Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdeführerin), von Beruf Krankenschwester, war ab dem 15. Mai 1993 als stellvertretende Stationsleiterin und ab 1. September 1993 als Stationsleiterin beim Heim X._ (Beschwerdegegnerin) tätig. Mit Brief vom 27. Juli 1999 kündigte die Beschwerdegegnerin das Arbeitsverhältnis auf den 31. Oktober 1999 und stellte die Beschwerdeführerin per sofort frei. Mit Schreiben vom 27. Oktober 1999 verlangte die Beschwerdeführerin eine schriftliche Begründung der Kündigung und erhob Einsprache. Am 9. November 1999 begründete die Beschwerdegegnerin die Kündigung wie folgt:
"Am Stationsleiterinnen-Rapport vom 31. Juli 1996 wurde in Ihrer Anwesenheit festgehalten, dass Geldspenden von Angehörigen umgehend im Sekretariat zu Handen der Personalkasse abgeliefert werden müssen. Mit der Lohnabrechnung vom November 1996 wurden sämtliche Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter über diese Regelung orientiert.
In der Folge mussten wir jedoch feststellen, dass Sie in den Monaten Juni und Juli 1999 nachweisbar zweimal Geldgeschenke (einmal Fr. 500.--, einmal Fr. 300.--) entgegengenommen haben, ohne diese weisungsgemäss unverzüglich der Heimleitung zu Handen des Personalfonds abzuliefern. Sie haben der Heimleitung auch nicht Meldung erstattet, dass diese Spenden eingegangen sind. Die Spende von Fr. 500.-- haben Sie während fünf Wochen zu Hause aufbewahrt.
Durch dieses Verhalten haben Sie gegen Ziffer 13 der Hausordnung vom 16. Oktober 1982 verstossen und gegenüber der Heimleitung und der Stiftung einen schwerwiegenden Vertrauensmissbrauch begangen. Das haben wir Ihnen am 13. Juli 1999 an der Besprechung, an der die Betriebskommission und die Heimleitung vertreten waren, mündlich mitgeteilt und Ihnen die Kündigung nahegelegt. Sie hatten darauf klar geantwortet, dass Sie zu den formulierten Vorwürfen keine Stellung nehmen und dass Sie auch nicht selber kündigen werden. Sie händigten den Anwesenden einen schriftlichen Kommentar Ihres Gatten zur Rechtslage bei Geschenken an Arbeitnehmer aus. Wie Sie in diesem Schriftstück selber schriftlich bestätigten, haben Sie diesen Kommentar nach Erscheinen der Weisung der Heimleitung im Jahre 1996 an Ihre Mitarbeiterinnen verteilt, ohne die Heimleitung zu orientieren. Damit haben Sie aber einen noch schwerer wiegenden Vertrauensmissbrauch gegenüber Ihrem Arbeitgeber begangen, indem Sie gegen das Prinzip der Loyalität, das jedem Arbeitsvertrag zugrunde liegt, verstossen haben.
Dieser Sachverhalt hat uns bewogen, das Arbeitsverhältnis unter Einhaltung der vertraglichen Kündigungsfrist aufzulösen und Sie mit sofortiger Wirkung freizustellen."
B. Am 14. September 2000 erhob die Beschwerdeführerin beim Bezirksgericht Uster Klage gegen die Beschwerdegegnerin und verlangte eine Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung nach <ref-law> in der Höhe von Fr. 29'000.-- und die Berichtigung des Arbeitszeugnisses. In ihrer ergänzenden Klagebegründung reduzierte sie ihre Forderung auf Fr. 19'000.--. Mit Urteil vom 21. August 2007 wies das Bezirksgericht die Klage im verbleibenden Umfang ab, nachdem zuvor das Obergericht ein erstes (gleichlautendes) Urteil vom 24. April 2002 auf Berufung der Beschwerdeführerin hin wegen unzulässigem Aus-dem-Recht-Weisen ihrer Replikschrift aufgehoben und die Sache an die erste Instanz zurückgewiesen hatte.
Gegen das Urteil des Bezirksgerichts vom 21. August 2007 erhob die Beschwerdeführerin erneut Berufung an das Obergericht und beantragte eine Entschädigung von Fr. 19'000.--. Mit Urteil vom 16. Juni 2009 wies das Obergericht die Klage in Abweisung der Berufung ab.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin kantonale Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Beschwerde mit Zirkulations-Beschluss vom 17. September 2010 ab, soweit es darauf eintrat.
C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts vom 16. Juni 2009 aufzuheben und die Angelegenheit zur Durchführung eines Beweisverfahrens und zur Neuentscheidung an das Obergericht, eventualiter an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Ausserdem sei der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 17. September 2010 aufzuheben.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen und das angefochtene Urteil zu bestätigen. Das Kassationsgericht und das Obergericht verzichteten auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Präsidialverfügung vom 23. November 2010 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerdeführerin hat sowohl das Urteil des Obergerichts vom 16. Juni 2009 als auch den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 17. September 2010 beim Bundesgericht angefochten. Dies ist grundsätzlich zulässig und die Beschwerdefrist ist auch bezüglich des obergerichtlichen Urteils gewahrt (Art. 100 aAbs. 6 BGG [AS 2006 1234], der auf das vorliegende Beschwerdeverfahren noch anwendbar ist, zumal das angefochtene Urteil des Obergerichts vor Aufhebung dieser Bestimmung eröffnet worden ist [vgl. <ref-law>]).
1.2 Damit ein kantonaler Entscheid mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten werden kann, muss der Instanzenzug im Kanton erschöpft sein (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin kann das Urteil des Obergerichts somit nur insoweit anfechten, als im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen zulässige Rügen dem Kassationsgericht nicht unterbreitet werden konnten (<ref-ruling> E. 1.1, 524 E. 1.3 S. 527). Dies wird von der Beschwerdeführerin beachtet.
1.3 Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), darf sich der Beschwerdeführer grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen. Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1).
Da die Beschwerdeführerin der Ansicht ist, es müsse zu zwei Punkten erst ein Beweisverfahren durchgeführt werden, genügt der blosse Antrag auf Rückweisung der Sache.
1.4 Der für die Beschwerdefähigkeit massgebende Streitwert von Fr. 19'000.-- übersteigt die Grenze nach <ref-law>. Da auch die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist demnach auf die Beschwerde einzutreten.
2. Nach <ref-law> kann ein unbefristetes Arbeitsverhältnis von jeder Vertragspartei unter Einhaltung der gesetzlichen oder vertraglichen Kündigungsfrist gekündigt werden. Damit ist das Prinzip der Kündigungsfreiheit festgehalten. Es bedarf grundsätzlich keiner besonderen Gründe, um kündigen zu können. Das Prinzip der Kündigungsfreiheit findet aber seine Grenzen am Missbrauchsverbot. Missbräuchlich ist eine Kündigung nur, wenn sie aus bestimmten unzulässigen Gründen ausgesprochen wird, die in <ref-law> umschrieben werden, wobei die Aufzählung nicht abschliessend ist (<ref-ruling> E. 7.1 S. 110; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2a S. 72). Der Missbrauch einer Kündigung kann sich nicht nur aus den Kündigungsmotiven, sondern auch aus der Art und Weise ergeben, wie die kündigende Person ihr Recht ausübt (BGE <ref-ruling> E. 2.2.).
Das Obergericht ging davon aus, eine missbräuchliche Kündigung könne jedenfalls nur gegeben sein, wenn die Arbeitnehmerin selbst keine Pflichten aus dem Arbeitsverhältnis verletzt habe. Es prüfte daher, ob die Beschwerdeführerin durch ihr Verhalten ihrer Befolgungspflicht gegenüber den Weisungen der Beschwerdegegnerin nachgekommen sei. Dabei kam es zum Schluss, dass die umstrittene Weisung zur Weiterleitung von Geldspenden in die "Personalkasse" sowohl rechtmässig und verhältnismässig als auch in der Branche üblich sei und demzufolge von der Beschwerdeführerin zu befolgen war. Die Beschwerdeführerin habe sich der Weisung zu Unrecht widersetzt und damit ihre Befolgungspflicht verletzt. Indem sie ihre Mitarbeitenden auf die von ihr behauptete Rechtswidrigkeit der Weisung hingewiesen und so ihre Rechtsauffassung, die von derjenigen der Beschwerdegegnerin abgewichen sei, kundgetan habe, habe sie auch ihre Treuepflicht gegenüber der Beschwerdegegnerin verletzt. Erschwerend falle ins Gewicht, dass sie ihre Untergebenen ohne Wissen der Beschwerdegegnerin orientiert habe. Aufgrund ihrer Treuepflicht hätte sie sich zuerst an den Arbeitgeber wenden müssen, wenn sie die Weisung für unrechtmässig gehalten habe. Indem sie dies unterlassen habe, habe sie eine weitere Treuepflichtverletzung begangen. Angesichts der Verletzung von Befolgungs- und Treuepflicht erweise sich die ausgesprochene Kündigung nicht als missbräuchlich. Die Kündigung gegenüber der Beschwerdeführerin als Kaderangestellte mit erhöhter Treuepflicht beruhe auf einem schützenswerten Grund und sei daher rechtmässig. Auch die Art und Weise, wie die Kündigung erfolgt sei, sei nicht zu beanstanden.
3. Der Arbeitgeber kann über die Ausführung der Arbeit und das Verhalten der Arbeitnehmer im Betrieb oder Haushalt allgemeine Anordnungen erlassen und ihnen besondere Weisungen erteilen (<ref-law>). Nach <ref-law> hat der Arbeitnehmer die allgemeinen Anordnungen des Arbeitgebers und die ihm erteilten besonderen Weisungen nach Treu und Glauben zu befolgen. Der Arbeitnehmer ist aber nicht verpflichtet, Weisungen zu befolgen, die widerrechtlich oder unsittlich sind. Zudem findet das Weisungsrecht am Persönlichkeitsrecht des Arbeitnehmers seine Schranke. Sodann können mit einer Weisung die Verpflichtungen des Arbeitnehmers nicht über den vertraglichen Rahmen erweitert werden (<ref-ruling> E. 5.2; Urteil 4C.357/2002 vom 4. April 2003 E. 4.1; Staehelin, Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 2006, N. 14 ff. zu <ref-law>; Streiff/von Kaenel, Arbeitsvertrag, 6. Aufl. 2006, N. 3 zu <ref-law>).
Die Beschwerdeführerin rügt, das Obergericht habe <ref-law> verletzt, indem es die Hausordnung der Beschwerdegegnerin vom 22. November 1982 als arbeitsrechtliche Anordnung bzw. Weisung qualifiziert habe. Die Hausordnung richte sich nicht an einen oder mehrere Arbeitnehmer, sondern ausschliesslich an die Pensionäre und Patienten des Heimes. Die Schlussfolgerung des Obergerichts, dass sich die Beschwerdeführerin einer rechtmässigen und verhältnismässigen sowie in der Branche üblichen Weisung zu Unrecht widersetzt und damit ihre Befolgungspflicht verletzt habe, sei bundesrechtswidrig. Es liege schlicht keine Weisung vor, welche die Beschwerdeführerin hätte verletzen können.
Dem kann nicht gefolgt werden. Das Obergericht bezog sich auf das Protokoll der Stationsleiterinnen-Sitzung vom 31. Juli 1996 und die der Lohnabrechnung vom November 1996 beigelegte Mitteilung, indem es festhielt, dass die Beschwerdeführerin im Juli 1996 mündlich und im November 1996 schriftlich seitens der Beschwerdegegnerin die konkrete Weisung mitgeteilt erhielt, wie mit Geldgeschenken von Heimbewohnern, Angehörigen oder Dritten umzugehen sei. Das Vorliegen dieser Weisung ist unbestritten. Insofern ist es irrelevant, ob diese Weisung auch in der Hausordnung vom 22. November 1982 enthalten ist. Es liegt jedenfalls eine mündliche und schriftliche Weisung vom Juli bzw. November 1996 vor.
Das Obergericht berücksichtigte die Hausordnung bei der Prüfung, ob die betreffende Weisung im Widerspruch zu vertraglichen Vereinbarungen der Parteien stehen könnte. Dabei gelangte es im Gegenteil zum Schluss, dass die Hausordnung verschiedentlich auch das Personal einbeziehe oder dieses zumindest indirekt anspreche. Das Befolgen und Durchsetzen der Hausordnung lasse sich auch ohne ausdrückliche Erwähnung im Arbeitsvertrag unter die dort genannte Pflicht des Arbeitnehmers subsumieren, "die Interessen des Heims nach Kräften zu wahren". Die Hausordnung sei folglich auch als Teil des Arbeitsverhältnisses anzusehen. Ziffer 13 der Hausordnung wonach es dem gesamten Personal untersagt ist, irgendwelche Trinkgelder und Geschenke entgegenzunehmen, widerspreche der strittigen Weisung nicht, sondern stelle vielmehr eine Wiederholung und Präzisierung dar. Eine Vertragswidrigkeit sei demnach nicht erkennbar. Dies wird von der Beschwerdeführerin nicht in Frage gestellt.
4. Weiter wirft die Beschwerdeführerin dem Obergericht vor, <ref-law> verletzt zu haben, weil es ein Weisungsrecht hinsichtlich der Ablieferung von Geldspenden bejaht habe, obwohl diese gerade nicht für den Arbeitgeber bestimmt seien. Sie erachtet daher die Weisung als unrechtmässig, weshalb sie diese auch nicht zu befolgen gehabt habe.
4.1 Der Arbeitnehmer hat dem Arbeitgeber über alles, was er bei seiner vertraglichen Tätigkeit für diesen von Dritten erhält, wie namentlich Geldbeträge, Rechenschaft abzulegen und ihm alles sofort herauszugeben (<ref-law>).
Das Obergericht hielt diese Bestimmung für nicht anwendbar, da sie lediglich Zuwendungen Dritter regle, die für den Arbeitgeber bestimmt seien. Eine gesetzliche Norm, die sich mit der Sachlage bei Zuwendungen Dritter an den Arbeitnehmer persönlich befasse und gegen welche die Weisung verstossen könnte, existiere nicht. Die Geldübergaben seien während der Arbeitszeit und am Arbeitsort erfolgt und hätten in engstem Zusammenhang mit der Berufsarbeit gestanden.
Die Beschwerdeführerin schliesst demgegenüber aus dem Umstand, dass Geldbeträge, die nicht für den Arbeitgeber bestimmt sind, in <ref-law> nicht genannt sind, dass diese vom Weisungsrecht des Arbeitgebers ausgenommen seien. Eine Erweiterung der Herausgabepflicht könne nur durch Vereinbarung erfolgen.
4.2 Es trifft zu, dass Trinkgelder und Gelegenheitsgeschenke nicht unter die Herausgabepflicht nach <ref-law> fallen, da sie für den Arbeitnehmer und nicht für den Arbeitgeber bestimmt sind (Staehelin, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>; Streiff/von Kaenel, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>; PORTMANN, Basler Kommentar, Obligationenrecht, Bd. I, 4. Aufl. 2007, N. 1 zu <ref-law>). Vorliegend ging es aber nicht um Trinkgelder an die Beschwerdeführerin persönlich, sondern um Geldspenden, die nach der Darstellung der Beschwerdeführerin als Wertschätzung und Dankbarkeit für einfühlsame Pflege und Begleitung im Sterben gedacht waren, als Linderung des erlittenen Leides auch der Pflegenden sowie zur Stärkung für die weitere gemeinsame Pflegetätigkeit. Die strittigen Geldspenden sollten mithin das Personal für geleisteten Einsatz belohnen und für künftigen stärken. Entsprechend waren die Geldbeträge gemäss der strittigen Weisung nicht etwa an den Arbeitgeber herauszugeben, sondern vielmehr in den Personalfonds einzulegen, der dem gesamten Personal zugute kommt. Die Weisung ordnet mithin nicht eine über <ref-law> hinausgehende Herausgabepflicht an den Arbeitgeber betreffend Geldbeträge an, die nicht für ihn bestimmt waren, sondern regelt das Vorgehen bei Geldspenden zuhanden des Personals. Sie verstösst damit nicht gegen <ref-law>.
Im Übrigen musste die Hausordnung vom 22. November 1982 und insbesondere die darin enthaltene Ziffer 13, wonach es dem gesamten Personal untersagt ist, irgendwelche Trinkgelder und Geschenke entgegenzunehmen, der Beschwerdeführerin nach den vorinstanzlichen Feststellungen spätestens nach der Stationsleiterinnen-Sitzung vom 31. Juli 1996 bekannt sein, ohne dass sie bei der Heimleitung dagegen remonstriert hätte. Ebenso wenig opponierte sie gemäss dem Stationsleiterinnen-Protokoll an dieser Sitzung, an der festgehalten wurde, dass es nur eine Personalkasse gebe und dass alle Geldspenden dort abgegeben werden müssten. Daraus durfte die Beschwerdegegnerin auf das Einverständnis der Beschwerdeführerin zum angeordneten Vorgehen schliessen.
Die Einwände der Beschwerdeführerin gegen die vom Obergericht angenommene Verletzung der Befolgungspflicht gegenüber der Weisung betreffend Geldspenden erweisen sich als unbegründet. Das Obergericht nahm diesbezüglich zu Recht eine Vertragsverletzung durch die Beschwerdeführerin an.
5. Des weiteren bleibt auch der Vorwurf aufrecht, dass die Beschwerdeführerin als leitende Angestellte ihre Treuepflicht (<ref-law>) gegenüber der Beschwerdegegnerin verletzte, indem sie ihre Untergebenen auf die von ihr behauptete Rechtswidrigkeit der Weisung hinwies und sie dadurch zumindest sinngemäss anhielt, die Weisung nicht einzuhalten, wobei erschwerend ins Gewicht fällt, dass sie ihre Untergebenen orientierte, ohne zuvor mit der Beschwerdegegnerin betreffend ihre abweichende Auffassung eine Lösung zu suchen.
Die Beschwerdeführerin hält diesem Vorwurf zu Unrecht entgegen, der Arbeitnehmer sei bloss bei einer unzweckmässigen Weisung verpflichtet, diesen Umstand dem Arbeitgeber anzuzeigen, nicht aber bei einer Rechtswidrigkeit der Weisung. Zwar trifft es zu, dass Staehelin an der vom Obergericht angegebenen Kommentarstelle lediglich die unzweckmässigen Weisungen behandelt. Dies erklärt sich aber ohne weiteres aus dem Zusammenhang. An der angegebenen Stelle führt Staehelin aus, bloss unzweckmässige Weisungen habe der Arbeitnehmer im Allgemeinen zu befolgen, da er gewöhnlich weder gehalten noch berechtigt sei, Weisungen auf ihre Zweckmässigkeit zu überprüfen. Erkenne er aber aufgrund seiner Erfahrung und seiner besonderen Kenntnisse die Unzweckmässigkeit einer Weisung, habe er dies dem Arbeitgeber aufgrund seiner Treuepflicht anzuzeigen (Abmahnungspflicht; Staehelin, a.a.O., N. 21 zu <ref-law>). Das bedeutet aber nicht, dass ein leitender Angestellter, der eine Weisung des Arbeitgebers für unrechtmässig hält, ohne Rücksprache mit dem Arbeitgeber einfach seinen Untergebenen seine eigene Rechtsauffassung kundtun und sie so indirekt zur Nichtbefolgung der Weisung anhalten darf. Das Obergericht hat in einem solchen Vorgehen der Beschwerdeführerin zu Recht eine Treuepflichtverletzung erkannt.
6. Die Beschwerdeführerin wirft den Vorinstanzen vor, <ref-law> und den Gehörsanspruch (<ref-law>) verletzt zu haben, indem sie über die Frage, ob die Beschwerdegegnerin von der Nichtbefolgung der strittigen Weisung gewusst habe, keine Beweise abgenommen bzw. eine entsprechende Gehörsverletzung verneint hätten.
Die Beschwerdeführerin hat sich nach dem Ausgeführten die Verletzung der arbeitsvertraglichen Pflichten vorwerfen zu lassen, mit denen die Beschwerdegegnerin die Kündigung begründete. Damit schloss das Obergericht eine missbräuchliche Kündigung grundsätzlich zutreffend aus (vgl. <ref-ruling> E. 2c). Die Beschwerdegegnerin warf der Beschwerdeführerin zu Recht zwei Pflichtverletzungen vor, die grundsätzlich je für sich allein eine missbräuchliche Kündigung ausschliessen, nämlich die Nichtbefolgung der Weisung und die Missachtung der Treuepflicht, indem die Beschwerdeführerin als leitende Angestellte ihre unterstellten Mitarbeiter zur Nichtbefolgung der Weisung anhielt. Es hilft der Beschwerdeführerin damit von vornherein nichts, wenn sie behauptet, die Beschwerdegegnerin habe von der Nichtbefolgung der Weisung durch sie gewusst bzw. wissen müssen und sie berufe sich in rechtsmissbräuchlicher Weise auf diese Pflichtverletzung als Kündigungsgrund, nachdem sie sie jahrelang geduldet habe. Denn dadurch wird nicht in Frage gestellt, dass die zweite, in der Verletzung der Treuepflicht liegende Pflichtverletzung die ausgesprochene Kündigung zu rechtfertigen vermag bzw. deren Missbräuchlichkeit ausschliesst. Bei dieser Sachlage durfte das Obergericht die Entscheiderheblichkeit der Frage nach dem Kenntnisstand der Beschwerdegegnerin über die Nichtbefolgung der Weisung seitens der Beschwerdeführerin und "damit zusammenhängend" nach dem "eigentliche(n) Motiv der Kündigung" verneinen. Da die betreffende Frage für den Entscheid nicht erheblich war, konnte das Obergericht auf ein Beweisverfahren dazu verzichten, ohne den Beweisführungsanspruch der Beschwerdeführerin nach <ref-law> und deren Gehörsanspruch (<ref-law>) zu verletzen. Beweis ist lediglich über erhebliche Tatsachen abzunehmen, nicht aber über solche, die nichts am Entscheid zu ändern vermöchten (vgl. betreffend <ref-law>: <ref-ruling> E. 2.3 S. 226, 545 E. 3.3.2; betreffend <ref-law>: <ref-ruling> E. 2 S. 242; <ref-ruling> E. 3c S. 2 f., je mit Hinweisen). Entgegen dem Vorwurf der Beschwerdeführerin hat das Obergericht nicht einem bestimmten Beweismittel von vornherein die Tauglichkeit abgesprochen, sondern den Umstand, den die Beschwerdeführerin beweisen wollte, in zutreffender rechtlicher Würdigung für nicht relevant betrachtet.
Nach dem Ausgeführten ist es auch nicht zu beanstanden, dass das Kassationsgericht eine Gehörsverletzung durch das Obergericht verneinte, weil dieses die angebotenen Beweise mangels Erheblichkeit der damit zu beweisenden Behauptungen nicht abnahm, wobei das Kassationsgericht nicht prüfen konnte, ob das Obergericht die Erheblichkeit zu Recht verneint hatte (<ref-law>/ZH).
Nicht verständlich ist der in diesem Zusammenhang weiter erhobene Vorwurf willkürlicher Beweiswürdigung. Dass das Obergericht die Weisung betreffend die Geldspenden als rechtmässig qualifizierte und das Wissen der Beschwerdegegnerin über die Nichtbefolgung der Weisung als unerheblich betrachtete, ist das Ergebnis einer rechtlichen Beurteilung und nicht einer Beweiswürdigung. Entsprechend konnte auch das Kassationsgericht keine einseitige und willkürliche Beweiswürdigung erkennen. Die Rüge einer Verletzung des Willkürverbots geht fehl.
7. Schliesslich macht die Beschwerdeführerin betreffend den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts und das Obergerichtsurteil Willkür in der Anwendung kantonalen Rechts (§ 181 GVG/ZH und <ref-law>/ZH) geltend.
7.1 Das Obergericht hob mit Beschluss vom 21. Dezember 2006 auf Berufung der Beschwerdeführerin hin ein erstes Urteil des Bezirksgerichts vom 24. April 2002 (in den Dispositiv-Ziffern 2-7) auf, weil dieses die Replikschrift der Beschwerdeführerin zu Unrecht aus dem Recht gewiesen hatte. Das Obergericht wies daher die Sache zur Vervollständigung des Verfahrens und zu neuem Entscheid an das Bezirksgericht zurück. Die Kosten für dieses Berufungsverfahren setzte es auf Fr. 2'093.-- fest. Über deren Verteilung und über die Entschädigungen für das Berufungsverfahren hatte das Bezirksgericht zu befinden. Das Bezirksgericht auferlegte der Beschwerdeführerin in seinem neuen Entscheid vom 21. August 2007 sämtliche Kosten, auch diejenigen des obergerichtlichen Verfahrens. Ebenso verpflichtete es die Beschwerdeführerin, die Beschwerdegegnerin auch für das obergerichtliche Verfahren zu entschädigen (Dispositiv-Ziffern 3 und 4).
Das Obergericht schützte diese Kosten- und Entschädigungsregelung mit der Begründung, es habe sich ergeben, dass die Beschwerdeführerin ihre Wohn- und Aufenthaltsverhältnisse nicht immer im Sinne von § 181 GVG/ZH offengelegt habe. Insbesondere habe sie Änderungen ihres gewöhnlichen Aufenthaltsortes während des Prozesses nicht unverzüglich angezeigt. Aus diesem Grund sei ihr eine Prozesskaution auferlegt worden, die sie rechtzeitig geleistet habe. Die Pflicht zur sofortigen Meldung gemäss § 181 GVG/ZH gelte auch für Parteien, die im Sinne von <ref-law>/ZH in der Schweiz einen Zustellungsempfänger bezeichnet hätten. <ref-law>/ZH sei eine Kann-Vorschrift, weshalb direkte Zustellungen an die im Ausland wohnhafte Partei nicht a priori ungültig seien. Die vom Bezirksgericht auf dem Postweg vorgenommene Zustellung an die damals von der Beschwerdeführerin genannte Aufenthaltsadresse in Italien wäre gültig erfolgt, wenn sie die Empfängerin tatsächlich erreicht hätte. Inzwischen habe sich ergeben, dass die Beschwerdeführerin seit dem 1. Januar 1991 ununterbrochen an ihrer heutigen Wohnadresse, Y._weg, Z._, angemeldet gewesen sei.
Das Kassationsgericht erwog, die Tatsache, dass die Beschwerdeführerin seit Beginn des Prozesses an ihrem heutigen Wohnsitz in Z._ angemeldet gewesen sei, ändere nichts daran, dass sie bei Einleitung des Prozesses und noch während längerer Zeit eine Adresse in Italien verzeigt habe. Die daraus entstandenen Umtriebe bei der Zustellung gerichtlicher Urkunden (insbesondere die offen gebliebene Zustellung einer Fristerstreckungsverfügung in Italien, welche zur Rückweisung der Sache an die erste Instanz geführt habe) habe insofern sie zu vertreten. Auch sei die Auffassung vertretbar, dass die Pflicht zur sofortigen Meldung gemäss § 181 GVG/ZH auch für Parteien gelte, die im Sinne von <ref-law>/ZH in der Schweiz einen Zustellungsempfänger bezeichnet hätten. Unter diesen Umständen sei es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanzen der Beschwerdeführerin sämtliche Kosten auferlegt hätten (<ref-law>/ZH).
7.2 § 181 GVG/ZH schreibt vor, dass eine Partei Änderungen ihres gewöhnlichen Aufenthaltsortes während eines gerichtlichen Verfahrens unverzüglich anzuzeigen hat. Nach <ref-law>/ZH kann eine Partei, an die im Inland keine Zustellungen möglich sind, verpflichtet werden, in der Schweiz einen Zustellungsempfänger zu bezeichnen. Hat eine Partei unnötigerweise Kosten verursacht, werden sie ihr ohne Rücksicht auf den Ausgang des Prozesses auferlegt (<ref-law>/ZH).
Nach den Feststellungen der Vorinstanzen ist die Beschwerdeführerin der in § 181 GVG/ZH statuierten Pflicht zur unverzüglichen Meldung von Änderungen ihres gewöhnlichen Aufenthaltsortes nicht nachgekommen. Die Auffassung der Vorinstanzen, diese Pflicht gelte auch für Parteien, die ein Zustellungsdomizil in der Schweiz bezeichnet hätten, ist entgegen der Beschwerdeführerin nicht geradezu willkürlich. Sie lässt sich vertreten, da diese Pflicht nicht allein korrekte Zustellungen ermöglichen soll, sondern auch in anderem Zusammenhang relevant sein kann, wie etwa für die Frage einer Kautionierung, wie sie in casu denn auch verfügt wurde. Ebenso bleibt sie im Hinblick auf die Möglichkeit direkter Zustellungen an die ausländische Adresse bei Zustellungsdomizil in der Schweiz von Belang (vgl. dazu unten).
Wie die Beschwerdeführerin zutreffend darlegt, räumt die als Kann-Vorschrift formulierte Bestimmung von <ref-law>/ZH dem Gericht Ermessen ein, ob sie eine Partei, an die im Inland keine Zustellungen möglich sind, verpflichten will, in der Schweiz einen Zustellungsempfänger zu bezeichnen oder nicht. Wenn die Partei einen Zustellungsempfänger bezeichnet hat, erfolgen grundsätzlich sämtliche gerichtliche Zustellungen an diese Adresse mit den entsprechenden Folgen (vgl. für die Parallelbestimmung von <ref-law>/CH REMO BORNATICO, Basler Kommentar, Zivilprozessordnung, 2010, N. 7 zu <ref-law>/CH). Die Auffassung des Obergerichts, dass auch bei Bezeichnung eines Zustellungsempfängers in der Schweiz direkte Zustellungen an die im Ausland wohnhafte Person möglich bleiben und nicht a priori ungültig sind, lässt sich vertreten und erscheint unter Willkürgesichtspunkten haltbar. Da vorliegend eine direkt an die angegebene Adresse in Italien zugestellte, einem Fristerstreckungsbegehren für die Replik nicht vollumfänglich entsprechende Fristerstreckungsverfügung die Beschwerdeführerin aber nicht erreichte, liess das Obergericht deren Replik zu, obwohl diese nicht innerhalb der bewilligten Frist eingereicht worden war. Der Beschwerdeführerin ist somit ohnehin kein Rechtsnachteil erwachsen. Da sie aber ihrer Pflicht zur sofortigen Meldung von Änderungen des Aufenthaltsortes nicht nachgekommen war, erscheint es nicht geradezu willkürlich, wenn die Vorinstanzen ihr die daraus entstandenen Umtriebe bei der Zustellung gerichtlicher Urkunden anlasteten und ihr - trotz Obsiegens betreffend die Zulassung der Replik - im Sinne von <ref-law>/ZH die Kosten für das erste Berufungsverfahren auferlegten. Ohnehin fehlt es an einer Willkürrüge betreffend die Anwendung von <ref-law>/ZH. Die Beschwerdeführerin trägt konkret bezogen auf die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen nichts vor. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Verfassungsrecht aber nur, wenn entsprechende Rügen erhoben und hinlänglich begründet werden (<ref-law>).
8. Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG). Entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin kommt betreffend die Höhe der Gerichtsgebühr <ref-law> nicht zur Anwendung. Der Streitwert für die in <ref-law> genannte Grenze berechnet sich nicht nach den Grundsätzen des BGG, sondern nach den Regeln von <ref-law>. Massgebend ist somit weder der vor Bundesgericht noch der vor der letzten kantonalen Instanz streitige Betrag. Vielmehr ist auf den Streitwert im Zeitpunkt der Rechtshängigkeit vor erster Instanz abzustellen (<ref-ruling> E. 5b S. 41; Thomas Geiser, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 22 zu <ref-law>; Bernard Corboz, in: Corboz et al. [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2009, N. 31 zu <ref-law>). Dieser überstieg mit unbestrittenen rund Fr. 35'000.-- die Grenze von Fr. 30'000.-- nach <ref-law>.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Januar 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Widmer