Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Betroffene bzw. Mutter) und R._ (Verfahrensbeteiligter bzw. Vater) sind die Eltern der Söhne B._ (geb. 1998) und C._ (geb. 2003). Nach Angaben des Verfahrensbeteiligten leidet die Betroffene unter einem Verfolgungswahn. In der Ehe herrscht ein angespanntes Verhältnis. Nachdem der Vater auf dem PC seines Sohnes C._ einen Abschiedsbrief mit Hinweis auf latente Suizidalität vorgefunden und deshalb am 12. Dezember 2012 den Notfalldienst aufgesucht hatte, wurde er an die Psychiatrischen Dienste D._ verwiesen. Der zuständige Arzt befragte den Sohn C._ am 19. Dezember 2012. Er erklärte, er erlebe seine Mutter übermässig kontrollierend und vermute, sie leide unter einem Verfolgungswahn. Er leide unter den als unverhältnismässig erlebten Anschuldigungen seiner Mutter gegen seinen Vater. Weiter zu erwähnen ist die telefonische Meldung der Psychologin E._ des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes vom 8. Januar 2013, wonach der Sohn gleichentags einen Zusammenbruch mit Weinen und Krämpfen erlitten hatte.
A.b. Am 4. Januar 2013 reichte der Verfahrensbeteiligte beim Bezirksgericht Bremgarten, Familiengericht (nachfolgend Familiengericht) eine Gefährdungsmeldung ein, in der er auf das krankhafte Verhalten der Betroffenen hinwies und um Hilfe ersuchte.
B.
B.a. Nach Anhörung der Betroffenen und des Verfahrensbeteiligten ordnete der Präsident des Familiengerichts Bremgarten mit Verfügung vom 30. Januar 2013 ihre psychiatrische Begutachtung an und gab ihr Gelegenheit, zur Fragestellung an den Gutachter Stellung zu nehmen sowie Änderungs- und Ergänzungsanträge anzubringen. In der Folge war sie über längere Zeit landesabwesend. Mit Eingabe vom 17. Mai 2013 ersuchte sie, nunmehr vertreten durch Rechtsanwältin Karin Meyer, die Verfügung vom 30. Januar 2013 in Wiedererwägung zu ziehen, auf welchen Antrag der Gerichtspräsident des Familiengerichts Bremgarten mit Verfügung vom 21. Mai 2013 eintrat und ihn abwies.
B.b. Mit Entscheid vom 22. Juli 2013 trat das Obergericht des Kantons Aargau auf die Beschwerde gegen die Verfügung vom 21. Mai 2013 nicht ein. Am 29. Oktober 2013 hob das Bundesgericht auf Beschwerde der Betroffenen hin den obergerichtlichen Entscheid auf und wies die Sache zur Behandlung der kantonalen Beschwerde gegen die erstinstanzliche Verfügung vom 21. Mai 2013 an das Obergericht zurück (5A_655/2013). Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 19. Februar 2014 ab.
C.
Die Betroffene hat am 13. März 2014 (Postaufgabe) gegen das Urteil des Obergerichts vom 19. Februar 2014 beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und von der psychiatrischen Begutachtung abzusehen.
D.
Nachdem die Vorinstanz auf eine Stellungnahme zum entsprechenden Gesuch der Beschwerdeführerin verzichtet hatte, wurde der Beschwerde mit Verfügung vom 4. April 2014 aufschiebende Wirkung zuerkannt.
E.
Das Familiengericht und die Vorinstanz haben auf Vernehmlassung verzichtet. Der Verfahrensbeteiligte schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts betreffend eine Beweisverfügung (Anordnungen der psychiatrischen Begutachtung in Anwendung von <ref-law>). Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid. Die Anordnung, sich einer psychiatrischen Begutachtung zu unterziehen, greift unwiderruflich in das Grundrecht der persönlichen Freiheit (<ref-law>) ein und kann daher einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur bewirken (<ref-law>; Urteil 1P.662/2004 vom 3. Februar 2005 E. 1.1 unter Hinweis auf Art. 87 Abs. 2 OG und <ref-ruling> E. 1c S. 94; Urteil 5A_655/2013 vom 29. Oktober 2013 E. 1). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Das Obergericht hat die Beschwerde gegen die im Wiedererwägungsentscheid der ersten Instanz bestätigte Anordnung einer psychiatrischen Begutachtung abgewiesen und dazu im Wesentlichen erwogen, die Anordnung sei im Nachgang zur Gefährdungsmeldung vom 3. Januar 2013 des am Verfahren beteiligten Ehemannes der Beschwerdeführerin und der Anhörung der beiden Ehegatten erfolgt. Beides habe auf eine vermutete Hilfsbedürftigkeit hingewiesen. In der Gefährdungsmeldung habe der Ehemann geltend gemacht, seine Ehefrau leide seit einigen Jahren an Verfolgungswahn und Halluzinationen; sie sei davon überzeugt, dass alle von "einer schwarzen Gesellschaft" gekauft, abgehört überwacht und verfolgt würden. Auch der Ehemann der Beschwerdeführerin sei ihrer Ansicht nach gekauft worden und habe schon mehrfach versucht, sie zu vergiften. Die Gefährdungsmeldung stütze sich auf einen Kurzbericht der Psychiatrischen Dienste D._ über die Zeitperiode vom 18. bis 27. Dezember 2012, welcher auf der Anhörung des Verfahrensbeteiligten, vor allem aber auf der Befragung des Sohnes beruhe und durch die notfallmässige Anmeldung des Verfahrensbeteiligten initiiert worden sei. Diesem sei zu einem entsprechenden Vorgehen geraten worden, nachdem die Dienstärztin einen Brief des Sohnes mit Hinweisen auf Suizidabsichten vorgefunden habe. Der Befund des Berichts beschreibe eine tief verzweifelte Haltung des Kindes anlässlich seiner Anhörung sowie ein übermässiges Kontrollverhalten der Beschwerdeführerin. Weiter zu erwähnen sei die telefonische Meldung der Psychologin E._ des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes vom 8. Januar 2013, wonach der Sohn gleichentags einen Zusammenbruch mit Weinen und Krämpfen erlitten habe. Diesen akuten Anzeichen von Verzweiflung mit suizidalen Tendenzen ihres Sohnes habe sich die Beschwerdeführerin anlässlich der Befragung vom 9. Januar 2013 völlig unzugänglich gezeigt, und sie bestreite jegliche Probleme in den familiären Verhältnissen. Anlass zur Anordnung der Begutachtung bilde allerdings hauptsächlich die Schilderung des Sohnes anlässlich der Anhörung bei den Psychiatrischen Diensten D._ über verfolgungswahnhaftes Kontrollverhalten seiner Mutter im familiären Umfeld; diese Erklärung des Sohnes sei unabhängig von den Aussagen des Ehemannes erfolgt, decke sich indes mit dessen Angaben. Der Ehemann habe gegenüber der ersten Instanz detailliert und glaubwürdig über konkrete Vorkommnisse bzw. über Ängste der Beschwerdeführerin, über den Verdacht der Vergiftung des Kaffees an ihrem Arbeitsplatz, das Vorkosten der Lebensmittel durch den Ehemann gesprochen. Die Beschwerdeführerin habe anlässlich der Anhörung von sich aus einen Vorfall erwähnt, bei dem sie das ganze Haus kontrolliert habe, weil ihr Sohn einen hohen Puls aufgewiesen habe. Ferner räumte sie ein, wegen eines Klopfens an der Tür die Polizei verständigt und im Weiteren eine Überprüfung des Telefons durch die Swisscom verlangt zu haben. Vor diesem Hintergrund sei zu befürchten, dass die Beschwerdeführerin mangels Einsicht bezüglich ihrer psychischen Probleme nicht mehr fähig sei, in ihrem wohlverstandenen Interesse tätig zu werden und sie dadurch nicht nur in ihren beruflichen und sozialen Beziehungen eingeschränkt werde, sondern auch ihr familiäres Umfeld schwer belaste. Da die Fachrichterin Psychologie nicht in der Lage sei, Art und Ausmass des Schwächezustandes zu ermitteln, erweise sich die Anordnung einer psychiatrischen Begutachtung als unumgänglich.
2.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, bei der Anordnung einer psychiatrischen Begutachtung handle es sich um einen schweren Eingriff in ihre persönliche Freiheit (<ref-law>), der nur zulässig sei, soweit er auf einer gesetzlichen Grundlage beruhe, durch ein öffentliches Interesse gerechtfertigt und überdies verhältnismässig sei. Ein öffentliches Interesse werde durch die Vorinstanz von vornherein nicht dargetan und sei nicht ersichtlich. Im Weiteren fehlten konkrete Hinweise, dass sie unter psychischen Problemen leide. Nicht ersichtlich sei ausserdem, inwiefern sie aufgrund ihrer angeblichen psychischen Probleme nicht in der Lage sei, in ihrem wohlverstandenen Interesse zu handeln. Die Vorinstanz räume zudem ein, die Belastung und der Schutz von Angehörigen vermöge die Errichtung einer Beistandschaft nicht zu rechtfertigen. Die Anordnung sei auch deshalb unverhältnismässig, weil sie sich auf die sog. "Gefährdungsmeldung" des Ehemannes stütze, dessen Aussagen nicht als glaubwürdig bezeichnet werden könnten. Zwar ergebe sich aus der Gefährdungsmeldung des Psychiatrischen Dienstes D._ vom 17. Juni 2013, dass der Sohn unter den Streitereien der Eheleute leide; darin finde sich indes kein Hinweis auf psychische Probleme der Beschwerdeführerin. Gleich verhalte es sich mit dem Bericht der F._ vom 24. Juni 2013. Im Weiteren erscheine es nicht möglich, das jemand unter Verfolgungswahn leide, ohne dass dies vom jeweiligen Arbeitgeber bemerkt worden wäre.
3.
Die Anordnung, sich einer psychiatrischen Begutachtung zu unterziehen, greift unwiderruflich in das Grundrecht der persönlichen Freiheit ein (<ref-law>; Urteil 1P.662/2004 vom 3. Februar 2005 E. 1.1 unter Hinweis auf Art. 87 Abs. 2 OG und <ref-ruling> E. 1c S. 94). Dieser Eingriff ist zulässig, soweit er auf einer gesetzlichen Grundlage beruht (<ref-law>), durch ein öffentliches Interesse oder durch den Schutz von Grundrechten Dritter gerechtfertigt (Art. 36 Abs. 2) und verhältnismässig ist (<ref-law>). Im vorliegenden Fall ist unbestritten, dass die Anordnung der psychiatrischen Begutachtung auf <ref-law> und damit auf einer ausreichenden gesetzlichen Grundlage beruht. Strittig sind indes das öffentliche Interesse am Eingriff (E. 3.1) und dessen Verhältnismässigkeit (E. 3.2-3.5).
3.1. Nach <ref-law> haben die behördlichen Massnahmen das Wohl und den Schutz hilfsbedürftiger Personen sicherzustellen. Das in der Sache anwendbare Verfahren schreibt der Kindes- und Erwachsenschutzbehörde vor, den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen (<ref-law>), die erforderlichen Erkundigungen einzuziehen, die notwendigen Beweise zu erheben und nötigenfalls ein Gutachten einer sachverständigen Person anzuordnen (<ref-law>). Vor dem Hintergrund des gesetzlich verankerten Schutzauftrages gegenüber hilfsbedürftigen Personen und der verbindlichen Verfahrensgrundsätze lässt sich ein öffentliches Interesse am Grundrechtseingriff nicht verneinen (vgl. dazu auch die Ausführungen des Bundesgerichts zum öffentlichen Interesse am Eingriff in Form einer Zwangsmedikation: <ref-ruling> E. 5.2 S. 20 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 8 S. 25 f).
3.2.
3.2.1. Gemäss der bundesgerichtlichen Auslegung von <ref-law>, die sich auf die Botschaft und bewährte Lehre stützt, hat die Erwachsenenschutzbehörde ein Gutachten einer sachverständigen Person einzuholen, wenn eine umfassende Beistandschaft ins Auge gefasst wird und dem Spruchkörper der erforderliche Sachverstand fehlt (<ref-ruling> E. 4). Unter welchen konkreten Umständen der nicht sachverständige Spruchkörper ein Gutachten eines unabhängigen Sachverständigen einzuholen hat, kann indes weder dem Gesetz noch den Materialien entnommen werden. Diese Frage lässt sich vielmehr nur im Lichte des Grundsatzes der Verhältnismässigkeit beantworten.
3.2.2. <ref-law> in der Fassung gemäss Ziff. I des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1978 (AS 1980 31; BBl 1977 III 1; nachfolgend aArt. 397a ZGB) regelte die Einweisung zur Begutachtung nicht ausdrücklich. Dennoch war eine Einweisung bzw. Zurückbehaltung zwecks Begutachtung der betroffenen Person nach der Rechtsprechung zulässig, soweit eine fürsorgerische Freiheitsentziehung ernsthaft in Betracht zu ziehen war, aber wichtige Grundlagen für einen definitiven Einweisungsentscheid fehlten (Urteile 5A_576/2012 vom 27. August 2012 E. 5.1; 5A_250/2010 vom 14. April 2010 E. 2.3). Nach der seit dem 1. Januar 2013 geltenden Fassung von <ref-law> kann eine Einweisung der betroffenen Person in eine geeignete Einrichtung zwecks psychiatrischer Begutachtung erfolgen. Dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit wird von Gesetzes wegen insofern Rechnung getragen, als die Anordnung nur unter der Voraussetzung zulässig ist, dass sie nicht ambulant durchgeführt werden kann. Das Bundesgericht hat in einem Fall, in dem die Erwachsenenschutzbehörde eine fürsorgerische Unterbringung ins Auge gefasst hatte, bei der Auslegung von <ref-law> in der geltenden Fassung die Praxis zu aArt. 397a ZGB übernommen: Die Einweisung zur Begutachtung ist somit auch unter dem geltenden Recht nur unter der (zusätzlichen) Voraussetzung zulässig, dass eine fürsorgerische Unterbringung ernsthaft in Betracht zu ziehen ist (Urteil 5A_900/2013 vom 11. Dezember 2013 E. 2.1).
3.2.3. Aufgrund der Praxis zu <ref-law>, die ohne Weiteres auf die vorliegend zu beurteilende Anordnung der Begutachtung übertragen werden kann, lässt sich die Anordnung der psychiatrischen Begutachtung im Lichte des Grundsatzes der Verhältnismässigkeit lediglich rechtfertigen, wenn eine Massnahme des Erwachsenen- oder des Kindesschutzes ernsthaft in Betracht zu ziehen ist.
3.3. Nach <ref-law> bezwecken die behördlichen Massnahmen des Erwachsenenschutzes, das Wohl und den Schutz der hilfsbedürftigen Person sicherzustellen. Die Erwachsenenschutzbehörde errichtet eine Beistandschaft, wenn eine volljährige Person wegen einer geistigen Behinderung, einer psychischen Störung oder eines ähnlichen in der Person liegenden Schwächezustandes ihre Angelegenheiten nur teilweise oder gar nicht besorgen kann (Ziff. 1). Im Lichte des mit der Bestimmung verfolgten Zwecks und unter Berücksichtigung des gesetzlichen Erfordernisses für die Anordnung einer Beistandschaft müssen wenigstens gewisse tatsächliche Umstände dargetan sein, die auf eine Hilfsbedürftigkeit der betroffenen Person schliessen lassen (vgl. dazu den in <ref-ruling> geschilderten Fall). Erst bei Vorliegen solcher konkreten Umstände kann füglich angenommen werden, eine Massnahme des Erwachsenen- bzw. des Kindesschutzes komme ernsthaft in Betracht.
3.4. Das Obergericht kommt zum Schluss, vor dem Hintergrund der in E. 2.1 hiervor geschilderten tatsächlichen Umstände müsse befürchtet werden, die Beschwerdeführerin sei mangels Einsicht bezüglich ihrer psychischen Probleme nicht mehr fähig, in ihrem wohlverstandenen Interesse tätig zu werden; sie schränke sich dadurch nicht nur in ihren beruflichen und sozialen Beziehungen ein, sondern belaste überdies ihr soziales Umfeld. Aufgrund derart allgemeiner Ausführungen lässt sich nicht annehmen, eine Massnahme des Erwachsenenschutzes komme aufgrund der Hilfsbedürftigkeit der Beschwerdeführerin ernsthaft in Betracht. Es werden keine konkreten Sachverhaltselemente erwähnt, welche eine durch die angebliche psychische Störung bewirkte Schutzbedürftigkeit der Beschwerdeführerin nahelegen. Insbesondere wird auch nicht näher erörtert, welche angeblichen Probleme am Arbeitsplatz auf einen Bedarf an Schutz nahelegen. Konkret bleibt einzig die Vermutung, die Beschwerdeführerin sei psychisch krank. Dieser Umstand vermag für sich allein genommen die obergerichtliche Schlussfolgerung bezüglich der vermuteten Schutzbedürftigkeit nicht zu begründen (E. 3.3 hiervor). Denn allein aus der angeblichen psychischen Angeschlagenheit kann nicht ohne Weiteres auf eine Schutzbedürftigkeit geschlossen werden. Im Lichte des Erwachsenenschutzes erweist sich die Anordnung der Begutachtung als unverhältnismässig.
3.5. Anders verhält es sich indes mit Blick auf Massnahmen des Kindesschutzes. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich, dass der Verfahrensbeteiligte auf dem PC seines Sohnes C._ einen Abschiedsbrief mit Hinweis auf latente Suizidalität vorgefunden und deshalb am 12. Dezember 2012 den Notfalldienst aufgesucht hat. Festgestellt wird ferner, dass die Dienstärztin einen Brief des Sohnes mit Hinweisen auf Suizidabsichten vorgefunden hatte. Anlässlich der Befragung vom 19. Dezember 2012 durch die Psychiatrischen Dienste D._ erklärte der Sohn C._, er erlebe seine Mutter übermässig kontrollierend; er vermute, sie leide unter einem Verfolgungswahn. Er leide unter den als unverhältnismässig erlebten Anschuldigungen seiner Mutter gegen seinen Vater. Weiter zu erwähnen ist die telefonische Meldung der Psychologin E._ des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes vom 8. Januar 2013, wonach der Sohn gleichentags einen Zusammenbruch mit Weinen und Krämpfen erlitten hatte. Soweit sich die Beschwerdeführerin gegen diese tatsächlichen Grundlagen, insbesondere gegen die Feststellung der psychischen Angeschlagenheit richtet, ist darauf nicht einzutreten, zumal sie diese nicht rechtsgenügend als willkürlich oder sonst wie gegen Bundesrecht verstossend rügt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin weisen die geschilderten tatsächlichen Umstände nicht nur auf bestehende Eheprobleme, sondern ebenso auf eine mögliche Notwendigkeit von Kindesschutzmassnahmen hin. Dagegen spricht auch nicht der Umstand, dass der Verfahrensbeteiligte beim Notfalldienst um Hilfe ersuchte, die Gefährdungsmeldung an das Familiengericht verfasste und das Verhalten der Beschwerdeführerin als krankhaft bezeichnete. Denn selbst dies ändert nichts daran, dass der Sohn unabhängig gegenüber den befragenden Ärzten seine seelische Notlage schilderte. Da überdies aufgrund der tatsächlichen Umstände auch der behauptete Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin von Bedeutung zu sein scheint, war die Anordnung der psychiatrischen Begutachtung im Lichte des Kindesschutzes und insbesondere des Kindeswohls gerechtfertigt und verhältnismässig.
4.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Sie hat den Verfahrensbeteiligten für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Verfahrensbeteiligten für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, R._, dem Bezirksgericht Bremgarten, Familiengericht, und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden