Faits:
A. A.a L'Hôpital X._ (auparavant Y._) a été créé au 1er janvier 2006. Il a repris l'ensemble des contrats de travail établis par les différents sites intégrés du canton. En 2006, le personnel de l'Hôpital X._ était soumis à la convention collective de travail Santé21 du secteur de la santé (ci- après: CCT Santé21), à l'exception de son système de rémunération, qui n'était pas encore en vigueur. Cela avait pour conséquence de laisser subsister des disparités salariales pour un même poste en fonction du site d'affectation.
A.b Le système de rémunération de la CCT Santé21 est entré en vigueur le 1er janvier 2007 pour l'ensemble des institutions de santé subventionnées du canton. Les conditions de transposition des salaires des employés en service au 31 décembre 2006 ont fait l'objet de règles édictées par les organes de la convention et devenues applicables dès le 1er janvier 2007. Annexé à la convention, le règlement sur la rémunération (ci-après: RRE) contient les principes de fixation du salaire du personnel hospitalier. Chaque fonction est colloquée dans une chaîne et dans une classe de la grille des fonctions (art. 5 al. 1 RRE). Selon l'art. 5.1 RRE, le salaire à l'engagement est fixé en fonction de l'expérience acquise et attestée (al. 1). Les années d'expérience professionnelle dans une fonction équivalente donnent droit chacune à un échelon (al. 2), les années d'expérience professionnelle utile à la fonction à trois quarts d'échelon (al. 3) et les années d'autres expériences professionnelles ou d'expérience de vie à un quart d'échelon (al. 5).
A.c Le 1er novembre 2007, des employés de l'Hôpital X._ ont constitué une association appelée le «Groupement du personnel de l'Etablissement hospitalier X._» (ci-après: le Groupement), dans le but d'intenter «une action en vue de la reconnaissance de l'ancienneté professionnelle complète pour le calcul des échelons de collocation de la CCT 21».
B. Le 27 mai 2009, le Groupement a ouvert action devant le Tribunal administratif neuchâtelois (depuis le 1er janvier 2011: Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel). Il a conclu, principalement, à la constatation de l'inégalité de traitement entre anciens et nouveaux employés en ce qui concerne la collocation des années d'expérience dans la fixation de leur salaire, subsidiairement au renvoi de la cause à l'Hôpital X._ pour nouvel examen des dossiers et transposition des salaires à l'échelon correspondant à leurs années d'expérience, avec effet rétroactif au 1er janvier 2007. La liste des demandeurs à l'action contenait 170 membres.
L'échange d'écriture a pris fin par le dépôt du mémoire de duplique de l'Hôpital X._, le 14 septembre 2009.
Parallèlement à cette action de droit administratif, cinq employés de l'Hôpital X._ ont également saisi la juridiction cantonale. Par courrier du 16 février 2011, le président de la Cour de droit public a écrit à la mandataire du Groupement, la lettre suivante:
«L'ancien Tribunal administratif a clôturé en septembre 2010 l'instruction du dernier recours déposé contre une décision de classification rendue le 14 juillet 2010 par la Direction générale de l'Hôpital X._.
Dans un premier temps, la Cour de droit public du Tribunal cantonal, qui a succédé au Tribunal administratif dès le 1er janvier 2011 (art. 47 et 83 OJN) envisageait de joindre l'ensemble des 175 causes (dont une, collective, regroupant 170 parties).
Au regard de la diversité des conclusions prises par les parties, une telle jonction ne sera toutefois pas possible. Suite à diverses demandes relatives à l'évolution de ces dossiers, la Cour de droit public envisage de trancher préliminairement un des recours ou actions déposés (cas pilote). L'arrêt rendu sera anonymisé et, dès son entrée en force, notifié aux autres parties avec fixation d'un délai pour se prononcer quant aux suites sollicitées dans leur propre affaire».
Le 13 mai 2011, le juge instructeur a informé le Groupement que le « cas pilote » dans les six affaires en cours serait le sien.
C. Le 22 août 2012, le Groupement a interjeté un recours en matière de droit public, éventuellement un recours constitutionnel subsidiaire, pour déni de justice, en concluant à ce que la Cour de droit public soit invitée à statuer à bref délai sur son action.
La juridiction cantonale a présenté des observations sur le recours.
D. Par arrêt du 29 octobre 2012, la Cour de droit public a rendu son jugement dans la cause qui oppose le Groupement à l'Hôpital X._.
Considérant en droit.
1. Le recours est formé au motif que la juridiction cantonale tardait à rendre une décision (<ref-law>) sur des prétentions pécuniaires en matière de rapports de travail de droit public (cf. art. 83 let. g LTF). Sur le fond, il s'agit d'une cause qui relève soit du recours en matière de droit public, si le seuil requis de la valeur litigieuse est atteint (<ref-law>) ou, à défaut (et sous réserve de l'<ref-law>), du recours constitutionnel subsidiaire également formé par le recourant (art. 113 et 117 LTF).
2. Le Tribunal cantonal ayant rendu son arrêt, le recours en matière de droit public déposé pour déni de justice a ainsi perdu son objet. En outre, les conditions auxquelles le Tribunal fédéral entre exceptionnellement en matière sur le fond d'une affaire malgré le défaut d'un intérêt juridique pratique et actuel du recours ne sont pas réunies (<ref-ruling> consid 1.3 p. 276; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 81). Le recourant ne peut donc se prévaloir d'aucun intérêt juridique à faire constater un éventuel retard à statuer. Cet intérêt ayant disparu après le dépôt du recours, ce dernier doit être déclaré sans objet et la cause rayée du rôle (<ref-ruling> consid. 2 p. 500). Il en va de même du recours constitutionnel subsidiaire.
3. Lorsqu'un procès devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, le Tribunal fédéral statue néanmoins sur les frais afférents à la procédure engagée par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige (<ref-law> applicable par renvoi de l'<ref-law>) et de l'issue probable de celui-ci (cf. <ref-ruling> consid. 2a p. 375).
3.1 En vertu de l'art. 29 al. 1 Cst., toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. Cette disposition consacre le principe de la célérité, ou, en d'autres termes, prohibe le retard injustifié à statuer. Viole la garantie ainsi accordée, l'autorité qui ne rend pas une décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans le délai que la nature de l'affaire et les circonstances font apparaître comme raisonnable. Le caractère raisonnable du délai s'apprécie selon les circonstances particulières de la cause, eu égard en particulier à la complexité de l'affaire, au comportement du requérant et à celui des autorités compétentes, ainsi qu'à l'enjeu du litige pour l'intéressé (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 277; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 331).
3.2 Devant l'autorité cantonale, le litige portait sur le point de savoir si le système de transposition salariale appliqué par l'Hôpital X._ était ou non constitutif d'une inégalité de traitement entre anciens employés de Y._ et les nouveaux employés, dès lors que les dispositions de l'art. 5.1 RRE étaient seulement appliquées aux nouveaux collaborateurs.
Dans son jugement du 29 octobre 2012, la juridiction cantonale a répondu par l'affirmative à cette question. En comparant - à expérience et fonction égales - les conditions d'engagement et de rémunération du nouveau personnel de l'Hôpital X._ avec celles du personnel repris des anciennes institutions, les premiers juges ont constaté que la transposition des salaires franc pour franc avait fait perdre à certains employés de longue date un nombre d'échelons parfois important. Par conséquent, ils ont conclu que l'ancien personnel hospitalier était (sous réserve d'exceptions) victime d'une inégalité de traitement par rapport au personnel engagé dès le 1er janvier 2007 et qu'aucune justification objective ne pouvait expliquer cette différence de traitement.
3.3 En l'espèce, l'action de droit administratif a été ouverte devant l'autorité cantonale le 27 mai 2009. L'échange d'écritures s'est achevé par la transmission du mémoire de duplique de l'Hôpital X._, le 14 septembre 2009. Il s'est donc écoulé environ trois ans entre la fin de cet échange et le dépôt du recours pour déni de justice en août 2012. L'affaire n'a par ailleurs nécessité aucune mesure particulière d'instruction en ce qui concerne l'établissement des faits. En outre, on ne peut pas retenir qu'elle présentait une très grande complexité au plan juridique. On note enfin que le Groupement n'est pas resté inactif puisqu'il s'est inquiété à deux reprises de l'avancement de la procédure, soit en mars 2011 et au début de l'année 2012. Dans ces conditions, on doit considérer qu'un délai de pratiquement trois ans (sans compter le temps nécessaire à l'échange des écritures) dépasse la limite raisonnable.
3.4 Dans ses déterminations, la Cour de droit public fait valoir qu'elle s'est trouvée confrontée, en l'espace de quatre mois, au départ de trois greffiers-rédacteurs. En outre, la greffière-rédactrice de l'ancien Tribunal fiscal n'a pas rejoint, contrairement à ce qui était prévu, le Tribunal cantonal. Enfin, une juge de la Cour a souhaité changer de domaine d'activités. Une organisation déficiente ou une surcharge structurelle ne peuvent cependant justifier la lenteur excessive d'une procédure. Il appartient en effet à l'Etat d'organiser ses juridictions de manière à garantir aux citoyens une administration de la justice conforme aux règles (cf. ATF <ref-ruling> consid. 5.2 p. 332; <ref-ruling> consid. 2a p. 191, 373 consid. 2b/aa p. 375).
Les premiers juges invoquent aussi le contexte très particulier de la cause, savoir plusieurs affaires ou recours concernant le même objet (nouvelle classification du personnel de Y._). Cet argument ne saurait être décisif, du moment que la présente affaire, considérée comme un «cas pilote», a été traitée séparément des autres.
Enfin, la Cour cantonale met en évidence l'importance de l'enjeu financier de la cause pour le canton. S'il est vrai que le cas méritait un examen approfondi, pouvant justifier une durée plus longue que les procédures habituelles dans le domaine du droit de la fonction publique, l'allongement nécessaire n'était pas tel qu'il puisse peser d'un poids décisif au regard de la durée de la procédure dans son ensemble.
4. En conclusion, le Groupement aurait été fondé à se plaindre d'un retard inadmissible à statuer.
Les frais judiciaires ne peuvent être mis à la charge du canton de Neuchâtel (<ref-law>); en revanche, celui-ci versera des dépens au recourant, dont l'intervention était justifiée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).


Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La cause, devenue sans objet, est rayée du rôle.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. L'Etat de Neuchâtel versera au Groupement la somme de 1'800 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Etat de Neuchâtel et à l'Hôpital X._.
Lucerne, le 5 décembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
La Greffière: Berset