Faits:
A. A.a Le FC X._ est un club de football organisé sous la forme d'une association. Il est membre de l'Association Suisse de Football (ci-après: ASF).
La Swiss Football League (ci-après: SFL) est une section de l'ASF.
Le FC Y._ est un club de football organisé sous la forme d'une association. Il est membre de l'ASF.
A.b En octobre 2003, le joueur A._, né en 1984, a quitté le FC Y._ pour le FC X._. La SFL a mis une contribution de formation de 2'000 fr. à la charge du club X._ois. Le FC Y._ a demandé au FC X._ de lui payer une indemnité de formation de 220'000 fr. Le manager du FC X._ a formulé une offre transactionnelle de 180'000 fr. à ce titre.
Le 9 mars 2004, le FC Y._ a invité la SFL à trancher le différend. Le dossier a été soumis à la Commission de conciliation de la SFL, laquelle s'est déclarée incompétente pour traiter le cas en date du 10 mai 2004.
Le 17 mai 2004, le FC Y._ a alors saisi la Commission des mutations de la SFL (ci-après: la Commission des mutations). Le 30 juillet 2004, il a requis la constitution d'un tribunal arbitral selon le règlement de l'ASF. Le président du Tribunal arbitral a invité les parties à une audience de conciliation fixée au 6 juillet 2005. La conciliation a échoué. Les parties sont convenues de suspendre la procédure arbitrale afin de poursuivre leurs pourparlers et, en cas d'échec de ceux-ci, afin de saisir la Commission des mutations, sans reconnaissance de la compétence de cette dernière par le FC X._. La procédure arbitrale ne devait être reprise, le cas échéant, qu'après que ladite Commission aurait rendu sa décision.
Par courrier du 13 septembre 2005, le FC Y._ a demandé à la Commission des mutations de poursuivre la procédure. Statuant le 17 mars 2006, la Commission des mutations a condamné le FC X._ à verser au FC Y._ une indemnité de formation de 186'177 fr. 50.
B. Le FC X._ a déféré la décision de la Commission des mutations au Tribunal de recours de la SFL, lequel a rejeté le recours et confirmé le prononcé attaqué par décision du 17 mai 2006.
Le 29 mai 2006, le FC X._ a appelé de cette décision auprès du Tribunal Arbitral du Sport (ci-après: TAS) en concluant à ce que toute indemnité de formation en faveur du FC Y._ à la suite du transfert du joueur A._ soit refusée. Par sentence du 9 mai 2007, le TAS a rejeté l'appel et confirmé la décision entreprise.
Le FC X._ a formé un recours en nullité auprès du Tribunal cantonal vaudois afin d'obtenir l'annulation de cette sentence arbitrale. Par arrêt du 18 octobre 2007, la Chambre des recours de ce Tribunal a rejeté le recours en nullité et maintenu la sentence du TAS.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le FC X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal et de renvoyer la cause au TAS afin qu'il rende une nouvelle sentence dans le sens des considérants. A titre subsidiaire, il requiert que la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois soit invitée à annuler la sentence du TAS. Plus subsidiairement encore, le recourant conclut à ce que le Tribunal fédéral annule l'arrêt attaqué et la sentence du TAS et à ce qu'il dise que les décisions rendues le 17 mars 2006 et le 9 mai 2006 par la Commission des mutations et le Tribunal de recours de la SFL sont tenues pour annulées, voire à ce qu'il annule également ces deux décisions.
La SFL propose le rejet du recours. Le FC Y._ en fait de même, tout en mettant en doute la recevabilité du recours. Quant à l'autorité intimée, elle se réfère aux motifs énoncés dans son arrêt.
D. L'arrêt rendu ce jour rend sans objet la requête d'effet suspensif formulée à titre subsidiaire par le recourant.

Considérant en droit:
1. L'arrêt attaqué est rédigé en français. Le recourant a utilisé l'allemand pour la rédaction de son mémoire, tandis que les parties intimées se sont servies du français pour présenter leurs observations sur le recours. Conformément à l'<ref-law> et à la pratique du Tribunal fédéral en la matière, l'arrêt sera donc rendu en français.
2. 2.1 Le recourant s'en prend à une décision finale (<ref-law>) rendue en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire. En application de l'art. 3 let. f du concordat intercantonal sur l'arbitrage du 27 août 1969 (ci-après: CA), c'est l'autorité judiciaire compétente pour statuer sur les recours en nullité dirigés contre les sentences émanant des tribunaux arbitraux dont le siège se trouve dans son canton qui a pris cette décision. La sentence arbitrale soumise à son examen avait trait à un différend dont la valeur litigieuse atteignait le seuil de 30'000 fr. fixé à l'<ref-law> pour la recevabilité du recours en matière civile. Ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente, le recourant, qui y a succombé, possède la qualité pour recourir (<ref-law>). Comme il a déposé son mémoire en temps utile (<ref-law> en liaison avec l'art. 46 let. c LTF) et dans la forme prévue par la loi (<ref-law>), rien ne s'oppose à l'entrée en matière. Demeure réservé l'examen de la recevabilité des griefs formulés par le recourant.
2.2 Si le recours est en soi recevable, il n'en va pas de même de certaines des conclusions prises par son auteur. En effet, hormis des exceptions qui ne jouent aucun rôle en l'espèce, le recours en nullité, au sens des art. 36 ss CA, est essentiellement de nature cassatoire (art. 40 al. 1 CA). Aussi le Tribunal fédéral, lorsqu'il admet un recours en matière civile dirigé contre un arrêt rendu sur un recours en nullité formé dans le cadre d'un arbitrage concordataire, ne possède-t-il pas un pouvoir décisionnel plus étendu que celui dont jouit l'autorité cantonale compétente pour statuer sur un tel recours (<ref-ruling> consid. 1.1.2 et 1.1.3; Bernhard Berger/Franz Kellerhals, Internationale und interne Schiedsgerichtsbarkeit in der Schweiz, Berne 2006, n. 1760; Hans Peter Walter, Rechtsmittel gegen Entscheide des TAS nach dem neuen Bundesgesetz über das Bundesgericht und dem Entwurf einer Schweizerischen Zivilprozessordnung, The Proceedings before the Court of Arbitration for Sport [éd. Rigozzi/Bernasconi], p. 155 ss, 168). Par conséquent, dans la mesure où le recourant demande plus ou autre chose que l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi du dossier à la cour cantonale, ses conclusions sont irrecevables.
2.3 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral vérifie librement l'interprétation et l'application des dispositions concordataires faites par l'autorité intimée (art. 95 let. e LTF). Il examine, en particulier, avec une libre cognition si l'autorité cantonale a admis ou rejeté à juste titre l'arbitraire au sens de l'art. 36 let. f CA (cf. <ref-ruling> consid. 3b p. 382; <ref-ruling> consid. 1), même si, en pratique, son pouvoir d'examen coïncide souvent avec la cognition restreinte (cf. arrêt 4P.49/2006 du 24 avril 2006, consid. 3.1.2). Il ne faut, au surplus, pas perdre de vue que le recours fédéral porte exclusivement sur la décision rendue sur le recours en nullité de l'art. 36 CA, et non sur la sentence arbitrale (arrêt 4P.26/2006 du 28 juin 2006, consid. 3.1 in fine et les auteurs cités). Sont dès lors irrecevables les griefs dirigés contre celle-ci (<ref-ruling> consid. 1.1.1; arrêt 4P.49/2006 du 24 avril 2006, consid. 3.1.2; consid. 1, non publié, de l'<ref-ruling>; Berger/Kellerhals, op. cit., n. 1745). Le recourant méconnaît ces particularités du recours en matière civile dans le domaine de l'arbitrage concordataire, lui qui consacre de longs développements à la critique de la sentence arbitrale ou qui mélange de manière inadmissible les moyens dirigés contre la sentence du TAS avec ceux visant l'arrêt cantonal. Dans cette mesure, son recours est irrecevable. Au demeurant, l'<ref-ruling>, auquel il se réfère, ne lui est d'aucun secours car il a trait à un arbitrage international, situation dans laquelle - contrairement à ce qui est le cas dans un arbitrage interne - c'est la sentence rendue par le TAS qui forme l'objet du recours au Tribunal fédéral.
Il n'est pas non plus possible d'entrer en matière sur le recours dans la mesure où le recourant entend soumettre le système de la juridiction arbitrale du TAS à une critique toute générale, afin d'en démontrer l'incompatibilité avec l'<ref-law>. Le Tribunal fédéral ne s'occupe pas des considérations d'ordre général faites dans un recours, non plus que des remarques ("Anmerkungen") qui y sont formulées, telles qu'elles apparaissent à maints endroits du mémoire qui lui a été soumis. Il ne pourrait de toute façon pas se prononcer sur le moyen en question, même s'il avait été présenté de manière suffisamment concrète, car le recourant ne l'a pas soulevé devant la Chambre des recours (principe de l'épuisement des griefs). Du reste, le Tribunal fédéral s'est déjà exprimé de manière approfondie sur la question de la reconnaissance du TAS en tant que tribunal indépendant (<ref-ruling> consid. 3).
3. Avant d'entrer en matière sur les griefs soulevés, il convient de rappeler la portée de l'art. 36 let. f CA et la cognition du Tribunal fédéral saisi d'un recours en matière civile pour violation de cette disposition. Selon l'art. 36 let. f CA, la sentence arbitrale peut être attaquée en nullité lorsqu'elle est arbitraire, parce qu'elle repose sur des constatations manifestement contraires aux faits résultant du dossier ou parce qu'elle constitue une violation évidente du droit ou de l'équité. La notion concordataire de l'arbitraire correspond à celle développée par la jurisprudence relative aux art. 4 aCst. et 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 3.4). S'agissant des faits, l'art. 36 let. f CA est même plus restrictif, puisque le juge ne peut revoir la façon dont les arbitres ont apprécié les preuves, mais doit se limiter à vérifier que les faits constatés ne sont pas manifestement contraires au dossier (cf. <ref-ruling> consid. 3.6). Par conséquent, l'autorité judiciaire saisie d'un recours en nullité au sens des art. 36 ss CA n'a pas à examiner quelle interprétation correcte le tribunal arbitral aurait dû donner des dispositions applicables; elle doit uniquement dire si l'interprétation qui en a été faite est défendable. En outre, il n'y a pas d'arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire préférable; enfin, la solution doit être arbitraire dans son résultat, et non seulement dans ses motifs (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 17 et les arrêts cités; arrêt 4P.148/2006 du 10 janvier 2007, consid. 4.2).
Il convient de souligner, en outre, que le Tribunal fédéral n'examine la violation du droit intercantonal, tel le CA, que si un grief de ce chef a été invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>).
Le recourant méconnaît ces principes. En effet, de longs passages de son mémoire ne consistent qu'en une critique de nature purement appellatoire de la décision attaquée, où il est reproché à la cour cantonale d'avoir appliqué le droit privé matériel de façon incorrecte et où sont exposés des faits qui ne ressortent pas de cette décision. Dans cette mesure aussi, le recours est irrecevable.
4. Les seuls griefs valablement formulés que l'on peut distinguer à la lecture du mémoire de recours appellent les remarques faites ci-après.
4.1 Le recourant s'est opposé à l'admission de la demande en faisant valoir, pour l'essentiel, les deux arguments suivants:
- il a, d'une part, soulevé l'exception de litispendance au motif que le FC Y._ aurait ouvert une procédure arbitrale avant de saisir la Commission des mutations, ce qui aurait dû conduire le TAS à admettre ladite exception et à se déclarer incompétent;
- il a, d'autre part, soutenu que la Commission des mutations n'était pas compétente pour fixer l'indemnité de formation, étant donné que le FC Y._ n'aurait pas appartenu à la SFL au moment du transfert de A._.
Le TAS a écarté ces deux arguments, suivi en cela par l'autorité intimée.
Le TAS a écarté ces deux arguments, suivi en cela par l'autorité intimée.
4.2 4.2.1 S'agissant de l'exception de litispendance, la cour cantonale constate, dans son arrêt, que le FC Y._ a saisi la Commission des mutations, le 17 mai 2004, pour obtenir du FC X._ le versement d'une indemnité en raison du transfert du joueur A._. Postérieurement à cette date, soit le 30 juillet 2004, le club Y._ a écrit à l'ASF pour lui demander de constituer un tribunal arbitral. Le 6 juillet 2005, le Tribunal arbitral, par l'intermédiaire de son président, a tenu une audience de conciliation au cours de laquelle les parties sont convenues de suspendre la procédure. Le 13 septembre 2005, le FC Y._ a informé par écrit la Commission des mutations de cette suspension et lui a indiqué ses prétentions pécuniaires. Enfin, le 14 octobre 2005, le président du Tribunal arbitral a avisé le FC Y._ qu'il était "prématuré de réactiver la procédure arbitrale du fait que la procédure engagée devant la Commission des mutations est pendante". De ces faits, l'autorité intimée a tiré la conclusion que le FC Y._ n'avait jamais retiré la demande formée le 17 mai 2004 devant la Commission des mutations, nonobstant la saisine ultérieure d'un tribunal arbitral. La procédure ouverte devant la Commission des mutations avait été simplement interrompue, puis reprise en septembre 2005. Ainsi, étant donné que cette procédure avait été ouverte avant la procédure arbitrale, le TAS avait écarté à bon droit l'exception de litispendance.
Les arguments avancés par le recourant à l'encontre de cette conclusion tombent à faux. L'intéressé souligne que, sous chiffre 14 de sa décision, la Commission des mutations indique elle-même que le FC Y._ a requis son intervention par lettres des 13 et 27 septembre 2005. La remarque est exacte. Toutefois, cela n'exclut pas que le club Y._ ait déjà saisi la Commission des mutations à une date antérieure, soit le 17 mai 2004, ainsi que l'a constaté la cour cantonale. Le recourant ne démontre pas en quoi cette constatation serait manifestement contraire aux pièces du dossier. Bien plus, il concède lui-même, à la page 25 de son mémoire, que le FC Y._ a effectivement saisi la Commission des mutations le 17 mai 2004. La pièce correspondante a du reste été versée au dossier. Il en appert que le club Y._ invite la Commission des mutations "à statuer sur la somme de fr. 220'000.- hors taxe, montant de reprise comptant la formation du joueur concerné et toute autre indemnité que le FC X._ doit verser au FC Y._". Cet extrait de la lettre en question prive de tout fondement l'objection du recourant selon laquelle la procédure ouverte le 17 mai 2004 n'aurait eu pour objet que les rapports de travail liant le joueur au club Y._, à l'exclusion des relations entre les deux clubs. Quoi qu'il en soit, cette objection repose sur une allégation et des pièces justificatives nouvelles dont il n'est pas possible de tenir compte à ce stade de la procédure (cf. <ref-law>). A cet égard, il est faux de prétendre, comme le fait le recourant, que seule la connaissance des motifs de l'arrêt cantonal lui aurait fait prendre conscience de la nécessité de formuler cette nouvelle allégation et de produire de nouveaux moyens de preuve à son appui. L'exception de litispendance avait, en effet, été soulevée au début de la procédure, de sorte que le recourant aurai pu et dû alléguer les faits pertinents et requérir l'administration des preuves idoines bien avant que la cause fût portée à la connaissance du Tribunal fédéral.
4.2.2 Quant au point de savoir si le FC Y._ était membre ou non de la SFL le 22 octobre 2003, date déterminante pour la fixation de l'indemnité de formation, les juges cantonaux rappellent que le club Y._ était titulaire d'une licence B pour la saison 2002/2003 et qu'il était en conséquence membre de la SFL. Le 5 avril 2003, la Commission des licences de la SFL avait refusé de lui octroyer la licence B pour la saison 2003/2004, parce qu'il n'avait pas produit divers documents. Le FC Y._ avait alors saisi l'Autorité de recours pour les licences, laquelle avait rejeté son recours le 4 juin 2003. Cependant, la décision rendue à cette date avait été cassée par le Tribunal arbitral, le 16 juillet 2003, et la cause renvoyée devant l'Autorité de recours qui avait rejeté à nouveau le recours par décision du 28 juillet 2003. Saisi par le FC Y._, le Tribunal arbitral avait annulé cette décision et renvoyé la cause à l'Autorité de recours. Le 20 octobre 2003, le juge délégué du Tribunal cantonal compétant avait ordonné, par voie de mesures provisionnelles, à la SFL de prendre toutes les dispositions nécessaires permettant la réintégration du FC Y._ dans le championnat suisse. Enfin, le 29 octobre 2003, l'Autorité de recours avait accordé au FC Y._ la licence pour la saison 2003/2004.
La cour cantonale a jugé soutenable l'opinion du TAS, selon laquelle le FC Y._, à la suite de l'annulation de la décision lui refusant la licence, était redevenu membre de la SFL avec effet ex tunc. A titre de motivation alternative, elle a considéré que l'on aboutirait à la même solution, i.e. à la constatation que le FC Y._ était membre de la SFL le 22 octobre 2003, en appliquant l'art. 9 des statuts de cette association, lequel prévoit que la qualité de membre de la SFL ne prend fin que par le refus définitif de la licence.
Le recourant ne démontre pas en quoi les juges vaudois auraient nié à tort le caractère arbitraire de la sentence du TAS. Il se borne à présenter au Tribunal fédéral sa propre vision des choses, dans une argumentation peu claire au demeurant, sans respecter les exigences relatives à la motivation d'un recours en matière civile fondé sur la violation de l'art. 36 let. f CA. On cherche en vain dans son mémoire l'indication des motifs pour lesquels l'argumentation de la cour cantonale serait manifestement insoutenable, en totale contradiction avec la situation de fait, gravement contraire à une norme ou à un principe juridique indiscuté, voire choquante au regard du sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 2.1). Le recours est, dès lors, irrecevable sur ce point. Cette conclusion s'applique aussi au grief fait à l'autorité intimée d'avoir traité la question de la qualification de la lettre de la SFL du 15 octobre 2003 "so salopp wie falsch". En effet, ce grief ne satisfait pas davantage à l'exigence de motivation d'un recours en matière civile fondé sur la violation de l'art. 36 let. f CA.
5. On ne voit pas très bien où le recourant veut en venir lorsqu'il reproche à la cour cantonale d'avoir traité "völlig überflüssig und in epischer Breite" la question de savoir qui était partie à la procédure conduite devant elle. L'autorité intimée a admis que c'était le FC X._ et non la société FC X._ SA, ce qui n'est pas critiquable.
6. Le recourant se plaint enfin d'avoir subi une violation massive de son droit d'être entendu. Selon lui, le TAS aurait rendu une sentence insuffisamment motivée et n'aurait pas traité avec le soin nécessaire les arguments qu'il lui avait soumis, rendant de surcroît une sentence "rein opportunistich und bezüglich des Beschwerdeführers krass parteiisch". Le recourant n'a pas soulevé ce moyen devant la cour cantonale. Du moins, il ne ressort pas de l'arrêt attaqué qu'il l'ait fait et lui-même ne démontre pas qu'il aurait formulé un grief de ce chef dans son recours en nullité. L'autorité intimée ne peut ainsi se voir reprocher d'avoir nié à tort l'existence d'une violation du droit d'être entendu commise par le TAS.
7. Cela étant, le présent recours ne peut qu'être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Partant, le recourant devra supporter les frais judiciaires y afférents (<ref-law>) et verser des dépens à chacune des deux parties intimées (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à chacune des parties intimées une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 2 avril 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Carruzzo