(unentgeltliche Rechtspflege), hat sich ergeben:
A.-Mit Verfügung vom 22. November 2000 erliess der Präsident des Amtsgerichts Solothurn-Lebern im Scheidungsverfahren der Eheleute Z._ und Y._ vorsorgliche Massnahmen; das Gesuch von Z._ um unentgeltliche Rechtspflege für das besagte Verfahren wies er ab, verpflichtete den Ehemann aber, der Ehefrau einen angemessenen Kostenvorschuss von Fr. 3'000.-- zu bezahlen. Mit Verfügungen vom 9. März und 17. Mai 2001 sprach er der Ehefrau weitere Prozesskostenvorschüsse von Fr. 4'000.-- bzw. 3'000.-- zu. Auf Begehren der Ehefrau pfändete das Betreibungsamt A._ mit Verfügung vom 4. Juli 2001 den Betrag von Fr. 290.-- vom Lohn des Ehemannes.
B.-Am 1. Juni 2001 hielt der Präsident des Amtsgerichts Z._ dazu an, bis zum 13. Juli 2001 einen ersten vorläufigen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zu leisten. Ein weiteres Gesuch von Z._ um unentgeltliche Rechtspflege wies der Amtsgerichtspräsident mit Verfügung vom 3. Juli 2001 ab. Dem hiergegen erhobenen Rekurs der Gesuchstellerin gab das Obergericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 25. September 2001 nicht statt.
C.-Mit rechtzeitiger staatsrechtlicher Beschwerde beantragt die Gesuchstellerin, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben; für das Verfahren vor Bundesgericht sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Das Obergericht ersucht um Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde unter Hinweis auf die Akten und die Motive des angefochtenen Entscheides.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-Auf die staatsrechtliche Beschwerde ist von vornherein nicht einzutreten, soweit die Beschwerdeführerin ohne jeden Bezug zum angefochtenen Entscheid argumentiert und einfach in appellatorischer Weise behauptet, sie sei bedürftig.
Damit legt sie nicht in einer Art. 90 Abs. 1 lit. b OG entsprechenden Weise dar, inwiefern das Obergericht die Bundesverfassung verletzt haben könnte (<ref-ruling> E. d S. 201; <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 4a, mit Hinweisen).
2.-Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht vor, zu Unrecht die Bedürftigkeit verneint zu haben; sie begründet ihre Kritik im Wesentlichen damit, das Obergericht habe ohne jeden ersichtlichen Grund und in Verletzung von <ref-law> bzw. von <ref-law>/SO dem wesentlichen Umstand nicht Rechnung getragen, dass sie (die Beschwerdeführerin) selbst nach Zahlung der Alimentenschulden und Parteikostenvorschüsse nicht über genügend freie Mittel verfüge, um den verlangten Gerichtskostenvorschuss zu bezahlen.
a) Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern <ref-law>/SO ihr einen besseren Rechtsschutz gewährt als die Bundesverfassung, weshalb die Beschwerde einzig unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> zu behandeln ist (<ref-ruling> E. 2). Dabei prüft das Bundesgericht frei, ob die Kriterien zur Bestimmung der Bedürftigkeit zutreffend gewählt worden sind, während seine Kognition in Bezug auf die tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Behörde auf Willkür beschränkt ist (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3a S. 12 mit Hinweis, <ref-law> betreffend).
b) Nach der Rechtsprechung zu <ref-law>, die sich ohne weiteres auf <ref-law> übertragen lässt, gilt als bedürftig, wer die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne die Mittel anzugreifen, deren er zur Deckung des notwendigen Lebensunterhaltes für sich und seine Familie bedarf. Dabei sind die Einkommens- und Vermögensverhältnisse in Betracht zu ziehen (<ref-ruling> E. 3a S. 181 mit Hinweisen). Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation des Rechtssuchenden im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs. Dazu gehören einerseits sämtliche finanziellen Verpflichtungen, anderseits die Einkommens- und Vermögensverhältnisse (<ref-ruling> E. 3a S. 181; <ref-ruling> E. 2a S. 2, je mit Hinweisen). Bei der Ermittlung des notwendigen Lebensunterhaltes soll nicht schematisch auf das betreibungsrechtliche Existenzminimum abgestellt, sondern den individuellen Umständen Rechnung getragen werden. Ein allfälliger Überschuss zwischen dem zur Verfügung stehenden Einkommen und dem Zwangsbedarf des Gesuchstellers ist mit den für den konkreten Fall zu erwartenden Gerichts- und Anwaltskosten in Beziehung zu setzen (<ref-ruling> E. 4a S. 370 f.). So sollte die gesuchstellende Partei mit dem ihr verbleibenden Überschuss in der Lage sein, die anfallenden Gerichts- und Anwaltskostenvorschüsse innert absehbarer Zeit zu leisten (<ref-ruling> E. 3a S. 9 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 4a S. 370 f.).
c) Das Obergericht vertritt im angefochtenen Entscheid den Standpunkt, eheliche Unterstützungspflichten gemäss <ref-law> würden der Finanzierung des Gerichtsverfahrens durch den Staat vorgehen. In seinen Verfügungen vom 22. November 2000, 9. März und 17. Mai 2001 habe der Amtsgerichtspräsident den Ehemann zu Parteikostenvorschüssen verpflichtet, und die Beschwerdeführerin habe ihrer Pflicht entsprechend auch versucht, die Vorschüsse auf dem Weg der Zwangsvollstreckung einzutreiben. Laut der Pfändungsurkunde des Betreibungsamtes A._ vom 4. Juli 2001 habe sie eine Pfändung des Lohnes des Ehemannes von Juni 2001 bis Mai 2002 erwirkt, wobei sie mit der ihr offenbar allein zufliessenden Quote in der Lage sei, die anfallenden Kosten teilweise zu begleichen; einer weiteren Zwangsvollstreckung nach Ablauf des Jahres stehe nichts im Wege.
Das Obergericht verweist in seinem Entscheid einerseits auf die Verfügung des Amtsgerichtspräsidenten vom 22. November 2000, woraus sich ergibt, dass der Beschwerdeführerin und den Kindern ein Unterhaltsbeitrag von total Fr. 2'850.-- plus Kinderzulagen zugesprochen worden ist, welcher das Existenzminimum dieses Haushaltes von Fr. 3'296.-- nicht deckt. Als erstellt gilt ausserdem, dass die Beschwerdeführerin mit dem ihr persönlich zufallenden Anteil am Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'250.-- keine Gerichtskosten begleichen kann; ihr persönlicher Grundbedarf beträgt Fr. 1'010.--; zudem hat sie auch die Mietkosten von Fr. 1'240.-- zum grössten Teil aus ihrem persönlichen Unterhaltsbeitrag zu tragen, da ja nur ein geringer Prozentsatz dieser Kosten aus dem Unterhaltsbeitrag der Kinder finanziert werden kann (vgl. dazu: nicht veröffentlichter Entscheid des Bundesgerichts vom 3. März 1992 i.S. K., E. 3b [5C. 119/1991]).
Anderseits erhellt aus der vom Obergericht erwähnten Pfändungsurkunde, dass der Lohn des Ehemannes nur gerade im Umfang von Fr. 290.-- pro Monat zu Gunsten der Beschwerdeführerin gepfändet wurde. Dass der Ehemann vor Einleitung des Betreibungsverfahrens einen Teil der Parteikostenvorschüsse bezahlt hätte, lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen. Mit dem gepfändeten Betrag von Fr. 290.-- ist die Beschwerdeführerin aber nicht in der Lage, innert angemessener Frist den ihr auferlegten Gerichtskostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zu zahlen, geschweige denn die im Falle einer Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege wohl ebenfalls anstehenden Anwaltskostenvorschüsse zu leisten; dies dürfte umso weniger der Fall sein, als nach den obergerichtlichen Ausführungen die Vermögensverhältnisse der Beschwerdeführerin bezüglich des Liegenschaftsvermögens umstritten sind. Zusammenfassend ergibt sich demnach, dass das Obergericht die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin zu Unrecht verneint hat.
d) Das Obergericht weist darauf hin, die Beschwerdeführerin habe sich mit den Kindern nach Ungarn abgesetzt, weshalb sich die Frage aufdränge, ob dieser Umstand angesichts des mit Verbissenheit geführten Scheidungsprozesses die Prozessführung nicht als mutwillig erscheinen lasse. Dazu gilt es einmal zu bemerken, dass sich das Obergericht nicht veranlasst gesehen hat, deswegen die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin in Frage zu stellen. Dem angefochtenen Entscheid lassen sich zumindest keine entsprechenden Sachverhaltsfeststellungen entnehmen. Inwiefern das Scheidungsverfahren infolge des Wegzuges der Beschwerdeführerin als mutwillig anzusehen wäre, ist nicht ersichtlich.
3.-Die staatsrechtliche Beschwerde ist somit gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann, und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Dem Kanton, der nicht eigene Interessen vertreten hat, können keine Gerichtskosten auferlegt werden (Art. 156 Abs. 2 OG). Hingegen hat er die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 2 OG), womit deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.-Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Solothurn, Zivilkammer, vom 25. September 2001 wird aufgehoben.
2.-Es wird keine Gerichtsgebühr erhoben.
3.-Der Kanton Solothurn hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.-Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 11. Dezember 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung des
SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: