Faits:
A. Le 22 février 2006, le club de football Y._ a saisi la Fédération Internationale de Football Association (FIFA) d'une demande visant, notamment, à obtenir de X._, son ancien entraîneur, le paiement de 400'000 euros à titre d'indemnité conventionnelle pour résiliation anticipée du contrat de travail.
Alléguant avoir déjà versé cette somme au club en question, le défendeur a conclu au rejet de la demande.
Par décision du 13 mars 2008, notifiée aux parties le 20 juin 2008, la Commission du Statut du Joueur, considérant que la preuve de ce paiement n'avait pas été apportée, a condamné le défendeur à verser au demandeur la somme de 400'000 euros et les intérêts y afférents.
B. B.a Le 7 juillet 2008, Me Z._, avocat à Paris, a déposé une déclaration d'appel auprès du Tribunal Arbitral du Sport (TAS) au nom et pour le compte du défendeur.
Par lettre du 23 juillet 2008, le Greffe du TAS a accusé réception de la déclaration d'appel et attiré l'attention des parties sur le fait qu'elles seraient invitées à verser des avances de frais, conformément à l'art. R64 du Code de l'arbitrage en matière de sport (ci-après: le Code). Les chiffres 1 et 2 de cette disposition énoncent ce qui suit:
"R64.1
Lors du dépôt de la requête/déclaration d'appel, le demandeur verse un droit de Greffe minimum de CHF 500.-, faute de quoi le TAS ne procède pas. Cet émolument reste acquis au TAS. La Formation en tient compte dans le décompte final des frais.
R64.2
Lors de la constitution de la Formation, le Greffe fixe, sous réserve de modifications ultérieures, le montant et les modalités de paiement de la provision de frais. L'introduction de demandes reconventionnelles ou nouvelles entraîne la fixation de provisions distinctes.
Pour fixer le montant de la provision, le Greffe estime les frais d'arbitrage qui seront supportés par les parties conformément à l'article R64.4. La provision est versée à parts égales par la partie demanderesse et la partie défenderesse. Si une partie ne verse pas sa part, l'autre peut le faire à sa place; en cas de non-paiement, la demande/déclaration d'appel est réputée retirée; cette disposition s'applique également aux éventuelles demandes reconventionnelles."
En date du 29 août 2008, le Greffe du TAS a invité les deux parties à verser chacune une provision de 19'000 fr. jusqu'au 15 septembre 2008. L'appelant a donné suite à cette invitation. L'intimé, en revanche, n'a pas versé sa part de l'avance de frais requise.
Sur quoi, le Greffe du TAS, par lettre du 25 septembre 2008, se référant à son précédent courrier et à l'art. R64.2 du Code, a fixé à l'appelant un délai au 10 octobre 2008 pour verser une avance de frais complémentaire de 19'000 fr. Cette lettre se terminait par la phrase suivante: "I remind you that in the absence of payment within the said time limit, the appeal will be deemed withdrawn" (soulignement figurant dans le texte original).
Par lettre du 15 octobre 2008, le Greffe du TAS, relevant que le délai fixé était échu depuis le 10 du même mois, a demandé au recourant de lui fournir la preuve du paiement de la seconde avance de 19'000 fr.
Le conseil du recourant lui a répondu en ces termes par courrier du 17 octobre 2008 (sic): "I received your letter dated october, 15 informing me that you are expetting to the second advance of costs of CHF 19.000. My client informed me that payment will be made shortly".
Le 12 novembre 2008, le Greffe du TAS, constatant que la provision complémentaire n'avait toujours pas été versée, a envoyé un fax aux parties pour les informer que l'appel était réputé retiré, en application de l'art. R64.2 du Code, et qu'une ordonnance de clôture leur serait notifiée dans les prochains jours.
Par courrier du 13 novembre 2008, le conseil de l'appelant a adressé au TAS une "attestation de paiement" et lui a demandé de l'informer au sujet de la suite de la procédure. La pièce annexée à ce courrier est, en fait, une copie d'une lettre du 12 novembre 2008 par laquelle l'appelant prie sa banque de verser la somme de 19'000 fr. sur le compte bancaire du TAS.
B.b Par Order du 18 novembre 2008, le Président suppléant de la Chambre arbitrale d'appel du TAS, constatant que l'appel était réputé retiré du fait que les avances de frais requises n'avaient pas toutes été payées, a prononcé la clôture de la procédure, rayé la cause du rôle et ordonné la restitution à l'appelant du montant versé par lui. L'ordonnance a été transmise aux parties par fax du même jour.
Le 20 novembre 2008, le Greffe du TAS a reçu un avis de crédit d'une banque l'informant que l'appelant avait versé la somme de 19'000 fr. sur le compte du TAS, valeur 18 novembre 2008.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, X._, représenté par un nouvel avocat, demande au Tribunal fédéral d'annuler la "sentence arbitrale" rendue le 18 novembre 2008. A titre principal, il se plaint d'une violation de l'ordre public matériel, en particulier du principe de la bonne foi et de l'interdiction de l'abus de droit. Subsidiairement, le recourant dénonce une violation par le TAS de l'ordre public procédural.
L'intimé n'a pas déposé de réponse dans le délai qui lui avait été imparti à cette fin.
Dans sa réponse, le TAS, qui a produit son dossier, conclut au rejet du recours.
L'effet suspensif a été accordé au recours par ordonnance présidentielle du 21 janvier 2009.

Considérant en droit:
1. D'après l'<ref-law>, le Tribunal fédéral rédige son arrêt dans une langue officielle, en règle générale dans la langue de la décision attaquée. Lorsque cette décision est rédigée dans une autre langue (ici l'anglais), le Tribunal fédéral utilise la langue officielle choisie par les parties. Devant le TAS, celles-ci ont utilisé l'anglais. Dans le mémoire qu'il a adressé au Tribunal fédéral, le recourant a employé le français. Conformément à sa pratique, le Tribunal fédéral adoptera la langue du recours et rendra, par conséquent, son arrêt en français.
2. 2.1 Dans le domaine de l'arbitrage international, le recours en matière civile est recevable contre les décisions de tribunaux arbitraux aux conditions prévues par les art. 190 à 192 LDIP (<ref-law>).
2.2 Le siège du TAS se trouve à Lausanne. L'une des parties au moins (en l'occurrence, les deux) n'avait pas son domicile en Suisse au moment déterminant. Les dispositions du chapitre 12 de la LDIP sont donc applicables (<ref-law>).
2.3 Dans sa réponse au recours, le TAS fait valoir que la décision attaquée n'est pas une sentence arbitrale, en ce sens qu'elle n'a pas été prise par une Formation arbitrale mais par le Président suppléant de la Chambre arbitrale d'appel, lequel est un membre du Conseil International de l'Arbitrage en matière de Sport (CIAS) que cet organisme élit pour remplacer le Président en cas d'empêchement (art. S6.2 du Code) et remplir les fonctions qui sont dévolues à celui-ci, telle la constitution de la Formation (art. R52 du Code).
A ne considérer que son intitulé (Order), la décision attaquée pourrait être une simple ordonnance de procédure susceptible d'être modifiée ou rapportée en cours d'instance; comme telle, elle ne pourrait pas être déférée au Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 1b/bb). Toutefois, pour juger de la recevabilité du recours, ce qui est déterminant n'est pas la dénomination du prononcé entrepris, mais le contenu de celui-ci. De ce point de vue, il n'est pas douteux que, dans sa décision, le TAS ne s'est pas borné à fixer la suite de la procédure. Il y constate que l'avance de frais requise n'a pas été faite dans le délai fixé à cet effet et en tire la conséquence que prévoit l'art. R64.2 du Code, c'est-à-dire la fiction irréfragable du retrait de l'appel. Son prononcé s'apparente à une décision d'irrecevabilité qui clôt l'affaire pour un motif tiré des règles de la procédure. Qu'il émane du Président suppléant de la Chambre arbitrale d'appel plutôt que d'une Formation arbitrale, laquelle n'était du reste pas encore constituée, n'empêche pas qu'il s'agit bien d'une décision susceptible de recours au Tribunal fédéral (dans ce sens, cf. l'arrêt 4A_126/2008 du 9 mai 2008 consid. 1).
2.4 Le recourant est directement touché par la décision attaquée, puisque celle-ci le prive de la possibilité de remettre en cause, devant le TAS, la décision du 13 mars 2008 au terme de laquelle la Commission du Statut du Joueur l'a condamné à verser à l'intimé la somme de 400'000 euros, intérêts en sus. Il a ainsi un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que la décision du TAS n'ait pas été rendue en violation de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP, ce qui lui confère la qualité pour recourir (<ref-law>).
Déposé dans les 30 jours suivant la notification de la sentence attaquée (<ref-law> en liaison avec l'art. 46 al. 1 let. c LTF), le recours, qui satisfait aux exigences formelles posées par l'<ref-law>, est recevable.
3. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par le Tribunal arbitral (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter d'office les constatations des arbitres, même si les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit (cf. l'<ref-law> qui exclut l'application de l'<ref-law>). En revanche, comme c'était déjà le cas sous l'empire de la loi fédérale d'organisation judiciaire (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.2; <ref-ruling> consid. 2a et les arrêts cités), le Tribunal fédéral conserve la faculté de revoir l'état de fait à la base de la sentence attaquée si l'un des griefs mentionnés à l'<ref-law> est soulevé à l'encontre dudit état de fait ou que des faits ou des moyens de preuve nouveaux sont exceptionnellement pris en considération dans le cadre de la procédure du recours en matière civile (arrêt 4A_450/2007 du 7 janvier 2008 consid. 2.2).
Ces principes ne sont pas directement applicables en l'espèce, étant donné que le prononcé attaqué ne fait que constater le retrait - présumé irrévocable - de la déclaration d'appel, consécutivement au défaut de paiement de la provision requise par le TAS. Cependant, ils peuvent l'être, à tout le moins, par analogie. Aussi la Cour de céans tiendra-t-elle compte, pour l'examen du cas présent, des circonstances relatées dans la décision de la Commission du Statut du Joueur ainsi que du déroulement de la procédure devant le TAS, tel qu'il ressort du dossier produit par ce dernier. En revanche, elle ne prendra pas en considération les allégations du recourant relatives à des circonstances exorbitantes de la procédure arbitrale en cause, telles que la référence à un autre arbitrage conduit devant le TAS par le même conseil français que celui qui a assisté le recourant dans la procédure arbitrale close par la décision querellée (affaire T._).
4. A titre principal, le recourant se plaint d'une violation de l'ordre public matériel, plus précisément du principe de la bonne foi et de l'interdiction de l'abus de droit.
4.1 Une sentence est contraire à l'ordre public matériel lorsqu'elle viole des principes fondamentaux du droit de fond au point de ne plus être conciliable avec l'ordre juridique et le système de valeurs déterminants; au nombre de ces principes figurent, notamment, la fidélité contractuelle, le respect des règles de la bonne foi, l'interdiction de l'abus de droit, la prohibition des mesures discriminatoires ou spoliatrices, ainsi que la protection des personnes civilement incapables (<ref-ruling> consid. 2.2.1).
Selon la jurisprudence, les règles de la bonne foi et l'interdiction de l'abus de droit doivent être comprises à la lumière de la jurisprudence rendue au sujet de l'<ref-law> (arrêt 4A_220/2007 du 21 septembre 2007, consid. 12.2.2).
Selon la jurisprudence, les règles de la bonne foi et l'interdiction de l'abus de droit doivent être comprises à la lumière de la jurisprudence rendue au sujet de l'<ref-law> (arrêt 4A_220/2007 du 21 septembre 2007, consid. 12.2.2).
4.2 4.2.1
4.2.1.1 Dans la première branche de son moyen principal, le recourant expose, tout d'abord, que l'avocat français qui l'a représenté devant le TAS avait agi antérieurement devant la même institution en qualité de conseil d'un jeune footballeur dénommé T._. Or, dans cette affaire, le TAS, faisant preuve d'une "grande souplesse" quant au respect du délai dans lequel il devait rendre sa sentence, en application de l'art. R59 al. 5 du Code, avait "outrageusement" étendu ce délai. Aussi, confiant dans cette souplesse du TAS, le recourant n'avait-il pas versé l'avance de frais dans le délai qui lui avait été imparti à cette fin.
Le moyen considéré repose sur un fait étranger à la procédure arbitrale en cause. Comme tel, il est irrecevable (cf., ci-dessus, le consid. 3 in fine). Ce moyen est de toute façon inconsistant. Le recourant admet d'ailleurs lui-même que le TAS n'a pas adopté un "comportement contradictoire au sens strict", puisqu'il ne lui a pas fixé un délai péremptoire qu'il n'aurait pas imparti aux parties dans l'affaire T._. De surcroît, le TAS précise, sous chiffre 17 de sa réponse, que les délais fixés dans la procédure relative à cette affaire ont tous été respectés, qu'ils aient été prolongés ou non. On peine à discerner, au demeurant, ce qu'il pourrait y avoir de commun entre le fait, pour un tribunal arbitral, de ne pas rendre une sentence dans le délai d'ordre prévu à cet effet (sur la nature de ce délai dans le cas du TAS, cf. Antonio Rigozzi, L'arbitrage international en matière de sport, 2005, p. 516 n. 1005) et le fait pour une partie de ne pas verser une avance de frais dans le délai qui lui a été fixé sous peine de voir son appel être considéré comme retiré irrémédiablement. Il paraît enfin surprenant, pour ne pas dire plus, de la part d'un avocat, de ne pas attacher d'importance au respect d'un tel délai sur la seule foi d'une prétendue souplesse avec laquelle le tribunal arbitral appliquerait les règles procédurales touchant les délais.
4.2.1.2 De ce que le délai litigieux aurait pu être prolongé, en vertu de l'art. R32 du Code, le recourant entend déduire, ensuite, que le délai en question ne revêt aucun "caractère absolu". L'argument est dénué de tout fondement. Qu'un délai puisse être prolongé est une chose. Que le non-respect d'un délai prolongeable, mais qui n'a pas été prolongé faute d'une requête ad hoc, ne doive pas être sanctionné en est une autre.
4.2.1.3 Le recourant soutient, enfin, que l'art. R64.2 du Code ne sanctionne que le défaut de paiement de la provision et non l'omission de respecter le délai imparti pour la verser. Pour lui, le délai en question ne serait qu'un délai d'ordre. Dès lors, la décision attaquée, prise "dans un mouvement d'humeur manifeste", serait contraire au principe de la bonne foi en tant qu'elle sanctionne exclusivement l'omission de demander la prolongation d'un délai d'ordre et qu'elle entraîne la perte de 400'000 euros pour la "victime de la mauvaise foi d'une institution arbitrale".
Semblable grief, inutilement blessant dans sa formulation, ne résiste pas à l'examen. Il a échappé à son auteur que l'application erronée, voire arbitraire, d'un règlement d'arbitrage ne constitue pas en soi une violation de l'ordre public (<ref-ruling> consid. 3b et les arrêts cités). Qui plus est, l'interprétation littérale de la disposition citée, que propose le recourant, impliquerait, si elle était suivie, que les parties pourraient décider elles-mêmes, sans égard aux délais fixés par le TAS, le moment auquel il leur conviendrait de verser tout ou partie des avances de frais requises par l'institution arbitrale. Outre qu'il mettrait en péril la sécurité du droit et l'égalité des parties, un tel système serait de nature à paralyser le fonctionnement d'une institution qui n'a pas la possibilité de fournir ses services à crédit, ainsi que le souligne le TAS sous chiffre 24 de sa réponse. Il va sans dire, enfin, que, lorsque la sanction découlant du non-respect d'un délai est l'irrecevabilité ou - ce qui revient au même - le retrait, présumé de manière irréfragable, d'un recours, la partie qui a exercé le moyen de droit n'est plus en mesure de faire sanctionner par l'autorité de recours une éventuelle erreur commise par celle qui a rendu la décision attaquée. Et l'on n'imagine pas que cette sanction puisse s'appliquer ou non suivant les conséquences pécuniaires plus ou moins graves que cette décision entraîne pour la partie recourante, sauf à ouvrir la porte à l'arbitraire. Pour le surplus, il n'y a pas ici la moindre trace de la mauvaise foi que le recourant impute gratuitement au TAS.
4.2.2 Dans la seconde branche de son moyen principal, le recourant fait grief au TAS de n'avoir pas réagi au courrier qu'il lui avait adressé le 17 octobre 2008 et de lui avoir laissé croire, en demeurant silencieux pendant plusieurs semaines, que le délai initialement fixé au 10 octobre 2008 pour le versement de l'avance de frais avait été prolongé par acte concluant. A le suivre, la bonne foi, dans ces conditions, aurait imposé au TAS de lui fixer un dernier délai pour effectuer ce versement.
Il n'en est rien. La lettre du TAS du 25 septembre 2008 indiquait clairement la sanction à laquelle le recourant s'exposait s'il ne versait pas l'avance de frais de 19'000 fr. jusqu'au 10 octobre 2008 inclusivement. Par courrier du 15 octobre 2008, le Greffe du TAS, relevant que le délai fixé était échu depuis le 10 du même mois, a demandé au recourant de lui fournir la preuve de ce paiement. Il ne lui a donc nullement laissé entendre que son inaction avant l'expiration de ce délai ne tirerait pas à conséquence. Sur quoi, le conseil du recourant, par courrier du 17 octobre 2008, a simplement informé le TAS que le versement attendu serait effectué sous peu. A l'évidence, il ne pouvait pas considérer de bonne foi l'absence de réaction du TAS à ce courrier en ce sens que l'institution d'arbitrage avait traité la lettre du 17 octobre 2008 comme une requête de prolongation de délai, qu'elle avait admise par l'acte concluant que constituait son silence. Il pouvait d'autant moins le faire que le TAS venait de l'inviter à prouver qu'il avait respecté le délai fixé au 10 octobre 2008.
Partant, le grief examiné, qui confine à la témérité, tombe à faux.
5. A titre subsidiaire, le recourant reproche au TAS d'avoir violé l'ordre public procédural.
5.1 L'ordre public procédural garantit aux parties le droit à un jugement indépendant sur les conclusions et l'état de fait soumis au Tribunal arbitral d'une manière conforme au droit de procédure applicable; il y a violation de l'ordre public procédural lorsque des principes fondamentaux et généralement reconnus ont été violés, ce qui conduit à une contradiction insupportable avec le sentiment de la justice, de telle sorte que la décision apparaît incompatible avec les valeurs reconnues dans un Etat de droit (<ref-ruling> consid. 2.2.1).
5.1 L'ordre public procédural garantit aux parties le droit à un jugement indépendant sur les conclusions et l'état de fait soumis au Tribunal arbitral d'une manière conforme au droit de procédure applicable; il y a violation de l'ordre public procédural lorsque des principes fondamentaux et généralement reconnus ont été violés, ce qui conduit à une contradiction insupportable avec le sentiment de la justice, de telle sorte que la décision apparaît incompatible avec les valeurs reconnues dans un Etat de droit (<ref-ruling> consid. 2.2.1).
5.2 5.2.1 Le recourant soutient, en substance, que le TAS a fait preuve de formalisme excessif en rayant la cause du rôle après avoir reçu l'entier de la provision requise. Selon lui, la décision de clôture était dépourvue d'intérêt pour le TAS, auquel elle ne causait pas le moindre préjudice, tandis qu'elle faisait perdre à la partie recourante toute possibilité d'échapper au paiement à double du montant de 400'000 euros.
5.2.2 Le formalisme est qualifié d'excessif lorsque la stricte application des règles de procédure ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi, complique de manière insoutenable la réalisation du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux. Selon une jurisprudence bien établie, il n'y a pas de rigueur excessive à ne pas entrer en matière sur un recours lorsque, conformément au droit de procédure applicable, la recevabilité de celui-ci est subordonnée au versement d'une avance de frais dans un délai déterminé; il faut cependant que son auteur ait été averti de façon appropriée du montant à verser, du délai imparti pour le paiement et des conséquences de l'inobservation de ce délai (<ref-ruling> consid. 5 p. 112; <ref-ruling> consid. 4 p. 523).
En l'occurrence, la lettre que le TAS avait adressée au recourant le 25 septembre 2008 remplissait toutes ces conditions. Aussi le TAS pouvait-il constater, sans commettre un excès de formalisme, que la conséquence attachée par l'art. R64.2 du Code au défaut de versement de l'avance était applicable aux circonstances du cas qui lui était soumis.
Que l'avance ait bien été versée avant que le TAS prenne acte du retrait de l'appel dans la décision attaquée n'est pas déterminant, quoi qu'en dise le recourant, sans compter que le versement, opéré par ce dernier le même jour que celui où ladite décision a été rendue, n'est parvenu à la connaissance du TAS que deux jours plus tard. Le Tribunal fédéral n'entre pas non plus en matière sur un recours, conformément à l'<ref-law>, quand l'avance de frais n'a pas été versée en temps utile, même s'il est en possession du montant de cette avance effectuée hors délai lorsqu'il prononce l'arrêt d'irrecevabilité. Il considère, en effet, que les formes procédurales sont nécessaires dans la mise en oeuvre des voies de droit, ne serait-ce que pour assurer le déroulement de la procédure conformément au principe de l'égalité de traitement. On ne voit pas pourquoi il devrait en aller autrement dans le cas d'une institution d'arbitrage. Ce serait oublier que, dans une procédure arbitrale, tout comme dans une procédure étatique, la partie intimée est en droit d'attendre du tribunal arbitral qu'il applique et respecte les dispositions de son propre règlement de procédure.
L'arrêt 4P.2/2003 du 12 mars 2003, cité par le recourant, ne lui est d'aucun secours. Il invite le tribunal arbitral à déterminer clairement la conséquence péremptoire éventuellement liée au non-paiement de l'avance de frais pour autant que le règlement applicable ne la stipule pas déjà (consid. 3.4). Or, c'est bien ce qu'a fait le TAS en l'espèce, par son courrier du 25 septembre 2008, dans lequel il rappelle au recourant la sanction prévue à l'art. R64.2 du Code en cas de défaut de versement de l'avance de frais.
Quant aux arguments du recourant tirés de la comparaison avec le précédent T._ et de l'incidence de la décision attaquée sur sa situation patrimoniale, ils ont déjà été écartés plus haut, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'y revenir (cf. consid. 4.2.1.1 et 4.2.1.3 in fine).
6. Il ressort de cet examen que le recourant a tenté en vain d'imputer au TAS la négligence dont son ancien mandataire a fait preuve dans la conduite de la procédure devant cette institution. Le présent recours ne peut, dès lors, qu'être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Par voie de conséquence, le recourant devra payer les frais judiciaires relatifs à la procédure fédérale (<ref-law>). En revanche, il n'aura pas à indemniser l'intimé puisque celui-ci n'a pas déposé de réponse.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal Arbitral du Sport (TAS).
Lausanne, le 20 février 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo