Sachverhalt:
A. A.a Die X._ AG mit Sitz in L._ bezweckt laut Handelsregistereintrag vom 22. Dezember 2000 "den Erwerb, Besitz und Betrieb von Luftfahrzeugen aller Art und die Durchführung von Flügen sowie die Ausübung damit zusammenhängender Tätigkeiten". Alleinaktionär ist A._. Die Gesellschaft ist mit Wirkung ab 5. Januar 2001 im Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragen.
Mit Kaufvertrag vom 5. Januar 2001 erwarb die Gesellschaft ein Flugzeug des Typs B._ zum Preise von USD 3'791'501.20. Am 22./23. März 2001 schloss sie mit der in F._ domizilierten T._ AG einen als Flight Operation Agreement bezeichneten Aircraft-Managementvertrag ab. Sie übertrug damit der T._ AG Betrieb und Unterhalt des Flugzeugs. Diese hatte insbesondere die Besatzung zur Verfügung zu stellen. Das Flugzeug wurde zumindest anfänglich ausschliesslich für A._ verwendet.
In der Mehrwertsteuer-Abrechnung für das 1. Quartal 2001 deklarierte die X._ AG einen steuerbaren Umsatz von Fr. 54'000.-- (Steuerbetrag Fr. 4'104.--) und anrechenbare Vorsteuern von Fr. 458'790.50 (wovon rund Fr. 450'000.-- auf den Kauf des Flugzeugs entfielen). Das ergab ein Guthaben von Fr. 454'686.50, das der Gesellschaft nach einer Korrektur (Ergänzungsabrechnung Nr. 471778 vom 6. Dezember 2001) mit Fr. 454'110.50 ausbezahlt wurde.
In der Mehrwertsteuer-Abrechnung für das 2. Quartal 2001 deklarierte die Gesellschaft einen steuerbaren Umsatz von Fr. 150'000.-- (Steuerbetrag Fr. 11'400.--) und Vorsteuern von Fr. 9'453.60, womit sich die Steuer auf Fr. 1'946.40 reduzierte. In der Abrechnung für das 3. Quartal 2001 betrugen der Umsatz null Franken und die Vorsteuern Fr. 8'703.93 (Guthaben Fr. 8'703.93). In der Abrechnung für das 4. Quartal 2001 vom 2. Mai 2002 wurden ein Umsatz von Fr. 420'550.--, abzüglich steuerbefreite Leistungen ins Ausland (Auslandflüge) von Fr. 407'872.-- (Steuerbetrag Fr. 963.53) sowie Vorsteuern von Fr. 8'302.31 deklariert. Das ergab, zusammen mit einem Anspruch auf Berichtigung von bereits abgerechneten Umsätzen von Fr. 15'504.--, ein Guthaben von Fr. 22'842.78. Gemäss einer "Rechnung Flugstunden 2001" der X._ AG vom 25. März 2002 wurden A._ im Jahre 2001 Flugstunden für Auslandflüge von insgesamt Fr. 407'872.-- (steuerbefreit) und für Inlandflüge von Fr. 13'641.53 (inkl. 7.6 % Mehrwertsteuer) in Rechnung gestellt.
Für das 1. Quartal 2002 belief sich der Umsatz auf Fr. 100'000.--, abzüglich Leistungen im Ausland von Fr. 90'940.-- und Vorsteuern von Fr. 8'879.90 (Guthaben Fr. 8'191.34). Für die folgenden Quartale des Jahres 2002 erfolgten Abrechnungen mit ähnlichen Zahlen.
A.b Am 3. Juni 2003 fällte die Eidgenössische Steuerverwaltung folgenden Entscheid:
1. Die X._ AG wird mit Wirkung per 31. Dezember 2002 aus dem Register der Mehrwertsteuerpflichtigen gelöscht.
2. Die X._ AG hat die für die Steuerperiode des 1. Quartals 2001 zu Unrecht bezogenen Vorsteuerüberschüsse zurückzuerstatten.
3. Die X._ AG schuldet demnach und hat der ESTV zu bezahlen
Fr. 452'164.10 Mehrwertsteuer zuzüglich Verzugszins zu 5 % seit dem 7. November 2001.
4. Die von der X._ AG für die Steuerperioden 3. Quartal 2001 bis 4. Quartal 2002 vorgenommenen Deklarationen werden auf Fr. 0.-- Umsatz und Fr. 0.-- Vorsteuerabzug korrigiert.
Zur Begründung führte die Eidgenössische Steuerverwaltung im Wesentlichen aus, es liege eine Steuerumgehung vor; sie müsse sich die Existenz der X._ AG nicht entgegenhalten lassen. Eine Einsprache gegen diesen Entscheid wurde mit Verfügung vom 12. Juli 2004 abgewiesen.
B. Die X._ AG führte gegen den Einspracheentscheid Beschwerde bei der Eidgenössischen Steuerrekurskommission. Mit Entscheid vom 27. September 2007 hiess das Bundesverwaltungsgericht, welches inzwischen das Verfahren übernommen hatte, die Beschwerde im Sinne der Erwägungen gut und stellte fest, die Eidgenössische Steuerverwaltung schulde der Beschwerdeführerin die Vorsteuerguthaben von insgesamt Fr. 54'383.05 gemäss Quartalsabrechnungen vom 3. Quartal 2001 bis und mit 4. Quartal 2002 inklusive Vergütungszins zu 5 % für die Zeit vom 61. Tag nach Eintreffen der jeweiligen Abrechnung bei der Vorinstanz bis zur Auszahlung.
Das Gericht gelangte zum Ergebnis, die Beschwerdeführerin sei ab Anfang 2001 subjektiv mehrwertsteuerpflichtig gewesen und ihre Steuerpflicht habe Ende 2002 nicht geendet; sie habe die Vorsteuern zu Recht geltend gemacht und eine Steuerumgehung liege nicht vor.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Eidgenössische Steuerverwaltung dem Bundesgericht, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 27. September 2007 sei aufzuheben und der Einspracheentscheid sei zu bestätigen.
Die X._ AG beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, das angefochtene Urteil sei zu bestätigen und die ESTV anzuweisen, die Beschwerdegegnerin rückwirkend auf den 31. Dezember 2002 ins Register der Mehrwertsteuerpflichtigen einzutragen.
Das Bundesverwaltungsgericht hat auf die Einreichung einer Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Eine Ausnahme gemäss <ref-law> ist nicht gegeben. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher zulässig (Art. 82, 86 Abs. 1 lit. a BGG). Die Eidgenössische Steuerverwaltung ist zu ihrer Erhebung legitimiert (<ref-law> in Verbindung mit Art. 5 und 17 der Organisationsverordnung für das Eidgenössische Finanzdepartement vom 11. Dezember 2000, SR 172.215.1, und Art. 45b Abs. 2 der Verordnung zum Bundesgesetz über die Mehrwertsteuer vom 29. März 2000 (MWSTGV, SR 641.201).
1.2 Auf den Antrag der Beschwerdegegnerin, die ESTV sei anzuweisen, sie rückwirkend auf den 31. Dezember 2002 als Mehrwertsteuerpflichtige ins Register der Mehrwertsteuerpflichtigen einzutragen, kann nicht eingetreten werden, da die Beschwerdegegnerin nicht selbständig Beschwerde erhoben hat und das Bundesgerichtsgesetz das Institut der Anschlussbeschwerde nicht kennt.
2. Es ist unbestritten, dass die Beschwerdegegnerin gegenüber A._ Beförderungsleistungen erbracht und dass sie dafür ein Entgelt erhalten hat. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin liegt klarerweise ein Leistungsaustausch vor, und zwar unabhängig davon, ob die Flüge zu geschäftlichen oder zu privaten Zwecken des Dienstleistungsempfängers erfolgten. Solche Dienstleistungen unterliegen der Mehrwertsteuer, wenn sie im Inland erbracht werden (Art. 5 lit. b des Bundesgesetzes über die Mehrwertsteuer vom 2. September 1999, MWSTG; SR 641.20). Als Ort von Beförderungsleistungen gilt gemäss <ref-law> das Land, in dem eine zurückgelegte Strecke liegt. Steuerbar sind daher nur die auf das Inland entfallenden Streckenteile. Die auf das Ausland entfallenden Streckenteile sind der schweizerischen Mehrwertsteuer nicht unterworfen. Grenzüberschreitende Beförderungen im Luftverkehr, d.h. solche, bei denen entweder der Ankunfts- oder der Abflugsort im Inland liegt, sind aber von der Steuer befreit (<ref-law> in Verbindung mit Art. 6 Abs. 1 lit. a MWSTGV). Es handelt sich, soweit es sich um die Beförderung auf dem inländischen Streckenteil handelt, um eine echte Steuerbefreiung, weil die Vorsteuer abgezogen werden kann (<ref-law>). Das Recht auf Vorsteuerabzug besteht aber bei grenzüberschreitender Beförderung auch für den auf das Ausland entfallenden, der schweizerischen Mehrwertsteuer nicht unterliegenden Streckenteil. Das ergibt sich aus <ref-law>, wonach der Steuerpflichtige die Vorsteuern auch abziehen kann, wenn er die Gegenstände oder Dienstleistungen für Tätigkeiten verwendet, die steuerbar wären, wenn sie im Inland bewirkt würden (vgl. zum Ganzen das in ASA 71 S. 564 publizierte Urteil 2A.55/1999 vom 23. Januar 2001, E. 4a). Das trifft bei den hier streitigen Beförderungsleistungen zu. Der für den Vorsteuerabzug erforderliche Konnex zwischen diesen Tätigkeiten und den steuerbelastet bezogenen Vorleistungen ist gegeben.
3. Der grösste Teil der von der Beschwerdegegnerin erbrachten Beförderungsleistungen entfiel auf grenzüberschreitende Flüge, die nach dem Gesagten von der Steuer befreit sind, aber dennoch zum Vorsteuerabzug berechtigen. Auf die der Mehrwertsteuer unterliegenden reinen Inlandflüge entfiel nur ein unbedeutender Teil. Die Beschwerdegegnerin schuldete daher nur verhältnismässig geringe Mehrwertsteuern. Diesen standen jedoch beträchtliche Vorsteuerguthaben gegenüber. Insbesondere ergab sich im 1. Quartal 2001 allein aus dem Erwerb des Flugzeugs ein Vorsteuerbetrag von rund Fr. 450'000.--. Auch in den folgenden Quartalen überstiegen die Vorsteuerguthaben jeweils die geschuldeten Mehrwertsteuern. Solche Vorsteuerüberhänge sind bei Steuerpflichtigen, die vorwiegend von der Steuer befreite Umsätze im Sinne von <ref-law> erzielen, nichts Aussergewöhnliches. <ref-law> schreibt denn auch ausdrücklich vor, dass der Überschuss dem Steuerpflichtigen ausbezahlt wird, wenn die abziehbaren Vorsteuern die geschuldete Steuer übersteigen. Die Vorinstanz hat die Beschwerdeführerin daher grundsätzlich zu Recht zur Rückerstattung der geltend gemachten Vorsteuerguthaben verpflichtet, soweit diese nicht bereits rückerstattet worden waren. Die Höhe dieser Guthaben ist an sich nicht streitig.
4. Es stellt sich jedoch die Frage der Steuerumgehung.
4.1 Eine Steuerumgehung wird nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 635 f.; StR 59/2004 S. 127, 2A.470/2002, E. 4.1 u. 5.1; StE 2001 A 12 Nr. 10, 2A.580/2000, E. 2c, je mit Hinweisen) angenommen, wenn (1.) eine von den Beteiligten gewählte Rechtsgestaltung als ungewöhnlich (insolite), sachwidrig oder absonderlich, jedenfalls den wirtschaftlichen Gegebenheiten völlig unangemessen erscheint, (2.) anzunehmen ist, dass die gewählte Rechtsgestaltung missbräuchlich lediglich deshalb getroffen wurde, um Steuern einzusparen, die bei sachgemässer Ordnung der Verhältnisse geschuldet wären, und (3.) das gewählte Vorgehen tatsächlich zu einer erheblichen Steuerersparnis führen würde, sofern es von den Steuerbehörden hingenommen würde. Ob diese Voraussetzungen erfüllt sind, ist aufgrund der konkreten Umstände des Einzelfalls zu prüfen. Wird eine Steuerumgehung bejaht, ist der Besteuerung die Rechtsgestaltung zugrunde zu legen, die sachgemäss gewesen wäre, um den erstrebten wirtschaftlichen Zweck zu erreichen.
4.2 Entgegen der Auffassung von Pierre-Marie Glauser, (Evasion fiscale et interprétation économique en matière de TVA, ASA 75 S. 727 ff.) besteht kein hinreichender Grund, diese Regeln nicht auch bei der Mehrwertsteuer anzuwenden (s. auch das Urteil 2A.61/2006 vom 29. November 2006, E. 3.1 und 3.2, in StR 62/2007 S. 586, Zusammenfassung). In <ref-ruling> E. 10 S. 369 f. hat das Bundesgericht den Fall der Steuerumgehung ausdrücklich vorbehalten, ebenso im Urteil 2A.748/2005 vom 25. Oktober 2006, E. 3.5 (in StR 62/2007 S. 234, Zusammenfassung). Davon geht im Prinzip auch die Vorinstanz aus.
4.3 Der Vorinstanz ist freilich insoweit Recht zu geben, dass allein deswegen, weil namhafte Vorsteuerüberhänge bestehen, noch nicht auf eine Steuerumgehung geschlossen werden kann. Die von den Beteiligten gewählte Rechtsgestaltung erweist sich im vorliegenden Fall indessen auch unabhängig davon als ungewöhnlich. Die Beschwerdegegnerin bezweckt laut Handelsregistereintrag den Erwerb, Besitz und Betrieb von Luftfahrzeugen aller Art und die Durchführung von Flügen sowie die Ausübung damit zusammenhängender Tätigkeiten. In Wirklichkeit beschränkt sich ihre Tätigkeit auf das Halten des von ihrem Alleinaktionär benutzten Flugzeugs. Wie sich aus den bei den Akten liegenden Jahresrechnungen ergibt, verfügte sie zumindest im ersten Betriebsjahr über kein eigenes Personal, das irgendwelche darüber hinausgehende Aktivitäten hätte entfalten können. Sämtliche mit dem Betrieb und dem Unterhalt des Flugzeugs zusammenhängende Tätigkeiten hatte sie an die T._ AG übertragen, die namentlich auch die Flugzeugbesatzung zu stellen hatte. Am 23. März 2002 hat sie zwar mit einem Piloten einen Teilzeit-Arbeitsvertrag abgeschlossen. Faktisch änderte sich jedoch damit an den Verhältnissen nichts, da die Beschwerdegegnerin gemäss der Umschreibung in Ziff. 2.3 des Arbeitsvertrags über "keine mit dem Flugbetrieb zusammenhängenden Kenntnisse" verfügt und die T._ AG deshalb die Weisungs- und Kontrollrechte über den Piloten beibehielt. Unter diesen Umständen drängt sich die Frage auf, weshalb der Alleinaktionär das Flugzeug nicht in eigenem Namen erworben hat, zumal die Dazwischenschaltung einer juristischen Person einen gewissen administrativen Aufwand und zusätzliche Kosten - auch steuerliche - verursacht, wie die Beschwerdegegnerin selber einräumt.
4.4 Die Vorinstanz führt dazu aus, der in N._ wohnhafte Alleinaktionär A._ habe im Jahre 2001 ungefähr 100 Flüge unternommen. Es handle sich bei ihm um einen international bekannten und reputierten Unternehmer, der Mitglied der Aufsichtsräte zweier grösserer international tätiger Unternehmen sei. Es könne davon ausgegangen werden, dass er das Flugzeug zu einem grossen Teil im Zusammenhang mit seiner beruflichen Tätigkeit und nicht für private Zwecke oder für die Ausübung eines Hobbys verwendet habe. Offenbar habe er aufgrund seiner häufigen Reisetätigkeit jederzeit über eine Fluggelegenheit verfügen und sich hierfür über eine funktionierende und für ihn praktische Organisation verlassen können wollen, dies ohne selbst Aufwand betreiben zu müssen. Dass er hierfür eine separate juristische Person gegründet habe, welche ein Flugzeug erwerbe, dieses verwalte und diesbezüglich Verträge mit Dritten abschliesse, anstatt dies als Privatperson zu tun, erscheine nachvollziehbar und nicht als absonderlich und den wirtschaftlichen Gegebenheiten völlig unangemessen. Im übrigen bestünden nicht nur steuerliche Motive für die Gründung einer AG, könnten doch damit auch die Haftungsrisiken beschränkt werden, die sich aus dem Eigentum an einem Flugzeug ergäben.
4.5 Dass A._ jederzeit über eine Fluggelegenheit verfügen und er den dafür erforderlichen betrieblichen und administrativen Aufwand nicht selber tragen will, leuchtet zwar ohne weiteres ein. Indessen konnte ihm die Beschwerdegegnerin als blosse Briefkastengesellschaft dabei keine Hilfe sein. Alle diese Dienstleistungen wurden in Wirklichkeit von der T._ AG und nicht von der Beschwerdegegnerin erbracht, welche sie nur weiterfakturierte. A._ hätte die T._ AG auch direkt mit diesen Angelegenheiten beauftragen können. Zwar mag zutreffen, dass für den Abschluss eines solchen Vertrags wie bereits für den Erwerb des Flugzeugs besondere juristische Kenntnisse erforderlich sind. Ueber solche Fachkenntnisse verfügte die Beschwerdegegnerin aber nicht. A._ war daher ohnehin gezwungen, zu diesem Zweck einen Fachmann beizuziehen, genauso wie er es hätte tun müssen, wenn er persönlich als Halter des Flugzeugs aufgetreten wäre. Diese Umstände vermögen die Dazwischenschaltung der Beschwerdegegnerin, die entgegen der Darstellung in der Beschwerde an die Vorinstanz eben gerade nicht über eine (eigene) professionelle Organisation verfügt, nicht plausibel zu machen. Gleich verhält es sich aber auch mit dem Argument der Haftungsbeschränkung. Haftpflichtrisiken können bekanntlich mit dem Abschluss einer Haftpflichtversicherung abgedeckt werden. Halter von Luftfahrzeugen sind von Gesetzes wegen ohnehin verpflichtet, sich gegen die Folgen der Haftpflicht zu versichern (Art. 70 des Bundesgesetzes über die Luftfahrt vom 21. Dezember 1948, SR 748.0). Eine solche Versicherung hätte A._ ebensogut auch persönlich abschliessen können. Wenn er sein Flugzeug pro forma dennoch von der Beschwerdegegnerin halten liess, die keine eigene Tätigkeit entfaltete, sondern als blosse "Durchlaufgesellschaft" auftrat, erscheint dies als ungewöhnlich und lässt sich nur durch das Motiv der Steuerersparnis erklären.
4.6 Es liegt denn auch auf der Hand, dass das gewählte Vorgehen zu einer erheblichen Steuerersparnis geführt hätte, wenn es von den Steuerbehörden hingenommen würde. Hätte A._ das Flugzeug nämlich im eigenen Namen erworben und betreiben lassen, wie es sachgemäss gewesen wäre, hätte er die erheblichen Vorsteuern, insbesondere diejenigen, die beim Erwerb des Flugzeugs angefallen sind, nicht geltend machen können, da er persönlich nicht mehrwertsteuerpflichtig ist. Wie es sich verhielte, wenn A._ die ihm von der Beschwerdegegnerin in Rechnung gestellten Flüge mit einem normalen Linienflug oder mit einem von einem Dritten gecharterten Flugzeug getätigt hätte, ist demgegenüber nicht relevant. A._ hat diese Lösung, die ihm wohl nicht denselben Komfort geboten hätte, nicht gewählt, sondern wollte selber, wenn auch nur indirekt, Eigentümer des von ihm benutzten Flugzeugs sein.
4.7 Das Vorliegen einer Steuerumgehung ist aus diesen Gründen zu bejahen. Bei diesem Ergebnis ist der Besteuerung die Rechtsgestaltung zugrunde zu legen, die sachgemäss gewesen wäre, um den erstrebten wirtschaftlichen Zweck zu erreichen. Wie soeben gesagt, hätte A._ die mit dem Erwerb und dem Betrieb des Flugzeugs verbundenen Vorsteuern nicht geltend machen können, wenn er das Flugzeug selber erworben hätte. Es ist daher nicht zu beanstanden, dass die Beschwerdeführerin die bereits ausbezahlten Vorsteuern zurückforderte, weitere Vorsteuerabzüge nicht mehr gewährte und die Beschwerdegegnerin aus dem Register der Mehrwertsteuerpflichtigen strich. Dass die Beschwerdeführerin mit Ergänzungsabrechnung vom 6. November 2001 die Rückerstattung der im 1. Quartal 2001 geltend gemachten Vorsteuern angeordnet hatte, steht diesem Vorgehen nicht entgegen. Ergänzungsabrechnungen sind nach ständiger Praxis keine Verfügungen und erwachsen nicht in Rechtskraft. Solange die Steuer noch nicht durch einen förmlichen Entscheid der ESTV festgestellt ist (vgl. <ref-law>), können die Behörden (innerhalb der fünfjährigen Verjährungsfrist) darauf zurückkommen (Urteil 2A.339/2003 vom 18. Februar 2004, publiziert in StR 59/2004 S. 568, E. 4.2, mit Hinweisen). Dazu bestand im vorliegenden Fall umso mehr Anlass, als die Beschwerdegegnerin mit der Abrechnung des 4. Quartals 2001 vom 2. Mai 2002 eine "Berichtigung der bereits abgerechneten Umsätze" vorgenommen hatte.
5. Die Beschwerde erweist sich somit als begründet. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 12. Juli 2004 zu bestätigen.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Kosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 65, 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>). Die Vorinstanz wird über die Kosten- und Entschädigungsfolgen ihres Entscheids neu zu befinden haben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen, der angefochtene Entscheid aufgehoben und der Einspracheentscheid der Eidgenössischen Steuerverwaltung vom 12. Juli 2004 bestätigt.
2. 2.1 Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 10'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
2.2 Über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens hat die Vorinstanz in einem Zusatzurteil zu diesem Urteil zu befinden.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht (Abteilung I) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. April 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Wyssmann