Sachverhalt:
A.
C._ meldete sich 2010 von seinem Heimatland aus bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach seinem Tod am xxx setze seine Ehefrau S._ als Alleinerbin das Verfahren vor der IV-Stelle für Versicherte im Ausland fort. Diese verneinte nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren mit Verfügung vom 28. September 2011 einen Rentenanspruch des Verstorbenen.
B.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde von S._ hob das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 15. August 2012 die Verfügung vom 28. September 2011 auf und sprach der Witwe des verstorbenen Versicherten eine ganze Rente für die Monate Januar bis April 2011 zu (Dispositiv-Ziffer 1).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt S._, es sei ihr "für die Periode vom 1.1.2007 bis zum xxx die in der Person des verstorbenen Ehemannes (...) entstandenen Rentenansprüche gemäss IVG auszuzahlen und dies im Umfang einer ganzen Rente"; eventualiter sei ein medizinisches Gutachten zu erstellen, damit der Beginn und die Höhe (recte: der Umfang) des Rentenanspruchs bestimmt werden könnten.

Erwägungen:
1.
Die Regelung der Entstehung des Rentenanspruchs und des Rentenbeginns haben im Rahmen der 5. IV-Revision gemäss Bundesgesetz vom 6. Oktober 2006 (AS 2007 5129 ff.) eine Änderung erfahren:
1.1. Bis 31. Dezember 2007 galt Folgendes: Der Rentenanspruch nach Artikel 28 entsteht frühestens in dem Zeitpunkt, in dem der Versicherte u.a. während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens zu 40 Prozent arbeitsunfähig (<ref-law>) gewesen war. Die Rente wird vom Beginn des Monats an ausgerichtet, in dem der Anspruch entsteht, jedoch frühestens von jenem Monat an, der auf die Vollendung des 18. Altersjahres folgt (aArt. 29 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 Satz 1 IVG). Meldet sich ein Versicherter mehr als zwölf Monate nach Entstehen des Anspruchs an, so werden die Leistungen in Abweichung von Artikel 24 Absatz 1 ATSG lediglich für die zwölf der Anmeldung vorangehenden Monate ausgerichtet (aArt. 48 Abs. 2 Satz 1 IVG).
1.2. Seit 1. Januar 2008 gilt demgegenüber: Anspruch auf eine Rente haben Versicherte, die u.a. während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens zu 40 Prozent arbeitsunfähig (<ref-law>) gewesen sind (<ref-law>). Der Rentenanspruch entsteht frühestens nach Ablauf von sechs Monaten nach Geltendmachung des Leistungsanspruchs nach Artikel 29 Absatz 1 ATSG, jedoch frühestens im Monat, der auf die Vollendung des 18. Altersjahres folgt. Die Rente wird vom Beginn des Monats an ausbezahlt, in dem der Rentenanspruch entsteht (Art. 29 Abs. 1 und 3 IVG).
2.
Die Vorinstanz hat für das Bundesgericht verbindlich, im Übrigen unwidersprochen festgestellt (<ref-law>), der verstorbene Versicherte habe sich im Juli 2010 bei der Invalidenversicherung angemeldet. Aufgrund der Akten habe der Gesundheitsschaden im Zeitpunkt der Anmeldung bereits seit über einem Jahr bestanden. Vor seinem Tod am xxx sei er zu 70 % arbeitsunfähig gewesen. Daraus, dass die Anmeldung nach dem 31. Dezember 2008 erfolgt war, hat die Vorinstanz gefolgert, ungeachtet des Zeitpunkts des Eintritts der Invalidität sei <ref-law>, in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung, anwendbar. Der Anspruch auf eine ganze Rente habe somit frühestens im Januar 2011 entstehen können.
Die Beschwerdeführerin bestreitet die Anwendbarkeit von <ref-law>. Aufgrund der medizinischen Unterlagen sei der Rentenanspruch gemäss aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG vor dem 1. Januar 2008 entstanden. Es könne daher bei der Beantwortung der Frage nach dem anwendbaren Recht nicht auf den Zeitpunkt der Anmeldung ankommen bzw. das alte Recht sei massgebend.
3.
Die Vorinstanz hat zur Begründung der Anwendbarkeit von <ref-law> im Wesentlichen auf die Urteile 8C_312/2009 vom 1. Dezember 2009 E. 5 und 8C_419/2009 vom 3. November 2009 E. 3.2 sowie auf das vom BSV herausgegebene Rundschreiben Nr. 253 vom 12. Dezember 2007 hingewiesen. Daraus ergibt sich indessen, gerade umgekehrt, die Massgeblichkeit der altrechtlichen Regelung der Entstehung des Rentenanspruchs und des Rentenbeginns, wenn ein vor dem 1. Januar 2008 eingetretener Versicherungsfall (= Entstehung des Rentenanspruchs unmittelbar nach Ablauf der Wartezeit nach aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG bzw. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 478) zur Diskussion steht. Ein solcher Sachverhalt ist hier streitig. Die Beschwerdeführerin beantragte schon im vorinstanzlichen Verfahren eine ganze Rente für die Zeit ab 1. Januar 2007 (bis zum Tod ihres versicherten Ehemannes am 23. April 2011; <ref-law>).
4.
Zur Frage des Beginns der Wartezeit (aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG) vor dem 1. Januar 2007 hat die Vorinstanz keine Feststellungen getroffen. Sie hat einzig festgehalten, die Beschwerdeführerin halte dafür, der Gesundheitsschaden sei bereits 2006 eingetreten, während nach Auffassung der Beschwerdegegnerin vor Herbst 2008 noch keine relevante Arbeitsunfähigkeit bestanden habe. Nach <ref-law> kann zwar das Bundesgericht die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht. Unter letzteren Tatbestand fällt namentlich die unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen (<ref-law>; Urteil 2C_80/2012 vom 16. Januar 2013 E. 3.1; SVR 2010 IV Nr. 32 S. 102, 9C_210/2009 E. 3.4). Eine Ergänzung des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts setzt indessen voraus, dass sich die unberücksichtigt gebliebenen Tatsachen klar aus den Akten ergeben und unbestritten sind (SJ 2011 I S. 58, 4A_269/2010 E. 1.3 mit Hinweis auf die Lehre; vgl. auch Ulrich Meyer/Johanna Dormann, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 65 zu <ref-law>), was vorliegend nicht zutrifft.
5.
Im dargelegten Sinne ist die Beschwerde begründet, der angefochtene Entscheid - ohne Schriftenwechsel (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2 in fine S. 296) - aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdeführerin eine nach Massgabe des Vertretungsaufwandes bemessene Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 15. August 2012 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Juli 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Fessler