Faits:
A. Du 26 mai 2000 au 20 février 2001, X._ s'est rendu coupable en plusieurs occasions de vol, tentative de vol, crime manqué de vol, dommages à la propriété, utilisation frauduleuse d'un ordinateur, menaces, violation de domicile et contravention à la loi fédérale sur les stupéfiants. Cette activité délictueuse est en rapport avec un trouble mental. À l'époque, les experts psychiatres ont diagnostiqué une schizophrénie paranoïde continue ainsi qu'une dépendance à des substances psycho-actives.
Par jugement du 14 août 2003, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a condamné X._ à quatorze mois d'emprisonnement ferme, sous déduction de 385 jours de détention préventive, révoqué les sursis dont étaient assorties diverses peines d'emprisonnement prononcées antérieurement contre lui pour des infractions de même nature et suspendu l'exécution de l'ensemble des peines au profit d'un internement au sens de l'art. 43 ch. 1 al. 2 aCP.
B. Dans un premier temps, X._ a reçu ses soins psychiatriques en milieu pénitentiaire. Dans un rapport établi en 2007, la Commission interdisciplinaire concernant les délinquants nécessitant une prise en charge psychiatrique (ci-après: CIC) a noté qu'il évoluait favorablement et préconisé son placement dans un établissement médico-social (ci-après: EMS). Le 20 novembre 2007, X._ a été placé à l'EMS Z._, où il réside toujours actuellement.
C. Le 26 novembre 2007, procédant à l'examen prescrit à l'art. VI ch. 2 al. 2 de la loi fédérale du 13 décembre 2002 modifiant la partie générale du code pénal (RO 2006 3459 3535), telle que modifiée par la loi fédérale du 24 mars 2006 (RO 2006 3539 3544), le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a ordonné le placement institutionnel de X._, en application de l'<ref-law>, en lieu et place de l'internement au sens de l'art. 43 ch. 1 al. 2 aCP.
Le tribunal a retenu, sur la base d'un rapport d'expertise établi le 21 novembre 2007 par deux médecins du Département Universitaire de Psychiatrie Adulte (ci-après: DUPA), que le processus d'évolution de X._ était lent et que les changements devaient rester progressifs. Il s'est rallié à l'avis des auteurs du rapport, qui recommandaient la poursuite d'une prise en charge psychiatrique intégrée dans un lieu de vie cadrant et soutenant, tel qu'un EMS, et qui considéraient que les conditions d'application de l'<ref-law> étaient remplies.
D. Par arrêt du 27 février 2008, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a confirmé ce jugement.
E. X._ recourt au Tribunal fédéral contre ce dernier arrêt, dont il conclut à l'annulation .
À titre préalable, il demande à être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire et à ce que l'exécution de l'internement soit suspendue.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. L'arrêt attaqué confirme un jugement qui remplace l'internement prononcé en application des dispositions générales du code pénal en vigueur en 2003 par un traitement institutionnel au sens du nouvel <ref-law>. Tant que ce jugement n'est pas en force, celui du 14 août 2003, qui ordonne l'internement selon l'ancien droit, reste exécutoire, de sorte que l'interruption de cette dernière mesure ne peut être ordonnée qu'aux conditions prévues à l'art. 43 ch. 4 aCP, par l'autorité cantonale d'exécution. Dès lors, adressée à une autorité incompétente, la demande du recourant tendant à la suspension préalable de l'internement est irrecevable (<ref-law>).
2. Le Tribunal fédéral examine d'office et avec pleine cognition la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 37).
2.1 Le recours en matière pénale n'est ouvert contre des décisions cantonales que si celles-ci ont été rendues par l'autorité de dernière instance cantonale (cf. <ref-law>). Il en va de même du recours constitutionnel subsidiaire (cf. <ref-law>).
En vertu de l'art. 415 du Code de procédure pénale vaudois (CPP/VD; RSV 312.01), le recours en réforme n'est recevable contre les jugements de première instance que pour fausse application des règles de droit matériel. Saisi d'un tel recours, le Tribunal cantonal vaudois ne revoit pas les faits de la cause. Sous réserve d'inadvertances manifestes, il est lié par les constatations du jugement de première instance et ne réexamine, librement, que les questions juridiques de fond (cf. art. 447 CPP/VD). Pour se plaindre de la violation de règles de procédure ou de ses droits constitutionnels de nature procédurale, ou encore pour dénoncer la constatation arbitraire de certains faits, le condamné dispose du recours cantonal en nullité (cf. art. 411 CPP/VD), dans le cadre duquel le Tribunal cantonal n'examine que les griefs expressément soulevés (art. 439 al. 1 CPP/VD).
Dans le cas présent, alors qu'il était assisté d'un avocat en première et en seconde instance cantonale, le recourant s'est plaint, dans son recours cantonal en nullité, de lacunes dans l'état de fait du jugement de première instance, mais non d'une violation de la règle de procédure énoncée à l'<ref-law>. Du reste, il ne s'était pas opposé à la désignation de médecins du DUPA comme experts psychiatres et il n'avait pas pris, aux débats, de conclusions incidentes (au sens des art. 361 ss et 411 let. f CPP/VD) tendant à une nouvelle expertise. Dès lors, la cour cantonale ne s'est pas prononcée - et ne pouvait se prononcer - sur le moyen que le recourant prend, pour la première fois devant le Tribunal fédéral, d'un prétendu manque de neutralité des médecins du DUPA. Un avocat d'office désigné par le Tribunal fédéral ne pourrait plus rien y changer. Aussi y a-t-il lieu de constater, sans autre opération, que, faute d'être dirigé contre une décision de dernière instance cantonale, ce premier moyen du recourant est irrecevable.
2.2 Pour le surplus, interjeté dans le délai prévu par la loi (<ref-law>) par un accusé qui a succombé dans ses conclusions (<ref-law>) et dirigé contre un jugement final (<ref-law>) rendu en matière pénale (<ref-law>) par une autorité de dernière instance cantonale (<ref-law>), le présent recours est recevable.
3. L'art. VI ch. 2 al. 2 de la loi fédérale du 13 décembre 2002 modifiant la partie générale du code pénal, telle que modifiée par la loi fédérale du 24 mars 2006, prescrit au juge d'examiner, dans les douze mois à compter de l'entrée en vigueur de la novelle, le 1er janvier 2007, si les personnes internées en application des art. 42 ou 43 ch. 1 al. 2 aCP remplissent les conditions d'une mesure thérapeutique prévue aux art. 59 à 61 et 63 CP, et, si tel est le cas, d'ordonner cette mesure en lieu et place de l'internement.
3.1 Reprenant les griefs qu'il avait soulevés devant la cour cantonale, le recourant fait valoir en premier lieu que les juges cantonaux ont, dans le cadre du réexamen prescrit par cette disposition transitoire, commis l'arbitraire en faisant leurs les conclusions des experts psychiatres, motif pris que ceux-ci n'ont pas eu accès au dossier de son médecin traitant et qu'ils se seraient ainsi prononcés sans avoir une connaissance suffisante de son status psychiatrique.
L'arbitraire que le Tribunal fédéral (juge du droit) peut relever et corriger dans l'appréciation des preuves ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution aurait été possible, voire préférable. L'appréciation des preuves n'enfreint l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire, et ne permet une intervention du Tribunal fédéral sur la base de l'<ref-law>, que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'une preuve, s'il a omis sans raison sérieuse de tenir compte d'un moyen important et propre à modifier la décision attaquée ou encore s'il a tiré des conclusions insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 153; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9 et les arrêts cités).
Dans le cas présent, les médecins du DUPA ont fondé leur expertise non seulement sur celle réalisée par leurs confrères du même département universitaire en 2003 et sur les pièces transmises par l'Office d'exécution des peines, qui comprenaient le rapport de la CIC, mais encore sur trois entretiens qu'ils ont eus personnellement en août et septembre 2007 avec le recourant. Ils se sont ainsi fait leur propre opinion sur l'état mental de l'expertisé. Dans ces conditions, les juges cantonaux n'ont pas versé dans l'arbitraire en se ralliant à leurs conclusions, lors même qu'ils n'avaient pas eu accès au dossier du médecin traitant du recourant.
Le dossier cantonal ne comporte aucun élément qui permettrait à un avocat désigné d'office par le Tribunal fédéral de soutenir le contraire avec la moindre chance de succès. Le moyen doit dès lors être rejeté, sans autre opération.
3.2 En second lieu, le recourant reproche à la cour cantonale, en substance, d'avoir violé le principe de proportionnalité énoncé à l'<ref-law> en ce qu'elle a remplacé l'internement selon l'ancien droit par un traitement institutionnel (<ref-law>), alors qu'un traitement ambulatoire (<ref-law>) aurait, selon lui, été suffisant.
Les juges cantonaux ont retenu, sur la base d'un rapport d'expertise qu'ils ont sans arbitraire (cf. supra, consid. 3.1) jugé probant, que le recourant connaissait une évolution lente et que les changements dans son cadre actuel devaient rester progressifs, si l'on voulait éviter qu'il ne rechute dans la consommation de produits stupéfiants, favorable à une récidive de crimes ou de délits. En d'autres termes, ils ont retenu que le cadre institutionnel actuel du traitement était, en l'état, encore nécessaire pour détourner le recourant de la commission de nouvelles infractions et, partant, qu'un traitement ambulatoire était encore, pour le moment, insuffisant. Sur la base de ces constatations, ils n'ont pas violé l'<ref-law> en remplaçant l'internement du recourant par un traitement institutionnel, au sens de l'<ref-law>. Les éléments du dossier ne permettraient pas à un avocat d'office désigné par le Tribunal fédéral de soutenir le contraire avec la moindre chance de succès.
Le recours doit dès lors être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Dès que son état justifiera de lui donner l'occasion de faire ses preuves en liberté, le recourant pourra bénéficier d'une libération conditionnelle (<ref-law>).
4. Comme ses conclusions étaient dénuées de toute chance de succès, le recourant doit être débouté de sa demande d'assistance judiciaire (<ref-law>, a contrario) et supporter les frais de justice (<ref-law>), réduits à 800 fr., pour tenir compte de sa situation financière.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de cassation pénale.
Lausanne, le 5 novembre 2008
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Schneider Oulevey