Faits:
A. A._, citoyen hollandais domicilié à Monaco et propriétaire d'un immeuble à Gstaad, est le père de deux filles nées respectivement en 1994 et en 1996. Elles sont issues d'une liaison avec une ressortissante espagnole, née à Genève et domiciliée à Z._ (Espagne).
Le 21 août 1998, la mère des enfants a déposé plainte auprès de la police de son quartier en dénonçant le fait que leur père les avait enlevés, ce qui a donné lieu à une procédure pénale confiée à la Juge d'instruction B._, en fonction à Z._. Le 2 mai 2000, cette dernière a émis un mandat d'arrêt international à l'encontre de A._.
Le 21 septembre 2000, celui-ci a été arrêté à la frontière de Bardonnex, Genève, et placé en détention extraditionnelle jusqu'au 8 décembre 2000, date de sa libération par la Chambre d'accusation du Tribunal fédéral, moyennant le dépôt d'une caution de 1 million de francs et un contrôle de présence. A._ a néanmoins quitté la Suisse et s'est rendu à Monaco, où ses deux filles sont scolarisées.
A._ a recouru contre l'ordonnance d'écrou du Juge d'instruction de Z._, du 25 septembre 2000, devant la Cour d'appel de Malaga, qui a rejeté le recours le 20 avril 2001.
Par arrêt du 2 avril 2001, le Tribunal fédéral a écarté un recours de droit administratif contre la décision d'extradition de A._ à l'Espagne, prise le 10 janvier 2001 par l'Office fédéral de la justice.
Le 26 juin 2001, A._ a requis du Conseil général du pouvoir judiciaire espagnol une procédure disciplinaire contre deux juges du Tribunal de Z._, dont B._. Le 18 décembre 2001, la procédure a été classée sans suite, décision communiquée à B._ le 5 mars 2002.
B. Le 9 juillet 2001, A._ a ouvert action devant le Tribunal de première instance de Genève contre B._ en paiement de 15'800 fr. à titre d'indemnité pour les 79 jours de détention extraditionnelle subis, à raison de 200 fr. par jour. Il a reproché, en substance, à la juge espagnole d'avoir décerné contre lui un mandat d'arrêt international en violation de la loi. B._ a contesté sa légitimation passive et soulevé des exceptions d'incompétence ratione loci et materiae. Elle a invoqué le bénéfice de l'immunité de juridiction. Par jugement du 7 novembre 2002, le tribunal s'est déclaré compétent, à raison de la matière, pour connaître de l'action susmentionnée.
Saisie d'un appel de B._, la Cour de justice a annulé le jugement entrepris et déclaré irrecevable l'action introduite par A._, par arrêt du 16 mai 2003. Elle a retenu principalement que la Convention de Lugano du 16 septembre 1988 concernant la compétence judiciaire et l'exécution des décisions en matière civile et commerciale (CL; RS 0.275.11) ne s'appliquait pas aux actions en responsabilité ouvertes contre un magistrat ou un fonctionnaire, qui relèvent du droit public, ce qui est le cas à Genève. Il en allait de même en Espagne, selon les art. 411 et 412 de la loi espagnole d'organisation judiciaire. Le droit public obéissant avant tout au principe de la territorialité, les tribunaux genevois ne sauraient se prononcer sur d'éventuels manquements imputables au juge d'instruction de Z._. La règle de renvoi de l'art. 133 de la loi fédérale du 18 décembre 1987 sur le droit international privé (LDIP; RS 291) à la loi du pays où s'est produit de manière prévisible le dommage causé par l'acte illicite (Suisse, Genève) n'entrait pas en ligne de compte au profit du droit espagnol, à teneur de l'art. 413 ch. 1 de la loi d'organisation judiciaire de ce pays. Enfin, comme la procédure pénale était encore pendante, l'action en responsabilité était de toute manière prématurée.
C. Parallèlement à un recours de droit public, que le Tribunal de céans a déclaré irrecevable par arrêt séparé de ce jour, A._ dépose un recours en réforme. Il conclut à l'annulation de l'arrêt de la Cour de justice et au renvoi du dossier à cette autorité pour nouvelle décision. Invoquant les art. 129 al. 2 LDIP et 5 ch. 3 CL, il conteste le déclinatoire de compétence locale en raison du caractère civil de la demande introduite contre la défenderesse. Pareillement, l'incompétence matérielle était infondée, parce que la défenderesse était recherchée en raison de sa responsabilité civile au sens de l'art. 41 CO et non pas pour sa responsabilité disciplinaire ou de droit public. Enfin la cour cantonale ne pouvait pas retenir que l'action du demandeur était prématurée, puisqu'elle n'avait pas examiné le fond, et que l'art. 60 al. 1 CO l'obligeait à respecter un délai annal, dès le 8 décembre 2000.
La défenderesse conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet, avec suite de frais et dépens.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. 1.1 La Cour de justice a statué que l'action intentée par le demandeur était irrecevable devant les juridictions genevoises pour cause d'incompétences locale et matérielle, en application de la CL, subsidiairement de l'art. 133 LDIP. S'agissant de normes de droit fédéral sur la compétence, qui incluent d'ailleurs les règles sur l'immunité de juridiction reconnue aux Etats étrangers, susceptibles d'entrer aussi en ligne de compte dans le cas particulier (<ref-ruling> consid. 2a in fine p. 386 et les arrêts cités), leur violation peut donc donner lieu à un recours en réforme (art. 43 al. 1 OJ).
Déniant la compétence locale et matérielle des juridictions genevoises, la cour cantonale a exclu définitivement que la même action puisse être introduite entre les mêmes parties devant les tribunaux de ce canton, rendant par-là une décision finale, qui est à ce titre sujette à recours (<ref-ruling> consid. 1b; Bernard Corboz, Le recours en réforme au Tribunal fédéral, in SJ 2000 II p. 11). A l'inverse d'ailleurs, si la cour cantonale avait admis la compétence des tribunaux genevois, il se fût agi d'une décision incidente sur la compétence (<ref-ruling> consid. 1c et les références), également susceptible d'un recours en réforme immédiat (art. 49 al. 1 et art. 48 al. 3 OJ).
1.2 Dans un recours en réforme, qui ne doit pas être confondu avec un recours cassatoire, le recourant ne doit pas se borner à demander l'annulation de la décision attaquée, mais il doit également, en principe, prendre des conclusions sur le fond du litige; il n'est fait exception à cette règle que lorsque le Tribunal fédéral, en cas d'admission du recours, ne serait de toute manière pas en situation de statuer lui-même sur le fond et ne pourrait que renvoyer la cause à l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 1b; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1). En l'espèce, les constatations cantonales sont insuffisantes pour permettre au Tribunal fédéral de statuer lui-même sur le fond de l'action en responsabilité, que la cour cantonale n'a pas abordé. Dans ces conditions, les conclusions formulées par le demandeur sont admissibles.
1.3 Eu égard à la valeur litigieuse, de 15'800 fr., le recours en réforme est en principe recevable puisqu'il dépasse le seuil de 8'000 fr. fixé à l'art. 46 OJ; de plus, il a été formé en temps utile (art. 54 al. 1 OJ) et dans les formes requises (art. 55 OJ).
1.4 Saisi d'un recours en réforme, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits contenus dans la décision attaquée, à moins que des dispositions fédérales en matière de preuve n'aient été violées, qu'il faille rectifier des constatations reposant sur une inadvertance manifeste (art. 63 al. 2 OJ) ou compléter les constatations de l'autorité cantonale parce que celle-ci n'a pas tenu compte de faits pertinents et régulièrement allégués (art. 64 OJ).
Dans la mesure où la partie recourante présente un état de fait qui s'écarte de celui contenu dans la décision attaquée, sans se prévaloir avec précision de l'une des exceptions qui viennent d'être rappelées, il n'est pas possible d'en tenir compte. Il ne peut être présenté de griefs contre les constatations de fait, ni de faits ou de moyens de preuve nouveaux (art. 55 al. 1 let. c OJ). Le recours en réforme n'est donc pas ouvert pour se plaindre de l'appréciation des preuves et des constatations de fait qui en découlent.
Dans son examen du recours, le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties, lesquelles ne peuvent en prendre de nouvelles (art. 55 al. 1 let. b OJ); en revanche, il n'est lié ni par les motifs que les parties invoquent (art. 63 al. 1 OJ), ni par l'argumentation juridique de la cour cantonale (art. 63 al. 3 OJ). Il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux invoqués par la partie recourante et peut également rejeter un recours en adoptant une autre argumentation juridique que celle retenue par la cour cantonale (<ref-ruling> consid. 2c et les références citées).
2. Le demandeur fait tout d'abord grief à la cour cantonale d'avoir écarté l'applicabilité de l'art. 5 ch. 3 CL et d'avoir ignoré l'art. 129 al. 2 LDIP, au motif que l'action en responsabilité ouverte à Genève contre la juge d'instruction espagnole relevait du droit public. De plus, la cour cantonale n'est pas entrée en matière sur l'exception d'immunité de juridiction, avancée à l'appui de l'appel.
2.1 Même si elle ne relève pas de l'ordre public, la question de l'immunité de juridiction, que le juge ne peut pas soulever d'office mais qu'il doit trancher lorsqu'elle est invoquée, doit être examinée d'entrée de cause, avant de procéder sur le fond (<ref-ruling> consid. 3b p. 387 et les références), ceci d'autant plus que le Tribunal fédéral n'est pas lié par les motifs que les parties plaident, à teneur de l'art. 63 al. 1 OJ, et qu'il peut adopter une autre argumentation juridique que celle retenue par la cour cantonale.
L'Etat souverain, disposant de la personnalité juridique de droit international, est le titulaire par excellence des immunités de l'Etat étranger (Jolanta Kren Kostkiewicz, Staatenimmunität im Erkenntnis- und im Vollstreckungsverfahren nach schweizerischem Recht, Berne 1998, p. 348) qui présentent deux aspects, l'immunité de juridiction et l'immunité d'exécution, cette dernière étant en général la simple conséquence de l'autre (<ref-ruling> consid. 4a in fine p. 389). Les immunités de l'Etat sont destinées à garantir le respect de sa souveraineté lorsque ses agents, sa législation ou ses biens sont en rapport direct avec la souveraineté territoriale d'un autre Etat. L'absence de toute hiérarchie entre les Etats exclut que l'un d'entre eux soit soumis à des actes d'autorité, y compris juridictionnels, d'un autre Etat, conformément à la maxime selon laquelle "par in parem non habet jurisdictionem", les immunités étant une exception au principe de la souveraineté territoriale (Patrick Daillier/Alain Pellet, Droit international public, 7e éd., Paris 2002, p. 450/451; Alfred Verdross/Bruno Simma, Universelles Völkerrecht, Theorie und Praxis, 3e éd., Berlin 1984, § 1168 p. 763). Comme l'Etat étranger agit par l'intermédiaire de ses organes, qui ne possèdent pas eux-mêmes la personnalité juridique de droit international, le comportement de ces derniers est imputé à l'Etat lui-même, qu'il s'agisse d'un ministère, d'un département, d'un office, d'une représentation diplomatique ou encore d'autres entités dépendantes de l'Etat (Kren Kostkiewicz, op. cit., p. 350).
Aujourd'hui, l'immunité de juridiction est comprise selon la théorie de l'immunité restreinte, qui n'est garantie qu'en rapport à des actes de souveraineté (jure imperii), l'Etat étranger ne pouvant se soustraire aux tribunaux pour ce qui concerne ses actes de gestion (jure gestionis), telle que l'a reconnue pour la première fois la Cour de cassation de Belgique en 1903 (Joe Verhoeven, Droit international public, Bruxelles 2000, p. 736/737; Verdross/Simma, op. cit., § 1169 p. 763/764; Emmanuel Decaux, Droit international public, 3e éd., Paris 2002, n. 352 p. 291; Pierre-Marie Dupuy, Droit international public, 5e éd., Paris 2000, n. 115 p. 115; Beatrice Brandenberg Brandl, Direkte Zuständigkeit der Schweiz im internationalen Schuldrecht, Thèse St-Gall 1991, p. 56/57; Jean-François Egli, L'immunité des Etats étrangers et de leurs agents dans la jurisprudence du Tribunal fédéral, in Centenaire de la LP, Zurich 1989, p. 206). Dès 1918, le Tribunal fédéral s'est rallié à cette conception restreinte ou restrictive de l'immunité des Etats, le critère de la nature intrinsèque de l'opération envisagée étant déterminant pour savoir si l'acte fondant la créance litigieuse relève de la puissance publique ou s'il s'agit d'un rapport juridique inscrit dans une activité économique privée, l'Etat étranger intervenant par ses organes dans cette dernière au même titre qu'un particulier (<ref-ruling> consid. 4a p. 388/389 et les références; Müller/Wildhaber, Praxis des Völkerrechts, 3e éd., Berne 2001, p. 444/445; Malcolm N. Shaw, International law, 4e éd., Cambridge 1997, p. 500/501).
Agissant au nom de l'Etat étranger, les organes bénéficient de l'immunité de juridiction dans l'Etat du for lorsqu'ils accomplissent, dans leur fonction, des actes de souveraineté à l'occasion desquels une action en justice dirigée contre eux doit être considérée comme une action dirigée contre leur propre Etat (Verdross/Simma, op. cit., § 1177 p. 773). Ainsi, à côté de l'immunité de juridiction traditionnellement reconnue au personnel diplomatique et consulaire, (Kren Kostkiewicz, op. cit., p. 76 ss) ainsi qu'aux chefs d'Etats et autres membres de gouvernements (Kren Kostkiewicz, op. cit., p. 90 ss), le cercle des bénéficiaires de l'immunité d'Etat s'élargit. En effet, il arrive que l'immunité soit accordée même quand l'action n'est pas directement engagée contre l'Etat en son nom propre, mais contre le gouvernement d'un Etat souverain, contre le souverain, contre le chef d'Etat ou contre l'un des organes, ministère ou département du gouvernement, ou contre ses organes subsidiaires, voire contre des organismes ou des institutions de l'Etat, en raison d'actes accomplis dans l'exercice des prérogatives de la puissance publique (Sompong Sucharitkul, L'immunité des Etats, in Droit international, Bilan et perspectives, t.1, Paris 1991, p. 347 ss, 351/352). En ce qui concerne l'immunité des Etats étrangers, et singulièrement l'immunité de juridiction, il faut donc entendre par "Etat étranger", outre la personne étatique elle-même, toute autorité devant être considérée comme un démembrement de l'Etat, délégataire ou dépositaire des fonctions qu'il entend exercer, en application directe de ses compétences en tant qu'Etat souverain, au bénéfice de sa "puissance publique", pour reprendre une terminologie du droit interne (Pierre-Marie Dupuy, op. cit., n. 115 p. 115, déjà cité). Seuls sont exclus de l'immunité les agents intervenant secrètement à l'étranger au service d'un Etat, par exemple pour fait d'espionnage (Verdross/Simma, op. cit., § 1177 p. 773/774, note 52) ou d'homicide intentionnel (Ignaz Seidl-Hohenveldern, L'immunité de juridiction et d'exécution des Etats et des organisations internationales, in Droit international 1, Paris 1981, p. 113 ss, 114).
2.2 En l'espèce, la défenderesse, en sa qualité de juge d'instruction espagnole, est chargée de conduire une procédure pénale pour prévention de soustraction de mineurs au sens des art. 223 et 226 du Code pénal espagnol, contre le demandeur, dans le ressort judiciaire du Tribunal de Z._. A cette occasion, la juge d'instruction a décerné un mandat d'arrêt international qui a ensuite donné lieu à la diffusion d'une demande d'arrestation en vue d'extradition visant le demandeur. Ainsi, la juge d'instruction de Z._ a exercé, dans le cadre de ses compétences, un acte d'autorité exprimant en cette matière la souveraineté de l'Espagne, en procédant conformément à la Convention européenne d'extradition du 13 décembre 1957 (CEExtr; RS 0.353.1), à laquelle le Royaume d'Espagne et la Confédération suisse sont parties. La délivrance du mandat d'arrêt international est caractéristiquement un acte d'un magistrat espagnol exerçant dans son domaine et à son niveau la puissance publique du Royaume d'Espagne; à ce titre, la juge d'instruction n'est susceptible de rendre compte de l'exercice de ses fonctions qu'à ce dernier.
Dans ce sens, en vertu du principe d'égalité des Etats et de l'absence de hiérarchie entre eux, il n'y a pas lieu de soumettre à un tribunal suisse le contrôle des agissements d'une juge d'instruction espagnole dans l'accomplissement des tâches de droit public que lui a confiées l'Etat espagnol. La juge d'instruction, ayant agi comme délégataire de la souveraineté du Royaume d'Espagne dans le domaine de la répression des infractions et de l'application des codes pénal et de procédure pénale, peut invoquer avec succès le principe de l'immunité de juridiction à l'égard de l'Etat du for, dans la mesure où l'action en responsabilité civile introduite devant les tribunaux genevois contre elle touche en fait le fonctionnement de la justice pénale de l'Espagne et la jurisprudence de ce pays.
Il s'ensuit que la Chambre civile de la Cour de justice de Genève était fondée à déclarer irrecevable l'action ouverte par le demandeur contre la juge d'instruction espagnole, défenderesse, de sorte que l'arrêt cantonal du 16 mai 2003 sera confirmé.
2.3 Le présent arrêt ne porte que sur la compétence matérielle et locale des juridictions genevoises. Il ne préjuge pas d'une action que le demandeur déciderait d'introduire en Espagne.
3. Vu l'issue du litige, le demandeur est condamné au paiement d'un émolument (art. 156 al. 1 OJ) ainsi qu'à celui d'une indemnité à titre de dépens (art. 159 al. 2 OJ) en faveur de la défenderesse.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en réforme est rejeté.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du demandeur.
3. Le demandeur versera à la défenderesse une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 21 novembre 2003
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière: