Faits:
A.
Le 18 mars 2012, A._, ressortissant serbe né en 1990, a agressé, avec deux autres comparses, trois personnes à coups de pieds et de poings, portant à deux d'entre elles des coups de couteau, qui, selon les experts, auraient concrètement mis en danger la vie des victimes. A la suite de l'ouverture d'une instruction pénale pour tentative de meurtre et lésions corporelles graves, A._ a été placé en détention provisoire depuis le 22 mars 2012. Cette mesure a été régulièrement et valablement prolongée jusqu'au 25 mai 2013; le Tribunal fédéral a en particulier rejeté le 13 novembre 2012 le recours formé par A._ contre l'arrêt cantonal qui confirmait la décision du Tribunal des mesures de contraintes (Tmc) prolongeant la détention provisoire jusqu'au 30 novembre 2012.
Le 21 mai 2013, le Tmc a rejeté la requête de mise en liberté déposée par A._ le 6 mai 2013 et ordonné la prolongation de la détention jusqu'au 21 juillet 2013. Il a retenu qu'au vu du dossier, les charges à l'encontre de l'intéressé étaient très graves et suffisantes, qu'il existait un risque de collusion, de fuite, ainsi que de récidive et qu'aucune autre mesure ne permettait de pallier ceux-ci.
B.
Le 28 juin 2013, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours intenté par A._ contre cette décision.
C.
Par mémoire du 15 juillet 2013, A._ forme un recours en matière pénale contre l'arrêt cantonal, concluant à l'annulation de celui-ci. Il requiert sa mise en liberté immédiate aux conditions et mesures de substitution suivantes: ne pas prendre contact de quelque façon que ce soit avec les victimes et les personnes apparaissant dans la procédure, à l'exception de sa compagne; déposer ses papiers d'identité; se présenter chaque semaine à un poste de police; suivre un traitement psychothérapeutique en hôpital de jour au Département de santé mentale et de psychiatrie (Service d'addictologie) des Hôpitaux universitaires de Genève (HUG), dont la durée serait fixée par les thérapeutes en fonction notamment du moment adéquat pour son retour au sein du foyer familial et le début du travail; suivre ensuite un traitement psychothérapeutique ambulatoire; suivre un traitement psychothérapeutique spécifique à la consommation d'alcool et de cannabis; se soumettre à des contrôles réguliers visant à constater son abstinence à ces deux substances; remettre à la direction de la procédure, chaque mois, un certificat du Service d'addictologie attestant du suivi régulier des traitements, de leur évolution et des résultats des contrôles en relation avec l'alcool et le cannabis; et se soumettre à l'obligation de travailler régulièrement auprès de l'entreprise X._. A titre subsidiaire, le recourant demande l'annulation du jugement cantonal et le renvoi de la cause pour nouvelle décision au sens des considérants.
Invités à se déterminer, la Chambre pénale de recours s'est référée à ses considérants, tandis que le Ministère public de la République et canton de Genève a conclu au rejet du recours. Le recourant a déposé des observations complémentaires, persistant dans ses conclusions.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière pénale (<ref-law>) est en principe ouvert contre une décision relative au maintien en détention provisoire ou pour motifs de sûreté au sens des <ref-law>. Dès lors que l'acte de procédure litigieux ne met pas un terme à la procédure pénale (art. 90 s. LTF), il s'agit d'une décision incidente prise séparément au sens de l'<ref-law>. La décision ordonnant ou prolongeant la mise en détention provisoire du prévenu étant susceptible de lui causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law>, elle peut faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF, le prévenu a qualité pour agir. Le recourant conserve en outre un intérêt actuel à recourir quand bien même il a été renvoyé en jugement par acte d'accusation du 25 juin 2013 et qu'il se trouve désormais en détention pour des motifs de sûreté. Le recours est formé en temps utile contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>.
2.
Une mesure de détention préventive n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et art. 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'<ref-law>. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.; <ref-ruling> consid. 2c p. 270). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par les besoins de l'instruction, un risque de fuite ou un danger de collusion ou de réitération (art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP).
Préalablement à l'examen de ces hypothèses, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes, soit de sérieux soupçons de culpabilité (<ref-law>; art. 5 par. 1 let. c CEDH; arrêt 1B_63/2007 du 11 mai 2007 consid. 3 non publié in <ref-ruling>), condition dont la réalisation n'est pas en l'espèce contestée par le recourant qui a été renvoyé en jugement pour tentative de meurtre contre deux des victimes et pour lésions corporelles simples à l'encontre de la troisième.
3.
La Chambre pénale de recours a semblé admettre l'existence d'un risque de collusion au sens de l'<ref-law>, ainsi que l'absence de mesures permettant d'y pallier (cf. consid. 2.2.2 de l'arrêt attaqué). Pour ce faire, elle s'est référée principalement à la motivation qui prévalait dans l'arrêt du Tribunal fédéral du 13 novembre 2012. Il y avait été retenu qu'au vu des menaces alléguées proférées contre l'une des victimes par le recourant et/ou sa compagne, le risque que celui-ci ne mette sa liberté à profit pour tenter d'influencer ou d'intimider les personnes qui le mettaient en cause ne pouvait être écarté. Il n'était alors également pas possible d'y remédier par des mesures de substitution telles qu'un simple engagement de ne pas approcher ou de ne pas prendre contact avec les personnes concernées (arrêt 1B_646/2012 consid. 4.2).
Toutefois, la cour cantonale a ensuite exposé que s'il devait être admis l'insuffisance du danger de collusion pour maintenir le prévenu en détention provisoire, le risque de récidive ferait obstacle à la libération du recourant (cf. consid. 3 du jugement attaqué). Dès lors que les hypothèses prévues par l'<ref-law> sont alternatives (Moreillon/Parein-Reyemond, Code de procédure pénale, 2013, no 7 ad <ref-law>; Forster, in BSK StPO, 2011, no 1 ad <ref-law>) et vu le doute manifesté par l'autorité précédente, il s'impose par économie de procédure d'examiner en premier lieu le risque de réitération retenu. Cela vaut d'autant plus qu'en l'espèce et dans l'intervalle, l'instruction a été close par l'acte d'accusation du 25 juin 2013; or, à ce stade de la procédure et si tout danger de collusion ne peut être exclu, l'autorité doit procéder à un examen particulièrement attentif de ce risque (<ref-ruling> consid. 4.2 in fine p. 128; <ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 24; arrêts 1B_72/2013 du 11 mars 2013 consid. 3.3, 1B_388/2012 du 19 juillet 2012 consid. 2.4 in fine).
4.
Aux termes de l'art. 221 al. 1 let. c CPP, la détention provisoire peut être ordonnée lorsqu'il y a lieu de craindre que le prévenu "compromette sérieusement la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves après avoir déjà commis des infractions du même genre".
4.1. Selon la jurisprudence, il convient de faire preuve de retenue dans l'appréciation du risque de récidive: le maintien en détention ne peut se justifier pour ce motif que si le pronostic est très défavorable et si les délits dont l'autorité redoute la réitération sont graves (<ref-ruling> consid. 4.5 p. 21; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 73; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 276 et les arrêts cités; arrêt 1B_103/2013 du 27 mars 2013 consid. 5.1). Bien qu'une application littérale de l'art. 221 al. 1 let. c CPP suppose l'existence d'antécédents, le risque de réitération peut être également admis dans des cas particuliers alors qu'il n'existe qu'un antécédent, voire aucun dans les cas les plus graves. La prévention du risque de récidive doit en effet permettre de faire prévaloir l'intérêt à la sécurité publique sur la liberté personnelle du prévenu (<ref-ruling> consid. 3 à 4 p. 18 ss; arrêt 1B_133/2011 du 12 avril 2011 consid. 4.7). Le risque de réitération peut également se fonder sur les infractions faisant l'objet de la procédure pénale en cours, si le prévenu est fortement soupçonné - avec une probabilité confinant à la certitude - de les avoir commises (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 86 et les références citées).
4.2. En l'espèce, le recourant n'est pas dépourvu de tout antécédent. En effet, la cour cantonale a rappelé qu'il était déjà connu de la justice pour deux cas de bagarre (2003 et 2007) et qu'il avait été mis en contravention pour le port d'une arme interdite, soit un couteau-papillon (2012). Le recourant ne nie pas ces événements puisqu'il en a lui-même parlé lors de l'expertise psychiatrique. De plus, selon son casier judiciaire, il a été reconnu coupable de vol et de violation des règles de la circulation routière le 16 décembre 2012. Quant aux charges pesant sur le recourant suite aux faits ayant amené sa mise en détention - qu'il ne conteste pas d'ailleurs -, elles sont très lourdes, deux des victimes ayant été gravement blessées. Sur la question du risque de récidive, l'experte psychiatre a constaté dans son rapport du 15 mars 2013 que sans traitement psychothérapeutique et si les abus d'alcool, ainsi que de cannabis devaient reprendre, ce risque était présent au vu de la nature anxieuse et impulsive du recourant. Il pourrait alors commettre le même type d'infractions que celles qu'il avait déjà commises. Lors de son audition le 12 avril 2013, l'experte a confirmé ses conclusions et a précisé que si elle avait eu beaucoup de difficultés à évaluer le risque de réitération, il ne pouvait être exclu. Enfin, force est de constater que le recourant lui-même ne conteste pas l'existence d'un danger de récidive dans son mémoire de recours, soutenant uniquement que l'intensité d'un tel risque ne permettrait pas de considérer qu'il puisse présenter pour la sécurité publique un danger de violence important et que dès lors, les mesures de substitution qu'il propose seraient suffisantes pour éviter tout danger.
4.3. En conséquence et conformément au principe de proportionnalité (art. 36 al. 3 Cst.), il convient d'examiner les possibilités de mettre en oeuvre d'autres solutions moins dommageables que la détention. Cette exigence est concrétisée par l'<ref-law>, qui prévoit que le tribunal compétent ordonne une ou plusieurs mesures moins sévères en lieu et place de la détention si celles-ci permettent d'atteindre le même but.
En l'occurrence et contrairement à ce que soutient le recourant, le fait d'avoir entrepris des démarches en vue de la mise en oeuvre d'un suivi auprès du Service d'addictologie dès sa libération ne permet pas d'exclure tout risque de récidive. En effet, les mesures préconisées par l'experte psychiatre - qui ne se limitaient pas à un traitement des addictions - ne tendaient qu'à diminuer ce danger. En présence de celui-ci, la seule motivation alléguée par le recourant de débuter les thérapies proposées et de se soumettre régulièrement à des contrôles ne suffit pas; l'experte a d'ailleurs rappelé que la volonté manifestée en milieu fermé, notamment de ne plus consommer d'alcool fort ou de suivre un traitement, peut vaciller une fois à l'extérieur lors de la confrontation à des situations potentiellement anxiogènes (difficultés financières, chômage, rapport à l'autorité, séparation affective, nouvelle paternité). Etant donné que les modalités d'exécution du traitement en hôpital de jour n'ont pas encore été définies (cf. "certificat médical" du Service d'addictologie du 3 juin 2013), le recourant se trouverait confronté aux circonstances rappelées ci-dessus dès sa libération, sans pouvoir bénéficier d'aucun soutien thérapeutique. En conséquence, aucune des mesures, ni aucun des contrôles - qui n'interviendraient d'ailleurs que dans une étape ultérieure - ne permettraient d'assurer que sa seule volonté parvienne à stopper, pour le moins dans cette intervalle, une réaction impulsive face à ces diverses et multiples sollicitations. Cela vaut d'autant plus que dans un premier temps, le recourant a refusé à deux reprises de rencontrer la psychiatre en vue de son expertise, démontrant ainsi qu'il n'en voyait pas l'utilité. S'il a ensuite accepté en décembre 2012 et assuré vouloir débuter un traitement en prison, il ne produit cependant aucun document sur ledit suivi.
Au vu de ces considérations, la Chambre pénale de recours n'a pas violé le droit fédéral en retenant que seule la détention provisoire permettait d'exclure un risque de récidive.
5.
Étant donné que le risque de réitération au sens de l'art. 221 al. 1 let. c CPP est avéré en l'espèce (cf. consid. 4.2) et qu'il ne peut y être remédier par des mesures de substitution (cf. consid. 4.3), le placement en détention provisoire est justifié, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner la question du risque de fuite ou de collusion (cf. consid. 3).
6.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté.
Le recourant a demandé l'assistance judiciaire et les conditions en paraissent réunies (<ref-law>). Il y a lieu de désigner Me Robert Assael en qualité d'avocat d'office et de fixer ses honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Le recourant est en outre dispensé des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise; Me Robert Assael est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 5 août 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf