Sachverhalt:
A.
Am 2. Dezember 2011 verfügte das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern zulasten des Motorfahrzeuglenkers X._ den Sicherungsentzug des Führerausweises auf unbestimmte Zeit. Die Wiedererteilung des Ausweises machte es von der Beibringung eines die Fahreignung bejahenden verkehrsmedizinischen Gutachtens des Instituts für Rechtsmedizin der Universität Zürich abhängig. Eine vom Lenker dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht, Abgaberechtliche Abteilung, des Kantons Luzern mit Entscheid vom 17. April 2012 gut. Das Verwaltungsgericht hob die Sicherungsentzugsverfügung auf und wies die Sache zur verkehrsmedizinischen und verkehrspsychologischen Abklärung der Fahreignung (im Sinne seiner Erwägungen) an das Strassenverkehrsamt zurück.
B.
Am 18. Mai 2012 ordnete das Strassenverkehrsamt den vorsorglichen Entzug des Führerausweises an bis zur hängigen Abklärung der Fahreignung des Lenkers; einer allfälligen Beschwerde entzog es die aufschiebende Wirkung.
C.
Gegen den am 18. Mai 2012 vorsorglich verfügten Führerausweisentzug erhob der Lenker Beschwerde beim kantonalen Verwaltungsgericht, Abgaberechtliche Abteilung. Dieses verweigerte der Beschwerde die aufschiebende Wirkung und wies sie am 21. Dezember 2012 ab.
D.
Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 21. Dezember 2012 gelangte X._ mit Beschwerde vom 11. Februar 2013 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides.
Das kantonale Strassenverkehrsamt, das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Strassen beantragen je die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer replizierte am 24. Mai 2013.

Erwägungen:
1.
Beim vorsorglichen Führerausweisentzug handelt es sich um einen Zwischenentscheid mit drohendem nicht wieder gutzumachendem Nachteil im Sinne von <ref-law> (Urteile des Bundesgerichts 1C_108/2010 vom 20. Juli 2010 E. 1.1; 1C_459/2009 vom 22. März 2010 E. 1.2; 1C_420/2007 vom 18. März 2008 E. 1; 1C_233/2007 vom 14. Februar 2008 E. 1.1). Mit Beschwerde an das Bundesgericht gegen die vorsorgliche Massnahme kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Diesbezüglich ist die Beschwerde zu begründen und ausreichend zu substanziieren (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; genannte Urteile 1C_459/2009 E. 1.2; 1C_420/2007 E. 2; 1C_233/2007 E. 1.2).
2.
Der Beschwerdeführer macht (im Wesentlichen zusammengefasst) Folgendes geltend: Die im Administrativverfahren gegen ihn erhobenen Vorwürfe betreffend gefährliches Verhalten im Strassenverkehr seien falsch. Gegen eine Person, die (im Mai 2011) gegen ihn eine entsprechende Anzeige erstattete, habe er Strafantrag wegen falscher Anschuldigung und Ehrverletzung erhoben. Aufgrund einer Verfügung des Strassenverkehrsamtes vom 29. Juni 2011 habe er sich fristgerecht beim genannten Amtsarzt angemeldet. Dieser sei jedoch in den Ausstand getreten. Zwar sei er, der Beschwerdeführer, vom Strassenverkehrsamt aufgefordert (und am 20. Oktober 2011 ein letztes Mal angemahnt) worden, sich bei einem anderen Amtsarzt einer medizinischen Untersuchung zu unterziehen. Statt dessen habe er jedoch (mit Hinweis auf seinen Strafantrag gegen die ihn anzeigende Person) beantragt, das Administrativerfahren sei bis zum Abschluss des Strafverfahrens (gegen die anzeigende Person) zu sistieren. Das Verwaltungsgericht habe den am 2. Dezember 2011 angeordneten Sicherungsentzug des Führerausweises am 17. April 2012 aufgehoben. Dennoch habe es den am 18. Mai 2012 gegen ihn verfügten vorsorglichen Sicherungsentzug im angefochtenen Entscheid "nun plötzlich" geschützt. Er sei wegen eines Parkplatzstreites bei der Polizei falsch denunziert worden; die Anzeige gegen ihn sei "äusserst zweifelhaft". Sein Verhalten während des Beschwerdeverfahrens vor dem Verwaltungsgericht sei dadurch zu erklären, dass er sich von den Behörden ungerecht behandelt (und diesen ausgeliefert) gefühlt habe. Es sei aber unhaltbar, daraus Indizien auf eine fehlende Fahrtauglichkeit abzuleiten und deswegen sogar eine psychologische Begutachtung anzuordnen. Zwar treffe es zu, dass er "dreimal trotz Entzugs des Führerausweises mit dem Auto unterwegs" gewesen sei. Die kantonalen Instanzen zögen daraus jedoch unzulässige Schlüsse. Bei der ersten Verkehrskontrolle habe die Polizistin an seiner Fahrweise nichts auszusetzen gehabt, bis sie herausgefunden habe, dass er "ohne Führerausweis" unterwegs gewesen sei. Beim zweiten Mal sei er offenbar von einem Polizeibeamten erkannt worden. Dieser sei ihm über mehrere hundert Meter bis zum Wohnort des Beschwerdeführers nachgefahren, woraus nur geschlossen werden könne, dass sein Fahrstil in keiner Weise zu Beanstandungen Anlass gegeben habe. Die dritte Fahrt sei am 11. Juni 2012 erfolgt. Angesichts der am 17. April 2012 erfolgten Aufhebung des Sicherungsentzuges durch das Verwaltungsgericht (und der kurz bevorstehenden Einlegung eines Rechtsmittels gegen den am 18. Mai 2012 verfügten vorsorglichen Sicherungsentzug) sei er am 11. Juni 2012 "fälschlicherweise" davon ausgegangen, dass er befugt sei, ein Fahrzeug zu lenken. Dabei habe er sich in einem Verbotsirrtum befunden. Die Voraussetzungen für einen vorsorglichen Sicherungsentzug seien nicht erfüllt. Die anderslautenden Erwägungen der Vorinstanz seien willkürlich. Ausserdem verstosse der angefochtene Entscheid gegen das Verhältnismässigkeitsgebot und gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör.
3.
Führerausweise sind zu entziehen, wenn festgestellt wird, dass die gesetzlichen Voraussetzungen zur Erteilung nicht oder nicht mehr bestehen (<ref-law>). Der Führerausweis wird einer Person auf unbestimmte Zeit entzogen, wenn ihre körperliche und geistige Leistungsfähigkeit nicht oder nicht mehr ausreicht, ein Motorfahrzeug sicher zu führen oder wenn sie aufgrund ihres bisherigen Verhaltens nicht Gewähr bietet, dass sie künftig beim Führen eines Motorfahrzeuges die Vorschriften beachten und auf die Mitmenschen Rücksicht nehmen wird (<ref-law>). Unverbesserlichen wird der Ausweis für immer entzogen (<ref-law>). Bestehen Bedenken über die Fahreignung des Führers, ist er einer neuen amtlichen Prüfung zu unterwerfen (<ref-law>). Der Führerausweis kann (bereits vor dem Abschluss eines Administrativverfahrens betreffend Sicherungsentzug) vorsorglich entzogen werden, wenn ernsthafte Bedenken an der Fahreignung bestehen (<ref-law>; SR 741.51).
Angesichts des grossen Gefährdungspotentials, welches dem Führen eines Motorfahrzeuges eigen ist, erlauben schon Anhaltspunkte, die den Fahrzeugführer als besonderes Risiko für die anderen Verkehrsteilnehmer erscheinen lassen und ernsthafte Zweifel an seiner Fahreignung erwecken, den vorsorglichen Ausweisentzug. Der strikte Beweis für die Fahreignung ausschliessende Umstände ist nicht erforderlich; wäre dieser erbracht, müsste unmittelbar der Sicherungsentzug selbst verfügt werden. Können die notwendigen Abklärungen nicht rasch und abschliessend getroffen werden, soll der Ausweis schon vor dem Sachentscheid provisorisch entzogen werden können und braucht eine umfassende Auseinandersetzung mit sämtlichen Gesichtspunkten, die für oder gegen einen Sicherungsentzug sprechen, erst im anschliessenden Hauptverfahren zu erfolgen (<ref-ruling> E. 2b S. 495 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 364 mit Hinweisen). Der vorsorgliche Entzug des Führerausweises bildet während eines Sicherungsentzugsverfahrens zum Schutz der allgemeinen Verkehrssicherheit die Regel (<ref-ruling> E. 5 S. 128; <ref-ruling> E. 3 S. 401).
4.
Nach der Sachdarstellung der Vorinstanz sei am 18. Mai 2011 bei der Luzerner Kantonspolizei in Weggis eine telefonische Meldung eingegangen, wonach der Beschwerdeführer mit seinem Personenwagen Richtung Weggis-Dorf gefahren sei und dabei mehrmals das Gas- mit dem Bremspedal verwechselt habe. Ähnliche Beobachtungen hätten (nach einem Bericht der Kantonspolizei) in den Wochen zuvor weitere Personen gemacht. Das kantonale Strassenverkehrsamt habe am 29. Juni 2011 eine Überprüfung der Fahreignung des Beschwerdeführers verfügt und ihn am 12. Juli 2011 aufgefordert, sich amtsärztlich untersuchen zu lassen. Nachdem innert der angesetzten Frist kein ärztlicher Bericht eingegangen sei, habe das Strassenverkehrsamt den Lenker am 20. Oktober 2011 angemahnt, innert 30 Tagen die angeordnete amtsärztliche Begutachtung vornehmen zu lassen; andernfalls müsse wegen Bedenken an der Fahreignung eine Sicherungsmassnahme auf unbestimmte Zeit angeordnet werden. Da der Beschwerdeführer auch dieser Aufforderung keine Folge geleistet habe, habe das Strassenverkehrsamt am 2. Dezember 2011 den Sicherungsentzug des Führerausweises auf unbestimmte Zeit verfügt. Die Wiedererteilung des Ausweises habe es von der Beibringung eines (die Fahreignung bejahenden) verkehrsmedizinischen Gutachtens des Instituts für Rechtsmedizin der Universität Zürich abhängig gemacht. Gemäss Rapporten der Kantonspolizei habe der Beschwerdeführer am 19. Januar, 6. Februar und 11. Juni 2012 ein Motorfahrzeug geführt. In seinem den Sicherungsentzug betreffenden Rückweisungsentscheid vom 17. April 2012 habe das kantonale Verwaltungsgericht es dem Strassenverkehrsamt frei gestellt, ob es den Führerausweisentzug bis zur Abklärung von Ausschlussgründen bereits vorsorglich entziehen wolle. Im Beschwerdeverfahren gegen den am 18. Mai 2012 verfügten vorsorglichen Sicherungsentzug hätten sich (insbesondere aus zahlreichen wirren E-Mails des Beschwerdeführers an das Verwaltungsgericht) zusätzliche Hinweise ergeben, die auf einen allfälligen Alkoholmissbrauch bzw. auf psychische Probleme des Beschwerdeführers hinwiesen. Der am 18. Mai 2012 verfügte vorsorgliche Sicherungsentzug sei nach Ansicht des Verwaltungsgerichts bei Würdigung sämtlicher Umstände rechtens.
5.
Der streitige vorsorgliche Führerausweisentzug erweist sich als verfassungskonform. Aufgrund des Verhaltens des Beschwerdeführers drängen sich ernsthafte Zweifel an seiner Fahreignung im Sinne der dargelegten Praxis auf. Willkürliche Tatsachenfeststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) sind in diesem Zusammenhang nicht ersichtlich, soweit solche in der Beschwerdeschrift überhaupt rechtsgenüglich substanziiert werden (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).
5.1. Die bei der Kantonspolizei protokollierten Meldungen über gefährliches Fahrverhalten des Beschwerdeführers (insbesondere mehrfaches Verwechseln von Gas- und Bremspedal) sowie seine anschliessende Missachtung von Verfügungen und Anmahnungen des Strassenverkehrsamtes, sich einer amtsärztlichen Untersuchung zu unterziehen und vorläufig kein Motorfahrzeug zu lenken, lassen konkrete Anhaltspunkte für eine mangelnde Fahreignung erkennen. Entgegen seiner Auffassung ist der Umstand, dass sich der Beschwerdeführer trotz mehrmaliger Aufforderung keiner amtsärztlichen Untersuchung unterzog, nicht den kantonalen Behörden anzulasten. Mitberücksichtigen durfte das Verwaltungsgericht auch das psychisch auffällige Verhalten des Beschwerdeführers im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren sowie den Umstand, dass er den am 18. Mai 2012 verfügten vorsorglichen Führerausweisentzug missachtete, indem er am 11. Juni 2012 ein Motorfahrzeug führte (zur Verbindlichkeit solcher Fahrverbote im hängigen Verfahren betreffend Sicherungsentzug vgl. auch Urteil des Bundesgerichts 1C_526/2012 vom 24. Mai 2013 E. 4). Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass ihm die Verfügung vom 18. Mai 2012 vor dem 11. Juni 2012 zugestellt worden war. Wie die Vorinstanz zutreffend erwägt, kann er sich diesbezüglich auch nicht auf einen "Verbotsirrtum" (wegen des Rückweisungsentscheides vom 17. April 2012 im hängigen Hauptverfahren) berufen. Zum einen ist die Verfügung vom 18. Mai 2012 betreffend vorläufiges Fahrverbot unmissverständlich abgefasst. Zum anderen behauptet der Beschwerdeführer weder, sich nach Eingang der Verfügung vom 18. Mai 2012 beim Strassenverkehrsamt juristisch erkundigt zu haben, noch, dass die zuständige Behörde ihm die Auskunft erteilt hätte, er unterliege keinem Fahrverbot.
5.2. Als provisorische Massnahme zur Gefahrenabwehr erscheint der streitige vorsorgliche Ausweisentzug im vorliegenden Fall auch verhältnismässig (Art. 36 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 495 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 364; je mit Hinweisen). Die materiellrechtliche Frage, ob die Voraussetzungen eines Sicherungsentzuges (gemäss Art. 16d Abs. 1 lit. a bzw. lit. c SVG) erfüllt seien oder nicht, wird im hängigen Hauptverfahren zu prüfen sein. Sie bildet nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheides. Ebenso wenig ist die Frage zu prüfen, ob der Beschwerdeführer bereits am 19. Januar und 6. Februar 2012 ein rechtsverbindliches Fahrverbot missachtet hat.
5.3. Auch die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) erweist sich als unbegründet. Dem angefochtenen Entscheid lassen sich die wesentlichen Gründe entnehmen, weshalb die Vorinstanz die Voraussetzungen eines vorsorglichen Ausweisentzuges als erfüllt erachtete. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Entscheidbegründung es dem Beschwerdeführer geradezu verunmöglicht hätte, den Rechtsweg wirksam zu beschreiten. Dass die Vorinstanz seiner Argumentation inhaltlich nicht gefolgt ist, begründet keine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-ruling> E. 2.16 S. 79; <ref-ruling> E. 3.2 S. 236; <ref-ruling> E. 2c S. 34; je mit Hinweisen).
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt und dem Verwaltungsgericht, Abgaberechtliche Abteilung, des Kantons Luzern sowie dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. September 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster