Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1973) und Z._ (geb. 1974) haben am xxxx 1995 geheiratet. Aus der Ehe gingen die Söhne S._ (geb. xxxx 2001) und T._ (geb. xxxx 2003) hervor. Im Oktober 2007 trennte sich das Ehepaar.
B. B.a Am 21. November 2007 erliess der Bezirksgerichtspräsident Hinterrhein eine Eheschutzverfügung. Darin stellte er die Kinder unter die Obhut der Mutter und teilte dieser die eheliche Wohnung zu. Er regelte das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters, verurteilte diesen zur Bezahlung eines Unterhaltsbeitrages und ordnete die Gütertrennung an. Auf Gesuch von Z._ errichtete die Vormundschaftsbehörde eine Besuchsrechtsbeistandschaft.
B.b Am 2. April 2009 beantragte Z._ dem Bezirksgerichtspräsidenten, ihm die Obhut über die beiden Söhne per sofort zu übertragen, da sich seine Ehefrau seit mehreren Tagen in Untersuchungshaft befinde. Mit Verfügung vom 3. April 2009 wies der Richter dieses Gesuch ab, da man X._ gleichentags aus der Untersuchungshaft entlassen hatte.
B.c Die Parteien machten am 20. Juli 2009 ein gemeinsames Scheidungsbegehren rechtsanhängig. Am 6. August 2009 ersuchte der Vater erneut darum, die Obhut über die Kinder ihm zuzuteilen, weil die Mutter ein zweites Mal in Untersuchungshaft versetzt worden sei. In Abänderung der Eheschutzverfügung vom 21. November 2007 stellte die Bezirksgerichts-Vizepräsidentin Hinterrhein die Kinder noch am selben Tag superprovisorisch unter die elterliche Obhut von Z._.
B.d In der Folge lehnte das Bezirksgerichtspräsidium Hinterrhein ein Gesuch von X._ um superprovisorische Umteilung der Obhut ab und holte beim Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst Graubünden ein Gutachten zur Frage der Obhutszuteilung ein. Am 12. Februar 2010 erliess der Bezirksgerichtspräsident Hinterrhein vorsorgliche Massnahmen im Ehescheidungsverfahren. Er teilte die Obhut wieder der Mutter zu, ordnete das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters und verpflichtete beide Eltern zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen bis zum bzw. ab dem Zeitpunkt der Vollstreckbarkeit der Verfügung.
C. C.a Gegen die Verfügung des Bezirksgerichtspräsidiums legten beide Eltern beim Bezirksgerichtsausschuss Hinterrhein Beschwerde ein (Eingaben vom 5. und 8. März 2010). Z._ beantragte, die Kinder unter seiner Obhut zu belassen, das Besuchsrecht von X._ zu regeln und diese mit Wirkung ab 1. August 2009 zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen zu verpflichten. X._ verlangte, ihr Ehemann sei mit Wirkung ab Vollstreckbarkeit des Entscheides zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen zu verpflichten und sie selbst sei für die Zeit, in der sich die Kinder in der Obhut des Vaters befinden, von jeglichen Unterhaltszahlungen zu befreien. Überdies stellte sie ein Ausstandsbegehren gegen die Bezirksgerichts-Vizepräsidentin U._.
C.b Am 10. März 2010 wurde der Beschwerde des Vaters superprovisorisch die aufschiebende Wirkung erteilt. Mit prozessleitender Verfügung vom 7. April 2010 bestätigte die Bezirksgerichts-Vizepräsidentin diese Anordnung. Sie verweigerte der Beschwerde der Mutter die aufschiebende Wirkung, vereinigte die beiden Beschwerdeverfahren und bestimmte die zu erhebenden Beweismittel. In einem Beiurteil vom 22. März 2010 wies der Bezirksgerichtsausschuss Hinterrhein das Ausstandsbegehren gegen die Bezirksgerichts-Vizepräsidentin ab. Unter deren Vorsitz fällte der Bezirksgerichtsausschuss am 19. Juli 2010 das Urteil. Er hiess beide Beschwerden teilweise gut. Unter teilweiser Aufhebung der Verfügung vom 12. Februar 2010 und in Abänderung der Eheschutzverfügung vom 21. November 2007 bzw. der superprovisorischen Verfügung vom 6. August 2009 stellte er die beiden Söhne unter die Obhut des Vaters und räumte der Mutter ein Besuchs- und Ferienrecht ein. Des Weiteren erteilte das Gericht dem Beistand zusätzliche Aufträge und verurteilte X._ für die Zeit vom 1. August bis 31. Dezember 2009 sowie mit Wirkung ab 1. August 2010 zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen.
D. Mit Beschwerde vom 6. September 2010 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Bezirksgerichtsausschusses Hinterrhein vom 19. Juli 2010 mit Ausnahme der Verpflichtung zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen für die Zeit vom 1. August bis 31. Dezember 2009 aufzuheben und die beiden Kinder S._ und T._ unter ihre Obhut zu stellen; Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) sei zu verpflichten, an den Unterhalt der Kinder einen Beitrag von je Fr. 770.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen zu bezahlen, und es sei ihm ein übliches Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen. Eventuell sei der angefochtene Entscheid zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich ersucht die Beschwerdeführerin darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihr für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Der Beschwerdegegner schloss auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung, verlangte umfassende Akteneinsicht und ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bezirksgericht Hinterrhein verzichtete auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung.
Mit Verfügung vom 27. September 2010 wies das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab und liess dem Beschwerdegegner die kantonalen Akten und die Beschwerdebeilagen zur Einsicht zustellen.

Erwägungen:
1. 1.1 Die rechtzeitig (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde richtet sich zur Hauptsache gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) über die Anordnung vorsorglicher Massnahmen während des Scheidungsverfahrens nach Art. 137 Abs. 2 ZGB (in der bis zum 31. Dezember 2010 gültigen Fassung). Diese zivilrechtliche Streitigkeit (Art. 72 Abs. 1 BGG) betrifft zur Hauptsache die Zuteilung der elterlichen Obhut über die gemeinsamen Kinder. Erst als Folge der Kinderzuteilung geht es auch um die Unterhaltsbeiträge. Familienrechtliche Klagen mit finanziellen Nebenfolgen gelten als nicht vermögensrechtliche Streitigkeiten, wenn die Regelung dieser Folgen notwendiger Bestandteil des Entscheides über die nicht vermögensrechtliche Streitigkeit ist (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2). Die Streitigkeit ist somit nicht vermögensrechtlicher Natur.
1.2 Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit sie sich gegen das Beiurteil vom 22. März 2010 über das Ausstandsbegehren gegen Bezirksgerichts-Vizepräsidentin U._ richtet. Dieses Urteil ist ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid im Sinne von Art. 92 Abs. 1 BGG. Aus Art. 92 Abs. 2 BGG folgt, dass die rechtssuchende Partei einen solchen Entscheid umgehend anfechten muss und zusammen mit dem Endentscheid nicht mehr in Frage stellen kann (Urteil 6B_846/2009 vom 26. Januar 2010 E. 3.1, in: RtiD 2010 II S. 86 f.). Entgegen der Vorschrift von Art. 112 Abs. 1 lit. d BGG enthält das fragliche Beiurteil keine Rechtsmittelbelehrung. Der Bezirksgerichtsausschuss hat dieses Urteil mithin mangelhaft im Sinne von Art. 49 BGG eröffnet. Dieser Vorschrift zufolge dürfen den Parteien aus mangelhafter Eröffnung keine Nachteile erwachsen. Für die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin muss der Eröffnungsmangel indessen ohne Folgen bleiben: Darf eine Partei nicht auf eine unrichtige Rechtsmittelbelehrung vertrauen, wenn sie oder ihr Anwalt die Unrichtigkeit kennt oder sie bei genügender Aufmerksamkeit hätte kennen können, so ist auch die Berufung auf eine fehlende Rechtsmittelbelehrung ausgeschlossen, wenn die betroffene Partei oder ihr Anwalt die Weiterziehungsmöglichkeit kannte oder kennen musste. Dies ist bei anwaltlich vertretenen Parteien insbesondere dann anzunehmen, wenn das Rechtsmittel zur Weiterziehung - wie das hier der Fall ist - schon allein durch Konsultierung des massgebenden Gesetzestextes hätte erkannt werden können (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 205; Urteil 9C_690/2007 vom 26. November 2007 E. 1.1, in: SVR 2008 AHV Nr. 12 S. 38).
1.3 Entscheide betreffend Massnahmen, die gestützt auf Art. 137 Abs. 2 ZGB (in der bis zum 31. Dezember 2010 gültigen Fassung) für die Dauer des Scheidungsverfahrens angeordnet werden, gelten nach der Rechtsprechung als vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG (<ref-ruling> E. 5.2 S. 397), so dass in der Beschwerde nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Art. 95 und Art. 97 BGG und auch Art. 105 Abs. 2 BGG gelangen deshalb nicht zur Anwendung. Die hier gegebenen Verhältnisse entsprechen mithin denjenigen bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG). Wie dort (Art. 118 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 116 BGG) kommt eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen auch hier nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588).
1.4 Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip. Die rechtssuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht (Rügeprinzip; <ref-ruling>, E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.).
Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) berufen will, kann sich daher nicht darauf beschränken, den vorinstanzlichen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 4b S. 11 f.). Dies ist nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts der Fall, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur dann als willkürlich auf, wenn er nicht bloss in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
2. 2.1 Trifft das Gericht für die Dauer des Scheidungsverfahrens die nötigen provisorischen Vorkehren, so hat es die Vorschriften über die Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft sinngemäss anzuwenden (Art. 137 Abs. 2 Satz 3 ZGB in der bis zum 31. Dezember 2010 gültigen Fassung). Wenn die Ehegatten unmündige Kinder haben, hat das Gericht folglich nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses zu entscheiden (Art. 176 Abs. 3 ZGB). Für die vorsorgliche Zuteilung der Obhut an einen Elternteil gelten grundsätzlich die gleichen Kriterien wie im Scheidungsfall selbst. Nach der Rechtsprechung hat das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern. Deren Erziehungsfähigkeit ist als Erstes zu klären. Ist sie bei beiden Eltern gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Eltern diese Voraussetzung ungefähr in gleicher Weise, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter eines Kindes - seinem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, so die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten, oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 209; <ref-ruling> E. 2 und 3 S. 319 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 354 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 180 f.).
2.2 Bei der Beurteilung der Kriterien, die für die Obhutszuteilung massgebend sind, verfügt das Sachgericht über ein grosses Ermessen (s. die soeben zitierten Urteile). Auf Willkürbeschwerde hin greift das Bundesgericht daher nur ein, wenn das Sachgericht grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn es Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn es umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Der Ermessensentscheid muss sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 109 la 107 E. 2c S. 109; <ref-ruling> E. 4b S. 6 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 99).
3. Der Bezirksgerichtsausschuss Hinterrhein erwog, die Erziehungsfähigkeit sei bei beiden Eltern gegeben, die Beschwerdeführerin könne die Kinder aber in einem etwas grösseren Umfang beziehungsweise aufgrund ihrer unregelmässigen Arbeitszeiten teilweise auch während der Woche betreuen. Unter Berücksichtigung allein dieser Zuteilungskriterien sowie in Anbetracht ihres ausdrücklich und mit Bestimmtheit geäusserten Wunsches wären die Kinder "tatsächlich der Mutter zuzuweisen", wobei noch die vom Beschwerdegegner erhobenen Vernachlässigungsvorwürfe und die Betreuungssituation seitens der Grosseltern mütterlicherseits näher abgeklärt werden müssten. Unter dem Gesichtspunkt der Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse stehen der Zuteilung der Kinder an die Beschwerdeführerin nach Anschauung der Vorinstanz aber "zwei gewichtige Aspekte" entgegen. Erstens erscheine die erhebliche, jeden Arbeitstag mindestens vier Stunden in Anspruch nehmende Distanz zwischen dem Wohn- und Arbeitsort der Beschwerdeführerin "auf die Dauer nicht als optimale Lösung". "Letztlich ausschlaggebend" waren für den Bezirksgerichtsausschuss aber die Strafverfahren in den Kantonen Zürich und Tessin, in welche die Beschwerdeführerin verwickelt ist. Die Vorinstanz kommt zum Schluss, nachdem die Verurteilung zu einer unbedingten Freiheitsstrafe nicht auszuschliessen sei, könne bei der Beschwerdeführerin "zum jetzigen Zeitpunkt keinesfalls von stabilen Verhältnissen die Rede sein". Im Ergebnis seien die Söhne daher unter die elterliche Obhut des Beschwerdegegners zu stellen.
4. Die Beschwerdeführerin wirft dem Bezirksgerichtsausschuss Hinterrhein vor, er habe bei der vorstehend (s. E. 3.) geschilderten Beurteilung der Zuteilungskriterien sein Ermessen in verschiedener Hinsicht willkürlich ausgeübt.
4.1 Die Beschwerdeführerin rügt zunächst, der Bezirksgerichtsausschuss habe die Aussagen der Zeugin V._ unrichtig wiedergegeben. Er habe ihr die bei S._ beobachteten Auffälligkeiten angelastet, obwohl diese aufgetreten seien, als sich das Kind in väterlicher Obhut befand. Überdies habe die Vorinstanz die Besserung von S._ Anpassungsschwierigkeiten dem Vater zugeschrieben, obgleich es sich der Zeugin zufolge auch um einen normalen Entwicklungsschub habe handeln können. Allein mit diesen Vorbringen vermag die Beschwerdeführerin nicht darzutun, dass die Vorinstanz sich in ihrer Beweiswürdigung getäuscht hätte und zu offensichtlich unhaltbaren Schlüssen gelangt wäre. Tatsächlich hat die besagte Zeugin im Zusammenhang mit der Therapierung des Kindes ausgesagt, es sei nicht so, "dass sich die positive Wendung ins Negative gewendet hätte". Inwiefern diese Aussage in einem offenkundigen Widerspruch zu den "positiven Wirkungen" steht, welche die Vorinstanz einer Obhutszuteilung an den Vater beimisst, tut die Beschwerdeführerin nicht dar.
4.2 Weiter erhebt die Beschwerdeführerin den Vorwurf, die Vorinstanz habe die Zeugenaussagen von W._ betreffend T._ offensichtlich falsch wiedergegeben und willkürliche Schlussfolgerungen daraus gezogen. Inwiefern eine andere, ihrer Ansicht nach korrekte Wiedergabe dieser Aussage notwendigerweise zu einem anderen Beweisergebnis hätte führen müssen, zeigt die Beschwerdeführerin jedoch nicht auf. Dass die fraglichen Äusserungen für die Obhutszuteilung ausschlaggebend gewesen wären, ist auch nicht ersichtlich. Die Zeugin spricht sich nicht für oder gegen den einen oder anderen Elternteil aus, sondern hält fest: "Ich denke, dass ihn [T._] die unsichere Situation bezüglich der Obhut sehr belastet. Es ist nicht, weil er beim Vater oder bei der Mutter ist."
4.3 Als "schlicht sachverhaltswidrig" geisselt die Beschwerdeführerin sodann den vorinstanzlichen Schluss, sie könne die Kinder "in einem etwas grösseren Umfang" als der Beschwerdegegner betreuen. Anhand ausführlicher Angaben zu ihren Arbeitszeiten will die Beschwerdeführerin nachweisen, dass sie im Vergleich zum Beschwerdegegner zu einer "erheblich" grösseren persönlichen Anwesenheit und Betreuung in der Lage ist. Sie übersieht jedoch, dass sich der Bezirksgerichtsausschuss mit Bezug auf die Betreuungsmöglichkeit ohnehin für sie ausspricht. Es kommt daher nicht darauf an, ob sie ihre Kinder nur in "etwas" oder in "erheblich" grösserem Umfang betreuen kann. Tatsächlich hat die Vorinstanz die unregelmässigen Arbeitszeiten und den langen Arbeitsweg der Beschwerdeführerin unter dem Gesichtspunkt der Stabilität gewürdigt. In diesem Zusammenhang hat sie erwogen, dass "ein Arbeitsweg von vier Stunden pro Tag bei einem 100 %-Pensum und gleichzeitiger Betreuung und Erziehung, inklusive Unterstützung bei den Hausaufgaben, von zwei Buben im Alter zwischen neun und sieben Jahren auf die Dauer nicht als optimale Lösung" erscheine. Diesen Befund stellt die Beschwerdeführerin - unter dem Aspekt der Stabilität - jedenfalls nicht in einer Weise in Abrede, die den Anforderungen an das strenge Rügeprinzip (E. 1.4) genügt. Dass der Bezirksgerichtsausschuss ihre Arbeitssituation in Verletzung von Art. 9 BV als ungünstig eingestuft hätte, vermag die Beschwerdeführerin insbesondere auch nicht mit dem Argument nachzuweisen, ihre Probezeit sei im Zeitpunkt der vorinstanzlichen Urteilsfällung bereits abgelaufen. Allein aus diesem Umstand folgt nicht, dass die Bedürfnisse und das Wohl der Kinder in einem höherem Masse gewährleistet wären.
4.4 Die Beschwerdeführerin bemängelt am angefochtenen Entscheid ausserdem, dass der Bezirksgerichtsausschuss die vom Vater erhobenen Vernachlässigungsvorwürfe "trotz der Beweisaufnahme" im Rahmen des Verfahrens nicht habe abklären können. Dafür finden sich im Urteil vom 19. Juli 2010 jedoch keine Anhaltspunkte. Vielmehr hat die Vorinstanz auf weitere Abklärungen zu den besagten Vorwürfen offensichtlich deshalb verzichtet, weil sie zur Überzeugung gelangt war, sie verfüge über genügende Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung und weitere Beweismassnahmen vermöchten am feststehenden Ergebnis nichts mehr zu ändern. Damit hat die Vorinstanz eine grundsätzlich zulässige antizipierte Beweiswürdigung vorgenommen (s. dazu <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735 mit Hinweisen; Urteil 5A_361/2010 vom 10. September 2010 E. 4.2.1). Der blosse Verzicht auf bestimmte weitergehende Beweiserhebungen verstösst demnach nicht gegen das Willkürverbot. Dass die Vorinstanz den Sachverhalt unvollständig festgestellt oder die vorhandenen Beweise willkürlich gewürdigt hat, ergibt sich insbesondere auch nicht allein aus dem Hinweis auf aktenkundige Schriftstücke, die sich ihrer Ansicht nach zu ihrer Betreuungsfähigkeit äussern und die im Raum stehenden Vernachlässigungsvorwürfe widerlegen.
4.5 Des Weiteren kreidet die Beschwerdeführerin dem Bezirksgerichtsausschuss an, er habe einerseits die Beweise, die für eine Obhutszuteilung an sie sprechen, überhaupt nicht oder falsch berücksichtigt und anderseits sämtliche Gründe, die dem Beschwerdegegner seine Geeignetheit als Obhutsberechtigter absprechen, ausser Acht gelassen. Die Beschwerdeführerin führt aus, neben der zeitlichen Verfügbarkeit spiele auch die Qualität der Betreuung eine Rolle, und versucht unter diesem Gesichtspunkt aufzuzeigen, weshalb sie besser zur Betreuung ihrer Söhne geeignet ist.
4.5.1 So schildert die Beschwerdeführerin zwei Vorfälle, die ihrer Ansicht nach die "klare Überforderung" des Beschwerdegegners bei der Erziehung illustrieren. Zugleich erhebt sie den Vorwurf, man habe die gegenüber dem Beistand festgehaltenen Ereignisse als reine Parteibehauptungen abgetan und die Kinder nicht dazu befragt. Indessen behauptet die Beschwerdeführerin nicht, dass der Bezirksgerichtsausschuss bei der Gewichtung dieser Vorkommnisse ihre verfassungsmässigen Rechte verletzt hätte. Daher kann das Bundesgericht auf dieses Vorbringen gar nicht erst eintreten (E. 1.4).
4.5.2 Eine Verletzung des Willkürverbots, der allgemeinen Verfahrensgarantien und der Verfassungsbestimmung über den Schutz der Kinder und Jugendlichen (Art. 11 Abs. 1 BV) erblickt die Beschwerdeführerin darin, dass der Bezirksgerichtsausschuss keinerlei Stellung zu einer möglichen Gefährdung der Kinder genommen habe und nicht auf ihre Vorbringen eingegangen sei, wonach die Kinder erklärt hätten, sie seien von der Mutter des Beschwerdegegners regelmässig mit dem Stock geschlagen worden. Soweit die Beschwerdeführerin zur Untermauerung dieser Vorbringen ausführt, ihre Kinder hätten Ende August 2010 wegen Misshandlungen durch den Beschwerdegegner und dessen Mutter die kantonale Kindesschutzstelle aufgesucht, trägt sie neue Tatsachen vor, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid zugetragen haben und daher nicht berücksichtigt werden können (Art. 99 Abs. 1 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Im Übrigen begnügt sich die Beschwerdeführerin mit dem Vorwurf, die behauptete Gefährdung der Kinder und die im Raum stehenden Misshandlungsvorwürfe hätten im angefochtenen Entscheid keine Erwähnung gefunden und die Vorinstanz habe nicht geprüft, ob die Mutter mit Blick auf die physische und psychische Entwicklung der Kinder als Obhutsberechtigte besser geeignet sei. Allein damit kann sie das Urteil vom 19. Juli 2010 aber nicht als verfassungswidrig ausweisen, zumal in erster Linie die Erziehungsfähigkeit des Beschwerdegegners in Frage steht und die Vorinstanz dem Beistand die zusätzliche Aufgabe übertragen hat, die Erziehungsmethoden der Eltern, insbesondere des Beschwerdegegners und dessen Mutter, zu überwachen.
4.5.3 Das Gesagte gilt sinngemäss auch für den Vorwurf, der Bezirksgerichtsausschuss habe es im Hinblick auf die Geeignetheit der Eltern zur schulischen Förderung der Kinder unterlassen, "die vorliegenden Beweise einer umfassenden Prüfung" zu unterziehen. Die Beschwerdeführerin äussert sich nicht dazu, inwiefern der angefochtene Entscheid gerade aufgrund dieser Elemente auch im Ergebnis willkürlich ist. Ebenso wenig erläutert sie in einer den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügenden Weise, inwiefern die Vorinstanz das Grundrecht der Kinder auf Förderung ihrer Entwicklung gemäss Art. 11 Abs. 1 BV verletzt haben soll. An der Sache vorbei geht schliesslich die von der Beschwerdeführerin erhobene Rüge, die Vorinstanz habe ihr rechtliches Gehör verletzt, indem sie ihr das "Recht auf Bewertung der angebotenen Beweise" verweigert habe. Ein solches Recht folgt nicht aus Art. 29 Abs. 2 BV. Die Bewertung, das heisst die Würdigung der Beweise ist vielmehr die ureigenste Aufgabe des Gerichts. Dessen Aufgabe ist es, die Vielzahl der für die Beantwortung der sich stellenden Fragen massgeblichen Kriterien zu würdigen und gegeneinander abzuwägen, um zu einem Ergebnis zu gelangen (Urteil 5A_361/2010 vom 10. September 2010 E. 4.2.2).
4.5.4 Unter Hinweis auf die Aussagen ihrer beiden Söhne in der Kindesanhörung macht die Beschwerdeführerin geltend, der Beschwerdegegner habe die Behörden über die Wohn- und Schlafsituation getäuscht. Indem die Vorinstanz die untragbaren Wohnverhältnisse und das Verhalten des Beschwerdegegners keiner Gewichtung unterzogen und sich darauf beschränkt habe, dem Beistand eine Überwachungsaufgabe aufzutragen, habe sie die gebotenen Schlussfolgerungen nicht gezogen und sei in Willkür verfallen. Die Beschwerdeführerin spricht sich indessen nicht darüber aus, welche "gebotenen Schlussfolgerungen" die Vorinstanz hätte ziehen müssen. Sie tut mit anderen Worten nicht dar, inwiefern der vorinstanzliche Ermessensentscheid sich auch im Ergebnis als in stossender Weise ungerecht erweist. Deshalb ist auch darauf nicht einzutreten.
4.5.5 Ausführlich schildert die Beschwerdeführerin eine Reihe von Vorkommnissen im August 2010, die belegen sollen, dass der Beschwerdegegner ihr das vereinbarte Ferienrecht entziehen wollte und ihr den Kontakt zu ihren Kindern erschwert. Die vorgetragenen Tatsachen haben sich jedoch allesamt nach dem Erlass des angefochtenen Entscheides ereignet. Naturgemäss können sie daher nicht zum Sachverhalt gehören, den der Bezirksgerichtsausschuss seinem Entscheid zugrunde gelegt hat. Sie sind somit neu im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG und müssen unberücksichtigt bleiben.
4.5.6 Schliesslich führt die Beschwerdeführerin aus, die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, indem sie den ausdrücklich und mit Bestimmtheit geäusserten Wunsch der Kinder, bei der Mutter zu wohnen, lediglich aufgrund eines gegen die Mutter laufenden Strafverfahrens und einer möglichen Verurteilung nicht berücksichtigt bzw. entwertet habe. Zu Unrecht habe die Vorinstanz überdies der protokollierten Beschreibung von T._s Zeichnung nicht Rechnung getragen, die darauf hinweise, dass die Betreuung beim Beschwerdegegner nicht kindergerecht sei. Auch diesen Vorbringen ist kein Erfolg beschieden. Die Beschwerdeführerin scheint sich der Einsicht zu verschliessen, dass der Bezirksgerichtsausschuss dem Kinderwunsch sehr wohl Rechnung getragen hat und zum Schluss gekommen ist, dass die Obhut allein unter Berücksichtigung des Kindeswunsches und der Betreuungsmöglichkeiten "tatsächlich der Mutter zuzuweisen" wäre. Indessen stellt der Bezirksgerichtsausschuss im angefochtenen Entscheid in für das Bundesgericht verbindlicher Weise (Art. 105 Abs. 1 BGG) fest, bei der Mutter manifestiere sich "ein beträchtliches Mass an krimineller Energie, das im Falle einer Verurteilung im Hinblick auf das Wohl der Kinder nicht bagatellisiert werden" dürfe (vgl. dazu auch E. 4.6). Die Beschwerdeführerin unternimmt in ihrem Schriftsatz nichts, um diese Feststellung zu entkräften. Gestützt darauf gelangt der Bezirksgerichtsausschuss zur Erkenntnis, diese kriminelle Energie sei ein Umstand, dessen Folgen die 7- bzw. 9-jährigen Kinder zum jetzigen Zeitpunkt nicht eigenständig abschätzen können. Dass die Vorinstanz damit die Wünsche der Kinder relativiert und - in den Worten der Beschwerdeführerin - gewissermassen "entwertet" hat, stellt das Bundesgericht nicht in Abrede. Sein Ermessen hat der Bezirksgerichtsausschuss mit diesem Werturteil aber nicht in willkürlicher Weise ausgeübt.
4.6 Im Zusammenhang mit den gegen sie laufenden Strafverfahren erhebt die Beschwerdeführerin weitere Vorwürfe.
4.6.1 Erstens rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung der Unschuldsvermutung. Die Vorinstanz habe bei ihrer Feststellung, die Beschwerdeführerin manifestiere "ein beträchtliches Mass an krimineller Energie" (s. E. 4.5.6), zu Unrecht auch diejenigen Straftaten mitbewertet, die im Kanton Tessin erst in Untersuchung begriffen seien. Im Hinblick auf die Prüfung einer möglichen Kindesgefährdung hätte die Vorinstanz der Beschwerdeführerin zufolge lediglich die eingestandenen Delikte und die von der Staatsanwaltschaft Zürich II geforderte bedingte Freiheitsstrafe von sechzehn Monaten berücksichtigen dürfen.
Die in Art. 32 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 2 EMRK garantierte Unschuldsvermutung besagt, dass jede Person bis zu ihrer rechtskräftigen Verurteilung als unschuldig gilt, das heisst als unschuldig zu behandeln ist, bis ein zuständiges Gericht nach Durchführung eines fairen Verfahrens die strafrechtliche Schuld in rechtsgenüglicher Weise nachgewiesen hat. Der Grundsatz "in dubio pro reo" ist eine Beweislast- und eine Beweiswürdigungsregel, die sich in erster Linie an das Strafgericht richtet (dazu <ref-ruling> E. 2a S. 40 f.). In einem weiteren Sinne lässt sich die Unschuldsvermutung dahingehend verstehen, dass ohne entsprechendes Verfahren niemand einer strafbaren Handlung bezichtigt werden darf (vgl. das zur Publikation vorgesehene Urteil 1C_428/2009 vom 13. Oktober 2010 E. 5.1).
Dass der Bezirksgerichtsausschuss sie einer Straftat bezichtigt hätte, behauptet die Beschwerdeführerin nicht. Dazu hat sie auch keinen Grund. Allein die Aussage, bei der Beschwerdeführerin manifestiere sich "ein beträchtliches Mass an krimineller Energie", ist zu unbestimmt, um als Bezichtigung einer Straftat gelten zu können. Die Vorinstanz resümiert mit dieser - unbestritten gebliebenen (E. 4.5.6) - Feststellung ihre Ausführungen zu den strafrechtlichen Vorwürfen, mit denen die Beschwerdeführerin konfrontiert ist. Nachdem die Beschwerdeführerin selbst erklärt, sie habe die ihr von den Zürcher Behörden zur Last gelegten Delikte zugestanden, erscheint die besagte vorinstanzliche Feststellung auch nicht als geradezu unangemessen. Immerhin handelt es sich bei den zugegebenen Straftaten um qualifizierte Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz.
4.6.2 Als "willkürlich und sachverhaltswidrig" bezeichnet die Beschwerdeführerin weiters die vorinstanzliche Schlussfolgerung, aufgrund der drohenden Bestrafung könne "bei der Mutter zum jetzigen Zeitpunkt keinesfalls von stabilen Verhältnissen die Rede sein". Dieser Schlussfolgerung widerspricht die Beschwerdeführerin mit dem Argument, in Anbetracht des zögerlichen Verlaufs des Tessiner Strafverfahrens sei "heute völlig offen", ob es überhaupt zur Anklage komme. Nachdem noch keine untersuchungsrichterliche Einvernahme stattgefunden habe, sei auch die Vermutung der Tessiner Staatsanwältin, "dass eine Klageerhebung möglich sei", nicht zu berücksichtigen; schliesslich werde es bis zu einem rechtskräftigen Urteil längere Zeit dauern, da sie sämtliche ihr zur Last gelegten Delikte abstreite.
Allein mit derlei Mutmassungen über den Ausgang des im Kanton Tessin hängigen Strafverfahrens kann die Beschwerdeführerin jedoch nicht dartun, dass sie "auf absehbare Zeit ... sehr wohl in stabilen Verhältnissen lebt." Daran ändert auch das Schreiben der Tessiner Staatsanwaltschaft vom 10. September 2010 nichts, das die Beschwerdeführerin ins Recht legt. Hierbei handelt es sich um ein unzulässiges Novum (Art. 99 Abs. 1 BGG). Im Übrigen ist der Umstand, dass die Beschwerdeführerin die gegen sie erhobenen Deliktsvorwürfe bestreitet, kein Grund zur Annahme, sie werde einer unbedingten Freiheitsstrafe entgehen oder die Tessiner Staatsanwaltschaft werde ihre Vorwürfe gar fallen lassen. Alles in allem bringt die Beschwerdeführerin nichts vor, was den Schluss der Vorinstanz, in Anbetracht der im Raume stehenden Deliktsvorwürfe und des unbekannten Ausgangs der hängigen Strafverfahren dürfe keine weitere Destabilisierung der Verhältnisse riskiert werden, als offensichtlich ungerecht, als in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufend erscheinen liesse. Um den Ermessensentscheid des Bezirksgerichtsausschusses als willkürlich auszuweisen, genügt es wie erwähnt (E. 1.4) nicht, dass eine andere Lösung - hier die Zuteilung der Obhut an die Beschwerdeführerin - ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint. Zu Recht verweist der Bezirksgerichtsausschuss auf die bundesgerichtliche Praxis, wonach der Stabilität, die für eine harmonische Entfaltung der Kinder notwendig ist, bei ungefähr gleicher Erziehungs- und Betreuungsfähigkeit beider Eltern besonderes Gewicht zukommt und unter Umständen auch dem Kriterium der Möglichkeit zur persönlichen Betreuung vorgehen kann (5A_22/2010 vom 7. Juni 2010 E. 7.2 mit Hinweisen). Solche Umstände liegen hier vor.
4.7 Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Es bleibt somit beim Entscheid der Vorinstanz, welche die Kinder S._ und T._ unter die elterliche Obhut des Beschwerdegegners gestellt, der Beschwerdeführerin ein Besuchs- und Ferienrecht eingeräumt und sie zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen verurteilt hat. Damit erübrigen sich Ausführungen zu den weiteren Rechtsbegehren, der Beschwerdegegner sei zu Unterhaltszahlungen zu verpflichten und es sei ihm ein übliches Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG) und hat den Beschwerdegegner, der sich nur zum Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung hat vernehmen lassen, mit seinem Antrag aber durchgedrungen ist, zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
6. Beide Parteien ersuchen um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege setzt voraus, dass die betreffende Partei ihre Bedürftigkeit nachweist und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (Art. 64 Abs. 1 BGG).
6.1 Aus dem Gesuch der Beschwerdeführerin geht hinreichend hervor, dass sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, um den Prozess aus eigenen Mitteln zu finanzieren. Obwohl die Beschwerde in Zivilsachen abzuweisen ist (E. 4.7), kann das Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin nicht als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sind mithin erfüllt, und das entsprechende Gesuch für das bundesgerichtliche Verfahren ist gutzuheissen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Damit sind die Gerichtskosten einstweilen auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen; der Vertreterin der Beschwerdeführerin ist aus der Bundesgerichtskasse eine reduzierte Entschädigung zu entrichten.
6.2 Als obsiegende Partei muss der Beschwerdegegner keine Gerichtskosten bezahlen. Nachdem er sich zum Ausgang des Verfahrens in der Hauptsache nicht hat vernehmen lassen und die Beschwerdeführerin ihn im Gesuchsverfahren betreffend die aufschiebende Wirkung zu entschädigen hat, erweist sich sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege als gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Ihr wird Rechtsanwältin Susanna Mazzetta als amtliche Rechtsbeiständin beigegeben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt; dieser Betrag wird einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwältin Susanna Mazzetta wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
5. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
6. Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
7. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bezirksgerichtsausschuss Hinterrhein schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn