Sachverhalt:
A.
X._ hatte bei der Gesundheitsdirektion des Kantons Zug (nachfolgend: Gesundheitsdirektion) um Einsicht in die Patientenakte ihrer verstorbenen Mutter ersucht. Mit Verfügung vom 30. Oktober 2012 trat die Gesundheitsdirektion auf das Begehren nicht ein, worauf X._ Beschwerde beim Regierungsrat einreichte. Die für die Durchführung des Beschwerdeverfahrens zuständige Sicherheitsdirektion des Kantons Zug (nachfolgend: Sicherheitsdirektion) setzte X._ am 7. Dezember 2012 eine Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses bis zum 4. Januar 2013.
Am 17. Dezember 2012 ersuchte X._ um Kostenbefreiung gemäss § 25 Abs. 1 lit. a des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zug vom 1. April 1976 (BGS 162.1; nachfolgend: VRG/ZG). Diese Bestimmung erlaubt die Herabsetzung oder den Erlass von Verfahrenskosten, wenn die Parteien an einer Streitsache nicht wirtschaftlich interessiert sind. Mit Schreiben vom 28. Dezember 2012 teilte die Sicherheitsdirektion X._ mit, ihr Antrag auf Kostenbefreiung sei entgegengenommen worden und der Regierungsrat werde darüber befinden. Ungeachtet von dessen Entscheid sei jedoch der Kostenvorschuss innert der angesetzten Frist zu bezahlen; im Fall einer Kostenbefreiung nach § 25 Abs. 1 lit. a VRG/ZG werde er zurückerstattet. Darüber hinaus wurde X._ auf die Möglichkeit der Einreichung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege hingewiesen und ihr das entsprechende Formular zugesandt. Mit Eingabe vom 8. Januar 2013 bestritt X._ (weiterhin) die Rechtmässigkeit des Kostenvorschusses, worauf ihr die Sicherheitsdirektion dessen Zweck und die Folgen der Nichtbezahlung am 11. Januar 2013 nochmals schriftlich erläuterte. Gleichzeitig wurde die Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses bzw. zur Einreichung des ausgefüllten Gesuchsformulars bis zum 21. Januar 2013 erstreckt. Als nach Ablauf dieser Frist weder der Kostenvorschuss noch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eingegangen waren, schrieb die Sicherheitsdirektion das Beschwerdeverfahren am 31. Januar 2013 als erledigt ab. Für diesen Entscheid wurden keine Kosten erhoben.
B.
Gegen den Abschreibungsentscheid vom 31. Januar 2013 gelangte X._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Zug (nachfolgend: Verwaltungsgericht). Dieses versandte am 12. April 2013 die Vernehmlassung der Sicherheitsdirektion vom 10. April 2013 per Einschreiben an X._. Die Zwischenverfügung des Verwaltungsgerichts vom 12. April 2013 enthielt folgenden Hinweis:
"Im oben erwähnten Verfahren erhalten Sie ein Doppel der dem Gericht eingereichten Vernehmlassung zur Kenntnisnahme. Damit ist der Schriftenwechsel unter Vorbehalt allfälliger Beweisabnahmen abgeschlossen."
Am 15. April 2013 wurde X._ die Zustellung der Zwischenverfügung vom 12. April 2013 ins Postfach avisiert. Sie nahm die Sendung am 22. April 2013 am Postschalter entgegen.
Mit Urteil vom 30. April 2013 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde gegen den Abschreibungsentscheid vom 31. Januar 2013 ab. Der Versand des Urteils mittels Gerichtsurkunde erfolgte am 15. Mai 2013; X._ nahm das Urteil am 24. Mai 2013 am Postschalter in Empfang.
C.
X._ erhebt am 24. Juni 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und beantragt sinngemäss, das angefochtene Urteil aufzuheben.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion und die Gesundheitsdirektion verzichten ausdrücklich auf eine Stellungnahme. X._ lässt sich mit Bemerkungen vom 22. September 2013 vernehmen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil bestätigt einen Abschreibungsentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (bei einer Gesundheitsbehörde beantragte Einsicht in Patientenakten) und unterliegt damit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>). Vorinstanz ist eine letztinstanzliche kantonale Gerichtsbehörde im Sinn von <ref-law> und <ref-law>. Eine Ausnahme nach <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerde ist zulässig.
1.2. Die Beschwerdeführerin hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Sie ist durch das angefochtene Urteil besonders berührt und hat an dessen Aufhebung oder Änderung ein schutzwürdiges Interesse. Sie ist gemäss <ref-law> zur Beschwerdeführung legitimiert.
1.3. Auf die im Übrigen frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Verletzung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht bildet keinen eigenständigen Rügegrund; sie wird nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür geprüft (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 318 mit Hinweisen). Diesbezüglich gilt, wie generell in Bezug auf die Verletzung von Grundrechten, eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
3.
Streitgegenstand bildet die Frage, ob die Vorinstanz den Abschreibungsentscheid der Sicherheitsdirektion vom 31. Januar 2013 zu Recht bestätigt hat. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin betreffend den Nichteintretensentscheid der Gesundheitsdirektion sind vom Streitgegenstand nicht erfasst und daher unbeachtlich.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Die Vorinstanz habe ihr die Vernehmlassung der Sicherheitsdirektion zugestellt und gleichzeitig den Schriftenwechsel abgeschlossen. Indem die Vorinstanz ihr keine Gelegenheit gegeben habe, sich zu der Vernehmlassung der Sicherheitsdirektion zu äussern, habe sie das Replikrecht gemäss <ref-law> sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt.
Die Vorinstanz führt an, sie habe der Beschwerdeführerin die Vernehmlassung am 12. April 2013 eingeschrieben zugestellt, ohne einen weiteren Schriftenwechsel anzuordnen. Die Beschwerdeführerin hätte dennoch replizieren können. Bis zur Zustellung des Urteils habe sie nicht reagiert und damit offensichtlich auf eine Replik verzichtet.
Die Beschwerdeführerin entgegnet, die Vernehmlassung der Sicherheitsdirektion sei ihr erst am 22. April 2013 zugegangen. Die Frist von nur sechs Tagen bis zur Urteilsfällung am 30. April 2013 sei zu kurz gewesen, um eine Stellungnahme einzureichen. Die Vorinstanz hätte ihr eine angemessene Frist einräumen müssen.
4.2. Das Recht, angehört zu werden, ist formeller Natur. Dessen Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels grundsätzlich zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.6.1 S. 285). Diese Rüge ist deshalb vorweg zu behandeln (<ref-ruling> E. 5.1 S. 237).
Eine nicht besonders schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs kann ausnahmsweise als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Rechtsmittelinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt wie auch die Rechtslage frei überprüfen kann bzw. in Bezug auf den vom Gehörsmangel betroffenen Aspekt eine freie Kognition hat (Urteil 2D_15/2013 vom 24. Juli 2013 E. 4.3). Unter dieser Voraussetzung ist darüber hinaus - im Sinn einer Heilung des Mangels - selbst bei einer schwerwiegenden Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör von einer Rückweisung der Sache an die Vorinstanz abzusehen, wenn und soweit die Rückweisung zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem (der Anhörung gleichgestellten) Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f.; <ref-ruling> E. 4.2.2.2 S. 126 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 204 f.).
4.3. Nach der Rechtsprechung fliesst aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK für die Parteien eines Gerichtsverfahrens ein "Recht auf Kenntnisnahme von und Stellungnahme zu Eingaben der übrigen Verfahrensbeteiligten"; dieses Recht hängt - im Gegensatz zum Replikrecht gemäss <ref-law>, welcher auch im Verwaltungs (beschwerde) verfahren zur Anwendung kommt - nicht von der Entscheidrelevanz der replikauslöseden Eingabe ab (<ref-ruling> E. 2.3.2 und E. 2.3.3). Das Replikrecht gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK besteht auch ohne Fristansetzung ( FRANK SCHÜRMANN, Rechtliches Gehör, Waffengleichheit, Zustellung von Eingaben - Präzisierung der Rechtsprechung. Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte vom 15. November 2012 in Sachen Joos gegen die Schweiz, ZBJV 149/2013 S. 292); die beschwerdeführende Partei hat jedoch ihre Stellungnahme unverzüglich zu beantragen bzw. einzureichen, andernfalls das Gericht annehmen darf, sie habe darauf verzichtet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 99 f.; <ref-ruling> E. 3.3.3 und E. 3.3.4; vgl. auch Urteil des EGMR Joos gegen Schweiz vom 15. November 2012 [43245/07] § 32).
4.4. Aus dieser Rechtsprechung ergibt sich, dass die Rüge der Beschwerdeführerin, es hätte ihr eine Frist zur Stellungnahme angesetzt werden müssen, unbegründet ist. Hingegen hat das Bundesgericht schon vor dem zitierten Urteil Joos, in Berücksichtigung der früheren (strengeren) Praxis des EGMR zum Replikrecht, festgehalten, dass Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt ist, wenn ein Gericht bei der Zustellung einer Vernehmlassung an die beschwerdeführende Partei zum Ausdruck bringt, der Schriftenwechsel sei geschlossen; damit wird der Partei die Möglichkeit zur Stellungnahme abgeschnitten (BGE <ref-ruling> E. 3.3.2 mit Hinweis auf die Urteile des EGMR Contardi gegen Schweiz vom 12. Juli 2005 [7020/02] Ziff. 36, 45 und Spang gegen Schweiz vom 11. Oktober 2005 [45228/99] Ziff. 14, 33). Diese Praxis wurde mit dem Urteil Joos nicht gelockert: Dort wurde lediglich entschieden, dass es zulässig ist, nach Ablauf einer "vernünftigen Frist" (in casu ca. drei Wochen) vom Verzicht auf die Replik auszugehen, wenn die Vernehmlassung der Partei ohne Fristansetzung zugestellt worden war. Es ist deswegen weiterhin davon auszugehen, dass die Mitteilung, der Schriftenwechsel sei abgeschlossen, eine Verletzung des Replikrechts darstellt.
Dies gilt auch im vorliegenden Fall. Der Einschub "unter Vorbehalt allfälliger Beweisabnahmen" vermag daran nichts zu ändern, geht doch daraus nicht eindeutig hervor, ob Beweisanerbieten mitgemeint waren; zudem umfasst das Replikrecht nicht nur den Sachverhalt, sondern auch die rechtliche Würdigung. Die Vorinstanz hat das Replikrecht der Beschwerdeführerin missachtet, indem sie mit Zwischenverfügung vom 12. April 2013 den Schriftenwechsel für abgeschlossen erklärte. Bei der nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin konnte dadurch der Eindruck entstehen, eine nicht auf Beweisfragen gerichtete Äusserung sei nicht erwünscht bzw. werde beim Entscheid nicht berücksichtigt.
4.5. Mit Blick auf dieses Zwischenergebnis kann offen gelassen werden, wann die Vorinstanz ihr Urteil fällen durfte in der (berechtigten) Annahme, die Beschwerdeführerin habe auf eine Replik verzichtet. Dies wäre nur zu prüfen gewesen, wenn die Vorinstanz der Beschwerdeführerin die Vernehmlassung zur Kenntnisnahme (ohne Fristansetzung) zugestellt hätte, ohne den Hinweis, der Schriftenwechsel sei abgeschlossen (vgl. E. 4.3).
4.6. Es bleibt zu prüfen, ob die Verletzung des rechtlichen Gehörs im bundesgerichtlichen Verfahren geheilt werden kann. Grundsätzlich ist dies möglich, wenn das Bundesgericht im betroffenen Bereich über die gleiche Kognition verfügt wie die Vorinstanz (vgl. E. 4.2; <ref-ruling> E. 4.9 S. 105).
Bei § 26 Abs. 2 VRG/ZG, welcher die Rechtsgrundlage für den Abschreibungsentscheid bildet, handelt es sich um eine Kann-Bestimmung. Weil das Bundesgericht in Bezug auf die Auslegung von kantonalem Gesetzesrecht nur über eine eingeschränkte Kognition verfügt (vgl. E. 2.1), steht ihm trotz der unbestrittenen Tatsache, dass der Kostenvorschuss innert Frist nicht geleistet wurde, nicht der gleiche Beurteilungsspielraum zu wie der Vorinstanz. Eine Heilung der Verletzung des Replikrechts im bundesgerichtlichen Verfahren ist daher ausgeschlossen.
5.
Aus dem Gesagten ergibt sich, dass die Beschwerde gutzuheissen und das angefochtene Urteil aus formellen Gründen aufzuheben ist. Bei diesem Ergebnis sind die übrigen Rügen der Beschwerdeführerin nicht zu prüfen. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese nach Gewährung des Replikrechts über die Rechtmässigkeit des Abschreibungsentscheids neu befinde.
Die obsiegende Beschwerdeführerin hat keine Gerichtskosten zu tragen (<ref-law> e contrario). Der unterliegenden Vorinstanz sind keine Kosten aufzuerlegen (<ref-law>). Die nicht vertretene Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung, da keine notwendigen Kosten im Sinn von <ref-law> entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug vom 30. April 2013 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Gewährung des Replikrechts und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Verwaltungsrechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Oktober 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner