Sachverhalt:
A. Die 1950 geborene C._, als gelernte Büroangestellte bei der Allianz Suisse Versicherungsgesellschaft (nachfolgend: Allianz) gegen Unfälle versichert, erlitt am 31. Mai 1997 einen Fahrradunfall, bei welchem sie sich ein schweres Schädel-Hirn-Trauma, eine Orbitadach-Fraktur, multiple Kontusionsherde und eine Schädelbasisfraktur zuzog. Aufgrund dieses Unfalles erhält die Versicherte seit dem 1. Juni 2006 von der Allianz ein Taggeld in der Höhe von 50 %.
Am 3. März 2004 erlitt C._ einen weiteren Fahrradunfall, bei welchem sie eine zweitgradig offene Pilon-Tibiale-Luxationsfraktur links sowie eine laterale Tibiakopfspalt- und Impressionsfraktur links erlitt. Zu diesem Zeitpunkt war sie bei der SWICA Gesundheitsorganisation (nachfolgend: SWICA) unfallversichert, welche in der Folge Heilungskosten und Taggeldleistungen erbrachte. Mit Verfügung vom 26. April 2006 stellte die SWICA ihre Leistungen per 31. Mai 2006 ein mit der Begründung, die Versicherte sei ab diesem Zeitpunkt durch den Unfall vom 3. März 2004 in der Arbeitsfähigkeit nicht mehr eingeschränkt. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 28. August 2006 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit Entscheid vom 16. Januar 2007 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt C._ beantragen, es sei festzustellen, dass sie aufgrund der beiden Unfälle zu 100 % arbeitsunfähig sei, und die SWICA sei zu verpflichten, ihr ein Taggeld im Rahmen einer 50%igen Arbeitsunfähigkeit zu bezahlen.
Die SWICA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen einen Entscheid über die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG sowie wegen unrichtiger oder unvollständiger Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts (<ref-law>) erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (<ref-law>).
1.2 Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen und Grundsätze über den Anspruch auf Leistungen der Unfallversicherung (<ref-law>), insbesondere die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht erforderlichen natürlichen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) und adäquaten (<ref-ruling> E. 3.2 S. 181 mit Hinweis) Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden sowie zum im Sozialversicherungsrecht massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die SWICA über den 31. Mai 2006 hinaus eine Leistungspflicht trifft.
2.1 Die Vorinstanz hat in Würdigung der medizinischen Aktenlage, namentlich des polydisziplinären Gutachtens der Dres. med. M._ und E._ vom 2. März 2006 überzeugend dargelegt, dass die Arbeitsfähigkeit der Versicherten in einer leidensangepassten Tätigkeit in somatischer Hinsicht nach dem Datum der Leistungseinstellung per 31. Mai 2006 durch den Unfall vom 3. März 2004 nicht mehr eingeschränkt war. Die leistungsreduzierenden Beschwerden in psychischer Hinsicht - so das kantonale Gericht - seien auf den Unfall vom 31. Mai 1997 zurückzuführen, wofür nicht die SWICA, sondern der vorherige Unfallversicherer (Allianz) leistungspflichtig sei. Deshalb habe die SWICA zu Recht ihre Leistungen per 31. Mai 2006 eingestellt.
2.2 Die Beschwerdeführerin lässt dagegen im Wesentlichen geltend machen, das kantonale Gericht habe sich nicht mit dem Bericht des Dr. med. S._, Leitender Arzt im Spital A._ vom 20. Dezember 2006 auseinandergesetzt, sondern sei in willkürlicher Weise vom Vorrang des Gutachtens der Dres. med. M._ und E._ vom 2. März 2006 ausgegangen.
2.3 Dieser Auffassung kann nicht gefolgt werden. Das kantonale Gericht hat überzeugend begründet, weshalb auf das umfassende und schlüssige polydisziplinäre Gutachten der Dres. med. M._ und E._, welches den Anforderungen der Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 3a S. 352) entspricht, abgestellt werden kann. Der Bericht des Dr. med. S._ vom 20. Dezember 2006 wurde rund vier Monate nach Erlass des Einspracheentscheides verfasst und gibt den aktuellen Befund zu diesem Zeitpunkt wieder. Insofern ist er für die Beurteilung der Situation im massgebenden Zeitpunkt des Einspracheentscheides (<ref-ruling> E. 1 S. 169 mit Hinweis) nicht relevant. Selbst wenn davon ausgegangen würde, die Äusserungen des Dr. med. S._ bezögen sich bereits auf den Zeitraum vor Erlass des Einspracheentscheides, vermögen sie - wie das kantonale Gericht zu Recht darlegt - in ihrer Knappheit die Schlussfolgerungen des umfassenden polydisziplinären Gutachtens nicht zu erschüttern oder gar zu widerlegen. So vermerkte Dr. med. S._ übereinstimmend mit den Dres. med. M._ und E._, vorwiegend stehende/gehende Tätigkeiten seien der Beschwerdeführerin aufgrund der Kniebeschwerden nicht mehr zumutbar. Er führte jedoch keine Begründung dafür an, weshalb eine vorwiegend sitzende Bürotätigkeit, welche im polydisziplinären Gutachten schlüssig begründet als zumutbar erachtet wurde, nicht möglich sein sollte und äusserte sich gar nicht zu einer möglichen leidensangepassten Tätigkeit.
2.4 Da somit per 31. Mai 2006 keine die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigende Folgen des zweiten Unfallereignisses vom 3. März 2004 mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sind, hat die SWICA ihre Leistungen zu Recht auf diesen Zeitpunkt eingestellt.
3. Die Gerichtskosten werden der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Februar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch