Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss vom 1. Juni 2010 des Obergerichts des Kantons Solothurn, das auf einen Rekurs des Beschwerdeführers nicht eingetreten ist,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Beschluss des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Beschluss vom 1. Juni 2010 erwog, der Beschwerdeführer sei mit Verfügung vom 12. Mai 2010 (unter Androhung des Nichteintretens bei Säumnis) aufgefordert worden, bis zum 26. Mai 2010 das von ihm (mit seinem Rekurs an das Obergericht) angefochtene erstinstanzliche Urteil (d.h. einen oder beide der zwei gegenüber dem Beschwerdeführer beim Richteramt Z._ ergangenen Rechtsöffnungsentscheide) zu bezeichnen, einen klaren Antrag zu stellen und eine nachvollziehbare Begründung nachzureichen, in seiner nachträglichen Eingabe habe jedoch der Beschwerdeführer weder das angefochtene Urteil bezeichnet noch einen Antrag gestellt noch eine Begründung geliefert, weshalb androhungsgemäss zu verfahren sei,
dass die Eingabe des Beschwerdeführers an das Bundesgericht unverständlich ist,
dass der Beschwerdeführer erst recht nicht anhand der obergerichtlichen Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen aufzeigt, inwiefern der Beschluss des Obergerichts vom 1. Juni 2010 verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass das sinngemässe Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Verfassungsbeschwerde abzuweisen ist (<ref-law>),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das sinngemässe Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 100.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn (Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann