Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die ukrainische Staatsangehörige X._ (geb. 1968) lernte den Schweizer Bürger Y._ (geb. 1967) im Februar 2001 per Internet kennen. Am 13. August 2001 reiste sie gemeinsam mit ihrem vorehelichen Sohn Z._ (geb. 1992) in die Schweiz ein. Am 7. September 2001 verheiratete sich X._ mit Y._ in Winterthur. Daraufhin erhielten sie und ihr Sohn Z._ eine Aufenthaltsbewilligung (letztmals verlängert bis zum 6. September 2003).
In der Folge traten wiederholt eheliche Probleme auf. Im April 2002 trennten sich die Ehegatten erstmals. In einem Schreiben vom 8. Mai 2002 an das Migrationsamt der Stadt Winterthur beschuldigte Y._ seine Ehefrau, mit ihm eine Zweckehe eingegangen zu sein. Im Juni 2002 versöhnten sich die Ehegatten wieder, und Y._ zog seine Anschuldigungen zurück, um der Ehe eine neue Chance zu geben. Im Dezember 2002 zog der Ehemann aus der ehelichen Wohnung in Basel aus. Mit Schreiben vom 4. Februar 2003 an die Einwohnerdienste Basel-Stadt bezichtigte er X._ erneut, die Ehe nur der Aufenthaltsbewilligung wegen geschlossen zu haben. Am 24. Februar 2003 bewilligte das Zivilgericht Basel-Stadt den Eheleuten X._ und Y._ das Getrenntleben. Mit Verfügung vom 30. Juni 2003 schrieb das Zivilgericht Basel-Stadt die vom Ehemann eingereichte Scheidungsklage zufolge Rückzugs als erledigt ab.
In der Folge traten wiederholt eheliche Probleme auf. Im April 2002 trennten sich die Ehegatten erstmals. In einem Schreiben vom 8. Mai 2002 an das Migrationsamt der Stadt Winterthur beschuldigte Y._ seine Ehefrau, mit ihm eine Zweckehe eingegangen zu sein. Im Juni 2002 versöhnten sich die Ehegatten wieder, und Y._ zog seine Anschuldigungen zurück, um der Ehe eine neue Chance zu geben. Im Dezember 2002 zog der Ehemann aus der ehelichen Wohnung in Basel aus. Mit Schreiben vom 4. Februar 2003 an die Einwohnerdienste Basel-Stadt bezichtigte er X._ erneut, die Ehe nur der Aufenthaltsbewilligung wegen geschlossen zu haben. Am 24. Februar 2003 bewilligte das Zivilgericht Basel-Stadt den Eheleuten X._ und Y._ das Getrenntleben. Mit Verfügung vom 30. Juni 2003 schrieb das Zivilgericht Basel-Stadt die vom Ehemann eingereichte Scheidungsklage zufolge Rückzugs als erledigt ab.
B. Am 28. März 2003 wurde X._ von den Einwohnerdiensten Basel-Stadt zu den Vorwürfen ihres Ehemannes befragt. Mit Verfügung vom 4. Dezember 2003 verweigerten die Einwohnerdienste die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und setzten X._ und ihrem Sohn Z._ Frist, um die Schweiz zu verlassen. Ein Rekurs an das Polizei- und Militärdepartement des Kantons Basel-Stadt blieb erfolglos (Entscheid vom 18. Mai 2004).
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) wies am 12. November 2004 einen Rekurs gegen den Entscheid des Polizei- und Militärdepartements ab.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) wies am 12. November 2004 einen Rekurs gegen den Entscheid des Polizei- und Militärdepartements ab.
C. X._ hat mit Eingabe vom 18. Januar 2005 beim Bundesgericht sowohl Verwaltungsgerichtsbeschwerde als auch staatsrechtliche Beschwerde erhoben ("insoweit die Verletzung der Rechtsgleichheit nicht durch das erste Rechtsmittel gerügt und beurteilt werden kann"). Sie beantragt, das Urteil des Appellationsgerichts vom 12. November 2004 sei aufzuheben und es sei ihr und ihrem Sohn die Aufenthaltsbewilligung zu erneuern. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt beantragt, die Beschwerden abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der bei ihm eingereichten Rechtsmittel von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 8.1 S. 510, mit Hinweisen).
1.1 Die Verweigerung einer fremdenpolizeilichen Aufenthaltsbewilligung kann nur dann mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde angefochten werden, wenn der Ausländer gestützt auf eine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrags einen Anspruch auf die Bewilligung besitzt (Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 e contrario OG; vgl. Art. 4 des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer, ANAG; SR 142.20; <ref-ruling> E. 2.1 S. 284; 388 E. 1.1 S. 389 f., je mit Hinweisen).
Im vorliegenden Fall ist die Beschwerdeführerin mit einem Schweizer Bürger verheiratet; die Ehegatten leben getrennt. Damit hat die Beschwerdeführerin grundsätzlich Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (siehe Art. 7 Abs. 1 erster Satz ANAG). Für die Eintretensfrage ist im Zusammenhang mit Art. 7 ANAG einzig darauf abzustellen, ob formell eine Ehe besteht; anders als bei Art. 8 EMRK ist nicht erforderlich, dass die Ehe intakt ist und tatsächlich gelebt wird (<ref-ruling> E. 1.1.2 S. 148 f., mit Hinweisen). Ob die Bewilligung verweigert werden durfte, weil einer der in Art. 7 ANAG vorgesehenen Ausnahmetatbestände oder ein Verstoss gegen das Rechtsmissbrauchsverbot vorliegt, ist eine Frage der materiellen Beurteilung und nicht der Zulässigkeit des Rechtsmittels (<ref-ruling> E. 1.1.5 S. 149 f., mit Hinweisen).
1.2 Mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde kann die Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich der Überschreitung oder des Missbrauchs des Ermessens, gerügt werden (Art. 104 lit. a OG). Zum Bundesrecht gehört auch das Bundesverfassungsrecht, weshalb die Rüge der Verletzung der Rechtsgleichheit ebenfalls mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde geltend gemacht werden kann und muss; für die staatsrechtliche Beschwerde bleibt insoweit kein Raum (vgl. Art. 84 Abs. 2 OG).
Nach Art. 105 Abs. 2 OG ist das Bundesgericht an die Sachverhaltsfeststellung des angefochtenen Entscheids gebunden, wenn wie vorliegend eine richterliche Behörde als Vorinstanz entschieden und den Sachverhalt nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen ermittelt hat. Bei der Prüfung der Rechtmässigkeit eines fremdenpolizeilichen Entscheids sind für das Bundesgericht in der Regel die tatsächlichen Verhältnisse massgebend, wie sie zum Zeitpunkt des Entscheids der richterlichen Vorinstanz herrschten (<ref-ruling> E. 1b S. 63, mit Hinweisen). Dadurch wird die Möglichkeit, vor Bundesgericht neue Tatsachen vorzubringen und neue Beweismittel einzureichen, weitgehend eingeschränkt. Nachträgliche Veränderungen des Sachverhalts (sog. "echte" Noven) werden in der Regel nicht mehr berücksichtigt, denn einer Behörde kann nicht vorgeworfen werden, sie habe den Sachverhalt im Sinn von Art. 105 Abs. 2 OG fehlerhaft festgestellt, wenn sich dieser nach ihrem Entscheid verändert hat (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 150, mit Hinweisen). Insofern ist der in der Vernehmlassung des Sicherheitsdepartements erwähnte Umstand, wonach die Beschwerdeführerin am 27. Januar 2005 gegenüber dem Rechtsvertreter ihres Ehegatten erklärt habe, sie sei unpräjudiziell damit einverstanden, sich scheiden zu lassen, für die materielle Beurteilung des vorliegenden Falles unbeachtlich.
Nach Art. 105 Abs. 2 OG ist das Bundesgericht an die Sachverhaltsfeststellung des angefochtenen Entscheids gebunden, wenn wie vorliegend eine richterliche Behörde als Vorinstanz entschieden und den Sachverhalt nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen ermittelt hat. Bei der Prüfung der Rechtmässigkeit eines fremdenpolizeilichen Entscheids sind für das Bundesgericht in der Regel die tatsächlichen Verhältnisse massgebend, wie sie zum Zeitpunkt des Entscheids der richterlichen Vorinstanz herrschten (<ref-ruling> E. 1b S. 63, mit Hinweisen). Dadurch wird die Möglichkeit, vor Bundesgericht neue Tatsachen vorzubringen und neue Beweismittel einzureichen, weitgehend eingeschränkt. Nachträgliche Veränderungen des Sachverhalts (sog. "echte" Noven) werden in der Regel nicht mehr berücksichtigt, denn einer Behörde kann nicht vorgeworfen werden, sie habe den Sachverhalt im Sinn von Art. 105 Abs. 2 OG fehlerhaft festgestellt, wenn sich dieser nach ihrem Entscheid verändert hat (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 150, mit Hinweisen). Insofern ist der in der Vernehmlassung des Sicherheitsdepartements erwähnte Umstand, wonach die Beschwerdeführerin am 27. Januar 2005 gegenüber dem Rechtsvertreter ihres Ehegatten erklärt habe, sie sei unpräjudiziell damit einverstanden, sich scheiden zu lassen, für die materielle Beurteilung des vorliegenden Falles unbeachtlich.
2. Der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers hat Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (Art. 7 Abs. 1 erster Satz ANAG). Kein Anspruch besteht, wenn die Ehe eingegangen worden ist, um die Vorschriften über Aufenthalt und Niederlassung von Ausländern zu umgehen ("Ausländerrechtsehe"), oder wenn sich die Berufung auf die Ehe anderweitig als rechtsmissbräuchlich erweist (vgl. Art. 7 Abs. 2 ANAG). Dies ist nach der Rechtsprechung dann der Fall, wenn sich der Ausländer im fremdenpolizeilichen Verfahren auf eine Ehe beruft, welche nur (noch) formell besteht oder aufrechterhalten wird mit dem alleinigen Ziel, dem Ausländer eine Anwesenheitsbewilligung zu ermöglichen. So verhält es sich insbesondere dann, wenn der schweizerische Ehegatte des um Bewilligung ersuchenden Ausländers seit Jahren von diesem getrennt lebt und mit einer Wiederaufnahme der ehelichen Gemeinschaft offensichtlich nicht mehr zu rechnen ist, wobei es auf die Ursachen der Trennung der Ehegatten nicht ankommt. Die Berufung auf die Ehe läuft in einem solchen Fall darauf hinaus, dem Ausländer völlig losgelöst von der Aussicht auf ein irgendwie geartetes Zusammenleben mit dem schweizerischen Ehegatten den Aufenthalt in der Schweiz zu ermöglichen; darauf ist Art. 7 ANAG nicht ausgerichtet (<ref-ruling> E. 4.2 S. 117; <ref-ruling> E. 2 S. 151 f., je mit Hinweisen).
Dass die Ehe nur noch formell und ohne Aussicht auf Aufnahme bzw. Wiederaufnahme einer ehelichen Gemeinschaft besteht, entzieht sich in der Regel einem direkten Beweis und ist oft bloss durch Indizien zu erstellen. Feststellungen über das Bestehen von solchen Hinweisen können äussere Gegebenheiten, aber auch innere, psychische Vorgänge betreffen (Wille der Ehegatten). In beiden Fällen handelt es sich um tatsächliche Feststellungen, die für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich sind. Frei zu prüfen ist dagegen die Rechtsfrage, ob die festgestellten Tatsachen (Indizien) darauf schliessen lassen, dass die Berufung auf die Ehe rechtsmissbräuchlich sei oder die Umgehung fremdenpolizeilicher Vorschriften bezwecke (<ref-ruling> E. 2.3 S. 152, mit Hinweisen).
Dass die Ehe nur noch formell und ohne Aussicht auf Aufnahme bzw. Wiederaufnahme einer ehelichen Gemeinschaft besteht, entzieht sich in der Regel einem direkten Beweis und ist oft bloss durch Indizien zu erstellen. Feststellungen über das Bestehen von solchen Hinweisen können äussere Gegebenheiten, aber auch innere, psychische Vorgänge betreffen (Wille der Ehegatten). In beiden Fällen handelt es sich um tatsächliche Feststellungen, die für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich sind. Frei zu prüfen ist dagegen die Rechtsfrage, ob die festgestellten Tatsachen (Indizien) darauf schliessen lassen, dass die Berufung auf die Ehe rechtsmissbräuchlich sei oder die Umgehung fremdenpolizeilicher Vorschriften bezwecke (<ref-ruling> E. 2.3 S. 152, mit Hinweisen).
3. Das Appellationsgericht hat, wie zuvor schon das Polizei- und Justizdepartement, die Aufenthaltsbewilligung mit der Begründung verweigert, die Berufung auf die Ehe diene ausschliesslich dazu, der Beschwerdeführerin den weiteren Verbleib in der Schweiz zu ermöglichen. Dies ist im Licht der vorstehend dargelegten Rechtsprechung nicht zu beanstanden:
3.1 Die Beschwerdeführerin und ihr Schweizer Ehegatte hatten sich im Februar 2001 durch Kontaktnahme über das Internet kennen gelernt und nach kurzer Bekanntschaft geheiratet. Bereits nach sieben Monaten ehelicher Gemeinschaft trennten sie sich im April 2002 ein erstes Mal. Ein erneutes Zusammenleben endete nach sechs Monaten mit dem Auszug des Ehemannes im Dezember 2002 aus der ehelichen Wohnung. Am 24. Februar 2003 bewilligte das Zivilgericht Basel-Stadt den Eheleuten das Getrenntleben. Seither wurde die eheliche Gemeinschaft nicht mehr aufgenommen. Der Ehemann hatte zeitweise Wohnsitz in Frankreich und hält den aktuellen Wohnort vor der Ehegattin geheim. Aus den Akten geht weiter hervor, dass sowohl die Beschwerdeführerin als auch ihr Ehegatte gegeneinander Strafanzeigen erhoben haben. Mit Schreiben vom 26. Juni 2003 und 13. August 2003 teilte Y._ den Einwohnerdiensten der Stadt Basel mit, dass der Ehewille erloschen sei. Die auf <ref-law> gestützte Ehescheidungsklage habe er deshalb zurückgezogen, weil sie ihm als aussichtslos erschienen sei. Demgegenüber äusserte sich die Beschwerdeführerin am 10. Juni 2003 gegenüber den Einwohnerdiensten Basel-Stadt dahingehend, dass sie emotional nach wie vor sehr an ihrem Ehegatten hänge und die Hoffnung nicht aufgebe, dass sie, wie bereits einmal erfolgt, das gemeinsame Eheleben wieder aufnähmen.
Angesichts des kurzen ehelichen Zusammenlebens von nur insgesamt rund 13 Monaten, der unbestrittenen Tatsache, dass die Beschwerdeführerin nach der zweiten Trennung Inserate zwecks Partnersuche aufgegeben hatte, der Trennungszeit von über zwei Jahren sowie des längst erloschenen Ehewillens des andern Ehegatten durfte das Appellationsgericht ohne Verletzung von Bundesrecht darauf schliessen, dass die Führung einer Lebensgemeinschaft schon seit längerer Zeit - jedenfalls vor Ablauf der Fünfjahresfrist von Art. 7 Abs. 1 ANAG (vgl. <ref-ruling> E. 1.1.4 und 1.1.5 S. 149 f., mit Hinweisen) - nicht mehr beabsichtigt und objektiv nicht mehr zu erwarten war. Die Beschwerdeführerin hatte sich offensichtlich darauf eingerichtet, die nur noch auf dem Papier bestehende Ehe trotz faktischer Trennung und fehlender Aussicht auf Wiedervereinigung allein wegen des damit verbundenen Anwesenheitsrechts aufrechtzuerhalten. Hierzu dient Art. 7 ANAG nicht. Die gesetzliche Regelung will die Führung des Familienlebens in der Schweiz ermöglichen und absichern, allenfalls auch in einer vorübergehenden Krisensituation, jedoch nicht einem missbräuchlichen, ausschliesslich fremdenpolizeilich motivierten Festhalten an einer inhaltsleeren Ehe Vorschub leisten (vgl. <ref-ruling> E. 5a S. 56, mit Hinweisen). Die Berufung auf eine solche Ehe erweist sich damit als rechtsmissbräuchlich.
3.2 Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, lässt die für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz nicht als offensichtlich unrichtig oder unvollständig erscheinen (vgl. Art. 105 Abs. 2 OG): Das Appellationsgericht hat die nicht weiter belegten Ausführungen der Beschwerdeführerin, wonach sie eine Versöhnung anstrebe, gewürdigt und mit nachvollziehbarer Begründung verworfen. Die Beschwerdeführerin nennt denn auch keinen einzigen selbst bloss annähernd konkreten Anhaltspunkt dafür, dass seit Dezember 2002 die Wiederaufnahme einer ehelichen Lebensgemeinschaft mit ihrem Mann irgendwann möglich gewesen wäre. Insbesondere behauptet sie nicht einmal, in der Zeit seit der zweiten Trennung je einen Versuch unternommen zu haben, mit ihrem Ehemann wieder zusammen zu finden. Die zwischen den Ehegatten erfolgten telefonischen Kontakte sollen gemäss eigenen Angaben der Beschwerdeführerin grösstenteils belästigenden Charakter haben. Aufgrund des vom Ehemann konstant zum Ausdruck gebrachten mangelnden Ehewillens sowie seines bisherigen gegenüber der Beschwerdeführerin an den Tag gelegten Verhaltens, das von Misstrauen, Verdächtigungen und Abneigung geprägt ist, ist nicht ersichtlich, inwiefern der geltend gemachte Umstand, ihre ökonomische Situation werde sich wegen ihres Ausbildungsabschlusses mittelfristig verbessern, die "Aussicht auf Versöhnung erhöhen" sollte. Es spielt auch keine Rolle, wer das Scheitern der Beziehung letztlich zu verantworten hat bzw. welche Gründe dafür massgebend sind (<ref-ruling> E. 4.2 S. 117, mit Hinweisen). Ebenso wenig kommt es darauf an, dass der Ehemann der Beschwerdeführerin sein Scheidungsbegehren zurückgezogen hat (<ref-ruling> E. 3.4 S. 154 f.). Nicht entscheidend ist schliesslich, dass die Rückkehr des Sohnes der Beschwerdeführerin in die Ukraine mit gewissen Nachteilen verbunden ist. Wie die Vorinstanz zu Recht erwogen hat, ist eine Rückkehr der Beschwerdeführerin und ihres Sohnes zumutbar, da sie erst im August 2000 in die Schweiz eingereist und somit in ihrem Heimatland nicht völlig entwurzelt sind. Im Übrigen befindet sich der Sohn noch in einem anpassungsfähigen Alter und kann von seiner Mutter unterstützt werden.
Bei gesamthafter Betrachtung aller Indizien musste sich für das Appellationsgericht der tatsächliche Schluss aufdrängen, dass auch die Beschwerdeführerin, trotz ihrer vage gebliebenen Behauptungen, sie strebe nach wie vor die Versöhnung und die Wiederaufnahme der ehelichen Gemeinschaft an, nicht ernsthaft mit der Möglichkeit rechnet oder rechnen kann, das eheliche Zusammenleben werde zu irgendeinem Zeitpunkt nochmals aufgenommen.
3.3 Die Beschwerdeführerin rügt, die in <ref-law> gewährleistete Rechtsgleichheit sei verletzt, weil schweizerisch-ausländische Eheleute im Gegensatz zu schweizerischen Ehegatten die Trennungszeit im Sinn des eherechtlich vorgesehenen Zwecks nicht nutzen könnten. Nachdem sich die Beschwerdeführerin, wie dargelegt, rechtsmissbräuchlich auf die nur noch formell bestehende Ehe beruft, erscheint zweifelhaft, ob die Rüge überhaupt zu hören ist. Ist nämlich erstellt, dass die Führung einer Lebensgemeinschaft nicht mehr beabsichtigt und zu erwarten ist, kann es für die ausländerrechtliche Würdigung keine Rolle spielen, ob die für eine nicht einvernehmliche Scheidung erforderliche Trennungszeit (von bisher vier und neu zwei Jahren; vgl. <ref-law>) abgelaufen ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 152). Abgesehen davon ist eine unterschiedliche Behandlung von Ausländern und Schweizern nicht von vornherein rechtsungleich oder diskriminierend; sie ist vielmehr nach der Rechtsprechung und der einhelligen Lehre zulässig, soweit dafür sachliche Gründe bestehen (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 398 f., mit Hinweisen), was insbesondere im Recht auf Aufenthalt und Niederlassung der Fall ist. Zu beachten sind allerdings Einschränkungen, die sich für die Schweiz gegebenenfalls aus völkerrechtlichen Verpflichtungen ergeben. Das schweizerische Ausländerrecht beruht - für das Bundesgericht verbindlich (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E.5.4 S. 263) - auf dem Grundsatz, dass vorbehältlich weitergehender Sondernormen kein Anspruch auf eine Bewilligung des Aufenthalts besteht (Art. 4 ANAG; <ref-ruling> E. 5b/aa S. 435 f.). Im Übrigen trägt die gesetzliche (bzw. die staatsvertragliche) Regelung des Aufenthalts von mit Schweizern verheirateten Ausländern den Anliegen des Eheschutzes insofern Rechnung, als sie die Führung des Familienlebens in der Schweiz auch in vorübergehenden Krisensituationen ermöglicht und absichert (vgl. hiervor E. 3.1 a.E.).
3.3 Die Beschwerdeführerin rügt, die in <ref-law> gewährleistete Rechtsgleichheit sei verletzt, weil schweizerisch-ausländische Eheleute im Gegensatz zu schweizerischen Ehegatten die Trennungszeit im Sinn des eherechtlich vorgesehenen Zwecks nicht nutzen könnten. Nachdem sich die Beschwerdeführerin, wie dargelegt, rechtsmissbräuchlich auf die nur noch formell bestehende Ehe beruft, erscheint zweifelhaft, ob die Rüge überhaupt zu hören ist. Ist nämlich erstellt, dass die Führung einer Lebensgemeinschaft nicht mehr beabsichtigt und zu erwarten ist, kann es für die ausländerrechtliche Würdigung keine Rolle spielen, ob die für eine nicht einvernehmliche Scheidung erforderliche Trennungszeit (von bisher vier und neu zwei Jahren; vgl. <ref-law>) abgelaufen ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 152). Abgesehen davon ist eine unterschiedliche Behandlung von Ausländern und Schweizern nicht von vornherein rechtsungleich oder diskriminierend; sie ist vielmehr nach der Rechtsprechung und der einhelligen Lehre zulässig, soweit dafür sachliche Gründe bestehen (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 398 f., mit Hinweisen), was insbesondere im Recht auf Aufenthalt und Niederlassung der Fall ist. Zu beachten sind allerdings Einschränkungen, die sich für die Schweiz gegebenenfalls aus völkerrechtlichen Verpflichtungen ergeben. Das schweizerische Ausländerrecht beruht - für das Bundesgericht verbindlich (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E.5.4 S. 263) - auf dem Grundsatz, dass vorbehältlich weitergehender Sondernormen kein Anspruch auf eine Bewilligung des Aufenthalts besteht (Art. 4 ANAG; <ref-ruling> E. 5b/aa S. 435 f.). Im Übrigen trägt die gesetzliche (bzw. die staatsvertragliche) Regelung des Aufenthalts von mit Schweizern verheirateten Ausländern den Anliegen des Eheschutzes insofern Rechnung, als sie die Führung des Familienlebens in der Schweiz auch in vorübergehenden Krisensituationen ermöglicht und absichert (vgl. hiervor E. 3.1 a.E.).
4. 4.1 Zusammenfassend ergibt sich, dass die kantonalen Behörden durch die Verweigerung der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung kein Bundesrecht verletzt haben. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde erweist sich als unbegründet.
4.2 Die Beschwerdeführerin hat um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Voraussetzung dafür ist insbesondere, dass ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (Art. 152 Abs. 1 OG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, hatte die Beschwerde keine ernsthaften Aussichten auf Erfolg. Das Gesuch ist daher abzuweisen.
Damit sind die bundesgerichtlichen Kosten entsprechend dem Verfahrensausgang der Beschwerdeführerin aufzuerlegen, wobei ihrer finanziellen Situation bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen wird (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 153 und Art. 153a OG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Sicherheitsdepartement (SiD) und dem Appellationsgericht als Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Mai 2005
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: