Sachverhalt:
A. Das Gerichtspräsidium Bremgarten bewilligte X._ am 18. August 2005 ein allgemeines Verbot betreffend unberechtigtes Parkieren, Ablagern von Material, Betreten und Befahren auf GB C._ Nr. xxxx, Plan yy, Parz. zzzz. Im Widerhandlungsfall wird durch das entsprechend signalisierte allgemeine Verbot vorbehältlich allfälliger Servitutsberechtigter Busse oder Haft angedroht. X._ reichte am 10. September 2007 eine Privatstrafklage gegen A._ betreffend Verletzung des richterlichen Verbots vom 18. August 2005 ein, angeblich begangen am 5. September 2007 um 8.15 Uhr und 9.18 Uhr (vgl. erstinstanzlichen Entscheid S. 6), und beantragte, dieser sei wegen unberechtigten Betretens des Grundstücks mit einer Busse von Fr. 100.-- zu bestrafen. Die Präsidentin II des Bezirksgerichts Bremgarten wies die Klage am 30. Juni 2008 ab und sprach A._ von Schuld und Strafe frei. Das Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 2. Kammer, hob den erstinstanzlichen Entscheid am 31. August 2009 auf und stellte das Verfahren gegen A._ ein.
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts vom 31. August 2009 sowie der Entscheid des Gerichtspräsidiums Bremgarten vom 30. Juni 2008 seien aufzuheben und A._ sei mit einer Busse von Fr. 100.-- zu bestrafen. Eventualiter sei das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung zurückzuweisen.
C. Das Obergericht beantragt sinngemäss und unter anderem mit Hinweis auf die Begründung des angefochtenen Urteils die Abweisung der Beschwerde.
In seiner unaufgefordert eingereichten Stellungnahme zur Vernehmlassung des Obergerichts hält X._ an seiner Beschwerde fest.
A._ stellt in seiner Vernehmlassung den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer vertrat als Privatstrafkläger nach dem aargauischen Recht die Anklage ohne Beteiligung des öffentlichen Anklägers und ist daher gestützt auf Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 BGG zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt. Er ist überdies als Strafantragsteller gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 6 BGG zur Beschwerde legitimiert, da es vorliegend um das Strafantragsrecht als solches geht, indem die Vorinstanz das Verfahren im Wesentlichen mit der Begründung einstellte, der Strafantrag sei rechtsmissbräuchlich.
2. Die Vorinstanz führt aus, die Parteien hätten sie in der gleichen Sache bereits im Jahr 2006 angerufen. Damals sei die Berufung des Beschwerdeführers gegen den erstinstanzlichen Freispruch des Beschwerdegegners vom Vorwurf der Missachtung des richterlichen Verbots durch unberechtigtes Betreten des Grundstücks GB C._ Nr. xxxx, Plan yy, Parzelle zzzz, am 7. Dezember 2006 abgewiesen worden mit der Begründung, der Beschwerdeführer verwende das Rechtsinstitut des allgemeinen Verbots in rechtsmissbräuchlicher Weise. Der Beschwerdeführer begründe seine erneute Klage mit einer wesentlichen Veränderung der Verhältnisse. Da er nun eine Verbotstafel habe aufstellen lassen und weitere Personen verzeigt habe, könne der Vorwurf des Rechtsmissbrauchs nicht aufrechterhalten werden.
Gemäss den Feststellungen im angefochtenen Urteil betrat der Beschwerdegegner ohne Berechtigung mehrmals täglich das mit dem allgemeinen Verbot vom 18. August 2005 geschützte Grundstück des Beschwerdeführers. Nach den Ausführungen im erstinstanzlichen Entscheid (S. 6) geht es um zwei Vorfälle vom 5. September 2007 um 8.15 Uhr und 9.18 Uhr. Die Vorinstanz erwägt, dass er dadurch den Tatbestand von § 313 Abs. 2 des Zivilrechtspflegegesetzes des Kantons Aargau vom 18. Dezember 1984 (Zivilprozessordnung, ZPO/AG; SAR 221.200) erfüllt habe. Der Strafanspruch nach § 313 Abs. 2 ZPO/AG sei in erster Linie ein privater und nicht ein staatlicher. Daher müsse das Antragsrecht im Sinne von § 313 Abs. 2 ZPO/AG der Überprüfung nach <ref-law> zugänglich sein, wonach der offenbare Missbrauch eines Rechts keinen Rechtsschutz finde. Der Beschwerdeführer verkenne, dass ein allgemeines Verbot nicht dazu diene, gegen bestimmte Personen vorzugehen. Indem er einzig gegen den Beschwerdegegner und diesem nahestehende Personen etwas unternehme, verwende er das Rechtsinstitut des allgemeinen Verbots zweckwidrig. Sein Strafantrag sei missbräuchlich und ungültig. Da die Prozessvoraussetzung des gültigen Strafantrags nicht erfüllt sei, hätte die erste Instanz auf die Klage nicht eintreten sollen und sei das Verfahren einzustellen.
3. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Bundesrecht. Die Vorinstanz nehme zu Unrecht Rechtsmissbrauch hinsichtlich der Verwendung des allgemeinen Verbots an und schliesse den kantonalen Besitzesschutz fälschlicherweise aufgrund von <ref-law> aus. Der von ihm gegen den Beschwerdegegner eingereichte Strafantrag wegen Missachtung des allgemeinen Verbots sei entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht rechtsmissbräuchlich. Zudem rügt er eine Verletzung der Eigentumsgarantie nach <ref-law> und § 21 der Verfassung des Kantons Aargau. Schliesslich macht er geltend, die an einem gravierenden und nicht auflösbaren Widerspruch leidende Begründung sei willkürlich.
4. 4.1 Mit der Beschwerde in Strafsachen können die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich des Verfassungsrechts sowie Völkerrecht (Art. 95 lit. a und b BGG) und die unrichtige Feststellung des Sachverhalts (<ref-law>) gerügt werden. Ausserhalb des Anwendungsbereichs von Art. 95 lit. c bis e BGG bilden ferner Verletzungen des kantonalen Rechts einen zulässigen Beschwerdegrund, wenn sie einen Verstoss gegen Bundesrecht einschliesslich des Verfassungsrechts oder gegen Völkerrecht darstellen (Art. 95 lit. a und b BGG; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.).
Nach § 313 Abs. 2 ZPO/AG wird, wer einem Verbot nach § 309 ZPO/AG, das sich gegen einen unbestimmten Kreis von Personen richtet, zuwiderhandelt, ohne ein besseres Recht nachweisen zu können, auf Antrag mit Busse bestraft (in der vor dem 1. Januar 2009 geltenden Fassung der Bestimmung war zudem Haft angedroht). § 313 Abs. 2 ZPO/AG stellt einen Übertretungstatbestand des kantonalen Prozessrechts dar (<ref-law>). Für den Strafantrag gelten <ref-law> respektive Art. 28 ff. aStGB (Albert Killer, in: Kommentar zur aargauischen Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 1998, N. 4 zu § 313 ZPO/AG).
Der offenbare Missbrauch eines Rechtes findet keinen Rechtsschutz (<ref-law>). Die Geltung des Rechtsmissbrauchsverbots erstreckt sich auf die gesamte Rechtsordnung mit Einschluss des öffentlichen Rechts sowie des Prozess- und Zwangsvollstreckungsrechts (<ref-ruling> E. 1c S. 206 mit Hinweisen). Rechtsmissbrauch liegt vor, wenn ein Rechtsinstitut zweckwidrig zur Verwirklichung von Interessen verwendet wird, die dieses Rechtsinstitut nicht schützen will (<ref-ruling> E. 2.2 S. 151 mit Hinweisen). Ob eine Berechtigung missbräuchlich ausgeübt wird, hängt von den Umständen des Einzelfalles ab (<ref-ruling> E. 3d S. 63 mit Hinweis). Rechtsmissbrauch liegt vor, wenn der Rückgriff auf das Rechtsinstitut mit dem angestrebten Zweck nichts zu tun hat oder diesen gar ad absurdum führt (Heinrich Honsell, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch, 3. Aufl. 2006, N. 51 zu <ref-law>). Offenbarer Rechtsmissbrauch darf nur mit Zurückhaltung angenommen werden (<ref-ruling> E. 3b S. 95 mit Hinweis). Die bundesgerichtliche Rechtsprechung qualifiziert verschiedene Konstellationen im Zusammenhang mit dem Institut des Strafantrags als offenbar rechtsmissbräuchlich. Das Bundesgericht hielt fest, ein Strafantrag sei offenbar rechtsmissbräuchlich gestellt worden, wenn der Antragsteller selbst durch grobes rechtswidriges Verhalten zur strafbaren Handlung des Täters unmittelbar Anlass gegeben habe (<ref-ruling> E. 4 S. 163 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 230; <ref-ruling> E. 3b S. 95; Urteil des Bundesgerichts 6S.481/2002 vom 19. Juni 2003 E. 2.4, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Weiter wurde offenbarer Rechtsmissbrauch angenommen in einem Fall, in dem eine vertraglich eingegangene Verpflichtung zum Rückzug des Strafantrags nicht eingehalten wurde. Das Bundesgericht erwog, solch widersprüchliches Verhalten verdiene keinen Rechtsschutz, jedenfalls dann nicht, wenn keine triftigen Gründe vorgebracht werden könnten, die ein Zurückkommen auf die frühere Zusage als verständlich erscheinen liessen (<ref-ruling> E. 3 S. 179 mit Hinweis). Auch im Fall eines formell ungültigen Strafantrags und über zweijähriger Untätigkeit des Antragstellers hinsichtlich der Nachbesserung nahm das Bundesgericht Rechtsmissbrauch an (<ref-ruling> E. 2c S. 109 ff.).
Die Ausprägungen des Rechtsmissbrauchs als zweckwidrige Rechtsausübung sowie als Schikaneverbot respektive als Gebot der schonenden Rechtsausübung sind im Bereich des Strafantrags ausgeschlossen, da es im Belieben des Antragsberechtigten steht, ein bestimmtes Delikt verfolgen lassen zu wollen oder nicht (Christof Riedo, in: Basler Kommentar, Strafrecht, 2. Aufl. 2007, N. 51 zu <ref-law>; Derselbe, Der Strafantrag, Diss. Freiburg 2004, S. 527 f.). Das Antragserfordernis erfüllt den Zweck, dass bei bestimmten Delikten davon abgesehen werden soll, den staatlichen Strafanspruch entgegen dem beliebig motivierten Willen des Geschädigten durchzusetzen (Jörg Rehberg, Der Strafantrag, ZStrR 85/1969 S. 272).
4.2 Der Strafantrag war im vorliegenden Fall entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht offenbar rechtsmissbräuchlich. Der Beschwerdeführer gab nicht selbst durch rechtswidriges Verhalten zur eingeklagten Tat unmittelbar Anlass. Auch liegt keine der anderen Konstellationen - oder eine damit vergleichbare Situation - vor, in denen Rechtsmissbrauch angenommen werden kann (vgl. oben E. 4.1). Der Beschwerdeführer ist als Grundstückeigentümer frei in seiner Entscheidung, gegen welche Personen er wegen Zuwiderhandlung gegen das von ihm erwirkte allgemeine Verbot Strafantrag einreicht. Daran ändert entgegen der Auffassung der Vorinstanz nichts, dass sich das allgemeine Verbot gegen jedermann richtet. Der Beschwerdeführer konnte nach Belieben und ohne Angabe seiner Beweggründe Strafantrag gegen den Beschwerdegegner stellen. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz enthält der Tatbestand von § 313 Abs. 2 ZPO/AG keine derart ausgeprägten "Eigenheiten", dass sich eine besondere Behandlung des aufgrund dieses Tatbestands gestellten Strafantrags rechtfertigt. Einer der Zwecke des gehörig bekannt gemachten allgemeinen Verbots nach § 313 Abs. 2 ZPO/AG liegt in dessen präventiven Wirkung (ALBERT KILLER, a.a.O., N. 4 zu § 309 ZPO/AG). Dieser Zweck besteht unabhängig davon, ob, gegen welche und gegen wie viele Zuwiderhandelnde der Beschwerdeführer das allgemeine Verbot durch Einreichung von Strafanträgen durchsetzt. Diese Präventivwirkung des allgemeinen Verbots hätte eine Klage des Beschwerdeführers gegen den Beschwerdegegner wegen Besitzesstörung (<ref-law>) nicht gezeitigt. Es bestehen zudem Parallelen zum Tatbestand des Hausfriedensbruchs nach <ref-law>. Auch dieser richtet sich - wie das allgemeine Verbot nach § 309 ZPO/AG - gegen jedermann. Trotzdem kann der Berechtigte gegen einzelne von vielen Einzeltätern Strafantrag wegen Hausfriedensbruchs stellen. Dieses Verhalten ist nicht rechtsmissbräuchlich. Es ist nicht ersichtlich, weshalb das allgemeine Verbot nach § 309 ZPO/AG hinsichtlich der Frage der rechtsmissbräuchlichen Ausübung des Strafantragsrechts anders behandelt werden sollte als der Tatbestand des Hausfriedensbruchs. Der Beschwerdeführer verwandte das allgemeine Verbot nach dem Gesagten nicht zweckwidrig. Auch liegt keine Ausübung eines mit dem Rechtsinstitut des Eigentums verknüpften subjektiven Rechts vor, die über den Sinn des Rechtsinstituts hinausgeht oder dieses infrage stellt (vgl. HEINRICH HONSELL, a.a.O., N. 51 zu <ref-law>).
Des Weiteren ist nicht ersichtlich, gegen welchen Prozentsatz der dem allgemeinen Verbot zuwiderhandelnden Personen der Beschwerdeführer nach der von der Vorinstanz vertretenen Ansicht durch Einreichung von Strafanträgen vorgehen müsste, um den Vorwurf der rechtswidrigen Verwendung des allgemeinen Verbots zu vermeiden. Im Übrigen ist nachvollziehbar, dass es für den Beschwerdeführer naheliegend ist, gerade gegen den ihm bekannten Beschwerdegegner, der das signalisierte allgemeine Verbot bewusst und wiederholt missachtete, Strafantrag wegen Zuwiderhandlung gegen das allgemeine Verbot zu stellen. Der Beschwerdegegner hätte gegen das behördlich bewilligte allgemeine Verbot als solches vorgehen können, was er jedoch unterliess.
Die Vorinstanz hat Bundesrecht verletzt, indem sie den Strafantrag des Beschwerdeführers gegen den Beschwerdegegner als offenbar rechtsmissbräuchlich qualifizierte.
5. 5.1 Der Beschwerdegegner macht in seiner Vernehmlassung geltend, er müsse wegen eines Verbotsirrtums nach <ref-law> freigesprochen werden, falls das Verhalten des Beschwerdeführers nicht rechtsmissbräuchlich sein sollte (S. 4). Die Vorinstanz habe bereits mit rechtskräftigem Urteil vom 7. Dezember 2006 erkannt, die Verwendung des allgemeinen Verbots allein gegen ihn stelle einen krassen Rechtsmissbrauch dar. Er habe daher darauf vertrauen dürfen, durch sein Handeln nichts Rechtswidriges zu tun.
<ref-law> kodifiziert die Praxis zum Rechtsirrtum nach Art. 20 aStGB ohne wesentliche Änderungen (Urteil des Bundesgerichts 6B_746/2009 vom 22. Dezember 2009 E. 5.2 mit Hinweisen). Ein Verbotsirrtum nach <ref-law> liegt vor, wenn der Täter aus zureichenden Gründen annahm, er sei zur Tat berechtigt. Vermeidbar ist ein Verbotsirrtum regelmässig, falls der Täter selbst an der Rechtmässigkeit seines Verhaltens zweifelte oder hätte Zweifel haben müssen. Wenn Anlass zu Zweifeln an der Rechtmässigkeit des Verhaltens besteht, muss sich der Täter grundsätzlich bei der zuständigen Behörde zuvor näher informieren. Soweit die Entschuldbarkeit des geltend gemachten Verbotsirrtums zu verneinen ist, kann die Frage offenbleiben, ob der Täter sein Verhalten überhaupt für rechtmässig hielt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 18 mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist ein früherer Freispruch durch den zuständigen Richter bei gleichem Sachverhalt ausreichend für die Berufung auf einen Rechtsirrtum. Dies gilt selbst, wenn der Staatsanwalt den Täter vor der zweiten Tatbegehung ausdrücklich darauf hinweist, dass er selbst und die zuständige Verwaltungsbehörde den Freispruch als Fehlentscheid betrachten (<ref-ruling> E. 3a S. 186 mit Hinweis).
Der Beschwerdegegner konnte - auch vor dem Hintergrund des früheren Verfahrens - nicht in guten Treuen davon ausgehen, dass er aufgrund des Urteils des Obergerichts vom 7. Dezember 2006 gegen das allgemeine Verbot verstossen dürfe. Er wurde in jenem Urteil freigesprochen, weil nach der Ansicht des Obergerichts der Beschwerdeführer das allgemeine Verbot durch Einreichung eines Strafantrags allein gegen ihn zweckwidrig verwendete und daher der Strafantrag als rechtsmissbräuchlich zu qualifizieren war. Daraus folgt aber nicht, dass das Betreten des Grundstücks durch den Beschwerdegegner in Missachtung des allgemeinen Verbots rechtmässig war. Zudem wurde zwischenzeitlich die Verbotstafel aufgestellt, womit das allgemeine Verbot auch allen anderen Passanten bekannt gemacht wurde. Schliesslich konnte der Beschwerdegegner nicht wissen, gegen welche Personen, die das Verbot missachteten, der Beschwerdeführer in der Zukunft Strafantrag stellen werde. Er durfte nicht darauf vertrauen, dass auch ein allfälliger künftiger Strafantrag des Beschwerdeführers gegen ihn als rechtsmissbräuchlich eingestuft werde.
5.2 Der Beschwerdegegner macht in seiner Vernehmlassung ferner geltend, der Beschwerdeführer sei als Grundstückseigentümer nicht zum Strafantrag berechtigt. Das Antragsrecht stehe allein dem Inhaber des Ladenlokals "B._" als Mieter des Grundstücks zu.
Legitimiert zur Stellung eines Verbotsgesuchs ist der besitzende Eigentümer eines Grundstücks. Wenn er das Grundstück einem anderen zu einem beschränkten dinglichen oder persönlichen Recht überlassen hat, so kann er diesem gegenüber den Besitzesschutz nicht anrufen, jedoch gegenüber einem Dritten, soweit auch sein mittelbarer Besitz gestört ist (Albert Killer, a.a.O. N. 6 zu § 309 ZPO/AG). Das allgemeine Verbot wurde von der Behörde dem Beschwerdeführer als Grundstückseigentümer bewilligt. Er ist der Verbotsnehmer und grundsätzlich zum Strafantrag berechtigt.
6. Bei diesem Ergebnis erübrigt sich eine Behandlung der weiteren Rügen des Beschwerdeführers.
7. Die Beschwerde ist gutzuheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau ist aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Vorinstanz wird im neuen Verfahren beachten, dass die Verjährungsfrist von drei Jahren (siehe <ref-law> i.V.m. § 248 des Gesetzes über die Strafrechtspflege des Kantons Aargau vom 11. November 1958 [Strafprozessordnung, StPO/AG; SAR 251.100]), die jeweils mit den einzelnen Gegenstand des Verfahrens bildenden Zuwiderhandlungen zu laufen begann, zurzeit weiterläuft, da die erste Instanz den Beschwerdegegner freisprach und die Vorinstanz das Verfahren einstellte (siehe dazu <ref-ruling> E. 2.1 S. 331).
Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau, Strafgericht, 2. Kammer, vom 31. August 2009 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Der Beschwerdegegner hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Häne