hat sich ergeben:
A.- Am 25. September 2000 reichte die Innenarchitektur Tischlerei B._ beim Bezirksgericht Albula Klage ein gegen A._. Sie verlangte gestützt auf einen Werkvertrag die Bezahlung von Fr. 17'055.-- nebst 5 %. Mit Verfügung vom 29. September 2000 setzte der Bezirksgerichtsvizepräsident Albula beiden Parteien Frist zur Leistung eines Kostenvorschuss von je Fr. 3'500.--. Der Beklagte wurde zudem aufgefordert, innert gleicher Frist die Prozessantwort einzureichen. Der Beklagte kam dieser Aufforderung nicht nach. Am 22. Dezember 2000 ersuchte er, nunmehr vertreten durch einen Rechtsanwalt, um Akteneinsicht, welche ihm in der Folge gewährt wurde. Mit Schreiben vom 12. Januar 2001 teilte das Gericht dem Beklagten mit, dass der Schriftenwechsel abgeschlossen und der Beklagte vom Verfahren ausgeschlossen sei, solange er den Kostenvorschuss nicht geleistet habe.
Am 22. Januar 2001 richtete der Beklagte eine Eingabe an das Bezirksgericht, in der er unter anderem einen vorsorglichen Antrag auf unentgeltliche Prozessführung stellte, da er aufgrund eines Liquiditätsengpasses zur Zeit nicht in der Lage sei, den Kostenvorschuss von Fr. 3'500.-- zu bezahlen. Die Begründetheit des Antrages werde durch den beglaubigten Auszug aus einem Entscheid des Gemeindevorstandes X._ vom 20. Juli 2000 belegt. Darin wird (betreffend eine auf Fr. 10'000.-- festgesetzte Baupolizeibusse) festgehalten, dass der Beklagte zwar beträchtliche Summen umsetze, seine finanziellen Verhältnisse dennoch wenig vorteilhaft seien. Sein steuerbares Einkommen 1999/2000 betrage Null und beim Vermögen stünden Aktiven von 4,5 Mio. Franken Passiven von 5,6 Mio. Franken gegenüber. Unter Berücksichtigung der bekannten Bewertungssätze beim Steuerwert von Liegenschaften könne allerdings davon ausgegangen werden, dass die Schulden durch den Verkehrswert der Aktiven gedeckt seien.
Der Bezirksgerichtsvizepräsident forderte die Gemeinde X._ zur Stellungnahme zum Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege auf. In ihrem Schreiben hielt die Gemeinde fest, der Beklagte interpretiere den erwähnten Auszug aus ihrem Entscheid unvollständig. Angesichts der von ihm getätigten Bauvorhaben sei anzunehmen, dass er bei den Banken kreditwürdig sei und ihm ganz erhebliche Baukredite gewährt würden. Die Bezahlung der Prozesskosten sollte bei diesen Verhältnissen nicht ins Gewicht fallen. Der Beklagte beziehe auch keine Sozialhilfe. Der Bezirksgerichtsvizepräsident setzte dem Beklagten Frist zur Vernehmlassung zur Stellungnahme der Gemeinde und forderte ihn gleichzeitig auf, innert der gleichen Frist verschiedene Unterlagen im Zusammenhang mit dem eingereichten Gesuch beizubringen. Innert dreimal erstreckter Frist bestätigte der Beklagte seinen Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, da es ihm zurzeit nicht möglich sei, einen Kostenvorschuss von Fr. 3'500.-- zu leisten. Er bemerkte, die Annahme der Gemeinde sei unzutreffend, dass ihm ganz erhebliche Baukredite gewährt würden, wobei diese Kredite auch nicht für die Bezahlung von Prozesskostenvorschüssen verwendet werden dürften.
B.- Am 3. Mai 2001 wies der Bezirksgerichtsvizepräsident Albula das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab. Er forderte den Beklagten unter Hinweis auf den ansonsten erfolgenden Ausschluss vom Verfahren auf, innert der angesetzten Notfrist den verlangten Kostenvorschuss zu erbringen. Der Beklagte reichte gegen diesen Entscheid Beschwerde beim Kantonsgerichtsausschuss Graubünden ein. Er beantragte im Wesentlichen die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung.
Eventualiter verlangte er die Aufhebung des angefochtenen Kostenvorschusses, subeventuell dessen Herabsetzung unter Gewährung der Ratenzahlung. Zudem ersuchte er auch für das Beschwerdeverfahren um unentgeltliche Rechtspflege sowie um unentgeltliche Verbeiständung.
Der Kantonsgerichtsausschuss wies die Beschwerde mit Urteil vom 25. Juni 2001 ab, soweit er darauf eintrat.
C.- Gegen diesen Entscheid des Kantonsgerichtsausschusses erhebt der Beklagte am 17. September 2001 staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils und ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Vertretung im bundesgerichtlichen Verfahren. Er macht geltend, der angefochtene Entscheid verletze Art. 9 und 29 BV sowie Art. 6 EMRK.
Mit Eingabe vom 21. September 2001 reicht der Beschwerdeführer einen Auszug aus einem Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 26. April/12. Juli 2001 betreffend Bauauflage zu den Akten, in dem dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewährt wird.
Das Kantonsgericht Graubünden beantragt die Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei und verzichtet unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid auf Gegenbemerkungen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Entscheide über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege gelten als Zwischenentscheide, die in der Regel einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge haben (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 1). Sie können gemäss Art. 87 OG mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten werden.
b) Die staatsrechtliche Beschwerde ist - von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen - nur gegen kantonal letztinstanzliche Entscheide zulässig (Art. 86 OG). Da die staatsrechtliche Beschwerde als ausserordentliches Rechtsmittel spezifisch der Überprüfung des angefochtenen Entscheides auf dessen Verfassungsmässigkeit dient, sind neue tatsächliche und rechtliche Vorbringen grundsätzlich unzulässig (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1). Ausnahmen von dieser Regel gelten insbesondere für Vorbringen, zu deren Geltendmachung erst die Begründung des angefochtenen Entscheides Anlass gibt, zudem für Gesichtspunkte, die von der kantonalen Instanz offensichtlich von Amtes wegen hätten berücksichtigt werden müssen, für Vorbringen, die sich erst im Rahmen der angerufenen verfassungsmässigen Rechte als erheblich erweisen und schliesslich für Vorbringen, die im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen von der kantonalen Behörde hätten berücksichtigt werden müssen (Kälin, Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, 2. Aufl. , S. 369/370).
c) Soweit Nova zulässig sind, müssen sie während der dreissigtägigen Beschwerdefrist geltend gemacht werden (<ref-ruling> E. 1). Die nachträgliche Eingabe des Beschwerdeführers, mit der er die Anerkennung seiner Bedürftigkeit in einem anderen Verfahren nachweisen will, hat zum Vornherein unberücksichtigt zu bleiben, da sie nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereicht worden ist. Nicht zu hören ist der Beschwerdeführer auch, soweit er seine Rügen auf Tatsachen stützt, die im kantonalen Verfahren nicht festgestellt worden sind und auf die er sich nicht nachgewiesenermassen berufen hat. Für die Prüfung der Bedürftigkeit sind sämtliche Umstände im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuches zu würdigen, wobei die entscheidende Behörde unter Umständen Tatsachen mitberücksichtigen kann, die sich bis zum Entscheid in der Sache zugetragen haben (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 4). Sind jedoch nach dem massgebenden Prozessrecht neue tatsächliche Vorbringen nicht mehr zu berücksichtigen, so kann der Gesuchsteller mit tatsächlichen Noven einzig gehört werden, wenn er ein neues Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege stellt.
2.- a) Der Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt.
Unabhängig davon gilt die verfassungsrechtliche Minimalgarantie des <ref-law>, welche inhaltlich dem aus Art. 4 aBV abgeleiteten Anspruch entspricht (<ref-ruling> E. 2a). Das Verfassungsrecht gewährleistet jeder Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat die bedürftige Person zudem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Das Bundesgericht prüft frei, ob der unmittelbar aus <ref-law> fliessende Anspruch verletzt ist, während es die Anwendung kantonalen Gesetzesrechts nur unter dem Gesichtspunkt des verfassungsrechtlichen Willkürverbotes überprüft (<ref-ruling> E. 2c). Da der Beschwerdeführer nicht behauptet, dass ihm das kantonale Recht einen über die bundesverfassungsrechtliche Garantie hinausreichenden Anspruch gewährt und im Übrigen auch nicht begründet, inwiefern Art. 6 EMRK einen weitergehenden Anspruch als <ref-law> gewährleisten sollte, ist allein zu beurteilen, ob das Kantonsgericht durch die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege diese Verfassungsnorm verletzt hat. Nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss die Beschwerdeschrift namentlich eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 1c). Soweit eine hinreichende Begründung fehlt, ist auf die Vorbringen des Beschwerdeführers daher nicht einzutreten.
b) Der Kantonsgerichtsausschuss des Obergerichts hat dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Prozessführung verweigert, weil er die Voraussetzung der Bedürftigkeit nicht als hinreichend belegt erachtete. Die Frage der Erfolgsaussichten - zu denen sich der Beschwerdeführer selbst nicht vernehmen liess - hat er nicht abschliessend geprüft, diesbezüglich aber immerhin die Frage des Rechtsmissbrauchs aufgeworfen. Ob die entscheidende Behörde die Kriterien zur Beurteilung der Bedürftigkeit gemäss <ref-law> zutreffend angewandt hat, prüft das Bundesgericht frei. Die tatsächlichen Feststellungen zur wirtschaftlichen Situation des Gesuchstellers können dagegen nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots geprüft werden (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 3a). Für die Feststellung der wirtschaftlichen Situation des Gesuchstellers darf die entscheidende Behörde zwar die Beweismittel nicht formalistisch beschränken und etwa einseitig nur einen amtlichen Beleg über dessen finanzielle Verhältnisse zulassen (<ref-ruling> E. 3b). Sie hat allenfalls unbeholfene Rechtssuchende auf die Angaben hinzuweisen, die sie zur Beurteilung des Gesuches benötigt.
Grundsätzlich obliegt es aber dennoch dem Gesuchsteller, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend offen zu legen und soweit möglich auch zu beweisen. Dabei dürfen umso höhere Anforderungen an eine umfassende und klare Darstellung der gesamten wirtschaftlichen Situation gestellt werden, je komplexer diese ist. Verweigert ein Gesuchsteller die zur Beurteilung seiner aktuellen finanziellen Situation erforderliche Mitwirkung, so kann die Bedürftigkeit ohne Verletzung von <ref-law> verneint werden (<ref-ruling> E. 3a).
c) Der zuständige Richter forderte den Beschwerdeführer auf, die letzten amtlichen Schätzungen sämtlicher Liegenschaften in dessen Eigentum sowie eine Liste der geplanten oder bereits zur Bewilligung eingereichten Bauvorhaben vorzulegen. Der Beschwerdeführer hat dabei zwei Baulandparzellen in der Dorfbauzone C._ nicht genannt. Ebenso liess er die Parzelle D._ unerwähnt, für die er im August 1999 eine Baubewilligung erteilt bekam und die entsprechende Baute Ende 2000 fertiggestellt wurde. Schliesslich hat er die Parzelle E._ nicht angegeben, an der ihm ein Kaufrecht zusteht und für die ihm am 22. November 1999 eine Bewilligung zum Umbau des Berghotels in ein Mehrfamilienhaus erteilt wurde. Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang einerseits, es sei ihm das rechtliche Gehör verweigert worden, weil er vor dem erstinstanzlichen Entscheid nicht zur entsprechenden Auskunft der Gemeinde habe Stellung nehmen können. Anderseits bringt er vor, er sei seiner Mitwirkungspflicht im Ergebnis nachgekommen, weil er entgegen der Ansicht der kantonalen Gerichte die nicht angeführten Grundstücke zu Recht nicht genannt habe.
aa) Der Kantonsgerichtsausschuss hat im angefochtenen Urteil offen gelassen, ob der erstinstanzliche Richter dem Gesuchsteller das rechtliche Gehör verweigert hatte, indem er ihm die Auskunft der Gemeinde nicht zur Stellungnahme unterbreitete. Er hat dagegen eine allfällige Gehörsverweigerung durch die Aushändigung der Akten und die Möglichkeit der Beschwerde als geheilt erachtet. Die Heilung einer Gehörsverweigerung hat die Ausnahme zu bleiben. Es geht insbesondere nicht an, dass eine erstinstanzliche Behörde Verfahrensrechte systematisch im Vertrauen darauf missachtet, dass diese Mängel im Beschwerdeverfahren nachträglich geheilt werden (<ref-ruling> E. 6b/aa). Eine einmalige Gehörsverweigerung kann jedoch im Rahmen eines Rechtsmittelverfahrens geheilt werden, insofern als der Rechtsmittelbehörde in Bezug auf die konkreten Vorbringen des Beschwerdeführers bei nachträglicher Gewährung des rechtlichen Gehörs freie Prüfung zusteht (<ref-ruling> E. 2d). Dies trifft hier insoweit zu, als der Kantonsgerichtsausschuss frei geprüft hat, ob der Beschwerdeführer seiner prozessualen Obliegenheit zur uneingeschränkten Offenlegung der Vermögenssituation nachgekommen ist. Der Kantonsgerichtsausschuss hat in diesem Rahmen insbesondere zu den Einwänden des Beschwerdeführers Stellung genommen und begründet, weshalb er die fehlenden Angaben als für die Feststellung der Vermögenslage und namentlich der Kreditwürdigkeit des Beschwerdeführers als wesentlich erachtet. Der Kantonsgerichtsausschuss hat die Verweigerung des rechtlichen Gehörs zutreffend als geheilt erachtet.
bb) Dem Kantonsgerichtsausschuss kann im Übrigen ohne weiteres gefolgt werden, wenn er als erwiesen ansah, dass der Beschwerdeführer seine Vermögenslage nicht vollständig offen gelegt hat, indem er insbesondere das Kaufrecht an einer Liegenschaft und das Eigentum an zwei Bauparzellen verschwiegen hat. Die blosse Behauptung des Beschwerdeführers, ein Projekt auf den Bauparzellen sei nicht realisierbar und diese Parzellen trügen nur zum weiteren Schuldenüberhang bei und seien Nonvaleurs, vermag die fehlende Angabe dieser Grundstücke nicht zu erklären, zumal der zuständige Gerichtspräsident ausdrücklich die vollständige Angabe sämtlicher Grundstücke in der Gemeinde X._ verlangt hatte. Der Kantonsgerichtsausschuss hat entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers zutreffend geschlossen, dass dieser seine Vermögenslage nicht offen gelegt hat und damit seiner Mitwirkungspflicht bei der Abklärung seiner wirtschaftlichen Situation nicht nachgekommen ist. Dass der Beschwerdeführer, der immerhin über Liegenschaften im Werte von mehr als fünf Millionen Franken verfügt und nach wie vor Baukredite erhält, für einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 3'500.-- keinen Kredit erhalten sollte, durfte der Kantonsgerichtsausschuss aufgrund dieser Sachlage ohne Verstoss gegen das Willkürverbot verneinen. Der Kantonsgerichtsausschuss hat die Bedürftigkeit bei dieser Sachlage ohne Verletzung von <ref-law> verneint. Ob der Beschwerdeführer tatsächlich, wie er behauptet, auch um unentgeltlichen Rechtsbeistand ersucht hatte, braucht bei dieser Sachlage nicht geprüft zu werden.
3.- Der Beschwerdeführer rügt als Verweigerung des rechtlichen Gehörs überdies, dass sein Gesuch um Herabsetzung des Kostenvorschusses und Einräumung der Ratenzahlung nicht behandelt worden sei. Der Kantonsgerichtsausschuss ist auf dieses Gesuch mit der Begründung nicht eingetreten, der Bezirksgerichtsvizepräsident habe den Kostenvorschuss am 29. September 2000 verfügt und es hätte dagegen innert 20 Tagen Prozessbeschwerde nach <ref-law> an den Bezirksgerichtsausschuss erhoben werden können. Ausserdem hat das Gericht noch beigefügt, dass die Rügen auch materiell unbegründet wären. Die Behauptung des anwaltlich vertretenen Beschwerdeführers, er habe die erstmals mit Rechtsmittelbelehrung versehene Verfügung rechtzeitig angefochten, trifft schon deshalb nicht zu, weil die Rechtsmittelbelehrung ausdrücklich auf die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege beschränkt war. Im Übrigen ist der Beschwerdeschrift nicht zu entnehmen, inwiefern das Kantonsgericht mit dem angefochtenen Nichteintretensentscheid verfassungsmässige Rechte verletzt haben könnte (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG).
4.- Der Kantonsgerichtsausschuss ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers im Ergebnis auch nicht in Willkür verfallen, wenn er diesem die unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren verweigerte. Über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann ohne weiteres gleichzeitig mit dem Entscheid in der Sache entschieden werden, zumal der Zweck der unentgeltlichen Rechtspflege - die Gewährleistung des Zugangs zum Recht - mit dem Entscheid in der Sache erreicht ist und die unentgeltliche Rechtspflege grundsätzlich nicht die definitive Kostenbefreiung umfasst.
Es entspricht denn auch dem Vorgehen des Bundesgerichts, in gewissen Fällen das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zusammen mit dem Entscheid in der Sache zu behandeln. Dieses Vorgehen rechtfertigt sich auch im vorliegenden Fall. Die Voraussetzungen von Art. 152 OG sind auch für das bundesgerichtliche Verfahren nicht erfüllt, so dass das Gesuch für das vorliegende Verfahren ebenfalls abzuweisen ist. Der Beschwerdeführer hat dem Verfahrensausgang entsprechend die Gerichtsgebühr zu bezahlen (ARt. 156 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Kantonsgericht von Graubünden (Kantonsgerichtsausschuss) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 19. Oktober 2001
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: