Sachverhalt:
A. A.a X._ praktizierte von 1977 bis 2004 in S._ als Facharzt für Onkologie. Von 1988/1989 an behandelte er mindestens 186 Tumorpatientinnen und -patienten, die operiert worden waren, mit der von ihm selbst bzw. seiner Firma F._ hergestellten Substanz Lipoteichonsäure (LTA). Mit dem Einsatz von LTA, das den Patienten subcutan gespritzt wurde, wurden therapeutische Zwecke verfolgt, und zwar zumeist über einen längeren Zeitraum. Die Substanz war von der Interkantonalen Kontrollstelle für Heilmittel (IKS) nicht zugelassen. X._ wurde die Behandlung mit LTA in der Folge schrittweise verboten. Ab 6. September 2000 durfte er keine neuen Patienten mehr in die Behandlung mit LTA aufnehmen; die bereits damit behandelten Patienten durfte er indes unter zahlreichen Auflagen und Bedingungen im Sinne einer gesamthaften Bewilligung für "Compassionate Use" weiterhin mit LTA versorgen. Unter "Compassionate Use" wird gemeinhin die Anwendung eines möglicherweise wirksamen, jedoch noch nicht zugelassenen Arzneimittels im Einzelfall bei Patienten in lebensbedrohlichen Situationen verstanden. Am 4. April 2001 wurde ihm deren Anwendung mit sofortiger Wirkung untersagt.
A.b Insbesondere aufgrund von Strafanzeigen, die von Patienten bzw. deren Hinterbliebenen eingereicht wurden, begann die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt Ende 1999 gegen X._ wegen des Verdachts von strafbaren Handlungen gegen Leib und Leben zu ermitteln. Am 30. Juni 2004 erhob sie in vier Fällen Anklage wegen fahrlässiger Tötung im Sinne von <ref-law> und mehrfacher eventualvorsätzlicher Aussetzung im Sinne von <ref-law>. Im Wesentlichen wurde X._ vorgeworfen, seine krebskranken Patienten, ohne sie umfassend aufzuklären, mit der nicht zugelassenen Substanz LTA behandelt bzw. die de lege artis gebotenen Standardtherapien nicht angewandt und dadurch den Tod der Patienten verursacht und/oder deren Leben bzw. Gesundheit einer unmittelbaren konkreten Gefährdung ausgesetzt zu haben.
B. Mit Urteil des Strafgerichts Basel-Stadt vom 19. Mai 2005 wurde X._ der fahrlässigen Tötung zum Nachteil von Ad._ schuldig erklärt. Freigesprochen wurde er hingegen von der Anklage der fahrlässigen Tötung zum Nachteil von B._ sowie der mehrfachen Aussetzung zum Nachteil der beiden Vorgenannten sowie von C._ und D._. Er wurde mit drei Monaten Gefängnis bedingt bestraft, unter Auferlegung einer Probezeit von zwei Jahren. Die Entschädigungsforderungen der Hinterbliebenen von Ad._ wurden dem Grundsatz nach gutgeheissen, bezüglich der Höhe ihrer Ansprüche wurden sie auf den Zivilweg verwiesen.
C. Gegen dieses Urteil erklärten die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, der Verurteilte sowie die Hinterbliebenen von Ad._ die Appellation.
D. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt sprach X._ am 29. Juni 2007 schuldig der mehrfachen (eventualvorsätzlichen) Aussetzung, d.h. der vollendeten zum Nachteil von Ad._ und der versuchten zum Nachteil von B._. Von der Anklage der Aussetzung zum Nachteil von C._ und D._ sprach es ihn frei. Es bestätigte den Freispruch vom Vorwurf der fahrlässigen Tötung zum Nachteil von C._ und stellte das Verfahren wegen fahrlässiger Tötung zum Nachteil von Ad._ zufolge Eintritts der Verjährung ein. Das Appellationsgericht verurteilte X._ zu einer bedingten Geldstrafe von 120 Tagessätzen à je Fr. 2'000.-- unter Auferlegung einer Probezeit von zwei Jahren. Den gestützt auf die Aussetzung zum Nachteil von Ad._ geltend gemachten Genugtuungsanspruch wies es ab; die gestützt auf die fahrlässige Tötung zum Nachteil von Ad._ geltend gemachten Zivilforderungen verwies es auf den Zivilweg.
E. X._ gelangt mit Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, das angefochtene Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 29. Juni 2007 sei aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der mehrfachen (davon einmal versuchten) eventualvorsätzlichen Aussetzung freizusprechen. Entsprechend seien die Verfahrenskosten aller Instanzen vom Staat zu tragen und ihm eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen.
F. Das Appellationsgericht Basel-Stadt verlangt in seiner Eingabe vom 7. Mai 2008 die Abweisung der Beschwerde. Der Ehemann der verstorbenen Ad._ führt in seiner Stellungnahme vom 9. Juni 2008 aus, es sei die Verurteilung des Beschwerdeführers zumindest im Falle von Ad._ sel. wegen des Tatbestands der Aussetzung als erfüllt zu betrachten und entsprechend das Urteil der Vorinstanz zu bestätigen. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt hat am 14. Mai 2008 auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde verzichtet.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen seine Verurteilung wegen mehrfacher (davon einmal versuchter) eventualvorsätzlicher Aussetzung im Sinne von <ref-law> zum Nachteil von Ad._ und B._. Er macht geltend, den Tatbestand weder objektiv noch subjektiv erfüllt zu haben.
2. Dem angefochtenen Urteil liegt im Wesentlichen folgender Sachverhalt zugrunde:
Ad._ litt an einem hormonrezeptor-positiven Brustdrüsentumor links, der am 14. August 1997 operativ entfernt wurde. Am 26. August 1997 begab sie sich in die Behandlung des Beschwerdeführers. Dieser brach die begonnene Therapie mit Nolvadex, das den Wirkstoff Tamoxifen enthält und bei solchem Befund als Standardtherapie gilt, nach nur drei Monaten am 8. Dezember 1997 ab, obschon gemäss der Meta-Studie der "Early Breast Cancer Trialist Collaborativ", Lancet 1998, eine signifikante Verbesserung der Überlebenschance bei langer, das heisst fünfjähriger Behandlung mit Tamoxifen, zu erwarten sei (relative Senkung der Rückfallquote nach einer Behandlungszeit von 5 Jahren um 47% und der Todesfallquote um 26%). Anstelle der gebotenen Standardtherapie behandelte der Beschwerdeführer Ad._ bis zum 8. Juni 1998 mit der nicht zugelassenen Substanz LTA weiter. Am 27. Juli 1998 wandte sich Ad._ an den Onkologen Prof. P._, der die Behandlung mit Nolvadex unverzüglich wieder aufnahm. Im September 1998 wurde ein Tumorrückfall diagnostiziert, weswegen Ad._ am 2. Oktober 1998 die ganze linke Brust entfernt werden musste. Im April/Juni 1999 manifestierte sich in der rechten Achselhöhle eine bösartige Lymphknotentochtergeschwulst, worauf auch die rechte Brust entfernt wurde. Am 27. März 2001 starb sie an Herzversagen.
Der Beschwerdeführer behandelte B._ nach einer teilweisen (6. Juli 1999), dann radikalen Brustoperation mit einer Revision der Achselhöhle (9. Juli 1999) ab dem 2. August 1999 zunächst ausschliesslich mit LTA und ab dem 12. Mai 2000 zusätzlich mit Roferon, d.h. einem Interferonpräparat. Am 7. Juni 2000 wurde B._ die Achselhöhle erneut operiert. Am 13. Juni 2000 lehnte sie eine Strahlentherapie unter Inkaufnahme des mit dem Verzicht verbundenen Risikos ab. Als in der Folge im August 2000 Metastasen auftraten, leitete der Beschwerdeführer am 11. September 2000 eine Chemotherapie mit dem Medikament der Marke Xeloda ein. Vom 27. September bis zum 8. November 2000 wurden das linke Lokalrezidiv, die Axilla und die Region über dem Schlüsselbein bestrahlt. Im Februar 2001 wurde ein weiterer Tumor im Gehirn diagnostiziert. B._ verstarb am 1. Juni 2001.
3. Nach dem Tatbestand der Aussetzung wird bestraft, wer einem Hilflosen, der unter seiner Obhut steht oder für den er zu sorgen hat, einer Gefahr für das Leben oder einer schweren unmittelbaren Gefahr für die Gesundheit aussetzt oder in einer solchen Gefahr im Stiche lässt (<ref-law>).
Das tatbestandsmässige Verhalten besteht einerseits darin, dass der Täter den in seiner Obhut stehenden oder seiner Fürsorgepflicht unterliegenden Hilflosen durch aktives Verhalten in eine konkrete Gefahr für das Leben oder die Gesundheit bringt, wobei die gesundheitliche Gefahr schwer und unmittelbar sein muss; andererseits handelt tatbestandsmässig, wer den Hilflosen in einer Gefahr für das Leben oder in einer schweren, unmittelbaren Gefahr für die Gesundheit "im Stiche lässt". Im ersten Fall besteht die Straftat darin, dass der Täter die Gefahr für den Hilflosen herbeiführt, im zweiten darin, dass er einer schon bestehenden Gefahr, die er zu beseitigen verpflichtet ist, nicht entgegenarbeitet. Dabei lässt nicht nur im Stich, wer den Hilflosen in der Gefahr verlässt (sich von ihm entfernt) oder sich vollständig passiv verhält, sondern auch, wer sich zwar um ihn bemüht, aber nicht die zur Beseitigung der Gefahr notwendigen Massnahmen trifft (BGE 73 IV 164 E. 1; Günter Stratenwerth/Guido Jenny, Schweizerisches Strafrecht, Besonderer Teil I, 6. Aufl., Bern 2003, § 4 Rz. 46 ff.; Andreas Donatsch, Strafrecht III, Delikte gegen den Einzelnen, 9. Aufl.; Zürich 2008, S. 52 ff.; Peter Aebersold, Basler Kommentar, Strafrecht II, 2. Aufl., Basel 2007, Art. 127 Rz. 5 ff.).
Der subjektive Tatbestand erfordert Vorsatz, und zwar Gefährdungsvorsatz, wobei Eventualdolus im Sinne von <ref-law> genügt. Fahrlässig kann die Aussetzung nicht begangen werden (Stratenwerth/Jenny, a.a.O., § 4 Rz. 56; Donatsch, a.a.O., S. 54; Aebersold, a.a.O., Art. 127 Rz. 17 ff.).
4. Im zu beurteilenden Fall erscheint bereits die Verwirklichung des objektiven Tatbestands zweifelhaft. Diese Frage kann allerdings offen bleiben, da die von der Vorinstanz in subjektiver Hinsicht genannten Umstände insbesondere den Schluss auf Eventualvorsatz des Beschwerdeführers in Bezug auf den erforderlichen Gefährdungserfolg nicht zulassen:
4.1 Abweichend von der ersten Instanz wirft die Vorinstanz dem Beschwerdeführer in Bezug auf Ad._ im Wesentlichen vor, dass es ihm als Onkologen in Bezug auf den Verzicht der Weiterbehandlung mit Nolvadex bewusst gewesen sein musste, die wissenschaftlich belegte Chance auf eine Minderung des Rückfallrisikos zu vergeben. Er habe die Substanz LTA, welche er seiner Patientin verabreichte, allerdings als die bessere, zumindest aber gleichwertige Alternative zu Nolvadex betrachtet, wobei es ihm darum gegangen sei, im Interesse der Betroffenen eine wirksamere Medikation zu entwickeln, die überdies hinsichtlich der Nebenwirkungen weniger belastend sein sollte. Darauf, dass die Behandlung mit LTA eine gleichwertige Wirkung erzielen würde, habe der Beschwerdeführer aber mangels entsprechender Hinweise nicht vertrauen dürfen. Er habe deshalb die Gefährdung von Ad._ in Kauf genommen und damit eventualvorsätzlich gehandelt (angefochtener Entscheid, S. 13-16). In Bezug auf B._ geht die Vorinstanz im Wesentlichen von den gleichen Umständen aus. Der Beschwerdeführer habe die Gefährdung der Patientin in Kauf genommen, indem er die Substanz LTA anstelle einer nachgewiesenermassen wirksamen Standardtherapie verabreicht habe (angefochtener Entscheid, S. 18).
4.2 Gemäss <ref-law> handelt bereits vorsätzlich, wer die Verwirklichung der Tat für möglich hält und in Kauf nimmt. Der eventualvorsätzlich handelnde Täter weiss demnach einerseits um die Möglichkeit bzw. das Risiko der Tatbestandsverwirklichung und nimmt andererseits den Eintritt des als möglich erkannten Erfolgs ernst, rechnet mit ihm und findet sich mit ihm ab (<ref-ruling> E. 3.2.2; <ref-ruling> E. 8.2 und 8.3 mit zahlreichen Hinweisen). Auch der im Sinne von <ref-law> bewusst fahrlässig handelnde Täter weiss um das Risiko der Tatbestandsverwirklichung, doch vertraut er aus pflichtwidriger Unvorsichtigkeit darauf, dass der Erfolg nicht eintreten werde. Das gilt selbst für den Täter, der sich leichtfertig bzw. "frivol" (BGE 69 IV 75 E. 5) über die Möglichkeit der Tatbestandserfüllung hinwegsetzt und mit der Einstellung handelt, es werde schon nichts passieren (BGE <ref-ruling> E. 8.3; <ref-ruling> E. 3c). Demgegenüber bedenkt der unbewusst fahrlässig handelnde Täter die Gefahr der Tatbestandsverwirklichung nicht einmal (<ref-ruling> E. 1).
4.3 Aufgrund der tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer als Facharzt für Onkologie die medizinisch gebotenen Standardtherapien kannte und sich über deren Nutzen/Risiko-Verhältnis im Klaren war. Gleichzeitig wird im angefochtenen Entscheid betont, dass der Beschwerdeführer - welcher über jahrelange Praxis und Erfahrung als Onkologe verfügt - die von ihm zur Anwendung gebrachte Behandlung mit LTA als mindestens gleichwertige Alternative zu den herkömmlichen Therapien erachtete. Dass sich der Beschwerdeführer unter diesen Umständen bewusst gewesen war, dass sein Vorgehen, d.h. der Verzicht auf die Weiterführung bzw. der verspätete Einsatz der wissenschaftlich gebotenen Standardtherapien, eine unmittelbare konkrete Gesundheitsgefährdung seiner Patientinnen zur Folge haben könnte, lässt sich vor diesem Hintergrund nicht ohne weiteres bejahen. Damit ist bereits die Wissensseite des Vorsatzes im Sinne der blossen Möglichkeit des Eintritts des Gefährdungserfolgs nicht klar gegeben. Am Willensmoment fehlt es hingegen eindeutig. Denn der Beschwerdeführer hat nicht einfach nichts unternommen, sondern seine Patientinnen mit LTA behandelt, wovon er - wie bereits bemerkt - in fester Überzeugung ausging, dass er damit zumindest ein gleichwertiges Behandlungsergebnis mit weniger beeinträchtigenden Nebenwirkungen im Interesse seiner Patientinnen erreichen würde. Dabei darf nicht übergangen werden, dass er jedenfalls annahm, mit seiner LTA-Behandlung in nicht wenigen Fällen Erfolg gehabt zu haben, er die Substanz unentgeltlich abgab, sein Behandlungsansatz von verschiedener Seite, insbesondere auch von Fachpersonen, als interessant eingestuft wurde, und seiner Therapie mit LTA schliesslich auch von Seiten der Behörden offensichtlich eine bestimmte positive Bedeutung beigemessen wurde, zumal dem Beschwerdeführer - wenn auch nur vorübergehend und zu einem späteren Zeitpunkt - eine Bewilligung im Sinne des "Compassionate Use" erteilt wurde (siehe dazu Beschwerdeschrift, S. 2-5; vgl. auch Vernehmlassung des Beschwerdegegners Aa._, S. 2). Unter diesen Umständen kann aber nicht gesagt werden, der Beschwerdeführer habe sich gegen das vom Tatbestand der Aussetzung geschützte Rechtsgut entschieden, auch nicht im Sinne einer bloss möglichen Rechtsgutverletzung. In Anbetracht des Umstands, dass sich die subjektive Überzeugung des Beschwerdeführers betreffend die Wirksamkeit von LTA im Vergleich zu den Standardtherapien (noch) nicht auf wissenschaftlich gesicherte Erkenntnisse stützen lässt, kann ihm allenfalls vorgeworfen werden, er habe leichtfertig oder gar frivol auf das Ausbleiben des Gefährdungserfolgs vertraut. Doch kann ihm nicht angelastet werden, er habe den Gefährdungserfolg, wenn auch nur ungern und notgedrungen, als einkalkulierte Möglichkeit in seinen Willen aufgenommen. Nach dem Gesagten verletzt die Verurteilung des Beschwerdeführers wegen mehrfacher Aussetzung Bundesrecht. Die Beschwerde erweist sich mithin als begründet. Die Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung wird damit gegenstandslos.
4.4 Die Beschwerde ist gutzuheissen, der angefochtene Entscheid vom 29. Juni 2007 aufzuheben und der Beschwerdeführer vom Vorwurf der mehrfachen Aussetzung freizusprechen. Die direkte Festsetzung der Parteientschädigung für das kantonale Verfahren, wie sie der Beschwerdeführer zulässigerweise fordert (<ref-law> i.V.m. <ref-law>), fällt ausser Betracht, da das Bundesgericht nicht in der Lage ist, die Angemessenheit der Forderung zu überprüfen. Zur Festsetzung der Parteientschädigung für das kantonale Verfahren geht die Sache deshalb zurück an die Vorinstanz ebenso wie zur zulässigerweise beantragten (vgl. <ref-law>) Neuverteilung der kantonalen Kosten. Die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren sind zur Hälfte dem unterliegenden Beschwerdegegner Aa._ aufzuerlegen (<ref-law>), während dem Kanton Basel-Stadt keine Kosten auferlegt werden dürfen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner Aa._ und der Kanton Basel-Stadt haben dem Beschwerdeführer dessen Parteikosten je zur Hälfte zu ersetzen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 29. Juni 2007 aufgehoben und der Beschwerdeführer vom Vorwurf der mehrfachen Aussetzung freigesprochen. Zur Festsetzung der Parteientschädigung und Kostenregelung für das kantonale Verfahren geht die Sache an die Vorinstanz zurück.
2. Die reduzierten Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdegegner Aa._ auferlegt.
3. Der Kanton Basel-Stadt und der Beschwerdegegner Aa._ haben den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit je Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Schneider Arquint Hill