Faits:
A.
X._, né le *** 1963, ressortissant turc, est entré en Suisse le 6 avril 2006. Il a épousé le 1er février 2008 une citoyenne helvétique et a obtenu le 25 février 2008 une autorisation de séjour pour regroupement familial, renouvelée jusqu'au 31 janvier 2011. L'union est demeurée sans enfant.
Après trois mois de vie commune, le recourant a quitté le domicile conjugal, sans indiquer sa nouvelle adresse. Le 17 septembre 2008, l'épouse a adressé une lettre au Service des Migrations de l'Office de la population et des migrations du canton de Berne (ci-après: le Service cantonal) mentionnant qu'elle entendait introduire une action en annulation du mariage, éventuellement en divorce. En novembre 2008, elle a toutefois renoncé aux actions précitées et les époux ont informé les autorités de la reprise d'une vie commune, avant de se séparer à nouveau avant la fin du mois de mars 2010. L'épouse a déménagé à A._ alors que le recourant est demeuré à B._. En dépit de leur séparation, l'épouse a déclaré qu'elle ne souhaitait pas divorcer et ne voulait pas voir son mari renvoyé de Suisse.
B.
Le 3 juin 2011, après avoir entendu l'intéressé, le Service cantonal a décidé de ne pas prolonger l'autorisation de séjour de l'intéressé, au motif que ce dernier invoquait abusivement les liens du mariage pour pouvoir prolonger son séjour en Suisse. Il a prononcé son renvoi de ce pays en lui fixant un délai de départ au 30 août 2011. Le 7 décembre 2012, la Direction de la police et des affaires militaires du canton de Berne a rejeté le recours de l'intéressé contre la décision précitée du Service cantonal et lui a imparti un nouveau délai de départ au 21 janvier 2013. Le 25 mars 2013, le Tribunal administratif du canton de Berne (ci-après: le Tribunal administratif) a rejeté le recours formé contre la décision du 7 décembre 2012 et a fixé un nouveau délai de départ de la Suisse au 6 mai 2013.
C.
X._ forme un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre le jugement du 25 mars 2013 du Tribunal administratif. Outre l'effet suspensif, il requiert, sous suite de frais et dépens, l'annulation de l'arrêt entrepris et le renvoi de la cause à l'autorité intimée pour complément d'instruction.
Il a été renoncé à exiger un échange d'écritures selon l'<ref-law>. Par ordonnance du 8 mai 2013, le Président de la IIe Cour de droit public a accordé l'effet suspensif au recours.

Considérant en droit:
1.
Le recourant forme conjointement un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>). Dans la mesure où le second est irrecevable dès lors qu'il y a lieu d'entrer en matière sur le premier, il convient prioritairement d'analyser la recevabilité du recours en matière de droit public.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon l'art. 42 al. 1 LEtr, le conjoint d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité à condition de vivre en ménage commun avec lui. Bien que toujours marié avec une citoyenne suisse depuis le 1er février 2008, le recourant ne vit plus avec son épouse, de sorte qu'il ne peut en principe invoquer que les art. 49 et 50 LEtr. La question de savoir s'il a droit au renouvellement de son autorisation de séjour sur la base de ces dispositions relève du fond et non de la recevabilité (arrêts 2C_672/2012 du 26 février 2013 consid. 1.1; 2C_460/2009 du 4 novembre 2009 consid. 2.1.2, non publié in <ref-ruling>). Par conséquent, le recours est recevable sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, ce qui conduit à prononcer l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law> a contrario).
1.2. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. En vertu de cette disposition, le Tribunal fédéral ne revoit en effet pas d'office la violation des droits constitutionnels. Il appartient ainsi au recourant d'exposer de manière claire et précise en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 176; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 310). Faute d'avoir respecté cette règle de motivation, il ne sera ainsi pas donné suite au grief de "violation de ses droits constitutionnels" allégué par le recourant (cf. mémoire de recours, p. 2).
1.3. Pour le reste, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF); en outre, le recours a été déposé en temps utile et dans les formes requises (art. 42 et 100 al. 1 LTF) par le destinataire de l'acte attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement juridique sur les faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>) ce qu'il appartient au recourant de démontrer de manière précise (<ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 3 p. 104). La correction du vice soulevé doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 3 p. 104 s.; <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322). Dans la mesure où la partie recourante se borne à plaider à nouveau sa cause et à présenter des critiques de nature appellatoire relatives aux faits, son recours est irrecevable (cf. <ref-ruling> consid. 6 p. 397).
2.2. Le recourant présente, en particulier sous le titre "en fait" de son mémoire, sa propre version des faits, qu'il complète par la suite au gré de sa motivation juridique. Une telle argumentation appellatoire, dans la mesure où elle s'écarte des faits constatés dans l'arrêt attaqué sans qu'il soit indiqué en quoi ceux-ci seraient manifestement inexacts ou arbitraires, n'est pas admissible (cf. <ref-ruling>01 consid. 3 p. 104 s.). Le Tribunal fédéral contrôlera dès lors l'application du droit fédéral sur le seul vu des faits retenus par l'arrêt entrepris.
3.
Le recourant se prévaut de l'exception à l'exigence du ménage commun prévue par l'art. 49 LEtr, en alléguant qu'il est toujours marié et qu'il entretient de bonnes relations avec son épouse. Il justifie la séparation par le fait que son épouse souffre de problèmes psychiques qui rendent difficile la vie commune.
3.1. Celui qui se prévaut de l'art. 49 LEtr doit démontrer que la communauté familiale subsiste, même si les époux vivent séparés pour des raisons majeures. L'art. 76 de l'ordonnance relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201) précise que les raisons majeures sont dues notamment à des obligations professionnelles ou à une séparation provisoire en raison de problèmes familiaux importants. La décision librement consentie des époux de " vivre ensemble séparément " ne constitue pas, à elle seule, une raison majeure au sens de l'art. 49 LEtr (arrêt 2C_40/2012 du 15 octobre 2012 consid. 4 et les arrêts cités). Le but de l'art. 49 LEtr n'est en effet pas de permettre aux époux de vivre séparés en Suisse pendant une longue période et exige que la communauté familiale soit maintenue (arrêt 2C_308/2011 du 7 septembre 2011 consid. 3.2 et les arrêts cités). Après plus d'un an de séparation, il y a présomption que la communauté conjugale est rompue (arrêt 2C_575/2009 du 1er juin 2010 consid. 3.5). Quant aux problèmes familiaux importants, ils doivent provenir de situations particulièrement difficiles, telles que les violences domestiques (arrêt 2C_635/2009 du 26 mars 2010 consid. 4.4).
3.2. Il est en l'espèce établi que, depuis leur séparation au mois de mars 2010, les conjoints ont chacun leur domicile et n'ont pas repris la vie commune, ni envisagé de le faire durant cette période de plus de trois ans. Le recourant ne mentionne en particulier pas l'existence d'activités partagées avec son épouse, de projets communs ou de démarches entreprises pour reprendre une vie commune. La communauté conjugale est donc inexistante depuis lors et la seule volonté des époux de maintenir leur statut de personnes mariées de manière artificielle au vu des problèmes psychiatriques allégués de l'épouse ne saurait constituer une raison majeure au sens de l'art. 49 LEtr. Il n'est en effet nullement établi que les problèmes en question présentaient une gravité telle qu'elle aurait imposé un domicile séparé, qui plus est pendant plus de trois ans. Dans la mesure où le recourant ne fait valoir aucun autre motif qui justifierait l'absence de ménage commun, il ne peut se prévaloir d'aucun droit au renouvellement de son autorisation de séjour sur la base de l'art. 42 LEtr, ainsi que l'ont constaté les premiers juges.
4.
Le recourant remet en cause l'appréciation des conditions de l'art. 50 LEtr par le Tribunal cantonal.
4.1. Selon l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 LEtr subsiste si l'union conjugale a duré au moins trois ans et que l'intégration est réussie. Il s'agit de deux conditions cumulatives (<ref-ruling>13 consid. 3.3.3 p. 119). Le délai de trois ans prévu par cette disposition se calcule en fonction de la durée pendant laquelle les époux ont fait ménage commun en Suisse (<ref-ruling> consid. 2 p. 231; <ref-ruling> consid. 3.3.5 p. 120; arrêt 2C_430/2011 du 11 octobre 2011 consid. 4.1) et vaut de façon absolue, quand bien même la fin de la vie conjugale serait intervenue quelques jours ou semaines seulement avant l'expiration du délai (arrêts 2C_40/2012 du 15 octobre 2012 consid. 6; 2C_735/2010 du 1er février 2011 consid. 4.1 et les arrêts cités). D'après les constatations figurant dans l'arrêt entrepris, qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>), les époux n'ont fait ménage commun que pendant deux ans et un mois, soit du mois de février 2008 à celui de mars 2010. Le recourant ne peut donc pas bénéficier d'une autorisation de séjour sur la base de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, indépendamment de la question de savoir si son intégration est ou non réussie selon la deuxième condition de cette disposition.
4.2. Le recourant ne se trouve pas davantage dans une situation où la poursuite de son séjour en Suisse s'imposerait pour des raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr. Cette condition est réalisée, notamment lorsque le conjoint est victime de violence conjugale et que la réintégration sociale dans le pays de provenance semble fortement compromise. Il s'agit de motifs personnels graves exigeant la poursuite du séjour en Suisse (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 395, 229 consid. 3.1 p. 232 et les références citées). La question n'est donc pas de savoir s'il est plus facile pour la personne concernée de vivre en Suisse, mais uniquement d'examiner si, en cas de retour dans le pays d'origine, les conditions de sa réintégration sociale, au regard de sa situation personnelle, professionnelle et familiale, seraient gravement compromises (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 7; arrêt 2C_467/2012 du 25 janvier 2013 consid. 2.3).
De tels faits n'étant nullement établis, il n'existe donc, en l'espèce, aucune raison personnelle majeure justifiant l'application de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr.
5.
Le recourant n'invoque pas de manière conforme aux réquisits de l'<ref-law> une violation de l'art. 96 al. 1 LEtr. Dans la mesure où le Tribunal administratif a procédé à correcte pondération des intérêts en cause pour refuser le renouvellement de l'autorisation, il suffit de renvoyer sur ce point à l'arrêt entrepris (<ref-law>), spécialement à son cinquième considérant.
6.
En confirmant le refus de renouveler l'autorisation de séjour en Suisse en faveur du recourant, le Tribunal administratif n'a par conséquent pas violé le droit fédéral. Il y a partant lieu de rejeter le recours dans la mesure où il est recevable. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours en matière de droit public est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service des Migrations, Office de la population et des migrations, à la Direction de la police et des affaires militaires du canton de Berne et au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 15 août 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor