Sachverhalt:
A. G._, geboren 1967, war vom 1. Dezember 1998 bis 30. Juni 2005 als Logistik-Koordinator angestellt bei der Firma Z._ und dadurch bei der Pensionskasse pro (nachfolgend: Pensionskasse oder Beschwerdeführerin) berufsvorsorgeversichert. Er leidet an Multipler Sklerose (nachfolgend: MS; erster Verdacht im Jahre 2002; gesicherte Diagnose im Dezember 2006) sowie an einem rezidivierenden Lumbovertebralsyndrom. Nach medizinischen und beruflichen Abklärungen sowie nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens, in dem die Pensionskasse verschiedene Einwendungen erhob, sprach die IV-Stelle des Kantons St. Gallen (nachfolgend: IV-Stelle oder Beschwerdegegnerin) G._ mit Verfügung vom 7. Juli 2008 basierend auf einem Invaliditätsgrad von 71 % ab 1. Juli 2006 eine ganze Rente zu.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der Pensionskasse wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 3. Juli 2009 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die Pensionskasse beantragen, der Beginn der Wartefrist und die Ausrichtung der Rente seien unter Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheides neu festzusetzen. Subsidiär sei der Invaliditätsgrad neu zu bestimmen.
Während G._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichten das Bundesamt für Sozialversicherungen und die IV-Stelle auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann nach <ref-law> die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung ist grundsätzlich für das Bundesgericht verbindlich, wenn sie nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2. Streitig ist, ob der Versicherte ab 1. Juli 2006 Anspruch auf eine ganze Rente der Invalidenversicherung hat. Das kantonale Gericht hat die zur Beurteilung dieses Anspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Zunächst zu prüfen ist der Zeitpunkt der Eröffnung der Wartezeit und damit der Rentenbeginn (vgl. <ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 geltenden Fassung [nachfolgend: aIVG], heute <ref-law>). Dabei ist die Frage nach dem Zeitpunkt des Eintritts der (invalidisierenden) Arbeitsunfähigkeit als Tatfrage zu qualifizieren (Urteil 9C_950/2008 vom 18. März 2009 E. 3.1 mit Hinweisen), weshalb diesbezügliche Feststellungen des kantonalen Gerichts letztinstanzlich nur unter eingeschränktem Blickwinkel überprüfbar sind, soweit sie auf einer Würdigung konkreter Umstände beruhen (<ref-law> sowie Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143, 9C_127/2008 E. 2.2 mit Hinweisen).
3.1 Die Vorinstanz stellte mit angefochtenem Entscheid in tatsächlicher Hinsicht für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich fest, dass der Versicherte bei Beendigung des angestammten Arbeitsverhältnisses per Ende Juni 2005 in erheblichem Ausmass arbeitsunfähig war. Nach umfassender Würdigung der medizinischen Aktenlage schloss das kantonale Gericht angesichts der schubweise verlaufenden Krankheit gestützt auf den Bericht vom 14. Juni 2007 zur eingehenden neurologischen Untersuchung der Dr. med. H._ vom Regionalen Ärztlichen Dienst der Invalidenversicherung (RAD), dass dem Versicherten die erwerbliche Verwertung einer leidensadaptierten Tätigkeit mit einer Arbeitsfähigkeit von 50 % - unter zusätzlicher Berücksichtigung einer Arbeitspräsenz von ca. sechs Stunden pro Tag infolge eines erhöhten Pausenbedarfs bei vermehrt auftretenden Ermüdungserscheinungen - zumutbar ist.
3.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Eröffnung der einjährigen Wartezeit nach Art. 29 Abs. 1 lit. b aIVG im Juli 2005 beruhe auf einer rechtsfehlerhaften Beweiswürdigung. Auf den Bericht der RAD-Ärztin hätten Verwaltung und Vorinstanz nicht abstellen dürfen, weil Dr. med. H._ von der unzutreffenden Annahme ausgegangen sei, die Auflösung des Arbeitsverhältnisses per 30. Juni 2005 sei aus gesundheitlichen Gründen erfolgt. Die Pensionskasse legt nicht dar, ab welchem - anderen - Zeitpunkt bei angeblich korrekter Beweiswürdigung mit erheblicher Arbeitsunfähigkeit zu rechnen war. Dass die Beendigung des Arbeitsverhältnisses hier in einem direkten ursächlichen Zusammenhang mit der Krankheit des Versicherten stand, lässt sich angesichts der klaren Aktenlage - trotz fehlender echtzeitlicher Arbeitsunfähigkeitsatteste und trotz formell anderslautender Kündigungsbegründung - nicht ernsthaft bezweifeln. Es kann offen bleiben, ob die Eröffnung der Wartezeit - wie von der Beschwerdeführerin implizit gerügt - zu Recht erst per 1. Juli 2005 festgesetzt wurde. Denn der Versicherte war bereits vom 11. Januar bis und mit 28. Februar 2005 voll arbeitsunfähig (Bericht seines Hausarztes Dr. med. M._ vom 14. Februar 2007), bevor er bei Wiederaufnahme der Arbeitstätigkeit am 1. März 2005 um 09.00 Uhr den Empfang des Kündigungsschreibens bestätigen musste. Seine Arbeitgeberin stellte ihn sogleich frei und löste das Arbeitsverhältnis per 30. Juni 2005 auf, nachdem er schon in den vorangegangenen Jahren wiederholt Krankheitsschübe mit mehr als einwöchigen Phasen vollständiger Arbeitsunfähigkeit hinzunehmen hatte. Die zahlreich bei den Akten liegenden Berichte zu den im Laufe der Zeit durchgeführten spezialmedizinischen Untersuchungen dokumentieren die mehrjährige belastende Suche nach einer gesicherten Diagnose für die geklagten Beschwerden des Versicherten, welche erst Ende 2006 mit der Erhebung einer Encephalomyelitis disseminata (Multiple Sklerose) abgeschlossen werden konnte. Nach dem Gesagten ist offensichtlich, dass die Auflösung des Arbeitsverhältnisses im Zusammenhang mit den krankheitsbedingten Leistungsfähigkeitseinschränkungen stand. Im Rahmen der bundesgerichtlichen Kognition ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz unter den gegebenen Umständen die strittige Verfügung der IV-Stelle hinsichtlich des Rentenbeginns bestätigt hat.
3.3 Im Wesen des beim Versicherten zumindest teilweise schubförmig verlaufenden MS-Leidens ohne vollständige Remission liegt es, dass die krankheitsbedingten Einschränkungen der Leistungsfähigkeit hier nicht konstant gleichmässig, sondern wechselhaft stark ausgeprägt in Erscheinung traten (RAD-Bericht vom 14. Juni 2007). Gleichzeitig ist von einem sich tendenziell verschlechternden Gesundheitszustand auszugehen (Bericht der Neurologin Dr. med. B._ vom 24. Januar 2007). Der RAD-Arzt Dr. med. L._ hielt in seinem Bericht vom 29. Februar 2008 mit Blick auf die von der Beschwerdeführerin bereits im Vorbescheidverfahren erhobenen Einwände fest, dass sich der Gesundheitsschaden zwischen November 2004 und Dezember 2006 deutlich verschlechtert habe. In Bezug auf die von der RAD-Ärztin Dr. med. H._ und dem behandelnden Hausarzt übereinstimmend auf rund 50 % geschätzte Einschränkung der Leistungsfähigkeit mit rückwirkender Gültigkeit ab 1. Juli 2005 führte Dr. med. L._ basierend auf der medizinischen Aktenlage aus, es bestehe keine Veranlassung an einer entsprechenden dauerhaften Einschränkung der Arbeitsfähigkeit seit diesem Zeitpunkt zu zweifeln. Insbesondere vermag sich die Pensionskasse nicht auf abweichende echtzeitliche, medizinisch nachvollziehbar begründete Arbeitsfähigkeitsbeurteilungen abzustützen. Eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes macht die Beschwerdeführerin zu Recht nicht geltend. Es finden sich entgegen der Pensionskasse keine Anhaltspunkte für eine rechtsfehlerhafte oder gar willkürliche Tatsachenfeststellung.
3.4 Nach dem Gesagten vermag die Beschwerdeführerin auch aus der angeführten Rechtsprechung zum zeitlichen Zusammenhang zwischen Arbeitsunfähigkeits- und Invaliditätseintritt (vgl. <ref-ruling>) nichts zu ihren Gunsten abzuleiten. Wohl zählen die in der Arbeitswelt nach aussen in Erscheinung tretenden Verhältnisse - wie z.B. die Tatsache, dass ein Versicherter über längere Zeit hinweg als voll vermittlungsfähiger Stellensuchender Taggelder der Arbeitslosenversicherung bezieht - zu den für die Beurteilung des zeitlichen Konnexes relevanten Umständen (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22 mit Hinweisen). Doch lässt sich aus der Tatsache, dass der Versicherte hier ab 1. Juli 2005 bei voller Vermittlungsfähigkeit zum Bezug von Arbeitslosenversicherungsleistungen angemeldet war, unter den gegebenen Umständen nicht die Schlussfolgerung ziehen, die Feststellung einer rückwirkend ab 1. Juli 2005 andauernden Arbeitsunfähigkeit (E. 3.1 und 3.3 hievor) sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 (<ref-law>). Nachdem die in stark ausgeprägter Wechselhaftigkeit auftretenden, sich jedoch deutlich verschlimmernden Beschwerden zur Auflösung des Arbeitsverhältnisses per 30. Juni 2005 geführt hatten (E. 3.2 hievor) und sich die damit verbundenen zunehmenden Einschränkungen der Leistungsfähigkeit erst Ende 2006 auf eine gesicherte Diagnose abstützen liessen, kann auf Grund des zwischenzeitlichen Bezuges von Leistungen der Arbeitslosenversicherung nicht ernsthaft in Frage gestellt werden, dass der Versicherte basierend auf der medizinischen Aktenlage seit Juli 2005 ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens zu 40 % arbeitsunfähig blieb (Art. 29 Abs. 1 lit. b aIVG). Im Übrigen ist hier nicht zu prüfen, ob und inwieweit der Versicherte ab 1. Juli 2005 Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung hatte.
3.5 Im Rahmen der bundesgerichtlichen Kognition ist somit die vorinstanzliche Feststellung der seit Juli 2005 anhaltenden 50 %igen Arbeitsunfähigkeit bei vermehrtem Pausenbedarf infolge erhöhter Ermüdbarkeit und kognitiver Beeinträchtigungen des Gedächtnisses und der Konzentrationsfähigkeit nicht zu beanstanden.
4. Was die Beschwerdeführerin gegen die Ermittlung des Invaliditätsgrades von 71 % vorbringt, ist offensichtlich unbegründet. Unbestritten ist das Valideneinkommen. In Bezug auf das Invalideneinkommen hat die IV-Stelle bereits mit Verfügung vom 7. Juli 2008 zutreffend dargelegt, weshalb sie nicht das Einkommen aus der körperlich grundsätzlich leidensangepassten angestammten Arbeitsstelle heranzog. Nach den Erkenntnissen aus der Eingliederungsberatung war dem Versicherten angesichts seiner deutlich progredient verlaufenden krankheitsbedingten Beeinträchtigungen insbesondere der kognitiven Fähigkeiten die geistig anspruchsvolle Tätigkeit als Logistik-Koordinator auch bei einem eingeschränkten Pensum nicht mehr zumutbar. Nach dem Gesagten sind sowohl das mit angefochtenem Entscheid unter den gegebenen Umständen bestätigte Abstützen auf Einkommensvergleichswerte kaufmännischer Angestellter als auch die Berücksichtigung des beim Einkommensvergleich einberechneten Leidensabzuges nicht offensichtlich unrichtig; auch beruht die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung nicht sonstwie auf einer rechtsfehlerhaften Beweiswürdigung. Sind der ermittelte Invaliditätsgrad von 71 % sowie der Zeitpunkt der Eröffnung der Wartezeit ab Juli 2005 (E. 3 hievor) nicht zu beanstanden, bleibt es bei der vom kantonalen Gericht geschützten Zusprechung einer ganzen Invalidenrente ab 1. Juli 2006.
5. Die Gerichtskosten werden der Beschwerdeführerin als unterliegende Partei auferlegt (<ref-law>). Der obsiegende Versicherte hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Versicherten für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. März 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Hochuli