Sachverhalt:
A. Die Geschwister AX._ (geb. 1967) und BX._ (geb. 1964), beide Bürger von u.a. Kilchberg/ZH, gelangten am 20. August 2008 an das Bezirksgericht Horgen und beantragten gestützt auf <ref-law>, es sei im Zivilstandsregister ihr Familienname "X._" in "Y._" (Änderung eines Buchstabens von "ü" in "i") zu berichtigen. Zur Begründung brachten sie Wesentlichen vor, ihre ursprünglich aus Deutschland stammenden Vorfahren hätten "Y._" geheissen. Dieser Name sei im vorletzten Jahrhundert bzw. um 1861 unbegründet in "X._" verändert worden und damals im Familienregister Kilchberg unrichtig eingetragen worden.
B. Mit Verfügung vom 18. November 2008 wies das Bezirksgericht Horgen (Einzelrichter im summarischen Verfahren) die Berichtigungsklage von AX._ und BX._ ab. Auf Rekurs hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich (II. Zivilkammer) am 12. Februar 2009 die Abweisung. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich wies die hiergegen erhobene Nichtigkeitsbeschwerde mit Beschluss vom 24. Dezember 2009 ab.
C. AX._ und BX._ führen mit Eingabe vom 10. Februar 2010 Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführer beantragen dem Bundesgericht, die Beschlüsse des Obergerichts und des Kassationsgerichts aufzuheben und die Sache an die Vorinstanzen zurückzuweisen.
Das Obergericht und das Kassationsgericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Eidgenössische Justiz-und Polizeidepartement hat nicht Stellung genommen.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten sind die Entscheide des Obergerichts und des Kassationsgerichts betreffend die richterliche Berichtigung des Zivilstandsregisters. Umstritten ist die Erfassung bzw. richtige Schreibart des Namens im Register (Art. 24 Abs. 1 der Zivilstandsverordnung vom 28. April 2004; ZStV, SR 211.112.2). Bestehen Zweifel über die Schreibart eines im Personenstandsregister geführten Namens, steht zur Klärung das gerichtliche Verfahren gemäss <ref-law> offen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 203). Die angefochtenen Entscheide über die Führung des Zivilstandsregisters unterliegt gemäss <ref-law> der Beschwerde in Zivilsachen.
1.2 Die Beschwerdeführer sind in der vorliegenden verfahrensabschliessenden (<ref-law>) und nicht vermögensrechtlichen Angelegenheit zur Beschwerde berechtigt, da ein rechtlich (durch <ref-law>) geschütztes Interesse an der Änderung der angefochtenen Entscheide besteht (<ref-law>). Die Beschwerdefrist hat mit Eröffnung des Entscheides des Kassationsgerichtes zu laufen begonnen, zumal keine der Ausnahmen gegeben ist, bei welchen das Bundesgericht von der Anwendung des <ref-law> absieht (<ref-ruling> E. 1.4 S. 95).
1.3 Die Beschwerde in Zivilsachen ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen (<ref-law>). Mit Bezug auf gegen die Beweiswürdigung bzw. Sachverhaltsfeststellung erhobenen Rügen der Beschwerdeführer ist das Urteil des Obergerichts nicht letztinstanzlich, weil mit Nichtigkeitsbeschwerde vor dem Kassationsgericht geltend gemacht werden kann, der Entscheid beruhe auf einer aktenwidrigen oder willkürlichen tatsächlichen Annahme (<ref-law>/ZH); dies deckt sich mit der Rüge der offensichtlichen Unrichtigkeit gemäss <ref-law>, welche ihrerseits der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung entspricht (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Im Weiteren zählt zu den wesentlichen Verfahrensgrundsätzen, deren Verletzung mit Nichtigkeitsbeschwerde gerügt werden kann (<ref-law>/ZH), der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) oder ein faires Verfahren nach Art. 6 Abs. 1 EMRK (<ref-ruling> E. 3.4 S. 587 f.; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Soweit die Beschwerdeführer entsprechende Rügen gegen den Entscheid des Obergerichts erheben, kann auf die Beschwerde mangels Letztinstanzlichkeit des Entscheides nicht eingetreten werden.
1.4 Soweit die Beschwerdeführer dagegen die Verletzung von Bundesrecht, insbesondere von <ref-law>, sowie der Garantie ihres Privatlebens gemäss Art. 8 EMRK rügen (vgl. <ref-law>), ist das Obergerichtsurteil ein letztinstanzlicher Entscheid, da das Bundesgericht die entsprechende Rechtsanwendung frei überprüfen kann und die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde nach <ref-law>/ZH ausgeschlossen ist (Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1; 5A_141/2007 vom 21. Dezember 2007 E. 2.1 u. 2.3).
1.5 Die Beschwerdeführer verlangen (gemäss Beschwerdebegründung) wie bereits im kantonalen Verfahren, dass sie im Zivilstandsregister mit dem berichtigten Namen "Y._" eingetragen werden; insoweit genügt der Beschwerdeantrag den Anforderungen gemäss <ref-law>. In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
2. 2.1 Das Obergericht hat festgehalten, dass den Beschwerdeführern gestützt auf die vorgelegten Belege der Nachweis nicht gelinge, dass den Eintragungen im Zivilstandsregister ein Fehler zugrunde liegt. Alleine der Umstand, dass teilweise in deutschen Registern ein abweichender Name ("Y._") geführt werde, vermöge die Fehlerhaftigkeit der ursprünglichen Registereinträge in der Schweiz nicht zu belegen, zumal der Familienname der Beschwerdeführer bzw. ihrer Vorfahren auch teilweise in den deutschen Registern unbeanstandet mit "X._" geführt werde.
Im Übrigen sei rechtlich nicht mehr von Belang, weshalb eine allfällige frühere Schreibweise ("Y._") geändert worden bzw. ob die damaligen Registereinträge beim Ur-Grossvater (C._) und der Ur-Ur-Grossmutter (D._) der Beschwerdeführer richtig gewesen seien. Es stehe fest, dass gemäss dem Familienregistereintrag anlässlich der Heirat von D._ - am 6. Juni 1853 - sowohl C._ (ihr unehelicher Sohn, geboren am 2. März 1861) als auch die Mutter in den schweizerischen Zivilstandsakten mit "X._" eingetragen wurden. Diese Schreibweise sei mit Einführung der staatlichen Zivilstandsregisterführung im Jahre 1874 in das Familienregister der Gemeinde Kilchberg übernommen worden. Die Beschwerdeführer hätten in Übereinstimmung mit dem Familienregister von ihrem Vater (F._) und dessen Vorfahren den Namen "X._" erworben. Da keine fehlerhafte Eintragung vorliege, müsse der Anspruch auf eine Berichtigung verneint werden.
2.2 Vor dem Kassationsgericht waren mehrere Sachverhaltsfeststellungen des Obergerichts umstritten. Das Kassationsgericht hat u.a. festgehalten, dass aus der an E._ "Y._" ausgestellten Bescheinigung des Justizoberinspektors des Amtsgerichts Hechingen/ Deutschland vom 24. Juni 1942, wonach "die Vormundschaftsakten keinen Aufschluss über den unehelichen Erzeuger seines Vaters [...] CY._" geben würden, nicht zu entnehmen sei, mit welchem Namen E._ und C._ in den deutschen Registern geführt wurden. Weiter sei nicht willkürlich, wenn nach Auffassung des Obergerichts "DY._", gemäss Ehebuch der katholischen Pfarrei St. Nikolaus Burladingen-Hausen/Deutschland geboren am 14. Juli 1830 (die Ur-Ur-Grossmutter der Beschwerdeführer), identisch mit jener gemäss Familienregister der Gemeinde Kilchberg eingetragenen "Maria DX._", geboren am 21. Juni 1820 sei. Grund dafür sei, dass die Einträge betreffend Eltern und Kind (C._) übereinstimmten. Auch die weiteren obergerichtlichen Feststellungen (Doppelspurigkeiten in deutschen Registerauszügen und Bestätigungen; denkbare Möglichkeiten bzw. offene Fragen betreffend die Anpassung des Namens "Y._" in "X._" und den ursprünglichen Eintrag in die Register in der Schweiz) seien nicht willkürlich.
Weiter hat das Kassationsgericht erwogen, dass der Entscheid des Obergerichts eine zweite selbständige Begründung aufweise. Die Beschwerdeführer würden sich damit überhaupt nicht auseinander setzen, dass nach Auffassung des Obergerichts der Name ("X._") ihrer Vorfahren in der Form, wie er in den Zivilstandsakten in der Schweiz eingetragen worden sei, mit Einführung der eidgenössischen Zivilstandsregisterführung im Jahre 1874 in das Familienregister der Gemeinde Kilchberg übernommen sei. Die Nichtigkeitsbeschwerde könne - da sie sich nur gegen einzelne von mehreren verschiedenen Begründungen richte - von vornherein nicht durchdringen.
I. Beschwerde gegen den Beschluss des Kassationsgerichts
3. Nach Auffassung des Kassationsgerichts musste die Nichtigkeitsbeschwerde der Beschwerdeführer ohne Erfolg bleiben, weil sich diese nicht gegen die selbständige Begründung des Obergerichts (betreffend fehlerfreie Übernahme des Namens "X._" in das staatliche Zivilstandsregister, unveränderte Eintragung) gerichtet habe. Darauf gehen die Beschwerdeführer in ihrer Beschwerde gegen den Entscheid des Kassationsgerichts nicht ein. Sie setzen nicht auseinander, inwiefern das Kassationsgericht das kantonale Verfahrensrecht willkürlich angewendet, wenn es angenommen hat, dass eine weitere selbständige Begründung des Obergerichts vorliege und diese nicht angefochten worden sei. Dass diese selbständige Begründung - Übernahme des Namens "X._" in das staatliche Zivilstandsregister, unveränderte Eintragung - mit Nichtigkeitsbeschwerde angefochten worden sei und vor dem Kassationsgerichts hierfür entscheiderhebliche Sachverhaltsfeststellungen als unhaltbar gerügt worden seien, behaupten die Beschwerdeführer selber nicht. Sie legen nicht dar, inwiefern das Kassationsgericht Bundesrecht (<ref-law>) bzw. verfassungsmässige Rechte (<ref-law>) verletzt habe, wenn es - unter Hinweis auf seine Praxis (ZR 2007 Nr. 67 E. II.2.5; Entscheid AA050176 vom 16. Dezember 2005 E. 4.2.c) - geschlossen hat, die Nichtigkeitsbeschwerde müsse mangels fehlender Anfechtung der Eventualbegründung erfolglos bleiben. Was die Beschwerdeführer gegen Sachverhaltsfeststellungen, welche das Kassationsgericht mit Bezug auf die erste Begründung (betreffend Umstände der ursprünglichen Eintragung und Dauer der Schreibweise "X._" bzw. "Y._") vorbringen, braucht nicht geprüft zu werden, da die zweite - den angefochtenen Entscheid selbständig tragende Begründung - unangefochten geblieben ist (<ref-ruling> E. 7 S. 228). Auf die Beschwerde in Zivilsachen gegen den Beschluss des Kassationsgerichts kann mangels hinreichender Begründung nicht eingetreten werden.
II. Beschwerde gegen den Beschluss des Obergerichts
4. Anlass zur Berichtigungsklage der Beschwerdeführer gibt der Eintrag im Zivilstandsregister betreffend die Schreibweise ihres Namens ("X._" statt richtig "Y._"). Gemäss <ref-law> kann derjenige, welcher ein schützenswertes persönliches Interesse glaubhaft macht, beim Gericht auf Eintragung von streitigen Angaben über den Personenstand, auf Berichtigung oder Löschung einer Eintragung klagen. Ein schützenswertes persönliches Interesse der Beschwerdeführer, dass ihr Personenstand richtig beurkundet sei, - und damit die Legitimation zur Berichtigungsklage - ist ohne weiteres gegeben (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 und E. 3.3.3 S. 392 ff.). Die Berichtigung setzt allgemein den Nachweis voraus, dass der Registerführer einen Fehler begangen hat oder irregeführt wurde (<ref-ruling> E. 1.3 S. 204; <ref-ruling> E. 3 S. 391; A. BUCHER, Natürliche Personen und Persönlichkeitsschutz, 4. Aufl. 2009, S. 67 Rz. 295).
4.1 Unbestritten ist, dass die Beschwerdeführer als eheliche Kinder den Familiennamen ihres Vaters erhalten haben (vgl. <ref-law>). Gemäss Art. 24 ZStV werden Namen so erfasst, wie sie in den Zivilstandsurkunden oder, wenn solche fehlen, in anderen massgebenden Ausweisen geschrieben sind (übereinstimmend mit Art. 43 Abs. 1 der früheren Zivilstandsverordnungen vom 1. Juni 1953 sowie 18. Mai 1928). So verhielt es sich - wie in <ref-ruling> (E. 6 S. 256) dargelegt - schon unter der Herrschaft des Bundesgesetzes vom 24. Dezember 1874 über Zivilstand und Ehe (ZEG; in Kraft getreten am 1. Januar 1876, AS 1 506 ff.), welches die einheitliche staatliche Zivilstandsregisterführung brachte (Schüpbach, Der Personenstand, Erfassung und Beurkundung des Zivilstandes, in: Schweizerisches Privatrecht, Bd. II/3, S. 11 ff.). In die gemäss diesem Gesetz angelegten eidgenössischen Zivilstandsregister waren die Familiennamen in derjenigen Fassung einzutragen, wie sie zur Zeit der Einführung dieser Register gemäss den bis anhin geführten Registern anerkannt war (<ref-ruling> E. 6 S. 256 f. i.S. Vontobel; Urteil B.39285 des Bundesgerichts vom 22. Juni 1956 E. 2 i.S. Gingin). Die Art, wie der Familienname zu jener Zeit in jenen Registern geschrieben war, bleibt nach der angeführten Rechtsprechung massgebend (bestätigt in <ref-ruling> E. 2 S. 34; <ref-ruling> E. 4 S. 280; wiedergegeben in Ziff. 2 des Kreisschreibens 63-06-02 des Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartementes an die kantonalen Aufsichtsbehörden im Zivilstandswesen vom 1. Juni 1963).
4.2 In Anwendung der erwähnten bundesgerichtlichen Rechtsprechung wurden die Berichtigungsklagen abgewiesen, mit denen Mitglieder von Familien, deren Familienname bei der Aufnahme ihrer Vorfahren in die eidgenössischen Zivilstandsregister in der damals geltenden Fassung eingetragen und seither amtlich für die Angehörigen der zu den Klägern führenden Linie stets gleich geschrieben worden war (Vontobel, Gingin), den Versuch unternommen hatten, eine in früherer Zeit üblich gewesene Schreibweise zur Geltung zu bringen (von Tobel, de Gingins). Aus der gleichen Überlegung wurde in der kantonalen Praxis hingegen eine Berichtigung vorgenommen, weil der Familienname eines Mannes und seiner ehelichen Nachkommen nach der Einführung des eidgenössischen Zivilstandsregisters von einem Zivilstandsbeamten zu Unrecht abgeändert wurde (Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 1. März 1979 i.S. Kalbermatten, in: ZWR 1979 S. 276 f.)
4.3 Von den Fällen Vontobel und Gingin unterscheidet sich der vorliegende Fall nicht. Nach den Sachverhaltsfeststellungen des Obergerichts ist der Ur-Grossvater der Beschwerdeführer, C._, geboren am 2. März 1861, im Familienregister der Gemeinde Kilchberg mit dem Namen "X._" eingetragen worden. Im Weiteren wurden sowohl C._ als auch seine Mutter im Geburts- und Taufregister der katholischen Kirchgemeinde Zürich mit dem Familiennamen "X._" registriert. Im Einklang mit diesen kantonalen sowie kirchlichen Zivilstandsakten wurde der Name in das eidgenössische Zivilstandsregister übernommen. Die Fassung des Namens "X._" ging unbeanstandet in die auf dem ZEG beruhenden neuen Register über. Die Nachfahren von CX._ bzw. die Vorfahren der Beschwerdeführer - Grossvater E._ (geboren am 19. Mai 1895) und Vater F._ (geboren am 18. September 1941) - sind mit dem Familiennamen "X._" eingetragen. Nach dem Dargelegten ist daher nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht zur Auffassung gelangt ist, es liege weder ein Fehler noch ein Irrtum des Zivilstandsbeamten vor, wenn die Beschwerdeführer mit dem Namen "X._" im Personenstandsregister eingetragen sind. Das Obergericht hat zu Recht keinen Grund für eine Berichtigung gestützt auf <ref-law> erblickt.
4.4 Die Vorbringen der Beschwerdeführer vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern. Nach ihrer Darstellung ist im Familienregister anlässlich der Heirat von D._ (am 6. Juni 1853) C._ (ihr unehelicher Sohn, geboren am 2. März 1861) unrichtig als "X._" anstatt "Y._" eingetragen. Hier liege der Ursprung des Fehlers, und daran würden auch in Deutschland vorgenommene Beurkundungen nichts ändern, da sich diese auf die unzutreffende schweizerische Eintragungen stützen würden. Mit ihren Ausführungen verkennen sie jedoch, dass - wie dargelegt - nur die letzte, also die beim Inkrafttreten der eidgenössischen Zivilstandsregister (1. Januar 1876) geltenden Namensfassung massgebend ist. Dass die früheren Eintragungen der erwähnten Heirat und Geburt nicht in amtlich anerkannten (d.h. unmassgeblichen) Zivilstandsakten vorgenommen worden seien, behaupten die Beschwerdeführer selber nicht. Damit ist nicht zu prüfen, wie lange die betreffende Namensfassung in Geltung steht, und weshalb eine allfällige anders lautende frühere Schreibweise geändert worden war (<ref-ruling> E. 6 und 7 S. 257). Die Linie der Familie der Beschwerdeführer heisst jedenfalls seit der Einführung der eidgenössischen Zivilstandsregister "X._", ungeachtet einer früheren oder im ursprünglichen Herkunftsland möglicherweise gebräuchlich gebliebenen Namensform. Eine Änderung der den massgebenden Unterlagen entsprechenden Namensschreibung können die Beschwerdeführer gegebenenfalls auf dem Weg einer Bewilligung der Regierung des Wohnsitzkantons gemäss <ref-law> herbeiführen, wozu es wichtiger Gründe bedarf (vgl. <ref-ruling> E. 8 am Ende S. 259).
4.5 Die Beschwerdeführer berufen sich schliesslich auf Art. 8 EMRK und die Literatur (Villiger, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention [EMRK], 2. Aufl. 1999, Rz 559). Daraus können die Beschwerdeführer nichts für sich ableiten. Im (dort angeführten) einschlägigen Urteil Nr. 18131/91 vom 25. November 1994 i.S. Stjerna gegen Finnland hat der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte entschieden, dass mit Art. 8 EMRK vereinbar ist, wenn einer Person die Namensänderung bzw. die Führung eines Namens (Tawaststjerna), welchen die Vorfahren vor über 200 Jahren getragen haben, mangels wichtiger Gründe verweigert wird (vgl. dazu Grabenwarter, Europäische Menschenrechtskonvention, 4. Aufl., Wien 2009, § 22 Rz 38; Rivière, Les répercussions de la jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'homme sur l'état civil et l'état des personnes, in: Werro [Hrsg.], Droit civil et Convention européenne des droits de l'homme, 2006, S. 89). Die Beschwerdeführer übergehen, dass es vorliegend ohnehin nicht um die Beurteilung eines Namensänderungsgesuchs, sondern um die Berichtigung eines Fehlers oder Irrtums im Register geht. Inwiefern das vorliegende Ergebnis gegen Art. 8 EMRK verstossen soll, legen die Beschwerdeführer nicht dar (<ref-law>); ihre Ausführungen erschöpfen sich im Vorwurf einer Verletzung der Regeln über die Registerberichtigung gemäss <ref-law>, welcher - wie dargelegt - unbegründet ist.
5. Aus diesen Gründen ist der Beschwerde gegen die Beschlüsse des Kassationsgerichts und des Obergerichts kein Erfolg beschieden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer zu gleichen Teilung unter solidarischer Haftung kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Eine Entschädigungspflicht entfällt (<ref-law>). Das vorliegende Urteil ist zusätzlich der kantonalen Aufsichtsbehörde mitzuteilen (Art. 40 Abs. 1 lit. k, Art. 43 Abs. 2 ZStV).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen gegen die Beschlüsse des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 12. Februar 2009 und des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 24. Dezember 2009 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen unter solidarischer Haftung auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich sowie dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement und der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Mai 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante