Faits:
A.
Ressortissant italien né en Suisse en 1966, A._ avait été mis au bénéfice d'une autorisation d'établissement. Entre 1991 et 2013, il avait été condamné pénalement à quinze reprises, à des peines privatives de liberté totalisant 99 mois et 195 jours, principalement pour vol, tentative de vol, dommages à la propriété, violation de domicile, infraction et contravention à la loi fédérale sur les stupéfiants. Bénéficiant d'une rente de l'assurance-invalidité depuis 2009, suivi pour différentes pathologies, dont le virus HIV, et souffrant de polytoxicomanie, A._ avait commencé une cure de désintoxication en 2013.
B.
Après avoir entendu A._, le chef du Département de l'économie et du sport du canton de Vaud (ci-après: le chef du Département cantonal) a révoqué l'autorisation d'établissement de l'intéressé et prononcé son renvoi de Suisse le 21 juin 2013. Par arrêt du 18 novembre 2013, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par A._ contre la décision du 21 juin 2013, qu'elle a confirmée.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 18 novembre 2013, A._ a, sous la plume de son avocat, déposé un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral, assorti d'une demande d'assistance judiciaire. Il a conclu, sous suite de frais et dépens, principalement, à la réforme de l'arrêt querellé en ce sens que la décision du 21 juin 2013 révoquant l'autorisation d'établissement et prononçant le renvoi de Suisse est annulée, subsidiairement, à l'annulation de l'arrêt attaqué ainsi qu'au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle instruction et nouveau jugement dans le sens des considérants.
Le Tribunal cantonal, le chef du Département cantonal, de même que l'Office fédéral des migrations ont proposé le rejet du recours; le Service de la population du canton de Vaud a renoncé à se déterminer.
Par ordonnance présidentielle du 6 janvier 2014, l'effet suspensif a été accordé au recours.
D.
Le 8 avril 2014, le Tribunal cantonal a fait savoir que le recourant était décédé en mars 2014. Le 9 avril 2014, l'avocat du recourant a confirmé cette information, a considéré que la procédure était devenue sans objet et a transmis au Tribunal fédéral sa liste des opérations et débours faisant état d'une activité de 10h20 et de débours divers ascendant à 64 fr. 30, dont le remboursement était requis.

Considérant en droit:
1.
Selon l'<ref-law>, le juge instructeur statue comme juge unique sur la radiation du rôle des procédures devenues sans objet.
Tel est le cas en l'occurrence. Après le décès du recourant, le recours, qui portait sur la révocation de son autorisation d'établissement et son renvoi de Suisse, a perdu tout objet, ce que ne conteste d'ailleurs pas son avocat constitué. Etant donné qu'il n'existe dès lors plus d'intérêt actuel et juridique à ce qu'il soit statué sur le recours, celui-ci doit être déclaré sans objet, et la cause rayée du rôle.
2.
2.1. Lorsque la cause devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, le Tribunal fédéral statue néanmoins sur les frais afférents à la procédure engagée par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige (<ref-law> applicable par renvoi de l'<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 1a p. 490; ordonnance 2C_825/2011 du 25 avril 2012 consid. 1.5) et de l'issue probable de celui-ci (<ref-ruling> consid. 2a p. 374 s.; arrêt 6B_118/2009 du 20 décembre 2011 consid. 11.2, non publié). Cette décision porte à la fois sur les frais judiciaires (cf. <ref-law>) et sur les dépens (cf. <ref-law>; cf. arrêt 2C_237/2009 du 28 septembre 2009 consid. 3).
2.2. Point n'est toutefois ici besoin d'examiner si le recours présentait des chances de succès suffisantes pour justifier l'octroi de dépens. Le recourant avait en effet demandé l'assistance judiciaire (cf. ordonnance 1B_719/2011 du 20 janvier 2012 consid. 2). Or, compte tenu des circonstances particulières du cas d'espèce, ainsi que du fait que le recourant était né en Suisse, où il avait vécu toute sa vie durant, que les infractions à son actif s'étaient essentiellement concentrées sur des atteintes au patrimoine, les délits et contraventions à la LStup devant être mis en lien avec la polytoxicomanie dont souffrait l'intéressé, et que l'indigence du recourant était avérée, les conditions présidant à l'octroi de l'assistance judiciaire sont indubitablement remplies. Il s'ensuit que le juge instructeur est en droit de l'accorder lui-même, au sens de l'art. 64 al. 3, 3ème phr., LTF.
2.3. Par conséquent, l'assistance judiciaire est accordée au recourant. Me Eric Stauffacher, avocat, est désigné comme avocat d'office. Ses honoraires, comprenant les débours et la TVA, seront payés par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.

Par ces motifs, le Juge instructeur ordonne:
1.
Le recours 2C_1199/2013 est déclaré sans objet et la cause est rayée du rôle.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.
4.
Me Eric Stauffacher, avocat, est désigné comme défenseur d'office du recourant. Ses honoraires, débours et TVA inclus, fixés à 2'500 fr., sont supportés par la caisse du Tribunal fédéral.
5.
La présente ordonnance est communiquée au mandataire du recourant, au Département de l'économie et du sport et au Service de la population du canton de Vaud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 16 avril 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge unique: Seiler
Le Greffier: Chatton