Sachverhalt:
A.
A.a. In der gegen X._ gerichteten Betreibung (Zahlungsbefehl Nr. ...) erteilte der Präsident des Zivilgerichts Basel-Stadt Z._, X._s früherer Ehefrau, am 10. September 2012 die definitive Rechtsöffnung für eine Betreibungsforderung von Fr. 35'711.90 (zzgl. Fr. 103.-- Betreibungskosten). Der Entscheid erging anlässlich einer mündlichen Verhandlung in Abwesenheit von X._, nachdem der Präsident des Zivilgerichts Basel-Stadt mit Verfügung vom 5. September 2012 die Verschiebungsgesuche beider Parteien mangels rechtsgenüglicher Entschuldigung abgewiesen hatte.
A.b. Mit Schreiben vom 22. September 2012 (Datum der Postaufgabe) ersuchte X._ um unentgeltliche Rechtspflege und mit Schreiben vom 24. September 2012 (Datum der Postaufgabe) um schriftliche Begründung des Entscheids vom 10. September 2012. In der Folge trat der Präsident des Zivilgerichts mit Verfügung vom 27. September 2012 auf das Begehren um schriftliche Begründung nicht ein und stellte fest, dass der Rechtsöffnungsentscheid vom 10. September 2012 "per 20. September 2012 in Rechtskraft erwachsen sei". Überdies setzte der Präsident des Zivilgerichts X._ eine unerstreckbare Frist von 10 Tagen zur Präzisierung und Mitteilung, ob er die Eingabe vom 22. September 2012 als Wiederherstellungsgesuch im Sinn von <ref-law> einreichen wolle. Am 19. Oktober 2012 stellte X._ ein solches Gesuch. Dieses wies der Präsident des Zivilgerichts mit Entscheid vom 20. November 2012 ab. Die dagegen beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt erhobene Beschwerde blieb ohne Erfolg (Entscheid vom 7. März 2013).
B.
B.a. Mit Eingabe vom 9. April 2013 (Datum der Postaufgabe) erhebt X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen. Er verlangt, "dass die Pfändung ab 1. Januar 2013 sistiert wird", und ersucht um kostenlose Prozessführung. Am 18. April 2013 teilte er dem Bundesgericht ferner mit, dass er vom 29. April 2013 bis zum 12. Mai 2013 in Kurferien sei.
B.b. In ihrer Stellungnahme zum Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung vom 18. April 2013 beantragt Z._ (Beschwerdegegnerin) die Abweisung des Gesuchs. Unaufgefordert äussert sie sich auch zur Sache und beantragt die Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 19. April 2013 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) über die gestützt auf <ref-law> verlangte Wiederherstellung der Frist, binnen derer eine Partei eine schriftliche Begründung eines Gerichtsentscheids verlangen kann (Art. 239 Abs. 2 1. Satz ZPO). Indem er die erstinstanzliche Abweisung des Wiederherstellungsgesuchs bestätigt, schliesst der angefochtene Entscheid das Wiederherstellungsverfahren ab. Im Ergebnis kann der Beschwerdeführer den Entscheid damit nicht mehr weiterziehen (Art. 239 Abs. 2 2. Satz ZPO). Der angefochtene Entscheid ist also ein Endentscheid (<ref-law>). Der Streit um die Wiederherstellung steht im Zusammenhang mit der definitiven Rechtsöffnung, die der Präsident des Zivilgerichts der Beschwerdegegnerin am 10. September 2012 erteilt hatte. Dabei handelt es sich um eine vermögensrechtliche Schuldbetreibungs- und Konkurssache, deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 72 Abs. 2 lit. a, 74 Abs. 1 lit. b BGG). Die im Übrigen rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist demnach zulässig.
1.2. Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft frei, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Strengere Anforderungen gelten unter anderem, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird. Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254, je mit Hinweisen). Schliesslich legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
1.3. Rechtsschriften haben die Begehren zu enthalten (<ref-law>). Vorliegend verlangt der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführer, "dass die Pfändung ab 01. Januar 2013 sistiert wird". Dieses Begehren betrifft genau genommen nicht den Gegenstand des angefochtenen Entscheids - die Wiederherstellung der zehntägigen Frist gemäss <ref-law> -, sondern das in der Hauptsache laufende Betreibungsverfahren. Indes ergibt sich aus der Begründung der Beschwerde, dass der Beschwerdeführer bestreitet, die besagte Frist verpasst zu haben, und zumindest sinngemäss verlangt, es sei ihm ein begründeter Rechtsöffnungsentscheid zuzustellen. In diesem Sinn ist trotz formell ungenügendem Antrag auf die Beschwerde einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 414 f.).
2.
Der Beschwerdeführer leidet an Krebs, weshalb er sich einer Chemotherapie unterziehen musste. Das Zivilgericht Basel-Stadt hielt nach Rücksprache mit dem behandelnden Arzt dafür, dass der Beschwerdeführer trotzdem in der Lage sei, am Morgen des 10. September 2012 an der Hauptverhandlung teilzunehmen. Deshalb lehnte es das Gesuch um Verschiebung ab. Diesem Standpunkt schloss sich die Vorinstanz an. Der Beschwerdeführer vermag nicht in rechtsgenüglicher Weise (E. 1.2) darzutun, weshalb die Vorinstanz damit gegen Bundesrecht verstossen haben soll. Namentlich sagt das am 20. September 2012 ausgestellte ärztliche Zeugnis, in dem der Beschwerdeführer bis auf weiteres als nicht verhandlungsfähig bezeichnet wird, nichts aus über die gesundheitliche Situation des Beschwerdeführers am 10. September 2012, dem Tag des Rechtsöffnungsentscheids, und in den Tagen danach. Die diesbezügliche Kritik des Beschwerdeführers am vorinstanzlichen Entscheid ist appellatorischer Natur. Darauf ist nicht einzutreten.
3.
Steht fest, dass der Beschwerdeführer der Verhandlung vom 10. September 2010 unentschuldigt ferngeblieben ist, stellt sich die Frage nach den Rechtsfolgen.
3.1. Die Vorinstanz geht davon aus, dass der Rechtsöffnungsentscheid vom 10. September 2012 den Parteien anlässlich der Hauptverhandlung eröffnet worden ist. Dies gelte gestützt auf <ref-law> auch für eine Partei wie den Beschwerdeführer, die der Hauptverhandlung unentschuldigt fernbleibe. Die zehntägige Frist gemäss <ref-law> sei somit am 20. September 2012 abgelaufen. Das erst am 24. September 2012 gestellte Begründungsgesuch sei daher verspätet. Werde die Begründung verspätet verlangt, sei dies dem Verzicht auf die Anfechtung des Entscheids gleichzustellen; mithin sei der Rechtsöffnungsentscheid vom 10. September 2012 in Rechtskraft erwachsen.
3.2. Der Auffassung der Vorinstanz kann nicht gefolgt werden. Die Eröffnung eines Entscheids anlässlich der Hauptverhandlung hat einschneidende Folgen. Namentlich beginnt damit die Rechtsmittelfrist zu laufen (<ref-ruling> E. 2 S. 129 f.). Die Möglichkeit, einen Entscheid auch gegenüber einer säumigen, das heisst nicht anwesenden Partei anlässlich der Hauptverhandlung zu eröffnen, kommt daher nur in Frage, wenn dafür eine klare gesetzliche Grundlage besteht. Dies ist hier nicht der Fall. Der von der Vorinstanz angerufene <ref-law> kommt dafür nicht in Frage, da die Bestimmung einzig von der Zustellung handelt. Ein Entscheid, der einer Partei an der Hauptverhandlung übergeben wird, wird ihr nicht im Sinne von <ref-law> zugestellt. Das ergibt sich schon aus <ref-law>, der im summarischen Rechtsöffnungsverfahren sinngemäss anwendbar ist (Art. 251 lit. a i.V.m. <ref-law>) und in aller Deutlichkeit die Eröffnung durch Übergabe (lit. a) von derjenigen durch Zustellung (lit. b) unterscheidet. Ist eine Partei an der Hauptverhandlung nicht anwesend, so ist eine Eröffnung durch Übergabe im Sinne von <ref-law> ausgeschlossen, denn ein Entscheid kann einer Partei anlässlich der Hauptverhandlung nur dann übergeben werden kann, wenn sie physisch anwesend ist. Die Übergabe des Entscheiddispositivs an eine abwesende Partei (oder an ihren abwesenden Vertreter) scheidet damit aus (vgl. in diesem Sinn bereits Urteil 5A_516/2007 vom 24. Januar 2008). Daran ändert auch nichts, dass die Partei der Hauptverhandlung unentschuldigt fernbleibt und sich auch nicht vertreten lässt. Wer sich so verhält, der muss wissen, dass das Gericht aufgrund der eingereichten Eingaben und der Akten sowie den Vorbringen der anwesenden Partei entscheidet (Art. 251 lit. a i.V.m. Art. 219 i.V.m. <ref-law>), hat ihn das Gericht doch auf die Säumnisfolgen hinzuweisen (<ref-law>). Das Gesetz enthält aber keinen Hinweis darauf, dass in diesem Fall auch der Entscheid in den Formen von <ref-law> eröffnet werden kann. Die Tatsache, dass in <ref-law> die Säumnisfolgen erwähnt werden, ohne dass dabei auch von der Eröffnung die Rede ist, legt im Gegenteil den Schluss nahe, dass ein Entscheid gegenüber einer nicht anwesenden Partei nicht anlässlich der Hauptverhandlung eröffnet werden kann. Dass im Strafprozessrecht die Säumnisfolgen andere sind und zum Teil weiter gehen, ist ohne Bedeutung. Zum einen besteht dafür im Strafprozessrecht eine gesetzliche Grundlage (Art. 366 f. StPO). Zum andern ist der Angeklagte verpflichtet, dem Strafprozess beizuwohnen; er kann zu diesem Zweck sogar polizeilich vorgeführt werden. Eine solche Pflicht ist dem Zivilprozessrecht fremd, soweit nicht ausnahmsweise die Untersuchungs- und Offizialmaxime (<ref-law>) zur Anwendung gelangt.
3.3. Nun sind die Parteien in der Vorladung vom 29. August 2012 zur Hauptverhandlung vom 10. September 2012 aber nicht nur darauf hingewiesen worden, dass das Gericht seinen Entscheid an der Verhandlung durch Übergabe des Dispositivs eröffnen kann (<ref-law>). Zusätzlich hielt das Kantonsgericht Basel-Stadt in der Vorladung fest: "Das gilt auch, wenn eine Partei nicht zur Hauptverhandlung erscheint. Der Entscheid gilt in diesem Fall als eröffnet, womit die 10-tägige Frist für den Antrag auf eine schriftliche Begründung am Tag nach der Verhandlung zu laufen beginnt. Wird innerhalb dieser Frist keine Begründung verlangt, gilt dies als Verzicht auf eine Anfechtung des Entscheids."
Es bleibt zu prüfen, ob allein dieser Hinweis die Anwendbarkeit von <ref-law> auch für denjenigen Fallzu begründen vermag, in dem eine Partei gar nicht an der Hauptverhandlung anwesend ist. Dies trifft nicht zu (a.M. D. Staehelin, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO), 2. Aufl. 2013, N. 24 zu <ref-law>). Weder der kantonale Gesetzgeber noch der Richter können Zustellungsfiktionen schaffen, die in der ZPO nicht vorgesehen sind (im Ergebnis ebenso: Tappy, in: Code de procédure civil commenté, 2011, N. 8 zu <ref-law>). Die Aufgabe des Gerichts beschränkt sich darauf, die Parteien auf die im Gesetz vorgesehenen Säumnisfolgen hinzuweisen (<ref-law>). Der Entscheid des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 10. September 2012 konnte dem Beschwerdeführer daher nur mittels Zustellung des Dispositivs eröffnet werden (<ref-law>). Dies ist im vorliegenden Fall nicht geschehen. Vielmehr hat der Beschwerdeführer nur deshalb vom Rechtsöffnungsentscheid erfahren, weil der Rechtsöffnungsrichter gleichentags verfügte, dass dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege verweigert werde und dieser für die Gerichtskosten des Rechtsöffnungsverfahrens von Fr. 500.-- aufkommen müsse. Diese Verfügung wurde dem Beschwerdeführer am 11. September 2012 mittels A-Post versandt. Wann sie der Beschwerdeführer erhalten hat, lässt sich den Akten nicht entnehmen. Im Aktenverzeichnis des Zivilgerichts Basel-Stadt ist einzig ein Rückschein mit Datum vom 17. September 2012 vermerkt. Geht man davon aus, dass der Beschwerdeführer an diesem Tag Kenntnis vom Rechtsöffnungsentscheid vom 10. September 2012 erlangte, endete die zehntägige Frist zur Einreichung eines Gesuchs um Begründung dieses Entscheids am 27. September 2012 (Art. 239 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Das Gesuch vom 24. September 2012 war damit nicht verspätet. Zu Unrecht ist der Präsident des Zivilgerichts Basel-Stadt darauf nicht eingetreten.Hat der Beschwerdeführer die zehntägige Frist gemäss <ref-law> nach dem Gesagten aber gar nicht verpasst, so bedurfte es auch keiner Wiederherstellung dieser Frist. Es kann daher offenbleiben, ob die Vorinstanz zu Recht zum Schluss kam, es sei weder dargetan noch ersichtlich, weshalb der Beschwerdeführer nicht in der Lage gewesen sein sollte, sein Gesuch um Begründung binnen der besagten Frist zu verfassen und der Post zu übergeben.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens obsiegt der Beschwerdeführer und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird hinfällig. Trotz ihres Antrags auf Abweisung der Beschwerde wird darauf verzichtet, der Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Sie schuldet dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer auch keine Parteientschädigung. Gleiches gilt für den Kanton (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, vom 7. März 2013 wird aufgehoben. Das Zivilgericht Basel-Stadt wird angewiesen, den Rechtsöffnungsentscheid vom 10. September 2012 zu begründen und dem Beschwerdeführer förmlich zuzustellen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, und dem Zivilgericht Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. August 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn