Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Beschwerdeführerin) wurde am 18. Januar 2000 wegen einer epileptischen Erkrankung am Spital B._ am Gehirn operiert, wobei sie eine linksseitige Hemiparese (Halbseitenlähmung) erlitt. Nach mehrjährigen erfolglosen Verhandlungen mit der Stiftung Spital B._ (Beschwerdegegnerin), in deren Verlauf einvernehmlich vorprozessuale Gutachten eingeholt wurden, stellte die Beschwerdeführerin am 15. Oktober 2009 ein Gesuch um Schadenersatz und Genugtuung, das die Beschwerdegegnerin mit Verfügung vom 18. November 2010 abwies. Die hiergegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 14. November 2011 teilweise gut, weil die Beschwerdegegnerin ihre Verfügung unzulässigerweise auf die vorprozessualen Gutachten abgestützt hatte.
A.b. Nachdem die Beschwerdegegnerin nach der Rückweisung die vorprozessual eingesetzten Gutachter als gerichtliche Gutachter beauftragen wollte und ein Ablehnungsgesuch der Beschwerdeführerin abgewiesen hatte, schützte das Verwaltungsgericht auch die gegen diesen Zwischenentscheid erhobene Beschwerde und wies die Sache erneut an die Beschwerdegegnerin zurück.
A.c. Diese erwog, Prof. Dr. C._, Chefarzt der Universitätsklinik für Neurochirurgie am Universitätsspital in U._, als Gutachter einzusetzen und gab der Beschwerdeführerin Gelegenheit, zu dessen Person und zum Fragekatalog Stellung zu nehmen. Die Beschwerdeführerin liess sich am 12. Juni 2013 vernehmen und wurde am 18. September 2013 aufgefordert, innert Frist allfällige Ablehnungsgründe substanziiert vorzutragen. Darauf reagierte diese mit Eingaben vom 22. und 23. Oktober 2013. Mit Zwischenverfügung vom 11. April 2014 nahm die Beschwerdegegnerin die Eingaben vom 22. und 23. Oktober 2013 als Ablehnungsgesuch gegen den vorgesehenen Experten Prof. C._ entgegen (Dispositivziffer 1) und wies das Ablehnungsgesuch ab (Dispositivziffer 2). Sodann stellte sie fest, weitere Verfügungen würden nach definitiver Klärung des behaupteten Ablehnungsgrundes folgen (Dispositivziffer 3).
B.
Gegen diese Zwischenverfügung erhob die Beschwerdeführerin Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit dem Antrag, die Verfügung vom 11. April 2014 sei "nichtig zu erklären und aufzuheben".
Mit Urteil des Einzelrichters vom 19. August 2014 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern sei aufzuheben und die Verfügung vom 11. April 2014 sei als nichtig zu erklären bzw. aufzuheben. Eventualiter sei das Urteil aufzuheben und die Angelegenheit zur Ergänzung des Sachverhalts und Durchführung eines Beweisverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beschwerdegegnerin.
Die Beschwerdegegnerin stellt das Begehren, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen; unter Kosten- und Entschädigungsfolge.
Die Vorinstanz trägt auf Abweisung der Beschwerde an, soweit auf diese einzutreten sei. Die Beschwerdeführerin hat unaufgefordert eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 133 mit Hinweisen).
2.
Angefochten ist ein Entscheid der Vorinstanz, mit welchem diese den Zwischenentscheid der Beschwerdegegnerin vom 11. April 2014 geschützt hat. Damit wird das Verfahren nicht abgeschlossen, weshalb auch der angefochtene Entscheid als Zwischenentscheid zu qualifizieren ist (Urteil 5A_121/2014 vom 13. Mai 2014 E. 1.2). Zwischenentscheide sind mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 264). In der Hauptsache handelt es sich um Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital nach dem kantonalen öffentlichen Verantwortlichkeitsrecht. Da solche Entscheide in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, kommt dagegen nach <ref-law> die Beschwerde in Zivilsachen in Betracht (<ref-ruling> E. 1.5 S. 254 f. mit Hinweisen). Der erforderliche Streitwert (<ref-law>) ist gegeben.
3.
Zwischenentscheide können nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 oder 93 BGG angefochten werden. Sodann kann gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines anfechtbaren Entscheids Beschwerde geführt werden (<ref-law>).
3.1. Soweit das angebliche Ausstandsgesuch gegen den Gutachter abgewiesen wurde (Dispositivziffer 2 der Verfügung vom 11. April 2014), handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid gemäss <ref-law>. Die Beschwerdeführerin beruft sich zwar auf diese Bestimmung und macht geltend, dass gestützt darauf ihre Beschwerde zulässig sei. Unter dem Titel "Materielles/Falsches Streitthema" macht sie dann aber geltend, das Streitthema sei nicht gewesen, " (...) ob Prof. ... als Sachverständiger wirken darf", wie die Vorinstanz angenommen habe. Es sei sowohl bei der Erst- wie nun auch bei der Vorinstanz nicht um die "Neutralität des Gutachters bzw. das angebliche Ablehnungsbegehren" gegenüber diesem gegangen. Entsprechend ficht sie den Entscheid betreffend Ablehnung des Gutachters als solchen nicht an. Insofern kann ihre Beschwerde somit nicht auf <ref-law> abgestützt werden, weshalb auf die Beschwerde insoweit nicht eingetreten werden kann.
3.2. Sie macht vielmehr geltend, "effektives Streitthema" im vorinstanzlichen Verfahren seien Verfahrensmängel und die Rolle der an der Verfügung vom 11. April 2014 Beteiligten gewesen. Sie habe die formale Nichtigkeit der Verfügung geltend gemacht wegen dem "formal unzulässigen Verfahren der mutmasslich nicht mehr unparteiischen bzw. befangenen und vorbefassten Behörde " (Hervorhebung im Original). Sie behauptet damit, sie habe Befangenheit der verfügenden Behörde geltend gemacht, was von der Vorinstanz aber übergangen worden sei.
3.2.1. <ref-law> setzt voraus, dass über ein Ausstandsbegehren entschieden wurde oder wenigstens hätte entschieden werden müssen. Gestützt auf diese Bestimmung kann somit nur eingetreten werden, wenn die Beschwerdeführerin vor der Vorinstanz tatsächlich die Befangenheit der verfügenden Behörde geltend gemacht hat. Nur soweit die Vorinstanz eine von der Beschwerdeführerin tatsächlich geltend gemachte Befangenheit der verfügenden Behörde nicht geprüft hat, liegt daher ein Zwischenentscheid über den Ausstand gemäss <ref-law> vor.
3.2.2. Eine Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls darauf nicht eingetreten werden kann. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil sodann den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen) und erheblich sind (<ref-ruling> E. 2.2 S. 334; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Soweit sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90 mit Hinweisen).
3.2.3. Die Vorinstanz ging davon aus, die Beschwerdeführerin habe keine Befangenheit der verfügenden Behörde geltend gemacht, sodass aus ihrer Sicht kein Ausstandsentscheid betreffend die verfügende Behörde vorlag. Entsprechend stellte sie für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich fest, Anfechtungsgegenstand sei allein die Ablehnung des Gutachters. Die Beschwerdeführerin müsste somit rechtsgenüglich (vgl. E. 3.2.2) darlegen, dass sie entgegen dem einen entsprechenden konkreten Antrag gestellt hat. Sie macht zwar umfangreiche und zum Teil schwer verständliche Ausführungen zur Befangenheit der verfügenden Behörden, legt aber nicht dar, wo genau und inwiefern sie in der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift einen konkreten Ausstandsantrag gestellt hat. Soweit sich die Beschwerde auf <ref-law> stützt, kann somit nicht eingetreten werden.
3.3. In Dispositivziffer 3 der Verfügung vom 11. April 2014 wurden weitere Verfügungen vorbehalten, sobald die Frage der Einsetzung des Gutachters geklärt sei.
3.3.1. Die Vorinstanz hielt dazu fest, eine Verwaltungsbehörde unterliege keiner Verpflichtung, unverzüglich über gestellte Verfahrensanträge zu entscheiden. Sie könne auch selber entscheiden, in welcher Reihenfolge sie ihre Prozessleitung wahrnehme. Es stelle daher keine Verletzung des Gehörsanspruchs dar, wenn die Beschwerdegegnerin bisher noch nicht über alle Verfahrens- und Beweisanträge der Beschwerdeführerin, sondern vorab über deren Ablehnungsbegehren entschieden habe.
3.3.2. Die Beschwerdeführerin macht unter Berufung auf <ref-law> und Art. 26 Abs. 2 der Verfassung des Kantons Bern eine "Verletzung des Rechts auf Entscheid innert nützlicher Frist" geltend. Entgegen der zitierten Begründung der Vorinstanz stehe es "nicht im freien Belieben der Behörde, gestellte Verfahrensanträge jahrelang zu übergehen und die Geschädigten durch die steten Wiederholungen und Unklarheiten finanziell immer weiter auszubluten (...) ". Sie bezieht sich dabei namentlich auf eine unterlassene Aktennummerierung/Verzeichnis, den Beizug verlangter Akten, ihren sog. "Schutzantrag" vom 21. Januar 2013, etc.
3.3.3. Gemäss <ref-law> kann gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines anfechtbaren Entscheids Beschwerde geführt werden. Erhebt die Beschwerdeführerin die Rüge der formellen Rechtsverweigerung in der Form der Rechtsverzögerung, wird auf die Voraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteils ausnahmsweise verzichtet (<ref-ruling> E. 6 S. 191 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 261; <ref-ruling> E. 2.2 ff. S. 45 ff.; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin unterlässt es jedoch die von ihr sinngemäss geltend gemachte unangemessen lange Hinauszögerung der mit Dispositivziffer 3 der angefochtenen Verfügung, mit welcher spätere (prozessleitende) Verfügungen vorbehalten wurden, rechtsgenüglich zu begründen. Auch darauf kann folglich nicht eingetreten werden, womit auf die Beschwerde im Hauptpunkt insgesamt nicht eingetreten werden kann.
4.
Kann gegen den Zwischenentscheid im Hauptpunkt nicht eingetreten werden, kann auch auf die Rüge gegen den Kostenentscheid der Vorinstanz nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 333 f.; Urteil 4A_307/2014 vom 17. September 2014 E. 1.4).
5.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Februar 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Reitze