Faits:
A. H.X._ et son épouse F.X._ sont assurés auprès de A._ Assurance-maladie SA (ci-après: A._ ou la caisse-maladie) pour l'assurance obligatoire des soins régie par la loi fédérale du 18 mars 1994 sur l'assurance-maladie (LAMal; RS 832.10) ainsi que pour plusieurs assurances complémentaires relevant de la loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1).
Le 22 avril 2011, H.X._ a demandé à A._ de lui rembourser la somme de 2'304 fr. 50, intérêts en sus, représentant des primes payées à tort de février à juin 2008 (1'983 fr. pour l'assurance obligatoire des soins et 321 fr. 50 pour les assurances complémentaires), en raison du report au 1er juillet 2008 de l'entrée en vigueur des assurances le concernant. Par lettre du 7 juin 2011, la caisse-maladie a écarté cette demande aux motifs que les primes de l'assuré H.X._ pour les mois de février à mai 2008 avaient fait l'objet de trois décomptes séparés adressés à F.X._, que celle-ci avait personnellement réglé les primes de son époux relatives aux mois de janvier à mai 2008 et, partant, qu'elle en avait obtenu le remboursement, à juste titre, par un versement du 27 juin 2008. En ce qui concerne la prime du mois de juin 2008, A._ relevait, dans la même lettre, que H.X._ s'en était acquitté lui-même, mais que ce versement avait été utilisé pour régler la prime de mars 2009 demeurée impayée.
B. Le 1er juillet 2011, H.X._ a saisi la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève d'une demande de remboursement des primes afférentes aux mois de février à juin 2008 payées à tort, soit cinq mois à 460 fr. 90 (396 fr. 60 pour l'assurance obligatoire des soins et 64 fr. 30 pour les assurances complémentaires), plus intérêts. Il a aussi conclu, notamment, à ce que le tribunal constate que les primes dues ont été payées jusqu'à fin juin 2011.
Par jugement du 29 novembre 2011, la juridiction cantonale a rejeté la demande tendant à la restitution des primes de février à juin 2008. Elle n'est pas entrée en matière sur la conclusion en constatation précitée.
C. Le 6 janvier 2012, F.X._ et H.X._ ont recouru au Tribunal fédéral afin d'obtenir l'annulation de ce jugement et la condamnation de A._ à rembourser à H.X._ le montant des primes versées au titre de l'assurance obligatoire des soins du 1er février au 30 juin 2008, soit cinq mois à 396 fr. 60, intérêts en sus. La cause a été attribuée à la IIe Cour de droit social (9C_14/2012).
Dans un second mémoire déposé le même jour contre ledit jugement, les époux X._ invitent le Tribunal fédéral à condamner A._ à rembourser à H.X._ le montant des primes versées au titre des assurances complémentaires du 1er février au 30 juin 2008, soit cinq mois à 64 fr. 30, plus intérêts. Le recours a été transmis à la Ire Cour de droit civil comme objet de sa compétence (cause 4A_434/2012).
L'autorité intimée et la caisse-maladie n'ont pas été invitées à déposer une réponse.
D. A._ a été radiée du registre du commerce par suite de fusion avec Y._ Assurance-maladie SA.

Considérant en droit:
1. Y._ Assurance-maladie SA a repris les actifs et passifs de A._ dans le cadre d'une fusion. Elle lui a dès lors succédé, de par la loi, en qualité de partie à la procédure (<ref-law> en liaison avec l'<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 1). Le rubrum du présent arrêt tient compte de cette modification.
2. 2.1 L'arrêt attaqué a été rendu en matière civile (<ref-law>) par une instance cantonale unique au sens de l'<ref-law> relatif aux litiges portant sur les assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale. En conséquence, dans la mesure où il a trait à la prétention se rapportant à ces assurances complémentaires, il peut faire l'objet d'un recours en matière civile sans égard à la valeur litigieuse, en vertu de l'<ref-law> (arrêt 4A_32/2012 du 30 mai 2012 consid. 1.2).
2.2 F.X._ n'a pas pris part à la procédure devant l'autorité précédente. Aussi le présent recours est-il irrecevable à son égard puisqu'elle n'avait pas qualité pour le former (<ref-law>).
En revanche, H.X._, qui a succombé dans ses conclusions condamnatoires, a qualité pour recourir. Il a déposé son recours en temps utile (<ref-law> en liaison avec l'art. 46 al. 1 let. c LTF) et dans la forme prévue par la loi (<ref-law>).
3. Devant le Tribunal fédéral, le litige ne porte que sur le droit de H.X._ d'exiger de l'intimée le remboursement, entre ses mains, de primes le concernant que son épouse avait payées à tort et dont elle avait obtenu la restitution par l'intimée.
En bref, la juridiction cantonale a nié à H.X._ le droit d'obtenir un second remboursement de ses primes, au motif qu'il lui appartenait de s'entendre à cet égard avec son épouse.
Le recourant soutient que l'intimée n'était pas en droit de rembourser à l'épouse des primes qu'il avait versées en trop, car les montants en cause se rapportaient à des relations contractuelles différentes. Il allègue qu'une assurance-maladie ne peut pas se libérer valablement d'une dette envers l'un des époux en effectuant un virement sur le compte privé de l'autre époux, à moins que ce dernier ne soit au bénéfice d'une cession de créance de son conjoint, si bien que l'intimée doit lui restituer les cinq mois de primes pour les mois de février à juin 2008.
4. En l'espèce, comme cela ressort d'un précédent arrêt rendu le 29 mars 2011 dans la même cause par la juridiction cantonale et cité dans l'arrêt attaqué (consid. 4, p. 7; cf. pce 10 rec.), la caisse-maladie a accepté, à la demande formulée le 21 avril 2008 par F.X._, qui contestait être débitrice des primes afférentes à l'assurance souscrite par son mari, de faire sortir ce dernier du "groupe familial" avec effet rétroactif au 1er février 2008 et d'établir une nouvelle police d'assurance au nom de H.X._ à compter de cette date. C'est la raison pour laquelle, elle a remboursé à l'épouse, le 27 juin 2008, les primes que celle-ci avait versées au moyen de ses propres deniers pour payer les trois factures qui lui avaient été adressées les 9 février, 8 mars et 5 avril 2008 à cette fin, factures incluant l'ensemble des primes du groupe familial, y compris celles concernant H.X._ (cf. arrêt du 29 mars 2011, précité, p. 2 et 3, ch. 3 à 5, et p. 16 s., consid. 11). En d'autres termes, l'intimée, ce faisant, a restitué, à la personne qui l'avait versée, la somme reçue en exécution d'un contrat devenu rétroactivement caduc, c'est-à-dire, juridiquement parlant, en vertu d'une cause ayant cessé d'exister (cf. art. 62 al. 2, dernière hypothèse, CO). Cette façon de procéder n'avait rien de critiquable puisqu'elle revenait à corriger le déplacement de fortune qui s'était opéré indûment entre la personne physique appauvrie (F.X._) et la personne morale enrichie (la caisse-maladie). Il n'importe, à cet égard, que les primes en question aient été versées pour le compte d'un tiers (en l'occurrence, H.X._), dans le cadre d'un contrat d'assurance liant ce tiers et la caisse-maladie. Seule est déterminant en effet, sous l'angle considéré, le point de savoir qui s'est appauvri. Or, selon les constatations souveraines de la cour cantonale, il ne s'agit pas du recourant, puisque sa dette envers la caisse-maladie a été effacée rétroactivement pour être remplacée par une nouvelle dette elle-même effacée ultérieurement suite à l'acceptation de sa demande de report de son affiliation (sur ce dernier point, cf. le prochain paragraphe), mais bien de F.X._, laquelle a payé de sa poche pour régler une tierce dette (celle de son mari) dont le fondement a ensuite été supprimé avec effet rétroactif.
Le recourant n'est pas de bonne foi lorsqu'il insinue que l'intimée aurait soutenu, en méconnaissance totale de la chronologie des événements, que le remboursement opéré en mains de F.X._, le 27 juin 2008, résultait de l'acceptation de la demande, formulée le 17 février 2009 par lui, le recourant, d'un report de son affiliation au 1er juillet 2008, motif pris de ce qu'il était déjà couvert jusqu'à cette date par la sécurité sociale française. La caisse-maladie lui a, en effet, expliqué clairement, dans sa lettre du 7 juin 2011 susmentionnée (pce 12 rec.), qu'elle avait déjà restitué les primes des mois de février à mai 2008 à F.X._, parce que c'était cette dernière qui les avait payées, et, s'agissant de la prime du mois de juin 2008 versée par lui, qu'elle avait compensé sa dette de remboursement de ce chef avec sa propre créance en paiement de la prime en souffrance afférente au mois de mars 2009.
Il appert de ce qui précède que la caisse-maladie intimée a refusé à juste titre de rembourser une seconde fois des primes dont le montant avait été restitué à qui de droit. En rejetant la demande du recourant, qui voulait l'y contraindre, les juges genevois n'ont nullement violé le droit fédéral. Par conséquent, le présent recours, qui confine à la témérité, ne peut qu'être rejeté.
5. Les conclusions des recourants étaient d'emblée vouées à l'échec. Aussi ne saurait-il être question de mettre les intéressés au bénéfice de l'assistance judiciaire (<ref-law>), si tant est qu'il faille interpréter en ce sens l'une de leurs conclusions préliminaires. Dès lors, les deux recourants seront condamnés solidairement à payer les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 et 5 LTF). En revanche, ils n'auront pas à verser de dépens, l'intimée n'ayant pas été invitée à déposer une réponse.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de F.X._ est irrecevable.
2. Le recours de H.X._ est rejeté.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge des recourants, solidairement entre eux.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 7 novembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Carruzzo