Sachverhalt:
A. Die 1996 geborene L._ leidet seit November 2003 an einem insulinpflichtigen Diabetes mellitus Typ I; in diesem Zusammenhang wurde sie ab Januar 2004 auch psychotherapeutisch behandelt. Ein Gesuch um Zusprache psychotherapeutischer Leistungen wies die IV-Stelle Basel-Landschaft mit Verfügung vom 13. August 2004 ab mit der Begründung, die Behandlungsdauer habe noch nicht ein Jahr betragen. Vom 20. Juni bis 18. Juli 2008, vom 27. Oktober bis 24. Dezember 2008 und vom 26. Juni bis 20. Juli 2009 hielt sich L._ stationär im Spital Y._ auf, wo namentlich ein bekannter Diabetes mellitus Typ I (ED 2003) mit/bei erheblicher Malcompliance, erneuten selbstinduzierten Hypoglykämien, Anpassungsstörungen und schwerer psychosozialer Belastungssituation diagnostiziert wurde. Ausserdem steht sie seit 26. September 2008 bei Dr. med. S._, Facharzt für Kinder- und Jugendpsychiatrie und -psychotherapie, in psychotherapeutischer Behandlung. Im September 2009 ersuchte der Vater von L._ erneut um "Kostenübernahme Psychiater". Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens wies die IV-Stelle Basel-Landschaft das Leistungsbegehren mit Verfügung vom 10. März 2010 ab.
B. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft hiess die dagegen erhobene Beschwerde der L._ mit Entscheid vom 22. Oktober 2010 (zugestellt am 16. Dezember 2010) gut, hob die Verfügung vom 10. März 2010 auf und verpflichtete die IV-Stelle, die Psychotherapie zu übernehmen.
C. Die IV-Stelle Basel-Landschaft führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, in Aufhebung des Entscheids vom 22. Oktober 2010 sei die Verfügung vom 10. März 2010 wiederherzustellen.
L._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2. Die Beschwerdeführerin reichte im letztinstanzlichen Verfahren neue Aktenstücke ein. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen indessen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; <ref-ruling>). Dies ist von der ein Novum einbringenden Partei näher darzulegen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. Urteile 8C_826/2008 vom 2. April 2009 E. 3; 8C_514/2008 vom 31. März 2009 E. 3), was die Beschwerdeführerin unterlassen hat. Die neu beigebrachten Beweismittel sind daher unzulässig und bleiben vor Bundesgericht unbeachtet (Urteil 8C_684/2009 vom 23. April 2010 E. 2). Im Übrigen bildet der Umstand, dass das vorinstanzliche Verfahren nicht entsprechend den Erwartungen der Beschwerdeführerin ausgegangen ist, für sich allein keinen hinreichenden Anlass im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.2 S. 344; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 226 f. sowie Urteil 2C_425/2010 vom 17. August 2010 E. 3.7).
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen zum Anspruch auf medizinische Massnahmen der Invalidenversicherung (<ref-law>; <ref-law> [SR 831.201]) und die dazu ergangene Rechtsprechung (namentlich <ref-ruling> E. 3a S. 279 mit Hinweisen) richtig dargelegt; darauf wird verwiesen. Zusätzlich zu erwähnen sind die zur Behandlung psychischer Leiden erlassenen Verwaltungsweisungen (Rz. 645-647/845-847 des Kreisschreibens des BSV über die medizinischen Eingliederungsmassnahmen [KSME]). Weiter ist auf <ref-law> (SR 830.1) zu verweisen, wonach nicht erwerbstätige Minderjährige als invalid gelten, wenn die Beeinträchtigung ihrer körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit voraussichtlich eine ganze oder teilweise Erwerbsunfähigkeit zur Folge haben wird. Daraus ergeben sich spezifische Anspruchsvoraussetzungen für medizinische Vorkehren bei Jugendlichen (AHI 2003 S. 103, I 340/00 E. 2).
3.2 Die Rechtsprechung zu den medizinischen Massnahmen stützt sich auf <ref-law>, wonach nur solche Vorkehren von der Invalidenversicherung zu übernehmen sind, die "nicht auf die Behandlung des Leidens an sich", also nicht auf die Heilung oder Linderung labilen pathologischen Geschehens gerichtet sind. Während dies bei Erwachsenen ohne weiteres galt (vgl. <ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 geltenden Fassung), sind bei Jugendlichen - ihrer körperlichen und geistigen Entwicklungsphase Rechnung tragend - medizinische Vorkehren trotz des einstweilen noch labilen Leidenscharakters von der Invalidenversicherung zu übernehmen, wenn ohne diese in absehbarer Zeit eine Heilung mit Defekt oder ein sonst wie stabilisierter Zustand einträte, wodurch die Berufsbildung oder die Erwerbsfähigkeit oder beide beeinträchtigt würden (<ref-ruling> E. 2 S. 214 f.; <ref-ruling> S. 20). Die Invalidenversicherung hat daher bei Jugendlichen - die Erfüllung der übrigen Voraussetzungen vorbehalten - nicht nur unmittelbar auf die Beseitigung oder Korrektur stabiler Defektzustände oder Funktionsausfälle gerichtete Vorkehren zu übernehmen, sondern auch dann Leistungen zu erbringen, wenn es darum geht, mittels geeigneter Massnahmen einem die berufliche Ausbildung oder die künftige Erwerbsfähigkeit beeinträchtigenden Defektzustand vorzubeugen. Diese Rechtsprechung wurde wiederholt bestätigt (vgl. beispielsweise BGE <ref-ruling> S. 20; AHI 2000 S. 63 E. 1, AHI 2003 S. 103, I 340/00 E. 2; SVR 2006 IV Nr. 3 S. 10, I 23/04 E. 4.1).
3.3 <ref-law> bezweckt namentlich, die Aufgabenbereiche der Invalidenversicherung einerseits und der sozialen Kranken- und Unfallversicherung anderseits gegeneinander abzugrenzen. Diese Abgrenzung beruht auf dem Grundsatz, dass die Behandlung einer Krankheit oder einer Verletzung ohne Rücksicht auf die Dauer des Leidens primär in den Aufgabenbereich der Kranken- und Unfallversicherung gehört (<ref-ruling> E. 1 S. 81 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 41 f.; SVR 2011 IV Nr. 40 S. 118, 9C_430/2010 vom 23. November 2010 E. 2.1 bis 2.3; Urteil I 390/04 vom 13. Dezember 2004 E. 1.2).
4. 4.1 Zur Beurteilung der Frage, ob eine weitere Behandlung einen drohenden Defekt mit negativen Wirkungen auf die Berufsausbildung und Erwerbsfähigkeit zu einem grossen Teil verhindern könne (vgl. Rz. 645-647/845-847.5 KSME), respektive ob das psychische Leiden ohne fachärztliche Behandlung mit hinreichender Wahrscheinlichkeit zu einem schwer korrigierbaren, die spätere Ausbildung und Erwerbstätigkeit erheblich behindernden oder gar verunmöglichenden stabilen pathologischen Zustand führe (vgl. ULRICH MEYER, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 2. Aufl. 2010, S. 134), hat die Vorinstanz auf das Rektifikat des Dr. med. S._ vom 15. Dezember 2009 und dessen Brief vom 16. Dezember 2009 abgestellt. Nachdem der Arzt die Frage, ob ein erworbenes psychisches Leiden vorliege, welches mit grösster Wahrscheinlichkeit zu einem erheblichen, schwer korrigierbaren Defekt führt, im Bericht vom 29. September 2009 noch verneint hatte, bejahte er sie dann im Rektifikat. Gleichzeitig ergänzte er, falls die unbewussten Konflikte nicht bearbeitet würden, drohe ein psychischer, zunehmend schwerer zu beeinflussender chronischer Defekt mit schwerwiegenden Folgen für die Ausbildung.
Zwar beurteilte Dr. med. H._ für den Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD; vgl. <ref-law> und <ref-law> [SR 831.201]) die Auswirkungen der anerkannten Diagnosen "insulinpflichtiger Diabetes mellitus" und "Anpassungsstörung (mit längeren depressiven Phasen)" anders als Dr. med. S._, indem er die Frage des Schulbesuchs (angesichts der lebensbedrohenden Krisen) als sekundär betrachtete. Dr. med. H._ stellte für seine Erkenntnisse jedoch nicht auf eigene Untersuchungen der Versicherten, sondern auf die Akten ab. Dies ist zwar grundsätzlich zulässig (SVR 2009 IV Nr. 56 S. 174, 9C_323/2009 E. 4). Wenn aber aus den vorhandenen medizinischen Unterlagen von der Beurteilung des behandelnden Psychiaters klar abweichende Schlüsse gezogen werden, ist dafür eine eigene Untersuchung durch den Psychiater des RAD oder eine Begutachtung durch einen externen Psychiater unabdingbar. In diesem Fall wäre von einem noch nicht klar feststehenden und daher eine zusätzliche Abklärung erfordernden (vgl. SVR 2011 IV Nr. 2 S. 7, 9C_904/2009 E. 3.3) medizinischen Sachverhalt auszugehen. Eine solche Untersuchung fand jedoch nicht statt und es wird auch im vorliegenden Verfahren von der Beschwerdeführerin nicht eine Rückweisung der Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen beantragt. Offensichtlich erachtet sie selber den rechtserheblichen Sachverhalt als hinreichend abgeklärt. Daher erscheint es weder rechtsfehlerhaft noch offensichtlich unrichtig (E. 1), wenn die Vorinstanz auf die Erkenntnisse des Dr. med. S._ - insbesondere in dessen Rektifikat - und nicht auf die gegenteiligen Schlussfolgerungen des Dr. med. H._ vom RAD abgestellt hat.
4.2 Dr. med. S._ gab bereits in seinem ursprünglichen Bericht vom 29. September 2009 an, dass die Psychotherapie seit 26. September 2008 initial einmal pro Woche durchgeführt worden sei und eine psychotherapeutische Begleitung während den Hospitalisationen stattgefunden habe. Seit August 2009 werde die Versicherte voraussichtlich für ein halbes bis ein ganzes Jahr zweimal pro Woche und hernach für ein weiteres Jahr einmal pro Woche behandelt. Diese Angaben figurieren unverändert im Rektifikat vom vom 15. Dezember 2009 und auch das Ersuchen, die Psychotherapie ab dem 26. September 2009 für die Dauer von zwei Jahren weiter zu übernehmen, ist unverändert geblieben. Dr. med. S._ nannte damit - auch wenn nicht auszuschliessen ist, dass er sich dabei an der Vorgabe von Rz. 645-647/845-847.5 KSME orientierte, wonach die Psychotherapie jeweils für maximal zwei Jahre zu verfügen sei - einen überschaubaren zeitlichen Rahmen. Diese Situation unterscheidet sich klar vom Sachverhalt, welcher dem Urteil 9C_430/2010 vom 23. November 2010 (SVR 2011 IV Nr. 40 S. 118) zugrunde lag: In diesem Fall war zu beurteilen, ob nach sechs Jahre dauernder und von der Invalidenversicherung übernommener ambulanter Psychotherapie weiterhin Anspruch auf diese medizinische Massnahme bestehe. Vorliegend wurde noch keine ambulante Psychotherapie zulasten der Beschwerdeführerin durchgeführt, wurde doch ein bereits früher gestelltes Gesuch am 13. August 2004 abgelehnt. Die Beschwerde ist unbegründet.
4.3 Die Vorinstanz hat die Prognose des Dr. med. S._, wonach sich die bestehende Anpassungsstörung durch psychotherapeutische Behandlung in einem Zeitraum von einem bis zwei Jahren gut und dauerhaft verbessern lasse, übernommen. Sollte sich diese nicht bewahrheiten und über den genannten Zeitraum hinaus Psychotherapie erforderlich werden, wird die Beschwerdegegnerin ein allfälliges erneutes Gesuch entsprechend kritisch zu beurteilen haben, zumal dann das Kriterium der überschaubaren zeitlichen Dauer nicht mehr zum vornherein als gegeben betrachtet werden könnte. Insbesondere sind bei einer solchen späteren Beurteilung auch die von der Beschwerdeführerin nach Zustellung des vorinstanzlichen Entscheides eingeholten ärztlichen Berichte und Beurteilungen, die vorliegend aus prozessualen Gründen keine Berücksichtigung finden (E. 2), miteinzubeziehen.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 in Verbindung mit Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei aufzuerlegen (<ref-law>). Die obsiegende Beschwerdegegnerin hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Juli 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Dormann