Sachverhalt:
A. Die 1972 geborene V._ ist gelernte Kauffrau. Seit Juni 2003 bezog sie Sozialhilfe. Am 24. März 2008 meldete sie sich bei der IV-Stelle des Kantons Aargau zum Leistungsbezug an. Diese zog diverse Arztberichte und ein interdisziplinäres (neurologisches und psychiatrisches) Gutachten des Universitätsspitals X._, Neurologisch-Neurochirurgische Poliklinik, und der asim, Academy of Swiss Insurance Medicine, vom 25. Juli/22. September 2008 bei. Diese stellten folgende Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit: Neurologisch: 1. Chronische Migräne ohne und mit Aura (ICD-10 G43.0/G43.1); 2. Spannungskopfschmerz (ICD-10 G44.2). Psychiatrisch: Kombinierte Persönlichkeitsstörung mit ängstlich vermeidenden, histrionischen und anderen psychoneurotischen Anteilen (ICD-10 F60.8), DD: akzentuierte Persönlichkeitszüge (ICD-10 Z73.1). Die IV-Stelle gewährte der Versicherten Kostengutsprache für ein Bewerbungs- (10. Februar bis 30. April 2009), Belastbarkeits- (1. Mai bis 31. Juli 2009) und Aufbautraining (1. August 2009 bis 23. April 2010). Zudem holte sie weitere Arztberichte und ein interdisziplinäres (allgemein-internistisches, psychiatrisches und neurologisches) Gutachten des Instituts Y._, vom 13. Dezember 2010 ein. Hierin wurden folgende Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit gestellt: 1. Kombinierte Persönlichkeitsstörung mit ängstlich vermeidenden, abhängigen und anankastischen Zügen (ICD-10 F60.8); 2. Migräne mit Aura (ICD-10 G43.1). Mit Verfügung vom 29. Juni 2011 verneinte die IV-Stelle einen Rentenanspruch (Invaliditätsgrad 30 %).
B. Hiegegen erhob die Versicherte beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau Beschwerde. Sie legte ein Kurzgutachten des Psychiaters Dr. med. P._, Institut Z._, vom 30. August 2011 auf. Mit Entscheid vom 10. Juli 2012 wies die Vorinstanz die Beschwerde ab.
C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides seien ihr die gesetzlichen Leistungen auszurichten; die IV-Stelle sei zu verpflichten, ihr eine Rente von mindestens 50 % zuzusprechen; eventuell sei ein interdisziplinäres Gerichtsgutachten einzuholen. Ferner verlangt sie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle schliesst auf Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 29. Oktober 2012 erneuert die Versicherte ihre Anträge.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Trotzdem prüft es - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Rechtsfragen sind die vollständige Feststellung erheblicher Tatsachen sowie die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die aufgrund Letzterer gerichtlich festgestellte Gesundheitslage bzw. Arbeitsfähigkeit und die konkrete Beweiswürdigung sind Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397; nicht publ. E. 4.1 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]).
2. Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), die Invalidität (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>), den Einkommensvergleich (<ref-law>), den Rentenanspruch (<ref-law>), den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 9.5. S. 125), den Untersuchungsgrundsatz und den Beweiswert ärztlicher Akten (E. 1 hievor) sowie den Grundsatz der freien Beweiswürdigung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 396, 125 V 351 E. 3a S. 352) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Die Vorinstanz hat in Würdigung der medizinischen Aktenlage mit einlässlicher Begründung - auf die verwiesen wird - erwogen, dass das Gutachten des Instituts Y._ vom 13. Dezember 2010 die Anforderungen an eine beweiskräftige medizinische Grundlage erfülle, weshalb darauf abzustellen sei. Demnach sei die Versicherte in der bisherigen Arbeit als Kauffrau und in einer anderen leidensangepassten beruflichen Tätigkeit zu 70 % arbeits- und leistungsfähig. Diesem vorinstanzlichen Ergebnis ist beizupflichten.
Die Versicherte erhebt keine Rügen, die zur Bejahung einer Rechtsverletzung führen oder die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen zu ihrem Gesundheitszustand und ihrer Arbeitsfähigkeit als offensichtlich unrichtig oder als Ergebnis willkürlicher Beweiswürdigung oder als rechtsfehlerhaft nach <ref-law> erscheinen lassen (E. 1 hievor). Festzuhalten ist insbesondere Folgendes:
3.2 Die Versicherte rügt, das Gutachten des Instituts Y._ vom 13. Dezember 2010 stelle eine unzulässige "second opinion" dar. Dieser Einwand ist unzutreffend. Dr. med. K._, Regionaler Ärztlicher Dienst (RAD) der IV-Stelle, führte in der Stellungnahme vom 21. Juli 2010 aus, aufgrund der eingeholten Berichte lasse sich ein hinreichend klares medizinisches Bild nicht erkennen, aus dem die gestellten Fragen in der nunmehr erfolgenden Rentenprüfung nachvollziehbar und schlüssig beantwortet werden könnten; es sei deshalb eine externe medizinische Begutachtung erforderlich (zur Aufgabe des RAD, die Leistungsfähigkeit zu beurteilen vgl. <ref-law>; <ref-law>; SVR 2011 IV Nr. 2 S. 7 E. 2.2 [9C_904/2009]; Urteil 9C_838/2012 vom 26. November 2012 E. 2.2.1). Der IV-Stelle kann es demnach nicht zum Vorwurf gereichen, dass sie zusätzlich beim Institut Y._ ein Gutachten einholte. Von einer unzulässigen "second opinion" kann mithin nicht gesprochen werden (hiezu vgl. SVR 2007 UV Nr. 33 S. 111 E. 4.1 f [U 571/06]; siehe auch <ref-ruling> E. 3.3 S. 158).
3.3 Die Versicherte macht weiter geltend, es liege eine mangelnde Würdigung der medizinischen Expertisen im Lichte von <ref-ruling> vom 28. Juni 2011 vor. Wurde ein entscheidungsrelevantes Gutachten - wie hier das Gutachten des Instituts Y._ vom 13. Dezember 2010 - vor diesem Urteil in Auftrag gegeben und fanden die darin definierten Verfahrensstandards noch keine Anwendung, so wäre es nicht verhältnismässig, einem solchen Gutachten, ungeachtet seiner Überzeugungskraft, den Beweiswert abzusprechen (<ref-ruling> E. 6 Ingress S. 266). Bildet ein nach altem Standard in Auftrag gegebenes Gutachten die massgebende Entscheidungsgrundlage, so führt dieser Umstand daher nicht zwangsläufig zu einer neuen Begutachtung, sondern findet vorab Beachtung in der Beweiswürdigung. Ein Gerichtsgutachten muss eingeholt werden, wenn objektive Kriterien erhebliche Zweifel an der Schlüssigkeit einer solchen ärztlichen Feststellung erwecken (Urteil 9C_977/2012 vom 28. März 2013 E. 3.1). Dies trifft hier nicht zu, wie die folgenden Erwägungen zeigen.
3.4 Die Versicherte bringt vor, das psychiatrische Begutachtungsgespräch habe nur 40 Minuten gedauert. Praxisgemäss kommt es für den Aussagegehalt eines medizinischen Gutachtens nicht auf die Dauer der Untersuchung an; massgebend ist in erster Linie, ob die Expertise inhaltlich vollständig und im Ergebnis schlüssig ist. Immerhin muss der für eine psychiatrische Untersuchung zu betreibende zeitliche Aufwand der Fragestellung und der zu beurteilenden Psychopathologie angemessen sein (Urteil 8C_768/2011 vom 7. Februar 2012 E. 5.3.2). Mit Blick auf die umfangreichen Vorakten erscheint der für die psychiatrische Begutachtung betriebene zeitliche Untersuchungsaufwand hinreichend. Es bestehen keine konkreten Hinweise, dass sich die Untersuchungsdauer negativ auf die Qualität des Gutachtens des Instituts Y._ ausgewirkt hätte.
3.5 Die Versicherte wendet ein, im Gutachten des Instituts Y._ werde nicht erklärt, weshalb die zusätzlich diagnostizierte Neurasthenie (ICD-10 F48.0) keine weitere Beachtung finde. Hierzu hat die Vorinstanz richtig erkannt, dass diese psychische Krankheit von keinem Facharzt für Psychiatrie, sondern lediglich vom neurologischen Gutachter des Instituts Y._ als blosse Verdachtsdiagnose gestellt wurde, weshalb deren Nichtberücksichtigung bei der Beurteilung der Arbeitsfähigkeit nicht zu beanstanden ist.
3.6 Die Versicherte bringt vor, sie habe genaue Angaben zur Häufigkeit ihrer Migräne-Anfälle gemacht; es handle sich um 10 bis 20 Anfallstage pro Monat. Die Berichte aus den diversen Integrationsmassnahmen gäben ein Bild über die Häufigkeit ihrer krankheitsbedingten Absenzen. Mit diesen Dokumenten setze sich das Institut Y._ überhaupt nicht auseinander.
Diese Einwände sind unzutreffend. Das Gutachten des Instituts Y._ vom 13. Dezember 2010 erging in Kenntnis der Berichte der Werkstatt S._ und der Stiftung P._ über die dort durchgeführten praktischen Integrationsmassnahmen. Im Gutachten des Instituts Y._ wurde ausgeführt, die Versicherte habe gemäss eigener Aussage 2 bis 5 Anfallstage im Monat. Die Vorinstanz hat konkret aufgezeigt, dass ein Arbeitsausfall von zwei bis fünf Tagen pro Monat aufgrund der übrigen Akten als richtig erscheint, was die Versicherte nicht substanziiert bestreitet. In diesem Lichte ist es im Rahmen der eingeschränkten bundesgerichtlichen Kognition nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz auf das Gutachten des Instituts Y._ abgestellt hat.
3.7 Nicht stichhaltig ist die Berufung der Versicherten auf das von ihr in Auftrag gegebene Kurzgutachten des Psychiaters Dr. med. P._ vom 30. August 2011. Denn es überzeugt nicht, wenn er von einer maximal 50%igen Arbeitsfähigkeit ausging, aber gleichzeitig ausführte, er könne nicht beurteilen, in wie viel Prozenten die Arbeitsunfähigkeit genau bestehe.
4. In erwerblicher Hinsicht (zur diesbezüglichen bundesgerichtlichen Kognition vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 399) ist unbestritten, dass das ohne Gesundheitsschaden erzielbare Valideneinkommen der Versicherten als kaufmännische Angestellte anhand des LSE-Tabellenlohns 2008 (Zeitpunkt des allfälligen Rentenbeginns; Art. 29 Abs. 1 und 3 IVG) zu bestimmen ist, zumal sie seit 2003 nicht mehr arbeitete und sich aus ihrem früheren Lohnverlauf keine verlässlichen konkreten Anhaltspunkte für den hier massgebenden Validenlohn ergeben (Urteile 8C_249/2010 E. 7.1 und I 169/04 vom 17. Januar 2005 E. 6.2.2). Die Vorinstanz ging vom LSE-Anforderungsniveau 3 des Arbeitsplatzes (Berufs- und Fachkenntnisse vorausgesetzt) aus.
Die Versicherte wendet ein, sie hätte gerade angesichts ihrer guten Noten bei voller Gesundheit den üblichen Werdegang einer Sekretariatsangestellten absolviert, sodass sie heute im Alter von 40 Jahren doch ein ihrer Intelligenz angemessenes Arbeitsumfeld hätte und damit auch selbstständige Arbeiten erledigen könnte. Sie verlangt mithin beim Valideneinkommen den Beizug des LSE-Anforderungsniveaus 2 (Verrichtung selbstständiger und qualifizierter Arbeiten). Von welchem Anforderungsniveau bei der Bestimmung des Einkommens aufgrund der LSE auszugehen ist, ist eine frei überprüfbare Rechtsfrage (SVR 2008 IV Nr. 4 S. 9 E. 4.2.2 [I 732/06]; Urteil 8C_357/2012 vom 17. August 2012 E. 5.2). Es sind keine Gründe ersichtlich, vom Anforderungsniveau 2 auszugehen, zumal die Versicherte nicht substanziiert geltend macht, sie hätte als Gesunde überwiegend wahrscheinlich entsprechende Weiterbildungen absolviert. Allein ihr Notendurchschnitt 5 bei der Lehrabschlussprüfung rechtfertigt nicht das Abstellen auf ein höheres Anforderungsniveau.
Im Übrigen ist der vorinstanzliche Einkommensvergleich, der zu einem rentenausschliessenden Invaliditätsgrad von 37 % führt (vgl. <ref-law>), unbestritten, weshalb der kantonale Entscheid zu bestätigen ist.
5. Die unterliegende Versicherte trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihr gewährt werden; sie hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 1, 2 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Elisabeth Tribaldos wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Der Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Mai 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar