrscheinlicher, dass die Reruptur auf die Schulterluxation zurückgehe als auf einen krankhaften Prozess. Er räume aber zugleich ein, dass im Juli 2010 kein vollständiger Riss der Sehne vorgelegen habe, und er könne nicht ausschliessen, dass die damals ersichtlichen Veränderungen der Rotatorenmanschette im Gefolge der Operation von 2008 entstanden seien. Der Standpunkt der SUVA-Ärzte werde deshalb durch die abweichende Auffassung von Dr. med. C._ nicht widerlegt. Verstehe man ihn so, dass 2010 keine komplette Ruptur vorgelegen habe, sondern nur eine weniger weitgehende Läsion der Sehne, so stehe dies sogar in Einklang mit dem SUVA-Arzt Dr. med. G._, der einen Defekt mit Austritt von Kontrastmittel bejaht habe. Auch die Aussage von Dr. med. H._, die Supraspinatussehne sei "vorwiegend" intakt, sei in diesem Sinne zu deuten; von einer Totalruptur sei bei ihm nicht die Rede.
4.2. Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, die Vorinstanz habe nicht geprüft, ob der Unfall vom 30. Juni 2010 nicht zumindest eine Teilursache für die Ruptur der Supraspinatussehne rechts darstelle, was genüge um die Kausalität zu bejahen. Aus den Berichten der Dres. C._ und F._ ergäbe sich, dass der Unfall zumindest eine Teilursache für die Sehnenruptur sei. Jedenfalls hätten diese Berichte die Vorinstanz veranlassen müssen, die Kausalitätsfrage durch ein medizinisches Gutachten klären zu lassen.
5.
5.1. Diese Auffassung des Beschwerdeführers ist nicht von der Hand zu weisen. Der SUVA-Arzt Dr. med. G._ hält in seiner Stellungnahme vom 28. August 2014, worin er sich mit den abweichenden Auffassungen der externen Fachärzte auseinandersetzt und worauf das kantonale Gericht schlussendlich abstellt, zusammenfassend fest, dass die Luxation nicht zu einer Ruptur der Sehne geführt habe. Beim Abwägen der Argumente, die für oder gegen einen ursächlichen Zusammenhang des Rezidivdefekts mit der Schulterluxation sprächen, seien von besonderer Bedeutung der fehlende Nachweis eines strukturellen Defektes und der fehlende Funktionsausfall in den zeitnah zur Luxation erfolgten körperlichen und apparativen Untersuchungen. Wie Dr. med. G._ gehen zwar auch die versicherungsexternen Fachärzte Dres. C._ und F._ davon aus, dass die refixierte Supraspinatussehne am 30. Juni 2010 nicht total gerissen ist, eine Läsion als mögliche Teilursache wird aber nicht ausgeschlossen. So stellt sich Dr. med. C._ auf den Standpunkt, die Luxation habe mit überwiegender Wahrscheinlichkeit zu einer nicht transmuralen Teilverletzung geführt, welche sich während des folgenden Jahres zu einer vollständigen transmuralen Ruptur entwickelt habe. Die Hypothese, der Beschwerdeführer habe während der zwei Jahre bis zur Schulterluxation über eine gut funktionierende operierte Rotatorenmanschette verfügt, und erst mit dem dritten postoperativen Jahr sei es unabhängig vom Trauma zu einem grossen degenerativen Defekt der Supraspinatussehne gekommen, erscheine ihm deutlich weniger wahrscheinlich. Gemäss Dr. med. F._ ist u.a. der Austritt von Kontrastmittel bei der nach der Luxation durchgeführten MRI-Untersuchung vom 14. Juli 2010 ein klarer Hinweis auf eine unterbrochene Kontinuität der Rotatorenmanschette. Der Austritt von Kontrastmittel belege eine Läsion. Die Vorinstanz erwog dazu, Dr. med. G._ bestreite dies an sich nicht, differenziere aber klar zwischen Defekten und einem vollständigen Riss der Sehne. Entgegen den Ausführungen des Dr. med. G._ bestätigt Dr. med. C._ nicht, dass im MRI keine auf die Schulterluxation zurückführende strukturelle Läsion dargestellt wird, vielmehr bejaht er lediglich, dass keine vollständige transmurale Rotatorenmanschettenläsion vorgelegen habe. Eine Teilkausalität ist mithin nicht ohne weiteres ausgeschlossen.
Mit Blick auf die gezeigte Ausgangslage gilt festzustellen, dass die versicherungsexternen fachärztlichen Stellungnahmen mit Bezug auf die relevante Frage der Teilkausalität zumindest geringe Zweifel (vgl. E. 2.2) an der Schlüssigkeit und Beweiskraft der versicherungsinternen Beurteilung des Dr. med. G._ zu begründen vermögen. Der Standpunkt der SUVA-Ärzte braucht dabei nicht widerlegt zu werden.
5.2. Aufgrund der aktuellen Aktenlage lässt sich die Frage der Teilkausalität mithin nicht schlüssig beantworten, womit es einer externen medizinischen Abklärung bedarf.
6.
Nach dem Gesagten ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie zur Beurteilung der Frage der Kausalität ein medizinisches Gerichtsgutachten einhole und danach über die Beschwerde neu entscheide.
7.
Die Rückweisung der Sache an den Versicherungsträger oder an das vorinstanzliche Gericht zu erneuter Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 7.1 S. 271 mit Hinweisen). Demgemäss sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin zu überbinden. Ferner hat sie dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 13. Juli 2015 und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) vom 17. März 2014 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. November 2015
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Weber Peter