Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer reichte am 4. März 2014 Strafanzeige gegen eine Staatsanwältin des Kantons Luzern sowie gegen einen Leitenden Arzt des Forensischen Dienstes der Luzerner Psychiatrie ein wegen amtsmissbräuchlicher Arbeitsweise, Verletzung seiner Persönlichkeits- und Freiheitsrechte bzw. Freiheitsberaubung sowie wegen Rechtsverweigerung und -verzögerung.
Die Staatsanwaltschaft Abteilung 2 Emmen nahm die Strafuntersuchung am 8. August 2014 nicht an die Hand. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern am 14. November 2014 ab, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, der angefochtene Beschluss vom 14. November 2014 sei aufzuheben und die Sache an eine unabhängige Untersuchungsstelle zurückzuweisen.
2.
Nachdem der Beschwerdeführer zur Leistung eines Kostenvorschusses aufgefordert wurde, stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, allerdings ohne seine Behauptung, mittellos zu sein, nachzuweisen. Letztlich kann auf den Kostenvorschuss verzichtet werden, weil das Rechtsmittel ohnehin unzulässig ist.
3.
Die Frist zur Einreichung einer Beschwerde ans Bundesgericht ist eine gesetzliche (<ref-law>) und kann deshalb nicht erstreckt werden (<ref-law>). Das Gesuch um Fristverlängerung bzw. um eine Nachfrist ist abzuweisen.
4.
Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG ist der Privatkläger zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann. Als Zivilansprüche im Sinne dieser Bestimmung gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor dem Zivilgericht durchgesetzt werden müssen. Nicht in diese Kategorie gehören Ansprüche, die sich aus öffentlichem Recht ergeben. Öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus Staatshaftungsrecht, können nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden und zählen nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (Urteil 6B_1108/2014 vom 30. Januar 2015 und weitere Urteile).
Für Schäden, die Kantons- oder Gemeindebehörden in Ausübung amtlicher Verrichtungen einem Dritten widerrechtlich zufügen, haftet gemäss Haftungsgesetz vom 13. September 1988 im Kanton Luzern das Gemeinwesen (§ 4 Abs. 1 i.V. mit § 1 Abs. 2 und § 2 HaftungsG/LU). Der Dritte hat gegen die Beschuldigten keinen Anspruch (§ 4 Abs. 4 HaftungsG/LU). Allfällige Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche des Beschwerdeführers gegen die Beschuldigten beurteilen sich demnach ausschliesslich nach dem HaftungsG/LU und sind deshalb öffentlich-rechtlicher Natur. Der Beschwerdeführer ist zum vorliegenden Rechtsmittel nicht legitimiert. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
5.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Den Beschwerdegegnern 2 und 3 ist keine Entschädigung auszurichten, weil sie vor Bundesgericht keine Umtriebe hatten.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Das Gesuch um Verlängerung der Beschwerdefrist bzw. um eine Nachfrist wird abgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. März 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Monn