Sachverhalt:
A.
D._, geboren 1959, erhielt am 20. Februar 2002 gestützt auf das polydisziplinäre Gutachten des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ vom 16. November 2001 ab 1. Juli 1998 eine halbe Invalidenrente zugesprochen. Die IV-Stelle Luzern wies das Gesuch, mit welchem D._ infolge verschlechtertem Gesundheitszustand eine ganze Rente beantragen liess, am 4. Februar 2003 ab. Auf Einsprache hin hob sie diese Verfügung am 28. Mai 2003 wieder auf und ordnete weitere Abklärungen an. Unter Berücksichtigung des Berichts des Dr. med. M._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 25. April 2005 hielt die IV-Stelle mit Verfügung vom 20. Juni 2005, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 24. Januar 2006, an der halben Rente fest. Gestützt auf den Bericht der Frau Dr. med. G._, Fachärztin für Allgemeine Medizin, vom 27. September 2008 bestätigte die IV-Stelle am 5. Dezember 2008 die halbe Rente. Im Rahmen einer weiteren Revision von Amtes wegen holte die IV-Stelle erneut einen Bericht bei Frau Dr. med. G._ vom 25. Januar 2012 ein und stellte am 3. April 2012 gestützt auf die Übergangsbestimmungen der IV-Revision 6a die Aufhebung der Rente in Aussicht. D._ liess am 15. Mai 2012 dagegen Einwände erheben und ankünden, einen weiteren Arztbericht ins Recht zu legen. Nachdem sie diesen auch innert Fristverlängerung bis 14. Juni 2012 nicht nachgereicht hatte, verfügte die IV-Stelle am 5. Juli 2012 die Aufhebung der Rente und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht Luzern) mit Entscheid vom 3. Dezember 2012 in dem Sinne gut, als es die Verfügung vom 5. Juli 2012 aufhob und die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit diese nach Abklärungen im Sinne der Erwägungen neu über den Rentenanspruch verfüge. Zudem stellte es fest, dass D._ während des Abklärungsverfahrens weiterhin Anspruch auf eine halbe Invalidenrente habe.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es seien Ziff. 1 - 4 des kantonalen Entscheids aufzuheben und die Verfügung vom 5. Juli 2012 zu bestätigen. Zudem sei ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde. D._ lässt auf Nichteintreten, eventualiter auf Abweisung und subeventualiter auf Rückweisung schliessen; zudem sei der Beschwerde der IV-Stelle keine aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliesst sich den Begehren der IV-Stelle an.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zulässig gegen Endentscheide, das heisst gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (<ref-law>), und gegen Teilentscheide, die nur einen Teil der gestellten Begehren behandeln, wenn diese unabhängig von den anderen beurteilt werden können, oder die das Verfahren nur für einen Teil der Streitgenossen und Streitgenossinnen abschliessen (<ref-law>). Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist hingegen die Beschwerde nur zulässig, wenn sie die Zuständigkeit oder den Ausstand betreffen (<ref-law>), einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Rückweisungsentscheide, mit denen eine Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, sind Zwischenentscheide, die nur unter den genannten Voraussetzungen beim Bundesgericht angefochten werden können (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481). Anders verhält es sich nur dann, wenn der unteren Instanz, an welche zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung nur noch der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (<ref-ruling> E. 1.1 S. 143; <ref-ruling> E. 1.3 S. 127).
Bei Beschwerden gegen vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>).
Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten und verfassungsmässigen Rechten nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Hier muss die Beschwerdeschrift die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.
Die IV-Stelle macht geltend, angesichts der Anordnungen der Vorinstanz liege faktisch ein Endentscheid im Sinne von <ref-law> vor.
2.1. Gemäss Ziff. 1 des vorinstanzlichen Dispositivs hob die Vorinstanz die Verfügung vom 5. Juli 2012 auf und wies die Sache an die IV-Stelle zu neuem Entscheid nach erfolgten Abklärungen im Sinne der Erwägungen zurück; Ziff. 1 enthält somit keine materielle Anweisung, die den Ermessensspielraum der IV-Stelle materiell einschränken würde.
In Ziff. 2 des Dispositivs wird statuiert, die Versicherte habe während des Abklärungsverfahrens weiterhin Anspruch auf eine halbe Invalidenrente. Diese Bestimmung kann im Kontext der entsprechenden Erwägung (Entscheid über Entzug oder Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung) nur so verstanden werden, als dass die halbe Invalidenrente der Versicherten während der Dauer des Abklärungsverfahrens weiterhin auszubezahlen ist; eine materiell endgültige Anordnung kann diese Anweisung nicht darstellen (vgl. E. 3.2).
Schliesslich kann der Hinweis im vorinstanzlichen Entscheid, wonach <ref-law> (Frist für die Wirksamkeit der Revision) beim Erlass der neuen Verfügung erneut zu berücksichtigen sei, entgegen seinem Wortlaut nicht als materielle Vorgabe verstanden werden: Die entsprechende Aussage findet sich bei den Ausführungen über die aufschiebende Wirkung (E. 5 des kantonalen Entscheids) und der zuständige Richter hat explizit darauf hingewiesen, dass er als Einzelrichter nur für jene Streitigkeiten zuständig ist, welche ohne verbindliche Vorgabe in der Sache an die Verwaltung zurückgewiesen werden (E. 7 des kantonalen Entscheids mit Hinweis auf § 8a Abs. 3 lit. d der bis 31. Mai 2013 in Kraft gestandenen Geschäftsordnung für das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern vom 16. Mai 1973, SRL 43; vgl. E. 4).
2.2. Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden, soweit die IV-Stelle einen materiellen Antrag - etwa im Sinne der Bestätigung der Rentenaufhebung - stellt (vgl. zum Ganzen <ref-ruling>).
3.
3.1. Entscheide über die aufschiebende Wirkung sind Entscheide über vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> (SVR 2012 IV Nr. 40 S. 151 E. 4.1 mit Hinweisen, 9C_652/2011). Somit kann diesbezüglich nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Vorliegend hat die Vorinstanz entgegen der Verfügung der IV-Stelle im Sinne einer vorsorglichen Massnahme die Auszahlung der bisherigen Rente während des Abklärungsverfahrens angeordnet.
Nach der Rechtsprechung dauert - unter Vorbehalt einer allfällig missbräuchlichen Provozierung eines möglichst frühen Revisionszeitpunktes durch die Verwaltung - der mit der revisionsweise verfügten Herabsetzung oder Aufhebung einer Rente oder Hilflosenentschädigung verbundene Entzug der aufschiebenden Wirkung einer Beschwerde bei Rückweisung der Sache an die Verwaltung auch noch für den Zeitraum dieses Abklärungsverfahrens bis zum Erlass der neuen Verwaltungsverfügung an (<ref-ruling>); diese Rechtsprechung hat das damalige Eidgenössische Versicherungsgericht mit einlässlicher Begründung im Jahr 2003 (<ref-ruling>) und das Bundesgericht im Jahr 2010 (SVR 2011 IV Nr. 33 S. 96 mit Hinweisen, 8C_451/2010) bestätigt. Eine Aufhebung des von der Verwaltung angeordneten Entzugs der aufschiebenden Wirkung ist demnach in Ausnahmefällen zulässig. Ob eine solche Ausnahme vorliegt, hat das erstinstanzliche Gericht zu prüfen und gestützt auf <ref-law> (und <ref-law>) wenigstens in den Grundzügen zu begründen (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188, 229 E. 5.2 S. 236).
3.2. Wird eine rechtsmissbräuchliche Provozierung eines möglichst frühen Revisionszeitpunktes bejaht, so ist die diesfalls angeordnete Auszahlung der bisherigen Leistung keine abschliessende Entscheidung über den Anspruch auf diese, sondern entfaltet nur im Rahmen des weiteren Abklärungsverfahrens seine vorläufige Wirkung. Denn als vorsorgliche Massnahme kann der Entzug resp. die Wiedererteilung der aufschiebenden Wirkung keine darüber hinausgehenden Folgen, insbesondere materieller Art, zeitigen; es geht alleine darum, ob die verfügte Anordnung sofort vollstreckt werden kann oder nicht (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 371). Somit wirkt sich die Bejahung des Rechtsmissbrauchs im Rahmen der Beurteilung der aufschiebenden Wirkung auch nur auf diese aus, jedoch nicht auf die Beantwortung materieller Ansprüche (Zeitpunkt der [allfälligen] Rentenherabsetzung/-aufhebung).
4.
Die IV-Stelle rügt nebst der Verletzung von Bundesrecht infolge unzutreffender Anwendung von Bestimmungen des ATSG bezüglich der vorsorglichen Massnahmen (Entzug resp. Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung) auch die Verletzung von <ref-law> (Willkürverbot) sowie die Verletzung von <ref-law> (Anspruch auf den verfassungsmässigen Richter). In diesen Punkten ist demnach auf die Beschwerde einzutreten.
4.1. Soweit die IV-Stelle eine Verletzung des <ref-law> geltend macht, ist ihr Einwand unbehelflich, da der Entscheid vom 3. Dezember 2012 mangels endgültiger Anordnungen (vgl. E. 2.1) keinen Endentscheid darstellt und damit in Übereinstimmung mit § 8a Abs. 3 lit. d der Geschäftsordnung für das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern vom 16. Mai 1973 (in Kraft gewesen bis 31. Mai 2013; SRL 43) von einem Einzelrichter gefällt werden durfte.
4.2. Ebenso wenig verletzt der Entscheid vom 3. Dezember 2012 das Willkürverbot von <ref-law>. Denn die Vorinstanz hat ihre Einschätzung, wonach der IV-Stelle eine rechtsmissbräuchliche Erwirkung eines möglichst frühen Revisionszeitpunktes vorzuwerfen sei, in ihrer E. 5 einlässlich und mit sachlichen Argumenten begründet. Im Rahmen der in diesem Verfahren zulässigen Kognition besteht unter den gegebenen Umständen kein Anlass, diese Beurteilung zu beanstanden. Da die Schlussfolgerung der Vorinstanz (Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung und damit vorläufige Auszahlung des bisherigen Rentenanspruchs während des Abklärungsverfahrens) weder in der Begründung noch im Ergebnis unhaltbar ist, ist die Beschwerde der IV-Stelle abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
5.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig. Die unterliegende IV-Stelle hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Versicherte hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Juli 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Riedi Hunold