Erwägungen:
1. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich überwies mit Verfügung vom 7. März 2012 der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich eine Strafanzeige von X._ gegen verschiedene Beamte der Kantone Zürich und Schaffhausen, der Stadt Zürich sowie gegen Funktionäre der Stadtpolizei Winterthur. Die Oberstaatsanwaltschaft überwies die Strafanzeige in der Folge dem Obergericht des Kantons Zürich, damit dieses über die Ermächtigung zur Strafverfolgung entscheiden könne. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte mit Beschluss vom 14. Juni 2012 der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung gegen diverse Beamte der Kantone Zürich und Schaffhausen, der Stadt Zürich sowie gegen Funktionäre der Stadtpolizei Winterthur nicht. Der Beschluss ist X._ am 6. Juli 2012 zugestellt worden.
2. X._ ersuchte mit Eingabe vom 2. August 2012 um Fristerstreckung für eine Beschwerde gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 14. Juni 2012. Am 7. August 2012 teilte das Bundesgericht X._ mit, dass eine Beschwerdefrist nicht erstreckt werden könne. Die Wiederherstellung einer versäumten Frist sei nur unter den strengen Voraussetzungen von Art. 50 BGG möglich.
3. X._ führt mit Eingaben vom 4. November 2012 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 14. Juni 2012 und ersucht dabei um Wiederherstellung der Beschwerdefrist. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4. Der angefochtene Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich ist dem Beschwerdeführer am 6. Juli 2012 zugestellt worden. Die Frist von 30 Tagen (Art. 100 Abs. 1 BGG) zur Anfechtung des obergerichtlichen Beschlusses lief somit am 6. September 2012 ab (vgl. Art. 46 Abs. 1 BGG).
4.1 Gemäss Art. 50 Abs. 1 BGG wird eine versäumte Frist wiederhergestellt, wenn der Gesuchsteller nachweist, dass er oder sein Vertreter durch ein unverschuldetes Hindernis abgehalten worden ist, innerhalb der Frist zu handeln, und binnen 30 Tagen die Wiederherstellung verlangt und die versäumte Rechtshandlung nachholt. Ein unverschuldetes Hindernis im Sinne der genannten Gesetzesbestimmung liegt vor, wenn der Partei (und gegebenenfalls ihrem Vertreter) kein Vorwurf gemacht werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2a).
4.2 Ein Krankheitszustand bildet, wenn und solange er jegliches auf die Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht, ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis. Doch muss die Erkrankung derart sein, dass der Rechtsuchende durch sie davon abgehalten wird, selber innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen. Dass es sich so verhält, muss mit einschlägigen Arztzeugnissen belegt werden, wobei die blosse Bestätigung eines Krankheitszustandes und regelmässig selbst einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit zur Anerkennung eines Hindernisses im Sinne von Art. 50 Abs. 1 BGG nicht genügt (vgl. Urteil 6B_230/2010 vom 15. Juli 2010 mit weiteren Hinweisen).
4.3 Nach eigenen Angaben erlitt der Beschwerdeführer bei einem Motorradunfall am 17. Juni 2012 einen Trümmerbruch im rechten Fuss, einen Bruch im Schulterblatt sowie im rechten Arm. Nach einem ersten Spitalaufenthalt in Singen (Deutschland) musste sich der Beschwerdeführer am 13. Juli 2012 ein weiteres Mal in Spitalpflege begeben (Schaffhausen) und wurde am gleichen Datum auch operiert. Wann er aus dem Spital entlassen wurde, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Er verweist einzig auf zwei ärztliche Zeugnisse, wonach er vom 13. Juli 2012 bis 28. August 2012 bzw. vom 29. August 2012 bis 9. Oktober 2012 100% arbeitsunfähig war. Er sei bis am 9. Oktober 2012 abgehalten worden, fristgerecht zu handeln. Seine Eingabe vom 4. November 2012 sei innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses und damit rechtzeitig erfolgt.
4.4 Inwiefern der Beschwerdeführer wegen den beim Motorradunfall vom 17. Juni 2012 erlittenen Verletzungen bis am 9. Oktober 2012 nicht im Stande gewesen sein soll, eine Rechtsschrift zu verfasssen oder eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer nicht dargetan. Allein aus den eingereichten ärztlichen Zeugnissen lässt sich nicht auf ein so weitgehendes und langdauerndes Handlungshindernis schliessen. Immerhin war der Beschwerdeführer am 2. August 2012 in der Lage, beim Bundesgericht ein Gesuch um Erstreckung der Beschwerdefrist zu stellen. Weshalb er sich dann erst zwei Monate später wieder mit dem vorliegenden Verfahren befassen konnte, bleibt unerfindlich. Soweit auf das Fristwiederherstellungsgesuch überhaupt eingetreten werden kann, ist es als unbegründet abzuweisen. Folglich ist auf die offensichtlich verspätete Beschwerde nicht einzutreten.
5. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 BGG). Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Fristwiederherstellungsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Februar 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli