Erwägungen:
1. Der 1958 geborene X._ stammt aus dem Kosovo. Zwischen 1982 und 1991 arbeitete er als Saisonnier in der Schweiz. Am 27. Juni 1991 wurde ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt, welche ihm regelmässig, zuletzt bis zum 31. August 2007 verlängert wurde. Seine Frau und seine sechs Kinder leben im Kosovo. Im Zeitraum 1994 bis August 2008 erwirkte er insgesamt 18 Straferkenntnisse, wobei das Urteil vom 3. November 2006 hervorzuheben ist, womit er zu 16 Monaten und 14 Tagen Zuchthaus u.a. wegen mehrfacher Veruntreuung und mehrfacher Urkundenfälschung verurteilt wurde.
Am 25. November 2009 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern das Gesuch von X._ um weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab; zugleich verfügte es seine Wegweisung. Eine Beschwerde an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern blieb erfolglos. Mit Urteil vom 4. April 2011 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die gegen den Beschwerdeentscheid des Departements vom 17. Mai 2010 erhobene Beschwerde im Wesentlichen ab; zu einer teilweisen Gutheissung kam es bloss insofern, als, gleich wie für das verwaltungsgerichtliche Verfahren, auch für das Rechtsmittelverfahren vor dem Departement die unentgeltliche Rechtspflege gewährt wurde.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei im materiellen Punkt aufzuheben und es sei in Gutheissung der Beschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte seine Aufenthaltsbewilligung ordentlich zu verlängern und/oder es sei die Sache an eine der Vorinstanzen zwecks Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zurückzuweisen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2. 2.1 Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit eines Rechtsmittels vom Amtes wegen mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 499; <ref-ruling> E. 1 S. 24; <ref-ruling> E. 1.1 S. 3).
2.2 Der Beschwerdeführer erhebt ausdrücklich subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Dieses Rechtsmittel ist bloss zulässig, wenn keine Beschwerde nach den Artikeln 72-89 BGG zulässig ist (<ref-law>). In Betracht fiele vorliegend die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Diese ist auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt, sowie betreffend die Wegweisung (Art. 83 lit. c Ziff. 2 und 4 BGG).
2.3 Der Beschwerdeführer hält fest, es bestehe "kein eigentlicher Rechtsanspruch" auf die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Dies trifft zu:
Als Anspruchsnorm ausser Betracht fällt zunächst Art. 8 EMRK. Die Familie des Beschwerdeführers (Ehefrau und sechs Kinder) leben unbestrittenermassen in seinem Heimatland, so dass eine Berufung auf den Schutz des Familienlebens von vornherein entfällt. Was das Recht auf Schutz des Privatlebens betrifft, erfüllt der Beschwerdeführer die strengen Voraussetzungen, um unter diesem Titel einen Bewilligungsanspruch geltend zu machen, offensichtlich nicht; es genügt hierfür der Verweis auf <ref-ruling> E. 3.2 S. 286 ff. Inwiefern sich sodann ein Recht auf Bewilligungserteilung aus dem in der Beschwerdeschrift erwähnten <ref-law> (Diskriminierungsverbot) ableiten liesse, bleibt, namentlich angesichts der Darlegungen in E. 6 des angefochtenen Urteils, auf die in der Beschwerdeschrift nicht konkret eingegangen wird, unerfindlich. Erst recht führt das allgemeine Rechtsgleichheitsgebot nicht zur Anerkennung eines Bewilligungsrechts (s. dazu implizit <ref-ruling> E. 6 S. 392 ff.; Urteil 2D_8/2010 vom 29. März 2010); ohnehin betrifft die vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang erwähnte Zwei-Jahres-Regel nur Ausländer mit gefestigtem Bewilligungsanspruch (mit Schweizer Bürger verheirateter Ausländer, Widerruf einer Niederlassungsbewilligung, usw.). Schliesslich kann der Beschwerdeführer auch nicht gestützt auf Treu und Glauben eine Bewilligungsverlängerung beanspruchen; selbst vielfache frühere Bewilligungsverlängerungen und damit langjährige Landesanwesenheit verschaffen für sich allein kein begründetes Vertrauen auf Bewilligungsverlängerung (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 387 f.). Ohnehin wäre diesbezüglich der vom Beschwerdeführer hervorgehobene Umstand unerheblich, dass die Ausländerrechtsbehörde erst drei Jahre nach dem gewichtigsten Strafurteil (vom 3. November 2006, Verurteilung zu 16 Monaten und 14 Tagen Freiheitsentzug) die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung verfügt hat: Die letzte Bewilligung lief im August 2007 ab, ohne dass es noch je zu einer Verlängerung gekommen wäre.
Mangels Anspruchs auf Bewilligungsverlängerung ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in der Tat unzulässig, und als bundesrechtliches Rechtsmittel kommt bloss die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Betracht.
2.4 Zur Verfassungsbeschwerde berechtigt ist, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Da der Beschwerdeführer keinen Rechtsanspruch auf Bewilligung hat, ist er durch deren Verweigerung weitgehend nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen (vgl. grundlegend <ref-ruling>); namentlich lässt sich aus dem Willkürverbot allein keine rechtlich geschützte Stellung ableiten (<ref-ruling> E. 6 S. 197 ff.). Dass sich aus dem Rechtsgleichheitsgebot grundsätzlich, aus dem Diskriminierungsverbot und aus Treu und Glauben jedenfalls bei den vorliegenden Verhältnissen, bezogen auf eine ausländerrechtliche Bewilligung keine rechtlich geschützte Position des Beschwerdeführers ergibt, ist in E. 2.3 dargelegt worden. Der Beschwerdeführer ist unter keinem Titel zur Verfassungsbeschwerde legitimiert. Dieses Rechtsmittel erweist sich als offensichtlich unzulässig (<ref-law>), und es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten.
2.5 Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann schon wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (<ref-law>). Somit sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Mai 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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