Sachverhalt:
A.
B._ wohnte im Kanton Basel-Stadt, als sie vom 1. bis zum 27. Januar 2012 in der im Kanton Aargau gelegenen Privat-Klinik C._ stationär behandelt wurde. Hierfür stellte die A._ AG dem Kanton Basel-Stadt den kantonalen Beitrag (55 %) für 27 Behandlungstage in Rechnung (Fr. 10'617.75), wobei sie eine Tagespauschale von Fr. 715.- berücksichtigte. Der Kanton Basel-Stadt bezahlte einen Anteil an den Behandlungskosten (Fr. 9'058.50) auf der Basis einer Tagespauschale von Fr. 610.-; diese entsprach dem (damals provisorischen) KVG-Tarif für die Behandlung von Patienten, die im Kanton Aargau wohnen. Das Gesundheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt, Bereich Gesundheitsversorgung, lehnte es mit Verfügung vom 3. August 2012 ab, die geltend gemachte Restforderung der Leistungserbringerin (Fr. 1'559.25) zu begleichen. Daran hielt das Gesundheitsdepartement mit Rekursentscheid vom 9. September 2013 fest.
Am 3. Juli 2013 genehmigte der Regierungsrat des Kantons Aargau einen neuen, rückwirkend ab 1. Januar 2012 geltenden Tarifvertrag zwischen der A._ AG und dem Krankenversicherer von B._ (Amtsblatt Nr. 28 vom 22. Juli 2013). Damit wurde die Tagespauschale von Fr. 610.- auf Fr. 655.- angehoben, weshalb der Kanton Basel-Stadt der Leistungserbringerin eine Nachzahlung von Fr. 668.25 leistete.
B.
Das gegen den Rekursentscheid vom 9. September 2013 ergriffene Rechtsmittel wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 6. Juni 2014 ab.
C.
Die A._ AG lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 6. Juni 2014 sei aufzuheben; der Beitrag des Kantons Basel-Stadt an die Kosten der ausserkantonalen Wahlhospitalisation der B._ sei auf Fr. 10'617.75 festzusetzen und der Kanton Basel-Stadt sei zu verpflichten, den noch offenen Restbetrag von Fr. 891.- zu bezahlen.
Das Gesundheitsdepartement des Kantons BaselStadt, das kantonale Gericht und das Bundesamt für Gesundheit beantragen die Abweisung des Rechtsmittels. Die A._ AG lässt dazu mit einer weiteren Eingabe Stellung nehmen.

Erwägungen:
1.
1.1. Es steht fest, dass es sich bei der streitbetroffenen Leistung um eine sogenannte "ausserkantonale Wahlbehandlung" im Sinne von <ref-law> handelt, da die von der Beschwerdeführerin betriebene Klinik zwar auf der Spitalliste des Kantons Aargau (vgl. <ref-law>), nicht aber des Wohnkantons der Patientin aufgeführt ist, und zudem die ausserkantonale Hospitalisierung nicht medizinisch begründet war (vgl. Art. 41 Abs. 3 und 3bis KVG). Weiter spricht nichts gegen die Annahme, dass der Spitalaufenthalt medizinisch notwendig war und dem Standard der allgemeinen Abteilung (<ref-law>) entspricht.
1.2. Die Vorinstanz ist der Auffassung, die ausserkantonale Wahlbehandlung stelle keine Pflichtleistung der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (OKP) dar. Mit Kantonsgeldern dürfe keine Nichtpflichtleistung bezahlt werden. Auch im Rahmen der Austauschbefugnis gehe es nicht an, dass der Kanton ein ausserkantonales Spital über die Deckung von Kosten, die nicht durch OKP-Pflichtleistungen anfielen, subventioniere. Daher sei für die Kostenbeteiligung des Wohnkantons einer Patientin gleichwohl der KVG-Tarif des Leistungserbringers, wie er für Einwohner seines Standortkantons gilt ("Standorttarif"), massgeblich.
2.
2.1. Die versicherte Person kann für die stationäre Behandlung unter den Spitälern frei wählen, die auf der Spitalliste ihres Wohnkantons oder jener des Standortkantons aufgeführt sind (Listenspital). Der Versicherer und der Wohnkanton übernehmen bei stationärer Behandlung in einem Listenspital die Vergütung anteilsmässig nach Artikel 49a höchstens nach dem Tarif, der in einem Listenspital des Wohnkantons für die betreffende Behandlung gilt (<ref-law>). Diese Bestimmung trat mit der Änderung vom 21. Dezember 2007 des Bundesgesetzes über die Krankenversicherung (KVG; Spitalfinanzierung; AS 2008 2049) auf den 1. Januar 2009 in Kraft und ist, laut den entsprechenden Übergangsbestimmungen, seit 1. Januar 2012 umzusetzen.
Das Bundesgericht hat sich in E. 3.3 des zur Publikation vorgesehenen Urteils 9C_96/2014 vom 25. März 2015 erstmals einlässlich mit der Bestimmung von <ref-law> befasst und in deren Auslegung entschieden, dass die ausserkantonale Wahlbehandlung - im Gegensatz zur früheren Rechtslage - der Grundversorgung zuzurechnen und als Pflichtleistung der OKP zu qualifizieren ist. Als solche untersteht sie insofern dem Tarifschutz, als dafür höchstens der KVG-Tarif des Leistungserbringers verrechnet werden darf.
2.2. An dieser Rechtsprechung ändern die Vorbringen der Beschwerdeführerin, die auf weiten Strecken die abweichende Auffassung ihres Rechtsvertreters enthalten (vgl. BEAT MEYER, Ausserkantonale Wahlbehandlung - Tarifschutz und Tarifgestaltung gemäss 3. KVG-Revision, SZS 2012 S. 391 ff.), nichts. Es ist unbestritten, dass der Referenztarif (vgl. <ref-ruling> E. 8 S. 131 f.) des Beschwerdegegners höher ist als die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Pauschale. Mit Blick auf die Kostenentwicklung im Gesundheitswesen und eine möglichst freie Spitalwahl (vgl. Urteil 9C_96/2014 vom 25. März 2015 E. 3.3.2 Abs. 2 und 3) spricht nichts dagegen, dass der Wohnkanton gegebenenfalls von einem KVG-Tarif, der unter seinem Referenztarif liegt, profitieren kann. Angesichts der Rechtsnatur der umstrittenen Leistung ist auch auf die Argumentation mit der Austauschbefugnis nicht weiter einzugehen.
Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz im Ergebnis zu Recht die Tagespauschale von Fr. 655.- für massgeblich gehalten und einen weitergehenden Anspruch der Beschwerdeführerin verneint. Die Beschwerde ist unbegründet.
3.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. April 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Die Gerichtsschreiberin: Dormann