Faits:
A. Le 12 août 2004, Y._ a été engagée, en qualité de caissière-vendeuse, auprès de la station-service A._, à Genève, pour un salaire mensuel brut de 3'300 francs. Cette station-service est la propriété de B._ SA et est exploitée, depuis le 1er novembre 2001, par C._ SA. X._ et D._ ont acquis, par convention du 13 août 2002, le capital-actions de cette société et en sont devenus administrateurs, avec signature individuelle, à partir du 16 août 2002. C._ SA est en liquidation depuis le 8 février 2006.
Y._ n'a signé aucun contrat de travail. Elle a eu pour interlocutrice exclusive X._. Celle-ci lui remettait son salaire de main à main, sans relevé ni décompte. Des quittances, qui ne comportaient pas d'en-tête, ont été signées par l'employée, qui en recevait une copie. X._ n'a pas précisé à l'employée qu'elle n'était pas son employeur.
Le 1er décembre 2004, Y._ a été licenciée, à la suite de la décision de X._, qui n'arrivait plus à la rétribuer. Cette décision a été annoncée à l'employée par l'intermédiaire du mari de X._.
B. Le 19 juin 2006, Y._ a assigné X._ en paiement de 21'091 fr.85 bruts, plus intérêts à 5% l'an dès le 1er février 2005, à titre de salaire du 1er octobre 2004 au 31 janvier 2005 (19'470 fr.) et à titre d'indemnité pour vacances non prises en nature (1'621 fr.85), le tout sous déduction de la somme nette de 7'100 fr. déjà perçue. La demanderesse réclamait en outre la remise d'un certificat de travail.
Par jugement du 25 juin 2007, le Tribunal des prud'hommes a condamné la défenderesse à payer à la demanderesse la somme brute de 19'778 fr.95, sous déduction de la somme nette de 7'100 fr., avec intérêts à 5% dès le 1er février 2005. La défenderesse a été invitée à opérer les déductions sociales, légales et usuelles. Elle a enfin été condamnée à délivrer à la demanderesse un certificat de travail.
La défenderesse a appelé de ce jugement, en concluant à son annulation et au rejet de la demande de la partie adverse.
Par arrêt du 14 décembre 2007, l'appel a été déclaré irrecevable, pour cause de tardiveté. Selon les calculs des juges cantonaux, le délai d'appel a commencé à courir le jeudi 28 juin 2007, soit le lendemain de la notification de l'arrêt litigieux, expédié le 26 juin 2007, et expirait le vendredi 27 juillet 2007. Les magistrats ont retenu que, pour avoir été déposé le lundi 30 juillet 2007 seulement au greffe de la juridiction des prud'hommes, l'appel était tardif. Dans la motivation juridique de l'arrêt, les juges se sont également exprimés sur le fond du litige.
C. La défenderesse exerce un recours constitutionnel subsidiaire en vue d'obtenir l'annulation et la mise à néant de l'arrêt du 14 décembre 2007. Elle demande à ce qu'il soit dit et constaté que l'appel déposé devant l'instance précédente est recevable et à ce que la cause soit renvoyée devant cette autorité pour nouveau jugement.
La demanderesse conclut, à la forme, à l'irrecevabilité du recours et, au fond, à son rejet. Quant à l'autorité cantonale, elle persiste dans son jugement.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et avec une pleine cognition la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 1).
1.1 Le recours est dirigé contre un jugement rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). La valeur litigieuse n'atteint pas le minimum légal de 15'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF) et la cause ne correspond à aucun des cas de dispense prévus par la loi (art. 74 al. 2 LTF). Partant, seule la voie, empruntée par la recourante, du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 ss LTF) est ouverte.
1.2 Selon l'art. 115 LTF, a qualité pour former un recours constitutionnel quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a) et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b).
Selon le dispositif clair de l'arrêt attaqué, l'appel a été déclaré irrecevable pour cause de tardiveté. Ainsi, même si la cour cantonale a, dans le cadre de la motivation du jugement, analysé les arguments se rapportant au fond de la cause, la seule question tranchée dans le prononcé est celle de l'irrecevabilité. Le recours porté devant le Tribunal fédéral a du reste pour unique objet cette irrecevabilité.
La recourante - défenderesse à l'action - a été condamnée par le Tribunal des prud'hommes à verser un certain montant à la partie adverse. Elle a interjeté un appel contre ce prononcé, concluant, à la forme, à la recevabilité de l'appel et, au fond, à l'annulation et à la mise à néant du jugement entrepris, ainsi qu'au déboutement de l'intimée - demanderesse à l'action - de toutes ses conclusions. La recourante ne peut être que lésée par la sanction d'irrecevabilité de la Cour d'appel, dès lors qu'elle n'a pas statué sur les conclusions se rapportant au fond de la cause. Dans cette mesure, la recourante a un intérêt juridique à l'annulation de la décision attaquée et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale afin qu'elle se prononce formellement sur le fond du litige.
L'examen, par l'autorité cantonale, des arguments au fond, est sans pertinence, dès lors qu'il n'aboutit pas à un prononcé de rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité, mais à un prononcé d'irrecevabilité. Pour cette raison - et quoi qu'en pense l'intimée -, il ne saurait être fait grief à la recourante de ne pas avoir critiqué la motivation se rapportant au bien-fondé du recours. La situation d'espèce est à distinguer clairement de celle rencontrée en cas de double motivation, puisque, dans ce dernier cas de figure, chaque motivation, qui doit être valablement critiquée, conduit à un même prononcé. Or, en l'état, la première motivation a trait à la recevabilité de l'appel et la seconde à son bien-fondé.
1.3 Les autres conditions de recevabilité sont réalisées en l'espèce, puisque le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF en liaison avec l'art. 117 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF). Il convient donc d'entrer en matière sur le recours constitutionnel subsidiaire.
1.4 Le recours constitutionnel ne peut être exercé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral ne se saisit que des griefs soulevés et motivés par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF en liaison avec l'art. 117 LTF), les exigences de motivation correspondant à celles de l'art. 90 al. 1 let. b OJ (cf. <ref-ruling> consid. 6; <ref-ruling> consid. 1.4). Il doit statuer sur la base des faits constatés dans la décision attaquée; il ne peut rectifier ou compléter que les constatations de fait auxquelles l'autorité précédente est parvenue en violation des droits constitutionnels (art. 118 LTF).
2. La recourante demande l'annulation du jugement entrepris et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale. Elle revient sur le motif fondant l'irrecevabilité de l'appel interjeté devant la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes. A cet égard, elle fait grief à l'autorité cantonale d'avoir violé, de manière grossière, l'art. 59 al. 2 de la loi genevoise sur la juridiction des prud'hommes (LJPH), selon lequel « l'appel doit être déposé dans les 30 jours qui suivent la notification de la décision du tribunal ». La recourante affirme, référence faite au récépissé postal de la poste des Eaux-Vives, portant le tampon daté du 27 juillet 2007 et la mention « Cour d'appel Prud'hommes, Bd Helvétique, 1204 Genève », que l'appel interjeté par ses soins a, non pas été déposé le lundi 30 juillet 2007 au greffe de la juridiction des prud'hommes, mais envoyé par pli recommandé le vendredi 27 juillet 2007.
Lorsque la preuve de l'expédition d'un envoi a été apportée, il est présumé que l'envoi contenait effectivement l'acte litigieux; ce n'est que lorsqu'il existe des indices concrets de nature à faire naître des doutes à ce sujet que la présomption est renversée (<ref-ruling> consid. 2c). En l'espèce, l'autorité cantonale n'a pas allégué et, encore moins, rendu plausible l'existence d'un doute quant au contenu de l'envoi attesté par le récépissé postal portant le sceau du 27 juillet 2007. Par conséquent, il apparaît que l'acte de recours a bien été expédié à cette date, soit encore dans le délai de trente jours pour interjeter appel - ce qui n'est pas remis en cause. Il en découle que l'appel a, à tort, été déclaré irrecevable.
Compte tenu de ce résultat, le recours doit être admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle se prononce sur le fond de la cause.
3. L'intimée, qui succombe, doit acquitter les frais judiciaires et indemniser la recourante (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à payer à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à Y._ et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 11 mars 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Corboz Crittin