Sachverhalt:
A. Der 1964 geborene W._ ist Angestellter der Firma X._ und bei dieser gegen die Folgen von Unfall und Berufskrankheit versichert. Am 20. Juli 2004 erlitt er mit dem Bike einen Unfall. Die Zürich informierte ihn mit Schreiben vom 15. Februar 2005, dass eine medizinische Abklärung beim Neurologen Prof. Dr. med. A._ vorgesehen sei. Dem Versicherten gab sie Gelegenheit, allfällige, objektiv begründete Einwände gegen den Experten vorzubringen und zusätzliche Gutachterfragen einzureichen. Am 17. Februar 2005 erteilte die Zürich den Gutachterauftrag an Prof. Dr. med. A._. Der nunmehr durch einen Rechtsanwalt vertretene Versicherte ersuchte die Zürich am 10. März 2005, den Untersuchungstermin bei diesem Arzt abzusagen. Daraufhin begründete die Zürich am 13. April 2005, weshalb sie an einer Begutachtung durch den beauftragten Facharzt festhalte, und setzte W._ unter Hinweis auf das Mahn- und Bedenkzeitverfahren Frist zur Einwilligung in die vorgesehene Begutachtung. Nach umfangreicher Korrespondenz zwischen den Parteien und einer letztmaligen Fristansetzung durch die Zürich liess sich der Versicherte am 25. Juli 2005 zur Person des Gutachters vernehmen und teilte mit, er sei mit diesem nicht einverstanden. Der Mediziner sei nicht mehr unvoreingenommen, weil sich die Zürich ohne Wissen des Versicherten mit ihm in Verbindung gesetzt habe, und weil der Arzt anlässlich eines Telefonats mit dem Rechtsvertreter ausfällig geworden sei, weshalb anzunehmen sei, dass er nun gegenüber dem Versicherten eine negative Einstellung habe. Überdies sei nicht eine neurologische, sondern eine interdisziplinäre Begutachtung durchzuführen und der Fragenkatalog zu bereinigen. Mit Verfügung vom 5. Oktober 2005 wies die Zürich das Ausstands- und Ablehnungsbegehren ab und hielt an einer Begutachtung durch Prof. Dr. med. A._ fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Uri mit Entscheid vom 28. November 2006 ab, soweit es nicht gegenstandslos geworden war und soweit darauf einzutreten war (Dispositiv-Ziff. 1). Zudem auferlegte es W._ wegen mutwilliger Prozessführung die Verfahrenskosten von Fr. 2850.- (Dispositiv-Ziff. 2).
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt W._ beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid wegen Befangenheit des kantonalen Gerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung durch ein unvoreingenommenes Gericht an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei die Sache an die Zürich zurückzuweisen, damit diese unter Wahrung sämtlicher durch die Bundesverfassung und die EMRK gewährleisteten Rechte einen neuen medizinischen Sachverständigen bestelle. Überdies sei das Kostendispositiv des vorinstanzlichen Entscheids aufzuheben und von einer Kostenauflage abzusehen.
Die Zürich schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (Art. 132 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. 2.1 In formeller Hinsicht lässt der Beschwerdeführer geltend machen, der vorinstanzliche Entscheid sei wegen Befangenheit des Gerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung durch ein unvoreingenommenes Gericht zurückzuweisen. Die Vorinstanz habe ihm mutwillige Prozessführung vorgeworfen mit der Begründung, es gehe ihm offensichtlich nur darum, mit allen Mitteln die Ernennung des medizinischen Gutachters durch den Unfallversicherer zu vereiteln und im Rahmen des kostenlosen Sozialversicherungsprozesses einen "Glaubenskrieg" auszutragen. Die Befangenheit des Gerichts sieht der Beschwerdeführer auch in dessen Schreiben vom 18. Dezember 2006, mit welchem es ihn auf die Erwägung des Entscheids vom 28. November 2006 betreffend mutwillige Prozessführung hingewiesen hat, und in der Zustellung des Entscheids kurz vor den Weihnachtstagen.
2.2 Im Sinne einer unabhängig vom anwendbaren Verfahrens- und Organisationsrecht geltenden und damit auch für das kantonale Versicherungsgericht nach Art. 57 ATSG massgeblichen Minimalgarantie hat der Einzelne nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK Anspruch darauf, dass seine Sache von einem durch Gesetz geschaffenen, zuständigen, unabhängigen und unparteiischen Gericht ohne Einwirkungen sachfremder Umstände entschieden wird (<ref-ruling> E. 5.2 S. 3; SVR 2006 UV Nr. 19 S. 67, U 305/05). Umstände, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Es müssen aber Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken (<ref-ruling> E. 6.2 S. 6). Der Zweck des Ablehnungsverfahrens besteht darin, eine objektive Rechtsprechung durch unabhängige Richter zu gewährleisten. Ein Richter verliert seine Unabhängigkeit nicht bereits deshalb, weil er gegen eine Partei entschieden hat (vgl. <ref-ruling>). Die inhaltliche Kritik am vorinstanzlichen Entscheid stellt daher keinen zulässigen Ausstandsgrund dar. Verfahrens- oder andere Rechtsfehler, die einem Gericht unterlaufen, können den Anschein der Befangenheit nur begründen, wenn sie wiederholt begangen wurden oder so schwer wiegen, dass sie Amtspflichtverletzungen darstellen (<ref-ruling>; Urteil 1B_27/2007 vom 7. Mai 2007). Dies ist hier nicht der Fall. Hat der Richter an einem Verfahren mitgewirkt, mit welchem dem Beschwerdeführer wegen trölerischer Beschwerdeerhebung Kosten auferlegt wurden, liegt darin, selbst wenn dies vom Bundesgericht später aufgehoben wird, kein Ausstandsgrund (Urteile 2F_2/2007 vom 25. April 2007, 2P.256/1993 vom 21. April 1994). Ebensowenig vermag das gerügte Vorgehen nach Erlass des vorinstanzlichen Entscheids zu beweisen, dass einzelne Mitglieder des kantonalen Gerichts dem Beschwerdeführer oder seinem Rechtsvertreter feindlich gesinnt wären. Sowohl das Schreiben an den Beschwerdeführer als auch der Zeitpunkt der Zustellung des Entscheids vermögen keinen Eindruck fehlender Neutralität, Distanz oder Unabhängigkeit zu begründen. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist daher in diesem Punkt abzuweisen.
3. Die Vorinstanz ist auf die Beschwerde eingetreten, soweit sie sich gegen die Begutachtung durch Prof. Dr. med. A._ richtete. Dabei hat sie erwogen, die Bestimmung des Gutachters durch die Zürich stelle weder eine Verletzung von Verfahrens- und Mitwirkungsrechten, noch einen unzulässigen Eingriff in die persönliche Freiheit, den Schutz der Privatsphäre oder ins Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens dar. Soweit der Versicherte den Sachverständigen wegen mangelnder Fachkompetenz für das von ihm beklagte Leiden ablehne, liege darin - sofern dieser Punkt überhaupt Gegenstand eines Ablehnungsgesuchs bilden könne - kein Ausstand begründet. Ebenfalls nichts zu seinen Gunsten abzuleiten vermöge der Versicherte aus dem Verdacht auf enge geschäftliche Beziehungen oder angebliche geheime Absprachen zwischen Arzt und Unfallversicherer. Des Weitern hält das kantonale Gericht dafür, medizinische Ansichten eines Gutachters zur Schleudertraumapraxis des Bundesgerichts vermöchten dessen Ablehnung grundsätzlich nicht zu rechtfertigen, sondern seien allenfalls im Rahmen der Beweiswürdigung zu berücksichtigen. Da ein Ablehnungsgrund nur in der persönlichen Beziehung des Experten zur versicherten Person liegen könne, stelle auch ein allfällig unfreundliches Verhalten des Prof. Dr. med. A._ gegenüber dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers keinen Ausstandsgrund dar, zumal dieser ansonsten einen nicht genehmen Gutachter durch Provokationen verhindern könne.
4. Der Anordnung einer Begutachtung durch den Sozialversicherer kommt nach der Rechtsprechung kein Verfügungscharakter zu (<ref-ruling> E. 5 S. 100). Erhebt die versicherte Person keine Einwendungen gegen den Gutachter, bleibt es dabei und es ist keine Verfügung zu treffen. Werden hingegen substanziierte Einwendungen vorgebracht, welche eine Befangenheit der an der Begutachtung mitwirkenden sachverständigen Person im Sinne gesetzlicher Ausstands- und Ablehnungsgründe zu begründen vermögen, hat der Versicherungsträger darüber eine Verfügung zu erlassen. Gegenstand eines Ablehnungsgesuches des vom Versicherungsträger bestimmten medizinischen Gutachters, welches zu einem Zwischenentscheid führt, der geeignet ist, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu bewirken und daher selbstständig mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde angefochten werden kann, können nur formelle Ausstandsgründe (Art. 10 VwVG; Art. 36 ATSG) bilden. Einwendungen anderer Art wie Bedenken materieller Natur gegen die Fachkompetenz des in Aussicht genommenen Gutachters können nicht Gegenstand eines Ausstandsbegehrens sein, sondern sind allenfalls im Rahmen der materiellen Würdigung des Gutachtens vorzubringen (<ref-ruling> E. 6.5 S. 108 f., 376 E. 2.5 S. 378). An dieser in der Zwischenzeit wiederholt bestätigten Rechtsprechung (Urteile 9C_67/2007 vom 28. August 2007, I 369/06 vom 12. September 2006) ist trotz der in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vorgebrachten Kritik, im Hinblick auf die Gebote der Fairness, das Recht des Versicherten, an der Beweiserhebung mitzuwirken, die Akzeptanz durch die Rechtsunterworfenen und eine effiziente Verwaltungstätigkeit sei die Anordnung einer medizinischen Begutachtung und die Bestellung des medizinischen Sachverständigen in Form einer anfechtbaren Verfügung zu erlassen, festzuhalten. Insbesondere vermag der Beschwerdeführer nicht überzeugend darzutun, dass eine andere Rechtsanwendung dem Sinn des Gesetzes oder veränderten Verhältnissen besser Rechnung tragen würde (vgl. zu den Voraussetzungen für eine Änderung der Gerichtspraxis: <ref-ruling> E. 2.4 S. 262). Da seine Darlegungen nicht wirklich neu sind und sich das Gericht in <ref-ruling> eingehend mit der Problematik auseinandergesetzt hat, besteht keine Veranlassung, darauf näher einzugehen. Ebensowenig sind die Fragen zuhanden des medizinischen Sachverständigen in einer anfechtbaren Zwischenverfügung festzulegen (<ref-ruling> E. 7.4 S. 449). Gegenstand der Verfügung der Zürich vom 5. Oktober 2005 und somit auch Streitgegenstand im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren konnte daher nur die Frage sein, ob gegen den vorgesehenen Gutachter Ausstandsgründe im Sinne von Art. 36 ATSG vorliegen.
5. Art. 43 Abs. 1 ATSG statuiert die Sachverhaltsabklärung von Amtes wegen, wobei die zuständige Behörde nicht an Anträge der versicherten Person gebunden ist (<ref-ruling> E. 5.2.8 S. 105). Entsprechend dem Untersuchungsgrundsatz ist es in erster Linie Sache der zuständigen Behörde, die materielle Wahrheit zu ermitteln (SVR 2007 IV Nr. 22 S. 77, I 478/04). Es liegt im Ermessen des Versicherungsträgers, darüber zu befinden, mit welchen Mitteln der Sachverhalt abzuklären ist. Aus dem gesetzlichen Untersuchungsgrundsatz fliesst das Recht und die Pflicht zur Einholung von medizinischen Gutachten, wobei der versicherten Person grundsätzlich kein Wahlrecht zusteht. Die Ernennung eines bestimmten Gutachters muss daher nicht näher begründet werden. Vom Sozialversicherungsträger nimmt die Rechtsprechung an, dass er im Abklärungs-, und nichtstreitigen Verfügungs- und Einspracheverfahren das gesetzlich vorgesehene, zu Objektivität und Neutralität verpflichtete Vollzugsorgan ist (<ref-ruling> E. 1c S. 161). Indessen hat der Versicherungsträger der versicherten Person die aus Art. 44 ATSG fliessenden Rechte zu gewähren, welcher Anforderung die Beschwerdegegnerin mit der Bekanntgabe der Person des Gutachters und seiner medizinischen Fachrichtung (SVR 2007 IV Nr. 27 S. 94, I 193/05) am 15. Februar 2005 nachgekommen ist. Diese kann alsdann gegebenenfalls gesetzliche Ausstands- und Ablehnungsgründe und damit triftige Gründe im Sinne von Art. 44 Satz 2 ATSG substanziiert vortragen (vgl. <ref-ruling>). Die üblichen Untersuchungen im Rahmen einer medizinischen Begutachtung sind ohne konkret entgegenstehende Umstände generell als zumutbar zu erachten (Art. 43 Abs. 2 ATSG; Urteil I 988/06 vom 28. März 2007). Die Mitwirkung kann von der betroffenen Person jedoch dann ohne rechtliche Folgen verweigert werden (Art. 43 Abs. 3 ATSG), wenn sie begründete Ausstands- oder Ablehnungsgründe anfügen kann. Ist dies nicht der Fall, spricht verfahrensrechtlich nichts dagegen, wenn der Versicherungsträger die Begutachtung ohne das Einverständnis der versicherten Person anordnet. Auch die EMRK statuiert kein unbeschränktes Recht auf Zulassung zum Beweis (<ref-ruling> E. 2b S. 164). Ein weitergehender Anspruch ergibt sich auch nicht aus Art. 29 Abs. 2 BV (<ref-ruling> E. 3.1 S. 370 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling>). Der Antrag auf Rückweisung der Sache an die Beschwerdegegnerin zur Ernennung eines Sachverständigen unter Wahrung der verfassungs- und EMRK-mässigen Rechte ist daher abzuweisen.
6. 6.1 Die Ausstandsgründe nach Art. 36 ATSG stimmen mit denjenigen nach Art. 10 VwVG überein (SVR 2007 IV Nr. 22 S. 77, I 478/04). Dazu gehören ein persönliches Interesse an der zu beurteilenden Sache, aber auch die enge verwandtschaftliche oder freundschaftliche Verbundenheit mit einer Partei oder andere Gründe von ähnlichem Gewicht (Kieser, ATSG-Kommentar, Zürich 2003, N 3 und 6 zu Art. 36).
6.2 Weder aufgrund der Feststellungen und Erwägungen des kantonalen Gerichts noch in Anbetracht sämtlicher Vorbringen des Beschwerdeführers liegt ein Aspekt vor, der den Ausstand oder die Ablehnung des Prof. Dr. med. A._ zu begründen vermöchte. Was in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen die vorinstanzliche Beurteilung der erhobenen Befangenheitsrügen vorgebracht wird, ist nicht geeignet, zu einem anderen Ergebnis zu führen und Zweifel an der persönlichen Integrität und der pflichtgemässen Ausübung der Gutachtertätigkeit nach bestem Wissen und Gewissen des Facharztes aufkommen zu lassen. Selbst wenn es zutreffen sollte, dass Prof. Dr. med. A._ bei HWS-Distorsionen objektivierbare Befunde verlangt und der Rechtsprechung zur Schleudertraumapraxis (<ref-ruling>) kritisch gegenübersteht, ist damit kein Anschein der Befangenheit verbunden, zumal auch das Bundesgericht bei solchen Verletzungsmechanismen medizinische Fakten als massgebliche Grundlage für die Kausalitätsbeurteilung bezeichnet (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 340). Ein solcher lässt sich beispielsweise auch nicht aus einer unabhängig von einem konkreten Verfahren, etwa in einer wissenschaftlichen Publikation, erfolgten Meinungsäusserung ableiten (SVR 2006 UV Nr. 19 S. 67, U 305/05). Da nur gesetzliche Ausstands- und Ablehnungsgründe relevant sein können, ist der Beschwerdeführer nicht zu hören, soweit er die fachlichen Fähigkeiten des Gutachters in Frage stellt. Der pauschale Vorwurf, die von der Beschwerdegegnerin nicht näher begründete, ausschliessliche Beauftragung des Dr. med. A._ vermöge für sich allein schon den Anschein einer Befangenheit des vorgesehenen Experten zu begründen, beschlägt nicht die Person des Gutachters, sondern betrifft eine Frage, die allenfalls im Rahmen der Beweiswürdigung zu berücksichtigen ist. Nach ständiger Praxis stellt sodann der Umstand, dass ein Arzt wiederholt von einem Sozialversicherungsträger als Gutachter beigezogen wird, für sich allein keinen Ausstandsgrund dar (RKUV 2001 Nr. KV 189 S. 490 E. 5b, K 6/01, 1999 Nr. U 332 S. 193 E. 2a/bb; Urteile 9C_67/2007 vom 28. August 2007, I 885/06 vom 20. Juni 2007, I 371/05 vom 1. September 2006). Aus dem angeblichen Verhalten des Prof. Dr. med. A._ gegenüber einer früheren Explorandin vermag der Beschwerdeführer für das vorliegende Verfahren ebenfalls nichts abzuleiten. Zusammenfassend lässt sich daher nicht beanstanden, dass die Zürich diesen Arzt mit der Erstattung eines Gutachtens beauftragt hat.
7. Schliesslich richtet sich die Verwaltungsgerichtsbeschwerde auch gegen die vorinstanzliche Kostenauferlegung wegen mutwilliger Beschwerdeführung.
7.1 Das kantonale Gericht hat dem Beschwerdeführer in Anwendung von Art. 61 Abs. 1 lit. a ATSG Kosten auferlegt mit der Begründung, es sei ihm nicht in erster Linie um die Person des Prof. Dr. med. A._, sondern darum gegangen, mit allen Mitteln die Ernennung eines Gutachters durch die Beschwerdegegnerin zu vereiteln. Er habe erklärtermassen Gerechtigkeit, Freiheit und Verhinderung von Machtmissbrauch durch die Unfallversicherer durchsetzen wollen, welche die Versicherten seiner Ansicht nach generell ungerecht behandeln würden. Dieser Eindruck werde durch von ihm aufgelegte Zeitungsartikel über die Beschwerdegegnerin bestätigt.
7.2 Nach ständiger, auch unter der Herrschaft des ATSG geltender (SVR 2004 EL Nr. 2 S. 6, P 23/03) Rechtsprechung kann leichtsinnige oder mutwillige Prozessführung vorliegen, wenn die Partei ihre Stellungnahme auf einen Sachverhalt abstützt, von dem sie weiss oder bei der ihr zumutbaren Sorgfalt wissen müsste, dass er unrichtig ist. Mutwillige Prozessführung kann unter anderem auch angenommen werden, wenn eine Partei vor der Rekursbehörde an einer offensichtlich gesetzwidrigen Auffassung festhält. Leichtsinnige oder mutwillige Prozessführung liegt aber so lange nicht vor, als es der Partei darum geht, einen bestimmten, nicht als willkürlich erscheinenden Standpunkt durch das Gericht beurteilen zu lassen. Dies gilt auch dann, wenn das Gericht die Partei im Laufe des Verfahrens von der Unrichtigkeit ihres Standpunktes überzeugen und zu einem entsprechenden Verhalten (Beschwerderückzug) veranlassen will. Die Erhebung einer aussichtslosen Beschwerde darf einer leichtsinnigen oder mutwilligen Beschwerdeführung nicht gleichgesetzt werden. Das Merkmal der Aussichtslosigkeit für sich allein lässt einen Prozess noch nicht als leichtsinnig oder mutwillig erscheinen. Vielmehr bedarf es zusätzlich des subjektiven - tadelnswerten - Elements, dass die Partei die Aussichtslosigkeit bei der ihr zumutbaren vernunftgemässen Überlegung ohne weiteres erkennen konnte, den Prozess aber trotzdem führt (AHI 1998 S. 188, H 150/97).
7.3 Der Beschwerdeführer hat zwar mit allen Mitteln versucht, eine Begutachtung durch den von der Beschwerdegegnerin bezeichneten Gutachter zu verhindern und dabei auch Argumente vorgebracht, welche nichts mit gesetzlichen Ausstands- und Ablehnungsgründen zu tun haben. Eine geradezu mutwillige Prozessführung kann ihm und seinem Rechtsvertreter jedoch nicht vorgeworfen werden. Vielmehr ist auf Einwände gar nicht einzutreten, welche über die gesetzlichen Ausstands- und Ablehnungsgründe hinausgehen (E. 4 hievor). Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist deshalb in Bezug auf die Kostenerhebung gutzuheissen.
8. Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG). Dem teilweise obsiegenden Beschwerdeführer ist eine reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 159 Abs. 2 und 3 in Verbindung mit Art. 135 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird teilweise gutgeheissen und Dispositiv-Ziffer 2 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, vom 28. November 2006 aufgehoben. Im Übrigen wird die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 200.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Dezember 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer