Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1965) stammt aus der Türkei. Sie heiratete im Jahr 1987 den im Kanton Zürich niedergelassenen Landsmann B.A._. Am 18. September 2002 reiste sie zusammen mit ihren Kindern C.A._ (geb. 1985) und D.A._ (geb. 1987) in die Schweiz ein. In der Folge erhielten die Kinder die Niederlassungsbewilligung und A.A._ eine zuletzt bis zum 17. September 2012 befristete Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei ihrem Ehemann.
B.
Am 30. Juli 2012 ersuchte A.A._ um Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung. Das Migrationsamt des Kantons Zürich lehnte das Gesuch am 12. Februar 2013 ab und wies sie aus der Schweiz weg. Die Abweisung begründete es im Wesentlichen damit, dass A.A._ vom 1. August 2003 bis zum 21. August 2012 mit Sozialhilfebeiträgen in der Höhe von Fr. 290'555.60 habe unterstützt werden müssen. Den gegen diese Verfügung bei der Sicherheitsdirektion erhobenen Rekurs wies diese mit Entscheid vom 30. April 2014 ab. Eine dagegen geführte Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich blieb erfolglos (Urteil vom 21. August 2014); dem Begehren um unentgeltliche Rechtspflege wurde nicht entsprochen.
C.
Mit Eingabe vom 2. Oktober 2014 beantragt A.A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 21. August 2014 aufzuheben. Das Migrationsamt sei anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin zu verlängern. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdeführerin sei für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Auch im bundesgerichtlichen Verfahren wird um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ersucht.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und das Bundesamt für Migration beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Mit Verfügung vom 6. Oktober 2014 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Die mit einem in der Schweiz niedergelassenen Landsmann verheiratete Beschwerdeführerin macht in vertretbarer Weise einen Anspruch auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung geltend. Auf die form- und fristgerecht (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 100 Abs. 1 BGG) erhobene Beschwerde der durch den vorinstanzlichen Endentscheid unmittelbar betroffenen Beschwerdeführerin ist einzutreten (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2. Das Bundesgericht ist an die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz gebunden, soweit sie sich nicht als offensichtlich unrichtig erweisen oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Dabei wäre von der Beschwerdeführerin aufzuzeigen, dass die Behebung eines allfälligen derartigen Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 3.5 S. 397; <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.; je mit Hinweisen). Echte Noven, das heisst solche Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Entscheid aufgetreten sind, sind unzulässig (BGE <ref-ruling> E. 2.1 f. S. 344). Werden (bereits bestehende) Tatsachen erst durch den vorinstanzlichen Entscheid rechtswesentlich, so sind die im letztinstanzlichen Verfahren neu dazu eingereichten Belege als zulässige Noven im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG zu qualifizieren (Urteile 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 5.3; 8C_184/2009 vom 25. August 2009 E. 4.3.1).
2.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Verwaltungsgericht habe zu Unrecht das Vorliegen von Widerrufsgründen im Sinne von Art. 62 AuG bejaht und einen Anspruch auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung verneint. Im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung der Nichtverlängerung habe es zudem Art. 5 Abs. 2 BV, Art. 13 BV (Art. 8 EMRK) sowie Art. 96 AuG verletzt.
2.1. Ausländische Ehegatten von Personen mit Niederlassungsbewilligung haben Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen (Art. 43 Abs. 1 AuG). Dieser Anspruch erlöscht unter anderem, wenn Widerrufsgründe nach Art. 62 AuG vorliegen (Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG). Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin stützt die Vorinstanz auf Art. 62 lit. e AuG.
2.2. Nach Art. 62 lit. e AuG kann die zuständige Behörde die Bewilligung widerrufen, wenn die ausländische Person oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist (Urteile 2C_877/2013 vom 3. Juli 2014 E. 3.1.1; 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.1; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.1; je mit Hinweisen). Beim Widerruf bzw. der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung einer ausländischen Person wegen Bedürftigkeit geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche und damit künftige Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu vermeiden. Ob eine weitere Belastung der Sozialhilfe bei Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung erfolgt, ist allerdings nicht mit Sicherheit feststellbar. Es muss daher auf die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung bei der ausländischen Person abgestellt werden. Nach der Rechtsprechung ist für die Bejahung dieses Widerrufsgrundes eine konkrete Gefahr der Sozialhilfeabhängigkeit erforderlich und es kann dafür nicht auf Hypothesen und pauschalisierte Gründe abgestellt werden (vgl. Urteile 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 5.4; 2C_673/2011 vom 3. August 2012 E. 4.2.1; 2C_685/2010 vom 30. Mai 2011 E. 2.3.1 und 2.3.2).
2.3. Neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen ist auch die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung auf längere Sicht abzuwägen. Ein Widerruf kommt in Betracht, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt sorgen wird (<ref-ruling> E. 3c S. 8; Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.1; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.3; vgl. 2C_74/2010 vom 10. Juni 2010 E. 3.4 mit Hinweisen). Allerdings ist auch im Rahmen von Art. 62 lit. e AuG der Grundsatz der Verhältnismässigkeit zu beachten, wobei vor allem das Verschulden an der Situation und die bisherige Verweildauer im Lande zu berücksichtigen sind (Botschaft zum AuG, BBl 2002 3809 f.; Amtl. Bull. 2004 N 1088 f.). Namentlich soll nicht schon Armut infolge einer Scheidung, sondern erst persönliches Verhalten zum Widerruf führen (Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.2; Botschaft zum AuG, a.a.O., 3809 f.). Zu beachten ist ferner, dass Sozialversicherungsleistungen keine Sozialhilfe darstellen (vgl. <ref-ruling> E. 3.7 S. 272 mit Hinweis; Urteil 2C_958/2011 vom 18. Februar 2013 E. 2.3), weshalb deren Bezug vom Tatbestand des Art. 62 lit. e AuG nicht erfasst wird (Urteile 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 5.4; 2C_958/2011 vom 18. Februar 2013 E. 2.3; je mit Hinweisen).
2.4. Entgegen der Vorbringen der Beschwerdeführerin ist die Auffassung der Vorinstanz, wonach die Voraussetzungen des Widerrufs der Aufenthaltsbewilligung im Sinne von Art. 62 lit. e AuG erfüllt sind, nicht zu beanstanden:
2.4.1. Die Familie der Beschwerdeführerin war zwischen August 2003 bis April 2014 durchgehend auf Sozialhilfe angewiesen. Die öffentliche Hand leistete während diesen rund elfeinhalb Jahren Fürsorgeleistungen im Gesamtbetrag von Fr. 319'422.40, was im Rahmen der Rechtsprechung zu Art. 62 lit. e AuG einen sehr erheblichen Beitrag darstellt (vgl. Urteile 2C_877/2013 vom 3. Juli 2014 E. 3.2.1; 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.3; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5.2). Seit Einreise 2002 bis Ende Oktober 2012 ist keine Arbeitstätigkeit nachgewiesen. Unmittelbar nach einem negativen IV-Vorbescheid am 7. September 2012 hat die Beschwerdeführerin am 29. Oktober 2012 eine Anstellung als Teilzeit-Reinigungskraft gefunden. Ende November 2012 hat sie ihr Pensum zwischenzeitlich im Rahmen einer neuerlichen Anstellung erweitert; die erstgenannte Anstellung gab sie jedoch bereits Ende 2012 wieder auf. Am 2. Juni 2014 hat die Beschwerdeführerin sodann eine zusätzliche Arbeitsstelle mit einem Pensum von rund zwei Stunden pro Tag angetreten (X._ GmbH). Gemäss den Feststellungen des Verwaltungsgerichts erzielt die Beschwerdeführerin mit ihren aktuellen Anstellungen ein monatliches Einkommen von Fr. 1'700.-- (Fr. 900.-- Y._ und Fr. 800.-- X._ GmbH).
2.4.2. Relevant für die Prüfung des Widerrufs der Aufenthaltsbewilligung ist auch die Einkommenssituation des Gatten der Beschwerdeführerin. Die Ehegatten sind im Zusammenhang mit Sozialhilfeleistungen als wirtschaftliche Einheit zu betrachten: Unterstützungsbeiträge werden für Ehepaare gemeinsam berechnet und ausgerichtet; umgekehrt schlägt das Erwerbsverhalten der Ehegatten - aufgrund der Unterstützungspflicht (Art. 159 ZGB) - auf den jeweils anderen Partner durch (vgl. Urteile 2C_298/2014 vom 12. Dezember 2014 E. 6.4.2; 2C_1160/2013 vom 11. Juli 2014 E. 5.1). Der Ehegatte der Beschwerdeführerin ist offenbar seit längerer Zeit nicht erwerbstätig. Er soll eine Viertels-Invalidenrente in der Höhe von monatlich Fr. 362.-- sowie monatliche IV-Ergänzungsleistungen in der Höhe von Fr. 1'928.-- erhalten. Rechnet man seine Einkünfte dem Monatseinkommen der Beschwerdeführerin hinzu, so resultiert - wie das Verwaltungsgericht in zulässiger Weise gestützt auf die eingereichten Belege festgestellt hat - ein Gesamteinkommen für die Ehegatten von Fr. 3'990.--.
2.4.3. Die Vorinstanz geht davon aus, das errechnete Einkommen reiche für den Lebensunterhalt der Ehegatten nicht aus. Sie hatte die Beschwerdeführerin eingeladen darzulegen, wie sie aus ihrer Sicht mit dem gemeinsamen Einkommen die Lebenskosten bestreiten könne. Diese hat sich im vorinstanzlichen Verfahren dazu nicht näher geäussert, sondern vielmehr mit der Behauptung begnügt, dies sei möglich. Im bundesgerichtlichen Verfahren reicht sie Belege betreffend Miete und Kranken-Grundversicherung ein, die den Kern des Rechtsstreits betreffen und zu deren Edition entgegen der Ausführungen in der Beschwerdeschrift nicht erst das vorinstanzliche Urteil Anlass gegeben hat (vgl. hiervor E. 1.3). Selbst wenn man diese neuen tatsächlichen Vorbringen berücksichtigte, bleibt die Einschätzung der Vorinstanz korrekt, wonach das gemeinsame Einkommen der Ehegatten nicht für die Lebenshaltungskosten ausreiche: Die erforderlichen Lebenskosten der Beschwerdeführerin und ihres Gatten würden auch mit einer Berechnung auf Grundlage des Minimalansatzes der Skos-Richtlinie zu einem Freibetrag von lediglich Fr. 200.-- führen. Werden geringe ausserplanmässige Aufwendungen erforderlich - etwa regelmässige Arztbesuche aufgrund von Rückenschmerzen bei der Beschwerdeführerin oder wegen der körperlichen Beeinträchtigung ihres Gatten (IV-Rente) -, so reicht das erzielte Einkommen für den Grundbedarf, wie die Vorinstanz in zulässiger Weise schliesst, nicht aus. Stützt man sich auf das betreibungsrechtliche Existenzminimum mit dem Grundbedarf von Fr. 1'700.-- pro Ehepaar, so reichen die Einkünfte für den Lebensunterhalt von vornherein nicht aus (vgl. die von der Beschwerdeführerin herangezogene Richtlinie des Obergerichts des Kantons Zürich zur Berechnung des Existenzminimums).
2.4.4. Die Beschwerdeführerin bringt vor, ihr volljähriger Sohn lebe mittlerweile in derselben Wohnung wie die Ehegatten und bezahle einen Drittel des Mietzinses; auch sei er in der Lage, ausserordentliche Kosten zu tragen. Nach den Feststellungen der Vorinstanz hatte die Beschwerdeführerin noch Ende April 2014 ausgesagt, weder vonseiten ihrer Tochter noch vonseiten ihres Sohns bestünde die Möglichkeit, die Eltern finanziell zu unterstützen (angefochtenes Urteil S. 6; act. 8/143 S. 2). Soweit das neue Vorbringen zum Sohn überhaupt zu berücksichtigen wäre (vgl. hiervor E. 1.3), kann es nach der Rechtsprechung nicht massgeblich sein: Die Unterstützung durch den volljährigen Sohn ist nicht rechtswirksam dokumentiert (vgl. Urteil 2D_12/2014 vom 31. Oktober 2014 E. 3.6). Sie erfolgt, wenn überhaupt, auf Zusehen hin und vermag die Sozialhilfeabhängigkeit des Ehepaares nach der Rechtsprechung nicht nachhaltig zu vermeiden (vgl. Urteil 2C_1160/2013 vom 11. Juli 2014 E. 5.5). Von untergeordneter Bedeutung ist sodann, dass das Ehepaar in neuester Zeit, seit Juni 2014 bis zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils am 21. August 2014, ohne Unterstützung auskam (vgl. Urteile 2C_345/2011 vom 3. Oktober 2011 E. 2.2; 2C_761/2009 vom 18. Mai 2010 E. 7.2) : Einerseits erfolgte die Aufnahme einer zusätzlichen Erwerbstätigkeit durch die Beschwerdeführerin reichlich spät und, wie das Verwaltungsgericht in nachvollziehbarer Weise feststellt, erst unter dem Druck der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung (vgl. Urteil 2C_345/2011 vom 3. Oktober 2011 E. 2.2). In Anbetracht des Umstands, dass der Ehegatte seit längerer Zeit nicht mehr erwerbstätig ist, kann sodann weder davon ausgegangen werden, dieser nehme (neben der Viertel-IV-Rente) nunmehr eine Teilzeitbeschäftigung auf, noch wird solches überhaupt vorgebracht. Dass sich das Ehepaar mit der Verzichtserklärung erst kurz vor dem vorinstanzlichen Urteil nun definitiv von der Sozialhilfeabhängigkeit gelöst haben soll, ist aufgrund der bisherigen - langjährigen - Sozialhilfebedürftigkeit höchst ungewiss.
2.4.5. Wenn sich die Vorinstanz demnach auf den Standpunkt stellt, das Gesamteinkommen reiche nicht aus, um - konstant und langfristig - die Auslagen des Ehepaars zu decken, und dies besonders dann gelte, wenn die Ehegatten krankheitsbedingt höhere Auslagen hätten, so kann dies entgegen den Ausführungen in der Beschwerdeschrift nicht als unrichtig gelten. Wie das Verwaltungsgericht in korrekter Weise ausführt, ist vor dem Hintergrund der prekären finanziellen Situation auch die Gefahr einer weiteren Sozialhilfeabhängigkeit akut gegeben. Damit ist der Widerrufsgrund von Art. 62 lit. e AuG bei der Beschwerdeführerin erfüllt. Es besteht aufgrund der langjährigen und bedeutsamen Sozialhilfeabhängigkeit ein erhebliches öffentliches Interesse an der Beendigung des Aufenthalts (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 339; Urteil 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.3 mit Hinweisen; Urteil des EGMR Hasanbasic gegen die Schweiz vom 11. Juni 2013 [Nr. 52166/09] § 59 mit zahlreichen Hinweisen; Palanci gegen die Schweiz vom 25. März 2014 [Nr. 2607/08] § 58).
3.
3.1. Ein Widerruf der Aufenthaltsbewilligung rechtfertigt sich indessen nur, wenn die jeweils im Einzelfall vorzunehmende Interessenabwägung die entsprechende Massnahme auch als verhältnismässig erscheinen lässt (vgl. hiervor E. 2.3). Dabei sind die - bereits dargestellten - öffentlichen Interessen, andererseits die persönlichen Verhältnisse und der Grad der Integration der ausländischen Person zu berücksichtigen (vgl. Art. 96 Abs. 1 AuG; Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.4; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.2).
3.2. Die Beschwerdeführerin wirft dem Verwaltungsgericht vor, es habe die erforderliche Interessenabwägung nicht sorgfältig vorgenommen und dadurch Art. 5 Abs. 2 sowie Art. 13 BV (Art. 8 EMRK) verletzt. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz sei ihr eine intensivere Arbeitstätigkeit nach ihrer Einreise zunächst aufgrund mangelnder Deutschkenntnisse und ab 2008 infolge ihres Rückenleidens unmöglich gewesen. Wegen Letzterem habe sie sich im Dezember 2010 stationär im Spital aufhalten müssen.
3.2.1. Das Verwaltungsgericht hat berücksichtigt, dass sich die Beschwerdeführerin Ende 2010 wegen Rückenproblemen in spitalärztliche Pflege begeben musste und während dieser Zeit arbeitsunfähig war. Die Beschwerdeführerin bemühte sich Anfang 2011 um eine Berentung. Die beantragte Invalidenrente wurde ihr indessen mit Verfügung vom 7. September 2012 nicht zugesprochen. Medizinische Abklärungen der Sozialversicherungsanstalt Zürich ergaben, dass es sich bei den Rückenschmerzen um "ein pathogenetisch ... unklares syndromales Zustandsbild ohne nachweisbare organische Grundlage" handle, das sich "mit zumutbarer Willensanstrengung überwinden liesse". Entsprechend sei der Beschwerdeführerin "eine behindertenangepasste Tätigkeit zu 100% zumutbar". Die Vorinstanz durfte vor diesem Hintergrund davon ausgehen, das Rückenleiden sei nicht derart gravierend gewesen, dass es eine Berufstätigkeit ab 2008 verunmöglicht hätte.
3.2.2. Die Beschwerdeführerin reiste 2002 im Alter von 37 Jahren mit ihren Kindern in die Schweiz ein. In Berücksichtigung des Umstands, dass ihre Kinder bei der Einreise in die Schweiz bereits 15- bzw. 17-jährig waren, wäre ihr eine regelmässige (Teilzeit-) Arbeitstätigkeit bereits relativ kurz nach der Einreise zumutbar gewesen (vgl. Urteil 2C_1160/2013 vom 11. Juli 2014 E. 5.3; anders etwa Urteile 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5.3; 2C_780/2013 E. 4.3.4; vgl. 2D_12/2014 vom 31. Oktober 2014 E. 3.7.3). Seit ihrem Aufenthalt in der Schweiz bis zur Hängigkeit des vorliegenden Verfahrens kann die Beschwerdeführerin indessen nur wenige Arbeitseinsätze vorweisen: Einen Monat nach dem ablehnenden IV-Vorbescheid hat sie sich um Teilzeit-Arbeitseinsätze als Reinigungshilfe bemüht und umgehend eine Anstellung gefunden. Kurz vor Erlass des vorinstanzlichen Urteils hat die Beschwerdeführerin eine Zusatzstelle im selben Tätigkeitsfeld angetreten. Wie die Vorinstanz zu Recht festhält, sind ihre Deutschkenntnisse zwar nach einem rund zwölfjährigen Aufenthalt nach wie vor rudimentär (Niveau A. 1.2; mündlich). Dieser Umstand hat sich indessen im Jahr 2012 in keiner Weise negativ ausgewirkt, als die Beschwerdeführerin innerhalb sehr kurzer Zeit nach dem abschlägigen IV-Bescheid eine Anstellung als Reinigungskraft fand. Vor diesem Hintergrund kann der Vorwurf, sie habe sich während ihres Aufenthalts in der Schweiz über lange Jahre nicht in zumutbarer Weise um Arbeit bemüht - entgegen der Darstellung in der Beschwerdeschrift - nicht als unhaltbar gelten.
3.2.3. Die Beschwerdeführerin ist seit 1987 mit einem in der Schweiz niederlassungsberechtigten Landsmann verheiratet. Die Ehe wurde bis zu ihrer Einreise in die Schweiz während rund 15 Jahren besuchsweise gelebt. Seit 2002 wohnt die Beschwerdeführerin mit ihrem Gatten zusammen; auch die seit längerer Zeit volljährigen Kinder sind in der Schweiz aufenthaltsberechtigt. Unter diesem familiären Gesichtswinkel bestehen erhebliche private Interessen der Beschwerdeführerin an einem weiteren Verbleib in der Schweiz (vgl. Urteile 2C_877/2013 vom 3. Juli 2014 E. 4.2.2; 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.4.1). Demgegenüber hat sie sich bis zum ihrem 38. Altersjahr in der Türkei aufgehalten. Sie hat dort die Schulen besucht, ist mit den sozio-kulturellen Gegebenheiten des Herkunftslandes bestens vertraut und hat auch nach ihrer Heirat zunächst weiter dort gelebt. Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen pflegt sie intensiven Kontakt zu ihrer Mutter und ihren Geschwistern, die sich in der Türkei aufhalten.
3.2.4. Ausserfamiliäre Kontakte der Beschwerdeführerin in der Schweiz sind durch die Vorinstanz nicht festgestellt worden. Insgesamt ergeben sich, wie das Verwaltungsgericht in zulässiger Weise festgestellt hat, auch keine familiären oder gesundheitlichen Gründe, welche die Beschwerdeführerin an der Aufnahme einer weitergehenden oder vollzeitlichen Erwerbstätigkeit gehindert hätten. Am 2. Oktober 2008 wurde die Beschwerdeführerin wegen des Sozialhilfebezugs, damals im Umfang von Fr. 151'050.10, bereits ausländerrechtlich verwarnt (vgl. Urteil 2D_12/2014 vom 31. Oktober 2014 E. 3.5). Die Beschwerdeführerin und ihr Ehegatte hatten seither genügend Zeit, ihre finanzielle Lage zu überdenken und zu verbessern (vgl. Urteil 2C_1160/2013 vom 11. Juli 2014 E. 6.3). Entgegen der vorinstanzlichen Erwägungen führt demnach nicht das Alter, sondern vielmehr die bisherige Verfahrensweise der Ehegatten zu einer negativen Prognose für eine definitive Befreiung von der Sozialhilfeabhängigkeit: es ist nicht ersichtlich, inwiefern sich die prekäre Einkommenssituation des Ehepaars demnächst dauerhaft wird verbessern oder auch nur stabilisieren können (vgl. Urteil 2D_12/2014 vom 31. Oktober 2014 E. 3.5 und 3.6). Vor diesem Hintergrund und angesichts der hohen Bezüge von über Fr. 319'000.-- hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, wenn sie die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin als verhältnismässig erachtete. Der Widerruf der Aufenthaltsbewilligung erweist sich als mit Art. 62 lit. e und 96 AuG, Art. 5 Abs. 2 sowie Art. 13 BV (Art. 8 EMRK) vereinbar.
3.2.5. Die Beschwerdeführerin rügt schliesslich, die Vorinstanz habe Art. 29 Abs. 3 BV verletzt, indem sie die unentgeltliche Rechtspflege verweigert habe. Das Verwaltungsgericht hat sich auf den Standpunkt gestellt, infolge der umfangreichen Sozialhilfebezüge, der klaren Praxis und den - unbestrittenermassen - unbelegt gebliebenen Lebenskosten seien der Beschwerde kaum Aussichten auf Erfolg beschieden gewesen (vgl. § 16 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich vom 24. Mai 1959; Art. 93 AuG). Trotz der prozessualen Versäumnisse der Beschwerdeführerin konnte die Beschwerde in Anbetracht der dargelegten Gesamtumstände indessen nicht als geradezu aussichtslos erachtet werden (vgl. hiervor E. 2.4.2-2.4.5). Das Verwaltungsgericht hätte der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewähren sollen (Art. 29 Abs. 3 BV; vgl. Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 8). Das vorinstanzliche Urteil ist insofern aufzuheben und die Sache zwecks diesbezüglicher Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen (Art. 68 Abs. 5 BGG).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens obsiegt die Beschwerdeführerin teilweise; insoweit sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG) und hat der Kanton Zürich der Beschwerdeführerin eine reduzierte Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 BGG). Im Umfang des Unterliegens trägt die Beschwerdeführerin die bundesgerichtlichen Kosten; es kann ihr - da sie bedürftig ist (E. 2.4.3) und sich die Beschwerde nicht als geradezu aussichtslos erweist (vgl. E. 3.2.5) - die beantragte unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren bewilligt und auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden (Art. 64 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird teilweise gutgeheissen; das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 21. August 2014 wird insofern aufgehoben, als darin die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung verweigert wurde. Die Sache wird diesbezüglich im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Der Beschwerdeführerin wird Rechtsanwalt Torsten Kahlhöfer, U._, als Rechtsbeistand beigegeben. Ihm wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
2.3. Der Kanton Zürich hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 500.-- auszurichten.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni