Faits:
A. P._, née en 1966, mariée et mère de famille, a travaillé en qualité d'employée au service de la société G._ SA. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de La Bâloise Compagnie d'Assurances (ci-après: La Bâloise).
Elle a été victime d'un accident de la circulation le 9 juillet 1994. Alors qu'elle avait pris place sur le siège arrière de la voiture conduite par son époux, tenant son fils de deux ans dans ses bras, leur véhicule est entré en collision frontale avec une automobile venant en sens inverse.
P._ a été conduite en ambulance à l'Hôpital X._, où elle a passé 24 heures en observation.
Se plaignant de douleurs cervicales, elle a consulté le docteur A._ le 10 août 1994. Ce médecin a posé le diagnostic de contusion dans la région cervico-occipitale (rapports du mois d'octobre et du 28 novembre 1994). De son côté, le docteur S._ a fait état d'une distorsion cervicale sans lésion traumatique. Ces médecins ayant attesté une incapacité de travail entière, La Bâloise a pris en charge le cas.
Se plaignant d'une recrudescence de ses douleurs, l'assurée a consulté le docteur T._, spécialiste en médecine interne, lequel a diagnostiqué un syndrome vertébral et cervical chronique post-traumatique rebelle au traitement, un état dépressif réactionnel, ainsi qu'un canal cervical étroit non symptomatique (rapport du 30 août 1995). De son côté, le docteur E._, spécialiste en médecine interne et maladies rhumatismales, a suspecté l'existence d'un fragment osseux entre C7 et D1 (rapport du 5 juillet 1995).
Après avoir repris le travail le 10 octobre 1994, l'assurée a subi une nouvelle incapacité durant la période du 14 mars au 17 septembre 1995. Le 10 janvier 1997, elle a consulté le docteur T._ en raison d'une augmentation de ses douleurs cervicales gauches, de plus en plus handicapantes dans son travail. Ce médecin a attesté une incapacité de travail de 100 % dès le 17 février 1997 (rapport du 11 mars 1997).
La Bâloise a alors confié une expertise au docteur H._, spécialiste en neurologie, lequel a établi un rapport le 9 juin 1997. L'expert ayant préconisé la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique, celle-ci a été confiée au docteur M._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 6 mars 1998).
A réception du rapport d'expertise du docteur M._, La Bâloise a informé l'assurée qu'elle acceptait de continuer à allouer ses prestations pour les troubles de l'intéressée, en tant qu'il existait un rapport de causalité naturelle avec l'accident. Par ailleurs, l'assureur-accidents a recueilli un rapport d'expertise (du 11 janvier 2002) établi à l'intention de l'Office AI pour le canton de Vaud par le docteur G._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie.
La Bâloise a ultérieurement confié une expertise psychiatrique au docteur R._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 10 février 2003).
Se fondant sur les conclusions des docteurs H._, G._ et R._, elle a rendu une décision le 20 juin 2003, confirmée sur opposition le 2 septembre suivant, par laquelle elle a supprimé le droit à l'indemnité journalière et à la prise en charge du traitement médical au 28 février 2003.
Par décision du 8 décembre 2003, l'office AI a alloué à P._ une rente entière à partir du 1er février 1998.
B. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition de La Bâloise, le Tribunal des assurances du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 8 juin 2006.
C. P._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de dépens, au maintien de son droit aux prestations dues aux titres de l'assurance-accidents obligatoire et de l'assurance-accidents complémentaire au-delà du 28 février 2003. En particulier, elle demande l'octroi d'une indemnité journalière d'un montant de 87 fr. 85 au titre de l'assurance-accidents obligatoire et d'une indemnité journalière d'un montant de 23 fr. 95 au titre de l'assurance-accidents complémentaire, le tout à partir du 1er mars 2003, avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er avril 2003.
La Bâloise conclut au rejet du recours, sous suite de dépens. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit:
1. La loi sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 395).
2. La recourante conclut entre autres à l'octroi d'une indemnité journalière au titre de l'assurance-accidents complémentaire.
Cette conclusion est irrecevable. Les indemnités complémentaires à la LAA, fondées sur un contrat de droit privé entre l'employeur d'un assuré (ou l'assuré lui-même) et l'assureur, ne relèvent pas de l'assurance-accidents obligatoire (RAMA 1990 no U 103 p. 266 consid. 1). Ainsi donc, un assureur ne peut pas statuer par voie de décision administrative sur une question relative à des indemnités complémentaires et le recours de droit administratif n'est pas ouvert.
3. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 2 septembre 2003, à supprimer le droit de la recourante à des prestations d'assurance (traitement médical et indemnité journalière) à partir du 1er mars 2003.
4. 4.1 Selon l'<ref-law>, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire, en revanche, que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé; il faut et il suffit que l'événement dommageable, associé éventuellement à d'autres facteurs, ait provoqué l'atteinte à la santé physique ou psychique de l'assuré, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de celle-ci. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte à la santé sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait, que l'administration ou, le cas échéant, le juge examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale. Ainsi, lorsque l'existence d'un rapport de cause à effet entre l'accident et le dommage paraît possible, mais qu'elle ne peut pas être qualifiée de probable dans le cas particulier, le droit à des prestations fondées sur l'accident assuré doit être nié (<ref-ruling> consid. 3.1, 406 consid. 4.3.1, 119 V 337 consid. 1, 118 V 289 consid. 1b et les références).
4.2 Lors d'une lésion au rachis cervical par accident de type « coup du lapin » ou d'un traumatisme cranio-cérébral, les plaintes de l'assuré sont difficiles à objectiver sur le plan médical en cas d'absence de preuves d'un déficit fonctionnel organique. Aussi, la jurisprudence a-t-elle posé des règles particulières pour trancher la question de la causalité naturelle. Dans ces éventualités, l'existence d'un tel lien entre l'accident et l'incapacité de travail ou de gain doit en principe être reconnue en présence d'un tableau clinique typique présentant de multiples plaintes (maux de tête diffus, vertiges, troubles de la concentration et de la mémoire, nausées, fatigabilité, troubles de la vue, irritabilité, dépression, modification du caractère, etc.). Encore faut-il que l'existence d'un tel traumatisme et de ses suites soit dûment attestée par des renseignements médicaux fiables (<ref-ruling> consid. 1 p. 337 s.). Il faut en outre que, médicalement, les plaintes puissent être attribuées de manière crédible à une atteinte à la santé; celle-ci doit apparaître, avec un degré de vraisemblance prépondérante, comme la conséquence de l'accident (<ref-ruling> consid. 4b p. 360).
5. 5.1 Dans sa décision sur opposition du 2 septembre 2003, l'intimée a nié l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'atteinte à la santé entraînant une incapacité de travail entière et l'accident. Elle s'est fondée pour cela sur le rapport du docteur R._, selon lequel l'intéressée souffre d'un trouble dépressif récurrent avec symptôme somatique sans relation de causalité naturelle avec l'accident. Sur le plan somatique, l'expert a fait siennes les conclusions des docteurs H._ et G._, d'après lesquelles il n'existait pas d'atteinte entraînant une incapacité de travail.
De son côté, la juridiction cantonale est d'avis qu'en ce qui concerne l'atteinte de nature somatique, le statu quo sine était atteint le 28 février 2003. Sur le plan psychiatrique, elle a considéré que l'existence d'un lien de causalité entre les troubles de cette nature - qui entraînaient une incapacité de travail de 100 % - et l'accident relevait tout au plus de la possibilité. Au demeurant, elle a relevé que selon le docteur M._, l'assurée ne présentait pas une pathologie psychiatrique, sa capacité de travail étant nulle pour des raisons qui n'étaient pas psychiatriques.
La recourante fait valoir que ni les conclusions du docteur H._, ni celles du docteur G._ ne permettent d'admettre l'existence, sur le plan organique, d'un statu quo sine le 28 février 2003. Par surabondance de moyens, elle conteste le point de vue de la juridiction cantonale selon lequel l'existence d'un traumatisme de type « coup du lapin » n'était pas établie au degré de la vraisemblance prépondérante. On doit bien plutôt admettre, ajoute la recourante, qu'un tel traumatisme est avéré, de sorte que l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident, d'une part, et les cervico-scapulalgies gauches, ainsi que l'état dépressif, d'autre part, doit être admise.
5.2 Tout d'abord, il convient d'examiner s'il existait encore un déficit fonctionnel organique au moment de la suppression, le 28 février 2003, du droit aux prestations d'assurance.
Dans son rapport d'expertise du 9 juin 1997, le docteur H._ a nié l'existence d'une lésion structurelle majeure du système locomoteur (disco-ligamentaire et osseuse), ainsi que du système nerveux périphérique et central, l'assurée ayant été vraisemblablement victime d'un choc psychologique en raison des circonstances de l'accident, notamment l'éjection de son fils hors du véhicule.
L'absence d'un déficit fonctionnel organique a été confirmée par le docteur G._ dans son rapport d'expertise du 11 janvier 2002 à l'intention de l'office AI. Selon ce médecin, en effet, le status clinique ne permet pas d'objectiver de limitation reproductible en dehors de jump sign, de foyers de myogélose et de contre-pulsions lors des tentatives de mobilisation passive de l'épaule ou de la tête; les examens complémentaires n'attestent pas non plus de lésion radiologique significative avec des clichés actuels qui ne montrent pas de lésion dégénérative mono-segmentaire à distance de l'accident. Cet expert a conclu à l'absence d'un déficit somatique entraînant une limitation dans l'ancienne activité de vendeuse dans un magasin pour touristes ni dans les activités ménagères, sauf en ce qui concerne le port de charges supérieures à 10 kilos.
Ces appréciations sont toutefois contestées par le docteur J._, spécialiste en neurologie. Se fondant sur des constatations des docteurs N._ et Y._, médecins au Centre de diagnostic radiologique (rapport du 14 août 2000), le docteur J._ a fait état d'une subluxation C0-C1 post-traumatique, qui explique les très fortes limitations aussi bien en rotation qu'en extension de la jonction cervico-occipitale (rapports des 15 août, 26 septembre et 19 décembre 2000, ainsi que des 13 février et 31 juillet 2002). Cet avis a été confirmé le 14 décembre 2000 par les docteurs V._ et D._, chef de service adjoint, respectivement médecin assistant au service de neurochirurgie de l'Hôpital X._ et du Centre hospitalier W._, ainsi que par le docteur T._, spécialiste en médecine interne (rapport du 14 avril 2001).
5.3 D'après une jurisprudence constante, l'assureur-accidents est tenu, au stade de la procédure administrative, de confier une expertise à un médecin indépendant, si une telle mesure se révèle nécessaire. Lorsque de telles expertises sont établies par des spécialistes reconnus, sur la base d'observations approfondies et d'investigations complètes, ainsi qu'en pleine connaissance du dossier, et que les experts aboutissent à des résultats convaincants, le juge ne saurait les écarter aussi longtemps qu'aucun indice concret ne permet de douter de leur bien-fondé (<ref-ruling> consid. 3b/bb p. 353).
En l'occurrence, le docteur H._ n'avait pas connaissance du diagnostic de subluxation C0-C1 post-traumatique à l'époque où il a établi son rapport d'expertise du 9 juin 1997. De son côté, l'expert G._ a pris note des constatations des docteurs N._ et Y._, J._, ainsi que V._ et D._, mais ne s'est pas exprimé au sujet des fortes limitations en rotation et en extension de la jonction cervico-occipitale, attestées par le docteur J._. En outre, puisque ce n'était pas son rôle, l'expert ne s'est pas non plus prononcé sur l'origine éventuellement traumatique de la subluxation en question. Par ailleurs, dans la mesure où il nie toute atteinte de nature somatique entraînant une limitation dans l'activité professionnelle et dans les tâches ménagères, tout en indiquant une restriction pour le port de charges supérieures à 10 kilos, le docteur G._ ne semble toutefois pas exclure l'existence d'un déficit fonctionnel organique.
Cela étant, il n'est pas possible, sur le vu des rapports d'expertise des docteurs H._ et G._, d'admettre, comme la juridiction cantonale, que le statu quo sine était très vraisemblablement atteint le 28 février 2003 sur le plan somatique. Quant aux considérations de l'expert psychiatre R._ au sujet de la subluxation C0-C1, elles ne sont pas suffisamment étayées pour exclure toute incidence de cette lésion sur l'état de santé physique de la recourante.
6. Sur le plan psychiatrique, l'intimée a nié l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'affection de cette nature et l'accident en se fondant sur les conclusions de l'expert R._, selon lesquelles l'intéressée souffre d'un trouble dépressif récurrent avec symptôme somatique sans relation de causalité naturelle avec l'accident. De son côté, la juridiction cantonale a considéré que l'existence d'un lien de causalité naturelle entre les troubles de nature psychiatrique - entraînant une incapacité de travail de 100 % - et l'accident relevait tout au plus de la possibilité. Au demeurant, elle a relevé que d'après l'expert M._, la recourante ne souffrait pas d'une atteinte à la santé psychique, sa capacité de travail étant nulle pour des raisons étrangères à une telle atteinte.
Aussi, bien que les conclusions des deux expertises psychiatriques soient contradictoires, la juridiction cantonale n'indique-t-elle pas les motifs pour lesquels elle semble se fonder sur l'appréciation du docteur R._ plutôt que sur celle du docteur M._. En l'état, les deux rapports d'expertise en cause ne permettent de tirer aucune conclusion fiable au sujet de l'existence éventuelle d'une atteinte à la santé de nature psychique, en ce qui concerne ses incidences sur la capacité de travail de l'intéressée, ou encore quant à l'origine d'une telle affection.
7. Vu ce qui précède, les différentes expertises versées au dossier ne permettent pas, tant sur les plans somatique que psychiatrique, de trancher les points essentiels pour résoudre le litige, à savoir l'existence éventuelle, au moment de la suppression du droit aux prestations d'assurance, d'un déficit fonctionnel organique et/ou d'une affection psychiatrique, la nature de ces affections, leurs incidences sur la capacité de travail et/ou de gain, ainsi que leur origine accidentelle ou maladive. Il convient donc de renvoyer la cause à l'intimée pour nouvelle décision après complément d'instruction sous la forme d'une expertise pluridisciplinaire.
8. La recourante, qui est représentée par un avocat, obtient gain de cause. Elle a droit à une indemnité de dépens à la charge de l'intimée, qui succombe (art. 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Dans la mesure où il est recevable, le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 8 juin 2006 et la décision sur opposition de La Bâloise du 2 septembre 2003 sont annulés, la cause étant renvoyée à La Bâloise pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. L'intimée versera à la recourante la somme de 2'500 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) à titre de dépens.
4. Le Tribunal des assurances statuera sur les dépens de la procédure cantonale au regard de l'issue du procès.
5. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 16 janvier 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd