Sachverhalt:
A. A.a H._ war seit 1. August 1994 als Logopädin beim Erziehungsdepartement des Kantons Schaffhausen mit einem Pensum von zuletzt 50 % angestellt. Wegen Beanstandungen durch Eltern und Lehrer der Schulgemeinde X._ fand am 14. Mai 2007 ein Gespräch mit ihr statt und wurde ihr empfohlen, sie solle kündigen und sich pensionieren lassen; ansonsten werde sie in den vorzeitigen Ruhestand versetzt. Dem leistete H._ keine Folge. Das Erziehungsdepartement löste daher mit Verfügung vom 11. Juli 2007 das Arbeitsverhältnis mit H._ wegen schlechter Arbeitsqualität auf den 31. Januar 2008 durch vorzeitige Versetzung in den Ruhestand auf (Ziff. 1) und sprach ihr eine Übergangsrente gemäss Übergangsrentendekret zu (Ziff. 2).
A.b Mit Beschluss vom 27. November 2007 wies der Regierungsrat des Kantons Schaffhausen den gegen diese Verfügung gerichteten Rekurs ab.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der H._ wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Entscheid vom 12. November 2009 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt H._, unter Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheids "sei die Nichtigkeit der vorzeitigen Pensionierung gemäss Ziffer 1 der Verfügung des Erziehungsdepartements vom 11. Juli 2007 festzustellen; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen" (Rechtsbegehren Ziff. 1) und "es sei die Sache zur Prüfung der materiellen Voraussetzungen einer Abfindung gemäss Art. 17 PG an die Vorinstanz zurückzuweisen" (Rechtsbegehren Ziff. 2). Zudem ersucht sie für das letztinstanzliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung).
Während das Erziehungsdepartement auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Obergericht mit Eingabe vom 26. Februar 2010 auf einen Antrag, nimmt aber zu verschiedenen Vorbringen inhaltlich Stellung.

Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG) und betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinn von <ref-law>. Es handelt sich um eine vermögensrechtliche Streitigkeit, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht gegeben ist. Diesfalls ist die Beschwerde nur zulässig, wenn ein Streitwert von Fr. 15'000.- erreicht wird (<ref-law>) oder wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Abs. 2). Der Streitwert bestimmt sich durch die Rechtsbegehren, soweit darauf eingetreten werden konnte, wie sie vor Vorinstanz noch streitig waren (<ref-law>; vgl. Urteile 2C_233/2009 vom 17. Juli 2009 E. 2.1 mit Hinweis und 8C_251/2010 vom 29. Juni 2010 E. 1.2). Der monatliche Nettolohn beträgt unbestritten Fr. 4'208.15. Die Beschwerdeführerin machte geltend, die Kündigung sei während der krankheitsbedingten Sperrfrist erfolgt und daher ungültig. Ihr stünden folglich während fortbestehendem Arbeitsverhältnis die entsprechenden Lohnfortzahlungen zu. Zusätzlich beantragte sie vor Vorinstanz eine Abfindung von zwölf Monatslöhnen. Die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- ist somit auf jeden Fall erreicht.
1.2 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gerügt werden. Rügen gegen die Sachverhaltsfeststellung sind nur zulässig, wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Das Bundesgericht prüft die Auslegung des eidgenössischen und kantonalen Verfassungsrechts frei, die Auslegung des kantonalen Gesetzesrechts dagegen nur unter dem Gesichtspunkt der Willkür (<ref-ruling> E. 2b S. 9; Urteil 2C_187/2009 vom 1. Dezember 2009 E. 4.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 5.3 S. 148). Die Rüge, im Rahmen der Sachverhaltsfeststellung sei der grundrechtliche Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden, kann jedoch uneingeschränkt erhoben werden (Urteil 1C_560/2008 vom 6. April 2009 E. 1.2 mit Hinweis).
1.3 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.4 Die Anforderungen an die Begründung sind strenger, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung - <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2. 2.1 Die Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin vor Bundesgericht stimmen in ihrem Wortlaut nicht mit jenen vor Vorinstanz überein. Sie sind auch nicht klar. Es ist daher zuerst deren Inhalt und Zulässigkeit zu prüfen. Rechtsbegehren sind nach Treu und Glauben auszulegen, insbesondere im Lichte der dazu gegebenen Begründung (<ref-ruling> E. 1 S. 127; Urteil 9C_251/2009 vom 15. Mai 2009 E. 1.3 mit Hinweis). Ein unzulässiges neues Begehren im Sinn von <ref-law> liegt vor, wenn etwas Anderes oder Weitergehenderes verlangt wird, das zu einer Ausweitung des Streitgegenstandes führt (Urteil 4A_331/2008 vom 15. September 2008 E. 2.1.2 mit Hinweisen).
2.2 Die Beschwerdeführerin beantragte vor Vorinstanz die Aufhebung von Ziffer 1 der Verfügung des Erziehungsdepartements vom 11. Juli 2007 und eine Abfindung von zwölf Monatslöhnen. Eventualiter - zur Aufhebung von Ziffer 1 - forderte sie eine Lohnfortzahlung von zwölf Monatslöhnen. Ziffer 1 der strittigen Verfügung enthält die Anordnung der Auflösung des Arbeitsverhältnisses per 31. Januar 2008 durch vorzeitige Versetzung in den Ruhestand. Vor Bundesgericht verlangt die Beschwerdeführerin demgegenüber nicht mehr die Aufhebung von Ziffer 1 der Verfügung des Erziehungsdepartements, sondern die Feststellung der "Nichtigkeit der vorzeitigen Pensionierung gemäss Ziffer 1" dieser Verfügung. Sodann wird das Eventualbegehren auf Lohnfortzahlung nicht mehr gestellt.
2.3 Die Rechtsbegehren sind vor folgendem Hintergrund zu verstehen: Grundsätzlich hätte die Beschwerdeführerin aufgrund der Dauer ihres Arbeitsverhältnisses Anspruch auf eine Lohnfortzahlung im Krankheitsfall während zwölf Monaten gehabt (§ 38 Abs. 1 des Gesetzes über das Arbeitsverhältnis des Staatspersonals des Kantons Schaffhausen vom 3. Mai 2004 [Personalgesetz, nachfolgend: PG/SH]; Schaffhauser Rechtsbuch [nachfolgend: SHR] 180.100). Ohne die vorzeitige Pensionierung wäre die seit April 2007 arbeitsunfähige Beschwerdeführerin in den Genuss der Lohnfortzahlung bis Ende März 2008 gekommen. Gemäss § 61 der Verordnung über die Kantonale Pensionskasse Schaffhausen (Pensionskassenverordnung, SHR 185.101) haben Aktiv-Versicherte sodann Anspruch auf eine Invalidenrente, wenn sie im Sinne der Eidgenössischen Invalidenversicherung mindestens zu 40 % invalid sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert waren. Die Invalidenrente setzt ein Jahr nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit ein (§ 63 Abs. 1 Pensionskassenverordnung). Mit der Rentenzusprechung endet das Arbeitsverhältnis ohne Kündigung und im Ausmass, in dem die Voraussetzungen für eine Invalidenrente erfüllt sind (§ 9 Abs. 2 lit. d PG/SH). Die Invalidenversicherung sprach der Beschwerdeführerin nach Ablauf der zwölfmonatigen Wartezeit anhaltender Arbeitsunfähigkeit (vgl. <ref-law>) mit Wirkung ab 1. April 2008 eine Invalidenrente zu. Zu diesem Zeitpunkt endete auch das Arbeitsverhältnis (§ 9 Abs. 2 lit. d PG/SH), wenn es nicht schon zuvor durch die vorzeitige Pensionierung aufgelöst worden sein sollte (§ 9 Abs. 1 lit. c PG/SH), was nachfolgend insbesondere unter Erwägung Ziff. 3 zu prüfen sein wird.
2.3 Die Rechtsbegehren sind vor folgendem Hintergrund zu verstehen: Grundsätzlich hätte die Beschwerdeführerin aufgrund der Dauer ihres Arbeitsverhältnisses Anspruch auf eine Lohnfortzahlung im Krankheitsfall während zwölf Monaten gehabt (§ 38 Abs. 1 des Gesetzes über das Arbeitsverhältnis des Staatspersonals des Kantons Schaffhausen vom 3. Mai 2004 [Personalgesetz, nachfolgend: PG/SH]; Schaffhauser Rechtsbuch [nachfolgend: SHR] 180.100). Ohne die vorzeitige Pensionierung wäre die seit April 2007 arbeitsunfähige Beschwerdeführerin in den Genuss der Lohnfortzahlung bis Ende März 2008 gekommen. Gemäss § 61 der Verordnung über die Kantonale Pensionskasse Schaffhausen (Pensionskassenverordnung, SHR 185.101) haben Aktiv-Versicherte sodann Anspruch auf eine Invalidenrente, wenn sie im Sinne der Eidgenössischen Invalidenversicherung mindestens zu 40 % invalid sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert waren. Die Invalidenrente setzt ein Jahr nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit ein (§ 63 Abs. 1 Pensionskassenverordnung). Mit der Rentenzusprechung endet das Arbeitsverhältnis ohne Kündigung und im Ausmass, in dem die Voraussetzungen für eine Invalidenrente erfüllt sind (§ 9 Abs. 2 lit. d PG/SH). Die Invalidenversicherung sprach der Beschwerdeführerin nach Ablauf der zwölfmonatigen Wartezeit anhaltender Arbeitsunfähigkeit (vgl. <ref-law>) mit Wirkung ab 1. April 2008 eine Invalidenrente zu. Zu diesem Zeitpunkt endete auch das Arbeitsverhältnis (§ 9 Abs. 2 lit. d PG/SH), wenn es nicht schon zuvor durch die vorzeitige Pensionierung aufgelöst worden sein sollte (§ 9 Abs. 1 lit. c PG/SH), was nachfolgend insbesondere unter Erwägung Ziff. 3 zu prüfen sein wird.
2.4 2.4.1 Die Unklarheit der Rechtsbegehren ergibt sich daraus, dass die Beschwerdeführerin ein Leistungsbegehren (Zusprechung einer Abfindung) mit einem Gestaltungsbegehren (Aufhebung von Ziff. 1 der Verfügung vom 11. Juli 2007 auf vorzeitige Pensionierung per 31. Januar 2008) im vorinstanzlichen Verfahren beziehungsweise - vor Bundesgericht - einem Feststellungsbegehren (Feststellung der Nichtigkeit der vorzeitigen Pensionierung per 31. Januar 2008) verbindet. Unklar ist insbesondere, ob die Beschwerdeführerin grundsätzlich die Aufhebung der vorzeitigen Pensionierung will, womit auch ihr Anspruch auf eine Übergangsrente dahinfallen würde, das Arbeitsverhältnis über den 31. Januar 2008 hinaus angedauert hätte und mit der Invalidität per 1. April 2008 aufgelöst worden wäre. Oder ob sie lediglich die Aufhebung der vorzeitigen Pensionierung per 31. Januar 2008 will, jedoch von deren Gültigkeit per 31. März 2008 ausgeht, also nicht grundsätzlich die Aufhebung der vorzeitigen Pensionierung beantragt. In diesem Fall würde das Arbeitsverhältnis und damit die Lohnfortzahlungspflicht bis 31. März 2008 andauern und ersteres nicht durch die Invalidität, sondern durch die Zwangspensionierung aufgelöst.
2.4.2 Unmissverständlich ist nur das Leistungsbegehren auf Abfindung (vgl. Ziff. 2 der Anträge vor Vorinstanz und Ziff. 2 der Anträge vor Bundesgericht). Daraus ergibt sich aber, dass sie selber davon ausgeht, das Arbeitsverhältnis sei durch den Arbeitgeber aufgelöst worden und habe nicht mit Eintritt der Invalidität per 1. April 2008 geendet, denn gemäss § 17 Abs. 1 PG/SH besteht ein Abfindungsanspruch nur, wenn das Arbeitsverhältnis durch den Arbeitgeber aufgelöst wird. Das Begehren um Zusprechung einer Abfindung setzt somit voraus, dass sie nicht grundsätzlich die Aufhebung der vorzeitigen Pensionierung anstrebt.
2.4.3 Vor Vorinstanz hatte die Beschwerdeführerin noch einen Eventualantrag auf Lohnfortzahlung von zwölf Monatslöhnen ab Krankheitseintritt - also bis Ende März 2008 - gestellt. In der Beschwerde an das Bundesgericht hat sie dieses Begehren fallen gelassen. In der Beschwerdebegründung rügt sie aber, es sei diskriminierend, dass einem weniger als 60 Jahre alten Mitarbeiter wegen der Kündigungssperrfrist erst auf das Ende der gesetzlichen Lohnfortzahlungspflicht gekündigt werden könne; anstelle der Lohnzahlungen bei Berücksichtigung der Sperrfrist erhalte sie die viel tiefere Übergangsrente. Daraus geht hervor, dass sie nach wie vor einen Lohnfortzahlungsanspruch bis 31. März 2008 geltend macht; dies als Folge der festzustellenden Nichtigkeit der vorzeitigen Pensionierung per 31. Januar 2008.
2.4.4 Insgesamt ist das Feststellungsbegehren gemäss Ziff. 1 der vor Bundesgericht zu beurteilenden Beschwerde so zu verstehen, dass nicht die vorzeitige Pensionierung als solche grundsätzlich für nichtig zu erklären bzw. nach dem vorinstanzlichen Rechtsbegehren aufzuheben ist, sondern einzig, dass sie für den ausgesprochenen Zeitpunkt (31. Januar 2008) als nichtig erkannt wird. Abgesehen von der Überlegung gemäss E. 2.4.2 hiervor ergibt sich dies auch aus der Präzisierung in der Beschwerdeschrift, wonach folgende zwei Punkte strittig sind:
"Gilt die Kündigungssperrzeit bei Krankheit nur bei einer ordentlichen Kündigung oder auch, was die Beschwerdeführerin behauptet und die Vorinstanzen verneinen, bei einseitiger vorzeitiger Pensionierung?
Kann bei vorzeitiger Pensionierung und Zusprechung einer Übergangsrente der Anspruch auf Abfindung (auf dem Verordnungsweg) ausgeschlossen werden?"
Aus dem zweiten Punkt ist zu schliessen, dass die Beschwerdeführerin gleichzeitig eine Übergangsrente und eine Abfindung beantragt. Entsprechend hat sie den Abfindungsanspruch nicht im Rahmen eines Eventualbegehrens neben dem Feststellungsbegehren gestellt, sondern als zweites Hauptbegehren. Eine Übergangsrente ist jedoch nur geschuldet, wenn es bei der vorzeitigen Pensionierung bleibt. Auch daraus folgt, dass die Beschwerdeführerin nicht grundsätzlich die Aufhebung der vorzeitigen Pensionierung beantragt, sondern nur, dass ihr neben den Leistungen aus der fortbestehenden vorzeitigen Pensionierung auch eine Abfindung bezahlt wird (wie wenn das Arbeitsverhältnis durch Kündigung aufgelöst worden wäre).
Die Formulierung der Rechtsbegehren hängt mit der Auffassung der Beschwerdeführerin zusammen, dass auch bei der vorzeitigen Versetzung in den Ruhestand ebenso wie bei der Kündigung die Sperrfristen gemäss Art. 15 Abs. 2 PG/SH in Verbindung mit <ref-law> anwendbar sind. Die während einer Sperrfrist ausgesprochene Kündigung ist nichtig (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin macht geltend, auch die während der Krankheit ausgesprochene Versetzung in den Ruhestand sei nichtig (vgl. auch den ersten umstrittenen Punkt oben). Die Anwendbarkeit von Art. 15 Abs. 2 PG/SH begründet sie vorerst mit einer entsprechenden Auslegung dieser Bestimmung und eventualiter mit deren Verfassungswidrigkeit. Sei Art. 15 Abs. 2 PG/SH nicht auch auf die vorzeitige Zwangspensionierung anwendbar, sei das Personalgesetz diesbezüglich diskriminierend. Sie macht somit nur geltend, dass die Sperrzeit ebenso wie auf die Kündigung auch auf die Zwangspensionierung anwendbar ist.
2.4.5 Zu prüfen bleibt die Zulässigkeit des Feststellungsbegehrens. Ein schutzwürdiges Interesse an einer Feststellung fehlt in der Regel, wenn die Partei in der Lage ist, über die blosse Feststellung hinaus eine vollstreckbare Leistung zu verlangen. Ausnahmsweise wird ein schutzwürdiges Interesse bejaht, wenn die Parteien nur in der grundsätzlichen Frage des Bestehens einer Verpflichtung uneinig sind und die Erfüllung der Leistung auf blosse Feststellung hin zweifelsfrei gesichert ist, was in der Regel anzunehmen ist, wenn die Gegenpartei eine öffentlich-rechtliche Körperschaft ist (<ref-ruling> E. 2 S. 379 und Urteil 4C.341/2004 vom 4. November 2004 E. 2.1, je mit weiteren Hinweisen; vgl. auch René Rhinow/Heinrich Koller/Christina Kiss, Öffentliches Prozessrecht und Justizverfassungsrecht des Bundes, Basel/ Frankfurt a.M. 1996, Rz. 1187 ff.; Beatrice Weber-Dürler, in: Auer/Müller/Schindler [Hrsg.], Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren [VwVG], Zürich 2008, N. 10 ff. zu <ref-law>).
Die Beschwerdeführerin wäre ohne weiteres in der Lage gewesen, anstelle der Feststellung eine vollstreckbare Leistung - nämlich zwei weitere Monatslöhne - zu verlangen. Zwar kann davon ausgegangen werden, dass der Kanton bei einem Feststellungsurteil den sich daraus ergebenden Verpflichtungen im Sinn der zitierten Rechtsprechung nachkommen würde. Trotzdem erscheint das Feststellungsinteresse fraglich, zumal die Beschwerdeführerin es mit keinem Wort begründet. Denn es geht, wie gezeigt, mit der verlangten Feststellung nicht nur um die einfache Frage des Bestehens einer Verpflichtung. Die Frage kann jedoch offenbleiben, da das Rechtsbegehren Ziff. 1 ohnehin abzuweisen ist (vgl. E. 3 nachfolgend), wobei auf den ebenfalls gestellten Rückweisungsantrag nicht weiter einzugehen ist, da diesbezüglich jede nachvollziehbare Begründung fehlt.
3. 3.1 Gemäss Verfügung vom 11. Juli 2007 wurde die Beschwerdeführerin wegen schlechter Arbeitsqualität gestützt auf § 17 der Verordnung über die Arbeitsverhältnisse des Staatspersonals des Kantons Schaffhausen vom 14. Dezember 2004 (Personalverordnung, nachfolgend: PV/SH; SHR 180.111) vorzeitig in den Ruhestand versetzt. Zu diesem Zeitpunkt war sie zu 100 % arbeitsunfähig. Sie geht davon aus, dass auch bei einer vorzeitigen Pensionierung die Kündigungssperrzeit bei Krankheit gelte. Demzufolge sei die Verfügung vom 11. Juli 2007 gemäss Art. 15 Abs. 2 PG/SH in Verbindung mit <ref-law> nichtig.
3.2 Die Vorinstanz nahm an, das Personalgesetz nenne die vorzeitige Versetzung in den Ruhestand ausdrücklich als selbständigen Grund für die Auflösung des Arbeitsverhältnisses neben der Kündigung und regle sie auch selbständig (Art. 9 Abs. 1 lit. c und Art. 39 Abs. 2 und 3 PG/SH; § 17 PV/SH). Nach § 17 Abs. 2 PV/SH könne die Anstellungsbehörde Mitarbeitende vorzeitig in den Ruhestand versetzen, sofern sie Anspruch auf eine Übergangsrente haben (§ 17 Abs. 2 PV/SH). Dies sei der Fall, wenn das 60. Altersjahr vollendet worden sei und das Dienstverhältnis ununterbrochen fünf Jahre gedauert habe. Besondere Gründe für die vorzeitige Pensionierung würden in den massgeblichen Bestimmungen nicht genannt, weshalb eine solche nach freiem Ermessen vorgenommen werden könne. Anders als in andern Kantonen müsse die vorzeitige Pensionierung nach der Schaffhauser Gesetzgebung somit nicht mit einer Kündigung verknüpft werden. Eine analoge Anwendung der Bestimmungen über den Kündigungsschutz bei Krankheit sei sachlich nicht gerechtfertigt.
3.2 Die Vorinstanz nahm an, das Personalgesetz nenne die vorzeitige Versetzung in den Ruhestand ausdrücklich als selbständigen Grund für die Auflösung des Arbeitsverhältnisses neben der Kündigung und regle sie auch selbständig (Art. 9 Abs. 1 lit. c und Art. 39 Abs. 2 und 3 PG/SH; § 17 PV/SH). Nach § 17 Abs. 2 PV/SH könne die Anstellungsbehörde Mitarbeitende vorzeitig in den Ruhestand versetzen, sofern sie Anspruch auf eine Übergangsrente haben (§ 17 Abs. 2 PV/SH). Dies sei der Fall, wenn das 60. Altersjahr vollendet worden sei und das Dienstverhältnis ununterbrochen fünf Jahre gedauert habe. Besondere Gründe für die vorzeitige Pensionierung würden in den massgeblichen Bestimmungen nicht genannt, weshalb eine solche nach freiem Ermessen vorgenommen werden könne. Anders als in andern Kantonen müsse die vorzeitige Pensionierung nach der Schaffhauser Gesetzgebung somit nicht mit einer Kündigung verknüpft werden. Eine analoge Anwendung der Bestimmungen über den Kündigungsschutz bei Krankheit sei sachlich nicht gerechtfertigt.
3.3 3.3.1 Die Beschwerdeführerin rügt zunächst eine unzutreffende Auslegung des Personalgesetzes durch die Vorinstanz. Gemäss Art. 9 Abs. 1 PG/SH könne das Arbeitsverhältnis aufgelöst werden durch Kündigung (lit. a), Auflösung auf Amtsdauer (lit. b) oder vorzeitigen Übertritt/vorzeitige Versetzung in den Ruhestand (lit. c). Der Ingress von Abs. 2 derselben Bestimmung laute sodann: "Das Arbeitsverhältnis endet ohne Kündigung", wonach eine Aufzählung weiterer Beendigungsgründe folge (lit. a-d). Allein dieser Aufbau zeige, dass der Gesetzgeber alle in Abs. 1 von Art. 9 PG/SH erwähnten Auflösungsgründe grundsätzlich als "Kündigungen" verstand. Gleiches ergebe sich aus Art. 11 Abs. 4 PG/SH, werde doch dort unter der Marginalie "Kündigung des unbefristeten Arbeitsverhältnisses" die vorzeitige Versetzung in den Ruhestand vorbehalten, was völlig überflüssig wäre, wenn es sich dabei eben nicht auch um eine Kündigung handeln würde. Es erscheine daher als krass willkürlich, wenn ausgerechnet bei Art. 15 Abs. 2 PG/SH, um den es vorliegend gehe, der Begriff "Kündigung" im engen Sinn verstanden werde, so dass diese Bestimmung nicht auch auf den Auflösungsgrund der vorzeitigen Pensionierung im Sinne von Art. 9 Abs. 1 lit. c PG/SH anwendbar sein solle.
3.3.2 Die Rüge der willkürlichen Auslegung des kantonalen Rechts ist zulässig (<ref-law>). Willkürlich ist eine Auslegung oder Anwendung des Gesetzes nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Wegen Willkür ist ein Entscheid überdies nur aufzuheben, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133, 133 I 149 E. 3.1 S. 153, je mit Hinweisen). Erforderlich ist sodann, dass die Willkürrüge in einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Weise substanziiert wird. Dabei wird die Praxis zum Rügeprinzip gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) weitergeführt (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; Urteil 8C_251/2010 vom 29. Juni 2010 E. 1.3). Es obliegt der Beschwerdeführerin namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 262, 129 I 113 E. 2.1 S. 120, je mit Hinweisen).
3.3.3 Die Beschwerdeführerin stellt ihre eigene Interpretation des kantonalen Rechts jener der Vorinstanz gegenüber. Inwiefern Letztere krass falsch und damit willkürlich sein soll, legt sie nicht dar. Im Übrigen lassen sich Art. 9 Abs. 1 in Verbindung mit Abs. 2 sowie Art. 11 Abs. 4 PG/SH ohne weiteres im Sinne der Vorinstanz interpretieren. Art. 9 Abs. 2 PG/SH enthält Gründe, die ohne Gestaltungsverfügung das Arbeitsverhältnis beenden. Demgegenüber enthält Art. 9 Abs. 1 PG/SH Auflösungsgründe, die eine solche voraussetzen, wobei die Auflösung des Arbeitsverhältnisses auf Amtsdauer (Art. 9 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit Art. 14 PG/SH) und der vorzeitige Übertritt/Versetzung in den Ruhestand (Art. 9 Abs. 1 lit. c in Verbindung mit Art. 39 PG/SH) Einzelfälle betreffen, während die Kündigung (Art. 9 Abs. 1 lit. a PG/SH) den Normalfall der Auflösung durch Gestaltungsverfügung darstellt. Aus Abs. 1 von Art. 9 PG/SH folgt mit aller Klarheit, dass der Gesetzgeber die Kündigung (lit. a) und die vorzeitige Versetzung in den Ruhestand (lit. c) unterscheidet. Für die Versetzung in den Ruhestand gemäss lit. c bedarf es nicht zusätzlich einer Kündigung (lit. a), ebenso wenig wie für die Auflösung des Arbeitsverhältnisses auf Amtsdauer (lit. b). Dass der Gesetzgeber in Art. 9 Abs. 2 PG/SH die Formulierung "ohne Kündigung" (im Sinne von Art. 9 Abs. 1 lit. a PG/SH) und damit lediglich den häufigsten Fall der Auflösung durch Gestaltungsakt erwähnt, vermag daher an der klaren Unterscheidung der Auflösungsgründe von Abs. 1 nichts zu ändern. Auch in Art. 11 Abs. 4 PG/SH unterschied der Gesetzgeber zwischen der Kündigung (aus sachlichen Gründen) und der Versetzung in den Ruhestand. Diese Bestimmung lässt sich so verstehen, dass damit eine Klarstellung erfolgen sollte, ohne dass der Gesetzgeber mit dieser Formulierung auch die vorzeitige Versetzung in den Ruhestand grundsätzlich als "Kündigung" auffasste. Der Standpunkt des kantonalen Gerichts, wonach sich Art. 15 Abs. 2 PG/SH nur auf Kündigungen im engeren Sinne von Art. 9 Abs. 1 lit. a PG/SH bezieht und die vorzeitige Pensionierung nicht erfasst, verletzt jedenfalls das Willkürverbot nicht.
3.4 Für diesen Fall macht die Beschwerdeführerin weiter geltend, dass das kantonale Recht gegen das allgemeine Gleichheitsgebot (<ref-law>) und das Diskriminierungsverbot (<ref-law>) verstosse.
3.4.1 Ein Erlass verletzt das Gebot der Rechtsgleichheit, wenn er rechtliche Unterscheidungen trifft, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder Unterscheidungen unterlässt, die sich aufgrund der Verhältnisse aufdrängen (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 127 mit Hinweisen). Dem Gesetzgeber bleibt im Rahmen dieser Grundsätze und des Willkürverbots ein weiter Spielraum der Gestaltung, den das Bundesgericht nicht durch eigene Gestaltungsvorstellungen schmälert (<ref-ruling> E. 9.1 S. 42 mit Hinweisen). Leitbild ist eine grundsätzlich differenzierte Ordnung (Yvo Hangartner, Diskriminierung - ein neuer verfassungsrechtlicher Begriff, ZSR 122/2003 I S. 97 ff., insbesondere S. 110 f.).
3.4.2 Gemäss <ref-law> darf niemand diskriminiert werden, namentlich nicht wegen der Herkunft, der Rasse, des Geschlechts, des Alters, der Sprache, der sozialen Stellung, der Lebensform, der religiösen, weltanschaulichen oder politischen Überzeugung oder wegen einer körperlichen, geistigen oder psychischen Behinderung. Das Diskriminierungsverbot lehnt sich in den Grundzügen an die internationalen Grundrechtsgarantien an, wie sie insbesondere in Art. 14 EMRK und verschiedenen Bestimmungen des UNO-Paktes II enthalten sind (vgl. Jörg Paul Müller/Markus Schefer, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl. 2008, S. 679; Rainer J. Schweizer, St. Galler Kommentar zur Bundesverfassung, 2. Aufl. 2008, N. 43 zu <ref-law>; Yvo Hangartner, a.a.O., S. 98 f.). Indessen macht das Diskriminierungsverbot die Anknüpfung an ein gemäss <ref-law> verpöntes Merkmal nicht absolut unzulässig. Vielmehr begründet dieser Umstand zunächst den blossen Verdacht einer unzulässigen Differenzierung, der nur durch eine genügende Rechtfertigung umgestossen werden kann. Das Diskriminierungsverbot hat also rechtlich die Bedeutung, dass ungleiche Behandlungen einer besonders qualifizierten Begründungspflicht unterstehen (BGE 9C_99/2009 vom 19. März 2010 E. 5.2, 135 I 49 E. 4.1 S. 53, 129 I 392 E. 3.2.2 S. 397; Urteil 8C_169/2009 vom 28. Juli 2009 E. 4.2.1; je mit Hinweisen). Anders als beim allgemeinen Gleichheitsgebot (vgl. E. 3.4.1 i.f.) ist somit im Bereich der für das Diskriminierungsverbot typischen Anknüpfungstatbestände die absolute Gleichbehandlung der Normalfall, die Differenzierung die Ausnahme.
3.4.3 Die Lehre unterscheidet jedoch zu Recht zwischen den einzelnen in <ref-law> genannten Kriterien. Während bei Anknüpfungstatbeständen wie dem Geschlecht, der Rasse, der Religion u.Ä. eine Differenzierung im oben (E. 3.4.2) dargelegten Sinn im Prinzip unzulässig ist und einer besonderen Rechtfertigung bedarf, ist insbesondere das Kriterium Alter anderer Natur. Es knüpft nicht an eine historisch schlechter gestellte oder politisch ausgegrenzte Gruppe an. Hier handelt es sich daher um einen atypischen Diskriminierungstatbestand, der sich in der praktischen Anwendung dem allgemeinen Gleichheitssatz von <ref-law> nähert (Ivo Hangarter, a.a.O., S. 110; Bernhard Waldmann, Das Diskriminierungsverbot von <ref-law> als besonderer Gleichheitssatz, Bern 2003, S. 327 und S. 733; Rainer J. Schweizer, a.a.O., N. 48 zu <ref-law>). Ein Teil der Lehre geht denn auch davon aus, dass bezüglich des Alters praktisch kein Unterschied zum Schutz gemäss <ref-law> besteht (Jörg Paul Müller, Die Diskriminierungsverbote nach Art. 8 Abs. 2 der neuen Bundesverfassung, in: BTJP 2000, S. 103 ff., insbesondere S. 120; Pascal Mahon, in: Jean-François Aubert/Pascal Mahon, Petit commentaire de la Constitution fédérale de la Confédération suisse, Zürich/ Basel/Genf 2003, N. 16 zu <ref-law>; Etienne Grisel, Egalité, Les garanties de la Constitution fédérale du 18 avril 1999, Bern 2000, S. 78 f.). Ein anderer Teil nimmt an, mit Bezug auf die Gründe, die eine Schlechterstellung wegen des Alters rechtfertigen können, gehe <ref-law> nicht über die Anforderungen des allgemeinen Gleichheitssatzes hinaus, hingegen soll im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung ein etwas strikterer Massstab gelten, um so dem mit <ref-law> gewollten höheren Schutz Rechnung zu tragen (Markus Schefer/René Rhinow, Zulässigkeit von Altersgrenzen für politische Ämter aus Sicht der Grundrechte, Gutachten im Auftrag des Schweizerischen Seniorenrats, in: Jusletter 7. April 2003, Rz. 60 f.; wohl auch Ivo Hangartner, a.a.O., S. 116 und Vincent Martenet, Géométrie de l'égalité, Bern 2003, Rz. 898). Von Letzterem ist auszugehen. Nachfolgend ist somit zu prüfen, ob der kantonale Erlass in unverhältnismässiger Weise Unterscheidungen trifft, die sachlich nicht gerechtfertigt werden können.
3.4.4 Die Vorinstanz hat hinsichtlich der hier strittigen Auflösung des Arbeitsverhältnisses die Anwendbarkeit des zeitlichen Kündigungsschutzes (Art. 15 Abs. 2 PG/SH in Verbindung mit <ref-law>) verneint, jedoch die Einhaltung der Termine und Fristen des Kündigungsrechts bejaht, obwohl das Gesetz für die vorzeitige Versetzung in den Ruhestand keine "Auflösungsfristen" kennt. Die Beschwerdeführerin rügt diese analoge Anwendung im einen, nicht aber im andern Fall als widersprüchlich.
Ob eine andere Regelung als bei einer Kündigung zulässig ist, kann je nach dem, um welche Voraussetzungen oder Auswirkungen der Auflösung des Arbeitsverhältnisses es sich handelt, unterschiedlich beantwortet werden. Bezüglich Kündigungsfristen und -terminen gibt es keinen sachlichen Grund, die Versetzung in den Ruhestand anders zu behandeln als die ordentliche Kündigung, auch wenn nach der Schaffhauser Gesetzgebung die vorzeitige Pensionierung nicht mit einer Kündigung verknüpft werden muss (vgl. hievor E. 3.2 i.f.). Anders als bei der ordentlichen Pensionierung, wo die Angestellte zum vorneherein weiss, wann das Arbeitsverhältnis endet, muss sie sich bei der vorzeitigen Versetzung in gleicher Art darauf einstellen wie bei der Kündigung. Es ist daher sachlich gerechtfertigt, Fristen und Termine analog anzuwenden. Allgemein dürfte es bei der verfahrensmässigen Abwicklung kaum oder zumindest weniger sachliche Gründe geben für eine Differenzierung (vgl. auch Urteil 8C_118/2009 vom 11. November 2009 E. 2.1 betreffend Notwendigkeit der Durchführung einer gesetzeskonformen Mitarbeiterbeurteilung auch bei der Entlassung altershalber, wenn diese aus Gründen erfolgte, die bei jüngeren Mitarbeitern zu einer Kündigung führen würden). Daraus, dass die Vorinstanz und der Beschwerdegegner Kündigungsfristen und -termine angewendet haben, kann die Beschwerdeführerin nichts für sich ableiten.
3.4.5 Nach Auffassung der Beschwerdeführerin ergibt sich auch aus dem Zweck des zeitlichen Kündigungsschutzes (Art. 15 Abs. 2 PG/SH in Verbindung mit <ref-law>), dass kein sachlicher Grund besteht, diesen nicht auch bei der vorzeitigen Pensionierung anzuwenden. Es gehe darum, wie das kantonale Gericht richtig festgestellt habe, die Arbeitnehmerin während einer gewissen Zeit, in welcher sie durch den Verlust der Arbeitsstelle sozial besonders hart getroffen werde, vor einer Auflösung des Arbeitsverhältnisses zu schützen. Der über 60 Jahre alte Arbeitnehmer habe jedoch das genau gleiche Schutzbedürfnis wie der jüngere. Damit verkennt die Beschwerdeführerin den Sinn und die Tragweite von <ref-law>. Diese Bestimmung wurde nicht eingeführt, weil der Gesundheitszustand den Mitarbeitenden im Zeitpunkt des Erhalts der Kündigung daran hindert, eine andere Anstellung zu suchen, sondern weil eine Anstellung durch einen neuen Arbeitgeber nach Ablauf der ordentlichen Kündigungsfrist wegen der Unsicherheit in Bezug auf die Dauer und den Grad der Arbeitsunfähigkeit sehr unwahrscheinlich ist (<ref-ruling> E. 2c S. 217; Botschaft vom 9. Mai 1984 zur Volksinitiative "betreffend Kündigungsschutz im Arbeitsvertragsrecht" und zur Revision der Bestimmungen über die Auflösung des Arbeitsverhältnisses im Obligationenrecht, BBl 1984 II 551 ff., 605). Mit einer Pensionierung endet die Lebensarbeitszeit; eine neue Anstellung muss nicht mehr gesucht werden. Das gilt im Grundsatz auch für die vorzeitige Pensionierung. Insbesondere gilt es aber für den hier zu beurteilenden Fall, in welchem die Beschwerdeführerin - wie dargelegt (E. 2, v.a. E. 2.4.4) - nicht verlangt, die vorzeitige Pensionierung sei grundsätzlich aufzuheben. Im Hinblick auf den Zweck der Sperrfrist bei Kündigung ergibt sich daher gestützt auf das Gleichbehandlungsgebot nicht, dass diese auch bei der vorliegenden vorzeitigen Pensionierung anzuwenden wäre.
3.4.6 Unter dem Aspekt der Altersdiskriminierung stellt sich nicht die Frage, ob bei der vorzeitigen Versetzung in den Ruhestand die Sperrfristen des Kündigungsrechts anzuwenden sind, sondern vielmehr, ob eine vorzeitige Versetzung als solche zulässig ist, um so eine ordentliche Kündigung zu umgehen. Da die Beschwerdeführerin jedoch nicht die Aufhebung der vorzeitigen Pensionierung als solche verlangt (E. 2, v.a. E. 2.4.4), kann offenbleiben, ob die Verfügung einer solchen - statt einer Kündigung - einen Verstoss gegen <ref-law> beinhaltet. Es bleibt somit bei der Anordnung der vorzeitigen Pensionierung mit Übergangsrente gemäss Ziff. 1 und 2 der Verfügung vom 11. Juli 2007 auf den 31. Januar 2008.
4. Die Beschwerdeführerin beantragt weiter, die Sache sei zur Prüfung der materiellen Voraussetzungen einer Abfindung gemäss Art. 17 PG/SH an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4.1 Diesbezüglich rügt sie vorab eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Die Vorinstanz stützte die Abweisung einer Abfindung auf § 18 Abs. 4 PV/SH. Danach tritt bei einer vorzeitigen Pensionierung die Übergangsrente an die Stelle der Abfindung. Der Regierungsrat hatte demgegenüber auf der Grundlage von Art. 17 Abs. 1 PG/SH entschieden. Laut dieser Bestimmung ist eine Abfindung geschuldet, wenn das Arbeitsverhältnis durch den Arbeitgeber aufgelöst wird, die Mitarbeiterin kein überwiegendes Verschulden daran trifft, das Arbeitsverhältnis mindestens zehn Jahre gedauert hat und die Mitarbeiterin das 45. Altersjahr vollendet hat. Der Regierungsrat nahm aber an, die Beschwerdeführerin treffe ein überwiegendes Verschulden, weshalb sie keinen Anspruch auf Abfindung habe. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz hätte ihr Gelegenheit für eine Stellungnahme einräumen müssen, wenn sie das Abfindungsbegehren mit einer vom Regierungsratsentscheid abweichenden Begründung abweisen wollte. Indem sie dies unterliess, habe sie das rechtliche Gehör verletzt.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör besteht, wenn eine Behörde ihren Entscheid mit einem Rechtsgrund zu begründen beabsichtigt, der im bisherigen Verfahren nicht herangezogen wurde, auf den sich die beteiligten Parteien nicht berufen haben und mit dessen Erheblichkeit im konkreten Fall sie nicht rechnen konnten (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 278, 125 V 368 E. 4a S. 370, je mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 5 S. 39; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 22; <ref-ruling> E. 3c S. 52; je mit weiteren Hinweisen). Davon kann hier keine Rede sein. Bereits in der Rekursantwort wurde geltend gemacht, gemäss § 18 Abs. 4 PV/SH sei im Fall der vorzeitigen Pensionierung keine Abfindung geschuldet, womit sich die Beschwerdeführerin in ihrer Stellungnahme vom 17. Oktober 2007 auch auseinandersetzte und geltend machte, diese Verordnungsbestimmung sei gesetzwidrig. Auch wenn der Regierungsrat in seinem Entscheid diese Frage offenliess, musste die Beschwerdeführerin damit rechnen, dass die Vorinstanz sich allenfalls auf § 18 Abs. 4 PV/SH abstützen könnte.
4.2 Im Rekursverfahren hatte die Beschwerdeführerin geltend gemacht, § 18 Abs. 4 PV/SH habe keine genügende gesetzliche Grundlage in Art. 17 Abs. 1 PG/SH. Die Vorinstanz erachtete die Verordnung als gesetzmässig, ohne dass die Beschwerdeführerin letztinstanzlich hiegegen Einwände erhob. Sie rügt im Verfahren vor Bundesgericht einzig die Verfassungswidrigkeit (<ref-law>) der Regelung. Demzufolge ist die Gesetzmässigkeit von § 18 Abs. 4 PV/SH nicht zu überprüfen.
4.3 Wie erwähnt rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung von Art. 8 Abs. 1 und 2 BV, weil der Ausschluss einer Abfindung gemäss § 18 Abs. 4 PV/SH die über 60 Jahre alten Angestellten gegenüber Jüngeren diskriminiere und sachlich nicht begründet sei.
4.3.1 § 18 Abs. 4 PV/SH führt zu einer unmittelbaren Ungleichbehandlung der über 60 Jahre alten Angestellten, deren Arbeitsverhältnis mehr als zehn Jahre gedauert hat, gegenüber Jüngeren. Zu prüfen ist, ob diese Ungleichbehandlung einen sachlichen Grund hat, mithin welcher Zweck damit verfolgt wird, und ob sie verhältnismässig ist.
4.3.2 Der Umstand, dass die Entlassungsabfindung an eine mindestens zehnjährige Diensttätigkeit anknüpft, könnte darauf hindeuten, dass Sinn und Zweck der Abfindung nicht - oder jedenfalls nicht ausschliesslich - in der finanziellen Unterstützung des Stellenwechsels liegt, sondern damit auch die Betriebstreue einer Angestellten honoriert werden soll. Ginge es um die Belohnung einer langjährigen Betriebstreue, würde eine Regelung, welche über 60-jährige Angestellte von dieser Belohnung ausschliesst, ohne weiteres gegen <ref-law> verstossen, denn das wäre eine unsachliche Differenzierung (ebenso: Schlussanträge der Generalanwältin Kokott vom 6. Mai 2010 in der Rechtssache C-499/08 Ole Andersen gegen Region Syddanmark, Rz. 87 und 89).
In der Vorlage des Regierungsrates des Kantons Schaffhausen vom 17. Juni 2003 zum neuen Personalrecht (Bericht und Antrag des Regierungsrates des Kantons Schaffhausen an den Kantonsrat betreffend Revision des Personal- und Lohnrechts, S. 20) wurde ausgeführt, die bisher für eine Abfindung geltende Altersgrenze von 45 Jahre solle auf 40 Jahre gesenkt werden, weil die Suche nach einer neuen Stelle schon früher erschwert sei. Der Gesetzgeber bezweckte somit eine soziale Unterstützung beim Stellenwechsel und nicht eine Belohnung der Betriebstreue als solche. Die Tatsache, dass auch eine Mindestdienstdauer von zehn Jahren verlangt wird, spricht nicht dagegen, denn auch eine lange Zugehörigkeit zum selben Betrieb kann einen Stellenwechsel erschweren. Demgegenüber ging der Gesetzgeber offensichtlich davon aus, bei der vorzeitigen Pensionierung scheide der Angestellte in der Regel aus dem Arbeitsmarkt aus. In diesem Sinn nimmt auch die Beschwerdeführerin an, dass es bei der Abfindung und der Übergangsrente bei vorzeitiger Pensionierung um zwei verschiedene "Absicherungstatbestände" gehe, die unterschiedliche Ziele verfolgten. Die vom Schaffhauser Recht getroffene Unterscheidung verfolgt daher grundsätzlich ein sachliches Ziel.
4.3.3 Ob die Regelung verhältnismässig ist, hängt unter anderem davon ab, welche Leistungen mit der vorzeitigen Pensionierung verknüpft sind. Die Vorinstanz nahm an, die bis zur Erreichung des ordentlichen Pensionsalters zu leistende Übergangsrente dürfte zusammen mit den vorgezogenen Vorsorgeleistungen in der Regel und sicher auch im vorliegenden Fall gleichwertig oder eher höher sein als die nach § 18 Abs. 1 PV/SH berechnete Abfindung. Würde § 18 Abs. 4 PV/SH nicht angewendet, würde die Beschwerdeführerin daher gleichsam eine "doppelte Abfindungsleistung" erhalten, nämlich sowohl die Abfindung nach § 18 Abs. 1 PV/SH als auch die Übergangsrente nach § 17 Abs. 1 PV/SH und die Überbrückungsrente. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies, denn eine Übergangsrente würde auf jeden Fall gemäss § 18 Abs. 3 PV/SH an die Abfindung angerechnet. Sodann macht sie geltend - zwar nicht unter dem Titel Abfindung, aber allgemein bei der Beurteilung der finanziellen Leistungen -, die Überbrückungsrente der Pensionskasse dürfe nicht angerechnet werden, weil diese, analog einem Vorbezug der AHV-Rente, vom Versicherten mit einem lebenslänglichen Abzug selber finanziert werde.
4.3.4 Damit erfüllt sie die Anforderungen an die Rügepflicht (<ref-law>; vgl. E. 1.4 u. 3.3.2 hievor). Durch die Rügepflicht wird die Rechtsanwendung von Amtes wegen auf die genügend vorgebrachten und begründeten Rügen beschränkt. Genügend ist, wenn in der Beschwerde angegeben wird, welche Interessen der Partei durch das angefochtene Urteil verletzt werden und weshalb, wobei aber Letzteres nicht zutreffend sein muss (vgl. Giusep Nay, Recht haben und Recht bekommen vor Bundesgericht, in: Festschrift für Franz Riklin, 2007, S. 453 ff., 455 f.). Die Beschwerdeführerin hat in diesem Sinn geltend gemacht, dass sie als Folge der vorzeitigen Pensionierung finanziell schlechter gestellt sei als bei einer Kündigung mit Ausrichtung einer Abfindung und eine Diskriminierung nur dann ausgeschlossen wäre, wenn ihr insgesamt Leistungen in Höhe der Abfindung zugestanden würden.
4.3.5 Es ist in der Tat nicht zulässig, einfach die Übergangsrente und die Überbrückungsrente der Pensionskasse zu addieren und diese mit der Abfindung zu vergleichen. Die Vorsorgeleistung wurde auch durch Beiträge der Arbeitnehmerin mitfinanziert. Während eine noch nicht 60-jährige Arbeitnehmerin eine nur durch den Arbeitgeber finanzierte Abgangsentschädigung erhält, müsste sich die Beschwerdeführerin so zum Teil ihre eigenen Beiträge anrechnen lassen (vgl. demgegenüber die Regelung im privaten Arbeitsrecht, wonach laut <ref-law> nur auf Leistungen des Arbeitgebers beruhende Vorsorgeleistungen an die Abgangsentschädigung angerechnet werden dürfen). Wie die Beschwerdeführerin zu Recht geltend macht, erhält sie die Überbrückungsrente auch nicht einfach so. Vielmehr muss sie diese mit einem lebenslangen Abzug auf ihrer Altersrente erkaufen. Man kann nicht einerseits die Überbrückungsrente in den Vergleich einbeziehen, den lebenslangen Abzug jedoch nicht. Vielmehr ist die Überbrückungsrente der Pensionskasse beim Leistungsvergleich nicht zu berücksichtigen.
4.3.6 Ob § 18 Abs. 4 PV/SH verfassungswidrig ist, hängt somit davon ab, inwieweit die Übergangsrente gemäss § 17 PV/SH mit der Abfindung gemäss § 18 PV/SH gleichwertig ist.
Die Anwendung von § 18 Abs. 4 PV/SH kann - wie im Fall der Beschwerdeführerin - dazu führen, dass eine aus dem Staatsdienst austretende Person mit der vorzeitigen Versetzung in den Ruhestand finanziell deutlich benachteiligt ist im Vergleich zur Situation nach Empfang einer Abfindung. Es sind aber auch Konstellationen denkbar, in welcher eine solche Person besser gestellt wird. Die generell-abstrakte Regelung muss notwendigerweise schematisieren. Eine solche Schematisierung beziehungsweise Typisierung ist grundsätzlich zulässig, auch wenn damit ein Verlust an Einzelfallgerechtigkeit verbunden ist (Jörg Paul Müller/Markus Schefer, a.a.O., S. 671 f.; Ivo Hangarter, Grundzüge des schweizerischen Staatsrechts, Bd. II Grundrechte, 1982, S. 182). Jedoch darf der Ermessensspielraum, den der Gesetzgeber dabei geniesst, nicht dazu führen, dass der Grundsatz des Verbots der Diskriminierung aus Gründen des Alters ausgehöhlt wird (Jörg Paul Müller/Markus Schefer, a.a.O., S. 672 und bei Anm. 133; vgl. Urteil des Gerichtshofs der Europäischen Gemeinschaften vom 12. Oktober 2010 C-499/08 Ole Andersen gegen Region Syddanmark, Randnr. 46, und entsprechende Schlussanträge der Generalanwältin Kokott vom 6. Mai 2010, Rz. 62 f.). Gerade dies ist hier aber der Fall. Eine Regelung wie § 18 Abs. 4 PV/SH, die den Arbeitgeber automatisch von der Verpflichtung zur Zahlung einer Abfindung befreit, sobald ein Arbeitnehmer 60 Jahre ist und ihm statt dessen eine Übergangsrente ausgerichtet werden kann, lädt ihn gerade dazu ein, eher die Arbeitsverhältnisse mit jenen Arbeitnehmern zu beendigen, die diese Altersgrenze überschritten haben beziehungsweise im Einzelfall jene Beendigungsmöglichkeit zu wählen, die für ihn die günstigere ist. Die Regelung von § 18 Abs. 4 PV/SH, wonach bei vorzeitiger Versetzung in den Ruhestand keine Abfindung, sondern bloss eine Übergangsrente geschuldet ist, erweist sich dann als altersdiskriminierend, wenn Letztere die Höhe der Ersteren nicht erreicht und den Mitarbeitenden kein überwiegendes Verschulden trifft.
Soweit die Vorinstanz in tatsächlicher Hinsicht feststellte, die bis zur Erreichung des ordentlichen Pensionsalters zu leistende Übergangsrente dürfte zusammen mit den vorgezogenen Vorsorgeleistungen in der Regel und sicher auch im vorliegenden Fall gleichwertig oder eher höher sein als die nach § 18 Abs. 1 PV/SH berechnete Abfindung beruht dies einerseits auf falschen Annahmen (E. 4.3.5) und anderseits auf blossen Vermutungen, weshalb das kantonale Gericht die rechtserheblichen Tatsachen unvollständig festgestellt hat (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 25 mit Hinweisen; Ulrich Meyer, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 25, 36 und 58-61 zu <ref-law>).
4.3.7 Somit ist die Sache in diesem Punkt antragsgemäss an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie wird prüfen, ob der Beschwerdeführerin eine Abfindung gemäss Art. 17 PG/SH in Verbindung mit § 18 Abs. 1 und 3 PV/SH zusteht, und hernach über den geltend gemachten Anspruch neu entscheiden.
5. 5.1 Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die nach Art. 65 Abs. 2 und 3 BGG zu bemessenden Gerichtskosten den Parteien je hälftig (d.h. zu je Fr. 1'000.-) aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gemeinwesen, welches als Arbeitgeber in seinen Vermögensinteressen betroffen ist, fällt nicht unter den Ausnahmetatbestand von <ref-law> (<ref-ruling> E. 8.1.4 S. 41). Die Beschwerdeführerin hat für das bundesgerichtliche Verfahren Anspruch auf eine (reduzierte) Parteientschädigung von Fr. 1'400.- (<ref-law>).
5.2 Soweit dadurch nicht gegenstandslos geworden, kann dem für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltliche Rechtspflege (Befreiung von den Gerichtskosten und unentgeltliche Verbeiständung) mangels Bedürftigkeit nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Wie den Angaben vom 22. März und 13. April 2010 auf dem eingeholten "Erhebungsbogen für die unentgeltliche Rechtspflege" zu entnehmen ist, steht der Beschwerdeführerin gemäss den eingereichten Unterlagen ein Einkommen von insgesamt Fr. 2'840.- zur Verfügung, nämlich eine Invalidenrente von Fr. 1'478.-, eine Rente aus beruflicher Vorsorge von Fr. 1'026.- sowie eine Ergänzungsleistung von Fr. 336.- (vgl. zur Bedürftigkeit von Ergänzungsleistungsbezügern Urteile P 48/06 vom 5. Februar 2007 E. 5.2.1, 8C_630/2007 vom 10. März 2008 E. 7.2 und 8C_530/2008 vom 25. September 2008 E. 4.2). Dem Einkommen steht ein um 25 % erhöhter Grundbedarf der allein lebenden Beschwerdeführerin (Fr. 1'100.-) von Fr. 1'375.- gegenüber; zusätzlich sind gemäss Angaben im Erhebungsbogen für die unentgeltliche Rechtspflege Fr. 900.- für Hypothekarzins und Nebenkosten, Fr. 248.- für die Krankenkasse und Fr. 52.- für die Steuern des Jahres 2009 (laut provisorischer Steuerrechnung vom 8. April 2010 mutmasslich) zu berücksichtigen. Die Berechnung des prozessualen Notbedarfs ergibt somit einen Überschuss von monatlich Fr. 265.-. Unter diesen Umständen ist es der Beschwerdeführerin möglich und zumutbar, ihren Gerichtskostenanteil sowie die von ihr selber zu tragenden Kosten der Rechtsvertretung innert nützlicher Frist allenfalls ratenweise zu tilgen (vgl. Urteile 9C_304/2007 vom 25. Oktober 2007 E. 3 und C 62/00 vom 25. September 2000 E. 3b mit Hinweis).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird insoweit teilweise gutgeheissen, als der Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 12. November 2009 bezüglich der Verweigerung einer Abfindung aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid hierüber im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückgewiesen wird. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Von den Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden der Beschwerdeführerin Fr. 1'000.- und dem Beschwerdegegner Fr. 1'000.- auferlegt.
4. Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Obergericht des Kantons Schaffhausen zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. Dezember 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Hochuli