Sachverhalt:
A. Der 1960 geborene K._ war seit 1. Juli 1997 bis Ende Februar 2004 als Maschinenoperateur bei der Firma T._ AG angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 9. April 2003 war er mit seinem Auto in einem Autobahntunnel unterwegs, als ihm ein nachfolgendes Fahrzeug aufs Heck auffuhr. Der erstbehandelnde Arzt diagnostizierte ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld), welche sie mit Verfügung vom 24. Juni 2004 auf den 15. Juli 2004 einstellte. Diese Verfügung wurde auf Einsprache des Versicherten und seinem Krankenversicherer hin aufgehoben. In der Folge holte die SUVA unter anderem ein polydisziplinäres Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) vom 13. Oktober 2005 ein. Mit Verfügung vom 1. Februar 2006 stellte sie die Versicherungsleistungen auf den 28. Februar 2006 ein. Die dagegen vom Versicherten und seinem Krankenversicherer erhobenen Einsprachen wies sie mit Entscheid vom 27. Juli 2006 im Sinne der Erwägungen ab.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die SUVA zurückwies, damit diese nach erneuter Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs im Sinne der Erwägungen neu verfüge (Entscheid vom 13. Dezember 2007).
C. Mit Beschwerde beantragt die SUVA die Aufhebung des kantonalen Entscheides.
Mit Verfügung vom 7. März 2008 erhielt die SUVA letztinstanzlich Gelegenheit, ihre Vorbringen in Anbetracht des zwischenzeitlich ergangenen, die so genannte Schleudertrauma-Praxis bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden präzisierenden Urteils <ref-ruling> vom 19. Februar 2008 zu ergänzen. Davon machte sie mit Vernehmlassung vom 25. März 2008 Gebrauch, wobei sei an der Beschwerde festhielt.
Der Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (vgl. nicht publ. E. 1.1 des Urteils <ref-ruling> mit Hinweis), um einen - selbstständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f. mit Hinweisen). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
1. 1.1 Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (vgl. nicht publ. E. 1.1 des Urteils <ref-ruling> mit Hinweis), um einen - selbstständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f. mit Hinweisen). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
1.2 1.2.1 Rechtsprechungsgemäss bewirkt ein Rückweisungsentscheid in der Regel keinen irreversiblen Nachteil im Sinne von <ref-law>, da der Rechtsuchende ihn später zusammen mit dem neu zu fällenden Endentscheid wird anfechten können (vgl. <ref-law>). Anders verhält es sich allerdings für die Verwaltung bzw. den Versicherungsträger, wenn diese durch den Rückweisungsentscheid gezwungen werden, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen. Diesfalls kann bereits dieser Entscheid angefochten und braucht nicht der Endentscheid abgewartet zu werden (<ref-ruling> E. 5.2, 5.2.1 - 5.2.4 S. 483 ff.; nicht publ. E. 1.2.1 des Urteils <ref-ruling>).
1.2.2 Die Vorinstanz hat erwogen, entgegen der Auffassung der SUVA im streitigen Einspracheentscheid vom 27. Juli 2006 sei der adäquate Kausalzusammenhang nicht gemäss der Rechtsprechung für psychische Unfallfolgen (<ref-ruling>), sondern anhand der Schleudertraumapraxis (<ref-ruling>; vgl. nunmehr auch <ref-ruling>) zu beurteilen. Weiter habe die SUVA die Adäquanzprüfung vorgenommen, ohne das Ergebnis der im MEDAS-Gutachten vom 13. Oktober 2005 vorgeschlagenen weiteren Behandlungen der Unfallfolgen abzuwarten bzw. in ihre Beurteilung einzubeziehen. In diesem Sinne sei die Adäquanzprüfung verfrüht gewesen. Die Sache sei zur erneuten Beurteilung der Adäquanz nach erfolgtem Abschluss der Heilbehandlung an die SUVA zurückzuweisen.
1.2.3 Im Umstand, dass der vorinstanzliche Entscheid hinsichtlich des Vorgehens bei der Adäquanzprüfung materiell verbindliche Anordnungen enthält, durch welche der Beurteilungsspielraum der SUVA wesentlich eingeschränkt wird, ist nach dem Gesagten ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne des <ref-law> zu erblicken (vgl. auch nicht publ. E. 1.2.2 des Urteils <ref-ruling>). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. 3.1 Die Vorinstanz hat die Bestimmungen über den Anspruch auf Leistungen der Unfallversicherung im Allgemeinen (<ref-law>) sowie die Grundsätze über den für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; <ref-ruling> E. 9.5 S. 125 f. mit Hinweisen), die erforderliche Adäquanz des Kausalzusammenhangs bei psychischen Unfallfolgen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 181 und E. 4.1 S. 183, 115 V 133) sowie Folgen eines Unfalls mit HWS-Schleudertrauma (<ref-ruling>, 119 V 335, 117 V 359) oder einer diesem äquivalenten Verletzung (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle zutreffend dargelegt. Gleiches gilt zum Beweiswert eines Arztberichts (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232, 125 V 351). Darauf wird verwiesen.
3.2 Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (<ref-ruling> E. 9 und 10 S. 121 ff.). Die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze liess das Bundesgericht hingegen unverändert bestehen (<ref-ruling> E. 6.1 S. 116; vgl. auch Urteil 8C_28/2008 vom 28. Juli 2008, E. 1).
4. 4.1 Im polydisziplinären (psychiatrischen, rheumatologischen, neurologischen und neuropsychologischen) MEDAS-Gutachten vom 13. Oktober 2005 wurden folgende Diagnosen mit wesentlicher Einschränkung der Arbeitsfähigkeit gestellt: Heckauffahrunfall am 9. April 2003 mit HWS-Distorsion und posttraumatischer Belastungsstörung (ICD-10: F43.1), mittelschwerer bis schwerer depressiver Störung (ICD-10: F32.2), posttraumatischer Anpassungsstörung mit komplizierter, protrahierter Trauerreaktion (ICD-10: F43.28), chronifizierter myofaszialer Reizzustand im Nacken-Schultergürtel und zervikozephale Schmerzen, linksbetont, neuropsychologische Defizite multifaktorieller Genese, unsystematischer Schwankschwindel multifaktorieller Genese. Ohne wesentliche Einschränkung der Arbeitsfähigkeit, aber mit Krankheitswert wurden rezidivierende frontale Spannungskopfschmerzen diagnostiziert. Weiter wurde ausgeführt, es lägen typische Beschwerden nach HWS-Distorsionstraumen vor, nämlich Kopfschmerzen (wenn auch nicht diffus), Schwindelbeschwerden, Konzentrations- und Gedächtnisstörungen, chronische Müdigkeit, rasche Ermüdbarkeit, Nackenschmerzen, Visusstörungen, Reizbarkeit, Depression sowie Wesensveränderung, Lärm- und Lichtempfindlichkeit; alle Beschwerden seien überwiegend wahrscheinlich auf den Unfall vom 9. April 2003 zurückzuführen. Unfallfremd seien die rein anamnestisch fassbaren, sporadischen frontalen Kopfschmerzen und die degenerativen Veränderungen im Bereich der HWS sowie der Lendenwirbelsäule. Es bestehe eine weitgehende Überschneidung des typischen Beschwerdebildes nach HWS-Distorsion mit dem Beschwerdebild der posttraumatischen Belastungsstörung; somit könnten Hintergrund und Vordergrund nicht voneinander abgegrenzt werden. Die geklagten (psychischen) Beschwerden seien nicht zwingend direkt auf die HWS-Distorsion zurückzuführen, sondern müssten im Wesentlichen als selbstständige Gesundheitsstörung betrachtet werden; allerdings seien HWS-distorsionsbedingte Schmerzen und posttraumatische Belastungsstörung, aber auch die Depression sich gegenseitig unterhaltende Faktoren. Die psychiatrischerseits festgestellten Beschwerden seien überwiegend wahrscheinlich auf den Unfall zurückzuführen; unfallfremde Faktoren seien nicht vorhanden.
4.2 Im Konsilium vom 27. Juli 2005, das psychiatrische Grundlage des MEDAS-Gutachtens vom 13. Oktober 2005 war, führte Dr. med. S._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, aus, der Verlust an körperlicher Integrität und Leistungsfähigkeit, an sozialer Integration und einer erfolgreichen Tätigkeit hätten zu einem Trauerprozess geführt, der noch nicht abgeschlossen sei und woraus sich eine sekundäre Depression entwickelt habe. Die Kriterien für eine Depression seien klinisch und testpsychologisch erfüllt. Gewisse Symptome wie verstärkte Selbstbeobachtung, Ermüdbarkeit und Schlafstörungen könnten sowohl bei einer Depression wie bei chronischen Schmerzen auftreten, und es lasse sich nicht entscheiden, zu welchem Syndrom sie gehörten. Würden die entsprechenden Symptome in den Depressionsskalen nicht mitgezählt, lägen die Werte immer noch im Bereich einer mittelschweren Depression. Auf Grund des klinischen Bildes sei die Diagnose einer schweren bis mittelschweren Depression angemessen. Die Depression sei vorwiegend eine Folge der unfallbedingten Schmerzen und verstärke ihrerseits wieder die Schmerzen. Aktuell fänden sich noch Symptome einer posttraumatischen Belastungsstörung, wie sich aufdrängende Erinnerungen, vegetative Übererregtheit beim Autofahren und vermehrte Ängstlichkeit. Erhöhte Lärm- und Lichtempfindlichkeit träten bei HWS-Distorsion häufig auf und rechtfertigten für sich allein die Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung nicht. Die Symptome erreichten aber das Ausmass für eine solche Diagnose. Was hingegen fehle, sei die objektiv gesehen aussergewöhnliche Bedrohung. Subjektiv stehe für den Versicherten vor allem die unerwartete Schmerzreaktion als Belastung im Vordergrund. Dazu komme, dass er ausgeprägt zwanghafte, perfektionistische Persönlichkeitszüge habe, welche die Schwelle senken könnten. Da die vermehrte Angstsymptomatik deutliche Auswirkungen auf die Lebensqualität habe, erscheine die Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung doch angemessen. Die heutigen psychischen Beschwerden seien zum Teil sicher (posttraumatische Belastungsstörung), zum Teil (Depression) überwiegend wahrscheinlich eine Folge des Unfalls. Es fänden sich keine unfallfremden Faktoren.
5. 5.1 Auf Grund des MEDAS-Gutachtens ist erstellt und unbestritten, dass der Versicherte beim Unfall vom 9. April 2003 überwiegend wahrscheinlich eine HWS-Distorsion erlitten hat (diese Diagnose wurde auch im Austrittsbericht der Rehaklinik X._ vom 4. November 2003 gestellt) und dass seine psychischen Beschwerden natürlich kausal auf diesen Unfall zurückzuführen sind.
5.2 Umstritten ist, ob der adäquate Kausalzusammenhang - der SUVA folgend - gemäss der Rechtsprechung für psychische Unfallfolgen (<ref-ruling>) oder - mit der Vorinstanz und dem Versicherten - anhand der Schleudertraumapraxis (vgl. nunmehr <ref-ruling>) zu beurteilen ist (vgl. E. 1.2.2 und 3.2 hievor).
6. 6.1 Die Vorinstanz hat erwogen, gemäss dem MEDAS-Gutachten bestehe eine weitgehende Überschneidung des typischen Beschwerdebildes nach HWS-Distorsion mit demjenigen der posttraumatischen Belastungsstörung. Somit könne Hintergrund und Vordergrund nicht voneinander abgegrenzt werden. Gemäss diesem Gutachten seien zwar die geklagten Beschwerden nicht zwingend direkt auf die HWS-Distorsion zurückzuführen, sondern müssten im Wesentlichen als selbstständige Gesundheitsstörung betrachtet werden. Allerdings werde im Gutachten betont, dass die HWS-distorsionsbedingten Schmerzen und posttraumatischen Belastungsstörungen, aber auch die Depression sich gegenseitig unterhaltende Faktoren seien. Somit bestätige das MEDAS-Gutachten nicht, dass die zum typischen Beschwerdebild eines HWS-Schleudertraumas gehörenden Beeinträchtigungen im Vergleich zu einer ausgeprägten psychischen Problematik praktisch vollständig in den Hintergrund getreten seien oder als selbstständige, von (Langzeit-)Symptomen der HWS-Verletzung zu unterscheidende Gesundheitsschädigung zu qualifizieren seien. Die Adäquanzprüfung habe demnach nach der Schleudertrauma-Rechtsprechung zu erfolgen, mithin ohne Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten (vgl. <ref-ruling> E. 6a S. 367; Urteil 8C_415/2007 vom 1. Juli 2008, E. 4).
6.2 Dieser vorinstanzlichen Auffassung ist nicht beizupflichten. Denn das MEDAS-Gutachten ist unklar und widersprüchlich. Gemäss dem Konsilium des Psychiaters Dr. med. S._ vom 27. Juli 2005 ist die Depression vorwiegend eine Folge der unfallbedingten Schmerzen und verstärkt ihrerseits wieder die Schmerzen. Weiter führt er aus, unter anderem ein Teil der Symptome der HWS-Distorsion, nämlich die Lärm- und Lichtempfindlichkeit, erreichten ein Ausmass für die Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung (E. 4.2 hievor). Im MEDAS-Hauptgutachten vom 13. Oktober 2005 wird die beim Versicherten diagnostizierte mittelschwere bis schwere depressive Störung bzw. Depression - verbunden mit einer Wesensveränderung - weiterhin als Teil der bei ihm festgestellten typischen Beschwerden nach HWS-Distorsionstrauma beschrieben. Diese Angaben im MEDAS-Gutachten sprechen dafür, die psychische Problematik als Teil bzw. Symptom der HWS-Distorsion zu betrachten. Indessen wird an anderer Stelle des Hauptgutachtens vom 13. Oktober 2005 ausgeführt, die geklagten Beschwerden seien nicht zwingend direkt auf die HWS-Distorsion zurückzuführen, sondern müssten im Wesentlichen als selbstständige Gesundheitsstörung betrachtet werden (E. 4.1 hievor). Über letztgenannte Aussage kann nicht ohne weiteres hinweggegangen werden.
Nach dem Gesagten gibt das MEDAS-Gutachten insgesamt keine hinreichende Antwort auf die Frage, ob die beim Versicherten bestehende psychische Problematik als Teil bzw. Symptom des für die erlittene HWS-Distorsion typischen, einer Differenzierung kaum zugänglichen somatisch-psychischen Beschwerdebildes zu betrachten ist, oder aber ein von diesem zu trennendes, eigenständiges psychisches Leiden darstellt (<ref-ruling> E. 9.5 S. 126). Diesen Punkt hat die SUVA im Rahmen der erneuten Leistungsprüfung durch ergänzende Nachfrage bei der MEDAS zu klären.
6.3 Nicht stichhaltig ist die Berufung der SUVA auf die zuhanden der MEDAS erstellten Konsilien des Rheumatologen Dr. med. J._ vom 22. Juli 2005 - er tendiere zur Meinung, das psychische Beschwerdebild stehe stark im Vordergrund - und des Neurologen Dr. med. Z._ vom 28. Juli 2005 - die neurologischen Befunde stünden nicht im Vordergrund. Denn abgesehen davon, dass ihnen in psychiatrischer Hinsicht die Fachkompetenz fehlt, nehmen sie zur massgebenden Frage, ob die psychische Störung ein Teil bzw. Symptom des Beschwerdebildes der HWS-Distorsion ist oder nicht, gar nicht Stellung. Diese Frage wird auch nicht durch den Umstand beantwortet, dass der Versicherte gemäss dem MEDAS-Gutachten aus somatischer (rheumatologischer) Sicht in der angestammten und in einer leidensangepassten Tätigkeit zu 20 % arbeitsunfähig ist, psychiatrischerseits aber in der angestammten Tätigkeit zu 100 % und in einer leidensangepassten Tätigkeit zu 75 % arbeitsunfähig ist.
Das Argument der SUVA, es fehle an den Voraussetzungen, um von einem typischen Beschwerdebild nach Schleudertrauma auszugehen, ist aktenwidrig (vgl. E. 4.1 hievor).
Unbehelflich ist weiter das SUVA-Vorbringen, es seien weder vom Rheumatologen noch vom Neurologen organische Befunde im Sinne von strukturellen Veränderungen festgestellt worden. Denn es gehört gerade zum Wesen einer HWS-Distorsion, dass die Beschwerden organisch nicht nachweisbar bzw. objektivierbar sind (<ref-ruling> E. 2.1 S. 112 und E. 7.1 S. 118).
7. Die Vorinstanz hat richtig erwogen, dass gemäss dem MEDAS-Gutachten vom 13. Oktober 2005 eine weitere medizinische Behandlung notwendig ist, von der eine nahmhafte Besserung des Gesundheitszustandes zu erwarten ist. Empfohlen werden Psychotherapie, antidepressive medikamentöse und somit auch schmerzdistanzierende Behandlung sowie pro Jahr höchstens drei Serien Physiotherapie.
Diesbezüglich ist auf <ref-ruling> E. 3 f. S. 112 hinzuweisen. Danach hat der Unfallversicherer den Fall - unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung - in dem Zeitpunkt abzuschliessen, in welchem von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes der versicherten Person mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind (vgl. auch Urteil 8C_124/2008 vom 17. Oktober 2008, E. 8.1). Bei der Adäquanzbeurteilung psychischer Fehlentwicklungen nach Unfall lassen sich die einzig zu berücksichtigenden physischen Komponenten im Zeitpunkt, in dem von einer Fortsetzung der auf die somatischen Leiden gerichteten ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung mehr erwartet werden kann, zuverlässig beurteilen (<ref-ruling> E. 6.1 S. 116). Diese Rechtsprechung hat die SUVA bei der erneuten Leistungsprüfung zu berücksichtigen.
8. Die unterliegende, nicht unter den Ausnahmetatbestand von <ref-law> fallende SUVA hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>; <ref-ruling>) und dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der SUVA auferlegt.
3. Die SUVA hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Januar 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar