Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Das Kriminalgericht des Kantons Luzern verurteilte A.X._ (geb. 1956) am 17. Februar 2005 wegen mehrfacher Vergewaltigung, mehrfacher sexueller Nötigung und mehrfacher sexueller Handlungen mit einem Kind, begangen an seiner Tochter B.X._ (geb. 1985), zu vier Jahren Zuchthaus und zur Zahlung einer Genugtuung von Fr. 40'000.-- nebst Zins zu 5% seit dem 1. April 1999. Es verpflichtete ihn dem Grundsatz nach, seiner Tochter den verursachten Schaden zu 100% zu ersetzen, soweit die Forderung gemäss ATSG nicht auf den Versicherungsträger übergegangen ist oder noch übergehen wird; wobei B.X._ für die Festsetzung der massgeblichen Schadenshöhe an den Zivilrichter verwiesen wurde.
Auf Appellation von A.X._bestätigte das Obergericht des Kantons Luzern am 21. Juni 2006 das erstinstanzliche Urteil und auferlegte A.X._die Gerichts- und Parteikosten von insgesamt Fr. 35'163.35.
Auf Appellation von A.X._bestätigte das Obergericht des Kantons Luzern am 21. Juni 2006 das erstinstanzliche Urteil und auferlegte A.X._die Gerichts- und Parteikosten von insgesamt Fr. 35'163.35.
B. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 7. August 2006 beantragt A.X._, das Urteil des Obergerichts vom 21. Juni 2006 sei aufzuheben, er sei von Schuld und Strafe freizusprechen, eventuell sei die Sache zur weiteren Sachverhaltsabklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Mit Präsidialverfügung vom 8. September 2006 wurde der staatsrechtlichen Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Mit Präsidialverfügung vom 8. September 2006 wurde der staatsrechtlichen Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
C. In der Vernehmlassung beantragen das Obergericht, die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern und B.X._, die Beschwerde sei abzuweisen. Am 9. Oktober 2006 hat A.X._eine Replik eingereicht.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten. Weil der angefochtene Entscheid vor dem 1. Januar 2007 erging, bleibt auf das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren das frühere Recht anwendbar (<ref-law>).
1.2 Der Beschwerdeführer ist als strafrechtlich Verurteilter grundsätzlich zur staatsrechtlichen Beschwerde gegen den letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid des Obergerichts befugt (Art. 86 Abs. 1, Art. 88 OG).
1.3 Die staatsrechtliche Beschwerde ist, von hier nicht gegebenen Ausnahmen abgesehen, rein kassatorischer Natur. Es kann mit ihr nur die Aufhebung des angefochtenen Entscheids verlangt werden (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 4, mit Hinweisen). Soweit der Beschwerdeführer mehr als die Aufhebung verlangt, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
1.4 Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
1.4 Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2. Dem Beschwerdeführer wird vorgeworfen, er habe seine Tochter B.X._ im Zeitraum von Anfang 1996 bis Mitte Juni 2002 regelmässig sexuell missbraucht, sie an den Brüsten und im Intimbereich betastet, die Finger in ihre Scheide eingeführt, sich von ihr manuell und oral befriedigen lassen und mehrfach mit ihr Geschlechtsverkehr gehabt. Der Sachverhalt stützt sich im Wesentlichen auf Aussagen von B.X._ und des Beschwerdeführers. Ferner wurden Aussagen der Schwester von B.X._ bzw. Tochter des Beschwerdeführers, C.X._ (polizeiliche Befragung vom 30. Juni 2002), und der Erziehungsbeiständin von B.X._, F._ (Amtsvormundschaft), berücksichtigt (polizeiliche Einvernahme vom 27. Juni 2002). Letztere hatte die Polizei benachrichtigt.
2.1 B.X._ wurde am 28. Juni 2002 von einer Polizeibeamtin und am 14. März 2006 von einer Oberrichterin befragt. Beide Einvernahmen wurden auf Video aufgezeichnet, bei der zweiten waren der Beschwerdeführer und sein Rechtsvertreter im Nebenraum anwesend und konnten Ergänzungsfragen stellen.
2.2 Der Beschwerdeführer befand sich vom 28. Juni 2002 bis 9. Juli 2002 in Untersuchungshaft. Nach anfänglichem Bestreiten legte er am 1. Juli 2002 vor der Polizei ein Geständnis ab, das er am Folgetag, ebenfalls vor der Polizei, bestätigte. Damals sagte er aus, er habe beide Töchter, B.X._ und C.X._, sexuell missbraucht. In der Einvernahme vor dem Untersuchungsrichter (Amtsstatthalter Luzern) vom 3. Juli 2002 wollte er das Geständnis zunächst widerrufen, bestätigte danach aber, B.X._ missbraucht zu haben. Hingegen widerrief er sein Geständnis betreffend C.X._.
Am 31. Juli 2002 erhielt der Beschwerdeführer einen amtlichen Verteidiger. Rund anderthalb Jahre später, anlässlich der Einvernahme vor dem Untersuchungsrichter vom 28. Januar 2004, widerrief der Beschwerdeführer das Geständnis auch bezüglich des Missbrauchs von B.X._. Er habe gelogen, damit er aus dem Gefängnis komme. Mit Entscheid vom 10. Februar 2004 schloss der Amtsstatthalter die Untersuchung ab und überwies die Sache an das Kriminalgericht.
2.3 Nach der übereinstimmenden Würdigung der kantonalen Gerichte wirken die Schilderungen der "geistig leicht retardierten" B.X._ authentisch und ihrer persönlichen und intellektuellen Situation angepasst. Sie habe der Leiterin des Heimes G._, wo sie unter der Woche wohnte, bereits im Jahr 2001 von den sexuellen Übergriffen erzählt. Nach Aussagen ihrer Mutter, deren Ehe mit dem Beschwerdeführer im Jahr 1994 geschieden wurde, habe B.X._ ihr etwa 1998 von sexuellen Übergriffen berichtet. Die Aussage betreffend mehrfachen Geschlechtsverkehrs werde durch ein gynäkologisches Gutachten des Instituts für Rechtsmedizin in Bern bestätigt.
Die Begründung, der Beschwerdeführer habe mit dem Geständnis bezweckt, aus der Untersuchungshaft entlassen zu werden, vermöge in keiner Weise zu überzeugen. Seine Aussagen stimmten im Kerngehalt mit jenen von B.X._ überein. Bei der polizeilichen Befragung sei darauf geachtet worden, dass der Beschwerdeführer keine Einzelheiten aus ihren Aussagen erfuhr. Er habe zudem bestätigt, dass es früher zu einer Besprechung mit der Leitung des Heimes G._ gekommen war, bei der er aufgefordert wurde, die Finger von B.X._ zu lassen. Sein Motiv sei auch aufgrund der Chronologie unglaubwürdig: Am 3. Juli 2002 habe er vor dem Untersuchungsrichter das Geständnis bezüglich der einen Tochter (C.X._) widerrufen, jenes bezüglich der anderen (B.X._) aber aufrecht erhalten und erst im Schlussverhör vom 28. Januar 2004 widerrufen. Trotz vereinzelter Widersprüche zwischen den Aussagen des Beschwerdeführers und jenen von B.X._ könne auf das Geständnis abgestellt werden.
Aufgrund der Darstellung von B.X._ stehe sicher fest, dass der Beschwerdeführer sie gegen ihr Einverständnis jedes Wochenende ca. zweimal, in den Ferien täglich in irgendeiner Form sexuell missbrauchte. Ausnahmen habe es nur gegeben, wenn eine Kollegin dabeigewesen sei. Weil die Aussagen zum Teil sehr detailliert seien und das Opfer auch eigene Gefühle für den Zeitpunkt der Tatbegehung geäussert habe, seien die Aussagen glaubwürdig und erlebnisbegründet.
Das Verschulden des Beschwerdeführers wiege sehr schwer. Er habe seiner Tochter grossen körperlichen und seelischen Schaden zugefügt.
Das Verschulden des Beschwerdeführers wiege sehr schwer. Er habe seiner Tochter grossen körperlichen und seelischen Schaden zugefügt.
3. Der Beschwerdeführer macht geltend, sein Geständnis sei nicht verwertbar. Er begründet dies mit folgenden Verfassungsrügen.
3.1 Er rügt eine Verletzung des Willkürverbots, indem ihm im Untersuchungsverfahren von Amtes wegen kein Verteidiger beigegeben wurde. Das kantonale Strafprozessrecht (§ 33 Abs. 3 Ziff. 3 i.V.m. Ziff. 5 und <ref-law>/LU) garantiere eine notwendige Verteidigung im Untersuchungsverfahren.
Gemäss <ref-law> hat jede Person Anspruch darauf, von den staatliche Organen ohne Willkür behandelt zu werden. Nach der Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f.).
Gemäss <ref-law>/LU muss der Angeschuldigte im Gerichtsverfahren in Kriminalstrafsachen durch einen Verteidiger verbeiständet sein (Ziff. 3), ebenso in anderen Fällen, in denen der Amtsstatthalter oder der Gerichtspräsident dies als notwendig erachtet (Ziff. 5). Bestellt der Angeschuldigte in diesen Fällen den Verteidiger nicht selber, gibt ihm der Amtsstatthalter oder der Gerichtspräsident einen amtlichen Verteidiger bei (<ref-law>/LU).
Nach Ansicht des Obergerichts ist es nicht sachgerecht, die Regelung der Verbeiständung im "Gerichtsverfahren" auf das "Strafverfahren" zu übertragen. Auch habe der Amtsstatthalter nicht von Amtes wegen eine Verbeiständung anordnen müssen, weil der belastende Sachverhalt nicht besonders komplex gewesen sei und der Angeklagte die Situation klar habe überblicken können.
Diese Auffassung hält vor dem Willkürverbot stand. Das Luzerner Recht gewährleistet keine lückenlose notwendige Verteidigung im Untersuchungsverfahren, und es ist haltbar, den Begriff des Gerichtsverfahrens im Sinne der zitierten Bestimmung nicht für das gesamte Strafverfahren zu verwenden. Ob der Amtsstatthalter eine Verbeiständung im Lichte besonderer Verfassungsgarantien hätte als notwendig erachten müssen, ist sogleich zu behandeln (Erwägung 3.2).
Die Rüge der Verletzung des Willkürverbots ist unbegründet.
3.2 Nach Ansicht des Beschwerdeführers ergibt sich ein Anspruch auf obligatorische Vertretung im Untersuchungsverfahren aus Bundesverfassungs- und Konventionsrecht (Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 31 Abs. 2 und Art. 32 Abs. 2 BV). Die Behörde habe den Beschwerdeführer ungenügend über seine Verteidigungsrechte aufgeklärt und hätte aufgrund ihrer Fürsorge- und Aufklärungspflicht von Amtes wegen einen Rechtsvertreter bestellen müssen. Der Beschwerdeführer habe um jeden Preis aus der Untersuchungshaft entlassen werden wollen und habe beliebig, zufällig und verworren ausgesagt. So habe er intimen Kontakt mit der Tochter C.X._ gestanden und kurz danach wieder dementiert. Er habe "vor lauter Drang, aus dem 'Loch' herauszukommen", die Tragweite seiner Aussagen nicht zu sehen vermocht.
Art. 6 Ziff. 1 EMRK garantiert ein faires Verfahren im Falle einer strafrechtlichen Anklage. Der für Freiheitsentzüge einschlägige <ref-law> bezieht sich auf die Unterrichtung über Rechte, die der betroffenen Person nach der Bundesverfassung, den internationalen Abkommen und der eidgenössischen und kantonalen Gesetzgebung zustehen (Urteil 8G.55/2000 vom 14. März 2001, E. 3b/bb, publiziert in: Praxis 2001 Nr. 94, S. 553/554). Dieser Informationsanspruch vermittelt jedoch kein Recht auf sofortigen Beizug eines Verteidigers im Sinne eines Anwalts der ersten Stunde (unveröffentlichtes Urteil 1P.97/2004 vom 3. Juni 2004, E. 3.2.2; Jean-François Aubert, Petit commentaire de la Constitution fédérale de la Confédération suisse du 18 avril 1999, Zürich 2003, Rz. 6 zu Art. 31; René Rhinow, Grundzüge des Schweizerischen Verfassungsrechts, Basel 2003, Rz. 2785). Später hat das Bundesgericht in einem Obiter dictum ausgeführt, aus dem Anspruch auf ein faires Verfahren fliesse die Pflicht, rechtsungewohnte, nicht anwaltlich vertretene Verfahrensbeteiligte über ihre prozessualen Rechte im Allgemeinen aufzuklären und sie insbesondere frühzeitig auf ihr Recht hinzuweisen, jederzeit einen Verteidiger beiziehen zu können (<ref-ruling> E. 4.1). Aufgrund der Fürsorge- und Aufklärungspflicht hätten die Behörden allenfalls auch ohne entsprechendes Zutun des Betroffenen für eine hinreichende Rechtsvertretung zu sorgen. Dies könne es gebieten, dass einem Beschuldigten aufgrund der Verfassung auch ohne entsprechendes Ersuchen von Amtes wegen ein Rechtsvertreter beigegeben werde (a.a.O., E. 4.2).
Gemäss zutreffendem Hinweis von Staatsanwaltschaft und Obergericht in der Vernehmlassung haben die Behörden den Beschwerdeführer mehrmals über seine Verteidigungsrechte orientiert. Der Beschwerdeführer hat jeweils geantwortet, er habe den Hinweis zur Kenntnis genommen und brauche keinen Anwalt (Einvernahmeprotokolle vom 28. Juni 2002 [Hafteröffnung] und vom 3. Juli 2002 [Untersuchungsrichter]). Bei der ersten polizeilichen Befragung vom 28. Juni 2002 unterzeichnete er eine Erklärung betreffend Recht zur Beschwerde, Aussageverweigerung, Kontaktnahme mit einem Verteidiger und Benachrichtigung der Angehörigen. Der Beschwerdeführer erachtet diese Erklärung als ungenügend wegen des im Text enthaltenen Vorbehalts, wonach das Recht der Kontaktnahme mit einem Verteidiger nicht das Recht auf Anwesenheit des Anwaltes bei der polizeilichen Befragung begründe.
Wie es sich mit diesem Vorbehalt verhält, kann offen bleiben. Der Beschwerdeführer ist wiederholt über seine Rechte aufgeklärt worden. Er hat auf den Beizug eines Anwalts verzichtet und ausgesagt. Rund drei Wochen nach seiner Haftentlassung erhielt er einen amtlichen Verteidiger, der ihn während der weiteren Dauer des Untersuchungsverfahrens von rund anderthalb Jahren und im anschliessenden Gerichtsverfahren vertreten hat. Das Obergericht, das einen persönlichen Eindruck vom Beschwerdeführer gewinnen konnte, traut ihm eine wirksame und ausreichende Wahrnehmung seiner Interessen zu. Bei dieser Sachlage ist das Verteidigungsrecht gewahrt. Die Behörde war aus verfassungsrechtlicher Sicht nicht verpflichtet, dem Beschwerdeführer im damaligen Zeitpunkt von Amtes wegen und gegen seinen Willen einen Verteidiger zu bestellen. Die Rüge ist unbegründet.
3.3 Der Beschwerdeführer begründet das Verwertungsverbot des Geständnisses ferner damit, dass wesentliche Teile der polizeilichen Befragung nicht oder unvollständig protokolliert worden seien. Er rügt eine Verletzung der Rechts auf ein faires Verfahren, des Anspruchs auf rechtliches Gehör und des Willkürverbots (Art. 6 Ziff. 1 EMRK, Art. 29 Abs. 1 und 2, <ref-law>). Als Beleg für informelle Gespräche nennt er die Depositionen Nrn. 30 und 84.
Der Beschwerdeführer beanstandet damit die Protokollierung polizeilicher Einvernahmen vom 30. Juni 2002 und vom 1. Juli 2002. Es fragt sich, ob die vom Kantonsgericht nicht beurteilten Einwände im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde überhaupt zulässig sind. Mit staatsrechtlicher Beschwerde können grundsätzlich keine Vorbringen genannt werden, die nicht bereits im kantonalen Verfahren geltend gemacht wurden (Walter Kälin, Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, 2. Auflage, Bern 1994, S. 369 f.). Dass eine Ausnahme vom Novenverbot vorläge, ist nicht ersichtlich, kann aber offen bleiben, da sich das Vorbringen in der Sache als unbegründet erweist.
Der Beschwerdeführer wurde mehrmals befragt. In den Protokollen wurden die wesentlichen Aussagen des Beschwerdeführers festgehalten. Die kantonalen Gerichte stellen auf die protokollierten, in den Akten dokumentierten Aussagen ab. Aus den vom Beschwerdeführer bezeichneten Stellen ergibt sich, dass sich der einvernehmende Beamte mit dem Beschwerdeführer ca. 30 Minuten mündlich zur Sache unterhalten hat, bevor er mit der Protokollierung der Befragung fortfuhr (Einvernahme vom 30. Juni 2002) und dass der Beamte eine protokollierte Befragung durchführte, nachdem der Beschwerdeführer nach ihm verlangt und ihm in der Zelle unten gesagt hatte, dass er mit beiden Töchtern, C.X._ und B.X._, Geschlechtsverkehr gehabt hätte (Einvernahme vom 1. Juli 2002). Die informellen Aussagen sind während einer förmlichen Einvernahme wiederholt, protokolliert und vom Beschwerdeführer unterzeichnet worden. Der Beschwerdeführer macht nicht substanziiert geltend, dass wesentliche Umstände nicht protokolliert oder dass unzulässige Verhörmethoden angewandt worden wären. Aus verfassungsrechtlicher Sicht führt dies nicht zu einem Verwertungsverbot.
3.4 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>), indem das Obergericht folgende Beweisanträge nicht abgenommen hat: Befragung von D._ und E._ als Zeugen, Edition der Personalakten durch das Heim G._ und durch die Kantonspolizei Aargau, Befragung von C.X._, Durchführung eines Augenscheins auf dem Balkon und Einholen eines Glaubhaftigkeitsgutachtens betreffend die Aussagen von B.X._.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst als Mitwirkungsrecht unter anderem das Recht, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden, an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, und die entsprechende Pflicht der Behörde, die Argumente und Verfahrensanträge der Partei entgegenzunehmen, zu prüfen und die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen (<ref-ruling> E. 4b). Das Gericht hat nur solche Beweisbegehren, zu berücksichtigen und zuzulassen, die nach seiner Würdigung rechts- und entscheidungserheblich sind. Es kann somit Beweisbegehren abweisen, wenn sie eine nicht erhebliche Tatsache betreffen oder offensichtlich untauglich sind, über die streitige Tatsache Beweis zu erbringen, oder wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (Urteil 6P.20/2006 vom 15. Mai 2006 E. 4.1; <ref-ruling> E. 5b; <ref-ruling> E. 4a).
Das Obergericht hat die Beweisanträge mit folgender Begründung abgewiesen: Die Einvernahmen von D._ und E._ und der Augenschein auf dem Balkon seien angesichts des schlüssigen Beweisergebnisses entbehrlich. B.X._ habe sich über den Geschlechtsverkehr nur zurückhaltend gegenüber Dritten geäussert, weshalb aus den Personalakten des Heimes G._ und den Akten der Polizei keine Schlüsse gezogen werden könnten. Aus der Befragung der Schwester seien kaum neue Erkenntnisse zu gewinnen, das Beweisthema beziehe sich auf einen einzigen Vorfall. Sie habe dazu bereits bei der Polizei am 30. Juni 2002 ausgesagt, die Belastung des Beschwerdeführers, ihres Vaters, aber später widerrufen.
Das Obergericht hat sich somit zu den Beweisanträgen des Beschwerdeführers geäussert und sie mit schlüssigen Argumenten abgewiesen. Die Abweisung des Beweisanträge verletzt kein Verfassungsrecht. Die Rüge der Gehörsverletzung erweist sich als unbegründet.
Das Obergericht hat sich somit zu den Beweisanträgen des Beschwerdeführers geäussert und sie mit schlüssigen Argumenten abgewiesen. Die Abweisung des Beweisanträge verletzt kein Verfassungsrecht. Die Rüge der Gehörsverletzung erweist sich als unbegründet.
4. Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 OG). Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Da er zu einer mehrjährigen Freiheitsstrafe verurteilt wurde, konnte er sich zur Beschwerde veranlasst sehen. Bei den vor Bundesgericht geltend gemachten wirtschaftlichen Verhältnissen kann das Gesuch bewilligt werden (Art. 152 OG).
Die Beschwerdegegnerin hat unter Verweis auf das angefochtene Urteil die Abweisung der Beschwerde beantragt, im Übrigen aber keine Ausführungen gemacht. Es ist ihr keine Parteienschädigung auszurichten (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt:
2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Rechtsanwalt Dr. Bruno Häfliger wird als unentgeltlicher Rechtsvertreter ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit einem Honorar von Fr. 2'000.-- entschädigt.
2.2 Rechtsanwalt Dr. Bruno Häfliger wird als unentgeltlicher Rechtsvertreter ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit einem Honorar von Fr. 2'000.-- entschädigt.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Februar 2007
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: