Faits:
A. Le 3 mai 2008, X._ a été placé en détention préventive à la suite d'une plainte de sa compagne A._, qui l'accusait de la battre régulièrement. Le juge d'instruction du Valais central (ci-après: le juge d'instruction) a ouvert une instruction d'office pour lésions corporelles simples (<ref-law>). X._ a été mis en liberté provisoire le 5 mai 2008 et A._ a déclaré retirer sa plainte le 28 mai 2008.
Interrogée à nouveau le 23 avril 2009, A._ a accusé son compagnon de la frapper régulièrement, ainsi que ses trois enfants B._, né en 1997, C._, né en 1998 et D._, née en 2001. Selon ses déclarations, l'intéressé se promènerait toujours nu dans la maison, notamment devant les enfants, il la menacerait quotidiennement de mort et exigerait chaque jour sous la menace de nombreux rapports sexuels, dont certains pratiqués en présence des enfants. Elle l'accuse en outre d'avoir à plusieurs reprises frotté son sexe sur le visage de B._ et C._, en présence de D._. Interrogés séparément, les enfants ont confirmé pour l'essentiel cette déposition. Le même jour, X._ a été placé à nouveau en détention préventive. Le juge d'instruction a étendu l'instruction aux infractions de voies de fait (<ref-law>), injure (<ref-law>), menaces (<ref-law>), actes d'ordre sexuel avec des enfants (<ref-law>), contrainte sexuelle (<ref-law>), viol (<ref-law>), pornographie (<ref-law>) et violation du devoir d'assistance ou d'éducation (<ref-law>).
B. Le 28 avril 2009, X._ a présenté une première requête de mise en liberté provisoire. Le juge d'instruction l'a rejetée par décision du 30 avril 2009, au motif qu'il existait des risques de collusion, de récidive et de fuite. Une nouvelle demande de mise en liberté a été déposée le 11 mai 2009, l'intéressé précisant qu'il s'engageait à ne plus approcher ni contacter son amie et les enfants de celle-ci. Par décision du 13 mai 2009, le juge d'instruction a rejeté cette requête, en renvoyant aux motifs de sa décision du 30 avril 2009 « notamment quant au risque de récidive et au risque de fuite ».
X._ a déposé une plainte contre cette décision auprès de la Chambre pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal). Par décision du 10 juin 2009, le Tribunal cantonal a admis cette plainte, au motif que le risque de fuite pouvait être paré par le dépôt des pièces d'identité et l'obligation de se présenter régulièrement à un office déterminé, qu'une « interdiction de rayon » semblait suffisante pour pallier le risque de récidive et qu'il n'existait plus de risque de collusion.
C. Agissant par la voie du recours en matière pénale, le Ministère public du canton du Valais et le Procureur du Valais central (ci-après: le Ministère public) demandent au Tribunal fédéral d'annuler cette décision et de dire que X._ est maintenu en détention préventive, subsidiairement de renvoyer la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Ils requièrent en outre l'octroi de l'effet suspensif. X._ s'est déterminé; il conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité et demande l'assistance judiciaire. Le Ministère public n'a pas déposé d'observations complémentaires dans le délai imparti.
D. Par ordonnance du 30 juin 2009, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit:
1. Les décisions relatives au maintien en détention avant jugement sont des décisions en matière pénale au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 273; Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4111). Conformément à l'art. 81 al. 1 let. b ch. 3, « l'accusateur public » a la qualité pour recourir (<ref-ruling> consid. 1.4 pp. 39 ss.). Avant l'entrée en vigueur de la LTF, le Tribunal fédéral avait jugé qu'en Valais seul le Procureur général avait qualité pour interjeter un pourvoi en nullité en tant qu'« accusateur public du canton » au sens de l'art. 270 let. c aPPF (<ref-ruling>). La question de savoir si cette restriction doit être maintenue sous l'empire de la LTF n'a pas à être tranchée en l'espèce, dès lors que le mémoire de recours a été signé non seulement par le Procureur du Valais central mais aussi par le Procureur général. Pour le surplus, formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision prise en dernière instance cantonale (<ref-law>), le recours est recevable.
2. Remettant en cause les risques de fuite et de récidive, le recourant se plaint d'une violation des art. 72 et 75 du Code de procédure pénale valaisan du 22 février 1962 (CPP/VS; RS 312.0). Il perd ainsi de vue que, sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, la violation du droit cantonal ou communal ne constitue pas un motif de recours devant le Tribunal fédéral. A la lecture du recours, on comprend cependant que le recourant entend se plaindre d'une application arbitraire de ces dispositions au sens de l'art. 9 Cst., ce qui constitue une violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law>. Il y a dès lors lieu d'entrer en matière sous cet angle.
2.1 Appelé à revoir l'application ou l'interprétation d'une norme sous l'angle de l'arbitraire (art. 9 Cst; pour une définition de l'arbitraire cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 265 s. et les arrêts cités), le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement plus judicieuse - paraît possible (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 133; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 260 s. et les arrêts cités).
2.2 Aux termes de l'<ref-law>/VS, la détention préventive peut être ordonnée lorsque le prévenu est fortement soupçonné d'un crime ou d'un délit et que, compte tenu des circonstances, il est sérieusement à craindre: (let. a) qu'il ne se dérobe à la procédure ou à la sanction attendue en prenant la fuite, (let. b) qu'il ne compromette la procédure en influençant des personnes, en brouillant des pistes ou en perturbant des preuves ou (let. c) qu'il ne commette de nouvelles infractions graves. Selon l'<ref-law>/VS, le prévenu arrêté doit être mis en liberté dès que le maintien de la détention n'est plus nécessaire pour l'instruction ou justifié par les circonstances.
2.3 En l'occurrence, le Tribunal cantonal considère que le danger de fuite est concret, dès lors que l'intimé est exposé à une importante peine privative de liberté, qu'il est de nationalité portugaise, que sa fille aînée habite au Portugal, qu'il est propriétaire d'un appartement en duplex dans ce pays et qu'il y retourne régulièrement. Il relève cependant que son fils cadet vit en Suisse, que ses parents y résident également une partie de l'année et qu'il y a un emploi stable. Il estime donc que le risque de fuite est d'une « acuité modérée », de sorte que le dépôt des pièces d'identité et l'obligation de se présenter régulièrement à un office déterminé, à désigner par le juge d'instruction, « paraissent suffisants » pour pallier ce risque.
Même si une autre appréciation des circonstances était possible et qu'un risque de fuite ne peut pas être complètement exclu, la solution retenue par le Tribunal cantonal n'apparaît pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de l'<ref-law>/VS. Elle entre du reste dans le cadre fixé par la jurisprudence, selon laquelle le risque de fuite doit s'analyser en fonction d'un ensemble de critères tels que le caractère de l'intéressé, sa moralité, ses ressources, ses liens avec l'Etat qui le poursuit ainsi que ses contacts à l'étranger, qui font apparaître le risque de fuite non seulement possible, mais également probable (<ref-ruling> consid. 4a p. 70 et les arrêts cités). Dès lors, bien que les mesures ordonnées ne soient pas de nature à supprimer tout risque de fuite de l'intimé, cela ne suffit pas pour qualifier l'appréciation des juges cantonaux d'arbitraire au sens de la jurisprudence susmentionnée, de sorte que le Tribunal fédéral ne peut pas s'en écarter.
2.4 Concernant le risque de récidive, après avoir constaté que les infractions dont on peut redouter la réitération sont graves, le Tribunal cantonal considère que le pronostic relatif à la réalisation de ce danger ne paraît pas défavorable. Cette appréciation est fondée sur le fait que les infractions pour lesquelles l'intimé est poursuivi ont été commises dans le cadre familial et que l'intéressé a informé le juge d'instruction de sa décision de ne plus vivre avec sa compagne. Le pronostic est également motivé par le fait que l'« interdiction de rayon », à déterminer par le juge d'instruction, « semble suffisante ».
Cela étant, on ne peut pas considérer que les juges cantonaux ont fait preuve d'arbitraire au sens de la jurisprudence susmentionnée. En effet, leur solution n'est pas insoutenable ni en contradiction manifeste avec la situation effective et elle repose sur des motifs qui peuvent être qualifiés d'objectifs. Tel est notamment le cas de l'interdiction de périmètre, aucun élément ne permettant de dire que l'intimé la transgressera. De plus, il n'est pas certain que l'expertise psychiatrique permette de dire si la mesure de substitution ordonnée par le Tribunal cantonal est suffisante pour pallier le risque de récidive, de sorte que, contrairement à ce que soutient le recourant, il ne se justifiait pas nécessairement d'attendre l'issue de cette expertise. La libération du prévenu n'est pas non plus manifestement contraire au sens et au but de l'<ref-law>/VS, qui prévoit que la détention préventive n'est justifiée que s'il est « sérieusement à craindre » que l'intéressé ne commette de nouvelles infractions graves. Dans ces circonstances, même si la gravité des actes reprochés à l'intimé devrait plutôt inciter à la prudence dans l'examen du risque de récidive, ce n'est pas suffisant pour qualifier de déraisonnable la décision des juges cantonaux, de sorte qu'il y a lieu de respecter leur pouvoir d'appréciation. En définitive, le Tribunal fédéral examinant la présente cause sous l'angle restreint de l'arbitraire, il ne lui appartient pas de se substituer au juge de la détention.
3. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires, dans la mesure où le recourant agit dans l'exercice de ses attributions officielles sans que son intérêt patrimonial soit en cause (<ref-law>). L'intimé, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat, a droit à des dépens, à la charge de l'Etat du Valais (<ref-law>). Dans ces conditions, sa requête d'assistance judiciaire devient sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Une indemnité de 1'000 fr. est allouée à l'intimé à titre de dépens, à la charge de l'Etat du Valais.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Chambre pénale.
Lausanne, le 6 juillet 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener