Sachverhalt:
A.
X._ (Ehemann; geb. 1968) und Y._ (Ehefrau; geb. 1970) sind verheiratet und Eltern von A._ (geb. 2004). Y._ ist ausserdem Mutter zweier volljähriger Töchter, wovon die eine bereits verheiratet ist. Die zweite Tochter (geb. 1991) wohnt gegenwärtig (wieder) bei Y._.
B.
B.a. Am 19. Oktober 2010 leitete Y._ beim Bezirksgericht Zürich ein Eheschutzverfahren ein. In dessen Verlauf verlangten beide Parteien die Obhut für A._ und die Zuweisung der ehelichen Wohnung an sich selbst.
B.b. Mit Eheschutzurteil vom 17. Januar 2012 stellte das Bezirksgericht A._ unter die Obhut der Mutter. Es legte das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters fest und verpflichtete diesen zur Bezahlung eines monatlichen Kindesunterhaltsbeitrages von Fr. 750.-- ab 1. Mai 2012. Die eheliche Wohnung wies es Y._ zu, wobei X._ die Wohnung bis zum 30. April 2012 zu verlassen habe.
C.
C.a. Hiergegen erhob X._ am 6. Februar 2012 Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Er beantragte wiederum die Obhut für A._, unter Einräumung eines Besuchs- und Ferienrechts zugunsten von Y._. Die eheliche Wohnung sei ihm zuzuweisen und der Ehefrau sei Frist zu setzen, innert 30 Tagen nach Rechtskraft des Entscheids auszuziehen. Diese sei zur Leistung eines Unterhaltsbeitrages für A._ von monatlich Fr. 1'311.-- zu verpflichten. Für den Fall einer Obhutszuteilung an die Ehefrau seien die von ihm geschuldeten Beiträge auf Fr. 350.-- zu reduzieren.
Y._ schloss mit Antwort vom 19. März 2012 auf Abweisung der Berufung. Der Ehemann sei vielmehr zu verpflichten, für die Monate Mai bis und mit Dezember 2012 einen Unterhaltsbeitrag von je Fr. 1'123.-- zu bezahlen, danach Fr. 750.--. Beide Parteien beantragten die unentgeltliche Rechtspflege.
C.b. Das Obergericht führte am 29. Mai 2012 eine Vergleichsverhandlung durch, ohne dass eine Einigung zu Stande kam. Danach erfolgten weitere Eingaben beider Parteien.
Am 27. Februar 2013 hörte ein Oberrichter den Sohn A._ an. Zum Protokoll der Kinderanhörung konnten wiederum beide Parteien Stellung beziehen.
C.c. Mit Urteil vom 14. Mai 2013 stellte das Obergericht A._ unter die Obhut der Ehefrau. Für den Ehemann legte es ein grosszügiges Besuchs- und Ferienrecht fest. Die eheliche Wohnung wies es der Ehefrau zu, wobei Vormerk genommen wurde, dass der Ehemann diese bereits verlassen habe. Die Gerichtskosten auferlegte es den Parteien - unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege - zu gleichen Teilen und es verzichtete auf die Zusprechung von Parteientschädigungen. Den monatlich von X._ zugunsten von A._ zu zahlenden Betrag setzte es vom 1. Mai bis 30. November 2012 auf Fr. 1'485.-- fest; ab dem 1. Dezember 2012 schulde er keinen Unterhalt mehr.
D.
Mit Beschwerde vom 17. Juni 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und wiederholt die bereits im kantonalen Verfahren gestellten Anträge (vorstehend C.a; ohne Eventualantrag für den Fall einer Obhutszuweisung an die Ehefrau). Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzliches Urteil in einer streitwertunabhängigen Zivilsache (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und 2, Art. 90 BGG; zur Qualifikation als Endentscheid <ref-ruling> E. 4 S. 395 f.). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und die Frist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG), womit die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist.
1.2. Weil Eheschutzentscheide vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG darstellen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 397), kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
1.3. Im Übrigen dürfen bei der Beschwerde in Zivilsachen keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (Art. 99 Abs. 1 BGG). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3 S. 395).
2.
Umstritten ist vorliegend in erster Linie die Obhutszuteilung und als Folge davon die damit zusammenhängenden Belange (Besuchsrecht, Unterhaltsbeiträge, Wohnungszuweisung).
2.1. Das mit der "Regelung des Getrenntlebens" (Marginalie zu Art. 176 ZGB) befasste Eheschutzgericht trifft nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses die nötigen Massnahmen, wenn die Ehegatten minderjährige Kinder haben (Art. 176 Abs. 3 ZGB). Für die Zuteilung der Obhut an einen Elternteil gelten grundsätzlich die gleichen Kriterien wie im Scheidungsfall. Nach der Rechtsprechung hat das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern. Vorab muss die Erziehungsfähigkeit der Eltern geklärt werden. Ist diese bei beiden Elternteilen gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und dazu bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Elternteile diese Voraussetzung ungefähr in gleicher Weise, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, namentlich die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (<ref-ruling> E. 5.3 S. 180 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 354 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 209).
Unter Umständen kann die Möglichkeit der persönlichen Betreuung hinter das Kriterium der Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse zurücktreten (vgl. Urteil 5C.212/2005 vom 25. Januar 2006 E. 4.2 ff., in: FamPra.ch 2006, 753).
Bei der Be urteilung der für die Obhutszuteilung massgebenden Kriterien verfügt das Sachgericht über grosses Ermessen (<ref-ruling> E. 2 und E. 3 S. 319 ff.). Auf Willkürbeschwerde hin kann das Bundesgericht deshalb nur eingreifen, wenn das Sachgericht grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn es Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn es umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Der Ermessensentscheid muss sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 1 S. 99 mit weiteren Hinweisen; vgl. zum Ganzen zuletzt Urteil 5A_157/2012 vom 23. Juli 2012 E. 3.1, in: FamPra.ch 2012, 1094).
2.2. Die Vorinstanz erachtete - in Übereinstimmung mit der ersten Instanz - bei beiden Elternteilen die notwendige Erziehungsfähigkeit als gegeben. Die Möglichkeit, den Sohn persönlich zu betreuen, sei beim Beschwerdeführer zur Zeit etwas höher; er arbeite zu 20 %. Es sei ein IV-Verfahren hängig. Aufgrund eines negativen Vorbescheids der IV-Stelle vom 16. Juni 2011 sei mit einiger Wahrscheinlichkeit aber davon auszugehen, dass er sich in absehbarer Zukunft (nach einem negativen Rentenentscheid) um eine höherprozentige Arbeitstätigkeit werde bemühen müssen. Es seien Arztberichte eingefordert worden, deren Eingang die IV-Stelle für den Entscheid abwarte. Der Taggeldanspruch des Beschwerdeführers sei ausgeschöpft. Damit verfüge er allenfalls nicht mehr lange über eine grössere zeitliche Verfügbarkeit als die Beschwerdegegnerin. Zu berücksichtigen seien auch seine gesundheitlichen Defizite, insbesondere die von ihm selbst vorgetragenen (massiven) neuropsychologischen Beeinträchtigungen samt Konzentrations- und Gedächtnisschwierigkeiten. Die Situation des Beschwerdeführers sei sehr ungewiss. Die Beschwerdegegnerin arbeite zu 60 %. Eine früher zusätzlich ausgeübte Tätigkeit sei gekündigt worden und es gebe keine Anzeichen, dass sie einer zweiten Tätigkeit nachgehe, wie dies der Beschwerdeführer behaupte. Zwar könne die Beschwerdegegnerin den Sohn nicht rund um die Uhr selbst betreuen. Sie habe aber bei der Kinderbetreuung Unterstützung durch die im gleichen Haushalt wohnende voreheliche Tochter. Weiter besuche A._ vier Mal pro Woche den Mittagstisch, was einen positiven Einfluss auf seine deutsche Sprachkompetenz habe, rede er doch sowohl mit den Eltern als auch den Schwestern Russisch. In Bezug auf die Frage, welcher Elternteil A._ bisher überwiegend betreut habe, stehe Aussage gegen Aussage. Jede der Parteien beanspruche dies für sich. A._ selbst habe anlässlich der Anhörung gesagt, dass er am liebsten je die Hälfte der Zeit bei der Mutter und beim Vater verbringen möchte. Die von ihm erwünschte geteilte Obhut scheitere indes am fehlenden Einvernehmen der Eltern.
Die Vorinstanz befand schliesslich, unter den gegebenen Umständen sei die Stabilität höher zu gewichten als die aktuell grössere zeitliche Verfügbarkeit des Beschwerdeführers. Eine Übertragung der Obhut auf ihn, mit der Gefahr einer erneuten (Rück-) Umteilung bei einer Ausdehnung seiner Arbeitstätigkeit, sei nicht im Interesse des Kindes. Entsprechend sei der Sohn unter der Obhut der Beschwerdegegnerin zu belassen.
2.3. Der Beschwerdeführer rügt den Obhutsentscheid in verschiedener Hinsicht als willkürlich.
2.3.1. Er wirft der Vorinstanz insbesondere Willkür in der Beurteilung der Erziehungsf ähigkeit der Parteien vor.
Er selbst sei bestens für die Betreuung von A._ geeignet, gehe sehr verantwortungsvoll mit ihm um und fordere ihn entsprechend seinem Alter, was aus den Beilagen eindeutig ergehe. Zur Unterstreichung seines Arguments reicht er ein Schreiben des Förderungszentrums B._ vom 15. Juni 2013 ein, wo A._ den Russischunterricht besucht. Darin wird der Umgang des Beschwerdeführers mit seinem Sohn beschrieben.
Soweit er rügt, dass die Vorinstanz seine eigene Erziehungsfähigkeit willkürlich (zu schlecht) eingeschätzt habe, ist dies jedoch unbehelflich. Im angefochtenen Entscheid wurde die Erziehungsfähigkeit des Beschwerdeführers überhaupt nicht in Frage gestellt. Die Vorinstanz ging vielmehr davon aus, dass die Erziehungsfähigkeit bei beiden Elternteilen gegeben sei. Das Schreiben vom 15. Juni 2013 ist überdies im Lichte von Art. 99 BGG unzulässig (E. 1.3).
Der Beschwerdeführer macht sodann geltend, die Vorinstanz habe die Beschwerdegegnerin willkürlich für erziehungsfähig befunden. Er führt aus, die Mutter zeige keinerlei Kooperationsbereitschaft in Bezug auf die Betreuung von A._ und helfe diesem nicht, sich zu orientieren. Beispielsweise schaffe sie Ärger, indem sie den Sohn nach der Schule zum Hort schicke, obwohl er direkt zum Vater gehen sollte. Sie vernachlässige es auch, ihm bei den Aufgaben zu helfen und bemühe sich nicht, mit den Lehrerinnen zu kommunizieren. Sinngemäss sei sie daran schuld, dass der Sohn Schulaufgaben vergesse; dies komme wiederholt dann vor, wenn der Sohn bei der Mutter übernachtet habe, nicht jedoch wenn er beim Vater gewesen sei. Dies gehe aus dem sog. "Pöschtlerheft" hervor, welches die Eltern unterzeichnen müssten. Sie kümmere sich nicht um die schulische Entwicklung von A._, weshalb die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin erheblich eingeschränkt sei. Die hierzu eingereichte Beschwerdebeilage enthält vier handschriftliche Vermerke einer Lehrperson, die - soweit das Datum lesbar ist - zwischen dem 5. Dezember 2011 und dem 28. Mai 2013 datieren, sowie einen nicht datierten Stundenplan. Inwiefern diese Beweismittel zulässig sind (Art. 99 Abs. 1 BGG) kann offen gelassen werden, da die Rüge in jedem Fall unbegründet ist.
Bereits vor der Vorinstanz hatte der Beschwerdeführer den Vorwurf erhoben, A._ erfahre ungenügende schulische Unterstützung durch die Beschwerdegegnerin. Mehrere damit zusammenhängende Punkte (welche der Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren nicht mehr aufgreift) erachtete die Vorinstanz als unbegründet. Auf die Problematik vergessener Aufgaben ging diese ebenfalls kurz ein. Sie hielt fest, wenn A._ Hausaufgaben öfter nicht mache oder verlege, könne dies auch auf den Trennungskonflikt zurückgeführt werden. A._ selbst habe im Übrigen anlässlich der Kinderanhörung ausgesagt, dass er bei den Hausaufgaben von seiner Schwester, seiner Mutter und seinem Vater unterstützt werde. Zusammengefasst befand sie, es fehlten objektive Anhaltspunkte dafür, dass die Beschwerdegegnerin A._ in schulischen Dingen zu wenig unterstütze. Ausserdem habe der Beschwerdeführer selbst anlässlich der erstinstanzlichen Verhandlung vom 13. Januar 2011 ausgesagt, die Beschwerdegegnerin sei eine gute Mutter.
Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern die Würdigung der Vorinstanz qualifiziert falsch (vgl. E. 1.2) sein soll. Auch auf die von ihm selbst eingereichten Beweismittel geht er nicht genügend ein. Er stellt den vorinstanzlichen Feststellungen und Erwägungen lediglich seine eigene Sicht der Dinge gegenüber, womit keine Willkür dargetan werden kann.
Der Beschwerdeführer schildert weiter einen Fall, in welchem er für A._ Medikamente habe abholen müssen, obwohl A._ bei seiner Mutter gewesen sei und entsprechend diese dafür verantwortlich gewesen wäre. Zum Beweis legt er ein Arztrezept vom 7. Mai 2013 samt Abholquittung vom 22. Mai 2013 ins Recht. Diese neuen Tatsachenvorbringen können im Rahmen des bundesgerichtlichen Verfahrens nicht berücksichtigt werden, legt er doch nicht dar, dass die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung gegeben wären. Schliesslich kreidet er der Beschwerdegegnerin an, dass sie an einem Lehrergespräch vom 10. Juni 2013 (wegen Halsschmerzen) nicht teilgenommen habe. Das Gespräch fand nach der Fällung des angefochtenen Entscheids statt, womit auch die hierzu eingereichte Kopie des Gesprächs als Beweismittel unzulässig ist. Im Übrigen kann bei Problemen eines Kindes mit den Hausaufgaben nicht direkt auf eine eingeschränkte Erziehungsfähigkeit der Eltern geschlossen werden. Andere stichhaltige Gründe, weshalb die Beschwerdegegnerin nicht erziehungsfähig sein solle, legt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht aber nicht dar.
Vor diesem Hintergrund verfiel die Vorinstanz nicht in Willkür, wenn sie die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin nicht bezweifelte.
2.3.2. Der Beschwerdeführer kritisiert sodann, die Vorinstanz habe willkürlich ignoriert, dass in der Vergangenheit mehrheitlich er den Sohn betreut habe.
Der Beschwerdeführer brachte bereits im kantonalen Verfahren vor, dass er in der Zeit seiner Arbeitsunfähigkeit resp. ab der Freistellung im Januar 2010 zur Hauptbezugsperson des Sohns geworden sei; die Beschwerdegegnerin hingegen habe gearbeitet und keine Zeit für den Sohn gehabt. Die Vorinstanz setzte sich mit diesem Einwand auseinander, hielt aber fest, dass diesbezüglich "Aussage gegen Aussage" stehe (E. 2.2). Der Beschwerdegegner beschränkt sich vor Bundesgericht auch hier darauf, seine Sicht der Dinge zu schildern resp. zu wiederholen. Namentlich geht er nicht auf die vorinstanzliche Feststellung ein, dass die von ihm eingereichten Belege zwar bestätigten, dass er A._ zu diversen Aktivitäten begleitet habe, wodurch sich indes die Betreuungsanteile an der Erziehung nicht beweisen liessen. Ebensowenig setzt er sich mit den Erwägungen zur Kinderanhörung auseinander.
Gemäss Vorinstanz sagte der Sohn anlässlich der Anhörung, er finde, dass er zu wenig beim Vater sei. Er habe aber auch gesagt, er wolle nicht tauschen (so dass er hauptsächlich beim Vater und nur an den Wochenenden bei der Mutter gewesen wäre). Er wolle vielmehr gerne je abwechselnd eine Woche bei seinem Vater und eine Woche bei seiner Mutter verbringen; die zweitbeste Lösung für ihn wäre, wenn er je abwechselnd einen Tag bei der Mutter und einen Tag beim Vater sein könnte. Das Obergericht hat daraus geschlossen, dass das Kind gleich viel Zeit mit dem Vater, wie mit der Mutter verbringen möchte.
Vor diesem Hintergrund ist keine Willkür ersichtlich, wenn die Vorinstanz befand, es könne keine Hauptbezugsperson ausgemacht werden.
2.3.3. Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz habe willkürlich nicht darauf abgestellt, dass er gegenwärtig und zukünftigeine grössere zeitliche Verfügbarkeit aufweise als die Beschwerdegegnerin. Seine gesundheitliche Beeinträchtigung erlaube keine Arbeitsaufnahme und selbst wenn er wieder arbeiten müsste, könne er die allfällige Jobsuche auf die Bedürfnisse von A._ abstimmen.
Er vermag diesbezüglich jedoch keine Willkür darzutun. Angesichts des negativen Vorbescheids im IV-Verfahren kann die vorinstanzliche Überlegung nicht von der Hand gewiesen werden, dass der Beschwerdeführer infolge Verweigerung einer Rente in naher Zukunft wieder eine Arbeit werde aufnehmen müssen.
Überdies verkennt der Beschwerdeführer, dass gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung das Kriterium der zeitlichen Verfügbarkeit und damit die Möglichkeit der persönlichen Betreuung hinter das Kriterium der Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse zurücktreten kann, soweit die Eltern ungefähr gleiche erzieherische Fähigkeiten haben (vgl. vorstehend E. 2.1; mit Hinweis auf Urteil 5C.212/2005 vom 25. Januar 2006 E. 4.2 ff., in: FamPra.ch 2006, 753). Die Vorinstanz knüpfte vorliegend gerade nicht (allein) am Kriterium der zeitlichen Verfügbarkeit an. Sie begründete vielmehr explizit, dass sie im vorliegenden Fall der Stabilität der Umstände (welche gemäss Vorinstanz für die Beschwerdegegnerin sprachen) mehr Gewicht zumesse, als der den Parteien gegebenen Möglichkeit der persönlichen Betreuung. Soweit der Beschwerdeführer rügt, es sei bereits im Grundsatz willkürlich, dass dem Kriterium der Stabilität der Vorrang gegeben wird, ist dies angesichts der konstanten Rechtsprechung in jedem Fall unbegründet.
Soweit er kritisiert, das Abstützen auf die Stabilität der Verhältnisse sei im vorliegenden Fall willkürlich, bleiben seine Ausführungen appellatorisch (insb. Einwand, es könne nicht sein, dass die erwachsene Tochter einen Betreuungsbeitrag leisten müsse; Behauptungen, diese könnte bald wieder ausziehen oder die Beschwerdegegnerin könnte ein höheres Arbeitspensum anstreben). Die Vorinstanz hat sich im angefochtenen Entscheid von der Grundidee leiten lassen, dass das Wohl von A._ stabile Verhältnisse erfordere. Sodann erblickte sie bei der Beschwerdegegnerin mehr Stabilität als beim Beschwerdeführer, wo angesichts des offenen Ausgangs des IV-Verfahrens und seiner gesundheitlichen Beschwerden vieles offen sei. Mit diesen Argumenten setzt er sich nicht detailliert auseinander.
2.3.4. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich kritisiert, die Vorinstanz habe willkürliche Annahmen getroffen im Zusammenhang mit den dienstäglichen Übernachtungen des Sohns bei ihm, führt er nicht aus, worauf sich dies beziehen soll. Hierauf ist zum Vornherein nicht einzutreten.
Dasselbe gilt für seinen unsubstanziierten Einwand, die Vorinstanz habe willkürlich befunden, die Kommunikationsschwierigkeiten der Parteien verhinderten eine geteilte Obhut.
2.4. Damit ist die Beschwerde in Bezug auf die Frage der Obhut abzuweisen, soweit darauf einzutreten war.
3.
Da A._ unter der Obhut der Mutter verbleibt - und der Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren für diesen Fall keine (Eventual-) Anträge zu seinem Besuchsrecht gestellt hat - erübrigt sich diesbezüglich eine Beurteilung.
4.
Umstritten ist sodann das Schicksal der ehelichen Wohnung. Wie aus der Beschwerdebegründung klar hervor geht, beantragt der Beschwerdeführer die Zuweisung der Wohnung allerdings nur in Abhängigkeit mit der verlangten Obhutsübertragung an ihn selbst. Nachdem die Obhut über A._ bei der Beschwerdegegnerin verbleibt, wird das Begehren des Beschwerdeführers betreffend Wohnung gegenstandslos. Wie erwähnt (vgl. B.b), ist der Beschwerdeführer bereits ausgezogen.
5.
Schliesslich beanstandet der Beschwerdeführer auch die Unterhaltsberechnung. Er kritisiert, es sei der Beschwerdegegnerin ein zu hoher Bedarf angerechnet worden. Das Begehren des Beschwerdeführers zum Unterhalt lautet dabei wie folgt:
"Ziff. 5 des angefochtenen Urteils sei aufzuheben; die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, an den Unterhalt und die Erziehung des Kindes A._ monatlich im Voraus jeweils auf den ersten eines jeden Monats zahlbare Unterhaltsbeiträge (zuzüglich allfälliger vertraglicher oder gesetzlicher Kinderzulage) in der Höhe von CHF 1'311 zu leisten."
Aus dem Kontext kann dies nicht anders verstanden werden, als dass er für den Fall einer Gutheissung seines Hauptbegehrens (Ü bertragung der Obhut an ihn selbst) die Verpflichtung der Beschwerdegegnerin zur Leistung eines Unterhaltsbeitrages verlangt. Ein Antrag auf Neuberechnung (des vom Beschwerdeführer geschuldeten Betrags) für den Fall, dass die Obhut bei der Beschwerdegegnerin verbleiben sollte, lässt sich der Beschwerde indes nicht entnehmen. Entsprechend sind die Rügen gegenstandslos.
6.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, zeigen doch die vorstehenden Erwägungen auf, dass die Beschwerde von Beginn weg keinen Erfolg haben konnte (Art. 64 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. September 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann