Sachverhalt:
A.
A.a. Die Nationale Anti-Doping Agentur Deutschland (NADA; Beschwerdegegnerin) ist zuständig für die Umsetzung des World Anti-Doping Agency Codes (WADA-Code) und damit auch eines Dopingkontrollsystems in Deutschland.
A._ (Beschwerdeführer) mit Wohnsitz in U._ ist ein professioneller Radrennfahrer, der zur massgeblichen Zeit mit einer Lizenz des Bunds Deutscher Radfahrer (BDR) an nationalen und internationalen Radrennen teilnahm.
A.b. Im Juni 2007 wurde A._ bereits einmal positiv auf Testosteron getestet. Nachdem er über die Ergebnisse der A-Probe in Kenntnis gesetzt worden war, verzichtete er auf die Analyse der B-Probe und gab zu, eine verbotene Substanz verwendet zu haben. Als Folge davon wurde A._ von seiner damaligen Radsportmannschaft entlassen. Drei Monate darauf gab er auch zu, Erythropoietin (EPO) verwendet und Bluttransfusionen durchgeführt zu haben. Dies wurde im Laufe der Anti-Doping-Verfahren vor dem BDR festgestellt.
Mit Entscheid des damals noch zuständigen Bundessportgerichts des BDR vom 10. Dezember 2007 wurde gegen A._ aufgrund der Dopingvergehen unter Berücksichtigung seiner umfassenden Zusammenarbeit eine einjährige Sperre verhängt.
A.c. Am 27. Februar 2011 nahm A._ als Mitglied einer italienischen Radsportmannschaft am Grand Prix in Lugano teil, einer internationalen Sportveranstaltung unter der Schirmherrschaft der Union Cycliste Internationale (UCI). Die schweizerische Anti-Doping-Organisation führte anlässlich dieses Wettkampfs Dopingkontrollen durch; auch bei A._ wurde eine Blut- und eine Urinprobe entnommen.
Am 4. März 2011 wurde die A-Probe von dem von der WADA anerkannten Swiss Laboratory for Doping Analyses in Lausanne untersucht. Dabei wurde menschliches Wachstumshormon (human Growth Hormone, hGH) nachgewiesen, das nach Rule 21 in Verbindung mit Rule 29 der UCI-Anti-Doping-Regulations (UCI-ADR) als verbotene Substanz gilt.
Am 15. März 2011 teilte das Labor das von der Norm abweichende Analyseergebnis (Adverse Analytical Finding, AAF) dem internationalen Verband UCI mit. Die Analyse anhand des "hGH Isoform Differential Immunoassays Test" (hGH-Test) führte zu folgenden Analysewerten: 2.45 für Kit 1 und 2.43 für Kit 2. Die Grenzwerte (Decision Limits, DL), die nach den anwendbaren Bestimmungen zu einer Mitteilung eines abweichenden Analyseergebnisses durch das Labor an den Verband führen, betrugen 1.81 für Kit 1 und 1.68 für Kit 2.
Mit Schreiben vom 18. März 2011 setzte die UCI den BDR und den Radrennfahrer A._ über das Analyseergebnis in Kenntnis und suspendierte den Athleten vorläufig nach Artikel 235 UCI-ADR.
Am 5. und 6. April 2011 analysierte das Labor in Lausanne auf Verlangen des Athleten auch die B-Probe. Die beiden von A._ bezeichneten Vertreter, Prof. Santo Davide Ferrara und Dr. Alessandro Nalesso, bestätigten, dass die B-Probe korrekt geöffnet und analysiert wurde.
Am 7. April 2011 teilte das Labor dem internationalen Verband UCI mit, dass die B-Probe mit Analysewerten von 3.16 für Kit 1 und 2.34 für Kit 2 den Nachweis eines sog. rekombinanten (d.h. künstlich hergestellten) menschlichen Wachstumshormons ("recGH") bestätige. Am gleichen Tag informierte die UCI den BDR über das Testergebnis und forderte den Nationalverband auf, ein Disziplinarverfahren gegen A._ einzuleiten.
B.
B.a. Mit Schreiben vom 28. April 2011 teilte die NADA A._ die Testergebnisse mit, die nach ihrer Ansicht einen Dopingverstoss belegten.
Am 3. Juni 2011 wies der Präsident der Anti-Doping-Kommission der UCI ein Gesuch um Aufhebung der vorläufigen Sperre ab. Eine gegen diesen Entscheid erhobene Berufung wies das Tribunal Arbitral du Sport (TAS) mit Entscheid vom 24. August 2011 ab.
Am 15. Juli 2011 leitete die NADA beim Schiedsgericht der Deutschen Institution für Schiedsgerichtsbarkeit (DIS) ein Schiedsverfahren gegen A._ ein und verlangte dessen Bestrafung aufgrund eines wiederholten Dopingvergehens.
Nach zwei Anhörungen und Befragung verschiedener Experten wies das DIS-Schiedsgericht die Schiedsklage der NADA mit Entscheid vom 19. Juni 2012 ab. Der Einzelschiedsrichter begründete seinen Entscheid insbesondere damit, dass die Berechnung der Grenzwerte (DL) nicht hinreichend belegt worden sei.
Am 15. August 2012 beantragte A._ eine neue Lizenz und unterzeichnete eine neue Schiedsvereinbarung.
B.b. Mit Eingabe vom 12. Juli 2012 focht die NADA den Entscheid des DIS-Schiedsgerichts vom 19. Juni 2012 beim TAS an.
Mit Verfügung vom 7. August 2012 entschied der Vizepräsident der Berufungsdivision auf Antrag des Athleten hin unter anderem, dass das Verfahren zwar auf Englisch geführt werde, die Parteien aber sämtliche Unterlagen und Beweismittel auch auf Deutsch (ohne Übersetzung) einreichen und die Rechtsvertreter im Falle einer mündlichen Verhandlung sowohl in deutscher als auch in englischer Sprache plädieren können.
Mit Schreiben vom 29. August 2012 forderte A._ die NADA auf, seine Probe ein weiteres Mal zu analysieren, diesmal mit dem sog. Bio-Marker-Test, was die NADA ablehnte.
Die NADA reichte am 3. September 2012 ihre Berufungsschrift ein und beantragte im Wesentlichen, der angefochtene Entscheid des DIS-Schiedsgerichts vom 19. Juni 2012 sei aufzuheben und gegen A._ sei infolge wiederholten Dopingverstosses eine mindestens achtjährige Sperre sowie eine Geldbusse zu verhängen.
Mit Verfügung vom 4. September 2012 wies der Vizepräsident der Berufungsdivision die weiteren prozessualen Anträge des Athleten ab.
Nachdem der International Council of Arbitration for Sport (ICAS) am 10. September 2012 ein Ausstandsbegehren von A._ abgewiesen hatte, wurde die Zusammensetzung des Schiedsgerichts mit Entscheid vom 25. September 2012 bestätigt.
Am 7. Dezember 2012 reichte A._ seine Berufungsantwort ein, wobei er die Zuständigkeit des TAS bestritt. Bereits mit Schreiben vom 30. Oktober 2012 hatte er sich auf die Unzuständigkeit des TAS berufen mit der Begründung, er habe die abgeschlossene Schiedsvereinbarung aus wichtigem Grund aufgelöst, weil er die finanziellen Mittel für das Schiedsverfahren nicht aufbringen könne.
Mit Zwischenentscheid vom 21. März 2013 wies das TAS die Unzuständigkeitseinrede ab und erklärte sich für zuständig. Mit Schreiben vom 11. April 2013 verzichtete A._ ausdrücklich darauf, den Zwischenentscheid über die Zuständigkeit beim Bundesgericht mit Beschwerde anzufechten.
Mit Verfügung vom 16. April 2013 ordnete das TAS angesichts des inzwischen ergangenen Schiedsentscheids vom 25. März 2013 in Sachen Andrus Veerpalu v. International Ski Federation (TAS 2011/A/2566), der unter anderem ebenfalls die Bestimmung der Grenzwerte (DL) für den hGH-Test zum Gegenstand hatte, einen weiteren Schriftenwechsel an.
Am 6. Mai 2013 reichte die NADA eine zweite Rechtsschrift ein und teilte dem TAS unter anderem mit, dass die WADA eine neue wissenschaftliche Studie (DL Review) unter der Leitung von Prof. Hanley (Hanley-Bericht) eingeleitet habe, um die bisherigen Grenzwerte neu zu berechnen und beantragte, die Ergebnisse der Studie als zusätzliches Beweismittel zuzulassen.
Zwischen dem 28. und dem 30. August 2013 fand in Lausanne die mündliche Verhandlung statt. Dabei wurden verschiedene von den Parteien bezeichnete Gutachter befragt.
Mit Verfügung vom 30. August 2013 wurde den Parteien Frist zur Stellungnahme zum Hanley-Bericht sowie - auf Antrag von A._ - zu den Aussagen des Gutachters Dr. Saugy zu der (unter anderem) von ihm verfassten Studie "The effect of a period of intensive exercise on the isoform test to detect growth hormone in doping in sports" (Voss-Studie) angesetzt.
Am 23. September 2013 reichte A._ seine Stellungnahme zu den Aussagen von Dr. Saugy zur Voss-Studie ein, mit der er unter anderem ein neues Gutachten von Prof. Hofbauer einreichte, der bis dahin nicht als Gutachter bezeichnet worden war.
Mit Eingabe vom 23. September 2013 äusserte sich die NADA sowohl zu den Aussagen von Dr. Saugy als auch zum Hanley-Bericht. Mit Schreiben vom 26. September 2013 beantragte sie, das Gutachten von Prof. Hofbauer zur Voss-Studie sei als unzulässiges neues Beweismittel nach Abschluss der mündlichen Verhandlung aus dem Recht zu weisen.
Am 2. Dezember 2013 reichte A._ dem Schiedsgericht seine Stellungnahme zum Hanley-Bericht mit ausführlichen Anhängen ein, unter anderem mit Gegengutachten von Dr. Pitsch, Prof. Scholz und Prof. Hofbauer. Eine hierzu eingereichte Stellungnahme der NADA vom 23. Dezember 2013 wurde mit Verfügung vom 24. Dezember 2013 für unzulässig erklärt.
B.c. Mit Schiedsentscheid vom 21. Februar 2014 hiess das TAS die Berufung der NADA teilweise gut, es hob den Entscheid des DIS-Schiedsgerichts vom 19. Juni 2012 auf und verhängte infolge wiederholten Dopingvergehens eine achtjährige Sperre gegen A._. Ausserdem wurden dem Athleten eine Busse von EUR 38'500.-- auferlegt und sämtliche Wettkampfresultate anlässlich des Grand Prix von Lugano sowie im Zeitraum zwischen 27. Februar 2011 und 18. März 2011 aberkannt. Das TAS sah es nach Würdigung der verschiedenen Beweismittel und insbesondere der Gutachteraussagen als erwiesen an, dass A._ durch Verwendung (künstlich hergestellter) menschlicher Wachstumshormone (recGH) die massgebenden Anti-Doping-Regeln verletzte.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 20. März 2014 (ergänzt mit Eingabe vom 5. Mai 2014) beantragt A._ dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid des TAS vom 21. Februar 2014 aufzuheben und die Sache sei zu neuer Entscheidung an das Schiedsgericht zurückzuweisen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. Die Akten des Schiedsverfahrens wurden beigezogen.
D.
Mit Verfügung vom 31. März 2014 wies das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um superprovisorische Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab.
Mit Eingabe vom 3. Juni 2014 ersuchte der Beschwerdeführer erneut um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
1.2. Nach <ref-law> ergeht der Entscheid des Bundesgerichts in einer Amtssprache, in der Regel in jener des angefochtenen Entscheids. Wurde dieser in einer anderen Sprache redigiert, verwendet das Bundesgericht die von den Parteien gewählte Amtssprache. Der angefochtene Entscheid ist in englischer Sprache abgefasst. Da es sich dabei nicht um eine Amtssprache handelt, ergeht der Entscheid des Bundesgerichts praxisgemäss in der Sprache der Beschwerde.
1.3. Die Sache ist aufgrund der Akten spruchreif. Die Anordnung einer öffentlichen mündlichen Parteiverhandlung vor Bundesgericht (vgl. <ref-law>), wie sie der Beschwerdeführer verlangt, ist nicht angezeigt. Der entsprechende Verfahrensantrag ist daher abzuweisen.
2.
Im Bereich der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit ist die Beschwerde in Zivilsachen unter den Voraussetzungen der Art. 190-192 IPRG (SR 291) zulässig (<ref-law>).
2.1. Der Sitz des Schiedsgerichts befindet sich vorliegend in Lausanne. Die Parteien hatten im massgebenden Zeitpunkt ihren Wohnsitz bzw. ihren Sitz ausserhalb der Schweiz (<ref-law>). Da die Parteien die Geltung des 12. Kapitels des IPRG nicht ausdrücklich ausgeschlossen haben, gelangen die Bestimmungen dieses Kapitels zur Anwendung (<ref-law>).
2.2. Zulässig sind allein die Rügen, die in <ref-law> abschliessend aufgezählt sind (<ref-ruling> E. 5 S. 187; <ref-ruling> E. 1a S. 53; <ref-ruling> E. 1a S. 282). Nach <ref-law> prüft das Bundesgericht nur die Rügen, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind; dies entspricht der in <ref-law> für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht vorgesehenen Rügepflicht (<ref-ruling> E. 5 S. 187 mit Hinweis). Appellatorische Kritik ist unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1 S. 567; <ref-ruling> E. 3b S. 382).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den das Schiedsgericht festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vorinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt, zu dem namentlich die Anträge der Parteien, ihre Tatsachenbehauptungen, rechtlichen Erörterungen, Prozesserklärungen und Beweisvorbringen, der Inhalt einer Zeugenaussage, einer Expertise oder die Feststellungen anlässlich eines Augenscheins gehören (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung des Schiedsgerichts weder berichtigen noch ergänzen, selbst wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (vgl. <ref-law>, der die Anwendbarkeit von <ref-law> sowie <ref-law> ausschliesst). Allerdings kann das Bundesgericht die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids überprüfen, wenn gegenüber diesen Sachverhaltsfeststellungen zulässige Rügen im Sinne von <ref-law> vorgebracht oder ausnahmsweise Noven berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 34; <ref-ruling> E. 3.1 S. 567; <ref-ruling> E. 5 S. 141; je mit Hinweisen). Wer sich auf eine Ausnahme von der Bindung des Bundesgerichts an die tatsächlichen Feststellungen des Schiedsgerichts beruft und den Sachverhalt gestützt darauf berichtigt oder ergänzt wissen will, hat mit Aktenhinweisen darzulegen, dass entsprechende Sachbehauptungen bereits im schiedsgerichtlichen Verfahren prozesskonform aufgestellt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 486; <ref-ruling> E. 1c S. 473; je mit Hinweisen).
2.4. Der Beschwerdeführer verkennt die Bindung des Bundesgerichts an die Feststellungen im angefochtenen Entscheid über den Prozesssachverhalt, wenn er seinen rechtlichen Vorbringen im Zusammenhang mit den beiden von ihm eingereichten Gutachten von Prof. Hofbauer eine ausführliche Sachverhaltsdarstellung voranstellt, darin den Ablauf des Verfahrens aus seiner Sicht schildert und dabei allgemein auf einen beigelegten Ordner mit zahlreichen Prozessakten verweist.
Er verfehlt ausserdem teilweise die gesetzlichen Anforderungen an eine hinreichende Begründung, indem er sich darauf beschränkt, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid zu üben. So bringt er etwa vor, das Schiedsgericht habe bestimmte von ihm im Verfahrensverlauf gestellte Anträge "kurz und bündig" abgelehnt und bezeichnet die schiedsgerichtliche Begründung als "offensichtlichen Unsinn". Mit diesen Ausführungen zeigt er keinen in <ref-law> vorgesehenen Beschwerdegrund auf.
Da mit einer Beschwerde gegen einen internationalen Schiedsentscheid nach <ref-law> ausschliesslich die in dieser Bestimmung abschliessend aufgezählten Beschwerdegründe angerufen werden können, nicht jedoch direkt eine Verletzung der Bundesverfassung, der EMRK oder weiterer Staatsverträge (vgl. Urteile 4A_198/2012 vom 14. Dezember 2012 E. 3.1; 4A_43/2010 vom 29. Juli 2010 E. 3.6.1; 4A_612/2009 vom 10. Februar 2010 E. 2.4.1; 4P.64/2001 vom 11. Juni 2001 E. 2d/aa, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.), ist auf die verschiedentlich gerügte Verletzung entsprechender Bestimmungen grundsätzlich nicht einzutreten. Die aus der BV bzw. der EMRK fliessenden Grundsätze können zwar gegebenenfalls bei der Konkretisierung der nach <ref-law> anrufbaren Garantien herangezogen werden; angesichts der strengen Begründungsanforderungen (<ref-law>) ist jedoch in der Beschwerde eigens aufzuzeigen, inwiefern ein in der genannten Bestimmung vorgesehener Beschwerdegrund gegeben sein soll. Diesen Anforderungen genügt der Beschwerdeführer nicht, wenn er sich verschiedentlich direkt auf eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 und 2 EMRK beruft.
3.
Der Beschwerdeführer bringt vor, das TAS habe sich zu Unrecht für zuständig erklärt (<ref-law>).
3.1. Nach ständiger Rechtsprechung sind Zwischenentscheide des Schiedsgerichts über seine Zusammensetzung oder Zuständigkeit selbständig anfechtbar (<ref-law>) und müssen auch unmittelbar angefochten werden, andernfalls die dagegen gerichteten Rügen verwirken und nicht mehr mit Beschwerde gegen den Endentscheid erhoben werden können (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 75; <ref-ruling> E. 6d S. 502; <ref-ruling> E. 2 S. 355).
3.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, er habe die Schiedsvereinbarung am 20. Oktober 2012 fristlos gekündigt, nachdem sein Antrag um finanzielle Unterstützung ("Legal-Aid-Antrag") mit Verfügung vom 26. Oktober 2012 zurückgewiesen worden war; entsprechend sei das TAS ab diesem Zeitpunkt nicht mehr zuständig gewesen. Damit verkennt er, dass er die entsprechende Rüge der fehlenden Zuständigkeit mit Beschwerde gegen den vom TAS gefällten Zwischenentscheid vom 21. März 2013 hätte erheben müssen. Nachdem er darauf verzichtet hat, diesen beim Bundesgericht anzufechten, ist auf seine Vorbringen zur angeblich fehlenden Zuständigkeit nicht einzutreten.
4.
Der Beschwerdeführer erblickt in der Nichtgewährung der von ihm beantragten finanziellen Unterstützung eine Verletzung des Grundsatzes der Gleichbehandlung (<ref-law>) und des Ordre public (<ref-law>).
Er führt aus, er habe angesichts seiner schwierigen finanziellen Lage das TAS vor Einreichung seiner Berufungsantwort um finanzielle Unterstützung ersucht für seine Rechtsvertretung durch Prof. Dr. Rainer Cherkeh und weitere Kosten (eigene Auslagen sowie solche für Zeugen, Gutachter und Übersetzer); diese Unterstützung sei ihm versagt worden. Er geht jedoch nicht darauf ein, dass ihn der erwähnte Rechtsanwalt - zusammen mit einem weiteren Rechtsvertreter - dennoch bis Ende des Schiedsverfahrens vertreten hat und er im Laufe des Schiedsverfahrens verschiedene Gutachten einreichte. Der Beschwerdeführer bezeichnet die Begründung des Schiedsgerichts für die Abweisung seines Antrags als "nicht nur unhaltbar, sondern schlicht Humbug" und beschränkt sich im Übrigen darauf, wörtlich aus seinen Eingaben zu zitieren, um seine Ausführungen mit der nicht weiter begründeten Behauptung zu schliessen, es liege eine Verletzung des Gleichheitsgrundsatzes und gleichzeitig ein Verstoss gegen den Ordre public vor. Damit verfehlt er die gesetzlichen Begründungsanforderungen an eine hinreichende Rüge nach <ref-law> (<ref-law>).
Inwiefern sich im Schiedsverfahren aus dem Grundsatz der Gleichbehandlung der Parteien bzw. dem Ordre public ein Recht auf unentgeltliche Rechtspflege wie im Verfahren vor staatlichen Gerichten (<ref-law>) ergeben soll, legt der Beschwerdeführer im Übrigen nicht dar. Er geht mit keinem Wort darauf ein, dass bei der internen Schiedsgerichtsbarkeit die unentgeltliche Rechtspflege nach Art. 380 der Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO; SR 272) ausdrücklich ausgeschlossen ist, wobei nicht einleuchtet, inwiefern für die internationale Schiedsgerichtsbarkeit etwas anderes gelten soll (vgl. Christoph Müller, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 6 zu <ref-law>; Bernhard Berger/Franz Kellerhals, International and Domestic Arbitration in Switzerland, 2. Aufl. 2010, Rz. 572, 1043). Ob und unter welchen Voraussetzungen eine abgeschlossene Schiedsvereinbarung bei Fehlen finanzieller Mittel im Hinblick auf die Rechtsweggarantie (<ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK) gekündigt werden kann (vgl. etwa Berger/Kellerhals, a.a.O., Rz. 572, 1043; Müller, a.a.O., N. 4 zu <ref-law>; Gabrielle Kaufmann-Kohler/Antonio Rigozzi, Arbitrage international, 2. Aufl. 2010, Rz. 280a; Felix Dasser, in: Oberhammer und andere [Hrsg.], Kurzkommentar ZPO, 2. Aufl. 2013, N. 3 zu <ref-law>), braucht vorliegend nicht vertieft zu werden, hat der Beschwerdeführer aufgrund seiner Mittellosigkeit doch tatsächlich eine Kündigung aus wichtigem Grund geltend gemacht, jedoch auf eine Anfechtung des anschliessenden Zwischenentscheids verzichtet, mit dem das TAS die ausgesprochene Kündigung als unwirksam und sich selbst als zuständig erklärt hat.
5.
Der Beschwerdeführer wirft dem TAS in verschiedener Hinsicht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und des Grundsatzes der Gleichbehandlung der Parteien (<ref-law>) vor.
5.1. <ref-law> lässt die Anfechtung allein wegen der zwingenden Verfahrensregeln gemäss <ref-law> zu. Danach muss das Schiedsgericht insbesondere den Anspruch der Parteien auf rechtliches Gehör wahren. Dieser entspricht - mit Ausnahme des Anspruchs auf Begründung - dem in <ref-law> gewährleisteten Verfassungsrecht (<ref-ruling> E. 5 S. 37 f.; <ref-ruling> E. 4b S. 243; <ref-ruling> E. 2c S. 578 f.). Die Rechtsprechung leitet daraus insbesondere das Recht der Parteien ab, sich über alle für das Urteil wesentlichen Tatsachen zu äussern, ihren Rechtsstandpunkt zu vertreten, ihre entscheidwesentlichen Sachvorbringen mit tauglichen sowie rechtzeitig und formrichtig offerierten Mitteln zu beweisen, sich an den Verhandlungen zu beteiligen und in die Akten Einsicht zu nehmen (<ref-ruling> E. 5 S. 38; <ref-ruling> E. 2c S. 578 f.; je mit Hinweisen).
Auch im schiedsgerichtlichen Verfahren gilt der Gehörsanspruch nicht unbegrenzt. So ist es dem Schiedsgericht nicht verboten, den Sachverhalt nur aufgrund der als tauglich und erheblich erachteten Beweismittel festzustellen (<ref-ruling> E. 1b S. 389; <ref-ruling> E. 4c S. 644). Das Schiedsgericht kann auf eine Beweisabnahme verzichten, wenn der entsprechende Beweisantrag eine nicht rechtserhebliche Tatsache betrifft, wenn das angebotene Beweismittel offensichtlich untauglich ist oder wenn das Gericht aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 429; <ref-ruling> E. 4a). Die antizipierte Würdigung von Beweisen durch ein internationales Schiedsgericht kann im Beschwerdeverfahren nur unter dem beschränkten Blickwinkel einer Verletzung des Ordre public überprüft werden (Urteile 4A_526/2011 vom 23. Januar 2012 E. 2.1; 4P.23/2006 vom 27. März 2006 E. 3.1; 4P.114/2003 vom 14. Juli 2003 E. 2.2).
Der Anspruch auf rechtliches Gehör in einem kontradiktorischen Verfahren gemäss Art. 182 Abs. 3 und <ref-law> umfasst nach ständiger Rechtsprechung nicht auch den Anspruch auf Begründung eines internationalen Schiedsentscheids (<ref-ruling> E. 6.1 mit Hinweisen). Dennoch ergibt sich daraus eine minimale Pflicht der Schiedsrichter, die entscheiderheblichen Fragen zu prüfen und zu behandeln. Diese Pflicht verletzt das Schiedsgericht, wenn es aufgrund eines Versehens oder eines Missverständnisses rechtserhebliche Behauptungen, Argumente, Beweise oder Beweisanträge einer Partei unberücksichtigt lässt (<ref-ruling> E. 5.2 mit Hinweisen).
5.2. Der Beschwerdeführer verkennt diese Grundsätze, wenn er vorbringt, das Schiedsgericht habe sein Recht auf Beweisführung verletzt, indem es die von ihm beantragte Analyse der entnommenen Proben mit dem sog. Bio-Marker-Test verweigert habe. Das Schiedsgericht hat gestützt auf die Expertenaussage von Prof. Thevis erwogen, dass der fragliche Bio-Marker-Test nicht zuverlässiger sei als der tatsächlich durchgeführte hGH-Test, jedoch einen anderen Anwendungsbereich habe, indem er nicht darauf ausgelegt sei, eine einzelne Verabreichung menschlicher Wachstumshormone innerhalb eines Zeitraums von zwölf Stunden vor der Probeentnahme nachzuweisen. Dem Schiedsgericht ist keine Gehörsverletzung vorzuwerfen, indem es in vorweggenommener Würdigung des beantragten Tests auf eine weitere Analyse der entnommenen Proben verzichtet hat. Abgesehen davon legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern sich aus dem Grundsatz des rechtlichen Gehörs oder dem Grundsatz der Gleichbehandlung der Parteien im Schiedsverfahren ein Anspruch ergeben soll, neben dem in den anwendbaren Anti-Doping-Regeln vorgesehenen Testverfahren weitere Analysen nach anderen Methoden durchführen zu lassen.
Ausserdem lassen sich die beweisrechtlichen Grundsätze im Anwendungsbereich des Privatrechts - auch wenn Disziplinarmassnahmen privater Sportverbände zu beurteilen sind - nicht unter dem Blickwinkel strafrechtlicher Begriffe wie der Unschuldsvermutung oder nach den aus der EMRK fliessenden Garantien bestimmen, wie das Bundesgericht insbesondere in Fällen von Dopingverstössen verschiedentlich bestätigt hat (Urteile 4A_448/2013 vom 27. März 2014 E. 3.3; 4A_488/2011 vom 18. Juni 2012 E. 6.2; 4A_612/2009 vom 10. Februar 2010 E. 6.3.2; 5P.83/1999 vom 31. März 1999 E. 3d; 4P.217/1992 vom 15. März 1993 E. 8b, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.). Mit dem Vorbringen, das Schiedsgericht habe die Unschuldsvermutung verletzt, erhebt der Beschwerdeführer demnach keine nach <ref-law> zulässige Rüge.
5.3. Der Beschwerdeführer wirft dem Schiedsgericht im Zusammenhang mit den beiden von ihm eingereichten Gutachten von Prof. Hofbauer zur Voss-Studie einerseits und zum Hanley-Bericht andererseits eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und des Gleichbehandlungsgebots vor.
5.3.1. Er behauptet zunächst zu Unrecht, das Schiedsgericht habe der Beschwerdegegnerin erlaubt, im letzten Moment zwei neue wissenschaftliche Studien einzureichen. Gemäss dem angefochtenen Entscheid hatte der Beschwerdeführer während der mündlichen Verhandlung in seinem Schlussplädoyer verlangt, sich zu der vom Gutachter Dr. Saugy anlässlich der Befragung erwähnten Studie äussern zu dürfen. Der Umstand, dass die Studie auch der Beschwerdegegnerin zur Stellungnahme zugestellt wurde, erscheint unter dem Gesichtspunkt der Gleichbehandlung geboten und stellt keine ungleiche Behandlung des Beschwerdeführers dar. Ausserdem hatten sich die Parteien hinsichtlich der Voss-Studie geeinigt, dass beiden Parteien die Möglichkeit eingeräumt werden soll, sich zu dieser zu äussern, was der Beschwerdeführer unerwähnt lässt.
5.3.2. Zum Inhalt des Hanley-Berichts, der erst während der mündlichen Verhandlung erhältlich war, konnten sich die Parteien bis dahin und auch während der Verhandlung nicht äussern; entsprechend wurde Prof. Hanley als Gutachter auch nur zum Stand des Berichts und nicht zu dessen Inhalt einvernommen. Es lag daher auch hier nahe, beiden Parteien Frist zur Vernehmlassung anzusetzen, wobei sich der Beschwerdeführer erst nach der Beschwerdegegnerin zu äussern hatte und er auch zu deren Eingabe nochmals Stellung nehmen konnte. Dadurch wurde der Beschwerdeführer nicht ungleich behandelt.
Ausserdem geht aus dem angefochtenen Entscheid - entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers - nicht hervor, dass das von ihm eingereichte Gutachten von Prof. Hofbauer zum Hanley-Report vom Schiedsgericht nicht zugelassen worden wäre. Vielmehr werden in der Entscheidbegründung das Gutachten von Prof. Hofbauer zur Voss-Studie und dasjenige zum Hanley-Bericht klar auseinandergehalten. Die Beschwerdegegnerin hatte sich denn auch lediglich der Einreichung des ersten Gutachtens (also zur Voss-Studie) widersetzt, während sie gegenüber dem zweiten Gutachten (zum Hanley-Bericht) keine Einwände erhob, was im Übrigen selbst in der Beschwerde anerkannt wird. Die Behauptung, das Schiedsgericht habe das Gutachten von Prof. Hofbauer zum Hanley-Bericht nicht zugelassen, lässt sich daher ebenso wenig erhärten wie der Vorwurf, es habe das erwähnte Gutachten inhaltlich gar nicht zur Kenntnis genommen. Der Beschwerdeführer anerkennt im Übrigen selber, dass das Schiedsgericht mit Schreiben vom 12. Dezember 2013 ausdrücklich bestätigte, das fragliche Gutachten als Beilage zur Stellungnahme erhalten zu haben. Seine Vermutung, das Schiedsgericht sei "jedenfalls im Zeitpunkt der Entscheidfindung" versehentlich davon ausgegangen, dass es sich bei den Anhängen zu seiner Stellungnahme vom 2. Dezember 2013 bloss um Kopien von bereits früher eingereichten Gutachten handle, ist aus der Luft gegriffen. Eine Gehörsverletzung oder eine Verletzung des Grundsatzes der Gleichbehandlung wird damit nicht dargetan.
5.3.3. Der Umstand, dass das Schiedsgericht nach durchgeführter mündlicher Verhandlung neben der Stellungnahme des Beschwerdeführers vom 23. September 2013 zur Voss-Studie kein zusätzliches Gutachten mehr zuliess, bedeutet für sich allein keine Gehörsverletzung. Die Parteien hatten sich über den Verfahrensablauf insoweit geeinigt, dass sich die Parteien innert Frist schriftlich zu der anlässlich der Verhandlung erwähnten Studie äussern konnten; ein weiteres Beweisverfahren zur Voss-Studie, die nicht von einer Partei als Beweis eingereicht worden war, stand nicht zur Diskussion. Erfolgt die Einreichung eines Beweismittel verfahrensrechtlich verspätet und wird dieses entsprechend nicht mehr zugelassen, bedeutet dies grundsätzlich keine Gehörsverletzung.
5.3.4. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers lässt sich eine Gehörsverletzung auch nicht mit der Behauptung begründen, ihm sei die im angefochtenen Schiedsentscheid erwähnte Verfügung vom 19. Dezember 2013, mit der das Gutachten von Prof. Hofbauer zur Voss-Studie als unzulässig erachtet wurde, nicht eröffnet worden. Aus dem Grundsatz des rechtlichen Gehörs ergibt sich kein Anspruch darauf, dass das Schiedsgericht vor Erlass des Endentscheids jeweils mit selbständiger Verfügung über die Zulässigkeit jedes einzelnen Beweises vorab entscheidet und die Parteien dazu nochmals Stellung beziehen können. Mit dem Vorbringen, er habe erst durch die Lektüre des Endentscheids von der Nichtzulassung des eingereichten Gutachtens erfahren, zeigt der Beschwerdeführer keine Gehörsverletzung auf.
Ebenso wenig zeigt er im Zusammenhang mit der angeblich fehlenden Zustellung der erwähnten Verfügung eine Verletzung des Gleichbehandlungsgrundsatzes auf. Dem von ihm ins Feld geführten Entscheid des Schiedsgerichts über die Zulässigkeit des Hanley-Berichts lag insoweit eine unterschiedliche Situation zugrunde, als das entsprechende Gesuch der Beschwerdegegnerin, den Hanley-Bericht sowie Prof. Hanley selbst zur mündlichen Verhandlung zuzulassen, in einem anderen Verfahrensstadium erfolgte und darüber notwendigerweise während der Verhandlung selbst entschieden werden musste und nicht etwa - wie bei einem später unaufgefordert eingereichten Dokument - erst im Endentscheid darüber befunden werden konnte. Eine Ungleichbehandlung der Parteien, die zur Aufhebung des Schiedsentscheids führen müsste, lässt sich daraus nicht ableiten.
5.3.5. Schliesslich ist auch hinsichtlich der schiedsgerichtlichen Zusammenfassung des Arguments des Beschwerdeführers zur sog. stable ratio ("The Respondent concluded that, with regard to the claimed stable ratio, the Appellant's argumentation 'is wrong' and to the contrary, 'empirically proven'") keine Gehörsverletzung zu erkennen. Auch wenn die Formulierung im angefochtenen Entscheid etwas ungenau sein mag, lässt sich daraus nicht ableiten, das Schiedsgericht habe sein Argument nicht zur Kenntnis genommen, wonach hinsichtlich der sog. stable ratio die Behauptung der Beschwerdegegnerin durch die Voss-Studie widerlegt werde, die gerade das Gegenteil empirisch beweise. Die gegensätzlichen Standpunkte hinsichtlich der Aussagekraft der Studie waren dem Schiedsgericht durchaus bekannt. Ein Versehen oder ein Missverständnis, aufgrund dessen das Schiedsgericht ein rechtserhebliches Argument des Beschwerdeführers unberücksichtigt gelassen hätte (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 mit Hinweisen), liegt nicht vor.
5.4. Der Beschwerdeführer bringt vor, eine aktenwidrige Feststellung des Schiedsgerichts hinsichtlich seiner Vorbringen zur Zuverlässigkeit des hGH-Tests habe zur Folge gehabt, dass es ihm verunmöglicht worden sei, seinen Standpunkt in Bezug auf ein prozessrelevantes Thema zu beweisen. So habe er entgegen der schiedsgerichtlichen Feststellung die Zuverlässigkeit des Tests an sich bestritten und gestützt darauf geltend gemacht, dass der Unterschied zwischen den bei ihm gemessenen Werten der A-Probe (2.45 bzw. 2.42) und der B-Probe (3.16 und 2.34) den Test ungültig mache.
Der Beschwerdeführer vermag nicht mit Aktenhinweisen aufzuzeigen, dass er im Schiedsverfahren vorgebracht hätte, der hGH-Test an sich sei zur Feststellung von recGH im Körper ungeeignet. Vielmehr hat er einerseits die Zuverlässigkeit des fraglichen Tests zum Nachweis eines Dopingvergehens bestritten, indem er etwa vorbrachte, die Werte würden durch individuelle und externe Faktoren beeinflusst (wie etwa intensives Training, Stress, Höhe, Zeit der Probeentnahme, Alter und Ethnie des Athleten) und die bestehenden statistischen Vergleichswerte seien unzureichend. Andererseits hat er das konkrete Testergebnis in Frage gestellt, indem er sich darauf berief, der Unterschied zwischen den bei ihm gemessenen Werten der A- und der B-Probe machten den Test ungültig. Diese Argumente hat das Schiedsgericht jedoch nicht übersehen, sondern im angefochtenen Entscheid erwähnt und geprüft. So hat es insbesondere den Einwand des Unterschieds zwischen der A- und der B-Probe berücksichtigt, jedoch in Würdigung von Gutachteraussagen für unbegründet erachtet.
Die Rüge, es sei ihm durch ein offensichtliches Versehen des Schiedsgerichts verunmöglicht worden, seinen Standpunkt in den Prozess einzubringen oder zu beweisen, erweist sich als unbegründet.
5.5. Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, eine Feststellung im angefochtenen Entscheid hinsichtlich der Gutachteraussagen im Zusammenhang mit seinem Einwand der unterschiedlichen Messwerte für A- und B-Proben sei offensichtlich falsch. So sei der Hinweis des Schiedsgerichts, gemäss den anlässlich der Hauptverhandlung einvernommenen Gutachtern würden für die Analyse der B-Probe unterschiedliche Antikörper verwendet, was zu unterschiedlichen Resultaten führe, nicht nur inhaltlich falsch, sondern es habe auch keiner der Experten eine entsprechende Aussage gemacht. Richtig sei vielmehr, dass die Antikörper in Kit 1 bei A- und B-Probe selbstverständlich die gleichen seien, weshalb sich der grosse Unterschied zwischen den mit Kit 1 gemessenen Werten der A- und B-Probe eben doch nicht erklären lasse.
Damit verkennt der Beschwerdeführer, dass nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts eine offensichtlich falsche oder aktenwidrige Feststellung für sich allein nicht ausreicht, um einen internationalen Schiedsentscheid aufzuheben. Der Anspruch auf rechtliches Gehör enthält keinen Anspruch auf einen materiell richtigen Entscheid (BGE <ref-ruling> E. 2b S. 577 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 333). Das Schiedsgericht hat das vorgebrachte Argument, der Unterschied zwischen den bei ihm gemessenen Werten der A- und der B-Probe machten den Test ungültig, nicht etwa aufgrund eines Versehens oder eines Missverständnisses unberücksichtigt gelassen, sondern im angefochtenen Entscheid ausdrücklich erwähnt und in Würdigung von Gutachteraussagen für unbegründet erachtet. Dabei hat es die Ansichten der Gutachter zur Bedeutung des Unterschieds der Messwerte zwischen A- und B-Probe jeweils eigens aufgeführt. Indem der Beschwerdeführer vor Bundesgericht vorbringt, mit der Begründung des Schiedsgerichts lasse sich der gemessene Unterschied nicht erklären, kritisiert er in unzulässiger Weise die schiedsgerichtliche Beweiswürdigung.
5.6. Auch mit seinen Ausführungen zur Bestimmung des Grenzwerts (DL) kritisiert der Beschwerdeführer lediglich den Inhalt des angefochtenen Entscheids und unterbreitet dem Bundesgericht seine eigene Sicht zum massgebenden Wert, ohne jedoch eine Verletzung des Gehörsanspruchs aufzuzeigen. Das Schiedsgericht hielt dafür, die Vorbringen des Beschwerdeführers wie auch die Gutachteraussagen vermöchten die Bestimmung der verwendeten Grenzwerte nicht als unzutreffend und wissenschaftlich unzulässig auszuweisen, was zu höheren Grenzwerten (über den tatsächlich gemessenen) führen müsste. Entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, hat das Schiedsgericht nicht übersehen, dass die von ihm angerufenen Gutachter die Ansicht vertraten, es müsse ein deutlich höherer Grenzwert als der tatsächlich beigezogene verwendet werden. Vielmehr hat es diese Auffassung im angefochtenen Entscheid berücksichtigt, jedoch nicht als überzeugend beurteilt und den Gegenbeweis hinsichtlich der vom Beschwerdeführer bestrittenen Zuverlässigkeit der konkret verwendeten Grenzwerte als nicht erbracht erachtet.
Die Rüge, das Schiedsgericht habe einen Beweis unberücksichtigt gelassen und damit den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, ist unbegründet.
5.7. Ins Leere stösst der Vorwurf der Gehörsverletzung auch im Zusammenhang mit dem Antrag des Beschwerdeführers, es seien die gesamten Akten des DIS-Schiedsgerichts beizuziehen. Entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, hat das Schiedsgericht den erwähnten Verfahrensantrag nicht etwa übersehen, sondern im angefochtenen Entscheid an mehreren Stellen ausdrücklich erwähnt. Er verkennt mit seinem Vorwurf, das Schiedsgericht habe sich mit seinen Vorbringen nicht auseinandergesetzt, dass der Anspruch auf rechtliches Gehör nach ständiger Rechtsprechung nicht auch den Anspruch auf Begründung eines internationalen Schiedsentscheids beinhaltet (<ref-ruling> E. 6.1 mit Hinweisen). Dass die Akten nicht beigezogen worden wären und darin eine Gehörsverletzung liegen würde, behauptet der Beschwerdeführer nicht und zeigt entsprechend auch nicht auf, inwiefern er im Schiedsverfahren Anstrengungen unternommen hätte, einen allfälligen Verfahrensmangel zu Beginn des Verfahrens zu beseitigen (vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 388; Urteile 4A_244/2012 vom 17. Januar 2013 E. 3; 4A_16/2012 vom 2. Mai 2012 E. 3.3; 4A_617/2010 vom 14. Juni 2011 E. 3.1).
Soweit er dem Schiedsgericht ausserdem eine Verletzung des Gleichbehandlungsgebots (<ref-law>) und des Ordre public (<ref-law>) vorwirft, verfehlt er die gesetzlichen Begründungsanforderungen.
6.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege samt Rechtsbeistand im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren ist wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (<ref-law>). Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die sich nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu äussern hatte, wird eine reduzierte Parteientschädigung zugesprochen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Tribunal Arbitral du Sport (TAS) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Leemann