Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 1. Oktober 2013, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 21. November 2013, stellte das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zug (AWA) A._ für die Dauer von fünf Tagen in der Anspruchsberechtigung ein, weil er den Nachweis seiner persönlichen Arbeitsbemühungen in der Kontrollperiode August 2013 nicht fristgerecht erbracht habe.
B.
In teilweiser Gutheissung der hiegegen erhobenen Beschwerde änderte das Verwaltungsgericht des Kantons Zug diese Erkenntnis dahingehend ab, dass es die Dauer der Einstellung in der Anspruchsberechtigung mit Entscheid vom 31. Januar 2014 auf noch einen Tag reduzierte.
C.
Das AWA beantragt beschwerdeweise die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die Bestätigung seines Einstellungsentscheids.
Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. <ref-law>) - Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Die für die Beurteilung der erhobenen Beschwerde massgebenden gesetzlichen Bestimmungen und die von der Rechtsprechung weiter konkretisierten Grundsätze dazu hat das kantonale Gericht zutreffend dargelegt, worauf verwiesen wird. Es betrifft dies namentlich die Einstellung in der Anspruchsberechtigung mangels hinreichender persönlicher Arbeitsbemühungen resp. rechtzeitigen Nachweises derselben und die nach Massgabe des Verschuldens zu bemessende Dauer einer solchen Einstellung (Art. 30 Abs. 1 lit. c [vgl. auch lit. d] in Verbindung mit <ref-law>, <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; Art. 26 Abs. 2 und 3 AVIV).
2.2. Für das Bundesgericht verbindlich festgestellt (E. 1 hievor) hat die Vorinstanz ferner, dass der Nachweis der persönlichen Arbeitsbemühungen für den Monat August 2013 verspätet bei der Verwaltung eingegangen ist.
3.
3.1. Wie zuvor schon die nunmehr Beschwerde führende Amtsstelle ist auch das kantonale Gericht davon ausgegangen, dass der Beschwerdegegner gestützt auf <ref-law> in seiner Anspruchsberechtigung einzustellen ist, weil er seine Arbeitsbemühungen im Monat August 2013 ohne entschuldbaren Grund nicht rechtzeitig nachgewiesen hat. Das Gericht war jedoch der Ansicht, dass die - auch von der Verwaltung wegen bloss leichten Verschuldens - verfügte Einstellungsdauer von fünf auf noch einen Tag zu reduzieren ist.
3.2. Die Festlegung der Einstellungsdauer stellt eine typische Ermessensfrage dar, deren Beantwortung letztinstanzlicher Korrektur nur mehr dort zugänglich ist, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also Ermessensüber- oder -unterschreitung resp. Ermessensmissbrauch vorliegt (Urteile 8C_838/2013 vom 30. Dezember 2013 E. 3.2, 8C_2/2012 vom 14. Juni 2012 E. 2.2 und 8C_31/2007 vom 25. September 2007 E. 3.1, publiziert in: SVR 2008 ALV Nr. 12 S. 35).
3.3. Der Beschwerdegegner hat die Nachweise seiner bisher sowohl in qualitativer und als auch in quantitativer Hinsicht stets genügend gewesenen persönlichen Arbeitsbemühungen bis Juli 2013 immer rechtzeitig abgeliefert und diese auch für den Monat August 2013 in hinreichender Anzahl erbracht und dokumentiert. Dass er sie - wie in den Monaten zuvor auch - auf elektronischem Weg per E-Mail versandt hat, deren rechtzeitige Übermittlung an die Verwaltung aber nicht geklappt hat, lässt sein Verschulden an der Verwirklichung des Einstellungstatbestandes als minim erscheinen, zumal er - wie die Vorinstanz festhält - nicht absichtlich gehandelt habe. Die durch das kantonale Gericht unter Bezugnahme auf das bundesgerichtliche Urteil 8C_2/2012 vom 14. Juni 2012 erfolgte Herabsetzung der zunächst verfügten Einstellungsdauer von fünf auf noch einen Tag erscheint unter diesen Umständen als durchaus gerechtfertigt und kann nicht als rechtsfehlerhafte Ermessensausübung qualifiziert werden (E. 3.2 hievor; Urteile 8C_838/2013 vom 30. Dezember 2013 E. 3.2 und 8C_2/2012 vom 14. Juni 2012 E. 3.1 und 3.2). Da im vorinstanzlichen Vorgehen weder eine Bundesrechtswidrigkeit zu erkennen ist noch eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung, auf welcher die beanstandete Erkenntnis beruhen sollte (E. 1 hievor), vorliegt, besteht für das Bundesgericht kein Anlass zur beantragten Aufhebung oder einer Abänderung des angefochtenen Entscheids.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin wendet ein, der hier zur Diskussion stehende Fall sei mit dem von der Vorinstanz angeführten Präjudiz (8C_2/2012; vgl. E. 3.3 hievor) nicht vergleichbar, seien dort die erforderlichen Unterlagen doch lediglich fünf Tage nach Ablauf der in <ref-law> vorgesehenen Frist eingereicht worden, während sie hier erst am 3. Oktober und daher fast dreissig Tage zu spät eingingen.
4.2. Dieser Einwand ist unbegründet, ging der Versicherte doch davon aus, das - nach der Aktenlage ausgewiesenermassen - noch im August 2013 ausgefüllte Formular für die Bewerbungsnachweise rechtzeitig per E-Mail übermittelt zu haben. Dass ihm bei dessen Versand offenbar ein Fehler unterlaufen ist, sodass seine Meldung den Adressaten nicht erreichen konnte, wurde ihm erst beim Erhalt der Einstellungsverfügung vom 1. Oktober 2013 bewusst. Wie er sein Missgeschick früher hätte entdecken sollen und etwas zur Vermeidung der Konsequenzen desselben hätte unternehmen können, ist nicht ersichtlich. Massgeblich erscheint, dass ihm bloss ein administratives Versehen unterlaufen ist, dass er schon vor und seit Beginn seiner Arbeitslosigkeit qualitativ und quantitativ sogar überdurchschnittliche (mehr als doppelt so viele wie verlangt) Bewerbungen nachgewiesen und sich auch im Übrigen korrekt verhalten hat. Dies ist ohne Weiteres mit dem im erwähnten Urteil 8C_2/2012 vom 14. Juni 2012 beurteilten Fall vergleichbar. Inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen unter diesen Umständen missbraucht oder sonst wie Bundesrecht verletzt haben sollte (vgl. E. 1 und 3.2 hievor), ist nicht ersichtlich.
Die Beurteilung der Vorinstanz lässt sich auch mit der übrigen bundesgerichtlichen Rechtsprechung (nicht publizierte E. 4.3 von <ref-ruling>; Urteile 8C_194/2013 vom 24. September 2013 und 8C_537/2013 vom 16. April 2014) vereinbaren. In diesen Fällen hatten die Betroffenen ihre Bewerbungsunterlagen nicht eingereicht oder konnten dies nicht nachweisen. In der vorliegenden Sache steht jedoch fest, dass der Versicherte seine Bewerbungen per mail einreichen wollte, dieser Versuch aber infolge eines technischen Versehens missriet. Aus der Sicht des Betroffenen hat dieser daher alles getan, um seiner Verpflichtung nachzukommen.
4.3. Damit kann offenbleiben, ob der in den Richtlinien des Staatssekretariats für Wirtschaft (SECO) enthaltene Einstellraster (Einstellraster für KAST/RAV, in: AVIG-Praxis ALE/D72 [vom Oktober 2011]), welcher für eine (erstmalig) verspätete Einreichung der Nachweise der persönlichen Arbeitsbemühungen die gleiche Sanktion vorsieht wie für (erstmals) ganz unterbliebene Bemühungen, überhaupt gesetzes- resp. verordnungskonform ist. Für die Festsetzung der Einstellungsdauer kommt es einzig auf die nach dem Gesamtverhalten der versicherten Person zu beurteilende Schwere ihres Verschuldens an. Dieses für beide genannten Varianten gleich hoch anzusetzen, erscheint im Hinblick auf das Mass der Verletzung der Schadenminderungspflicht zumindest als fragwürdig. Während die versicherte Person im einen Fall ihrer Pflicht, sich um Arbeit zu bemühen gar nicht nachkommt und damit ihre Aussichten auf ein baldiges Ende ihrer Arbeitslosigkeit nicht verbessert werden, verschlechtern sich die Chancen, eine Anstellung zu finden, bei zwar gesetzeskonform tatsächlich erfolgten, aber verspätet nachgewiesenen Arbeitsbemühungen nicht.
Nichts zu ihren Gunsten ableiten kann die Beschwerdeführerin im Übrigen auch daraus, dass die vom kantonalen Gericht auf lediglich einen Tag festgesetzte Einstellungsdauer tiefer liegt als dies der erwähnte Einstellraster des SECO vorsieht. Für die Festsetzung der Einstellungsdauer kommt es wie erwähnt einzig auf die nach dem Gesamtverhalten der versicherten Person zu beurteilende Schwere des Verschuldens an. Wenn die konkreten Verhältnisse, namentlich Überlegungen zur Verhältnismässigkeit der Einstellungsdauer, dies gebieten, ist gegen eine Unterschreitung des vom SECO vorgesehenen Rahmens der Einstellungsdauer nichts einzuwenden (vgl. bereits mehrfach erwähntes Urteil 8C_2/2012 vom 14. Juni 2012 E. 3.2).
5.
Das Verfahren wäre grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>), doch sind der in ihrem amtlichen Wirkungskreis und nicht in ihrem eigenen Vermögensinteresse handelnden Amtsstelle keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-ruling> E. 4 S. 640 ff.; <ref-law>). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner steht trotz seines Obsiegens keine Parteientschädigung nach <ref-law> zu, zumal es nicht einmal zu einem Schriftenwechsel gekommen ist und er somit auch keine Auslagen zu verzeichnen hatte.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Juni 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Krähenbühl