Art. 4 aBV (Strafverfahren wegen falschen Zeugnisses), hat sich ergeben:
A.- M._ wird vorgeworfen, am 24. Juli 1996 in angetrunkenem Zustand ein Motorfahrzeug geführt zu haben.
Die betreffende Fahrt begann auf dem Parkplatz des Restaurants "Pflug" in Othmarsingen, wo sich M._ mit G._ getroffen hatte, und endete in Villmergen, wo er sie wieder traf. G._ ist dieselbe Strecke in ihrem eigenen Auto gefahren. M._ wurde noch am selben Abend im Zusammenhang mit dem Vorwurf verhaftet, anschliessend an diese Fahrt bei einer Schlägerei ein Körperverletzungsdelikt begangen zu haben. Während der darauf folgenden Untersuchungshaft sagte er aus, ein Dritter habe seinen Wagen auf der fraglichen Fahrt gesteuert, weigerte sich jedoch, dessen Namen zu nennen. Nachdem M._ aus der Untersuchungshaft entlassen worden war, richtete der selbständige Taxifahrer O._ am 2. August 1996 ein Schreiben an das Strassenverkehrsamt, wonach er M._ auf der betreffenden Fahrt in dessen Wagen chauffiert habe. Dies bestätigte er am 10. Februar 1997 in einer Zeugeneinvernahme vor dem Bezirksamt Bremgarten. Daraufhin wurde gegen ihn eine Strafuntersuchung wegen falschen Zeugnisses eröffnet.
O._ wurde vom Bezirksgericht Bremgarten am 2. April 1998 wegen falschen Zeugnisses zu einer bedingt vollziehbaren Gefängnisstrafe von 21 Tagen verurteilt. Eine hiergegen erhobene Berufung wies die 2. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Aargau am 17. Mai 1999 ab.
B.- O._ beantragt mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 16. September 1999 die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Anordnung von zwei Beweiserhebungen. Er ruft Art. 4 aBV an und rügt, sein Anspruch auf rechtliches Gehör sowie der Grundsatz "in dubio pro reo" seien verletzt worden.
Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht des Kantons Aargau verzichten auf eine Vernehmlassung.
C.- Mit Beschluss vom 5. Oktober 1999 hat die I. öffentlichrechtliche Abteilung des Bundesgerichts einem Gesuch von O._ um Wiederherstellung der Beschwerdefrist entsprochen. Die staatsrechtliche Beschwerde sowie das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wurden als rechtzeitig erfolgt entgegengenommen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Die staatsrechtliche Beschwerde ist grundsätzlich rein kassatorischer Natur. Positive Anordnungen kann das Bundesgericht nur erlassen, wenn der verfassungsmässige Zustand mit der blossen Aufhebung des kantonalen Entscheids nicht wiederhergestellt werden kann (<ref-ruling> E. 4 S. 332 f. mit Hinweisen). Wenn der obergerichtliche Entscheid aufgehoben wird, ist der Beschwerdeführer auch nicht mehr Opfer der gerügten Verfassungsverletzungen. Daher kann nicht auf die Anträge des Beschwerdeführers eingetreten werden, wonach das Obergericht anzuweisen sei, verschiedene Beweise abzunehmen.
b) Im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene Rügen (<ref-ruling> E. 1c S. 76; <ref-ruling> E. 1c S. 73; <ref-ruling> E. 1d S. 201, je mit Hinweisen). Bloss appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid ist im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde unzulässig (<ref-ruling> E. b; <ref-ruling> E. 4c S. 230; <ref-ruling> E. 4b S. 12). Auf diejenigen Ausführungen in der Beschwerde, welche diese Bedingungen nicht erfüllen, kann nicht eingetreten werden.
2.- Der Beschwerdeführer rügt, das Obergericht habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem es zwei von ihm angebotene Entlastungsbeweise nicht abgenommen habe, und die Maxime "in dubio pro reo" missachtet.
a) Der Anspruch auf rechtliches Gehör floss aus Art. 4 aBV und ist heute in Art. 29 Abs. 2 der neuen Bundesverfassung (nBV) verankert. Aus diesem ergibt sich, dass Parteien mit rechtzeitig und formgültig angebotenen Beweisanträgen gehört werden müssen, soweit diese erhebliche Tatsachen betreffen und nicht offensichtlich beweisuntauglich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 242; <ref-ruling> E. 2b S. 162, je mit Hinweisen). Das Beweisverfahren kann jedoch abgeschlossen werden, wenn die entscheidende Behörde auf Grund bereits abgenommener Beweise ihre Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass ihre Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 4a S. 211). In diesem Fall besteht nach der Praxis des Bundesgerichtes, welche mit derjenigen der Strassburger Rechtsprechungsorgane zu Art. 6 Ziff. 3lit. dEMRKübereinstimmt, keinAnspruchdesAngeklagtenaufBefragungvonEntlastungszeugen(vgl. <ref-ruling> E. 5b S. 285; <ref-ruling> E. 5b S. 101; <ref-ruling> E. 2b S. 202; Jochen Abr. Frowein/Wolfgang Peukert, EMRK-Kommentar, 2. Auflage, Kehl 1996, S. 311 f.).
b) Die Maxime "in dubio pro reo" floss aus Art. 4 aBV und ist in Art. 32 Abs. 1 nBV sowie Art. 6 Ziff. 2 EMRK ausdrücklich verankert. Sie ist zugleich eine Beweislastregel und eine Beweiswürdigungsregel (vgl. ausführlich <ref-ruling> E. 2 S. 33-38 und zuletzt <ref-ruling> E. 2a S. 87 f.). Als Beweiswürdigungsregel besagt sie, dass sich der Strafrichter nicht von der Existenz eines für den Angeklagten ungünstigen Sachverhalts überzeugt erklären darf, wenn bei objektiver Betrachtung Zweifel bestehen, ob sich der Sachverhalt so verwirklicht hat. Sie ist verletzt, wenn der Richter an der Schuld des Angeklagten hätte zweifeln müssen. Dabei sind bloss abstrakte und theoretische Zweifel nicht massgebend, weil sie immer möglich sind und absolute Gewissheit nicht verlangt werden kann. Bei der Beurteilung von Fragen der Beweiswürdigung beschränkt sich das Bundesgericht auf eine Willkürprüfung. Sonst würde es selbst den Grundsatz der freien Beweiswürdigung verletzen. Es kann demnach nur eingreifen, wenn der Angeklagte verurteilt wurde, obgleich bei objektiver Würdigung des ganzen Beweisergebnisses offensichtlich erhebliche und schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an dessen Schuld fortbestanden (<ref-ruling> E. 2a S. 88; <ref-ruling> E. 2d S. 38).
Das Bundesgericht untersucht zunächst, ob die Beweiselemente, die der Verurteilung zu Grunde liegen und die in der Beschwerde substanziiert als willkürlich bzw. gegen den Grundsatz "in dubio pro reo" verstossend beanstandet werden, willkürfrei gewürdigt worden sind. Sodann prüft es, ob bei objektiver Betrachtung aller relevanten Beweiselemente im Ergebnis offensichtlich erhebliche und schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an der Schuld des Angeklagten fortbestehen.
3.- a) Das Obergericht erwägt zunächst, es bestünden bereits aufgrund des Aussageverhaltens von M._, der Aussagen von G._ und des Nachweises einer nachträglichen Absprache zwischen den Beteiligten keine erheblichen Zweifel an der Schuld des Beschwerdeführers.
aa) Der Beschwerdeführer kritisiert, es sei willkürlich, die anfängliche Weigerung von M._, den Namen des Beschwerdeführers zu nennen, als offensichtliches Indiz für eine Absprache anzusehen. Jedenfalls dürfe ihm dieses- wie er zugibt - eigenartige Verhalten von M._ nicht zum Nachteil gereichen. Letzteres trifft nicht zu. Es ist vielmehr zulässig und üblich, das Aussageverhalten von Zeugen oder Auskunftspersonen zu berücksichtigen, um zu würdigen, ob deren Aussage der Wahrheit entspricht. Der Beschwerdeführer vermutet, M._ habe aus grundsätzlichen Gründen nicht aussagen wollen. Dies wäre sein Recht gewesen. Er hat jedoch sofort ausgesagt, er sei chauffiert worden und erst später, als er schon in Freiheit war, den Namen des Chauffeurs genannt. Diese Reihenfolge der Aussagen von M._ durfte das Obergericht würdigen. Im Weiteren bringt der Beschwerdeführer als Erklärung des Aussageverhaltens von M._ sinngemäss vor, angesichts des damaligen Vorwurfs eines Tötungsversuchs habe sich dieser zu jenem Zeitpunkt noch nicht mit dem Vorwurf des Fahrens in angetrunkenem Zustand auseinandergesetzt. Genau dies hat M._ aber getan, indem er noch während der Untersuchungshaft wiederholt aussagte, er sei chauffiert worden. Ein Grund, den Namen des Chauffeurs vorerst zu verheimlichen, ist nicht ersichtlich, da ihn diese Angabe entlastet hätte, den Beschwerdeführer aber in keiner Weise belastet hätte. Das Obergericht durfte somit das Aussageverhalten von M._ ohne Willkür als Indiz für eine nachträgliche Absprache ansehen. bb) Der Beschwerdeführer rügt weiterhin eine willkürliche Würdigung der Aussagen von G._. Sie habe nicht gesehen, wer am Steuer des Autos von M._ gesessen sei, und vor Bezirksgericht auch nicht ausgeschlossen, dass noch jemand anderes bei ihm gewesen sei, auch wenn sie es nicht glaube. Die Zeugin hat aber auf entsprechende Fragen hin mehrfach bestätigt, M._ sei gefahren. Entgegen den Ausführungen in der Beschwerde ist kein Motiv ersichtlich, warum sie kurz nach der Tat M._ hätte falsch belasten sollen. Selbst wenn dieser ihr später keine Arbeit mehr übertragen haben sollte, konnte sie dies noch nicht wissen, als sie am 25. Juli 1996 während der Untersuchungshaft aussagte, M._ sei alleine im Auto gewesen. Mit Ausnahme ihrer falschen Aussage vom Februar 1997, die sie sogleich zurücknahm und mit der stattgefundenen Absprache erklären konnte, blieb sie dabei. Es ist somit keineswegs willkürlich, wenn das Obergericht die Aussagen von G._ als erhebliche Belastung des Beschwerdeführers würdigte.
b) Der Beschwerdeführer stellte im Berufungsverfahren zu seiner Entlastung zwei Beweisanträge. Zum einen verlangte er die Einvernahme der Zeugin B._ und zum anderen das Einholen eines Gutachtens über den Fahrtenschreiber seines Taxis. Das Obergericht hat diese Beweisanträge abgewiesen, und zwar nicht nur mit der Begründung, es habe seine Überzeugung schon aufgrund der übrigen Beweiselemente gebildet. Es hat sich vielmehr auch mit den beantragten Beweismitteln bzw. mit den damit im Zusammenhang stehenden
Beweisfragen auseinandergesetzt. Ob es dabei den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt oder Beweise willkürlich gewürdigt hat, ist im Folgenden zu prüfen. aa) Das Obergericht erachtet den Fahrtenschreiber des Taxis des Beschwerdeführers als ein "weiteres Indiz" dafür, dass die Behauptung des Beschwerdeführers falsch sei, er habe M._ chauffiert. Dieses Instrument zeige an, dass der Beschwerdeführer am 24. Juli 1996 die letzte Fahrt mit seinem Taxi um 21.00 Uhr beendet habe, was ausschliesse, dass er, wie er behaupte, schon um 20.00 Uhr M._ im Restaurant Pflug abgeholt habe. In seiner Berufung an das Obergericht hatte der Beschwerdeführer diesen Widerspruch damit zu erklären versucht, dass sich bei unsorgfältiger Einlage der runden Scheiben in den Fahrtenschreiber alle Zeiten verschieben könnten.
Soweit das Obergericht den erhobenen Daten des Fahrtenschreibers Indizcharakter beimisst, hätte es unter dem Gesichtspunkt des rechtlichen Gehörs den Beschwerdeführer grundsätzlich zum Entlastungsbeweis zulassen müssen. Der Nachweis der Möglichkeit, dass infolge einer Fehlmanipulation alle Zeiten verschoben aufgezeichnet werden können, kann nicht von vornherein als unerheblich bezeichnet werden. Zwar würde dadurch der vom Beschwerdeführer behauptete Sachverhalt nicht direkt bewiesen. Insofern ist dem Obergericht beizupflichten. Indessen könnte die Möglichkeit einer Fehlmanipulation die Annahme des Obergerichts in Frage stellen, wonach die auf dem Fahrtenschreiber erhobenen Daten ein weiteres Indiz dafür seien, dass der Beschwerdeführer falsch ausgesagt habe. In diesem Punkt ist die Argumentation des Obergerichts nicht haltbar. Dies führt aber, wie noch darzulegen ist, nicht ohne weiteres zur Gutheissung der Beschwerde.
bb) Der Beschwerdeführer behauptet, die beantragte Zeugin B._ könne bestätigen, dass M._ am Abend des 24. Juli 1996 im Restaurant Pflug, in dem sie servierte, von jemandem abgeholt worden sei. Er verweist auf eine Aktennotiz, die der Anwalt von M._ seiner Berufung an das Obergericht beigelegt hatte. Darin wird behauptet, Frau Bachmann habe folgendes erzählt:
"Sie erinnere sich zwar nicht an das genaue Datum, aber an den Abend nach den Sommerbetriebsferien des Restaurants Pflug. Herr M._ war mit einer Frau dort und hatte Champagner bestellt. Das ist eher selten. Bezahlt wurde mit einer Kreditkarte.
Dies wäre vor den Sommerferien nicht möglich gewesen, da man damals noch keine Kreditkarten annahm. Die begleitende Frau sei "käppelet" gewesen. Irgendwann einmal habe von der Treppe aus ein Mann (eher fester Statur) M._ gerufen und erklärt, man könne jetzt fahren. Ob das die begleitende Frau auch gehört habe, könne sie nicht sagen. Sie könne auch nicht sagen, in was für ein Auto die beiden gestiegen seien. "
Das Obergericht führt aus, gemäss dieser Aktennotiz habe B._ zwar gehört, dass M._ von einer Drittperson gerufen worden sei. Sie habe aber nicht beobachten können, in welches Fahrzeug er bei seiner Wegfahrt eingestiegen sei. Unter diesen Umständen vermöge die Zeugin den Beschwerdeführer nicht zu entlasten und es könne von ihrer Einvernahme Umgang genommen werden.
Die Argumentation des Obergerichts ist missverständlich. Soweit zum Ausdruck gebracht wird, eine Einvernahme der Zeugin vermöchte ohnehin keinen direkten Beweis für die Behauptung zu erbringen, der Beschwerdeführer habe M._ chauffiert, ist die Annahme des Obergerichts nicht zu beanstanden. Wollte das Obergericht aber darüber hinaus jegliche Entlastungswirkung von vornherein ausschliessen, wäre eine solche Annahme willkürlich. Würde der Inhalt der Aktennotiz durch die Zeugin bestätigt, wäre dies in der Gesamtwürdigung aller Beweisergebnisse immerhin ein Indiz dafür, dass der Beschwerdeführer M._ abgeholt hätte. Im Hinblick auf die nachfolgenden Ausführungen über diese Gesamtwürdigung kann jedoch offen bleiben, wie die erwähnte Passage der Urteilserwägungen zu verstehen ist.
c) Im Vordergrund der Gesamtwürdigung des Obergerichts steht die Annahme, die Wahrheitswidrigkeit des Zeugnisses des Beschwerdeführers sei schon gestützt auf das Aussageverhalten von M._, die Aussagen von G._ und die erstellte nachträgliche Absprache zwischen den Beteiligten bewiesen. Schon deshalb bestünden keine erheblichen Zweifel an der Schuld des Beschwerdeführers. Wie vorne dargestellt ist die Würdigung der ersten beiden genannten Beweiselemente nicht zu beanstanden. Zu Recht kritisiert der Beschwerdeführer die obergerichtliche Würdigung der Absprache zwischen den Beteiligten nicht. Eine solche Absprache wurde von G._ bestätigt, obwohl sie dafür eine Verurteilung wegen falschen Zeugnisses in Kauf nehmen musste.
Dazu kommt, wie das Obergericht erwähnt, dass der behauptete konkrete Einsatz des Beschwerdeführers am 24. Juli 1996, so wie die Beteiligten ihn beschreiben, ausgesprochen ungewöhnlich gewesen wäre. M._ konnte ja nicht zum Voraus wissen, dass er am fraglichen Abend in eine Schlägerei verwickelt und festgenommen werden würde. Wenn er nicht alkoholisiert Auto fahren wollte, hätte er deshalb den Beschwerdeführer in Villmergen warten lassen müssen, um dann wieder nach Hause, nach Mägenwil begleitet zu werden. Dort befand sich angeblich auch das Taxi des Beschwerdeführers, womit es auch in dessen Interesse lag, wieder dorthin zu gelangen. Bloss im Auto zu warten, hätte für diesen auch keinerlei Risiko mit sich gebracht, in Auseinandersetzungen verwickelt zu werden, was der Beschwerdeführer angeblich befürchtete.
Gesamthaft verbleiben angesichts dieser Beweiselemente keine offensichtlich erheblichen und schlechterdings nicht zu unterdrückenden Zweifel an der Schuld des Beschwerdeführers. Aus diesem Blickwinkel und im Lichte der vorne erwähnten Rechtsprechung hat das Obergericht weder Art. 4 aBV (bzw. Art. 9, 29 Abs. 2 und 32 Abs. 1 nBV) noch Art. 6 Ziff. 2 EMRK verletzt, wenn es darauf verzichtete, die beantragten Beweise abzunehmen. Dass es der Hauptbegründung eine Hilfsbegründung beigefügt hat, die in einzelnen Punkten fragwürdig erscheint, führt nicht dazu, dass der Entscheid im Ergebnis verfassungswidrig ist. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist ein mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochtener Entscheid erst dann aufzuheben, wenn er im Ergebnis gegen die Verfassung oder die EMRK verstösst, nicht schon dann, wenn sich die Begründung oder ein Teil derselben als verfassungs- oder konventionswidrig erweisen (<ref-ruling> E. 4a S. 211; <ref-ruling> E. 5 S. 262; vgl. auch <ref-ruling> E. 2a S. 168).
4.- Zusammenfassend ergibt sich, dass dem Obergericht bei der Würdigung der für es wesentlichen Beweiselemente keine Willkür vorgeworfen werden kann und dass die Gesamtwürdigung der Beweisergebnisse auch nicht den Grundsatz "in dubio pro reo" verletzt hat. Die antizipierte Würdigung der beantragten Begutachtung des Fahrtenschreibers ist zwar fragwürdig. Im Ergebnis ist der Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör jedoch dadurch genauso wenig verletzt wie durch das Unterlassen einer Befragung von B._. Die Beschwerde ist damit abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer stellt in Bezug auf die Gerichtskosten ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Die gesetzlichen Voraussetzungen dafür sind erfüllt (Art. 152 Abs. 1 OG). Namentlich erschien die Beschwerde nicht zum Vornherein aussichtslos, und auch die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers ist ausreichend glaubhaft gemacht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Dem Beschwerdeführer wird in Bezug auf die Gerichtskosten die unentgeltliche Rechtspflege gewährt. Es werden keine Kosten erhoben.
3.- Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft sowie dem Obergericht des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 7. Januar 2000
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: