Erwägungen:
1. X._ (geb. 1979) stammt aus dem Libanon. Er durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren, in dessen Rahmen er verpflichtet wurde, die Schweiz bis zum 31. Dezember 2000 zu verlassen. Vom 29. Januar bis zum 27. Juli 2001 sowie im Juni 2006 befand er sich in Ausschaffungshaft. Ab dem 18. Januar 2007 galt X._ als verschwunden. Am 5. Januar 2008 wurde er in Genf angehalten und nach Zug verbracht, wo das Amt für Migration ihn erneut in Ausschaffungshaft nahm, welche der Haftrichter am Verwaltungsgericht Zug am 8. Januar 2008 bis zum 4. April 2008 genehmigte. X._ ist hiergegen am 25. Januar 2008 mit dem sinngemässen Antrag an das Bundesgericht gelangt, er sei freizulassen, um freiwillig in einen Drittstaat ausreisen zu können.
2. Die Eingabe ist - soweit der Beschwerdeführer sich darin überhaupt sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt (vgl. <ref-law>) - offensichtlich unbegründet und kann gestützt auf die eingeholten Unterlagen ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden:
2.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden. Zwar will er das Land im Jahr 2007 verlassen und sich in Marseille aufgehalten haben, womit der entsprechende Wegweisungsentscheid als vollzogen zu gelten hätte und nicht mehr mit einer Ausschaffungshaft sichergestellt werden könnte (vgl. das Urteil 2C_394/2007 vom 15. August 2007, E. 2.2 mit Hinweisen), doch befindet sich der Beschwerdeführer heute wiederum illegal in der Schweiz; er durfte deshalb im Sinne von Art. 64 AuG formlos weggewiesen werden, was mit der erneuten Inhaftnahme geschehen ist (vgl. das Urteil 2A.133/2002 vom 26. März 2002, E. 3.2). Der Beschwerdeführer weigert sich weiterhin, in den Libanon zurückzukehren, bzw. ist nicht bereit, hierfür mit den Behörden wirkungsvoll zusammenzuarbeiten. Er hat sich nach eigenen Angaben bewilligungslos in Frankreich aufgehalten und auch dort nichts unternommen, um sich Papiere zu beschaffen; seit Jahren lebt er somit illegal in Europa; bei seinem früheren Aufenthalt in der Schweiz war er zudem straffällig geworden (Verurteilung wegen Drogenhandels). Er erfüllt deshalb die Haftgründe von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG (vgl. <ref-ruling> E. 3).
2.2 Zwar konnte er weder im Jahre 2000 noch im Jahre 2006 in den Libanon ausgeschafft werden, doch scheint dies heute nicht (mehr) ausgeschlossen: Der Beschwerdeführer ist bei einer zentralen Befragung als libanesischer Staatsbürger anerkannt worden; im Hinblick auf seine Identität waren indessen zusätzliche Abklärungen erforderlich, welche eingestellt werden mussten, nachdem er untergetaucht war. Seit dem 15. Februar 2006 steht das Abkommen vom 16. Dezember 2004 zwischen dem Schweizerischen Bundesrat und der Regierung der Libanesischen Republik über die Rückübernahme von Personen mit unbefugtem Aufenthalt in Kraft (SR 0.142.114.899); es kann gestützt darauf davon ausgegangen werden, dass die Ausschaffung zurzeit absehbar ist (vgl. Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG). Es bestehen keinerlei Hinweise dafür, dass sich die Behörden nicht weiterhin mit Nachdruck hierum bemühen würden (vgl. Art. 76 Abs. 4 AuG). Der angefochtene Entscheid verletzt deshalb kein Bundesrecht.
2.3 Was der Beschwerdeführer hiergegen einwendet, überzeugt nicht: Soweit er geltend macht, krank zu sein, kann seinem gesundheitlichen Zustand im Rahmen des Haftvollzugs Rechnung getragen werden. Aufgrund der vorliegenden Unterlagen ist sein Hafterstehungsfähigkeit gegeben. Hinsichtlich seines Einwands, bei einer Haftentlassung bereit zu sein, nach Schweden auszureisen oder sich in einen anderen Staat abzusetzen, ist nicht ersichtlich, wie er dies ohne Papiere und Visum legal tun könnte (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2; <ref-ruling> E. 4.1.2); nur sein Heimatstaat ist verpflichtet, ihn gegebenenfalls zurückzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2). Die illegale Einreise von der Schweiz aus in einen Drittstaat ist strafbar (Art. 115 Abs. 2 AuG), weshalb die Behörden nicht bewusst zu einer solchen Hand bieten dürfen. Der Beschwerdeführer kann seine Haft verkürzen, indem er die Behörden bei der Papierbeschaffung unterstützt. Für alles Weitere wird auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (<ref-law>).
3. Aufgrund der Umstände (Bedürftigkeit, Vollzug der Wegweisung) rechtfertigt es sich, keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Das Amt für Migration des Kantons Zug wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass dem Beschwerdeführer der vorliegende Entscheid korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration des Kantons Zug, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Haftrichter, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Januar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar