Sachverhalt:
A. Die Schweizerische Mobiliar Versicherungsgesellschaft AG verneinte mit Verfügung vom 16. Mai 2008 und Einspracheentscheid vom 23. April 2009 eine über den 31. Oktober 2008 hinausgehende Leistungspflicht aus der obligatorischen Unfallversicherung mangels weiterbestehenden Kausalzusammenhangs der von K._ (Jhrg. 1984) geltend gemachten gesundheitlichen Beeinträchtigungen mit dem Verkehrsunfall vom 28. Oktober 2004. Hiegegen liess K._ Beschwerde einreichen und gleichzeitig ein Gesuch um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für den kantonalen Prozess stellen, welches das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 3. September 2009 abwies (Dispositiv-Ziffer 1).
B. Mit Beschwerde lässt K._ beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei ihm für das kantonale Verfahren ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bewilligen. Ferner wird ein Gesuch um Bewilligung einer unentgeltlichen Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren gestellt.
Das kantonale Gericht verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Nach der Rechtsprechung bewirkt die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht durch eine während des Verfahrens erlassene Zwischenverfügung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil gemäss <ref-law> (Urteil 8C_530/2008 vom 25. September 2008 E. 2 mit Hinweisen), weshalb auf die vorliegende Beschwerde einzutreten ist.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht - ausser die Verletzung von Grundrechten (<ref-law>) - von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
3. Zu prüfen ist das Vorbringen des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt (vgl. <ref-law>). Das kantonale Gericht erstreckte auf Begehren der Rechtsvertreterin mit Verfügung vom 2. Juli 2009 die Frist zur Einreichung des Bedürftigkeitsnachweises bis 7. September 2009, beurteilte das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung aber bereits mit Entscheid vom 3. September 2009. Wohl lag zu diesem Zeitpunkt das vom Beschwerdeführer eigenhändig ausgefüllte "Formular zur Abklärung der prozessualen Bedürftigkeit" mitsamt verschiedenen Unterlagen vor, nicht aber die Stellungnahme der Rechtsvertreterin vom 7. September 2009. Inwieweit dieser Sachverhalt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör darstellt, braucht nicht weiter erörtert zu werden, nachdem der Beschwerdeführer explizit eine materiell-rechtliche Beurteilung des Falles verlangt, soweit den Vorbringen vom 7. September 2009 Rechnung getragen werde.
4. Im angefochtenen Entscheid sind die bei der Beurteilung der Bedürftigkeit als einer wesentlichen Voraussetzung des Anspruchs auf unentgeltliche Verbeiständung im kantonalen Verfahren zu berücksichtigenden Rechtsgrundlagen zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
5. 5.1 Die Vorinstanz ermittelte für die Monate Januar bis Mai 2009 ein durchschnittliches Nettoeinkommen von Fr. 2'560.80 bzw. gestützt auf eine Lohnabrechnung für den Monat April 2009 ein solches von "mindestens" Fr. 2'143.90 (netto Fr. 2'340.90 abzüglich eines Steuerbetrags von Fr. 197.-), welchem es Ausgaben von Fr. 1'930.10 (Grundbetrag von Fr. 1'000.-, Beitrag an die Wohnungskosten, Krankenkassenprämie, Auslagen für Berufskleidung, Kosten für den Arbeitsweg von Fr. 150.-) zuzüglich einem Freibetrag von Fr. 300.- gegenüberstellte. Da die Einnahmen den prozessualen Notbedarf um "mindestens" Fr. 110.80 überstiegen, verneinte sie die Bedürftigkeit.
5.2 Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist nicht von den Einkommen des Jahres 2008 auszugehen, da nach der Rechtsprechung die Verhältnisse im Zeitpunkt der Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege massgeblich sind (<ref-ruling> E. 4 S. 269).
5.2 Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist nicht von den Einkommen des Jahres 2008 auszugehen, da nach der Rechtsprechung die Verhältnisse im Zeitpunkt der Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege massgeblich sind (<ref-ruling> E. 4 S. 269).
5.3 5.3.1 Soweit der Beschwerdeführer hinsichtlich der vorinstanzlichen Ermittlung des Notbedarfs Willkür in der Beweiswürdigung im Sinne von <ref-law> rügt, ist auf die Rechtsprechung hinzuweisen, wonach der angefochtene Entscheid nur aufzuheben ist, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2a S. 88, je mit Hinweisen). Dies liegt hier, wie sich aus den folgenden materiellen Erwägungen ergibt, insgesamt betrachtet nicht vor.
5.3.2
5.3.2.1 Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist nicht von einem Grundbetrag von Fr. 1'100.- auszugehen. Im Kreisschreiben der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich vom 23. Mai 2001 (Richtlinien für die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums [Notbedarf] nach <ref-law>) ist unter Ziffer I.1. für einen alleinstehenden Schuldner bei Hausgemeinschaft mit erwachsenen Personen ein Betrag von Fr. 1'000.- vorgesehen. Die vorinstanzliche Annahme ist daher nicht zu beanstanden.
5.3.2.2 Weiter wird vorgebracht, das kantonale Gericht habe die ausgabenseitig geltend gemachten Ausbildungskosten, den Wehrpflichtersatz und die Beteiligung an den Kosten eines Spitalaufenthalts mit der rechtswidrigen Begründung nicht berücksichtigt, diese seien in der Vergangenheit angefallen. Diese Rüge dringt nicht durch. Der Beschwerdeführer hat die Ausstände gegenüber der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (vgl. Schreiben der Krankenkasse Y._ vom 31. März 2008) Ende Oktober 2008 vollständig beglichen. Zum anderen verblieb laut Mahnung der Wehrpflichtersatzverwaltung des Amtes für Militär und Zivilschutz vom 13. März 2008 lediglich noch ein Restbetrag von Fr. 10.55. Inwieweit die genannten Zahlungsverpflichtungen die Verhältnisse im Zeitpunkt der Beurteilung über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege beeinflussten, ist nicht ersichtlich. Nicht anders verhält es sich mit den Kosten für den offenbar im August 2007 begonnenen Vorbereitungskurs auf das Qualifikationsverfahren (Lehrabschlussprüfung) als Detailhandelsfachmann (vgl. Anmeldebestätigung des schweizerischen Instituts X._ vom 23. März 2007). Es mag zutreffen, wie in der vorinstanzlichen Eingabe vom 7. September 2009 geltend gemacht wurde, dass diese mit den aufgenommenen Darlehen getilgt worden sind. Dem "Vertrag über die ausgeliehenen SFr. 9'000.00" vom 7. März 2008 ist allerdings zu entnehmen, dass die Rückzahlung im Belieben des Borgers stand und im Falle des Todes des Darlehensgebers jegliche Verpflichtung dahinfallen sollte. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz ist der Beschwerdeführer auch hinsichtlich des gemäss Vertrag vom 28. September 2006 ausgeliehenen Betrages von Fr. 6'200.- nicht an bestimmte Rückzahlungstermine gebunden. Wie im angefochtenen Entscheid in diesem Zusammenhang zutreffend erwogen wird, darf nach ständiger Rechtsprechung die unentgeltliche Rechtspflege nicht dazu dienen, auf Kosten des Gemeinwesens Gläubiger zu befriedigen, die nicht oder nicht mehr zum Lebensunterhalt beitragen (Urteil 9C_815/2007 vom 20. Februar 2008 E. 3.2.1 mit Hinweisen).
5.3.2.3 Die mit Eingabe vom 7. September 2009 der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers geltend gemachten und vorinstanzlich nicht berücksichtigten weiteren Ausgabenposten (Telefonkosten; auswärtige Verpflegung) sind bei der Vergleichsrechnung ebenfalls nicht einzubeziehen. Zum einen sind die Telefongebühren, abgesehen davon, dass sie nicht belegt werden, im vorinstanzlich gewährten Freibetrag mitenthalten. Zum andern sind gemäss Ziffer II.4. lit. b des zitierten Kreisschreibens des Obergerichts des Kantons Zürich Mehrauslagen für die auswärtige Verpflegung nur bei entsprechendem Nachweis anzurechnen, woran es hier mangelt.
5.3.2.4 Schliesslich ist festzuhalten, dass die vorinstanzliche Ermittlung der Auslagen für Fahrten zum Arbeitsplatz nicht nachvollziehbar ist. Das kantonale Gericht hat den Mietzins für einen Parkplatz sowie die Prämie einer Motorfahrzeughaftpflichtversicherung angerechnet, obwohl offensichtlich dem vom Beschwerdeführer neben den öffentlichen Verkehrsmitteln benutzten Automobil keine Kompetenzqualität zukommt. Zu berücksichtigen sind daher die mit Eingabe vom 7. September 2009 geltend gemachten Auslagen für öffentliche Verkehrsmittel (alle Zonen, zweite Klasse) von Fr. 163.60 (vgl. Ziffer II.4. lit. d des erwähnten Kreisschreibens). Damit vermindert sich der Überschuss von "mindestens" Fr. 110.80 (vgl. vorstehende E. 5.1) zwar auf mindestens Fr. 97.20. Indessen lag der Durchschnittslohn nach vorinstanzlicher Feststellung um gut Fr. 200.- höher, was es dem Beschwerdeführer erlaubt, die zu erwartenden Anwaltskosten im kantonalen Verfahren innert absehbarer Zeit zu tilgen.
6. 6.1 Die nach <ref-law> zu bemessenden Gerichtskosten sind dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).
6.2 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ist mangels Bedürftigkeit abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 200.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft AG und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Februar 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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