Sachverhalt:
A.
A._ zeigte X._ an, weil dieser ihn bei der Polizei wider besseres Wissen der Hehlerei beschuldigt habe. Die Staatsanwaltschaft Luzern stellte das Verfahren betreffend falsche Anschuldigung ein, schrieb die Verfahrenskosten zu Lasten des Staates ab und verweigerte A._ eine Parteientschädigung.
B.
Das Kantonsgericht Luzern wies die dagegen gerichtete Beschwerde von A._ ab. Es verwehrte ihm die unentgeltliche Rechtspflege sowie eine Entschädigung und auferlegte ihm die Kosten des Beschwerdeverfahrens.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, der Beschluss des Kantonsgerichts sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft anzuweisen, Anklage gegen X._ zu erheben. Eventuell sei der kantonsgerichtliche Beschluss aufzuheben und die Staatsanwaltschaft anzuweisen, die Strafuntersuchung zu ergänzen. Subeventuell sei der Beschluss des Kantonsgerichts nur im Kosten- und Entschädigungspunkt aufzuheben. A._ ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Privatkläger ist zur Beschwerde gegen eine Einstellungsverfügung nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss <ref-law>, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung eines Verfahrens, hat der Privatkläger nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden eine Zivilforderung erhoben. Selbst wenn er bereits adhäsionsweise privatrechtliche Ansprüche geltend gemacht hat, werden in der Einstellungsverfügung keine Zivilklagen behandelt (<ref-law>). In jedem Fall muss der Privatkläger im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen Begründungsanforderungen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderungen es geht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer legt im bundesgerichtlichen Verfahren dar, dass ihm wegen der von ihm angezeigten falschen Anschuldigung durch den Beschwerdegegner während einem Tag zu Unrecht die Freiheit entzogen worden sei. Der Beschwerdegegner habe ihn gestützt auf <ref-law> für seinen Verdienstausfall zu entschädigen. Hinzu komme eine Genugtuung nach <ref-law> für die Persönlichkeitsverletzungen, welche er durch die angebliche falsche Anschuldigung erlitten habe (vgl. hierzu E. 3.2.2). Damit begründet der Beschwerdeführer ausreichend, weshalb sich der vorinstanzliche Beschluss auf seine Zivilforderungen, die er näher beziffert, auswirken kann. Auf die Beschwerde kann grundsätzlich eingetreten werden.
1.2. Die Beschwerde ist zu begründen (Art. 42 Abs. 1 und 2 sowie <ref-law>). Die Begründung hat in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen. Soweit der Beschwerdeführer auf eine kantonale Eingabe verweist, ist darauf nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.8.1 S. 54; je mit Hinweisen).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung.
2.2. Die Vorinstanz stellt fest, der Beschwerdeführer, welcher als Taxifahrer arbeitet, habe den Beschwerdegegner und B._, die zwei Waffen mitgeführt hätten, zu einem Nachtlokal gefahren. Der Beschwerdeführer behaupte, er habe nach dem Erblicken der Waffen den Beschwerdegegner und B._ zum Weitergehen aufgefordert. Demgegenüber habe der Beschwerdegegner erklärt, sie hätten dem Taxifahrer einen Revolver und ein Gewehr für dessen Verwandte verkauft. B._ habe angegeben, die Waffen seien auf Vermittlung des Taxifahrers an einen Albaner verkauft worden. Beide hätten den Beschwerdeführer als den Taxifahrer identifiziert. Der Beschwerdegegner habe den Beschwerdeführer nicht wider besseres Wissen beschuldigt. Er und B._ hätten übereinstimmend dargestellt, der Beschwerdeführer habe beim Verkauf der Waffen als Käufer oder Vermittler mitgewirkt.
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich im Sinne von <ref-law> ist (<ref-ruling> E. 10.1 S. 445 mit Hinweisen; zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; je mit Hinweisen) oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge muss klar vorgebracht und substanziiert begründet werden. Auf eine rein appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil tritt das Bundesgericht nicht ein (vgl. Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen).
2.4. Der Beschwerdeführer beschränkt sich über weite Strecken auf eine Wiederholung von Einwendungen, die er im Beschwerdeverfahren vorgetragen hat.
So führt er aus, neben ihm seien fünf weitere Albaner involviert gewesen, was das Geschehen sehr komplex mache und eine eingehende Abklärung erfordere. Die Staatsanwaltschaft spreche von einem Bruder des Beschwerdeführers, der hingegen in den Protokollen der Einvernahmen des Beschwerdegegners und von B._ nicht auftauche, was auf eine Verwechslung hindeute. In diesen beiden Befragungen habe die Polizei nicht klargestellt, auf welchen der involvierten Albaner sich die Fragen beziehen. Insbesondere habe die Polizei "bei diesem komplexen Sachverhalt", den man bei zwei Schwerstsüchtigen erfragt habe, versäumt, mit Rückfragen dafür zu sorgen, dass auch wirklich der Beschwerdeführer gemeint sei. Die Absprachemöglichkeiten seien augenscheinlich, da sich der Beschwerdegegner und B._ zuvor mindestens zweimal getroffen hätten. Die fragliche Taxifahrt habe nicht am Morgen des 2. Februar 2014, sondern am Abend des 3. Februar 2014 stattgefunden. Der Beschwerdegegner habe keine Ahnung mehr gehabt, wie das Fahrzeug des Beschwerdeführers ausgesehen habe. Bei der angewandten Fragetechnik erstaune wenig, dass man den Beschwerdeführer als Taxifahrer erkenne.
Damit übt der Beschwerdeführer rein appellatorische Kritik am angefochtenen Beschluss, ohne darzulegen, inwiefern die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts geradezu willkürlich sein soll. Darauf ist nicht einzutreten. Gleiches gilt, wenn der Beschwerdeführer ohne jede Begründung vorträgt, die Vorinstanz habe die Ausführungen der Staatsanwaltschaft ungenügend zusammengefasst.
2.5. Der Beschwerdeführer macht geltend, sein Anspruch auf rechtliches Gehör sei verletzt, weil sich die Vorinstanz nicht hinreichend mit den Vorbringungen in seiner Beschwerdeschrift vom 11. Dezember 2014 und seiner Stellungnahme vom 9. März 2015 auseinandersetze. Aufgrund der aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law> und <ref-law>) fliessenden Begründungspflicht (<ref-law>) ist das Gericht gehalten, sein Urteil zu begründen. Allerdings kann es sich dabei auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Es muss nicht auf jedes Argument des Beschwerdeführers gesondert eingehen und alle Einwendungen einzeln entkräften. Vielmehr genügt es, wenn es wenigstens kurz die Überlegungen nennt, von denen es sich hat leiten lassen und auf die sich sein Urteil stützt (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 183; <ref-ruling> E. 2.2 S. 84; je mit Hinweis). Diesen Anforderungen genügt der vorinstanzliche Beschluss.
2.6.
2.6.1. Der Beschwerdeführer kritisiert, dass die Vorinstanz die Protokolle der Einvernahmen des Beschwerdegegners und von B._ aus deren eigenen Verfahren berücksichtigt, welche die Staatsanwaltschaft erst im Beschwerdeverfahren beibrachte. Indem die Vorinstanz sich auf diese Protokolle stütze, verletze sie <ref-law>, zumal sein Rechtsvertreter weder über die Einvernahmen informiert gewesen sei noch daran habe teilnehmen können.
2.6.2. Die Strafbehörden klären von Amtes wegen alle für die Beurteilung der Tat und der beschuldigten Person bedeutsamen Tatsachen ab. Sie untersuchen die belastenden und entlastenden Umstände mit gleicher Sorgfalt (<ref-law>). Das Rechtsmittelverfahren beruht auf den Beweisen, die im Vorverfahren und im erstinstanzlichen Hauptverfahren erhoben worden sind (<ref-law>). Beweisabnahmen des erstinstanzlichen Gerichts werden nach <ref-law> nur wiederholt, wenn Beweisvorschriften verletzt worden sind (lit. a), die Beweiserhebungen unvollständig waren (lit. b) oder die Akten über die Beweiserhebungen unzuverlässig erscheinen (lit. c). Gemäss <ref-law> erhebt die Rechtsmittelinstanz von Amtes wegen oder auf Antrag einer Partei die erforderlichen zusätzlichen Beweise.
Bei <ref-law> handelt es sich grundsätzlich um eine abschliessende Regelung. Es kann der Rechtsmittelinstanz aber im Lichte von <ref-law> nicht verwehrt sein, zum Beispiel einen besonders wichtigen Zeugen nochmals einzuvernehmen, ohne dass die Voraussetzungen von <ref-law> vorliegen (VIKTOR LIEBER, in: Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, Donatsch/Hansjakob/Lieber [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 2 zu <ref-law>; JO PITTELOUD, Code de procédure pénale suisse, 2012, S. 770 N. 1135; vgl. auch RICHARD CALAME, in: Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2011, N. 6 zu <ref-law>). Der Untersuchungsgrundsatz gemäss <ref-law> geht vor (NIKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar [nachfolgend: Praxiskommentar], 2. Aufl. 2013, N. 1 zu <ref-law>; vgl. ferner DERSELBE, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts [nachfolgend: Handbuch], 2. Aufl. 2013, Rz. 1482 f.). Etwas anderes ergibt sich auch nicht aus dem vom Beschwerdeführer angerufenen <ref-ruling> oder der von ihm zitierten Lehrstelle (SCHMID, Handbuch, a.a.O, Rz.1525).
2.6.3. Bei den von der Staatsanwaltschaft im Beschwerdeverfahren ins Recht gelegten Beweismittel handelt es sich um die Protokolle der Einvernahmen des Beschwerdegegners vom 15. Februar, 20. März und 9. April 2014 im gegen ihn geführten Strafverfahren wegen Diebstahls, Hausfriedensbruchs, Sachbeschädigung und Widerhandlung gegen das Waffengesetz sowie der Einvernahmen von B._ vom 17. Februar, 25. März und 10. April 2014 im gegen diesen geführten Strafverfahren wegen Widerhandlung gegen das Waffengesetz und das Betäubungsmittelgesetz. Der Beschwerdeführer erstattete am 18. März 2014 Strafanzeige gegen den Beschwerdegegner wegen falscher Anschuldigung, weil ihn dieser am 12. Februar 2014 gegenüber der Polizei der Hehlerei bezichtigt habe (vgl. Akten Staatsanwaltschaft, act. 1 und 3). Weshalb er ein Recht auf Teilnahme an den Einvernahmen des Beschwerdegegners oder von B._ in deren eigenen Verfahren hätte haben sollen, legt er nicht dar und bleibt unerfindlich.
Es ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz die Protokolle dieser Einvernahmen berücksichtigt, nachdem diese von der Staatsanwaltschaft ins Recht gelegt wurden, und der Beschwerdeführer sich dazu äussern konnte. Inwiefern das Vorgehen der Vorinstanz den Grundsatz von Treu und Glauben gemäss <ref-law> verletzen sollte, ist nicht ersichtlich.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz verletze den Grundsatz "in dubio pro duriore".
3.2.
3.2.1. Eine Einstellung des Verfahrens erfolgt insbesondere, wenn kein Tatverdacht erhärtet ist, der eine Anklage rechtfertigt (<ref-law>), kein Straftatbestand erfüllt ist (<ref-law>) oder Rechtfertigungsgründe einen Straftatbestand unanwendbar machen (<ref-law>). Der Entscheid über die Einstellung eines Verfahrens hat sich nach dem Grundsatz "in dubio pro duriore" zu richten. Dieser ergibt sich aus dem Legalitätsprinzip. Er bedeutet, dass eine Einstellung durch die Staatsanwaltschaft grundsätzlich nur bei klarer Straflosigkeit oder offensichtlich fehlenden Prozessvoraussetzungen angeordnet werden darf. Hingegen ist, sofern die Erledigung mit einem Strafbefehl nicht in Frage kommt, Anklage zu erheben, wenn eine Verurteilung wahrscheinlicher erscheint als ein Freispruch. Ist ein Freispruch gleich wahrscheinlich wie eine Verurteilung, drängt sich in der Regel, insbesondere bei schweren Delikten, eine Anklageerhebung auf (<ref-ruling> E. 4.1 S. 90 f., 186 E. 4.1 S. 190; je mit Hinweisen). Bei zweifelhafter Beweis- oder Rechtslage hat nicht die Staatsanwaltschaft über die Stichhaltigkeit des strafrechtlichen Vorwurfs zu entscheiden, sondern das zur materiellen Beurteilung zuständige Gericht. Der Grundsatz, dass im Zweifel nicht eingestellt werden darf, ist auch bei der Überprüfung von Einstellungsverfügungen zu beachten (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 91 mit Hinweis). Bei der Beurteilung dieser Frage verfügen die Staatsanwaltschaft und die Vorinstanz über einen gewissen Spielraum, den das Bundesgericht mit Zurückhaltung überprüft (<ref-ruling> E. 4.1 S. 190).
3.2.2. Gemäss <ref-law> wird mit Freiheitsstrafe oder Geldstrafe bestraft, wer einen Nichtschuldigen wider besseres Wissen bei der Behörde eines Verbrechens oder Vergehens beschuldigt, in der Absicht, eine Strafverfolgung gegen ihn herbeizuführen. Der Tatbestand der falschen Anschuldigung schützt in erster Linie die Zuverlässigkeit der Rechtspflege. Die Tathandlung führt zu einem unnützen Einsatz öffentlicher Mittel. Daneben handelt es sich bei der falschen Anschuldigung aber auch um ein Delikt gegen die Person. Geschützt werden danach die Persönlichkeitsrechte zu Unrecht Angeschuldigter (<ref-ruling> E. 2.1 S. 175 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 24 f.; je mit Hinweisen). Der subjektive Tatbestand erfordert Vorsatz und in Bezug auf die Unwahrheit der Beschuldigung Handeln wider besseres Wissen. Das Bewusstsein, die Behauptung könnte möglicherweise falsch sein, genügt mithin nicht. Der Täter muss vielmehr sicher darum wissen, dass die Anschuldigung unwahr ist. Insofern scheidet Eventualvorsatz aus (<ref-ruling> E. 2.1 S. 176 f. mit Hinweisen).
3.3. Die Vorinstanz erwägt, die Staatsanwaltschaft habe davon ausgehen dürfen, dass keine genügenden Anhaltspunkte dafür vorliegen, dass der Beschwerdegegner wider besseres Wissen eine falsche Anschuldigung zum Nachteil des Beschwerdeführers geäussert habe. Bei einer Anklageerhebung wäre ein Freispruch zu erwarten.
3.4. Der Beschwerdeführer begründet die Rüge, wonach Art. 319 und 324 StPO verletzt seien, im Wesentlichen mit seiner abweichenden tatsächlichen Würdigung des Sachverhalts. Darauf ist nicht einzutreten.
Darüber hinaus trägt er vor, seine Unschuld sei erwiesen, wenn er im gegen ihn geführten Strafverfahren vom Vorwurf der Hehlerei freigesprochen werde. Dabei verkennt er, dass auch ein solcher Freispruch nichts daran ändern würde, dass der Beschwerdegegner ihn nicht wider besseres Wissen beschuldigt hat.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die unentgeltliche Rechtspflege sei nicht beschränkt auf die Durchsetzung von Zivilansprüchen aus der Straftat. Sein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung fliesse direkt aus <ref-law> und nicht nur aus <ref-law>.
4.2. Die Vorinstanz erwägt, weder aus den Akten noch aus dem Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege gehe hervor, dass der Beschwerdeführer eine bezifferte Zivilforderung geltend gemacht hätte. Im Beschwerdeverfahren habe er die Darlegung der Erfolgsaussichten auf den Strafpunkt beschränkt. Es sei somit nicht dargetan, dass die Zivilklage nicht aussichtslos sei.
4.3.
4.3.1. Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand (<ref-law>). Diese Bestimmung soll jedem Betroffenen ohne Rücksicht auf seine finanzielle Situation tatsächlichen Zugang zum Gerichtsverfahren vermitteln und die effektive Wahrung seiner Rechte ermöglichen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 355).
<ref-law> konkretisiert die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für die Privatklägerschaft im Strafprozess. Dieser ist nach Absatz 1 die unentgeltliche Rechtspflege für die Durchsetzung ihrer Zivilansprüche ganz oder teilweise zu gewähren, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und die Zivilklage nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für die Privatklägerschaft setzt überdies voraus, dass dies zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist (<ref-law>).
4.3.2. In der Botschaft vom 21. Dezember 2005 zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts steht, der Wortlaut von <ref-law> mache deutlich, dass grundsätzlich nur dann ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellt wird, wenn die Privatklägerschaft im Strafverfahren Zivilansprüche geltend macht. Dies schliesse nicht aus, dass der Rechtsbeistand auch im Strafpunkt tätig wird. Beteilige sich die Privatklägerschaft ausschliesslich im Strafpunkt, sei die unentgeltliche Rechtspflege ausgeschlossen. Der Ausschluss sei gerechtfertigt, weil der Strafanspruch grundsätzlich dem Staat zustehe, der durch die Staatsanwaltschaft vertreten werde (BBl 2006 1181 Ziff. 2.3.4.3).
4.3.3. Das Bundesgericht hat wiederholt festgehalten, dass der Gesetzgeber die unentgeltliche Rechtspflege bewusst auf die Fälle beschränkte, in denen die Privatklägerschaft Zivilansprüche geltend macht. Auf diese Weise werde dem Umstand Rechnung getragen, dass der staatliche Strafanspruch grundsätzlich durch den Staat wahrgenommen wird, weshalb sich die unentgeltliche Rechtspflege zu Gunsten der Privatklägerschaft in erster Linie rechtfertigt, wenn es um die Durchsetzung von Zivilansprüchen geht (Urteile 1B_94/2015 vom 26. Juni 2015 E. 2.1; 6B_578/2014 vom 20. November 2014 E. 3.1; 1B_254/2013 vom 27. September 2013 E. 2.1.1; 6B_122/2013 vom 11. Juli 2013 E. 4.1; je mit Hinweisen). <ref-law> schliesse jedoch nicht aus, dass der unentgeltliche Rechtsbeistand - allenfalls bereits während des Vorverfahrens - auch im Strafpunkt tätig wird, da sich dieser auf die Zivilansprüche auswirken könne (vgl. Urteile 1B_94/2015 vom 26. Juni 2015 E. 2.1; 6B_578/2014 vom 20. November 2014 E. 3.2.1; je mit Hinweis; BBl 2006 1181 Ziff. 2.3.4.3).
4.3.4. In der Lehre wird vorgebracht, die Beschränkung der unentgeltlichen Rechtspflege für die Privatklägerschaft sei nicht vereinbar mit <ref-law>, wonach der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege in allen staatlichen Verfahren gelte, in welchen die betroffene Person Parteistellung habe (MAZZUCCHELLI/POSTIZZI, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 4 zu <ref-law>). Eine andere Kritik zielt darauf, dass die Privatklägerschaft, welche Straf- und Zivilklage erhebt, besser gestellt werde als jene, die nur die Verfolgung und Bestrafung der für die Straftat verantwortlichen Person verlangt und ihre Zivilansprüche in einem separaten Verfahren geltend macht (HARARI/CORMINBOEUF, in: Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2011, N. 20 ff. zu <ref-law>). Im Übrigen begrüsst die Lehre die bundesgerichtliche Auslegung von <ref-law> (FRANZ RIKLIN, StPO Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung mit JStPO, StBOG und weiteren Erlassen, 2. Aufl. 2014, N. 1 zu <ref-law>; NIKLAUS OBERHOLZER, Grundzüge des Strafprozessrechts, 3. Aufl. 2012, Rz. 552; LIEBER, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>; SCHMID, Praxiskommentar, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>).
4.3.5. Angesichts des klaren gesetzgeberischen Willens besteht denn auch kein Anlass, von der bestehenden Praxis abzurücken.
4.4. Nach dem Gesagten verletzt die Vorinstanz kein Bundesrecht, wenn sie davon ausgeht, die unentgeltliche Rechtspflege zu Gunsten der Privatklägerschaft sei auf die Durchsetzung von Zivilansprüchen beschränkt. Nichts daran ändert das bundesgerichtliche Urteil, auf das sich der Beschwerdeführer beruft.
Darin erwägt das Bundesgericht, die Formulierung der bundesrätlichen Botschaft und deren einleitender Hinweis auf <ref-law> implizierten, dass der Gesetzgeber nicht ausschliessen wollte, einer betroffenen Person, die keine Zivilansprüche geltend machen will oder kann, die unentgeltliche Rechtspflege ausnahmsweise unmittelbar gestützt auf <ref-law> zu gewähren. In jenem Fall ging es um ein mutmassliches Opfer unzulässiger staatlicher Gewalt, welchem das Bundesgericht gestützt auf <ref-law> einen grundsätzlichen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege zusprach. Begründet wurde diese Ausnahme damit, dass einem mutmasslichen Opfer unzulässiger staatlicher Gewalt der Zugang zum Gerichtsverfahren verweigert wird, wenn in einem von ihm angestrengten Beschwerdeverfahren gegen die Einstellung der Strafuntersuchung gegen die Urheber der staatlichen Gewalt die unentgeltliche Rechtspflege mit der Begründung verweigert wird, dass eine adhäsionsweise erhobene Zivilklage aussichtslos sei (Urteil 1B_355/2012 vom 12. Oktober 2012 E. 5.1 f.; vgl. auch Urteil 1B_341/2013 vom 14. Februar 2014 E. 2).
Im vorliegenden Fall erhob der Beschwerdeführer gegen den Beschwerdegegner Strafanzeige wegen falscher Anschuldigung, weil dieser ihn bei der Polizei wider besseres Wissen der Hehlerei beschuldigt habe. Dass ein Anwendungsfall der zitierten Rechtsprechung vorliegt, welcher die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ausnahmsweise unabhängig von Zivilansprüchen rechtfertigen würde, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist nicht ersichtlich.
4.5. Ebenso wenig verletzt die Vorinstanz Bundesrecht, wenn sie ausführt, der Beschwerdeführer habe die Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege nicht dargetan. Indem der Beschwerdeführer Strafantrag gegen den Beschwerdegegner stellte, hat er sich gleichzeitig als Privatkläger im vorliegenden Verfahren konstituiert (vgl. Art. 118 Abs. 2 i.V.m. Abs. 1 StPO). Jedoch ergibt sich aus den Akten nicht, dass er im bisherigen Verlauf des Verfahrens eine Zivilforderung geltend machte bzw. diese näher bezifferte. Zwar muss die in der Zivilklage geltend gemachte Forderung (erst) spätestens im Parteivortrag beziffert und begründet werden (<ref-law>; siehe auch: Urteile 1B_94/2015 vom 26. Juni 2015 E. 2.1; 6B_578/2014 vom 20. November 2014 E. 3.2.1). Jedoch muss der Privatkläger in seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege in jedem Verfahrensstadium unter anderem darlegen, dass die Zivilklage nicht aussichtslos erscheint (vgl. <ref-law>; Urteile 1B_45/2012 vom 8. Juni 2012 E. 4.3; 1B_200/2011 vom 15. Juni 2011 E. 2.4). Der Beschwerdeführer zeigte in seiner Beschwerde an die Vorinstanz, die auch sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege enthält, nicht auf, dass seine Zivilklage Aussicht auf Erfolg hat. Daran ändert auch sein Einwand nichts, er habe in Randziffer 10 seiner Beschwerde an die Vorinstanz dem Grundsatz nach Zivilforderungen geltend gemacht. An besagter Stelle führt er lediglich aus, die falsche Anschuldigung habe für ihn einen Eingriff in die Freiheit, die Ehre, die Privatsphäre und das Vermögen zur Folge gehabt. Zu den Erfolgsaussichten der Zivilklage lässt sich daraus nichts ableiten.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz verletze Art. 428 Abs. 1 und 2 StPO, indem sie ihm die Verfahrenskosten auferlege und eine Parteientschädigung verwehre.
5.2. Die Kosten des Rechtsmittelverfahrens tragen die Parteien nach Massgabe ihres Obsiegens oder Unterliegens. Als unterliegend gilt auch die Partei, auf deren Rechtsmittel nicht eingetreten wird oder die das Rechtsmittel zurückzieht (<ref-law>). Gemäss <ref-law> richten sich Ansprüche auf Entschädigung und Genugtuung im Rechtsmittelverfahren nach den Art. 429-434 StPO. Nach <ref-law> hat die Privatklägerschaft gegenüber der beschuldigten Person Anspruch auf angemessene Entschädigung für notwendige Aufwendungen im Verfahren, wenn sie obsiegt (lit. a) oder die beschuldigte Person nach <ref-law> kostenpflichtig ist (lit. b).
5.3.
5.3.1. Der Beschwerdeführer trägt vor, die Vorinstanz dürfe ihm keine Kosten auferlegen und müsse ihm eine Parteientschädigung zusprechen, weil sie auf Protokolle abstelle, welche die Staatsanwaltschaft erst im Beschwerdeverfahren beibrachte. Dieses Vorgehen der Staatsanwaltschaft sei rechtsmissbräuchlich und verletze Art. 3 Abs. 2 lit. a und b StPO.
Selbst wenn dem so wäre, dürfte ihm die Vorinstanz die Kosten auferlegen und eine Parteientschädigung verweigern. Denn am 4. März 2014 stellte sie ihm die von der Staatsanwaltschaft eingereichten Protokolle zu. Mit Eingabe vom 9. März 2015 äusserte sich der Beschwerdeführer zu diesen und hielt an seiner Beschwerde fest.
5.3.2. Der Beschwerdeführer argumentiert, er habe vor Vorinstanz teilweise obsiegt, weil er mit seiner Sachverhaltsrüge durchgedrungen sei und die Vorinstanz ihrem Entscheid einen anderen Sachverhalt zugrunde lege, als die Staatsanwaltschaft im Einstellungsentscheid.
Darauf kommt es nicht an. Da die Vorinstanz die Beschwerde abweist, ist der Beschwerdeführer mit seinen Anträgen unterlegen, weshalb sie ihm zu Recht die Kosten auferlegt und eine Parteientschädigung verweigert (vgl. Urteil 6B_438/2013 vom 18. Juli 2013 E. 2.4). Inwiefern <ref-law> einschlägig sein sollte, ist nicht ersichtlich, nachdem nur der Beschwerdeführer Beschwerde einlegte und damit unterlag.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer wird grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist gutzuheissen, da von seiner Bedürftigkeit auszugehen ist und seine Rechtsbegehren nicht von vornherein aussichtslos waren. Es sind keine Kosten zu erheben. Seinem Rechtsvertreter ist eine Entschädigung aus der Bundesgerichtskasse auszurichten (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung zuzusprechen, da ihm im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
D ie Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Roman Kost, wird eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftli ch mitgeteilt.
Lausanne, 16. Dezember 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Andres