Sachverhalt:
A. X._ fuhr am 5. Juni 2009 mit seinem Auto auf der A1 Richtung Bern. Die Kantonspolizei Aargau stellte im Raum Walterswil einen ungenügenden Abstand von diesem gegenüber dem vorausfahrenden Personenwagen fest und hielt den Sachverhalt mit Digitalfotos fest.
In der Folge verurteilte die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn X._ am 7. Januar 2010 rechtskräftig zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von 10 Tagessätzen von Fr. 150.-- und einer Busse von Fr. 400.--, weil dieser "einen ungenügenden Abstand zum vorausfahrenden PW von lediglich 15 Meter über eine Distanz von ca. 1'200 Meter bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 125 km/h (entspricht einem Zeitwert von 0.4 Sekunden) eingehalten und dadurch eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer Verkehrsteilnehmer hervorgerufen" hatte.
B. Auf polizeiliche Meldung hin eröffnete das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern ein Administrativverfahren. Am 5. November 2010 entzog es X._ gestützt auf Ar. 16b Abs. 1 lit. a und <ref-law> den Führerausweis für die Dauer eines Monats.
X._ führte Beschwerde bei der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern (im Folgenden: Rekurskommission). Diese wies die Beschwerde ab, hob die Verfügung der Administrativbehörde auf und entzog den Führerausweis gestützt auf Art. 16c Abs. 1 lit. a und <ref-law> für eine Dauer von drei Monaten.
C. Gegen diesen Entscheid der Rekurskommission führt X._ beim Bundesgericht am 10. Oktober 2011 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er stellt folgende Anträge:
"1. Das Urteil des Entzugs des Fahrausweises sei aufzuheben.
2. Es ist eine Entschädigung in zu definierender Höhe zu entrichten (Kosten für Beratung und eigene Aufwände).
3. Bei Einsprachen gegen eine bestehende Verfügung darf eine Rekurskommission prinzipiell keine Verschärfung des Strafmasses vornehmen. Auch daher ist die Verfügung als ungültig zu erklären.
4. Die Aufgabe und Arbeitsweise der Rekurskommission ist zu hinterfragen. Die organisatorische Einbettung (Befangenheiten) und die personelle Besetzung sind zu überprüfen, eventuell neu zu konstituieren."
Auf die Beschwerdebegründung im Einzelnen ist in den Erwägungen einzugehen.
Die Rekurskommission beantragt mit ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Strassen ASTRA beantragt unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung.
Der Beschwerdeführer hat am 2. Februar 2012 seine Replik eingereicht und an seinen Anträgen festgehalten.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid im Sinne von <ref-law> in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> ist zulässig. Der Beschwerdeführer ist als Verfügungsadressat im Sinne von <ref-law> zur Beschwerde legitimiert. Die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>).
Mit der Beschwerde kann laut <ref-law> namentlich die Verletzung von Bundesrecht (inkl. Bundesverfassungsrecht) geltend gemacht werden. Der Beschwerdeführer hat gemäss <ref-law> in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nach <ref-law> nur, soweit solche Rügen vorgebracht und begründet werden. Pauschale Verweisungen auf Rechtsschriften in den vorangehenden Verfahren genügen diesen Begründungsanforderungen nicht (<ref-ruling> E. 1.3 S. 306). Ob diese Anforderungen an die Beschwerdeschrift erfüllt sind, wird im entsprechenden Sachzusammenhang zu prüfen sein.
2. Zum Verfahrensgegenstand im vorliegenden Fall rechtfertigen sich einleitend die folgenden Vorbemerkungen:
Der Beschwerdeführer ist mit einer Strafverfügung der Staatsanwaltschaft Solothurn zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe und einer Busse verurteilt worden. Im Strafbefehl ist festgehalten, dass der Beschwerdeführer "einen ungenügenden Abstand zum vorausfahrenden PW von lediglich 15 Meter über eine Distanz von ca.1'200 Meter bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 125 km/h (entspricht einem Zeitwert von 0.4 Sekunden) eingehalten und dadurch eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer Verkehrsteilnehmer hervorgerufen" hat.
Der Beschwerdeführer hat gegen die Strafverfügung vorerst Einsprache erhoben, diese später wieder zurückgezogen, wie dem angefochtenen Entscheid zu entnehmen ist (E. 2 am Ende). Damit ist die Strafverfügung in Rechtskraft erwachsen und das Strafverfahren abgeschlossen worden. Auf dieses kann grundsätzlich nicht mehr zurückgekommen werden. Aus diesen Gründen ist auch auf die Vorwürfe, die Aargauer Polizei sei schikanös und überheblich aufgetreten und habe ihm persönlich verletzende und peinliche Fragen gestellt, nicht einzugehen.
Das daran anschliessende Administrativverfahren wird grundsätzlich unabhängig vom vorangehenden Strafverfahren geführt. Es steht hier keine Strafe, sondern vielmehr eine allfällige Massnahme nach SVG zur Diskussion. Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt als Administrativbehörde hat einen Führerausweisentzug für eine Dauer von einem Monat angeordnet. Daraufhin hat die Rekurskommission die Dauer auf drei Monate erhöht. Vorliegend bildet einzig die Massnahme des Führerausweisentzugs im Sinne des angefochtenen Entscheides Gegenstand des Verfahrens.
3. Der Beschwerdeführer zieht in genereller Weise die Aufgabe und Arbeitsweise der Rekurskommission in Frage, beklagt sich über deren fehlende Transparenz und macht sinngemäss geltend, sie sei voreingenommen und bilde für Aussenstehende eine "Black Box".
Die Rekurskommission hat in ihrer Vernehmlassung ihre Stellung, ihre Wahl durch den Grossen Rat und das von ihr zu beachtende Verfahren unter Hinweis auf die gesetzlichen Grundlagen im Einzelnen dargelegt. Der Beschwerdeführer hat in seiner Replik in keiner Weise darauf Bezug genommen und sich mit der angegebenen Begründung nicht auseinandergesetzt. Er begründet nicht, worin Anzeichen für eine angebliche Voreingenommenheit oder Befangenheit bestehen sollen. Solche sind denn auch nicht ersichtlich. Auf die sinngemäss erhobene Rüge der Verletzung von <ref-law> kann mangels hinreichender Begründung von vornherein nicht eingetreten werden.
4. Der Beschwerdeführer beanstandet weiter, dass die Rekurskommission die Dauer des Führerausweisentzugs nicht zu seinen Lasten von einem auf drei Monate hätte erhöhen dürfen. Er macht damit eine Verletzung des Verbots der reformatio in peius geltend.
Die Rekurskommission hat in ihrer Vernehmlassung auf die gesetzlichen Bestimmung im bernischen Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG) hingewiesen und dargelegt, dass Art. 73 Abs. 1 VRPG eine Änderung der angefochtenen Verfügung zuungunsten der beschwerdeführenden Partei wegen Rechtsverletzung erlaubt und dass sie dem Beschwerdeführer gemäss Art. 73 Abs. 2 VRPG Gelegenheit zur Stellungnahme und zum Beschwerderückzug gegeben habe.
In seiner Replik setzt sich der Beschwerdeführer weder mit den Grundlagen zur reformatio in peius noch mit dem aktenkundigen Schriftenwechsel auseinander. Auch in der Beschwerdeschrift legt er nicht dar, weshalb die Zuständigkeit zur Verschärfung der Massnahme und das beachtete Verfahren gegen Bundesrecht im Sinne von <ref-law> verstossen sollte. Eine Rechtsverletzung ist denn auch nicht ersichtlich. Mangels einer substanziierten Begründung kann in diesem Punkt auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
5. Der Beschwerdeführer bestreitet im Wesentlichen den Sachverhalt, den die Rekurskommission ihrem Entscheid zugrunde legte. In Bezug auf diese Rüge sind zu unterscheiden die Bindung der Administrativbehörde an die Sachverhaltsfeststellung des Strafurteils einerseits und die Verbindlichkeit der von der Vorinstanz zugrunde gelegte Sachverhalt für das Bundesgericht andererseits.
5.1 Nach der Rechtsprechung darf die Verwaltungsbehörde von den tatsächlichen Feststellungen im Strafurteil nur abweichen, wenn sie Tatsachen feststellt und ihrem Entscheid zugrunde legt, die dem Strafrichter unbekannt waren, oder wenn sie zusätzliche Beweise erhebt, sowie wenn der Strafrichter bei der Rechtsanwendung auf den Sachverhalt nicht sämtliche Rechtsfragen abgeklärt hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 368). Die Verwaltungsbehörde hat vor allem auf die Tatsachen im Strafurteil abzustellen, wenn dieses im ordentlichen Verfahren mit öffentlicher Verhandlung unter Anhörung von Parteien und Einvernahme von Zeugen ergangen ist, es sei denn, es bestünden klare Anhaltspunkte für die Unrichtigkeit dieser Tatsachenfeststellung; in diesem Fall hat die Verwaltungsbehörde nötigenfalls selbstständige Beweiserhebungen durchzuführen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 451; <ref-ruling> E. 1c/aa S. 106; <ref-ruling> E. 3c S. 160). Die Verwaltungsbehörde ist aber auch an einen Strafentscheid gebunden, der im Strafbefehlsverfahren ergangen ist, bei dem die Behörde auf einen Polizeibericht abstellt, der auf Wahrnehmungen der Polizeibeamten an Ort und Stelle beruht und sich auf Aussagen von Beteiligten stützt, die unmittelbar nach dem Vorfall eingeholt wurden und für den Führerausweisentzug massgebend sind. Dies gilt namentlich, wenn der Betroffene weiss, oder davon ausgehen muss, dass neben dem Strafverfahren ein Administrativverfahren eröffnet wird. Entsprechend dem Grundsatz von Treu und Glauben muss der Betroffene allfällige Verteidigungsrechte und Beweisanträge im Strafverfahren vorbringen und dort gegebenenfalls alle Rechtsmittel ausschöpfen (<ref-ruling> E. 3c/aa S. 103; <ref-ruling> E. 3a S. 217).
In der Strafverfügung vom 7. Januar 2010 hielt die Staatsanwaltschaft in tatsächlicher Hinsicht fest, dass der Beschwerdeführer bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 125 km/h über eine Distanz von 1'200 m zum vorausfahrenden Personenwagen einen Abstand von (lediglich) 15 m eingehalten habe. Sie konnte sich dabei auf einen Polizeirapport und namentlich auf die von der Aargauer Polizei aus fahrendem Auto über eine Distanz von 1'200 m gemachten drei Digitalfotos stützen, welche sich in den Akten befinden.
Die Einwände des Beschwerdeführers sind nicht geeignet, die Bindungswirkung der Strafverfügung für die Administrativbehörde in Frage zu stellen. Die Kritik an der Sachverhaltsfeststellung hätte er mit seiner Einsprache gegen die Strafverfügung bzw. ihrer Aufrechterhaltung geltend machen können und müssen. Es ist unerheblich, dass die Polizei möglicherweise die bezeichneten Höchstgeschwindigkeiten überschritten hatte, als sie ihm folgte bzw. ihn überholte. Ohne Bedeutung ist ebenso der Umstand, dass sie - aus dem fahrenden Auto - keine Geschwindigkeitsmessungen vorgenommen hatte.
Es liegt somit keine Konstellation vor, in der die Administrativbehörde vom Sachverhalt, wie er im Strafverfahren festgestellt worden ist, abweichen könnte.
5.2 Das Bundesgericht legt seiner Beurteilung nach <ref-law> den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann gemäss <ref-law> nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. Die Sachverhaltsrüge ist entsprechend zu begründen.
Der Beschwerdeführer vermag nicht darzutun, dass der Sachverhalt, auf den sich die Rekurskommission stützt, offensichtlich unrichtig ist. Daran ändert der Einwand nichts, das Aufschliessen auf den voranfahrenden Personenwagen sei nie auf der ganzen Strecke und nie mit der angegebenen Geschwindigkeit erfolgt. Er legt nicht dar, weshalb er - entgegen den Fotos - während der Durchfahrt der 1'200 m langen Strecke nicht zwei Lastwagen hätte überholen können. Die Rüge des offensichtlich unrichtigen Sachverhalts ist daher unbegründet.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann auch nicht gesagt werden, die Sachverhaltsfeststellung beruhe auf einer Rechtsverletzung. In dieser Hinsicht macht er sinngemäss geltend, er habe die drei Fotos nie zu Gesicht bekommen und es sei ihm daher das rechtliche Gehör verweigert worden. Er belegt nicht, dass er ein entsprechendes Gesuch um Einsicht in die Akten gestellt hätte und ihm diese Einsicht verweigert worden wäre. Darüber hinaus ist im Polizeirapport festgehalten: "Der Sachverhalt wurde mittels Digitalfotos dokumentiert. Die Einsichtnahme in das Beweismittel wurde am Anhalteort gewährt." Somit erweist sich auch diese Rüge als unbegründet.
6. 6.1 Die Rekurskommission wies im angefochtenen Entscheid auf die Regeln hin, welche gebieten, gegenüber allen Strassenbenützern und namentlich beim Hintereinanderfahren einen ausreichenden Abstand zu wahren (<ref-law>, Art. 12 Abs. 1 Verkehrsregelverordnung). Sie legte ferner dar, dass der Beschwerdeführer durch seine Fahrweise eine schwere, erhöht abstrakte Gefährdung des übrigen Verkehrs schuf und ihn dabei ein schweres Verschulden traf. Daher liege eine schwere Widerhandlung gegen Verkehrsregeln im Sinne von <ref-law> vor und sei der Führerausweis nach <ref-law> für mindestens drei Monate zu entziehen.
6.2 Das Strassenverkehrsgesetz unterscheidet zwischen der leichten, mittelschweren und schweren Widerhandlung (Art. 16a-16c SVG). Eine leichte Widerhandlung im Sinne von <ref-law> begeht, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine geringe Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft und ihn dabei nur ein leichtes Verschulden trifft. Gemäss <ref-law> begeht eine mittelschwere Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt. Nach <ref-law> begeht eine schwere Widerhandlung, wer durch grobe Verletzung von Verkehrsregeln eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt. Nach einer schweren Widerhandlung wird der Führerausweis gemäss <ref-law> für mindestens drei Monate entzogen. Die mittelschwere Widerhandlung nach <ref-law> stellt einen Auffangtatbestand dar. Eine solche liegt vor, wenn nicht alle privilegierenden Elemente einer leichten Widerhandlung gemäss <ref-law> und nicht alle qualifizierenden Elemente einer schweren Widerhandlung nach <ref-law> gegeben sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 452; <ref-ruling> E. 2.2 S. 140).
6.3 Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Erwägungen der Rekurskommission nicht auseinander. Er legt nicht dar, weshalb die begangene Verkehrsregelverletzung nicht als schwer im Sinne von <ref-law> zu betrachten sei. Seine Einwände sind unbehelflich: Es ist nicht von Bedeutung, dass er keine Nötigung begangen habe; unbeachtlich ist, ob ein Fahrzeuglenker, der die Überholspur nicht freigegeben haben soll, hätte belangt werden müssen; nicht entscheidend ist, dass der Beschwerdeführer nach seinen Aussagen immer damit gerechnet hatte, der voranfahrende Personenwagen würde wieder die Spur wechseln.
Ein Abstand zum voranfahrenden Fahrzeug von 15 m bei einer Fahrgeschwindigkeit von 125 km/h kann ohne Bundesrechtsverletzung als schwere Widerhandlung gemäss <ref-law> qualifiziert werden. Hierfür spricht in objektiver Hinsicht bereits der sog. Zeitwert oder zeitliche Abstand von 0.4, d.h. die Dauer zur Durchquerung des Abstands zum Vorderauto. Dieser Abstand hätte eine Reaktion auf ein bestimmtes Verhalten des voranfahrenden Fahrzeuglenkers nicht erlaubt (vgl. zur Kasuistik Urteil 1C_502/2011 vom 6. März 2012 E.3, mit Hinweisen; feiner Philippe Weissenberger, Kommentar zum Strassenverkehrsgesetz, 2011, N. 12 f. zu <ref-law>). In subjektiver Hinsicht darf die lange Strecke berücksichtigt werden, auf der der Beschwerdeführer keinen ausreichenden Abstand eingehalten hatte.
Gesamthaft gesehen hat die Rekurskommission mit der Qualifizierung als schwere Widerhandlung kein Bundesrecht verletzt. In Anbetracht dieses Umstandes ergibt sich aus <ref-law> zwingend ein Führerausweisentzug von mindestens drei Monaten. Auch in dieser Hinsicht ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden.
7. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Dieser hat von vornherein keinen Anspruch auf eine Entschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt und der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern sowie dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Steinmann