Faits:
A.
A._ est au bénéfice d'une formation pédagogique et a travaillé dès 1997 comme directrice de crèche au service de X._. Saisi d'une demande de prestations présentée par la prénommée le 22 janvier 2004, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) l'a mise au bénéfice d'une demi-rente de l'assurance-invalidité du 1 er novembre au 31 décembre 2005 (décision du 4 novembre 2009).
Le 12 novembre 2009, A._ a déposé une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité. Entre autres mesures d'instruction, l'office AI a confié une expertise à son Service médical régional (SMR), où les docteurs U._, spécialiste FMH en médecine physique et réadaptation, et C._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, ont examiné l'assurée. En plus de diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail (dont ceux de trouble douloureux chronique et trouble dépressif récurrent, en rémission), ces médecins ont posé celui de lombosciatalgies gauches chroniques (hernie discale médiane et paramédiane L4-L5 gauche au contact de la racine L5, discopathie étagée avec arthrose postérieure), qui limitaient à 75 % la capacité de travail de l'intéressée dans l'activité de directrice de crèche; l'assurée disposait en revanche d'une capacité de travail entière dans une activité adaptée, respectant les limitations décrites (rapport du 11 avril 2011). Fort de ces conclusions, l'office AI a rendu une décision le 12 janvier 2012, par laquelle il a nié le droit de l'assurée à une rente de l'assurance-invalidité.
B.
Statuant le 25 janvier 2013 sur le recours formé par A._ contre cette décision, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, l'a rejeté.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, elle conclut principalement à l'octroi "à tout le moins" d'une demi-rente d'invalidité à partir du 1 er janvier 2006. A titre subsidiaire, elle conclut au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour qu'il statue au sens des considérants.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
En tant que les conclusions de la recourante portent sur le droit à une demi-rente d'invalidité (au moins) à partir du 1 er janvier 2006, elles concernent une période qui sort en partie du cadre de la contestation. La période courant du 1er janvier 2006 au 4 novembre 2009 a fait l'objet de la première décision de l'intimé, qui est entrée en force (et n'a pas été remise en cause par la suite sous l'angle d'une révision procédurale; cf. <ref-law>). Les conclusions relatives à cette période sont donc irrecevables. Comme l'a retenu à juste titre la juridiction cantonale (consid. 3 du jugement entrepris et <ref-ruling> et 263 cités), seul devait être examiné le point de savoir si, à la suite de la nouvelle demande de l'assurée (du 12 novembre 2009) après l'octroi limité dans le temps de prestations (cf. décision du 4 novembre 2009), la situation de fait s'était modifiée de manière à influencer les droits de la recourante. A cet égard, le jugement entrepris expose de manière complète les règles légales et la jurisprudence applicables au litige. Il suffit d'y renvoyer.
3.
Sur le plan formel, la recourante soulève le grief de violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.), en reprochant à la juridiction cantonale d'avoir suivi uniquement les conclusions des médecins du SMR sans ordonner une expertise médicale, alors qu'elles étaient contredites par d'autres rapports médicaux au dossier.
La violation du droit d'être entendu (sur cette notion en corrélation avec l'administration des preuves, cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 370 et les références) dans le sens invoqué par la recourante est une question qui n'a pas de portée propre par rapport au grief tiré d'une mauvaise appréciation des preuves. Le juge peut en effet renoncer à accomplir certains actes d'instruction sans que cela entraîne une violation du droit d'être entendu s'il est convaincu, en se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 352), que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation (sur l'appréciation anticipée des preuves: <ref-ruling> consid. 4b p. 94; <ref-ruling> consid. 1d p. 162). Il s'agit-là d'un grief qu'il convient d'examiner avec le fond du litige.
4.
Sur le fond, la recourante reproche en substance aux premiers juges d'avoir établi les faits de manière manifestement inexacte et arbitraire, en suivant les conclusions des docteurs U._ et C._ pour constater qu'elle disposait d'une capacité de travail entière dans une activité adaptée. Selon elle, ils auraient dû se fonder sur les rapports du docteur B._, spécialiste FMH en rhumatologie (du 4 juillet 2005), M._ (du 29 novembre 2006), I._ (du 17 juillet 2007) et O._ (du 28 août 2007), tous trois successivement médecins au SMR, pour retenir une capacité de travail de tout au plus 50 %.
4.1. Bien que les rapports d'examen réalisés par un SMR en vertu de l'<ref-law> ne soient pas des expertises au sens de l'<ref-law> et ne soient pas soumis aux mêmes exigences formelles (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 258), ils peuvent néanmoins revêtir la même valeur probante que des expertises, dans la mesure où ils satisfont aux exigences définies par la jurisprudence en matière d'expertise médicale (consid. 3.3.2 non publié de l'<ref-ruling> et les références). Même en tenant compte de la jurisprudence récente de la Cour européenne des droits de l'homme sur le principe de l'égalité des armes, tiré du droit à un procès équitable garanti par l'art. 6 § 1 CEDH, il n'existe pas, dans la procédure d'octroi ou de refus de prestations d'assurances sociales, de droit formel à une expertise menée par un médecin externe à l'assurance (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 468). Il convient toutefois d'ordonner une telle expertise si des doutes, même faibles, subsistent quant à la fiabilité et à la pertinence des constatations médicales effectuées par le service médical interne de l'assurance (<ref-ruling> consid. 4.6 p. 471).
4.2. Des considérations de la juridiction cantonale relatives à l'examen de la situation de l'assurée en novembre 2009 et en janvier 2012 à la lumière des pièces médicales au dossier, on peut déduire qu'elle a constaté, en se fondant sur le rapport du SMR du 11 avril 2011, que l'état de santé de la recourante ne s'était pas aggravé de manière à influencer son droit à des prestations depuis 2009. En particulier, elle a indiqué les raisons pour lesquelles l'évaluation du docteur B._ ne permettait pas de s'écarter des conclusions de ses confrères C._ et U._, selon lesquelles la recourante présentait une capacité de travail entière dans une activité adaptée. L'appréciation du docteur B._, spécialiste FMH en rhumatologie, portait sur une période antérieure au 4 novembre 2009 et ne correspondait donc pas à la période postérieure à cette date - déterminante en l'espèce (consid. 2 supra) -, sur laquelle les docteurs U._ et C._ avaient été invités à se prononcer.
La recourante n'expose pas en quoi ce motif conduisant à écarter l'expertise du 4 juillet 2005 serait insoutenable ou arbitraire. Elle se contente de soutenir que le docteur B._ a attesté d'une capacité de travail inférieure à celle retenue par la juridiction cantonale. Elle omet cependant de prendre en considération que ce médecin s'est exprimé bien avant le mois de novembre 2009, de sorte que son appréciation n'est pas apte à servir de fondement aux constatations de fait relatives à l'état de santé et à la capacité de travail de l'assurée à partir de cette date. Le motif retenu par l'autorité cantonale de recours, qui ne saurait donc être qualifié d'insoutenable, vaut également pour les autres appréciations médicales citées par la recourante, puisque les docteurs M._, I._ et O._ se sont prononcés sur son état de santé avant le mois de novembre 2009, dans le cadre de la procédure qui a pris fin par le prononcé du 4 novembre 2009. Au demeurant, la recourante ne saurait de toute évidence rien tirer en sa faveur des avis respectifs des médecins du SMR. Ceux-ci ont tous trois conclu à une capacité entière de travail dans une activité adaptée (aux problèmes rachidiens), seule déterminante eu égard au taux largement inférieur (à savoir 50 %) retenu par les médecins pour la capacité de travail dans la profession exercée avant l'atteinte à la santé (cf. <ref-law>).
4.3. La recourante affirme encore qu'il subsisterait des doutes (au sens de l'<ref-ruling>) sur la fiabilité et les conclusions de l'expertise du SMR, parce que ses auteurs n'ont fait état d'aucune limitation de la capacité de travail dans une activité adaptée pour les mois de novembre et décembre 2005, alors que l'intimé lui avait précisément reconnu une rente pour cette durée. Il est vrai que dans leur description du motif de l'examen, les docteurs U._ et C._ n'ont pas fait état de la décision de l'intimé du 4 novembre 2009 - indiquant se prononcer dans le cadre de l'opposition de l'assurée au projet d'octroi d'une demi-rente pour novembre et décembre 2005 -, ni retenu d'incapacité de travail dans une activité adaptée depuis le mois de juillet 2005. Le fait qu'ils ont donné une appréciation de la capacité de travail pour la période antérieure au 4 novembre 2009 différente de celle qu'avait retenue l'intimé dans sa première décision ne justifie toutefois pas de s'écarter de leurs considérations sur l'état de santé de l'assurée à partir de novembre 2009. Celles-ci apparaissent en effet dûment motivées et convaincantes au regard d'examens actualisés; en particulier, les médecins indiquent que leur évaluation tient compte des atteintes objectives à la santé sur le plan ostéoarticulaire "mises en évidence par les examens complémentaires réalisés à ce jour et les différents examens cliniques réalisés", et expliquent les raisons pour lesquelles ils ne retiennent aucun trouble d'ordre psychique limitant la capacité de travail de l'assurée.
Pour le reste, en se limitant à affirmer que le rapport du SMR est insuffisamment motivé parce qu'il est contraire aux conclusions "d'autres confrères ayant également officié comme experts", la recourante se borne à substituer sa propre appréciation à celle de la juridiction cantonale, ce qui ne suffit pas à en démontrer le caractère arbitraire. On rappellera à cet égard qu'il n'appartient pas au Tribunal fédéral de rechercher les raisons éventuelles pour lesquelles le jugement attaqué devrait être annulé, mais à la partie recourante d'établir, par une argumentation précise et qui se réfère concrètement au contenu des rapports médicaux qu'elle critique, en quoi l'appréciation opérée par l'autorité cantonale serait arbitraire ou ses constatations de fait manifestement inexactes ou incomplètes.
4.4. En conséquence de ce qui précède, les griefs de la recourante apparaissent mal fondés, de sorte qu'il n'y a pas lieu de s'écarter de l'appréciation des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale. Faute de doutes sur la pertinence des constatations des médecins internes à l'assurance-invalidité - l'absence de doutes constituant une constatation de fait, dont l'argumentation de la recourante n'établit pas le caractère manifestement inexact -, ils n'avaient pas à ordonner une expertise judiciaire (ou à enjoindre l'intimé de mettre en oeuvre une expertise auprès d'un médecin externe à l'assurance). On ajoutera que les principes posés par le Tribunal fédéral dans l'<ref-ruling> en matière de respect d'une procédure administrative et de recours équitable ne conduit pas à un autre résultat.
Les conclusions de la recourante sont, partant, mal fondées.
5.
Vu l'issue du litige, les frais de procédure sont mis à la charge de la recourante (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 22 juillet 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless