Faits:
A.
Par jugement du 22 novembre 2012, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a reconnu A._ coupable de violation grave des règles de la circulation routière, de violation des devoirs en cas d'accident et de défaut du port de la ceinture de sécurité. Il a condamné l'intéressé à une peine pécuniaire de vingt jours-amende à 80 fr. le jour, et à une amende de 250 fr., la peine privative de liberté en cas de non-paiement fautif de l'amende étant de cinq jours. Il a révoqué le sursis octroyé le 10 mai 2010 par le Tribunal de police de l'arrondissement de l'Est vaudois et ordonné l'exécution de la peine pécuniaire de quinze jours-amende à 40 fr.
B.
Par arrêt du 27 février 2013, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté l'appel formé par A._ et confirmé le jugement de première instance.
Elle a retenu les faits suivants:
A X._, le xx.xxxx.xxxx, vers xxhxx, B._ transportait A._ sur le siège-arrière de son taxi. Son passager l'a informé qu'il était à cours d'argent et qu'il s'acquitterait de la course à son arrivée à son domicile. Alors qu'ils se trouvaient à l'avenue du Chablais, le chauffeur de taxi a fait demi-tour pour amener son passager à la police pour régler l'affaire. Il a ainsi emprunté la présélection de gauche destinée aux usagers désirant s'engager sur la route de Y._, malgré la flèche lumineuse verte l'obligeant à obliquer à gauche. Après cette manoeuvre, alors que la voiture roulait à une vitesse avoisinant les 60 km/h, A._, qui ne faisait pas usage de la ceinture de sécurité, a ouvert la portière afin de quitter le véhicule. Le chauffeur a tenté de le retenir en saisissant la portière avec la main droite. Il a alors perdu la maîtrise de son véhicule, dévié à gauche, franchi l'îlot séparant les sens du trafic, heurté avec l'angle avant droit de sa voiture un candélabre, donné un coup de volant à droite, circulé une dizaine de mètres à cheval sur l'îlot central, puis heurté un second candélabre. A._ est alors sorti de l'habitacle et a quitté les lieux, faisant fi de ses devoirs de personne impliquée dans un accident.
C.
Contre l'arrêt cantonal, A._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à sa libération de la violation grave des règles de la circulation routière et de la violation des devoirs en cas d'accident et à la non-révocation du sursis accordé le 10 mai 2010.
Appelés à se déterminer, le Ministère public vaudois et la cour cantonale y ont renoncé.

Considérant en droit:
1.
Le recourant s'en prend à l'établissement des faits, qu'il qualifie de manifestement inexact sur plusieurs points. En outre, il dénonce la violation de la présomption d'innocence.
1.1.
1.1.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9). Il appartient au recourant de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 4.2.3 p. 5; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356 ; <ref-ruling> consid. 6 p. 397).
1.1.2. Dans la mesure où, comme en l'espèce, l'appréciation des preuves est critiquée en référence avec le principe in dubio pro reo, celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2a p. 41).
1.2. Le recourant fait valoir qu'il a ouvert la portière lorsque le véhicule était pratiquement à l'arrêt, à la sortie du virage à 180 °. Selon lui, la cour cantonale serait tombée dans l'arbitraire en retenant que le tachygraphe était fiable et qu'il avait ouvert la portière du véhicule alors que celui-ci " roulait à une vitesse avoisinant les 60 km/h ". Le recourant explique que la cour cantonale ne pouvait se fonder sur l'appareil tachygraphe, car celui-ci avait été endommagé lors des faits. Tout au plus, la vitesse de 60 km/h pouvait représenter la vitesse au moment du premier ou du second choc et non lors de l'ouverture de la portière. Enfin, une telle vitesse serait invraisemblable au vu des dégâts matériels légers et de l'absence totale de blessure des passagers.
On doit admettre que le tachygraphe ne peut indiquer la vitesse au moment de l'ouverture de la portière, puisque l'on ignore le moment exact où le recourant a voulu sortir du véhicule. En outre, la vitesse retenue de 60 km/heure apparaît manifestement excessive, au vu du déroulement des faits (la voiture sortait d'un virage à 180 °) et de la dangerosité de la sortie du véhicule à une telle vitesse. En conséquence, c'est de manière manifestement inexacte que la cour cantonale a retenu que le taxi roulait à environ 60 km/heure lorsque le recourant a ouvert la portière pour sortir du véhicule. La vitesse lors de l'ouverture de la portière n'est toutefois pas seule déterminante (<ref-law>). En effet, il est admis qu'après le demi-tour, le chauffeur de taxi a accéléré et que la vitesse était de 60 km/heure lors de l'accident (cf. notamment pièce 23) et que le recourant a maintenu la portière ouverte jusqu'au moment de l'accident (jugement de première instance, p. 13). Or, en maintenant la portière ouverte alors que la voiture accélérait (jusqu'à une vitesse avoisiant 60 km/heure), le recourant a violé les règles de la circulation (notamment l'<ref-law> en relation avec l'<ref-law>). Le grief soulevé doit donc être rejeté.
1.3. Le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire en retenant qu'il " avait informé B._ qu'il était à cours d'argent et qu'il s'acquitterait de la course à son arrivée à son domicile " juste avant que le chauffeur ne fasse demi-tour. Il soutient au contraire l'en avoir informé dès sa prise en charge.
Par son argumentation, le recourant se borne à affirmer qu'il a indiqué au chauffeur de taxi ne pas avoir assez d'argent cash sur lui dès sa prise en charge, sans démontrer en quoi la version retenue par la cour cantonale serait arbitraire. Purement appellatoire, cette argumentation est irrecevable (<ref-law>). Au demeurant, elle n'est pas pertinente, compte tenu de l'issue du recours (cf. consid. 3.3.2).
1.4. Le recourant soutient que la cour cantonale est tombée dans l'arbitraire en retenant que le feu obligeant le taxi à obliquer à gauche était au vert. Selon lui, le feu aurait été rouge.
Le recourant n'explique pas en quoi la version retenue par la cour cantonale serait inexacte. Purement appellatoire, son argumentation est donc irrecevable (<ref-law>). Au demeurant, ce fait n'influe pas sur le résultat du litige, dans la mesure où la manoeuvre du chauffeur de taxi était, de toute façon, contraire aux règles de la circulation routière.
1.5. Le recourant se plaint que la cour cantonale a retenu de manière inexacte que le chauffeur de taxi, âgé de 68 ans, ne pouvait pas représenter une menace physique à son encontre, dès lors qu'il était âgé de 37 ans.
Ce grief n'est pas déterminant, vu l'issue du recours (cf. consid. 3.3.2).
2.
Le recourant conteste avoir commis une violation grave des règles de la circulation routière (<ref-law>).
2.1. Selon l'<ref-law>, celui qui viole les règles de la circulation prévues par la présente loi ou par les dispositions d'exécution émanant du Conseil fédéral est puni de l'amende (al. 1). Celui qui, par une violation grave d'une règle de la circulation, crée un sérieux danger pour la sécurité d'autrui ou en prend le risque est puni d'une peine privative de liberté de trois ans au plus ou d'une peine pécuniaire (al. 2).
Pour dire si une violation d'une règle de la circulation doit être qualifiée de grave, il faut procéder à une appréciation aussi bien objective que subjective. Du point de vue objectif, l'auteur doit avoir commis une violation grossière d'une règle fondamentale de la circulation routière et mis sérieusement en danger la sécurité du trafic. Il y a création d'un danger sérieux pour la sécurité d'autrui non seulement en cas de mise en danger concrète, mais déjà en cas de mise en danger abstraite accrue (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 136). Subjectivement, l'état de fait de l'<ref-law> exige, selon la jurisprudence, un comportement sans scrupules ou gravement contraire aux règles de la circulation, c'est-à-dire une faute grave et, en cas d'acte commis par négligence, à tout le moins une négligence grossière. Celle-ci doit être admise lorsque le conducteur est conscient du caractère généralement dangereux de son comportement contraire aux règles de la circulation. Mais une négligence grossière peut également exister lorsque, contrairement à ses devoirs, l'auteur ne prend absolument pas en compte le fait qu'il met en danger les autres usagers, en d'autres termes s'il se rend coupable d'une négligence inconsciente. Dans de tels cas, une négligence grossière ne peut être admise que si l'absence de prise de conscience du danger créé pour autrui repose elle-même sur une absence de scrupules. Est notamment sans scrupules le comportement qui ne tient absolument pas compte des biens juridiques d'autrui. Il peut également en aller ainsi en cas de simple ignorance (momentanée) de la mise en danger des intérêts d'autrui (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 136).
2.2. En ouvrant la portière et en la maintenant ouverte alors que le taxi roulait à une bonne allure (la vitesse a été arrêtée à 60 km/heure au moment de l'accident), le recourant a mis en danger sa propre sécurité, mais a aussi gêné le conducteur et créé un danger pour la sécurité publique (<ref-law>), dont témoigne la violence de l'accident et l'état du véhicule. Du point de vue subjectif, le recourant ne pouvait qu'être conscient que son comportement était dangereux. Il s'agit donc objectivement et subjectivement d'une violation grave des règles de la circulation au sens de l'<ref-law>.
3.
Le recourant invoque l'état de nécessité licite (<ref-law>) ou excusable (<ref-law>). Il fait également valoir qu'il était en état de légitime défense (<ref-law>).
3.1. Avec raison, la cour cantonale n'a pas retenu que le recourant avait agi en état de légitime défense. En effet, l'<ref-law>, qui définit la légitime défense, ne justifie que les actes dirigés contre l'attaquant. Si d'autres biens juridiques qui n'appartiennent pas à ce dernier sont lésés, seul l'état de nécessité, ou un autre fait justificatif, peut être invoqué (voir notamment MICHEL DUPUIS, Petit commentaire du Code pénal, 2e éd. 2012, n° 13 ad <ref-law>). Or, en l'espèce, en sortant du véhicule en marche, le recourant a mis en danger sa propre sécurité, voire la sécurité des autres usagers et seulement indirectement celle du chauffeur de taxi.
3.2. L'<ref-law>, qui définit l'état de nécessité licite, prévoit que quiconque commet un acte punissable pour préserver d'un danger imminent et impossible à détourner autrement un bien juridique lui appartenant ou appartenant à un tiers agit de manière licite s'il sauvegarde ainsi des intérêts prépondérants.
En cas d'état de nécessité excusable (<ref-law>), il s'agit avant tout de déterminer si le sacrifice du bien menacé pouvait ou non être raisonnablement exigé de l'auteur. La pesée objective des intérêts apparaît ainsi secondaire, de sorte que la violation d'un intérêt supérieur n'exclut pas a priori l'état de nécessité excusable, à tout le moins en cas d'état de nécessité défensif. De toute façon, l'ordre hiérarchique des biens juridiques ne peut être fixé si facilement ( TRECHSEL/PIETH, Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 2e éd. 2013, n° 2 ad <ref-law>). Il convient de faire une pesée des intérêts en prenant en considération non seulement le rang des biens juridiques en conflit, mais aussi la gravité de l'atteinte, l'importance du danger, ainsi que toutes les circonstances du cas concret ( DUPUIS ET AL., op. cit., n° 16 ad <ref-law>). Si le sacrifice du bien menacé peut être exigé de l'auteur, celui-ci agit de manière coupable; une peine devra donc être prononcée, mais celle-ci sera atténuée (<ref-law>). Dans le cas contraire, l'auteur n'aura pas agi de manière coupable; il devra donc être exempté de toute peine, ce qui signifie la libération de la poursuite pénale (<ref-ruling> consid. 2b p. 4).
3.3.
3.3.1. Le terme " danger " des art. 17 et 18 CP concerne toute situation dans laquelle existe, selon le cours ordinaire des choses, une certaine probabilité de voir un bien juridique lésé. S'agissant des biens juridiques protégés, l'<ref-law> concerne tous les biens juridiques des particuliers (y compris la liberté) (cf. MICHEL DUPUIS ET AL., op. cit., n° 14 ad <ref-law>). Aux termes de l'<ref-law>, le bien protégé devra ressortir aux biens essentiels; l'énumération figurant à l'<ref-law> est toutefois très vaste.
3.3.2. Le recourant soutient qu'il se trouvait en situation de séquestration et/ou d'enlèvement et donc privé illicitement de sa liberté. L'<ref-law> distingue la séquestration (ch. 1 al. 1) et l'enlèvement (ch. 1 al. 2). Il y a séquestration lorsque l'auteur prive une personne de sa liberté par un moyen de contrainte, en l'obligeant à rester à l'endroit où elle se trouve. L'enlèvement consiste à emmener une personne illicitement dans un autre lieu où elle se trouve sous sa maîtrise. Si la personne est maintenue dans un lieu qui est lui-même en mouvement, par exemple à l'intérieur d'une voiture, il s'agit d'une séquestration, puisque la personne est maintenue là où elle se trouvait (<ref-ruling> consid. 2 p. 221).
Selon l'état de fait cantonal, le recourant a informé le chauffeur qu'il était à cours d'argent et qu'il s'acquitterait de la course à son arrivée à domicile. Alors qu'ils se trouvaient à l'avenue du Chablais, le chauffeur a décidé de faire demi-tour pour amener son passager à la police afin de régler l'affaire. Par ce brusque changement de direction, en violation de la signalisation, le chauffeur a manifesté son intention d'amener le recourant à un autre endroit que celui initialement prévu, tout en le maintenant à l'intérieur de la voiture. La cour cantonale n'a pas clairement précisé si le recourant avait demandé au chauffeur de descendre. Dans sa motivation, elle a semblé l'admettre, déclarant que, de toute façon, le chauffeur ne pouvait s'arrêter immédiatement. Dans tous les cas, l'arrêt attaqué constate que le chauffeur a tenté de retenir le recourant qui voulait quitter le véhicule, en saisissant la portière avec la main droite. Au vu de ces faits, il y a lieu d'admettre que le chauffeur a empêché le recourant de descendre de la voiture en vue de le conduire à la police. Reste à examiner s'il avait un droit de le faire.
Pour la cour cantonale, le comportement du chauffeur n'est pas illicite, dans la mesure où celui-ci voulait emmener le recourant à la police, ce dont il l'avait informé. Elle renvoie à cet égard à l'<ref-law>. Selon cette disposition, lorsque l'aide de la police ne peut être obtenue à temps, un particulier a le droit d'arrêter provisoirement une personne qu'il a surprise en flagrant délit de crime ou de délit ou qu'il a interceptée immédiatement après un tel acte (al. 1 let. a), la personne arrêtée étant remise à la police dès que possible (al. 3). En l'espèce, la cour cantonale a uniquement constaté que le recourant avait informé le chauffeur qu'il était à cours d'argent et qu'il s'acquitterait de la course à son arrivée à son domicile. Dans sa motivation, elle a ajouté que le chauffeur de taxi pouvait à juste titre penser que ce client ne paierait pas sa course. Les faits retenus ne permettent toutefois pas de conclure que le recourant ne paierait pas le prix de la course et se rendrait coupable d'une infraction (art. 146 ou 150 CP; sur l'application de cette dernière disposition au chauffeur de taxi, cf. PHILIPPE WEISSENBERGER, in Basler Kommentar, Strafrecht II, 2007, n. 12 ad <ref-law>); en outre, il y a lieu de relever que vu la somme en jeu (certainement inférieure à 300 fr.), seule une contravention entrait en ligne de compte (art. 172 ter CP; <ref-ruling> consid. 3d p. 118 s.), ce qui exclut le droit des particuliers à l'arrestation ( LAURENT MOREILLON/AUDE PAREIN-REYMOND, Petit commentaire du Code de procédure pénale, 2013, n° 5 ad <ref-law>). Les conditions de l'<ref-law> ne sont donc pas réalisées. Le chauffeur de taxi n'était pas en droit de faire demi-tour pour emmener le recourant à la police. Il existait d'autres manières de régler cet éventuel différend pécuniaire. Le chauffeur de taxi pouvait déposer le recourant et lui demander d'acquitter son dû (le recourant prétend avoir eu au moins 30 fr. sur lui; cf. jugement de première instance p. 13). Dans tous les cas, il connaissait son adresse et pouvait déposer une plainte pénale si le recourant refusait de payer la course.
En conséquence, contrairement à l'avis de la cour cantonale, il convient d'admettre que le recourant a été illicitement retenu dans le taxi en vue d'être amené à la police. Le recours doit donc être admis sur ce point, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale. Celle-ci devra examiner dans quelle mesure le recourant était en droit de sortir du taxi pour préserver sa liberté (<ref-law>) ou si le comportement du recourant constitue un excès de l'état de nécessité (<ref-law>).
4.
Le recourant conteste sa condamnation pour violation des devoirs en cas d'accident.
4.1. Selon l'<ref-law>, celui qui viole, lors d'un accident, les obligations que lui impose la loi sur la circulation routière, sera puni de l'amende.
Les devoirs en cas d'accident, dont la violation est réprimée par l'<ref-law>, sont énoncés à l'<ref-law>. Cette disposition prévoit qu'en cas d'accident où sont en cause des véhicules automobiles ou des cycles, toutes les personnes impliquées devront s'arrêter immédiatement. Elles sont tenues d'assurer, dans la mesure du possible, la sécurité de la circulation (al. 1). Si l'accident n'a causé que des dommages matériels, leur auteur en avertira tout de suite le lésé en indiquant son nom et son adresse. En cas d'impossibilité, il en informera sans délai la police (al. 3).
L'alinéa 1er de cette disposition définit les devoirs généraux qui s'adressent aux personnes impliquées dans un accident, quelles qu'en soient les conséquences. Est impliqué dans un accident celui qui, d'une quelconque manière, directement ou indirectement, a participé à la survenance de l'accident, indépendamment du fait de savoir s'il supporte une responsabilité ou s'il en est la cause. Plus généralement, sont impliqués tous ceux dont l'attitude peut avoir une influence dans la survenance et donc quant à l'explication de l'accident ( Yvan Jeanneret, Les dispositions pénales de la LCR, Berne 2007, p. 156). Sont ainsi visés les conducteurs, mais aussi un piéton ou même un passager (qui a par exemple ouvert inopinément sa portière) à la condition que la personne puisse avoir joué un rôle causal dans la survenance de l'accident ( Bernard Corboz, Les infractions en droit suisse, vol. II, 3e éd., 2010, p. 977, n. 11 ad n° 92 LCR). En cas d'accident, la personne impliquée a le devoir de s'arrêter; ce devoir est un préalable à tous les autres et doit permettre de constater la situation et de déterminer les mesures à prendre. En outre, dans la mesure du possible, elle devra assurer la sécurité de la circulation.
Les devoirs prévus à l'<ref-law> incombent à l'auteur et non aux personnes impliquées. L'auteur du dommage est celui dont le comportement est, même partiellement, à l'origine de l'une des causes de l'accident, indépendamment de toute faute et même s'il subit personnellement un dommage du fait de l'accident (arrêt 6S.8/2003 du 19 mars 2003 consid. 2). Il lui incombe personnellement de donner son nom et son adresse; il ne peut en charger un tiers que lorsqu'il y est obligé par une raison majeure et lorsque l'on peut être assuré que ces renseignements seront fournis sans délai (<ref-ruling>).
4.2. En l'espèce, le recourant a violé en tant que personne impliquée le devoir de s'arrêter et les autres devoirs qui s'ensuivent. En outre, comme auteur d'un dommage, il aurait dû informer le lésé, à savoir la ville de X._, propriétaire des installations endommagées. Le fait que le chauffeur de taxi connaissait son adresse ne le dispensait pas d'aviser personnellement le lésé. La cour cantonale n'a donc pas violé le droit fédéral en condamnant le recourant pour violation des devoirs en cas d'accident. Les griefs soulevés doivent être rejetés.
5.
Dans la mesure où le recours est admis sur la question de l'application des art. 17/18 CP, il appartiendra à la cour cantonale de revoir la peine, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner les griefs relatifs à cette question.
6.
En conséquence, le recours doit être partiellement admis, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouveau jugement dans le sens des considérants. Pour le surplus, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant qui obtient partiellement gain de cause peut prétendre à une indemnité de dépens réduite (<ref-law>) et supportera une partie des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la cour cantonale afin qu'elle statue à nouveau. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, sont mis à la charge du recourant.
3.
Le canton de Vaud versera au recourant une indemnité de dépens de 1'500 francs.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 9 septembre 2013
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffièrer:
Mathys Kistler Vianin