Faits:
A. L._, née en 1968, travaille à l'Hôpital Y._ depuis septembre 2004 en qualité d'éducatrice spécialisée. Elle a requis de son employeur l'établissement d'un certificat de travail intermédiaire. Après qu'elle eut refusé un premier certificat daté du 31 décembre 2008, au motif qu'il contenait la mention d'une période durant laquelle elle avait été en incapacité de travail (14 mars 2005 au 9 avril 2007), un nouveau certificat de travail intermédiaire a été établi le 5 mai 2009 par l'employeur. Il y était mentionné l'activité exercée du 6 septembre 2004 au 13 mars 2005, puis une activité différente du 10 avril 2007 au 31 décembre 2008. Le certificat ne contenait plus aucune indication au sujet de l'intervalle entre ces deux périodes. L._ a également refusé ce deuxième certificat de travail. Par courrier du 20 mai 2009, le Centre X._, qui est un établissement de droit public cantonal, lui a signifié qu'il n'entendait pas «poursuivre la discussion» sur le contenu de cette deuxième attestation. L'intéressée a demandé au Centre X._ de revenir sur sa position, ce que ce dernier a refusé par lettre du 22 juillet 2009.
B. L._ a recouru devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel contre la décision du Centre X._ du 22 juillet 2009, respectivement celle du 20 mai 2009. Elle a demandé la modification du certificat établi par son employeur en ce sens qu'il soit dépourvu de la mention, même implicite, de sa période d'absence. Par jugement du 12 janvier 2010, le Tribunal administratif a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, L._ demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal et d'ordonner au Centre X._ de modifier le certificat de travail intermédiaire selon sa proposition. A titre subsidiaire, elle conclut au renvoi de la cause au Tribunal administratif pour nouvelle décision au sens des considérants.
Le Centre X._ conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, à son rejet.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 43). Toutefois, conformément à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, dans la mesure où elles ne sont pas immédiatement données, le recourant doit exposer en quoi les conditions de recevabilité sont réunies (<ref-ruling> consid. 1 p. 356 et les références citées).
2. 2.1 La contestation tranchée par l'autorité de recours de première instance porte sur le contenu du certificat de travail d'une employée soumise à des rapports de travail de droit public. Il s'agit d'une cause de droit public et le jugement entrepris peut dès lors faire l'objet d'un recours en matière de droit public (<ref-law>).
2.2 Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public (lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause), le recours en matière de droit public est irrecevable contre des décisions qui concernent une contestation non pécuniaire. Selon la jurisprudence, les litiges relatifs à l'établissement ou à la formulation de certificats de travail sont des contestations pécuniaires (<ref-ruling> consid. 2b p. 380). Cela vaut non seulement pour les litiges dans le domaine des rapports de travail de droit privé, mais aussi pour les contestations en matière de droit public (arrêt 1C_195/2007 du 17 décembre 2007 consid. 2; cf. aussi TOMAS POLEDNA, Arbeitszeugnis und Referenzauskünfte des Arbeitgebers im öffentlichen Dienst, in: ZBl 4/2003 p. 169 s.).
2.3 En matière pécuniaire, le recours n'est en principe recevable que si la valeur litigieuse atteint 15'000 fr. (<ref-law>). La demande de délivrance d'un certificat de travail ne tend pas au paiement d'une somme d'argent déterminée. Dans un tel cas, le Tribunal fédéral fixe la valeur litigieuse selon son appréciation (<ref-law>). Il incombe à la partie, sous peine d'irrecevabilité, de donner les éléments suffisants pour permettre au Tribunal fédéral d'estimer aisément cette valeur (cf. art. 42 al. 1 et 2 LTF). Le contrôle d'office ne supplée pas au défaut d'indication de la valeur litigieuse. Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de procéder lui-même à des investigations pour la déterminer, si elle ne résulte pas d'emblée des constatations de la décision attaquée (<ref-law>) ou d'autres éléments ressortant du dossier. Il n'est lié ni par l'estimation de la partie recourante ou un accord des parties, ni par une estimation manifestement erronée de l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 62; SJ 2010 I p. 37, 8C_473/2009 consid. 3.2.1). En principe toutefois, il ne s'écartera pas sans raison de la valeur litigieuse fixée par l'autorité précédente et admise par les parties (arrêts 1C_195/2007 du 17 décembre 2007 consid. 3 et 4C.60/2005 du 28 avril 2005 consid. 1).
2.4 Le Tribunal administratif n'a pas fixé de valeur litigieuse. Faute de critères précis fixés par celui-ci et compte tenu des pratiques cantonales fort différentes, la recourante, suivant certains avis doctrinaux, propose de prendre en compte une valeur litigieuse équivalente à trois mois de salaire. Selon ses allégués, elle bénéficiait, au moment de l'introduction de l'instance, d'un salaire correspondant à un échelon 13 en classe 7 selon le règlement sur la rémunération de la convention collective de travail de droit public du secteur de la santé du canton de Neuchâtel (CCTsanté21), ce qui équivaut pour un travail à temps partiel de 80 pour cent à une rémunération mensuelle de 5'085 fr. 96 brut, soit de 15'257 fr. 88 pour trois mois.
L'intimé soutient que le seuil requis n'est pas atteint. Selon lui la valeur litigieuse se détermine en raison du dommage potentiel que le salarié pourrait subir lors de la recherche d'un nouvel emploi. En l'espèce, il n'y aurait pas de préjudice puisque la recourante devrait de toute façon révéler spontanément les faits qu'elle voudrait voir occultés. L'intimé expose par ailleurs que la comptabilisation la plus élevée pratiquée par les autorités cantonales se fonde sur un mois de salaire (cantons de Zurich, d'Argovie et de Thurgovie), ce qui conduirait en l'espèce à retenir un montant nettement en-dessous de la valeur minimale demandée.
2.5 Dans un ancien arrêt (ATF 74 II 43), le Tribunal fédéral a considéré que la valeur litigieuse minimale pour le recours en réforme (alors de 4'000 fr.) ne pouvait d'emblée pas être atteinte pour la délivrance d'un certificat de travail. Dans l'<ref-ruling> consid. 2b p. 380, il s'est fondé sur le comportement en procédure cantonale des parties, qui avaient reconnu implicitement la compétence ratione materiae du Tribunal des prud'hommes, limitée dans ce cas aux contestations dont la valeur litigieuse n'excédait pas 7'000 fr., soit un montant inférieur au seuil minimal requis pour un recours en réforme (alors 8'000 fr.). Ultérieurement (arrêt 4C.60/2005 du 28 avril 2005 consid. 1), il a admis une valeur litigieuse correspondant à deux salaires mensuels fixée par le Tribunal cantonal pour la modification du certificat de travail délivré à un fondé de procuration. Il a aussi jugé que la pratique cantonale consistant à fixer une valeur litigieuse correspondant à un salaire mensuel n'était pas arbitraire (arrêt 4P.208/2001 du 21 novembre 2001 consid. 3b; voir également l'arrêt 4C.158/1996 du 14 janvier 1997 consid. 2a dans lequel l'autorité cantonale avait estimé cette valeur à 500 fr.). Enfin, plus récemment, le Tribunal fédéral n'a pas remis en cause une valeur litigieuse de 15'000 fr. arrêtée par l'autorité précédente et non contestée par les parties dans un litige portant sur le contenu d'un certificat de travail remis à un médecin (arrêt 1C_195/2007 du 17 décembre 2007 consid. 3). Comme principe général d'estimation le Tribunal fédéral retient l'entrave à l'avenir professionnel du travailleur (ATF 74 II 44). Des critères d'appréciation retenus par les autorités cantonales, tels que la profession, la fonction, la durée des rapports de travail, ainsi que le niveau de salaire, sont considérés comme pertinents (arrêt 1C_195/2007 du 17 décembre 2007 consid. 3).
2.6 Dans les litiges portant sur la remise ou le contenu d'un certificat de travail, le calcul de la valeur litigieuse par les différentes autorités judiciaires cantonales est très disparate (FAVRE/MUNOZ/TOBLER, Le contrat de travail, 2010, no 2.8 ad <ref-law>; RÉMY WYLER, Droit du travail, 2e éd. 2008, p. 368; MANFRED REHBINDER, Schweizerisches Arbeitsrecht, 15e éd., 2002, n° 264 p. 131). Elle est parfois symbolique ou fixée en fonction du salaire mensuel (voir arrêt 4P.208/2001 du 21 novembre 2001 consid. 3b; STREIFF/VON KAENEL, Arbeitsvertrag, 6e éd., 2006, n° 6 ad <ref-law> p. 473; voir également l'arrêt du Tribunal supérieur du canton de Schaffhouse du 6 mai 1994, in RSJ 91/1995 p. 370).
2.7 La doctrine a critiqué le caractère trop bas de la valeur litigieuse retenue par les instances cantonales (cf. WYLER, op. cit., p. 369 n. 1307; STREIFF/VON KAENEL, op. cit., n° 6 ad <ref-law> p. 473 s; JÜRG BRÜHWILER, Kommentar zum Einzelarbeitsvertrag, 2e éd. 1996, n° 4 ad <ref-law>; SUSANNE JANSSEN, Die Zeugnispflicht des Arbeitgebers, 1996, p. 163). Dans la mesure où la contestation sur le contenu du certificat de travail est de nature à entraver le travailleur dans son avenir professionnel, WYLER propose d'apprécier la valeur litigieuse au regard du nombre de mois durant lesquels le travailleur est entravé dans sa recherche d'emploi ou des répercussions sur le nouveau salaire souhaité. En l'absence d'indications particulières, cet auteur préconise la prise en compte d'une valeur litigieuse correspondant à trois mois du salaire du travailleur concerné (op. cit., p. 368 s.). D'autres auteurs suggèrent de déterminer pour chaque cas individuel, en tenant compte de toutes les circonstances du cas d'espèce, l'intérêt pécuniaire du travailleur à faire reconnaître son droit en justice (GEISER/MÜNCH, Stellenwechsel und Entlassung, 1997, p. 53 n. 264; JANSSEN, op. cit., p. 163). L'importance d'un certificat de travail varie selon la qualification et la fonction du salarié et la situation du marché de l'emploi. Ainsi, le certificat de travail revêt parfois moins d'importance pour la recherche d'un poste de travail simple que d'un emploi dans une fonction plus élevée, encore que pour les emplois de cadre cette importance a tendance à diminuer au profit d'autres procédures de sélection du personnel (POLEDNA, op. cit., p. 170; JANSSEN, op. cit., p. 1 ss).
2.8 Il ressort des considérations qui précèdent, en particulier de la jurisprudence fédérale, que la valeur litigieuse ne saurait être fixée dans l'absolu en fonction d'un nombre déterminé de salaires mensuels. D'autre part, comme on l'a vu, la partie recourante doit donner, conformément à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, les éléments suffisants pour permettre au Tribunal fédéral d'estimer aisément la valeur litigieuse, sous peine d'irrecevabilité. En l'espèce, la recourante n'allègue pas qu'elle est entravée d'une manière ou d'une autre dans son avenir professionnel. Elle est du reste toujours au service du même employeur. Elle ne prétend pas, en particulier, qu'elle aurait des difficultés à changer d'employeur ni même qu'elle envisage la recherche d'un nouvel emploi. Dans ces conditions, on ne saurait sans plus admettre que son intérêt pécuniaire atteint la valeur litigieuse requise de 15'000 fr. Par conséquent, le recours en matière de droit public apparaît irrecevable au regard de l'<ref-law>.
3. 3.1 Lorsque la valeur litigieuse est insuffisante, le recours est néanmoins recevable si la contestation soulève une question juridique de principe (<ref-law>). Lorsque le recours n'est recevable qu'à cette condition, le recourant doit exposer en quoi l'affaire remplit cette exigence (art. 42 al. 2, deuxième phrase, LTF; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 269; <ref-ruling> consid. 2.2.2.1 p. 442).
3.2 En l'espèce, la recourante allègue que le point litigieux, qui est de savoir si l'employeur peut mentionner dans un certificat de travail intermédiaire une absence de l'employée de près de deux ans pour cause de maladie, n'a jamais été tranché par le Tribunal fédéral. Elle fait valoir que la loi ne fournit pas de réponse claire à cette question (<ref-law>), pas plus d'ailleurs que les jurisprudences cantonales. De son côté, la doctrine n'est pas unanime. Le besoin d'une jurisprudence fédérale à ce sujet serait d'autant plus aigu que la question est susceptible de trouver application dans nombre de cas futurs.
3.3 La jurisprudence a souligné qu'il fallait se montrer restrictif dans l'admission d'une dérogation à l'exigence de la valeur litigieuse sur la base de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law>. Elle s'est efforcée de cerner la notion de contestation soulevant une question juridique de principe. En résumé, il faut qu'il soit nécessaire, pour résoudre le cas d'espèce, de trancher une question juridique qui donne lieu à une incertitude caractérisée, laquelle appelle de manière pressante un éclaircissement de la part du Tribunal fédéral, en tant qu'autorité judiciaire suprême chargée de dégager une interprétation uniforme du droit fédéral (ATF 4A_54/2010 du 4 mai 2010 consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 399; arrêt 4A_64/2008 du 27 mai 2008 consid. 1.1). Il faut en particulier que la question juridique présentée se rapporte à un domaine du droit qui est soumis au contrôle du Tribunal fédéral; autrement dit, la question doit se rapporter à une norme dont la violation est un motif de recours au Tribunal fédéral en vertu des art. 95 et 96 LTF (Message du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4108 ch. 4.1.3.1; cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 269). Si la question se rapporte à une norme de droit cantonal que le Tribunal fédéral ne peut pas revoir librement, celui-ci ne saurait rendre une décision de principe (cf. arrêt 1C_58/2008 du 7 mai 2009 consid. 1.2). Si son pouvoir d'examen est limité à la violation des droits constitutionnels, il suffit en effet que le recourant interjette un recours constitutionnel subsidiaire et une dérogation à l'exigence de la valeur litigieuse ne se justifie pas (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 187; arrêts 4A_517/2009 du 4 janvier 2010 consid. 1.3.1, 4A_64/2008 du 27 mai 2008 consid. 1.1; BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 36 ad <ref-law>).
3.4 Le présent litige a pour objet la formulation du certificat de travail d'une employée soumise à un rapport de travail de droit public cantonal. Dans un tel cas, le droit fédéral ne peut s'appliquer qu'à titre de droit cantonal supplétif (arrêts 8C_340/2009 du 24 août 2009 consid. 1.2, 1C_195/2007 du 17 décembre 2007 consid. 4.1 et 1P.169/2000 du 31 août 2000 consid. 4c; POLEDNA, op. cit., p. 170). Les relations de travail de la recourante avec le Centre X._ sont régies par la CCTsanté21. Celle-ci ne fait aucune mention du droit du salarié à l'obtention d'un certificat de travail. Comme l'ont relevé les premiers juges, ce droit découle de l'art. 76 de la loi du 28 juin 1995 sur le statut de la fonction publique du canton de Neuchâtel (LSt; RSN 152.510) qui reprend en substance la teneur de l'<ref-law>.
3.5 Contrairement à ce que soutient la recourante, il ne s'agit donc pas, en l'espèce, de trancher le point de savoir si le certificat de travail intermédiaire litigieux est ou non conforme aux exigences de l'<ref-law>. La question porte bien plutôt sur l'application de l'art. 76 LSt, que le Tribunal fédéral ne peut revoir que sous l'angle de l'arbitraire. On peut certes admettre que les principes jurisprudentiels dégagés à propos de cette disposition du code des obligations sont applicables par analogie dans le domaine du droit cantonal de la fonction publique. Mais cela ne change pas la nature du droit cantonal public. Il est donc exclu que le Tribunal fédéral puisse revoir avec un plein pouvoir d'examen l'application de ces principes (art. 95 en corrélation avec l'<ref-law>). Partant, la recevabilité du recours en matière de droit public ne saurait être reconnue en application de l'<ref-law>.
4. Le jugement entrepris ne pouvant pas faire l'objet d'un recours en matière de droit public, il reste à examiner si le recours est recevable au titre de recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>).
4.1 La recourante n'a pas formé, même à titre subsidiaire, un recours constitutionnel. L'intitulé erroné d'un recours ne nuit cependant pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies et qu'il soit possible de convertir le recours dans son ensemble (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382).
4.2 Un tel recours peut être formé pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). L'acte de recours doit, à peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et préciser en quoi consiste la violation. Le Tribunal fédéral n'a donc pas à vérifier de lui-même si l'arrêt entrepris est en tous points conforme au droit et à l'équité, mais n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours (<ref-law> en corrélation avec l'<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 143).
4.3 La voie du recours constitutionnel subsidiaire n'est ouverte que pour se plaindre de la violation de droits constitutionnels. Ces droits se déduisent en particulier de la Constitution fédérale (art. 7 à 36 Cst.), de la Convention européenne des droits de l'homme ou des droits individuels protégés par le Pacte international relatif aux droits civils et politiques (Pacte ONU II) ou encore des garanties accordées par les Constitutions cantonales (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 368).
4.4 La recourante invoque une violation des dispositions légales relatives à l'exercice du droit au certificat de travail (<ref-law>), à la protection des données (<ref-law>; loi fédérale du 19 juin 1992 sur la protection des données [LPD; RS 235.1]) et à la protection de la personnalité (<ref-law>). Ces motifs de recours, qui portent sur une violation du droit fédéral, n'ont pas trait aux droits constitutionnels (arrêt 4A_465/2008 du 28 novembre 2008 consid. 2.2). La recourante se prévaut également de l'art. 21 LSt (communication de renseignements) sans pour autant soulever un grief d'ordre constitutionnel. En particulier elle ne reproche pas au Tribunal cantonal d'être tombé dans l'arbitraire (art. 9 Cst.). On cherche en vain dans l'acte de recours l'indication d'un droit constitutionnel qui aurait été méconnu par l'autorité précédente.
4.5 En conséquence, les conditions d'une conversion du recours en matière de droit public en un recours constitutionnel subsidiaire ne sont pas remplies. Dès lors, l'écriture de la recourante n'est pas non plus recevable en tant que recours constitutionnel subsidiaire.
5. De ce qui précède, il résulte que le recours est irrecevable.
Vu l'issue du litige, les frais de justice doivent être supportés par la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1, première phrase, LTF en relation avec l'art. 65 al. 2 et 3 let. b LTF). Ils sont fixés en application de l'art. 65 al. 4 let. c LTF, car la valeur litigieuse ne dépasse pas 30'000 fr.
6. L'intimé, qui obtient gain de cause, a conclu au versement d'une indemnité de dépens.
6.1 En règle générale, aucuns dépens ne sont alloués à la Confédération, aux cantons, aux communes ou aux organisations chargées de tâches de droit public lorsqu'ils obtiennent gain de cause dans l'exercice de leurs attributions officielles (<ref-law>). L'<ref-law> s'applique également dans le domaine de la fonction publique, selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral (DTA 2009 p. 311, 8C_340/2009 consid. 5; arrêts 8C_283/2010 du 20 mai 2010 consid. 6, 8C_952/2009 du 18 mai 2010 consid. 4, 8D_3/2009 du 23 mars 2010 consid. 5, 8D_7/2009 du 10 mars 2010 consid. 4, 8D_4/2009 du 3 mars 2010 consid. 8, 8C_356/2009 du 20 février 2010 consid. 5, 1C_88/2007 du 26 novembre 2008 consid. 3, 1C_142/2007 du 13 septembre 2007 consid. 9). Peu importe que l'entité publique ait ou non recouru aux services d'un avocat ou qu'elle ait agi par son propre service juridique.
6.2 Dans l'<ref-ruling>, le Tribunal fédéral a jugé que la collectivité qui est touchée dans son intérêt patrimonial en tant qu'employeur n'est pas dispensée des frais judiciaires. Elle ne bénéficie donc pas de l'exonération de l'<ref-law> prévue pour les collectivités publiques et les organisations chargées de tâches de droit public. Comme le souligne CORBOZ (op. cit., no 28 ad <ref-law>), l'absence de droit aux dépens (selon <ref-law>) n'est pas la contrepartie de l'exonération des frais prévue à l'<ref-law> : il n'y a pas de lien véritable entre les deux règles et l'<ref-law> procède bien plutôt de la volonté de ne pas dissuader le justiciable de recourir contre des décisions étatiques, par crainte du risque de devoir supporter des dépens. Peu importe que l'entité publique ait ou non un intérêt patrimonial à la cause. Ainsi, une entité publique qui n'est pas dispensée des frais judiciaires, en raison de son intérêt patrimonial au litige, ne peut en principe obtenir des dépens; ce qui est décisif c'est qu'elle agisse dans le cadre de ses attributions officielles (THOMAS GEISER, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, n°19 ss ad <ref-law>; CORBOZ, ibidem). C'est le cas de l'intimé.
6.3 Dans le cas particulier, il n'y a pas lieu de s'écarter de la règle générale susmentionnée. L'intimé n'indique d'ailleurs aucune circonstance qui justifierait une exception. Sa prétention à des dépens doit ainsi être écartée.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel Cour de droit public.
Lucerne, le 31 août 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung Hofer