Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 28. April 2009 eröffnete die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) der 1956 geborenen P._, dass nach eingehenden Abklärungen keine organischen oder strukturellen Schädigungen des zentralen oder peripheren Nervensystems als Folge der im Juni 2007 erlittenen FSME-Erkrankung nach Zeckenstich hätten nachgewiesen werden können, weshalb sie die Versicherungsleistungen per 15. Mai 2009 einstelle. Die dagegen erhobene Einsprache - formuliert auf dem Briefpapier des Beratungszentrums X._, unterschrieben von T._, dipl. Sozialarbeiter FH, sowie von P._, und mit einer Vollmacht versehen - wies die SUVA mit Entscheid vom 12. August 2009 ab. Der Einspracheentscheid wurde am 12. August 2009 eingeschrieben versandt und dem Beratungszentrum X._ am 13. August 2009 im Doppel zugestellt.
B. Die mittlerweile durch Rechtsanwalt Flury vertretene P._ liess am 15. September 2009 (Postaufgabedatum) beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern gegen den Einspracheentscheid vom 12. August 2009 Beschwerde erheben und beantragen, die SUVA habe ihr weiterhin die gesetzlichen Leistungen auszurichten, eventualiter sei zur Klärung der Kausalität und der Unfallfolgen eine spezialärztliche Abklärung anzuordnen. Nachdem das kantonale Gericht den Parteien Gelegenheit eingeräumt hatte, sich zur Rechtzeitigkeit der Beschwerde zu äussern, trat es mit Entscheid vom 20. Januar 2010 auf die Beschwerde nicht ein und wies das inzwischen eventualiter gestellte Gesuch um Wiederherstellung der Frist ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt P._ beantragen, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben, die SUVA sei zu verpflichten, den Einspracheentscheid korrekt zu eröffnen, eventualiter sei die Vorinstanz zu verpflichten, auf die Beschwerde vom 15. September 2009 einzutreten, subeventualiter sei die Frist im vorinstanzlichen Verfahren wiederherzustellen und die Vorinstanz zu verpflichten, die Beschwerdeschrift als innert Frist eingereicht entgegenzunehmen. Gleichzeitig lässt P._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen.

Erwägungen:
1. Anfechtungsobjekt ist letztinstanzlich der Entscheid des kantonalen Gerichts vom 20. Januar 2010, mit welchem auf die Beschwerde nicht eingetreten und das Gesuch der Versicherten um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren abgewiesen worden ist. Es handelt sich dabei um einen das vorinstanzliche Verfahren abschliessenden Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG, gegen welchen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offensteht. Da die allgemeinen Prozessvoraussetzungen (Art. 42, Art. 82 ff., Art. 100 Abs. 1 BGG) erfüllt sind, ist auf die Rechtsvorkehr einzutreten.
2. Im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist die Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts in tatsächlicher Hinsicht dahingehend eingeschränkt, dass es die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen kann, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG). Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 lit. a und b BGG prüft das Bundesgericht demgegenüber grundsätzlich frei. Die ausnahmsweise uneingeschränkte bundesgerichtliche Sachverhaltskontrolle gemäss Art. 97 Abs. 2 BGG (vgl. auch Art. 105 Abs. 3 BGG) gelangt in casu nicht zur Anwendung, betrifft die vorliegende Rechtsstreitigkeit doch zwar grundsätzlich den Sozialversicherungszweig der Unfallversicherung nach UVG, erfasst aber nicht die - für eine Anwendung der Ausnahmeregelung erforderliche - "Zusprechung oder Verweigerung" von Geldleistungen (vgl. MARKUS SCHOTT, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008, N. 28 ff. zu Art. 97; SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, N. 29 zu Art. 97).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 12. August 2009 zu Recht als verspätet eingereicht qualifiziert hat und darauf nicht eingetreten ist, was davon abhängt, ob bzw. wann der Einspracheentscheid fristauslösend zugestellt worden ist.
3.1 Gemäss Art. 60 Abs. 1 ATSG ist die Beschwerde innerhalb von 30 Tagen nach der Eröffnung des Einspracheentscheides oder der Verfügung, gegen welche eine Einsprache ausgeschlossen ist, einzureichen. Nach Art. 60 Abs. 2 ATSG sind die Artikel 38 bis 41 ATSG (Art. 38: Berechnung und Stillstand der Fristen; Art. 39: Einhaltung der Fristen; Art. 40: Fristerstreckung und Säumnisfolgen; Art. 41: Wiederherstellung der Frist) sinngemäss anwendbar.
3.2 Der Einspracheentscheid wurde am 12. August 2009 eingeschrieben versandt und dem Beratungszentrum X._ gemäss Zustellungsnachweis der Post am 13. August 2009 gegen Unterschrift zugestellt. Wie das kantonale Gericht sorgfältig und überzeugend dargelegt hat, konnte und musste die SUVA mit Blick auf die konkreten Umstände von einem Vertretungsverhältnis zwischen dem Beratungszentrum X._ und der Beschwerdeführerin ausgehen. Die Einsprache wurde auf dem Briefpapier des Beratungszentrums X._ verfasst und durch den Sozialarbeiter des Beratungszentrums X._ unterzeichnet. Durch die Beilage einer Vollmacht und die Mitunterschrift gab die Versicherte ihr Einverständnis zur Vertretung durch das Beratungszentrum X._. Mit der Vorinstanz, auf deren Erwägungen verwiesen werden kann, ist somit der Einspracheentscheid als am 13. August 2009 korrekt und fristauslösend zugestellt zu betrachten. Er gelangte zu diesem Zeitpunkt in den Herrschaftsbereich des Beratungszentrums X._ und des intern zuständigen Sozialarbeiters, woran der Umstand, dass Letzterer ihn zufolge Ferienabwesenheit erst am 17. August 2009 zur Kenntnis nahm - wie das kantonale Gericht ebenfalls zutreffend dargelegt hat -, nichts zu ändern vermag.
3.3 Ist der Einspracheentscheid am 13. August 2009 fristauslösend zugestellt worden, endete die 30tägige Beschwerdefrist - wie die Vorinstanz des Weiteren korrekt ausgeführt hat - unter Berücksichtigung des Stillstands der Fristen vom 15. Juli bis und mit 15. August (Art. 38 Abs. 4 lit. b ATSG) am 14. September 2009. Die am 15. September 2009 bei der Post aufgegebene Beschwerde ist somit verspätet eingereicht worden und das kantonale Gericht darauf zu Recht nicht eingetreten.
4. Zu prüfen bleibt, ob die Vorinstanz zu Recht das Gesuch um Wiederherstellung der versäumten Frist abgewiesen hat.
4.1 Ist die gesuchstellende Person oder ihre Vertretung unverschuldeterweise abgehalten worden, binnen Frist zu handeln, so wird diese gemäss Art. 41 ATSG wieder hergestellt, sofern sie unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht.
4.2 Der jetzige Rechtsvertreter der Versicherten hat das Gesuch um Fristwiederherstellung im Wesentlichen damit begründet, sowohl die Beschwerdeführerin wie auch er hätten aus einem subjektiven Grund der Meinung sein dürfen, dass die Frist mit Eingabe vom 15. September 2009 gewahrt sei. Der Sozialarbeiter des Beratungszentrums X._ habe nämlich bestätigt, dass er den Einspracheentscheid am 17. August 2009 in Empfang genommen habe. Ein Zustellungscouvert habe er nicht vorlegen können. Auf diese Angabe habe sich der Rechtsvertreter der Versicherten verlassen dürfen, zumal der betreffende Sozialarbeiter die Woche zuvor in den Ferien geweilt habe.
4.3 Das kantonale Gericht hat festgestellt, dass die geltend gemachten Umstände nicht genügen, um die Voraussetzungen einer Wiederherstellung der Frist erfüllen zu können. Weder das fehlende Zustellungscouvert noch die Ferienabwesenheit des Sozialarbeiters stellten - so die Vorinstanz - ausreichende Gründe für die Annahme eines unverschuldeten Hindernisses zur Fristwahrung dar. Vielmehr hätten die Beschwerdeführerin bzw. deren Vertreter einerseits die Wirkungen des bestehenden Vertretungsverhältnisses verkannt und andererseits im Zusammenhang mit der Abklärung der Zustellung des angefochtenen Einspracheentscheids zu wenig Sorgfalt aufgewendet.
4.4 Die vorinstanzliche Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Auf die zutreffenden Erwägungen des angefochtenen Entscheids kann verwiesen werden, zumal sich die Argumente der Beschwerdeführerin im Wesentlichen auf die bereits im kantonalen Verfahren vorgebrachten beschränken. Der angefochtene Entscheid erweist sich auch in diesem Punkt als rechtens.
5. Da die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG ohne Durchführung eines Schriftenwechsels erledigt.
6. Die unterliegende Versicherte trägt die reduzierten Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihr wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht gewährt werden (Art. 64 BGG; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. April 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch