Sachverhalt:
A. Der 1957 geborene I._ war bis zu seinem gesundheitsbedingten Ausscheiden im Jahr 2003 bei der Firma A._ als Betriebsmitarbeiter/Oberflächenbearbeiter tätig. Die IV-Stelle des Kantons Aargau lehnte sein Gesuch um Leistungen der Invalidenversicherung ab (mit rechtskräftigem Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 22. Mai 2007 bestätigter Einspracheentscheid vom 27. Januar 2006). Am 1. Oktober 2007 meldete sich I._ erneut bei der Invalidenversicherung an. Die Medizinische Abklärungsstelle (MEDAS) erstattete der IV-Stelle am 8. Dezember 2008 ein interdisziplinäres Gutachten. Danach leidet der Versicherte an einem zerviko- und lumbospondylogenen Syndrom sowie an einem generalisierten myofaszialen Schmerzsyndrom. Die bisherige Tätigkeit sei nicht mehr zumutbar; dagegen seien medizinisch-theoretisch alle wechselbelastenden leichten und mittelschweren Tätigkeiten zeitlich uneingeschränkt zumutbar. Die Verwaltung kam zum Schluss, ein Rentenanspruch bestehe nicht (Vorbescheid vom 11. Januar 2010). Gleichentags stellte sie ein sechsmonatiges Arbeitstraining zur Angewöhnung an eine geeignete Tätigkeit in Aussicht. Mit Verfügung vom 8. Februar 2010 schrieb die IV-Stelle das Leistungsbegehren hinsichtlich der Integrationsmassnahme als erledigt ab. Zur Begründung verwies sie auf ein Schreiben des Versicherten, in welchem er mitteile, sich nicht im geforderten Ausmass arbeitsfähig zu fühlen; daraus sei zu schliessen, er nehme das "Angebot für die Finanzierung einer Angewöhnungszeit" nicht an. Mit Verfügung vom 4. März 2010 lehnte die Verwaltung ausserdem das Gesuch um eine Invalidenrente ab (Invaliditätsgrad: 23 Prozent). Diese Verfügung blieb unangefochten.
Auf eine Eingabe des Versicherten vom 12. April 2010 hin hielt die IV-Stelle an der Ablehnung von beruflichen Massnahmen (Arbeitstraining) fest (Verfügung vom 19. Juli 2010).
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau wies die gegen die Verfügung vom 19. Juli 2010 erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 13. September 2011).
C. I._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle anzuweisen, ihm Kostengutsprache für berufliche Massnahmen bzw. Arbeitstraining zu gewähren. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung).
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer lässt weitere Unterlagen über persönliche Arbeitsbemühungen und ärztliche Zeugnisse einreichen.

Erwägungen:
1. Fraglich ist zunächst, unter welchen Rechtstitel die dem Versicherten ursprünglich zugedachte, mit strittiger Verfügung letztlich aber verweigerte Vorkehr zu fassen ist.
Die IV-Stelle hat den strittigen Anspruch auf ein Arbeitstraining unter dem Titel der Massnahmen beruflicher Art geprüft (vgl. Verfügung vom 19. Juli 2010). Ein Arbeitstraining, handle es sich nun um ein Belastbarkeits- oder um ein Aufbautraining (zu den Einzelheiten vgl. Kreisschreiben des BSV über die Integrationsmassnahmen [KSIM] Anhang 1 und Ziff. 10 [ab 1. Januar 2008 gültige Fassung] bzw. Ziff. 1010.1/2 [ab 1. Januar 2012 gültige Fassung]), kann indes als solches nicht zwanglos unter eine der in den Art. 15 ff. IVG vorgesehenen Massnahmen beruflicher Art (Berufsberatung, erstmalige berufliche Ausbildung, Umschulung, Arbeitsvermittlung) gefasst werden. So sind die Umschulung (Art. 17 IVG) und die Vorbereitung auf eine Hilfsarbeit, die der erstmaligen beruflichen Ausbildung gleichgestellt wird (Art. 16 Abs. 2 lit. a IVG), Vorkehren, welche in erster Linie auf die Erlangung berufsfachlicher Kenntnisse ausgerichtet sind; ein Arbeitstraining kann allerdings in eine Umschulung integriert werden. Die strittige Vorkehr dürfte eher als Integrationsmassnahme zur Vorbereitung auf die berufliche Eingliederung (Art. 14a IVG) zu qualifizieren sein. Mit diesem Instrument schloss der Gesetzgeber die vor Inkrafttreten der 5. IVG-Revision bestehende Lücke zwischen sozialer und beruflicher Integration (<ref-ruling> E. 3.2 S. 5; Erwin Murer, Invalidenversicherung: Prävention, Früherfassung und Integration, 2009, N 5 zu Art. 14a mit Hinweisen). Mit Blick auf das Folgende kann die Qualifizierung aber offen bleiben. Für die Bundesrechtskonformität einer Leistungsverweigerung ist in beiden Varianten die im folgenden darzulegende Vorgeschichte entscheidend.
2. Am 11. Januar 2010 hatte die IV-Stelle dem Beschwerdeführer eine "Angewöhnungszeit (Arbeitstraining) im Hinblick auf eine geeignete Tätigkeit von sechs Monaten" in Aussicht gestellt und ihn gebeten, innert 30 Tagen schriftlich zu bestätigen, dass er dabei vorbehaltlos mitwirken werde. Der Versicherte erklärte, er stimme einem "Arbeitstraining im Umfang von 50 Prozent" zu (Aktennotiz der IV-Stelle vom 19. Januar 2010). Nach Eingang eines Schreibens des Versicherten vom 3. Februar 2010, in welchem er auf die ärztliche Einschätzung, er sei nur zu 50 Prozent arbeitsfähig (vgl. das Zeugnis des Allgemeinmediziners Dr. G._ vom 14. Januar 2010), hingewiesen und eine neue medizinische Abklärung verlangt hatte, erliess die IV-Stelle die Verfügung vom 8. Februar 2010. Mit diesem Verwaltungsakt schrieb sie die Integrationsmassnahme ab mit der Begründung, der Versicherte fühle sich "nicht im geforderten Ausmass arbeitsfähig" und nehme das "Angebot für die Finanzierung einer Angewöhnungszeit" nicht an. Sobald sich dies ändere, könne er ein neues Gesuch stellen. Der Beschwerdeführer teilte mit Schreiben vom 12. April 2010 mit, er fühle sich im Moment soweit arbeitsfähig, dass er bereit sei, das Angebot eines Arbeitstrainings im verlangten Ausmass anzunehmen. Die IV-Stelle antwortete dem Versicherten am 22. April 2010, eine Unterstützung sei nur sinnvoll, wenn er sich im gutachtlich attestierten Ausmass (vollzeitliche Ausübung einer körperlich leichten bis mittelschweren Tätigkeit) als eingliederungsfähig erachte. Der Beschwerdeführer wurde aufgefordert, hierzu verschiedene Fragen (betreffend seiner Übereinstimmung mit der gutachtlichen Einschätzung der Arbeitsfähigkeit, seinen beruflichen Vorstellungen sowie Kontakten zu möglichen Arbeitgebern) zu beantworten. Daraufhin teilte er der Verwaltung - gemäss Aktennotiz der IV-Stelle vom 28. April 2010 - telefonisch mit, "eigentlich" sehe er sich nicht eingliederungsfähig; er stimme indessen der gutachtlichen Einschätzung zu, weil der Sozialdienst seiner Wohngemeinde dies verlange. Mit Verfügung vom 19. Juli 2010 lehnte die IV-Stelle das Leistungsbegehren wegen subjektiver Eingliederungsunfähigkeit (mangelnder Eingliederungsbereitschaft) ab. Die Tatsache, dass der Versicherte "bis heute keinerlei Kontakte zu Arbeitgebern" gehabt habe, bestätige, dass er "sich nicht wirklich als arbeitsfähig" erachte.
3. 3.1 In der Tat zeigt der Hergang im Verwaltungsverfahren, dass der Beschwerdeführer der strittigen Eingliederungsvorkehr von vornherein mit einem inneren Vorbehalt begegnet, welcher geeignet ist, seine notwendige Mitwirkung im Hinblick auf eine praktische Angewöhnung an eine Erwerbstätigkeit entscheidend in Frage zu stellen. Angesichts der Krankheitsüberzeugung des Beschwerdeführers ist nicht zu erwarten, dass das Integrationsziel erreichbar ist. Somit geht es um die Erfolgsaussichten des Arbeitstrainings an sich; keine Rolle spielt, dass, wie der Beschwerdeführer geltend macht, der Anspruch auf Integrationsmassnahmen von Verordnungs wegen an eine nur relativ geringe zeitliche Mindestverfügbarkeit gebunden ist (Präsenzzeit von mindestens zwei Stunden täglich während mindestens vier Tagen pro Woche; Art. 4quater Abs. 1 IVV).
3.2 Nicht zu entscheiden ist daher die Frage, ob einem Versicherten, der aus invaliditätsfremden Gründen ein geringeres Arbeitspensum ausfüllen möchte als es medizinisch zumutbar ist (vgl. <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 5c/bb S. 157), Eingliederungsmassnahmen nur im vollen gutachtlich bezeichneten zumutbaren Leistungsumfang zugesprochen werden könnten.
4. Unter dem Titel der Integrationsmassnahmen kommt hinzu, dass der Anspruch eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 50 Prozent nicht nur in der bisherigen Tätigkeit, sondern auch in einem anderen Beruf (oder einem anderen Aufgabenbereich) voraussetzt (vgl. Satz 2 von Art. 6 ATSG; <ref-ruling>). Nach ärztlicher Feststellung ist die frühere Arbeit des Beschwerdeführers zwar nicht mehr mit seinem Gesundheitsschaden vereinbar; hingegen ist er in angepassten Tätigkeiten vollständig arbeitsfähig (MEDAS-Gutachten vom 8. Dezember 2008; rechtskräftige Verfügung der IV-Stelle vom 4. März 2010).
5. Nach dem Gesagten verletzte die Vorinstanz kein Bundesrecht (Art. 95 BGG), als sie erkannte, die im Verwaltungsverfahren geäusserte Auffassung des (nach gutachtlicher Feststellung vollzeitlich arbeitsfähigen) Beschwerdeführers, nicht über 50 Prozent einsatzfähig zu sein, rechtfertige die Verweigerung einer "Angewöhnungszeit". Anzumerken bleibt, dass die vom Beschwerdeführer nachträglich eingereichten Belege über Arbeitsbemühungen sowie Arztberichte/Arbeitsunfähigkeitsbescheinigungen nicht den massgeblichen Beurteilungszeitraum (bis zum Abschluss des Verwaltungsverfahrens im Sommer 2010; <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220) betreffen.
6. Die Gerichtskosten gehen zu Lasten des Beschwerdeführers (Art. 66 Abs. 1 BGG), werden jedoch zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege auf die Gerichtskasse genommen. Ferner hat der Beschwerdeführer Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung (Art. 64 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372), wofür er ebenfalls der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn er später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorerst auf die Gerichtskasse genommen.
3. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt. Rechtsanwalt Schiltknecht wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Oktober 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub