Sachverhalt:
A. Anlässlich der ordentlichen Gemeindeversammlung der Gemeinde Freienbach vom 11. Dezember 2009 standen u.a. die Genehmigung der Nachkredite (Traktandum 3) und die Abnahme des Voranschlags 2010 inkl. Leistungsaufträge (Traktandum 4) zur Diskussion.
Im Rahmen der Behandlung des Traktandums 3 ging es unter anderem um die "Planungskosten Tieferlegung Ost Umfahrung Pfäffikon". In der Botschaft zur Gemeindeversammlung wurde ausgeführt, die zusätzliche Variante für eine Tieferlegung betreffe den östlichen Abschnitt der Umfahrung Pfäffikon zwischen Bauareal und Baumarkt. Sie werde parallel zu dem bereits laufenden Planungsauftrag für die Umfahrung Pfäffikon erarbeitet. Die Terminierung dieses zusätzlichen Projekts sei auf die laufenden Arbeiten abgestimmt, woraus sich die Dringlichkeit der Auftragserteilung ergeben habe. Diese mit dem städtebaulichen Konzept eingebrachte Variante müsse (zumindest in der Planungsvariante) durch die Gemeinde finanziert werden. Die zuständige Gemeinderätin (Ressort Finanzen) erläuterte, dass für die Planung der Tieferlegung Ost bis anhin statt wie schriftlich angekündigt Fr. 650'000.-- nur Fr. 170'000.-- angefallen seien. Der Nachkredit für 2009 belaufe sich somit nur auf Fr. 170'000.--. Der grosse Teil der Differenz werde 2010 anfallen, was unter dem ordentlichen Budget 2010 (Traktandum 4), ebenfalls in Änderung der gedruckten Version, beantragt werde. Walter Heusser stellte zu Traktandum 3 den Antrag, der Nachkredit von Fr. 170'000.-- sei abzulehnen. Dieser Antrag wurde von der Gemeindeversammlung angenommen.
Im Rahmen der Behandlung des Traktandums 4 standen erneut die "Planungskosten Tieferlegung Ost Umfahrung Päffikon" zur Diskussion. In der Botschaft zur Gemeindeversammlung waren für die Planung der Tieferlegung Ost in der Investitionsrechnung Fr. 220'000.-- vorgesehen. Die zuständige Gemeinderätin führte dazu aus, ein grosser Teil habe sich von 2009 ins Jahr 2010 verschoben. Nach Abzug des Nachkredits von Fr. 170'000.-- verblieben für das Budget 2010 Kosten von Fr. 700'000.--. Ein Antrag von Walter Heusser, die erforderlichen Mittel der Planungsreserve des Kantons zu entnehmen, wurde von den Versammlungsteilnehmern abgelehnt, und der Antrag des Gemeinderats, einen Projektierungskredit von Fr. 700'000.-- in die Investitionsrechnung 2010 (Voranschlag) einzubeziehen, wurde angenommen.
B. Walter Heusser gelangte in der Folge wegen Verletzung des Stimmrechts an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz. Er beanstandete, dass der Gemeinderat einen Projektierungskredit ohne Vorlage eines Verpflichtungskredits durch blossen Budgetbeschluss bzw. Nachkredit bewilligen liess. Das Verwaltungsgericht kam mit Urteil vom 15. April 2010 zum Schluss, dass das Vorgehen des Gemeinderats mit dem kantonalen Gesetz über den Finanzhaushalt der Bezirke und Gemeinden vom 27. Januar 1994 (FHG/SZ; SRSZ 153.100) vereinbar sei.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht vom 26. Mai 2010 beantragt Walter Heusser unter anderem die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 15. April 2010 und die Rückweisung der Sache zu neuer Prüfung an die Vorinstanz bzw. an eine unabhängige ausserkantonale Gerichtsinstanz.
Die Gemeinde Freienbach beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
D. Mit Verfügung vom 18. Oktober 2010 wies der Instruktionsrichter der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung ein Gesuch des Beschwerdeführers um Erlass einer vorsorglichen Massnahme ab.

Erwägungen:
1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> kann die Verletzung politischer Rechte geltend gemacht werden. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht gegeben. Als in Freienbach stimmberechtigter Einwohner ist der Beschwerdeführer nach <ref-law> grundsätzlich zur Beschwerde legitimiert. Der kantonale Instanzenzug gemäss <ref-law> ist ausgeschöpft.
1.1 Die Abstimmung an der Gemeindeversammlung vom 11. Dezember 2009 ging in Bezug auf den Nachkredit (Traktandum 3) im Sinn des Beschwerdeführers aus, weshalb der Beschwerdeführer insoweit durch den angefochtenen Entscheid nicht beschwert ist. Beschwert ist er insoweit, als das Verwaltungsgericht seine Beschwerde in Bezug auf den Voranschlag 2010 abwies und ihn zur Zahlung der Gerichtskosten und einer Entschädigung an die Gegenpartei verpflichtete (Urteil des Bundesgerichts 1C_327/2010 vom 13. Januar 2011 E. 1 mit Hinweisen).
1.2 Mit der Beschwerde wegen Verletzung politischer Rechte kann gemäss Art. 95 lit. a und d BGG namentlich die Verletzung von Bundesverfassungsrecht und von kantonalen Bestimmungen über die politischen Rechte geltend gemacht werden. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich die Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Auf die Beschwerde kann aber nur eingetreten werden, wenn diese wenigstens die Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt.
Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten zu beurteilen ist. Dies prüft das Bundesgericht insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 245; je mit Hinweisen).
Die Beschwerde enthält eine ausführliche Kritik am Vorgehen des Gemeinderats bei der Berücksichtigung der voraussichtlichen Kosten für die Projektierung der Tieferlegung der Umfahrung Pfäffikon. Der Beschwerdeführer geht jedoch auf die Beurteilung der vorgetragenen Rügen im angefochtenen Entscheid des Verwaltungsgerichts kaum ein und zeigt nicht auf, auf welche Verfassungs- oder Gesetzesbestimmungen er sich beruft. Damit entspricht die Beschwerdeschrift zu einem erheblichen Teil nicht den gesetzlichen Begründungsanforderungen (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Weiter wirft der Beschwerdeführer den Behörden und dem Verwaltungsgericht Befangenheit vor, ohne im Einzelnen aufzuzeigen, welche konkreten Ausstandsgründe in Bezug auf die am Verfahren beteiligten Personen vorliegen. Auf die Befangenheitsrüge kann somit ebenfalls nicht eingetreten werden.
1.3 Die Feststellung und Würdigung der tatsächlichen Verhältnisse überprüft das Bundesgericht im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Massgabe der Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG. Voraussetzung dazu ist, dass die Beschwerdeführer rechtsgenügend begründete Sachverhaltsrügen im Sinne von <ref-law> erheben. Der Beschwerdeführer kritisiert den von der Vorinstanz erhobenen Sachverhalt in verschiedener Hinsicht. Inwiefern die Sachverhaltsfeststellungen auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen oder offensichtlich unrichtig sein sollen und überdies für den Ausgang des Verfahrens entscheidend waren, legt der Beschwerdeführer kaum hinreichend substanziiert dar. Insoweit kann auf seine Beschwerde nicht eingetreten werden.
1.4 Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist somit unter Vorbehalt der Erwägungen in E. 1.2 und 1.3 hiervor einzutreten. Dabei ist der Verfahrensgegenstand des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens auch für die Überprüfung durch das Bundesgericht massgebend. Über diesen Verfahrensgegenstand hinaus gehende Kritik am Verhalten der kommunalen und kantonalen Behörden kann das Bundesgericht nicht beurteilen.
2. 2.1 Aus den Akten ergibt sich, dass die Umfahrung Pfäffikon unter Federführung des Kantons Schwyz zusammen mit der Gemeinde Freienbach (und unter Einbezug der Gemeinde Wollerau) geplant wird. Die Stimmbürger der Gemeinde Freienbach haben an einer Abstimmung vom 17. Juni 2007 einen Kredit in Höhe von Fr. 2 Mio. für die Projektierung der Umfahrung gutgeheissen. Der Kantonsrat hat an der Sitzung vom 24. Oktober 2007 einen Verpflichtungskredit für die Planungsarbeiten im Zusammenhang mit der Umfahrung Pfäffikon in Höhe von Fr. 9'876'000.-- beschlossen. Der Regierungsrat hat den Kostenanteil des Kantons für das Umfahrungsprojekt auf 62% und den Kostenanteil der Gemeinde Freienbach auf 38% festgelegt. Im Rahmen der Planung fällte der vom Kanton eingesetzte Steuerungsausschuss am 18. Mai 2009 den Vorentscheid, dass von verschiedenen Varianten die Planung der Umfahrung mit einem "Tunnel kurz" (Basisvariante) fortgeführt wird und dass die Kosten für die Projektierung einer Verlängerung des Tunnels (bzw. der Tieferlegung der Umfahrung; Variante "Tunnel lang") durch die Gemeinde Freienbach zu übernehmen sind. Der Gemeinderat Freienbach hat am 10. Juni 2009 beschlossen die Planung einer Verlängerung des Tunnels als Zusatzkredit (Option) der Gemeindeversammlung zu unterbreiten. Der Gemeinderat hat dabei erwogen, dass eine Verlängerung des Tunnels in Bezug auf den Lärmschutz sowie die städtebauliche Integration deutliche Vorteile aufweise, da die Umfahrung durch dicht besiedeltes Gebiet führe. Am 25. Juni 2009 entschied der Gemeinderat, der Gemeindeversammlung einen lnvestitionskredit in Höhe von insgesamt Fr. 870'000.-- für die Planung der Verlängerung des Tunnels (Tieferlegung Ost) im Umfang von Fr. 650'000.-- als Nachtragskredit für das Jahr 2009 und als Investitionskredit im Umfang von Fr. 220'000.-- zu Lasten des Budgets 2010 zur Bewilligung vorzulegen.
Mit der Planung der Verlängerung des Tunnels wurde das bereits mit den Planungsarbeiten zur Umfahrung betraute Büro beauftragt. Die im Jahr 2009 entstandenen Planungskosten wurden dem Gemeinderat am 10. Dezember 2009 mitgeteilt. Aus dieser Zusammenstellung ergeben sich aufgelaufene Planungskosten in Höhe von Fr. 155'000.--, wobei verschiedene Planer involviert sind (Zuständige für Umweltverträglichkeitsbericht, Bauingenieur, Geotechnik, Verkehrs- und Städteplanung, usw.). Aus den Akten ergibt sich weiter, dass die Unterlagen für die Botschaft der Gemeindeversammlung bis spätestens 30. Oktober 2009 an die Druckerei abgegeben werden mussten und dass am 13. November 2009 das Gut zum Druck an die Druckerei gegeben wurde. Gemäss § 18 Abs. 2 des kantonalen Gesetzes über die Organisation der Gemeinden und Bezirke (GOG/SZ; SRSZ 152.100) hat die Einladung zur Gemeindeversammlung mindestens zehn Tage vor der Versammlung unter Beifügung der Beratungsunterlagen zu erfolgen. Im Zeitpunkt des Versands der Einladung zur Gemeindeversammlung zusammen mit den schriftlichen Unterlagen war dem Gemeinderat damit offenbar noch nicht bekannt, dass im Jahr 2009 weit weniger Kosten für die Planung der Verlängerung der Umfahrung anfallen werden, als ursprünglich angenommen, und dass ein Teil der Kosten vielmehr erst für Jahr 2010 zu veranschlagen sind.
2.2 Der Beschwerdeführer bringt zunächst vor, der Gemeinderat habe den Kompetenzrahmen für eine Bewilligung des Kredits an der Gemeindeversammlung überschritten. Er ist der Auffassung, dass eine Projektvariante, welche Mehrkosten von schätzungsweise Fr. 40 Mio. verursachen würde, nicht ohne vorgängige Befragung der Stimmbürger an der Urne ausgearbeitet werden darf.
Damit eine Ausgabe vorgenommen werden darf, sind dafür gemäss § 30 FHG/SZ ein Verpflichtungs- und ein Voranschlagskredit zu bewilligen. Gemäss § 31 lit. c FHG/SZ ist ein Verpflichtungskredit unter anderem dann nicht erforderlich für einmalige neue Ausgaben, die 1,5 Prozent des Steuerertrages der einfachen Steuer nach letzter abgeschlossener Rechnung nicht übersteigen, mindestens bis Fr. 75'000.--. Konstitutive Budgetbeschlüsse an der Bezirks- und Gemeindeversammlung sind somit erlaubt für einmalige Ausgaben bis mindestens Fr. 75'000.-- und bis höchstens 1,5% des Steuerertrages der einfachen Steuer nach letzter abgeschlossener Rechnung. Für die Berechnung des für die Ausnahme von Verpflichtungskrediten zu beachtenden Grenzwerts im Sinne von § 31 lit. c FHG/SZ stellte die Vorinstanz auf die vom Finanzdepartement herausgegebene Gemeindefinanzstatistik ab. Aus dieser Statistik ergibt sich die Steuerkraft der Gemeinden im Kanton. Im Jahr 2008 lag diese gemäss Gemeindefinanzstatistik in der Gemeinde Freienbach bei Fr. 82'718'414.--. Konstitutive Budgetbeschlüsse für einmalige Ausgaben konnten somit nach der zutreffenden Berechnung der Vorinstanz bis zu einer Höhe von Fr. 1'240'776.-- getätigt werden. Diese Schranke wird vorliegend nicht überschritten. Soweit der Beschwerdeführer diese Sichtweise der Vorinstanz beanstandet, beruhen seine Berechnungen auf dem tieferen Ertrag der Einkommens- und Vermögenssteuern, welcher angesichts der in der Gemeindefinanzstatistik ausgewiesenen Zahlen offensichtlich nicht den gesamten Steuerertrag der Gemeinde im Sinne von § 31 lit. c FHG/SZ wiedergibt. Dass die Vorinstanz bei der Anwendung von § 31 lit. c FHG/SZ auf die kommunale Steuerkraft abstellt, ist nicht zu beanstanden. Der Kritik des Beschwerdeführers kann in diesem Punkt nicht gefolgt werden.
2.3 Das Verwaltungsgericht hält das Vorgehen des Gemeinderats unter Berücksichtigung der beschriebenen tatsächlichen und rechtlichen Gegebenheiten für zulässig. Es sei der antragstellenden Behörde nicht vollumfänglich verboten, in der Versammlung Änderungen zu ihren Anträgen vorzuschlagen. Es könnten wichtige objektive Gründe dafür vorliegen, dass die Behörde einen Antrag nicht vor Beginn der zehntägigen Einladungsfrist traktandieren könne. Auf jeden Fall sei jedoch nach der kantonalen Praxis zu beachten, dass eine tiefgreifende, umfassende Änderung der ursprünglichen Vorlage nicht zulässig wäre. Der Verhandlungsgegenstand dürfe in seiner wesentlichen Bedeutung nicht verändert werden. Das Geschäft müsse trotz untergeordneter Modifikationen im Wesentlichen das gleiche bleiben. Die Versammlung müsse insbesondere in der Lage sein, die Tragweite vorgeschlagener Änderungen zu überblicken und es müsse zumutbar sein, zu einem Änderungsantrag ohne weitere Prüfung Stellung zu nehmen. Die Vorinstanz gelangt zum Schluss, dass die genannten Voraussetzungen im vorliegenden Zusammenhang eingehalten wurden.
2.4 Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Bei den im Rahmen der Versammlung vom Gemeinderat beantragten Änderungen handelte es sich entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht um eine wesentliche Modifikation der Vorlage, sondern einzig um eine Verschiebung eines Teils des Kredits vom Jahr 2009 ins Jahr 2010. Beide Kredite (Nachkredit und Voranschlagskredit) waren traktandiert, und für den Stimmbürger war aus der Botschaft klar ersichtlich, dass er über die Planungskosten für eine Verlängerung des Tunnels bei der Umfahrung Pfäffikon zu beschliessen hat und zwar im Umfang von Fr. 650'000.-- als Nachkredit und im Umfang von Fr. 220'000.-- als Investitionskredit im Voranschlag 2010. Das Geschäft blieb in seinem Gesamtbetrag von Fr. 870'000.-- unverändert, d.h. die gesamten Projektierungskosten wurden unverändert mit Fr. 870'000 budgetiert (Fr. 170'000 als Nachkredit für das Jahr 2009 und Fr. 700'000 als Investitionskredit für das Jahr 2010). Dass der erforderliche Nachkredit kleiner als angekündigt ausfiel, erklärt sich aus der in E. 2.1 erwähnten Vorgeschichte und war für die Versammlung nachvollziehbar. Die Kredite konnten von den Versammlungsteilnehmern beanstandet und auch abgelehnt werden. Von einer Verletzung des Stimmrechts kann entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers keine Rede sein. Die Ausführungen des Beschwerdeführers führen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann, zu keinem anderen Ergebnis.
3. Der Beschwerdeführer behauptet, Stimmrechtsbeschwerden seien erstinstanzlich grundsätzlich kostenfrei.
Aus <ref-law> ergibt sich nicht, dass bei Beschwerden wegen Verletzung politischer Rechte der unterliegenden Partei weder Gerichts- noch Parteikosten auferlegt werden dürfen. So hat auch der Bundesgesetzgeber mit dem Erlass des am 1. Januar 2007 in Kraft getretenen Bundesgerichtsgesetzes und der Änderung von Art. 86 des Bundesgesetzes über die politischen Rechte (SR 161.1; BPR) die bis anhin für die Beurteilung von Stimmrechtsbeschwerden durch das Bundesgericht geltende Kostenfreiheit bewusst aufgehoben (<ref-ruling> E. 4.1; Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001, BBl 2001 4305).
Die Kosten- und Parteientschädigungen im Verfahren vor Verwaltungsgericht werden nach den §§ 71 ff. der kantonalen Verordnung über die Verwaltungsrechtspflege vom 6. Juni 1974 (VRP/SZ; SRSZ 234.110) grundsätzlich nach dem Unterliegerprinzip verlegt. Für Stimmrechtssachen besteht keine abweichende Bestimmung. Die angefochtene Kosten- und Entschädigungsregelung beruht somit auf einer ausreichenden gesetzlichen Grundlage, und es ist weder dargetan noch ersichtlich, dass sie vom Verwaltungsgericht im angefochtenen Entscheid in verfassungswidriger Weise angewandt worden wäre (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1C_327/2010 vom 13. Januar 2011 E. 2.3.2). Die Beschwerde ist auch in dieser Hinsicht unbegründet.
4. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gemeinde Freienbach hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 7).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Gemeinde Freienbach und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Februar 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Haag