Erwägungen:
1.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt erklärte A._ mit Urteil vom 1. September 2014 der mehrfachen ungetreuen Geschäftsbesorgung (Bereicherungsabsicht), der mehrfachen Urkundenfälschung, des mehrfachen Vergehens gegen das Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer und des mehrfachen Vergehens gegen das Gesetz über die direkten Steuern des Kantons Basel-Stadt für schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von 240 Tagessätzen zu Fr. 660.--, mit bedingtem Strafvollzug und unter Auferlegung einer Probezeit von zwei Jahren. Vom Vorwurf der mehrfachen Erschleichung einer falschen Beurkundung sprach es ihn frei. Dieses Urteil focht A._ mit Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt an. Das Berufungsverfahren ist hängig.
2.
Mit Verfügung vom 19. August 2015 gab der Präsident des Appellationsgerichts bekannt, dass er mit der Verfahrensleitung des Berufungsverfahrens betraut worden sei.
Mit Verfügung vom 21. August 2015 stellte der Präsident als Instruktionsrichter unter anderem fest, dass aufgrund der Ankündigung der Staatsanwaltschaft, die Sache anlässlich der Berufungsverhandlung persönlich zu vertreten, ein Fall der notwendigen Verteidigung vorliege (vgl. <ref-law>). Soweit A._ nicht innert angesetzter Frist eine Anwältin oder einen Anwalt mandatiere, würden die folgenden drei, namentlich aufgeführten Anwälte angefragt, ob sie die notwendige amtliche Verteidigung übernähmen.
Mit Eingabe vom 3. September 2015 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht unter anderem mit den Anträgen, die Verfügungen vom 19. und 21. August 2015 aufzuheben.
Es wurde ein Schriftenwechsel durchgeführt.
3.
Bei den Verfügungen des Präsidenten des Appellationsgerichts vom 19. und 21. August 2015 handelt es sich um Zwischenentscheide, die nur anfechtbar sind, falls sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>), oder - was hier indes von vornherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen kann und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart (<ref-law>). Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach <ref-law> erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 4; je mit Hinweisen).
4.
Der Beschwerdeführer stellte ein Ausstandsgesuch gegen den Präsidenten des Appellationsgerichts. Die vom Beschwerdeführer erhobenen Befangenheitsrügen gegen den Präsidenten sind nicht im vorliegenden Verfahren, sondern im Ausstandsverfahren zu beurteilen. Aus der Verfügung vom 19. August 2015 betreffend Einsetzung des Präsidenten als Verfahrensleiter erwächst dem Beschwerdeführer kein nicht wieder gutzumachender Nachteil (vgl. auch <ref-law>).
Auf den Inhalt der Verfügung vom 21. August 2015 nimmt der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde keinerlei Bezug und legt nicht dar, inwiefern ihm aufgrund dieser Verfügung ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> entstehen könnte. Dies ist auch nicht ersichtlich.
5.
Auf die Beschwerde gegen die Verfügungen vom 19. und 21. August 2015 ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Stohner