Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Das Veterinäramt Thurgau kontrolliert seit dem 4. Juni 2004 in unregelmässigen Abständen aufgrund von Hinweisen der Polizei oder Dritter die Tierhaltung von X._. Eine solche Kontrolle fand auch am 13. September 2012 statt. Aufgrund früherer Erfahrungen mit X._ wurden der Kantonstierarzt und der Tierschutzbeauftragte von zwei Polizisten begleitet. Die Kontrolleure und die Polizisten betraten dabei gegen den Willen von X._ dessen Haus und die Küche, um das Auslaufjournal zu behändigen. Zudem hielten die Polizisten X._ fest, als er sich allein in sein Haus begeben wollte.
Am 14. September 2012 erstattete X._ Strafanzeige gegen die Kontrolleure und die Polizisten wegen Hausfriedensbruchs, Nötigung und Amtsmissbrauchs. Mit zwei Verfügungen vom 16. Oktober 2013 nahm die Staatsanwaltschaft die Untersuchung gegen die Kontrolleure nicht an die Hand.
X._ erhob kantonale Beschwerden und beantragte, die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, eine Untersuchung gegen die Kontrolleure gemäss Strafanzeige zu eröffnen.
Das Obergericht des Kantons Thurgau wies die Beschwerden am 20. Dezember 2013 ab. Die Verfahrensgebühr von Fr. 1'500.-- wurde X._ auferlegt. Er wurde verpflichtet, den Kantonstierarzt für das Beschwerdeverfahren mit Fr. 1'000.-- zuzüglich Mehrwertsteuer zu entschädigen (SW.2013.139 und 140).
X._ beantragt mit Beschwerde beim Bundesgericht, der Kostenspruch des Entscheids SW.2013.139 und 140 vom 20. Dezember 2013 sei aufzuheben.
Das Obergericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Die Generalstaatsanwaltschaft hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
X._ hält nach Einsicht in die Vernehmlassungen an der Beschwerde fest.
2.
Gemäss <ref-law> legen die Kantone für ihren Bereich die Gebühren fest. Im vorliegenden Fall stützt sich die Kostenauflage des angefochtenen Entscheids auf § 13 Abs. 1 Ziff. 4 der thurgauischen Verordnung des Grossen Rates über die Gebühren der Strafverfolgungs- und Gerichtsbehörden vom 13. Mai 1992 (VGG; RB TG 638.1). Gemäss dieser Bestimmung erhebt das Obergericht für Rechtsmittelentscheide eine Gebühr von Fr. 100.-- bis Fr. 20'000.--.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und der Begründungspflicht, da die Höhe der Verfahrensgebühr im angefochtenen Entscheid mit keinem Wort begründet wurde.
Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kann im Kostenpunkt eine äusserst knappe Begründung genügen oder eine solche sogar fehlen. Dies gilt insbesondere, wenn es um Kosten geht, die nach Massgabe der anwendbaren kantonalen Bestimmung pauschal, innerhalb eines gewissen Rahmentarifs, erhoben werden können, was eine gewisse Schematisierung erlaubt. In einem solchen Fall wird eine besondere Begründung nur verlangt, wenn der Rahmen über- oder unterschritten wird oder besondere Umstände ersichtlich sind (Urteil 1C_156/2012 vom 12. Oktober 2012 E. 8.1.1).
Die Vorinstanz wies auf § 13 Abs. 1 Ziff. 4 VGG hin (Entscheid S. 15 E. 7a). Die erhobene Gebühr liegt innerhalb des Rahmentarifs. Der Beschwerdeführer verweist auf seine finanziellen Verhältnisse und den Umstand, dass die Vorinstanz in einem am selben Tag im Verfahren SW.2013.141 und 142 ergangenen Entscheid nur Fr. 1'000.-- verlangte (vgl. Beschwerde S. 3 Ziff. 3.3). Da die Gebühr am unteren Rand des Rahmentarifs liegt, musste die Vorinstanz indessen auf die finanzielle Lage des Beschwerdeführers nicht ausdrücklich hinweisen. Zum von ihm angeführten Vergleichsurteil (vgl. Verfahren des Bundesgerichts 6B_204/2014 act. 6) ist anzumerken, dass dieses nur 13, der vorliegend angefochtene Entscheid indessen 15 Seiten umfasst. Unter den gegebenen Umständen musste der Kostenentscheid nicht besonders begründet werden.
3.
In Bezug auf die Entschädigung für den Kantonstierarzt stützt sich die Vorinstanz auf § 5 Abs. 1 und § 7 Abs. 1 der thurgauischen Verordnung des Obergerichts über den Anwaltstarif für Zivil- und Strafsachen vom 9. Juli 1991 (AnwT; RB TG 176.31). Gemäss diesen Bestimmungen beträgt die Grundgebühr in Strafsachen für die Vertretung im Gerichtsverfahren bis Fr. 5'000.--. Für Rechtsmittelverfahren werden ein bis zwei Drittel der Grundgebühr berechnet.
Auch in diesem Punkt rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und der Begründungspflicht, da die Vorinstanz die Höhe der Entschädigung nicht begründe.
In Bezug auf die Entschädigungsregelung kann gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ebenfalls eine äusserst knappe Begründung genügen oder eine solche sogar fehlen (Urteil 1C_156/2012 vom 12. Oktober 2012 E. 8.1.1).
Die Vorinstanz macht in ihrer Stellungnahme vor Bundesgericht, zu welcher sich der Beschwerdeführer zur Wahrung seines rechtlichen Gehörs äussern konnte, darauf aufmerksam, dass die von ihr dem Kantonstierarzt zugesprochene Entschädigung sogar noch unter dem Minimum des Rahmens von Fr. 1'600.-- bis Fr. 3'300.-- gemäss § 7 Abs. 1 AnwT liege (act. 13 S. 2 Ziff. 3). Inwieweit Fr. 1'000.-- ausserhalb des der Vorinstanz zustehenden Ermessen liegen könnten, ist der Beschwerde und der Vernehmlassung des Beschwerdeführers nicht zu entnehmen (vgl. act. 1 S. 4 Ziff. 3.6 und act. 15 S. 2 Ziff. 3).
4.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers (vgl. act. 12) ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juni 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: C. Monn