Sachverhalt:
A.
A._ stellte am 5. Januar 2012 für sich und seine drei Kinder B._, geb. 2000, C._, geb. 2008, sowie D._, geb. 2011, beim Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt ein Gesuch um Einbürgerung. Das Migrationsamt leitete das Gesuch an die Bürgergemeinde der Stadt Basel weiter. Dieses bot A._ nach Prüfung der Einbürgerungsvoraussetzungen am 25. März 2013 an, das Gesuch mangels genügenden Leumunds und erforderlicher wirtschaftlicher und sozialer Integration zurückzuziehen. Nachdem A._ einen Rückzug abgelehnt hatte, wies der Bürgerrat der Stadt Basel das Einbürgerungsgesuch am 20. August 2013 ab. Diesen Entscheid eröffnete das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt A._ am 17. Oktober 2013.
B.
Dagegen erhob A._ für sich und seine Kinder Rekurs beim Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt. Das Präsidialdepartement des Kantons überwies den Rekurs dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht. Dieses wies den Rekurs am 12. Juni 2014 ab.
C.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 31. Juli 2014 an das Bundesgericht beantragt A._ sinngemäss, das Urteil des Appellationsgerichts sowie den Entscheid des Bürgerrates aufzuheben. Im Wesentlichen macht er geltend, es verstosse gegen Verfassungsrecht, bei ihm die Voraussetzungen der Einbürgerung zu verneinen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht wird um Gewährung der aufschiebenden Wirkung sowie um unentgeltliche Rechtspflege ersucht.
D.
Die Bürgergemeinde der Stadt Basel stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement sowie das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schliessen unter Verzicht auf weitere Ausführungen ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde.
E.
Weitere Eingaben gingen beim Bundesgericht nicht ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Beschwerden gegen letztinstanzliche Verfügungen der Kantone in Einbürgerungsangelegenheiten richten sich nach den allgemeinen Bestimmungen über die Bundesrechtspflege (Art. 51 Abs. 1 des Bundesgesetzes über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts vom 29. September 1952, Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> ist gemäss <ref-law> gegen Entscheide über die ordentliche Einbürgerung ausgeschlossen. Eine andere ordentliche Beschwerde fällt nicht in Betracht. Damit steht grundsätzlich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> offen. Der Entscheid der Vorinstanz kann mit keinem kantonalen Rechtsmittel angefochten werden und ist daher kantonal letztinstanzlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 269).
1.2. Anfechtbar ist allerdings nur das Urteil des Appellationsgerichts als Verwaltungsgericht (sog. Devolutiveffekt); dem Antrag des Beschwerdeführers auf Aufhebung des Entscheids des Bürgerrates kann daher von vornherein nicht stattgegeben werden. Immerhin gelten Entscheide unterer Instanzen als inhaltlich mitangefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 144; <ref-ruling> E. 1 S. 441).
1.3. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nach <ref-law> die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden.
1.4. Zur Beschwerde ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung vermittelt das eidgenössische Bürgerrechtsgesetz die vollumfängliche Beschwerdelegitimation. Insbesondere dient <ref-law> individuellen Interessen und regelt materielle Einbürgerungsvoraussetzungen konkret, indem (Mindest-) Kriterien der Eignung festgelegt werden. <ref-law> verschafft damit der einbürgerungswilligen Person im Ergebnis eine hinreichend klar umschriebene Rechtsposition, die es ihr ermöglicht, sich im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde nebst den spezifischen Grundrechten wie namentlich dem Diskriminierungsverbot (<ref-law>) und den Parteirechten (<ref-law>) auf das Willkürverbot (<ref-law>) und den Grundsatz der Rechtsgleichheit (<ref-law>) zu berufen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 309 ff.).
2.
2.1. Gemäss <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Rein appellatorische Kritik ohne Bezug zum angefochtenen Entscheid genügt nicht. Besondere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.).
2.2. Die Beschwerdeschrift ist in weiten Teilen rein appellatorischer Natur. Soweit die Beschwerdebegründung überhaupt verständlich ist, geht sie teilweise an der Sache vorbei, setzt sich nicht mit dem angefochtenen Entscheid auseinander und legt nicht dar, inwiefern dieser auf einer willkürlichen Sachverhaltsfeststellung beruhen oder im Ergebnis willkürlich sein sollte. Auf die Beschwerde kann daher grösstenteils nicht bzw. nur soweit eingetreten werden, als in der Folge die Streitsache inhaltlich geprüft wird.
3.
3.1. Für die ordentliche Einbürgerung muss der Gesuchsteller die gesetzlichen Wohnsitzerfordernisse erfüllen (vgl. <ref-law>), die hier nicht strittig sind. Überdies ist gemäss <ref-law> vor Erteilung der Bewilligung zu prüfen, ob der Bewerber zur Einbürgerung geeignet ist, insbesondere ob er in die schweizerischen Verhältnisse eingegliedert ist (lit. a), mit den schweizerischen Lebensgewohnheiten, Sitten und Gebräuchen vertraut ist (lit. b), die schweizerische Rechtsordnung beachtet (lit. c) und die innere oder äussere Sicherheit der Schweiz nicht gefährdet (lit. d). Bei der Beurteilung der hinreichenden Integration von Einbürgerungswilligen verbleibt der Gemeinde ein gewisser Ermessensspielraum, den die Rechtsmittelinstanzen zu beachten haben. Die kantonalen Behörden dürfen einzig eingreifen, wenn die Gemeinde ihr Ermessen nicht pflichtgemäss ausübt. Das ist namentlich dann der Fall, wenn das Einbürgerungsorgan willkürlich entscheidet (<ref-ruling> E. 1.4.5 S. 312 f.).
3.2. Gemäss § 13 Abs. 1 lit. a des basel-städtischen Bürgerrechtsgesetzes vom 29. April 1992 (BüRG; SG 121.00) setzt die Aufnahme in das basel-städtische Bürgerrecht einen guten Leumund, die Vertrautheit mit den allgemeinen Lebensgewohnheiten und den wichtigsten öffentlichen Institutionen in Gemeinde, Kanton und Bund, die Bejahung der schweizerischen Demokratie und die Respektierung der geltenden Rechtsordnung sowie die Erfüllung der privaten und öffentlich-rechtlichen Verpflichtungen voraus. § 14 der basel-städtischen Verordnung vom 1. Dezember 2009 zum Bürgerrechtsgesetz (BüRV; SG 121.110) konkretisiert diese Anforderungen, äussert sich aber nicht näher zum Begriff des erforderlichen guten Leumunds (vgl. zu den materiellen Einbürgerungsanforderungen im Kanton Basel-Stadt LAURA CAMPISI, Die rechtliche Erfassung der Integration im schweizerischen Migrationsrecht, 2014, S. 270 ff.; JENS VAN DER MEER, Die ordentliche Einbürgerung von ausländischen Bürgerrechtsbewerbenden im Kanton Basel-Stadt, in: BJM 2013 S. 67 ff.).
3.3. Eine offensichtlich unrichtige bzw. willkürliche Sachverhaltsfeststellung liegt vor, wenn diese widersprüchlich oder aktenwidrig ist oder auf einem offensichtlichen Versehen beruht bzw. klarerweise den tatsächlichen Verhältnissen widerspricht. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 319; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen).
4.
4.1. Die Vorinstanz geht davon aus, dass die gegen den Beschwerdeführer in den Jahren 1999 und 2000 ergangenen Strafurteile namentlich wegen mehrfacher Hinderung einer Amtshandlung und Diensterschwerung, Drohung, Sachentziehung, mehrfacher Beschimpfung zwar zu weit zurück liegen, um allein daraus heute auf einen getrübten Leumund zu schliessen; sie dürften aber bei der Bewertung neuerer Vorfälle mitberücksichtigt werden. Als solche beurteilte das Appellationsgericht insbesondere dasjenige Verhalten des Beschwerdeführers, das in verschiedenen, insbesondere zivilrechtlichen, Verfahren eine Rolle spielte, auch wenn es zu keinen strafrechtlichen Verurteilungen mehr führte. Dazu zählen verschiedene Tätlichkeiten und Drohungen im familiären Umfeld namentlich in den Jahren 2010, 2011 und 2013. Insgesamt schloss die Vorinstanz aufgrund dieser verschiedenen Vorfälle, dass dem Beschwerdeführer kein guter Leumund zugesprochen werden könne.
4.2. Die entsprechenden tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz beruhen auf verschiedenen amtlichen Dokumenten und sind nicht willkürlich. Sodann ist nicht ersichtlich, dass die Verfahrensrechte des Beschwerdeführers verletzt worden sein sollten. Es ist auch in der Sache nicht unhaltbar, für die Beurteilung des Leumundes auf Vorfälle abzustellen, die nicht zwingend zu einem Strafverfahren oder -urteil geführt haben (vgl. VAN DER MEER, a.a.O., S. 74). Drohungen und Tätlichkeiten im familiären Kreis sowie renitentes, die Amtsvornahme behinderndes oder die Amtsträger beleidigendes Verhalten gegenüber Behörden ist geeignet, den Leumund zu trüben. Es ist nicht unhaltbar, bei einer gewissen Schwere bzw. bei wiederholtem Auftreten solcher Vorfälle davon auszugehen, dass der für eine Einbürgerung nötige gute Leumund nicht vorliegt. Angesichts der Anzahl und der Schwere der dem Beschwerdeführer vorgehaltenen und genügend belegten Vorwürfe ist es nicht willkürlich, den erforderlichen guten Leumund bei ihm zu verneinen.
5.
5.1. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
5.2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit der gestellten Rechtsbegehren abzuweisen (vgl. <ref-law>). Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind daher dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen, wobei seinen angespannten finanziellen Verhältnissen bei der Festlegung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen werden kann (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen.
5.3. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos, dessen Sinn im vorliegenden Zusammenhang ohnehin nicht ersichtlich ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Bürgergemeinde der Stadt Basel, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax