Sachverhalt:
A. X._ (Jg. 1954) und Y._ (Jg. 1977) haben am 15. Januar 2007 in Basel geheiratet. 2007 gebar die Frau die gemeinsame Tochter V._. Bei der Mutter wohnt auch die voreheliche Tochter W._ (geb. 2000).
B. Am 21. August 2011 ersuchte X._ das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt um Regelung des Getrenntlebens. Mit Entscheid vom 24. Oktober 2011 regelte die Zivilgerichtspräsidentin das Getrenntleben. Die Obhut über V._ teilte sie vorsorglich der Mutter zu. Dem Vater räumte sie ein wöchentliches Besuchsrecht ein. Zugleich beauftragte sie die Abteilung Kindes- und Jugendschutz des Erziehungsdepartements (AKJS) abzuklären, welchem Ehegatten die Obhut zugeteilt und wie inskünftig das Besuchsrecht geregelt werden soll.
C. Am 27. Februar 2012 reichte die AKJS ihren Bericht samt Empfehlungen ein. In seiner Stellungnahme vom 20. März 2012 beantragte X._, die Zuteilung der Obhut durch einen Kinderpsychologen abklären zu lassen. Die Präsidentin des Zivilgerichts des Kantons Basel-Stadt wies diesen Antrag mit Entscheid vom 5. April 2012 ab. Zugleich bestätigte sie die vorsorgliche Zuteilung der Obhut über V._ an Y._, regelte den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Tochter und beauftragte die Vormundschaftsbehörde, eine Beistandschaft nach <ref-law> zu errichten. Gegen diesen Entscheid legte X._ beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt Berufung ein. Dessen Ausschuss wies das Rechtsmittel ab und beauftragte die Beistandsperson, Abklärungen zur möglicherweise erforderlichen Sprachförderung für V._ in die Wege zu leiten (Urteil vom 21. August 2012).
D. In seiner Beschwerde an das Bundesgericht vom 12. November 2012 lässt X._ (Beschwerdeführer) durch seinen Anwalt beantragen, das Urteil des Appellationsgerichts "teilweise aufzuheben, eventualiter an die Vorinstanz zurückzuweisen, und wie folgt abzuändern" (Ziffer 1): Es sei über die Tochter V._ ein psychologisches Gutachten bei der Kinder- und Jugendpsychiatrischen Klinik Basel-Stadt (KJPK) einzuholen (Ziffer 2), es sei "demgemäss die Obhut über die Tochter V._ auf den Beschwerdeführer und Kindsvater zu übertragen" (Ziffer 3) und es sei Y._ (Beschwerdegegnerin) ein angemessenes Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen. Im Übrigen sei der vorinstanzliche Entscheid zu bestätigen. Weiter ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
In einem Schreiben, das ebenfalls vom 12. November 2012 datiert, wendet sich der Beschwerdeführer persönlich an das Bundesgericht und reicht zusätzliche Unterlagen ein.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer wehrt sich binnen Frist (<ref-law>) gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Streitig ist die Bestätigung der in einem Eheschutzverfahren zunächst vorsorglich ausgesprochenen Zuteilung der elterlichen Obhut, mithin eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>). Der angefochtene Entscheid behandelt nur einen Teil der gestellten Begehren, denn in seinem Eheschutzgesuch vom 21. August 2011 hatte der Beschwerdeführer die umfassende Regelung des Getrenntlebens verlangt. Der Antrag betreffend die Zuteilung der Obhut und das damit verbundene Begehren um Regelung des persönlichen Verkehrs mit dem nicht obhutsberechtigten Elternteil können unabhängig von den anderen Aspekten des Getrenntlebens beurteilt werden (<ref-law>), zumal der Beschwerdeführer für den Fall der Obhutszuteilung an ihn keinen Antrag auf Kindesunterhalt stellt. Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit grundsätzlich zulässig.
1.2 Von vornherein nicht einzutreten ist allerdings auf die Kritik, die der Beschwerdeführer an den erstinstanzlichen Verfahren vor dem Zivilgericht bzw. an den daraus resultierenden Entscheiden übt, denn Anfechtungsobjekt vor Bundesgericht ist einzig der Entscheid des Appellationsgerichts (<ref-law>).
2. Das angefochtene Urteil erhebt den zunächst vorsorglich ausgesprochenen zu einem - im Rahmen des Eheschutzverfahrens - endgültigen Obhutsentscheid (E. 1.1). Eheschutzentscheide unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 397 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es demnach nicht aus, wenn der Beschwerdeführer die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur dann als willkürlich auf, wenn er nicht bloss in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
3. Anlass zum Streit gibt zum einen der Antrag des Beschwerdeführers, über die Tochter V._ im Hinblick auf den Obhutsentscheid ein psychologisches Gutachten einzuholen (vgl. Sachverhalt Bst. C).
3.1 In Kinderbelangen gilt unabhängig von der Art des Verfahrens der Untersuchungs- und Offizialgrundsatz (<ref-law>; vgl. Urteil 5P.507/2006 vom 5. April 2007 E. 4.1). Die Untersuchungsmaxime schreibt dem Richter vor, den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen (<ref-law>). Die Untersuchungspflicht reicht so weit und dauert so lange, bis über die Tatsachen, deren Kenntnis für eine Entscheidung im Kindeswohl von Bedeutung ist, hinreichende Klarheit besteht (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 413). <ref-law> schreibt dem Sachrichter jedoch nicht vor, mit welchen Mitteln er den Sachverhalt abklären muss. Ebenso wenig erfasst diese Vorschrift die Art der Erhebung von Beweismitteln (Urteil 5A_574/2012 vom 17. Dezember 2012 E. 2.2.1). Wie das Beweisführungsrecht schliesst auch die Untersuchungsmaxime eine vorweggenommene Würdigung von Beweisanerbieten nicht aus. Verfügt das Gericht über genügende Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung, kann es auf weitere Beweiserhebungen verzichten (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735). In diesem Sinne folgt aus der Geltung der Untersuchungsmaxime keineswegs, dass der Richter jedem Beweisantrag stattzugeben hat. Lässt sich der massgebliche Sachverhalt auf andere Weise abklären, verstösst demzufolge auch der Verzicht auf ein bestimmtes Gutachten nicht gegen das Bundesrecht (Urteil 5A_361/2010 vom 10. September 2010 E. 4.2.1). All das hat schon die Vorinstanz zutreffend festgehalten.
3.2 Der Beschwerdeführer wirft dem Appellationsgericht vor, es würdige die "vorhandenen Beweise auf willkürliche Art und Weise" und verkenne "die wahre Sachlage", weshalb sein Entscheid, die Tochter V._ nicht psychologisch abzuklären, vor Art. 176 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>, Art. 9, 10 und 11 BV, Art. 8 EMRK sowie Art. 12 der UNO-Kinderrechtskonvention (Übereinkommen über die Rechte des Kindes vom 20. November 1989; SR 0.107) nicht standhalte. Was er zur Begründung all dieser Rügen durch seinen Rechtsvertreter vortragen lässt und in seiner eigenen Eingabe vorträgt, vermag den angefochtenen Entscheid indessen nicht zu erschüttern, sondern erschöpft sich weitgehend in appellatorischer Kritik. Insbesondere kann dem Appellationsgericht nicht vorgeworfen werden, dass es sich mit den Vorbringen des Beschwerdeführers nicht auseinandergesetzt hätte. Vielmehr ist es der Beschwerdeführer, der nicht auf den angefochtenen Entscheid eingeht und einfach die Vorwürfe wiederholt, zu denen sich das Appellationsgericht bereits geäussert hat. Dies gilt für den abermals vorgetragenen Standpunkt, der Bericht der AKJS genüge den formellen Anforderungen an ein Gutachten nicht und könne lediglich als Stellungnahme mit fachlichen Einschätzungen angesehen werden. Wie es sich damit verhält, kann offenbleiben. Denn auch wenn der streitige Bericht nicht im technischen Sinne als Gutachten gelten könnte, folgt allein daraus keineswegs, dass eine psychologische Begutachtung unabdingbar gewesen wäre. Ebenso äussert der Beschwerdeführer erneut den Verdacht der Befangenheit, weil sich die Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter des AKJS "zum Zeitpunkt des AKJS-Berichtes" schon längere Zeit mit dem Fall befasst hätten und der Sachverhalt eine sehr intensive Betreuung insbesondere durch die Sozialarbeiterin A._ erfordert habe. Allein blosse Mutmassungen darüber, dass "unbewusst gewisse Beobachtungsfehler auftreten" können und V._ "mit grosser Wahrscheinlichkeit durch die Halbschwester W._ und die Mutter negativ beeinflusst wird", genügen nicht, um eine kinderpsychologische Befragung als unumgänglich auszuweisen. Gleiches gilt für die nicht näher substanziierte Behauptung, die Beschwerdegegnerin sei durch die Sozialarbeiterin unangemessen positiv beurteilt worden. Besonderes Gewicht legt der Beschwerdeführer schliesslich auf V._s "sprachliche Unterentwicklung" und auf die "Verständigungsprobleme" zwischen Mutter und Tochter, die seiner Meinung nach daher rühren, dass das Kind kaum französisch und die Mutter kaum deutsch spreche. Der Beschwerdeführer folgert daraus, dass die Beziehung zwischen Mutter und Tochter "ganz und gar nicht" intakt sei und V._ schon vor der Trennung der Eltern "keinen grossen Kontakt zur Mutter pflegte". V._s individuelle Bedürfnisse könnten daher nur durch ein psychologisches Gutachten festgestellt werden. Dass das Appellationsgericht die sprachlichen Auffälligkeiten des Kindes nicht zu erklären vermöchte, kann jedoch nicht gesagt werden, weist es doch ausdrücklich darauf hin, dass es bei zwei- oder gar mehrsprachig aufwachsenden Kindern zu Verzögerungen in der Sprachentwicklung kommen könne. Diese Erkenntnis stellt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht in Frage. Stattdessen erhebt er die weitere Rüge, es sei "nicht ersichtlich", weshalb "wieder - anstatt der Beobachtung des Besuchsrechtsbeistands B._ - dem Bericht der AKJS der Vorzug gewährt" werde. Auch dieser Vorwurf geht fehl, und zwar schon deshalb, weil sich das Appellationsgericht explizit auch auf die Aussage im Bericht der AKJS bezieht, wonach V._ "in der Sprachentwicklung im Vergleich zu Kindern desselben Alters weniger weit entwickelt" sei.
4. Auch mit dem Obhutsentscheid zugunsten der Beschwerdegegnerin will der Beschwerdeführer es nicht bewenden lassen.
4.1 Das mit der "Regelung des Getrenntlebens" (Marginalie zu <ref-law>) befasste Eheschutzgericht trifft nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses die nötigen Massnahmen, wenn die Ehegatten unmündige Kinder haben (<ref-law>). Für die Zuteilung der Obhut an einen Elternteil gelten grundsätzlich die gleichen Kriterien wie im Scheidungsfall. Nach der Rechtsprechung, die das Appellationsgericht im angefochtenen Entscheid korrekt wiedergibt, hat das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern. Deren Erziehungsfähigkeit ist als Erstes zu klären. Ist sie bei beiden Elternteilen gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Elternteile diese Voraussetzung ungefähr in gleicher Weise, kann die für eine harmonische Entfaltung notwendige Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Unter Umständen kann die Möglichkeit der persönlichen Betreuung auch dahinter zurücktreten (Urteil 5C.212/2005 vom 25. Januar 2006 E. 4.2 und 4.4.1, in: FamPra.ch 2006 S. 753 ff.). Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich weitere Gesichtspunkte zuordnen, namentlich die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten, der Grundsatz, die Geschwister nach Möglichkeit nicht zu trennen, oder die Forderung, dass die Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 209; <ref-ruling> E. 2 und 3 S. 319 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 354 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 180 f.).
4.2 Der Beschwerdeführer stellt sich wiederum auf den Standpunkt, das Appellationsgericht würdige die Beweise willkürlich und verkenne die wahre Sachlage; ebenso rügt er eine Verletzung der bereits in Erwägung 3.2 zitierten Vorschriften. Die Begründung seiner Rügen vermag jedoch auch in diesem Zusammenhang nicht zu überzeugen. So bezweifelt der Beschwerdeführer, dass das Appellationsgericht in erster Linie den Kindesschutz beachte, wenn es der Halbgeschwisterbeziehung zwischen V._ und W._ "grösstes Gewicht" beimesse. Diese Zweifel begründet er aber einzig damit, dass seine Tochter von ihrer Mutter und ihrer Halbschwester "in Bezug auf ihren Vater negativ beeinflusst" werde und die Kindsmutter den Kontakt zwischen ihm und V._ zu unterbinden versuche. Diese Befürchtungen betreffen nicht das Wohl des Kindes, sondern das Verhältnis zwischen den Eltern und allenfalls dasjenige zwischen dem Beschwerdeführer und seiner Stieftochter. Sie können daher von vornherein kein Grund sein, V._s Bedürfnis nach einem Zusammenleben mit ihrer Halbschwester in irgendeiner Weise zu relativieren. "Grosse Bedenken" hat der Beschwerdeführer auch, was die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin angeht. Er begnügt sich aber weitgehend damit, den Sachverhalt aus seiner Sicht zu schildern, ohne im Einzelnen darzutun, weshalb der angefochtene Entscheid selbst, so wie ihn die kantonale Instanz gefällt hat, im Ergebnis an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. So beklagt er sich nochmals über V._s "sprachliche Unterentwicklung" und über die Verständigungsprobleme zwischen Mutter und Tochter (s. dazu schon E. 3.2). Weil die Beschwerdegegnerin sprachlich in keiner Weise integriert sei und lediglich französisch spreche, sei "des Öftern" W._s Hilfe als Dolmetscherin erforderlich gewesen. Selbst wenn all dies tatsächlich zutreffen sollte, muss dies nicht in der vom Beschwerdeführer unterstellten absoluten Weise bedeuten, dass schon während der letzten drei Jahre vor der Trennung "nur" er sich um V._s Erziehung gekümmert habe. Im Übrigen setzt sich der Beschwerdeführer auch nicht mit der vorinstanzlichen Erkenntnis auseinander, wonach die Beschwerdegegnerin in Bezug auf ihre Erziehungskompetenz und ihren Umgang mit den Kindern im Bericht der AKJS äusserst positiv beschrieben werde, "was bei einer nicht funktionierenden Kommunikation zwischen Mutter und Tochter kaum möglich wäre". Bezüglich der Deutschkenntnisse der Beschwerdegegnerin beruft sich der Beschwerdeführer neu auf ein Dokument der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt vom 21. Dezember 2011. Er zeigt jedoch nicht auf, inwiefern erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gegeben hätte, das Beweismittel vorzubringen. Dieses muss deshalb unbeachtlich bleiben (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 395). Schliesslich ist auch mit undifferenzierten Anschuldigungen an die Adresse der zuständigen Sozialarbeiterin, wonach sich diese "unfair und voreingenommen" verhalten und mit der Beschwerdegegnerin vorschnell "solidarisiert" haben soll, keine willkürliche Beweiswürdigung darzutun. Ähnlich verhält es sich mit der Erkenntnis, dass V._ bei der Beschwerdegegnerin teilweise fremdbetreut wird. Das Appellationsgericht führt aus, dieser Umstand würde sich mit einer Obhutszuteilung nicht ändern, weshalb ihm angesichts der Berufstätigkeit beider Eltern keine entscheidende Bedeutung zukommen könne. Der Beschwerdeführer gibt sich mit der Behauptung zufrieden, die Fremdbetreuung weise "eindeutig" darauf hin, dass die Beschwerdegegnerin andere Tätigkeiten der Kindererziehung vorziehe. Als Letztes wirft der Beschwerdeführer in die Waagschale, dass V._ Mühe habe, in ihrem Wohnquartier Freundinnen und Freunde zu finden. Die Verantwortung dafür lastet er seiner Ehefrau an. Diese werde in ihrem sozialen Umfeld gemieden, weil - bestätigt durch den Hausmeister C._ - "klare Anzeichen" dafür bestünden, dass sie sich nicht nur in Zürich, sondern auch in ihrem Wohnquartier prostituiere. Auf solche Spekulationen ist nicht einzutreten.
5. Unbegründet ist also nicht nur der Vorwurf, das Appellationsgericht habe willkürlich auf die Einholung eines psychologischen Gutachtens über V._ verzichtet (E. 3). Auch der Entscheid, die Tochter V._ unter die Obhut der Beschwerdegegnerin zu stellen, hält vor der Verfassung stand (E. 4). Vergeblich beruft sich der Beschwerdeführer auch darauf, dass unter den dargelegten Umständen keine hinreichenden Gründe bestünden, weshalb von der Erteilung der Obhut über V._ an ihn abgesehen werden soll. Denn als willkürlich hebt das Bundesgericht einen Entscheid nur dann auf, wenn er nicht bloss in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (s. E. 2). Soweit der Beschwerdeführer dem Appellationsgericht eine willkürliche Anwendung von Art. 176 Abs. 3 i.V.m. <ref-law> vorwirft und eine Verletzung weiterer verfassungsmässiger Rechte, der EMRK und der Kinderrechtskonvention geltend macht, ist auf seine Rügen nicht einzutreten, denn hierzu enthält sein Schriftsatz keinerlei Ausführungen (<ref-law>; E. 2).
6. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er wird kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet, da der Beschwerdegegnerin kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Februar 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn