Faits:
A.
La société X._ Ltd., sise aux Bermudes, a saisi en 1982 le Tribunal de première instance du canton de Genève d'une action en responsabilité contractuelle contre la banque Y._ SA; elle requérait des dommages-intérêts d'environ 11 millions de francs. En 1983, la demanderesse a été astreinte à verser 200'000 fr. de sûretés pour les éventuels dépens de la banque; elle s'est exécutée en fournissant une garantie bancaire.
Après dix-sept ans d'instruction, le tribunal saisi est arrivé à la conclusion que la responsabilité de la banque n'était pas engagée. Par jugement du 10 juin 1999, il a rejeté l'action et condamné la société bermudienne à verser des dépens de 200'000 fr. La Cour de justice a annulé ce jugement par arrêt du 19 mai 2000; retenant une responsabilité de la banque, elle a renvoyé la cause en première instance pour déterminer le dommage.
Le Tribunal de première instance a ordonné une expertise comptable, financière et boursière. Par jugement du 26 avril 2012, il a une nouvelle fois débouté la demanderesse, au motif que le dommage n'était pas démontré; il a mis la totalité des dépens à sa charge, dont une indemnité de procédure de 320'000 fr. en faveur de la banque.
B.
La demanderesse a formé appel par mémoire du 5 juillet 2012. Elle conteste notamment l'expertise qu'elle juge inachevée et contraire au droit cantonal. Elle conclut principalement au renvoi de la cause au Tribunal de première instance, subsidiairement au paiement de 1'396'089 fr.
Le 20 juillet 2012, la banque a déposé une requête visant à ce que la société bermudienne soit astreinte à fournir des sûretés de 220'000 fr. Ce montant devait pour partie (120'000 fr.) garantir les dépens de première instance déjà engagés, mais insuffisamment couverts par les sûretés de 200'000 fr. ordonnées en 1983; le solde (100'000 fr.) devait garantir les futurs dépens d'appel. La société a conclu au rejet.
Par arrêt du 23 novembre 2012, la Cour de justice a condamné la société bermudienne à verser le montant de 200'000 fr. en garantie des dépens de la banque, dans un délai de deux mois dès réception de la décision. Dans ses considérants, la cour cantonale a tout d'abord examiné la requête en augmentation des sûretés de première instance; faisant application de l'ancienne loi de procédure genevoise (art. 79, resp. art. 102 aLPC/GE), la cour a ordonné un versement complémentaire de 120'000 fr. Elle a ensuite traité la demande de sûretés en garantie des futurs dépens d'appel; fondant sa décision sur le nouveau code de procédure civile (<ref-law>), elle a fixé les sûretés à 80'000 fr.
C.
La société bermudienne (la recourante) a interjeté un recours en matière civile auprès du Tribunal fédéral. Elle conclut au rejet de la requête du 20 juillet 2012 en fourniture de sûretés.
La banque (l'intimée) conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement au rejet de celui-ci. L'autorité précédente se réfère aux motifs énoncés dans son arrêt.
Par ordonnances des 17 avril et 13 mai 2013, la présidente de la cour de céans a accordé l'effet suspensif et, sur requête de l'intimée, a astreint la recourante à verser à la Caisse du Tribunal fédéral le montant de 7'000 fr. en garantie des dépens qui pourraient être alloués à la partie adverse (<ref-law>). La recourante s'est exécutée en temps utile.

Considérant en droit:
1.
1.1. L'arrêt attaqué est une décision incidente qui ne porte ni sur la compétence, ni sur la composition de l'autorité précédente (cf. <ref-law>). Par ailleurs, l'admission du recours ne permettrait pas de rendre une décision finale sur le litige au fond (cf. <ref-law>). Un recours immédiat n'est dès lors recevable que si la décision est susceptible de causer un préjudice irréparable à la recourante (<ref-law>).
Selon la jurisprudence, la décision qui ordonne le dépôt d'une avance de frais ou la fourniture de sûretés en garantie des dépens est par principe susceptible de causer un préjudice irréparable, dans la mesure où son exécution est une condition de recevabilité de la demande ou du recours (arrêt 4A_270/2009 du 14 juillet 2009 consid. 1.1; arrêt 4A_100/2009 du 15 septembre 2009 consid. 1.3, non publié à l'<ref-ruling>; sous l'OJ, cf. ATF 77 I 42 consid. 2 et arrêt 4P.29/2001 du 30 juillet 2001 consid. 2b, in SJ 2002 I 97).
1.2. Il ressort des considérants de l'arrêt attaqué que 3/5èmes ( i.e 120'000 fr.) de la garantie à fournir sont destinés à couvrir les dépens afférents aux opérations accomplies dans la procédure de première instance. Se pose la question de savoir si l'obligation de fournir une telle sûreté est de nature à causer un préjudice irréparable, sachant que l'autorité concernée est pour l'heure dessaisie et ne pourrait donc pas rendre une décision d'irrecevabilité. Le dispositif de l'arrêt attaqué énonce toutefois clairement que la recourante est condamnée à verser la somme globale de 200'000 fr. dans un certain délai dès réception de la décision incidente. En d'autres termes, la Cour de justice subordonne la recevabilité de l'appel au versement du montant total des sûretés (200'000 fr.), et non pas des seuls 80'000 fr. destinés à garantir les dépens d'appel. Cette lecture est du reste confirmée par un avis du 8 février 2013, dans lequel l'autorité précédente impartit à la société étrangère un ultime délai de dix jours pour verser "les sûretés fixées dans l'arrêt", faute de quoi son appel sera déclaré irrecevable en application de l'<ref-law>. La distinction entre sûretés de première instance et sûretés d'appel n'intervient donc que pour calculer les montants dus. Il s'ensuit que le risque de préjudice irréparable porte bien sur les deux "volets" (120'000 fr. et 80'000 fr.) de la décision en fourniture de sûretés.
2.
2.1. La recourante reproche à la Cour de justice d'avoir violé l'<ref-law> en exigeant des sûretés de 200'000 fr. en sus de la garantie de même montant qui avait déjà été fournie en 1983, et qui devait servir, selon le droit cantonal en vigueur à l'époque, à couvrir les dépens de première instance et d'appel. L'autorité précédente aurait méconnu la doctrine majoritaire en admettant que des sûretés pouvaient être ordonnées pour couvrir des frais déjà engagés. Faute pour la banque d'avoir demandé une augmentation des sûretés pendant la procédure de première instance, elle serait forclose à le faire au stade de l'appel.
2.2. Il n'est pas contesté que la procédure de première instance est soumise à l'ancien droit genevois, tandis que la procédure d'appel est régie par le CPC entré en vigueur le 1er janvier 2011 (cf. art. 404 al. 1 et art. 405 al. 1 CPC).
Le CPC réglemente aux art. 99 à 101 la fourniture de sûretés en garantie des dépens. En substance, le demandeur doit, sur requête du défendeur, fournir de telles sûretés notamment quand il n'a pas de domicile ou de siège en Suisse (<ref-law>). Le tribunal impartit un délai pour la fourniture des sûretés; si la partie concernée ne s'est pas exécutée à l'échéance d'un délai supplémentaire, le tribunal n'entre pas en matière sur sa demande ou sa requête (art. 101 al. 1 et 3 CPC; cf. art. 59 al. 2 let. f CPC). Les sûretés peuvent être augmentées, réduites ou supprimées par le tribunal (<ref-law>).
La doctrine précise que même si l'<ref-law> se réfère au "demandeur" (die klagende Partei, l'attore), l'obligation de fournir des sûretés vaut aussi en deuxième instance, notamment à l'égard de l'appelant (Viktor Rüegg, in Basler Kommentar, 2010, n° 4 ad <ref-law>; Denis Tappy, in Code de procédure civile commenté, 2011, n° 9 ad <ref-law>; Suter/von Holzen, in Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, [Sutter-Somm et alii éd.] 2e éd. 2013, n° 8 ad <ref-law>; cf. aussi le Rapport accompagnant l'avant-projet de la commission d'experts, juin 2003, p. 52 ad art. 88). Chaque instance décide de façon indépendante si des sûretés doivent être ordonnées; les sûretés couvrent les dépens que l'instance saisie pourrait devoir allouer à la partie attraite devant elle, à l'issue de la procédure (Martin H. Sterchi, in Berner Kommentar, 2013, nos 9 et 10 ad <ref-law>; Rüegg, op. cit., nos 1 et 5 ad <ref-law>).
Selon un point de vue apparemment majoritaire, les sûretés doivent en principe couvrir uniquement des frais futurs (Rüegg, op. cit., n° 5 ad <ref-law>; Richard Kuster, in Schweizerische Zivilprozessordnung, [Baker & Mc Kenzie éd.] 2010, n° 6 ad <ref-law>; Hans Schmid, in Kurzkommentar ZPO, [Oberhammer éd.] 2010, n° 1 ad <ref-law>); certains auteurs réservent une exception lorsque le motif de constituer des sûretés surgit en cours de procédure (Suter/von Holzen, op. cit., n° 10 ad <ref-law>; Adrian Urwyler, in Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO] Kommentar, [Brunner et alii éd.] 2011, n° 5 ad art. 99 et n° 4 ad <ref-law>).
D'autres estiment que les sûretés couvrent la totalité des dépens que l'instance saisie pourrait devoir allouer, sans égard au moment où la requête a été déposée, et même si le requérant a tardé à agir (Tappy, op. cit., n° 14 s. ad art. 99 et n° 8 s. ad <ref-law>); toutefois, la demande de sûretés devant l'autorité d'appel ou de recours ne saurait en aucun cas avoir un effet "rétroactif" pour les dépens de première instance, puisque chaque instance se prononce pour la phase procédurale relevant de sa compétence (Sterchi, op. cit., nos 5, 9 et 10 ad <ref-law>; cf. aussi Suter/von Holzen, op. cit., n° 8 i.f. ad <ref-law>; Rüegg, op. cit., n° 5 i.f. ad <ref-law>).
2.3. Il apparaît donc que dans une procédure d'appel soumise au CPC, l'intimé à l'appel ne saurait exiger des sûretés pour couvrir des opérations afférentes à la procédure de première instance. Les sûretés peuvent garantir uniquement les frais de défense que doit (devra) engager la partie intimée dans le cadre de cette instance pour s'opposer aux conclusions de l'appelant. L'<ref-ruling>, cité dans l'arrêt attaqué, n'est d'aucun secours sur cette question précise, d'autant moins qu'il a été rendu sous l'ancienne procédure genevoise et évoque la jurisprudence fédérale concernant l'ancienne OJ. De la même manière, l'autorité d'appel ne saurait ordonner des sûretés pour couvrir les frais liés aux opérations qu'entraînerait un éventuel renvoi de la cause à l'autorité de première instance ( contra arrêt attaqué, consid. 4.2 p. 10 § 1).
En conditionnant la recevabilité de l'appel à la fourniture de sûretés destinées à couvrir des dépens de première instance, l'autorité précédente a enfreint le droit fédéral.
2.4. La recourante souligne que les sûretés ordonnées en 1983 étaient destinées, selon le droit cantonal alors applicable, à couvrir les dépens de première instance et d'appel.
Il importe peu de savoir si le droit cantonal prévoyait une telle possibilité (cf. Suter/von Holzen, op. cit., n° 11 ad <ref-law>), respectivement si la décision de 1983 avait effectivement une telle portée. La cour cantonale a constaté, en se référant notamment à la durée exceptionnelle et imprévisible du procès, que la garantie de 200'000 fr. versée au début de la procédure ne suffisait pas même à couvrir les dépens de première instance, qu'elle a estimés à 320'000 fr. La recourante ne s'attache pas à démontrer en quoi cette analyse serait inexacte. Elle se borne à relever qu'à l'époque, les sûretés avaient été fixées en fonction de conclusions supérieures à 10 millions de francs. L'on ignore quelles étaient les dernières conclusions lorsque le tribunal a rendu son jugement le 26 avril 2012. Il apparaît tout au plus qu'en appel, la demanderesse a réduit ses prétentions à titre subsidiaire. Cela étant, il suffit de constater que l'arrêt attaqué ne fournit aucun élément donnant à penser que la nouvelle estimation de 320'000 fr. aurait été calculée sur des prémisses erronées. En d'autres termes, la recourante ne démontre pas l'existence d'un trop-perçu au stade de la première instance qui pourrait la dispenser de fournir des garanties pour couvrir les dépens d'appel.
2.5. Les considérations qui précèdent ne préjugent pas du droit de la banque à requérir et obtenir des sûretés supplémentaires devant le Tribunal de première instance si la Cour de justice devait décider de lui renvoyer la cause.
2.6. En bref, le grief est bien fondé. La cause doit être renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle fixe le montant des sûretés à fournir, sur la base du tarif cantonal, sachant que les sûretés doivent exclusivement couvrir les dépens que la banque pourrait obtenir à l'issue de la procédure d'appel pour les frais de défense engagés au cours de cette instance.
3.
La recourante obtient gain de cause. Les sûretés qu'elle a déposées à la Caisse du Tribunal fédéral seront dès lors libérées. L'intimée supportera les frais et dépens de la présente procédure (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle rende une nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
L'intimée versera à la recourante une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
4.
La Caisse du Tribunal fédéral restituera à la recourante le montant de 7'000 fr. qu'elle avait versé pour garantir les dépens de l'intimée.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 5 septembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti