Sachverhalt:
A. Werner Zumbrunn stellte zusammen mit zwei weiteren Einwohnern der Gemeinde Muttenz am 14. März 2006 schriftlich drei Anträge zuhanden der Gemeindeversammlung; diese Begehren wurden an der Gemeindeversammlung vom 21. März 2006 verlesen. Der erste Antrag betraf die Publikation von Gemeindeerlassen. Der zweite und der dritte Antrag standen im Zusammenhang mit Bestrebungen der einfachen Gesellschaft "Schiessanlagen Lachmatt", einen Vertrag mit dem Kanton Basel-Stadt über die Benutzung der gleichnamigen Schiessanlagen durch "Basler Schützen" abzuschliessen. Die genannte einfache Gesellschaft besteht aus den Einwohnergemeinden Birsfelden, Muttenz und Pratteln; sie ist die Trägerschaft der Anlagen.
Antrag zwei dieser Begehren, der im Folgenden als einziger von Interesse ist, lautet:
- Der Gemeinderat sei zu verpflichten, die Vereinbarung zwischen der einfachen Gesellschaft Schiessanlagen Lachmatt und dem Kanton Basel-Stadt der Gemeindeversammlung zur Genehmigung vorzulegen, falls Änderungen oder Anpassungen notwendig sind. Des weiteren sei der Gemeinderat zu verpflichten, zukünftig alle Verträge, die die Schiessanlage Lachmatt betreffen, der Gemeindeversammlung zur Genehmigung vorzulegen."
Mit Brief vom 21. Mai 2006 teilten die Antragsteller mit, dass sie den ersten Satz des wiedergegebenen Antrags zurückzögen. Am 20. Juni 2006 fand die nächste Gemeindeversammlung statt. An dieser Versammlung war der Antrag nicht zur Behandlung traktandiert und es wurde darüber formell kein Beschluss gefasst.
B. Am 27. Juni 2006 beschwerte sich Werner Zumbrunn schriftlich beim Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft und beanstandete sinngemäss eine Rechtsverzögerung in der Behandlung des Begehrens.
Während der Hängigkeit dieses Verfahrens entschied das Kantonsgericht Basel-Landschaft am 23. August 2006 in einem anderen Verfahren, dass der Gemeinderat verpflichtet war, den erwähnten Vertrag zwischen der einfachen Gesellschaft und dem Kanton Basel-Stadt der Gemeindeversammlung zur Genehmigung vorzulegen. Der hier im Streit liegende Antrag wurde daraufhin an der Gemeindeversammlung vom 16. Oktober 2006 traktandiert. Dabei stellte der Gemeinderat den Antrag, das Begehren sei erst nach Eintritt der Rechtskraft des Gerichtsurteils der Gemeindeversammlung vorzulegen. Gemäss dem Protokoll der Gemeindeversammlung räumten die Vertreter des Gemeinderates in der Beratung des Geschäfts ein, dass das betreffende Urteil nun rechtskräftig sei. Der Gemeinderat sehe vor, dass dieser Vertrag wie auch der überarbeitete Gesellschaftsvertrag unter den Schiessplatzgemeinden der kommenden Gemeindeversammlung im Dezember 2006 vorgelegt werde. Der Inhalt bzw. Sinn des Begehrens sei in diesem Gesellschaftsvertrag enthalten. Werner Zumbrunn führte hingegen aus, er stelle fest, dass zu seinem Antrag vom Gemeinderat keine Vorlage ausgearbeitet worden sei; somit gehe er davon aus, dass die Gemeindeversammlung nun - d.h. am 16. Oktober 2006 - über die Erheblicherklärung dieses Antrags zu befinden habe. Nach beendeter Diskussion beschloss die Gemeindeversammlung laut Protokoll mit 135 zu 75 Stimmen, den Antrag von Werner Zumbrunn und Mitbeteiligten anzunehmen.
Die Gemeindeversammlung fasste am 12. Dezember 2006 Beschluss über den erwähnten Vertrag mit dem Kanton Basel-Stadt einerseits sowie über den genannten neuen Gesellschaftsvertrag unter den Trägergemeinden anderseits. Der Antrag von Werner Zumbrunn und Mitbeteiligten war nicht traktandiert und darüber wurde formell kein Beschluss gefasst.
Im Anschluss an die Versammlungen vom 16. Oktober und 12. Dezember 2006 ergänzte Werner Zumbrunn mit Eingaben vom 21. Oktober 2006 und 6. Januar 2007 jeweils seine Beschwerde an den Regierungsrat; dabei beklagte er weiterhin das Vorliegen einer Rechtsverzögerung. Der Regierungsrat wies die Beschwerde am 13. Februar 2007 ab, nahm sie auch als aufsichtsrechtliche Anzeige entgegen und gab ihr keine Folge; er verpflichtete Werner Zumbrunn, der Gemeinde eine Parteientschädigung zu bezahlen.
C. Die von Werner Zumbrunn hiergegen erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, mit Urteil vom 6. Juni 2007 teilweise gut. Es hob den Entscheid des Regierungsrats auf, soweit dieser der Gemeinde eine Entschädigung zugesprochen hatte, und wies die Beschwerde im Übrigen ab.
D. Gegen das kantonsgerichtliche Urteil vom 6. Juni 2007 führt Werner Zumbrunn beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, rügt eine unrichtige Ermittlung des Sachverhalts durch die Vorinstanz und verlangt sinngemäss die Feststellung, dass eine Rechtsverzögerung vorliege.
Die Einwohnergemeinde Muttenz und der Regierungsrat ersuchen um Abweisung der Beschwerde. Das Kantonsgericht hat Verzicht auf eine Vernehmlassung erklärt. In der Replik hält der Beschwerdeführer an seinen Begehren fest.

Erwägungen:
1. Auf das Beschwerdeverfahren ist das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) anwendbar (vgl. <ref-law>).
1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wegen Verletzung politischer Rechte nach <ref-law> steht in kantonalen Stimmrechtssachen offen. Dazu zählen - entsprechend der Praxis zu Art. 85 lit. a des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) - auch kommunale Angelegenheiten (vgl. Urteil 1C_185/2007 vom 6. November 2007, E. 1.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 1.1 S. 188). Bei den selbständigen Anträgen von Stimmberechtigten zuhanden der Gemeindeversammlung im Sinne von § 68 des kantonalen Gemeindegesetzes vom 28. Mai 1970 (GemG/BL; SGS 180) handelt es sich um ein Rechtsinstitut, das der Sache nach als Initiativrecht zu betrachten ist (vgl. dazu Daniel Schwörer, Die Gemeindeversammlung: Stellung, Zuständigkeiten und Durchführung, in: Giovanni Biaggini u.a. [Hrsg.], Staats- und Verwaltungsrecht des Kantons Basel-Landschaft II, Liestal 2005, S. 231 ff., 252). Mit der vorliegenden Beschwerde wird eine Verletzung dieses Initiativrechts durch eine verzögerte Behandlung auf Gemeindeebene geltend gemacht. Dabei handelt es sich um einen zulässigen Vorwurf im Sinne von <ref-law>. In diesem Rahmen kann der Beschwerdeführer, unter den Voraussetzungen von <ref-law>, auch Sachverhaltsrügen erheben.
1.2 <ref-law> verleiht das Beschwerderecht wegen Verletzung politischer Rechte jeder Person, die in der betreffenden Angelegenheit stimmberechtigt ist. Diese Voraussetzung trifft auf den Beschwerdeführer, der nicht nur in der Gemeinde stimmberechtigt, sondern (Mit-)Initiant ist, zu. Im Rahmen der Legitimation war bei Stimmrechtsbeschwerden nach Art. 85 lit. a OG zusätzlich ein aktuelles Rechtsschutzinteresse verlangt (<ref-ruling> E. 1.4 S. 188; <ref-ruling> E. 2a S. 363 mit weiteren Hinweisen). Nichts anderes kann unter der Herrschaft von <ref-law> gelten.
1.3 Initianten brauchen grundsätzlich nicht mit der Beschwerdeerhebung zuzuwarten, bis bei der Behandlung ihres Initiativbegehrens eine unzulässige Rechtsverzögerung eingetreten ist. Sie können den entsprechenden Vorwurf vielmehr bereits erheben, wenn aufgrund des behördlichen Verhaltens absehbar ist, dass eine solche eintreten wird. Insofern sind grundsätzlich die Verhältnisse im Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung massgebend, das heisst, es wird die Zeitdauer zwischen der Einreichung der Initiative bis zur Beschwerdeeinreichung in Rechnung gestellt (<ref-ruling> E. 3c S. 247). Der Beschwerdeführer hat seine Beschwerde an den Regierungsrat zweimal ergänzt, letztmals am 6. Januar 2007. Dadurch veränderte bzw. erweiterte sich der Streitgegenstand. Im kantonalen Verfahren stand die Frage der rechtzeitigen Behandlung des Antrags durch die Gemeindebehörden bis anfangs 2007 zur Diskussion. Daher ist zu prüfen, ob angesichts des Beschlusses der Gemeindeversammlung vom 16. Oktober 2006 noch ein aktuelles Interesse an der Beschwerde gegeben ist.
1.4 Nach Auffassung des Kantonsgerichts gibt § 68 GemG/BL zwei Wege zur Behandlung selbständiger Anträge von Stimmberechtigten vor: Entweder stimmt der Gemeinderat dem besagten Antrag zu und arbeitet dann zuhanden der Gemeindeversammlung eine Vorlage aus (§ 68 Abs. 4 GemG/BL); dies hat innerhalb eines halben Jahres seit Annahme der Anträge zu geschehen (§ 68 Abs. 5 GemG/BL). Oder aber der Gemeinderat lehnt den betreffenden Antrag ab bzw. verzichtet vorerst auf die Ausarbeitung einer Vorlage. In diesem Fall hat er den Antrag an der folgenden Gemeindeversammlung zur Erheblicherklärung zu unterbreiten (§ 68 Abs. 4 GemG/BL). Erklärt die Gemeindeversammlung den Antrag als erheblich, so hat der Gemeinderat innerhalb eines halben Jahres der Gemeindeversammlung eine Vorlage über den erheblich erklärten Antrag zu unterbreiten (§ 68 Abs. 5 GemG/BL).
1.5 Bereits vor Kantonsgericht gaben der Beschwerdeführer und der Gemeinderat unterschiedliche Einschätzungen darüber ab, was die Gemeindeversammlung am 16. Oktober 2006 mit Blick auf den fraglichen Antrag beschlossen hatte. Nach dem Beschwerdeführer war sein Antrag mit diesem Beschluss bloss erheblich erklärt worden. Mit anderen Worten lief dem Gemeinderat ab diesem Zeitpunkt die halbjährige Frist zur Ausarbeitung und Unterbreitung einer Vorlage. Demgegenüber machte der Gemeinderat geltend, der Antrag sei nicht erheblich erklärt, sondern angenommen worden. Aus den Ausführungen des Gemeinderats konnte nichts anderes geschlossen werden, als dass er die Initiative als erledigt betrachtete und keinen Anlass für die Ausarbeitung bzw. Unterbreitung einer Vorlage mehr sah. Das Kantonsgericht hat sich nicht dazu geäussert, ob ein aktuelles Rechtsschutzinteresse an der Beschwerde bestand; es ist ohne Weiteres darauf eingetreten. Dies geschah im Ergebnis zu Recht. Angesichts der Vorbringen der Beteiligten durfte nicht angenommen werden, das aktuelle Interesse sei wegen Annahme des Antrags an der Gemeindeversammlung vom 16. Oktober 2006 entfallen. Stattdessen galt es gerade die Frage zu klären, ob der damalige Beschluss eine solche Antragsannahme bedeutete. In diesem Sinne war ein aktuelles Rechtsschutzinteresse zu bejahen. Gleich verhält es sich im bundesgerichtlichen Verfahren.
1.6 Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Wie bereits aus den in E. 1 hiervor angestellten Überlegungen folgt, hängt die sachliche Beurteilung der Beschwerde von der Würdigung des Beschlusses der Gemeindeversammlung vom 16. Oktober 2006 ab. Das Initiativbegehren verlangt, dass alle Verträge im Zusammenhang mit den Schiessanlagen Lachmatt der Gemeindeversammlung zur Genehmigung unterbreitet werden. Der Inhalt dieses Antrags weist über die beiden konkreten Verträge hinaus, die am 12. Dezember 2006 der Gemeindeversammlung vorgelegt wurden. Die Gemeinde hat weder vor Kantonsgericht noch vor Bundesgericht vorgebracht, dass der am 12. Dezember 2006 behandelte Gesellschaftsvertrag unter den Trägergemeinden die Vorlage gebildet habe, mit der das politische Anliegen materiell behandelt worden wäre. Die entsprechende Meinung, die ein Vertreter des Gemeinderates noch an der Gemeindeversammlung vom 16. Oktober 2006 zum Ausdruck gebracht hatte, wurde nicht mehr aufgegriffen. Hingegen behauptet die Gemeinde nun, das Initiativbegehren sei am 16. Oktober 2006 direkt behandelt und angenommen worden.
2.2 Der Beschwerdeführer bemängelt, dass im angefochtenen Entscheid gegensätzliche Aussagen zur Frage zu finden sind, ob am 16. Oktober 2006 eine Erheblicherklärung oder eine definitive Annahme erfolgt war. Es ist richtig, dass das Kantonsgericht im angefochtenen Entscheid insofern teils von einer Annahme des Antrags, teils von einer Erheblicherklärung spricht. Dabei hat es die Tragweite der unterschiedlichen Qualifikationen nicht mit Bezug auf den konkreten Fall behandelt. Es legte auch nicht dar, ob die direkte Annahme des selbständigen Antrags eines Stimmberechtigten durch die Gemeindeversammlung ohne Vorlage des Gemeinderats zulässig ist, obwohl die bei E. 1.4 hiervor wiedergegebenen Ausführungen ein solches Vorgehen auszuschliessen scheinen. Beim gegebenen Streitgegenstand (vgl. E. 1.3 hiervor) genügt es nicht, nur die Rechtzeitigkeit der Vorlegung des Antrags im Sinne einer Erheblicherklärung zu überprüfen. Folglich konnte nicht im Ergebnis offengelassen werden, ob das Initiativbegehren am 16. Oktober 2006 angenommen oder erheblich erklärt worden war. Zusammengefasst erweisen sich die Erwägungen des Kantonsgerichts zur Würdigung des Beschlusses vom 16. Oktober 2006 als in sich widersprüchlich bzw. mangelhaft. Dieser Widerspruch lässt sich nicht auflösen und verunmöglicht dem Bundesgericht eine Überprüfung.
2.3 Es muss nicht erörtert werden, ob der Begründungsmangel im angefochtenen Entscheid die Tatsachenfeststellung oder die Rechtsanwendung betrifft. Mit der Wendung "offensichtlich unrichtig" wird in <ref-law> bezüglich der Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz verlangt, dass der Beschwerdeführer Willkür darzutun hat (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Eine in sich widersprüchliche Argumentation der vorliegenden Art verstösst gegen das in <ref-law> verankerte Willkürverbot (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 339 mit Hinweisen). Dies führt zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Sache ist zu neuer Beurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen (<ref-law>). Bei diesem Ausgang sind der Gemeinde keine Kosten aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat sich nicht anwaltlich vertreten lassen. Es ist auch nicht ersichtlich, dass ihm das Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht einen ausserordentlichen Aufwand verursacht hätte. Deshalb ist ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 446 mit Hinweis).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, vom 6. Juni 2007 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Beurteilung an das Kantonsgericht zurückgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Einwohnergemeinde Muttenz, dem Regierungsrat und dem Kantonsgericht des Kantons Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kessler Coendet