Faits:
A.
La société genevoise V._ SA, fondée en septembre 2003, devait statutairement se consacrer à des prises de participation et des opérations commerciales, industrielles et financières, principalement à l'étranger. En octobre 2003, elle a ouvert une relation de comptes courants auprès de la banque W._ SA; la correspondance y relative devait être adressée au siège de la société. Le 3 décembre 2003, l'administrateur unique de V._ a octroyé à l'actionnaire unique A._, citoyen français, un pouvoir de signature individuel dans la relation bancaire; le prénommé était notamment autorisé à retirer des valeurs, effectuer des prélèvements, se faire remettre la correspondance et les extraits de compte topiques.
Le 5 octobre 2004, les statuts de V._ ont été modifiés. X._ est devenu le nouvel administrateur unique avec signature individuelle. Un nouveau but social a été attribué, consistant dans la création, l'achat, la vente et l'exploitation de cafés-restaurants.
Le 28 octobre 2004, la société française Z._, d'une part, et V._, représentée par A._, d'autre part, ont signé une convention aux termes de laquelle la première mettait à disposition de la seconde une somme de 2'000'000 euros, remboursable dans les trois ans, pour permettre la recherche de sites d'exploitation hydroélectrique en Suisse. Le jour suivant, Z._ a versé 1'400'000 euros sur l'un des comptes de V._ auprès de la banque précitée, en complément de 600'000 euros déjà versés le 30 septembre 2004.
Le 1er novembre 2004, le nouvel administrateur de V._ s'est rendu à la banque et lui a remis des documents par lesquels il confirmait le pouvoir de signature conféré à A._ sur les comptes de la société et désignait le prénommé comme l'ayant droit économique des fonds déposés auprès de la banque. De nombreux retraits ont été opérés les mois suivants; le solde d'un des comptes a passé de 1'400'000 euros le 29 octobre 2004 à 3'647 euros le 31 mars 2005.
Le 7 avril 2005, les avoirs de V._ ont été saisis dans le cadre d'une enquête pénale ouverte notamment contre A._. Ce dernier a été ultérieurement condamné à six ans de réclusion pour abus de confiance aggravé.
La faillite de V._ a été prononcée le 22 mai 2006. Z._ a vu sa créance de 2'000'000 euros admise et colloquée en 3 ème classe pour un montant de 3'109'920 francs suisses. L'office des faillites a répertorié trois créances de V._ à l'inventaire, à savoir des prétentions en responsabilité contre l'administrateur X._ et le réviseur U._ SA, en leur qualité d'organes, ainsi qu'une prétention en responsabilité contractuelle contre la banque; ces prétentions ont fait l'objet d'une cession des droits de la masse en faveur de Z._.
B.
B.a. Le 22 décembre 2010, Z._ a intenté une action à Genève visant à faire condamner solidairement l'administrateur, l'organe de révision et la banque au paiement de 3'109'920 fr. plus intérêts à 5% dès le 22 mai 2006, à titre de dommages-intérêts pour violation de leurs obligations à l'égard de V._. Les défendeurs ont conclu au rejet. Par jugement du 20 juin 2012, le Tribunal de première instance (14 ème Chambre) a débouté Z._ de toutes ses conclusions.
B.b. Z._ a déféré cette décision à la Chambre civile de la Cour de justice, qui a partiellement admis l'appel par arrêt du 25 janvier 2013. D'une part, la Cour a nié tout manquement de la banque et de l'organe de révision, ce qui l'a conduite à confirmer le rejet de l'action intentée contre ces deux sociétés. D'autre part, elle a retenu une responsabilité de l'administrateur, annulé le jugement attaqué en tant qu'il rejetait l'action dirigée contre cette personne et renvoyé la cause en première instance pour instruction complémentaire.
La Cour de justice a fait les considérations suivantes: X._, en tant que membre unique du conseil d'administration de V._, avait fautivement manqué à son obligation de diligence et à son devoir de surveillance. Dès lors qu'il avait octroyé une procuration à l'actionnaire unique et ayant droit économique A._, il lui incombait de surveiller l'activité du prénommé sur les comptes bancaires de la société. Or, jusqu'à l'arrestation de A._, l'administrateur n'avait exercé aucune activité pour la société, ne s'était jamais rendu dans les locaux de celle-ci, n'avait pas pris connaissance de la correspondance et des relevés bancaires adressés au siège de la société, attendant de recevoir les comptes de la fiduciaire qui ne lui avaient jamais été transmis, sans qu'il n'émette aucune réaction. Il importait peu que l'actionnaire ait prétendu être l'ayant droit économique des valeurs déposées sur les comptes bancaires; s'il avait prêté à ces comptes l'attention commandée par les circonstances, l'administrateur aurait pu constater que les fonds provenaient d'un compte au nom de la société Z._, et non de A._. Il aurait alors pu et dû tenter de se renseigner directement auprès de la société en question, qui lui aurait communiqué les termes de la convention de prêt. Il aurait alors dû révoquer sans délai la procuration. L'administrateur n'ayant accédé à son poste qu'en octobre 2004, il aurait pu et dû intervenir au plus tard à la fin du mois de décembre 2004 ou au début du mois de janvier 2005, lorsque les relevés de comptes mensuels puis annuels avaient été adressés à la société.
C.
C.a. Z._ a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile dans lequel elle conteste le rejet de sa demande dirigée contre la banque (dossier 4A_122/2013). Cette procédure est pendante.
C.b. X._ (ci-après: le recourant) a également interjeté un recours en matière civile contre l'arrêt de la Cour de justice. Il conclut au rejet de l'action intentée à son encontre par Z._. Cette dernière (ci-après: l'intimée) conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. Le recourant a encore déposé des observations. Par ordonnance du 8 juillet 2013, la Présidente de la cour de céans a accordé l'effet suspensif.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. L'intimée plaide que l'arrêt attaqué représenterait pour le recourant une décision incidente non susceptible de recours immédiat. Le recourant, après avoir qualifié la décision de "finale", parle dans ses dernières observations d'une décision partielle quant au principe de sa responsabilité; à titre subsidiaire, il soutient que la décision lui causerait un préjudice irréparable dès lors qu'elle ne pourrait plus être contestée ultérieurement, respectivement que l'admission du recours permettrait d'éviter une procédure qui, aux dires mêmes de l'autorité d'appel, serait longue, fastidieuse et particulièrement coûteuse.
1.2. L'autorité d'appel a admis que le recourant avait violé ses obligations de diligence; elle a renvoyé la cause à l'autorité de première instance pour complément d'instruction sur le dommage qui en serait résulté. Il ne s'agit pas d'une décision partielle, à savoir une décision statuant sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause, ou une décision mettant fin à la procédure à l'égard d'une partie des consorts (cf. <ref-law>). L'arrêt attaqué est une décision incidente sur une question préjudicielle de droit matériel (cf. <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.3.2). Une telle décision peut faire l'objet d'un recours immédiat dans deux cas de figure uniquement (<ref-law>).
1.3. Le recours immédiat est tout d'abord ouvert si la décision incidente peut causer un préjudice irréparable (<ref-law>). L'on entend par là un inconvénient de nature juridique, qu'une décision finale même favorable au recourant ne ferait pas disparaître entièrement. En revanche, un dommage de pur fait, tel que la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme un dommage irréparable. Il appartient au recourant d'alléguer et d'établir la possibilité que la décision préjudicielle ou incidente lui cause un dommage irréparable, à moins que celui-ci s'impose d'emblée (<ref-ruling> consid. 2.3.1).
En l'espèce, on ne discerne pas d'emblée un tel préjudice irréparable, et le recourant n'en relève aucun. Contrairement à ce qu'il allègue, la décision incidente litigieuse pourrait être attaquée dans le cadre d'un recours contre la décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2).
1.4. Le recours immédiat est en outre recevable si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale permettant d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>). La loi pose deux exigences: le Tribunal fédéral, en jugeant différemment de l'autorité précédente, doit pouvoir mettre fin une fois pour toutes à la procédure. En outre, la décision finale doit permettre d'éviter une procédure probatoire qui, par sa durée et son coût, s'écarte notablement des procès habituels. Si l'administration des preuves doit se limiter à entendre les parties, à leur permettre de produire des pièces et à procéder à l'interrogatoire de quelques témoins, un recours immédiat n'est pas justifié; il en va différemment s'il faut envisager une expertise complexe ou plusieurs expertises, l'audition de très nombreux témoins ou l'envoi de commissions rogatoires dans des pays lointains. Il appartient au recourant d'établir, si cela n'est pas manifeste, qu'une décision finale immédiate permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-ruling> consid. 2.4).
En l'espèce, l'admission du recours permettrait de mettre fin au procès. Le recourant soutient, au stade de la réplique, qu'une procédure probatoire longue et coûteuse pourrait être évitée, sans explications détaillées; il se limite à renvoyer à une remarque faite par l'autorité d'appel. Celle-ci relève "l'importance de la problématique restant à élucider" pour déterminer notamment le montant total du préjudice causé à la société V._ par les activités délictuelles de A._, activités dont le recourant aurait pu et dû prévenir la réalisation. A la lecture de l'arrêt attaqué, il faut effectivement constater que l'établissement du dommage causé par les négligences reprochées au recourant pourrait se révéler délicat et nécessiter une instruction importante. On peut dès lors admettre la recevabilité du présent recours.
2.
Le recourant se plaint d'une violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire lors de l'établissement des faits.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>); en tant que cour suprême, il est instance de révision du droit et non pas juge du fait. Il peut certes rectifier ou compléter les faits s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, notamment en violation de l'interdiction de l'arbitraire, ce pour autant que la correction soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 et art. 105 al. 2 LTF). Néanmoins, l'exception prévue par ces dispositions ne permet pas aux parties de rediscuter les faits de la cause comme si elles plaidaient devant un juge d'appel. S'il entend faire rectifier ou compléter l'état de fait, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions pour ce faire seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 6.2); dans la mesure où le grief a trait au caractère arbitraire de l'établissement des faits, les exigences de motivation sont celles, plus strictes, de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.4.3).
L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution que celle retenue par l'autorité cantonale paraisse concevable, voire même préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 6.1; <ref-ruling> consid. 4.3). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que si le juge a manifestement méconnu le sens et la portée d'un moyen de preuve, si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables, ou encore s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 2.1).
2.2. Le recourant se plaint tout d'abord de ce que l'autorité d'appel, en se fondant sur le même état de fait que le juge de première instance, et sans entendre elle-même le moindre témoin, est arrivée à une conclusion diamétralement opposée au sujet de la violation fautive des devoirs de diligence. Il juge ce résultat choquant.
Le recourant ne soulève pas une question de fait. Sa critique se rapporte en réalité à l'application des art. 717 et 754 CO définissant le devoir de diligence de l'administrateur et la responsabilité civile en cas de violation de ce devoir; elle sera examinée ultérieurement. A ce stade, il suffit de rappeler que le juge d'appel, en vertu du droit de procédure fédéral, applique librement le droit et n'est en aucune manière lié à l'opinion du juge de première instance.
2.3. Le recourant reproche ensuite à l'autorité d'appel d'avoir passé sous silence le contrat de mandat le liant à A._, en vertu duquel celui-ci s'était engagé à le renseigner régulièrement et complètement sur toutes les affaires de la société. Le recourant ne prétend pas avoir régulièrement allégué ce fait et produit en instance cantonale le document topique, qui figurerait dans le dossier pénal; il n'indique pas où le trouver dans le volumineux dossier de la présente cause. Il n'appartient pas à la cour de céans d'éplucher le dossier pour suppléer aux carences du recours (cf. sous l'OJ, <ref-ruling> consid. 2a p. 486, confirmé par ex. à l'arrêt 4A_324/2012 du 24 septembre 2012 consid. 1.4). Une copie du contrat a certes été produite en annexe du présent recours, mais cette production est tardive (<ref-law>). Cela scelle le sort du grief. Au demeurant, un engagement de A._ à renseigner le recourant ne serait pas susceptible d'influer sur la question de la violation fautive du devoir de diligence.
2.4. Le recourant fait encore grief à la cour cantonale d'avoir retenu des déclarations de l'employé de banque B._, lequel disait avoir "sans doute" évoqué avec lui l'arrivée de fonds émanant de l'intimée sur le compte bancaire de V._. Or, dans le cadre de l'enquête pénale, ce même employé aurait déclaré en 2005 ne jamais avoir eu de contacts avec le recourant.
A l'occasion de la présente procédure civile, l'employé précité a effectivement déclaré le 25 janvier 2012 qu'il avait sans doute parlé de la relation bancaire lorsqu'il avait rencontré le recourant le 1er novembre 2004; il sied de relever que le recourant et son avocat, présents lors de l'audition, n'ont pas réagi. Peu importe toutefois. L'autorité d'appel retient dans ce contexte qu'il "n'est pas certain" que le recourant ait eu connaissance des sommes importantes versées par l'intimée sur le compte de V._; elle n'a donc pas constaté que le recourant était informé. Au demeurant, on ne discerne pas en quoi le fait d'ignorer ces versements amènerait à juger différemment la violation du devoir de surveillance; il serait plutôt la preuve d'un manque de diligence. Le grief est sans pertinence.
2.5. Il en découle que l'état de fait déterminant pour l'examen du présent recours est celui retenu par l'autorité d'appel dans l'arrêt attaqué.
3.
Le recourant se plaint d'une violation de l'<ref-law>, relatif à la responsabilité du conseil d'administration.
Les membres du conseil d'administration répondent à l'égard de la société, de même qu'envers chaque actionnaire ou créancier social, du dommage qu'ils leur causent en manquant intentionnellement ou par négligence à leurs devoirs (<ref-law>); celui qui, d'une manière licite, délègue à un autre organe l'exercice d'une attribution, répond du dommage causé par ce dernier, à moins qu'il ne prouve avoir pris en matière de choix, d'instruction et de surveillance, tous les soins commandés par les circonstances (<ref-law>). La responsabilité de l'administrateur est subordonnée à la réunion des quatre conditions générales suivantes: la violation d'un devoir, une faute (intentionnelle ou par négligence), un dommage et l'existence d'un rapport de causalité (naturelle et adéquate) entre la violation du devoir et la survenance du dommage; il appartient au demandeur à l'action en responsabilité de prouver la réalisation de ces conditions cumulatives (<ref-ruling> consid. 4.2).
L'administrateur est tenu d'accomplir sa mission avec diligence (<ref-law>). La diligence due dépend des circonstances; il faut se demander quel aurait été objectivement le comportement d'un administrateur raisonnable confronté aux mêmes circonstances. En se plaçant au moment du comportement ou de l'omission reprochée à l'administrateur, il faut se demander si, en fonction des renseignements dont il disposait ou pouvait disposer, son attitude paraît raisonnablement défendable (<ref-ruling> consid. 3.2; cf. notamment PETER BÖCKLI, Schweizer Aktienrecht, 4 e éd. 2009, § 13 n. 575 et les réf. citées; FORSTMOSER/MEIER-HAYOZ/NOBEL, Schweizerisches Aktienrecht, 1996, § 28 n. 21 s.).
L'administrateur est tenu de contrôler de manière régulière la situation économique et financière de la société (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 572). Il doit surveiller les personnes chargées de la gestion et de la représentation et se renseigner régulièrement sur la marche des affaires, afin d'assurer à l'entreprise une activité conforme à la loi, aux statuts et aux règlements. Il n'est pas habilité à se décharger d'une telle tâche (cf. <ref-law>), même en cas de délégation valable, c'est-à-dire conforme aux statuts et au règlement d'organisation (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 5b p. 411). L'obligation de surveillance subsiste même si l'administrateur a délégué le pouvoir d'agir à l'actionnaire unique et propriétaire économique de la société; en effet, l'administrateur n'est pas seulement responsable envers les actionnaires, il l'est aussi envers la société en tant qu'entité juridique autonome et envers les créanciers de la société. L'administrateur ne saurait se soustraire à ses devoirs en se prévalant du fait qu'il jouait le rôle d'un simple "homme de paille" de l'ayant droit économique; il ne peut se faire libérer de ses responsabilités légales par l'actionnaire unique (sur la primauté de l'obligation de fidélité envers la société, cf. notamment BÖCKLI, op. cit., § 13 n. 623 ss; MICHAEL LAZOPOULOS, Interessenkonflikte und Verantwortlichkeit des fiduziarischen Verwaltungsrates, 2004, p. 85).
Il ressort de l'état de fait que le recourant, dans sa fonction d'administrateur unique, est resté totalement passif et n'a en particulier pas exercé la moindre surveillance sur l'activité de l'actionnaire unique auquel il avait donné une procuration sur les comptes bancaires de la société. Quand bien même l'actionnaire se serait expressément engagé à tenir le recourant informé et aurait affirmé être l'ayant droit économique des fonds versés sur les comptes bancaires, cela ne dispensait pas le recourant d'exercer son obligation de surveillance sur lesdits comptes, comme l'a souligné la cour cantonale; au surplus, l'absence d'informations spontanées par l'actionnaire aurait dû faire réagir le recourant. Dans ces circonstances, la violation du devoir de diligence par le recourant ne prête pas à discussion.
4.
Le recourant succombe. En conséquence, il supportera les frais de la présente procédure (<ref-law>) et versera une indemnité de dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 20'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 22'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 27 août 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti