Erwägungen:
1. X._, 1957 geborener türkischer Staatsangehöriger, reiste am 23. April 2005 in die Schweiz ein und erhielt im Kanton St. Gallen eine Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleibs bei seiner Schweizer Ehefrau. Ab Februar 2006 hielt er sich im Kanton Aargau auf; dort wurde ihm im April 2008 eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung verweigert, und nach Eintritt der Rechtskraft dieses Entscheids wurde die Wegweisung verfügt. Am 14. Juli 2009 ersuchte X._ wiederum um Aufenthaltsbewilligung im Kanton St. Gallen, angeblich um erneut mit seiner Ehefrau, von welcher er seit 13. April 2010 geschieden ist, zusammenzuleben. Mit Verfügung vom 23. Oktober 2009 wies das Ausländeramt des Kantons St. Gallen das Gesuch ab.
Im Rekursverfahren vor dem Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen wurde X._ Frist zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.-- bis 27. November 2009 angesetzt. Diesen Vorschuss bezahlte er nicht, sodass das Departement das Verfahren am 8. Dezember 2009 abschrieb, wie es dies zuvor für den Fall der Säumnis angedroht hatte. Mit Urteil vom 15. April 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen die Beschwerde gegen den Nichteintretensentscheid des Departements ab.
Am 13. Mai 2010 hat X._ beim Bundesgericht eine vom 13. Mai 2010 datierte Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts ein- und am 27. Mai 2010 aufforderungsgemäss das angefochtene Urteil nachgereicht.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Gemäss <ref-law> haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Abs. 1). Dabei ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Abs. 2). Es muss sich dabei um schweizerisches Recht handeln (<ref-law>). Beruht der Entscheid (wie vorliegend) auf kantonalem (Verfahrens-)Recht, fällt daher praktisch nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte in Betracht (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382 f.), welche spezifischer Begründung bedarf (<ref-law>); namentlich genügt appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht. Erforderlich ist eine sachbezogene Begründung, das heisst eine Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids ausschlaggebenden Erwägungen der Vorinstanz.
Dass der Kostenvorschuss im Rechtsmittelverfahren vor dem Departement innert angesetzter Frist nicht bezahlt worden ist, wird vom Beschwerdeführer nicht bestritten. Das Verwaltungsgericht hat unter Bezugnahme auf die vom Beschwerdeführer geschilderten Umstände erläutert, warum diesen ein Verschulden an der Fristversäumnis treffe, das eine Wiederherstellung der Frist ausschliesse. Inwiefern es mit seinen Erwägungen schweizerisches Recht, insbesondere verfassungsmässige Rechte, verletzt haben könnte, lässt sich den Ausführungen des Beschwerdeführers, der sich mit der kantonalrechtlichen Fristwiederherstellungsregelung in keiner Weise auseinandersetzt, selbst ansatzweise nicht entnehmen. Es fehlt offensichtlich an einer hinreichenden Beschwerdebegründung (<ref-law>), und auf die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten.
Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind dem Verfahrensausgang entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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