Erwägungen:
1.
1.1. X._ (geb. 1948) ist seit ihrer Geburt in der Stadt A._ angemeldet und besitzt dort zwei Liegenschaften. Da sie sich regelmässig im Ausland aufhielt, forderten die Einwohnerdienste sie am 14. Oktober und 17. November 2008 auf, sich in A._ schriftlich abzumelden. Nach einer dritten erfolglosen Aufforderung wurde die Stadtpolizei mit weiteren Abklärungen beauftragt, wobei sie feststellte, dass die Betroffene sich mehrheitlich in B._ aufhalte, wo sie einen Bauernhof betreibe.
1.2. Am 19. März 2012 verfügte der Chef der Einwohnerdienste der Stadt A._, dass sich der Wohnsitz von X._ nicht mehr in A._ befinde; er meldete sie rückwirkend per 31. Dezember 2011 nach B._ ab. Die Beschwerdekommission der Stadt A._ wies die hiergegen gerichtete Beschwerde am 23. Januar 2013 ab, da sich der Lebensmittelpunkt und der Wohnsitz von X._ im Ausland befinde; gleich entschied das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Solothurn. Nach acht Jahren überwiegender Beziehungen zu B._ könne nicht mehr von einem bloss vorübergehenden dortigen Aufenthalt gesprochen werden.
1.3. Mit Urteil vom 18. Oktober 2013 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die von X._ hiergegen eingereichte Beschwerde gut und hob die Verfügung der Einwohnerdienste der Stadt A._ vom 23. Januar 2013 und den Entscheid des Volkswirtschaftsdepartements vom 8. August 2013 auf. Der Streitgegenstand sei nicht eine internationale privatrechtliche Problematik, sondern eine solche des schweizerischen öffentlichen Rechts, wobei vorfrageweise auf den Wohnsitzbegriff des ZGB abzustellen sei. X._ habe nachweislich weder in B._ noch sonst irgendwo einen neuen Wohnsitz begründet. Dass sie sich seit mehreren Jahren überwiegend in B._ aufhalte, ändere hieran nichts. Solange sie keinen neuen Wohnsitz begründe, könne sie nicht verpflichtet werden, sich in A._ abzumelden.
1.4. Die Einwohnergemeinde der Stadt A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 18. Oktober 2013 aufzuheben und festzustellen, dass sich der Wohnsitz von X._ nicht mehr in A._ befinde. Es handle sich um einen Präzedenzfall für künftige Wohnsitzfragen. X._ halte sich in B._ nicht als Touristin auf; sie habe in B._ einen Betrieb begründet, mit dem Zweck, Ziegen zu züchten und Milch sowie Milchprodukte herzustellen, was ein klares Indiz dafür bilde, dass sie sich mit der Absicht des dauernden Verbleibs dort aufhalte. Es könne nicht sein, dass der Wohnsitz einer Person davon abhänge, wo sie sich lieber anmelde bzw. nicht anmelden möchte.
2.
2.1. Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Zwar prüft das Bundesgericht die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1; Urteil 2C_919/2011 vom 9. Februar 2012 E. 1.1); dies befreit die Beschwerdeführenden indessen nicht davon, kurz darzulegen, dass und inwiefern die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind. Soweit diese nicht offensichtlich erscheinen, ist es nicht Aufgabe des Gerichts, anhand der kantonalen Gesetzgebung oder der Akten nach solchen zu suchen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356).
2.2. Gemäss <ref-law> sind Gemeinden und andere öffentlich-rechtliche Körperschaften zur Beschwerde berechtigt, wenn sie die Verletzung von Garantien rügen, die ihnen die Kantons- oder Bundesverfassung gewährt. Für das Eintreten ist bei Autonomiebeschwerden ausschlaggebend, ob die Gemeinde durch einen Verwaltungsakt in ihrer Eigenschaft als Trägerin hoheitlicher Gewalt berührt ist und eine Verletzung ihrer Autonomie rechtsgenügend begründet geltend macht. Dies ist hier nicht der Fall: Die Beschwerdeführerin beruft sich auf das Willkürverbot und das Bundesgesetz über die Harmonisierung der Einwohnerregister und anderer amtlicher Personenregister (RHG; SR 431.02) bzw. <ref-law>, die falsch angewendet worden sein sollen. Sie legt indessen nicht dar, inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid in einem Bereich ihrer Autonomie (<ref-law>) betroffen wäre. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich darauf, zu unterstreichen, dass sie besonders berührt sei, da sie ein Interesse daran habe, zu wissen, "wer auf ihrem Gemeindegebiet wohnt oder nicht"; sie müsse darüber Bescheid wissen, wen sie mit Wasser, Energie etc. zu versorgen habe und bei wem sie Abgaben für Gemeindeleistungen" erheben könne. Dies genügt nicht, um eine Autonomiebeschwerde im Sinne von <ref-law> rechtsgenügend zu begründen.
2.3. Nur soweit die Gemeinde zur Autonomiebeschwerde befugt ist, kann sie akzessorisch eine Verletzung anderer verfassungsmässiger Rechte rügen, so namentlich etwa eine solche des Willkürverbots, falls diese Vorbringen mit der Autonomieverletzung in engem Zusammenhang stehen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 206; <ref-ruling> E. 1 S. 93; <ref-ruling> E. 3b S. 255). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; es besteht vielmehr eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin stellt ihre Ansicht appellatorisch den Überlegungen der Vorinstanz gegenüber; sie legt indessen nicht dar, inwiefern deren Ausführungen im Resultat offensichtlich unhaltbar wären. In der Sache selber ist zudem zweifelhaft, ob und wieweit bei der umstrittenen Frage überhaupt ein relevanter Handlungsspielraum besteht, der gerade auf die besonderen Verhältnisse und Bedürfnisse in der jeweiligen Gemeinde ausgerichtet ist (vgl. das Urteil 2C_919/2011 vom 9. Februar 2012 E. 2.3.2); hierauf hätte die Beschwerdeführerin eingehen müssen.
2.4. Zwar kann das Gemeinwesen in bestimmten Fällen auch in hoheitlichen Interessen derart berührt sein, dass die Rechtsprechung von einem schutzwürdigen Interesse im Sinne von <ref-law> ausgeht. Dabei setzt die Beschwerdebefugnis zur Durchsetzung hoheitlicher Anliegen jedoch eine erhebliche Betroffenheit in wichtigen öffentlichen Interessen voraus; gestützt auf die allgemeine Legitimationsklausel von <ref-law> sind Gemeinwesen nur restriktiv zur Beschwerdeführung zuzulassen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 47). Das allgemeine Interesse an der richtigen Rechtsanwendung verschafft ihnen allein noch keine Beschwerdebefugnis. Insbesondere ist die im Rechtsmittelverfahren unterlegene Vorinstanz nicht berechtigt, gegen den sie desavouierenden Entscheid an das Bundesgericht zu gelangen. Zur Begründung des allgemeinen Beschwerderechts genügt auch nicht jedes beliebige, mit der Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe direkt oder indirekt verbundene finanzielle Interesse des Gemeinwesens (<ref-ruling> E. 2.4). Eine derartige spezifische und qualifizierte Betroffenheit des Gemeinwesens ist hier weder ersichtlich, noch wird eine solche in vertretbarer Weise substanziiert dargetan.
3.
3.1. Auf die Beschwerde ist deshalb nicht einzutreten. Dies kann ohne Weiterungen durch den Präsidenten als Einzelrichter im Verfahren nach <ref-law> geschehen.
3.2. Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 letzter Satz bzw. <ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist keine Entschädigung geschuldet, da ihr durch das vorliegende Verfahren kein Aufwand entstanden ist (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Entschädigungen zugesprochen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Januar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar