Faits:
A. Au bénéfice d'une rente de l'assurance-invalidité, D._, (né en 1970) s'est vu allouer des prestations complémentaires à cette rente à partir du 1er février 1999.
A l'occasion d'une révision périodique du dossier du prénommé qu'il a initiée en 2010, le Service des prestations complémentaires de la République et canton de Genève (ci-après: le SPC) s'est aperçu que la rente de la prévoyance professionnelle à laquelle avait droit D._ (depuis le 7 mai 1998) lui avait été versée à hauteur de 16'010 fr. en 2005 et 2006, de 16'117 fr. en 2007 et 2008 et de 16'300 fr. en 2009 (cf. avis de taxation fiscale de l'intéressé pour lesdites années). Il a aussitôt, par décision du 12 août 2010, fixé à nouveau les prestations complémentaires à partir du 1er septembre 2010, en tenant compte d'une rente de la prévoyance professionnelle de 16'300 fr. Par ailleurs, comme les sommes effectivement versées à l'intéressé par le deuxième pilier dépassaient le montant de 8'210 fr. pris jusqu'alors en compte pour déterminer les prestations complémentaires, le SPC a rendu une décision le 21 juin 2011, par laquelle il a repris le calcul des prestations à partir du 1er août 2006 et notamment réclamé à D._ la somme de 34'108 fr. à titre de prestations complémentaires perçues en trop au cours de la période courant du 1er août 2006 au 30 juin 2011. L'intéressé ayant contesté cette décision, le SPC a partiellement admis son opposition et réduit à 32'562 fr. le montant de sa prétention (décision du 14 septembre 2011).
B. Saisi d'un recours de D._ contre cette décision, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, l'a rejeté par jugement du 19 juin 2012.
C. D._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement, dont il demande l'annulation en concluant principalement à ce qu'il soit reconnu qu'il "ne doit aucun rétroactif au Service des prestations complémentaires". A titre subsidiaire, il demande que soit ordonné "l'audit du système informatique du Service des prestations complémentaires".
Le Tribunal fédéral a renoncé à procéder à un échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public réalise les conditions de recevabilité posées par les art. 82 à 85 LTF. Partant, en raison de son caractère subsidiaire, le recours constitutionnel n'est pas recevable (<ref-law>).
2. Saisi d'un recours en matière de droit public (<ref-law>), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (<ref-law>) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (<ref-law>). Il examine en principe seulement les griefs motivés (<ref-law>) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (<ref-law>).
3. En tant que le recourant se plaint tout d'abord d'une violation de son droit d'être entendu parce que la juridiction cantonale n'a pas donné suite à son offre de preuve relative à l'examen du système informatique de l'intimé - ce qui, de l'avis du recourant, permettrait de prouver la date de réception d'une pièce au dossier -, son grief n'a pas de portée propre par rapport à celui tiré d'une appréciation arbitraire des preuves qu'il invoque également. L'assureur ou le juge peut effectivement renoncer à accomplir certains actes d'instruction sans que cela n'entraîne une violation du droit d'être entendu (sur cette notion en corrélation avec l'administration de preuves, cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 429, 119 Ib 492 consid. 5b/bb p. 505) s'il est convaincu, en se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 352), que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation (sur l'appréciation anticipée des preuves en général: <ref-ruling> consid. 3 p. 157; <ref-ruling> consid. 2 p. 428). L'argumenta-tion du recourant sera donc traitée avec le fond du litige.
4. Le litige porte sur la restitution des prestations complémentaires perçues en trop par le recourant du 1er août 2006 au 30 juin 2011. Au vu des motifs du recours, qui ont exclusivement trait au moment à partir duquel l'intimé avait pris connaissance du montant de la rente de la prévoyance professionnelle effectivement versé à l'intéressé, il s'agit singulièrement d'examiner si l'administration a respecté le délai de péremption d'une année prévu par l'<ref-law>.
4.1 Le droit de demander la restitution s'éteint un an après le moment où l'institution a eu connaissance du fait, mais au plus tard cinq ans après le versement de la prestation (art. 25 al. 2, première phrase LTF). Il s'agit de délais (relatif et absolu) de péremption, qui doivent être examinés d'office (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 582; <ref-ruling> consid. 1 p. 12).
4.2 Selon la jurisprudence, le délai de péremption relatif d'une année commence à courir dès le moment où l'administration aurait dû connaître les faits fondant l'obligation de restituer, en faisant preuve de l'attention que l'on pouvait raisonnablement exiger d'elle (<ref-ruling> consid. 5a p. 274). L'administration doit disposer de tous les éléments qui sont décisifs dans le cas concret et dont la connaissance fonde - quant à son principe et à son étendue - la créance en restitution à l'encontre de la personne tenue à restitution (<ref-ruling> consid. 3 p. 17). Si l'administration dispose d'indices laissant supposer l'existence d'une créance en restitution, mais que les éléments disponibles ne suffisent pas encore à en établir le bien-fondé, elle doit procéder, dans un délai raisonnable, aux investigations nécessaires. A défaut, le début du délai de péremption doit être fixé au moment où elle aurait été en mesure de rendre une décision de restitution si elle avait fait preuve de l'attention que l'on pouvait raisonnablement exiger d'elle. Dans tous les cas, le délai de péremption commence à courir immédiatement s'il s'avère que les prestations en question étaient clairement indues (arrêt K 70/06 du 30 juillet 2007 consid. 5.1 et les références, in SVR 2008 KV n° 4 p. 11).
5. 5.1 En ce qui concerne le moment à partir duquel l'intimé avait eu connaissance du montant effectif de la rente de la prévoyance professionnelle du recourant, la juridiction cantonale a constaté que le SPC avait été au fait des sommes allouées par la prévoyance professionnelle le 12 août 2010 (au plus tard): l'administration avait indiqué que les avis de taxation fiscale 2005 à 2009 avaient été scannés quelques jours après cette date, les explications qu'elle avait données sur l'accès direct aux rôles fiscaux, les procédures de révision et le "scannage" des pièces étant convaincantes; aucune pièce au dossier ne permettait par ailleurs d'établir au degré de la vraisemblance prépondérante que le SPC avait entrepris la révision périodique du dossier avant le 12 août 2010, date ressortant du fichier informatique remis; le SPC avait par ailleurs eu connaissance de l'avis de taxation 2009 en même temps que de celui de 2005, qui avait été numérisé le 17 août 2010 dans le même lot, et était connu le 12 août précédent. Dès lors, par ailleurs, que le recourant n'avait transmis les dernières informations utiles concernant ses pâturages qu'en janvier 2011, et que celles-ci étaient nécessaires pour vérifier l'ensemble des éléments de calcul des prestations, l'intimé avait agi dans le délai d'un an dès la connaissance du fait déterminant, en rendant sa décision de restitution le 21 juin 2011.
5.2 En substance, le recourant soutient que le dies a quo du délai de péremption d'un an prévu à l'<ref-law> doit être fixé antérieurement au 21 juin 2010 (soit largement plus d'une année avant la décision du 21 juin 2011). Selon lui, les avis de taxation fiscale pour les années 2005 à 2009, bien que numérisés par le SPC le 17 août 2010, figuraient déjà au dossier avant le 21 juin 2010. L'examen des pièces en cause montrait que seul l'avis de taxation 2005 portait un sceau humide permettant de déterminer la date de sa réception, ce sceau constituant l'unique moyen à disposition pour juger de la date à laquelle le SPC avait reçu les documents. Or, ce sceau ne présupposait en rien la réception des avis de taxation 2006 à 2009, figurant à la suite dans le dossier, la pratique du SPC selon laquelle il ne tamponnait que la première page d'un lot de pièces, alors même que celle-ci n'avait aucun lien avec les autres documents du lot ou ne mentionnait pas ces documents, ne pouvant être confirmée. Cela reviendrait en effet, de l'avis du recourant, à faciliter une pratique abusive, la date de réception d'un document pouvant être "façonnée" à loisir par l'administration en déplaçant celui-ci d'un lot de pièces à un autre. En ne considérant pas que les documents en question étaient en possession de l'intimé antérieurement au 21 juin 2010, la Cour de justice genevoise aurait enfreint les règles régissant le fardeau de la preuve et établi les faits de manière insoutenable.
6. 6.1 Les constatations de l'autorité judiciaire de première instance sur ce que les parties savaient ou ne savaient pas à un certain moment relèvent d'une question de fait (arrêt 9C_112/2011 du 5 août 2011 consid. 3, résumé in RSAS 2012 p. 67), que le Tribunal fédéral examine avec un pouvoir limité (consid. 2 supra). Quoi qu'en dise le recourant, les constatations des premiers juges quant à la date à laquelle l'intimé a eu connaissance des montants effectivement versés par la prévoyance professionnelle au cours des années précédentes ne sont ni manifestement inexactes, ni arbitraires.
A cet égard, le recourant se limite à affirmer que les avis de taxation fiscale pour les années 2006 à 2010 "figuraient déjà au dossier avant le 21 juin 2010", parce qu'ils étaient antérieurs à cette date, sans apporter ne serait-ce qu'un indice en ce sens. Une telle allégation, qui n'est corroborée par aucun élément au dossier, ne suffit pas à démontrer le caractère arbitraire ou manifestement inexact des constatations de la juridiction cantonale. Celles-ci ne reposent pas, de plus et contrairement à ce que prétend le recourant, uniquement sur les allégués de l'intimé, mais sur les pièces au dossier. Ainsi, il ressort de la décision du 12 août 2010 adressée au recourant que le SPC a corrigé, pour la première fois depuis ses décisions successives fixant les prestations complémentaires annuelles dès 1999, le calcul des prestations à partir du 1er septembre 2010 en fonction du montant de la rente de la prévoyance professionnelle déclaré pour la période d'imposition du 1er janvier au 31 décembre 2009 (16'300 fr.), ce qui démontre qu'il avait connaissance, à ce moment-là, de la modification pertinente pour 2009. C'est également le 12 août 2010 que l'intimé a initié une révision périodique et sollicité du recourant qu'il lui transmette, entre autres documents, les justificatifs du montant de la rente de prévoyance professionnelle pour les années 2005 à 2010. Le fait que la demande de pièces a été formulée à cette date est un indice supplémentaire que l'intimé a pris connaissance des montants effectifs de la rente du deuxième pilier à cette époque et non à une date antérieure à laquelle il n'aurait pas manqué d'entreprendre les démarches en vue d'une révision périodique.
En outre, le fait que du lot de pièces déterminantes - avis de taxation fiscale des années 2005 à 2009 - seule la première page (avis de taxation fiscale du 28 avril 2006, pièce 54) comporte un timbre d'enregistrement du SPC (du 17 août 2010) ne permet pas de douter que l'ensemble du lot a été enregistré par le SPC à cette date. Les critiques du recourant sur ce point, qui reviennent à insinuer des malversations de la part de l'intimé en vue de "façonner" la date de réception de pièces, ne sont pas convaincantes, dès lors qu'il ne s'agit que de pures suppositions sans aucun fondement, dont on ne saurait déduire une violation, par l'intimé, de son devoir d'enregistrer systématiquement tous les documents qui peuvent être déterminants, prévu à l'<ref-law> (à ce sujet, voir <ref-ruling> consid. 8.1.2 p. 223).
6.2 C'est en vain également que le recourant se plaint d'une violation des règles sur le fardeau de la preuve.
6.2.1 Le principe inquisitoire, qui régit la procédure dans le domaine de l'assurance sociale (cf. art. 43 al. 1 et 61 let. c LPGA), exclut que la charge de l'apport de la preuve ("Beweisführungslast") incombe aux parties, puisqu'il revient à l'administration, respectivement au juge, de réunir les preuves pour établir les faits pertinents. Dans le procès en matière d'assurances sociales, les parties ne supportent en règle générale le fardeau de la preuve que dans la mesure où la partie qui voulait déduire des droits de faits qui n'ont pas pu être prouvés en supporte l'échec. Cette règle de preuve ne s'applique toutefois que s'il n'est pas possible, dans les limites du principe inquisitoire, d'établir sur la base d'une appréciation des preuves un état de fait qui correspond, au degré de la vraisemblance prépondérante, à la réalité (<ref-ruling> consid. 6 p. 222; <ref-ruling> consid. 3b p. 264).
6.2.2 Le Tribunal fédéral a à diverses reprises statué que le fardeau de la preuve doit exceptionnellement être renversé lorsqu'une partie ne peut pas apporter une preuve pour des raisons qui ne lui sont pas imputables, mais à l'administration. Un tel cas de renversement du fardeau de la preuve a par exemple été admis en cas d'absence de preuve quant au respect du délai de recours, due au fait que l'administration ou l'autorité n'ont pas conservé au dossier de l'assuré l'enveloppe dans laquelle leur avait été envoyé l'acte de recours, en violation de leur devoir de gestion du dossier, et ont de ce fait empêché l'apport de la preuve quant au respect du délai de recours (<ref-ruling> consid. 8.1.1 p. 223 et les arrêts cités).
6.2.3 Selon la jurisprudence du Tribunal fédéral dans le domaine du droit privé, il incombe à celui qui fait valoir un droit soumis à un délai de péremption de prouver qu'il a observé celui-ci, l'observation du délai ayant un caractère constitutif de droit et étant une condition de l'exercice de l'action. Lorsque le délai de péremption commence à courir au moment où celui qui intente l'action a connaissance de certains faits, il appartient au demandeur d'établir quand et comment il a eu connaissance de ces faits. Le défendeur, de son côté, peut toutefois apporter la contre-preuve que le demandeur a connu les faits pertinents déjà à une date antérieure à celle qu'il invoque et qu'il s'est écoulé, entre cette date antérieure et l'introduction de l'action, un laps de temps dépassant le délai de péremption, de sorte que l'action serait périmée. Ainsi, lorsque le début du délai de péremption dépend de la connaissance de certains faits, il incombe au défendeur d'établir que le délai de péremption n'est pas respecté (arrêt 5C.215/1999 du 9 mars 2000 consid. 6, non publié in <ref-ruling>).
6.2.4 L'intimé a en l'occurrence apposé un timbre d'enregistrement sur la première page du lot de pièces qu'il a indiqué avoir imprimées, puis numérisées le 17 août 2010, après avoir consulté les fichiers informatiques de l'Administration fiscale genevoise (cf. procès-verbaux de comparution personnelle des parties du 13 mars et du 24 avril 2012). Ce timbre d'enregistrement montre que le lot de pièces a été numérisé à cette date, le collaborateur de l'intimé en charge du dossier en ayant pris connaissance quelques jours plus tôt, le 12 août 2010 (consid. 6.1 supra). Selon le cours ordinaire des choses, une administration publique appose un tel timbre sur un acte le jour où elle l'enregistre au dossier; en particulier les organes des assurances sociales indiquent systématiquement sur les documents qui leur sont adressés ou qu'ils ajoutent au dossier le jour auquel ces envois leur parviennent (cf. arrêt U 344/98 du 12 mars 1999, in RAMA 1999 n° U 344 p. 416 consid. 3b), respectivement le jour auquel ils enregistrent une nouvelle pièce. A l'instar de la juridiction cantonale, on peut donc tenir pour établi, à tout le moins en l'absence d'indices contraires, que le SPC avait pris connaissance des avis de taxation fiscale pour les années 2005 à 2009 le 12 août 2010, avant d'enregistrer ces pièces cinq jours plus tard.
Dans ces circonstances, les premiers juges n'ont pas violé les règles sur le fardeau de la preuve, en faisant supporter au recourant l'absence de preuve quant à une date antérieure (au 12 août 2010) à laquelle l'intimé aurait déjà connu les faits pertinents, partant quant au non-respect du délai de péremption annal. On ne se trouve pas, en l'espèce, dans une situation où le recourant aurait été empêché d'apporter une telle contre-preuve en raison du comportement de l'administration. L'intimé a en effet enregistré les documents déterminants et produit le dossier qu'il a constitué, dont il ne ressort aucun indice en faveur de la thèse du recourant. Celle-ci ne saurait pas non plus être corroborée par l'offre de preuve qu'il a faite en instance cantonale et réitérée en procédure fédérale. Selon les explications convaincantes du Directeur du SPC (procès-verbal de comparution personnelle du 24 avril 2012), que le recourant ne tente pas de remettre en cause si ce n'est en affirmant le contraire, un audit informatique ne permettrait pas de démontrer à quelle date le collaborateur en charge du dossier a consulté les avis de taxation en cause dans la base de données informatiques de l'Administration fiscale genevoise.
6.3 En conséquence de ce qui précède, le recours est en tout point mal fondé.
7. Vu l'issue du litige, le recourant doit supporter les frais de justice y afférents (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est rejeté.
3. Les frais de justice, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 10 janvier 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless