Sachverhalt:
A. Der 1946 geborene A._ war von 1989 bis Ende August 2000 als Maschinist an einer Betonmischanlage in der Firma X._ AG tätig. Danach war er arbeitslos. Am 24. April 2002 erlitt er bei einem Temporär-Arbeitseinsatz einen Unfall und zog sich eine Verletzung an der rechten Schulter zu. Die Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als zuständiger obligatorischer Unfallversicherer erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Mit Verfügung vom 12. Juli 2004 und Einspracheentscheid vom 7. März 2005 schloss sie den Fall ab und sprach A._ ab 1. Mai 2004 eine Invalidenrente bei einer Erwerbsunfähigkeit von 17 % sowie eine Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 15 % zu. Nachdem der Einspracheentscheid im Rentenpunkt beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt (Entscheid vom 25. Oktober 2005) erfolgreich angefochten worden war, traf die SUVA ergänzende Abklärungen und verfügte am 5. September 2006 mit Wirkung ab 1. Mai 2004 eine Invalidenrente bei einer Erwerbsunfähigkeit von 23 %. Die Invaliditätsbemessung erfolgte mittels Einkommensvergleich. Das ohne invalidisierende Gesundheitsschädigung zumutbarerweise erzielbare Einkommen (Invalideneinkommen) setzte der Versicherer anhand von Tabellenlöhnen fest, unter Berücksichtigung eines leidensbedingten Abzuges von 20 %. Auf Einsprache des Versicherten hin hielt die SUVA an der Verfügung vom 5. September 2006 fest (Einspracheentscheid vom 21. Dezember 2007).
B. A._ erhob Beschwerde mit dem Antrag, es sei eine Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von mindestens 44 % zuzusprechen. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt hiess die Beschwerde (teilweise) gut und setzte die der Rente zugrunde liegende Erwerbsunfähigkeit mit der Begründung, der leidensbedingte Abzug sei auf 25 % zu erhöhen, auf 28 % fest. Es hob den Einspracheentscheid vom 21. Dezember 2007 auf und wies die Sache zum neuen Entscheid an den Unfallversicherer zurück (Entscheid vom 10. September 2008).
C. Die SUVA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben.
A._ und die Vorinstanz schliessen je auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Das kantonale Gericht hat auf Rückweisung der Sache an den Unfallversicherer erkannt. Es stellt sich die Frage, ob die von der SUVA hiegegen erhobene Beschwerde im Lichte der <ref-law> und der dazu ergangenen Rechtsprechung zulässig ist. Dies ist zu bejahen, da die Vorinstanz in ihrem Entscheid den Grad der Erwerbsunfähigkeit, nach dem sich der Rentenanspruch bestimmt, in für den Unfallversicherer verbindlicher Weise erhöht hat und die Rückweisung nur noch der Umsetzung dieser Anordnung dient (vgl. Urteil 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008 E. 1.1 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>; HANSJÖRG SEILER, Rückweisungsentscheide in der neuere Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtstagung 2008, St. Gallen 2009, S. 28). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten, zumal auch die übrigen Voraussetzungen hiefür gegeben sind.
3. Die SUVA hat die für den Rentenanspruch massgebliche Erwerbsunfähigkeit mittels Einkommensvergleich (<ref-law>) bestimmt. Das im Jahr 2004 (Rentenbeginn als massgeblicher Vergleichszeitpunkt: <ref-ruling>; vgl. auch <ref-ruling>) ohne unfallbedingten Gesundheitsschaden mutmasslich erzielte Einkommen (Invalideneinkommen) setzte sie gestützt auf die Auskünfte der früheren Arbeitgeberin auf Fr. 59'475.- fest. Bei der Ermittlung des trotz unfallbedingtem Gesundheitsschaden zumutbarerweise noch erzielbaren Einkommens (Invalideneinkommen) ging die SUVA von einer vollen Arbeitsfähigkeit in leidensangepassten Tätigkeiten aus. Gestützt auf Tabellenlöhne gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) ermittelte sie für das Jahr 2004 ein Einkommen von Fr. 57'258.-. Davon nahm sie einen leidensbedingten Abzug von 20 % vor. Es resultiert ein Invalideneinkommen von Fr. 45'806.- und in Gegenüberstellung mit dem Valideneinkommen von Fr. 59'475.- eine Erwerbseinbusse von Fr. 13'669.-, entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von (gerundet) 23 % (Einsprachentscheid vom 21. Dezember 2007).
Das kantonale Gericht ist davon insoweit abgewichen, als es den leidensbedingten Abzug auf 25 % erhöhte. Diese Erhöhung, welche zu einer Erwerbsunfähigkeit von 28 % führt, ist streitig. Im Übrigen geben Einsprache- und angefochtener Entscheid zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass.
4. Rechtsprechungsgemäss kann bei der Bestimmung des Invalideneinkommens nach den Durchschnittslöhnen gemäss LSE dem Umstand, dass gesundheitlich eingeschränkte Personen aufgrund bestimmter Faktoren (leidensbedingte Einschränkung, Alter, Dienstjahre, Nationalität/Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad) gegebenenfalls nur unterdurchschnittliche Löhne erzielen, mit einem Abzug vom statistischen Lohn Rechnung getragen werden (<ref-ruling> E. 5 S. 78 ff.). Der Abzug ist unter Würdigung der Umstände im Einzelfall nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen und unter Berücksichtigung aller jeweils in Betracht fallenden Merkmale auf insgesamt höchstens 25 % zu begrenzen (<ref-ruling> E. 5b/bb und cc S. 80).
Ob ein behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter Abzug vom Tabellenlohn vorzunehmen ist, stellt eine frei überprüfbare Rechtsfrage dar. Dagegen geht es bei der Höhe des (im konkreten Fall grundsätzlich angezeigten) Abzugs vom Tabellenlohn um eine typische Ermessensfrage. Deren Beantwortung ist letztinstanzlicher Korrektur nur mehr dort zugänglich, wo die Vorinstanz das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder - unterschreitung vorliegt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 in fine S. 399; SVR 2008 IV Nr. 49 S. 163 E. 1.3 [9C_404/2007]; insbesondere für die Belange der Unfallversicherung: Urteil 8C_64/2008 vom 4. Februar 2008 E. 3.2). Ermessensmissbrauch liegt vor, wenn eine Behörde zwar im Rahmen des ihr eingeräumten Ermessens bleibt, sich aber von unsachlichen, dem Zweck der massgebenden Vorschriften fremden Erwägungen leiten lässt oder allgemeine Rechtsprinzipien, wie das Verbot von Willkür oder rechtsungleicher Behandlung, das Gebot von Treu und Glauben sowie den Grundsatz der Verhältnismässigkeit verletzt (<ref-ruling> E. 1b S. 116; <ref-ruling> E. 2 S. 152 mit Hinweisen; Urteile 8C_64/2008 vom 4. Februar 2009 E. 3.2 und 8C_139/2008 vom 22. November 2008 E. 2.1). Dagegen liegt Ermessensüberschreitung vor, wenn die Behörde Ermessen walten lässt, wo ihr das Gesetz keines einräumt, oder wo sie statt zweier zulässiger Lösungen eine dritte wählt. In diesem Zusammenhang ist auch die Ermessensunterschreitung bedeutsam, die darin besteht, dass die entscheidende Behörde sich als gebunden betrachtet, obschon sie nach Gesetz berechtigt wäre, nach Ermessen zu handeln, oder dass sie auf Ermessensausübung ganz oder teilweise von vornherein verzichtet (Urteil 8C_179/2007 vom 25. September 2007 E. 2.2 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2008 ALV Nr. 14 S. 41; Urteil 8C_139/2008 vom 22. November 2008 E. 2.1).
5. 5.1 Die SUVA hat im Einspracheentscheid vom 21. Dezember 2007 zur Begründung des von ihr vorgenommenen leidensbedingten Abzugs von 20 % auf die gesundheitlich bedingten Einschränkungen und "die übrigen zu berücksichtigenden Umstände" verwiesen. Das kantonale Gericht hat den Abzug mit der Begründung erhöht, die behinderungsbedingte Einschränkung resp. der Verlust, Schwerarbeit leisten zu können, falle erheblich als lohnmindernder Faktor ins Gewicht. Der Versicherte sei zudem aufgrund der bestehenden Beeinträchtigung bei Sortierarbeiten und bei der Verrichtung von Botengängen auf einen Nischenarbeitsplatz angewiesen. Aufgrund dieser Gesichtspunkte lasse sich bereits eine Reduktion des Tabellenlohnes um mindestens 25 % rechtfertigen. Da der Beschwerdeführer Jahrgang 1946 habe und somit auch der Faktor Alter berücksichtigt werden müsse, sei die Gewährung des Maximalabzuges von 25 % mehr als ausgewiesen.
5.2 Das kantonale Gericht hat somit den Einfluss der behinderungsbedingten Einschränkung auf den erzielbaren statistischen Lohn höher eingeschätzt als der Versicherer, und zwar in vergleichsweise geringem Umfang. Ein rechtsfehlerhafte Ermessensausübung kann darin, wie auch in den von der Vorinstanz angegebenen Gründen, nicht gesehen werden. Was hiegegen vorgebracht wird, führt zu keiner anderen Betrachtungsweise.
Hervorzuheben ist zunächst, dass zwar der Wortlaut im angefochtenen Entscheid, wonach ein Abzug von mindestens 25 % gerechtfertigt sei, unglücklich gewählt ist. Die weiteren Erwägungen des kantonalen Gerichts zeigen aber dessen - zutreffendes - Verständnis, dass der leidensbedingte Abzug unter Berücksichtigung aller relevanten Faktoren maximal auf 25 % anzusetzen ist. Es erscheint sodann zweifelhaft, ob der im angefochtenen Entscheid erwähnte Faktor Alter eine Erhöhung des Abzuges (bis zur Höchstgrenze) zu begründen vermöchte, zumal bei zunehmendem Alter die Lohnkurve flacher verläuft, der Faktor Alter sich aber nicht lohnsenkend auswirkt (AHI 1999 S. 237 E. 4c; Urteil 9C_382/2007 vom 13. November 2007 E. 6.1). Dies kann aber offen bleiben. Denn das kantonale Gericht ist, wie oben dargelegt, zum Ergebnis gelangt, der Maximalabzug von 25 % sei schon alleine aufgrund der gesundheitsbedingten Beeinträchtigung, ohne den Faktor Alter, gerechtfertigt. Die hiefür angegebenen Gründe mögen teils diskutabel erscheinen, insbesondere, soweit eine Beschränkung auf Nischenarbeitsplätze angenommen wird. Auch ist mit Blick auf das dem Versicherten noch offen stehende berufliche Einsatzspektrum eine abweichende Ermessensausübung ohne Erhöhung des Abzugs vorstellbar. Eine rechtsfehlerhafte Ermessensbetätigung kann der Vorinstanz aber nicht angelastet werden.
Nichts anderes ergibt sich aus den weiteren Vorbringen in der Beschwerde. Das gilt namentlich auch für den Hinweis auf verschiedene Urteile, in welchen das Bundesgericht den Maximalabzug bei wesentlich höheren gesundheitsbedingten Beeinträchtigungen gewährte, zumal jeweils nicht etwa eine Mindestbehinderung als Voraussetzung für den Maximalabzug festgelegt wurde. Der Umstand, dass bei der Bestimmung des Invalideneinkommens anhand von LSE-Löhnen häufig - und auch im vorliegenden Fall - die Durchschnittseinkommen des niedrigsten Anforderungsniveaus 4 (einfache und repetitive Tätigkeiten) verwendet werden, lässt die Ermessensbetätigung durch die Vorinstanz ebenfalls nicht als rechtsfehlerhaft erscheinen. Gleiches gilt für das Vorbringen der SUVA, bereits der von ihr gewährte Abzug von 20 % sei als grosszügig zu betrachten. Ferner trifft zwar zu, dass das erstinstanzliche Gericht bei der Überprüfung des Abzuges sein Ermessen nicht ohne triftigen Grund an die Stelle desjenigen der Verwaltung setzen soll (vgl., auch zum Folgenden: Urteil 9C_721/2008 vom 14. Oktober 2008 E. 1.3.2 mit Hinweisen). Auch hier beschränkt sich indessen die bundesgerichtliche Überprüfung der vorinstanzlichen Ermessenausübung auf Rechtsfehlerhaftigkeit. Eine solche ist im vorliegenden Fall nicht gegeben; dass das kantonale Gericht das Ermessen anders als der Versicherer ausgeübt hat, lässt seinen Entscheid nicht als rechtsfehlerhaft erscheinen. Festzuhalten bleibt in diesem Zusammenhang, dass das Abweichen der Vorinstanz beim Ermessen entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht voraussetzte, dass der Versicherer seinerseits das Ermessen in rechtsfehlerhafter Weise ausgeübt hatte.
6. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat die SUVA die Kosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. März 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz