Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss <ref-law> gegen die Verfügung vom 5. Mai 2011 des Bezirksgerichts Pfäffikon, das den vom Beschwerdeführer (in einer Betreibung über eine Forderung in der Höhe von Fr. 30'930.10) erhobenen Rechtsvorschlag wegen mangelnden neuen Vermögens nicht zugelassen hat und dementsprechend auf das Verfahren nicht weiter eingetreten ist,
in das nachträgliche (sinngemässe) Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege,

in Erwägung,
dass das Bezirksgericht erwog, zufolge Nichterscheinens beider Parteien an der Verhandlung werde androhungsgemäss auf Grund der Akten entschieden, die Einrede des fehlenden neuen Vermögens im Sinne von <ref-law> sei nach Wortlaut, Sinn und Zweck der Bestimmung von <ref-law> nur zulässig, falls über den Schuldner in der Schweiz ein Konkurs eröffnet und auch durchgeführt worden sei, d.h. das ganze in der Schweiz gelegene Schuldnervermögen unter die Generalexekution gefallen sei, unzulässig sei die Einrede daher auch dann, wenn der Konkurs widerrufen oder mangels Aktiven eingestellt worden sei, vorliegend sei aus den Akten nicht ersichtlich, ob über den Beschwerdeführer ein Konkurs eröffnet und auch tatsächlich durchgeführt worden sei, mangels eines entsprechenden Nachweises durch den Beschwerdeführer seien deshalb die Voraussetzungen zur Erhebung des Rechtsvorschlags wegen fehlenden neuen Vermögens nicht erfüllt,
dass der Entscheid des Bezirksgerichts gemäss der ausdrücklichen Vorschrift von Art. 265a Abs. 1 in fine SchKG kantonal endgültig ist, weshalb sich die Beschwerde gegen einen letztinstanzlichen kantonalen Entscheid richtet (Art. 75 Abs. 1 sowie Abs. 2 lit. a BGG),
dass sodann die Beschwerde nach <ref-law> nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95 f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (<ref-law>),
dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 1.4 S. 287),
dass auch Verfassungsrügen in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen sind (<ref-law>), dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287 f.),
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise auf die entscheidenden bezirksgerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass er erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand dieser Erwägungen aufzeigt, inwiefern die Verfügung des Bezirksgerichts vom 5. Mai 2011 rechts- oder verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Beschwerde in Anwendung von <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass dem Beschwerdeführer in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Beschwerde die unentgeltliche Rechtspflege nicht gewährt werden kann (<ref-law>),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bezirksgericht Pfäffikon schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann