Faits:
A.
Le 5 juillet 2013, X._ a saisi la Chambre administrative de la Cour de justice de Genève (ci-après: la Cour de justice) d'un recours contre une décision incidente de la Faculté de droit de l'Université de Genève (ci après: la Faculté de droit). Cette décision faisait suite à une opposition de l'intéressé formée le 27 mai 2013 contre un prononcé de la Faculté de droit lui refusant l'accès aux études de droit, au motif que ce dernier avait échoué aux examens d'admission réservés aux personnes non détentrices d'un diplôme de maturité ou d'un diplôme équivalent. Par arrêt du 30 juillet 2013, la Cour de justice a rejeté le recours et mis un émolument de 500 fr. à charge de l'intéressé.
Le 13 août 2013, X._ a formé une réclamation auprès de la Cour de justice contre l'arrêt du 30 juillet 2013, en concluant à l'annulation de l'émolument. Il soutenait en substance qu'il n'avait pas les moyens financiers pour payer l'émolument et que, de coutume, jamais aucun émolument n'avait été mis à la charge d'une personne qui contestait un refus d'admission et qui se trouvait dans sa situation. Par arrêt du 28 août 2013, la Cour de justice a rejeté la réclamation.
B.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ conclut principalement à l'annulation de l'émolument de 500 fr. mis à sa charge par arrêt du 30 juillet 2013 et, subsidiairement, à l'annulation de l'arrêt du 28 août 2013 ainsi qu'au renvoi de la cause pour nouvelle décision. Il demande en outre à être dispensé des frais de justice.
S'en rapportant à la justice quant à la recevabilité du recours, la Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. La Faculté de droit renonce à formuler des observations. X._ a complété son recours le 2 octobre 2013.
Par courrier du 30 octobre 2013, X._ a produit des pièces à l'appui de sa demande d'assistance judiciaire. Il a en outre demandé ce qui suit: "si vous deviez considérer que les chances de succès devaient être d'emblée dénuées de chances de succès (<ref-law>), je vous prie dès lors de considérer par la présente que je retire mon recours contre la Faculté de droit et la Cour de justice, avant que vous ne rentriez en matière sur le fond". Le Tribunal fédéral a renoncé provisoirement à demander une avance de frais et a informé l'intéressé qu'il sera statué ultérieurement sur sa demande d'assistance judiciaire.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours qui sont déposés devant lui (<ref-ruling> consid. 1 p. 133).
1.1. Aux termes de l'art. 83 let. t LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions sur le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, notamment en matière de scolarité obligatoire, de formation ultérieure ou d'exercice d'une profession.
En l'espèce, l'objet du litige sur le fond, qui détermine la recevabilité du recours dirigé contre la décision en matière de frais et de dépens (cf. arrêts 2D_64/2012 du 17 juillet 2013 consid. 1.1; 2C_152/2010 du 24 août 2010 consid. 1.1), porte sur une décision relative aux examens d'admission au baccalauréat en droit de l'Université de Genève. Il est ainsi en lien avec une évaluation des capacités du recourant. L'art. 83 let. t LTF est par conséquent applicable et le présent recours ne peut donc être reçu en qualité de recours en matière de droit public.
1.2. Le recourant n'a pas formé, même à titre subsidiaire, un recours constitutionnel subsidiaire. L'intitulé erroné du recours ne nuit cependant pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui auraient dû être interjeté soient réunies et qu'il soit possible de convertir le recours dans son ensemble (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 370; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 382; arrêt 8C_279/2013 du 14 mai 2013 consid. 2.2).
1.2.1. D'après l'<ref-law>, le Tribunal fédéral connaît des recours constitutionnels subsidiaires contre les décisions des autorités cantonales de dernière instance qui ne peuvent, comme en l'espèce, faire l'objet d'aucun recours selon les art. 72 à 89 LTF. La qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire est subordonnée à un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>). Le recourant conteste l'émolument de 500 fr. mis à sa charge par la Cour de justice. A cet égard, il a un intérêt juridique à obtenir l'annulation de cette condamnation (arrêts 5D_205/2011 du 24 janvier 2012 consid. 2.3.2; 2C_700/2008 du 18 juin 2009 consid. 1.5; 4A_382/2008 du 12 novembre 2008 consid. 1.3). Le recours constitutionnel subsidiaire ne doit toutefois pas permettre au recourant de remettre en cause, même de façon indirecte, l'arrêt attaqué sur le fond. Le recourant peut faire valoir uniquement que la décision sur les frais doit être annulée ou modifiée pour des motifs autres que ceux qu'il invoquait à propos de la question principale (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 300). Il s'ensuit que les griefs formulés conte l'arrêt de la Cour de justice du 30 juillet 2013 se révèlent d'entrée de cause irrecevables. Il en va notamment ainsi de celui relatif à la violation de la bonne foi.
1.2.2. Pour le surplus, dirigé contre une décision finale (art. 117 et 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 114 et 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours a été déposé en temps utile (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (<ref-law>). Le recours constitutionnel subsidiaire est donc en principe recevable.
1.3. Le recourant a indiqué qu'il souhaitait retirer son recours si le Tribunal fédéral venait à considérer que celui-ci était manifestement dénué de chances de succès. Dans la mesure où la requête du recourant doit être comprise comme un retrait conditionnel, celle-ci doit être écartée. Pour être valable, le retrait doit en effet être exprès et inconditionnel (<ref-ruling> consid. 1b p. 38). Si, en revanche, il faut comprendre qu'avec cette requête, le recourant subordonne le recours à l'octroi de l'assistance judiciaire, le recours est alors irrecevable (<ref-ruling> consid. 2 p. 216 s.). La question peut cependant demeurer ouverte eu égard au sort de la cause.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). En vertu de l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>, les griefs y relatifs doivent être invoqués et motivés de façon détaillée, sous peine d'irrecevabilité (<ref-ruling> consid. 3 p. 237).
3.
Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant se prévaut d'une violation de son droit d'être entendu pour défaut de motivation de l'arrêt entrepris au sens de l'art. 29 al. 2 Cst.
3.1. Le droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. impose notamment à l'autorité de motiver sa décision. Cette obligation est remplie lorsque l'intéressé est mis en mesure d'en apprécier la portée et de la déférer à une instance supérieure en pleine connaissance de cause. Il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle s'est fondée pour rendre sa décision. Elle n'est pas tenue de se prononcer sur tous les moyens des parties et peut ainsi se limiter aux points essentiels pour la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 237; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 270; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 236; <ref-ruling> consid. 3.3.1 p. 677). En présence d'un tarif ou d'une règle légale fixant des minima et maxima, le juge ne doit motiver sa décision que s'il sort de ces limites ou si des éléments extraordinaires sont invoqués par la partie (<ref-ruling> consid. 2a p. 1; arrêt 6B_245/2011 du 7 juillet 2011 consid. 2.2).
3.2. En l'occurrence, la Cour de justice s'est fondée sur l'art. 2 al. 1 du règlement du 30 juillet 1986 sur les frais, émoluments et indemnités en procédure administrative (RFPA; RSG E 5 10.03) pour arrêter à 500 fr. l'émolument mis à la charge du recourant. Selon cette disposition, l'émolument d'arrêté n'excède en règle générale pas 10'000 fr., étant précisé que dans les contestations de nature pécuniaire, dans les contestations d'une ampleur extraordinaire ou présentant des difficultés particulières, l'émolument peut dépasser cette somme, mais sans excéder 15'000 fr. La Cour a précisé que, faute d'avoir sollicité l'assistance juridique ou d'avoir allégué se trouver dans une situation financière l'empêchant de s'acquitter de l'avance de frais qui lui était réclamée, le recourant ne pouvait bénéficier d'une dispense de frais. Il ne pouvait pas non plus prétendre à une exemption des frais au sens de l'art. 11 RFPA/GE, dans la mesure où il n'avait pas soutenu se trouver dans une situation lui permettant de bénéficier de l'exemption du paiement des taxes universitaires. La Cour de justice a précisé que dans un tel cas, il n'y avait pas de pratique tendant à renoncer à la perception d'un émolument. Enfin, le montant de l'émolument n'était pas disproportionné eu égard à l'objet traité dans l'arrêt rendu.
Le recourant reproche à la Cour de justice d'avoir traité uniquement de l'avance de frais de 400 fr., à l'exclusion de l'émolument de 500 fr. En l'espèce, on ne voit pas que la façon de procéder de l'instance précédente ait porté atteinte au droit d'être entendu du recourant. La confusion entre l'avance de frais (400 fr.) et l'émolument (500 fr.) mise en évidence par le recourant relève d'une erreur de plume, la Cour de justice s'étant manifestement référée, dans sa subsomption, au montant de 500 fr. mentionné dans la partie en fait de son arrêt. Cette erreur est donc sans conséquence. Le recourant reproche également à la Cour de justice de n'avoir pas examiné le grief de la bonne foi invoqué dans sa réclamation. Cet élément n'était cependant pas pertinent pour trancher le litige, de sorte que les juges cantonaux n'étaient pas tenus de répondre à ce grief. Enfin, le recourant soutient que l'instance précédente n'aurait pas exposé les motifs pour lesquels il n'y avait pas lieu de réduire le montant de l'émolument. Or, au vu de la jurisprudence précitée, on ne saurait reprocher à la Cour de justice un défaut de motivation sur le montant de l'émolument, ce d'autant moins que la somme requise se situe dans le bas de la fourchette prévue par le règlement cantonal sur les frais et émoluments. Mal fondées, les critiques d'une violation du droit d'être entendu doivent ainsi être rejetées.
4.
Le recourant se plaint d'arbitraire dans l'établissement des faits.
4.1. Saisi d'un recours constitutionnel subsidiaire, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés dans la décision attaquée; il ne peut rectifier ou compléter les constatations de fait de l'autorité précédente que si les faits ont été établis en violation des droits constitutionnels (<ref-law>), ce qu'il appartient à la partie recourante d'exposer et de démontrer de manière claire et circonstanciée. La correction du vice soulevé doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (cf. arrêt 2C_463/2012 du 28 novembre 2012 consid. 1.1).
Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 319; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 5).
4.2. Le recourant reproche à l'instance précédente d'avoir constaté qu'il avait "échoué aux examens d'admission" (arrêt attaqué, p. 2). Il fait valoir que le recours qu'il avait interjeté le 27 mai 2013 devant la Faculté de droit contre la décision lui refusant l'accès aux études de droit était toujours pendant, de sorte que celle-ci n'avait pas encore acquis force de chose jugée. Or, comme l'admet lui-même le recourant, la précision apportée à ce sujet n'a aucune influence sur le sort du litige. Il n'y a dès lors pas lieu d'en tenir compte. Pour le reste, le recourant expose des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué et sur lesquels le Tribunal fédéral ne peut donc pas se fonder. On ne voit du reste pas en quoi la prise en compte des éléments allégués - qui ne semblent au demeurant pas avoir de lien avec l'objet du litige - aurait permis d'aboutir à une solution différente. De nature purement appellatoire, le grief tiré de l'établissement arbitraire de l'état de fait est dès lors irrecevable.
5.
Le recourant se plaint d'arbitraire dans l'application des art. 87 al. 4 de la loi du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA; RSG E 5 10) et 5 al. 1 du règlement du 28 juillet 2010 sur l'assistance juridique et l'indemnisation des conseils juridiques et défenseurs d'office en matière civile, administrative et pénale (RAJ; RSG E 2 05.04).
5.1. Selon l'art. 87 al. 4 LPA/GE, les frais de procédure, émoluments et indemnités arrêtés par la juridiction administrative peuvent faire l'objet d'une réclamation dans le délai de 30 jours dès la notification de la décision. Le recourant voit une application arbitraire de cette disposition dans le fait que la juridiction cantonale lui aurait "implicitement" reproché "d'avoir formé une réclamation une fois le montant final des frais judiciaires arrêtés", au lieu de contester l'avance de frais "avant que le montant de l'émolument final ne soit arrêté". Tel que formulé, ce grief ne répond pas aux exigences de motivation accrues de l'<ref-law>. Il est partant irrecevable.
5.2. Il en va de même s'agissant du grief tiré de l'application arbitraire de l'art. 5 al. 1 RAJ, selon lequel l'assistance juridique est en règle générale octroyée avec effet au jour du dépôt de la requête. On peine d'ailleurs à comprendre l'argument du recourant, celui-ci n'ayant à aucun moment sollicité l'assistance juridique. La critique est d'autant moins compréhensible que, dans le cadre d'une procédure de réclamation sur émolument, la Cour de justice n'est pas compétente pour octroyer l'assistance judiciaire.
6.
Le recourant se prévaut de plusieurs arrêts de la Cour de justice fixant le montant des frais à 400 fr. et invoque le principe de l'égalité de traitement.
6.1. Une décision viole le droit à l'égalité de traitement lorsqu'elle établit des distinctions juridiques qui ne se justifient par aucun motif raisonnable au regard de la situation de fait à réglementer ou lorsqu'elle omet de faire des distinctions qui s'imposent au vu des circonstances (<ref-ruling> consid. 8.2 p. 183 et les arrêts cités).
La jurisprudence reconnaît à l'autorité cantonale de recours un large pouvoir d'appréciation dans la fixation et la répartition des frais et dépens de la procédure cantonale (<ref-ruling> consid. 4a p. 49; arrêt 5D_86/2012 du 14 septembre 2012 consid. 4.2.2). Le Tribunal fédéral n'intervient que si l'autorité a interprété ou appliqué de manière arbitraire le droit cantonal concerné ou si elle a abusé de son pouvoir d'appréciation, notamment si la décision ne peut se justifier par des raisons objectives (<ref-ruling> consid. 2a p. 1; arrêt 1C_451/2012 du 2 octobre 2012 consid. 2).
6.2. En l'occurrence, le recourant ne tente pas de démontrer que son cas serait identique aux situations traitées dans les arrêts invoqués à titre de comparaison. Il se contente de mentionner que les arrêts en question portent tous sur des décisions universitaires. Il ne précise en particulier pas si l'ampleur et la difficulté des causes sont comparables. A cet égard, il ne faut pas perdre de vue que le recourant a déposé à l'encontre d'une décision incidente un mémoire de recours comportant pas moins de 36 pages. Dans ces conditions, on ne voit pas que l'instance précédente aurait abusé de son pouvoir d'appréciation en fixant l'émolument à 500 fr. pour tenir compte des particularités du cas d'espèce.
7.
Compte tenu de ce qui précède, le recours, traité comme un recours constitutionnel subsidiaire, doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Le recours étant manifestement dénué de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire est rejetée (<ref-law>). Les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant qui succombe (cf. <ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours en matière de droit public est irrecevable.
2.
Le recours, traité comme un recours constitutionnel subsidiaire, est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Faculté de droit de l'Université de Genève et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, en section.
Lausanne, le 20 janvier 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor