Sachverhalt:
A. Die X._ AG ist mit Wirkung ab 1. April 1999 im Register der mehrwertsteuerpflichtigen Personen bei der Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein eingetragen. Gemäss den Angaben auf dem Fragebogen zur Mehrwertsteuerpflicht bezweckt sie den Erwerb, die Verwaltung und die Veräusserung von kommerziellen Flugzeugen sowie sämtliche Aktivitäten auf dem Gebiet der Aeronautik und des Lufttransports. Mit Vertrag vom 15. Januar 2000 erwarb sie von der S._ SA in M._ als Eigentümerin und Halterin des in der Schweiz immatrikulierten Flugzeugs Pilatus PC 12/45, HB-xxx, das ausschliessliche Nutzungsrecht an dieser Maschine. Die von der X._ AG an die S._ SA zu leistende Entschädigung belief sich auf jährlich Fr. _ zuzüglich Wartungskosten und Mehrwertsteuern. Das Flugzeug wurde fast ausschliesslich durch den in der Schweiz wohnhaften B._ geflogen.
Die X._ AG ist zudem Eigentümerin eines Flugzeugs Piper Dakota mit der schweizerischen Immatrikulation HB-yyy. Dieses wurde per 31. Dezember 2002 mit Fr. 63'963.50 bilanziert. Es weist nur wenige Flugstunden auf und wurde gemäss den Angaben der X._ AG nur eingesetzt, wenn das Flugzeug Pilatus PC 12/45 z.B. wegen Wartungsarbeiten nicht zur Verfügung stand.
B. Mit Verfügung vom 15. Juli 2008 strich die Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein die X._ AG rückwirkend aus dem Register der Mehrwertsteuerpflichtigen und ordnete die Rückerstattung der gesamten geltend gemachten Vorsteuern an. Die von der X._ AG auf Lieferungen und Dienstleistungen in Rechnung gestellten Mehrwertsteuern blieben demgegenüber geschuldet.
Mit Einspracheentscheid vom 25. Februar 2009 bestätigte die Steuerverwaltung die Löschung im Register rückwirkend ab 1. Januar 2001 und stellte fest, dass die X._ AG der Steuerverwaltung aus der Rückerstattung der Vorsteuern noch Fr. 191'093.95 schulde. Die Steuerforderungen des Jahres 2000 seien verjährt. Die Steuerverwaltung befand, die X._ AG vermiete das Flugzeug Pilatus PC 12/45 ausschliesslich an B._ sowie an die von ihm wirtschaftlich beherrschten Gesellschaften T._ SA, N._/RO, U._ SA, O._/VD, und U._ International AG, P._/FL. Mit den eingereichten Unterlagen könne der Nachweis nicht erbracht werden, dass die Aufwendungen der X._ AG in einem geschäftlichen Zusammenhang mit diesen Gesellschaften stünden. Etliche Vermerke in den Fluglisten liessen zudem erkennen, dass die Aufwendungen für den wirtschaftlich Berechtigten persönlich erfolgten. Als private Flüge seien namentlich die Teilnahme von B._ an Flugrallyes und dessen Flüge zu Feriendestinationen zu werten. Für die restlichen Flüge (ausmachend rund 40 %) werde der Nachweis der geschäftlichen Verwendung nicht erbracht. Es sei davon auszugehen, dass keine Leistungsaustausche zwischen der X._ AG und den weiteren Gesellschaften stattfänden. Es stelle sich auch die Frage der Steuerumgehung.
C. Die Steuerpflichtige führte Beschwerde bei der Landessteuerkommission des Fürstentums Liechtenstein. Diese wies mit Entscheidung vom 20. August 2009 die Beschwerde ab. Sie liess die Frage der Steuerumgehung offen, da sich die rückwirkende Streichung aus dem Mehrwertsteuerregister bereits aus den fehlenden Leistungsaustauschen (Innenumsätzen) ergäbe.
Der in der Folge angerufene Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein wies mit Urteil vom 8. April 2010 die Beschwerde ebenfalls ab, wobei er davon ausging, dass eine Steuerumgehung vorliege.
D. Mit Beschwerde vom 31. Mai 2010 beantragt die X._ AG dem Bundesgericht, der Entscheid des Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein vom 8. April 2010 und der Entscheid über die rückwirkende Löschung der Gesellschaft im Mehrwertsteuerregister per 1. Januar 2001 sei aufzuheben; es sei festzustellen, dass die Beschwerdeführerin nicht verpflichtet sei, die für die Perioden vom 1. Januar 2001 bis 31. Dezember 2004 deklarierten Vorsteuern zurückzuzahlen. Eventualiter seien die geltend gemachten Vorsteuern um den Privatanteil von 9 % zu kürzen. Subeventualiter sei der Beschwerdeführerin zu gestatten, für die Rückerstattung der auf den steuerbefreiten Flügen irrtümlich in Rechnung gestellten Mehrwertsteuern Gutschriftsanzeigen vorzulegen.
Die liechtensteinische Steuerverwaltung verweist auf ihre Ausführungen im Einspracheentscheid. Der Verwaltungsgerichtshof hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
Die zur Vernehmlassung ebenfalls eingeladene Eidgenössische Steuerverwaltung beantragt Abweisung der Beschwerde.
Das Bundesgericht hat über die Beschwerde am 19. März 2012 öffentlich beraten.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein an das Schweizerische Bundesgericht ergibt sich völkerrechtlich aus Art. 11 der Vereinbarung zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Fürstentum Liechtenstein vom 28. November 1994 zum Vertrag betreffend die Mehrwertsteuer im Fürstentum Liechtenstein (nachfolgend: MWST-Vereinbarung; SR 0.641.295.142.1) und landesrechtlich aus Art. 66 des vorliegend anwendbaren liechtensteinischen Gesetzes vom 16. Juni 2000 über die Mehrwertsteuer (aMWSTG/FL, LGBl. 2000, Nr. 163) bzw. heute aus Art. 73 des liechtensteinischen Gesetzes über die Mehrwertsteuer vom 22. Oktober 2009, in Kraft seit 1. Januar 2010 (MWSTG/FL, LGBl. 2009, Nr. 330). Mit dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes (BGG; SR 173.110) am 1. Januar 2007 hat die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Funktion der Verwaltungsgerichtsbeschwerde übernommen (<ref-law>/FL). Das Verfahren richtet sich nach schweizerischem Recht (Art. 11 MWST-Vereinbarung, <ref-law>/FL). Auf die den gesetzlichen Anforderungen genügende Beschwerde ist einzutreten.
Nicht einzutreten ist jedoch auf den Beschwerdeantrag betreffend die Rückerstattung von irrtümlich in Rechnung gestellten und bezahlten Mehrwertsteuern (Subeventualantrag). Der Verwaltungsgerichtshof hat festgestellt, dass die Frage der Rückerstattung aufgeworfen, aber noch nicht entschieden worden sei (angefochtenes Urteil S. 23). Sie bildet somit nicht Streitgegenstand.
1.2 Art. 11 der MWST-Vereinbarung mit Liechtenstein beschränkt die Anfechtbarkeit auf "Entscheidungen über materielle Vorschriften der Mehrwertsteuer". Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann somit nur gerügt werden, (materielle) Rechtsvorschriften der liechtensteinischen Mehrwertsteuergesetzgebung und der gemäss dieser Gesetzgebung anwendbaren Vorschriften seien verletzt (s. auch <ref-law>/FL). Eine Sachverhaltsprüfung steht dem Bundesgericht nicht zu. Bezüglich der hier streitigen Fragen (Nichtanerkennung der Beschwerdeführerin als Steuersubjekt, Verweigerung des Vorsteuerabzugs) ist die Zuständigkeit des Bundesgerichts gegeben.
1.3 Umstritten sind vorliegend ausschliesslich Steuersachverhalte ab dem 1. Januar 2001 bis 31. Dezember 2003. Am 1. Januar 2010 ist das liechtensteinische Gesetz vom 22. Oktober 2009 über die Mehrwertsteuer in Kraft getreten. Die bisherigen gesetzlichen Bestimmungen sowie die gestützt darauf erlassenen Vorschriften bleiben aber weiterhin auf alle während ihrer Geltungsdauer eingetretenen Tatsachen und entstandenen Rechtsverhältnisse anwendbar (<ref-law>/FL). Anwendbar ist im vorliegenden Fall daher in materiellrechtlicher Hinsicht das liechtensteinische Mehrwertsteuergesetz vom 16. Juni 2000. Da das Gesetz das schweizerische Mehrwertsteuerrecht in weiten Teilen unverändert in das eigene Recht übernommen hat (vgl. Art. 1 Abs. 1 MWST-Vereinbarung), kann bei der Beurteilung auf die entsprechende Lehre und Rechtsprechung zur schweizerischen Mehrwertsteuer abgestellt werden. Das gilt, soweit keine abweichenden Gesetzesbestimmungen bestehen (Urteil 2C_904/2008 vom 22. Dezember 2009 E. 1.3). Das Verfahren richtet sich nach schweizerischem Recht (Art. 11 MWST-Vereinbarung; <ref-law>/2000/FL).
2. 2.1 Gemäss Art. 5 aMWSTG/FL unterliegen - abgesehen von der Steuer auf dem Eigenverbrauch - nur die gegen Entgelt erbrachten Lieferungen und Dienstleistungen der Mehrwertsteuer. Damit ein steuerbarer Umsatz vorliegt, ist ein Austausch von Leistungen notwendig. Die Leistung, welche der Unternehmer erbringt, ist entweder eine Lieferung oder eine Dienstleistung. Die Gegenleistung besteht im Entgelt. Nach Art. 33 Abs. 1 aMWSTG/FL wird die Steuer vom Entgelt berechnet. Zwischen Leistung und Gegenleistung muss zudem eine innere wirtschaftliche Verknüpfung gegeben sein in dem Sinn, dass die Leistung eine Gegenleistung auslöst (<ref-ruling> E. 6a S. 451; <ref-ruling> E. 4.1 S. 357; Urteil 2A.334/2003 vom 30. April 2004 E. 2.1, in: ASA 75 S. 234).
Ein Leistungsaustausch ist auch zwischen nahestehenden Personen möglich. Leistungen gegenüber nahestehenden Personen sind mit Bezug auf das Steuerobjekt nicht anders zu behandeln als Leistungen gegenüber unabhängigen Dritten. Das ergibt sich aus dem Begriff des Leistungsaustausches bei Lieferungen und Dienstleistungen im Sinne von Art. 5 ff. aMWSTG/FL, welche diesbezüglich keine Ausnahme oder abweichende Behandlung vorsehen. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung wäre von einer Entgeltlichkeit beziehungsweise von einem Austauschverhältnis selbst dann auszugehen, wenn zwar überhaupt kein Entgelt bezeichnet und bezahlt wird, jedoch die Leistung, die dem nahestehenden Dritten erbracht wird, üblicherweise nur gegen Entgelt erhältlich ist (vgl. Urteil 2A.264/2006 vom 3. September 2008 E. 5.3 in: ASA 78 S. 600 mit weiteren Hinweisen).
2.2 Zu den Umsätzen, die der Steuer unterliegen, sofern sie nicht ausdrücklich davon ausgenommen sind (vgl. Art. 18 aMWSTG/FL), zählen nach Art. 5 aMWSTG/FL u.a. a) die im Inland gegen Entgelt erbrachten Lieferungen von Gegenständen sowie b) die im Inland gegen Entgelt erbrachten Dienstleistungen. Um der Steuer zu unterliegen, muss der Umsatz somit einen Inlandbezug aufweisen. Als Inland im mehrwertsteuerrechtlichen Sinn gilt gemäss <ref-law>/FL in Verbindung mit Art. 2 der MWST-Vereinbarung das Gebiet des Fürstentums Liechtenstein und das Gebiet der Schweiz als ein gemeinsames Anwendungsgebiet der Mehrwertsteuer. Für die Frage, ob steuerbare (oder auch steuerbefreite, s. dazu sogleich im Kontext) Umsätze vorliegen, ist daher der Ort der Leistung wesentlich. Für Dienstleistungen und Lieferungen gelten dabei verschiedene Grundsätze.
Handelt es sich bei den von der Beschwerdeführerin erbrachten Leistungen um Beförderungs(dienst)leistungen, ist Art. 14 Abs. 2 lit. b aMWSTG/FL zu beachten. Nach dieser Vorschrift gilt als Ort von Beförderungsleistungen das Land, in dem eine zurückgelegte Strecke liegt. Steuerbar sind daher nur die auf das Inland entfallenden Streckenteile. Die im Ausland zurückgelegten Streckenteile sind der Mehrwertsteuer nicht unterworfen. Grenzüberschreitende Beförderungen im Luftverkehr, d.h. solche, bei denen entweder der Ankunfts- oder der Abflugsort im Inland liegt, sind indessen - auch was den inländischen Streckenanteil betrifft - von der Steuer befreit (Art. 19 Abs. 3 aMWSTG/FL). Es handelt sich dabei um eine echte Steuerbefreiung, weil die Vorsteuer abgezogen werden kann (Art. 19 Abs. 1 aMWSTG/FL). Das Recht auf Vorsteuerabzug besteht bei grenzüberschreitender Beförderung auch für den auf das Ausland entfallenden, der hiesigen Mehrwertsteuer nicht unterliegenden Streckenteil. Das ergibt sich aus Art. 38 Abs. 3 aMWSTG/FL, wonach der Steuerpflichtige die Vorsteuern auch abziehen kann, wenn er die Gegenstände oder Dienstleistungen für Tätigkeiten verwendet, die steuerbar wären, wenn sie im Inland bewirkt würden (vgl. zum Ganzen die Urteile 2C_632/2007 vom 7. April 2008 E. 2, in: ASA 77 S. 354, und 2A.55/1999 vom 23. Januar 2001 E. 4a, in: ASA 71 S. 564).
Anders verhält es sich, wenn der Eigentümer oder Halter eines Flugzeugs dieses ohne Besatzung zur Nutzung oder zum Gebrauch überlässt. Die Überlassung eines ins Inland eingeführten und hier immatrikulierten Flugzeugs zum Gebrauch oder zur Nutzung ist eine in der Schweiz steuerbare oder allenfalls steuerbefreite Lieferung, wenn das Flugzeug für Flüge im Ausland eingesetzt wird (vgl. Art. 6 Abs. 2 lit. b, Art. 13 lit. a, Art. 19 Abs. 2 Ziff. 7 aMWSTG; Urteil 2A.314/1998 vom 27. Februar 2001 E. 2b, in: ASA 73 S. 316). Auch unter dieser Hypothese bestünde aber ein Zusammenhang (Konnex) zwischen den Vercharterungsleistungen und den von der Beschwerdeführerin steuerbelastet bezogenen Vorleistungen und wäre der Vorsteuerabzug zulässig.
2.3 Keine steuerbaren Umsätze sind demnach reine Auslandlieferungen, d.h. Lieferungen, die sich ausschliesslich auf ausländischem Gebiet abspielen, sowie Beförderungen im Ausland. Insoweit stimmen die Vorschriften der liechtensteinischen Mehrwertsteuer (Art. 5-7, 13, 14 aMWSTG/FL) mit denjenigen der schweizerischen Mehrwertsteuer überein.
2.4 Daher findet auch zwischen der Beschwerdeführerin und ihrem wirtschaftlich Berechtigten ein Leistungsaustausch statt, und es wäre grundsätzlich auf den steuerbaren oder echt steuerbefreiten Leistungen der Vorsteuerabzug zulässig.
3. Es stellt sich jedoch die Frage einer Steuerumgehung.
3.1 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 635 f.; Urteile 2A.470/2002 vom 22. Oktober 2002 E. 4.1 u. 5.1, in: StR 59/2004 S. 127; 2A.580/2000 vom 12. Juli 2001 E. 2c, in: StE 2001 A 12 Nr. 10; je mit Hinweisen) wird eine Steuerumgehung angenommen, wenn (1.) eine von den Beteiligten gewählte Rechtsgestaltung als ungewöhnlich (insolite), sachwidrig oder absonderlich, jedenfalls den wirtschaftlichen Gegebenheiten völlig unangemessen erscheint, (2.) anzunehmen ist, dass die gewählte Rechtsgestaltung missbräuchlich lediglich deshalb getroffen wurde, um Steuern einzusparen, die bei sachgemässer Ordnung der Verhältnisse geschuldet wären, und (3.) das gewählte Vorgehen tatsächlich zu einer erheblichen Steuerersparnis führen würde, sofern es von den Steuerbehörden hingenommen würde. Entgegen der in der neuen Literatur geäusserten Ansicht (vgl. anstelle vieler, PETER LOCHER, Rechtsmissbrauchsüberlegungen im Recht der direkten Steuern der Schweiz, ASA 75 S. 675 ff, insb. S. 680; RENÉ MATTEOTTI, Der Durchgriff bei von Inländern beherrschten Auslandgesellschaften im Gewinnsteuerrecht, 2003, S. 188 ff.) ist an diesen Kriterien festzuhalten. Zwar ist mit der neueren Lehre festzustellen, dass Steuerumgehung - im Sinne einer rechtsmissbräuchlichen Anrufung des als massgeblich geltenden Sinnes einer Norm (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.5 S. 568 und 129 III 656 E. 4.1 S. 657 f.) - nur in ganz ausserordentlichen Situationen in Frage kommt, d.h. wenn trotz Heranziehung des Normsinnes als Auslegungsschranke eine Besteuerung oder eine Steuerbefreiung nicht möglich ist, das Gesetz also angewendet werden kann, das Ergebnis aber aufgrund der konkreten Ausgestaltung des Sachverhalts in hohem Masse als stossend erscheint bzw. einer Willkür gleichkäme (LOCHER, a.a.O., S. 694; MARKUS REICH, Steuerrecht, 2. Aufl. 2012, § 6 N. 47 S. 149.). Wird das Vorliegen einer Steuerumgehung mit dieser Gewichtung geprüft, so stellen die genannten Kriterien einen tauglichen Prüfraster für die Abgrenzung von der steuerlich zu akzeptierenden Steuervermeidung dar. Was die Beurteilung der gewählten Rechtsgestaltung, das sog. objektive Element, betrifft, ist daher das Gewicht auf die völlige Unangemessenheit zu legen. Das heisst, für die Annahme einer Steuerumgehung muss eine Sachverhaltsgestaltung vorliegen, die - wenn man von den steuerlichen Aspekten absieht - jenseits des wirtschaftlich Vernünftigen liegt (vgl. REICH, a.a.O., § 6 N. 20 S. 141). Das sog. subjektive Element spielt insofern eine entscheidende Rolle, als die Annahme einer Steuerumgehung ausgeschlossen bleibt, wenn andere als blosse Steuerersparnisgründe bei der Rechtsgestaltung eine relevante Rolle spielen. Wird der Anwendung der Steuerumgehung das rechtsmissbräuchliche Anrufen einer Norm zugrunde gelegt, so kann die zweckwidrige, ohne schützenswertes Interesse erfolgende Rechtsausübung nicht unbeachtet bleiben.
Was schliesslich das sog. effektive Element anbelangt, ist zu beachten, dass der Steuerpflichtige grundsätzlich frei ist, wie er seine Rechtsverhältnisse gestalten will, und dass bei rechtsmissbräuchlicher Gestaltung dann eingegriffen werden soll, wenn diese andernfalls tatsächlich Wirkung entfalten würde. Nicht zu prüfen ist im Kontext der Steuerumgehung, wie zu verfahren ist, wenn die Anwendung einer Norm zu einer Steuerübertreibung führen würde, die als krasser Verstoss gegen die Steuergerechtigkeit und damit als willkürlich qualifiziert werden müsste (anders beispielsweise LOCHER, a.a.O., S. 694 und MATTEOTTI, a.a.O. S. 189, welche bei ihren Überlegungen Rechtsmissbrauch und Willkür gleichsetzen und darauf basierend von der Annahme einer unechten Lücke sprechen, welche vom Rechtsanwender geschlossen werden darf [und dann wohl auch geschlossen werden muss]).
Ob die Voraussetzungen für die Annahme einer Steuerumgehung erfüllt sind, ist aufgrund der konkreten Umstände des Einzelfalls zu prüfen. Wird eine Steuerumgehung bejaht, ist gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung der Besteuerung die Rechtsgestaltung zugrunde zu legen, die sachgemäss gewesen wäre, um den erstrebten wirtschaftlichen Zweck zu erreichen. Entgegen in der Literatur geäusserten Meinungen (vgl. beispielsweise LOCHER, a.a.O., S. 680 und 696) erscheint eine solche Sachverhaltsfiktion als unproblematisch, wird doch lediglich die formale privatrechtliche Ausgestaltung des Sachverhalts negiert bzw. fingiert, unverändert bleibt jedoch der Sachverhalt mit Bezug auf seine - für die Beurteilung massgebenden - wirtschaftlichen Auswirkungen (vgl. REICH, a.a.O., § 6 N 24).
3.2 Entgegen der Auffassung von Pierre-Marie Glauser (Evasion fiscale et interprétation économique en matière de TVA, ASA 75 S. 727 ff.), besteht kein hinreichender Grund, diese Regeln nicht auch bei der Mehrwertsteuer anzuwenden (s. Urteile 2C_742/2008 vom 11. Februar 2009, in: ASA 79 S. 260 E. 5.5. f.; 2C_632/2007 vom 7. April 2008, in: ASA 77 S. 354 E.4.2, und 2A.61/2006 vom 29. November 2006, in: StR 62/2007 S. 586 E. 3.1 und 3.2, Zusammenfassung). In BGE <ref-ruling> E. 10 S. 369 f. hat das Bundesgericht den Fall der Steuerumgehung ausdrücklich vorbehalten, ebenso im Urteil 2A.748/2005 vom 25. Oktober 2006, E. 3.5 (in: StR 62/2007 S. 234, Zusammenfassung). Dieser bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist Kritik erwachsen, wobei auf grundsätzliche Überlegungen in der Literatur verwiesen wurde, wonach eine Steuerumgehung nur dort in Frage komme, wo sich die Steuernorm auf das Zivilrecht stütze, was im Bereich der Mehrwertsteuer nicht der Fall sei, da diese hauptsächlich auf wirtschaftlichen Konzepten beruhe (vgl. BÉATRICE BLUM, Steuerumgehung bei der Mehrwertsteuer - Halten eines Flugzeuges in einer "Briefkastengesellschaft", in: Steuerrecht 2009, S. 343 ff., bes. 347, und HAROLD GRÜNINGER/STEFAN OESTERHELT, Steuerrechtliche Entwicklungen [insbesondere im Jahr 2008], in SZW 2009 S. 51 ff., S. 65 ff., mit Hinweis auf GLAUSER, Evasion fiscale et interprétation économique [...], a.a.O., S. 728 ff.). Dieser Auffassung kann nicht gefolgt werden. Zwar hat das Bundesgericht konstant festgehalten, im Zusammenhang mit einer Steuernorm mit wirtschaftlichen Anknüpfungspunkten hänge die Zulässigkeit der sog. wirtschaftlichen Betrachtungsweise nicht davon ab, ob die Voraussetzungen der Steuerumgehung erfüllt sind (vgl. statt vieler Urteile 2A. 537/2005 vom 21. Dezember 2006 E. 2.1; 2A.648/2005 vom 11. April 2006 E. 3.1; 2A.234/2004 vom 17. Januar 2005 E. 3.3, in: StE 2005 B 24.4 Nr. 72). Daraus kann jedoch nicht geschlossen werden, wenn eine Norm in wirtschaftlicher Betrachtungsweise ausgelegt werde, sei kein Raum mehr für die Annahme einer Steuerumgehung: Der Annahme einer Steuerumgehung liegt - wie bereits ausgeführt - der Gedanke zugrunde, dass die missbräuchliche Geltendmachung eines Rechts bzw. die missbräuchliche Berufung auf eine gesetzliche Norm keinen Schutz verdient. Diese Grundüberlegung gilt jedoch unabhängig davon, ob eine Norm rein zivilrechtlich auszulegen ist oder in wirtschaftlicher Betrachtungsweise. Ergibt sich, dass eine gewählte Rechtsgestaltung den - letztlich - verfolgten wirtschaftlichen Gegebenheiten völlig unangemessen ist und dass die Akzeptanz dieser Rechtsgestaltung aufgrund der Anwendung der hierfür vorgesehenen Gesetzesnormen zu unbilligen Steuereinsparungen führen würde, so verdient die missbräuchliche Berufung auf die letztlich wirtschaftlich nicht gewollte Rechtsgestaltung keinen Schutz. Ob der Inhalt der missbräuchlich in Anspruch genommenen Normen dabei in rein zivilrechtlicher Auslegung oder in wirtschaftlicher Auslegung zu ermitteln ist, ist irrelevant (vgl. in diesem Sinn auch das Zweistufenmodell von LOCHER, a.a.O., S. 693 f.; zu kurz greift hier wohl PIERRE-MARIE GLAUSER, Notion d'évasion fiscale, in: Evasion fiscale, 2010, S. 18, wenn er ausführt, "il serait en effet tout à fait contradictoire d'invoquer la réalité économique dans le cadre de l'évasion pour s'écarter d'une disposition interprétée selon la même réalité économique"). Dies zeigt sich beispielhaft bei den Sachverhaltskonstellationen, welche schliesslich zum Durchgriff durch eine juristische Person führen. Selbst wenn die von der juristischen Person ausgeübte Tätigkeit aufgrund einer Norm mit wirtschaftlichen Anknüpfungspunkten bei dieser juristischen Person zu Steuerfolgen führen würde, ist es in solchen Konstellationen so, dass die Berufung auf das selbständige, vom Inhaber der Beteiligungsrechte unabhängige Bestehen der juristischen Person als den wirtschaftlichen Gegebenheiten völlig unangemessen erscheint. Führt die Rechtsanwendung zu einem krass ungerechten, völlig haltlosen Ergebnis, das von den Intentionen des Gesetzgebers in keiner Weise abgedeckt ist, darf die Abschirmwirkung der juristischen Person beeinträchtigt oder gänzlich beseitigt werden (vgl. REICH, a.a.O., § 18 N 15 S. 441; so im Ergebnis wohl auch GLAUSER, Evasion fiscale et TVA, in: Evasion fiscale, 2010, S. 39; ders., Evasion fiscale et interprétation économique [...], a.a.O., S. 762 f.). Daran vermag nichts zu ändern, dass unter Umständen bereits aufgrund der Auslegung nach wirtschaftlicher Betrachtungsweise zu schliessen ist, es lägen gar keine mehrwertsteuerrechtlich relevanten Leistungen vor, weshalb dann für die Annahme einer Steuerumgehung kein Raum mehr bleibt.
3.3 Es ist somit zu prüfen, ob der Verwaltungsgerichtshof im vorliegenden Fall zu Recht eine Steuerumgehung angenommen hat.
3.3.1 Der Verwaltungsgerichtshof hat im angefochtenen Urteil erwogen, allein die Tatsache, dass namhafte Vorsteuerüberhänge bestünden, lasse noch nicht auf eine Steuerumgehung schliessen. Die von den Beteiligten gewählte Rechtsgestaltung erweise sich indessen auch unabhängig davon als ungewöhnlich: Laut Handelsregistereintrag bezwecke die Beschwerdeführerin den Handel mit kommerziellen Flugzeugen und die Kommerzialisierung von Geschäftsflugreisen. In Wirklichkeit beschränke sich ihre Tätigkeit auf das An- und Vermieten eines Flugzeugs, das meist von ihrem Aktionär persönlich geflogen werde. Sie verfüge über kein eigenes Personal, das irgendwelche darüber hinausgehende Aktivitäten entfalten könnte. Unter diesen Umständen dränge sich die Frage auf, weshalb der Aktionär das Flugzeug nicht in eigenem Namen erworben habe, zumal die Dazwischenschaltung einer juristischen Person mit administrativem Aufwand und zusätzlichen Kosten verbunden sei. Dass der wirtschaftlich Berechtigte der Beschwerdeführerin jederzeit über eine Fluggelegenheit verfügen und er den dafür erforderlichen betrieblichen und administrativen Aufwand nicht selber tragen wolle, sei nachvollziehbar. Jedoch habe ihm die Beschwerdeführerin als blosse Durchlaufgesellschaft dabei kaum hilfreich sein können. Es sei anzunehmen, dass die Konstruktion nur deshalb gewählt worden sei, um die mit dem Betrieb des Flugzeugs zusammenhängenden Vorsteuern geltend zu machen.
3.3.2 Den Überlegungen des Verwaltungsgerichtshof kann nicht gefolgt werden. Sie entspricht zwar vollumfänglich dem Urteil 2C_632/2007 vom 7. April 2008 (ASA 77 S. 354), in dem das Bundes-gericht die Auffassung vertrat, die Dazwischenschaltung einer juristischen Person als Halterin eines Flugzeuges könne - angesichts des Umstands, dass diese juristische Person nicht über eine eigene professionelle Organisation für den Betrieb des Flugzeuges verfüge - nicht plausibel gemacht werden und daran ändere auch das Argument einer angeblichen Haftungsbeschränkung nichts. Wenn der Private im zitierten Fall sein Flugzeug pro forma von der juristischen Person halten liess, die keine eigene Tätigkeit entfalte, sondern als blosse "Durchlaufgesellschaft" auftrete, erscheine dies als ungewöhnlich (a.a.O. E. 4.5). Doch kann an diesen Erwägungen so pauschal nicht festgehalten werden. Vorab ist festzustellen, dass es allgemeiner Übung entspricht, Geschäftsflugzeuge nicht privat zu halten, sondern über juristische Personen (vgl. XAVIER OBERSON/JACQUES PITTET, La jurisprudence du Tribunal fédéral rendue en 2008 en matière de TVA, ASA 79 S. 163 ff., und insbesondere deren Hinweis auf die Eintragungen im Luftfahrzeugregister der Schweiz, wonach betreffend diverser Geschäftsflugzeugtypen keine natürlichen Personen als Halter eingetragen sind; s. auch URS R. BEHNISCH/ANDREA OPEL, Die steuerrechtliche Rechtsprechung des Bundesgerichts im Jahre 2008, ZBJV 145/2009 S. 579; BLUM, a.a.O., S. 350). Selbst privat genutzte Businessjets und andere im grenzüberschreitenden Verkehr eingesetzte Flugzeuge würden häufig von Gesellschaften und nicht von den dahinter stehenden Privatpersonen direkt gehalten (Grüninger/ Oesterhelt, a.a.O., S. 66). Ausschlaggebend hiefür sind wohl, wie diverse Autoren darlegen, unter anderem Überlegungen zur Finanzierung der Flugzeuge wie auch zur Begrenzung des Haftungsrisikos (vgl. OBERSON/PITTET, a.a.O.; GRÜNINGER/OESTERHELT, a.a.O.). Die aufgrund des Betriebs eines Geschäftsflugzeugs denkbaren Schäden können zudem ein erhebliches Ausmass annehmen, wobei zu beachten ist, dass einzelne Staaten Schadenersatzansprüche kennen, welche die hierzulande üblichen um ein Vielfaches übersteigen (BLUM, a.a.O.). Wenn daher das Bundesgericht im zitierten Urteil festgehalten hat, Haftpflichtrisiken könnten mit dem Abschluss einer Haftpflichtversicherung abgedeckt werden, so greift das zu kurz. Gerade die Begrenzung von Haftungsrisiken ist denn auch in sehr vielen Fällen ein wirtschaftlich sachgerechtes und allgemein anerkanntes Motiv, um - allenfalls risikobehaftete - Tätigkeiten im Rahmen einer separaten juristischen Person auszuüben (vgl. ebenfalls ANNIE ROCHAT PAUCHARD, Actualités en matière fiscale dans le champ de l'aviation, Bulletin ASDA/SVLR 1/2009 S. 38 f.). Diesem Aspekt wurde im genannten Urteil nicht Rechnung getragen. Zusätzliche Gründe für das Halten eines Geschäftsflugzeugs über eine juristische Person können zudem sein, dass aufgrund der Finanzierung via Banken eine solche Konstruktion zur Absicherung des Fremdkapitalgebers verlangt wird, oder auch der Umstand, dass dadurch die Transparenzwirkung des öffentlich einsehbaren Luftfahrtregisters gemildert werden kann (vgl. GRÜNINGER/OESTERHELT, a.a.O.; s. auch GLAUSER, Evasion fiscale et TVA, a.a.O., S. 39).
3.3.3 Anders ist jedoch die Situation zu beurteilen, wenn die Beschwerdeführerin hauptsächlich dazu verwendet wurde, private Bedürfnisse ihres Alleinaktionärs zu befriedigen. Das Bundesgericht hat bereits früher - in Bezug auf das Halten eines praktisch ausschliesslich dem Alleinaktionär zur Verfügung stehenden Ferienhauses durch eine Aktiengesellschaft - festgehalten, es liege in der Natur der Sache, dass ein solches Objekt vorwiegend den persönlichen Bedürfnissen des Aktionärs zu dienen bestimmt sei und dass die Zwecke, die mit der Errichtung einer Immobiliengesellschaft normalerweise erreicht werden sollte, vollständig in den Hintergrund treten würden. Eine derartige zivilrechtliche Gestaltung erscheine - gesamthaft betrachtet - als den tatsächlichen wirtschaftlichen Verhältnissen vollständig unangemessen (Urteil vom 12. November 1969, in: ASA 40 S. 210 ff. ). Diesem Urteil lag offensichtlich die Überlegung zugrunde, dass es absonderlich und den wirtschaftlichen Gegebenheiten völlig unangemessen ist, eine juristische Person einzig zu dem Zwecke zu gründen, private Lebensbedürfnisse des Alleinaktionärs zu befriedigen. An dieser Feststellung ist festzuhalten; sie gilt grundsätzlich in identischer Weise, wenn eine Gesellschaft in erster Linie dazu da ist, dem Alleinaktionär für dessen privaten Belange ein Flugzeug zur Verfügung zu stellen. Zwar liegt der Missbrauch nicht darin, dass für das Halten eines privat verwendeten Flugzeugs eine juristische Person gegründet wird. Missbräuchlich ist es jedoch, wenn mit einer solchen Gesellschaft überdies versucht wird, Steuern zu sparen. Daher ist zu prüfen, ob sich der Einsatz der Gesellschaft bloss rechnet, weil damit vom Vorsteuerabzug profitiert werden kann. Wird das Flugzeug jedoch zu rein privaten Zwecken eingesetzt, so kann die Anmeldung bei der Mehrwertsteuer offensichtlich nur das Motiv der Steuerersparnis haben. Einer derartigen juristischen Person ist daher die Anerkennung als eigenständiges Steuersubjekt abzusprechen.
3.4 Das Vorliegen einer Steuerumgehung ist durch die Steuerbehörde zu beweisen. Diese kann sich aber darauf beschränken darzulegen, dass keine wirtschaftlichen oder geschäftlichen Gründe für das Halten des Flugzeugs ersichtlich sind. Daraus ergibt sich die natürliche Vermutung, dass das Flugzeug für private Zwecke des Aktionärs und ihm Nahestehender verwendet wird. Das gilt namentlich bei internationalen Sachverhalten, wo an den Nachweis strengere Anforderungen zu stellen sind (s. auch Urteil 2A.79/2002 vom 27. Januar 2003 E. 5.2, in: StR 58/2003 S. 368; 2A.609/2003 vom 27. Oktober 2004 E. 2.4, in: StE 2005 A 23.2 Nr. 2). Die Steuerpflichtige kann diese Vermutung aber entkräften, indem sie nachweist, dass das Flugzeug für geschäftliche Zwecke benötigt wird.
Vorliegend ist nach den verbindlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichtshofs davon auszugehen, dass B._ wirtschaftlich Berechtigter der Beschwerdeführerin ist. Das Flugzeug wurde mit wenigen Ausnahmen vom wirtschaftlich Berechtigten pilotiert. Die Beschwerdeführerin selbst erbringt keine Flugleistungen oder Flugbetriebsleistungen. Es handelt sich bei ihr um ein liechtensteinisches Sitzunternehmen mit geringer Kapitalausstattung, ohne eigenes Personal und ohne der für eine Flugunternehmung erforderlichen Betriebsorganisation. Bei ihr werden einzig die eingehenden Rechnungen verbucht, bezahlt, auf die einzelnen Gesellschaften sowie B._ aufgeteilt und weiter verrechnet. Aufgrund der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ist ebenfalls davon auszugehen, dass B._ wirtschaftlich Berechtigter der S._ SA, M._, der T._ SA, N._/RO, der U._ SA, O._/VD, und der U._ International AG, P._/FL, ist.
Die Liechtensteinische Steuerverwaltung hat die Beschwerdeführerin wiederholt aufgefordert, den Zweck der Nutzung des Flugzeugs Pilatus PC 12/45 bzw. der damit ausgeführten Flüge offenzulegen. Die Beschwerdeführerin hat u.a. einen Vertrag zwischen ihr und der S._ SA vom 15. Januar 2000 über die Abtretung des ausschliesslichen Rechts zur Nutzung des Flugzeug Pilatus PC 12/45 an die Beschwerdeführerin vorgelegt ("Convention de cession d'exploitation") und eine Liste aller mit diesem Flugzeug ausgeführten Flüge eingereicht. Daraus geht aber nicht hervor, zu welchem Zweck das Flugzeug eingesetzt wurde. Wie namentlich die Landessteuerkommission in ihrer Entscheidung festhielt, sind die Behauptungen über die geschäftliche Verwendung des Flugzeugs derart allgemein gehalten, dass sich daraus nicht schliessen lässt, dass das Flugzeug überhaupt je geschäftlich genutzt wurde. Da die Natur des jeweiligen Flugs nur stichwortartig wie "Klientel", "Networking" oder "Prospektion" bezeichnet waren, ergibt sich aus den aufgelegten Fluglisten nicht, ob der jeweilige Flug geschäftlich oder privat begründet war. Ebenfalls fehlen die Berechnungsgrundlagen zur Anzahl der den einzelnen Gesellschaften verrechneten Flugstunden, weil die Beschwerdeführerin den Gruppengesellschaften nicht die tatsächlich getätigten Flüge in Rechnung gestellt, sondern jeder Gesellschaft sowie B._ persönlich eine Anzahl Stunden nach einem prozentualen Verteilschlüssel pauschal belastet hat. Der Verwaltungsgerichtshof kam zum Schluss, dass die Beschwerdeführerin in erster Linie oder ausschliesslich den privaten Interessen ihres Aktionärs diente. Das folge daraus, dass der wirtschaftliche Berechtigte Hobbyflieger sei, als solcher das Flugzeug selbst fliege und regelmässig an sogenannten Flugrallyes teilnehme. Allein die Tatsache, dass der wirtschaftlich Berechtigte sich geschäftlich betätige und die Beschwerdeführerin in die von ihm geleitete U._-Gruppe eingebunden sei, lasse nicht auf eine geschäftliche Verwendung des Flugzeugs schliessen. Es läge daher in der Verantwortung der Beschwerdeführerin, hierfür Unterlagen und Bescheinigungen beizubringen.
3.5 Diese Feststellungen sind für das Bundesgericht verbindlich. Eine geschäftliche Verwendung ist auch für das weitere Flugzeug der Beschwerdeführerin, Piper Dakota, nicht nachgewiesen. Unter diesen Umständen erfolgte die Anmeldung der Beschwerdeführerin als Mehrwertsteuerpflichtige einzig in der Absicht, bei minimaler steuerlicher Belastung sich die Vorsteuern auszahlen zu lassen.
4. Die Vorinstanz hat somit im Ergebnis eine Steuerumgehung zu Recht bejaht. Der Durchgriff auf den wirtschaftlich Berechtigten, B._, bewirkt, dass von der Beschwerdeführerin keine Mehrwertsteuern geschuldet sind und sie keine Vorsteuern geltend machen kann. Soweit Vorsteuern bereits ausbezahlt worden sind, sind sie zurückzuerstatten. Zudem ist die Beschwerdeführerin aus dem Mehrwertsteuerregister rückwirkend zu streichen.
5. Da bereits eine Steuerumgehung zu bejahen ist, kann offenbleiben, ob eine reine Durchlaufgesellschaft ohne Betriebsstruktur und unternehmerische Tätigkeit und ohne eigenes Personal wie die Beschwerdeführerin im Sinne von Art. 21 Abs. 1 aMWSTG/FL (jetzt: <ref-law>/FL) subjektiv steuerpflichtig sein kann.
Ebenfalls kann offenbleiben, wie die gegenleistungslos (à-fonds-perdu) erbrachten Pauschalzahlungen durch die Schwestergesellschaften an die Beschwerdeführerin mehrwertsteuerrechtlich zu qualifizieren wären. Als Beiträge resp. Zuschüsse (Spenden) würden sie nicht in die Bemessungsgrundlage der Mehrwertsteuer einfliessen und keinen Anspruch auf Vorsteuerabzug begründen (vgl. <ref-ruling> E. 6 und 8; Urteile 2C_229/2008 vom 13. Oktober 2008 E. 5.3, in: ASA 79 S. 627; 2C_743 u. 744/2007 vom 9. Juli 2008 E. 5, in: ASA 78 S. 593; 2A.175/2002 vom 23. Dezember 2002 E. 1, in: ASA 76 S. 165).
6. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Entsprechend dem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 7'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin sowie der Liechtensteinischen Steuerverwaltung, dem Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. März 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Wyssmann