Sachverhalt:
A. Der 1958 geborene I._ meldete sich am 2. März 2004 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern traf erwerbliche und medizinische Abklärungen. Insbesondere holte sie Auskünfte des Hausarztes Dr. med. Z._, Allgemeine Medizin FMH, sowie der Arbeitgeberin P._ AG, ein und zog die den Versicherten betreffenden Akten der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) bei. Ausserdem gab die Verwaltung bei der Medizinischen Abklärungsstelle Zentralschweiz (MEDAS) ein Gutachten in Auftrag, welches am 20. Oktober 2005 erstattet wurde. Anschliessend lehnte es die IV-Stelle mit Verfügung vom 14. Dezember 2005 ab, dem Versicherten eine Rente auszurichten. Daran wurde mit Einspracheentscheid vom 7. August 2006 festgehalten.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ab (Entscheid vom 8. Januar 2007). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens hatte der Versicherte Berichte der Rheumatologin Dr. med. W._, vom 11. Juli 2006 und des Neurologen Dr. med. X._, vom 8. September 2006 auflegen lassen.
C. I._ lässt Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm ab 1. November 2004 eine IV-Rente zu gewähren.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das kantonale Gericht hat - unter Bezugnahme auf den Einspracheentscheid vom 7. August 2006 - die Bestimmungen und Grundsätze über den Begriff der Invalidität (<ref-law>; <ref-law>), die Voraussetzungen und den Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law>), den Rentenbeginn (<ref-law>), die Invaliditätsbemessung bei erwerbstätigen Versicherten nach der Einkommensvergleichsmethode (<ref-law>) sowie die Aufgabe des Arztes oder der Ärztin im Rahmen der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> E. 4 S. 261, 115 V 133 E. 2 S. 134, 114 V 310 E. 3c S. 314, 105 V 156 E. 1 S. 158) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist, dass für die Invaliditätsbemessung grundsätzlich der Zeitpunkt des (allfälligen) Rentenbeginns massgebend ist, wobei Änderungen, welche sich auf die Anspruchsbeurteilung bis zum Erlass des Einspracheentscheids auswirken könnten, zu berücksichtigen sind (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 und 4.2 S. 223 f.).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung und in diesem Rahmen der Invaliditätsgrad.
3. Umstritten ist zunächst, in Bezug auf welche Tätigkeiten der Beschwerdeführer in welchem Ausmass arbeitsfähig ist. Da es sich dabei um eine Tatfrage handelt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398), hat das Bundesgericht nur zu prüfen, ob die entsprechenden Feststellungen des kantonalen Gerichts offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung, insbesondere einer Verletzung von Bundesrecht, beruhen (<ref-law>).
3.1 Gemäss den Erwägungen des kantonalen Gerichts ist der Beschwerdeführer sowohl bezogen auf den Zeitpunkt des allfälligen Rentenbeginns im November 2004 als auch auf jenen des Einspracheentscheids am 7. August 2006 in sämtlichen Tätigkeiten ohne Lärmexposition und ohne Nachtschicht zu 90% arbeitsfähig. Die Einschränkungen sind durch Kopfschmerzen bedingt. Die Vorinstanz stützte sich bei dieser Beurteilung auf das MEDAS-Gutachten vom 20. Oktober 2005 und hielt fest, dessen Zuverlässigkeit werde auch durch die nachgereichten Berichte von Dr. med. W._ und Dr. med. X._ nicht in Frage gestellt. Der Beschwerdeführer lässt einwenden, die beiden erwähnten ärztlichen Stellungnahmen lieferten den Nachweis für eine vor dem Erlass des Einspracheentscheids eingetretene gesundheitliche Verschlechterung mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit.
3.2 Die vorinstanzliche Feststellung, der Beschwerdeführer könne eine angepasste Tätigkeit im Rahmen einer Arbeitsfähigkeit von 90% ausüben, wird in der Beschwerde nicht bestritten, soweit sie sich auf den (allfälligen) Rentenbeginn im November 2004 bezieht. Angesichts der in diesem Sinne lautenden Aussage im MEDAS-Gutachten vom 20. Oktober 2005 kann auch nicht von einer offensichtlich unrichtigen Beurteilung durch das kantonale Gericht gesprochen werden.
3.3 Zu prüfen bleibt, ob die Feststellung des kantonalen Gerichts, das Zumutbarkeitsprofil könne für den gesamten Zeitraum bis zum Einspracheentscheid vom 7. August 2006 auf der Basis des MEDAS-Gutachtens formuliert werden, im Rahmen der dargelegten bundesgerichtlichen Kognition (E. 3.1 hiervor) zu beanstanden ist.
3.3.1 Die Rheumatologin Dr. med. W._ weist in ihrem Bericht vom 11. Juli 2006 auf seit Dezember 2005 vermehrt vorliegende Schmerzen "lumbosacral im linken Bein ungefähr entlang des Dermatoms L5 rechtsbetont sternal im Bereich der ganzen HWS mit Ausstrahlung in die rechte Schulterregion und rechten Arm bis zum Daumen". In der Beurteilung hält die Ärztin fest, bei einem Zustand nach mehreren Unfällen habe der Patient ein generalisiertes Schmerzsyndrom entwickelt. Objektivieren liessen sich: Arthrotische Veränderungen im Sternumbereich, Achalasie, Makroglossie mit wahrscheinlichem Schlafapnoesyndrom und Segmentdegeneration L4/5 mit Diskusprotrusion und möglicher Irritation der Nervenwurzel L5. Ein zusätzliches Piriformissyndrom könne postuliert werden. Im Fussbereich habe sich neu eine beginnende Arthrose talo-navikular mit einem kleinen Ganglion gefunden. Zur Arbeitsfähigkeit äussert sich die Ärztin wie folgt: "Subjektiv fühlt sich der Patient auch für leichte Arbeit 100% arbeitsunfähig. Für schwere körperliche Arbeit mit repetitivem Heben über 15 kg sowie Tätigkeiten in Inklination ist der Patient 100% arbeitsunfähig. Auf dem Arbeitsmarkt ist es nicht möglich, eine Arbeit für den Patienten zu finden, weshalb ich die 100% Arbeitsunfähigkeit beibehalten würde."
3.3.2 Der Neurologe Dr. med. X._ erklärte am 8. September 2006, der Patient gebe an, seit zwei Jahren zunehmend Schmerzen am linken Fuss zu verspüren. Es fänden sich keine genügenden Hinweise für eine neurologische Mitursache dieser Beschwerden, insbesondere das durch Dr. med. W._ zur Diskussion gestellte Tarsaltunnelsyndrom. Eine neu angegebene sockenförmige Sensibilitätsstörung des ganzen linken Fusses lasse sich nicht zuordnen.
3.3.3 Die beiden erwähnten Berichte enthalten keine Stellungnahmen zur Arbeitsfähigkeit, welche den Ergebnissen des MEDAS-Gutachtens grundsätzlich widersprechen würden. Dr. med. X._ äussert sich zu dieser Frage nicht. Dr. med. W._ attestiert zwar für schwere körperliche Tätigkeiten mit repetitivem Heben über 15 kg sowie Tätigkeiten in Inklination eine volle Arbeitsunfähigkeit, hält aber bezüglich einer leichteren Tätigkeit lediglich fest, der Patient fühle sich arbeitsunfähig und es sei nicht möglich, für ihn auf dem Arbeitsmarkt eine Stelle zu finden. Die beiden Berichte liefern damit keine hinreichende Grundlage für die Annahme einer erheblichen Verschlechterung in dem Sinne, dass der Beschwerdeführer nicht mehr in der Lage wäre, eine körperlich leichte oder mittelschwere Arbeit mit den durch die MEDAS formulierten Einschränkungen (keine Lärmexposition und keine Nachtschicht) im Umfang von 90% auszuüben. Unter diesen Umständen konnte die Vorinstanz ohne Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law>; vgl. Urteil 8C_364/2007 vom 19. November 2007, E. 3.2), annehmen, der Sachverhalt sei für den gesamten zu beurteilenden Zeitraum bis zum Einspracheentscheid vom 7. August 2006 hinreichend geklärt. Ebenso wenig kann von einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gesprochen werden.
4. Der Beschwerdeführer lässt des Weiteren die Ermittlung der beiden Vergleichseinkommen durch das kantonale Gericht beanstanden.
4.1 Bei der Festsetzung des Valideneinkommens ging die Vorinstanz davon aus, der Beschwerdeführer habe im Jahr 2003 ein Einkommen von Fr. 72'507.- erzielt. Diese Feststellung ist tatsächlicher Natur (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 399). Sie stützt sich auf die Angaben der Ausgleichskasse und das von der Arbeitgeberin eingereichte persönliche Lohnkonto des Beschwerdeführers für das Jahr 2003. Der auf dieser Basis sowie unter Berücksichtigung der Lohnentwicklung von 2003 auf 2004 ermittelte Betrag von Fr. 72'772.85 (bezogen auf den allfälligen Rentenbeginn im November 2004) lässt sich keinesfalls als offensichtlich unrichtig bezeichnen und ist deshalb für das Bundesgericht verbindlich. Daran ändert der Umstand nichts, dass die IV-Stelle in der Verfügung vom 14. Dezember 2005 (nicht aber im Einspracheentscheid) noch von einem höheren Betrag ausgegangen war.
4.2 Für die Ermittlung des Invalideneinkommens hat das kantonale Gericht zu Recht auf die Werte der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) abgestellt. Angesichts der breiten Einsatzmöglichkeiten, welche dem Beschwerdeführer offen stehen, ist es ebenfalls korrekt, den Zentralwert des standardisierten Monatslohns der im privaten Sektor mit einfachen und repetitiven Tätigkeiten (Anforderungsniveau 4) beschäftigten Männer heranzuziehen. Aus dem entsprechenden Wert der LSE 2004 (Fr. 4588.-) resultiert nach Hochrechnung auf die durchschnittliche betriebsübliche Arbeitszeit von 41.6 Stunden sowie unter Berücksichtigung der auf 90% reduzierten Arbeitsfähigkeit ein Betrag von Fr. 51'532.40. Die Reduktion dieses Betrags um einen leidensbedingten Abzug (dazu <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481) von 10% lässt sich jedenfalls nicht als rechtsfehlerhaft bezeichnen (vgl. zur diesbezüglichen Kognition des Bundesgerichts <ref-ruling> E. 3.3 S. 399). Das resultierende Invalideneinkommen von Fr. 46'379.15 ergibt verglichen mit dem Valideneinkommen von Fr. 72'772.85 einen Invaliditätsgrad von 36%, der keinen Rentenanspruch begründet.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Als unterliegende Partei hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen. Die IV-Stelle als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute, in ihrem amtlichen Wirkungskreis handelnde Organisation hat keinen Anspruch auf die von ihr verlangte Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse der graphischen und papierverarbeitenden Industrie der Schweiz und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Januar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger