Sachverhalt:
A. Der 1940 geborene G._ war seit 1960 bei der Firma J._ als Elektroschweisser tätig gewesen und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Im Mai 2001 wurde bei ihm eine Hämochromatose (mit Leber- und Gelenkschädigung) sowie im November 2003 eine Lungenfibrose festgestellt. Am 17. September 2004 verstarb G._ an seinen Gesundheitsbeschwerden. Er hinterliess seine Ehefrau P._ sowie die Kinder E._ und N._. Mit Verfügung vom 7. September 2007 verneinte die SUVA den von seiner Witwe geltend gemachten Anspruch auf eine Hinterlassenenrente, da weder eine Berufskrankheit noch ein Unfall vorgelegen habe. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 7. Februar 2008 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde der P._ wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 1. Juli 2009 ab.
C. P._ sowie die gemeinsamen Kinder E._ und N._ lassen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und sinngemäss beantragen, es seien ihnen die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen, insbesondere sei festzustellen, dass der Verstorbene G._ an einer Berufskrankheit gelitten habe, und es sei anzuerkennen, dass sein Tod zumindest teilursächlich durch eine Berufskrankheit verursacht worden sei. Es seien Hinterlassenenrenten (einschl. Zinsen und Teuerungsausgleich) sowie Schadenersatz und Genugtuung zuzusprechen. In prozessualer Hinsicht wird eine Partei- und Zeugenbefragung beantragt; eventuell seien ergänzende medizinische Abklärungen und ein Augenschein am ehemaligen Arbeitsplatz hinsichtlich der gesundheitsschädigenden Exposition chemischer Substanzen vorzunehmen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. 2.1 Insoweit in der Beschwerde die Zusprechung von Genugtuung und Schadenersatz verlangt wird, ist darauf nicht einzutreten. Diese Begehren liegen ausserhalb des hier massgebenden Verfahrensgegenstandes.
2.2 Weiter fehlt es an der Beschwerdelegitimation von E._ und N._ mangels Teilnahme am vorinstanzlichen Verfahren (Art. 89 Abs. 1 lt. a BGG; vgl. Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, N 8 zu Art. 89). Mit Blick auf die von den Kindern des Versicherten geltend gemachten Ansprüche ist daher auf die Beschwerde ebenfalls nicht einzutreten.
3. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen und die darauf beruhende Rechtsprechung zur Definition von Berufskrankheiten, die durch bestimmte schädigende Stoffe verursacht wurden (<ref-law> einschliesslich Anhang 1 zur UVV), und solche, die ausschliesslich oder stark überwiegend auf die berufliche Tätigkeit zurückzuführen sind (<ref-law>), richtig wiedergegeben. Korrekt sind auch die Darlegungen zu den Leistungsvoraussetzungen der natürlichen Kausalität und zu dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit und zum Anspruch auf eine Hinterlassenenrente gemäss <ref-law>. Es wird darauf verwiesen.
4. Streitig und zu prüfen ist, ob der Versicherte an einer Berufskrankheit litt, die einen Anspruch seiner Witwe auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung begründen.
4.1 In tatsächlicher Hinsicht steht fest, dass der verstorbene Ehegatte der Beschwerdeführerin an einer Hämochromatose mit Leberzirrhose und an einer Lungenfibrose litt, wobei Vorinstanz und SUVA verneinen, dass diese Leiden in überwiegendem Masse auf seine rund 44-jährige Tätigkeit als Elektroschweisser zurückzuführen sind.
4.2 Den verfügbaren Akten lässt sich entnehmen, dass sich die Leberfunktion trotz intensiver Therapie mit Aderlässen (und physikalischer Therapie für die mitbetroffenen Gelenke) bedrohlich verschlechterte, sodass der Versicherte wegen einer Pneumonie und Progredienz der Hämochromatose seit 25. August 2004 im Spital L._ und ab 27. August bis 14. September 2004 im Regionalspital R._ hospitalisiert war. Bei zunehmender Verschlechterung des Allgemeinzustands mit SIRS (systemic inflammatory response syndrome), Pressoren-bedürftiger Kreislaufinstabilität, Gasaustauschstörung und schlechter Leberfunktion fand schliesslich eine Verlegung ins Universitätsspital Z._ statt, zwecks weiterer Betreuung und Abklärung einer Lebertransplantation, die jedoch nicht mehr in Frage kam. In diagnostischer Hinsicht wurde primär eine Sepsis bei spontan-bakterieller Peritonitis und respiratorischer Insuffizienz sowie die bekannten Leiden (Leberzirrhose Child C, differentialdiagnostisch: zusätzliche Aetiologie, heterozygote Hämochromatose sowie Lungenfibrose unklarer Aetiologie) gestellt. Die verfügbaren Akten lassen damit den Schuss zu, dass der Versicherte an den Folgen einer akuten Sepsis im Zusammenspiel mit der fortgeschrittenen chronischen Erkrankung in Form der Leberzirrhose bei Hämochromatose verstorben ist.
4.3 Mit Blick auf die Hämochromatose und der unbestrittenerweise damit zusammenhängenden Leberzirrhose (differentialdiagnostisch: zusätzliche Ätiologie gemäss Austrittsbericht des Universitätsspitals Z._ vom 20. September 2004 und Bericht des Kantonsspitals B._ vom 25. September 2003) ist zwar zutreffend, dass beim Versicherten entgegen den Ausführungen in der ärztlichen Beurteilung der Frau Dr. med. E._, Fachärztin für Arbeitsmedizin und Allgemeinmedizin, SUVA Abteilung Arbeitsmedizin, vom 7. August 2007, keine der drei häufigsten Mutationen C282Y, H63D und S65C im HFE-Gen nachgewiesen wurden, wie schon die Vorinstanz erwog. Gemäss den molekulargenetischen Analysen des HFE-Gens der Frau Prof. Dr. phil. nat. G._, Leiterin der molekularen Humangenetik, Medizinische Universitäts-Kinderklinik, Spital N._, bedeutet dies einzig, dass die Krankheit durch andere Mutationen im HFE-Gen oder in weiteren am Eisenstoffwechsel beteiligten Genen verursacht wurde (Bericht vom 14. Februar 2003). In den gesamten medizinischen Akten finden sich dementsprechend keinerlei Hinweise oder auch nur Verdachtsäusserungen ärztlicherseits, dass nicht ein Gen-Defekt, sondern äussere Einflüsse, namentlich, wie geltend gemacht wird, das Einatmen schädlicher Stoffe (Eisenoxidpartikel im Schweissrauch) während der langjährigen Tätigkeit als Elektroschweisser, zur Krankheit führten. Auch der langjährige Hausarzt Dr. med. B._, Spezialarzt für Innere Medizin FMH, hegte gemäss Aktenlage nie die geringsten Zweifel am Vorliegen einer hereditären Hämochromatose. Die vom Chirurgen Dr. U._ in seinem im Rahmen des vorinstanzlichen Verfahrens erstellten Privatgutachten vom 21. Februar 2008 geäusserte Meinung, die (Erb)-Krankheit wäre sehr wahrscheinlich nicht zum Ausbruch gekommen, wenn der Versicherte nicht über so lange Zeit den schädlichen Schweissrauchen ausgesetzt gewesen wäre, überzeugt nach dem Gesagten nicht, zumal er weder Expertenmeinungen oder medizinische Literatur nennt, die seine Ansicht einer berufsbedingten Hämochromatose stützen könnten, und seine fachliche Qualifikation zur Beurteilung der vorliegenden Gesundheitsschäden nicht ausgewiesen ist.
Die Voraussetzung des ausschliesslichen oder stark überwiegenden Zusammenhanges der beruflichen Tätigkeit gemäss des hier einzig in Betracht kommenden <ref-law>, womit rechtsprechungsgemäss die Krankheit mindestens zu 75 % durch die berufliche Tätigkeit verursacht worden sein muss (<ref-ruling> E. 2b S. 186 mit Hinweisen), ist hinsichtlich der Hämochromatose mit Leberzirrhose und ausgeprägter Gonarthrose nicht erfüllt.
4.4 Insoweit die (radiologisch) festgestellte Lungenfibrose unter dem Titel der Berufskrankheit zu einer Leistungszusprechung führen soll, ist mit der Vorinstanz der Schluss zu ziehen, dass der Nachweis eines qualifizierten (zumindest stark überwiegenden [Anteil von mindestens 75 %]) Kausalzusammenhanges zwischen beruflicher Tätigkeit und Lungenfibrose nicht erbracht ist (<ref-ruling> E. 4c S. 189), wie sich insbesondere gestützt auf die diesbezüglich überzeugenden und schlüssigen Darlegungen der Frau Dr. med. E._ in ihrer Beurteilung vom 7. August 2007 (vgl. zum Beweiswert von versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen: BGE 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 4.4; <ref-ruling> E. 1d S. 162) ergibt. Gemäss Dr. med. E._ ist aufgrund des aktuellen medizinischen Wissensstandes davon auszugehen, dass bei Schweissern als Berufskollektiv für Lungensiderosen (reine Eiseneinlagerung in Körpergeweben) keine sichere Überinzidenz besteht, in Einzelfällen jedoch ein wahrscheinlicher Kausalzusammenhang gegeben ist. Ob diese exogenen Eiseneinlagerungen eine Fibrosierung des Lungengewebes hervorrufen können, ist jedoch laut Frau Dr. med. E._ umstritten. Wie die SUVA-Ärztin weiter festhielt, ist zwar anzunehmen, dass der Versicherte über viele Jahre unter ungünstigen Bedingungen seiner Tätigkeit als Schweisser nachging. Die Lungenfibrose wurde aber einzig mit CT im Jahre 2003 festgestellt und nicht weiter abgeklärt (beispielsweise mittels Biopsie diagnostisch bestätigt). Selbst wenn eine berufsbedingte Lungenfibrose vorgelegen haben sollte, ist aus den gesamten medizinischen Akten zu schliessen, dass diese eine untergeordnete Rolle hinsichtlich der vorliegenden Gesundheitsschäden spielte und weder die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigt hatte, noch zum Tod geführt hat.
Der rechtlich relevante Sachverhalt ergibt sich nach dem Gesagten mit hinreichender Klarheit aus den Akten, weshalb auf die anbegehrten prozessualen Vorkehrungen verzicht werden kann. Damit muss es mit der letztinstanzlichen Feststellung, dass keine Berufskrankheit vorliegt, die zu entsprechenden Leistungen des Unfallversicherers führen würde, sein Bewenden haben.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, die gesamten Gerichtskosten der Beschwerdeführerin 1 aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde der Beschwerdeführerin 1 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Auf die Beschwerde der Beschwerdeführer 2 wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin 1 auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Dezember 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Polla