Sachverhalt:
A.
A._ stellte am 21. März 2013 Strafantrag gegen B._ wegen übler Nachrede und Verleumdung. Die Staatsanwaltschaft Luzern eröffnete in der Folge eine Strafuntersuchung und stellte diese am 16. Juli 2013 mit der Begründung ein, B._ habe den Wahrheitsbeweis für seine ehrverletzenden Äusserungen erbracht.
B.
Das Kantonsgericht Luzern trat mit Präsidialverfügung vom 28. August 2013 auf die von A._ gegen die Verfahrenseinstellung erhobene Beschwerde mangels Legitimation nicht ein.
C.
A._ erhebt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, die Präsidialverfügung aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, auf die Beschwerde einzutreten.
Der Beschwerdegegner verzichtet auf Vernehmlassung. Die Oberstaatsanwaltschaft und das Kantonsgericht Luzern beantragen die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, sofern er ein aktuelles rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Bei der Privatklägerschaft wird in Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG zusätzlich verlangt, dass der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann. Dies verlangt grundsätzlich vom Privatkläger, dass er bereits adhäsionsweise Zivilforderungen geltend gemacht hat. Ausnahmsweise, bei Nichtanhandnahme oder Einstellung des Strafverfahrens, ist auf dieses Erfordernis zu verzichten, zumal von der Privatklägerschaft in diesen Fällen nicht verlangt werden kann, dass sie bereits adhäsionsweise Zivilforderungen geltend gemacht hat. Immerhin ist jedoch erforderlich, dass im Verfahren vor Bundesgericht dargelegt wird, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 247 f.; Urteil 6B_755/2013 vom 24. Februar 2014 E. 1.2). Der Beschwerdeführer hat weder im vorinstanzlichen Verfahren Zivilansprüche geltend gemacht noch in der Beschwerde dargelegt, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid auf allfällige Zivilforderungen auswirken kann.
1.2. Der Geschädigte kann, unbesehen um die Legitimation in der Sache, mit der Beschwerde in Strafsachen die Verletzung von Rechten rügen, die ihm als am Verfahren beteiligte Partei nach dem massgebenden Prozessrecht oder unmittelbar aufgrund der BV oder der EMRK zustehen. Insoweit hat er ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.9 S. 40).
Der Beschwerdeführer beanstandet, die Vorinstanz habe seine Legitimation verneint, weil sie zu Unrecht von einem Verzicht auf die Rechtsstellung als Privatkläger ausging. Damit rügt er die Verletzung von Rechten, die ihm als am Verfahren beteiligte Partei zustehen. Auf die Beschwerde ist deshalb einzutreten.
2.
2.1. Die Staatsanwaltschaft unterbreitete dem Beschwerdeführer am 9. April 2013 ein "Formular für Antragsdelikte" zur Unterschrift. Einleitend finden sich Erläuterungen zu den Antragsdelikten, zum Strafantrag und Verzicht auf Strafantrag. Unter anderem wird ausgeführt:
"Wer Strafantrag stellt, ist Privatkläger und damit Partei im Strafverfahren (<ref-law>). Er hat namentlich das Recht, Akten einzusehen, an Verfahrenshandlungen (...) teilzunehmen, einen Rechtsbeistand beizuziehen, Beweisanträge zu stellen und sich zur Sache und zum Verfahren zu äussern (<ref-law>). Er kann gegen die beschuldigte Person Schadenersatz oder Genugtuung (Schmerzensgeld) aus der Straftat geltend machen (<ref-law>).
Der Strafantragsteller kann auf diese Rechte auch verzichten. Er ist dann nicht Privatkläger. Schadenersatz oder Genugtuung kann er nicht geltend machen. Der Strafantrag bleibt aber bestehen. Der Verzicht ist endgültig (<ref-law>).
Der Privatkläger trägt ein Kostenrisiko, wenn das Verfahren gegen die beschuldigte Person eingestellt wird oder sie freigesprochen wird. Verzichtet der Strafantragsteller auf seine Rechte als Privatkläger, können ihm Kosten nur auferlegt werden, wenn er das Verfahren mutwillig oder grobfahrlässig eingeleitet oder erschwert hat (...).
Im Anschluss daran finden sich drei Rubriken zum Ankreuzen:
2.2. Der Beschwerdeführer rügt, dass er durch die für einen Rechtsunkundigen unverständliche Ausgestaltung des Formulars in die Irre geführt worden sei. Zum Zeitpunkt der Unterzeichnung sei er noch nicht anwaltlich vertreten gewesen. Ihm sei es um die Verfolgung und Bestrafung des Beschuldigten gegangen. In der Geltendmachung von Zivilansprüchen habe er keinen Sinn gesehen, da der Nachweis eines Schadens oder die Geltendmachung einer Genugtuung bei Ehrverletzungsdelikten schwierig zu beziffern und zu beweisen sei. Er habe das Kostenrisiko einer Zivilklage vermeiden, nicht aber auf seine Rechte als Strafkläger verzichten wollen.
2.3. Die Vorinstanz schliesst aus der Unterzeichnung des Formulars durch den Beschwerdeführer, dass dieser auf seine Rechte als Privatkläger verzichtet hat und deshalb zur Beschwerde nicht legitimiert ist.
2.4. Der Wille, einen Strafantrag (oder auch eine Straf- oder Zivilklage) zurückzuziehen, muss unmissverständlich zum Ausdruck kommen (<ref-ruling> E. 3a; bestätigt im Urteil 6B_510/2011 vom 17. Oktober 2011 E. 2.3). Gegen die Verwendung von Formularen im Strafprozess ist grundsätzlich nichts einzuwenden. Sie erleichtern nicht nur den Behörden die Entgegennahme von rechtserheblichen Erklärungen, sondern ermöglichen es dem Betroffenen auch, seine Anliegen klar und unmissverständlich zum Ausdruck zu bringen. Dies setzt voraus, dass die Formulare verständlich ausgestaltet sind, die massgebende Rechtslage korrekt wiedergeben und sich aus der Unterzeichnung des Formulars eindeutige Rückschlüsse auf den Willen des Betroffenen ergeben. Sie sollten auch von einem juristischen Laien und ohne Hilfestellung durch einen Beamten ausgefüllt werden können (vgl. Christof Riedo, Der Strafantrag, Basel 2004, S. 665).
Das dem Beschwerdeführer zur Unterschrift unterbreitete Formular ist in verschiedener Hinsicht unvollständig und mangelhaft. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass das Formular - wie die Staatsanwaltschaft in ihrer Vernehmlassung ausführt - inzwischen von der Schweizerischen Staatsanwälte Konferenz (SSK) "als gut befunden und übernommen worden ist". Für einen unbefangenen Leser kann leicht der Eindruck entstehen, dass es beim Strafantrag um die Bestrafung des Täters und bei der Privatklage allein um die Geltendmachung von Zivilansprüchen geht. Dies ergibt sich nicht nur aus den "Erläuterungen", sondern insbesondere auch aus den "Rubriken", die dem Unterzeichner zur Auswahl stehen. Die vom Gesetz ausdrücklich vorgesehene Möglichkeit, sich als Straf- und/oder Zivilkläger am Verfahren zu beteiligen (<ref-law>), ist ebenso wenig vorgesehen wie ein Verzicht auf die Zivilklage unter Aufrechterhaltung der Strafklage (vgl. <ref-law>). Aus der Unterzeichnung des Formulars durch den Beschwerdeführer kann nicht der Schluss gezogen werden, dieser habe nach gehöriger Rechtsbelehrung und in Kenntnis der sich daraus ergebenden Konsequenzen bewusst auf die ihm als Antragsteller und damit auch als Strafkläger (vgl. <ref-law>) zustehenden Rechte verzichtet. Vielmehr erscheint sein Einwand, er sei aufgrund der Ausgestaltung des Formulars davon ausgegangen, dass er mit seiner Unterschrift allein auf die Geltendmachung von Zivilansprüchen verzichte, nachvollziehbar. Da somit keine eindeutige Willenserklärung zum Verzicht auf die Strafklage vorliegt, kommt dem Beschwerdeführer die bereits mit der Erhebung des Strafantrags begründete Rechtsstellung eines Privatklägers weiterhin zu.
2.5. Die Beschwerde ist gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. Abs. 4 BGG). Der Kanton Luzern hat dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 28. August 2013 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Luzern hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Mai 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Briw