hat sich ergeben:
A.- B._, geboren 1975, trat am 1. September 1997 in die stationäre Therapiegemeinschaft C._ in D._ ein. Im März 1998 begann er eine Lehre als Mechaniker. Am 1. Juni 1998 trat er in die Austrittswohnung der Gemeinschaft C._ ein, was tags darauf der Fürsorgekommission A._ gemeldet wurde mit dem Hinweis darauf, dass der Aufenthalt in der Austrittswohnung ein integrierender Bestandteil des Therapiekonzeptes sei und dass der Tagessatz Fr. 120. -- betrage. Mit Schreiben vom 21. Juli 1998 teilte die Fürsorgekommission mit, angesichts des positiven Therapieverlaufs sei sie bereit, die Kosten von Fr. 120. -- pro Tag bis zum 30. Juni 1998 sowie die Lebenshaltungskosten in der Höhe von Fr. 1'300. -- (inkl. Abzug Lehrlingslohn) bis Ende Juli 1998 zu übernehmen. Gegen die-se Verfügung erhoben B._ sowie die Therapiegemeinschaft C._ Rekurs beim Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau (im Folgenden: Departement) und beantragten, es sei ab 1. Juni 1998 bis zum Therapieende Kostengutsprache über Fr. 120. -- pro Tag zuzüglich Lebenshaltungskosten von Fr. 1586. -- pro Monat zu erteilen. Mit Entscheid vom 10. Dezember 1998 wies das Departement den Rekurs ab. Dagegen erhoben B._ sowie die Therapiegemeinschaft C._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, wobei sie beantragten, die Fürsorgekommission A._ anzuweisen, der Therapiegemeinschaft C._ Unterstützungsleistungen für B._ während seines Aufenthalts in der Austrittswohnung in der Gesamthöhe von insgesamt Fr. 22'037. -- zu bezahlen. Am 21. April 1999 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde gut.
B.- Dagegen hat die Politische Gemeinde A._ (vertreten durch die Fürsorgekommission) beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben. Sie beantragt, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und festzustellen, dass die Gemeinde A._ ab Eintritt von B._ in die Austrittswohnung der Therapiegemeinschaft C._ nicht mehr für dessen fürsorgerechtliche Unterstützung zuständig sei.
Die Therapiegemeinschaft C._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. B._ hat sich nicht vernehmen lassen. Das Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau schliesst sich vollumfänglich und ohne Einschränkungen den Ausführungen der Beschwerdeführerin an, beantragt jedoch (wohl irrtümlich) Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Polizeiwesen (für das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement) beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts ist kantonal letztinstanzlich. Die Beschwerdeführe-rin rügt einzig eine unrichtige Anwendung des Bundesgesetzes über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger vom 24. Juni 1977 (Zuständigkeitsgesetz, ZUG; SR 851. 1). Das Zuständigkeitsgesetz ist öffentliches Recht des Bundes im Sinne von Art. 5 VwVG. Soweit sich der angefochtene Entscheid auf dieses Gesetz stützt, ist daher die Verwaltungsgerichtsbeschwerde zulässig (Art. 97 und 98 lit. g OG), zumal auch keine Ausschlussgründe gemäss Art. 99-102 OG bestehen.
b) Zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist nach Art. 103 lit. a OG berechtigt, wer durch die angefochtene Verfügung berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat. Eine Gemeinde ist zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde unter anderem legitimiert, wenn sie gleich oder ähnlich wie ein Privater betroffen ist; das ist namentlich der Fall, wenn es um Eingriffe in ihr Finanz- oder Verwaltungsvermögen geht, indem die Gemeinde als Verfügungsadressatin zu finanziellen Leistungen verpflichtet wird (<ref-ruling> E. Ib S. 616). Die Beschwerdeführerin wird durch den angefochtenen Entscheid verpflichtet, eine finanzielle Leistung zu erbringen, und ist daher zur Beschwerde legitimiert (vgl. das Urteil vom 22. Januar 1996 i.S. Politische Gemeinde Y._ gegen X., publiziert in Zbl 98/1997 S. 414, E. 1c).
2.- Streitig ist die Frage, ob der Beschwerdegegner 1 seinen Unterstützungswohnsitz im massgebenden Zeitraum (d.h. während seines Aufenthalts in der Austrittswohnung der Therapiegemeinschaft C._ in D._) noch in A._ hatte.
a) Die Frage des interkantonalen Unterstützungswohnsitzes beurteilt sich unabhängig vom zivilrechtlichen Wohnsitz nach den Bestimmungen des Zuständigkeitsgesetzes. Gemäss Art. 12 Abs. 1 ZUG obliegt die Unterstützung der Schweizer Bürger dem Wohnkanton. Der Unterstützungswohnsitz liegt nach Art. 4 Abs. 1 ZUG in dem Kanton, in dem sich der Bedürftige mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält. Grundsätzlich gilt die polizeiliche Anmeldung als Wohnsitzbegründung (Art. 4 Abs. 2 ZUG). Wer aus dem Wohnkanton wegzieht, verliert den bisherigen Unterstützungswohnsitz (Art. 9 Abs. 1 ZUG), doch beendet der Eintritt in ein Heim den bestehenden Unterstützungswohnsitz nicht (Art. 9 Abs. 3 ZUG).
b) Es ist unbestritten, dass der Beschwerdegegner 1 während seines Aufenthalts im Haupthaus der Therapiegemeinschaft aufgrund dessen Heimcharakters im Kanton Thurgau, und innerhalb des Kantons in der Gemeinde A._, Unterstützungswohnsitz hatte. Ob dieser Unterstützungswohnsitz durch den Eintritt des Beschwerdegegners 1 in die Austrittswohnung der Therapiegemeinschaft beendet wurde, hängt davon ab, ob diese Austrittswohnung als Heim oder Anstalt im Sinne von Art. 5 bzw. Art. 9 Abs. 3 ZUG zu qualifizieren ist. Das wird vom Verwaltungsgericht bejaht, von der Beschwerdeführerin hingegen bestritten.
c) Gemäss Art. 105 Abs. 2 OG ist die Feststellung des Sachverhalts durch das kantonale Verwaltungsgericht für das Bundesgericht bindend, wenn der Sachverhalt nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt worden ist. Sachverhaltsfeststellungen sind die Ausführungen des Verwaltungsgerichts über die Bedingungen und Umstände, unter denen der Beschwerdegegner in der Austrittswohnung gelebt hat. Frei überprüfbare Rechtsfrage ist hingegen, ob diese Umstände eine Qualifikation als Heim im Sinne des Zuständigkeitsgesetzes begründen.
3.- a) Das Verwaltungsgericht stellt fest, dass die Wohnung am F._ in D._ von der Therapiegemein- schaft C._ seit 1. September 1997 gemietet worden war; Vertragspartnerin war damit die C._ und nicht der Beschwerdegegner 1 oder seine Wohngenossen. Das Verwaltungsgericht hat sich zudem in seiner Sachverhaltsfeststellung auf das Konzeptpapier der Therapiegemeinschaft vom 16. September 1997 gestützt. In diesem Papier wird der Aufenthalt in der Aussen-Wohnung als "integrierter Bestandteil" der Therapie bezeichnet. An den Übertritt in die Austrittswohnung werden gewisse Bedingungen geknüpft, so zum Beispiel Kursbesuch, eine auswärtige Psychotherapie und ein erstellter Budgetplan. Zudem wird eine Betreuungsstruktur mit wöchentlichen
Gruppensitzungen, Einzelgesprächen, Putzkontrolle und weiteren therapeutischen Instrumenten angeboten.
Es ist nicht ersichtlich, inwiefern das Verwaltungsgericht den massgebenden Sachverhalt nicht korrekt erstellt haben sollte.
b) Der Begriff des Heimes im Sinne von Art. 5 und Art. 9 Abs. 3 ZUG ist weit auszulegen. Er kann auch therapeutische Wohngemeinschaften umfassen. Als Beurteilungskriterien kommen etwa die Art und das Mass der angebotenen Dienstleistungen, der Grad der feststellbaren Fremdbestimmung sowie der Abhängigkeitsgrad der betroffenen Personen in Frage (BBl 1990 I 59; vgl. Werner Thomet, Kommentar zum Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [ZUG], 2. Aufl. Zürich 1994, Rz 110 f.).
Das Mass der angebotenen Dienstleistungen, die zum Teil obligatorisch sind, sowie der Grad der Fremdbestimmung für die Bewohner der Austrittswohnung sind nicht unerheblich: Schon die wöchentliche Gruppensitzung in der Wohnung mit dem Wohnungsbetreuer bzw. der Wohnungsbetreuerin, die wöchentlichen Einzelgespräche mit der Bezugsperson und die wöchentliche Putzkontrolle stellen einen Eingriff in die freie Gestaltung des Wohnens dar; wesentlich ist auch, dass die Teammitglieder gemäss Konzeptpapier jederzeit Zutritt zur Austrittswohnung haben und dass die Bewohner verpflichtet sind, an den C._-Ferien teilzunehmen. An Feiertagen sind die Bewohner verpflichtet, sich ein Programm ausserhalb der Austrittswohnung zu organisieren, ansonsten sie am Programm der Wohngemeinschaft im Haupthaus teilzunehmen haben. Was Drogen, Medikamente und Alkohol anbelangt, gelten die übergeordneten C._-Regeln; bei grundlegenden Krisen ist eine vorübergehende Rückplatzierung ins Haupthaus möglich. Es besteht die Möglichkeit von gemeinsamer Freizeitgestaltung mit den C._-E. _-Bewohnern und eine Nutzungsmöglichkeit von Musikgeräten, PhotolaborundSportgeräten.
Anhand dieser Kriterien ist die Austrittswohnung der Therapiegemeinschaft als Heim im Sinne des Zuständigkeitsgesetzes zu betrachten, womit A._ bis zum Abschluss der Therapie per 31. Oktober 1998 Unterstützungswohnsitz geblieben ist. Das Verwaltungsgericht hat demnach mit seiner Gutheissung der Beschwerde kein Bundesrecht verletzt.
4.- Die nach dem Gesagten unbegründete Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen, um deren Vermögensinteressen es sich handelt (Art. 156 Abs. 1 und 2 in Verbindung mit Art. 153 und Art. 153a OG). Die Beschwerdeführerin hat zudem die Beschwerdegegnerin 2 für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000. -- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.- Die Beschwerdeführerin hat die Therapiegemein-schaft C._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500. -- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien, dem Departement für Finanzen und Soziales und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 17. Januar 2000
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: