Sachverhalt:
A.
A.a. X._ (1964) wurde mit Verfügung vom 16. August 1996 erstmals wegen paranoider Schizophrenie im Rahmen fürsorgerischer Freiheitsentziehung in eine Anstalt eingewiesen. Am 27. Oktober 2006 wurde er in das Wohn-Pflegeheim A._ in B._ verlegt.
A.b. Im November 2011 stellte X._ ein Entlassungsgesuch, welches die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen am 30. August 2012 abwies.
B.
Mit einem persönlichen Schreiben und mit einem Schreiben seines Rechtsanwalts Edmund Schönenberger je vom 6. März 2013 ersuchte X._ erneut um Entlassung. Mit Verfügung vom 13. März 2013 trat die Kindes- und Erwachsenschutzbehörde Y._ auf das Gesuch nicht ein. Dagegen gelangte X._ an die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen. In diesem Verfahren beantragte er den Ausstand des Abteilungspräsidenten der Verwaltungsrekurskommission, Urs Gmünder. Dessen Stellvertreter wies das Begehren mit Verfügung vom 22. März 2013 ab. Diese Verfügung blieb unangefochten. Mit Entscheid vom 5. April 2013 wies die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen die gegen den Nichteintretensentscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde erhobene Beschwerde von X._ ab. Mit Urteil vom 2. Mai 2013 trat das Kantonsgericht St. Gallen auf eine dagegen erhobene Beschwerde wegen fehlender Begründung der Eingabe nicht ein.
C.
X._, weiterhin vertreten durch Rechtsanwalt Schönenberger, hat am 5. Mai 2013 gegen das Urteil des Kantonsgerichts St. Gallen vom 2. Mai 2013 beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils, die Entlassung aus der Einrichtung sowie die Feststellung der Verletzung von Art. 5 Ziff. 1, Art. 5 Ziff. 4, Art. 6 Ziff. 1 und Art. 13 EMRK. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 13. Mai 2013 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
E.
Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde und die Vorinstanz haben auf Vernehmlassung zur Sache verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Nebst dem Gesuch um sofortige Entlassung beantragt der Beschwerdeführer die Feststellung verschiedener EMRK-Verletzungen. Unter der Herrschaft von a<ref-law> erkannte das Bundesgericht, im Verantwortlichkeitsprozess nach dieser Bestimmung sei die Feststellung der Widerrechtlichkeit als eine andere Art der Genugtuung möglich und zulässig (<ref-ruling> Nr. 52). Nach Auffassung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte genügte die Klage nach <ref-law> den Anforderungen von Art. 5 Ziff. 5 EMRK zur Geltendmachung von Verantwortlichkeitsansprüchen (Nichtzulassungsentscheid AB gegen die Schweiz vom 6. April 2000, Zusammenfassung in: VPB 64/2000 Nr. 134 S. 1323; <ref-ruling> E. 2.4 S. 501). Das Bundesgericht trat daher auf entsprechende Feststellungsbegehren nicht ein. Mit der Einführung des neuen Kindes- und Erwachsenenschutzrechts am 1. Januar 2013 ist aArt 429a ZGB durch nArt. 454 ZGB ersetzt worden, welcher der im Rahmen behördlicher Massnahmen des Erwachsenenschutzes durch widerrechtliches Handeln oder Unterlassen verletzten Person einen Anspruch auf Schadenersatz und, sofern es die Schwere der Verletzung rechtfertigt, auf Genugtuung einräumt (nArt. 454 Abs. 1 ZGB). Angesichts des praktisch gleichlautenden Wortlautes der nunmehr geltenden Bestimmung rechtfertigt es sich, die unter dem alten Recht ergangene Rechtsprechung des Bundesgerichts und des EGMR zu übernehmen. Der Beschwerdeführer ist daher mit Bezug auf seine Feststellungsbegehren in das Verfahren nach <ref-law> zu verweisen. Auf die Feststellungsbegehren ist nicht einzutreten.
1.2. Auf die Beschwerde ist ferner nicht einzutreten, soweit sich der Beschwerdeführer gegen die Abweisung seines Ausstandsbegehrens gegen den Abteilungspräsidenten der Verwaltungsrekurskommission richtet. Das entsprechende am 20. März 2013 gestellte Ausstandsgesuch wurde mit Verfügung vom 20. März 2013 durch den Stellvertreter des Abteilungspräsidenten abgewiesen. Diese Verfügung ist laut Feststellung des Kantonsgerichts mangels Anfechtung in Rechtskraft erwachsen. Dieser Zwischenentscheid kann mit dem nunmehr angefochtenen Endentscheid nicht mitangefochten werden (<ref-law>).
2.
2.1. Nach <ref-law> kann gegen Entscheide der Erwachsenenschutzbehörde Beschwerde beim zuständigen Gericht erhoben werden. Im Kanton St. Gallen ist das Beschwerdeverfahren zweistufig ausgestaltet: Gemäss Art. 27 Abs. 1 des kantonalen Einführungsgesetzes zur Bundesgesetzgebung über das Kindes- und Erwachsenenschutzrecht vom 24. April 2012 (912.5; EG KES) beurteilt die Verwaltungsrekurskommission Beschwerden gegen Verfügungen der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde. Art. 28 Abs. 1 dieses Gesetzes entsprechend behandelt das Kantonsgericht Beschwerden gegen Entscheide der Verwaltungsrekurskommission im Kindes- und Erwachsenenschutzrecht.
2.2. Das Kantonsgericht ist auf die gegen den Entscheid der Verwaltungsrekurskommission erhobene Beschwerde nicht eingetreten und hat in der den Entscheid tragenden Hauptbegründung zusammengefasst erwogen, ein Beschwerdeführer habe seine Anträge vor Kantonsgericht gegen einen Entscheid der Verwaltungsrekurskommission zu begründen. Insgesamt habe der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer seinen Antrag, aus dem Wohnheim A._ entlassen zu werden, nicht mit der erforderlichen Begründung versehen. Der Beschwerde sei nicht zu entnehmen, warum eine Entlassung zu verantworten bzw. eine solche wieder zu überprüfen wäre. Fehle es an einer Begründung, sei auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz zusammengefasst vor, sie habe die nach Art. 5 Ziff. 4 EMRK vorgeschriebene Prüfung der fürsorgerischen Unterbringung nicht vorgenommen.
3.
Im Lichte des kantonsgerichtlichen Nichteintretensentscheids geht es um die Frage, ob ein Kanton für die Beschwerde gegen den erstinstanzlichen Beschwerdeentscheid im Bereich der fürsorgerischen Unterbringung eine Begründung verlangen kann.
3.1. Der Bundesgesetzgeber hat in den Art. 450 bis 450e ZGBVorschriften für das Verfahren vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz erlassen. Weil die Beschwerde ein devolutives Rechtsmittel ist (<ref-law>), finden die für das Verfahren vor der Erwachsenenschutzbehörde geltenden Vorschriften (<ref-law>) ergänzend Anwendung (in diesem Sinne auch Daniel Steck, Basler Kommentar Erwachsenenschutz, 2012, N 13 zu <ref-law>). Die weitergehende Regelung des Verfahrens vor der Beschwerdeinstanz liegt in der Kompetenz der Kantone. Soweit diese nichts anderes vorsehen, sind die Bestimmungen der Zivilprozessordnung (SR 272) sinngemäss anwendbar (<ref-law>). In die Kompetenz der Kantone fällt ebenso die Gerichtsorganisation.
3.2. Zwar sieht das Bundesrecht mit der Beschwerde nach <ref-law> systematisch ein einziges einheitliches Rechtsmittel gegen Entscheide der Erwachsenenschutzbehörde vor (Botschaft des Bundesrates zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7083). Nach dem Willen des Gesetzgebers können die Kantone aber ein zweistufiges gerichtliches Beschwerdeverfahren einführen (Botschaft, S. 7074; so bereits <ref-ruling>). Angesichts dieser Rechtslage kann nicht gesagt werden, die in den Art. 450 bis <ref-law> enthaltenen Verfahrensvorschriften fänden auch auf das Verfahren vor der zweiten kantonalen Beschwerdeinstanz Anwendung. Vielmehr untersteht dieses mangels ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung dem kantonalen Recht (<ref-law>; E. 3.1). Fällt die Regelung des zweitinstanzlichen Beschwerdeverfahrens in die Kompetenz der Kantone, sind diese auch befugt, eine begründete Beschwerde an die zweite kantonale Instanz zu verlangen. Dies ist auch im Ergebnis nicht zu beanstanden, macht es doch keinen Sinn, für die zweitinstanzliche Beschwerde die gleichen minimalen Begründungsanforderungen vorzusehen wie für das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren.
3.3. In seinen Ausführungen zum kantonalen Recht kommt das Kantonsgericht zum Schluss, der Sinn des erwähnten doppelten Instanzenzuges weise darauf hin, dass die Beschwerde an das Kantonsgericht nur mit der Begründung nach <ref-law> zuzulassen sei, weil nur diese es ermögliche, sich in komplizierten Fällen eingehend mit den Bedenken des Beschwerdeführers auseinanderzusetzen. Der Beschwerdeführer ficht die Auslegung des kantonalen Verfahrensrechts nicht als willkürlich an (<ref-ruling> E. 1 S. 203; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 252) und erörtert auch nicht rechtsgenüglich, das Kantonsgericht sei willkürlich davon ausgegangen, die Beschwerde enthalte keine genügende Begründung.
3.4. Mit seinem Urteil, auf die Beschwerde mangels Begründung nicht einzutreten, hat das Kantonsgericht demnach kein Bundesrecht verletzt. Damit erübrigt sich die Prüfung der Eventualbegründung. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.
Den Umständen des konkreten Falles entsprechend werden keine Kosten erhoben (<ref-law>).
5.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist gutzuheissen, soweit es aufgrund der Kostenregelung nicht gegenstandslos geworden ist, zumal der Beschwerdeführer bedürftig ist und die Sache nicht als von vornherein aussichtslos galt. Dem Beschwerdeführer ist ein amtlicher Rechtsbeistand zu bestellen, der für seine Bemühungen im bundesgerichtlichen Verfahren aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen ist (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwalt Edmund Schönenberger, als amtlicher Rechtsbeistand bestellt.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt Edmund Schönenberger wird für seine Bemühungen im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 1'000.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der KESB Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Y._ und dem Kantonsgericht St. Gallen, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juli 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden