Sachverhalt:
A. A.a Die 1975 geborene, 2002 von A._ in die Schweiz eingereiste J._ meldete sich im November 2006 bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Mit Verfügung vom 25. Februar 2008 verneinte die IV-Stelle Basel-Landschaft (nachfolgend: IV-Stelle) den Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen beruflicher Art und eine Rente mit der Begründung, die gesundheitlichen Beschwerden hätten bereits bei der Einreise in die Schweiz bestanden. Die hiegegen erhobene Beschwerde, mit welcher J._ subeventualiter beantragte, es sei festzustellen, dass die versicherungsmässigen Voraussetzungen zum Rentenbezug erfüllt seien, wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, mit Entscheid vom 17. Oktober 2008 ab, was unangefochten blieb.
A.b Im Februar 2009 meldete sich J._ erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an, wobei sie eine Verschlechterung des körperlichen und psychischen Gesundheitszustandes angab. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren trat die IV-Stelle mit Verfügung vom 19. Mai 2009 auf das Leistungsbegehren nicht ein.
B. Die Beschwerde der J._ hiess das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, mit Entscheid vom 13. Januar 2010 im Sinne der Erwägungen gut.
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 13. Januar 2010 sei aufzuheben.
J._ beantragt die Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Sozialversicherungen deren Gutheissung. Das kantonale Versicherungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Ausländische Staatsangehörige sind, vorbehältlich Artikel 9 Absatz 3, nur anspruchsberechtigt, solange sie ihren Wohnsitz und gewöhnlichen Aufenthalt (<ref-law>) in der Schweiz haben und sofern sie bei Eintritt der Invalidität während mindestens eines vollen Jahres Beiträge geleistet oder sich ununterbrochen während zehn Jahren in der Schweiz aufgehalten haben (<ref-law>). Anspruch auf eine ordentliche Rente haben Versicherte, die bei Eintritt der Invalidität während mindestens eines Jahres Beiträge geleistet haben (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung).
Die Invalidität gilt als eingetreten, sobald sie die für die Begründung des Anspruchs auf die jeweilige Leistung erforderliche Art und Schwere erreicht hat (<ref-law>). Der Rentenanspruch nach Artikel 28 entsteht frühestens in dem Zeitpunkt, in dem der Versicherte: a. mindestens zu 40 Prozent bleibend erwerbsunfähig geworden ist; oder b. während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens zu 40 Prozent arbeitsunfähig gewesen war (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung) und weiterhin zu mindestens 40 Prozent erwerbsunfähig ist (<ref-ruling> E. 6a/aa-cc S. 273 f.). War die Beschwerdegegnerin bei der erstmaligen Einreise in die Schweiz im Jahre 2002 bereits zu mindestens 40 Prozent invalid, war der Versicherungsfall Rente eingetreten, bevor die Anspruchsvoraussetzung der Leistung von Beiträgen während mindestens eines vollen Jahres nach <ref-law> erfüllt sein konnte (SVR 2007 IV Nr. 7 S. 23, I 76/05 E. 2).
1.2 Der angefochtene Entscheid weist die Sache an die Beschwerde führende IV-Stelle zurück, damit sie prüfe, ob bei der im Jahre 2002 in die Schweiz eingereisten Beschwerdegegnerin die versicherungsmässigen Voraussetzungen nach <ref-law> zum Leistungsbezug gegeben sind, und bejahendenfalls entscheide, ob im massgeblichen Zeitpunkt eine Anspruch auf eine Invalidenrente begründende Invalidität bestand. Dabei handelt es sich um einen selbständig eröffneten Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>, welcher einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Abs. 1 lit. a dieser Bestimmung bewirken kann: Die IV-Stelle hatte ein erstes Rentengesuch u.a. gestützt auf <ref-law> abgelehnt, was dasselbe kantonale Versicherungsgericht mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 17. Oktober 2008 bestätigte. Würde die Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids als unzulässig qualifiziert und käme die Verwaltung allenfalls nach weiteren Abklärungen zum Schluss, das formelle Anspruchserfordernis, bei Eintritt der Invalidität während mindestens eines vollen Jahres Beiträge geleistet zu haben, sei erfüllt, hätte sie unter Umständen eine Rente zuzusprechen, ohne die betreffende ihres Erachtens unzutreffende Verfügung selber anfechten zu können (<ref-ruling> E. 1.1 S. 143; SVR 2009 UV Nr. 50 S. 177, 8C_151/2009 E. 2.1.2).
2. Die IV-Stelle war auf die im Februar 2009 eingereichte Neuanmeldung zum Rentenbezug nicht eingetreten, u.a. weil gemäss dem rechtskräftigen Entscheid des kantonalen Versicherungsgerichts vom 17. Oktober 2008 bei der Einreise der Gesuchstellerin in die Schweiz im Jahre 2002 die versicherungsmässigen Voraussetzungen nach <ref-law> zum Leistungsbezug nicht erfüllt gewesen seien und kein neuer Versicherungsfall vorgelegen habe. Die Vorinstanz hat dazu erwogen, im Rahmen der erstmaligen Anspruchsprüfung sei die Frage, ob der Versicherungsfall Invalidität bereits vor der Einreise in die Schweiz eingetreten sei, insbesondere ein Invaliditätsgrad von mindestens 40 Prozent bestanden habe (<ref-law>, in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung) nicht beurteilt und entschieden worden. Die Aussage im Entscheid vom 17. Oktober 2008, wonach die "leidensspezifische Invalidität" (recte: leistungsspezifische Invalidität) bereits in diesem Zeitpunkt entstanden sei, sei nicht völlig widerspruchsfrei. In der damals angefochtenen Verfügung vom 25. Februar 2008 sei zwar festgestellt worden, die gesundheitlichen Beschwerden hätten bereits bei der Einreise in die Schweiz bestanden; ein Einkommensvergleich zur Ermittlung des Invaliditätsgrades sei jedoch nie durchgeführt worden. Im Dispositiv des Entscheids vom 17. Oktober 2008 sei nicht auf die Erwägungen verwiesen worden, sodass die Begründung an der Rechtskraft nicht teilnehme und diesbezüglich daher keine Bindung bestehe. Mit diesem Erkenntnis sei somit lediglich, aber immerhin entschieden worden, dass zum damaligen Zeitpunkt kein Rentenanspruch bestanden habe, weshalb dessen Erwägungen betreffend die versicherungsrechtlichen Voraussetzungen ergänzt oder sogar korrigiert werden könnten. In der Folge hat die Vorinstanz die medizinischen Akten gewürdigt und ist zum Ergebnis gelangt, gestützt darauf könne nicht gesagt werden, ob hinsichtlich der in Frage stehenden Neuanmeldung das formelle Anspruchserfordernis für den Bezug einer Rente, bei Eintritt der Invalidität während mindestens eines vollen Jahres Beiträge geleistet zu haben, nach <ref-law> und a<ref-law> erfüllt sei, was die IV-Stelle vorfrageweise zu prüfen haben werde.
3.1 3.1.1 Die Rechtskraft von Verfügungen und (Einsprache- oder Beschwerde-) Entscheiden über Dauerleistungen im Bereich der Sozialversicherung, u.a. Renten der Alters- und Invalidenversicherung, ist grundsätzlich zeitlich unbeschränkt (EVGE 1961 S. 99 E. 1 S. 103 und 1960 S. 225 E. 1 S. 229; Ulrich Meyer-Blaser, Die Abänderung formell rechtskräftiger Verwaltungsverfügungen in der Sozialversicherung, in: ZBl 95 [1994] S. 337 ff., 344; vgl. auch Alexandra Rumo-Jungo, Die Instrumente zur Korrektur der Sozialversicherungsverfügung, in: Verfahrensfragen in der Sozialversicherung, 1996, S. 263 ff., 270). Sie erfasst die Anspruchsvoraussetzungen ebenso wie die Faktoren der Leistungsbemessung (<ref-ruling> E. 2b und 2c S. 416; ZAK 1986 S. 57, I 239/84 E. 1c; vgl. auch SVR 2004 ALV Nr. 1 S. 1, C 7/02 E. 3.2 und <ref-ruling> E. 3 in fine S. 124), soweit sie im Entscheidzeitpunkt abgeschlossene Sachverhalte betreffen (<ref-ruling> E. 7a S. 152). Es liegt insofern eine abgeurteilte Sache (res iudicata) im Rechtssinne vor (vgl. dazu Pra 2005 Nr. 78 S. 596, 4C.314/2004 E. 1.3 und 2.3; <ref-ruling> E. 2a S. 90). Die betreffenden Anspruchsvoraussetzungen und Leistungsbemessungsfaktoren können daher vorbehältlich einer prozessualen Revision oder Wiedererwägung des rechtskräftigen Entscheids (Art. 53 Abs. 1 und Art. 61 lit. i ATSG bzw. <ref-law>) nicht bei jeder neuen Bezugsperiode in Frage gestellt und geprüft werden (Urteil 9C_782/2009 vom 16. April 2010 E. 2; Urs Müller, Die materiellen Voraussetzungen der Rentenrevision in der Invalidenversicherung, 2003, S. 73 N. 264), es sei denn, das Gesetz sehe ausdrücklich eine andere Regelung vor wie etwa im EL-Bereich (<ref-ruling>; Urteil 8C_94/2007 vom 15. April 2008 E. 3.1 und 4).
Die vorstehenden Grundsätze gelten auch im Rahmen der Revision einer Dauerleistung im Sinne der Anpassung pro futuro an (nachträgliche) erhebliche Änderungen der tatsächlichen (und allenfalls rechtlichen) Grundlagen der ursprünglichen Leistungszusprechung (vgl. in Bezug auf die hier interessierenden Renten der Invalidenversicherung <ref-law> [in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law>]). Damals bejahte Anspruchsvoraussetzungen und festgesetzte Leistungsbemessungsfaktoren, welche im Zeitpunkt der Verfügung oder des Einspracheentscheids abgeschlossene Sachverhalte betreffen, können zufolge Rechtskraft nicht erneut überprüft werden. Vorbehalten bleibt das Zurückkommen auf den ursprünglich leistungszusprechenden Entscheid unter dem Titel Wiedererwägung oder prozessuale Revision. Anders verhält es sich mangels sachlicher Identität bei einem neuen Versicherungsfall, d.h. bei Ablösung der bisherigen Rente durch eine neue Hauptrente (<ref-ruling> E. 3 S. 124; Meyer-Blaser, a.a.O., S. 344; Rumo-Jungo, a.a.O., S. 270), oder wenn zur ursprünglichen gesundheitlichen Beeinträchtigung eine davon völlig verschiedene Gesundheitsstörung hinzugetreten ist und zu einer Erhöhung des Invaliditätsgrades geführt hat (RtiD 2010 I S. 282, 9C_658/2008 E. 3.3; SVR 2007 IV Nr. 7 S. 23, I 76/05).
3.1.2 Für die Umschreibung der Rechtskraft und der damit verbundenen Rechtsbeständigkeit eines den Anspruch auf eine Dauerleistung verneinenden negativen Entscheids muss auf die Begründungselemente zurückgegriffen werden (Meyer-Blaser, a.a.O., S. 344; Rumo-Jungo, a.a.O., S. 271 f.). Betreffen diese, wie etwa die versicherungsmässigen Voraussetzungen, einen zeitlich abgeschlossenen, späteren Änderungen der Tatsachenlage nicht zugänglichen Sachverhalt, ist eine Überprüfung zufolge Rechtskraft ausgeschlossen, die Anspruchsberechtigung als solche mithin endgültig dahingefallen (Ueli Kieser, Das Verwaltungsverfahren in der Sozialversicherung, 1999, S. 301 N. 617; Luzius Schmid, Die Rechtskraft des negativen Verwaltungsaktes, 1980, S. 150; ferner Urteil 8C_329/2007 vom 8. November 2007 E. 2.2.2 [verbindliche Feststellungen des Unfallversicherers in der ersten Verfügung, wonach es in Bezug auf Gesundheitsschaden X am natürlichen Kausalzusammenhang, hinsichtlich Gesundheitsschaden Y an einem Unfall im Rechtssinne fehlt]). Vorbehalten bleibt eine Änderung der den leistungsablehnenden Entscheid tragenden rechtlichen Grundlagen (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 620/00 vom 9. April 2001 E. 3a; Kieser, a.a.O.), oder wenn ein neuer Versicherungsfall im Sinne der Erhöhung des Invaliditätsgrades aufgrund einer von der ursprünglichen gesundheitlichen Beeinträchtigung völlig verschiedenen Gesundheitsstörung vorliegt (RtiD 2010 I S. 282, 9C_658/2008 E. 3.3; SVR 2007 IV Nr. 7 S. 23, I 76/05).
3.2 Wie die IV-Stelle zu Recht vorbringt, bildete Streitgegenstand des von der Vorinstanz mit Entscheid vom 17. Oktober 2008 abgeschlossenen Verfahrens der Anspruch auf eine Invalidenrente unter dem Gesichtspunkt der versicherungsmässigen Voraussetzungen nach <ref-law>. Das Gericht verneinte wie zuvor die IV-Stelle dieses formelle Anspruchsmerkmal und damit einen Rentenanspruch, was unangefochten blieb. Ob die Gesuchstellerin nach dieser Bestimmung bei Eintritt der Invalidität während mindestens eines vollen Jahres Beiträge geleistet oder sich ununterbrochen während zehn Jahren in der Schweiz aufgehalten hat, betrifft einen bei Erlass der Verfügung vom 25. Februar 2008 abgeschlossenen Sachverhalt. Der diesen Verwaltungsakt bestätigende Entscheid vom 17. Oktober 2008 erwuchs somit auch in Bezug auf das Begründungselement der versicherungsmässigen Voraussetzungen nach <ref-law> in (formelle und materielle) Rechtskraft. Daran war die Vorinstanz somit gebunden, selbst wenn jenes Erkenntnis diesbezüglich rechtsfehlerhaft gewesen sein sollte. Sie hatte somit einzig zu prüfen, ob ein neuer Versicherungsfall vorliegt, ob also zur ursprünglichen, bei der Einreise in die Schweiz im Jahre 2002 bestandenen gesundheitlichen Beeinträchtigung eine davon völlig verschiedene Gesundheitsstörung hinzugetreten war und zu einer Erhöhung des Invaliditätsgrades führte. Dies trifft in Bezug auf die mit der Neuanmeldung vom 5. Februar 2009 geltend gemachte gesundheitliche Verschlechterung unbestrittenermassen nicht zu.
Im Sinne des Vorstehenden hätte somit die Vorinstanz die Beschwerde gegen die Verfügung vom 19. Mai 2009 abweisen müssen.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten grundsätzlich der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, vom 13. Januar 2010 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, einstweilen indes auf die Gerichtskasse genommen.
3. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Advokat Daniel Tschopp, Basel, für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- aus der Gerichtskasse entschädigt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Oktober 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler