Sachverhalt:
A. Die X._ AG fragte mit Schreiben vom 7. September 2009 das Handelsgericht des Kantons Zürich an, wie viele Taggelder drei Handelsrichter in einem Verfahren erhalten hätten, welches mit Urteil vom 7. Mai 2008 abgeschlossen worden war. Der Handelsgerichtspräsident antwortete, die X._ AG habe auch als Prozesspartei keinen Anspruch auf diese Auskunft. In der Folge beharrte die X._ AG jedoch auf ihrem Gesuch. Mit Beschluss vom 6. Januar 2010 wies die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich das Gesuch förmlich ab. Zur Begründung führte es an, dass gemäss § 23 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 12. Februar 2007 über die Information und den Datenschutz (IDG; LS 170.4) die Bekanntgabe von Informationen ganz oder teilweise verweigert oder aufgeschoben werden könne, wenn eine rechtliche Bestimmung oder ein überwiegendes öffentliches oder privates Interesse entgegenstehe. Vorliegend würde durch die Bekanntgabe offen gelegt, wie viel Zeit die Richter für das Verfahren aufgewendet hätten, und es wären Rückschlüsse auf deren Besoldung möglich. Auch würde die Aufgabenerfüllung der Gerichte erheblich beeinträchtigt.
Als Rechtsmittel gegen seinen Beschluss nannte die Verwaltungskommission die Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Auf die von der X._ AG in der Folge erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht indessen mit Beschluss vom 19. Februar 2010 nicht ein.
B. Mit zwei verschiedenen Eingaben vom 31. März 2010 erhob die X._ AG gegen den Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts (Verfahren 1C_177/2010) und gegen den Beschluss des Verwaltungsgerichts (Verfahren 1C_179/2010) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Im Verfahren 1C_177/2010 beantragte sie, der Beschluss der Verwaltungskommission sei aufzuheben und das Obergericht sei zu verpflichten, ihr mitzuteilen, wie viele Taggelder den Handelsrichtern Dr. Viktor Müller, Dr. Rolf Dürr und Thomas Klein bis zur Urteilsfällung am 7. Mai 2008 zugesprochen worden seien. Im Verfahren 1C_179/2010 beantragte sie, der Beschluss des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und das Obergericht sei zu verpflichten, ihr die genannten Informationen zu geben. Eventualiter sei die Sache an das Verwaltungsgericht zur Beurteilung der Beschwerde zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht und die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Beide angefochtenen Entscheide hängen inhaltlich eng zusammen. Es rechtfertigt sich, die Beschwerdeverfahren zu vereinigen und die Sache in einem einzigen Urteil zu behandeln.
2. Das vorliegende Verfahren geht auf ein Gesuch der Beschwerdeführerin gestützt auf das Gesetz des Kantons Zürich über die Information und den Datenschutz zurück. Dabei handelt es sich um öffentliches Recht. Der ablehnende Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts ist ein Verwaltungsakt und der in der Folge ergangene Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts deshalb mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anfechtbar (<ref-law>; vgl. zur Publ. bestimmtes Urteil 1C_444/2009 vom 14. Januar 2010 E. 1.1 und dort zitierte Entscheide).
Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und macht geltend, das Verwaltungsgericht habe durch den Nichteintretensentscheid Bundesrecht verletzt. Zu dieser Rüge ist sie im bundesgerichtlichen Verfahren ungeachtet ihrer Legitimation in der Sache berechtigt (<ref-law>, vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 301; <ref-ruling> E. 3b S. 167).
Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind in Bezug auf das Verfahren 1C_179/2010 erfüllt, weshalb auf diese Beschwerde einzutreten ist.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung der Rechtsweggarantie von <ref-law>. Die Verwaltungskommission habe keine Rechtsprechungsfunktion ausgeübt, als sie das Gesuch um Information beurteilte. Zudem habe das Obergericht in eigener Sache gehandelt und könne deshalb nicht unparteiisch sein und ein faires Verfahren gewährleisten.
3.2 Gemäss <ref-law> hat jede Person bei Rechtsstreitigkeiten Anspruch auf Beurteilung durch eine richterliche Behörde. Bund und Kantone können durch Gesetz die richterliche Beurteilung in Ausnahmefällen ausschliessen. Das Verwaltungsgericht argumentiert, die Verwaltungskommission des Obergerichts erfülle bereits alle Anforderungen, welche <ref-law> an eine richterliche Behörde stelle. Dabei übersieht es, dass die Verwaltungskommission vorliegend als erste Instanz eine Verfügung erliess. Sie handelte dabei im Rahmen eines nichtstreitigen Verwaltungsverfahrens und nahm damit Rechtsanwendung, nicht aber Rechtsprechung vor (vgl. ULRICH HÄFELIN/GEORG MÜLLER/FELIX UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5. Aufl. 2006, Rz. 12 und 1609; a.M. RUTH HERZOG, Auswirkungen auf die Staats- und Verwaltungsrechtspflege in den Kantonen, in: BTJP 2006, S. 106 f.). Erst nach dem Zeitpunkt, in welchem die Verwaltungskommission ihren Beschluss gefällt hatte, konnte mithin von einer Rechtsstreitigkeit im Sinne von <ref-law> gesprochen werden. Folglich hatte die Beschwerdeführerin Anspruch darauf, die so entstandene Streitigkeit von einer richterlichen Behörde beurteilen zu lassen. Dieser Anspruch kann im bundesgerichtlichen Verfahren nicht erfüllt werden, denn das Bundesgericht nimmt keine uneingeschränkte Kontrolle des Sachverhalts und der Rechtsanwendung vor (Art. 105 und Art. 95 BGG). Indem das Verwaltungsgericht mit der Begründung, es sei nicht zuständig, auf die Beschwerde nicht eintrat, verletzte es deshalb <ref-law>.
4. 4.1 Nach dem Gesagten wurde der Anspruch der Beschwerdeführerin, die Rechtsstreitigkeit durch eine richterliche Behörde beurteilen zu lassen, verletzt. Es erübrigt sich damit, auf ihre weiteren Rügen einzugehen. Die Beschwerde gegen den Beschluss des Verwaltungsgerichts (Verfahren 1C_179/2010) ist gutzuheissen. Der Beschluss ist aufzuheben und die Angelegenheit an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Dieses hat einen materiellen Entscheid zu fällen oder die Sache einer anderen richterlichen Behörde zu überweisen, welche den Anforderungen von Art. 29a und Art. 30 Abs. 1 BV genügt (vgl. Urteil 8C_453/2009 vom 7. April 2010 E. 2.3).
4.2 Die Beschwerde gegen den Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts (Verfahren 1C_177/2010) wird damit gegenstandslos.
4.3 Gerichtskosten sind bei diesem Verfahrensausgang nicht zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zürich hat der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 1C_177/2010 und 1C_179/2010 werden vereinigt.
2. Die Beschwerde im Verfahren 1C_179/2010 wird gutgeheissen. Der Beschluss des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 19. Februar 2010 wird aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
3. Die Beschwerde im Verfahren 1C_177/2010 wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5. Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
6. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Mai 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold