Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. A.a A._, geboren 1936, war als Betreuerin bei den Strafanstalten X._ tätig und über den Arbeitgeber bei den Berner Versicherungen (heute: Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft; nachfolgend: Allianz) obligatorisch gegen Unfall versichert. Am 10. September 1997 wurde sie in einen Verkehrsunfall verwickelt. Sie konsultierte am gleichen Tag Dr. med. B._, Facharzt FMH für Allgemeine Medizin. Dieser diagnostizierte eine Schleuderverletzung der HWS nach Auffahrkollision mit Nacken-/ Schulter-/Armsyndrom und ein zervikozephales Schmerzsyndrom und wies dabei auf vorbestehende degenerative Veränderungen hin (Arztzeugnis vom 24. Oktober 1997). Im "Zusatzfragebogen bei HWS-Verletzung" gab er am 22. Januar 1998 Schwindel nach einer Stunde, sofortige Übelkeit, Erbrechen, Spontanschmerz Nacken rechts resp. links eine halbe Stunde nach dem Unfallereignis, Ausstrahlungen in Schulter und Arm nach 24 Stunden sowie Sensibilitätsstörungen Arm/Hand links nach 24 Stunden an. Vom 14. April bis 12. Mai 1998 und vom 31. August bis 28. September 1999 hielt sich A._ in der Rheuma- und Rehabilitationsklinik Y._ auf. Im Austrittsbericht nach dem zweiten Rehabilitationsaufenthalt gaben die Klinikärzte an, es bestehe ein zervikobrachiales/-zephales Schmerzsyndrom bei Status nach HWS-Distorsionstrauma im September 1997. Die radiologisch dargestellten Veränderungen an der Wirbelsäule seien dafür nur teilweise verantwortlich. Eine Hauptkomponente bestehe in der muskulären Dysbalance mit Muskelhartspann, auf Grund derer es wahrscheinlich zu Ausstrahlungen in den Arm und in den Hinterkopf komme (Bericht vom 7. Oktober 1999).
Bereits zuvor lehnte die Allianz mit Verfügung vom 22. Oktober 1998 ihre Leistungspflicht über den Zeitpunkt des ersten Austritts aus der Rehabilitationsklinik am 12. Mai 1998 hinaus mit der Begründung ab, es habe sich beim Ereignis vom 10. September 1997 zwar um einen Unfall gehandelt, der Status quo sine sei aber am 12. Mai 1998 erreicht worden, und nach diesem Zeitpunkt sei die Behandlungsbedürftigkeit nicht mehr - auch nicht teilweise - auf posttraumatische Veränderungen zurückzuführen. Dagegen erhoben die Visana Krankenkasse und A._ Einsprache, worauf die Allianz die Verfügung in Wiedererwägung zog. Sie entschied, die Heilungskosten auch über den 12. Mai 1998 hinaus zu übernehmen, aber ab dem 1. April 1998 keine Taggeldleistungen mehr zu erbringen (Verfügung vom 5. Februar 1999). Gegen diese Verfügung erfolgten keine Einsprachen.
A.b Am 22. Februar 2000 wurde A._ ambulant in der Schmerzsprechstunde der Psychiatrischen Poliklinik des Spitals E._ untersucht. Prof. Dr. med. R._ und Frau Dr. med. O._ stellten die Differenzialdiagnose einer sich entwickelnden Depression (Bericht vom 5. Juli 2000). Dr. med. Z._, Facharzt für Neurochirurgie FMH, sprach sich in dem im Auftrag der Allianz erstellten Gutachten vom 26. Juli 2000 dafür aus, dass in Übereinstimmung mit dem Entscheid der Allianz, die Leistungen ab 12. Mai 1998 (d.h. nach dem ersten Austritt aus der Rheuma- und Rehabilitationsklinik Y._) einzustellen, der Status quo ante oder quo sine nach acht Monaten als erreicht erachtet werden könne.
Gestützt darauf erliess die Allianz am 16. Februar 2001 eine neue Verfügung, in welcher sie festhielt, ihre Leistungspflicht als obligatorischer Unfallversicherer aus dem Ereignis vom 10. September 1997 sei zwar begründet gewesen, seit dem 12. Mai 1998 bestehe aber mangels eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen den anhaltenden Beschwerden und dem Unfall kein Anspruch mehr auf die gesetzlichen Leistungen der Unfallversicherung. Dagegen erhoben die Visana Krankenkasse und A._ Einsprache. In dem auf Antrag und in Absprache mit der Versicherten veranlassten interdisziplinären Gutachten der MEDAS vom 17. Juli 2002 wurde festgehalten, der Unfall vom 10. September 1997 habe zu einer richtunggebenden Verschlimmerung bestehender Beschwerden geführt; das zervikozephale Syndrom mit begleitendem Thoracic Outlet Syndrome (TOS) und psychiatrischen Störungen stellten mit überwiegender Wahrscheinlichkeit Unfallfolgen dar. In der Folge beauftragte die Allianz Dr. med. T._, Spezialarzt FMH für Neurochirurgie, mit der Erstellung eines Aktengutachtens (Expertise vom 11. April 2003). Am 10. Juni 2003 wies die Allianz die Einsprachen ab.
Gestützt darauf erliess die Allianz am 16. Februar 2001 eine neue Verfügung, in welcher sie festhielt, ihre Leistungspflicht als obligatorischer Unfallversicherer aus dem Ereignis vom 10. September 1997 sei zwar begründet gewesen, seit dem 12. Mai 1998 bestehe aber mangels eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen den anhaltenden Beschwerden und dem Unfall kein Anspruch mehr auf die gesetzlichen Leistungen der Unfallversicherung. Dagegen erhoben die Visana Krankenkasse und A._ Einsprache. In dem auf Antrag und in Absprache mit der Versicherten veranlassten interdisziplinären Gutachten der MEDAS vom 17. Juli 2002 wurde festgehalten, der Unfall vom 10. September 1997 habe zu einer richtunggebenden Verschlimmerung bestehender Beschwerden geführt; das zervikozephale Syndrom mit begleitendem Thoracic Outlet Syndrome (TOS) und psychiatrischen Störungen stellten mit überwiegender Wahrscheinlichkeit Unfallfolgen dar. In der Folge beauftragte die Allianz Dr. med. T._, Spezialarzt FMH für Neurochirurgie, mit der Erstellung eines Aktengutachtens (Expertise vom 11. April 2003). Am 10. Juni 2003 wies die Allianz die Einsprachen ab.
B. Mit Entscheid vom 16. Juli 2004 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die von A._ erhobene Beschwerde in dem Sinne gut, dass der Einspracheentscheid vom 10. Juni 2003 aufgehoben und die Sache an die Allianz zurückgewiesen wurde, damit diese über die gesetzlichen Ansprüche verfüge.
B. Mit Entscheid vom 16. Juli 2004 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die von A._ erhobene Beschwerde in dem Sinne gut, dass der Einspracheentscheid vom 10. Juni 2003 aufgehoben und die Sache an die Allianz zurückgewiesen wurde, damit diese über die gesetzlichen Ansprüche verfüge.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Allianz die Aufhebung des kantonalen Entscheides.
Während A._ und die Vorinstanz auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Bei der Prüfung eines allfälligen schon vor dem In-Kraft-Treten des ATSG auf den 1. Januar 2003 entstandenen Anspruchs auf Leistungen der Unfallversicherung sind die allgemeinen intertemporalrechtlichen Regeln heranzuziehen, gemäss welchen - auch bei einer Änderung der gesetzlichen Grundlagen - grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei Verwirklichung des zu Rechtsfolgen führenden Sachverhalts galten. Demzufolge ist der Leistungsanspruch für die Zeit bis 31. Dezember 2002 auf Grund der bisherigen und ab diesem Zeitpunkt nach den neuen Normen zu prüfen (<ref-ruling> Erw. 1 mit Hinweisen).
1. Bei der Prüfung eines allfälligen schon vor dem In-Kraft-Treten des ATSG auf den 1. Januar 2003 entstandenen Anspruchs auf Leistungen der Unfallversicherung sind die allgemeinen intertemporalrechtlichen Regeln heranzuziehen, gemäss welchen - auch bei einer Änderung der gesetzlichen Grundlagen - grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei Verwirklichung des zu Rechtsfolgen führenden Sachverhalts galten. Demzufolge ist der Leistungsanspruch für die Zeit bis 31. Dezember 2002 auf Grund der bisherigen und ab diesem Zeitpunkt nach den neuen Normen zu prüfen (<ref-ruling> Erw. 1 mit Hinweisen).
2. Das kantonale Gericht hat die Rechtsprechung zum für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers (<ref-law>) vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfallereignis und eingetretenem Gesundheitsschaden (<ref-ruling> Erw. 3.1 mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die vorinstanzlichen Erwägungen zum weiteren Erfordernis des adäquaten Kausalzusammenhangs (<ref-ruling>, 125 V 461 Erw. 5a mit Hinweisen) bei Folgen eines Unfalles mit Schleudertrauma der HWS, Schädel-Hirntrauma oder einem Schleudertrauma äquivalenten Verletzungen ohne organisch (hinreichend) nachweisbare Funktionsausfälle (<ref-ruling>, 117 V 359, 369). Gleiches gilt mit Bezug auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu dem im Sozialversicherungsrecht regelmässig massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> Erw. 5b mit Hinweisen; SVR 2003 IV Nr. 11 S. 32 Erw. 1), zur Beweislast bei einer anspruchsaufhebenden Tatfrage (vgl. Erw. 3.1 hienach) sowie zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> Erw. 3a). Darauf wird verwiesen.
2. Das kantonale Gericht hat die Rechtsprechung zum für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers (<ref-law>) vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfallereignis und eingetretenem Gesundheitsschaden (<ref-ruling> Erw. 3.1 mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die vorinstanzlichen Erwägungen zum weiteren Erfordernis des adäquaten Kausalzusammenhangs (<ref-ruling>, 125 V 461 Erw. 5a mit Hinweisen) bei Folgen eines Unfalles mit Schleudertrauma der HWS, Schädel-Hirntrauma oder einem Schleudertrauma äquivalenten Verletzungen ohne organisch (hinreichend) nachweisbare Funktionsausfälle (<ref-ruling>, 117 V 359, 369). Gleiches gilt mit Bezug auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu dem im Sozialversicherungsrecht regelmässig massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> Erw. 5b mit Hinweisen; SVR 2003 IV Nr. 11 S. 32 Erw. 1), zur Beweislast bei einer anspruchsaufhebenden Tatfrage (vgl. Erw. 3.1 hienach) sowie zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> Erw. 3a). Darauf wird verwiesen.
3. Wird durch einen Unfall ein krankhafter Vorzustand verschlimmert oder überhaupt erst manifest, entfällt die Leistungspflicht des Unfallversicherers erst, wenn der Unfall nicht die natürliche und adäquate Ursache des Gesundheitsschadens darstellt, wenn also Letzterer nur noch und ausschliesslich auf unfallfremden Ursachen beruht. Dies trifft dann zu, wenn entweder der (krankhafte) Gesundheitszustand, wie er unmittelbar vor dem Unfall bestanden hat (Status quo ante), oder aber derjenige Zustand, wie er sich nach dem schicksalsmässigen Verlauf eines krankhaften Vorzustandes auch ohne Unfall früher oder später eingestellt hätte (Status quo sine), erreicht ist (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 328 Erw. 3b, 1992 Nr. U 142 S. 75 Erw. 4b, je mit Hinweisen). Ebenso wie der leistungsbegründende natürliche Kausalzusammenhang muss das Dahinfallen jeder kausalen Bedeutung von unfallbedingten Ursachen eines Gesundheitsschadens mit dem im Sozialversicherungsrecht allgemein üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sein. Die blosse Möglichkeit nunmehr gänzlich fehlender ursächlicher Auswirkungen des Unfalles genügt nicht. Da es sich hierbei um eine anspruchsaufhebende Tatfrage handelt, liegt die Beweislast - anders als bei der Frage, ob ein leistungsbegründender natürlicher Kausalzusammenhang gegeben ist - nicht bei der versicherten Person, sondern beim Unfallversicherer (RKUV 2000 Nr. U 363 S. 46 Erw. 2, 1994 Nr. U 206 S. 329 Erw. 3b, 1992 Nr. U 142 S. 76 Erw. 4b). Der Beweis des Wegfalls des natürlichen Kausalzusammenhangs muss nicht durch den Nachweis unfallfremder Ursachen erbracht werden. Ebenso wenig geht es darum, vom Unfallversicherer den negativen Beweis zu verlangen, dass kein Gesundheitsschaden mehr vorliege oder die versicherte Person nun bei voller Gesundheit sei. Entscheidend ist allein, ob unfallbedingte Ursachen des Gesundheitsschadens ihre kausale Bedeutung verloren haben, also dahingefallen sind (Urteil L. vom 25. Oktober 2002, U 143/02, Erw. 3.2).
3. Wird durch einen Unfall ein krankhafter Vorzustand verschlimmert oder überhaupt erst manifest, entfällt die Leistungspflicht des Unfallversicherers erst, wenn der Unfall nicht die natürliche und adäquate Ursache des Gesundheitsschadens darstellt, wenn also Letzterer nur noch und ausschliesslich auf unfallfremden Ursachen beruht. Dies trifft dann zu, wenn entweder der (krankhafte) Gesundheitszustand, wie er unmittelbar vor dem Unfall bestanden hat (Status quo ante), oder aber derjenige Zustand, wie er sich nach dem schicksalsmässigen Verlauf eines krankhaften Vorzustandes auch ohne Unfall früher oder später eingestellt hätte (Status quo sine), erreicht ist (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 328 Erw. 3b, 1992 Nr. U 142 S. 75 Erw. 4b, je mit Hinweisen). Ebenso wie der leistungsbegründende natürliche Kausalzusammenhang muss das Dahinfallen jeder kausalen Bedeutung von unfallbedingten Ursachen eines Gesundheitsschadens mit dem im Sozialversicherungsrecht allgemein üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sein. Die blosse Möglichkeit nunmehr gänzlich fehlender ursächlicher Auswirkungen des Unfalles genügt nicht. Da es sich hierbei um eine anspruchsaufhebende Tatfrage handelt, liegt die Beweislast - anders als bei der Frage, ob ein leistungsbegründender natürlicher Kausalzusammenhang gegeben ist - nicht bei der versicherten Person, sondern beim Unfallversicherer (RKUV 2000 Nr. U 363 S. 46 Erw. 2, 1994 Nr. U 206 S. 329 Erw. 3b, 1992 Nr. U 142 S. 76 Erw. 4b). Der Beweis des Wegfalls des natürlichen Kausalzusammenhangs muss nicht durch den Nachweis unfallfremder Ursachen erbracht werden. Ebenso wenig geht es darum, vom Unfallversicherer den negativen Beweis zu verlangen, dass kein Gesundheitsschaden mehr vorliege oder die versicherte Person nun bei voller Gesundheit sei. Entscheidend ist allein, ob unfallbedingte Ursachen des Gesundheitsschadens ihre kausale Bedeutung verloren haben, also dahingefallen sind (Urteil L. vom 25. Oktober 2002, U 143/02, Erw. 3.2).
4. Die Beschwerdeführerin hat am 5. Februar 1999 verfügt, dass sie über den 12. Mai 1998 hinaus die anfallenden Heilungskosten übernehme, dass hingegen ab 1. April 1998 keine Taggeldleistungen mehr erbracht würden. Diese Verfügung ist in Rechtskraft erwachsen. Demnach können von der Beschwerdegegnerin ab 1. April 1998 keine Taggeldleistungen mehr beansprucht werden. Nicht beurteilt worden ist jedoch in der Verfügung vom 5. Februar 1999 insbesondere der Anspruch auf Rentenleistungen und eine Integritätsentschädigung. Bei der Festlegung von Rentenleistungen ist nicht gleich wie bei den (rechtskräftig abgewiesenen) Taggeldleistungen vorzugehen. Vielmehr ist dort auf <ref-law> und angesichts des Alters der Beschwerdegegnerin im Unfallzeitpunkt auch auf <ref-law> abzustellen. Streitgegenstand des vorliegenden, mit dem Erlass der Verfügung vom 16. Februar 2001 eingeleiteten Verfahrens sind somit der Anspruch auf die in der Verfügung vom 5. Februar 1999 erwähnten Heilungskosten sowie auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung.
Es ist damit zu prüfen, ob die Beschwerdeführerin, die ihre Leistungspflicht im Anschluss an das Unfallereignis vom 10. September 1997 anerkannte, einen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den über den 12. Mai 1998 hinaus bestehenden Beschwerden zu Recht verneint hat. Da der Einspracheentscheid vom 10. Juni 2003 leistungsaufhebend ist, liegt die Beweislast für den Wegfall eines ursächlichen Zusammenhangs zwischen Unfall und Gesundheitsschaden bei der Beschwerdeführerin, d.h. sie hat so lange Versicherungsleistungen auszurichten, als nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit ein Dahinfallen der Kausalität erstellt ist.
Es ist damit zu prüfen, ob die Beschwerdeführerin, die ihre Leistungspflicht im Anschluss an das Unfallereignis vom 10. September 1997 anerkannte, einen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den über den 12. Mai 1998 hinaus bestehenden Beschwerden zu Recht verneint hat. Da der Einspracheentscheid vom 10. Juni 2003 leistungsaufhebend ist, liegt die Beweislast für den Wegfall eines ursächlichen Zusammenhangs zwischen Unfall und Gesundheitsschaden bei der Beschwerdeführerin, d.h. sie hat so lange Versicherungsleistungen auszurichten, als nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit ein Dahinfallen der Kausalität erstellt ist.
5. Dem Aktenbericht des Neurochirurgen Dr. med. T._ kommt kein ausreichender Beweiswert als Gutachten zu, weil er insbesondere nicht auf allseitigen Untersuchungen beruht. Die Beschwerdeführerin hat Dr. med. T._ nur mit der Beurteilung der Gutachten des Dr. med. Z._ und der MEDAS beauftragt, nicht aber mit einer eigenständigen Expertise.
5. Dem Aktenbericht des Neurochirurgen Dr. med. T._ kommt kein ausreichender Beweiswert als Gutachten zu, weil er insbesondere nicht auf allseitigen Untersuchungen beruht. Die Beschwerdeführerin hat Dr. med. T._ nur mit der Beurteilung der Gutachten des Dr. med. Z._ und der MEDAS beauftragt, nicht aber mit einer eigenständigen Expertise.
6. 6.1 Im 15-seitigen Gutachten des Neurochirurgen Dr. med. Z._ vom 26. Juli 2000, auf welches sich die Beschwerdeführerin bei ihrer Entscheidung abgestützt hat, wurden die Untersuchungsbefunde auf insgesamt viereinhalb Zeilen wiedergegeben, was die Beschwerdegegnerin bereits in der Einsprache vom 3. Mai 2001 beanstandete. Dies ist für ein Gutachten sehr knapp und es ist nicht anzunehmen, dass die von Dr. med. Z._ erstellte Expertise auf allseitigen Untersuchungen beruhte. Dafür hätte es der Schilderung detaillierter Untersuchungsergebnisse bedurft, wobei insbesondere auch auf die bei der Beschwerdegegnerin vorhandenen gesundheitlichen Einschränkungen hätte eingegangen werden müssen. Bei einem Gutachten, welches sich mit der Unfallkausalität einer HWS-Distorsion zu befassen hat, ist es wesentlich, anzugeben, wie die Beweglichkeit der HWS genau eingeschränkt ist. Der Befund "in allen Richtungen leicht eingeschränkt und schmerzhaft" lässt einen (zu) grossen Interpretationsspielraum offen. Auch das Gutachten des Neurochirurgen Dr. med. Z._ erfüllt somit nicht die von der Rechtsprechung gestellte Anforderung, auf allseitigen Untersuchungen zu beruhen.
6.2 Dr. med. Z._ stellte zudem die These auf, das von der Beschwerdegegnerin erlittene HWS-Trauma mit Beschleunigungsmechanismus entspreche einer HWS-Verletzung Grad I gemäss Quebec Task Force und heile in einem zeitlichen Rahmen von ein bis zwei Monaten ab. Er berief sich dabei auf die im Gutachten als Standardwerk angeführte Monografie der Quebec Task Force (Spitzer w.o. et al.: Scientific Monograph of the Quebec Task Force on Whiplash-Associated Disorders. Spine [1995] Nr. 85). Es ist zu berücksichtigen, dass diese Studie seinerzeit von einem Versicherer in Auftrag gegeben wurde. Die von der Quebec Task Force aufgestellte Behauptung, lediglich 1,9 % der Personen, die eine HWS-Distorsion erlitten hätten, würden nach einem Jahr noch an Beschwerden leiden, wurde unter Hinweis darauf, dass doch eine erheblich höhere Zahl von Personen nach einem Jahr erneut Beschwerden meldeten, in anderen wissenschaftlichen Publikationen in Frage gestellt (vgl. Harold Merskey, Research paradigms in psychosomatic medicine with special emphasis on "Whiplash" - Cervical Hyperextension Flexion Injury, in "Das so genannte Schleudertrauma" - Medizinische, biomechanische und rechtliche Aspekte der Distorsionen der Halswirbelsäule, herausgegeben von Erwin Murer/Peter Niederer/Bogdan Radanov/Alexandra Rumo-Jungo/Matthias Sturzenegger/Felix Walz, Bern 2002, S. 12). Es kann somit nicht von einem gesicherten Kenntnisstand ausgegangen werden, dass sich HWS-Distorsionen je nach Einteilung in entsprechende Kategorien innert doch kurzer Zeit mit einer vollständigen Beschwerdefreiheit präsentieren. So ist das von der Beschwerdegegnerin erlittene HWS-Trauma wegen den von Dr. med. Z._ selber festgestellten Bewegungseinschränkungen kaum dem Grad I, sondern dem Grad II zuzuordnen. Die grosse Mehrheit der Schleudertraumapatienten gehört zu den Gruppen I und II, deren Verletzungen mittels konventioneller Bildgebung nicht oder nur mit Schwierigkeiten erfassbar sind (vgl. A. Niedecker, B. Pernus, J. Hayek, T. Ettlin: Das "Schleudertrauma" der HWS: Wert moderner bildgebender Verfahren, in: Schweizerische medizinische Wochenschrift 1997, S. 1644). Es ist nicht anzunehmen, dass bei all diesen Patienten innert bestimmter Frist wieder ein Status quo ante erreicht ist. Vielmehr ist zu berücksichtigen, dass der natürliche Kausalzusammenhang zwischen Unfall und Arbeits- bzw. Erwerbsunfähigkeit in der Regel zu bejahen ist, wenn ein Schleudertrauma diagnostiziert ist und ein für diese Verletzung typisches Beschwerdebild mit einer Häufung von Beschwerden (wie diffuse Kopfschmerzen, Schwindel, Konzentrations- und Gedächtnisstörungen usw.) vorliegt (vgl. Alexandra Rumo-Jungo, Bundesgesetz über die Unfallversicherung, in: Murer/ Stauffer (Hrsg.), Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, 3. Aufl., Zürich 2003, S. 48). Würde man bei sämtlichen HWS-Distorsionen, bei welchen die Verletzungen mittels konventioneller Bildgebung nicht oder nur mit Schwierigkeiten erkennbar sind, innert weniger Monate den Status quo ante annehmen können, so würde dies letztlich zu einer starken Einschränkung der Anerkennung von Dauerbeschwerden bei HWS-Distorsionen führen, was sich mit der Rechtsprechung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts (vgl. Rumo-Jungo, a.a.O., S. 48) nicht vereinbaren liesse.
6.3 Dr. med. Z._ erwähnte in seinem Gutachten auch, dass die Beurteilung des Hausarztes Dr. med. B._ auf der Überlegung "Post hoc, propter hoc" beruhe. Dieser Vorwurf ist nicht berechtigt, denn immerhin wurden innerhalb der Latenzzeit von 72 Stunden (vgl. Rumo-Jungo, a.a.O. S. 49) die charakteristischen Merkmale einer HWS-Distorsion festgestellt, und schliesslich anerkannte auch Dr. med. Z._ das Vorliegen einer HWS-Distorsion. Ist das Vorliegen eines Schleudertraumas durch zuverlässige Angaben gesichert, und der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und der die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit einschränkenden Gesundheitsbeeinträchtigung auf Grund fachärztlicher Feststellung im konkreten Fall unbestritten, so kann die natürliche Kausalität in der Regel auch aus rechtlicher Sicht als erstellt gelten. Dabei genügt es, dass der Unfall mit überwiegender Wahrscheinlichkeit eine Teilursache der geklagten Beschwerden darstellt. Eine unfalltechnische oder biomechanische Analyse vermag allenfalls gewichtige Anhaltspunkte zur - einzig mit Blick auf die Adäquanzprüfung relevanten - Schwere des Unfallereignisses zu liefern, sie bildet jedoch in keinem Fall eine hinreichende Grundlage für die Kausalitätsbeurteilung (vgl. RKUV 2003 Nr. U 489 S. 358 Erw. 3.2 mit Hinweisen). Auch die von Dr. med. Z._ bei psychischen Veränderungen erwähnten Schweregrade des Unfalls nach UVG, die nach seiner Beurteilung Berücksichtigung finden müssten, haben nichts mit der (medizinischen) Beurteilung des natürlichen Kausalzusammenhangs durch den Arzt zu tun, sondern beschlagen die (rechtliche) Adäquanzprüfung durch die Versicherung und die Gerichte. Wenn ein Arzt wie hier Dr. med. Z._ aber Begriffe aufführt und auf deren Relevanz hinweist, die nicht die natürliche Kausalität betreffen, wird die Aussagekraft eines Gutachtens noch zusätzlich relativiert, denn es ist dann nicht mehr klar erkennbar, ob der Experte Beurteilungen in seine Überlegungen mit einbezieht, die mit der natürlichen Kausalität gar nichts zu tun haben. Die von Dr. med. Z._ gezogenen Schlussfolgerungen basieren somit nicht auf gesicherten wissenschaftlichen Erkenntnissen und damit kann sein Befund, nach acht Monaten liege wieder der Status quo ante oder quo sine vor, nicht als begründet qualifiziert werden.
6.3 Dr. med. Z._ erwähnte in seinem Gutachten auch, dass die Beurteilung des Hausarztes Dr. med. B._ auf der Überlegung "Post hoc, propter hoc" beruhe. Dieser Vorwurf ist nicht berechtigt, denn immerhin wurden innerhalb der Latenzzeit von 72 Stunden (vgl. Rumo-Jungo, a.a.O. S. 49) die charakteristischen Merkmale einer HWS-Distorsion festgestellt, und schliesslich anerkannte auch Dr. med. Z._ das Vorliegen einer HWS-Distorsion. Ist das Vorliegen eines Schleudertraumas durch zuverlässige Angaben gesichert, und der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und der die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit einschränkenden Gesundheitsbeeinträchtigung auf Grund fachärztlicher Feststellung im konkreten Fall unbestritten, so kann die natürliche Kausalität in der Regel auch aus rechtlicher Sicht als erstellt gelten. Dabei genügt es, dass der Unfall mit überwiegender Wahrscheinlichkeit eine Teilursache der geklagten Beschwerden darstellt. Eine unfalltechnische oder biomechanische Analyse vermag allenfalls gewichtige Anhaltspunkte zur - einzig mit Blick auf die Adäquanzprüfung relevanten - Schwere des Unfallereignisses zu liefern, sie bildet jedoch in keinem Fall eine hinreichende Grundlage für die Kausalitätsbeurteilung (vgl. RKUV 2003 Nr. U 489 S. 358 Erw. 3.2 mit Hinweisen). Auch die von Dr. med. Z._ bei psychischen Veränderungen erwähnten Schweregrade des Unfalls nach UVG, die nach seiner Beurteilung Berücksichtigung finden müssten, haben nichts mit der (medizinischen) Beurteilung des natürlichen Kausalzusammenhangs durch den Arzt zu tun, sondern beschlagen die (rechtliche) Adäquanzprüfung durch die Versicherung und die Gerichte. Wenn ein Arzt wie hier Dr. med. Z._ aber Begriffe aufführt und auf deren Relevanz hinweist, die nicht die natürliche Kausalität betreffen, wird die Aussagekraft eines Gutachtens noch zusätzlich relativiert, denn es ist dann nicht mehr klar erkennbar, ob der Experte Beurteilungen in seine Überlegungen mit einbezieht, die mit der natürlichen Kausalität gar nichts zu tun haben. Die von Dr. med. Z._ gezogenen Schlussfolgerungen basieren somit nicht auf gesicherten wissenschaftlichen Erkenntnissen und damit kann sein Befund, nach acht Monaten liege wieder der Status quo ante oder quo sine vor, nicht als begründet qualifiziert werden.
7. Da aus den genannten Gründen das Gutachten von Dr. med. Z._ nicht tauglich ist, mit dem im Sozialversicherungsrecht notwendigen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit das Dahinfallen der Unfallkausalität zu belegen, und weil dem Aktenbericht des Dr. med. T._ keine gutachtliche Qualität zukommt und er somit im hier zu entscheidenden Zusammenhang auch nicht als ausreichendes Beweismittel dienen kann, liegen keine gesicherten medizinischen Erkenntnisse im Recht, auf die gestützt zu schliessen wäre, dass ab dem 12. Mai 1998 der leistungsbegründende natürliche Kausalzusammenhang nicht mehr gegeben war. Das bei der MEDAS angeforderte interdisziplinäre Gutachten bestätigte gerade das Vorliegen eines natürlichen Kausalzusammenhanges und kann somit für den Nachweis des Wegfalles der Kausalität nicht angerufen werden. Alle übrigen medizinischen Akten belegen den Wegfall der natürlichen Kausalität nichts ausreichend. Schon aus diesen Gründen ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abzuweisen.
7. Da aus den genannten Gründen das Gutachten von Dr. med. Z._ nicht tauglich ist, mit dem im Sozialversicherungsrecht notwendigen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit das Dahinfallen der Unfallkausalität zu belegen, und weil dem Aktenbericht des Dr. med. T._ keine gutachtliche Qualität zukommt und er somit im hier zu entscheidenden Zusammenhang auch nicht als ausreichendes Beweismittel dienen kann, liegen keine gesicherten medizinischen Erkenntnisse im Recht, auf die gestützt zu schliessen wäre, dass ab dem 12. Mai 1998 der leistungsbegründende natürliche Kausalzusammenhang nicht mehr gegeben war. Das bei der MEDAS angeforderte interdisziplinäre Gutachten bestätigte gerade das Vorliegen eines natürlichen Kausalzusammenhanges und kann somit für den Nachweis des Wegfalles der Kausalität nicht angerufen werden. Alle übrigen medizinischen Akten belegen den Wegfall der natürlichen Kausalität nichts ausreichend. Schon aus diesen Gründen ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abzuweisen.
8. 8.1 Was die Beschwerdeführerin an Kritik am MEDAS-Gutachten vorbringt, ist nicht stichhaltig. So bezeichnet sie dessen Erkenntnisse als nicht mit der Rechtsprechung des EVG vereinbar. Sie beruft sich dabei auf die Urteile B. vom 25. Mai 2004, U 129/03, und H. vom 18. September 2002, U 60/02, und stellt die These auf, es sei vorliegend zu berücksichtigen, dass die traumatische Verschlimmerung degenerativer Erkrankungen der Wirbelsäule in der Regel nach sechs bis neun Monaten, spätestens aber nach einem Jahr als abgeschlossen zu betrachten sei. Dazu ist vorab darauf hinzuweisen, dass es sich bei den Sachverhalten, die den genannten Urteilen zu Grunde lagen, nicht um klare Verletzungsbilder handelte, die auf eine HWS-Distorsion schliessen liessen. Im erstgenannten Fall wurde ein axiales HWS-Trauma angegeben, im zweiten handelte es sich um eine Kontusion der Lendenwirbelsäule. Im Sachverhalt zum ersten Entscheid finden sind auch keine Angaben über klassische Symptome einer HWS-Distorsion innerhalb der Latenzzeit vom 72 Stunden, sondern lediglich zu posttraumatischen Kopfschmerzen. Erst in einem späteren Arztzeugnis wurden dort auch noch posttraumatische Nackenschmerzen angeführt. Eine Nausea (Übelkeit) war nicht gegeben, ebenso wenig Schwindel. Jene Versicherte suchte ihre Hausärztin lediglich wegen Kopfschmerzen auf. Daher ist dieser Sachverhalt mit dem hier zu beurteilenden, wo ab initio das klassische Beschwerdebild einer HWS-Distorsion innerhalb der Latenzzeit von 72 Stunden aufgetreten war, nicht vergleichbar. Überdies würde die Argumentationsweise der Beschwerdeführerin darauf hinauslaufen, dass bei all jenen Personen, die ein Schleudertrauma erlitten haben und gleichzeitig degenerative Veränderungen der HWS aufweisen, trotz persistierender Beschwerden ein Status quo sine innert einigen Monaten angenommen werden könnte, währenddem bei jenen Versicherten, die keine solche degenerative Veränderung der HWS aufweisen, trotz fehlenden klinischen Befunden ein Andauern der natürlichen Kausalität gegeben wäre. Dies kann jedoch nicht zutreffend sein, denn vielmehr gilt auch bei degenerativen Veränderungen der HWS, dass, wenn Symptome vorliegen, die auf eine HWS-Distorsion zurückzuführen sind, ein entsprechender natürlicher Kausalzusammenhang anzunehmen ist, selbst wenn mittels konventioneller Bildgebung die Verletzungen nicht oder nur mit Schwierigkeiten erkennbar sind.
8.2 Ob das Thoracic Outlet Syndrome (TOS) eine eigenständige Qualität hat, um den natürlichen Kausalzusammenhang der von der Beschwerdegegnerin geklagten Beschwerden mit dem Unfallereignis zu belegen, kann offen bleiben, da im MEDAS-Gutachten nicht nur das Vorliegen eines TOS festgestellt, sondern vielmehr ein Beschwerdebild geschildert wurde, das auf fortdauernde Beschwerden im Zusammenhang mit dem erlittenen Schleudertrauma hindeutet. Auch ist es eine unzulässige Verkürzung der Argumentationsweise, wenn vorgebracht wird, dass ein TOS nur bei einer deutlichen Einschränkung der Beweglichkeit der Arme vorliegen könne. Vielmehr war im Parteigutachten, das vom Versicherten im Verfahren gemäss Urteil A. vom 27. Februar 2004, U 29/03, angerufen worden war, das TOS mit einer deutlichen Einschränkung der Beweglichkeit der Arme belegt worden, was aber dort tatsächlich nicht gegeben war. Jedoch ist daraus nicht abzuleiten, dass für das Vorliegen eines TOS stets diese Symptome vorliegen müssten. Abgesehen davon wird im MEDAS-Untergutachten von Dr. med. J._, Spezialarzt FMH für physikalische Medizin und Rehabilitation, speziell Rheumaerkrankungen, vom 3. April 2002 angeführt, dass in Hyperabduktionsstellung der Radialispuls verschwinde, eine vorzeitige Ermüdung im Arm auftrete, die Hand nach 20 Sekunden weiss werde und Parästhesien in allen Fingern auftreten, und die Versicherte zudem über ein Schweregefühl im Arm klage. Die Befunde seien rechts etwas stärker ausgeprägt als links. Das von der Beschwerdeführerin verlangte Kriterium für das Vorliegen eines TOS wäre somit sogar vorhanden, wenn die Existenz eines TOS überhaupt relevant wäre für die Beurteilung, ob vorliegend ein natürlicher Kausalzusammenhang zwischen den anhaltenden Beschwerden und dem Unfall gegeben ist.
8.3 Das interdisziplinäre MEDAS-Gutachten beruhte auf allseitigen Untersuchungen. Es berücksichtigte die geklagten Beschwerden und wurde in Kenntnis der Vorakten erstellt. So wurde darin auch das Gutachten des Dr. med. Z._ erwähnt. Eine eingehende Auseinandersetzung mit dieser in mehrfacher Hinsicht nicht den Anforderungen an ein medizinisches Gutachten genügenden Expertise konnte auch darum unterbleiben, weil dies gar nicht dem erteilten Auftrag entsprochen hätte. Auch legt das Gutachten die medizinischen Zusammenhänge korrekt dar und es ist in der Beurteilung der medizinischen Situation und in seinen Schlussfolgerungen einleuchtend und begründet. Da es genügt, wenn ein Unfallereignis respektive dessen Folgen blosse Teilursache ist für das bei der Beschwerdeführerin gegebene Beschwerdebild, um eine entsprechende natürliche Kausalität zu begründen (<ref-ruling>), ist ein leistungsbegründender natürlicher Kausalzusammenhang mit dem Ereignis vom 10. September 1997 auf Grund des MEDAS-Gutachtens erstellt.
8.3 Das interdisziplinäre MEDAS-Gutachten beruhte auf allseitigen Untersuchungen. Es berücksichtigte die geklagten Beschwerden und wurde in Kenntnis der Vorakten erstellt. So wurde darin auch das Gutachten des Dr. med. Z._ erwähnt. Eine eingehende Auseinandersetzung mit dieser in mehrfacher Hinsicht nicht den Anforderungen an ein medizinisches Gutachten genügenden Expertise konnte auch darum unterbleiben, weil dies gar nicht dem erteilten Auftrag entsprochen hätte. Auch legt das Gutachten die medizinischen Zusammenhänge korrekt dar und es ist in der Beurteilung der medizinischen Situation und in seinen Schlussfolgerungen einleuchtend und begründet. Da es genügt, wenn ein Unfallereignis respektive dessen Folgen blosse Teilursache ist für das bei der Beschwerdeführerin gegebene Beschwerdebild, um eine entsprechende natürliche Kausalität zu begründen (<ref-ruling>), ist ein leistungsbegründender natürlicher Kausalzusammenhang mit dem Ereignis vom 10. September 1997 auf Grund des MEDAS-Gutachtens erstellt.
9. Es bleibt zu prüfen, ob auch der adäquate Kausalzusammenhang gegeben ist. Psychische Beschwerden, die bei der Beschwerdeführerin zu den bestehenden gesundheitlichen Beeinträchtigungen geführt haben, wurden erstmals im Bericht von Prof. Dr. med. R._ und Frau Dr. med. O._ vom 5. Juli 2000 auf Grund der ambulanten Untersuchung vom 22. Februar 2000 in der Psychiatrischen Polyklinik des Spitals E._ erwähnt. In früheren Arztrapporten wurde nichts von einer psychischen Überlagerung der somatischen Beschwerden berichtet. Da auch auf Grund des MEDAS-Gutachtens mit Sicherheit nicht davon ausgegangen werden kann, dass das typische Beschwerdebild einer HWS-Distorsion im Vergleich zu der psychischen Problematik völlig in den Hintergrund getreten wäre, ist die Adäquanz nicht nach <ref-ruling> zu beurteilen, sondern nach <ref-ruling>.
9. Es bleibt zu prüfen, ob auch der adäquate Kausalzusammenhang gegeben ist. Psychische Beschwerden, die bei der Beschwerdeführerin zu den bestehenden gesundheitlichen Beeinträchtigungen geführt haben, wurden erstmals im Bericht von Prof. Dr. med. R._ und Frau Dr. med. O._ vom 5. Juli 2000 auf Grund der ambulanten Untersuchung vom 22. Februar 2000 in der Psychiatrischen Polyklinik des Spitals E._ erwähnt. In früheren Arztrapporten wurde nichts von einer psychischen Überlagerung der somatischen Beschwerden berichtet. Da auch auf Grund des MEDAS-Gutachtens mit Sicherheit nicht davon ausgegangen werden kann, dass das typische Beschwerdebild einer HWS-Distorsion im Vergleich zu der psychischen Problematik völlig in den Hintergrund getreten wäre, ist die Adäquanz nicht nach <ref-ruling> zu beurteilen, sondern nach <ref-ruling>.
10. Nach der Rechtsprechung werden Auffahrkollisionen vor einem Lichtsignal regelmässig als mittelschwere im Grenzbereich zu den leichten Unfällen liegende Ereignisse eingestuft (RKUV 2003 Nr. U 489 S. 357 Erw. 4.2 mit Hinweisen). Auf Grund der doch erheblichen Beschädigungen, die insbesondere am Fahrzeug der Unfallverursacherin F._ erkennbar sind (Fotomappe der Kantonspolizei Aargau zum Verkehrsunfall vom 10. September 1997), und des Schadenbetrags von immerhin je Fr. 4'000.- an beiden Autos kann auch hier nicht von einem leichten Unfall ausgegangen werden. Dieser ereignete sich ausserorts und von den insgesamt vier betroffenen Personen erlitten zwei (darunter die Beschwerdegegnerin) leichte und eine Beteiligte sogar schwere Verletzungen (Rapport Kantonspolizei Aargau vom 6. Oktober 1997, S. 4). Die Polizei stellte keine Bremsspuren fest, sondern nur Glas- und Lacksplitter im Bereich der Kollisionsstelle, sodass das von der 1926 geborenen F._ gelenkte Fahrzeug wohl nicht allzu stark abgebremst auf das Fahrzeug mit der Beschwerdegegnerin auffuhr. Die Unfallverursacherin gab in der polizeilichen Befragung an, sie sei auf die temporäre Lichtsignalanlage, vor der die Beschwerdegegnerin mit ihrem Fahrzeug angehalten hatte, nicht vorbereitet gewesen. Bei solchen Umständen ist davon auszugehen, dass es sich um einen mittelschweren Unfall im engeren Sinne gehandelt hat (vgl. Peter Jäger, Darstellung und Kritik der neueren Rechtsprechung des EVG zum adäquaten Kausalzusammenhang beim Schleudertrauma der Halswirbelsäule, in: HAVE 4/2003 S. 296).
10. Nach der Rechtsprechung werden Auffahrkollisionen vor einem Lichtsignal regelmässig als mittelschwere im Grenzbereich zu den leichten Unfällen liegende Ereignisse eingestuft (RKUV 2003 Nr. U 489 S. 357 Erw. 4.2 mit Hinweisen). Auf Grund der doch erheblichen Beschädigungen, die insbesondere am Fahrzeug der Unfallverursacherin F._ erkennbar sind (Fotomappe der Kantonspolizei Aargau zum Verkehrsunfall vom 10. September 1997), und des Schadenbetrags von immerhin je Fr. 4'000.- an beiden Autos kann auch hier nicht von einem leichten Unfall ausgegangen werden. Dieser ereignete sich ausserorts und von den insgesamt vier betroffenen Personen erlitten zwei (darunter die Beschwerdegegnerin) leichte und eine Beteiligte sogar schwere Verletzungen (Rapport Kantonspolizei Aargau vom 6. Oktober 1997, S. 4). Die Polizei stellte keine Bremsspuren fest, sondern nur Glas- und Lacksplitter im Bereich der Kollisionsstelle, sodass das von der 1926 geborenen F._ gelenkte Fahrzeug wohl nicht allzu stark abgebremst auf das Fahrzeug mit der Beschwerdegegnerin auffuhr. Die Unfallverursacherin gab in der polizeilichen Befragung an, sie sei auf die temporäre Lichtsignalanlage, vor der die Beschwerdegegnerin mit ihrem Fahrzeug angehalten hatte, nicht vorbereitet gewesen. Bei solchen Umständen ist davon auszugehen, dass es sich um einen mittelschweren Unfall im engeren Sinne gehandelt hat (vgl. Peter Jäger, Darstellung und Kritik der neueren Rechtsprechung des EVG zum adäquaten Kausalzusammenhang beim Schleudertrauma der Halswirbelsäule, in: HAVE 4/2003 S. 296).
11. Hinsichtlich der Prüfung des Vorliegens von gemäss <ref-ruling> verlangter Adäquanzkriterien ergibt sich Folgendes: Obwohl als mittelschwer zu qualifizieren, ist der Unfall vom 10. September 1997 nicht als besonders eindrücklich zu bezeichnen. Die Leiden der Versicherten sind als Dauerbeschwerden zu klassifizieren, wobei nach <ref-ruling> nicht zu untersuchen ist, ob sie somatischen oder psychosomatischen Charakter haben. Was das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzung betrifft, so vermag zwar die Diagnose eines Schleudertraumas oder einer schleudertraumaähnlichen Verletzung für sich alleine dessen Vorliegen nicht zu begründen. Es bedarf hiezu einer besonderen Schwere der für ein Schleudertrauma typischen Beschwerden oder besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können (Urteile D. vom 4. September 2003 (U 371/02) und T. vom 6. Februar 2002 (U 61/00); HAVE 2003 S. 298; vgl. auch SZS 2001 S. 448). Solche Umstände sind vorliegend gegeben. Im MEDAS-Gutachten wurde angeführt, dass die Beschwerdegegnerin seit dem Unfallereignis täglich an - meist bewegungsabhängig verstärkten - Nacken- und Hinterkopfschmerzen leidet. Das Unfallereignis und seine Folgen seien auch von einschneidender Relevanz auf das Dasein der Versicherten nach der Pensionierung, denn sie sei in den geplanten Aktivitäten deutlich eingeschränkt. Wenn die Beschwerdeführerin das Beschwerdebild der Beschwerdegegnerin lediglich auf Kopfschmerzen reduziert haben will, bagatellisiert sie es allzu stark. Immerhin hält das MEDAS-Gutachten unmissverständlich fest, dass die für ein Schleudertrauma typischen Beschwerden in akzentuierter Form gegeben sind. Da eine ärztliche Fehlbehandlung nicht vorliegt, ist das entsprechende Kriterium nicht erfüllt. Das Kriterium der (langdauernden) Arbeitsunfähigkeit will die Beschwerdeführerin bei der Beschwerdegegnerin nur bis zum Erreichen des Pensionierungsalters am 1. Mai 1998 berücksichtigt haben. Eine solche Betrachtungsweise lässt sich nicht auf die dazu zitierte Rechtsprechung nach RKUV 2001 Nr. U 442 S. 544 abstützen. Das Adäquanzkriterium des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit fällt mit dem Zeitpunkt der ordentlichen Pensionierung nicht weg, denn üblicherweise werden auch nach der altersbedingten Aufgabe der Erwerbsarbeit noch Tätigkeiten im Aufgabenbereich ausgeübt, und Einschränkungen in diesem Bereich belasten ebenfalls. Zumindest in Bezug auf die im Unfallzeitpunkt bestehende Erwerbstätigkeit ist die Arbeitsunfähigkeit darum auch über das Erreichen des Pensionierungsalters hinaus zu berücksichtigen. Zudem wäre es mit dem Rechtsgleichheitsgebot kaum vereinbar, dieses Kriterium bei älteren Personen im Gegensatz zu jüngeren Versicherten gar nicht oder nur für kurze Zeit heranzuziehen. Im MEDAS-Gutachten wurde angeführt, dass die Beschwerdegegnerin in ihrer Tätigkeit als Betreuerin in einer Strafanstalt - im Zeitpunkt der Erstellung des Gutachtens am 17. Juli 2002 und damit nahezu fünf Jahre nach dem Unfallereignis - zu 50 % eingeschränkt sei. Das Kriterium der lange andauernden Arbeitsunfähigkeit ist daher erfüllt. Die Vorinstanz bejahte dies auch für das Kriterium der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung. Die Beschwerdeführerin stellt dies in Frage und verweist dazu auf den Austrittsbericht der Rheuma- und Rehabilitationsklinik Y._ vom 25. Mai 1998. Dort wird tatsächlich ein leichter Rückgang der Beschwerden rapportiert. Im zweiten Austrittsbericht vom 7. Oktober 1999 ist aber vermerkt, die Beschwerden hätten sich seit Dezember 1998 wieder vermehrt. Dazu ist ebenfalls auf die gutachtlichen Feststellungen der MEDAS zu verweisen, wonach seit dem Unfallereignis täglich Nacken- und Hinterkopfschmerzen auftreten. Dass es bei der Beschwerdegegnerin Zeiten der Beschwerdefreiheit gegeben haben soll, wie es die Beschwerdeführerin darlegt, ist aktenmässig nicht belegt.
11. Hinsichtlich der Prüfung des Vorliegens von gemäss <ref-ruling> verlangter Adäquanzkriterien ergibt sich Folgendes: Obwohl als mittelschwer zu qualifizieren, ist der Unfall vom 10. September 1997 nicht als besonders eindrücklich zu bezeichnen. Die Leiden der Versicherten sind als Dauerbeschwerden zu klassifizieren, wobei nach <ref-ruling> nicht zu untersuchen ist, ob sie somatischen oder psychosomatischen Charakter haben. Was das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzung betrifft, so vermag zwar die Diagnose eines Schleudertraumas oder einer schleudertraumaähnlichen Verletzung für sich alleine dessen Vorliegen nicht zu begründen. Es bedarf hiezu einer besonderen Schwere der für ein Schleudertrauma typischen Beschwerden oder besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können (Urteile D. vom 4. September 2003 (U 371/02) und T. vom 6. Februar 2002 (U 61/00); HAVE 2003 S. 298; vgl. auch SZS 2001 S. 448). Solche Umstände sind vorliegend gegeben. Im MEDAS-Gutachten wurde angeführt, dass die Beschwerdegegnerin seit dem Unfallereignis täglich an - meist bewegungsabhängig verstärkten - Nacken- und Hinterkopfschmerzen leidet. Das Unfallereignis und seine Folgen seien auch von einschneidender Relevanz auf das Dasein der Versicherten nach der Pensionierung, denn sie sei in den geplanten Aktivitäten deutlich eingeschränkt. Wenn die Beschwerdeführerin das Beschwerdebild der Beschwerdegegnerin lediglich auf Kopfschmerzen reduziert haben will, bagatellisiert sie es allzu stark. Immerhin hält das MEDAS-Gutachten unmissverständlich fest, dass die für ein Schleudertrauma typischen Beschwerden in akzentuierter Form gegeben sind. Da eine ärztliche Fehlbehandlung nicht vorliegt, ist das entsprechende Kriterium nicht erfüllt. Das Kriterium der (langdauernden) Arbeitsunfähigkeit will die Beschwerdeführerin bei der Beschwerdegegnerin nur bis zum Erreichen des Pensionierungsalters am 1. Mai 1998 berücksichtigt haben. Eine solche Betrachtungsweise lässt sich nicht auf die dazu zitierte Rechtsprechung nach RKUV 2001 Nr. U 442 S. 544 abstützen. Das Adäquanzkriterium des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit fällt mit dem Zeitpunkt der ordentlichen Pensionierung nicht weg, denn üblicherweise werden auch nach der altersbedingten Aufgabe der Erwerbsarbeit noch Tätigkeiten im Aufgabenbereich ausgeübt, und Einschränkungen in diesem Bereich belasten ebenfalls. Zumindest in Bezug auf die im Unfallzeitpunkt bestehende Erwerbstätigkeit ist die Arbeitsunfähigkeit darum auch über das Erreichen des Pensionierungsalters hinaus zu berücksichtigen. Zudem wäre es mit dem Rechtsgleichheitsgebot kaum vereinbar, dieses Kriterium bei älteren Personen im Gegensatz zu jüngeren Versicherten gar nicht oder nur für kurze Zeit heranzuziehen. Im MEDAS-Gutachten wurde angeführt, dass die Beschwerdegegnerin in ihrer Tätigkeit als Betreuerin in einer Strafanstalt - im Zeitpunkt der Erstellung des Gutachtens am 17. Juli 2002 und damit nahezu fünf Jahre nach dem Unfallereignis - zu 50 % eingeschränkt sei. Das Kriterium der lange andauernden Arbeitsunfähigkeit ist daher erfüllt. Die Vorinstanz bejahte dies auch für das Kriterium der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung. Die Beschwerdeführerin stellt dies in Frage und verweist dazu auf den Austrittsbericht der Rheuma- und Rehabilitationsklinik Y._ vom 25. Mai 1998. Dort wird tatsächlich ein leichter Rückgang der Beschwerden rapportiert. Im zweiten Austrittsbericht vom 7. Oktober 1999 ist aber vermerkt, die Beschwerden hätten sich seit Dezember 1998 wieder vermehrt. Dazu ist ebenfalls auf die gutachtlichen Feststellungen der MEDAS zu verweisen, wonach seit dem Unfallereignis täglich Nacken- und Hinterkopfschmerzen auftreten. Dass es bei der Beschwerdegegnerin Zeiten der Beschwerdefreiheit gegeben haben soll, wie es die Beschwerdeführerin darlegt, ist aktenmässig nicht belegt.
12. Die nach der Rechtsprechung <ref-ruling> zu prüfenden Kriterien sind somit in wesentlichen Teilen erfüllt. Es ist dabei festzuhalten, dass sich das Eidgenössische Versicherungsgericht in der Vergangenheit nicht auf eine genaue Anzahl von Kriterien festgelegt hat, die erfüllt sein müssen, um die Adäquanz als gegeben zu betrachten (vgl. Peter Jäger, a.a.O., S. 296). Dies kann auch dem von der Beschwerdeführerin angerufenen Entscheid RKUV 1998 Nr. U 297 S. 243 nicht entnommen werden. Gerade im Vergleich mit dem dort zu Grunde liegenden Sachverhalt - es handelte sich um ein Auffahrunfallereignis von erheblich geringerer Intensität, der Beifahrer hatte beim Aufprall des nachfolgenden Fahrzeuges gar nichts verspürt - ist der hier zu beurteilende Unfall einer anderen Kategorie zuzuordnen. Ob ein Fahrzeug im Schritttempo auf ein anderes auffährt oder wie hier ausserorts nicht stark abgebremst auf ein anderes aufprallt, ist ein wesentlicher Unterschied. Ebenfalls nicht stichhaltig ist das Argument, bei der Adäquanzprüfung handle es sich "naturgemäss um einen Ermessensentscheid", denn die Adäquanz ist als Rechtsfrage zu beurteilen. Die Vorinstanz hat sie detailliert überprüft und zutreffend gewürdigt, weshalb ihr Entscheid zu bestätigen ist.
12. Die nach der Rechtsprechung <ref-ruling> zu prüfenden Kriterien sind somit in wesentlichen Teilen erfüllt. Es ist dabei festzuhalten, dass sich das Eidgenössische Versicherungsgericht in der Vergangenheit nicht auf eine genaue Anzahl von Kriterien festgelegt hat, die erfüllt sein müssen, um die Adäquanz als gegeben zu betrachten (vgl. Peter Jäger, a.a.O., S. 296). Dies kann auch dem von der Beschwerdeführerin angerufenen Entscheid RKUV 1998 Nr. U 297 S. 243 nicht entnommen werden. Gerade im Vergleich mit dem dort zu Grunde liegenden Sachverhalt - es handelte sich um ein Auffahrunfallereignis von erheblich geringerer Intensität, der Beifahrer hatte beim Aufprall des nachfolgenden Fahrzeuges gar nichts verspürt - ist der hier zu beurteilende Unfall einer anderen Kategorie zuzuordnen. Ob ein Fahrzeug im Schritttempo auf ein anderes auffährt oder wie hier ausserorts nicht stark abgebremst auf ein anderes aufprallt, ist ein wesentlicher Unterschied. Ebenfalls nicht stichhaltig ist das Argument, bei der Adäquanzprüfung handle es sich "naturgemäss um einen Ermessensentscheid", denn die Adäquanz ist als Rechtsfrage zu beurteilen. Die Vorinstanz hat sie detailliert überprüft und zutreffend gewürdigt, weshalb ihr Entscheid zu bestätigen ist.
13. Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG). Dem Prozessausgang entsprechend hat die Beschwerdegegnerin Anspruch auf eine Parteientschädigung zu Lasten der Beschwerdeführerin (Art. 135 in Verbindung mit Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zugestellt.
Luzern, 17. März 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: