Sachverhalt:
A. Der 1950 geborene italienische Staatsangehörige N._ war als Chef de Service im Restaurant X._ angestellt und dadurch bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Er stürzte am 31. Dezember 2002 mit dem Scooter und schlug mit der rechten Körperseite an den Trottoirrand. Wegen thorakalen Flankenschmerzen rechts suchte er die Notfallstation des Spitals Y._ auf, wo zwei frakturierte Rippen festgestellt wurden. Ab 16. Januar 2003 war N._ in Behandlung bei Dr. med. K._, Rheumatologie FMH. Dieser bestätigte mit Bericht vom 17. Januar 2003 eine volle Arbeitsunfähigkeit und machte hiefür mit Bericht vom 17. März 2003 auch im Verlauf hinzugekommene lumbale Schmerzen verantwortlich. Die "Zürich" erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Im Rahmen der Sachverhaltsabklärungen holte der Unfallversicherer nebst Berichten des behandelnden Arztes ein Gutachten des Dr. med. S._, Innere Medizin spez. Rheumatologie FMH, Manuelle Medizin, vom 27. Juni 2003 ein. Gestützt darauf eröffnete die "Zürich" dem Versicherten mit Schreiben vom 1. Oktober 2003, dem Unfall vom 31. Dezember 2002 komme lediglich bis 31. Juli 2003 eine kausale Bedeutung für die noch bestehende Problematik im Rückenbereich zu. Sie gewähre dennoch entgegenkommenderweise Heilbehandlung bis 7. August 2003; das Taggeld habe sie bis 31. Juli 2003 ausgerichtet. Somit stelle sie ihre Leistungen in Bezug auf das Taggeld ab 1. August 2003 und in Bezug auf die Heilbehandlung ab 8. August 2003 ein. Nachdem N._ hiegegen opponiert hatte, bestätigte die "Zürich" mit Verfügung vom 2. Dezember 2003 die Leistungseinstellung. Daran hielt sie auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 13. Mai 2004).
B. Beschwerdeweise beantragte N._, es sei der Einspracheentscheid vom 13. Mai 2004 aufzuheben und die "Zürich" zu verpflichten, die UVG-Leistungen auch nach dem 1. August 2003 zu erbringen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die "Zürich" zurückzuweisen. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt zog die IV-Akten hinzu, lud die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA), den für ein früheres Unfallereignis vom 10. September 1998 zuständigen UVG-Versicherer, bei und gewährte N._ die unentgeltliche Verbeiständung. Mit Entscheid vom 29. September 2005 hob das Gericht in teilweiser Gutheissung der Beschwerde den Einspracheentscheid der "Zürich" vom 13. Mai 2004 in Bezug auf die Befristung von Heilbehandlung und Taggeld auf, und es verpflichtete die "Zürich", diese Leistungen bis 31. Oktober 2003 zu erbringen. Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt N._ beantragen, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die "Zürich" zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung auch für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die "Zürich" erhebt ihrerseits Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei, soweit auf Gutheissung der Beschwerde lautend, aufzuheben.
N._ und die "Zürich" beantragen je die Abweisung der von der anderen Seite eingereichten Verwaltungsgerichtsbeschwerde, wobei der Versicherte um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung auch für das vom Unfallversicherer eingeleitete Verfahren ersucht. Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung beider Verwaltungsgerichtsbeschwerden. Die SUVA beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde des N._ und enthält sich einer Stellungnahme zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde der "Zürich". Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet in beiden Verfahren auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Da den beiden Verwaltungsgerichtsbeschwerden derselbe Sachverhalt zu Grunde liegt, sich die gleichen Rechtsfragen stellen und die Rechtsmittel den nämlichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen, rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-ruling> Erw. 1 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> Erw. 1).
2. Das kantonale Gericht hat den Einspracheentscheid der "Zürich" mit der Feststellung bestätigt, dass dem Unfall vom 31. Dezember 2002 für die über den 31. Juli 2003 hinaus noch bestehenden, behandlungsbedürftigen und den Versicherten in der Arbeitsfähigkeit einschränkenden gesundheitlichen Beschwerden keine kausale Bedeutung mehr zukommt. Es bejaht dennoch die Leistungspflicht der "Zürich" bis 31. Oktober 2003 anstatt, wie vom Unfallversicherer bestimmt, bis 31. Juli resp. 7. August 2003. Hiegegen opponiert die "Zürich" mit ihrer Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Demgegenüber richtet sich die Verwaltungsgerichtsbeschwerde des Versicherten dagegen, die Leistungen überhaupt einzustellen. Darauf ist als Erstes einzugehen.
3. 3.1 Die Leistungspflicht eines Unfallversicherers gemäss UVG setzt voraus, dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) ein natürlicher und adäquater Kausalzusammenhang besteht (<ref-ruling> Erw. 3.1 und 3.2 mit Hinweisen). Ob zwischen einem schädigenden Ereignis und einer gesundheitlichen Störung ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht, ist eine Tatfrage, worüber die Verwaltung bzw. im Beschwerdefall das Gericht im Rahmen der ihm obliegenden Beweiswürdigung nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu befinden hat. Die blosse Möglichkeit eines Zusammenhangs genügt für die Begründung eines Leistungsanspruchs nicht (<ref-ruling> Erw. 3.1, 119 V 338 Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, je mit Hinweisen). Wie das kantonale Gericht richtig erwogen hat, gelten diese Grundsätze mutatis mutandis auch, wenn bei nachgewiesener Unfallkausalität in Frage steht, ob die deswegen anerkannte oder festgestellte Leistungspflicht des Unfallversicherers entfällt, weil der noch bestehende Gesundheitsschaden nur noch und ausschliesslich auf unfallfremden Ursachen beruht. Da es sich hiebei um eine anspruchsaufhebende Tatsache handelt, obliegt der Nachweis - in dem vom Untersuchungsgrundsatz gesetzten Rahmen -, anders als bei der Frage, ob ein leistungsbegründender natürlicher Kausalzusammenhang gegeben ist, beim Unfallversicherer (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 328 f. Erw. 3b mit Hinweis; Urteil B. vom 2. November 2004, U 108/04, Erw. 2.2; vgl. auch RKUV 2000 Nr. U 363 S. 46 Erw. 2).
3.2 Es steht nach Lage der Akten fest und ist unbestritten, dass die beim Unfall vom 31. Dezember 2002 erlittenen Rippenverletzungen ausgeheilt sind. Streitig und zu prüfen ist die Leistungspflicht der "Zürich" ab 1. resp. 8. August 2003 für die persistierenden Beschwerden im lumbalen Rückenbereich. Das kantonale Gericht hat hiezu erwogen, der Sturz vom 31. Dezember 2002 habe zu einer vorübergehenden Verschlimmerung eines vorbestandenen Gesundheitsschadens im Rückenbereich geführt. Spätestens Ende Juli 2003 sei wieder der Zustand erreicht gewesen, wie er vor dem Unfall bestanden hatte resp. ohne die durch diesen bewirkte Verschlimmerung bestehen würde (status quo ante vel sine). Die weiterhin geklagten Rückenbeschwerden seien daher nicht mehr unfallbedingt, weshalb die "Zürich" eine Leistungspflicht grundsätzlich zu Recht verneine.
3.3 Die vorinstanzliche Beurteilung stützt sich namentlich auf das Gutachten des Dr. S._ vom 27. Juni 2003. Darin werden ein Status nach Sturz vom Scooter am 31. Dezember 2002 mit/bei zwischenzeitlich abgeheilten Rippenverletzungen und einer Reaktivierung eines Lumbovertebralsyndroms bei vorbestehend mittelstark bis stark fortgeschrittener Chondrose und median-paramedianer flacher Discusherniation L5/S1 sowie ein Status nach Lumbovertebralsyndrom nach Sturz 1998 mit/bei bereits erwähnter Chondrose und Discusherniation auf Höhe L5/S1 diagnostiziert. Der Experte äusserte sich weiter dahingehend, dass bei Annahme einer temporär noch anhaltenden Verschlimmerung dieses Vorzustandes die noch geltend gemachten Beschwerden wie auch die objektivierbaren Befunde wahrscheinlich auf den Unfall vom 31. Dezember 2002 zurückzuführen seien. Eine solche temporäre Verschlimmerung des Vorzustandes klinge indessen in der Regel nach Ablauf von drei bis maximal sechs Monaten mit Erreichen des status quo ante oder quo sine ab. Wenn der Hausarzt eine volle Arbeitsunfähigkeit attestiere, sei dies befristet auf noch ca. einen Monat bis zum dann zu erwartenden status quo ante beziehungsweise quo sine nachvollziehbar. Daran anschliessend dürfte die Angelegenheit in den Zuständigkeitsbereich der Krankenpflege resp. Krankentaggeldversicherung fallen.
3.4 Das kantonale Gericht hat aus den Ausführungen des Experten geschlossen, eine durch den Unfall vom 31. Dezember 2002 bedingte Verschlimmerung des Gesundheitszustandes sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit spätestens Ende Juli 2003 abgeklungen. Diese, auf eine einlässliche Auseinandersetzung auch mit den weiteren medizinischen Akten gestützte Betrachtungsweise ist nicht zu beanstanden.
Was der Versicherte vortragen lässt, führt zu keinem anderen Ergebnis. Namentlich ist die Aussage des Dr. med. S._ über die "Annahme einer temporär noch anhaltenden Verschlimmerung dieses Vorzustandes" nicht so zu deuten, dass der Experte den vorübergehenden Charakter der Verschlechterung in Frage stellen wollte. Vielmehr geht aus dem weiteren Inhalt des Gutachtens hervor, dass sich Dr. med. S._ so äusserte, weil eine Verschlimmerung durch den Unfall vom 31. Dezember 2002 aufgrund bestimmter Anhaltspunkte sogar als nur möglich hätte betrachtet werden können. Dies hätte jede Leistungspflicht des Unfallversicherers ausgeschlossen (Erw. 3.1 hievor). Wie die Vorinstanz sodann auf das entsprechende Beschwerdevorbringen hin richtig erkannt hat, muss der Versicherer den Wegfall des natürlichen Kausalzusammenhangs nicht durch den Nachweis unfallfremder Ursachen erbringen. Ebenso wenig hat der Unfallversicherer den negativen Beweis zu erbringen, dass kein Gesundheitsschaden mehr vorliegt oder die versicherte Person nun bei voller Gesundheit ist. Entscheidend ist allein, ob die unfallbedingten Ursachen des Gesundheitsschadens ihre kausale Bedeutung verloren haben, also dahingefallen sind (statt vieler: Urteile M. vom 16. August 2006, U 73/06, Erw. 2.2 mit Hinweisen, und C. vom 21. Juni 2006, U 67/06, Erw. 3.2 mit Hinweis). Letzteren Nachweis hat die "Zürich" mit dem Gutachten des Dr. med. S._ vom 27. Juni 2003 erbracht. Dieses erfüllt sämtliche Anforderungen an einen beweiskräftigen Arztbericht (vgl. <ref-ruling> ff. Erw. 3). Namentlich weist es entgegen der vom Versicherten vertretenen Auffassung auch keine Widersprüche auf, welche Zweifel an der Zuverlässigkeit der Folgerungen des Experten zu begründen vermöchten. Der medizinische Sachverhalt ist damit hinreichend gesichert, weshalb keine weiteren fachärztlichen Abklärungen erforderlich sind. Es kann im Übrigen auf die einlässlichen Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde des Versicherten ist demnach abzuweisen.
4. Streitig und zu prüfen bleibt der Zeitpunkt, ab welchem die "Zürich" die Heilbehandlung und das Taggeld einstellen durfte. Das kantonale Gericht hat hiezu erwogen, Heilbehandlung und Taggeld stellten Dauerleistungen im Sinne von Art. 17 Abs. 2 des am 1. Januar 2003 in Kraft getretenen Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts vom 6. Oktober 2000 (ATSG) dar. Die Anpassung solcher Leistungen dürfe, sofern diese hier formell rechtskräftig zugesprochen worden seien, nur mit Wirkung für die Zukunft erfolgen. Diese gesetzliche Regel habe die "Zürich" missachtet, indem sie am 2. Dezember 2003 die rückwirkende Einstellung der gesetzlichen Leistungen zum 31. Juli resp. 7. August 2003 verfügt habe. Mit Blick darauf, dass dem Versicherten erstmals im Oktober 2003 die Gelegenheit gegeben worden sei, sich zur beabsichtigten Leistungseinstellung zu äussern, könne letztere frühestens mit Wirkung ab 1. November 2003 in Betracht fallen. Bis dahin habe die "Zürich" Heilbehandlung und Taggeld zu leisten.
In der Verwaltungsgerichtsbeschwerde der "Zürich" wird vorgebracht, Heilbehandlung und Taggeld der sozialen Unfallversicherung seien entgegen der vorinstanzlichen Auffassung nicht als Dauerleistungen nach <ref-law> zu betrachten und könnten daher zulässigerweise bereits mit dem Wegfall der unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit resp. Behandlungsbedürftigkeit, mithin zum 31. Juli 2003 - in Bezug auf die Heilbehandlung entgegenkommenderweise zum 7. August 2003 - angepasst werden. Demgegenüber schliesst sich der Versicherte der Auffassung des kantonalen Gerichts an.
5. <ref-law> bestimmt unter dem Titel "Revision der Invalidenrente und anderer Dauerleistungen" Folgendes: Ändert sich der Invaliditätsgrad einer Rentenbezügerin oder eines Rentenbezügers erheblich, so wird die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben (Abs. 1). Auch jede andere formell rechtskräftig zugesprochene Dauerleistung wird von Amtes wegen oder auf Gesuch hin erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben, wenn sich der ihr zu Grunde liegende Sachverhalt nachträglich erheblich verändert hat (Abs. 2).
Laut <ref-law> sind die Bestimmungen dieses Erlasses auf die bundesgesetzlich geregelten Sozialversicherungen anwendbar, wenn und soweit die einzelnen Sozialversicherungsgesetze es vorsehen. Gemäss <ref-law> (in der seit 1. Januar 2003 geltenden Fassung) sind die Bestimmungen des ATSG auf die Unfallversicherung - mit in <ref-law> (in der seit 1. Januar 2003 geltenden Fassung) genannten, hier nicht interessierenden Ausnahmen - anwendbar, soweit das UVG nicht ausdrücklich eine Abweichung vom ATSG vorsieht.
6. Ob der gesetzliche Begriff der "anderen Dauerleistung" nach <ref-law> auch die hier streitigen Leistungen Heilbehandlung und Taggeld der Unfallversicherung umfasst, bedarf, wie das kantonale Gericht erkannt hat, der Auslegung (vgl. auch: Kieser, ATSG-Kommentar, N 25 zu Art. 17).
6.1 Ausgangspunkt jeder Auslegung bildet der Wortlaut der Bestimmung. Ist der Text nicht ganz klar und sind verschiedene Interpretationen möglich, so muss nach seiner wahren Tragweite gesucht werden unter Berücksichtigung aller Auslegungselemente; dabei kommt es namentlich auf den Zweck der Regelung, die dem Text zu Grunde liegenden Wertungen sowie auf den Sinnzusammenhang an, in dem die Norm steht. Die Gesetzesmaterialien sind zwar nicht unmittelbar entscheidend, dienen aber als Hilfsmittel, den Sinn der Norm zu erkennen. Das Bundesgericht hat sich bei der Auslegung von Erlassen stets von einem Methodenpluralismus leiten lassen (<ref-ruling> Erw. 5.2.1, 131 II 31 Erw. 7.1, 131 V 93 Erw. 4.1, 128 Erw. 5.1, 130 V 232 Erw. 2.2, 129 II 118 Erw. 3.1, 125 II 196 Erw. 3a, je mit Hinweisen).
6.2 Eine eigentliche Auslegung des Begriffes Dauerleistung hat das kantonale Gericht nicht vorgenommen. Bei der Qualifikation des Taggeldes als Dauerleistung nach <ref-law> stützt es sich auf die Auffassung von Kieser. Dieser beruft sich seinerseits auf die Gesetzesmaterialien (ATSG-Kommentar, N 25 zu Art. 17). In Bezug auf die Heilbehandlung wird im angefochtenen Entscheid zunächst ebenfalls auf eine Aussage von Kieser (ATSG-Kommentar, N 24 zu Art. 17) verwiesen, wonach unter anderem auch medizinische Massnahmen eine Dauerleistung im Sinne von <ref-law> darstellen können. Die Vorinstanz hat hiezu weiter erwogen, die zahlreichen Atteste des Hausarztes liessen auf periodische Konsultationen und damit darauf schliessen, dass dem Versicherten Heilbehandlung im Sinne einer Dauerleistung zuteil geworden sei.
6.3 Dem Wortlaut des Gesetzes lässt sich nicht entnehmen, was unter den Dauerleistungen gemäss <ref-law> zu verstehen ist. Es ergibt sich einzig aus der Verwendung des Begriffes "andere" Dauerleistung (italienisch: "altra" prestazione durevole; französisch: "autre" prestation durable in der Überschrift und, unter den gegebenen Umständen mit demselben Bedeutungsgehalt, "de même, toute" prestation durable im Text des Gesetzes), dass es nicht um die in <ref-law> gesondert geregelten Invalidenrenten geht. Welche Leistungen unter den anderen Dauerleistungen nach <ref-law> zu verstehen sind, sagt das Gesetz hingegen nicht. Es bietet sich daher in der Tat an, zum Verständnis des Normgehalts auf die Gesetzesmaterialien zurückzugreifen.
6.4 Kieser leitet aus den Materialien ab, dass der Gesetzgeber mit <ref-law> nebst der Rente auch etwa Taggelder und Hilflosenentschädigungen erfassen und grundsätzlich die bisherige Praxis habe weiterführen wollen. Insofern sei von einem weiten Begriff der Dauerleistung auszugehen, der grundsätzlich jede periodisch zu erbringende Leistung erfasse (ATSG-Kommentar, N 25 zu Art. 17, auch zum Folgenden; vgl. auch Kieser, Auswirkungen der sozialversicherungsrechtlichen Revision auf das Privatversicherungs- und Haftpflichtrecht, in: Schaffhauser/Kieser [Hrsg.], Invalidität im Wandel, St. Gallen 2005, S. 141). Kieser stützt sich hiebei auf eine Aussage im Bericht der vorberatenden Kommission des Nationalrates für soziale Sicherheit und Gesundheit (SGK NR) vom 26. März 1999 zur Parlamentarischen Initiative "Allgemeiner Teil des Sozialversicherungsrechts" (BBl 1999 V 4523 ff., 4558). Darin wurde der Grossen Kammer beantragt, dem bereits am 25. September 1991 von der erstberatenden Kleinen Kammer gestützt auf den Bericht einer ständerätlichen Kommission vom 27. September 1990 beschlossenen Art. 23 (vorläufige Nummerierung des späteren Art. 17), welcher lediglich die Anpassung der Invalidenrente beinhaltet hatte (BBl 1991 II 185 ff., 192; Amtliches Bulletin Ständerat 1991 S. 778), einen zweiten Absatz über die anderen Dauerleistungen hinzuzufügen. Dabei führte der Bericht der SGK NR vom 26. März 1999, wie von Kieser zutreffend zitiert, aus, es solle damit auch der in der Praxis geübte Grundsatz für die Revision "anderer Dauerleistungen", wie beispielsweise der Hilflosenentschädigung oder des Taggeldes, kodifiziert werden (BBl 1999 V 4558). Der Nationalrat folgte dem Antrag seiner Kommission am 17. Juni 1999 diskussionslos (Amtliches Bulletin Nationalrat 1999 S. 1239). Demgegenüber äusserte sich der Sprecher der Kommission des Ständerates für soziale Sicherheit und Gesundheit bei der Beratung in der Kleinen Kammer vom 22. März 2000 dahingehend, dass in dem vom Nationalrat hinzugefügten Absatz 2 des Art. 23 (später: Art. 17) "zusätzlich festgehalten wird, dass jede Dauerleistung - beispielsweise auch eine Hilflosenentschädigung - revidiert werden kann." Das Taggeld wurde mithin nicht erwähnt. Der Sprecher begründete dann den Antrag der ständerätlichen Kommission auf Zustimmung zum Beschluss des Nationalrates damit, dass die Verankerung dieser bereits dem heutigen Rechtszustand entsprechenden Regelung die gewünschte Klärung mit sich bringe. Der Ständerat stimmte diesem Antrag seinerseits ohne weitere Wortmeldungen zu (Amtliches Bulletin Ständerat 2000 S. 178). In der so beschlossenen Form trat <ref-law> am 1. Januar 2003 in Kraft.
6.4 Kieser leitet aus den Materialien ab, dass der Gesetzgeber mit <ref-law> nebst der Rente auch etwa Taggelder und Hilflosenentschädigungen erfassen und grundsätzlich die bisherige Praxis habe weiterführen wollen. Insofern sei von einem weiten Begriff der Dauerleistung auszugehen, der grundsätzlich jede periodisch zu erbringende Leistung erfasse (ATSG-Kommentar, N 25 zu Art. 17, auch zum Folgenden; vgl. auch Kieser, Auswirkungen der sozialversicherungsrechtlichen Revision auf das Privatversicherungs- und Haftpflichtrecht, in: Schaffhauser/Kieser [Hrsg.], Invalidität im Wandel, St. Gallen 2005, S. 141). Kieser stützt sich hiebei auf eine Aussage im Bericht der vorberatenden Kommission des Nationalrates für soziale Sicherheit und Gesundheit (SGK NR) vom 26. März 1999 zur Parlamentarischen Initiative "Allgemeiner Teil des Sozialversicherungsrechts" (BBl 1999 V 4523 ff., 4558). Darin wurde der Grossen Kammer beantragt, dem bereits am 25. September 1991 von der erstberatenden Kleinen Kammer gestützt auf den Bericht einer ständerätlichen Kommission vom 27. September 1990 beschlossenen Art. 23 (vorläufige Nummerierung des späteren Art. 17), welcher lediglich die Anpassung der Invalidenrente beinhaltet hatte (BBl 1991 II 185 ff., 192; Amtliches Bulletin Ständerat 1991 S. 778), einen zweiten Absatz über die anderen Dauerleistungen hinzuzufügen. Dabei führte der Bericht der SGK NR vom 26. März 1999, wie von Kieser zutreffend zitiert, aus, es solle damit auch der in der Praxis geübte Grundsatz für die Revision "anderer Dauerleistungen", wie beispielsweise der Hilflosenentschädigung oder des Taggeldes, kodifiziert werden (BBl 1999 V 4558). Der Nationalrat folgte dem Antrag seiner Kommission am 17. Juni 1999 diskussionslos (Amtliches Bulletin Nationalrat 1999 S. 1239). Demgegenüber äusserte sich der Sprecher der Kommission des Ständerates für soziale Sicherheit und Gesundheit bei der Beratung in der Kleinen Kammer vom 22. März 2000 dahingehend, dass in dem vom Nationalrat hinzugefügten Absatz 2 des Art. 23 (später: Art. 17) "zusätzlich festgehalten wird, dass jede Dauerleistung - beispielsweise auch eine Hilflosenentschädigung - revidiert werden kann." Das Taggeld wurde mithin nicht erwähnt. Der Sprecher begründete dann den Antrag der ständerätlichen Kommission auf Zustimmung zum Beschluss des Nationalrates damit, dass die Verankerung dieser bereits dem heutigen Rechtszustand entsprechenden Regelung die gewünschte Klärung mit sich bringe. Der Ständerat stimmte diesem Antrag seinerseits ohne weitere Wortmeldungen zu (Amtliches Bulletin Ständerat 2000 S. 178). In der so beschlossenen Form trat <ref-law> am 1. Januar 2003 in Kraft.
6.5 6.5.1 Zusammenfassend findet sich somit lediglich eine isolierte Aussage in einem Kommissionsbericht, wonach Taggelder zu den Dauerleistungen zählen sollen. Dass dies dem vom Gesetzgeber gewollten Sinn der Norm entsprechen soll, ist damit nicht als gesichert zu betrachten, zumal sich hiefür weder im besagten Bericht noch in den weiteren Materialien eine Erläuterung findet (vgl. auch die Stellungnahmen des Bundesrates vom 17. April 1991 [BBl 1991 II 910], 17. August 1994 [BBl 1994 V 921] und 26. Mai 1999 [im Bundesblatt nicht veröffentlicht; siehe Amtliches Bulletin Nationalrat 1999 S. 1241 und 1244]). Gleiches gilt in Bezug auf die in den Gesetzesmaterialien überhaupt nicht erwähnte Heilbehandlung.
6.5.2 Unmissverständlich ergibt sich aus den Materialien aber die Absicht des Gesetzgebers, mit der Regelung in <ref-law> den bisherigen Rechtszustand fortzuführen (vgl. auch <ref-ruling> ff., namentlich 349 ff. Erw. 3.5 und 3.6). Insoweit ist Kieser (und Thomas Locher, Grundriss des Sozialversicherungsrechts, 3. Auflage, S. 257 Rz 15) beizupflichten. Es gilt daher zu prüfen, wie das Taggeld und die Heilbehandlung der Unfallversicherung - als hier einzig interessierende Sozialversicherungsleistungen - bis zur Einführung des ATSG rechtlich qualifiziert wurden.
6.5.2 Unmissverständlich ergibt sich aus den Materialien aber die Absicht des Gesetzgebers, mit der Regelung in <ref-law> den bisherigen Rechtszustand fortzuführen (vgl. auch <ref-ruling> ff., namentlich 349 ff. Erw. 3.5 und 3.6). Insoweit ist Kieser (und Thomas Locher, Grundriss des Sozialversicherungsrechts, 3. Auflage, S. 257 Rz 15) beizupflichten. Es gilt daher zu prüfen, wie das Taggeld und die Heilbehandlung der Unfallversicherung - als hier einzig interessierende Sozialversicherungsleistungen - bis zur Einführung des ATSG rechtlich qualifiziert wurden.
6.6 6.6.1 Als klassische Dauerleistungen gelten namentlich die auf unbestimmte Zeit zugesprochenen Invalidenrenten (für die Unfallversicherung: RKUV 2006 Nr. U 570 S. 80 Erw. 2.1 [Urteil I. vom 22. September 2005, U 357/04]; vgl. auch Maurer, Bundessozialversicherungsrecht, Basel 1993, S. 59; Peter Omlin, Dauerrenten - Zeitrenten - Terminierte Renten, in: Schaffhauser/Schlauri (Hrsg.), Die Revision von Dauerleistungen in der Sozialversicherung, St. Gallen 1999, S. 133; Kieser, Die Abänderung der formell rechtskräftigen Verfügung nach der Rechtsprechung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts, in: SZS 1991 S. 137).
6.6.2 Anders verhält es sich in Bezug auf die Heilbehandlung und das Taggeld der Unfallversicherung. Von Gesetzes wegen wird die Heilbehandlung (und das Taggeld) nur solange gewährt, als von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden kann. Trifft dies nicht mehr zu, fallen die Heilbehandlung und die Taggeldleistungen dahin und die versicherte Person erhält, falls eine Erwerbsunfähigkeit vorliegt und diese die Mindestschwelle von 10 % erreicht, eine Invalidenrente (Art. 16 Abs. 2 zweiter Satz und 19 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> in der seit 1. Juli 2001 geltenden, durch das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene ATSG soweit hier von Interesse nicht geänderten Fassung [AS 2001 1491 f.]; zu Frage des für die Rentenberechtigung mindestens erforderlichen Invaliditätsgrades davor: <ref-ruling>). In der Unfallversicherung sind Heilbehandlung und Taggeld somit klassische vorübergehende Leistungen. Hieran ändert der Umstand nichts, dass Heilbehandlung und Taggeldbezug gegebenenfalls mehrere Jahre andauern können, auf welchen Tatbestand <ref-law> und <ref-law> Bezug nehmen.
Auch die Rechtsprechung ist, soweit ersichtlich, stets vom vorübergehenden Charakter der Heilbehandlung ausgegangen (RKUV 1992 Nr. U 142 S. 78; vgl. auch <ref-ruling> Erw. 5c und 105 Erw. 5e). Das gleiche Verständnis ergibt sich weitestgehend auch für das Taggeld der Unfallversicherung (RKUV 2004 Nr. U 501 S. 182 Erw. 2.4 [Urteil B. vom 1. Oktober 2003, U 301/02], 2002 Nr. U 451 S. 64 [in <ref-ruling> nicht veröffentlichte] Erw. 3c in fine [Urteil F. vom 10. Dezember 2001, U 427/99], 1995 Nr. U 232 S. 208 Erw. 3c, 1992 Nr. U 142 S. 78; gleicher Meinung: Maurer, a.a.O., S. 59, welcher für die Taggelder den Begriff Übergangsleistungen verwendet, und Thomas Locher, Grundriss des Sozialversicherungsrechts, 2. Auflage, S. 5 f. Rz. 17, S. 194 Rz 24; 3. Auflage, S. 52 Rz 20, S. 246 Rz 5, S. 287 Rz 1). Eine abweichende Auffassung in Bezug auf das Taggeld der Unfallversicherung lässt sich einzig zumindest sinngemäss <ref-ruling> oben entnehmen. Dies wird im betreffenden Urteil aber nicht näher begründet.
6.7 Gemäss dem nach dem Willen des Gesetzgebers ins ATSG überführten früheren Rechtszustand (Erw. 6.5.2 hievor) stellten Heilbehandlung und Taggeld der Unfallversicherung somit vorübergehende und nicht Dauerleistungen dar. <ref-law> ist daher auf diese Leistungen nicht anwendbar, zumal auch keine Sonderregelung im Sinne von <ref-law> Entsprechendes vorsieht. Soweit die Vorinstanz unter Berufung auf Kieser eine andere Auffassung vertritt, kann ihr - jedenfalls für die Unfallversicherung - nicht gefolgt werden. Namentlich erhellt aus den bisherigen Erwägungen auch, dass die ins ATSG überführte Praxis zu Heilbehandlung und Taggeld der Unfallversicherung die Unterscheidung zwischen Dauer- und anderen Leistungen nicht von deren periodischen Erbringung abhängig macht, wie Kieser (ATSG-Kommentar, N 25 zu Art. 17) anführt und auch Thomas Locher (zumindest a.a.O., 3. Auflage, S. 257 Rz 16, anders hingegen offenbar S. 52 Rz 20, S. 246 Rz 5, S. 287 Rz 1) anzunehmen scheint. Massgebend ist vielmehr, ob die Leistung vorübergehenden Charakter hat oder nicht.
6.8 Zählen Heilbehandlung und Taggeld der Unfallversicherung nach dem Gesagten nicht zu den Dauerleistungen nach <ref-law>, ist die am 2. Dezember 2003 verfügte und mit Einspracheentscheid vom 13. Mai 2004 bestätigte Einstellung dieser Leistungen nicht zu beanstanden.
Soweit die Vorinstanz zur Stützung ihres gegenteiligen Standpunktes weiter anführt, der Unfallversicherer habe mit dem Erlass der Verfügung zu lange zugewartet, kann ihr ebenfalls nicht gefolgt werden. Einem verspäteten Verfügungserlass käme allenfalls unter dem Gesichtspunkt des Vertrauensschutzes Bedeutung zu, wenn es um die Frage einer Rückerstattung zu Unrecht bezogener Leistungen ginge. Dies ist hier nicht der Fall, sind doch über den 31. Juli resp. 7. August 2003 hinaus keine Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen geflossen.
Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde der "Zürich" ist somit gutzuheissen, ohne dass zwei weitere von der Vorinstanz aufgeworfene Fragen abschliessend zu beantworten sind. Die erste Frage lautet, ob die Dauerleistungen nach <ref-law> tatsächlich nur mit Wirkung für die Zukunft angepasst werden können, obwohl der Wortlaut der Bestimmung dies, anders als <ref-law> für die Invalidenrente, nicht vorsieht. Das kantonale Gericht hat dies mit Hinweis auf Kieser (ATSG-Kommentar, N 27 zu Art. 17 mit Hinweis auf Jürg Maeschi, Kommentar zum Bundesgesetz über die Militärversicherung [MVG] vom 19. Juni 1992, Bern 2000, N 12 zu Art. 102; offenbar gleicher Meinung: Thomas Locher, a.a.O., 3. Aufl. S. 257 Rz 17 in Verbindung mit S. 256 Rz 10) bejaht. Eine andere Sichtweise geht aus dem - Ergänzungsleistungen betreffenden - Urteil P. vom 22. April 2005, P 51/04, Erw. 2, hervor. Die zweite Frage lautet, ob die Heilbehandlung als Sachleistung (<ref-law>) überhaupt unter die Dauerleistungen gemäss <ref-law> fallen kann, findet sich doch letztere Bestimmung gesetzessystematisch im mit "Geldleistungen" überschriebenen 2. Abschnitt des 3. Kapitels des ATSG. Das kantonale Gericht bejaht dies ebenfalls unter Hinweis auf Kieser (ATSG-Kommentar, N 2 und 24 zu Art. 17). Anderer Auffassung ist Thomas Locher (a.a.O., 3. Aufl., S. 257 Rz 16).
7. Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG). Die unentgeltliche Verbeiständung kann dem Versicherten für die vereinigten Verfahren gewährt werden (Art. 152 in Verbindung mit Art. 135 OG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 152 Abs. 3 OG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verfahren U 455/05 und U 457/05 werden vereinigt.
2. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde des N._ wird abgewiesen.
3. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft wird der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 29. September 2005, soweit auf Gutheissung der Beschwerde des N._ lautend, aufgehoben.
4. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Advokat Dr. Marco Biaggi für die vereinigten Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von gesamthaft Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) ausgerichtet.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, dem Bundesamt für Gesundheit und der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt zugestellt.
Luzern, 29. November 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der I. Kammer: Der Gerichtsschreiber: