Sachverhalt:
A. A.a Die IV-Stelle Bern sprach L._ (geb. 1963) mit Verfügung vom 23. September 1999 eine halbe Invalidenrente mit Wirkung ab 1. Januar 1996 zu. Auf Beschwerde der Versicherten hin hob das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, nach vorgängiger Androhung einer reformatio in peius, die Verfügung auf und verneinte den Anspruch auf eine Invalidenrente (Entscheid vom 9. Januar 2001). Das hierauf angerufene Eidg. Versicherungsgericht hiess die von L._ erhobene Beschwerde insoweit teilweise gut, als es den kantonalen Entscheid und die Verwaltungsverfügung aufhob und die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit sie die Versicherte begutachten lasse und anschliessend über den Rentenanspruch neu verfüge (Urteil I 116/01 vom 27. November 2001).
A.b In der Folge holte die IV-Stelle beim Zentrum für Medizinische Begutachtung (ZMB) MEDAS X._ ein interdisziplinäres Gutachten vom 24. Februar 2004 ein. Gestützt darauf verneinte sie den Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 7. April 2004, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 23. Januar 2006).
Die von der Versicherten hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 18. April 2007 gut, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Akten zum weiteren Vorgehen im Sinne der Erwägungen (d.h. Durchführung weiterer Abklärungen) an die Verwaltung zurück.
A.c Am 28. Mai 2007 teilte die Verwaltung der Versicherten mit, dass sie beabsichtige, beim ZMB MEDAS X._ eine Untersuchung anzuordnen. Von der ihr gleichzeitig eingeräumten Gelegenheit, innert 10 Tagen Einwendungen gegen die Person der Gutachterin oder des Gutachters oder gegen die begutachtende Stelle vorzubringen und allfällige Gegenvorschläge zu unterbreiten, machte die Versicherte mit Schreiben vom 4. Juni 2007 Gebrauch. Sie machte geltend, beim ZMB MEDAS X._ als einem Institut, welches bereits einmal ein "fehlerhaftes Gutachten" abgeliefert habe, bestehe objektiv betrachtet der Anschein der Befangenheit, wenn es aufgefordert werde, die bereits gestellte Diagnose noch einmal zu überprüfen. Da es nicht um eine Verlaufskontrolle oder ein Ergänzungsgutachten gehe, sei eine andere Gutachtensstelle, z.B. die MEDAS Y._, zu beauftragen. Sofern die IV-Stelle diesem Antrag nicht stattgeben könne, ersuche sie um den Erlass einer anfechtbaren Verfügung mit gleichzeitiger Nennung der Namen der konkreten Gutachter.
Am 30. Juli 2007 wies die IV-Stelle den Antrag der Versicherten auf Bezeichnung einer anderen Gutachtensstelle ab und forderte L._ auf, ihrer Mitwirkungspflicht nachzukommen. Sie machte darauf aufmerksam, dass für materielle Einwendungen keine anfechtbare Zwischenverfügung erlassen werden müsse.
Mit Schreiben vom 28. August 2007 liess die Versicherte erneut beantragen, die Begutachtung sei bei der MEDAS Y._ in Auftrag zu geben; eine Begutachtung beim ZMB MEDAS X._ würde eine unzulässige Verfahrensverzögerung bedeuten. Die IV-Stelle hielt an der vorgesehenen Begutachtung durch das ZMB MEDAS X._ fest (Mitteilung vom 4. September 2007).
B. Am 21. September 2007 liess L._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern eine Rechtsverzögerungsbeschwerde einreichen und beantragen, die IV-Stelle sei anzuweisen, sie umgehend von der MEDAS Y._ begutachten zu lassen oder von einer anderen geeigneten Gutachtensstelle, deren Wartezeit aktuell zwei Monate nicht übersteige. Des Weitern brachte sie vor, die Gutachter des ZMB MEDAS X._ seien befangen; die IV-Stelle sei zu verpflichten, darüber mittels einer anfechtbaren Zwischenverfügung zu befinden. Mit Entscheid vom 27. August 2008 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Beschwerde insoweit teilweise gut, als es die IV-Stelle verpflichtete, über die formellen Einwendungen im Zusammenhang mit der angeordneten Begutachtung im ZMB MEDAS X._ eine anfechtbare Zwischenverfügung zu erlassen. Soweit die Rechtsverzögerung betreffend wies es die Beschwerde ab.
C. Gegen den kantonalen Entscheid erheben sowohl das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) als auch L._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten.
Das BSV stellt das Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei insoweit aufzuheben, als die IV-Stelle verpflichtet werde, im Zusammenhang mit der angeordneten Begutachtung im ZMB MEDAS X._ eine anfechtbare Zwischenverfügung zu erlassen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
L._ beantragt, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle anzuweisen, sie umgehend von der MEDAS Y._ oder einer anderen geeigneten Gutachtensstelle, deren Wartezeit aktuell zwei Monate nicht übersteige, begutachten zu lassen.
Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1. Da den beiden Beschwerden derselbe Sachverhalt zugrunde liegt und sie den nämlichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen, werden die beiden Verfahren vereinigt und in einem einzigen Urteil erledigt (<ref-ruling> E. 1 S. 126 mit Hinweisen, welche Rechtsprechung auch unter der Herrschaft des BGG weiterhin anwendbar ist: vgl. Urteil 9C_55/2007 vom 18. Oktober 2007 E. 1).
2. Die Versicherte hat ihre an die Vorinstanz gerichtete Beschwerde mit zwei verschiedenen Argumentationen begründet: Erstens sei über die Frage der Befangenheit des ZMB MEDAS X._ in einer anfechtbaren Verfügung zu entscheiden. Zweitens würde es zu einer ungebührlichen Verfahrensverlängerung führen, wenn das ZMB MEDAS X._ mit der Begutachtung beauftragt werde, weil bei diesem bedeutend längere Wartezeiten als bei anderen Gutachtensstellen bestünden. Die beiden Argumentationen stehen insofern in einem Zusammenhang, als die erste gegenstandslos würde, wenn man der zweiten folgte. Dennoch handelt es sich um zwei verschiedene Begehren, die grundsätzlich auch unabhängig voneinander beurteilt werden können und daher zu selbstständig anfechtbaren Teilentscheiden (<ref-law>) führen. Die Vorinstanz hat das erste Begehren gutgeheissen und die Sache an die IV-Stelle zurückgewiesen zum Erlass einer anfechtbaren Verfügung; insoweit handelt es sich um einen Zwischenentscheid (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f.). Das zweite Begehren hat sie abgewiesen; insoweit liegt ein selbstständig anfechtbarerer Teil-Endentscheid vor.
3. Das BSV wendet sich in seiner Beschwerde nur gegen den Zwischenentscheid. In diesem wurde nicht über das Vorliegen von Ausstandsgründen beim ZMB MEDAS X._ entschieden, sondern nur angeordnet, die IV-Stelle habe über dieselben in einer anfechtbaren Verfügung zu befinden. Die Zulässigkeit der Beschwerde richtet sich damit nicht nach der die Anfechtung von Vor- und Zwischenentscheiden über die Zuständigkeit und den Ausstand regelnden Bestimmung des <ref-law>, sondern nach der der Anfechtung anderer Vor- und Zwischenentscheiden gewidmeten Norm des <ref-law>, gemäss welcher die Beschwerde unter anderem zulässig ist, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a). Ein derartiger Nachteil besteht rechtsprechungsgemäss für die Verwaltung, wenn der Rückweisungsentscheid durch nach Auffassung der Verwaltung rechtswidrige materiellrechtliche Anordnungen den Beurteilungsspielraum der unteren Instanz einschränkt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.). Diese Voraussetzung ist hier nicht gegeben. Denn die Vorinstanz hat nur festgestellt, dass die Versicherte Ausstandsgründe im Sinne von <ref-law> behauptet habe, sich aber nicht dazu geäussert, ob diese Gründe zutreffen; in der Würdigung und Beurteilung der vorgebrachten Ausstandsgründe bleibt die IV-Stelle damit frei. In diesem Sinne stellt der blosse Umstand, dass die IV-Stelle eine (inhaltlich in keiner Weise präjudizierte) Verfügung erlassen muss, keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil dar. Auf die Beschwerde des BSV ist daher nicht einzutreten. Damit wird auch das von ihm gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
4. 4.1 Die Beschwerde der Versicherten richtet sich einzig gegen die Abweisung ihrer Rechtsverzögerungsbeschwerde durch das kantonale Gericht und damit gegen den Teil-Endentscheid; sie ist damit ohne weiteres zulässig (Art. 90 und 91 BGG).
4.2 Die Versicherte lässt geltend machen, eine Beauftragung des ZMB MEDAS X._ führe zu einer unzulässigen Verfahrensverzögerung, betrage doch die Wartezeit für Begutachtungen bei dieser Stelle sechs Monate mehr als bei einer alternativen Gutachtensstelle und komme dem Beschleunigungsgebot angesichts der überlangen Verfahrensdauer von mittlerweile zwölf Jahren absolute Priorität zu.
4.3 Eine Gerichts- oder Verwaltungsbehörde muss jeden Entscheid binnen einer Frist fassen, die nach der Natur der Sache und nach den gesamten übrigen Umständen angemessen erscheint (<ref-ruling> E. 1.1 S. 409; <ref-ruling> E. 5 S. 323; Rüedi, Die Bedeutung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts für die Verwirklichung des Sozialversicherungsrechts des Bundes, ZBJV 1994 S. 74 ff.; Schmuckli, Die Fairness in der Verwaltungsrechtspflege, Freiburg 1990, S. 100 ff.), ansonsten sie dem Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsverbot zuwiderhandelt (Art. 6 Ziff. 1 EMRK und <ref-law>; vgl. dazu Jörg Paul Müller/Markus Schefer, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl. 2008, S. 840 ff.). Dabei kann eine verfassungswidrige Rechtsverweigerung oder -verzögerung auch durch eine positive Anordnung begangen werden, wobei rechtsprechungsgemäss vorausgesetzt wird, dass die fragliche Anordnung rechtsmissbräuchlich getroffen wurde, und sich ein Eingreifen des Gerichts hinsichtlich angeordneter Abklärungsmassnamen nur rechtfertigt, wenn die Behörde ihr Ermessen offensichtlich überschritten hat (Urteil I 91/07 vom 20. März 2007).
4.4 Es lässt sich nicht von der Hand weisen, dass das vorliegende Verfahren ausserordentlich lange dauert (vgl. auch SVR 2007 IV Nr. 44 S. 144, I 946/05 E. 5.4). Indessen ist die lange Dauer nicht einem vorwerfbaren Verhalten einzelner Akteure wie beispielsweise der IV-Stelle zuzuschreiben; vielmehr ergibt sie sich aus einer Kumulation der für die einzelnen Verfahrensschritte benötigten Zeit. Wenn es auch zutrifft, dass sich einzelne Abschnitte wie die Begutachtung durch das ZMB MEDAS X._ oder das Einspracheverfahren vor der IV-Stelle in die Länge zogen, kann auch bei diesen (inzwischen abgeschlossenen und nicht mehr zur Diskussion stehenden) Schritten nicht von einer übermässigen Dauer die Rede sein.
Es steht fest und ist unbestritten, dass die hier einzig streitige Begutachtung durch das ZMB MEDAS X._ (anstelle einer anderen Gutachtensstelle) zu einer weiteren Verfahrensverzögerung von einigen Monaten führt. Angesichts der bisherigen Gesamtdauer des Verfahrens wäre es grundsätzlich höchst wünschbar, eine Gutachtensstelle mit möglichst kurzen Wartezeiten zu beauftragen. Indessen hat die Vorinstanz erwogen, dass es im Sinne der mit Entscheid vom 18. April 2007 angeordneten Einholung eines Ergänzungsgutachtens sinnvoll sei, wenn sich diejenigen Gutachter mit den offenen Fragen befassen könnten, die bereits Kenntnis der gesamten Verhältnisse hätten. Das ist eine sachlich haltbare Überlegung. Hinzu kommt, dass durch die (von der Versicherten nicht angefochtene) Rückweisung an die IV-Stelle zum Erlass einer anfechtbaren Verfügung über die geltend gemachte Befangenheit der Gutachtensstelle ohnehin eine gewisse Verzögerung eintreten wird, insbesondere wenn diese Verfügung ihrerseits wieder angefochten wird. Allerdings kann eine Kumulation der Verzögerungen vermieden werden, wenn die IV-Stelle den Gutachtensauftrag dem ZMB MEDAS X._, sofern sie dessen Befangenheit verneint, sogleich erteilt mit dem Hinweis, dass er hinfällig werde, falls die Befangenheit in einem späteren Rechtsmittelverfahren bejaht werden sollte. Bei dieser Sachlage dringt die Versicherte mit ihrer Rechtsverzögerungsrüge nicht durch.
5. Die Versicherte, welche mit ihrer Beschwerde unterliegt, trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Für das BSV besteht von vornherein keine Kostenpflicht (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 9C_825/2008 und 9C_829/2008 werden vereinigt.
2. Auf die Beschwerde des Bundesamtes für Sozialversicherungen wird nicht eingetreten.
3. Die Beschwerde der L._ wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden L._ auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. November 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann