Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1955 geborene C._ verletzte sich am 3. Juni 1997 bei der Arbeit als Hausangestellte in der Klinik X._ in Y._ am rechten Arm. Die Abklärungen auf der Handchirurgischen Abteilung des Spitals Z._ führten zur Diagnose einer traumatisierten Daumen-Sattelgelenksarthrose rechts (Bericht vom 25. Februar 1998). Die Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich), bei welcher C._ obligatorisch unfallversichert war, kam für die Heilungskosten auf und richtete bis 30. Mai 2002 Taggelder auf der Grundlage einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % aus. Wegen Verlusts der Akten zog die Zürich zur Beurteilung ihrer Leistungspflicht die IV-Akten bei (interner Bericht vom 16. März 2004). Mit Verfügung vom 26. März 2004 stellte sie fest, mangels eines natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall vom 3. Juni 1997 und der anhaltenden Gesundheitsstörung mit der Folge einer Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit könnten ab 1. Juli 1998 keine weiteren Leistungen mehr erbracht werden. Die über diesen Zeitpunkt hinaus ausgerichteten Taggelder seien nicht geschuldet gewesen. Daran hielt die Zürich mit Einspracheentscheid vom 27. Juli 2004 fest, wobei sie festhielt, die bisher (vom 1. Juli 1998 bis 30. Mai 2002) gewährten Leistungen würden nicht zurückgefordert.
A. Die 1955 geborene C._ verletzte sich am 3. Juni 1997 bei der Arbeit als Hausangestellte in der Klinik X._ in Y._ am rechten Arm. Die Abklärungen auf der Handchirurgischen Abteilung des Spitals Z._ führten zur Diagnose einer traumatisierten Daumen-Sattelgelenksarthrose rechts (Bericht vom 25. Februar 1998). Die Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich), bei welcher C._ obligatorisch unfallversichert war, kam für die Heilungskosten auf und richtete bis 30. Mai 2002 Taggelder auf der Grundlage einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % aus. Wegen Verlusts der Akten zog die Zürich zur Beurteilung ihrer Leistungspflicht die IV-Akten bei (interner Bericht vom 16. März 2004). Mit Verfügung vom 26. März 2004 stellte sie fest, mangels eines natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall vom 3. Juni 1997 und der anhaltenden Gesundheitsstörung mit der Folge einer Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit könnten ab 1. Juli 1998 keine weiteren Leistungen mehr erbracht werden. Die über diesen Zeitpunkt hinaus ausgerichteten Taggelder seien nicht geschuldet gewesen. Daran hielt die Zürich mit Einspracheentscheid vom 27. Juli 2004 fest, wobei sie festhielt, die bisher (vom 1. Juli 1998 bis 30. Mai 2002) gewährten Leistungen würden nicht zurückgefordert.
B. Die Beschwerde der C._ wies die Sozialversicherungsrechtliche Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern mit Entscheid vom 1. Dezember 2005 ab.
B. Die Beschwerde der C._ wies die Sozialversicherungsrechtliche Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern mit Entscheid vom 1. Dezember 2005 ab.
C. C._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, die Taggeldleistungen seien ab dem 1. Juni 2002 weiterhin auszurichten.
Die Zürich lässt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Streitig und zu prüfen ist die vorinstanzlich bestätigte Einstellung der Taggeldleistungen aus dem Unfall vom 3. Juni 1997 zum 31. Mai 2002 durch die Zürich. Die in der Verfügung vom 26. März 2004 als nicht geschuldet bezeichneten Leistungen seit 1. Juli 1998 werden laut Einspracheentscheid vom 27. Juli 2004 nicht zurückgefordert.
1. Streitig und zu prüfen ist die vorinstanzlich bestätigte Einstellung der Taggeldleistungen aus dem Unfall vom 3. Juni 1997 zum 31. Mai 2002 durch die Zürich. Die in der Verfügung vom 26. März 2004 als nicht geschuldet bezeichneten Leistungen seit 1. Juli 1998 werden laut Einspracheentscheid vom 27. Juli 2004 nicht zurückgefordert.
2. Das kantonale Gericht hat erwogen, es sei von einer Leistungseinstellung mit Wirkung ex nunc et pro futuro ab 1. Juni 2002 auszugehen. Es seien lediglich bis Ende (recte: 30.) Mai 2002 Taggelder ausgerichtet worden. Die seit 1. Juli 1998 erbrachten Leistungen würden laut Einspracheentscheid vom 27. Juli 2004 nicht zurückgefordert. Nach der Rechtsprechung (<ref-ruling>) sei daher ohne Bezugnahme auf die Rückkommenstitel der Wiedererwägung oder der prozessualen Revision zu prüfen, ob die Einstellung der Taggeldleistungen zum 30. Mai 2002 in korrekter Weise erfolgt sei. Abgesehen davon seien auf Grund der klaren ärztlichen Berichte der Handchirurgischen Abteilung sowie der Rheumatologischen Klinik und Poliklinik des Spitals Z._ vom 28. Mai und 18. Juni 1998 die Wiedererwägungsvoraussetzungen ohne weiteres erfüllt. Daraus und aus dem im IV-Verfahren erstellten MEDAS-Gutachten vom 25. Februar 2002 mit handchirurgischem Teilgutachten vom 18. Dezember 2001 ergebe sich, dass die Ursache für die Chronifizierung und Ausweitung der Daumengelenksbeschwerden im psychischen Bereich läge. Das Fehlen des natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall vom 3. Juni 1997 und den am 1. Juni (recte: 31. Mai) 2002 noch bestehenden Beschwerden sei demnach klar erstellt. Ebenso müsse in Bezug auf die vorwiegend psychischen Probleme die Adäquanz klar verneint werden, was im Übrigen auch nicht bestritten sei. Der damalige Sturz beim Fensterreinigen falle für die Entstehung der psychisch bedingten Erwerbsunfähigkeit nicht ernsthaft ins Gewicht.
2. Das kantonale Gericht hat erwogen, es sei von einer Leistungseinstellung mit Wirkung ex nunc et pro futuro ab 1. Juni 2002 auszugehen. Es seien lediglich bis Ende (recte: 30.) Mai 2002 Taggelder ausgerichtet worden. Die seit 1. Juli 1998 erbrachten Leistungen würden laut Einspracheentscheid vom 27. Juli 2004 nicht zurückgefordert. Nach der Rechtsprechung (<ref-ruling>) sei daher ohne Bezugnahme auf die Rückkommenstitel der Wiedererwägung oder der prozessualen Revision zu prüfen, ob die Einstellung der Taggeldleistungen zum 30. Mai 2002 in korrekter Weise erfolgt sei. Abgesehen davon seien auf Grund der klaren ärztlichen Berichte der Handchirurgischen Abteilung sowie der Rheumatologischen Klinik und Poliklinik des Spitals Z._ vom 28. Mai und 18. Juni 1998 die Wiedererwägungsvoraussetzungen ohne weiteres erfüllt. Daraus und aus dem im IV-Verfahren erstellten MEDAS-Gutachten vom 25. Februar 2002 mit handchirurgischem Teilgutachten vom 18. Dezember 2001 ergebe sich, dass die Ursache für die Chronifizierung und Ausweitung der Daumengelenksbeschwerden im psychischen Bereich läge. Das Fehlen des natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall vom 3. Juni 1997 und den am 1. Juni (recte: 31. Mai) 2002 noch bestehenden Beschwerden sei demnach klar erstellt. Ebenso müsse in Bezug auf die vorwiegend psychischen Probleme die Adäquanz klar verneint werden, was im Übrigen auch nicht bestritten sei. Der damalige Sturz beim Fensterreinigen falle für die Entstehung der psychisch bedingten Erwerbsunfähigkeit nicht ernsthaft ins Gewicht.
3. Gegen die vorinstanzliche Argumentation werden in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde verschiedene Einwendungen erhoben:
3.1 Gegenstand des Verfahrens bildet eine Leistungseinstellung. Daran ändert nichts, dass die entsprechende Verfügung vom 26. März 2004 erst beinahe zwei Jahre nach dem 30. Mai 2002 erging, für welchen letztmals ein Taggeld ausgerichtet wurde. Inwiefern dem Unfallversicherer aus dieser Verzögerung ein Vorteil erwachsen könnte, ist nicht ersichtlich. Ebenfalls ist unerheblich, dass während beinahe fünf Jahren Leistungen ausgerichtet worden waren. Eine vertrauensschutzrechtlich bedeutsame nachteilige Disposition oder Unterlassung (<ref-ruling> f. Erw. 2a und b) wird jedenfalls nicht geltend gemacht. Die Berufung auf <ref-law> ist unbehelflich. Nach der Rechtsprechung beurteilt sich somit die Rechtmässigkeit der streitigen Leistungseinstellung grundsätzlich frei und nicht etwa unter wiedererwägungsrechtlichem Blickwinkel oder nach prozessual revisionsrechtlichen Grundsätzen (<ref-ruling> Erw. 2c mit Hinweisen; <ref-ruling>). Daran ändert der Hinweis auf <ref-ruling>, insbesondere S. 369 Erw. 3 (Notwendigkeit eines Rückkommenstitels bei faktischem Verwaltungshandeln), nichts. In diesem Urteil ging es um die Rückforderung von Leistungen (der Arbeitslosenversicherung).
3.2 Im Weitern wird in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde insoweit richtig ausgeführt, dass der Unfallversicherer die Beweislast dafür trägt, ob spätestens im Zeitpunkt der Einstellung der Taggeldleistungen die (ursprünglich) unfallbedingten Ursachen des Gesundheitsschadens ihre kausale Bedeutung für die geklagten Beschwerden verloren haben (Urteil S. vom 8. Mai 2006 [U 400/05] Erw. 2 mit Hinweisen; RKUV 2000 Nr. U 363 [U 355/98] S. 46 Erw. 2). Das kantonale Gericht hat diesen Beweis in Bezug auf somatische Unfallfolgen als erbracht erachtet, was sich nicht beanstanden lässt. Dass «die Beschwerden der rechten Hand durch die dokumentierten Veränderungen erklärt (...) und nicht etwa psychisch bedingt» sind, wie vorgebracht wird, ändert nichts an dieser Beurteilung. Insbesondere kann aufgrund der medizinischen Unterlagen eine richtunggebende Verschlimmerung der gemäss MEDAS-Gutachten vom 25. Februar 2002 höchstwahrscheinlich vorbestandenen Rhiz-Arthrose rechts als Folge des Unfalles vom 3. Juni 1997 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen werden. Im Befundbericht des medizinisch-radiologischen Zentrums der Klinik S._ vom 23. Dezember 1997 wurden entzündliche oder posttraumatische Veränderungen der rechten Hand verneint. Sodann ist entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin zwischen den Berichten der Rheumatologischen Klinik und Poliklinik sowie der Handchirurgischen Abteilung des Spitals Z._ vom 18. Juni 1998 und 28. Mai 1998 kein Widerspruch zu erkennen. Vielmehr dokumentieren diese Unterlagen ein durch die klinischen und radiologischen Befunde nicht erklärbares Schmerzverhalten. In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass der Beweis des Wegfalls des natürlichen Kausalzusammenhangs nicht durch den Nachweis unfallfremder Ursachen erbracht werden muss. Ebenso wenig hat der Unfallversicherer den negativen Beweis zu erbringen, dass kein Gesundheitsschaden mehr vorliegt oder die versicherte Person nun bei voller Gesundheit ist. Entscheidend ist allein, ob die unfallbedingten Ursachen des Gesundheitsschadens ihre kausale Bedeutung verloren haben, also dahin gefallen sind (Urteil S. vom 28. Januar 2005 [U 249/04] Erw. 3.2.2 mit Hinweisen). Im Übrigen wird zu Recht nicht geltend gemacht, die Vorinstanz hätte bei der Beurteilung des natürlichen Kausalzusammenhangs nicht auch auf die IV-Akten abstellen dürfen.
3.3 Schliesslich trifft zwar zu, dass gemäss Rechtsprechung erst nach Abschluss des normalen, unfallbedingt erforderlichen Heilungsprozesses zu prüfen ist, ob der Unfall eine adäquate Ursache für die geklagten Beschwerden ist (<ref-ruling> Erw. 2.3.1 und Urteil S. vom 16. Juni 2004 [U 133/03] Erw. 2.3 mit Hinweisen). Weshalb die Adäquanzbeurteilung «aber auch nicht später, schon gar nicht erst Jahre später» vorgenommen werden darf, ist nicht einzusehen und wird auch nicht näher begründet. Anderseits ist unbestritten und auf Grund der medizinischen Akten mit überwiegender Wahrscheinlichkeit davon auszugehen, dass spätestens am 30. Mai 2002 der normale, unfallbedingt erforderliche Heilungsprozess beendet war und die Zürich die Adäquanzfrage prüfen durfte. Dass der Unfall vom 3. Juni 1997 keine adäquate Ursache der Ende Mai 2002 bestandenen psychischen Beschwerden ist, steht ausser Frage. Es kann insoweit auf die diesbezüglichen Erwägungen des kantonalen Gerichts verwiesen werden.
Der angefochtenen Entscheid ist somit rechtens.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 21. Juni 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer: Der Gerichtsschreiber: