Sachverhalt:
A. A.a Das Landgericht Uri sprach X._ am 3. Juli 2007 der einfachen Körperverletzung (<ref-law>) schuldig und bestrafte ihn deswegen mit einer Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 90.--, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren, und mit einer Busse von 500 Franken. Es verpflichtete ihn, dem Zivilkläger A._ eine Genugtuung von Fr. 500.-- zu zahlen. Die von A._ geltend gemachte Schadenersatzforderung von Fr. 2'737.50 wurde auf den Zivilweg verwiesen. X._ wird vorgeworfen, er habe am 4. Dezember 2003, um ca. 22.20 Uhr, A._ vor dessen Garagenbox in Erstfeld/UR aufgelauert und einen Faustschlag ins Gesicht versetzt. Der von A._ am 5. Dezember 2003, um 14.45 Uhr, konsultierte Arzt stellte gemäss Arztzeugnis vom 9. Dezember 2003 fest, dass das Gesicht des Patienten insgesamt und vor allem der Nasenrücken leicht angeschwollen waren, eine Druckdolenz über die Nase bestand, in beiden Nasenlöchern Blutspuren infolge von Nasenbluten sichtbar waren und der Patient auch über Schmerzen im oberen Gebissbereich klagte.
A.b Das Obergericht des Kantons Uri sprach X._ am 21. April 2006 in Gutheissung von dessen Berufung von der Anklage der einfachen Körperverletzung im Sinne von <ref-law> frei.
B. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Uri führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben, X._ sei der einfachen Körperverletzung im Sinne von <ref-law> schuldig zu sprechen und mit einer bedingten Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 90.-- und einer Busse von 500 Franken zu bestrafen.
X._ beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Uri hat auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Vorinstanz sprach den Beschwerdegegner abweichend von der ersten Instanz in Anwendung der Maxime "in dubio pro reo" vom Vorwurf der einfachen Körperverletzung frei, da bei objektiver Betrachtung der vorhandenen Beweise schlechthin nicht zu unterdrückende Zweifel an dessen Täterschaft bestünden.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe damit die Beweise willkürlich gewürdigt und den Grundsatz "in dubio pro reo" verletzt. Bei willkürfreier Beweiswürdigung bestünden keine nicht zu unterdrückenden Zweifel an der Täterschaft des Beschwerdegegners.
1.2 Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat (lit. b). Zum Kreis der Beschwerdebefugten zählt namentlich auch die Staatsanwaltschaft (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG). Der Staatsanwaltschaft steht das Recht zur Beschwerde in Strafsachen ohne Einschränkung zu. Sie kann alle Beschwerdegründe nach Art. 95 - 98 BGG vorbringen. Sie ist somit auch zur Rüge legitimiert, dass die Verneinung der Täterschaft des Angeklagten durch die Vorinstanz auf willkürlicher Beweiswürdigung (<ref-law>) beruhe und gegen den Grundsatz "in dubio pro reo" (<ref-law>, Art. 6 Ziff. 2 EMRK) verstosse (<ref-ruling> E. 1.4). Die Beschwerde führende Staatsanwaltschaft hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Die Beschwerde ist demnach zulässig.
2. 2.1 Die Vorinstanz hält in ihrem Urteil erstens fest, es sei gerichtsnotorisch, dass A._ (nachfolgend: Zivilkläger) als Rechtsanwalt insbesondere auch in heftigen familienrechtlichen Streitigkeiten auftritt. Er habe daher, wie er bei der Befragung als Zeuge selbst ausgeführt habe, aufgrund seiner beruflichen Tätigkeit viele Feinde, die ihn auch bedrohten. Daraus zieht die Vorinstanz den Schluss, der Zivilkläger könne am 4. Dezember 2003 ohne weiteres auch von jemand anderem als vom Beschwerdegegner tätlich angegriffen worden sein. Die Vorinstanz weist zweitens darauf hin, dass der Zivilkläger nicht sofort nach der behaupteten Tat, sondern erst viel später, nämlich am 3. Februar 2004, gegen den Beschwerdegegner Strafanzeige und Strafantrag eingereicht hat. Daraus zieht die Vorinstanz den Schluss, der Zivilkläger sei sich offenbar nicht sicher gewesen, von wem er angegriffen worden sei. Denn andernfalls hätte er sofort gegen den Beschwerdegegner Anzeige erstattet, da er als erfahrener Strafverteidiger wisse, wie wichtig eine rasche Sachverhaltsfeststellung und Beweissicherung seien. Nach der Meinung der Vorinstanz ist drittens die Möglichkeit nicht von der Hand zu weisen, dass der Zivilkläger letztendlich die Gelegenheit benutzt habe, den Beschwerdegegner, mit dem er seit längerer Zeit in tiefer gehende nachbarrechtliche Streitigkeiten verwickelt sei, als Täter zu bezeichnen. Die Erklärungen des Zivilklägers, dass er im Sinne einer Deeskalationsstrategie nicht sofort Strafanzeige und Strafantrag eingereicht habe, sondern sich zunächst mit einer Vertrauensperson habe beraten wollen, um nichts falsch zu machen, hält die Vorinstanz für wenig glaubhaft. Sie führt dazu sinngemäss aus, der Zivilkläger hätte gegen den Beschwerdegegner, wenn dieser tatsächlich die Tat begangen hätte, vernünftigerweise zunächst Strafanzeige und Strafantrag einreichen sollen, um den Sachverhalt abklären und die Beweise sichern zu lassen, und hernach den Strafantrag zurückziehen können. Im Übrigen seien die vom Zivilkläger behaupteten Vermittlungsbemühungen des damaligen Verhörrichters II aktenmässig nicht belegt. Die Vorinstanz stellt sich schliesslich die Frage, warum der Zivilkläger sich nicht sofort nach dem angeblichen Vorfall in die Notfallaufnahme des Kantonsspitals Uri begeben habe, die rund um die Uhr geöffnet sei, sondern erst am folgenden Tag, am 5. Dezember 2003, um 14.45 Uhr, einen Arzt aufgesucht habe.
Die Vorinstanz hält im Weiteren fest, dass die Aussagen der Entlastungszeugin B._ (betreffend das Alibi des Beschwerdegegners) entgegen der Ansicht der ersten Instanz nicht unglaubhafter seien als die Aussagen des Zivilklägers. Auf ihre Aussagen vom 18. Februar 2004 als Auskunftsperson in der polizeilichen Befragung und vom 14. Juli 2004 als Zeugin in der verhörrichterlichen Einvernahme könne abgestellt werden. Dass B._ in ihrer Einvernahme vom 12. April 2006 als Beschuldigte in dem gegen sie eröffneten Strafverfahren wegen falschen Zeugnisses Erinnerungslücken aufgewiesen habe, sei angesichts des Zeitablaufs natürlich.
Gegen die Täterschaft des Beschwerdegegners spricht nach der Auffassung der Vorinstanz schliesslich, dass ihm nach einer rechtskräftigen Verurteilung wegen einfacher Körperverletzung höchstwahrscheinlich die Gastwirtschaft- und Taxipatente entzogen würden, was der Zivilkläger gewusst habe. Nach der allgemeinen Lebenserfahrung sei nicht anzunehmen, dass der Beschwerdegegner ein solches Risiko eingegangen sei und somit die einfache Köperverletzung begangen habe.
2.2 Diese Beweiswürdigung ist gemäss den im Wesentlichen zutreffenden Einwänden der Beschwerdeführerin aus nachstehenden Gründen willkürlich.
2.2.1 Auszugehen ist von den Angaben des Zivilklägers, der in seinem Strafantrag vom 3. Februar 2004 und hernach in seiner verhörrichterlichen Zeugeneinvernahme vom 14. Juli 2004 stets geltend machte, der Beschwerdegegner habe ihm am 4. Dezember 2003, um ca. 22.20 Uhr, in Erstfeld einen Faustschlag ins Gesicht versetzt. Allerdings hätte gemäss einer zutreffenden Bemerkung in der Vernehmlassung des Beschwerdegegners (Ziff. 10.2) der Zivilkläger am 14. Juli 2004 vom Verhörrichter nicht als Zeuge einvernommen werden dürfen, sondern als Auskunftsperson einvernommen werden müssen. Denn gemäss <ref-law>/UR, eingefügt durch Landratsbeschluss vom 31. März 2004, in Kraft gesetzt auf den 1. Juli 2004, sind der Zivilkläger oder die Zivilklägerin (siehe dazu <ref-law>/UR) als Auskunftspersonen einzuvernehmen. Die Auskunftsperson fällt aber als Täterin eines falschen Zeugnisses im Sinne von <ref-law> ausser Betracht. Da der Zivilkläger am 14. Juli 2004 richtigerweise lediglich als Auskunftsperson hätte einvernommen werden dürfen, was massgebend ist, bestand objektiv entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin sowie der ersten Instanz kein Risiko einer Verurteilung wegen falschen Zeugnisses (<ref-law>) im Falle einer vorsätzlichen falschen Aussage. Unklar ist allerdings, ob der Zivilkläger sich dessen auch bewusst war. Der Zivilkläger riskierte indessen im Falle einer wissentlich falschen Beschuldigung des Beschwerdegegners zumindest die Eröffnung eines Strafverfahrens wegen falscher Anschuldigung im Sinne von <ref-law>. Dass der Zivilkläger als Rechtsanwalt ein solches Risiko einging, liegt nach der allgemeinen Lebenserfahrung fern. Dass der Zivilkläger nicht sofort Strafanzeige und Strafantrag gegen den Beschwerdegegner einreichte, sondern damit rund zwei Monate zuwartete, kann plausibel damit erklärt werden, dass er zunächst einen anderen Weg beschreiten wollte. Dass bei einer Einreichung von Strafanzeige und Strafantrag erst zwei Monate nach dem Vorfall die Sachverhaltsabklärung und Beweissicherung erschwert ist, kann sich in Anbetracht der Maxime "in dubio pro reo" gerade zu Gunsten des Beschuldigten und somit des Beschwerdegegners im vorliegenden Verfahren auswirken und spricht nicht gegen die Darstellung des Zivilklägers. Die Vermittlungsbemühungen des damaligen Verhörrichters II sind zwar nicht aktenmässig belegt, aber unbestritten. Der Beschwerdegegner erschien am Vermittlungsversuch nach seiner eigenen Darstellung nicht, weil er die Tat nicht begangen habe. Polizeiwachtmeister C._ sagte in seiner polizeilichen Befragung aus, er habe am Vormittag des 5. Dezember 2003 einen Termin beim Zivilkläger gehabt. Bei dieser Gelegenheit habe ihm der Zivilkläger, dessen Gesicht leicht angeschwollen gewesen sei, mitgeteilt, er sei am Abend zuvor vor seiner Garage vom Beschwerdegegner tätlich angegriffen worden. Der Zivilkläger habe offensichtlich befürchtet, dass im Fall einer Strafanzeige der Beschwerdegegner weitere Racheakte verüben könnte, und ihm, C._, gesagt, dass er diese Attacke dem Beschwerdegegner, der sie sicherlich bestreiten werde, schwer nachweisen könne, weshalb er den Vorfall noch mit dem Verhörrichter besprechen wolle. Mit diesen Aussagen von Polizeiwachtmeister C._ setzt sich die Vorinstanz nicht auseinander. Dass der Zivilkläger sich nicht sofort noch in der Nacht in die Notfallaufnahme des Kantonsspitals Uri begab, sondern rund 16 Stunden später einen Arzt aufsuchte, lässt sich ohne weiteres damit erklären, dass die Verletzungen, die auch noch tags darauf festgestellt werden konnten, vergleichsweise geringfügig waren. Die Andeutung im angefochtenen Entscheid (S. 14), dass der Zivilkläger alkoholisiert gewesen sein und sich die Verletzungen anderswie zugezogen haben könnte, beruht auf einer blossen Vermutung. Der Zivilkläger konnte im Zeitpunkt der Einreichung des Strafantrags nicht wissen, ob der Beschwerdegegner nicht allenfalls über ein sicheres Alibi verfügte, aus dem sich zweifelsfrei ergab, dass er nicht der Täter sein konnte.
2.2.2 Der Beschwerdegegner sagte im kantonalen Verfahren aus, er sei zur angeblichen Tatzeit gar nicht in Erstfeld gewesen. Er sei um 21.00 Uhr mit seinem Taxi von Erstfeld nach Luzern gefahren und dort um 21.30 Uhr angekommen. Er sei bis zirka 22.15 Uhr in Luzern geblieben und dann mit seinem Taxi nach Zürich gefahren. Um 01.00 Uhr sei er wieder in Erstfeld gewesen. Vor der Abfahrt nach Zürich habe er sich in Luzern mit seiner (damaligen) Angestellten B._ getroffen. Zum Beweis beantragte er im kantonalen Verfahren die Einvernahme von B._ und die Auswertung der Tacho-Scheibe des von ihm am Abend des 4. Dezember 2003 benützten Fahrzeugs. B._ sagte im kantonalen Verfahren aus, der Beschwerdegegner habe sie am 4. Dezember 2003, um 21.25 Uhr, telefonisch aufgefordert, mit ihrem Taxi von Erstfeld nach Luzern zu fahren, um dort einen Fahrgast abzuholen und diesen nach Erstfeld zu chauffieren. Sie habe sich zwischen 22.00 und 22.15 Uhr mit dem Beschwerdegegner in Luzern getroffen, wo sie den Fahrgast in Empfang genommen habe. Gestützt auf ein Beweisergänzungsbegehren des Zivilklägers ordnete der Verhörrichter I am 29. Dezember 2005 die Auswertung der beiden Tacho-Scheiben des von B._ am 4. Dezember 2003 benützten Taxis an. Die Auswertung durch die Kantonspolizei Uri, ARV-Betriebskontrolle, ergab laut Bericht vom 5. Januar 2006, dass der Beginn der Aufzeichnungen auf dem Einlageblatt vom 4./5. Dezember 2003 nicht mit dem Ende der Aufzeichnungen auf dem Einlageblatt vom 4. Dezember 2003 übereinstimmte. Daher müsse angenommen werden, dass das Einlageblatt vom 4./5. Dezember 2003 nachträglich angefertigt worden sei. Ausserdem stimmten die Aufzeichnungen auf dem Einlageblatt vom 4./5. Dezember 2003 unter anderem insoweit nicht mit den Aussagen von B._ überein, als auf dem Einlageblatt für die Zeit von 20.20 bis 21.40 Uhr Lenkzeit eingetragen war, wohingegen B._ nach ihren Aussagen bis 21.25 Uhr bei ihrer Mutter zu einem vorgezogenen Geburtstagsessen gewesen sei, als sie vom Beschwerdegegner den telefonischen Anruf erhalten habe, in Luzern einen Fahrgast abzuholen. Die erste Instanz befasste sich ausführlich mit den Aussagen von B._ und mit der Frage der Manipulation der Tacho-Scheiben und kam angesichts der diesbezüglichen Widersprüche und Ungereimtheiten zum Schluss, dass die Aussagen von B._ nicht glaubhaft seien (erstinstanzliches Urteil S. 22 f.). Die Vorinstanz ihrerseits setzte sich mit der Frage der Manipulation der Tacho-Scheiben des von B._ benützten Fahrzeugs überhaupt nicht auseinander und kam ohne Begründung zum Schluss, dass die Aussagen von B._ nicht unglaubwürdiger seien als die Aussagen des Zivilklägers (angefochtener Entscheid S. 14). Dass die angeblich von B._ im Auftrag des Beschwerdegegners am Abend des 4. Dezember 2003 von Luzern nach Erstfeld chauffierte D._ nicht einvernommen wurde, was für die Vorinstanz nicht nachvollziehbar ist (siehe angefochtenes Urteil S. 14), lässt sich allein schon damit erklären, dass D._, eine ungarische Staatsangehörige, die im Betrieb des Beschwerdegegners tätig war, bereits im Mai 2004 die Schweiz verliess (siehe erstinstanzliches Urteil S. 23), nachdem sie durch Verfügung des Amtes für Arbeit und Migration des Kantons Uri vom 15. April 2004 aus der Schweiz gewiesen worden war (siehe die Beschwerdeschrift S. 6). Auf eine rechtshilfeweise durchgeführte Einvernahme von D._ in Ungarn konnte verzichtet werden, da die Aussagen von B._, sie habe D._ chauffiert, unter anderem in Anbetracht der festgestellten Manipulationen an der Tacho-Scheibe des von ihr benützten Fahrzeugs unglaubhaft sind. Dass die Tacho-Scheibe des angeblich vom Beschwerdegegner am Abend des 4. Dezember 2003 benützten Fahrzeugs aus den im erstinstanzlichen Urteil (S. 23) genannten Gründen nicht beweist, wann und von wem die darin aufgezeichnete Fahrt unternommen wurde, scheint auch die Vorinstanz anzunehmen, da sie den Freispruch des Beschwerdegegners nicht auch unter Hinweis auf die Aufzeichnungen auf der fraglichen Tacho-Scheibe begründet.
2.2.3 Es mag zutreffen, dass der Beschwerdegegner bei Verübung der Straftat der einfachen Körperverletzung nach einer entsprechenden rechtskräftigen Verurteilung den Entzug seiner Gastwirtschafts- und Taxipatente riskierte. Die Schlussfolgerung der Vorinstanz, angesichts dieses Risikos sei nach der allgemeinen Lebenserfahrung nicht anzunehmen, dass der Beschwerdegegner die Straftat der einfachen Körperverletzung begangen habe, erscheint allerdings merkwürdig, wenn die Vorinstanz andererseits die Möglichkeit nicht von der Hand weist, dass der Zivilkläger letztendlich die Gelegenheit benutzt habe, den Beschwerdegegner als Täter zu bezeichnen. Denn wenn der Zivilkläger den Beschwerdegegner bewusst fälschlicherweise der einfachen Körperverletzung, begangen durch einen Faustschlag ins Gesicht, beschuldigt hätte, so hätte er bei einer diesfalls möglichen Verurteilung wegen falscher Anschuldigung (<ref-law>) den Verlust seines Rechtsanwaltspatents riskiert. Die Beschwerdeführerin weist in diesem Zusammenhang zutreffend darauf hin, dass im Übrigen allein schon die Verurteilung des Beschwerdegegners wegen Widerhandlungen gegen die Verordnung über die Arbeits- und Ruhezeit der berufsmässigen Motorfahrzeugführer (ARV) durch den rechtskräftigen Entscheid des Landgerichts Uri vom 3. Juli 2007 geeignet ist, Folgen in Bezug auf das Taxipatent des Beschwerdegegners zu zeitigen.
2.2.4 Die Auffassung der Vorinstanz, dass nicht zu unterdrückende Zweifel an der Täterschaft des Beschwerdegegners bestehen und dieser daher in Anwendung der Maxime "in dubio pro reo" freizusprechen ist, beruht demnach auf einer willkürlichen Beweiswürdigung. Der angefochtene Entscheid ist daher in Gutheissung der Beschwerde aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdegegner als unterliegende Partei die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Uri, Strafrechtliche Abteilung, vom 21. April 2008 aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Uri, Strafrechtliche Abteilung, sowie A._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Januar 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Näf