Erwägungen:
1.
1.1. Das Veterinäramt des Kantons Thurgau sprach am 13. Februar 2012 gegen X._ ein Tierhalteverbot (Kaninchenhaltung) aus, wogegen diese erfolglos verschiedene Rechtsmittel ergriff. Das Veterinäramt führte am 25. Juni 2012 bei ihr eine Kontrolle durch, beschlagnahmte erneut verschiedene Kaninchen und auferlegte ihr die Inspektionskosten. X._ gelangte hiergegen mit Erfolg an das Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau. Auf die von ihr gegen dessen Entscheid vom 12. Februar 2013 eingereichte Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 12. Juni 2013 nicht ein, da das ursprüngliche Kaninchenhalteverbot mit seinem Urteil vom 28. November 2012 in Rechtskraft erwachsen sei; in den Übrigen Punkten fehle es X._ an einem schutzwürdigen Interesse, da sie vor dem Departement obsiegt habe.
1.2. Am 31. Januar 2013 ersuchte X._ das Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau darum, ihr die Kosten des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 28. November 2012 in der Höhe von Fr. 500.-- zu erlassen. Das Departement lehnte dies am 18. Februar 2013 ab, wogegen X._ an das Verwaltungsgericht gelangte, welches ihre Beschwerde am 12. Juni 2013 abwies. Zwar sehe das kantonale Recht eine entsprechende Verzichtsmöglichkeit vor (§ 5 Abs. 1 der Verordnung des Grossen Rates über die Gebühren der Strafverfolgungs- und Gerichtsbehörden vom 13. Mai 1992), nach ständiger Praxis sei ein Erlass aber nur möglich, wenn Gewähr dafür bestehe, dass der Schuldner danach schuldenfrei sei; der Erlass dürfe nicht dazu führen, dass der Staat als Einziger auf seine Forderung verzichte, während die übrigen Gläubiger an ihren Forderungen festhielten und diese ganz oder teilweise einbringen könnten. Aus diesem Grund rechtfertige sich ein Verzicht im konkreten Fall nicht.
1.3. X._ beantragt in zwei Eingaben vom 20. Juli 2013 vor Bundesgericht, die Urteile des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau aufzuheben, alle Kosten dem Staat aufzuerlegen und ihr das Halten von Kaninchen wieder zu gestatten. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
2.
Die zwei Eingaben der Beschwerdeführerin richten sich mit praktisch identischem Wortlaut gegen zwei Urteile des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau, die rechtlich wie tatsächlich den gleichen Problembereich betreffen. Es rechtfertigt sich, die beiden Verfahren zusammenzulegen und in einem gemeinsamen Urteil zu erledigen.
3.
3.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Es ist darin in gedrängter Form darzutun, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Nicht unmittelbar gerügt werden kann die Missachtung von kantonalem Gesetzesrecht, sondern allein die Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>). Beruht ein Entscheid auf kantonalem Recht, kann im Wesentlichen bloss geltend gemacht werden, dessen Anwendung verstosse gegen verfassungsmässige Rechte, wobei die entsprechenden Rügen qualifiziert zu begründen sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.3 S. 521 f.; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 466). Die Beschwerdeführer müssen in ihrer Eingabe an das Bundesgericht dartun, welche verfassungsmässigen Rechte durch den angefochtenen Akt inwiefern verletzt worden sein sollen. Das Bundesgericht prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 55; <ref-ruling> E. 1.4). Wird eingewandt, der angefochtene Entscheid sei willkürlich, müssen die Beschwerdeführer darlegen, dass und inwiefern er - im Resultat und nicht nur in der Begründung - offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5).
3.2. Die vorliegenden Eingaben genügen diesen Anforderungen nicht: Verfahrensgegenstand bildet ausschliesslich die Frage, ob das Verwaltungsgericht in Verletzung verfassungsmässiger Rechte den Entscheid des Departements geschützt hat, der Beschwerdeführerin die umstrittenen Kosten nicht zu erlassen bzw. auf ihre Beschwerde gegen den Entscheid des Departements für Inneres und Volkswirtschaft vom 12. Februar 2013 nicht einzutreten. Mit der entsprechenden Problematik bzw. den diesbezüglichen Ausführungen im angefochtenen Entscheid setzt sich die Beschwerdeführerin unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten nicht auseinander. Sie legt nicht dar, dass und inwiefern die beanstandeten kantonalen Urteile Verfassungsrecht verletzen würden. Das Verbot, Kaninchen zu halten, bildet seinerseits - was die Beschwerdeführerin verkennt - vor Bundesgericht nicht mehr Verfahrensgegenstand. Der entsprechende Entscheid ist in Rechtskraft erwachsen und kann in den vorliegenden Verfahren nicht geprüft werden. Es wäre an der Beschwerdeführerin gewesen, ihn früher rechtzeitig und formgerecht anzufechten.
4.
4.1. Auf die Eingaben ist mangels einer rechtsgenügenden Begründung nicht einzutreten. Dies kann praxisgemäss ohne Weiterungen durch den Präsidenten als Einzelrichter im Verfahren nach <ref-law> geschehen.
4.2. Obwohl das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen ist (vgl. <ref-law>), wird davon abgesehen, für die vorliegenden Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Die Verfahren 2C_658/2013 und 2C_660/2013 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
3.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.2. Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juli 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar