Fatti:
A.

Nell'ambito di una procedura di divorzio su istanza comune con accordo parziale promossa da A.A._ con petizione 8 marzo 2007 avanti al Pretore del Distretto di Lugano, la stessa A.A._ ha introdotto il 9 novembre 2012 una domanda d'informazione ex <ref-law>. Con decisione 5 aprile 2013 il Pretore ha respinto tale domanda, considerandola tardiva.
B.
In data 18 aprile 2013, A.A._ ha inoltrato reclamo al Tribunale di appello del Cantone Ticino contro la decisione pretorile. Il Presidente della III Camera civile ha dichiarato il gravame inammissibile con la qui impugnata sentenza 1° luglio 2013.
C.
Con ricorso in materia civile 3 settembre 2013, A.A._ (qui di seguito: ricorrente) insorge al Tribunale federale chiedendo la riforma della sentenza cantonale nel senso di accogliere la sua istanza 9 novembre 2012, e in via subordinata nel senso di rinviare l'incarto al Pretore affinché si determini nuovamente sull'istanza. Postula inoltre di condannare B.A._ (qui di seguito: opponente) a versarle una provisio ad litem di fr. 5'000.--, eventualmente di essere posta al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio.
L'opponente chiede di respingere il ricorso (nella misura in cui sia ammissibile), nonché le domande di provisio ad litem e di concessione dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. L'autorità inferiore ha rinunciato a formulare osservazioni.
Diritto:
1.
1.1. Il Tribunale federale esamina liberamente e con piena cognizione l'ammissibilità dei ricorsi sottopostigli (<ref-ruling> consid. 1).
1.2. Oggetto della decisione impugnata è una decisione con la quale il Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello ha dichiarato inammissibile il reclamo proposto dalla qui ricorrente avverso il rigetto del Pretore del Distretto di Lugano di una domanda d'informazione fondata sull'<ref-law>. Si tratta di una decisione in materia civile (<ref-law>) che emana dall'autorità giudiziaria suprema cantonale, la quale ha deciso su ricorso (art. 75 cpv. 1 e 2 LTF).
La ricorrente ha partecipato in istanza cantonale (<ref-law>), senza ottenere quanto aveva chiesto. Essa è dunque toccata dalla decisione impugnata e di principio provvista di un interesse legittimo (<ref-law>).
Contrariamente a quanto previsto dall'<ref-law>, l'autorità inferiore non ha accertato il valore di lite. La ricorrente sostiene che l'atto impugnato non ha un valore litigioso. Ciò non è corretto. Tuttavia, nell'ambito di domande d'informazione la giurisprudenza rinuncia ad esigere dalla parte ricorrente una determinazione precisa del valore di lite (<ref-ruling> consid. 1b/cc con rinvii; sentenze 5A_262/2010 del 31 maggio 2012 consid. 1.2; 5A_810/2008 del 5 maggio 2009 consid. 1.2; 5C.157/2003 del 22 gennaio 2004 consid. 3.2, in SJ 2004 I pag. 477).
Il tempestivo (art. 46 cpv. 1 lett. b e art. 100 cpv. 1 LTF) ricorso in materia civile appare pertanto ammissibile nell'ottica delle menzionate caratteristiche.
La questione della natura finale o incidentale della decisione impugnata (art. 90 rispettivamente <ref-law>) può invece rimanere aperta, dato che non si giustifica anticipare l'esame di merito per decidere dell'ammissibilità del gravame (v. per analogia sentenza 4A_87/2013 del 22 gennaio 2014 consid. 1.6 con rinvii).
2.
Oggetto della vertenza è infatti la natura finale o incidentale della decisione pretorile; tale natura implica differenti condizioni di ammissibilità dei rimedi di diritto sia a livello cantonale sia a livello federale.
Sia peraltro premesso che la presente vertenza ha un aspetto intertemporale: al processo di divorzio, avviato nel 2007, continua ad essere applicabile il diritto processuale civile ticinese (CPC/TI). In virtù dell'<ref-law> (RS 272), all'impugnazione in sede cantonale è invece ormai applicabile il codice di rito unificato. Quest'aspetto non è contestato.
2.1. Il Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello introduce la propria motivazione rammentando che, essendo il CPC/TI applicabile ratione temporis, la domanda d'informazione dell'<ref-law> andava trattata nella procedura sommaria contenziosa di camera di consiglio, a condizione di essere presentata autonomamente; per contro, se formulata nel quadro di una causa di divorzio, essa era da attuare attraverso i mezzi di prova offerti dal diritto cantonale, in particolare con una richiesta di edizione (v. in proposito Cocchi/Trezzini, Codice di procedura civile ticinese annotato e commentato, 2000, n. 13 ad <ref-law>/TI). In applicazione dell'<ref-law>/TI, nuovi mezzi istruttori nelle cause di stato andavano notificati "entro trenta giorni dall'assunzione delle prove ammesse all'udienza preliminare" ed il giudice statuiva con ordinanza. Una tale ordinanza è impugnabile mediante reclamo, secondo l'<ref-law> ormai applicabile, solo in presenza di un rischio di un pregiudizio difficilmente riparabile. Ora, la qui ricorrente non avrebbe addotto né tantomeno reso verosimile il rischio di un siffatto pregiudizio. Pertanto, egli ha dichiarato il gravame cantonale inammissibile.
2.2. A mente della ricorrente, la predetta prassi ticinese sarebbe in urto con il diritto materiale federale, poiché - in sostanza - limiterebbe la possibilità di invocare l'<ref-law> durante una procedura di divorzio.
La ricorrente espone poi una serie di ragioni per le quali, a suo avviso, la decisione impugnata sarebbe contraria anche ad altre disposizioni di diritto federale (in particolare art. 9, art. 29 cpv. 2 ed <ref-law>, vecchio <ref-law> ed <ref-law>).
3.
3.1. Domande intese ad ottenere informazioni da controparte - ma pure da terzi - possono essere basate tanto sul diritto materiale quanto sul diritto processuale. Corrispondentemente, si parla di obbligo informativo materiale oppure processuale. Nel contesto di controversie fra coniugi, il diritto materiale all'informazione scaturisce dall'<ref-law> (sentenze 5A_768/2012 del 17 maggio 2013 consid. 4.1, in SJ 2014 I pag. 27; 5C.157/2003 cit. consid. 3.1). Quello processuale, la cui portata si estende ad ogni procedura civile, si fonda sugli art. 150 segg. CPC (sentenza 5A_421/2013 del 19 agosto 2013 consid. 1.2.2, in FamPra.ch 2013 pag. 1032). Diritto materiale e diritto processuale all'informazione non hanno identica natura: il primo sussiste di per sé, in ragione della relazione giuridica fra le parti, e persegue lo scopo di raccogliere informazioni; il secondo si riferisce ad un fatto preciso, che va allegato e provato (Tarkan Göksu, Wieviel Einkommen, welches Vermögen - Auskunfts- und Editionspflichten von Ehegatten und Dritten, in Der neue Familienprozess, 2012, pagg. 109-128, in particolare pagg. 109-112 e 123 seg.).
3.2.
3.2.1. La domanda d'informazione fondata sull'<ref-law> è ora trattata nella procedura sommaria del codice di rito unificato (art. 271 lett. d CPC; sentenza 5A_768/2012 cit. consid. 4.2). Il giudice deve procedere ad un esame approfondito in fatto ed in diritto e la sua decisione diviene partecipe della forza di cosa giudicata (sentenze 5C.157/2003 cit. consid. 3.3, con rinvio alla <ref-ruling> consid. 2b; 5A_421/2013 cit. consid. 1.2.1; 5A_768/2012 cit. consid. 4.1). La sua decisione è finale (sentenze 5C.157/2003 cit. consid. 3.3, con rinvio alla <ref-ruling> consid. 1; 5A_421/2013 cit. consid. 1.2.1).
3.2.2. La domanda d'informazione fondata sull'<ref-law> può essere introdotta a titolo indipendente oppure nel quadro di altra procedura giudiziaria già pendente (sentenze 5A_421/2013 cit. consid. 1.2.1; 5A_768/2012 cit. consid. 4.1; 5C.157/2003 cit. consid. 3.3). In quest'ultimo caso, la dottrina si è preoccupata di inquadrare dogmaticamente questa domanda nel procedimento già pendente: in un'azione "a cascata", è stato detto che essa può presentarsi sotto forma di domanda preliminare, da evadersi prima di affrontare le domande di merito (cosiddetta "Stufenklage" con conclusioni da cifrare in un secondo momento, <ref-law>; v. Göksu, op. cit., pag. 126; Yves Waldmann, Informationsbeschaffung durch Zivilprozess, 2009, pag. 248 seg. e 274 seg.). La domanda può tuttavia anche porsi quale conclusione supplementare. Allora si sarebbe in presenza di un cumulo oggettivo di azioni ("objektive Klagenhäufung"); in deroga all'<ref-law>, dovrebbe applicarsi la medesima procedura della conclusione principale, segnatamente quella ordinaria qualora la domanda fosse combinata con un'azione di divorzio (Göksu, op. cit., pag. 125 con rinvii; Waldmann, op. cit., pag. 277). Ci si può invero chiedere se tali distinzioni siano necessarie: considerata la natura materiale di una domanda fondata sull'<ref-law>, la natura finale che deve avere una decisione in proposito, ed infine la forza di cosa giudicata che essa acquisisce, i passi processuali che conducono all'acquisizione delle informazioni richieste (istanza, risposta, discussione, decisione) possono senza forzatura essere visti come le componenti di una procedura nella procedura: stanti così le cose, non si vede perché non debbano sempre applicarsi le medesime regole, senza riguardo al fatto che essa sia trattata nel contesto di altra procedura oppure in modo indipendente. Al più, parrebbe giustificata un'attrazione di competenza nelle mani del giudice incaricato di trattare la procedura di merito (in tal senso Hausheer/Reusser/Geiser, Berner Kommentar, 1999, n. 35 ad <ref-law>). Di portata eminentemente dottrinale, la controversia non va risolta in questa sede, nella quale essa è peraltro priva di conseguenze.
3.3. Domande d'informazione fondate sul diritto processuale, per contro, esigono che un procedimento sia già pendente (salvo nel caso dell'<ref-law>; v. in proposito Göksu, op. cit., pag. 110). Esse vengono proposte dalle parti (<ref-law>) ed evase tramite ordinanza sulle prove ai sensi dell'<ref-law>. Regola simile conosceva il diritto processuale civile ticinese, applicabile in prima sede nella presente fattispecie ratione temporis (<ref-law>/TI per l'offerta di prova, <ref-law>/TI per l'ordinanza sulle prove, <ref-law>/TI per la richiesta di edizione di documenti). L'ordinanza sulle prove è una disposizione ordinatoria processuale (Hans Schmid, in ZPO Kurzkommentar, 2a ed. 2014, n. 4 ad <ref-law>) e rappresenta una decisione incidentale (Alexander Brunner, in ZPO Kurzkommentar, 2a ed. 2014, n. 9 ad <ref-law>). Essa può essere impugnata in seconda istanza cantonale con reclamo unicamente quando sussista il rischio di un pregiudizio difficilmente riparabile (<ref-law>, nel presente caso applicabile in seconda istanza ratione temporis; sentenza 5A_421/2013 cit. consid. 1.2.3).
3.4. I diritti d'informazione materiale e processuale spettano alla parte cumulativamente. La scelta della forma nella quale chiedere informazioni è di esclusiva pertinenza della parte: la parte e soltanto la parte decide se fondare la propria domanda sul diritto materiale (<ref-law>) oppure sul diritto processuale degli art. 150 segg. CPC (Göksu, op. cit., pag. 112). Determinare quale delle due forme debba trovare applicazione nel caso concreto dipende pertanto dalle circostanze del singolo caso (sentenza 5A_421/2013 cit. consid. 1.2.3).
4.
4.1. La giurisprudenza cantonale alla quale si richiama il Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello (v. Rep. 1999 pag. 145 consid. 2; Fampra.ch 2000 pag. 141 consid. 2) appare difficilmente compatibile con i principi suesposti. Per accertare quale diritto (materiale o processuale) la parte istante abbia inteso far valere, è riduttivo limitarsi ad esaminare se la domanda d'informazione venga o meno ad inserirsi in una procedura di merito già in corso. È semplicistico adottare l'assioma: la domanda è posta nel quadro di un processo di merito già pendente, dunque essa è di mera natura processuale. Può essere vero che in un processo già pendente, la domanda sarà di regola formulata mediante offerta di prova e solo eccezionalmente mediante istanza indipendente (Rolf Vetterli, in FamKommentar Scheidung, vol. I, 2a ed. 2011, n. 4 prima degli art. 175-179 CC). Decisivo è e rimane tuttavia l'approccio adottato dalla parte che formula una tale richiesta: se la parte medesima si limita ad un richiamo di informazioni e/o di documenti, come previsto dalla procedura applicabile, allora si è in presenza di una semplice domanda processuale ai sensi (ora) degli art. 150 segg. CPC; se, invece, la parte fonda espressamente la propria richiesta sull'<ref-law>, esprimendo in tal modo la propria intenzione di avvalersi di una facoltà che le concede il diritto materiale, allora la domanda assume portata propria. Qualsiasi altra soluzione - e, segnatamente, quella ritenuta dal Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello - è meccanica e contraddice l'esigenza di fondare la sussunzione sulle circostanze della fattispecie concreta.
Inoltre, essa appare incompatibile con la natura materiale del diritto all'informazione incorporato nell'<ref-law>. All'esito pratico, la soluzione qui criticata ha due effetti inconciliabili con una tale natura: in primo luogo, essa limita il momento durante il quale si può formulare una tale istanza ai momenti che stabiliva la procedura civile cantonale per la formulazione di offerte e domande di prova, il che non è compatibile con il principio che vuole che una tale domanda possa essere inoltrata in qualsiasi momento fino a quando perdura il matrimonio (Hausheer/Reusser/Geiser, op. cit., n. 6 e 11 ad <ref-law>; Deschenaux/Steinauer/Baddeley, Les effets du mariage, 2a ed. 2009, n. 264), fatto salvo il divieto di manifesto abuso del proprio diritto (Deschenaux/Steinauer/Baddeley, op. cit., n. 265 e 272). In secondo luogo, impedisce che un'istanza formulata nel quadro di una procedura di divorzio possa concludersi con una decisione finale, e soprattutto con una decisione partecipe della forza di cosa giudicata, poiché un'istanza inoltrata in una procedura di divorzio già pendente non potrà mai sfociare in una tale decisione. Da questo punto di vista, il diritto processuale cantonale diviene un impedimento ed un limite all'applicazione del prevalente diritto federale, come rettamente osserva la ricorrente: in altre parole, la prassi ticinese preclude alla parte istante - di fatto - l'esercizio del diritto materiale scaturente dall'<ref-law> nel quadro di una procedura di divorzio.
4.2. Sia infine rilevato, di passaggio, che la dottrina richiamata dal Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello non appare pertinente. Schwander parla unicamente della massima inquisitoria, rispettivamente della competenza territoriale (Ivo Schwander, in Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch, vol. I, 4a ed. 2010, n. 18 e 19 ad <ref-law>). Van de Graaf, dal canto suo, non fa che rinviare al testo di Schwander (Beatrice Van De Graaf, in ZPO Kurzkommentar, 2a ed. 2014, n. 9 ad <ref-law>).
5.
5.1. Applicando le considerazioni che precedono alla fattispecie concreta, va constatato in primo luogo che parte istante pretende di avere fatto scelta chiara. Sebbene la domanda d'informazione si situi nel quadro più ampio di un processo di divorzio, a più riprese ella sottolinea avanti al Tribunale federale che la propria istanza è fondata sull'<ref-law>. Alla sua lettura, l'istanza presentata al Pretore in data 9 novembre 2012 fornisce diversi spunti per un'interpretazione nel senso della ricorrente: non solo vi è fatto esplicito riferimento, nella denominazione medesima, all'<ref-law>, ma anche la motivazione appare incentrata sull'<ref-law>.
5.2. Attribuendo aprioristicamente alla decisione pretorile con la quale l'istanza era stata dichiarata tardiva il carattere di disposizione ordinatoria processuale, dunque suscettibile di essere impugnata mediante reclamo unicamente quando vi sia rischio di un pregiudizio difficilmente riparabile (<ref-law>), la decisione impugnata viola il diritto federale. Sarebbe stato preciso dovere dell'autorità inferiore, al contrario, esaminare l'istanza 9 novembre 2012 al fine di stabilire se, nelle intenzioni dell'istante qui ricorrente, essa avesse carattere indipendente o meno.
6.
6.1. Il ricorso va pertanto accolto e la sentenza impugnata annullata, senza che occorra esaminare la fondatezza delle altre censure sollevate dalla ricorrente. Confrontato con una decisione di inammissibilità del gravame cantonale, il Tribunale federale non può tuttavia entrare nel merito dell'istanza - come inammissibilmente postulato dalla ricorrente con le sue conclusioni riformatorie -, ma deve limitarsi a rinviare la causa all'autorità inferiore per riesame e nuova decisione (<ref-ruling> consid. 1.2). L'autorità inferiore dovrà in un primo tempo decidere se l'istanza in questione sia da considerarsi fondata sull'<ref-law> oppure una semplice domanda processuale d'informazione ed edizione di documenti; qualora dovesse giungere alla prima conclusione, dovrà allora constatare che la relativa decisione pretorile era finale, e dovrà - se le altre condizioni di ammissibilità sono adempiute - esaminare il gravame cantonale nel merito. L'autorità inferiore rivedrà inoltre la messa a carico delle spese della procedura precedente.
6.2. Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza e sono quindi poste a carico dell'opponente. La domanda di concessione dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio formulata dalla ricorrente diviene di conseguenza senza oggetto, mentre l'istanza di provisio ad litem è in ogni modo inammissibile (sentenze 5A_212/2012 del 15 agosto 2012 consid. 4; 5A_793/2008 dell'8 maggio 2009 consid. 6).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è accolto. La decisione impugnata è annullata e la causa è rinviata all'autorità inferiore per nuova decisione nel senso dei considerandi.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico dell'opponente, il quale verserà alla ricorrente la somma di fr. 2'500.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
La domanda di assistenza giudiziaria della ricorrente è priva d'oggetto.
4.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e al Presidente della III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.