Sachverhalt:
A. Frau C. von Meyenburg und Herr K. Tsakalidis heirateten am 12. August 2003 in Meilen/ZH. Dabei stellte Frau C. von Meyenburg ihren bisherigen Namen nach <ref-law> vor den Familiennamen Tsakalidis. Am 10. März 2004 wurde der Sohn I. K. Tsakalidis und am 9. Juli 2005 die Tochter E. A. Tsakalidis geboren.
Mit Eingabe vom 17. November 2006 ersuchten die Ehegatten und ihre beiden Kinder das Gemeindeamt des Kantons Zürich, Abteilung Zivilstandswesen, die Änderung des Familiennamens "Tsakalidis" in "von Meyenburg" zu bewilligen und dem Ehemann zu gestatten, seinen angestammten Namen (Tsakalidis) dem Familiennamen voranzustellen.
B. Die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich wies das Gesuch um Namensänderung gemäss <ref-law> mit Verfügung vom 12. Februar/4. Juli 2007 ab. Die Ehegatten und ihre beiden Kinder gelangten an das Obergericht des Kantons Zürich (II. Zivilkammer), welches den Rekurs mit Beschluss vom 7. Dezember 2007 abwies und die angefochtene Verfügung bestätigte.
C. Mit Eingabe vom 18. Januar 2008 führen Frau C. von Meyenburg Tsakalidis und Herr K. Tsakalidis sowie ihre beiden Kinder I. K. und E. A. Tsakalidis Beschwerde in Zivilsachen und beantragen dem Bundesgericht, es sei der Beschluss des Obergerichts aufzuheben und ihnen die Änderung des Familiennamens "Tsakalidis" in "von Meyenburg" zu bewilligen. Sodann sei dem Ehemann zu gestatten, den angestammten Namen dem geänderten Familiennamen voranzustellen. Eventualiter sei die Führung des Namens der Ehefrau als Familienname gemäss <ref-law> nachträglich zu bewilligen.
Vernehmlassungen sind nicht eingeholt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Entscheid über die (verweigerte) Bewilligung der Namensänderung, welcher der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 3 BGG). Die Beschwerde gegen den letztinstanzlichen kantonalen und verfahrensabschliessenden Entscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG) in einer nicht vermögensrechtlichen Angelegenheit ist grundsätzlich zulässig. Die von den Beschwerdeführern erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist unzulässig (<ref-law>).
1.2 Für das urteilsunfähige Kind wird nach konstanter Rechtsprechung das Gesuch um Namensänderung vom gesetzlichen Vertreter gestellt (<ref-ruling> E. 1b S. 7 f. mit Hinweisen), bzw. im konkreten Fall von den beiden Elternteilen als gesetzliche Vertreter gemeinsam für ihre Kleinkinder.
1.3 In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Auf Vorbringen der Beschwerdeführer, welche den Begründungsanforderungen nicht genügen, kann nicht eingetreten werden.
1.4 Soweit die Vorbringen der Beschwerdeführer im vom Obergericht verbindlich festgestellten Sachverhalt keine Stütze finden (<ref-law>), kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Neue Tatsachenvorbringen und Beweismittel (wie u.a. der Bericht der Frauenärztin vom 8. Januar 2008, die Taufurkunden der Kinder, der Antrag auf Parteibefragung) sind unzulässig (vgl. <ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Dabei bedeutet "offensichtlich unrichtig" willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Mit dem Vorwurf, dass das Obergericht die weiteren ausführlichen Eingaben der Beschwerdeführer ausser Acht gelassen und nur auf ihre erste Eingabe und die Sachdarstellung der Behörde abgestellt habe, wird keine willkürliche Beweiswürdigung dargetan. Soweit die Beschwerdeführer (in verschiedenem Zusammenhang) die Unterlassung einer Parteibefragung rügen, legen sie nicht dar, inwiefern der Sachverhalt nicht bereits hinlänglich abgeklärt sei und eine Verletzung von <ref-law> vorliege.
2. Die Beschwerdeführer machen zunächst - in formeller Hinsicht - geltend, die Vernehmlassung des kantonalen Gemeindeamtes, Abt. Zivilstandswesen, vom 23. August 2007 sei ihnen erst am 3. Dezember 2007 zugesandt worden und am 5. Dezember 2007 von ihnen empfangen worden. Der angefochtene Beschluss sei jedoch bereits am 7. Dezember 2007 gefällt worden, so dass sie ihr Replikrecht trotz entsprechender Vorbereitung nicht wahrnehmen konnten und die Vorinstanz daher <ref-law> verletzt habe.
2.1 Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Anspruch auf rechtliches Gehör ergibt sich aus <ref-law> der Anspruch der Verfahrenspartei, in alle für den Entscheid wesentlichen Akten Einsicht zu nehmen und sich dazu zu äussern (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 99, 100 E. 4.4-4.6 S. 103 f.). Eine Verfahrenspartei, welche eine Stellungnahme zu einer ihr zur Kenntnisnahme zugestellten Vernehmlassung für erforderlich hält, muss diese grundsätzlich unverzüglich einreichen oder beantragen; andernfalls ist davon auszugehen, dass sie auf Vernehmlassung verzichtet (<ref-ruling> E. 4.8 S. 105).
2.2 Ob die Beschwerdeführer rechnen mussten, dass das Obergericht bereits vier Tage nach der Zusendung bzw. zwei Tage nach der Zustellung der Stellungnahme des Gemeindeamtes seinen Entscheid fällen würde, und daher ihr Replikrecht verletzt wurde, kann offen gelassen werden, denn das, was die Beschwerdeführer in der Replik vorbringen wollten, läuft im Wesentlichen auf die - vom Bundesgericht frei überprüfbare - rechtliche Würdigung von Tatsachen (im Ehevorbereitungsverfahren) hinaus, auf welche übrigens bereits in der erstinstanzlichen Verfügung Bezug genommen wurde. Da insoweit Rechtsfragen streitig sind, kann eine allfällige Verletzung des rechtlichen Gehörs im bundesgerichtlichen Verfahren ohne weiteres geheilt werden. Soweit die Beschwerdeführer sich in diesem Zusammenhang auf <ref-law> bzw. die Zulässigkeit neuer Tatsachen und Beweismittel berufen, gehen sie fehl, da sich diese nicht auf Feststellungen beziehen, welche erst durch den vorinstanzlichen Entscheid rechtswesentlich geworden sind.
3. Die Beschwerdeführer haben ihr Gesuch um Namensänderung im Wesentlichen damit begründet, dass der Name "von Meyenburg" mit dem familieneigenen Weinbetrieb "Schipf" verknüpft sei und eine Kennzeichnungskraft und Garantiewirkung habe. Diesen Namen habe die Beschwerdeführerin (Mutter) mit der Heirat als Familiennamen aufgegeben. Die beiden Kinder mit dem Familiennamen Tsakalidis würden als spätere Betreiber des Gutes dieser Vorteile verlustig gehen bzw. einen Vertrauensverlust hinnehmen müssen, was die Weiterexistenz des Familienbetriebes in Frage stellen würde.
Das Obergericht hat im Wesentlichen erwogen, dass das Weingut unter der Bezeichnung "Schipf" laufe, auch wenn der Name "von Meyenburg" auf der Etikette erscheine, was aber in erster Linie mit dem heutigen Betreiber K. von Meyenburg, dem Vater der Beschwerdeführerin zu tun habe. Ein Generationenwechsel bedinge für einen Betrieb immer Aufbau von Vertrauen, was nicht in erster Linie ein Frage des Namens, sondern der Person des Betreibers sei; zudem sei die Frage der dereinstigen Betriebsübernahme durch die heute noch kleinen Kinder völlig offen. Eine Diskriminierung aufgrund des ausländischen (griechischen) Familiennamens sei ebenso auszuschliessen wie ein Rechtsirrtum hinsichtlich der namensrechtlichen Wirkungen des Eheschlusses. Das Obergericht ist zum Ergebnis gelangt, dass die Voraussetzungen zu einer Namensänderung gemäss <ref-law> nicht gegeben seien und auch eine nachträgliche Bewilligung zur Führung des Frauennamens als Familiennamen (gemäss <ref-law>) ausser Betracht falle.
4. 4.1 Der bürgerliche Name einer Person ist grundsätzlich unveränderlich. Die Regierung des Wohnsitzkantons kann einer Person die Änderung des Namens bewilligen, wenn wichtige Gründe vorliegen (<ref-law>). Ob im einzelnen Fall ein Grund für eine Namensänderung vorliegt, ist eine Ermessensfrage, die von der zuständigen Behörde nach Recht und Billigkeit zu beantworten ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2a S. 402; <ref-ruling> E. 2 S. 2).
4.1.1 Ein wichtiger Grund im Sinne von <ref-law> ist gegeben, wenn das Interesse des Namensträgers an einem neuen Namen dasjenige der Allgemeinheit und der Verwaltung an der Unveränderlichkeit des einmal erworbenen und in die Register eingetragenen Namens sowie an der eindeutigen Kennzeichnung und Unterscheidung des Einzelnen überwiegt. Der Name soll dem Namensträger das Fortkommen ermöglichen und erleichtern; aus dem Namen sollen nicht wirkliche Nachteile oder erhebliche Unannehmlichkeiten erwachsen (<ref-ruling> E. 1 S. 277). Die Namensänderung hat den Zweck, ernstliche Nachteile, die mit dem bisherigen Namen verbunden sind, zu beseitigen, wobei vor allem moralische, geistige und seelische, aber auch wirtschaftliche oder administrative Interessen im Spiele stehen können (<ref-ruling> E. 5a S. 4; <ref-ruling> E. 2b S. 402, je mit Hinweis; THOMAS GEISER, Die neuere Namensänderungspraxis des schweizerischen Bundesgerichts, ZZW 1993 S. 375 Ziff. 2.11.). Diese Interessen sind jedoch nach objektiven Kriterien, mithin danach zu werten, wie der zu ändernde Name auf die Umwelt wirkt; subjektive Gründe des Namensträgers bleiben bei dieser Wertung grundsätzlich bedeutungslos (HANS MICHAEL RIEMER, Personenrecht des ZGB, 2. Aufl. 2002, S. 114 Rz. 230; HENRI DESCHENAUX/PAUL-HENRI STEINAUER, Personnes physiques et tutelle, 4. Aufl. 2001, S. 132 Rz. 427; ROLAND BÜHLER, Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 3. Aufl. 2006, N. 5 zu <ref-law>).
4.1.2 Ehegatten darf eine Namensänderung aus wichtigen Gründen im Sinne von <ref-law> bewilligt werden, soweit der oder die neuen Namen Art. 160 oder <ref-law> entsprechen (CYRIL HEGNAUER/PETER BREITSCHMID, Grundriss des Eherechts, 4. Aufl. 2000, Rz. 13.29; vgl. THOMAS GEISER, Die Namensänderung nach <ref-law> unter dem Einfluss des neuen Eherechts, ZZW 1989 S. 39 f.). Es kann u.a. ein Wechsel vom Mannesnamen auf den Frauennamen in Betracht kommen, wobei nach der Lehre bei den Anforderungen an die "wichtigen Gründe" zu berücksichtigen ist, dass <ref-law> diese Lösung ohne weiteres vorsieht. Die "wichtigen Gründe" sollten sich jedoch in der Regel aus einem Sachverhalt ableiten, der erst nach der Heirat eingetreten ist (HEGNAUER/BREITSCHMID, a.a.O., Rz. 13.33; VERENA BRÄM, Zürcher Kommentar, N. 21 zu <ref-law>).
4.2 Die Beschwerdeführer (Eltern) machen geltend, dass die Frage des Familiennamens im Zeitpunkt des Ehevorbereitungsverfahrens und der Eheschliessung nicht thematisiert worden sei, da ihnen selbstverständlich erschien, je ihren angestammten Namen zu behalten. Sie seien nicht darüber informiert worden, dass allfällige Kinder den Namen des Ehegatten erwerben würden, sondern seien davon ausgegangen, dass die Kinder einen Doppelnamen erhalten würden. (...). Das Obergericht habe ihren Sach- und Rechtsirrtum vor dem Hintergrund der familiären Ausgangslage als wichtigen Grund übergangen.
4.2.1 Die Einwände gehen fehl. Nach dem angefochtenen Urteil hatten sich die Beschwerdeführer (Eltern) bewusst nicht weiter mit der Frage des Familiennamens beschäftigt, weil diese selber ausgeführt hätten, dass sie über den Namen nicht streiten wollten und die gesetzliche Regelung den traditionellen Gepflogenheiten im Kulturkreis des Ehemannes entspreche. Wenn das Obergericht erwogen hat, es sei in erster Linie in der Verantwortung der Brautleute, sich über die verschiedenen rechtlichen Konsequenzen der Eheschliessung zu informieren, und in ihrer vom geltenden Recht abweichenden Vorstellung über die namensrechtlichen Wirkung keinen wichtigen Grund zur Namensänderung erachtet hat, ist dies nicht zu beanstanden. Rein subjektive Gründe fallen für die Namensänderung ausser Betracht. Die Vorbringen, die Papiere des Ehevorbereitungsverfahrens seien als blosse "Heiratsformalitäten" von der Ehefrau ausgefüllt worden, über welche sich diese ebenso wenig wie der Ehemann Gedanken gemacht habe, zumal der Familiennamen "allenfalls registerrechtliche, aber keinerlei praktische Bedeutung" habe, sind daher unbehelflich. Entgegen der Behauptung der Beschwerdeführer wird im Gesuch um Vorbereitung der Eheschliessung unmissverständlich die Angabe des Familiennamens nach der Eheschliessung verlangt. Was die Beschwerdeführer als "Entdecken eines Irrtums" bezeichnen und unter dem Titel "Vertrauensschutz" sowie Verfassungsverletzung ausführen, stellt keinen Sachverhalt dar, der erst nach der Heirat eingetreten ist, sondern sind die namensrechtlichen Wirkungen, welche (bereits) mit dem Eheschluss eintreten, und auf welche im Übrigen - wie das Obergericht zu Recht festgehalten hat - die Beschwerdeführerin (Ehefrau) in Anbetracht der Erklärung zur Voranstellung des bisherigen Namen (gemäss <ref-law>) gemäss einer der mehreren gesetzlichen Möglichkeiten offensichtlich aktiv Einfluss genommen hat.
4.2.2 Die Beschwerdeführer (Eltern) erblicken in der Geburt der Kinder einen relevanten, nach der Heirat eingetretenen Sachverhalt. Aus dem Umstand, dass sie im Zeitpunkt (19. Juni 2003) des persönlichen Erscheinens vor dem Zivilstandsbeamten im Vorbereitungsverfahren (...) rechnen konnten, können sie nichts für sich ableiten. Das Obergericht hat in diesem Zusammenhang festgehalten, dass die Beschwerdeführerin (in Anbetracht des Geburtsdatums des ersten Kindes) im Zeitpunkt der Trauung bereits schwanger war. Vor diesem Hintergrund stellt kein Missbrauch bzw. keine Überschreitung des Ermessens dar, wenn die Vorinstanz geschlossen hat, die Geburt der Kinder stelle keinen Sachverhalt, der erst nach der Heirat eingetreten ist, und damit keinen "wichtigen Grund" dar.
4.3 Die Beschwerdeführer weisen im Wesentlichen auf die Namenskontinuität zwecks Unternehmensnachfolge hin, welche vom Obergericht als wichtiger Grund zur Namensänderung verkannt worden sei.
4.3.1 Die Ehefrau macht geltend, zu einem wesentlichen Teil im Weinbetrieb mitzuarbeiten; sodann möchte sie dereinst ihrem Vater im Unternehmen nachfolgen. Durch die Voranstellung des bisherigen Namens könne sie selbst zwar "von Meyenburg" führen, nicht aber ihr Ehemann - welcher sich ebenfalls im Betrieb engagiere - oder ihre Kinder, welche das Unternehmen weiterführen sollen. Ob die Bedeutung des Namens "von Meyenburg" bzw. dessen immerhin 140-jährige Verbindung mit dem Weingut "Schipf" für die Vermarktung des Weines (wie das Obergericht ausführt) wirklich von untergeordneter Bedeutung ist, braucht nicht abschliessend erörtert zu werden. Es steht fest, dass die Unternehmensnachfolge noch nicht stattgefunden hat und die Mutter noch nicht Betreiberin des Unternehmens ist. Dass der Ehemann im Weinbetrieb engagiert sei, lässt sich dem angefochtenen Entscheid ebenso wenig entnehmen wie ein Hinweis in zeitlicher Hinsicht betreffend die Unternehmensnachfolge. Insoweit fehlt es an Anhaltspunkten für die geltend gemachten ernstlichen, wirtschaftlichen Nachteile, die mit dem Familiennamen "Tsakalidis" verbunden sind und zu deren Beseitigung ein hinreichendes Interesse bestehen könnte.
4.3.2 Das Obergericht hat erwogen, von einer Benachteiligung der Kinder der Ehefrau gegenüber allfälligen Nachkommen ihres Bruders betreffend die Betriebsübernahme könne nicht gesprochen werden. Wenn die Vorinstanz geschlossen hat, das lediglich abstrakte Interesse an der Änderung des Namens falle vor dem Hintergrund, dass die Zukunft bezüglich einer Betriebsübernahme völlig offen sei, nicht ins Gewicht, stellt dies keine gesetzwidrige Ermessensausübung dar. Inwiefern eine allfällige Namensänderung zeitlich dringlich sein soll und keinen Aufschub bis zum Zeitpunkt ertrage, in dem eine Betriebsübernahme durch ein Kind feststeht, und eine Verweigerung einen nicht wieder gutzumachenden sozialen und wirtschaftlichen Nachteil bedeute, ist nicht ersichtlich. Auch wenn es dem Wunsch der Mutter entspricht, dass die Kinder (oder eines von ihnen) den Betrieb weiterführen mögen, so ist dies im heutigen Zeitpunkt spekulativ und vermag keinen wichtigen Grund darstellen, um den Familiennamen der Ehegatten (oder der Kinder alleine) zu ändern.
4.4 Sodann leiten die Beschwerdeführer einen wichtigen Grund für die Namensänderung aus der Verfassungswidrigkeit des ehelichen Namensrechts ab. In der Tat ist anerkannt, dass sich die Regelung gemäss Art. 160 Abs. 1 und <ref-law> in ihrer Gesamtheit als verfassungswidrig erweist, indem sie gegen das in <ref-law> verankerte Gebot der Gleichstellung der Geschlechter verstösst (<ref-ruling> E. 2e S. 4; <ref-ruling> E. 5 S. 665; <ref-ruling> E. 3b S. 197; statt vieler: BÜHLER, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>). Die Beschwerdeführer (Eltern) bringen vor, die verfassungswidrige Regelung habe sie daran gehindert, sich mit der Tragweite des Familiennamens aktiv auseinanderzusetzen; wären sie bei Eheschluss vor eine aktive Wahl gestellt worden, hätten sie sich "klar für den Namen der Ehefrau als Familiennamen entschieden". Damit wird keine Verletzung von <ref-law> dargetan. Zum einen gehen die Beschwerdeführer (Eltern) insoweit selber davon aus, dass die "wichtigen Gründe" sich offenbar nicht aus einem Sachverhalt ableiten, der erst nach der Heirat eingetreten ist. Zum anderen waren die Ehegatten bereits bei der geltenden Regelung vor eine "aktive Wahl" gestellt, d.h. sie hätten sich (gemäss <ref-law>) ohne weiteres für den Namen der Ehefrau als Familiennamen entscheiden können. Das Argument einer "Wiedergutmachung diskriminierender Folgen von <ref-law>" geht an der Sache vorbei. Insoweit hat das Obergericht keine wichtigen Gründe zur Namensänderung übergangen.
4.5 Weiter werfen die Beschwerdeführer dem Obergericht eine Rechtsverletzung vor, weil es im Schutz der Kinder vor Diskriminierung wegen ihres griechischen Familiennamens keinen Grund zur Namensänderung gemäss <ref-law> gesehen hat. Der Einwand ist unbegründet. Der Name "Tsakalidis" lässt wohl ohne weiteres auf die griechische Herkunft schliessen. Es ist - wie das Obergericht zu Recht festgehalten hat - jedoch nicht ersichtlich, dass der griechische Name in der Schweiz negative Assoziationen wecken sollte, welche den Namensträgern nachteilig sein könnten (vgl. Urteil 5C.163/2002 vom 1. Oktober 2002, E.3.2, AJP 2003 S. 702 ff.). Im weiteren ist zu beachten, dass der Name eine Identifikationsfunktion erfüllt und die griechische Herkunft ein zentrales Element der Biografie der Kinder ist, auf welches sie Anspruch haben (vgl. Peter Breitschmid, AJP 2003 S. 705). Insoweit liegt keine Verletzung des Ermessens bzw. von <ref-law> vor.
4.6 Schliesslich rügen die Beschwerdeführer (mit Bezug auf den Eventualantrag), dass das Obergericht ihnen keine Möglichkeit eingeräumt habe, "nachträglich" bzw. nach der Heirat ein Gesuch gemäss <ref-law> zu stellen, um den Namen der Ehefrau als Familiennamen zu führen. Der Familienname im Sinne von <ref-law> kann jedoch nur der Name sein, den die Braut im Zeitpunkt der Trauung trägt. Die Beschwerdeführer verkennen, dass das Gesuch, von der Trauung an den Namen der Ehefrau als Familiennamen zu führen, von den Brautleuten, d.h. vor der Trauung gestellt (nicht jedoch entschieden) werden muss (vgl. Hegnauer/Breitschmid, a.a.O., Rz. 13.22 ff.). Nach der Trauung bzw. für die Ehegatten ist zur Änderung des Familiennamens eine Namensänderung gemäss <ref-law> notwendig, welche nur aus wichtigen Gründen bewilligt werden kann (vgl. E. 4.1). Diese Gründe sind vorliegend - wie dargelegt - nicht gegeben.
5. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde unbegründet und abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführer gemeinsam kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Eine Parteientschädigung entfällt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden den Beschwerdeführern gemeinsam auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juni 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Levante