Sachverhalt:
A.
In der Hafenzone von Bottighofen liegen nebeneinander die vier Parzellen Nr. 647, 854, 855 und 856. Auf allen steht heute ein Badehaus. Die vier Parzellen werden vom Gestaltungsplan Bottighofen-See vom 26. März 2001 erfasst, welcher in diesem Bereich Mantelbaulinien für "Ersatz-Badehäuser" vorsieht. Im Zeitpunkt des Erlasses des Gestaltungsplans bestand lediglich die Parzelle Nr. 647. Von dieser wurden später die anderen drei abparzelliert.
C._, als Eigentümerin der Parzelle Nr. 647 die Rechtsvorgängerin des heutigen Eigentümers B._, reichte am 10. Februar 2006 ein Gesuch für den Bau eines Badehauses ein. Die Bewilligung wurde am 4. Oktober 2007 erteilt und erwuchs in Rechtskraft. Noch vor dem Bau reichte C._ ein weiteres Baugesuch ein, welches eine leichte Veränderung der Lage des Badehauses und die Reduktion der Dachlänge vorsah. Am 3. Oktober 2008 erteilte die Gemeinde die Baubewilligung für die Projektänderung im vereinfachten Verfahren. Das Badehaus wurde in der Folge erstellt, am 30. Juni 2010 erfolgte die Bauabnahme.
Am 18. Juni 2010 erhob die Eigentümerin der östlich angrenzenden Parzelle Nr. 854, A._, beim Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau (DBU) eine Aufsichtsbeschwerde gegen die Gemeinde Bottighofen. Im Rahmen des Aufsichtsbeschwerdeverfahrens hob das DBU mit Entscheid vom 25. Januar 2012 die Bewilligung vom 3. Oktober 2008 auf, nachdem es festgestellt hatte, dass diese A._ nicht korrekt eröffnet worden war. Auf ein Wiedererwägungsgesuch von B._ hin hob das DBU mit Entscheid vom 29. Juni 2012 seinen Entscheid vom 25. Januar 2012 teilweise wieder auf. B._, der fälschlicherweise nicht ins Verfahren einbezogen worden war, wurde nun die Möglichkeit gewährt, sich zur Sache zu äussern.
Noch vor dem zweiten Entscheid des DBU hatte B._ ein Projektänderungsgesuch für das bereits bestehende Badehaus eingereicht. Die Gemeinde Bottighofen wies mit Entscheid vom 27. Juni 2012 eine dagegen von A._ erhobene Einsprache ab und erteilte die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen.
Einen dagegen von A._ erhobenen Rekurs wies das DBU am 19. März 2013 ab. Darauf gelangte A._ ans Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Dieses wies ihre Beschwerde mit Entscheid vom 27. August 2014 ebenfalls ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 27. Oktober 2014 beantragt A._, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Baubewilligung für die Projektänderung zu verweigern. Eventualiter sei die Sache zum neuen Entscheid ans Verwaltungsgericht, subeventualiter zur Durchführung eines ordentlichen Baubewilligungsverfahrens an die Gemeinde Bottighofen zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Gemeinderat und das DBU haben sich nicht vernehmen lassen. Die Beschwerdeführerin hält in ihrer Stellungnahme dazu an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Dem angefochtenen Entscheid liegt ein Beschwerdeverfahren über eine baurechtliche Bewilligung zu Grunde. Dagegen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 lit. a BGG das zutreffende Rechtsmittel. Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, ist als Nachbarin durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 89 Abs. 1 BGG). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägungen einzutreten.
1.2. Der rechtserhebliche Sachverhalt geht aus den Akten hinreichend hervor. Auf die Durchführung eines Augenscheins kann daher verzichtet werden.
2.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Das setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG erfüllt. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 176 mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerdeführerin kritisiert, dass die Vorinstanz keinen Augenschein durchführte. Sie bringt vor, im Rahmen eines Augenscheins hätte nachgewiesen werden können, dass die vom Beschwerdegegner erstellte Baute wesentlich von den erteilten Baubewilligungen abweiche.
Die Beschwerdeführerin übersieht mit ihrer Kritik, dass Prozessgegenstand die Baubewilligung vom 27. Juni 2012 bzw. der diese bestätigende kantonal letztinstanzliche Entscheid ist. Ob die auf der Parzelle Nr. 647 erstellte Baute der dafür erteilten Bewilligung entspricht, ist dagegen nicht Prozessgegenstand. Mit ihrer Kritik zeigt die Beschwerdeführerin somit nicht auf, weshalb das Verwaltungsgericht hätte einen Augenschein durchführen müssen (Art. 29 Abs. 2 BV). Die Rüge ist unbegründet.
4.
Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, es sei gar nie eine gültige Baubewilligung erteilt worden. Weshalb sie dieser Auffassung ist und inwiefern der angefochtene Entscheid in diesem Punkt Bundesrecht verletzt, wird aus ihren Ausführungen jedoch nicht klar. Auch wird in der Beschwerdeschrift nicht dargelegt, welche Bundesrechtsnorm die Vorinstanz verletzt haben soll, wenn sie davon ausging, es sei für die Projektänderung kein ordentliches Baubewilligungsverfahren nötig gewesen. Mangels hinreichender Begründung der Beschwerde ist auf diese Kritik nicht einzutreten.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Auslegung von Art. 6.1 der Sonderbauvorschriften (SBV) zum Gestaltungsplan. Danach seien innerhalb der Mantelbaulinien nur drei (hafenbaubedingte) Ersatzbadehäuser zulässig. Es bestünden jedoch bereits drei rechtmässige und rechtskräftig bewilligte Badehäuser. Ein viertes sei unzulässig.
5.2. Das Verwaltungsgericht führt dazu aus, das Badehaus auf Parzelle Nr. 647 sei am 4. Oktober 2007 rechtskräftig bewilligt worden und es gehe vorliegend nur um eine Projektänderung. Weiter sei zu beachten, dass im Gestaltungsplan neben den schematisch dargestellten drei Ersatzbadehäusern ein viertes Badehaus figuriere. Dieses habe damals bereits bestanden und gelte deshalb nicht als eines der Ersatzbadehäuser, die gemäss Gestaltungsplan zufolge des Hafenbaus in diesem Bereich zulässig seien. Dass es mittlerweile abgebrochen und ersetzt worden sei, ändere an der Zulässigkeit des Badehauses auf Parzelle Nr. 647 nichts.
5.3. Diese Ausführungen lassen keine Willkür erkennen. Der Gestaltungsplan weist innerhalb der Mantelbaulinien "Ersatz-Badehäuser" vier Badehäuser aus, nicht drei. Vor diesem Hintergrund ist naheliegend, dass die Beschränkung gemäss Art. 6.1 SBV nur die Ersatzbauten betrifft, also nicht auch das offenbar bei Erlass des Gestaltungsplans bereits bestehende vierte Badehaus. Dies entspricht im Übrigen dem Wortlaut der Bestimmung, zumal dieses vierte Badehaus kaum als "Ersatz-Badehaus" bezeichnet werden kann, wie das Verwaltungsgericht bereits dargelegt hat. Da im Gestaltungsplan somit insgesamt vier Badehäuser vorgesehen sind, ist zusammen mit dem Verwaltungsgericht auch als unmassgeblich anzusehen, dass jenes vierte Badehaus in der Zwischenzeit offenbar ersetzt wurde. Die Rüge der Beschwerdeführerin ist deshalb unbegründet.
6.
6.1. Die Beschwerdeführerin rügt "offensichtlich unzutreffende Feststellungen" betreffend die Einhaltung des gesetzlichen Grenzabstands und des Gebäudemindestabstands (gegenüber ihrer eigenen Parzelle bzw. gegenüber ihrem eigenen Badehaus). Ihre Ausführungen sind sinngemäss als Rüge der willkürlichen Anwendung der betreffenden Bestimmungen des kommunalen Baureglements vom 30. Mai 2008 (im Folgenden: BR) zu verstehen (Art. 9 BV), zumal die Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz in diesem Punkt nicht kritisiert wird. Sie ist der Auffassung, die geplante Baute müsse nach Art. 2.1 Abs. 2 BR einen Grenzabstand von 3 m einhalten. Zwar könne gemäss § 19 Abs. 2 des vorliegend anwendbaren, bis am 31. Dezember 2012 gültigen Planungs- und Baugesetzes des Kantons Thurgau vom 16. August 1995 (RB 700; im Folgenden: aPBG) von der Regelbauweise in einem Gestaltungsplan abgewichen werden. Solches sei im Gestaltungsplan Bottighofen-See aber nicht geschehen. Der Gebäudemindestabstand betrage gemäss Art. 3.1.4 BR die Summe der Grenzabstände, konkret somit 6 m. Die beiden Badehäuser lägen aber nur 5 m auseinander. Schliesslich habe die Vorinstanz ihren Entscheid bezüglich des Gebäudemindestabstands nicht hinreichend begründet und damit Art. 29 Abs. 2 BV verletzt.
6.2. Das Verwaltungsgericht führt zum Grenzabstand im Wesentlichen aus, gemäss § 17 Abs. 2 aPBG bestimmten Baulinien die Grenzen, bis zu denen Bauten und Anlagen erstellt werden dürfen. Die vorliegend zur Diskussion stehenden Mantelbaulinien würden einen engen Bereich begrenzen, in dem Ersatzbadehäuser erstellt werden könnten. Unter den gegebenen Umständen wäre es angesichts des Zwecks dieser Mantelbaulinien sinnwidrig, wenn innerhalb derselben zusätzlich die Grenzabstände gemäss der kommunalen Bauordnung zu beachten wären. Der fragliche Baubereich sei im Jahre 2001 ausgeschieden worden, das heisse zu einem Zeitpunkt, als die Parzelle Nr. 647 noch nicht aufgeteilt worden sei.
6.3. Nachdem das Verwaltungsgericht sich ausführlich mit der Frage des Grenzabstands auseinandergesetzt hat, kann ihm keine Verletzung der Begründungspflicht in Bezug auf die Frage des Gebäudemindestabstands vorgeworfen werden. Wie die Beschwerdeführerin selbst ausführt, entspricht der Gebäudemindestabstand schlicht der Summe der Grenzabstände. Die Begründung im angefochtenen Entscheid ist unter diesen Umständen ausreichend.
6.4. Der Beschwerdeführerin ist insoweit zuzustimmen, als der Gestaltungsplan Bottighofen-See in Bezug auf die Grenzabstände keine explizite Abweichung von der Regelbauweise vorsieht. Trotzdem erscheint die Auslegung des Verwaltungsgerichts vor dem Hintergrund des Zwecks des Gestaltungsplans nicht als willkürlich. Wie im angefochtenen Entscheid dargelegt, wurde der Gestaltungsplan in einem Zeitpunkt erlassen, als eine Parzellierung noch nicht zur Diskussion stand. Bezweckt wurde, innerhalb der Mantelbaulinien neben dem bestehenden den Bau dreier weiterer Badehäuser zuzulassen. Wie die Beschwerdeführerin selbst schreibt, hätten auf der betreffenden Fläche von ca. 450 m2 wohl problemlos drei Badehäuser Platz, auch wenn die Grenz- und Gebäudemindestabstände zur Anwendung kämen. Nach dem Ausgeführten sind jedoch vier Badehäuser zulässig. Der Bau des vierten auf Parzelle Nr. 647 mit einer gemäss Art. 6.1 SBV zulässigen Grundfläche von 30 m2erscheint kaum möglich, wenn die Abstandsvorschriften eingehalten werden müssten. Schliesslich ist zu beachten, dass selbst die vier im Gestaltungsplan (schematisch) eingezeichneten Badehäuser die Abstandsvorschriften nicht einhalten würden, wenn sie auf jeweils einer separaten Parzelle zu liegen kämen. Unter diesen Voraussetzungen ist unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden, wenn das Verwaltungsgericht davon ausging, innerhalb der Mantelbaulinien gälten die Grenz- und Gebäudemindestabstände nicht. Die Rüge der Verletzung von Art. 9 BV ist unbegründet.
6.5. Das Verwaltungsgericht wirft der Beschwerdeführerin zudem einen Verstoss gegen Treu und Glauben vor. Sie habe nach Erstellung des Fundaments im September 2008 ganze eineinhalb Jahre zugewartet, bevor sie die Grenzverletzung geltend gemacht habe. Wie es sich hiermit verhält, kann angesichts der obigen Ausführungen offen gelassen werden.
7.
7.1. Die Beschwerdeführerin rügt unter dem Titel "ungenügende Feststellung des zu beurteilenden Sachverhalts" eine weitere Verletzung des rechtlichen Gehörs sowie eine Missachtung der kantonalen Bestimmungen zum Feuerschutz.
7.2. Inwiefern der Sachverhalt in dieser Hinsicht im Sinne von Art. 97 BGG unrichtig festgestellt worden sein soll, geht aus der Beschwerde nicht hervor. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
7.3. Die behauptete Verletzung des rechtlichen Gehörs erkennt die Beschwerdeführerin darin, dass das Verwaltungsgericht sich nicht eingehender mit den feuerpolizeilichen Vorschriften befasst habe. Dazu ist festzuhalten, dass sich die Beschwerdeführerin erst mit ihrer Replik im vorinstanzlichen Verfahren überhaupt auf die Feuerschutzbestimmungen berief, dies lediglich zur Bekräftigung der von ihr angerufenen baurechtlichen Grenz- und Gebäudemindestabstandsvorschriften tat und sich weder mit den betreffenden Normen auseinandersetzte noch sie auch nur bezeichnete. Vor diesem Hintergrund ist dem Verwaltungsgericht keine Verletzung der Begründungspflicht vorzuwerfen, wenn es sich nicht mit den Feuerschutzbestimmungen befasste.
7.4. Die Beschwerdeführerin macht erstmals im bundesgerichtlichen Verfahren substanziiert geltend, die kantonalrechtlichen Brandschutzbestimmungen seien verletzt. Darauf ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2 S. 640; Urteil 1B_115/2013 vom 10. Oktober 2013 E. 3.4.3; je mit Hinweisen). Zudem führt sie keinen zulässigen Beschwerdegrund an (Art. 95 BGG). Weiter bringt sie zur Stützung ihres Vorbringens Tatsachen bezüglich der Bauart und Nutzung sowohl des Badehauses des Beschwerdegegners als auch ihres eigenen vor, welche ebenfalls neu und damit unzulässig sind (Art. 99 Abs. 1 BGG). Im Übrigen ist darauf hinzuweisen, dass bereits im Jahr 2007 eine rechtskräftige Baubewilligung erteilt wurde. Nach den insoweit unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz hat die vorliegend zu beurteilende Projektänderung an sich für die Beschwerdeführerin keinen erkennbaren Nachteil zur Folge, woraus geschlossen werden kann, dass sich die Situation auch in brandschutztechnischer Hinsicht nicht verändert hat.
8.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie hat dem anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Politischen Gemeinde Bottighofen, dem Departement für Bau und Umwelt und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold