Sachverhalt:
A.
Die A._ GmbH wurde am 1. Dezember 2006 ins Handelsregister des Kantons Aargau eingetragen und bezweckt insbesondere die Betreuung und Unterstützung von Senioren und anderen hilfsbedürftigen Personen (Behinderte, Kinder). Die vielfältigen Betreuungsdienstleistungen der A._ GmbH werden in vier Stufen unterteilt: Die erste Stufe umfasst die Betreuung, Unterstützung und Gesellschaft zu Hause; die zweite Stufe die Haushaltshilfe (Stufe 2a) und die Begleitung ausser Haus (Stufe 2b); die dritte Stufe Massnahmen der Grundpflege nach Art. 7 Abs. 2 lit. c der Verordnung des Eidgenössischen Departementes des Innern (EDI) über Leistungen in der Obligatorischen Krankenpflegeversicherung vom 29. September 1995 (Krankenpflege-Leistungsverordnung; KLV [SR 832.112.31]); die vierte Stufe Massnahmen der Untersuchung und Behandlung nach <ref-law>. Die A._ GmbH verfügt über eine kantonale Betriebsbewilligung zur Erbringung der pflegerischen Leistungen der dritten und vierten Betreuungsstufe.
B.
Mit Schreiben vom 28. Oktober 2011 forderte das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Aargau (AWA) die A._ GmbH ein erstes Mal auf, ein vollständiges Gesuch um Erteilung einer Bewilligung für den Personalverleih und eventuell für die private Arbeitsvermittlung einzureichen. Zur Begründung wurde angeführt, die von ihr ausgeführte Tätigkeit fiele unter den Geltungsbereich des Bundesgesetzes über die Arbeitsvermittlung und den Personalverleih vom 6. Oktober 1989 (Arbeitsvermittlungsgesetz; AVG [SR 823.11]). Nach Prüfung der ablehnenden Stellungnahme der A._ GmbH vom 2. November 2011, der damit eingereichten Geschäftsunterlagen (Verträge, Reglemente etc.) und der Internetseite der A._ GmbH erneuerte das AWA am 20. Februar 2012 seine Aufforderung zur Gesuchseinreichung. Dieser Aufforderung kam die A._ GmbH nicht nach und forderte stattdessen eine beschwerdefähige Verfügung. Am 30. Juli 2012 hielt das AWA förmlich fest, die A._ GmbH betreibe Personalverleih, wofür eine Bewilligung erforderlich sei. Die A._ GmbH wurde unter anderem aufgefordert, ihre Verleihtätigkeit bis zum Erlangen der entsprechenden Bewilligung einzustellen. Eine gegen die Verfügung erhobene Beschwerde an den Regierungsrat lehnte dieser am 13. Februar 2013 ab. Gleichzeitig hielt er fest, dass der Beschwerde gegen seinen Entscheid die aufschiebende Wirkung zukomme. Die beim Verwaltungsgericht geführte Beschwerde wies dieses mit Urteil vom 3. April 2014 ab.
C.
Mit Eingabe vom 30. Mai 2014 beantragt die A._ GmbH dem Bundesgericht, das Urteil vom 3. April 2014 "bzw. die Verfügung des Departementes Volkswirtschaft und Inneres, Amt für Wirtschaft und Arbeit, vom 30. Juli 2012", seien aufzuheben. Eventuell sei die Streitsache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Departement für Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Aargau beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht hat darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen. Das Eidgenössische Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung (WBF) beantragt unter Konsultation des Staatssekretariats für Wirtschaft (SECO), die Beschwerde sei abzuweisen. Die Beschwerdeführerin hält in einer weiteren Eingabe an ihren Anträgen fest.
Mit Verfügung vom 7. Juli 2014 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Dem angefochtenen Urteil liegt eine Streitigkeit zur Bewilligungspflicht im Personalverleih nach den Bestimmungen des Arbeitsvermittlungsgesetzes zugrunde. Dagegen steht gemäss <ref-law> in Verbindung mit Art. 38 Abs. 2 lit. c und Abs. 3 AVG die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen. Ein Ausschlussgrund gemäss <ref-law> liegt nicht vor. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Dies trifft auf die Beschwerdeführerin zu, da ihr durch das vorinstanzliche Urteil eine Bewilligungspflicht auferlegt wird. Auf die form- und fristgerecht erhobene Beschwerde (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 100 Abs. 1 BGG), die sich gegen einen Endentscheid eines oberen Gerichts als letzte kantonale Instanz richtet (<ref-law>; <ref-law>), ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Nicht eingetreten werden kann auf die Beschwerde hinsichtlich der beantragten Aufhebung des unterinstanzlichen Entscheids, ist dieser doch durch das Urteil des Verwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt). Die Entscheide der unteren Instanzen gelten als inhaltlich mit angefochten; einzig das Urteil des Verwaltungsgerichts bildet das Anfechtungsobjekt für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 144; <ref-ruling> E. 1 S. 441 mit Hinweisen).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig, unvollständig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt wurde (<ref-law>) "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117). Der Betroffene hat darzulegen, dass und inwiefern dies klar und eindeutig der Fall ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> S. 17 f.; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2 S. 187 mit Hinweisen).
1.4. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (E. 1.3) - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur noch die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde auf alle sich stellenden rechtlichen Fragen einzugehen, wenn diese ihm nicht mehr unterbreitet werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 389).
1.5. Die Vorinstanz hat den Streitgegenstand nicht präzis definiert, sondern eine Bewilligungspflicht "namentlich" für im Rahmen der Betreuungsstufen 1 und 2 erbrachten Tätigkeiten festgestellt (Unterstützung und Gesellschaft zu Hause; Haushaltshilfe; hiervor Sachverhalt Ziff. A; angefochtenes Urteil E. 10 S. 26 und Dispositiv). Diese Unklarheit spielt insofern keine Rolle, als die Bewilligungspflicht der Beschwerdeführerin auch Teilbereiche ihrer Tätigkeit betreffen kann (vgl. hierzu hernach E. 4.4). Umgekehrt kann die Frage einer Bewilligungspflicht im bundesgerichtlichen Verfahren nicht für Tätigkeiten weiterer Betreuungsstufen geprüft werden, würde doch damit der Streitgegenstand ausgeweitet (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.4 und 4.1 S. 365 ff.; <ref-ruling> E. 4.5 S. 277; Urteile 2C_333/2012 vom 5. November 2012 E. 6.1). Vereinzelte Vorbringen in tatsächlicher Hinsicht zu den Betreuungsstufen 3 und 4 bleiben unberücksichtigt.
2.
2.1. Das Arbeitsvermittlungsgesetz hält in Art. 12 Abs. 1 fest, dass "Arbeitgeber (Verleiher), die Dritten (Einsatzbetrieben) gewerbsmässig Arbeitnehmer überlassen", eine Betriebsbewilligung des kantonalen Arbeitsamtes benötigen. Der Bundesrat hat von seiner Kompetenz zum Erlass von Ausführungsbestimmungen (Art. 41 Abs. 1 AVG) Gebrauch gemacht und die Bestimmung näher definiert: Als Verleiher gilt, wer einen Arbeitnehmer einem Einsatzbetrieb überlässt, indem er ihm Weisungsbefugnisse gegenüber dem Arbeitnehmer abtritt. Die Weisungsbefugnis muss dabei nicht vollständig beim Dritten liegen; vielmehr reicht für das Bestehen eines Personalverleihverhältnisses die Übertragung wesentlicher Weisungsbefugnisse auf den Dritten (Art. 26 AVV); das Weisungsrecht zwischen dem rechtlichen Arbeitgeber (Personalverleiher) und dem Einsatzbetrieb wird aufgespalten (vgl. STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, Praxiskommentar Arbeitsvertrag, 2012, N. 2 ff. zu <ref-law>; vgl. hierzu auch hernach E. 2.2). Gemäss Art. 29 Abs. 1 AVV verleiht gewerbsmässig Arbeitskräfte, wer Arbeitnehmer Einsatzbetrieben regelmässig mit der Absicht überlässt, Gewinn zu erzielen oder mit seiner Verleihtätigkeit einen jährlichen Umsatz von mindestens Fr. 100'000.-- erzielt. Die erforderliche Regelmässigkeit liegt vor, wenn mit Einsatzbetrieben innerhalb von zwölf Monaten mehr als zehn Verleihverträge bezüglich des ununterbrochenen Einsatzes eines einzelnen oder einer Gruppe von Arbeitnehmenden abgeschlossen werden (Art. 29 Abs. 2 AVV).
2.2. Im Rahmen des Verleihvertrags verpflichtet sich der Personalverleiher demnach nicht zur Erbringung einer bestimmten Arbeitsleistung, die er durch Hilfspersonen ausführen lässt, sondern vielmehr dazu, dass er entsprechende Arbeitnehmer sorgfältig auswählt und gegen Entgelt dem Einsatzbetrieb unter Einräumung wesentlicher Weisungsbefugnisse überlässt (Botschaft zu einem revidierten Bundesgesetz über die Arbeitsvermittlung und den Personalverleih, BBl 1985 III 556, Ziff. 233.1; CHRISTIAN DRECHSLER, Personalverleih: unscharfe Grenzen, AJP 2010 S. 314 ff.; Hubert Stöckli, "Ménage à trois" bei der Temporärarbeit, recht 2010, S. 137 ff., 139 ff.; Andreas Ritter, Das revidierte Arbeitsvermittlungsgesetz, Diss., 1994, S. 19 ff.). Der wesentliche Unterschied zwischen Personalverleih und einem Auftragsverhältnis besteht darin, dass beim Auftrag kein Subordinationsverhältnis im arbeitsrechtlichen Sinne zwischen dem Dienstleistungserbringer und dem Empfänger der Dienstleistung besteht (vgl. <ref-law>; vgl. dazu STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, a.a.O., N. 2 ff., 5 zu <ref-law>) : Der Beauftragte sucht und akquiriert seine Einsätze für sich selbst und ist typischerweise für verschiedene Auftraggeber gleichzeitig tätig, ohne von einem einzigen Auftraggeber wirtschaftlich oder organisatorisch abhängig zu sein (Roland Bachmann, Verdeckter Personalverleih: Aspekte zur rechtlichen Ausgestaltung, zur Bewilligungspflicht, zum Konzernverleih und zum Verleih mit Auslandsberührung, ArbR 2010, S. 53 ff., 62). Demgegenüber ist der durch Personalverleih entliehene Arbeitnehmer den Weisungen des Dritten bzw. des Einsatzbetriebs unterstellt: Er wird in die Betriebsorganisation eines Dritten eingegliedert, wodurch Letzterem die Möglichkeit eröffnet wird, Personen wie Arbeitnehmer zu beschäftigen, ohne mit ihnen ein Arbeitsverhältnis einzugehen; das Arbeitsverhältnis mit dem Verleiher besteht fort (Bachmann, a.a.O., S. 57; vgl. auch Christoph SENTI, Auftrag oder Personalverleih?, AJP 3/2013, S. 356 ff., 358).
2.3. Der Personalverleih "wickelt sich [demnach] immer an zwei verschiedenen Orten ab", nämlich im Büro des Verleihers und am Einsatzort (Botschaft AVG, a.a.O., Ziff. 233.1 S. 612). Das Gesetz bezweckt mit der Bewilligungspflicht allgemein den Schutz der Arbeitnehmenden durch eine fachlich qualifizierte und rechtlich geregelte (Vermittlungs- und) Verleihtätigkeit (Art. 1 lit. a und c i.V.m. Art. 12 AVG; vgl. Botschaft AVG, a.a.O., Ziff. 232.1 S. 596 ff., 233.1 S. 609 f.). Mit der Bewilligungspflicht verbunden ist die Hinterlegung einer Kaution, welche der Absicherung der Lohnansprüche der verliehenen Arbeitnehmenden dienen soll (Art. 14 Abs. 1 AVG; Art. 35 AVV). Die Kaution bemisst sich nach dem Geschäftsumfang (vgl. Art. 14 Abs. 2 AVG; Art. 6 der Verordnung über Gebühren, Provisionen und Kautionen im Bereich des Arbeitsvermittlungsgesetzes [Gebührenverordnung AVG; SR 823.113]).
2.4. Ob die von der Beschwerdeführerin angebotenen Dienstleistungen als bewilligungspflichtiger Personalverleih zu qualifizieren sind oder ob es sich dabei um andere Arten von Dienstleistungen handelt, die einem Dritten erbracht werden, ergibt sich nach bundesgerichtlicher Praxis und Lehre aus einer Abgrenzung im Einzelfall. Massgeblich ist hierbei der Inhalt des Vertrags und die konkrete Tätigkeit im Einsatzbetrieb ("le contenu du contrat, la description du poste et la situation du travail concrète dans l'entreprise locataire"; Urteil 2A.425/2006 vom 30. April 2007 E. 3.2), die sich etwa anhand von konkreten Verlaufsberichten zeigen kann (Urteil 2C_356/2012 vom 11. Februar 2013 E. 4.2.2). Hingegen kann die Bezeichnung des Vertrags durch die Parteien nicht entscheidend sein (Urteil 2A.425/2006 vom 30. April 2007 E. 3.2; MATILE/ZILLA, Travail temporaire. Commentaire pratique des dispositions fédérales sur la location de services [art. 12-39 LSE], 2010, S. 33). Als Hilfskriterien für Abgrenzungsfragen hat sich die Rechtsprechung auch an den Weisungen und Erläuterungen zum Arbeitsvermittlungsgesetz des Staatssekretariats für Wirtschaft (SECO) orientiert (vgl. Urteile 2C_356/2012 vom 11. Februar 2013 E. 3.5; 2A.425/2006 vom 30. April 2007 E. 3.2; vgl. Staatssekretariat für Wirtschaft, Weisungen und Erläuterungen zum Bundesgesetz über die Arbeitsvermittlung und den Personalverleih vom 6. Oktober 1989, S. 66 ff., abrufbar unter <http://www.seco.admin.ch/themen/00385/02902/index.html?lang=de>, besucht am 28. Oktober 2014).
2.5. Personalverleihverhältnisse können sich auf sehr unterschiedliche Formen der Arbeitnehmerüberlassung erstrecken. Der Gesetzgeber hat bewusst darauf verzichtet, den Personalverleih durch einen sachlichen Tätigkeitsbereich oder die Einsatzdauer einzuschränken, (Botschaft AVG, a.a.O., Ziff. 222 S. 591). Wie das Bundesgericht bereits festgestellt hat, können auch Betreuungs- und Hausdienste grundsätzlich vom Arbeitsvermittlungsgesetz erfasst werden (Urteil 2C_356/2012 vom 11. Februar 2013 E. 4.4; vgl. auch SECO, Weisungen und Erläuterungen, a.a.O., S. 153). Ob eine Betreuungsorganisation unter die Bewilligungspflicht des AVG fällt, ist aufgrund der konkret vereinbarten Tätigkeit zwischen der betreffenden Organisation und den Kunden sowie den tatsächlichen Gegebenheiten beim Dritten bzw. im Einsatzbetrieb zu beurteilen. Die Tätigkeit kann in solchen Fällen bewilligungspflichtig sein, wenn der Privathaushalt, welcher die Dienstleistung in Anspruch nimmt, in einem konkreten Fall das (zumindest geteilte) Weisungsrecht im Sinne eines Arbeitgebers ausübt (vgl. hiervor E. 2.2). Ebenso muss Gewerbsmässigkeit vorliegen (Regelmässigkeit und Gewinnabsicht oder ein Jahresumsatz von Fr. 100'000.--; Art. 29 AVV), und der Privathaushalt muss, als Nutzniesser von Dienstleistungen, als Einsatzbetrieb oder "Dritter" bezeichnet werden können (Art. 12 Abs. 1 AVG; hiervor E. 2.1; Urteil 2A.425/2006 vom 30. April 2007 E. 3.2), wobei dieser Begriff mit den Weisungsbefugnissen des Entleihers zuweilen eng verbunden ist (vgl. Urteil 2C_356/2012 vom 11. Februar 2013 E. 4.4; SENTI, AJP 2013, a.a.O., 362). Demgegenüber ist die Tätigkeit nicht bewilligungspflichtig, wenn die Person, welche die Dienstleistung in Anspruch nimmt, kein derartiges Weisungsrecht ausüben kann, das Pflegepersonal nach den eigenen Fachkenntnissen arbeitet oder das Rechtsverhältnis einen Auftrag oder Werkvertrag darstellt (Urteil 2C_356/2012 vom 11. Februar 2013 E. 3.6; vgl. Weisungen SECO, a.a.O., S. 153 f.).
2.6. Zum Begriff des Weisungsrechts für die Betreuungs- und Haushaltsdienste ist spezifisch festzuhalten, dass es den Kunden und Patienten bereits aufgrund ihrer verfassungsmässig garantierten persönlichen Freiheit (<ref-law>) und des zivilrechtlichen Persönlichkeitsschutzes (<ref-law>) jederzeit freistehen muss, in medizinische Eingriffe einzuwilligen oder diese zu verweigern und letztlich selbst über die Behandlung zu bestimmen; ein so verstandenes "Weisungsrecht" bzw. das Recht auf Selbstbestimmung besteht ungeachtet der Qualifikation der Rechtsbeziehung als Auftragsverhältnis, als Personalverleih oder als anderen Vertrag. Das hier interessierende Weisungsrecht ist demgegenüber in einem weiteren, arbeitsrechtlichen Sinne zu verstehen: Es verlangt, dass ein Teil der Weisungsbefugnisse, wie sie sonst gestützt auf <ref-law> dem Arbeitgeber zur einseitigen konkretisierenden Bestimmung des Arbeitsvertrags zukommen (vgl. hierzu Wyler/Heinzer, Droit du Travail, 2014, S. 112 ff.; STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, a.a.O., N. 2 ff. zu Art. 321d), auf den Kunden übergehen. Dieser kann demnach weitergehende Anordnungen über die Ausführung der Arbeiten und das Verhalten der Hilfskraft im Haushalt treffen, als dies im Rahmen der Erfüllung eines Auftrages möglich wäre (vgl. hiervor E. 2.2; Urteil 2C_356/2012 vom 11. Februar 2013 E. 3.6).
3.
Die Beschwerdeführerin bringt vor, ihre Kunden würden keine Weisungsrechte im Sinne von Art. 12 Abs. 1 AVG und Art. 26 AVV wahrnehmen. Sie wirft der Vorinstanz in diesem Zusammenhang eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung (dazu nachfolgend E. 4.1 ff.) sowie eine unrichtige Anwendung von Bundesrecht vor (dazu nachfolgend E. 5).
3.1. Wie das Verwaltungsgericht feststellt, schliesst die Beschwerdeführerin mit ihren Kunden sogenannte Servicevereinbarungen ab. Darin erklärt der Kunde, welche Stufe der Betreuungsdienstleistung er in Anspruch nehmen möchte (Stufen 1-4; vgl. Sachverhalt Ziff. A). Ebenso werden die Abrechnungs- und Zahlungsmodalitäten geregelt. Der Kunde verpflichtet sich dazu, für die Mitarbeitenden der Beschwerdeführerin ein sicheres Arbeitsumfeld zu schaffen, frei von Gefahrenquellen und Bedingungen, die zu Unfällen oder Verletzungen der Mitarbeitenden führen können. Eine genaue Feststellung des Leistungsinhaltes fehlt. Die Beschwerdeführerin weist sodann auf ihre Bedarfsabklärungen hin. Im Rahmen der Bedarfsabklärung bringt der Kunde die Art der Leistung zum Ausdruck, die er von der Beschwerdeführerin erwartet (z.B. Kategorien von Zeitvertreib wie Reisen/Ausflüge, Handwerken etc.). Sie erlaubt es der Beschwerdeführerin insbesondere abzuklären, welche Betreuungsperson (en) sich für einen Einsatz eigneten. Eine nähere Umschreibung und Konkretisierung der Leistung findet, wie die Vorinstanz willkürfrei feststellt, auch hier nicht statt.
3.2. Die Beschwerdeführerin wurde im Lauf des Verfahrens dazu aufgefordert, zwanzig Verlaufsdokumentationeneinzureichen. Im Zusammenhang mit den von der Beschwerdeführerin ausgewählten Verlaufsdokumentationen stellt die Vorinstanz fest, dass die Arbeitskräfte ihre Arbeit teilweise nach einem Plan verrichten würden, wobei die Instruktionen hierfür nicht ausschliesslich von der Beschwerdeführerin stammen würden: So gehe aus einem der Verlaufsberichte hervor, dass die Betreuerin von der Tochter der Kundin in die Aufgaben eingewiesen wurde. Aus anderen Verlaufsberichten gehe hervor, dass neben den routinemässig durchzuführenden Arbeiten immer wieder Aufgaben vermerkt sind, die nicht planbar waren bzw. nicht im Voraus eingeplant wurden und aus dem Rahmen des Üblichen fallen (Marroni essen gehen, Restaurantbesuche, Internetrecherchen etc.). In einem weiteren Verlaufsbericht hat die Betreuerin notiert, dass sie mit dem Klienten viel diskutiert habe und daher - offenbar in Abweichung anderer Betreuungstage - nur wenige Haushaltsarbeiten habe verrichten können. Die Arbeit bestehe wesentlich in der Unterstützung im Haushalt und Garten, im Gesellschaft leisten sowie in der Begleitung von Ausflügen und bei gesellschaftlichen Anlässen. Gemäss den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen sind die Arbeitskräfte nach den Verlaufsberichten jeweils in einem, höchstens zwei Kundenhaushalten tätig.
3.3. Nach den Feststellungen des Regierungsrates, auf die sich die Vorinstanz abgestützt hat, fokussiert sich sodann die Homepage der Beschwerdeführerin auf die Wünsche und Anliegen der zu Betreuenden ("zzzz"; http://www.xxxx.ch/). Diese würden bestimmen, "was [s]ie weiterhin selber gestalten möchten und wo [s]ie Unterstützung wünschen" (http://www.xxxx.ch/Angebot). Menschen mit Assistenzbedarf seien "nicht die Patienten" der Beschwerdeführerin, sondern vielmehr "ihre Kunden". Mit der gezielten Hilfe der Beschwerdeführerin seien die Herausforderungen des Alltags zu meistern und die Selbstständigkeit zu wahren. Hierfür sei ein zwei- bis 24-Stunden-Service vorgesehen, also auch Rundumbetreuungen, um optimal auf die Anliegen der zu Betreuenden eingehen zu können. Sodann offeriert die Beschwerdeführerin auch Betreuung während der Nacht "zur Entlastung des Ehepartners oder zur Sicherheit [ihrer] Kunden" oder an Wochenenden zur Entlastung der Angehörigen, die gleichwohl "selbst bestimmen, wie ihr Angehöriger betreut und gepflegt wird". Auch die Möglichkeit von Ferienbegleitungen durch Arbeitskräfte der Beschwerdeführerin ist im Angebot ausdrücklich vorgesehen.
3.4.
3.4.1. Wenn die Vorinstanz aus den eingereichten Dokumenten schliesst, dass die Kunden bei der Gestaltung der Haushaltführung regelmässig darüber entscheiden, auf welche Weise ihren Anliegen zur Alltagsgestaltung und -bewältigung zu entsprechen ist, und die Kunden im Verhältnis zur Betreuungsperson ihre Bedingungen zur Ausgestaltung der Arbeit situativ mitbestimmen würden (vgl. hiervor E. 3.2 und 3.3), so kann dies nicht als willkürlich gelten. Bei Unterstützung im Haushalt und Garten, beim Leisten von Gesellschaft und bei der Begleitung bei Ausflügen, Ferien und gesellschaftlichen Anlässen, die gemäss den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen den "wesentlichen Teil" der konkreten Tätigkeit der Beschwerdeführerin ausmachen, bleibt durchaus Platz, dass sich die eingesetzten Arbeitskräfte massgeblich nach dem aktuellen Bedarf der Kunden richten. Im Zentrum der Servicevereinbarung mit dem Kunden stehen die Rahmenbedingungen für die Buchung von Betreuungsdienstleistungen durch die Arbeitskraft der Beschwerdeführerin (vgl. hiervor E. 3.1); hingegen werden darin der genaue Leistungsinhalt und die Modalitäten der Leistungserbringung ausgeklammert. Es ist nicht ersichtlich, wie dieses Dokument, das keine hohe Regelungsdichte aufweist, Weisungsrechte des Kunden ausschliessen sollte, wie dies die Beschwerdeführerin behauptet. Das von ihr angeführte Handbuch der Betreuerinnen und das Anstellungsreglement binden sodann die einzusetzende Arbeitskraft, nicht den Kunden. Die Vorinstanz hat in tatsächlicher Hinsicht willkürfrei festgestellt, dass die Beschwerdeführerin (nur) die "grundlegenden Verhaltensvorschriften" vorgeben würde. Gleichzeitig wurden erhebliche Weisungsrechte betreffend Tagesablauf und Ausführung der Arbeiten beim Kunden ermittelt.
3.4.2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Beweismittel wären einseitig erhoben worden. Sie legt indessen in keiner Weise dar, welche Passagen der von ihr ins Recht gelegten Berichte oder der Bedarfsabklärung in welcher Weise die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen als willkürlich erscheinen lassen (vgl. hiervor E. 1.3). Es ist nicht ersichtlich, gestützt auf welche Dokumente die vertragliche Leistung wie von ihr behauptet (in Abweichung zu den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen) "offensichtlich" detailliert und im Voraus bestimmt wird. Gelegentlich durchgeführte Kontrollen zur Qualitätssicherung können die von der Vorinstanz festgestellte Grundstruktur der Betreuungsverhältnisse ebenso wenig infrage stellen oder gar als unhaltbar erscheinen lassen, wie die vorgebrachte Festschreibung von "Qualitätsstandards und Arbeitsabläufe im Ingress" als "Ziel" im Handbuch für Betreuerinnen. Namentlich sind die Arbeitskräfte der Beschwerdeführerin in einem, höchstens zwei Kundenhaushalten tätig; nach den sachverhaltlichen Feststellungen der Vorinstanz verhält es sich typischerweise nicht so, dass sich die Arbeitnehmer der Beschwerdeführerin nur für eine kurze Zeit in einem Haushalt aufhielten und dort wenige, genau bestimmte Einzelleistungen erbringen würden. Wenn die Vorinstanz gestützt auf die konkreten Verlaufsberichte davon ausgeht, es bestünden erhebliche Weisungs- und Kontrollrechte bei den Kunden und diese würden sich auf die Ausgestaltung von Tätigkeiten zur Alltagsbewältigung beziehen, für die keine fachspezifischen Vorgaben bestehen, ist dies nicht willkürlich. Damit bleibt das Bundesgericht an den vorinstanzlichen Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Die rechtlichen Vorbringen der Beschwerdeführerin sind in der Folge nur soweit zu berücksichtigen, als sie sich nicht appellativ auf einen anderen Sachverhalt beziehen als denjenigen, den die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellt hat (vgl. hiervor E. 1.3).
4.
Die Beschwerdeführerin bringt in rechtlicher Hinsicht vor, das Verwaltungsgericht habe verkannt, dass sekundäre Weisungsrechte auszuüben nicht als Wahrnehmung "wesentlicher Weisungsbefugnisse" im Sinne von Art. 26 Abs. 1 AVV gelten könne. Ihre Patienten, die "vorwiegend an Demenz leiden" würden, könnten Weisungsrechte im Sinne dieser Bestimmung nicht wahrnehmen. Ebenso würden diverse andere Merkmale der konkret von ihr erbrachten Leistungen gegen Personalverleihverhältnisse sprechen. Eine Eingliederung in den Einsatzbetrieb im Sinne von Art. 26 Abs. 2 AVV könnte zudem nur bei Betreuungsdienstleistungen rund um die Uhr vorliegen.
4.1. Die von der Beschwerdeführerin angeführten Verträge zwischen der Beschwerdeführerin und den Arbeitnehmern ("Anstellungsreglement") legen die allgemeinen Arbeitsbedingungen fest; die Servicevereinbarung demgegenüber die Umstände des Einsatzes beim Kunden (vgl. hiervor E. 3.1). Die von der Beschwerdeführerin angestrebte Hilfeleistung bei der Ausgestaltung des Alltags ist in der Servicevereinbarung nur rudimentär geregelt, hingegen von den subjektiven Vorlieben der betreuten Personen abhängig. Letztere konkretisiert die in den Serviceverträgen vorgesehenen Leistungen situativ vor Ort (vgl. hiervor E. 3.4.1). Aus der fehlenden Spezifizierung der Arbeitsleistung in den Verträgen muss der Kunde notwendigerweise über erhebliche Weisungsbefugnisse gegenüber ihm assistierenden Arbeitnehmern verfügen; es geht nicht um eine spezifische Leistung, die geschuldet ist, sondern um Hilfe bei der Alltagsbewältigung. Was die Modalitäten des Einsatzes der Arbeitskräfte betrifft, umfassen ihre Weisungsbefugnisse zentrale Elemente der Arbeitsgestaltung. Wenn das Verwaltungsgericht solche Weisungsbefugnisse als "wesentlich" im Sinne von Art. 26 AVV qualifiziert, verletzt dies kein Bundesrecht (Urteil 2C_356/2012 vom 11. Februar 2013 E. 3.1 f. und 4).
4.2. Das in der Beschwerdeschrift wiederholt angeführte Argument, wonach die Kunden der Beschwerdeführerin infolge Demenzerkrankungen Weisungsrechte praktisch nicht mehr ausüben könnten, lässt sich weder auf die eingereichten und von der Vorinstanz wiedergegebenen Verlaufsberichte noch auf das auf der Homepage der Beschwerdeführerin angegebene Zielpublikum stützen. Entgegen der Vorbringen können ältere Personen ohne Weiteres Weisungsrechte wahrnehmen, wenn sie für die Verrichtung der Haushaltsarbeiten unterstützt werden, die sie üblicherweise selbst wahrnehmen würden (vgl. Botschaft AVG, a.a.O., S. 609; vgl. hierzu auch Stellungnahme des WBF und des SECO S. 1); sie könnten ebenso eigenständig eine Haushalthilfe einstellen und ihr Weisungen erteilen. Selbst wenn einzelne Patienten keine Weisungsbefugnisse mehr wahrnehmen könnten, gingen diese nicht ohne Weiteres an die Beschwerdeführerin selbst über: Die Beschwerdeführerin sieht in den eingereichten Unterlagen selbst vor, für jene Fälle Angehörige der zu betreuenden Person beizuziehen, wie dies die Vorinstanz in einem Verlaufsbericht unter Einbezug der Tochter eines Kunden und mit Blick auf die Homepage (vgl. hiervor E. 3.3) denn auch feststellt.
4.3. Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, das Weisungsrecht sei untrennbar mit der Fürsorgepflicht verbunden, sodass dem Weisungsberechtigten zwingend auch die Fürsorgepflicht für den Arbeitnehmer obliege. Das Verwaltungsgericht stellt fest, in der Servicevereinbarung werde eine Verpflichtung des Kunden vereinbart, ein sicheres Arbeitsumfeld für die Betreuungsperson zu schaffen (vorinstanzliches Urteil E. 5.3 S. 19). Dies spricht - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin - nicht gegen das Vorliegen eines Personalverleihverhältnisses. Nach der Servicevereinbarung geht die betriebliche Fürsorgepflicht an den Dritten über; die allgemeine Fürsorgepflicht bleibt beim Verleiher. Die vorgesehene Aufteilung entspricht insoweit gerade der Konstellation, die der Gesetzgeber für den Personalverleih vorgesehen hat (vgl. Botschaft AVG, a.a.O., S. 565; <ref-law>), wobei das Ergreifen geeigneter Sicherheitsmassnahmen abhängig von der Art des Betriebs ist (vgl. PORTMANN/STÖCKLI, Schweizerisches Arbeitsrecht, 3. Aufl., 2013, N. 954 f.; vgl. auch Christoph Se NT i, Auftrag oder Personalverleih, AJP 2013 S. 356 ff.; 358). Wenn die Beschwerdeführerin ihre Haftungsregeln heranzieht, ist es zutreffend, dass diese nicht auf eine cura in eligendo reduziert sind (vgl. hiervor E. 2.2). Vorliegend wird in der Servicevereinbarung die Haftung für Unfallschäden ausgeschlossen, die mit dem Kundenfahrzeug herbeigeführt werden; die Vorinstanz durfte dies wiederum als untypisch für ein Auftragsverhältnis werten. Insbesondere beging das Verwaltungsgericht keine Rechtsverletzung, als es der tatsächlichen Feststellung und der rechtlichen Qualifikation der Weisungsbefugnisse ein besonderes Gewicht zumass und nicht massgeblich (bzw. allein) auf die Haftung abstellte (vgl. Urteile 2C_356/2012 vom 11. Februar 2013 E. 3.6 und 5.3; 2A.425/2006 vom 30. April 2007 E. 3.2; vgl. zur Gewichtung der Weisungsbefugnisse auch SENTI, AJP 2013, a.a.O., 362 f.; hiervor E. 2.5).
4.4. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die von ihr angebotenen Dienstleistungen seien von derjenigen einer Rund-um-die-Uhr-Betreuung abzugrenzen, die dem Urteil 2C_356/2012 vom 11. Februar 2013 zugrunde gelegen habe. Gemäss den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen gehören indessen ebensolche Betreuungen zum konkreten Angebot der Beschwerdeführerin (vgl. die Sachverhaltsfeststellungen hiervor E. 3.3; vgl. auch die Angaben auf der Homepage <http://www.xxxx.ch/>), was im Rahmen der Überprüfung einer Bewilligungspflicht zu berücksichtigen ist. Dass entsprechende Dienstleistungen nicht (mehr) angeboten würden, wird nicht geltend gemacht. Nach den sachverhaltlichen Feststellungen der Vorinstanz verhält es sich denn auch gestützt auf die konkreten Verlaufsberichte typischerweise nicht so, dass sich die Arbeitnehmer der Beschwerdeführerin nur für eine kurze Zeit in einem Haushalt aufhielten und dort wenige, genau bestimmte Einzelleistungen erbringen würden (vgl. hiervor E. 3.4.2), sodass die Vorinstanz von einer hinreichenden Eingliederung in den Haushalt ausgehen durfte (vgl. Urteil 2C_356/2012 vom 11. Februar 2013 E. 4.3.2; vgl. auch die Stellungnahme des WBF und des SECO, S. 5). Selbst wenn die Beschwerdeführerin vereinzelte andere Dienstleistungen im Auftragsverhältnis anbieten sollte, kann dies einer Bewilligungspflicht hinsichtlich ihrer sonstigen Tätigkeit nicht prinzipiell entgegenstehen: Wie das Bundesgericht bereits festgestellt hat, gilt die Bewilligungspflicht im Sinne von Art. 12 Abs. 1 AVG auch für einen Arbeitgeber, der Dienstleistungen sowohl in Verleihtätigkeit als auch im Rahmen von anderen rechtlichen Formen, z.B. Auftragsverhältnissen, anbietet. Wie die Vorinstanz korrekt anführt, kommt es im Rahmen der Überprüfung einer Bewilligungspflicht der Unternehmung nicht darauf an, ob diese Tätigkeit zum Haupt- oder Nebenzweck eines Unternehmens gehört (vgl. Art. 12 Abs. 1 AVG; Art. 26 AVV; 2C_356/2012 vom 11. Februar 2013 E. 3.3 und 4.3.3; vgl. CHRISTOPH SENTI, Untypischer Personalverleih, in: AJP 12/2008, S. 1498 ff.; a.M. Michael Kull, AJP 2013, 1485 ff., 1492; offener ders., in: SHK Arbeitsvermittlungsgesetz [AVG], 2014, N. 48 f. zu Art. 12).
4.5. Die Beschwerdeführerin bringt schliesslich vor, sie erfülle das Kriterium der Gewerbsmässigkeit im Sinne von Art. 29 AVV nicht. So würde sie weniger als zehn Aufträge innert Jahresfrist ausführen, in welchen die Betreuten in der Lage wären, das Weisungsrecht wahrzunehmen. Dass sie einen Umsatz von Fr. 100'000.-- mit weisungsfähigen Kunden erreichen würde, sei von der Vorinstanz "nicht nachgewiesen". Vielmehr sei sie mit einer öffentlichen Spitex-Organisation vergleichbar, mit der sie gleich zu beurteilen sei.
4.5.1. Das WBF weist in seiner Stellungnahme darauf hin, die Beschwerdeführerin habe den Einwand betreffend Umsatz vor der Vorinstanz noch nicht geltend gemacht, weshalb darauf im bundesgerichtlichen Verfahren nicht einzugehen sei. Wie es sich damit verhält, braucht nicht näher geprüft zu werden: Gemäss Art. 29 Abs. 1 AVV verleiht gewerbsmässig Arbeitskräfte, wer Arbeitnehmer Einsatzbetrieben regelmässig mit der Absicht überlässt, Gewinn zu erzielen oder mit seiner Verleihtätigkeit einen jährlichen Umsatz von mindestens Fr. 100'000.-- erzielt (hiervor E. 2.1). Die Verordnung setzt die genannten Kriterien nach ihrem geltenden Wortlaut alternativ voraus. Die Beschwerdeführerin beschäftigt nach eigenen Angaben acht Mitarbeiter in der Zentrale und setzt 80 Mitarbeiter als Arbeitskräfte in den Haushalten ein. Es ist nicht willkürlich anzunehmen, die Beschwerdeführerin vollziehe bei diesem doch erheblichen Personalbestand mehr als zehn gewinnorientierte Verleihgeschäfte, bei denen die betreuten Personen ihre Weisungsrechte auszuüben vermöchten. Die Vorinstanz durfte daher annehmen, die Beschwerdeführerin setze sie regelmässig und mit der Absicht ein, Gewinn zu erzielen (Art. 29 AVV).
4.5.2. Anders als bei der konkreten Ausgestaltung der von der Beschwerdeführerin anerbotenen Tätigkeiten bleiben Angestellte von öffentlichen Spitex-Organisationen typischerweise in diese eingegliedert und erhalten für ihre einzelnen Einsätze in den verschiedenen Haushalten detaillierte Anweisungen hinsichtlich der Art und Weise der Arbeitsausführung direkt von der Spitex-Organisation (<ref-law>; z.B. Pflegedienstleistungen und Mahlzeitenservice; vgl. dazu STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, a.a.O., N. 5 zu Art. 321d; Angela Hensch, Arbeitsrechtliche Fragen der spitalexternen Krankenpflege, Pflegerecht 1 (2012), S. 1 ff., 16). Entsprechende eingehende Anweisungen wie etwa detaillierte Pflege- oder andere Verträge mit genauer Aufgabenbeschreibung, die vorweg vereinbart würden, vermag die Beschwerdeführerin nicht nachzuweisen (vgl. hiervor E. 3, insb. 3.4.2; vgl. hierzu auch Stellungnahme des WBF und des SECO, S. 4; SENTI, AJP 2013, a.a.O., S. 361 f.).
5.
Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerdeführerin weder aufzuzeigen vermag, die Vorinstanz hätte den Sachverhalt in willkürlicher Weise festgestellt. Ebenso wenig gelingt es ihr darzutun, dass von ihr Dienstleistungen erbracht würden, die erheblich von der bereits beurteilten Konstellation im Urteil 2C_356/2012 vom 11. Februar 2013 abweichen würden. Gestützt auf die konkreten Umstände, wonach den Kunden gegenüber den Angestellten der Beschwerdeführerin massgebliche Weisungsrechte zukommen, um die Alltagsbewältigung gemäss ihren Wünschen zu gestalten, durfte das Verwaltungsgericht diese als wesentlich im Sinne von Art. 12 Abs. 1 AVG und Art. 26 AVV qualifizieren und - ohne Bundesrecht zu verletzen - von einem Personalverleihverhältnis ausgehen.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Damit wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, und dem Eidgenössischen Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. November 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni