Faits:
A.
A.a. M._ travaillait à temps partiel en qualité de nettoyeuse. En incapacité de travail depuis le 5 novembre 2001 en raison notamment de douleurs dorso-lombaires, d'un syndrome fibromyalgique et de problèmes dépressifs, elle a déposé le 30 septembre 2002 une demande de prestations de l'assurance-invalidité.
Dans le cadre de l'instruction de cette demande, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a recueilli des renseignements médicaux auprès des docteurs S._, spécialiste en chirurgie (rapport du 14 octobre 2002), M._ spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 24 juin 2003) et P._, spécialiste en médecine interne générale (rapport du 22 janvier 2004) et versé au dossier une expertise du docteur R._, spécialiste en médecine interne générale, réalisée pour le compte de l'assureur perte de gain en cas de maladie du dernier employeur de l'assurée (rapport du 24 juillet 2002).
Sur la base des éléments recueillis, l'office AI a confié la réalisation d'une expertise au docteur G._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie. Dans son rapport du 17 mars 2004, ce médecin a posé les diagnostics de trouble somatoforme douloureux persistant, de troubles dégénératifs discrets du rachis, d'hernie discale D8-D9 et discopathie L4-L5, de séquelle de maladie de Scheuermann, d'hypothyroïdie substituée, d'hypercholestérolémie et d'obésité; il a retenu sur le plan rhumatologique une capacité de travail de 75 % dans l'activité habituelle de nettoyeuse et de 100 % dans une activité légère excluant les ports de charges au-delà de 15 kilos et les mouvements répétitifs du rachis en porte-à-faux.
Cette évaluation a été complétée par une expertise psychiatrique dont la réalisation a été confiée au docteur C._. Dans son rapport du 3 septembre 2004, ce médecin a retenu le diagnostic de majoration de symptômes pour des raisons psychologiques (et sociales), notion qui n'engendrait aucune limitation sur la capacité de travail.
Par décision du 11 janvier 2005, confirmée sur opposition le 1er juin suivant, la demande de prestations a été rejetée. Le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) a rejeté le 7 juin 2006 le recours formé par l'assurée contre la décision sur opposition du 1er juin 2005.
A.b. Après avoir été hospitalisée à deux reprises - du 13 au 16 juin 2006 et du 28 juin au 21 juillet 2006 - au Service de psychiatrie adulte de l'Hôpital X._, M._ a déposé le 4 octobre 2006 une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité. Par décision du 19 avril 2007, confirmée sur recours le 16 juillet 2007 par le Tribunal cantonal des assurances sociales, l'office AI a rejeté la demande de l'assurée, au motif que le délai de carence d'une année nécessaire à la naissance du droit à une rente d'invalidité n'avait débuté qu'au mois de juin 2006, de sorte qu'il n'était pas échu au moment de la décision litigieuse.
A.c. A la suite de l'arrêt rendu le 16 juillet 2007 par le Tribunal cantonal des assurances sociales, M._ a requis de l'office AI qu'il instruise la demande déposée le 4 octobre 2006, le délai d'un an étant désormais échu.
Après avoir recueilli de nouveaux renseignements médicaux auprès des médecins consultés par l'assurée au sein de X._ (Service de rhumatologie et Département de psychiatrie), l'office AI a demandé au docteur C._ de réaliser une nouvelle expertise psychiatrique. Dans son rapport du 28 juillet 2008, ce médecin a expliqué être dans l'impossibilité de se prononcer: s'il existait une forte suspicion de démonstration, de non-authenticité, d'apprentissage de symptômes, il n'y avait pas de moyen de le confirmer véritablement; le docteur C._ suggérait de procéder à une surveillance extérieure à l'insu de l'assurée.
Compte tenu des conclusions du docteur C._, la réalisation d'une nouvelle expertise psychiatrique a été confiée au docteur V._. Dans son rapport du 12 août 2010, ce médecin a retenu que l'assurée ne souffrait d'aucune maladie connue et qu'elle était en mesure de vivre normalement.
Sur le plan somatique, l'office AI a complété l'instruction par une nouvelle expertise confiée au docteur G._. Dans son rapport du 1er décembre 2010, ce médecin a retenu les diagnostics - avec répercussion sur la capacité de travail - de rachialgies chroniques et de troubles statiques et disco-dégénératifs modérés du rachis, ainsi que ceux - sans répercussion sur la capacité de travail - d'hypothyroïdie substituée et de plaintes douloureuses musculo-squelettiques globales; il a estimé n'avoir aucune modification à apporter aux conclusions qu'il avait faites dans le cadre de l'expertise de 2004.
Malgré les objections formulées les 6 et 10 avril 2011 par les docteurs L._, interniste auprès de X._, et P._, l'office AI a, par décision du 31 août 2011, rejeté la demande de prestations de l'assurée.
B.
M._ a déféré cette décision devant la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice. A titre de mesure d'instruction, celle-ci a confié la réalisation d'une expertise psychiatrique au docteur K._. Dans un rapport du 26 avril 2012, complété à la demande de la juridiction cantonale le 6 juin suivant, ce médecin a posé le diagnostic de trouble schizo-affectif type dépressif et retenu l'existence d'une incapacité de travail complète au moins depuis la première hospitalisation en milieu psychiatrique, hospitalisation au cour de laquelle l'assurée avait présenté une symptomatologie psychotique franche.
Après avoir encore entendu en audience de comparution personnelle l'assurée, la Cour de justice a, par jugement du 7 janvier 2013, admis le recours, annulé la décision du 31 août 2011 et dit que l'assurée avait droit à une rente entière de l'assurance-invalidité depuis le 1er juin 2007.
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant à son annulation et à la confirmation de sa décision du 31 août 2011.
M._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2.
2.1. Se fondant sur les conclusions de l'expertise judiciaire réalisée par le docteur K._, lesquelles étaient corroborées par les avis des différents médecins traitants de l'intimée, la juridiction cantonale a considéré que l'intimée présentait une incapacité totale de travailler depuis le 28 juin 2006. L'expertise du docteur V._ ne pouvait être suivie, dès lors qu'elle ne remplissait pas, en raison de son ton critique à l'égard des différents intervenants médicaux (thérapeutes ou experts), de ses contradictions et de son caractère confus, les critères jurisprudentiels pour qu'il lui soit reconnue la moindre valeur probante. S'agissant du statut de l'intimée, la juridiction cantonale a admis qu'elle présentait un statut d'active, puisqu'elle aurait travaillé à plein temps si elle n'avait pas été atteinte dans sa santé.
2.2. L'office recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une constatation manifestement inexacte des faits pertinents consécutive à une mauvaise appréciation des preuves et d'avoir violé le droit fédéral, en reconnaissant pleine valeur probante à l'expertise du docteur K._ et en admettant que l'intimée aurait travaillé à plein temps si elle n'avait pas été atteinte dans sa santé.
3.
3.1. Selon le principe de la libre appréciation des preuves, le juge apprécie librement les preuves médicales qu'il a recueillies, sans être lié par des règles formelles, en procédant à une appréciation complète et rigoureuse des preuves. Le juge doit examiner objectivement tous les documents à disposition, quelle que soit leur provenance, puis décider s'ils permettent de porter un jugement valable sur le droit litigieux. S'il existe des avis contradictoires, il ne peut trancher l'affaire sans indiquer les raisons pour lesquelles il se fonde sur une opinion plutôt qu'une autre. En ce qui concerne la valeur probante d'un rapport médical, ce qui est déterminant, c'est que les points litigieux aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées. Au demeurant, l'élément déterminant pour la valeur probante n'est ni l'origine du moyen de preuve ni sa désignation comme rapport ou comme expertise, mais bel et bien son contenu (<ref-ruling> consid. 3a p. 352; 1 V 157 consid. 1c p. 160 et les références).
3.2. En principe, le juge ne s'écarte pas sans motifs impérieux des conclusions d'une expertise médicale judiciaire, la tâche de l'expert étant précisément de mettre ses connaissances spéciales à la disposition de la justice afin de l'éclairer sur les aspects médicaux d'un état de fait donné. Selon la jurisprudence, peut notamment constituer une raison de s'écarter d'une expertise judiciaire le fait que celle-ci contient des contradictions ou qu'une surexpertise ordonnée par le tribunal en infirme les conclusions de manière convaincante. En outre, lorsque d'autres spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (<ref-ruling> consid. 3b/aa p. 352 et les références).
4.
En substance, le litige porte sur le point de savoir si les éléments médicaux sur lesquels s'est fondée la juridiction cantonale étaient suffisants pour statuer sur les effets des troubles d'origine psychique sur la capacité de travail et de gain de l'intimée.
4.1. L'office recourant a formulé à l'appui de son recours un certain nombre de griefs à l'encontre de l'expertise du docteur K._ tendant à établir le caractère lacunaire de celle-ci. Or, comme le met en évidence l'office recourant, le diagnostic et les conclusions de l'expertise ne reposent effectivement pas sur des observations cliniques approfondies, mais semblent bien plutôt résulter d'une appréciation fondée pour l'essentiel sur les plaintes de l'intimée et sur une analyse descriptive des documents médicaux versés au dossier. Les observations cliniques récoltées par le docteur K._ font, en tout et pour tout, six lignes d'un document de vingt-quatre pages, observations que l'on peut opposer aux trois pages rapportées par le docteur C._ dans le cadre de sa seconde expertise. Sauf à correspondre au diagnostic retenu par les médecins traitants de l'intimée, le diagnostic de trouble schizo-affectif n'est pas étayé par des explications personnelles de l'expert fondées sur des symptômes cliniques concrets appartenant au registre de la dépression et de la schizophrénie. D'un point de vue plus global, l'expert ne cherche pas à expliquer de manière précise le processus psycho-pathologique qui a conduit une personne pleinement compensée à développer des symptômes de la lignée schizophrénique. Les explications données par le docteur K._ ne permettent pas davantage de comprendre pourquoi il estime que l'intimée présente une incapacité totale de travailler et pourquoi la retenue exprimée par le docteur C._ n'avait pas lieu d'être. En définitive, les conclusions auxquelles aboutit l'expert ne procèdent pas d'une discussion générale, où auraient été intégrés, dans une analyse globale cohérente, les renseignements issus du dossier, l'anamnèse, les indications subjectives et l'observation clinique. La lecture de cette expertise donne bien plutôt l'impression que l'expert s'est écarté de la mission d'expertise pour se fixer comme seul objectif de trancher la querelle opposant l'office recourant et les médecins traitants de l'intimée en faveur de ces derniers.
4.2. En tant que l'office recourant considère implicitement qu'il y a lieu de suivre les conclusions de l'expertise réalisée par le docteur V._, il ne saurait être suivi. La juridiction cantonale a expliqué de manière claire et convaincante les raisons qui justifiaient de disqualifier ce document, mettant notamment en exergue ses nombreux défauts ainsi que les problèmes de compréhension posés par la formulation particulièrement confuse de ses conclusions. Dans la mesure où l'office recourant ne prend pas position sur les reproches formulés par la juridiction cantonale, il n'y pas lieu de s'écarter des considérations de celle-ci.
4.3. Au regard de l'absence de valeur probante des expertises réalisées par les docteurs K._ et V._ et des questions laissées ouvertes par la seconde expertise du docteur C._, il y a lieu d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle en complète l'instruction et rende un nouveau jugement.
5.
L'office recourant fait également grief à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves et d'avoir violé le droit fédéral, en reconnaissant à l'intimée le statut de personne active en lieu et place du statut d'une personne qui exerce une activité à temps partiel. Cependant, les arguments allégués par l'office recourant ne sont pas de nature à faire apparaître comme insoutenable, voire arbitraire le raisonnement adopté par la juridiction cantonale. Comme il ressort de la jurisprudence (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 338 et les références), il convient pour déterminer la méthode applicable au cas particulier de s'attacher à ce que la personne assurée aurait fait dans les mêmes circonstances si l'atteinte à la santé n'était pas survenue. En tant qu'il s'agit d'analyser une situation par nature hypothétique, le raisonnement retenu, s'il doit être basé sur des motifs objectifs, ne peut se référer en définitif qu'à l'expérience générale de la vie (cf. <ref-ruling> consid. 3b in fine p. 195). Or, compte tenu des éléments retenus dans le jugement attaqué, rien n'indique que les premiers juges aient évalué de manière manifestement insoutenable, au regard de l'expérience générale de la vie, la situation globale de l'intimée. Eu égard à la situation financière et familiale (mari atteint dans sa santé à la suite d'un accident survenu en 1992, fille cadette née en 1993, soutien des services sociaux), il est parfaitement concevable d'envisager que l'intimée aurait exercé une activité lucrative à plein temps, ce qu'elle avait d'ailleurs déjà fait par le passé avant d'être elle-même atteinte dans sa santé. Pour répondre à l'argumentation de l'office recourant, on précisera encore que l'absence de documents attestant d'une démarche active de recherche d'emploi (inscriptions au chômage, lettres de postulation, etc.) ne saurait constituer dans ce contexte un indice pertinent, puisque l'intimée ne travaillait pas en raison justement de ses problèmes de santé.
6.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être partiellement admis. Les frais judiciaires doivent être mis proportionnellement à la charge de l'office recourant et de l'intimée (<ref-law>). L'intimée a droit à une indemnité de dépens réduite pour l'instance fédérale à la charge de l'office intimé (<ref-law>). Elle a par ailleurs sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire pour l'instance fédérale. Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci lui est accordée, de sorte qu'elle sera dispensée de sa part des frais judiciaires et les honoraires de son avocat seront pris en charge partiellement par la caisse du Tribunal fédéral. L'attention de l'intimée est attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis. Le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 7 janvier 2013 est annulé. La cause est renvoyée à la juridiction de première instance pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouveau jugement. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
L'assistance judiciaire est accordée à l'intimée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis pour 400 fr. à la charge du recourant et pour 400 fr. à la charge de l'intimée. La part des frais judiciaires qui incombe à l'intimée est provisoirement supportée par la caisse du Tribunal fédéral.
4.
Le recourant versera à l'intimée la somme de 1'000 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
5.
Me Jean-Marie Faivre est désigné comme avocat d'office de l'intimée et une indemnité de 1'000 fr. lui est allouée à titre d'honoraires non couverts par les dépens, supportée par la caisse du Tribunal.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 22 juillet 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Piguet