Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. 20. Februar 1924) ist seit 22. August 2005 gestützt auf Art. 392 Ziff. 1 und Art. 393 Ziff. 2 ZGB verbeiständet. Sie ist pflegebedürftig und lebt seit ihrer Entlassung aus der fürsorgerischen Freiheitsentziehung (21. Oktober 2010) bei ihrer Tochter Z._.
A.b Der Sohn von X._ ersuchte um Entmündigung seiner Mutter. Mit Beschluss vom 16. November 2010 verzichtete die Vormundschaftsbehörde der Stadt A._ auf Errichtung einer Vormundschaft über X._; sie beauftragte aber die Beiständin mit einer konsequenteren Regelung der Betreuung und der ärztlichen Versorgung von X._ (Ziff. 2 des Dispositivs). X._ und Z._ erhoben gegen Ziff. 2 des ihnen am 18. November 2010 zugestellten Beschlusses am 29. November 2010 Beschwerde beim Bezirksrat Winterthur (erste bzw. untere Aufsichtsbehörde), mit der sie verschiedene hier nicht relevante Anordnungen verlangten; eine weitere Eingabe liessen sie dem Bezirksrat am 22. Dezember 2010 zukommen. Mit Präsidialverfügung vom 24. Januar 2011 trat der Bezirksrat Winterthur wegen fehlender sachlicher Zuständigkeit auf die Beschwerde nicht ein.
A.c Dagegen wandten sich X._ und Z._ am 15. Januar 2011 mit Aufsichtsbeschwerde wegen Rechtsverweigerung an die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich; sie rügten eine Untätigkeit der Vormundschaftsbehörde und des Bezirksrats und beantragten, der Bezirksrat sei anzuweisen, seiner Funktion als erste Aufsichtsbehörde in Vormundschaftssachen nachzukommen; überdies stellten sie verschiedene Anträge in Bezug auf die Vormundschaftsbehörde. Mit Verfügung vom 24. März 2011 trat die Direktion der Justiz und des Innern wegen fehlender sachlicher Zuständigkeit auf die Beschwerde nicht ein und überwies die Sache zuständigkeitshalber und zur Behandlung der Aufsichtsbeschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich.
A.d Das Obergericht behandelte die als Aufsichtsbeschwerde wegen Rechtsverweigerung eingereichte Eingabe von X._ und Z._ als Beschwerde im Sinn von Art. 321 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> und trat mit Beschluss vom 5. Mai 2011 auf "die Beschwerde vom 15. Februar 2011 gegen die Präsidialverfügung des Bezirksrates Winterthur vom 24. Januar 2011" wegen verspäteter Beschwerdeeingabe nicht ein. Diese Verfügung bildet Gegenstand eines eigenen bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens (5A_422/2011).
B. Gegen die Verfügung vom 24. März 2011 der Direktion der Justiz und des Innern erhoben X._ und Z._ am 12. April 2011 Einsprache, auf welche die Direktion der Justiz und des Innern mit Entscheid vom 20. April 2011 nicht eintrat. Das Obergericht des Kantons Zürich trat seinerseits auf die gegen den Nichteintretensentscheid der Direktion erhobene Beschwerde (vom 16. Mai 2011) mit Beschluss vom 24. Mai 2011 nicht ein.
C. X._ und Z._ (Beschwerdeführerinnen) gelangen mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. Juni 2011 (Postaufgabe), die sich gegen den Beschluss des Obergerichts vom 24. Mai 2011 aber auch gegen andere Beschlüsse richtet, an das Bundesgericht. Sie beantragen unter anderem, den Beschluss des Obergerichts vom 24. Mai 2011 aufzuheben (Ziff. 1), ferner festzustellen, dass in diesem amtlichen Aufsichtsverfahren alle Vorinstanzen (Bezirksrat Winterthur, Justizdirektion des Kantons Zürich und Obergericht des Kantons Zürich) aufgrund einer falschen Beurteilung des anwendbaren Rechts ihre Aufsichtspflichten verletzt und deshalb den Tatbestand der Rechtsverweigerung erfüllt hätten (Ziff. 2); festzustellen sei ferner, dass im vorliegenden Verfahren das vor dem 1. Januar 2011 geltende Recht (ZPO/ZH, VRG, EGZGB) zur Anwendung gelangen soll (Ziff. 3). Gestützt darauf sei die Zuständigkeitsfrage neu zu beurteilen, indem festgestellt werde, dass vorliegend nicht das Obergericht als zweite Aufsichtsbehörde im Vormundschaftswesen, sondern die Justizdirektion des Kantons Zürich zur Beurteilung der beiden Aufsichtsbeschwerden (Beschwerde an den Bezirksrat vom 29. November 2010 und die Beschwerde an die kantonale Justizdirektion vom 15. Februar 2011) für zuständig erklärt werde (Ziff. 4). Sodann sei das Obergericht anzuweisen, die Akten an die kantonale Justizdirektion zu überweisen, damit diese in der Sache gemäss beiden unter Ziffer 4 erwähnten Aufsichtsbeschwerden von Amtes wegen eine Untersuchung gegen den Bezirksrat Winterthur und die Vormundschaftsbehörde A._ im Sinn von § 7 VRG einleitet und die begehrten Massnahmen ergreift (Ziff. 5).
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
D. Mit Präsidialverfügung vom 23. Juni 2011 ist das Gesuch der Beschwerdeführerinnen um aufschiebende Wirkung abgewiesen worden. Die Beschwerdeführerinnen haben sich mit Eingabe vom 3. Juli 2011 (Postaufgabe) zum einverlangten Kostenvorschuss geäussert.

Erwägungen:
1. Gegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens 5A_421/2011 ist einzig der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 24. Mai 2011 (PQ110004-O/U). Auf die Beschwerde ist von vornherein nicht einzutreten, soweit sie sich gegen andere Entscheide, insbesondere den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. Mai 2011 richtet.
2. Das Obergericht hat erwogen, die Direktion der Justiz und des Innern sei keine Vorinstanz des Obergerichts, was auch im Vormundschaftsverfahren gelte. In Vormundschaftssachen fungiere es zwar als Rechtsmittelinstanz, doch sei die Vorinstanz der Bezirksrat (§ 44 Ziff. 9 EGZGB, § 56 b Abs. 1 und 75 EGZGB). Das Obergericht führe auch keine Aufsichtsfunktion über die Direktionen des Kantons aus, die es ihm ermöglichte, kraft aufsichtsrechtlicher Kompetenz auf die vorliegende Sache einzutreten.
Im Weiteren hat es dafürgehalten, entgegen der Ansicht des Vertreters der Beschwerdeführerinnen bestehe kein negativer Kompetenzkonflikt. Die angerufenen Instanzen hätten innerhalb ihrer Zuständigkeit und den gesetzgeberischen Vorgaben die Anträge der Beschwerdeführerinnen behandelt. Im Übrigen seien die Beschwerdeführerinnen hinsichtlich der Zuständigkeitsordnung auf den Entscheid des Obergerichts vom 5. Mai 2011 (PQ110002-O/U) verwiesen.
3. 3.1 In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides darzulegen, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234). Wird eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts gerügt, ist in der Beschwerde die Norm zu nennen, die qualifiziert falsch, d.h. willkürlich angewendet worden sein soll (vgl. Urteil 5D_151/2009 12. November 2009 E. 2).
3.2 Die Beschwerdeführerinnen gehen in ihrer Eingabe nicht rechtsgenüglich auf die entscheidende Erwägung des Obergerichts ein, wonach die Direktion nicht Vorinstanz des Obergerichts ist und das Obergericht keine Aufsichtsfunktion über die Direktion ausübt. Insbesondere nennen sie in diesem Zusammenhang keine einschlägige Norm des kantonalen Rechts, die entsprechende Kompetenzen des Obergerichts statuieren und die Direktion als Vorinstanz des Obergerichts bestimmen würde. Nicht dargetan wird überdies, inwiefern das Obergericht in diesem Zusammenhang <ref-law> verletzt haben soll. Soweit die Beschwerdeführerinnen dem Obergericht vorwerfen, es habe falsches kantonales Recht angewendet und nach dem anwendbaren kantonalen Recht sei der Bezirksrat die erste Aufsichtsbehörde in Vormundschaftssachen und die Justizdirektion die zweite Aufsichtsbehörde, äussern sie sich zu Fragen, die Gegenstand des kantonalen Verfahrens PQ110002-O/U und damit des obergerichtlichen Beschlusses vom 5. Mai 2011 bilden, den sie ebenfalls beim Bundesgericht angefochten haben. Dieser Beschluss bildet aber Gegenstand eines eigenen Beschwerdeverfahrens (5A_422/2011). Insgesamt vermag die Beschwerde im Verfahren 5A_421/2011 den aufgezeigten Begründungsanforderungen nicht zu entsprechen. Darauf ist nicht einzutreten.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführerinnen kostenpflichtig (<ref-law>), wobei sie für die Kosten solidarisch haften (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde im Verfahren 5A_421/2011 wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden den Beschwerdeführerinnen unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. August 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden