Faits:
A.
M._ était employé par la Brasserie X._ SA en tant que garçon de maison depuis le 11 novembre 1982. Il était alors assuré en prévoyance professionnelle par GastroSocial Pensionskasse (ci-après: la caisse de pension). Il a été licencié avec effet au 30 novembre 2000 en raison d'une maladie de Bechterew totalement incapacitante depuis le 24 octobre 1999.
Il a requis des prestations de l'office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) le 20 septembre 2000.
Il a été victime d'un accident de la circulation routière le 9 juillet 2005.
Sur la base d'un rapport d'examen bidisciplinaire établi par son service médical régional (SMR) le 21 juillet 2004, préféré à l'avis des différents médecins traitants interrogés, l'administration a considéré que l'assuré présentait essentiellement une spondylarthrite ankylosante permettant l'exercice de l'activité habituelle ou de toutes activités adaptées à 75% et que le degré d'invalidité de 30% résultant de la comparaison des revenus, calculé sans déduction, ne lui ouvrait pas droit à une rente (décision du 21 décembre 2005 confirmée sur opposition le 22 juin 2006). Saisi d'un recours de l'intéressé, le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales a annulé cette décision et, par une appréciation des preuves foncièrement identique à celle de l'office AI mais avec une déduction de 15% du salaire statistique lors de la comparaison des revenus, lui a reconnu le droit à un quart de rente à compter du 1er octobre 2000 (jugement du 13 mars 2007).
Se référant à l'avis de ses médecins traitants, qui attestaient une péjoration de la situation, M._ a déposé une nouvelle requête de prestations le 19 septembre 2007.
Il a été mis au bénéfice d'une demi-rente pour cas pénible entre les 1er octobre 2000 et 31 décembre 2003 (décision du 9 avril 2008).
Reprenant les conclusions d'un second rapport d'examen bidisciplinaire établi le 17 avril 2008 par le SMR, qui corroborait l'aggravation de la spondylarthrite ankylosante et mettait en évidence l'existence d'un épisode dépressif sévère totalement incapacitants depuis le 9 juillet 2005, l'administration a accordé à l'assuré une rente entière avec effet au 1er septembre 2007 (décision du 10 octobre 2008).
Sollicitée pour l'attribution d'une rente de la prévoyance professionnelle, la caisse de pension s'est alignée sur la décision rendue par l'office AI le 9 avril 2008 et a versé une demi-rente pour la période courant du 1er novembre 2001 au 31 décembre 2003 (lettre du 2 mars 2009), mais a refusé d'assumer l'impact financier de la péjoration de l'état de santé au motif que celui-ci était dû à l'accident survenu postérieurement à la fin de la couverture d'assurance (lettres des 31 mars et 13 mai 2009).
B.
L'intéressé a ouvert action contre GastroSocial devant le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales. Invoquant principalement des rapports de ses médecins traitants, ainsi qu'une analyse du dossier réalisée par le médecin mandaté par l'assureur du responsable de l'accident, il soutenait que la péjoration de sa situation n'était nullement due aux séquelles de l'accident, mais résultait du long processus maladif à l'origine de l'incapacité de travail attestée depuis le 24 octobre 1999 et concluait à la reconnaissance de son droit à un quart de rente de la prévoyance professionnelle du 1er janvier 2005 au 31 août 2007 puis à une rente entière. Défendant la thèse contraire, la caisse de pension a conclu au rejet de l'action et, reconventionnellement, à la restitution de 18'349 fr. avec intérêts à 5% l'an depuis le 3 mars 2009 correspondant au montant des prestations indûment versées dans la mesure où, contrairement à son règlement qui reconnaissait alors une invalidité seulement «lorsque l'assuré était invalide à 50%» au moins, elle avait versé une demi-rente à M._ qui, s'il percevait bien de l'administration une demi-rente pour cas pénible, présentait en réalité un taux d'invalidité de 40%.
L'assuré a conclu au rejet de la demande reconventionnelle tandis que chaque partie a persisté dans ses conclusions pour le surplus.
Les principaux médecins traitants ont été auditionnés durant l'instance (procès-verbaux des 29 septembre et 8 décembre 2011). GastroSocial a aussi déposé un rapport établi à son instigation le 8 janvier 2012 par un rhumatologue chargé de procéder à une analyse critique du dossier médical constitué.
Invitées à s'exprimer sur le dernier rapport produit et/ou le dossier médical, les parties ont campé sur leurs positions.
Tranchant à la fois la demande principale et la demande reconventionnelle, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a partiellement admis les conclusions de chaque partie; elle a condamné l'intéressé à rembourser à la caisse de pension le montant de 18'349 fr., sans intérêt (chiffre 2 du dispositif), a reconnu son droit à un quart de rente de la prévoyance professionnelle pour la période comprise entre les 1er janvier et 31 août 2007, puis à une rente entière (chiffre 3 du dispositif) compte tenu des dispositions transitoires de la modification de la LPP du 3 octobre 2003 (1e révision de la LPP) ainsi que des pièces médicales réunies, a ordonné à GastroSocial de calculer le montant des prestations dues selon le chiffre 3 du dispositif (chiffre 4 du dispositif) et a condamné la caisse de pension à verser à M._ une indemnité de dépens de 2'000 fr. (chiffre 5 du dispositif; jugement du 22 novembre 2012).
C.
La caisse de pension interjette un recours en matière de droit public à l'encontre de ce jugement. Elle requiert l'annulation des chiffres 3-5 du dispositif et conclut sous suite de frais et dépens à ce qu'il soit constaté que l'assuré ne peut prétendre aucune prestation de sa part ou à ce que la cause soit renvoyée à la juridiction cantonale afin qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants.
L'intéressé conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens et l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (<ref-law>), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (<ref-law>) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (<ref-law>). Il examine en principe seulement les griefs motivés (<ref-law>) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
Compte tenu des griefs de la caisse de pension recourante (cf. consid. 6 du recours) et des exigences de motivation prévues par l'<ref-law> (cf. consid. 1; voir à ce propos <ref-ruling> consid. 2.2 p. 550; voir aussi Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 25 ad <ref-law>), il apparaît que, dans le cadre général du droit à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle, le litige porte avant tout sur la question de la qualité d'assuré au moment de la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité (ou, en d'autres termes, sur l'existence d'un lien de connexité temporelle et matérielle entre l'incapacité de travail présentée par l'intimé durant son affiliation à GastroSocial et l'invalidité reconnue par la suite). Il s'agira, au besoin, de déterminer si les premiers juges ont contrevenu aux dispositions transitoires de la 1e révision de la LPP et s'ils étaient en droit d'imposer à la caisse de pension recourante le calcul des prestations.
On relèvera à cet égard que l'acte attaqué cite correctement la plupart des dispositions légales et des principes jurisprudentiels nécessaires à la résolution du litige. Il suffit donc d'y renvoyer.
3.
3.1. Contrairement à ce que soutient GastroSocial, on ne saurait reprocher à la juridiction cantonale d'avoir contrevenu aux principes régissant l'appréciation des preuves (à ce propos, cf. notamment <ref-ruling> consid. 3 p. 352 ss), ni d'avoir établi les faits pertinents de façon manifestement inexacte (ou arbitraire au sens de l'art. 9 Cst.; à cet égard, cf. <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 450).
3.2. Quoi qu'en dise la caisse de pension recourante, le tribunal cantonal n'a pas usé de prétextes fallacieux pour écarter certains avis médicaux remplissant les conditions jurisprudentielles pour que leur soit reconnue une pleine valeur probante. Au contraire, il apparaît que l'autorité précédente a analysé bon nombre de rapports médicaux (émanant des médecins traitants et des médecins du SMR ainsi que des experts mandatés par l'assureur RC du responsable de l'accident et GastroSocial pour une étude critique du dossier; cf. acte attaqué consid. 7 p. 25 à 27), qu'elle a clairement expliqué pourquoi certains arguments médicaux lui paraissaient pertinents ou non (cf. acte attaqué consid. 7 p. 27 à 29) et qu'elle a motivé de manière circonstanciée les motifs pour lesquels elle était convaincue que l'invalidité reconnue par l'assurance-invalidité procédait de la maladie de Bechterew (ou de la spondylarthrite ankylosante) et non de l'accident de la circulation routière survenu le 9 juillet 2005 (cf. acte attaqué consid. 7 p. 25 ss). On remarquera encore que les premiers juges ont associé l'aggravation de l'état de santé à la spondylarthrite ankylosante et n'ont pas évoqué la pathologie psychiatrique existante (cf. acte attaqué consid. 7 p. 25 ss).
3.3. Il est ainsi inutile pour GastroSocial d'arguer que l'avis du médecin mandaté par ses soins pour procéder à un examen critique des pièces médicales collectées (rapport du docteur G._, spécialiste en rhumatologie, du 8 mai 2012 déposé en instance cantonale) a été écarté au motif qu'il s'agissait d'un avis abstrait, réalisé sur dossier, alors que l'appréciation du médecin mandaté par l'assureur RC du responsable de l'accident (rapport du docteur R._, spécialiste en neurochirurgie, du 6 juillet 2009 également déposé en instance cantonale) n'avait pas été écartée bien qu'elle ait été réalisée dans les mêmes circonstances dans la mesure où la raison de son éviction n'est pas uniquement celle invoquée ci-dessus, mais avant tout le fait qu'il soit le seul praticien à nier l'existence même de la spondylarthrite ankylosante et que son expertise ait été effectuée sans accès au dossier radiologique. Il en va pareillement pour ce qui concerne les rapports d'examen du SMR. On notera à ce sujet que, contrairement à ce que prétend la caisse de pension recourante, ceux-ci n'ont pas été écartés en raison seulement d'un défaut de valeur probante - en contradiction avec ce qu'avait du reste retenu la juridiction cantonale elle-même dans le dossier de l'assurance-invalidité - mais l'ont été partiellement en ce qui a trait à la date et à la cause de l'aggravation de l'état de santé de l'assuré dès lors que ces éléments avaient été déterminés sans grande conviction, ni motivation véritablement convaincante. Il convient de constater dans ces circonstances que l'argumentation, mal orientée, de GastroSocial ne contredit en rien le jugement entrepris.
On ajoutera encore que le lien unissant le docteur R._ et son mandataire ou les médecins traitants et leur patient ne saurait en soi modifier ce qui précède, d'autant moins que le tribunal cantonal a explicitement indiqué ce qui, dans l'opinion de ces praticiens, lui semblait pertinent (cf. acte attaqué consid. 7 p. 25 ss). On relèvera enfin que l'autorité précédente ne peut se voir critiquer de ne pas avoir fait la distinction entre l'influence de la spondylarthrite ankylosante et celle de l'état dépressif sévère dans la mesure où elle a clairement considéré que la maladie somatique justifiait à elle seule la péjoration de la situation de l'intimé. Rien dès lors ne vient valablement mettre en doute l'existence d'un lien de connexité temporelle et matérielle entre l'incapacité de travail présentée par l'assuré durant son affiliation à la caisse de pension recourante et l'invalidité reconnue par la suite, ainsi que l'ont constaté les premiers juges.
4.
4.1. GastroSocial reproche également aux premiers juges d'avoir violé les dispositions transitoires de la 1e révision de la LPP en accordant à l'intimé un quart de rente d'invalidité pour la période comprise entre le 1er janvier et le 31 août 2007.
4.2. Cet argument est fondé. En effet, il découle de la let. f des dispositions transitoires de la 1e révision de la LPP que les rentes d'invalidité de la prévoyance professionnelle nées avant le 1er janvier 2005 restent régies par l'ancien droit, qui s'applique également lorsqu'un taux d'invalidité d'au moins 40% n'avait alors pas encore été constaté mais était seulement possible ou virtuel (arrêt 9C_1049/2010 du 16 mai 2011 consid. 3 in fine in SVR 2010 BVG n° 44 p. 155). Or, l'invalidité de l'assuré - dont l'incapacité de travail en 2007 se trouve dans un rapport de connexité temporelle et matérielle avec l'incapacité de travail apparue pendant la période d'affiliation selon les constatations de la juridiction cantonale qui n'ont pas été valablement contestées (cf. consid. 3) - est apparue bien avant le 1er janvier 2005. Son cas reste donc soumis à l'ancien droit qui ne prévoit pas l'octroi d'un quart de rente. Le tribunal cantonal a donc violé le droit fédéral en allouant à l'intimé un quart de rente pour la période allant du 1er janvier au 31 août 2007.
5.
5.1. GastroSocial reproche enfin à l'autorité précédente de lui avoir ordonné de calculer le montant des prestations dues, ce qui équivaudrait concrètement à un renvoi contraire à la jurisprudence.
5.2. Cet argument n'est pas fondé. En effet, selon le Tribunal fédéral, si le renvoi de l'affaire à l'institution de prévoyance pour instruction complémentaire et nouvelle décision n'est pas autorisé, le jugement par lequel le tribunal cantonal ne fait que constater un droit aux prestations quant au principe, conformément aux conclusions de l'action comme en l'occurrence, mais ne chiffre pas le montant de ces prestations, n'est pas contraire au droit fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 3 et 4 p. 452 ss).
6.
Compte tenu de ce qui précède, il convient de modifier le chiffre 3 du dispositif du jugement entrepris en ce sens que l'intimé n'a pas droit à un quart de rente d'invalidité du 1er janvier au 31 août 2007, mais conserve son droit à une rente entière d'invalidité depuis le 1er septembre 2007. Étant donné les motifs qui ont conduit à cette modification et l'importance de cette dernière, il n'y a pas lieu de modifier le chiffre 5 du dispositif de l'acte attaqué, ni d'annuler le chiffre 4 de ce même dispositif qui ne saurait être interprété comme un renvoi prohibé par la jurisprudence.
7.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont répartis entre les parties à raison de trois-quarts à la charge de la caisse de pension recourante et d'un quart à la charge de l'assuré (<ref-law>). L'intimé, qui obtient gain de cause pour l'essentiel, à droit à des dépens réduits à la charge de GastroSocial (<ref-law>). Cette dernière n'y a pas droit (<ref-law>). L'assuré, qui a en outre déposé une demande d'assistance judiciaire en remplit les conditions (<ref-law>). Il est toutefois rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du tribunal s'il retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis et le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 22 novembre 2012 est modifié au sens des considérants.
2.
L'assistance judiciaire est accordée au recourant et M e Gilbert Bratschi est désigné comme avocat d'office.
3.
Les frais judiciaires sont mis à la charge de la caisse de pension recourante, par 600 fr., et de l'intimé, par 200 francs. La part de l'intimé est provisoirement supportée par la caisse du Tribunal.
4.
La caisse de pension recourante versera à l'intimé la somme de 2'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
Une indemnité de 800 fr., supportée provisoirement par la caisse du Tribunal, est allouée à M e Gilbert Bratschi à titre d'honoraires.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 13 août 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Cretton