Sachverhalt:
A. Mit Schreiben vom 27. Januar 2004 liess L._ bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) einen Anspruch auf Hinterlassenenleistungen für sich und ihre Kinder geltend machen. Sie erklärte, ihr Ehemann, der 1944 geborene M._, sei am 1. März 1983 verstorben. Er sei bei den Elektrizitätswerken X._ angestellt gewesen und habe schon während der Lehre mit Asbest zu tun gehabt. Todesursache sei ein Pleuramesotheliom gewesen. Dieses gehe auf die Asbestexposition zurück und stelle eine Berufskrankheit dar, für deren Folgen die SUVA leistungspflichtig sei.
Die SUVA zog medizinische Akten aus den Jahren 1982 und 1983 bei und traf Abklärungen hinsichtlich der vom Versicherten ausgeübten beruflichen Tätigkeiten, insbesondere hinsichtlich einer Asbestexposition. Zudem holte sie Stellungnahmen von Dr. med. R._, Facharzt FMH für Innere Medizin und Arbeitsmedizin, SUVA-Abteilung Arbeitsmedizin, vom 25. November 2004 und 20. April 2005 ein. Anschliessend lehnte es die Anstalt mit Verfügung vom 27. April 2005 ab, Versicherungsleistungen zu erbringen. Daran hielt die SUVA mit Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2006 fest. Zur Begründung wurde erklärt, ein Kausalzusammenhang zwischen der beruflichen Asbestbelastung und dem Tod des Versicherten lasse sich nicht mit der erforderlichen Wahrscheinlichkeit nachweisen.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab (Entscheid vom 16. Juni 2008). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens reichte die SUVA eine ärztliche Beurteilung von Dr. med. R._ vom 13. März 2007 ein.
C. L._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen. Sie stellt die Rechtsbegehren, es seien ihr sowie ihren Kindern Hinterlassenenleistungen zuzusprechen; eventuell sei ein unabhängiges medizinisches Gutachten zur Frage der Todesursache von M._ einzuholen; eventuell sei ein wissenschaftliches Gutachten zur Frage des relevanten Grenzwertes (Faserjahre) bei Alveolar-Karzinom einzuholen; zudem sei die SUVA zu verpflichten, das Betriebsdossier auszuhändigen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Mit ihrer Stellungnahme reicht sie ein neues Dokument (zwei Seiten; offenbar handelt es sich um einen Auszug aus einem Gutachten des Spitals Y._, Klinik für Pneumologie, vom 3. Oktober 2008) ein. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. L._ verlangt die Ansetzung einer Frist zur Einreichung einer ergänzenden Stellungnahme, um sich zur Eingabe der SUVA äussern zu können.

Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführerin verlangt sinngemäss die Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels.
1.1 Gehen in einem Gerichtsverfahren Vernehmlassungen und Stellungnahmen von Parteien und Behörden ein, so werden diese den übrigen Verfahrensbeteiligten im Allgemeinen zur Kenntnisnahme zugestellt. Diese Zustellung kann verbunden werden mit der Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels. Ein solcher wird jedoch nur ausnahmsweise durchgeführt (Art. 102 Abs. 3 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 99 f.; Urteil 8C_845/2008 vom 4. März 2009 E. 4.1.2). Eine Ausnahme ist unter dem Aspekt des Anspruchs auf rechtliches Gehör geboten, wenn die Beschwerdeantwort neue rechtliche oder tatsächliche Begründungselemente enthält, die zulässig sind und mit welchen nicht gerechnet werden musste (SVR 1995 AHV Nr. 65 S. 196, H 152/94 E. 2b mit Hinweisen; Urteil 8C_167/2007 vom 8. April 2008 E. 1.2).
1.2 Im Verfahren vor Bundesgericht dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Dies gilt auch in Verfahren um Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der obligatorischen Unfallversicherung (BGE 8C_934/2008). Auch sogenannte echte Noven sind im letztinstanzlichen Verfahren unzulässig (<ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.; Urteil 8C_77/2008 vom 5. Juni 2008 E. 1.2.2 mit Hinweisen). Ob allenfalls ein Abweichen von diesem Grundsatz in Frage kommen könnte, wenn die neuen Dokumente eine Revision des gerichtlichen Urteils zu begründen vermöchten (vgl. <ref-ruling> und Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, Art. 99 N 5), ist nicht näher zu prüfen, denn das von der SUVA eingereichte Dokument erfüllt diese Voraussetzung nicht. Es ist weder unterzeichnet noch lässt sich aus dem Papier heraus erkennen, in welchem genauen Zusammenhang es erstellt wurde. Ihm geht deshalb im vorliegenden Verfahren jegliche Beweiskraft ab, und es ist nicht zu berücksichtigen. Daher erübrigt es sich, der Beschwerdeführerin Frist zur Einreichung einer ergänzenden Stellungnahme zu setzen.
2. 2.1 Der Versicherte ist im Jahr 1983 verstorben. Der Anspruch auf Hinterlassenenleistungen beurteilt sich somit nach Massgabe des Bundesgesetzes über die Kranken- und Unfallversicherung vom 13. Juni 1911 (KUVG), während das am 1. Januar 1984 in Kraft getretene Bundesgesetz über die Unfallversicherung (UVG) grundsätzlich keine Anwendung findet (Art. 118 Abs. 1 UVG).
2.2 Gemäss Art. 67 Abs. 1 KUVG versichert die SUVA gegen die Betriebsunfälle und Nichtbetriebsunfälle, die eine Krankheit, eine Invalidität oder den Tod zur Folge haben. Der Bundesrat stellt ein Verzeichnis der Stoffe auf, deren Erzeugung oder Verwendung bestimmte gefährliche Krankheiten verursacht. Einem Betriebsunfall wird im Sinne dieses Gesetzes eine Krankheit gleichgestellt, wenn sie in einem die Versicherung bedingenden Betriebe ausschliesslich oder vorwiegend infolge Einwirkung eines in das genannte Verzeichnis aufgenommenen Stoffes entstanden und seit dem Tage der Aufnahme desselben in das Verzeichnis ausgebrochen ist (Art. 68 Abs. 1 KUVG). Für die im Anhang 1 zur Verordnung über die Unfallversicherung vom 20. Dezember 1982 (UVV) aufgeführten Krankheiten, die nach der früheren Regelung keinen Anspruch begründeten, werden Versicherungsleistungen ab Inkrafttreten der UVV ausgerichtet (Art. 145 UVV).
2.3 Gemäss Ziffer 1 des erwähnten Anhang 1 zur UVV gilt Asbeststaub als schädigender Stoff. Eine Leistungspflicht der SUVA unter dem Titel der Berufskrankheit ist demnach zu bejahen, wenn die Asbestexposition im gesamten Ursachenspektrum für die Krankheit, welche zum Tod des Versicherten führte, mehr als 50 % ausmachte (<ref-ruling> E. 2a; vgl. zur analogen Situation unter dem KUVG Karl Dürr, Die obligatorische Unfallversicherung, 1964, S. 117 ff.).
2.4 Für den Beweiswert eines Arztberichts ist entscheidend, ob der Bericht für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Darlegung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis). Auch den Berichten und Gutachten versicherungsinterner Ärzte kommt Beweiswert zu, sofern sie als schlüssig erscheinen, nachvollziehbar begründet sowie in sich widerspruchsfrei sind und keine Indizien gegen ihre Zuverlässigkeit bestehen. Die Tatsache allein, dass der befragte Arzt in einem Anstellungsverhältnis zum Versicherungsträger steht, lässt nicht schon auf mangelnde Objektivität und auf Befangenheit schliessen. Es bedarf vielmehr besonderer Umstände, welche das Misstrauen in die Unparteilichkeit der Beurteilung objektiv als begründet erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 3b/ee S. 353 f.). Diese Rechtsprechung wird durch den in der Beschwerdeschrift erwähnten Entscheid des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte in Sachen Sara Lind Eggertsdóttir gegen Island vom 5. Juli 2007 nicht tangiert (Urteil 8C_943/2008 vom 1. April 2009 E. 4.2).
3. 3.1 Das kantonale Gericht gibt zunächst die Praxis der SUVA wieder. Danach wird eine Berufskrankheit bei Vorliegen eines malignen Pleuramesothelioms unter bestimmten Voraussetzungen (Asbestexposition in der beruflichen Tätigkeit, Latenzzeit von mindestens 15 Jahren) bejaht, während die Anerkennung von Lungenkrebs als (asbestbedingte) Berufskrankheit von den sogenannten "Helsinki-Kriterien" abhängt. In der Folge gelangt die Vorinstanz mit ausführlicher Begründung zum Ergebnis, ein Pleuramesotheliom sei nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachgewiesen. Diagnostiziert worden sei dagegen ein Bronchuskarzinom. Dieses habe jedoch nicht als Berufskrankheit zu gelten, denn die "Helsinki-Kriterien" seien nicht erfüllt.
3.2 Die Beschwerdeführerin lässt einwenden, es müsse eine Umkehr der Beweislast stattfinden, denn die SUVA sei der ihr gemäss KUVG obliegenden Abklärungs- und Dokumentationspflicht nicht nachgekommen. Eine allfällige Beweislosigkeit müsse sich daher zu ihrem Nachteil auswirken. Aber auch ohne Umkehr der Beweislast sei hinreichend nachgewiesen, dass die Asbestexposition die vorwiegende Ursache für den frühen Tod des Versicherten gebildet habe. Einerseits habe ein Mesotheliom als überwiegend wahrscheinlich zu gelten - auf die anders lautende Stellungnahme von Dr. med. R._ könne nicht abgestellt werden, weil er als Angestellter der SUVA nicht unabhängig sei. Unter dem Aspekt des Bronchuskarzinoms und der Helsinki-Kriterien seien asbestbedingte Pleuraverdickungen nachgewiesen. Zudem müsse der in den "Helsinki-Kriterien" erwähnte "Grenzwert" von 25 Faserjahren hinterfragt und durch ein Gutachten geklärt werden. Überdies sei nach Lage der Akten davon auszugehen, dass der Versicherte diesen Grenzwert übertroffen habe.
4. 4.1 Nach der Rechtsprechung trifft im Bereich der obligatorischen Unfallversicherung die Beweislast in Bezug auf die gesetzlichen Anspruchsvoraussetzungen (wie das Unfallereignis [RKUV 2002 Nr. U 469 S. 528 E. 3a, 1996 Nr. U 247 S. 171 E. 2a, 1988 Nr. U 55 S. 362 E. 1b] oder den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Ereignis und Gesundheitsschaden [RKUV 1994 Nr. U 206 S. 328 E. 3b]) in dem Sinne die versicherte Person, als der Entscheid bei Beweislosigkeit zu ihren Ungunsten ausfallen muss. Eine Umkehr der Beweislast findet allerdings dann statt, wenn sich der entsprechende Nachweis aus Gründen nicht (mehr) erbringen lässt, welche der Versicherer zu verantworten hat (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 257; Urteil U 509/05 vom 18. Oktober 2006 E. 1.2 mit Hinweisen).
4.2 In der Beschwerdeschrift wird ausgeführt, die SUVA sei bereits nach dem KUVG verpflichtet gewesen, die Anwendung der Vorschriften über die Verhütung von Berufskrankheiten in den Betrieben zu überwachen. Sie habe im September 1971 auf die Kanzerogenität von Asbest hingewiesen. Diese sei jedoch bereits weit früher voraussehbar gewesen. Die SUVA hätte den Betrieb als Asbest-verarbeitend registrieren und gestützt darauf nach dem Tod des Versicherten Abklärungen zur Todesursache vornehmen müssen. Indem sie dies unterlassen habe, habe die SUVA den Untersuchungsgrundsatz verletzt. Überdies wäre die Anstalt gehalten gewesen, die Angehörigen des Verstorbenen über ihre möglichen Ansprüche aufzuklären. Die von der SUVA behauptete Beweislosigkeit müsse sich deshalb zu Lasten der Anstalt auswirken. Dieser Argumentation kann jedoch nicht gefolgt werden, denn die vorhandenen Beweisschwierigkeiten ergeben sich in erster Linie daraus, dass die Anmeldung zum Leistungsbezug erst im Jahr 2004, mehr als 20 Jahre nach dem Tod des Versicherten, erfolgte. Die SUVA erhielt vom Ableben des Versicherten zunächst keine Kenntnis und hatte deshalb auch keinen Anlass, Abklärungen zu treffen. Eine Umkehr der Beweislast rechtfertigt sich unter diesen Umständen nicht.
5. 5.1 Die Vorinstanz gelangte aufgrund einer sorgfältigen Würdigung der Aktenlage zum Ergebnis, der Versicherte sei nicht an den Folgen eines malignen Mesothelioms der Pleura verstorben. Die dagegen vorgebrachten Einwände sind nicht geeignet, die Zuverlässigkeit der vorinstanzlichen Beurteilung in Frage zu stellen. Insbesondere weist die Vorinstanz zu Recht auf den Autopsiebericht vom 28. März 1983 hin, welcher die folgende pathologisch-anatomische Diagnose nennt: "Ausgedehntes, multizentrisches, teilweise papilläres, gut differenziertes, schleimbildendes Adenokarzinom beider Lungen mit Metastasen, vor allem in Lymphknoten und Skelett und mit Peritonealkarzinose. Status 8 Monate nach Pleuropneumonektomie rechts und Nachbestrahlung."
5.2 Nach Lage der Akten verstarb der Versicherte mit überwiegender Wahrscheinlichkeit an einem Bronchuskarzinom (Lungenkrebs). Ein solches kann asbestbedingt auftreten. Daneben sind aber auch zahlreiche andere Ursachen möglich. Die Diagnose als solche lässt daher keine zuverlässige Beantwortung der Frage zu, ob die Krankheit vorwiegend durch den schädigenden Stoff verursacht wurde und damit als Berufskrankheit zu gelten hat. Stattdessen sind zusätzliche Elemente zu berücksichtigen. Die SUVA orientiert sich diesbezüglich an den sogenannten "Helsinki-Kriterien". Sie anerkennt eine Berufskrankheit, wenn eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt ist (SUVA, Medizinische Mitteilungen 2007 S. 61 ff., 64): Eine kumulative Asbestdosis von mindestens 25 sogenannten Faserjahren gemäss Arbeitsanamnese; bestimmte Befunde der Lungenstaubanalyse (über 2 Mio. [Länge über 5 Mikrometer] resp. über 5 Mio. [Länge über 1 Mikrometer] Amphibolfasern pro Gramm Lungentrockengewicht, über 5000 Asbestkörperchen pro Gramm Lungentrockengewicht, über 5 Asbestkörperchen pro Milliliter BAL [Bronchoalveoläre Lavage]); eine Asbestose (auch histologisch dokumentierte Minimalasbestose); bilaterale, diffuse, mit Wahrscheinlichkeit asbestinduzierte Pleuraverdickungen. Vorliegend stehen einerseits derartige Pleuraverdickungen und andererseits die Voraussetzung der Asbestexposition von 25 Faserjahren zur Diskussion, wobei im letzteren Punkt die Massgeblichkeit des Grenzwertes in grundsätzlicher Weise bestritten wird.
5.3 In Bezug auf das Vorliegen bilateraler, diffuser, mit Wahrscheinlichkeit asbestinduzierter Pleuraverdickungen hat die Vorinstanz erwogen, die Ärzte des Spitals Y._ hätten im Bericht vom 1. Juli 1982 von einer verdickten Pleura gesprochen. In der Anamnese des Berichts über den stationären Aufenthalt vom 28. Februar bis 1. März 1983 sei festgehalten worden, dass am 1. Juli 1982 eine Pleuropneumonektomie rechts vorgenommen worden sei und die Histologie unter anderem ein multizentrisches, schleimbildendes, broncho-alveoläres Karzinom mit Infiltration der Pleura ergeben habe. Im Autopsiebericht vom 28. März 1983 erkläre der Pathologe, die Pleuraschwarte sei links mit Tumorinfiltraten versetzt gewesen. Dies lasse darauf schliessen, dass die Verdickung der Pleuraschwarte tumorbedingt und nicht asbestinduziert sei. Diese vorinstanzlichen Erwägungen stützen sich auf die Stellungnahme von Dr. med. R._ vom 13. März 2007. Dessen Meinungsäusserung kommt nach dem Gesagten (E. 2.4 hiervor am Ende) auch unter Berücksichtigung des Anstellungsverhältnisses bei der SUVA Beweiskraft zu, wenn sie als schlüssig erscheint, in sich widerspruchsfrei sowie nachvollziehbar begründet ist und wenn keine Indizien gegen ihre Zuverlässigkeit bestehen. Diese Voraussetzungen sind erfüllt. Dr. med. R._ weist insbesondere darauf hin, dass der Autopsiebericht vom 28. März 1983 ein Adenokarzinom beider Lungen erwähnt. Unter diesen Umständen leuchtet ein, dass die im Autopsiebericht erwähnte "Pleuraschwarte links mit Tumorinfiltraten" als tumor- und nicht asbestbedingt interpretiert wird. Die diesbezüglichen Einwände in der Beschwerdeschrift vermögen keine ernsthaften Zweifel an der Beurteilung durch Dr. med. R._ zu erwecken. Von zusätzlichen Abklärungen ist in antizipierter Beweiswürdigung abzusehen, denn davon können keine zusätzlichen relevanten Erkenntnisse erwartet werden.
5.3 In Bezug auf das Vorliegen bilateraler, diffuser, mit Wahrscheinlichkeit asbestinduzierter Pleuraverdickungen hat die Vorinstanz erwogen, die Ärzte des Spitals Y._ hätten im Bericht vom 1. Juli 1982 von einer verdickten Pleura gesprochen. In der Anamnese des Berichts über den stationären Aufenthalt vom 28. Februar bis 1. März 1983 sei festgehalten worden, dass am 1. Juli 1982 eine Pleuropneumonektomie rechts vorgenommen worden sei und die Histologie unter anderem ein multizentrisches, schleimbildendes, broncho-alveoläres Karzinom mit Infiltration der Pleura ergeben habe. Im Autopsiebericht vom 28. März 1983 erkläre der Pathologe, die Pleuraschwarte sei links mit Tumorinfiltraten versetzt gewesen. Dies lasse darauf schliessen, dass die Verdickung der Pleuraschwarte tumorbedingt und nicht asbestinduziert sei. Diese vorinstanzlichen Erwägungen stützen sich auf die Stellungnahme von Dr. med. R._ vom 13. März 2007. Dessen Meinungsäusserung kommt nach dem Gesagten (E. 2.4 hiervor am Ende) auch unter Berücksichtigung des Anstellungsverhältnisses bei der SUVA Beweiskraft zu, wenn sie als schlüssig erscheint, in sich widerspruchsfrei sowie nachvollziehbar begründet ist und wenn keine Indizien gegen ihre Zuverlässigkeit bestehen. Diese Voraussetzungen sind erfüllt. Dr. med. R._ weist insbesondere darauf hin, dass der Autopsiebericht vom 28. März 1983 ein Adenokarzinom beider Lungen erwähnt. Unter diesen Umständen leuchtet ein, dass die im Autopsiebericht erwähnte "Pleuraschwarte links mit Tumorinfiltraten" als tumor- und nicht asbestbedingt interpretiert wird. Die diesbezüglichen Einwände in der Beschwerdeschrift vermögen keine ernsthaften Zweifel an der Beurteilung durch Dr. med. R._ zu erwecken. Von zusätzlichen Abklärungen ist in antizipierter Beweiswürdigung abzusehen, denn davon können keine zusätzlichen relevanten Erkenntnisse erwartet werden.
5.4 5.4.1 Zu prüfen bleibt, ob eine Berufskrankheit aufgrund des Ausmasses und der Dauer der Asbestexposition zu bejahen ist. Als Messgrösse dient in diesem Zusammenhang das sogenannte Faserjahr. Ein Faserjahr entspricht einer einjährigen arbeitstäglich achtstündigen Einwirkung von 1 Mio. Asbestfasern pro Kubikmeter (entsprechend einer Asbestfaser pro Kubikzentimeter) der kritischen Abmessungen (Länge > 5 Mikrometer, Durchmesser < 3 Mikrometer, Länge-zu-Durchmesser-Verhältnis mindestens 3:1) bei 240 Arbeitstagen (BK-Report 1/2007 des Hauptverbandes der deutschen Berufsgenossenschaften [HVBG], abrufbar unter www.dguv.de, S. 73). Bezogen auf die konkrete Tätigkeit ist das kantonale Gericht zu Recht von einer Faserkonzentration von 15 Fasern pro Kubikzentimeter ausgegangen. Dies entspricht dem Tabellenwert für Tätigkeiten wie z.B. Bohren, Sägen, Stanzen und Schneiden, welche Berufsgruppen wie Installateure, Schreiner oder Elektriker betreffen (BK-Report 1/2007, a.a.O., S. 150, Tabelle 7.17, Jahre 1950-1969).
5.4.2 In Bezug auf das zeitliche Ausmass der Exposition hat das kantonale Gericht erwogen, der Ehemann der Beschwerdeführerin sei während sieben Jahren in Asbestexposition tätig gewesen (während der Lehre als Elektromonteur von 1960 bis 1964, während der anschliessenden zweijährigen Anstellung als Elektriker bei der Firma U._ AG sowie insgesamt ein Jahr lang im Rahmen von Ferienbeschäftigungen als Elektriker während der Weiterbildung am Technikum in Z._, welche bis 1970 dauerte). Eine zeitweilige Asbestexposition während der nach Abschluss der Weiterbildung ausgeübten Tätigkeit als Elektroplaner sei zwar nicht auszuschliessen, müsse aber wegen der aus medizinischer Sicht erforderlichen Latenzzeit von 15 Jahren unberücksichtigt bleiben. Die Expositionsdauer während der Lehrzeit bezifferte das kantonale Gericht auf 384 Stunden (jede zweite Woche 4 Stunden, dies bei insgesamt 192 Arbeitswochen) oder 0.2 Arbeitsjahre. Für die Anstellung bei der Firma U._ AG ermittelte die Vorinstanz 48 Stunden (1⁄2 Stunde pro Woche bei 96 Arbeitswochen) oder 0.025 Arbeitsjahre, für die Ferientätigkeiten während der Weiterbildung am Technikum 192 Stunden (4 Stunden pro Woche bei 48 Arbeitswochen) oder 0.1 Arbeitsjahre. Total resultieren auf dieser Basis 0.325 Arbeitsjahre, was bei einer Faserkonzentration von 15 Fasern pro cm3 knapp 5 Faserjahre ergibt (die vorinstanzliche Berechnung, welche 7 Faserjahre ergab, beruht auf einem Versehen). Darüber hinaus berücksichtigte die Vorinstanz zu Recht einen Anteil von 10 % unter dem Titel "Bystander" (vgl. dazu BK-Bericht 2007/1, a.a.O., S. 170).
5.4.3 Die Beschwerdeführerin lässt einwenden, es müsse von einer mindestens sechsstündigen Asbestbelastung pro Woche ausgegangen werden, wobei auch diese Annahme wohl wesentlich zu tief gegriffen sei. Insgesamt rechtfertige sich eine mindestens vier Mal stärkere Belastung als die von der Vorinstanz angenommenen sieben Faserjahre. Zudem sei der Grenzwert von 25 Faserjahren zu hoch angesetzt.
5.4.4 Die Beanstandung der Berechnung der Asbestexposition ist insofern berechtigt, als die Vorinstanz eine Berücksichtigung der Zeit ab 1970 mit der Begründung ablehnte, es gelte eine Latenzzeit von 15 Jahren. Die entsprechende Textstelle in den medizinischen Mitteilungen der SUVA 2007, S. 61 f., bezieht sich jedoch auf das Pleuramesotheliom, welches hier nicht zur Diskussion steht. Hinsichtlich des Bronchuskarzinoms sprechen die Helsinki-Kriterien von einer minimalen Latenzzeit von 10 Jahren ab der ersten Asbest-Exposition. Daher ist unter Umständen nicht nur die Exposition während der Zeit vor 1970 relevant. Überzeugend sind dagegen die vorinstanzlichen Erwägungen zum Ausmass des Asbestkontaktes während der Lehrzeit von 1960-1964, während der Anstellung als Elektriker bei der Firma U._ AG sowie während der Ferieneinsätze im Rahmen der Weiterbildung am Technikum Z._. Die entsprechenden Feststellungen werden durch die Akten gestützt. Weitere Abklärungen zu diesem Punkt versprechen keine neuen, relevanten Erkenntnisse.
5.4.5 Das Bundesgericht hat im (nach dem Einspracheentscheid vom 31. Oktober 2006 ergangenen) Urteil <ref-ruling> E. 7.1 S. 429 festgehalten, ihm fehlten zuverlässige Grundlagen, um zu beurteilen, ob die Grenze von 25 Faserjahren aufgrund der jüngeren wissenschaftlichen Entwicklungen weiterhin als massgebend anzusehen sei. Die SUVA, an welche die Sache zurückgewiesen wurde, habe diese Frage im Rahmen eines Gutachtens zu klären. Auch im vorliegenden Verfahren fehlt es an einer hinreichenden Basis, welche dem Gericht die Beurteilung der Frage ermöglichen würde (vgl. auch E. 1.2 hiervor). Die Sache ist daher an die SUVA zurückzuweisen, damit sie die Akten in Bezug auf die Massgeblichkeit der Helsinki-Kriterien, insbesondere der Schwelle von 25 Faserjahren, ergänze und der Beschwerdeführerin diesbezüglich das rechtliche Gehör gewähre. Sollte sich erweisen, dass diese Schwelle (oder eine andere als massgeblich erkannte Grenze) aktueller wissenschaftlicher Erkenntnis entspricht und der Versicherte sie auch unter Berücksichtigung einer allfälligen zusätzlich zu berücksichtigenden Exposition während der Tätigkeit als Elektroplaner (E. 5.4.4 hiervor) nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erreichte, wäre das Vorliegen einer Berufskrankheit und damit ein Anspruch der Beschwerdeführerin und ihrer Kinder auf Hinterlassenenleistungen zu verneinen.
6. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Beschwerdeführerin gilt für die Kostenregelung als obsiegend (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235). Daher hat die SUVA als unterliegende Partei die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 16. Juni 2008 und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) vom 31. Oktober 2006 aufgehoben werden und die Sache an die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Anspruch auf Hinterlassenenleistungen neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Mai 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger