Sachverhalt:
A. M._, geboren 1959, arbeitete seit 1995 als Betriebsmitarbeiterin für die Firma B._ AG in X._ und war in dieser Eigenschaft bei der Schweizerischen National-Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: National oder Beschwerdegegnerin) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 14. September 2002 sass sie auf dem Beifahrersitz des Citroën Xantia ihres Ehegatten, als ein nachfolgender Mercedes (Personenwagen) in U._ auf das Heck des Citroën auffuhr. Gemäss dem am Unfallort von den beteiligten Fahrern ausgefüllten und unterzeichneten Unfallprotokoll wurde bei dieser Auffahrkollision niemand verletzt. Laut Bericht der Polizeidirektion Y._ vom 25. November 2002 wurde dieses Ereignis von der am Unfallort anwesenden Polizei "als Kleinunfall behandelt", weshalb auf das Erstellen eines Polizeirapports verzichtet wurde. Nachdem das "verbogene Heck" am Citroën vor Ort notdürftig mit Draht gesichert werden konnte, vermochten die Versicherte und ihr Ehemann mit ihrem Auto die Heimfahrt nach Z._ fortzusetzen. Zehn Tage nach dem Unfall (am 24. September 2002) begab sich M._ wegen seit 15. September 2002 anhaltenden "muskelkaterartigen Schmerzen im Nackenbereich" in ärztliche Erstbehandlung zu Dr. med. E._. Er diagnostizierte ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) und attestierte der Versicherten ab 8. Oktober 2002 eine Arbeitsunfähigkeit von 100% bei geplanter voller Wiederaufnahme der angestammten Tätigkeit ab 27. Oktober 2002. In der Folge übernahm die National die Heilbehandlung und erbrachte ein Taggeld. Von der Invalidenversicherung bezieht M._ seit 1. Oktober 2003 eine ganze Invalidenrente. Nach verschiedenen Rehabilitationsaufenthalten und umfangreichen medizinischen Abklärungen stellte die National gestützt auf das interdisziplinäre Gutachten des Zentrums A._ der Klinik C._ in U._ vom 26. Juli 2006 (nachfolgend: interdisziplinäres Gutachten) sämtliche Versicherungsleistungen per 31. August 2006 ein (Verfügung vom 28. August 2006) und hielt mit Einspracheentscheid vom 10. Januar 2008 am verfügten folgenlosen Fallabschluss fest.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der M._ wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 9. März 2009 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt M._ beantragen, ihr seien unter Aufhebung des angefochtenen Gerichts- und des Einspracheentscheides "ab dem 1. September 2006 die bisherigen Versicherungsleistungen zu erbringen. Eventualiter sei vorgängig des Entscheids ein unabhängiges Gutachten anzuordnen."
Während die National auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig ist die Unfallkausalität der ab 1. September 2006 anhaltend geklagten Beschwerden.
3. Das kantonale Gericht hat die nach der Rechtsprechung für den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung geltenden Voraussetzungen des natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen Unfall und eingetretenem Schaden (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 181), insbesondere bei Schleudertraumen der HWS (<ref-ruling>), zutreffend dargelegt. Dabei spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (<ref-ruling> E. 2 S. 111 f.; <ref-ruling> E. 5b/bb S. 103). Objektivierbar sind Untersuchungsergebnisse, die reproduzierbar sind und von der Person des Untersuchenden und den Angaben des Patienten unabhängig sind. Von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen kann somit erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hierbei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (Urteile 8C_349/2009 vom 17. August 2009 E. 2.1 und 8C_806/2007 vom 7. August 2008 E. 8.2 mit zahlreichen Hinweisen). Sind die geklagten Beschwerden natürlich unfallkausal, nicht aber in diesem Sinne objektiv ausgewiesen, so ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind gegebenenfalls weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 111 f.). Hat die versicherte Person einen Unfall erlitten, welcher die Anwendung der Schleudertrauma-Rechtsprechung rechtfertigt, so sind hierbei die durch <ref-ruling> E. 10 S. 126 ff. präzisierten Kriterien massgebend. Richtig sind auch die vorinstanzlichen Ausführungen zu dem im Sozialversicherungsrecht bei der Beantwortung von Tatfragen üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
4. 4.1 Dass die Versicherte am 14. September 2002 eine HWS-Distorsion erlitt und in der Folge über eine Reihe von Beeinträchtigungen klagte, welche zum typischen Beschwerdebild einer solchen Verletzung gehören (<ref-ruling> E. 6.2.1 S. 116 mit Hinweisen), kann nach Aktenlage entgegen der Vorinstanz nicht ernsthaft in Frage gestellt werden. Demgegenüber hat das kantonale Gericht gestützt auf das interdisziplinäre Gutachten zutreffend erkannt, dass die ab 1. September 2006 anhaltend geklagten Beschwerden nicht einem klar fassbaren organischen Korrelat zugeordnet werden können, welches mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Ereignis vom 14. September 2002 steht. Dies wird im Übrigen von der Beschwerdeführerin auch nicht bestritten. Sie macht lediglich geltend, die nicht somatisch erklärbaren, psychogenen Beeinträchtigungen - insbesondere die vom behandelnden Psychiater Dr. med. N._ diagnostizierte posttraumatische Belastungsstörung - stünden über den 31. August 2006 hinaus nicht nur in einem natürlichen, sondern auch adäquaten Kausalzusammenhang mit dem genannten Ereignis. Entgegen der Versicherten kann jedoch keine Rede davon sein, dass das interdisziplinäre Gutachten auf einer aktenwidrigen Tatsachenfeststellung basiert. Die zahlreichen Hinweise in den medizinischen Unterlagen lassen keinen Zweifel daran, dass unfallfremde psychosoziale Belastungsfaktoren vorhanden waren und die Beschwerdeführerin schon vor dem Unfall an depressiven Verstimmungen litt. Zudem vermochte der Facharzt FMH für HNO-Krankheiten Dr. med. T._, die subjektiv beschriebenen Schwindelbeschwerden aus otolarynologischer Sicht nicht zu objektivieren, weshalb sich auch diesbezüglich keine Anhaltspunkte für eine mangelhafte Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz ergeben.
4.2 Steht fest, dass die Versicherte am 14. September 2002 eine HWS-Distorsion erlitt und es sich bei den ab 1. September 2006 geklagten Beschwerden nicht um organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolgen handelt, bliebt nachfolgend einzig die Unfalladäquanz der seither anhaltenden psychogenen Beeinträchtigungen zu prüfen. Dabei kann offen bleiben, ob hier die Adäquanzprüfung angesichts der bereits weniger als ein halbes Jahr nach dem Unfall im Wesentlichen psychisch bedingten Schmerzsyndromen und der nachweislich schon vor dem Unfall vorbestehenden depressiven Symptomatik nicht - entgegen Vorinstanz und Verwaltung - unter Ausschluss psychischer Aspekte nach den in <ref-ruling> genannten Kriterien (statt vieler: SVR 2009 UV Nr. 19 S. 69 E. 4.5 f., 8C_744/2007) hätte erfolgen müssen. Denn auch bei Anwendung der für die Beschwerdeführerin günstigeren Kriterien (Urteil 8C_349/2009 vom 17. August 2009 E. 4) nach der sog. "Schleudertrauma-Praxis" (<ref-ruling> E. 10.3 S. 130) muss die Adäquanz - wie nachstehende Prüfung zeigt - verneint werden. Auf Grund der fehlenden Adäquanz braucht zudem die Frage, ob die geklagten Beschwerden natürlich kausal durch das Unfallereignis verursacht sind, nicht näher untersucht zu werden (vgl. Urteil 8C_698/2008 vom 27. Januar 2009 E. 3).
5. 5.1 Die Heck-Auffahrkollision vom 14. September 2002 ist nach dem hier allein massgebenden augenfälligen Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften höchstens als mittelschwer im Grenzbereich zu den leichten Unfällen zu qualifizieren (zur Unfalleinstufung vgl. <ref-ruling> E. 10.1 S. 126; SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1). Daran ändert nichts, dass die Beschwerdeführerin schon zu einem früheren Zeitpunkt vor dem Ereignis vom 14. September 2002 - mutmasslich bei Kenntnisnahme vom schweren Strassenverkehrsunfall ihrer beiden Söhne im Juni 2002 (Bericht des Dr. med. N._ vom 3. Juni 2004) - einen Schock erlitten hatte. Die Adäquanz des Kausalzusammenhanges wäre folglich nur dann zu bejahen, wenn von den weiteren massgeblichen Kriterien (besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen; vgl. <ref-ruling> E. 10.3 S. 130) entweder ein einzelnes in ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben wären (<ref-ruling> E. 10.1 S. 126 f.; <ref-ruling> E. 6 S. 367 f.; Urteil 8C_70/2009 vom 31. Juli 2009 E. 3.2.2).
5.2 Das kantonale Gericht nahm unter den gegebenen Umständen einzig das Kriterium der Schwere oder besonderer Art der erlittenen Verletzung - wenngleich auch nicht in ausgeprägter oder auffallender Weise - als erfüllt an. Demgegenüber macht die Versicherte letztinstanzlich geltend, zusätzlich sei mindestens auch das Kriterium eines schwierigen Heilungsverlaufs erfüllt, weshalb der adäquate Kausalzusammenhang - bei zwei erfüllten Kriterien - bejaht werden müsse.
5.3 Die Vorinstanz hat die weiteren Adäquanzkriterien (besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen) allesamt als nicht erfüllt beurteilt. Soweit die Beschwerdeführerin überhaupt sachbezüglich zu den mit angefochtenem Entscheid verneinten Kriterien im Einzelnen Stellung nimmt, vertritt sie einzig in Bezug auf die Kriterien der erheblichen Beschwerden, des schwierigen Heilungsverlaufes und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit eine vom angefochtenen Entscheid abweichende Auffassung. Unbestritten ist, dass weder besonders dramatische Begleitumstände oder eine besondere Eindrücklichkeit des Unfalles vorlagen, noch eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung erforderlich war oder Anhaltspunkte für eine ärztliche Fehlbehandlung bestanden, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert hätte.
5.3.1 Das Kriterium des Grades und der Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit bezieht sich nicht allein auf das Leistungsvermögen im angestammten Beruf (RKUV 2001 Nr. U 442 S. 544, U 56/00; SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81, U 479/05 E. 8.6.1 mit Hinweisen; Urteil 8C_359/2008 vom 18. Dezember 2008 E. 6.7). Zunächst ist festzuhalten, dass die Versicherte nach dem Unfall bis zum 7. Oktober 2002 arbeitsfähig blieb. Der am 24. September 2002 erstmals konsultierte Hausarzt Dr. med. E._ attestierte ihr zwar ab 8. Oktober 2002 eine volle Arbeitsunfähigkeit, ging jedoch gleichzeitig davon aus, dass die Beschwerdeführerin planmässig ab 27. Oktober 2002 wieder voll arbeitsfähig sein würde. Statt dessen kehrte sie in der Folge nie mehr an ihren Arbeitsplatz zurück, sondern verlor diesen schliesslich per 31. Mai 2004. Obwohl sie nach dem dreiwöchigen Aufenthalt in der Rehaklinik H._ ihre angestammte Tätigkeit gemäss Beurteilung der behandelnden Ärzte ab 26. Februar 2003 wieder mit einer Arbeitsfähigkeit von 20 bis 25% aufnehmen und danach die Leistung allenfalls in 10%-Schritten sogar weiter erhöhen sollte, sind keine Anhaltspunkte dafür ersichtlich, dass die Versicherte einen entsprechenden konkreten Arbeitsversuch unternommen hätte. Auch laut Bericht der psychiatrischen Klinik O._ in I._ vom 5. April 2004 bestand damals eine zumutbare Restarbeitsfähigkeit von 20-30%; zudem hätte gemäss fachärztlicher Einschätzung nach Durchführung therapeutischer Massnahmen wieder eine Arbeitsfähigkeit von 60-80% erreicht werden sollen. Demgegenüber finden sich aktenkundig keine Hinweise auf einen konkret erkennbaren Willen der Beschwerdeführerin, sich durch aktive Mitwirkung im Rahmen der zumutbaren verbleibenden Leistungsfähigkeit raschmöglichst wieder optimal in den Arbeitsprozess einzugliedern (<ref-ruling> E. 10.2.7 S. 129). Das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen ist nicht erfüllt.
5.3.2 Körperliche Dauerschmerzen, welche auf organisch nachweisbare, unfallkausale Befunde zurückgingen, liegen nach Lage der Akten nicht vor. Sowohl die muskuloskelettalen als auch die depressiven Beschwerden konnten während stationären Rehabilitationsaufenthalten jeweils positiv beeinflusst werden. Die Schmerzen sind nach Angaben der Versicherten laut interdisziplinärem Gutachten nicht permanent vorhanden, sondern werden inkonstant ausgelöst. Als besonders kränkend beschrieb die Beschwerdeführerin die Reaktion ihrer Familie, welche sich nicht mit ihren Problemen beschäftigen wolle. Beschwerdefreie Intervalle von namhafter Dauer sind nicht dokumentiert. Das Kriterium erheblicher Beschwerden kann in Anbetracht der aktenkundigen gesundheitlichen Beeinträchtigungen zwar als grundsätzlich erfüllt angesehen werden, jedoch nicht in auffallender oder ausgeprägter Form.
5.3.3 Das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und der erheblichen Komplikationen ist mit <ref-ruling> E. 10.2.6 S. 129 unverändert beibehalten worden. Diese beiden Teilaspekte müssen nicht kumulativ erfüllt sein (BGE <ref-ruling> E. 7b S. 369). Aus der ärztlichen Behandlung und den erheblichen Beschwerden - welche im Rahmen der spezifischen Adäquanzkriterien (E. 5.1 i.f. hievor) zu berücksichtigen sind - darf nicht auf einen schwierigen Heilungsverlauf und/oder erhebliche Komplikationen geschlossen werden. Es bedarf hiezu besonderer Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben. Die Einnahme vieler Medikamente und die Durchführung verschiedener Therapien genügen nicht zur Bejahung dieses Kriteriums. Gleiches gilt für den Umstand, dass trotz regelmässiger Therapien weder eine Beschwerdefreiheit noch eine (vollständige) Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit erreicht werden konnten (Urteile 8C_252/2007 vom 16. Mai 2008 E. 7.6 und 8C_57/2008 vom 16. Mai 2008 E. 9.6.1, je mit Hinweisen). Im Vergleich mit anderen Fällen von HWS-Distorsionstraumen und äquivalenten Verletzungen kann vorliegend bis zum Fallabschluss nicht von erheblichen Komplikationen ausgegangen werden. Ob mit der Versicherten das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs - wenn auch nicht in auffallender oder ausgeprägter Form - als erfüllt zu qualifizieren ist, kann letztlich offen bleiben, da auch bei drei - nicht ausgeprägt - gegebenen Kriterien die Adäquanz hier zu verneinen ist (vgl. E. 5.3.4 hienach).
5.3.4 Zusammenfassend ist somit festzuhalten, dass von den sieben relevanten Kriterien höchstens drei erfüllt sind, keines davon jedoch in ausgeprägter Weise. Zur Bejahung der Adäquanz allfälliger noch vorhandener unfallbedingter Beschwerden genügt dies bei einem mittelschweren Unfall im Grenzbereich zu den leichten Ereignissen nicht (ebenso: Urteile 8C_172/2009 vom 31. Juli 2009 E. 5.3.5, 8C_951/2008 vom 3. Juni 2009 E. 6.4 und 8C_9/2008 vom 17. September 2008 E. 6.1.5).
5.4 Waren die über den 31. August 2006 hinaus geklagten Beschwerden nicht mehr adäquat kausal durch das Unfallereignis vom 14. September 2002 verursacht, so war die mit angefochtenem Gerichts- und mit Einspracheentscheid vom 10. Januar 2008 bestätigte Leistungseinstellung der National spätestens auf dieses Datum hin rechtens.
6. Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. September 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Hochuli