Faits:
A. S._ souffre de séquelles d'une poliomyélite survenue au cours de son enfance qui touchent principalement ses membres inférieurs. Considérablement limitée dans les activités de la vie quotidienne, elle ne peut se déplacer à l'extérieur qu'au moyen d'un fauteuil roulant électrique. Elle bénéficie depuis le 1er décembre 2009 d'un quart de rente et depuis le 1er mars 2010 d'une rente entière de l'assurance-invalidité.
Le 12 octobre 2010, l'assurée a déposé une demande d'allocation pour impotent. Dans le cadre de l'instruction de cette demande, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a interpellé le docteur C._, médecin traitant de l'assurée (rapport du 20 décembre 2010), et fait procéder à une enquête à domicile. Selon l'enquêtrice, les conditions mises à l'octroi d'une allocation pour impotent de degré faible à compter du mois de septembre 2008 étaient réunies (rapport du 25 janvier 2011).
Malgré les conclusions de cette enquête, l'office AI a, par décision du 28 mars 2011, refusé d'allouer une allocation pour impotent à l'assurée.
B. Par jugement du 20 juin 2012, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a admis le recours formé par l'assurée, annulé la décision du 28 mars 2011 et dit que l'assurée avait droit à une allocation pour impotent de degré moyen dès le 1er septembre 2008.
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut à l'octroi d'une allocation pour impotent de degré faible et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision sur le début du droit à l'allocation.
S._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée peut prétendre à une allocation pour impotent de degré moyen plutôt que de degré léger.
2.1 La juridiction cantonale a constaté que l'intimée avait besoin, d'une part, d'un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie et, d'autre part, d'une aide régulière et importante pour accomplir au moins deux actes ordinaires de la vie, soit pour se lever, s'asseoir et se coucher et pour se déplacer à l'intérieur ou à l'extérieur. Conformément à l'art. 37 al. 2 let. c RAI, elle pouvait par conséquent prétendre à une allocation pour impotent de degré moyen, allocation due dès le mois de septembre 2008, soit à l'issue du délai de carence d'une année prévu à l'<ref-law>.
2.2 L'office recourant considère que les conditions de l'art. 37 al. 2 let. c RAI ne sont pas remplies. S'il ne conteste pas que l'assurée nécessite un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie, il estime en revanche que le besoin d'aide régulière et importante ne doit être admis que pour un seul acte ordinaire de la vie, soit celui de se déplacer. Il ressortait clairement du dossier que l'intimée pouvait accomplir seule l'acte de se lever, s'asseoir et se coucher, sans que la manière d'y procéder n'apparaisse contraire aux moeurs. Qui plus est, comme l'aide d'autrui avait déjà été reconnue et prise en compte pour l'acte de se déplacer à l'intérieur, le fait que l'intimée ait besoin de son mari pour changer de siège afin de se déplacer plus facilement à l'intérieur de son logement ne pouvait être pris en considération une deuxième fois au travers de l'acte de se lever, s'asseoir et se coucher.
3. 3.1 En vertu de l'<ref-law>, les assurés impotents qui ont leur domicile et leur résidence habituelle en Suisse ont droit à une allocation pour impotent.
3.2 Aux termes de l'<ref-law>, est réputée impotente toute personne qui, en raison d'une atteinte à sa santé, a besoin de façon permanente de l'aide d'autrui ou d'une surveillance personnelle pour accomplir des actes élémentaires de la vie quotidienne. Est aussi considérée comme impotente la personne vivant chez elle qui, en raison d'une atteinte à sa santé, a durablement besoin d'un accompagnement lui permettant de faire face aux nécessités de la vie (<ref-law> et 38 RAI).
3.3 La loi distingue trois degrés d'impotence: grave, moyen ou faible (<ref-law>). L'impotence est grave lorsque l'assuré est entièrement impotent. Tel est le cas s'il a besoin d'une aide régulière et importante d'autrui pour tous les actes ordinaires de la vie et que son état nécessite, en outre, des soins permanents ou une surveillance personnelle (<ref-law>). L'impotence est moyenne si l'assuré, même avec des moyens auxiliaires, a besoin: (a) d'une aide régulière et importante d'autrui pour accomplir la plupart des actes ordinaires de la vie; (b) d'une aide régulière et importante d'autrui pour accomplir au moins deux actes ordinaires de la vie et nécessite, en outre, une surveillance personnelle permanente; ou (c) d'une aide régulière et importante d'autrui pour accomplir au moins deux actes ordinaires de la vie et nécessite, en outre, un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). L'impotence est faible si l'assuré, même avec des moyens auxiliaires, a besoin, notamment: (a) de façon régulière et importante, de l'aide d'autrui pour accomplir au moins deux actes ordinaires de la vie; (b) d'une surveillance personnelle permanente; ou (e) d'un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
3.4 Selon le ch. 8010 de la circulaire sur l'invalidité et l'impotence dans l'assurance-invalidité (CIIAI), les actes ordinaires de la vie les plus importants se répartissent en six domaines:
- se vêtir, se dévêtir (éventuellement adapter la prothèse ou l'enlever);
- se lever, s'asseoir, se coucher (y compris se mettre au lit ou le quitter);
- manger (apporter le repas au lit, couper des morceaux, amener la nourriture à la bouche, réduire la nourriture en purée et prise de nourriture par sonde);
- faire sa toilette (se laver, se coiffer, se raser, prendre un bain/se doucher);
- aller aux toilettes (se rhabiller, hygiène corporelle/vérification de la propreté, façon inhabituelle d'aller aux toilettes);
- se déplacer (dans l'appartement, à l'extérieur, entretien des contacts sociaux).
Pour qu'il y ait nécessité d'assistance dans l'accomplissement d'un acte ordinaire de la vie comportant plusieurs fonctions partielles, il n'est pas obligatoire que la personne assurée requière l'aide d'autrui pour toutes ou la plupart des fonctions partielles; il suffit bien au contraire qu'elle ne requière l'aide régulière et importante d'autrui que pour une seule de ces fonctions partielles (<ref-ruling> consid. 2 p. 148). Les fonctions partielles d'un acte ordinaire de la vie ne peuvent toutefois être prises en considération qu'une fois en tout lorsque l'assuré a besoin de l'aide d'autrui pour accomplir ces fonctions dans plusieurs actes ordinaires (arrêt du Tribunal fédéral des assurances H 270/80 du 3 novembre 1981 consid. 2b, in RCC 1983 p. 71). En revanche, si l'accomplissement d'un acte ordinaire de la vie est seulement rendu plus difficile ou ralenti par l'atteinte à la santé, cela ne signifie pas qu'il y ait impotence (arrêt du Tribunal fédéral des assurances I 25/85 du 11 juin 1985 consid. 2b, in RCC 1986 p. 509).
4. 4.1 En l'occurrence, la juridiction cantonale a constaté que la personne chargée de l'enquête à domicile n'avait pas tenu compte du besoin d'aide pour les transferts (se lever, s'asseoir, se coucher), mais pris en considération ce besoin sous l'angle ordinaire consistant à aller aux toilettes. Or, si l'assurée était généralement capable de se lever et de s'asseoir, elle avait besoin de l'aide de son mari pour passer de son fauteuil roulant à la chaise à roulette, moyen indispensable pour accéder à certaines parties du logement, notamment la chambre à coucher. De plus, elle ne pouvait s'allonger de manière normale puisqu'elle n'avait pas d'autres choix que de se laisser choir si lourdement qu'elle avait endommagé son lit. Il n'y avait donc pas lieu de considérer qu'elle procédait à cet acte de manière conforme aux moeurs, si bien qu'il fallait reconnaître, contrairement à ce qu'avait retenu l'enquêtrice, un besoin d'aide pour cet acte ordinaire. Dans ces conditions, la question de savoir si l'assurée avait besoin d'aide pour se rendre aux toilettes pouvait être laissée ouverte.
4. 4.1 En l'occurrence, la juridiction cantonale a constaté que la personne chargée de l'enquête à domicile n'avait pas tenu compte du besoin d'aide pour les transferts (se lever, s'asseoir, se coucher), mais pris en considération ce besoin sous l'angle ordinaire consistant à aller aux toilettes. Or, si l'assurée était généralement capable de se lever et de s'asseoir, elle avait besoin de l'aide de son mari pour passer de son fauteuil roulant à la chaise à roulette, moyen indispensable pour accéder à certaines parties du logement, notamment la chambre à coucher. De plus, elle ne pouvait s'allonger de manière normale puisqu'elle n'avait pas d'autres choix que de se laisser choir si lourdement qu'elle avait endommagé son lit. Il n'y avait donc pas lieu de considérer qu'elle procédait à cet acte de manière conforme aux moeurs, si bien qu'il fallait reconnaître, contrairement à ce qu'avait retenu l'enquêtrice, un besoin d'aide pour cet acte ordinaire. Dans ces conditions, la question de savoir si l'assurée avait besoin d'aide pour se rendre aux toilettes pouvait être laissée ouverte.
4.2 4.2.1 S'agissant de l'acte "se lever, s'asseoir ou se coucher" (y compris se mettre au lit ou se lever de son lit), il y a impotence lorsqu'il est impossible à la personne assurée de se lever, de s'asseoir ou de se coucher sans aide d'un tiers (ch. 8015 CIIAI). En l'occurrence, les problèmes rencontrés par l'intimée pour passer de sa chaise à roulettes à son lit relèvent de difficultés d'ordre pratique plutôt que d'une impossibilité objective à accomplir l'acte en question. Le fait que l'intimée doive d'une certaine manière se laisser tomber pour pouvoir atteindre son lit ne saurait dans ces conditions être considéré comme un acte non conforme aux moeurs et irrespectueux des droits de la personnalité, ce d'autant que cette difficulté pourrait être surmontée par le simple rehaussement du lit (au moyen d'un matelas supplémentaire ou d'un matelas plus épais), voire par l'utilisation d'un moyen auxiliaire adapté tel qu'un lit électrique. Quant aux problèmes rencontrés par l'intimée pour passer de son fauteuil roulant électrique à sa chaise à roulettes, ils sont déjà compris dans la fonction "se déplacer (dans l'appartement)" et ne sauraient être pris en considération une seconde fois dans le cadre de la fonction "se lever, s'asseoir ou se coucher".
4.2.2 Cela étant constaté, il convient d'examiner la question - laissée ouverte par la juridiction cantonale - de savoir si l'assurée a besoin d'une aide régulière pour se rendre aux toilettes. L'enquêtrice avait admis ce besoin au motif que l'assurée, qui ne pouvait accéder à l'intérieur des toilettes avec son fauteuil roulant, devait se placer devant l'entrée, s'accrocher à la poignée et pivoter pour s'asseoir sur le siège, son mari étant obligé de retirer le fauteuil et de fermer la porte pour préserver son intimité. Selon la jurisprudence (<ref-ruling> consid. 6 p. 93), il y a impotence s'agissant de l'acte "aller aux toilettes" lorsque l'assuré a besoin de l'aide d'un tiers pour vérifier son hygiène, se rhabiller ou l'aider pour s'asseoir ou se relever, ou encore lorsqu'il faut procéder à une manière inhabituelle d'aller aux toilettes (p. ex. apporter le vase de nuit et le vider, apporter un urinal, l'ajuster pour l'assuré, apporter une aide régulière pour uriner). Or, il ressort clairement de la description opérée par l'enquêtrice que l'intimée n'est, en soi, pas empêchée de se rendre aux toilettes, puisqu'elle est fonctionnellement en mesure de se transférer de son fauteuil sur le siège des toilettes et d'éliminer son urine et ses selles. Tel que décrit par l'enquêtrice, le problème réside dans l'impossibilité de pouvoir fermer sans l'aide d'autrui la porte des toilettes et dans l'atteinte à l'intimité que cette situation engendre. Cela étant, dans l'intimité du couple et du domicile, il convient d'apprécier la notion de sphère intime de manière plus large que celle qui a court dans la sphère sociale et publique. Le fait de ne pas pouvoir fermer la porte des toilettes pendant leur utilisation ne dépasse pas, malgré les désagréments passagers que cela peut causer, le seuil du tolérable dans un couple présentant de nombreuses années de vie commune. On ne saurait par conséquent considérer que le fait de pouvoir fermer la porte des toilettes constitue une des fonctions partielles de l'acte "aller aux toilettes".
4.2.3 Sur le vu de ce qui précède, il y a lieu de constater que l'intimée ne subit des limitations objectives que dans un seul acte ordinaire de la vie, si bien qu'elle ne peut pas prétendre à une allocation pour impotent de degré moyen, les conditions de l'art. 37 al. 2 let. c RAI n'étant pas remplies. Eu égard aux conclusions prises par le recourant en procédure fédérale (<ref-law>), elle ne peut par conséquent prétendre qu'à une allocation pour impotent de degré léger.
5. L'office recourant conteste également le moment où la juridiction cantonale a fixé la naissance du droit à l'allocation pour impotent. Il estime qu'elle a violé le droit fédéral, car elle "aurait dû, conformément à la jurisprudence [...], instruire en procédant au calcul du degré d'impotence moyenne, relativement à une impotence de degré faible". Ce faisant, l'office AI n'explique pas en quoi les premiers juges ont procédé à une constatation manifestement inexacte des faits et violé les principes juridiques qu'il invoque en fixant le début du droit à l'allocation pour impotent au 1er septembre 2008, soit un an après la remise à l'intimée d'un système de propulsion électrique pour fauteuil roulant. Il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur le grief, faute d'une motivation suffisante.
6. Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être partiellement admis. Les frais judiciaires doivent être mis proportionnellement à la charge de l'office recourant et de l'intimée (<ref-law>). L'intimée a également droit à une indemnité de dépens réduite pour l'instance fédérale à la charge de l'office recourant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. La décision de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 20 juin 2012 est réformée en ce sens que l'intimée a droit à une allocation pour impotent de degré faible dès le 1er septembre 2008. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 250 fr. à la charge du recourant et pour 250 fr. à la charge de l'intimée.
3. Le recourant versera à l'intimée la somme de 1'000 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales pour nouvelle décision sur les frais de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 8 janvier 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Piguet