Sachverhalt:
A. Die in X._ wohnhafte S._ wurde am 28. April 2000 im Spital Y._ von einer Tochter entbunden. Sie hielt sich dort bis zum 7. Mai in der allgemeinen Abteilung auf. Das Spital, bei dem es sich um eine auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführte, nicht öffentlich subventionierte Institution mit privater Trägerschaft handelt, stellte S._ insgesamt Kosten in Höhe von Fr. 11'153.25 (Fr. 7'870.10 für die Mutter und Fr. 3'283.15 für die gesunde Tochter) in Rechnung. Die Assura Kranken- und Unfallversicherung, bei welcher S._ obligatorisch krankenpflegeversichert war, erklärte sich mit Verfügung vom 7. September 2000 bereit, sich an diesen Kosten in Ermangelung eines Tarifs (vertragsloser Zustand) im Umfang des mit dem Frauenspital Bern für eine Geburt vereinbarten Pauschaltarifs von Fr. 2'117.- zu beteiligen. Sie wies darauf hin, damit seien sämtliche anfallenden Kosten der Mutter und des gesunden Säuglings abgegolten. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 9. Oktober 2000 fest.
B. S._ liess gegen den Einspracheentscheid beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Beschwerde erheben und beantragen, die Assura sei zu verpflichten, an die Kosten des Spitalaufenthaltes von Mutter und Kind insgesamt Fr. 11'034.50 aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zu bezahlen. Mit Entscheid vom 5. September 2001 wies das kantonale Gericht die Beschwerde ab.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt S._ das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren erneuern und beantragen, das Spital Y._ sei gestützt auf Art. 110 OG zum Verfahren beizuladen. Eventuell sei die Assura zu verpflichten, ein Schiedsgerichtsverfahren gemäss <ref-law> gegen das Spital Y._ einzuleiten.
Die Assura beantragt Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung, Kranken- und Unfallversicherung (seit 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit; nachfolgend: Bundesamt) stellt den Antrag, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei in dem Sinne gutzuheissen, dass der vorinstanzliche Entscheid aufgehoben und die Sache an den Krankenversicherer zurückgewiesen wird, damit dieser zu seinen Lasten die Beschwerdeführerin in einem Schiedsgerichtsverfahren vertritt.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 in Kraft getreten. Mit ihm sind zahlreiche Bestimmungen im Bereich der sozialen Krankenversicherung geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> Erw. 1), sind die neuen Bestimmungen hier nicht anwendbar (<ref-ruling> Erw. 1.2).
2. 2.1 Gemäss Art. 129 Abs. 1 lit. b OG ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde unzulässig gegen Verfügungen über Tarife. Nach der Rechtsprechung ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde allerdings nur unzulässig gegen Verfügungen, welche den Erlass oder die Genehmigung eines Tarifs als Ganzes zum Gegenstand haben oder wenn unmittelbar einzelne Tarifbestimmungen als solche angefochten werden. Entscheidend dafür ist, dass die Gesichtspunkte, welche der Strukturierung eines Tarifs zu Grunde liegen, als nicht oder schwer justiziabel betrachtet werden. Hingegen steht die Verwaltungsgerichtsbeschwerde offen gegen Verfügungen, welche in Anwendung eines Tarifs im Einzelfall ergangen sind; dabei kann das Gericht zwar nicht den Tarif als Ganzes mit all seinen Positionen und in ihrem gegenseitigen Verhältnis auf die Gesetzmässigkeit hin überprüfen, wohl aber kann es die konkret angewandte Tarifposition ausser Acht lassen, wenn sie sich als gesetzwidrig erweist (<ref-ruling> Erw. 1, 125 V 104 Erw. 3b mit Hinweisen).
2.2 Im vorliegenden Verfahren geht es nicht um eine Tarifstreitigkeit im Sinne von Art. 129 Abs. 1 lit. b OG, sondern um die Anwendung eines Tarifes im Einzelfall. Es ist umstritten, ob die Assura in Ermangelung eines Vertrags mit den Privatspitälern im Kanton Bern und eines durch den Regierungsrat festgesetzten Tarifs den Tarif des Frauenspitals Bern als Referenztarif für die Bemessung der zu vergütenden Leistungen anwenden durfte. Unter diesem Gesichtspunkt ist auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde einzutreten.
3. Im Beschwerdeverfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen ist die Überprüfungsbefugnis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nicht auf die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens beschränkt, sondern sie erstreckt sich auch auf die Angemessenheit der angefochtenen Verfügung; das Gericht ist dabei nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden und kann über die Begehren der Parteien zu deren Gunsten oder Ungunsten hinausgehen (Art. 132 OG).
4. Gemäss <ref-law> übernimmt die obligatorische Krankenpflegeversicherung die Kosten für die Leistungen, die der Diagnose oder Behandlung einer Krankheit und ihrer Folgen dienen (Abs. 1). Diese Leistungen umfassen u.a. die Untersuchungen, Behandlungen und Pflegemassnahmen, die ambulant, stationär oder teilstationär durchgeführt werden (Abs. 2 lit. a) sowie den Aufenthalt in der allgemeinen Abteilung eines Spitals (Abs. 2 lit. e). Bei Mutterschaft übernimmt die obligatorische Krankenpflegeversicherung neben den gleichen Leistungen wie bei Krankheit die Kosten der besonderen Leistungen bei Mutterschaft (<ref-law>). Für die Kosten für Pflege und Aufenthalt des gesunden Neugeborenen hat die Versicherung der Mutter aufzukommen, solange es sich mit der Mutter im Spital aufhält (<ref-ruling> Erw. 5 und Änderung von Art. 29 Abs. 2 Bst. d KVG, in Kraft seit 1. Januar 2001).
Nach <ref-law> können die Versicherten unter den zugelassenen Leistungserbringern, die für die Behandlung ihrer Krankheit geeignet sind, frei wählen.
Die Vergütung der Leistungen nach <ref-law> erfolgt nach Tarifen oder Preisen (<ref-law>). Diese werden in Verträgen zwischen Versicherern und Leistungserbringern vereinbart oder in den vom Gesetz bestimmten Fällen von der zuständigen Behörde festgesetzt (Art. 43 Abs. 4 erster Satz KVG). Leitschnur für die Tarifgestaltung ist eine qualitativ hoch stehende und zweckmässige gesundheitliche Versorgung zu möglichst günstigen Kosten (<ref-law>). Der Tarifvertrag bedarf der Genehmigung durch die zuständige Kantonsregierung oder, wenn er in der ganzen Schweiz gelten soll, durch den Bundesrat (Art. 46 Abs. 4 erster Satz KVG).
Bei stationärer Behandlung muss der Versicherer die Kosten höchstens nach dem Tarif übernehmen, der im Wohnkanton der versicherten Person gilt. Beanspruchen Versicherte aus medizinischen Gründen einen anderen Leistungserbringer, so richtet sich die Kostenübernahme nach Art. 41 Abs. 2 und 3 KVG.
5. 5.1 Als Spital gelten Anstalten oder deren Abteilungen, die der stationären Behandlung akuter Krankheiten oder der stationären Durchführung von Massnahmen der medizinischen Rehabilitation dienen (Art. 39 Abs. 1 Ingress KVG). Ihre Zulassung als Leistungserbringer und damit zur Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (Art. 35 Abs. 1 und 2 lit. h KVG) setzt u.a. voraus, dass sie der von einem oder mehreren Kantonen gemeinsam aufgestellten Planung für eine bedarfsgerechte Spitalversorgung entsprechen und auf der nach Leistungsaufträgen in Kategorien gegliederten Spitalliste des Kantons aufgeführt sind, wobei private Trägerschaften angemessen in die Planung einzubeziehen sind (Art. 39 Abs. 1 lit. d und e KVG).
5.2 Für Tarifverträge mit Spitälern im Sinne von <ref-law> hat das Gesetz in <ref-law> eine Spezialregelung getroffen. Danach vereinbaren die Vertragsparteien Pauschalen für die Vergütung der stationären Behandlung einschliesslich Aufenthalt. Diese decken für Kantonseinwohner und -einwohnerinnen bei öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitälern höchstens 50 Prozent der anrechenbaren Kosten je Patient oder Patientin oder je Versichertengruppe in der allgemeinen Abteilung (Abs. 1 erster und zweiter Satz). Die Vertragsparteien können vereinbaren, dass besondere diagnostische oder therapeutische Leistungen nicht in der Pauschale enthalten sind, sondern getrennt in Rechnung gestellt werden. Die durch die Vergütung nicht gedeckten "anrechenbaren Kosten (...)" sowie nicht anrechenbaren Betriebskostenanteile aus Überkapazität, Investitionskosten sowie Kosten für Lehre und Forschung (Abs. 1 vierter Satz) gehen zu Lasten der öffentlichen Hand oder des subventionierenden Gemeinwesens (Botschaft vom 6. November 1991 über die Revision der Krankenversicherung, BBl 1992 I 93 ff., 127, 169 und 183 f.; Eugster, Krankenversicherungsrecht, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, S. 157 ff. Rz 303 ff.). Mit den Vergütungen nach Art. 49 Abs. 1 - 3 KVG sind alle Ansprüche des Spitals für die allgemeine Abteilung abgegolten (<ref-law>).
5.3 Kommt zwischen den Leistungserbringern und Versicherern kein Vertrag zustande oder wird ein Tarifvertrag gekündigt, ohne dass die Parteien sich auf die Vertragserneuerung einigen können, herrscht mithin ein vertragsloser Zustand, so setzt die Kantonsregierung nach Anhörung der Beteiligten den Tarif fest (<ref-law>) oder sie kann den bestehenden Vertrag um ein Jahr verlängern und, wenn innerhalb dieser Frist kein Vertrag zustande kommt, nach Anhörung der Beteiligten den Tarif selber festsetzen (<ref-law>). Beim Entscheid darüber, welchen Weg die Kantonsregierung beschreiten will, verfügt sie über ein Auswahlermessen; ihr Ermessensspielraum ist nach herrschender Praxis weit. Dabei hat sie zu beachten, dass die Bestimmung, wonach sie bei der Genehmigung von Tarifverträgen zu prüfen hat, ob diese mit dem Gesetz und dem Gebot der Wirtschaftlichkeit und Billigkeit in Einklang stehen (<ref-law>), auch bei der Tariffestsetzung im vertragslosen Zustand gilt (RKUV 2001 Nr. KV 177 S. 357 Erw. 1.1.2 mit Hinweisen).
6. Gemäss <ref-law> müssen sich die Leistungserbringer an die vertraglich oder behördlich festgelegten Tarife und Preise halten und dürfen für Leistungen nach diesem Gesetz keine weiter gehenden Vergütungen berechnen (Tarifschutz). Der Tarifschutz in weit gefasster Definition umfasst die Pflicht der Leistungserbringer und der Versicherer zur Einhaltung der massgebenden Tarife und Preise sowohl im gegenseitigen als auch im Verhältnis zum Versicherten. Er findet seinen besonderen Sinn im System des Tiers garant, wo die Versicherten selber Schuldner der Vergütungen sind (Botschaft, a.a.O., BBl 1992 I 175). Im Rahmen der Tätigkeit für die soziale Krankenversicherung ist es den Leistungserbringern nicht gestattet, mit den Versicherten über die vertraglichen oder behördlichen Tarife hinausgehende Leistungen zu vereinbaren. Der Tarifschutz ist schliesslich auch im vertragslosen Zustand zu respektieren (Eugster, a.a.O., S. 171 f. Rz 321 mit Hinweisen zu dem schon unter dem alten Recht des KUVG geltenden Grundsatz; einschränkend Rz 325 zu den sog. "Privatpatientenverhältnissen"). An den Tarifschutz müssen sich alle Leistungserbringer halten. Er gilt für alle Ärzte (angestellte oder externe Belegärzte), welche in der allgemeinen Abteilung eines Spitals (das die Zulassungsvoraussetzungen von <ref-law> erfüllt und vom Kanton auf seine Spitalliste gesetzt wurde) praktizieren, weshalb sie keine Zusatzhonorare fordern dürfen; dies unabhängig davon, ob es sich um ein öffentliches Spital oder um eine Privatklinik handelt (RKUV 2004 Nr. KV 285 S. 238 und KV 287 S. 298; für den Bereich der stationären Spitalbehandlung auf der Halbprivat- und Privatabteilung vgl. auch <ref-ruling> Erw. 2.2; für den Bereich der teilstationären Spitalbehandlung: RKUV 2005 Nr. KV 314 S. 15 f. Erw. 7.3 und 8.2.2; vgl. auch Conti, Die Pflichten des Patienten im Behandlungsvertrag, Bern 2000, S. 70 f.; derselbe, Zusatzhonorar des Arztes und KVG, in: AJP 10/2001 S. 1152; Poledna / Berger, Öffentliches Gesundheitsrecht, Bern 2002, S. 281 f. Rz 514; Longchamp, Conditions et étendue du droit aux prestations de l'assurance-maladie sociale, Diss. Lausanne, Bern 2004, S. 342 f. mit Hinweisen). Bis anhin durch das Eidgenössische Versicherungsgericht nicht beurteilt worden ist hingegen die Frage, wie bei Fehlen eines Tarifvertrages oder eines behördlich festgesetzten Tarifs die in einer Privatklinik in der allgemeinen Abteilung erbrachten Leistungen von der sozialen Krankenversicherung zu vergüten sind.
7. Die Assura erbrachte an die vom Spital Y._ in Rechnung gestellten Kosten von Fr. 11'153.25 für den Spitalaufenthalt entsprechend dem Pauschaltarif für Geburten des Frauenspitals Bern einen Beitrag von Fr. 2'117.-. Damit wäre ein Aufenthalt der Beschwerdeführerin in jenem Spital als öffentlicher Heilanstalt abgegolten gewesen. Streitig sind die über diese Pauschale hinaus vom Spital Y._ als auf der Spitalliste des Kantons Bern figurierender nicht öffentlich subventionierter Institution mit privater Trägerschaft in Rechnung gestellten Mehrkosten. Zu prüfen ist, welche Kostenübernahme durch die Assura die Versicherte aus der obligatorischen Krankenversicherung beanspruchen kann. Sie bestreitet den von der Assura angewendeten Tarif, der nicht gesetzeskonform sei. Die Versicherung vertritt die Auffassung, sie habe die gestützt auf den massgebenden Tarif geschuldete Fallpauschale erbracht.
8. Die Vorinstanz hat das Vorgehen der Assura mit der Begründung geschützt, es sei unter der Rechtslage des KVG nicht zu beanstanden. Aus der Aufnahme des Spitals Y._ auf die Spitalliste folge nicht, dass sämtliche Kosten zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung gehen würden. Die Krankenversicherer seien zwar verpflichtet, für Leistungen aller Listenspitäler zu bezahlen, jedoch nicht unbedingt kostendeckend. Dies sei nur möglich, wenn wie bei öffentlich subventionierten Spitälern mindestens die Hälfte der Kosten zu Lasten des Kantons gehen würden. Tarife privater Spitäler seien deshalb naturgemäss höher als diejenigen öffentlicher Einrichtungen. Insofern könne ein privates Spital in Bezug auf die Versicherungsdeckung dem öffentlichen nicht gleichgestellt sein. Es sei nicht ersichtlich, weshalb im Rahmen der obligatorischen Versicherung sämtliche Kosten zu Lasten des Versicherers gehen sollten, nur weil sich eine versicherte Person für einen privaten Leistungserbringer entschieden habe. Bei der sozialen Krankenversicherung gehe es letztlich um die Sicherstellung der elementaren medizinischen Grundversorgung der Bevölkerung. Unter diesem Aspekt sei es grundsätzlich nicht zu beanstanden, wenn weiter gehende, nicht kostendeckend erbrachte Leistungen eines Privatspitals nicht von der obligatorischen Krankenversicherung (Grundversicherung) finanziert würden. Die angerufene Tarifschutzbestimmung sei unbehelflich, da sie das Verhältnis zwischen Versicherer und Patient nicht berühre und im Kanton Bern kein anwendbarer Tarifvertrag bestehe. In Anbetracht des tariflosen Zustandes sei die Anwendung des für die öffentlichen Spitäler geltenden Tarifs durchaus gerechtfertigt, was vom Bundesrat in seinem Entscheid vom 23. Juni 1999 in Sachen Privatklinik Lanixa (RKUV 1999 Nr. KV 83 S. 345 f.) ebenfalls so beurteilt worden sei.
9. 9.1 Diese Ausführungen im vorinstanzlichen Entscheid sowie der dabei gezogene Schluss, die Beschwerdeführerin habe "nur" über eine obligatorische Versicherungsdeckung verfügt und bei ihrem Aufenthalt im Spital Y._ Leistungen beansprucht, für die sie nicht versichert gewesen sei, erweisen sich angesichts der dargestellten gesetzlichen Regelung (vgl. Erw. 4 - 6 hiervor) als bundesrechtswidrig. Da es sich beim Spital Y._ laut Anhang II der kantonalen Einführungsverordnung zum KVG um einen zur Tätigkeit zu Lasten der sozialen Krankenversicherung mit einem Leistungsauftrag für Gynäkologie und Geburtshilfe auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführten Leistungserbringer handelt (<ref-law>), welcher im Wahlrecht der Beschwerdeführerin stand, gilt für die Versicherte der Tarifschutz. Deshalb dürfen ihr aus dem Aufenthalt, der Geburt, der Pflege und der Behandlung in der allgemeinen Abteilung des Spitals Y._ (mit Ausnahme der Kostenbeteiligung nach <ref-law>, die aber nach Abs. 7 auf den Leistungen bei Mutterschaft nicht erhoben werden darf) keine von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung ungedeckte Kosten erwachsen.
9.2 Wenn wie hier die Leistungserbringer, die Versicherer und die staatlichen Organe die ihnen vom Gesetz zugeordneten Aufgaben nicht wahrnehmen, darf dies somit entgegen dem vorinstanzlichen Entscheid und der von der Assura eingenommenen Haltung nicht dazu führen, dass die Versicherten den ihnen vom Gesetz garantierten Tarifschutz verlieren und die dort verankerten Ansprüche gegenüber Leistungserbringern und Krankenversicherern nicht durchsetzen können. Spätestens mit dem in den Akten in Form eines Auszugs aus einem Verhandlungsprotokoll dokumentierten Verhandlungsergebnis vom 4. April 2000 haben die Tarifvertragsparteien auf kantonaler Verbandsebene klar gemacht, dass sie bis zu einer Änderung der geltenden bundesrechtlichen Regelung über die Spitalfinanzierung (vgl. Erw. 5.2 hiervor) keine KVG-konforme Tarifvereinbarung abschliessen wollten. Angesichts dieser Situation wäre die Assura, die als zur Durchführung der sozialen Krankenversicherung zugelassene Versicherungseinrichtung insbesondere auch zur Einhaltung der gesetzlichen Vorschriften verpflichtet ist (<ref-law>), gehalten gewesen, direkt den Abschluss einer Tarifvereinbarung anzustreben oder aber zu versuchen, auf die Festsetzung eines Behördentarifs hin zu drängen, um so eine gesetzeskonforme Lage im Tarifbereich zu schaffen.
9.3 Nach dem Entscheid K. des Bundesrates vom 17. Februar 1999 in Sachen Tariffestsetzung im vertragslosen Zustand (RKUV 1999 Nr. KV 70 S. 169 ff. Erw. II.3.2) geht nämlich im Rahmen des Systems der Tarifgestaltung in der obligatorischen Krankenpflegeversicherung die Vertragsfreiheit nicht so weit, dass es den Tarifpartnern freisteht, ob sie überhaupt und mit wem sie Verträge schliessen wollen. Vielmehr setzt <ref-law> voraus, dass zwischen allen zugelassenen Leistungserbringern und allen zur Durchführung der obligatorischen Krankenpflegeversicherung befugten Einrichtungen Tarife vorhanden sind. Die Tarifpartner sind folglich zumindest dazu verpflichtet, nach Kräften auf das Zustandekommen von Tarifverträgen mit allen nach den Bestimmungen des KVG zugelassenen Leistungserbringern bzw. Krankenversicherern hinzuwirken. Sonst steht als letzter Ausweg nach dem Scheitern der Verhandlungen der Weg zur hoheitlichen Tariffestsetzung offen (a.a.O., Erw. II.3.2 Abs. 3 S. 175). In <ref-ruling> Erw. 2b/bb geht auch das Eidgenössische Versicherungsgericht von einer Tarifverhandlungspflicht der Krankenversicherer aus. Diese ist somit das Korrelat zum Versicherungsobligatorium und zum Tarifschutz. Wie den Beschwerdeakten zu entnehmen ist, war es der Assura bewusst, dass die Tarifvertragsparteien und die Kantonsregierung auf Grund des Bundes- und des kantonalen Rechts verpflichtet waren, tätig zu werden, es aber vorliegend unterlassen haben. Die Assura hat offenbar auch nie erwogen, ihre Versicherte zumindest im Tarifstreit gegenüber dem Spital Y._ vor Schiedsgericht zu vertreten (<ref-law>).
9.4 Wie darum das Bundesamt in der Vernehmlassung zu Recht anmerkt, ist es eine unbefriedigende Situation, dass es für die Privatspitäler mit allgemeiner Abteilung, die auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführt sind, an einem behördlich festgesetzten oder genehmigten Tarif fehlt, und es darf dies nicht dazu führen, dass die Versicherten selbst für Leistungen, die aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zu vergüten sind, aufzukommen oder diese über Zusatzversicherungen abzudecken haben. Im Übrigen wird in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde richtig vorgebracht, dass der von der Assura und der Vorinstanz herangezogene Entscheid des Bundesrates vom 23. Juni 1999 in Sachen Privatklinik Lanixa (RKUV 1999 Nr. KV 83 S. 345 f.) eine Tarifstreitigkeit betraf, an der das Spital, die Krankenversicherer und die Kantonsregierung beteiligt waren, und die vom Bundesrat entschiedene vorübergehende Lösung nicht zur Folge haben konnte, dass die in der allgemeinen Abteilung dieser Klinik behandelten KVG-Versicherten über keinen Tarifschutz mehr verfügten; dies weil der festgesetzte (Referenz-)Tarif für die Klinik verbindlich war und sie keine darüber hinausgehenden Rechnungen stellen durfte. Wie das Bundesamt richtig darauf hinweist, ist der Bundesrat dabei davon ausgegangen, dass eine - wie auch im Kanton Bern - integrale Spitalliste unabhängig von einer zusätzlichen Versicherungsdeckung den Zugang der KVG-Versicherten zu allen auf der Spitalliste aufgeführten Spitälern öffnet, und dieser nur durch den Inhalt des Leistungsauftrages und die Geeignetheit des Leistungserbringers für die Behandlung begrenzt ist.
9.4 Wie darum das Bundesamt in der Vernehmlassung zu Recht anmerkt, ist es eine unbefriedigende Situation, dass es für die Privatspitäler mit allgemeiner Abteilung, die auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführt sind, an einem behördlich festgesetzten oder genehmigten Tarif fehlt, und es darf dies nicht dazu führen, dass die Versicherten selbst für Leistungen, die aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zu vergüten sind, aufzukommen oder diese über Zusatzversicherungen abzudecken haben. Im Übrigen wird in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde richtig vorgebracht, dass der von der Assura und der Vorinstanz herangezogene Entscheid des Bundesrates vom 23. Juni 1999 in Sachen Privatklinik Lanixa (RKUV 1999 Nr. KV 83 S. 345 f.) eine Tarifstreitigkeit betraf, an der das Spital, die Krankenversicherer und die Kantonsregierung beteiligt waren, und die vom Bundesrat entschiedene vorübergehende Lösung nicht zur Folge haben konnte, dass die in der allgemeinen Abteilung dieser Klinik behandelten KVG-Versicherten über keinen Tarifschutz mehr verfügten; dies weil der festgesetzte (Referenz-)Tarif für die Klinik verbindlich war und sie keine darüber hinausgehenden Rechnungen stellen durfte. Wie das Bundesamt richtig darauf hinweist, ist der Bundesrat dabei davon ausgegangen, dass eine - wie auch im Kanton Bern - integrale Spitalliste unabhängig von einer zusätzlichen Versicherungsdeckung den Zugang der KVG-Versicherten zu allen auf der Spitalliste aufgeführten Spitälern öffnet, und dieser nur durch den Inhalt des Leistungsauftrages und die Geeignetheit des Leistungserbringers für die Behandlung begrenzt ist.
10. Damit steht die Frage, in welcher Höhe die vom Spital Y._ gegenüber Mutter und Tochter erbrachten Leistungen von der sozialen Krankenversicherung zu vergüten sind, noch offen. Auf Grund von <ref-ruling> Erw. 5 ist jedoch geklärt, dass für die Kosten von Pflege und Aufenthalt der gesunden Tochter die Assura als Versicherung der Mutter aufzukommen hat. Des weiteren dürfen - da der Tarifschutz greift - der Versicherten für den Aufenthalt, die Geburt und die Behandlung und Pflege mit Ausnahme der hier nicht zu erhebenden gesetzlichen Kostenbeteiligung keine von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung ungedeckte Kosten erwachsen. Der kantonale Entscheid, nach dem der Beschwerdeführerin durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung ungedeckte Kosten von rund Fr. 9000.- verbleiben würden, ist bundesrechtswidrig (vgl. oben Erw. 9.1) und darum aufzuheben.
10. Damit steht die Frage, in welcher Höhe die vom Spital Y._ gegenüber Mutter und Tochter erbrachten Leistungen von der sozialen Krankenversicherung zu vergüten sind, noch offen. Auf Grund von <ref-ruling> Erw. 5 ist jedoch geklärt, dass für die Kosten von Pflege und Aufenthalt der gesunden Tochter die Assura als Versicherung der Mutter aufzukommen hat. Des weiteren dürfen - da der Tarifschutz greift - der Versicherten für den Aufenthalt, die Geburt und die Behandlung und Pflege mit Ausnahme der hier nicht zu erhebenden gesetzlichen Kostenbeteiligung keine von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung ungedeckte Kosten erwachsen. Der kantonale Entscheid, nach dem der Beschwerdeführerin durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung ungedeckte Kosten von rund Fr. 9000.- verbleiben würden, ist bundesrechtswidrig (vgl. oben Erw. 9.1) und darum aufzuheben.
11. Dem Hauptantrag der Beschwerdeführerin, die Assura zur Übernahme der Kosten so zu verpflichten, wie sie vom Spital Y._ in Rechnung gestellt wurden, ist deshalb nicht stattzugeben, weil die Vergütung der Leistungen nach Tarifen oder Preisen zu erfolgen hat (<ref-law>), die in Verträgen zwischen Versicherern und Leistungserbringern vereinbart oder in den vom Gesetz bestimmten Fällen von der zuständigen Behörde festgesetzt werden (Art. 43 Abs. 4 erster Satz KVG). Das Erfordernis einer KVG-konformen Tarifierung der in Rechnung gestellten Leistungen ist indes bei den beiden umstrittenen Rechnungen des Spitals Y._ nicht erfüllt.
11. Dem Hauptantrag der Beschwerdeführerin, die Assura zur Übernahme der Kosten so zu verpflichten, wie sie vom Spital Y._ in Rechnung gestellt wurden, ist deshalb nicht stattzugeben, weil die Vergütung der Leistungen nach Tarifen oder Preisen zu erfolgen hat (<ref-law>), die in Verträgen zwischen Versicherern und Leistungserbringern vereinbart oder in den vom Gesetz bestimmten Fällen von der zuständigen Behörde festgesetzt werden (Art. 43 Abs. 4 erster Satz KVG). Das Erfordernis einer KVG-konformen Tarifierung der in Rechnung gestellten Leistungen ist indes bei den beiden umstrittenen Rechnungen des Spitals Y._ nicht erfüllt.
12. 12.1 Gemäss RKUV 2004 Nr. KV 281 S. 208 kann der zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung fallende Sockelbeitrag beim Aufenthalt krankenversicherter Personen in der Halbprivat- und Privatabteilung eines Spitals bei Fehlen eines tarifvertraglichen oder -behördlichen Tarifs nach einem vom Krankenversicherer, im Bestreitungsfalle vom zuständigen kantonalen Versicherungsgericht und letztinstanzlich vom Eidgenössischen Versicherungsgericht festzusetzenden Referenztarif bemessen werden. Im betreffenden Streitfall ging es um den Anspruch bei einem Aufenthalt in einer Privatklinik, die ohne Leistungsauftrag im Rahmen der Grundversorgung auf der Spitalliste des Standortkantons figurierte und über keine allgemeine Abteilung verfügt. Um nicht faktisch die Spitalplanung zu umgehen und die mit Spitallisten bezweckte Beschränkung der zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung in bestimmten Leistungsbereichen tätigen stationären Leistungserbringer zu vereiteln, wurde als Referenztarif nicht der Tarif für den Aufenthalt in der allgemeinen Abteilung eines Privatspitals mit Leistungsauftrag im Rahmen der Grundversorgung genommen, sondern ein Durchschnitt der Tarife öffentlicher Spitäler, was einen erheblich tieferen Sockelbeitrag des Versicherers und damit für den Versicherten höhere ungedeckte Kosten zur Folge hatte.
12.2 Dementgegen handelt es sich beim Spital Y._ um einen zur Tätigkeit zu Lasten der sozialen Krankenversicherung mit einem Leistungsauftrag für Gynäkologie und Geburtshilfe auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführten Leistungserbringer mit allgemeiner Abteilung. Entsprechend ist bei Fehlen eines vertraglich oder behördlich festgelegten Tarifs als Referenztarif der Tarif eines vergleichbaren Privatspitals beizuziehen. Hier besteht nicht die Gefahr einer Umgehung der Spitalplanung, weil das Spital Y._ Bestandteil dieser Planung ist.
12.3 Soweit ersichtlich, herrschte im Jahr 2000 bei den mit dem Spital Y._ vergleichbaren Privatspitälern im Kanton Bern eine analoge Tarifsituation, weshalb das Eidgenössische Versicherungsgericht keinen Referenztarif bestimmen kann. Dazu ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie wird nach Beiladung des Spitals Y._ einen Referenztarif ermitteln. Sollte ein geeigneter Tarif im Jahr 2000 nicht bestanden haben, wäre eine auf den konkreten Streitfall zugeschnittene Lösung zu treffen, welche sowohl den Anforderungen des Tarifrechts (vgl. oben Erw. 5) wie des Tarifschutzes (vgl. oben Erw. 6) zu genügen haben wird. Dabei könnten allenfalls Pauschaltarife eines öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitals beigezogen werden, wobei zu berücksichtigen wäre, dass diese für Kantonseinwohner und -einwohnerinnen bei solchen Spitälern höchstens 50 Prozent der anrechenbaren Kosten je Patient oder Patientin oder je Versichertengruppe in der allgemeinen Abteilung decken (Art.49 Abs. 1 und 2 KVG; <ref-ruling> f. Erw.5.3.2 und 5.3.4; zu den Unterschieden zwischen den Tarifen des privaten und des öffentlichen Spitalsektors: RKUV 1999 Nr. KV 65 S.72 f.; zur Festsetzung des Tarifs für Aufenthalt und Behandlung in einem Privatspital: RKUV 2003 Nr. KV 246 S.141 f. und KV 247 S.159 f.). Allenfalls wäre zu prüfen, ob nicht ausgehend von dem vom Regierungsrat des Kantons Bern am 26. Januar 2005 in Anwendung von <ref-law> genehmigten und per 1. Januar 2005 in Kraft getretenen Vertrag vom 20. November 2004 zwischen santésuisse Bern und dem Verband der Privatspitäler des Kantons Bern betreffend die Behandlung von stationären Patienten der allgemeinen Abteilung in den Privatspitälern des Kantons Bern für das Jahr 2000 eine KVG-konforme Regelung getroffen werden kann. Zwar hat ein Krankenversicherer gestützt auf <ref-law> beim Bundesrat gegen den Beschluss der Kantonsregierung Beschwerde erhoben. Dies hindert jedoch nicht daran, vorliegend in Anlehnung an die frühestens ab 2005 in Kraft tretende Tarifvereinbarung eine dem konkreten Einzelfall im Jahre 2000 angemessene Lösung zu suchen, da damit ein späterer Entscheid des Bundesrates über die Tarifbeschwerde nicht präjudiziert werden könnte.
12.3 Soweit ersichtlich, herrschte im Jahr 2000 bei den mit dem Spital Y._ vergleichbaren Privatspitälern im Kanton Bern eine analoge Tarifsituation, weshalb das Eidgenössische Versicherungsgericht keinen Referenztarif bestimmen kann. Dazu ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie wird nach Beiladung des Spitals Y._ einen Referenztarif ermitteln. Sollte ein geeigneter Tarif im Jahr 2000 nicht bestanden haben, wäre eine auf den konkreten Streitfall zugeschnittene Lösung zu treffen, welche sowohl den Anforderungen des Tarifrechts (vgl. oben Erw. 5) wie des Tarifschutzes (vgl. oben Erw. 6) zu genügen haben wird. Dabei könnten allenfalls Pauschaltarife eines öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitals beigezogen werden, wobei zu berücksichtigen wäre, dass diese für Kantonseinwohner und -einwohnerinnen bei solchen Spitälern höchstens 50 Prozent der anrechenbaren Kosten je Patient oder Patientin oder je Versichertengruppe in der allgemeinen Abteilung decken (Art.49 Abs. 1 und 2 KVG; <ref-ruling> f. Erw.5.3.2 und 5.3.4; zu den Unterschieden zwischen den Tarifen des privaten und des öffentlichen Spitalsektors: RKUV 1999 Nr. KV 65 S.72 f.; zur Festsetzung des Tarifs für Aufenthalt und Behandlung in einem Privatspital: RKUV 2003 Nr. KV 246 S.141 f. und KV 247 S.159 f.). Allenfalls wäre zu prüfen, ob nicht ausgehend von dem vom Regierungsrat des Kantons Bern am 26. Januar 2005 in Anwendung von <ref-law> genehmigten und per 1. Januar 2005 in Kraft getretenen Vertrag vom 20. November 2004 zwischen santésuisse Bern und dem Verband der Privatspitäler des Kantons Bern betreffend die Behandlung von stationären Patienten der allgemeinen Abteilung in den Privatspitälern des Kantons Bern für das Jahr 2000 eine KVG-konforme Regelung getroffen werden kann. Zwar hat ein Krankenversicherer gestützt auf <ref-law> beim Bundesrat gegen den Beschluss der Kantonsregierung Beschwerde erhoben. Dies hindert jedoch nicht daran, vorliegend in Anlehnung an die frühestens ab 2005 in Kraft tretende Tarifvereinbarung eine dem konkreten Einzelfall im Jahre 2000 angemessene Lösung zu suchen, da damit ein späterer Entscheid des Bundesrates über die Tarifbeschwerde nicht präjudiziert werden könnte.
13. Dem von der Beschwerdeführerin gestellten Antrag, das Spital Y._ sei zum Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht beizuladen, ist nicht zu entsprechen. Art. 110 Abs. 1 OG sieht vor, dass der Schriftenwechsel auf andere "Beteiligte" ausgedehnt werden kann. Eine Pflicht zur Beiladung oder, als Korrelat dazu, ein Anspruch auf Beiladung besteht jedoch nicht. Vielmehr entscheidet das Gericht, wer als Beteiligter in den Schriftenwechsel einbezogen wird. Der Einbezug "Beteiligter" in den Schriftenwechsel hat den Sinn, die Rechtskraft des Urteils auf den Beigeladenen auszudehnen, sodass dieser in einem später gegen ihn gerichteten Prozess dieses Urteil gegen sich gelten lassen muss. Das Interesse an einer Beiladung ist rechtlicher Natur. Es muss eine Rückwirkung auf eine Rechtsbeziehung zwischen der Hauptpartei und dem Mitinteressierten in Aussicht stehen (<ref-ruling> f. Erw. 8b mit Hinweisen).
Da hier offen bleiben muss, welchen Vergütungsanspruch das Spital Y._ im Rahmen der sozialen Krankenversicherung für die erbrachten Leistungen geltend machen kann, ist das Beiladungsbegehren abzulehnen. Denn eine rechtlich relevante Rückwirkung des vorliegenden Prozessausgangs auf die Rechtsbeziehungen zwischen den Parteien und dem Spital Y._ in dem Sinne, dass auch auf letzteres die Rechtskraft des heutigen Urteils auszudehnen wäre, steht nicht in Frage. Dass die Vorinstanz auf Grund der Erwägungen des vorliegenden Entscheids das Spital Y._ nach Rückweisung der Sache zum Streit beizuladen haben wird, stellt keine Ausdehnung der Rechtskraft des vorliegenden Urteils dar, sondern ist Folge dessen, dass eine KVG-konforme Bereinigung des vorliegenden Leistungsstreits - entgegen der Begründung der Verfügung vom 9. April 2001 des im vorinstanzlichen Verfahren instruierenden Verwaltungsrichters - nur unter Beiladung des Spitals Y._ getroffen werden kann. Denn mit dem Erlass der Kassenverfügung vom 7. September 2000 wurde der Rechtsweg über das kantonale Versicherungsgericht eingeschlagen, und nicht gemäss <ref-law> mittels Klage der Assura gegen das Spital Y._ vor dem kantonalen Schiedsgericht, welches Vorgehen für Tarif- und Leistungsstreitigkeiten wie die hier zu beurteilende an und für sich konzipiert ist.
Da hier offen bleiben muss, welchen Vergütungsanspruch das Spital Y._ im Rahmen der sozialen Krankenversicherung für die erbrachten Leistungen geltend machen kann, ist das Beiladungsbegehren abzulehnen. Denn eine rechtlich relevante Rückwirkung des vorliegenden Prozessausgangs auf die Rechtsbeziehungen zwischen den Parteien und dem Spital Y._ in dem Sinne, dass auch auf letzteres die Rechtskraft des heutigen Urteils auszudehnen wäre, steht nicht in Frage. Dass die Vorinstanz auf Grund der Erwägungen des vorliegenden Entscheids das Spital Y._ nach Rückweisung der Sache zum Streit beizuladen haben wird, stellt keine Ausdehnung der Rechtskraft des vorliegenden Urteils dar, sondern ist Folge dessen, dass eine KVG-konforme Bereinigung des vorliegenden Leistungsstreits - entgegen der Begründung der Verfügung vom 9. April 2001 des im vorinstanzlichen Verfahren instruierenden Verwaltungsrichters - nur unter Beiladung des Spitals Y._ getroffen werden kann. Denn mit dem Erlass der Kassenverfügung vom 7. September 2000 wurde der Rechtsweg über das kantonale Versicherungsgericht eingeschlagen, und nicht gemäss <ref-law> mittels Klage der Assura gegen das Spital Y._ vor dem kantonalen Schiedsgericht, welches Vorgehen für Tarif- und Leistungsstreitigkeiten wie die hier zu beurteilende an und für sich konzipiert ist.
14. Das Verfahren ist kostenfrei, da es um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen geht (Art. 134 OG).
Dem Prozessausgang entsprechend steht der Versicherten eine Parteientschädigung zu (Art. 159 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 135 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 5. September 2001 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Assura hat der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zugestellt.
Luzern, 17. Mai 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der I. Kammer: Der Gerichtsschreiber: