Sachverhalt:
A.
A._ und C._ sind die geschiedenen Eltern von D._ (geb. 1997). Im Rahmen ihrer Scheidung im Jahr 2008 wurde ihnen die elterliche Sorge entzogen und D._ wurde ein Vormund bestellt. Das Kind blieb in verschiedenen Institutionen untergebracht, bis der Vormund, unter Kenntnisnahme der Vormundschaftsbehörde Rheinfelden, D._ vorübergehend beim Kindsvater platzierte. Die Kindsmutter, fortan vertreten durch Rechtsanwältin B._, reichte Beschwerde gegen die Platzierung ein. Ab dem 1. Januar 2013 lag die Zuständigkeit für das Beschwerdeverfahren bei der Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz des Obergerichts des Kantons Aargau (hiernach Obergericht).
B.
Mit Verfügung des Obergerichts vom 21. Januar 2013 wurde Rechtsanwältin B._ zur unentgeltlichen Rechtsvertreterin der Kindsmutter bestellt. Gleichentags wurde D._ eine Rechtsanwältin als Kindesvertreterin beigeordnet.
Es folgten diverse Eingaben aller beteiligten Parteien. Am 28. März 2013 erstattete die Vormundin des Kindes einen Zustandsbericht. Am 21. Mai 2013 berichtete der Kinder- und Jugendpsychiatrische Dienst Basel-Land über die Platzierung und die Beziehung zwischen Mutter und Kind. Die Kindsmutter nahm jeweils Stellung.
C.
Mit Entscheid vom 22. August 2013 wies das Obergericht die Beschwerde der Kindsmutter ab, soweit es darauf eintrat. Das der unentgeltlichen Rechtsvertreterin für ihre Aufwendungen geschuldete Honorar setzte es auf Fr. 1'300.-- (inkl. Auslagen und MWSt) fest. Der Betrag sei ihr von der Obergerichtskasse zu bezahlen (Ziff. 5).
D.
Die Kindsmutter führt gegen die Platzierung des Kindes Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. In derselben Rechtsschrift ficht ihre Rechtsanwältin (Beschwerdeführerin) den Entscheid an in Bezug auf das ihr zugesprochene Honorar. Sie beantragt, Ziff. 5 des Entscheids vom 22. August 2013 sei aufzuheben. Ihr sei eine Entschädigung von mindestens Fr. 8'200.-- (inkl. Auslagen und MWSt) zu bezahlen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Festsetzung einer angemessenen Parteientschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Stellungnahme.
E.
Die Beschwerde der Kindsmutter in der Hauptsache ist getrennt zu behandeln (vgl. separates Verfahren 5A_742/2013). Die Kindesvertreterin erhob in Bezug auf die ihr zugesprochene Entschädigung ebenfalls Beschwerde an das Bundesgericht (vgl. Verfahren 5A_701/2013).

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 331 mit Hinweisen).
1.2. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG) betreffend Festsetzung der Entschädigung der unentgeltlichen Anwältin. In der Hauptsache ging es um eine Massnahme des Kindesschutzrechts im weitesten Sinne (Urteil 5A_742/2013 vom 24. Dezember 2013 E. 1.1), mithin um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) ohne Vermögenswert. Die Zulässigkeit der Beschwerde gegen einen Nebenpunkt, wie dies die Entschädigung der unentgeltlichen Rechtsanwältin darstellt, richtet sich nach der Hauptsache. Da vor der Vorinstanz die Hauptsache noch strittig war, ist auch die Beschwerde gegen die Entschädigung streitwertunabhängig zulässig (anders liegt der Fall, wenn vor der Vorinstanz nur noch das Honorar strittig war: Urteil 5A_480/2013 vom 22. August 2013 E. 1). Die Beschwerdeführerin ist im Sinne von <ref-law> berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>), womit der Beschwerdeführerin die Beschwerde in Zivilsachen offen steht.
2.
Die Beschwerdeführerin beanstandet die ihr als unentgeltliche Rechtsvertreterin zugesprochene Entschädigung.
2.1. Die kantonalen Instanzen setzten die strittige Entschädigung gestützt auf kantonales Recht fest (§§ 3 bis 10 des Dekrets über die Entschädigung der Anwälte [Anwaltstarif; AnwT], SAR 291.150). Die Verletzung von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; es gilt das Rügeprinzip). Die Verletzung kantonalen Rechts per se ist indes auch im ordentlichen Beschwerdeverfahren (abgesehen von hier nicht gegebenen Ausnahmen, vgl. Art. 95 lit. c-e BGG) kein Beschwerdegrund vor Bundesgericht. Vielmehr kann diesbezüglich nur gerügt werden, die Anwendung des kantonalen Rechts durch die Vorinstanz verletze das Bundesrecht im Sinne von <ref-law> - namentlich das Willkürverbot (<ref-law>) oder andere verfassungsmässige Rechte - oder das Völkerrecht im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 466; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.).
Bei der Festsetzung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands verfügen die kantonalen Instanzen über ein weites Ermessen. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn die Vorinstanz dieses willkürlich ausgeübt hat (<ref-ruling> E. 3a S. 2; <ref-ruling> E. 2b S. 134; zuletzt Urteil 5A_480/2013 vom 22. August 2013 E. 2.2). Ein angefochtener Entscheid ist erst dann aufzuheben, wenn der dem amtlichen Anwalt zugesprochene gesamthafte Betrag auch im Ergebnis willkürlich erscheint (<ref-ruling> E. 3d S. 112; zuletzt in Urteil 5A_199/2012 vom 31. Mai 2012 E. 2.2).
2.2. Nach § 3 Abs. 1 lit. b AnwT beträgt die Grundentschädigung in nicht vermögensrechtlichen Angelegenheiten des ordentlichen Verfahrens nach dem mutmasslichen Aufwand des Anwaltes sowie nach Bedeutung und Schwierigkeit des Falles Fr. 1'210.-- bis Fr. 14'740.--. In Summarsachen, worunter heute Kindesschutzsachen fallen, beträgt die Grundentschädigung 25-100 % dieser Ansätze (§ 3 Abs. 2 AnwT). Durch die Grundentschädigung sind Instruktion, Aktenstudium, rechtliche Abklärungen, Korrespondenz, Telefongespräche und eine Rechtsschrift sowie die Teilnahme an einer behördlichen Verhandlung abgegolten (§ 6 Abs. 1 AnwT). Wird das Verfahren nicht vollständig durchgeführt, vermindert sich die Entschädigung entsprechend den Minderleistungen des Anwaltes (§ 6 Abs. 2 AnwT). Für zusätzliche Rechtsschriften und Verhandlungen erhöht sich die Grundentschädigung um je 5-30 %, wobei überflüssige Eingaben nicht in Betracht fallen (§ 6 Abs. 3 AnwT). Im Rechtsmittelverfahren beträgt die Entschädigung des Anwaltes je nach Aufwand 50-100 % des nach den Regeln für das erstinstanzliche Verfahren berechneten Betrags (§ 8 AnwT).
2.3. Zur Grundentschädigung äusserte sich das Obergericht in Bezug auf die angefochtene Entschädigung der Beschwerdeführerin nicht. Indes kann dem Entscheid entnommen werden, dass es der ebenfalls im Verfahren involvierten Kindesvertreterin eine Grundentschädigung von Fr. 1'200.-- zusprach, wovon wohl auch hier auszugehen ist. Das Obergericht erwog, zu berücksichtigen sei die fehlende Verhandlung, was einen Abzug von 25 % rechtfertige (§ 6 Abs. 2 AnwT); dies sei mit den zusätzlichen Aufwendungen als Folge der eingeholten Berichte mit weiteren Stellungnahmen zu verrechnen (§ 6 Abs. 3 AnwT). Ein Abzug von 10 % rechtfertige sich für das Rechtsmittelverfahren (§ 8 AnwT). Hinzu kämen Auslagen von ermessensweise pauschal Fr. 120.-- sowie MWSt von 8 %, was einen Anspruch von insgesamt rund Fr. 1'300.-- ergebe.
2.4. Die Beschwerdeführerin rügt in erster Linie, die Vorinstanz sei bei der Festsetzung der Grundgebühr in Willkür verfallen. Das Obergericht führe lediglich aus, dass in summarischen Verfahren durchschnittlich 62.5 % der nach § 3 Abs. 1 lit. b AnwT festgesetzten Grundentschädigungen geschuldet seien. Rein rechnerisch bedeute dies wohl, dass es von einer Grundentschädigung von Fr. 1'920.-- ausgegangen sei und diese dann auf Fr. 1'200.-- (62.5 %) reduziert habe, weil ein summarisches Verfahren zur Diskussion stehe. Das Obergericht habe aber nicht begründet, weshalb die Grundentschädigung auf diesen Betrag anzusetzen sei; es habe namentlich den mutmasslichen Aufwand der Anwältin und die Bedeutung und Schwierigkeit des Falles nicht gewichtet. Bezüglich Bedeutung wäre zu berücksichtigen gewesen, dass es um einen massiven Eingriff in die Familienstruktur und die verfassungsmässigen Rechte der Kindsmutter gehe. Die Angelegenheit könne zudem rechtlich nicht als einfach bezeichnet werden, seien doch die Kompetenzen des eingesetzten Vormunds sowie der Vormundschaftsbehörde und die Einordnung der Platzierung eines Kindes bei einem nicht sorgerechtsberechtigten Elternteil rechtlich unklar. In tatsächlicher Hinsicht habe sie sich in umfangreiche Vorakten einlesen müssen, welche das Verhältnis innerhalb der Familie und die medizinische Situation der Tochter aufzeigten, und sie habe diese dokumentieren müssen, da sich die Vormundschaftsbehörde mit diesen Fragen in ihrem Entscheid nicht auseinandergesetzt habe. Die Vorinstanz habe sodann übergangen, dass das Verfahren zum Zeitpunkt seiner Einleitung dem kantonalen Verwaltungsrecht unterstanden habe, welches gar kein summarisches Verfahren kenne. Aufgrund des Zuständigkeitswechsels per 1. Januar 2013 hätten überdies die Anträge erneuert werden müssen. Zum Vergleich fügt sie an, dass gemäss ständiger Praxis des Obergerichts die Grundentschädigung für ein Eheschutzverfahren (summarisches Verfahren) bei Fr. 2'500.-- angesetzt werde, diejenige für ein Scheidungsverfahren (ordentliches Verfahren) bei Fr. 3'630.--.
Die Vorinstanz äusserte sich bei der Festsetzung der Entschädigung weder konkret zur Bedeutung noch zur rechtlichen oder tatsächlichen Schwierigkeit des Falles (E. 2.3). Gleichwohl setzte sie die Grundentschädigung am untersten Ende des zulässigen Rahmens für ein summarisches Verfahren fest, was gemäss dem Wortlaut von § 3 Abs. 1 lit. b AnwT (E. 2.2) nur bei einfachen Verhältnissen angemessen sein dürfte.
Nach der allgemeinen Lebenserfahrung sind Kindesschutzverfahren jedoch regelmässig sensible, komplexe und eher aufwendige Verfahren. Um so mehr hätte seitens der Vorinstanz Begründungsbedarf bestanden, wenn sie vorliegend zum Schluss gekommen wäre, dass es sich um ein einfaches Verfahren von weniger grosser Bedeutung gehandelt habe. Wie bereits erwähnt, äussert sich die Vorinstanz hierzu nicht explizit. Dem Urteil lassen sich auch keine impliziten Hinweise auf ein besonders einfaches Verfahren entnehmen. Im Gegenteil verweist die Vorinstanz darauf, über die erheblichen schulischen Probleme von Cinzia mit wechselnden Aufenthalten in verschiedenen Institutionen gäben die Akten hinlänglich Auskunft; aufschlussreich sei insbesondere das ausführliche Obergutachten der Kinder- und Jugendpsychiatrischen Klinik Basel vom 25. Juni 2008 zu Handen des Ehescheidungsverfahrens der Kindseltern mit abschliessender Empfehlung des Entzuges der elterlichen Sorge für beide Elternteile. Zum Verlauf der schulischen Platzierungen verwies die Vorinstanz auf die Verfügung der Vormundschaftsbehörde. Bereits daraus erhellt, dass vorliegend nicht von einer einfachen Angelegenheit gesprochen werden kann. Die Festsetzung geschah mithin ohne Berücksichtigung der in § 3 Abs. 1 lit. b AnwT postulierten "Bedeutung und der Schwierigkeit des Falles". Ebenso wenig begründet die Vorinstanz, weshalb nur ein reduziertes Honorar für ein summarisches Verfahren geschuldet sei, obwohl die Verfahrenseinleitung unter dem alten Verfahrensrecht geschah. Das Vorgehen erweist sich damit als willkürlich.
2.5. Die Beschwerdeführerin rügt sodann, die Vorinstanz habe einen Überlegungsfehler gemacht, indem sie einen Abzug von 10 % für ein Rechtsmittelverfahren getätigt habe. Ein solcher Abzug werde in der Regel vorgenommen, wenn eine Partei bereits im erstinstanzlichen Verfahren vertreten gewesen sei, was hier gerade nicht der Fall sei. Der Abzug recht fertige sich damit nicht.
Auch hier äussert sich der angefochtene Entscheid nicht dazu, weshalb ein Rechtsmittelabzug gerechtfertigt sein solle. Allerdings zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Vorgehen Bundesrecht im Sinne von <ref-law> verletzt habe (E. 2.1), womit nicht weiter auf die Rüge einzugehen ist.
2.6. Was die zusätzlichen Eingabe n anbelangt, welche die Vorinstanz mit insgesamt 25 % berücksichtigte (verrechnet mit dem Abzug von 25 % für die fehlende Verhandlung), macht die Beschwerdeführerin zwar höhere Zuschläge von insgesamt 80 % geltend. Sie erhebt diesbezüglich aber ebenfalls keine rechtsgenügliche Rüge (E. 2.1), womit hierauf nicht einzutreten ist.
2.7. Schliesslich beanstandet die Beschwerdeführerin das Honorar auch im Ergebnis als willkürlich. Die Vorinstanz entschädige sie für ihren Aufwand mit Fr. 1'085.-- (ohne Auslagen von Fr. 120.-- und MWSt von Fr. 95.--). Das ergebe beim Stundenansatz als Fachanwältin SAV Familienrecht von Fr. 250.-- einen entschädigten Aufwand von 4.3 Stunden resp. beim üblichen Stundenansatz von Fr. 220.-- einen solchen von 4.9 Stunden. Sämtliche von ihr getroffenen Vorkehren seien erforderlich gewesen und die Stellungnahmen allesamt von der Vorinstanz selbst eingefordert worden. Die neuen Schritte hätten jeweils mit der Klientin besprochen werden müssen. Im Übrigen habe sie mehrmals das Verfahren vorantreiben müssen, da sich der Entscheid verzögert habe. Insgesamt macht sie einen Aufwand von Fr. 8'200.-- geltend (Fr. 3'600.-- Grundentschädigung; Abzug 20 % für fehlende Verhandlung; Zuschlag 30 % für zwei Stellungnahmen zu Eingaben der Gemeinde und des Vormunds; Zuschlag 20 % für Stellungnahme zu Eingabe der Kindesvertreterin und des Kindsvaters; Zuschlag 30 % für Stellungnahme zum Bericht der Kinderpsychiaterin; Zuschlag 30 % gemäss Art. 7 AnwT; Spesen von Fr. 120.--; hierauf MWSt von 8 %, wobei sie den Gesamtbetrag auf die nächsten ganzen hundert Franken abrundete).
Vor dem Hintergrund der weder rechtlich noch tatsächlich einfachen Angelegenheit ist offensichtlich, dass eine Entschädigung, welche nur gut vier Stunden vergütet, nicht angemessen im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sein kann. Zur Erfordernis der Angemessenheit einer Entschädigung kann im Übrigen auf <ref-ruling> verwiesen werden. Diese noch vor der Vereinheitlichung des Zivilprozessrechts entwickelten Grundsätze behalten auch im Rahmen von <ref-law> ihre volle Gültigkeit (<ref-ruling> E. 5.2 f. S. 188 f.). Überdies lässt sich dem angefochtenen Entscheid kein einziger Hinweis darauf entnehmen, dass das Vorgehen der unentgeltlichen Rechtsanwältin nicht angemessen gewesen wäre, weshalb sich auch unter diesem Titel eine Kürzung des Honorars nicht rechtfertigt.
2.8. Die Festsetzung der Entschädigung erweist sich damit auch im Ergebnis als willkürlich.
Ziff. 5 Absatz 1 des angefochtenen Urteils ist somit wie beantragt aufzuheben. Da das Bundesgericht mangels entsprechender Feststellungen der letzten kantonalen Instanz nicht selbst über die Entschädigung befinden kann, ist die Sache in Gutheissung des Eventualantrags zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese eine Neufestsetzung der Entschädigung unter Berücksichtigung des mutmasslichen Aufwandes der Anwältin sowie nach der Bedeutung und der Schwierigkeit des Falles vornehme.
3.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Kanton Aargau aufzuerlegen, da Vermögensinteressen des Kantons betroffen sind (<ref-law>; v gl. Urteil 5A_168/2012 vom 26. Juni 2012 E. 6). Der Kanton Aargau hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>; Urteil 5A_168/2012 vom 26. Juni 2012 E. 6).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Ziffer 5 Abs. 1 des Urteils des Obergerichts des Kantons Aargau vom 22. August 2013 wird aufgehoben und die Sache wird im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden dem Kanton Aargau auferlegt.
3.
Der Kanton Aargau hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Dezember 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann