Sachverhalt:
A. Der 1959 geborene E._ war als Einpacker in der Firma A._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 13. März 2004 einen Verkehrsunfall erlitt. Ein nachfolgender Personenwagen fuhr ins Heck des von ihm gelenkten und vor der Einfahrt in eine vortrittsberechtigte Strasse angehaltenen Renault 19. Nach einigen Stunden traten zunehmend Beschwerden auf, weshalb E._ anderntags einen Arzt aufsuchte. Der weiterbehandelnde Hausarzt diagnostizierte mit Bericht vom 6. April 2004 ein zunehmendes cervicospondylogenes Syndrom bei Status nach Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS). Er bestätigte eine Arbeitsunfähigkeit ab dem 15. März 2004. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Es folgten verschiedene medizinische Abklärungs- und Therapiemassnahmen, u.a. stationär vom 16. Juni bis 21. Juli 2004 in der Rehaklinik B._. Nachdem der Versicherte weiterhin Beschwerden klagte, eröffnete ihm die SUVA mit Verfügung vom 20. Juli 2005 die sofortige Einstellung der Leistungen. Zudem wurde ein Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung verneint. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden seien psychischer Natur und stünden nicht in einem rechtserheblichen Kausalzusammenhang zum Unfall vom 13. März 2004. Daran hielt der Unfallversicherer auf die von E._ eingereichte Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 16. Februar 2006).
B. Die von E._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 17. Januar 2007 ab.
C. E._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei die Begutachtung durch einen medizinischen Sachverständigen anzuordnen resp. die Angelegenheit an die Vorinstanz oder an die SUVA zurückzuweisen. Je nach Ergebnis der ergänzenden Abklärung seien weiterhin gesetzliche Leistungen auszurichten.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingaben vom 1. resp. 8. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das zwischenzeitlich ergangene Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008.

Erwägungen:
1. Streitig ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Unfall vom 13. März 2004 über den 20. Juli 2005 hinaus.
Das kantonale Gericht hat die von der Rechtsprechung erarbeiteten Grundsätze zum für einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 181 mit Hinweisen) sowie bei klar ausgewiesenen organischen Unfallfolgen (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen), bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (<ref-ruling>) und nach der für nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen verbundenen Schleudertraumen (<ref-ruling>), äquivalenten Verletzungen der HWS (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) und Schädel-Hirntraumen (<ref-ruling>) geltenden sog. Schleudertrauma-Praxis im Besonderen zutreffend dargelegt.
Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die sog. Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (noch nicht in der Amtlichen Sammlung veröffentlichtes Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008, E. 9 und 10).
2. Das kantonale Gericht hat die Frage nach einem natürlichen Kausalzusammenhang zwischen den noch geklagten Beschwerden und dem Unfall vom 13. März 2004 nicht abschliessend beantwortet, da es ohnehin am adäquaten Kausalzusammenhang fehle. Dies ist nicht zu beanstanden, wenn die Adäquanz in der Tat zu verneinen ist. Denn diesfalls kann praxisgemäss auf weitere Beweisvorkehren zur natürlichen Kausalität verzichtet werden (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c; zur Anwendbarkeit dieses Grundsatzes auch im Rahmen der Schleudertrauma-Praxis vgl. aus jüngerer Zeit etwa: Urteile U 70/07 vom 31. Januar 2008, E. 5.1, und U 42/07 vom 16. Januar 2008, E. 3.3 mit Hinweisen). Daran hat sich mit dem erwähnten Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 (vgl. dortige E. 11) nichts geändert.
2.1 Mit dem kantonalen Gericht ist aufgrund der Ergebnisse der verschiedenen, auch mit bildgebenden Verfahren durchgeführten medizinischen Untersuchungen festzustellen, dass die über den 20. Juli 2005 hinaus geklagten Beschwerden nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge zu erklären sind. Anders als bei Gesundheitsschädigungen mit einem klaren unfallbedingten organischen Substrat, bei welchen der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel mit dem natürlichen bejaht werden kann (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen), hat demnach eine spezielle Adäquanzprüfung zu erfolgen. Das ist insoweit auch nicht umstritten.
2.2 Uneinigkeit besteht in der Beantwortung der Frage, ob die Adäquanz, wie von Unfallversicherer und Vorinstanz entschieden, gemäss den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen oder aber, wie der Beschwerdeführer geltend machen lässt, nach der Schleudertrauma-Praxis zu beurteilen ist. Diesem Gesichtspunkt kann insofern Bedeutung zukommen, als nach der letztgenannten Praxis, anders als im Falle einer psychischen Fehlentwicklung nach Unfall, bei der Prüfung der abhängig von der Unfallschwere in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehenden unfallbezogenen Kriterien auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird, weil es hier nicht entscheidend ist, ob Beschwerden eher als organischer und/oder psychischer Natur beurteilt werden (<ref-ruling> E. 6a S. 367 und 369 E. 4b S. 382 f.; erwähntes Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008, E. 2.1 und 9 Ingress).
2.3 Die Diagnose eines beim Unfall vom 13. März 2004 erlittenen HWS-Distorsionstraumas ist unbestritten. Hingegen erscheint tatsächlich eher fraglich, ob die für Schleudertrauma-Verletzungen typischen Beschwerden in genügender Weise aufgetreten sind, um nach der bisherigen Praxis (<ref-ruling> E. 4b S. 360, 369 E. 4b S. 382) den Schluss auf eine derartige unfallbedingte Gesundheitsschädigung zu gestatten. Gemäss den echtzeitlichen ärztlichen Angaben waren nämlich initial lediglich Kopf- und Nackenschmerzen und im weiteren Verlauf über geraume Zeit höchstens noch lageabhängige Schwindelgefühle zu verzeichnen. Sodann ist die einige Zeit nach dem Unfall hinzugekommene psychische Problematik nicht unbedingt als Teil einer unfallbedingten HWS-Verletzung zu betrachten; sie wird zudem namentlich auch durch wiederholt bestätigte soziokulturelle und psychosoziale Belastungsfaktoren beeinflusst. Letztlich muss dies aber nicht abschliessend beantwortet werden. Namentlich ist auch nicht erforderlich, das Vorliegen einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis zu rechtfertigen vermag, im Lichte der mit Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 erhöhten Anforderungen zu prüfen. Denn selbst wenn trotz der bestehenden Vorbehalte der Auffassung des Versicherten gefolgt und die Schleudertrauma-Praxis angewendet wird, ist der adäquate Kausalzusammenhang zu verneinen. Dies wird nachfolgend gezeigt.
2.3 Die Diagnose eines beim Unfall vom 13. März 2004 erlittenen HWS-Distorsionstraumas ist unbestritten. Hingegen erscheint tatsächlich eher fraglich, ob die für Schleudertrauma-Verletzungen typischen Beschwerden in genügender Weise aufgetreten sind, um nach der bisherigen Praxis (<ref-ruling> E. 4b S. 360, 369 E. 4b S. 382) den Schluss auf eine derartige unfallbedingte Gesundheitsschädigung zu gestatten. Gemäss den echtzeitlichen ärztlichen Angaben waren nämlich initial lediglich Kopf- und Nackenschmerzen und im weiteren Verlauf über geraume Zeit höchstens noch lageabhängige Schwindelgefühle zu verzeichnen. Sodann ist die einige Zeit nach dem Unfall hinzugekommene psychische Problematik nicht unbedingt als Teil einer unfallbedingten HWS-Verletzung zu betrachten; sie wird zudem namentlich auch durch wiederholt bestätigte soziokulturelle und psychosoziale Belastungsfaktoren beeinflusst. Letztlich muss dies aber nicht abschliessend beantwortet werden. Namentlich ist auch nicht erforderlich, das Vorliegen einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis zu rechtfertigen vermag, im Lichte der mit Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 erhöhten Anforderungen zu prüfen. Denn selbst wenn trotz der bestehenden Vorbehalte der Auffassung des Versicherten gefolgt und die Schleudertrauma-Praxis angewendet wird, ist der adäquate Kausalzusammenhang zu verneinen. Dies wird nachfolgend gezeigt.
2.4 2.4.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen (<ref-ruling> E. 6a S. 366 f.; Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008, E. 10.1). Die Heckauffahrkollision vom 13. März 2004 ist aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufes im mittelschweren Bereich und dort nicht an der Grenze zu den schweren Unfällen einzuordnen.
Von den weiteren, objektiv fassbaren und unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehenden oder als Folge davon erscheinenden Umständen, welche als massgebende Kriterien in die Gesamtwürdigung einzubeziehen sind (<ref-ruling> E. 6a S. 367), müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (<ref-ruling> E. 6b S. 367 f.). Daran hat sich mit dem Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 nichts geändert (besagtes Urteil, E. 10.1).
2.4.2 Von den bisherigen Kriterien gemäss <ref-ruling> E. 6a S. 367 und 369 E. 4b S. 383 sind diejenigen der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls, der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, sowie des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen im Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 unverändert beibehalten worden (dortige E. 10.2.1, 10.2.5 und 10.2.6). Beim Kriterium der Schwere und besonderen Art der erlittenen Verletzung wurde bei gleichem Wortlaut der Kriteriumsbezeichnung der Sinngehalt näher umschrieben (E. 10.2.2 des besagten Urteils). Im vorliegenden Fall können die genannten vier Kriterien zuverlässig verneint werden. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was eine andere Betrachtungsweise zu rechtfertigen vermöchte.
2.4.3 Die restlichen drei adäquanzrelevanten Kriterien hiessen bisher: ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung, Dauerbeschwerden sowie Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit. In der präzisierten (Kurz-)Form lauten sie: fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung, erhebliche Beschwerden und erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008, E. 10.3).
Selbst wenn diese Kriterien bejaht würden, wären sie nicht in gehäufter oder auffallender Weise gegeben. Es müsste daher mindestens ein Kriterium in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Dies kann bei sämtlichen Kriterien, und zwar in der bisherigen wie in der präzisierten Form, ohne Weiteres verneint werden. Näherer Betrachtung bedarf einzig das Kriterium von Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit. Gemäss Austrittsbericht der Rehaklinik B._ vom 27. Juli 2004 wurde die Wiederaufnahme der Arbeit ab 23. August 2004 zu 50 % und ab 27. September 2004 zu 100% für zumutbar beurteilt. Der Versicherte ging dann auch der Arbeit entsprechend nach, wenn auch unter Angabe von Beschwerden und mit, allerdings nur kurzen, Unterbrüchen. Erst ab März 2005 waren wieder Phasen hälftiger, für kurze Zeit auch voller Arbeitsunfähigkeit zu verzeichnen, wobei sich der dies hauptsächlich attestierende Hausarzt offensichtlich schwertat, hiefür eine medizinische Begründung abzugeben. Der ebenfalls beigezogene Dr. med. T._, FMH Physikalische Medizin, betonte denn auch im Bericht vom 7. März 2005, es sei nicht von stark behindernden Schmerzen auszugehen; vielmehr müsse der Versicherte immer wieder darauf hingewiesen werden, dass nichts Ernsthaftes vorliege. Der ab Mai 2005 behandelnde Psychiater bestätigte dann eine volle Arbeitsunfähigkeit, welche aber mit geeigneten Massnahmen auf 50 % gesenkt werden könne. Es liegt demnach ein wechselhafter Verlauf vor, wobei immerhin über einige Zeit auch eine volle Arbeitsfähigkeit bestand. In besonders ausgeprägter Weise ist das Kriterium damit jedenfalls nicht erfüllt. Dies gilt sowohl bei Berücksichtigung von Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit, als auch unter dem Gesichtspunkt der Erheblichkeit der Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen.
Die Vorinstanz hat daher eine rechtserhebliche Bedeutung des Unfalls vom 13. März 2004 für die über den 20. Juli 2005 hinaus bestandenen Beschwerden, und damit eine Leistungspflicht der SUVA hiefür, zu Recht verneint.
2.4.4 An dieser Beurteilung vermögen sämtliche Vorbringen des Beschwerdeführers nichts zu ändern. Namentlich trifft auch nicht zu, dass von weiteren medizinischen Abklärungen, ob nun zur natürlichen Kausalität oder zu den Grundlagen für die Beurteilung der Adäquanzkriterien, ein entscheidrelevanter neuer Aufschluss zu erwarten ist. Der Umstand, dass zwischenzeitlich die Invalidenversicherung eine medizinische Abklärung anberaumt hat, ändert hieran nichts. Wenn die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung von Sachverhaltsergänzungen abgesehen hat, ist dies daher nicht zu beanstanden. Dies gilt auch im Lichte des im Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 Gesagten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. April 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz