Sachverhalt:
A.
X._ (Klägerin, Beschwerdeführerin) wurde ab dem 23. Februar 2000 stationär im Spital A._ behandelt. Am Sonntag, 5. März 2000, wurde sie notfallmässig ins Spital B._ überführt, wo sie operiert wurde. Nach dieser Operation konnte sie zwar alle Extremitäten spontan bewegen, konnte aber längere Zeit noch nicht sprechen. In der Folge verbesserte sich ihr Zustand zwar; sie leidet aber an einem Frontalhirn-Syndrom mit Antriebs- und Aufmerksamkeitsstörung.
B.
Am 12. März 2003 erhob die Klägerin Klage gegen den Kanton Appenzell Ausserrhoden (Beklagter, Beschwerdegegner) beim Verwaltungsgericht (heute Obergericht) des Kantons Appenzell Ausserrhoden mit dem Begehren auf Zahlung von Schadenersatz und Genugtuung im Betrag von Fr. 671'368.10 nebst Zins. Mit Urteil vom 27. Februar 2013 wies das Obergericht Appenzell Ausserrhoden die Klage ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Klägerin dem Bundesgericht, die Sache sei an die Vorinstanz im Sinne der Erwägungen (Einräumung einer kantonalen Rechtsmittelinstanz gegen den Entscheid des Obergerichts vom 27. Februar 2013) zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt nicht auf die Beschwerde einzutreten bzw. diese abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Die Beschwerdeführerin reichte unaufgefordert eine Replik, der Beschwerdegegner eine Duplik ein.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 417 mit Hinweisen).
Die vorliegende Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid des Obergerichts Appenzell Ausserrhoden, welches als einzige kantonale Instanz entschieden hat. Die Beschwerdeführerin erhebt mit ihrer Beschwerde in Zivilsachen ausdrücklich keine Rügen in der Sache selber, sondern beantragt vielmehr - unter Berufung auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (<ref-ruling> und Urteil 4A_185/2013 vom 17. Juni 2013 ) - die Rückweisung der Angelegenheit an die Vorinstanz, damit diese ihr eine Rechtsmittelinstanz einräume. Die Vorinstanz habe erwogen, da die Klage am 1. Januar 2011 (Inkrafttreten der Schweizerischen Zivilprozessordnung) bereits bei ihr bzw. bei der verwaltungsrechtlichen Abteilung als einzige und letzte kantonale Instanz hängig gewesen sei, bleibe es für die Beschwerdeführerin beim Ausschluss des Anspruchs auf eine zweite Instanz, auch wenn der Entscheid erst am 27. Februar 2013 ergangen sei. Damit habe ihr die Vorinstanz zu Unrecht die Einräumung einer zweiten Instanz verweigert. Sinngemäss macht die Beschwerdeführerin eine Rechtsverweigerung (i.S.v. Art. 94 BGG) geltend. Eine solche kann gegeben sein, wenn ein schwerer organisatorischer Mangel vorliegt, der es dem Betroffenen verunmöglicht, wirksam ein Rechtsmittel zu ergreifen (Felix Uhlmann, in: Basler Kommentar, 2. Aufl. 2011, N. 1 zu Art. 94 BGG).
Auf die Beschwerde ist demnach einzutreten.
2.
2.1. Gegenstand des angefochtenen Entscheids sind Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital nach dem kantonalen öffentlichen Verantwortlichkeitsrecht. Da solche Entscheide in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, kommt dagegen nach Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG die Beschwerde in Zivilsachen in Betracht (<ref-ruling> E. 1.5 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 331; <ref-ruling> E. 2.1 S. 465; vgl. auch Urteil 4A_185/2013 vom 17. Juni 2013 E. 1.2).
2.2. Gemäss Art. 75 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen. Bei der letzten kantonalen Instanz muss es sich um ein oberes Gericht handeln (Art. 75 Abs. 2 Satz 1 BGG). Zudem muss dieses obere Gericht als Rechtsmittelinstanz entscheiden (Art. 75 Abs. 2 Satz 2 BGG), es sei denn, es liege einer der - hier nicht gegebenen - Ausnahmefälle von Art. 75 Abs. 2 lit. a-c BGG vor. Die den Kantonen zur Anpassung ihrer Bestimmungen an Art. 75 Abs. 2 BGG gewährte Übergangsfrist (Art. 130 Abs. 2 BGG) ist mit Inkrafttreten der Schweizerischen Zivilprozessordnung am 1. Januar 2011 abgelaufen. Seit dem 1. Januar 2011 ist somit die Beschwerde in Zivilsachen nur noch gegen Urteile letzter kantonaler Instanzen zulässig, die obere Gerichte sind und - unter Vorbehalt der Ausnahmen - auf Rechtsmittel hin entschieden haben (<ref-ruling> E. 1.6 S. 255; <ref-ruling> E. 1.1 S. 42; <ref-ruling> E. 2.1 S. 426).
2.3. Für die nach dem 1. Januar 2011 eröffneten Urteile gelten die Erfordernisse gemäss Art. 75 Abs. 2 BGG vollumfänglich. Die Kantone müssen demnach für Angelegenheiten, die am 1. Januar 2011 hängig waren, aber erst nach diesem Datum beurteilt wurden, ein Rechtsmittel an ein oberes kantonales Gericht vorsehen (<ref-ruling> E. 1.6 S. 255 mit Hinweisen; Urteil 4A_185/2013 vom 17. Juni 2013 E. 1.4).
3.
Vorliegend war das (damalige) Verwaltungsgericht bei Einleitung der Klage am 12. März 2003 gestützt auf Art. 57 Abs. 1 lit. a des Gesetzes vom 9. September 2002 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG/AR; bGS 143.1) als einzige kantonale Instanz zuständig für den Entscheid über die erhobene Klage. Der Entscheid wurde indes erst am 27. Februar 2013 gefällt, mithin nach dem 1. Januar 2011. Nach der hiervor zitierten Rechtsprechung, namentlich <ref-ruling>, ist der Kanton Appenzell Ausserrhoden jedoch von Bundesrechts wegen verpflichtet, gegen diesen Entscheid ein Rechtsmittel an ein oberes kantonales Gericht zur Verfügung zu stellen, das hinsichtlich der Kognition den Anforderungen von Art. 111 Abs. 3 BGG genügt.
In seinen Erwägungen bezog sich das Obergericht zwar auf <ref-ruling>, ging aber - so wie der Beschwerdegegner auch - davon aus, dass sich die vorliegende Situation von jener im zitierten BGE unterscheide, weshalb darauf nicht abgestellt werden könne. Der Beschwerdegegner bringt in seiner Beschwerdeantwort verschiedene Einwände gegen die erwähnte Rechtsprechung vor, womit er sinngemäss eine Praxisänderung bewirken will. Eine Änderung der Praxis lässt sich regelmässig nur begründen, wenn die neue Lösung besserer Erkenntnis der ratio legis, veränderten äusseren Verhältnissen oder gewandelter Rechtsanschauung entspricht; andernfalls ist die bisherige Praxis beizubehalten. Eine Praxisänderung muss sich deshalb auf ernsthafte sachliche Gründe stützen können (<ref-ruling> E. 3 S. 8; <ref-ruling> E. 5.3.1 S. 318; je mit Hinweisen).
Die verschiedenen Einwände sind nachfolgend unter Berücksichtigung dieser Grundsätze zu prüfen:
3.1. Die Vorinstanz und der Beschwerdegegner argumentieren vorerst mit übergangsrechtlichen Einwänden.
3.1.1. Die Vorinstanz führte aus, für die am 1. Januar 2011 bereits (bei der einzigen kantonalen Instanz) hängigen Fälle, richte sich die Übergangsfrist nach Art. 404 ff. ZPO; nach Art. 404 Abs. 1 ZPO gelte für diese hängigen Verfahren das bisherige Verfahrensrecht bis zum Abschluss der betroffenen Instanz. Das müsse auch für den vorliegend zu beurteilenden Staatshaftungsfall gelten, da dieser bereits im 2003 durch das Einreichen der Klage beim zuständigen Verwaltungs- und heutigen Obergericht anhängig gemacht worden sei.
Der Beschwerdegegner verweist auf diese Begründung und macht überdies geltend, auch aus Art. 130 Abs. 2 BGG lasse sich nichts für den Standpunkt der Beschwerdeführerin ableiten, wonach ihr der Kanton eine Rechtsmittelinstanz mit voller Kognition hätte einräumen müssen. Das Verfahren sei im März 2003 eingeleitet worden und damit bereits hängig gewesen, als die Bundesversammlung am 17. Juni 2005 das Bundesgerichtsgesetz beschlossen habe. Wegen des Verbots der Rückwirkung hätte Art. 130 Abs. 2 BGG auf das hängige Verfahren zum vornherein keine Rechtswirkung entfalten können.
3.1.2. Die Art. 404 ff. ZPO regeln den zeitlichen Geltungsbereich der ZPO. Als Kollisionsnormen bestimmen sie, (ab) wann die ZPO und wann früheres kantonales Recht zur Anwendung gelangt. Was nicht unter den persönlich-räumlichen Geltungsbereich der ZPO (Art. 1-3 ZPO) fällt, wird auch vom zeitlichen Geltungsbereich nicht erfasst (Daniel Willisegger, in: Basler Kommentar, Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 1 ff. und N. 13 zu Art. 404 ZPO). Vom persönlich-räumlichen Geltungsbereich der ZPO erfasst werden streitige Zivilsachen (Art. 1 lit. a ZPO), gerichtliche Anordnungen der freiwilligen Gerichtsbarkeit (lit. b), gerichtliche Angelegenheiten des SchKG (lit. c) sowie die Schiedsgerichtsbarkeit. Die Vorinstanz hatte jedoch im Klageverfahren eine vermögensrechtliche Streitigkeit öffentlich-rechtlicher Natur zu beurteilen. Eine solche Streitigkeit wird von Art. 1 ZPO aber nicht erfasst und fällt demnach nicht in den Anwendungsbereich der ZPO. Das kantonale Verfahren richtete sich somit nicht nach der ZPO, womit sich die Vorinstanz für ihren Standpunkt zu Unrecht auf Art. 404 ff. ZPO berufen hat.
Massgeblich ist vielmehr Art. 130 Abs. 2 BGG. Diese Norm bestimmt, dass die Kantone auf den Zeitpunkt des Inkrafttretens der Schweizerischen Zivilprozessordnung Ausführungsbestimmungen über die Zuständigkeit, die Organisation und das Verfahren der Vorinstanzen in Zivilsachen im Sinne der Art. 75 Abs. 2 und Art. 111 Abs. 3 BGG zu erlassen haben. Art. 130 Abs. 2 BGG verpflichtet die Kantone somit im Sinne einer materiellrechtlichen Übergangsregelung zur Schaffung bestimmter kantonalen Zuständigkeiten (Daniel Willisegger, a.a.O., N. 7 und N. 22 zu Art. 405 ZPO; Christoph Errass, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 23 zu Art. 130 BGG; zur Abgrenzung von Kollisionsrecht und materiellem Übergangsrecht vgl. auch Gerardo Broggini, in: Schweizerisches Privatrecht, Bd. I, 1969, S. 423 ff.).
Mit Ablauf der in Art. 130 Abs. 2 BGG genannten Übergangsfrist wurde diese Regelung für alle kantonalen Verfahren zwingend, die zu diesem Zeitpunkt (1. Januar 2011) noch nicht entschieden waren. Denn mit Art. 130 Abs. 2 BGG hat sichergestellt werden sollen, dass nach Ablauf der Frist die Prozessvoraussetzungen gemäss Art. 75 Abs. 2 BGG erfüllt sind für alle Urteile, die ab diesem Zeitpunkt mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht haben weitergezogen werden können. Entgegen der Auffassung des Beschwerdegegners kommt es somit nicht darauf an, wann ein Verfahren eingeleitet wurde.
3.2.
3.2.1. Der Beschwerdegegner macht sodann geltend, daraus dass Art. 130 Abs. 2 BGG an das Inkrafttreten der Schweizerischen Zivilprozessordnung anknüpfe, ergebe sich, dass kantonale Ausführungsbestimmungen im Sinne dieser Norm nur notwendig seien, wenn die ZPO auf die fragliche Streitigkeit auch anwendbar sei. Die vom Bundesgericht gestützt auf Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG vorgenommene Zuordnung medizinischer Staatshaftungsfälle zur Beschwerde in Zivilsachen erscheine zudem nicht zulässig, da sie entgegen dem klaren Wortlaut von Art. 82 lit. a und Art. 85 Abs. 1 lit. a e contrario BGG erfolgt sei, welche für Staatshaftungsfälle die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vorsähen.
3.2.2. Es trifft zu, dass die Beschwerde in Zivilsachen primär vorgesehen ist für Streitsachen, die vor kantonalen Zivilgerichten ausgetragen werden. Die Abgrenzung der Beschwerden erfolgt jedoch nach dem Streitgegenstand; der kantonale Rechtsweg ist in diesem Zusammenhang nicht massgebend (<ref-ruling> E. 2 S. 274; <ref-ruling> E. 1a S. 349). Viele der in Art. 72 Abs. 2 BGG aufgezählten zivilrechtsnahen Streitgegenstände werden kantonal im öffentlich-rechtlichen Rechtsweg ausgetragen (vgl. z.B. <ref-ruling> betreffend Führung des Handelsregisters; <ref-ruling> betreffend Grundbuchführung; Urteil 5A_395/2010 vom 22. Oktober 2010 betreffend Aufsicht über den Willensvollstrecker). Der Beschwerdegegner vermag somit zum vorneherein nichts daraus abzuleiten, dass Art. 130 Abs. 2 BGG für die Übergangsfrist auf den Zeitpunkt des Inkrafttretens der ZPO abstellte.
Nicht stichhaltig ist sodann auch sein Hinweis auf Art. 85 Abs. 1 lit. a e contrario BGG. Daraus lässt sich nur ableiten, dass in Staatshaftungsfällen auch bei Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die gleiche Streitwertgrenze zu beachten ist wie bei Beschwerden in Zivilsachen. Es ergibt sich daraus aber nicht, dass zwingend alle Fragen der Staatshaftung der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegen. Im Übrigen bestreitet der Beschwerdegegner denn auch gar nicht, dass Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG keine abschliessende Aufzählung enthält und medizinische Staatshaftungsfragen in engem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen; dies gilt im vorliegenden Fall umsomehr, als die privatärztliche Tätigkeit eines Chefarztes in Frage steht.
3.3.
3.3.1. Der Beschwerdegegner wendet sodann ein, die Zuordnung der medizinischen Staatshaftungsfälle zur Beschwerde in Zivilsachen verletze Art. 3 BV und Art. 6 Abs. 1 ZGB. Eine Beschränkung der kantonalen öffentlich-rechtlichen Befugnisse durch Bundeszivilrecht sei nicht zulässig. Die Organisation der Gerichte und der Rechtsprechung in kantonalen öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bleibe auch nach Art. 122 Abs. 2 BV in der originären Zuständigkeit der Kantone. Eine Bundeskompetenz zur Gesetzgebung bestehe in diesem Bereich nicht.
3.3.2. Entgegen dem, was der Beschwerdegegner anzunehmen scheint, handelt es sich hier nicht um eine Abgrenzung zwischen (Bundes-) Zivilrecht und kantonalem öffentlichem Recht und auch nicht um jene zwischen der eidgenössischen Zivilprozessordnung und dem kantonalen Gerichtsorganisationsrecht. Vielmehr geht es um die Rechtsetzungskompetenz des Bundes zur Organisation des Bundesgerichts einerseits und jener der Kantone zur Organisation ihrer Gerichte andererseits.
Art. 75 Abs. 2 BGG normiert den Grundsatz der "double instance" als Prozessvoraussetzung für die Beschwerde in Zivilsachen. Danach ist - sofern keine Ausnahme gemäss lit. a-c vorliegt - als Vorinstanz zum Bundesgericht eine gerichtlichen Instanz einzusetzen, welche eine obere kantonale Instanz sein muss, die bereits ihrerseits als Rechtsmittelinstanz tätig geworden ist und mindestens dieselbe Prüfungsbefugnis besitzt, wie das Bundesgericht (vgl. Art. 111 Abs. 3 BGG). Mit Art. 75 BGG hat der Bundesgesetzgeber somit zwei kantonale Instanzen vorgeschrieben und durch diese Verfahrensvorschrift insoweit in die "kantonale Gerichtsorganisationshoheit" eingegriffen (vgl. <ref-ruling> E. 2.4.1.4 S. 224 mit Hinweis). Diese gesetzliche Regelung steht entgegen dem Beschwerdegegner nicht im Widerspruch zu Art. 3 BV, sondern entspricht den verfassungsrechtlichen Vorgaben. Diese ergeben sich aus den Bestimmungen zur Justizverfassung (Art. 188 ff. BV). Nach Art. 188 Abs. 2 BV bestimmt das Gesetz - das heisst das BGG - die Organisation und das Verfahren vor Bundesgericht. Die Verfassung lässt dem Bundesgesetzgeber einen sehr grossen Spielraum für die Gestaltung des Verfahrens. Dieser hat unter anderem die Prozessvoraussetzungen festzulegen, wozu namentlich die Bestimmung der Vorinstanzen zählen. Gestützt auf diese verfassungsmässige Kompetenzgrundlage kann der Bundesgesetzgeber somit auch die Organisation der kantonalen Gerichte mitbestimmen (Christina Kiss/ Heinrich Koller, in: St. Galler Kommentar, Die schweizerische Bundesverfassung, 2. Aufl. 2008, N. 25 zu Art. 188 BV i.V.m. N. 15 zu Art. 191b BV; Rainer J. Schweizer, in: St. Galler Kommentar, a.a.O., Vorbemerkungen zur Justizverfassung N. 6; Pascal Mahon, in: Petit commentaire de la Constitution fédérale de la Confédération suisse, 2003, N. 13 zu Art. 188 und N. 3 zu Art. 189 BV).
3.4.
3.4.1. Schliesslich macht der Beschwerdegegner geltend, die Beschwerdeführerin habe sich gemäss Art. 75 Abs. 2 lit. c BGG (Klage mit einem Streitwert von mindestens Fr. 100'000.--, welche mit Zustimmung aller Parteien direkt beim oberen Gericht - das als einzige kantonale Instanz entscheidet - eingereicht wurde) eingelassen, weil sie sich auch nach Inkrafttreten von ZPO und BGG nicht dagegen gewehrt habe, dass das Verfahren vor dem oberen kantonalen Gericht fortgeführt werde. Sie sei damit mit einer einzigen Instanz einverstanden gewesen; andernfalls hätte sie ohne Verzögerung verlangen müssen, dass die Streitsache zur Beurteilung an die untere kantonale Instanz überwiesen werde, damit diese das Verfahren fortführe.
3.4.2. Es kann offen bleiben, ob eine Prorogation stillschweigend erfolgen kann, wie dies der Beschwerdegegner ohne weiteres vorbringt. Jedenfalls kann man kein solches Einverständnis annehmen, denn die doppelte Instanz kann nicht nur durch Rückweisung an eine untere Instanz gewahrt werden, sondern - wie in <ref-ruling> E. 1.6 aufgezeigt wurde - auch durch Eröffnung einer Weiterzugsmöglichkeit an ein anderes oberes kantonales Gericht oder eine andere Abteilung des gleichen oberen kantonalen Gerichts. Ob ihr diese Möglichkeit entsprechend den bundesrechtlichen Vorgaben eingeräumt wird, konnte die Beschwerdeführerin erst nach Vorliegen des angefochtenen Urteils wissen. Aus ihrem früheren Verhalten kann daher nichts abgeleitet werden.
4.
Die Beschwerde ist somit gutzuheissen und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Nicht stichhaltig ist der Einwand des Beschwerdegegners, eine dem Obergericht übergeordnete kantonale Instanz sei nicht vorgesehen und das Obergericht sei nicht befugt, eine solche einzusetzen. Die Gerichtsorganisation obliege vielmehr dem kantonalen Verfassungsgeber. Es geht nicht darum, dass das Obergericht selber eine Weiterzugsmöglichkeit bestimmt. Vielmehr wird es Sache des Kantons Appenzell Ausserrhoden sein, seine Gerichtsorganisation so auszugestalten, dass das Erfordernis der doppelten Instanz eingehalten ist (<ref-ruling> E. 1.6 S. 255 f.). Eine Beschränkung durch die Kantonsverfassung besteht dabei nicht, denn der Vorrang des Bundesrechts (Art. 49 Abs. 1 BV) gilt auch gegenüber kantonalem Verfassungsrecht (Alexander Ruch, in: St. Galler Kommentar, a.a.O., N. 7 zu Art. 49 BV).
5.
Dem unterliegenden Kanton sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 4 BGG). Hingegen hat er die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Gemäss Art. 4 des Reglements über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht (SR 173.110.210.3) beträgt diese beim vorliegenden Streitwert Fr. 7'000.-- bis Fr. 22'000.--. Angesichts des geringen Aufwands für die lediglich prozessualen Fragen wird die Entschädigung gemäss Art. 8 Abs. 2 des Reglements unter dem Minimalansatz angesetzt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und die Sache wird an das Obergericht Appenzell Ausserrhoden zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. März 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Reitze