Faits :
A.
A.a. Le 2 novembre 1997, A._, alias B._, originaire du Kosovo, a été agressée avec un couteau par une connaissance. A la suite d'importantes coupures à la paume, au front, à la joue et au flanc gauche - cette dernière ayant provoqué un pneumothorax -, elle a été hospitalisée une dizaine de jours. Les 2 et 3 novembre 1997, elle a été entendue et a porté plainte, renonçant toutefois à faire appel aux organismes d'aide aux victimes. Le prévenu s'étant enfui, la procédure pénale a été suspendue. Dans les années qui ont suivi, la plaignante est notamment retournée dans son pays d'origine en 2006.
En 2009, le prévenu a été arrêté et la procédure pénale a repris. Les autorités n'ayant pas réussi à retrouver A._, connue alors uniquement sous le nom de B._, elle n'a pas pu être entendue au cours de l'instruction. Le 22 mars 2011, le procès de l'agresseur s'est ouvert devant le Tribunal correctionnel de Genève. Le Président de cette autorité a accordé l'assistance judiciaire à A._, lui désignant une mandataire d'office. Cette dernière a déposé, le 15 septembre 2011, une demande tendant au versement d'une indemnité de 120'000 fr. à titre de perte de gain, ainsi que de 70'000 fr. à titre de réparation morale auprès de l'Instance d'indemnisation LAVI (ci-après : l'Instance LAVI). Le jour suivant, A._ s'est aussi constituée partie civile dans la procédure pénale, y prenant en substance des conclusions similaires; elle a également été auditionnée par les autorités judiciaires. Par jugement du 16 septembre 2011, l'agresseur de A._ a été reconnu coupable de tentative d'assassinat et condamné à une peine de trente mois d'emprisonnement; l'exécution de cette sanction a été suspendue en faveur d'un traitement psychiatrique institutionnel. Le Tribunal correctionnel a alloué à la plaignante 41'396 fr. 70 à titre de réparation de son dommage matériel et une indemnité pour tort moral de 40'000 fr.
A.b. Après avoir entendu A._ et reçu deux pièces relatives à des séjours à l'hôpital de Belle-Idée, l'Instance LAVI a déclaré, le 21 décembre 2011, la requête d'indemnisation irrecevable; celle-ci n'avait pas été déposée dans le délai de deux ans à compter de la date de l'infraction. La Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève a admis le recours formé contre cette décision par la requérante et a renvoyé la cause à l'autorité précédente (arrêt du 25 septembre 2012).
L'Instance LAVI a repris l'instruction de la cause. Puis, par décision du 18 mars 2014, elle a estimé qu'une indemnité pour tort moral de 10'000 fr. se justifiait. Elle a toutefois réduit ce montant à 6'000 fr. en raison du niveau de vie au Kosovo, pays où résidait alors la requérante. En revanche, elle a refusé toute indemnisation pour la perte de gain alléguée subie entre janvier 2007 et septembre 2011.
B.
Par arrêt du 17 mars 2015, la Chambre administrative a admis partiellement le recours formé contre cette décision et l'a annulée dans la mesure où elle réduisait l'indemnité pour tort moral de 10'000 fr. à 6'000 fr. Cette autorité a considéré que le domicile au Kosovo de A._ ne justifiait pas une telle réduction au vu des liens que cette dernière avait conservés avec la Suisse. Elle a confirmé pour le surplus l'ordonnance attaquée.
C.
Par acte du 7 mai 2015, A._ forme un recours en matière de droit public à l'encontre de ce jugement, concluant à son annulation. Elle requiert la constatation de la violation de son droit d'être entendue, la mise en oeuvre d'une expertise médicale sur son incapacité de travail, l'allocation de 70'000 fr., intérêts à 5% en sus dès le 2 novembre 1997, à titre de tort moral et une indemnité pour perte de gain de 120'000 fr., intérêts en sus à 5% dès le 1er janvier 2007. Elle sollicite aussi le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Invitées à se déterminer, l'Instance LAVI et la cour cantonale ont renoncé à déposer des observations. Quant à l'Office fédéral de la justice, il s'est abstenu de prendre position.

Considérant en droit :
1.
Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les <ref-law>, aucune des exceptions mentionnées à l'<ref-law> n'étant réalisée.
La recourante a un intérêt à obtenir l'annulation ou la modification de l'arrêt attaqué qui confirme le refus d'une allocation pour perte de gain et ne lui alloue, en application de la loi sur l'aide aux victimes d'infractions, une indemnité pour tort moral que de 10'000 fr. en place des 70'000 fr. requis (<ref-law>). Les autres conditions de recevabilité énoncées aux <ref-law> sont également remplies, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2.
La loi fédérale du 23 mars 2007 sur l'aide aux victimes d'infractions (loi sur l'aide aux victimes, LAVI; RS 312.5) est entrée en vigueur le 1er janvier 2009 (RO 2008 1607, FF 2005 6683).
Selon l'<ref-law>, est régi par l'ancien droit - soit la loi du 4 octobre 1991 sur l'aide aux victimes d'infractions (aLAVI; RO 1992 2465, 1997 2952 ch. III, 2002 2957, 2005 5685 annexe ch. 2) - le droit d'obtenir une indemnité et une réparation morale pour des faits qui se sont déroulés avant l'entrée en vigueur de la nouvelle loi et les délais prévus à l'<ref-law> sont applicables au droit d'obtenir une indemnité et une réparation morale pour des faits qui se sont déroulés moins de deux ans avant l'entrée en vigueur de la LAVI. L'ancien droit est également applicable aux demandes de contributions aux frais qui sont pendantes à l'entrée en vigueur de la présente loi (<ref-law>).
Il en résulte que la présente procédure, relative à des faits qui se sont déroulés en novembre 1997, est soumise à l'ancienne LAVI.
3.
Invoquant les art. 9 Cst. et 12 al. 1 aLAVI, la recourante reproche à la cour cantonale d'avoir refusé d'indemniser sa perte de gain au motif que son incapacité de travail ne serait pas en lien de causalité adéquate avec l'agression subie.
3.1. Il n'y a arbitraire dans l'établissement des faits ou l'appréciation des preuves que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560). Il ne suffit pas que la motivation de la décision critiquée soit insoutenable; encore faut-il que celle-ci se révèle arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 168; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 319).
3.2. A teneur de l'art. 12 al. 1 aLAVI, la victime a droit à une indemnité pour le dommage qu'elle a subi, si ses revenus déterminants au sens de l'art. 3c de la loi fédérale du 19 mars 1965 sur les prestations complémentaires à l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité (LPC; RS 831.30) ne dépassent pas le quadruple du montant supérieur destiné à la couverture des besoins vitaux, fixé à l'<ref-law>; les revenus déterminants sont ceux qu'aura probablement la victime après l'infraction.
La notion de dommage au sens de la LAVI correspond de manière générale à celle du droit de la responsabilité civile (<ref-ruling> consid. 4 p. 363 et les références citées). Il peut ainsi être renvoyé aux principes posés par l'<ref-law> en cas de lésions corporelles (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 51); l'<ref-law> y fait d'ailleurs actuellement expressément référence. Il résulte de l'application des dispositions de droit civil que, lorsqu'une des conditions des <ref-law> fait défaut, une indemnisation LAVI n'entre en tout cas pas en considération (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 364).
3.3. En matière civile, le principe d'une réparation présuppose notamment l'existence d'un lien de causalité naturelle et adéquate entre l'acte illicite et le dommage allégué subi.
Un fait est la cause naturelle d'un résultat s'il en constitue une condition sine qua non; en d'autres termes, il existe un lien de causalité naturelle entre deux événements lorsque, sans le premier, le second ne se serait pas produit; il n'est pas nécessaire que l'événement considéré soit la cause unique ou immédiate du résultat. L'existence d'un lien de causalité naturelle est une question de fait que le juge doit trancher selon les règles du degré de vraisemblance prépondérante (<ref-ruling> consid. 8.4 p. 189 s.; <ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 470).
Pour déterminer ensuite s'il y a causalité adéquate, il faut examiner si le fait en discussion était propre, selon le cours ordinaire des choses et l'expérience générale de la vie, à entraîner un résultat du genre de celui qui s'est produit (<ref-ruling> consid. 8.4.2 p. 190; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 318; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 405). La causalité adéquate est cependant exclue - on parle alors d'une interruption du rapport de causalité - si une autre cause, qu'il s'agisse d'une force naturelle ou du comportement d'une autre personne, constitue une circonstance tout à fait exceptionnelle ou apparaît si extraordinaire que l'on ne pouvait pas s'y attendre; l'imprévisibilité d'un acte concurrent ne suffit pas en soi à interrompre le rapport de causalité adéquate; il faut encore que cet acte ait une importance telle qu'il s'impose comme la cause la plus probable et la plus immédiate de l'événement considéré, reléguant à l'arrière-plan tous les autres facteurs qui ont contribué à l'amener et notamment le comportement en discussion (<ref-ruling> consid. 10.2 p. 23 s.; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 188).
3.4. En l'espèce, afin de déterminer si la recourante pouvait prétendre à une indemnisation de sa perte de gain, la cour cantonale a procédé à la vérification de l'existence d'un éventuel lien de causalité entre l'agression subie en 1997 et l'incapacité de travail dont se prévaut la recourante dès 2007.
L'autorité précédente a ainsi examiné de manière détaillée les différents éléments à sa disposition, dont le jugement pénal, l'audition de la requérante le 7 février 2013 par l'Instance LAVI et les attestations médicales produites ultérieurement au prononcé pénal (cf. les résumés des séjours hospitaliers à Belle-Idée datés des 19 septembre 2005 et 23 mai 2008). Ces dernières considérations permettent d'ailleurs d'expliquer une appréciation différente de la part des autorités en matière de LAVI de celle retenue par le juge pénal (ATF <ref-ruling> consid. 2.4 p. 315 s.), ainsi que d'exclure toute violation du droit d'être entendue de la recourante lors du refus de procéder à une nouvelle expertise (appréciation anticipée des preuves; sur cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299 et les arrêts cités ). A la suite de cette analyse, la cour cantonale a relevé que l'agression subie était généralement propre à entraîner une incapacité de travail - donc de perte de gain -, que ce soit en raison de problèmes physiques et/ou psychiques. Cependant, elle a constaté que tel n'avait pas été le cas en l'espèce, puisque la recourante avait pu exercer une activité lucrative jusqu'à la fin de l'année 2006 et que, durant les années précédentes, elle n'avait été hospitalisée qu'à deux reprises durant deux semaines et un mois; l'agression de 1997 n'apparaissait ainsi pas comme une condition sine qua non de l'incapacité de gain survenue dix ans plus tard.
Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique. Il apparaît en effet que c'est l'importance du temps écoulé entre l'agression de 1997 et l'incapacité de gain alléguée dès 2007 qui permet à l'autorité précédente de nier l'existence d'un rapport de causalité entre ces deux événements. A cet argument principal, s'ajoutent les deux ruptures sentimentales vécues dans ce même intervalle, la consultation d'une psychologue uniquement à partir de 2000, le suivi par un psychiatre encore plus ultérieurement (dès 2005) et surtout l'absence de mention dans les attestations médicales de 2005, 2006 et 2011 de lien entre les troubles alors présentés et l'agression de 1997 (cf. consid. 6 p. 16 du jugement attaqué). Or, la recourante ne soutient pas que le contenu des rapports médicaux aurait été mal interprété par la cour cantonale, que celle-ci aurait omis de prendre en compte certains éléments y figurant ou qu'elle-même n'aurait pas pu exercer une activité lucrative dans les premières années suivant l'agression. Il ressort au contraire de ses propres déclarations qu'elle a pu continuer à travailler sans période de chômage jusqu'à fin 2006 (cf. l'audition du 7 février 2013; En fait ad 22 p. 8 du jugement attaqué). Cela démontre en particulier que les troubles ressentis à l'époque n'avaient alors pas d'impact sur sa capacité de travail. Ces constatations permettent d'ailleurs de rejeter la requête d'expertise médicale sur cette question formée devant le Tribunal de céans.
Au vu de ces considérations, la Chambre administrative pouvait par conséquent retenir l'absence de lien de causalité entre l'agression de 1997 et la perte de gain alléguée subie à partir de 2007. Dès lors qu'une des conditions nécessaire pour l'établissement de la responsabilité en matière civile fait défaut, l'autorité précédente pouvait, sans violer le droit fédéral ou faire preuve d'arbitraire, refuser toute indemnisation de ce poste du dommage.
4.
La recourante soutient ensuite que le montant de 10'000 fr. alloué à titre de réparation morale ne tiendrait pas compte des particularités du cas d'espèce.
4.1. L'art. 12 al. 2 aLAVI institue le principe d'une réparation morale, en argent, en faveur de la victime qui a subi une atteinte grave, dans des circonstances particulières. Pour le surplus, l'ancienne loi fédérale ne fixe pas de critères quant à l'estimation de cette indemnité. Il convient donc de s'inspirer, par analogie, des principes résultant de l'application des art. 47 et 49 CO (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 119); un renvoi y est actuellement fait à l'<ref-law>. Il sied cependant de prendre en compte que le système d'indemnisation du tort moral prévu par la LAVI - ainsi que par ailleurs pour celui du dommage - répond à l'idée d'une prestation d'assistance et non pas à celle d'une responsabilité de l'Etat; la jurisprudence a ainsi rappelé que l'utilisation des critères du droit privé est en principe justifiée, mais que l'instance LAVI peut au besoin s'en écarter (ATF <ref-ruling> consid. 2.3 p. 315; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 53 et les références citées). Le législateur de la nouvelle LAVI a d'ailleurs prévu des plafonds en la matière, soit 70'000 fr. lorsque l'ayant droit est la victime (<ref-law>).
4.2. En matière civile, le juge peut, en vertu de l'<ref-law> et en tenant compte de circonstances particulières, allouer à la victime de lésions corporelles une indemnité équitable à titre de réparation morale.
Les circonstances particulières évoquées dans la norme susmentionnée consistent dans l'importance de l'atteinte à la personnalité du lésé, l'<ref-law> étant un cas d'application de l'<ref-law>. Les lésions corporelles, qui englobent tant les atteintes physiques que psychiques, doivent donc en principe impliquer une importante douleur physique ou morale ou avoir causé une atteinte durable à la santé. Parmi les circonstances qui peuvent, selon les cas, justifier l'application de l'<ref-law>, figurent avant tout le genre et la gravité de la lésion, l'intensité et la durée des répercussions sur la personnalité de la personne concernée, le degré de la faute de l'auteur ainsi que l'éventuelle faute concomitante de la victime. L'indemnité allouée doit être équitable. Le juge applique les règles du droit et de l'équité lorsque la loi le charge, comme l'<ref-law>, de prononcer en tenant compte des circonstances (cf. <ref-law>). Le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec réserve la décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, lorsqu'elle repose sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle ou, au contraire, lorsqu'elle ignore des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; en outre, le Tribunal fédéral redresse les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 11.2 p. 98 et les nombreuses références citées).
4.3. En l'occurrence, il y a lieu tout d'abord de relever que les exemples jurisprudentiels cités par la cour cantonale ne sont pas dénués de toute pertinence. En effet, ils concernent des agressions perpétrées généralement à l'arme blanche et ayant eu des impacts importants tant physiques que psychologiques pour la victime (cf. le consid. 8d du jugement attaqué); de telles circonstances ne sont pas éloignées de celles qui prévalent dans le cas d'espèce concernant la recourante. Celle-ci ne le prétend d'ailleurs pas, ne se référant en particulier pas à d'autres cas similaires où l'indemnisation aurait été supérieure; elle relève uniquement la différence du chef d'infraction retenu dans ces exemples (lésions corporelles), l'omission de prendre en considération cet élément - soit la tentative d'assassinat subie -, la fuite du prévenu pendant douze ans, ainsi que ses problèmes psychologiques, ceux-ci ayant notamment entraîné son internement en 2010.
Cependant, aucune de ces circonstances n'a été ignorée par l'autorité précédente lors de la fixation de l'indemnité à 10'000 fr., montant correspondant par ailleurs à la somme la plus élevée allouée dans les exemples cités. Ainsi, elle a relevé expressément la tentative d'assassinat contre la recourante. Puis, elle a indiqué quelles étaient en l'occurrence les conséquences (1) physiques (les coupures, le pneumothorax, l'hospitalisation découlant de l'agression, la récupération intervenue à la suite de ces blessures, sous réserve de l'incapacité d'ouvrir totalement la main droite et la cicatrice visible sur le front) et (2) psychologiques subies par la recourante (les insomnies, les cauchemars, la peur constante éprouvée - sentiment qui a perduré en raison de l'arrestation du prévenu uniquement plusieurs années après -, la dépression; cf. consid. 10 p. 19 de l'arrêt entrepris). De manière ensuite cohérente avec ses réflexions relatives à l'absence de lien de causalité entre l'agression de 1997 et les troubles ayant entraîné la perte de gain alléguée subie dès 2007 (cf. consid. 6 p. 15 ss de l'arrêt attaqué), la cour cantonale a retenu, à juste titre, que l'hospitalisation alors en cours ne pouvait pas influencer le montant de l'indemnité pour tort moral (cf. consid. 10 p. 19 du jugement cantonal).
Il en résulte que l'appréciation effectuée par la Chambre administrative, qui se fonde sur l'entier des éléments invoqués par la recourante, n'est pas contraire au droit fédéral, ni a fortiori arbitraire. Partant, ce grief doit être rejeté.
5.
Il s'ensuit que le recours est rejeté.
La recourante a demandé le bénéfice de l'assistance judiciaire. Il apparaît toutefois que son recours était dénué de chance de succès et, partant, cette requête doit être rejetée (<ref-law>). Cependant, il n'est pas perçu de frais de judiciaires (<ref-law>), ni alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La requête de mise en oeuvre d'une expertise médicale sur l'incapacité de travail de la recourante est rejetée.
2.
Le recours est rejeté.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire de la recourante, à l'Instance d'indemnisation LAVI, à la 1ère section de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la justice.
Lausanne, le 7 août 2015
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Fonjallaz
La Greffière : Kropf