Sachverhalt:
A. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt verurteilte X._ am 7. Mai 2008 wegen gewerbsmässigen Betrugs zu einer Freiheitsstrafe von 3 1⁄2 Jahren. Die vom Verurteilten gegen dieses Urteil erhobene Beschwerde in Strafsachen wies das Bundesgericht mit Entscheid vom 17. März 2009 ab (Verfahren 6B_807/2008).
B. Vor Festsetzung des Strafvollzugsantritts reichte X._ am 24. September 2009 dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt einen ärztlichen Bericht ein und beantragte, der Strafvollzug sei einzustellen. Mit Urteil vom 4. Januar 2010 entschied dieses, der Vollzug der mit Urteil vom 7. Mai 2008 gegen X._ ausgesprochenen Freiheitsstrafe werde nicht eingestellt.
X._ führte gegen diesen Entscheid beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen. Er machte unter anderem geltend, zwei der beim angefochtenen Entscheid mitwirkenden Richter seien zum Urteilszeitpunkt nicht mehr im Amt gewesen, sondern per Ende 2009 aus diesem ausgeschieden.
Das Bundesgericht hiess die Beschwerde in Strafsachen am 22. März 2010 gut (Verfahren 6B_113/2010), hob das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 4. Januar 2010 auf und wies die Sache zur neuen Entscheidung an dieses zurück.
C. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt entschied am 10. Mai 2010 in neuer Besetzung wiederum, dass der Vollzug der mit Urteil vom 7. Mai 2008 gegen X._ ausgesprochenen Freiheitsstrafe von 3 1⁄2 Jahren nicht eingestellt werde.
D. X._ führt beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben, und es sei die Aussetzung des Vollzugs gemäss <ref-law> anzuordnen. Eventualiter sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es seien ausserdem die aufschiebende Wirkung sowie die unentgeltliche Rechtspflege/Verbeiständung zu gewähren. Ferner seien keine Kosten zu erheben, und es sei ihm eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen.
E. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs sowie des Rechts auf ein faires Verfahren gemäss Art. 6 EMRK geltend. Die Ärzte Prof. Dr. med. A._, Prof. Dr. med. B._ und Dr. med. C._ des Instituts für Rechtsmedizin der Universität Basel (nachfolgend IRM) hätten ihn für die Abfassung ihres Gutachtens betreffend seine Hafterstehungsfähigkeit weder begutachtet noch gesehen. Ein Gutachter sei jedoch verpflichtet, die betroffene Person zu untersuchen. Das IRM habe nicht einmal seine Krankenunterlagen des Universitätsspitals Basel beigezogen. Dieses Vorgehen widerspreche den einfachsten Sorgfaltspflichten eines Arztes. Zu berücksichtigen sei ferner, dass die Rechtsmediziner des IRM im Gegensatz zu den Ärzten des Universitätsspitals hinsichtlich der vorliegenden Fragestellung gar nicht spezialisiert seien. Das Abstellen auf ein solches Gutachten sei willkürlich (Beschwerde, S. 5 f.).
1.2 Die Vorinstanz verneint eine Verletzung des rechtlichen Gehörs sowie des Rechts auf ein faires Verfahren. Dem Gutachter habe ein detaillierter Arztbericht der medizinischen Poliklinik des Universitätsspitals Basel mit eingehenden spezialärztlichen Detailabklärungen vorgelegen. Gewisse allgemeine körperliche Untersuchungen hätten wenig bis keine Relevanz besessen. Die nicht beigezogenen Krankenunterlagen des Universitätsspitals seien für die Beurteilung der Hafterstehungsfähigkeit nicht von Bedeutung, sondern der aktuelle Zustand des Beschwerdeführers sowie die möglichen künftigen gesundheitlichen Entwicklungen (angefochtenes Urteil, S. 5 f.).
1.3 Der Richter weicht praxisgemäss bei Gerichtsgutachten nicht ohne zwingenden Gründe von der Einschätzung des medizinischen Experten ab, dessen Aufgabe es ist, seine Fachkenntnisse der Gerichtsbarkeit zur Verfügung zu stellen, um einen bestimmten Sachverhalt medizinisch zu erfassen.
Erscheint dem Gericht die Schlüssigkeit einer gerichtlichen Expertise in wesentlichen Punkten zweifelhaft, hat es nötigenfalls zusätzliche Beweise zur Klärung dieser Zweifel zu erheben, beispielsweise ein Ergänzungsgutachten oder eine Oberexpertise einzuholen. Das Abstellen auf eine nicht schlüssige Expertise unter Verzicht auf die gebotenen zusätzlichen Beweiserhebungen kann willkürlich sein und gegen <ref-law> verstossen (<ref-ruling> E. 5.4.2; <ref-ruling> E. 4). Das trifft etwa zu, wenn der Experte die an ihn gestellten Fragen nicht beantwortet, wenn seine Schlussfolgerungen in sich widersprüchlich sind oder wenn die Expertise sonstwie an Mängeln krankt, die derart offensichtlich und auch ohne spezielles Fachwissen erkennbar sind, dass sie das kantonale Gericht nicht hätte übersehen dürfen (Urteil des Bundesgerichts 5P.369/1996 vom 13. Januar 1997 E. 3a).
1.4 Ob ein Gericht die in einem Gutachten enthaltenen Erörterungen für überzeugend hält oder nicht und ob es dementsprechend den Schlussfolgerungen des Gutachtens folgen oder ein Ergänzungsgutachten beziehungsweise eine Oberexpertise einholen soll, ist eine Frage der Beweiswürdigung, die mit Beschwerde in Strafsachen wegen Verletzung des Willkürverbots aufgeworfen werden kann. Dasselbe gilt für die Frage, ob ein Gutachten in sich schlüssig ist oder nicht. Eine entsprechende Kritik muss im bundesgerichtlichen Verfahren als Verletzung des Willkürverbots substantiiert dargelegt werden (Urteil des Bundesgerichts 6B_635/2009 vom 19. November 2009 E. 2.2 zu einem psychiatrischen Gutachten, mit Hinweisen).
1.5 Die Ausführungen der Vorinstanz sind nicht zu beanstanden. Zwar zählt grundsätzlich eine persönliche Untersuchung des zu Begutachtenden zu den Vorkehren, die zur Erfüllung der medizinischen Sorgfaltspflichten notwendig sind. Darauf weist der Beschwerdeführer zu Recht hin. Die Vorinstanz geht aber im vorliegenden Gutachten willkürfrei davon aus, dass die Gutachter des IRM im vorliegenden Fall auf eine solche verzichten durften, da diesen ein detaillierter (und im Übrigen auch sehr aktueller) Arztbericht der medizinischen Poliklinik des Universitätsspitals Basel mit eingehenden spezialärztlichen Detailabklärungen vorgelegen habe. Die Vorinstanz verfällt auch nicht in Willkür, wenn sie auf das IRM-Gutachten abstellte, obwohl dieses ohne Konsultation der vollständigen Krankengeschichte erstellt wurde. Wie sie zutreffend ausführt, spielen für die Beurteilung der Hafterstehungsfähigkeit der aktuelle Gesundheitszustand sowie die möglichen künftigen Entwicklungen eine massgebliche Rolle. Beides lässt sich dem beigezogenen Arztbericht des Universitätsspitals Basel entnehmen, weshalb sich eine Berücksichtigung der vollständigen Krankengeschichte nicht aufdrängt. Verletzungen des Anspruchs auf rechtliches Gehör sowie des Rechts auf ein faires Verfahren liegen daher nicht vor.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe mit ihren Ausführungen bezüglich seiner Hafterstehungsfähigkeit <ref-law> (Menschenwürde), <ref-law> (Recht auf körperliche und geistige Unversehrtheit) sowie Art. 10 IPBR (Würde des Menschen im Strafvollzug) verletzt. Ferner sehe <ref-law> vor, dass der Strafvollzug ausgesetzt werden könne, wenn wichtige Gründe vorlägen. Solche wichtigen Gründe seien durch die genannten Verfassungsbestimmungen erfüllt.
Der Beschwerdeführer führt aus, dass es sein Gesundheitszustand nicht erlaube, die gegen ihn ausgesprochene Freiheitsstrafe von 3 1⁄2 Jahren anzutreten. Er verweist hierzu auf einen Bericht von Dr. med. D._, Oberarzt der medizinischen Poliklinik des Universitätsspitals Basel, vom 1. Dezember 2009, wonach - entgegen den Schlussfolgerungen im Gutachten des IRM - seine adäquate Betreuung in einer Haftanstalt nicht gewährleistet sei. Gemäss dem genannten ärztlichen Bericht sei davon auszugehen, dass sich die bereits eingeschränkte Lebenserwartung des Patienten in einer solchen Situation drastisch verkürzen würde (Beschwerdebeilage 5, S. 2).
Bereits bei einer banalen viralen Infektion bestehe ein erhöhtes Risiko für eine lebensbedrohliche Situation. Die Belegschaft eines Gefängnisses sei nicht in der Lage, umgehend zu reagieren. Die Vorinstanz äussere sich denn auch nicht dazu, wie in einer nächtlichen Notfallsituation vorgegangen werden sollte. Es entspreche weder den Vorgaben noch den organisatorischen Möglichkeiten eines Gefängnisses, dass er in einer Notfallsituation rund um die Uhr ins Universitätsspital verbracht werden könne. Zudem sei seine tägliche mehrstündige Pflegebedürftigkeit zu berücksichtigen, die in einer Medikamentenabgabe, Insulinverabreichung, Hautpflege und Mobilisation bestehe. Von ihm selbst könne diese Pflege entgegen der vorinstanzlichen Auffassung nur teilweise durchgeführt werden. Die Vorinstanz setze sich mit ihrer Argumentation, die als Privatmeinung medizinischer Laien aufzufassen und daher willkürlich sei, in Widerspruch zu den Ausführungen von Dr. med. D._ (Beschwerde, S. 4).
Willkürlich seien auch die Ausführungen im angefochtenen Urteil, wonach der Strafempfindlichkeit durch den Strafvollzug wirksam in einer geeigneten Institution begegnet werden könne. Zu erwarten sei vielmehr, dass er die ausgefällte Freiheitsstrafe in einem Gefängnis absolvieren müsse (Beschwerde, S. 5).
2.2 Die Vorinstanz erwägt, dass eine Verschiebung des Strafvollzugs auf unbestimmte Zeit nur in Frage komme, wenn mit hoher Wahrscheinlichkeit damit zu rechnen sei, dass der Strafvollzug das Leben oder die Gesundheit des Verurteilten gefährden würde, wobei auch diesfalls eine Abwägung mit dem öffentlichen Interesse am Vollzug rechtskräftiger Strafen vorzunehmen sei. Die Gesundheit des Beschwerdeführers sei schon wiederholt und seit Jahren ein Thema gewesen. Das IRM-Gutachten vom 29. Oktober 2009 halte mit Bezug auf den Arztbericht des Universitätsspitals Basel vom 21. September 2009 fest, dass der Beschwerdeführer neben geheilten Tumorerkrankungen am Enddarm und der Haut an mehreren, vorwiegend chronischen respektive degenerativen Erkrankungen (unter anderem Blutzuckererkrankung, Niereninsuffizienz, Herzerkrankung mit Rhythmusstörungen, Leberzirrhose, Erkrankung der Hüftgelenke sowie Bandscheibenvorfällen) leide. Soweit diese Erkrankungen überhaupt einer Therapie bedürften, erfolge diese medikamentös. Eine kontinuierliche Überwachung der Nieren- und Herzkreislauffunktionen sowie eine tägliche Blutzuckerkontrolle und Insulinabgabe seien erforderlich, könnten jedoch ambulant vorgenommen werden. Es sei derzeit keine medizinische Versorgung erforderlich, die nicht im Strafvollzug erfolgen könne. Anhaltspunkte für eine Gesundheitsverschlechterung oder Lebensgefährdung bei Vollstreckung der Freiheitsstrafe bestünden nicht. Ebensowenig lägen medizinische Gründe für die Annahme einer aktuell eingeschränkten oder aufgehobenen Hafterstehungsfähigkeit vor.
Der Argumentation eines möglichen lebensbedrohlichen Infektes im Bericht von Dr. med. D._ sei zwar zuzustimmen, doch könne ein solcher auch ausserhalb des Strafvollzugs auftreten. Im Strafvollzug bestehe kein erhöhtes oder vermindertes Risiko, zumal ohne weiteres gewährleistet werden könne, dass der Beschwerdeführer bei Bedarf innert kürzester Zeit in ein universitäres Spital verlegt werde. Da die kontinuierliche Überwachung der Nieren- und Herzkreislauffunktionen und die tägliche Blutzuckerkontrolle sowie die Insulinabgabe ambulant durchführbar seien und die Hautpflege vom Beschwerdeführer selber vorgenommen werden könne, hätten Pflege und Heilung im Rahmen eines gegebenenfalls modifizierten Strafvollzugs zu erfolgen (angefochtenes Urteil, S. 6 f.).
2.3 Die Vorinstanz weist bezüglich der Abwägung zwischen dem öffentlichen Interesse am Vollzug der ausgefällten Freiheitsstrafe einerseits und dem Gesundheitszustand des Beschwerdeführers andererseits darauf hin, dass dieser wegen schwerer Vermögensdelinquenz mit einem Deliktswert von Fr. 3,6 Mio. verurteilt worden sei. Mit seinem professionellen Vorgehen habe er zahlreiche Kleinsparer um ihr Vermögen gebracht, seine Schwester für seine Zwecke instrumentalisiert, bis zum Schluss keine Reue gezeigt und sich zunächst dem Verfahren und jetzt dem Strafvollzug zu entziehen versucht (angefochtenes Urteil, S. 7).
2.4 Nach <ref-law> darf der Vollzug von Strafen und Massnahmen aus wichtigen Gründen unterbrochen werden. Die Bestimmung stimmt mit Art. 40 Abs. 1 aStGB überein, so dass die bisherige Rechtsprechung weiter massgeblich bleibt. Hinsichtlich der "wichtigen Gründe" stehen solche medizinischer Art, die in der Person des Verurteilten liegen, im Vordergrund (zu anderen denkbaren "wichtigen Gründen": YASMINA BENDANI, in: Commentaire Romand, Code pénal I, 2009, Art. 92 N 20 ff.; ANDREA BAECHTOLD, Basler Kommentar, Strafrecht I, 2. Aufl. 2007, Art. 92 N. 15 f.).
Das Bundesgericht hat wiederholt festgehalten, dass von der Möglichkeit des Strafaufschubes auf unbestimmte Zeit nur mit grösster Zurückhaltung Gebrauch gemacht werden dürfe, zumal Behandlung und Heilung eines Gefangenen im Rahmen des Strafvollzugs sichergestellt werden müssen, bei Bedarf im Rahmen einer abweichenden Vollzugsform gemäss <ref-law>. Eine Ausnahme dieser Regel ist nur dort geboten, wo die Erkrankung derart ist, dass eine vollständige Straferstehungsunfähigkeit von unabsehbarer oder mindestens langer Dauer vorliegt und das öffentliche Interesse am Strafvollzug gänzlich der Notwendigkeit von Pflege und Heilung weichen muss (Urteil des Bundesgerichts 6B_249/2009 vom 26. Mai 2009 E. 2.1; <ref-ruling> E. 7).
Das Bundesgericht hat wiederholt festgehalten, dass von der Möglichkeit des Strafaufschubes auf unbestimmte Zeit nur mit grösster Zurückhaltung Gebrauch gemacht werden dürfe, zumal Behandlung und Heilung eines Gefangenen im Rahmen des Strafvollzugs sichergestellt werden müssen, bei Bedarf im Rahmen einer abweichenden Vollzugsform gemäss <ref-law>. Eine Ausnahme dieser Regel ist nur dort geboten, wo die Erkrankung derart ist, dass eine vollständige Straferstehungsunfähigkeit von unabsehbarer oder mindestens langer Dauer vorliegt und das öffentliche Interesse am Strafvollzug gänzlich der Notwendigkeit von Pflege und Heilung weichen muss (Urteil des Bundesgerichts 6B_249/2009 vom 26. Mai 2009 E. 2.1; <ref-ruling> E. 7).
2.5 2.5.1 Das öffentliche Interesse am Vollzug rechtskräftiger Strafen und der Gleichheitssatz schränken den Ermessensspielraum der Vollzugsbehörde erheblich ein. Der Strafvollzug bedeutet für den Betroffenen immer ein Übel, das vom einen besser, vom andern weniger gut ertragen wird. Die Vollstreckung einer Freiheitsstrafe lässt sich mit dem Recht der persönlichen Freiheit (<ref-law>), das unter anderem die körperliche Integrität schützt, sowie mit dem Verhältnismässigkeitsprinzip nur dann nicht vereinbaren, wenn dies mit Sicherheit oder mit grösster Wahrscheinlichkeit den Tod oder eine dauernde, schwere Krankheit zur Folge hätte (Urteil 1P.65/2004 vom 17. Mai 2004 E. 5.2.1). Wo jedoch neben einer zweckentsprechenden therapeutischen Behandlung auch die Möglichkeit und Gewähr für einen den Umständen angemessenen Vollzug der Strafe besteht, hat ein Aufschub ihres Vollzugs zu unterbleiben (Urteil des Bundesgerichts 6B_249/2009 vom 26. Mai 2009 E. 2.1; <ref-ruling> E. 7).
2.5.2 Selbst wenn mit beträchtlicher Wahrscheinlichkeit damit zu rechnen ist, dass der Strafvollzug das Leben oder die Gesundheit des Verurteilten gefährden würde, ist - worauf die Vorinstanz zu Recht hinweist - eine Interessenabwägung vorzunehmen. Dabei sind neben den medizinischen Gesichtspunkten die Art und Schwere der begangenen Straftat sowie die Dauer der Strafe mitzuberücksichtigen. Je schwerer Tat und Strafe, umso schwerer fällt - im Vergleich zur Gefahr des Verlustes der körperlichen Integrität - der staatliche Strafanspruch ins Gewicht (Urteil 1P.65/2004 vom 17. Mai 2004 E. 5.2.1).
2.5.3 Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, dass mit beträchtlicher Wahrscheinlichkeit damit zu rechnen wäre, der Strafvollzug würde sein Leben oder seine Gesundheit gefährden. Das IRM-Gutachten verneint ebenfalls Anhaltspunkte, wonach durch die Vollstreckung einer Freiheitsstrafe eine Gesundheitsverschlechterung oder Lebensgefährdung zu befürchten wären. Dies geht auch aus dem vom Beschwerdeführer beigebrachten Schreiben von Dr. med. D._ letztlich nicht hervor. Dieser führt unter anderem aus, der Patient sollte aufgrund der komplexen medizinischen Erkrankungen und möglicher lebensbedrohlicher Komplikationen innert kürzester Zeit in ein universitäres Spital verlegt und dort behandelt werden können (Beschwerdebeilage 5, S. 1). Wird daher im Rahmen des Strafvollzugs eine rasche medizinische Interventionsmöglichkeit in einem Universitätsspital sichergestellt, ist eine Lebens- bzw. Gesundheitsgefährdung des Beschwerdeführers zu verneinen. Die Vorinstanz hält hierzu fest, dass dies "ohne weiteres" gewährleistet werden könne (angefochtenes Urteil, S. 6). Der Beschwerdeführer begründet denn auch nicht, weshalb und inwiefern dies nicht der Fall wäre.
2.5.4 Die übrigen, als appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Urteil einzustufenden Vorbringen des Beschwerdeführers führen zu keinem anderen Ergebnis. Hierauf ist nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer vermag insgesamt keine Verletzung der von ihm angerufenen Verfassungsrechten der Menschenwürde sowie dem Recht auf körperliche und geistige Unversehrtheit darzutun. Ein wichtiger Grund, der nach <ref-law> zu einem Aufschub der Vollstreckung des Strafvollzugs führen würde, liegt nicht vor.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens (<ref-law>).
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war. Seiner finanziellen Lage ist mit herabgesetzten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).
Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Keller