Sachverhalt:
A.
B._ vom Dienstleistungsunternehmen X._ GmbH und A._ lernten sich anlässlich eines RAV-Kurses kennen, woraufhin Ersterer Letzteren Anfang April 2011 kontaktierte und bezüglich eines Einsatzes als Maschinenbau-Konstrukteur bei der Z._ AG in Liechtenstein anfragte. Nachdem A._ am vorgeschlagenen Arbeitseinsatz Interesse gezeigt hatte, organisierte die X._ GmbH für diesen ein Vorstellungsgespräch bei der Z._ AG. In der Folge verständigten sich die X._ GmbH und A._ mündlich über die Anstellungs- und Lohnbedingungen und am 3. Mai 2011 begann A._ bei der Z._ AG zu arbeiten.
B.
B.a. Nach erfolglosem Schlichtungsverfahren reichte die X._ GmbH (Klägerin) am 20. Dezember 2011 beim Bezirksgericht Plessur Klage gegen A._ (Beklagter) ein und beantragte, dieser sei zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 5'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 4. Juli 2011 zu bezahlen. Sie machte geltend, gestützt auf <ref-law> habe sie gegen den Beklagten wegen ungerechtfertigten Verlassens der Arbeitsstelle einen entsprechenden Schadenersatzanspruch. Der Beklagte bestritt eine Verletzung seiner arbeitsvertraglichen Verpflichtungen. Der Arbeitsvertrag, auf den sich die X._ GmbH stütze, widerspiegle nicht den wirklichen Willen der Parteien. Er sei nur unterzeichnet worden, um den Liechtensteiner Behörden etwas vorlegen zu können. Mit Entscheid vom 1. November 2012 wies die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Plessur die Klage ab.
B.b. Die gegen diesen Entscheid von der Klägerin erhobene Beschwerde wies der Einzelrichter in Zivilsachen des Kantonsgerichts Graubünden mit Verfügung vom 5. Februar 2013 ab.
C.
Gegen diese Verfügung reichte die Klägerin (Beschwerdeführerin) am 2. Mai 2013 subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht ein. Sie beantragt, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und der Beklagte (Beschwerdegegner) sei zur Zahlung von Fr. 5'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 4. Juli 2011 zu verpflichten.
Der Beschwerdegegner liess sich nicht vernehmen. Das Kantonsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen, soweit keine Beschwerde nach den Art. 72-89 BGG zulässig ist (<ref-law>). Da dies vorliegend offensichtlich der Fall ist, weil namentlich der Streitwert gemäss <ref-law> nicht erreicht wird, ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde unter Vorbehalt einer genügenden Begründung (vgl. E. 2) einzutreten.
2.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Es gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Der Beschwerdeführer muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substantiiert darlegen, worin die Verletzung besteht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 143; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444 mit Hinweis). Das Bundesgericht kann die Verletzung eines Grundrechtes nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
3.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann davon nur abweichen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts - namentlich des Willkürverbots gemäss <ref-law> - zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und <ref-law>). Willkür im Sinne dieser Bestimmung liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er im Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen). Zudem steht dem Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zu. Die Beweiswürdigung ist daher nur willkürlich, wenn das Sachgericht sein Ermessen missbraucht, indem es zum Beispiel offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht oder erhebliche Beweise übersieht (<ref-ruling> E. 2.1. S. 9; <ref-ruling> E. 4b S. 40; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer, der Sachverhaltsfeststellungen anfechten will, kann sich daher nicht damit begnügen, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Vielmehr hat er klar und substanziiert aufzuzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen offensichtlich unrichtig sind (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 466 f.). Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
Diese Grundsätze missachtet die Beschwerdeführerin. Sie weicht in ihrer Beschwerdebegründung von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab und erweitert diese, ohne eine rechtsgenügliche Sachverhaltsrüge zu erheben. Auf ihre ergänzte und teilweise abgeänderte Sachverhaltsdarstellung kann nicht abgestellt werden.
4.
4.1. Der Einzelrichter des Kantonsgerichts kam zum Ergebnis, der am 9. Mai 2011 unterzeichnete und auf den 19. April 2011 rückdatierte Arbeitsvertrag, der eine siebentägige Kündigungsfrist während der Probezeit enthielt, sei von den Parteien nicht wirklich gewollt, also simuliert gewesen. Daraus könne die Beschwerdeführerin somit keine Rechte ableiten. Er begründete dies vor allem damit, dass der schriftliche Arbeitsvertrag einen Fixlohn enthielt, während in den E-Mails der Parteien - und zwar nicht nur vor dem 9. Mai 2011, sondern auch in der E-Mail der Beschwerdeführerin vom 22. Mai 2011 - von einer Entschädigung nach Stunden zu einem Ansatz von Fr. 60.-- mit entsprechender Abrechnungspflicht die Rede war. Weitere Indizien seien namentlich eine nicht mit dem tatsächlichen Arbeitsbeginn übereinstimmende Angabe im Arbeitsvertrag dazu, dass der Vertrag nur in einfacher Ausfertigung erstellt und dem Beschwerdegegner keine Kopie übergeben wurde und die "Falschplatzierung" der Unterschriften. Auch der E-Mail-Verkehr Anfang Juni 2011 lasse sich nicht anders interpretieren, als dass der schriftliche Arbeitsvertrag von keiner Partei als gültig angesehen worden sei. Massgeblich sei somit nur, was die Parteien vorweg mündlich vereinbart und die Beschwerdeführerin in ihrer E-Mail vom 22. Mai 2011 sodann bestätigt habe. Eine Kündigungsfrist sei nicht vorgesehen worden. Mangels vereinbarter Kündigungsfrist bestehe kein Anspruch wegen ungerechtfertigten Verlassens der Arbeitsstelle nach <ref-law>.
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>). Sie sei mit ihren Ausführungen bezüglich der Abhängigkeit des Vertrages vom Status "selbständig Erwerbender" vom Kantonsgericht nicht gehört worden. Dieses habe sich auch mit ihren Vorbringen nicht ansatzweise auseinandergesetzt, dass allein für das Amt in Liechtenstein der Vertrag nicht so hätte abgefasst werden müssen, weil dafür auch ein Vertrag mit einem Stundenansatz von Fr. 60.-- bzw. 65.-- hätte unterzeichnet werden können.
4.3. Die Beschwerdeführerin verkennt, dass die aus dem rechtlichen Gehör abgeleitete Begründungspflicht nicht verlangt, dass sich die Vorinstanz mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Sie kann sich auf diejenigen Gesichtspunkte beschränken, die für den Entscheid wesentlich sind (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 3.2 S. 236; <ref-ruling> E. 2b S. 102 f.). Darüber hinaus liegt eine genügende Rüge nur vor, wenn die Beschwerdeführerin mit entsprechenden konkreten Hinweisen darlegt, wo sie im vorinstanzlichen Verfahren die angeblich übergangenen Ausführungen vorgebracht hat, wenn sich diese nicht aus der Darstellung der Prozessgeschichte im angefochtenen Urteil selber ergeben. Entsprechende Hinweise fehlen in der Beschwerde.
5.
5.1. Weiter rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung von <ref-law> durch willkürliche Beweiswürdigung. Sie macht dabei nicht geltend, erhebliche Beweise seien übersehen worden. Sie ist vielmehr der Auffassung, die Vorinstanz habe namentlich in willkürlicher Weise nicht gewürdigt, dass der Vertrag immerhin unterzeichnet worden sei und es bei der E-Mail vom 22. Mai 2011 um mögliche Optionen für die künftige Tätigkeit des Beschwerdegegners als selbständig Erwerbender gegangen sei.
5.2. Diese Ausführungen erschöpfen sich in bloss appellatorischer Kritik am angefochten Urteil. Die Beschwerdeführerin setzt ihre eigene Würdigung jener der Vorinstanz entgegen, ohne rechtsgenüglich darzulegen, inwiefern diese in Willkür verfallen sein soll, wenn sie davon ausging, der schriftliche Vertrag vom 9. Mai 2011 sei nicht wirklich gewollt gewesen (<ref-law>) und gemäss den mündlichen Vereinbarungen sei keine Kündigungsfrist vereinbart worden.
6.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Entsprechend wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, Einzelrichter in Zivilsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Gelzer