Faits:
A.
A.a. X._, né en 1959, exploite depuis 2006 un établissement faisant office de bar et salle de jeux à Genève.
Le 12 mars 2010, il a souscrit auprès de la société Y._ SA une assurance collective perte de gain pour indépendant soumise à la loi fédérale sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1). Le contrat couvrait, pour la période du 1er février 2010 au 31 décembre 2013, les conséquences économiques d'une incapacité de travail résultant d'une maladie ou d'un accident. A partir d'une incapacité de 25 %, l'assureur s'engageait à verser des indemnités journalières calculées en fonction d'un salaire annuel convenu de 96'000 fr., et ce pendant une durée de 730 jours, après un délai d'attente de 14 jours.
A.b. Le 30 juin 2010, la compagnie d'assurance a reçu un rapport du médecin traitant de l'assuré, soit le Dr A._, spécialiste FMH en médecine interne. Celui-ci attestait d'une incapacité de travail totale dès le 10 mai 2010, après que l'assuré eut glissé et chuté sur le dos en portant une caisse. Le diagnostic posé était "contusion entorse lombaire + cervicale". La reprise totale du travail était prévue dans les trois à quatre semaines.
Le 19 octobre 2010, un spécialiste FMH en urologie employé par une permanence médico-chirurgicale a observé que l'assuré souffrait de dorso-lombalgies aiguës et de vertiges depuis le 19 septembre 2010, date à laquelle l'assuré avait effectué une chute accidentelle à vélo. Le médecin a retenu une incapacité de travail totale du 20 septembre au 25 octobre 2010. Les clichés radiologiques effectués à cette occasion révélaient une colonne cervicale et dorsale d'aspect normal, sans lésion visible.
Le 3 janvier 2011, le médecin traitant de l'assuré (Dr A._) a diagnostiqué chez celui-ci un syndrome anxio-dépressif réactionnel depuis novembre 2010, dans un contexte de séparation avec son épouse, de surcharge de travail et de "burn-out". Une incapacité de travail à 100 % a été retenue dès le 2 décembre 2010 pour une durée indéterminée; une réévaluation devait être faite deux ou trois mois après le début de l'incapacité.
L'assureur a mis en oeuvre son médecin-conseil, soit le Dr B._, spécialiste FMH en médecine générale. Dans un rapport du 24 janvier 2011, celui-ci a également retenu un état anxio-dépressif réactionnel à un conflit conjugal. Selon lui, l'incapacité de travail à 100 % devait perdurer au plus tard jusqu'au 14 février 2011. Dès cette date, une reprise de travail à 50 % au moins devait avoir lieu.
Dans un rapport du 4 mars 2011, le Dr C._, spécialiste FMH en psychiatrie, a diagnostiqué chez l'assuré un épisode dépressif moyen avec syndrome somatique et une anxiété généralisée depuis l'été 2010. L'assuré était déclaré incapable de travailler depuis le 24 février 2011. La date de reprise du travail était imprévisible.
La compagnie d'assurance a chargé le Dr D._, également spécialiste FMH en psychiatrie, d'examiner l'assuré. Dans son rapport du 28 mars 2011, ce médecin a fait état d'un trouble anxieux et dépressif mixte en rémission, entraînant une incapacité de travail totale depuis le 2 décembre 2010, puis de 50 % dès le 14 février 2011; la pleine capacité devait être recouvrée le 1er avril 2011.
En juin 2011, l'assuré a annoncé à la compagnie d'assurance une incapacité de travail totale causée par des "problèmes de dos". Son médecin traitant, le Dr A._, a précisé dans un rapport du 19 juillet 2011 que le patient souffrait de cervico-brachialgies droites avec discopathies sur les vertèbres cervicales C3-C4 à C6-C7 et sténose canalaire marquée en C5-C6. Selon l'anamnèse, les douleurs remontaient à plusieurs semaines, avec parésie de l'épaule droite. Il retenait une incapacité de travail totale dès le 30 mai 2011 pour une durée indéterminée.
La compagnie d'assurance a invité le Dr E._ à effectuer une expertise rhumatologique et orthopédique. Dans son rapport du 18 août 2011, ce médecin a diagnostiqué des cervico-dorsalgies sur troubles dégénératifs cervicaux C3 à C7 avec rétrécissement foraminal en C5-C6 plus marqué à droite. Il a en outre fait les observations suivantes: l'assuré émettait des plaintes majeures, mais les constatations somatiques étaient somme toute mineures. En définitive, l'assuré souffrait d'une atteinte somatique légère, sous forme d'arthrose cervicale s'accompagnant de douleurs cervicales et dorsales avec contracture des angulaires de l'omoplate et des trapèzes. Le bilan psychiatrique avait déjà été fait quant aux conséquences psychologiques d'un arrêt de travail prolongé, sans qu'une incapacité professionnelle ne soit reconnue. Cette conclusion valait aussi sur le plan somatique: les éléments observés au status commandaient au plus une adaptation du temps de travail avec deux pauses prolongées matin et après-midi, ce qui conduisait à reconnaître une capacité de travail de 90 % dans l'activité habituelle. Cependant, dans ce contexte difficile, et pour donner à l'assuré la meilleure chance de réinsérer sa profession, il était proposé d'intensifier le programme de physiothérapie et de retenir une incapacité de travail pendant six semaines encore jusqu'à l'achèvement du traitement, après quoi l'assuré devrait être apte à accomplir sa tâche à 90 %. Le pronostic serait certainement difficile dans la mesure où il n'était pas un candidat actif à la reprise du travail; la situation actuelle semblait lui convenir.
A.c. La compagnie d'assurance a réduit les indemnités journalières de l'assuré dès le 15 février 2011, puis les a supprimées dès le 1er avril 2011.
Par courrier du 19 septembre 2011, la société ... Assurance SA a déclaré résilier le contrat d'assurance avec effet rétroactif au 31 mai 2011.
A.d. La section d'enquête du groupe dont fait partie l'assureur a procédé à des contrôles sur le lieu de travail de l'assuré. Dans son rapport du 1er octobre 2011, l'enquêteur a indiqué s'être rendu à cinq reprises dans le bar, soit les 16 juillet, 28 juillet, 23 août, 30 août et 6 septembre 2011; les visites avaient duré 25 minutes pour la plus courte et 2 h 30 pour la plus longue. A chaque fois, l'assuré était présent, discutant avec les clients, supervisant l'activité de l'établissement; la première fois, l'assuré avait servi l'enquêteur, pris des commandes en terrasse et effectué du rangement sur les tables.
B.
B.a. Le 20 mars 2012, l'assuré a saisi la Cour de justice du canton de Genève d'une demande en paiement dirigée contre ... Assurance SA. Il prétendait au montant total de 58'821 fr. 50 plus intérêts à titre d'indemnités perte de gain pour la période de février 2011 à janvier 2012; il entendait en outre faire constater son droit au versement d'indemnités jusqu'à amélioration notable de sa capacité de gain ou épuisement des prestations convenues.
Les documents réunis au cours de la procédure ont révélé les faits suivants: en 2011, le bar de l'assuré a réalisé un chiffre d'affaires supérieur à celui de 2010 (575'117 fr. 55, contre 546'044 fr. 60 en 2010). En 2008, 4 des 7 employés de l'établissement ont touché des indemnités journalières. Par la suite, tel a été le cas de 4 des 5 employés en 2009, de 4 des 9 employés en 2010 et enfin, de 4 des 8 employés en 2011. En particulier, le fils de l'assuré a travaillé dans le bar en mars 2010, puis a touché des indemnités journalières jusqu'à la fin 2011. La fille de l'assuré a également travaillé un mois en décembre 2010, pour ensuite toucher des indemnités journalières pendant toute l'année 2011. L'épouse de l'assuré a perçu des indemnités pendant 7 mois en 2008, 7 mois en 2009, toute l'année 2010 et de janvier à septembre 2011. Enfin, l'assuré lui-même, avant de contracter avec la compagnie d'assurance, avait déjà perçu des indemnités journalières du 20 janvier au 16 mars 2008, puis du 4 juin 2008 au 4 janvier 2009, et enfin du 14 mai au 19 juillet 2009.
B.b. La Chambre des assurances sociales de la Cour de justice a rendu sa décision le 26 février 2013. Elle a ordonné la substitution des parties, en ce sens que la défenderesse devenait Y._ SA. Sur le fond, elle a rejeté l'action de l'assuré.
C.
L'assuré saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile, dans lequel il réitère les conclusions formulées devant l'autorité précédente, mais en les dirigeant contre Y._ SA. Cette dernière conclut au rejet du recours. Elle produit un bordereau de pièces déjà versées au dossier cantonal, lequel a été transmis à la cour de céans.

Considérant en droit:
1.
Le recourant fonde ses prétentions sur un contrat d'assurance soumis à la LCA, destiné à couvrir les conséquences économiques d'une incapacité de travail causée par une maladie ou un accident. Il n'est pas contesté que les parties ont ainsi souscrit une assurance complémentaire à l'assurance-maladie sociale, relevant du droit privé (cf. art. 12 al. 2 et 3 LAMal [RS 832.10]; <ref-ruling> consid. 2.1).
Pour les litiges concernant ce type d'assurance, l'<ref-law> permet aux cantons d'instituer un tribunal statuant en instance cantonale unique. Le canton de Genève a fait usage de cette faculté, en désignant comme autorité compétente la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice (art. 134 al. 1 let. c de la loi genevoise sur l'organisation judiciaire; RSG E 2 05).
Dès lors que l'autorité précédente est un tribunal supérieur ayant statué en instance unique conformément au droit fédéral, sa décision est susceptible d'un recours en matière civile sans égard à la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. b et art. 75 al. 2 let. a LTF; <ref-ruling> consid. 1.1).
2.
2.1. L'<ref-law> prohibe la présentation de fait nouveau et de preuve nouvelle sauf s'ils résultent de la décision de l'autorité précédente. Il s'ensuit que le courrier du 15 mars 2013 produit à l'appui du recours est irrecevable. La cour de céans ne saurait prendre en compte son contenu, dont le recourant ne tire du reste aucun argument.
2.2. Les parties ne critiquent pas l'arrêt attaqué en tant qu'il ordonne une substitution de partie et constate que la défenderesse est Y._ SA. De même, elles ne discutent pas l'analyse selon laquelle la résiliation du contrat signifiée le 19 septembre 2011 est privée d'effets dès lors qu'elle émanait de ... Assurance SA. Ces points sont tenus pour acquis.
3.
3.1. Après avoir résumé le litige, le recourant se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves médicales.
3.2. Il n'y a pas à prendre en considération la version des faits présentée par le recourant en tant qu'elle s'écarterait de l'arrêt attaqué (cf. art. 97 al. 1 et art. 105 LTF; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2 et 1.4.3).
3.3. Selon la jurisprudence, l'appréciation des preuves est arbitraire lorsque le juge s'est manifestement trompé sur le sens et la portée d'un moyen de preuve, lorsqu'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un élément important propre à modifier la décision attaquée ou encore lorsqu'il a tiré une déduction insoutenable des preuves recueillies (<ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 4.2).
Dans la mesure où il invoque l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst., le justiciable doit satisfaire aux exigences de motivation plus strictes imposées par l'<ref-law>; il doit alors exposer de manière claire et circonstanciée, si possible documentée, en quoi consiste la violation du droit constitutionnel invoqué (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
En ce qui concerne la valeur probante d'un rapport médical, il importe que celui-ci traite les points litigieux de façon exhaustive, se fonde sur des examens complets, prenne en compte les plaintes exprimées, soit établi en pleine connaissance de l'anamnèse, présente et apprécie clairement la situation médicale et livre des conclusions dûment motivées (<ref-ruling> consid. 1c et 125 V 351 consid. 3a; arrêt 4A_505/2012 du 6 décembre 2012 consid. 3.6). Par ailleurs, le juge doit avoir égard au fait que la relation de confiance unissant un patient à son médecin traitant peut influencer l'objectivité ou l'impartialité de celui-ci; cela ne justifie cependant pas en soi d'évincer tous les avis émanant des médecins traitants. Il faut effectuer une appréciation globale de la valeur probante du rapport du médecin traitant au regard des autres pièces médicales (arrêt 9C_12/2012 du 20 juillet 2012 consid. 7.1; <ref-ruling> consid. 3b/cc p. 353). De même, le rapport d'un médecin-conseil de l'assurance a force probante pour autant qu'il soit motivé de manière convaincante, sans contradictions, et qu'il n'y ait aucun élément faisant douter de sa fiabilité. Le simple fait que le médecin consulté soit lié par un rapport de travail à la compagnie d'assurance ne suffit pas encore à douter de son objectivité ni à soupçonner une prévention à l'égard de l'assuré (<ref-ruling> consid. 3b/ee p. 353 s.; <ref-ruling> consid. 4.4 p. 470).
3.4. Le recourant prétend à un solde d'indemnités journalières pour les mois de février et mars 2011, ainsi qu'à de pleines indemnités pour le mois d'avril 2011 puis dès juin 2011. Est donc litigieuse sa capacité de travail dès février 2011, sous réserve du mois de mai 2011, pour lequel le recourant ne forme aucune prétention. En substance, il reproche à la cour d'appel d'avoir pris en compte les rapports des Dr B._ et D._, respectivement médecin-conseil et mandataire de l'assureur, plutôt que ceux établis par ses médecins traitants. Il fait aussi grief à la cour cantonale de n'avoir que partiellement respecté les conclusions du Dr E._.
3.5. La capacité de travail de l'assuré a été affectée par deux types de problèmes: au dos et au niveau psychique.
Au début de l'année 2011, un état anxio-dépressif de l'assuré a justifié un arrêt de travail. En substance, le médecin traitant (Dr A._) et le Dr C._ retenaient une incapacité de 100 %, tandis que le médecin conseil (Dr B._) et le spécialiste mandaté par l'assureur (Dr D._) évaluaient la capacité de travail à 50 % dès le 15 février 2011, puis à 100 % dès le 1er avril 2011. Le recourant précise que le Dr C._ est son psychiatre traitant.
La cour cantonale s'est expliquée sur ces différents avis. Elle a examiné le contenu des rapports du médecin conseil et du spécialiste mandaté par l'assureur, pour conclure qu'ils répondaient aux exigences posées par la jurisprudence. Elle a jugé que l'appréciation du médecin conseil était compatible avec celle du médecin traitant, lequel avait indiqué qu'il faudrait réévaluer la capacité de travail du patient 2 à 3 mois après le début de son incapacité en décembre 2010. Quant au médecin mandaté (Dr D._), il avait pris contact avec son confrère C._, lequel avait confirmé ses observations cliniques quant à l'évolution favorable de l'assuré et avait laissé le Dr D._ juger de la reprise du travail.
Le recourant se plaint du manque d'indépendance manifeste et de la partialité des Dr B._ et D._, en se référant simplement à leur qualité de médecin-conseil, respectivement médecin mandaté par l'assureur. Il leur reproche aussi le caractère très superficiel de leur examen, sans préciser quels éléments lui permettraient de tirer de telles conclusions. Il ne discute pas les objections formulées par la cour d'appel contre le rapport du Dr C._, qu'il qualifie lui-même de "bref".
Ce faisant, le recourant méconnaît le fait qu'un simple lien entre le médecin et l'assureur ne justifie pas en soi d'écarter un rapport médical. Il ne cherche pas à démontrer que les rapports pris en compte ne présenteraient pas les qualités requises par la jurisprudence et que la cour aurait procédé de façon contraire à ce que prescrit la jurisprudence. Dans ces circonstances, l'on ne saurait reprocher à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire en faisant prévaloir l'avis exprimé par les Dr B._ et D._, tout en constatant qu'il n'y avait pas en soi une contradiction irréductible avec l'appréciation portée par les deux médecins traitants (interniste et psychiatre). En bref, il n'y avait rien d'insoutenable à retenir, sur la base des rapports B._ et D._, une capacité de travail de 50 % dès le 15 février 2011, puis une pleine capacité dès le mois d'avril 2011.
3.6. Le médecin traitant de l'assuré a ensuite retenu une incapacité de travail totale dès le 30 mai 2011, qu'il a justifiée par des cervicobrachialgies droites avec discopathie et sténose sur certaines vertèbres cervicales. Le Dr E._, mis en oeuvre par la compagnie d'assurance, a constaté dans un rapport du 18 août 2011 que l'assuré souffrait d'une atteinte somatique légère sous forme d'arthrose cervicale, qui n'affectait pas sa capacité professionnelle au-delà de 10 %; le status de l'assuré justifiait tout au plus d'effectuer deux pauses prolongées le matin et l'après-midi. Le Dr E._ a toutefois proposé de prolonger encore pendant six semaines l'incapacité de travail prononcée par son confrère afin d'intensifier le traitement physiothérapeutique, puis d'ordonner la reprise du travail à 90 %; il justifiait cette mesure par un contexte difficile et le souci de donner à l'assuré la meilleure chance de réintégrer sa profession, alors qu'il paraissait peu motivé.
La cour cantonale a expliqué de façon circonstanciée pour quels motifs les préoccupations du médecin quant à la réinsertion de l'assuré n'avaient pas à être prises en compte. Elle a notamment précisé que les conclusions "intermédiaires" retenant une pleine capacité de travail, ou une capacité de 90 %, étaient corroborées par le rapport d'enquête de l'assureur, dont le recourant n'avait pas démontré qu'il était erroné, à tout le moins s'agissant de 4 des 5 visites effectuées. Au demeurant, l'assuré avait lui-même admis se rendre souvent dans son établissement, parfois deux fois la même journée, pour assurer le suivi du courrier. La cour a aussi évoqué l'augmentation du chiffre d'affaires de l'entreprise en 2011, nonobstant une diminution du personnel, ce qui rendait vraisemblable l'hypothèse selon laquelle celui-ci participait au travail nécessaire à faire tourner l'établissement, nonobstant l'incapacité de travail retenue par son médecin traitant. Enfin, la cour a relevé la propension du recourant et de ses proches ayant le statut d'employés dans l'établissement à toucher des indemnités journalières (arrêt, p. 23-25).
Le recourant reproche simplement à la cour de s'être écartée des conclusions "finales" du Dr E._, sans chercher à contrer l'argumentation développée dans l'arrêt et résumée ci-dessus. Tout au plus plaide-t-il de façon appellatoire que le rapport de l'enquêteur est erroné, en opposant sa propre version des faits et en soulignant l'absence d'indépendance de l'enquêteur. Il passe sous silence les autres indices accréditant la thèse qu'il continuait à travailler dans son bar. Force est dès lors de constater que le grief d'arbitraire est infondé, pour autant que recevable. Il apparaît en effet que le Dr E._, tout en constatant sur le principe une capacité de travail de 90 %, a proposé pour des motifs d'ordre psychologique de ne pas brusquer le retour au travail d'un assuré peu motivé après un arrêt de travail prolongé. Encore une fois, la cour a démontré, sans être valablement contredite par le recourant, qu'il n'y avait pas à tenir compte des préoccupations du médecin, dont il n'apparaît pas qu'il ait eu connaissance des faits invoqués dans l'arrêt attaqué.
Pour le surplus, la cour cantonale a relevé à juste titre qu'il importait peu de savoir si une réduction de capacité de 10 % se justifiait dans le cas d'un indépendant disposant d'horaires flexibles; l'assurance souscrite ne prévoit en effet pas d'indemnités lorsque l'incapacité est inférieure à 25 % (arrêt, p. 26).
L'on notera, enfin, que le recourant ne dit pas quel élément de preuve permettrait de justifier à plus long terme le versement d'indemnités journalières. Il affirme avoir tenté une reprise du travail à 50 % en octobre 2011, mais son médecin traitant l'aurait ensuite "remis en incapacité de travail à 80 %". Le jugement attaqué ne mentionne toutefois aucun document médical postérieur au rapport du Dr E._.
4.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la présente procédure (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée, qui a procédé sans le concours d'un mandataire pratiquant à titre professionnel la représentation en justice.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 1er octobre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Klett
La greffière: Monti