Faits:
Faits:
A. O._, né en 1948, a travaillé en qualité de menuisier jusqu'en 1983, puis comme employé d'intendance auprès d'une banque jusqu'en 1997. Le 12 septembre 1997, il s'est annoncé à l'assurance-invalidité en indiquant qu'il souffrait d'arthrose et de dépression.
L'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a recueilli l'avis du docteur M._, médecin traitant, qui a attesté une incapacité totale de travail (cf. rapports des 23 octobre 1997 et 28 mai 1999). Confronté à l'absence de renseignements complémentaires du médecin traitant, l'office AI a confié un mandat d'expertise pluridisciplinaire à la Policlinique médicale X._, fonctionnant en tant que Centre d'observation médicale de l'AI (COMAI). Dans leur rapport final du 17 mai 2001, les responsables du COMAI ont diagnostiqué un état dépressif sévère sans symptôme psychotique, un trouble mixte de la personnalité (personnalité émotionnellement labile de type impulsif et dépressif), un syndrome lombo-vertébral chronique et de l'hypertension artérielle.
L'incidence de ces troubles de santé sur la capacité de travail de l'assuré a été appréciée différemment par les médecins du COMAI, suivant la nature de l'atteinte à la santé. C'est ainsi que la doctoresse N._, psychiatre, a estimé que l'ampleur de la symptomatologie psychiatrique, évoluant de manière chronique, entraînait une incapacité de travail de l'ordre de 80 %. D'un point de vue strictement rhumatologique, les médecins ont conclu que la capacité de travail ne devait pas excéder 30 % dans l'ancienne activité de menuisier nécessitant des travaux de force avec les mains, mais qu'en revanche dans une activité adaptée n'impliquant ni le port constant de charges ni des travaux de manutention pénibles, ladite capacité pourrait atteindre 80 %, hormis des périodes de poussée aiguë. A l'issue d'une évaluation multidisciplinaire, les experts ont estimé que la capacité de travail était de l'ordre de 40 %.
Dans un prononcé du 17 septembre 2001, l'office AI a fait savoir à l'assuré qu'il avait arrêté son taux d'invalidité à 100 % depuis le 1er novembre 1997 puis à 60 % à partir du 1er septembre 2000.
Dans un prononcé du 17 septembre 2001, l'office AI a fait savoir à l'assuré qu'il avait arrêté son taux d'invalidité à 100 % depuis le 1er novembre 1997 puis à 60 % à partir du 1er septembre 2000.
B. O._ a déféré ce prononcé à la Commission cantonale genevoise de recours en matière d'AVS/AI (actuellement : Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève), en concluant principalement à l'allocation d'une rente entière d'invalidité à partir du 1er novembre 1997 ainsi qu'au versement d'indemnités journalières du 1er août au 31 octobre 1997, subsidiairement à la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise au COMAI.
Devant la juridiction cantonale, l'office AI a contesté la recevabilité d'un recours formé contre un prononcé de l'AI. Le 23 juillet 2002, l'office AI a rendu trois décisions, par lesquelles il a mis l'assuré au bénéfice d'une rente entière d'invalidité du 1er novembre 1997 au 31 août 2000, fondée sur un taux d'invalidité de 100 %, puis d'une demi-rente à partir du 1er septembre 2000, basée sur un taux d'invalidité de 60 %. L'assuré a recouru contre ces décisions en persistant dans ses conclusions.
Par jugement du 13 juin 2003, la juridiction cantonale a constaté que le recours dirigé contre le prononcé du 17 septembre 2001 était sans objet. Elle a partiellement admis le recours formé contre les décisions du 23 juillet 2002, en ce sens qu'elle a accordé une rente entière d'invalidité à l'assuré à partir du 1er septembre 2000, fondée dès ce moment-là sur un degré d'invalidité de 80 %.
Par jugement du 13 juin 2003, la juridiction cantonale a constaté que le recours dirigé contre le prononcé du 17 septembre 2001 était sans objet. Elle a partiellement admis le recours formé contre les décisions du 23 juillet 2002, en ce sens qu'elle a accordé une rente entière d'invalidité à l'assuré à partir du 1er septembre 2000, fondée dès ce moment-là sur un degré d'invalidité de 80 %.
C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de ses décisions du 23 juillet 2002.
L'intimé conclut principalement au rejet du recours, avec suite de dépens, subsidiairement à ce qu'une expertise indépendante soit ordonnée. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le taux d'invalidité du recourant à partir du 1er septembre 2000.
1. Le litige porte sur le taux d'invalidité du recourant à partir du 1er septembre 2000.
2. La solution du litige ressortit aux art. 4 et 28 LAI, dans leurs teneurs en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002 et jusqu'au 31 décembre 2003, respectivement.
La loi fédérale sur la partie générale des assurances sociales (LPGA) du 6 octobre 2000, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, n'est pas applicable au présent litige, dès lors que le juge des assurances sociales n'a pas à prendre en considération les modifications du droit ou de l'état de fait postérieures à la date déterminante de la décision litigieuse du 23 juillet 2002 (<ref-ruling> consid. 1.2 et les références).
La loi fédérale sur la partie générale des assurances sociales (LPGA) du 6 octobre 2000, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, n'est pas applicable au présent litige, dès lors que le juge des assurances sociales n'a pas à prendre en considération les modifications du droit ou de l'état de fait postérieures à la date déterminante de la décision litigieuse du 23 juillet 2002 (<ref-ruling> consid. 1.2 et les références).
3. La commission de recours a considéré que les avis divergeaient au sein du COMAI quant au degré de l'incapacité de travail, dès lors que le psychiatre avait retenu un taux de 80 % tandis que le collège des experts avait arrêté ce taux à 60 %. Selon la commission, l'avis du psychiatre revêtait en l'espèce une importance particulière, dans la mesure où l'assuré souffrait principalement d'une atteinte sévère à la santé psychique. Dans ces conditions, elle a jugé que l'administration n'avait aucune raison valable de s'écarter de ce taux d'incapacité de travail de 80 %, lequel justifiait en conséquence le versement d'une rente entière fondée sur un degré d'invalidité de 80 % également.
A l'appui de son recours, l'office AI se réfère à l'arrêt S. du 19 août 2003, I 53/03. Il rappelle que dans le cas d'une expertise pluridisciplinaire, il importe de s'attacher à la discussion globale menée par le collège des experts, plutôt qu'aux rapports forcément sectoriels et limités des différents spécialistes consultés en cours d'expertise (cf. consid. 6.1 de l'arrêt S.). Comme l'expert psychiatre a participé à la séance au cours de laquelle a été abordée, discutée et tranchée la question de la capacité résiduelle de travail de l'assuré, le recourant soutient que le rapport d'expertise ne contient aucune contradiction et que la commission de recours n'avait pas de raison de s'écarter des conclusions finales.
De son côté, l'intimé soulève de nombreux griefs à l'encontre du rapport d'expertise du COMAI. En bref, il allègue que les conclusions du COMAI ont été dictées par les intérêts de l'office AI qui l'avait mandaté. Il dénie toute valeur probante au rapport d'expertise en se prévalant notamment d'une anamnèse lacunaire, de la (courte) durée des consultations médicales, de l'absence de concertation entre les experts, du défaut de signatures des médecins qui l'ont examiné (docteurs S._ et N._) au bas du rapport final, d'une appréciation en sa défaveur des conclusions des spécialistes en rhumatologie et en psychiatrie par le collège des experts, et du fait que l'avis du psychiatre a été remis en cause par des internistes. De plus, il estime choquant que l'opinion de spécialistes qui ne l'ont examiné qu'une seule fois puisse l'emporter sur celles de ses médecins traitants (docteurs K._, M._ et Y._) qui le suivent depuis plusieurs années et qui attestent tous une incapacité totale de travail. Il ajoute qu'il n'est pas admissible d'exiger de sa part qu'il reprenne le travail, compte tenu de son âge et de la durée de la procédure. Enfin, l'intimé rappelle que l'office AI ne peut fixer sans autre un taux d'invalidité correspondant à l'incapacité de travail retenue par les médecins, mais que l'administration doit toujours examiner le revenu que l'assuré pourrait réaliser dans l'accomplissement de travaux raisonnablement exigibles.
De son côté, l'intimé soulève de nombreux griefs à l'encontre du rapport d'expertise du COMAI. En bref, il allègue que les conclusions du COMAI ont été dictées par les intérêts de l'office AI qui l'avait mandaté. Il dénie toute valeur probante au rapport d'expertise en se prévalant notamment d'une anamnèse lacunaire, de la (courte) durée des consultations médicales, de l'absence de concertation entre les experts, du défaut de signatures des médecins qui l'ont examiné (docteurs S._ et N._) au bas du rapport final, d'une appréciation en sa défaveur des conclusions des spécialistes en rhumatologie et en psychiatrie par le collège des experts, et du fait que l'avis du psychiatre a été remis en cause par des internistes. De plus, il estime choquant que l'opinion de spécialistes qui ne l'ont examiné qu'une seule fois puisse l'emporter sur celles de ses médecins traitants (docteurs K._, M._ et Y._) qui le suivent depuis plusieurs années et qui attestent tous une incapacité totale de travail. Il ajoute qu'il n'est pas admissible d'exiger de sa part qu'il reprenne le travail, compte tenu de son âge et de la durée de la procédure. Enfin, l'intimé rappelle que l'office AI ne peut fixer sans autre un taux d'invalidité correspondant à l'incapacité de travail retenue par les médecins, mais que l'administration doit toujours examiner le revenu que l'assuré pourrait réaliser dans l'accomplissement de travaux raisonnablement exigibles.
4. Le grief de prévention que l'intimé soulève à l'encontre des experts du COMAI ne constitue qu'un simple allégué et ne saurait justifier a posteriori la récusation des experts. Au demeurant, l'indépendance et l'impartialité des experts des COMAI, exigées par les art. 4 aCst. et 6 par. 1 CEDH, est réputée garantie (cf. <ref-ruling> et JAAC 1998 n° 95 p. 917) et la Cour de céans ne voit aucune raison de les remettre en cause sur la base d'une simple allégation.
Les quelques imperfections du rapport d'expertise du COMAI que l'intimé met en exergue n'ont pas d'incidence sur la valeur probante de ce document. En effet, nonobstant ses critiques, ledit rapport se distingue des autres avis médicaux par le fait que les points litigieux y ont fait l'objet d'une étude circonstanciée, basée sur des examens complets et pluridisciplinaires. Pour le surplus, le rapport prend en considération les plaintes de l'intimé; il a été établi en pleine connaissance de l'anamnèse; la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale sont claires et les conclusions du collège des experts sont dûment motivées (cf. <ref-ruling> consid. 3a, 122 V 160 consid. 1c et les références).
Singulièrement, l'intimé oublie que l'expertise pluridisciplinaire était destinée à porter une appréciation globale (et non sectorielle) de son cas, de sorte que l'évaluation finale de la capacité de travail par le collège des experts pouvait différer de l'avis de l'un des spécialistes qui le composait, sans que cela porte atteinte à la valeur probante de l'expertise. A cet égard, les constatations faites par les spécialistes du COMAI revêtent plus de poids que l'appréciation de l'incapacité de travail par les médecins traitants de l'intimé, pour les motifs exposés dans l'arrêt <ref-ruling> consid. 3b/cc et les références (cf. aussi RJJ 1995 p. 44; RCC 1988 p. 504 consid. 2), si bien que le recourant pouvait s'écarter des avis médicaux invoqués par l'intimé sans violer le droit fédéral.
Singulièrement, l'intimé oublie que l'expertise pluridisciplinaire était destinée à porter une appréciation globale (et non sectorielle) de son cas, de sorte que l'évaluation finale de la capacité de travail par le collège des experts pouvait différer de l'avis de l'un des spécialistes qui le composait, sans que cela porte atteinte à la valeur probante de l'expertise. A cet égard, les constatations faites par les spécialistes du COMAI revêtent plus de poids que l'appréciation de l'incapacité de travail par les médecins traitants de l'intimé, pour les motifs exposés dans l'arrêt <ref-ruling> consid. 3b/cc et les références (cf. aussi RJJ 1995 p. 44; RCC 1988 p. 504 consid. 2), si bien que le recourant pouvait s'écarter des avis médicaux invoqués par l'intimé sans violer le droit fédéral.
5. Vu ce qui précède, la motivation de la commission de recours ne saurait être suivie, car elle revient à ôter toute justification à la conduite d'une expertise pluridisciplinaire. De surcroît, les premiers juges ont substitué leur évaluation de la capacité de travail de l'intimé à celles des experts - dont la tâche était pourtant de mettre leurs connaissances spéciales à la disposition de l'administration afin de l'éclairer sur les aspects médicaux d'un état de fait donné (cf. <ref-ruling> consid. 3b/aa et les références) - en motivant très sommairement leur point de vue; or cela était critiquable dans la mesure où le rapport d'expertise du COMAI satisfaisait à tous les réquisits jurisprudentiels (cf. <ref-ruling> consid. 3a) et qu'il avait ainsi pleine valeur probante.
Dans ces conditions, le complément d'instruction que l'intimé requiert à titre subsidiaire apparaît superflu. Sa capacité résiduelle de travail s'élève ainsi à 40 % dans une activité adaptée à son handicap.
Dans ces conditions, le complément d'instruction que l'intimé requiert à titre subsidiaire apparaît superflu. Sa capacité résiduelle de travail s'élève ainsi à 40 % dans une activité adaptée à son handicap.
6. A teneur des décisions litigieuses du 23 juillet 2002, l'office recourant a mis l'intimé au bénéfice d'une rente entière d'invalidité pour une période limitée au 31 août 2000, prestation qu'il a remplacée par une demi-rente dès le 1er septembre suivant. Au regard de la jurisprudence (cf. <ref-ruling> sv consid. 2d et les références, SVR 2003 IV n° 35 p. 107 consid. 2.1 et la référence), on pourrait se demander si le procédé ne devrait pas être assimilé à un cas de révision du droit à la rente, au sens de l'<ref-law> (en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002). Cette question peut toutefois rester indécise, car aussi bien en 1997 qu'en 2000 (cf. <ref-ruling>), le taux d'invalidité de l'intimé était supérieur à la limite de 66 2/3 % ouvrant droit à la rente entière (cf. <ref-law>, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2003), ainsi qu'on va le voir.
Pour déterminer le revenu d'invalide de l'intimé en 2000, il convient de se fonder sur les statistiques salariales ressortant de l'enquête suisse sur la structure des salaires 2000 publiée par l'Office fédéral de la statistique (cf. <ref-ruling>). Selon la table TA1 (p. 31), le salaire déterminant, toutes activités confondues dans le secteur privé, était de 4'437 fr. par mois (valeur standardisée) pour des travaux simples et répétitifs (niveau 4) exercés par un homme. Ce salaire mensuel hypothétique de 4'437 fr. se basant sur une durée hebdomadaire de travail de 40 heures, inférieure à la moyenne usuelle dans les entreprises, il y a lieu de l'ajuster à 41,8 heures par semaine (Annuaire statistique de la Suisse 2002, p. 207, T3.2.3.5), ce qui aboutit à un salaire mensuel de 4'636 fr. 65, ou annuel de 55'640 fr. Ce montant doit être adapté à la capacité de travail réduite de l'intimé (40 %), d'où l'on obtient un revenu de 22'256 fr.
A ce stade, sans même appliquer de coefficient de réduction (cf. <ref-ruling>), la comparaison de ce revenu d'invalide de 22'256 fr. avec le salaire dont l'intimé aurait pu bénéficier en 2000, soit au minimum 71'500 fr. (attendu qu'il réalisait pareil gain en 1997, selon le questionnaire d'employeur du 9 février 1998), laisse déjà apparaître une perte de gain minimale de 69 %. Il s'ensuit que le jugement attaqué sera confirmé en son dispositif, par substitution de motifs.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le recourant versera à l'intimé la somme de 2'500 fr. à titre de dépens pour la procédure fédérale.
3. Le recourant versera à l'intimé la somme de 2'500 fr. à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 avril 2004
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IVe Chambre: Le Greffier: