Sachverhalt:
A. Der 1962 geborene B._ war vom 1. April bis 31. Dezember 2005 als ... bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft tätig und aufgrund dieses Arbeitsverhältnisses bei der Vorsorgeeinrichtung 1 der Zürich Versicherungs-Gruppe (nachfolgend: Zürich Pension) berufsvorsorgerechtlich versichert. Im Januar 2006 bezog B._ Arbeitslosenentschädigung. Mit Verfügung vom 14. Dezember 2007 sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Aargau ab 1. Januar 2007 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zu. Die IV-Behörden gingen davon aus, dass B._ seit dem 1. Januar 2006 praktisch vollständig arbeitsunfähig war. Seine Beschwerde mit dem Antrag auf Ausrichtung der IV-Rente bereits ab Oktober 2006 (zufolge Eröffnung der einjährigen Wartezeit schon am 26. Oktober 2005) wurde vom Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 21. Mai 2008 abgewiesen. Während die Stiftung Auffangeinrichtung BVG (nachfolgend: Auffangeinrichtung) B._ ab 1. Januar 2007 eine Invalidenrente aus der obligatorischen beruflichen Vorsorge für arbeitslose Personen zusprach, lehnte die Zürich Pension ihrerseits jegliche Pflicht zur Ausrichtung vorsorgerechtlicher Invalidenleistungen ab. B._ sei bei Eintritt der invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit am 1. Januar 2006 nicht mehr bei ihr, sondern - als Bezüger von Arbeitslosenentschädigung - bei der Auffangeinrichtung vorsorgeversichert gewesen.
B. Die am 25. November 2008 gegen die Zürich Pension eingereichte Klage, mit welcher B._ die "obligatorischen und allfälligen überobligatorischen Pensionskassenleistungen analog dem IV-Entscheid seit dem 1. Januar 2007 in der Höhe von Fr. 25'959.- pro Jahr samt 5 % Zins ab den jeweiligen Fälligkeiten inklusive Prämienbefreiung" beantragt hatte, wurde vom Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 16. August 2010 abgewiesen.
C. Mit Beschwerde ans Bundesgericht lässt B._ seinen vorinstanzlichen Antrag erneuern, wobei er den geltend gemachten Zins nicht mehr beziffert. Überdies lässt er um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne unentgeltlicher Prozessführung und Verbeiständung) ersuchen.
Die Zürich Pension schliesst auf Abweisung der Beschwerde; weil diese leichtsinnig und mutwillig erhoben worden sei, beantragt die Vorsorgeeinrichtung zudem eine Parteientschädigung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels haben sich die Parteien zur Frage des genauen Datums des erstmaligen Bezugs eines Taggeldes der Arbeitslosenversicherung im Januar 2006 geäussert.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>).
Grundsätzlich wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Rechtsverletzungen und Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550; <ref-ruling> E. 2.5 S. 262).
2. 2.1 Anspruch auf Invalidenleistungen haben nach Art. 23 lit. a BVG (SR 831.40) Personen, die im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 40 % invalid sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert waren. Die obligatorische Versicherung beginnt gemäss Art. 10 Abs. 1 BVG mit dem Antritt des Arbeitsverhältnisses, für Bezüger von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung mit dem Tag, für den erstmals eine Arbeitslosenentschädigung ausgerichtet wird. Laut Art. 10 Abs. 2 lit. b BVG endet die Versicherungspflicht, wenn das Arbeitsverhältnis aufgelöst wird. Für die Risiken Tod und Invalidität bleibt der Arbeitnehmer während eines Monats nach Auflösung des Vorsorgeverhältnisses bei der bisherigen Vorsorgeeinrichtung versichert (sog. Nachdeckung); wird vorher ein neues Vorsorgeverhältnis begründet, so ist die neue Vorsorgeeinrichtung zuständig (Art. 10 Abs. 3 BVG; <ref-ruling> E. 2a S. 19; <ref-ruling> E. 2a S. 38; je mit Hinweisen).
Im Hinblick auf Ansprüche aus der weitergehenden beruflichen Vorsorge ist festzuhalten, dass das bis Ende 2005 gültig gewesene Vorsorgereglement der Beschwerdegegnerin praktisch dieselbe Nachdeckungsregelung vorsah wie die angeführte BVG-Bestimmung und dass das ab 1. Januar 2006 geltende Vorsorgereglement vom selben Invaliditätsbegriff ausgeht wie die Invalidenversicherung.
2.2 Die Vorsorgeeinrichtungen sind im Bereich der gesetzlichen Mindestvorsorge (Art. 6 BVG) an die Feststellungen der Organe der Invalidenversicherung gebunden, soweit die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtungsweise aufgrund einer gesamthaften Prüfung der Akten nicht als offensichtlich unhaltbar erscheint. Diese Bindungswirkung erstreckt sich namentlich auf die Feststellungen hinsichtlich des Eintritts der (nachmals) invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit, d.h. der Eröffnung der einjährigen Wartezeit gemäss <ref-law> (in der hier anwendbaren, bis Ende 2007 gültig gewesenen Fassung; vgl. Art. 26 Abs. 1 BVG). Stellt die Vorsorgeeinrichtung auf die IV-rechtliche Betrachtungsweise ab, muss sich die versicherte Person diese entgegenhalten lassen, soweit sie für die Festlegung des Anspruchs auf die IV-Rente entscheidend war, und zwar ungeachtet dessen, ob der Vorsorgeversicherer in das Verfahren der Invalidenversicherung einbezogen worden war oder nicht (unter Vorbehalt der erwähnten, im Lichte der gesamten Aktenlage offensichtlich unhaltbaren Feststellungen der IV-Behörden; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.1 S. 273 mit Hinweisen).
3. Die Vorinstanz ist zu Recht von einer Verbindlichkeitswirkung des von den IV-Organen festgesetzten Beginns der Invalidenversicherungsrente für den berufsvorsorgerechtlichen Anspruch des Beschwerdeführers auf Invalidenleistungen ausgegangen. Die Feststellungen und Beurteilungen hinsichtlich des Beginns der Rentenberechtigung bzw. der Eröffnung der einjährigen Wartezeit am 1. Januar 2006 waren im invalidenversicherungsrechtlichen Verfahren für die Festlegung des dortigen Rentenanspruchs entscheidend. Zudem stellte (und stellt) auch die Zürich Pension, welcher sowohl Vorbescheid als auch Rentenverfügung der IV-Stelle mitgeteilt worden waren, grundsätzlich auf die IV-rechtliche Betrachtungsweise ab und führt selber aus, die vorinstanzliche Feststellung einer ab 1. Januar 2006 bestehenden 100%igen Arbeitsunfähigkeit sei nicht offensichtlich unrichtig. Wie die Vorinstanz ebenfalls zutreffend erwogen hat, ist im hier zu beurteilenden Fall massgebend, dass der Beginn des IV-Rentenanspruchs bzw. das Eröffnungsdatum der einjährigen Wartezeit gemäss alt<ref-law> vom Versicherungsgericht des Kantons Aargau im invalidenversicherungsrechtlichen Entscheid vom 21. Mai 2008 einlässlich überprüft worden ist. Mit Blick auf diesen rechtskräftigen Entscheid entfällt die - ohnehin auf offensichtliche Unhaltbarkeit der Betrachtungsweise der IV-Stelle eingeschränkte (E. 2.2 hievor) - Überprüfungsbefugnis des Vorsorgerichters gänzlich. Auch hinsichtlich berufsvorsorgerechtlicher Invalidenleistungen ist demnach von einer am 1. Januar 2006 eintretenden (praktisch vollständigen) Arbeitsunfähigkeit auszugehen.
4. Es stellt sich die Frage, bei welcher Vorsorgeeinrichtung der Beschwerdeführer am 1. Januar 2006 versichert war. Das Datum fällt in die einmonatige Nachdeckung für das Invaliditätsrisiko bei der Zürich Pension (Art. 10 Abs. 3 erster Satz BVG). Auf der andern Seite bezog der Versicherte ab Januar 2006 Taggelder der Arbeitslosenversicherung, weshalb sich die Beschwerdegegnerin unter Hinweis auf den zweiten Satz von Art. 10 Abs. 3 BVG auf den Standpunkt stellt, aufgrund des neuen Vorsorgeverhältnisses mit der Auffangeinrichtung sei nunmehr diese zuständig. Das kantonale Gericht hat sich (wie auch die Auffangeinrichtung selber) dieser Betrachtungsweise angeschlossen. Die vorinstanzliche Feststellung, wonach der Beschwerdeführer "im Januar 2006" Arbeitslosengeld bezogen habe, ist indessen unvollständig und verletzt damit Bundesrecht. Aufgrund nachfolgender Überlegungen ist hier nämlich der exakte Kalendertag des erstmaligen Taggeldbezugs im Januar 2006 entscheidend:
Art. 10 Abs. 1 BVG lässt die obligatorische Versicherung (hinsichtlich der Risiken Tod und Invalidität; Art. 2 Abs. 3 BVG) für die Bezüger von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung mit dem Tag beginnen, "für den erstmals eine Arbeitslosenentschädigung ausgerichtet wird". Deutlicher noch als die deutsche Version bringen die französische und die italienische Sprachfassung der Vorschrift ("le jour où ils perçoivent pour la première fois une indemnité de chômage", "il giorno in cui è versata per la prima volta un'indennità di disoccupazione") zum Ausdruck, dass der Gesetzgeber damit den konkreten entschädigungsberechtigten Tag im Auge hatte. Der Beschwerdeführer (für den aufgrund einer früheren Arbeitslosigkeit immer noch eine Rahmenfrist für den Leistungsbezug lief und der daher keine neuerliche Wartezeit zu bestehen hatte) konnte nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses mit der Zürich Versicherungs-Gesellschaft am 31. Dezember 2005 erstmals für Montag, den 2. Januar 2006, Arbeitslosenentschädigung beziehen. Denn Rechtsprechung und Lehre schliessen aus Art. 21 zweiter Satz AVIG (SR 837.0), wonach für eine Woche fünf Taggelder der Arbeitslosenversicherung ausgerichtet werden, dass diese die heute übliche Fünftage-Woche entschädigen sollen und sich damit auf Montag bis Freitag (inkl. die auf einen solchen Werk- oder Arbeitstag entfallenden Feiertage) beziehen, wogegen für Wochenendtage (Samstag und Sonntag) von vornherein kein Taggeldanspruch besteht (<ref-ruling> E. 4b/aa S. 347 in fine; ARV 1990 Nr. 13 S. 78 E. 4c, C 34/90; Thomas Nussbaumer, Arbeitslosenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2. Aufl. 2007, S. 2282 Rz. 345; Gerhard Gerhards, Kommentar zum Arbeitslosenversicherungsgesetz, Bd. I, 1987, N. 9 zu Art. 21-22 AVIG). Den Akten lässt sich denn auch entnehmen, dass der Beschwerdeführer erst ab 2. Januar 2006 ALV-Taggelder bezog. Fiel nach dem Gesagten der erste Tag des Jahres 2006 auf einen im Rahmen der Arbeitslosenversicherung nicht entschädigungsberechtigten Sonntag, wurde das neue Vorsorgeverhältnis mit der Auffangeinrichtung erst am darauffolgenden Tag begründet. Aufgrund der erwähnten Nachdeckung gemäss Art. 10 Abs. 3 erster Satz BVG war der Beschwerdeführer somit weiterhin bei der Zürich Pension als bisheriger Vorsorgeeinrichtung versichert, als am 1. Januar 2006 die in der Folge invalidisierende Arbeitsunfähigkeit eintrat.
5. Die Vorinstanz, an welche die Sache zurückgeht, wird über den Anspruch des Beschwerdeführers auf die eingeklagten Invalidenleistungen aus obligatorischer und weitergehender beruflicher Vorsorge gegenüber der zuständigen Zürich Pension neu zu befinden haben. Was den überobligatorischen Vorsorgebereich anbelangt, macht die Beschwerdegegnerin einen Rücktritt vom Vorsorgevertrag wegen Anzeigepflichtverletzung des Beschwerdeführers geltend.
6. Ausgangsgemäss trägt die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Ausserdem hat sie dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht ist demzufolge gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 16. August 2010 wird aufgehoben. Es wird die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit diese über den Anspruch des Beschwerdeführers auf Invalidenleistungen aus beruflicher Vorsorge gegenüber der Beschwerdegegnerin neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und der Stiftung Auffangeinrichtung BVG schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. März 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Attinger