Sachverhalt:
A.
A.a. Der aus Serbien stammende A.A._ (geb. 1975) heiratete am 5. April 1997 in der Heimat seine Landsfrau B.A._ (geb. 1980), die in der Schweiz über die Niederlassungsbewilligung verfügt. Das Ehepaar hat zwei Kinder (C.A._ [geb. 1997] und D.A._ [geb. 2002]).
A.b. Am 14. Oktober 1998 reiste A.A._ in die Schweiz ein und ersuchte um Asyl. Das von B.A._ am 26. Januar 1999 gestellte Familiennachzugsgesuch wurde aufgrund ihrer Fürsorgeabhängkeit ebenso abgewiesen wie die dagegen an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn erhobene Beschwerde. Nachdem auch das Asylgesuch rechtskräftig abgewiesen worden war, bewilligten die Solothurner Migrationsbehörden am 26. Oktober 2001 den Familiennachzug unter der Bedingung, dass der Ehemann ein geregeltes Arbeitseinkommen nachweisen und die Familie - die seit dem genannten Datum von der Sozialhilfe unterstützt wird - sich von der Fürsorgeabhängigkeit lösen könne. A.A._ verfügt über keinen Berufsabschluss und kann nur rudimentär lesen und schreiben. Er war seit seiner Einreise in die Schweiz immer nur für kurze Zeit erwerbstätig.
A.c. Mit Verfügung vom 29. April 2011 verlängerten die Migrationsbehörden die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ und drohten ihm gleichzeitig deren Widerruf und die Wegweisung aus der Schweiz an für den Fall, dass er weiterhin von der Sozialhilfe abhängig und nicht erfolgreich integriert sein sollte.
A.d. Am 1. Mai 2010 hatten sich die Eheleute getrennt, fanden aber im Dezember 2013 wieder zusammen. Eine Verfügung der IV-Stelle Solothurn vom 15. Juli 2013 wies das Rentenbegehren von A.A._ - bei welchem aufgrund eines Thoracic-outlet-Syndroms chronische Schmerzen in der rechten Schulter, des rechten Arms und der rechten Hand diagnostiziert wurden und der sich mehreren Operationen unterziehen musste - ab und bescheinigte ihm, dass er in der Lage sei, einer 100 % - Stelle in einer angepassten Tätigkeit nachzugehen (keine schweren körperlichen Arbeiten). Die Familie A.A._ ist bis heute auf Sozialhilfe angewiesen, zumal auch die Ehefrau aufgrund ihres starken Übergewichts unter körperlichen Beschwerden leidet und ebenfalls ihre zeitweilige Erwerbstätigkeit aufgab. Alleine an A.A._ wurden in der Zeit zwischen Juli 2010 und Januar 2014 Sozialhilfegelder in der Höhe von Fr. 112'216.40 ausgerichtet. In der Zeit davor wurden er und seine Familie während insgesamt 13 Jahren sozialhilferechtlich im Umfang von Fr. 464'363.-- unterstützt. Gegen ihn bestehen offene Betreibungen von Fr. 3'433.40 und 18 offene Verlustscheine im Betrag von Fr. 14'580.50. Strafrechtlich trat er u.a. mit einer Verurteilung vom 13. Dezember 2004 zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 8 Wochen wegen betrügerischen Missbrauchs einer Datenverarbeitungsanlage sowie mit einer Verurteilung vom 4. September 2006 zu 10 Tagen Gefängnis bedingt wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand und Fahrens ohne Führerausweis in Erscheinung.
B.
Mit Verfügung vom 11. Juli 2014 lehnte das Migrationsamt des Kantons Solothurn die weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A.A._ ab und wies diesen aus der Schweiz weg. Zur Begründung führte das Amt im Wesentlichen aus, dem Betroffenen sei bereits ein überaus hoher Betrag an Sozialhilfeleistungen ausgerichtet worden und die Wahrscheinlichkeit, dass er weiterhin unterstützt werden müsse, sei aufgrund der Gesamtumstände sehr hoch. Ihn treffe auch unter Berücksichtigung der erschwerenden Faktoren ein Verschulden an seiner Situation. Zwar sei die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung für ihn und seine Ehefrau, die seit über dreissig Jahren in der Schweiz lebe, sowie für die Kinder sicher hart, doch überwögen die öffentlichen Interessen an einer Fernhaltung des Ehemannes, zumal dieser mehrfach und seit Jahren auf die Konsequenzen seiner Situation hingewiesen worden sei.
Eine gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 3. November 2014 ab.
C.
Mit Eingabe vom 8. Dezember 2014 führt A.A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und die kantonalen Behörden anzuweisen, ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Mit Eingabe vom 19. Januar 2015 wird ausserdem um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Die kantonalen Akten sind eingeholt, ein Schriftenwechsel ist nicht durchgeführt worden.
D.
Mit Verfügung vom 28. April 2015 hat der Instruktionsrichter der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, falls das Bundesrecht oder das Völkerrecht einen Rechtsanspruch auf deren Erteilung bzw. Verlängerung einräumt (<ref-law> e contrario).
Der Beschwerdeführer lebt mit seiner hier niederlassungsberechtigten Ehefrau zusammen und hat damit einen grundsätzlichen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung (Art. 43 Abs. 1 AuG). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher zulässig und der Beschwerdeführer ist hierzu legitimiert (<ref-law>).
1.2. Das Bundesgericht prüft frei und von Amtes wegen die richtige Anwendung von Bundes- und Völkerrecht (Art. 95 lit. a und b, <ref-law>). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law> bzw. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substanziert vorzubringen ist (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314 mit Hinweisen), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 ff.).
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Urteil eingetreten sind, bleiben im bundesgerichtlichen Verfahren in jedem Fall unberücksichtigt (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Unzulässig sind sodann Tatsachenbehauptungen und Beweise, die bereits im vorinstanzlichen Verfahren hätten vorgebracht werden können und müssen, mit denen nachträglich belegt werden soll, dass die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig oder die Beweiswürdigung willkürlich vorgenommen worden ist (Urteil 2C_327/2010 vom 19. Mai 2011 E. 3.1, nicht publ. in: <ref-ruling>, mit Hinweis auf <ref-ruling> ff.). Die vom Beschwerdeführer erst im Verfahren vor Bundesgericht eingereichte Bestätigung vom 24. November 2014 der ECAP Solothurn über den Besuch eines Alphabetisierungskurses bleibt deshalb unbeachtlich. Dasselbe gilt für den stationären Kurzbericht des Kantonsspitals Olten vom 4. November 2014 zur überdosierten Medikamenteneinnahme (im Sinne einer "Kurzschlussreaktion") der Tochter C.A._.
2.
2.1. Die Ansprüche nach Artikel 43 AuG erlöschen u.a., wenn Widerrufsgründe nach Artikel 62 vorliegen (Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG). Nach Art. 62 lit. e AuG kann die zuständige Behörde die Bewilligung widerrufen, wenn die ausländische Person oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist. Anders als im Falle des Widerrufs einer Niederlassungsbewilligung (Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG) setzt Art. 62 lit. e AuG nicht voraus, dass die Sozialhilfeabhängigkeit "dauerhaft und in erheblichem Masse" besteht, was der unter der Herrschaft von Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG geltenden Praxis entspricht (Urteile 2C_268/2011 vom 22. Juli 2011 E. 6.2.1; 2C_74/2010 vom 10. Juni 2010 E. 3.4). Diese Differenzierung ist beabsichtigt (vgl. Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.2, ferner Botschaft zum AuG, BBl 2002 3809 f.; Spescha, Migrationsrecht, 3. Aufl., N. 11 zu Art. 63 AuG; Silvia Hunziker, in: Caroni/Gächter/Thurnherr [Hrsg.], AuG, Kommentar, N. 21 zu Art. 63). Allerdings ist auch im Rahmen von Art. 62 lit. e AuG der Grundsatz der Verhältnismässigkeit zu beachten, wobei vor allem das Verschulden an der Situation und die bisherige Verweildauer im Lande zu berücksichtigen sind (BBl 2002 3809; Amtl. Bull 2004 N 1088 f. [NR Müller; BR Blocher; Kommissionssprecherin Leuthard]).
2.2. Beim Widerruf bzw. der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung eines Ausländers wegen Bedürftigkeit geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche und damit künftige Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu vermeiden. Ob dies der Fall sein wird, ist allerdings kaum je mit Sicherheit feststellbar. Es muss daher auf die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung beim Ausländer abgestellt werden. Nach der Rechtsprechung ist für die Bejahung dieses Widerrufsgrundes eine konkrete Gefahr der Sozialhilfeabhängigkeit erforderlich und es kann dafür nicht auf Hypothesen und pauschalierte Gründe abgestellt werden (vgl. Urteile 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 5.4; 2C_685/2010 vom 30. Mai 2011 E. 2.3.1 und E. 2.3.2). Neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen ist auch die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung auf längere Sicht abzuwägen. Ein Widerruf soll in Betracht kommen, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt sorgen wird (<ref-ruling> E. 3c S. 8; Urteil 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.1).
2.3. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz beliefen sich die Unterstützungsleistungen an den Beschwerdeführer und seine Familie allein bis im Januar 2014 auf über eine halbe Million Franken. Die Erheblichkeitsschwelle, welche das Bundesgericht mit seiner Rechtsprechung zu Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG entwickelt hat (vgl. Urteile 2C_502/2011 vom 10. April 2012 E. 4.1; 2C_79/2011 vom 8. Dezember 2011 E. 3.3; 2C_672/2008 vom 9. April 2009 E. 3.3) und die umso mehr im Rahmen von Art. 62 lit. e AuG beachtlich ist (Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5.2), wird klarerweise erreicht.
Sodann trifft die Auffassung der Vorinstanz, wonach eine Ablösung von der Sozialhilfe nicht zu erwarten sei und sich auch längerfristig in keiner Weise abzeichne, ganz offensichtlich zu: Wenn der Beschwerdeführer schon vor dem Auftreten seiner gesundheitlichen Probleme bloss wenig bzw. unregelmässig gearbeitet hat und bereits damals massiv mit Sozialhilfeleistungen unterstützt werden musste (vgl. die Zusammenstellungen in der Verfügung vom 29. April 2011, wo ihm die Aufenthaltsbewilligung im Sinne einer "letzten Chance" noch einmal verlängert worden war), kann auch heute nicht damit gerechnet werden, dass er in Zukunft für seinen Lebensunterhalt sorgen wird (vorne E. 2.2, am Ende). Daran ändert auch das Argument, seine Ehefrau werde sich einer Magenband-Operation unterziehen und könne danach wieder in den Arbeitsmarkt integriert werden (vgl. S. 5 der Beschwerdeschrift), nichts, nachdem die Ehefrau schon vor dem Nachzug ihres Ehemannes sozialhilferechtlich unterstützt werden musste (E. 6.5 des angefochtenen Entscheides). Dementsprechend besteht ein erhebliches öffentliches Interesse an der Fernhaltung des Beschwerdeführers, zumal dieser noch relativ jung ist und daher von einer sehr langen Dauer der Sozialhilfeabhängigkeit ausgegangen werden muss.
Damit ist der Erlöschensgrund von Art. 51 Abs. 2 lit. b in Verbindung mit Art. 62 lit. e AuG erfüllt. Wie weit die Sozialhilfeabhängigkeit verschuldet wurde, ist nicht eine Frage der Bejahung oder Verneinung des Erlöschensgrundes, sondern muss im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung untersucht werden (Urteile 2C_456/2014 vom 4. Juni 2015 E. 3.3, 2C_1058/2013 vom 11. September 2014 E. 2.4/2.5).
2.4. Die Vorinstanz hat hierzu erwogen, die Sozialhilfeabhängigkeit des Beschwerdeführers sei selbstverschuldet. Es gebe auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt diverse Stellen, die nur mündliche Kommunikation erforderten und dem Beschwerdeführer, der leidensadaptierte Arbeiten zu 100 % ausführen könne, zumutbar seien. Dass es ihm möglich sei, Stellen zu finden, belegten die diversen Anstellungsverträge, die sich in den Akten befänden. Sodann sei der Beschwerdeführer erst im Alter von 23 Jahren in die Schweiz eingereist und habe die prägenden Kindheits- und Jugendjahre in der Heimat verbracht, wo er auch heute noch Familie (Eltern und Geschwister) habe, deren Sprache er spreche und deren kulturelle und gesellschaftliche Gepflogenheiten ihm bekannt seien, so dass er sich dort wieder integrieren könne. Zwar treffe eine Ausreise des Vaters seine Frau und seine Kinder hart, doch werde die Tochter nächstens volljährig und habe der Beschwerdeführer schon bisher einige Jahre von seiner Familie getrennt gelebt. Der serbischen Ehefrau und den Kindern stehe es zudem frei, ihrem Mann bzw. Vater nach Serbien zu folgen, einem Land, das ihnen zumindest aus Ferienaufenthalten bekannt sei.
2.5. Die Einwände des Beschwerdeführers sind nicht geeignet, die vorinstanzliche Verhältnismässigkeitsprüfung als rechtswidrig erscheinen zu lassen. Er, der trotz einer attestierten Arbeitsfähigkeit von 100 % in angepassten Berufen schon bisher bloss für kürzere Zeit und nicht regelmässig erwerbstätig war, hat seine massive Sozialhilfeabhängigkeit (auch) selbstverschuldet. Mehrmalige Verwarnungen und Aufforderungen, sich davon zu lösen, blieben erfolglos. Ferner ist eine erfolgreiche Integration des Beschwerdeführers weder dargetan noch ersichtlich. Er ist erst im Erwachsenenalter in die Schweiz gekommen, spricht serbisch und hat noch nahe Familienangehörige in Serbien wo er sich trotz seiner Lese- und Schreibschwäche wieder wird integrieren können. Dass die allgemeinen Lebensumstände dort ungünstiger sein mögen als in der Schweiz, begründet noch keine Unzumutbarkeit (Urteil 2C_ 496/2013 vom 15. Dezember 2013 E. 3.7.3).
Der Beschwerdeführer lebte sodann schon bisher zeitweilig getrennt von seiner Familie. Die Niederlassungsbewilligung seiner Ehefrau wurde nicht widerrufen, so dass es dieser frei steht, ob sie ihrem Mann nach Serbien folgen will. Dasselbe gilt für die Kinder, wobei die Tochter ohnehin bald volljährig wird.
Auch wenn die privaten Interessen des Beschwerdeführers und insbesondere seiner Familie von einigem Gewicht sind, hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, wenn sie die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers als verhältnismässig erachtet hat.
2.6. Damit sind auch die Voraussetzungen für einen Eingriff in das von Art. 8 EMRK geschützte Familienleben erfüllt: Die umfassende Interessenabwägung, die die Vorinstanz in dieser Konstellation vornehmen musste (vgl. dazu Urteil 2C_496/2013 vom 15. November 2013 E. 3.7.1/3.7.2 mit Hinweisen) erweist sich als bundesrechts- bzw. konventionskonform. Der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte anerkennt im Übrigen ausdrücklich, dass Sozialhilfeabhängigkeit im Rahmen aufenthaltsbeendender Massnahmen berücksichtigt werden darf (vgl. Urteil Hasanbasic gegen die Schweiz vom 11. Juni 2013 [52166/09], § 59, vgl. auch das Urteil des Bundesgerichts 2C_877/2013 vom 3. Juli 2014 E. 3.2.2 mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Der Beschwerdeführer trägt grundsätzlich die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>). Da der angefochtene Entscheid vollumfänglich der Rechtslage und der Praxis des Bundesgerichts entspricht, muss die Beschwerde als aussichtslos beurteilt und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abgewiesen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juli 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein