Sachverhalt:
A.
AB._ und seine Ehefrau BB._ haben mit Mietverträgen vom 12./15. März 1999 eine 5 1⁄2-Zimmer-Wohnung an der Strasse X._ in Bern und eine Doppelgarage gemietet. Die Vermieterin, C._, kündigte die Mietverträge am 31. Januar 2003.
B.
Die Mieter klagten am 15. August 2003 beim Gerichtspräsidenten 1 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen (nachstehend: Gerichtspräsident) gegen die Vermieterin und stellten die Anträge, es sei festzustellen, dass die Kläger die Mietverträge während der ganzen Vertragsdauer richtig erfüllt hätten und die Kündigung sei aufzuheben; eventuell seien die Mietverträge um ein Jahr zu erstrecken.
Nach Abschluss des Schriftenwechsels reichten die Kläger zwei Eingaben ein, welche der Gerichtspräsident mit Verfügung vom 25. August 2004 zum Teil als unzulässig qualifizierte und daher aus den Akten wies.
Mit Verfügung vom 3. September 2004 lud der Gerichtspräsident die Parteien am Freitag, 19. November 2004 um 8.15 Uhr zu einem Augenschein an der Strasse X._ in Bern mit anschliessender Hauptverhandlung im Amtshaus vor.
Mit Eingabe vom 12. November 2004 machten die Kläger insbesondere geltend, der Gerichtspräsident habe zu Unrecht Eingaben aus dem Recht gewiesen und diese zerstümmelt, weshalb die Akten wiederherzustellen seien. Zudem könne ohne Eröffnung der Hauptverhandlung sowie eines Beweisverfahrens ein Augenschein weder angesetzt noch durchgeführt werden. Damit sei die Vorladung zum Termin vom 19. November 2004 insgesamt ungehörig. Die Parteien seien daher nach der Rekonstruktion der Akten nochmals formell und materiell richtig zur Hauptverhandlung vorzuladen. An der anberaumten Hauptverhandlung könnten die Kläger nicht teilnehmen, weil jede Einlassung mit dem Rechtsnachteil gemäss Art. 359 Ziff. 2 ZPO/BE verbunden sei.
Mit Schreiben vom 17. November 2004 teilten die Kläger dem Gerichtspräsidenten mit, sie betrachteten ihre Prozesseinreden vom 12. November 2004 als durch Stillschweigen des Richters genehmigt.
Nachdem die Kläger am 19. November 2004 um 8.15 Uhr am Ort des Augenscheins bzw. an ihrem Wohnort nicht erschienen waren, verfügte der Gerichtspräsident, dass der Augenschein auf den Nachmittag verschoben wird und zunächst die Hauptverhandlung im Amtshaus durchgeführt werde, wobei die Kläger als säumig erklärt wurden. Als Beweismassnahmen wurde der Sohn der Beklagten, D._, als Zeuge und die Beklagte in ihrer Wohnung als Partei einvernommen. Danach wurde an der Strasse X._ in Bern bezüglich des Parkplatzes von Frau E._ und der anschliessenden Gartenrabatte ein Augenschein vorgenommen. Um 15.30 Uhr wurde das Verfahren im Amtshaus weitergeführt, wobei der Gerichtspräsident das Beweisverfahren schloss, indem er sämtliche weiteren Beweisanträge der Kläger abwies. Nach dem Parteivortrag der Beklagten eröffnete und begründete der Gerichtspräsident sein Urteil, mit dem er auf das Feststellungsbegehren der Kläger nicht eintrat und deren Anträge auf Aufhebung der Kündigungen vom 31. Januar 2003 sowie auf Erstreckung der Mietverhältnisse abwies. Am 30. November 2004 nahmen die Kläger das schriftlich eröffnete Urteilsdispositiv in Empfang.
Am 30. Dezember 2004 erhoben die Kläger - unter Vorbehalt einer späteren Appellation - beim Appellationshof des Kantons Bern Nichtigkeitsklage. Mit Bericht vom 24. Januar 2005 nahm der Gerichtspräsident zur Nichtigkeitsklage Stellung. Die schriftliche Begründung des erstinstanzlichen Urteils wurde den Klägern am 2. Februar 2005 zugestellt.
Am 3. Februar 2005 verfügte der Appellationshof, dass der Bericht des Gerichtspräsidenten vom 24. Januar 2005 den Klägern zur Stellungnahme zugestellt werde.
Am 14. Februar 2005 erhoben die Kläger gegen das erstinstanzliche Urteil eine Appellation. Am folgenden Tag sistierte der Appellationshof (1. Zivilkammer) das Verfahren der Nichtigkeitsklage bis zum Ende des Appellationsverfahrens.
Am 11. März 2005 reichten die Kläger dem Appellationshof eine Vernehmlassung zum Bericht des Gerichtspräsidenten vom 24. Januar 2005 ein und ersuchten darum, auch zur schriftlichen Urteilsbegründung vom 24. Januar 2005 Stellung nehmen zu dürfen. Dies hat der Appellationshof in der Folge nicht bewilligt.
Mit Entscheid vom 20. April 2005 trat der Appellationshof (2. Zivilkammer) auf die Appellation nicht ein, weil er sie als verspätet erachtete. Die Kläger fochten diesen Entscheid mit staatsrechtlicher Beschwerde an, welche das Bundesgericht am 11. August 2005 abwies. Daraufhin verfügte der Appellationshof am 7. September 2005 die Wiederaufnahme des Nichtigkeitsverfahrens.
Mit Eingabe vom 3. Oktober 2005 machten die Kläger gegenüber dem Appellationshof dem Sinne nach geltend, der Anwalt der Beklagten habe in seiner Honorarnote "Telefonate mit Gerichtsbehörden" aufgeführt, wodurch der Anschein erweckt worden sei, zwischen ihm und dem Appellationshof habe "verbotenes Berichten" stattgefunden. Zwar werde dem Appellationshof nicht unterstellt, sich auf "solchen Unfug" aktiv eingelassen zu haben. Dennoch könne nicht ausgeschlossen werden, dass dem Gegenanwalt eine unzulässige Einflussnahme auf das Gericht gelungen sei. Falls die Kläger erheblich unterliegen sollten, sei daher auch mit einer Beschwerde gemäss Art. 90 ZPO/BE bzw. Art. 18 f. GOG/BE zu rechnen.
Mit Entscheid vom 10. Oktober 2005 wies der Appellationshof (1. Zivilkammer) die Nichtigkeitsklage ab, soweit darauf eingetreten werden konnte.
C.
Die Kläger erhoben staatsrechtliche Beschwerde mit den Begehren, der Entscheid des Appellationshofs vom 10. Oktober 2005 sei aufzuheben und der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die Beklagte und der Appellationshof beantragten, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne und das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sei abzuweisen.
Mit Präsidialverfügung vom 29. Dezember 2005 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 OG), der die Beschwerdeführer in ihren rechtlich geschützten Interessen berührt (Art. 88 OG). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind ist auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde, unter dem Vorbehalt gehörig begründeter Rügen grundsätzlich einzutreten.
1.2. Nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss die staatsrechtliche Beschwerde die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1b S. 495; <ref-ruling> E. 3c S. 43). Das gilt auch für Beschwerden wegen Verletzung des Willkürverbots von Art. 9 BV. Es genügt nicht, wenn in der Beschwerde einfach behauptet wird, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Vielmehr ist aufzuzeigen, inwiefern der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4b S. 40; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262).
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten, soweit sie diesen Begründungsanforderungen nicht genügt. Dies trifft insbesondere auf die generelle Aufforderung zu, das Bundesgericht solle den angefochtenen Entscheid hinsichtlich aller verfügbaren Rechtsquellen, darunter die Berner Kantonsverfassung und die EMRK, überprüfen.
2.
2.1. Der Appellationshof lehnte am 19. September 2005 einen Antrag der Beschwerdeführer auf Stellungnahme zur schriftlichen Urteilsbegründung des Gerichtspräsidenten ab. Zur Begründung führte der Appellationshof in seinem Urteil aus, die Frist zur Einreichung der Nichtigkeitsklage betrage dreissig Tage ab der Zustellung des schriftlichen Urteilsdispositives. Diese Frist sei nicht erstreckbar. Die Zivilprozessordnung sehe - auch für den Fall der mündlichen Urteilseröffnung und dem Ablauf der Rechtsmittelfrist vor Vorliegen der schriftlichen Begründung - eine Ergänzungsmöglichkeit nicht vor. Zwar hätten die Nichtigkeitskläger bei Erhebung der Nichtigkeitsklage aufgrund ihrer Säumnis auch vom Inhalt der mündlichen Urteilseröffnung keine Kenntnis gehabt. Dies sei jedoch ein Nachteil, den eine säumige Partei aufgrund ihrer unbegründeten Abwesenheit zu tragen habe. Vorliegend hätten die Beschwerdeführer zudem in ihrer Vernehmlassung zum Bericht des Gerichtspräsidenten in umfassender Weise Gelegenheit gehabt, zum Verhandlungsablauf vom 19. November 2005 Stellung zu nehmen.
2.2. Die Beschwerdeführer machen dem Sinne nach geltend, mit der Verweigerung zur Stellungnahme zur schriftlichen Urteilsbegründung habe der Appellationshof den Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV bzw. den daraus abgeleiteten Anspruch auf eine Begründung verletzt. Der Sinn dieser Begründungspflicht bestehe nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts darin, ein Rechtsmittel in Kenntnis fassbarer und verbindlicher Urteilsmotive ergreifen und begründen zu können. Die Beschwerdeführer hätten sich jedoch nur zum selektiven Bericht des Gerichtspräsidenten nicht jedoch zur schriftlichen Urteilsbegründung äussern können, auf welche sie gemäss Art. 97 Abs. 2 Satz 2 KV/BE Anspruch hätten.
2.3. Gemäss Art. 97 Abs. 2 KV/BE haben die Parteien Anspruch auf eine schriftliche Begründung, soweit das Gesetz keine Ausnahme bezeichnet. Diese Regelung konkretisiert die aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör Art. 29 Abs. 2 BV abgeleiteten Begründungspflicht. Diese verlangt eine Begründung, welche so abgefasst wird, dass der Betroffene erkennen kann, warum die Behörde in einem bestimmten Sinn entschieden hat, so dass er den Entscheid gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann (<ref-ruling> E. 3.2 S. 236 mit Hinweisen). Dies setzt voraus, dass der Betroffene sein Rechtsmittel in Kenntnis der Urteilsmotive begründen kann. Wird dem Betroffenen - wie im vorlegenden Fall - zugemutet, das erst im Dispositiv eröffnete Urteil bereits vor Kenntnis der Entscheidgründe begründet anzufechten, so muss dem Betroffenen grundsätzlich auf Verlangen hin die Gelegenheit geben werden, das Rechtsmittel nach Eröffnung des schriftlich begründeten Urteils zu ergänzen (vgl. Urteil 1P.424/2003 vom 3. September 2003 E. 2.4; vgl. zu nachträglich schriftlich begründeten Prüfungsentscheiden Urteile 1P.593/1999 vom 1. Dezember 1999 E. 5e; 2P.23/2004 vom 13. August 2004 E. 2.2). Wird eine solche Ergänzung zu Unrecht nicht zugelassen, wird damit das rechtliche Gehör des Betroffenen verletzt. Eine solche Gehörsverletzung kann jedoch im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde geheilt werden, wenn die Kognition des Bundesgerichts gegenüber derjenigen der letzten kantonalen Instanz nicht eingeschränkt ist (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 72; <ref-ruling> E. 2d S. 138, Urteil 2P.21/1993 vom 8. September 1993 E. 1b, publ. in: SJ 1994 S. 161 ff.).
2.4. Aus dem Gesagten folgt, dass der Appellationshof den Beschwerdeführern hätte zugestehen müssen, nicht nur zum Bericht des Gerichtspräsidenten sondern auch zur schriftlichen Urteilsbegründung nachträglich Stellung zu nehmen. Die dadurch begründete Gehörsverletzung wird jedoch im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde geheilt, soweit die Kognition des Bundesgerichts bezüglich der betroffenen Sachfrage nicht enger als diejenige der letzten kantonalen Instanz ist. Diese Voraussetzung ist bezüglich der Beurteilung der von den Beschwerdeführern mit ihrer Nichtigkeitsklage erhobenen Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs gemäss Art. 359 Ziff. 3 ZPO/BE und der Frage der absoluten Nichtigkeit des erstinstanzlichen Urteils gegeben. Damit ist insoweit von einer Heilung der Gehörsverletzung auszugehen. Mit dem Einwand der nicht gesetzlichen Ladung und der Verletzung von Art. 359 Ziff. 2 ZPO/BE setzte sich der Gerichtspräsident inhaltlich nur in seinem die schriftliche Begründung ergänzenden Bericht vom 24. Januar 2004 auseinander. Da die Beschwerdeführer dazu in Kenntnis der schriftlichen Urteilsbegründung haben Stellung nehmen können, ist ihr Anspruch auf rechtliches Gehör insoweit gewahrt worden.
3.
Sodann rügen die Beschwerdeführer, der Appellationshof sei stillschweigend darüber hinweggegangen, dass das erstinstanzliche Urteil wegen Fehlens der Prozessvorausssetzungen nichtig sei. Dies stelle eine Verletzung des rechtlichen Gehörs bzw. eine materielle Rechtsverweigerung dar .
Zutreffend ist, dass der Appellationshof sich nicht ausdrücklich zur Frage der Nichtigkeit äussert. Er verneinte jedoch die von den Beschwerdeführern geltend gemachte ungesetzliche Vorladung, woraus sich ergibt, dass er damit auch die daraus von den Beschwerdeführern abgeleitete Nichtigkeit verneinte. Damit liegt insoweit weder Verletzung der Begründungspflicht noch eine Rechtsverweigerung vor.
4.
Alsdann bringen die Beschwerdeführer vor, aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör sei abzuleiten, dass die Frist zur Nichtigkeitsbeschwerde vor der schriftlichen Eröffnung der Urteilsbegründung nicht zu laufen beginnen könne, was sich auch aus der Rechtsmittelbelehrung ergebe.
Da der Appellationshof annahm, die Beschwerdeführer hätten die Rechtsmittelfrist gewahrt, ist auf die Beschwerde in diesen Punkten mangels Rechtsschutzinteresses nicht einzutreten.
5.
Weiter machen die Beschwerdeführer dem Sinne nach geltend, der Appellationshof habe eine Verletzung des rechtlichen Gehörs bejahen müssen, weil der Gerichtspräsident weder vor noch während der Hauptverhandlung über die Prozesseinreden der Beschwerdeführer vom 12. November 2004 entschieden habe und das Ergebnis niemandem gesetzmässig verkündigt habe. Sowohl das Protokoll der Hauptverhandlung als auch die Urteilsbegründung hätten nicht auf diesen notwendigen Verfahrensentscheid hingewiesen.
Diese Angaben treffen nicht zu. Aus dem Protokoll der Hauptverhandlung ergibt sich, dass der Gerichtspräsident die Beschwerdeführer als säumig erklärte, weil sie nicht am Ort des Augenscheins erschienen sind. Daraus und aus der Tatsache, dass der Gerichtspräsident keine erneute Vorladung verfügte, ergibt sich ohne weiteres, dass er die ursprüngliche Vorladung nicht widerrief und er damit das Gesuch um eine neue Vorladung ablehnte. Zur Begründung führte er in seinem Bericht vom 24 Januar 2005 an, er habe auf eine neue Vorladung verzichtet, weil eine schriftliche Mitteilung, dass sich die Parteien infolge des fehlenden Einverständnisses der Beschwerdeführer nicht vor Ort, sondern im Audienzlokal einzufinden hätten, nicht mehr unter Wahrung der Ladungsfristen hätte zugestellt werden können. Alsdann ergibt sich aus dem Protokoll der Hauptverhandlung, dass der Gerichtspräsident am Ort des Augenscheins gemäss dem Verfahrensantrag der Beschwerdeführer mündlich die Durchführung der Hauptverhandlung vor dem Augenschein verfügte und er an der Hauptverhandlung im Amtsgebäude erneut über die von den Beschwerdeführern aufgeworfene Frage der Zulässigkeit von Akten entschied. Demnach ergibt sich aus dem Protokoll zur Hauptverhandlung, dass und wie der Gerichtspräsident über die Verfahrensanträge der Beschwerdeführer vom 21. November 2004 entschieden hat, weshalb insoweit eine Verletzung des rechtlichen Gehörs zu verneinen ist.
6.
Sodann bringen die Beschwerdeführer vor, der Appellationshof habe ihr rechtliches Gehör verletzt, indem er annahm, ihre Ausführungen über das "verbotene Berichten" in der Eingabe vom 3. Oktober 2005 seien nicht zu hören. Diese Ausführungen hätten als Ausstandsbegehren verstanden und als solches behandelt werden müssen.
Die Rüge ist unbegründet, weil die Beschwerdeführer in dieser Eingabe auch dem Sinne nach kein Ausstandsbegehren stellten, sondern bloss eine eventuelle spätere Anfechtung des Urteils ankündigten.
7.
Alsdann machen die Beschwerdeführer dem Sinne nach geltend, sie würden die Rüge des "verbotenen Berichtens" nun formell erheben und daraus eine Verletzung des rechtlichen Gehörs bzw. des Anspruchs auf einen Verfassungsmässigen Richter ableiten.
Diese Rüge ist unbegründet, weil Telefonkontakte zwischen den Gerichtsbehörden und den Anwälten betreffend administrativer bzw. terminlicher Fragen üblich sind und die Angabe "Telefonate mit Gerichtsbehörden" in einer Honorarnote deshalb noch keinen hinreichenden Verdacht schaffen kann, eine Partei habe einseitig, d.h. unter Verletzung des rechtlichen Gehörs der anderen Partei, Einfluss auf das Gericht genommen. Demnach ist insoweit auch ein Ausstandsgrund wegen des Anscheins der Befangenheit zu verneinen.
8.
8.1. Die Beschwerdeführer rügten in ihrer Nichtigkeitsklage, durch die Ablehnung ihrer Beweisanträge sei ihr rechtliches Gehör verletzt worden. Der Gerichtspräsident gab dazu in seinem Bericht vom 24. Januar 2005 zusammengefasst an, es treffe nicht zu, dass alle Beweisanträge der Beschwerdeführer abgewiesen worden seien. So sei Herr D._ - wie von ihnen beantragt - als Zeuge einvernommen worden. Weiter sei antragsgemäss ein Augenschein durchgeführt worden. Angesichts des Umfangs der von den Parteien eingereichten schriftlichen Beweismittel hätten sich in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung weitergehende Beweiserhebungen erübrigt. Der Appellationshof führte diesbezüglich aus, der Gerichtspräsident habe eine sorgfältige und ausführliche Beweiswürdigung vorgenommen. Die Abweisung der weiteren Beweisanträge beruhe auf antizipierter Beweiswürdigung, welche im Verfahren der Nichtigkeitsklage nicht überprüft werden könne.
8.2. Vor Bundesgericht machen die Beschwerdeführer dem Sinne nach geltend, die Ablehnung von Beweisanträgen verstosse gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör, da die antizipierte Beweiswürdigung des Gerichtspräsidenten willkürlich sei. Entgegen der Annahme des Appellationshofs sei ein glaubwürdiges und genügendes Beweisverfahren nicht zu erkennen, da von siebzehn Zeugen der Beschwerdeführer nur der faktische Vertragspartner D._ einvernommen worden sei. Zudem sei ein Augenschein in der Liegenschaft beantragt worden. Ein solcher habe jedoch nicht durchgeführt werden können, weshalb nur der Vorgarten und die anschliessende Strasse besichtigt worden seien.
8.3. Aus diesen Ausführungen geht nicht hervor, inwieweit die Annahme des Appellationshofs, im Rahmen der Verletzung des rechtlichen Gehörs im Sinne von Art. 359 Ziff. 3 ZPO/BE könne eine willkürliche antizipierte Beweiswürdigung nicht gerügt werden, willkürlich sein soll, was auch nicht zutrifft (vgl. Urteil 4P.252/2005 vom 17. Januar 2006 E. 1). Zudem wäre die Rüge der willkürlichen antizipierten Beweiswürdigung nicht genügend begründet, weil die Beschwerdeführer nicht angeben, welche Tatsachen mit welchen beantragten Beweismitteln hätten bewiesen werden sollen und inwiefern die Annahme, diese Beweismittel könnten am Beweisergebnis nichts mehr ändern, unhaltbar sein soll.
9.
9.1. Der Appellationshof führte aus, nach Art. 359 Ziff. 2 ZPO/BE könne ein Urteil als nichtig angefochten werden, wenn der Urteilstermin der sich beschwerenden Partei nicht gesetzlich bekannt gemacht wurde und sie sich bei der Verhandlung auch nicht eingefunden hat. Der Urteilstermin sei dann im Sinne von Art. 359 Ziff. 2 ZPO/BE nicht gesetzlich bekannt gemacht, wenn die Ladung den Vorschriften von Art. 100-106, 108, 109, 111-113 oder 120 Abs. 2 ZPO/BE nicht entspreche. Dies sei vorliegend nicht der Fall. Die Vorladung vom 3. September 2004 enthalte alle gemäss Art. 100 ZPO/BE erforderlichen Komponenten. Insbesondere werde die Handlung genannt, zu welcher vorgeladen wird (Augenschein, Hauptverhandlung, evtl. Abspruch). Auch die Angaben über Ort und Zeit gingen klar aus der Vorladung hervor. Sodann sei die Vorladung den Nichtigkeitsklägern in Übereinstimmung mit Art. 102 ZPO/BE mit Gerichtsurkunde zugestellt worden. Die Vorladung vom 3. September 2004 sei den Beschwerdeführerin damit gesetzlich bekannt gemacht worden.
Bei genauer Betrachtung rügten die Nichtigkeitskläger auch gar nicht eine ungesetzliche Ladung, sondern die Ladung zu einem aus ihrer Sicht ungesetzlichen Verhandlungsablauf (Augenschein vor Hauptverhandlung statt umgekehrt). Hierzu könne die Nichtigkeitsklage nach Art. 359 Ziff. 2 ZPO/BE aber nicht ergriffen werden. Mängel des Verfahrens wären vielmehr mit Appellation geltend zu machen gewesen. könne die aus Sicht der Beschwerdeführer zu einem ungesetzlichen Verhandlungsablauf ergangene Vorladung keinen Nichtigkeitsgrund nach Art. 359 Ziff. 2 ZPO/BE darstellen.
9.2. Die Beschwerdeführer machen vor Bundesgericht dem Sinne nach geltend, der Appellationshof habe kantonales Prozessrecht willkürlich angewendet, wenn er eine ungesetzliche Ladung gemäss Art. 359 Ziff. 2 ZPO/BE verneinte. Laut Art. 100 Ziff. 2 und 3 ZPO/BE müsse die Ladung die richtige Prozesshandlung zur richtigen Zeit nennen. Diesen Anforderungen habe die Vorladung vom 3. September 2004 nicht genügt.
9.3. Art. 9 BV gewährt den Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür behandelt zu werden. Ein Entscheid ist nicht schon dann willkürlich, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist. Dies trifft insbesondere zu, wenn der Entscheid eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 178; <ref-ruling> E. 5 S. 280 f.). Gemäss Art. 100 ZPO/BE soll die Vorladung enthalten: 1. Namen, Wohnort und genaue Bezeichnung der Parteien; 2. die Anzeige der Handlung, zu welcher vorgeladen wird; die Angabe des Ortes und der Zeit der Erscheinung vor dem Richter; 4. das Datum und die Unterschrift der Behörde, vor der sie ausgeht.
9.4. Da auf Grund der Vorladung vom 3. September 2004 die Handlungen zu denen vorgeladen wurden und der Ort und die Zeit zum Erscheinen vor dem Richter feststand, ist der Appellationshof nicht in Willkür verfallen, wenn er annahm, die Vorladung habe die Anforderungen des Art. 100 ZPO/BE erfüllt und sei damit gesetzmässig gewesen. Weshalb die Annahme unhaltbar sein soll, die Frage der Reihenfolge der vorgesehenen Handlungen betreffe nicht die Gesetzmässigkeit der Vorladung im Sinne von Art. 359 Ziff. 2 ZPO/BE sondern eine davon unabhängige Verfahrensfrage, wird von den Beschwerdeführern nicht dargetan und ist auch nicht ersichtlich. Demnach ist bezüglich der Rüge der gegen Art. 359 Ziff. 2 ZPO/BE verstossenden ungesetzmässigen Vorladung eine Verletzung des Willkürverbots zu verneinen.
10.
10.1. Alsdann machen die Beschwerdeführer dem Sinne nach geltend, gemäss <ref-ruling> E. 2 sei ein Urteil nichtig, wenn ein Säumnisurteil ergangen ist, obwohl eine Partei wegen einer nicht ordnungsgemässen Ladung von einem gegen sie laufenden Prozess keine Kenntnis erhielt und sie keine Gelegenheit erhalten hat, daran teilzunehmen. Der Appellationsgericht habe aus diesem Leitfall auf Grund der ungesetzlichen Ladung auf die Nichtigkeit des erstinstanzlichen Urteils schliessen müssen und sei in Willkür verfallen, indem es dies unterlassen habe.
10.2. Da nach der vorstehenden Erwägung keine ungesetzliche Vorladung vorliegt, kann aus dem behaupteten Vorladungsmangel entgegen der Annahme der Beschwerdeführer nicht auf die Nichtigkeit des erstinstanzlichen Urteils geschlossen werden. Der Appellationshof ist daher nicht in Willkür verfallen, wenn er die Nichtigkeit implizit verneinte (vgl. E. 3 hiervor). Da die Vorladung und die Säumniserklärung zulässig war, können die damit verbundenen Beschränkungen der Mitwirkungsrechte der Beschwerdeführer entgegen ihrer Ansicht auch nicht als Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör gewertet werden.
11.
Weiter machen die Beschwerdeführer dem Sinne nach geltend, der Gerichtspräsident habe willkürlich gegen prozessuale Verfahrensvorschriften verstossen, indem er D._ als Zeugen befragt habe, obwohl dieser als Hausverwalter und als Sohn der Beklagten faktisch als Prozesspartei zu betrachten sei. Diese Rüge sei zwar zum ersten Mal vor Bundesgericht und damit verspätet erhoben worden. Dies schade jedoch nicht, da dieser Verfahrensmangel so schwer wiege, dass er zur Nichtigkeit des erstinstanzlichen Urteils führe, welche in jedem Verfahrensstadium von Amtes wegen zu beachten sei.
Auf die vor Bundesgericht neu erhobene Rüge bezüglich der Einvernahme von D._ als Zeugen ist nicht einzutreten (vgl. zum sog. Novenverbot <ref-ruling> E. 6c S. 357 mit Hinweisen). Selbst wenn insoweit ein Verfahrensfehler vorliegen würde, könnte dieser entgegen der Annahme der Beschwerdeführer offensichtlich nicht zur Nichtigkeit des erstinstanzlichen Urteils führen.
12.
12.1. Der Appellationshof führte aus, die Beschwerdeführer kritisierten in ihrer Nichtigkeitsbeschwerde die Ausführungen des Gerichtspräsidenten zum Streitwert. Da nicht ersichtlich sei, welcher Nichtigkeitsgrund des Art. 359 ZPO/BE diesbezüglich betroffen sei, könne in diesem Punkt auf die Nichtigkeitsklage nicht eingetreten werden.
Bei der Bestimmung der Parteientschädigung ging der Appellationshof davon aus, zwar würde der vom Gerichtspräsidenten angenommene Streitwert von Fr. 189'000.-- von den Beschwerdeführern als zu hoch erachtet. Nachdem jedoch bezüglich des erstinstanzlich angenommenen Streitwerts auf die Nichtigkeitsklage nicht eingetreten werden könne, sei dieser auch bei der Kostenliquidation keiner weiteren Prüfung zu unterziehen.
12.2. Die Beschwerdeführer rügen sinngemäss, der Appellationshof sei zur Nachprüfung des Streitwerts verpflichtet gewesen, wenn Honorare streitwertabhängig seien. Der Appellationshof habe Art. 138 ZPO/BE verletzt, indem er nicht gemäss den Angaben im Zürcher Kommentar bei der Berechnung des Streitwerts auf die Sperrfrist und die Periode bis zur nächstmöglichen Kündigung abstellte. Hätte er dies getan, so seien 47 Monate mit einem Mietzins von Fr. 3'150.-- massgebend, was einen Streitwert von Fr. 148'050.-- ergebe.
12.3. Aus diesen Ausführungen geht nicht hervor, inwiefern es unhaltbar sein soll, auf die unangefochten gebliebene Streitwertberechnung des Gerichtspräsidenten abzustellen. Zudem setzen sich die Beschwerdeführer nicht mit der Streitwertberechnung des Gerichtspräsidenten auseinander, der unter Bezugnahme auf den Zürcher Kommentar auf die Sperrfrist und die Periode bis zur nächstmöglichen Kündigung abstellte, und legen nicht dar, inwiefern diese Berechnung willkürlich sein soll. Damit ist auf die Beschwerde bezüglich der Streitwertberechnung mangels einer hinreichend substanziierten Begründung nicht einzutreten.
13.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG). Unter den gegebenen Umständen erscheint eine Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- und unter Berücksichtigung der Interessen der Parteien am Prozess und der vom Anwalt der Beschwerdegegnerin tatsächlich geleisteten Arbeit eine Parteientschädigung von Fr. 3'500.-- als angemessen (vgl. Art. 7 Abs. 2 des Tarifs über die Entschädigung an die Gegenpartei für das Verfahren vor dem Bundesgericht, SR 173.119.1). Bei der Bemessung der Parteientschädigung wird die Mehrwertsteuer im Rahmen des geltenden Tarifs pauschal berücksichtigt (Urteil 2P.69/1996 vom 28. Februar 1996 E. 2, SJ 1996, S. 275).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien dem Appellationshof des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, und dem Gerichtskreis VIII Bern-Laupen, Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Februar 2006
Im Namen der I. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: