A.- A._, domicilié dans le canton de Genève, a demandé en 1997 à l'administration de ce canton une aide financière pour lui permettre de suivre les cours de la faculté de droit de l'Université de Fribourg. La Commission des allocations spéciales, instituée par la loi cantonale genevoise sur l'encouragement aux études, a statué sur cette demande le 5 janvier 1998, en proposant d'accorder un prêt à certaines conditions, pour l'année académique 1997/1998.
A._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif de la République et canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif). Ce recours a été rejeté par un arrêt rendu le 1er septembre 1998.
Le juge délégué à l'instruction de cette affaire, au sein du Tribunal administratif, était Mme le Juge X._, laquelle avait entendu le recourant lors de l'audience de comparution personnelle du 26 juin 1998.
B.- Le 26 octobre 1998, A._ a adressé au Tribunal administratif une "demande de reconsidération" de l'arrêt du 1er septembre 1998.
Invité par le Tribunal administratif à répondre, le Service cantonal des allocations d'études et d'apprentissage (SAEA) s'est déterminé le 16 novembre 1998. Le même jour, A._ a déposé un mémoire complémentaire. Un nouveau délai de déterminations a été fixé au service précité, qui en a demandé la prolongation le 5 janvier 1999; son mémoire a été déposé le 19 janvier 1999.
Le Tribunal administratif a statué sur la "demande de reconsidération", traitée comme une demande de révision, par un arrêt rendu le 2 février 1999. Il l'a déclarée irrecevable, aucun motif de révision n'ayant été clairement invoqué par A._. Mme le Juge X._ était membre de la cour qui a pris cette décision. L'arrêt du 2 février 1999 a été communiqué aux parties le 5 février 1999.
C.- Par lettre du 1er février 1999, mise à la poste le jour même, A._ a demandé à Mme le Juge X._ de se récuser dans la procédure concernant sa demande d'aide financière. Il reprochait à ce magistrat un manque d'impartialité, en invoquant l'attitude adoptée à son égard lors de l'audience de comparution personnelle du 26 juin 1998 et les conditions de prolongation du dernier délai fixé au Service cantonal des allocations d'études et d'apprentissage (prolongation accordée de façon prétendument irrégulière le 5 janvier 1999).
La demande de récusation de Mme le Juge X._ a été simultanément transmise au Président du Tribunal administratif.
Ces deux lettres ont été reçues au Tribunal administratif le 2 février 1999. Il n'en a pas été fait mention dans l'arrêt rendu ce même jour.
Le 5 février 1999, le Président du Tribunal administratif a écrit à A._, en répondant à la demande de récusation dans les termes suivants: "Lorsque le Tribunal administratif statuera sur les mérites de votre recours, il le fera dans une composition qui ne comprendra pas Mme X._".
D.- Le 8 mars 1999, A._ a adressé au Tribunal administratif une "demande en annulation" de l'arrêt du 2 février 1999. Il y a retracé les différentes étapes de la procédure administrative et judiciaire depuis le dépôt de sa demande d'aide financière, en présentant divers griefs, notamment à l'encontre d'actes d'instruction pris par Mme le Juge X._.
Le Tribunal administratif - dans une composition ne comprenant pas le magistrat précité - a statué sur cette "demande en annulation" par un arrêt rendu le 22 juin 1999. Il a traité cette demande comme une demande de révision de l'arrêt du 2 février 1999 et il l'a déclarée irrecevable. Il s'est prononcé exclusivement sur la question de la récusation de Mme le Juge X._, en considérant en substance que la requête de A._ à cet égard était tardive.
E.- Agissant par la voie du recours de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 22 juin 1999, afin que le Tribunal administratif statue à nouveau en donnant suite à sa demande de récusation, en ordonnant une nouvelle comparution des parties et en prenant en considération l'ensemble de ses griefs. Il se plaint de la violation de nombreuses garanties formelles du droit constitutionnel (art. 4 et 58 aCst. , art. 6 par. 1 CEDH) et du droit cantonal de procédure.
Invité à répondre au recours, le Tribunal administratif se réfère simplement à son arrêt.
F.- Le recourant demande l'assistance judiciaire (cf. art. 152 OJ). Il requiert en outre d'être admis à comparaître et à s'exprimer lors d'une audience publique du Tribunal fédéral.

Considérant en droit :
1.- Le Tribunal fédéral statue en l'espèce par voie de circulation, sans audience en délibération, conformément à la règle de l'art. 36b OJ applicable en cas d'unanimité des membres de la Cour. Il n'y a aucun motif d'y déroger.
2.- Seul l'arrêt rendu le 22 juin 1999 par le Tribunal administratif fait l'objet du recours de droit public. Les deux arrêts précédents rendus dans la même cause, le 1er septembre 1998 et le 2 février 1999, ne peuvent pas être revus. Ils n'ont au reste pas été attaqués devant le Tribunal fédéral dans le délai légal de trente jours dès leur communication (art. 89 al. 1 OJ).
3.- Le recourant se plaint d'un déni de justice formel car la plupart de ses griefs, concernant le fond de l'affaire ou la procédure suivie par les autorités compétentes aux différents stades, n'ont pas été examinés dans l'arrêt attaqué. Il fait valoir que son mémoire, à l'appui de sa "demande en annulation", remplissait les conditions formelles énoncées aux art. 57 ss de la loi cantonale genevoise sur la procédure administrative (LPA) pour la recevabilité des recours au Tribunal administratif.
Dans l'arrêt attaqué, le Tribunal administratif, saisi d'une "demande en annulation" - notion inconnue de la législation cantonale sur la juridiction administrative - a examiné la recevabilité de cet acte au regard des dispositions régissant la révision (art. 80 ss LPA). Il a donc considéré, implicitement, qu'il n'y avait pas d'autre voie ouverte devant lui - a fortiori celle du recours, recevable contre une décision d'une autorité administrative inférieure - pour remettre en cause un arrêt définitif rendu précédemment dans la même affaire. Cette conclusion est manifestement juste.
Le refus de traiter la "demande en annulation" comme un nouveau recours ne constitue donc pas un déni de justice formel.
Le recourant ne prétend par ailleurs pas, au sujet de ses griefs non évoqués dans la décision attaquée, qu'ils rempliraient les exigences spéciales de recevabilité prévues pour la procédure de révision (art. 80 et 81 LPA; cf. consid. 1 de l'arrêt du Tribunal administratif du 2 février 1999).
4.- Dans l'arrêt attaqué, le Tribunal administratif a examiné si la participation de Mme le Juge X._ à des décisions précédentes dans cette affaire pouvait justifier l'entrée en matière sur une demande de révision de l'arrêt du 2 février 1999. Il a cependant conclu, en définitive, qu'aucun des arguments de la "demande en annulation" ne représentait un motif de révision, d'où l'irrecevabilité de cette demande.
Ainsi, le Tribunal administratif s'est implicitement référé au motif de l'art. 80 let. e LPA, qui prévoit qu'il y a lieu à révision lorsque, dans une affaire réglée par une décision définitive, il apparaît que les dispositions sur la récusation ont été violées. Il a cependant considéré, en substance, que jusqu'au prononcé de son arrêt du 2 février 1999, le magistrat concerné n'avait pas à se récuser en l'absence d'une demande présentée en temps utile, conformément aux prescriptions formelles des art. 96 ss de la loi cantonale sur l'organisation judiciaire (LOJ). Le Tribunal administratif a en effet retenu que, si le recourant entendait invoquer l'attitude de ce magistrat lors de l'audience de comparution personnelle précédant l'arrêt du 1er septembre 1998, il aurait dû le faire au plus tard dans sa demande de révision de cet arrêt-là; s'il voulait critiquer, sous cet angle, une prolongation de délai accordée le 5 janvier 1999 à l'autorité intimée - prolongation dont il admet avoir été informé déjà le 6 janvier 1999 - il aurait dû le faire dès qu'il en avait acquis connaissance (art. 96 al. 2 LOJ) et non pas quelques semaines plus tard (cf. , dans la jurisprudence fédérale, <ref-ruling> consid. 5a p. 228/229; <ref-ruling> consid. 1a p. 388; cf. aussi 122 I 97 consid. 3a/aa p. 99 in fine).
Le recourant développe différents arguments au sujet de la prétendue partialité du magistrat concerné, mais il ne discute pas l'interprétation des règles formelles applicables à une demande de récusation. En particulier, il ne cherche pas à démontrer qu'il n'aurait pas agi de manière tardive, voire qu'il aurait été empêché de présenter sa demande de récusation en temps utile. Or c'est le point décisif pour le sort de la demande de révision. Dans la procédure du recours de droit public, l'art. 90 al. 1 let. b OJ requiert un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés, précisant en quoi consiste la violation; il en résulte que le Tribunal fédéral n'examine que les griefs présentés de manière claire et détaillée (cf. <ref-ruling> consid. 1c p. 76; <ref-ruling> consid. 4a p. 270, 122 I 70 consid. 1c p. 73 et les arrêts cités). Cette condition de recevabilité n'est, à l'évidence, pas remplie en l'espèce.
Il importe au demeurant peu, comme cela est exposé dans l'arrêt attaqué, que le Président du Tribunal administratif se soit prononcé en faveur de la récusation de Mme le Juge X._ postérieurement à l'arrêt dont la révision était demandée. Cela ne change rien à l'interprétation des règles de forme que, selon l'arrêt attaqué, le recourant aurait dû observer.
5.- Il s'ensuit que le recours de droit public est rejeté, en tant qu'il est recevable.
Vu la situation financière et professionnelle particulière du recourant, il n'y a pas lieu de percevoir un émolument judiciaire. La demande d'assistance judiciaire devient ainsi sans objet.

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours de droit public, en tant qu'il est recevable;
2.Ditqu'iln'estpasperçud'émolumentjudiciaireetdéclaresansobjetlademanded'assistancejudiciaire;
3. Communique le présent arrêt en copie au recourant et au Tribunal administratif de la République et canton de Genève.
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Lausanne, le 10 janvier 2000
JIA/col
Au nom de la Ie Cour de droit public
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président, Le Greffier,