Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1976 geborene H._ zog sich am 30. Januar 1996 bei einem Autounfall als Beifahrerin ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) zu, von dem sie sich Ende 1996 vollständig erholte. Seit 1. Oktober 1997 arbeitete sie als Coiffeuse und war damit bei der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft (nachfolgend Mobiliar) unfallversichert. Am 21. März 1999 erlitt sie einen weiteren Autounfall, als sie als Lenkerin ihres PWs an der Einmündung einer Kreuzung wartete und ein nachfolgender PW in das Heck ihres Fahrzeugs prallte. Der ca. eine Stunde nach dem Unfall aufgesuchte Notfallarzt Dr. med. A._, diagnostizierte ein leichtes HWS-Beschleunigungstrauma. Der am nächsten Tag konsultierte Hausarzt Dr. med. F._, stellte eine HWS-Distorsion fest. Die Mobiliar erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Vom 6. Juli bis 3. August 1999 war die Versicherte in der Klinik R._ hospitalisiert. Zur Abklärung der Verhältnisse zog die Mobiliar diverse Artzberichte sowie Gutachten des Neurologen Dr. med. X._, vom 29. Februar 2000 mit Ergänzung vom 12. September 2000 und der Frau Dr. med. Y._, Fachärztin FMH Psychiatrie und Psychotherapie, Neurologie, Oberärztin am Zentrum L._, vom 22. August 2000 bei. Weiter holte sie eine technische Unfallanalyse des Dr. sc. techn. M._, Arbeitsgruppe für Unfallmechanik, vom 16. Februar 2000 ein. Gestützt auf diese Unterlagen stellte die Mobiliar ihre Leistungen per Ende August 2000 ein. Zur Begründung wurde ausgeführt, der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch vorhandenen Gesundheitsschäden (Schmerzen zwischen den Schulterblättern, in den Armen und im Kreuz) müsse verneint werden. Es lägen keine Unfallfolgen mehr vor. Die Versicherte habe im März 2000 ein Praktikum als Kleinkindererzieherin in Gstaad begonnen und arbeite zu 100 %, weshalb seither keine Arbeitsunfähigkeit mehr bestehe. Auf die Rückforderung des im März 2000 trotz Realisierung des Praktikumslohns voll ausbezahlten Taggeldes werde verzichtet (Verfügung vom 31. Oktober 2000). Seit 1. Mai 2001 arbeitet die Versicherte zu 80 % als Betreuerin bei der Stiftung Z._. Die gegen die Verfügung geführte Einsprache wies die Mobiliar mit Entscheid vom 1. Oktober 2001 ab.
A. Die 1976 geborene H._ zog sich am 30. Januar 1996 bei einem Autounfall als Beifahrerin ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) zu, von dem sie sich Ende 1996 vollständig erholte. Seit 1. Oktober 1997 arbeitete sie als Coiffeuse und war damit bei der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft (nachfolgend Mobiliar) unfallversichert. Am 21. März 1999 erlitt sie einen weiteren Autounfall, als sie als Lenkerin ihres PWs an der Einmündung einer Kreuzung wartete und ein nachfolgender PW in das Heck ihres Fahrzeugs prallte. Der ca. eine Stunde nach dem Unfall aufgesuchte Notfallarzt Dr. med. A._, diagnostizierte ein leichtes HWS-Beschleunigungstrauma. Der am nächsten Tag konsultierte Hausarzt Dr. med. F._, stellte eine HWS-Distorsion fest. Die Mobiliar erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Vom 6. Juli bis 3. August 1999 war die Versicherte in der Klinik R._ hospitalisiert. Zur Abklärung der Verhältnisse zog die Mobiliar diverse Artzberichte sowie Gutachten des Neurologen Dr. med. X._, vom 29. Februar 2000 mit Ergänzung vom 12. September 2000 und der Frau Dr. med. Y._, Fachärztin FMH Psychiatrie und Psychotherapie, Neurologie, Oberärztin am Zentrum L._, vom 22. August 2000 bei. Weiter holte sie eine technische Unfallanalyse des Dr. sc. techn. M._, Arbeitsgruppe für Unfallmechanik, vom 16. Februar 2000 ein. Gestützt auf diese Unterlagen stellte die Mobiliar ihre Leistungen per Ende August 2000 ein. Zur Begründung wurde ausgeführt, der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch vorhandenen Gesundheitsschäden (Schmerzen zwischen den Schulterblättern, in den Armen und im Kreuz) müsse verneint werden. Es lägen keine Unfallfolgen mehr vor. Die Versicherte habe im März 2000 ein Praktikum als Kleinkindererzieherin in Gstaad begonnen und arbeite zu 100 %, weshalb seither keine Arbeitsunfähigkeit mehr bestehe. Auf die Rückforderung des im März 2000 trotz Realisierung des Praktikumslohns voll ausbezahlten Taggeldes werde verzichtet (Verfügung vom 31. Oktober 2000). Seit 1. Mai 2001 arbeitet die Versicherte zu 80 % als Betreuerin bei der Stiftung Z._. Die gegen die Verfügung geführte Einsprache wies die Mobiliar mit Entscheid vom 1. Oktober 2001 ab.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Durchführung einer öffentlichen Verhandlung in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die Mobiliar zurückwies, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre. Den Erwägungen ist zu entnehmen, dass das kantonale Gericht die Adäquanz des Kausalzusammenhangs bejahte und die Mobiliar anwies, über die der Versicherten über den August 2000 hinaus im einzelnen zustehenden Versicherungsleistungen (allfällige Heil- und Pflegekosten, Taggelder, Invalidenrente, Integritätsentschädigung) zu verfügen (Entscheid vom 29. November 2002).
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Durchführung einer öffentlichen Verhandlung in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die Mobiliar zurückwies, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre. Den Erwägungen ist zu entnehmen, dass das kantonale Gericht die Adäquanz des Kausalzusammenhangs bejahte und die Mobiliar anwies, über die der Versicherten über den August 2000 hinaus im einzelnen zustehenden Versicherungsleistungen (allfällige Heil- und Pflegekosten, Taggelder, Invalidenrente, Integritätsentschädigung) zu verfügen (Entscheid vom 29. November 2002).
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Mobiliar, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei der Einspracheentscheid zu bestätigen.
Die Versicherte und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, letzteres soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Am 18. März 2003 reichte die Mobiliar den Anstellungsvertrag der Versicherten mit der Stiftung Z._ vom 18. April 2001 ein, wozu die Versicherte am 9. April 2003 Stellung nahm.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 in Kraft getreten. Mit ihm sind zahlreiche Bestimmungen im Unfallversicherungsbereich geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> Erw. 1), und weil ferner das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses des streitigen Entscheides (hier: 1. Oktober 2001) eingetretenen Sachverhalt abstellt (<ref-ruling> Erw. 1b), sind im vorliegenden Fall die neuen Bestimmungen nicht anwendbar.
1. Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 in Kraft getreten. Mit ihm sind zahlreiche Bestimmungen im Unfallversicherungsbereich geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> Erw. 1), und weil ferner das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses des streitigen Entscheides (hier: 1. Oktober 2001) eingetretenen Sachverhalt abstellt (<ref-ruling> Erw. 1b), sind im vorliegenden Fall die neuen Bestimmungen nicht anwendbar.
2. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen und die Grundsätze zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; <ref-ruling> Erw. 2b, 119 V 338 Erw. 2, 117 V 360 Erw. 4, je mit Hinweisen; SVR 2000 UV Nr. 8 S. 26 Erw. 2), zur vorausgesetzten Adäquanz des Kausalzusammenhangs im Allgemeinen (<ref-ruling> Erw. 5b/aa, 125 V 461 Erw. 5a, je mit Hinweisen), bei Folgen eines Unfalls mit Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle im Besonderen (<ref-ruling> ff.) sowie in Fällen, in welchen die zum typischen Beschwerdebild eines Schleudertraumas der HWS gehörenden Beeinträchtigungen zwar teilweise gegeben sind, im Vergleich zur psychischen Problematik aber ganz in den Hintergrund treten (<ref-ruling> Erw. 5b/bb, 123 V 99 Erw. 2a, 115 V 140 Erw. 6c/aa; RKUV 2002 Nr. U 465 S. 437 ff.), zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die Ausführungen zu dem im Sozialversicherungsrecht geltenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> Erw. 5b mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
Zu ergänzen ist, dass hinsichtlich des Beweiswerts eines Arztberichts entscheidend ist, ob er für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet und nachvollziehbar sind (<ref-ruling> Erw. 3a; AHI 2001 S. 113 Erw. 3a).
Zu ergänzen ist, dass hinsichtlich des Beweiswerts eines Arztberichts entscheidend ist, ob er für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet und nachvollziehbar sind (<ref-ruling> Erw. 3a; AHI 2001 S. 113 Erw. 3a).
3. Die Mobiliar wirft der Vorinstanz vor, zu Unrecht einzig auf das Gutachten von Frau Dr. med. Y._ vom 22. August 2000 abgestellt und die früheren ärztlichen Berichte, die namhafte psychische Beschwerden der Versicherten zum Ausdruck gebracht hätten, heruntergespielt zu haben.
3.1 Um diese Rüge zu prüfen, ist die rechtliche Ausgangslage in Erinnerung zu rufen, wie sie im Entscheid RKUV 2002 Nr. U 465 S. 437 ff. dargestellt worden ist und auf welche sich beide Parteien berufen. Das erwähnte Urteil unterscheidet zwei Fälle, nämlich einmal jenen, in welchem die psychische Problematik bereits unmittelbar nach dem Unfall eindeutige Dominanz aufweist (Erw. 3a), und zum andern jenen, in welchem die psychische Problematik im Verlaufe der Entwicklung vom Unfall bis zur Beurteilung die physischen Beschwerden ganz in den Hintergrund treten lässt (Erw. 3b). Im vorliegenden Fall stellt sich lediglich die letztere Frage, denn die ärztlichen Berichte, auf welche sich die Mobiliar beruft (Berichte der Klinik R._ vom 1. September 1999, des Dr. med. B._, Spezialarzt FMH für Neurologie, vom 8. November 1999, des Dr. med. X._ vom 29. Februar / 12. September 2000 und des Dr. med. K._, Oberarzt, Rheumaklinik und Institut für Physikalische Medizin, Universitätsspital, vom 6. Oktober 2000) belegen nicht, dass die psychische Problematik der Versicherten unmittelbar nach dem Unfall in den Vordergrund getreten wäre. Auch der Bericht der Klinik R._ vom 1. September 1999 im Speziellen tut dies nicht, ereignete sich doch der Unfall mehr als fünf Monate vor dem Aufenthalt der Versicherten in dieser Klinik. Vielmehr stellten die unmittelbar nach dem Unfall konsultierten Ärzte ein HWS-Schleudertrauma mit den typischen Beschwerden (Dr. med. A._: Nackenschmerzen und Gefühlsstörungen C 8; Dr. med. F._: Nackenschmerzen mit Ausstrahlung in Schulter und Arm links, Nausea, Schlafstörung, Kopfschmerzen okzipital, Sensibilitätsstörungen an Schulter links sowie Arm/Hand links, Schmerzen am Ohr und deutliche HWS-Bewegungseinschränkung) bei normalem psychischem Zustand fest.
3.2 Somit kann es nur darum gehen, ob die Gesamtheit der medizinischen Berichte den Schluss zulässt, dass vom Unfall bis zum Einspracheentscheid die physischen Beschwerden ganz in den Hintergrund getreten sind. Dies sind sie eindeutig nicht, wie die Vorinstanz in Würdigung sämtlicher ärztlicher Unterlagen einlässlich und zutreffend erwogen hat. Sie hat im Ergebnis zu Recht auf die Einschätzung von Frau Dr. med. Y._ vom 22. August 2000 abgestellt, die das Bestehen einer psychischen Störung klar verneinte und insbesondere darauf hinwies, dass die in der Klinik R._ festgestellten psychischen Schwankungen (Verdacht auf Anpassungsstörung, Angst und depressive Reaktion gemischt) überwunden worden seien.
Unbehelflich ist insbesondere der Einwand der Mobiliar, Dr. med. X._ habe am 29. Februar 2000 eine Anpassungsstörung mit Übergang in eine Depression festgestellt. Denn er hat gleichzeitig eine psychiatrische Abklärung als sinnvoll vorgeschlagen, da ihm als Neurologen diesbezüglich keine abschliessende Bewertung zustehe. Die danach erfolgte Einschätzung der Frau Dr. med. Y._ vom 22. August 2000 hat er im Ergänzungsbericht vom 12. September 2000 ohne Einwände konstatiert und fortan eine korrigierende Gymnastik bezüglich der HWS-Fehlhaltung vorgeschlagen, da letztere zusammen mit der bestehenden Kopfprotraktion beschwerdeverlängernd wirken könne.
Das kantonale Gericht hat daher zu Recht die Schleudertraumapraxis angewandt.
Das kantonale Gericht hat daher zu Recht die Schleudertraumapraxis angewandt.
4. 4.1 Es besteht kein Anlass, die vorinstanzliche Einteilung des Unfalls im mittleren Bereich im Grenzbereich zu den leichten Unfällen nicht zu übernehmen. Dies entspricht der Praxis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts, Auffahrkollisionen auf ein (haltendes) Fahrzeug regelmässig als mittelschweren Unfall im Grenzbereich zu den leichten Unfällen zu qualifizieren (in SZS 2001 S. 432 f. erwähnte Urteile V. vom 30. Juni 1997 [U 231/96] und A. vom 29. Dezember 1998 [U 100/97]; Urteile M. vom 12. Juli 2002 Erw. 4a, U 34/02, und B. vom 22. Mai 2002 Erw. 4b/aa, U 339/01).
Die Kritik der Versicherten in der Vernehmlassung, dass eine biomechanische Auswertung nicht aktenkundig ist, ist nicht von der Hand zu weisen, da das Eidgenössische Versicherungsgericht auf unfallanalytische Gutachten abstellt, soweit es sich um die technische und biomechanische Analyse eines Unfalls handelt (Urteil B. vom 22. Mai 2002 Erw. 4b/bb, U 339/01; vgl. auch Niederer/Walz/Muser/Zollinger, Unfallanalyse, Biomechanik, Was ist ein "schwerer", was ein "leichter" Verkehrsunfall?, in: SZS 2002 S. 27 ff., insbes. S. 35 f.). Ob der Unfallversicherer eine biomechanische Analyse hat durchführen lassen, sie aber, wie die Versicherte spekuliert, nicht aktenkundig gemacht hat, braucht nicht weiter abgeklärt zu werden. Entscheidend ist, dass das unfalldynamische Gutachten vom 16. Februar 2000 (allein) die Einteilung des Unfalls im mittleren Bereich im Grenzbereich zu den leichten Unfällen nicht als unrichtig erscheinen lässt. Hieran ändert der Einwand der Mobiliar nichts, gemäss diesem Gutachten habe die kollisionsbedingte Geschwindigkeitsänderung (Delta-V) lediglich 7,75 km/h (Toleranzbereich 6 - 9,5 km/h) betragen (vgl. auch Urteil B. vom 22. Mai 2002 Erw. 4b/aa, U 339/01).
Die Kritik der Versicherten in der Vernehmlassung, dass eine biomechanische Auswertung nicht aktenkundig ist, ist nicht von der Hand zu weisen, da das Eidgenössische Versicherungsgericht auf unfallanalytische Gutachten abstellt, soweit es sich um die technische und biomechanische Analyse eines Unfalls handelt (Urteil B. vom 22. Mai 2002 Erw. 4b/bb, U 339/01; vgl. auch Niederer/Walz/Muser/Zollinger, Unfallanalyse, Biomechanik, Was ist ein "schwerer", was ein "leichter" Verkehrsunfall?, in: SZS 2002 S. 27 ff., insbes. S. 35 f.). Ob der Unfallversicherer eine biomechanische Analyse hat durchführen lassen, sie aber, wie die Versicherte spekuliert, nicht aktenkundig gemacht hat, braucht nicht weiter abgeklärt zu werden. Entscheidend ist, dass das unfalldynamische Gutachten vom 16. Februar 2000 (allein) die Einteilung des Unfalls im mittleren Bereich im Grenzbereich zu den leichten Unfällen nicht als unrichtig erscheinen lässt. Hieran ändert der Einwand der Mobiliar nichts, gemäss diesem Gutachten habe die kollisionsbedingte Geschwindigkeitsänderung (Delta-V) lediglich 7,75 km/h (Toleranzbereich 6 - 9,5 km/h) betragen (vgl. auch Urteil B. vom 22. Mai 2002 Erw. 4b/aa, U 339/01).
4.2 4.2.1 Die Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder der besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls sowie der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert hätte, sind unbestrittenermassen nicht erfüllt.
4.2.2 Die besondere Art der erlittenen Verletzung ist in Anbetracht der nach dem Unfall aufgetretenen Häufung verschiedener, für das HWS-Schleudertrauma typischer Beschwerden (Erw. 3.1 hievor) und der schwerwiegenden Auswirkungen zu bejahen (<ref-ruling> Erw. 7b). Im Übrigen ist auch zu berücksichtigen, dass die Versicherte durch ein früheres Schleudertrauma vorgeschädigt war (Urteil P. vom 14. März 2001 Erw. 2d, U 137/00).
4.2.3 Das Kriterium der Dauerbeschwerden ist ebenfalls gegeben, stellte doch Dr. med. X._ noch im Gutachten vom 29. Februar 2000 und in der Ergänzung vom 12. September 2000 ein persistierendes und praktisch unverändertes Schmerzensbild fest. Nach dem in Erw. 3.2 Gesagten ist unfallfremden psychischen Faktoren kein Gewicht beizumessen.
4.2.4 Die Vorinstanz ist zu Recht von einem schwierigen Heilungsverlauf ausgegangen, da die Versicherte länger als eineinhalb Jahre nach dem Unfall über die praktisch gleichen Schmerzen klagte.
Der Einwand der Mobiliar, der Heilungsverlauf sei durch unfallfremde Gründe, wie z.B. die "Trauerarbeit nach der erfolgten Trennung vom Partner", geprägt worden, findet namentlich im ärztlichen Bericht von Dr. med. X._ vom 29. Februar 2000 eine gewisse Stütze , vermag aber gegen die vorinstanzliche Betrachtungsweise nicht aufzukommen.
Soweit die Mobiliar geltend macht, die Dominanz der psychischen Beschwerden habe zum schwierigen Heilungsverlauf geführt, kann dem unter Hinweis auf das in Erw. 3.2 hievor Gesagte nicht gefolgt werden.
4.2.5 Die Vorinstanz hat das Kriterium des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit als erfüllt angesehen; die Mobiliar verneint dies wiederum, weil die Arbeitsunfähigkeit zum Teil auf unfallfremde Gründe zurückzuführen sei, so vor allem auf die Trennung der Versicherten von ihrem langjährigen Freund. Diese Trennung erfolgte indessen erst im Dezember 1999, nachdem die Versicherte schon seit dem Unfall am 21. März 1999 arbeitsunfähig war. Es ist abwegig, die Arbeitsunfähigkeit während rund neun Monaten bis zur besagten Trennung auf den Unfall zurückzuführen und dann fortan ein Ereignis, das in diese Zeit der Arbeitsunfähigkeit fällt, verantwortlich dafür zu machen. Für eine Differenzierung, ob die Arbeitsunfähigkeit auf physische oder psychische Gründe zurückzuführen ist, ist bekanntermassen bei der Schleudertraumapraxis kein Raum. Dieses Kriterium ist daher erfüllt.
4.2.6 Schliesslich hat die Vorinstanz das Kriterium der langdauernden ärztlichen Behandlung zu Recht nicht als erfüllt angesehen, woran die Einwendungen der Versicherten nichts zu ändern vermögen.
4.2.7 Nach dem Gesagten sind vier unfallbezogene Kriterien und damit die Adäquanz gegeben, weshalb es beim vorinstanzlich überzeugend begründeten Urteil bleibt und die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abzuweisen ist.
4.2.7 Nach dem Gesagten sind vier unfallbezogene Kriterien und damit die Adäquanz gegeben, weshalb es beim vorinstanzlich überzeugend begründeten Urteil bleibt und die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abzuweisen ist.
5. Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG). Dem Prozessausgang entsprechend steht der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu (Art. 159 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 135 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 28. Mai 2003
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Vorsitzende der II. Kammer: Der Gerichtsschreiber: