Sachverhalt:
A. Die 1969 geborene R._ war ab 1. September 2007 als Personalrekrutiererin für die X._ GmbH tätig, wobei sie ausschliesslich von zu Hause aus arbeitete. Damals wohnte sie in Deutschland. Die Gesellschaft löste das Arbeitsverhältnis durch Kündigung vom 20. Mai 2009 auf den 31. Juli 2009 auf. R._ erhielt ab 1. August 2009 Arbeitslosenentschädigung in Deutschland. Am 5. Juli 2010 zog sie zusammen mit ihrem Sohn zu ihrem Lebenspartner in der Schweiz. Infolge des Wohnortwechsels stellte die Agentur für Arbeit Y._ Deutschland die Zahlung von Arbeitslosengeld auf den 5. Juli 2010 ein. Am 7. Juli 2010 meldete sich R._ beim Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum Winterthur (RAV) zur Arbeitsvermittlung an. Die Unia Arbeitslosenkasse eröffnete eine Leistungsrahmenfrist vom 7. Juli 2010 bis 6. Juli 2012 und richtete Arbeitslosenentschädigung aus (welche sie mit - noch nicht in Rechtskraft erwachsenem - Verwaltungsakt vom 9. November 2010 wieder zurückforderte). Mit Verfügung vom 28. Oktober 2010 verneinte das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zürich (AWA) einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab 7. Juli 2010. Daran hielt es auf Einsprache hin fest und gab zur Begründung an, R._ habe nach Beendigung des letzten Arbeitsverhältnisses Deutschland für den Bezug von Arbeitslosenentschädigung gewählt, weshalb dieses Land für die Auszahlung der Arbeitslosenentschädigung zuständig bleibe; die Arbeitslosenentschädigung könne lediglich auf ein in Deutschland zu stellendes Gesuch hin für eine befristete Zeit zum Zweck der Arbeitssuche exportiert werden (Einspracheentscheid vom 14. Dezember 2010).
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 22. März 2011).
C. R._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem sinngemässen Rechtsbegehren, es seien ihr Taggelder der Schweizerischen Arbeitslosenversicherung auszurichten.
Das AWA und das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) verzichten auf eine Vernehmlassung. Das vom Bundesgericht zur Stellungnahme aufgeforderte Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV), Bereich Abkommen, nimmt in gutheissendem Sinn Stellung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2. Die versicherte Person hat unter anderem Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung, wenn sie die Beitragszeit erfüllt hat (<ref-law>). Nach <ref-law> (in der seit 1. Juli 2003 in Kraft stehenden Fassung) hat die Beitragszeit erfüllt, wer innerhalb der dafür vorgesehenen Rahmenfrist (<ref-law>) während mindestens zwölf Monaten eine beitragspflichtige Beschäftigung ausgeübt hat. Diese Bestimmung bezieht sich auf die Beitragspflicht und setzt daher als Grundsatz die Ausübung einer beitragspflichtigen Tätigkeit in der Schweiz voraus (<ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
3. 3.1 Am 1. Juni 2002 ist das Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681) in Kraft getreten. Nach Art. 1 Abs. 1 des auf der Grundlage des Art. 8 FZA ausgearbeiteten und Bestandteil des Abkommens bildenden (Art. 15 FZA) Anhangs II ("Koordinierung der Systeme der sozialen Sicherheit") FZA in Verbindung mit Abschnitt A dieses Anhangs wenden die Vertragsparteien untereinander insbesondere die Verordnung (EWG) Nr. 1408/71 des Rates vom 14. Juni 1971 zur Anwendung der Systeme der sozialen Sicherheit auf Arbeitnehmer und Selbstständige sowie deren Familienangehörige, die innerhalb der Gemeinschaft zu- und abwandern (nachfolgend: Verordnung Nr. 1408/71; SR 0.831.109.268.1), und die Verordnung (EWG) Nr. 574/72 des Rates vom 21. März 1972 über die Durchführung der Verordnung (EWG) Nr. 1408/71 über die Anwendung der Systeme der sozialen Sicherheit auf Arbeitnehmer und Selbstständige sowie deren Familienangehörige, die innerhalb der Gemeinschaft zu- und abwandern (nachfolgend: Verordnung Nr. 574/72; SR 0.831.109.268.11), oder gleichwertige Vorschriften an. Die Verordnung Nr. 1408/71 gilt unter anderem auch für Rechtsvorschriften über Zweige der sozialen Sicherheit, die Leistungen bei Arbeitslosigkeit betreffen (Art. 4 Abs. 1 lit. g). Die entsprechenden Bestimmungen finden in der Arbeitslosenversicherung durch den Verweis in <ref-law> Anwendung.
3.2 Als Angehörige eines Mitgliedstaates fällt die Beschwerdeführerin grundsätzlich in den persönlichen Geltungsbereich des FZA sowie der Verordnungen, auf welche das Abkommen verweist (vgl. Art. 2 Abs. 1 der Verordnung Nr. 1408/71).
3.2.1 Titel II der Verordnung Nr. 1408/71 (Art. 13 bis 17a) enthält allgemeine Kollisionsregeln zur Bestimmung der anzuwendenden Rechtsvorschriften. Dabei legt Art. 13 Abs. 1 den kollisionsrechtlichen Grundsatz der Einheitlichkeit der anwendbaren Rechtsvorschriften nach den Regeln gemäss Art. 13 Abs. 2 bis Art. 17a in dem Sinne fest, dass für jede betroffene Person die Rechtsvorschriften nur eines Mitgliedstaates massgebend sind. Ausnahmen vorbehalten, gilt für Arbeitnehmende das Beschäftigungslandprinzip. Dies trifft auch dann zu, wenn sie im Gebiet eines anderen Mitgliedstaates wohnen oder ihr Arbeitgeber oder das Unternehmen, das sie beschäftigt, den Wohn- oder Betriebssitz im Gebiet eines anderen Mitgliedstaates hat (Grundsatz der lex loci laboris; Art. 13 Abs. 2 lit. a der Verordnung Nr. 1408/71).
3.2.2 In Kapitel 6 des Titels III enthält die Verordnung Nr. 1408/71 besondere Vorschriften zur Arbeitslosigkeit, insbesondere in Abschnitt 1 (Art. 67 f.) dieses Kapitels gemeinsame Bestimmungen (Zusammenrechnung der Versicherungs- oder Beschäftigungszeiten; Berechnung der Leistungen), in Abschnitt 2 (Art. 69 f.) Vorschriften über Arbeitslose, die sich zur Beschäftigungssuche ins Ausland begeben, und in Abschnitt 3 (Art. 71) Bestimmungen in Bezug auf Arbeitslose, die während ihrer letzten Beschäftigung in einem anderen Mitgliedstaat als dem zuständigen Staat wohnten (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 175). Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. ii und lit. b Ziff. ii der Verordnung Nr. 1408/71 bestimmen, dass bei Vollarbeitslosigkeit echte Grenzgänger ausschliesslich und unechte Grenzgänger für den Fall, dass sie sich den Arbeitsbemühungen ihres Wohnstaates zur Verfügung stellen, Leistungen aufgrund von Versicherungs- oder Beschäftigungszeiten im Beschäftigungsstaat nach dem Recht des Wohnstaates erhalten. Als Grenzgänger gelten nach Art. 1 lit. b der Verordnung Nr. 1408/71 Arbeitnehmer oder Selbstständige, die ihre Berufstätigkeit im Gebiet eines Mitgliedstaates ausüben und im Gebiet eines anderen Mitgliedstaates wohnen, in das sie in der Regel täglich, mindestens aber einmal wöchentlich zurückkehren (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 247).
4. Es ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin während ihrer Tätigkeit für die X._ GmbH der schweizerischen Sozialversicherung unterstellt war. Die ehemalige Arbeitgeberin zog die entsprechenden Sozialversicherungsbeiträge jeweils vom Lohn ab und zahlte sie zusammen mit den Arbeitgeberbeiträgen ein.
4.1 Die Beschwerdeführerin leitet aus diesem Umstand ab, dass sie einer versicherten Person gleichgestellt werden müsse, welche in der Schweiz gearbeitet habe. Es seien die Sonderregeln für echte und unechte Grenzgänger zu beachten. Als (ehemalige) Tele-Heimarbeiterin, die nur für die eine Arbeitgeberin im Ausland beschäftigt gewesen sei, unterstehe sie den Rechtsvorschriften der Schweiz, weil sich der Firmensitz dort befinde.
4.2 Das kantonale Gericht schliesst demgegenüber aus dem Umstand, dass die Beschwerdeführerin für die ehemalige Arbeitgeberin mit Sitz in der Schweiz von ihrem Wohnort in Deutschland aus gearbeitet hatte, Deutschland sei auch das Beschäftigungsland gewesen. Nach Eintritt der Arbeitslosigkeit sei Arbeitslosengeld in Deutschland bezogen worden. Mithin bestehe keine Versicherungsdeckung in der Schweiz und es könne weder eine Anrechnung gemäss Art. 67 der Verordnung Nr. 1408/71 erfolgen noch sei die Beschwerdeführerin im Sinne von Art. 71 der Verordnung Nr. 1408/71 als Grenzgängerin, Saisonarbeiterin oder Entsandte zu betrachten.
4.3 Weder die Verwaltung noch das kantonale Gericht haben weitere Abklärungen zum ehemaligen Tätigkeitsbereich der Beschwerdeführerin in der X._ GmbH getroffen. Die Gesellschaft verfolgt gemäss Handelsregisterauszug unter anderem den Zweck des Verleihs und der Beratung von Personal. Es ist durchaus denkbar, dass die von Deutschland aus erledigten Arbeiten zur Personalrekrutierung auf den schweizerischen Arbeitsmarkt ausgerichtet waren und in der Schweiz ihre Wirkungen entfalteten. Daher ist es nicht ganz ausgeschlossen, dass die Schweiz tatsächlich das letzte Beschäftigungsland vor Eintritt der Arbeitslosigkeit war und die Beschwerdeführerin demgemäss während der Dauer ihrer letzten Anstellung, allenfalls als "virtuelle" Grenzgängerin, zu Recht der Versicherungspflicht in der Schweiz unterstellt war. Dies kann allerdings offen bleiben. Selbst wenn nämlich mit der Verwaltung und der Vorinstanz eine falsche Versicherungsunterstellung in der schweizerischen Sozialversicherung angenommen wird, müsste die Beschwerdeführerin aus Gründen des Vertrauensschutzes so gestellt werden, wie wenn die Schweiz vor Eintritt der Arbeitslosigkeit das letzte Beschäftigungsland gewesen wäre (E. 5 ff. hiernach).
5.1 5.1.1 Gemäss <ref-law> sind die Versicherungsträger und Durchführungsorgane der einzelnen Sozialversicherungen verpflichtet, im Rahmen ihres Zuständigkeitsbereiches die interessierten Personen über ihre Rechte und Pflichten aufzuklären (Abs. 1). Jede Person hat Anspruch auf grundsätzlich unentgeltliche Beratung über ihre Rechte und Pflichten, wobei <ref-law> eine allgemeine und permanente Aufklärungspflicht der Versicherungsträger und Durchführungsorgane stipuliert, die nicht erst auf persönliches Verlangen der interessierten Personen zu erfolgen hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 477; Urteil [des Eidgenössischen Versicherungsgerichts] C 138/05 vom 3. Juli 2006 E. 3.1 mit Hinweisen, in: ARV 2006 S. 295). Dafür zuständig sind die Versicherungsträger, denen gegenüber die Rechte geltend zu machen oder die Pflichten zu erfüllen sind. Nach der gleichzeitig mit dem ATSG am 1. Januar 2003 in Kraft gesetzten Ausführungsbestimmung des Artikels 19a AVIV klären die in Art. 76 Abs. 1 lit. a-d AVIG genannten Durchführungsstellen die Versicherten über ihre Rechte und Pflichten auf, insbesondere über das Verfahren der Anmeldung und über die Pflicht, Arbeitslosigkeit zu vermeiden und zu verkürzen (Abs. 1).
5.1.2 <ref-law> beschlägt ein individuelles Recht auf Beratung durch den zuständigen Versicherungsträger. Jede versicherte Person kann vom Versicherungsträger im konkreten Einzelfall eine unentgeltliche Beratung über ihre Rechte und Pflichten verlangen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 476). Sinn und Zweck der Beratungspflicht ist, die betreffende Person in die Lage zu versetzen, sich so zu verhalten, dass eine den gesetzgeberischen Zielen des jeweiligen Erlasses entsprechende Rechtsfolge eintritt (<ref-ruling> E. 4.3 S. 478; Urteile 8C_475/2009 vom 22. Februar 2010 E. 2.1, in: SVR 2010 UV Nr. 28 S. 113, und I 714/06 vom 20. April 2007 E. 4.1, in: SVR 2008 IV Nr. 10 S. 30; ULRICH MEYER, Grundlagen, Begriff und Grenzen der Beratungspflicht der Sozialversicherungsträger nach <ref-law>, in: Sozialversicherungsrechtstagung 2006, S. 9 ff., insb. S. 14 u. 25). Das Bundesgericht hat bisher offen gelassen, wo die Grenzen der in <ref-law> verankerten Beratungspflicht in generell-abstrakter Weise zu ziehen sind. Es hat jedoch entschieden, dass es auf jeden Fall zum Kern der Beratungspflicht gehört, die versicherte Person darauf aufmerksam zu machen, ihr Verhalten könne eine der Voraussetzungen des Leistungsanspruchs gefährden (<ref-ruling> E. 4.3 S. 480).
5.1.3 Eine ungenügende oder fehlende Wahrnehmung der Beratungspflicht nach <ref-law> kommt gemäss konstanter (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 221; <ref-ruling> E. 3b S. 120; Urteil 8C_383/2010 vom 28. September 2010 E. 5.1.3 mit diversen Hinweisen) und unter der Herrschaft des ATSG weitergeltender Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 5 S. 481) einer falsch erteilten Auskunft des Versicherungsträgers gleich. Dieser hat in Nachachtung des Vertrauensprinzips hierfür einzustehen, sofern sämtliche Voraussetzungen des öffentlich-rechtlichen Vertrauensschutzes (vgl. E. 5.2 hiernach) erfüllt sind (Urteil 8C_383/2010 vom 28. September 2010 E. 5.1.3).
5.1.4 Falls ein Versicherungsträger feststellt, dass eine versicherte Person oder ihre Angehörigen Leistungen anderer Sozialversicherungen beanspruchen können, gibt er ihnen unverzüglich davon Kenntnis (<ref-law>). Abs. 3 konkretisiert die in Abs. 2 umschriebene Beratungspflicht und weitet sie zugleich gegenüber dem letztgenannten Absatz aus (<ref-ruling> E. 4.1 S. 376 mit Hinweisen).
5.2 Der in <ref-law> verankerte Grundsatz von Treu und Glauben statuiert ein Verbot widersprüchlichen Verhaltens und verleiht einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens in behördliche Zusicherungen oder sonstiges, bestimmte Erwartungen begründendes Verhalten der Behörden (<ref-ruling> E. 6.1 S. 636). Die Voraussetzung für eine Berufung auf Vertrauensschutz, welche unter bestimmten Voraussetzungen eine vom materiellen Recht abweichende Behandlung der Rechtsuchenden gebieten kann, ist erfüllt: 1. wenn die Behörde in einer konkreten Situation mit Bezug auf bestimmte Personen gehandelt hat; 2. wenn sie für die Erteilung der betreffenden Auskunft zuständig war oder wenn die rechtsuchende Person die Behörde aus zureichenden Gründen als zuständig betrachten durfte; 3. wenn die Person die Unrichtigkeit der Auskunft nicht ohne weiteres erkennen konnte; 4. wenn sie im Vertrauen auf die Richtigkeit der Auskunft Dispositionen getroffen hat, die nicht ohne Nachteil rückgängig gemacht werden können und 5. wenn die gesetzliche Ordnung seit der Auskunftserteilung keine Änderung erfahren hat. Der unrichtigen Auskunft gleichgestellt ist die Unter-lassung einer behördlichen Auskunft, welche gesetzlich vorgeschrieben oder nach den im Einzelfall gegebenen Umständen geboten war. Die dritte Voraussetzung lautet diesfalls: wenn die Person den Inhalt der unterbliebenen Auskunft nicht kannte oder deren Inhalt so selbstverständlich war, dass sie mit einer anderen Auskunft nicht hätte rechnen müssen (<ref-ruling> E. 5 S. 480). Selbst wenn diese Voraussetzungen erfüllt sind, kann die Anforderung nach einem richtig verstandenen Vollzug der Sozialversicherung dem Vertrauensschutz vorgehen, wenn die Abwägung der Interessen dies im Einzelfall gebietet (<ref-ruling> E. 6 S. 636 ff; <ref-ruling> E. 4.1 S. 170; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 409; Urteil 2C_762/2008 vom 8. Mai 2009 E. 2.2).
6. 6.1 Die Beschwerdeführerin leistete während der ganzen Dauer des Arbeitsverhältnisses mit der X._ GmbH vom 1. September 2007 bis 31. Juli 2009 AHV- und ALV-Arbeitnehmerbeiträge, welche zusammen mit den Arbeitgeberbeiträgen an die Ausgleichskasse Zug abgeliefert wurden. Dies zeigen die Lohnabrechnungen, aber auch ein Auszug aus dem Individuellen Konto, ausgestellt von der Ausgleichskasse Zug. Die ehemalige Arbeitgeberin musste die EG-Arbeitgeberbescheinigung ausfüllen, welche als Grundlage für das Formular E 301 "Bescheinigung von Zeiten, die für die Gewährung von Leistungen wegen Arbeitslosigkeit zu berücksichtigen sind" diente. Das Formular E 301 wurde vorliegend von der Arbeitslosenkasse des Kantons Zug ausgestellt, welche die Beschwerdeführerin damals frei wählen konnte, da sie hinsichtlich der vorliegend relevanten Zeit der Arbeitslosigkeit in der Schweiz noch keinen Antrag auf Arbeitslosenentschädigung gestellt hatte (Kreisschreiben über die Auswirkungen des Abkommens über den freien Personenverkehr sowie des geänderten EFTA-Abkommens auf die Arbeitslosenversicherung [KS-ALE-FPV], Ziff. B 81 und 88). Sowohl der Arbeitgeber (durch die Lohnabzüge) als auch die Ausgleichskasse Zug (durch den Eintrag im Versicherungsausweis AHV-IV und die implizite Anerkennung der Beitragspflicht) gingen während des Anstellungsverhältnisses davon aus, dass die Beschwerdeführerin der schweizerischen Sozialversicherung unterstellt war. Wären sie anderer Ansicht gewesen, hätte die X._ GmbH Beiträge nach deutschem Recht mit den zuständigen deutschen Trägern abrechnen müssen.
Die deutsche Agentur für Arbeit hat die Beschwerdeführerin gestützt auf diese Vorgaben als unechte Grenzgängerin eingestuft.
Die deutsche Agentur für Arbeit hat die Beschwerdeführerin gestützt auf diese Vorgaben als unechte Grenzgängerin eingestuft.
6.2 6.2.1 Nach Art. 69 der Verordnung Nr. 1408/71 behält ein voll arbeitsloser Arbeitnehmer, der die Voraussetzungen für einen Leistungsanspruch nach den Rechtsvorschriften eines Mitgliedstaats erfüllt und sich in einen anderen Mitgliedstaat begibt, um dort eine Beschäftigung zu suchen, den Anspruch auf diese Leistungen ("Leistungsexportrecht"). Die Durchführungsbestimmung des Art. 83 der Verordnung Nr. 574/72 hält das genaue Vorgehen bei einem Leistungsexport fest und regelt die Zuständigkeiten der involvierten Mitgliedstaaten. Der Leistungsanspruch wird während höchstens drei Monaten von dem Zeitpunkt an aufrechterhalten, von dem ab der Arbeitslose der Arbeitsverwaltung des Staates, den er verlassen hat, nicht mehr zur Verfügung stand (Art. 69 Abs. 1 lit. c der Verordnung Nr. 1408/71). Kehrt der Arbeitslose nicht vor Ablauf der dreimonatigen Frist in den zuständigen Staat zurück, verliert er gemäss Art. 69 Abs. 2 der Verordnung Nr. 1408/71 den Anspruch auf Leistungen nach den Rechtsvorschriften des zuständigen Staates.
6.2.2 Es ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin zusammen mit ihrem Sohn auf den 7. Juli 2010 in die Schweiz übersiedelte, um mit ihrem bereits in der Schweiz wohnhaften Lebenspartner und Vater ihres Sohnes zusammenzuziehen (und in der Schweiz Arbeit zu suchen). Ein früherer Umzug war nicht möglich, weil ihr Sohn zuvor noch das Gymnasium in Deutschland abschliessen musste. Folglich beabsichtigte sie zu keinem Zeitpunkt, nach maximal drei Monaten wieder nach Deutschland zurückzukehren. Da sich aus den Akten auch sonst keine Hinweise darauf ergeben, dass die Beschwerdeführerin ihr Recht, die deutschen arbeitslosenversicherungsrechtlichen Leistungen während dreier Monate in die Schweiz zu exportieren, in Anspruch hätte nehmen wollen, liegt kein Anwendungsfall von Art. 69 der Verordnung Nr. 1408/71 vor. Ein Leistungsexport, der einem schweizerischen Anspruch entgegenstehen würde, ist nicht gegeben. Darin sind sich die Parteien einig. Die Verneinung eines Leistungsexports führt aber entgegen der Ansicht der Verwaltung nicht gleichzeitig zur Ablehnung eines Anspruchs auf schweizerische Arbeitslosenentschädigung, wie sich nachfolgend zeigt.
6.3 6.3.1 Echte Grenzgänger beziehen die Leistungen bei Vollarbeitslosigkeit in Abweichung von der allgemeinen Kollisionsregel nach den Rechtsvorschriften des Wohnstaates (Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. ii der Verordnung Nr. 1408/71). Wenn nun aber der arbeitslose (echte) Grenzgänger im Mitgliedstaat der letzten Beschäftigung seinen Wohnsitz nimmt, erlangt der letzte Beschäftigungsstaat wieder seine Zuständigkeit (Urteil des EuGH vom 6. November 2003, C-311/01, E. 29 ff.; EBERHARD EICHENHOFER, in: Europäisches Sozialrecht, 4. Aufl., Baden-Baden 2005, N. 5-8 zu Art. 71 der Verordnung Nr. 1408/71 S. 468 f.). Das insgesamt für die Anwendung von Art. 71 der Verordnung Nr. 1408/71 bestimmende Merkmal, wonach die arbeitslose Person in einem anderen Mitgliedstaat als demjenigen wohnt, dessen Rechtsvorschriften für sie während ihrer letzten Beschäftigung gegolten haben, entfällt, so dass diese Sondervorschrift nicht mehr anwendbar ist. Es gilt wieder die Grundregel (Statut des Beschäftigungsstaates; THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2. Aufl. 2007, S. 2481 Rz. 981). Die von einem echten Grenzgänger im Wohnstaat gemäss Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. ii der Verordnung Nr. 1408/71 bezogenen Leistungen sind dabei so zu behandeln, wie wenn sie vom Staat der letzten Beschäftigung bezogen worden wären. Die Verpflichtungen des Mitgliedstaates der letzten Beschäftigung sind deshalb nicht als erloschen zu betrachten, sondern ruhen während der Zeit, in welcher die arbeitslose Person in einem anderen Mitgliedstaat wohnt.
Unechte Grenzgänger können ihren Anspruch entweder im letzten Beschäftigungsstaat oder im Wohnsitzstaat geltend machen (Art. 71 Abs. 1 lit. b Ziff. ii der Verordnung Nr. 1408/71). Dieses Wahlrecht kann auch nach Eintritt der Arbeitslosigkeit ausgeübt werden, nachdem die versicherte Person in einem Staat bereits Leistungen bezogen hat (THOMAS NUSSBAUMER, a.a.O., S. 2481 Rz. 981).
6.3.2 Die Frage, welchen Rechtsvorschriften eine Person unterliegt (vgl. Art. 13 ff. der Verordnung Nr. 1408/71), stellt sich nicht erst im Zeitpunkt des Eintritts eines Versicherungsfalles, sondern bereits wenn es darum geht festzustellen, welcher Versicherungsträger zuständig ist, Beiträge zu erheben. Die X._ GmbH, die Ausgleichskasse Zug, die Arbeitslosenkasse des Kantons Zug und auch die Beschwerdeführerin selber gingen offenbar alle einheitlich davon aus, sie sei als Grenzgängerin zu qualifizieren und stellten die schweizerische Versicherungsunterstellung nicht in Zweifel. Auf dieser Grundlage ist die Annahme der Beschwerdeführerin richtig, wonach sie nach ihrer Umsiedlung ins Land ihrer letzten Arbeitgeberin mit der Anmeldung zur Arbeitsvermittlung im neuen schweizerischen Wohnort folglich "wieder" der Rechtsordnung des AVIG unterliegt und die Schweiz als letztes Beschäftigungsland ihre Zuständigkeit und ihre Verpflichtung zur Ausrichtung der arbeitslosenversicherungsrechtlichen Leistungen zurückerhalten hat, und zwar unabhängig davon, ob die Beschwerdeführerin als echte oder als unechte Grenzgängerin behandelt wurde. So oder anders wäre gemäss dieser Ausgangslage ihr Anspruch auf schweizerische Arbeitslosenentschädigung nach dem Umzug in die Schweiz im Grundsatz zu bejahen (E. 6.3.1 hiervor).
6.3.3 Das Zurückkommen der Verwaltung auf die möglicherweise zu Unrecht erfolgte Unterstellung unter die schweizerische Versicherungspflicht im Zeitpunkt der erstmaligen Geltendmachung eines Anspruchs auf schweizerische Arbeitslosentaggelder durch die ablehnende Verfügung vom 28. Oktober 2010 bzw. den bestätigenden Einspracheentscheid vom 14. Dezember 2010 verletzt das Vertrauensprinzip (E. 5.2 hiervor). Zwar rügt die Beschwerdeführerin dies vorliegend nicht explizit, doch gereicht ihr dies nicht zum Nachteil: Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist daher weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; Urteil 2C_936/2010 vom 24. Dezember 2010 E. 2.3). Dies ist hier der Fall:
Vertrauensgrundlage bildet das Verhalten des zuständigen Trägers der Arbeitslosenversicherung, konkret der Arbeitslosenkasse des Kantons Zug, welche das Formular E 301 ausgestellt hat, damit - abgeleitet vom letzten Beschäftigungsland Schweiz - in Deutschland Arbeitslosengelder bezogen werden konnten. Die von der Arbeitslosenkasse bescheinigten Versicherungszeiten fussen ihrerseits auf der Erfassung der Beschwerdeführerin als Beitragspflichtige durch die Ausgleichskasse Zug (vgl. in diesem Zusammenhang <ref-law>, wonach den kantonalen Ausgleichskassen die Kontrolle über die Erfassung aller Beitragspflichtigen obliegt). Das Formular E 301 betrifft arbeitslose Personen, die ihren Anspruch in einem EU-Staat geltend machen wollen und vorher in der Schweiz gearbeitet haben. Hätte somit die Arbeitslosenkasse des Kantons Zug die Ansicht vertreten, die Schweiz sei nicht das letzte Beschäftigungsland der Beschwerdeführerin vor Eintritt der Arbeitslosigkeit gewesen, so hätte sie das Formular E 301 gar nicht ausfüllen dürfen (zur erhöhten Aussagekraft des Formulars E 101 "Entsendung/Unterstellung: Bescheinigung über die anzuwendenden Rechtsvorschriften": JEAN-MAURICE FRÉSARD/ JEAN MÉTRAL, Le détachement de travailleurs salariés en matière de sécurité sociale, in: Soziale Sicherheit - Soziale Unsicherheit, Festschrift für Erwin Murer zum 65. Geburtstag, 2010, S. 179). Zumindest aber hätte sie mit der (diesfalls fälschlicherweise erfolgten) Ausstellung des Formulars E 301 die Information an die Beschwerdeführerin verbinden müssen, dass die Versicherungsunterstellung in der schweizerischen Sozialversicherung zu Unrecht erfolgt sei und demgemäss die Schweiz nicht als letzter Erwerbsort gelten könne. Da sie dies unterlassen hat, sind die ersten zwei Voraussetzungen für eine Berufung auf den Vertrauensschutz erfüllt.
Auch nach heutigem Wissensstand ist nicht klar, ob eine Versicherungspflicht in der Schweiz bestanden hat (E. 4.3 hiervor). Um diese Frage beantworten zu können, bedürfte es weiterer Abklärungen. Demgemäss kann keine Rede davon sein, dass die Beschwerdeführerin die "Falschunterstellung" ohne weiteres hätte erkennen können. Sie durfte unter den vorliegenden Umständen davon ausgehen, dass die Schweiz als Erwerbsort zu gelten hatte. Die sich aus dieser Annahme ergebenden Konsequenzen, namentlich der gesicherte Anspruch auf schweizerische Arbeitslosentaggelder bei einem Umzug in die Schweiz als letztes Beschäftigungsland (falls auch die übrigen Voraussetzungen zu bejahen sind), waren ihr bekannt (vgl. u.a. Einspracheschrift vom 15. November 2010). Da der Sohn der Beschwerdeführerin bei Eintritt ihrer Arbeitslosigkeit noch die Schule besuchte, war sie darauf angewiesen, in Deutschland wohnhaft zu bleiben, weshalb sie an ihrem damaligen Wohnort Arbeitslosengelder beantragte.
Die Beschwerdeführerin durfte unter den vorliegenden Umständen davon ausgehen, dass sie bei einer Übersiedlung in die Schweiz und anhaltender Arbeitslosigkeit im ihrer Meinung nach letzten Beschäftigungsland Arbeitslosentaggelder beziehen konnte. Deshalb zog sie, nachdem ihr Sohn das Gymnasium abgeschlossen hatte, zu ihrem Lebenspartner in die Schweiz. Hätte sie gewusst, dass die schweizerische Arbeitslosenversicherung einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung nach der Übersiedelung in die Schweiz ablehnen würde, so wäre ihr nichts im Wege gestanden, den Umzug erst zu einem späteren Zeitpunkt zu vollziehen. Bereits von Deutschland aus hatte sie in der Schweiz nach einer Arbeitsstelle gesucht. Dies wäre ihr auch weiterhin möglich gewesen. Indem sie sich auf die Versicherungsunterstellung in der schweizerischen Sozialversicherung und die damit verbundene - durch die von der Arbeitslosenkasse des Kantons Zug mittels Ausstellung des Formulars E 301 bestätigte - Qualifikation der Schweiz als Beschäftigungsland verliess, traf sie eine nachteilige Disposition, indem sie im frühestmöglichen Zeitpunkt in die Schweiz umsiedelte und dadurch (nach bisherigem Verfahrensstand) ihren Anspruch auf Arbeitslosentaggelder in Deutschland und in der Schweiz verlor.
Schliesslich ist eine in casu relevante Änderung der gesetzlichen Ordnung seit Eintritt der Arbeitslosigkeit nicht eingetreten.
7. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Schweiz als letzter Beschäftigungsstaat nach dem Umzug der Beschwerdeführerin für die Ausrichtung von Arbeitslosenentschädigung zuständig ist, sofern die damalige Versicherungsunterstellung richtig war. Diese Frage kann offen bleiben. Handelt es sich nämlich um eine Falschunterstellung, so ist die Schweiz aus Gründen des Vertrauensschutzes dennoch als letzter Beschäftigungsstaat anzusehen. Die Angelegenheit ist bei diesem Ergebnis an die Verwaltung zurückzuweisen, damit sie die übrigen Anspruchsvoraussetzungen nach schweizerischem Arbeitslosenversicherungsrecht prüfe und alsdann über einen allfälligen Leistungsanspruch ab 7. Juli 2010 neu verfüge. Dabei wird sie das in Art. 12 Abs. 1 der Verordnung Nr. 1408/71 statuierte Verbot der Kumulation von Leistungen zu berücksichtigen haben (NUSSBAUMER, a.a.O., S. 2481 Rz. 981).
8. Dem AWA als unterliegender Partei sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen, weil es in seinem amtlichen Wirkungskreis und nicht im eigenen Vermögensinteresse handelt (<ref-law>; <ref-ruling>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 22. März 2011 und der Einspracheentscheid des Amtes für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zürich vom 14. Dezember 2010 aufgehoben werden und die Sache ans Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zürich zurückgewiesen wird, damit es, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Anspruch der Beschwerdeführerin auf Arbeitslosenentschädigung für die Zeit ab 7. Juli 2010 neu verfüge.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Oktober 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz