Faits:
A.
Z._ (ci-après: l'employé), qui travaillait à plein temps au service de X._ SA (ci-après: l'employeuse) depuis le 1er octobre 2011, a reçu son congé pour le 31 mars 2012. Cette échéance a été reportée au 30 avril 2012 en raison de la maladie de l'employé. Par courrier du 21 mars 2012, l'employeuse a résilié les rapports de travail avec effet immédiat.
B.
B.a. Le 12 mars 2012, Z._ a saisi la Chambre de conciliation du Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers d'une requête tendant à la condamnation de l'employeuse à lui verser des salaires (4'500 fr. net pour mars 2012 et 3'700 fr. brut pour avril 2012) et une indemnité pour licenciement abusif (24'000 fr.). Une autorisation de procéder lui a été délivrée le 26 avril 2012.
L'employé a ensuite déposé devant ledit tribunal régional un acte qui ne répondait pas aux exigences de forme, de sorte qu'il a dû réitérer sa démarche par le dépôt d'une demande le 22 juin 2012, en concluant à ce que l'employeuse défenderesse soit condamnée à lui payer les montants susmentionnés. La défenderesse ayant conclu à l'irrecevabilité de la demande, le tribunal a rendu une décision incidente qui rejetait la requête de celle-ci. Le 5 mars 2013, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a admis l'appel formé par la défenderesse contre cette décision et déclaré irrecevable la demande du 22 juin 2012.
Le 9 avril 2013, Z._ a saisi le tribunal régional d'une nouvelle demande tendant à la condamnation de la défenderesse à lui payer le montant brut de 9'323 fr.85, avec intérêts, et la somme nette de 11'100 fr. avec intérêts. Parallèlement, il a demandé le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Le tribunal régional a signalé aux parties, par lettre du 15 mai 2013, que les conclusions de l'acte du 9 avril 2013 ne correspondaient pas à celles soumises à la Chambre de conciliation, résumées dans l'autorisation de procéder délivrée par cette autorité; la défenderesse était invitée à déposer une réponse limitée à cette question.
Le 22 mai 2013, la défenderesse a conclu à l'irrecevabilité de la demande. Le même jour, elle a saisi le tribunal régional d'une requête tendant à obtenir des sûretés de la part du demandeur en garantie du paiement des dépens.
B.b. Par ordonnance du 24 juin 2013, le tribunal régional a rejeté la requête d'assistance judiciaire du demandeur. Cette autorité a considéré que la demande était dépourvue de chances de succès en raison de l'absence d'identité entre l'objet du litige ayant donné lieu à l'autorisation de procéder du 26 avril 2012 et la demande du 9 avril 2013, laquelle tendait à obtenir des prestations fondées sur un licenciement immédiat non justifié du contrat de travail.
B.c. Faisant valoir notamment qu'à l'audience de conciliation du 26 avril 2012 les parties avaient évoqué tant le premier licenciement que le second (signifié le 21 mars 2012), le demandeur a saisi l'Autorité de recours en matière civile du Tribunal cantonal neuchâtelois d'un recours contre cette ordonnance, concluant à son annulation et à l'octroi de l'assistance judiciaire en sa faveur avec désignation d'une avocate d'office.
L'autorité précitée a statué par arrêt du 17 septembre 2013. Elle a estimé que les conditions d'une modification de la demande, au sens de l'<ref-law>, étaient réunies, la défenderesse ayant donné son accord par acte concluant. Cette dernière avait en effet mentionné le second licenciement dans ses observations écrites du 26 mars 2012 en procédure de conciliation. Les juges cantonaux ont aussi retenu que cette modification de la demande était admissible au regard de l'<ref-law>. L'autorité cantonale a ainsi admis le recours du demandeur, annulé l'ordonnance du 24 juin 2013 et, statuant elle-même, accordé à celui-ci l'assistance judiciaire pour le procès contre la défenderesse, désignant Me Tania De Luca en qualité d'avocate d'office.
Par erreur, cet arrêt a été notifié à la défenderesse directement, et non pas à son mandataire. Par lettre du 18 octobre 2013, ce dernier a interpellé l'autorité précitée, se plaignant de n'avoir pas été invité à se déterminer sur le recours du demandeur dont le conseil de celui-ci lui avait adressé copie.
En annexe à une lettre du 25 octobre 2013, l'Autorité de recours en matière civile a procédé à la notification de son arrêt du 17 septembre 2013 à l'avocat de la défenderesse.
C.
X._ SA exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 17 septembre 2013, concluant principalement à son annulation et au refus de l'assistance judiciaire au demandeur, subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité inférieure. Elle soutient que la mise au bénéfice de l'assistance judiciaire du demandeur lui cause un préjudice irréparable. Elle se plaint d'une violation de son droit d'être entendue et d'une transgression de diverses règles de procédure civile.
L'intimé propose l'irrecevabilité du recours, subsidiairement son rejet en tant qu'il est recevable.
Tout en se référant à son arrêt, l'autorité cantonale ne se détermine pas.

Considérant en droit:
1.
1.1. Selon la jurisprudence, le refus d'assistance judiciaire est une décision incidente au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4 p. 338; <ref-ruling> consid. 1.1), tout comme l'octroi de l'assistance judiciaire (arrêt 4A_366/2013 du 20 décembre 2013 consid. 3), ces décisions s'inscrivant dans les mesures nécessaires à la conduite du procès ( FRANK EMMEL, in Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm et al. [éd], 2e éd. 2013, n ° 14 ad <ref-law>). L'arrêt attaqué ne porte ni sur la compétence, ni sur la composition de l'autorité précédente (cf. <ref-law>). Par ailleurs, l'admission du recours ne permettrait pas de rendre une décision finale sur le litige au fond (cf. <ref-law>). Un recours immédiat n'est donc recevable in casu que si la décision est susceptible de causer un préjudice irréparable à la recourante (<ref-law>). La pratique exige du recourant qu'il allègue et établisse la possibilité que la décision incidente lui cause un dommage irréparable, à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 632).
1.2. Pour définir cette notion, la jurisprudence a repris les principes développés sous l'art. 87 al. 2 OJ à propos du recours de droit public (<ref-ruling> consid. 1.3). Est irréparable le préjudice de nature juridique, qui ne pourra pas être réparé ultérieurement par une décision finale favorable au recourant (<ref-ruling> consid. 1.3.1). Les sûretés en garantie des dépens constituent une protection légalement prévue par les art. 99 à 101 CPC en faveur de la partie attraite en justice par une autre partie. Le Tribunal fédéral a déjà reconnu que le déni total ou partiel de cette protection, résultant d'une décision incidente refusant les sûretés ou ordonnant un montant insuffisant, est un préjudice juridique auquel même une décision finale favorable à la partie attraite n'apportera pas de remède (arrêts 4A_290/2013 du 30 juillet 2013 consid. 1; 4A_290/2008 du 4 mai 2009 consid. 3.3). En l'espèce, l'arrêt entrepris n'a pas statué sur la requête de sûretés en garantie du paiement des dépens déposée par la recourante. Toutefois, dans la mesure où il a accordé au demandeur l'assistance judiciaire, ladite requête de la défenderesse a perdu son objet en vertu de l'<ref-law>. Dans ses conséquences pour les droits de la recourante, il a donc des effets similaires à ceux d'un rejet total. Nonobstant l'opinion différente de l'intimé, le recours est donc recevable au regard de l'<ref-law>.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont par ailleurs satisfaites.
2.
La recourante soutient que l'autorité précédente a violé son droit d'être entendue. Il convient de traiter ce grief en premier lieu, dès lors qu'il porte sur des droits de nature formelle dont la violation entraîne l'annulation de l'acte attaqué indépendamment des chances de succès du recours sur le fond (cf. <ref-ruling> consid. 3d/aa p. 437).
2.1. Aux termes de l'art. 117 let. a et b CPC, un plaideur a le droit d'obtenir l'assistance judiciaire s'il ne dispose pas de ressources suffisantes (let. a) et que sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b). Le tribunal saisi ou le juge délégué se prononce en procédure sommaire (<ref-law>). En règle générale, le plaideur qui requiert l'assistance judiciaire a seul qualité de partie dans la procédure incidente y relative, à l'exclusion de son adversaire dans le procès civil principal (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 342). La partie adverse dans le procès principal a cependant aussi qualité de partie dans la procédure incidente lorsqu'elle requiert des sûretés en garantie des dépens, exigibles aux conditions fixées par l'<ref-law>, parce que, le cas échéant, l'octroi de l'assistance judiciaire fera échec à cette requête en vertu de l'<ref-law>. C'est pourquoi l'<ref-law> prévoit que la partie adverse doit « toujours » être entendue dans la procédure incidente lorsqu'elle requiert des sûretés en garantie du paiement des dépens (arrêt 4A_366/2013 du 20 décembre 2013 consid. 3; ALFRED BÜHLER, in Berner Kommentar, 2012, n° 120 ad <ref-law> et n° 5 ad <ref-law>; VIKTOR RÜEGG, in Basler Kommentar, 2e éd. 2013, n° 9 ad <ref-law>). Cette règle s'applique, à tout le moins par analogie, également en deuxième instance ( BÜHLER, op. cit., n° 21 ad <ref-law>; DENIS TAPPY, in Code de procédure civile commenté, Bohnet et al. [éd], 2011, n° 11 ad <ref-law>).
2.2. En l'espèce, l'autorité cantonale n'a pas notifié à la recourante, pour qu'elle se détermine, le recours que l'intimé a formé contre la décision de rejet de sa requête d'assistance judiciaire, quand bien même ce recours n'était pas manifestement irrecevable ou infondé (<ref-law>). Ce faisant, elle a violé le droit d'être entendu de la recourante.
Certes, l'intimé avait adressé copie de son recours directement au mandataire de la recourante le 5 juillet 2013, comme ce conseil le reconnaît dans sa lettre à l'Autorité de recours en matière civile du 18 octobre 2013. Cependant, on ne saurait exiger d'une partie dans cette situation qu'elle se détermine spontanément sur le recours ou alors qu'elle sollicite un délai à cette fin (<ref-ruling> consid. 2.2). Du moment que l'autorité cantonale n'avait pas satisfait aux exigences légales, une telle réaction ne s'imposait pas à bref délai en vertu du principe de la bonne foi applicable en procédure (<ref-law>). Au surplus, la cour cantonale devait procéder à l'examen prima facie du recours pour contrôler s'il n'était pas manifestement irrecevable ou infondé (cf. <ref-law>). De surcroît, ledit recours avait été déposé peu avant les féries judiciaires de l'<ref-law>. La recourante n'agit donc pas contrairement aux règles de la bonne foi en invoquant la violation - avérée - de son droit d'être entendue seulement une fois la cause jugée.
3.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être admis et l'arrêt attaqué doit être annulé, la cause étant renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision, sans qu'il y ait lieu d'examiner les mérites des autres griefs soulevés. Les frais judiciaires sont mis à la charge de l'intimé, qui a conclu au rejet du recours (<ref-law>). L'intimé versera à la recourante une indemnité à titre de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera à la recourante une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à l'Autorité de recours en matière civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 13 mars 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet