Sachverhalt:
A.
Die deutsche Staatsangehörige E._, geboren 1959, war als Grenzgängerin vom 1. September 2001 bis 28. Februar 2010 an der Heilpädagogischen Sonderschule Q._ als Logopädin angestellt. Bereits am 26. Mai 2008 hatte sie sich bei der Schweizerischen Invalidenversicherung unter Hinweis auf eine seit Ende Februar 2008 bestehende Teilarbeitsunfähigkeit wegen Fibromyalgie zur Früherfassung angemeldet. Nach einem Erstgespräch vom 23. Juni 2008 teilte die IV-Stelle des Kantons Aargau E._ am 30. Juni 2008 mit, sie sei am bisherigen Arbeitsplatz optimal eingegliedert.
Am 29. Oktober 2008 meldete sich E._ wegen chronischer Schmerzen zum Leistungsbezug (berufliche Integration/ Rente) bei der IV-Stelle an, welche erwerbliche und medizinische Abklärungen durchführte. Insbesondere holte sie einen Bericht des Dr. med. R._, Arzt für Allgemeinmedizin, Deutschland, vom 12. Dezember 2008, ein. Zwischen 14. April und 9. Mai 2009 unterzog sich E._ einer klinisch-stationären Akutbehandlung im interdisziplinären Schmerzzentrum der Fachklinik X._/DE. Am 18. Mai 2009 stellte sie einen Rentenantrag bei der Deutschen Rentenversicherung Bund und am 9. Juli 2009 unterzog sie sich einem operativen Eingriff an der linken Schulter (Bericht des Krankenhauses Y._/DE, vom 14. Juli 2009). Mit Verfügung vom 30. Juli 2009 schloss die IV-Stelle die beruflichen Massnahmen ab. Sie liess E._ einen Fragebogen betreffend Erwerbstätigkeit/ Haushalt vom 10./13. August 2009 ausfüllen und holte weitere Akten ein, insbesondere Unterlagen der Deutschen Rentenversicherung Bund, bei denen sich ein "neurologisch-psychiatrisches Gebietsgutachten" des Dr. med. B._, Facharzt für Neurologie und Psychiatrie, Deutschland, vom 23. Juni 2009 befand. Ebenfalls zog die IV-Stelle Berichte der Krankenversicherung bei. In der Folge beauftragte sie das ärztliche Abklärungsinstitut A._ mit einem Gutachten vom 2. Dezember 2010 und liess am 6. Juni 2011 eine Abklärung im Haushalt durchführen. Nachdem der Regionale Ärztliche Dienst (Dr. med. G._) am 20. Juni 2011 Stellung genommen hatte, stellte sie mit Vorbescheid vom 21. Juli 2011 die Ablehnung des Leistungsbegehrens in Aussicht. E._ erhob hiegegen Einwände. Die RAD-Ärztin nahm am 12. September 2011 erneut Stellung. Mit Verfügung vom 29. September 2011 lehnte die IV-Stelle für Versicherte im Ausland gestützt auf die Feststellungen der IV-Stelle des Kantons Aargau das Leistungsbegehren ab.
B.
Die hiegegen von E._ erhobene Beschwerde hiess das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 20. Februar 2013 gut, hob die angefochtene Verfügung auf und wies die Sache an die IV-Stelle für Versicherte im Ausland zurück, damit sie den Invaliditätsgrad nach der gemischten Methode berechne und anschliessend über den Rentenanspruch neu verfüge.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die IV-Stelle für Versicherte im Ausland beantragen, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Verfügung vom 29. September 2011 sei zu bestätigen.
Vorinstanz und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. E._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. In prozessualer Hinsicht ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide sind nur zulässig, wenn sie die Zuständigkeit oder den Ausstand betreffen (<ref-law>), einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Rückweisungsentscheide, mit denen eine Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, sind Zwischenentscheide, die nur unter den genannten Voraussetzungen beim Bundesgericht angefochten werden können (BGG 133 V 477 E. 4.2 S. 481). Anders verhält es sich nur dann, wenn der unteren Instanz, an welche zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung nur noch der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (<ref-ruling> E. 1.1 S. 143; <ref-ruling> E. 1.3 S. 127).
2.2. Der angefochtene Entscheid verpflichtet die IV-Stelle, abweichend von ihrer Verfügung vom 29. September 2011, den Rentenanspruch der Versicherten nach der gemischten Methode neu zu berechnen und anschliessend zu verfügen. Weil die IV-Stelle damit entgegen ihrer Verfügung die gesundheitliche Störung der Versicherten als unüberwindbar anzusehen hätte und ihr insoweit kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt, erwächst ihr ein nicht wieder gutzumachender Nachteil. Auf die Beschwerde ist einzutreten (<ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> sowie SEILER, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts in: SCHAFFHAUSER/SCHLAURI, Sozialversicherungsrechtstagung 2008, S. 44).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz bundesrechtskonform entschied, der Versicherten sei die Willensanstrengung zur Überwindung der bei ihr diagnostizierten Schmerzstörung nicht zumutbar. Soweit die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es um eine Rechtsfrage; dazu gehören auch Folgerungen, die sich auf die medizinische Empirie stützen, namentlich die Vermutung, dass eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung oder ein sonstiger vergleichbarer pathogenetisch (ätiologisch) unklarer syndromaler Zustand mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 65 f.). Die von der Beschwerdeführerin aufgeworfene Frage kann somit im vorliegenden Verfahren frei beurteilt werden.
4.
4.1. Bei somatoformen Schmerzstörungen ist die Unzumutbarkeit der Schmerzüberwindung und eines Wiedereinstiegs in den Arbeitsprozess nur in Ausnahmefällen anzunehmen. Die Vorinstanz hat die Kriterien für einen solchen Ausnahmefall (<ref-ruling>, 136 V 279, 131 V 49, 130 V 352) richtig ausgeführt und korrekt dargelegt, dass die bei der Beschwerdegegnerin diagnostizierte rezidivierende depressive Episode keine mitwirkende, psychisch ausgewiesene Komorbidität von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer ist, die ausnahmsweise auf eine Unzumutbarkeit der Schmerzüberwindung schliessen lässt. Sie hat aber die Voraussetzungen für eine unzumutbare Willensanstrengung bejaht, weil der Krankheitsverlauf - trotz Wiederherstellung der sozialen Integration mit einem neuen Partner und Reduktion bzw. letztlich Aufgabe der Arbeitstätigkeit - insofern einen ungünstigen Verlauf genommen habe, als sich die somatoforme Schmerzstörung losgelöst von der rezidivierenden depressiven Störung chronifiziert zu haben scheine. Zwei stationäre Aufenthalte in Spezialkliniken seien ebenso wirkungslos geblieben wie zahlreiche ambulante Behandlungsversuche. In den medizinischen Gutachten werde der Versicherten "eine im Wesentlichen ungünstige Prognose gestellt", weshalb davon ausgegangen werden müsse, dass sie trotz kooperativer Haltung nicht über die für den Umgang mit den Schmerzen notwendigen Ressourcen verfüge. Aus diesem Grund sei die Versicherte in einer adaptierten Verweistätigkeit zu 50 % arbeitsfähig, während in der angestammten Tätigkeit eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bestehe.
4.2. Die Beschwerde führende IV-Stelle rügt sinngemäss, die Ausführungen der Gutachter des ärztlichen Abklärungsinstituts A._, wonach die Arbeitsfähigkeit der Versicherten durch die in der Expertise vorgeschlagenen medizinischen Massnahmen eventuell verbessert werden könne, liessen nicht auf eine im Wesentlichen ungünstige Prognose schliessen. Die Vorinstanz habe daher zu Unrecht die ausnahmsweise Unüberwindbarkeit der Schmerzstörung bejaht. Die sogenannten Förster-Kriterien seien nur teilweise erfüllt, die Vermutung der Überwindbarkeit der Schmerzstörung könne jedenfalls nicht als umgestossen betrachtet werden. Auch die Gutachter hätten das Vorhandensein von Ressourcen bejaht, weshalb - zumal eine zumutbare Willensanstrengung zur Schmerzüberwindung nur insgesamt bejaht oder verneint werden könne - die Schmerzen aus rechtlicher Sicht vollständig überwindbar seien und kein Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit resultiere.
4.3. Die Beschwerdegegnerin lässt ausführen, sie leide zusätzlich an erheblichen Allergien mit Auswirkungen auf den Alltag. Die Situation habe sich trotz Entlastung der sozialen Situation weiter verschlechtert, was zeige, dass sozialen Faktoren für den Verlauf keine entscheidende Bedeutung zukomme. Sämtliche medizinischen Akten, denen die Vorinstanz zu Recht Beweiswert zuerkannt habe, enthielten eine schlechte Prognose und wiesen auf die Progredienz des Krankheitsverlaufs hin. Die Beschwerdeführerin vermöge keine beweiskräftigen ärztlichen Einschätzungen vorzulegen, die einen anderen Schluss zulassen würden.
5.
5.1. Der das rheumatologische Teilgutachten verfassende Dr. med. W._, FMH Rheumatologie, des ärztlichen Abklärungsinstituts A._, stellte keine Diagnose mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit. Bei fehlenden relevanten pathoanatomischen Befunden am Bewegungsapparat sei die Beschwerdegegnerin in ihrer angestammten Tätigkeit als Sozialpädagogin oder Logopädin sowie in jeder anderen, mehrheitlich intellektuell auszuübenden leichten bis selten mittelschweren wechselbelastenden beruflichen Tätigkeit normal arbeits- und leistungsfähig, unter der Voraussetzung, dass sie nicht repetitiv Lasten über 10 kg anheben oder tragen und insbesondere keine repetitive Überkopfbewegung durchführen müsse. Nach Auffassung der Gutachter des ärztlichen Abklärungsinstituts A._ resultierte aber aus psychischen Gründen eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Dr. med. R._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, hielt als Diagnosen mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) sowie eine rezidivierende depressive Störung, im Begutachtungszeitpunkt mittelgradige depressive Episode (ICD-10 F33.1), fest und erachtete die Versicherte im Teilgutachten vom 13. September 2010 wegen deutlicher psychopathologischer Funktionsstörungen auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt nur zu 50 % einsetzbar. Aus polydisziplinärer Sicht übernahmen die Gutachter in ihrer Gesamtbeurteilung diese Einschätzungen und attestierten in einer körperlich leichten, psychisch wenig stressbelastenden Tätigkeit eine Arbeitsfähigkeit von 50 %.
5.2. Fehlt, wie hier, eine relevante psychische Komorbidität (vorangehende E. 4.1), ist das im Vordergrund stehende Kriterium, welches den Schluss auf fehlende Überwindbarkeit der Schmerzstörung gestatten könnte, nicht erfüllt. Die zusätzlichen Kriterien müssten demnach besonders ausgeprägt gegeben sein, damit die Schmerzstörung dennoch ausnahmsweise als unüberwindbar zu betrachten wäre (Urteil 8C_337/2012 vom 5. April 2013 E. 5.2). Es ist unbestritten, dass die Beschwerdegegnerin nicht an einem chronischen organischen Gesundheitsschaden mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit leidet (E. 5.1 hievor); ein sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens steht ebenfalls nicht in Frage. Entgegen den vorinstanzlichen Erwägungen lässt sich dem Gutachten des ärztlichen Abklärungsinstituts A._ aber auch keine ungünstige Prognose entnehmen. Die Experten führten vielmehr aus, die Fortsetzung der ambulanten psychiatrischen Behandlung werde empfohlen. Es lasse sich nicht voraussagen, ob eine Verbesserung der Arbeitsfähigkeit möglich sei. Soweit das kantonale Gericht eine "in den medizinischen Gutachten" gestellte ungünstige Prognose als entscheidender Grund für die fehlende Überwindbarkeit der Schmerzstörung erachtete, findet dies in der polydisziplinären Gesamtbeurteilung der Experten des ärztlichen Abklärungsinstituts A._ somit keine Stütze (auf weitere ärztliche Einschätzungen wird in nachfolgender E. 5.3 eingegangen). Damit verbleibt im Wesentlichen das Kriterium eines mehrjährigen, chronifizierten Krankheitsverlaufs mit unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerdauernde Rückbildung. Es ist unbestritten, dass die Versicherte vielfältige ambulante und stationäre Therapiemöglichkeiten in Anspruch nahm und sich kooperativ verhielt, ohne dass in den medizinischen Akten eine (signifikante) gesundheitliche Verbesserung vermerkt wäre. Selbst wenn darin ein mehrjähriger stationärer oder sogar progredienter Verlauf zu sehen wäre, könnte dieses Kriterium aber nicht als derart intensiv erfüllt und ausgeprägt gelten, dass es die Vermutung der Überwindbarkeit einer somatoformen Schmerzstörung umzustossen vermöchte. Vor diesem Hintergrund ist der Beschwerdeführerin darin beizupflichten, dass die nach der Rechtsprechung erforderlichen Kriterien im massgeblichen Zeitpunkt des Verfügungserlasses nicht in genügender Weise erfüllt waren, um die Schmerzstörung als unüberwindbar anzusehen. Soweit das kantonale Gericht die Arbeitsfähigkeit auf 50 % bezifferte, setzte es die Voraussetzungen, unter denen ein Abweichen vom Grundsatz der Überwindbarkeit einer somatoformen Schmerzstörung gerechtfertigt ist, nicht korrekt um (vgl. Urteil 9C_709/2009 vom 14. Dezember 2009 E. 4.1.4).
5.3. Dass Dr. med. R._ unter Hinweis auf die Kombination von rezidivierender depressiver Störung und somatoformer Schmerzstörung eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit attestierte - und RAD-Ärztin Dr. med. G._ (selber nicht Fachärztin für Psychiatrie) dies nach "interner" Beratung mit einem nicht namentlich genannten Facharzt für Psychiatrie am 12. September 2011 bestätigte -, ändert nichts. Zwar ist es Aufgabe der Gutachter, mit den zur Verfügung stehenden diagnostischen Möglichkeiten fachkundiger Exploration der Verwaltung (und im Streitfall dem Gericht) aufzuzeigen, ob und inwiefern die versicherte Person über psychische Ressourcen verfügt, die es ihr erlauben, mit ihren Schmerzen umzugehen (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 355 sowie das Urteil 9C_527/2012 vom 27. Februar 2013 E. 5.2). Der Entscheid, ob ein bestimmter Gesundheitszustand invalidisierend im Sinne der Rechtsprechung ist, obliegt aber allein den rechtsanwendenden Behörden (Urteil 9C_942/2011 vom 6. Juli 2012 E. 5.3.2). Nichts zu ihren Gunsten abzuleiten vermag die Beschwerdegegnerin auch aus den übrigen medizinischen Beurteilungen. So kann nicht auf das rudimentär begründete Kurzattest des Dr. med. F._, Facharzt Psychiatrie und Psychotherapie, Deutschland, vom 19. Mai 2011 abgestellt werden und insbesondere auch nicht auf das vom deutschen Rentenversicherungsbund in Auftrag gegebene "neurologisch-psychiatrische Gebietsgutachten" des Dr. med. B._ vom 23. Juni 2009 (der eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung [ICD-10 F45.40], Migräne ohne Aura [ICD-10 G43.0] sowie eine depressive Episode [ICD-10 F32.1] diagnostiziert hatte). Dessen Ausführungen, die auf die Anspruchsberechtigung in der deutschen Gesetzlichen Rentenversicherung ausgerichtet sind, erfüllen die Anforderungen an eine (voll) beweiskräftige medizinische Expertise insoweit nicht, als daraus zum einen nicht hervorgeht, ob die Versicherte im Rahmen der als zumutbar erachteten Belastung von "unter drei Stunden" (was nach deutschem Recht einer "vollen Erwerbsminderung" entspricht; vgl. § 43 Abs. 2 des Sechsten Buchs des deutschen Sozialgesetzbuchs [SGB VI]) eine vollständige oder lediglich eine reduzierte Leistung erbringen kann und zum andern nicht erkennbar ist, auf welchen Akten sich Dr. med. B._ abstützte.
5.4. Damit hält der angefochtene Entscheid vor Bundesrecht nicht stand und ist aufzuheben.
6.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; <ref-law>) kann stattgegeben werden (<ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird indes ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 20. Februar 2013 wird aufgehoben.
2.
Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gewährt und Advokatin Raffaella Biaggi wird als unentgeltliche Anwältin bestellt. Es wird ihr aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.- ausgerichtet.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens und zum Entscheid über das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, der Schweizerischen Ausgleichskasse SAK und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Oktober 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Bollinger Hammerle