Sachverhalt:
A. X._ befand sich seit dem 24. Januar 2010 in Untersuchungshaft. Mit Anklageschrift vom 3. März 2010 wurde er unter anderem der qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, eventualiter der Geldwäscherei angeklagt. In der Anklageschrift wurde ihm vorgeworfen, in der Zeit von spätestens dem 7. Januar bis zum 24. Januar 2010 etwa 190 g Kokain verkauft zu haben und damit die auf ihm gefundenen Geldbeträge erzielt zu haben. Das Strafgericht Basel-Stadt verurteilte X._ am 4. Mai 2010 im Sinne der Eventualanklage wegen Geldwäscherei zu einer bedingt vollziehbaren Freiheitsstrafe von 14 Monaten, während es ihn von der Anklage der qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz freisprach. Gleichzeitig wurde die Entlassung aus der Untersuchungshaft angeordnet.
B. Noch am gleichen Tag und bevor X._ aus der Haft entlassen wurde, teilte ein Untersuchungsbeamter des Kantons Basel-Landschaft den Strafverfolgungsbehörden des Kantons Basel-Stadt mit, dass anlässlich einer Hausdurchsuchung, welche am 26. Januar 2010 in einem Strafverfahren gegen eine andere Person durchgeführt worden sei, unter anderem ein Mobiltelefon sowie vier Fingerlinge Kokain gefunden und sichergestellt worden seien. Auf der SIM-Karte des Mobiltelefons sowie der Innenseite eines der vier Fingerlinge seien DNA-Spuren von X._ gesichert worden. Aufgrund dieser Mitteilung wurde X._, der sich noch in der Haftanstalt befand, am 4. Mai 2010 erneut angehalten. Am 6. Mai 2010 ordnete der Haftrichter des Strafgerichts Basel-Stadt Untersuchungshaft an.
C. Eine von X._ am 17. Mai 2010 gegen die Anordnung der Untersuchungshaft erhobene Beschwerde bzw. den Antrag auf Haftentlassung wies der Präsident des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 2. Juni 2010 ab.
D. Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 7. Juli 2010 beantragt X._, der Entscheid des Appellationsgerichtspräsidenten vom 2. Juni 2010 sei aufzuheben und er selbst sei aus der Haft zu entlassen.
E. Der Haftrichter des Strafgerichts Basel-Stadt und die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt verzichten auf eine Vernehmlassung. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt beantragt die Abweisung der Beschwerde.
F. Mit Stellungnahme vom 19. Juli 2010 hält X._ an seiner Beschwerde fest.

Erwägungen:
1. Angefochten ist der Entscheid des Präsidenten des Appellationsgerichts, mit welchem eine Beschwerde gegen die Anordnung der Untersuchungshaft abgewiesen worden ist. Die Sachurteilsvoraussetzungen (<ref-law>) sind unbestritten und erfüllt, weshalb auf die Beschwerde einzutreten ist.
2. Die Untersuchungshaft schränkt die persönliche Freiheit des Beschwerdeführers ein (<ref-law> i.V.m. <ref-law>, Art. 5 EMRK). Bei Beschwerden, die gegen die Anordnung von Untersuchungshaft erhoben werden, prüft das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung des kantonalen Prozessrechts im Hinblick auf die Schwere des Eingriffs frei. Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift es nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 73 f. mit Hinweis).
3. Der Beschwerdeführer macht geltend, nach dem Urteil des Strafgerichts Basel-Stadt vom 4. Mai 2010 hätte gegen ihn keine neue Strafuntersuchung eingeleitet werden dürfen. Nachdem ihm schon in der Anklageschrift vom 3. März 2010 eine qualifizierte Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz vorgeworfen worden sei, könne ihm das gleiche Delikt nicht in einem separatem Verfahren zum Vorwurf gemacht werden. Dies verstosse gegen den Grundsatz "ne bis in idem". Stattdessen hätten die durch die Hausdurchsuchung gewonnenen neuen Erkenntnisse nach Ansicht des Beschwerdeführers in das vom Strafgericht am 4. Mai 2010 erstinstanzlich beurteilte Strafverfahren eingebracht werden müssen. Zuständig für einen Entscheid über die Weiterführung der Untersuchungshaft wäre nach Meinung des Beschwerdeführers das Appellationsgericht gewesen. Der Haftrichter des Strafgerichts sei für die Anordnung der Untersuchungshaft dagegen nicht zuständig gewesen.
3.1 Art. 4 des Protokolles Nr. 7 zur EMRK vom 22. November 1984 (SR 0.101.07; für die Schweiz in Kraft seit 1. November 1988) bestimmt, dass niemand wegen einer strafbaren Handlung, wegen der er bereits nach dem Gesetz oder dem Strafverfahrensrecht eines Staates rechtskräftig verurteilt oder freigesprochen worden ist, in einem Strafverfahren desselben Staates erneut vor Gericht gestellt oder bestraft werden darf (Abs. 1). Der Grundsatz "ne bis in idem" ergibt sich auch aus Art. 14 Abs. 7 des Internationalen Paktes vom 16. Dezember 1966 über bürgerliche und politische Rechte (UNO-Pakt II; SR 0.103.2). Er gilt nach der Praxis des Bundesgerichts ausserdem als Grundsatz des Bundesstrafrechts und lässt sich direkt aus der Bundesverfassung ableiten (<ref-ruling> E. 5.2 S. 367 mit Hinweis). Schliesslich darf, wer rechtskräftig freigesprochen oder verurteilt worden ist, auch gemäss § 26 der Strafprozessordnung des Kantons Basel-Stadt vom 8. Januar 1997 (StPO; SG 257.100) wegen der gleichen Tat nicht noch einmal verfolgt werden.
3.2 Die Anwendung des Prinzips "ne bis in idem" setzt voraus, dass die einer Person vorgeworfene Tat bzw. strafbare Handlung bereits Gegenstand des ersten Verfahrens gebildet hat (<ref-ruling> E. 3c S. 319). Dies ist vorliegend nicht der Fall. Zwar wurde dem Beschwerdeführer bereits in der Anklageschrift vom 3. März 2010 eine qualifizierte Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz vorgeworfen. Entscheidend ist aber nicht der dem Beschwerdeführer vorgeworfene Tatbestand, sondern dass der Tatverdacht, welcher der Anordnung der Untersuchungshaft zu Grunde liegt, auf einem unterschiedlichen Sachverhalt gründet. Im Gegensatz zum dem Beschwerdeführer mit der Anklageschrift vom 3. März 2010 vorgeworfen Verhalten, nämlich eine bestimmte Menge Kokain an nicht ermittelte Abnehmer verkauft und damit die auf ihm gefundenen Geldbeträge erzielt zu haben, ergibt sich der Tatverdacht im nun eingeleiteten Strafverfahren aus dem Umstand, dass bei einer Hausdurchsuchung unter anderem vier Fingerlinge Kokain sowie eine SIM-Karte beschlagnahmt worden sind, die DNA-Spuren des Beschwerdeführers aufwiesen. Das so sichergestellte Kokain war mutmasslich zum Verkauf bestimmt, dem Beschwerdeführer wird aber nicht erneut vorgeworfen, er habe eine bestimmte Menge Kokain für den bei seiner ursprünglichen Festnahme auf ihm gefundenen Geldbetrag verkauft.
3.3 Nicht überzeugend ist sodann das Argument des Beschwerdeführers, die aus der Hausdurchsuchung neu gewonnenen Erkenntnisse hätten in Ergänzung der ursprünglichen Anklage in einem Rechtsmittelverfahren gegen den Entscheid des erstinstanzlichen Strafgerichts vom 4. Mai 2010 noch eingebracht werden können. Aus dem aus Art. 29 Abs. 2 und Art. 32 Abs. 2 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 und Ziff. 3 lit. a und b EMRK abgeleiteten Anklagegrundsatz folgt, dass die Anklage das Prozessthema fixiert, demnach Gegenstand des gerichtlichen Verfahrens sowie des Urteils nur Sachverhalte sein können, die der beschuldigten Person in der Anklageschrift zur Last gelegt werden. Die Anklageschrift darf im Verlaufe des gerichtlichen Verfahrens grundsätzlich nicht geändert werden (Immutabilitätsprinzip; Urteil 6B_1067/2009 vom 31. Mai 2010 E. 2.3; vgl. auch § 24 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Im erstinstanzlich bereits entschiedenen Strafverfahren ausnahmsweise eine verbesserte Anklageschrift einzureichen, kam vorliegend schon deshalb nicht in Frage, weil die Strafuntersuchung hinsichtlich des dem Beschwerdeführer neu vorgeworfenen Verhaltens noch nicht abgeschlossen war.
3.4 Es zeigt sich, dass die Untersuchungsbehörden nicht gegen den Grundsatz "ne bis in idem" verstossen haben, indem sie aufgrund der aus der Hausdurchsuchung gewonnenen Erkenntnisse eine neue Strafuntersuchung gegen den Beschwerdeführer eingeleitet haben. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass die dem Beschwerdeführer im ersten und im zweiten Verfahren vorgeworfenen Handlungen ungefähr den gleichen Zeitraum betreffen. Somit war nach <ref-law> die Haftrichterin oder der Haftrichter zuständig für die Anordnung der Untersuchungshaft.
4. Untersuchungshaft darf nach der kantonalen Strafprozessordnung nur angeordnet werden, wenn die angeschuldigte Person eines Verbrechens, Vergehens oder einer wiederholten Tätlichkeit dringend verdächtigt ist und ausserdem ein besonderer Haftgrund, nämlich Fluchtgefahr, Kollusionsgefahr oder Fortsetzungsgefahr, vorliegt (<ref-law>). Die Untersuchungshaft als Eingriff in die persönliche Freiheit muss ausserdem verhältnismässig sein (<ref-law>).
Dass der Beschwerdeführer der Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz dringend verdächtigt wird, ist unbestritten. Unbehilflich ist nach dem bereits Ausgeführten der Einwand des Beschwerdeführers, es mangle der Haftanordnung an einem dringenden neuen Tatverdacht, weil die neuen Erkenntnisse gegenüber der Anklageschrift vom 3. März 2010 keinen selbstständig zu erhebenden Vorwurf darstellen würden (vgl. dazu E. 3). Auch die für die Untersuchungshaft notwendigen weiteren Voraussetzungen sind unbestritten.
5. Die Beschwerde ist somit abzuweisen. Der Beschwerdeführer hat um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Diese kann nach <ref-law> gewährt werden, soweit die Beschwerdesache nicht aussichtslos ist und der Beschwerdeführer auf einen Rechtsbeistand angewiesen ist. Die vorstehenden Erwägungen haben gezeigt, dass die Beschwerde als aussichtslos zu bezeichnen ist. Demnach ist das Ersuchen abzuweisen. Es rechtfertigt sich indes, auf Kosten zu verzichten (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Strafgericht Basel-Stadt sowie dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Mattle