Sachverhalt:
A. A.a Nach einer mehrmonatigen Arbeitslosigkeit war die 1960 geborene G._ ab 1. Mai 2009 als Architektin bei der F._ GmbH angestellt und deshalb bei der Pensionskasse der technischen Verbände SIA STV BSA FSAI USIC (nachfolgend: Pensionskasse) für die berufliche Vorsorge versichert. Im August 2010 meldete sie sich unter Verweis auf Parkinson-Syndrom und Depression bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens ermittelte die IV-Stelle Bern eine Einschränkung im Erwerbsbereich von 69,19 % und im Aufgabenbereich von 20 %. Beim gesamthaft resultierenden Invaliditätsgrad von 50 % sprach sie G._ mit Verfügung vom 15. Dezember 2011 ab 1. Februar 2011 eine halbe Invalidenrente zu.
A.b Die Arbeitgeberin liess der Pensionskasse am 3. Juli 2009 das persönliche Aufnahmegesuch der G._ vom 30. Mai 2009 (mit Versicherungsbeginn am 1. Mai 2009) einreichen. Im März 2010 liess sie mitteilen, dass G._ seit 1. September 2009 zu 100 % arbeitsunfähig sei. Mit Schreiben vom 16. August 2011 verneinte die Pensionskasse eine Leistungspflicht aus beruflicher Vorsorge, da die Arbeitsfähigkeit der Versicherten schon vor dem Eintritt in die Kasse herabgesetzt gewesen sei. Gleichzeitig trat sie wegen wissentlich unwahrer Angaben im Aufnahmegesuch gemäss Art. 3 Ziff. 5 des Versicherungsreglements vom Vorsorgevertrag zurück.
B. Am 13. März 2012 liess G._ Klage gegen die Pensionskasse einreichen mit dem Begehren, diese sei zu verpflichten, ihr rückwirkend ab 1. Februar 2011 eine reglementarische Invalidenrente von 50 % samt allfälligen Teuerungsanpassungen sowie Verzugszinsen von 5 % ab Fälligkeit auszurichten. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hiess die Klage mit Entscheid vom 13. September 2012 dahingehend gut, dass es die Pensionskasse verpflichtete, der Versicherten ab dem 1. Februar 2011 eine Dreiviertelsrente aus obligatorischer beruflicher Vorsorge zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 13. März 2012 bzw. ab späterem Fälligkeitsdatum auszurichten. Im Übrigen wies es die Klage ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Pensionskasse, der Entscheid vom 13. September 2012 sei aufzuheben und die Klage vollumfänglich abzuweisen; eventualiter sei das Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen zur ergänzenden Feststellung des Sachverhalts, insbesondere in Bezug auf den Eintritt der Einbusse an funktionalem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf und den Beginn des für die Versicherung bei der Beschwerdeführerin relevanten Arbeitsverhältnisses.
G._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.1 2.1.1 Nach Art. 23 lit. a BVG (SR 831.40) hat Anspruch auf eine Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge, wer im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 40 % invalid ist und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war. Entscheidend im Rahmen von Art. 23 BVG ist einzig der Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit (zu diesem Begriff vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 345 f. mit Hinweisen; SZS 2003 S. 521, B 49/00 E. 3), unabhängig davon, in welchem Zeitpunkt und in welchem Masse daraus ein Anspruch auf Invalidenleistungen entsteht. Die Versicherteneigenschaft muss nur bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit gegeben sein, dagegen nicht notwendigerweise auch im Zeitpunkt des Eintritts oder der Verschlimmerung der Invalidität. Für eine einmal aus - während der Versicherungsdauer aufgetretener - Arbeitsunfähigkeit geschuldete Invalidenleistung bleibt die Vorsorgeeinrichtung somit leistungspflichtig, selbst wenn sich nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses der Invaliditätsgrad ändert. Entsprechend bildet denn auch der Wegfall der Versicherteneigenschaft keinen Erlöschungsgrund (Art. 26 Abs. 3 BVG e contrario; <ref-ruling> E. 1a S. 263; <ref-ruling> E. 5 S. 45). Umgekehrt entfällt im Anwendungsbereich von Art. 23 lit. a BVG die Leistungspflicht einer Vorsorgeeinrichtung, wenn die massgebliche Arbeitsunfähigkeit bereits vor der Entstehung des Versicherungsverhältnisses eintrat (Urteil 9C_536/2012 vom 28. Dezember 2012 E. 2.1.1; HANS-ULRICH STAUFFER, Berufliche Vorsorge, 2. Aufl. 2012, S. 333 f. N. 914; derselbe, Die berufliche Vorsorge, in: Murer/Stauffer [Hrsg.], Die Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, 2. Aufl. 2006, S. 52 und 56; ISABELLE VETTER-SCHREIBER, Kommentar zum BVG, Zürich 2009, N. 8 zu Art. 23 BVG).
2.1.2 Die Arbeitsunfähigkeit ist relevant, wenn sie mindestens 20 % beträgt (Urteil 9C_772/2007 vom 26. Februar 2008 E. 3.2; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 48/97 vom 7. Oktober 1998 E. 1) und sich auf das Arbeitsverhältnis sinnfällig auswirkt oder ausgewirkt hat. Es muss arbeitsrechtlich in Erscheinung treten, dass der Versicherte im bisherigen Beruf (<ref-ruling> E. 5.3 S. 27) an Leistungsvermögen eingebüsst hat, so etwa durch einen Abfall der Leistungen mit entsprechender Feststellung oder gar Ermahnung des Arbeitgebers oder durch gehäufte, gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle. Der Zeitpunkt des Eintritts der berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit muss mit dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5b S. 360 mit Hinweisen) echtzeitlich nachgewiesen sein. Dieser Nachweis darf nicht durch nachträgliche Annahmen und spekulative Überlegungen ersetzt werden (Urteile 9C_273/2012 vom 20. November 2012 E. 4.1.1; 9C_368/2008 vom 11. September 2008 E. 2).
2.2 Vorinstanzliche Feststellungen zur Art des Gesundheitsschadens (Befund, Diagnose etc.) und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, sind für das Bundesgericht grundsätzlich bindend (E. 1; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 397). Tatfrage ist auch jene nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126, 9C_182/2007 E. 4.1.1). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung darüber erfolgt (SVR 2009 BVG Nr. 7 S. 22, 9C_65/2008 E. 2.2; Urteil 9C_670/2010 vom 23. Dezember 2010 E. 1.2).
3. 3.1 Es steht fest, dass die Versicherte an einem invalidisierenden Gesundheitsschaden leidet und ihr deswegen spätestens seit 1. September 2009 die bisherige Tätigkeit nicht mehr zumutbar ist. Ferner werden der Invaliditätsgrad von (gerundet) 69 % im massgeblichen erwerblichen Bereich und der allfällige Rentenbeginn (vgl. Art. 26 Abs. 1 BVG) nicht in Abrede gestellt. Streitig und zu prüfen ist die Leistungspflicht der Pensionskasse nur mit Blick auf den Zeitpunkt, in welchem die relevante Arbeitsunfähigkeit eintrat. Mangels Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids durch die Versicherte fallen nur Leistungen aus obligatorischer beruflicher Vorsorge in Betracht. Unbestritten ist auch, dass das kantonale Gericht zu Recht eine Bindung an die Entscheide der IV-Stelle verneint hat (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 76; SVR 2011 BVG Nr. 12 S. 44, 9C_693/2009 E. 5.1).
3.2 Die Vorinstanz hat unter Verweis auf die Berichte der Dres. med. R._, E._ G._ und B._ sowie des Regionalen Ärztlichen Dienstes festgestellt, es sei nicht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt, dass das funktionelle Leistungsvermögen der Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt des Versicherungsbeginns am 1. Mai 2009 um mindestens 20 % eingeschränkt gewesen sei. Die Arbeitsunfähigkeit sei am 1. September 2009 eingetreten.
3.2 Die Vorinstanz hat unter Verweis auf die Berichte der Dres. med. R._, E._ G._ und B._ sowie des Regionalen Ärztlichen Dienstes festgestellt, es sei nicht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt, dass das funktionelle Leistungsvermögen der Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt des Versicherungsbeginns am 1. Mai 2009 um mindestens 20 % eingeschränkt gewesen sei. Die Arbeitsunfähigkeit sei am 1. September 2009 eingetreten.
3.3 3.3.1 Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin betreffen die vorinstanzlichen Feststellungen nicht die generelle Leistungsfähigkeit, sondern die Arbeitsfähigkeit in der bisherigen Tätigkeit als Architektin. Das kantonale Gericht hat sich eingehend mit dem Bericht des Dr. med. R._, Facharzt für Neurologie, vom 18. Juni 2009 auseinandergesetzt und dabei festgestellt, obwohl der Neurologe die Arbeit als Architektin als "nicht möglich" bezeichnete, habe er keine Arbeitsunfähigkeit attestiert. Es stützte sich bei der Interpretation des genannten Dokuments auch auf den späteren Bericht des Dr. med. R._ vom 27. August 2009, gemäss welchem die Versicherte in der Erwerbstätigkeit eine Beeinträchtigung beim Bedienen der Maus, aber sonst keine wesentliche Einschränkung empfinde. Der von der Vorinstanz gezogene Schluss, dass bis zum 1. Mai 2009 keine Arbeitsunfähigkeit vorgelegen habe, erscheint daher nachvollziehbar. Die von der Beschwerdeführerin dagegen angebrachte Kritik, bei welcher sie sich auf den erst rund ein Jahr später erstellten Bericht des Dr. med. R._ vom 10. September 2010 beruft, erschöpft sich letztlich in rein appellatorischer Argumentation, die indessen nicht aufzeigt, inwiefern eine offensichtliche Unrichtigkeit der Sachverhaltsfeststellungen gegeben sein soll. Eine solche liegt im Übrigen nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (vgl. Urteil 9C_513/2012 vom 28. Dezember 2012 E. 4.2 mit weiteren Hinweisen). Auch kann aus einem engen medizinischen Betreuungsrhythmus, wie er erst ab Juni 2009 aktenkundig ist, nicht retrospektiv gefolgert werden, dass die Arbeitsfähigkeit schon früher, d.h. spätestens seit dem 1. Mai 2009 eingeschränkt war.
3.3.2 Eine echtzeitliche ärztliche Attestierung einer bereits am 1. Mai 2009 bestehenden Arbeitsunfähigkeit liegt entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht vor. Der älteste medizinische Bericht ist jener des Dr. med. R._ vom 18. Juni 2009, der auf einem Untersuch vom 15. Juni 2009 beruht. Eine frühere Untersuchung oder Behandlung der Versicherten durch den Neurologen ist nicht dokumentiert. Aus der blossen Überweisung einer Patientin von der Hausärztin an einen Neurologen - die gemäss Aussage der Versicherten im Erstgespräch mit der IV-Stelle "im Frühling 2009" erfolgte - kann nicht auf deren Arbeitsunfähigkeit geschlossen werden. Die fachärztliche Erstkonsultation fand denn auch nicht unmittelbar nach der Überweisung, sondern erst rund sechs Wochen nach Stellenantritt statt. Aus dem Untersuchungsbericht des RAD vom 7. September 2011 ergibt sich zwar, dass die Versicherte sich bereits früher in "nahezu kontinuierlicher" psychiatrisch-psychotherapeutischer Behandlung befand; daraus lässt sich indessen nicht nachträglich eine (ununterbrochene; vgl. <ref-law> [SR 831.201]; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22). Arbeitsunfähigkeit ableiten. Dass sich die gesundheitlichen Beschwerden sinnfällig auf das Arbeitsverhältnis ausgewirkt haben sollen, lässt sich auch den übrigen Unterlagen, insbesondere dem Bericht der Arbeitgeberin vom 6. September 2010, nicht entnehmen. Schliesslich fehlen auch in den Akten der Arbeitslosenversicherung Anhaltspunkte für eine vor Stellenantritt bestehende Arbeitsunfähigkeit.
3.3.3 Nach dem Gesagten sind die vorinstanzlichen Feststellungen (E. 3.2) weder offensichtlich unrichtig, noch beruhen sie auf einer Rechtsverletzung. Sie bleiben daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1).
3.4 Die Beschwerdeführerin verlangt mit dem Eventualantrag weitere Abklärungen betreffend den Beginn des Versicherungsverhältnisses und verweist zur Begründung auf den Widerspruch, dass die Versicherte bei ihr bereits auf den 1. Mai 2009 angemeldet wurde, während die Abmeldung von der Arbeitsvermittlung erst auf den 1. Juni 2009 erfolgte. Abgesehen davon, dass die Pensionskasse selber diese "Unklarheit" als nicht relevant bezeichnet, ist nicht ersichtlich, inwiefern bei den gegebenen Umständen der Rentenanspruch tangiert würde resp. es für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnte (E. 1), wenn die Anstellung und somit das Versicherungsverhältnis (vgl. Art. 10 Abs. 1 BVG) erst ab Juni 2009 anzunehmen wären. Darauf ist nicht einzutreten. Die Beschwerde ist unbegründet.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die obsiegende Beschwerdegegnerin hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. März 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann