Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Der 1950 geborene, als Gastwirt selbstständig erwerbstätige G._ war bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft freiwillig gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Infolge eines Sturzes erlitt er am 19. März 1997 eine Grundgelenkluxation am linken Daumen. Als nach mehrmaliger Operation feststand, dass von der Weiterführung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes mehr erwartet werden konnte, stellte der Unfallversicherer die bisher erbrachten Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld) mit Verfügung vom 17. Februar 2000 rückwirkend ab dem 1. Juli 1999 ein und verneinte den Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung.
Die hiegegen erhobene Einsprache, mit welcher der Versicherte die Ausrichtung einer Integritätsentschädigung auf der Basis einer Integritätseinschränkung von mindestens 5 % beantragen liess, lehnte der Unfallversicherer mit Einspracheentscheid vom 19. Mai 2000 ab.
Die hiegegen erhobene Einsprache, mit welcher der Versicherte die Ausrichtung einer Integritätsentschädigung auf der Basis einer Integritätseinschränkung von mindestens 5 % beantragen liess, lehnte der Unfallversicherer mit Einspracheentscheid vom 19. Mai 2000 ab.
B. In Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde stellte das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich fest, dass dem angefochtenen Einspracheentscheid eine in Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör ergangene Sachverhaltsfeststellung zu Grunde liege. Demgemäss wies es die Sache an den Unfallversicherer zurück, damit dieser dem Versicherten die gesetzlich garantierten Mitwirkungsrechte gewähre und hernach über den Anspruch auf Integritätsentschädigung neu verfüge (Entscheid vom 16. Mai 2001).
B. In Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde stellte das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich fest, dass dem angefochtenen Einspracheentscheid eine in Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör ergangene Sachverhaltsfeststellung zu Grunde liege. Demgemäss wies es die Sache an den Unfallversicherer zurück, damit dieser dem Versicherten die gesetzlich garantierten Mitwirkungsrechte gewähre und hernach über den Anspruch auf Integritätsentschädigung neu verfüge (Entscheid vom 16. Mai 2001).
C. Die "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Während der Versicherte auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 in Kraft getreten. Mit ihm sind zahlreiche Bestimmungen in der Unfallversicherung geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> Erw. 1), und weil ferner das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses des streitigen Einspracheentscheides (hier: 19. Mai 2000) eingetretenen Sachverhalt abstellt (<ref-ruling> Erw. 1b), sind im hier zu beurteilenden Fall die bis zum 31. Dezember 2002 geltenden Bestimmungen anwendbar.
1. Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 in Kraft getreten. Mit ihm sind zahlreiche Bestimmungen in der Unfallversicherung geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> Erw. 1), und weil ferner das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses des streitigen Einspracheentscheides (hier: 19. Mai 2000) eingetretenen Sachverhalt abstellt (<ref-ruling> Erw. 1b), sind im hier zu beurteilenden Fall die bis zum 31. Dezember 2002 geltenden Bestimmungen anwendbar.
2. 2.1 Im Streit liegt die Frage, ob das kantonale Gericht zu Recht erkannte, bei der Erhebung der medizinischen Entscheidungsgrundlagen für die Bemessung der Integritätsentschädigung habe der Versicherer den Anspruch des Beschwerdegegners auf rechtliches Gehör verletzt.
2.2 Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen und die Rechtsprechung über Rechtsnatur und Teilgehalte des rechtlichen Gehörs (<ref-law>; <ref-ruling> Erw. 2b, 127 III 578 Erw. 2c, 126 V 130 Erw. 2a; zu Art. 4 Abs. 1 aBV ergangene, weiterhin geltende Rechtsprechung: <ref-ruling> Erw. 2a/aa, 124 V 181 Erw. 1a, 375 Erw. 3b, je mit Hinweisen), zur formellen Natur des Anspruchs (<ref-ruling> Erw. 2b) sowie über die den Parteien je nach Art der Beweiserhebung zustehenden Mitwirkungsrechte im Verwaltungsverfahren der Unfallversicherung (<ref-law>, <ref-law> in Verbindung mit Art. 37, 39-41 und 43-61, insbesondere <ref-law>; <ref-ruling> Erw. 3b/bb, 120 V 360 f. Erw. 1b; RKUV 1998 Nr. U 313 S. 476 Erw. 2b), die sinngemäss auch für die nach <ref-law> zugelassenen Privatversicherer gelten (<ref-ruling> f. Erw. 1c; vgl. nun aber auch Urteil I. vom 14. April 2003, U 273/01, Erw. 3.2.1, wonach die - im Zusammenhang mit den rechtsstaatlichen Garantien des Verfügungsverfahrens geltende - Gleichstellung von Meinungsäusserungen interner Ärzte privater Unfallversicherer und solcher der SUVA im Hinblick auf die Beweiswürdigung nicht zum Tragen kommt), zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.2 Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen und die Rechtsprechung über Rechtsnatur und Teilgehalte des rechtlichen Gehörs (<ref-law>; <ref-ruling> Erw. 2b, 127 III 578 Erw. 2c, 126 V 130 Erw. 2a; zu Art. 4 Abs. 1 aBV ergangene, weiterhin geltende Rechtsprechung: <ref-ruling> Erw. 2a/aa, 124 V 181 Erw. 1a, 375 Erw. 3b, je mit Hinweisen), zur formellen Natur des Anspruchs (<ref-ruling> Erw. 2b) sowie über die den Parteien je nach Art der Beweiserhebung zustehenden Mitwirkungsrechte im Verwaltungsverfahren der Unfallversicherung (<ref-law>, <ref-law> in Verbindung mit Art. 37, 39-41 und 43-61, insbesondere <ref-law>; <ref-ruling> Erw. 3b/bb, 120 V 360 f. Erw. 1b; RKUV 1998 Nr. U 313 S. 476 Erw. 2b), die sinngemäss auch für die nach <ref-law> zugelassenen Privatversicherer gelten (<ref-ruling> f. Erw. 1c; vgl. nun aber auch Urteil I. vom 14. April 2003, U 273/01, Erw. 3.2.1, wonach die - im Zusammenhang mit den rechtsstaatlichen Garantien des Verfügungsverfahrens geltende - Gleichstellung von Meinungsäusserungen interner Ärzte privater Unfallversicherer und solcher der SUVA im Hinblick auf die Beweiswürdigung nicht zum Tragen kommt), zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 In der obligatorischen Unfallversicherung kann die Feststellung des rechtserheblichen medizinischen Sachverhalts erfolgen durch die vom Unfallversicherer eingeholten Berichte der behandelnden Ärzte, einschliesslich der Spezial- und Spitalärzte (Art. 53 Abs. 3 lit. a-c UVV), im Falle der Zuständigkeit der SUVA durch die Berichte der von ihr angestellten Kreisärzte der Agenturen (<ref-law>) und Ärzte der Medizinischen Abteilung am Hauptsitz, die von einem andern Unfallversicherer eingeholten Arztberichte (gegebenenfalls auch angestellter Ärzte), durch das vom Versicherten beigezogene Parteigutachten (des behandelnden oder eines konsiliarisch beigezogenen Arztes), das vom Unfallversicherer in Auftrag gegebene Sachverständigengutachten (<ref-law> und <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling>) sowie durch das vom erst- oder letztinstanzlichen Gericht angeordnete medizinische Gutachten (<ref-ruling> Erw. 1b).
3.2 Es liegt im pflichtgemässen Ermessen der Rechtsanwendenden, darüber zu befinden, mit welchen Mitteln der Sachverhalt abzuklären ist und ob im Einzelfall ein einfacher Arztbericht genügt, eine ergänzende Untersuchung anzuordnen oder ein förmliches Gutachten einzuholen ist (<ref-ruling> Erw. 1b). Insbesondere hat die versicherte Person weder von Bundesrechts wegen noch auf Grund von Art. 6 Ziff. 1 EMRK einen formellen Anspruch auf Beizug eines versicherungsexternen Gutachtens, wenn Leistungsansprüche streitig sind. Es ist grundsätzlich zulässig, dass Verwaltung und Sozialversicherungsgericht den Entscheid allein auf versicherungsinterne Entscheidungsgrundlagen (Berichte und Gutachten) stützen, soweit die darin enthaltene Beurteilung im Rahmen einer pflichtgemässen und freien, d.h. ohne Bindung an förmliche Regeln erfolgenden Beweiswürdigung (<ref-law> und <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; <ref-law>; Art. 132 OG in Verbindung mit Art. 113 und Art. 95 Abs. 2 OG) zu überzeugen vermag (<ref-ruling> ff. Erw. 1d-3).
3.3 Gerichtsgutachten haben besonderen Anforderungen zu genügen, die sich für das letztinstanzliche Verfahren nach den Bestimmungen des Bundeszivilprozesses richten (Art. 135 OG in Verbindung mit Art. 40 OG und Art. 57-61 BZP). Die gleichen Regeln gelten für die Einholung von Sachverständigengutachten durch die SUVA und die an der Durchführung der obligatorischen Unfallversicherung beteiligten Privatversicherer (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und Art. 57-61 BZP; <ref-ruling> Erw. 3b/bb, 122 V 159 Erw. 1b, 120 V 357).
3.3 Gerichtsgutachten haben besonderen Anforderungen zu genügen, die sich für das letztinstanzliche Verfahren nach den Bestimmungen des Bundeszivilprozesses richten (Art. 135 OG in Verbindung mit Art. 40 OG und Art. 57-61 BZP). Die gleichen Regeln gelten für die Einholung von Sachverständigengutachten durch die SUVA und die an der Durchführung der obligatorischen Unfallversicherung beteiligten Privatversicherer (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und Art. 57-61 BZP; <ref-ruling> Erw. 3b/bb, 122 V 159 Erw. 1b, 120 V 357).
4. Nach dem Gesagten hängen die im Einzelfall zu beachtenden Verfahrensrechte der Versicherten von der Qualifikation der betreffenden Beweisurkunde ab. Die in den Art. 57-61 BZP verankerten Garantien kommen nur beim medizinischen Sachverständigengutachten (insbesondere Administrativgutachten) zum Tragen.
4.1 Als Sachverständige im Sinne der <ref-law> gelten Drittpersonen, die auf Grund ihrer besonderen Fachkenntnisse zur Aufklärung des Sachverhalts beigezogen werden, nicht dagegen (verwaltungsinterne) Personen, die eine Verfügung zu treffen oder vorzubereiten haben. Personen, die - wie die Verwaltungsärzte - auf Grund ihrer besonderen Fachkenntnisse an der Vorbereitung von Verfügungen mitwirken, sind nicht als Sachverständige im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren. Auch wenn ihre Berichte Entscheidungsgrundlagen liefern und materiell Gutachtenscharakter aufweisen, handelt es sich nicht um Sachverständigengutachten im Sinne von <ref-law> und <ref-law>. Sie sind - im Hinblick auf die Verfahrensrechte - vielmehr in jedem Fall den nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> eingeholten Amtsberichten gleichzustellen (im Rahmen der Beweiswürdigung kommt indes nur den Meinungsäusserungen interner Ärzte der SUVA das Gewicht von Amtsberichten zu, nicht aber solchen versicherungsintern eingesetzter Ärzte privater Unfallversicherer [bereits zitiertes Urteil I. vom 14. April 2003, U 273/01, Erw. 3.2.1]). Die besonderen Verfahrensvorschriften für den Sachverständigenbeweis (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) finden also keine Anwendung (<ref-ruling> f. Erw. 1b). Dies gilt auch für das zum Verwaltungsverfahren gehörende Einspracheverfahren, welches mit dem Einspracheentscheid als (alleinigem) Anfechtungsgegenstand des allenfalls nachfolgenden erstinstanzlichen Beschwerdeverfahrens abgeschlossen wird (RKUV 1998 Nr. U 309 S. 459 Erw. 3).
Ob ein Verfahrensmangel vorliegt und, bejahendenfalls, ob die Vorinstanz die Sache deswegen an die Verwaltung zurückweisen durfte, beurteilt sich bei verwaltungsintern erhobenen Entscheidungsgrundlagen also regelmässig allein nach den Garantien, die aus dem allgemeinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>; Art. 29 und 30 Abs. 1 VwVG) abgeleitet werden.
4.2 Vorliegend steht fest, dass den ärztlichen Einschätzungen des Dr. B._ vom 11. November 1999 und vom 13. Januar 2000 von vornherein nicht die Qualität eines Sachverständigengutachtens zukommt, da es sich beim Urheber um einen beratenden Arzt des Beschwerdeführers handelt. Dasselbe gilt für die Einschätzung des Dr. X._ vom 17. April 2000; entgegen der Aktenlage im vorinstanzlichen Verfahren handelt es sich bei ihm nicht um einen "neutralen Handspezialisten" (wie im Auftrag an den Medizinischen Dienst des Unfallversicherers vom 20. März 2000 angemerkt), sondern um einen "beratenden Arzt", wie nunmehr in der Beschwerdeschrift offengelegt wird. Es braucht schliesslich nicht weiter begründet zu werden, dass auch die handschriftliche Auskunft des behandelnden Arztes Dr. Z._ (Operateur) vom 19. Oktober 1999 nicht als Sachverständigengutachten zu werten ist.
4.2 Vorliegend steht fest, dass den ärztlichen Einschätzungen des Dr. B._ vom 11. November 1999 und vom 13. Januar 2000 von vornherein nicht die Qualität eines Sachverständigengutachtens zukommt, da es sich beim Urheber um einen beratenden Arzt des Beschwerdeführers handelt. Dasselbe gilt für die Einschätzung des Dr. X._ vom 17. April 2000; entgegen der Aktenlage im vorinstanzlichen Verfahren handelt es sich bei ihm nicht um einen "neutralen Handspezialisten" (wie im Auftrag an den Medizinischen Dienst des Unfallversicherers vom 20. März 2000 angemerkt), sondern um einen "beratenden Arzt", wie nunmehr in der Beschwerdeschrift offengelegt wird. Es braucht schliesslich nicht weiter begründet zu werden, dass auch die handschriftliche Auskunft des behandelnden Arztes Dr. Z._ (Operateur) vom 19. Oktober 1999 nicht als Sachverständigengutachten zu werten ist.
5. Als Zwischenergebnis ist festzuhalten, dass die medizinischen Entscheidungsgrundlagen nicht als Sachverständigengutachten im Sinne der <ref-law> zu qualifizieren sind. Dementsprechend kommen die dort verankerten Garantien nicht zum Zuge; die Beteiligungsrechte des Versicherten richten sich vielmehr nach den allgemeinen Regeln des rechtlichen Gehörs. Es bleibt zu klären, ob das Verwaltungsverfahren diesen Mindestanforderungen genügte.
5.1 Der Unfallversicherer ersuchte zunächst den behandelnden Arzt, Dr. Z._, um eine Einschätzung des Integritätsschadens; dieser ging in seiner Antwort vom 19. Oktober 1999 von einem Integritätsschaden "deutlich unter 5 % gemäss SUVA-Tabellen (bzw. sogar 0 %!)" aus. Der beratende Arzt des Unfallversicherers, Dr. B._, schloss sich dieser Schätzung an (Aktennotiz des Medizinischen Dienstes des Beschwerdeführers vom 11. November 1999). Die Stellungnahme des Dr. Z._ wurde dem Beschwerdegegner am 18. November 1999 zur Kenntnis gebracht; gleichzeitig erhielt letzterer die Gelegenheit, sich zur Sache zu äussern, was er mit Schreiben vom 29. November 1999 denn auch tat. Der Unfallversicherer legte die vorgebrachten Einwände seinem beratenden Arzt Dr. B._ mitsamt den medizinischen Akten nochmals vor. Dessen (bestätigender) Befund vom 13. Januar 2000 wurde dem Beschwerdegegner wiederum mitgeteilt (Schreiben vom 19. Januar 2000).
Im Gefolge der abschlägigen Verfügung vom 17. Februar 2000 erhob der Versicherte Einsprache, welche den Unfallversicherer zur Einholung eines weiteren ärztlichen Berichts veranlasste. Der Handchirurg Dr. X._ bezifferte den Integritätsschaden auf Grund der in den Tabellen der SUVA angegebenen Eckwerte schliesslich auf 2,5 % (vgl. das vom Beschwerdeführer ausgefertigte Besprechungsprotokoll vom 17. April 2000). Auch dieses Schriftstück wurde dem Beschwerdegegner zur Kenntnis gebracht (Schreiben vom 2. Mai 2000). Darauf konnte dieser zu dem neuen Arztbericht Stellung nehmen, bevor am 19. Mai 2000 der Einspracheentscheid erging.
5.2 Insgesamt hatte der Beschwerdegegner sowohl im Vorfeld der Verfügung vom 17. Februar 2000 als auch vor dem Erlass des Einspracheentscheids mehrfach Gelegenheit, sich zum jeweiligen Stand des Beweisergebnisses zu äussern und Einwendungen vorzubringen. Nach dem Massstab der aus dem Grundsatz des rechtlichen Gehörs fliessenden Mindestgarantien liegt somit kein Verfahrensmangel vor. Für die Durchsetzung der vom Versicherten eingeforderten zusätzlichen Parteirechte - so die Mitwirkung bei der Benennung der beizuziehenden medizinischen Fachperson oder die Möglichkeit, ergänzende Fragen zu stellen - bietet sich keine rechtliche Handhabe.
Nach dem Gesagten liegt keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor.
Nach dem Gesagten liegt keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor.
6. Zu prüfen bleibt, ob die im angefochtenen Entscheid vorgenommene Rückweisung der Sache an die Verwaltung zur neuen Beurteilung des Integritätsschadens einer beweisrechtlichen Notwendigkeit entspricht.
6.1 Zunächst haben die bisher vorliegenden ärztlichen Berichte wegen formaler Mängel bloss verminderten Beweiswert.
6.1.1 Die Vorinstanz begründete das Gewicht der Anhörungsrechte und damit die - vor dem Hintergrund der aus ihrer Sicht bestehenden Verletzung des rechtlichen Gehörs im Beweisverfahren - fehlende Heilbarkeit des Verfahrensmangels auch damit, die eingeholten Arztberichte erweckten bereits hinsichtlich ihrer äusseren Form sowie der Art und Weise ihrer Erhebung Bedenken. Im Einzelnen führte das kantonale Gericht Folgendes aus:
"Der Bericht von Dr. Z._ vom 19. Oktober 1999 ist eine handschriftliche Notiz auf der Rückseite eines Schreibens (des Unfallversicherers), wobei Dr. Z._ nicht einmal angibt, auf welche SUVA-Tabelle er sich stützt. Die ebenfalls handschriftliche Notiz vom 13. Januar 2000 (...), welche angeblich von Dr. B._ stammen soll, lässt sich nur teilweise entziffern. Anlass zu weiteren Bedenken gibt der Umstand, dass der Bericht von Dr. X._ nicht von ihm selbst verfasst wurde, sondern offensichtlich von der Beschwerdegegnerin aufgesetzt und Dr. X._ lediglich zur Unterzeichnung vorgelegt wurde. In diesem Zusammenhang ist auf <ref-law> hinzuweisen, wonach sich der Sachverständige unter anderem der strengsten Unparteilichkeit zu befleissigen hat. Das Vorgehen der Beschwerdegegnerin, dem Gutachter bereits ein vorformuliertes Schreiben zur Unterzeichnung vorzulegen, ist indessen geeignet, Zweifel an der Unvoreingenommenheit bzw. Unparteilichkeit des Gutachters zu erwecken."
6.1.2 Den vom kantonalen Gericht vorgetragenen formalen Bedenken ist - unter dem hier interessierenden Aspekt der Beweiswürdigung - beizupflichten: Zwar kann - weil der Unfallversicherer in beweisrechtlicher Hinsicht ein zur Objektivität verpflichtetes gesetzesvollziehendes Organ ist - auch Berichten und Gutachten versicherungsinterner Ärztinnen und Ärzte Beweiswert beigemessen werden, sofern sie als schlüssig erscheinen, nachvollziehbar begründet sowie in sich widerspruchsfrei sind und keine Indizien gegen ihre Zuverlässigkeit bestehen; im Hinblick auf die erhebliche Bedeutung, welche den Arztberichten im Sozialversicherungsrecht zukommt, ist an die Unparteilichkeit der begutachtenden Personen des Weitern ein strenger Massstab anzulegen (vgl. auch Erw. 3.2 hievor; <ref-ruling> f. Erw. 3b/ee, 122 V 161 f. Erw. 1c). Die angesprochenen formalen Mängel lassen die Beweisgrundlage des strittigen Einspracheentscheids - unter den Gesichtspunkten der Schlüssigkeit, Nachvollziehbarkeit und auch der Unparteilichkeit - als nicht ausreichend zuverlässig erscheinen.
6.2 Die vorliegenden Arztberichte erlauben es auch ihres Gehaltes wegen nicht, den streitigen Anspruch zu beurteilen. Die übereinstimmende Ansicht der vom Unfallversicherer beigezogenen Mediziner, der Integritätsschaden - eine Versteifung des Grundgelenks des Daumens der linken (vorliegend nicht dominanten) Hand zufolge einer Arthrodese (operative Gelenkversteifung) - erreiche nicht das zur Ausrichtung einer Leistung erforderliche Mass von 5 %, beruht auf teilweise unzutreffenden normativen Vorgaben und lässt die massgebende Fragestellung, wie es sich mit der verbleibenden Gebrauchsfähigkeit des betroffenen Organs verhält, ausser Acht.
6.2.1 In Anhang 3 zur UVV hat der Bundesrat Richtlinien für die Bemessung der Integritätsschäden aufgestellt und in einer als gesetzmässig erkannten, nicht abschliessenden Skala (<ref-ruling> Erw. 1b mit Hinweisen) häufig vorkommende und typische Schäden prozentual gewichtet. Die Entschädigung für spezielle oder nicht aufgeführte Integritätsschäden wird nach dem Grad der Schwere vom Skalenwert abgeleitet (Ziff. 1 Abs. 2). Die völlige Gebrauchsunfähigkeit eines Organs wird dem Verlust gleichgestellt; bei teilweisem Verlust und bei teilweiser Gebrauchsunfähigkeit wird der Integritätsschaden entsprechend geringer, wobei die Entschädigung jedoch ganz entfälllt, wenn der Integritätsschaden weniger als 5 % des Höchstbetrages des versicherten Verdienstes ergäbe (Ziff. 2). Daraus folgt, dass bei teilweisem Funktionsverlust ohne Verlust bezüglich der Substanz sich der Integritätsschaden auf den entsprechenden Bruchteil vom Gesamtwert des Organs beläuft (Thomas Frei, Die Integritätsentschädigung nach Art. 24 und 25 des Bundesgesetzes über die Unfallversicherung, Diss. Freiburg 1997, S. 50).
Die medizinische Abteilung der SUVA hat in Weiterentwicklung der bundesrätlichen Skala weitere Bemessungsgrundlagen in tabellarischer Form (sog. Feinraster) erarbeitet (Mitteilungen der Medizinischen Abteilung der SUVA). Diese von der Verwaltung herausgegebenen Tabellen stellen zwar keine Rechtssätze dar und sind für das Gericht nicht verbindlich, um so weniger als Ziff. 1 Abs. 1 von Anhang 3 zur UVV bestimmt, der in der Skala angegebene Prozentsatz des Höchstbetrages des versicherten Verdienstes gelte im Regelfall, welcher im Einzelnen Abweichungen nach unten wie nach oben ermöglicht. Soweit sie jedoch lediglich Richtwerte enthalten, mit denen die Gleichbehandlung aller Versicherten gewährleistet werden soll, sind sie mit dem Anhang 3 zur UVV vereinbar (<ref-ruling> Erw. 1c mit Hinweis; RKUV 1989 Nr. U 76 S. 311 Erw. 4a). Im Sinne von Richtwerten können auch die anderen UVG-Versicherer (<ref-law>) auf diese Tabellen abstellen, sofern ihnen nicht eigene detaillierte Bemessungsgrundlagen zur Verfügung stehen (RKUV 1998 Nr. U 296 S. 236 Erw. 2a in fine). Die dem Unfallversicherer vorliegend als unmittelbare Entscheidungsgrundlagen dienenden Arztberichte orientieren sich an den SUVA-Tabellen; diese sind also mit beachtlich.
6.2.2 Nach der in Anhang 3 zur UVV enthaltenen Skala der Integritätsschäden wird der Verlust eines Daumens, welchem die völlige Gebrauchsunfähigkeit gleichkommt, auf 20 % beziffert. Derselbe Wert findet sich in Abbildung 2 der SUVA-Tabelle 3, welche die "Integritätsschäden bei einfachen oder kombinierten Finger-, Hand- und Armverlusten" auflistet. Den bisherigen ärztlichen Einschätzungen und mit ihnen dem strittigen Einspracheentscheid vom 19. Mai 2000 liegt - entsprechend einer per Ende 1999 abgelösten Fassung der Tabelle 3 - ein Ausgangswert von 15 % zu Grunde. Dieser Ansatz ist seit der Änderung der UVV vom 15. Dezember 1997 (AS 1998 151), die seit dem 1. Januar 1998 in Kraft steht, verordnungswidrig. Denn in der nunmehr geltenden Fassung von Anhang 3 der UVV wird die im Zusammenhang mit dem Verlust des Daumens im Grundgelenk früher gemachte Unterscheidung zwischen der Gebrauchshand einerseits (Integritätsschaden: 20 %) und der anderen, nicht dominanten Hand anderseits (15 %) aufgegeben und der Entschädigungsgrad für beide Daumen bei 20 % angeglichen.
Als weitere Bezugsgrösse für die Bemessung des Integritätsschadens ist die Gewichtung bei einer Fingergelenk-Arthrose bzw. - hier zutreffend - Fingergelenk-Arthrodese in Tabelle 5 ("Integritätsschaden bei Arthrosen") zu beachten. Diese wurde auf 0 % festgesetzt.
6.2.3 Die Beurteilung des Integritätsschadens basiert auf dem medizinischen Befund. In einem ersten Schritt fällt es dem Arzt oder der Ärztin zu, sich unter Einbezug der in Anhang 3 der UVV und gegebenenfalls in den SUVA-Tabellen aufgeführten Integritätsschäden dazu zu äussern, ob und inwieweit ein Schaden vorliegt, welcher dem Typus von Verordnung, Anhang oder Weisung entspricht. Verwaltung und Gericht obliegt es danach, gestützt auf die ärztliche Befunderhebung die rechtliche Beurteilung vorzunehmen, ob ein Integritätsschaden gegeben ist, im Weiteren, ob die Erheblichkeitsschwelle erreicht ist und, bejahendenfalls, welches Ausmass die erhebliche Schädigung angenommen hat. Dass sie sich hiefür an die medizinischen Angaben zu halten haben, ändert nichts daran, dass die Beurteilung des Integritätsschadens als Grundlage des gesetzlichen Leistungsanspruches letztlich Sache der Verwaltung, im Streitfall des Gerichts, und nicht der medizinischen Fachperson ist. Im Gegenzug hat sich der Rechtsanwender insofern an Grenzen zu halten, als im Bereich der Integritätsentschädigung der nicht von ihm zu erbringende Einsatz medizinischen Wissens für die Leistungsbeurteilung einen sehr hohen Stellenwert hat. Gelangt er im Rahmen der freien Beweiswürdigung zur Auffassung, es lägen keine schlüssigen medizinischen Angaben zum Vorliegen eines Integritätsschadens vor, bedingt dies regelmässig Aktenergänzungen in medizinischer Hinsicht (nicht veröffentlichtes Urteil M. vom 15. Oktober 1999, U 235/98, Erw. 4a; zum Zusammenwirken ärztlicher Einschätzung und juristischer Wertung bei der Bemessung der Integritätseinbusse vgl. auch Frei, a.a.O., S. 68 ff., und Gilg/Zollinger, Die Integritätsentschädigung nach dem Bundesgesetz über die Unfallversicherung, Bern 1984, S. 100).
6.2.4 Der vorliegende Körperschaden entspricht nach den in Verordnung und Tabellen enthaltenen Vorgaben einem bestimmten Prozentwert innerhalb der Spanne von 0-20 %. Dabei steht die gemäss Tabelle 5 fehlende Leistungserheblichkeit der Arthrodese am Fingergelenk unter dem Vorbehalt einer Beeinträchtigung in der Gebrauchsfähigkeit nach dem in Tabelle 3 vorgegebenen Massstab. Die Ausschöpfung des in den Tabellen enthaltenen Bemessungsspielraums setzt wie erwähnt das Vorhandensein einer auf medizinischer Fachkenntnis beruhenden spezifischen Entscheidungsgrundlage voraus (vgl. auch RKUV 1998 Nr. U 296 S. 238 f.).
Die vorhandenen Arztberichte gestatten keine abschliessende Beurteilung des Leistungsanspruches, da sie über die im Einzelfall zu verzeichnenden praktisch-funktionellen Auswirkungen des medizinischen Befundes (Status nach Arthrodese des Daumen-Grundgelenks) keinen Aufschluss erteilen. Der Unfallversicherer wird daher noch abzuklären haben, in welchem Umfang die Versteifung des Daumens im Grundgelenk zu einer (teilweisen) Gebrauchsunfähigkeit dieses Organs führt. Dabei ist eine rein isolierte Betrachtung freilich nicht möglich; der Daumen bildet mit den übrigen Teilen der Hand eine funktionale Einheit. Des Weitern ist in tatsächlicher Hinsicht fraglich, wie sich eine allfällige Beugefähigkeit des Mittelgelenks auf die Gebrauchsfähigkeit des Daumens auswirkt; die Gelenkbeweglichkeit ist für die Greiffunktionen und damit für die Gebrauchsfähigkeit der Hand von Bedeutung (RKUV 1997 Nr. U 278 S. 209 Erw. 3b; Debrunner, Orthopädie, 3. Aufl. Bern 1994, S. 554 ff.). Gestützt auf die entsprechenden medizinischen - allenfalls ergotherapeutischen - Erhebungen wird der Versicherer sodann die Rechtsfrage zu beurteilen haben, ob und gegebenenfalls in welchem Umfang eine Gebrauchsunfähigkeit des linken Daumens besteht. Diese Feststellung erlaubt schliesslich die Bemessung des prozentual gewichteten Integritätsschadens.
6.3 Der kantonale Entscheid, mit welchem die Sache zur Abklärung und neuen Verfügung an die Verwaltung zurückgewiesen wurde, besteht nach dem Gesagten im Ergebnis zu Recht.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft hat dem Beschwerdegegner für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1000.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft hat dem Beschwerdegegner für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1000.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 11. Juni 2003
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der IV. Kammer: Der Gerichtsschreiber:
i.V.