Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdegegner) liess als Bauherr resp. Eigentümer die Liegenschaft Y._strasse in Z._ bauen. An den Bauarbeiten war unter anderen die Bauunternehmung X._ AG (Beschwerdeführerin) beteiligt. Gemäss eigenen Angaben des Beschwerdegegners habe er im Januar 2012 erste Schäden an der Liegenschaft festgestellt.
B.
Diese veranlassten den Beschwerdegegner, mit Eingabe vom 5. Juli 2012 beim Bezirksgericht Zürich ein Verfahren betreffend vorsorgliche Beweisführung anhängig zu machen. Mit Verfügung vom 6. November 2012 hiess das Einzelgericht das Gesuch gut und ordnete das Gutachten an. Nach Eingang des Gutachtens vom 11. April 2011 bzw. des Ergänzungsgutachtens vom 27. Mai 2013 schrieb das Einzelgericht das Verfahren mit Verfügung vom 26. Juni 2013 ab. Die Kosten- und Entschädigungsfolgen regelte es wie folgt:
"2. Die Entscheidgebühr von Fr. 4'000.-- wird zur Hälfte dem Kläger [= Beschwerdegegner] und unter solidarischer Haftbarkeit für die andere Hälfte zu je einem Sechstel den Beklagten 1 [= Beschwerdeführerin], 2 und 4 auferlegt und aus dem vom Kläger geleisteten Vorschuss bezogen; dem Kläger wird im Umfang von Fr. 2'000.-- ein Rückgriffsrecht gegenüber den Beklagten 1, 2 und 4, unter solidarischer Haftbarkeit eingeräumt. Die Kosten für das Gutachten von Fr. 10'010.50 werden dem Kläger auferlegt. Die geleisteten Vorschüsse werden angerechnet. Vorbehalten bleibt ein Entscheid des Gerichts im ordentlichen Verfahren, der die beklagten Parteien zum Ersatz verpflichtet.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen. Vorbehalten bleibt ein abweichender Entscheid des Gerichts im ordentlichen Verfahren."
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich und beantragte die Aufhebung von Ziffer 2der Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 26. Juni 2013, soweit ihr darin Gerichtskosten auferlegt wurden. Die Ziffer 2 sei so neu zu fassen, dass die der Beschwerdeführerin auferlegten Gerichtskosten dem Kläger auferlegt werden. Ferner beantragte sie die Aufhebung von Ziffer 3 der Verfügung des Bezirksgerichts vom 26. Juni 2013, soweit ihr keine Parteientschädigung zugesprochen wurde. Ziffer 3 sei so neu zu fassen, dass der Beschwerdegegner verpflichtet werde, der Beschwerdeführerin für die anwaltliche Vertretung im erstinstanzlichen Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 7'795.45 gemäss Kostennote vom 17. Juni 2013, allenfalls eine Parteientschädigung in richterlich festgesetzter Höhe, zu bezahlen. Vorbehalten bleibe ein abweichender Entscheid im ordentlichen Verfahren.
Mit Urteil vom 6. August 2013 wies das Obergericht die Beschwerde ab.
C.
Die Beschwerdeführerin erhebt Beschwerde an das Bundesgericht und beantragt die Aufhebung des Urteils des Obergerichts vom 6. August 2013. Dieses sei wie folgt neu zu fassen:
"1. In Gutheissung der Beschwerde wird Ziffer 2 der Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 26. Juni 2013 aufgehoben, soweit darin der Beklagten 1 (Beschwerdeführerin) Gerichtskosten auferlegt wurden. Die der Beklagten 1 (Beschwerdeführerin) auferlegten Gerichtskosten werden dem Kläger (Beschwerdegegner) auferlegt.
2. Die Ziffer 3 der Verfügung des Bezirksgerichts vom 26. Juni 2013 wird aufgehoben, soweit der Beklagten 1 (Beschwerdeführerin) keine Parteientschädigung zugesprochen wurde, und wie folgt neu gefasst: Der Kläger (Beschwerdegegner) wird verpflichtet, der Beklagten 1 (Beschwerdeführerin) für die anwaltliche Vertretung im erstinstanzlichen Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 7'795.45 gemäss Kostennote vom 17. Juni 2013, allenfalls eine Parteientschädigung in richterlich festgesetzter Höhe, zu bezahlen. Vorbehalten bleibt ein abweichender Entscheid im ordentlichen Verfahren."
Ferner beantragt sie, dass die Gerichtskosten des Obergerichtsverfahrens dem Beschwerdegegner auferlegt werden und dieser verpflichtet wird, der Beschwerdeführerin für das obergerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'511.--, allenfalls eine Parteientschädigung in richterlich festgesetzter Höhe, zu bezahlen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur neuen Festsetzung der Kosten an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Die Beschwerdeführerin reichte eine Replik ein.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1).
1.1. Der angefochtene Entscheid betrifft ein Gesuch um vorsorgliche Beweisführung, auf das die Bestimmungen über die vorsorglichen Massnahmen Anwendung finden (<ref-law>). Massnahmeentscheide gelten nur dann als Endentscheide im Sinne von <ref-law>, wenn sie in einem eigenständigen Verfahren ergehen und dieses abschliessen (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen). Der angefochtene Entscheid ist in einem Gesuchsverfahren betreffend vorsorgliche Beweisführung ergangen, das von der Einleitung eines Hauptverfahrens unabhängig und damit eigenständig ist. Das Verfahren wurde in erster Instanz, nachdem das beantragte Gutachten und Ergänzungsgutachten abgenommen worden war, abgeschrieben und damit für beendet erklärt. Somit trafen die erste Instanz und demnach auch die Vorinstanz einen Endentscheid (<ref-law>).
1.2. Vor der Vorinstanz war nur die Kosten- und Entschädigungsregelung angefochten. Hat eine Beschwerde an das Bundesgericht einzig die Kosten des kantonalen Verfahrens zum Gegenstand und ging es schon im vorinstanzlichen Verfahren allein um die Kosten, bestimmt sich der Streitwert nach dem Betrag, in dem diese vor der Vorinstanz strittig waren (<ref-ruling> E. 1.2.2; Urteile 4A_691/2012 vom 17. Januar 2013 E. 1.1; 5A_261/2013 vom 19. September 2013 E. 1; 5A_396/2012 vom 5. September 2012 E. 1.2). Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen geht es um Kosten und eine Entschädigung im Umfang von zusammen ca. Fr. 8'460.--. Der von <ref-law> geforderte Mindeststreitwert für die Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen ist demnach nicht erreicht. Damit steht die - zutreffend erhobene - subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (<ref-law>).
1.3. Da es sich bei Entscheiden betreffend vorsorgliche Beweisführung um vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> handelt, kann ohnehin - auch mit Beschwerde in Zivilsachen - einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 und 117 BGG; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Macht der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; er hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; <ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 3 S. 352).
2.
Die Beschwerdeführerin macht eine willkürliche Anwendung von Art. 158 und <ref-law> geltend, weil ihr ein Teil der erstinstanzlichen Entscheidgebühr auferlegt und keine Parteientschädigung für das erstinstanzliche Verfahren zugesprochen wurde.
Die erste Instanz auferlegte die Kosten des Gutachtens der gesuchstellenden Partei, mithin dem Beschwerdegegner. Die Entscheidgebühr hingegen verteilte sie nach dem Grundsatz von Obsiegen und Unterliegen. Da sich die Beklagten 1 (Beschwerdeführerin), 2 und 4 dem Verfahren (recte: dem Gesuch) widersetzt und dessen Abweisung verlangt hätten, habe darüber ein Verfahren durchgeführt werden müssen, weshalb ihnen ein Teil der Entscheidgebühr aufzuerlegen sei.
Die Vorinstanz schützte diese Begründung. Die Auferlegung eines Teils der Entscheidgebühr sei gerechtfertigt, da die Beschwerdeführerin mit ihrem Antrag auf Abweisung des Gesuchs um vorsorgliche Beweisführung unterlegen sei. Erst durch den Antrag auf Abweisung liege ein strittiges Verfahren vor. Es sei zwar richtig, dass sich die Gegenpartei dem Verfahren nicht entziehen könne. Doch habe sie es in der Hand, dem Kostenrisiko zu entgehen, indem sie das Gesuch anerkenne und keine Zusatzfragen stelle, welche den Beweisgegenstand erweiterten. Auch die Parteientschädigungen seien vorliegend nach dem Ausgang des Verfahrens zu verteilen (<ref-law>). Da die Entscheidgebühr zu Recht hälftig aufgeteilt worden sei, sei es richtig, dass keine Parteientschädigungen zugesprochen worden seien.
3.
Zu entscheiden ist, wie im Verfahren der vorsorglichen Beweisführung nach <ref-law> die Gerichtskosten zu verteilen sind, wenn der Gesuchsgegner die Abweisung der verlangten Beweiserhebung beantragt und mit diesem Antrag unterliegt. Weiter stellt sich die Frage, ob der anwaltlich vertretene Gesuchsgegner in einem solchen Fall Anspruch auf Parteientschädigung hat. Dabei wird von der Konstellation ausgegangen, dass die vorsorgliche Beweisführung in einem separaten Verfahren vor Einleitung eines Hauptprozesses beantragt wird.
3.1. Nach <ref-law> sind auf das Verfahren der vorsorglichen Beweisführung die Bestimmungen über die vorsorglichen Massnahmen anzuwenden. In Bezug auf die Verteilung bzw. Auferlegung der Gerichts- und Parteikosten besteht keine besondere Regelung. Dies wäre aber angebracht, da im Verfahren der vorsorglichen Beweisführung nicht über materiellrechtliche Ansprüche entschieden wird und daher nicht im Sinne des grundsätzlich geltenden Unterliegerprinzips nach <ref-law> von obsiegender und unterliegender Partei gesprochen werden kann (<ref-ruling> E. 4 S. 34). Es gilt daher, gestützt auf die Ausnahmevorschrift von <ref-law> die auf die besondere Konstellation der vorsorglichen Beweisführung zugeschnittene Lösung zu finden.
3.2. Einigkeit besteht darüber, dass die gesuchstellende Partei sowohl die Gerichtskosten als auch die Beweiskosten vorzuschiessen hat (Art. 98 und Art. 102 Abs. 1 ZPO).
Das Bundesgericht hat sodann bereits entschieden, dass die gesuchstellende Partei die Kosten für die Beweisführung zu tragen hat (unter Vorbehalt der Neuverlegung in einem allfälligen Hauptprozess). Es verstosse gegen den Regelungsgedanken von <ref-law>, der Gegenpartei, die keinen Antrag auf Abweisung des Gesuchs, jedoch innerhalb des vom Gesuchsteller bestimmten Beweisthemas Ergänzungsfragen stellte, einen Teil der Gutachterkosten zu auferlegen (<ref-ruling> E. 4.6).
3.3. Zu den noch nicht entschiedenen Fragen, welcher Partei die Gerichtsgebühr bei Gutheissung eines bestrittenen Gesuchs um vorsorgliche Beweisführung aufzuerlegen ist, und ob der Gesuchsgegner Anspruch auf eine Parteientschädigung hat, sind die Meinungen in der Literatur geteilt:
Mehrheitlich wird die Ansicht vertreten, dass die Gerichtskosten der gesuchstellenden Partei aufzuerlegen sind, unabhängig davon, ob der Gesuchsgegner Abweisung des Gesuchs beantragt und damit das Vorliegen der Voraussetzungen für eine vorsorgliche Beweisführung bestritten hat. Die Kostenauflage habe dabei unter Vorbehalt einer Abwälzung zu erfolgen, wenn die gesuchstellende Partei in einem späteren Hauptprozess obsiegen sollte ( WALTER FELLMANN, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 37 zu <ref-law>; HANS SCHMID, in: Kurzkommentar zur ZPO, Oberhammer [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 5 zu <ref-law> i.V.m. N. 9 zu <ref-law>; wohl auch: PETER GUYAN, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 9a/b zu <ref-law> sowie JÜRGEN BRÖNIMANN, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 25 f. zu <ref-law>; JOHANN ZÜRCHER, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO]: Kommentar, Brunner und andere [Hrsg.], 2011, N. 20 zu <ref-law> [anders aber in der online-update-Fassung vom 20. Oktober 2013, N. 27 in fine zu <ref-law>]; für ein grosses Ermessen des Richters: DENIS TAPPY, in: Code de procédure civile commenté, Bohnet und andere [Hrsg.], 2011, N. 14 zu <ref-law>).
Ebenso wird überwiegend befürwortet, dass der Gesuchsgegner Anspruch auf eine Parteientschädigung hat, unter Vorbehalt einer Rückerstattung bei Unterliegen im Hauptprozess. Denn der Gesuchsgegner wird unter Umständen gegen seinen Willen in ein Verfahren einbezogen, dessen finanzielle Folgen für eine anwaltliche Vertretung er nicht abwenden kann ( FELLMANN, a.a.O., N. 40 zu <ref-law>; BRÖNIMANN, a.a.O., N. 26 zu <ref-law>; GUYAN, a.a.O., N. 9b zu <ref-law>; Schmid, a.a.O., N. 5 zu <ref-law> i.V.m. N. 9 zu <ref-law>).
Vereinzelt wird demgegenüber die Ansicht vertreten, die Prozesskosten seien dem Gesuchsgegner aufzuerlegen, wenn er sich dem Gesuch widersetzt habe ( MARK SCHWEIZER, Vorsorgliche Beweisabnahme nach schweizerischer Zivilprozessordnung und Patentgesetz, ZZZ 2010 3 ff., S. 27; ihm folgend ZÜRCHER, a.a.O., online-update-Fassung vom 20. Oktober 2013, N. 27 in fine zu <ref-law>).
3.4. Die Mehrheitsmeinung verdient Unterstützung.
3.4.1. Auszugehen ist vom Umstand, dass es im Verfahren der vorsorglichen Beweisführung im Normalfall keine unterliegende Partei gibt (<ref-ruling> E. 4 S. 34). In diesem Stadium der Auseinandersetzung ist keine obsiegende oder unterliegende Partei auszumachen. Die vorsorgliche Beweisaufnahme erfolgt im Hinblick auf ein eventuelles Hauptverfahren in dem erst entschieden wird, welche Partei in der Auseinandersetzung über einen behaupteten materiellen Anspruch unterliegt (vgl. BRÖNNIMANN, a.a.O., N. 26 zu <ref-law>). Entgegen der Ansicht der Vorinstanz kann der Gesuchsgegner daher nicht als unterliegende Partei im Sinne von <ref-law> betrachtet werden, wenn er die Abweisung des Gesuchs um vorsorgliche Beweisführung beantragt hat und das Gesuch entgegen diesem Antrag gutgeheissen wird. Das Unterliegerprinzip kann hier für die Kostenverteilung nicht zum Tragen kommen.
Zu beachten ist dabei auch, dass der Abweisungsantrag für die Durchführung eines Verfahrens nicht ausschlaggebend ist. Der Richter hat auch ohne einen solchen in einem ersten Schritt zu prüfen, ob die gesetzlichen Voraussetzungen für eine vorsorgliche Beweisführung nach <ref-law> erfüllt sind, d.h. im Fall, dass sich das Gesuch auf <ref-law> stützt, ob eine Gefährdung der Beweismittel oder ein schutzwürdiges Interesse im Sinn dieser Bestimmung glaubhaft gemacht ist (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 81 f.; Urteil 4A_118/2012 vom 19. Juni 2012 E. 2.1). Diese Prüfung hat - ähnlich wie diejenige über das Vorliegen von Prozessvoraussetzungen - von Amtes wegen zu erfolgen und kann im Rahmen eines selbständig zu eröffnenden Zwischenentscheids vorgenommen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 46 f.). Werden die Voraussetzungen bejaht, sind in einem zweiten Schritt die beantragten Beweise zu erheben. Mit anderen Worten hat es der Gesuchsgegner nicht in der Hand zu bewirken, dass das Verfahren um vorsorgliche Beweisführung vermieden werden kann, indem er das Gesuch "anerkennt" bzw. darauf verzichtet, dessen Abweisung zu beantragen, auch wenn sich der Richter in der ersten Verfahrensphase in aller Regel auf eine grobe Prüfung beschränken kann, falls der Gesuchsgegner das Vorliegen der gesetzlichen Voraussetzungen anerkennt. Anders als in einem Prozess um einen materiellrechtlichen Anspruch gibt es im Verfahren der vorsorglichen Beweisführung keine Klageanerkennung, die zur Abschreibung des Verfahrens führte (vgl. <ref-law>). Auch wenn sich der Gegner dem Gesuch nicht widersetzt, ist das Verfahren durchzuführen, und bei gegebenen Voraussetzungen sind die beantragten Beweise abzunehmen.
Das Vorgehen der Vorinstanz, welche die Kosten entsprechend den Anträgen zum Gesuch nach Obsiegen und Unterliegen verlegte, widerspricht den genannten Besonderheiten der vorsorglichen Beweisführung. Es verfängt zudem auch in der Konsequenz nicht: Denn wenn der Antrag des Gesuchsgegners für die Kostenverteilung ausschlaggebend sein sollte, müsste der Gesuchsgegner de lege gerade auch bei einem Antrag auf Gutheissung des Gesuchs (bzw. einer "Anerkennung" desselben) als unterliegend betrachtet und mit den Kosten belastet werden (vgl. <ref-law> in fine).
3.5. Kann die Kostenverteilung - mangels unterliegender Partei - nicht nach dem sonst geltenden Unterliegerprinzip nach <ref-law> vorgenommen werden, ist zu fragen, wessen Interessen das Verfahren der vorsorglichen Beweisführung dient, so dass es billig erscheint, diese Partei die Kosten (vorbehältlich einer anderen Verteilung im Hauptprozess) tragen zu lassen (vgl. <ref-law>).
Die vorsorgliche Beweisführung dient stets dem Interesse derjenigen Partei, die darum ersucht. Sie gibt ihr die Möglichkeit, einen gefährdeten Beweis zu sichern oder durch entsprechende Beweiserhebung ihre Prozesschancen abzuklären. Von dieser Möglichkeit kann die gesuchstellende Partei (bei gegebenen Voraussetzungen) nach eigenem Gutdünken Gebrauch machen. Die (potentielle zukünftige) Gegenpartei hingegen wird durch die vorsorgliche Beweisführung in ein Verfahren gezwungen, noch bevor ein Prozess gegen sie angestrengt ist. Da sie aber mit einem solchen zu rechnen hat, muss es ihr unbenommen sein, sich wie in einem solchen gegen die beantragte vorsorgliche Beweisführung im angezeigten Umfang zur Wehr zu setzen, ohne bereits einem Kostenrisiko ausgesetzt zu sein. Zu Recht weist die Beschwerdeführerin darauf hin, dass die Gegenpartei in einem hängigen Prozess die Abweisung eines gegnerischen Beweismittels beantragen kann, ohne sich deswegen einem separaten Kostenrisiko auszusetzen. Es sind keine sachlichen Gründe ersichtlich, weshalb dies anders sein soll, wenn eine Beweiserhebung in einem eigenständigen Verfahren vor Einleitung des Hauptprozesses beantragt wird.
Die gesuchstellende Partei hat die Möglichkeit, den Hauptprozess anzustrengen und bei Obsiegen in der Sache auch die Kosten des vorsorglichen Beweisverfahrens auf die in der Sache unterliegende Partei abzuwälzen. Verzichtet sie nach erfolgter vorsorglicher Beweiserhebung auf die Einleitung eines Hauptprozesses, um ihren behaupteten materiellen Anspruch durchzusetzen, kommt dies ihrem Unterliegen in einem solchen Prozess gleich und ist es sachgerecht, wenn ihr die Kosten der vorsorglichen Beweisaufnahme endgültig anhaften. Demgegenüber hat es der Gesuchsgegner nicht in der Hand, einen Hauptprozess einzuleiten und sich so bei Obsiegen der Kosten zu entledigen. Immerhin lässt sich erwägen, dass der Gesuchsgegner eine negative Feststellungsklage über das Nichtbestehen eines materiellen Anspruchs erheben könnte, um in einem Hauptprozess obsiegen zu können. Dieser Weg würde aber dem Ziel der vorsorglichen Beweisführung, aussichtslose (d.h. unnötige) Prozesse zu vermeiden (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 81), diametral zuwiderlaufen.
Die Vorinstanz hat diese besondere Interessenlage gänzlich unberücksichtigt gelassen und damit im Ergebnis einen willkürlichen Entscheid getroffen.
3.6. Aus den gleichen Überlegungen, namentlich, dass der Gesuchsgegner nicht als unterliegende Partei im Sinne von <ref-law> betrachtet werden kann, auch wenn er die Abweisung eines schliesslich gutgeheissenen Gesuchs um vorsorgliche Beweisführung beantragt hat, folgt, dass der Gesuchsgegner Anspruch auf Parteientschädigung für das Gesuchsverfahren hat. Er wird mitunter gegen seinen Willen in das Verfahren einbezogen und hat allenfalls an der Beweiserhebung mitzuwirken (z.B. bei einem Gutachten). Sofern er sich anwaltlich vertreten lässt, entsteht ihm dadurch Aufwand. Dieser ist ihm vom Gesuchsteller zu ersetzen, unter Vorbehalt einer Rückerstattung entsprechend dem Ausgang des Hauptprozesses, über dessen Einleitung allein der Gesuchsteller entscheidet.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen und das Urteil des Obergerichts vom 6. August 2013 aufzuheben. Der Beschwerdeführerin dürfen für das erstinstanzliche Verfahren keine Gerichtskosten auferlegt werden. Der Beschwerdegegner als die gesuchstellende Partei hat der Beschwerdeführerin zudem eine Parteientschädigung für das erstinstanzliche Verfahren zu entrichten. Da das Obergericht die Höhe der Parteientschädigung an die Beschwerdeführerin für das erstinstanzliche Verfahren noch nicht bestimmt hat, ist auf einen reformatorischen Entscheid des Bundesgerichts zu verzichten. Die Sache wird zu neuem Entscheid im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen (<ref-law>; Urteil 4A_375/2012 vom 20. November 2012 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Diese wird auch über die Verteilung der obergerichtlichen Kosten neu zu befinden haben (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdegegner im bundesgerichtlichen Verfahren kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 6. August 2013 aufgehoben. Die Sache wird zu neuem Entscheid im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Januar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer