Sachverhalt:
A. A.a In der von Y._ (im Folgenden: Beschwerdegegner) gegen X._ (im Folgenden: Beschwerdeführer) angestrengten Betreibung Nr. 0000000 stellte das Betreibungsamt Muri am 7. Mai 2007 dem Schuldner den Zahlungsbefehl über Fr. 27'826.-- nebst Zins zu. Grund der Forderung bilden Verfahrenskosten für die Urteile des Bezirksgerichts Zürich vom 2. September 2003 und 25. August 2005, des Obergerichts Zürich vom 23. August 2004 und 7. Juni 2006, des Kassationsgerichts Zürich vom 25. August 2005 sowie des Bundesgerichts vom 1. Dezember 2006. Der Schuldner erhob Rechtsvorschlag und der Gläubiger stellte beim Bezirksgericht Muri das Gesuch um definitive Rechtsöffnung.
A.b Am 16. Oktober 2007 stellte der Vertreter des Beschwerdeführers beim Gerichtspräsidium Muri den Antrag, es sei dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und es sei ihm ein unentgeltlicher Rechtsvertreter seiner Wahl zu bestellen. Mit Verfügung des Gerichtspräsidenten vom 22. Oktober 2007 wurde das Gesuch abgewiesen.
Die vom Beschwerdeführer dagegen eingereichte Beschwerde hatte keinen Erfolg. Mit Entscheid vom 23. Januar 2008 wies das Obergericht des Kantons Aargau (Zivilgericht, 4. Kammer) das Rechtsmittel ab, soweit darauf einzutreten war.
B. Mit Eingabe vom 10. März 2008 hat der Beschwerdeführer die Sache an das Bundesgericht weitergezogen und beantragt im Wesentlichen, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben. Sodann ersucht er, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren. Mit Präsidialverfügung vom 13. März 2008 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Mit Verfügung des Instruktionsrichters vom 21. April 2008 wurde der Beschwerdeführer aufgefordert, die Eingaben vom 10. März 2008 persönlich zu unterzeichnen, da sein bevollmächtigter Vertreter nicht Anwalt sei und das Anwaltsmonopol in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen auch für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gelte (zur Publikation bestimmtes Urteil 5D_139/2007 vom 10. April 2008, E. 1.2). Die Beschwerdeschrift ist persönlich unterzeichnet worden. Vernehmlassungen wurden nicht eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen auch Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen. Beim vorliegenden Entscheid über die definitive Rechtsöffnung handelt es sich um einen solchen Entscheid (<ref-ruling> E. 1). Angefochten ist ein letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>), mit dem die unentgeltliche Verbeiständung verweigert wurde. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1), dessen ungeachtet, ob er während des Hauptverfahrens, zusammen mit dessen Endentscheid oder - wie vorliegend - mit separatem Entscheid ergangen ist.
1.2 In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>), es sei denn, dass ein vorliegend nicht gegebener Ausnahmegrund nach <ref-law> besteht. Da im vorliegenden Fall die Streitwertgrenze nicht erreicht wird, ist nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> zulässig.
2. 2.1 Die Vorinstanz führt - zusammengefasst - aus, der Auffassung des Gerichtspräsidenten sei zuzustimmen, dass nach konstanter Rechtsprechung im definitiven Rechtsöffnungsverfahren grundsätzlich kein Anspruch auf Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters bestehe, da ein solcher aufgrund der Einfachheit des Verfahrens nicht erforderlich sei. Grundsätzlich bestehe zwar ein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege im Rechtsöffnungsverfahren (<ref-ruling>). Die Gerichtsgebühren seien aber in der Regel im Rechtsöffnungsverfahren derart gering, dass sie auch von Personen mit beschränkten finanziellen Mitteln vorgeschossen bzw. bezahlt werden könnten. Der Grundbetrag, der bei der Bemessung des Existenzminimums angesetzt werde, decke Ausgaben, die, wie jene für Kleider, Unterhalt der Wohnungseinrichtung oder Kulturelles, nicht monatlich anfielen und die daher bei Gelegenheit zur Deckung von geringen Gerichtsgebühren herangezogen werden könnten. Im definitiven Rechtsöffnungsverfahren sei sodann im Hinblick auf die Beschränkung der Einreden gemäss <ref-law> und damit wegen der Einfachheit des Verfahrens die Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters nicht erforderlich. Dies entspreche konstanter Praxis des Obergerichts (Entscheid der 4. Zivilkammer des Obergerichts vom 2. Mai 2005 [ZSU.205.99] E.5) und gelte nicht nur für den Gläubiger, sondern auch für den betriebenen Schuldner. Der Gläubiger stütze sich auf rechtskräftige Urteile im Sinne von <ref-law>. Die Sache werde auch nicht dadurch komplex und anspruchsvoll und für einen juristischen Laien schwer zu bewältigen, indem der Gesuchsteller sie - etwa unter Berufung auf völkerrechtliche Verträge - komplex und anspruchsvoll mache. Im Übrigen belegten gerade dieser Umstand wie auch die Rechtsschriften des Gesuchstellers ganz allgemein, dass er rechtskundig vertreten sei und deshalb keine Notwendigkeit für eine unentgeltliche Rechtsverbeiständung bestehe. Das folge auch daraus, dass sein Gesuch nicht wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen werden könne. Der Beschwerdegegner sei ebenfalls nicht anwaltlich vertreten, sodass auch das vom Beschwerdeführer angerufene Waffengleichheitsgebot gewahrt sei.
2. 2.1 Die Vorinstanz führt - zusammengefasst - aus, der Auffassung des Gerichtspräsidenten sei zuzustimmen, dass nach konstanter Rechtsprechung im definitiven Rechtsöffnungsverfahren grundsätzlich kein Anspruch auf Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters bestehe, da ein solcher aufgrund der Einfachheit des Verfahrens nicht erforderlich sei. Grundsätzlich bestehe zwar ein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege im Rechtsöffnungsverfahren (<ref-ruling>). Die Gerichtsgebühren seien aber in der Regel im Rechtsöffnungsverfahren derart gering, dass sie auch von Personen mit beschränkten finanziellen Mitteln vorgeschossen bzw. bezahlt werden könnten. Der Grundbetrag, der bei der Bemessung des Existenzminimums angesetzt werde, decke Ausgaben, die, wie jene für Kleider, Unterhalt der Wohnungseinrichtung oder Kulturelles, nicht monatlich anfielen und die daher bei Gelegenheit zur Deckung von geringen Gerichtsgebühren herangezogen werden könnten. Im definitiven Rechtsöffnungsverfahren sei sodann im Hinblick auf die Beschränkung der Einreden gemäss <ref-law> und damit wegen der Einfachheit des Verfahrens die Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters nicht erforderlich. Dies entspreche konstanter Praxis des Obergerichts (Entscheid der 4. Zivilkammer des Obergerichts vom 2. Mai 2005 [ZSU.205.99] E.5) und gelte nicht nur für den Gläubiger, sondern auch für den betriebenen Schuldner. Der Gläubiger stütze sich auf rechtskräftige Urteile im Sinne von <ref-law>. Die Sache werde auch nicht dadurch komplex und anspruchsvoll und für einen juristischen Laien schwer zu bewältigen, indem der Gesuchsteller sie - etwa unter Berufung auf völkerrechtliche Verträge - komplex und anspruchsvoll mache. Im Übrigen belegten gerade dieser Umstand wie auch die Rechtsschriften des Gesuchstellers ganz allgemein, dass er rechtskundig vertreten sei und deshalb keine Notwendigkeit für eine unentgeltliche Rechtsverbeiständung bestehe. Das folge auch daraus, dass sein Gesuch nicht wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen werden könne. Der Beschwerdegegner sei ebenfalls nicht anwaltlich vertreten, sodass auch das vom Beschwerdeführer angerufene Waffengleichheitsgebot gewahrt sei.
2.2 2.2.1 Der Beschwerdeführer rügt vorab eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör im Sinne von <ref-law> und macht geltend, die Vorinstanz habe sich mit seinen Vorbringen nicht auseinandergesetzt.
Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung muss die Begründung eines Entscheids so abgefasst sein, dass der Betroffene ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Dies ist nur möglich, wenn sowohl er wie auch die Rechtsmittelinstanz sich über die Tragweite ein Bild machen können. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde leiten liess und auf welche sich ihr Entscheid stützt. Das bedeutet indessen nicht, dass sich diese ausdrücklich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 2b S. 102/103).
Aus den in E. 2.1 hiervor wiedergegebenen Erwägungen des Obergerichts geht hinreichend klar hervor, warum dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege nicht gewährt wurde. Von einer Verfassungsverletzung kann somit keine Rede sein.
2.2.2 Der vom Beschwerdeführer angerufene Anspruch auf rechtliches Gehör ist Teilgehalt des allgemeinen Grundsatzes des fairen Verfahrens von Art. 6 Ziff. 1 EMRK und <ref-law>. Er wird auch durch <ref-law> geschützt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 147 f.). Die vom Beschwerdeführer wiederholt vorgebrachte Rüge, diese Konventionsbestimmung sei verletzt worden, fällt daher vorliegend mit der Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs zusammen.
Inwiefern die Vorinstanz das Diskriminierungsverbot nach Art. 14 EMRK und weitere Bestimmungen verletzt haben soll, wird nicht rechtsgenüglich begründet (dazu <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 639/640), weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
Inwiefern die Vorinstanz das Diskriminierungsverbot nach Art. 14 EMRK und weitere Bestimmungen verletzt haben soll, wird nicht rechtsgenüglich begründet (dazu <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 639/640), weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
2.3 2.3.1 <ref-law> lautet: Beruht die Forderung auf einem vollstreckbaren Urteil einer Behörde des Bundes oder des Kantons, in dem die Betreibung eingeleitet ist, so wird die definitive Rechtsöffnung erteilt, wenn nicht der Betriebene durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Urteils getilgt oder gestundet worden ist, oder die Verjährung anruft. Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> E. 4 S. 100 (bestätigt in <ref-ruling> E. 3a) befunden, es entspreche dem Willen des Gesetzgebers, dass die Möglichkeiten des Schuldners zur Abwehr im Verfahren der definitiven Rechtsöffnung eng beschränkt seien; um jede Verschleppung der Vollstreckung zu verhindern, könne der definitive Rechtsöffnungstitel daher nur durch einen strikten Gegenbeweis, d.h. mit völlig eindeutigen Urkunden entkräftet werden.
2.3.2 Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, er habe nach der Zivilprozessordnung des Kantons Aargau sowie nach <ref-law> Anspruch auf einen patentierten Rechtsanwalt, denn der bevollmächtigte Vertreter sei ausschliesslich zur Anhebung der Beschwerde zwecks Fristwahrung eingesetzt worden. Der Einwand ist nicht begründet. Wie nach der Praxis des Kantons Aargau kommt auch gemäss Art. 29 Abs. 3 (2. Satz) BV eine unentgeltliche Verbeiständung nur dann in Betracht, wenn das zur Wahrung der Rechte des Gesuchstellers notwendig ist (<ref-ruling> E. 2.2). Die in Betreibung gesetzte Forderung beruht auf Parteientschädigungen, die der Beschwerdeführer Y._ aus verschiedenen Verfahren schuldet. Wie erwähnt hat der Beschwerdeführer nur die Möglichkeit, durch Urkundenbeweis darzulegen, dass die Schuld seit Erlass des Urteils getilgt oder gestundet worden ist. Dass es für diese Beweisvorkehr eines patentierten Rechtsanwalts bedarf, ist nicht ersichtlich. Der Einwand geht somit fehl.
2.3.3 In diesem Zusammenhang macht der Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz habe gegen <ref-law> (Bund und Kantone beachten das Völkerrecht) und Art. 13 EMRK verstossen, weil sie der Auffassung sei, völkerrechtliche Bestimmungen könnten im Rechtsmittelverfahren nicht angerufen werden. Im angefochtenen Entscheid wird das nicht gesagt, sondern ausgeführt, die Sache werde nicht dadurch komplexer gemacht, wenn der Beschwerdeführer z.B. völkerrechtliche Verträge anrufe. Inwiefern dieses Argument im Rahmen der Prüfung der Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor <ref-law> bzw. <ref-law> nicht standhalten soll, wird nicht hinreichend begründet (dazu <ref-ruling> E. 2 S. 639/640), weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
2.3.3 In diesem Zusammenhang macht der Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz habe gegen <ref-law> (Bund und Kantone beachten das Völkerrecht) und Art. 13 EMRK verstossen, weil sie der Auffassung sei, völkerrechtliche Bestimmungen könnten im Rechtsmittelverfahren nicht angerufen werden. Im angefochtenen Entscheid wird das nicht gesagt, sondern ausgeführt, die Sache werde nicht dadurch komplexer gemacht, wenn der Beschwerdeführer z.B. völkerrechtliche Verträge anrufe. Inwiefern dieses Argument im Rahmen der Prüfung der Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor <ref-law> bzw. <ref-law> nicht standhalten soll, wird nicht hinreichend begründet (dazu <ref-ruling> E. 2 S. 639/640), weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
2.4 2.4.1 Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, der Beschwerdegegner habe in seiner Vollmacht gegenüber seinem Rechtsanwalt "allfällige Prozessentschädigungen bis zur Höhe seiner Ansprüche zahlungshalber abgetreten", weshalb jener nicht Gläubiger im Sinne von <ref-law> sei. Auch stelle das Urteil des Bundesgerichts vom 1. Dezember 2006 betreffend Nichtigkeitsbeschwerde in Strafsachen (Privatstrafklageverfahren) ein nichtiges Urteil und damit kein Urteil im Sinne von <ref-law> dar. Schliesslich habe er gegenüber dem Beschwerdegegner Schadenersatzforderungen in der Höhe von Fr. 76'680.-- nebst Zins, womit eine Tilgung durch Verrechnung im Sinne von <ref-law> vorliege.
Diese Vorbringen können nicht entgegen genommen werden. Denn im Unterschied zur provisorischen Rechtsöffnung (<ref-law>) genügt es bei der definitiven Rechtsöffnung nicht, die Zahlung glaubhaft zu machen: Weil der Rechtsöffnungstitel im Sinne von <ref-law> die Vermutung begründet, dass die Schuldpflicht besteht, kann sie nur durch strikten Gegenbeweis entkräftet werden (<ref-ruling> E. 2 S. 15). Es ist nicht Sache des definitiven Rechtsöffnungsrichters, über materiellrechtliche Fragen zu befinden, die nicht aufgrund von eindeutigen Urkunden beantwortet werden können. Diese Fragen sind dem Sachrichter zu unterbreiten; dasselbe gilt für die Frage, ob das Verhalten des Gläubigers rechtsmissbräuchlich sei und gegen Treu und Glauben verstosse (<ref-ruling> E. 3a). Das betrifft auch die nicht hinreichend begründete Rüge, das Urteil des Bundesgerichts vom 1. Dezember 2006 sei nichtig (zu einem nichtigen Rechtsöffnungstitel: <ref-ruling> ff.). Da die Prüfung dieser Rechtsfragen im Rahmen von <ref-law> ausgeschlossen ist, müssen sie auch beim Entscheid, ob eine Verbeiständung durch einen Anwalt notwendig ist, ausser Betracht fallen.
2.4.2 Im Übrigen belegen diese Einwände, dass der Beschwerdeführer durch einen Bevollmächtigten beraten wird, der sich zahlreiche Rechtsfragen stellen und für den Beschwerdeführer beantworten kann. Die Vorinstanz durfte daher ohne Willkür zum Schluss gelangen, der Rechtsberater des Beschwerdeführers sei hinreichend rechtskundig. Der Beschwerdeführer bestreitet dies im Übrigen nicht und macht insbesondere nirgends hinreichend geltend, das Obergericht sei mit Bezug auf diese Feststellung in Willkür verfallen. Keine Rolle spielt deshalb auch, ob der Beschwerdeführer aufgrund seiner psychischen Verfassung hätte als prozessunfähig angesehen werden müssen.
2.5 Schliesslich rügt der Beschwerdeführer, das Obergericht habe ausgeführt, die Gerichtsgebühren seien im Falle des Rechtsöffnungsverfahrens derart gering, dass sie von Personen mit beschränkten finanziellen Mitteln vorgeschossen bzw. bezahlt werden könnten. Diese Argumentation sei offensichtlich verfehlt. Erstens hätten die kantonalen Gerichtsinstanzen die Bedürftigkeit erst gar nicht abgeklärt und zweitens müsse das betreibungsrechtliche Existenzminimum geschützt werden. Sodann lebe der Beschwerdeführer und seine Familie seit Jahren unter dem betreibungsrechtlichen Existenzminimum.
Gemäss <ref-law>/AG ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege beim Richter zu stellen, bei dem die Sache anhängig zu machen oder bereits anhängig ist. Gemäss Abs. 3 dieser Bestimmung ist dem Gesuch ein Zeugnis des Gemeinderates des Wohnsitzes oder einer anderen zuständigen Behörde über die Familien-, Vermögens- und Einkommensverhältnisse beizulegen. Diese Verfahrensvorschrift darf nicht so streng ausgelegt werden, dass die unentgeltliche Rechtspflege einzig darum nicht bewilligt wird, weil der Amtsbericht des Gemeinderates fehlt, wenn sich gleichzeitig aus den übrigen Akten die finanzielle Situation des Gesuchstellers klar ergibt (Bühler/Edelmann/Killer, Kommentar zur aargauischen Zivilprozessordnung, 2. Aufl., 1998, N. 7 zu <ref-law>, S. 317). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, gestützt auf welche in den Akten liegenden Unterlagen das Obergericht seine Bedürftigkeit hätte bejahen müssen, weshalb sein Einwand nicht gehört werden kann.
3. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Da auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet wird (<ref-law>), wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett