Sachverhalt:
A. Die 1953 geborene S._ ist seit 1. Februar 2005 als Primarlehrerin angestellt und damit bei der Visana Versicherungen AG (nachfolgend Visana) obligatorisch unfallversichert. Am 18. Dezember 2008 wurde sie von einem Schüler mit einem Bob angefahren und stürzte auf Arm und Schulter rechts. Im Spital X._ wurde bei ihr am 20. Januar 2009 eine traumatische Supraspinatusruptur rechts diagnostiziert; am 11. Februar 2009 wurde sie dort an der rechten Schulter operiert. Mit Verfügung vom 17. Juli 2009 eröffnete ihr die Visana, der Kausalzusammenhang zwischen dem Ereignis vom 18. Dezember 2008 und den Schulterbeschwerden sei zu verneinen; diese seien degenerativen Ursprungs. Entgegenkommenderweise und ohne Präjudiz verzichte sie auf die Rückforderung der bereits erbrachten Leistungen. Hiegegen erhoben die Versicherte und ihr Krankenversicherer, die KPT Krankenkasse AG (nachfolgend KPT), Einsprache. Mit Entscheid vom 4. Januar 2010 wies die Visana die Einsprachen ab.
B. In Gutheissung der hiegegen eingereichten Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Bern den Einspracheentscheid auf und verurteilte die Visana, der Versicherten für die nach dem Unfall vom 18. Dezember 2008 aufgetretenen Beschwerden an der rechten Schulter bis zum Behandlungsabschluss vom 18. Juni 2010 die gesetzlichen Unfallversicherungsleistungen zu gewähren (Entscheid vom 22. September 2010).
C. Mit Beschwerde beantragt die Visana die Aufhebung des kantonalen Entscheides, insoweit er von ihr nicht anerkannt werde.
Die KPT und die Versicherte schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Indessen prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Versicherte legt neu Berichte ihrer Hausarztpraxis vom 29. November 20010 und der Frau PD Dr. med. P._ vom 3. Dezember 2010 auf, macht hiefür aber keine nach <ref-law> relevanten Gründe geltend. Diese Berichte sind somit nicht zu berücksichtigen (<ref-ruling>; nicht publ. E. 2.3 des Urteils <ref-ruling>, in SVR 2009 BVG Nr. 30 S. 109 [9C_920/2008]; Urteil 8C_684/2009 vom 23. April 2010 E. 2).
3. 3.1 Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers bei Unfällen (<ref-law>, <ref-law>; <ref-ruling>) und unfallähnlichen Körperschädigungen (<ref-law>; <ref-law>; <ref-ruling>, 123 V 43) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt betreffend den für seine Leistungspflicht vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 111 f.; zum Genügen der Teilursächlichkeit siehe <ref-ruling> E. 9.5 S. 125 f.), den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 9.5 S. 125) und den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> f.; RKUV 1993 Nr. U 167 S. 95 E. 5d). Richtig ist auch, dass die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle spielt, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 112). Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers bei Unfällen (<ref-law>, <ref-law>; <ref-ruling>) und unfallähnlichen Körperschädigungen (<ref-law>; <ref-law>; <ref-ruling>, 123 V 43) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt betreffend den für seine Leistungspflicht vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 111 f.; zum Genügen der Teilursächlichkeit siehe <ref-ruling> E. 9.5 S. 125 f.), den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 9.5 S. 125) und den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> f.; RKUV 1993 Nr. U 167 S. 95 E. 5d). Richtig ist auch, dass die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle spielt, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 112). Darauf wird verwiesen.
3.2 3.2.1 Zu ergänzen ist Folgendes: Ein Rotatorenmanschettenriss - wie ihn die Versicherte aufweist (vgl. E. 4 f. hienach) - gehört nach <ref-law> zu den unfallähnlichen Körperschädigungen. Es genügt, wenn ein unfallähnliches Ereignis wenigstens im Sinne eines Auslösungsfaktors hinzutritt (<ref-ruling> E. 2b S. 45). Vorausgesetzt ist jedoch, dass der Riss anlässlich des unfallähnlichen Ereignisses eintritt. Mit <ref-law> soll verhindert werden, dass medizinisch nachgeforscht werden muss, ob ein solcher Riss auch ohne das auslösende Ereignis eingetreten wäre (vgl. SVR 2010 UV Nr. 31 S. 125 E. 5.1 [8C_816/2009]).
3.2.2 Wird durch einen Unfall ein krankhafter Vorzustand verschlimmert oder überhaupt erst manifest, entfällt die Leistungspflicht des Unfallversicherers erst, wenn der Unfall überwiegend wahrscheinlich nicht die natürliche und adäquate Ursache des Gesundheitsschadens darstellt, wenn also Letzterer nur noch und ausschliesslich auf unfallfremden Ursachen beruht. Dies trifft dann zu, wenn entweder der (krankhafte) Gesundheitszustand, wie er unmittelbar vor dem Unfall bestanden hat (Status quo ante), oder aber derjenige Zustand, wie er sich nach dem schicksalsmässigen Verlauf eines krankhaften Vorzustandes auch ohne Unfall früher oder später eingestellt hätte (Status quo sine), erreicht ist. Da es sich hierbei um eine anspruchsaufhebende Tatfrage handelt, liegt die Beweislast - anders als bei der Frage, ob ein leistungsbegründender natürlicher Kausalzusammenhang gegeben ist - nicht bei der versicherten Person, sondern beim Unfallversicherer (SVR 2011 UV Nr. 4 S. 12 E. 3.2 mit Hinweisen [8C_901/2009]).
4. 4.1 Der Sturz der Versicherten vom 18. Dezember 2008 erfüllt den allgemeinen Unfallbegriff nach <ref-law>, was unbestritten ist. Weiter steht aufgrund der Akten fest und ist nicht streitig, dass sie eine Rotatorenmanschettenruptur rechts aufweist.
4.2 Die Vorinstanz hat zusammengefasst erwogen, die Visana habe darzutun, dass die Rotatorenmanschettenruptur rechts der Versicherten degenerativer Natur sei. Dies gelte umso mehr, als sie für den Unfall vom 18. Dezember 2008 Leistungen (wohl in Form von Taggeldern und Heilbehandlung) ausgerichtet und damit ihre Leistungspflicht bzw. die Anspruchsvoraussetzungen anerkannt habe. Aufgrund der medizinischen Aktenlage sei die Rotatorenmanschettenruptur nicht chronisch, sondern traumatisch bedingt und auf den obigen Unfall zurückzuführen. Deshalb sei die Visana bis zum Behandlungsabschluss am 18. Juni 2010 leistungspflichtig. Eine allfällige künftige Leistungspflicht wäre nach entsprechender Anzeige unter dem Titel Rückfall oder Spätfolge zu prüfen.
4.3 Die Visana macht im Wesentlichen geltend, mit der Verfügung vom 17. Juli 2009 habe sie ihre Leistungspflicht grundsätzlich ab Beginn abgelehnt und auf die Rückforderung der zu Unrecht erbrachten Leistungen verzichtet. Die vorinstanzliche Feststellung, sie habe ihre Leistungspflicht anerkannt, sei damit falsch. Gleiches gälte an sich für die Schlussfolgerung der Vorinstanz, sie trage die Beweislast für eine fehlende Unfallkausalität. Allerdings akzeptiere sie den vorinstanzlichen Entscheid teilweise. Gestützt auf das (Akten-)Gutachten des Dr. med. G._, Orthopädische Chirurgie FMH, vom 23. März 2009 und seine Ergänzung vom 22. März 2010 (vgl. E. 5.3 hienach) gelange sie zum Schluss, dass die Behandlung der am 18. Dezember 2008 erlittenen Kontusion der Versicherten als vorübergehende Verschlimmerung eines Vorzustandes zu übernehmen sei; diese Leistungspflicht sei aber vor der Operation des Vorzustandes am 11. Februar 2009 beendet gewesen. Es sei allgemein erwiesen, dass allfällige Verletzungen auch bei einem Vorzustand ausheilten, wenn keine somatisch nachweisbaren Komplikationen die Heilung verhinderten; ob sich alsdann ein Status quo ante oder sine einstelle, hänge davon ab, wie weit fortgeschritten der Vorzustand im Zeitpunkt des Ereignisses bereits vorliege. Der Gutachter Dr. med. G._ habe die Operationsindikation und den -zeitpunkt nie angezweifelt. Es dürfe aber nicht sein, dass eine medizinisch notwendige Therapie (hier die aus orthopädischen Gründen korrekte rasche Operation), nur weil sie vor dem Erreichen des Status quo sine erfolgt sei, wo nachweislich aber nur degenerative Veränderungen erkannt und behandelt worden seien, zu ihren Lasten gingen. Somit habe sie für die obige Operation und deren Folgen nicht aufzukommen.
5. 5.1 Die Visana hat für die nach dem Unfall vom 18. Dezember 2008 aufgetretenen Schulterbeschwerden rechts der Versicherten unbestrittenermassen Leistungen erbracht. Damit hat sie ihre Leistungspflicht und das Vorliegen der Anspruchsvoraussetzungen anerkannt. Demnach liegt die Beweislast für das Dahinfallen des natürlichen Kausalzusammenhangs bei der Visana (Urteil U 523/2006 vom 14. August 2007 E. 4.1 mit Hinweisen), wie die Vorinstanz richtig erwogen hat.
5. 5.1 Die Visana hat für die nach dem Unfall vom 18. Dezember 2008 aufgetretenen Schulterbeschwerden rechts der Versicherten unbestrittenermassen Leistungen erbracht. Damit hat sie ihre Leistungspflicht und das Vorliegen der Anspruchsvoraussetzungen anerkannt. Demnach liegt die Beweislast für das Dahinfallen des natürlichen Kausalzusammenhangs bei der Visana (Urteil U 523/2006 vom 14. August 2007 E. 4.1 mit Hinweisen), wie die Vorinstanz richtig erwogen hat.
5.2 5.2.1 Der die Versicherte erstbehandelnde Dr. med. W._, Allgemeine Medizin FMH, diagnostizierte am 15. Januar 2009 gestützt auf das im Spital X._ durchgeführte MR- Arthrographie der rechten Schulter vom 12. Januar 2009 eine ausschliesslich unfallbedingte Rotatorenmanschettenläsion. Frau PD Dr. med. P._, Chefärztin, Klinik für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Spital X._, stellte im Bericht vom 20. Januar 2009 gestützt auf das obige Arthro-MRI und eine radiologische Schulteruntersuchung vom 19. Januar 2009 die Diagnose einer traumatischen Supraspinatusruptur am rechten Schultergelenk (Sturz direkt auf die Schulter am 18. Dezember 2008). Zwar diagnostizierte das Spital X._ im Austrittsbericht vom 17. Februar 2009 - erstellt durch Dr. med. H._, Oberarzt, und den Assistenzarzt M._ - und im Operationsbericht vom 18. Februar 2009 - verfasst durch Frau PD Dr. med. P._ und Dr. med. H._ - eine chronische Rotatorenmanschettenruptur rechts; indessen ersetzten die gleichen Ärzte diese beiden Berichte durch diejenigen vom 24. Juni 2009, worin sie eine traumatische Rotatorenmanschettenruptur rechts diagnostizierten; im Übrigen liessen sie den Inhalt der Berichte unverändert. Die Hausarztpraxis der Versicherten gab in der Bestätigung vom 3. August 2009 an, die Schulterruptur vom 18. Dezember 2008 sei unfallbedingt; vor dem Unfall sei sie nie wegen Schulterproblemen mit Physiotherapie behandelt worden. Frau PD Dr. med. P._, welche bei der Operation der Versicherten vom 11. Februar 2009 assistierte, legte im Bericht vom 5. August 2009 dar, die Bezeichnung der Rotatorenmanschettenruptur als chronisch im Operationsbericht vom 18. Februar 2009 sei unglücklicherweise falsch gewesen; aufgrund dieses Dokuments habe sich der Begriff chronische Rotatorenmanschette in alle darauf folgenden Berichte eingeschlichen. In ihrem ersten Brief (vom 20. Januar 2009) anlässlich der ersten Konsultation bei ihr am 19. Januar 2009 sei der Sachverhalt ganz klar dokumentiert. Morphologisch gesehen (MR-tomographisch sowie intraoperativ) sei die Muskelqualität, aber auch die Sehnenqualität, hervorragend gewesen, was eine chronische Rotatorenmanschettenruptur ausschliesse. Entsprechend bestehe ein klarer Zusammenhang zwischen den Schulterbeschwerden, die zur Operation geführt hätten, und dem Unfall vom 18. Dezember 2008. Dr. med. U._, Allgemeine Medizin FMH, Vertrauensarzt der KPT, vertrat in seinen Aktenstellungnahmen vom 5. August 2009 sowie 18. Januar und 30. Mai 2010 die Auffassung, die Rotatorenmanschettenruptur der Versicherten sei eine natürlich kausale Folge des Unfalls vom 18. Dezember 2008. Er führte unter anderem aus, es liege ein Unfall mit entsprechender Energiewirkung und stimmigen pathophysiologischen Folgen vor, die mit den erhobenen objektivierbaren Befunden korrelierten. Im Operationszeitpunkt zwei Monate nach dem Unfall sei zu erwarten, dass kleine weitere Begleitverletzungen, sei es im oder ums Schultergelenk oder etwaige Hautschürfungen/Hämatome etc. abgeheilt und somit nicht mehr sichtbar seien.
5.2.2 Die Vorinstanz hat im Lichte dieser Berichte mit einlässlicher Begründung, auf die verwiesen wird, zutreffend erkannt, dass der Rotatorenmanschettenriss rechts der Versicherten überwiegend wahrscheinlich ausschliesslich natürlich kausal auf den Unfall vom 18. Dezember 2008 zurückzuführen ist.
5.3 Aus dem Aktengutachten des Dr. med. G._ vom 23. September 2009 und seiner Ergänzung vom 22. März 2010 kann die Visana nichts zu ihren Gunsten ableiten, wie die Vorinstanz im Ergebnis richtig erkannt hat.
Dr. med. G._ legte im Wesentlichen dar, bei der Versicherten existiere eine vorbestehende, angeblich asymptomatische, degenerative und alterskorrelierende Rotatorenmanschettenläsion rechts. Es handle sich ausschliesslich um unfallfremde Befunde. Das Ereignis vom 18. Dezember 2008 sei wahrscheinlich geeignet gewesen, einen Schulterschmerz auszulösen. Es sei aber keine richtunggebende Verschlimmerung des Vorzustandes eingetreten, da im MRI vom 12. Januar 2009 keine Veränderungen (Anzeichen eines Hämatoms, einer odematösen Veränderung oder eines Bone Bruise oder Ähnliches) beschrieben worden seien, die auf ein zuvor stattgefundenes akutes Ereignis hindeuteten. Es werde nicht in Abrede gestellt, dass präoperativ noch Beschwerden bestanden hätten, die auf das Ereignis als solches zurückgeführt werden könnten; diese seien aber grundsätzlich konservativ behandelbar. Im Operationszeitpunkt am 11. Februar 2009 habe die natürliche Heilung noch gar nicht abgeschlossen sein können. Spätestens Mitte Juni 2009 wäre der Status quo sine eingetreten. Da dieser nicht abgewartet worden sei, weil vorher operiert worden sei, könnten der Status quo ante, aber auch der Status quo sine gar nicht erreicht werden; durch eine persönliche Untersuchung könne die Kausalitätsfrage nicht anders beantwortet werden, als er es getan habe.
Nach dem Gesagten ging Dr. med. G._ davon aus, dass die rechten Schulterbeschwerden im Operationszeitpunkt am 11. Februar 2009 zumindest teilweise noch natürlich kausal auf den Unfall vom 18. Dezember 2008 zurückzuführen waren. Dies genügt für die Bejahung der natürlichen Unfallkausalität und damit der Leistungspflicht der Visana (<ref-ruling> E. 9.5 S. 125 f.). Nicht gefolgt werden kann der Argumentation des Dr. med. G._, die operative Therapie wäre eigentlich erst dann indiziert gewesen, wenn die konservative Therapie nach zirka sechs Monaten (Erreichen des Status quo sine) keine ausreichende Besserung gebracht hätte. Denn zum einen sind seine Ausführungen über den Eintritt des Status quo sine bei konservativer Behandlung widersprüchlich: Während er im Gutachten vom 23. September 2009 von diesen zirka sechs Monaten ausging, setzte er hiefür in der Ergänzung vom 22. März 2010 bei ungestörtem Heilverlauf einen Zeitraum von höchstens zwölf Monaten ein. Zum anderen ist zu beachten, dass Frau PD Dr. med. P._ eine Operation aufgrund der starken Symptomatik, der Lokalisation der Ruptur und des Alters der Versicherten empfahl, wobei sie sich auf das Arthro-MRI vom 12. Januar 2009 und die radiologische Untersuchung vom 19. Januar 2009 stützte (Bericht vom 20. Januar 2009). Dass die Operation nicht lege artis bzw. verfrüht angeordnet worden wäre, kann aufgrund der gesamten Aktenlage nicht angenommen werden.
5.4 Der Behandlungsabschluss erfolgte gemäss aktenmässig belegter und allseits unbestrittener vorinstanzlicher Feststellung am 18. Juni 2010, worauf die Versicherte im angestammten Beruf wieder zu 100 % arbeitsfähig war. Nach dem Gesagten ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Leistungspflicht der Visana bis zu diesem Zeitpunkt bejaht hat. Diese hätte selbst bei Annahme eines degenerativen Vorzustandes für die Leistungen nach <ref-law> allein aufzukommen; Gleiches gälte für allfällige Leistungen nach <ref-law>, da aufgrund der Akten erstellt ist, dass ein etwaiger Vorzustand vor dem Unfall vom 18. Dezember 2008 zu keiner Verminderung der Erwerbsfähigkeit geführt hat (<ref-ruling> E. 3c S. 333; SVR 2010 UV Nr. 31 S. 125 E. 4.2 f.). Die Einwendungen der Visana vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern. Weitere medizinische Abklärungen sind nicht durchzuführen, da hiervon keine neuen entscheidwesentlichen Erkenntnisse zu erwarten sind (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148).
6. Die unterliegende Visana trägt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG; <ref-ruling>). Die KPT hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>; SVR 2011 UV Nr. 4 S. 12 E. 5).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, dem Bundesamt für Gesundheit und S._ schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Februar 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar