Sachverhalt:
A. X._ ist im Jahre 2008 zur Welt gekommen. Aufgrund einer Corpus-callosum-Agenesie leidet das Mädchen seit seiner Geburt an einer globalen Entwicklungsstörung. Seine Eltern sind Y._ (geb. 1966) und Z._ (geb. 1959). Der Vater ist von einer anderen Frau geschieden. Aus dieser Verbindung stammen die Halbgeschwister von X._ A._ (geb. 1995) und B._ (geb. 1997).
B. B.a Am 18. August 2008 verklagte X._ ihren Vater vor dem Bezirksgericht Bremgarten auf Bezahlung angemessener Kinderalimente. Z._ erklärte sich in seiner Klageantwort damit einverstanden, an den Unterhalt von X._ bis Ende Dezember 2009 maximal Fr. 500.-- und ab 1. Januar 2010 Fr. 800.-- zu bezahlen, und beantragte weiter, das Besuchsrecht zu regeln. Mit Entscheid vom 18. Dezember 2008 genehmigte das Bezirksgericht einen von der Beiständin von X._ und Z._ unterzeichneten Vergleich. Diesen Entscheid hob das Obergericht des Kantons Aargau auf Appellation der Kindsmutter hin wegen Verletzung deren rechtlichen Gehörs auf und wies das Verfahren zur weiteren Fortsetzung an das Bezirksgericht zurück (Urteil vom 23. Juni 2009).
B.b In ihrer Stellungnahme vom 17. Februar 2010 beantragte Y._, die monatlichen Unterhaltsbeiträge wie folgt festzulegen: bis zum 31. Dezember 2009 Fr. 1'390.--, bis zum 31. Dezember 2011 Fr. 1'690.-- und bis zum vollendetem 6., 13., 16. bzw. 18. Altersjahr von X._ Fr. 1'800.--, Fr. 1'900.--, Fr. 1'400.-- bzw. Fr. 1'600.--, je zuzüglich Kinderzulagen; seit 16. April 2008 ausgewiesene Unterhaltszahlungen seien anzurechnen. Weiter ersuchte die Mutter darum, den persönlichen Verkehr zum Vater zu regeln und die im Jahre 2008 angeordnete Beistandschaft weiterzuführen. Z._ beantragte dem Bezirksgericht, er sei zu Unterhaltszahlungen von Fr. 650.-- (bis 31. Dezember 2009), Fr. 800.-- (bis zum 12. Altersjahr von X._) bzw. Fr. 1'000.-- (bis zur Mündigkeit von X._) zu verpflichten; im Übrigen hielt er an den bisher gestellten Anträgen fest.
B.c Das Bezirksgericht Bremgarten verurteilte Z._ am 2. Dezember 2010, Y._ an den Unterhalt von X._ bis zur Vollendung des 6. Altersjahrs Fr. 800.-- und ab dem 7. Altersjahr bis zur Mündigkeit Fr. 1'100.-- zu bezahlen. Es erklärte den Vater zur Verrechnung mit bereits geleisteten Unterhaltsbeiträgen berechtigt und verpflichtete die Mutter zur Berichterstattung über die Entwicklung von X._.
C. C.a X._ appellierte gegen das erstinstanzliche Urteil. Vor dem Obergericht des Kantons Aargau wehrte sie sich gegen die Höhe und die fehlende Indexierung der Unterhaltsbeiträge sowie gegen die vorinstanzliche Kostenverteilung. Sie beantragte, Z._ wie folgt zur Bezahlung von Unterhalt zu verpflichten: Fr. 1'500.-- vom 1. Januar 2010 bis 31. Dezember 2011, Fr. 1'960.-- vom 1. Januar 2012 bis 31. Juli 2012, Fr. 1'640.-- vom 1. August 2012 bis 30. April 2014, Fr. 1'870.-- vom 1. Mai 2014 bis 30. April 2020, Fr. 1'590.-- vom 1. Mai 2020 bis 30. April 2024 und Fr. 1'780.-- vom 1. Mai 2024 bis 30. April 2026. Überdies verlangte sie, die seit ihrer Geburt bereits geleisteten Unterhaltsbeiträge konkret anzurechnen. In seiner Anschlussappellation beharrte Z._ bezüglich der Alimente auf den vor erster Instanz gestellten Anträgen.
C.b Soweit vor Bundesgericht noch relevant, sprach das Obergericht des Kantons Aargau dem Kind X._ indexierte Unterhaltsbeiträge von Fr. 800.-- (1. September 2011 bis 31. Dezember 2020) bzw. Fr. 1'000.-- (1. Januar 2021 bis 31. Dezember 2026) zu, je zuzüglich Kinderzulagen. Weiter verpflichtete es X._, sich allfällige, für die Zeit ab 16. April 2008 ausgerichtete Geldleistungen der Invalidenversicherung an die Unterhaltsbeiträge anrechnen zu lassen und sich gegenüber Z._ über die vereinnahmten Nettozahlungen auszuweisen. Im Übrigen wies das Obergericht die Appellation und die Anschlussappellation ab.
D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. November 2011 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Bezüglich der eingeklagten Unterhaltsbeiträge stellt sie die gleichen Begehren wie vor Obergericht (Bst. C.a), abgesehen von folgender Abweichung: Für die letzte Phase verlangt sie, Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) habe den Unterhalt von Fr. 1'780.-- nicht bis zum 30. April 2026, sondern bis zum 31. Dezember 2026 zu bezahlen. Im Übrigen stellt sie den Eventualantrag, die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren ersucht die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerdeführerin wehrt sich binnen Frist gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Zivilsache, deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 72 Abs. 1, 75, 90, 100 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist somit einzutreten.
1.2 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft gehörig behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) an sich mit freier Kognition. Da sich der vorliegende Rechtsstreit aber allein um die Festsetzung des Unterhalts der Beschwerdeführerin dreht, gilt es zu beachten, dass der Richter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3a S. 141; Botschaft, BBl 1996 I S. 115 f.). Das Bundesgericht übt bei der Überprüfung solcher Entscheide eine gewisse Zurückhaltung: Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, das heisst wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 162; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 1 S. 99).
In jedem Fall legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Diesbezüglich kann die Beschwerdeführerin nur einwenden, die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen, insbesondere auf der Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255). Überdies ist darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft demnach nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
1.3 Nicht zulässig sind vor Bundesgericht neue Begehren (<ref-law>), das heisst Begehren, mit denen die Vorinstanz nicht befasst war (<ref-ruling> E. 2 S. 121) und die zu einer Ausweitung des Streitgegenstandes führen. Soweit die Beschwerdeführerin mehr oder anderes verlangt, als sie bereits vor dem Obergericht geltend gemacht hatte, ist daher auf ihre Beschwerde nicht einzutreten.
2. Der vorliegende Unterhaltsstreit hat zum einen den Barbedarf der Beschwerdeführerin zum Gegenstand.
2.1 Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz zunächst vor, ihre Kosten für behinderungsbedingte Transporte und spezielle Arzneimittel von monatlich Fr. 250.-- nicht berücksichtigt zu haben; "ebenso betroffen" sei ein Mehraufwand für Therapien von Fr. 200.--. Sie stützt sich hierbei auf die Budgetberechnungen der zuständigen Sozialhilfebehörde für die Monate November 2010 bis Juni 2011, die sie dem Obergericht mit ihrer Antwort auf die Anschlussappellation vom 7. Juni 2011 eingereicht hatte.
2.1.1 Vor Obergericht hatte die Beschwerdeführerin nur die zuerst erwähnten Zusatzkosten von Fr. 250.-- verlangt. Der Mehraufwand für Therapien von Fr. 200.-- ist nicht Gegenstand des obergerichtlichen Urteils. Dass erst der angefochtene Entscheid Anlass gegeben hätte, vor Bundesgericht neu auch dieses Betreffnis in Rechnung zu stellen, behauptet die Beschwerdeführerin nicht. Das diesbezügliche Vorbringen ist somit unzulässig (<ref-law>).
2.1.2 Die Kosten für Transporte und Arzneimittel von Fr. 250.-- erachtete das Obergericht als "nicht durch die erforderlichen Belege nachgewiesen". Ebenso wenig sei nachgewiesen, dass diese Kosten nicht von der Krankenkasse oder der Invalidenversicherung gedeckt und zudem notwendig seien. Die Berechnungsblätter der Sozialhilfe vermöchten den Beweis nicht zu erbringen, da daraus die Berechnungsgrundlagen nicht ersichtlich seien und die Einschätzungen der Sozialhilfe das Gericht nicht bänden. Vielmehr hätte es des konkreten Nachweises über Höhe und Notwendigkeit der entsprechenden Aufwendungen bedurft. Im Ergebnis sei die Beschwerdeführerin "der ihr auch unter Geltung der Untersuchungsmaxime obliegenden Mitwirkungspflicht" nicht nachgekommen. Der lediglich behauptete und somit unsubstanziiert gebliebene Aufwand könne in der Bedarfsberechnung deshalb nicht berücksichtigt werden.
Die Beschwerdeführerin erblickt in dieser Argumentation eine Verletzung der Untersuchungsmaxime. Sie wendet ein, das Obergericht hätte sie auf die - seiner Meinung nach - fehlenden Beweisgrundlagen hinweisen und sie zur Nachreichung auffordern oder die Akten der Gemeinde C._ anfordern müssen. Indem es dies unterlassen habe, sei es in Willkür verfallen und müsse sich überspitzten Formalismus vorwerfen lassen. Denn bei den eingereichten Schriftstücken handele es sich um offizielle Bescheinigungen der Gemeinde C._.
2.1.3 Nach <ref-law> (in Kraft bis 31. Dezember 2010), der auf den vorliegenden Unterhaltsstreit noch Anwendung findet (<ref-law>), erforscht das Gericht den Sachverhalt von Amtes wegen und würdigt die Beweise nach freier Überzeugung. Der Richter ist demnach verpflichtet, von sich aus alle Elemente in Betracht zu ziehen, die entscheidwesentlich sind, und unabhängig von den Anträgen der Parteien Beweise zu erheben. Die Untersuchungsmaxime entbindet die Parteien jedoch nicht davon, am Verfahren aktiv mitzuwirken und ihre eigenen Standpunkte zu vertreten; an ihnen ist es, den Richter über den Sachverhalt zu unterrichten und ihn auf die greifbaren Beweismittel hinzuweisen (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 413 f.; bestätigt in <ref-ruling> E. 3.2 S. 183 f.). Immerhin muss das Gericht die Parteien entsprechend befragen, soweit es an der Richtigkeit und/oder Vollständigkeit der ihm vorliegenden Angaben Zweifel hat oder haben müsste und soweit nicht die Abänderung von Unterhaltsbeiträgen, sondern - wie hier - deren erstmalige Festsetzung in Frage steht.
2.1.4 Wie sich aus den kantonalen Akten ergibt, hatte die Mutter der Beschwerdeführerin die streitige Bedarfsposition schon im erstinstanzlichen Verfahren in ihrer Stellungnahme vom 17. Februar 2010 geltend gemacht und als Beweismittel hierfür die Parteibefragung genannt. Nun legte das Bezirksgericht Bremgarten seinem Urteil vom 2. Dezember 2010 aber die Annahme zugrunde, dass "die medizinisch indizierten Zusatzkosten ... allesamt von den Versicherungen gedeckt und ... nicht von den Eltern zu tragen" sind. Wenn die Beschwerdeführerin im Appellationsverfahren auf der Anrechnung der Zusatzkosten von Fr. 250.-- beharrte, hatte sie demnach allen Grund, nicht erst auf Insistieren des Obergerichts, sondern aus eigener Initiative anhand konkreter Belege den Nachweis zu erbringen, dass diese Kosten entgegen der Annahme des Bezirksgerichts eben gerade nicht von den Versicherungen gedeckt werden. Eine aktive Mitwirkung am Verfahren konnte von ihr umso mehr verlangt werden, als sie selbst einräumt, die konkreten Belege liessen sich "wohl problemlos" beschaffen. Dass die Budgetabrechnungen der Sozialhilfe keinen Aufschluss darüber geben, ob die streitigen Kosten von den Versicherungen gedeckt sind, bestreitet die Beschwerdeführerin nicht. Nachdem sie aber auch diese Beweisstücke erst in ihrer Antwort auf die Anschlussappellation beibrachte, trifft das Obergericht nicht der Vorwurf, es habe die Untersuchungsmaxime verletzt, weil es weder von der Beschwerdeführerin noch von der Gemeinde weitere Beweisgrundlagen eingefordert habe. Insofern hält der angefochtene Entscheid vor Bundesrecht stand, und die in diesem Zusammenhang erhobenen Vorwürfe und Rügen erweisen sich als unbegründet.
2.2 Des Weitern macht die Beschwerdeführerin geltend, ihrer Mutter würden Tagesmutterkosten anfallen, "wenn sie den üblichen Arbeitspensen nachzugehen" habe. Diese Fremdbetreuungskosten betrügen "ausweislich der Akten und eingereichten Belege" Fr. 640.-- pro Monat und seien in ihrem Barbedarf zu berücksichtigen.
2.2.1 Das Obergericht weist diese Forderung zurück mit der Begründung, bei unverheirateten Eltern stünden der Kindsmutter ausserhalb von <ref-law> keine Ansprüche gegenüber dem Vater zu. Den Barbedarf der Beschwerdeführerin um die Fremdbetreuungskosten ihrer Mutter zu erweitern hiesse im Falle nie verheiratet gewesener Eltern, den nicht obhutsberechtigten, seine Unterhaltspflicht in Geldform leistenden Vater doppelt zu belasten. Müsse die Mutter in dem Umfang, in welchem sie einer Erwerbstätigkeit nachgehe, die damit verbundenen Fremdbetreuungskosten nämlich nicht übernehmen, so partizipiere sie selbst an den Unterhaltszahlungen an ihr Kind, da sie in diesem Umfang weder Unterhalt in natura - durch Pflege und Erziehung - noch einen finanziellen Beitrag leisten müsste. Dies aber gehe ausserhalb des nachehelichen Unterhalts und abgesehen von sehr guten wirtschaftlichen Verhältnissen des unterhaltspflichtigen, nicht obhutsberechtigten Elternteils de lege lata nicht an. Daher seien die Fremdbetreuungskosten zwar an den Gesamtbedarf der Beschwerdeführerin anzurechnen, jedoch nicht in den vom Beschwerdegegner zu leistenden Barbedarf aufzunehmen, sondern aus dem von der obhutsberechtigten Kindsmutter "erzielten resp. künftig zu erzielenden Erwerbseinkommen zu decken".
2.2.2 Die Beschwerdeführerin ist der Ansicht, die Argumentation der Vorinstanz überzeuge nicht. Ihr Einwand, gemäss <ref-law> gehöre die Leistungsfähigkeit der Eltern zu den Bemessungskriterien des Kindesunterhalts, ist jedoch unbehelflich. Denn mit Bezug auf die streitigen Fremdbetreuungskosten befasst sich das Obergericht gar nicht mit der Leistungsfähigkeit der Eltern. Ausschlaggebend für seinen Entscheid war vielmehr der Umstand, dass der Beschwerdegegner nie mit der Mutter der Beschwerdeführerin verheiratet war. Auch dass der Beschwerdegegner in "sehr guten wirtschaftlichen Verhältnissen" leben und es sich aus diesem Grund rechtfertigen würde, ihm die beschriebene Doppelbelastung aufzubürden, behauptet die Beschwerdeführerin zu Recht nicht. In nachvollziehbarer Weise hat das Obergericht die geltende Rechtslage bei unverheirateten Eltern dargelegt und von derjenigen verheirateter oder geschiedener Eltern unterschieden. Dass es damit in Missachtung seines Ermessensspielraums Unterscheidungen getroffen hätte, die keine Rolle hätte spielen dürfen (vgl. E. 1.2), ist nicht ersichtlich.
2.3 Schliesslich stört sich die Beschwerdeführerin daran, dass das Obergericht bei der Festsetzung ihres Barbedarfs die Empfehlungen der Kammer für Vormundschaftswesen vom 1. November 2005 (nachfolgend "Kreisschreiben") gestützt auf den Indexstand vom 1. August 2005 angewendet hat. Sie verlangt, den im Kreisschreiben erwähnten Barbedarf auf den Stand von Februar 2011 zu erhöhen. Dass sich das Obergericht bei der Ermittlung des tatsächlichen Unterhaltsbedarfs von diesen Empfehlungen leiten lassen durfte, stellt die Beschwerdeführerin allerdings nicht in Frage. In der Tat kommt die konkrete Bedarfsermittlung nicht ohne gewisse Pauschalierungen aus. Soweit das Gericht die erforderlichen Anpassungen vornimmt, darf es daher auch auf vorgegebene Bedarfszahlen von der Art abstellen, wie sie im besagten Kreisschreiben enthalten sind (Urteil 5A_733/2009 vom 10. Februar 2010 E. 3.3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Die Beträge gemäss solchen Tabellen stellen freilich nur ein Hilfsmittel für die Festsetzung des Unterhaltsbeitrages dar und haben Richtwertcharakter. Entsprechend liegt es in der Natur der Sache, dass diese Werte nicht kontinuierlich angepasst werden müssen. Schon unter diesem Gesichtspunkt sowie in Anbetracht der Tatsache, dass sich der Landesindex der Konsumentenpreise im fraglichen Zeitraum nur um ca. 5 Prozent erhöht hat, ist dem Obergericht keine rechtsfehlerhafte Ausübung seines Ermessens vorzuwerfen, wenn es die im Kreisschreiben enthaltenen Werte nicht dem Indexstand vom Februar 2011 angepasst hat. Vor allem aber übersieht die Beschwerdeführerin, dass im Falle einer "Indexbereinigung" nicht nur die Bedarfswerte, sondern auch das ihnen zugrunde liegende Durchschnittseinkommen von Fr. 7'650.-- auf Fr. 8'052.-- zu erhöhen wäre. Als Folge davon betrüge die Differenz zwischen diesem Einkommen und den tatsächlichen Einkünften des Beschwerdegegners nicht zehn, sondern fünfzehn Prozent, was sich bei einer entsprechenden Kürzung der indexbereinigten Bedarfszahlen eher zum Nachteil der Beschwerdeführerin auswirken würde.
2.4 Nach dem Gesagten steht fest, dass der angefochtene Entscheid hinsichtlich der Barmittel, welche die Beschwerdeführerin zur Bestreitung ihres Unterhalts benötigt, nicht zu beanstanden ist. In dieser Hinsicht erweist sich die Beschwerde als unbegründet.
3. Alsdann richtet sich die Beschwerde gegen die vorinstanzliche Ermittlung des massgeblichen Einkommens des Beschwerdegegners.
3.1 Die Beschwerdeführerin ist vorab der Meinung, das Obergericht habe seine Kreisschreiben für die Bemessung von Unterhaltsbeiträgen (s. E. 2.3) falsch angewendet. Zum "durchschnittlichen monatlichen Nettoeinkommen", von dem in diesem Kreisschreiben die Rede sei, müssten auch die Kinderzulagen gezählt werden. Überdies habe das Obergericht die Kinderzulage zu Unrecht vom Barbedarf gemäss Kreisschreiben abgezogen; diese Zulagen seien zusätzlich zum Barbedarf geschuldet. Diese Auffassung trifft nicht zu. Nach der Rechtsprechung ist eine Kinder- oder Ausbildungszulage in jedem Fall vom Bedarf des unterhaltsberechtigten Kindes abzuziehen, denn diese Leistungen, die ausschliesslich für den Unterhalt des Kindes bestimmt sind, werden nicht zum Einkommen des bezugsberechtigten Elternteils hinzugezählt, sondern sind bei der Ermittlung des durch den Unterhaltsbeitrag zu deckenden Bedarfs des Kindes vorweg in Abzug zu bringen (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 64 mit Hinweisen). Im Einklang mit dieser Rechtslage hält das Obergericht in Ziff. IV/1 des Kreisschreibens denn auch fest, dass die Eltern den Unterhaltsbedarf des Kindes zu bestreiten haben, soweit dieser nicht durch Drittleistungen gedeckt ist.
3.2 Weiter macht die Beschwerdeführerin geltend, bei der Berechnung des Einkommens werde "ausdrücklich von beiden Eltern ausgegangen". Da ihre Mutter in Zukunft ebenfalls ein Erwerbseinkommen erzielen werde, übersteige das Gesamteinkommen der Eltern den Durchschnittslohn von Fr. 7'650.--, der dem erwähnten Kreisschreiben zugrunde liege. Zu Unrecht habe das Obergericht daher allein das Einkommen des Beschwerdegegners berücksichtigt und ihren Barbedarf gekürzt. Auch diese Argumentation vermag nicht zu überzeugen.
3.2.1 Der Kindesunterhalt wird durch Pflege und Erziehung oder, wenn das Kind nicht unter der Obhut der Eltern steht, durch Geldzahlung geleistet (<ref-law>). Nach <ref-law> muss der Geldunterhalt den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern entsprechen und ausserdem Vermögen und Einkünfte des Kindes sowie den Beitrag des nicht obhutsberechtigten Elternteils an der Betreuung des Kindes berücksichtigen. Nach der Rechtsprechung ist derjenige Elternteil, der über die höhere finanzielle Leistungskraft verfügt, grundsätzlich gehalten, für den gesamten Barbedarf seines Kindes aufzukommen, wenn der andere Elternteil seine Unterhaltspflicht im Wesentlichen in natura, das heisst durch Pflege und Erziehung erbringt. Bei der Bemessung der Geldleistung eines Elternteils allein ist dessen Leistungsfähigkeit voll auszuschöpfen (HAUSHEER/SPYCHER, Handbuch des Unterhaltsrechts, 2. Aufl. 2010, S. 450). Über die Schranke der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit des Rentenschuldners darf sich das Gericht aber in aller Regel nicht hinwegsetzen, denn dieser kann für sich selbst die Sicherung der Existenz beanspruchen (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 62 mit Hinweisen).
3.2.2 Abgesehen davon, dass die Beschwerdeführerin keinerlei Anhaltspunkte dazu liefert, ab welchem Zeitpunkt und in welcher Höhe ihre Mutter überhaupt ein Erwerbseinkommen erzielen wird, käme eine Zusammenrechnung der Erwerbseinkommen beider Eltern nach dem Gesagten von vornherein nur in Frage, wenn die Beschwerdeführerin zur Deckung ihres Unterhaltes nicht nur vom Beschwerdegegner, sondern auch von ihrer Mutter - über die von ihr erbrachte Pflege und Erziehung hinaus - einen Geldbetrag verlangen würde. Eine solche Forderung stand im vorliegenden Unterhaltsprozess jedoch zu keinem Zeitpunkt zur Diskussion. Soll demnach der Beschwerdegegner allein für den Barbedarf der Beschwerdeführerin aufkommen, so können für die Bemessung des Geldbeitrages auch nur die väterlichen Einkommensverhältnisse massgeblich sein. Im Übrigen könnte in Fällen wie dem vorliegenden, wo eine Ehe oder Hausgemeinschaft nie bestanden hat, ohnehin nicht von einem gemeinsamen "Familieneinkommen" ausgegangen werden (vgl. HAUSHEER/SPYCHER, a.a.O., S. 431).
3.3 Schliesslich bemängelt die Beschwerdeführerin die konkrete Ermittlung des väterlichen Einkommens. Dieses belaufe sich "gemäss Ziff. 4.3.2 des angefochtenen Urteils" auf Fr. 7'432.-- pro Monat; wenn das Obergericht "scheinbar" auf Fr. 7'000.-- komme, unterlaufe ihm ein Rechnungsfehler. Das Obergericht kommt zum Schluss, sowohl für die Periode bis zum sechsten Altersjahr der Beschwerdeführerin als auch für die Zeit danach sei von einem Nettoeinkommen des Beschwerdegegners von Fr. 6'800.-- auszugehen. Diese - für das Bundesgericht verbindlichen (<ref-law>; s. E. 1.2) - Feststellungen stützen sich ausdrücklich auf die Erwägungen 4.2 und 4.3 des erstinstanzlichen Urteils. Der von der Beschwerdeführerin gerügte angebliche Rechnungsfehler findet sich denn auch nicht in Erwägung 4.3.2 des angefochtenen, sondern in Erwägung 4.3.2 des erstinstanzlichen Urteils. War aber bereits dieses Urteil mit dem vermeintlichen Rechnungsfehler behaftet, ist die Beschwerdeführerin mit ihrem Vorwurf vor Bundesgericht mangels materieller Erschöpfung des Instanzenzuges nicht zu hören, denn sie hat diese Rüge vor Obergericht nicht erhoben, sondern ist in ihrer Appellation sogar von den gleichen Zahlen ausgegangen wie das Bezirksgericht. Untersteht ein Vorbringen im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen - wie diese Sachverhaltsrüge - dem Rügeprinzip, so ergibt sich aus dem Erfordernis der Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheides (<ref-law>), dass die rechtssuchende Partei die ihr bekannten rechtserheblichen Einwände der Vorinstanz nicht vorenthalten darf, um sie erst nach dem Ergehen eines ungünstigen Entscheides im anschliessenden Rechtsmittelverfahren zu erheben (<ref-ruling> E. 2 S. 640 mit Hinweisen).
4. 4.1 Endlich will die Beschwerdeführerin in verschiedener Hinsicht nicht gelten lassen, was der Beschwerdegegner an Mitteln für sich selbst und für seine Familie in Anspruch nimmt. So beschwert sie sich darüber, die im bisherigen Verfahren berücksichtigten Wohnungskosten ihres Vaters von Fr. 1'650.-- (bzw. Fr. 1'609.-- ab 2010) würden den zulässigen Richtwert sprengen; dem Beschwerdegegner sei in seiner "Existenzminimumabrechnung" lediglich ein Mietzins von Fr. 1'200.-- anzurechnen. Zudem zahle der Beschwerdegegner seiner geschiedenen Frau und seinen Kindern aus erster Ehe zu hohe Unterhaltsbeiträge und hätte schon lange ein Abänderungsbegehren stellen sollen; nur so könne dem Gebot der relativen Gleichbehandlung aller unterhaltsberechtigten Kinder Rechnung getragen werden. In Anbetracht ihrer speziellen Situation erachtet die Beschwerdeführerin es als stossend, dass der Beschwerdegegner ihren zwei Halbgeschwistern mit je Fr. 800.-- gleichviel an Unterhalt ausrichtet, wie sie gemäss dem angefochtenen Urteil allein erhalten soll. Lasse das Obergericht die Frage der Reduktion der Wohnkosten und der Abänderung der übrigen Unterhaltsbeiträge mit der Begründung offen, der ermittelte Überschuss von Fr. 900.-- reiche jedenfalls zur Deckung des geschuldeten Unterhaltsbeitrages aus, so sei ihm eine Rechtsverweigerung und eine Verletzung bzw. willkürliche Anwendung von <ref-law> vorzuwerfen. Womöglich erübrige sich die verlangte "Öffnung" des Existenzminimums des Beschwerdegegners "nach oben", weil dieser den nachehelichen Unterhalt nur bis Dezember 2011 schulde und jedenfalls ab Januar 2012 einen ihren Verhältnissen gebührenden Unterhalt bezahlen könne.
4.2 All diese Vorbringen gehen an der Sache vorbei. Wie sich aus den vorstehenden Erwägungen ergibt, hält nicht nur die vorinstanzliche Festsetzung des Barbedarfs der Beschwerdeführerin (E. 2), sondern auch die Ermittlung der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit des Beschwerdegegners (E. 3) vor Bundesrecht stand. Es bleibt also beim vorinstanzlichen Ergebnis, wonach sich der Barbedarf der Beschwerdeführerin - abzüglich der Kinderzulagen (E. 3.1) - auf Fr. 500.-- (16. April 2008 bis 31. Dezember 2014), Fr. 740.-- (1. Januar 2015 bis 31. Dezember 2020), Fr. 730.-- (1. Januar 2021 bis 31. Dezember 2024) bzw. Fr. 1000.-- (1. Januar 2025 bis 31. Dezember 2026) beläuft. Damit steht die obere Grenze des gesetzlich geschuldeten Unterhaltsbeitrages fest, die das Obergericht - entgegen den Vorwürfen der Beschwerdeführerin - sehr wohl in Abhängigkeit der vier im Kreisschreiben vorgesehenen Altersstufen ermittelt hat. Weil der Beschwerdegegner für die ersten drei Altersstufen seinen ausdrücklichen Anträgen zufolge mehr als den errechneten Bedarf zu bezahlen bereit ist, reduziert sich die Abstufung nach Altersjahren entsprechend. Warum ihr Unterhalt trotzdem "höher ausfallen" müsste und im Budget des Beschwerdegegners zu ihren Gunsten eine "Umschichtung" zu erfolgen hätte, ist nicht ersichtlich, zumal die Beschwerdeführerin in keiner Weise aufzeigt, wie sich die von ihr eingeklagten Unterhaltsbeiträge im Einzelnen zusammensetzen. Bloss zu behaupten, dass die von ihr gestellten Anträge "durchaus gerechtfertigt waren und durch die finanziellen Verhältnisse beim Beschwerdegegner problemlos zu bewältigen sind bzw. sein werden", genügt jedenfalls nicht. Unter diesen Voraussetzungen ist dem Obergericht weder eine Verletzung von <ref-law> noch eine "Willkürlichkeit" im Sinne von <ref-law> vorzuwerfen, wenn es offenlässt, ob der Wohnkostenanteil des Beschwerdegegners zu reduzieren sei und seine übrigen Unterhaltsverpflichtungen angepasst werden müssen.
5. Gestützt auf die vorstehenden Erwägungen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie ist kostenpflichtig (<ref-law>). Angesichts der besonderen Umstände verzichtet das Bundesgericht darauf, Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Insofern erweist sich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege als gegenstandslos. Im Übrigen ist das Gesuch abzuweisen. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos gelten, weshalb es auch für das bundesgerichtliche Verfahren an den materiellen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner sind keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn