Sachverhalt:
A.
A.A._ und B.A._ wurden mit Urteil der Amtsgerichtsstatthalterin Olten-Gösgen vom 21. Juni 2013 geschieden. Sie sind Eltern von Tochter C.A._ (1997) und Sohn D.A._ (2000). Gemäss im Scheidungsurteil übernommener Vereinbarung der Parteien lebt C.A._ bei der Mutter, D.A._ beim Vater.
B.
B.a. Das Scheidungsurteil verpflichtete A.A._, für die Tochter einen Unterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 1'070.-- während sechs Monaten ab Rechtskraft des Urteils zu bezahlen, danach Fr. 1'110.-- (Ziff. 7 des Urteils). B.A._ wurde verpflichtet, für den Sohn einen Unterhaltsbeitrag zu bezahlen von monatlich Fr. 540.-- während sechs Monaten, danach Fr. 610.-- (Ziff. 8). Schliesslich sollte A.A._ seiner Ehefrau einen nachehelichen Unterhalt bezahlen von Fr. 830.-- während sechs Monaten ab Rechtskraft des Urteils, sodann Fr. 950.-- bis zur Mündigkeit des Sohnes und danach Fr. 350.--, bis zu seinem AHV-Eintritt (Ziff. 9). Weiter regelte das Urteil Punkte (Erziehungsbeistandschaft, Güterrecht, Überweisung an das Versicherungsgericht betreffend Teilung der Pensionskasse), welche vorliegend nicht mehr umstritten sind.
B.b. Während der Dauer des Scheidungsverfahrens hatte A.A._ gemäss Verfügung des Amtsgerichtsstatthalters von Olten-Gösgen vom 6. Juli 2012 noch monatlich Fr. 530.-- an den Unterhalt der Tochter (Ziff. 2) sowie Fr. 1'230.-- an die Ehefrau (Ziff. 3) zu bezahlen gehabt; die Ehefrau unterlag demgegenüber keiner Unterhaltspflicht.
C.
C.a. A.A._ erhob am 12. August 2013 beim Obergericht des Kantons Solothurn Berufung gegen die Unterhaltsregelung im Scheidungsurteil. Er beantragte, soweit nachträglich relevant, er sei zu verpflichten, an den Unterhalt der Tochter Fr. 1'070.-- zu bezahlen. Die Ehefrau habe an den Unterhalt des Sohnes Fr. 540.-- zu bezahlen. Seine Unterhaltsverpflichtung gegenüber der Ehefrau sei aufzuheben. Sodann sei <ref-law> vorzubehalten.
C.b. Am 22. August 2013 reichte A.A._ ein Gesuch um Abänderung der vorsorglichen Massnahmen (vorstehend B.b) ein. Das Obergericht wies das Gesuch mit Verfügung vom 18. Oktober 2013 ab.
C.c. In der Berufungsantwort vom 13. September 2013 erhob B.A._ Anschlussberufung. Sie beantragte, die Unterhaltsbeiträge an die Tochter seien auf Fr. 1'070.-- resp. nach Ablauf der Übergangsfrist von sechs Monaten auf Fr. 1'300.-- festzusetzen. Sie selbst sei zu verpflichten, Fr. 540.-- an den Unterhalt des Sohnes zu bezahlen. Der ihr geschuldete nacheheliche Unterhalt habe für die Dauer von sechs Monaten ab Rechtskraft des Scheidungsurteils Fr. 700.-- zu betragen, danach Fr. 1'125.-- bis zum AHV-Eintritt ihres Ehemannes. <ref-law> sei vorzubehalten. Hierzu nahm A.A._ am 16. Oktober 2013 Stellung.
C.d. Am 18. Dezember 2013 stellte A.A._ ein weiteres Gesuch um Abänderung der vorsorglichen Massnahmen. Er beantragte, Ziff. 2 und 3 der Verfügung des Amtsgerichtsstatthalters von Olten-Gösgen vom 6. Juli 2012 (Unterhaltsverpflichtung gegenüber Ehefrau und Tochter; vgl. B.b) seien mit Wirkung ab 1. Dezember 2013, eventualiter ab 20. Dezember 2013, aufzuheben. Die Ehefrau sei zu verpflichten, ab 1. Dezember 2013, eventualiter ab 20. Dezember 2013, einen Kindesunterhalt für den Sohn von Fr. 540.-- zu bezahlen.
D.
Das Obergericht wies beide Berufungen mit Urteil vom 23. Dezember 2013 ab. Die Ziffern zum Kindesunterhalt ergänzte es um einen Hinweis auf <ref-law>. Das Gesuch um Abänderung der vorsorglichen Massnahmen erklärte das Obergericht (in den Erwägungen des Scheidungsurteils) als gegenstandslos.
E.
Gegen dieses Urteil gelangt A.A._ (Beschwerdeführer) mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. Januar 2014 an das Bundesgericht. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Dieses sei sodann anzuweisen, sein Gesuch um Abänderung der vorsorglichen Massnahmen vom 18. Dezember 2013 an die Hand zu nehmen und gerichtlich zu beurteilen. Eventualiter sei das Scheidungsurteil aufzuheben und es sei durch das Bundesgericht neu zu befinden (Streichung aller Unterhaltspflichten des Beschwerdeführers, Verpflichtung der Beschwerdegegnerin zur Leistung von Unterhalt für den Sohn von monatlich Fr. 675.--). Für das bundesgerichtliche Verfahren beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege.
F.
Das Obergericht verzichtete mit Stellungnahme vom 19. Dezember 2014 auf Gegenbemerkungen und verwies im Übrigen auf seinen Entscheid. Die Beschwerdegegnerin beantragt mit Vernehmlassung vom 26. Februar 2015 die vollumfängliche Abweisung der Beschwerde. Sieersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten sind die Fr. 30'000.-- übersteigenden vermögensrechtlichen Folgen eines kantonal letztinstanzlichen Ehescheidungsurteils (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) ist ebenfalls eingehalten, womit die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist.
1.2. In rechtlicher Hinsicht sind bei der Beschwerde in Zivilsachen alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig und das Bundesgericht wendet in diesem Bereich das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Allerdings ist in der Beschwerdeschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Dabei ist das Bundesgericht grundsätzlich an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, er sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (<ref-law>) oder er beruhe auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law>. Dabei ist "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen. Es gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
Soweit die Festsetzung von Unterhalt in Frage steht, ist zu beachten, dass der Sachrichter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3a S. 141). Bei der Überprüfung solcher Entscheide übt das Bundesgericht eine gewisse Zurückhaltung. Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 162; <ref-ruling> E. 1 S. 99).
2.
In der Sache ist strittig, ob der Beschwerdeführer nachehelichen Unterhalt an die Beschwerdegegnerin sowie Unterhalt an die Tochter zu leisten hat und im Gegenzug die Beschwerdegegnerin an den Sohn.
2.1. Soweit der Beschwerdeführer die gänzliche Aufhebung der Unterhaltspflicht gegenüber der Tochter verlangt, ist darauf von vornherein nicht einzutreten, hat er doch in der Berufung explizit beantragt, er sei zu verpflichten, der Tochter einen Betrag von Fr. 1'070.-- zu bezahlen (vgl. vorstehend C.a). Das dem Bundesgericht unterbreitete Rechtsbegehren ist damit neu und unzulässig (<ref-law>), zumal im bundesgerichtlichen Verfahren die Offizialmaxime nicht gilt (Urteil 5A_807/2012 vom 6. Februar 2013 E. 4.2.3).
2.2. In Bezug auf die finanziellen Verhältnisse der Parteien übernahm die Vorinstanz die tatsächlichen Feststellungen der Amtsgerichtsstatthalterin Olten-Gösgen. Demnach sei der Beschwerdeführer seit Juni 2012 arbeitslos. Davor habe er ein durchschnittliches monatliches Einkommen von Fr. 7'260.-- erzielt; die Arbeitslosenentschädigung betrage Fr. 6'307.--. Er verfüge über eine Ausbildung als Ingenieur (Fachhochschule), habe sich zusätzlich zum Bürokaufmann weiterbilden lassen und weise eine vielfältige Berufserfahrung auf. Die Vorinstanz erwog sodann zusammengefasst, die Kündigung seiner letzten Arbeitsstelle sei zufolge mangelnder Leistungen seinerseits erfolgt, sie sei also nicht unverschuldet. Arbeitsbemühungen habe er nur für den Monat November 2013 belegt, wobei daraus nicht hervorgehe, wieso die Absagen erfolgt seien und ob sich der Beschwerdeführer wirklich engagiert um eine neue Arbeitsstelle bemüht habe. Es sei gerichtsnotorisch, dass gerade im Ingenieurbereich ein Mangel an qualifizierten, erfahrenen Fachkräften bestehe. Bei den entsprechenden Arbeitsbemühungen sollte es für ihn kein Problem darstellen, eine Arbeitsstelle zu finden, bei welcher er ein Einkommen von Fr. 6'535.-- (bei 90% und nach einer Übergangsfrist von sechs Monaten) erzielen könne. Aufgrund der Betreuungsaufgaben gegenüber dem Sohn sei ihm nicht mehr als ein 90% Pensum zuzumuten. Die Beschwerdegegnerin habe während Jahren nicht auswärts gearbeitet, sondern die Kinder betreut und den Haushalt geführt. Erst im Rahmen der Trennung habe die gelernte Verkäuferin im Pflegebereich eine Arbeit zu 50% aufgenommen. Dieses Pensum habe sie ab Juni 2010 auf 80% ausgeweitet (Einkommen Fr. 3'175.--). Nach einer Übergangsfrist von sechs Monaten sei auch ihr ein 90% Pensum zuzumuten, was einem Einkommen von Fr. 3'570.-- entspreche. Konkrete Hinweise, dass die Beschwerdegegnerin mit Putzarbeiten monatlich zusätzlich Fr. 300.-- bis Fr. 400.-- verdienen solle, wie dies der Beschwerdeführer behaupte, gebe es keine. Vor dem Hintergrund dieser (zumindest teilweise hypothetischen) Einkommen der Parteien bestätigte die Vorinstanz die Unterhaltsbeiträge in der ursprünglich im Scheidungsurteil vorgesehenen Höhe (vgl. B.a).
2.3. Sinngemäss bestreitet der Beschwerdeführer, dass die Beschwerdegegnerin Anspruch auf nachehelichen Unterhalt habe. Diese sei in zweiter Ehe mit ihm verheiratet gewesen, was die Lebensprägung stark relativiere. Sie habe während der Trennungszeit eine Ausbildung absolvieren können, dies auch weil er den Sohn zu sich genommen habe. Zuvor sei sie eine ungelernte Arbeitskraft gewesen und habe ihre berufliche Situation während der Ehe also massiv verbessern können. Damit sei kein ehebedingter Schaden gegeben.
Die Parteien waren rund 17 Jahre verheiratet, die Tochter der Parteien kam im ersten Ehejahr auf die Welt, worauf die Beschwerdegegnerin sich vor allem der Kinderbetreuung widmete. Eine Ausbildung konnte sie, wie der Beschwerdeführer selbst vorbringt, erst in der Trennungszeit absolvieren, was ihre beruflichen Chancen auf dem Arbeitsmarkt insofern mindert, als sie während der Ehe keine Erfahrungen als qualifizierte Arbeitskraft erwerben konnte. Damit ist zweifelsohne von einer lebensprägenden Ehe auszugehen. Dass die Beschwerdegegnerin ihren Unterhalt selbst decken könne resp. mehr erhalte als ihren gebührenden Unterhalt (<ref-law>; zur Definition und Berechnung des gebührenden Unterhalts vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 106 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 579; <ref-ruling> E. 4 S. 146 f.), bringt der Beschwerdeführer nicht vor. Vorbehältlich der Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers ist demnach ein Unterhaltsanspruch der Beschwerdegegnerin gegeben.
2.4. Der Beschwerdeführer wehrt sich sodann dagegen, dass ihm ein hypothetisches Einkommen angerechnet wurde. Er sei arbeitslos, ausgesteuert und seit dem 20. Dezember 2013 sozialhilfeabhängig. Dass dies eintreten könne, habe er bereits in der Berufung vom 12. August 2013 erwähnt und wieder im Abänderungsgesuch vom 18. Dezember 2013. Die Vorinstanz habe sich mit seiner Situation in keiner Weise auseinandergesetzt. Er sei 54 und die Stellensuche keinesfalls einfach. Der Stellenverlust sei nicht selbstverschuldet, er habe sich auch genügend um Stellen bemüht, was bereits daraus hervorgehe, dass die Arbeitslosenkasse keine Kürzungen vorgenommen habe. Er habe vor der Vorinstanz nur Belege für einen Monat eingereicht, sei seinen Pflichten aber immer nachgekommen, ansonsten Bezugssperrtage beim Arbeitslosenentgelt verfügt worden wären.
Die Kritik des Beschwerdeführers betrifft ausnahmslos die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung. Insofern unterliegt er dem Rügeprinzip (E. 1.2). Soweit ersichtlich, erhebt er aber keine rechtsgenügliche Willkürrüge, sondern macht nur eine Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>, Art. 276 f. ZGB und <ref-law>) geltend. Damit kommt er den Rügeanforderungen nicht nach. Entsprechend ist diesbezüglich auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.5. Weiter ist der Beschwerdeführer der Ansicht, der Beschwerdegegnerin hätte ein höheres Einkommen angerechnet werden müssen. Diese habe nämlich vor der Vorinstanz gestanden, bei einem Herrn E._ zu putzen. Er habe beantragt, diesen zu befragen und das Steuerdossier der Beschwerdegegnerin beizuziehen. Die Vorinstanz habe dies willkürlich verweigert. Damit habe sie den Sachverhalt nicht richtig festgestellt. Das Nebeneinkommen hätte in die Unterhaltsberechnung einfliessen müssen. Indem das nicht geschehen sei, würden auch die I nteressen des Sohnes verletzt.
Die Vorinstanz erwog, dass die Beschwerdeführerin mit Putzarbeiten noch monatlich Fr. 300.-- bis Fr. 400.-- verdienen solle, sei dem Beschwerdeführer zugetragen worden. Konkrete Hinweise lägen keine vor, woran auch eine Anzeige bei der Steuerverwaltung nichts ändere. Zu einem allfälligen Beweisantrag des Beschwerdeführers bezüglich Steuerdossier äussert sich die Vorinstanz nicht.
Der Beschwerdeführer erhebt zwar den Vorwurf der unrichtigen resp. willkürlichen Sachverhaltsfeststellung (Beschwerde Titel C, Ziff. 11S. 8 f.), setzt sich mit den vorinstanzlichen Feststellungen jedoch nicht gebührend auseinander. Er beschränkt sich darauf, in appellatorischer Weise seine, gemäss eigenen Aussagen bereits vor der Vorinstanz dargelegte, Meinung zu wiederholen. Damit lässt sich keine Willkür der Vorinstanz dartun (E. 1.2).
2.6. Der Beschwerdeführer kritisiert überdies, dass der Beschwerdegegnerin nicht ein Teil der Einkünfte der Tochter angerechnet wurde. Er habe vorgeschlagen, einen Betrag von Fr. 250.-- einzusetzen, worauf die Vorinstanz nicht eingetreten sei. Dass er sozialhilfeabhängig sei, während der Tochter Klavierstunden, Rückstellungen für die Autofahrprüfung und weiteres zugestanden werde, sei eine verkehrte Welt und ausserdem eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung.
Die Frage, ob sich die Tochter eigenes Einkommen anrechnen lassen muss, ist Rechtsfrage. Tatfrage ist hingegen, ob (k) ein verfügbarer Betrag besteht. Es gibt keine festen Richtlinien, in welcher Höhe allfälliges Kindeseinkommen in die Unterhaltsberechnung miteinzubeziehen ist. Die Vorinstanz hat wohl zur Kenntnis genommen, dass die Tochter (zumindest vorübergehend) ein Einkommen hat. Sie erwog aber, die Tochter habe auch recht beträchtliche Unkosten, und beim Schulaustritt und Wechsel in eine Lehre oder ein Praktikum entstünden regelmässig erhöhte Kosten allgemeiner Natur, die mit dem Lehrlings- oder Praktikumslohn nicht ohne weiteres zu decken seien. Sinngemäss kam sie damit zum Ergebnis, dass der Tochter kein verfügbarer Teil verbleibt. Mit diesen tatsächlichen Feststellungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht in der erforderlichen Weise auseinander (E. 1.2), weshalb auf die Rüge nicht einzutreten ist.
2.7. Damit ist die gegen das Scheidungsurteil gerichtete Beschwerde abzuweisen.
3.
In verfahrensrechtlicher Sicht ist strittig, ob die Vorinstanz trotz Fällung des Scheidungsurteils noch über das wenige Tage zuvor eingereichte Gesuch um Abänderung der vorsorglichen Massnahmen hätte befinden müssen.
3.1. Diesbezüglich ist <ref-law> zu beachten, weshalb nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Das Bundesgericht prüft jedoch frei, ob eine Rechtsverweigerung vorliegt und der angefochtene Entscheid damit gegen <ref-law> verstösst. Eine formelle Rechtsverweigerung ist nach der Praxis des Bundesgerichts gegeben, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt, obschon sie darüber befinden müsste (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 5A_663/2011 vom 8. Dezember 2011 E. 3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.2. Der Beschwerdeführer reichte das Abänderungsgesuch am 18. Dezember 2013 ein, wobei dieses am 19. Dezember 2014 beim Gericht eintraf (vgl. C.d). Er beantragte die Aufhebung seiner Unterhaltsverpflichtung gegenüber Ehefrau und Tochter mit Wirkung ab 1. Dezember 2013, eventualiter ab 20. Dezember 2013. Zugleich verlangte er die Verpflichtung der Beschwerdegegnerin zur Bezahlung eines Kindesunterhalts für den Sohn von Fr. 540.--. Am 23. Dezember 2014 fällte die Vorinstanz das Scheidungsurteil. Das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen erwähnte die Vorinstanz lediglich in der Prozessgeschichte des Scheidungsurteils (S. 6) und hielt dazu fest: "Mit Erlass des Urteils wird dieses Gesuch gegenstandslos." Das Urteil enthielt aber weder einen formalen Entscheid (Abschreibung gemäss <ref-law>) noch eine Begründung, weshalb das Gesuch gegenstandslos sei.
3.3. Es ist offensichtlich, dass im gegebenen Fall nicht von Gegenstandslosigkeit gesprochen werden konnte. Gemäss Urteil der Vorinstanz vom 23. Dezember 2013 gelten die darin festgesetzten Unterhaltsbeiträge ab Rechtskraft des Urteils. Der Beschwerdeführer verlangte die Abänderung/Aufhebung der als vorsorgliche Massnahme geschuldeten Unterhaltsbeiträge aber bereits ab 1. Dezember 2013. Die Vorinstanz hätte daher darüber befinden müssen, ob die Voraussetzungen für eine Abänderung der Unterhaltsbeiträge für die verbleibende Dauer des Scheidungsverfahrens gegeben gewesen wären. Dies gilt umso mehr, als vorsorgliche Massnahmen auch angeordnet werden können, wenn die Ehe aufgelöst ist, das Verfahren über die Scheidungsfolgen aber andauert (<ref-law>).
Eine Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Behandlung des Gesuchs fällt jedoch ausser Betracht, da ein entsprechendes Rechtsbegehren fehlt. Der Beschwerdeführer hat die Rückweisung nur für den Fall einer Aufhebung des angefochtenen Urteils in seiner Gesamtheit beantragt (Beschwerdebegründung Ziff. 6 S. 5; Ziff. 15 S. 10). Die Beschwerde ist damit vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden konnte.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Angesichts der besonderen Umstände des Falles (vgl. vorstehende E. 3.3) rechtfertigt es sich aber, sowohl dem Beschwerdeführer als auch der Beschwerdegegnerin die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Entsprechend sind die Gerichtskosten vorläufig auf die Gerichtskasse zu nehmen; der Beschwerdeführer hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt. Ihm wird Rechtsanwalt Viktor Müller als unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwalt Müller wird für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
5.
Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt. Ihr wird Rechtsanwalt Benvenuto Savoldelli als unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellt.
6.
Rechtsanwalt Savoldelli wird für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. April 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann