Sachverhalt:
A.
A.a. Am 19. Oktober 2010 gelangte X._ an die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (FINMA) und erhob Anzeige gegen die Bank Y._ AG in A._/ZH bzw. gegen deren Tochtergesellschaft, die Bank Z._ Ltd. mit Sitz in B._/Bahamas. Er machte geltend, er habe im Januar 2000 eine Bankbeziehung mit der Bank Y._ A._ eröffnet. Bereits im März 2000 habe diese Bank ihm empfohlen, die gesamte Bankbeziehung auf ihre Tochtergesellschaft, die Bank Z._ Bahamas zu übertragen. Dies habe er getan und bei dieser diverse Bank- und Wertschriftenkonten eröffnet. Die Bankdokumente seien in den Geschäftsräumlichkeiten der Bank Y._ A._ unterzeichnet worden. In den folgenden vier Jahren hätten auch alle Besprechungen in diesen Geschäftsräumlichkeiten stattgefunden. Alle Korrespondenz und die gesamte Betreuung sei durch Mitarbeiter der Bank Y._ A._ erfolgt. In diesen Geschäftsräumlichkeiten seien damit Bankdienstleistungen im Namen der Bank Z._ Bahamas erbracht worden, was einer faktischen Geschäftsniederlassung entspreche, obwohl sie dafür über keine Bewilligung der FINMA verfüge. Er ersuchte daher die FINMA, eine aufsichtsrechtliche Untersuchung gegen diese faktische Geschäftsniederlassung der Bank Z._ Bahamas einzuleiten und anschliessend gegebenenfalls die faktische Bankzweigniederlassung, allenfalls Bankrepräsentanz, zu liquidieren.
A.b. Nachdem die FINMA X._ mitgeteilt hatte, er habe in einem allfälligen Verwaltungsverfahren keine Parteistellung und keine Akteneinsicht, beantragte X._ den Erlass einer beschwerdefähigen Verfügung. Mit Verfügung vom 11. Mai 2012 trat die FINMA auf das Gesuch um Gewährung der Parteistellung und Akteneinsicht nicht ein (recte: wies dieses ab).
B.
X._ erhob dagegen Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht mit dem Antrag, die Verfügung aufzuheben und ihm in den von der FINMA gegen die de-facto-Zweigniederlassung der Bank Z._ Bahamas in Zürich geführten Vorabklärungen oder Untersuchungen Parteistellung einzuräumen; dies unter Wahrung berechtigter Geheimhaltungsinteressen der betroffenen Banken und derer Kunden.
Mit Urteil vom 13. Dezember 2012 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Eingabe vom 1. Februar 2013 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und ihm in der von der FINMA gegen die de-facto-Zweigniederlassung in A._ der Bank Z._ Bahamas geführten Vorabklärung oder Untersuchung die Parteistellung nach <ref-law> einzuräumen, unter Wahrung berechtigter Geheimhaltungsinteressen.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. Die FINMA beantragt Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen einen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts betreffend Bankaufsicht ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG). Wird die Parteistellung einer Person verneint, ist das für diese ein Endentscheid (<ref-law>), den anzufechten sie legitimiert ist (<ref-law>; Urteile 2C_94/2012 vom 3. Juli 2012 E. 1; 2C_762/2010 vom 2. Februar 2011 E. 1).
1.2. Das Bundesgericht prüft frei die Anwendung von Bundesrecht mit Einschluss des Verfassungs- und Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat; es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Solche Mängel müssen in der Beschwerde rechtsgenüglich gerügt werden (<ref-law>).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer strebt ein aufsichtsrechtliches Eingreifen der FINMA gegen eine Bank an und will in diesem Verfahren Parteirechte ausüben. Als rechtliche Grundlagen für das aufsichtsrechtliche Eingreifen kommen das Bundesgesetz über die Banken und Sparkassen vom 8. November 1934 (BankG; SR 952.0) und das Bundesgesetz über die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (FINMAG; SR 956.1) in Frage. Weder das eine noch das andere enthält besondere Bestimmungen über die Parteistellung im aufsichtsrechtlichen Verfahren; diese richtet sich somit nach richtiger und zutreffender Ansicht aller Beteiligten nach den Art. 6 und 48 VwVG (vgl. <ref-law>; Urteil 2C_762/2010 vom 2. Februar 2011 E. 4.1).
2.2. Als Parteien in einem Verwaltungsverfahren gelten Personen, deren Rechte oder Pflichten die Verfügung berühren soll, und andere Personen, Organisationen oder Behörden, denen ein Rechtsmittel gegen die Verfügung zusteht (<ref-law>). Zur Beschwerde legitimiert ist gemäss <ref-law>, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch die angefochtene Verfügung besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Wer in diesem Sinne zur Beschwerde legitimiert ist, hat auch Parteistellung im erstinstanzlichen Verfügungsverfahren samt den damit verbundenen Parteipflichten und -rechten (Art. 13, 18, 26 ff. VwVG; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 292 f.), insbesondere auch dem Recht auf Akteneinsicht (<ref-law>). Die Regelung von <ref-law> entspricht <ref-law> und ist in Anlehnung an diese auszulegen; sie soll die Popularbeschwerde ausschliessen und den Charakter des allgemeinen Beschwerderechts als Instrument des Individualrechtsschutzes unterstreichen. Diese Anforderungen sind besonders bedeutend bei der Beschwerde eines Dritten, der nicht Verfügungsadressat ist. Der Beschwerdeführer muss durch den angefochtenen bzw. den zu erlassenden Entscheid stärker als ein beliebiger Dritter betroffen sein und in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache stehen. Neben der spezifischen Beziehungsnähe zur Streitsache muss der Beschwerdeführer einen praktischen Nutzen aus einer allfälligen Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids ziehen, d.h. seine Situation muss durch den Ausgang des Verfahrens in relevanter Weise beeinflusst werden können. Das schutzwürdige Interesse besteht im Umstand, einen materiellen oder ideellen Nachteil zu vermeiden, den der angefochtene Entscheid mit sich bringen würde. Ein bloss mittelbares oder ausschliesslich allgemeines öffentliches Interesse begründet - ohne die erforderliche Beziehungsnähe zur Streitsache selber - keine Parteistellung (<ref-ruling> E. 2.1 S. 174 f.; <ref-ruling> E. 6.1 S. 150 f.; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 252 f.; <ref-ruling> E. 2.1 und E. 3 S. 588 ff.).
2.3. Die Vorinstanz hat in E. 3.1 des angefochtenen Entscheids die Rechtslage und die dazu ergangene einschlägige Rechtsprechung richtig wiedergegeben: Demnach erwirbt derjenige, der bei einer Aufsichtsbehörde eine Anzeige erstattet oder ein aufsichtsrechtliches Vorgehen gegen einen Dritten verlangt, dadurch noch keine Parteistellung (BGE <ref-ruling> E. 6.1 S. 151; <ref-ruling> E. 2 S. 471). Dass er "besonders berührt" (vgl. <ref-law>) bzw. - infolge einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache - stärker als die Allgemeinheit betroffen ist, genügt für sich allein nicht; zusätzlich ist ein schutzwürdiges Interesse erforderlich (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 6.1, 172 E. 2.1 S. 174 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 122), also ein aus der Sicht der Rechtspflege gewürdigt ausreichender Anlass dafür, dass die Gerichte der Verwaltungsrechtspflege sich mit der Sache befassen (vgl. FRITZ GYGI, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Auflage, Bern 1983, S. 153). Es gibt keine rechtslogisch stringente, sondern nur eine praktisch vernünftige Abgrenzung zur Popularbeschwerde oder zur Aufsichtsbeschwerde, die dem Anzeiger keine Parteistellung verschafft (<ref-law>); wo diese Grenze verläuft, ist für jedes Rechtsgebiet gesondert zu beurteilen (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 383 mit Hinweisen). Wegleitend dafür sind namentlich einerseits die Möglichkeit für die Interessierten, den angestrebten Erfolg auf anderem - z.B. zivil- oder strafrechtlichem - Weg zu erreichen (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 255), und andererseits das Anliegen, die Verwaltungstätigkeit nicht übermässig zu erschweren (zit. Urteil 2C_762/2010 E. 4.4). Im Rahmen der Banken- und Finanzmarktaufsicht reicht es dazu nicht, dass der Anzeiger Anleger oder Kunde bei der betreffenden Bank ist; er muss vielmehr glaubhaft nachweisen, dass und inwiefern seine Rechte als Anleger konkret gefährdet oder verletzt sind und er deshalb ein eigenes, unmittelbares schutzwürdiges Interesse an einer aufsichtsrechtlichen Untersuchung oder an einer bestimmten Massnahme hat (<ref-ruling> E. 3b S. 355; Urteil 2A.218/1992 vom 14. August 1995 E. 5a; zit. Urteil 2C_762/2010 E. 4.5; vgl. <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 254).
2.4. In Bezug auf den konkreten Fall hat die Vorinstanz erwogen, der Beschwerdeführer begründe seine Beziehungsnähe damit, dass er nach Eröffnung eines aufsichtsrechtlichen Liquidationsverfahrens als geschädigter Anleger eine Forderung im Umfang von 1,7 Mio. Euro eingeben wolle; es handle sich dabei um eine von der Bank bestrittene Schadenersatzforderung, die aufgrund des vom Beschwerdeführer abgeschlossenen Vertrags dem bahamaischen Recht und Gerichtsstand unterliege und die zudem nach dem anwendbaren bahamaischen Recht längst verjährt sei; selbst wenn eine Liquidation angeordnet würde, sei es überaus hypothetisch, dass der Liquidator diese Forderung anerkennen würde. Anleger und Gläubiger von Finanzintermediären hätten ihre Forderungen primär auf dem zivil- oder strafrechtlichen Weg zu verfolgen. Das aufsichtsrechtliche Verfahren diene nicht der Unterstützung einzelner Anleger bei der Geltendmachung ihrer zivilrechtlichen Ansprüche. Auch wenn dem Beschwerdeführer die Geltendmachung seiner Ansprüche infolge des vereinbarten ausländischen Gerichtsstands oder der eingetretenen Verjährung nicht mehr möglich sein sollte, könne ihm nicht stattdessen Parteistellung im aufsichtsrechtlichen Verfahren zuerkannt werden.
3.
Der Beschwerdeführer erhebt Sachverhaltsrügen:
3.1. Er rügt zunächst, die Vorinstanz habe aktenwidrig angenommen, die de-facto-Zweigniederlassung der Bank Z._ Bahamas sei nur behauptet und nicht erstellt. Diese Rüge ist unerheblich; denn für den Ausgang des Verfahrens ist nicht entscheidend, ob die Zweigniederlassung nur behauptet oder erstellt ist.
3.2. Sodann rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe zu Unrecht angenommen, er strebe seine Parteistellung an, um die erhobenen Beweismittel in einem Zivilverfahren einzubringen, und es sei unwahrscheinlich, dass ein Liquidator die Forderung anerkennen würde. Die Vorinstanz verkenne damit, dass er seine Parteistellung nicht auf einen zivil-, sondern einen öffentlich-rechtlichen Anspruch stütze. Bei dieser Rüge handelt es sich in Wirklichkeit nicht um eine Sachverhalts-, sondern eine Rechtsfrage (dazu hinten E. 4).
4.
4.1. In rechtlicher Hinsicht begründet der Beschwerdeführer seine Parteistellung damit, die Niederlassung in A._ der Bank Z._ Bahamas habe ohne Bewilligung und damit unrechtmässig Publikumseinlagen entgegengenommen; daraus ergebe sich ein öffentlich-rechtlicher Anspruch auf Rückerstattung der ohne Bewilligung entgegengenommenen Mittel. Der FINMA stehe es zudem frei, gestützt auf <ref-law> auch ohne Anordnung einer formellen Liquidation die Rückzahlung der unerlaubt vereinnahmten Publikumseinlagen zu verfügen; dieser Rückerstattungsanspruch sei nicht hypothetisch, sondern geradezu geboten, setze aber voraus, dass die FINMA festgestellt habe, dass tatsächlich unzulässigerweise Publikumsgelder entgegengenommen worden seien; deshalb könne seine Situation durch den Ausgang dieses Verfahrens entscheidend beeinflusst werden, was seine Parteistellung begründe. Die FINMA könne auch gestützt auf <ref-law> die Vermögenswerte der Zürcher Zweigniederlassung einziehen und einen Teil davon ihm - dem Beschwerdeführer - zurückerstatten. Schliesslich wäre ihm auch der zivilrechtliche Rechtsweg auf den Bahamas nicht zumutbar gewesen.
4.2. Die Beziehungen zwischen einem Bankkunden und der Bank unterliegen dem Zivilrecht; daraus entstehende Forderungen sind auf dem zivilrechtlichen Weg geltend zu machen. Die Finanzmarktaufsicht bezweckt nach Massgabe der Finanzmarktgesetze den Schutz der Gläubiger, der Anleger, der Versicherten sowie den Schutz der Funktionsfähigkeit der Finanzmärkte; sie trägt damit zur Stärkung des Ansehens und der Wettbewerbsfähigkeit des Finanzplatzes Schweiz bei (<ref-law>). Auch wenn sie somit auch dem Einlegerschutz dient, bleibt sie doch eine öffentlich-rechtliche, wirtschaftspolizeiliche Aufgabe ( CHRISTOPH WINZELER, in Watter/Vogt [Hrsg.], Basler Kommentar Börsengesetz, Finanzmarktaufsichtsgesetz, 2011, N. 11 zu <ref-law>). Nach <ref-law> sorgt die FINMA für die Wiederherstellung des ordnungsgemässen Zustandes, wenn eine Beaufsichtigte die Bestimmungen dieses Gesetzes oder eines Finanzmarktgesetzes verletzt oder sonstige Missstände bestehen. Diese Bestimmung entspricht dem früheren Art. 23 ter Abs. 1 BankG. Sie enthält als Generalklausel nicht eine abschliessende Aufzählung zulässiger Anordnungen, sondern gibt der FINMA einen relativ weiten Ermessensspielraum (<ref-ruling> E. 4.1 S. 388; ROTH PELLANDA, in Basler Kommentar N. 5 und 9 zu <ref-law>; POLEDNA/MARAZZOTTA, in: Watter/Vogt/Bauer/Winzeler [Hrsg.], Basler Kommentar Bankengesetz, 2005, N. 5 zu Art. 23 ter BankG). Aus <ref-law> kann kein Rechtsanspruch namentlich der Anleger oder Gläubiger auf ein Tätigwerden der FINMA abgeleitet werden (Botschaft zum FINMAG, BBl 2006 2881; ROTH PELLANDA, a.a.O., N. 14 zu <ref-law>). Die FINMA ist auch nicht befugt, anstelle der zuständigen Zivilgerichte über zivilrechtliche Ansprüche Dritter gegen die Bank zu entscheiden (Urteil 2A.230/1999 vom 2. Februar 2000 E. 9b). Zwar soll die FINMA den Hauptzwecken der finanzmarktrechtlichen Gesetzgebung, u.a. dem Schutz der Gläubiger bzw. Anleger, Rechnung tragen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 359 f.). Das bedeutet aber entgegen der offenbaren Auffassung des Beschwerdeführers nicht, dass die Anleger eine öffentlich-rechtliche Forderung auf Rückerstattung der ohne Bewilligung entgegengenommenen Gelder hätten. Geht eine Gesellschaft unbewilligt einer den Banken oder den bewilligten Effektenhändlern vorbehaltenen Tätigkeit nach, kann die FINMA sie im Rahmen der allgemeinen Verfassungs- und Verwaltungsgrundsätze aufsichtsrechtlich liquidieren (<ref-ruling> E. 3.2 S. 46; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 314; vgl. <ref-law>). Die angeordnete Liquidierung verläuft so, dass die FINMA einen Liquidator ernennt (Art. 23 quinquies Abs. 1 BankG), der alsdann die Liquidation nach den Regeln des Privatrechts durchführt (BGE <ref-ruling> E. 4.1.3 S. 321; Urteil 2C_101/2011 vom 29. September 2011 E. 1.1.1; POLEDNA/MARAZZOTTA, a.a.O., Rz. 16 zu Art. 23 quinquies ), bzw. - im Falle der Überschuldung - nach den besonderen Regeln über den Bankenkonkurs (<ref-law>), die analog auch für den unbewilligt auftretenden Finanzintermediär gelten (<ref-ruling> E. 3.2 S. 46; <ref-ruling> E. 4.2 S. 388; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 320; Urteil 2C_71/2011 vom 26. Januar 2012 E. 2.2). In diesem Verfahren haben die Gläubiger die Möglichkeit, ihre privatrechtlichen Forderungen einzugeben (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Die Konzeption des Gesetzes ist also nicht die, dass bei unbewilligter Geschäftstätigkeit eine öffentlich-rechtliche Rückerstattungsforderung neben die zivilrechtliche Forderung tritt. So etwa hat der von der FINMA eingesetzte Liquidator keine Verfügungskompetenz. Gegen seine Handlungen ist deshalb auch keine Beschwerde möglich, sondern die gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimierten Personen müssen von der FINMA den Erlass einer anfechtbaren Verfügung verlangen ( POLEDNA/MARAZZOTTA a.a.O., N. 29 zu Art. 24). Soweit keine Beschwerdelegitimation besteht, kann die in ihren Interessen verletzte Person der FINMA lediglich die Anzeige erstatten, dass und weshalb sie mit einer Handlung, einer Unterlassung oder einem Entscheid des Liquidators nicht einverstanden ist. In diesen Fällen hat der Anzeiger keine Parteistellung und keinen Anspruch auf Orientierung über die von der FINMA getroffenen Massnahmen (vgl. THOMAS BAUER, in: Watter/Vogt/Bauer/Winzeler [Hrsg.], Basler Kommentar Bankengesetz, 2005, N. 33 zu <ref-law>). Die aufsichtsrechtliche Tätigkeit verbessert mithin höchstens die Rahmenbedingungen, um die zivilrechtlichen Forderungen durchzusetzen.
4.3. Daran ändert auch <ref-law> nichts:
4.3.1. Nach Abs. 1 dieser Bestimmung kann die FINMA den Gewinn einziehen, den eine Beaufsichtigte durch schwere Verletzung aufsichtsrechtlicher Bestimmungen erzielt hat; anders als unter früherem Recht (vgl. zit. Urteil 2A.230/1999 E. 9b; vgl. dazu URS ZULAUF/DAVID WYSS/DANIEL ROTH, Finanzmarktenforcement, 2008, S. 238 ff.; RENÉ BÖSCH, Basler Kommentar, N. 1 zu <ref-law>; JEAN-BAPTISTE ZUFFEREY/FRANCA CONTRATTO, FINMA - The Swiss Financial Market Supervisory Authority, 2009, S. 148) besteht somit nun eine ausdrückliche gesetzliche Grundlage für eine solche Einziehung (s. zur Vorgeschichte RAOUL SIDLER, Die Einziehung nach <ref-law>, 2008, S. 4 ff.). Nach <ref-law> gehen die eingezogenen Vermögenswerte an den Bund, soweit sie nicht Geschädigten ausbezahlt werden.
4.3.2. Die Vorinstanz hat erwogen, das FINMAG sei erst am 1. Januar 2009 in Kraft getreten, so dass es aufgrund des Rückwirkungsverbots als höchst unwahrscheinlich erscheine, dass die FINMA den vom Beschwerdeführer behaupteten Schaden aus den Jahren 2000 und 2001 zum Anlass nehmen würde, um Vermögenswerte einzuziehen. Der Beschwerdeführer macht dagegen geltend, die bewilligungspflichtige, aber unbewilligte Tätigkeit habe über den 1. Januar 2009 hinaus gedauert, so dass gestützt auf <ref-law> der Gewinn eingezogen und an ihn ausbezahlt werden könnte.
4.3.3. Auch abgesehen von intertemporalrechtlichen Aspekten kann aber der Beschwerdeführer aus <ref-law> nichts für sich ableiten: Die dort geregelte Einziehung hat rein verwaltungsrechtlichen Charakter (BBl 2006 2849; BÖSCH, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>). Die Rückerstattung durch die FINMA nach Abs. 6 begründet nicht anstelle oder zusätzlich zu den zivilrechtlichen eine öffentlich-rechtliche Forderung (vgl. auch vorne E. 4.2) und dient ebenso wenig der Beurteilung strittiger Zivilansprüche, sondern setzt vielmehr voraus, dass unbestrittene oder gerichtlich festgestellte Schadenersatzansprüche bestehen, dient somit bloss der Durchsetzung liquider zivilrechtlicher Forderungen (BBl 2006 2884; ZUFFEREY/CONTRATTO, a.a.O., S. 150, 155).
4.3.4. Die Vorinstanz hat festgestellt, dass nach der eigenen Darstellung des Beschwerdeführers dessen Forderung gegen die Bank Z._ Bahamas längst verjährt sei. Der Beschwerdeführer stellt dies nicht in Frage. Er bringt zudem selber vor, es sei ihm nicht zumutbar gewesen, die Forderung auf dem zivilrechtlichen Weg geltend zu machen. Liegt somit keine unbestrittene oder gerichtlich festgestellte zivilrechtliche Forderung vor, so kommt eine Rückerstattung nach <ref-law> nicht in Frage. Der Beschwerdeführer hat somit von vornherein kein schützenswertes Interesse im dargelegten Sinne (vorne E. 2.3) an der Eröffnung oder Durchführung eines aufsichtsrechtlichen Verfahrens, weil ihm dies ohnehin nichts helfen würde.
5.
Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet. Der Beschwerdeführer trägt die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Eidgenössischen Finanzmarktaufsicht und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Mai 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein