Sachverhalt:
A. X._ plante, im Bereich ihrer Liegenschaft eine Erschliessungsstrasse zu erstellen. Vor Baubeginn beantragte sie bei der Gemeinde Wolfhalden/AR die Ausrichtung eines Gemeindebeitrages von 50 Prozent an die Erschliessungskosten. Die Gemeinde teilte ihr mit Schreiben vom 12. Juli 2006 mit, sie leiste generell keine Beiträge an den Bau von privaten Erschliessungsstrassen. Allerdings habe der Gemeinderat, um bezüglich des Strassenunterhaltes eine Gleichbehandlung mit anderen Quartierstrassen zu erreichen, die Möglichkeit geschaffen, nach Fertigstellung der Strasse ein Anerkennungsgesuch als öffentliche Fahrstrasse zu stellen. Sobald die Anerkennung durch die Gemeinde vorliege, leiste sie Beiträge gemäss kommunalem Strassenreglement.
Am 13. Mai 2008 anerkannte die Gemeinde Wolfhalden die inzwischen fertig gestellte Strasse als öffentliche Strasse. Mit Schreiben vom 6. Februar 2009 reichte X._ der Gemeinde Wolfhalden die Kostenzusammenstellung für die Erstellung der Erschliessungsstrasse ein und beantragte erneut die Ausrichtung eines Gemeindebeitrages im Umfang von 50 Prozent der Kosten. Die Gemeinde Wolfhalden lehnte das Begehren unter Hinweis auf ihr Schreiben vom 12. Juli 2006 formlos ab. Im Übrigen trat sie auf das Ersuchen, eine rekursfähige Verfügung zu erlassen, nicht ein. Mit Beschluss vom 25. August 2009 hiess der Regierungsrat des Kantons Appenzell Ausserrhoden die hiergegen erhobene Rechtsverweigerungsbeschwerde gut, worauf die Gemeinde Wolfhalden auf das Beitragsgesuch von X._ aus dem Jahr 2006 eintrat und dieses mit Verfügung vom 22. September 2009 abwies.
B. Der Regierungsrat des Kantons Appenzell Ausserrhoden hiess den von X._ hiergegen erhobenen Rekurs mit Entscheid vom 26. Januar 2010 teilweise gut und wies die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Gemeinde Wolfhalden zurück. Er hielt im Wesentlichen fest, bei der fraglichen Erschliessungsstrasse handle es sich um eine Strasse im Gemeingebrauch, für deren Bau sowie den Unterhalt die Gemeinde Wolfhalden grundsätzlich einen Beitrag zu leisten verpflichtet sei. Das Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden wies die gegen den Entscheid des Regierungsrates erhobene Beschwerde der Gemeinde Wolfhalden mit Urteil vom 24. November 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 1. Juli 2011 beantragt die Gemeinde Wolfhalden beim Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts Appenzell Ausserrhoden vom 24. November 2010 sei aufzuheben. Zudem sei festzustellen, dass X._ kein Beitragsanspruch an die Erschliessungskosten zustehe.
Der Regierungsrat des Kantons Appenzell Ausserrhoden verzichtet auf eine Stellungnahme. Das Verwaltungsgericht Appenzell Ausserrhoden beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdegegnerin beantragt die "Zurückweisung" der Beschwerde. Darüber hinaus verlangt sie sinngemäss die Änderung der Entscheide des Regierungsrates bzw. des Verwaltungsgerichtes. Die Beschwerdeführerin beantragt in ihrer Antwort, auf die Änderungsanträge der Beschwerdegegnerin sei nicht einzutreten.

Erwägungen:
1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid des Verwaltungsgerichts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich zulässig (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Eine Ausnahme gemäss <ref-law> liegt nicht vor; insbesondere handelt es sich vorliegend nicht um eine Ermessenssubvention im Sinne von <ref-law>, sondern um einen Gemeindebeitrag an die Erschliessungskosten, auf den in der Regel ein gesetzlicher Anspruch besteht (vgl. Art. 12 Abs. 1 des Strassenreglements der Gemeinde Wolfhalden vom 2. April 1974 [im Folgenden: StrR] in Verbindung mit dem im Zeitpunkt der vorliegend umstrittenen Verfügung der Gemeinde Wolfhalden vom 22. September 2009 in Kraft stehenden Art. 2 des Gesetzes [des Kantons Appenzell Ausserrhoden] vom 30. April 1972 über die Staatsstrassen [aGS IV/587]).
2. 2.1 Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zulässig gegen End- und Teilentscheide (Art. 90 und 91 BGG), gegen Vor- und Zwischenentscheide nur unter den in Art. 92 und 93 BGG genannten Voraussetzungen. Ein Rückweisungsentscheid gilt nach der Regelung des Bundesgerichtsgesetzes als Zwischenentscheid (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f.). Rechtsmittelentscheide betreffend Zwischenentscheide sind ihrerseits Zwischenentscheide, ausser wenn sie den Abschluss des Hauptverfahrens bilden (vgl. Urteil 2C_475/2011 vom 13. Dezember 2011 E. 2.1). Dabei gilt ein Rückweisungsentscheid, mit dem eine materielle Grundsatzfrage entschieden wird, nicht als Teilentscheid im Sinne von <ref-law>, da es sich dabei nicht um einen Entscheid über Begehren handelt, die unabhängig von den anderen Fragen beurteilt werden können. Es handelt sich vielmehr um einen Zwischenentscheid, der (nur, aber immerhin) unter den Voraussetzungen von Art. 92 oder 93 Abs. 1 BGG selbständig angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 1 S. 315 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 4.2 S. 482). Wenn jedoch der unteren Instanz, an welche die Sache zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung nur noch der mechanischen bzw. rechnerischen Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient, handelt es sich in Wirklichkeit um einen Endentscheid (<ref-ruling> E. 1.3 S. 127 mit Hinweisen).
2.2 Angefochten ist vorliegend ein Rechtsmittelentscheid betreffend des Rückweisungsentscheides des Regierungsrates vom 26. Januar 2010, welcher das Hauptverfahren zwar nicht beendet, jedoch die materielle Grundsatzfrage über die Beitragspflicht der Gemeinde Wolfhalden verbindlich regelt, indem festgestellt wird, dass die Beschwerdeführerin nach Art. 12 Abs. 1 StrR grundsätzlich verpflichtet ist, einen Beitrag von 50 Prozent an die Baukosten für die von der Beschwerdegegnerin erstellten Erschliessungsstrasse zu leisten. Indessen verbleibt der Beschwerdeführerin ein gewisser Beurteilungsspielraum bei der Umsetzung des Rückweisungsentscheides: Einerseits besteht der Anspruch der Beschwerdegegnerin nur bezüglich der Differenz zwischen den im Verkaufspreis eingeflossenen Erschliessungskosten und allfälligen Mehrkosten. Dies macht Schätzungen sowie komplizierte Berechnungen notwendig. Andererseits stellte das Verwaltungsgericht klar, dass gemäss Art. 14 Abs. 1 StrR Kostenbeiträge der Gemeinde nur nach Massgabe der finanziellen Möglichkeiten und insbesondere der verfügbaren Mittel des Strassenfonds zu gewähren sind. Daraus erhellt, dass nicht von einer rein mechanischen Umsetzungsoperation gesprochen werden kann. Der Entscheid ist daher als selbständig eröffneter Zwischenentscheid zu betrachten und nur nach Massgabe von <ref-law> anfechtbar.
2.3 Ein Zwischenentscheid kann unter anderem selbständig angefochten werden, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirkt. Der nicht wieder gutzumachende Nachteil muss rechtlicher Natur sein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 139; <ref-ruling> E. 2.1 S. 190; je mit Hinweisen). Die blosse Verlängerung des Verfahrens gilt nicht als derartiger Nachteil (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 170). Diese Praxis rechtfertigt sich vorab dadurch, dass die selbständige Anfechtung eines Zwischenentscheids ihrerseits regelmässig zu einer Verlängerung und Verteuerung des Verfahrens führt und ihre Zulassung für sich allein somit keine Verbesserung des Rechtsschutzes darstellen würde (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483).
2.4 Ein Urteil, mit dem eine Sache zur neuen Abklärung und Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, bewirkt in der Regel zwar keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil. Bereits in seiner ständigen Praxis zur früheren staatsrechtlichen Beschwerde entschied das Bundesgericht jedoch anders, wenn eine Gemeinde durch einen Rückweisungsentscheid gezwungen wurde, entgegen ihrer Rechtsauffassung eine neue Anordnung zu erlassen: In diesen Fällen wurde das Vorliegen eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils damit begründet, dass es der Gemeinde nicht zuzumuten bzw. möglich sei, einer von ihr als falsch erachteten Weisung Folge zu leisten, um alsdann ihren eigenen Entscheid anzufechten. Dasselbe gilt unter der Herrschaft des Bundesgerichtsgesetzes (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 483 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 317 f.; <ref-ruling> E. 1b S. 7; Urteil 2C_644/2009 vom 16. August 2010 E. 1.3; jeweils mit Hinweisen).
Eine solche Konstellation liegt hier vor: Der Rekursentscheid des Regierungsrates bedeutet für die Gemeinde Wolfhalden, dass sie in Abweichung von der eigenen Rechtsauffassung das Gesuch um Kostenbeteiligung der Beschwerdegegnerin neu prüfen und die Beitragsverfügung gegebenenfalls anpassen muss. Nach dem bisher Ausgeführten ist deshalb ein nicht wieder gutzumachender Nachteil anzunehmen und die Beschwerde ist gemäss <ref-law> zulässig.
2.5 Ob die Beschwerdeführerin gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 46 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 157 f.; Urteil 2C_366/2009 E. 2.4 vom 3. März 2010; je mit Hinweisen), kann offen bleiben, da sie jedenfalls ohne Weiteres legitimiert ist, soweit sie sich auf die Gemeindeautonomie (vgl. Art. 101 der Verfassung des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 30. April 1995 [KV/AR; SR 131.224.1]) beruft (<ref-law>). Es genügt hierfür, dass sie durch den angefochtenen Entscheid in ihrer Stellung als Hoheitsträgerin berührt ist. Ob ihr die beanspruchte Autonomie tatsächlich zukommt, ist eine Frage der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.2 S. 45 f.; vgl. E. 5.1 hiernach). Sie kann alsdann auch andere verfassungsmässige Rechte anrufen, namentlich das Willkürverbot und Verfahrensgrundrechte, soweit diese in einem engen Zusammenhang zur behaupteten Autonomieverletzung stehen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 270).
2.6 Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde (<ref-law>) ist - unter Vorbehalt der folgenden Erwägung - einzutreten.
2.7 Die Beschwerdeführerin beantragt unter anderem, es sei festzustellen, dass der Beschwerdegegnerin kein Beitragsanspruch gemäss Strassenreglement zukomme. Feststellungsbegehren sind jedoch nur zulässig, soweit ein genügendes Feststellungsinteresse dargetan wird. Zudem wird verlangt, dass das schutzwürdige Interesse nicht ebenso gut mit einer rechtsgestaltenden Verfügung gewahrt werden könnte (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 303 mit Hinweisen; RHINOW/KOLLER/ KISS/THURNHERR/BRÜHL-MOSER, Öffentliches Prozessrecht, 2. Aufl. 2010, Rz. 1279 ff.). Vorliegend legt die Beschwerdeführerin jedoch weder ein genügendes Feststellungsinteresse dar, noch ist ersichtlich, weshalb ihr Begehren nicht ebenso gut in Form einer rechtsgestaltenden Verfügung gewahrt werden kann. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.8 Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Vernehmlassung vom 7. September 2011 ihrerseits unter anderem die Aufhebung des Entscheides des Regierungsrates, die Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie eine Leistungsverpflichtung zulasten der Beschwerdeführerin. Die vorinstanzlichen Entscheide hat die Beschwerdegegnerin jedoch nicht selbständig angefochten. Das Bundesgerichtsgesetz kennt das Institut der Anschlussbeschwerde nicht (<ref-ruling> E. 2.5 S. 335; Urteil 2C_632/2007 vom 7. April 2008 E. 1.2), weshalb auf die diesbezüglichen Anträge nicht einzutreten ist.
3. 3.1 Der angefochtene Entscheid stützt sich auf öffentliches Recht der Gemeinde Wolfhalden. Vor Bundesgericht kann die Verletzung kantonaler verfassungsmässiger Rechte sowie kantonaler Bestimmungen über die politische Stimmberechtigung gerügt werden (Art. 95 lit. c und d BGG), die Verletzung übrigen kommunalen bzw. kantonalen Rechts jedoch nur insoweit, als sie zugleich eine Verletzung von Bundesrecht (mit Einschluss der Verletzung der Bundesverfassung), von Völkerrecht oder interkantonalem Recht darstellt (Art. 95 lit. a, b und e BGG, vgl. Urteile 2C_572/2010 vom 23. März 2011 E. 2.1; 8C_251/2010 vom 29. Juni 2010 E. 1.3). Das Bundesgericht prüft dabei die Verletzung von Grundrechten und kantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
3.2 Das Bundesgericht prüft die Anwendung von kantonalem oder kommunalem Recht auch im Rahmen der Autonomiebeschwerde grundsätzlich nur auf Willkür hin (<ref-ruling> E. 1.1 S. 69 f.). Frei prüft es hingegen, ob die kantonale Rechtsmittelinstanz einen in den Anwendungsbereich der Gemeindeautonomie fallenden Beurteilungsspielraum respektiert hat (<ref-ruling> E. 2 S. 397), was voraussetzt, dass die Auslegung eines gemeinderechtlichen Begriffs schwierig ist und in besonderem Masse örtliche Verhältnisse zu würdigen sind (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 398 f.; Urteile 2P.206/1995 vom 24. September 1996 E. 2 d; 1P.27/2002 vom 31. Mai 2002 E. 4.3, in: ZBl 103/2002 S. 648). Aus dem Gesagten folgt, dass das Bundesgericht die Auslegung des Verwaltungsgerichts bezüglich der Frage, ob das kommunale Recht der Gemeinde einen Beurteilungsspielraum im vorerwähnten Sinne einräume, nur auf Willkür hin überprüft. Sofern ein entsprechender Beurteilungsspielraum besteht, ist sodann mit freier Kognition zu prüfen, ob das Verwaltungsgericht diesen respektiert hat.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin rügt zunächst eine Verletzung des rechtlichen Gehörs im Sinne von <ref-law>, weil sich die Vorinstanz nicht hinreichend mit der von ihr erhobenen Rüge der Verletzung der Gemeindeautonomie auseinander gesetzt habe. Weder spreche sich die Vorinstanz darüber aus, ob und wie weit eine ausserrhodische Gemeinde im Bereich des Strassenwesens auf ihrem Territorium autonom sei, noch darüber, ob diese Garantie im vorliegenden Fall verletzt werde. Darin erblickt sie eine Verletzung der sich aus <ref-law> ergebenden Begründungspflicht.
4.2 Der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Akts zur Sache äussern zu können (<ref-ruling> E. 6b S. 286 f. mit Hinweisen). Er verlangt von der Behörde, dass sie seine Vorbringen tatsächlich hört, ernsthaft prüft und in ihrer Entscheidfindung angemessen berücksichtigt (<ref-ruling> E. 2c S. 34 mit Hinweisen). Dies gilt für alle form- und fristgerechten Äusserungen, Eingaben und Anträge, die zur Klärung der konkreten Streitfrage geeignet und erforderlich erscheinen (<ref-ruling> E. 3c S. 3). Die Begründung muss so abgefasst sein, dass der Betroffene den Entscheid gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Sie muss kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die es seinen Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist, dass sich die Begründung mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 445 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188 f.).
4.3 Der Beschwerdeführerin ist insofern beizupflichten, dass das Verwaltungsgericht auf ihre Darlegungen bezüglich der Gemeindeautonomie nicht ausdrücklich eingegangen ist. Indessen ergibt sich aus dem angefochtenen Entscheid hinreichend klar, aus welchen Gründen sich die Vorinstanz der Auffassung des Regierungsrates angeschlossen hat: Danach hat die Beschwerdeführerin Art. 12 StrR falsch angewandt, indem sie dem Vorhaben der Beschwerdegegnerin jede Berechtigung für Baubeiträge absprach. Diese rechtliche Beurteilung, welche in der Sache nicht zu beanstanden ist (vgl. E. 5.2.3 hiernach), liess eine Verletzung der Gemeindeautonomie von Beginn weg ausser Betracht fallen, weshalb die Vorinstanz nicht weiter darauf eingehen musste. Eine Gehörsverletzung liegt somit nicht vor.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin rügt die Verletzung der Gemeindeautonomie, weil das Verwaltungsgericht den ihr zustehenden Beurteilungsspielraum bei der Auslegung des kommunalen Strassenreglements in unzulässiger Weise beschränkt habe. Dies gelte umso mehr, als der fragliche Rechtsanwendungsakt erhebliche finanzielle Konsequenzen für die Gemeinde habe.
5.1.1 Vorab ist zu klären, ob der Beschwerdeführerin in Bezug auf den vorliegend streitigen Gegenstand überhaupt Autonomie zukommt. Die Bundesverfassung gewährleistet die Gemeindeautonomie nach Massgabe des kantonalen Rechts (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung sind Gemeinden in einem Sachbereich autonom, wenn das kantonale Recht diesen nicht abschliessend ordnet, sondern ihn ganz oder teilweise der Gemeinde zur Regelung überlässt und ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräumt. Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen. Der Schutz der Gemeindeautonomie setzt eine solche nicht in einem ganzen Aufgabengebiet, sondern lediglich im streitigen Bereich voraus. Im Einzelnen ergibt sich der Umfang der kommunalen Autonomie aus dem für den entsprechenden Bereich anwendbaren kantonalen Verfassungs- und Gesetzesrecht (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 397 f. mit Hinweisen).
5.1.2 Art. 101 KV/AR garantiert in allgemeiner Weise die Autonomie der ausserrhodischen Gemeinden. Für den hier interessierenden Bereich des Strassenbaus ergibt sich die Entscheidungsfreiheit aus dem im Zeitpunkt der vorliegend umstrittenen Verfügung vom 22. September 2009 in Kraft stehenden Gesetz über die Staatsstrassen. Gemäss dessen Art. 2 Abs. 1 sind die Gemeinden befugt, Reglemente über ihre Gemeindestrassen und die öffentlichen Strassen privater Eigentümer zu erlassen. Sie können darin Bestimmungen über das Erschliessungswesen sowie über Beiträge der Grundeigentümer aufnehmen. Indem die Beschwerdeführerin das Strassenreglement erliess, nahm sie die vom kantonalen Recht eingeräumte Befugnis zur selbständigen Regelung des kommunalen Strassenwesens wahr, wobei sie unter anderem die Baukostenbeteiligung des Gemeinwesens an Erschliessungsstrassen regelte. Aus dem Gesagten folgt, dass der Beschwerdeführerin im vorliegend interessierenden Sachbereich eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit und damit Autonomie im Sinne von <ref-law> zusteht, wobei nicht nur der Erlass der notwendigen Bestimmungen, sondern auch deren Anwendung im Einzelfall umfasst ist.
5.1.2 Art. 101 KV/AR garantiert in allgemeiner Weise die Autonomie der ausserrhodischen Gemeinden. Für den hier interessierenden Bereich des Strassenbaus ergibt sich die Entscheidungsfreiheit aus dem im Zeitpunkt der vorliegend umstrittenen Verfügung vom 22. September 2009 in Kraft stehenden Gesetz über die Staatsstrassen. Gemäss dessen Art. 2 Abs. 1 sind die Gemeinden befugt, Reglemente über ihre Gemeindestrassen und die öffentlichen Strassen privater Eigentümer zu erlassen. Sie können darin Bestimmungen über das Erschliessungswesen sowie über Beiträge der Grundeigentümer aufnehmen. Indem die Beschwerdeführerin das Strassenreglement erliess, nahm sie die vom kantonalen Recht eingeräumte Befugnis zur selbständigen Regelung des kommunalen Strassenwesens wahr, wobei sie unter anderem die Baukostenbeteiligung des Gemeinwesens an Erschliessungsstrassen regelte. Aus dem Gesagten folgt, dass der Beschwerdeführerin im vorliegend interessierenden Sachbereich eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit und damit Autonomie im Sinne von <ref-law> zusteht, wobei nicht nur der Erlass der notwendigen Bestimmungen, sondern auch deren Anwendung im Einzelfall umfasst ist.
5.2 5.2.1 Gemäss Art. 56 Abs. 1 des Gesetzes [des Kantons Appenzell Ausserrhoden] über die Verwaltungsrechtspflege vom 9. September 2002 (VRPG/AR; bGS 143.1) können vor dem Verwaltungsgericht Rechtsverletzungen sowie die unrichtige oder unvollständige Feststellung des Sachverhalts gerügt werden. Es fragt sich nunmehr, ob die Vorinstanz bei der Auslegung des kommunalen Strassenreglements die Grenzen dieser Prüfungsbefugnis gewahrt hat oder ob es stattdessen einen vertretbaren Entscheid der Gemeinde in unzulässiger Weise korrigiert hat. Dabei überprüft das Bundesgericht die Frage, ob das Verwaltungsgericht das Bestehen des behaupteten Beurteilungsspielraums in unzulässiger Weise verneint hat, nur unter dem Aspekt der Willkür (vgl. E. 3.2 hiervor).
5.2.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, der Entscheid des Verwaltungsgerichts breche mit der langjährigen Praxis des Gemeinderates, wonach die strassenmässige Erschliessung von privatem Bauland ohne Baubeiträge der Gemeinde erfolge. Art. 11 Abs. 3 StrR untersage die Ausrichtung von Baubeiträgen an private Strassen. Diese Bestimmung gelte insbesondere auch für jene privaten Strassen, für welche die Anerkennung als öffentliche Strasse vor Baubeginn noch nicht vorgelegen habe. Wenn dagegen das Verwaltungsgericht die Beitragspflicht der Gemeinde auch im Fall der nachträglichen Übernahme als öffentliche Strasse bejahe, liege eine unhaltbare, gar willkürliche Gleichbehandlung von Ungleichem vor. Überdies greife dieses in unzulässiger Weise in die gemäss Art. 3 StrR dem Gemeinderat vorbehaltene Klassierungshoheit ein und beschränke die Gemeinde in ihrer Entscheidungsfreiheit bei der Handhabung des Strassenreglements, mithin in ihrer Autonomie.
5.2.3 Das Strassenreglement teilt die Strassen der Gemeinde, die nicht zu den Staatsstrassen gehören, in vier Kategorien ein: Die Gemeindestrassen, die anderen Strassen im Gemeingebrauch, private Strassen sowie Zufahrten zu Liegenschaften (Art. 3 Abs. 1 lit. a-d StrR). Während die Erstellung, der Ausbau, die Korrektion und der Unterhalt der Gemeindestrassen gemäss Art. 11 Abs. 1 StrR Sache der Gemeinde ist, leistet sie gemäss Art. 11 Abs. 2 StrR Beiträge in bar oder durch Abgabe von Kies und Baumaterial an die "Aufwendungen für den Bau und Unterhalt der anderen Strassen im Gemeingebrauch". Für die Erstellung neuer Erschliessungsstrassen im Gemeingebrauch beträgt der Gemeindebeitrag 50 Prozent der reinen Baukosten (Art. 12 Abs. 1 StrR). Vorausgesetzt ist, dass das Gesuch um Gemeindebeitrag vor Baubeginn zusammen mit den Plänen und Kostenberechnungen eingereicht wurde (Art. 16 Abs. 1 StrR). Von der Beitragsberechtigung ausgeschlossen sind hingegen rein private Strassen oder Zufahrten (Art. 11 Abs. 3 StrR).
Nicht ausdrücklich geregelt ist, zu welchem Zeitpunkt die Anerkennung des Gemeingebrauchs vorliegen muss, um in den Genuss von Bau- bzw. Unterhaltsbeiträgen zu kommen. Nach der Darstellung der Beschwerdeführerin besteht die Beitragspflicht an die Baukosten nicht, wenn die Anerkennung erst nach dem Baubeginn erfolgte. Nach Ansicht der Vorinstanz spielt es hingegen gemäss Art. 16 StrR für die Frage der Beitragsberechtigung nach Art. 12 StrR keine Rolle, ob die Widmung der Strasse zum Gemeingebrauch vor oder nach deren Erstellung erfolgt, sofern das Gesuch um Beitragsleistung vor Baubeginn eingereicht wurde (vgl. angefochtener Entscheid E. 2). Bei der Widmung zum Gemeingebrauch handle es sich insofern um eine formelle Voraussetzung, deren Fehlen im Moment der Gesuchseinreichung dem Begehren nicht von vornherein entgegenstehe. Von dieser Rechtslage scheint auch die Beschwerdeführerin auszugehen, allerdings einzig bezüglich der Unterhaltsbeitragsberechtigung (pro futura), nicht aber für die Baubeiträge. Das Verwaltungsgericht hält der Beschwerdeführerin daher entgegen, sie wende ihr eigenes Strassenreglement rechtsungleich oder zumindest widersprüchlich an, wenn sie einerseits die Baukostenbeteiligung ablehne, gleichzeitig aber die Unterhaltskostenbeteiligung in Aussicht stelle. Im Ergebnis kommt das Verwaltungsgericht zum Schluss, das kommunale Recht sehe bezüglich der Beitragspflicht für die Baukosten keinen Beurteilungsspielraum vor. Diese Auslegung des Strassenreglements ist unter dem hier massgeblichen Aspekt des Willkürverbotes jedenfalls dann nicht zu beanstanden, wenn das Beitragsgesuch vor der Erstellung der fraglichen Strasse eingereicht wurde, was vorliegend zutrifft. Für eine weitergehende Prüfung verbleibt somit kein Raum (vgl. E. 3.2 hiervor).
5.2.4 Nicht erkennbar ist des Weiteren, inwiefern der angefochtene Entscheid in unzulässiger Weise in die gemäss Art. 3 StrR dem Gemeinderat zustehende Klassierungshoheit eingreifen soll. Die Widmung des fraglichen Strassenabschnittes als Strasse im Gemeingebrauch fusst auf dem Entscheid des Gemeinderates vom 13. Mai 2008 und bildet nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
Daraus ergibt sich, dass die Vorinstanz bei der Auslegung des Strassenreglements die Grenzen ihrer Prüfungsbefugnis gewahrt hat, weshalb der angefochtene Entscheid die Gemeindeautonomie nicht verletzt. Der Hinweis der Beschwerdeführerin, wonach die streitige Beitragspraxis seit vielen Jahren unangefochten angewendet worden sei, vermag an diesem Ergebnis nichts zu ändern.
6. Die Beschwerdeführerin macht weiter eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend. Andere Grundstückseigentümer hätten es akzeptiert, dass die Gemeinde keine Baubeiträge ausgerichtet habe. Inwiefern allerdings diese - in erster Linie auf die reglementswidrige Praxis des Gemeinderates zurückzuführende - Situation zu einem mit sachlichen Gründen nicht zu vertretenden Ergebnis führen soll, begründet die Beschwerdeführerin nicht hinlänglich (<ref-law>), weshalb auf diese Rüge nicht näher einzugehen ist.
7. Die Beschwerde ist somit als unbegründet abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang und mit Blick auf die betroffenen Vermögensinteressen (<ref-law>) der Beschwerdeführerin aufzuerlegen. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu bezahlen (<ref-law> sowie Art. 9 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]). Der Kanton Appenzell Ausserrhoden erhält keine Parteientschädigung zugesprochen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Januar 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger