Faits:
A. A.a Dame A._, née en 1976, de nationalité française, et A._, né en 1961, se sont mariés le 1er mars 2010. De cette union, est issue B._, née le 31 mars 2010.
A.b En août 2010, dame A._, emmenant avec elle B._ sans l'accord de son époux et sans l'en informer préalablement, est partie au Canada; elle a regagné le domicile conjugal en septembre 2010. En avril 2011, emmenant à nouveau l'enfant sans l'accord de son époux et sans l'en informer préalablement, elle s'est installée en Guadeloupe, d'où elle est originaire. Elle entend désormais y demeurer avec sa fille.
B. B.a Le 12 mai 2011, A._ a déposé une plainte pénale contre son épouse pour enlèvement d'enfant ainsi qu'une requête auprès des autorités administratives, fondée sur la Convention de La Haye du 25 octobre 1980, tendant à obtenir le retour en Suisse de sa fille.
B.b Le 13 mai 2011, A._ a déposé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale et de mesures superprovisionnelles. A titre de mesures superprovisionnelles urgentes, il a conclu, entre autres, à ce que la garde de B._ lui soit attribuée et à ce que le retour immédiat de B._ à Genève soit ordonné. A titre de mesures protectrices, il a conclu, entre autres, à ce que la garde de B._ lui soit attribuée et à ce qu'un droit de visite, à fixer dès le retour de l'enfant en Suisse, soit réservé en faveur de dame A._. Contestant la compétence à raison du lieu du Tribunal pour en connaître, dame A._ a conclu au prononcé de l'irrecevabilité de la requête, subsidiairement à l'attribution en sa faveur de la garde de B._, un large droit de visite étant réservé à A._, ainsi qu'à la condamnation de celui-ci au paiement d'une contribution d'entretien de 500 fr. par mois en faveur de l'enfant.
Par ordonnance d'urgence du 17 mai 2011, le Président du Tribunal de première instance de Genève a ordonné le retour immédiat de l'enfant à Genève, injonction à laquelle l'intimée ne s'est pas conformée à ce jour.
Par ordonnance du 12 janvier 2012, le Tribunal de première instance de Genève a, entre autres, attribué la garde de B._ à A._, ordonné à dame A._ de ramener immédiatement l'enfant en Suisse et précisé que le droit de visite de la mère devra être fixé lorsque l'enfant sera de retour en Suisse.
B.c Par acte du 30 janvier 2012, dame A._ a déposé un appel contre cette décision devant la Cour de justice du canton de Genève. Elle a conclu, préalablement, à ce que l'effet suspensif soit prononcé, puis, entre autres, principalement, à ce que l'incompétence à raison du lieu du tribunal soit constatée, subsidiairement, à ce que la cause soit renvoyée en première instance, et, très subsidiairement, à ce que la garde de B._ lui soit attribuée.
Statuant par décision du 2 février 2012 sur la requête d'effet suspensif, la Présidente de la Cour de justice n'est pas entrée en matière, "en l'absence de toute motivation spécifique sur le sujet".
B.d Par décision du 1er mars 2012, le Tribunal de Grande instance de Basse-Terre (Guadeloupe) a ordonné le retour immédiat de B._ en Suisse.
C. Par acte du 5 mars 2012, dame A._ exerce un recours en matière civile ainsi qu'un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt cantonal du 2 février 2012. Elle conclut, principalement, à ce que l'effet suspensif de l'appel du 23 janvier 2012 soit prononcé, subsidiairement, à ce que la cause soit renvoyée à l'instance cantonale pour nouvelle décision. En substance, elle se plaint de l'application arbitraire (art. 9 Cst.) de l'<ref-law> ainsi que de la violation de son droit d'être entendue (art. 6 CEDH, 29 Cst.) et du principe de la légalité (art. 5 Cst.). Elle requiert également d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire.
Invités à déposer leurs observations, l'intimé a conclu à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement, au rejet de celui-ci, alors que l'autorité cantonale s'est, pour sa part, référée aux considérants de son arrêt.
D. Par ordonnance présidentielle du 14 mars 2012, la requête d'effet suspensif pour la procédure fédérale déposée par la recourante a été déclarée irrecevable.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 et les références).
1.1 La recourante a interjeté, dans la même écriture (<ref-law>), un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire. Cette manière de procéder est erronée: la décision ayant été rendue en matière civile (<ref-law>) et dans une affaire de nature non pécuniaire, le recours en matière civile est par principe ouvert (arrêt 5A_365/2010 du 5 août 2010 consid. 1.1). En outre, la décision sur l'effet suspensif, comme celle d'exécution provisoire, est une décision de mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2 et les références), de sorte que, dans tous les cas, seule la violation de droits constitutionnels peut être invoquée (cf. infra consid. 2). Partant, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable et l'ensemble des moyens de la recourante doit être examiné dans le cadre du recours en matière civile (arrêts 2C_118/2009 du 15 septembre 2009 consid. 1.2 et les références [recours en matière public]; 5A_410/2008 du 9 septembre 2008 consid. 1.2 et la référence), dans la mesure où celui-ci est lui-même recevable.
1.2 La décision querellée déclare irrecevable la requête visant à faire suspendre l'exécution d'un jugement de première instance. La décision est donc de nature incidente (<ref-ruling> consid. 1 et les références).
Hormis les décisions mentionnées à l'<ref-law>, une décision préjudicielle ou incidente peut être entreprise immédiatement si elle peut causer un préjudice irréparable (<ref-law>) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>). Un préjudice ne peut être qualifié d'irréparable au sens de l'<ref-law> que s'il cause un inconvénient de nature juridique; tel est le cas lorsqu'une décision finale même favorable à la partie recourante ne le ferait pas disparaître entièrement (<ref-ruling> consid. 1 et les références; <ref-ruling> consid. 2.1).
1.2.1 La recourante motive la recevabilité de son recours en relevant que la décision attaquée, de nature incidente, entraîne pour elle un préjudice irréparable car le "séjour" de l'enfant sera définitivement modifié durant la procédure.
L'intimé estime pour sa part que le recours est irrecevable au motif, que, ayant elle-même arraché sans droit l'enfant à son père et à son environnement stable, la recourante ne peut pas prétendre subir un préjudice irréparable et demander ainsi aux tribunaux de maintenir une situation illégale qu'elle a elle-même créée. En outre, il faut selon lui "privilégier la cohérence entre les diverses procédures engagées suite à des enlèvements d'enfants et l'intérêt public évident à lutter contre de tels agissements".
1.2.2 En l'espèce, de jurisprudence constante, la décision entreprise entraîne un préjudice irréparable, car l'attribution de la garde est maintenue pour la durée de la procédure et, même si la mère obtient finalement gain de cause au fond et peut garder l'enfant auprès d'elle, aucune réparation ne sera possible pour la période écoulée (<ref-ruling> consid. 1 et les références). Le recours immédiat au Tribunal fédéral est ainsi ouvert, contrairement à ce qu'affirme l'intimé.
1.3 Selon l'<ref-law>, a qualité pour former un recours en matière civile quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire, est particulièrement touché par la décision attaquée et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification.
1.3.1 La recourante invoque qu'elle a participé à la procédure devant l'autorité cantonale et qu'elle a un intérêt à ce que la décision soit modifiée, étant donné que celle-ci l'expose à être séparée de sa fille, de sorte qu'elle a qualité pour recourir.
L'intimé oppose à cette motivation que la recourante n'a plus d'intérêt digne de protection à la suspension du caractère exécutoire de l'ordonnance du 12 janvier 2012 puisqu'elle devra de toute façon s'exécuter et ramener l'enfant en Suisse compte tenu du jugement français du 1er mars 2012.
1.3.2 En l'espèce, le Tribunal de Grande instance de Basse-Terre (Guadeloupe) a immédiatement ordonné, le 1er mars 2012, le retour de l'enfant en Suisse en se fondant sur la Convention du 25 octobre 1980 sur les aspects civils de l'enlèvement international d'enfants (CLaH 80; RS 0.211.230.02). Néanmoins, la recourante conserve un intérêt actuel et digne de protection à obtenir l'effet suspensif en ce qui concerne la garde de l'enfant.
1.4 Pour le reste, la Présidente de la Cour de justice n'a pas statué sur recours, mais en qualité d'instance cantonale unique sur l'effet suspensif requis dans le cadre d'une procédure d'appel; le recours en matière civile est cependant admissible en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2). Interjeté en temps utile, le recours est également recevable au regard de l'<ref-law>.
2. Saisi d'un recours en matière civile au sens de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir d'examen limité, seule la violation des droits constitutionnels pouvant être invoquée (cf. infra consid. 1.1). Il n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (<ref-law>), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.4). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi manifestement insoutenable (<ref-ruling> consid. 3 et les références).
3. La recourante se plaint pêle-mêle de formalisme excessif, de déni de justice, ainsi que de la violation de son droit d'être entendue consacré aux art. 6 CEDH et 29 al. 2 Cst., en tant que l'autorité cantonale n'est pas entrée en matière sur sa requête et n'a pas motivé sa décision.
3.1 La recourante ne démontre pas que l'art. 6 CEDH lui conférerait ici une protection plus étendue que l'art. 29 Cst., de sorte que le mérite du grief doit être examiné sous l'angle de cette dernière norme uniquement (arrêt 5P.210/2003 du 11 septembre 2003 consid. 3.1 et les références).
3.1 La recourante ne démontre pas que l'art. 6 CEDH lui conférerait ici une protection plus étendue que l'art. 29 Cst., de sorte que le mérite du grief doit être examiné sous l'angle de cette dernière norme uniquement (arrêt 5P.210/2003 du 11 septembre 2003 consid. 3.1 et les références).
3.2 3.2.1 Selon la jurisprudence, commet un déni de justice formel et viole par conséquent l'art. 29 al. 1 Cst. l'autorité qui ne statue pas ou n'entre pas en matière sur un recours ou un grief qui lui est soumis dans les formes et délais légaux, alors qu'elle était compétente pour le faire (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.3). Le formalisme excessif est un aspect particulier du déni de justice prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst. Il est réalisé lorsque la stricte application des règles de procédure ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi, complique de manière insoutenable la réalisation du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5; <ref-ruling> consid. 5.4.1; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 2a/bb).
3.2.2 Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. implique, en particulier, pour l'autorité, le devoir de motiver au moins sommairement sa décision, afin que le justiciable puisse en comprendre la portée et recourir à bon escient (<ref-ruling> consid. 4.3 et les références; <ref-ruling> consid. 2b; <ref-ruling> consid. 2c et les références). Pour répondre à ces exigences, il suffit que l'autorité mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision. Le droit d'être entendu est violé si l'autorité ne satisfait pas à son devoir minimum d'examiner et de traiter les problèmes pertinents (<ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2b).
3.3 En l'espèce, bien que très brève, la motivation de la juge cantonale ne consacre ni déni de justice, ni violation du droit d'être entendu. En effet, en déclarant irrecevable la requête d'effet suspensif parce que celle-ci n'était pas motivée, cette autorité, d'une part, s'est prononcée sur le sort à donner à la requête, et, d'autre part, a expliqué les motifs pour lesquels elle n'entrait pas en matière, motifs que la recourante a d'ailleurs bien compris, étant donné qu'elle les attaque dans son grief relatif à l'art. 9 Cst.
4. La recourante se plaint ensuite d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application de l'<ref-law>. En substance, elle relève que cette disposition n'exige pas de motivation spécifique et que la simple lecture des premières pages de son mémoire d'appel permettait à l'autorité cantonale de comprendre le préjudice irréparable car le simple fait d'ordonner le retour de l'enfant et de le séparer de sa mère, sans que cette dernière ne puisse exercer de droit de visite, est insoutenable et préjudiciable à l'enfant.
A cette motivation, l'intimée oppose que le juge instructeur ne peut pas intervenir d'office sur une requête d'effet suspensif si l'objet du litige est à la libre disposition des parties et que le CPC ne contient aucune disposition indiquant que la demande d'octroi d'effet suspensif déroge à l'obligation générale de motivation de l'<ref-law>.
4.1 Une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de justice et d'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2.2.2 et les références).
4.2 En vertu de l'<ref-law>, les procédures relatives aux enfants dans les affaires de droit de la famille sont soumises à la maxime d'office et à la maxime inquisitoire. Ainsi, le juge n'est pas lié par les conclusions des parties; il peut attribuer non seulement moins que ce qui est requis dans les conclusions, mais aussi autre chose, voire statuer en l'absence de conclusions. Il doit en outre éclaircir les faits et prendre en considération d'office tous les éléments qui peuvent être importants pour rendre une décision conforme à l'intérêt de l'enfant, même s'il revient en premier lieu aux parties, tenues de collaborer activement à la procédure, de lui soumettre les faits déterminants et les offres de preuves (<ref-ruling> consid. 3.2.1; arrêt 5A_361/2011 du 7 décembre 2011 consid. 5.3.1).
4.3 En l'espèce, en vertu de la maxime d'office, il appartenait à l'autorité cantonale, qui disposait en outre des faits pertinents pour statuer, de prendre toute mesure nécessaire à protéger l'intérêt de l'enfant, même en l'absence de toute conclusion des parties, a fortiori nonobstant toute motivation à l'appui des conclusions formulées par celles-ci. En refusant de statuer pour défaut de motivation, elle est donc tombée dans l'arbitraire.
5. Lorsque, comme en l'espèce, des mesures provisoires régissant le sort de l'enfant sont ordonnées alors qu'une procédure de retour de ce dernier en application de la CLaH 80 est en cours à l'étranger (cf. pour les conditions que la jurisprudence pose pour ordonner le retour conformément à l'art. 13 al. 1 let. b CLaH 80, arrêt 5A_105/2009 du 16 avril 2009 consid. 3.6, publié in FamPra.ch 2009 p. 791), il s'impose, vu l'urgence, de statuer immédiatement.
5. Lorsque, comme en l'espèce, des mesures provisoires régissant le sort de l'enfant sont ordonnées alors qu'une procédure de retour de ce dernier en application de la CLaH 80 est en cours à l'étranger (cf. pour les conditions que la jurisprudence pose pour ordonner le retour conformément à l'art. 13 al. 1 let. b CLaH 80, arrêt 5A_105/2009 du 16 avril 2009 consid. 3.6, publié in FamPra.ch 2009 p. 791), il s'impose, vu l'urgence, de statuer immédiatement.
5.1 5.1.1 L'appel n'a pas d'effet suspensif lorsqu'il a pour objet des décisions portant sur des mesures provisionnelles (<ref-law>). Néanmoins, à teneur de l'<ref-law>, l'exécution des mesures provisionnelles peut exceptionnellement être suspendue si la partie concernée risque de subir un préjudice difficilement réparable. Les mesures protectrices de l'union conjugale constituent des mesures provisionnelles au sens de l'art. 315 al. 4 let. b et 5 CPC (<ref-ruling> consid. 4.1).
5.1.2 La notion de préjudice difficilement réparable se retrouve dans les conditions matérielles du prononcé de mesures provisionnelles (cf. <ref-law>) et dans celles de la suspension de l'exécution de ces mesures durant la procédure d'appel (cf. <ref-law>). Dans les deux cas, le préjudice difficilement réparable peut être de nature factuelle; il concerne tout préjudice, patrimonial ou immatériel, et peut même résulter du seul écoulement du temps pendant le procès. Le dommage est constitué, pour celui qui requiert les mesures provisionnelles, par le fait que, sans celles-ci, il serait lésé dans sa position juridique de fond et, pour celui qui recourt contre le prononcé de telles mesures, par les conséquences matérielles qu'elles engendrent (arrêt 5D_211/2011 du 30 mars 2012 consid. 6.3, destiné à la publication, et les références).
5.1.3 En matière de garde, des changements trop fréquents peuvent être préjudiciables à l'intérêt de l'enfant. En conséquence, lorsque la décision de mesures provisionnelles statue sur la garde, ou modifie celle-ci, de sorte que l'enfant devrait être séparé du parent qui prend actuellement soin de lui, le bien de l'enfant commande, dans la règle, de maintenir les choses en l'état, et de laisser celui-ci auprès de la personne qui lui sert actuellement de référence. Il n'y a lieu de rejeter la requête d'effet suspensif que lorsque l'appel paraît sur ce point d'emblée irrecevable ou manifestement infondé.
5.2 En l'espèce, le juge de première instance a statué sur les mesures protectrices de l'union conjugales, modifiant la garde de fait exercée par la mère en l'attribuant au père, avant que les autorités françaises ne statuent sur le retour de l'enfant en vertu de la CLaH 80. Lorsque l'autorité cantonale a statué, quant à elle, sur la requête d'effet suspensif, l'enfant était âgé de 22 mois environ et vivait avec sa mère depuis 10 mois environ. En outre, il ressort de la décision de première instance que tant le père que la mère semblent être des parents adéquats et attentifs à l'égard de leur fille, se souciant de son bien-être et paraissant tout à fait capables de s'en occuper de manière satisfaisante; l'enfant semble par ailleurs épanouie et se développer de manière parfaitement normale. Au vu de ces circonstances, l'intérêt de la fillette est de demeurer, pour la durée de la procédure d'appel, auprès de sa mère qui est actuellement sa personne de référence. Il s'impose donc de maintenir les choses en l'état et de prononcer l'effet suspensif en ce qui concerne la garde de l'enfant.
6. En définitive, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable. Le recours en matière civile est admis, la décision attaquée est annulée et l'effet suspensif est accordé à l'appel que la recourante a formé par acte du 30 janvier 2012 devant la Cour de justice du canton de Genève, en ce qui concerne la garde sur l'enfant B._, née le 31 mars 2010. La recourante ne présentant aucune motivation à l'appui de sa requête d'assistance judiciaire, celle-ci doit être rejetée (<ref-law>). La recourante ayant obtenu gain de cause au fond, mais ayant succombé dans sa requête d'effet suspensif portant sur le retour devant la Cour de céans, les frais judiciaires de l'instance fédérale, arrêtés à 3'000 fr., sont répartis entre les parties à raison de 500 fr. à charge de la recourante et de 2'500 fr. à charge de l'intimé (<ref-law>). Chaque partie ayant en outre droit à des dépens (<ref-law>), qui doivent être réduits dans la même proportion, il y a lieu d'allouer à l'intimée le montant qui lui revient à ce titre après compensation.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
7. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
8. Le recours en matière civile est admis, la décision attaquée est annulée et l'effet suspensif est accordé à l'appel, que la recourante a formé par acte du 30 janvier 2012 devant la Cour de justice du canton de Genève, au sens des considérants.
9. La demande d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
10. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à raison de 500 fr. à la charge de la recourante et à raison de 2'500 fr. à la charge de l'intimé.
11. Une indemnité de 2'000 fr., à payer à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimé.
12. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 8 mai 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Achtari