Faits:
A. A.X._, ressortissante brésilienne née en 1983, est venue une première fois en Suisse en 2002 où elle a fait la connaissance de Y._, ressortissant portugais avec lequel elle a noué une relation intime. De retour au Brésil à l'automne 2003, A.X._ y a donné naissance, en 2004, à un fils prénommé B._.
A.X._ est revenue en Suisse avec son fils au début de l'année 2005, puis a séjourné alternativement en Suisse et au Brésil. Le 27 octobre 2005, Y._ a reconnu B.X._ comme étant son fils, ce dernier jouissant dès lors de la nationalité portugaise.
B. Le 12 décembre 2007, Y._ a adressé à l'Office de la population du canton de Genève (ci-après: l'Office de la population) une demande d'autorisation de séjour en faveur de A.X._ et de son fils. A cette occasion, il a exposé avoir fait la connaissance de la prénommée à la fin de l'année 2002 et avoir vécu avec elle durant plusieurs mois avant qu'elle ne retourne au Brésil et y donne naissance à leur fils. Il a pour sa part ultérieurement rencontré une autre femme, qu'il a plus tard épousée. Désirant assumer ses responsabilités vis-à-vis de son ancienne amie, il a passé avec elle une convention d'entretien par-devant le Tribunal de première instance. Il verse de ce chef une pension alimentaire de 500 fr. par mois pour son fils. Il passe en outre un week-end sur deux et la moitié des vacances scolaires avec lui. Pour sa part, A.X._ a affirmé qu'elle avait partagé son temps entre la Suisse et le Brésil entre 2005 et 2007, avant de venir s'établir en Suisse au mois de février 2008.
Alors que l'Office de la population avait émis un préavis positif, l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral) a informé A.X._ qu'il envisageait de refuser de donner son approbation à l'octroi, en sa faveur, d'une autorisation de séjour pour cas individuel d'extrême gravité. Bien qu'elle ait été invitée à le faire, A.X._ ne s'est pas déterminée sur ce projet et l'Office fédéral a rendu, le 31 juillet 2009, une décision par laquelle il a refusé de mettre celle-ci au bénéfice d'une exception aux mesures de limitation et d'octroyer une autorisation de séjour à son fils.
Agissant pour elle-même et pour son fils, A.X._ a saisi le Tribunal administratif fédéral d'un recours contre cette décision, lequel a été rejeté par jugement du 10 juin 2010.
C. Par écriture parvenue au Tribunal fédéral le 8 juillet 2010, A.X._ a formé un recours en matière de droit public contre l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 10 juin 2010. En substance, elle conclut à l'annulation de ce jugement et à ce qu'une autorisation de séjour CE/AELE lui soit octroyée ainsi qu'à son fils. Elle se plaint d'une violation de l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681). Elle a en outre déposé une requête d'effet suspensif, qui a été admise par ordonnance présidentielle du 23 septembre 2010.
L'Office fédéral a conclu au rejet du recours, tandis que le Tribunal administratif fédéral a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. La demande d'autorisation de séjour a été déposée le 12 décembre 2007, soit avant l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2008, de la loi fédérale sur les étrangers du 16 décembre 2005 (LEtr; RS 142.20). Le cas d'espèce demeure dès lors régi par l'ancien droit (cf. art. 126 al. 1 LEtr), à savoir la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007), dans la mesure où il n'est pas soumis à l'ALCP.
2. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>), ainsi que la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 24, 30 consid. 1 p. 31).
2.1 Selon l'art. 83 let. c ch. 5 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent les dérogations aux conditions d'admission. En tant qu'il porte sur cette question, le recours est dès lors irrecevable.
2.2 Aux termes de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
2.2.1 En sa qualité de ressortissante brésilienne, la recourante ne peut tirer d'aucune disposition du droit fédéral ou international un droit à une autorisation de séjour. En particulier, il est patent que, n'étant pas mariée au père de son enfant, Y._, ressortissant portugais, elle ne peut pas prétendre à la délivrance d'une autorisation de séjour fondée sur l'art. 17 al. 2 LSEE, ni d'une autorisation fondée sur l'ALCP, au regard des seuls liens passés qu'elle a entretenus avec ce dernier. Il reste à déterminer si l'ALCP lui confère un droit dont elle pourrait se prévaloir au regard de la nationalité portugaise de son fils. Elle invoque à cet égard la jurisprudence du Tribunal de céans, ainsi que celle de la Cour de Justice des Communautés européennes (en part. l'arrêt du 19 octobre 2004 C-200/02 Zhu et Chen, Rec. 2004 I-9925). Elle estime que son fils aurait un droit propre de demeurer en Suisse, dont elle pourrait bénéficier à titre dérivé.
Le seul droit propre de l'enfant B.X._ de demeurer en Suisse pourrait être celui de l'<ref-law>, qui garantit aux personnes n'exerçant pas d'activité économique le droit de séjourner sur le territoire d'une partie contractante, conformément aux dispositions de l'annexe I relatives aux non-actifs (art. 24).
2.2.2 Selon l'<ref-law>, une personne ressortissant d'une partie contractante n'exerçant pas d'activité économique dans le pays de résidence reçoit un titre de séjour d'une durée de cinq ans au moins, à condition qu'elle prouve aux autorités nationales compétentes qu'elle dispose pour elle-même et les membres de sa famille de moyens financiers suffisants pour ne pas devoir faire appel à l'aide sociale pendant son séjour (let. a) et d'une assurance-maladie couvrant l'ensemble des risques (let. b). Le paragraphe 2 de l'<ref-law> précise que les moyens financiers nécessaires sont réputés suffisants s'ils dépassent le montant en-dessous duquel les nationaux, eu égard à leur situation personnelle, peuvent prétendre à des prestations d'assistance. Selon l'art. 16 al. 1 de l'ordonnance fédérale du 22 mai 2002 sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes entre, d'une part, la Confédération suisse et, d'autre part, la Communauté euro- péenne et ses Etats membres, ainsi qu'entre les Etats membres de l'Association européenne de libre-échange (ordonnance sur l'introduction de la libre circulation des personnes; OLCP; RS 142.203), tel est le cas si ces moyens dépassent les prestations d'assistance qui seraient allouées en vertu des directives "Aide sociale: concepts et normes de calcul" de la Conférence suisse des institutions d'action sociale (CSIAS), à un ressortissant suisse, éventuellement aux membres de sa famille, sur demande de l'intéressé et compte tenu de sa situation personnelle. En d'autres termes, on considère que la condition de l'<ref-law> est remplie si les moyens financiers d'un citoyen suisse, dans la même situation, lui fermeraient l'accès à l'aide sociale (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 269; cf. aussi directives de l'Office fédéral sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes, état au 1er juin 2009, chiffre 8.2.3). Il importe peu, pour apprécier la situation économique du requérant, que ce dernier génère lui-même ses moyens financiers ou que ceux-ci lui soient procurés par un tiers (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 269 s.).
L'<ref-ruling> précité se réfère notamment à l'arrêt de la CJCE Zhu et Chen, qui, dès lors qu'il est postérieur à la date de signature de l'ALCP, ne doit certes pas être pris en considération en vertu de l'<ref-law>; dans le but d'assurer une situation juridique parallèle entre les Etats membres de la Communauté européenne, d'une part, et entre ceux-ci et la Suisse, d'autre part, le Tribunal de céans s'inspire toutefois de tels arrêts, pour autant que des motifs sérieux ne s'y opposent pas (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 12 s., 65 consid. 3.1 p. 70 s.). Selon l'arrêt en question, l'article 18 CE et la directive 90/364/CEE du Conseil du 28 juin 1990 relative au droit de séjour confèrent un droit de séjour de durée indéterminée au ressortissant mineur en bas âge d'un Etat membre qui est couvert par une assurance-maladie appropriée et qui est à la charge d'un parent, lui-même ressortissant d'un Etat tiers, dont les ressources sont suffisantes pour que le premier ne devienne pas une charge pour les finances publiques de l'Etat membre d'accueil. Ces mêmes dispositions permettent au parent qui a effectivement la garde de cet enfant de séjourner avec lui dans l'Etat membre d'accueil.
2.2.3 L'ALCP est muet sur la question de l'appréciation des preuves et des obligations procédurales incombant aux parties dans le cadre de la procédure relative à l'octroi de l'autorisation. A cet égard, c'est le droit régissant la procédure qui est déterminant, à savoir le droit cantonal, ou, au plan fédéral, la loi sur la procédure administrative du 20 décembre 1968 (PA; RS 172.021). L'<ref-law> énonce la règle selon laquelle l'autorité doit constater les faits et procéder d'office à l'administration de preuves par les moyens idoines.
2.2.4 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>; le cas échéant, ce contrôle peut avoir lieu d'office (<ref-law>).
2.2.5 En l'espèce, la seule indication figurant dans le jugement attaqué est que l'enfant B.X._ bénéficierait d'une pension alimentaire de 500 fr. par mois. Ce montant est bien évidemment insuffisant pour pouvoir subvenir à ses besoins en Suisse, au regard des exigences rappelées ci-dessus. La lecture du dossier n'est guère plus instructive, puisqu'il en ressort tout au plus que la recourante a cherché un emploi de femme de ménage. Or, du moment que la question des moyens d'existence tant de l'enfant B.X._ comme titulaire du droit de séjour fondé sur l'ALCP que de la recourante est essentielle pour l'application du droit fédéral, il incombait aux autorités précédentes d'établir d'office ce point de fait.
Ainsi, le Tribunal fédéral constate d'office que les faits ont été établis de manière incomplète et en violation de l'<ref-law> (<ref-law>), de sorte qu'il se trouve dans l'impossibilité de faire application des normes pertinentes de l'ALCP.
3. Vu ce qui précède, le recours doit être admis en tant que recevable, la décision attaquée annulée et la cause renvoyée au Tribunal administratif fédéral pour qu'il procède à une instruction complémentaire au sujet des moyens d'existence de l'enfant B.X._ ainsi que de la recourante.
Il n'y a pas lieu de percevoir de frais de justice (cf. <ref-law>).
Succombant, l'Office fédéral devra verser à la recourante une indemnité à titre de dépens (cf. <ref-law>).
Le Tribunal fédéral ne fera pas usage de la faculté prévue aux art. 67 et 68 al. 5 LTF et renverra la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure devant elle.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis dans les limites de sa recevabilité. L'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 10 juin 2010 est annulé et la cause lui est renvoyée afin qu'il procède aux mesures d'instruction complémentaires et qu'il statue à nouveau sur le sort des frais et dépens de la procédure devant lui.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. L'Office fédéral des migrations versera à la recourante une indemnité de 1'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué au représentant de la recourante, à l'Office fédéral des migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 15 novembre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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