Erwägungen:
1.
1.1. Y._ ist am 18. August 2011 im städtischen Betagtenzentrum A._ in Luzern verstorben. Verschiedene Rechnungen des Heimes im Gesamtumfang von Fr. 20'772.55 (zuzüglich 5 % Verzugszins ab 1. Mahnung) blieben unbezahlt. Ihr Sohn X._ hat die Erbschaft am 8. November 2011 ausgeschlagen. Das Teilungsamt Luzern kam am 13. April 2012 zum Schluss, dass er wegen verschiedener, nicht weiter belegter Bankbezüge sein Recht auf Ausschlagung der Erbschaft verwirkt habe (Art. 571 Abs. 2 ZGB). Gestützt hierauf hielt der Stadtrat Luzern mit Einspracheentscheid vom 26. Juni 2013 an der Forderung gegen X._ für die Pflegekosten (als Erbschaftsschulden) fest.
1.2. X._ gelangte hiergegen an das Kantonsgericht Luzern, wobei er den von diesem einverlangten Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- leistete, indessen darum ersuchte, ihm einen unentgeltlichen Rechtsbeistand beizugeben, was das Kantonsgericht am 6. Januar 2014 ablehnte (Nichteintretensentscheid), da X._ seinen verfahrensrechtlichen Mitwirkungspflichten bei der Abklärung seiner finanziellen Verhältnisse nicht nachgekommen sei (§ 55 des luzernischen Gesetzes vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege). X._ beantragt sinngemäss vor Bundesgericht, die entsprechende Verfügung aufzuheben.
2.
2.1. Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Mit der Beschwerde vor Bundesgericht kann keine falsche Anwendung von einfachem kantonalen Recht gerügt werden (vgl. Art. 95 BGG; MARKUS SCHOTT, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger [Hrsg.], BSK Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 55 zu Art. 95 BGG; BERNARD CORBOZ, in: Corboz et al. [Hrsg.], Commentaire de la LTF, Bern 2009, N. 21 zu Art. 95 BGG). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht nur insofern, als ein entsprechendes Vorbringen erhoben wird; dabei gilt eine qualifizierte Begründungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 235 mit Hinweisen). Diese setzt voraus, dass die beschwerdeführende Person in ihrer Eingabe dartut, welche verfassungsmässigen Rechte durch den angefochtenen Akt inwiefern verletzt worden sein sollen. Das Bundesgericht untersucht nicht von Amtes wegen, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist, sondern prüft diesbezüglich nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255; <ref-ruling> E. 1.4).
2.2.
2.2.1. Der Beschwerdeführer kritisiert, ihm sei zu Unrecht die unentgeltliche Verbeiständung verweigert worden. Er habe, soweit möglich, alle Unterlagen eingereicht; die Behörden hätten immer mehr Angaben verlangt, obwohl sie alles gehabt hätten, was sie zur Beurteilung seines Gesuchs benötigten. Der Beschwerdeführer legt damit nicht dar, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid Bundes (verfassungs) recht verletzen würde; seine Eingabe genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht.
2.2.2. Im Übrigen ist auch nicht ersichtlich, inwiefern dies der Fall sein könnte: Das Kantonsgericht hat den Beschwerdeführer am 13. November 2013 aufgefordert, die aktuellen Geschäftsunterlagen (Bilanzen, Erfolgsrechnungen etc.), allfällige weitere Einnahmequellen und Unterstützungsbeiträge (insb. auch Prämienverbilligungen), die letzte Steuerveranlagung und eine Kopie der Steuererklärung 2012 sowie den Nachweis der Schulden und deren regelmässige Abzahlung anzugeben bzw. einzureichen; er wurde gleichzeitig auf seine Pflichten und die allfälligen Folgen ihrer Nichtbeachtung aufmerksam gemacht. Nachdem er der entsprechenden Aufforderung bloss teilweise nachgekommen war, ersuchte das Kantonsgericht ihn am 28. November 2013, noch die fehlende Steuererklärung 2012 nachzureichen, worauf er diesem mitteilte, das Einholen von Unterlagen müsse nun "subito" aufhören. Es sei ihm "präzise" mitzuteilen, was gebraucht werde. Dies ergab sich indessen bereits klar aus dem Schreiben vom 28. November 2013 (Steuererklärung 2012).
2.2.3. Es war deshalb weder offensichtlich unhaltbar noch anderweitig verfassungswidrig, wenn das Kantonsgericht mangels hinreichender Substanziierung der Bedürftigkeit auf sein Gesuch nicht eintrat. Dies gilt umso mehr, als der Beschwerdeführer ein Darlehen von Fr. 350'000.-- bezogen hat, wobei dessen Verwendung ebenso unklar geblieben ist, wie die Frage, wovon der Beschwerdeführer tatsächlich lebt. Zwar will er die Gelder für eines seiner Projekte verwendet haben, weshalb er darauf nicht zurückgreifen dürfe, gleichzeitig hat er aber erklärt, diesbezüglich keine Geschäftsunterlagen einreichen zu können bzw. "einen Kredit aufgenommen" zu haben, um seinen Lebensunterhalt zu bestreiten (Schreiben vom 19. Oktober 2013).
3.
3.1. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Die Eingabe kann, nachdem die Akten eingeholt wurden, ohne Weiterungen im Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden.
3.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. März 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar