Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Der 1939 geborene G._ war vom 1. Juli 1961 bis 31. März 1964 als Laborant bei der Firma I._ AG angestellt, in welcher Eigenschaft er im Jahre 1963 an der Entwicklung einer Applikationsmaschine für Spritzasbest beteiligt und Asbeststaub ausgesetzt war. Von 1964 bis 1982 arbeitete er bei verschiedenen Unternehmen in der Elektronik- und Computerbranche. Im Jahre 1982 machte er sich selbstständig im Bereich Radio/TV/Hifi.
Im Frühjahr 1997 traten bei G._ Schmerzen im linken Thorax auf, deretwegen er sich in ärztliche Behandlung begab. Anlässlich einer Revisionsthorakotomie wurde am 16. Januar 1998 ein malignes Pleuramesotheliom links diagnostiziert, an dessen Folgen G._ am 20. August 1998 verstarb.
Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) verneinte eine Leistungspflicht mit der Begründung, als Mitarbeiter der Firma I._ AG in den Jahren 1961 bis 1964 habe G._ nicht zum Kreis der SUVA-Versicherten gehört. Die entsprechende Verfügung vom 17. August 1998 wurde von der Witwe des Verstorbenen, F._, nicht angefochten. Hingegen erhob die Ersatzkasse UVG, nachdem sie durch den Rechtsvertreter von F._ über die leistungsablehnende Verfügung der SUVA in Kenntnis gesetzt worden war, Einsprache, zu welcher die SUVA am 27. Mai 1999 in ablehnendem Sinne Stellung bezog. Ein von F._ am 18. August 1999 gestelltes Gesuch um Revision der leistungsablehnenden Verfügung wies die SUVA am 16. Januar 2002 ab, welche Verfügung unangefochten blieb und in Rechtskraft erwuchs. Mit Verfügung vom 25. Juni 2002 verneinte die Ersatzkasse UVG eine Leistungspflicht für die Folgen der Lungenerkrankung des G._, woran sie auf Einsprache von F._ hin festhielt (Entscheid vom 17. Januar 2003).
Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) verneinte eine Leistungspflicht mit der Begründung, als Mitarbeiter der Firma I._ AG in den Jahren 1961 bis 1964 habe G._ nicht zum Kreis der SUVA-Versicherten gehört. Die entsprechende Verfügung vom 17. August 1998 wurde von der Witwe des Verstorbenen, F._, nicht angefochten. Hingegen erhob die Ersatzkasse UVG, nachdem sie durch den Rechtsvertreter von F._ über die leistungsablehnende Verfügung der SUVA in Kenntnis gesetzt worden war, Einsprache, zu welcher die SUVA am 27. Mai 1999 in ablehnendem Sinne Stellung bezog. Ein von F._ am 18. August 1999 gestelltes Gesuch um Revision der leistungsablehnenden Verfügung wies die SUVA am 16. Januar 2002 ab, welche Verfügung unangefochten blieb und in Rechtskraft erwuchs. Mit Verfügung vom 25. Juni 2002 verneinte die Ersatzkasse UVG eine Leistungspflicht für die Folgen der Lungenerkrankung des G._, woran sie auf Einsprache von F._ hin festhielt (Entscheid vom 17. Januar 2003).
B. F._ liess hiegegen Beschwerde erheben mit dem Rechtsbegehren, es sei die Ersatzkasse UVG anzuweisen, ihr rückwirkend ab 1. September 1998 eine Hinterlassenenrente auszurichten; eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Ersatzkasse UVG zurückweisen. Mit Entscheid vom 10. Dezember 2003 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab.
B. F._ liess hiegegen Beschwerde erheben mit dem Rechtsbegehren, es sei die Ersatzkasse UVG anzuweisen, ihr rückwirkend ab 1. September 1998 eine Hinterlassenenrente auszurichten; eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Ersatzkasse UVG zurückweisen. Mit Entscheid vom 10. Dezember 2003 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt F._ das im kantonalen Verfahren gestellte Rechtsbegehren erneuern und beantragen, es seien die Gerichtskosten auf die Bundeskasse zu nehmen und es sei ihr eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen.
Die Ersatzkasse UVG schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Ersatzkasse UVG Versicherungsleistungen im Zusammenhang mit dem Tod von G._ zu erbringen hat. Diese Frage ist aufgrund des UVG zu beurteilen, wie sich durch Umkehrschluss aus <ref-law> ergibt, gemäss welcher Bestimmung Versicherungsleistungen für Berufskrankheiten, die vor dem Inkrafttreten dieses Gesetzes (1. Januar 1984) ausgebrochen sind, nach bisherigem Recht (d.h. nach dem KUVG) gewährt werden. Denn gemäss <ref-law> gelten Berufskrankheiten als ausgebrochen, sobald der Betroffene erstmals ärztlicher Behandlung bedarf oder arbeitsunfähig ist, was beim verstorbenen Versicherten im Jahre 1997 der Fall war.
1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Ersatzkasse UVG Versicherungsleistungen im Zusammenhang mit dem Tod von G._ zu erbringen hat. Diese Frage ist aufgrund des UVG zu beurteilen, wie sich durch Umkehrschluss aus <ref-law> ergibt, gemäss welcher Bestimmung Versicherungsleistungen für Berufskrankheiten, die vor dem Inkrafttreten dieses Gesetzes (1. Januar 1984) ausgebrochen sind, nach bisherigem Recht (d.h. nach dem KUVG) gewährt werden. Denn gemäss <ref-law> gelten Berufskrankheiten als ausgebrochen, sobald der Betroffene erstmals ärztlicher Behandlung bedarf oder arbeitsunfähig ist, was beim verstorbenen Versicherten im Jahre 1997 der Fall war.
2. 2.1 Im angefochtenen Entscheid werden die Bestimmungen und Grundsätze über den Anspruch auf Leistungen der Unfallversicherung (<ref-law>), insbesondere bei Berufskrankheiten (<ref-law> in der hier anwendbaren, bis 31. Dezember 2002 geltenden Fassung; vgl. auch <ref-ruling> Erw. 2) zutreffend dargelegt. Ebenso richtig wird festgehalten, dass das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 vorliegend keine Anwendung findet, entsprechend dem Grundsatz, dass diejenigen materiellen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Verwirklichung des zu Rechtsfolgen führenden Sachverhaltes in Geltung standen (<ref-ruling> Erw. 1.2, 169 Erw. 1, 356 Erw. 1, je mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
2.2 Gemäss <ref-law> erbringt die Ersatzkasse UVG die gesetzlichen Versicherungsleistungen an verunfallte Arbeitnehmer, für deren Versicherung nicht die SUVA zuständig ist und die von ihrem Arbeitgeber nicht versichert worden sind (vgl. auch <ref-law>, nach welcher Bestimmung die Ersatzkasse UVG einem Arbeitnehmer, der dem Obligatorium untersteht und bei einem Unfall nicht versichert ist, die gesetzlichen Versicherungsleistungen gewährt). Sie sorgt als eine Art Auffangnetz für den lückenlosen Versicherungsschutz der nicht bei der SUVA versicherten Arbeitnehmer, deren Arbeitgeber der Pflicht zur Versicherung bei einem registrierten Versicherungsträger nicht nachgekommen sind (vgl. Botschaft des Bundesrates zum Bundesgesetz über die Unfallversicherung vom 18. August 1976, Separatausgabe, S. 72; vgl. auch Maurer, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, S. 63).
2.2 Gemäss <ref-law> erbringt die Ersatzkasse UVG die gesetzlichen Versicherungsleistungen an verunfallte Arbeitnehmer, für deren Versicherung nicht die SUVA zuständig ist und die von ihrem Arbeitgeber nicht versichert worden sind (vgl. auch <ref-law>, nach welcher Bestimmung die Ersatzkasse UVG einem Arbeitnehmer, der dem Obligatorium untersteht und bei einem Unfall nicht versichert ist, die gesetzlichen Versicherungsleistungen gewährt). Sie sorgt als eine Art Auffangnetz für den lückenlosen Versicherungsschutz der nicht bei der SUVA versicherten Arbeitnehmer, deren Arbeitgeber der Pflicht zur Versicherung bei einem registrierten Versicherungsträger nicht nachgekommen sind (vgl. Botschaft des Bundesrates zum Bundesgesetz über die Unfallversicherung vom 18. August 1976, Separatausgabe, S. 72; vgl. auch Maurer, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, S. 63).
3. 3.1 Die Beschwerdegegnerin hat die Ausrichtung von Versicherungsleistungen abgelehnt mit der Begründung, der Verstorbene habe vom Zeitpunkt des Inkrafttretens des UVG an bis zu seinem Hinschied nie Arbeitnehmereigenschaft gehabt. Er sei daher nie UVG-versichert gewesen. Im Übrigen habe die Ersatzkasse UVG nur zum Zweck, für den lückenlosen Versicherungsschutz der nicht bei der SUVA versicherten Arbeitnehmer zu sorgen, wenn Arbeitgeber diese nicht versicherten. Mangle es im vorliegenden Fall aber an einem Arbeitgeber, entfalle eine Leistungspflicht der Ersatzkasse UVG.
3.2 Die Vorinstanz hat eine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin ebenfalls verneint. Zur Begründung führte sie aus, dass G._ zum für den Anspruch auf Versicherungsleistungen massgebenden Zeitpunkt des Ausbruchs der Berufskrankheit am 2. September 1997 weder obligatorisch noch als Selbstständigerwerbender freiwillig gemäss UVG versichert gewesen sei. Da er bei Krankheitsausbruch nicht der obligatorischen Versicherung unterstellt gewesen sei, liege sein Fall ausserhalb des Tätigkeitsbereichs der Ersatzkasse UVG.
3.3 Weder die Argumentation der Ersatzkasse UVG noch diejenige der Vorinstanz sind stichhaltig. Denn bei Berufskrankheiten hängt die Leistungspflicht des Unfallversicherers vom Umstand ab, ob der Betroffene während der Einwirkung des gefährlichen Stoffes oder der Verrichtung der krankmachenden Arbeit (sog. Exposition) versichert war, so dass die Versicherung über das Ende des Versichertseins hinauswirkt, wenn eine Krankheit erst später ausbricht (Maurer, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, S. 219; vgl. auch nicht publizierte Erw. 3 des in RKUV 2004 Nr. U 508 S. 265 veröffentlichten Urteils). Aus diesem Grunde ist in <ref-law> vorgesehen, dass bei Berufskrankheiten derjenige Versicherer zu Leistungen verpflichtet ist, bei dem die Versicherung bestanden hat, als der Versicherte zuletzt durch schädigende Stoffe oder bestimmte Arbeiten oder durch berufliche Tätigkeiten gefährdet war. Es ist deshalb - entgegen der Auffassung der Ersatzkasse UVG - irrelevant, ob G._ vom Inkrafttreten des UVG an bis zu seinem Hinschied je Arbeitnehmereigenschaft gehabt hat. Ebenso wenig spielt es - anders als die Vorinstanz annimmt - eine Rolle, ob der Versicherte zum Zeitpunkt des Ausbruchs der Berufskrankheit obligatorisch oder freiwillig gemäss UVG versichert war. Zu Unrecht führt die Vorinstanz zur Stützung ihres Standpunktes die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> Erw. 5c/aa an, welche sich einzig zur - mit dem vorliegenden Fall in keinem Zusammenhang stehenden - Frage äussert, ob eine vor dem 1. Januar 1984 ausgeübte berufliche Tätigkeit bei der Beurteilung, ob eine Berufskrankheit ausschliesslich oder stark überwiegend durch diese berufliche Tätigkeit verursacht worden ist, berücksichtigt werden muss, mit anderen Worten, ob unter beruflicher Tätigkeit im Sinne von <ref-law> die gesamte, also auch die vor dem 1. Januar 1984 ausgeübte Berufstätigkeit zu verstehen ist.
3.4 Zum (gemäss <ref-law>) massgebenden Zeitpunkt der Asbestexposition im Jahre 1963 - d.h. unter dem Geltungsbereich des KUVG vom 13. Juni 1911 - war nur die SUVA als Versi-cherungsträger für die Durchführung der obligatorischen Unfallversicherung zugelassen (vgl. auch Maurer, Bundessozialversicherungsrecht, S. 325), weshalb vorliegend als (obligatorischer) Versicherer einzig die SUVA in Betracht gefallen wäre, welche ihre Zuständigkeit indessen bereits rechtskräftig verneint hat (Verfügungen vom 17. August 1998 und 16. Januar 2002). Weil somit davon auszugehen ist, dass G._ im Jahre 1963 in einem nicht dem Versicherungsobligatorium unterstehenden Betrieb gearbeitet hat (andernfalls er bei der SUVA versichert gewesen wäre), entfällt von Vornherein eine Leistungspflicht der einzig für die Schliessung von Versicherungslücken im Rahmen des Obligatoriums zuständigen Ersatzkasse UVG (vgl. Erw. 2.2 hievor).
3.5 Da es um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen geht, ist das Verfahren kostenfrei (Art. 134 OG), weshalb der Antrag der Beschwerdeführerin, die Gerichtskosten auf die Bundeskasse zu nehmen, gegenstandslos ist.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zugestellt.
Luzern, 17. Januar 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der III. Kammer: Die Gerichtsschreiberin: