Sachverhalt:
A. Das Bezirksamt March büsste X._ mit Strafverfügung vom 21. Januar 2010 in Anwendung von § 27 Abs. 2 des Gesetzes über das kantonale Strafrecht (KStR/SZ) wegen Nichtnachkommens einer polizeilichen Anordnung sowie gemäss § 2 Abs. 1 des Gesetzes über das Halten von Hunden (HuG/SZ) wegen Nichtanleinens von Hunden in öffentlichen Anlagen und auf öffentlichen Wegen mit Fr. 400.--. X._ erhob Einsprache.
In der Folge klagte das Bezirksamt March X._ am 15. April 2010 beim Einzelrichter des Bezirks March (nachfolgend: Bezirksgericht) an wegen vorsätzlicher Störung des Polizeidienstes gemäss § 27 Abs. 2 KStR/SZ i.V.m. §§ 1, 5, 6, 7, 17, 20 der Polizeiverordnung (PolV/SZ) sowie §§ 15 und 107 StPO/SZ und wegen vorsätzlicher Zuwiderhandlung gegen § 12 i.V.m. § 2 Abs. 1 HuG/SZ. Nach der Anklage ging X._ am Mittwoch, 25. November 2009, um ca. 13.00 Uhr, mit seinem Labrador auf dem öffentlichen Seeweg in Altendorf/SZ Richtung Pfäffikon/SZ. Den Hund führte er nicht an der Leine. Er liess ihn frei laufen. Im Gebiet "Winkel" bzw. "Ezelwerk-Badi" kam ihm eine uniformierte Polizistin der Kantonspolizei Schwyz entgegen. X._ erkannte sie als Polizistin. Sie forderte ihn mehrmals auf, den Hund an die Leine zu nehmen. Er kam diesen Aufforderungen nicht nach, sondern ging auf dem Seeweg weiter in Richtung Pfäffikon, wobei er seinen Hund weiterhin frei laufen liess.
Das Bezirksgericht büsste X._ am 10. Juni 2010 wegen vorsätzlicher Störung des Polizeidienstes (§ 27 Abs. 2 KStR/SZ i.V.m. § 1 PolV/SZ) und vorsätzlicher Zuwiderhandlung gegen § 12 i.V.m. § 2 Abs. 1 HuG/SZ mit Fr. 600.--.
Das Kantonsgericht Schwyz wies am 29. November 2010 die gegen das bezirksgerichtliche Urteil eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde von X._ ab.
B. X._ erhebt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, das bezirksgerichtliche und das kantonsgerichtliche Urteil aufzuheben und ihn von Schuld und Strafe freizusprechen.
Das Bezirksgericht und die Oberstaatsanwaltschaft verzichten auf Vernehmlassung. Das Kantonsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in Strafsachen ist gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen zulässig (<ref-law>). Auf den Antrag, das bezirksgerichtliche Urteil aufzuheben, ist nicht einzutreten.
2. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung des Anklagegrundsatzes geltend, weil weder das Bezirksamt noch das Bezirksgericht, sondern erstmals die Vorinstanz § 3 HuG/SZ angewendet habe.
Auf diese Rüge ist mangels Rechtsschutzinteresses nicht einzutreten (<ref-law> sowie <ref-ruling> E. 1.1). Die Ausführungen der Vorinstanz zu § 3 HuG/SZ sind für den Schuldspruch unerheblich (unten E. 4.4).
3. Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung.
Die Vorinstanz stellt gestützt auf Aussagen des Beschwerdeführers willkürfrei fest, der Hund habe sich "zumindest zeitweise unangeleint auf dem Seeweg aufgehalten" (angefochtenes Urteil S. 3). Dies bestätigt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht mit seinem Einwand, bei der Begegnung mit der Polizistin habe er seinen Hund am Halsband festgehalten (Beschwerde S. 8). Somit hielt sich der Hund auf dem Seeweg auf und war nicht angeleint.
4. Der Schuldspruch stützt sich auf § 2 Abs. 1 HuG/SZ: "In öffentlichen Anlagen, auf öffentlichen Wegen und im Strassenverkehr sind Hunde an der Leine zu führen. Ausgenommen sind Hunde beim Viehtrieb." Zuwiderhandlungen sind mit Busse zu bestrafen (§ 12 HuG/SZ).
4.1 <ref-law> weist dem Bund eine umfassende Rechtsetzungskompetenz für den Tierschutz zu. Sie betrifft den Schutz der Tiere und nicht den Schutz des Menschen. Massgebend sind insbesondere das Tierschutzgesetz (TSchG; SR 455) und die Tierschutzverordnung (TSchV; SR 455.1). Diese Bundesgesetzgebung hindert die Kantone nicht, Polizeivorschriften zur Verhütung von Hundeangriffen bzw. zum Schutz der Sicherheit und der öffentlichen Ordnung zu erlassen. Solche Erlasse dürfen nur keine dem Bundesrecht zuwiderlaufenden Bestimmungen enthalten (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2, 249 E. 3.2).
4.2 Gemäss <ref-law> müssen Hunde täglich im Freien und entsprechend ihrem Bedürfnis ausgeführt werden. Soweit möglich sollen sie sich dabei auch unangeleint bewegen können.
§ 2 Abs. 1 HuG/SZ schreibt vor, dass Hunde auf öffentlichen Wegen an der Leine zu führen sind. Diese Vorschrift hält sich im zu beurteilenden Anwendungsbereich im Rahmen des bundesrechtskonformen polizeirechtlichen Schutzes vor Hundeangriffen und ist mit <ref-law> vereinbar.
4.3 Die Anwendung des kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht auf Willkür. Willkür liegt vor, wenn die Rechtsanwendung eine Norm krass verletzt. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.4).
Nach dem massgebenden Sachverhalt (<ref-law>) ging der Beschwerdeführer auf einem öffentlichen Weg (dem Seeweg) und liess seinen Hund frei laufen (und nahm ihn trotz Anweisung der Kantonspolizistin nicht an die Leine). Der Seeweg ist unbestritten ein öffentlicher Weg im Sinne von § 2 Abs. 1 HuG/SZ (angefochtenes Urteil S. 5). Damit handelte der Beschwerdeführer § 2 Abs. 1 HuG/SZ zuwider und konnte gemäss § 12 Abs. 1 HuG/SZ gebüsst werden. Willkür ist nicht gegeben. Der Schuldspruch verletzt auch nicht die Eigentumsgarantie (Beschwerde S. 16 f.).
4.4 Zu prüfen ist einzig, ob die auf § 12 i.V.m. § 2 Abs. 1 HuG/SZ gestützte Busse willkürlich ist. Das ist zu verneinen. Es besteht eine bundesrechtskonforme gesetzliche Grundlage (oben E. 4.1).
Auf die für den Beschwerdeführer im Vordergrund stehenden Fragen, "ob im Kanton Schwyz ein allgemeiner Leinenzwang für Hunde gemäss der heutigen Auslegung der Behörden zulässig ist oder ob [der Leinenzwang] dem eidgenössischen Tierschutzrecht widerspricht" (Beschwerde S. 5), ist nicht einzutreten. Das Bundesgericht prüft die Verfassungsmässigkeit nicht auf alle möglichen Konstellationen hin, sondern nur in der konkreten Anwendung (<ref-ruling> E. 4). Damit ist bei der so genannten inzidenten oder akzessorischen Normenkontrolle anders als bei der Erlassbeschwerde (<ref-law>) eine weitergehende (vorfrageweise) Prüfung des Vorrangs des Bundesrechts (<ref-law>) ausgeschlossen. Auf die abstrakte Kritik ist nicht einzutreten.
Soweit die Vorinstanz andere kantonal- oder bundesrechtliche Normen in ihre Begründung einbezieht, handelt es sich um für den Schuldspruch unerhebliche obiter dicta. Darauf ist nicht einzutreten.
5. Der Beschwerdeführer wendet ein, die Anweisung der Polizistin entbehre jeglicher Gesetzesgrundlage, und folglich könne er den Polizeidienst nicht gestört haben (Beschwerde S. 8, 14 f.).
Gemäss § 27 Abs. 2 KStR/SZ wird wegen Störung des Polizeidienstes mit Haft oder Busse bestraft, "wer der Anordnung, die ein Polizeiorgan innerhalb seiner durch Gesetz oder Verordnung umschriebenen Befugnisse erlässt, nicht nachkommt". Die Kantonspolizei sorgt gemäss § 1 PolV/SZ "für die Aufrechterhaltung von Sicherheit und Ordnung". Dieses Polizeirecht ist hinreichend bestimmt (<ref-ruling> E. 6.2 f.). Die materiellgesetzliche Grundlage der Anweisungsbefugnis der Kantonspolizistin besteht in § 2 Abs. 1 HuG/SZ. Willkür liegt nicht vor.
6. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Beschwerdeführer sind die Kosten aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht March, Einzelrichter, und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz, 2. Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Dezember 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Briw