Faits :
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A. A.a S.Y._, née en 1973, de nationalité allemande, a été victime d'un accident de la circulation, dans la nuit du 24 au 25 juillet 1989, lors d'un séjour de vacances en Espagne. Dans des circonstances qui n'ont pas été élucidées, l'intervention de la police n'ayant pas été requise, elle a chuté d'une moto dont le conducteur, domicilié en Espagne, avait perdu la maîtrise. Il n'a pas été allégué qu'un tiers aurait été impliqué dans cet accident. Conduite à l'hôpital local par des proches qui précédaient la moto dans un autre véhicule, la victime a été transférée, quelques jours plus tard, par avion, à Genève, où elle avait alors son domicile, pour y être hospitalisée jusqu'au 11 août 1989.
Principale lésion causée par cet accident, la fracture de la colonne vertébrale subie par S.Y._ a eu des séquelles, sous la forme d'une symptomatologie douloureuse et d'un état dépressif, lesquelles se sont accentuées dès 1993 et ont persisté depuis lors, malgré une intervention chirurgicale pratiquée en 1994 qui a apporté un soulagement passager mais aussi des douleurs nouvelles attribuées à l'implantation du matériel d'ostéosynthèse qu'il était question de retirer en 2003.
Lorsque l'accident s'est produit, S.Y._ venait d'achever sa première année à l'Ecole de culture générale avec de bons résultats. N'ayant pu reprendre sa scolarité, elle a commencé, en novembre 1990, un apprentissage d'employée de commerce qu'elle a poursuivi jusqu'en mai 1992. Elle a ensuite travaillé dans l'entreprise de son père avant d'être licenciée en février 1994 au motif que ses problèmes de dos ne lui permettaient plus d'accomplir les tâches qui lui étaient confiées.
S.Y._ a touché différentes prestations des assurances sociales. Par décision du 1er septembre 2000, l'Office cantonal AI l'a reconnue invalide à 50% dès le 1er août 1998, taux qui a été porté à 75% dès le 1er août 2000 par une nouvelle décision du 1er février 2002.
A.b Le 29 juillet 1989, K.Y._ a adressé une déclaration de sinistre pour l'accident de sa fille mineure à W._, son assurance de protection juridique. Contestant que le sinistre fût couvert par la police d'assurance, cette compagnie a néanmoins accepté d'entreprendre des démarches extrajudiciaires à bien plaire. Celles-ci n'ont toutefois consisté qu'en des interventions ponctuelles auprès d'une caisse-maladie, pour le règlement des factures médicales, et auprès de V._ Assurances, laquelle s'était engagée à verser une somme de 100'000 fr. en cas d'invalidité totale présumée définitive, à teneur d'un contrat d'assurance-accidents conclu par le prénommé en faveur de sa fille. W._ n'a, en revanche, rien entrepris à l'encontre du responsable de l'accident ou de la compagnie couvrant la responsabilité civile de cette personne en Espagne.
En juillet 1993, S.Y._ a confié la défense de ses intérêts à un premier avocat. Celui-ci a cherché, tout d'abord, à obtenir une indemnisation de la part de V._ Assurances. La négociation a abouti à la conclusion, le 1er mai 1994, d'une convention en vertu de laquelle l'assurance versait à l'assurée un capital d'invalidité de 20'000 fr. L'avocat a, par ailleurs, tenté sans succès de prendre contact avec l'assureur espagnol couvrant la responsabilité civile du conducteur de la moto et en a informé sa cliente en automne 1994. Le mandat a alors pris fin.
A.c En janvier 1995, S.Y._ a consulté un nouvel homme de loi en la personne de Me X._, avocat à Genève. Elle lui a confié la mission de prendre des renseignements auprès de son précédent mandataire et de W._ pour savoir ce qui avait été accompli à l'égard de l'assureur espagnol et examiner la possibilité d'entreprendre des démarches à l'encontre de celui-ci. Me X._ a délégué l'exécution du mandat à un collaborateur de son étude.
Les deux hommes de loi ont été d'emblée conscients de la nécessité d'interrompre la prescription des créances de leur mandante en Espagne. Ce problème les inquiétait car il apparaissait, à la lecture du dossier, que ni W._ ni le précédent conseil n'avaient agi dans ce but. En dépit de ce constat, fait à fin janvier 1995 déjà, ils n'ont, en définitive, entrepris aucune démarche en vue d'interrompre la prescription dans des circonstances et pour des motifs que les besoins de la cause ne nécessitent pas d'exposer ici.
S.Y._, représentée par l'étude de Me X._, a assigné V._ Assurances en paiement de 30'000 fr. le 17 novembre 1999. Par arrêt du 22 février 2002, confirmant le jugement de première instance, la Cour de justice genevoise a rejeté la demande en raison de la prescription intervenue, selon elle, le 15 septembre 1995 déjà.
En décembre 2001, S.Y._ a mis fin au mandat qui la liait à Me X._. L'avocat lui a fait savoir qu'il renonçait à percevoir ses frais et honoraires, estimés à plus de 15'000 fr., pour l'activité déployée par son étude postérieurement au 11 avril 1997. Dans une lettre du 1er octobre 2002, il a indiqué au nouveau mandataire de son ex-cliente qu'il contestait toute responsabilité dans l'exécution du mandat.
En décembre 2001, S.Y._ a mis fin au mandat qui la liait à Me X._. L'avocat lui a fait savoir qu'il renonçait à percevoir ses frais et honoraires, estimés à plus de 15'000 fr., pour l'activité déployée par son étude postérieurement au 11 avril 1997. Dans une lettre du 1er octobre 2002, il a indiqué au nouveau mandataire de son ex-cliente qu'il contestait toute responsabilité dans l'exécution du mandat.
B. B.a Le 16 novembre 2004, S.Y._ a ouvert action, à Genève, à l'encontre de X._ en vue d'obtenir le paiement de 1'939'695 fr. 60, avec intérêts à 5% dès le 1er janvier 2006, à différents titres (perte de gain, dommage ménager, tort moral, dommage de rente). Elle lui reproche d'avoir manqué fautivement à son obligation de mandataire en n'interrompant pas la prescription de ses droits envers l'assureur espagnol couvrant la responsabilité civile du conducteur de la moto à l'origine de l'accident dont elle a été victime.
Ecartant ce reproche, le défendeur a conclu au rejet de la demande. A sa requête, le Tribunal de première instance a décidé, par ordonnance du 20 juin 2005, de ne statuer d'abord que sur le principe de la responsabilité et de limiter en conséquence la procédure probatoire à cette seule question, tout en réservant, au besoin, une éventuelle instruction ultérieure sur le dommage allégué.
Par jugement du 6 septembre 2006, le Tribunal de première instance a rejeté la demande. Sans trancher les questions litigieuses de la prescription et de la violation de l'obligation de diligence incombant au mandataire, il a considéré que la demanderesse n'avait pas prouvé l'existence d'un lien de causalité naturelle entre la violation invoquée et le dommage subi. En d'autres termes, la demanderesse n'avait pas établi avec une vraisemblance suffisante qu'elle aurait pu obtenir gain de cause devant les tribunaux espagnols si son mandataire avait réussi à empêcher la survenance de la prescription.
B.b Saisie d'un appel de la demanderesse, la Cour de justice genevoise, statuant par arrêt du 8 juin 2007, a annulé le jugement déféré et retourné la cause au Tribunal de première instance pour instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants de son arrêt.
Appliquant le droit suisse en vertu de l'art. 117 al. 2 et 3 let. c LDIP, la cour cantonale a qualifié de mandat, au sens des <ref-law>, la relation contractuelle qui avait uni les parties. Elle a considéré, conformément à l'<ref-law>, que le défendeur répondait des actes ou omissions imputables au collaborateur de son étude à qui il avait délégué l'exécution du mandat. Selon les juges cantonaux, le défendeur avait violé objectivement son devoir de diligence en ne procédant pas aux démarches nécessaires à l'interruption de la prescription, lesquelles n'auraient pas dû lui prendre plus de trois mois, de sorte qu'il aurait pu théoriquement interrompre celle-ci à la mi-avril 1995. L'intéressé n'avait, au demeurant, pas réussi à prouver le caractère non fautif de cette violation, en invoquant l'insuffisance des provisions versées et le retard avec lequel elles l'avaient été. Les juges d'appel ont examiné ensuite si le préjudice allégué était en relation de causalité avec ladite violation. Pour ce faire, ils ont commencé par rechercher, à la lumière des dispositions pertinentes du droit espagnol et des avis de droit produits à leur sujet, si le défendeur aurait pu interrompre la prescription en temps utile. Ils ont répondu à cette question par l'affirmative en retenant que le délai de prescription d'un an, qui avait commencé à courir le 1er juillet 1994 - soit au moment où l'état de santé de la demanderesse s'était suffisamment stabilisé pour permettre à celle-ci d'ouvrir action en pleine connaissance de cause -, aurait pu être interrompu par un simple courrier de réclamation adressé au conducteur responsable ou à son assureur avant le 1er juillet 1995. Les juges cantonaux se sont demandé ensuite si l'appelante aurait très probablement pu gagner son procès en Espagne au cas où la prescription de ses droits aurait dûment été interrompue. A cette question, que le Tribunal de première instance avait tranchée par la négative, ils n'ont pas répondu eux-mêmes. Ils ont, en effet, considéré que le premier juge, en statuant sur ce point, avait privé la demanderesse de son droit de faire valoir ses preuves et ses moyens à ce sujet alors que, à la lecture de l'ordonnance du 20 juin 2005, cette partie pouvait légitimement considérer que le débat serait strictement limité au principe de la responsabilité, c'est-à-dire essentiellement au problème litigieux de l'exécution diligente du mandat en relation avec la survenance de la prescription, à l'exclusion de la question du dommage, qu'il s'agisse de son existence ou de son ampleur. Pour ce motif, la cour cantonale a annulé le jugement entrepris et retourné le dossier au premier juge afin qu'il offre aux parties la possibilité d'administrer des preuves pour établir, respectivement infirmer, tant l'existence du dommage allégué (chances de réussite des démarches qui auraient pu être entreprises contre les responsables en Espagne, existence des divers postes du dommage exposés dans la demande) que son ampleur (somme que le juge espagnol aurait pu allouer à la demanderesse).
Appliquant le droit suisse en vertu de l'art. 117 al. 2 et 3 let. c LDIP, la cour cantonale a qualifié de mandat, au sens des <ref-law>, la relation contractuelle qui avait uni les parties. Elle a considéré, conformément à l'<ref-law>, que le défendeur répondait des actes ou omissions imputables au collaborateur de son étude à qui il avait délégué l'exécution du mandat. Selon les juges cantonaux, le défendeur avait violé objectivement son devoir de diligence en ne procédant pas aux démarches nécessaires à l'interruption de la prescription, lesquelles n'auraient pas dû lui prendre plus de trois mois, de sorte qu'il aurait pu théoriquement interrompre celle-ci à la mi-avril 1995. L'intéressé n'avait, au demeurant, pas réussi à prouver le caractère non fautif de cette violation, en invoquant l'insuffisance des provisions versées et le retard avec lequel elles l'avaient été. Les juges d'appel ont examiné ensuite si le préjudice allégué était en relation de causalité avec ladite violation. Pour ce faire, ils ont commencé par rechercher, à la lumière des dispositions pertinentes du droit espagnol et des avis de droit produits à leur sujet, si le défendeur aurait pu interrompre la prescription en temps utile. Ils ont répondu à cette question par l'affirmative en retenant que le délai de prescription d'un an, qui avait commencé à courir le 1er juillet 1994 - soit au moment où l'état de santé de la demanderesse s'était suffisamment stabilisé pour permettre à celle-ci d'ouvrir action en pleine connaissance de cause -, aurait pu être interrompu par un simple courrier de réclamation adressé au conducteur responsable ou à son assureur avant le 1er juillet 1995. Les juges cantonaux se sont demandé ensuite si l'appelante aurait très probablement pu gagner son procès en Espagne au cas où la prescription de ses droits aurait dûment été interrompue. A cette question, que le Tribunal de première instance avait tranchée par la négative, ils n'ont pas répondu eux-mêmes. Ils ont, en effet, considéré que le premier juge, en statuant sur ce point, avait privé la demanderesse de son droit de faire valoir ses preuves et ses moyens à ce sujet alors que, à la lecture de l'ordonnance du 20 juin 2005, cette partie pouvait légitimement considérer que le débat serait strictement limité au principe de la responsabilité, c'est-à-dire essentiellement au problème litigieux de l'exécution diligente du mandat en relation avec la survenance de la prescription, à l'exclusion de la question du dommage, qu'il s'agisse de son existence ou de son ampleur. Pour ce motif, la cour cantonale a annulé le jugement entrepris et retourné le dossier au premier juge afin qu'il offre aux parties la possibilité d'administrer des preuves pour établir, respectivement infirmer, tant l'existence du dommage allégué (chances de réussite des démarches qui auraient pu être entreprises contre les responsables en Espagne, existence des divers postes du dommage exposés dans la demande) que son ampleur (somme que le juge espagnol aurait pu allouer à la demanderesse).
C. Le défendeur a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à la réforme de l'arrêt cantonal en ce sens que sa responsabilité est définitivement écartée et la demande rejetée. A titre subsidiaire, le recourant requiert le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants de l'arrêt fédéral.
Dans sa réponse, la demanderesse conclut au rejet du recours en tant qu'il est recevable.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Comme la décision attaquée a été rendue après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2007 (RO 2006, 1242), de la loi fédérale sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), le recours est régi par le nouveau droit (<ref-law>).
1. Comme la décision attaquée a été rendue après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2007 (RO 2006, 1242), de la loi fédérale sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), le recours est régi par le nouveau droit (<ref-law>).
2. 2.1 Le recours soumis à l'examen du Tribunal fédéral ne vise pas une décision finale (<ref-law>), ni une décision partielle (<ref-law>), mais une décision préjudicielle ne portant ni sur la compétence ni sur une demande de récusation (cf. <ref-law>), soit une autre décision préjudicielle au sens de l'<ref-law>. Le recours est également ouvert contre de telles décisions si son admission peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>). Cette règle est manifestement inspirée de celle posée par l'ancien art. 50 al. 1 OJ pour le recours en réforme, si bien qu'il y a lieu de se référer à la jurisprudence relative à cette disposition (arrêt 4A_144/2007 du 29 août 2007 destiné à la publication, consid. 2.4 et les références).
La première des deux conditions cumulatives précitées est réalisée si le Tribunal fédéral peut mettre fin une fois pour toutes à la procédure en jugeant différemment la question tranchée dans la décision préjudicielle ou incidente (cf. <ref-ruling> consid. 4.1 et les arrêts cités).
Quant à la seconde condition, il appartient au recourant d'établir qu'une décision finale immédiate permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse, si cela n'est pas manifeste; il doit, en particulier, indiquer de manière détaillée quelles questions de fait sont encore litigieuses, quelles preuves - déjà offertes ou requises - devraient encore être administrées et en quoi celles-ci entraîneraient une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-ruling> consid. 1a; <ref-ruling> consid. 1b/aa et les arrêts cités).
2.2 En l'espèce, ces deux conditions cumulatives sont réalisées.
S'agissant de la première, si la Cour de céans devait admettre, avec le premier juge et contrairement à l'avis de la juridiction d'appel, que la responsabilité du recourant à l'égard de l'intimée ne saurait être engagée, elle pourrait, en effet, rendre immédiatement une décision finale portant rejet de la demande.
En ce qui concerne la seconde condition, le recourant démontre de manière convaincante, et sans être contredit par l'intimée, en quoi les preuves à administrer nécessiteraient une procédure longue et coûteuse en raison, notamment, du caractère international du litige et de ses liens étroits avec l'Espagne.
En ce qui concerne la seconde condition, le recourant démontre de manière convaincante, et sans être contredit par l'intimée, en quoi les preuves à administrer nécessiteraient une procédure longue et coûteuse en raison, notamment, du caractère international du litige et de ses liens étroits avec l'Espagne.
3. La décision attaquée a été rendue en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. fixé à l'<ref-law>. Le recours a été déposé dans le délai (<ref-law> en liaison avec les art. 45 al. 1 et 46 al. 1 let. b LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. La partie qui l'a interjeté a pris part à la procédure cantonale et elle a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>).
Il y a lieu, partant, d'entrer en matière. Demeure réservé l'examen de la recevabilité des différents griefs articulés par le recourant.
Il y a lieu, partant, d'entrer en matière. Demeure réservé l'examen de la recevabilité des différents griefs articulés par le recourant.
4. 4.1 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), il n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui. Il ne peut pas entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>).
4.2 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La notion de « manifestement inexacte » correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Il convient de rappeler que le juge dispose d'un large pouvoir lorsqu'il apprécie les preuves. La partie recourante doit ainsi démontrer dans quelle mesure le juge a abusé de son pouvoir d'appréciation et, plus particulièrement, s'il a omis, sans aucune raison sérieuse, de prendre en compte un élément de preuve propre à modifier la décision attaquée, s'il s'est manifestement trompé sur son sens et sa portée ou encore si, en se fondant sur les éléments recueillis, il en a tiré des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées; à ce défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (cf. <ref-ruling> consid. 1.4). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées; à ce défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (cf. <ref-ruling> consid. 1.4). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
5. En premier lieu, le recourant reproche aux juges d'appel d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves sur deux points.
5. En premier lieu, le recourant reproche aux juges d'appel d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves sur deux points.
5.1 5.1.1 Selon le recourant, l'intimée n'avait ni les moyens ni la volonté d'introduire une procédure en Espagne contre le responsable de l'accident ou contre l'assureur couvrant la responsabilité civile de cette personne. En effet, comme cela ressort du jugement de première instance, elle n'était pas en mesure d'assumer les frais d'une procédure en Espagne avant mars 1998, soit avant que W._ eût accepté de prendre en charge ces frais-là. D'autre part, la procédure probatoire aurait révélé que, indépendamment de la question du coût d'une telle procédure, l'intimée avait toujours refusé d'envisager la possibilité d'agir en Espagne, préférant s'en prendre à W._. Dès lors, la cour cantonale serait tombée dans l'arbitraire en tenant pour établi que l'intimée était disposée à initier une procédure judiciaire en Espagne. La constatation faite par elle sur ce point devrait, en conséquence, être rectifiée, ce qui impliquerait l'interruption du lien de causalité entre la violation du devoir de diligence commise par le mandataire et le dommage allégué par la mandante.
5.1.2 Le recourant affirme que l'intimée n'avait ni les moyens ni la volonté d'introduire une procédure en Espagne. Il allègue ainsi un fait dirimant pour s'opposer à la demande de l'intimée qui lui réclame des dommages-intérêts en faisant valoir que, par la violation fautive de son devoir de négligence, il ne lui a pas permis d'agir en temps utile en Espagne afin d'obtenir réparation de son préjudice consécutif à l'accident de la circulation dont elle a été victime dans ce pays. Contrairement à ce que soutient l'intéressé dans son mémoire de recours, c'était bien à lui, et non pas à l'intimée, d'alléguer et de prouver ce fait dirimant (cf. Fabienne Hohl, Procédure civile, tome I, n. 1190). Or, le recourant n'indique pas, dans son mémoire, quand et où il aurait formulé pareille allégation devant les juridictions cantonales. On est donc en présence d'un fait nouveau et, comme tel, irrecevable en vertu de l'<ref-law>. La nouveauté, au sens de cette disposition, du fait en question n'est pas infirmée par le motif que le premier juge, contrairement à l'autorité d'appel, a examiné le problème litigieux. Il se peut qu'il l'ait évoqué d'office, en violation de la maxime des débats, ou qu'il ait découvert une allégation correspondante dans les écritures du recourant. Dans la première hypothèse, la Cour de justice, qui jouissait en l'espèce d'un plein pouvoir d'examen, s'est abstenue avec raison de commettre la même violation. Dans la seconde, elle aurait dû se prononcer sur l'existence du fait allégué. Toutefois, comme on vient de l'indiquer, le recourant ne démontre pas avoir allégué le fait litigieux.
Quoi qu'il en soit, ce fait eût-il été allégué, les juges d'appel ne sauraient se voir reprocher, sous l'angle de l'arbitraire, de ne pas l'avoir retenu. Il ne ressort, en effet, nullement des pièces sur lesquelles le recourant tente de fonder son argumentation (pces 101 à 105 intimée), sans d'ailleurs indiquer en quoi elles seraient de nature à étayer celle-ci, que l'intimée lui aurait donné des instructions afin qu'il n'introduise pas une procédure judiciaire en Espagne. Sur ce point, la démonstration faite par l'intimée, sous chiffres 11 et 12 de sa réponse, apparaît des plus convaincantes, de sorte que la Cour de céans la fera sienne.
Pour le surplus, le recourant est malvenu de mettre en avant la question des frais d'une procédure à introduire en Espagne pour conclure à l'interruption du lien de causalité entre la violation de son devoir de diligence et le dommage subi par l'intimée. Aussi bien, c'est lui qui a écarté la possibilité de solliciter l'assistance juridique pour une telle procédure. En outre et surtout, rien ne l'eût empêché d'interrompre la prescription, par un acte aussi simple qu'une lettre à adresser au responsable ou à son assureur, pendant qu'il négociait avec W._ - avec succès d'ailleurs - la prise en charge des démarches judiciaires de sa cliente en Espagne.
5.2 La cour cantonale se voit encore reprocher une appréciation arbitraire du rapport d'expertise établi par le Dr A._ en date du 15 septembre 1993. Selon le recourant, ledit rapport confirmait le caractère définitif du dommage subi par l'intimée, contrairement à l'opinion des juges d'appel. Par conséquent, le délai de prescription annal avait commencé à courir à cette date et était arrivé à échéance plus d'un an avant que l'intimée ne mandate le recourant pour la défense de ses intérêts. Il y aurait là une autre circonstance propre à interrompre la relation de cause à effet entre la violation du mandat et le dommage subséquent.
Les juges précédents ont retenu que l'état de santé de l'intimée n'était pas suffisamment stabilisé, à la mi-septembre 1993, pour que l'intéressée puisse former, en pleine connaissance de cause, une demande en justice. De fait, l'intimée devait attendre le résultat de l'opération pratiquée le 15 juin 1994 pour disposer de tous les éléments nécessaires. S'agissant de l'expertise du Dr A._, la cour cantonale note ceci dans son arrêt (consid. 4.3.2.3 p. 18 in medio):
"... sur le plan médical, force est de reconnaître que toutes les conséquences de l'accident étaient identifiées en 1993, lorsque le Dr A._ a rendu son rapport, quatre ans après l'accident. En revanche, leur évolution à court terme était encore incertaine; en effet, le rapport mentionnait que l'intéressée était toujours en incapacité de travail totale et l'expert ne se prononçait pas sur la durée et le taux de celle-ci pour l'avenir."
Selon le recourant, une telle affirmation serait clairement contredite par le passage suivant extrait de la page 8 du rapport précité:
"De toute façon, il y aura un dommage permanent au niveau de la colonne dorsale, sous forme d'une cyphose douloureuse centrée sur D7 et qui amènera une I.P.P. [incapacité permanente partielle] de 20%."
La contradiction alléguée est inexistante. Le Dr A._ a rendu son rapport à la demande de l'assureur-accidents de l'intimée. Le passage précité de ce rapport est la réponse à la question suivante, posée par l'assureur: "Devons-nous craindre un dommage permanent anatomique?". Il s'agissait de déterminer le montant du capital-invalidité que ledit assureur pourrait devoir verser à l'assurée en fonction du taux de l'invalidité médicale théorique constatée chez celle-ci. L'homme de l'art ne s'est donc pas prononcé sur la durée et le taux de l'incapacité de travail future induite par cette invalidité. La cour cantonale a cherché à déterminer, quant à elle, le moment où l'intimée avait eu une connaissance suffisante de l'incidence du taux de son invalidité médicale (ou théorique) sur la diminution de sa capacité de gain future. C'est ce moment-là qu'elle a jugé déterminant, au regard du droit espagnol, pour fixer le point de départ de l'action en dommages-intérêts qui aurait pu être introduite par l'intimée, à supposer que cette action n'eût pas été prescrite.
C'est en réalité le recourant qui se contredit en soutenant aujourd'hui que l'état de santé de l'intimée était stabilisé et le dommage subi connu en 1993 déjà, alors qu'il écrivait ceci dans une lettre adressée le 30 juin 1998 à W._ (pce 102 intimée):
"Dès lors, et quand bien même, compte tenu de son état de santé, le dommage de Mlle S.Y._ n'est pas encore connu, pour la simple et bonne raison que son état n'est pas encore stabilisé, je vous remercie de me confirmer, par retour du courrier, que W._ accepte de renoncer à la prescription 6 mois après droit connu, définitif et exécutoire en Espagne."
Le moyen pris de l'appréciation arbitraire des faits apparaît ainsi manifestement infondé dans ses deux branches.
Le moyen pris de l'appréciation arbitraire des faits apparaît ainsi manifestement infondé dans ses deux branches.
6. Le recourant fait encore grief à la Cour de justice d'avoir violé son droit d'être entendu en ne fournissant pas la moindre indication sur les raisons qui l'ont amenée à s'écarter des conclusions "limpides" des avis émanant de deux spécialistes reconnus du droit espagnol de la responsabilité civile.
6.1 Le droit d'être entendu consacré à l'art. 29 al. 2 Cst. implique notamment l'obligation pour le juge de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Il suffit cependant, selon la jurisprudence, que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'est pas tenu d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties. Il n'y a violation du droit d'être entendu que si l'autorité ne satisfait pas à son devoir minimum d'examiner et de traiter les problèmes pertinents (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 540; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 236; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 505).
6.2 Quoi qu'en dise le recourant, l'arrêt attaqué satisfait à ces exigences. En page 8, sous lettre E.d), la Cour de justice indique que chacune des parties a produit deux avis de droit en première instance, avis établis par l'Institut Suisse de Droit Comparé (ISDC) pour l'intimée (pces 117 et 118) et par deux professeurs d'université espagnols pour le recourant (pces 26 et 28). Elle en donne ensuite un bref résumé relativement à la question de la prescription de l'action en responsabilité civile automobile (durée du délai et dies a quo). Plus loin, à la page 17 de son arrêt, la cour cantonale signale, en renvoyant à deux avis de droit produits par chacune des parties et aux références qui y sont faites, l'état de la jurisprudence quant au critère décisif pour fixer le point de départ de la prescription (consid. 4.3.2.2, dernier §). Elle expose ensuite les opinions antagonistes des parties à ce sujet, en ajoutant que celle du recourant s'appuie sur les avis de droit qu'il a sollicités (même page, consid. 4.3.2.3). Enfin, les juges d'appel indiquent pourquoi ils retiennent la thèse défendue par l'intimée et précisent, en renvoyant à l'un des avis de droit produits par le recourant, que la solution adoptée par eux s'impose d'autant plus qu'en matière d'exception de prescription, le fardeau de la preuve incombe, en droit espagnol comme en droit suisse, au débiteur (page 18).
Tout lecteur de l'arrêt cantonal peut constater immédiatement pour quel motif les juges d'appel ont retenu la solution préconisée par l'intimée. A plus forte raison devait-il en aller de même du recourant. Celui-ci ne pouvait, au demeurant, pas exiger de l'autorité précédente qu'elle réfutât point par point les arguments juridiques avancés dans les deux expertises privées qu'il avait produites au sujet de l'interprétation des dispositions pertinentes du code civil espagnol (CCE).
Ainsi, le droit d'être entendu du recourant n'a pas été violé, de sorte que le grief correspondant tombe à faux.
Ainsi, le droit d'être entendu du recourant n'a pas été violé, de sorte que le grief correspondant tombe à faux.
7. En dernier lieu, le recourant soutient que la solution retenue par la Cour de justice résulte d'une application insoutenable du droit espagnol.
7.1 La présente cause étant de nature pécuniaire, le Tribunal fédéral ne peut effectivement pas examiner si la cour cantonale a fait une application erronée du droit étranger (<ref-law> a contrario), mais uniquement si elle en a fait une application qui viole la protection contre l'arbitraire assurée par l'art. 9 Cst. (cf. <ref-law>). Il ne procédera à un tel examen que dans les limites des griefs invoqués et motivés par les recourants (<ref-law>).
7.2 La cour cantonale considère - à juste titre, selon les propres termes du recourant - que le délai d'un an pour ouvrir action contre le conducteur et contre l'assureur commence à courir quand la victime a pris connaissance du dommage (art. 1968 al. 2 CCE) et dès que l'action judiciaire peut être exercée (art. 1969 CEE). Seul est litigieux, en l'espèce, le point de savoir quand l'intimée "a pris connaissance du dommage".
Les professeurs d'université consultés par le recourant évoquent divers critères permettant de répondre à cette interrogation. Ils mentionnent notamment celui de la reconnaissance de l'invalidité par la caisse-maladie publique étatique ou régionale. A leur avis, même en appliquant ce critère, utilisé par la Cour de cassation espagnole mais contesté par la doctrine, le dies a quo aurait dû être fixé dans le cas concret au 15 septembre 1993, date d'établissement du rapport du Dr A._.
Si la cour cantonale avait appliqué tel quel le critère utilisé par la Cour de cassation espagnole, fût-il contesté dans la doctrine, elle aurait sans aucun doute émis un avis soutenable. En pareille hypothèse, elle aurait même pu retenir sans arbitraire, comme date déterminante, celle à laquelle l'Office cantonal AI avait reconnu pour la première fois l'invalidité de l'intimée, soit le 1er septembre 2000. C'est dire qu'en fixant le point de départ du délai de prescription à une date antérieure - le 1er juillet 1994 -, nettement moins favorable à la victime, les juges d'appel n'ont pas fait une application arbitraire du droit espagnol.
Il est vrai qu'en se fondant sur le même critère, les professeurs de droit espagnols arrivent à la conclusion que l'intimée avait une connaissance complète de son dommage à la mi-septembre 1993. Cependant, leur avis repose ici, non pas sur l'interprétation du droit espagnol, mais sur celle du rapport d'expertise extrajudiciaire établi par le Dr A._. Or, il a été démontré plus haut que, nonobstant l'avis de cet expert privé, l'intimée n'avait pas à l'époque une connaissance complète de son dommage (cf. consid. 5.2). Aussi le recourant ne saurait-il s'appuyer sur les deux avis de droit qu'il a versés au dossier cantonal pour démontrer l'arbitraire de la solution adoptée par les juges d'appel. Peu importe, à cet égard, que les considérations émises par ceux-ci au sujet du fardeau de la preuve et de la souplesse recommandée dans l'application des normes sur la prescription soient soutenables ou non, dès lors qu'elles revêtent manifestement un caractère subsidiaire.
Ce dernier moyen est, partant, lui aussi voué à l'échec.
Ce dernier moyen est, partant, lui aussi voué à l'échec.
8. Dans ces conditions, le présent recours ne peut qu'être rejeté, ce qui entraîne la mise à la charge de son auteur de l'émolument judiciaire (<ref-law>) et de l'indemnité pour les dépens de l'intimée (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Un émolument judiciaire de 17'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 17'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 19'000 fr. à titre de dépens.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 19'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 24 octobre 2007
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: