Faits:
A. A.a T._ a souffert depuis l'adolescence de problèmes d'épaule. Au bénéfice d'un diplôme de commerce, elle a occupé divers emplois de secrétariat et de bureau et travaillé en qualité de vendeuse et gérante de boutiques et de barmaid. Au chômage depuis le 1er avril 1997, elle a été victime d'un accident de la circulation routière le 31 mai 1997, à la suite duquel elle a présenté une incapacité de travail de 100 %, puis de 50 % dès le 13 octobre 1998 (rapport du 14 octobre 1998 du docteur F._, médecin associé du Centre Hospitalier X._. Son cas a été pris en charge par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 5 juin 1998, T._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en requérant l'octroi d'une aide au placement. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a confié une expertise médicale au docteur B._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie. Dans un rapport du 25 avril 2000, l'expert a posé les diagnostics de status après fracture sous-capitale à trois fragments de l'humérus gauche traitée de manière conservative (accident du 31 mai 1997) et de capsulite rétractile secondaire actuellement résolue, tout en relevant l'absence d'éléments psychopathologiques ayant valeur de maladie. Il indiquait que depuis le 24 janvier 2000, l'assurée travaillait en tant que serveuse-réceptionniste à l'Hôtel Y._ et que, hormis les activités de service, l'activité décrite était parfaitement adaptée sur le plan médical. Dans un préavis du 13 juin 2000, l'office AI a fixé l'invalidité de l'assurée à 100 % dès le 1er mai 1998, 50 % dès le 1er novembre 1998 et 30 % dès le 1er novembre 1999. Il l'a mise au bénéfice d'une rente entière d'invalidité du 1er mai au 31 octobre 1998 et d'une demi-rente du 1er novembre 1998 au 31 octobre 1999 (décisions du 6 septembre 2000).
A.b A partir du 15 mai 2000, T._ a exercé l'activité de réceptionniste auprès de l'Hôtel Z._, d'abord à 70 % puis à 100 % dès le 1er novembre 2000. Elle a quitté son employeur le 30 novembre 2001 pour travailler dans un autre établissement, engagement qui n'a finalement pas eu lieu en raison d'une incapacité de travail survenue le 29 novembre 2001. Du 1er janvier au 28 février 2002, elle a travaillé en qualité de téléphoniste-réceptionniste au service de l'entreprise W._ SA. Le 27 janvier 2003, elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité en raison d'une rechute de ses problèmes d'épaule.
La CNA, saisie de l'annonce d'une rechute de l'accident du 31 mai 1997, a confié une expertise médicale au docteur S._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et médecin de la Clinique V._, dans le cadre de laquelle celle-ci a été effectuée. Dans un rapport du 7 décembre 2004, ce médecin a posé les diagnostics d'instabilité de l'épaule gauche à prédominance postérieure, de douleurs chroniques de l'épaule gauche après fracture à trois fragments de l'humérus proximal (31 mai 1997), de status après cure de luxation postérieure de l'épaule gauche (1986), d'instabilité multidirectionnelle de l'épaule droite et de hanche à ressaut gauche. A la question de savoir quelles positions et fonctions n'étaient plus exigibles de la part de l'assurée, l'expert a répondu que la patiente n'était plus en mesure de manipuler des outils ou de travailler les bras levés, que le moindre mouvement du bras gauche était fortement douloureux et s'accompagnait d'un déplacement de la tête humérale incompatible avec la plupart des activités envisageables et que dans la situation actuelle, seul un travail ne nécessitant que l'usage du membre supérieur droit entrait en considération. La CNA a mis fin au paiement des soins médicaux et de l'indemnité journalière avec effet à partir du 1er janvier 2006. Dès cette date, elle a alloué à T._ une rente d'invalidité pour une incapacité de gain de 43 %, compte tenu d'un revenu sans invalidité de 4'200 fr. et d'un revenu d'invalide de 2'400 fr. par mois (décision du 31 mars 2006, confirmée sur opposition le 5 octobre 2006).
Dans un préavis du 9 mai 2006, l'office AI a informé T._ qu'elle présentait une invalidité de 43 % depuis le 1er janvier 2004, date à partir de laquelle elle avait droit à un quart de rente de l'assurance-invalidité. Celle-ci lui a fait part de ses observations. Par décision du 8 novembre 2006, l'office AI lui a alloué un quart de rente d'invalidité dès le 1er janvier 2004, en l'avisant que les éléments apportés lors de la procédure d'audition n'étaient pas de nature à modifier sa position, soit notamment la possibilité de réaliser un revenu mensuel de 2'400 fr. correspondant à une activité monomanuelle à 50 % exigible selon les évaluations médicales effectuées.
B. Le 5 décembre 2006, T._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à l'octroi d'une rente entière d'invalidité, ou que justice dira. Produisant une lettre du 20 novembre 2006 de la doctoresse N._, psychiatre-psychothérapeute, elle requérait à titre subsidiaire la mise sur pied d'une expertise psychiatrique, la cause étant renvoyée à l'office AI pour nouvelle décision au sens des considérants. Elle a produit plusieurs certificats médicaux de son médecin traitant, la doctoresse I._, spécialiste FMH en médecine interne, qui attestaient une incapacité de travail de 100 % depuis le 1er janvier 2003, d'une durée indéterminée.
Par jugement du 22 avril 2009, le Tribunal administratif a rejeté le recours.
C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à l'allocation d'une rente entière d'invalidité, à titre subsidiaire à l'allocation d'une rente pour une invalidité de 67 % et plus subsidiaire d'une rente pour une invalidité de 51 %, la cause étant renvoyée au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel pour nouvelle décision au sens des considérants. Elle produit plusieurs documents (fourres n° 1 à 10), accompagnés d'un commentaire figurant dans un mémoire séparé. Elle demande à être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite. Par lettre du 19 janvier 2010, elle a produit deux certificats médicaux du 19 janvier 2010 et un autre du 16 novembre 2009 de la doctoresse I._.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel déclare qu'il n'a pas d'observations à formuler sur le recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law> et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (<ref-law>) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
1.2 Devant la Cour de céans, la recourante produit copie de plusieurs documents, en particulier une lettre du 19 mai 2009 et un certificat médical du 15 mai 2009 de la doctoresse I._, accompagnés d'un commentaire figurant dans un mémoire séparé.
Toutefois, le jugement attaqué du 22 avril 2009 ne justifie pas pour la première fois de soulever ces moyens et la recourante ne montre pas en quoi les conditions d'une exception à l'interdiction des faits ou moyens de preuve nouveaux selon l'<ref-law> sont remplies (Ulrich Meyer, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger, Basler Kommentar zum BGG, Basel 2008, N. 44 à 47 ad Art. 99 BGG; Bernard Corboz, in: Commentaire de la LTF, Berne 2009, N. 19 ad <ref-law>). Ces moyens ne sont dès lors pas admissibles.
1.3 Il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur l'écriture de la recourante du 19 janvier 2010, qui est tardive.
2. Le litige, relatif au droit de la recourante à une rente d'invalidité depuis le 1er janvier 2004, porte sur l'atteinte à la santé et son incidence sur sa capacité de travail et de gain, singulièrement sur le calcul du revenu sans invalidité et du revenu d'invalide et sur le taux d'invalidité fondant le droit à la prestation.
2.1 Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'<ref-ruling> consid. 3 p. 397 s. (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité - dans la mesure où elle dépend d'une évaluation de la personne concrète, de son état de santé et de ses capacités fonctionnelles - relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398). Dans la mesure cependant où il en va de l'évaluation de l'exigibilité d'une activité professionnelle au regard de l'expérience de la vie, il s'agit d'une question de droit qui peut être examinée librement en instance fédérale. Les règles légales et jurisprudentielles sur la manière d'effectuer la comparaison des revenus relèvent de questions de droit. Sous cet angle, la constatation des deux revenus hypothétiques à comparer est une question de fait, dans la mesure où elle repose sur une appréciation concrète des preuves; il s'agit en revanche d'une question de droit dans la mesure où elle se fonde sur l'expérience générale de la vie (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 399).
2.2 Le jugement attaqué expose correctement les dispositions légales relatives aux notions d'incapacité de gain (<ref-law>) et d'invalidité (<ref-law>) et les règles sur les tâches du médecin. On peut ainsi y renvoyer.
On ajoutera qu'en cas de divergence d'opinion entre experts et médecins traitants, il n'est pas, de manière générale, nécessaire de mettre en oeuvre une nouvelle expertise. La valeur probante des rapports médicaux des uns et des autres doit bien plutôt s'apprécier au regard des critères jurisprudentiels (<ref-ruling> consid. 3a p. 352) qui permettent de leur reconnaître pleine valeur probante. A cet égard, il convient de rappeler qu'au vu de la divergence consacrée par la jurisprudence entre un mandat thérapeutique et un mandat d'expertise (<ref-ruling> consid. 4 p. 175; arrêt I 514/06 du 25 mai 2007 consid. 2.2.1, in SVR 2008 IV Nr. 15 p. 43), on ne saurait remettre en cause une expertise ordonnée par l'administration ou le juge et procéder à de nouvelles investigations du seul fait qu'un ou plusieurs médecins traitants ont une opinion contradictoire. Il n'en va différemment que si ces médecins traitants font état d'éléments objectivement vérifiables ayant été ignorés dans le cadre de l'expertise et qui sont suffisamment pertinents pour remettre en cause les conclusions de l'expert.
3. Les premiers juges ont retenu que le docteur S._, dans son rapport d'expertise du 7 décembre 2004, avait posé les diagnostics d'instabilité de l'épaule gauche à prédominance postérieure, de douleurs chroniques de l'épaule gauche après fracture à trois fragments de l'humérus proximal, de status après cure de luxation postérieure de l'épaule gauche (1986), d'instabilité multidirectionnelle de l'épaule droite et de hanche à ressaut gauche. Ils ont fait leurs les conclusions de l'expert, dont ils ont relevé qu'elles étaient partagées par le médecin d'arrondissement de la CNA (note du docteur R._ du 11 mai 2005) en ce qui concerne les aspects fonctionnels d'activités adaptées du point de vue médico-théorique. Ainsi, dans la situation actuelle, seul un travail ne nécessitant que l'usage du membre supérieur droit, chez une assurée droitière, pouvait entrer en considération. Tant le docteur S._ que le docteur R._ avaient admis que malgré ses affections, la recourante était à même de mettre à profit une capacité de travail dans une activité adaptée. S'agissant de l'évaluation de son invalidité, la juridiction cantonale, suivant l'office AI et la CNA, a pris en considération une baisse de rendement de 50 % en ce qui concerne le calcul du revenu d'invalide afin de tenir compte des limitations fonctionnelles décrites par l'expert S._. Ainsi, compte tenu d'un revenu d'invalide de 2'376 fr. et d'un revenu sans invalidité de 4'138 fr. 20 par mois (valeur 2004), la comparaison des revenus donnait une invalidité de 43 % (42,6 % arrondi au taux supérieur), taux insuffisant pour ouvrir le droit à une rente entière ou à une demi-rente.
3.1 Les premiers juges ont retenu que l'aggravation de l'état de santé sur le plan psychique dont la recourante se prévalait était survenue postérieurement à la décision litigieuse du 8 novembre 2006 et qu'elle était, en conséquence, sans pertinence en l'espèce.
Alléguant que l'aggravation sur le plan psychique est bien antérieure à 2006, la recourante reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pris en considération que les problèmes qui sont les siens au niveau du membre supérieur gauche, en faisant abstraction de l'élément psychiatrique lié à sa fatigue psychologique depuis de nombreuses années, à savoir les séquelles psychologiques constatées par le psychologue de l'office AI, la doctoresse N._ et la doctoresse I._. En particulier, elle se réfère au dernier paragraphe de la lettre du 20 novembre 2006 où la doctoresse N._ a indiqué ce qui suit: "L'interaction entre douleurs intenses chroniques et état dépressif est bien documentée et joue certainement un rôle prépondérant chez cette patiente. Dans l'état actuel, d'une nature chronique, une activité professionnelle me semble complètement inconcevable, et son incapacité de travail par conséquent doit être considérée comme 100 %".
Ce passage de la lettre précitée de la doctoresse N._ du 20 novembre 2006 ne permet toutefois de tirer aucune conclusion en ce qui concerne l'état de santé de la recourante sur le plan psychique au moment déterminant, soit lors de la décision litigieuse du 8 novembre 2006. Ainsi que l'a relevé le Tribunal administratif, il résulte de ce document que l'assurée a été suivie sur le plan psychiatrique durant ses deux rechutes survenues en 2001 et 2003 et qu'elle a interrompu tout traitement jusqu'au 11 novembre 2006, affirmant ainsi en 2005 qu'elle ne se considérait pas comme dépressive et qu'elle faisait tout pour ne pas sombrer dans la dépression (note du 1er entretien de réadaptation du 2 novembre 2005 et note relative à un entretien téléphonique avec la doctoresse I._ du 11 novembre 2005). Vu l'absence de suivi psychiatrique (avis médical SMR des 22 et 27 mars 2006) jusqu'au 11 novembre 2006 (lettre de la docteur N._ du 20 novembre 2006), les affirmations de la recourante en ce qui concerne les séquelles psychologiques, la prise de médicaments contenant de la morphine et leurs effets secondaires ne permettent pas de considérer que les premiers juges, en retenant que l'aggravation de l'état de santé sur le plan psychique était survenue postérieurement à la décision litigieuse du 8 novembre 2006, aient établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Les conclusions juridiques qu'ils en ont tirées, à savoir que l'aggravation sur le plan psychique était sans pertinence en l'espèce, sont conformes au droit fédéral (<ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 220, 131 V 242 consid. 2.1 p. 243; <ref-ruling> consid. 1b p. 366). La requête de la recourante tendant à la mise sur pied d'une expertise psychiatrique doit ainsi être rejetée. Le recours est mal fondé de ce chef.
3.2 La recourante nie qu'il existe une activité adaptée à ses problèmes de santé, au motif qu'elle présente de manière ininterrompue une incapacité de travail totale depuis le 1er janvier 2003, ainsi que cela est attesté par la doctoresse I._. Elle conteste qu'une activité monomanuelle à un taux de 50 % soit exigible de sa part.
Toutefois, la recourante ne discute pas le point de vue du Tribunal administratif, selon lequel les conclusions de la doctoresse I._ ne sauraient emporter sa conviction attendu que ce médecin n'a pas exposé les motifs pour lesquels elle avait conclu à une incapacité totale de travail à partir du 1er janvier 2003. En effet, il convient de relever que les rapports et certificats médicaux figurant au dossier établis par la doctoresse I._ sont succincts et qu'ils ne contiennent pas les éléments nécessaires pour leur reconnaître pleine valeur probante, en particulier une anamnèse complète, des constatations cliniques étayées, la description complète du contexte médical ainsi qu'une discussion et des conclusions motivées.
Au regard des conclusions du docteur S._ dans son expertise du 7 décembre 2004, les affirmations de la recourante en ce qui concerne sa capacité de travail et l'existence d'une activité adaptée ne permettent pas de considérer que les premiers juges, en retenant que malgré ses affections, elle était à même de mettre à profit une capacité de travail dans une activité adaptée, aient établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. En effet, l'expert a estimé qu'une activité ne nécessitant que l'usage du membre supérieur droit pouvait être envisagée, avis qui est partagé aussi bien par le docteur R._ dans sa note du 11 mai 2005 que par la doctoresse A._ dans l'avis médical SMR des 22 et 27 mars 2006. Certes, dans sa réponse à la question de savoir quelles positions et fonctions n'étaient plus exigibles, le docteur S._ a déclaré qu'il ne croyait pas qu'une telle activité existe. On relèvera toutefois que, sous l'angle de l'exigibilité (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 398), seul importe le fait que la recourante présentait au moment déterminant une capacité de travail entière dans une activité monomanuelle, activité qui peut raisonnablement être exigée de sa part sur le marché équilibré du travail, où les places de travail disponibles correspondent à l'offre de la main d'oeuvre (<ref-ruling> consid. 4b p. 276; arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] I 198/97 du 7 juillet 1998, consid. 3b in VSI 1998 p. 296; cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 346 s.). Sur ce point, le recours est mal fondé.
3.3 S'agissant du calcul du revenu d'invalide, l'office AI a considéré que dans une activité adaptée à ses problèmes de santé, soit une activité qu'elle ne devrait pas exercer les bras levés et dans laquelle elle ne devrait pas utiliser le membre supérieur gauche, elle serait encore en mesure d'obtenir un revenu de 2'400 fr., ce qui correspondait à une activité monomanuelle à 50 %. Selon une communication de la CNA du 12 janvier 2006 et une note interne de l'office AI du 8 février 2006, le revenu mensuel de 2'400 fr. a été calculé sur la base de cinq descriptions de postes de travail (DPT) en ce qui concerne une activité monomanuelle, compte tenu d'une baisse de rendement de 50 % en raison de l'impossibilité pour l'assurée d'utiliser son bras gauche. Sur le vu de ces éléments, qui ne sont nullement discutés par la recourante, il n'apparaît pas que les premiers juges, en se fondant sur un revenu moyen mensuel de 2'400 fr. (valeur 2005) pour calculer le revenu d'invalide, qu'ils ont fixé à 2'376 fr. par mois (valeur 2004) en tenant compte de l'évolution des salaires en 2005 (1 %), aient établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit.
En ce qui concerne le calcul du revenu sans invalidité, la recourante se limite à reprendre les faits allégués de première instance selon lesquels elle a travaillé de janvier à février 2002 au service de l'entreprise W._ SA en réalisant un revenu mensuel de 4'550 fr. et à en faire une appréciation différente de celle des premiers juges, lesquels ont fixé le revenu sans invalidité à 4'138 fr. 20 valeur 2004 (3'820 fr.x 8,33 %) sur la base de l'attestation de l'Hôtel Z._ du 3 mars 2005 indiquant un revenu (brut) probable de 3'820 fr. par mois en 2004. Dans cette mesure, son argumentation est manifestement insuffisante au regard des exigences légales de motivation (<ref-law>).
Compte tenu d'un revenu sans invalidité de 4'138 fr. 20 et d'un revenu d'invalide de 2'376 fr. par mois [valeur 2004]), la comparaison des revenus donne une invalidité de 43 % ([4'138 fr. 20 - 2'376 fr.] x 100 : 4'138 fr. 20), le taux de 42,6 % étant arrondi au pour cent supérieur (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 122 s.; SVR 2004 UV Nr. 12 p. 44), lequel confère le droit à un quart de rente. Même si l'on se fondait sur le salaire mensuel de 4'550 fr. (part du 13ème salaire comprise) réalisé par l'assurée auprès de l'entreprise W._ SA en janvier et février 2002, adapté à l'évolution des salaires en 2003 (1.2 %) et 2004 (0.7 %) dans les industries manufacturières (Tableau B10.2, La Vie économique 12-2008, p. 95), il en résulterait un revenu de 4'636 fr. 83 par mois (valeur 2004); la comparaison des revenus donnerait une invalidité de 49 % ([4'636 fr. 83 - 2'376 fr.] x 100 : 4'636 fr. 83), le taux de 48,75 % étant arrondi au pour cent supérieur, lequel confère le droit à un quart de rente. Le jugement attaqué est ainsi conforme au droit fédéral (<ref-law>, teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007). Le recours est dès lors mal fondé.
4. En application de l'art. 66 al. 1, 2ème phrase, LTF, il convient de renoncer à la perception des frais judiciaires, vu les circonstances. Non représentée par un avocat, la recourante, qui succombe, ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>). Sa requête d'assistance judiciaire, où elle ne demande pas qu'un avocat lui soit attribué, est dès lors sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 31 mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner