Kaufvertrag; Leasingvertrag, hat sich ergeben:
A.- Mit Vertrag vom 13. März 1989 verkaufte die Garage X._ AG der Y._ AG einen Personenwagen Ferrari 328 GTS zum Preis von Fr. 112'500.--. Am gleichen Tag schloss die Käuferin als Leasinggeberin mit der Z._ AG einen Leasingvertrag über das Fahrzeug. Dieses wurde in der Folge von der Leasingnehmerin nicht abgeholt, sondern verblieb in den Räumen der Verkäuferin. Am 17. März 1989 wurde der Kaufpreis von der Y._ AG bezahlt.
Am 14. Juni 1989 schloss die Garage Walter Hasler als Verkäuferin mit der Z._ AG einen Kaufvertrag über einen Personenwagen Ferrari 348 GTS, ein Modell, über das die Verkäuferin damals noch nicht verfügte. Als Verkaufspreis waren im Vertrag Fr. 140'000.-- angegeben, wobei der erwähnte Ferrari 328 GTS von der Verkäuferin als Eintauschfahrzeug für Fr. 112'500.-- übernommen werden sollte. Dieser Kaufvertrag wurde von keiner der Parteien je erfüllt. Am 21. Juni 1989 verkaufte die Garage das Eintauschfahrzeug an einen Dritten.
Mit Schreiben vom 11. Februar 1993 erklärte die Y._ AG gegenüber der Z._ AG, dass sie den Leasingvertrag fristlos auflöse, weil sie annehmen müsse, dass sich die wirtschaftliche Lage der Leasingnehmerin inzwischen derart verändert habe, dass ihre Rechte gefährdet seien.
Am 8. März 1993 wurde über die Z._ AG der Konkurs eröffnet. Am gleichen Tag unterschrieb diese zusammen mit der Y._ AG sowie A._ eine Vereinbarung, in der erklärt wurde, der Leasingvertrag über die Finanzierung des Ferrari 328 GTS werde auf A._ als neuen Leasingnehmer übertragen. Dieser bezahlte die restlichen Leasingraten von insgesamt Fr. 23'947.-- bis zum Ablauf des Vertrags am 28. Februar 1994. Mit Schreiben vom 2. Februar 1994 bot ihm die Y._ AG an, gegen Bezahlung von Fr. 5'625.-- Eigentümer des Leasingobjekts zu werden.
A._ nahm dieses Gebot an und überwies am 25. Februar 1994 den geforderten Betrag.
B.- Am 12. Mai 1998 klagte A._ gegen die Garage X._ AG mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte zur Zahlung von Fr. 112'500.-- nebst 5 % Zins seit 17. März 1989 zu verpflichten unter Vormerknahme, dass sich der Kläger eine Klageänderung nach durchgeführtem ergänzendem Beweisverfahren vorbehalte. Mit Urteil vom 26. Oktober 2000 wies das Bezirksgericht Laufenburg die Klage ab.
Der Kläger focht das Urteil des Bezirksgerichts beim Obergericht des Kantons Aargau an, das seine Appellation mit Urteil vom 4. Mai 2001 abwies.
C.- Mit seiner Berufung beantragt der Kläger dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts aufzuheben, die Klage gutzuheissen und die Beklagte zur Zahlung von Fr. 112'500.-- nebst 5 % Zins seit 17. März 1989 zu verpflichten, eventualiter die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung, soweit auf sie einzutreten sei.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Die Beklagte zieht die Rechtzeitigkeit der Berufung in Zweifel. Die Berufung ist binnen 30 Tagen seit dem Eingang der schriftlichen Mitteilung des angefochtenen Entscheides einzulegen (Art. 54 Abs. 1 OG). Das Urteil des Obergerichts wurde dem Kläger am 14. Juni 2001 zugestellt.
Damit fiel der letzte Tag der dreissigtägigen Frist auf einen Samstag (14. Juli 2001), weshalb die Frist grundsätzlich am nächstfolgenden Werktag, dem 16. Juli 2001 endete (Art. 32 Abs. 2 OG in Verbindung mit Art. 1 des Bundesgesetzes über den Fristenlauf an Samstagen vom 21. Juni 1963 [SR 173. 110.3]). Da die Frist indessen vom 15. Juli bis und mit dem 15. August von Gesetzes wegen still stand (Art. 34 Abs. 1 lit. a OG), endete sie schliesslich am 16. August 2001.
Mit der an diesem Tag erfolgten Übergabe der Berufungsschrift an die Post ist die Frist eingehalten worden (Art.
32 Abs. 3 OG).
2.- Der Kläger will die eingeklagte Forderung aus einer vertraglichen und zugleich dinglichen Rechtsstellung herleiten, in die er als Rechtsnachfolger der Leasinggeberin eingetreten sei. Er macht geltend, die Beklagte habe die Eigentumsrechte der Leasinggeberin verletzt, indem sie den Ferrari 328 GTS am 21. Juni 1989 an einen Dritten verkauft habe; daraus ergebe sich eine Schadenersatzpflicht der Beklagten gegenüber ihm als Rechtsnachfolger der damaligen Eigentümerin.
a) Die Vorinstanz hat eine Schadenersatzpflicht der Beklagten mit der Begründung verneint, die Leasinggeberin sei nie Eigentümerin des Ferrari 328 GTS gewesen. Mit der Berufung wird gerügt, diese Beurteilung beruhe auf einer Verletzung der bundesrechtlichen Vorschriften betreffend den Besitzübergang. Wie es sich damit verhält, braucht jedoch aus den folgenden Gründen nicht geprüft zu werden.
b) Der Kläger geht zu Unrecht davon aus, dass er mit dem Erwerb des Anspruchs auf das Eigentum am Ferrari 328 GTS im Februar 1994 auch in die frühere dingliche Rechtsstellung der Leasinggeberin eingetreten ist. Eine solche rückwirkende Übertragung der Eigentumsrechte lässt sich nicht aus der Vereinbarung ableiten, welche der Kläger im Februar 1994 mit der Leasinggeberin geschlossen hat. Wie aus dem Wortlaut des Schreibens der Leasinggeberin vom 2. Februar 1994 hervorgeht, beschränkte sich der Vertragsgegenstand auf die damals bestehenden Eigentumsrechte. In diesem Schreiben bot die Leasinggeberin den Ferrari 328 GTS zum Kauf an, wobei sie hervorhob, dass das Eigentum erst mit der Bezahlung sämtlicher Leasingraten bis Ende Februar 1994 und des Kaufpreises von Fr. 5'625.-- an den Kläger übergehe. Der Kläger hat dieses Angebot angenommen, indem er - wie im Schreiben der Leasinggeberin vorgeschlagen - den Kaufpreis am 25. Februar 1994 überwiesen hat. Gegenstand des Vertrages war somit einzig die Übertragung des Eigentums ab Februar 1994 und nicht auch die Übertragung von Eigentumsrechten, welche der Leasinggeberin nach der Behauptung des Klägers im Juni 1989 gegenüber der Beklagten zugestanden haben sollen.
Ebenso wenig übertragen hat die Leasinggeberin allfällige Schadenersatzansprüche aus strafbaren Handlungen der Beklagten oder Ansprüche aus ungerechtfertigter Bereicherung. Zwar ist nicht grundsätzlich ausgeschlossen, dass solche Forderungen hätten abgetreten werden können. Mit der im Februar 1994 zwischen der Leasinggeberin und dem Kläger geschlossenen Vereinbarung ist das indessen nicht geschehen, wie bereits festgehalten worden ist, und der Kläger behauptet nicht, dass er mit der Leasinggeberin eine andere schriftliche Vereinbarung getroffen hat, welche die Abtretung derartiger Schadenersatz- oder Bereicherungsforderungen zum Gegenstand hat. Die eingeklagte Forderung lässt sich somit weder mit einer dinglichen Rechtsstellung der Leasinggeberin begründen, in welche der Kläger rückwirkend eingetreten ist, noch kann sie auf die Abtretung von Schadenersatzforderungen der Leasinggeberin bzw. Forderungen wegen ungerechtfertigter Bereicherung an den Kläger gestützt werden.
c) Im angefochtenen Urteil wird sodann zutreffend festgehalten, dass der Kläger auch aus einem allfälligen Eintritt in den - an sich bereits aufgelösten - Leasingvertrag vom 13. März 1989 an der Stelle der Z._ AG nichts zu seinen Gunsten herleiten kann. Nach der Vereinbarung vom 8. März 1993 zwischen der Z._ AG, dem Kläger und der Leasinggeberin übernahm der Kläger sämtliche Rechte und Pflichten gemäss dem zwischen der Leasinggeberin und der Z._ AG geschlossenen Leasingvertrag. In diesem Leasingvertrag wird aber nirgends vereinbart, dass die Leasingnehmerin in die Rechtsstellung eintrete, welche die Leasinggeberin als Käuferin des Ferrari 328 GTS gegenüber der Beklagten als Verkäuferin einnahm. Der Leasingvertrag beschränkt sich vielmehr auf die Regelung der vertraglichen Beziehungen zwischen Leasinggeberin und Leasingnehmerin, ohne die sich aus dem Kaufvertrag vom 13. März 1989 ergebende Vertragsbindung zwischen der Leasinggeberin und der Beklagten zu berühren. Wie die Vorinstanz zutreffend bemerkt, hätte der Kläger allenfalls gestützt auf den Leasingvertrag einen vertraglichen Anspruch gegen die Leasinggeberin auf Verschaffung des Besitzes am Ferrari 328 GTS geltend machen können. Gegenüber der Beklagten vermag ihm ein allfälliger Eintritt in den Leasingvertrag vom 13. März 1989 dagegen weder dingliche noch vertragliche Ansprüche zu verschaffen.
3.- Der Kläger will die eingeklagte Forderung sodann auch aus den Regeln über die ungerechtfertigte Bereicherung (<ref-law>) ableiten. Das angefochtene Urteil stützt sich in diesem Punkt auf mehrere Begründungen, die nach Auffassung der Vorinstanz unabhängig voneinander zum gleichen Ergebnis führen.
a) Im angefochtenen Urteil wird zunächst festgehalten, dass kein Anspruch aus ungerechtfertigter Bereicherung bestehe, weil der Kläger der Beklagten gegenüber nicht entreichert sei und er einen allfälligen Anspruch der Leasinggeberin aus ungerechtfertigter Bereicherung mangels Zession nicht geltend machen könne. Letzteres trifft zu, wie sich bereits gezeigt hat (vgl. vorn E. 2). Ob dagegen das Argument mangelnder Entreicherung der Beklagten gegenüber richtig ist, kann offen bleiben, da die Forderung jedenfalls an der Verjährungseinrede der Beklagten scheitert (vgl. E. 3b).
b) Im angefochtenen Urteil wird ausgeführt, die Bereicherungsforderung sei gemäss <ref-law> verjährt gewesen, als der Kläger am 16. März 1998 an den Friedensrichter gelangt sei. Die längere Verjährungsfrist von <ref-law> kommt nach dem angefochtenen Urteil nicht zur Anwendung, weil die Beklagte entgegen den Behauptungen des Klägers keinen strafrechtlichen Tatbestand erfüllt habe. Mit der Berufung wird dem Obergericht eine Verletzung von <ref-law> vorgeworfen. Der Kläger macht geltend, dass die Beklagte mit dem Verkauf des Ferrari 328 GTS am 21. Juni 1989 an einen Dritten die strafrechtlichen Tatbestände der Veruntreuung und des Betrugs erfüllt habe.
Im angefochtenen Urteil wird festgestellt, dass der Beklagten hinsichtlich des Verkaufs des Ferrari an den Dritten keine Bereicherungsabsicht vorgeworfen werden könne. Sie habe damals der Z._ AG eine Gegenleistung versprochen; und der Zeuge Raess, Verwaltungsrat und Geschäftsführer der Z._ AG, habe ihr versichert, dass er den Eintausch mit der Y._ AG geregelt habe. Die Beklagte habe darauf vertrauen dürfen, zumal Raess auch das erste Leasing vom März 1989 allein vororganisiert habe.
Die Vorinstanz ist zutreffend davon ausgegangen, dass sowohl der Straftatbestand der Veruntreuung (<ref-law> in der bis Ende 1994 geltenden Fassung) wie auch jener des Betrugs (<ref-law> in der bis Ende 1994 geltenden Fassung) eine Bereicherungsabsicht beim Täter voraussetzt. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (Art. 63 Abs. 2 OG) kann der Beklagten - bzw. den für sie handelnden Personen - keine solche Absicht vorgeworfen werden, da sie im Zeitpunkt des Verkaufs des Ferrari an den Dritten davon ausgegangen ist, dass sie der Z._ AG eine Gegenleistung erbringen werde und deren Geschäftsführer die Sache mit der Leasinggeberin geregelt habe. Was der Kläger mit der Berufung dagegen vorbringt, ist als unzulässige Kritik an der Beweiswürdigung der Vorinstanz nicht zu hören (vgl. <ref-ruling> E. 2a mit Hinweisen). Damit ist aber in diesem Verfahren davon auszugehen, dass die Beklagte bzw. die für sie handelnden Personen die Straftatbestände des Betrugs oder der Veruntreuung nicht erfüllt haben. Da <ref-law> demnach nicht zur Anwendung kommt, gilt die einjährige Verjährungsfrist von <ref-law>. Dass diese vom Kläger nicht eingehalten worden ist, wie im angefochtenen Urteil festgehalten wird, bestreitet der Kläger in der Berufung nicht.
Die Vorinstanz hat somit die von der Beklagten erhobene Verjährungseinrede zu Recht gutgeheissen.
4.- Aus diesen Gründen ist die Berufung abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann, und das angefochtene Urteil zu bestätigen.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend ist die Gerichtsgebühr dem Kläger aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG).
Dieser hat die Beklagte für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird abgewiesen, soweit auf sie eingetreten werden kann, und das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau (1. Zivilkammer) vom 4. Mai 2001 wird bestätigt.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 5'000.-- wird dem Kläger auferlegt.
3.- Der Kläger hat die Beklagte für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau (1. Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 18. Dezember 2001
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: