Faits:
A. M._ a travaillé au service de la société X._ SA en qualité de téléopératrice à raison de 60 % d'un horaire de travail complet. A ce titre, elle était obligatoirement assurée contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Elle a été victime d'un accident le 5 août 2001: alors qu'elle déchargeait un cheval d'une remorque, celui-ci a glissé et sa tête a heurté celle de l'assurée.
Consulté le lendemain de l'accident, le docteur G._ a fait état de céphalées, d'un status après commotion et perte de connaissance, ainsi que de nausées et a diagnostiqué une commotion crânienne (rapport du 18 août 2001). L'assurée a séjourné du 6 au 7 août 2001 à l'Hôpital de Y._. Les médecins de cet établissement ont posé le diagnostic de commotion cérébrale et indiqué que l'intéressée n'avait pas perdu connaissance mais qu'elle était « ralentie » et avait vomi à trois reprises. En outre, ils ont relevé qu'à son arrivée l'assurée était consciente et présentait une valeur de 15 sur l'échelle de Glasgow (rapport du 9 août 2001). La CNA a pris en charge le cas.
Par la suite, l'état de santé n'a pas évolué favorablement. En particulier, l'assurée n'a pas pu reprendre à long terme son activité lucrative au taux existant avant l'accident. Elle a été examinée notamment par le docteur E._, spécialiste en chirurgie et médecin-conseil de la CNA (rapport du 1er octobre 2001) et a séjourné à la Clinique Z._ à deux reprises (du 7 août au 5 septembre 2002 et du 11 décembre 2002 au 31 janvier 2003).
La CNA a confié une expertise au docteur F._, spécialiste en neurologie. Dans un rapport du 30 juin 2003, ce médecin a fait état d'un syndrome post-commotionnel dont les symptômes évoluaient favorablement et indiqué l'existence très probable d'un syndrome dépressif réactif. La CNA a confié une autre expertise au professeur V._, spécialiste en neurologie. Dans un rapport du 4 octobre 2004, ce médecin a diagnostiqué un status après traumatisme cranio-cérébral léger, des céphalées, de discrets troubles de la concentration, une fatigabilité, un épisode dépressif probablement réactionnel, ainsi qu'un discret syndrome cervical avec cervico-brachialgies gauches. Selon cet expert, il n'existait aucun lien causal démontrable entre le handicap fonctionnel existant alors (comme la fatigabilité ou le manque de concentration) et l'accident survenu en 2001.
Se fondant sur les conclusions du professeur V._, la CNA a rendu une décision, le 9 mars 2005, par laquelle elle a supprimé le droit aux prestations d'assurance (indemnité journalière et frais de traitement) à partir du 21 mars 2005 et nié le droit à une rente ainsi qu'à une indemnité pour atteinte à l'intégrité.
L'assurée a fait opposition à cette décision en produisant un rapport d'expertise du docteur S._, spécialiste en neurologie (du 27 mai 2005). De son côté, la CNA a requis l'avis du docteur U._, spécialiste en neurologie et médecin de sa division de médecine des assurances (rapport du 29 mars 2006).
Par décision du 4 mai 2006, elle a rejeté l'opposition dont elle était saisie.
B. Par jugement du 5 juillet 2007, le Tribunal administratif du canton de Berne a rejeté le recours formé contre cette décision sur opposition par l'assurée.
C. Celle-ci interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi des prestations prévues par la LAA, subsidiairement au renvoi de la cause à la CNA pour complément d'instruction. Par ailleurs, la recourante demande à bénéficier de l'assistance judiciaire.
L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
D. Dans un arrêt du 19 février 2008 (<ref-ruling>), le Tribunal fédéral a précisé sa jurisprudence en matière d'accident consécutif à un traumatisme cervical de type « coup du lapin » sans preuve d'un déficit fonctionnel organique. Aussi, le Président de la Ire Cour de droit social a-t-il ordonné un second échange d'écritures dans la présente cause. La recourante a fait usage de cette possibilité de compléter son mémoire le 21 avril 2008.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 4 mai 2006, à supprimer le droit de la recourante aux prestations de l'assurance-accidents à partir du 21 mars 2005.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (<ref-law>).
2. Selon l'<ref-law>, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3.1 p. 406, 119 V 335 consid. 1 p. 337, 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références). Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 181, 402 consid. 2.2 p. 405, 125 V 456 consid. 5a p. 461 et les références).
3. 3.1 Sur le plan somatique, la CNA a considéré que l'assurée ne souffrait plus, après le 20 mars 2005, de troubles en relation avec l'accident du 5 août 2001.
La juridiction cantonale a confirmé ce point de vue. Se fondant notamment sur les conclusions du professeur V._ (rapport du 4 octobre 2004) et du docteur U._ (rapport du 29 mars 2006), elle a considéré qu'aucune investigation médicale mise en oeuvre en l'occurrence n'avait permis d'objectiver un substrat organique aux troubles de l'assurée (troubles de la concentration et de la mémoire, céphalées, cervico-brachialgies gauches, hémisyndrome sensitif hypesthésique de l'hémicorps gauche, discret hémisyndrome moteur ataxique). D'ailleurs, ajoutent les premiers juges, le docteur S._ ne contredit pas ces appréciations dans son rapport d'expertise privée du 27 mai 2005, puisque selon ce médecin, l'existence d'une relation entre des troubles et des déficits organiques, d'une part, et l'accident, d'autre part, n'apparaît pas établie au degré de la vraisemblance prépondérante.
De son côté, la recourante reproche à la CNA et à la juridiction cantonale de n'avoir pas mis en oeuvre un complément d'instruction sur le plan neuropsychologique, comme le préconisait le docteur S._.
3.2 Le grief de la recourante est mal fondé. En effet, le rapport du docteur S._ ne contredit en rien les conclusions des docteurs V._ et U._. Si l'expert privé a proposé un nouvel examen, ainsi que divers tests, c'est uniquement dans le but d'établir l'existence éventuelle d'un lien de causalité naturelle, les nombreuses investigations mises en oeuvre jusqu'alors n'ayant pas permis de prouver la présence d'un tel lien au degré de la vraisemblance prépondérante. Or, si l'administration ou le juge, se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves fournies par les investigations auxquelles ils doivent procéder d'office, sont convaincus que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation, il est superflu d'administrer d'autres preuves (appréciation anticipée des preuves; Kieser, Das Verwaltungsverfahren in der Sozialversicherung, p. 212, n° 450; Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2e éd., p. 39, n° 111 et p. 117, n° 320; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2e éd., p. 274; cf. aussi <ref-ruling> consid. 4a p. 469, 122 III 219 consid. 3c p. 223, 120 Ib 224 consid. 2b p. 229, 119 V 335 consid. 3c p. 344 et la référence). En l'occurrence, sur le vu de l'ensemble des investigations médicales menées à chef, il n'y a aucune raison de penser que d'autres mesures probatoires auraient permis d'aboutir à un résultat différent en ce qui concerne l'existence d'un substrat organique aux troubles constatés.
Cela étant, il n'y a pas lieu de mettre en cause le point de vue de la CNA et de la juridiction cantonale, selon lequel l'assurée ne souffrait plus, après le 20 mars 2005, de troubles de nature organique en relation avec l'accident du 5 août 2001.
4. 4.1 En ce qui concerne les symptômes persistant après la date précitée, la CNA a nié le droit de l'assurée à des prestations motif pris de l'absence d'un lien de causalité adéquate entre ces troubles et l'accident. Elle s'est fondée pour cela sur les critères objectifs définis par la jurisprudence pour examiner le caractère adéquat du lien de causalité entre une atteinte à la santé psychique et un accident de gravité moyenne (<ref-ruling> consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409).
La juridiction cantonale a confirmé ce point de vue. Elle a nié l'existence d'un lien de causalité adéquate entre les troubles et l'accident - qu'elle a qualifié d'accident de gravité moyenne, à la limite des accidents de peu de gravité -, au motif que les critères objectifs susmentionnés ne se cumulaient pas ni ne revêtaient une intensité particulière.
De son côté, la recourante reproche à la juridiction cantonale de s'être fondée sur les critères jurisprudentiels objectifs déterminants en cas d'atteinte à la santé psychique, au lieu des critères applicables en présence d'un traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale, d'un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou d'un traumatisme cranio-cérébral. Dans ces derniers cas, on peut en effet renoncer à distinguer les aspects physiques des éléments psychiques, contrairement aux cas de troubles psychiques apparus après un accident. Selon la recourante, les critères de la durée anormalement longue du traitement médical, de la persistance des douleurs ainsi que du taux et de la durée de l'incapacité de travail sont réalisés en l'occurrence.
4.2 En tant que principe répondant à la nécessité de fixer une limite raisonnable à la responsabilité de l'assureur-accidents social, la causalité adéquate n'a pratiquement aucune incidence en présence d'une atteinte à la santé physique en relation de causalité naturelle avec l'accident, du moment que dans ce cas l'assureur répond aussi des atteintes qui ne se produisent habituellement pas selon l'expérience médicale (<ref-ruling> consid. 5b/bb p. 103 et les références). En revanche, il en va autrement lorsque des symptômes, bien qu'apparaissant en relation de causalité naturelle avec un événement accidentel, ne sont pas objectivables du point de vue organique. Dans ce cas, il y a lieu d'examiner le caractère adéquat du lien de causalité en se fondant sur le déroulement de l'événement accidentel, compte tenu, selon les circonstances, de certains critères en relation avec cet événement (<ref-ruling> consid. 6 p. 366 ss et 369 consid. 4 p. 382 ss, 115 V 133 consid. 6 p. 138 ss et 403 consid. 5 p. 407 ss). En présence de troubles psychiques apparus après un accident, on examine les critères de la causalité adéquate en excluant les aspects psychiques (<ref-ruling> consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409), tandis qu'en présence d'un traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale (<ref-ruling> consid. 6a p. 367), d'un traumatisme analogue à la colonne cervicale (SVR 1995 UV no 23 p. 67 consid. 2) ou d'un traumatisme cranio-cérébral (<ref-ruling> consid. 4b p. 383), on peut renoncer à distinguer les éléments physiques des éléments psychiques (sur l'ensemble de la question, cf. <ref-ruling> consid. 5b/bb p. 103 et SVR 2007 UV no 8 p. 27, consid. 2 ss, U 277/04, et les références).
4.3 Selon la jurisprudence, le lien de causalité adéquate doit être apprécié à la lumière des principes applicables en cas de traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale, de traumatisme analogue à la colonne cervicale ou de traumatisme cranio-cérébral également en présence d'une commotion cérébrale légère (arrêts 8C 210/2007 du 15 mai 2008, U 75/07 du 23 octobre 2007, U 197/04 du 29 mars 2006, U 79/05 du 10 février 2006 et U 72/05 du 11 octobre 2005). La gravité d'une telle lésion est évaluée notamment grâce à l'échelle de Glasgow (Glasgow Coma Scale [GCS]), méthode permettant de mesurer la profondeur d'un coma grâce à certains critères (ouverture des yeux, réponse motrice et réponse verbale). Une commotion cérébrale est qualifiée de légère lorsqu'elle atteint une valeur de 13 à 15 sur l'échelle de Glasgow. Or, même en présence d'une telle commotion ou d'un "Mild Traumatic Brain Injury" (MTBI), des douleurs subsistent encore après une année dans 15% des cas environ (Adrian M. Siegel, Neurologisches Beschwerdebild nach Beschleunigungsverletzung des Halswirbelsäule, in : Neurologische Begutachtung, Zurich 2004, p. 165).
En l'espèce, il est constant que l'assurée a été victime d'une commotion cérébrale lors de l'accident du 5 août 2001. Dans ces conditions, le caractère adéquat du lien de causalité doit être examiné à la lumière des principes applicables en cas de traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale, de traumatisme analogue à la colonne cervicale ou de traumatisme cranio-cérébral et non pas à la lumière des principes applicables en cas de troubles psychiques consécutifs à un accident.
5. 5.1 Dans son arrêt <ref-ruling>, déjà cité, le Tribunal fédéral a précisé sur plusieurs points sa jurisprudence au sujet de la relation de causalité entre des plaintes et un traumatisme de type « coup du lapin » ou un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou encore un traumatisme cranio-cérébral, sans preuve d'un déficit organique objectivable. Selon cet arrêt, il y a lieu de s'en tenir à une méthode spécifique pour examiner le lien de causalité adéquate en présence de tels troubles (consid. 7 à 9 de l'arrêt cité). Par ailleurs, le Tribunal fédéral n'a pas modifié les principes qui ont fait leur preuve, à savoir la nécessité, d'une part, d'opérer une classification des accidents en fonction de leur degré de gravité et, d'autre part, d'inclure, selon la gravité de l'accident, d'autres critères lors de l'examen du caractère adéquat du lien de causalité (consid. 10.1). Cependant, il a renforcé les exigences concernant la preuve d'une lésion en relation de causalité naturelle avec l'accident, justifiant l'application de la méthode spécifique en matière de traumatisme de type « coup du lapin » (consid. 9) et modifié en partie les critères à prendre en considération lors de l'examen du caractère adéquat du lien de causalité (consid. 10). Ces critères sont désormais formulés de la manière suivante:
- les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident (inchangé);
- la gravité ou la nature particulière des lésions (inchangé);
- l'administration prolongée d'un traitement médical spécifique et pénible (formulation modifiée);
- l'intensité des douleurs (formulation modifiée);
- les erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident (inchangé);
- les difficultés apparues au cours de la guérison et les complications importantes (inchangé);
- l'importance de l'incapacité de travail en dépit des efforts reconnais- sables de l'assuré (formulation modifiée).
5.2 En l'occurrence, il y a lieu de se rallier au point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel l'accident survenu le 5 août 2001 doit être qualifié d'accident de gravité moyenne à la limite des accidents de peu de gravité.
En ce qui concerne les critères déterminants, l'existence de circonstances particulièrement dramatiques et le caractère particulièrement impressionnant de l'accident doivent être niés. Il en va de même en ce qui concerne le critère de la gravité ou de la nature particulière des lésions. Ces points ne font d'ailleurs pas l'objet d'une controverse entre les parties.
5.3 En revanche, la recourante est d'avis que le critère relatif à l'administration prolongée d'un traitement médical spécifique et pénible est réalisé. A l'appui de son point de vue, elle énumère toute une série de mesures médicales auxquelles elle a été soumise, à savoir un scanner cérébral, une IRM cérébrale, une consultation ophtalmologique en 2001, un examen neurologique clinique auprès du docteur L._, différents bilans neuro-psychologiques aux mois d'août et décembre 2002, deux séjours à la Clinique Z._, un écho doppler carotido-vertébral le 9 janvier 2003, ainsi qu'un traitement médicamenteux (Vioxx, Inderal, Pantozol, Zoloft et Dafalgan).
Les faits allégués par la recourante ne permettent toutefois pas d'admettre que le critère relatif à l'administration prolongée d'un traitement médical spécifique et pénible est réalisé. En effet, les mesures auxquelles elle se réfère constituent essentiellement des mesures diagnostiques ou d'investigations et non pas un traitement médical de l'atteinte à la santé. Quant au traitement médicamenteux, il ne saurait être qualifié de traitement médical spécifique et pénible au sens de la jurisprudence.
5.4 Par ailleurs, la recourante soutient que le critère relatif à l'intensité des douleurs est réalisé. A cet égard, elle allègue des maux de tête très violents, pulsatiles, parfois en décharge et parfois continus, d'une durée de quelques minutes à plusieurs heures, apparaissant pratiquement quotidiennement et accompagnés de sensations de vertiges, de sensations de pression dans l'oreille et à l'oeil gauche. A l'appui de ses allégations, elle se réfère au rapport d'expertise du professeur V._ du 4 octobre 2004.
Sur le vu de ce rapport médical, on peut toutefois douter que les douleurs alléguées soient suffisamment intenses pour répondre à la définition jurisprudentielle. En effet, le médecin prénommé a constaté que le tableau symptomatologique est largement dominé par des troubles de la concentration, les douleurs n'apparaissant qu'au second plan.
5.5 En outre, la recourante soutient qu'elle satisfait au critère relatif à l'importance de l'incapacité de travail en dépit de ses efforts reconnaissables. Elle allègue une incapacité de travail de 100% depuis le jour de l'accident jusqu'au 30 juin 2003, date à laquelle une reprise de l'activité professionnelle a été préconisée par le médecin de la CNA; actuellement encore, elle travaille à temps partiel dans sa nouvelle profession de naturopathe pour animaux, apprise à la suite de la perte de son emploi auprès de la société X._ SA.
Le 16 octobre 2003, un représentant de l'assureur-accidents, d'une part, et un représentant de l'employeur, ainsi qu'une collaboratrice du service médical de celui-ci, d'autre part, se sont entretenus au sujet des conditions de travail de l'assurée au service de la société X._ SA. Selon le rapport rédigé à cette occasion, l'intéressée travaillait en qualité de téléphoniste chargée de répondre aux appels d'abonnés se plaignant de dérangements. D'après le représentant de l'employeur, cette activité était extrêmement stressante, car une réceptionniste est parfois confrontée à des interlocuteurs furieux. Avant la survenance de l'accident, l'assurée avait eu déjà énormément de problèmes à gérer ce stress à l'origine de nombreuses absences et d'indispositions répétées. Parfois, elle avait dû être affectée à d'autres activités et une résiliation des rapports de travail avait même été envisagée. Ces difficultés avaient d'ailleurs incité l'intéressée à présenter une demande de rente de l'assurance-invalidité en 1996. A la suite d'une restructuration, le poste qu'occupait l'assurée avant l'accident a été supprimé et les collaborateurs touchés par cette mesure ont bénéficié d'un plan social. L'assurée a d'ailleurs profité de celui-ci pour se reconvertir dans la profession de naturopathe pour animaux.
Sur le vu de ce rapport d'entretien du 16 octobre 2003, il n'apparaît pas que les difficultés de l'intéressée de satisfaire aux exigences de son activité au service de X._ SA aient été dues essentiellement aux troubles de la concentration et à la fatigabilité consécutives à l'accident. D'autres problèmes comme sa fragilité dans les situations de stress expliquent en partie également l'inaptitude de l'assurée de reprendre plus rapidement son activité au service de X._ SA. D'ailleurs, l'intéressée est en mesure d'exercer - à un taux comparable - une profession moins exposée à de telles situations, comme celle de naturopathe pour animaux. Cela étant, le critère relatif à l'importance de l'incapacité de travail n'apparaît pas réalisé.
Il en va de même des critères relatifs aux erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident, ainsi qu'aux difficultés apparues au cours de la guérison et aux complications importantes.
5.6 Vu ce qui précède, seul un des critères déterminants apparaît réalisé, à savoir celui de l'intensité des douleurs, ce qui ne suffit pas pour admettre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre les troubles persistant après le 20 mars 2005 et l'événement qualifié d'accident de gravité moyenne à la limite des accidents de peu de gravité. La CNA était ainsi fondée, par sa décision sur opposition du 4 mai 2006, à supprimer le droit de la recourante aux prestations de l'assurance-accidents à partir du 21 mars 2005. Le jugement entrepris n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
6. La recourante, qui satisfait aux conditions de l'<ref-law> est dispensée de l'obligation de payer les frais judiciaires. Quant aux conditions auxquelles l'<ref-law> subordonne la désignation d'un avocat d'office, elles sont également réalisées. L'attention de la recourante est cependant attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée à la recourante.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Une indemnité de 2500 fr., supportée par la caisse du Tribunal, est allouée à Me Seidler à titre d'honoraires.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 9 juillet 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd