Faits:
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A. Le 17 août 1998, A._, une citoyenne iranienne domiciliée à Londres, a conclu avec Y._, société anonyme dont le siège principal est à Zurich, succursale de Genève (ci-après: la Banque), un contrat de compte courant, de giro bancaire et de dépôt soumis aux conditions générales usuelles, ainsi qu'à celles relatives aux contrats d'options exécutés par l'intermédiaire de la Banque.
L'article 5 des conditions générales, relatif aux erreurs de transmission, prévoit que le dommage provenant de l'emploi notamment du téléphone ou de tout autre moyen de transmission et résultant en particulier de pertes, retards, malentendus, altérations ou doubles expéditions est à la charge du client, sous réserve de faute grave de la banque.
Le gestionnaire principal du compte de A._ était B._, fondé de pouvoir et conseiller à la clientèle de Z._, unité d'affaires de la succursale de Genève en charge de la clientèle privée fortunée.
En son absence, le suivi des clients de B._ était assuré par d'autres membres de Z._, à savoir C._, fondé de pouvoir et conseiller en investissements depuis le 1er septembre 1999, ou D._, conseiller à la clientèle.
Il a été retenu qu'A._, sans activité professionnelle, mais au bénéfice d'une formation universitaire en économie politique, a une très bonne connaissance des marchés boursiers. Elle suivait sur Internet l'évolution des cours, ainsi que des positions qu'elle détenait, avec un décalage d'une quinzaine de minutes par rapport à la bourse, et savait se servir de l'instrument utilisé par la banque, appelé "Bloomberg", qui indique l'évolution des cotations en temps réel. Elle téléphonait régulièrement à Z._ pour connaître les cours et donner des ordres d'achat ou de vente. Lorsqu'elle n'obtenait pas le prix voulu, elle replaçait les ordres sur le marché et recevait confirmation téléphonique de la vente.
A la fin de l'année 1999, A._ a fait part à B._ de son mécontentement concernant les prestations de C._, auquel elle reprochait une connaissance insuffisante du marché des options.
A la fin de l'année 1999, A._ a fait part à B._ de son mécontentement concernant les prestations de C._, auquel elle reprochait une connaissance insuffisante du marché des options.
B. En janvier 2000, A._ a rencontré les conseillers de Z._, dont B._, et a annoncé qu'elle allait ouvrir une "position très importante", nécessitant un suivi étroit du dossier. C._ l'a également appris. A._ a obtenu l'assurance de Z._ qu'en l'absence de B._, son répondant serait D._.
Le 14 janvier 2000, A._ a acheté, au cours de 39 USD, 400 options qui permettaient chacune d'acquérir 100 actions Qualcomm Inc. au prix de 125 USD jusqu'au 22 avril 2000 (ci-après: options 125). Le prix de la transaction était de 1'560'000 USD, plus 3'300 USD de commission, soit un prix total de 1'563'300 USD. Cette acquisition a été effectuée par l'intermédiaire de C._.
L'intention d'A._ était de réaliser une opération spéculative à court terme, le cours de l'option 125 étant très volatil. Celle-ci voulait vendre ses 400 options 125 avant la fin du week-end du 22/23 janvier 2000 au cours de 50 USD, sinon au prix du marché, afin de réaliser "un grand coup" et de mettre un terme à sa prise de risques. A son sens, l'évolution du cours de ces options n'était plus prévisible dès le lundi, car les marchés pouvaient réagir à une prise de position de la Réserve Fédérale Américaine et le cours de l'option Qualcomm pouvait être influencé si la société obtenait des brevets.
Le vendredi 21 janvier 2000, en l'absence de B._, A._ et C._ ont eu plusieurs entretiens téléphoniques, durant lesquels A._ s'est renseignée sur le prix de diverses options et actions, notamment du cours des options 120 et des options 125. C._ lui a annoncé par erreur que l'option 125 avait atteint le cours de 50 USD, alors qu'il s'agissait en réalité de l'option 120. Le cours de l'option 125 avait seulement varié entre 43.88 et 49.25 USD ce vendredi.
A._ a alors donné l'ordre à C._ de vendre les 400 options 125 de son portefeuille au cours de 50 USD et de la rappeler pour lui confirmer la vente. Il a été constaté qu'il n'y avait eu aucun malentendu entre la cliente et le conseiller en investissements: celle-ci lui avait donné une instruction claire portant sur la vente des 400 options 125 à 50 USD en vue de clôturer sa position, ce qu'avait bien compris C._. La confusion s'est ensuite produite uniquement dans la sphère de ce dernier.
Sans consulter le compte de la cliente, bien qu'il s'agisse d'un préalable indispensable à l'exécution de l'ordre, ce qui lui aurait permis de se rendre compte de son erreur, C._ a passé un ordre de vente portant sur 400 options 120 en lieu et place des 400 options 125. En procédant à cette opération, il était convaincu de vendre les options se trouvant sur le compte de la cliente.
L'ordre de vente d'A._ n'a pas fait l'objet d'un enregistrement téléphonique, mais comme elle avait été placée à son insu sur haut-parleur, D._ se souvient avoir entendu C._ répéter l'ordre de vendre 400 options 120 à 50 USD, ce qu'il avait par ailleurs noté sur le journal des ordres de bourse.
Vers 19 heures, C._ a confirmé à A._ que la vente avait été exécutée à la bourse de New York, puis il a quitté la banque.
Dans la matinée du lundi 24 janvier 2000, C._ s'est rendu compte de son erreur. Il en a fait part à B._, qui en a informé son supérieur. C._ a reçu pour instruction d'aviser la cliente et de couvrir la position de la banque par l'acquisition de 400 options 120.
Aux environs de 14 heures, C._ a téléphoné à A._ en l'informant de la situation. Il s'est excusé de son erreur et a sollicité des instructions pour les options 125 demeurées dans le portefeuille de la cliente.
A._, fâchée, a répondu, qu'elle souhaitait connaître la position de la banque avant de se prononcer. Elle a adressé un message électronique à B._, afin d'obtenir une explication détaillée, pensant alors à tort que les options 120 se trouvaient dans son portefeuille et protégeaient sa position relative aux options 125.
Le 25 janvier 2000, C._ a annoncé à A._ qu'il lui avait avait indiqué un prix erroné pour les options 125, qui n'avaient jamais atteint le cours de 50 USD. Il a notamment précisé que la Banque avait pu acheter les options 120 à 50 USD et qu'elle avait eu l'intention de lui créditer l'éventuel bénéfice de cette opération.
A._ a compris de ces explications que, contrairement à ce qu'elle croyait, sa position n'était pas protégée et qu'elle subissait une perte de l'ordre d'un million de dollars par rapport au bénéfice escompté de l'opération envisagée, mais non exécutée.
Le mercredi 26 janvier 2000, A._ n'a obtenu aucun interlocuteur du management pour répondre à ses questions. L'un d'eux a indiqué qu'elle "n'avait qu'à aller se faire voir", un autre a refusé de lui parler au téléphone, car "elle lui cassait les pieds".
Ce même jour, A._ a eu un entretien téléphonique avec le directeur, E._, à la suite duquel celui-ci lui a adressé par courrier électronique une offre transactionnelle portant sur le paiement de 60'000 USD, représentant la différence entre le cours des options 125 à la clôture du vendredi et le cours à l'ouverture le lundi matin. Il lui signalait également que sa position était toujours ouverte et qu'il demeurait dans l'attente de ses instructions. A._ a ainsi appris de manière certaine que sa position n'était pas protégée.
Le 27 janvier 2000, E._ a avisé A._ qu'il ne pouvait procéder à la vente des 400 options 125 sans instruction de sa part et qu'il demeurait dans l'attente de celle-ci depuis lundi.
Le même jour, A._ a répondu qu'elle considérait avoir donné l'ordre de vendre ses 400 options 125, ce dont elle avait reçu confirmation. L'exécution négligente de la banque ne la concernait pas, dès lors qu'elle s'était défaite de ses options depuis le 21 janvier 2000. Elle a mis la banque en demeure de rétablir sa situation dans les trois jours, sous peine d'entamer une procédure judiciaire.
Z._ a relancé en vain A._ les 28 et 31 janvier 2000, le 11 février 2000, le 3 mars 2000, ainsi que les 4 et 20 avril 2000, afin d'obtenir son instruction de vendre les options 125. La Banque a encore précisé, le 31 janvier 2000, qu'elle déclinait toute responsabilité dès lors qu'A._, au courant de la situation, devait donner des instructions. Elle lui a en outre signalé, le 11 février 2000, son obligation de réduire le dommage.
Le cours moyen de l'option 125 a fluctué à la baisse; il était de 40.815 le 24 janvier 2000, avant de passer à 36.505 le 25 janvier, à 21.815 le 26 janvier, à 19.19 le 27 janvier, à 13.565 le 28 janvier et à 16.505 le 3 mars 2000. Après être remonté à 34.625 le 29 mars 2000, il a chuté à 0.22 le 20 avril 2000.
Le cours moyen de l'option 125 a fluctué à la baisse; il était de 40.815 le 24 janvier 2000, avant de passer à 36.505 le 25 janvier, à 21.815 le 26 janvier, à 19.19 le 27 janvier, à 13.565 le 28 janvier et à 16.505 le 3 mars 2000. Après être remonté à 34.625 le 29 mars 2000, il a chuté à 0.22 le 20 avril 2000.
C. Le 8 décembre 2000, A._ a assigné la Banque en paiement de 3'043'968 fr. plus intérêt à 5 % dès le 21 janvier 2000. Ce montant correspondait à la contre-valeur de 1'920'000 USD au taux du 21 janvier 2000, soit le montant de l'investissement initial de 1'560'000 USD, plus un gain manqué de 360'000 USD représentant ce que lui aurait rapporté la vente des 400 options 125 au cours de 48 USD.
Par jugement du 4 septembre 2003, le Tribunal de première instance du canton de Genève a admis la demande et condamné la Banque à payer à A._ la somme de 3'022'035 fr. avec intérêt à 5 % dès le 21 janvier 2000.
Admettant partiellement l'appel formé par la Banque, la Cour de justice, par arrêt du 19 mars 2004, a annulé le jugement du 4 septembre 2003 et, statuant à nouveau, elle a condamné la Banque à payer à A._ la somme de 1'114'700 USD avec intérêt à 5 % dès le 21 janvier 2000.
Admettant partiellement l'appel formé par la Banque, la Cour de justice, par arrêt du 19 mars 2004, a annulé le jugement du 4 septembre 2003 et, statuant à nouveau, elle a condamné la Banque à payer à A._ la somme de 1'114'700 USD avec intérêt à 5 % dès le 21 janvier 2000.
D. Contre l'arrêt du 19 mars 2004, les deux parties interjettent un recours en réforme au Tribunal fédéral. A._ (la demanderesse) conclut à l'annulation de la décision entreprise et à la condamnation de la Banque à lui verser le montant de 3'022'035 fr., contre-valeur de 1'888'600 USD au taux du 21 janvier 2000 de 1 USD pour 1,6004 fr., avec intérêt à 5 % dès le 21 janvier 2000. La Banque (la défenderesse) requiert, pour sa part, la réforme de l'arrêt attaqué dans le sens du rejet pur et simple de la demande et du renvoi du dossier à la cour cantonale pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
La Banque propose de rejeter, dans la mesure de sa recevabilité, le recours formé par A._, alors que celle-ci conclut au rejet du recours interjeté par la Banque.
Par arrêt de ce jour, le Tribunal fédéral a rejeté le recours de droit public formé parallèlement par A._ à l'encontre de l'arrêt du 19 mars 2004.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Interjetés par les deux parties, dont aucune n'a obtenu le plein de ses conclusions, et dirigés contre un jugement final rendu en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 48 al. 1 OJ), les recours portent sur une contestation civile dont la valeur litigieuse dépasse largement le seuil de 8'000 fr. (art. 46 OJ). Ils ont en outre été déposés en temps utile compte tenu des féries (art. 34 al. 1 let. a et 54 al. 1 OJ) et dans les formes requises (art. 55 OJ). Il convient donc d'entrer en matière.
1. Interjetés par les deux parties, dont aucune n'a obtenu le plein de ses conclusions, et dirigés contre un jugement final rendu en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 48 al. 1 OJ), les recours portent sur une contestation civile dont la valeur litigieuse dépasse largement le seuil de 8'000 fr. (art. 46 OJ). Ils ont en outre été déposés en temps utile compte tenu des féries (art. 34 al. 1 let. a et 54 al. 1 OJ) et dans les formes requises (art. 55 OJ). Il convient donc d'entrer en matière.
2. 2.1 Saisi d'un recours en réforme, le Tribunal fédéral doit mener son raisonnement juridique sur la base des faits contenus dans la décision attaquée, à moins que des dispositions fédérales en matière de preuve n'aient été violées, qu'il y ait lieu de rectifier des constatations reposant sur une inadvertance manifeste (art. 63 al. 2 OJ) ou qu'il faille compléter les constatations de l'autorité cantonale parce que celle-ci n'a pas tenu compte de faits pertinents, régulièrement allégués et clairement établis (art. 64 OJ; <ref-ruling> consid. 2c et l'arrêt cité). Dans la mesure où une partie recourante présente un état de fait qui s'écarte de celui contenu dans la décision attaquée, sans se prévaloir avec précision de l'une des exceptions qui viennent d'être rappelées, il n'est pas possible d'en tenir compte (<ref-ruling> consid. 2c). Il ne peut être présenté de griefs contre les constatations de fait, ni de faits ou de moyens de preuve nouveaux (art. 55 al. 1 let. c OJ).
2.2 Se fondant sur l'art. 64 OJ et, dans une moindre mesure, sur l'art. 63 al. 2 OJ, la demanderesse reproche à la cour cantonale de ne pas avoir tenu compte de faits pertinents et régulièrement allégués. L'art. 64 OJ ne s'applique toutefois que lorsque l'arrêt attaqué ne contient pas les constatations nécessaires pour pouvoir statuer (<ref-ruling> consid. 4b p. 372, 445 consid. 3d p. 453), quant à l'art. 63 al. 2 OJ, il vise l'inadvertance manifeste, soit le cas où l'autorité, par inattention, a omis de prendre en considération tout ou partie d'une pièce déterminée, versée au dossier, l'a mal lue ou mal comprise (cf. <ref-ruling> consid 2b p. 106). Ces dispositions ne sauraient être utilisées pour remettre en cause l'appréciation des preuves. C'est précisément ce que cherche à obtenir la demanderesse, dès lors que, sous le couvert des art. 63 et 64 OJ, elle s'en prend à la constatation cantonale selon laquelle elle n'aurait pas donné d'instruction quant à la vente de ses options 125, malgré les demandes réitérées de la banque. On ne discerne cependant pas dans quelle mesure il ne serait pas possible de statuer sans les pièces invoquées, ni en quoi consisterait l'inadvertance manifeste. En réalité, la demanderesse se contente de discuter les faits, reprenant une motivation similaire à celle développée dans son recours de droit public. Son grief n'est donc pas recevable dans la présente procédure.
2.3 La défenderesse invoque pour sa part l'existence d'une erreur de calcul lors de l'établissement du montant mis à la charge de la demanderesse en vertu de l'<ref-law>. Les juges ont retenu que celle-ci aurait dû vendre ses 400 options 125 portant sur 100 actions le 27 janvier 2000 au plus tard, au taux moyen de 19.19, ce qui lui aurait rapporté 767'000 USD. Comme le relève la banque, 400 options x 100 actions x 19.19 aboutit au résultat de 767'600 USD. En vertu de l'art. 64 al. 2 OJ, c'est donc ce dernier montant qui sera pris en considération si nécessaire.
2.4 Pour le surplus, il ne sera pas tenu compte des faits invoqués par les parties qui ne ressortent pas de l'arrêt entrepris.
2.4 Pour le surplus, il ne sera pas tenu compte des faits invoqués par les parties qui ne ressortent pas de l'arrêt entrepris.
3. 3.1 La cour cantonale a admis la responsabilité de la banque, considérant que celle-ci n'avait fautivement pas exécuté une instruction de sa cliente dont le dommage, établi à 1'881'700 USD, se trouvait dans un rapport de causalité avec l'inexécution de l'ordre donné. Les juges ont toutefois réduit les dommages-intérêts dus à la demanderesse pour faute concomitante. Ils ont estimé que, comme elle avait reçu, le 26 janvier 2000, une offre transactionnelle et avait appris de manière certaine que sa position n'était pas couverte, il lui incombait, après un bref délai de réflexion, de donner pour instruction à la défenderesse de vendre ses 400 options 125, dès lors qu'elle savait ou devait savoir que la baisse du cours de l'option était amorcée. La part du dommage mise à la charge de la demanderesse correspondait ainsi au montant qui aurait pu être récupéré si les 400 options 125 avaient été vendues au plus tard le 27 janvier 2000, soit 767'000 USD (recte: 767'600 USD). Contrairement aux premiers juges, la cour cantonale a déterminé le montant à allouer à la demanderesse en dollars, ce qui correspondait à 1'114'700 USD (1'881'700 USD - 767'000 USD). Quant à l'intérêt, il a été fixé à 5 % l'an dès le 21 janvier 2000.
3.2 Dans son recours, la demanderesse reproche en substance à la cour cantonale d'avoir retenu une faute concomitante à sa charge et de lui avoir octroyé des dommages-intérêts formulés en dollars. Quant à la défenderesse, elle conteste principalement sa responsabilité. A titre subsidiaire, elle fait grief aux juges d'avoir sous-estimé la faute concomitante de la demanderesse. Enfin, elle conteste le dies a quo de l'intérêt moratoire.
3.2 Dans son recours, la demanderesse reproche en substance à la cour cantonale d'avoir retenu une faute concomitante à sa charge et de lui avoir octroyé des dommages-intérêts formulés en dollars. Quant à la défenderesse, elle conteste principalement sa responsabilité. A titre subsidiaire, elle fait grief aux juges d'avoir sous-estimé la faute concomitante de la demanderesse. Enfin, elle conteste le dies a quo de l'intérêt moratoire.
4. Il convient d'examiner en premier lieu le grief de la défenderesse concernant le principe même de sa responsabilité, car son bien-fondé rendrait vide de sens les autres critiques développées dans les deux recours.
4.1 Selon l'arrêt attaqué, la demanderesse a conclu avec la banque un contrat de compte courant, de giro bancaire et de dépôt. Cette qualification juridique n'est pas contestée par les parties et n'apparaît pas contraire aux circonstances décrites par la cour cantonale, de sorte qu'il n'y a pas lieu de la remettre en cause.
Les contrats précités sont des contrats mixtes comprenant des éléments du mandat (cf. arrêt du Tribunal fédéral 4C.108/2002 du 23 juillet 2002, publié in Pra 2003 no 51 p. 244, consid. 2a; <ref-ruling> consid. 3a/aa p. 22). En outre, lorsque la banque exécute, pour le compte de son client, des transactions d'achat de choses mobilières ou de papiers-valeurs, les parties sont en général liées par un contrat de commission au sens des <ref-law>, ce qui suppose, par le renvoi de l'<ref-law>, que les règles du mandat trouvent aussi application (Lombardini, Droit bancaire suisse, Zurich 2002, p. 451).
4.2 Le mandataire doit exécuter avec soin la mission qui lui est confiée et sauvegarder fidèlement les intérêts légitimes de son cocontractant (<ref-law> applicable par le renvoi de l'<ref-law>). Il est responsable envers le mandant de la bonne et fidèle exécution de sa mission (<ref-law>). Si le mandant ne peut obtenir l'exécution de l'obligation ou ne peut l'obtenir qu'imparfaitement, le mandataire est tenu de réparer le dommage en résultant, à moins qu'il ne prouve qu'aucune faute ne lui est imputable (<ref-law>) (<ref-ruling> consid. 2b). S'agissant des ordres reçus par le client, il est du devoir de la banque de les exécuter fidèlement (Lombardini, op. cit., p. 458).
En l'espèce, la cour cantonale a constaté que la demanderesse a donné l'ordre clair de vendre les 400 options 125 de son portefeuille en vue de clôturer sa position. Le conseiller en investissements, dont la banque répond en vertu de l'<ref-law>, a bien compris cette instruction, mais a ensuite opéré une confusion entre les options 125 et les options 120, vendant ces dernières par erreur, ce qui a causé à la demanderesse un dommage total de 1'881'700 USD. En pareilles circonstances, c'est à juste titre que la défenderesse ne conteste pas la violation de ses obligations contractuelles, ni l'existence d'un lien de causalité entre cette violation et le dommage subi.
4.3 Reste la question de la faute. La banque soutient à ce propos qu'elle n'a commis aucune faute ou qu'une faute légère, de sorte qu'en vertu de l'art. 5 des conditions générales, la cour cantonale ne pouvait la tenir pour responsable.
Il ressort des constatations cantonales que le conseiller en investissements, après avoir reçu l'instruction de la part de la cliente de vendre les 400 options 125 et l'avoir correctement compris, s'est trompé au moment de passer l'ordre de vente, indiquant 400 options 120. De la part d'un professionnel de la banque, le fait de confondre deux titres et de vendre le mauvais constitue indéniablement une faute, qui se trouve encore renforcée par le fait que le conseiller aurait dû consulter le compte de la cliente. L'intéressé lui-même, ainsi que plusieurs membres de la banque dont le directeur, ont admis que ce contrôle constituait un préalable indispensable, élémentaire et incontournable à la passation de l'ordre et qu'il aurait permis d'éviter l'erreur. Le conseiller a ensuite faussement donné à la cliente la confirmation de l'exécution de son ordre. Dans un tel contexte, on est loin de la "banale faute de frappe" évoquée par la défenderesse. A l'évidence, la banque a commis une faute qui ne saurait être qualifiée de légère, comme elle tente en vain de le démontrer.
Quant à l'art. 5 des conditions générales, il prévoit une clause exclusive de responsabilité de la banque, sous réserve d'une faute grave de sa part, en cas d'erreur de transmission provenant notamment de l'emploi du téléphone. La défenderesse perd toutefois de vue qu'une telle erreur fait défaut en l'occurrence, puisque, contrairement aux juges de première instance, la juridiction d'appel a constaté que la méprise ne provenait pas de l'utilisation du téléphone, car la cliente avait donné un ordre clair que le conseiller en investissements avait bien compris, son erreur n'étant intervenue que lors de la vente des options. L'hypothèse visée par l'art. 5 des conditions générales n'étant pas réalisée en l'espèce, il n'y a pas lieu de se demander si la banque, en fonction du degré de sa faute, aurait dû être mise au bénéfice de cette clause.
En admettant la responsabilité de la défenderesse, la cour cantonale n'a, dans ces circonstances, pas violé l'<ref-law>.
En admettant la responsabilité de la défenderesse, la cour cantonale n'a, dans ces circonstances, pas violé l'<ref-law>.
5. Dans leur recours respectif, les deux parties invoquent une violation de l'<ref-law>, la demanderesse reprochant à la cour cantonale d'avoir appliqué cette disposition, la défenderesse soutenant, à titre subsidiaire, que la réduction aurait dû être calculée en fonction du cours des titres au lundi 24 janvier 2000 et non au jeudi 27 janvier 2000, date ne reposant sur aucune justification.
5.1 L'<ref-law>, applicable à la responsabilité contractuelle en vertu de l'<ref-law>, permet de réduire les dommages-intérêts ou même de n'en point allouer si la partie lésée est responsable de son dommage ou de l'aggravation de celui-ci. L'<ref-law> laisse à cet égard au juge une large marge d'appréciation au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5.5.2; <ref-ruling> consid. 8c p. 459). Dans un tel cas, le Tribunal fédéral ne substitue pas sa propre appréciation à celle de l'instance inférieure; il n'intervient que si celle-ci en a abusé, c'est-à-dire si elle a retenu des critères inappropriés ou bien si la décision rendue aboutit à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 2 p. 382, 715 consid. 4.4; <ref-ruling> consid. 4).
Dans ses relations avec la banque, l'inaction du client peut, dans certains cas, représenter une faute et justifier une réduction des dommages-intérêts (arrêt du Tribunal fédéral 4C.96/1997 du 8 octobre 1997 consid. 5b/bb). Ainsi, le client qui n'a pas vendu l'actif qui était en sa possession à un moment où il avait encore une certaine valeur risque de se voir reprocher de ne pas avoir tout fait pour réduire son préjudice (cf. Lombardini, Droit et pratique de la gestion de fortune, 3e éd. Bâle 2003, p. 153).
5.2 En l'occurrence, la cour cantonale a relevé qu'avant le mercredi 26 janvier 2000, aucun reproche ne pouvait être adressé à la demanderesse. C'est ce jour-là que la banque lui a fait une proposition transactionnelle et que la cliente a appris de manière certaine que sa position n'était pas protégée. Selon les juges, comme la demanderesse savait ou devait savoir que la baisse du cours de l'option était amorcée, il lui incombait, après un bref délai de réflexion, de donner l'instruction à la banque de vendre ses options 125 le jeudi 27 janvier 2000 au plus tard. Elle a d'ailleurs été sollicitée à plusieurs reprises de vendre ses options. Compte tenu de ces éléments, la cour cantonale a fait supporter à la demanderesse le montant que lui aurait rapporté la vente de ses options au cours moyen du 27 janvier 2000.
Une telle motivation ne révèle pas la prise en compte de critères inappropriés, pas plus qu'elle ne fait apparaître le résultat auquel ont abouti les juges cantonaux comme choquant ou injuste. En effet, la responsabilité de la banque ne pouvait dispenser la cliente, qui savait ou devait savoir que la baisse des titres était amorcée, de donner pour instruction de vendre ses actions, ce qu'elle n'a pas fait selon les constatations de l'arrêt entrepris. En mettant à sa charge les conséquences de son inaction à partir du 27 janvier 2000, la cour cantonale n'a ainsi pas abusé du large pouvoir d'appréciation que lui confère l'<ref-law>.
5.3 Pour tenter de démontrer une violation de cette disposition, les deux parties s'écartent du reste des faits ressortant de la décision entreprise.
5.3.1 La demanderesse affirme qu'elle n'a commis aucune faute, car, comme le cours de l'option n'était pas prévisible, l'ordre de vendre n'aurait pas eu pour effet de réduire son dommage. Ce faisant, elle perd de vue qu'il a été constaté qu'elle savait ou aurait dû savoir, dès le 26 janvier 2000 en tout cas, que la baisse du titre était amorcée. En outre, lorsqu'elle soutient que les art. 397 et 398 CO imposaient à la banque de vendre les titres sans instruction, puisqu'il résultait des faits qu'elle voulait se défaire des options 125 le plus rapidement possible, elle oublie que, selon l'arrêt attaqué, il lui appartenait de donner à la banque les ordres d'achat ou de vente relatifs à cette opération. On ne voit donc pas pour quelle raison la banque, qui avait déjà commis une erreur, ce qu'elle avait reconnu le 26 janvier 2000, aurait dû vendre les titres de sa propre initiative, en présumant la volonté de sa cliente. Au demeurant, la banque lui a demandé à de réitérées reprises l'ordre de vendre, de sorte que, si la demanderesse avait véritablement souhaité se défaire de ses titres, comme elle le prétend, il lui suffisait de donner suite à l'une de ces requêtes.
5.3.2 L'argument de la défenderesse, selon lequel c'est le lundi 24 janvier 2000 déjà que la cliente aurait dû donner l'ordre de vendre ses options 125, occulte, pour sa part, le fait qu'il a été constaté que, ce lundi, la demanderesse pensait à tort que sa position relative aux options 125 était protégée et qu'aucun reproche ne pouvait lui être adressé avant le mercredi 26 janvier 2000, jour où elle a appris de manière certaine par le directeur que sa position n'était plus protégée et où elle a pu se rendre compte que la baisse du cours de l'option était amorcée. On ne pouvait donc manifestement pas exiger de la cliente qu'elle se défasse de ses titres le lundi 24 janvier déjà. En revanche, quoi qu'en dise la banque, il était admissible de retenir que, le 27 janvier 2000 au plus tard, soit le lendemain de l'annonce du directeur, la demanderesse aurait dû agir.
5.4 Par conséquent, en mettant à la charge de la demanderesse le montant qu'elle aurait perçu si elle avait vendu ses titres le 27 janvier 2000 à la cotation de 19.19, soit 767'000 USD (recte: 767'600 USD; cf. supra consid. 2.3), la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral.
5.4 Par conséquent, en mettant à la charge de la demanderesse le montant qu'elle aurait perçu si elle avait vendu ses titres le 27 janvier 2000 à la cotation de 19.19, soit 767'000 USD (recte: 767'600 USD; cf. supra consid. 2.3), la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral.
6. La demanderesse se plaint encore d'une violation de l'<ref-law>, dès lors que le montant qui lui a été alloué a été prononcé en dollars américains et non en francs suisses.
L'<ref-law> prévoit que le paiement d'une dette qui a pour objet une somme d'argent se fait en moyens de paiement ayant cours légal dans la monnaie due. Lorsqu'une dette est exprimée dans une monnaie étrangère, le débiteur peut, sous réserve de stipulation contraire, l'acquitter en monnaie du lieu du paiement (cf. <ref-law>). Seul le débiteur bénéficie de cette faculté alternative et le dispositif d'un jugement qui ne serait libellé qu'en monnaie nationale n'apparaîtrait pas admissible (arrêt du Tribunal fédéral 4C.399/1996 du 17 juillet 1997, publié in SJ 1998 p. 205, consid. 9a et la référence citée; cf. aussi, Loertscher, Commentaire romand, <ref-law> no 17).
Ces principes supposent tout d'abord de se demander en quelle monnaie est due la créance de la demanderesse envers la banque, attendu qu'il s'agit d'une prétention en dommages-intérêts reposant sur la violation d'un contrat. La doctrine considère que les créances en dommages-intérêts doivent en principe être établies dans la monnaie de l'État dans lequel le dommage est survenu, tout en précisant que, selon les circonstances, il se justifie de se fonder sur la monnaie du contrat. Tel est en particulier le cas lorsque les dommages-intérêts viennent remplacer une prestation en paiement (cf. Schraner, Commentaire zurichois, no 181 ad <ref-law> et les références citées).
C'est précisément ce qui se produit en l'espèce. Les dommages-intérêts dus par la banque en raison de la violation de ses obligations contractuelles tendent à compenser la perte subie par la demanderesse dans le cadre d'une opération boursière portant sur des options libellées en dollars américains et dont la vente devait rapporter un bénéfice en cette monnaie. Il faut donc admettre que le dollar américain représente la monnaie dans laquelle est due la créance en dommages-intérêts au sens de l'<ref-law>. La cour cantonale n'avait ainsi d'autre choix que de libeller son dispositif en cette monnaie. On peut du reste même douter que la banque puisse disposer de la faculté de s'acquitter du montant des dommages-intérêts en francs suisses (cf. <ref-law>), dès lors que les dettes d'argent sont des dettes portables (<ref-law>) et que la demanderesse est domiciliée à Londres.
Le grief lié à une violation de l'<ref-law> s'avère ainsi infondé.
Le grief lié à une violation de l'<ref-law> s'avère ainsi infondé.
7. En dernier lieu, la défenderesse, invoquant l'<ref-law>, considère que le dies a quo de l'intérêt moratoire aurait dû être fixé au 1er février et non au 21 janvier 2000, la demanderesse ayant mis en demeure la banque, le 27 janvier 2000, de s'exécuter dans un délai de trois jours.
7.1 L'arrêt attaqué indique que le taux et le dies a quo de l'intérêt moratoire n'étaient pas contestés. La défenderesse peut tout de même remettre en cause ce dernier point dans son recours en réforme, dès lors que la jurisprudence admet la présentation d'une argumentation juridique nouvelle, à condition qu'elle reste dans le cadre de l'état de fait ressortant de la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 4.4 et les arrêts cités).
7.2 La critique tombe toutefois à faux. En effet, s'agissant de la réparation d'un dommage, l'intérêt perçu est un intérêt compensatoire (Schadenszins) qui vise à remettre le lésé dans la situation patrimoniale qui aurait été la sienne si la réparation du dommage avait eu lieu immédiatement. Il court donc du jour où le dommage est subi (Thévenoz, Commentaire romand, no 3b ad <ref-law>). Bien qu'il poursuive le même but, il ne doit pas être confondu avec l'intérêt moratoire (Verzugszins), dès lors qu'il ne dépend pas d'une demeure du débiteur au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4a p. 54). Le dommage s'étant produit le 21 janvier 2000, on ne peut reprocher à la cour cantonale d'avoir fait courir l'intérêt dès cette date.
7.2 La critique tombe toutefois à faux. En effet, s'agissant de la réparation d'un dommage, l'intérêt perçu est un intérêt compensatoire (Schadenszins) qui vise à remettre le lésé dans la situation patrimoniale qui aurait été la sienne si la réparation du dommage avait eu lieu immédiatement. Il court donc du jour où le dommage est subi (Thévenoz, Commentaire romand, no 3b ad <ref-law>). Bien qu'il poursuive le même but, il ne doit pas être confondu avec l'intérêt moratoire (Verzugszins), dès lors qu'il ne dépend pas d'une demeure du débiteur au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4a p. 54). Le dommage s'étant produit le 21 janvier 2000, on ne peut reprocher à la cour cantonale d'avoir fait courir l'intérêt dès cette date.
8. Compte tenu de ce qui précède, le recours de la demanderesse doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
Quant au recours en réforme de la défenderesse, il ne doit être admis que dans la faible mesure où il relève une erreur de calcul dans l'arrêt entrepris (cf. supra consid. 2.3). Celle-ci sera rectifiée d'office (art. 64 al. 2 OJ), de sorte que c'est un montant de 767'600 USD à la place de 767'000 USD qui sera mis à la charge de la demanderesse. Sa prétention à l'encontre de la banque s'élève ainsi à 1'114'100 USD (1'881'700 USD - 767'600 USD) et non à 1'114'700 USD comme retenu dans l'arrêt entrepris.
Quant au recours en réforme de la défenderesse, il ne doit être admis que dans la faible mesure où il relève une erreur de calcul dans l'arrêt entrepris (cf. supra consid. 2.3). Celle-ci sera rectifiée d'office (art. 64 al. 2 OJ), de sorte que c'est un montant de 767'600 USD à la place de 767'000 USD qui sera mis à la charge de la demanderesse. Sa prétention à l'encontre de la banque s'élève ainsi à 1'114'100 USD (1'881'700 USD - 767'600 USD) et non à 1'114'700 USD comme retenu dans l'arrêt entrepris.
9. La demanderesse succombe entièrement. La défenderesse n'obtient gain de cause que sur un point de détail, qui entraîne seulement une modification insignifiante (de l'ordre de quelques millièmes) du montant mis à sa charge, alors qu'elle concluait à sa libération complète.
Dans ces circonstances, il se justifie de faire supporter à chaque partie ses propres frais et dépens (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ).
L'inadvertance manifeste sera rectifiée, ce qui entraîne une modification de l'arrêt attaqué, mais dans une si faible mesure qu'il n'y a pas de raison de répartir autrement les frais et dépens prononcés dans la procédure cantonale (cf. art. 157 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de la demanderesse est rejeté dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours de la demanderesse est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Le recours de la défenderesse est très partiellement admis.
2. Le recours de la défenderesse est très partiellement admis.
3. L'arrêt attaqué est rectifié en ce sens que la défenderesse est condamnée à payer à la demanderesse non pas la somme de 1'114'700 USD, mais la somme de 1'114'100 USD, avec intérêt à 5 % dès le 21 janvier 2000. Il est confirmé pour le surplus.
3. L'arrêt attaqué est rectifié en ce sens que la défenderesse est condamnée à payer à la demanderesse non pas la somme de 1'114'700 USD, mais la somme de 1'114'100 USD, avec intérêt à 5 % dès le 21 janvier 2000. Il est confirmé pour le surplus.
4. Un émolument judiciaire de 12'000 fr. est mis à la charge de la demanderesse.
4. Un émolument judiciaire de 12'000 fr. est mis à la charge de la demanderesse.
5. Un émolument judiciaire de 16'000 fr. est mis à la charge de la défenderesse.
5. Un émolument judiciaire de 16'000 fr. est mis à la charge de la défenderesse.
6. Il n'est pas alloué de dépens.
6. Il n'est pas alloué de dépens.
7. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice genevoise.
Lausanne, le 7 septembre 2004
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: La greffière: