Sachverhalt:
A. Die 1957 geborene B._ war ab 1. Februar 1989 als Sekretärin für das Amt X._ tätig. Infolge einer Umstrukturierung kündigte das Amt das Arbeitsverhältnis per 30. Juni 2004. Wegen der krankheitsbedingten Sperrfrist verlängerte sich die Anstellung bis 31. Dezember 2004.
Am 6. Dezember 2004 meldete sich B._ unter Hinweis auf Tinnitus, Rückenschmerzen und einen im November 2004 erlittenen Nervenzusammenbruch zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Aargau lehnte mit Verfügung vom 25. Januar 2005 eine Kostengutsprache für berufliche Massnahmen ab. Daraufhin reichte B._ am 2. August 2005 eine Anmeldung zum Bezug einer Invalidenrente ein. Nach Abklärung der gesundheitlichen und erwerblichen Situation sowie nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle einen Rentenanspruch unter Hinweis auf einen Invaliditätsgrad von 20 % (Verfügung vom 26. November 2008).
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 9. Dezember 2009).
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das Rechtsbegehren stellen, die Sache sei zur "Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen" und zur Zusprechung einer ganzen Invalidenrente an die IV-Stelle zurückzuweisen. Der Eingabe liegt ein Schreiben des behandelnden Dr. med. K._, Spezialarzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 25. Januar 2010 bei.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Gemäss <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>; Ausnahme: Beschwerden gemäss <ref-law> [<ref-law>]).
2. Das kantonale Gericht hat die massgeblichen Rechtsgrundlagen, unter Berücksichtigung der intertemporalrechtlichen Fragen, die sich aufgrund der am 1. Januar 2008 im Rahmen der 5. IV-Revision erfolgten Rechtsänderungen stellen (vgl. Urteil 8C_829/2008 vom 23. Dezember 2008 E. 2.1 mit Hinweisen), zutreffend dargelegt. Es betrifft dies insbesondere die gesetzlichen Bestimmungen und von der Rechtsprechung entwickelten Grundsätze zum Begriff der Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) und Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), zu den Voraussetzungen und zum Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law> [in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung] und <ref-law> [in der seit 1. Januar 2008 in Kraft stehenden Fassung]), sowie zum Beweiswert und zur Würdigung ärztlicher Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352). Darauf - wie auch auf die Erwägungen zu dem im Sozialversicherungsrecht massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 1 S. 338; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) - wird verwiesen.
3. Nach umfassender Würdigung der medizinischen Akten gelangte die Vorinstanz zum nachvollziehbar begründeten Ergebnis, die Versicherte leide - mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit - unter einer rezidivierenden depressiven Störung, gegenwärtig leichte Episode, unter einem Tinnitus auris beidseits und einer leichtgradigen Schallempfindungsschwerhörigkeit beidseits. Auf die Einschätzung in der Expertise des Instituts Y._ vom 25. Juni 2008 (samt ergänzender Stellungnahme vom 10. November 2008), wonach in der angestammten Tätigkeit als Sekretärin ein ganztägiger Einsatz mit einem "Pensum von 80 %" zumutbar sei, könne abgestellt werden. Die reduzierte Leistungsfähigkeit ergebe sich aus dem erhöhten Pausenbedarf. Da die Beschwerdeführerin bisher nicht während eines Jahres durchschnittlich zu mindestens 40 % arbeitsunfähig gewesen sei, sei das Wartejahr im Sinne von <ref-law> (in Kraft seit 1. Januar 2008, bzw. <ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung) nicht erfüllt, womit ein Rentenanspruch nicht habe entstehen können.
4. 4.1 Die Tatsachenfeststellungen des kantonalen Gerichts, vorliegend namentlich die aus den medizinischen Akten gewonnene Erkenntnis, wonach die Leistungseinschränkung in der angestammten Tätigkeit 20 % betrage und die Beschwerdeführerin nicht während eines Jahres durchschnittlich zu 40 % arbeitsunfähig gewesen sei, sind im letztinstanzlichen Prozess grundsätzlich verbindlich. Im Rahmen der eingeschränkten Sachverhaltskontrolle (<ref-law>) ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, die schon im vorinstanzlichen Verfahren im Recht gelegenen medizinischen Berichte neu zu würdigen und die rechtsfehlerfreie Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts hinsichtlich der medizinisch begründeten Einschränkung des Leistungsvermögens und des Ausmasses der trotz gesundheitlicher Einschränkungen verbleibenden Arbeitsfähigkeit zu korrigieren (E. 1 hiervor).
4. 4.1 Die Tatsachenfeststellungen des kantonalen Gerichts, vorliegend namentlich die aus den medizinischen Akten gewonnene Erkenntnis, wonach die Leistungseinschränkung in der angestammten Tätigkeit 20 % betrage und die Beschwerdeführerin nicht während eines Jahres durchschnittlich zu 40 % arbeitsunfähig gewesen sei, sind im letztinstanzlichen Prozess grundsätzlich verbindlich. Im Rahmen der eingeschränkten Sachverhaltskontrolle (<ref-law>) ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, die schon im vorinstanzlichen Verfahren im Recht gelegenen medizinischen Berichte neu zu würdigen und die rechtsfehlerfreie Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts hinsichtlich der medizinisch begründeten Einschränkung des Leistungsvermögens und des Ausmasses der trotz gesundheitlicher Einschränkungen verbleibenden Arbeitsfähigkeit zu korrigieren (E. 1 hiervor).
4.2 4.2.1 Die Versicherte wendet ein, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig erhoben worden, indem das kantonale Gericht auf das unvollständige und teilweise unrichtige Gutachten des Instituts Y._ abgestellt habe. Soweit sie damit eine lückenhafte Abklärung des Gesundheitszustandes geltend macht, muss darauf hingewiesen werden, dass im Verzicht auf die Abnahme weiterer Beweise keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör liegt, wenn die im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes von Amtes wegen vorzunehmenden Abklärungen den Versicherungsträger oder das Gericht bei umfassender, sorgfältiger, objektiver und inhaltsbezogener Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 4.1 S. 400) zur Überzeugung führen, ein bestimmter Sachverhalt sei als überwiegend wahrscheinlich (<ref-ruling> E. 5b S. 360; <ref-ruling> E. 2 S. 195, je mit Hinweisen) zu betrachten und es könnten weitere Beweismassnahmen an diesem feststehenden Ergebnis nichts mehr ändern (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 4b S. 94). Es lässt sich demgemäss nicht beanstanden, dass das kantonale Gericht nach gründlicher Auseinandersetzung mit den ärztlichen Unterlagen davon ausgegangen ist, der rechtserhebliche Sachverhalt sei genügend abgeklärt worden.
4.2.2 Der letztinstanzlich eingereichten Beschwerde liegt ein an den Rechtsvertreter der Versicherten gerichtetes Schreiben des Dr. med. K._ vom 25. Januar 2010 bei, in welchem Stellung zum kantonalen Gerichtsentscheid genommen wird. Im Verfahren vor Bundesgericht dürfen gemäss <ref-law> neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Werden Tatsachen etwa erst durch den vorinstanzlichen Entscheid rechtswesentlich, so sind die im letztinstanzlichen Verfahren neu dazu eingereichten Belege als zulässige Noven im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren (NICOLAS VON WERDT, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 6 zu <ref-law>). Nachdem das kantonale Gericht vorliegend in nicht zu beanstandender Weise einen zusätzlichen Abklärungsbedarf in medizinischer Hinsicht verneint hat, kann nicht davon ausgegangen werden, dass erst der Entscheid der Vorinstanz zur Einreichung des neuen Aktenstücks Anlass gegeben hat. Dieses Beweismittel ist daher unzulässig und kann im letztinstanzlichen Verfahren nicht berücksichtigt werden. Aus dem gleichen Grund kann auf den Teil der Beschwerdeschrift, welcher in der Wiedergabe des Berichts des behandelnden Psychiaters vom 25. Januar 2010 besteht, nicht eingegangen werden.
4.2.3 Die Rüge der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe übersehen, dass die Gutachter des Instituts Y._ nicht über sämtliche Vorakten, insbesondere nicht über den Bericht (der Universitären Psychiatrischen Kliniken A._) betreffend eine stationäre Behandlung aus psychischen Gründen vom 16. bis 19. Januar 2007, verfügt hätten, ist unzutreffend. Im angefochtenen Gerichtsentscheid wird eingeräumt, dass dieser Bericht nicht vorhanden sei. Die Vorinstanz begründet aber einlässlich, weshalb auf den Beizug des Aktenstücks - in antizipierter Beweiswürdigung - verzichtet werden konnte. Nicht stichhaltig ist sodann auch das Vorbringen, das kantonale Gericht setze sich "nicht und wenn überhaupt, dann inhaltlich falsch" mit der von der Beschwerdeführerin eingeholten Expertise des Instituts Z._, vom 28. Februar 2009 auseinander. Die Versicherte übersieht, dass die in der Expertise des Instituts Z._ geäusserten Einwände im angefochtenen Gerichtsentscheid thematisiert werden und in der Folge dargelegt wird, weshalb auch im Lichte der vorgebrachten Kritik auf die im Gutachten des Instituts Y._, trotz einer diagnostischen Ungenauigkeit, zuverlässig ermittelte Leistungsfähigkeit abzustellen ist. Es erübrigt sich daher, erneut auf die in der Expertise des Instituts Z._ bemängelten Punkte, welche in der dem Bundesgericht eingereichten Beschwerde wiederholt werden, einzugehen. Das Abstellen auf das Gutachten des Instituts Y._ vom 25. Juni 2008 (samt ergänzender Stellungnahme vom 10. November 2008) und schliesslich auch die implizite Annahme des kantonalen Gerichts, der Bericht des Prof. Dr. med. H._, Chefarzt, Institut T._ vom 13. November 2008, in welchem im Zusammenhang mit einem geklagten Hautausschlag ein Verdacht auf ein Morgellon-Syndrom geäussert wird, nachdem mittels durchgeführter Laboruntersuchungen kein spezifischer Erreger der Hautveränderung gefunden wurde, liesse keine Zweifel an der Richtigkeit der bisher getroffenen Tatsachenfeststellungen entstehen, können nicht als willkürliche Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 4.1 S. 400) qualifiziert werden.
4.3 Zusammenfassend ergibt sich, dass die Ausführungen in der Beschwerdeschrift nicht geeignet sind, die Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts als offensichtlich unrichtig oder unvollständig erscheinen zu lassen. Die Beschwerde ist daher abzuweisen.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Prozessausgang entsprechend sind die Gerichtskosten von der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Juni 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Berger Götz