(Kostenauflage im Strafverfahren), hat sich ergeben:
A.- S._ mietete ab dem 1. Januar 1994 von W._ das Wohn- und Geschäftshaus D._ 15 sowie das Hotel-Restaurant D._ 18 mit dem Nachtlokal "X._" in Chur. Nachdem S._ die vereinbarten Zinszahlungen nicht mehr leistete, kündigte W._ den Vertrag am 27. November 1996.
Im Streit um die finanziellen Folgen der Vertragsauflösung erhob W._ am 10. Oktober 1997 beim Bezirksgericht Plessur Forderungsklage gegen S._. S._ erhob am 15. Dezember 1997 Widerklage, die er u.a. damit begründete, er habe an den beiden Liegenschaften Renovationsarbeiten ausführen lassen. Zum Beweis seiner Gegenforderung reichte S._ dabei unter anderem auch die Kopie einer Rechnung vom 20. Februar 1996 über 31'225 Franken des Teppichlegers K._ ein. Die verrechneten Leistungen hatte K._ weder erbracht noch in Rechnung gestellt, die Rechnung war vielmehr von einem Angestellten S._'s auf dessen Geheiss hin selber hergestellt worden, indem er den Inhalt einer Originalrechnung wegkopiert und das so erhaltene Blankoformular mit dem Schriftzug der Firma K._ selber ausgefüllt hatte. Weiter machte S._ geltend, er habe auf behördliche Anordnung hin den Kamin der Liegenschaft D._ 18 für 850 Franken sanieren müssen.
Aus der Rechnung des Unternehmers O._ geht hervor, dass im Rechnungsbetrag die Demontage des Parabolspiegels, welche zu Lasten S._'s erfolgte, eingeschlossen war.
Auf der Rechnungskopie, die er dem Gericht einreichte, kopierte S._ diese Passage weg und machte so geltend, der gesamte Betrag sei für die feuerpolizeilich verfügte Sanierung des Kamins aufgewendet worden.
B.- Mit Anklageschrift vom 29. Februar 2000 klagte die Staatsanwaltschaft Graubünden S._ wegen vollendeten Betrugsversuchs und Urkundenfälschung beim Kreisgericht Chur an. Dieses sprach ihn am 8. Juni 2000 frei, auferlegte ihm jedoch die Verfahrenskosten.
Die Staatsanwaltschaft und S._ erhoben gegen dieses Urteil Berufung, wobei erstere die Schuldigsprechung und Bestrafung S._'s verlangte, während letzterer sich gegen die Kostenauflage wandte und eine Parteientschädigung verlangte.
Der Kantonsgerichtsausschuss wies am 21. Februar 2001 beide Berufungen ab, wobei es die Berufungskosten zu einem Fünftel S._ auferlegte.
C.- Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 9. Juli 2001 wegen Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK beantragt S._, den angefochtenen Entscheid aufzuheben.
Er macht geltend, als Freigesprochenem hätten ihm keine Kosten auferlegt werden dürfen, und es hätte ihm eine Entschädigung zugesprochen werden müssen.
Die Staatsanwaltschaft verzichtet auf Vernehmlassung, währenddem das Kantonsgericht unter Verweis auf sein Urteil beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Beim angefochtenen Entscheid des Kantonsgerichtsausschusses handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 OG). Der Beschwerdeführer ist durch die Auferlegung von Gerichtskosten und die Abweisung seines Entschädigungsgesuchs in seinen rechtlich geschützten Interessen berührt (Art. 88 OG), und er macht die Verletzung der von Art. 32 Abs. 1 und Art. 6 Ziff. 2 EMRK garantierten Unschuldsvermutung geltend (Art. 84 Abs. 1 lit. a OG). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt, sodass auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.- a) Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts dürfen einem Angeschuldigten bei Freispruch nur dann Kosten auferlegt werden, wenn er durch ein unter rechtlichen Gesichtspunkten vorwerfbares Verhalten die Einleitung des Strafverfahrens veranlasst oder dessen Durchführung erschwert hat. Bei der Kostenpflicht des Freigesprochenen handelt es sich nicht um eine Haftung für ein strafrechtliches Verschulden, sondern um eine zivilrechtlichen Grundsätzen angenäherte Haftung für ein fehlerhaftes Verhalten, durch das die Einleitung oder Erschwerung des Prozesses verursacht wurde. Gemäss <ref-law> ist zum Ersatz verpflichtet, wer einem anderen widerrechtlich Schaden zufügt, sei es mit Absicht, sei es aus Fahrlässigkeit. Im Zivilrecht wird demnach eine Haftung dann ausgelöst, wenn jemandem durch ein widerrechtliches und - abgesehen von den Fällen der Kausalhaftung - schuldhaftes Verhalten ein Schaden zugefügt wird. Widerrechtlich im Sinne von <ref-law> ist ein Verhalten dann, wenn es gegen Normen verstösst, die direkt oder indirekt Schädigungen untersagen bzw. ein Schädigungen vermeidendes Verhalten vorschreiben.
Solche Verhaltensnormen ergeben sich aus der Gesamtheit der schweizerischen Rechtsordnung, unter anderem aus Privat-, Verwaltungs- und Strafrecht, gleichgültig, ob es sich um eidgenössisches oder kantonales, geschriebenes oder ungeschriebenes Recht handelt. Es ist mit der in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK festgelegten Unschuldsvermutung vereinbar, einem nicht verurteilten Angeschuldigten die Kosten dann zu überbinden, wenn er in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise gegen eine solche Verhaltensnorm klar verstossen und dadurch das Strafverfahren veranlasst oder dessen Durchführung erschwert hat (<ref-ruling> E. 1b mit Hinweisen). Unzulässig ist es dagegen, die Kostenauflage damit zu begründen, der Angeschuldigte habe sich strafbar gemacht bzw. ihn treffe ein strafrechtliches Verschulden (<ref-ruling> E. 2e S. 175)
b) Vor dem Kantonsgerichtsausschuss strittig war lediglich der Vorfall mit der gefälschten Rechnung über 31'225 Franken des Teppichlegers K._. Der Kantonsgerichtsausschuss kam in diesem Punkt zum Schluss, der Beschwerdeführer habe - was er auch gar nicht bestreitet - die umstrittene Fälschung von seinem Angestellten anfertigen lassen, sie nachher in seine Buchhaltung eingefügt und später dem Gericht eingereicht. Damit habe er "durch sein Verhalten offensichtlich die objektiven Tatbestandselemente der Urkundenfälschung im Sinne von <ref-law> erfüllt" (angefochtener Entscheid S. 10/11). In subjektiver Hinsicht sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer zum Beleg der von ihm erhobenen Gegenforderung seiner Buchhaltung mehr oder weniger wahllos Rechnungen entnommen und diese dem Bezirksgericht Plessur eingereicht habe; es sei daher glaubhaft, dass er sich in diesem Zeitpunkt nicht mehr an die umstrittene "Rechnung" erinnert habe. Es habe ihm daher der Vorsatz gefehlt, dem Gericht in Täuschungsabsicht eine gefälschte Urkunde einzureichen, weshalb ihn die Vorinstanz zu Recht freigesprochen habe (angefochtener Entscheid S. 14).
c) Nach den unbestrittenen Feststellungen des Kantonsgerichtsausschusses im angefochtenen Urteil hat somit der Beschwerdeführer eine falsche Rechnung erstellen lassen, sie seiner Buchhaltung beigefügt und sie dann später, mangels Ordnung in der Buchhaltung oder mangels genügender Sorgfalt bei der Zusammenstellung seiner Prozessbeilagen, in einen Zivilprozess zum Beleg seiner Gegenforderung eingeführt.
Wer, aus welchen (lauteren oder unlauteren) Gründen auch immer, bewusst gefälschte Rechnungen in seine Geschäftsbuchhaltung aufnimmt und diese später, ohne an die Fälschung zu denken, zu Beweiszwecken in einen Zivilprozess einführt, handelt unter zivilrechtlichen Gesichtspunkten fahrlässig. Er lässt mangels Aufmerksamkeit und Vorkehren, die dies hätten verhindern können, die erforderliche Sorgfalt, um anderen keinen Schaden zuzufügen, vermissen. Dies stellt den Freispruch des Beschwerdeführers in keiner Weise in Frage, da für eine strafrechtliche Verurteilung Vorsatz erforderlich gewesen wäre, was dem Beschwerdeführer nach dem rechtskräftigen, auch das Bundesgericht bindenden Urteil des Kantonsgerichtsausschusses nicht vorgeworfen werden kann. Dass die Einreichung dieser gefälschten Rechnung unter den gegebenen Umständen geeignet war, den dringenden Verdacht eines Prozessbetrugs oder einer Urkundenfälschung zu erwecken und damit als adäquate Ursache für die Eröffnung des Strafverfahrens anzusehen ist, bedarf keiner weiteren Ausführungen.
Es ist daher nicht zu beanstanden, dass der Kantonsgerichtsausschuss das erstinstanzliche Urteil schützte, welches dem Beschwerdeführer die Prozesskosten auferlegte und ihm eine Parteientschädigung verweigerte. Ebensowenig kann er sich darüber beklagen, dass es ihm für das Berufungsverfahren die Kosten nach Massgabe seines Unterliegens auferlegte. Die Rüge ist unbegründet.
d) Der zweite Anklagepunkt (Rechnung O._), der im Berufungsverfahren nicht mehr strittig war, ist im Vergleich zum Anklagepunkt K._ von völlig untergeordneter Bedeutung. Die Kostenauflage wäre daher auch dann gerechtfertigt, wenn dem Beschwerdeführer in Bezug darauf nicht angelastet werden könnte, die Untersuchung in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise verursacht zu haben.
3.- Die Beschwerde ist somit abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.- Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Kreisgericht Chur (Kreisamt Chur), der Staatsanwaltschaft Graubünden sowie dem Kantonsgericht von Graubünden (Kantonsgerichtsausschuss) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 30. Oktober 2001
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Das präsidierende Mitglied:
Der Gerichtsschreiber: