Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) und die Stiftung Spital B._ (Beklagte, Beschwerdegegnerin) schlossen am 24. November 1993 einen Belegarztvertrag. Der Kläger verpflichtete sich darin, im Spital B._ Patienten zu behandeln. Für seine erbrachten Leistungen hatte der Kläger dem Spital gemäss den geltenden Tarifen Rechnung zu stellen. Der Vertrag enthielt die Bestimmung, dass er jederzeit auflösbar sei. Bei Anzeige auf ein Jahr im Voraus soll die Auflösung nicht als unzeitig im Sinne von <ref-law> gelten.
Am 8. März 2005 beschloss der Grosse Rat des Kantons Aargau, die Stiftung Spital B._ per 31. Dezember 2005 aufzuheben. Bereits am 27. Dezember 2004 kündigte die Beklagte den Belegarztvertrag mit dem Kläger per 31. Dezember 2005. Die Notfallstation des Bezirksspitals wurde am 1. Mai 2005 geschlossen. Der übrige Spitalbetrieb wurde am 30. September 2005 eingestellt. Wegen der geplanten Schliessung des Bezirksspitals B._ und der damit verbundenen Vertragsauflösung führten die Parteien in der Folge Verhandlungen über eine "Abgangsentschädigung" zu Gunsten des Klägers.
B.
B.a. Am 14. November 2007 beantragte der Kläger dem Bezirksgericht Brugg, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm Fr. 200'000.-- nebst Zins zu bezahlen. Mit Urteil vom 6. Juli 2009 wurde die Klage gutgeheissen.
B.b. Gegen dieses Urteil erhob die Beklagte Appellation an das Obergericht des Kantons Aargau, welches mit Urteil vom 16. März 2010 das Urteil des Bezirksgerichts Brugg vom 6. Juli 2009 aufhob und die Streitsache zur Beurteilung der geltend gemachten Schadenersatzforderung an die Vorinstanz zurückwies (Rückweisungsentscheid).
B.c. Nach Durchführung der zweiten Hauptverhandlung mit Befragung der Parteien, wies das Bezirksgericht Brugg mit Urteil vom 23. Oktober 2012 die Klage ab.
B.d. Mit Entscheid vom 22. Oktober 2013 wies das Obergericht des Kantons Aargau eine vom Kläger gegen das Urteil des Bezirksgerichts erhobene Berufung ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht, die Urteile des Obergerichts des Kantons Aargau vom 22. Oktober 2013 und vom 16. März 2010 (Rückweisungsentscheid) seien aufzuheben. Die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger eine Entschädigung in der Höhe von Fr. 200'000.-- zu bezahlen. Eventuell sei die Sache zur Ergänzung des Beweisverfahrens und zur Neubeurteilung, namentlich zur Einvernahme der Zeugen C._ und D._ sowie zum Beizug der Verfahrensakten Beklagte/Kanton Aargau, an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, nicht auf die Beschwerde einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Der Beschwerdeführer hat unaufgefordert eine Replik, die Beschwerdegegnerin eine Duplik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 417 mit Hinweisen).
Angefochten werden beide Urteile des Obergerichts des Kantons Aargau vom 16. März 2010 und vom 22. Oktober 2013. Bei letzterem handelt es sich um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>, welcher das Verfahren abschliesst. Beim Entscheid vom 16. März 2010 handelt es sich hingegen um einen Rückweisungsentscheid, mit welchem das Urteil des Bezirksgerichts Brugg vom 6. Juli 2009 aufgehoben und die Streitsache zur Beurteilung der geltend gemachten Schadenersatzforderung an die Vorinstanz zurückgewiesen wurde. Bei einem solchen Rückweisungsentscheid handelt es sich um einen Zwischenentscheid (<ref-ruling> E. 1 S. 315; <ref-ruling> E. 1.1 S. 143; <ref-ruling> E. 1.2 S. 216, 329 E. 1.2 S. 331). Ein solcher ist mit Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>). Beide Entscheide sind von einer oberen kantonalen Instanz ergangen, die auf ein Rechtsmittel hin kantonal letztinstanzlich in einer Zivilsache entschieden hat (Art. 75 i.V.m. <ref-law>), die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers sind im kantonalen Verfahren nicht geschützt worden (<ref-law>), der Streitwert beträgt Fr. 200'000.-- (Art. 51 i.V.m. <ref-law>) und die Beschwerdefrist ist eingehalten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Gemäss <ref-law> hat die Rechtsschrift die Begehren und deren Begründung zu enthalten; im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>), andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53 mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5 S. 401). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 511 f.; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 351, 393 E. 7.1 S. 398, 462 E. 2.4 S. 466). Soweit die Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_470/2009 vom 18. Februar 2010 E. 1.2). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, namentlich auf rein appellatorische Kritik an der Beweiswürdigung, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
2.3. Die Beschwerdegegnerin beantragt, es sei nicht auf die Beschwerde einzutreten, da der Beschwerdeführer den gesetzlichen Begründungsanforderungen an eine Beschwerde in Zivilsachen nicht genüge. In der Tat vermag die Beschwerdeschrift den genannten Grundsätzen teilweise nicht zu genügen: Soweit sich der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde nicht oder nicht hinreichend mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinandersetzt und sich seine Vorbringen in blosser appellatorischer Kritik erschöpfen, kann auf seine Beschwerde nicht eingetreten werden. Ebenso wenig kann auf die Beschwerde eingetreten werden, soweit aus den Vorbringen des Beschwerdeführers nicht ersichtlich ist, welche Rechtsverletzungen er mit seinen Rügen geltend machen bzw. was er daraus ableiten will.
3.
Die Vorinstanz hielt in ihrem Rückweisungsentscheid fest, der Beschwerdeführer stütze seine geltend gemachte Forderung in der Höhe von Fr. 200'000.-- auf das Schreiben vom 30. September 2005 (Klagebeilage 20) von C._, dem ehemaligen Stiftungsratspräsidenten der Beschwerdegegnerin, mit folgendem Inhalt:
"Sehr geehrter Herr A._
Ich wollte Sie heute Vormittag telefonisch über den Entscheid des Stiftungsrates vom 28.09.05 informieren. Da ich Sie nicht erreicht habe, teile ich Ihnen den Entscheid schriftlich mit.
Der SR [Stiftungsrat] hat entschieden, Ihnen, wie mit Hrn. D._ und mir abgesprochen, Fr. 200'000.00 zu überweisen. Er erwartet aber von Ihnen, dass Sie Ihre zweite Forderung (Tarmed-Nachzahlung) umgehend zurückziehen. Sollten Sie auf diese Bedingung wider Erwarten nicht eintreten, wird sich der SR an seiner nächsten Sitzung nochmals über die Höhe der Auszahlung unterhalten.
Sie werden in den kommenden Tagen vom neuen Führungsteam schriftlich informiert. Ich bitte Sie aber, Hrn. E._ Ihren Entscheid möglichst schnell mitzuteilen."
Die Vorinstanz hielt fest, bei diesem Schreiben handle es sich um ein Angebot zum Abschluss eines (aussergerichtlichen) Vergleichsvertrages. Angesichts des klaren Wortlauts dieses Schreibens könne die Möglichkeit einer stillschweigenden Annahme ausgeschlossen werden. Für das Zustandekommen des Vergleichsvertrages über eine Entschädigung von Fr. 200'000.-- habe es somit der ausdrücklichen (mündlichen oder schriftlichen) Zustimmung durch den Beschwerdeführer bedurft; eine solche habe jedoch weder durch Urkunden noch durch Zeugen belegt werden können. Damit fehle es am Nachweis der für den Abschluss eines Vertrages notwendigen übereinstimmenden gegenseitigen Willensäusserung. Soweit sich der Beschwerdeführer für die Durchsetzung seiner Forderung auf eine Vereinbarung bzw. auf einen Vergleichsvertrag berufe, sei seine Klage abzuweisen. Da sich das erstinstanzliche Gericht jedoch nicht mit der in seiner Eventualbegründung geltend gemachten Schadenersatzforderung auseinandergesetzt habe, sei das Verfahren diesbezüglich zurückzuweisen.
Mit Entscheid vom 22. Oktober 2013 hielt die Vorinstanz sodann fest, es könne aufgrund der Aktenlage nicht von einer Anerkennung eines Schadens in der Höhe von Fr. 200'000.-- ausgegangen werden. Der Beschwerdeführer habe auch anderweitig den Beweis, dass ihm ein Schaden in dieser Höhe entstanden sei, nicht erbringen können. Da es von vornherein an einem Schadensnachweis fehle, könne offenbleiben, ob die vorzeitige Schliessung des Notfalles per Ende April 2005 bzw. des Spitalbetriebes per Ende September 2005 von der Beschwerdegegnerin verschuldete Vertragsverletzungen dargestellt haben, welche den behaupteten Schaden adäquat kausal verursacht hätten.
4.
Der Beschwerdeführer rügt im Wesentlichen eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs sowie eine falsche Sachverhaltsfeststellung bzw. eine willkürliche Beweiswürdigung durch die Vorinstanz.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, es sei willkürlich und unhaltbar, die Frage des Zustandekommens des Abgeltungsvertrages zu verneinen, ohne die notwendigen Beweise - Protokolle des Stiftungsrates und Einvernahme der Zeugen C._ und D._ - abzunehmen. Er habe sowohl in seiner Klage sowie in seiner Replik und seiner Berufungsantwort die Edition der Protokolle des Stiftungsrates beantragt. Die Vorinstanz habe dies jedoch in ihrem Rückweisungsentscheid in Verletzung seines rechtlichen Gehörs ohne Begründung abgewiesen. Aus dem Protokoll vom 28. September sowie vom 17. November 2005 hätte sich nämlich klar ergeben, dass der Stiftungsrat die Abgangsentschädigung an den Beschwerdeführer mit sechs Ja-Stimmen, einer Enthaltung und einer Gegenstimme beschlossen und der Beschwerdeführer diese angenommen habe, womit ein Abgeltungsvertrag zustande gekommen sei.
5.2. Die Vorinstanz hielt fest, der Antrag des Beschwerdeführers auf Edition aller Protokolle, Aktennotizen, etc. sei abzuweisen. Dass und mit welchem Inhalt der Stiftungsrat am 28. September 2005 hinsichtlich der Abgangsentschädigung einen Beschluss gefasst habe, ergebe sich bereits aus der Klagebeilage 20 (Schreiben vom 30. September 2005), auf deren Inhalt der Beschwerdeführer die Beschwerdegegnerin behaften wolle. So lasse sich auch aus dem Protokoll der Stiftungsratssitzung vom 17. November 2005 der Inhalt des am 28. September 2005 gefassten Beschlusses entnehmen.
Im Schreiben vom 30. September 2005 sei festgehalten worden, falls der Beschwerdeführer auf die Bedingung (Tarmed-Nachzahlung) nicht eingehe, sich der Stiftungsrat in seiner nächsten Sitzung nochmals über die Höhe der Entschädigung unterhalten werde. Mit Verweis auf act. 143 (Protokoll vom 17. November 2005) hielt die Vorinstanz sodann fest, dass die Abgangsentschädigung in der Folge auch tatsächlich Thema an der Stiftungsratssitzung vom 17. November 2005 gewesen sei, was klar dafür spreche, dass bis zu diesem Zeitpunkt noch keine (bedingungslose) Annahme seitens des Beschwerdeführers auf den Vergleichsvorschlag vorgelegen habe. So lasse denn auch das Schreiben des Beschwerdeführers vom 13. März 2006 keinen Zweifel daran, dass er an seinen früheren Forderungen festgehalten und damit den Vorschlag des Stiftungsrates nicht angenommen habe. Eine Zustimmung zum Angebot über Fr. 200'000.-- lasse sich erstmals am 23. Januar 2007 (implizit) erkennen, als der Beschwerdeführer seine Klage beim Friedensgericht anhängig gemacht habe.
5.3. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Vorinstanz habe nicht begründet, weshalb sie die Stiftungsratsprotokolle nicht ediert habe, geht seine Rüge ins Leere. Die Vorinstanz hat entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers sehr wohl dargelegt, weshalb sie seinen Antrag auf Einholung dieser Beweismittel bzw. des Protokolls vom 28. September 2005 abgewiesen hat. Soweit sich seine Rüge auch auf das Protokoll vom 17. November 2005 bezieht, verhält er sich in weitem Masse widersprüchlich; wie die Beschwerdegegnerin zu Recht ausführt, hat sie dieses dem Bezirksgericht Brugg am 14. Mai 2009 eingereicht, welches dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers mit Schreiben vom 19. Mai 2009 eine Kopie weitergeleitet hat. Zudem geht denn auch aus dem angefochtenen Entscheid klar hervor, dass sich die Vorinstanz mit diesem Protokoll auseinandergesetzt bzw. dieses gewürdigt hat. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs mangels (ungenügender) Begründung ist damit weder dargetan noch ersichtlich. Ebenso wenig ist eine Verletzung des rechtlichen Gehörs dargetan, soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die von ihm beantragten Zeugen C._ und D._ seien hinsichtlich des Zustandekommens eines Abgeltungsvertrages nicht einvernommen worden. Der Beschwerdeführer legt keineswegs dar, im vorinstanzlichen Verfahren bzw. im ersten Berufungsverfahren (Appellationsverfahren) einen entsprechenden Antrag gestellt zu haben. Er müsste mit konkreten Aktenhinweisen darlegen, dass und wo er in den kantonalen Rechtsschriften bzw. in seiner Appellationsantwort vom 15. Dezember 2009 die Einvernahme dieser Zeugen beantragt hat, was aus seinen Vorbringen nicht hervorgeht.
Der Beschwerdeführer scheint ohnehin zu übergehen, mit welcher Begründung die Vorinstanz das Zustandekommen eines Vergleichsvertrags abgewiesen hat. Entsprechend setzt er sich denn auch kaum mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinander und macht insbesondere nicht geltend, das Angebot des Stiftungsrates auf Bezahlung einer Entschädigung in der Höhe von Fr. 200'000.-- angenommen zu haben. Vielmehr bringt er im bundesgerichtlichen Verfahren eine zentral andere Begründung vor; er führt aus, er habe nicht gewusst, dass er auf die Tarmed-Nachzahlungen habe verzichten müssen, da ihm das Protokoll vom 28. September 2005 nie zugestellt worden sei und der Abgeltungsvertrag sei bereits mit dem Beschluss des Stiftungsrates vom 28. September 2005 zustande gekommen, womit keine Annahme habe erfolgen müssen. Wie die Vorinstanz jedoch festgehalten hat, ist der Wortlaut des Schreibens vom 30. September 2005 klar: Die Beschwerdegegnerin hat anlässlich der Stiftungsratssitzung vom 28. September 2005 beschlossen, dem Beschwerdeführer - unter Vorbehalt seiner Annahme - eine Entschädigung in der Höhe von Fr. 200'000.-- zu bezahlen, sofern der Beschwerdeführer seinerseits auf seine Tarmed-Nachzahlungsforderung verzichte. Inwiefern die Vorinstanz bei der Würdigung dieses Schreibens in Willkür verfallen wäre, tut der Beschwerdeführer nicht dar.
6.
6.1. Die Protokolle bzw. das Protokoll des Stiftungsrates vom 28. September 2005 wurden sodann unbestrittenermassen nach dem Rückweisungsentscheid durch die Vorinstanz im Fortsetzungsverfahren des Bezirksgerichts durch die Beschwerdegegnerin eingereicht. Mit Eingaben vom 18. Juni bzw. 2. Juli 2012 haben die Parteien schriftlich Stellung zu diesen Protokollen genommen. Der Beschwerdeführer rügt - wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren -, weder das Bezirksgericht noch das Obergericht hätten unter Verletzung seines rechtlichen Gehörs seine Stellungnahme gewürdigt. Ebenso hätte die Vorinstanz seinen darin und in seiner Berufungsschrift gestellten Beweisantrag auf Einvernahme der Zeugen C._ und D._ - ohne jegliche Begründung - unbeachtet gelassen. Die Einvernahme der Zeugen in Bezug auf die geltend gemachte Schadenersatzforderung in der Höhe von Fr. 200'000.-- wäre nötig gewesen, da diese hätten aufzeigen können, dass der Beschwerdeführer mit der einmaligen Entschädigung einverstanden gewesen bzw. der Stiftungsrat und er sich über den Betrag einig gewesen seien und er auf die Auszahlung der Tarmed-Leistungen verzichtet habe.
6.2. Die Vorinstanz hat in ihrem Entscheid vom 22. Oktober 2013 festgehalten, der Beschwerdeführer habe unter dem Titel "Schadenersatz" weder in seiner Klage noch in seiner Replik die Edition der Stiftungsratsprotokolle verlangt. Er habe sich nur unter dem Titel der "Abgangsentschädigung" darauf berufen. Deshalb könnten die zur Diskussion stehenden Protokolle des Stiftungsrates vom 28. September und 17. November 2005 im Zusammenhang mit der Schadenersatzforderung nicht berücksichtigt werden, weshalb diese aus dem Recht zu weisen seien. Damit erweise sich die vom Beschwerdeführer vorgebrachte Rüge der Verletzung seines rechtlichen Gehörs in Bezug auf die Nichtbeachtung seiner Stellungnahme zu diesen Protokollen als unbehelflich. Damit könne auch die vom Beschwerdeführer im Berufungsverfahren erstmals vorgebrachte Behauptung, die Beschwerdegegnerin habe gemäss dem Protokoll der Sitzung vom 17. November 2005 einen Schaden in der Höhe von Fr. 200'000.-- anerkannt, als unzulässiges Novum nicht mehr gehört werden. Davon abgesehen könne aus dem Protokoll ohnehin keine Anerkennung abgeleitet werden; auch aus den protokollierten Voten der Stiftungsräte ergebe sich nichts anderes, wobei deren singuläre Erklärungen die Beschwerdegegnerin ohnehin nicht verpflichten könnten. Gleichermassen sei der erstmals in der Berufung und damit verspätete Antrag des Beschwerdeführers auf Befragung dieser Personen als Zeugen abzuweisen.
6.3. Daraus erhellt, dass die Vorinstanz sehr wohl begründet hat, weshalb sie nicht auf die Stellungnahme des Beschwerdeführers vom 18. Juni 2012 abgestellt hat. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist damit nicht dargetan, zumal der Beschwerdeführer sich mit den Erwägungen der Vorinstanz überhaupt nicht auseinandersetzt und auch nicht vorbringt, die allenfalls ungenügende Begründung hätte ihm eine sachgerechte Anfechtung des Entscheides verunmöglicht. Ebenso wenig bringt er vor, entgegen den Feststellungen der Vorinstanz, einen entsprechenden Editionsantrag auch in Bezug auf seine Schadenersatzforderung gestellt zu haben. So braucht auch hinsichtlich der Einvernahme der Zeugen C._ und D._ nicht weiter auf die Vorbringen des Beschwerdeführers eingegangen zu werden, bringt dieser doch in seiner Replik selber vor, die Zeugeneinvernahme sei für das vorinstanzliche Urteil vom 22. Oktober 2013 nicht mehr notwendig gewesen.
7.
7.1. Die Vorinstanz hielt fest, die Parteien hätten im Belegarztvertrag vereinbart, dass ihr Vertrag jederzeit auflösbar sei und bei einer Anzeige auf ein Jahr im Voraus die Auflösung nicht als unzeitig im Sinne von <ref-law> gelte. Damit hätten sie im Wesentlichen die spezifische auftragsrechtliche Beendigung nach <ref-law>, welche auf ein Vertrauensverhältnis zwischen den Parteien wie das vorliegende zugeschnitten sei, für anwendbar erklärt. Damit könne die Frage der rechtlichen Qualifikation des zu beurteilenden Belegarztvertrages und die Anwendbarkeit von <ref-law> auf Innominatverträge unbeantwortet bleiben.
Der Belegarztvertrag sei bis Ende 2005 gültig gewesen, womit weder von einer Kündigung zu Unzeit noch von einer vorzeitigen Kündigung gesprochen werden könne. Unbestritten sei jedoch, dass der Spitalbetrieb bereits per Ende September 2005 aus wirtschaftlichen Gründen eingestellt worden sei. Zu prüfen sei demnach, ob der Beschwerdeführer einen Anspruch auf Schadenersatz nach <ref-law> wegen Nichterfüllung des Belegarztvertrages habe: Aus den unsubstanziierten Vorbringen des Beschwerdeführers habe ein solcher Schaden jedoch nicht belegt werden können.
7.2. Demgegenüber bringt der Beschwerdeführer vor, die Kündigung sei zwar nicht zur Unzeit erfolgt, aber die vorzeitige Aufgabe der Notfallstation per Ende April 2005 und die vorzeitige Schliessung des Bezirksspitals per Ende September 2005 hätten bei ihm einen wesentlichen Umsatzrückgang verursacht. Die Beschwerdegegnerin habe ihm den Leistungsauftrag bis Ende 2005 ohne Einschränkung zugesichert, worauf er habe vertrauen dürfen. Der Belegarztvertrag habe darüber hinaus arbeitsrechtliche Aspekte aufgewiesen, womit ein gemischter Vertrag vorliege. Damit seien auch die Belegärzte, gleich wie die übrigen Angestellten, wegen des Vertragsbruchs zu entschädigen gewesen. Sollte der Beschwerdeführer jedoch leer ausgehen, stelle dies einen klaren Verstoss bzw. eine Verletzung gegen den Gleichbehandlungsgrundsatz im Arbeitsrecht im Sinne von <ref-law> dar.
7.3. Es ist unklar, was der Beschwerdeführer damit geltend machen will. Er bestreitet nicht, dass die Kündigung der Beschwerdegegnerin vertragskonform erfolgt ist und der Belegarztvertrag noch bis Ende 2005 gültig war. Aus seinen Ausführungen geht nicht hervor, weshalb es von Belang wäre, den Vertrag als Arbeitsvertrag bzw. als gemischten Vertrag mit arbeitsrechtlichen Komponenten zu qualifizieren und inwiefern dies für den Ausgang des Verfahrens relevant wäre.
Der Beschwerdeführer scheint zu übersehen, dass die Vorinstanz im Hinblick auf die frühzeitige Aufgabe des Spitalbetriebes per Ende April bzw. Ende September 2005 ebenfalls einen Vertragsbruch angenommen hat. So übergeht der Beschwerdeführer auch, dass auch sein Umsatzrückgang im Jahre 2005 festgestellt wurde. Entscheidend ist jedoch, dass der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren seine Schadenersatzforderung nicht genügend substanziiert hat. Damit setzt er sich mit keinem Wort auseinander. Er bringt weder vor, seinen Schaden gesetzeskonform substanziiert zu haben, noch dass die Vorinstanz an die Substanziierung der Forderung überhöhte Anforderungen gestellt hätte. Damit ist die Rüge unbegründet und es erübrigt sich auf die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers einzugehen.
8.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. April 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Reitze