Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Das Kantonsgericht von Appenzell Ausserrhoden verurteilte den durch Rechtsanwalt Tim Walker amtlich verteidigten X._ am 20. August 2003 wegen verschiedener Vermögens-, Konkurs- und Urkundendelikte zu sechs Jahren Zuchthaus. Namens seines Mandanten meldete Rechtsanwalt Walker am 11. September 2003 gegen das Kantonsgerichtsurteil vom 20. August 2003 und am 10. November 2003 gegen dessen berichtigte Fassung die Appellation an.
Das begründete Urteil wurde Rechtsanwalt Walker am 21. Januar 2004 zugestellt.
Am 9. Februar 2004 beantragte Rechtsanwalt Walker, ihm die versäumte vierzehntägige Frist für die Appellationserklärung gegen das Urteil des Kantonsgerichts vom 20. August 2003 wiederherzustellen. Zur Begründung führte er an, er sei vom 2. bis zum 6. Februar 2004 wegen einer Grippe zu 100 % arbeitsunfähig gewesen und habe deswegen die am 4. Februar 2004 ablaufende Frist nicht einhalten können.
Das Obergericht von Appenzell Ausserrhoden wies das Wiedereinsetzungsgesuch am 21. September 2004 ab.
1P.1/2005
1P.1/2005
B. Mit Eingabe vom 31. Dezember 2004 erhebt Rechtsanwalt Thomas Fingerhuth namens von X._ staatsrechtliche Beschwerde gegen den Entscheid des Obergerichts vom 21. September 2004. Er beantragt, ihn aufzuheben und die Sache zur Bestellung eines neuen amtlichen Verteidigers und zur Ansetzung einer neuen Frist für die Erklärung der Appellation ans Obergericht zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um aufschiebende Wirkung und um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung.
Das Obergericht verzichtet auf Vernehmlassung. Die Staatsanwaltschaft beantragt, die Beschwerde abzuweisen.
1P.49/2005
1P.49/2005
C. Mit Eingabe vom 24. Januar 2005 erhebt Rechtsanwalt Tim Walker namens von X._ staatsrechtliche Beschwerde gegen den Entscheid des Obergerichts vom 21. September 2004. Er beantragt, diesen aufzuheben und die Wiederherstellung der versäumten Frist anzuordnen. Er ersucht, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Ausserdem beantragt er unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung sowohl für das obergerichtliche als auch das bundesgerichtliche Verfahren.
Die Staatsanwaltschaft verweist auf ihre Vernehmlassung im Verfahren 1P.1/2005 und beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht verzichtet auf Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer ficht den Entscheid des Obergerichts mit zwei von verschiedenen Anwälten verfassten Beschwerden an. Auch wenn diese unterschiedliche Rügen enthalten und teilweise gegenläufig begründet sind, so stammen sie doch vom gleichen Beschwerdeführer und richten sich gegen den gleichen Entscheid. Dies rechtfertigt, die beiden Verfahren zu vereinigen.
1. Der Beschwerdeführer ficht den Entscheid des Obergerichts mit zwei von verschiedenen Anwälten verfassten Beschwerden an. Auch wenn diese unterschiedliche Rügen enthalten und teilweise gegenläufig begründet sind, so stammen sie doch vom gleichen Beschwerdeführer und richten sich gegen den gleichen Entscheid. Dies rechtfertigt, die beiden Verfahren zu vereinigen.
2. Beim angefochtenen Entscheid des Obergerichts handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 OG). Der Beschwerdeführer ist durch die Abweisung seines Wiedereinsetzungsgesuches in seinen rechtlich geschützten Interessen berührt (Art. 88 OG), weshalb er befugt ist, die Verletzung verfassungsmässiger Rechte zu rügen. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, sodass auf die Beschwerden, unter dem Vorbehalt gehörig begründeter Rügen (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 3c; <ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 1c), einzutreten ist.
Nicht einzutreten ist allerdings auf die Beschwerden, soweit mehr verlangt wird als die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, da die staatsrechtliche Beschwerde, von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen, kassatorischer Natur ist (<ref-ruling> E. 2b).
Nicht einzutreten ist allerdings auf die Beschwerden, soweit mehr verlangt wird als die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, da die staatsrechtliche Beschwerde, von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen, kassatorischer Natur ist (<ref-ruling> E. 2b).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Anwendung des kantonalen Verfahrensrechts sowie eine Verletzung von bundesverfassungs- und konventionsrechtlichen Rechtsweggarantien (<ref-law>, Art. 2 des 7. Zusatzprotokolls zur EMRK , SR 0.101.07) und Verteidigungsrechten (Art. 29 Abs. 3 und Art. 32 Abs. 2 BV, Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK).
3.2 Der Anspruch auf Wiederherstellung einer versäumten Frist bestimmt sich in erster Linie nach dem einschlägigen kantonalen Verfahrensrecht. Ergibt dessen willkürfreie Anwendung, dass es einen solchen Anspruch nicht einräumt, ist in einem zweiten Schritt zu prüfen, ob dies vor den vom Beschwerdeführer angerufenen verfassungs- und konventionsrechtlichen Mindestgarantien standhält.
3.3 Willkürlich ist ein Entscheid, der mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dabei genügt es nicht, dass die Begründung unhaltbar ist, der Entscheid muss sich vielmehr im Ergebnis als willkürlich erweisen (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 3a; 129 E. 5b; <ref-ruling> E. 3a, je mit Hinweisen).
3.3 Willkürlich ist ein Entscheid, der mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dabei genügt es nicht, dass die Begründung unhaltbar ist, der Entscheid muss sich vielmehr im Ergebnis als willkürlich erweisen (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 3a; 129 E. 5b; <ref-ruling> E. 3a, je mit Hinweisen).
4. 4.1 Nach Art. 214 Abs. 2 der Ausserrhodischen Strafprozessordnung vom 30. April 1978 (StPO) ist die Appellationserklärung innert 14 Tagen seit Eingang des begründeten Urteils einzureichen. Nach Abs. 3 dieser Bestimmung soll in "der Eingabe erklärt werden, welche Abänderungen und Beweisergänzungen verlangt werden. Richtet sich die Appellation nur gegen die Kosten- und Entschädigungsbestimmungen, so ist sie schriftlich zu begründen". <ref-law> hält fest, dass gesetzliche Fristen nicht erstreckbar sind. Hingegen kann eine versäumte Frist wieder hergestellt werden, wenn für die Säumnis entschuldbare Gründe vorliegen. Das Gesuch um Wiederherstellung ist schriftlich begründet innert fünf Tagen seit Wegfall des Grundes, der die Einhaltung der Frist verhindert hat, einzureichen (Abs. 2).
4.2 Gestützt auf diese Bestimmungen hat das Obergericht im angefochtenen Entscheid erwogen, die Fünftagesfrist von <ref-law> sei eingehalten, weshalb zu prüfen sei, ob für die Säumnis entschuldbare Gründe vorlägen. Nach den Materialien müsse dabei genügen, dass die geltend gemachten Gründe "nachvollziehbar, plausibel seien; extreme Anforderungen dürften nicht gestellt werden".
Dabei sei zunächst festzuhalten, dass in der Appellationserklärung lediglich erklärt werden müsse, welche Abänderungen und Beweisergänzungen verlangt würden; eine Begründung dieser Anträge sei nicht erforderlich, diese könne an der Appellationsverhandlung nachgeholt werden. Zudem wäre Rechtsanwalt Walker nach der Praxis auf begründetes Gesuch hin ohne weiteres eine Fristerstreckung gewährt worden für die Nachreichung der Begründung. Die Kenntnis der einschlägigen Bestimmungen und dieser Praxis sei bei Rechtsanwalt Walker, der über ein Ausserrhoder Patent verfüge und häufig im Kanton tätig sei, vorauszusetzen. Nach ständiger Praxis des Bundesgerichts sei im Fall einer Grippe eine Wiederherstellung der Frist nur zu gewähren, wenn belegt sei, dass der Rechtsuchende wegen der krankheitsbedingten Behinderung nicht in der Lage war, fristgerecht zu handeln oder einen Vertreter mit der Interessenwahrung zu beauftragen. Im vorliegenden Fall habe Rechtsanwalt Walker in einer anderen Angelegenheit am 3. Februar 2004 trotz Grippe ein zweiseitiges Fristerstreckungsgesuch verfasst, was zeige, dass seine Erkrankung nicht derart schwerwiegend gewesen sei, dass er nicht auch in der vorliegenden Angelegenheit gewisse Vorkehren hätte treffen können. Da er nach eigenen Angaben bereits vor dem Ausbruch der Grippe mit der Ausarbeitung seiner Rechtsschrift begonnen habe und zudem den Fall aus dem erstinstanzlichen Verfahren bestens gekannt habe, wäre ihm daher zumutbar gewesen, entweder eine kurze Appellationserklärung, an welche nach kantonalem Recht keine hohen Anforderungen gestellt würden, einzureichen, oder seinen Klienten oder einen Anwaltskollegen zu instruieren und zur Einreichung einer fristwahrenden Appellationserklärung anzuhalten. Die Säumnis sei unter diesen Umständen nicht entschuldbar, Rechtsanwalt Walker sei seinen Berufspflichten nicht genügend nachgekommen.
Entgegen der Rechtsprechung des Bundesgerichts zu Art. 35 OG ergebe sich indessen aus dem Gebot der notwendigen und wirksamen Verteidigung, dass die allein durch den Anwalt verschuldete Säumnis dem Beschuldigten nicht angelastet werden könne. Nach Ausserrhoder Strafprozessrecht sei der Anwalt zudem nicht Vertreter, sondern blosser Beistand des Angeklagten. Eine Säumnis könne diesem daher nur angelastet werden, wenn ihn daran ein Verschulden treffe. Dies sei hier der Fall. Der Beschwerdeführer habe gewusst, was das Scheitern der Appellation für ihn bedeuten würde und dass die Frist zur Appellationserklärung am 4. Februar 2004 ablief. Er habe am 3. Februar 2004 erfahren, dass Rechtsanwalt Walker seine Praxis krankheitshalber geschlossen hatte, und dementsprechend damit rechnen müssen, dass dieser die Frist wegen seiner Krankheit verpassen könnte. Indem er in dieser Situation einfach zugewartet habe, habe er die Säumnis mitverschuldet.
4.3 Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts zu Art. 35 OG, an welcher sich verschiedene Kantone bei der Auslegung ihrer häufig gleich oder ähnlich lautenden Bestimmungen des kantonalen Verfahrensrechts orientieren - z.B. der Kanton Wallis, vgl. den Bundesgerichtsentscheid 1P.151/2002 vom 28. Mai 2002 - muss sich der Rechtssuchende Fehler seines Anwaltes oder dessen Hilfspersonen ohne weiteres anrechnen lassen: bei einer vom Anwalt verschuldeten Säumnis ist nach ständiger Praxis des Bundesgerichts eine Wiederherstellung der Frist ausgeschlossen (<ref-ruling> mit Hinweisen und der eingangs zitierte unveröffentlichte Entscheid, der sich auch mit der Kritik an der strengen Bundesgerichtspraxis auseinandersetzt).
Die Auslegung des kantonalen Prozessrechts obliegt indessen in erster Linie dem Ausserrhoder Obergericht. Es ist daher seine Sache, wenn es sich bei der Anwendung von <ref-law> über die Wiederherstellung von Fristen nicht an der Rechtsprechung des Bundesgerichts zu Art. 35 OG orientiert, sondern diese Bestimmung autonom auslegt. Seine Rechtsauffassung, im Falle einer notwendigen amtlichen Verteidigung, wie sie hier vorliegt, könne bzw. müsse die versäumte Frist für die Einreichung der Appellationserklärung wiederhergestellt werden, wenn die Säumnis vom Verteidiger allein zu vertreten sei, ist ohne weiteres haltbar und vorliegend (naturgemäss) auch nicht angefochten. Davon ist im Folgenden auszugehen.
4.4 Das Obergericht hält dafür, der Beschwerdeführer sei an der Säumnis mitschuldig, weil er am zweitletzten Tag der Frist festgestellt habe, dass das Büro von Rechtsanwalt Walker wegen Krankheit geschlossen war. Er hätte damit rechnen müssen, dass die Frist unbenützt ablaufen könnte und versuchen müssen, sich bei Rechtsanwalt Walker privat, einem anderen Anwalt oder bei der Obergerichtskanzlei die nötige Instruktion zu holen, um gegebenenfalls selber eine fristwahrende Appellationserklärung einzureichen.
Nach seinen eigenen Ausführungen geht das Obergericht indessen davon aus, dass ein Anwalt auch im Falle einer Erkrankung oder anderen Behinderungen seiner Arbeitsfähigkeit verpflichtet ist, das Notwendige vorzukehren, um die seinen Mandanten laufenden Fristen zu wahren. Ist die Erkrankung so schlimm, dass der Anwalt faktisch handlungsunfähig ist und deswegen eine Rechtsmittelfrist unbenutzt verstreichen lässt, liegt ohne weiteres eine unverschuldete Säumnis vor, bei welcher eine Fristwiederherstellung möglich ist. Nach diesen Erwartungen, die das Obergericht zu Recht an einen Anwalt stellt, kann dem Klienten aus dessen Erkrankung kein Nachteil erwachsen: entweder ist der Anwalt in einem Zustand, der ihm erlaubt, das für die Wahrung der laufenden Fristen Notwendige vorzukehren, oder er ist zu krank dazu, was die Wiederherstellung verpasster Fristen erlaubt. Geht aber das Obergericht von diesen berechtigten Erwartungen aus, so setzt es sich in einen unlösbaren Widerspruch zu seiner eigenen Rechtsauffassung, wenn es dem Beschwerdeführer vorhält, er hätte, als er von der Erkrankung seines Anwaltes erfuhr, sofort aktiv werden und sich selber um die Einhaltung der ablaufenden Frist kümmern müssen. Da er keine Anhaltspunkte dafür hatte, dass Rechtsanwalt Walker seine Berufspflichten verletzen könnte, brauchte er keineswegs zu befürchten, dass seine Rechtsmittelfrist unbenutzt und nicht wieder herstellbar ablaufen würde. Es kann ihm damit, als er am 3. Februar 2004 seinen Anwalt nicht erreichte, nicht der Vorwurf gemacht werden, sich nicht unverzüglich selber um die Wahrung seiner Rechtsmittelfrist gekümmert zu haben. Es ist daher nicht haltbar und damit willkürlich, ihm vorzuwerfen, er sei an der Säumnis mitschuldig, weil er nichts unternommen habe, um die Frist selber zu wahren, die Rüge ist begründet.
4.5 Hat sich somit der Vorwurf, der Beschwerdeführer habe die Säumnis (mit-)verschuldet, als nicht haltbar erwiesen, muss dies nach der in E. 4.3 dargelegten, hier massgebenden Rechtsauffassung des Obergerichts zur Wiederherstellung der Frist für die Einreichung der Appellationserklärung führen, der angefochtene Entscheid ist insofern auch im Ergebnis nicht haltbar. Dieser ist somit bereits wegen willkürlicher Anwendung des kantonalen Verfahrensrechts aufzuheben, womit sich die Prüfung der weiteren Rügen erübrigt.
4.5 Hat sich somit der Vorwurf, der Beschwerdeführer habe die Säumnis (mit-)verschuldet, als nicht haltbar erwiesen, muss dies nach der in E. 4.3 dargelegten, hier massgebenden Rechtsauffassung des Obergerichts zur Wiederherstellung der Frist für die Einreichung der Appellationserklärung führen, der angefochtene Entscheid ist insofern auch im Ergebnis nicht haltbar. Dieser ist somit bereits wegen willkürlicher Anwendung des kantonalen Verfahrensrechts aufzuheben, womit sich die Prüfung der weiteren Rügen erübrigt.
5. Bei diesem Ausgang der Verfahren sind keine Kosten zu erheben (Art. 156 OG). Der Kanton Appenzell Ausserrhoden hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 159 Abs. 2 OG). Von den beiden Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist eines von vornherein unbegründet, da es ausser Frage steht, diese Rechtswohltat für beide Beschwerden zu gewähren; das andere ist bei diesem Ausgang des Verfahrens gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 1P.1/2005 und 1P.49/2005 werden vereinigt.
1. Die Verfahren 1P.1/2005 und 1P.49/2005 werden vereinigt.
2. Die Beschwerden werden, soweit darauf einzutreten ist, gutgeheissen und der angefochtene Entscheid des Obergerichts von Appenzell Ausserrhoden vom 21. September 2004 aufgehoben.
2. Die Beschwerden werden, soweit darauf einzutreten ist, gutgeheissen und der angefochtene Entscheid des Obergerichts von Appenzell Ausserrhoden vom 21. September 2004 aufgehoben.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Der Kanton Appenzell Ausserrhoden hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4. Der Kanton Appenzell Ausserrhoden hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, sowie der Staatsanwaltschaft und der 1. Abteilung des Obergerichts von Appenzell Ausserrhoden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. März 2005
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: