Faits:
A. A.a En 2004, X._, née en 1978, athlète de niveau international, spécialiste des courses de demi-fond, a fait l'objet d'une procédure disciplinaire pour diverses infractions aux règles antidopage constatées lors de contrôles hors compétition.
Par décision du 15 juin 2005, la Commission centrale de discipline de la Direction générale de la jeunesse et du sport de Z._ (CDC) a suspendu X._ pour une durée de deux ans après avoir reconsidéré une première décision, contestée par l'Association Y._ (ci-après: Y._), qui fixait à un an la durée de la suspension de l'athlète.
X._ n'a pas appelé de la décision du 15 juin 2005. Contestant la date du début de sa suspension, elle est cependant intervenue auprès de Y._, par le truchement de son conseil, en menaçant de saisir le Tribunal Arbitral du Sport (TAS), afin que cette date fût avancée. Dans une lettre adressée le 16 août 2005 par son avocat au représentant de Y._, l'athlète a confirmé qu'elle acceptait que le point de départ de la suspension fût fixé au 8 août 2004. Sur quoi, Y._, par lettre du 19 septembre 2005, a informé la Fédération Z._ de l'accord intervenu entre l'athlète et elle à ce sujet.
Ce nonobstant, par requête du 12 septembre 2005, X._ a saisi la Cour administrative de Z._ d'un recours dirigé contre la décision précitée du 15 juin 2005 au motif, notamment, que la CDC aurait violé la loi en revenant sur sa première décision. Par jugement du 4 avril 2007, l'autorité saisie, estimant que le cas ne relevait pas de la compétence de la juridiction administrative, a rejeté le recours. Le 24 juillet 2007, X._ a contesté ce jugement devant le Conseil d'État, lequel n'a pas encore statué à ce jour.
La période de suspension de l'athlète a pris fin au début août 2006.
A.b Le 8 septembre 2007, un contrôle hors compétition effectué sur la personne de X._, qui séjournait alors aux Etats-Unis d'Amérique pour y soigner une blessure, a révélé la présence de substances interdites dans le corps de l'athlète.
La procédure disciplinaire ouverte de ce chef le 18 octobre 2007 contre l'athlète a donné lieu à une série de décisions. La dernière en date a été rendue le 30 mai 2008 par le Tribunal arbitral de la jeunesse et du sport, juridiction nationale de Z._ spécialisée dans le traitement des litiges en matière de sport, qui a prononcé une suspension pour une durée de quatre ans.
B. Le 20 juin 2008, X._ a adressé au TAS une déclaration d'appel visant à obtenir l'annulation de la décision du 30 mai 2008.
Dans sa réponse du 28 août 2008, Y._ a contesté la compétence du TAS pour connaître de l'appel. Dans l'éventualité où le TAS entrerait néanmoins en matière, elle a conclu à ce que l'athlète fût suspendue à vie pour seconde infraction grave aux règles antidopage.
Une audience a été tenue le 2 avril 2009 à Lausanne. A la suite de celle-ci, le TAS a invité les parties à lui transmettre des pièces supplémentaires concernant tant la procédure disciplinaire relative à la première infraction commise par l'athlète que la procédure administrative pendante devant le Conseil d'État. Une fois en possession des pièces requises, il a donné aux parties la possibilité de se déterminer à leur sujet.
Par sentence du 10 novembre 2009, le TAS, après avoir annulé la décision prise le 30 mai 2008 par le Tribunal arbitral de la jeunesse et du sport, a prononcé la suspension à vie de l'athlète.
C. Le 10 décembre 2009, X._ a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation de la sentence du TAS.
Les deux intimées et le TAS, qui a produit le dossier de la cause, proposent le rejet du recours.

Considérant en droit:
1. D'après l'art. 54 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral rédige son arrêt dans une langue officielle, en règle générale dans la langue de la décision attaquée. Lorsque cette décision est rédigée dans une autre langue (ici l'anglais), le Tribunal fédéral utilise la langue officielle choisie par les parties. Devant le TAS, celles-ci ont opté pour l'anglais. Le recours en matière civile interjeté par X._ est rédigé en français. Conformément à sa pratique, le Tribunal fédéral adoptera la langue du recours et rendra son arrêt en français.
2. Dans le domaine de l'arbitrage international, le recours en matière civile est recevable contre les décisions de tribunaux arbitraux aux conditions prévues par les art. 190 à 192 LDIP (art. 77 al. 1 LTF). Qu'il s'agisse de l'objet du recours, de la qualité pour recourir, du délai de recours, des conclusions prises par la recourante ou encore des motifs invoqués dans le mémoire de recours, aucune de ces conditions de recevabilité ne fait problème en l'espèce. Rien ne s'oppose donc à l'entrée en matière.
3. Dans un premier moyen, fondé sur l'art. 190 al. 2 let. e LDIP, la recourante reproche au TAS d'avoir rendu une sentence incompatible avec l'ordre public.
3.1 L'examen matériel d'une sentence arbitrale internationale, par le Tribunal fédéral, est limité à la question de la compatibilité de la sentence avec l'ordre public (<ref-ruling> consid. 3a).
Une sentence est incompatible avec l'ordre public si elle méconnaît les valeurs essentielles et largement reconnues qui, selon les conceptions prévalant en Suisse, devraient constituer le fondement de tout ordre juridique (<ref-ruling> consid. 2.2.3).
Une sentence est incompatible avec l'ordre public si elle méconnaît les valeurs essentielles et largement reconnues qui, selon les conceptions prévalant en Suisse, devraient constituer le fondement de tout ordre juridique (<ref-ruling> consid. 2.2.3).
3.2 3.2.1 La recourante fait grief au TAS d'avoir méconnu l'interdiction de la reformatio in peius qui constitue, à ses yeux, un principe juridique général et universel relevant de l'ordre public. A l'appui de ce grief, elle soutient que le TAS ne pouvait pas aggraver la sanction disciplinaire qui lui a été infligée dès lors que Y._ n'avait pas recouru contre la décision du 30 mai 2008 et que les règles régissant la procédure d'appel devant le TAS ne prévoient pas la possibilité pour la partie intimée d'introduire une demande reconventionnelle après le dépôt d'un appel.
Il n'est pas nécessaire de trancher ici la question, laissée précédemment ouverte (arrêt 4A_17/2007 du 8 juin 2007 consid. 4.2), de savoir si l'interdiction de la reformatio in peius constitue ou non un principe fondamental entrant dans la définition de l'ordre public au sens de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP. En effet, quoi qu'en dise la recourante, le TAS n'a nullement méconnu ce principe en l'espèce. Contrairement à ce que soutient l'intéressée, le Code de l'arbitrage en matière de sport prévoit expressément, à son art. R55, la possibilité pour l'intimé de soumettre au TAS, dans les vingt jours suivant la réception de la motivation de l'appel, une réponse comprenant notamment "toute demande reconventionnelle". Y._, intimée à la procédure d'appel, a fait usage de cette possibilité en déposant, le 28 août 2009, sa réponse contenant une demande reconventionnelle formée à titre subsidiaire, pour le cas - réalisé - où le TAS admettrait sa compétence, et tendant à ce que la suspension prononcée à l'encontre de la recourante le fût, non pas pour quatre ans, mais à vie. Du reste, le TAS constate expressément, au § 103 i.f. de sa sentence, que la réponse incluant la demande reconventionnelle a été déposée en temps utile et qu'elle est donc recevable.
Il suit de là qu'aucune violation de l'interdiction de la reformatio in peius n'a été commise au détriment de la recourante.
3.2.2 Sous le titre "violation du principe de la lex mitior et de la non-rétroactivité", la recourante reproche ensuite au TAS d'avoir appliqué les règles antidopage en vigueur en 2009, pour fixer la sanction disciplinaire qu'il lui a infligée, au lieu de faire fond sur celles en vigueur en 2007, applicables aux deux infractions commises par elle en 2004 et 2007. Or, celles-ci, contrairement à celles-là, subordonnaient l'existence d'une récidive, susceptible de justifier une suspension à vie, à la commission d'une nouvelle infraction de même nature que la précédente, condition non réalisée en l'espèce. Dès lors, en prononçant une suspension à vie en vertu des règles antidopage en vigueur en 2009, motif pris de la récidive, le TAS aurait clairement violé le principe de la non-rétroactivité de la "loi pénale", selon la recourante.
Le moyen tombe à faux. La manière dont il est formulé donne d'ailleurs à penser que la recourante n'a pas saisi la véritable portée de l'argumentation, pourtant claire, du TAS sur ce point. Il appert, en effet, de la sentence que les arbitres ont commencé par examiner la situation juridique au regard des règles antidopage en vigueur en 2007. Interprétant ces règles en ce sens qu'elles permettaient d'admettre l'existence d'une récidive nonobstant la nature différente des deux infractions entrant en ligne de compte (§ 114), ils les ont appliquées aux circonstances de la cause en litige pour en déduire qu'elles justifiaient de prononcer une suspension à vie à l'encontre de la recourante (§§ 115 à 121). Cela fait, les arbitres ont examiné si, en vertu du principe de la lex mitior, l'athlète pouvait bénéficier d'une sanction plus légère. Ils ont alors interprété les dispositions pertinentes des règles antidopage en vigueur en 2009 et sont arrivés à la conclusion que tel n'était pas le cas (§§ 122 à 128). Il ressort ainsi nettement du résumé de son argumentation que le TAS a infligé à la recourante la sanction disciplinaire prévue par les règles antidopage en vigueur en 2007, i.e. au moment où la seconde infraction avait été commise.
Pour le surplus, il n'appartient pas au Tribunal fédéral de revoir la manière dont le TAS a interprété la notion de récidive telle qu'elle découle des règles antidopage en vigueur en 2007. C'est d'ailleurs le lieu de rappeler qu'en matière d'arbitrage international, il examine uniquement les griefs qui lui ont été soumis et en fonction de la manière dont ils ont été motivés (art. 77 al. 3 LTF).
4. Dans un second moyen, la recourante se plaint de la violation de son droit d'être entendue.
4.1 Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par les art. 182 al. 3 et 190 al. 2 let. d LDIP, n'a en principe pas un contenu différent de celui consacré en droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 1b; <ref-ruling> consid. 1a p. 347). Ainsi, il a été admis, dans le domaine de l'arbitrage, que chaque partie avait le droit de s'exprimer sur les faits essentiels pour le jugement, de présenter son argumentation juridique, de proposer ses moyens de preuve sur des faits pertinents et de prendre part aux séances du tribunal arbitral (<ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 4c p. 643).
La jurisprudence a également déduit du droit d'être entendu un devoir minimum pour l'autorité d'examiner et de traiter les problèmes pertinents. Ce devoir, qui a été étendu à l'arbitrage international, est violé lorsque, par inadvertance ou malentendu, le tribunal arbitral ne prend pas en considération des allégués, arguments, preuves et offres de preuve présentés par l'une des parties et importants pour la décision à rendre. Il incombe à la partie soi-disant lésée d'établir, d'une part, que le tribunal arbitral n'a pas examiné certains éléments de fait, de preuve ou de droit qu'elle avait régulièrement avancés à l'appui de ses conclusions et, d'autre part, que ces éléments étaient de nature à influer sur le sort du litige. Si la sentence passe totalement sous silence des éléments apparemment importants pour la solution du litige, c'est aux arbitres ou à la partie intimée qu'il appartiendra de justifier cette omission dans leurs observations sur le recours. Ils pourront le faire en démontrant que, contrairement aux affirmations du recourant, les éléments omis n'étaient pas pertinents pour résoudre le cas concret ou, s'ils l'étaient, qu'ils ont été réfutés implicitement par le tribunal arbitral. Il sied de rappeler, dans ce contexte, qu'il n'y a violation du droit d'être entendu, même au sens - plus extensif - donné par le droit constitutionnel suisse à cette garantie, que si l'autorité ne satisfait pas à son devoir minimum d'examiner les problèmes pertinents. Aussi les arbitres n'ont-ils pas l'obligation de discuter tous les arguments invoqués par les parties, de sorte qu'ils ne sauraient se voir reprocher, au titre de la violation du droit d'être entendu en procédure contradictoire, de n'avoir pas réfuté, même implicitement, un moyen objectivement dénué de toute pertinence. (<ref-ruling> consid. 5.2 et les arrêts cités).
4.2 Dans une argumentation concise et présentée en des termes assez vagues, la recourante reproche, en substance, au TAS de n'avoir pas tenu compte de la procédure en cours devant le Conseil d'Etat de Z._. A son avis, eu égard à cette procédure, il ne serait pas possible d'interpréter l'infraction commise par elle en 2007 comme une seconde infraction justifiant sa suspension à vie.
Force est de constater que la sentence attaquée fait allusion, à plusieurs endroits, à la procédure administrative que la recourante a conduite parallèlement en Z._ et qui n'est, apparemment, pas encore close (cf. §§ 13, 50, 52, 54 et 60). Il est donc faux de soutenir que cette circonstance aurait échappé au TAS. Sans doute celui-ci n'indique-t-il pas expressis verbis pour quelle raison il considère que cette circonstance ne doit pas influer sur la décision qu'il est amené à prendre. Il ressort toutefois clairement du § 116 de la sentence attaquée que les arbitres ont implicitement dénié toute espèce d'importance à ladite circonstance, motif pris de ce que l'athlète incriminée avait accepté la suspension de deux ans prononcée à son encontre par la CDC et renoncé à appeler de la décision y relative auprès du TAS en échange de l'acceptation par Y._ de sa demande visant à modifier le point de départ de cette mesure disciplinaire. En d'autres termes, les arbitres ont considéré de manière implicite que la démarche de la recourante consistant à initier une procédure administrative après que l'athlète se fut pliée à la décision rendue par la juridiction sportive nationale compétente constituait un venire contra factum proprium qui ne méritait pas d'être protégé, de sorte qu'il était inutile d'attendre de connaître l'issue de la procédure pendante devant le Conseil d'Etat pour fixer la mesure de la peine disciplinaire à infliger à la recourante. Telle est du moins la manière dont cette dernière pouvait interpréter, sans grand effort d'imagination, le passage topique de la sentence contestée.
Dès lors, le moyen pris de la violation du droit d'être entendu sera, lui aussi, rejeté.
5. La recourante, qui succombe, devra payer les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF). Quant aux deux intimées, comme elles agissent sans le concours d'un avocat, elles n'ont pas droit à des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'975 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal Arbitral du Sport (TAS).
Lausanne, le 12 avril 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo