Erwägungen:
1. 1.1 Der türkische Staatsangehörige X._ (geb. 1984) heiratete am 8. März 2007 in seiner Heimat eine in der Schweiz niederlassungsberechtigte Landsfrau und reiste am 6. Juni 2007 in die Schweiz ein. Gestützt auf diese Ehe erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung, die letztmals bis zum 5. Juni 2010 verlängert wurde. Anfang Juni 2009 hoben die Eheleute den gemeinsamen Haushalt auf. Zwischen Juni 2009 und Januar 2010 kam es zu diversen Fällen von häuslicher Gewalt des Ehemanns gegenüber der Ehefrau.
1.2 Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern verweigerte mit Verfügung vom 15. Juni 2010 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._, wies diesen aus der Schweiz weg und setzte ihm eine Ausreisefrist bis zum 15. August 2010. Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern wies die hiergegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 19. Oktober 2010 ab und setzte eine neue Ausreisefrist auf den 30. November 2010 fest. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin am 9. März 2011 und setzte die Ausreisefrist neu auf den 21. April 2011 fest. In den Erwägungen hielt es fest, da sich die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung als rechtmässig erweise, sei auch die darauf folgende Wegweisung nicht zu beanstanden.
1.3 Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 13. April 2011 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 9. März 2011 aufzuheben und seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz, insbesondere zur Prüfung der Zumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs, zurückzuweisen.
1.4 Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern und das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern verzichtet auf eine Vernehmlassung. Am 30. August 2011 reichte der Beschwerdeführer eine Replik zu den Vernehmlassungen ein.
Mit Verfügung vom 18. April 2011 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
2. Die Eingabe des Beschwerdeführers erweist sich als offensichtlich unbegründet; sie kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden.
3. 3.1 Ausländische Ehegatten von niedergelassenen Ausländern haben unter Vorbehalt von Art. 51 AuG Anspruch auf Erteilung und Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit ihrem Partner zusammenwohnen (Art. 43 Abs. 1 AuG). Der Bewilligungsanspruch besteht trotz Auflösens bzw. definitiven Scheiterns der Ehegemeinschaft fort, wenn diese mindestens drei Jahre gedauert und die betroffene ausländische Person sich hier zudem erfolgreich integriert hat (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG; <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 119). Eine (relevante) Ehegemeinschaft liegt vor, wenn die eheliche Beziehung tatsächlich gelebt wird und ein gegenseitiger Ehewille besteht. Mit Blick auf Art. 49 AuG, der den Ehegatten bei weiterdauernder Familiengemeinschaft gestattet, aus "wichtigen Gründen" getrennt zu leben, was auch bei vorübergehenden Schwierigkeiten in der Ehe kurzfristig der Fall sein kann (vgl. Art. 76 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE, SR 142.201]), ist jeweils aufgrund sämtlicher Umstände im Einzelfall zu bestimmen, ab welchem Zeitpunkt die eheliche Gemeinschaft als definitiv aufgelöst zu gelten hat. Für die Berechnung der Frist von drei Jahren ist ausschliesslich die in der Schweiz gemeinsam verbrachte Zeit massgebend (<ref-ruling> E. 3.3 S. 117 ff.).
3.2 Die Ehegatten X._ haben sich hier unbestrittenermassen vor Ablauf des dreijährigen gemeinsamen Aufenthalts in der Schweiz definitiv getrennt, weshalb der Beschwerdeführer sich nicht auf Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG berufen kann. Ein wichtiger Grund zum Getrenntleben lag aufgrund der konkreten Umstände nicht vor: Art. 49 AuG ermöglicht in Krisensituationen nur kurze Unterbrüche der Wohn- und Lebensgemeinschaft, falls eine Wiedervereinigung mit einer minimalen Wahrscheinlichkeit absehbar erscheint, was hier nicht der Fall war (vgl. angefochtener Entscheid E. 4.1).
3.3 Der Beschwerdeführer beruft sich aufgrund der gesamten Umstände im Wesentlichen nur noch auf einen nachehelichen Härtefall im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG. Danach besteht der Bewilligungsanspruch zwar fort, falls "wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen" (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 3 ff.). Solche bestanden hier indessen nicht: Der Beschwerdeführer ist erst mit 23 Jahren in die Schweiz gekommen und hielt sich zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids bloss seit rund vier Jahren in der Schweiz auf. Die Ehe des Beschwerdeführers wurde inzwischen mit Entscheid des Regionalgerichts Bern-Mittelland vom 5. September 2011 geschieden; dieser sind keine hier anwesenheitsberechtigten Kinder entsprungen. Die Vorinstanz hat für das Bundesgericht zudem verbindlich (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) festgestellt, dass der Beschwerdeführer seiner Ehefrau wiederholt physische Gewalt (Tätlichkeiten, Beschimpfungen, Drohungen, etc.) zugefügt hat (vgl. angefochtener Entscheid E. 3.1), was von diesem im Übrigen nicht bestritten wird (vgl. Beschwerdeschrift S. 5 unten).
Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, es sei bei ihm gestützt auf das Arztzeugnis vom 19. November 2010 von Dr. med. A._ aus medizinischen Gründen ("depressive Störung mit teilweiser paranoider Verarbeitung einer sehr schwierigen Beziehungskonstellation") ein wichtiger Grund im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG anzuerkennen, hat die Vorinstanz das Wesentliche dazu ausgeführt (vgl. angefochtener Entscheid E. 4.2): Bei der Frage, ob und inwieweit dem Ausländer aufgrund seines Gesundheitszustandes eine Rückkehr in seine Heimat zumutbar ist, spielt namentlich eine Rolle, ob dort Behandlungsmöglichkeiten bestehen. Soweit die medizinische Versorgung im Heimatland gewährleistet ist, kann sich der Ausländer regelmässig nicht darauf berufen, dass die Versorgung in der Schweiz einem höheren Standard entspricht (vgl. zu Art. 13 lit. f BVO: <ref-ruling> E. 5.3 S. 209; Urteile 2C_826/2008 vom 6. März 2009 E. 3.5.3; 2C_113/2009 vom 30. Juni 2009 E. 3.2). Die Vorinstanz hat festgestellt, dem Beschwerdeführer könne die allenfalls benötigte Therapie auch in der Türkei zu Teil werden. Diese Sachverhaltsfeststellung wird vom Beschwerdeführer nicht beanstandet und ist für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>). Bei dieser Sachlage hat die Vorinstanz zu Recht das Vorliegen eines Härtefalls bzw. eines wichtigen Grundes verneint.
3.4 Es sind ausserdem keine weiteren Umstände ersichtlich oder geltend gemacht worden, die im Rahmen der Gesamtwürdigung nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG zu einer anderen Beurteilung führen würden. Namentlich ist der Beschwerdeführer erst als Erwachsener in die Schweiz gelangt und hat seine prägenden Kinder- und Jugendjahre in seinem Heimatland verbracht. Auch ist er weder beruflich noch privat überdurchschnittlich integriert. Der Umstand, dass seine Eltern und Geschwister in der Schweiz leben, stellt für sich keinen wichtigen Grund dar. Ergänzend wird auf die zutreffenden Ausführungen in der Vorinstanz verwiesen (<ref-law>).
4. Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz habe nicht geprüft, ob Wegweisungsvollzugshindernisse bestünden, wodurch sein Anspruch auf rechtliches Gehör sowie Art. 83 Abs. 1, 4 und 6 AuG und das Willkürverbot verletzt seien. Da die Nichtverlängerung der Bewilligung die Wegweisung aus der Schweiz zur Folge habe, hätte die Vorinstanz prüfen müssen, ob Wegweisungsvollzugshindernisse bestehen. Mit der Feststellung, der Wegweisungsvollzug sei nicht zu beanstanden, weil sich die Nichtverlängerung der Bewilligung als rechtmässig erweise, habe die Vorinstanz ihre Pflicht zur Prüfung von Wegweisungsvollzugshindernissen verletzt.
4.1 Gemäss dem bis Ende 2010 in Kraft gewesenen und hier noch anwendbaren aArt. 66 AuG (vgl. heute Art. 64 ff. AuG) werden Ausländerinnen und Ausländer aus der Schweiz weggewiesen, wenn ihre Bewilligung verweigert, widerrufen oder nicht verlängert wird. Ist der Vollzug der Wegweisung nicht möglich, nicht zulässig oder nicht zumutbar, so verfügt das Bundesamt auf Antrag der kantonalen Behörden die vorläufige Aufnahme (Art. 83 Abs. 1 und 6 AuG). Der Vollzug kann unzumutbar sein, wenn die betreffenden Personen in Situationen wie Krieg, Bürgerkrieg, allgemeiner Gewalt und medizinischer Notlage im Heimat- und Herkunftsstaat konkret gefährdet sind (Art. 83 Abs. 4 AuG). Vollzugshindernisse können von jedem weggewiesenen Ausländer gegenüber jeder wegweisenden Behörde vorgebracht werden und sind von dieser zu prüfen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 309). Der kantonal letztinstanzliche Entscheid über die Wegweisung kann vor Bundesgericht nicht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, sondern nur mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde angefochten werden (Art. 83 lit. c Ziff. 4 und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 307).
4.2 Im Verhältnis zu Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG ist jedoch eine Besonderheit zu beachten: Die Wegweisungsvollzugshindernisse im Sinne von Art. 83 Abs. 1 - 4 AuG sind in aller Regel zugleich geeignet, die Wiedereingliederung im Sinne von Art. 50 Abs. 2 AuG zu gefährden und damit einen wichtigen persönlichen Grund im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG zu begründen. Die entsprechenden Fragen können daher nicht in das Vollzugsverfahren verwiesen werden, sondern sind im Rahmen der Anspruchsbewilligung zu prüfen (BGE 2C_784/2010 vom 26. Mai 2011 E. 3.3.2) und können insoweit vom Bundesgericht im Rahmen einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten überprüft werden (<ref-law> e contrario). Wird diese Prüfung korrekt vorgenommen und das Vorliegen wichtiger persönlicher Gründe verneint, so ist damit auch das Vorliegen von Vollzugshindernissen im Sinne von Art. 83 Abs. 4 AuG verneint (ausser allenfalls von solchen, die erst nach der erfolgten Prüfung eingetreten sind), da die dort genannten Gründe von erheblich schwererer Natur sind als diejenigen, die im Rahmen von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG anerkannt werden. Insoweit sind entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers die Prüfung der Aufenthaltsbewilligung und der Wegweisungsvollzug nicht völlig verschiedene Dinge, sondern fallen inhaltlich zusammen.
4.3 Vorliegend hat die Vorinstanz im Rahmen der Prüfung der Anspruchsbewilligung (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG) die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Gründe (namentlich medizinischer und familiärer Art) geprüft und zulässigerweise verneint (vgl. E. 3 hiervor). Der Beschwerdeführer hat weder vor der Vorinstanz noch vor Bundesgericht weitere Gründe im Sinne von Art. 83 Abs. 4 AuG geltend gemacht, die einem Vollzug der Wegweisung entgegenstehen würden. Unter diesen Umständen impliziert die Verneinung von wichtigen persönlichen Gründen zugleich die Verneinung von Vollzugshindernissen. Die beanstandete Erwägung der Vorinstanz ist deshalb nicht bundesrechtswidrig und schon gar nicht willkürlich.
4.4 Da damit alle vorgebrachten Kritikpunkte im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten geprüft werden können, ist auf die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten (vgl. <ref-law>).
5. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich somit als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> abzuweisen. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern, der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Oktober 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger