Sachverhalt:
A.
Der 1981 geborene türkische Staatsangehörige A._ reiste 1990 zusammen mit seiner Mutter und seinen Geschwistern zu seinem Vater in die Schweiz ein. Letzterer war damals als Angestellter des türkischen Konsulats in Zürich tätig. Der Aufenthalt von A._ wurde während der Erwerbstätigkeit des Vaters durch das Eidgenössische Departement für auswärtige Angelegenheiten (EDA) geregelt. Nachdem der Vater Ende Oktober 2004 seine Anstellung beim türkischen Konsulat aufgab, ersuchte A._ um erstmalige Erteilung einer ordentlichen Aufenthaltsbewilligung. Mit Verfügung vom 14. September 2007 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich das Gesuch jedoch ab. Die von A._ hiergegen ergriffenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos: Letztinstanzlich wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich seine Beschwerde mit Urteil vom 19. Mai 2010 ab. Dieses Urteil erwuchs in Rechtskraft.
B.
Am 10. November 2010 heiratete A._ eine 13 Jahre ältere deutsche Staatsangehörige, welche damals im Besitz einer Aufenthaltsbewilligung EG/EFTA war. Im Anschluss ersuchte er erneut um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Per 1. Oktober 2011 kehrte die Ehefrau des Beschwerdeführers indessen alleine nach Deutschland zurück; ihre Aufenthaltsbewilligung EG/EFTA erlosch am 28. Februar 2012.
Mit Verfügung vom 28. November 2012 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich das neuerliche Gesuch um Erteilung der Aufenthaltsbewilligung ab. Die von A._ hiergegen eingelegten kantonalen Rechtsmittel wurden von der Sicherheitsdirektion (Rekursentscheid vom 19. Februar 2013) sowie vom Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (Urteil vom 26. Juni 2013) abgewiesen. Das Verwaltungsgericht verneinte dabei insbesondere, dass A._ aufgrund seiner ehelichen bzw. familiären Bindungen ein Rechtsanspruch auf Aufenthalt in der Schweiz zukomme und es verwies sodann auf strafrechtliche Verurteilungen sowie auf bestehende Betreibungen und Verlustscheine:
- Mit Strafbefehl der Bezirksanwaltschaft Winterthur vom 14. Juni 2000 wurde A._ der Hehlerei schuldig gesprochen und zu sieben Tagen Gefängnis verurteilt;
- Am 31. Mai 2001 sprach ihn die Bezirksanwaltschaft Zürich erneut der Hehlerei schuldig und bestrafte ihn mit 60 Tagen Gefängnis;
- Mit Strafbefehl der Bezirksanwaltschaft Winterthur vom 1. Oktober 2004 wurde er sodann der Gehilfenschaft zu Freiheitsberaubung und Entführung sowie der Verfügung über mit Beschlag belegte Vermögenswerte schuldig befunden und zu einer Gefängnisstrafe von drei Monaten verurteilt;
- Mit Verfügung vom 3. Oktober 2005 wandelte der Justizvollzug des Kantons Zürich insgesamt sechs Geldbussen von A._ in insgesamt 20 Tage Haft um. Am 30. Dezember 2005 verfügte der Justizvollzug überdies, dass insgesamt weitere 21 Tage Haft zufolge Bussenumwandlung zu verbüssen seien;
- Mit Urteil vom 15. April 2010 sprach das Bezirksgericht Uster A._ der falschen Anschuldigung, der mehrfachen Verfügung über mit Beschlag belegte Vermögenswerte, des mehrfachen Fahrens in fahrunfähigem Zustand, der Entwendung eines Motorfahrzeugs zum Gebrauch sowie des Fahrens ohne Führerausweis schuldig und es bestrafte ihn mit einer Freiheitsstrafe von zehn Monaten;
- Mit Strafbefehl vom 2. April 2012 wurde A._ von der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland des Fahrens in fahrunfähigem Zustand, der Entwendung eines Motorfahrzeugs zum Gebrauch, des Führens eines Motorfahrzeugs mit abgelaufenem Führerschein auf Probe sowie der Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes schuldig erklärt und zu einer Freiheitsstrafe von 180 Tagen verurteilt;
- Von 2004 bis 2006 mussten gegen A._ Betreibungen in Höhe von rund Fr. 82'000.-- eingeleitet und Pfändungen in der selben Höhe vollzogen werden. Zudem bestanden im Oktober 2006 offene Verlustscheine von rund Fr. 49'500.--.
C.
Mit Eingabe vom 3. September 2013 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 26. Juni 2013 sowie die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung.
Während die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich auf Vernehmlassung verzichten, schliesst das Bundesamt für Migration auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit des Rechtsmittels von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 476).
1.2. Nach <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen ausgeschlossen, auf deren Erteilung weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Rechtsanspruch einräumen. Im vorliegenden Fall beruft sich der Beschwerdeführer unter anderem auf Art. 50 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20), wonach der Bewilligungsanspruch des Ehegatten nach Auflösung der Ehe oder Familiengemeinschaft fortbesteht, wenn "wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen". Ebenfalls beruft er sich auf das von Art. 8 EMRK (bzw. <ref-law>) gewährleistete Recht auf Familienleben (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146) und behauptet, gestützt auf diese Bestimmung einen Anspruch auf Erteilung der Aufenthaltsbewilligung zu haben. Diese Behauptungen sind im Nachfolgenden näher zu prüfen. Ob die Bewilligung tatsächlich zu erteilen ist, bildet nicht Eintretensfrage, sondern Gegenstand der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1.5 S. 150). Im Umfang der genannten Rügen erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mithin als zulässig.
1.3. Der Beschwerdeführer erhebt indes auch Rügen betreffend die Erteilung einer sog. Härtefall-Bewilligung (Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG), welche in das Ermessen der zuständigen Behörde fällt. Diesbezüglich ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen. In Betracht fällt demgegenüber die vom Beschwerdeführer gleichzeitig eingereichte subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>). Zwar hat der Beschwerdeführer zufolge des fehlenden Anspruchs auf eine Bewilligungserteilung grundsätzlich auch kein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids (vgl. <ref-law>). Indes ist es selbst bei fehlender Legitimation in der Sache statthaft, mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde die Verletzung von Parteirechten zu rügen, deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft ("Star-Praxis"; vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 198).
Der Beschwerdeführer behauptet zwar eine Verletzung seiner Parteirechte: Namentlich rügt er eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes als Ausfluss des rechtlichen Gehörs gemäss <ref-law>. Konkret macht er geltend, die Vorinstanz habe sich darauf berufen, die Zumutbarkeit der Rückkehr des Beschwerdeführers im Rahmen einer Härtefall-Bewilligung schon einmal eingehend abgeklärt zu haben und in der Folge habe das Verwaltungsgericht in unzulässiger Weise auf die damals gemachten Feststellungen verwiesen: Dabei habe das Verwaltungsgericht namentlich verkannt, dass sich die damals mitberücksichtigten strafrechtlichen Verurteilungen - auch die Strassenverkehrsdelikte - einzig aufgrund der mittlerweile überwundenen Drogensucht des Beschwerdeführers ereignet hätten.
Mit diesen Ausführungen zielt der Beschwerdeführer jedoch einzig darauf ab, dass der Sachverhalt seiner Ansicht nach falsch festgestellt bzw. gewürdigt worden sei und er versucht damit, eine erneute materielle Beurteilung der Sache zu erwirken. Eine formelle Verletzung von Parteirechten, welche in diesem Zusammenhang der einzige Gegenstand einer subsidiären Verfassungsbeschwerde sein könnte, ist demgegenüber nicht zu erkennen. Auf die Verfassungsbeschwerde ist daher nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2 S. 308).
1.4. Soweit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist, legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>). Die Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (<ref-law>), muss in der Beschwerdeschrift nach den Anforderungen gemäss <ref-law> vorgebracht und begründet werden (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer beruft sich vorab auf seine Ehe mit einer deutschen Staatsangehörigen. Obwohl er selbst einräumt, dass diese Beziehung in der Zwischenzeit gescheitert ist, behauptet er, gestützt auf die bereits erwähnte Bestimmung von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG einen Anspruch auf Erteilung der Aufenthaltsbewilligung zu haben. Die erforderlichen wichtigen Gründe sieht er im Wesentlichen darin, dass er sich seit langer Zeit in der Schweiz aufhalte, seine ganze Familie hier lebe und er zu seiner Heimat kaum noch Kontakt pflege, weswegen seine soziale Wiedereingliederung in der Türkei stark gefährdet erscheine (vgl. Art. 50 Abs. 2 AuG). Das Verwaltungsgericht geht demgegenüber davon aus, dass es den Angehörigen einer in der Schweiz wohnhaften Person mit Aufenthaltsbewilligung EG/EFTA nicht möglich sei, sich nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft auf Art. 50 AuG zu berufen: Diese Bestimmung knüpfe am Schweizer Bürgerrecht (Art. 42 AuG) oder an der Niederlassungsbewilligung (Art. 43 AuG) des früheren Ehegatten der ausländischen Person an; eine blosse Aufenthaltsbewilligung des früheren Partners reiche demgegenüber nicht aus (E. 2.4 des angefochtenen Entscheids).
2.2. Die Ausführungen des Beschwerdeführers gehen von vornherein ins Leere:
Zum einen war er zu keinem Zeitpunkt im Besitz eines eigenen Aufenthaltstitels, welcher sich auf die Aufenthaltsbewilligung EG/EFTA seiner deutschen Ehegattin abgestützt hätte. Ob ihm ein solcher überhaupt je erteilt worden wäre, erscheint sehr fraglich: Die grundsätzlichen Ansprüche auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung nach dem Freizügigkeitsabkommen (Art. 7 lit. d FZA in Verbindung mit Art. 3 Anhang I FZA) gelten nämlich nicht absolut, sondern können namentlich dann eingeschränkt werden, wenn von der ausländischen Person eine hinreichend schwere und gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung, Sicherheit oder Gesundheit ausgeht (Art. 5 Anhang I FZA), was vorliegend angesichts der hartnäckigen und erheblichen Delinquenz des Beschwerdeführers der Fall ist (vgl. E. 3.2 hiernach).
Zum andern setzt die bundesgerichtliche Rechtsprechung voraus, dass zwischen der aufgelösten Ehe und dem damit verbundenen Aufenthalt einerseits sowie den geltend gemachten wichtigen Gründen für ein Verbleiben in der Schweiz andererseits ein Zusammenhang besteht (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 349 f.; Urteil 2C_1062/2013 vom 28. März 2014 E. 3.2.2). Ein solcher Konnex zwischen den vom Beschwerdeführer geltend gemachten Umständen und seiner Ehe mit der deutschen Staatsangehörigen ist hier jedoch gerade nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht aufgezeigt; vielmehr beruft sich dieser ausschliesslich auf Umstände, die bereits vor dieser Eheschliessung bzw. unabhängig hiervon bestanden.
3.
Soweit der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit seinen Vorbringen auch das von Art. 8 Ziff. 1 EMRK gewährleistete Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens anruft, kann seiner Rüge ebenfalls nicht gefolgt werden:
3.1. Auf den Schutz seines Familienlebens kann sich der längst volljährige, kinderlose Beschwerdeführer nicht berufen, zumal seine Ehegattin alleine nach Deutschland zurückgekehrt ist, diese Beziehung unbestrittenermassen nicht mehr gelebt wird und er mit seiner neuen Freundin gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (E. 1.4 hiervor) erst seit wenigen Monaten in einem Konkubinat lebt. Dass die Eltern und die Geschwister des Beschwerdeführers in der Schweiz leben, ändert daran nichts. Ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis ist nicht ersichtlich. Sofern sich der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang auf seine angebliche Drogensucht beruft und in seinem familiären Umfeld ein unverzichtbares soziales Netz erblickt, kann auf die zutreffenden Ausführungen des Verwaltungsgerichts verwiesen werden: Zum einen ist diese Drogenabhängigkeit offenbar überwunden und in den Urinproben nicht mehr nachweisbar, zum anderen ist der Beschwerdeführer trotz der angeblich vorbildlichen familiären Unterstützung wiederholt straffällig geworden, so dass nicht von einem stabilisierenden Einfluss der Verwandten auf den Beschwerdeführer ausgegangen werden kann. Wenn der Beschwerdeführer einwendet, dass er erst seit rund zwei Jahren im Familienbetrieb mitarbeite und in dieser Zeit keine neuen Straftaten verübt habe, so erscheint dies nicht als Wesentlich: Unabhängig von einer Beschäftigung im Familienbetrieb bestanden die verwandtschaftlichen Bande, auf die sich der Beschwerdeführer beruft, schon früher, ohne dass dies in irgendeiner Weise eine deliktshemmende Wirkung gehabt hätte.
3.2. Aus dem Anspruch auf Schutz des Privatlebens ergibt sich ein Recht auf Verbleib im Land nur unter besonderen Umständen. Eine lange Anwesenheit und die damit verbundene normale Integration genügen hierzu nicht; erforderlich sind vielmehr besonders intensive Beziehungen beruflicher oder gesellschaftlicher Natur (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286; <ref-ruling> E. 2c S. 384 ff.; <ref-ruling> E. 3b S. 22). Ob solche qualifizierten Bindungen des Beschwerdeführers zur Schweiz existieren, erscheint aufgrund seines Lebenswandels als fraglich. Die Frage kann jedoch offen bleiben, zumal der in Art. 8 Ziff. 1 EMRK statuierte Anspruch jedenfalls nicht absolut gilt: Vielmehr darf nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut eingegriffen werden, soweit der Eingriff gesetzlich vorgesehen ist und eine Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung, das wirtschaftliche Wohl des Landes, die Verteidigung der Ordnung, die Verhinderung von strafbaren Handlungen sowie den Schutz der Gesellschaft und der Moral und der Rechte bzw. Freiheiten anderer notwendig ist. Dies trifft im vorliegenden Fall zu: Der Beschwerdeführer verübte während über zehn Jahren regelmässig Straftaten und liess sich dabei auch von früheren Verurteilungen sowie von Strafen mit warnendem Charakter nicht von weiterer Delinquenz abhalten. Sein Verhalten erweckt den Eindruck einer besonders ausgeprägten Geringschätzung der schweizerischen Rechtsordnung. Der Eindruck bestätigt sich angesichts der zahlreichen Betreibungen und Verlustscheine, die gegenüber dem Beschwerdeführer bestehen. Sein Verhalten begründet insgesamt ein starkes öffentliches Fernhalteinteresse, welches die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ausschliesst.
4.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen.
Dem Verfahrensausgang entsprechend, hat der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (<ref-law>). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. November 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler