Sachverhalt:
A. Am 2. April 2012 reichte Christoph Mörgeli bei der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich nebst einer Aufsichtsbeschwerde Strafanzeige gegen Oberstaatsanwalt Martin Bürgisser ein. Er warf diesem vor, sich am Freitagabend, den 23. März 2012, im "Horse Pub" in Bülach gegenüber Bekannten, aber auch für Dritte vernehmbar dahin geäussert zu haben, dass die Oberstaatsanwaltschaft bis zum kommenden Mittwoch bei der zuständigen nationalrätlichen Kommission ein Gesuch um Aufhebung der parlamentarischen Immunität von Nationalrat Christoph Blocher stellen werde (im Zusammenhang mit der Strafuntersuchung wegen Weitergabe von Bankunterlagen betreffend den ehemaligen Nationalbankpräsidenten Philipp Hildebrand). Oberstaatsanwalt Bürgisser habe dadurch eine Amtsgeheimnisverletzung begangen. Die Direktion der Justiz und des Innern überwies die Strafanzeige an das Obergericht mit dem Antrag, über die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen den Oberstaatsanwalt zu befinden (§ 148 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess).
B. Mit Beschluss vom 21. Juni 2012 verweigerte das Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung. Es erwog, die vom Oberstaatsanwalt zugegebenermassen bekannt gegebenen Informationen hätten am Abend des 23. März 2012 keinen Geheimnischarakter mehr gehabt. Die Medienverantwortliche der Oberstaatsanwaltschaft habe bereits am 21. März 2012 einem Redaktor des Schweizer Radios und Fernsehens und einem Reporter der "NZZ" mitgeteilt, dass die Staatsanwaltschaft der nationalrätlichen Immunitätskommission in nächster Zeit ein entsprechendes Begehren stellen werde. Am nächsten Tag sei diese Information sowohl von der "NZZ" als auch vom "Tages-Anzeiger" veröffentlicht worden. Am 23. März 2012, um 17.52 Uhr, habe die Mediensprecherin sodann einem Redaktor der Zeitung "Sonntag" auf Anfrage mitgeteilt, es sei geplant, das Gesuch noch vor dem kommenden Mittwoch einzureichen. Die vom Oberstaatsanwalt im Verlauf des Abends in einem öffentlichen Lokal weitergegebenen Informationen seien demnach bereits öffentlich zugänglich bzw. bekannt gewesen. Die Strafanzeige wegen Amtsgeheimnisverletzung erweise sich daher als klarerweise unbegründet, weshalb die Ermächtigung zu verweigern sei.
C. Mit Eingabe vom 6. Juli 2012 führt Christoph Mörgeli Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er beantragt, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben und die Ermächtigung zur Strafverfolgung sei zu erteilen. Er macht geltend, die Äusserungen des Oberstaatsanwaltes liessen zumindest teilweise eine politische Motivation vermuten und seien auch gegen ihn selber gerichtet gewesen. Er wolle sich am Strafverfahren als Partei beteiligen und als Privatkläger Zivilansprüche geltend machen, weshalb er zur Beschwerde hinsichtlich der Ermächtigung zur Durchführung eines solchen Verfahrens legitimiert sei. Zweck des Ermächtigungsverfahrens sei nur der Schutz der Beamten vor leichtfertigen und mutwilligen Strafanzeigen querulatorischer Natur. Um eine solche Anzeige gehe es nicht. Zum Zeitpunkt der fraglichen Äusserungen (am 23. März 2012, um ca. 22.00 Uhr) sei die Information über das Vorhaben der Staatsanwaltschaft, bis zum nächsten Mittwoch ein Gesuch um Aufhebung der Immunität von Nationalrat Christoph Blocher zu stellen, weder öffentlich bekannt noch allgemein zugänglich gewesen. Die Information von einzelnen Journalisten könne nicht als öffentliches Bekanntmachen gelten. Die "NZZ" habe den Zeitpunkt der Gesuchseinreichung nicht genannt, und der "Sonntag" habe die am 23. März 2012 erhaltene Information erst am 25. März 2012 publiziert. Eine schriftliche Einwilligung der vorgesetzten Behörde zur Offenbarung der noch amtsgeheimen Tatsache habe nicht vorgelegen und das Vorgehen der Medienverantwortlichen der Staatsanwaltschaft stehe im Widerspruch zur Praxis der Zürcher Staatsanwaltschaften. Zumindest müsse von einem sog. Soll-Geheimnis gesprochen werden. Der Staatsanwalt habe die Äusserung über die Gesuchseinreichung zugegeben. Ob eine gültige Aufgabe des Geheimhaltungswillens der Staatsanwaltschaft vorgelegen habe, sei deshalb unklar und in einem Strafverfahren zu untersuchen, was die Erteilung der Ermächtigung voraussetze.
Martin Bürgisser und die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich beantragen in ihren Vernehmlassungen, auf die Beschwerde nicht einzutreten. Das Obergericht äussert ebenfalls Zweifel an den Legitimationsvoraussetzungen.
Der Beschwerdeführer hält mit Replik vom 30. August 2012 an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Zulässigkeit der bei ihm erhobenen Rechtsmittel von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 m.H.).
1.2 Der angefochtene Beschluss stellt einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit dar (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272) und unterliegt als solcher der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Der Ausnahmegrund von <ref-law> (betreffend den Ausschluss der Beschwerde gegen die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von Behördemitgliedern oder von Bundespersonal) greift nicht, weil er nur auf die obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden anwendbar ist (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f. m.H.). Dazu gehört der Beschwerdegegner nicht.
1.3 Zur Beschwerde ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Im Hinblick auf Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG hat der Beschwerdeführer darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen erfüllt sind, soweit dies nicht ohne Weiteres ersichtlich ist (<ref-ruling> E. 2 S. 403 f. m.H.).
1.4 Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist mit seinen Anträgen nicht durchgedrungen, mithin formell beschwert. Die weiteren Erfordernisse betreffend die besondere Betroffenheit und das schutzwürdige Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids bringen zum Ausdruck, dass die Beschwerdebefugnis nur demjenigen zusteht, der stärker als eine beliebige Drittperson berührt ist und in einer beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache steht, so dass er ein eigenes Interesse an einer anderen Regelung des umstrittenen Rechtsverhältnisses hat; dieses muss so intensiv sein, dass es aus objektiver Sicht Schutz verdient (<ref-ruling> E. 2.2 S. 284; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 252, 353 E. 3 S. 356 f., 400 E. 2.2 S. 404, 409 E. 1.3 S. 413; je mit weiteren Hinweisen). Ausgeschlossen ist dadurch nicht nur die Popularbeschwerde (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 252). Auch eine besondere Sensibilität oder Affinität zum Thema des Rechtsstreits, ein besonderes fachliches oder politisches Interesse am Ausgang des Verfahrens oder eine besondere persönliche Verbundenheit oder Beziehung zu einer beteiligten Person reicht nicht aus, ebensowenig wie eine marginale (Mit-)Betroffenheit. Zwar dürfen die Anforderungen an das Berührtsein in eigenen Interessen auch nicht allzu hoch geschraubt oder gar überspannt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 285); insbesondere muss nicht ein persönlicher Rechtsanspruch im Spiel stehen bzw. ein rechtlich geschütztes Interesse ausgewiesen sein wie bei den Beschwerden in Zivil- und in Strafsachen und bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (vgl. Art. 76 Abs. 1 lit. b, Art. 81 Abs. 1 lit. b und Art. 115 lit. b BGG; vgl. <ref-ruling>). Verlangt wird aber allemal, dass sich das Ergebnis der Überprüfung des angefochtenen Entscheids auf die rechtliche oder tatsächliche Stellung des Beschwerdeführers auswirken kann, so dass ihm im Falle des Obsiegens ein praktischer Nutzen entsteht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 284; <ref-ruling> E. 3 S. 84, 249 E. 1.3.2 S. 253).
2. Der Beschwerdeführer bringt vor, er sei durch die Verweigerung der Ermächtigung mehr als andere berührt und in schutzwürdigen Interessen betroffen, weil er sich am Strafverfahren gegen den Oberstaatsanwalt als Partei und Privatkläger beteiligen und Zivilansprüche geltend machen wolle.
2.1 Zwar ist jede Person berechtigt, gegen einen mutmasslichen Straftäter Strafanzeige einzureichen (<ref-law>). Die Anzeige allein verschafft einer Person aber noch nicht Parteistellung im Verfahren gegen den Beschuldigten (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Ist die anzeigende Person durch die Tat nicht geschädigt und nicht Privatklägerin, so stehen ihr keine Verfahrensrechte zu ausser dem Anspruch, auf Anfrage darüber orientiert zu werden, ob ein Strafverfahren eingeleitet und wie es erledigt wird (Art. 301 Abs. 2 und 3 StPO). Privatklägerin ist die geschädigte Person, die ausdrücklich erklärt, sich am Strafverfahren als Straf- oder Zivilklägerin zu beteiligen (<ref-law>). Als geschädigte Person gilt, wer durch die fragliche Straftat in ihren Rechten unmittelbar verletzt worden ist (<ref-law>). Wer sich als Privatklägerschaft an einem Strafverfahren beteiligen und Parteirechte ausüben will, muss durch die dem Beschuldigten angelastete Straftat daher geschädigt im Sinne von <ref-law> worden sein (wobei bei Antragsdelikten die strafantragsberechtigte Person in jedem Fall als geschädigt gilt; <ref-law>).
2.2 Das Bundesgericht hat den Begriff des Geschädigten nach <ref-law> vor kurzem näher ausgeleuchtet (zur Publikation bestimmtes Urteil 1B_432/2011 vom 20. September 2012 E. 2, mit zahlreichen Hinweisen auf die Rechtsprechung und Doktrin). Es hat festgestellt, dass die Umschreibung der unmittelbaren Verletzung in eigenen Rechten vom Begriff des Rechtsgutes ausgeht. Danach ist unmittelbar verletzt und geschädigt im Sinne von <ref-law>, wer Träger des Rechtsgutes ist, das durch die fragliche Strafbestimmung vor Verletzung oder Gefährdung geschützt oder zumindest mitgeschützt werden soll. Im Zusammenhang mit Strafnormen, die nicht primär Individualrechtsgüter schützen, gelten diejenigen Personen als Geschädigte, die durch die darin umschriebenen Tatbestände in ihren mitgeschützten Rechtsgütern beeinträchtigt werden, sofern diese Beeinträchtigung unmittelbare Folge der tatbestandsmässigen Handlung ist. Werden durch Delikte, die (nur) öffentliche Rechtsgüter beeinträchtigen, private Interessen auch, aber eben bloss mittelbar verletzt, so ist der Betroffene nicht Geschädigter im Sinne von <ref-law> (vgl. E. 2.2 und 2.3 des erwähnten Urteils m.w.H.).
2.3 Eine Verletzung des Amtsgeheimnisses (<ref-law>) begeht, wer ein Geheimnis offenbart, das ihm in seiner Eigenschaft als Mitglied einer Behörde oder als Beamter anvertraut worden ist, oder das er in seiner amtlichen oder dienstlichen Stellung wahrgenommen hat. Ein Geheimnis offenbart, wer es einer dazu nicht ermächtigten Drittperson zur Kenntnis bringt oder dieser die Kenntnisnahme zumindest ermöglicht. Der Tatbestand der Verletzung des Amtsgeheimnisses sichert die Geheimhaltungspflicht der Behördemitglieder und Beamten. Er bezweckt in erster Linie die Wahrung öffentlicher Interessen (das reibungslose Funktionieren der Verwaltung und der Rechtspflege). Daneben kann er auch dem Schutz von Individualinteressen dienen, nämlich soweit geheimhaltungsbedürftige Informationen von Privatpersonen in amtlicher Eigenschaft erhoben und bearbeitet werden (NIKLAUS OBERHOLZER, in BSK-Strafrecht II, 2007, Art. 320 N. 1 ff.; TRECHSEL/VEST, StGB PK, 2008, Art. 320 N 1; BERNARD CORBOZ, Les infractions en droit suisse, vol. II, 2010, Art. 320 N 3; FAVRE/PELLET/ STOUDMANN, Code pénal, 2011, Art. 320 N 1.1). Die vom Beschwerdeführer angezeigte Amtsgeheimnisverletzung hätte demnach, wäre sie begangen worden, den Geheimnisherrn (Kanton Zürich) und die vom Geheimnis erfasste Privatperson (Nationalrat Christoph Blocher) als Träger der geschützten Rechtsgüter unmittelbar in ihren Rechten verletzt und geschädigt. Weitere Personen, darunter der Beschwerdeführer, hätten höchstens mittelbar in ihren Rechten verletzt werden können und könnten nicht als geschädigt im Sinne von <ref-law> gelten. Daraus ergibt sich, dass der Beschwerdeführer nicht als Privatkläger an einem Strafverfahren gegen den Beschwerdegegner wegen Amtsgeheimnisverletzung teilnehmen könnte.
2.4 Damit steht fest, dass eine Gutheissung der Beschwerde keinen Einfluss auf die Rechtsstellung des Beschwerdeführers hätte; er könnte daraus keinen praktischen Nutzen ziehen, da er auch bei Durchführung einer Strafuntersuchung nicht daran teilnehmen und Parteirechte ausüben könnte. Mithin kann er durch die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht als besonders berührt und in schutzwürdigen (eigenen) Interessen betroffen gelten (Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG).
3. Der Beschwerdeführer argumentiert, er sei auch deshalb im Sinne von <ref-law> betroffen und beschwerdebefugt, weil der Beschwerdegegner seinen Zuhörern mitgeteilt habe, das Gesuch um Aufhebung der Immunität von Nationalrat Christoph Blocher bezwecke, nebst diesem die SVP zu schwächen und damit endlich auch Christoph Mörgeli "zu erledigen". Es sei daher vor allem politisch motiviert und ziele darauf ab, auch ihn zu schädigen. Der Beschwerdegegner bestreitet derartige Äusserungen.
Wie es sich damit verhält, braucht im vorliegenden Zusammenhang nicht weiter abgeklärt zu werden. Selbst wenn der Beschwerdegegner sich im vorgeworfenen Sinne geäussert hätte, könnte der Beschwerdeführer aus der angeblich begangenen Amtsgeheimnisverletzung nichts für sich ableiten. Er legt nicht dar und es ist auch nicht ersichtlich, dass die von der Oberstaatsanwaltschaft erhobenen und im Zusammenhang mit dem Gesuch an die Immunitätskommission bearbeiteten amtlichen und privaten Daten auch Angaben zu seiner Person umfasst hätten. Durch die unbefugte Bekanntgabe der in Frage kommenden geheimen Daten und Informationen kann er deshalb nicht unmittelbar verletzt worden sein (<ref-law>); er könnte höchstens mittelbar (mit-)betroffen sein (vgl. E. 2.2 hiervor), wenn das Gesuch um Aufhebung der Immunität des Ratskollegen und/oder daran anschliessende Vorkehren wie befürchtet von der Öffentlichkeit als nachteilig auch für ihn selber wahrgenommen würden. Solche mögliche Folgen verleihen ihm aber - wie ausgeführt wurde - keine Geschädigtenstellung hinsichtlich der angezeigten Amtsgeheimnisver-letzung. Einen anderen Straftatbestand (wie etwa Ehrverletzung oder Verleumdung; vgl. <ref-law>) hat der Beschwerdeführer nicht zur Anzeige gebracht. Das ist auch verständlich, weil nicht jede ungehörige oder deplatzierte Äusserung eines Amtsträgers zugleich auch strafbar ist. Damit bleibt es jedoch dabei, dass der Beschwerdeführer aus den behaupteten politischen Begleitumständen keine Teilnahmeberechtigung an der angestrebten Strafuntersuchung ableiten kann; diese könnte ausschliesslich die angebliche Amtsgeheimnisverletzung betreffen, die den Beschwerdeführer nicht unmittelbar in seinen Rechten verletzt hat (E. 2 hiervor), weshalb er in diesem Zusammenhang keine Verfahrensrechte ausüben könnte. Das Argument des politischen Hintergrunds ändert somit nichts daran, dass die Durchführung einer Strafuntersuchung für den Beschwerdeführer ohne praktischen Nutzen bliebe. Mithin fehlt ihm die Befugnis nach <ref-law> zur Anfechtung des obergerichtlichen Beschlusses. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
4. Bei diesem Ergebnis wird der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig. Da ihn die Vorinstanz jedoch am Ermächtigungsverfahren beteiligt hat und weil ihm das die Geschädigtenstellung klärende Urteil des Bundesgerichts 1B_432/2011 bei Einreichung der Beschwerde noch nicht bekannt sein konnte, rechtfertigt es sich, umständehalber auf die Erhebung von Verfahrenskosten zu verzichten (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat dem anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner aber die Parteikosten zu ersetzen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Beschwerdeführer hat dem Beschwerdegegner für das Verfahren vor Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- auszurichten.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Direktion der Justiz und des Innern und dem Obergericht, III. Strafkammer, des Kantons Zürich, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Oktober 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle