Faits:
A. T._, né en 1966, a travaillé comme aide-plâtrier jusqu'en 1986, avant d'exercer différentes autres activités, dont celle de traducteur occasionnel. Du 12 mars au 11 juin 2001, il a été engagé par X._ SA, en qualité d'aide de bureau temporaire à plein temps. A ce titre, il était affilié à la fondation Groupe Mutuel Prévoyance (ci-après: la fondation). Son contrat de travail a été prolongé du 12 juin au 11 septembre 2001, mais il a été mis en arrêt total de travail dès le 13 juillet 2001, date à partir de laquelle il n'a plus retravaillé.
Depuis le 1er juillet 2002, T._ a été mis au bénéfice d'une rente entière d'invalidité, compte tenu d'un taux d'invalidité de 73 % (décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg du 17 mai 2004). En revanche, la fondation l'a informé qu'elle refusait de lui accorder des prestations de la prévoyance professionnelle, au motif que "l'incapacité de gain à l'origine de l'invalidité" avait débuté avant son affiliation à la fondation (courrier du 27 février 2006).
B. Par demande du 11 juillet 2006, T._ a assigné la fondation en paiement d'une rente d'invalidité mensuelle de 508 fr. 25 à partir du mois d'août 2006 avec intérêts de 5 % l'an dès le 1er de chaque échéance, ainsi que d'un montant de 24'904 fr. 25 (rentes arriérées de juillet 2002 à juillet 2006) avec intérêts de 5 % l'an dès l'ouverture d'instance. Statuant le 21 février 2008 après avoir requis de l'Office fribourgeois de l'assurance-invalidité le dossier de l'assurance-invalidité concernant l'intéressé, le Tribunal cantonal, Cour des assurances sociales, du canton de Fribourg a rejeté la demande.
C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande implicitement l'annulation, en concluant à ce que la fondation soit condamnée à lui verser une rente entière d'invalidité à partir du 1er juillet 2002. Sollicitant d'abord le bénéfice de l'assistance judiciaire, il a par la suite retiré sa requête.
La fondation conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. 1.1 La IIe Cour de droit social du Tribunal fédéral est compétente pour trancher un litige concernant l'obligation de prester de la fondation intimée en raison de la survenance du risque invalidité assuré par la prévoyance professionnelle (<ref-law> et 35 let. e du Règlement sur le Tribunal fédéral du 20 novembre 2006 [RTF], en vigueur depuis le 1er janvier 2007). Dès lors que les autres conditions formelles de recevabilité du recours en matière de droit public sont réalisées, il y a lieu d'entrer en matière sur celui-ci.
1.2 Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
2. 2.1 Le litige porte sur le droit du recourant à une prestation d'invalidité de la prévoyance professionnelle à la charge de la fondation intimée. Il s'agit, singulièrement, d'examiner si l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité est survenue durant la période d'assurance (y compris le délai d'un mois qui suit la fin des rapports de travail; <ref-law>).
2.2 Comme l'a retenu à juste titre la juridiction cantonale, les points litigieux doivent être examinés indépendamment de l'évaluation de l'invalidité (principe, taux et début du droit) à laquelle ont procédé les organes de l'assurance-invalidité par décision du 17 mai 2004, laquelle n'a pas, selon les constatations des premiers juges qui lient le Tribunal fédéral, été notifiée à la fondation intimée (<ref-ruling> con-sid. 3.3.2 p. 5; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 273 s.).
3. 3.1 Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales sur le droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire, ainsi que sur la notion d'incapacité de travail et le double critère de la connexité matérielle et temporelle entre l'incapacité de travail et l'invalidité posé par la jurisprudence pour fonder la responsabilité d'une institution de prévoyance à laquelle était affiliée l'intéressé (ATF <ref-ruling> consid. 4.1 p. 275, <ref-ruling> consid. 1c p. 264, 120 V 117 consid. 2c/aa et bb et les références). Il suffit d'y renvoyer.
3.2 On rappellera cependant que la relation de connexité temporelle suppose qu'après la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité, la personne assurée n'ait pas à nouveau été capable de travailler pendant une longue période. L'existence d'un tel lien doit être examiné au regard de l'ensemble des circonstances du cas d'espèce, tels la nature de l'atteinte à la santé, le pronostic médical, ainsi que les motifs qui ont conduit la personne assurée à reprendre ou ne pas reprendre une activité lucrative. Parmi les circonstances à prendre en compte pour apprécier la relation de connexité temporelle, il y a également les rapports perçus vers l'extérieur par les tiers dans le monde du travail, tel le fait qu'un assuré perçoit pendant une longue période des indemnités journalières de l'assurance-chômage en tant que personne à la recherche d'un emploi qui dispose d'une aptitude entière au placement (arrêts du Tribunal fédéral des assurances B 100/02 du 26 mai 2003, consid. 4.1 et B 18/06 du 18 octobre 2006 consid. 4.2.1 in fine et les références). On ne peut cependant accorder la même valeur à ces périodes qu'à celles pendant lesquelles l'intéressé a effectivement exercé une activité lucrative (arrêt du Tribunal fédéral des assurances B 23/01 du 21 novembre 2002, consid. 3.3). En ce qui concerne la durée de la capacité de travail interrompant le rapport de connexité temporelle, on peut s'inspirer de la règle de l'<ref-law> comme principe directeur ("Richtschnur"). Conformément à cette disposition, il y a lieu de prendre en compte une amélioration de la capacité de gain ayant une influence sur le droit des prestations lorsqu'elle a duré trois mois, sans interruption notable, et sans qu'une complication prochaine soit à craindre. Lorsque l'intéressé dispose à nouveau d'une pleine capacité de travail pendant au moins trois mois et qu'il apparaît ainsi probable que la capacité de gain s'est rétablie de manière durable, il existe un indice important en faveur de l'interruption du rapport de connexité temporelle. Il en va différemment lorsque l'activité en question, d'une durée éventuellement plus longue que trois mois, doit être considérée comme une tentative de réinsertion ou repose de manière déterminante sur des considérations sociales de l'employeur et qu'une réadaptation durable apparaissait peu probable (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 22 s. et les références; <ref-ruling> consid. 1c p. 264; <ref-ruling> consid. 2c/aa p. 117).
Dans l'<ref-ruling>, le Tribunal fédéral a par ailleurs précisé que pour la survenance de l'incapacité de travail au sens de l'art. 23 (à partir du 1er janvier 2005: let. a) LPP, c'est la diminution de la capacité fonctionnelle de rendement dans la profession exercée jusque là ou le champ d'activités habituelles qui est déterminante. La connexité temporelle avec l'invalidité ultérieure - en tant que condition supplé-mentaire du droit aux prestations d'invalidité de l'institution de prévoyance concernée - se définit en revanche d'après l'incapacité de travail, respectivement la capacité résiduelle de travail dans une activité raisonnablement exigible adaptée à l'atteinte à la santé. Une telle activité doit cependant permettre de réaliser, par rapport à l'activité initiale, un revenu excluant le droit à une rente (consid. 5.3 [p. 27] de l'<ref-ruling>).
3.3 Les constatations de la juridiction cantonale relatives à l'incapacité de travail résultant d'une atteinte à la santé (survenance, degré, durée, pronostic) relèvent d'une question de fait et ne peuvent donc être examinées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint, dans la mesure où elles reposent sur une appréciation des circonstances concrètes du cas d'espèce (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF; arrêt 9C_182/2007 du 7 décembre 2007 [résumé dans la RSAS 2008 p. 383], consid. 4.1.1). Les conséquences que tirent l'autorité cantonale de recours des constatations de fait quant à la connexité temporelle sont en revanche soumises au plein pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (arrêt 9C_292/2008 du 22 août 2008).
4. 4.1 En se fondant sur les rapports de l'Hôpital Y._ (du 12 juin 2003) et du docteur B._ (du 7 décembre 2000), la juridiction cantonale a constaté que le recourant était durablement atteint dans sa santé au moment de son engagement par la société X._ SA et considéré que la fondation intimée n'était pas tenue à prestations, au motif que l'incapacité de travail déterminante n'était pas survenue durant l'affiliation. Depuis 1996, le recourant avait en effet subi des arrêts de travail répétés dus à ses atteintes à la santé, alors que toutes ses tentatives de reprendre une activité professionnelle s'étaient soldées par un échec en raison de ses mêmes problèmes de santé. Par ailleurs, ni la reconnaissance, par les organes de l'assurance-chômage, d'une aptitude au placement de 100 % dans un délai-cadre de mars 1997 à mars 1999, ni les activités de traducteur exercée en 2000, respectivement d'aide de bureau du 12 mars au 13 juillet 2001 ne suffisaient pour admettre qu'il avait recouvré une capacité de travail effective et durable au moment déterminant. La nature des affections dont était atteint le recourant - trouble somatoforme douloureux persistant, possible périarthrite scapulo-humérale droite, trouble dépressif récurrent et troubles non spécifiques de la personnalité -, le mauvais pronostic médical au moment déterminant et les fréquentes cessations d'activités ne permettaient pas de conclure au rétablissement de la capacité de gain. Aussi, les premiers juges ont-ils implicitement retenu que le rapport de connexité temporelle entre les incapacités de travail subies avant l'affiliation du recourant à la fondation intimée et son invalidité subséquente n'avait pas été interrompu.
4.2 Invoquant une violation de l'<ref-law> et des règles jurisprudentielles y relatives, le recourant reproche à la juridiction canto-nale d'avoir ignoré certains critères posés par la jurisprudence qui permettent de se prononcer sur l'interruption du lien de connexité temporelle. Ainsi, ils n'auraient pas dûment tenu compte du fait qu'il avait été jugé apte au placement à 100 % par les organes de l'assurance-chômage pendant deux ans et qu'après cette période de chômage, il avait été capable de reprendre un emploi, d'abord comme traducteur, puis à partir du 12 mars 2001, comme employé de bureau temporaire auprès de X._ SA.
5. Il n'y a pas lieu de remettre en cause les constatations des premiers juges quant à l'existence d'une atteinte à la santé durable présentée par le recourant avant le début de son affiliation à la fondation intimée. On ne saurait en revanche suivre la juridiction cantonale dans l'appréciation qu'elle a faite des conséquences de cette atteinte sur la capacité de travail de T._.
5.1 Sans déterminer le moment de la survenance de l'incapacité de travail au sens de l'<ref-law>, les premiers juges ont nié que le recourant disposât d'une capacité de travail "effective et réelle" à partir de mars 1997, en considérant que ni la reconnaissance, par les organes de l'assurance-chômage, d'une aptitude au placement de 100 % à partir de cette date, ni l'activité de traducteur dès l'automne 2000 - de nature irrégulière et intermittente -, puis d'aide de bureau dès le 12 mars 2001, n'étaient suffisantes pour admettre que sa capacité de gain s'était rétablie. Ce faisant, ils ont écarté sans plus ample motivation des éléments qui font partie selon la jurisprudence des circonstances à prendre en compte pour apprécier la relation de connexité temporelle (supra consid. 3.2).
En particulier, n'attachant aucune importance à l'aptitude au placement reconnue à l'intéressé par l'assurance-chômage (cf. attestation de la caisse de chômage Unia du 11 janvier 2007), la juridiction cantonale a au contraire admis que le chômage n'était pas exclu-sivement dû à des circonstances économiques indépendantes de l'état de santé, sans qu'on puisse toutefois comprendre sur quels faits elle a fondé cette appréciation. Celle-ci apparaît d'autant plus erronée que les durées d'incapacité de travail (liées à des lombalgies récidivantes) attestées médicalement pour la période allant de mars 1997 au 13 juillet 2001 (à savoir du 2 au 23 juin 1997, du 18 au 23 août 1997, du 17 au 22 avril 1998, du 23 au 26 juin 1998, du 22 décembre 1998 au 15 janvier 1999 et du 28 juin au 16 juillet 2000; cf. rapport du docteur B._ du 22 novembre 2001) ne sont ni d'une fréquence, ni d'une importance telles qu'elles suffiraient à mettre en doute l'évaluation de la pleine aptitude au placement pendant le délai-cadre du chômage ou le fait que le recourant a pu effectivement mettre pleinement en valeur sa capacité de travail résiduelle pendant l'année 2000 en tant que traducteur, puis dès mars 2001 comme aide de bureau.
5.2 On constate ensuite que pour apprécier la connexité temporelle entre l'incapacité de travail au sens de l'<ref-law> et l'invalidité ultérieure, la juridiction cantonale a pris en compte un avis médical qui ne portait pas sur l'aptitude au travail du recourant dans une activité adaptée. Elle s'est en effet fondée sur le rapport du docteur B._ du 7 décembre 2000, selon lequel la situation sur le plan du travail était apparemment insolvable puisque le patient indiquait ne pas pouvoir rester debout au-delà de 10 minutes. Le médecin s'est toutefois référé à l'activité exercée par le recourant au début de l'année 2000 dans le domaine de la restauration (qui s'était soldée par un échec) sans se prononcer sur la capacité de travail dans une activité plus adaptée aux problèmes dorso-lombaires, ce qu'il a fait par la suite dans un rapport du 22 novembre 2001 (portant sur l'examen du 13 juillet précédent). Le docteur B._ a alors retenu que T._ était en mesure d'exercer à plein temps un travail léger permettant de varier les positions et respectant une ergonomie adéquate, une incapacité occasionnelle de travail pouvant cependant survenir en raison de crises douloureuses. Antérieurement, le physiothérapeute R._ consulté par le recourant avait déjà préconisé la reprise d'une activité professionnelle adaptée (avis du 7 septembre 2000). Comme le fait valoir le recourant, tant l'activité de traducteur que celle d'aide de bureau correspondaient aux possibilités décrites par le docteur B._, dont le pronostic était alors favorable à l'exercice à plein temps d'un travail léger.
Dès lors que, selon la jurisprudence (supra consid. 3.2), l'aptitude à exercer une activité adaptée interrompt le rapport de connexité temporelle (pour autant qu'une telle activité permette de réaliser, par rapport à l'activité initiale, un revenu excluant le droit à une rente), l'autorité cantonale de recours ne pouvait pas ignorer les faits et les moyens de preuve susceptibles d'établir l'existence d'une telle capacité résiduelle de travail. Au contraire, comme le recourant a effectivement mis en oeuvre une telle capacité résiduelle de travail, d'abord dans l'activité de traducteur, puis d'aide de bureau, pendant une période supérieure à trois mois et qu'on ne pouvait douter alors que sa capacité de gain (liée à l'exercice d'une activité de travail adaptée) fût rétablie de manière durable, il convenait d'admettre que le rapport de connexité temporelle entre les incapacités de travail antérieures à l'affiliation et l'invalidité déterminante avait été rompu.
5.3 Cela étant, selon les constatations de la juridiction cantonale, qui ne sont pas remises en cause par les parties, le recourant a présenté une incapacité totale et durable de travail à partir du 13 juillet 2001. Il ressort du dossier de l'assurance-invalidité versé à la procédure cantonale - et il convient de compléter sur ce point les constatations des premiers juges conformément à l'<ref-law> -, que cette incapacité de travail attestée médicalement (cf. rapports de la doctoresse S._ du 9 novembre 2001 et de l'Hôpital Y._ du 12 juin 2003) est à l'origine de l'invalidité présentée par le recourant (tant au sens de l'<ref-law> qu'au sens de l'art. 15 ch. 1 du règlement de la fondation intimée), dès lors qu'il n'a (rétrospectivement) plus été considéré comme apte à exercer (voire seulement à 30 %) une activité lucrative depuis le mois de juillet 2001. Dès lors que le recourant était affilié à la fondation intimée au moment de la survenance de l'incapacité de travail déterminante, le Groupe Mutuel Prévoyance est en principe tenu de prester.
Il appartiendra cependant à la juridiction cantonale, à laquelle la cause est renvoyée à cette fin, d'examiner les autres aspects du droit aux prestations d'invalidité (notamment l'étendue et le début du droit) de la prévoyance professionnelle et de rendre un nouveau jugement. Il lui incombera également à cette occasion de se prononcer à nouveau sur la répartition et l'étendue des frais et dépens de la procédure cantonale en relation avec la requête d'assistance judiciaire présentée par le recourant, compte tenue de l'issue du litige en dernière instance.
6. Vu l'issue de la procédure, la fondation intimée qui succombe est tenue de prendre en charge les frais de justice (<ref-law>) et de verser au recourant une indemnité à titre de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal cantonal fribourgeois, Cour des assurances sociales, du 21 février 2008 est annulé. La cause lui est renvoyée pour qu'il examine le droit du recourant aux prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle au sens des considérants et rende une nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la fondation intimée.
3. La fondation intimée versera au recourant la somme de 2'500 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal fribourgeois, Section administrative, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 septembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
p. le Président: La Greffière:
Borella Moser-Szeless