Faits:
A.
Par jugement du 29 août 2013, le Président du Tribunal civil de la Veveyse a constaté que B._ est le père biologique de X._, née en 2012. Il l'a astreint à contribuer à l'entretien de sa fille par le versement de 1'060 fr. par mois, allocations familiales comprises, à compter de l'entrée en vigueur du jugement et jusqu'à sa majorité ou son indépendance financière. Pour la procédure de première instance, l'assistance judiciaire totale avait été accordée à X._ (ordonnance du 18 février 2013) ainsi qu'à sa mère, A._ (ordonnance du 3 juin 2013).
B.
Le 24 septembre 2013, B._ a fait appel du jugement du 29 août 2013, concluant à la suppression de la contribution d'entretien. Le 30 septembre 2013, X._ a introduit un appel joint; elle a conclu à ce que la contribution d'entretien lui soit due dès sa naissance, et a en outre requis le bénéfice de l'assistance judiciaire totale. Par arrêt du 8 octobre 2013, la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: la Ie Cour d'appel civil) a partiellement admis la requête d'assistance judiciaire, en ce sens que X._ est exonérée des avances de frais pour la procédure d'appel. En revanche, la désignation d'un conseil d'office lui a été refusée.
C.
Par mémoire du 11 novembre 2013, X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant à ce que l'assistance judiciaire totale lui soit accordée, avec effet rétroactif, à compter de l'introduction de la procédure d'appel, à savoir le 30 septembre 2013, et à ce que Me Bruno Charrière lui soit désigné comme conseil d'office. Elle requiert également l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.

Invitée à se déterminer, la Ie Cour d'appel civil n'a pas formulé de conclusion; on peut toutefois déduire de son argumentation qu'elle considère que le recours doit être rejeté. La recourante a répliqué le 20 décembre 2013.
Considérant en droit:
1.
Le refus - total ou partiel - de l'assistance judiciaire constitue une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4 p. 338; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 131; arrêt 4D_30/2009 du 1er juillet 2009 consid. 1.1 non publié in <ref-ruling>). En vertu du principe de l'unité de la procédure (<ref-ruling> consid. 3 p. 144), la voie de recours ouverte contre une telle décision est déterminée par le litige principal (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 264); la cause au fond porte sur la contribution d'entretien due à la recourante, à savoir une décision sujette au recours en matière civile (<ref-law>), de nature pécuniaire, dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. c et al. 4, <ref-law>).
Pour le surplus, le recours a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, par une partie ayant pris part à la procédure devant la juridiction précédente, particulièrement touchée par la décision attaquée et ayant un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>), contre une décision prise par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (<ref-law>). Il est dès lors recevable au regard de ces dispositions.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral, lequel comprend les droits constitutionnels (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 447 s., 462 consid. 2.3 p. 466). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 3 p. 415; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104). Néanmoins, pour que le Tribunal fédéral entre en matière sur le recours, le recourant doit exposer succinctement dans son mémoire en quoi l'acte attaqué viole le droit (<ref-law>), c'est-à-dire discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer en quoi il estime que le droit aurait été violé (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 584; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287). S'agissant de la violation des droits fondamentaux, le grief doit être exposé de manière claire et détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254). Le recourant qui se plaint de la violation de tels droits doit ainsi indiquer précisément quelle disposition constitutionnelle a été violée et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (ATF <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287; <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>); la partie recourante ne peut critiquer les constatations de fait que si celles-ci ont été établies d'une manière manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 234; <ref-ruling> consid. 1.5 p. 129 s.) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des conclusions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62).
3.
Se référant au jugement du 29 août 2013 et à l'ordonnance du 3 juin 2013 relative à l'assistance judiciaire, l'autorité cantonale a retenu que A._ dispose de 4'700 fr. de revenus mensuels, à savoir 4'000 fr. de salaire net et 700 fr. de revenus immobiliers tirés de la location d'un appartement dont elle est propriétaire. Ses charges s'élèvent à 4'190 fr., dont 1'620 fr. de minimum vital élargi pour elle-même et 480 fr. pour X._, 1'500 fr. de loyer, 240 fr. de prime d'assurance-maladie pour elle-même et 50 fr. pour X._, ainsi que 300 fr. de frais de déplacement. Il en résulte un solde disponible de 510 fr. par mois, avant prise en compte des impôts.
L'autorité cantonale a constaté que A._ semblait en mesure d'assumer en une année les frais occasionnés par la procédure d'appel introduite par sa fille, si nécessaire au moyen du paiement d'acomptes mensuels de 250 fr. lui permettant de dégager une somme globale de 3'000 fr. Il ressort de l'arrêt attaqué que le montant des honoraires de l'avocat de la recourante devrait demeurer relativement modeste, l'activité de sa stagiaire ayant pour l'heure essentiellement consisté en la rédaction d'un mémoire d'appel de cinq pages, dont deux pages de motivation. Il n'y avait dès lors pas lieu de désigner un conseil d'office à la recourante. En revanche, la situation financière de sa mère ne lui permettant pas de s'acquitter, dans un délai conforme aux exigences de la procédure, de l'avance de frais qui serait fixée, l'assistance judiciaire lui a été accordée pour ce qui concerne les avances de frais.
4.
Selon l'<ref-law> - qui concrétise les principes que le Tribunal fédéral a dégagés de l'art. 29 al. 3 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2.3 p. 218 et les références) -, une personne a droit à l'assistance judiciaire si elle ne dispose pas de ressources suffisantes (let. a) et si sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b).
Une personne est indigente lorsqu'elle n'est pas en mesure d'assumer les frais de la procédure sans porter atteinte au minimum nécessaire à son entretien et à celui de sa famille (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 223; <ref-ruling> consid. 2.5.1 p. 232; <ref-ruling> consid. 3b p. 205). Pour déterminer l'indigence, il convient de prendre en considération l'ensemble de la situation financière du requérant au moment où la demande est présentée, celui-ci devant indiquer de manière complète et établir autant que possible ses revenus, sa situation de fortune et ses charges (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 223). La part des ressources excédant ce qui est nécessaire à la couverture des besoins personnels doit être comparée, dans chaque cas, aux frais prévisibles de la procédure pour laquelle l'assistance judiciaire est demandée. Le soutien de la collectivité publique n'est en principe pas dû lorsque cette part disponible permet d'amortir les frais judiciaires et d'avocat en une année au plus, pour les procès relativement simples, et en deux ans pour les autres (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 224). Cependant, il convient de tenir compte, le cas échéant, de la nécessité du requérant d'agir dans un délai relativement court, qui ne lui permet pas de faire des économies en vue d'avancer les frais du procès (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 224; <ref-ruling> consid. 5b p. 109).
5.
La recourante soutient tout d'abord que les faits ont été établis de façon manifestement inexacte (<ref-law>), à savoir de manière arbitraire au sens de l'art. 9 Cst.
5.1. La recourante expose que dans l'établissement de la situation financière de sa mère, l'autorité cantonale a arbitrairement omis de prendre en considération les charges immobilières, à savoir 933 fr. par mois, alors qu'elle a tenu compte des revenus immobiliers. Dans ses déterminations, la cour cantonale précise quant à elle que le montant de 700 fr. de revenus immobiliers qu'elle a retenu tient déjà compte des charges, puisqu'il s'agit du revenu net tel que déterminé dans l'ordonnance du 3 juin 2013. En réponse à cet argument, la recourante indique qu'en 2011, l'appartement n'a en réalité été loué qu' "un peu plus de deux mois " et que c'est seulement depuis 2012 qu'elle perçoit chaque mois un loyer de 1'400 fr. Sur la base de pièces qu'elle a produites à l'appui de sa requête d'assistance judiciaire formulée pour la procédure fédérale, elle affirme que l' " on sait aujourd'hui que les charges de l'immeuble 2012 et 2013 s'élèvent à 796 fr. 40 par mois ". S'agissant des autres postes de charges, elle indique dans sa réplique qu'il faut encore tenir compte des montants suivants: 97 fr. 35 à titre de prime d'assurance-maladie - non pas à 50 fr. comme l'a retenu l'autorité cantonale -, 130 fr. par mois à titre de prime d'assurance-vie, ainsi que 121 fr. 90 par mois de charge fiscale.
5.2. Au préalable, il y a lieu de constater que les allégations de la recourante portant sur la prime d'assurance-maladie, la prime d'assurance-vie et la charge fiscale ne peuvent d'emblée être prises en compte, dans la mesure où elles n'ont pas été formulées dans le recours. En effet, le mémoire de réplique ne peut contenir qu'une argumentation de fait et de droit complémentaire, destinée à répondre aux arguments nouveaux développés dans le mémoire de réponse. En l'occurrence, tel n'est pas le cas, la réponse de l'autorité cantonale ne portant que sur les revenus et charges de l'immeuble (cf. <ref-ruling> consid. 1d/aa p. 77 et les références citées).
Sur ce point, il ressort expressément de l'arrêt entrepris que la situation financière de la mère de la recourante a été établie en fonction des éléments constatés dans l'ordonnance du 3 juin 2013, qui mentionne clairement que le " revenu net de l'appartement " est de 700 fr. A teneur de cette décision, si A._ avait initialement allégué percevoir 682 fr. de revenus immobiliers chaque mois, dont il fallait déduire les charges (22 fr. d'impôt foncier et 300 fr. de charges de PPE), elle a ensuite admis à l'audience que l'appartement était en réalité loué au prix de 1'400 fr. par mois; il en résulte un revenu immobilier net d'environ 700 fr. par mois. En se contentant d'exposer, dans sa réplique, que " ce n'est que depuis l'année 2012 que Madame A._ touche chaque mois un loyer de Fr. 1'400 ", la recourante n'établit pas que les faits ont été constatés de manière insoutenable, mais introduit des faits nouveaux, irrecevables (<ref-law>). Au demeurant, il est sans importance de savoir à quel montant s'est élevé le revenu immobilier en 2011, dès lors que, comme il a été rappelé plus haut, le juge doit prendre en considération la situation financière du requérant au moment de sa requête (cf. supra consid. 4), à savoir, en l'espèce, en 2013. Enfin, en ce qui concerne le montant des charges immobilières, la recourante fait valoir sa propre version des faits, indiquant dans son recours qu'elles s'élèvent à 933 fr. par mois, puis, dans sa réplique, qu'elles se montent pour 2012 et 2013 à 796 fr. 40 par mois; ce faisant, elle ne démontre nullement que les constatations de la cour cantonale seraient insoutenables (cf. supra consid. 2.1).
6.
Dans un deuxième grief, la recourante invoque la violation de l'art. 29 al. 3 Cst. Selon elle, sa mère ne dispose pas des ressources suffisantes pour assumer les frais liés à la procédure d'appel, ce que la cour cantonale aurait indéniablement pu constater si elle avait tenu compte des éléments de fait qu'elle invoque.
En l'occurrence, le seul argument avancé par la recourante consiste à s'en prendre aux faits de l'arrêt entrepris, qui ne souffrent pourtant aucune critique (cf. supra consid. 5.2). La recourante n'expose par ailleurs pas de manière claire et détaillée pour quel autre motif l'art. 29 al. 3 Cst. aurait été violé (<ref-law>; cf. supra consid. 2.1 in fine). Enfin, pour autant qu'elle entende, par son argumentation, soulever également le grief de mauvaise application de l'<ref-law>, applicable en l'espèce, on ne discerne pas en quoi cette disposition n'aurait pas été respectée.
7.
Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Il en va de même de la requête d'assistance judiciaire, les conclusions de la recourante étant d'emblée dépourvues de chances de succès (<ref-law>). Compte tenu des circonstances, le présent arrêt est rendu sans frais (art. 66 al. 1, 2e phrase, LTF). Enfin, il n'y a pas lieu d'allouer une indemnité de dépens à l'autorité intimée (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante et à la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lausanne, le 18 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Bonvin