Faits:
A. D'une surface de 5'965 m2, la parcelle n° 1306 du registre foncier de Chexbres (VD) est sise en zone à bâtir et supporte actuellement un hôtel, construit en 1907. F._ a conclu une promesse de vente et d'achat de cette parcelle avec son propriétaire K._. Le 7 juillet 2006, il a demandé à la Municipalité de Chexbres (ci-après: la municipalité) l'autorisation de démolir l'hôtel et d'édifier à sa place un ensemble résidentiel comprenant vingt-quatre logements répartis dans six bâtiments disposés en éventail. L'ensemble comprendrait un garage souterrain pouvant abriter quarante-et-un véhicules, un sous-sol et quatre niveaux habitables. Mis à l'enquête publique du 28 juillet au 18 août 2006, ce projet a suscité de multiples oppositions, dont celles de A._, B._, C._, D._ et E._. Sur le vu de ces oppositions, F._ a remanié légèrement le projet. Par décision du 6 décembre 2006, la municipalité a levé les oppositions et délivré le permis de construire.
B. A._, B._, C._, D._ et E._ ont recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif du canton de Vaud. Ils alléguaient notamment que la hauteur maximale des façades - 12,50 m selon l'art. 10 du règlement communal sur le plan d'extension et la police des constructions (ci-après: RPE) - était dépassée en plusieurs endroits et que le garage souterrain ne respectait pas la règle de l'art. 39bis al. 1 RPE, selon laquelle les 3⁄4 de cette construction devaient être enterrés et une seule face devait être apparente. Le Tribunal administratif a rejeté le recours par arrêt du 14 novembre 2007. Il a considéré en substance que la hauteur des façades devait être calculée à partir du niveau du terrain établi par le géomètre H._. S'agissant du garage souterrain, il a retenu que le projet était conforme à la règle de l'art. 39bis RPE.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._, B._, C._, D._ et E._ demandent au Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens que la décision de la municipalité du 6 décembre 2006 soit annulée et l'autorisation de construire refusée. Ils concluent subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale. Ils se plaignent d'une constatation incomplète ou inexacte des faits pertinents (art. 97 de la loi sur le Tribunal fédéral [LTF; RS 173.110]), d'un établissement arbitraire des faits (art. 9 Cst.), d'une violation de leur droit d'être entendus et d'un défaut de motivation (art. 29 al. 2 Cst.) ainsi que d'une application arbitraire du doit cantonal et communal. Le Tribunal administratif se réfère à son arrêt et conclut au rejet du recours. La Municipalité de Chexbres et F._ se sont déterminés; ils concluent également au rejet du recours. Ces observations ont été transmises aux recourants.

Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision rendue dans le domaine du droit public des constructions, le recours est recevable comme recours en matière de droit public conformément aux <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Les recourants B._ et C._ sont voisins directs de la parcelle n° 1306 et ils allèguent que le projet litigieux est susceptible de dégrader la vue depuis leur parcelle, de porter atteinte à leurs intérêts de propriétaires et de perturber leur environnement immédiat par une occupation excessive du bien-fonds en cause. Ils sont donc touchés plus que quiconque dans leurs intérêts dignes de protection et sont habilités à recourir au sens de l'<ref-law>. La qualité pour agir des autres recourants peut dès lors demeurer indécise. Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours est recevable au regard des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF.
2. Les recourants se plaignent à maints égards de constatations incomplètes ou inexactes des faits pertinents au sens de l'<ref-law>.
2.1 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué, dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). L'existence de faits constatés de manière inexacte ou en violation du droit doit en outre être susceptible d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure (art. 97 al. 1 in fine LTF). Selon la jurisprudence, l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits sont arbitraires (art. 9 Cst.; pour une définition de l'arbitraire cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153) lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2a p. 41).
2.2 Les recourants invoquent d'abord une constatation arbitraire des faits en ce qui concerne la hauteur de la construction litigieuse. Ils allèguent que la hauteur maximale de 12,50 m prévue par l'art. 10 RPE est dépassée en plusieurs endroits et ils font grief au Tribunal administratif d'avoir " dissimulé " ces dépassements. Ils reprochent en outre à cette autorité d'avoir fait des constatations fausses au sujet de la détermination du terrain naturel. Cette dernière question étant déterminante pour calculer la hauteur de la construction, il convient de l'examiner en premier lieu.
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Se fondant sur l'avis exprimé par le géomètre H._, le Tribunal administratif a relevé que le niveau du terrain naturel avait dû être déterminé par " interpolation " pour les parties situées à l'intérieur du bâtiment existant. Il exposait que le résultat apparaissait sur les coupes E-E et F-F, desquelles il ressortait que le niveau retenu correspondait à la couverture du garage souterrain projeté. Les recourants ne sauraient être suivis lorsqu'il qualifient cette constatation de " totalement fausse ". En effet, sur le vu des coupes E-E et F-F en question, il apparaît que le niveau déterminé par interpolation se situe près du toit du garage, soit quelques centimètres au-dessous mais en aucun cas 2,20 m plus bas comme le soutiennent les recourants. De plus, contrairement à ce que ces derniers allèguent, cet état de fait ressort bien des coupes dans leur état modifié du 3 octobre 2007 et non pas de leur première version. Il s'ensuit que les constatations de fait de l'arrêt attaqué quant à la hauteur du terrain naturel échappent au grief d'arbitraire.
Concernant la hauteur des constructions, il est vrai qu'à première vue certains dépassements du maximum de 12,50 m peuvent être constatés aux endroits mentionnés par les recourants, pour autant que l'on prenne pour point de départ le sol aménagé au pied de la façade et non le niveau du terrain naturel. Ainsi, sur la façade est, il ressort des plans que la hauteur à proximité de la sortie du garage souterrain est de 15,30 m environ (cote d'altitude de la corniche [595.45 - 1.1 + 11.815 = 606.165] - cote d'altitude au pied de la façade [environ 590.8]). De même, la hauteur de la façade sud à côté de l'entrée du garage est approximativement de 13,90 m (10.52 [hauteur de la corniche] + 0.2 [dalle] + 3.2 [profondeur à l'entrée du garage]). A ces deux endroits précis, la hauteur maximale de 12,50 m serait donc dépassée de 2,80 m et de 1,40 m, à supposer toutefois que le niveau déterminant soit bien le pied de la façade à côté des entrées du garage. Or, les recourants ne démontrent pas en quoi il serait arbitraire de prendre en compte le niveau du terrain naturel - au besoin déterminé par interpolation - à ces endroits également. Si tel était le cas, le niveau déterminant se situerait à proximité du toit du garage, de sorte qu'il n'y aurait pas de dépassement de la hauteur maximale. Quoi qu'il en soit, du point de vue de l'établissement des faits en tant que tel, l'omission de mentionner la hauteur des façades aux deux endroits susmentionnés ne suffit pas à fonder une constatation arbitraire des faits, ce d'autant moins que ces points précis n'ont pas été clairement soumis au Tribunal administratif.
2.3 Les recourants reprochent également à l'autorité intimée d'avoir arbitrairement constaté que le garage souterrain serait construit en avant de la façade sud, alors qu'une partie de l'aire de stationnement s'inscrirait au-dessous des étages d'habitation. Dans la mesure où le garage est effectivement prévu en avant de la façade sud, on ne voit pas ce que la constatation de fait précitée aurait d'arbitraire. De plus, contrairement à ce que semblent soutenir les recourants, le Tribunal administratif n'occulte pas le fait qu'une partie du garage souterrain serait située sous les bâtiments; il le précise d'ailleurs en page 10 de l'arrêt querellé. Ce moyen doit donc être rejeté.
2.4 Selon les recourants, le Tribunal administratif aurait procédé à une constatation " grossièrement fausse " au sujet de l'enterrement du garage. Ils rappellent que le garage serait certes enterré du côté nord, mais qu'il ne le serait ni à l'ouest, ni au sud, ni à l'est. Or, l'arrêt attaqué ne retient pas clairement le contraire, puisqu'il considère que les plans montrent que le garage serait entièrement enterré du côté du nord et de l'ouest et partiellement à l'est et au sud. Il est vrai que la situation n'apparaît pas très claire s'agissant de l'entrée du garage à l'ouest ou au sud. Cependant, selon le plan de situation, si l'accès devait effectivement se faire par la face ouest, la porte du garage serait la seule partie émergente de ce côté. Dans ces conditions, les constatations de l'arrêt attaqué à cet égard ne sont en tout cas pas manifestement insoutenables.
3. Concernant toujours le garage souterrain, les recourants font grief au Tribunal administratif d'avoir admis la conformité à l'art. 39 bis al. 1 RPE sans vérifier si le volume enterré atteignait le minimum de 3⁄4 prescrit par cette disposition.
3.1 Pour démontrer l'arbitraire de cette constatation, les recourants produisent un rapport rédigé le 14 décembre 2007 par un ingénieur, ainsi que des calculs effectués par l'un des recourants. De même, la municipalité dépose à l'appui de ses observations un rapport du géomètre H._ daté du 18 février 2008. Il s'agit de moyens de preuve nouveaux au sens de l'<ref-law>. Or, aux termes de cette disposition, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Cette exclusion vaut notamment pour les faits et moyens de preuve postérieurs à la décision attaquée, lesquels ne peuvent être présentés dans le cadre d'un recours au Tribunal fédéral (Message précité du 28 février 2001, FF 2001 p. 4137; <ref-ruling> consid. 2.1 et les références citées). Une exception n'est admise que dans les cas où c'est la décision de l'autorité précédente qui justifie pour la première fois de soulever ces moyens (Message précité, FF 2001 p. 4137; arrêt 6B_52/2007 du 17 mai 2007, consid. 2), ce qui n'est pas le cas en l'espèce. Il est donc exclu de prendre en compte les documents précités, qui ont été établis après la reddition de l'arrêt attaqué.
3.2 Quant au grief lui-même, il n'est certes pas nouveau puisque les recourants prétendaient déjà devant le Tribunal administratif que le garage ne respectait pas « la règle des 75% ». Il est vrai que la réponse qu'ils ont obtenue sur ce point est laconique, mais ils ne se plaignent pas d'un défaut de motivation à cet égard. Au demeurant, leur grief était formulé de manière très générale parmi de nombreuses autres critiques, de sorte qu'on ne peut pas reprocher à l'autorité intimée d'avoir omis de donner des précisions chiffrées quant aux proportions du garage effectivement enterrées. Pour le surplus, les recourants ne sauraient présenter pour la première fois devant le Tribunal fédéral une argumentation détaillée, reposant sur des valeurs précises qui n'avaient pas été évoquées devant l'instance précédente. En effet, dans le cadre d'un examen du droit cantonal sous l'angle de l'arbitraire, il n'appartient pas au Tribunal fédéral de se pencher sur des allégués détaillés nouvellement présentés, se fondant de surcroît sur des moyens de preuve nouveaux qui ne peuvent pas être pris en considération. Si les recourants voulaient discuter dans le détail l'appréciation du volume enterré, ils devaient le faire devant l'instance cantonale. Dans ces conditions, sur le vu du dossier constitué devant le Tribunal administratif, on ne saurait considérer que la constatation de cette autorité selon laquelle la proportion de 3⁄4 prescrite par l'art. 39 bis al. 1 RPE était respectée soit manifestement insoutenable.
4. Les recourants se plaignent en outre d'une application arbitraire des art. 10 et 39 bis al. 1 RPE.
4.1 Appelé à revoir l'interprétation d'une norme sous l'angle restreint de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement plus judicieuse - paraît possible (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 260 s. et les arrêts cités).
4.2 Selon l'art. 10 RPE, en zone d'habitation collective, la hauteur des façades à la corniche ne dépassera pas 12,50 m au maximum au point le plus défavorable, dès le niveau du terrain naturel ou du terrain futur aménagé en déblai.
Les recourants soutiennent que le Tribunal administratif aurait appliqué cette disposition de manière arbitraire en mesurant la hauteur à partir d'un aménagement futur situé plus haut que le terrain naturel, à savoir depuis la couverture du garage souterrain projeté. En réalité, ce n'est pas le toit du garage en tant que tel qui a servi de point de départ au calcul, mais bien le niveau déterminé par interpolation. Or, procéder de la sorte n'est pas en soi inadmissible ou en contradiction manifeste avec le texte de l'art. 10 RPE. Il s'agit au contraire du seul moyen de déterminer un niveau de départ lorsque le terrain naturel n'existe plus et qu'une construction est déjà érigée à l'endroit déterminant. Les critiques formulées par les recourants à cet égard doivent par conséquent être rejetées. Pour le surplus, les recourants ne se prévalent pas expressément du fait que l'autorisation du projet malgré d'éventuels dépassements de hauteur à proximité des entrées du garage souterrain constituerait une application arbitraire de l'art. 10 RPE. Faute de grief motivé sur ce point, il n'y a donc pas lieu de se livrer à une interprétation du règlement communal ou d'examiner plus avant si son application au cas d'espèce est manifestement insoutenable.
4.3 Aux termes de l'art. 39 bis al. 1 RPE, en dehors du périmètre des bâtiments, des constructions souterraines liées ou non à un bâtiment principal sont autorisées, moyennant que les 3⁄4 au moins du volume se situent en dessous du terrain naturel, qu'une seule face soit apparente après l'aménagement du terrain et que la toiture soit recouverte de végétation.
Sur le vu de cette disposition, les recourants affirment qu'il serait insoutenable de prétendre que l'implantation de 3⁄4 au moins du volume en dessous du terrain naturel se rapporterait non pas à un terrain existant antérieurement à la construction projetée mais au terrain futur. Il ne ressort toutefois pas de l'arrêt querellé que le Tribunal administratif ait soutenu une telle interprétation de l'art. 39 bis al. 1 RPE. Si la référence à un arrêt de la commission cantonale de recours en matière de constructions du 9 septembre 1964 (RDAF 1965 p. 212) peut donner cette impression, il ne s'agit pas du point décisif de la motivation contestée. En effet, le Tribunal administratif se limite à répondre aux arguments des recourants selon lesquels il conviendrait de prendre en compte le niveau du terrain avant la construction de l'hôtel existant. Lorsqu'il dit qu'il ne faut pas prendre en compte le terrain naturel avant l'exécution des travaux, il se réfère de toute évidence aux travaux de construction de l'hôtel - exécutés en 1907 - et non à la réalisation du projet litigieux. Il relève ainsi que le garage serait enfoui sous le talus existant le long de la voie d'accès et le promontoire artificiel sur lequel a été construit l'hôtel. Pour le surplus, il a été constaté sans arbitraire que le garage serait enterré dans une proportion atteignant les 3⁄4 prescrits par l'art. 39 bis al. 1 RPE (cf. supra consid. 3.2) et les recourants ne se prévalent pas de l'enterrement partiel de certaines faces dans leur grief tiré d'une application arbitraire de cette disposition. Ce moyen doit donc lui aussi être rejeté.
5. Invoquant leur droit d'être entendus (art. 29 al. 2 Cst.), les recourants se plaignent encore du fait que l'expertise qu'ils demandaient pour déterminer le niveau du terrain naturel n'a pas été administrée. Selon eux, le Tribunal administratif ne pouvait pas se passer d'une telle expertise pour forger sa conviction sur la hauteur maximale des façades et pour retenir que le garage était bien une construction souterraine. Selon la jurisprudence, l'autorité peut renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 429; <ref-ruling> consid. 6c/cc in fine p. 135; <ref-ruling> consid. 4a p. 211 et les arrêts cités). En l'occurrence, il découle des considérants précédents que le Tribunal administratif a pu constater sans arbitraire les faits relatifs à la hauteur de la construction et au volume du garage enterré. L'expertise réclamée par les recourants n'était donc pas indispensable à cet égard et l'autorité intimée n'a pas procédé à une appréciation anticipée des preuves qui puisse être qualifiée d'arbitraire.
Enfin, les recourants invoquent un défaut de motivation au motif que le Tribunal administratif n'avait pas expliqué pourquoi il s'écartait du texte clair des art. 10 et 39 bis al. 1 RPE. Ce moyen se confond avec les griefs examinés ci-dessus. Il a été exposé à cet égard que les recourants n'avaient pas établi que les dispositions précitées avaient été appliquées ou interprétées de manière insoutenable. Ils ne démontrent pas davantage en quoi l'arrêt entrepris s'écarterait du texte clair de ces dispositions, de sorte que ce moyen doit également être rejeté.
6. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Les recourants, qui succombent, doivent supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>). Ils verseront en outre une indemnité à titre de dépens à l'intimé, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF). En revanche, il n'est pas alloué de dépens à la Municipalité de Chexbres (<ref-law>); la pratique qui prévalait en matière de recours de droit public et qui consistait à allouer des dépens aux collectivités ne disposant pas d'une infrastructure administrative et juridique suffisante pour procéder sans l'assistance d'un avocat ne se justifie plus dans le cadre du recours en matière de droit public (arrêt 1C_122/2007 du 24 juillet 2007, consid. 6).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3000 fr., sont mis à la charge des recourants.
3. Une indemnité de 2000 fr. est allouée à l'intimé à titre de dépens, à la charge des recourants.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et de la Municipalité de Chexbres ainsi qu'au Tribunal administratif du canton de Vaud.
Lausanne, le 30 avril 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener