Sachverhalt:
A. A.a Mit Zahlungsbefehl vom 2. November 2006 wurde X._ von der Y._ AG, für eine Forderung von Fr. 235'194.90 nebst Zins betrieben, worauf der Betriebene gemäss <ref-law> Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens erhob.
Mit Summarentscheid des Einzelrichters des Bezirksgerichts A._ vom 18. April 2007 wurde der Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens im Umfang von Fr. 11'292.-- nicht bewilligt.
X._ reichte daraufhin auf dem ordentlichen Prozessweg gemäss <ref-law> beim Bezirksgericht A._ Klage auf Bestreitung des neuen Vermögens ein und verlangte die Bewilligung des Rechtsvorschlags über den ganzen Forderungsbetrag. Die Y._ AG, beantragte widerklageweise die Feststellung des neuen Vermögens im Umfang von Fr. 49'320.-- und somit die Nichtbewilligung des Rechtsvorschlags im Umfang von Fr. 49'320.--.
Daraufhin erkannte das Bezirksgericht A._ mit Urteil vom 9. November 2007, dass der Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens im Umfang von Fr. 37'404.-- nicht bewilligt werde.
A.b X._ erklärte gegen dieses Urteil beim Kantonsgericht Schwyz Berufung. Das Kantonsgericht wies die Klage mit Urteil vom 13. Mai 2008 ab, soweit darauf einzutreten war. Weiter stellte es von Amtes wegen fest, dass die Y._ AG, ihre Widerklage betreffend Feststellung des neuen Vermögens gemäss <ref-law> nicht innert der gesetzlichen Anfechtungsfrist von 20 Tagen eingereicht hatte. Damit blieb es beim Summarentscheid des Einzelrichters vom 18. April 2007, wonach der Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens im Umfang von Fr. 11'292.-- nicht bewilligt worden war.
Mit Ziffer 5 des Urteilsdispositivs vom 13. Mai 2008 wurde den Parteien im Sinne von <ref-law> und § 135 der Gerichtsordnung [des Kantons Schwyz], vom 10. Mai 1974 (GO; SRSZ 231.110) die nicht erstreckbare Frist von 30 Tagen angezeigt, um eine schriftliche Urteilsbegründung zu verlangen (oder ausdrücklich darauf zu verzichten). Sie wurden weiter darauf hingewiesen, dass andernfalls das Dispositiv ohne weitere Mitteilung definitiv und vollstreckbar werde und ein Rechtsmittel dagegen ausgeschlossen sei. Für diese Erklärung wurde den Parteien ein Formular ausgehändigt, auf welchem sie ihren Wunsch - den Verzicht auf die vollständige Urteilsausfertigung oder die Entscheidbegründung - ankreuzen konnten.
Die Y._ AG, verzichtete mit diesem Formular auf eine vollständige Ausfertigung des Urteils. X._ hingegen sendete das Formular innert der 30-tägigen Frist, zwar unterschrieben, aber nicht ausgefüllt, an das Kantonsgericht zurück. Mit Schreiben vom 16. Juni 2008 wies das Kantonsgericht X._ umgehend auf seine fehlende Ankreuzung hin und machte ihn darauf aufmerksam, dass ohne entsprechende Klarstellung innert der noch bis am 18. Juni 2008 laufenden Frist davon ausgegangen werde, dass er keine Entscheidbegründung verlange.
Mit nachträglicher Eingabe vom 25. Juni 2008 beantragte X._ eine Entscheidbegründung.
Das Kantonsgericht trat mit Verfügung vom 1. Juli 2008 auf dieses Begründungsbegehren mangels Fristwahrung nicht ein.
B. X._ (fortan: Beschwerdeführer) ist am 7. August 2008 mit Beschwerde an das Bundesgericht gelangt.
Da seine Eingabe von einer gemäss <ref-law> vor Bundesgericht nicht zur Vertretung befugten Person eingereicht und unterzeichnet wurde, ist dem Beschwerdeführer eine Frist zur nachträglichen Unterzeichnung angesetzt worden, welche dieser gewahrt hat.
Das Kantongericht Schwyz schliesst in seiner Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Y._ AG (fortan: Beschwerdegegnerin) hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>), mit dem auf ein Urteilsbegründungsbegehren nicht eingetreten worden ist. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid. Ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid ist mit Beschwerde anfechtbar, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131), dessen ungeachtet, ob er während des Hauptverfahrens, zusammen mit dessen Endentscheid oder nach diesem ergangen ist (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2). Mit dem Begründungsbegehren verlangte der Beschwerdeführer die Ausfertigung eines begründeten Kantonsgerichtsurteils. Da lediglich im Dispositiv vorliegende, unbegründete Urteile nicht mit Beschwerde an das Bundesgericht weitergezogen werden können (vgl. <ref-law>), ist vorliegend die Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils zu bejahen.
1.2 Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. Diese betraf hier eine Frage in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, für welche die Beschwerde in Zivilsachen offen steht, da der Streitwert erreicht ist (<ref-law>, Art. 74 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 lit. a und c BGG). Folglich ist auch für die Anfechtung des Nichteintretensentscheids betreffend Gesuch um Urteilsbegründung die Beschwerde in Zivilsachen zulässig.
2. Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
Auf die Vorbringen des Beschwerdeführers ist nur soweit einzutreten, als sie den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügen. Die Beschwerde hat eine Begründung und einen Antrag zu enthalten (<ref-law>).
Auf die Vorbringen des Beschwerdeführers ist nur soweit einzutreten, als sie den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügen. Die Beschwerde hat eine Begründung und einen Antrag zu enthalten (<ref-law>).
2.1 2.1.1 Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dabei ist es unerlässlich, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Genügt die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht, so ist darauf nicht einzutreten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104). Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>); dies setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also die Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt.
Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten, einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255), geltend gemacht wird. Verfassungsverletzungen prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als solche Rügen in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>). Für derartige Rügen gelten die gleichen Begründungsanforderungen, wie sie gestützt auf Art. 90 Abs. 1 lit. b OG für die staatsrechtliche Beschwerde gegolten haben (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.1 S. 246; <ref-ruling> E. 4.1 S. 588 f., 130 I 258 E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen).
2.1.2 Mit der Kurzbegründung des Obergerichts, insbesondere mit den rechtlichen Erwägungen zu <ref-law> und § 135 GO betreffend die nicht erstreckbare Frist von 30 Tagen, um eine schriftliche Urteilsausfertigung zu verlangen, setzt sich der Beschwerdeführer nur ansatzweise auseinander. Aus der Beschwerde geht nicht hervor, was der Beschwerdeführer rügen möchte. Weder macht er explizit eine Verletzung von kantonalen oder bundesrechtlichen Gesetzesvorschriften oder eine Verletzung von Grundrechten geltend noch lassen seine Ausführungen eine klare Sachverhaltsrüge erkennen. Vielmehr begnügt er sich damit, den strittigen Verfahrensablauf vor Kantonsgericht aus seiner Sicht zu schildern und pauschale Kritik an der Arbeitsweise des Kantonsgerichts zu üben bzw. sich über dieses in undifferenzierter Weise zu beschweren.
Anzumerken ist, dass der Beschwerdeführer nicht in Abrede stellt, dass er das Formular betreffend Urteilsbegründung nicht vollständig ausgefüllt hat und vom Kantonsgericht umgehend auf seine unklare Eingabe und die Folgen der ungenützten Fristablauf aufmerksam gemacht wurde.
Weiter ist darauf hinzuweisen, dass das Vorbringen des Beschwerdeführers, er habe nach Erhalt des kantonsgerichtlichen Mahnschreibens vom 16. Juni 2008 umgehend und noch vor Ablauf der 30-tägigen Frist mit dem Gerichtsschreiber telefoniert und diesem unmissverständlich gesagt, dass er eine vollständige Urteilsausfertigung verlange, als eine Rüge der willkürlichen Feststellung des Sachverhalts gedeutet werden könnte. Jedoch wäre auch diese Rüge nicht genügend substantiiert. Ohnehin müsste dieses Vorbringen als unglaubwürdige Schutzbehauptung gewürdigt werden. Denn in den sorgfältig geführten kantonsgerichtlichen Verfahrensakten befindet sich keine entsprechende Telefonnotiz. Zudem hat der zuständige Gerichtsschreiber in der Vernehmlassung des Kantonsgerichts ausdrücklich erklärt (und seine Erklärung mittels Unterschrift bekräftigt), dass dieses behauptete Telefongespräch nicht stattgefunden habe.
2.1.3 Nach dem Gesagten entspricht die Beschwerde den Anforderungen an eine rechtsgenügliche Begründung gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG nicht. Es kann daher nicht darauf eingetreten werden.
2.2 Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten. Der Beschwerdeführer muss folglich angeben, welche Punkte des Entscheids angefochten und welche Abänderungen beantragt werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.).
Vorliegend beschränkt sich der Beschwerdeführer darauf, sich in undifferenzierter und unsubstantiierter Weise über das Kantonsgericht zu beschweren und den strittigen Verfahrensablauf aus seiner Sicht zu schildern. Ein explizites Rechtsbegehren stellt er nicht. Auf die Beschwerde ist bereits mangels genügender Begründung nicht einzutreten (E. 2.1). Es kann daher offen gelassen werden, ob die Beschwerde auch wegen unzureichendem Rechtsbegehren nicht zulässig wäre oder ob aufgrund der Ausführungen in der Beschwerde, zu Gunsten des Beschwerdeführers anzunehmen wäre, dessen Anträge lauteten in der Sache auf Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheids und Gutheissung seines Begründungsbegehrens.
Anzumerken ist, dass aus dem letzten Satz der Beschwerde hervorgeht, dass der Beschwerdeführer zugleich gegen das Urteil des Kantonsgerichts vom 13. Mai eine vorsorgliche Beschwerde führen möchte. Nach dem Gesagten ist jedoch auf die Beschwerde gegen die Verfügung vom 1. Juli 2008 nicht einzutreten und davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer innert Frist keine Begründung des Urteils vom 13. Mai 2008 verlangt hat. Sein Verzicht auf die Urteilsbegründung bedeutet zugleich den Verzicht auf die Beschwerde gegen dieses Urteil (Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4351 Ziff. 4.1.4.7). Soweit der Beschwerdeführer seine Eingabe auch auf das Urteil vom 13. Mai 2008 bezieht, erweist sie sich ebenfalls als unzulässig.
3. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen, da die Beschwerdegegnerin auf eine Vernehmlassung verzichtet hat (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Raselli Gut