Sachverhalt:
A.
Am 25. Februar 2010 stellte die Hotel Uto Kulm AG bei der Gemeinde Stallikon ein Baugesuch für bereits vorgenommene Veränderungen auf dem in der Landwirtschaftszone gelegenen Grundstück Kat.-Nr. 1032. Das Gesuch betraf die temporäre Möblierung des Vorplatzes des Hotel-Restaurants Uto Kulm (Üetliberg) zur Nutzung als Aussenwirtschaft (Gartenwirtschaft und Lounge), die Montage einer Sonnenschutzmarkise sowie die Erstellung einer Metallglasverkleidung für einen Fluchtwegsteg. Für die gleichen Bauvorhaben stellte die Hotel Uto Kulm AG am 26. Februar 2010 ein Bewilligungsgesuch bei der Baudirektion des Kantons Zürich. Mit Verfügung vom 8. Juli 2011 verweigerte die Baudirektion die ersuchte Bewilligung und lud die örtliche Baubehörde ein, die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands zu prüfen. Mit Beschluss vom 24. August 2011 eröffnete die Bau- und Planungskommission der Gemeinde Stallikon der Hotel Uto Kulm AG die abschlägige Verfügung der Baudirektion und hielt fest, dass über die erforderlichen Massnahmen zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands erst nach Eintritt der Rechtskraft zu beschliessen sei.
B.
Am 20. März 2012 hiess das Baurekursgericht des Kantons Zürich einen von der Hotel Uto Kulm AG erhobenen Rekurs teilweise gut. Es hob die Verfügung der Baudirektion vom 8. Juli 2011 insofern auf, als damit die Bewilligung für die Gartenwirtschaft sowie die Lounge auf dem Vorplatz des Hotel-Restaurants verweigert worden war, und erteilte der Hotel Uto Kulm AG nachträglich eine raumplanungsrechtliche Bewilligung für die Gartenwirtschaft sowie die Lounge befristet bis zum 31. Dezember 2015. Im Übrigen wies es den Rekurs ab. Es auferlegte die Kosten des Verfahrens zu je einem Drittel der Baudirektion, der beigeladenen Zürcherischen Vereinigung für Heimatschutz sowie der Hotel Uto Kulm AG und verpflichtete die Zürcherische Vereinigung für Heimatschutz, der Hotel Uto Kulm AG eine Umtriebsentschädigung zu bezahlen.
Gegen den Entscheid des Baurekursgerichts erhob die Zürcherische Vereinigung für Heimatschutz Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Das Verwaltungsgericht entschied am 25. Oktober 2012:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Baurekursgerichts vom 20. März 2012 wird aufgehoben, soweit das Baurekursgericht den Rekurs guthiess, die Verfügung der Baudirektion vom 8. Juli 2011 aufhob, die Bewilligung für die Möblierung auf dem Vorplatz der Beschwerdegegnerin nachträglich bis Ende 2015 erteilte und der Beschwerdeführerin Kosten- und Entschädigungspflichten auferlegte.
2. Die Rekursverfahrenskosten in der Höhe von Fr. 3'700.- werden zu 2/3 der Beschwerdegegnerin und zu 1/3 der Baudirektion auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin wird dazu verpflichtet, der Beschwerdeführerin für das Rekursverfahren eine Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 1'500.- (Mehrwertsteuer inbegriffen) zu entrichten, zahlbar innert 30 Tagen ab Rechtskraft dieses Urteils.
4. Die Gerichtsgebühr für das Beschwerdeverfahren wird festgesetzt auf Fr. 5'000.--; die übrigen Kosten betragen: Fr. 220.-- Zustellkosten, Fr. 5'220.-- Total der Kosten.
5. Die Gerichtskosten des Beschwerdeverfahrens werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
6. Die Beschwerdegegnerin wird dazu verpflichtet, der Beschwerdeführerin für das Beschwerdeverfahren eine Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 2'000.- (Mehrwertsteuer inbegriffen) zu entrichten, zahlbar innert 30 Tagen ab Rechtskraft dieses Urteils.
(...)
C.
Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 25. Oktober 2012 hat die Hotel Uto Kulm AG am 29. November 2012 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragt:
1. Dispo. Ziff. 1 des Urteils des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und es sei entsprechend Dispo. Ziff. I des Entscheides des Baurekursgerichts vom 20. März 2012 für die Gartenwirtschaft nachträglich eine befristete Ausnahmebewilligung im Sinne von Art. 24 RPG zu erteilen; eventualiter sei für die Gartenwirtschaft nachträglich eine Ausnahmebewilligung im Sinne von Art. 37a RPG zu erteilen;
2. Dispo. Ziff. 2 des Urteils des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Kosten des Rekursverfahrens seien entsprechend Dispo. Ziff. II des Entscheides des Baurekursgerichts vom 20. März 2012 zu verlegen;
3. Dispo Ziff. 3 des Urteils des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Parteientschädigung für das Rekursverfahren sei entsprechend Dispo. Ziff. III des Entscheides des Baurekursgerichts vom 20. März 2012 zu regeln;
4. Dispo. Ziff. 5 des Urteils des Verwaltungsgericht sei aufzuheben und die Kosten des Beschwerdeverfahrens seien der Beschwerdegegnerin bzw. der Beschwerdeführerin vor Verwaltungsgericht aufzuerlegen;
5. Dispo. Ziff. 6 des Urteils des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Beschwerdegegnerin bzw. die Beschwerdeführerin vor Verwaltungsgericht sei zu verpflichten, der Beschwerdeführerin bzw. der Beschwerdegegnerin vor Verwaltungsgericht für das Beschwerdeverfahren eine Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 2'000.-- zu entrichten.
6. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu gewähren;
7. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beschwerdegegnerin.
Mit Verfügung vom 16. Januar 2013 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Die Beschwerdegegnerin beantragt Beschwerdeabweisung. Die Vorinstanz beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Baudirektion sowie die Bau- und Planungskommission der Gemeinde Stallikon haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Mit Eingabe vom 20. Juni 2013 hat die Beschwerdeführerin an der Beschwerde festgehalten.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts bestätigt den Entscheid der Baudirektion, eine nachträgliche Bewilligung für die temporäre Möblierung des Vorplatzes des von der Beschwerdeführerin betriebenen Hotel-Restaurants zur Nutzung als Aussenwirtschaft zu verweigern. Angefochten ist somit ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Betreiberin des Hotel-Restaurants nach <ref-law> zur Beschwerde legitimiert. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bilden die rechtskräftig abgewiesenen Gesuche der Beschwerdeführerin, eine Sonnenschutzmarkise zu montieren und eine Metallglasverkleidung für einen Fluchtwegsteg zu erstellen. Ebenfalls nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet die Frage, ob und innert welcher Frist im Fall, dass die temporäre Möblierung nicht bewilligt werden kann, der rechtmässige Zustand wiederherzustellen ist (vgl. Sachverhalt Lit. A). Es ist aber darauf hinzuweisen, dass unter den gegebenen Umständen nichts dagegen gesprochen hätte, zusammen mit der Verweigerung der Bewilligung auch über die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands zu entscheiden.
3.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, ihr hätte nach Art. 24 RPG (SR 700) für die temporäre Möblierung des Vorplatzes nachträglich eine befristete Bewilligung erteilt werden müssen. Sie bringt vor, die mit der temporären Möblierung geschaffene Aussenwirtschaft werde faktisch nur von Tagestouristen genutzt und diene nicht dem Hotel. Die Nutzung des Vorplatzes stelle keine Erweiterung des Hotel-Restaurants dar, sondern lediglich des Ausflugsrestaurants, welches getrennt zu betrachten und als standortgebunden zu qualifizieren sei.
3.1. Nach Art. 24 RPG können ausserhalb der Bauzonen Bewilligungen erteilt werden, Bauten und Anlagen zu errichten oder ihren Zweck zu ändern, wenn der Zweck der Bauten und Anlagen einen Standort ausserhalb der Bauzonen erfordert (lit. a) und keine überwiegenden Interessen entgegenstehen (lit. b).
3.2. In seinem Urteil 1C_328/2010 vom 7. März 2011 hatte das Bundesgericht darüber zu befinden, ob für die bereits errichtete Einfassung und Überdachung der Süd- und Rondoterrasse des Hotel-Restaurants Uto Kulm (Üetliberg) sowie für den Fluchtwegsteg an der Südterrasse nachträglich eine baurechtliche Bewilligung erteilt werden könne. Es kam zum Schluss, der vor den umstrittenen Umbauten bestehende Hotel- und Restaurantbetrieb sei nicht standortgebunden im Sinne von Art. 24 lit. a RPG. Erweise sich aber der vor den umstrittenen Änderungen bestehende Betrieb als nicht standortgebunden, so gelte dies auch für die umstrittene Erweiterung der zonenfremden Bauten. An der fehlenden Standortgebundenheit des gesamten Hotel-Restaurants sowie der umstrittenen Umbauten ändere auch der Umstand nichts, dass der Beschwerdeführerin in den Jahren 2000 und 2001 Umbauten als standortgebunden bewilligt worden seien (a.a.O., E. 3.3).
Das Bundesgericht hat das Hotel-Restaurant Uto Kulm (Üetliberg) in seinem Urteil 1C_328/2010 somit als Einheit betrachtet und dem Betrieb die Standortgebundenheit gesamthaft abgesprochen. Eine getrennte Betrachtung von Hotel-Restaurant und Ausflugsrestaurant ist aufgrund der Umstände auch im vorliegenden Verfahren nicht angezeigt, zumal die Aussenwirtschaft betrieblich Teil des Restaurants bildet, welches wiederum mit dem Hotelbetrieb zusammenhängt. Wie die Vorinstanz für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich festgestellt hat, dient die temporäre Vorplatzmöblierung neben Tagestouristen auch den Hotel- und Seminargästen. Inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig sein sollte, vermag die Beschwerdeführerin nicht darzutun (vgl. Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Unabhängig davon, wo die Hotelgäste das Mittag- und das Nachtessen einnehmen, ist davon auszugehen, dass die Aussenwirtschaft mindestens teilweise auch von ihnen benutzt wird, zumal sich die Gartenwirtschaft und die Lounge auf dem Vorplatz des Hotel-Restaurants und damit in unmittelbarer Nähe zum Hotel befinden. Wie das Hotel-Restaurant gesamthaft ist auch die temporäre Möblierung des Vorplatzes zur Nutzung als Aussenwirtschaft nicht standortgebunden im Sinne von Art. 24 lit. a RPG. Etwas anderes lässt sich auch aus dem von der Beschwerdeführerin angerufenen Urteil 1C_496/2011 vom 20. September 2012 nicht ableiten. Der Beschwerdeführerin ist eine nachträgliche Bewilligung im Sinne von Art. 24 RPG somit zu Recht verweigert worden.
4.
Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, ihr hätte nach Art. 37a RPG i.V.m. <ref-law> für die temporäre Möblierung des Vorplatzes nachträglich eine befristete Bewilligung erteilt werden müssen.
4.1. Zonenwidrige Bauten und Anlagen ausserhalb der Bauzone, die seinerzeit rechtmässig erstellt oder geändert worden sind, werden in ihrem Bestand grundsätzlich geschützt (Art. 24c Abs. 1 RPG) und können erneuert, teilweise geändert, massvoll erweitert oder wiederaufgebaut werden, sofern dies mit den wichtigen Anliegen der Raumplanung vereinbar ist (Art. 24c Abs. 2 RPG in der bis zum 31. Oktober 2012 geltenden Fassung bzw. nunmehr Art. 24c Abs. 2 und 5 RPG). Noch weiter gehende Zweckänderungen und Erweiterungen können unter gewissen Voraussetzungen für zonenwidrig gewordene gewerbliche Bauten und Anlagen bewilligt werden, die vor dem 1. Januar 1980 rechtmässig erstellt oder geändert wurden (Art. 37a RPG i.V.m. Art. 43 Abs. 1 lit. a-f RPV [SR 700.1] in der bis zum 31. Oktober 2012 geltenden Fassung bzw. seither Art. 37a RPG i.V.m. Art. 43 Abs. 1 lit. a-c sowie <ref-law>). Die Erweiterung der zonenwidrig genutzten Fläche darf den in Art. 43 Abs. 2 und 3 RPV bestimmten Umfang nicht überschreiten, wobei sämtliche seit der massgebenden Rechts- oder Planänderung vorgenommenen Um- und Erweiterungsbauten zu berücksichtigen sind (<ref-ruling> E. 3d S. 220).
4.2. Die Nutzung des Vorplatzes des Hotel-Restaurants als Aussenwirtschaft führt zu einer Erweiterung der zonenwidrig genutzten Fläche. Diese ist hinsichtlich Art. 43 Abs. 2 und 3 RPV zu den früheren Erweiterungen, mindestens zurück bis zum 1. Januar 1980, hinzuzuzählen (vgl. Urteil 1C_328/2010 vom 7. März 2011 E. 4.3). Dem angefochtenen Entscheid ist zu entnehmen, dass auf der Liegenschaft der Beschwerdeführerin bewilligte Umbauten zuletzt im Jahr 2002 vorgenommen worden sind (vgl. auch Urteil 1C_328/2010 vom 7. März 2011 E. 4.1 ff.) und dass damit das nach Art. 37a RPG i.V.m. Art. 43 Abs. 2 und 3 RPV zulässige Erweiterungsmass bereits ausgeschöpft worden ist. Von diesen tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ist auszugehen, zumal die Beschwerdeführerin nicht darlegt und nicht ersichtlich ist, inwiefern sie offensichtlich unrichtig sein sollten (vgl. Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdeführerin kann nicht gefolgt werden, wenn sie geltend macht, <ref-law> sei nicht anwendbar, falls die zonenwidrig genutzte Fläche - wie vorliegend - ausserhalb des bestehenden Gebäudevolumens erweitert werden soll. Weil das nach Art. 43 Abs. 2 und 3 RPV zulässige Erweiterungsmass bereits mit den im Jahr 2002 vorgenommenen Umbauten ausgeschöpft worden ist, ist der Beschwerdeführerin für die temporäre Möblierung des Vorplatzes eine nachträgliche Bewilligung nach Art. 37a RPG i.V.m. <ref-law> zu Recht verweigert worden.
5.
In ihrer Stellungnahme vom 20. Juni 2013 macht die Beschwerdeführerin geltend, im Gebiet Uto Kulm sei der kantonale Richtplan geändert worden und es sei ein Gestaltungsplan ausgearbeitet worden, gemäss welchem die Aussenwirtschaft zulässig wäre. Soweit es sich bei diesen Vorbringen nicht ohnehin um unzulässige Noven im Sinne von <ref-law> handelt, lässt sich daraus nichts zu Gunsten der Beschwerdeführerin ableiten, weil der von der Beschwerdeführerin angesprochene Gestaltungsplan für das Gebiet Uto Kulm im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids unbestrittenerweise noch nicht rechtskräftig war.
6.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und gegenüber der Beschwerdegegnerin entschädigungspflichtig (vgl. Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Parteientschädigung ist in Anwendung von Art. 1 ff. des Reglements über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht vom 31. März 2006 (SR 173.110.210.3) entsprechend der vom Vertreter der Beschwerdegegnerin eingereichten Kostennote festzusetzen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'189.85 zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Bau- und Planungskommission Stallikon, der Baudirektion des Kantons Zürich, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, 3. Kammer, dem Bundesamt für Raumentwicklung sowie dem Statthalteramt Bezirk Affoltern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Februar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle