Erwägungen:
1.
1.1. X._ stammt aus Nigeria (geb. 1978) und durchlief in der Schweiz unter falscher Identität erfolglos ein Asylverfahren, bevor er untertauchte. Am 7. September 2002 heiratete er eine niederlassungsberechtigte ugandische Staatsangehörige, mit der er drei Kinder zeugte (geb. 2006, 2007 und 2010). Nachdem das Kriminalgericht des Kantons Luzern ihn am 28. November 2008 im Zusammenhang mit seiner Drogendelinquenz (schwerer Fall) unter anderem zu einer Freiheitsstrafe von fünf Jahren und drei Monaten verurteilte hatte, verlängerte das Amt für Migration des Kantons Luzern am 22. März 2013 seine Aufenthaltsbewilligung nicht mehr und wies ihn weg. Der entsprechende Entscheid erwuchs in Rechtskraft.
1.2. Am 13. Dezember 2013 nahm das Amt für Migration X._ in Ausschaffungshaft (drei Monate ab 14. Dezember 2013). Die kantonalen Rechtsmittelinstanzen bestätigten diese am 17. Dezember 2013 (Zwangsmassnahmengericht) bzw. 20. Januar 2014 (Kantonsgericht). Mit Eingabe vom 25. Januar 2014 ersucht X._ sinngemäss darum, ihn aus der Haft zu entlassen, damit er wieder arbeiten und für seine Familie sorgen könne.
2.
2.1. Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Ausführungen müssen sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist dabei in gezielter Form auf die für das Ergebnis massgeblichen Ausführungen der Vorinstanz einzugehen (<ref-ruling> E. 2.1 - 2.3). Verfahrensgegenstand vor Bundesgericht bildet ausschliesslich die Rechtmässigkeit der angeordneten Ausschaffungshaft zur Sicherstellung des Vollzugs der Wegweisungsverfügung (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 197 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 220; <ref-ruling> E. 2b).
2.2. Der Beschwerdeführer kritisiert den rechtskräftigen Bewilligungsentscheid, legt aber mit keinem Wort dar, inwiefern die umstrittene Administrativhaft Bundesrecht verletzen würde. Zwar suchte er beim Amt für Migration um Revision des Bewilligungs- bzw. Wegweisungsentscheids nach und hat er in den Rechtsmittelverfahren diesbezüglich kurzfristig von der aufschiebenden Wirkung profitiert, doch wies das Kantonsgericht am 21. Januar 2014 seine entsprechende Beschwerde ab, womit der Vollzugsaufschub dahin gefallen ist.
3.
3.1. Auf die Beschwerde ist mangels rechtsgenügender Begründung der Eingabe nicht einzutreten. Dies kann ohne Weiterungen durch den Präsidenten als Einzelrichter im Verfahren nach <ref-law> geschehen. Im Übrigen entspräche der Entscheid inhaltlich der bundesgerichtlichen Praxis.
3.2. Es rechtfertigt sich, keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 2. Satz BGG) und keine Parteientschädigungen zuzusprechen (vgl. <ref-law>). Das Amt für Migration wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Januar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar