Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. D._ (geboren 1908) und ihr Sohn, B._ (geboren 1950) sind Bezüger von Ergänzungsleistungen zur Rente der AHV bzw. der IV. Mit zwei separaten Verfügungen vom 4. September 2003 setzte die Ausgleichskasse Luzern die Ergänzungsleistungen für die beiden Versicherten ab 1. Juni 2003 neu fest, da sich die Mietkosten zufolge Miete einer zusätzlichen Wohnung ab März 2003 verändert haben. Auf Einsprache hin hielt sie an ihrem Standpunkt fest (Einspracheentscheide vom 12. Januar 2004).
A. D._ (geboren 1908) und ihr Sohn, B._ (geboren 1950) sind Bezüger von Ergänzungsleistungen zur Rente der AHV bzw. der IV. Mit zwei separaten Verfügungen vom 4. September 2003 setzte die Ausgleichskasse Luzern die Ergänzungsleistungen für die beiden Versicherten ab 1. Juni 2003 neu fest, da sich die Mietkosten zufolge Miete einer zusätzlichen Wohnung ab März 2003 verändert haben. Auf Einsprache hin hielt sie an ihrem Standpunkt fest (Einspracheentscheide vom 12. Januar 2004).
B. Die hiegegen erhobenen Beschwerden, mit welchen ausschliesslich die Anpassung der Ergänzungsleistungen auf den Beginn des der Veränderung folgenden Monats beantragt wurde, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 10. August 2004 ab, nachdem es zuvor die beiden Verfahren vereinigt hatte.
B. Die hiegegen erhobenen Beschwerden, mit welchen ausschliesslich die Anpassung der Ergänzungsleistungen auf den Beginn des der Veränderung folgenden Monats beantragt wurde, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 10. August 2004 ab, nachdem es zuvor die beiden Verfahren vereinigt hatte.
C. D._ und B._ führen Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit den Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben und es sei entsprechend den im vorinstanzlichen Verfahren gestellten Anträgen zu entscheiden. Zudem sei festzustellen, dass zwischen den beiden Versicherten nach wie vor eine Wohngemeinschaft bestehe.
Während die Ausgleichskasse Luzern auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Stellungnahme.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Im Beschwerdeverfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen ist die Überprüfungsbefugnis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nicht auf die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens beschränkt, sondern sie erstreckt sich auch auf die Angemessenheit der angefochtenen Verfügung; das Gericht ist dabei nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden und kann über die Begehren der Parteien zu deren Gunsten oder Ungunsten hinausgehen (Art. 132 OG).
Die dem Eidgenössischen Versicherungsgericht in Leistungsstreitigkeiten zustehende umfassende Kognition hat u.a. zur Konsequenz, dass auch neue, erstmals im letztinstanzlichen Verfahren vorgebrachte Tatsachenbehauptungen und Beweismittel (sog. Noven) zu berücksichtigen sind (<ref-ruling> f. Erw. 3b, 103 Ib 196 Erw. 4a, 102 Ib 127 Erw. 2a; RKUV 1988 Nr. K 769 S. 244 Erw. 5a).
1.2 Die Vorinstanz hat die rechtlichen Grundlagen über den Anspruch auf Ergänzungsleistungen (Art. 2 Abs. 1 ELG [in der seit 1. Januar 2003 in Kraft stehenden Fassung] in Verbindung mit Art. 2b und c ELG) und deren Berechnung (Art. 3a ELG), namentlich über die anerkannten Ausgaben und anrechenbaren Einnahmen (Art. 3b und 3c ELG), dabei insbesondere über die Mietzinsausgaben einer Wohnung und die damit zusammenhängenden Nebenkosten (Art. 3b Abs. 1 lit. b und Art. 5 Abs. 1 lit. b ELG in Verbindung mit Art. 2 der Verordnung 01 vom 18. September 2000 über Anpassungen bei den Ergänzungsleistungen zur AHV/IV zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Gleiches gilt für die gesetzlichen Bestimmungen über die Voraussetzungen der Anpassung der jährlichen Ergänzungsleistung an veränderte Verhältnisse (Art. 25 Abs. 1 ELV) und den entsprechend massgebenden Zeitpunkt (Abs. 2).
Das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 modifiziert die materielle Rechtslage nicht.
Das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 modifiziert die materielle Rechtslage nicht.
2. Was die im kantonalen Gerichtsverfahren einzig strittige Frage des Zeitpunkts der Anpassung der Ergänzungsleistungen betrifft, hat die Vorinstanz zu Recht erkannt, dass zwischen den Beschwerdeführern keine Personengemeinschaft im Sinne des EL-Rechts insbesondere des Art. 25 Abs. 1 lit. a ELV besteht und mithin die Ergänzungsleistungen nicht gemäss Art. 25 Abs. 2 lit. a ELV auf den Beginn des der Veränderung folgenden Monats, d.h. per 1. April 2003, anzupassen sind. Mit dem kantonalen Gericht ist die Anpassung in Anwendung von Art. 25 Abs. 2 lit. d ELV auf den Beginn des Monats in dem die Änderung gemeldet wurde (Revisionsformular vom 30. Juni 2003) und damit per 1. Juni 2003 vorzunehmen. Es kann auf die zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden, denen nichts beizufügen ist. Die Einwendungen der Beschwerdeführer, welche sich in den bereits vom kantonalen Gericht entkräfteten Rügen erschöpfen, ändern daran nichts.
2. Was die im kantonalen Gerichtsverfahren einzig strittige Frage des Zeitpunkts der Anpassung der Ergänzungsleistungen betrifft, hat die Vorinstanz zu Recht erkannt, dass zwischen den Beschwerdeführern keine Personengemeinschaft im Sinne des EL-Rechts insbesondere des Art. 25 Abs. 1 lit. a ELV besteht und mithin die Ergänzungsleistungen nicht gemäss Art. 25 Abs. 2 lit. a ELV auf den Beginn des der Veränderung folgenden Monats, d.h. per 1. April 2003, anzupassen sind. Mit dem kantonalen Gericht ist die Anpassung in Anwendung von Art. 25 Abs. 2 lit. d ELV auf den Beginn des Monats in dem die Änderung gemeldet wurde (Revisionsformular vom 30. Juni 2003) und damit per 1. Juni 2003 vorzunehmen. Es kann auf die zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden, denen nichts beizufügen ist. Die Einwendungen der Beschwerdeführer, welche sich in den bereits vom kantonalen Gericht entkräfteten Rügen erschöpfen, ändern daran nichts.
3. Im vorliegenden Verfahren wird nun neu sinngemäss die Höhe der Anrechnung des Mietzinses bemängelt, indem geltend gemacht wird, dass zwischen den Beschwerdeführern nach wie vor eine Wohngemeinschaft bestehe. Aufgrund der umfassenden Kognition des Eidgenössischen Versicherungsgerichts (vgl. Erw. 1 hievor) ist dieser erstmals letztinstanzlich angeführte Einwand, entgegen der Auffassung der Beschwerdegegnerin, zu prüfen.
3.1 In Bestätigung der Verwaltung ging die Vorinstanz davon aus, dass B._ seit dem 1. März 2003 eine eigene Wohnung gemietet hat und in der Neuberechnung der Ergänzungsleistungen daher die Mietkosten der Wohnung von D._ in Anwendung von Art. 16c Abs. 1 ELV nicht mehr auf die beiden Beschwerdeführer aufgeteilt werden, sondern jedem Versicherten die ihm persönlich anfallenden Mietbetreffnisse separat angerechnet werden.
3.2 B._ wendet dagegen ein, seine Mutter D._ sei Mieterin beider Wohnungen. Die Wohngemeinschaft sei keinesfalls aufgelöst. Die Anmiete eines vierten Zimmers habe sich aufgedrängt, als Arbeits- und Ruheraum für ihn selbst und als Gästezimmer für die Tochter der Versicherten, wenn diese zu Besuch aus Kanada in die Schweiz komme. Er pflege seine Mutter rund um die Uhr, vor allem schlafe er auch im gleichen Zimmer mit ihr. Er könne sie jeweils höchstens für eine Stunde alleine lassen. Aus gesundheitlichen Gründen sei ihr (sie sei schwerst pflegebedürftig) auch ein Umzug innerhalb des Hauses nicht zuzumuten (sie wohne seit September 1967 in dieser Wohnung). Sicherlich sei es ihr auch nicht mehr möglich, sich in einer neuen Umgebung einzuleben. Zudem habe eine 4-Zimmerwohnung im selben Hause nicht zur Verfügung gestanden. Die Angelegenheit sei so zu betrachten, dass sie nun an Stelle einer 3-Zimmer- eine 4-Zimmerwohnung hätten. Es könne nicht darauf ankommen, dass formell zwei Mietverträge bestünden.
3.2 B._ wendet dagegen ein, seine Mutter D._ sei Mieterin beider Wohnungen. Die Wohngemeinschaft sei keinesfalls aufgelöst. Die Anmiete eines vierten Zimmers habe sich aufgedrängt, als Arbeits- und Ruheraum für ihn selbst und als Gästezimmer für die Tochter der Versicherten, wenn diese zu Besuch aus Kanada in die Schweiz komme. Er pflege seine Mutter rund um die Uhr, vor allem schlafe er auch im gleichen Zimmer mit ihr. Er könne sie jeweils höchstens für eine Stunde alleine lassen. Aus gesundheitlichen Gründen sei ihr (sie sei schwerst pflegebedürftig) auch ein Umzug innerhalb des Hauses nicht zuzumuten (sie wohne seit September 1967 in dieser Wohnung). Sicherlich sei es ihr auch nicht mehr möglich, sich in einer neuen Umgebung einzuleben. Zudem habe eine 4-Zimmerwohnung im selben Hause nicht zur Verfügung gestanden. Die Angelegenheit sei so zu betrachten, dass sie nun an Stelle einer 3-Zimmer- eine 4-Zimmerwohnung hätten. Es könne nicht darauf ankommen, dass formell zwei Mietverträge bestünden.
4. 4.1 Zu den anerkannten Ausgaben gehört bei Personen, die nicht dauernd oder längere Zeit in einem Heim oder Spital leben (zu Hause wohnende Personen) der Mietzins einer Wohnung und die damit zusammenhängenden Nebenkosten im Maximalbetrag von Fr. 13'200.- bei Alleinstehenden und Fr. 15'000.- bei Ehepaaren und Personen mit rentenberechtigten oder an der Rente beteiligten Kindern (Art. 3b Abs. 1 lit. b und Art. 5 Abs. 1 lit. b ELG in Verbindung mit Art. 2 der Verordnung 01 vom 18. September 2000 über Anpassungen bei den Ergänzungsleistungen zur AHV/IV).
4.2 Art. 16c ELV bestimmt, dass der Mietzins auf die einzelnen Personen aufzuteilen ist, wenn Wohnungen oder Einfamilienhäuser auch von Personen bewohnt werden, welche nicht in die EL-Berechnung eingeschlossen sind. Die Mietzinsanteile der Personen, welche nicht in die EL-Berechnung eingeschlossen sind, werden bei der Berechnung der Ergänzungsleistung ausser Betracht gelassen (Abs. 1). Die Aufteilung hat grundsätzlich zu gleichen Teilen zu erfolgen (Abs. 2). Nach der Rechtsprechung ist die Bestimmung gesetzmässig (<ref-ruling> ff.; AHI 2001 S. 237 ff.).
4.2 Art. 16c ELV bestimmt, dass der Mietzins auf die einzelnen Personen aufzuteilen ist, wenn Wohnungen oder Einfamilienhäuser auch von Personen bewohnt werden, welche nicht in die EL-Berechnung eingeschlossen sind. Die Mietzinsanteile der Personen, welche nicht in die EL-Berechnung eingeschlossen sind, werden bei der Berechnung der Ergänzungsleistung ausser Betracht gelassen (Abs. 1). Die Aufteilung hat grundsätzlich zu gleichen Teilen zu erfolgen (Abs. 2). Nach der Rechtsprechung ist die Bestimmung gesetzmässig (<ref-ruling> ff.; AHI 2001 S. 237 ff.).
5. Aufgrund der Akten steht fest, dass D._ zusammen mit ihrem Sohn B._ in der Liegenschaft X._ in Y._ ab 1. März 2003 eine 1-Zimmerwohnung im 3. OG gemietet hat. Zudem ist davon auszugehen, dass die Beschwerdeführer die von D._ gemietete 3-Zimmerwohnung im 4. OG derselben Liegenschaft bisher gemeinsam bewohnten, wurde doch der Mietzins in der Berechnung der Ergänzungsleistung hälftig geteilt (vgl. Berechnung vom 23. November 2001). Entgegen der in der angefochtenen Verfügung vom 4. September 2003 vertretenen Auffassung der Verwaltung wäre es überdies nicht schlechthin unmöglich, zwei Mietzinse in der Berechnung der Ergänzungsleistung zu berücksichtigen. So lässt im Sinne der bisherigen Rechtsprechung (<ref-ruling>; ZAK 1974 S. 212) - woran sich unter neuem Recht nichts geändert hat - die Verwaltungspraxis eine Ausnahme dann zu, wenn eine zweite Wohnung für den Versicherten aus beruflichen oder gesundheitlichen Gründen unentbehrlich ist (vgl. Rz 3025 der Wegleitung über die Ergänzungsleistungen zur AHV/IV [WEL]). Zudem wurde im Urteil R. vom 19. September 1995, P 10/95, ein Mietzinsabzug bewilligt für ein Malatelier, das der Versicherte als Ergänzung zu seiner aus einem einzigen Zimmer bestehenden Wohngelegenheit hinzu gemietet hat. Vorliegend geht es jedoch nicht primär um das Anrechnen zweier Mietzinse für einen EL-Bezüger bzw. eine EL-Bezügerin, sondern um das Aufteilen des Mietzinses für eine gemeinsam zugemietete Wohnung. Weder der Wortlaut von Art. 16c Abs. 1 ELV noch Sinn und Zweck dieser Bestimmung stehen dem entgegen (vgl. auch Urteil W. vom 26. Februar 2003, P 60/02). Anknüpfungspunkt für die Mietzinsaufteilung nach Art. 16c ELV bildet das gemeinsame Wohnen (<ref-ruling> Erw. 6b). Als Grundregel ist immer dann eine Aufteilung des Gesamtmietzinses vorzunehmen, wenn sich mehrere Personen den gleichen Haushalt teilen (Erw. 5d). Wie die Beschwerdeführer zu Recht einwenden, kann es nicht allein darauf ankommen, dass formell zwei separate Mietverträge vorliegen. Vielmehr gilt es zu prüfen, ob insgesamt von einer Wohngemeinschaft im genannten Sinne ausgegangen werden kann, wie geltend gemacht wird, und wofür einiges spricht, oder ob es sich um zwei separate Haushalte handelt. Dies lässt sich aufgrund der bestehenden Aktenlage nicht abschliessend beurteilen. Mithin ist die Sache zu ergänzenden Abklärungen und zu entsprechender Neuverfügung an die Verwaltung zurückzuweisen.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne teilweise gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 10. August 2004 und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse Luzern vom 12. Januar 2004 aufgehoben werden und die Sache an die Ausgleichskasse zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den jeweiligen Leistungsanspruch neu verfüge.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne teilweise gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 10. August 2004 und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse Luzern vom 12. Januar 2004 aufgehoben werden und die Sache an die Ausgleichskasse zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den jeweiligen Leistungsanspruch neu verfüge.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 17. Dezember 2004
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer: Die Gerichtsschreiberin: