Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer X._ wurde für die Steuerperiode 2006 am 9. Oktober 2007 nach Ermessen eingeschätzt, nachdem er keine Steuererklärung eingereicht hatte. Am 13. Mai 2008 stellte er ein Erlassgesuch "für Steuern 2006". Mit Entscheid vom 13. August 2008 wies die Erlassabteilung des Finanzdepartements des Kantons Solothurn das Gesuch hinsichtlich der Staatssteuer und direkten Bundessteuer 2006 ab. Mit Urteil vom 19. Januar 2008 bestätigte das Steuergericht des Kantons Solothurn diesen Entscheid und wies die Beschwerde des Steuerpflichtigen ab.
Hiergegen richtet sich die vorliegende subsidiäre Verfassungsbeschwerde des Steuerpflichtigen.
Das Steuergericht des Kantons Solothurn beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das kantonale Steueramt liess sich nicht vernehmen.
2. 2.1 Gegen Entscheide über die Stundung oder den Erlass von Abgaben ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen (<ref-law>). In Betracht fällt einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Diese setzt voraus, dass der Beschwerdeführer durch den angefochtenen Entscheid in rechtlich geschützten Interessen betroffen ist (<ref-law>). Da die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nur zur Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte offen steht (vgl. <ref-law>), kann der Entscheid, mit dem ein Steuererlass verweigert worden ist, im Wesentlichen nur wegen Verletzung des verfassungsmässigen Verbots von Willkür (<ref-law>) angefochten werden. Dieses verschafft indessen für sich allein kein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 6). Zur Willkürbeschwerde ist daher nur legitimiert, wer sich auf eine gesetzliche Norm berufen kann, die ihm im Bereich seiner betroffenen und angeblich verletzten Interessen einen Rechtsanspruch einräumt.
Wie das Bundesgericht wiederholt erkannt hat (Urteile 2D_24/2009 vom 9. April 2009; 2D_1/2009 vom 8. Januar 2009; 2D_106/2008 vom 13. Oktober 2008; je mit weiteren Nachweisen), besteht ein solcher Anspruch auf Steuererlass im Kanton Solothurn nicht: Gemäss § 182 Abs. 1 StG/SO können die geschuldeten Beträge ganz oder teilweise erlassen werden, wenn "der Steuerpflichtige durch besondere Verhältnisse wie Naturereignisse, Todesfall, Unglück, Krankheit, Arbeitslosigkeit, geschäftliche Rückschläge (...) in seiner Zahlungsfähigkeit stark beeinträchtigt" ist oder die "Bezahlung der Steuer, eines Zinses oder einer Busse zur grossen Härte würde". Das sind nur allgemeine Umschreibungen, die auf das Ermessen der Behörde verweisen. Auch die Steuerverordnung Nr. 11 vom 13. Mai 1986 über Zahlungserleichterungen, Erlass und Abschreibungen enthält nur die "Allgemeinen Grundsätze", welche für die Behörde wegleitend sein sollen, wie z.B. die Zukunftsaussichten oder die Zumutbarkeit von Einschränkungen in der Lebenshaltung. Weder aus § 182 Abs. 1 StG/SO noch aus der Steuerverordnung Nr. 11 ergibt sich genau, unter welchen Voraussetzungen dem Betroffenen der beantragte Vorteil zu gewähren ist (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 94 f.). Ein justiziabler Anspruch auf Steuererlass besteht im Kanton Solothurn daher nicht. Auf die Beschwerde kann hinsichtlich der Staatssteuer mangels Legitimation nicht eingetreten werden.
2.2 <ref-law> (SR 642.11) regelt den Steuererlass für das Recht der direkten Bundessteuer ähnlich wie § 182 StG/SO. Die Vorschrift stellt die Gewährung des Steuererlasses ins Ermessen der Behörde und räumt keinen Rechtsanspruch auf ganzen oder teilweisen Erlass der direkten Bundessteuer ein (Urteil 2D_138/2007 vom 21. Februar 2008; Werner Lüdin, in: Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, Bd. I/2b, N. 20 zu <ref-law>). Dem Beschwerdeführer fehlt damit die Legitimation zur subsidiären Verfassungsbeschwerde auch hinsichtlich der direkten Bundessteuer.
3. Auf die Beschwerde kann nach dem Gesagten nicht eingetreten werden. Es kommt das Verfahren nach <ref-law> zur Anwendung. Da der Beschwerdeführer unterliegt, sind ihm die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufzuerlegen (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Finanzdepartement des Kantons Solothurn, dem Kantonalen Steuergericht Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juni 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Wyssmann