Erwägungen:
1. X._ reichte am 17. August 2010 bei der Bundesanwaltschaft Strafanzeige gegen Bundesrichterin Fabienne Hohl sowie gegen Oberrichter und Beamte des Kantons Bern (bzw. gegen Unbekannt) ein wegen strafbaren Handlungen gegen die Amts- und Berufspflicht, Verstoss gegen Art. 9, 29 und 30 BV sowie Beteiligung an einer kriminellen Organisation. Soweit die Anzeige gegen Oberrichter und Beamte des Kantons Bern gerichtet war, wurde sie am 1. September 2010 zur Weiterbehandlung an das Untersuchungsrichteramt III Bern-Mittelland überwiesen. Mit Beschluss vom 17. bzw. 27. September 2010 traten der zuständige Untersuchungsrichter 14 des Untersuchungsrichteramts III Bern-Mittelland und die Staatsanwaltschaft III Bern-Mittelland auf die Strafanzeige zufolge offensichtlicher Unbegründetheit nicht ein. Dagegen erhob X._ am 9. Oktober 2010 Rekurs. Die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern trat mit Beschluss vom 7. Dezember 2010 auf den Rekurs nicht ein. Zur Begründung führte die Anklagekammer zusammenfassend aus, dass aus der Rekursschrift hervorgehen müsse, weshalb und inwiefern der angefochtene Entscheid als fehlerhaft betrachtet werde. Blosse Behauptungen und Verweise auf frühere Eingaben seien ungenügend. Diesen Erfordernissen genüge die Rekurseingabe nicht. Der Rekurrent beschränke sich auf pauschale Vorwürfe und lege nicht dar, inwiefern den angezeigten Personen strafrechtlich relevantes Verhalten vorgeworfen werde. Auf den Rekurs sei daher nicht einzutreten. Ausserdem hätte auch mangels Prozessfähigkeit auf den Rekurs nicht eingetreten werden können.
2. X._ führt mit Eingabe vom 28. Januar 2011 (Postaufgabe 30. Januar 2011) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern vom 7. Dezember 2010. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 315; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Wird eine Verletzung des Willkürverbotes geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.).
Der Beschwerdeführer vermag mit seiner appellatorischen Kritik nicht darzulegen, inwiefern die Anklagekammer verfassungsmässige Rechte oder sonst wie Recht im Sinne von <ref-law> verletzt haben sollte, als sie mangels einer genügenden Rekursbegründung auf den Rekurs nicht eintrat. Da die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Beschlusses darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4. Da die Beschwerde nach dem Gesagten offensichtlich aussichtslos ist, ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung abzuweisen (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).
Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Untersuchungsrichter 14 des Untersuchungsrichteramtes III Bern-Mittelland, der Staatsanwaltschaft III Bern-Mittelland und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Pfäffli