Sachverhalt:
A. Die 1951 geborene G._ hat eine kaufmännische Ausbildung. Seit 1. September 2000 war sie zu 80 % bei der Firma R._ AG angestellt. Diese Stelle verlor sie Ende 2001 wegen Konkurses der Firma. Danach war sie arbeitslos und bei der SUVA obligatorisch unfallversichert. Am 5. Juli 2003 stürzte sie beim Vorhängeaufhängen vom Hocker und erlitt eine proximale Humerusfraktur links. Am 14. Juli 2003 erfolgte im Spital Z._ eine Osteosynthese an der linken Schulter; wegen eines Infekts im Frakturgebiet erfolgten zwischen dem 3. August und 2. September 2003 acht Schulteroperationen. Am 9. April 2006 wurde der Versicherten auf der Strasse die Handtasche geraubt, wobei sie am Kopf und linken Knie verletzt wurde. Am 24. Januar 2007 erfolgte in der Klinik S._ eine Arthrolyse und Einsetzung einer inversen Schulterprothese Typ Lima links. Die SUVA erbrachte für beide Unfälle Heilbehandlung und Taggeld. Mit Verfügung vom 23. März 2010 stellte sie betreffend den Unfall vom 5. Juli 2003 diese Leistungen ab 1. April 2010 ein und verneinte den Rentenanspruch; sie sprach der Versicherten eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 30 % zu. Ihre Einsprache wies sie mit Entscheid vom 4. Mai 2010 ab. Mit die Verfügung vom 26. Januar 2011 bestätigendem Einspracheentscheid vom 23. Mai 2011 legte die SUVA dar, sie werde die vom 8. Juli 2003 bis 31. März 2010 ausgerichteten Taggelder wegen Überentschädigung um Fr. 95'382.70 kürzen, was der Differenz zwischen den SUVA-Taggeldern von Fr. 229'398.45 und den Renten der Invalidenversicherung (IV) von Fr. 106'816.-, gesamthaft Fr. 336'214.45, sowie dem mutmasslichen Verdienstausfall von Fr. 240'831.75 im besagten Zeitraum entspreche. Den Kürzungsbetrag werde sie mit IV-Nachzahlungen verrechnen.
B. Gegen beide Einspracheentscheide reichte die Versicherte beim kantonalen Gericht Beschwerde ein. Dieses vereinigte die Verfahren und wies die Beschwerden mit Entscheid vom 3. November 2011 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die SUVA zu verpflichten, ihr die gesetzlichen Leistungen auszurichten, insbesondere eine Rente auf der Grundlage einer 100%igen, eventuell 62%igen Erwerbsunfähigkeit, eine gesetzeskonforme Integritätsentschädigung sowie Fr. 95'382.70 zuzüglich gesetzliche Verzugszinsen. Ferner verlangt sie die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung.
Die SUVA beantragt Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Vorinstanz hat die Grundlagen über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfall und Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 111 f.), die Invalidität (<ref-law>), den Anspruch auf Heilbehandlung (<ref-law>), Taggeld (<ref-law>) und Invalidenrente (Art. 18 f. UVG), den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 9.5 S. 125) und den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1. S. 232) richtig dargelegt. Gleiches gilt zur Bemessung des Invaliditätsgrades in Sonderfällen (<ref-law>; <ref-law>) und Überentschädigung (<ref-law>). Darauf wird verwiesen.
3. Unbestritten ist die der Versicherten aus somatischer Sicht für die Folgen der beim Unfall vom 5. Juli 2003 verletzten linken Schulter zugesprochene Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 30 %. Hiermit hat es sein Bewenden.
4. Streitig und zu prüfen ist als Erstes, ob und bejahendenfalls in welchem Ausmass die Versicherte somatischerseits hinsichtlich der linken Schulter ab 1. April 2010 arbeitsunfähig ist.
4.1 Der Kreisarzt Dr. med. O._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie, legte im Bericht vom 27. März 2008 dar, die Funktion der linken Schulter sei bei der stark eingeschränkten Muskulatur nach wie vor schlecht und kraftlos; auch die Flexion für den Ellbogen sei davon betroffen, da der Brachiobizeps seinen proximalen Ankerpunkt verloren habe. Aktiv könne die linke Hand im Stehen nur bis Hüfthöhe kontrolliert in eine Position gebracht werden; so seien Zusatzlasten bis sicher 500 Gramm möglich; bei einem Einsatz der Hand über diesem Niveau müsse der linke Arm aufgestützt werden, auch beim Arbeiten auf einem Tisch. Schläge und Vibrationen seien zu vermeiden; die Bedienung einer Tastatur mit der linken Hand sei höchstens kurzfristig möglich. Funktionell sei die Versicherte nahe bei einer Einhänderin; für Haltefunktionen mit geringer Kraft bis mittleres Thoraxniveau könne die linke Hand eingesetzt werden. Bei einer geeigneten Aufgabe wäre ein Ganztageseinsatz möglich.
Das Institut A._ diagnostizierte im für die IV erstellten interdisziplinären (internistischen/allgemeinmedizinischen, psychiatrischen und rheumatologischen) Gutachten vom 22. April 2009 einen Status nach inverser Schulter-Totalarthroplastik links Typ LIMA vom 24. Januar 2007 (ICD-10 M19.9, OPS 5-824.2a; posttraumatische Omarthrose mit fehlender Rotatorenmanschette, Status nach osteosynthetisch versorgter proximaler Humerusfraktur links mit postoperativem septischem Infekt am 14. Juli 2003). Aus rheumatologischer Sicht müsse die Versicherte praktisch als einarmig beurteilt werden. Die globale Belastungsfähigkeit des linken Arms sei massiv eingeschränkt. In der angestammten Tätigkeit als kaufmännische Angestellte bestehe eine Arbeitsfähigkeit von 50 %. Dabei müsse sie nach eigenem Gutdünken die Arbeitsposition regelmässig wechseln können. Das längere fixierte Sitzen, insbesondere Arbeiten in Oberkörper-Vorneigehaltung über 20 Minuten, seien zu unterlassen. Sie dürfe keinen Erschütterungen und Vibrationen ausgesetzt sein. Sollte eine diesbezügliche körperliche nur sehr leichte Tätigkeit ohne Einsatz der linken oberen Extremität möglich sein, bestehe 75%ige Arbeitsfähigkeit.
4.2 SUVA und Vorinstanz stellten auf den Austrittsbericht der Klinik B._ vom 8. September 2009 ab, wo die Versicherte vom 29. Juli bis 1. September 2009 hospitalisiert war. Die Vorinstanz ging gestützt hierauf davon aus, sie sei hinsichtlich der Schulterproblematik links als kaufmännische Sachbearbeiterin und in jeder anderen leichten Arbeit ohne wiederholte Arbeiten über Kopf und Hantieren mit langem Hebelarm ganztägig arbeitsfähig. Mangels unfallbedingter Einschränkung der Arbeitsfähigkeit bestehe kein Rentenanspruch.
5. Die Versicherte rügt das Abstellen auf den Austrittsbericht der Klinik B._ vom 8. September 2009, da sie im Voraus nicht darüber aufgeklärt worden sei, dass dort nicht nur eine Behandlung, sondern auch eine "medizinische Abklärung" stattfinden werde.
5.1 Die Klinik S._ legte im Bericht vom 11. Mai 2009 dar, eine stationäre multimodale und interdisziplinäre Behandlung im Rahmen eines Rehabilitationsaufenthaltes, z.B. in der Klinik B._, wäre eine sinnvolle Option. In diesem Zusammenhang könnte ebenfalls die neurologische Untersuchung der linken Schulter durchgeführt werden. Allenfalls wäre dies natürlich auch ambulant bei ihnen möglich. In diesem Sinne werde die ärztliche Leitung der Klinik B._ um das direkte Aufgebot der Versicherten gebeten. Gemäss telefonischer Rücksprache mit der Versicherten habe die SUVA eine Kostengutsprache bewilligt. Die Klinik B._ erstattete neuropsychologische, neurologische und psychiatrische Stellungnahmen sowie den Austrittsbericht vom 8. September 2009, worin die Arbeitsfähigkeit/Zumutbarkeit und Eingliederungsperspektive beurteilt wurde. Am 29. September 2009 eröffnete die SUVA der Versicherten, die medizinischen Abklärungen in der Klinik B._ hätten ergeben, dass sie aus rein unfallkausaler Sicht als Sachbearbeiterin voll arbeitsfähig sei, weshalb die Taggelder eingestellt würden.
5.2 Aufgrund der Akten ging die SUVA vor dem Eintritt der Versicherten in die Klinik B._ davon aus, ihr dortiger Aufenthalt werde der Rehabilitation dienen (vgl. Schreiben der SUVA an den Kreisarzt vom 5. Mai 2009, an die Klinik S._ vom 12. Mai 2009 und an die Klinik B._ vom 15. Mai 2009). Unbestritten ist, dass die SUVA die Versicherte und ihren Rechtsvertreter weder vor dem Klinikeintritt noch während des Klinikaufenthaltes darüber informierte, sie werde auch eine interdisziplinäre Beurteilung der Arbeitsfähigkeit und Eingliederungsperspektive vornehmen. Damit steht fest, dass die SUVA der Versicherten keine Gelegenheit gab, zur Notwendigkeit und Zumutbarkeit der Abklärung der Arbeitsfähigkeit in der Klinik B._ Stellung zu nehmen. In diesem Lichte kann ihr Austrittsbericht vom 8. September 2009 nicht verwertet werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 125 ff.; Urteil 8C_979/2010 vom 9. Mai 2011 E. 5.1) und ist dementsprechend aus den Akten zu entfernen. Nicht gefolgt werden kann der vorinstanzlichen Auffassung, <ref-ruling> könne vernünftigerweise nur dort zur Anwendung kommen, wo die im Rahmen einer stationären Rehabilitation getätigten Abklärungen weit über das hinausgingen, was für die Evaluation zweckmässiger Rehabilitationsmassnahmen erforderlich sei. Aus E. 5 und 7.4 des letztgenannten Urteils kann entgegen der Vorinstanz kein anderer Schluss gezogen werden.
6. Die orthopädisch-chirurgische Einschätzung des Dr. med. O._ vom 27. März 2008 ist - wie die Vorinstanz erkannte - für eine abschliessende Beurteilung der Schulterproblematik links nicht hinreichend. Gleiches gilt für das von der Versicherten ins Feld geführte Gutachten des Instituts A._ vom 22. April 2009, mit dem sich die Vorinstanz somatischerseits nicht auseinandersetzte. Unklar ist bezüglich dieses Gutachtens, inwieweit in die Beurteilung des Grades der Arbeitsunfähigkeit aus somatischer Sicht die darin gestellten - hier aber unbeachtlichen - Diagnosen der posttraumatischen medialen sowie femoropatellaren Gonarthrose rechts (ICD-10 S72.400, M17.9) und des chronischen zervikospondylogenen Schmerzsyndroms linksbetont (ICD-10 M47.2) eingeflossen sind. Zudem wurde die Versicherte im Institut A._ bezüglich der Schulterproblematik einzig rheumatologisch abgeklärt; es drängt sich jedoch auch eine orthopädische und - wie die Klinik S._ am 11. Mai 2009 festgehalten hat - neurologische Abklärung auf. Die SUVA hat somit ein externes Gutachten einzuholen.
7. Umstritten und zu prüfen ist weiter die psychische Problematik.
7.1 Diesbezüglich stellte das Institut A._ am 22. April 2009 folgende Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit: leichte depressive Episode (ICD-10 F32.0); Störung durch Alkohol, derzeit abstinent in beschützter Umgebung (ICD-10 F10.21); Störung durch Benzodiazepine, ständiger Substanzgebrauch (ICD-10 F13.25). Psychiatrischerseits bestehe gegenwärtig keine Arbeitsfähigkeit, vor allem wegen der Alkohol- und Benzodiazepin-Abhängigkeitsstörung. Nach erfolgter Entzugsbehandlung und unter Abstinenz sei die Arbeitsfähigkeit theoretisch zu 20 % eingeschränkt aufgrund einer leichten depressiven Episode. Eine schwere psychische Störung bestehe nicht. Das Psychiatriezentrum C._, wo die Versicherte vom 3. September 2009 bis 30. April 2010 in Behandlung war, diagnostizierte im Bericht vom 30. April 2010 eine komplexe posttraumatische Belastungsstörung mit dissoziativem Erleben (ICD-10 F43.1), ein Aufmerksamkeitsdefizitsyndrom vorwiegend unaufmerksamer Typus (ICD-10 F90.0) und Abhängigkeit von Alkohol, gegenwärtig abstinent in schützender Umgebung (ICD-10 F10.21).
7.2 Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, gemäss der psychiatrischen Beurteilung im Gutachten des Instituts A._ vom 22. April 2009 habe die Versicherte bereits vor dem Unfall vom 5. Juli 2003 an einer - durch rezidivierende depressive Episoden begleiteten - chronischen Alkohol- und Benzodiazepin-Abhängigkeitsstörung gelitten, die ihre Arbeitsfähigkeit spätestens seit dem Verlust der letzten Arbeitsstelle Ende 2001 dauerhaft eingeschränkt habe. Die Attestierung einer seit 2002 anhaltenden Arbeitsunfähigkeit durch das Institut A._ ergebe sich offenbar aus den ihr vorgelegenen - aber in den SUVA-Akten fehlenden - Berichten über mehrere 2- bis 3-wöchige Hospitalisationen und Arbeitsunfähigkeiten zufolge der Suchtproblematik seit dem Frühjahr 2002 (Berichte des Spitals M._ vom 8. Oktober 2002 [Hospitalisation vom 24. September bis 9. Oktober 2002] und vom 20. Juni 2003 [Hospitalisation vom 7. bis 20. Juni 2003]; Bericht der Psychiatrischen Klinik Z._ vom 12. Dezember 2007 mit attestierten 100%igen Arbeitsunfähigkeiten in der angestammten Tätigkeit vom 18. Juli bis 19. Oktober 1973, 20. März bis 11. April 2002 und 22. Mai bis 14. Juni 2002 bei Erstdiagnosen eines Alkohol- und Benzodiazepin-Abhängigkeitssyndroms im Jahr 1973 und einer mittelgradigen depressiven Episode im Jahr 2002). Dies decke sich mit den Angaben der Arbeitslosenkasse, wonach die Versicherte vom 16. Mai bis 13. Juni 2003 Krankentaggelder bezogen habe und danach bis zum Unfall vom 5. Juli 2003 nicht wieder vermittlungsfähig geworden sei. Demnach sei die natürliche Kausalität zwischen dem Unfall vom 5. Juli 2003 und der Suchtproblematik nicht überwiegend wahrscheinlich erstellt, auch nicht als Teilursache. Soweit die Versicherte anhaltende psychische Beschwerden als Folge des Raubüberfalls vom 9. April 2006 angebe, könne dem nicht gefolgt werden, da dieses Ereignis in den Arztberichten nach demjenigen des Dr. med. D._, Facharzt für Allgemeinmedizin, vom 14. Juni 2006 nicht mehr dokumentiert sei. Dr. med. O._ habe am 27. März 2008 vermerkt, die Folgen dieses Ereignisses seien konservativ ohne Besonderheiten behandelt worden. Im Bericht des Psychiatriezentrums C._ vom 25. November 2009 sei auf das Ereignis vom 9. April 2006 nicht Bezug genommen werden; vielmehr seien die Hospitalisierungen zur Sanierung des Infekts nach der Humerusfraktur als traumatisierend dargestellt worden. Eine unsorgfältige ärztliche Behandlung sei jedoch nicht erstellt, weshalb die Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung nicht nachvollziehbar sei.
7.3 Die strittige natürliche und adäquate Unfallkausalität der psychischen Beschwerden ist für die Unfälle vom 5. Juli 2003 (Verletzung der linken Schulter) und 9. April 2006 (Verletzungen am Kopf und linken Knie) gesondert zu beurteilen (vgl. SVR 2007 UV Nr. 1 S. 1 E. 3.2.2 [U 39/04]; Urteil 8C_168/2011 vom 11. Juli 2011 E. 4.4.2).
8. Zu prüfen ist zunächst, ob die psychischen Beschwerden natürlich-kausal auf den Unfall vom 5. Juli 2003 zurückzuführen sind.
8.1 Im Gutachten des Instituts A._ vom 24. April 2009 wurde im Rahmen der psychiatrischen Beurteilung ausgeführt, die Versicherte habe zuletzt im Jahre 2002 als kaufmännische Angestellte gearbeitet. Diese Stelle habe sie aus wirtschaftlichen Gründen verloren; sie habe seither nicht mehr gearbeitet und sei anhaltend arbeitsunfähig geblieben. Die psychosozialen Belastungen nach dem Verlust der Arbeitsstelle mit finanziellen Belastungen und die persistierenden Schmerzen nach den Unfallereignissen und Operationen hätten zu verstärkten depressiven Episoden sowie Abhängigkeit von Alkohol und Benzodiazepinen geführt, wodurch aber wiederum die depressive Symptomatik verstärkt werde. Das Psychiatriezentrum C._ legte im Bericht vom 25. November 2009 dar, insbesondere die Situation nach dem Unfall mit Humerusfraktur und den nachfolgenden sieben bis acht Operationen habe die Versicherte als traumatisierend erlebt.
8.2 Im Lichte dieser Ausführungen des Instituts A._ und des Psychiatriezentrums C._ kann nicht ohne Weiteres ausgeschlossen werden, dass der Unfall vom 5. Juli 2003 mit der dabei erlittenen Schulterverletzung links und den nachfolgenden zehn Schulteroperationen überwiegend wahrscheinlich zumindest eine indirekte Teilursache der psychischen Beschwerden bzw. der Suchtproblematik ist, was für die Bejahung der Unfallkausalität genügt (<ref-ruling> E. 9.5 S. 125 f., 118 V 286 E. 2b S. 291; Urteil 8C_82/2011 vom 9. Juni 2011 E. 5.4).
Soweit die Vorinstanz zum Ausschluss der natürlichen Unfallkausalität auf die bereits vor diesem Unfall bestehende Arbeitsunfähigkeit verweist, ist Folgendes festzuhalten: Im Rahmen der psychiatrischen Beurteilung legte das Institut A._ am 22. April 2009 dar, seit 2002 habe die Versicherte nicht mehr gearbeitet und sei anhaltend arbeitsunfähig geblieben; bei der Gesamtbeurteilung wurde festgehalten, die Arbeitsfähigkeit sei seit 5. Juli 2003 eingeschränkt; die aktuelle Einschätzung - psychiatrischerseits vollständige Arbeitsunfähigkeit vor allem wegen der Suchtproblematik (vgl. E. 7.1 hievor) - gelte seit Januar 2008. Aus diesen Angaben des Instituts A._ geht nicht hinreichend hervor, ob die für die Zeit vor dem Unfall vom 5. Juli 2003 angegebene Arbeitsunfähigkeit bloss die angestammte Tätigkeit als kaufmännische Angestellte oder jegliche Erwerbstätigkeit betrifft und ob die Arbeitsfähigkeit ganz oder teilweise eingeschränkt war. In den Akten fehlen die vom Institut A._ erwähnten Berichte des Spitals M._ vom 8. Oktober 2002 und der Psychiatrischen Klinik Z._ vom 12. Dezember 2007, die weiteren Aufschluss über die Arbeitsfähigkeit vor dem Unfall vom 5. Juli 2003 geben. Im letztgenannten Bericht wurde für das Jahr 2002 lediglich eine zweimalige 100%ige Einschränkung der Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit angegeben (vgl. E. 7.2 hievor). Gemäss dem Bericht des Spitals M._ vom 20. Juni 2003, wo die Versicherte vom 7. bis 20. Juni 2003 zwecks Alkoholentzugs hospitalisiert war, wurde sie in gutem Allgemeinzustand nach Hause entlassen; weiter wurde ausgeführt, sie wünsche eine Behandlung an der Fachstelle X._. Prof. Dr. med. G._, Ärztlicher Direktor, und Dr. med. W._, Assistenzarzt, Orthopädie, Klinik Y._, legten im Gutachten vom 28. November 2005 dar, aktuell bestehe ein beinahe 24-stündiger Schmerz an der linken Schulter. Die Nachtruhe sei sehr stark gestört. Um diese Schmerzen einigermassen einzudämmen, nehme die Versicherte hohe Dosen an Opiaten ein. Sie sei durch das schmerzhafte Zustandsbild der linken Schulter in ihrer Lebensqualität massivst eingeschränkt. Die Klinik S._ führte am 20. Februar 2007 (drei Wochen nach Einsetzen der Schulterprothese links) aus, es zeigten sich noch deutliche Schmerzen aufgrund der Lösung des vorher fast eingesteiften Glenohumeralgelenks. Aufgrund dieser Aktenlage ist nicht auszuschliessen, dass sich die psychischen Beschwerden bzw. die Suchtproblematik und die damit einhergehende Arbeitsunfähigkeit wegen des Unfalls vom 5. Juli 2003 verschlimmert haben bzw. deren rund zwei Wochen davor gewünschte weitere Behandlung deswegen behindert wurde (betr. Verschlimmerung eines krankhaften Vorzustandes siehe SVR 2011 UV Nr. 4 S. 12 E. 3.2 [8C_901/2009]).
Zu beachten ist, dass das Institut A._ sein Gutachten zu Handen der IV erstellte und nicht die Aufgabe hatte, zur Unfallkausalität der psychischen Beschwerden Stellung zu nehmen. Insgesamt sind ihre Angaben und diejenigen des Psychiatriezentrums C._ zu unklar, als dass gestützt darauf die Frage, ob die psychischen Beschwerden natürlich-kausal auf den Unfall vom 5. Juli 2003 zurückzuführen sind, abschliessend beurteilt werden könnte. Die SUVA hat diese Frage hinreichend klären zu lassen (vgl. auch E. 6 hievor).
8.3 Die Prüfung der adäquaten Unfallkausalität der psychischen Beschwerden kann nicht einwandfrei vorweggenommen werden, da der Sachverhalt in somatischer Hinsicht nicht hinreichend abgeklärt wurde (E. 6 hievor; <ref-ruling> E. 5.1 S. 472, 134 V 109 S. 116 E. 6.1).
9. Die Versicherte bringt weiter vor, der Raubüberfall vom 9. April 2006 (Taschenraub) sei für die Beurteilung der Kausalität ebenfalls von Bedeutung, weil die Ärzte den Verdacht einer posttraumatischen Belastungsstörung nach diesem Unfall erwähnt hätten. Bei diesem Unfall erlitt sie ein periorbitales Hämatom beidseits mit Schürfung und ausgeprägter Schwellung des linken lateralen Brauenrandes, eine Schürfung und Schwellung suprapatellär links mit Druck- und Bewegungsschmerzen sowie Angstsymptome. Aufgrund der Angaben des Dr. med. O._ vom 27. März 2008 und der übrigen medizinischen Akten verlief die konservative Behandlung der physischen Folgen dieses Ereignisses problemlos. Es ist davon auszugehen, dass die hieraus resultierenden somatischen Beeinträchtigungen lediglich von untergeordneter Bedeutung waren und im Vergleich zum erlittenen psychischen Stress in den Hintergrund traten. Der adäquate Kausalzusammenhang beurteilt sich somit nach der allgemeinen Adäquanzformel (gewöhnlicher Lauf der Dinge und allgemeine Lebenserfahrung; <ref-ruling>; Urteil U 2/05 vom 4. August 2005 E. 3.1). An die Adäquanz zwischen psychischen Beschwerden und Schreckereignissen werden hohe Anforderungen gestellt. Praxisgemäss besteht die übliche und einigermassen typische Reaktion auf solche Ereignisse erfahrungsgemäss darin, dass zwar eine Traumatisierung stattfindet, diese aber vom Opfer in aller Regel innert einiger Wochen oder Monate überwunden wird (<ref-ruling>; Urteil U 549/06 vom 8. Juni 2007 E. 4.2). Der von der Versicherten geschilderte Raub ist nach der allgemeinen Lebenserfahrung nicht geeignet, langjährige Angst- und depressive Zustände auszulösen. Eine diesbezügliche Leistungspflicht der SUVA ist somit zu verneinen, ohne dass zu prüfen ist, ob eine natürliche Unfallkausalität besteht.
10.
10.1 Zu beurteilen ist weiter die umstrittene Frage der Überentschädigung. Eine solche liegt in dem Masse vor, als die gesetzlichen Sozialversicherungsleistungen den wegen des Versicherungsfalls mutmasslich entgangenen Verdienst zuzüglich der durch den Versicherungsfall verursachten Mehrkosten und allfälliger Einkommenseinbussen von Angehörigen übersteigen (<ref-law>). Die Überentschädigung ist beim Zusammentreffen von Taggeldern der Unfallversicherung mit Rentenleistungen der IV nicht durch Gegenüberstellung stets gleicher Zeitabschnitte zu bestimmen. Vielmehr hat eine globale Abrechnung über die gesamte Bezugsperiode, beginnend ab der Entstehung des Anspruchs auf Taggelder der Unfallversicherung, zu erfolgen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 29; Urteil 8C_415/2011 vom 19. Oktober 2011 E. 4.1). Mutmasslich entgangen ist derjenige Verdienst, den die versicherte Person ohne das schädigende Ereignis wahrscheinlich erzielt hätte. Dieser Verdienst entspricht rechtlich nicht oder höchstens zufällig dem versicherten Verdienst oder dem bei Eintritt der Invalidität tatsächlich erzielten Einkommen. Massgebend für die Bestimmung des hypothetischen Einkommens ist der Zeitpunkt, in welchem sich die Kürzungsfrage stellt (<ref-ruling> E. 4a S. 471; SVR 2009 UV Nr. 17 S. 65 E. 5.2 [8C_330/2008]; Urteil 8C_819/2010 vom 7. April 2011 E. 5.2.1). Bei der Festsetzung des mutmasslich entgangenen Verdienstes ist nicht der ausgeglichene Arbeitsmarkt (<ref-law>) massgebend, sondern es ist den spezifischen Gegebenheiten und tatsächlichen Chancen der Versicherten auf dem jeweiligen Arbeitsmarkt Rechnung zu tragen (Urteile B 119/06 vom 7. November 2007 E. 3.3 und B 17/03 vom 2. September 2004 E. 4.4 [SZS 2005 S. 321 und 557]).
10.2 Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, aufgrund der vor dem Unfall vom 5. Juli 2003 wiederholt ärztlich bescheinigten Arbeitsunfähigkeiten wegen der schweren Suchtproblematik (mit einer Gesamtdauer von rund 10 Wochen seit Frühjahr 2002) könne nicht überwiegend wahrscheinlich angenommen werden, die Versicherte hätte ohne diesen Unfall nochmals eine Dauerstelle mit einem weit über der Arbeitslosenentschädigung liegenden Lohn antreten können. Korrekt sei somit die hypothetische Annahme der SUVA, vom 8. Juli 2003 bis 31. März 2010 betrage der mutmasslich entgangene Verdienst Fr. 240'831.75, was der vor dem Unfall vom 5. Juli 2003 bezogenen Arbeitslosenentschädigung (hochgerechnet auf ein Jahr und teuerungsbedingt bzw. lohnindexangepasst) entspreche.
Die Annahme von SUVA und Vorinstanz, ohne diesen Unfall hätte die Versicherte wegen des vorbestehenden Gesundheitsschadens lediglich noch eine reduzierte Erwerbstätigkeit mit einem Einkommen in Höhe der zuletzt bezogenen Arbeitslosenentschädigung ausüben können, stützt sich nicht auf hinreichende Abklärungen zur diesbezüglichen Arbeitsfähigkeit. Dieser Punkt ist ergänzend klären zu lassen (vgl. E. 8.2 hievor). SUVA und Vorinstanz haben nicht nachvollziehbar begründet, weshalb der mutmasslich entgangene Verdienst gerade der Arbeitslosenentschädigung entsprechen soll. Es ist zu klären, welche Arbeiten in welchem Umfang die Versicherte ohne diesen Unfall aus ärztlicher Sicht hätte ausüben können, und gestützt hierauf ist der mutmasslich entgangene Verdienst zu bestimmen.
11. Die Rückweisung der Sache an die SUVA zu neuer Abklärung gilt als volles Obsiegen der Versicherten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 7.1 S. 271). Ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 3. November 2011 sowie die Einsprachentscheide der SUVA vom 4. Mai 2010 und 23. Mai 2011 aufgehoben werden und die Sache an diese zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Leistungsanspruch und die Überentschädigung neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der SUVA auferlegt.
3. Die SUVA hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. März 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar