Sachverhalt:
A. X._ ist 1966 geboren und stammt aus Gambia. Er reiste am 5. September 1994 in die Schweiz ein. Sein Asylgesuch blieb ohne Erfolg: Das Bundesamt für Flüchtlinge wies das Ersuchen am 28. Oktober 1994 ab und ordnete die Wegweisung an. Der Gesuchsteller rekurrierte dagegen. Ab dem 30. Juni 1996 galt er als verschwunden.
Am 18. Juli 1996 verheiratete sich X._ in Gambia mit der 1959 geborenen Schweizer Bürgerin Y._. Nach der Einreise in die Schweiz erhielt er im November 1996 zufolge seiner Heirat eine Jahresaufenthaltsbewilligung im Kanton Waadt. Das Verfahren vor der Schweizerischen Asylrekurskommission wurde abgeschrieben. Per 30. März 1999 meldeten sich die Ehegatten in Basel an. Am 31. Mai 2000 kam die gemeinsame Tochter Z._ zur Welt. Seit dem 11. Oktober 2001 verfügt X._ über eine Niederlassungsbewilligung.
B. X._ stellte am 10. August 2002 ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung nach Art. 27 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0).
Die Eheleute unterzeichneten am 27. März 2004 die gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten und stabilen ehelichen Gemeinschaft zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Sie nahmen davon Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens die Trennung oder Scheidung beantragt werde und die eheliche Gemeinschaft nicht mehr bestehe, und dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung gemäss <ref-law> führen könne.
Am 22. April 2004 wurde X._ gestützt auf <ref-law> erleichtert eingebürgert. Nebst dem Schweizer Bürgerrecht erwarb er das Bürgerrecht der Gemeinde Mitlödi (Kanton Glarus).
C. Mit Verfügung vom 10. November 2005 bewilligte das Zivilgericht Basel-Stadt den Ehegatten das Getrenntleben mit Wirkung ab dem 31. Dezember 2005 bzw. ab dem Zeitpunkt der Trennung und ordnete für die Dauer der Trennung die elterliche Sorge über die Tochter und die Leistung von Beiträgen. Am 26. Dezember 2005 reiste X._ nach Gambia ab; am 1. September 2006 meldete er sich erneut in Basel an und bewohnt seither eine eigene Wohnung. In der Folgezeit soll die Ehe geschieden worden sein.
Im Mai 2005 erschien in der Coop-Zeitung ein autobiographisch wirkender Bericht von Y._ unter dem Titel "Ich muss meinen Mann teilen"; er handelt von einer Frau, deren Ehemann in Gambia eine zweite, jüngere Frau heiraten wolle. Im November 2007 erschien von Y._ ein Buch unter dem Titel "Musskeeba - Die Erstfrau", mit dem Untertitel "Erfahrungen mit der Polygamie in Gambia".
D. Das Bundesamt für Migration (BFM) leitete gestützt auf <ref-law> ein Verfahren auf Nichtigerklärung der Einbürgerung ein und informierte X._ am 15. Januar 2009 über die Verfahrenseröffnung. Dieser konnte sich zur Frage einer allfälligen Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung und namentlich zur Trennung von seiner Schweizer Ehefrau und zum Vorhalt der polygamen Eheführung (Eheschluss in Gambia mit einer zweiten Frau noch vor der Einbürgerung) äussern. Vorerst nahm die ehemalige Ehefrau zum Verfahren Stellung (19. März 2009), in der Folge auch der inzwischen anwaltlich vertretene X._ (30. März 2009).
Der Kanton Glarus als Heimatkanton von X._ erteilte die Zustimmung zur Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung.
Mit Verfügung vom 15. April 2009 erklärte das BFM die erleichterte Einbürgerung von X._ für nichtig.
In der Folge wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde von X._ am 14. Juni 2011 ab.
E. Gegen diesen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts hat X._ beim Bundesgericht am 13. Juli 2011 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und der Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung, eventualiter die Rückweisung der Sache an das BFM. Ferner ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Bundesamt für Migration und das Bundesverwaltungsgericht haben auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts betrifft eine auf <ref-law> gestützte Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung nach <ref-law>. Es kann mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss <ref-law> erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
2. Das Bundesverwaltungsgericht hat das Begehren des Beschwerdeführers um gerichtliche Befragung der ehemaligen Ehefrau abgewiesen (E. 3). Der Beschwerdeführer erwähnt diesen Umstand, ohne eine Verletzung von <ref-law> oder von <ref-law> zu rügen. Es braucht darauf nicht näher eingegangen zu werden. Im bundesgerichtlichen Verfahren ersucht der Beschwerdeführer erneut um Befragung der ehemaligen Ehefrau. Das Begehren ist abzuweisen. Der entscheidrelevante Sachverhalt erschliesst sich in hinreichender Weise aus den Akten. Es ist nicht ersichtlich, was eine Befragung der ehemaligen Ehefrau über deren sich in den Akten befindlichen Bericht hinaus ergeben sollte.
3. Die Rechtsprechung hat die Voraussetzungen für den erleichterten Erwerb des Schweizer Bürgerrechts und für die Nichtigerklärung eines solchen Erwerbs sowie die beweisrechtlichen Anforderungen für den Nachweis einer Erschleichung des Bürgerrechts in allgemeiner Weise umschrieben (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2 und 3 S. 164 mit Hinweisen). Das Bundesverwaltungsgericht ist zutreffend von diesen Umschreibungen ausgegangen.
3.1 Gemäss <ref-law> kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einer Schweizer Bürgerin ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit der Schweizer Bürgerin lebt. Das Bundesgericht geht davon aus, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von <ref-law> nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern das Vorliegen einer tatsächlichen Lebensgemeinschaft voraussetzt. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist (<ref-ruling> E. 2.3.1). Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern (<ref-ruling> E. 2 S. 164; <ref-ruling> E. 2 S. 484).
Nach <ref-law> (in der Fassung vom 25. September 2009, in Kraft seit 1. März 2011 [AS 2010 347]) bzw. nach <ref-law> (in der ursprünglichen Fassung [AS 1952 1087]) kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 2 S. 165; <ref-ruling> E. 3.1 S. 115).
In verfahrensrechtlicher Hinsicht richtet sich die erleichterte Einbürgerung nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021). Danach gilt der Untersuchungsgrundsatz, wonach die Behörde den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen hat (<ref-law>). Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.). Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig (<ref-ruling> E. 3 S. 165; <ref-ruling> E. 3.2 S. 486).
Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehrung der Beweislast (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 486). Der Betroffene muss nicht den Beweis des Gegenteils erbringen. Vielmehr genügt der Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerung (vgl. dazu allgemein OSCAR VOGEL/KARL SPÜHLER/MYRIAM GEHRI, Grundriss des Zivilprozessrechts, 8. Auflage, 2006, S. 263, Rz. 51; FRITZ GYGI, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Auflage, 1983, S. 283 f.). Dem Gesagten zufolge liegt die Beweislast dafür, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von <ref-law> im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung nicht oder nicht mehr bestanden hat, bei der Verwaltung. Es genügt deshalb, dass der Betroffene einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit der Schweizer Ehepartnerin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und dass er diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder der Betroffene kann darlegen, aus welchem Grund er die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als er die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit der Schweizer Ehepartnerin auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (<ref-ruling> E. 3 S. 166; Urteile 1C_167/2010 vom 21. Juni 2010 E. 3; 5A.22/2006 vom 13. Juli 2006 E. 2.3; 5A.18/2006 vom 28. Juni 2006 E. 2.3).
3.2 Der Beschwerdeführer kritisiert das angefochtene Urteil des Bundesverwaltungsgerichts in allgemeiner Weise. Er bringt vor, bei einem Scheidungsrisiko von 50 % könne nicht von Stabilität ehelicher Beziehungen gesprochen und eine solche im Zeitpunkt des Einbürgerungsgesuchs und der Einbürgerung nicht vorausgesetzt werden. Die Vorinstanz stelle auf die Ehe als ungeteilter Geschlechtsgemeinschaft ab. Auch wenn der Gesetzgeber von solchen Vorstellungen ausgegangen sein sollte, so entsprächen diese doch den heutigen Realitäten nicht (mehr). Daher könne auch im Zusammenhang mit der erleichterten Einbürgerung infolge Heirat nicht daran festgehalten werden.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der gefestigten Rechtsprechung nicht detailliert auseinander. Er übersieht, dass mit der erleichterten Einbürgerung nach <ref-law> ein besonderer Einbürgerungstatbestand geschaffen worden ist. Dieser erfordert nicht eine bloss vorübergehende lose Gemeinschaft, sondern setzt eine tatsächliche Lebensgemeinschaft voraus, welche von einem gemeinsamen Willen zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft getragen ist. Die erleichterte Einbürgerung findet darin ihre Rechtfertigung. Daran vermag der Umstand nichts zu ändern, dass eine Grosszahl von Ehen früher oder später geschieden werden. Überdies können Ehen in unterschiedlicher Weise geführt und aus unterschiedlichen Gründen getrennt werden. Unter dem Gesichtswinkel des Bürgerrechtsgesetzes ist einzig wesentlich, dass im Zeitpunkt der Erklärungsunterzeichnung und der Einbürgerung eine tatsächliche Ehe mit der Absicht zu einer stabilen Gemeinschaft gelebt wird. Dies kann indes nicht angenommen werden, wenn schon kurz danach ohne besondere Ereignisse die Gemeinschaft aufgelöst wird.
Mit seiner allgemein gehaltenen Kritik vermag der Beschwerdeführer keine Verletzung von Bundesrecht darzutun.
4. 4.1 Das Bundesverwaltungsgericht ging von der unbestrittenen Chronologie der Ereignisse aus: Der Beschwerdeführer reiste 1994 in die Schweiz ein, lernte Y._ 1995 in der Schweiz kennen und verheiratete sich mit ihr 1996 in Gambia. 2000 kam die gemeinsame Tochter Z._ zur Welt. Ab dem Jahre 2000 unterhielt der Beschwerdeführer in Gambia mit einer Cousine eine aussereheliche Beziehung. Er erhielt diese während seinen Ehejahren aufrecht. Das Gesuch um erleichterte Einbürgerung wurde im August 2002 gestellt; die Ehegatten unterzeichneten die genannte Erklärung am 27. März 2004, nachdem die Ehefrau von einem längeren Aufenthalt in Gambia zurückgekehrt war. Daraufhin wurde der Beschwerdeführer am 22. April 2004 erleichtert eingebürgert. Ab November 2005 bzw. ab Ende 2005 wurde die Ehe getrennt.
Der Beschwerdeführer bestreitet den Ablauf der genannten Ereignisse nicht. Die ehemalige Ehefrau hat in ihrem wohlwollenden Bericht festgehalten, dass der Beschwerdeführer etwa ab dem vierten Jahr nach der Eheschliessung, dass heisst, seit ca. 2000 mit seiner Cousine in Gambia in einer Beziehung stand. Der Beschwerdeführer wendet ein, er habe mit seiner Cousine in Gambia weder eine eheliche noch eine eheähnliche Beziehung gepflegt. Andernfalls hätte er diese Frau geheiratet und einen entsprechenden Familiennachzug in die Wege geleitet. Indes stellt er die von seiner ehemaligen Ehefrau bezeugte Beziehung als solche nicht in Abrede und bestreitet auch nicht, dass diese Beziehung seine Ehe belastete. Es ist nicht von Bedeutung, mit welchen Worten dieses Verhältnis umschrieben wird. Es ist auch unerheblich, ob in Gambia eine Ehe möglich und anerkannt wäre. Entscheidend ist vielmehr, dass diese Beziehung ein bedeutendes Indiz für die Instabilität der Ehe im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung und der Einbürgerung darstellt. Die Aufnahme und Aufrechterhaltung einer Parallelbeziehung während der Dauer der Ehe ist im Grundsatz nicht vereinbar mit dem Erfordernis einer stabilen, auf die Zukunft ausgerichteten Gemeinschaft. Daran vermag die unzutreffende Interpretation des Beschwerdeführers von bundesgerichtlichen Präjudizien (vgl. Urteile 1C_178/2010 E. 3 und 1C_201/2008 E. 3) nichts zu ändern. Es ergibt sich daraus, dass die genannte Parallelbeziehung des Beschwerdeführers zu seiner Cousine in Gambia ein klares Zeichen dafür ist, dass die Ehe im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung und der Einbürgerung nicht (mehr) als stabil bezeichnet werden kann.
Diese Folgerung findet ihre Stütze in weitern Umständen. Die Trennung erfolgte etwas mehr als 1 1⁄2 Jahre und somit relativ kurze Zeit nach der Unterzeichnung der gemeinsamen Erklärung und der Einbürgerung. Die ehemalige Ehefrau wusste seit längerem von der Beziehung ihres Ehemannes. Sie führte in ihrem Bericht aus, dass dies für sie nicht leicht zu leben war, dass sie gleichwohl an ihrer Ehe habe festhalten wollen. Dies mag möglicherweise für die erste Zeit zutreffen, kann indes auf die Länge und für den Zeitpunkt der Rückkehr aus Gambia, der Unterzeichnung der gemeinsamen Erklärung und der Einbürgerung nicht mehr angenommen werden. Mit der Vorinstanz kann vielmehr gefolgert werden, dass die ehemalige Ehefrau während ihres mehrmonatigen Aufenthalts in Gambia Klarheit über die tatsächlichen Verhältnisse erhielt und die Beziehung des Beschwerdeführers die Ehe nachhaltig belastete. An dieser Einschätzung vermag der Umstand nichts zu ändern, dass die Ehe bis zur Trennung gesamthaft rund neun Jahre andauerte. Ebenso wenig ist von Bedeutung, dass der Beschwerdeführer mit seiner ehemaligen Ehefrau einen freundschaftlichen Umgang pflegt, sich um die gemeinsame Tochter sorgt und seinen Unterhaltsverpflichtungen nachkommt.
4.2 Es ist daher zu prüfen, ob der Beschwerdeführer die Vermutung, dass die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt nicht mehr vom gemeinsamen Willen zu einer stabilen Gemeinschaft getragen war, durch ausserordentliche Ereignisse, welche zum raschen Zerfall der ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, umstossen kann. Wie dargetan, genügt hierfür, dass der Betroffene einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit der Schweizer Ehepartnerin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte.
Der Beschwerdeführer vermag unter diesem Gesichtswinkel nichts Wesentliches vorzubringen. Er verweist zwar auf seine Arbeitslosigkeit und erwähnt den Tod der Mutter seiner ehemaligen Ehefrau, ohne genauer darzulegen, in welchen Zeitabschnitten sich diese Vorfälle ereigneten und in welcher Weise sie das Eheleben belasteten. Die ehemalige Ehefrau erwähnte in ihrem Bericht, dass sie mit ihren Aufgaben als Ehefrau und Mutter, wegen ihrer Lebenskrise infolge Erwerbslosigkeit und Verarbeitung von Trauer sowie in Anbetracht von zwei Aborten vor der Geburt ihrer Tochter überlastet war. Die tiefgreifenden Schicksalsschläge hätten die Ehe ungewollt belastet. Auch diese Erklärungen, die als solche nicht in Frage gestellt werden, bleiben im Vagen. Insbesondere kann aus den Aborten vor 2000 und dem Umstand, dass die ehemalige Ehefrau nach der Geburt der Tochter nicht mehr schwanger wurde, nicht auf besondere Ereignisse geschlossen werden, welche den raschen Zerfall der ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung zu erklären vermöchten. Im Übrigen handelt es sich um Ereignisse und Schwierigkeiten, die in einer intakten Ehe im Allgemeinen gemeinsam getragen werden können.
Es zeigt sich gesamthaft, dass sich die Ehe des Beschwerdeführers insbesondere aufgrund von dessen Parallelbeziehung zu seiner Cousine in Gambia schwierig gestaltete und die Ehe erheblichen Belastungen ausgesetzt war. Es werden keine Umstände namhaft gemacht, die die rasche Auflösung der Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung plausibel erscheinen lassen könnten. Die Gesamtheit der Vorkommnisse lässt vielmehr den Schluss zu, dass im massgeblichen Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung und der Einbürgerung keine stabile, intakte und auf die Zukunft ausgerichtete Beziehung (mehr) bestand.
Demnach hat das Bundesverwaltungsgericht kein Bundesrecht verletzt, indem es in Bestätigung des Entscheids des Bundesamtes für Migration annahm, dass in der Periode von März/April 2004 keine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestand, welche Gewähr für die Stabilität der Ehe bietete, die Einbürgerung als erschlichen im Sinne von <ref-law> bezeichnete und die Einbürgerung als nichtig erklärte. Die vorliegende Beschwerde erweist sich somit als unbegründet.
5. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen.
Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung. Er belegt seine Bedürftigkeit mit Lohnausweisen, seinen finanziellen Verpflichtungen und der Steuererklärung 2010. Für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege verlangt Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG, dass die Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheinen. Vor dem Hintergrund der vorstehenden Erwägungen erweist sich die vorliegende Beschwerde als aussichtslos. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung ist daher abzuweisen. Es rechtfertigt sich indes, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. September 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Steinmann