Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1982) und Y._ (geb. 1967) sind die verheirateten Eltern des gemeinsamen Kindes A._ (geb. 20. Februar 2010). Mit Urteil vom 8. Februar 2012 genehmigte das Obergericht des Kantons Luzern im Zusammenhang mit der Auflösung des gemeinsamen Haushalts die folgende Vereinbarung der Parteien:
"Der Gesuchsgegner ist berechtigt und verpflichtet, Sohn A._ wie folgt auf eigene Kosten auf Besuch bzw. in die Ferien zu nehmen:
- Jedes zweite Wochenende von Freitag, 18.00 Uhr bis Sonntag, 19.00 Uhr
- In den geraden Jahren von Karfreitag, 10.00 Uhr, bis Ostersonntag, 18.00 Uhr
- In den ungeraden Jahren von Ostersonntag, 18.00 Uhr bis Ostermontag, 18.00 Uhr
- Während 3 Wochen des Jahres je eine Woche Fasnachtsferien, eine Woche Herbstferien und eine Woche Weihnachtsferien vom 20.-27. Dezember
- Ab 2013 eine zusätzliche Ferienwoche im Sommer
Im Rahmen der Besuchsausübung bringt jeder Elternteil A._ jeweils zum andern.
Eine weitergehende oder anderslautende Besuchs- und Ferienregelung bleibt der einvernehmlichen Regelung beider Ehegatten unter Berücksichtigung der Interessen und des Wohls des Kindes vorbehalten."
B.
Mit Gesuch vom 28. Februar 2013 verlangte X._ beim Bezirksgericht Willisau eine Reduktion des Besuchsrechts von zwei Wochenenden auf ein Wochenende. Ferner beantragte sie, dass Y._ das Kind abhole und bringe. Mit Entscheid vom 17. April 2013 wies der Einzelrichter am Bezirksgericht Willisau das Gesuch ab. Dagegen reichte X._ erfolglos Berufung ein. Mit Urteil vom 9. Juli 2013 bestätigte das Kantonsgericht Luzern den Entscheid des Bezirksgerichts Willisau.
C.
Mit Eingabe vom 31. Juli 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführerin) ans Bundesgericht. Sie verlangt, den Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 9. Juli 2013 aufzuheben (Ziff. 1) und das Besuchsrecht unter Berücksichtigung des Kindeswohls und der finanziellen Verhältnisse ab sofort und einstweilen wie folgt neu festzusetzen (Ziff. 2) :
"a) Der Beschwerdegegner sei für berechtigt zu erklären, A._ an jedem zweiten Sonntag im Monat um 10 Uhr abzuholen und um 19 Uhr wieder zur Beschwerdeführerin zu bringen.
b) Auf ein Ferienbesuchsrecht sei zu verzichten.
c) Das oben erwähnte Besuchsrecht sei frühestens im Zeitpunkt der Einschulung von A._ von der Besuchsrechtsbeiständin, in Absprache mit der Kinderpsychologin, gestützt auf das dannzumalige Kindeswohl zu überprüfen."
Ferner verlangt die Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft unterliegen Art. 98 BGG (<ref-ruling> E. 5.1 f. S. 396 f.), womit einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Es gilt das strenge Rügeprinzip gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG. Eine Verfassungsrüge muss in der Beschwerdeschrift präzise vorgebracht und begründet werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids ist klar und detailliert darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234 mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbots - einschliesslich der Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255) - geltend gemacht, muss im Einzelnen aufgezeigt werden, in welcher Hinsicht der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
1.2. Willkür im Sinne von Art. 9 BV liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgrundsatz zuwiderläuft. Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 2.1 S. 211).
1.3. Die Sachverhaltsfeststellung bzw. die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234).
2.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) vor, weil diese das Attest von Dr. med. B._, Fachärztin FMH für Kinder- und Jugendpsychiatrie/-psychotherapie, vom 27. Mai 2013 nicht berücksichtigt und dafür keinen sachlichen Grund genannt habe. Der Vorwurf ist trölerisch. Die Vorinstanz hat dieses (weniger als eine Seite umfassende) Dokument als klägerischen Beleg Nr. 3 zu den Akten genommen und dem Beschwerdegegner zur Stellungnahme zugestellt. Aus dem angefochtenen Urteil ergibt sich ferner, dass sich die Vorinstanz mit dieser Eingabe sehr wohl befasst hat: "Die Gesuchstellerin vermag Schlafstörungen von A._ nach erfolgten Besuchswochenenden mit den Arztzeugnissen durchaus glaubhaft zu machen, auch wenn diese vorab auf ihren Angaben basieren (so auch KG kläg. Bel. 3) ". Auch dass die von der Vorinstanz vorgenommene Würdigung des ärztlichen Attests willkürlich wäre (Art. 9 BV), tut die Beschwerdeführerin nicht dar und ist nicht ersichtlich. Einfach zu behaupten, dass der Entscheid der Vorinstanz das Kindeswohl verletze, genügt dafür mit Blick auf das Rügeprinzip (E. 1.1) nicht.
3.
3.1. Verändern sich die Verhältnisse, so passt das Gericht auf Begehren eines Ehegatten die Massnahmen zum Schutz der Ehe an oder hebt sie auf, wenn ihr Grund weggefallen ist (Art. 179 Abs. 1 ZGB). Die Vorinstanz erwägt, dass der Wohnsitzwechsel der obhutsberechtigten Beschwerdeführerin von C._ (LU) nach D._ (SG) für sich allein noch nicht genüge, von veränderten Verhältnissen zu sprechen. Dies gelte vor allem dann, wenn der Wegzug im Zeitpunkt des Urteils, das abgeändert werden soll, resp. des Abschlusses der diesem Urteil zugrunde liegenden Vereinbarung bereits bekannt gewesen sei. Die Beschwerdeführerin habe bei der Unterzeichnung der Besuchsrechtsvereinbarung vom 26. Januar 2012 gewusst, dass sie in die Ostschweiz ziehen werde. Der Umstand, dass das damalige Obergericht davon nicht bzw. erst im Zusammenhang mit Adressabklärungen Kenntnis erhalten habe, ändere daran nichts. Die Vereinbarung mit zwei verlängerten Besuchswochenenden wäre mit hoher Wahrscheinlichkeit auch in Kenntnis der grösseren Distanz zwischen den Eltern gerichtlich genehmigt worden.
Obwohl die Vorinstanz damit veränderte Verhältnisse verneint, prüft sie, ob die ursprüngliche Vereinbarung weiterhin mit dem Wohl des Kindes vereinbar ist. Dazu hält die Vorinstanz das Folgende fest: Mit seinen gut drei Jahren habe A._ ein gänzlich anderes Zeitempfinden als erwachsene Personen oder auch schon ältere Kinder. Ein Besuch alle zwei Wochen, wie von den Parteien vereinbart, bedeute für A._ bereits eine überaus lange Zeitspanne ohne seinen Vater und erschwere den Beziehungs- und Bindungsaufbau. Aus dieser Warte erscheine der Antrag der Beschwerdeführerin, das Besuchsrecht auf eine Begegnung im Monat zu reduzieren, nicht als im Kindeswohl liegend, dies umso weniger, als die Qualität der Vater-Sohn-Beziehung nicht in Frage gestellt sei. Es sei denn auch für die (männliche) Entwicklung von A._ eminent wichtig, im Beschwerdegegner eine Vaterfigur zu haben, an der er sich orientieren und mit der er seine (insbesondere auch männliche) Identität finden könne. Die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten (Schlaf-) Störungen von A._ seien nicht bestritten und würden auch gerichtlichen Erfahrungen entsprechen, namentlich in Fällen, in denen zwischen den Eltern Uneinigkeiten bezüglich des persönlichen Verkehrs vorhanden seien. Dass sich A._ bei den Übergaben nicht gerne von der Mutter trenne, sei nicht als auffälliges Phänomen zu werten und biete keinen Grund zur Besorgnis. Das Kind zeige in diesem Moment die Verbundenheit mit der Mutter, die nach der Übergabe zur Verbundenheit mit dem Vater führe, welche die anfänglich gezeigte Verunsicherung vergessen lasse. Mit dem Wegzug in die Ostschweiz habe die Beschwerdeführerin den Kontakt von A._ zum Beschwerdegegner etwas erschwert. Dies dürfe aber nicht dramatisiert werden, liege doch in jeder Besuchsrechtsausübung ein Grund für ein Herausreissen aus der gewohnten Umgebung und ein Neuverpflanzen in eine beziehungsmässig und örtlich andere bzw. neue Lebenssituation. Bereits der Erstrichter habe im angefochtenen Entscheid zutreffend darauf hingewiesen, dass es Pflicht des obhutsberechtigten Elternteils sei, die Beziehung des Kindes zum anderen Elternteil im Sinn der sogenannten Bindungstoleranz zu fördern.
3.2. Die Beschwerdeführerin beruft sich insbesondere auf das Attest von Dr. med. B._, wonach ein Besuchsrecht mit Übernachten oder Ferienaufenthalten beim Vater für A._ zur Zeit eine Überforderung sei. Sie argumentiert, dass ein kürzeres, aber häufigeres Besuchsrecht ohne Übernachtungen beim Beschwerdegegner dem Kindeswohl entspräche.
3.3. Soweit die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang das Begehren stellt, auf ein Ferienbesuchsrecht gänzlich zu verzichten, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Dieses Begehren ist vor Bundesgericht neu und deshalb unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG). Welche Ordnung des persönlichen Verkehrs zwischen Eltern und Kindern angemessen ist, lässt sich im Übrigen nicht objektiv und abstrakt umschreiben, sondern entscheidet sich im konkreten Einzelfall nach richterlichem Ermessen (Urteil 5A_432/2011 vom 20. September 2011 E. 2.5; Cyril Hegnauer, Berner Kommentar, 1997, N 61 zu Art. 273 ZGB). Inwiefern das Kantonsgericht sein Ermessen in geradezu verfassungswidriger, namentlich willkürlicher Weise (E. 1.2) ausgeübt haben soll, vermag die Beschwerdeführerin mit ihren Ausführungen nicht darzutun. Bloss zu behaupten, der angefochtene Entscheid laufe dem Kindeswohl zuwider, genügt nicht. Auch aus dem Hinweis auf die Offizial- und Untersuchungsmaxime folgt nicht, dass der angefochtene Entscheid sich mit den verfassungsmässigen Rechten der Beschwerdeführerin nicht vertrüge. Schliesslich wirkt die Beschwerdeführerin unglaubwürdig, wenn sie sich heute für ein häufigeres, aber kürzeres Besuchsrecht stark macht, nachdem sie sich vor der Vorinstanz noch dafür einsetzte, dass sich A._ und sein Vater nur einmal im Monat begegnen sollten. Im Übrigen ergibt sich die Notwendigkeit dafür, dass das Kind beim Vater übernachtet, nicht zuletzt daraus, dass die Beschwerdeführerin in die Ostschweiz gezogen ist. Warum es für das Wohl des Kindes besser wäre, die Wegstrecke C._ - D._ am gleichen Tag zweimal zurückzulegen, zeigt die Beschwerdeführerin in keiner Weise auf.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin verlangt auch deshalb eine Abänderung des Eheschutzurteils, weil dem Beschwerdegegner in der Zwischenzeit durch den Entscheid in einem andern Verfahren ein Betrag von Fr. 200.-- für die Ausübung seines Besuchsrechts zuerkannt und seine Unterhaltspflicht von Fr. 1'570.-- auf Fr. 1'350.-- reduziert worden sei. In diesem Umfang verschärfe sich heute ihre Mankosituation.
4.2. Nach der Auffassung des Kantonsgerichts kann die Beschwerdeführerin aus der Übernahme von Wegstrecken nichts zu ihren Gunsten ableiten. Das (damalige) Obergericht habe bereits in LGVE 1992 I Nr. 5 die Rechtsprechung begründet, wonach eine wirtschaftliche Mankosituation nicht auf beide Parteien aufgeteilt werde, sondern nur vom unterhaltsberechtigten Elternteil getragen werden soll. Dies entspreche auch gefestigter bundesgerichtlicher Rechtsprechung. Es bestehe kein Anlass, diese Praxis in Zweifel zu ziehen. Ein möglicher Grund für eine Ausnahmeregelung liege schon deshalb nicht vor, weil die Beschwerdeführerin in Kenntnis ihres Wegzugs die damalige Besuchsrechtsvereinbarung unterzeichnet habe. Schliesslich liege es im Kindeswohl, wenn die Besuchsrechtsausübung dergestalt organisiert werde, dass der jeweils betreuende Elternteil das Kind zum anderen bringe. Damit drücke er auch nonverbal aus, dass das Kind mit seinem Einverständnis und innerlich mitgetragenem Willen zum andern Elternteil gehen dürfe.
4.3. Es trifft zu, dass sich die Mankolage der Beschwerdeführerin dadurch verschärft hat, dass das Bezirksgericht Willisau am 28. Dezember 2012 und das Obergericht des Kantons Luzern am 12. Februar 2013 dem Beschwerdegegner Fahrtkosten von Fr. 200.-- zur Ausübung des Besuchsrechts bei der Ermittlung von dessen Notbedarf berücksichtigt haben. Dies ist nun aber kein Grund, eine Besuchsrechtsregelung abzuändern, die nach wie vor im Wohl des Kindes liegt (vgl. E. 3.3). Die Beschwerdeführerin hat den in einem anderen Verfahren ergangenen Entscheid des Obergerichts vom 12. Februar 2013 nicht angefochten. Sie kann darauf nicht im Rahmen der vorliegenden Beschwerde zurückkommen, die sich ausschliesslich gegen den Entscheid des Kantonsgerichts vom 9. Juli 2013 richtet. Damit erübrigen sich Ausführungen zur Rechtmässigkeit der Mankoüberbindung (vgl. <ref-ruling>) und zur Verteilung der Kosten für die Ausübung des Besuchsrechts (vgl. Urteil 5C.77/200 1 vom 6. September 2001 E. 2c).
5.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Dezember 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn