Sachverhalt:
A. X._, geboren 1966, leidet seit vielen Jahren an Zwangsvorstellungen. Sie hat Angst vor elektromagnetischen Übergriffen auf ihren Körper und begegnet ihrer Furcht vor Erkrankungen mit andauernden Hygienemassnahmen. Eine Zeit lang lebte sie in einer therapeutischen Wohnstätte, wo sie aufgrund ihres Verhaltens nicht mehr tragbar war, und wurde daraufhin in die Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel (UPK) eingewiesen. Seit ihrem Austritt aus den UPK bis zum Jahre 2004 wurde X._ von einem Psychiater ambulant betreut. Sie setzte alsdann die Einnahme der Psychopharmaka ab und wechselte mehrmals die Wohnung. Heute lebt sie zunehmend sozial isoliert, verfügt über keine Tagesstruktur mehr und vermag ihre Einkünfte aus der Invalidenrente und den Ergänzungsleistungen nicht einzuteilen.
B. In der Annahme, sie leide an einer Erkrankung aus dem schizophrenen Formenkreis, verfügte der Vormundschaftsrat des Kantons Basel-Stadt am 12. März 2010 gestützt auf <ref-law> die Einweisung von X._ in die UPK. In den Erwägungen dieses Entscheids wurden die UPK und die Vormundschaftsbehörde beauftragt, bis zum 30. September 2010 ein Gutachten darüber zu erstellen, wo X._ untergebracht werden könne und wie weiter vorzugehen sei. X._ gelangte gegen die Einweisung am 18. März 2010 an das Appellationsgericht Basel-Stadt mit dem Begehren, den Entscheid des Vormundschaftsrates aufzuheben. In diesem Verfahren ersuchte sie überdies um aufschiebende Wirkung, die der Präsident des Appellationsgerichts mit Verfügung vom 30. März 2010 verweigerte. Die dagegen erhobene Beschwerde in Zivilsachen wies das Bundesgericht mit Urteil vom 14. April 2010 ab (5A_250/2010). Mit Urteil vom 20. April 2010 gab das Appellationsgericht dem Rekurs von X._ in der Sache nicht statt.
C. Dagegen hat X._ beim Bundesgericht mit einem am 7. Juni 2010 der Post übergebenen Schriftsatz Beschwerde in Zivilsachen erhoben mit den Anträgen, das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen und die UPK superprovisorisch anzuweisen, sie sofort zu entlassen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
In seiner Stellungnahme vom 9. Juni 2010 weist der Vormundschaftsrat darauf hin, dass die Explorationen der Beschwerdeführerin abgeschlossen sind und diese am Vormittag des 9. Juni 2010 aus den UPK entlassen worden ist. Das Appellationsgericht beantragt in seiner Stellungnahme vom 11. Juni 2010 die Abweisung sowohl des Gesuchs um vorsorgliche Massnahmen als auch der Beschwerde.
D. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung und um superprovisorische Anordnung der Entlassung sind mit Verfügung vom 9. Juni 2010 abgewiesen worden.
E. Mit Schreiben vom 16. Juni 2010 wurde die Beschwerdeführerin darum ersucht, zur beabsichtigten Abschreibung des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens zufolge Gegenstandslosigkeit und zur Kostenverlegung Stellung zu nehmen. Dieser Aufforderung kam sie am 25. Juni 2010 nach.

Erwägungen:
1. 1.1 Nach der Praxis der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts setzt die Beschwerde in Zivilsachen gegen den letztinstanzlichen Entscheid betreffend fürsorgerische Freiheitsentziehung ein aktuelles rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides voraus, welches nicht mehr gegeben ist, wenn die betroffene Person aus der fürsorgerischen Freiheitsentziehung entlassen worden ist (<ref-law>; Urteil 5C.3/1997 vom 20. Januar 1997 E. 2; Urteil 5C.11/2003 vom 22. Januar 2003 E. 1.2). Die Rechtsprechung verzichtet aber auf das Erfordernis des aktuellen und fortdauernden praktischen Interesses, wenn sich die gerügte Rechtsverletzung jederzeit wiederholen könnte und eine rechtzeitige gerichtliche Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre (sog. virtuelles Interesse; Urteile 5C.11/2003 vom 22. Januar 2003 E. 1.2; 5C.3/1997 vom 20. Januar 1997 E. 2b mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2b S. 59; <ref-ruling> E. 1 S. 392; <ref-ruling> E. 1b S. 112).
1.2 Die Beschwerdeführerin ist am 9. Juni 2010 nach Abschluss der Explorationen aus den UPK entlassen worden, womit kein aktuelles Interesse an der Überprüfung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung besteht. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, in ihrem Fall seien bereits mehrmals kurzfristige Freiheitsentziehungen angeordnet worden, die nie rechtzeitig auf ihre Vereinbarkeit mit <ref-law>, Art. 5 Ziff. 1 lit. e bzw. Art. 5 Ziff. 4 EMRK hätten überprüft werden können. Auch beruft sie sich nicht darauf, dass eine entsprechende Gefahr in ihrem Fall konkret besteht. Unter Hinweis auf das Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschrechte in Sachen Camenzind gegen die Schweiz lässt sie ausführen, die Aktualität des Rechtsschutzinteresses solle nicht verneint werden, soweit EMRK-Garantien infrage stehen, deren Verletzung beim Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte geltend gemacht werden können.
2. 2.1 Fehlt es am aktuellen praktischen Interesse und ist auch kein virtuelles Interesse auszumachen, wird die Beschwerde in Anwendung von <ref-law> im Verfahren nach <ref-law> durch die Präsidentin bzw. den Präsidenten der Abteilung als gegenstandslos abgeschrieben, soweit der rechtliche Nachteil des angefochtenen Entscheides nach Einreichung der Beschwerde weggefallen ist (Verfügung 5A_20/2007 vom 1. März 2007). Ist der Nachteil hingegen bereits bei Einreichung der Beschwerde nicht gegeben, wird auf die Beschwerde nicht eingetreten (z.B. Urteil 5A_470/2009 vom 14. Juli 2009; zur Unterscheidung zwischen Nichteintreten und Gegenstandslosigkeit: <ref-ruling> E. 1a). In diesen Fällen wird der Betroffene für eine Feststellung der Widerrechtlichkeit der angeordneten Freiheitsentziehung auf die Verantwortlichkeitsklage nach <ref-law> verwiesen.
2.2 Eine der II. zivilrechtlichen Abteilung entsprechende Praxis verfolgt grundsätzlich auch die I. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts bei der Beurteilung öffentlich-rechtlicher Beschwerden gegen Entscheide betreffend Untersuchungshaft. So wird ein aktuelles rechtlich geschütztes Interesse nach Beendigung der Haft verneint. Trotzdem werden aber bestimmte Rügen unter besonderen Umständen behandelt (statt: vieler <ref-ruling> E. 5 S. 404). In ihrem zur Publikation vorgesehenen Urteil 1B_326/2009 vom 11. Mai 2010 E. 1.3 hat die I. öffentlich-rechtliche Abteilung solche Umstände bejaht, wenn eine Verletzung der Europäischen Menschenrechtskonvention offensichtlich ist und dem Beschwerdeführer durch eine entsprechende Feststellung im Dispositiv des Urteils und eine für ihn vorteilhafte Kostenregelung sogleich die verlangte Wiedergutmachung verschafft werden kann. Bevor abgeklärt wird, ob entsprechende Umstände (offensichtliche Verletzung der EMRK) im vorliegenden Fall gegeben sind, ist zu prüfen, ob diese neue Praxis für den Bereich der fürsorgerischen Freiheitsentziehung im Grundsatz übernommen werden soll. Wird nämlich dieser Praxis gefolgt, dürften nach Entlassung der betroffenen Person kaum mehr Verfahren nach <ref-law> möglich sein.
2.3 Die I. öffentlich-rechtliche Abteilung hat im besagten Entscheid die Befürchtung geäussert, der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte könnte im Fall einer Beschwerde erkennen, der Beschwerdeführer habe im nationalen Verfahren über keine wirksame Beschwerde im Sinn von Art. 13 EMRK zur Geltendmachung einer Verletzung von Art. 5 Ziff. 3 EMRK verfügt. Zur Begründung dieser Befürchtung hat sie auf das Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte vom 16. Dezember 1997 in Sachen Camenzind gegen Schweiz verwiesen (CourEDH 1997-VIII S. 2880). Im besagten Fall war das Bundesgericht auf die vom Betroffenen bei ihm gegen eine Hausdurchsuchung eingereichte Beschwerde mangels aktuellen praktischen Interesses nicht eingetreten, da die Hausdurchsuchung abgeschlossen war. Nach Auffassung des Europäischen Gerichtshofs stand dem Beschwerdeführer damit keine wirksame Beschwerde nach Art. 13 EMRK zur Geltendmachung der gerügten EMRK-Verletzungen zur Verfügung. Dabei erachtete er den Einwand der Schweiz als nicht massgeblich, der Beschwerdeführer hätte seine Rügen der Verletzung der EMRK insbesondere in einem Entschädigungsverfahren nach Art. 99 VStrR (SR 313.0) geltend machen können (siehe dazu insbesondere die Ziffern 51 ff. des zitierten Urteils).
2.4 Im Bereich der fürsorgerischen Freiheitsentziehung erweisen sich solche Befürchtungen als unbegründet: Nach <ref-law> hat derjenige, der durch eine widerrechtliche Freiheitsentziehung verletzt wird, Anspruch auf Schadenersatz und, wo die Schwere der Verletzung es rechtfertigt, auf Genugtuung. Auch in diesem Verantwortlichkeitsprozess ist die Feststellung der Widerrechtlichkeit als "eine andere Art der Genugtuung" möglich und zulässig (<ref-ruling> Nr. 52). Nach der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte stellt die Klage nach <ref-law> eine wirksame Beschwerde im Sinn von Art. 13 EMRK zur Überprüfung der Einhaltung von Art. 5 Ziff. 4 EMRK dar. Überdies genügt sie den Anforderungen von Art 5 Ziff. 5 EMRK (Anspruch auf Schadenersatz) (Urteil i.S. B A gegen die Schweiz vom 6. April 2000, Zusammenfassung in: VPB 64/2000 Nr. 134 S. 1323). Stellt aber die Klage nach <ref-law> eine wirksame Beschwerde zur Geltendmachung von EMRK-Verletzungen und zur Durchsetzung daraus resultierender Schadenersatzansprüche dar, besteht für die II. zivilrechtliche Abteilung keine Veranlassung, ihre bisherige Praxis bei Entlassung der betroffenen Person aus der fürsorgerischen Freiheitsentziehung aufzugeben und sich der Rechtsprechung der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung anzuschliessen. Damit kann offenbleiben, ob das zur Publikation bestimmte Urteil überhaupt auf den vorliegenden Fall anwendbar wäre (Offensichtlichkeit der EMRK-Verletzung) und ob mangels ausdrücklichen Antrages seitens der anwaltlich verbeiständeten Beschwerdeführerin überhaupt auf Feststellung einer EMRK-Verletzung erkannt werden könnte.
3. Im vorliegenden Fall ist der rechtliche Nachteil erst nach Erhebung der Beschwerde beseitigt worden. Aus diesem Grund hat nicht ein Nichteintretensentscheid zu ergehen; vielmehr ist das Beschwerdeverfahren von der Abteilung in einer Verfügung als gegenstandslos abzuschreiben (E. 2.1 hiervor).
4. 4.1 Ist eine Beschwerde vor Bundesgericht gegenstandslos geworden, so ist nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> über die Prozesskosten (Gerichts- und Parteikosten) mit summarischer Begründung aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes zu entscheiden. Dem Bundesgericht steht dabei ein weites Ermessen zu, und es kann nach ständiger Praxis nicht darum gehen, bei der Beurteilung des Kostenpunktes über die materielle Begründetheit der Beschwerde abschliessend zu befinden (<ref-ruling> E. 4 S. 494, 111 Ib 182 E. 7 S. 191, mit Hinweisen).
4.2 Im vorliegenden Fall ist der Beschwerdeführerin mit Verfügung des Vormundschaftsrates des Kantons Basel-Stadt vom 12. März 2010 zwecks Begutachtung fürsorgerisch die Freiheit entzogen worden. Wie das Bundesgericht bereits im Urteil vom 14. April 2010 (5A_250/2010) betont hat, ist eine Einweisung zwecks Begutachtung der betroffenen Person mit <ref-law> vereinbar, soweit eine fürsorgerische Freiheitsentziehung ernsthaft in Betracht gezogen werden kann, aber wichtige Grundlagen für einen definitiven Einweisungsentscheid fehlen. Allerdings darf die Dauer eines Zwangsaufenthaltes zur Begutachtung nur sehr begrenzt sein (Urteil 5A_250/2010 vom 14. April 2010 E. 2.3; Eugen Spirig, Zürcher Kommentar, 1995, N. 285 zu <ref-law>). Das Appellationsgericht wurde in den Erwägungen des besagten Urteils gehalten, im Hinblick auf die von der Beschwerdeführerin verlangte gerichtliche Beurteilung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung (<ref-law>) ein <ref-law> entsprechendes Gutachten einzuholen. Anlässlich des Urteils des Appellationsgerichts vom 20. April 2010 lag dieses Gutachten offensichtlich nicht vor. Am Vormittag des 19. Juni 2010 wurde die Beschwerdeführerin aus der fürsorgerischen Freiheitsentziehung entlassen, nachdem die Explorationen abgeschlossen waren. Damit hat die zwecks Begutachtung verfügte fürsorgerische Freiheitsentziehung vom 12. März 2009 bis zum 19. Juni 2010 gedauert, was mit Art. 397a Abs. 1 und Art. 397f Abs. 1 ZGB nicht vereinbar ist. Bei summarischer Betrachtungsweise hätte die Beschwerde demnach gutgeheissen werden müssen, wenn die Beschwerdeführerin nicht vor dem Entscheid in der Sache entlassen worden wäre.
4.3 Dem Kanton Basel-Stadt, der in seinem Wirkungskreis gehandelt hat, dürfen keine Gerichtskosten auferlegt werden (<ref-law>). Unter diesen Umständen sind keine Gerichtskosten zu erheben. Der Kanton Basel-Stadt hat indes die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>).
5. Mit der vorliegenden Kosten- und Entschädigungsregelung wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach verfügt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Basel-Stadt hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Diese Verfügung wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden