Faits :
A.
Ressortissant bosniaque né en 1978, A._ a épousé B._, une compatriote titulaire d'une autorisation d'établissement, le 17 juin 2004. L'intéressé a, de ce fait, été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour pour regroupement familial. De cette union est née C._ le 12 novembre 2004.
A la suite de la séparation des époux, des mesures protectrices de l'union conjugale ont été prononcées le 15 juin 2007. Le 18 août 2008, répondant à un questionnaire du Service des migrations de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des migrations), A._ a déclaré qu'il souhaitait reprendre la vie commune avec son épouse. Au cours du mois d'août 2009, B._ a informé le Service des migrations que son époux avait été victime d'un grave accident de voiture le 1er août 2009 lors d'un séjour en Bosnie. Le 28 décembre 2009, A._ a produit divers documents attestant qu'il était en incapacité de travail totale. Il a indiqué qu'il bénéficiait de l'aide sociale et qu'une demande d'AI avait été déposée.
Le divorce a été prononcé le 5 septembre 2011. A teneur du jugement, l'autorité parentale et le droit de garde exclusif ont été attribués à B._. A._ dispose d'un droit de visite qu'il peut exercer d'entente avec la mère de l'enfant. Le 13 octobre 2011, A._ a indiqué qu'il s'occupait de sa fille un week-end sur deux ainsi que durant les vacances. L'intéressé a précisé que les conséquences de son accident l'empêchaient de s'occuper de sa fille de manière plus régulière. Il a également affirmé qu'il était en arrêt de travail complet, qu'il bénéficiait de l'aide sociale et qu'il faisait l'objet de poursuites pour un peu moins de 10'000 fr. Entendue par la police en date du 9 mai 2012, B._ a indiqué que A._ n'assumait pas son rôle de père, gardant sa fille " au gré des envies ".
Entre le mois de juin 2004 et le mois de septembre 2012, l'intéressé a bénéficié des prestations de l'aide sociale pour un montant total de 245'618 fr. 05.
Le 11 septembre 2012, le Service des migrations a informé A._ qu'il envisageait de ne pas prolonger son autorisation de séjour.
B.
Par décision du 7 mars 2013, après avoir entendu l'intéressé, le Service des migrations a refusé de prolonger l'autorisation de séjour de A._ et lui a imparti un délai au 10 mai 2013 pour quitter la Suisse. Saisi d'un recours contre cette décision, le Département de l'économie et de l'action sociale de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Département cantonal) l'a rejeté par décision du 27 novembre 2013.
A._ a contesté ce prononcé auprès du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public (ci-après: le Tribunal cantonal) qui, par arrêt du 3 février 2015, a rejeté le recours.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ conclut, avec suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt entrepris et, principalement, à la prolongation de son autorisation de séjour, subsidiairement, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision. Plus subsidiairement, A._ demande au Tribunal fédéral de renoncer à l'exécution de son renvoi au sens de l'art. 83 al. 4 LEtr en raison de la nécessité médicale qu'engendre son état de santé et de prononcer son admission provisoire au sens de l'art. 83 al. 1 LEtr. Il requiert en outre l'effet suspensif ainsi que le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Par ordonnance du 10 mars 2015, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif.
Le Tribunal cantonal, le Secrétariat d'Etat aux migrations, le Département de l'économie et de l'action sociale ainsi que le Département de la justice, de la sécurité et de la culture concluent au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2 p. 60).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 179).
En l'occurrence, le recourant se prévaut des art. 50 LEtr et 8 CEDH. Ces griefs étant articulés de manière soutenable, le recours échappe au motif d'irrecevabilité de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF.
1.2. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>). Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>, le recours en matière de droit public est par conséquent recevable.
1.3. En revanche, la conclusion subsidiaire du recourant tendant à ce qu'il soit admis provisoirement à rester en Suisse est irrecevable en application de l'art. 83 let. c ch. 3 LTF. Il en va de même de la conclusion tendant à ce que le Tribunal fédéral renonce à l'exécution du renvoi au sens de l'art. 83 al. 4 LEtr (cf. art. 83 let. c ch. 4 in fine LTF). Les problèmes qui sont liés strictement à l'exécution du renvoi et supposent l'existence d'une décision en la matière entrée en force sortent du cadre de la présente procédure, qui porte sur un refus de prolonger une autorisation de séjour (Peter Bolzli, in Marc Spescha et al., Migrationsrecht, 3e éd. 2012, n° 4 ad art. 83 LEtr; arrêt 2C_127/2015 du 2 avril 2015 consid. 4). De tels problèmes doivent être soulevés dans la phase d'exécution du renvoi.
2.
Le recourant conteste la manière dont les faits ont été constatés par le Tribunal cantonal.
2.1. Selon l'<ref-law>, le recours peut critiquer les constatations de fait à la double condition que ceux-ci ont été établis de manière manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 7.1 p. 51) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause, ce que la partie recourante doit rendre vraisemblable par une argumentation répondant aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; arrêt 2C_211/2014 du 4 décembre 2014 consid. 2). Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. <ref-law>). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; arrêt 2C_662/2014 du 25 avril 2015 consid. 3.1).
2.2. Le recourant critique de manière générale les faits retenus dans l'arrêt attaqué sans exposer concrètement en quoi ceux-ci auraient été établis de manière arbitraire ou manifestement inexacte. Une telle argumentation est appellatoire et ne répond aux exigences de l'<ref-law>. En réalité, le recourant s'en prend à l'appréciation juridique des faits effectuée par l'autorité précédente, question sur laquelle il sera revenu ci-dessous. Le Tribunal de céans se limitera donc à examiner si le droit fédéral a été correctement appliqué par le Tribunal cantonal sur la base des faits ressortant de l'arrêt entrepris.
3.
Le recourant se prévaut des art. 50 LEtr et 8 CEDH.
3.1. Selon l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, après dissolution de la famille, le conjoint étranger peut obtenir la prolongation de son autorisation de séjour si la poursuite de son séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures. L'alinéa 2 précise que les " raisons personnelles majeures " sont notamment données lorsque la réintégration dans le pays de provenance semble fortement compromise (voir aussi l'art. 77 al. 2 OASA, qui reprend la teneur de l'art. 50 al. 2 LEtr). La question n'est pas de savoir s'il est plus facile pour la personne concernée de vivre en Suisse, mais uniquement d'examiner si, en cas de retour dans le pays d'origine, les conditions de sa réintégration sociale, au regard de sa situation personnelle, professionnelle et familiale, seraient gravement compromises (arrêt 2C_873/2013 du 25 mars 2014 consid. 4.1, non publié in <ref-ruling> et références). L'admission d'un cas de rigueur personnel survenant après la dissolution de la communauté conjugale suppose que, sur la base des circonstances d'espèce, les conséquences pour la vie privée et familiale de la personne étrangère liées à ses conditions de vie après la perte du droit de séjour découlant de la communauté conjugale soient d'une intensité considérable (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 395). Le Tribunal fédéral a mis en lumière un certain nombre de situations dans lesquelles la poursuite du séjour en Suisse peut s'imposer, qui ne sont toutefois pas exhaustives (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 395; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 3 s.). Les critères énumérés par l'art. 31 al. 1 OASA peuvent également entrer en ligne de compte, même si, considérés individuellement, ils ne suffisent pas à fonder un cas de rigueur (<ref-ruling> consid. 3.2.3 p. 349; arrêts 2C_41/2015 du 17 février 2015 consid. 4.1; 2C_500/2014 du 18 juillet 2014 consid. 7.1 et la référence citée).
Selon la jurisprudence, des motifs médicaux peuvent, suivant les circonstances, conduire à la reconnaissance d'une raison personnelle majeure au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, lorsque l'intéressé démontre souffrir d'une sérieuse atteinte à la santé qui nécessite, pendant une longue période, des soins permanents ou des mesures médicales ponctuelles d'urgence, indisponibles dans le pays d'origine, de sorte qu'un départ de Suisse serait susceptible d'entraîner de graves conséquences pour sa santé. En revanche, le seul fait d'obtenir en Suisse des prestations médicales supérieures à celles offertes dans le pays d'origine ne suffit pas (<ref-ruling> consid. 6 p. 403; <ref-ruling> consid. 5.3 p. 209; arrêts 2C_815/2013 du 26 mai 2014 consid. 5.1; 2C_268/2013 du 21 juin 2013 consid. 3.4).
3.2. En l'occurrence, l'arrêt attaqué retient que le recourant a été atteint d'un polytraumatisme à la suite d'un accident de voiture survenu en 2009. Il a dû subir de nombreuses interventions chirurgicales et souffre actuellement de troubles psychiques. L'intéressé présente également un rétrécissement de la trachée consécutif à une trachéotomie. Le Tribunal cantonal a cependant constaté que le rétrécissement résiduel était stable et que la respiration était bonne. Au vu de ces éléments, l'instance précédente a considéré que l'état de santé du recourant n'était pas tel qu'il nécessitait des soins permanents. Les structures médicales en Bosnie et Herzégovine étaient, par ailleurs, suffisantes pour des consultations ponctuelles. Sur le plan psychique, le Tribunal cantonal a retenu que tant l'approvisionnement en médicaments que le traitement thérapeutique suivi par le recourant étaient disponibles dans son pays d'origine.
Le recourant conteste que la Bosnie et Herzégovine dispose des infrastructures suffisantes pour assurer son suivi médical. Il présente cependant sa propre version des faits. Dans la mesure où celle-ci ne correspond pas aux faits constatés dans l'arrêt attaqué sans qu'il soit indiqué en quoi ceux-ci auraient été établis de manière arbitraire, elle n'est pas admissible (cf. supra consid. 2). Dans ces conditions, il n'y a pas lieu de s'écarter de la solution retenue par l'autorité cantonale, laquelle repose sur une analyse complète et approfondie de la situation médicale générale en Bosnie et Herzégovine. Ainsi, sur la base des éléments retenus dans l'arrêt attaqué, les premiers juges ont considéré avec raison que la nature des affections médicales dont souffre le recourant ne justifie pas l'octroi d'une autorisation de séjour, étant rappelé que le seul fait d'obtenir en Suisse des prestations médicales supérieures à celles offertes dans le pays d'origine n'est pas déterminant.
Pour le reste, le Tribunal cantonal a retenu que la réintégration de l'intéressé en Bosnie et Herzégovine, pays dans lequel il avait vécu jusqu'à l'âge de 24 ans et où réside encore une partie de sa famille, n'était pas fortement compromise. Il peut être renvoyé, sur ce point, aux considérants de l'arrêt de l'instance précédente, qui a dûment appliqué le droit fédéral.
3.3. Reste à déterminer si le recourant peut se prévaloir de sa relation avec sa fille pour obtenir une prolongation de son autorisation de séjour.
3.3.1. La jurisprudence admet que des raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr peuvent découler aussi d'une relation digne de protection avec un enfant qui a le droit de séjourner en Suisse (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 319; arrêts 2C_318/2013 du 5 septembre 2013 consid. 3.3; 2C_327/2010 du 19 mai 2011 consid. 2.2 in fine, non publié in <ref-ruling>). Dans ce contexte, il convient également de tenir compte du droit au respect de la vie privée et familiale garanti par l'art. 8 CEDH, que le recourant invoque du reste expressément.
Le parent qui, à l'instar du recourant, n'a pas l'autorité parentale ni la garde de l'enfant ne peut d'emblée entretenir une relation familiale avec celui-ci que de manière limitée, en exerçant le droit de visite dont il bénéficie. Or, il n'est en principe pas nécessaire que, dans l'optique de pouvoir exercer son droit de visite, le parent étranger soit habilité à résider durablement dans le même pays que son enfant. Sous l'angle du droit à une vie familiale (cf. art. 8 par. 1 CEDH et 13 al. 1 Cst.), il suffit en règle générale que le parent vivant à l'étranger exerce son droit de visite dans le cadre de séjours de courte durée, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 319). Le droit de visite d'un parent sur son enfant ne doit en effet pas nécessairement s'exercer à un rythme bimensuel et peut également être organisé de manière à être compatible avec des séjours dans des pays différents (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 147 et les références citées). Selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral, un droit plus étendu ne peut le cas échéant exister qu'en présence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique, lorsque cette relation ne pourrait pratiquement pas être maintenue en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent, et que l'étranger a fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 147; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 319).
La jurisprudence a précisé, en lien avec l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, que l'exigence du lien affectif particulièrement fort doit être considérée comme remplie lorsque les contacts personnels sont exercés dans le cadre d'un droit de visite usuel selon les standards d'aujourd'hui (en Suisse romande, il s'agit d'un droit de visite d'un week-end toutes les deux semaines et durant la moitié des vacances; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 321 s. ; cf. aussi <ref-ruling> consid. 3.2 p. 148; arrêt 2C_318/2013 du 5 septembre 2013 consid. 3.3.2). On ajoutera cependant que le droit de visite n'est déterminant que dans la mesure où il est effectivement exercé, ce que les autorités compétentes doivent dûment vérifier. Cette précision de la jurisprudence ne s'applique toutefois qu'à l'hypothèse où l'étranger, en raison d'une communauté conjugale avec un ressortissant suisse ou une personne disposant d'une autorisation d'établissement, détient déjà une autorisation de séjour pour la Suisse. Dans un tel cas il pourra en effet, lorsque cette communauté prendra fin, invoquer non seulement l'art. 8 CEDH mais également la disposition plus favorable prévue à l'art. 50 al. 1 let. b LEtr (arrêt 2C_318/2013 du 5 septembre 2013 consid. 3.3.2). Les autres conditions d'une prolongation de doivent en outre être remplies. Le parent étranger doit ainsi en particulier entretenir une relation économique particulièrement forte avec son enfant et avoir fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 321; arrêt 2C_318/2013 du 5 septembre 2013 consid. 3.3.2).
3.3.2. En l'occurrence, le recourant ne peut pas se prévaloir d'un comportement irréprochable. En effet, il a été condamné en novembre 2008 à 20 jours-amende à 20 fr. le jour amende pour avoir conduit un véhicule avec un taux d'alcoolémie qualifié. De plus, sur le plan financier, l'intéressé a fait l'objet de poursuites pour un peu de moins de 10'000 fr. et a bénéficié de l'aide sociale pour un montant total de 245'618 fr. 05. Le recourant se trouve ainsi dans une situation financière obérée et il n'est pas exclu qu'elle empire encore. C'est en vain que le recourant reproche à l'instance précédente d'avoir procédé à une interprétation trop stricte du critère du comportement irréprochable. Contrairement à ce qu'il semble soutenir, du moment qu'il n'a ni l'autorité parentale ni la garde de sa fille, l'intéressé ne se trouve pas dans une des situations pour lesquelles la jurisprudence en matière de comportement irréprochable a été assouplie (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 150 s.; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 287; <ref-ruling> consid. 2.2.3 p. 157 s).
Pour le surplus, s'il est établi que le recourant a su tisser à la longue des liens plus étroits avec sa fille sur le plan affectif, l'existence d'une relation économique fait défaut en l'espèce. Le Tribunal cantonal a retenu qu'aucun élément du dossier ne permettait de retenir que l'intéressé contribuait d'une quelconque manière à l'entretien de sa fille. Il est vrai que, compte tenu de l'accident de voiture du recourant survenu en 2009, le jugement de divorce a dispensé ce dernier à verser une contribution d'entretien à sa famille. Comme l'ont relevé les juges cantonaux, le recourant ne saurait cependant se prévaloir de son accident pour palier l'absence de lien économique avec sa fille. Il ressort en effet du procès-verbal d'audience en mesures protectrices, tenue le 15 juin 2007, que l'intéressé a été astreint à verser une pension alimentaire en faveur de sa fille depuis le 1er août 2007. L'arrêt attaqué retient cependant que l'intéressé n'a jamais contribué financièrement à l'entretien de sa fille, alors qu'il lui incombait de le faire en tout cas jusqu'à son accident survenu le 1er août 2009. Le recourant, qui n'a d'ailleurs jamais produit les preuves du paiement de la pension alimentaire requises par le Service des migrations, ne conteste pas ce point. Il reproche uniquement au Tribunal cantonal d'avoir pris " en compte séparément certains éléments, sans tenir compte de l'état de fait dans sa globalité " (cf. mémoire de recours, p. 10). Le recourant s'est ensuite principalement attaché à démontrer l'existence d'une relation affective particulièrement étroite avec sa fille. Ce faisant, il perd cependant de vue que les conditions posées par la jurisprudence pour pouvoir invoquer l'art. 8 CEDH sont cumulatives (cf. arrêts 2C_728/2014 du 3 juin 2015 consid. 4.3.1; 2C_794/2014 du 23 janvier 2015 consid. 3.3; 2C_586/2013 du 3 décembre 2013 consid. 3.2.6; 2C_382/2012 du 7 décembre 2012 consid. 2.3). Or, du moment que l'intéressé ne peut pas se prévaloir d'un comportement irréprochable et que les liens qui l'unissent à sa fille ne sauraient être qualifiés de particulièrement forts sur le plan économique, il n'est pas déterminant qu'ils le soient d'un point de vue affectif, même si ce point n'est pas contesté en l'espèce.
3.4. Dans ces conditions, il faut admettre que l'instance précédente n'a pas violé les art. 50 LEtr et 8 CEDH en confirmant le refus de renouveler l'autorisation de séjour du recourant.
4.
Enfin, hormis les liens du recourant avec sa fille, dont on a vu qu'ils ne justifient pas à eux seuls son séjour en Suisse, l'arrêt attaqué ne révèle aucun élément déterminant qui ferait apparaître le refus de prolonger l'autorisation de séjour du recourant comme disproportionné (cf. art. 96 LEtr). En tenant compte de l'âge du recourant lorsqu'il a quitté son pays d'origine, du fait que son intégration professionnelle et socioculturelle en Suisse n'était pas particulièrement marquée, qu'il émarge à l'aide sociale depuis plus de dix ans et fait l'objet de poursuites, des conséquences pour lui et sa fille d'un refus de demeurer en Suisse et des possibilités de suivi médical et de réintégration à l'étranger où vit une partie de sa famille, il faut constater que le refus de prolonger l'autorisation de séjour de l'intéressé n'est pas une mesure disproportionnée.
5.
Le recourant invoque l'arrêt de la Cour européenne des droits de l'homme (ci-après: CourEDH) Hasanbasic c. Suisse du 11 juin 2013 (52166/09). Cette jurisprudence ne lui est toutefois d'aucun secours, car les situations ne sont pas comparables. Dans l'affaire précitée, l'intéressé entretenait une relation étroite et effective avec son épouse, titulaire d'une autorisation d'établissement, de sorte que l'art. 8 CEDH trouvait application. La CourEDH avait, par ailleurs, relevé que l'état de santé du requérant s'était sérieusement affaibli et nécessitait un suivi constant. Elle avait également attaché une importance particulière à la durée considérable du séjour des requérants en Suisse (qui s'élevait à 23 et 40 ans), ainsi qu'à leur intégration sociale incontestée.
6.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. Le recours étant manifestement dépourvu de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire est rejetée (<ref-law>). Le recourant doit supporter les frais judiciaires, lesquels seront réduits eu égard à sa situation économique (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service des migrations du canton de Neuchâtel, au Département de l'économie et de l'action sociale et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, ainsi qu'au Secré-tariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 13 août 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : McGregor