A.- X._ S.A. (ci-après: X._) a engagé, le 25 mars 1997, B._, né en 1962, en qualité d'agent de sécurité auxiliaire, payé à l'heure. Ancien garde-frontière, celui-ci avait été membre d'un syndicat du personnel de la Confédération. Le "Règlement d'entreprise" de X._, adopté le 1er janvier 1998, prévoit à son article 3 lettre e qu'"aucun document de X._ ou d'un de ses clients ne peut être copié, reproduit, diffusé ou sorti des locaux de la société, sans l'accord écrit de la direction".
Le 1er mai 1998, B._ a été engagé comme personnel fixe pour un salaire mensuel de 4100 fr. brut. Le 1er janvier 1999, il a été promu responsable d'un site et son salaire mensuel a été porté à 4400 fr. brut.
En juin 1999, B._ et son collègue de travail, C._, ont adhéré au Syndicat Interprofessionnel des Travailleurs et des Travailleuses (ci-après: SIT), à Genève, auprès duquel ils s'étaient plaints des conditions de travail chez X._. Lors de l'assemblée générale organisée par le SIT le 19 juillet 1999, ils ont été désignés "représentants du personnel", chargés de solliciter une rencontre avec la direction de X._ dans le but d'améliorer les conditions de travail, notamment par la conclusion d'une Convention collective de travail (CCT). Par courrier du 21 juillet 1999, le SIT a informé X._ de ces décisions.
Celle-ci n'a pas réagi à ce courrier, mais a présenté, le 23 juillet 1999, un nouveau concept de gestion intitulé CAPE (pour: Confidentialité, Attitude, Pro-activité, Efficacité), puis a fait savoir au SIT, le 12 août 1999, qu'elle ne voyait pas l'utilité d'une rencontre, dès lors qu'elle respectait la loi.
Le 2 septembre 1999, le SIT a sollicité à nouveau une rencontre avec X._, faute de quoi "il serait alors forcé de recourir à des mesures syndicales". Le 20 septembre 1999, X._ a adressé à B._ une mise en garde contre toute initiative prise sous l'influence dudit syndicat, tel un débrayage, et contre tout dommage pouvant en résulter.
Le 27 septembre 1999, le directeur de X._ s'est posté à l'entrée du lieu prévu pour la tenue d'une assemblée générale du SIT, afin de vérifier l'identité et le nombre de personnes y participant. Lors de cette observation, il était en contact téléphonique avec l'administrateur de X._. Le 29 septembre 1999, le SIT a adressé à X._ la liste des revendications de son personnel et la proposition de conclure une CCT. Le même jour, X._ a signifié à B._ son licenciement pour fin novembre 1999, tout en le libérant immédiatement de l'obligation de travailler. Cette décision était motivée par une faute professionnelle grave reprochée à B._ qui avait remis à son employeur, le 24 septembre 1999, la photocopie d'un document appartenant à un client de X._, lequel prévoyait de ne plus reconduire le contrat de surveillance avec cette société. Le 5 octobre 1999, B._ s'est opposé à son licenciement, estimant que cette mesure abusive et disproportionnée était liée à son activité syndicale. Le 7 novembre 1999, B._ a trouvé un nouvel emploi pour un salaire mensuel de 4150 fr. brut.
B.- Le 25 octobre 1999, B._ a assigné X._ en paiement de 30 403 fr. 50, à différents titres, dont 26 400 fr., à titre d'indemnité pour licenciement abusif.
Par jugement du 15 février 2000, le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève a condamné X._ à verser 11 168 fr.30 brut, plus intérêts, et lui a donné acte de ce qu'elle s'engageait à verser en outre la somme de 2880 fr.15 brut, avec intérêts.
Appelant de ce jugement, B._ a sollicité l'annulation du jugement en tant qu'il l'a débouté de ses conclusions tendant au paiement de 26 400 fr., à titre d'indemnité pour licenciement abusif. X._ a admis que la somme de 2880 fr.15 s'entendait net.
Dans son arrêt du 29 juin 2000, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève a condamné X._ au paiement de 4400 fr., avec intérêts, à titre d'indemnité pour licenciement abusif.
C.- X._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral. Invoquant la violation de l'art. 4 Cst. , elle conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de la cause à la Cour d'appel pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
L'intimé conclut à la confirmation de l'arrêt cantonal et au rejet du recours.
Dans ses observations, la Cour d'appel relève que la Constitution fédérale de 1874 a été remplacée et déclare persister, pour le surplus, dans les termes de son arrêt.

Considérant en droit :
1.- Sous réserve d'exceptions dont les conditions ne sont pas réalisées en l'espèce, le recours de droit public ne peut tendre qu'à l'annulation de la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 4a et les références). Par conséquent, la conclusion de la recourante qui tend au renvoi de la cause à la Cour d'appel pour nouvelle décision dans le sens des considérants est irrecevable. Il en va de même de la conclusion de l'intimé tendant à la confirmation de l'arrêt entrepris.
2.- a) La recourante invoque l'art. 4 aCst. , alors que l'art. 9 Cst. est entré en vigueur le 1er janvier 2000 et que la décision attaquée a été rendue le 29 juin 2000. Cela ne porte toutefois pas à conséquence en l'espèce, car le grief de l'interdiction de l'arbitraire ressort clairement du recours.
La recourante reproche, en substance, à la cour cantonale de ne pas avoir tenu compte, lors de l'admission du caractère abusif de la résiliation du contrat de travail, tel que prévu par l'art. 336 al. 2 let. a CO, de la déposition de deux témoins, soit de son chef du personnel et de son directeur.
L'arrêt cantonal aurait méconnu leurs déclarations, en n'y faisant aucune référence. Selon la recourante, le motif du licenciement de l'intimé réside exclusivement dans la faute professionnelle grave, qu'il a commise, et non dans son appartenance à un syndicat, comme retenu par la cour cantonale.
b) En matière de preuves, les autorités cantonales jouissent d'un large pouvoir d'appréciation. Le Tribunal fédéral se montre réservé et n'intervient que si lesdites autorités ont abusé du pouvoir d'appréciation qui leur est accordé, ou si elles l'ont excédé (<ref-ruling> consid. 1b p. 30 et les arrêts cités). La décision attaquée ne doit, par conséquent, être annulée que si cette appréciation se révèle arbitraire, c'est-à-dire manifestement insoutenable, en contradiction flagrante avec les pièces du dossier, fondée exclusivement sur une partie des moyens de preuve ou heurtant gravement le sentiment de l'équité. Il n'y a pas arbitraire du simple fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire même préférable. Il appartient au recourant d'établir la réalisation de ces conditions en tentant de démontrer, par une argumentation précise, que la décision incriminée est insoutenable (art. 90 al. 1 let. b OJ; <ref-ruling> consid. 3a p. 373 et les arrêts cités).
3.- a) Dans l'arrêt attaqué, la cour cantonale relève notamment que lorsque l'origine du congé repose sur différents motifs, dont certains sont abusifs et d'autres licites, le juge doit rechercher et retenir la cause qui, très vraisemblablement, était la cause prépondérante et décisive (arrêt du 11 novembre 1993, dans la cause 4C.87/1993, partiellement reproduit in: SJ 1995 798, consid. 2c). En cas de pluralité de motifs, dont l'un au moins s'avère abusif, il incombe à l'employeur de démontrer qu'il aurait licencié le travailleur même en l'absence du motif abusif (Staehelin, Zürcher Kommentar, n. 38 ad art. 336 CO; Streiff/Von Kaenel, Leitfaden zum Arbeitsvertragsrecht, 5e éd., n. 20 ad art. 336 CO).
b) Pour déterminer le motif prépondérant et décisif du licenciement, la cour cantonale se base sur trois indices que la recourante critique successivement.
aa) Il s'agit tout d'abord du témoignage C._, duquel il ressort que l'administrateur de la recourante aurait déclaré que le fait de se syndiquer salissait la profession. La cour cantonale considère cette déposition, faite alors que le témoin était encore employé par la recourante et qu'il risquait ainsi de perdre son emploi, comme crédible. Pour la recourante, cette déclaration n'est qu'une réaction de vengeance aux lettres d'avertissement qu'elle avait adressées au témoin à cette époque. Elle estime encore que même dans l'hypothèse où lesdits propos auraient été tenus, cela ne suffirait pas à prouver que l'activité syndicale de l'intimé constituait le motif de la résiliation. Ce faisant, la recourante ne fait qu'opposer sa thèse à celle de la cour cantonale, perdant de vue que ledit témoignage ne constitue précisément pas à lui seul la preuve du motif décisif du licenciement de l'intimé, mais uniquement un indice parmi d'autres. Par ailleurs, la recourante relève que l'arrêt attaqué mentionne dans sa partie "EN FAIT" les déclarations de son chef du personnel et de son directeur, selon lesquelles l'employeur ne ferait aucune différence entre les employés syndiqués et ceux qui ne le sont pas. Par conséquent, la recourante ne saurait reprocher à la cour cantonale de ne pas avoir tenu compte desdites déclarations, du fait qu'elles ne figurent pas dans les considérants de l'arrêt attaqué. En effet, les juges précédents étaient libres d'écarter ces preuves, par appréciation anticipée, sans que leur décision puisse être qualifiée d'arbitraire à cet égard.
bb) Le deuxième élément retenu par la cour cantonale a trait au fait que la même faute professionnelle, commise à la fin de l'année 1998 par un employé non syndiqué, n'avait entraîné qu'un simple avertissement et non un licenciement.
Pour les juges précédents, cette inégalité de traitement dénote la présence d'un biais antisyndical dans l'esprit de l'employeur. De l'avis de la recourante, le principe de confidentialité ne revêtait pas encore, lorsque l'employé non syndiqué l'a enfreint en 1998, l'importance qui lui a été donnée par le concept CAPE, en juillet 1999. Il convient toutefois de relever, que l'employeur avait auparavant déjà, soit le 1er janvier 1998, adopté un règlement d'entreprise, prévoyant expressément, à son article 3 lettre e, qu'"aucun document de X._ ou d'un de ses clients ne peut être copié, reproduit, diffusé ou sorti des locaux de la société, sans l'accord écrit de la direction". De surcroît, il n'est pas interdit de penser, au vu des circonstances de l'époque, que le concept CAPE n'a été présenté par la recourante qu'en réaction à son interpellation par le syndicat et par ses représentants, dont l'intimé faisait partie. Aussi est-il difficile d'imaginer que ledit principe de la confidentialité, dont la recourante admet qu'il revêt une importance capitale dans la branche concernée, n'avait pas, dans le récent règlement d'entreprise le prévoyant expressément, la même portée que dans le concept CAPE, lequel aurait été plus strict à cet égard. Au demeurant, les photocopies effectuées au mépris dudit principe l'ont été, dans les deux cas, dans l'intérêt de l'employeur, ce dont l'arrêt attaqué tient également compte.
Sur ce point, l'appréciation de la cour cantonale ne saurait par conséquent être considérée comme arbitraire.
cc) La cour cantonale relève enfin qu'il n'a pas été allégué ni prouvé que l'intimé aurait déployé une activité syndicale non conforme au droit, l'organisation d'une grève étant licite. La recourante estime que ce troisième "indice" n'en est pas un. Elle affirme ne jamais avoir soutenu que l'intimé aurait exercé une activité syndicale non conforme au droit. A ses yeux, une activité syndicale licite serait de nature à influencer positivement un employeur et celle de l'intimé n'aurait pas entraîné la résiliation de son contrat de travail. La cour cantonale se réfère à la mise en garde, adressée par la recourante à l'intimé le 20 septembre 1999, contre toute initiative prise sous l'influence du SIT, tel un débrayage. La cour cantonale confirme ainsi implicitement que la recourante "s'est montrée rétive à l'intrusion du phénomène syndical" dans son entreprise. Ajouté aux deux autres indices discutés, ce troisième élément permet aux juges précédents de conclure que l'activité syndicale constitue le motif prépondérant et décisif de la résiliation du contrat de travail de l'intimé. Pour autant qu'elle puisse être considérée comme suffisante, au regard des exigences posées par l'art. 90 al. 1 let. b OJ, l'argumentation de la recourante, qui se recoupe partiellement avec ses affirmations précédentes, n'est pas propre à démontrer l'arbitraire de l'arrêt entrepris au sujet du troisième indice retenu.
4.- En définitive, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. La procédure n'est pas gratuite, puisque la valeur litigieuse, déterminée selon la prétention du demandeur au moment de l'ouverture de l'action (<ref-ruling> consid. 5b), dépasse 20 000 fr. (art. 343 al. 2 et 3 CO a contrario). Des dépens sont en principe dus par la partie qui succombe (art. 159 al. 1 OJ). Toutefois, l'intimé n'a pas recouru au service d'un avocat et ne paraît pas avoir assumé des frais; en conséquence, il n'y a pas lieu de lui allouer des dépens (art. 159 al. 3 OJ).

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours dans la mesure où il est recevable;
2. Met un émolument judiciaire de 2000 fr. à la charge de la recourante;
3. Communique le présent arrêt en copie aux parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève (Cause n° C/26078/99-5).
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Lausanne, le 6 mars 2001 ECH
Au nom de la Ie Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président,
La Greffière,