Sachverhalt:
A. X._ ist Inhaber eines Führerausweises der Kategorie C1. Die Motorfahrzeugkontrolle der Kantonspolizei Basel-Stadt forderte ihn am 17. Januar 2012 dazu auf, sich der vertrauensärztlichen Kontrolluntersuchung gemäss Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 der Verordnung vom 27. Oktober 1976 über die Zulassung von Personen und Fahrzeugen zum Strassenverkehr (VZV; SR 741.51) zu unterziehen.
B. Dagegen rekurrierte X._ beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt. Die Kantonspolizei habe die Kontrolluntersuchung zu früh angesetzt. Er sei zum Zeitpunkt der letzten Untersuchung noch nicht 50-jährig gewesen, womit der nächste Arztbesuch gemäss Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 VZV nicht bereits nach drei Jahren, sondern erst später anstehe. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement wies den Rekurs am 2. Juli 2012 ab, soweit es darauf eintrat.
Dagegen erhob X._ beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt Beschwerde und ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Der Appellationsgerichtspräsident wies das Begehren am 21. November 2012 ab und verfügte die ratenweise Leistung eines Kostenvorschusses. Das dagegen gerichtete Wiedererwägungsgesuch wies er am 12. Dezember 2012 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Verfahren 1C_665/2012) beantragt X._, die Entscheide des Appellationsgerichtspräsidenten vom 21. November und 12. Dezember 2012 aufzuheben; ihm sei für das Verfahren vor dem Appellationsgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und die Leistung eines Kostenvorschusses zu erlassen; der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
D. Am 19. Dezember 2012 bestätigte der Appellationsgerichtspräsident die Bedingungen der Ratenzahlung, wie er sie am 21. November 2012 verfügt hatte. Am 15. Januar 2013 setzte er mit Blick auf das laufende bundesgerichtliche Verfahren die Verfügung zur Leistung des Kostenvorschusses vorläufig aus.
E. Dagegen führt X._ ebenfalls Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (1C_119/2013).
F. Der Appellationsgerichtspräsident beantragt im Verfahren 1C_665/2012, die Beschwerde abzuweisen. In jenem von 1C_119/2013 schliesst er auf Nichteintreten. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement beantragt in beiden Verfahren die Abweisung der Beschwerde.
Der Beschwerdeführer hat je eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1. Beide Beschwerden richten sich gegen Entscheide, welche die unentgeltliche Rechtspflege und die Leistung eines Kostenvorschusses für das Hauptverfahren vor dem Appellationsgericht betreffen. Es rechtfertigt sich daher, sie gemeinsam zu beurteilen.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer wendet sich im Verfahren 1C_665/2012 gegen die vorinstanzlichen Verfügungen vom 21. November und 12. Dezember 2012. Beides sind letztinstanzliche kantonale Zwischenentscheide (<ref-ruling> E. 1.1 S. 283 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 202 f.). Gegen diese ist nach <ref-law> die Beschwerde zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können. Zwischenentscheide, mit denen die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wird, haben dann einen solchen Nachteil zur Folge, wenn sie den Beschwerdeführer zudem zur Leistung eines Kostenvorschusses auffordern und ihm androhen, bei Säumnis auf das Rechtsmittel nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 2b S. 202 f.; Urteil 2C_230/2009 vom 2. Juli 2009 E. 1.3). Das ist hier der Fall. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde im Verfahren 1C_665/2012 ist somit einzutreten.
2.2 Die Beschwerde im Verfahren 1C_119/2013 richtet sich gegen die Entscheide vom 19. Dezember 2012 und 15. Januar 2013 (vgl. Ziffer 2.a der Beschwerdeschrift). Indem die Vorinstanz die Verfügung zur Leistung eines Kostenvorschusses vorläufig aussetzt, verhindert sie zugunsten des Beschwerdeführers, dass die Säumnisfolgen eintreten. Die angefochtenen Zwischenentscheide bewirken für den Beschwerdeführer damit keinen Nachteil im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 2. S. 44 ff.). Auf die Beschwerde im Verfahren 1C_119/2013 ist daher nicht einzutreten.
3. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz verweigere ihm, da sie sein Rechtsbegehren als aussichtslos erachte, zu Unrecht die unentgeltliche Rechtspflege.
Er beruft sich nicht auf kantonales Recht, sondern auf Bestimmungen der Bundesverfassung und der Europäischen Menschenrechtskonvention. Es ist damit zu prüfen, ob die Vorinstanz <ref-law> verletzt hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 188).
3.1 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint.
3.2 Aussichtslos sind nach der Rechtsprechung Begehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügte, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Wie es sich damit verhält, prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht mit freier Kognition. Die Erfolgsaussichten im Hauptverfahren sind in vorläufiger und summarischer Prüfung des Prozessstoffes abzuschätzen (<ref-ruling> E. 5 S. 616; <ref-ruling> E. 2.1 S. 182; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.; je mit Hinweisen).
Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, dem Sachgericht vorgreifend zu prüfen, ob das im kantonalen Verfahren gestellte Begehren zu schützen ist oder nicht. Es hat nur zu beurteilen, ob der vom Bedürftigen verfolgte Rechtsstandpunkt nicht von vornherein unbegründet erscheint (<ref-ruling> E. 3a S. 115).
3.3 Das Hauptverfahren betrifft die Anwendung von Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 VZV. Demnach besteht für die Inhaber eines Führerausweises der Kategorien C und D (sowie C1 und D1) die Pflicht, sich einer vertrauensärztlichen Kontrolluntersuchung zu unterziehen; bis zum 50. Altersjahr alle fünf Jahre, danach alle drei Jahre.
Streitig ist, ab wann das kürzere Untersuchungsintervall gilt, (1) ob ab der letzten Untersuchung, bevor der Betroffene das 50. Altersjahr vollendet hat, (2) oder ab dem ersten Arztbesuch danach. Der Beschwerdeführer vertritt die zweite Lesart. Die Vorinstanz spricht sich in vorläufiger Einschätzung hingegen für die erste Auslegung aus und erachtet den Standpunkt des Beschwerdeführers als aussichtslos.
Der Wortlaut der Bestimmung lässt, wie die Vorinstanz selbst erkennt, Raum für beide Lesarten. Zur Klärung dieser Frage besteht sodann keine bundesgerichtliche Rechtsprechung. Die Vorinstanz kann sich dazu auch auf keine kantonale Gerichtspraxis stützen. Sie beruft sich als Hilfsmittel zur Auslegung der Bestimmung einzig auf einen Benutzerleitfaden des Bundesamtes für Strassen zur Umstellung der EDV in den Kantonen. Ob es sich dabei um eine Verwaltungsverordnung handelt, muss hier ebenso offen bleiben, wie die Anschlussfragen, ob die Weisung genügend klar und gegebenenfalls sachgerecht ist, um diese bei der Auslegung von Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 VZV mitberücksichtigen zu können.
Nach summarischer Betrachtung der Streitfrage lassen sich die Erfolgsaussichten der Beschwerde im Hauptverfahren entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht eindeutig abschätzen. Zum einen führt die einschlägige Bestimmung zu keinem klaren Auslegungsergebnis. Zum anderen ist die entscheidende Frage in der Rechtsprechung bisher unbeantwortet. Unter diesen Umständen erscheint der Standpunkt des Beschwerdeführers nicht von vornherein aussichtslos. Die Klärung des Rechtsstreits muss dem Sachgericht überlassen bleiben.
3.4 Die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers ist gestützt auf die vorinstanzlichen Akten ausgewiesen. Die Voraussetzungen für den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren vor dem Appellationsgericht sind somit erfüllt. Indem die Vorinstanz die unentgeltliche Rechtspflege verweigert, verletzt sie <ref-law>. Die Beschwerde ist demnach begründet.
4. 4.1 Auf die Beschwerde im Verfahren 1C_119/2013 ist nicht einzutreten.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_665/2012 ist gutzuheissen. Die Entscheide des Appellationsgerichtspräsidenten vom 21. November und 12. Dezember 2012 sind aufzuheben. Dem Beschwerdeführer ist für das Verfahren vor dem Appellationsgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und die Leistung eines Kostenvorschusses zu erlassen; geleistete Ratenzahlungen sind ihm zurückzuerstatten.
4.2 Mit dem Urteil in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
4.3 Im Verfahren 1C_119/2013 wäre der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig. Es rechtfertigt sich jedoch, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).
Da der Beschwerdeführer im Verfahren 1C_665/2012 obsiegt, sind insoweit keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG).
Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege in beiden Verfahren vor Bundesgericht gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 1C_665/2012 und 1C_119/2013 werden vereinigt.
2. Auf die Beschwerde im Verfahren 1C_119/2013 wird nicht eingetreten.
3. Die Beschwerde im Verfahren 1C_665/2012 wird gutgeheissen. Die Entscheide des Appellationsgerichtspräsidenten des Kantons Basel-Stadt vom 21. November und 12. Dezember 2012 werden aufgehoben. Dem Beschwerdeführer wird für das Verfahren vor dem Appellationsgericht gegen den Rekursentscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 2. Juli 2012 die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und die Leistung des Kostenvorschusses erlassen; der Kanton Basel-Stadt hat dem Beschwerdeführer von diesem geleistete Ratenzahlungen zurückzuerstatten.
4. Es werden keine Kosten erhoben.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. April 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Geisser