Faits:
A. B._, né en 1965, a bénéficié d'une mesure de réadaptation professionnelle de l'assurance-invalidité sous la forme d'un stage de machiniste au Centre ORIPH (Organisation romande pour l'intégration professionnelle des personnes handicapées), à partir du 3 décembre 2001. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 20 novembre 2002, il a été victime d'un accident au cours de cette formation. En voulant retirer une pièce coincée dans une fraiseuse, il a heurté sa main droite contre la machine et subi une perforation au niveau du premier métacarpe. Le docteur E._, médecin-chef de service à la Division de chirurgie de l'Hôpital X._, a posé le diagnostic de neurome cicatriciel après lésion de la branche superficielle du nerf brachial. L'assuré s'étant plaint d'hyperesthésies de plus en plus importantes, ce médecin a procédé à une intervention consistant en une résection du neurome avec enfouissement du moignon proximal de la branche superficielle (rapport du 9 avril 2003). L'intéressé a cessé définitivement toute activité à partir du mois d'août 2003. La CNA a pris en charge le cas.
Après avoir recueilli plusieurs rapports du docteur E._ (des 21 mai, 25 août et 15 septembre 2003), la CNA a requis l'avis du docteur O._, médecin à la Clinique chirurgicale Y._ (rapport du 30 octobre 2003). L'assuré a séjourné à la Clinique romande de réadaptation du 12 novembre au 12 décembre 2003.
Dans un rapport d'examen médical final du 27 avril 2005, le docteur H._, médecin d'arrondissement de la CNA, a indiqué que le vécu douloureux de l'assuré était hors normes et qu'il ne pouvait pas s'expliquer du seul point de vue somatique. Selon ce médecin, rien ne s'opposait, sur le plan organique, à ce que l'intéressé reprenne son stage de formation de machiniste. Par ailleurs, le docteur H._ a fixé à 5 % le taux de l'atteinte à l'intégrité ouvrant droit à une indemnité.
Dans un rapport d'expertise établi à l'intention de l'Office AI du canton du Jura, les médecins de l'Hôpital Z._ ont diagnostiqué notamment un syndrome somatoforme douloureux persistant (F 45.4) et un épisode dépressif sévère (F 32.2). Du point de vue somatique, ces experts n'ont pas objectivé des troubles entraînant une incapacité de travail. Selon eux, celle-ci était cependant nulle compte tenu de l'ensemble de la problématique (rapport du 16 décembre 2005). Invité à se prononcer sur cette expertise, le docteur I._, médecin au Service médical régional AI (SMR), a nié cependant l'existence d'un trouble somatoforme douloureux et posé le diagnostic d'épisode dépressif moyen sans syndrome somatique (F 32.10). Sur le plan somatique, ce médecin a indiqué que les séquelles de l'accident du 20 novembre 2002 n'entraînaient aucune diminution de la capacité de travail dans l'activité de machiniste (rapport du 17 mai 2006).
Par décision du 10 avril 2006, la CNA a supprimé le droit de l'assuré à des prestations d'assurance (traitement médical et indemnité journalière) avec effet au 30 juin 2005 et refusé l'octroi d'une rente d'invalidité. Par ailleurs, elle a alloué à l'intéressé une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux d'atteinte de 5 %.
Saisie d'une opposition de l'assuré qui concluait à l'octroi d'une rente d'invalidité et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 10 %, la CNA l'a rejetée par décision du 30 mai 2006.
B. Par jugement du 6 février 2007, la Chambre des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours formé contre cette décision.
C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, au maintien de son droit à une indemnité journalière au-delà du 30 juin 2005 ou à l'allocation d'une rente d'invalidité à partir du 20 novembre 2002, sous déduction de l'indemnité journalière déjà perçue, ainsi qu'à l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 10 %.
La CNA conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Le recourant ayant requis l'assistance judiciaire, la Ire Cour de droit social du Tribunal fédéral a renoncé à exiger une avance de frais.

Considérant en droit:
1. Dans son recours en matière de droit public, l'assuré conclut notamment, comme en instance cantonale, au maintien de son droit à une indemnité journalière au-delà du 30 juin 2005. Cependant, la suppression de ce droit, qui avait fait l'objet de la décision de l'intimée du 10 avril 2006, n'a pas été contestée par l'assuré dans son opposition du 3 mai 2006. Aussi, la CNA (cf. décision sur opposition du 30 mai 2006) et la juridiction cantonale ont-elles considéré que la décision du 10 avril 2006 était entrée en force quant à la suppression du droit à l'indemnité journalière.
Certes, la jurisprudence considère que l'obligation d'articuler les griefs vaut en principe également dans la procédure d'opposition. Aussi, dans la mesure où la légalité d'une décision attaquée n'est pas examinée d'office, celle-ci entre partiellement en force sur les points qui n'ont pas été contestés dans la procédure d'opposition (<ref-ruling> consid. 1c p. 351). Cependant, lorsque - comme en l'occurrence - l'opposition formée contre un refus de rente repose sur des motifs qui, par leur nature, concernent aussi bien le droit à la rente que celui à l'indemnité journalière (causalité, incapacité de travail), la décision contestée par voie d'opposition n'entre pas non plus en force sur ce dernier point (cf. RAMA 1999 no U 323 p. 98; cf. Hansjörg Seiler, Rechtsfragen des Einspracheverfahrens in der Sozial-versicherung [Art. 52 ATSG], in: Sozialversicherungsrechtstagung 2007, St Gall 2007, p. 82).
Cela étant, le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était fondée à supprimer le droit du recourant à l'indemnité journalière avec effet au 30 juin 2005 et à lui refuser une rente d'invalidité, ainsi que sur le montant de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité.
2. Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
3. 3.1 La CNA a supprimé le droit de l'assuré à une indemnité journalière au-delà du 30 juin 2005 et nié son droit à une rente d'invalidité, motif pris qu'il n'existait pas, après cette date, de séquelles de nature organique entraînant une diminution de la capacité de travail et de gain, et que les douleurs et l'impotence fonctionnelle de la main droite relevaient de troubles d'origine psychique qui n'étaient pas en relation de causalité adéquate avec l'accident. Ce point de vue a été confirmé par la juridiction cantonale dans le jugement attaqué.
3. 3.1 La CNA a supprimé le droit de l'assuré à une indemnité journalière au-delà du 30 juin 2005 et nié son droit à une rente d'invalidité, motif pris qu'il n'existait pas, après cette date, de séquelles de nature organique entraînant une diminution de la capacité de travail et de gain, et que les douleurs et l'impotence fonctionnelle de la main droite relevaient de troubles d'origine psychique qui n'étaient pas en relation de causalité adéquate avec l'accident. Ce point de vue a été confirmé par la juridiction cantonale dans le jugement attaqué.
3.2 3.2.1 Pour nier l'existence de séquelles somatiques invalidantes, la juridiction cantonale s'est fondée sur l'avis des experts de l'Hôpital Z._ (rapport du 16 décembre 2005), lesquels n'ont pas objectivé de lésion organique à l'origine des troubles allégués. En effet, selon ces médecins, une éventuelle neuropathie post-traumatique de la branche sensitive du nerf radial de la main droite n'explique pas l'extension de la symptomatologie douloureuse à l'ensemble du membre supérieur droit, ni l'impotence fonctionnelle, ni même l'intensité douloureuse. Les experts en concluent que ces troubles sont dus à des facteurs de nature psycho-sociale. Ils partagent sur ce point l'avis de l'ensemble des médecins qui se sont prononcés sur le cas, à savoir les docteurs O._ (rapport du 4 février 2004), U._, spécialiste en neurologie (rapport du 8 juin 2004), C._, médecin à l'Hôpital W._ (rapport du 25 août 2004), et H._ (rapport du 27 avril 2005).
3.2.2 Le recourant conteste le point de vue de la juridiction cantonale en alléguant qu'il souffre toujours de séquelles invalidantes sur le plan organique. Il invoque pour cela un rapport du docteur F._, spécialiste en neurologie, selon lequel il présente une neuropathie douloureuse radiale sensitive distale de la main droite sur probable névrome avec allodynie et causalgie (rapport du 31 janvier 2005).
Cet avis médical ne permet toutefois pas de s'écarter du point de vue de la juridiction cantonale. Prenant position sur l'appréciation du docteur F._, les experts de l'Hôpital Z._ ont indiqué, en effet, qu'une éventuelle neuropathie post-traumatique n'expliquait ni l'extension des troubles sensitifs et des douleurs, ni l'impotence fonctionnelle de la main. Il n'y a pas de raison de mettre en doute cette conclusion qui confirme l'avis des nombreux médecins consultés, selon lesquels les troubles susmentionnés ne sont pas dus à des facteurs organiques.
Quant aux autres appréciation médicales invoquées par le recourant, elles n'infirment en rien le point de vue des premiers juges au sujet de l'absence de séquelles invalidantes sur le plan somatique. En particulier, l'intéressé se fonde sur un certificat du docteur L._, du 27 février 2007, produit en instance fédérale. Or, le point de savoir si un nouveau moyen de preuve est admissible dans une procédure où le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 et 99 al. 1 LTF) est controversé dans la doctrine: Seiler /Von Werdt/Güngerich (Bundesgerichtsgesetz, n. 4 ad art. 99) sont d'avis qu'un tel moyen n'est pas admissible, tandis que Ulrich Meyer (Bundesgerichtsgesetz [Basler Kommentar], Niggli/Uebersax/Wiprächtiger éd., n. 52 ad art. 99) exprime l'avis contraire. Cependant, il n'est pas nécessaire de trancher cette controverse en l'occurrence, du moment que le certificat produit par le recourant n'est d'aucun appui à sa thèse. En effet, le docteur L._ n'y fait état d'aucun trouble organique de nature à entraîner les douleurs et les troubles fonctionnels invoqués par l'intéressé.
Cela étant, la juridiction cantonale était fondée à nier l'existence de séquelles de nature somatique entraînant une diminution de la capacité de travail et/ou de gain dès le moment où le docteur H._ a procédé à l'examen médical final.
Par ailleurs, il n'y a pas lieu de revenir sur le point de vue de la CNA et de la juridiction cantonale, selon lequel les troubles d'origine psychique ne sont pas en relation de causalité adéquate avec l'accident. Au demeurant, le recourant ne remet pas en cause ce point de vue.
Vu ce qui précède, la CNA était fondée à supprimer le droit du recourant à une indemnité journalière dès le 30 juin 2005 et à lui refuser l'octroi d'une rente d'invalidité. Le jugement entrepris n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé sur ce point.
4. Le recourant conclut en outre à l'allocation d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 10 % au lieu de 5 %, au motif que « ce taux de 10 % (lui) paraît correspondre plus concrètement et correctement aux séquelles » de l'accident du 20 novembre 2002.
Cette motivation ne satisfait pas à l'exigence résultant de l'art. 42 al. 2 LTF, laquelle correspond à celle qui valait pour le recours de droit administratif sous l'empire de l'OJ (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 287). Cela étant, il n'appartient pas au Tribunal fédéral de rechercher, sur la base du dossier, si et en quoi le jugement attaqué viole le droit dans la mesure où il confirme l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 5 %. Cette conclusion apparaît ainsi irrecevable.
5. Le recourant, qui satisfait aux conditions de l'art. 64 al. 1 LTF, est dispensé de l'obligation de payer les frais judiciaires. Son attention est cependant attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 25 janvier 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Le Greffier:
Widmer Beauverd