Sachverhalt:
A.
Mit Beschluss vom 7. Dezember 2012 errichtete das Obergericht des Kantons Zürich für X._ eine Beistandschaft im Sinne von aArt. 392 Ziff. 1 ZGB für dessen Vertretung im Konkursverfahren xxx vor dem Bezirksgericht Meilen und in den damit zusammenhängenden Rechtsmittelverfahren. In der Folge ernannte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Bezirk Y._ mit Entscheid vom 10. Januar 2013 Rechtsanwalt Dr. A._ zum Beistand.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob X._ mit Eingabe vom 7. März 2013 bei der KESB Bezirk Y._ Beschwerde. Er beantragte, Rechtsanwalt Dr. A._ als Beistand abzusetzen, und verlangte, dass ihm auch in Zukunft nicht ohne seine Einwilligung ein solcher ernannt werde. Die KESB Bezirk Y._ überwies die Beschwerde zuständigkeitshalber dem Bezirksrat Meilen. Dieser trat mit Beschluss vom 7. Juni 2013 wegen verspäteter Einreichung des Rechtsmittels nicht auf die Beschwerde ein. Hierauf gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Zürich, das den Beschluss des Bezirksrats Meilen mit Urteil vom 29. August 2013 bestätigte.
C.
Mit Beschwerde vom 2. Oktober 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt die Aufhebung des Urteils des Obergerichts (Ziffer 1). Aufzuheben sei auch der Entscheid der KESB Bezirk Y._ vom 10. Januar 2013, mit welchem Rechtsanwalt Dr. A._ zum Beistand des Beschwerdeführers ernannt wurde (Ziffer 2). Schliesslich verlangt der Beschwerdeführer, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen (Ziffer 3) und ihm unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren (Ziffer 4). Mit Verfügung vom 11. Oktober 2013 hat das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist einzig der Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich vom 29. August 2013. Dieses hat als obere kantonale Instanz auf Beschwerde hin entschieden (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG). In der Sache geht es um die Ernennung von Rechtsanwalt Dr. A._ als Prozessbeistand. Das ist ein öffentlich-rechtlicher Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Die Angelegenheit hat keinen Vermögenswert (Urteil 5A_357/2011 vom 7. Oktober 2011 E. 2). Die Beschwerde ist rechtzeitig eingereicht worden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Er ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Fraglich ist, ob der angefochtene Entscheid als Endentscheid (<ref-law>) oder als Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> zu gelten hat. Die Frage ist aber ohne konkrete praktische Tragweite. Selbst wenn man die Ernennung von Rechtsanwalt Dr. A._ als inzidenten Entscheid im Konkursverfahren verstünde, wäre der Entscheid betreffend die Person des Beistands ohne Weiteres geeignet, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne der zuletzt genannten Norm zu bewirken: Sowohl die Person, die mit der Führung der Beistandschaft betraut ist, als auch die Art und Weise, in der diese Beistandsperson handelt, können den Verlauf und den Ausgang des Hauptsacheverfahrens beeinflussen können, zumal allfällige Fehler (z.B. die Unterlassung prozessual gebotener Vorkehren) im Endentscheid in der Sache nicht wieder gutgemacht werden können (Urteil 5A_710/2012 vom 2. Juli 2013 E. 1). Die Beschwerde ist damit grundsätzlich zulässig.
2.
Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde insofern, als der Beschwerdeführer die Aufhebung des Entscheids der KESB Bezirk Y._ vom 10. Januar 2013 verlangt. Gegenstand der Beschwerde in Zivilsachen kann nur der Entscheid der Vorinstanz sein (<ref-law>). Aus dem gleichen Grund ist auch nicht auf den Vorwurf des Beschwerdeführers einzutreten, ihm sei durch die KESB Bezirk Y._ das rechtliche Gehör verweigert worden, weil er sich nicht vorgängig zur Ernennung zur Person des Beistands habe äussern können. Ein solcher Vorwurf bildet nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens und kann nicht erstmals vor Bundesgericht erhoben werden (vgl. Urteil 5A_458/2010 vom 9. September 2010 E. 3.2).
3.
Der Streit dreht sich um die Frage, ob der Bezirksrat Meilen die Beschwerde gegen die Ernennung des Beistands zu Recht als verspätet erachtet hat. Im Bereich des Erwachsenenschutzes richtet sich das Verfahren nach Art. 443-450e ZGB. Säumnis und Fristwiederherstellung sind in diesen Normen freilich nicht geregelt. Diesbezüglich gilt <ref-law>. Danach sind die Bestimmungen der Zivilprozessordnung sinngemäss anwendbar, soweit die Kantone nichts anderes bestimmen (<ref-law>). Der Kanton Zürich hat eine eigene Regelung getroffen. § 40 Abs. 3 des zürcherischen Einführungsgesetzes zum Kindes- und Erwachsenenschutzrecht vom 25. Juni 2012 (EG KESR; LS 232.3) bestimmt, dass subsidiär für alle Verfahren die Bestimmungen der Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO; SR 272) sinngemäss gelten. Gelangt die ZPO auf diese Weise als kantonales Recht zur Anwendung, können im betreffenden Zusammenhang nur verfassungsmässige Rechte (namentlich das Willkürverbot) als verletzt gerügt werden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 231; <ref-ruling> E. 2.3). Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>). Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht (<ref-ruling>, E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399). Unter diesen Voraussetzungen kann offenbleiben, ob die Ernennung einer bestimmten Person als Prozessbeistand als vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> gilt. Auch wenn dies nicht der Fall ist, prüft das Bundesgericht nur, ob die Vorinstanz verfassungsmässige Rechte des Beschwerdeführers verletzt hat.
4.
4.1. Die Vorinstanz stützt sich auf § 40 Abs. 3 EG KESR i.V.m. <ref-law>. Gemäss der zuletzt genannten Norm gilt eine Urkunde als zugestellt, wenn sie am siebten Tag nach erfolglosem Zustellungsversuch nicht abgeholt wird, sofern die Person mit einer Zustellung rechnen musste. Das Obergericht ging davon aus, dass der Beschwerdeführer aufgrund des Urteils des Obergerichts vom 7. Dezember 2012 (s. Sachverhalt Bst. A) mit dem Entscheid der KESB Bezirk Y._ vom 10. Januar 2013 rechnen musste. Dieser Entscheid sei am Folgetag versandt und die Zustellung dem Beschwerdeführer am 14. Januar 2013 zur Abholung gemeldet worden. Die siebentägige Frist gemäss § 40 Abs. 3 EG KESR i.V.m. <ref-law> sei damit am 21. Januar 2013 abgelaufen, womit der Entscheid des Bezirksgerichts Meilen als an diesem Tag zugestellt zu gelten habe. In der Folge sei die 30-tägige Beschwerdefrist am 20. Februar 2013 abgelaufen und die am 7. März 2013 eingereichte Beschwerde verspätet.
4.2. Der Beschwerdeführer beteuert, den Gerichtsbehörden sei seit geraumer Zeit bekannt, dass er gerichtliche Verfahren nicht mehr selbst zu führen vermöge. Bereits das Bezirksgericht Meilen habe darauf hingewiesen, dass Massnahmen des Erwachsensenschutzrechts dringend zu prüfen seien. Die KESB Bezirk Y._ habe daraufhin in einem Schreiben vom 29. August 2012 festgehalten, dass die Ernennung einer Beistandschaft am Widerstand des Beschwerdeführers gescheitert sei und daher wohl der Entzug der Handlungsfähigkeit zu prüfen sei. Diese Massnahme sei jedoch aus Gründen der Verhältnismässigkeit nicht ergriffen worden.
Gegen die Annahme einer fingierten Zustellung wendet der Beschwerdeführer ein, aufgrund seiner gesundheitlichen Beeinträchtigung habe er gerade nicht mit der Zustellung rechnen müssen, denn hierzu habe ihm die Urteilsfähigkeit gefehlt. Er habe daher auch nichts Entsprechendes vorkehren, insbesondere keine Vertretung bestellen oder die Behörden ersuchen können, von der Zustellung fristauslösender Verfügungen abzusehen. Angesichts der Umstände hätten die Behörden dafür sorgen müssen, dass der Beschluss der KESB Bezirk Y._ ihm auch tatsächlich zur Kenntnis gelangte. Die Vorinstanzen hätten nicht nur von seinem desolaten Gesundheitszustand (mehrere Einweisungen in Kliniken in den vergangenen Jahren), sondern auch davon gewusst, dass er in den zahlreichen vorgängigen gerichtlichen Verfahren stets im Sinne von <ref-law> einen Vertreter beigestellt erhielt. Deshalb hätten sie sich nicht darauf verlassen dürfen, dass er den Beschluss der KESB Bezirk Y._ vom 10. Januar 2013 zur Kenntnis nehme. Die "Berufung auf die Zustellfiktion" sei deshalb willkürlich.
4.3. Nach <ref-law> gilt eine Urkunde als zugestellt, wenn diese am siebten Tag nach erfolglosem Zustellungsversuch nicht abgeholt wird, sofern die Person mit einer Zustellung rechnen musste. Das Bundesgericht hat entschieden, dass die Zustell- oder Zustellungsfiktion auch unter der Herrschaft von <ref-law> ein Prozessrechtsverhältnis voraussetzt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 227 f.). Ein solches erblickt die Vorinstanz im Konkursbegehren, das zum Beschluss des Obergerichts vom 7. Dezember 2012 geführt habe. Aufgrund dieses Beschlusses habe der Beschwerdeführer gewusst, dass die KESB Bezirk Y._ ihm innert 10 Tagen einen Beistand zu ernennen hatte. Unter Willkürgesichtspunkten (E. 3) ist diese Auslegung von <ref-law> nicht zu beanstanden.
Nach dem Gesagten musste der Beschwerdeführer also mit der Zustellung des Entscheides der KESB Bezirk Y._ vom 10. Januar 2013 rechnen. Dass er diesen Entscheid binnen der siebentägigen Frist gemäss § 40 Abs. 3 EG KESR i.V.m. <ref-law> abgeholt hätte und der gegenteilige Schluss des Obergerichts (E. 4.1) seine verfassungsmässigen Rechte verletzen würde, behauptet der Beschwerdeführer nicht. Damit bleibt es bei der Erkenntnis des Obergerichts, dass die Voraussetzungen für eine fingierte Zustellung am 21. Januar 2013 gegeben sind. Auch den daraus gezogenen vorinstanzlichen Schluss, dass die Beschwerdefrist unter diesen Voraussetzungen am 20. Februar 2013 abgelaufen ist, bestreitet der Beschwerdeführer nicht. Soweit er darauf beharrt, das kantonale Rechtsmittel am 7. März 2013 rechtzeitig erhoben zu haben, erweist sich seine Beschwerde als unbegründet.
5.
Das Obergericht hat auch das Gesuch um Fristwiederherstellung (<ref-law>) abgelehnt. Es hält den Nachweis für nicht erbracht, dass der Beschwerdeführer erst am 7. März 2013 wieder gesundheitlich in der Lage gewesen sei, auf den Entscheid der KESB Bezirk Y._ vom 10. Januar 2013 zu reagieren. Mit diesen tatsächlichen, für das Bundesgericht verbindlichen (<ref-law>) Feststellungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht in einer Weise auseinander, die den Anforderungen an das Rügeprinzip genügt (s. E. 3). Allein die behauptete Tatsache, dass er erst am 7. März 2013 vom Entscheid der KESB Bezirk Y._ Kenntnis erhalten hat, belegt in keiner Weise, dass ihm auch erst an diesem Tag eine Kenntnisnahme zumutbar war. Mithin durfte die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, dass der Beschwerdeführer früher bzw. innerhalb der Rechtsmittelfrist auf den Entscheid der KESB Bezirk Y._ hätte reagieren können. Damit erübrigt es sich, zum weiteren Argument der Vorinstanz Stellung zu nehmen, wonach der Beschwerdeführer zusätzlich in der Lage und verpflichtet gewesen wäre, seine Ehefrau oder einen Dritten zu instruieren und zu beauftragen, die allenfalls notwendigen Prozesshandlungen vorzunehmen.
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hätte an sich für die Gerichtskosten aufzukommen, wobei es die Besonderheiten des Falls aber erlauben, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (<ref-law>). Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bezirk Y._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn