Faits :
A. A.a X._ est un joueur de tennis professionnel. L'Association of Tennis Professionals Tour (ATP Tour; ci-après: ATP) est une personne morale sans but lucratif dont les membres sont les joueurs de tennis professionnels masculins et les organisateurs de tournois; son siège est dans l'Etat du Delaware (Etats-Unis d'Amérique). X._ en fait partie depuis 1995 et il est membre du Conseil des joueurs de l'ATP.
L'ATP édicte des règles applicables aux joueurs de tennis qui lui sont affiliés (les règles ATP). Ces règles visent, notamment, à lutter contre le dopage. A cet effet, elles prévoient diverses sanctions auxquelles le joueur peut échapper ou qu'il peut voir réduites s'il établit que la présence d'une substance interdite dans son organisme ne résulte pas d'une faute, respectivement d'une faute significative, commise par lui. Les sanctions sont prononcées par le Tribunal antidopage de l'ATP dont la décision peut être déférée au Tribunal Arbitral du Sport (TAS; en anglais: CAS). S'agissant de la sentence rendue par ce dernier, l'art. P.3 de ces règles (édition 2005) énonce ce qui suit:
"The decision of CAS shall be final and binding on all parties and no right of appeal will lie from the CAS decision. The CAS decision shall have immediate effect and all parties shall take action to ensure that it is effective."
La réglementation antidopage de l'ATP dispose, par ailleurs, qu'elle est soumise, sous tous ses aspects, au droit du Delaware.
A.b Le 21 février 2005, alors qu'il participait à un tournoi ATP à Acapulco (Mexique), X._ a fourni un échantillon d'urine. L'analyse de cet échantillon a révélé la présence d'un diurétique figurant sur la liste des substances interdites, ce que l'examen du second échantillon a confirmé.
Par une décision du 7 août 2005, le Tribunal antidopage, admettant l'existence d'un cas de dopage, a suspendu le joueur pour deux ans à compter du 11 juin 2005. Il lui a ordonné, en outre, de restituer l'intégralité des gains obtenus lors des tournois auxquels il avait pris part depuis et y compris celui d'Acapulco.
B. X._ a appelé de cette décision. Il a fait valoir, à titre principal, qu'il n'avait commis aucune faute. Subsidiairement, l'appelant a soutenu, en résumé, qu'il était contraire au droit du Delaware, de même qu'aux droits européen et américain de la concurrence, de le sanctionner pour avoir absorbé accidentellement un médicament contenant une substance qui avait eu pour effet de diminuer ses capacités sportives.
En date du 23 mai 2006, le TAS a rendu sa sentence. Admettant partiellement l'appel, il a constaté l'existence d'une infraction de dopage commise par X._ lors du tournoi d'Acapulco et a confirmé, en conséquence, la décision de première instance dans la mesure où elle annulait les résultats obtenus par le joueur au cours de ce tournoi et lui ordonnait de restituer tout gain encaissé à cette occasion. En revanche, le TAS a réduit de deux ans à quinze mois la mesure de suspension prise à l'encontre de X._ et il a ordonné à l'ATP de restituer au joueur les gains qu'elle pouvait avoir perçus pour le compte de celui-ci lors de compétitions auxquelles il avait participé après le tournoi d'Acapulco.
Les arbitres ont accepté la version des faits présentée par l'appelant quant aux circonstances dans lesquelles la substance interdite était entrée dans son corps. Il en appert, en bref, que, le 20 février 2005, X._ s'est rendu chez le médecin du tournoi pour obtenir un médicament contre la grippe. N'en ayant plus en stock, le médecin lui a délivré une ordonnance. Cependant, à la suite d'une erreur commise par un membre du personnel du tournoi, qui avait été chargé d'aller acheter le médicament prescrit à la pharmacie, le joueur n'a pas reçu ce médicament, mais un médicament destiné au coach d'un autre joueur. En droit, le TAS a considéré que l'appelant ne pouvait pas plaider son absence de faute. N'ayant pas reçu directement le médicament des mains du médecin, mais par l'intermédiaire de plusieurs personnes, ce joueur de tennis expérimenté, tête de série et actif au sein du Conseil des joueurs, aurait, en effet, dû l'examiner avant de l'ingérer, afin de s'assurer qu'il s'agissait bien du médicament prescrit par le médecin. Les arbitres se sont ensuite prononcés sur le degré de cette faute. Excluant toute intention du joueur de se doper et soulignant que l'erreur intervenue lors de la remise du médicament ne lui était en rien imputable, ils ont mis en évidence le caractère exceptionnel du cas et ont admis que l'appelant avait démontré n'avoir pas commis de faute ou de négligence significative. Dès lors, la période de suspension pouvait être réduite, selon les règles ATP, jusqu'à la moitié, au maximum, de la période de suspension prévue par celles-ci, qui était de deux ans en l'occurrence. Pour déterminer l'ampleur de la réduction, le TAS a pris en compte la totalité des facteurs favorables et défavorables au joueur, ses propres décisions antérieures en rapport avec des ordonnances médicales, ainsi que l'ensemble des circonstances. Il est arrivé à la conclusion que la réduction maximale de douze mois ne pouvait pas être accordée à l'appelant, si bien qu'il convenait de diminuer de neuf mois la durée de la période de suspension. Les arbitres ont jugé, enfin, que l'équité leur imposait de ne pas prononcer la disqualification du joueur des tournois auxquels il s'était inscrit depuis celui d'Acapulco.
C. Le 22 juin 2006, X._ a formé un recours de droit public, au sens de l'art. 85 let. c OJ, aux fins d'obtenir l'annulation de la sentence du TAS. Le recourant se plaint de la violation de son droit d'être entendu et de l'ordre public procédural.
Par lettre du 23 août 2006, le TAS a fait savoir qu'il renonçait à se déterminer sur le recours.
Le 15 septembre 2006, l'ATP a déposé une réponse, concluant principalement à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, au rejet de celui-ci. Avec sa réponse, elle a produit des extraits des règles de l'ATP, version 2005, ainsi qu'une pièce datée du 12 mars 2005, établie sur papier à en-tête de l'ATP et signée par X._, lequel y fait la déclaration suivante:
"PLAYER'S CONSENT AND AGREEMENT TO
ATP OFFICIAL RULEBOOK
I, the undersigned player, consent and agree as follows:
1. I consent and agree to comply with and be bound by all of the provisions of the 2005 ATP Official Rulebook ("the ATP Rules"), including, but not limited to, all amendments to the ATP Rules and all the provisions of the Anti-Doping Program incorporated in the ATP Rules. I acknowledge that I have received and had an opportunity to review the ATP Rules.
2. I also consent and agree that any dispute arising out of any decision made by the Anti-Doping Tribunal, or any dispute arising under or in connection with the Anti-Doping Program, after exhaustion of the Anti-Doping Program's Anti-Doping Tribunal process and any other proceedings expressly provided for in the Program, shall be submitted exclusively to the Appeals Arbitration Division of the Court of Arbitration for Sport ("CAS") for final and binding arbitration in accordance with the Code of Sports-Related Arbitration. The decisions of CAS shall be final, non-reviewable, non-appealable and enforceable. I agree that I will not bring any claim, arbitration, lawsuit or litigation in any other court or tribunal. The time limit for any submission to CAS shall be 21 days after the decision of the Anti-Doping Tribunal has been communicated to me.
3. I have read and understand the foregoing Player's Consent and Agreement."
Se fondant notamment sur cette pièce, l'intimée a soutenu, dans sa réponse, que X._ avait valablement renoncé à recourir contre la sentence du TAS.
Par lettre du 18 septembre 2006, le recourant a requis du Tribunal fédéral qu'il ordonne un second échange d'écritures. L'intimée s'y est opposée dans une lettre du 19 septembre 2006.
Le juge chargé de l'instruction de la cause a admis partiellement la requête, par ordonnance du 11 décembre 2006, et fixé un délai au recourant pour qu'il se détermine sur la validité et la portée de la pièce précitée.
Le 15 janvier 2007, soit dans le délai imparti, le recourant a déposé ses déterminations écrites, en invitant le Tribunal fédéral à dénier toute portée à la renonciation au recours signée par lui le 12 mars 2005.
Par ordonnance du 19 janvier 2007, l'intimée s'est vu accorder la possibilité de dupliquer. Elle en a fait usage, en temps utile, par une écriture du 15 février 2007 dans laquelle elle expose les motifs justifiant, à son avis, d'admettre la validité de la renonciation à recourir souscrite par X._.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. La loi sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 p. 1242). La sentence attaquée ayant été rendue avant cette date, la procédure reste régie par la loi fédérale d'organisation judiciaire (OJ; <ref-law>).
2. D'après l'art. 37 al. 3 OJ, le Tribunal fédéral rédige son arrêt dans une langue officielle, en règle générale celle de la décision attaquée. Lorsque la décision attaquée est rédigée dans une autre langue (ici l'anglais), le Tribunal fédéral utilise la langue officielle choisie par les parties. Dans les mémoires qu'elles lui ont adressés, celles-ci ont employé toutes deux le français. Par conséquent, le présent arrêt sera rendu dans cette langue.
3. 3.1 Exercé en temps utile (art. 89 al. 1 OJ), dans la forme prescrite par la loi (art. 90 al. 1 OJ), contre une sentence finale, rendue dans le cadre d'un arbitrage international (<ref-law>), le présent recours de droit public, au sens de l'art. 85 let. c OJ, dans lequel ne sont invoqués que des griefs énoncés par l'<ref-law>, est recevable au regard de ces différentes exigences.
3.2 L'art. 88 OJ, tel qu'interprété par la jurisprudence, exige un intérêt pratique et actuel à recourir. Le Tribunal fédéral renonce exceptionnellement à cette exigence lorsque le recourant soulève une question de principe susceptible de se reproduire dans les mêmes termes, sans qu'il ne soit jamais en mesure de statuer en temps utile (<ref-ruling> consid. 1b et les arrêts cités).
En l'espèce, la mesure de suspension de quinze mois prononcée à l'encontre du recourant a certes pris fin le 11 septembre 2006 déjà. Il n'en demeure pas moins que la sentence attaquée porte une atteinte définitive à la situation patrimoniale du joueur de tennis, puisqu'elle oblige celui-ci à restituer les gains qu'il a encaissés au tournoi d'Acapulco. En cela, la présente cause se distingue de celle qui a donné lieu à l'arrêt publié aux <ref-ruling>. Par conséquent, sans même devoir s'interroger sur l'existence d'un cas exceptionnel visé par la jurisprudence précitée, on ne saurait dénier au recourant un intérêt à faire constater par le Tribunal fédéral que la sentence du TAS a été rendue en violation de son droit d'être entendu ou qu'elle est incompatible avec l'ordre public procédural.
X._ a donc qualité pour recourir. Encore faut-il examiner s'il n'a pas valablement renoncé à faire usage de son droit de recours.
4. 4.1 Dans leurs écritures respectives, les deux parties consacrent de longs développements à la question de la validité de la renonciation litigieuse. Il convient de commencer par résumer les arguments que chacune d'elles avance à ce sujet.
4.1.1 Sous l'angle formel, le recourant fait valoir, en s'appuyant sur l'arrêt 4P.62/2004 du 1er décembre 2004, qu'une renonciation au recours est inopérante si elle figure dans le règlement d'une institution d'arbitrage, le Tribunal fédéral exigeant que la volonté de renoncer à recourir soit manifestée par un acte exprès. Il ajoute que l'intimée devait sans doute être consciente de cela puisqu'elle a cru devoir lui faire signer un document spécifique qui reprend la clause ad hoc de ses propres règles.
Considérée d'un point de vue matériel, la renonciation en cause serait inefficace pour trois raisons au moins, d'après le recourant: premièrement, parce qu'elle aurait été signée sous la contrainte, au sens de la jurisprudence rendue en vertu de la Convention de sauvegarde des droits de l'homme et des libertés fondamentales (CEDH); deuxièmement, parce que la "pseudo-renonciation" d'un joueur de tennis au recours contre une sentence arbitrale du TAS en matière de dopage, quelle que soit sa forme, consacrerait une entorse à la ratio legis de l'<ref-law>; troisièmement enfin, parce que, en matière de lutte contre le dopage, la seule manière d'appliquer l'<ref-law> en respectant le principe d'égalité consisterait à dénier toute portée à une renonciation anticipée au recours.
4.1.2 L'intimée met tout d'abord en doute la recevabilité de la plupart des moyens soulevés par le recourant dans sa réplique, au motif que celui-ci ne se serait pas limité à exposer ses moyens en rapport avec la pièce mentionnée dans l'ordonnance présidentielle du 11 décembre 2006, mais aurait saisi cette occasion pour compléter l'argumentation qu'il aurait dû développer dans son recours.
Sur le fond, l'intimée reproche au recourant d'avoir fait un résumé volontairement lacunaire de sa situation vis-à-vis de l'ATP et du processus de décision au sein de cette personne morale, en vue de démontrer qu'il se serait trouvé dans une position d'"allégeance" totale à l'égard de celle-ci. A son avis, le recourant déformerait la jurisprudence européenne relative à la contrainte et passerait, en outre, sous silence le fait qu'il est membre du Conseil des joueurs, circonstance propre à exclure qu'on ait pu le forcer à signer la pièce incriminée. Toujours selon l'intimée, le grief tiré de la fraude à la loi présuppose une ratio legis que le législateur ne peut pas avoir envisagée. L'égalité de traitement, enfin, n'impliquerait nullement que l'interprétation de l'<ref-law> préconisée par le recourant doive nécessairement être adoptée.
4.2 Par ordonnance du 11 décembre 2006, le recourant s'est vu impartir un délai, en application de l'art. 93 al. 3 OJ, pour se déterminer sur "la validité et la portée" de la pièce annexée à la réponse et reproduite sous lettre C. du présent arrêt. Son droit de faire valoir ses arguments au sujet de ce document ne prête ainsi plus à discussion à ce stade de la procédure. Dans la mesure où l'intimée voudrait le lui dénier, en invoquant la jurisprudence relative à la disposition citée (arrêt 4P.114/2006 du 7 septembre 2006, consid. 3.2.3; arrêt 4P.236/2004 du 4 février 2005, consid. 3 non publié à l'<ref-ruling>), elle ne pourrait être suivie.
Pour le surplus, l'objet de la réplique, tel qu'il était défini par la susdite ordonnance, n'avait rien de limitatif et embrassait toute objection se rapportant à la validité formelle ou matérielle de la renonciation à recourir formulée dans la pièce déposée par l'intimée, de même que tout argument quant à la portée de cette renonciation. Quoi qu'en dise l'intimée, la réplique du recourant ne sort donc pas du cadre qui lui a été assigné.
4.3 Aux termes de l'<ref-law>, si les deux parties n'ont ni domicile, ni résidence habituelle, ni établissement en Suisse, elles peuvent, par une déclaration expresse dans la convention d'arbitrage ou un accord ultérieur, exclure tout recours contre les sentences du tribunal arbitral; elles peuvent aussi n'exclure le recours que pour l'un ou l'autre des motifs énumérés à l'art. 190, 2e alinéa. Selon la jurisprudence, la renonciation au recours est autorisée à l'égard de toutes les sentences (<ref-ruling> consid. 4.1) et pour tous les motifs de recours (arrêt 4P.198/2005 du 31 octobre 2005, consid. 2.2).
La validité de la renonciation au recours, au sens de l'<ref-law>, revêt un aspect formel et un aspect matériel qu'il convient d'examiner successivement.
4.3.1 Dans un arrêt récent, le Tribunal fédéral a indiqué les conditions auxquelles il est possible d'admettre l'existence d'une déclaration expresse des parties emportant renonciation à tout recours contre les sentences du tribunal arbitral (<ref-ruling> consid. 4.2 et les références). Il en ressort, en substance, que la pratique n'admet que de manière restrictive les conventions d'exclusion et qu'elle juge insuffisante une renonciation indirecte. On entend par là une renonciation qui ne résulte pas directement de la convention d'arbitrage ou d'un accord écrit ultérieur, mais qui figure dans un document distinct et préexistant auquel les parties renvoient. Ainsi, l'exigence du caractère exprès de la déclaration de renonciation exclut la soumission à un règlement d'arbitrage prévoyant pareille renonciation (voir déjà l'<ref-ruling> consid. 2c). Dans le souci de clarifier sa jurisprudence antérieure, le Tribunal fédéral a toutefois précisé que, pour être valable, la renonciation au recours ne doit pas comporter la mention expresse de l'<ref-law> et/ou de l'<ref-law>. Il considère comme nécessaire, mais suffisant, que la déclaration expresse des parties manifeste, sans conteste, leur commune volonté de renoncer à tout recours. Savoir si tel est bien le cas est affaire d'interprétation et le restera toujours, de sorte qu'il est exclu de poser, à cet égard, des règles applicables à toutes les situations envisageables. A l'occasion de sa critique de cet arrêt de principe, un auteur de langue allemande s'est focalisé sur les termes "sans conteste", croyant apparemment y déceler une condition supplémentaire à l'admissibilité de la renonciation au recours (Félix Dasser, Internationale Schiedsentscheide ohne Rechtsmittel: Ab jetzt gilt's ernst, in Jusletter du 9 mai 2005, n. 22). Si tel était le fond de sa pensée, il ferait erreur. Les termes en question tendaient uniquement à indiquer que le résultat de l'interprétation objective d'une déclaration de renonciation ne doit pas prêter à discussion. Il n'en demeure pas moins que la nécessité d'interpréter une déclaration de volonté suppose, par définition, que les parties ne s'accordent pas sur le sens à donner à cette déclaration, autrement dit qu'il y ait contestation à ce sujet.
La jurisprudence établie par l'arrêt précité a été confirmée depuis lors et il n'y a pas lieu de la soumettre à un nouvel examen, en dépit des critiques que certains auteurs lui ont adressées (cf. arrêts 4P.198/2005 du 31 octobre 2005, consid. 1.1, 4P.98/2005 du 10 novembre 2005, consid. 4.1, 4P.154/2005 du 10 novembre 2005, consid. 4 et 4P.114/2006 du 7 septembre 2006, consid. 5.2 avec des références aux auteurs critiquant cette jurisprudence).
4.3.2
4.3.2.1 En introduisant, à l'<ref-law>, la possibilité pour les parties de renoncer au recours contre la sentence, le législateur poursuivait deux buts: d'une part, renforcer l'attractivité de la place arbitrale suisse en matière d'arbitrage international, en évitant que la sentence soit soumise au double contrôle de l'autorité de recours et du juge de l'exequatur; d'autre part, décharger le Tribunal fédéral (Jean-François Poudret/Sébastien Besson, Droit comparé de l'arbitrage international, n. 839, p. 828; Bernhard Berger/Franz Kellerhals, Internationale und interne Schiedsgerichtsbarkeit, Berne 2006, n. 1664). L'idée sous-jacente au premier de ces deux buts était que la sentence internationale serait de toute façon soumise à un contrôle judiciaire au stade de l'exécution forcée, en application de la convention de New York du 10 juin 1958 pour la reconnaissance et l'exécution des sentences arbitrales étrangères (RS 0.277.12), et l'<ref-law> visait à ce qu'il en allât de même au cas où la sentence serait exécutée en Suisse (cf. Message du Conseil fédéral du 10 novembre 1982 concernant la LDIP, FF 1983 I 255 ss, p. 451; voir aussi: BO 1986 CN p. 1365 [Hess]). La ratio legis de l'<ref-law> établit donc clairement que, dans l'esprit du législateur, cette disposition avait vocation à s'appliquer, au premier chef, à l'arbitrage commercial international et, plus particulièrement, aux sentences condamnatoires devant être soumises au juge de l'exequatur. Il est ainsi peu probable que le législateur ait songé à l'arbitrage international en matière de sport, et encore moins au contentieux relatif à la suspension des athlètes, lorsqu'il a adopté cette disposition. En effet, comme le Comité International Olympique (CIO) et la plupart des grandes fédérations sportives internationales ont fixé leur siège en Suisse, la condition d'extranéité posée par l'<ref-law> empêchait d'emblée toute renonciation au recours contre des sentences rendues dans des litiges impliquant de telles personnes morales. Par ailleurs, les sanctions infligées aux sportifs, telles que la disqualification ou la suspension, ne nécessitent pas de procédure d'exequatur pour être mises en oeuvre. Considéré dans une perspective historique, l'<ref-law> ne semble donc pas destiné à régir les recours dirigés contre les sentences rendues dans le domaine des peines statutaires en matière sportive.
4.3.2.2 Comme cela ressort du texte même de l'<ref-law>, la renonciation au recours repose sur un accord des parties, qu'il figure dans la convention d'arbitrage ou dans un écrit ultérieur. Cet accord, à l'égal de tout contrat, ne vient à chef que si les parties ont, réciproquement et d'une manière concordante, manifesté leur volonté de renoncer au recours. La liberté de contracter, en tant qu'élément constitutif de l'autonomie de la volonté, requiert qu'une telle manifestation n'émane pas d'une volonté bridée par quelque entrave que ce soit. Que l'expression de la volonté de renoncer au recours ne soit viciée par aucune forme de contrainte est d'autant plus impérieux qu'une telle renonciation prive son auteur de la possibilité d'attaquer toute sentence future, quand bien même elle violerait des principes fondamentaux propres à un Etat de droit, comme l'ordre public, ou des garanties de procédure essentielles comme la composition régulière du tribunal arbitral, sa compétence de jugement, l'égalité des parties ou encore le droit de celles-ci d'être entendues en procédure contradictoire.
Le sport de compétition se caractérise par une structure très hiérarchisée, aussi bien au niveau international qu'au niveau national. Etablies sur un axe vertical, les relations entre les athlètes et les organisations qui s'occupent des diverses disciplines sportives se distinguent en cela des relations horizontales que nouent les parties à un rapport contractuel (<ref-ruling> consid. 3.3.3.2 p. 461). Cette différence structurelle entre les deux types de relations n'est pas sans influence sur le processus volitif conduisant à la formation de tout accord. En principe, lorsque deux parties traitent sur un pied d'égalité, chacune d'elles exprime sa volonté sans être assujettie au bon vouloir de l'autre. Il en va généralement ainsi dans le cadre des relations commerciales internationales. La situation est bien différente dans le domaine du sport. Si l'on excepte le cas - assez théorique - où un athlète renommé, du fait de sa notoriété, serait en mesure de dicter ses conditions à la fédération internationale régissant le sport qu'il pratique, l'expérience enseigne que, la plupart du temps, un sportif n'aura pas les coudées franches à l'égard de sa fédération et qu'il devra se plier, bon gré mal gré, aux desiderata de celle-ci. Ainsi l'athlète qui souhaite participer à une compétition organisée sous le contrôle d'une fédération sportive dont la réglementation prévoit le recours à l'arbitrage n'aura-t-il d'autre choix que d'accepter la clause arbitrale, notamment en adhérant aux statuts de la fédération sportive en question dans lesquels ladite clause a été insérée, à plus forte raison s'il s'agit d'un sportif professionnel. Il sera confronté au dilemme suivant: consentir à l'arbitrage ou pratiquer son sport en dilettante (sur la problématique de l'arbitrage forcé, cf. Antonio Rigozzi, L'arbitrage international en matière de sport, n. 475 ss et n. 811 ss, avec de nombreuses références aux différentes opinions émises à ce sujet). Mis dans l'alternative de se soumettre à une juridiction arbitrale ou de pratiquer son sport "dans son jardin" (François Knoepfler/Philippe Schweizer, Arbitrage international, p. 137 i.f.), en regardant les compétitions "à la télévision" (Rigozzi, op. cit., p. 250, note 1509 et le premier auteur cité), l'athlète qui souhaite affronter de véritables concurrents ou qui doit le faire parce que c'est là son unique source de revenus (prix en argent ou en nature, recettes publicitaires, etc.) sera contraint, dans les faits, d'opter, nolens volens, pour le premier terme de cette alternative.
Par identité de motifs, il est évident que la renonciation à recourir contre une sentence à venir, lorsqu'elle émane d'un athlète, ne sera généralement pas le fait d'une volonté librement exprimée. L'accord qui résultera de la concordance entre la volonté ainsi manifestée et celle exprimée par l'organisation sportive intéressée s'en trouvera, dès lors, affecté ab ovo en raison du consentement obligatoire donné par l'une des parties. Or, en acceptant d'avance de se soumettre à toute sentence future, le sportif, comme on l'a vu, se prive d'emblée du droit de faire sanctionner ultérieurement la violation de principes fondamentaux et de garanties procédurales essentielles que pourrait commettre le tribunal arbitral appelé à se prononcer sur son cas. En outre, s'agissant d'une mesure disciplinaire prononcée à son encontre, telle la suspension, qui ne nécessite pas la mise en oeuvre d'une procédure d'exequatur, il n'aura pas la possibilité de formuler ses griefs de ce chef devant le juge de l'exécution forcée. Partant, eu égard à son importance, la renonciation au recours ne doit, en principe, pas pouvoir être opposée à l'athlète, même lorsqu'elle satisfait aux exigences formelles fixées à l'<ref-law> (dans ce sens, cf. Gabrielle Kaufmann-Kohler/Antonio Rigozzi, Arbitrage international - Droit et pratique à la lumière de la LDIP, Berne 2006, n. 766). Cette conclusion s'impose avec d'autant plus de force que le refus d'entrer en matière sur le recours d'un athlète qui n'a eu d'autre choix que d'accepter la renonciation au recours pour être admis à participer aux compétitions apparaît également sujet à caution au regard de l'art. 6 par. 1 CEDH (cf. Kaufmann-Kohler/Rigozzi, op. cit., n. 767; plus généralement, voir aussi: Sébastien Besson, Arbitration and Human Rights, in Bulletin ASA 2006, p. 395 ss, 405 s., n. 35 à 37; Franz Matscher, in La Convention européenne des droits de l'homme, Commentaire article par article, 2e éd., p. 285, note de bas de page 1).
4.3.2.3 Le libéralisme qui caractérise la jurisprudence relative à la forme de la convention d'arbitrage en matière d'arbitrage international se manifeste également dans la souplesse avec laquelle cette jurisprudence traite le problème de la clause arbitrale par référence (<ref-ruling> consid. 5.3.1 p. 735 et les arrêts cités), y compris dans le domaine sportif (arrêts 4P.253/2003 du 25 mars 2004, consid. 5.4, 4P.230/2000 du 7 février 2001, consid. 2a et 4C.44/1996 du 31 octobre 1996, consid. 3c; voir aussi: Rigozzi, op. cit., n. 796 ss). Inversement, comme on l'a souligné plus haut, la jurisprudence fait preuve de rigueur lorsqu'il s'agit d'admettre une renonciation au recours, puisqu'elle exclut qu'une telle renonciation puisse se faire de manière indirecte (cf. consid. 4.3.1.) et qu'elle n'admet pas, en principe, qu'un athlète puisse se la voir opposer (consid. 4.3.2.2).
Qu'il y ait un certain illogisme, en théorie, à traiter de manière différente la convention d'arbitrage et la renonciation conventionnelle au recours, sous les rapports de la forme et du consentement, est sans doute vrai (dans ce sens, cf. François Knoepfler, in François Knoepfler/Philippe Schweizer, Jurisprudence suisse en matière d'arbitrage international, in RSDIE 2006 p. 105 ss, 159). Toutefois, en dépit des apparences, ce traitement différencié obéit à une logique qui consiste, d'une part, à favoriser la liquidation rapide des litiges, notamment en matière de sport, par des tribunaux arbitraux spécialisés présentant des garanties suffisantes d'indépendance et d'impartialité (au sujet du TAS, cf. <ref-ruling> consid. 3.3.3.3), tout en veillant, d'autre part, à ce que les parties, et singulièrement les sportifs professionnels, ne renoncent pas à la légère à leur droit d'attaquer les sentences de la dernière instance arbitrale devant l'autorité judiciaire suprême de l'Etat du siège du tribunal arbitral. Exprimée d'une autre façon, cette logique veut que le maintien d'une possibilité de recours constitue un contrepoids à la "bienveillance" avec laquelle il convient d'examiner le caractère consensuel du recours à l'arbitrage en matière sportive (Rigozzi, op. cit., n. 1352).
Qu'il y ait un certain illogisme, en théorie, à traiter de manière différente la convention d'arbitrage et la renonciation conventionnelle au recours, sous les rapports de la forme et du consentement, est sans doute vrai (dans ce sens, cf. François Knoepfler, in François Knoepfler/Philippe Schweizer, Jurisprudence suisse en matière d'arbitrage international, in RSDIE 2006 p. 105 ss, 159). Toutefois, en dépit des apparences, ce traitement différencié obéit à une logique qui consiste, d'une part, à favoriser la liquidation rapide des litiges, notamment en matière de sport, par des tribunaux arbitraux spécialisés présentant des garanties suffisantes d'indépendance et d'impartialité (au sujet du TAS, cf. <ref-ruling> consid. 3.3.3.3), tout en veillant, d'autre part, à ce que les parties, et singulièrement les sportifs professionnels, ne renoncent pas à la légère à leur droit d'attaquer les sentences de la dernière instance arbitrale devant l'autorité judiciaire suprême de l'Etat du siège du tribunal arbitral. Exprimée d'une autre façon, cette logique veut que le maintien d'une possibilité de recours constitue un contrepoids à la "bienveillance" avec laquelle il convient d'examiner le caractère consensuel du recours à l'arbitrage en matière sportive (Rigozzi, op. cit., n. 1352).
4.4 4.4.1 L'art. R59 al. 4 du règlement de procédure figurant dans le Code d'arbitrage en matière de sport édicté par le TAS prévoit, au titre des dispositions particulières à la procédure arbitrale d'appel, que la sentence rendue par le TAS n'est susceptible d'aucun recours dans la mesure où les parties n'ont ni domicile, ni résidence habituelle, ni établissement en Suisse et ont expressément renoncé au recours dans la convention d'arbitrage ou dans un accord écrit conclu ultérieurement, notamment en début de procédure (voir aussi l'art. R46 al. 2 qui prévoit la même chose pour la procédure ordinaire). Toutefois, comme Rigozzi le souligne à juste titre, cette disposition, en tant qu'elle "ne fait que paraphraser le texte de l'art. 191 al. 2 [recte: 192 al. 1] LDIP", ne s'oppose pas au dépôt d'un recours contre la sentence du TAS en l'absence d'un accord écrit conclu séparément qui exclurait cette possibilité (op. cit., n. 1347).
En l'espèce, la condition d'extranéité ne fait pas problème. Le recourant ne conteste pas davantage avoir été lié par les Règles ATP en matière de dopage, édition 2005 ("7.06 Tennis anti-doping program 2005"). Il s'y est d'ailleurs expressément soumis en signant la déclaration ad hoc, constituant leur annexe 2 (p. 166 du livre officiel; cf. plus haut sous lettre C.). Cette déclaration comporte, sous chiffre 2, une renonciation expresse du joueur de tennis à attaquer la sentence du TAS par quelque moyen de droit que ce soit ("The decisions of CAS shall be final, non-reviewable, non-appealable and enforceable"). La situation n'était, au demeurant, pas ambiguë en l'espèce, car les parties ne disposaient que d'une seule et unique voie de recours pour entreprendre la sentence rendue par le TAS dans un arbitrage international (cf. <ref-law>). On a bien affaire, du reste, à une renonciation directe, puisque la manifestation de volonté ad hoc ressort déjà du texte même signé par le renonçant. Cette renonciation au recours satisfait donc aux exigences formelles fixées par l'<ref-law> et la jurisprudence y relative.
Point n'est, dès lors, besoin d'examiner si la même conclusion aurait pu être tirée, à défaut d'une déclaration ad hoc du sportif, à l'égard de la clause de renonciation figurant à l'art. P.3, précité, des règles ATP (cf. plus haut sous let. A.a).
4.4.2 Pour les motifs susmentionnés, une renonciation au recours n'est, en principe, pas opposable à l'athlète, nonobstant sa validité formelle. Les longues explications figurant dans la duplique ne démontrent en rien la nécessité de faire exception à ce principe dans le cas présent.
L'intimée expose, par le menu, les modalités d'élaboration et de modification de ses règlements, afin d'établir que les joueurs de tennis sont associés à ce processus via leur Conseil, dont le recourant est membre. Cependant, il ne s'agit pas de savoir si le joueur de tennis qui est membre de l'ATP participe ou non - et, si oui, dans quelle mesure - à la formation de la volonté de cette personne morale. Seul est décisif, dans ce contexte, le point de savoir si ce sportif peut refuser de signer la déclaration ad hoc, par laquelle il renonce à recourir contre d'éventuelles sentences du TAS, tout en conservant la possibilité de s'inscrire aux compétitions organisées par l'intimée. Or, du propre aveu de celle-ci, tel n'est pas le cas, ce que confirme le passage suivant de l'art. B.1 de ses règles en matière de dopage, édition 2005 ("7.06 Tennis anti-doping program 2005", p. 143 du livre officiel): "Further, for each calendar year all such Players shall, as a condition of entering or participating in any event organized or sanctioned by the ATP, deliver to ATP a signed consent in the form set out in Appendix 2".
Pour la même raison, la tentative de l'intimée de démontrer qu'elle se distingue des fédérations sportives internationales traditionnelles par le caractère récent de sa création, de même que par sa structure non monopolistique et paritaire, est tout aussi vaine. Sans doute est-il vrai, dans l'absolu, que rien n'empêcherait des joueurs et des organisateurs de créer un circuit parallèle à celui de l'ATP. Il n'en demeure pas moins que, dans les faits, l'ATP rassemble tous les meilleurs joueurs de tennis professionnels masculins. Dès lors, sauf à renoncer à participer aux compétitions lucratives qu'elle organise, un sportif membre de cette association n'aura d'autre choix que de signer la déclaration de renonciation au recours. Ce fut, à n'en pas douter, le cas du recourant.
Force est ainsi d'admettre, au terme de cet examen, que le recourant n'a pas valablement renoncé à recourir contre les sentences du TAS à venir. Il y a lieu, partant, d'entrer en matière.
5.1 5.1.1 Invoquant l'art. 190 al. 2 let. d LDIP, le recourant se plaint, à titre principal, d'une violation de son droit d'être entendu du fait que le TAS n'aurait pas examiné certains arguments pertinents et essentiels pour la décision à rendre, qu'il lui avait soumis.
A supposer que les arbitres aient sciemment laissé de côté les arguments en question, ils auraient dû s'en expliquer, de l'avis du recourant, lequel fait valoir, à titre subsidiaire, que le droit d'être entendu en matière d'arbitrage sportif comprend aussi celui d'obtenir une décision motivée.
Plus subsidiairement encore, pour le cas où le Tribunal fédéral refuserait d'étendre la portée du droit d'être entendu en matière d'arbitrage sportif, le recourant soutient que la sentence attaquée est incompatible avec l'ordre public procédural, au sens de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP, parce qu'elle n'est pas motivée sur des points pertinents.
5.1.2 Dans sa réponse au recours, l'intimée s'emploie à démontrer que le TAS a bien reçu les arguments prétendument ignorés par lui, mais que ces arguments n'étaient pas pertinents au regard du raisonnement qu'il a suivi. Pour elle, le recourant tenterait, en réalité, de déguiser ses critiques de fond, irrecevables, en une inadvertance, inexistante, susceptible de justifier l'annulation de la sentence.
L'intimée juge, au demeurant, pour le moins douteux que les spécificités de l'arbitrage sportif permettent d'élargir la notion du droit d'être entendu au point de couvrir les griefs dont se plaint le recourant.
5.2 De jurisprudence constante, le droit d'être entendu en procédure contradictoire, consacré par les art. 182 al. 3 et 190 al. 2 let. d LDIP, n'exige pas qu'une sentence arbitrale internationale soit motivée (<ref-ruling> consid. 7b; voir aussi <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 4b).
Toutefois, la jurisprudence a également déduit du droit d'être entendu un devoir minimum pour l'autorité d'examiner et de traiter les problèmes pertinents (<ref-ruling> consid. 2b). Ce devoir a été étendu par la jurisprudence au domaine de l'arbitrage international (<ref-ruling> consid. 3b p. 333) et, partant, à l'arbitrage international en matière de sport (arrêt 4P.26/2005 du 23 mars 2005, relatif au TAS, consid. 3.2). Il est violé lorsque, par inadvertance ou malentendu, le tribunal arbitral ne prend pas en considération des allégués, arguments, preuves et offres de preuve présentés par l'une des parties et importants pour la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 3b p. 333). En effet, la partie concernée est alors lésée dans son droit de faire valoir son point de vue auprès des arbitres; elle est placée dans la même situation que si elle n'avait pas eu la possibilité de leur présenter ses arguments (<ref-ruling>).
Il incombe à la partie soi-disant lésée de démontrer, dans son recours dirigé contre la sentence, en quoi une inadvertance des arbitres l'a empêchée de se faire entendre sur un point important (<ref-ruling> consid. 2f). C'est à elle d'établir, d'une part, que le tribunal arbitral n'a pas examiné certains des éléments de fait, de preuve ou de droit qu'elle avait régulièrement avancés à l'appui de ses conclusions et, d'autre part, que ces éléments étaient de nature à influer sur le sort du litige. Pareille démonstration se fera sur le vu des motifs énoncés dans la sentence attaquée (arrêt 4P.207/2002 du 10 décembre 2002, consid. 4.1). Il va sans dire que, sauf à vouloir en faire une probatio diabolica, cette démonstration ne saurait porter, de surcroît, sur la raison pour laquelle un élément pertinent a été omis par les arbitres. Si la sentence passe totalement sous silence des éléments apparemment importants pour la solution du litige, c'est aux arbitres ou à la partie intimée qu'il appartiendra de justifier cette omission dans leurs observations sur le recours. Ils pourront le faire en démontrant que, contrairement aux affirmations du recourant, les éléments omis n'étaient pas pertinents pour résoudre le cas concret, ou, s'ils l'étaient, qu'ils ont été réfutés implicitement par le tribunal arbitral (pour un cas d'application, cf. l'arrêt 4P.26/2005, précité, consid. 3.3 i.f.). C'est le lieu de rappeler, dans ce contexte, qu'il n'y a violation du droit d'être entendu, même au sens - plus extensif - donné par le droit constitutionnel suisse à cette garantie, que si l'autorité ne satisfait pas à son devoir minimum d'examiner les problèmes pertinents (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2b). Aussi les arbitres n'ont-ils pas l'obligation de discuter tous les arguments invoqués par les parties, de sorte qu'ils ne sauraient se voir reprocher, au titre de la violation du droit d'être entendu en procédure contradictoire, de n'avoir pas réfuté, même implicitement, un moyen objectivement dénué de toute pertinence.
5.3 En l'espèce, le recourant a fait valoir un certain nombre d'arguments subsidiaires devant le TAS pour le cas où celui-ci écarterait son moyen principal voulant qu'il n'ait commis aucune faute à l'occasion de la remise du médicament litigieux. Il a ainsi consacré une douzaine de pages de son mémoire d'appel à démontrer en quoi, selon lui, le fait d'infliger une quelconque sanction à un athlète ayant absorbé un médicament qui lui avait été remis par erreur et qui était préjudiciable à sa prestation sportive violait le droit du Delaware (applicable en vertu des Règles ATP), au regard tant du principe de la proportionnalité que de la doctrine de la forfeiture ou de la penalty, et n'était pas compatible avec les droits américain et européen de la concurrence. A supposer qu'ils aient été jugés fondés, ces arguments subsidiaires étaient propres à modifier l'issue du litige, puisqu'ils tendaient à exclure la possibilité d'infliger quelque sanction que ce fût au recourant. On ne pouvait donc pas leur dénier d'emblée toute pertinence, quoi qu'en dise l'intimée.
Or, force est de constater que le TAS, s'il fait certes une timide allusion au droit du Delaware dans son résumé des moyens de l'appelant, passe ensuite totalement sous silence ces arguments subsidiaires lorsqu'il procède à l'analyse juridique du cas. Comme il a renoncé à se déterminer sur le recours de droit public, on ignore les raisons de ce mutisme. Selon l'intimée, il faudrait les rechercher dans le fait qu'en jugeant la suspension de quinze mois conforme au principe de la proportionnalité, compte tenu de l'ensemble des circonstances du cas, les arbitres auraient implicitement écarté les arguments subsidiaires du recourant. Il s'agit là, toutefois, d'une conclusion qui ne s'impose nullement sur le vu du texte de la sentence. En effet, c'est une chose de dire qu'une sanction est proportionnée à la faute commise, comme l'ont retenu les arbitres; c'en est une autre de dire qu'une sanction, même proportionnée à la faute commise, ne peut pas être infligée au joueur de tennis, eu égard à la réglementation étatique, voire interétatique, applicable, comme le soutient le recourant. Aussi les arbitres auraient-ils dû indiquer, à tout le moins, pourquoi ils considéraient que la réglementation invoquée par le recourant n'était pas applicable en l'espèce ou n'avait pas été méconnue par le Tribunal antidopage de l'ATP. Du moment qu'ils ne l'ont pas fait, on ne peut exclure, avec le recourant, que cette omission résultât d'une inadvertance de leur part. Eût-elle revêtu un caractère volontaire, les données du problème n'en auraient pas été fondamentalement modifiées du reste: dans cette hypothèse aussi, il eût appartenu aux arbitres de signaler la chose, fût-ce sommairement (cf. art. R59 al. 1 du règlement de procédure figurant dans le Code d'arbitrage en matière de sport édicté par le TAS), afin que le recourant puisse se convaincre, en lisant la sentence, qu'ils avaient bien pris connaissance de tous ses arguments objectivement pertinents, même si c'était pour les écarter.
Il ressort de ces considérations que le droit d'être entendu du recourant a été méconnu par le TAS. Etant donné la nature formelle de ce droit (<ref-ruling> consid. 3c), la sentence attaquée doit être annulée, sans égard au sort qui sera réservé aux arguments subsidiaires avancés par le recourant.
6. L'intimée, qui succombe, devra payer l'émolument judiciaire et verser des dépens au recourant (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ). Pour fixer ceux-ci, le Tribunal fédéral tiendra compte de l'importance de l'affaire, qui ne se résume pas à la seule condamnation du recourant à restituer les 17'250 US$ qu'il avait touchés lors du tournoi d'Acapulco, ainsi que de l'ampleur du travail effectué par le mandataire du recourant pour la rédaction de l'acte de recours et de la réplique. En sens inverse, la Cour de céans soulignera que l'on n'a pas affaire ici à un arbitrage commercial international, mais à un différend relatif à une sanction disciplinaire infligée à un sportif professionnel.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et la sentence attaquée est annulée.
2. Un émolument judiciaire de 5'000 fr. est mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera au recourant une indemnité de 10'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et au Tribunal Arbitral du Sport (TAS).
Lausanne, le 22 mars 2007
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: