Sachverhalt:
A. H._ liess am 28. Januar 2010 gegen eine den Anspruch auf eine Invalidenrente verneinende Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 22. Dezember 2009 beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde erheben, wobei der Eingabe keine Vollmacht beigelegt war. Das Sozialversicherungsgericht setzte ihm bzw. seiner Vertretung mit Verfügung vom 2. Februar 2010 u.a. eine Frist von 10 Tagen an, um dem Gericht die Vollmacht einzureichen, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Nachdem die Vollmacht dem Gericht nicht eingereicht worden war, trat das Sozialversicherungsgericht androhungsgemäss auf die Beschwerde nicht ein (Beschluss vom 10. März 2010).
B. Mit Eingabe vom 14. April 2010 lässt H._ beim Bundesgericht Beschwerde führen und beantragen, der angefochtene Beschluss vom 10. März 2010 sei aufzuheben und der Sachverhalt sei "entsprechend (der) Beschwerde vom 28.1.2010 erneut" zu prüfen.
Die Vorinstanz schliesst im Falle des bei der IV-Stelle innert Frist erfolgten Eingangs einer gültigen Vollmacht auf Gutheissung der Beschwerde. Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde des Versicherten vom 14. April 2010 richtet sich gegen den vorinstanzlichen Nichteintretensentscheid (Beschluss vom 10. März 2010). Das Bundesgericht hat daher zu prüfen, ob die Vorinstanz zu Recht auf die bei ihr erhobene Beschwerde nicht eingetreten ist, wogegen die materiellen, den Anspruch auf eine Invalidenrente betreffenden Gesichtspunkte hier unerörtert zu bleiben haben (<ref-ruling> E. 1.1 S. 76, 117 V 121 E. 1 S. 122 f. mit Hinweisen).
2. 2.1 Das Sozialversicherungsgericht setzte dem Beschwerdeführer bzw. seiner Vertretung mit Verfügung vom 2. Februar 2010 eine Frist von 10 Tagen an, um dem Gericht die schriftliche Vollmacht einzureichen, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Nachdem die Vollmacht dem Gericht innerhalb der gesetzten Frist nicht eingereicht worden war, trat die Vorinstanz androhungsgemäss auf die Beschwerde nicht ein.
2.2 In der Folge stellte sich jedoch heraus, dass der Beschwerdeführer bzw. seine Vertretung nach der Einforderung der Vollmacht durch die Vorinstanz rechtzeitig eine gültige Vollmacht ausgefertigt, diese indessen irrtümlicherweise an die Sozialversicherungsanstalt / IV-Stelle Zürich gesandt hatten, was durch die Auflage von Kopien der entsprechenden - zulässigerweise vor Bundesgericht eingereichten (<ref-law>) - Dokumente belegt worden ist. Damit hat als erwiesen zu gelten, dass innerhalb der mit Verfügung vom 2. Februar 2010 gesetzten Frist eine rechtsgültige Vollmacht - wenn auch an eine unzuständige Behörde, was jedoch nicht schadet, da eine Frist auch diesfalls als gewahrt gilt, wobei die unzuständige Behörde die Eingabe unverzüglich an die zuständige Amtsstelle weiterzuleiten hat (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1c S. 95 f. und 120 V 413 E. 3a S. 415 mit weiteren Hinweisen; Urteile N. vom 20. Oktober 2008, 8C_596/2008 und D. vom 3. August 2001, U 179/01) - beigebracht worden war. Somit hatten der Beschwerdeführer bzw. seine Vertretung - wie auch das Sozialversicherungsgericht in seiner Vernehmlassung vom 19. Mai 2010 zutreffend darlegt - den ihnen gemäss Verfügung vom 2. Februar 2010 gemachten Auflagen im Wesentlichen Genüge getan, woran der infolge allfälliger Verletzung der Weiterleitungspflicht durch die Verwaltung unterbliebene Eingang der Vollmacht beim kantonalen Gericht nichts ändert. Somit ist der auf die angeblich fehlende Prozessvoraussetzung gestützte vorinstanzliche Nichteintretensentscheid nach den zutreffenden Feststellungen des Sozialversicherungsgerichts in der Vernehmlassung zu Unrecht ergangen. Dieser muss demzufolge aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen werden, damit sie den Fall neu beurteile.
3. Vor Bundesgericht werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>).
Die Kostenfolgen des kantonalen Beschwerdeverfahrens wird die Vorinstanz im Rahmen ihres erneuten Entscheides entsprechend dem Ausgang des Prozesses zu regeln haben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Beschluss des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 10. März 2010 aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie über die Beschwerde gegen die Verfügung vom 22. Dezember 2009 erneut entscheide.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Juni 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Batz