Faits:
A. C._, née en 1975, physiothérapeute, a été affiliée en qualité de personne exerçant une activité indépendante à la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation (ci-après: la caisse de compensation). Elle a accouché d'un fils le 25 septembre 2005. Le 9 novembre 2005, elle a présenté à la caisse de compensation une demande d'allocation de maternité. Elle a indiqué avoir travaillé comme physiothérapeute indépendante jusqu'au 31 juillet 2005 et que la reprise du travail était prévue pour le 1er février 2006, à raison de 20 %. Elle a répondu par la négative à la question : «Avez-vous, au moment de l'accouchement ou dans les neuf mois qui ont précédé l'accouchement, été empêchée de travailler, totalement ou partiellement, pour cause de maladie ou d'accident?».
Par décision du 10 novembre 2005, la caisse de compensation a refusé d'allouer l'allocation prétendue, au motif que la requérante n'exerçait pas une activité indépendante à la date de l'accouchement, attendu qu'elle avait travaillé comme physiothérapeute indépendante jusqu'au 31 juillet 2005 seulement.
C._ a formé opposition le 5 décembre 2005. Elle a exposé qu'à partir du septième mois de sa grossesse, elle avait souffert d'importantes douleurs dans la région lombosacrée. Ces problèmes l'avaient d'abord obligée à réduire l'exercice de sa profession au cours du mois de juillet 2005 puis de la suspendre à partir du 1er août suivant. La douleur était devenue «invalidante» au point qu'elle devait utiliser une canne anglaise pour se déplacer. Son état ne lui avait pas permis de suivre un traitement médicamenteux avec des anti-inflammatoires pendant toute la période de la grossesse, en raison d'un risque de malformation cardiaque chez le foetus. Elle n'était pas en possession d'une attestation d'arrêt de travail de son médecin traitant, car elle avait estimé que les troubles de ce genre, accompagnant souvent les derniers mois de grossesse, disparaissaient la plupart du temps spontanément à l'accouchement. De plus, elle était au bénéfice d'une assurance perte de gain en cas de maladie ou d'accident avec un délai d'attente de 90 jours, raison pour laquelle elle n'avait pas demandé à son médecin d'attester une incapacité de travail à l'intention de l'assureur. Elle a produit une attestation du 30 novembre 2005 du docteur O._, spécialiste FMH en gynécologie et obstétrique, dans laquelle celui-ci signalait d'importantes lombalgies en cours de grossesse dès le mois de juillet 2005. Elle a également déposé une déclaration par laquelle un physiothérapeute certifiait l'avoir traitée pour des douleurs de la région lombosacrée durant la période du 30 juin au 21 septembre 2005.
Par décision du 21 décembre 2005, la caisse de compensation a rejeté l'opposition au motif qu'à la date de l'accouchement l'intéressée n'exerçait plus une activité lucrative indépendante, qu'elle n'était ni en arrêt de maladie (les certificats déposés ne faisant pas mention d'un arrêt de travail) ni au bénéfice d'une indemnité journalière en cas de maladie. La caisse indiquait par ailleurs qu'elle avait procédé à la radiation de l'intéressée du rôle de ses affiliés indépendants.
B. Statuant le 4 juillet 2006, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé contre cette décision par C._.
C. C._ interjette un recours de droit administratif dans lequel elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et de la décision sur opposition, à la constatation qu'elle était toujours affiliée à la caisse de compensation en qualité d'indépendante à la date de son accouchement et à la reconnaissance de son droit à une allocation de maternité. Elle demande que le dossier soit renvoyé à la caisse de compensation pour qu'elle fixe le montant de l'allocation et procède à sa réaffiliation à partir du 1er août 2005.
La caisse de compensation renonce à présenter des observations sur le recours. Quant à l'Office fédéral des assurances sociales, il ne s'est pas déterminé.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur l'application de la loi fédérale sur les allocations pour perte de gain en cas de service et de maternité (Loi sur les allocations pour perte de gain [LAPG]) dans sa version entrée en vigueur le 1er juillet 2005. Les décisions sur opposition prises en vertu de cette loi peuvent faire l'objet d'un recours au tribunal cantonal des assurances (art. 56 et 57 LPGA), dont les jugements ouvrent à leur tour la voie du recours de droit administratif au Tribunal fédéral des assurances (<ref-law> en corrélation avec l'art. 128 OJ).
2. L'<ref-law> définit le cercle des ayants droit à l'allocation de maternité. Cette disposition a la teneur suivante:
1 Ont droit à l'allocation les femmes qui:
a. ont été assurées obligatoirement au sens de la LAVS durant les neuf mois précédant l'accouchement;
b. ont, au cours de cette période, exercé une activité lucrative durant cinq mois, et
c. à la date de l'accouchement:
1. sont salariées au sens de l'art. 10 de la loi du 6 octobre 2000 sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA),
2. exercent une activité indépendante au sens de l'art. 12 LPGA, ou
3. travaillent dans l'entreprise de leur mari contre un salaire en espèces.
2 La durée d'assurance prévue à l'al. 1, let. a, est réduite en conséquence si l'accouchement intervient avant la fin du 9e mois de grossesse.
3 Le Conseil fédéral règle le droit à l'allocation des femmes qui, pour cause d'incapacité de travail ou de chômage:
a. ne remplissent pas les conditions prévues à l'al. 1, let. a;
b. ne sont pas considérées comme salariées ou indépendantes au moment de l'accouchement.
Se fondant sur la délégation de compétence de l'<ref-law>, le Conseil fédéral a adopté des dispositions concernant les mères au chômage et les mères en incapacité de travail. L'art. 29 du règlement sur les allocations pour perte de gain (RAPG) prévoit ceci:
La mère qui est au chômage au moment de l'accouchement ou qui, en raison d'une période de chômage, ne remplit pas la condition de la durée d'activité lucrative minimale prévue par l'art. 16b, al. 1, let. b, LAPG a droit à l'allocation:
a. si elle a perçu des indemnités de l'assurance-chômage jusqu'à l'accouchement, ou
b. si elle remplissait la condition de la période de cotisation nécessaire prévue par la loi fédérale du 25 juin 1982 sur l'assurance-chômage pour percevoir des indemnités au moment de l'accouchement.
Quant à l'<ref-law>, il a la teneur suivante:
1 La mère qui est en incapacité de travail au moment de l'accouchement ou qui, en raison d'une période d'incapacité de travail, ne remplit pas la condition de la durée d'activité minimale prévue par l'art. 16b, al. 1, let. b, LAPG a droit à l'allocation si, jusqu'à l'accouchement, elle a perçu:
a. des indemnités pour perte de gain en cas de maladie ou d'accident d'une assurance sociale ou privée, ou
b. des indemnités journalières de l'assurance-invalidité.
2 La mère qui ne remplit pas les conditions de l'al. 1 a droit à l'allocation si elle bénéficiait d'un rapport de travail encore valable au moment de l'accouchement et qu'elle avait précédemment épuisé son droit au salaire.
3. L'<ref-law> subordonne ainsi le droit à l'allocation aux trois conditions cumulatives suivantes (voir à ce propos Christian Bruchez, La nouvelle assurance-maternité et ses effets sur le droit du contrat de travail, in: SJ 2005 II, p. 252 ss; Olivier Subilia, La nouvelle loi sur les allocations pour perte de gain et maternité, in: PJA 12/2005, p. 1472):
a) La condition d'assurance, qui doit être remplie pendant les neuf mois précédant l'accouchement. La qualité d'assurée au sens de la LAVS est définie à l'<ref-law> (principalement les personnes domiciliées en Suisse et les personnes qui exercent une activité lucrative en Suisse);
b) Au cours de cette période d'assurance, la femme doit avoir exercé une activité lucrative durant cinq mois. Pour les salariées, il faut considérer qu'il y a activité lucrative lorsque des rapports de travail sont en cours; peu importe qu'il y ait une période de vacances, ou que l'intéressée soit en arrêt de travail ou en droit d'être dispensée de travailler (art. 35 de la loi fédérale du 13 mars 1964 sur le travail dans l'industrie, l'artisanat et le commerce [loi sur le travail; LTr]);
c) A la date de l'accouchement, la femme doit être salariée, indépendante, ou travailler dans l'entreprise de son mari contre un salaire en espèces.
En l'espèce, la contestation entre les parties porte sur la réalisation de cette dernière condition. Les premiers juges se sont ralliés pour l'essentiel à l'argumentation de la caisse de compensation. Selon eux, la mère en incapacité de travail ne peut prétendre à l'allocation que si elle perçoit un revenu de substitution (<ref-law>). Dans le cas particulier, l'intéressée n'a pas touché un tel revenu à partir du mois d'août 2005. On ne peut pas non plus retenir qu'elle était en incapacité de travail à partir du mois d'août 2005, car elle a clairement répondu par la négative à une question à ce sujet dans sa demande d'allocation. Au surplus, les certificats qu'elle a déposés, s'ils font état de douleurs importantes dans la région lombosacrée, ne signalent aucune incapacité de travail en relation avec ces douleurs. Par conséquent, toujours selon les premiers juges, la recourante ne pouvait plus être considérée comme indépendante au moment de l'accouchement.
4. 4.1 Comme cela ressort du texte de l'art. 16b al. 1 let. c ch. 1 et 2 LAPG, la mère doit pouvoir être considérée, au moment de l'accouchement, comme exerçant une activité lucrative (dépendante ou indépendante). Le texte légal n'exige évidemment pas que l'intéressée exerce effectivement son activité jusqu'à la date de l'accouchement. Il ne requiert pas davantage qu'elle réalise un revenu immédiatement avant cette date. Par ailleurs, il n'est pas indispensable qu'elle reprenne une activité après la naissance (Pascal Mahon, Le régime des allocations pour perte de gain, in: Meyer-Blaser [édit.], Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Soziale Sicherheit, 2ème éd., 2006, ch. 35). Ce qui est décisif, bien plutôt, c'est le statut professionnel de la femme au moment où elle accouche (Philippe Carruzzo, Allocations et congé de maternité : Quels changements à compter du 1er juillet 2005, CGSS 2005 n° 34 p. 62). Les femmes salariées doivent être partie à un rapport de travail - ou d'apprentissage - de droit privé ou de droit public à la date déterminante. Pour ce qui est des femmes exerçant une activité indépendante, l'élément déterminant réside dans la reconnaissance de ce statut par l'AVS (Rapport de la Commission de la sécurité sociale et de la santé publique du Conseil national [CSSS-N] du 3 octobre 2002 relatif à l'initiative parlementaire sur la révision de la loi sur les allocations pour perte de gain et l'extension du champ d'application aux mères exerçant une activité lucrative, du 3 octobre 2002, FF 2002 6998 ss, plus spécialement 7020; Bruchez, loc. cit., p. 254; Jörg Reinmann, Congé de maternité payé : analyse détaillée du projet, Sécurité sociale [CHSS] 2004, p. 204). Cette reconnaissance résulte donc de l'affiliation en cette qualité à une caisse de compensation (voir BO 2001 CN 1616, intervention Baumann).
4.2 Il va de soi que l'incapacité de travail passagère due à la maladie - et plus encore à une complication survenant pendant la grossesse - n'entraîne pas la perte du statut d'indépendant au regard de l'AVS. En l'absence d'éléments subjectifs (ainsi la volonté de l'assurée de cesser son activité indépendante) ou objectifs (par exemple la dénonciation d'un contrat de bail pour des locaux commerciaux, le licenciement des éventuels salariés de l'entreprise, l'existence d'un contrat de remise d'un commerce ou d'une exploitation, la communication aux assurances sociales de la cessation d'activité), on doit considérer que la maladie est la cause de la suspension provisoire d'activité et qu'elle n'entraîne pas de facto le passage du statut d'indépendante à celui de personne sans activité lucrative.
4.3 En déléguant au Conseil fédéral, à l'<ref-law>, la compétence de régler le droit à l'allocation des femmes qui ne sont pas réputées salariées ou indépendantes au moment de l'accouchement (pour cause d'incapacité de travail ou de chômage), le législateur a eu en vue la perte du statut de salariée ou d'indépendante. Le texte légal fait en effet référence aux femmes qui, pour cause d'incapacité de travail ou de chômage «ne sont pas considérées comme salariées ou indépendantes au moment de l'accouchement» («im Zeitpunkt der Niederkunft nicht Arbeitnehmerinnen oder Selbstständigerwerbende sind»; «al momento del parto non sono salariate o indipendenti» selon les versions allemande et italienne). Cette délégation repose sur l'idée qu'il serait choquant, dans certains cas, d'exclure une femme du cercle des ayants droit du seul fait qu'elle n'exerçait aucune activité lucrative au moment de l'accouchement. C'est dans cette optique que le législateur a chargé le Conseil fédéral de prévoir des exceptions, tout en relevant que celles-ci ne sauraient être admises qu'en faveur de femmes réputées n'exercer aucune activité à ce moment, parce qu'elles seraient au chômage ou en arrêt de travail pour des raisons inhérentes à leur état de santé; les intéressées doivent cependant bénéficier d'un revenu de substitution (rapport précité de la CSSS-N, FF 2002 7020). Ces exceptions valent tout spécialement pour les femmes qui perdent leur emploi avant ou pendant la grossesse, par exemple en cas de démission, en raison de la fin d'un contrat de durée déterminée, d'un licenciement pendant le temps d'essai ou encore d'un licenciement pour juste motif (Bruchez, loc. cit., p. 255).
4.4 La condition d'un revenu de substitution au moment de l'accouchement n'est pas posée par la loi, pour laquelle l'élément décisif réside dans le statut professionnel de la mère. Au moyen de la délégation de l'<ref-law>, le législateur a voulu étendre le cercle des personnes protégées par rapport aux conditions posées à l'<ref-law> et non le limiter. En dépit des conditions en apparence plus strictes posées par l'art. 30 al. 1 de l'ordonnance, cette disposition doit s'interpréter conformément à la loi. Cette interprétation ne permet pas de subordonner le droit à l'allocation à l'exigence que la femme exerçant une activité indépendante obtienne un gain de substitution si elle se trouve passagèrement en incapacité de travail au moment de l'accouchement. L'intention du Conseil fédéral n'était du reste pas de limiter dans ce sens la portée de la loi. Dans son commentaire sur les modifications du RAPG (sous http://www.bsv.admin.ch/aktuell/presse/2004/f/0411240101.pdf; ad <ref-law>, p. 7), le Conseil fédéral a exposé ce qui suit à propos de l'<ref-law> (mères en incapacité de travail):
«La délégation de compétence conférée au Conseil fédéral ne vaut pas seulement pour les mères au chômage, mais également pour celles qui sont en incapacité de travail pour des motifs de santé. Par conséquent, il est prévu que ces dernières puissent prétendre à l'allocation de maternité si, ayant dû renoncer à l'exercice de leur activité lucrative pour cause de maladie ou d'accident, elles bénéficient au moment de l'accouchement d'une indemnité journalière de l'AI ou d'indemnités pour perte de gain en cas de maladie ou d'accident d'une assurance sociale ou privée, indépendamment de la continuation d'un rapport de travail.
Peuvent en outre également prétendre à l'allocation les mères en incapacité de travail pour cause de maladie ou d'accident qui n'ont pas droit à une indemnité journalière mais bénéficiaient encore d'un rapport de travail valable lors de l'accouchement tout en ayant épuisé leur droit à la poursuite du versement du salaire à ce moment».
Sur la base de ces explications, il apparaît que le Conseil fédéral a voulu régler des situations où la mère a été contrainte de renoncer à son activité lucrative pour une des causes mentionnées. Il a eu principalement en vue les salariées qui ont perdu leur emploi à la suite d'une incapacité de travail. Il a prévu une exception à la condition du revenu de substitution pour les femmes qui ont épuisé leur droit au salaire mais qui bénéficient d'un rapport de travail au moment de l'accouchement. Transposée à l'activité lucrative indépendante, l'éventualité envisagée est donc celle de la femme qui a été obligée de renoncer durablement à son activité pour raison d'incapacité de travail et qui, de ce fait, n'est plus réputée indépendante au regard de l'AVS. Une brève période de maladie ne peut pas s'interpréter comme une renonciation à exercer une activité indépendante. Dans ce cas, on ne saurait exiger l'obtention d'un revenu de substitution au moment de l'accouchement.
4.5 Au demeurant, l'activité indépendante s'accompagne par définition d'une grande liberté d'organisation dans le travail. Une interruption de travail ne permet pas toujours d'établir ce qui relève de la maladie ou de la simple convenance personnelle. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle le législateur a opté pour le critère du statut au regard de l'AVS. Par ailleurs, les indépendants ne sont pas soumis à une obligation d'assurance pour perte de gain en cas de maladie ou d'accident. Si une telle assurance est conclue, le versement de l'indemnité souscrite est souvent soumise à un délai d'attente. En règle ordinaire, une brève période d'incapacité de travail avant l'accouchement n'est donc pas indemnisée. Exiger dans cette hypothèse un revenu de substitution aurait pour conséquence d'exclure un nombre important de femmes du cercle des personnes protégées. Cela irait à l'encontre du but premier de la loi qui est de permettre à toutes les femmes exerçant une activité lucrative qui le désirent d'avoir des enfants tout en restant dans le monde du travail (cf. Bruchez, loc. cit., p. 247).
5. En l'espèce, il est établi que la recourante souffrait d'importantes lombalgies dans les semaines qui ont précédé son accouchement. En l'absence de tout indice d'une renonciation à exercer une activité indépendante à partir du mois d'août 2005, on doit conclure que cette affection est la seule cause de la suspension de son activité professionnelle à partir de cette date. Aussi doit-on admettre que l'incapacité de travail n'a pas en même temps entraîné la perte de son statut d'indépendante. Le fait que l'assurée n'était pas au bénéfice d'un revenu de substitution au moment de l'accouchement n'est ainsi pas déterminant. Il en va de même de la circonstance qu'elle n'a pas produit un certificat attestant une incapacité de travail et qu'elle n'a pas déclaré de périodes d'incapacité de travail pour cause de maladie dans sa demande d'allocation. A ce propos, les explications fournies par la recourante dans son opposition sont tout à fait crédibles. De plus, il est compréhensible qu'une femme exerçant une activité para-médicale qui implique, comme en l'espèce, certains efforts physiques ou des mouvements inconfortables, considère d'elle même comme contre-indiqué de travailler jusqu'au terme de sa grossesse, sans pour autant avoir le sentiment subjectif de subir une incapacité de travail pour cause de maladie.
6. En conclusion, c'est à tort que l'administration et les premiers juges ont retenu que la recourante n'était pas réputée exercer une activité indépendante au moment de l'accouchement. Il convient dès lors d'annuler le jugement attaqué, ainsi que la décision sur opposition, et de renvoyer la cause à la caisse de compensation pour qu'elle examine si les conditions du droit - non examinées ici - à l'allocation sont réalisées et qu'elle rende une nouvelle décision.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel du 4 juillet 2006, ainsi que la décision de la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation du 21 décembre 2005, sont annulés.
2. La cause est renvoyée à la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation pour nouvelle décision au sens des motifs.
3. Il n'est pas perçu de frais de justice.
4. La Caisse cantonale neuchâteloise de compensation versera à la recourante une indemnité de 2'500 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
5. Le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel statuera sur les dépens de la procédure cantonale au regard de l'issue du litige devant l'instance fédérale.
6. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 29 novembre 2006
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
La Présidente de la Ire Chambre: La Greffière: