Sachverhalt:
A.
X._ arbeitet als selbständiger Schreiner. Er ist von verschiedenen Gläubigern betrieben worden. Das Betreibungsamt Aadorf vollzog deshalb eine Reihe von Pfändungen. Am 19. Januar 2012 erfolgte eine Pfändung zusammen mit der Schuldnerin A._ in den Solidarbetreibungen Nrn. xxx und yyy.
B.
Am 6. Februar 2013 verlangte X._ vom Betreibungsamt Aadorf einen Vorschuss von Fr. 2'000.-- bis Fr. 2'500.--, weil das Fahrzeug seiner Lebenspartnerin und Hausgenossin A._ vorgeführt werden müsse. Das Betreibungsamt lehnte dies mit Schreiben vom 1. März 2013 ab.
C.
X._ reagierte darauf am 11. März 2013 mit einer Aufsichtsbeschwerde an das Bezirksgericht Münchwilen als untere kantonale Aufsichtsbehörde. Er beantragte im Wesentlichen, das Betreibungsamt anzuweisen, die Belastungen von Kosten, die unmittelbar A._ beträfen, auch deren Lohn anzurechnen. Weiter seien auch Arzt- und andere Kosten gemäss einer beigelegten Zusammenstellung entsprechend dem Anteilsschlüssel aufzuteilen und dem jeweiligen Schuldner zu belasten. Mit Entscheid vom 6. Mai 2013 wies die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Münchwilen die Beschwerde ab. Vergeblich gelangte X._ hierauf an das Obergericht des Kantons Thurgau als (obere) kantonale Aufsichtsbehörde. Dieses wies seine Beschwerde mit Entscheid vom 22. August 2013 ab.
D.
Mit Beschwerde vom 10. September 2013 (Datum der Postaufgabe) wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter sei zu prüfen, ob sich die rechtlichen Erwägungen der oberen Aufsichtsbehörde mit dem Grundrechtsschutz vereinbaren lassen. Schliesslich ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden über Beschwerden gegen Verfügungen von Vollstreckungsorganen gemäss <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Das Rechtsmittel ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze zulässig (<ref-law>). Als Pfändungsschuldner ist der Beschwerdeführer zur Anfechtung des Entscheides, mit dem die obere kantonale Aufsichtsbehörde seine Beschwerde abgewiesen hat (<ref-law>), legitimiert (<ref-law>). Auf die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft frei, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Trotzdem obliegt es dem Beschwerdeführer, sich in seiner Beschwerde sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Vorbehaltlich offensichtlicher Fehler prüft das Bundesgericht nur die in der Beschwerde geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und im Einzelnen aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll im Schriftsatz mit seiner Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die er als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Allgemein gehaltene Einwände, die er ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorbringt, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 749). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht geltend gemacht wird. Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254, je mit Hinweisen).
3.
Was der Beschwerdeführer dem Bundesgericht in weitschweifigen, wenig kohärenten Ausführungen vorträgt, vermag den geschilderten Begründungsanforderungen über weite Strecken nicht zu genügen. Insbesondere ist der Beschwerdeführer nicht zu hören, soweit er einfach seine früheren Eingaben denjenigen des Betreibungsamts gegenüberstellt und das Verfahren vor den kantonalen Instanzen aus seiner eigenen Sicht schildert. Denn Gegenstand der Beschwerde an das Bundesgericht ist einzig der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Ebenso wenig vermag der Beschwerdeführer vor Bundesgericht etwas auszurichten, wenn er den Betreibungs- und Aufsichtsbehörden ohne konkreten Bezug zum angefochtenen Entscheid in pauschaler Weise Verzögerungen vorwirft. Insofern ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4.
Der Streit dreht sich zur Hauptsache um die Frage, was überhaupt Gegenstand des vorliegenden Prozesses ist.
4.1. Das Obergericht hält fest, Gegenstand des Beschwerdeverfahrens sei lediglich die Verfügung vom 1. März 2013, mit der sich das Betreibungsamt Aadorf geweigert habe, für die Reparatur des Fahrzeugs von A._ Fr. 2'000.-- bis Fr. 2'500.-- vorzuschiessen. Der Beschwerdeführer tadelt diese Auffassung als "aktenwidrig" und bestreitet, den Beschwerdegegenstand während des Beschwerdeverfahrens ausgeweitet zu haben. Er beruft sich auf seine Beschwerdeschrift vom 11. März 2013 an das Bezirksgericht (Sachverhalt Bst. C). In den dort gestellten Rechtsbegehren habe er "unmissverständlich" verlangt, das Betreibungsamt anzuweisen, die Kosten der jeweiligen Schuldner entsprechend dem Anteilsschlüssel aufzuteilen und dem entsprechenden Schuldner zu belasten. Ebenso enthalte seine Beschwerde das "Prüfungsbegehren" betreffend die Ermittlung des pfändbaren Einkommens der Solidarschuldnerin A._.
4.2. Mit seiner Sichtweise verkennt der Beschwerdeführer die Natur der betreibungsrechtlichen Beschwerde im Sinne von <ref-law>. Der Gegenstand dieser Beschwerde bestimmt sich nicht nach den Anträgen, die der Beschwerdeführer vor der Aufsichtsbehörde stellt. Beschwerdeobjekt ist - abgesehen von hier nicht gegebenen Ausnahmen - einzig die Verfügung, die der Beschwerdeführer im konkreten Fall anficht. Gemeint ist damit, wie schon das Obergericht zutreffend festhält, eine bestimmte Handlung, die eine Behörde in einem konkreten zwangsvollstreckungsrechtlichen Verfahren in Ausübung ihrer amtlichen Funktion vornimmt und mit der sie die in Frage stehende Zwangsvollstreckung in rechtlicher Hinsicht beeinflusst (<ref-ruling> E. 1.1 S. 401; <ref-ruling> E. 1c S. 157 f.).
4.3. Als betreibungsrechtliche Verfügung und damit als Beschwerdeobjekt fällt im vorliegenden Prozess einzig das Schreiben des Betreibungsamts vom 1. März 2013 in Betracht. Allein darauf reagierte der Beschwerdeführer mit seiner Aufsichtsbeschwerde vom 11. März 2013. Dass das Betreibungsamt in diesem Schreiben in verbindlicher Weise über die Aufteilung bestimmter Kosten zwischen A._ und dem Beschwerdeführer befunden oder spezifische Berufsauslagen von A._ dem Beschwerdeführer belastet und damit dessen Barmittel gekürzt hätte, ist nicht ersichtlich. Vergeblich beklagt sich der Beschwerdeführer auch darüber, dass das Betreibungsamt den Verteilschlüssel im Innenverhältnis zwischen ihm und seiner Solidarschuldnerin A._ nicht richtig ermittelt und seinen Anteil am Familienexistenzminimum "massiv überhöht", denjenigen seiner Lebenspartner hingegen "wesentlich zu tief" angesetzt habe. Denn im besagten Schreiben äussert sich das Betreibungsamt lediglich zur gepfändeter Lohnquote von A._. Es führt aus, diese betrage per Ende November 2012 Fr. 4'535.45. Davon würden gemäss den Belegen, die der Beschwerdeführer am 5. Februar 2013 eingereicht habe, zwei Rechnungsbeträge der Firma B._ von Fr. 664.-- und Fr. 68.-- abgezogen. Nachdem der verbleibende pfändbare Betrag von Fr. 3'803.45 im Januar 2013 fällig gewesen wäre, sei es nicht möglich, A._ für Fahrzeugreparaturen den geforderten Betrag von Fr. 2'000.-- bis Fr. 2'500.-- vorzuschiessen. Soweit der Beschwerdeführer diesen Ausführungen auch noch entnehmen will, dass das Betreibungsamt die pfändbare Quote für A._ für das Pfändungsjahr Januar 2012 bis Januar 2013 festgelegt (und dabei <ref-law> verletzt) habe, kann ihm wiederum nicht gefolgt werden. Er übersieht, dass das Betreibungsamt betreffend den pfändbaren Anteil am Lohn von A._ lediglich auf frühere Abrechnungen verweist. Eine neue - anfechtbare - Entscheidung über die pfändbare Quote von A._ hat das Betreibungsamt damit nicht gefällt (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 29).
4.4. Weiter ist zwar unbestritten, dass das Betreibungsamt dem Beschwerdeführer und nicht A._ für Reparaturen an deren Fahrzeug am 2. Oktober 2012 Fr. 2'000.-- überwiesen hatte. Ob das Betreibungsamt damit das Haftungssubstrat des Beschwerdeführers mit Berufsauslagen seiner Lebenspartnerin zu deren Gunsten schmälerte, kann aber ebenso offenbleiben wie die Frage, ob dieser Vorgang eine anfechtbare Verfügung im beschriebenen Sinn (E. 4.2) war. Denn im Schreiben vom 1. März 2013, das allein Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist (E. 4.3), hat das Betreibungsamt diese Überweisung weder angeordnet, noch hat es sie bestätigt, noch hat es sich sonst wie dazu geäussert. In diesem Sinne ist der Vorinstanz darin beizupflichten, dass die Art und Weise, wie genau das Betreibungsamt diese Reparaturkosten intern verbucht, jedenfalls im vorliegenden Verfahren "kein Rechtsschutzinteresse" begründet. Daran ändert sich entgegen den Behauptungen des Beschwerdeführers auch nichts durch die an A._ gerichtete Verfügung vom 8. April 2013, auf die das Betreibungsamt in seiner Beschwerdeantwort an das Bezirksgericht verweist und der zufolge sich der pfändbare Betrag von A._ in der Pfändungsgruppe Nr. zzz für die Zeit von Januar 2012 bis Januar 2013 auf Fr. 4'936.20 beläuft. Denn auch diese Verfügung ist nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
4.5. Der Vorwurf, das Obergericht habe sich in willkürlicher und treuwidriger Weise "nicht mit der Beschwerde auseinandergesetzt", geht nach dem Gesagten an der Sache vorbei. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Mit dem eigentlichen Gegenstand des vorliegenden Prozesses - der Weigerung des Betreibungsamts, für die Reparatur vom Fahrzeug von A._ Fr. 2'000.-- bis Fr. 2'500.-- vorzuschiessen - setzt sich der Beschwerdeführer im Übrigen nicht auseinander. Mangels Begründung (<ref-law>; s. E. 2) muss es diesbezüglich daher bei der Erkenntnis des Obergerichts bleiben, wonach Auslagen, die gemäss dem Schreiben des Beschwerdeführers vom 6. Februar 2013 (s. Sachverhalt Bst. B) wegen einer bevorstehenden Fahrzeugkontrolle möglicherweise anfallen werden, nicht berücksichtigt werden können, weil die hier betroffene, am 19. Januar 2012 vollzogene Verdienstpfändung am 19. Januar 2013 endete und die geltend gemachten Auslagen, die nach diesem Datum anfallen, im zu beurteilenden Pfändungsjahr nicht mehr berücksichtigt werden können.
6.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er wird kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Betreibungsamt Aadorf ist keine Parteientschädigung geschuldet (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.
7.
Der Beschwerdeführer wird darauf hingewiesen, dass sein prozessuales Verhalten nur bei grösstem Wohlwollen nicht als querulatorisch bezeichnet werden kann (<ref-law>). Er wird hiermit abgemahnt. In ähnlich gelagerten Fällen hat der Beschwerdeführer mit Prozessstrafen zu rechnen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungsamt Aadorf und dem Obergericht des Kantons Thurgau als kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: V. Monn