Sachverhalt:
A.
B._ (Unternehmer, Kläger, Beschwerdegegner) schloss betreffend die Errichtung eines Norm-Gartenhauses auf seinem Grundstück und der Erbringung weiterer Gartenarbeiten mit A._ (Besteller, Beklagter, Beschwerdeführer) einen Werkvertrag. Die vom Unternehmer für die erbrachten Arbeiten gestellten Rechnungen bezahlte der Besteller nicht vollständig. Am 17. November 2009 liess der Unternehmer den Besteller über Fr. 13'941.55 zuzüglich Zins zu 5 % seit 22. Juli 2009 betreiben, worauf dieser Rechtsvorschlag erhob.
B.
Am 13. August 2010 klagte der Unternehmer beim Richteramt Solothurn-Lebern gegen den Besteller auf Zahlung von Fr. 13'941.55 nebst Zins zu 5 % seit 28. Oktober 2009 und auf Beseitigung des Rechtsvorschlages in der eingeleiteten Betreibung. Der Beklagte schloss auf Abweisung der Klage und verlangte widerklageweise die Zahlung von Fr. 2'355.35 zuzüglich Zins. Gestützt auf eine vom Richteramt eingeholte Expertise reduzierte der Kläger sein Klagebegehren auf Fr. 11'875.60. Mit Urteil vom 31. Januar 2012 hiess das Richteramt die reduzierte Klage des Klägers gut, erteilte ihm für den zugesprochenen Betrag in der Betreibung Nr. xxx._ des Betreibungsamtes Grenchen-Bettlach die definitive Rechtsöffnung und wies die Widerklage ab.
Eine dagegen erhobene Berufung des Beklagten wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 18. April 2013 ab.
C.
Der Beklagte erhebt vor Bundesgericht eine als "Ordentliche und subsidiäre Verfassungsbeschwerde" bezeichnete Beschwerde mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts Solothurn vom 18. April 2013 aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Zudem stellte der Beschwerdeführer das Gesuch, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. In seiner Vernehmlassung zu diesem Gesuch beantragte der Beschwerdegegner dessen Abweisung und ersuchte darum, den Beschwerdegegner zu verpflichten, eine Prozesskostensicherheit von Fr. 3'000.-- zu leisten.
Mit Präsidialverfügung vom 4. Juni 2013 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen. Das Gesuch des Beschwerdegegners um Sicherstellung einer allfällig geschuldeten Parteientschädigung wurde abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
1.2. Im vorliegenden Fall wird der Streitwert gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht erreicht und der Beschwerdeführer macht nicht geltend, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung. Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen ausgeschlossen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG). Dagegen ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113 ff. BGG grundsätzlich zulässig, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen ist (Urteil 4D_79/2012 vom 4. Dezember 2012 E. 1.3). Da die weiteren Eintretensvoraussetzungen gegeben sind, ist auf diese - unter Vorbehalt rechtsgenüglich begründeter Rügen - einzutreten.
1.3. Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Das Bundesgericht prüft die Verletzung solcher Rechte nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 117 BGG). Der Beschwerdeführer muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 2 S. 591 f.). Macht der Beschwerdeführer beispielsweise eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Er hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5 S. 5).
2.
2.1. Das Obergericht erwog, der Beschwerdeführer habe in seinem Schreiben vom 10. Oktober 2009 an den Beschwerdegegner ausgeführt: "Wenn ich einen Kostenvoranschlag gehabt hätte, wäre dir nie die Idee gekommen, mir 429,25 Stunden zu berechnen." Gemäss dieser Aussage habe den Arbeiten kein Kostenvoranschlag zugrunde gelegen, woraus sich ergebe, dass die Parteien erst recht nicht von einem noch verbindlicheren Kostendach ausgegangen seien. Weder in der vorprozessualen Korrespondenz noch anlässlich der Aussöhnungsverhandlung vom 4. November 2010 sei von einem Kostendach die Rede gewesen. Wäre ein Kostendach von Fr. 25'000.-- für den Beschwerdeführer gemäss seiner Darstellung "ausschlaggebend für die Auftragserteilung" gewesen, hätte er dies bereits einige Zeit vor der Klageantwort vorgebracht. Demnach habe der Beschwerdeführer die von ihm behauptete Vereinbarung eines Kostendaches von Fr. 25'000.-- oder eines ungefähren Kostensatzes im Sinne von Art. 375 OR nicht beweisen können. Entgegen seiner Behauptung liege auch keine feste Übernahme im Sinne von Art. 373 Abs. 1 OR vor. Es habe daher keine Verpflichtung des Beschwerdegegners bestanden, den Beschwerdeführer während den Arbeiten auf den aktuellen Kostenstand und auf irgendwelche Mehrkosten hinzuweisen. Unbegründet sei ebenfalls der vom Beschwerdeführer im Rahmen des Verfahrens vor Obergericht erstmals vorgebrachte Hinweis auf einen Grundlagenirrtum im Sinne von Art. 24 Abs. 1 Ziff. 4 OR in Verbindung mit Art. 23 OR.
2.2. Der Beschwerdeführer wendet ein, bei zutreffender Auslegung der Erklärungen der Parteien hätte das Obergericht zum Ergebnis kommen müssen, die Parteien hätten eine ungefähre Preisvereinbarung nach Art. 375 OR vereinbart. Seine Aussage: "Wenn ich einen Kostenvoranschlag gehabt hätte, wäre dir nie die Idee gekommen, mir 429,5 Stunden zu berechnen", sei so zu verstehen, dass der Beschwerdegegner, wenn er an Stelle der Vereinbarung eines ungefähren Preises einen Kostenvoranschlag gemacht hätte, das Vertrauen des Beschwerdeführers darauf, dass das Werk ca. Fr. 25'000.-- kosten werde, nicht so missbraucht hätte. Die angerufene Aussage belege somit das Fehlen einer ungefähren Preisabrede nicht, zumal der Beschwerdegegner die Nennung eines Preises von Fr. 25'000.-- ausdrücklich eingestanden habe. Die Interpretation der kantonalen Gerichte sei daher falsch und willkürlich.
2.3. Mit diesen Ausführungen vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, inwiefern das Obergericht gegen das Willkürverbot gemäss Art. 9 BV verstossen haben soll, wenn es die Vereinbarung eines ungefähren Kostenansatzes verneinte. Mit der Angabe, sein Schreiben vom 10. Oktober 2009 könne eine solche Vereinbarung nicht widerlegen, tut er nicht dar, aus welchen Parteierklärungen sich eine solche Vereinbarung eindeutig ergeben soll. Der blosse Verweis auf die "Nennung eines Preises von Fr. 25'000.--" genügt dazu nicht.
3.
3.1. Weiter rügt der Beschwerdeführer, indem das Obergericht seine Ausführungen über den Irrtum mit einem einzigen Satz vom Tisch gewischt habe, ohne inhaltlich darauf einzugehen, habe es die Begründungspflicht als Teilgehalt des rechtlichen Gehörs nach Art. 29 BV verletzt. Die Begründungspflicht sei auch verletzt worden, weil das Obergericht die Überlegungen zur Pflicht zur rechtzeitigen Anzeige von "ausufernden Kosten" nicht in seine Erwägungen einbezogen habe und es nicht auf das Argument eingegangen sei, der Beschwerdegegner habe gegen den Grundsatz von Treu und Glauben gemäss Art. 2 ZGB verstossen, indem er den Beschwerdeführer im Irrtum belassen habe, dass das Werk zu den vereinbarten Kosten erstellt werden würde.
3.2. Aus dem angefochtenen Urteil ergibt sich, dass das Obergericht annahm, diese Argumentation des Beschwerdeführers setze zumindest die Vereinbarung eines ungefähren Kostenansatzes voraus, welche er nicht habe nachweisen können. Damit sind die wesentlichen Überlegungen erkennbar, von denen sich das Obergericht leiten liess, weshalb es die aus Art. 29 Abs. 2 BV abgeleitete Begründungspflicht nicht verletzte (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; je mit Hinweisen).
3.3. Soweit der Beschwerdeführer dem Obergericht vorwirft, gegen die Regelung des Grundlagenirrtums in Art. 24 Abs. 1 Ziff. 1 OR und den Grundsatz von Treu und Glauben nach Art. 2 ZGB verstossen zu haben, ohne aufzuzeigen, inwiefern damit auch verfassungsmässige Rechte verletzt worden seien, ist auf die Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Der Beschwerdegegner ist mit seinem Antrag auf Sicherstellung der Prozesskosten unterlegen. Hingegen wurde gemäss seinem Antrag das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Aus dem weiteren bundesgerichtlichen Verfahren ist ihm kein Aufwand entstanden. Unter diesen Umständen ist ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Gelzer