Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1963 geborene G._ leidet an Rückenschmerzen (chronisches lumbo-spondylogenes Syndrom mit residueller sensibler radikulärer Symptomatik S1 nach einer Diskektomie L5/S1 von 2006) sowie an einer Dysthymie. Sie bezog für die Zeit von Juli 1998 bis April 2001 eine halbe und seit Mai 2001 eine ganze Invalidenrente (Verfügung der IV-Stelle Luzern vom 21. Januar 2002). Nach einer revisionsweise Überprüfung des Leistungsanspruchs bestätigte die IV-Stelle den Rentenanspruch mit Verfügung vom 20. März 2003.
Unter anderem gestützt auf ein interdisziplinäres (psychiatrisches, neuropsychologisches und neurochirurgisches) Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) vom 22. August 2009 hob die Verwaltung die Invalidenrente im Rahmen eines weiteren Revisionsverfahrens per Ende Januar 2010 auf (Verfügung vom 8. Dezember 2009). Auf Beschwerde der Versicherten hin wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht) die Sache zur Einholung eines rheumatologischen Gutachtens und zur neuen Verfügung an die IV-Stelle zurück (Entscheid vom 2. Dezember 2010).
A.b. Im Auftrag der IV-Stelle erstattete der Rheumatologe Dr. M._ am 18. August 2011 ein Gutachten. Die Verwaltung ging wiederum davon aus, es bestehe kein rentenbegründender Invaliditätsgrad mehr, und hob die laufende Invalidenrente mit Wirkung per Ende Dezember 2011 hin auf (Verfügung vom 28. November 2011).
B.
Das Kantonsgericht Luzern wies die hiegegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 4. September 2013).
C.
G._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass ihr die bisherige Rente weiterhin zustehe. Ausserdem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsvertretung).
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherung verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht legt seiner Urteilsfindung die vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person zugrunde, soweit sie auf Beweiswürdigung im konkreten Fall beruhen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 397). Es kann die einschlägigen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Verletzung u.a. von Bundesrecht beruhen (Art. 95 lit. a, Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Dies gilt auch mit Bezug auf Änderungen im Gesundheitszustand, die im Hinblick auf eine Leistungsrevision (<ref-law>) erhoben werden. Hingegen ist frei überprüfbare Rechtsfrage, ob festgestellte Veränderungen tatsächlicher Natur sind.
2.
Strittig ist, ob die Beschwerdeführerin über Dezember 2011 hinaus eine Invalidenrente beanspruchen kann.
3.
3.1. Das kantonale Gericht prüfte die Streitfrage zunächst unter dem Blickwinkel der Rentenrevision. Es hielt fest, im Vergleichszeitraum (vom Erlass der rentenzusprechenden Verfügung vom 21. Januar 2002 bis zur rentenaufhebenden Verfügung vom 28. November 2011) sei jedenfalls seit dem Jahr 2007 eine erhebliche Verbesserung des psychischen Gesundheitszustandes eingetreten, wie sich unter anderem aus der diesbezüglich beweiswertigen MEDAS-Expertise vom 22. August 2009 ergebe. Eine psychiatrisch begründete Arbeitsunfähigkeit bestehe nur noch im Umfang von 10 Prozent (E. 6 und 8 des angefochtenen Entscheids). Hingegen zeige ein Vergleich der ärztlichen Berichte, dass sich die organischen Beeinträchtigungen bis zum Untersuch durch die MEDAS nicht verbessert hätten. Dabei würdigte das kantonale Gericht unter anderem das rheumatologische Gutachten des Dr. M._ vom 18. August 2011, die Beurteilung des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) der Invalidenversicherung vom 9. November 2011 sowie die Stellungnahme des Dr. M._ vom 13. Juni 2013. Dem Gutachter M._ sei darin zu folgen, dass der somatische Gesundheitszustand mit überwiegender Wahrscheinlichkeit im Wesentlichen gleich geblieben sei. Der Sachverständige stelle denn auch klar, dass er mit der (von früheren Beurteilungen der Leistungsfähigkeit abweichenden) Einschätzung, die Arbeitsfähigkeit betrage in angepassten Tätigkeiten 85 Prozent, einen unveränderten Sachverhalt anders bewerte (E. 7.8, 9 und 10.1-10.4). In somatischer Hinsicht bestehe somit kein Grund für eine Rentenrevision (E. 7.9). Die Vorinstanz schloss, die strittige Verfügung könne insgesamt nicht unter diesem Titel geschützt werden (E. 10.5).
3.2.
3.2.1. Was die organisch begründete Beeinträchtigung des Gesundheitszustandes der Beschwerdeführerin angeht, ist das kantonale Gericht somit davon ausgegangen, dass die beweiskräftige rheumatologische Beurteilung des Leistungsvermögens durch Dr. M._ eine abweichende medizinische Einschätzung darstellt, die keine materielle Revision im Sinne von <ref-law> begründet, weil ihr im Wesentlichen unveränderte tatsächliche Verhältnisse zugrundeliegen (vgl. <ref-ruling> E. 4a/bb S. 313; Urteil I 574/02 vom 25. März 2003 E. 2 = SVR 2004 IV Nr. 5 S. 13). Dem kann gefolgt werden.
3.2.2. Fraglich ist jedoch, ob das Erkenntnis, die Aufhebung der Invalidenrente lasse sich nicht auf <ref-law> abstützen, mit der vorinstanzlichen Feststellung vereinbar ist, der psychische Gesundheitszustand habe sich erheblich verbessert (E. 6 des angefochtenen Entscheids). Die Rechtskraft der ursprünglichen Leistungsverfügung entzieht Tatsachen der Überprüfbarkeit im Rahmen einer Leistungsrevision (unter Vorbehalt eines neuen Versicherungsfalls) nur, wenn sie Teil eines zeitlich abgeschlossenen Sachverhalts bilden (z.B. versicherungsmässige Voraussetzungen nach <ref-law>; <ref-ruling>). Löst die Veränderung einer leistungsbestimmenden Dauertatsache die Revision aus, findet ansonsten eine umfassende Prüfung des Rentenanspruchs statt; die Herauf- oder Herabsetzung oder Aufhebung der Invalidenrente kann auch durch ein anderes Anspruchselement begründet sein (vgl. Urteil I 652/00 vom 12. März 2002 E. 2a = AHI 2002 S. 164; Ulrich Meyer, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung, 2. Aufl. 2010, S. 382). Sofern sich die vorinstanzlich festgestellte Verbesserung des psychischen Gesundheitszustandes im für die Leistungsrevision massgebenden Zeitraum bestätigen sollte, wäre die aktuelle Einschätzung des Dr. M._, die Leistungsfähigkeit der Beschwerdeführerin habe sich aus rheumatologischer Sicht deutlich verbessert, auch dann revisionserheblich, wenn sie, wovon das kantonale Gericht ausgeht, bloss auf eine abweichende Beurteilung zurückzuführen ist.
3.2.3. Die Frage, ob im Spektrum der anspruchserheblichen Tatsachen eine zur Anpassung des Rentenanspruchs führende Veränderung eingetreten sei, ist im Vergleich mit den Verhältnissen zur Zeit der letzten rechtskräftigen Verfügung zu beurteilen, welche auf einer materiellen Prüfung des Rentenanspruchs mit rechtskonformer Sachverhaltsabklärung, Beweiswürdigung und Durchführung eines Einkommensvergleichs beruht (<ref-ruling>).
Referenzzeitpunkt ist hier die mit Verfügung vom 20. März 2003 erfolgte Bestätigung des Rentenanspruchs. Die behandelnde Psychiaterin Dr. B._ hatte in ihrem Verlaufsbericht vom 20. November 2002 angegeben, der Gesundheitszustand sei (seit der erstmaligen Anspruchsprüfung im Hinblick auf die Verfügung vom 21. Januar 2002) stationär geblieben. Damit ist für den Vergleich das schon der ursprünglichen Verfügung mit zugrunde liegende Gutachten des Psychiatriezentrums X._ vom 21. Oktober 1999 heranzuziehen. Die damaligen Sachverständigen hielten im Wesentlichen fest (S. 16 ff.), die Versicherte leide an einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung; zusätzlich habe sie im Laufe der Jahre eine depressive Symptomatik vom Ausmass einer leichten depressiven Episode entwickelt. Dieser Diagnose liegen im Wesentlichen subjektiv geklagte Konzentrationsstörungen, eine bedrückte Stimmung (bei jedoch stabilem Affekt) sowie (wiederum nach Beschreibung der Explorandin) ein Verlust an Tatkraft und eine erhöhte Erschöpfbarkeit zugrunde. Der psychiatrische Teilgutachter der MEDAS fand anfangs 2009 eine "bedrückte Affektivität, geringgradige Minderung des Antriebs und leicht reduzierte Vitalgefühle" vor; diese Befunde fasste er in die Diagnose einer Dysthymie (Expertise vom 22. August 2009, S. 38 ff.). Wird von den effektiv erhobenen Befunden ausgegangen, sind zu den beiden Vergleichszeitpunkten kaum Unterschiede im medizinischen Substrat auszumachen; daran ändert die abweichende diagnostische Erfassung nichts. Dies gilt auch für die 1999 diagnostizierte somatoforme Schmerzstörung, die von den MEDAS-Gutachtern aufgrund von medizinisch-normativen, die diagnostische Einordnung betreffenden Überlegungen verworfen wird (S. 40 f.). Unverändert ist auch die vom psychiatrischen Teilgutachter der MEDAS im Januar 2009 beobachtete aggravatorische Tendenz, welcher er keinen Krankheitswert zumass, während die Sachverständigen im Psychiatriezentrum X._ 1999 die "aggravatorische Komponente im Sinne einer Verdeutlichungstendenz" noch als "im Rahmen ihrer Erkrankung" gesehen hatten. Die ärztlichen Stellungnahmen unterscheiden sich auch diesbezüglich bloss in der Befundinterpretation, nicht in ihrer Substanz. Die gegenteilige Schlussfolgerung der Vorinstanz verletzt <ref-law> (vgl. oben E. 1 a.E.).
3.2.4. Somit fehlt es nicht nur hinsichtlich des körperlichen, sondern auch des psychischen Gesundheitszustandes an einer rechtserheblichen Änderung des Sachverhalts. Daher bleibt es im Ergebnis beim vorinstanzlichen Zwischenresultat, dass die strittige Verfügung vom 28. November 2011 nicht auf <ref-law> gestützt werden kann.
4.
4.1. Unabhängig von einem materiellen Revisionsgrund kann der Versicherungsträger nach <ref-law> wiedererwägungsweise auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Wird die zweifellose Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenverfügung erst vom Gericht festgestellt, kann dieses ein (zu Unrecht) auf <ref-law> gestütztes Rückkommen mit dieser substituierten Begründung schützen (<ref-ruling> E. 2 S. 369; Urteil 9C_303/2010 vom 5. Juli 2010 E. 4 = SVR 2011 IV Nr. 20 S. 53). Vorausgesetzt ist wie immer bei der Wiedererwägung, dass kein vernünftiger Zweifel an der Unrichtigkeit der Verfügung möglich, also nur dieser einzige Schluss denkbar ist (Urteil 8C_1012/2008 E. 4.1 vom 17. August 2009 = SVR 2010 IV Nr. 5 S. 10; Urteile 9C_587/2010 vom 29. Oktober 2010 E. 3.3.1 und 9C_575/2007 vom 18. Oktober 2007 E. 2.2). Dieses Erfordernis ist in der Regel erfüllt, wenn eine Leistungszusprechung aufgrund falscher Rechtsregeln erfolgte oder wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden. Erscheint indessen die Beurteilung einzelner ermessensgeprägter Schritte der Anspruchsprüfung vor dem Hintergrund der Sach- und Rechtslage einschliesslich der Rechtspraxis im Zeitpunkt der rechtskräftigen Leistungszusprechung (<ref-ruling> E. 3 S. 389) als vertretbar, scheidet die Annahme zweifelloser Unrichtigkeit aus (vgl. Urteile 9C_621/2010 vom 22. Dezember 2010 E. 2.2 und I 222/02 vom 19. Dezember 2002 E. 3.2).
4.2. Das kantonale Gericht würdigte die der Verfügung vom 21. Januar 2002 zugrundeliegenden ärztlichen Berichte (vgl. E. 12) und schloss, eine verlässliche Entscheidungsgrundlage für die Annahme einer andauernden vollständigen Arbeitsunfähigkeit habe nicht bestanden. Mit dem Verzicht auf eine MEDAS-Abklärung habe die Verwaltung den Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>) verletzt. Nach Lage der Akten sei die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente ab Mai 2001 somit zweifellos unrichtig gewesen. Mit dieser substituierten Begründung könne die rentenaufhebende Revisionsverfügung vom 28. November 2011 geschützt werden (E. 13).
4.3.
4.3.1. Die Vorinstanz analysierte einzelne Arztberichte des im Zeitpunkt der Verfügung vom 21. Januar 2002 vorliegenden medizinischen Dossiers eingehend und nahm insoweit eine von Grund auf neue, eigene Beweiswürdigung vor. Eine solche kann für die Beurteilung der zweifellosen Unrichtigkeit des damaligen Verwaltungsaktes aber nicht massgebend sein, liefe dies doch auf eine voraussetzungslose Neuprüfung hinaus. Um die formelle Rechtskraft der Verfügung zu durchbrechen, müsste vielmehr ersichtlich sein, dass aus den gegebenen Unterlagen offensichtlich unzutreffende Schlussfolgerungen gezogen wurden.
4.3.2. Entgegen dem kantonalen Gericht, das die Frage, ob die Leistungsverfügung vom 21. Januar 2002 aus damaliger Sicht vertretbar war, nur anhand von Arztberichten aus dem Jahr 2001 beurteilen will (E. 13.1-4; im Einzelnen: Berichte des Rheumatologen Dr. R._ vom 5. Juni 2001, des Neurochirurgen Dr. O._ Luzern, vom 31. August 2001 und der Psychiaterin Dr. B._ vom 18. September 2001), sind grundsätzlich alle im Zeitpunkt der fraglichen Verfügung vorhandenen Akten zu würdigen (wobei deren Aktualität selbstredend auch Beachtung zu schenken ist). So ist der - als solcher wenig aussagekräftige - Kurzbericht der behandelnden Psychiaterin Dr. B._ im Kontext mit dem Gutachten des Psychiatriezentrums X._ vom 21. Oktober 1999 zu lesen. Die psychiatrischen Gutachter hatten für die diagnostizierte anhaltende somatoforme Schmerzstörung und die leichte depressive Episode angesichts eines "sich rasch verschlechternden Zustandes" eine "eher ungünstige Prognose" gestellt. Freilich liessen sich die der Verfügung vom 21. Januar 2002 zugrundegelegten Arbeitsunfähigkeiten von 50 Prozent (ab Ende Juli 1997) und 100 Prozent (ab Mai 2001) auch aus damaliger Sicht nicht allein damit, sondern erst in Verbindung mit den attestierten funktionellen Folgen der organischen Beeinträchtigungen vertreten. Der Rheumatologe beschrieb ein therapieresistentes chronisches panspondylogenes Syndrom mit ausgeprägten weichteilrheumatischen Begleitsymptomen (Bericht des Dr. R._ vom 5. Juni 2001). Angesichts der Formulierung, es handle sich um "Schub-Situationen", sich aufdrängende Zweifel an der dauerhaften Natur der Einschränkung (vgl. E. 13.2 des angefochtenen Entscheids) relativierten sich mit Blick auf die durch Dr. O._ computertomographisch dokumentierte Diskushernie mit Kompression der zugehörigen Nervenwurzel; die geklagte rechtsseitige ischialgiforme Beschwerdesymptomatik lasse sich gut mit jenem Befund in Übereinstimmung bringen (Bericht vom 31. August 2001). Die objektivierbaren organischen Beeinträchtigungen waren - zusammen mit den dokumentierten psychogenen Weiterungen - nach damals noch vorherrschendem Verständnis durchaus geeignet, eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit zu begründen. Die Beschwerdeführerin weist in diesem Zusammenhang zu Recht auf diverse Einträge im Protokoll der IV-Stelle aus dem Jahr 2001 hin. Diese zeigen, dass der medizinische Fachdienst die Entscheidungsfindung kritisch begleitet hat (vgl. nur seinen Kommentar vom 6. September 2001 betreffend Dr. R._); umso weniger kann davon ausgegangen werden, die damalige Feststellung der Arbeitsunfähigkeit sei leichtfertig erfolgt.
Die ursprüngliche Zusprechung einer ganzen Invalidenrente beruhte nach dem Gesagten weder auf einer offenkundig nicht beweistauglichen medizinischen Entscheidungsgrundlage noch wurden die ärztlichen Schlussfolgerungen offensichtlich unzutreffend umgesetzt.
4.3.3. Ausgehend von der umrissenen medizinischen Aktenlage erscheint die ursprüngliche Verfügung nach heutigen Rechtsmassstäben als unrichtig; aufgrund einer originären Würdigung des Dossiers wäre eine (ganze) Invalidenrente kaum mehr zu sprechen. Indessen muss die Frage, ob die ursprüngliche Leistungszusprechung zweifellos unrichtig im Sinne von <ref-law> war, anhand der Rechtslage (einschliesslich der Rechtspraxis) im Zeitpunkt der rechtskräftigen Leistungszusprechung beurteilt werden (oben E. 4.1). Auch die Beurteilung der Frage, ob nach Lage der Akten eine MEDAS-Abklärung notwendig gewesen wäre (vgl. E. 13.5 des angefochtenen Entscheids; dazu unten E. 4.3.4), darf nicht aufgrund der heute massgebenden Anforderungen erfolgen. In diesem Zusammenhang ist festzustellen, dass sich die Vorinstanz (E. 13.2) hinsichtlich der 2001 diskutierten Fibromyalgie auf die erst 2004 etablierte Rechtsprechung über die invalidisierende Wirkung derartiger Leiden (<ref-ruling>; zur Fibromyalgie: <ref-ruling>) bezieht. Vor Begründung dieser Praxis herrschte weitreichende Unsicherheit über die IV-rechtliche Massgeblichkeit von funktionellen Ausfällen, welche im Zusammenhang mit unklaren psychosomatischen Beschwerden geltend gemacht werden. Auch unter diesem Aspekt ist nicht von einer zweifellosen Unrichtigkeit der damaligen Leistungsverfügung auszugehen.
4.3.4. Die Vorinstanz erwog, die ursprüngliche Leistungsverfügung beruhe auf einer "Verletzung der Abklärungspflicht und des Untersuchungsgrundsatzes" (E. 13.5). Bei gemischten Beschwerdebildern der hier vorliegenden Art, welche sich aufgrund ihrer Komplexität, Subjektivität, Unbestimmtheit und persönlichkeitsbedingten Einflüssen nur schwer erfassen lassen, ist die Stellungnahme zur Arbeitsunfähigkeit allerdings stark ermessensgeprägt; eine solche Einschätzung kann nach der Rechtsprechung nur dann als qualifiziert - eben zweifellos - unrichtig bezeichnet werden, wenn die fachmedizinischen Abklärungen entweder überhaupt nicht oder nicht mit der erforderlichen Sorgfalt durchgeführt worden sind (Urteil 9C_307/2011 vom 23. November 2011 E. 3.2 mit Hinweis). Wie die Beschwerdeführerin zutreffend geltend macht (Ziff. 18 der Beschwerdeschrift), kann danach letztlich offen bleiben, ob es auch nach den 2001 geltenden Beurteilungsmassstäben sinnvoll gewesen wäre, den Sachverhalt (namentlich durch ein interdisziplinäres Gutachten) weiter abzuklären. Selbst wenn es sich so verhielte, könnte nicht davon gesprochen werden, fachmedizinische Abklärungen seien überhaupt nicht oder sie seien unsorgfältig durchgeführt worden.
4.4. Nach dem Gesagten war die Verfügung vom 21. Januar 2001, in welcher für die Zeit von Juli 1998 bis April 2001 eine halbe und ab Mai 2001 eine ganze Invalidenrente zugesprochen wurde, nicht im Sinne von <ref-law> zweifellos unrichtig.
5.
Sind weder die Voraussetzungen einer materiellen Revision (<ref-law>) noch diejenigen einer Wiedererwägung (<ref-law>) erfüllt, bleibt es insoweit beim bisherigen Leistungsanspruch der Beschwerdeführerin.
6.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Der obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin steht eine Parteientschädigung zu (<ref-law>). Ihr Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 4. September 2013 und die Verfügung der IV-Stelle Luzern vom 28. November 2011 werden aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Kantonsgericht Luzern zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Dezember 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub