Erwägungen:
1. 1.1 A.X. geb. Y._, geboren 1990, stammt von der Republik Côte d'Ivoire und hat das Schweizerbürgerrecht erlangt. Am 11. Februar 2010 heiratete sie hier B.X._, ebenfalls 1990 geboren und Staatsangehöriger der Republik Côte d'Ivoire. Am 31. Dezember 2011 kam die gemeinsame Tochter zur Welt. Wie ihre Mutter ist sie Schweizerbürgerin. Die Eheleute X.-Y._ leben in ungetrennter Ehe.
1.2 Der heutige Ehemann von A.X. geb. Y._ war am 19. Juni 2007 unrechtmässig in die Schweiz eingereist. Sein Gesuch um Erteilung des Asyls wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil D-5345/2007 vom 16. März 2009 letztinstanzlich ab. Die Ausreiseaufforderungen liess er ungenutzt verstreichen. Am 23. Juni 2009 wurde er festgenommen. Das Kriminalgericht des Kantons Luzern (Entscheid vom 30. April 2010) und das Obergericht des Kantons Luzern (rechtskräftiger Entscheid vom 16. November 2010) sprachen ihn schuldig der mehrfachen Widerhandlung gegen Art. 19 Ziff. 1 des Bundesgesetzes vom 3. Oktober 1951 über die Betäubungsmittel und die psychotropen Stoffe (BetmG; SR 812.121), begangen als schwerer Fall nach Art. 19 Ziff. 2 lit. a und c BetmG, und belegten ihn mit einer Freiheitsstrafe von vier Jahren, abzüglich 521 Tagen Untersuchungshaft bzw. vorzeitigem Strafvollzug. Anlass bildete der Verkauf eines Kokaingemischs von mindestens 3'580 Gramm während rund eines Jahres, was zu einem Umsatz von mindestens Fr. 214'800.-- führte, und die Lagerung von weiteren 221,24 Gramm. Am 12. Februar 2012 wurde der Ehemann bedingt aus dem Strafvollzug entlassen und bis zum 12. Juni 2013 eine Bewährungshilfe angeordnet.
1.3 Mit Verfügung vom 6. Februar 2012 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern das Gesuch von A.X. geb. Y._ um Erteilung der Aufenthaltsbewilligung an ihren Ehegatten (Familiennachzug) ab und verpflichtete diesen, die Schweiz bis zum 10. März 2012 zu verlassen. Die dagegen gerichteten Rechtsmittel an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (Entscheid vom 5. November 2012) und an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung (Entscheid vom 18. Februar 2013), blieben erfolglos.
1.4 Mit Eingabe vom 25. März 2013 erhebt A.X. geb. Y._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und ihr Gesuch um Erteilung der Aufenthaltsbewilligung an ihren Ehemann gutzuheissen, eventualiter sei die Sache zur "Abklärung der Verhältnismässigkeit und der Interessenabwägung" zurückzuweisen, subeventualiter sei das Gesuch um Erteilung der Aufenthaltsbewilligung an Auflagen und Weisungen zu binden.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen wurde verzichtet. Mit Präsidialverfügung vom 28. März 2013 erkannte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zu. Über das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege ist mit dem vorliegenden Urteil zu entscheiden.
1.5 Die Sachurteilsvoraussetzungen gemäss <ref-law> geben zu keinen Bemerkungen Anlass (vgl. Art. 42 Abs. 1 AuG und Art. 8 EMRK i. V. m. <ref-law> e contrario). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 In der Sache selbst erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet. Sie ist ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> zu erledigen.
2.2 Die Beschwerdeführerin anerkennt die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen und lässt die landesrechtlichen Gründe zur Verweigerung einer Aufenthaltsbewilligung mit Recht unbestritten (Art. 42 Abs. 1 i. V. m. Art. 51 Abs. 1 lit. b, Art. 63 Abs. 1 lit. a und Art. 62 lit. b AuG). Hingegen macht sie einen Verstoss gegen <ref-law> (Willkürverbot), Art. 13 (Schutz der Privatsphäre), Art. 19 (Anspruch auf Grundschulunterricht) und <ref-law> (Verfahrensgarantien) sowie gegen Art. 3 (Verbot der Folter) und Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens) geltend.
Den pauschal vorgetragenen angeblichen Verfassungs- und Konventionsverletzungen steht keinerlei Begründung gegenüber, sieht man von knappen Ausführungen zu Art. 8 EMRK ab. Die Verletzung von Grundrechten, wozu neben jenen der Bundesverfassung (einschliesslich der verfassungsmässigen Rechte; <ref-ruling> E. 6.1 S. 31; <ref-ruling> E. 2 S. 640; Urteile 9C_715/2007 vom 17. Juni 2008 E. 2; 9C_722/2007 vom 11. April 2008 E. 3) auch die Rechtsansprüche der EMRK zählen (<ref-ruling> E. 4.3 S. 106; Urteile 2C_550/2011 vom 28. November 2011 E. 2.2; 9C_722/2007 vom 11. April 2008 E. 3.1), und von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Da dies fehlt, ist den begründungslos erhobenen Rügen nicht nachzugehen.
2.3 Die Beschwerdeführerin legt ihren Arbeitsvertrag vom 29. Januar 2013 und einen ihren Ehemann betreffenden Therapiebericht vom 7. Februar 2013 ins Recht. Der Vorinstanz, die am 18. Februar 2013 entschied, lagen die Dokumente allem nach nicht vor. Die Dokumente wurden zwar vor dem vorinstanzlichen Urteil erstellt und fallen damit an sich als unechte Noven in Betracht, allerdings nur, soweit erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; Urteil 2C_1257/2012 vom 18. April 2013 E. 4.7). Dies ist hier nicht dargetan. Die Noven sind daher unzulässig.
3. 3.1 Zur Notwendigkeit des Eingriffs in das Recht auf Achtung des Familienlebens (Art. 8 Abs. 1 EMRK) hat der EGMR für den Fall der tatsächlich gelebten Ehe eine Reihe von Kriterien entwickelt (Urteil des EGMR Boultif gegen Schweiz vom 2. August 2001 [54273/00] § 48; zuletzt Kissiwa Koffi gegen Schweiz vom 15. November 2012 [38005/07] § 62 f. und Gezginci gegen Schweiz vom 9. Dezember 2010 [16327/05] § 60 ff.; Emre gegen Schweiz vom 22. Mai 2008 [42034/04] § 65 ff.; dazu ANDREAS ZÜND/THOMAS HUGI YAR, Massnahmen im schweizerischen Ausländerrecht, insbesondere unter dem Aspekt des Privat- und Familienlebens, in: EuGRZ 40/2013, S. 1, insb. 6 f.). Auch in der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind diese "Boultif"-Kriterien ständige Praxis (<ref-ruling> E. 4.3 S. 381 f.; Urteile 2C_249/2012 vom 7. Dezember 2012 E. 3.1; 2C_141/2012 vom 30. Juli 2012 E. 2c mit Hinweisen).
3.2 Die Vorinstanz hat die Kriterien umfassend gewürdigt. Ausgehend von der vom Strafgericht ausgesprochenen Sanktion (<ref-ruling> E. 3.1 S. 216) zieht sie das schwere Verschulden (gewerbsmässig und mengenmässig qualifizierte Widerhandlung gegen die Betäubungsmittelgesetzgebung) des Ehemanns, der selber nicht rauschgiftsüchtig ist, in Betracht. In für das Bundesgericht verbindlicher Weise (<ref-law>) stellt sie fest, dass der Ehemann unrechtmässig in die Schweiz eingereist sei und der rechtskräftig verfügten Wegweisung keine Folge geleistet habe. Mit der Unterinstanz schliesst die Vorinstanz auf ein gewichtiges öffentliches Interesse an der Fernhaltung des Ehemanns.
3.3 Der Ehemann der Beschwerdeführerin verliess Mitte 2007 im Alter von 17 Jahren seine Heimat und reiste in die Schweiz ein. Bis zum vorinstanzlichen Entscheid hat er gut fünfeinhalb Jahre in der Schweiz zugebracht, wovon vom 23. Juni 2009 bis zum 12. Februar 2012 in Untersuchungshaft und Strafvollzug (mit Bewährungshilfe bis zum 12. Juni 2013). Bis zum 16. März 2009 beruhte seine Aufenthaltsberechtigung nur auf dem gestellten Asylgesuch bzw. der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde. Seither ist der Aufenthalt ohne Bewilligung. Ihm kommt in der Interessenabwägung kein besonderes Gewicht zu (<ref-ruling> E. 4.3 S. 8; <ref-ruling> E. 4.3 S. 23 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 42; Urteile 2C_977/2012 vom 15. März 2013 E. 3.6; 2C_249/2012 vom 7. Dezember 2012 E. 3.6).
3.4 Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz haben sich der Eheabschluss und die Zeugung der Tochter während der Dauer des Freiheitsentzugs ereignet. Den Eheleuten musste damit bewusst sein, dass angesichts der rechtskräftigen Abweisung des Asylgesuchs und der verwirkten Freiheitsstrafe kaum eine "Bleiberechtsperspektive" bestand. Nach ständiger Praxis ist die Verweigerung oder Nichterteilung einer Aufenthaltsbewilligung unter diesen Umständen verhältnismässig, solange keine besonderen Umstände dagegen sprechen (Urteile des EGMR Antwi gegen Norwegen vom 14. Februar 2012 [26940/10] § 89 ff.; Arvelo Ponte gegen Niederlande vom 3. November 2011 [28770/05] § 59; Nuñez gegen Norwegen vom 28. Juni 2011 [55597/09]; <ref-ruling> E. 3e S. 358; <ref-ruling> E. 4c S. 15; Urteil 2C_249/2012 vom 7. Dezember 2012 E. 3.8 mit Hinweisen). Ebenso verhält es sich, wenn die Eheleute gemeinsame Kinder haben (Urteil des EGMR Darren Omoregie gegen Norwegen vom 31. Oktober 2008 [265/07] § 65 und Nichtzulassungsentscheid Useinov gegen Niederlande vom 11. April 2006 [61292/00]).
3.5 Für die Frage der Aufenthaltsbeendung ist hier nicht ausschlaggebend, ob der Familie die Umsiedlung in den Heimatstaat der wegzuweisenden Person zuzumuten sei. Das Bundesgericht geht bei einem mit einer Schweizerbürgerin verheirateten Ausländer, der erstmals oder nach bloss kurzer Aufenthaltsdauer um die Erneuerung seiner Bewilligung nachsucht, davon aus, dass dem ausländischen Ehemann im Falle einer Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren (wobei es sich nicht um eine feste Grenze handelt) in der Regel kein Aufenthaltstitel mehr zu erteilen ist, auch wenn der schweizerischen Ehepartnerin die Ausreise nicht oder nur schwerlich zuzumuten ist. In einer solchen Konstellation sind aussergewöhnliche Umstände erforderlich, um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zu rechtfertigen, da die Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe von mehr als zwei Jahren einen überaus schwerwiegenden Verstoss gegen die schweizerische Rechtsordnung zum Ausdruck bringt ("Reneja"-Praxis; <ref-ruling> E. 4.4 S. 382; <ref-ruling> E. 4.3 S. 338; <ref-ruling> E. 4.1 S. 185; <ref-ruling> E. 4b S. 14; <ref-ruling>).
3.6 Solche ausserordentlichen Gründe sind mit der Vorinstanz nicht ersichtlich. Im konkreten Fall ergibt sich aus den vorinstanzlichen Feststellungen, dass die Beschwerdeführerin ihre Kinderjahre an der Côte d'Ivoire verbrachte und der Ehemann vor verhältnismässig kurzer Zeit und im damaligen Alter von 17 Jahren in die Schweiz gelangte. Die Beschwerdeführerin beruft sich vorrangig auf die Gefahr der Beschneidung, die ihrer Tochter in der Côte d'Ivoire drohe. Diese Befürchtung ist von vornherein irrelevant, da nicht eine Wegweisung der Beschwerdeführerin oder ihrer Tochter zur Diskussion steht und die vorinstanzliche Interessenabwägung praxisgemäss davon ausgeht, dass die Wegweisung des Ehemanns auch dann zulässig ist, wenn Ehefrau und Tochter die Ausreise nicht zumutbar ist. Im Übrigen mag zwar in der Côte d'Ivoire die Beschneidung von Mädchen trotz gesetzlichen Verbots nach wie vor vorkommen, doch macht die Beschwerdeführerin nicht geltend, dass solche auch gegen den ausdrücklichen Willen der Eltern geschähen.
Auch der Umstand, dass der Ehemann während der Arbeitszeiten der Beschwerdeführerin die Tochter betreut, stellt keinen ausserordentlichen Grund dar, der eine Erteilung der Bewilligung trotz der erheblichen dagegen sprechenden Gründe rechtfertigen könnte.
4. 4.1 Bundes- (<ref-law>) und Völkerrecht (<ref-law>) werden damit durch den angefochtenen Entscheid nicht verletzt. Die Beschwerde ist infolge Unbegründetheit abzuweisen.
4.2 Bei diesem Ausgang sind der Beschwerdeführerin, die unterliegt, grundsätzlich die Kosten des Verfahrens vor Bundesgericht aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 i. V. m. <ref-law>).
Die unentgeltliche Rechtspflege setzt gemäss <ref-law> die Bedürftigkeit der ersuchenden Person (<ref-ruling> E. 5.1 S. 223) und die fehlende Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218; Urteile 2C_1257/2012 vom 18. April 2013 E. 5.2; 2C_545/2012 vom 22. Februar 2013 E. 4.3) voraus. Die Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids war angesichts der Praxis des Bundesgerichts und des EGMR aussichtslos. Schon die Vor- und die Unterinstanz hatten das Gesuch infolge Aussichtslosigkeit abgewiesen.
Den finanziellen Verhältnissen der Beschwerdeführerin ist mit einer reduzierten Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen. Dem Kanton Luzern, der obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).
4.3 Für alles Weitere kann auf die Begründung des angefochtenen Entscheids verwiesen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. 2.1 Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2 Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Mai 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher