Faits:
A. X._, docteur en médecine, a exercé sa profession en qualité d'indépendant. Souffrant de la maladie de Parkinson, il s'est annoncé à l'AI le 17 octobre 2005.
Par décision du 8 juin 2006, confirmée sur opposition le 5 juillet 2006, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève a reconnu qu'au terme du délai d'attente d'une année, le 1er janvier 2001, l'assuré subissait un préjudice économique de 57 %, puis de 67 % à partir du 1er janvier 2004. Il lui a alloué trois-quarts de rente d'invalidité à compter du 1er octobre 2004, la demande étant tardive.
B. X._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, en concluant principalement au versement d'une demi-rente d'invalidité à partir du 1er janvier 2001, puis de trois-quarts de rente à dater du 1er janvier 2004. A titre subsidiaire, il a requis la mise en oeuvre d'une expertise médicale destinée à déterminer s'il s'était trouvé, en raison de sa maladie, dans l'impossibilité objective de déposer une demande de prestations auprès de l'AI en temps utile, ou s'il avait été empêché d'agir pour cause de force majeure (absence de capacité de discernement). Il a produit un rapport du docteur Y._, spécialiste en neurochirurgie, du 25 août 2006.
Par jugement 7 février 2007, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. X._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de dépens, en reprenant les conclusions formées en première instance.
L'intimé et l'Office fédéral des assurances sociales n'ont pas été invités à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le degré de l'invalidité du recourant, ainsi que le moment de la survenance de celle-ci, ne sont pas contestés.
Comme en première instance, le litige porte uniquement sur le droit aux prestations pour la période antérieure au 1er octobre 2004, l'intimé en ayant refusé le versement en raison de la tardiveté de la demande.
2. Le Tribunal des assurances a exposé correctement les règles applicables à la solution du litige (art. 48 al. 1 et 2 LAI, dans leur teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002 d'une part, depuis le 1er janvier 2003 d'autre part).
Le Tribunal a aussi rappelé que selon la jurisprudence, l'art. 48 al. 2 seconde phrase LAI s'applique lorsque l'assuré ne savait pas et ne pouvait pas savoir qu'il était atteint, en raison d'une atteinte à la santé physique ou mentale, d'une diminution de la capacité de gain dans une mesure propre à lui ouvrir le droit à des prestations. Cette disposition ne concerne en revanche pas les cas où l'assuré connaissait ces faits mais ignorait qu'ils donnent droit à une rente de l'assurance-invalidité (<ref-ruling> consid. 1a p. 113). Autrement dit, les « faits ouvrant droit à des prestations (que) l'assuré ne pouvait pas connaître », au sens de l'art. 48 al. 2 seconde phrase aLAI, ou ceux donnant droit à des prestations, au sens de l'art. 48 al. 2 seconde phrase LAI, sont ceux qui n'étaient objectivement pas reconnaissables, mais non ceux dont l'assuré ne pouvait subjectivement pas saisir la portée (<ref-ruling> consid. 2c p. 119 sv; RCC 1984 p. 419 consid. 1 p. 420 sv); Valterio, Droit et pratique de l'assurance-invalidité [les prestations], p. 305 sv.).
Une restitution de délai doit également être accordée si l'assuré a été incapable d'agir pour cause de force majeure - par exemple en raison d'une maladie psychique entraînant une incapacité de discernement (<ref-ruling> consid. 4 p. 228 sv; consid. 1b de l'arrêt M. du 22 mars 2001, I 264/00) - et qu'il présente une demande de prestations dans un délai raisonnable après la cessation de l'empêchement. Il faut encore qu'il s'agisse d'une impossibilité objective, s'étendant sur la période au cours de laquelle l'assuré se serait vraisemblablement annoncé à l'assurance-invalidité s'il l'avait pu, et non d'une difficulté ou d'un motif subjectif, comme celui d'ignorer son droit ou de mal concevoir ses intérêts (<ref-ruling> consid. 2a p. 115; RCC 1984 p. 419 consid. 1 p. 420 sv; Valterio, eod. loc.).
3. En première instance, le recourant a soutenu qu'il s'était trouvé dans l'impossibilité objective de former sa demande à temps, en raison de sa maladie.
A cet égard, le Tribunal des assurances a constaté qu'aucun rapport médical ne faisait état de troubles psychiques qui auraient privé le recourant de la faculté d'agir raisonnablement (<ref-law>). En particulier, les premiers juges ont relevé que l'intéressé est actuellement parfaitement autonome, qu'il reste indépendant dans ses déplacements et ne nécessite pas l'assistance d'une personne pour toutes ses activités. Son fonctionnement intellectuel n'est pas altéré et il s'est reconverti en qualité de consultant et d'expert. Selon la juridiction cantonale, rien ne permet de mettre en doute la capacité de discernement du recourant, de sorte qu'il ne subissait aucune impossibilité objective d'agir.
4. 4.1 Le recourant fait grief à la juridiction cantonale d'avoir apprécié les preuves de façon arbitraire et d'avoir constaté les faits de manière inexacte, ce qui a abouti à une application erronée des <ref-law> et 16 CC. Dans ce cadre, il reproche aussi aux premiers juges de n'avoir pas examiné l'opportunité d'une expertise médicale destinée à connaître l'étendue de sa capacité de discernement, objet de sa conclusion subsidiaire. Sur ce point, compte tenu des conclusions du docteur Y._ du 25 août 2006, il estime que le Tribunal cantonal aurait dû constater un défaut de capacité volitive l'ayant privé de la capacité de discernement nécessaire au dépôt en temps utile de sa demande de prestations.
4.2 A l'examen du rapport du docteur Y._ du 25 août 2006, les constatations de fait du Tribunal des assurances n'apparaissent aucunement erronées. En particulier, ce médecin n'a pas fait état de troubles psychiques qui auraient privé le recourant de la faculté d'agir raisonnablement, et il n'a pas non plus préconisé d'investigations psychiatriques visant à déterminer l'étendue de la capacité de discernement de son patient. A défaut d'indices permettant de penser que le recourant serait privé de la faculté d'agir raisonnablement en raison de troubles psychiques (situation que la jurisprudence assimile à un cas de force majeure), la juridiction cantonale n'avait dès lors pas de raison d'ordonner pareil complément d'instruction (voir le consid. 3 de l'arrêt F. du 6 août 2002, I 125/02, publié in RDAT 2003 I n. 71 277 p. 278 sv.), objet de la conclusion subsidiaire du recours, si bien que le grief de violation de l'art. 61 let. c LPGA tombe aussi à faux.
A propos de l'aptitude volitive, second élément de la capacité de discernement (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1a p. 8 et les références), le docteur Y._ estime que le dépôt tardif de la demande résulte vraisemblablement du fait que si le recourant pouvait probablement comprendre la nécessité de faire la démarche auprès de l'AI, il n'a pas pu la vouloir jusqu'au moment où son épouse est intervenue. Or il s'agit-là d'un motif qui entre dans la catégorie des motifs personnels ou subjectifs que la jurisprudence considère comme dénués de pertinence sous l'angle de l'<ref-law> (consid. 2b in fine de l'arrêt M. du 22 mars 2001, I 264/00), si bien que le droit aux prestations pour la période antérieure au 1er octobre 2004 a été nié à juste titre.
5. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et Canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 avril 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud