Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 14. September 2009 wies die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau das Gesuch der B._ um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Einspracheverfahren in Sachen Rückerstattung zu viel ausgerichteter Ergänzungsleistungen zur IV-Rente (Rückforderungsverfügung vom 19. August 2009) mangels Bedürftigkeit im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung ab.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde mit dem Antrag, in Aufhebung der Verfügung vom 14. September 2009 sei die unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren zu bewilligen, eventualiter die Sache an die Verwaltung zurückzuweisen, und es sei ihr die unentgeltliche Verbeiständung für das kantonale Beschwerdeverfahren zu bewilligen, wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 6. Juli 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt B._ ihr vorinstanzlich gestelltes Rechtsbegehren erneuern; des Weitern ersucht sie um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für das letztinstanzliche Verfahren.
Die Sozialversicherungsanstalt beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>).
2. Streitig und zu prüfen ist vorab der Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung im Einspracheverfahren.
2. Streitig und zu prüfen ist vorab der Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung im Einspracheverfahren.
2.1 2.1.1 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Auf Gesetzesstufe räumt <ref-law> einer bedürftigen Partei bei nicht aussichtslosen Rechtsbegehren einen Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungsverfahren ein, wo die Verhältnisse es erfordern. Letzteres ist rechtsprechungsgemäss nur in Ausnahmefällen zu bejahen; vorausgesetzt wird namentlich, dass sich schwierige rechtliche oder tatsächliche Fragen stellen und eine Interessenwahrung durch Verbandsvertreter, Fürsorgestellen oder andere Fach- und Vertrauensleute sozialer Institutionen nicht in Betracht fällt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 201). Zu gewichten ist auch die Fähigkeit der versicherten Person, sich im Verfahren zurechtzufinden (<ref-ruling> E. 4b S. 35).
2.1.2 Eine Person ist bedürftig, wenn sie nicht in der Lage ist, für die Prozesskosten aufzukommen, ohne dass sie Mittel beanspruchen müsste, die zur Deckung des Grundbedarfs für sie und ihre Familie notwendig sind. Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation des Rechtsuchenden, d.h. der finanziellen Verpflichtungen zur Deckung des Grundbedarfs einerseits und der Einkommens- und Vermögensverhältnisse andererseits (SVR 2010 IV Nr. 10 S. 31 E. 8.2 [9C_13/2009]). Zu berücksichtigen sind die Einkommen und Vermögen beider Ehegatten (nicht publ. E. 3.2 des Urteils <ref-ruling> [U 289/05]).
2.1.3 Grundsätzlich obliegt es der gesuchstellenden Person, ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse vollständig darzulegen und soweit möglich auch zu belegen. Diesbezüglich trifft sie eine umfassende Mitwirkungspflicht. An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Situation dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer diese Verhältnisse sind. Verweigert die gesuchstellende Person die zur Beurteilung der aktuellen wirtschaftlichen Situation erforderlichen Angaben oder Belege, so kann die Bedürftigkeit ohne Verfassungsverletzung verneint werden (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 181 f.; ferner <ref-ruling> E. 4a S. 164 f.). Gelingt es der gesuchstellenden Person - in grundsätzlicher Erfüllung ihrer Obliegenheiten - in der ersten Eingabe nicht, ihre Bedürftigkeit zur Zufriedenheit des Gerichts nachzuweisen, ist sie zur Klärung aufzufordern (vgl. Urteile 1D_4/2010 vom 15. Juni 2010 E. 2.3; 4A_154/2007 vom 15. November 2007 E. 4.3.2; 2P.210/2005 vom 8. November 2005 E. 3.3; je mit Hinweis auf Urteil 2P.195/2000 vom 9. April 2001 E. 4c/bb). Die mit dem Gesuch befasste Behörde ist darüber hinaus aber nicht verpflichtet, den Sachverhalt von sich aus nach jeder Richtung hin abzuklären, noch muss sie unbesehen alles, was behauptet wird, von Amtes wegen überprüfen. Sie hat den Sachverhalt nur dort (weiter) abzuklären, wo noch Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, sei es, dass sie von einer Partei auf solche - wirkliche oder vermeintliche - Fehler hingewiesen wird, sei es, dass sie sie selbst feststellt (vgl. Urteil 5A_382/2010 vom 22. September 2010 E. 3.1; 5A_65/2009 vom 25. Februar 2009 E. 4.3).
2.1.4 Der Umstand, dass die gesuchstellende Person Bezügerin von Ergänzungsleistungen (EL) ist, führt nicht ohne Weiteres zur Bejahung ihrer prozessualen Bedürftigkeit. Die Bejahung wirtschaftlicher Not durch die den EL-Anspruch prüfende Behörde ist zwar ein Indiz für das Vorliegen prozessualer Bedürftigkeit, jedoch für die behördliche Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege nicht bindend (vgl. Urteile 8C_375/2009 vom 3. Juni 2009 E. 2.2; 8C_530/ 2008 vom 25. September 2008 E. 4.2; P 48/06 vom 5. Februar 2007, E. 5.2.1). Dass die Bedürftigkeit einer EL-berechtigten Person im Ergebnis in der Regel bejaht wird (vgl. Urteile 1B_183/2010 vom 14. Juli 2010 E. 3.2; 1D_4/2010 vom 15. Juni 2010 E. 2.4.2; je mit Hinweis auf Urteil 2P.195/2000 vom 9. April 2001 E. 4b/bb), befreit diese nicht von der Obliegenheit, die finanziellen Verhältnisse umfassend darzustellen und soweit als möglich zu belegen (E. 2.1.3 hievor; Urteil 2P.195/2000 vom 9. April 2001 E. 4c/aa).
2.2 Nach den Feststellungen der Vorinstanz ersuchte der seit 27. August 2009 bevollmächtigte Rechtsvertreter der Versicherten die Ausgleichskasse am 28. August 2009 um Zustellung der Akten und um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege, ohne zu diesem Zeitpunkt Belege zur wirtschaftlichen Situation einzureichen. Damit sei - so die Vorinstanz - die Beschwerdeführerin resp. ihr Vertreter den Obliegenheiten betreffend Darlegung der Einkommens- und Vermögenssituation nicht nachgekommen, zumal Letztere nicht etwa bereits aufgrund der vorhandenen Akten klar gewesen, sondern auch und gerade in Zusammenhang mit der Rückforderungsverfügung der Beschwerdegegnerin vom 19. August 2009 strittig gewesen sei. Dies hätte den Rechtsvertreter veranlassen müssen, die Einkommenssituation für die Prüfung der Bedürftigkeit im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung detailliert darzulegen und mit den notwendigen Unterlagen zu dokumentieren. Während von einer nicht anwaltlich vertretenen Person in der Regel nicht verlangt werden könne, dass sie mit ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bereits alle notwendigen Belege einreiche, und ihr deshalb - je nach Umständen - in Anwendung des Untersuchungsgrundsatzes eine Frist zur Nachreichung der fehlenden Belege anzusetzen sei, gelte dies für die anwaltlich vertretene Partei nicht. Ein Anwalt wisse, dass er sämtliche Behauptungen belegen muss, wolle er damit gehört werden. Der Rechtsvertreter aber habe das Gesuch weder begründet noch Belege eingereicht. Aus diesem Grund und weil die Versicherte auf ein Mahnschreiben der Beschwerdegegnerin vom 27. Juli 2009 in der EL-Rückforderungsangelegenheit nur lückenhafte Belege eingereicht habe, sei nicht zu beanstanden, dass die Verwaltung die Bedürftigkeitsprüfung gestützt auf die vorhandenen Akten vorgenommen und das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung am 14. September 2009 abgewiesen habe.
2.3 Die Beschwerdeführerin rügt insbesondere eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung sowie eine Verletzung von <ref-law> (<ref-law>).
2.3.1 Dem seit 27. August 2009 bevollmächtigten Rechtsvertreter lag nach dessen glaubhaften Angaben bei Gesuchseinreichung am 28. August 2009 erst die Rückforderungsverfügung vom 19. August 2009 vor, weshalb er denn auch zugleich Aktenzustellung verlangte. Dies geschah mit Schreiben der Ausgleichskasse vom 8. September 2009 (Frist zur zehntätigen Einsicht), ohne dass die Verwaltung auch nur ansatzweise erkennen liess, dass sie das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung demnächst allein gestützt auf die aktuell verfügbaren Unterlagen zu beurteilen gedenke. Bereits am 14. September 2009 verfügte sie - ohne dem frühestens seit 9. September 2009 über die EL-Akten verfügenden Rechtsvertreter Gelegenheit einzuräumen, offene Fragen zur tatsächlichen, aktuellen Einkommenssituation mit der Einreichung zusätzlicher Belege zu klären - die Abweisung des Gesuchs mangels ausgewiesener Bedürftigkeit. Ob die Verwaltung mit diesem Vorgehen in überspitzten Formalismus verfiel (<ref-law>), muss mit Blick auf das unter E. 2.3.2 hernach Gesagte nicht abschliessend geprüft werden. Festzuhalten ist aber immerhin das Folgende: Dass der Rechtsvertreter am 28. August 2009 mit der Darlegung der finanziellen Verhältnisse bis zur möglichen Einsichtnahme in die relativ umfangreichen EL-Akten zuwartete, ist nachvollziehbar, zumal - wie vorinstanzlich zutreffend festgestellt (E. 2.2 hievor) - gerade die Einkommenssituation selbst umstrittener Verfahrensgegenstand war, diese mithin ohne vorgängige Aktenkenntnis kaum verlässlich und umfassend dokumentiert werden konnte. Am 28. August 2009 konnte dem Rechtsvertreter zudem noch nicht bekannt gewesen sein, dass die EL-Behörde seine Mandantin im Rahmen der Abklärung allfälliger Rückerstattungspflichten am 9. und erneut am 27. Juli 2009 erfolglos zur Einreichung der - für eine aktuelle Bedürftigkeitsprüfung allerdings allein nicht aussagekräftigen (vgl. E. 2.3.2 hernach) - Lohnausweise 2008 der Versicherten und ihres Ehegatten aufgefordert hatte (und die verlangten Unterlagen der Beschwerdegegnerin zwischenzeitlich via Steuerbehörden zugegangen waren). Schliesslich ist auch zu gewichten, dass die Verwaltung im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung nicht etwa über keinerlei Unterlagen zur Einkommens- und Vermögenssituation verfügte (s. E. 2.3.2 hernach), wie sich selbstredend aus dem zur Diskussion stehenden Hauptgegenstand des Verfahrens ergibt und der Anwalt in guten Treuen auch voraussetzen durfte; welche allfälligen weiteren Unterlagen zur Bedürftigkeitsprüfung erforderlich sein würden, erschloss sich ihm vor Erhalt der EL-Akten nicht ohne Weiteres. Eine Verweigerung der gebotenen Mitwirkung ist in seinem damaligen Verhalten jedenfalls nicht zu erblicken.
2.3.2 Soweit die Verwaltung aufgrund der im Verfügungszeitpunkt am 14. September 2009 verfügbar gewesenen Unterlagen auf fehlende Bedürftigkeit schloss, kann dem entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht beigepflichtet werden. Allseits anerkannt ist der in der Verwaltungsverfügung festgestellte prozessuale Notbedarf von Fr. 5'016.- für die Familie der Versicherten (Eheleute B._ und zwei Kinder [geb. 1995 und 2004]; exkl. Lehrtochter S._). Ebenfalls fest steht die Vermögenslosigkeit der Beschwerdeführerin und ihres Ehegatten. Einkommensseitig unstrittig sind die angerechneten IV-Rentenleistungen von monatlich Fr. 950.-, die Ergänzungsleistungen von monatlich Fr. 805.- und zwei halbe Kinderrenten von monatlich insgesamt Fr. 760.- (Stand: September 2009). Umstrittener Punkt war und ist einzig die Anrechnung eines monatlichen Erwerbseinkommens von Fr. 3'140.-. Dieses ermittelte die Verwaltung in der Weise, dass sie den von der Beschwerdeführerin gemäss Lohnausweis im Jahre 2008 insgesamt erzielten Nettolohn in der Höhe von Fr. 25'116.05 (Zeitraum 1. Januar bis 31. August 2008) auf einen Monatslohn umrechnete (Fr. 25'116.05: 8 = 3'139.50). Nachdem aber im Verfügungszeitpunkt aktenkundig war (Aktennotiz vom 13. August 2009; Rückforderungsverfügung vom 19. August 2009), dass die Beschwerdeführerin im September 2009 keiner Erwerbstätigkeit nachging, sondern spätestens seit Oktober 2008 Arbeitslosentaggelder bezog, ist die Annahme eines Einkommens von Fr. 3'140.- Ergebnis willkürlicher Beweiswürdigung und offensichtlich unrichtig. Das Abstellen auf jenes frühere, nicht mehr realiserte Einkommen aus dem Jahre 2008 verletzt zudem <ref-law> und <ref-law>, wonach bei der Bedürftigkeitsprüfung grundsätzlich nur tatsächlich verfügbare Einnahmen berücksichtigt werden dürfen. Wie der Rechtsvertreter in seiner am 21. September 2009 verfassten Einsprache gegen die Rückforderungsverfügung vom 19. August 2009 dargelegt hat, betrug die Arbeitslosenentschädigung der Versicherten im hier interessierenden Zeitraum rund Fr. 1'900.-, welcher angegebene Richtwert in etwa dem Durchschnittswert der effektiv bezogenen Arbeitslosentaggelder in den Monaten August (Fr. 2'029.-), Juni (Fr. 1'940.-) und Mai 2009 (Fr. 1'852.-) entspricht, der sich auf Fr. 1'940.- beläuft; die Ausgleichskasse hatte in der EL-Rückforderungsverfügung vom 19. August 2009 ihrerseits Arbeitslosentaggelder von jährlich Fr. 15'150.- berücksichtigt. Wird - im Sinne des vorinstanzlichen Eventualstandpunkts der Verwaltung - ein Betrag von monatlich Fr. 1'940.- angerechnet, ergeben sich Gesamteinnahmen von Fr. 4'455.-, welche die anerkannten Auslagen von Fr. 5'016.- deutlich unterschreiten. Am Einkommensdefizit änderte auch die Anrechnung eines Drittels des von Tochter S._ ab 1. August 2008 bezogenen (von der Verwaltung wohl aber bereits bei den Wohnkosten berücksichtigten) Netto-Lehrlingslohns (vgl. etwa Urteil 8C_530/2008 vom 25. September 2008 E. 4.4.3) nichts, da der entsprechende Betrag unter Fr. 200.- läge (Bruttolohn gemäss Lehrlingsvertrag vom 20. Januar 2009: monatlich Fr. 605.-); ebenfalls zu keinem andern Ergebnis führte die Anrechnung der in der Verfügung vom 14. September 2009, soweit ersichtlich, ausser Acht gelassenen Rente der 2. Säule im Betrag von umgerechnet Fr. 291.80 monatlich (jährlich: Fr. 3'502.- samt drei Kinderrenten; EL-Verfügung vom 19. August 2009). Soweit die Verwaltung vorinstanzlich vernehmlassungsweise geltend machte, es müssten - gestützt auf den im Verfügungszeitpunkt in den Akten gelegenen Lohnausweis 2007 des Ehegatten (Erwerbstätigkeit vom 1. Januar bis 31. Juli 2007: Bruttolohn total Fr. 16'530.-, netto: Fr. 15'365.-; von der Versicherten bereits im Revisionsfragebogen vom 25. September 2008 deklariert) - zusätzlich Einkünfte des Ehegatten in der Höhe von Fr. 1'280.- monatlich berücksichtigt werden, kann dem im Rahmen der prozessualen Bedürftigkeitsprüfung nicht gefolgt werden. Für den Zeitraum ab August/September 2009 liegen keine Belege für eine effektiv ausgeübte Erwerbstätigkeit des Ehegatten vor, und es sind keine stichhaltigen Anhaltspunkte dafür ersichtlich, dass dessen Erwerbslosigkeit im September 2009 (und seither) nicht den Tatsachen entspricht; erstellt ist, dass die Arbeitslosenkasse am 8. Dezember 2008 einen ab 22. Sptember 2008 geltend gemachten Entschädigungsanspruch mangels Erfüllung der Beitragszeit abgelehnt hatte.
2.3.3 Zusammenfassend ergibt sich, dass die vorinstanzliche Abweisung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Einspracheverfahren wegen fehlender Bedürftigkeit Bundesrecht verletzt.
2.4 Die Verfügung vom 14. September 2009 und der angefochtene Entscheid haben sich zu den weiteren Anspruchsvoraussetzungen gemäss <ref-law> und <ref-law> (E. 2.1.1) nicht geäussert. Darüber ist hier - nachdem bisher nie beurteilt und streitig gewesen - nicht zu befinden. Die Sache ist an die Verwaltung zurückzuweisen, damit sie nach erfolgter Prüfung der Nichtaussichtslosigkeit der Rechtsbegehren und der Notwendigkeit der Verbeiständung über den Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung im Einspracheverfahren neu verfüge.
3. Mit der Rückweisung an die Verwaltung wird die Rüge der im kantonalen Gerichtsverfahren zu Unrecht verweigerten unentgeltlichen Verbeiständung gegenstandslos, weshalb sich diesbezügliche Ausführungen erübrigen.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Dem Prozessausgang entsprechend gehen die Gerichtskosten zu Lasten der Beschwerdegegnerin (<ref-law>) und ist diese gegenüber der - kostenrechtlich als voll obsiegend geltenden - Beschwerdeführerin entschädigungspflichtig (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das letztinstanzliche Verfahren ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 6. Juli 2010 sowie die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Aargau vom 14. September 2009 aufgehoben werden und die Sache an die Verwaltung zurückgewiesen wird, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und über den Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Februar 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Attinger