Sachverhalt:
A.
Die Eidgenössische Invalidenversicherung (Klägerin, Beschwerdeführerin) hatte der Geschädigten A._ aus einem Auffahrunfall insgesamt Fr. 140'661.-- geleistet. Der Betrag betrifft Umschulungskosten (Schulgeld, Taggelder, Kinderrenten). Die Klägerin forderte vom NVB-Nationales Versicherungsbüro Schweiz (Beklagter, Beschwerdegegner), der gemäss <ref-law> die Schäden ausländischer Motorfahrzeugführer zu decken hat, die regressweise Erstattung von 80 % dieser Leistungen, nämlich Fr. 112'529.-- für den Zeitraum vom 1. Februar 2003 bis 10. August 2005. Der Beklagte bestritt eine Leistungspflicht, namentlich weil die Versicherte im genannten Zeitraum in ihrer angestammten Berufstätigkeit im haftpflichtrechtlichen Sinn nicht arbeits-/erwerbsunfähig gewesen sei und daher keinen zu den IV-Leistungen sachlich kongruenten Haftpflichtschaden (Erwerbsausfall) erlitten habe.
B.
B.a. Mit Klage beim Bezirksgericht Zürich beantragte die Klägerin, der Beklagte sei zu verurteilen, ihr Fr. 112'529.-- nebst verschiedenen Zinsbetreffnissen zu bezahlen. Das Bezirksgericht Zürich schützte die Klage mit Urteil vom 1. Februar 2013 unter Kosten- und Entschädigungsfolgen für den Beklagten.
B.b. Die gegen dieses Urteil erhobene Berufung des Beklagten hiess das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 12. Dezember 2013 gut. Es wies die Klage ab und auferlegte die Kosten für beide Instanzen der Klägerin, die zudem verpflichtet wurde, den Beklagten für das erstinstanzliche Verfahren mit Fr. 11'652.-- und für das Berufungsverfahren mit Fr. 6'480.-- (Fr. 6'000.-- zuzüglich Fr. 480.-- Mehrwertsteuer) zu entschädigen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Klägerin dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 12. Dezember 2013 sei aufzuheben und die Sache sei zu neuer Entscheidung durch einen verfassungs- und gesetzmässig zusammengesetzten Spruchkörper an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei das angefochtene Urteil aufzuheben und der Beklagte gemäss Klagebegehren zu verpflichten. Subeventuell sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner stellt das Begehren, auf den Antrag, das Urteil wegen verfassungswidrigen Spruchkörpers aufzuheben, sei nicht einzutreten. Der Antrag auf Aufhebung des Urteils wegen gesetzeswidrigen Spruchkörpers und die weiteren Rechtsbegehren seien abzuweisen.
Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdeführerin reichte unaufgefordert eine Replik ein.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 27. Februar 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
1.1. Wird ein Ablehnungsgrund gegen einen bei einem kantonalen Entscheid mitwirkenden Richter erst nach Abschluss des Verfahrens entdeckt, kann dies mit Beschwerde in Zivilsachen gerügt werden (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 122 f.).
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen (<ref-law>) Endentscheid (<ref-law>). Der für Beschwerden in Zivilachen erforderliche Streitwert nach <ref-law> ist gegeben.
1.2. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht der Beschwerdeführerin (<ref-law>) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4 S. 400; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.3. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz im Hinblick auf ihren Hauptantrag eine Verletzung von <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> vor.
Der Beschwerdegegner macht geltend, auf die Rügen betreffend die Verletzung von <ref-law> und Art. 6 EMRK und entsprechend auf den Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Urteils wegen verfassungswidrigem Spruchkörper sei nicht einzutreten, da die Beschwerdeführerin den Rügeerfordernissen nicht zu genügen vermöge. Die Beschwerdeführerin beruft sich zur Begründung ihres Hauptantrags aber nicht nur auf <ref-law> und Art. 6 EMRK, sondern auch auf <ref-law>, namentlich auf die Generalklausel gemäss <ref-law>. Mit den in <ref-law> aufgelisteten Ausstandsgründen konkretisiert das Gesetz den verfassungsmässigen Anspruch auf einen unabhängigen und unparteiischen Richter gemäss <ref-law>; im Rahmen der Konkretisierung der Generalklauseln sind daher die aus <ref-law> fliessenden Grundsätze zu beachten (<ref-ruling> E. 2.2 a.E. S. 441; vgl. hiernach E. 4.1 f.). Folglich kommt die Beschwerdeführerin ihrer Rügepflicht nach, wenn sie begründet, weshalb eine Verletzung von <ref-law> vorliegt und sich dabei auf die vom Bundesgericht zu <ref-law> entwickelten Grundsätze beruft.
1.4. Nach <ref-law> können neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Dabei kann es sich namentlich um Tatsachen und Beweismittel handeln, die sich auf das vorinstanzliche Verfahren beziehen, etwa eine behauptete Unregelmässigkeit in der Zusammensetzung des vorinstanzlichen Spruchkörpers (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123 mit Hinweis; Urteil 4A_503/2013 vom 5. März 2014 E. 2).
Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerin macht einen Ausstandsgrund gegen Oberrichterin Lichti Aschwanden geltend, die ordentliches Mitglied der II. Zivilkammer des Obergerichts ist und beim angefochtenen Entscheid mitgewirkt hat.
2.1. Sie beruft sich einerseits auf die Anwaltstätigkeit des Ehemannes der Oberrichterin, der seit Jahren wiederholt von der Versicherung F._ AG zu deren Vertretung in Haftpflichtprozessen mandatiert worden sei. In wie vielen Fällen dies der Fall gewesen sei, wisse sie nicht. Namentlich erwähnt sie je ein Verfahren aus den Jahren 2012 und 2013 sowie ein Verfahren aus dem Jahr 1997. Andererseits macht sie geltend, in der Anwaltskanzlei des Ehemannes arbeite seit 2011 dessen Bruder und Schwager der Oberrichterin, der in der Zeit von 1985 bis 2008 bei der Versicherung F._ AG als Leiter des Regionalsitzes Zürich und Mitglied der Direktion tätig gewesen sei. Die Versicherung F._ AG habe den Direktschaden mit der geschädigten A._ bearbeitet. Bei dessen Erledigung sei der Schwager involviert gewesen. Zwar figuriere auf der Beklagtenseite formell das Nationale Versicherungsbüro Schweiz. Geschäftsführender Vertreter des Nationalen Versicherungsbüros sei jedoch die Versicherung F._ AG und diese habe den Prozess denn auch materiell geführt. In Anwendung der in <ref-ruling> zusammengefassten und entwickelten Grundsätze, müsse daher gegenüber der Oberrichterin wegen dieser ausgesprochenen Nähe ihres engsten persönlichen Umfeldes zur Versicherung F._ AG, ein Anschein von Befangenheit bejaht werden.
2.2. Der Beschwerdegegner hält dem entgegen, der Schwager der Oberrichterin sei bei der Versicherung F._ AG nur bei der Regulierung des Direktschadens im Jahr 2006 involviert gewesen, der lediglich den Haushaltschaden, die Genugtuung und die Rechtsvertretungskosten betroffen habe. Die Auseinandersetzung über die vorliegend im Streit liegende Regressforderung habe erst im Juni 2008 begonnen, als er nicht mehr bei der Versicherung F._ AG angestellt gewesen sei. Zudem sei die Versicherung F._ AG materiell nicht betroffen, weil es ausschliesslich um eine Haftung des ausländischen Haftpflichtversicherers gehe. Ein Ausstandsgrund gemäss <ref-law> liege offensichtlich nicht vor, da weder der Ehemann noch der Schwager der Oberrichterin den Beschwerdegegner vertreten habe. Objektiv betrachtet könne auch nicht von einem Anschein der Befangenheit "aus anderen Gründen" (<ref-law>) ausgegangen werden.
3.
3.1. Wer eine Justizperson wegen Befangenheit ablehnen will, muss sein Begehren einreichen, sobald er vom Ausstandsgrund Kenntnis erhalten hat und diesen sinnvollerweise darzutun bzw. die entsprechenden Umstände glaubhaft zu machen vermag. Andernfalls ist der Anspruch auf seine spätere Anrufung verwirkt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124; <ref-ruling> E. 2.2 S. 4 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-law>). Es widerspricht Treu und Glauben, wenn eine Partei einen Ausstandsgrund zurückhält und ihn erst vorbringt, wenn das Gericht einen für sie negativen Entscheid fällt (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124; <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 609). Das bedeutet allerdings nicht, dass das Gericht im Vorfeld die Zusammensetzung des Spruchkörpers mitteilen muss. Es genügt, wenn sich die Namen der ordentlichen Mitglieder einer Abteilung oder Kammer aus öffentlich zugänglichen Quellen (z.B. Staatskalender, Internet) ergeben (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124 f.; Urteil 5A_335/2010 vom 6. Juli 2010 E. 2.2.2).
3.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, erst mit Zustellung des obergerichtlichen Urteils von der Mitwirkung durch Oberrichterin Lichti Aschwanden erfahren zu haben. In allen vorangegangenen Verfahrensschritten seit der Eröffnung des erstinstanzlichen Entscheids seien immer andere Personen zuständig gewesen und das Obergericht habe die Zusammensetzung des Spruchkörpers nicht vorgängig bekannt gegeben. Überdies habe sie denn auch erst nach Erhalt des angefochtenen Entscheids von Rechtsanwalt C._, mit welchem sie den Entscheid in gewissen materiellen Punkten besprochen habe, erfahren, dass D._ der Schwager der Oberrichterin sei und es sich bei Rechtsanwalt E._ um ihren Ehemann handle, der regelmässig mit Prozessmandaten der Versicherung F._ AG betraut sei. Vor Erlass des Entscheids habe sie davon nichts gewusst und hätte auch keinen Anlass gehabt, in diese Richtung Nachforschungen zu tätigen.
3.3. Allein daraus, dass die Zusammensetzung des Spruchkörpers vorgängig nicht mitgeteilt wurde, kann die Beschwerdeführerin nichts ableiten (vgl. E. 3.1). Indessen ergibt sich vorliegend der geltend gemachte Ausstandsgrund nicht unmittelbar aus der Kenntnis der Person der Richterin (z.B. aus deren Verhalten im Prozess), sondern erst aus den weiteren Umständen, die deren Befangenheit begründen sollen (vgl. Urteil 2C_171/2007 vom 19. Oktober 2007 E. 4.2.2). Die Beschwerdeführerin hat diesbezüglich glaubhaft gemacht, dass sie diese Umstände erst bei Besprechung des Entscheids mit Rechtsanwalt C._ erfahren hat. Der Anspruch auf Geltendmachung des Ausstands ist daher nicht verwirkt.
4.
4.1. Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch darauf, dass ihre Streitsache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Richter beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, die ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das gerichtliche Urteil einwirken. <ref-law> soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen (<ref-ruling> E. 2.1.2 S. 435 f.; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124; <ref-ruling> E. 2.2 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 229; <ref-ruling> E. 3.1 S. 210).
Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird bereits verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten aufscheinen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit hervorrufen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 436; <ref-ruling> E. 5.1 S. 125; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124; <ref-ruling> E. 2.2 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 229; <ref-ruling> E. 3.1 S. 210; je mit Hinweisen).
4.2. <ref-law> umschreibt die Ausstandsgründe auf Gesetzesebene. Neben den persönlichen Beziehungen gemäss Abs. 1 lit. b-e, die ohne weiteres einen Ausstand begründen, enthält <ref-law> eine Generalklausel ("aus anderen Gründen"). <ref-law> wird durch einen weiteren generalklauselartig umschriebenen Ausstandsgrund (<ref-law>) ergänzt, für den Fall, dass ein "persönliches Interesse" auf Seiten der Gerichtsperson vorliegt. Vergleichbare Generalklauseln finden sich auch in <ref-law>.
Im Rahmen der Konkretisierung der Generalklauseln sind die aus <ref-law> fliessenden Grundsätze zu beachten (<ref-ruling> E. 2.2 S. 441). Zu den persönlichen Interessen gemäss <ref-law> gehören nicht nur solche, welche die Gerichtsperson direkt, sondern auch solche, die sie indirekt betreffen. Dabei ist vorausgesetzt, dass die Gerichtsperson eine spürbare persönliche Beziehungsnähe zum Streitgegenstand aufweist. Das Interesse kann materiell oder ideell sein und es kann die rechtliche oder die tatsächliche Situation beeinflussen. Es muss aber, um die richterliche Unabhängigkeit in Frage zu stellen, die betreffende Gerichtsperson nicht nur allgemein berühren, sondern die persönliche Interessensphäre spürbar und mehr als diejenige anderer Gerichtspersonen tangieren. Das Interesse kann auch über die Beziehung zu einer Drittpartei gegeben sein, die dem Richter einen Vor- oder Nachteil im Zusammenhang mit dem Ausgang des Rechtsstreits verschaffen kann (vgl. Urteil 4A_162/2010 vom 22. Juni 2010 E. 2.2 zu <ref-law>), oder weil eine direkte oder indirekte Betroffenheit einer Person zu bejahen ist, mit welcher die Gerichtsperson im Sinne von <ref-law> persönlich verbunden ist (David Rüetschi, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2010, N. 10 zu <ref-law>).
4.3. Das Bundesgericht hatte sich wiederholt mit Fällen zu befassen, in denen ein nebenamtlicher Richter (oder Schiedsrichter) wegen seiner hauptamtlichen Tätigkeit in einer Anwaltskanzlei mit einer Prozesspartei besonders verbunden war:
4.3.1. Es erklärte, ein als Richter amtender Anwalt erscheine als befangen, wenn zu einer Partei ein noch offenes Mandat bestehe oder er für eine Partei in dem Sinne mehrmals anwaltlich tätig geworden sei, dass eine Art Dauerbeziehung bestehe. Das gelte unabhängig davon, ob das Mandat in einem Sachzusammenhang mit dem zu beurteilenden Streitgegenstand stehe oder nicht (<ref-ruling> E. 2.1.4 S. 437; <ref-ruling> E. 5.3 und 5.4 S. 407 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 15 f.; je mit Hinweisen). In solchen Fällen geht das Bundesgericht ungeachtet der weiteren konkreten Umstände von einem Anschein der Befangenheit aus (<ref-ruling> E. 2.1.4 S. 437 mit Hinweis).
4.3.2. Ein Anschein der Befangenheit ergibt sich nach der Rechtsprechung auch daraus, dass nicht ein nebenamtlicher Richter selbst, sondern ein anderer Anwalt seiner Kanzlei ein Mandat mit einer Prozesspartei unterhält bzw. kurz zuvor oder im Sinn eines Dauerverhältnisses mehrmals unterhalten hat. Denn der Mandant erwarte nicht nur von seinem Ansprechpartner innerhalb der Anwaltskanzlei, sondern von deren Gesamtheit Solidarität. Die einheitliche Betrachtung entspreche auch dem anwaltlichen Berufsrecht, das im Hinblick auf einen Interessenkonflikt alle in einer Kanzleigemeinschaft zusammengefassten Anwälte wie einen Anwalt behandle (<ref-ruling> E. 2.1.5 S. 438 mit Hinweisen).
4.3.3. Schliesslich bejahte das Bundesgericht eine besondere Verbundenheit und damit den Anschein der Befangenheit, wenn ein offenes Mandat des als nebenamtlicher Richter tätigen Anwalts oder seiner Kanzlei nicht nur zu einer Verfahrenspartei, sondern auch zu einer mit dieser eng verbundenen Person (Konzernschwester) bestehe. In einem solchen Fall wäre im Hinblick auf den massgebenden Gesichtspunkt des Anscheins der Befangenheit ein streng schematisches und auf die rechtliche Unabhängigkeit abstellendes Vorgehen verfehlt (vgl. auch <ref-ruling> E. 2.1.6 S. 439 f.).
4.4. Gestützt auf den verfassungsrechtlichen Anspruch auf einen unparteiischen Richter bejahte das Bundesgericht sodann einen Ablehnungsgrund wegen der familiären Nähe, wenn ein Richter einen Entscheid zu fällen hat, der Einfluss auf ein Verfahren haben kann, in das der Ehemann der Schwester seiner Frau verwickelt ist (<ref-ruling> E. 3b S. 174).
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin beruft sich zwar auf <ref-law>, macht aber zu Recht nicht geltend, der Ehemann bzw. der Schwager der Oberrichterin würden die Versicherung F._ AG im vorliegenden Verfahren vertreten. Diese Bestimmungen sind daher unmittelbar nicht anwendbar.
5.2. Vielmehr beruft sich die Beschwerdeführerin auf die in <ref-ruling> zusammengefassten und entwickelten Grundsätze (oben E. 4.3).
5.2.1. Die Versicherung F._ AG ist formell nicht Partei. Beschwerdegegner ist das Nationale Versicherungsbüro Schweiz (NVB), ein Verein, der von den in der Schweiz zum Betrieb der Motorfahrzeug-Haftpflichtversicherung zugelassenen Versicherungseinrichtungen gemeinsam betrieben wird (<ref-law>). Gemäss <ref-law> kann der NVB die Erfüllung der ihm obliegenden Aufgaben einem geschäftsführenden Versicherer übergeben. Seit der Gründung des Vereins wird diese Aufgabe von der Versicherung F._ AG wahrgenommen. Inwieweit die Versicherung F._ AG in dieser Funktion dem NVB bzw. dem ausländischen Versicherer gegenüber in der Verantwortung steht bzw. entschädigt wird, ist nicht im Einzelnen bekannt. Immerhin wird in einem Schreiben vom 5. Juli 2006 der damaligen Rechtsvertreterin der Versicherten an die Versicherung F._ AG auf ein Gespräch mit dem Sachbearbeiter Bezug genommen, wonach dieser darauf hingewiesen habe, dass die Versicherung F._ AG ihrerseits gegenüber der deutschen Haftpflichtversicherung Rechenschaft ablegen müsse. Es trifft sodann zu, wie die Beschwerdeführerin unter Hinweis auf eine Vielzahl von Aktenstücken geltend macht, dass die Versicherung F._ AG den Schadenfall wie einen eigenen abgewickelt hat. Namentlich schloss sie mit der Versicherten die "Vereinbarung über die Auszahlung von Versicherungsleistungen" mit folgendem Wortlaut: "Sie [die Versicherte] erklärt sich damit für die ihr aus diesem Schadenereignis erwachsenen Ansprüche an die Gesellschaft 'F._' und an den Halter sowie den Lenker des versicherten Fahrzeugs wie auch an das Nationale Versicherungsbüro Schweiz, ebenso gegenüber der ausländischen Motorfahrzeug-Haftpflichtversicherung SV Gebäudeversicherung, Stuttgart, als abgefunden". Die Versicherte erklärte sich also ausdrücklich auch gegenüber der Versicherung F._ AG als abgefunden. Ein eigenes Interesse der Versicherung F._ AG an der Abwicklung des Schadenfalls, wozu auch das streitgegenständliche Verfahren gehört, kann nicht verneint werden. Bei der Versicherung F._ AG handelt es sich somit zwar nicht um eine Verfahrenspartei, jedoch um eine mit einer solchen eng verbundenen Person im Sinne der Rechtsprechung (vgl. E. 4.3.3).
5.2.2. Die Vergleichbarkeit mit der in <ref-ruling> beurteilten Streitsache sieht die Beschwerdeführerin darin, dass der Ehemann die Versicherung F._ AG in früheren Verfahren vertreten habe (vgl. E. 4.3.1) und die Nähe zwischen Ehemann und Richtergattin ähnlich sei wie jene zwischen zwei Anwälten der gleichen Bürogemeinschaft (vgl. E. 4.3.2).
Eine Dauerbeziehung im Sinn der Rechtsprechung ist glaubhaft gemacht. Zwar konnte die Beschwerdeführerin nur drei konkrete Fälle benennen, jedoch über einen grösseren Zeitraum. Hinzu kommt namentlich, dass der Ehemann mit seinem Bruder ein ehemaliges Direktionsmitglied der Versicherung F._ AG in sein Anwaltsbüro aufnahm und es naheliegt, dass auf diese Weise Haftpflichtfälle der Versicherung F._ AG akquiriert werden. Schliesslich hat der Beschwerdegegner auch nicht bestritten, dass der Ehemann gemäss Hinweis des konsultierten Rechtsanwalts regelmässig mit Prozessmandaten der Versicherung F._ AG betraut sei.
Jedoch kann die vorliegende Situation nicht ohne weiteres mit der Betreuung eines Dauermandats durch einen Bürokollegen eines nebenamtlichen Richters/Anwalts gleichgesetzt werden. Die Begründung in <ref-ruling> - dass ein Mandant Solidarität nicht nur von seinem Ansprechpartner in der Anwaltskanzlei, sondern von deren Gesamtheit erwarte, und dass auch im anwaltlichen Berufsrecht bei Interessenkonflikten die in einer Kanzleigemeinschaft zusammengefassten Anwälte wie ein Anwalt behandelt werden (vgl. E. 4.3.2) - trifft auf ein Ehepaar so nicht zu. Immerhin lässt sich argumentieren, dass ein persönliches Interesse der Oberrichterin im Sinne von <ref-law> darin gesehen werden kann, dass ihr Ehemann wegen des Dauermandats indirekt vom Ausgang des Prozesses betroffen ist (vgl. vorne E. 4.2 a.E.). Es kann jedoch offenbleiben, ob dies als Ausstandsgrund genügen könnte. Vorliegend kommen weitere Gründe hinzu:
5.2.3. Es ist ausgewiesen, dass der Bruder des Ehemannes und heutiger Bürokollege, der in der Zeit von 1985 bis 2008 Mitglied der Direktion bei der Versicherung F._ AG war, im Jahr 2006 an der vergleichsweisen Erledigung des Direktschadens (Haushaltschaden, Genugtuung und Rechtsvertretungskosten) mit der Versicherten beteiligt war. Das ergibt sich einerseits aus dem Schreiben der damaligen Rechtsvertreterin der Versicherten vom 5. Juli 2006, das an ihn persönlich gerichtet ist und dem von ihm mitunterzeichneten Antwortschreiben vom 12. Juli 2006. Beide Schreiben zeigen, dass der Vergleich massgeblich aufgrund seiner Einflussnahme zustande kam.
Der Beschwerdegegner wendet ein, dieser Vergleich habe nicht "Schadenkategorien" betroffen, für welche die Beschwerdeführerin hier Regress nehmen wolle, und ausserdem auch eine andere Partei. Unter Hinweis auf ein Schreiben der SVA St. Gallen an die Versicherung F._ AG vom 9. Juni 2008 macht er geltend, dass die Auseinandersetzung mit der Beschwerdeführerin über den Regress erst im Juni 2008 begonnen habe, nachdem der Bruder des Ehemannes aber bereits am 21. Dezember 2007 aus der Versicherung F._ AG ausgeschieden war. Er sei daher nie in das vorliegende Regressverfahren involviert gewesen.
Es kann offenbleiben, ob sich die Streitigkeit nicht schon länger abzeichnete. Der Regress betrifft Umschulungskosten für den Zeitraum bis zum 10. August 2005 und die Rechtsvertreterin der Versicherten erwähnte bereits in ihrem Schreiben vom 5. Juli 2006 an das damalige Direktionsmitglied der Versicherung F._ AG, ihre Mandantin sei dankbar "für die Ermöglichung eines kaufmännischen Berufsabschlusses durch die IV". Eine Umschulung setzt voraus, dass die Versicherte in der bisherigen bzw. den ihr ohne zusätzliche Ausbildung offenstehenden Erwerbstätigkeiten eine Erwerbseinbusse erleidet. Dem Bruder des Ehemannes und Schwager der Oberrichterin, der gemäss Webseite des Anwaltsbüros Fachspezialist im Haftpflichtrecht sowie für Sozialversicherungsleistungen und Regresse ist, war somit im Zeitpunkt des Vergleichsabschlusses mit der Versicherten zweifellos bewusst, dass die von der Beschwerdeführerin verfügte Umschulung eine Regressproblematik beinhaltete. Er war demnach zwar nicht am vorliegenden Prozess beteiligt, doch war er massgeblich für Leistungen verantwortlich, welche auf dem gleichen Lebenssachverhalt und zum Teil den gleichen Leistungsvoraussetzungen beruhten, und es ist glaubhaft, dass ihm auch die Regressfrage bekannt war.
5.2.4. Insgesamt besteht daher über ihren Ehemann und ihren Schwager eine derartige Nähe zu dem die Regressforderung bestreitenden Beschwerdegegner, dass die Oberrichterin wegen des Anscheins der Befangenheit hätte in den Ausstand treten müssen. Das angefochtene Urteil ist aus diesem Grund aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung, durch einen verfassungs- und gesetzmässig zusammengesetzten Spruchkörper, an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dies rechtfertigt sich umso mehr, als gemäss <ref-law> eine betroffene Gerichtsperson einen möglichen Ausstandsgrund von sich aus vorgängig offenlegen muss (vgl. auch 4A_162/2010 vom 22. Juni 2010 E. 2.3).
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdegegner kosten- und entschädigungspflichtig (<ref-law> und <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts Zürich vom 12. Dezember 2013 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Mai 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Reitze