Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Der seit 1982 mit B.C._ kinderlos verheiratete A.C._ wurde im Jahr 1988 Direktor einer öffentlichen Anstalt in Bern. Dort war er in der Folge als Wochenaufenthalter gemeldet und mietete er eine unmöblierte 3-Zimmer-Wohnung. In X._ ZH war er zusammen mit seiner im Kanton Zürich ebenfalls unselbständig erwerbstätigen Gattin Eigentümer einer 5 1/2-Zimmer-Wohnung und unbeschränkt steuerpflichtig.
Mit Domizilentscheid vom 11. Juni 2001 verfügte die Steuerverwaltung des Kantons Bern, dass das Hauptsteuerdomizil von A.C._ sich ab dem 1. Januar 2001 an seinem Arbeitsort befinde, mit folgender Begründung: Der Pflichtige bekleide eine leitende Stellung in einem bedeutenden Berner Unternehmen. Für sein Erwerbseinkommen und sein bewegliches Vermögen sei er deswegen je hälftig in den Kantonen seines Arbeitsortes und seines Familienwohnsitzes zu besteuern. Diese Domizilverfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
Mit Einschätzungsentscheid vom 24. September 2002 hielt der Kanton Zürich für die Staats- und Gemeindesteuer 2001 an seiner ungeteilten Steuerhoheit gegenüber beiden Ehepartnern C._ fest, wogegen diese erfolglos Einsprache erhoben.
Mit Einschätzungsentscheid vom 24. September 2002 hielt der Kanton Zürich für die Staats- und Gemeindesteuer 2001 an seiner ungeteilten Steuerhoheit gegenüber beiden Ehepartnern C._ fest, wogegen diese erfolglos Einsprache erhoben.
B. Am 31. Dezember 2002 haben A. und B.C._ beim Bundesgericht Doppelbesteuerungsbeschwerde eingereicht. Sie beantragen, die aus dem Zürcher Einspracheentscheid vom 5. Dezember 2002 und dem Berner Steuerdomizilentscheid vom 11. Juni 2001 entstandene interkantonale Doppelbesteuerung zu beseitigen und festzustellen, dass den beteiligten Kantonen für die Einkünfte und das bewegliche Vermögen (inkl. Erträge) des Ehemannes eine geteilte Steuerhoheit zukomme; insoweit sei eine hälftige Steueraufteilung vorzunehmen. Allfällig zu viel bezahlte Steuerbeträge seien mit Verzugszins zurückzuerstatten.
Das Kantonale Steueramt Zürich schliesst in seiner Vernehmlassung vom 25. Februar 2003 auf Abweisung der Beschwerde, soweit sie sich gegen den Kanton Zürich richtet.
In ihrer Stellungnahme vom 23. Juni 2003 stellt die Steuerverwaltung des Kantons Bern den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Eventualiter sei das bundesgerichtliche Verfahren zwecks zusätzlicher Abklärungen zu sistieren. Vom Beschwerdeführer zuvor gemachte (und dem Berner Domizilentscheid zu Grunde liegende) Angaben hätten sich als unzutreffend erwiesen. Namentlich könne seit mehreren Jahren von einer regelmässigen Rückkehr nach X._ keine Rede mehr sein. Zumindest seit dem Jahr 1998 müsse von einer nicht nur hälftigen, sondern vollumfänglichen Steuerhoheit des Kantons Bern gegenüber dem Erwerbseinkommen und dem beweglichen Vermögen des Beschwerdeführers ausgegangen werden.
In einer daraufhin vom Instruktionsrichter der II. öffentlichrechtlichen Abteilung ermöglichten zweiten Stellungnahme halten die Beschwerdeführer sowie das Kantonale Steueramt Zürich an ihren jeweiligen Standpunkten fest.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Bei staatsrechtlichen Beschwerden wegen Verletzung des Doppelbesteuerungsverbots (<ref-law> bzw. Art. 46 Abs. 2 aBV) muss der kantonale Instanzenzug nicht ausgeschöpft werden (Art. 86 Abs. 2 OG). Vorliegend ist schon der Einspracheentscheid der Zürcher Steuerbehörden vor Bundesgericht angefochten worden. Das ist zulässig. Aus Art. 86 Abs. 2 OG ergibt sich im Übrigen folgendes:
1.1.1 Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wegen Verletzung des Gesetzes über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden vom 14. Dezember 1990 (StHG; SR 642.14) kommt hier nicht in Betracht. Zwar könnte sich fragen, ob dieses Rechtsmittel seit Inkrafttreten des Steuerharmonisierungsgesetzes auch auf dem Gebiet der interkantonalen Doppelbesteuerung zu ergreifen ist, namentlich auf Grund der in Art. 3 StHG einheitlich geregelten unbeschränkten Steuerpflicht natürlicher Personen (vgl. insb. den Wohnsitzbegriff in Art. 3 Abs. 2 StHG). Indessen sieht Art. 73 StGH die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nur gegenüber letztinstanzlichen kantonalen Entscheiden vor und hat das Steuerharmonisierungsgesetz Art. 86 Abs. 2 OG nicht ausser Kraft gesetzt. Vorliegend steht somit weiterhin - und ausschliesslich - die staatsrechtliche Beschwerde offen (vgl. Danielle Yersin, Harmonisation fiscale: La dernière ligne droite, ASA 69 328; Peter Locher, Einführung in das interkantonale Steuerrecht, 2. Aufl., Bern 2003, S. 163; a.M. u.a. Ernst Höhn/Peter Mäusli, Interkantonales Steuerrecht, 4. Aufl., Bern 2000, S. 564 ff.)
1.1.2 Da gemäss Art. 86 Abs. 2 OG der kantonale Instanzenzug bei Doppelbesteuerungsbeschwerden nicht durchlaufen werden muss, können neue tatsächliche und rechtliche Vorbringen vor Bundesgericht berücksichtigt werden (vgl. ASA 57 523 E. 1a mit Hinweis; Locher, a.a.O., S. 159 u. 171).
1.2 Mit der Doppelbesteuerungsbeschwerde gegen die Steuerveranlagung des zweitverfügenden Kantons kann innert der Beschwerdefrist auch die bereits rechtskräftige Steuerveranlagung des erstverfügenden Kantons angefochten werden (Art. 89 Abs. 3 OG). Deshalb kann hier mit dem Zürcher Einspracheentscheid der Besteuerungsanspruch des Kantons Bern ebenfalls vollumfänglich überprüft werden, obwohl der dort (vor der Zürcher Veranlagung) ergangene Steuerdomizilentscheid unangefochten in Rechtskraft erwachsen ist (vgl. StE 2002 A 24.21 13 E. 1b-c mit weiteren Hinweisen).
1.3 Die staatsrechtliche Beschwerde ist grundsätzlich kassatorischer Natur (<ref-ruling> E. 1b S. 107; <ref-ruling> E. 5a S. 96). Eine Ausnahme besteht bei staatsrechtlichen Beschwerden wegen Verletzung des Doppelbesteuerungsverbots (<ref-law> bzw. Art. 46 Abs. 2 aBV); das Bundesgericht kann zusammen mit der Aufhebung des kantonalen Hoheitsaktes eine Feststellung treffen und den beteiligten Kantonen eine verbindliche Weisung hinsichtlich der verfassungskonformen Steuerausscheidung erteilen (<ref-ruling> E. 1c S. 46, bestätigt mit Urteil vom 26. September 1997 i.S. H., E. 1b, publiziert in Pra 87/1998 Nr. 33 S. 234; vgl. auch Walter Kälin, Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, 2. Auflage, Bern 1994, S. 402). Die Anträge der Beschwerdeführer sind daher grundsätzlich zulässig, auch wenn darin mehr verlangt wird als die Aufhebung des angefochtenen Entscheides.
Nicht einzutreten ist auf die vorliegende Beschwerde insoweit, als eine Rückerstattung "samt Verzugszinsen" verlangt wird. Zum einen ist das Rückerstattungsbegehren nicht genügend substantiiert; aus den Ausführungen des Beschwerdeführers wird nicht einmal deutlich, ob er überhaupt in einem der beiden Kantone für die interessierende Periode schon Steuern bezahlt hat. Zum andern ist ein etwaiger Anspruch auf Verzinsung von zuviel bezahlten Staats- und Gemeindesteuern nicht im Doppelbesteuerungsverbot begründet. Er richtet sich vielmehr nach dem kantonalen Recht. Er kann vor Bundesgericht nur mit normaler staatsrechtlicher Beschwerde geltend gemacht werden, was aber voraussetzt, dass der kantonale Instanzenzug ausgeschöpft wird; das ist hier nicht geschehen (Art. 86 Abs. 1 OG; StE 2002 A 24.32 6 E. 1b u. 2a; 2001 A 24.35 2 E. 1b; Locher/Locher, Die Praxis der Bundessteuern, III. Teil: Interkantonale Doppelbesteuerung, § 12, III C, 2, Nr. 8).
Nicht einzutreten ist auf die vorliegende Beschwerde insoweit, als eine Rückerstattung "samt Verzugszinsen" verlangt wird. Zum einen ist das Rückerstattungsbegehren nicht genügend substantiiert; aus den Ausführungen des Beschwerdeführers wird nicht einmal deutlich, ob er überhaupt in einem der beiden Kantone für die interessierende Periode schon Steuern bezahlt hat. Zum andern ist ein etwaiger Anspruch auf Verzinsung von zuviel bezahlten Staats- und Gemeindesteuern nicht im Doppelbesteuerungsverbot begründet. Er richtet sich vielmehr nach dem kantonalen Recht. Er kann vor Bundesgericht nur mit normaler staatsrechtlicher Beschwerde geltend gemacht werden, was aber voraussetzt, dass der kantonale Instanzenzug ausgeschöpft wird; das ist hier nicht geschehen (Art. 86 Abs. 1 OG; StE 2002 A 24.32 6 E. 1b u. 2a; 2001 A 24.35 2 E. 1b; Locher/Locher, Die Praxis der Bundessteuern, III. Teil: Interkantonale Doppelbesteuerung, § 12, III C, 2, Nr. 8).
2. 2.1 Eine gegen <ref-law> verstossende Doppelbesteuerung liegt vor, wenn eine steuerpflichtige Person von zwei oder mehreren Kantonen für das gleiche Steuerobjekt und für die gleiche Zeit zu Steuern herangezogen wird (aktuelle Doppelbesteuerung) oder wenn ein Kanton in Verletzung der geltenden Kollisionsnormen seine Steuerhoheit überschreitet und eine Steuer erhebt, die einem andern Kanton zusteht (virtuelle Doppelbesteuerung). Ausserdem darf ein Kanton eine steuerpflichtige Person grundsätzlich nicht deshalb stärker belasten, weil sie nicht in vollem Umfang seiner Steuerhoheit untersteht, sondern zufolge ihrer territorialen Beziehungen auch noch in einem anderen Kanton steuerpflichtig ist (Schlechterstellungsverbot; vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 42; <ref-ruling> E. 2a S. 130; <ref-ruling> E. 2 S. 518; <ref-ruling> E. 2a S. 265).
2.2 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu <ref-law> ist der steuerrechtliche Wohnsitz (Steuerdomizil) einer unselbständig erwerbenden Person derjenige Ort, wo sich die Person mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält (vgl. auch Art. 3 Abs. 2 StHG, Art. 3 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11] und <ref-law>) bzw. wo sich der Mittelpunkt ihrer Lebensinteressen befindet (<ref-ruling> E. 2a S. 293; Urteil vom 20. Januar 1994, E. 2a, StR 49 580 ff. und ASA 63 836). Dem polizeilichen Domizil, wo die Schriften hinterlegt sind oder die politischen Rechte ausgeübt werden, kommt dagegen keine entscheidende Bedeutung zu. Das sind bloss äussere Merkmale, die ein Indiz für den steuerrechtlichen Wohnsitz bilden können, wenn auch das übrige Verhalten der Person dafür spricht (<ref-ruling> E. 5a S. 255; <ref-ruling> E. 2a S. 293 f.; ASA 63 836 E. 2a). Wenn sich eine Person abwechslungsweise an zwei Orten aufhält, namentlich wenn ihr Arbeitsort und ihr sonstiger Aufenthaltsort auseinanderfallen, ist für die Bestimmung des Steuerwohnsitzes darauf abzustellen, zu welchem Ort sie die stärkeren Beziehungen unterhält (<ref-ruling> E. 4a S. 559 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 266; <ref-ruling> E. 2b S. 294, 125 I 54 E. 2a S. 56). Bei unselbständig erwerbenden Steuerpflichtigen ist das gewöhnlich der Ort, wo sie für längere oder unbestimmte Zeit Aufenthalt nehmen, um von dort aus der täglichen Arbeit nachzugehen, ist doch der Zweck des Lebensunterhalts dauernder Natur (<ref-ruling> E. 2b S. 56 ff.; ASA 63 836 E. 2a; ferner Locher/Locher, a.a.O., § 3 I 2b Nr. 7, 11, 17, 18, 19). Der Mittelpunkt der Lebensinteressen bestimmt sich für die Steuerhoheit nach der Gesamtheit der objektiven, äusseren Umstände, aus denen sich diese Interessen erkennen lassen, nicht nach den bloss erklärten Wünschen der steuerpflichtigen Person. Auf die gefühlsmässige Bevorzugung eines Ortes kommt es nicht an; der Steuerwohnsitz ist insofern nicht frei wählbar (<ref-ruling> E. 3 S. 466; <ref-ruling> E. 2b S. 294). Die Frage, zu welchem der Aufenthaltsorte die steuerpflichtige Person die stärkeren Beziehungen unterhält, ist jeweils auf Grund der Gesamtheit der Umstände des Einzelfalles zu beurteilen.
Bei verheirateten Personen mit Beziehungen zu mehreren Orten werden die persönlichen und familiären Kontakte zum Ort, wo sich ihre Familie (Ehegatte und Kinder) aufhält, als stärker erachtet als diejenigen zum Arbeitsort, wenn sie in nichtleitender Stellung unselbständig erwerbstätig sind und täglich oder an den Wochenenden (d.h. regelmässig) an den Familienort zurückkehren. Demnach unterstehen verheiratete Pendler oder Wochenaufenthalter grundsätzlich ausschliesslich der Steuerhoheit desjenigen Kantons, in dem sich ihre Familie aufhält (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 56 f.; ASA 63 836 E. 2; Locher/Locher, a.a.O., § 3 I B 2a, Nr. 2, 5, 9, 10, 15, 17, 18). Hingegen wird eine überwiegende Beziehung zum Arbeitsort angenommen, wenn sie in leitender Stellung tätig sind (vgl. unten E. 2.3) oder nicht regelmässig an den Familienort zurückkehren (siehe E. 2.4; vgl. zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2b/aa S. 56 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 16 unten; <ref-ruling> E. 4a S. 560; StE 2002 A 24.21 13 E. 2; Locher/Locher, a.a.O., § 3 I B 2a Nr. 13 und § 3 I B 1b Nrn. 3 - 18).
2.3 Gemäss ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist von einer leitenden Stellung eines Steuerpflichtigen dann auszugehen, wenn die berufliche Tätigkeit diesen so stark beansprucht, dass die familiären und sozialen Beziehungen in den Hintergrund treten, obgleich er mehrmals oder zumindest einmal in der Woche zu seiner Familie zurückkehrt. Dies ist dann zu vermuten, wenn der Steuerpflichtige eine besondere Verantwortung trägt und einem bedeutenden Unternehmen mit zahlreichem Personal vorsteht (<ref-ruling> E. 2d S. 468; <ref-ruling> E. 3c S. 268;<ref-ruling> E. 4 S. 559 ff.; Locher/Locher, a.a.O., § 3 I B 2a Nr. 13; § 3 I B 1b Nr. 3 -18; NStP 56, 82 E. 2-3, je mit weiteren Hinweisen), so etwa beim Direktor einer Maschinenfabrik (Locher/ Locher, a.a.O., § 3 I B 1b Nr. 3), beim Stellvertreter des Chefingenieurs einer Kohlenmine (Locher/Locher, a.a.O., § 3 I B 1b Nr. 5), beim Geschäftsführer eines Bergwerks, dem zeitweise 400 Personen unterstanden (Locher/Locher, a.a.O., § 3 I B 1b Nr. 8), bei einem technischen Direktor mit 130-140 Untergebenen (Locher/Locher, a.a.O., § 3 I B 1b Nr. 10) sowie beim Präsidenten der Generaldirektion der Schweizerischen Bundesbahnen (Locher/Locher, a.a.O., § 3 I B 3 Nr. 15; NStP 33, 50). Dagegen verneinte das Bundesgericht eine leitende Stellung beim Leiter einer Kollektivgesellschaft mit 6 bis 8 Arbeitern (Locher/Locher, a.a.O., § 3 I B 1b Nr. 11) sowie beim Verwaltungsrat und Delegierten einer Unternehmung mit ungefähr 40 Angestellten (Locher/Locher, a.a.O., § 3 I B 1b Nr. 16; ZBl 81, 452).
2.4 Bei verheirateten Personen gilt grundsätzlich die Ehegattenbesteuerung. Sofern sie in rechtlich und tatsächlich ungetrennter Ehe leben, wird ihr Einkommen ohne Rücksicht auf den Güterstand zusammengerechnet (vgl. <ref-law>; Art. 3 Abs. 3 StHG).
2.4.1 In der Regel haben Ehegatten ein gemeinsames Steuerdomizil. Nach altem Recht hatte die Ehefrau nur in Ausnahmefällen einen selbständigen, im Normalfall jedoch einen vom Wohnsitz des Ehemannes abgeleiteten Wohnsitz (Art. 25 Abs. 1 aZGB). Mit dem Inkrafttreten des neuen Eherechts auf den 1. Januar 1988 ist diese Einschränkung entfallen. Der Wohnsitz bestimmt sich nunmehr für jeden Gatten selbständig nach <ref-law>.
Schon unter dem alten Recht galt der Ort der Familienniederlassung als sekundäres Steuerdomizil, sofern am Arbeitsort des Ehemannes das primäre Steuerdomizil begründet war. Damit konnten die Unzulänglichkeiten, die sich im interkantonalen Verhältnis aufgrund des abgeleiteten Wohnsitzes der Ehefrau ergaben, vermieden werden. Insoweit hat das neue Eherecht doppelbesteuerungsrechtlich keine grundlegende Änderung bewirkt. Immerhin stellt nun der selbständige Wohnsitz für die Ehefrau ein Hauptsteuerdomizil dar. Am jeweiligen Hauptsteuerdomizil jedes Gatten besteht indessen gleichzeitig ein sekundäres Steuerdomizil des anderen Ehepartners.
Der Umstand, dass die Ehegatten unter dem neuen Eherecht je über ein eigenes Hauptsteuerdomizil verfügen, bedeutet nicht, dass eine getrennte Ehe vorliegt, die zu einer getrennten Besteuerung der Ehegatten führen müsste. Eine solche setzt vielmehr voraus, dass die Ehegatten die eheliche Gemeinschaft nicht mehr weiterführen (also den gemeinsamen Haushalt aus den in Art. 137 und Art. 175 ZGB genannten Gründen aufgehoben haben und dauernd getrennt leben). Im interkantonalen Verhältnis sind Ehegatten insbesondere nicht bereits dann als getrennte Steuersubjekte zu behandeln, wenn sie im Wesentlichen getrennt leben, sondern nur dann, wenn die Ehe nicht mehr gelebt wird und überdies keine Gemeinschaftlichkeit der Mittel für Wohnung und Unterhalt besteht, d.h. die Unterstützung des einen an den andern Ehegatten sich in ziffernmässig bestimmten Beiträgen erschöpft.
Dagegen sind die Grundsätze der Ehegattenbesteuerung zu beachten, d.h. die Steuerfaktoren beider Eheleute zum Gesamtsteuersatz zu erfassen, wenn die Partner zwar über ein je eigenes Hauptsteuerdomizil verfügen, die eheliche Gemeinschaft aber nach dem Willen der Partner im Sinne von <ref-law> gelebt wird (vgl. zum Ganzen: BGE <ref-ruling> E. 5b-6 S. 18 ff.; ASA 71 558 E. 2, je mit weiteren Hinweisen; siehe auch Danielle Yersin, Le domicile des époux et la double imposition intercantonale, StR 1988 343 ff.; dies., Le nouveau droit matrimonial et ses conséquences fiscales, RDAF 1987 323 ff.; Höhn/Mäusli, a.a.O., S. 273 ff.; Locher, a.a.O., Einführung, S. 60 ff.; ders., Neues Eherecht und Ehegattenbesteuerung, ASA 56 18 f.; Martin Arnold, Der steuerrechtliche Wohnsitz natürlicher Personen im interkantonalen Verhältnis nach der neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung, ASA 68 479 ff.).
2.4.2 An diesen Grundsätzen hat auch das Steuerharmonisierungsgesetz nichts geändert. Zwar wird in der Lehre teilweise argumentiert, im Falle einer nicht (mehr) regelmässigen Rückkehr sei am Wohnsitz des anderen Ehepartners keine persönliche Zugehörigkeit des abwesenden Gatten mehr erfüllt, da dort kein Wohnsitz und auch kein Aufenthalt bestehe. Eine Anknüpfung könne nur noch auf wirtschaftlicher Zugehörigkeit beruhen, z.B. auf der Gemeinschaftlichkeit der Mittel. Diesbezüglich enthalte aber Art. 4 StHG eine abschliessende Liste der weiterhin zulässigen Nebensteuerdomizile. Der Familienort befinde sich nicht darunter und habe somit als Sekundärdomizil keine Berechtigung mehr (vgl. u.a. Peter Locher, Steuerharmonisierung und interkantonales Steuerrecht, ASA 65 623 ff., Maja Bauer-Balmelli/ Markus Nyffenegger, in: Zweifel/Athanas (Hrsg.), Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, Bundesgesetz über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG), 2. Aufl., Basel usw. 2002, Rz. 4-5 zu Art. 3). Diese Argumentation vermag indessen nicht zu überzeugen. Selbst bei weitgehendem Getrenntleben beruht die Anknüpfung am Ort der Familienniederlassung nicht in erster Linie auf wirtschaftlichen Gesichtspunkten (wie z.B. der Gemeinschaftlichkeit der Mittel), sondern auf persönlichen Umständen, namentlich auf dem Willen beider Ehepartner zur Fortführung ihrer Gemeinschaft. Sie ergibt sich direkt aus dem Grundsatz der Ehegattenbesteuerung und braucht keine gesonderte Erwähnung im Steuerharmonisierungsgesetz. Art. 3 Abs. 3 StHG bekräftigt den Grundsatz dennoch ausdrücklich, wie er übrigens schon im Einkommenssteuerrecht einer Mehrheit von Kantonen festgehalten worden ist (vgl. Höhn et al., Das Einkommenssteuerrecht der Kantone, Bern/Stuttgart 1972, S. 25 ff.). Der Begriff des steuerrechtlichen Wohnsitzes in Art. 3 Abs. 2 StHG umfasst den Ort der Familienniederlassung deshalb sowohl als Hauptsteuerdomizil als auch als sekundäres Steuerdomizil.
2.5 Im Falle einer leitenden Stellung (vgl. E. 2.3 hievor) sowie bei getrennten Hauptsteuerdomizilen mit gleichzeitigem Weiterbestehen der ehelichen Gemeinschaft (vgl. oben E. 2.4) ist das beiden Eheleuten zufliessende Erwerbseinkommen und das ihnen gehörende bewegliche Vermögen (inkl. Erträgen) zwischen den betroffenen Kantonen aufzuteilen (Repartition). Dabei werden die Faktoren gestützt auf die Ehegattenbesteuerung zusammengezählt.
In der Regel besteht diese Ausscheidung in einer quotenmässigen, zumeist hälftigen Teilung der Steuerhoheit. Diese umfasst alle der Besteuerung unterliegenden Elemente mit Ausnahme ausserkantonaler Geschäftsbetriebe und Betriebsstätten und ausserkantonalen Grundeigentums (vgl. Art. 4 Abs. 1 StHG). Die hälftige Teilung rechtfertigt sich namentlich für weitgehend getrennt lebende Ehegatten, welche die Kosten für Lebensunterhalt und Wohnung indessen aus gemeinsamen Mitteln bestreiten. Dieselbe Ausscheidung scheint angemessen, wenn einer der Gatten über kein Erwerbseinkommen verfügt (vgl. BGE <ref-ruling> E. 6c S. 21 mit weiteren Hinweisen).
In der Praxis zum interkantonalen Doppelbesteuerungsrecht wird die Steuerteilung bei getrennten Hauptsteuerdomizilen mitunter auch so vorgenommen, dass der Wohnsitzkanton jedes Ehegatten das Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit und das bewegliche Vermögen (inkl. Erträgen) des auf seinem Gebiet wohnenden Ehegatten zum Gesamtsteuersatz besteuern kann. Diese Art der Besteuerung findet jedoch nur dann Anwendung, wenn jeder Ehegatte den Unterhalt im Wesentlichen aus seinem Einkommen bestreitet (vgl. BGE <ref-ruling> E. 6c S. 21 sowie Locher/Locher, a.a.O., § 3, I B, 3 Nr. 3, 5; siehe zum Ganzen: Danielle Yersin, a.a.O., StR 1988 344 f.; dies., a.a.O., RDAF 1987 325 f.; Höhn/Mäusli, a.a.O., 276 ff.; Locher, a.a.O., ASA 56 18 f.; Arnold, a.a.O., 481 ff.). Das Bundesgericht hat sich bisher noch nie dazu geäussert, ob diese Art der Repartition auch bei leitender Stellung in Frage kommt. Wie sich aus dem Folgenden ergibt, kann die Frage auch im hier zu beurteilenden Zusammenhang offen bleiben.
In der Praxis zum interkantonalen Doppelbesteuerungsrecht wird die Steuerteilung bei getrennten Hauptsteuerdomizilen mitunter auch so vorgenommen, dass der Wohnsitzkanton jedes Ehegatten das Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit und das bewegliche Vermögen (inkl. Erträgen) des auf seinem Gebiet wohnenden Ehegatten zum Gesamtsteuersatz besteuern kann. Diese Art der Besteuerung findet jedoch nur dann Anwendung, wenn jeder Ehegatte den Unterhalt im Wesentlichen aus seinem Einkommen bestreitet (vgl. BGE <ref-ruling> E. 6c S. 21 sowie Locher/Locher, a.a.O., § 3, I B, 3 Nr. 3, 5; siehe zum Ganzen: Danielle Yersin, a.a.O., StR 1988 344 f.; dies., a.a.O., RDAF 1987 325 f.; Höhn/Mäusli, a.a.O., 276 ff.; Locher, a.a.O., ASA 56 18 f.; Arnold, a.a.O., 481 ff.). Das Bundesgericht hat sich bisher noch nie dazu geäussert, ob diese Art der Repartition auch bei leitender Stellung in Frage kommt. Wie sich aus dem Folgenden ergibt, kann die Frage auch im hier zu beurteilenden Zusammenhang offen bleiben.
3. Vorliegend ist unbestritten, dass die Ehefrau im Kanton Zürich wohnt und arbeitet; zur Bestimmung ihres Steuerdomizils bestehen - abgesehen vom Arbeitsaufenthalt ihres Gatten in Bern - anscheinend keine ausserkantonalen Bezugspunkte. Ebenso steht ausser Streit, dass der Ehemann als Direktor einer öffentlichen Anstalt mindestens 4-5 Tage pro Woche an seinem Arbeitsort verbringt, was verschiedene (namentlich wissenschaftliche) Nebenbeschäftigungen sowie zahlreiche gesellschaftliche und persönliche Beziehungen mit einschliesst. Streitig ist indessen einerseits, ob die Erwerbstätigkeit des Gatten als leitende Stellung im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu <ref-law> bzw. Art. 46 Abs. 2 aBV zu qualifizieren ist (E. 3.1). Andererseits ist umstritten, wie eng die Beziehungen des Beschwerdeführers zum Kanton Zürich sind (E. 3.2).
3.1 Mit Blick auf die hohen Anforderungen, die die Rechtsprechung stellt (vgl. oben E. 2.3), muss hier eine leitende Stellung verneint werden. Der Beschwerdeführer bekleidet als Direktor einer öffentlichen Anstalt (vergleichbar etwa mit der zürcherischen Y._ Anstalt) gewiss eine anspruchs- und verantwortungsvolle Stellung. Es kann indessen offen bleiben, ob der von ihm geleitete Betrieb - insbesondere nach finanziellen Gesichtspunkten (Jahresbudget: ca. 15 Mio Fr.) - als bedeutendes Unternehmen im Sinne der Rechtsprechung einzustufen ist. Denn die weitere Voraussetzung des zahlreichen Personals ist vorliegend nicht erfüllt: Wohl beschäftigt die Anstalt offenbar mehr als 100 Angestellte; die meisten sind jedoch nur teilzeitlich, viele sogar mit einem Beschäftigungsgrad von unter 50%, tätig. Gegenüber den Zürcher Steuerbehörden hat der Beschwerdeführer von 70 Angestellten gesprochen. Ein derartiger Personalbestand genügt noch nicht zur Annahme einer leitenden Stellung. Im Übrigen handelt es sich nicht um ein eigentliches Unternehmen, sondern um einen Zweig, der eher mit einer Dienststelle in der Verwaltung vergleichbar ist.
3.2 Es ist deshalb zu prüfen, wie eng die Beziehungen des Beschwerdeführers zum Kanton Zürich im hier massgeblichen Zeitraum gewesen sind.
3.2.1 Für das Steueramt des Kantons Zürich befindet sich das Hauptsteuerdomizil des Beschwerdeführers nach wie vor an seinem Familienwohnsitz in X._. Dorthin kehre er - eigenen Angaben zufolge - regelmässig zurück, namentlich am Wochenende und während seiner sonstigen freien Zeit.
Diese Angaben des Beschwerdeführers zieht die Steuerverwaltung des Kantons Bern in ihrer Vernehmlassung zur staatsrechtlichen Beschwerde grundlegend in Zweifel und beansprucht für sein Erwerbseinkommen und sein bewegliches Vermögen nunmehr die ungeteilte Steuerhoheit, unabhängig von einer leitenden Stellung. Dabei stützt sie sich u.a. auf die Aussagen einer Frau, die mit dem Beschwerdeführer zwischen 1998 und Ende 1999 ein Verhältnis gehabt zu haben behauptet: In Wirklichkeit könne schon seit geraumer Zeit von einer regelmässigen Rückkehr nach X._ keine Rede mehr sein. Vielmehr lebten die Eheleute faktisch getrennt und hätten ihre gegenseitigen Kontakte auf das Allernotwendigste beschränkt, namentlich auf die Regelung finanzieller Angelegenheiten betreffend die noch gemeinsamen Vermögenswerte.
Dagegen wendet das zürcherische Steueramt wiederum ein, den Aussagen dieser Frau könne kein Beweiswert zukommen. Sie sei nicht als Zeugin einvernommen worden (mit Hinweis auf die rechtlichen Folgen einer Falschaussage). Auch hätten ihr vom Kanton Zürich keine Anschluss- oder Gegenfragen gestellt werden können. Das sei unter Umständen im bundesgerichtlichen Verfahren noch nachzuholen. Auf jeden Fall bestehe gegenüber beiden Beschwerdeführern weiterhin ein ungeteilter Besteuerungsanspruch des Kantons Zürich.
Ihrerseits haben die Beschwerdeführer auf die Vernehmlassung der Berner Steuerverwaltung wie folgt repliziert: "Die von der Steuerverwaltung befragte Person ist dem Beschwerdeführer persönlich bekannt. Es sind persönliche Ressentiments, welche die befragte Person bewegten, sich freiwillig der kantonalen Steuerverwaltung zur Auskunft anzuerbieten, um andere Personen in Schwierigkeiten zu bringen. Die Ausführungen werden bestritten und sind nicht glaubwürdig. Richtig ist, dass der Beschwerdeführer sein berufliches Umfeld in Bern hat. (...) Die Wochenenden verbringt der Beschwerdeführer regelmässig nicht in Bern. Seit dem Tod des Vaters vor drei Jahren sind die Verpflichtungen gegenüber der Mutter, welche im Kanton Graubünden wohnt, gestiegen. Der Beschwerdeführer besucht sie an den Wochenenden regelmässig. Der Beschwerdeführer hat kürzlich in Z._ ZH ein Haus erworben und wird sich abwechslungsweise in X._ und Z._aufhalten. Von dort aus wird er ab Mitte Oktober nach Bern pendeln. Die Mietwohnung in Bern ist gekündigt."
3.2.2 Vor diesem Hintergrund ist davon auszugehen, dass sich der berufliche sowie private Lebensmittelpunkt und demzufolge das Hauptsteuerdomizil des Ehemanns in der mit dem 1. Januar 2001 begonnenen Steuerperiode an seinem Arbeitsort befunden hat.
3.2.2.1 Die von den Berner Steuerbehörden in der Vernehmlassung beanspruchte ungeteilte - und nicht mehr nur hälftige - Steuerhoheit beruht zwar auf neuen Vorbringen. Noven sind aber bei Doppelbesteuerungsbeschwerden zulässig (vgl. oben E. 1.1.2). Dagegen besteht kein Grund, den Streitgegenstand auf die Zeit vor dem 1. Januar 2001 auszudehnen (vgl. Walter Kälin, a.a.O., S. 389) oder das vorliegende Verfahren zu sistieren.
Die Aussagen der von der Berner Steuerverwaltung befragten Frau sind nicht entscheidwesentlich, weshalb auf ihren Beweiswert nicht weiter eingegangen zu werden braucht. Sie beziehen sich übrigens nicht direkt auf den hier interessierenden Zeitraum. Ihre Bedeutung beschränkt sich darauf, frühere Angaben des Beschwerdeführers in Frage zu stellen. Eine nähere Überprüfung erübrigt sich somit, insbesondere eine Anschluss- oder Gegenbefragung durch die Zürcher Behörden oder das Bundesgericht.
3.2.2.2 Massgeblich sind hier vorab die nachmaligen Ausführungen des Beschwerdeführers selbst, in Reaktion auf die Aussagen der genannten Frau sowie die Vernehmlassung der Berner Behörden. Angesichts der Umstände wäre es ihm durchaus zumutbar gewesen, gegebenenfalls aber auch leicht gefallen, seine regelmässige Rückkehr nach X._ (zumindest ab dem 1. Januar 2001) rechtsgenüglich nachzuweisen. Das hätte namentlich durch eine Bestätigung seiner Ehegattin sowie durch zahlreiche andere Belege oder Indizien erfolgen können. Diesen Nachweis hat er jedoch nicht einmal ansatzweise zu erbringen versucht. Grundsätzlich hat er sich geweigert, Fragen zu seinem Privatleben zu beantworten. Aus seiner Replik geht dennoch klar hervor, dass einer Rückkehr nach X._ in der hier massgeblichen Zeitspanne bestenfalls eine untergeordnete Bedeutung zugekommen sein kann. Eine regelmässige Anwesenheit ausserhalb des Kantons Bern scheint nur im Kanton Graubünden, zur Betreuung seiner betagten Mutter, bestanden zu haben, und zwar ohne "Zwischen(aufent)halt" in X._.
Dasselbe ergibt sich aus anderen Rechtsschriften des Beschwerdeführers: Die Einsprache vom 21. Oktober 2002 enthält namentlich die Rüge, im Zürcher Einschätzungsentscheid vom 24. September 2002 werde willkürlich und ohne Anhörung behauptet, der Schwerpunkt der persönlichen und familiären Beziehungen des Ehemanns liege in X._, was keinesfalls zutreffe. In der staatsrechtlichen Beschwerde wird argumentiert, in Bern befinde sich das Hauptsteuerdomizil des Beschwerdeführers nicht nur auf Grund einer leitenden Stellung. Dort liege ganz allgemein sein Lebensmittelpunkt, wegen seiner beruflichen und wissenschaftlichen Tätigkeit sowie seiner zahlreichen gesellschaftlichen Beziehungen.
3.2.2.3 Demnach ist davon auszugehen, dass sich das Hauptsteuerdomizil des Beschwerdeführers ab dem 1. Januar 2001 an seinem Arbeitsort befindet. Dieser Lebensmittelpunkt ergibt sich auf Grund seiner nicht (mehr) regelmässigen Rückkehr nach X._ bzw. dem weitgehenden Getrenntleben der beiden Gatten (vgl. E. 2.2 und 2.4 hievor).
Auf Grund der getrennten Hauptsteuerdomizile der Beschwerdeführer ist zwischen den Kantonen Bern und Zürich eine Ausscheidung des Erwerbseinkommens und des beweglichen Vermögens (inkl. Erträge) beider Gatten vorzunehmen. Weil die Ehegemeinschaft trotz weitgehendem Getrenntleben nach dem Willen der Partner immer noch besteht, sind die Gatten nicht wie Alleinstehende getrennt zu veranlagen. Es kommen weiterhin der Gesamtsteuersatz und der Verheiratetentarif zur Anwendung.
In Anbetracht der besonderen Umstände rechtfertigt sich hier keine hälftige Aufteilung der Steuerhoheit (vgl. E. 2.5 hievor). Insbesondere besteht weder eine leitende Stellung (vgl. oben E. 3.1) noch liegt der Fall vor, wo die Gattin kein Erwerbseinkommen erzielt. Keiner der beiden voll erwerbstätigen Ehepartner übernimmt im Interesse des andern gemeinsame Aufgaben, insbesondere sind keine Kinder zu versorgen. Ebenso bestreitet jeder seinen Unterhalt im Wesentlichen selbst. Soweit eine gewisse, von den Beschwerdeführern eher summarisch erwähnte Gemeinschaftlichkeit der Mittel besteht, ist sie allem Anschein nach begrenzt und bezieht sie sich - soweit ersichtlich - vorab auf die im Miteigentum beider Beschwerdeführer verbliebene Wohnung in X._. Angesichts dieser nur sehr beschränkten Zusammenlegung der Mittel erscheint es hier angebracht, das Erwerbseinkommen jedes Gatten vollumfänglich an dessen Hauptsteuerdomizil zu besteuern, da es sich eindeutig dem einen oder anderen Anknüpfungspunkt zuordnen lässt. Auch das bewegliche Vermögen (inkl. die daraus fliessenden Erträge) beider Gatten ist dem jeweiligen Kanton (zum Gesamtsteuersatz) zuzuweisen. Im Kanton Zürich (X._) ist für beide Eheleute schliesslich weiterhin ein Spezialsteuerdomizil des Liegenschaftsortes gegeben (vgl. zum Ganzen BGE <ref-ruling> E. 6 S. 19 ff. mit weiteren Hinweisen).
In Anbetracht der besonderen Umstände rechtfertigt sich hier keine hälftige Aufteilung der Steuerhoheit (vgl. E. 2.5 hievor). Insbesondere besteht weder eine leitende Stellung (vgl. oben E. 3.1) noch liegt der Fall vor, wo die Gattin kein Erwerbseinkommen erzielt. Keiner der beiden voll erwerbstätigen Ehepartner übernimmt im Interesse des andern gemeinsame Aufgaben, insbesondere sind keine Kinder zu versorgen. Ebenso bestreitet jeder seinen Unterhalt im Wesentlichen selbst. Soweit eine gewisse, von den Beschwerdeführern eher summarisch erwähnte Gemeinschaftlichkeit der Mittel besteht, ist sie allem Anschein nach begrenzt und bezieht sie sich - soweit ersichtlich - vorab auf die im Miteigentum beider Beschwerdeführer verbliebene Wohnung in X._. Angesichts dieser nur sehr beschränkten Zusammenlegung der Mittel erscheint es hier angebracht, das Erwerbseinkommen jedes Gatten vollumfänglich an dessen Hauptsteuerdomizil zu besteuern, da es sich eindeutig dem einen oder anderen Anknüpfungspunkt zuordnen lässt. Auch das bewegliche Vermögen (inkl. die daraus fliessenden Erträge) beider Gatten ist dem jeweiligen Kanton (zum Gesamtsteuersatz) zuzuweisen. Im Kanton Zürich (X._) ist für beide Eheleute schliesslich weiterhin ein Spezialsteuerdomizil des Liegenschaftsortes gegeben (vgl. zum Ganzen BGE <ref-ruling> E. 6 S. 19 ff. mit weiteren Hinweisen).
4. 4.1 Gesamthaft ergibt sich daraus Folgendes: Soweit auf die Beschwerde eingetreten werden kann (vgl. oben E. 1.3), ist sie gegenüber dem Kanton Zürich gutzuheissen und der Einspracheentscheid vom 5. Dezember 2002 aufzuheben. Gegenüber dem Kanton Bern ist die Beschwerde dagegen - soweit zulässig - abzuweisen. Der Steuerdomizilentscheid vom 11. Juni 2001 erweist sich in seinem Dispositiv als richtig. Dieses beschränkt sich darauf, das Hauptsteuerdomizil des Beschwerdeführers ab dem 1. Januar 2001 am Arbeitsort festzulegen. Nicht gefolgt werden kann indessen der Begründung der Domizilverfügung: Die Berner Steuerhoheit erstreckt sich ab dem Jahr 2001 auf das gesamte Erwerbseinkommen des Beschwerdeführers, und nicht nur auf die Hälfte. Zudem unterliegt dem Steueranspruch des Kantons Bern das bewegliche Vermögen des Beschwerdeführers, unter Einschluss der daraus fliessenden Erträge.
Auf der anderen Seite umfasst der Zürcher Steueranspruch das gesamte Erwerbseinkommen und das bewegliche Vermögen (inkl. Erträge) der Beschwerdeführerin sowie das ganze Liegenschaftsvermögen der Beschwerdeführer mitsamt seinen Erträgen.
4.2 Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten vor Bundesgericht dem unterliegenden Kanton Zürich aufzuerlegen (Art. 156 in Verb. mit Art. 153 und 153a OG). Für die Zusprechung einer Parteientschädigung besteht kein Grund, weil der Beschwerdeführer das vorliegende Verfahren durch sein Verhalten mit veranlasst und die Entscheidfindung durch unvollständige Angaben erschwert hat (vgl. Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gegenüber dem Kanton Zürich gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Einspracheentscheid vom 5. Dezember 2002 aufgehoben.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gegenüber dem Kanton Zürich gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Einspracheentscheid vom 5. Dezember 2002 aufgehoben.
2. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit sie sich gegen den Kanton Bern richtet und darauf einzutreten ist. Der Steuerdomizilentscheid vom 11. Juni 2001 wird im Sinne der Erwägungen bestätigt.
2. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit sie sich gegen den Kanton Bern richtet und darauf einzutreten ist. Der Steuerdomizilentscheid vom 11. Juni 2001 wird im Sinne der Erwägungen bestätigt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Kanton Zürich auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Kanton Zürich auferlegt.
4. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Steuerverwaltung des Kantons Bern und dem Kantonalen Steueramt Zürich, Abteilung Rechtsdienst, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2004
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: