wird festgestellt und in Erwägung gezogen:
1.- Der 1952 geborene X._ wurde am 27. November 2000 vorsorglich im Sinne einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung in die Psychiatrische Klinik A._ eingewiesen.
Die Massnahme wurde durch Entscheid des Regierungsstatthalters des Amtes Entlebuch vom 14. Dezember 2000 bestätigt.
Ein Entlassungsgesuch von X._ vom 15. März 2001 wies der Regierungsstatthalter am 31. Mai 2001 ab. Mit Urteil vom 20. Juni 2001 wies das Verwaltungsgericht (verwaltungsrechtliche Abteilung) des Kantons Luzern eine Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab, soweit darauf einzutreten war.
Der Entscheid wurde am 4. Juli 2001 versandt.
Mit einer vom 8. Oktober 2001 datierten, noch am gleichen Tag zur Post gebrachten und mit "Gesuch um Entlassung aus der psych. Klinik" überschriebenen Eingabe, der er das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 20. Juni 2001 beigelegt hat, wendet sich X._ an das Bundesgericht.
2.- Gegen einen kantonalen Entscheid betreffend fürsorgerische Freiheitsentziehung steht die Berufung offen (Art. 44 lit. f. des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege; OG). Die Eingabe von X._ ist als Berufung gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 20. Juni 2001 entgegenzunehmen. Da der Berufung aus den nachstehend darzulegenden Gründen ohnehin kein Erfolg beschieden sein kann, mag offen bleiben, ob der Berufungskläger die Dreissig-Tage-Frist von Art. 54 Abs. 1 OG, die - falls er das Urteil nicht erst nachher in Empfang nahm - vom 15. Juli bis und mit 15. August 2001 still gestanden hat (Art. 34 Abs. 1 lit. b OG), eingehalten hat.
3.- Nach <ref-law> darf eine Person unter anderem wegen Geisteskrankheit, Geistesschwäche oder schwerer Verwahrlosung in einer geeigneten Anstalt untergebracht oder zurückbehalten werden, wenn ihr die nötige persönliche Fürsorge nicht anders erwiesen werden kann.
a) Das Verwaltungsgericht hat unter Berufung auf die Berichte verschiedener Ärzte vom 23. Mai 2001 sowie vom 7. und
19. Juni 2001, auf die persönliche Befragung und auf die fachrichterliche Stellungnahme festgehalten, der Berufungskläger leide an einer paranoiden Schizophrenie und zudem an einem behandlungsbedürftigen Diabetes; es zeigten sich bei ihm mit dieser psychischen Störung zusammenhängende Verwahrlosungstendenzen.
Im Zeitpunkt der Einweisung in die Klinik habe der Berufungskläger sich in einem Zustand totaler körperlicher und geistiger sowie verbal-kommunikativer Blockiertheit befunden. Ein Versuch, ihn Ende Februar 2001 mit seinem Einverständnis in das Altersheim B._ zu verlegen, sei wegen seiner Weigerung, die Medikamente einzunehmen, gescheitert. Auch für den Zeitpunkt der Fällung ihres Entscheids hielt die Vorinstanz dafür, es drohe bei einer Entlassung ein sofortiger Rückfall des Berufungsklägers in das bei seinem Eintritt in die Klinik gezeigte, als selbstgefährdend zu qualifizierende Verhalten. Unter Hinweis auf die bisherigen Erfahrungen und insbesondere auf seine kürzlich gemachte Ankündigung, er würde bei einer Entlassung sofort alle Medikamente absetzen, bezeichnet das Verwaltungsgericht die Aussagen des Berufungsklägers, er sei bereit, das Insulin selber zu spritzen oder sich dieses spritzen zu lassen und auch eine geringe Dosis des verschriebenen Neuroleptikums in Tablettenform einzunehmen, als wenig glaubhaft. Der Berufungskläger sei zudem - wenn überhaupt - nur bedingt krankheitseinsichtig und ein soziales Netz, das ihm die notwendige Stütze zu geben vermöchte, sei nicht vorhanden, habe er doch an der Verhandlung selbst erklärt, er habe keine Freunde und habe das Vertrauen nicht nur zu seinem Hausarzt, sondern auch zu andern Ärzten verloren. Aus den dargelegten Umständen schliesst die Vorinstanz, dass die nötige Fürsorge zur Zeit nur in einem stationären Rahmen gewährleistet werden könne und eine ambulante Massnahme unzureichend wäre. Mit der fürsorgerischen Freiheitsentziehung in der Psychiatrischen Klinik A._ sei eine Verbesserung und eine anschliessende Stabilisierung des Gesundheitszustandes des Berufungsklägers anzustreben, um so die Gefährdung möglichst gering zu halten. Sobald dies erreicht sei, müsse im Sinne der Verhältnismässigkeit eine weniger einschneidende Massnahme gewählt werden.
b) Die vom Berufungskläger (pauschal) bestrittenen tatsächlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts zu seinem Gesundheitszustand, zu seiner mangelhaften Krankheitseinsichtigkeit, zur Behandlungsbedürftigkeit und zur drohenden Selbstgefährdung sind für das Bundesgericht im Berufungsverfahren verbindlich (vgl. Art. 63 Abs. 2 OG) und können hier daher nicht überprüft werden. In Anbetracht der verbindlich festgehaltenen Gegebenheiten ist die gestützt auf <ref-law> angeordnete Einweisung des Berufungsklägers in die Psychiatrische Klinik A._ bundesrechtskonform. Es sei hier im Übrigen im Sinne von Art. 36a Abs. 3 OG auf die zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz verwiesen.
Soweit in der Eingabe des Berufungsklägers ein Gesuch um Entlassung zu erblicken ist, kann darauf wegen fehlender Zuständigkeit des Bundesgerichts nicht eingetreten werden. Wie das Verwaltungsgericht ausdrücklich bemerkt hat (S. 10 Erw. 6 des angefochtenen Urteils), wäre ein derartiges Gesuch an den Regierungsstatthalter zu richten.
4.- Die Berufung ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Angesichts der persönlichen Verhältnisse des Berufungsklägers ist von der Erhebung einer Gerichtsgebühr jedoch abzusehen (Art. 153a Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
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1.- Soweit auf die Berufung einzutreten ist, wird sie abgewiesen, und das Urteil des Verwaltungsgerichts (verwaltungsrechtliche Abteilung) des Kantons Luzern vom 20. Juni 2001 wird bestätigt.
2.- Es wird keine Gerichtsgebühr erhoben.
3.- Dieses Urteil wird dem Berufungskläger, der Psychiatrischen Klinik A._ und dem Verwaltungsgericht (verwaltungsrechtliche Abteilung) des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 18. Oktober 2001
Im Namen der II. Zivilabteilung des
SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: