Sachverhalt:
A. Gestützt auf ein Gesuch vom 29. August 2000 erteilte die Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern (BVE) der Einwohnergemeinde Brienz am 6. Juli 2001 die Konzession zur weiteren Nutzung der Wasserkraft des Giessbachs im bestehenden Kraftwerk auf eine Dauer von 40 Jahren seit Ablauf der bisherigen Konzession, d.h. bis zum 30. Juni 2039. Die Konzession stellte die Erneuerung einer vom Regierungsrat des Kantons Bern am 13. April 1948 erstmals erteilten Konzession dar. Die neue Konzession unterscheidet sich von der früheren vor allem in der Hinsicht, dass gestützt auf das Bundesgesetz vom 24. Januar 1991 über den Schutz der Gewässer (GSchG; SR 814.20) die Restwassermengen neu festgesetzt wurden. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies eine Beschwerde gegen die Konzessionserteilung, welche unter anderen von der Stiftung Giessbach dem Schweizervolk (im Folgenden: Stiftung Giessbach) und der Parkhotel Giessbach AG erhoben wurde, zunächst ab (Urteil des Verwaltungsgerichts VGE 21292 vom 31. Mai 2002). Gestützt auf das Urteil des Bundesgerichts 1A.151/2002 vom 22. Januar 2003 (publiziert in URP 2003 S. 235 ff.) setzte das Verwaltungsgericht die Restwassermenge mit Urteil VGE 21627 vom 22. April 2003 neu fest:
November bis April 60 l/s
Mai und Juni 200 l/s
Juli bis Oktober 180 l/s
Dieses Urteil blieb unangefochten und ist in Rechtskraft erwachsen.
Der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) trat mit Entscheid vom 10. April 2007 auf eine Beschwerde der Stiftung Giessbach und der Parkhotel Giessbach AG gegen das Urteil des Bundesgerichts vom 22. Januar 2003 nicht ein. Der Gerichtshof erwog, dass die Konzession keine Beschränkung der Eigentumsrechte der Beschwerdeführerinnen bewirke.
B. Am 26. Juli 2005 stellte die Einwohnergemeinde Brienz ein Baugesuch für den Ersatz der bestehenden Druckleitung von der Wasserfassung bis zum Wasserkraftwerk Giessbach mit Erweiterung des Querschnitts. Die neue Leitung soll auf dem Trassee der bisherigen Druckleitung neu teilweise unterirdisch verlegt werden. Zudem sollen Rechenanlagen und Armaturen saniert werden. Die vom Vorhaben betroffenen Parzellen liegen vorwiegend im Wald und teilweise in der Landwirtschaftszone. Sie werden vom Perimeter des Schutzobjekts Nr. 1511 «Giessbach» gemäss dem Bundesinventar der Landschaften und Naturdenkmäler von nationaler Bedeutung erfasst (BLN-Inventar; vgl. Anhang der Verordnung vom 10. August 1977 über das Bundesinventar der Landschaften und Naturdenkmäler [VBLN; SR 451.11]). Zusammen mit dem Baugesuch stellte die Einwohnergemeinde Brienz ein Gesuch für Ausnahmebewilligungen nach Art. 24 RPG (SR 700) und Art. 5 des Bundesgesetzes vom 4. Oktober 1991 über den Wald (Waldgesetz, WaG, SR 921.0). Gegen das Vorhaben erhoben die Stiftung Giessbach und die Parkhotel Giessbach AG Einsprache.
C. Nachdem das Wasserwirtschaftsamt des Kantons Bern verschiedene Amts- und Fachberichte sowie ein Gutachten der eidgenössischen Kommission für Natur- und Heimatschutz (ENHK) eingeholt und mit den beteiligten Amtsstellen ein Bereinigungsgespräch durchgeführt hatte, erteilte es am 6. Juni 2006 die nachgesuchten Bewilligungen mit Auflagen und wies die Einsprache ab, soweit es darauf eintrat.
Gegen den Gesamtbauentscheid gelangten die Stiftung Giessbach und die Parkhotel Giessbach AG mit Beschwerde an die BVE, die das Rechtsmittel mit Entscheid vom 24. Januar 2007 abwies, soweit sie darauf eintrat. Dagegen führten die Stiftung Giessbach und die Parkhotel Giessbach AG gemeinsam Beschwerde beim kantonalen Verwaltungsgericht. Sie beantragten insbesondere die Aufhebung der mit den Entscheiden des Wasserwirtschaftsamts und der BVE erteilten Bewilligungen sowie die Feststellung der Nichtigkeit der Konzession zur Nutzung der Wasserkraft des Giessbachs. Zudem verlangten sie die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK mit Plädoyers der Parteien.
Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 29. Oktober 2007 ab, soweit es darauf eintreten konnte. Es verneinte die Nichtigkeit der Konzession für die Wasserkraftnutzung und bejahte die Voraussetzungen für die raumplanerische und die waldrechtliche Ausnahmebewilligung. Zudem lehnte es den Antrag auf öffentliche Verhandlung - soweit dieser überhaupt hinreichend substanziiert sei - ab, da die angerufenen Bestimmungen rein öffentlichen Interessen dienten und nicht in den Geltungsbereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK fielen.
D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 26. November 2007 beantragen die Stiftung Giessbach und die Parkhotel Giessbach AG im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 29. Oktober 2007 sei aufzuheben und das Baugesuch der Einwohnergemeinde Brienz vom 26. Juli 2005 sowie die damit verbundenen Gesuche um Ausnahmebewilligungen nach Art. 24 RPG und <ref-law> seien abzuweisen. Sie rügen die Verletzung des eidgenössischen Raumplanungs- und Waldrechts sowie des Bundesgesetzes vom 1. Juli 1966 über den Natur- und Heimatschutz (NHG; SR 451). Überdies machen sie geltend, mit dem Verzicht auf eine öffentliche Verhandlung habe das Verwaltungsgericht Art. 6 Ziff. 1 EMRK missachtet.
E. Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Einwohnergemeinde Brienz und die BVE stellen den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) und das Bundesamt für Umwelt (BAFU) äussern sich zur umstrittenen Erneuerung der Druckleitung in zustimmendem Sinn, ohne einen Antrag zum Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens zu stellen. In weiteren Stellungnahmen halten die Einwohnergemeinde Brienz und die Beschwerdeführerinnen an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest.
F. Mit Verfügung vom 24. Januar 2008 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung beigelegt.

Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid über eine raumplanungs- und eine waldrechtliche Ausnahmebewilligung für die Erneuerung einer ausserhalb der Bauzonen gelegenen Druckleitung eines konzessionierten Wasserkraftwerks. Dieser Entscheid unterliegt der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 411; Art. 34 RPG und <ref-law>, jeweils in der Fassung gemäss Ziff. 64 und 127 Anhang VGG, in Kraft seit 1. Januar 2007). Ausnahmegründe im Sinne von <ref-law> sind nicht gegeben.
Die Stiftung Giessbach ist als Eigentümerin des Giessbach-Areals und der Hotelanlage durch den angefochtenen Entscheid in schutzwürdigen Interessen unmittelbar betroffen. Die Druckleitung führt unter anderem über das ihr gehörende Grundstück Nr. 1325, auf welchem die Rodung und spätere Wiederaufforstung einer Waldfläche von 244 m2 vorgesehen ist. Ebenfalls in schutzwürdigen Interessen betroffen ist die Parkhotel Giessbach AG, welche das an den Giessbachfällen bestehende Hotel betreibt. Die Beschwerdeführerinnen sind Adressaten des angefochtenen Entscheids. Sie verfolgen mit der Beschwerdeführung einen praktischen Nutzen, indem sie bei Verweigerung der Bewilligung für die Erneuerung der umstrittenen Druckleitung eine Attraktivitätssteigerung der Giessbachfälle als Naturschauspiel und touristischen Anziehungspunkt erwarten. Die Voraussetzungen der Beschwerdeberechtigung nach <ref-law> sind somit erfüllt (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 252 f.). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen liegen vor und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2. Die Beschwerdeführerinnen rügen eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Das Verwaltungsgericht habe trotz entsprechendem Antrag keine öffentliche Verhandlung durchgeführt, obwohl die Druckleitung unter anderem das Grundstück Nr. 1325 der Stiftung Giessbach durchquere und von der darauf bestehenden Waldfläche ein Waldstück im Umfang von 244 m2 für die Errichtung der neuen Druckleitung gerodet und nachher wieder aufgeforstet werden solle.
2.1 Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK besteht in Verfahren über zivilrechtliche Streitigkeiten ein Anspruch auf öffentliche Verhandlung, sofern die Parteien nicht ausdrücklich oder stillschweigend darauf verzichten. Ein Entscheid über zivilrechtliche Ansprüche im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK liegt unter anderem vor, wenn eine bau- oder planungsrechtliche Massnahme direkte Auswirkungen auf die Ausübung der Eigentumsrechte der Grundeigentümer hat (<ref-ruling> E. 2 S. 45; <ref-ruling> E. 3e S. 300; <ref-ruling> E. 5c S. 34 f.).
2.2 Das Verwaltungsgericht führt im angefochtenen Entscheid aus, die Beschwerdeführerinnen legten nicht dar, inwiefern im vorliegenden Verfahren zivilrechtliche Ansprüche im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK betroffen seien. Dies sei auch nicht ersichtlich. Die von den Beschwerdeführerinnen als verletzt gerügten Bestimmungen dienten rein öffentlichen Interessen, nicht aber dem Schutz des Eigentums oder anderer ziviler Rechte im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Die Vorinstanz stützt ihre Ausführungen insbesondere auf die Rechtsprechung des Bundesgerichts und des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) zum Vorliegen von "civil rights" im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK bei Eigentümern von Grundstücken, die sich gegen ein Vorhaben in ihrer Nachbarschaft wehren (<ref-ruling> E. 2a/bb S. 61; <ref-ruling> E. 2c S. 45; Urteil des Bundesgerichts 1A.151/2002 vom 22. Januar 2003 in URP 2003 S. 235 E. 2.1; Urteil des EGMR vom 10. April 2007 i.S. Stiftung Giessbach).
2.3 Die in der vorliegenden Angelegenheit umstrittene Druckleitung betrifft die Beschwerdeführerinnen nicht nur als Nachbarn des Kraftwerks Giessbach, sondern namentlich die Stiftung Giessbach auch als Grundeigentümerin des Grundstücks Nr. 1325. Die Verwirklichung des umstrittenen Vorhabens setzt die vorübergehende Rodung einer Waldfläche auf diesem Grundstück von 244 m2 und die Inanspruchnahme dieses Parzellenteils für das Trassee der Druckleitung voraus. Dadurch wird mit dem Vorhaben direkt in das Grundeigentum der Stiftung Giessbach eingegriffen. Die Stiftung Giessbach verteidigt mit der Beschwerde somit ihre Eigentumsrechte am Grundstück Nr. 1325 und beruft sich dabei offensichtlich auf "civil rights" im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Diese Bestimmung ist auf alle Streitsachen anwendbar, deren Ausgang das Eigentumsrecht sofort oder in Zukunft in einer für den Eigentümer nachteiligen oder auch vorteilhaften Weise berührt. Auch bei Streit über Nutzungsregelungen ist Art. 6 EMRK anwendbar, selbst wenn die Dispositionsfähigkeit des Eigentümers durch derartige Regelungen nicht in erheblicher Weise beeinträchtigt wird (Frowein/Peukert, EMRK-Kommentar, 2. Aufl. 1996, S. 187; vgl. BGE <ref-ruling> E. 3e S. 300; <ref-ruling> E. 5c S. 34 f.). Davon zu unterscheiden sind Drittinterventionen (z.B. von Nachbarn) gegen die Erteilung einer Bau- oder sonstigen behördlichen Genehmigung, die nur insoweit vom Anwendungsbereich des Art. 6 Abs. 1 EMRK erfasst werden, als auf das Eigentum gegründete Abwehrrechte geltend gemacht werden (vgl. <ref-ruling> E. 2a/bb S. 61; <ref-ruling> E. 2c S. 45; Urteil des Bundesgerichts 1A.151/2002 vom 22. Januar 2003 in URP 2003 S. 235 E. 2.1; Urteil des EGMR vom 10. April 2007 i.S. Stiftung Giessbach; zum Ganzen: Frowein/Peukert, a.a.O., S. 187 und 191; Mark E. Villiger, Handbuch der EMRK, 2. Auflage 1999, Rz. 380 und 384; Ruth Herzog, Art. 6 EMRK und kantonale Verwaltungsrechtspflege, 1995, S. 153 ff.).
Dass die Stiftung Giessbach im verwaltungsgerichtlichen Verfahren ihre Eigentumsrechte am Grundstück Nr. 1325 verteidigte und sich in diesem Zusammenhang auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK berief, bedurfte keiner ausführlichen Erörterung in der Beschwerde, sondern war aus den Akten klar ersichtlich und von der Vorinstanz im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen zu beachten (vgl. Art. 51 des kantonalen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 23. Mai 1989 [VRPG; BSG 155. 21]; Merkli/Aeschlimann/Herzog, Kommentar zum Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege im Kanton Bern, 1997, Art. 51 Rz. 1 ff.).
2.4 Die Stiftung Giessbach hat im verwaltungsgerichtlichen Verfahren als betroffene Grundeigentümerin und Trägerin von "civil rights" gestützt auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK erfolglos die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung verlangt. Besondere Gründe, die einer öffentlichen Verhandlung entgegenstehen könnten, sind nicht ersichtlich (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 55 ff. mit Hinweisen). Beim Verzicht auf die öffentliche Verhandlung handelt es sich um einen Verfahrensmangel, der nicht im bundesgerichtlichen Verfahren behoben werden kann, sondern zur Rückweisung der Angelegenheit an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung führt (<ref-law>). Unter diesen Umständen ist auf die übrigen Rügen der Beschwerdeführerinnen und die Frage, ob auch die Parkhotel Giessbach AG in eigenen "civil rights" betroffen ist, im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren nicht weiter einzugehen.
3. Es ergibt sich, dass die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben ist. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der in ihrem Vermögensinteresse handelnden Einwohnergemeinde Brienz aufzuerlegen (<ref-law>). Diese hat die anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerinnen zudem für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 29. Oktober 2007 aufgehoben. Die Angelegenheit wird an das Verwaltungsgericht zu neuer Beurteilung zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Einwohnergemeinde Brienz auferlegt.
3. Die Einwohnergemeinde Brienz hat den Beschwerdeführerinnen eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführerinnen, der Einwohnergemeinde Brienz, der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Raumentwicklung sowie dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Haag