Faits:
Faits:
A. P._, né en 1950, a travaillé en qualité de monteur sanitaire indépendant. Le 2 février 2000, il a présenté une demande tendant à l'octroi d'une rente d'invalidité.
L'Office AI pour le canton de Vaud a recueilli divers renseignements d'ordre médical. Dans un rapport du 3 mars 2000, le docteur J._, spécialiste en médecine interne, a fait état de dorsolombalgies chroniques avec dysbalance musculaire sur discrets troubles de la statique et dégénératifs étagés de la colonne dorso-lombaire, d'un syndrome d'apnée du sommeil sévère et d'une toux chronique sur reflux gastro-oesophagien, d'un trouble somatoforme douloureux, d'un épisode dépressif moyen et d'une tendomyogélose. Il a attesté une incapacité de travail de 100 % du 19 mai au 20 septembre 1999 et de 50 % à partir du 21 septembre suivant.
Le docteur J._ se référait en outre à un avis du docteur T._, chef de la Clinique D._, lequel a posé le diagnostic de trouble somatoforme douloureux persistant, d'épisode dépressif moyen, sans syndrome somatique, et de trouble moteur dissociatif (rapport du 29 décembre 1999).
Par ailleurs, l'office AI a confié une expertise au docteur S._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 20 septembre 2001, l'expert a posé le diagnostic suivant :
Axe I. -:-
AxeI- Eventuellement, dysthymie ou trouble thymique induit par l'alcool
- Probable dépendance à l'alcool
- Trouble douloureux associé à la fois à des facteurs psychologiques et à une affection médicale générale chronique (de degré léger) avec sursimulation
- Non observance au traitement médical
Axe I. -:-
AxeII personnalité fruste
AxeIII lombalgies, toux atypiques
AxeIV difficulté financière, mariage.
Le docteur S._ a suspecté l'existence d'une incapacité de travail de 70 % en 1999, celle-ci étant en revanche de 30 % seulement au moment de l'établissement du rapport d'expertise.
Se fondant sur l'appréciation de l'expert, l'office AI a rendu une décision, le 3 avril 2002, par laquelle il a nié le droit de l'assuré à des prestations, motif pris que la capacité de travail de l'intéressé était de 70 % au moins dans l'activité habituelle ou dans une autre activité adaptée à son état de santé.
Se fondant sur l'appréciation de l'expert, l'office AI a rendu une décision, le 3 avril 2002, par laquelle il a nié le droit de l'assuré à des prestations, motif pris que la capacité de travail de l'intéressé était de 70 % au moins dans l'activité habituelle ou dans une autre activité adaptée à son état de santé.
B. P._ a recouru devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant à l'annulation de la décision attaquée et au renvoi de la cause à l'office AI pour nouvelle décision après instruction complémentaire tant sur le plan somatique que psychique. A l'appui de son recours, il a produit une lettre du docteur J._, du 29 avril 2002, selon lequel sa capacité de travail résiduelle était de moins de 40 %. Ont également été versés au dossier des rapports des docteurs C._ et B._, médecins à la Clinique D._ (du 29 mai 2002) et G._ et A._, médecins au Centre de consultation psychiatrique et psychothérapique X._ (du 5 juin 2002). En cours de procédure, l'assuré a modifié ses conclusions en ce sens qu'il a demandé l'octroi, dès le 19 mai 1999, d'une demi-rente d'invalidité, subsidiairement d'un quart de rente.
Par jugement du 7 mai 2003, la juridiction cantonale a annulé la décision entreprise et renvoyé la cause à l'office AI pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision. Elle a considéré, en résumé, qu'il existait une divergence quant au caractère invalidant du trouble somatoforme douloureux, entre le rapport du docteur S._ (du 20 septembre 2001) et celui des médecins de D._ (des 29 décembre 1999 et 29 mai 2002). Aussi, était-il indispensable de confier une nouvelle expertise à la Clinique R._.
Par jugement du 7 mai 2003, la juridiction cantonale a annulé la décision entreprise et renvoyé la cause à l'office AI pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision. Elle a considéré, en résumé, qu'il existait une divergence quant au caractère invalidant du trouble somatoforme douloureux, entre le rapport du docteur S._ (du 20 septembre 2001) et celui des médecins de D._ (des 29 décembre 1999 et 29 mai 2002). Aussi, était-il indispensable de confier une nouvelle expertise à la Clinique R._.
C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision du 3 avril 2002.
L'intimé conclut au rejet du recours, sous suite de dépens. En outre, il requiert le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit de l'assuré à une rente d'invalidité, de sorte que le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral des assurances n'est pas limité à la violation du droit fédéral - y compris l'excès ou l'abus du pouvoir d'appréciation - mais s'étend à l'opportunité de la décision attaquée. Le tribunal n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction cantonale et peut s'écarter des conclusions des parties à l'avantage ou au détriment de celles-ci (art. 132 OJ).
1. Le litige porte sur le droit de l'assuré à une rente d'invalidité, de sorte que le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral des assurances n'est pas limité à la violation du droit fédéral - y compris l'excès ou l'abus du pouvoir d'appréciation - mais s'étend à l'opportunité de la décision attaquée. Le tribunal n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction cantonale et peut s'écarter des conclusions des parties à l'avantage ou au détriment de celles-ci (art. 132 OJ).
2. 2.1 D'après la jurisprudence, la législation applicable en cas de changement de règles de droit reste celle qui était en vigueur lors de la réalisation de l'état de fait qui doit être apprécié juridiquement ou qui a des conséquences juridiques (<ref-ruling> consid. 1, 126 V 166 consid. 4b), les faits sur lesquels le Tribunal fédéral des assurances peut être amené à se prononcer dans le cadre d'une procédure de recours de droit administratif étant par ailleurs ceux qui se sont produits jusqu'au moment de la décision administrative litigieuse (<ref-ruling> consid. 1b).
2.2 La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA), du 6 octobre 2000, est entrée en vigueur le 1er janvier 2003 et a entraîné la modification de nombreuses dispositions dans le domaine de l'assurance-invalidité. Compte tenu de la date de la décision administrative litigieuse, ces modifications ne sont pas applicables en l'espèce. De même, la modification du 21 mars 2003 de la loi fédérale sur l'assurance-invalidité (4ème révision de l'assurance-invalidité), entrée en vigueur le 1er janvier 2004, n'est pas applicable dans le cadre de la présente procédure. Les dispositions citées ci-après le seront donc dans leur teneur en vigueur avant ces modifications législatives.
2.2 La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA), du 6 octobre 2000, est entrée en vigueur le 1er janvier 2003 et a entraîné la modification de nombreuses dispositions dans le domaine de l'assurance-invalidité. Compte tenu de la date de la décision administrative litigieuse, ces modifications ne sont pas applicables en l'espèce. De même, la modification du 21 mars 2003 de la loi fédérale sur l'assurance-invalidité (4ème révision de l'assurance-invalidité), entrée en vigueur le 1er janvier 2004, n'est pas applicable dans le cadre de la présente procédure. Les dispositions citées ci-après le seront donc dans leur teneur en vigueur avant ces modifications législatives.
3. 3.1 Le jugement entrepris expose les dispositions légales et la jurisprudence pertinentes, relatives à la notion d'invalidité et à l'échelonnement des rentes selon le taux d'invalidité, ainsi qu'à la valeur probante d'un rapport médical. Il suffit donc d'y renvoyer.
3.2 Il convient d'ajouter que selon la jurisprudence, des troubles somatoformes douloureux peuvent, dans certaines circonstances, conduire à une incapacité de travail (<ref-ruling> consid. 2c/cc; RAMA 1996 no U 256 p. 217 ss consid. 5 et 6). De tels troubles entrent dans la catégorie des affections psychiques, pour lesquelles une expertise psychiatrique est en principe nécessaire quand il s'agit de se prononcer sur l'incapacité de travail qu'ils sont susceptibles d'entraîner (VSI 2000 p. 160 consid. 4b; arrêt N. du 12 mars 2004, destiné à la publication, I 683/03, consid. 2.2.2 et les arrêts cités). Compte tenu des difficultés, en matière de preuve, à établir l'existence de douleurs, les simples plaintes subjectives de l'assuré ne suffisent pas pour justifier une invalidité (entière ou partielle). Dans le cadre de l'examen du droit aux prestations de l'assurance sociale, l'allégation des douleurs doit être confirmée par des observations médicales concluantes, à défaut de quoi une appréciation de ce droit aux prestations ne peut être assurée de manière conforme à l'égalité de traitement des assurés (arrêt N. précité, consid. 2.2.2) et être reportée à un diagnostic posé dans le cadre d'une classification reconnue (arrêt B. du 18 mai 2004, I 457/02, consid. 6.3).
3.3 Un rapport d'expertise attestant la présence d'une atteinte psychique ayant valeur de maladie - tels des troubles somatoformes douloureux - est une condition juridique nécessaire, mais ne constitue pas encore une base suffisante pour que l'on puisse admettre une limitation de la capacité de travail susceptible d'entraîner une invalidité (arrêt N. précité, consid. 2.2.3; Ulrich Meyer-Blaser, Der Rechtsbegriff der Arbeitsunfähigkeit und seine Bedeutung in der Sozialversicherung, namentlich für den Einkommensvergleich in der Invaliditätsbemessung, in : René Schauffhauser/Franz Schlauri (éd.), Schmerz und Arbeitsunfähigkeit, St-Gall 2003, p. 64 s., et note 93). En effet, selon la jurisprudence, les troubles somatoformes douloureux persistants n'entraînent pas, en règle générale, une limitation de longue durée de la capacité de travail pouvant conduire à une invalidité au sens de l'<ref-law> (voir sur ce point Meyer-Blaser, op. cit., p. 76 ss, spéc. p. 81 s.). Une exception à ce principe est admise dans les seuls cas où, selon l'estimation du médecin, les troubles somatoformes douloureux se manifestent avec une telle sévérité que, d'un point de vue objectif, la mise en valeur de sa capacité de travail ne peut, pratiquement plus, - sous réserve des cas de simulation ou d'exagération (SVR 2003 IV no 1 p. 2 consid. 3b/bb; voir aussi Meyer-Blaser, op. cit. p. 83, spéc. 87 s.) - raisonnablement être exigée de l'assuré, ou qu'elle serait même insupportable pour la société (<ref-ruling>; VSI 2001 p. 224 s. consid. 2b et les références; arrêt N. précité, consid. 2.2.3 et les arrêts cités; voir également <ref-ruling> consid. 4c in fine).
Admissible seulement dans des cas exceptionnels, le caractère non exigible d'un effort de volonté en vue de surmonter la douleur et de la réintégration dans un processus de travail suppose, dans chaque cas, soit la présence manifeste d'une comorbidité psychiatrique d'une acuité et d'une durée importantes, soit le cumul d'autres critères présentant une certaine intensité et constance. Ce sera le cas (1) des affections corporelles chroniques distinctes ou d'un autre processus maladif s'étendant sur plusieurs années sans rémission durable, (2) d'une perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie, (3) d'un état psychique cristallisé, sans évolution possible au plan thérapeutique, marquant simultanément l'échec et la libération du processus de résolution du conflit psychique (profit primaire tiré de la maladie), ou enfin (4) de l'échec de traitements ambulatoires ou stationnaires conformes aux règles de l'art et de mesures de réhabilitation, cela en dépit de la motivation et des efforts de la personne assurée pour surmonter les effets des troubles somatoformes douloureux (VSI 2000 p. 155 consid. 2c; arrêt N. précité, consid. 2.2.3 in fine; Meyer-Blaser, op. cit. p. 76 ss, spéc. 80 ss).
3.4 Les prises de position médicales sur la santé psychique et sur les ressources dont dispose l'assuré constituent une base indispensable pour trancher la question (juridique) de savoir si et dans quelle mesure on peut exiger de celui-ci qu'il mette en oeuvre toute sa volonté pour surmonter ses douleurs et réintégrer le monde du travail. Dans le cadre de la libre appréciation dont ils disposent (<ref-law> en liaison avec l'<ref-law>; art. 95 al. 2 en liaison avec les art. 113 et 132 OJ; VSI 2001 p. 108 consid. 3a), l'administration et le juge (en cas de litige) ne sauraient ni ignorer les constatations de fait des médecins, ni faire leurs les estimations et conclusions médicales relatives à la capacité (résiduelle) de travail, sans procéder à un examen préalable de leur pertinence du point de vue du droit des assurances sociales. Cela s'impose en particulier lorsque l'expert atteste une limitation de la capacité de travail fondée uniquement sur le diagnostic de troubles somatoformes douloureux. Dans un tel cas, il appartient aux autorités administratives et judiciaires d'examiner avec tout le soin nécessaire si l'estimation médicale de l'incapacité de travail prend en considération également des éléments étrangers à l'invalidité (en particulier des facteurs psychosociaux et socio-culturels) qui ne sont pas pertinents du point de vue des assurances sociales ( <ref-ruling> consid. 5a; VSI 2000 p. 149 consid. 3), ou si la limitation (partielle ou totale) de la capacité de travail est justifiée par les critères juridiques déterminants, énumérés aux consid. 3.2 et 3.3 ci-dessus (cf. arrêt N. précité consid. 2.2.5).
3.4 Les prises de position médicales sur la santé psychique et sur les ressources dont dispose l'assuré constituent une base indispensable pour trancher la question (juridique) de savoir si et dans quelle mesure on peut exiger de celui-ci qu'il mette en oeuvre toute sa volonté pour surmonter ses douleurs et réintégrer le monde du travail. Dans le cadre de la libre appréciation dont ils disposent (<ref-law> en liaison avec l'<ref-law>; art. 95 al. 2 en liaison avec les art. 113 et 132 OJ; VSI 2001 p. 108 consid. 3a), l'administration et le juge (en cas de litige) ne sauraient ni ignorer les constatations de fait des médecins, ni faire leurs les estimations et conclusions médicales relatives à la capacité (résiduelle) de travail, sans procéder à un examen préalable de leur pertinence du point de vue du droit des assurances sociales. Cela s'impose en particulier lorsque l'expert atteste une limitation de la capacité de travail fondée uniquement sur le diagnostic de troubles somatoformes douloureux. Dans un tel cas, il appartient aux autorités administratives et judiciaires d'examiner avec tout le soin nécessaire si l'estimation médicale de l'incapacité de travail prend en considération également des éléments étrangers à l'invalidité (en particulier des facteurs psychosociaux et socio-culturels) qui ne sont pas pertinents du point de vue des assurances sociales ( <ref-ruling> consid. 5a; VSI 2000 p. 149 consid. 3), ou si la limitation (partielle ou totale) de la capacité de travail est justifiée par les critères juridiques déterminants, énumérés aux consid. 3.2 et 3.3 ci-dessus (cf. arrêt N. précité consid. 2.2.5).
4. 4.1 En l'occurrence, la juridiction cantonale a nié l'existence de troubles d'ordre somatique à caractère invalidant. En effet, après avoir constaté la présence d'un syndrome d'apnée du sommeil et d'une toux chronique, le tribunal cantonal a constaté une nette amélioration des symptômes, sur le vu de l'appréciation du docteur J._, laquelle avait pleine valeur probante, en l'absence d'autres avis médicaux sur la question.
Sur le plan psychique, la juridiction cantonale a considéré qu'il existait une divergence quant au caractère invalidant du trouble somatoforme douloureux, entre l'avis du docteur S._ (rapport du 20 septembre 2001) et celui des médecins de D._ (rapports des 29 décembre 1999 et 29 mai 2002). Tandis que ces derniers ont fait état d'un trouble somatoforme douloureux persistant, compliqué d'un état dépressif moyen, le docteur S._ a attesté l'existence d'un trouble douloureux avec une sursimulation. Dans la mesure où les deux rapports en cause avaient pleine valeur probante au sens de la jurisprudence, il n'était pas possible de trancher entre ces avis divergents. Aussi, l'office AI était-il invité à confier une expertise à la Clinique R._ aux fins de se prononcer sur la capacité de travail exigible en fonction du diagnostic retenu.
De son côté, l'office recourant fait valoir qu'il n'existe pas de divergence entre le rapport du docteur S._ et ceux de D._, lesquels, au demeurant, n'ont pas la même valeur probante qu'une expertise mise en oeuvre par l'administration.
De son côté, l'office recourant fait valoir qu'il n'existe pas de divergence entre le rapport du docteur S._ et ceux de D._, lesquels, au demeurant, n'ont pas la même valeur probante qu'une expertise mise en oeuvre par l'administration.
4.2 4.2.1 Dans son rapport du 20 septembre 2001, le docteur S._ a suspecté la présence, à côté du trouble douloureux, d'une dysthymie ou d'un trouble thymique induit par l'alcool. En particulier, il a attesté que les tests psychométriques n'indiquaient pas la présence d'une dépression significative sur le vu de l'hétéro-évaluation, alors que l'auto-évaluation révélait une dépression sévère. De son côté, le docteur T._, chef de la Clinique D._, a attesté l'existence d'un épisode dépressif moyen nécessitant un traitement médicamenteux (rapport du 29 décembre 1999). Le diagnostic de trouble dépressif récurrent a été confirmé par les docteurs C._ et B._, médecins à la Clinique D._, dans un rapport du 29 mai 2002.
4.2.2 La différence de diagnostic posé par le docteur S._, d'une part, et le docteur T._, d'autre part, n'est toutefois pas déterminante pour l'issue du présent litige. En effet, même si l'on se fonde sur le diagnostic du docteur T._, force est de considérer que l'intimé souffre d'un épisode dépressif moyen, de sorte que la présence manifeste d'une comorbidité psychiatrique d'une acuité et d'une durée importantes, au sens de la jurisprudence, doit être niée.
Par ailleurs, le cumul d'autres critères présentant une certaine intensité et constance n'apparaît pas réalisé en l'espèce. En effet, même si l'intimé vit quelque peu dans une situation de retrait, on ne saurait conclure à l'existence d'une perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie, du moment que l'intéressé rencontre régulièrement des amis et cultive des contacts cordiaux avec la famille de son épouse. En outre, les médecins dont les avis ont été versés au dossier ne font état d'aucune autre affection corporelle chronique distincte. L'existence d'un état psychique cristallisé marquant simultanément l'échec et la libération du processus de résolution du conflit psychique ne saurait non plus être admise, puisque, selon les médecins consultés, il existe une relation entre le refus de la rente notifié le 3 avril 2002 et la recrudescence des troubles constatés (cf. le rapport des docteurs C._ et B._, du 29 mai 2002). Enfin, dans la mesure où les médecins font état de non observance au traitement (cf. les rapports des docteur S._, du 20 septembre 2001, et C._ et B._, du 29 mai 2002), on ne saurait admettre l'existence d'un échec des traitements pratiqués conformément aux règles de l'art, en dépit de la motivation et des efforts de la personne assurée pour surmonter les effets des troubles somatoformes douloureux.
Cela étant, les troubles présentés n'entraînent pas une limitation de la capacité de travail pouvant conduire à une invalidité au sens de l'<ref-law> et l'office recourant était fondé à nier le droit de l'intimé à des prestations par sa décision du 3 avril 2002. Le recours se révèle ainsi bien fondé.
Cela étant, les troubles présentés n'entraînent pas une limitation de la capacité de travail pouvant conduire à une invalidité au sens de l'<ref-law> et l'office recourant était fondé à nier le droit de l'intimé à des prestations par sa décision du 3 avril 2002. Le recours se révèle ainsi bien fondé.
5. Le litige concernant l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, la procédure est en principe gratuite (art. 134 OJ), de sorte que la demande d'assistance judiciaire est sans objet, dans la mesure où elle vise à la dispense des frais de justice. En revanche, les conditions auxquelles l'art. 152 al. 1 et 2 OJ subordonne la désignation d'un avocat d'office sont remplies dans le cas présent. L'attention de l'intimé est cependant attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il devient ultérieurement en mesure de le faire (art. 152 al. 3 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 7 mai 2003 est annulé.
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 7 mai 2003 est annulé.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. L'assistance judiciaire est accordée. Les honoraires (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) de Me Laurent Maire sont fixés à 2'500 fr. pour la procédure fédérale et seront supportés par la caisse du Tribunal.
3. L'assistance judiciaire est accordée. Les honoraires (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) de Me Laurent Maire sont fixés à 2'500 fr. pour la procédure fédérale et seront supportés par la caisse du Tribunal.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 novembre 2004
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
La Présidente de la IIIe Chambre: Le Greffier: