Faits:
A.
B._ et C._ sont les enfants de A._. Une mise sous curatelle au sens de l'<ref-law> a été prononcée le 21 janvier 2005 pour B._ et le 26 mai 2008 pour C._.
Le 21 février 2005, l'autorité tutélaire a ratifié le placement de la mère et de son fils intervenu le 22 novembre 2004 au Foyer X._. La mère rencontrant d'importants problèmes de santé psychique l'empêchant par moment de s'occuper de son fils, celui-ci a été par la suite partiellement intégré dans un groupe dudit foyer dès le 13 juin 2005. Quelques semaines après la naissance de C._, les enfants ont été placés partiellement dans ce même foyer. A la suite de l'hospitalisation non volontaire de la mère à la Maison de santé de Préfargier, le 14 septembre 2009, peu après la perte de son emploi, les enfants ont été accueillis par le Groupe d'accueil et d'urgence Z._.
Par décision du 16 avril 2010, l'autorité tutélaire a ratifié le placement des enfants au foyer précité, avec effet au 26 octobre 2009. Elle se basait sur un rapport du Dr F._, qui suivait régulièrement la mère, et sur un rapport du 11 février 2010 de la curatrice des enfants.
Par la suite, la mère a exercé son droit aux relations personnelles de manière fluctuante, en fonction de sa situation personnelle. La collaboration s'est ultérieurement détériorée entre la mère et les professionnels concernés si bien que celle-ci a requis la désignation d'un nouveau curateur et émis des plaintes contre le foyer.
Par décision du 25 janvier 2012, l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte des Montagnes et du Val-de-Ruz (ci-après: APEA) a confirmé la curatrice dans ses fonctions et dit qu'il serait statué ultérieurement sur la suite à donner au placement des enfants.
Dans une expertise psychiatrique du 17 février 2012, la Dresse G._ a précisé qu'elle ne pouvait pas répondre à toutes les questions posées au motif que la collaboration de la mère avait été insuffisante, et qu'elle ne l'avait pas autorisée à rencontrer les enfants. Elle a diagnostiqué un trouble mixte de la personnalité et en a déduit que la mère ne pouvait accueillir ses enfants que quand elle allait bien. Vu la fluctuation de son état psychique, la mère ne représentait pas un modèle sécurisant pour eux et ses capacités éducatives n'étaient pas suffisantes. La psychiatre proposait le placement des enfants dans une famille d'accueil pour un essai de six mois.
Par décision du 16 mars 2012, l'APEA a suspendu le droit de visite de la mère jusqu'à ce qu'il puisse s'exercer dans un Point rencontre, les enfants étant en crise et en souffrance.
Dans un rapport du 1er juin 2012, la curatrice a indiqué avoir effectué des démarches auprès du Service de l'enfant et de la jeunesse du canton de Fribourg. Une famille d'accueil professionnelle lui avait été proposée. Outre la ratification du placement au sens de l'<ref-law>, elle préconisait d'instituer un mandat de tutelle à l'égard des deux enfants.
B.
Par décision rendue par voie de circulation le 3 octobre 2012, l'APEA a confirmé le retrait du droit de garde de la mère sur ses enfants, modifié le lieu de placement du Foyer X._ au domicile de la famille D._, à E._ (FR), dès l'entrée en force de la décision, enfin, dit que les coordonnées de la famille d'accueil seraient communiquées à la mère par la tutrice lorsque la décision serait entrée en force et que le placement interviendrait. Elle a par ailleurs maintenu la curatelle au sens de l'<ref-law> et approuvé les rapports de la curatrice, qui a été confirmée dans ses fonctions.
La mère a fait appel de cette décision. Par arrêt du 21 novembre 2012, la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a rejeté le grief de l'appelante relatif à la violation de son droit d'être entendue mais a annulé les chiffres 1 à 3 de la décision du 3 octobre 2012, l'enfant B._ n'ayant pas été entendu.
Après avoir procédé à l'audition de ce dernier le 28 novembre 2012, l'APEA, par décision du 3 décembre 2012, a confirmé le retrait du droit de garde de la mère sur ses enfants, modifié le lieu de placement du Foyer X._ au domicile de la famille D._ à E._ dès l'entrée en force, enfin, dit que les coordonnées de la famille d'accueil seraient communiquées par la tutrice à la mère lorsque la décision serait entrée en force et que le placement interviendrait.
La mère a derechef fait appel de cette décision. Elle a notamment déposé un certificat médical de son médecin généraliste, la Dresse H._, dans le but de démontrer qu'elle est parfaitement capable de s'occuper de ses enfants.
Dans ses observations, l'Office de protection de l'enfant a estimé que le placement dans une famille d'accueil, loin de représenter un arrêt de la relation entre la mère et les enfants, permettrait à ceux-ci d'évoluer au quotidien dans un environnement familial, tout en entretenant des contacts avec leurs parents.
Par arrêt du 15 février 2013, la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte a rejeté l'appel.
C.
Par acte du 20 mars 2013, la mère exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 15 février 2013. Elle conclut à l'annulation de la décision entreprise et au renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision au sens des considérants.
La recourante sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des observations n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1.
1.1. Interjeté dans le délai légal (<ref-law>) et dans la forme requise (<ref-law>) par une partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente (<ref-law>) et dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue en matière de protection de l'enfant (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF) et prise sur recours par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), le recours est en principe recevable.
1.2. Le Tribunal fédéral n'examine, en général, que les questions juridiques que la partie recourante soulève conformément aux exigences légales relatives à la motivation du recours (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1). Afin de satisfaire à cette obligation, celle-ci doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi elle estime que l'autorité précédente a méconnu le droit. Il faut qu'à la lecture de son exposé, on comprenne clairement quelles règles de droit auraient été, selon elle, transgressées par l'autorité cantonale (cf. <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 3.3). De plus, le Tribunal fédéral n'entre en matière sur les moyens fondés sur la violation de droits fondamentaux ou de dispositions de droit cantonal que s'ils ont été invoqués et motivés de manière précise (<ref-law>). L'acte de recours doit, à peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits qui auraient été violés et préciser en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les arrêts cités).
1.3. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influencer le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte (<ref-law>), à savoir arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2), doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2). Les faits et moyens de preuve nouveaux sont prohibés, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 5.2.4; <ref-ruling> consid. 2.1).
Dans la mesure où la recourante s'écarte des faits contenus dans l'arrêt attaqué, les complète ou les modifie, sans démontrer en quoi l'une des exceptions précitées serait réalisée, son recours est irrecevable.
1.4. Dans un recours en matière civile selon les <ref-law>, qui est une voie de réforme, la partie recourante ne peut se borner à demander l'annulation de la décision attaquée, mais doit prendre des conclusions sur le fond du litige (arrêts 5A_140/2013 du 28 mai 2013 consid. 1.2; 5A_461/2011 du 14 octobre 2011 consid. 2). Les conclusions réformatoires doivent donc être déterminées et précises, c'est-à-dire indiquer exactement quelles modifications sont demandées. Exceptionnellement de telles conclusions suffisent lorsque la motivation du recours permet de comprendre d'emblée la modification requise (<ref-ruling> consid. 2). En l'espèce, la recourante, qui a pourtant élaboré son mémoire avec le concours d'un mandataire professionnel, se borne à demander l'annulation de la décision attaquée et le renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision au sens des considérants. Il ressort toutefois clairement de son mémoire de recours qu'elle conteste le retrait du droit de garde et le placement des enfants dans une famille d'accueil, les conditions de l'<ref-law> n'étant selon elle pas réalisées. Le recours est donc recevable sous cet angle.
2.
La recourante se plaint d'établissement inexact des faits (<ref-law>). Elle conteste l'expertise psychiatrique de la Dresse G._, lui reprochant en particulier de conclure que son état d'esprit est fluctuant, alors qu'elles ne se sont vues que pendant deux heures et que l'experte ne s'est pas entretenue avec les enfants. Son avis serait en outre en contradiction avec les constats de la Dresse I._, endocrinologue, et de son médecin traitant, la Dresse H._.
2.1. Lorsque l'autorité cantonale se rallie au résultat d'une expertise, le Tribunal fédéral n'admet le grief d'appréciation arbitraire des preuves que si l'expert n'a pas répondu aux questions, si ses conclusions sont contradictoires ou si, de quelque autre manière, l'expertise est entachée de défauts à ce point évidents et reconnaissables, même en l'absence de connaissances ad hoc, qu'il n'était tout simplement pas possible de les ignorer. Il ne lui appartient pas de vérifier que toutes les affirmations de l'expert sont exemptes d'arbitraire. Sa tâche se limite à examiner si l'autorité cantonale pouvait, sans arbitraire, faire siennes les conclusions de l'expertise (<ref-ruling> consid. 2 in fine).
2.2. Selon l'arrêt attaqué, la Dresse G._, psychiatre et psychothérapeute FMH, a adressé son expertise psychiatrique à l'APEA le 17 février 2012. Ce rapport contient une anamnèse et des éléments biographiques, un examen clinique de la mère, un diagnostic, soit un trouble mixte de la personnalité, et une discussion. L'expert a relevé que la mère se trouvait en situation monoparentale, qu'elle vivait seule, isolée socialement et n'avait pas de famille proche. Elle était de plus atteinte dans sa santé mentale et sa situation financière était précaire. Ces éléments contribuaient à fragiliser ses capacités éducatives. La solution d'une famille d'accueil pour les enfants paraissait être la mesure la plus appropriée étant donné que, vu la fluctuation de son état psychique, la mère ne représentait pas un modèle sécurisant pour eux. Elle n'avait dès lors pas les capacités de répondre à leurs besoins et ne pouvait leur assurer un environnement sain et sécuritaire.
Pour l'autorité cantonale, c'est avec raison que la décision de première instance s'est basée sur cette expertise circonstanciée et motivée. La mère tentait en vain d'y faire échec en déposant un certificat médical de la Dresse H._, celle-ci étant un médecin généraliste et son seul avis, peu motivé, ne pouvant être préféré aux conclusions d'une spécialiste, au demeurant consultée dans le cadre d'une expertise. Par ailleurs, s'il était très vraisemblable que l'hypothyroïdie de l'intéressée constatée par son endocrinologue ne constituait pas en soi un handicap important, il n'en demeurait pas moins qu'elle souffrait d'autres troubles qui rendaient le placement des enfants nécessaire.
La recourante ne démontre pas que l'autorité cantonale aurait versé dans l'arbitraire en faisant siennes les conclusions de l'expert. En particulier, elle ne saurait reprocher à la Dresse G._ de ne l'avoir vue que pendant deux heures et de ne pas s'être entretenue avec les enfants, l'expert ayant précisé que la collaboration de la mère avait été insuffisante et que celle-ci ne l'avait pas autorisée à rencontrer les enfants. Pour le surplus, la recourante se limite à des allégations purement appellatoires, qui ne peuvent dès lors être prises en compte. Autant qu'il est suffisamment motivé, le grief est par conséquent infondé.
3.
La recourante se plaint aussi de la violation du droit, en particulier des conditions des mesures en matière de protection de l'enfant (<ref-law>).
3.1. Selon l'<ref-law>, lorsqu'elle ne peut éviter autrement que le développement de l'enfant ne soit compromis, l'autorité de protection de l'enfant retire l'enfant aux père et mère ou aux tiers chez qui il se trouve et le place de façon appropriée. Cette mesure de protection a pour effet que le droit de garde passe des père et mère à l'autorité, qui détermine dès lors le lieu de résidence de l'enfant et, partant, choisit son encadrement. La cause du retrait doit résider dans le fait que le développement corporel, intellectuel ou moral de l'enfant n'est pas assez protégé ou encouragé dans le milieu de ses père et mère ou dans celui où ceux-ci l'ont placé. Les raisons de la mise en danger du développement importent peu: elles peuvent être liées au milieu dans lequel évolue l'enfant ou résider dans le comportement inadéquat de celui-ci, des parents ou d'autres personnes de l'entourage. Le fait que les parents soient ou non responsables de la mise en danger ne joue pas non plus de rôle. Il convient d'être restrictif dans l'appréciation des circonstances, un retrait n'étant envisageable que si d'autres mesures ont été vouées à l'échec ou apparaissent d'emblée insuffisantes (arrêts 5A_335/2012 du 21 juin 2012 consid. 3.1; 5A_238/2010 du 11 juin 2010 consid. 4, in FamPra.ch 2010 p. 713).
3.2. La cour cantonale se base essentiellement sur l'expertise psychiatrique de la Dresse G._, psychiatre et psychothérapeute FMH, du 17 février 2012. Considérant en outre que l'enfant B._ avait dépassé l'âge lui permettant de séjourner au Foyer X._ et qu'une séparation de la fratrie était à éviter, le placement dans une famille d'accueil constituait par conséquent une mesure adéquate. En effet, seul un tel placement pouvait offrir un environnement neutre, stable et sécurisant aux enfants. La mesure querellée respectait ainsi le principe de subsidiarité. Le placement chez d'autres membres de la famille n'étant pas envisageable, la mesure était en outre conforme au principe de proportionnalité. Les conditions de l'<ref-law> étaient ainsi réalisées. La mesure de protection s'imposant et la situation incertaine vécue par les enfants étant de plus en plus difficile pour eux, il ne se justifiait pas de suspendre la procédure de recours. Enfin, l'expertise ayant pleine valeur probante et répondant au point de savoir si la mère était actuellement apte à assumer la garde des enfants, il ne se justifiait de mettre en oeuvre ni une expertise pédopsychiatrique ni une expertise médicale de la mère.
3.3. La recourante conteste être victime d'une maladie psychique et soutient que seuls ses problèmes thyroïdiens, actuellement maîtrisés, ont pu jeter le doute sur sa capacité à s'occuper de ses enfants. Ainsi, il n'aurait pas été démontré que le développement de ceux-ci serait menacé, au point de justifier la mesure de retrait de garde et de placement dans une famille d'accueil. Selon elle, les autorités de protection n'ont pas mis en oeuvre toutes les mesures possibles ni apprécié si de telles mesures seraient vouées à l'échec. A tout le moins, l'APEA aurait pu maintenir la curatelle avec la visite régulière d'une aide à domicile. Par ailleurs, il existerait d'autres solutions de placement dans le canton de Neuchâtel, plus appropriées que le placement dans une famille domiciliée dans le canton de Fribourg.
Par cette argumentation, la recourante remet en cause l'établissement des faits et l'appréciation des preuves de l'autorité cantonale, considérant en substance que le retrait du droit de garde et le placement dans une famille d'accueil n'est ni justifié ni approprié. Dans la mesure où elle s'écarte des constatations de l'arrêt attaqué sans démontrer d'arbitraire à ce sujet, sa motivation ne saurait toutefois être prise en considération. Par ailleurs, en tant qu'elle soutient que la mesure prise n'est pas appropriée, la recourante se limite à faire valoir sa propre appréciation des circonstances, ce qui n'est pas de nature à remettre en cause celle de l'autorité cantonale.
4.
En conclusion, le recours apparaît mal fondé, dans la faible mesure de sa recevabilité. Comme ses conclusions étaient d'emblée vouées à l'échec, la requête d'assistance judiciaire de la recourante ne saurait être agréée (<ref-law>). Celle-ci supportera dès lors les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure, à la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel et à Me Freddy Rumo, avocat à La Chaux-de-Fonds.
Lausanne, le 5 septembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Mairot