Sachverhalt:
A.
A._ arbeitete ab xxx 1992 mit einem Vollzeitpensum als Projektleiter beim Amt Z._ des Kantons Zürich. Am yyy 2009 reichte seine Ehefrau eine Strafanzeige gegen ihn ein. Sie bezichtigte ihn darin, zum Nachteil des Kantons Zürich die Bezahlung von massiv überhöhten Rechnungen an einen Lieferanten veranlasst und sich mit diesem einen Teil der unrechtmässigen Bereicherung geteilt zu haben. Eine Kopie der Strafanzeige sandte sie je an das der zuständigen Direktion vorstehende Mitglied des Regierungsrats, an den Vorsteher sowie an den Abteilungsleiter des Amtes Z._. Aufgrund der in der Strafanzeige erhobenen Anschuldigungen wurde A._ am zzz 2009 am Arbeitsplatz verhaftet und danach in Untersuchungshaft versetzt. Mit Verfügung vom 10. Juli 2009 stellte ihn das Amt Z._ vorsorglich im Amt ein. Am 28. Juli 2009 verfügte es die fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses aus von A._ verschuldeten wichtigen Gründen. A._ reichte hiegegen Rekurs bei der zuständigen Direktion des Kantons Zürich ein. Der Vorsteher der Direktion trat in den Ausstand, weshalb diese die Sache zur Behandlung an den Gesamtregierungsrat überwies. Mit Entscheid vom 6. März 2012 wies der Regierungsrat den Rekurs ab, soweit er auf diesen eintrat und ihn nicht als gegenstandslos betrachtete.
B.
A._ erhob beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde mit dem hauptsächlichen Antrag, in Aufhebung des regierungsrätlichen Entscheides sei festzustellen, dass die fristlose Entlassung zu Unrecht erfolgt sei, und sei er aufgrund der ungerechtfertigten Entlassung mit einem Betrag von mindestens Fr. 182'952.-, eventuell mit einem Betrag von Fr. 230'726.75 zuzüglich Zins zu 5 % seit wann rechtens, zu entschädigen. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 3. Oktober 2012 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es sei der Entscheid vom 3. Oktober 2012 aufzuheben und die Sache zur materiellen Neubeurteilung resp. zur allfälligen Durchführung der beantragten Zeugenbefragungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
D.
Mit Eingabe vom 19. Dezember 2012 lässt A._ einen neuen Beleg (von ihm versandtes E-Mail vom 14. Dezember 2012) einreichen.
E.
Mit Verfügung des Bundesgerichts vom 15. Februar 2013 wird das Verfahren bis zum Entscheid des kantonalen Gerichts über das zwischenzeitlich von A._ eingereichte Gesuch um Revision des Entscheids vom 3. Oktober 2012 sistiert. Mit Entscheid vom 12. April 2013 tritt die Vorinstanz auf das Revisionsbegehren nicht ein. A._ übermittelt dem Bundesgericht diesen Entscheid mit Eingabe vom 23. April 2013.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, welcher nicht beim Bundesverwaltungsgericht anfechtbar ist (Art. 86 Abs. 1 lit. d) und ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis, d.h. eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts betrifft (<ref-law>). Der auf dem Gebiet öffentlich-rechtlicher Arbeitsverhältnisse zu beachtende Ausschlussgrund (<ref-law>) kommt nicht zur Anwendung, da der zu beurteilende Streit um eine Kündigung und damit einhergehende finanzielle Forderungen vermögensrechtlicher Natur ist und die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- (Art. 85 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit <ref-law>) erreicht wird. Die übrigen Voraussetzungen für das Eintreten auf die Beschwerde sind ebenfalls erfüllt.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Soweit sich der angefochtene Entscheid auf Quellen das kantonalen Rechts stützt, welche nicht in Art. 95 lit. c-e BGG genannt werden, beschränkt sich die Überprüfung des Bundesgerichts auf die Frage, ob die Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Im Vordergrund steht dabei eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 95 mit Hinweis).
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3.
Die Eingaben des Beschwerdeführers vom 19. Dezember 2012 und 23. April 2013 sind nach Ablauf der Beschwerdefrist, und ohne dass eine Vernehmlassung dazu Anlass gegeben hätte, eingereicht worden. Die darin enthaltenen Vorbringen können daher keine Beachtung finden (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 Ingress S. 21; <ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47; je mit Hinweisen). Gleiches gilt, auch unter dem Gesichtspunkt des instanzenbezogenen Novenverbots, für das neu aufgelegte E-Mail und die darauf gerichteten Äusserungen in der Eingabe vom 19. Dezember 2012, denn es kann nicht gesagt werden, erst der vorinstanzliche Entscheid habe dazu Anlass gegeben (vgl. <ref-law>).
4.
Der angefochtene Entscheid stützt sich auf § 22 des kantonalzürcherischen Gesetzes über das Arbeitsverhältnis des Staatspersonals vom 27. September 1998 (LS 177.10; Personalgesetz). Diese Bestimmung lautet, soweit hier von Interesse, wie folgt: Das Arbeitsverhältnis kann aus wichtigen Gründen beidseitig ohne Einhaltung von Fristen jederzeit aufgelöst werden. Die Auflösung erfolgt schriftlich und mit Begründung (Abs. 1). Als wichtiger Grund gilt jeder Umstand, bei dessen Vorhandensein nach Treu und Glauben die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nicht zumutbar ist (Abs. 2). Tatbestand und Rechtsfolgen der fristlosen Auflösung richten sich nach den Bestimmungen des Obligationenrechts. Eine Abfindung nach § 26 bleibt vorbehalten (Abs. 4).
4.1. Gemäss dem angefochtenen Entscheid war der Beschwerdeführer während zehn Jahren gleichzeitig als Auftraggeber und als Beauftragter für die X._ AG resp. deren Inhaber B._ tätig. In seiner Funktion als Projektleiter des Amtes Z._ erteilte er der X._ AG selbstständig vier Aufträge im Gesamtbetrag von Fr. 50'000.-. Zugleich liess er sich in derselben Zeitspanne von B._ Leistungen mit mindestens Fr. 25'000.- entschädigen.
Der Beschwerdeführer hat diese Verhaltensweisen im vorinstanzlichen Verfahren bestätigt und wiederholt dies auch vor Bundesgericht. Umstritten ist, ob diese Verhaltensweisen die ausgesprochene fristlose Kündigung rechtfertigen.
4.2. Das kantonale Gericht hat dazu als Erstes erkannt, als langjähriger Mitarbeiter des Amtes Z._ habe der Beschwerdeführer die im öffentlichen Beschaffungswesen geltende Pflicht, jeglichen - auch bloss virtuellen - Interessenkonflikt zu vermeiden, gekannt. Er habe somit gewusst, dass er nicht zugleich als staatlicher Auftraggeber und privater Beauftragter ein und derselben Firma habe tätig werden dürfen. Trotz dieses Wissens habe er sich während Jahren heimlich in einer solchen verbotenen Doppelrolle betätigt. Unerheblich sei in diesem Zusammenhang, ob dem Staat Zürich durch dieses Verhalten des Beschwerdeführers irgendwelche finanziellen Nachteile entstanden seien. Ebenfalls bedeutungslos sei, dass es sich um eher kleine Aufträge gehandelt habe, welche von ihm freihändig vergeben worden seien, und dass er neben der X._ AG auch noch andere Unternehmen bei der Vergabe berücksichtigt habe. Das Gebot, jegliche Interessenkonflikte zu vermeiden, gelte im Submissionswesen absolut. Es bestehe mithin unabhängig von der Höhe, Anzahl oder Dringlichkeit der vergebenen Aufträge. Bereits der blosse Verdacht, ein dem Behördenmitglied nahestehendes Unternehmen werde begünstigt, genüge, um das Vertrauen der Öffentlichkeit in ein unabhängiges staatliches Vergabewesen nachhaltig zu erschüttern. Vorliegend müsse dies umso mehr gelten, als der Beschwerdeführer stellvertretender Abteilungsleiter gewesen sei und als solcher besonders hohen Ansprüchen an die persönliche Unabhängigkeit zu genügen habe. Die von ihm ausgeübte Doppelrolle sei nicht mit seiner dienstlichen Stellung zu vereinbaren und damit von vornherein unzulässig. An dieser Einschätzung vermöge auch die Behauptung des Beschwerdeführers nichts zu ändern, noch weitere Mitarbeiter des Amtes Z._ seien in einer vergleichbaren Doppelrolle tätig. Sinngemäss mache der Beschwerdeführer damit geltend, er habe Anspruch auf Gleichbehandlung im Unrecht. Ein solcher Anspruch auf gesetzwidrige Gleichbehandlung bestehe nach der Rechtsprechung aber nur unter bestimmten Voraussetzungen, welche hier nicht gegeben seien. Und selbst wenn dies so wäre, hülfe dies dem Beschwerdeführer nicht weiter. Das Interesse der Öffentlichkeit an einem unabhängigen staatlichen Vergabewesen wäre in jedem Fall höher zu gewichten als das private Interesse des Beschwerdeführers, gleich wie allfällige weitere Mitarbeiter des Amtes Z._ auf unzulässige Weise einen Nebenverdienst erzielen zu dürfen. Aus demselben Grund könne es auch keine Rolle spielen, ob sein direkter Vorgesetzter Kenntnis von seinem Tun gehabt habe. Entsprechend erübrige es sich, den Vorgesetzten und den Bruder des Beschwerdeführers als Zeugen einzuvernehmen. Auch die in der Beschwerde unter Verweis auf den Rücktritt des früheren Vorstehers und auf die im "Bericht Y._" aufgezeigten Missstände im Amt seien vorliegend irrelevant. Der Beschwerdeführer könne sein Fehlverhalten nicht mit allfälligen weiteren Unregelmässigkeiten rechtfertigen.
Die Vorinstanz hat weiter erwogen, der Beschwerdeführer sei nicht bloss einmal, sondern wiederholt während mehrerer Jahre in einer unzulässigen Doppelrolle tätig gewesen. Dadurch habe er sich einer schweren Pflichtverletzung im Sinne von § 22 Abs. 1 f. PG schuldig gemacht und das in ihn gesetzte hohe Vertrauen unwiderruflich zerstört. Denn gerade bei einem Gemeinwesen gälten erhöhte Anforderungen hinsichtlich Transparenz. Wolle das Amt Z._ seinen Ruf als unabhängige Vergabestelle bewahren, könne es keine Mitarbeiter beschäftigen, die in ihrer Funktion als Vertreter des Staats an befreundete Unternehmer Aufträge erteilten und sich im Gegenzug von diesen heimlich für eigene Dienstleistungen entschädigen liessen. Dies müsse umso mehr gelten, als dem Beschwerdeführer jegliche Einsicht in die Unzulässigkeit seines Tuns fehle. So habe er noch in seinen letzten beiden Rechtsschriften vehement bestritten, mit seinem Tun gegen submissionsrechtliche Vorschriften verstossen zu haben. Unter diesen Umständen wäre ernsthaft zu befürchten gewesen, dass er sich im Falle einer Weiterbeschäftigung erneut über die Pflicht, jegliche Interessenkonflikte zu meiden, hinweggesetzt hätte. Eine Verwarnung als mildere Massnahme wäre daher nicht ausreichend gewesen. Zusammenfassend erweise sich die fristlose Kündigung als verhältnis- und rechtmässig.
4.3. In der Beschwerde wird als Erstes geltend gemacht, der angefochtene Entscheid verletze Bestimmungen des Obligationenrechts zur fristlosen Entlassung sowie zur Zulässigkeit von Nebenbeschäftigungen und damit Bundesrecht.
Gelten indessen durch Verweis im kantonalen öffentlichen Recht ergänzend die Bestimmungen des Obligationenrechts, sind diese nicht als Bundesrecht, sondern als subsidiäres öffentliches Recht des Kantons anwendbar. Entsprechend ist die Bundesrechtsrüge gemäss <ref-law> auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte beschränkt (vgl. Urteile 8C_871/2011 vom 13. Juni 2012 E. 4.3.3 mit Hinweis; 8C_810/2011 vom 12. März 2012 E. 4.3; 8C_294/2011 vom 29. Dezember 2011 E. 3.4, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen; E. 2 hievor).
4.4. Als - demnach einzig zulässige - Rügen bringt der Beschwerdeführer vor, der angefochtene Entscheid verletze seinen Anspruch auf Mitwirkung am Beweisverfahren gemäss Art. 29 in Verbindung mit <ref-law> sowie seinen Anspruch auf rechtsgleiche Behandlung nach <ref-law>.
4.4.1. Die Verletzung beweisrechtlicher Ansprüche sieht der Beschwerdeführer darin, dass die Vorinstanz die von ihm beantragten Zeugeneinvernahmen mit einem Vorgesetzten und Mitarbeitern nicht durchgeführt hat. Nach seiner Auffassung ergäbe sich aus diesen Einvernahmen, dass der Vorgesetzte von der Nebenbeschäftigung des Beschwerdeführers gewusst habe und dass andere Mitarbeiter des Amtes Z._ ebenfalls sowohl in ihrer amtlichen Stellung als auch privat für den gleichen Auftraggeber tätig gewesen seien. Diese Zeugenaussagen seien als Beurteilungsmassstab dafür erforderlich, ob das Verhalten des Beschwerdeführers eine schwerwiegende oder aber nur eine mittlere oder gar nur eine leichte Pflichtverletzung darstelle. Nur eine schwerwiegende Pflichtverletzung vermöchte die ausgesprochene fristlose Kündigung zu rechtfertigen.
Dieser Einwand ist unbegründet. Das Verhalten des Beschwerdeführers war geeignet, das Vertrauen der Öffentlichkeit in ein korrektes staatliches Beschaffungswesen nachhaltig zu erschüttern. Es untergrub damit auch das Vertrauen des Staates in den Beschwerdeführer als mit entsprechenden Aufgaben betrauten Angestellten. Daran kann kein Zweifel bestehen. Ebenso offensichtlich ist dieses Verhalten dem Beschwerdeführer selbst bei Kenntnis des Vorgesetzten oder bei vergleichbaren Verhaltensweisen von Mitarbeitern als grob pflichtwidrig anzulasten. Ob der Vorgesetzte davon wusste und ob Mitarbeiter sich ebenfalls pflichtwidrig verhielten, kann daher offenbleiben. Denn selbst wenn eines oder beides zuträfe, vermöchte dies nichts an der Beurteilung zu ändern, dass der Beschwerdeführer seine amtlichen Pflichten schwer verletzt hat. Dass die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung die Zeugeneinvernahmen als nicht entscheidrelevant betrachtet und daher davon abgesehen hat, ist daher nicht verfassungswidrig.
4.4.2. Das Gleichbehandlungsgebot sieht der Beschwerdeführer mit der Begründung als verletzt, es könne nicht sein, dass er als Angestellter des Staates schlechter gestellt werde als ein privatrechtlich Angestellter. Bei Letzterem vermöchte das hier zur Diskussion stehende Verhalten keine fristlose Entlassung zu rechtfertigen.
Wer als Angestellter der öffentlichen Hand Beschaffungsaufträge vergibt, ist besonderen Verhaltensregeln unterworfen. Das soll, wie das kantonale Gericht einlässlich und überzeugend dargelegt hat (vgl. E. 4.2 hievor), namentlich gewährleisten, dass die Öffentlichkeit das Vertrauen in das staatliche Vergabewesen nicht verliert. Diese Zielsetzung rechtfertigt, andere Anforderungen an solche Angestellte zu stellen als an Arbeitnehmer eines nichtstaatlichen Unternehmens. Die Vorgaben, nach welchen sich der Beschwerdeführer hier zu richten hatte und deren Verletzung ihm angelastet wird, halten vor dem Gleichbehandlungsgebot ohne weiteres stand. Gleiches gilt für die Würdigung des Verhaltens des Beschwerdeführers, welches das kantonale Gericht nach diesen Prämissen vorgenommen hat. Eine Verletzung von Verfassungsrecht liegt somit auch hier nicht vor. Die Beschwerde ist daher diesbezüglich ebenfalls unbegründet, was zu ihrer Abweisung führt.
Offenbleiben kann damit, ob auch - mutatis mutandis - vergleichbare Verhaltensweisen von Angestellten privater Unternehmen eine fristlose Entlassung zu rechtfertigen vermöchten.
5.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Mai 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz