Sachverhalt:
A. X._ erlitt am 2. Oktober 2004 in Basel bei einem durch ihren Vater, A._, verursachten Verkehrsunfall eine Verletzung der Halswirbelsäule. Am 29. September 2006 reichte die Rechtsvertreterin von X._ beim Amt für Sozialbeiträge des Kantons Basel-Stadt vorsorglich ein Gesuch um opferhilferechtliche Entschädigung und Genugtuung ein.
Mit Urteil vom 18. Februar 2008 des Strafgerichtspräsidenten Basel-Stadt wurde A._ der fahrlässigen einfachen Körperverletzung schuldig gesprochen und bestraft. Die Zivilforderung von X._ wurde dem Grundsatz nach gutgeheissen und die Geschädigte im Übrigen auf den Zivilweg verwiesen.
Am 11. August 2008 traf X._ mit der Haftpflichtversicherung des Schädigers eine Entschädigungsvereinbarung. Danach vereinbarte X._ mit A._ als Haftpflichtigem sowie allen in der betreffenden Police Versicherten, alle vertreten durch die Haftpflichtversicherung, für alle gegenwärtigen und zukünftigen Folgen des am 2. Oktober 2004 eingetretenen Ereignisses (Verkehrsunfall in Basel) eine unpräjudizielle Entschädigungssumme von CHF 20'000.--. Des Weitern erklärte X._, dass sie mit der Auszahlung der vereinbarten Summe für alle Ansprüche vollständig abgefunden sei und sie hinsichtlich des erwähnten Ereignisses auf jede weitere Forderung gegenüber den Obgenannten verzichte.
Am 11. November 2008 beantragte X._ beim Amt für Sozialbeiträge eine opferhilferechtliche Entschädigung in der Höhe von CHF 132'511.-- sowie eine opferhilferechtliche Genugtuung in der Höhe von CHF 10'000.--. Im Begleitschreiben wurde ausgeführt, dass sich die Geltendmachung der Ansprüche auf dem Zivilweg durch verschiedene Umstände extrem erschwert habe und beinahe aussichtslos sei, weshalb ein Gesuch um Opferhilfe gestellt werde.
Das Amt für Sozialbeiträge lehnte das Opferhilfe-Gesuch mit Verfügung vom 18. Dezember 2008 ab. Es begründete den ablehnenden Entscheid damit, dass über die Forderungen der Gesuchstellerin gegenüber dem Straftäter bzw. dessen Versicherung mit der oben erwähnten Vereinbarung eine abschliessende Regelung getroffen worden sei. Ein Teilverzicht habe zwingend zur Folge, dass im Umfang des Verzichts keine opferhilferechtlichen Ansprüche mehr bestehen würden.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies den von X._ gegen die Verfügung des Amtes für Sozialbeiträge erhobenen Rekurs mit Urteil vom 23. April 2009 ab.
B. X._ hat gegen das Urteil des Appellationsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie beantragt die Aufhebung des Entscheids und die Zusprechung einer opferhilferechtlichen Entschädigung und Genugtuung. Ferner ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren.
C. Das Appellationsgericht liess sich vernehmen, ohne ausdrücklich einen Antrag zu stellen. Das Amt für Sozialbeiträge schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Justiz (BJ) als beschwerdeberechtigte Bundesverwaltungsbehörde beantragt ebenfalls Beschwerdeabweisung.

Erwägungen:
1. Der angefochtene, kantonal letztinstanzliche Entscheid betrifft die Abweisung eines Gesuchs um finanzielle Leistung aufgrund des Opferhilfegesetzes. Dagegen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) zulässig (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1C_45/2007 vom 30. November 2007 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Die Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2. Am 1. Januar 2009 ist das neue Bundesgesetz vom 23. März 2007 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (Opferhilfegesetz, OHG; SR 312.5) in Kraft getreten. Nach dessen Übergangsbestimmung gilt das bisherige Recht für Ansprüche auf Entschädigung oder Genugtuung für Straftaten, die vor Inkrafttreten dieses Gesetzes verübt worden sind, wobei für Ansprüche aus Straftaten, die weniger als zwei Jahre vor dem Inkrafttreten dieses Gesetzes verübt worden sind, die Fristen nach Art. 25 gelten (Art. 48 lit. a OHG).
Im vorliegenden Fall erfolgte die Straftat am 2. Oktober 2004 und damit vor Inkrafttreten des neuen OHG am 1. Januar 2009. Zur Beurteilung der von der Beschwerdeführerin geltend gemachten opferhilferechtlichen Entschädigungs- und Genugtuungsansprüche ist demzufolge das alte Opferhilfegesetz vom 4. Oktober 1991 in der bis zum 31. Dezember 2008 geltenden Fassung (aOHG) massgebend.
3. Streitpunkt ist, ob die Beschwerdeführerin trotz des mit dem Straftäter abgeschlossenen Saldovergleichs Anspruch auf opferhilferechtliche Entschädigung und Genugtuung hat. Gemäss dem angefochtenen Urteil des Appellationsgerichts ist der Vergleich gültig, selbst wenn er allenfalls unter einem gewissen ökonomischen und prozessualen Druck zustande gekommen sein möge. Folglich besitze die Beschwerdeführerin keine über die im Vergleich festgesetzte Entschädigung hinausgehenden Ansprüche mehr gegenüber dem Straftäter. Gleichzeitig mit dem Abschluss des Saldovergleichs habe die Beschwerdeführerin aber auch über ihre Ansprüche gegenüber dem subsidiär entschädigungspflichtigen Gemeinwesen verfügt. Die Beschwerdeführerin habe durch den Vergleichsabschluss auf weitergehende Schadenersatzansprüche gegenüber dem Schädiger verzichtet und könne die Ansprüche nicht mehr beim Staat geltend machen. Etwas anderes ergebe sich auch nicht aus dem von der Beschwerdeführerin zitierten <ref-ruling>, in welchem das Bundesgericht festgestellt habe, dass das OHG-Verfahren nicht bis zum Entscheid im Schadenersatzprozess gegenüber dem Schädiger zu sistieren sei. Das Opfer habe Anspruch, dass sein OHG-Entschädigungsanspruch in einem einfachen, raschen und kostenlosen Verfahren durchgesetzt werden könne. Die Beschwerdeführerin hätte deshalb zunächst ihre OHG-Ansprüche geltend machen können anstatt einen Vergleich über ihre zivilrechtlichen Ansprüche abzuschliessen.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie habe dem Vergleich nur deshalb zugestimmt, weil ein gegen den Straftäter anzustrengender Zivilprozess äusserst schwierig und finanziell belastend gewesen wäre. Sie lebe von der Sozialhilfe und habe den prozessualen Risiken ausweichen wollen. Die kantonalen Instanzen würden zum einen unter falscher Auslegung von Art. 14 Abs. 1 aOHG davon ausgehen, dass die OHG-Ansprüche vor dem Beschreiten des Zivilwegs hätten geltend gemacht werden müssen. Zum andern widerspreche es Art. 14 Abs. 2 aOHG, wenn im abgeschlossenen Saldovergleich ein Verzicht auf OHG-Ansprüche gesehen werde. Des Weitern ergebe sich aus <ref-ruling>, dass Haftpflichtansprüche von der opferhilferechtlichen Entschädigung nicht in Abzug zu bringen seien resp. nicht auf den Staat übergehen. Andernfalls könnte jeder Haftpflichtversicherer seine Haftung auf den Staat abschütteln, indem er durch geschickte juristische Schachzüge das Verfahren hinauszögere und eine Zahlung ablehne, wohlwissend, dass das Opfer aufgebe oder sich an die Opferhilfestelle wende. Für den Staat könne es deshalb keine Rolle spielen, ob ein Vergleich abgeschlossen worden sei oder nicht.
4. Das Bundesamt für Justiz führt aus, es sei durchaus möglich, dass der Schaden der Beschwerdeführerin höher als die Summe sei, die ihr aufgrund des Vergleichs ausbezahlt wurde. Mit dem Abschluss des Vergleichs habe die Beschwerdeführerin jedoch auf ihre weiteren zivilrechtlichen Forderungen gegenüber dem Haftpflichtigen und seiner Versicherung verzichtet. Der Anspruch auf Entschädigung und Genugtuung nach OHG sei vom Bestand zivilrechtlicher Forderungen abhängig. Deshalb würden keine OHG-Ansprüche mehr bestehen.
5. Die Beschwerdeführerin ist unbestrittenermassen Opfer einer Straftat im Sinn von Art. 2 Abs. 1 aOHG geworden und daher grundsätzlich berechtigt, die im Opferhilfegesetz vorgesehene Hilfe zu beanspruchen. Dazu gehört insbesondere finanzielle Opferhilfe in Form einer Entschädigung und einer Genugtuung (Art. 11 ff. aOHG).
Sinn der finanziellen Opferhilfe ist es, in denjenigen Fällen zu helfen, in denen der an sich haftpflichtige Straftäter nicht leistet, weil er unbekannt, flüchtig oder zahlungsunfähig ist. Der Staat haftet nicht aus eigener Verantwortlichkeit, sondern ihn trifft lediglich eine Pflicht zur Schadensübernahme. Deshalb setzt der Anspruch auf opferhilferechtliche Entschädigung und Genugtuung den Bestand von Zivilansprüchen nach Art. 41 ff. OR gegen den Täter voraus. Die finanzielle Opferhilfe deckt keine über die zivilrechtlichen Ansprüche gegen den Täter hinausgehenden Schäden ab (<ref-ruling> E. 5.1 S. 364 mit Hinweisen).
Aus der dargelegten Zielsetzung des OHG folgt der Grundsatz der Subsidiarität der Opferhilfe, wonach finanzielle Opferhilfe nur gewährt wird, wenn der Straftäter oder eine andere verpflichtete Person oder Institution keine oder keine genügende Leistung erbringt. Im alten OHG ist das Subsidiaritätsprinzip für den opferhilferechtlichen Entschädigungs- und Genugtuungsanspruch in Art. 14 Abs. 1 verankert. Die Subrogation des Opferhilfe leistenden Gemeinwesens in die Ansprüche des Opfers gegenüber dem Täter und den Versicherungen und das Quotenvorrecht des Gemeinwesens (vgl. Art. 14 Abs. 2 aOHG) beruhen ebenfalls auf dem Subsidiaritätsprinzip.
Zum Kreis der primär Leistungspflichtigen gehören neben dem Straftäter die Sozial- und Privatversicherungen (PETER GOMM, in: PETER GOMM/DOMINIK ZEHNTNER (Hrsg.), Kommentar zum Opferhilfegesetz, 2. Aufl. 2005, N. 28 ff. zu Art. 14 aOHG). Entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin ist nicht ersichtlich, inwiefern sich aus <ref-ruling> ergeben soll, dass das Subsidiaritätsprinzip nur bezüglich Ansprüchen der Invaliden- und Unfallversicherung gelte.
Das Opferhilfegesetz sieht vor, dass das Strafgericht adhäsionsweise auch über die Zivilansprüche des Opfer entscheidet, solange der Täter nicht freigesprochen oder das Verfahren nicht eingestellt ist (Art. 9 Abs. 1 aOHG). Das Strafgericht kann aber - wie im vorliegenden Fall geschehen - die Zivilansprüche nur dem Grundsatz nach entscheiden und das Opfer im Übrigen an das Zivilgericht verweisen, wenn die vollständige Beurteilung der Zivilansprüche einen unverhältnismässigen Aufwand erfordern würde (Art. 9 Abs. 3 aOHG). Bezüglich der Einleitung eines vom Strafverfahren unabhängigen Zivilverfahrens hat das Bundesgericht in dem von der Beschwerdeführerin zitierten <ref-ruling> E. 3b entschieden, dass eine Verweigerung einer opferhilferechtlichen Entschädigung mit der Begründung, das Opfer müsse zunächst einen Zivilprozess gegen den Täter anstrengen, nicht zulässig sei. Das Opfer habe ein Recht auf ein einfaches, rasches und kostenloses Verfahren. Es widerspreche daher Sinn und Zweck des Opferhilfegesetzes, ein Entschädigungsverfahren nach Art. 11 ff. aOHG zu sistieren und vom Opfer zu verlangen, zunächst selber einen zivilen Schadenersatzprozess zu führen (vgl. dazu EVA WEISHAUPT, Die Ansprüche des Opfers im Adhäsions- und im Opferhilfeverfahren, in: WALTER FELLMANN/STEPHAN WEBER (Hrsg.), Haftpflichtprozess 2008, S. 138 ff.). Diese Rechtsprechung hat das Appellationsgericht zutreffend dargestellt. Im vorliegenden Fall geht es indessen nicht um das in <ref-ruling> beurteilte Problemfeld des Verhältnisses von Adhäsions-, Zivil- und Opferhilfeverfahren. Wie das Appellationsgericht in der Vernehmlassung zu Recht betont, hat es nie verlangt, dass die Beschwerdeführerin vor der Geltendmachung opferhilferechtlicher Ansprüche einen Zivilprozess gegen den Schädiger einleitet.
Die Beschwerdeführerin schloss vorliegend mit dem Schädiger und dessen Haftpflichtversicherung einen aussergerichtlichen Vergleich über ihre zivilrechtlichen Ansprüche. Der Vergleich ist ein Vertrag über eine streitige oder ungewisse Forderung, bestehend in einem Erlass seitens des Gläubigers und in der Zusicherung einer Gegenleistung seitens des Schuldners (<ref-ruling> E. 1.2 S. 51). Die Beschwerdeführerin verzichtete darin ausdrücklich auf weitergehende, über die Höhe der vereinbarten Forderung hinausgehenden Zivilansprüche (Saldoklausel). Infolgedessen hat die Beschwerdeführerin keine über den Vergleich hinausgehenden zivilrechtlichen Forderungen mehr gegen den Schädiger resp. seiner Haftpflichtversicherung.
Wie oben gesagt setzen opferhilferechtliche Ansprüche auf Entschädigung und Genugtuung zivilrechtliche Ansprüche gegen den Straftäter voraus. Der Staat leistet opferhilferechtliche Entschädigung und Genugtuung anstelle des primär haftpflichtigen Straftäters. Im Umfang des Verzichts auf die Zivilansprüche gegen den Schädiger müssen folglich auch opferhilferechtliche Ansprüche verneint werden (ebenso WEISHAUPT, a.a.O., S. 141). Andernfalls müsste das Gemeinwesen leisten, ohne auf den Straftäter Rückgriff nehmen zu können.
Die Vorinstanz hat diese Grundsätze zutreffend dargestellt. Indem sie die Ansprüche auf opferhilferechtliche Entschädigung und Genugtuung abwies, weil die Beschwerdeführerin über ihre Zivilforderungen mit dem Straftäter einen Vergleich geschlossen und im darüber hinausgehenden Betrag auf ihre Zivilforderungen verzichtet hatte, hat die Vorinstanz Bundesrecht nicht verletzt.
6. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist dementsprechend abzuweisen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit der Begehren ebenfalls abzuweisen (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Die vorliegende Beschwerde wurde am 10. Juni 2009 beim Bundesgericht hängig gemacht. Somit kommt in verfahrensrechtlichen Belangen das revidierte Opferhilfegesetz vom 23. März 2007 zur Anwendung (Urteil des Bundesgerichts 1C_286/2008 vom 1. April 2009 E. 6 e contrario). Nach dessen Art. 30 Abs. 1 erheben die Gerichtsbehörden für Verfahren betreffend Opferhilfeleistungen vom Opfer und seinen Angehörigen keine Kosten. Dem Wortlaut nach gilt die Kostenlosigkeit auch im Rechtsmittelverfahren (ebenso <ref-ruling> E. 4b S. 218 f. zu Art. 16 Abs. 1 aOHG).
Die Zusprechung einer Parteientschädigung an das obsiegende Gemeinwesen fällt ausser Betracht (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Amt für Sozialbeiträge Basel-Stadt, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Februar 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder