Sachverhalt:
A. Der 1962 geborene S._ leidet an einer Arthrose des linken Ellbogengelenks und an sekundären Beschwerden in der linken Schulter. Das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus bestätigte eine Verfügung der IV-Stelle des Kantons Glarus, wonach ihm - bei einem Invaliditätsgrad von 13 Prozent - kein Anspruch auf eine Invalidenrente zukomme (Entscheid vom 24. Juni 2003). Das Eidgenössische Versicherungsgericht (seit 1. Januar 2007: Bundesgericht) hiess die gegen diesen Entscheid erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Urteil vom 21. September 2004 (I 548/03) teilweise gut und wies die Sache zu neuem Entscheid an die Verwaltung zurück. Diesem Entscheid lag die Erkenntnis zugrunde, dass der Versicherte während über zwei Jahren nach dem für den Gesundheitsschaden verantwortlichen Unfallereignis vom 12. September 1999 nie eine 50 Prozent übersteigende Arbeitsfähigkeit erreicht hatte und dass er während dieser Zeit laufender Behandlungen und wiederholter operativer Eingriffe auch nicht auf den Weg der erwerblichen Selbsteingliederung verwiesen werden konnte. Damit war jedenfalls ein Anspruch auf eine befristete Invalidenrente ausgewiesen.
Gestützt auf ein Verlaufsgutachten vom 13. Mai 2005 des Orthopäden Dr. C._, dessen frühere Einschätzungen massgebliche medizinische Grundlage für das letztinstanzliche Urteil vom 21. September 2004 gewesen waren, verfügte die IV-Stelle am 16. August 2005, S._ habe für den Zeitraum von September 2000 bis Dezember 2002 bei einem Invaliditätsgrad von 50 Prozent Anspruch auf eine halbe Invalidenrente. Ab Januar 2003 bestehe ein rentenausschliessender Invaliditätsgrad von 29 Prozent, weil die Heilbehandlung Ende 2002 abgeschlossen worden sei und dem Versicherten fortan alle leidensangepassten Verweisungstätigkeiten offengestanden hätten. Die hiergegen erhobene Einsprache wies die Verwaltung ab (Entscheid vom 3. Oktober 2005).
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 12. Dezember 2006). Es kam zum Schluss, angesichts der gutachtlichen Aussage, eine leidensangepasste Tätigkeit sei im Umfang von täglich sechs bis sieben Stunden zumutbar, sei ab Januar 2003 kein rentenbegründender Invaliditätsgrad mehr gegeben, dies unabhängig davon, ob das Invalideneinkommen ganz aufgrund eines statistischen Wertes (nach der Lohnstrukturerhebung [LSE] des Bundesamtes für Statistik) berechnet werde (Invaliditätsgrad: 36 Prozent) oder in Kombination mit dem tatsächlichen Einkommen aus der weiterhin halbtags ausgeübten angestammten Tätigkeit als Hauswart (27 Prozent).
C. S._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit den Rechtsbegehren, es seien der kantonale und der Einspracheentscheid aufzuheben, soweit damit der Leistungsanspruch auf Ende 2002 befristet werde, und es sei ihm auch für die Zeit ab Januar 2003 mindestens eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zur Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts zurückzuweisen.
IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
1.2 Der angefochtene Entscheid betrifft Leistungen der Invalidenversicherung. Das Bundesgericht prüft daher nur, ob das vorinstanzliche Gericht Bundesrecht verletzte, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt wurde (Art. 132 Abs. 2 OG [in der Fassung gemäss Ziff. III des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Änderung des IVG, in Kraft seit 1. Juli 2006] in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
2. Streitig ist, ob der Beschwerdeführer über Dezember 2002 hinaus Anspruch auf eine Invalidenrente hat.
2.1 Die Verwaltung sprach dem Versicherten eine auf den Zeitraum von September 2000 bis Dezember 2002 befristete halbe Invalidenrente zu. Bei rückwirkender Zusprechung einer abgestuften oder befristeten Invalidenrente sind die für die Rentenrevision geltenden Bestimmungen analog anzuwenden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 165). Gegenstand des Einspracheentscheids vom 3. Oktober 2005 bildet denn auch die an die erwähnten Leistungsperioden anschliessende, nach den Grundsätzen der Rentenrevision vorgenommene Aufhebung der Rente (<ref-ruling> E. 6.1).
2.2 Hinsichtlich der Festlegung der Arbeitsunfähigkeit (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 345) verwarf das kantonale Gericht das Vorbringen des Versicherten, die massgebende orthopädische Beurteilung sei widerspruchsbehaftet. Es werde deutlich, dass sich die attestierte Arbeitsunfähigkeit von 50 Prozent nur auf die bisherige Arbeit als Hauswart beziehe, während bezogen auf leidensadaptierte Tätigkeiten eine Arbeitsfähigkeit im Umfang von sechs bis sieben Stunden täglich ausgewiesen werde.
2.2.1 Nach gutachtlichem Befund leidet der Versicherte an einer manifesten Arthrose im linken Ellbogengelenk, die zu einer Einschränkung von Kraft und Beweglichkeit sowie zu chronischer Schmerzhaftigkeit führt, sowie an sekundär aufgetretenen Beschwerden der linken Schulter mit leichter Einbusse an Kraft und Beweglichkeit. Der orthopädische Sachverständige Dr. C._ bestätigte am 13. Mai 2005 die Schlussfolgerungen gemäss seinem früheren Gutachten vom 4. Dezember 2002 im Wesentlichen. Es bestehe eine leichte bis mittlere Einschränkung von Belastbarkeit, Beweglichkeit und Kraft des linken Ellbogengelenks und eine geringe entsprechende Einschränkung des linken Schultergelenks. Damit seien alle vorwiegend mit der dominanten linken Hand auszuführenden Tätigkeiten eingeschränkt. Die Arthrose im linken Ellbogengelenk werde indes überwiegend wahrscheinlich nur sehr langsam zunehmen. Die Arbeitsfähigkeit von 50 Prozent in der angestammten Tätigkeit (Pensum von täglich vier Stunden ohne signifikant vermindertes Rendement) könne voraussichtlich über viele Jahre hinweg erhalten werden. Im Umfang von sechs bis sieben Stunden täglich zumutbar seien einfache Arbeiten, die nicht mit grossem Kraftaufwand oder mit der Notwendigkeit verbunden seien, Gewichte von über zwei Kilogramm tragen oder heben zu müssen, ausserdem alle Tätigkeiten, die beidhändig ausgeführt werden könnten; der rechte Arm sei dabei uneingeschränkt funktionsfähig. Mit diesem Anforderungsprofil nicht vereinbar seien die im Verlauf des Verfahrens angeführten Berufe des Staplerfahrers, Chauffeurs oder Magaziners (vgl. Bericht der Sozialversicherungsanstalt Zürich, Berufsberatung, vom 7. September 2001).
2.2.2 Die vorinstanzliche Interpretation des Gutachtens vom 13. Mai 2005 ist nicht zu beanstanden (vgl. oben E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2 S. 396). Der Sachverständige differenziert eindeutig zwischen der bisherigen Arbeit einerseits und den dem Zumutbarkeitsprofil vollständig entsprechenden Tätigkeiten anderseits; nur in ersterer - und nicht, wie in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde dargetan, generell - besteht eine hälftige Einschränkung der Leistungsfähigkeit. Der Unterschied im zumutbaren zeitlichen Pensum liegt offenkundig darin, dass die angestammte Tätigkeit mit Verrichtungen verbunden ist, die mit der ärztlichen Zumutbarkeitsumschreibung an sich ausgeschlossen werden; dem wird mit einer Unterschreitung des ansonsten gültigen Zeitrahmens Rechnung getragen. Somit besteht kein Anlass, dem Antrag auf Ergänzung des Gutachtens Folge zu geben.
2.3 Zu prüfen bleibt die Rechtsfrage, ob die als Grundlage für die Bemessung des Invalideneinkommens herangezogenen hypothetischen leidensangepassten Verweisungstätigkeiten Gegenstand von Angebot und Nachfrage im konjunkturell ausgeglichenen Arbeitsmarkt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4b S. 276; RKUV 2003 Nr. U 476 S. 109 E. 3.2.4 [U 130/02]; AHI 1998 S. 290 E. 3b) bilden, so dass bei der Bestimmung des Invalideneinkommens auf tabellarische Lohnangaben der LSE abgestellt werden kann.
Zunächst gilt es festzuhalten, dass die Frage, ob ein bestimmtes Anforderungsprofil im Arbeitsmarkt hinreichend häufig zu finden sei, nicht vom Mediziner zu beantworten ist. Auch diesbezüglich kann dem Antrag des Versicherten auf weitere Erhebungen zur Ergänzung des rechtserheblichen Sachverhalts nicht stattgegeben werden. Hingegen ist ihm darin beizupflichten, dass die vom kantonalen Gericht genannten Arbeiten des Marroniverkäufers, Museumswärters oder Kinoplatzanweisers nur vereinzelt oder gar nicht (mehr) nachgefragt werden und daher nicht zum Nachweis eines bestehenden Verweisungsmarktes taugen. Diese Feststellung ändert indes nichts an der Richtigkeit der vorinstanzlichen Beurteilung, der Beschwerdeführer sei in der Lage, auf dem allgemeinen, als konjunkturell ausgeglichen gedachten Arbeitsmarkt eine Stelle zu finden, die dem ärztlich bezeichneten Anforderungsprofil gerecht wird - sei es als Ergänzung zu seiner tatsächlich wahrgenommenen halbtägigen Beschäftigung als Hauswart oder als alternative Beschäftigung im Umfang von täglich sechs bis sieben Stunden. Auch unter Berücksichtigung des erschwerenden Umstands, dass die Beeinträchtigung von linkem Ellbogengelenk und linker Schulter mit Linkshändigkeit einhergeht, sowie der Belastungslimite von nur gerade zwei Kilogramm kann angenommen werden, dem Beschwerdeführer stünden - etwa in dem längst von (menschliche Schwerarbeit ablösender) Automatisierung geprägten - industriellen Sektor oder in einem Dienstleistungsbereich genügend (Teilzeit-)Stellen offen, die mit seiner gesundheitlichen Einschränkung vereinbar sind, so die vom kantonalen Gericht ebenfalls angesprochenen Überwachungsaufgaben. Das Bundesgericht ist wiederholt davon ausgegangen, der ausgeglichene Arbeitsmarkt biete selbst Versicherten, die nur noch einen Arm gebrauchen könnten, eine genügend weite Palette beruflicher Tätigkeiten, um die verbliebene Leistungsfähigkeit wirtschaftlich zu verwerten (Urteil I 74/07 vom 11. Dezember 2007, E. 4.1, mit Hinweisen). Die dazu sich aufdrängende Frage, ob diese - für das Gros der Fälle gewiss zutreffende - Einschätzung in solch absoluter Form, unbesehen aller beruflichen, vor allem ausbildungsmässigen, und persönlichen Eigenschaften der (funktionell) einarmigen versicherten Person getroffen werden darf, stellt sich hier aufgrund des wesentlich geringeren Schweregrades der Beeinträchtigung nicht.
2.4 Nicht zu beanstanden ist schliesslich, dass das kantonale Gericht bei der Berechnung des Invalideneinkommens nicht den höchstmöglichen leidensbedingten Abzug von 25 Prozent (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481; <ref-ruling>), sondern - in Würdigung der persönlichen Umstände sowie der zu gewärtigenden erwerblichen Implikationen der gesundheitlichen Beeinträchtigung - eine Reduktion des Tabellenlohns um 15 Prozent vorgenommen hat. Abgesehen davon, dass das Bundesgericht die vorinstanzliche Ermessensbetätigung nicht mehr nach den Grundsätzen zur Angemessenheitskontrolle (BGE <ref-ruling> E. 6 S. 81) prüft, sondern sie nur noch bei rechtsfehlerhafter Ausübung korrigieren kann (Art. 132 Abs. 2 in Verbindung mit Abs. 1 lit. a OG), ist offenkundig, dass die funktionellen Einschränkungen und die lohnmässigen Nachteile auch bei leidensadaptierten Tätigkeiten nicht derart ausgeprägt sind, dass sich ein maximaler Abzug rechtfertigte.
2.5 Aus dem Gesagten folgt, dass die vorinstanzliche Bemessung des Invalideneinkommens als einem Bestandteil der Vergleichsrechnung nach <ref-law> grundsätzlich rechtens ist (vgl. indes sogleich E. 3).
Dass die Bemessung des Invaliditätsgrades anderweitig rechtsfehlerhaft sein sollte, wird letztinstanzlich nicht geltend gemacht; entsprechende Anhaltspunkte ergeben sich auch nicht aus den Akten. Es besteht somit kein Anlass für eine Weiterung des Prüfungsprogramms (vgl. <ref-ruling> E. 4a in fine S. 53).
3. Bei einer Verbesserung der Erwerbsfähigkeit ist nach <ref-law> die anspruchsbeeinflussende Änderung im Hinblick auf die Herabsetzung oder Aufhebung der Leistung von dem Zeitpunkt an zu berücksichtigen, in dem angenommen werden kann, dass sie voraussichtlich längere Zeit dauern wird. Sie ist in jedem Fall zu berücksichtigen, nachdem sie ohne wesentliche Unterbrechung drei Monate angedauert hat und voraussichtlich weiterhin andauern wird.
Nachdem die Vorinstanzen die anspruchsbeeinflussende Änderung des Sachverhalts auf den 1. Januar 2003 festsetzten, besteht der Rentenanspruch in Anwendung der zitierten Bestimmung noch bis zum 31. März 2003 und nicht, wie von den Vorinstanzen angenommen, nur bis Ende des Jahres 2002.
4. Dem teilweise obsiegenden Beschwerdeführer steht für das Verfahren vor Bundesgericht eine reduzierte Parteientschädigung zu (Art. 159 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG). Die Gerichtskosten (Art. 134 Satz 2 OG in der Fassung gemäss Ziff. III der Übergangsbestimmungen zur Änderung des IVG vom 16. Dezember 2005, gültig ab 1. Juli 2006) werden den Parteien anteilsmässig auferlegt (Art. 156 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 135 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Glarus vom 12. Dezember 2006 und der Einspracheentscheid der IV-Stelle des Kantons Glarus vom 3. Oktober 2005 werden dahingehend abgeändert, dass der Beschwerdeführer Anspruch auf eine halbe Invalidenrente bis Ende März 2003 hat. Im Übrigen wird die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abgewiesen.
2. Von den Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer Fr. 300.- und der Beschwerdegegnerin Fr. 200.- auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus, der Kantonalen Ausgleichskasse Glarus und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Januar 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub