Sachverhalt:
A. Der kongolesische Staatsangehörige Xa._ stellte am 28. August 2000 in der Schweiz ein Asylgesuch. Das Bundesamt für Flüchtlinge wies das Asylgesuch am 23. Juli 2002 ab. Die Asylrekurskommission wies am 30. Januar 2003 eine dagegen gerichtete Beschwerde ab. Nach Rechtskraft dieses Entscheids setzte das Ausländeramt St. Gallen Frist zur Ausreise bis zum 3. April 2003. Seine Wiedererwägungsgesuche wurden abgewiesen. Anlässlich von Befragungen in den Jahren 2004, 2006 und 2008 weigerte er sich, Papiere zu beschaffen und freiwillig auszureisen. Im Mai 2008 heiratete er die Kongolesin Xb._ (vgl. paralleles Verfahren 6B_847/2010). Das gemeinsame Kind wurde im Juni 2007 geboren. Das Bundesverwaltungsgericht trat am 6. August 2009 auf eine Beschwerde in einem Wiedererwägungsverfahren nicht ein.
B. Mit Strafbescheid des Untersuchungsamts St. Gallen vom 29. April 2009 wurde Xa._ mit einer Geldstrafe von 180 Tagessätzen zu Fr. 10.-- bestraft.
Auf seine Einsprache hin verurteilte ihn der Einzelrichter des Kreisgerichts St. Gallen am 5. Oktober 2009 wegen rechtswidrigen Aufenthalts zu einer Geldstrafe von 130 Tagessätzen zu Fr. 5.-- und Fr. 250.-- Busse.
Er erhob Berufung. Der Präsident der Strafkammer des Kantonsgerichts St. Gallen wies das Gesuch um Befreiung von der Einschreibegebühr wegen Aussichtslosigkeit der Berufung ab. Das Bundesgericht wies am 30. März 2010 die gegen diesen Zwischenentscheid (<ref-law>) erhobene Beschwerde in Strafsachen ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 1B_37/2010).
Das Kantonsgericht St. Gallen sprach ihn am 19. August 2010 des rechtswidrigen Aufenthalts gemäss Art. 115 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.29) schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 4 Monaten.
C. Xa._ erhebt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, ihn von Schuld und Strafe freizusprechen, ihn eventuell für die Zeit seit der Geburt der Tochter am 18. Juni 2007 freizusprechen, subeventuell die Verweigerung des bedingten Strafvollzugs als bundesrechtswidrig zu erklären, die Sache an die Vorinstanz zu neuer Beurteilung zurückzuweisen, die Kosten dem Staat aufzuerlegen, ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren und der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Das Kantonsgericht verzichtete auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Die nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereichten Eingaben können nicht berücksichtigt werden.
2. 2.1 Gemäss Art. 115 Abs. 1 lit. b AuG wird mit Freiheitsstrafe bis zu einem Jahr oder Geldstrafe bestraft, wer sich rechtswidrig, namentlich nach Ablauf des bewilligungsfreien oder des bewilligten Aufenthalts, in der Schweiz aufhält.
Der Beschwerdeführer hält sich seit dem 4. April 2003 rechtswidrig in der Schweiz auf. Wie er vor der Vorinstanz bestätigte, war er sich stets bewusst, dass sein Asylgesuch rechtskräftig abgewiesen wurde und er die Schweiz hätte verlassen müssen. Der Tatbestand ist erfüllt.
2.2 Mit dem Verbleib in der Schweiz trotz rechtskräftiger Abweisung des Asylgesuchs und Fristsetzung für die Ausreise ist das Tatbestandsmerkmal der Rechtswidrigkeit des Aufenthalts erfüllt. Im Strafverfahren ist das Asylverfahren grundsätzlich nicht mehr zu prüfen. Soweit der Beschwerdeführer sich zur Rechtfertigung auf <ref-law>, Art. 3 EMRK sowie auf das Übereinkommen über die Rechte des Kindes (SR 0.107) beruft, sind seine Vorbringen unbegründet.
Der Beschwerdeführer hat keinen Rechtsanspruch auf Verbleib in der Schweiz. Nach dem Völkerrecht bestimmen die Staaten die Voraussetzungen des Aufenthalts von Ausländern auf ihrem Territorium. Allerdings wird das Abschieberecht etwa durch das Non-Refoulement-Prinzip eingeschränkt. Eine Verletzung von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2) begründet der Beschwerdeführer nicht (<ref-law>). Es sind dafür auch keine Anhaltspunkte ersichtlich.
<ref-law> gewährleistet auch Rechte, wie sie im Kinderrechtsübereinkommen verbrieft sind. Diesen Rechten lassen sich bezüglich der Erteilung von fremdenpolizeirechtlichen Bewilligungen keine gerichtlich durchsetzbaren Ansprüche entnehmen (<ref-ruling> E. 5d S. 391 f.). Das Kindesinteresse ist aber zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 2.3). Die Vorinstanz äussert sich zum Kindeswohl und weist darauf hin, dass die Asylbehörden diesen Gesichtspunkt insbesondere im Rahmen der Wiedererwägungsgesuche berücksichtigt haben (angefochtenes Urteil S. 6). Grundsätzlich haben selbst schweizerische Kinder das Lebensschicksal des sorge- oder obhutsberechtigten Elternteils zu teilen und ihm ins Ausland zu folgen (<ref-ruling> E. 2.2). Dies gilt auch für Ausländer.
Die EMRK gewährleistet Ausländern kein Recht auf Einreise und Aufenthalt in der Schweiz (Urteil Gezginci gegen Schweiz vom 9. Dezember 2010, Ziff. 54; Req. 16327/05). Die Ausweisung von Ausländern kann aber unter die Gewährleistungen von Art. 8 EMRK fallen. Der Beschwerdeführer beruft sich zu Recht nicht auf diese Bestimmung. Durch die Ausweisung wird das Familienleben nicht beeinträchtigt (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2b/cc). Inwiefern Art. 3 EMRK verletzt sein sollte, begründet er nicht.
Die asylrechtlichen Gewährleistungen wurden im Asylverfahren rechtskräftig beurteilt. Ein verwaltungsgerichtlicher Entscheid ist für das Strafverfahren grundsätzlich verbindlich (<ref-ruling> E. 2.1). Dass kein bundesgerichtlicher Rechtsweg offen ist, entspricht der gesetzlichen Ordnung (<ref-law>). Bundesgesetze sind für das Bundesgericht und die anderen rechtsanwendenden Behörden massgebend. Für eine ausnahmsweise vorfrageweise Überprüfung der Verfassungsmässigkeit sind keine Gründe ersichtlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.1). Die Beschwerde erschöpft sich in einer Kritik am schweizerischen Rechtssystem. Darauf ist nicht einzutreten.
2.3 Gemäss <ref-law> setzt der Strafaufschub nicht die Erwartung voraus, der Täter werde sich bewähren. Es genügt die Abwesenheit der Befürchtung, dass er es nicht tun werde (<ref-ruling> E. 4.2.2).
Der Beschwerdeführer widersetzte sich während Jahren einer Ausreise und bekräftigte im vorinstanzlichen Verfahren, dass er sich weiterhin einer Ausreise widersetzen werde (angefochtenes Urteil S. 8). Die Verweigerung des Strafaufschubs bei offenkundiger Renitenz verletzt kein Bundesrecht.
3. Im Übrigen kann auf das angefochtene Urteil verwiesen werden (<ref-law>). Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abzuweisen (<ref-law>). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist mit herabgesetzten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 und Art. 66 Abs. 1 BGG). Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. März 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Briw