Sachverhalt:
A.
Rechtsanwalt W._ vertritt S._ in einem Verfahren um Ergänzungsleistungen. Mit Schreiben vom 1. Februar und 6. März 2013 ersuchte der Rechtsvertreter das zuständige Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich, ihm die gesamten Verfahrensakten in Fotokopie zuzustellen. Die Verwaltung lehnte dies ab und bot die Zusendung der Originalakten an; wahlweise könne der Rechtsvertreter auch vor Ort Akteneinsicht nehmen (Schreiben vom 27. Februar und 5. März 2013).
Auf Verlangen des Rechtsvertreters hin erliess das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV am 15. März 2013 eine Verfügung, in welcher es das Gesuch um Zustellung von Akten kopien abwies. Zur Begründung führte die Verwaltung aus, es bestehe kein gesetzlicher Anspruch darauf, Aktenkopien zugestellt zu erhalten. Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV führe keine elektronischen Dossiers. Daher wäre der Aufwand zur Anfertigung von Kopien mit Blick auf den üblichen Umfang der Akten unverhältnismässig hoch.
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich trat auf die gegen die Verfügung vom 15. März 2013 erhobene Beschwerde nicht ein. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtsvertretung wies es ab (Verfügung vom 21. Mai 2013).
C.
Handelnd durch Rechtsanwalt W._ führt S._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben; die Verwaltung habe das Akteneinsichtsrecht in Form von Fotokopien zu gewähren. Eventuell sei das kantonale Gericht zu verpflichten, auf die Beschwerde einzutreten. Subeventuell sei dem Beschwerdeführer für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtsverbeiständung zu gewähren. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsverbeiständung) im bundesgerichtlichen Verfahren sowie um Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels.
Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Strittig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht zu Recht nicht auf die Beschwerde eingetreten ist (<ref-law>).
2.
Der vorliegende Rechtsstreit betrifft nicht den inhaltlichen Umfang der Akteneinsicht nach <ref-law>, sondern lediglich die Art und Weise ihrer Gewährung. Da sich die Modalitäten (vgl. Art. 8 f. ATSV) in erster Linie auf den Aufwand des Rechtsvertreters auswirken, fragt sich zunächst, ob S._ selber legitimiert ist, gegen den angefochtenen Entscheid Beschwerde zu führen. Die Frage ist mit Blick darauf zu bejahen, dass er seinem Rechtsvertreter (vorbehältlich eines Kostenerlasses im Verwaltungsverfahren; <ref-law>) gegebenenfalls Auslagen für durch Letzteren erstellte Kopien zu ersetzen hat; solche Kosten fallen in der Regel nicht an, wenn die Verwaltung dem Rechtsvertreter Aktenkopien überlässt (vgl. Art. 8 Abs. 2 und Art. 9 ATSV). Die Sachlage ist insofern nicht vergleichbar mit einem Rechtsstreit um die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes, bei welcher nur der Rechtsvertreter selber beschwerdebefugt ist (Urteil 9C_991/2008 vom 18. Mai 2009 E. 2.2.1 = SVR 2009 IV Nr. 48 S. 144; vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 155).
3.
3.1. Die strittige Verfügung schliesst das EL-Administrativverfahren nicht ab. Damit handelt es sich nur dann nicht um eine - bloss in gesetzlich abschliessend umschriebenen Sonderfällen anfechtbare - Zwischenverfügung (vgl. <ref-law> [SR 830.1] in Verbindung mit Art. 5 Abs. 2 und Art. 46 VwVG [SR 172.021]), wenn sie in einem selbständigen Verfahren ergangen ist.
Der Beschwerdeführer macht geltend, nach <ref-ruling> E. 1b S. 223 könne das Akteneinsichtsrecht unabhängig von einem Leistungsstreit ausgeübt werden (Ziff. 3 und 8 der Beschwerdeschrift). Aus diesem Grund handle es sich bei der strittigen Verweigerung einer Zustellung von Aktenkopien nicht um eine Zwischen-, sondern um eine Endverfügung.
3.2. So verhält es sich indes nicht: Zwar besteht das Auskunftsrecht nach Art. 8 des Bundesgesetzes vom 19. Juni 1992 über den Datenschutz (DSG; SR 235.1) bzw., im vorliegenden Zusammenhang, nach § 20 Abs. 2 des kantonalzürcherischen Gesetzes vom 12. Februar 2007 über die Information und den Datenschutz (IDG; LS 170.4) unabhängig von versicherungsrechtlichen Ansprüchen (vgl. <ref-ruling> E. 2e S. 538). Das datenschutzrechtliche Auskunftsrecht und das verfahrensrechtliche Akteneinsichtsrecht sind jedoch selbständige Ansprüche, die hinsichtlich Umfang und Voraussetzungen nicht deckungsgleich sind, das heisst je ihren besonderen Anwendungsbereich haben, der vom anderen Anspruch nicht beschlagen wird (<ref-ruling> E. 4a S. 475). Der datenschutzrechtliche Anspruch kommt (nur) soweit zum Tragen, als es den einschlägigen Zielsetzungen entspricht. Das Auskunftsrecht nach Art. 8 DSG ist dazu bestimmt, den Betroffenen in die Lage zu versetzen, seine übrigen Datenschutzrechte wahrzunehmen (<ref-ruling> E. 4b S. 476; Ralph Gramigna/Urs Maurer-Lambrou, in: Maurer-Lambrou/Vogt [Hrsg.], Basler Kommentar zum DSG, 2. Aufl., 2006, N. 1 f. zu Art. 8; David Rosenthal, in: Rosenthal/Jöhri [Hrsg.], Handkommentar zum DSG, Zürich 2008, N. 1 zu Art. 8). Hier ist die Akteneinsicht ausschliesslich in der Verfolgung eines sozialversicherungsrechtlichen Anspruchs begründet, also verfahrensrechtlicher Natur (§ 20 Abs. 3 IDG; vgl. auch <ref-ruling> E. 1b S. 223). Werden keine weitergehenden rechtlich geschützten Interessen verfolgt, so kommt der Akteneinsicht keine zusätzliche, datenschutzrechtliche Dimension zu.
3.3. Somit führt der Umstand, dass Berechtigte auch ausserhalb eines laufenden Verwaltungsverfahrens Akteneinsicht verlangen können, nicht zur Annahme, die strittige Verfügung sei im Rahmen eines (selbständigen) datenschutzrechtlichen Auskunftsverfahrens (und nicht nur in einem Verfahren zur Abklärung eines sozialversicherungsrechtlichen Leistungsanspruchs) ergangen. Sie ist somit nicht als direkt anfechtbare Endverfügung zu qualifizieren.
4.
4.1. Handelt es sich beim vorinstanzlich angefochtenen Verwaltungsakt vom 15. März 2013 demnach um eine Zwischenverfügung, konnte sich das kantonale Gericht nur mit der dort behandelten Frage befassen, falls ein nicht wieder gutzumachender Nachteil drohte (<ref-law>; vgl. auch § 13 Abs. 2 des kantonalzürcherischen Gesetzes vom 7. März 1993 über das Sozialversicherungsgericht [GSVGer; LS 212.81]). Die Zustellung der Originalakten anstelle von Kopien mag dem Beschwerdeführer bzw. deren Rechtsvertreter als administratives Erschwernis erscheinen; ein nicht wieder gutzumachender Nachteil kann aber jedenfalls insofern nicht gegeben sein, als diese Modalität der Akteneinsicht deren materiellen Umfang - und damit das rechtliche Gehör des Leistungsansprechers - von vornherein nicht zu beeinträchtigen vermag (vgl. dazu E. 3.4 des angefochtenen Entscheids; <ref-law>).
4.2. Nach <ref-law> ist eine Zwischenverfügung, die selber nicht anfechtbar war, durch Beschwerde gegen die Endverfügung anfechtbar, wenn sie sich auf den Inhalt der Endverfügung auswirkt. Im Unterschied zu einer materiellen Beschränkung des Akteneinsichtsrechts, die auch noch bei der Anfechtung des Endentscheids voll wirksam gerügt werden kann (Urteil 2C_599/2007 vom 5. Dezember 2007 E. 2.2), und anders auch als beispielsweise die Anordnung eines medizinischen Gutachtens (<ref-ruling> E. 3.4.2.7 S. 256) kann sich die hier strittige Art der Gewährung von Akteneinsicht von vornherein nicht inhaltlich auf die Rechtsanwendung auswirken. Eine im Sinne von <ref-law> aufgeschobene Anfechtungsmöglichkeit fällt damit ausser Betracht. Bei einer antragsgemäss lautenden Endverfügung entfiele die Beschwerdelegitimation des Verfügungsempfängers ohnehin, weil er nicht berührt wäre und kein schutzwürdiges Interesse an einer Aufhebung oder Änderung der Verfügung hätte (<ref-law>).
Angesichts dieser Ausgangslage macht der Beschwerdeführer geltend, die Frage eines Anspruchs auf Fotokopien der Akten könne sich jederzeit und unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen, weshalb ihre Beantwortung von grundsätzlicher Bedeutung sei und daran ein öffentliches Interesse bestehe. Zu prüfen ist, ob im Interesse der Gewährleistung von Rechtsschutz ausnahmsweise vom Erfordernis eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils abzusehen sei, so wie die Rechtsprechung im Zusammenhang mit der Beschwerdelegitimation mitunter auf das Erfordernis eines aktuellen praktischen Interesses verzichtet, wenn ansonsten eine bestimmte Frage mit grundsätzlicher Bedeutung kaum je gerichtlich beurteilt werden könnte (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 434 mit Hinweisen). Ein solcher Ausnahmerechtsweg drängt sich indes nicht auf, denn die Akteneinsicht ist, wie schon erwähnt, nicht in ihrer materiellen Substanz tangiert. Geht es, wie hier, bloss um die Art und Weise ihrer Ausübung, handelt es sich nicht um ein Problem der Verfahrensbeteiligung einer Partei, sondern um ein solches der zweckmässigen Verwaltung und ihres Umgangs mit versicherten Personen und deren Rechtsvertretern. Die vom Beschwerdeführer geltend gemachte Verletzung des Rechtes auf eine wirksame Beschwerde (Art. 13 EMRK) im Hinblick auf eine in Art. 6 Ziff. 1 EMRK verbriefte Verfahrensgarantie fällt somit nicht in Betracht. Das Anliegen des Beschwerdeführers ist allenfalls auf dem Weg der Aufsichtsbeschwerde zu verfolgen (<ref-law>; vgl. Oliver Zibung, in: Waldmann/Weissenberger [Hrsg.], Praxiskommentar zum VwVG, 2009, N. 11 zu Art. 71).
5.
Die Vorinstanz ist zu Recht nicht auf die Beschwerde gegen die Zwischenverfügung vom 15. März 2013 eingetreten. Mit den materiellrechtlichen Vorbringen des Beschwerdeführers konnte sie sich folglich nicht auseinandersetzen. Auch die diesbezüglichen Rügen (Ziff. 17 ff. und 22 ff. der Beschwerdeschrift) sind unbegründet. Ebenso wenig verletzt Bundesrecht, dass das kantonale Gericht davon ausging, die Beschwerde sei aussichtslos (vgl. <ref-law>, <ref-law>; <ref-ruling> E. 7.1 S. 2). Die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtsvertretung im kantonalen Verfahren ist angesichts der normativ klaren Situation rechtens.
6.
Mit diesem Entscheid wird der Antrag auf einen zweiten Schriftenwechsel gegenstandslos. Der Beschwerdeführer hatte Gelegenheit, binnen gesetzter Frist auf die Vernehmlassung der Verwaltung zu replizieren (Mitteilung des Bundesgerichts vom 9. September 2013).
7.
Umständehalber werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Die unentgeltliche Rechtsverbeiständung kann nicht gewährt werden (Art. 64 Abs. 1 und 109 Abs. 2 lit. a BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Oktober 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub