Sachverhalt:
A.
A.a. Y._ und X._ sind die gemeinsamen nicht verheirateten Eltern der 2009 geborenen Tochter A._. Die von den Eltern am 22. Juni 2010 geschlossene Vereinbarung über den Unterhalt und die Betreuung des gemeinsamen Kindes sah insbesondere vor, dass dieses von beiden Eltern zu gleichen Teilen je zweieinhalb Tage pro fünf Werktage plus Samstag oder Sonntag bzw. plus jedes zweite Wochenende betreut wird, wobei diese Betreuungsregelung auch bei einer eventuellen Auflösung des gemeinsamen Haushaltes (Pendelmodell) gelten soll. Am 9. August 2010 genehmigte die Vormundschaftsbehörde B._ die Vereinbarung und übertrug gestützt auf aArt. 298a Abs. 1 ZGB die elterliche Sorge über das Kind antragsgemäss auf beide Eltern.
A.b. Im Juni 2011 trennten sich die Eltern und leben seither nicht mehr im gemeinsamen Haushalt. Die Mutter zog nach Z._. Am 15. Juni 2012 änderte die Vormundschaftsbehörde Z._ nach Anhörung des Sozialarbeiters und der Eltern die Betreuungsregelung. Mit Urteil vom 20. Dezember 2012 wies das Appellationsgericht Basel-Stadt als Verwaltungsgericht den von X._ gegen den Entscheid der Vormundschaftsbehörde erhobenen Rekurs ab.
B.
X._ gelangte mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht und beantragte sinngemäss, das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts sei insofern abzuändern, als nach Ablauf der Übergangszeit die bestehende Kontaktregelung gemäss Vereinbarung vom 22. Juni 2010 gelte. Mit Urteil vom 14. November 2013 wies das Bundesgericht die Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war (1). Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- wurden X._ auferlegt, infolge der gewährten unentgeltlichen Rechtspflege aber einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen (4).
C.
Mit Eingabe vom 6. Januar 2014 (Postaufgabe) ersucht X._ (Gesuchsteller) beim Bundesgericht um Revision des ihm am 3. Dezember 2013 zugestellten bundesgerichtlichen Urteils 5A_198/2013. Er beantragt im Einzelnen, es sei Ziffer 1 des bundesgerichtlichen Urteils aufzuheben und festzuhalten, dass die Betreuungsregelung gemäss Elternvereinbarung vom 22. Juni 2010 gelte (1 und 2). Aufzuheben sei ferner Ziffer 4 des bundesgerichtlichen Urteils; ihm seien die Gerichtskosten zu erlassen (4). Für das Verfahren ersucht er sinngemäss um unentgeltliche Rechtspflege (Erlass der Kosten des Revisionsverfahrens) (5).
D.
Mit Verfügung vom 9. Januar 2014 wurde das Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen (Ziffer 3 der Begehren) im Sinn des Hauptantrages des Revisionsgesuchs abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Die Revision eines Bundesgerichtsurteils kann nur aus einem der im Gesetz abschliessend genannten Gründe verlangt werden (Art. 121 bis <ref-law>). Auch für die Revision gelten die in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genannten Anforderungen; die Begehren sind zu begründen, d.h., es ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Urteil 5F_8/2013 vom 24. April 2013 E. 1.2; 5F_3/2011 vom 4. Mai 2011 E. 1.2; 5F_10/2012 vom 25. März 2013 E. 1.1). Diesen Anforderungen vermag das appellatorische Revisionsgesuch im Grossen und Ganzen nicht zu entsprechen.
2.
2.1. Der Gesuchsteller beruft sich zunächst auf den Revisionsgrund gemäss <ref-law>. Danach kann die Revision des bundesgerichtlichen Urteils verlangt werden, wenn das Bundesgericht einer Partei mehr oder, ohne dass es das Gesetz erlaubt, anderes zugesprochen hat, als sie selbst verlangt hat, oder weniger als die Gegenpartei anerkannt hat.
2.2. Der Gesuchsteller hatte vor Bundesgericht seine Rechtsbegehren dahingehend abgeändert, dass nach Ablauf der Übergangsphase die Betreuungsregelung gemäss Vereinbarung vom 22. Juni 2010 gelte. Das Bundesgericht hat dieses vom ursprünglichen Begehren abweichende Rechtsbegehren zugelassen, da der Gesuchsteller damit weniger als vor zweiter Instanz verlangte und somit insoweit kein neues (unzulässiges) Begehren vorlag (Urteil 5A_198/2013 E. 1.2; <ref-law>). Die Gesuchsgegnerin hat sich diesem Antrag widersetzt. Das Bundesgericht hat die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten war. In seiner Eingabe (S. 2-5 zum Revisionsgrund des <ref-law>) zeigt der Gesuchsteller in keiner Weise auf, inwiefern das Bundesgericht einer der Parteien mehr oder etwas anderes als verlangt zugesprochen hätte, und dies ist auch nicht ersichtlich. Die Ausführungen auf den besagten Seiten erschöpfen sich in einer Kritik an der bundesgerichtlichen Rechtsanwendung insbesondere in Bezug auf Art. 310, 311 und namentlich aArt. 298 Abs. 2 ZGB, indem etwa im Widerspruch zum bundesgerichtlichen Urteil die Zuständigkeit der Vormundschaftsbehörde zur Änderung der Betreuungsregelung bestritten wird. Diese Kritik ist indes nicht geeignet, den Revisionsgrund des <ref-law> zu belegen. Darauf ist insgesamt nicht einzutreten.
3.
Der Gesuchsteller ruft ferner den Revisionsgrund von <ref-law> an. Dieser ist gegeben, wenn das Bundesgericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat.
3.1. Der Gesuchsteller macht zur Begründung einmal im Wesentlichen geltend (Gesuch S. 6-13), der zuständige Sachbearbeiter habe seine Liegenschaft besucht und sei zum Schluss gekommen, dass er (der Gesuchsteller) für die Sicherheit seiner Tochter sorgen könne und auch sonst keine Gefährdungsmomente vorlägen. Das Bundesgericht habe diese erhebliche gegen die Anwendung von aArt. 310 bzw. aArt. 311 ZGB sprechende Tatsache übersehen. Es habe mit anderen Worten nicht beachtet, dass kein Grund gemäss aArt. 310 und aArt. 311 ZGB vorhanden gewesen sei, um bei der Vormundschaftsbehörde die Abänderung der Betreuungsregelung zu beantragen.
3.2. Bei den Ausführungen zu aArt. 298 Abs. 2 ZGB bzw. aArt. 310 und aArt. 311 ZGB war für das Bundesgericht einmal der Umstand relevant, dass die Kinderbelange der Untersuchungs- und Offizialmaxime (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling>) unterliegen, welche die zuständige Behörde zum Einschreiten verpflichtet, wenn sich die Parteien im Verlaufe der Zeit über die Betreuungsanteile nicht mehr einig sind. War mithin der Streit über die Betreuungsanteile für das Bundesgericht Anlass genug, um im Lichte der Untersuchungs- und Offizialmaxime ein Einschreiten der Behörde und eine Neuordnung der Betreuungsregelung zu rechtfertigen, so kam es auf die vom Gesuchsteller erwähnte, aber nicht berücksichtigte Tatsache nicht an. Das Bundesgericht war daher auch nicht verpflichtet, diese für den Fall nicht massgebliche Tatsache ausdrücklich zu erwähnen (Urteil 1F_10/2007 vom 2. Oktober 2007 E. 4.1 und 4.2).
Im Übrigen erschöpfen sich die Ausführungen auf den Seiten 6-14 des Gesuchs in einer Kritik an den bundesgerichtlichen Erwägungen zu aArt. 298a sowie Art. 310 und 311 ZGB und somit an der Rechtsanwendung durch das Bundesgericht. Damit lässt sich indes der Revisionsgrund des <ref-law> nicht belegen (Urteil 5F_6/2007 vom 7. April 2008 E. 2.2). Auf diese insgesamt unzulässigen Ausführungen des Gesuchstellers ist nicht einzutreten.
4.
Damit ist das Revisionsgesuch abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Gesuchsteller kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat die Gegenpartei jedoch für das bundesgerichtliche Verfahren nicht zu entschädigen, da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.
5.
Wie die bisherigen Ausführungen zeigen, hat sich das Revisionsgesuch als von Anfang an aussichtslos erwiesen. Fehlt es somit an einer der kumulativen Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (nicht aussichtslose Eingabe), muss das entsprechende Gesuch des Gesuchstellers abgewiesen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Gesuch um Revision des Urteils 5A_198/2013 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB Z._ und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden