Faits :
A.
Par jugement du 29 janvier 2014, le Tribunal pénal de l'arrondissement de la Veveyse a reconnu X._ coupable de viol, tentative de contrainte sexuelle, tentative de contrainte, menace et voies de fait. Il l'a condamné à une peine privative de liberté de trois ans, sans sursis, sous déduction de la détention provisoire subie le 3 janvier 2011 et dès le 14 octobre 2013, ainsi qu'à une amende de 300 fr., peine complémentaire à celle prononcée le 16 novembre 2011 par le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne et confirmée par arrêt du 21 mai 2012 de la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois. Un traitement psychothérapeutique ambulatoire a été ordonné en vertu de l'<ref-law>. Les conclusions civiles de A._ ont été partiellement admises et X._ a été condamné à lui payer 20'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral, 11'400 fr. 65 à titre de remboursement des frais médicaux consécutifs aux infractions subies, ainsi que 17'575 fr. 55 à titre d'honoraires de sa mandataire et de frais de vacation.
B.
Par arrêt du 17 septembre 2014, la Cour d'appel pénal du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a admis l'appel formé par X._. Partant, elle l'a acquitté des chefs d'accusation de viol, tentative de contrainte sexuelle, tentative de contrainte, menace et voies de fait. Elle a rejeté les conclusions civiles de A._ et renoncé à lui allouer une indemnité au sens de l'<ref-law> pour les dépenses obligatoires occasionnées par la procédure.
C.
Contre ce dernier arrêt, le Ministère public de l'Etat de Fribourg dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.

Considérant en droit :
1.
Le recourant s'en prend à l'établissement des faits, qu'il qualifie de manifestement inexacts sur plusieurs points.
1.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins que celles-ci n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir de façon arbitraire (art. 9 Cst.; cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266). Pour qu'il y ait arbitraire, il ne suffit pas que la décision attaquée apparaisse discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation, mais aussi dans son résultat (sur la notion d'arbitraire, cf. <ref-ruling> consid. 6.1 p. 205; <ref-ruling> consid. 10.1 p. 445; <ref-ruling> consid. 4.2.3 p. 5).
Le grief d'arbitraire doit être invoqué et motivé de manière précise (<ref-law>). Le recourant doit exposer, de manière détaillée et pièces à l'appui, que les faits retenus l'ont été d'une manière absolument inadmissible, et non seulement discutable ou critiquable. Il ne saurait se borner à plaider à nouveau sa cause, contester les faits retenus ou rediscuter la manière dont ils ont été établis comme s'il s'adressait à une juridiction d'appel (<ref-ruling>). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 10.1 p. 445).
1.2. Le recourant s'en prend d'abord aux événements du 28 décembre 2010 (viol).
Dans sa plainte du 3 janvier 2011, la partie plaignante a accusé l'intimé de l'avoir violée le mardi 28 décembre 2010. Ce soir-là, elle était allée boire un verre avec une amie dans un bar à Vevey. Elle avait demandé à son compagnon de venir les rejoindre après son travail, ce qu'il avait fait. En rentrant à leur domicile, la partie plaignante lui avait reproché de l'avoir ignorée durant la soirée, de n'avoir parlé qu'avec son amie, ce qui l'avait rendue mal à l'aise. Alors qu'ils étaient dans le salon, l'intimé a essayé de porter sa compagne mais l'a laissé tomber; il s'est excusé et ils sont allés dans son lit. Il s'est alors jeté sur elle. Elle a essayé de se débattre, elle a crié et lui a demandé d'arrêter. Il l'a néanmoins pénétrée.
La cour cantonale a conservé un doute important quant à la réalité de ce viol. Elle a relevé que les versions des protagonistes étaient totalement divergentes. Elle a également noté que les déclarations de la partie plaignante avaient varié au fil des trois auditions; la cour ignorait notamment si le prévenu avait porté la partie plaignante, puis l'avait laissé tomber, s'il l'avait tirée ou encore s'il l'avait poussée en arrière; elle ne savait pas non plus si les protagonistes étaient ou non déjà déshabillés au moment des faits. En outre, la cour cantonale a souligné que le comportement de la partie plaignante était en contradiction avec le traumatisme qu'elle disait avoir vécu. Enfin, elle a constaté que la radiographie de la colonne lombaire effectuée le 3 janvier 2011 n'avait pas montré de signe de fracture ni de lésion squelettique ostéocondensante, de sorte que des doutes subsistaient au sujet de l'aggravation de ses douleurs qui étaient déjà invalidantes avant le 28 décembre 2010.
Pour le recourant, les contradictions relevées par la cour cantonale portent sur des éléments mineurs. Elles révéleraient au contraire l'honnêteté de la partie plaignante. A ses yeux, il ne fait pas de doute que l'intimé a violé la partie plaignante sur son lit en étant sur elle et en l'entravant. C'est dès lors de manière arbitraire que la cour cantonale aurait considéré qu'il n'était pas possible d'établir les faits de manière suffisante (chiffre 1.1. du mémoire de recours). Par sa motivation, le recourant se borne à affirmer l'existence d'un viol, sans établir en quoi le raisonnement de la cour cantonale serait arbitraire. Dans son arrêt, la cour cantonale a expliqué qu'elle ne pouvait pas se faire une idée suffisamment claire sur le déroulement des faits durant cette soirée du 28 décembre 2010, compte tenu des versions totalement contradictoires des protagonistes; en outre, elle ne pouvait suivre sans autre les déclarations de la partie plaignante, qui comportaient des contradictions. De la sorte, la cour cantonale a motivé sa position, de manière convaincante; elle n'a donc pas versé dans l'arbitraire. Dans la mesure de sa recevabilité, le grief soulevé doit être rejeté.
Au chiffre 2 de son mémoire, le recourant soutient qu'il est faux et choquant d'affirmer que le comportement ultérieur de la partie plaignante est contradictoire avec un traumatisme consécutif à un viol; se fondant sur des résultats de recherches sur la dynamique de la violence dans les relations de couple, résultats qui seraient notoires, il fait valoir que son comportement serait au contraire typique de celui d'une victime de violence au sein d'un couple. Par " faits notoires ", on entend les faits de notoriété publique, à savoir ceux qui sont connus de tous sans être particuliers à la cause et qui sont susceptibles d'être contrôlés par des publications accessibles à chacun (<ref-ruling> consid. 4.1. p. 89). En l'espèce, les résultats de recherches invoqués par le recourant ne sauraient être qualifiés de " faits notoires ". Il s'agit d'une feuille d'information publiée par le Bureau fédéral de l'égalité entre femmes et hommes qui expose, avec des variantes, le cycle des violences au sein du couple et qui présente différentes catégories de victimes et d'auteurs types. Le recourant se borne à se référer à ces considérations psychologiques, sans les exposer et sans les appliquer concrètement au cas particulier. Il affirme que le comportement de l'intimé est celui de l'auteur type, mais ne spécifie même pas dans quelle catégorie il tomberait. De caractère appellatoire, cette argumentation est irrecevable.
Sous chiffre 3 de son mémoire de recours, le recourant fait valoir que la cour cantonale ne pouvait pas se fonder sur la radiographie précitée pour douter des aggravations des maux de dos de la partie plaignante, mais devait demander des renseignements médicaux complémentaires. Savoir si la cour cantonale a rejeté ou omis d'administrer à un moyen de preuve relève du droit d'être entendu et du droit de la procédure pénale, et non de l'établissement arbitraire des faits. Or, le recourant ne soulève pas de grief tiré de la violation du droit d'être entendu ou de la violation d'une disposition du code de procédure pénale. Son grief est donc irrecevable.
1.3. Le recourant conteste l'établissement des faits de la nuit du 31 décembre 2010 au 1er janvier 2011 (voies de fait et menace).
Dans sa plainte, la partie plaignante a relaté ce qui suit: après avoir bu du champagne pour fêter le passage à l'an 2011, la partie plaignante et l'intimé sont allés se coucher afin d'entretenir des relations sexuelles. Lorsque l'intimé a commencé à la caresser, les images du viol lui sont revenues en mémoire et elle a repoussé son compagnon. Celui-ci a alors pris la rallonge de la lampe de chevet, l'a placée autour du cou de la partie plaignante et s'est mis à serrer. Il s'est arrêté après quelques secondes.
La cour cantonale a conservé un doute quant à la réalité de ces accusations. Elle a expliqué qu'elle se trouvait de nouveau en présence de versions contradictoires des protagonistes. Elle a constaté qu'aucun élément du dossier ne permettait d'accréditer la version de la partie plaignante; en particulier, il n'y avait aucune marque de strangulation, aucun constat médical. En outre, les déclarations de la partie plaignante variaient d'une audition à l'autre sur plusieurs points: celle-ci ne se souvenait plus quand elle avait griffé l'intimé au visage, alors qu'il s'agissait d'un événement important puisqu'elle en avait pris des photos " pour avoir des preuves "; en outre, la partie plaignante a, d'abord, déclaré qu'elle avait voulu relater elle-même ce qui s'était passé pour avoir des preuves, puis elle a prétendu que c'était l'intimé qui avait commencé à écrire une lettre décrivant le déroulement des faits. Pour la cour cantonale, si l'intimé s'est laissé photographier, c'est pour témoigner de la violence de sa compagne, et non de la sienne. Enfin, la cour cantonale a considéré que les circonstances qui entouraient les faits décrits par la partie plaignante ne correspondaient pas à son état d'esprit puisqu'elle avait déclaré qu'à la suite du viol du 28 décembre 2010, elle était restée très distante et comme un zombie pendant 4-5 jours.
Le recourant soutient que les déclarations de la partie plaignante sont constantes et donc crédibles. Il reproche à la cour cantonale d'avoir donné trop d'importance aux hésitations de la partie plaignante sur les griffures. De la sorte, il ne démontre pas en quoi le raisonnement suivi par la cour cantonale serait arbitraire. De son côté, la cour cantonale a écarté les accusations de la partie plaignante pour diverses raisons, qu'elle a expliquées en détail. Dans ces conditions, on ne saurait lui reprocher d'avoir versé dans l'arbitraire. Le grief soulevé doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Sous chiffre 4 de son mémoire, le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir retenu que l'intimé s'était laissé photographier pour témoigner de la violence dont était capable la partie plaignante. Selon lui, cette interprétation est contraire aux preuves, car la partie plaignante aurait déclaré avoir pris ces photographies afin d'avoir une preuve de ce qui s'était passé. La constatation de la cour cantonale relève du bon sens. Purement appellatoire, l'argumentation développée par le recourant est irrecevable.
1.4. Le recourant critique ensuite les faits survenus le 2 janvier 2011.
Dans sa plainte, la partie plaignante a accusé l'intimé de l'avoir enfermée dans sa maison avec lui le 2 janvier 2011, de lui avoir pris son téléphone portable et ses clés, d'avoir mis plusieurs fois ses mains dans son bain pour essayer de la toucher, d'avoir essayé de lui attacher les mains aux collants et au pull qu'il avait préalablement accrochés au lit et d'avoir tenté de l'empêcher de partir au volant de sa voiture.
La cour cantonale a considéré qu'il convenait d'acquitter l'intimé de l'accusation de contrainte sexuelle pour avoir plusieurs fois mis ses mains dans le bain, pour essayer de toucher son amie. En effet, l'intimé vivait avec sa compagne et l'a laissée tranquille quand celle-ci lui a demandé d'arrêter. Le recourant ne soutient pas que la cour cantonale aurait mal appliqué le droit fédéral sur ce point.
La cour cantonale a acquitté l'intimé de toute infraction en relation avec le reproche d'avoir attaché la partie plaignante sur le lit. Après avoir émis l'hypothèse qu'il pouvait s'agir d'un jeu sexuel entre des partenaires consentants, elle a relevé l'aggravation des accusations de la partie plaignante au fil de ses auditions. Ainsi, celle-ci a d'abord accusé l'intimé d'avoir tenté de lui attacher les mains aux montants du lit, puis elle a soutenu que l'intimé lui avait attaché les deux bras, pour enfin prétendre qu'il l'avait violée. En outre, les versions des protagonistes sont de nouveau contradictoires. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir écarté les accusations de la partie plaignante, en raison des propos qu'elle a tenus devant le juge de première instance. Par son argumentation, il ne démontre toutefois pas en quoi la cour cantonale aurait versé dans l'arbitraire. Insuffisamment motivé, le grief est irrecevable.
Sous chiffre 3 de son mémoire, le recourant conteste qu'il ait pu s'agir d'un jeu entre partenaires consentants au vu des déclarations des protagonistes. Dans la mesure où la cour cantonale n'a fait qu'émettre une hypothèse, elle ne saurait se voir reprocher d'avoir " établi " les faits de manière arbitraire. Le grief est infondé.
1.5. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir mal analysé la relation de couple entre les protagonistes. Selon lui, la description faite par la partie plaignante de leur relation correspond à l'expertise psychiatrique de l'intimé et au schéma du cycle de la violence et à la typologie des auteurs et des victimes. En mettant de côté les divers résultats des recherches sur ces questions, la cour cantonale aurait versé dans l'arbitraire.
La cour cantonale n'a pas méconnu les états psychiques des protagonistes. Elle s'est ainsi fondée sur les conclusions du Dr B._, psychiatre de la partie plaignante, et du Dr C._ (arrêt attaqué p. 16). Elle a fait référence aux troubles psychiques dont souffrait l'intimé et à l'expertise psychiatrique dont il a fait l'objet dans une précédente procédure pénale (arrêt attaqué p. 2). Dans ces conditions, on ne saurait reprocher à la cour cantonale de ne pas avoir tenu compte de recherches générales sur la violence dans les couples. Le grief soulevé doit être rejeté.
1.6. Le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir arbitrairement écarté l'expertise psychiatrique de l'intimé et ses antécédents judiciaires.
La cour cantonale n'a pas méconnu cette expertise psychiatrique ni les antécédents judiciaires de l'intimé. Elle a ainsi rappelé en page 3 de son arrêt que l'intimé avait déjà été condamné notamment pour contrainte sexuelle et viol à l'encontre de son ex-compagne et qu'il souffrait d'un trouble de la personnalité de type narcissique. Elle a relevé que cette affaire s'inscrivait dans le contexte particulier d'une relation amour-haine troublée et toxique, notamment en raison des problèmes psychiques des deux parties (arrêt attaqué p. 15 s.). Elle a toutefois considéré qu'il fallait se fonder sur les faits qui ressortaient du dossier et que cela ne permettait pas de faire abstraction des contradictions dans les déclarations de la partie plaignante. En ce qui concerne les antécédents judiciaires de l'intimé, elle a noté que les deux affaires pénales n'étaient pas comparables dans la mesure où l'intimé n'a jamais frappé la partie plaignante, selon les propres déclarations de cette dernière (arrêt attaqué p. 15). Dans ces conditions, elle ne peut se voir reprocher d'avoir écarté l'expertise psychiatrique de l'intimé et ses antécédents judiciaires. Le grief est mal fondé.
1.7. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir écarté un message ordurier que l'intimé avait rédigé à l'attention de la partie plaignante, mais sans le lui envoyer. Ce message serait révélateur du caractère de l'intimé, de ses sentiments amoureux et de ses éventuelles pulsions.
La cour cantonale a considéré qu'il était inutile de se livrer à des conjectures sur le caractère de son rédacteur. Elle a constaté que ce message n'avait pas été envoyé, ce qui était le signe que l'intimé avait su dépasser son dépit amoureux lorsque la partie plaignante a évoqué les " vrais mâles ". En outre, il n'était pas certain que ce message ait été rédigé le 30 décembre 2010 (arrêt attaqué p. 11). Dans ces conditions, la cour de céans ne saurait reprocher à la cour cantonale d'avoir écarté ce message sans motivation et de manière arbitraire. Le grief soulevé est mal fondé.
1.8. Le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire en ne retenant pas que la police avait retrouvé la clé de la salle de bain dans la poche de l'intimé lors de son interpellation. Cet élément confirmerait la version des faits de la partie plaignante et donnerait de la crédibilité à ses déclarations.
Ce grief n'est pas pertinent, puisqu'en définitive, aucune infraction n'a été retenue en relation avec les prétendus attouchements intervenus dans le bain et que le recourant ne conteste pas l'abandon de ce chef d'accusation.
2.
2.1. Le recourant dénonce une violation de l'<ref-law> en raison des faits survenus le 28 décembre 2010. Il se plaint d'une violation des art. 126 et 180 CP en relation avec les événements survenus dans la nuit du 31 décembre 2010 au 1er janvier 2011. Il soutient que la cour cantonale a violé l'<ref-law> en relation avec l'<ref-law>, en ne condamnant pas l'intimé pour tentative de contrainte sexuelle s'agissant des faits qui se sont déroulés le soir du 2 janvier 2011.
Pour seule motivation, le recourant renvoie aux motifs invoqués par les premiers juges. Une telle motivation est insuffisante (<ref-law>). Le recourant doit expliquer, ne serait-ce que brièvement, en quoi l'arrêt attaqué est contraire au droit fédéral; il ne saurait se contenter de renvoyer à une écriture antérieure (cf. par ex. arrêt 4A_709/2011 du 30 mai 2012 consid. 1.1) ou au jugement de première instance. Les griefs soulevés sont donc irrecevables.
2.2. Le recourant fait valoir que l'intimé s'est rendu coupable de tentative de contrainte en se plaçant devant ou derrière la voiture afin d'empêcher la partie plaignante de sortir du garage.
Selon l'<ref-law>, celui qui, en usant de violence envers une personne ou en la menaçant d'un dommage sérieux, ou en l'entravant de quelque autre manière dans sa liberté d'action, l'aura obligée à faire, à ne pas faire ou à laisser faire un acte sera puni d'une peine privative de liberté de trois ans au plus ou d'une peine pécuniaire.
L'intimé n'a pas usé de violence et n'a pas proféré de menace à l'encontre de la partie plaignante. Seule entre en considération la clause générale de l'entrave à la liberté d'action. Il convient d'interpréter restrictivement cette formule générale (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 218; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 9; <ref-ruling> consid. 2a p. 305; <ref-ruling> consid. 3b p. 116). N'importe quelle pression de peu d'importance ne suffit pas; il faut que celle-ci ait une certaine gravité (ATF <ref-ruling> consid. 3b p. 116; <ref-ruling> consid. 2 p. 169). Comme pour la violence ou la menace d'un dommage sérieux, le moyen de contrainte utilisé doit être propre à impressionner une personne de sensibilité moyenne et à l'entraver d'une manière significative dans sa liberté de décision ou d'action. Il s'agit donc de moyens de contrainte qui, par leur intensité et leur effet, sont analogues à ceux qui sont cités expressément à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.1 p. p. 264; <ref-ruling> consid. 2a p. 305).
En l'espèce, malgré la présence de l'intimé, la partie plaignante a pu reculer. Ensuite, l'intimé s'est placé devant la voiture. La pression a été de nouveau insuffisante. L'intimé n'a pas pu empêcher la voiture de partir; selon l'arrêt attaqué, la partie plaignante a pu presque partir immédiatement. Vu la faible pression exercée par l'intimé sur la partie plaignante et le bref délai qu'a duré l'empêchement, l'intensité du moyen de contrainte désigné par la loi n'est pas atteinte. La contrainte n'est dès lors pas réalisée, même au stade de la tentative. La cour cantonale n'a donc pas violé le droit fédéral en acquittant l'intimé de l'accusation de tentative de contrainte. Les griefs soulevés doivent être rejetés.
3.
Le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires, dans la mesure où le recourant agit dans l'exercice de ses attributions officielles sans que son intérêt patrimonial soit en cause (<ref-law>).
L'intimé n'a pas droit à des dépens, car il n'a pas été invité à déposer de mémoire dans la procédure devant le Tribunal fédéral.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires ni alloué de dépens.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour d'appel pénal.
Lausanne, le 29 juin 2015
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Kistler Vianin