Sachverhalt:
A.
Y._ und A._ sind die geschiedenen Eltern von B._ (geb. 1997). Im Rahmen ihrer Scheidung im Jahr 2008 wurde ihnen die elterliche Sorge entzogen und B._ wurde ein Vormund bestellt. Das Kind blieb in verschiedenen Institutionen untergebracht, bis der Vormund, unter Kenntnisnahme der Vormundschaftsbehörde E._ (Entscheid vom 12. November 2012), B._ vorübergehend beim Kindsvater platzierte. Zudem sollte B._ neu die in der Nähe gelegene Schule D._ besuchen. Die Kindsmutter führte innerkantonal Beschwerde gegen die Platzierung. Ab dem 1. Januar 2013 lag die Zuständigkeit für das Beschwerdeverfahren bei der Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz des Obergerichts des Kantons Aargau (hiernach Obergericht).
B.
Mit Präsidialverfügung des Obergerichts vom 21. Januar 2013 wurde Fürsprecherin X._ zur Kindesvertreterin von B._ in diesem Beschwerdeverfahren bestellt.
Mit Eingabe vom 6. März 2013 reichte X._ beim Obergericht erste Anträge in der Sache ein, worauf der Kindsvater am 20. März 2013 mitteilte, dass er die Anträge der Kindesvertreterin unterstütze und an seinen Begehren festhalte. Hierauf nahm die Kindesvertreterin am 26. März 2013 noch einmal Stellung.
C.
Das Obergericht holte in der Folge Berichte über den Stand von B._ ein. Am 28. März 2013 erstattete die Vormundin des Kindes einen Zustandsbericht, wozu sich die Kindsmutter äusserte. Am 21. Mai 2013 erstattete der Kinder- und Jugendpsychiatrische Dienst Basel-Land (KJP) einen Bericht über die Platzierung von B._ beim Vater mit Besuch der Schule D._ sowie über ihre Beziehung zur Mutter. Die Vormundin und die Kindesvertreterin schlossen sich mit Stellungnahmen vom 6. Juni resp. 13. Juni 2013 den Schlussfolgerungen im Bericht an. Mit Eingabe vom 21. Juni 2013 änderte die Kindsmutter ihre Rechtsbegehren geringfügig.
Mit Entscheid vom 22. August 2013 wies das Obergericht die Beschwerde ab und setzte die der Kindesvertreterin für ihre Aufwendungen geschuldete Entschädigung auf Fr. 1'000.-- (inkl. Auslagen und MWSt) fest (Ziffern 4.1 und 4.2 des Urteils).
D.
Gegen die Festsetzung der Entschädigung führt X._ Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragt, Ziffern 4.1 f. des angefochtenen Entscheides seien unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Kantons Aargau aufzuheben. Die Angelegenheit sei an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese sei zur Neufestsetzung des Honorars aufgrund der aufgewendeten Zeit zu verpflichten.
Die Kindsmutter beantragt mit Stellungnahme vom 1. November 2013, die Beschwerde sei teilweise gutzuheissen und der Kindesvertreterin sei eine angemessene Entschädigung zu Lasten des Kantons Aargau auszurichten, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Kantons Aargau oder eventualiter der Beschwerdeführerin. Sie ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Das Obergericht teilte mit, es verzichte auf eine Vernehmlassung. Eine Replik blieb aus.
E.
Es ist anzumerken, dass die Kindsmutter in der Sache und deren unentgeltliche Rechtsvertreterin betreffend das ihr zugesprochene Honorar ebenfalls Beschwerde an das Bundesgericht erhoben (vgl. separate Verfahren 5A_742/2013 und 5A_945/2013).

Erwägungen:
1.
Angefochten ist die gerichtlich festgesetzte Entschädigung der Vertreterin eines Kindes (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG). Die Entschädigung des Vertreters eines Kindes im Rahmen eines Prozesses bildet Teil der Gerichtskosten (<ref-law>). Diese sind ihrerseits Teil des Endentscheides in der Sache und können somit ungeachtet der strittigen Höhe dieser Kosten mit dem in der Sache zulässigen Rechtsmittel angefochten werden (Urteil 5A_168/2012 vom 26. Juni 2012 E. 1; vgl. auch <ref-ruling> betreffend die Parteientschädigung). In der Sache geht es um die Unterbringung eines Kindes, mithin um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) ohne Vermögenswert, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen streitwertunabhängig offen steht; folglich kann auch der Entscheid über die Gerichtskosten mit diesem Rechtsmittel an das Bundesgericht gezogen werden. Die Beschwerdeführerin war im kantonalen Verfahren als Kindesvertreterin beteiligt (<ref-law>) und hat ein schutzwürdiges Interesse im Sinne von <ref-law>. Auf die im Übrigen fristgerecht eingereichte Beschwerde (<ref-law>) ist einzutreten.
2.
Das Obergericht hat erwogen, für die Entschädigung der Kindesvertreterin sei gemäss dem kantonalen § 62b Abs. 2 EG ZGB der Anwaltstarif (Dekret über die Entschädigung der Anwälte, AnwT; SAR 291.150), massgebend. Bei Verfahren, die das Vermögen der Partei weder direkt noch indirekt beeinflussen, betrage die Grundentschädigung nach dem mutmasslichen Aufwand des Anwaltes, je nach der Bedeutung und der Schwierigkeit des Falles, zwischen Fr. 1'210.-- und Fr. 14'740.-- (§ 3 Abs. 1 lit. b AnwT). In summarischen Verfahren, worunter auch das Vorliegende falle, betrage die Grundentschädigung 25 bis 100 % dieses Ansatzes (§ 3 Abs. 2 AnwT), durchschnittlich somit 62,5 % der erwähnten Beträge. Eine Grundentschädigung von Fr. 1'200.-- erscheine angemessen. Damit seien Instruktion, Aktenstudium, rechtliche Abklärungen, Korrespondenz und Telefongespräche sowie eine Rechtsschrift und die Teilnahme an einer behördlichen Verhandlung abgegolten (§ 6 Abs. 1 AnwT). Aufgrund der fehlenden Verhandlung sei ein Abzug von 25 % vorzunehmen (§ 6 Abs. 2 AnwT). Die beiden zusätzlichen Kurzstellungnahmen seien mit je 5 % zu berücksichtigen (§ 6 Abs. 3 AnwT), was mit dem Abzug von 10 % für das Rechtsmittelverfahren verrechnet werde (§ 8 AnwT). Hinzu kämen Auslagen von ermessensweise pauschal Fr. 120.-- sowie 8 % Mehrwertsteuer, was einen Anspruch von insgesamt "rund" Fr. 1'000.-- ergebe.
Die Festsetzung erfolgte ohne Einholung einer Kostennote der Beschwerdeführerin.
3.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz vor, diese sei in Willkür verfallen, indem sie die Entschädigung ohne Berücksichtigung des konkret angefallenen Aufwandes (sowohl in Bezug auf den Zeitaufwand als auch bei den Auslagen) festgesetzt habe. Sie habe sich in sehr umfangreiches Aktenmaterial von über 400 Seiten einarbeiten müssen, welches die Vorinstanz selbst ihr zugestellt habe. Angesichts der sich stellenden Fragen habe sie Gespräche mit dem Kind, dem Vater, der Mutter und der Schulleitung sowie mit der Vormundin und einer behandelnden Ärztin führen müssen, dies teils vor Ort. Sodann habe sie auf Aufforderung der Vorinstanz auch Stellungnahmen zu den eingeholten Berichten abliefern müssen. Insgesamt sei ein Zeitaufwand von 20 Stunden 50 Minuten entstanden. Auch wenn es sich um ein summarisches Verfahren handle, müssten Kindesschutzsachen sorgfältig und vertieft bearbeitet werden. Die zugesprochene Entschädigung von umgerechnet Fr. 806.-- (abzüglich Auslagen von Fr. 120.-- und MWSt) stehe in offensichtlich krassem Missverhältnis zum erforderlichen Aufwand. Umgerechnet ergebe das einen Stundenansatz von Fr. 38.75 pro Stunde (statt des im Kanton für unentgeltliche Vertretungen oder amtliche Verteidigungen üblichen Ansatzes von Fr. 220.-- pro Stunde). Die Entschädigung sei damit auch im Ergebnis willkürlich. In Bezug auf die Auslagen habe die Vorinstanz zudem nur pauschal Fr. 120.-- eingesetzt, obwohl ihr bekannt gewesen sei, dass sie habe Abklärungen vor Ort treffen müssen. Ihre Auslagen beliefen sich auf Fr. 191.10. Insgesamt macht sie ein Honorar von Fr. 5'156.40 geltend (Honorar für 20 Stunden 50 Minuten à Fr. 220.-- = Fr. 4'583.35, zuzüglich Auslagen Fr. 191.10 und MWSt Fr. 381.95).
4.
Die gesetzliche Ordnung erlaubt es nicht, die Entschädigung für den Kindesvertreter so tief anzusetzen, dass eine sorgfältige Vertretung nicht mehr möglich ist. Bereits vor Inkrafttreten der ZPO wurde in der Literatur verlangt, dass von festen Kostenrahmen abgesehen und die Entschädigung nach dem angemessenen Aufwand des Vertreters bestimmt werde, woran sich auch mit der Einführung der schweizerischen Zivilprozessordnung, welche die Vertretung des Kindes im Prozess in Art. 299-301 ZPO regelt, nichts änderte. Sprechen sich doch auch gewisse Kommentatoren der neueren Prozessrechtsliteratur im Hinblick auf eine sachgerechte Vertretung der Interessen des Kindes im Grundsatz für eine Entschädigung nach angemessenem Aufwand aus (vgl. ausführlich Urteil 5A_168/2012 vom 26. Juni 2012 E. 4.2, in: FamPra.ch 2012 S. 1182, mit folgenden Hinweisen auf Literatur vor Inkrafttreten der eidg. ZPO: BREITSCHMID, Kind und Scheidung der Elternehe, in: Das neue Scheidungsrecht, 1999, S. 134; SCHWEIGHAUSER, FamKommentar Scheidung, 1. Aufl. 2005, N. 51 ff. zu Art. a147 ZGB; sowie mit Hinweisen auf Literatur zur ZPO: SCHWEIGHAUSER, FamKommentar Scheidung, Band II, 2. Aufl. 2011, Anh. ZPO Art. 300 N. 41 ff.; RÜEGG, Basler Kommentar zur ZPO, 1. Aufl. 2010, N. 15 zu <ref-law>). Letztgenannter Autor bekräftigt die geäusserte Meinung in der aktuellen Neuauflage des Kommentars unter Bezugnahme auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung ( RÜEGG, Basler Kommentar zur ZPO, 2. Aufl. 2013, N. 15 zu <ref-law>).
Im zitierten Fall, welcher ebenfalls den Kanton Aargau betraf, wurde festgehalten, dass eine Honorarbemessung nach Pauschale, wie dies vom Kanton Aargau praktiziert wird, einer effizienten Vertretung der Interessen des Kindes, wie sie von Lehre und Rechtsprechung gefordert wird, nicht gerecht wird (Urteil 5A_168/2012 vom 26. Juni 2012 E. 4.2, in: FamPra.ch 2012 S. 1182). Dass die Methode der Vorinstanz tatsächlich jegliche Berücksichtigung des angemessenen Zeitaufwandes ausschliesst, zeigt sich bereits darin, dass nicht einmal eine Kostennote eingeholt wurde. Eine solche Vorgehensweise vermag dem Postulat nach einer Berücksichtigung des effektiven und angemessenen Zeitaufwandes nicht gerecht zu werden. Die Vorinstanz trägt dem konkreten Fall keine Rechnung. Um so erstaunlicher ist dies, als die Vorinstanz offenbar sämtliche von der Kindesvertreterin getätigten Vorkehren für erheblich erachtet hat, lässt sich dem angefochtenen Entscheid doch nicht ein einziger Hinweis darauf entnehmen, dass ihr Vorgehen nicht angemessen gewesen wäre.
5.
Im Ergebnis erweist sich die Festsetzung der Entschädigung auf Fr. 1'000.-- als willkürlich.
Ziffern 4.1 und 4.2 des angefochtenen Urteils sind somit wie beantragt aufzuheben, soweit sie die Entschädigung der Kindesvertreterin betreffen. Da das Bundesgericht mangels entsprechender Feststellungen der letzten kantonalen Instanz nicht selbst über die Entschädigung befinden kann, ist die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese - nach Einholung der Kostennote der Beschwerdeführerin - eine Neufestsetzung der Entschädigung unter Berücksichtigung des angemessenen Zeitaufwandes vornehme.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens erübrigt es sich, auf die weiteren Rügen der Beschwerdeführerin einzugehen.
6.
Der Beschwerdegegnerin sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen, nachdem sie den Entscheid nicht zu verantworten hat. Hingegen ist dem Kanton Aargau eine Gerichtsgebühr aufzuerlegen, d a Vermögensinteressen des Kantons betroffen sind (<ref-law>; v gl. Urteil 5A_168/2012 vom 26. Juni 2012 E. 6). Der Kanton Aargau hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>; Urteil 5A_168/2012 vom 26. Juni 2012 E. 6). Weiter hat er der Beschwerdegegnerin, welche mit ihren Anträgen zumindest teilweise obsiegt, die ihr entstandenen Kosten zu ersetzen; deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Ziffern 4.1 und 4.2 des Urteils des Obergerichts des Kantons Aargau vom 22. August 2013 werden aufgehoben, soweit sie die Entschädigung der Kindesvertreterin betreffen, und die Sache wird im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden dem Kanton Aargau auferlegt.
3.
Der Kanton Aargau hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4.
Der Kanton Aargau hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwa chsenenschutz, den beiden Verfahrensbeteiligten, der Beiständin des Kindes sowie dem Bezirksgericht Rheinfelden, Abteilung Familiengericht, sc hriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann