Faits:
A. A.a H._, né en 1944, était affilié pour la prévoyance professionnelle à la Caisse paritaire de prévoyance de l'industrie et de la construction (ci-après: la caisse de prévoyance). Le 1er octobre 2006, il a pris une retraite anticipée et bénéficié d'une rente transitoire versée par la Caisse de retraite anticipée du second oeuvre romand (ci-après: la fondation RESOR).
A.b H._ est décédé en 2007. Par courrier du 1er juillet 2007, sa veuve, B._, a sollicité de la caisse de prévoyance le versement d'un capital-décès en lieu et place d'une rente de conjoint survivant. Le 11 juillet 2007, la caisse de prévoyance a informé l'intéressée que les dispositions réglementaires applicables n'autorisaient pas le versement d'un capital-décès pour la veuve d'un assuré bénéficiant d'une rente de retraite anticipée de la fondation RESOR, mais uniquement le versement d'une rente de conjoint survivant. Par communication du 24 septembre 2007, elle a fixé le montant mensuel de la rente à 1'061 fr. 35.
A.c Par jugement du 9 février 2010, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) a rejeté la demande de B._ tendant à la condamnation de la caisse de prévoyance au versement d'un capital-décès de 290'000 fr., rejet confirmé par le Tribunal fédéral le 1er septembre 2010 (arrêt 9C_224/2010).
B. Le 20 septembre 2011, B._ a ouvert une nouvelle action contre la caisse de prévoyance devant la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève. Elle a conclu à l'annulation de la " décision de versement de rente " du 24 septembre 2007 et à la condamnation de la caisse de prévoyance au paiement des sommes de 281'470 fr. 85 (sous déduction des rentes déjà versées) au titre de l'avoir de vieillesse accumulé par H._ jusqu'au 1er juillet 2007 (avec intérêts à compter du 1er juillet 2007) et de 38'638 fr. 10 à titre de dommages-intérêts pour " cessation prématurée et non communiquée de couverture retraite " ou, à défaut, de 20'000 fr. à titre de dommages-intérêts pour " attribution de rente de veuve au montant erroné ". Par jugement du 10 janvier 2012, la juridiction cantonale a rejeté la demande dans la mesure de sa recevabilité et condamné l'assurée à verser à la caisse de prévoyance une indemnité de dépens de 1'000 fr. pour cause de témérité.
C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut à l'annulation de la " décision d'attribution de rente de veuve " prise par la caisse de prévoyance le 24 septembre 2007 et à la condamnation de celle-ci à lui verser la somme de 150'000 fr. à titre de dommages-intérêts.
La caisse de prévoyance conclut, dans la mesure de sa recevabilité, au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2. Hormis une conclusion en paiement de dommages-intérêts (cf. infra consid. 6), le présent recours ne contient formellement aucune conclusion réformatoire. Il ressort néanmoins du mémoire de recours que la recourante conteste, d'une part, le fait que H._ ait pu être affilié à la caisse de prévoyance au moment de son décès et, d'autre part, le calcul du montant de sa rente. L'on comprend ainsi qu'elle entend obtenir le versement de l'avoir de vieillesse acquis par son mari ou, subsidiairement, un nouveau calcul du montant de sa rente. Il convient d'interpréter les conclusions dans ce sens et d'entrer en matière sur le recours.
3. La juridiction cantonale a considéré la demande déposée par la recourante comme étant une demande de révision procédurale et, partant, examiné si les nouveaux arguments ou griefs constituaient des faits ou des moyens de preuve nouveaux.
3.1 En l'espèce, la recourante n'a toutefois jamais exprimé une quelconque volonté d'obtenir la révision du jugement cantonal du 9 février 2010 ou de l'arrêt du Tribunal fédéral du 1er septembre 2010. Au contraire, il ressort clairement de la seconde demande formée devant la juridiction cantonale qu'elle considérait ses conclusions et son argumentation comme étant nouvelles et justifiant le dépôt d'une nouvelle demande. En estimant qu'ils avaient été saisis d'une demande de révision, les premiers juges ont par conséquent mal apprécié la nature de la requête déposée par la recourante.
3.2 Qui plus est, dans la mesure où le Tribunal fédéral avait statué sur le fond en qualité de dernière instance dans le cadre de la première demande déposée par la recourante, la Cour de justice de la République et canton de Genève n'était pas compétente pour connaître d'une éventuelle demande de révision. En effet, selon un principe général, la demande en révision doit être formée devant l'autorité qui a statué sur le fond en dernière instance. Le recours en matière de droit public étant une voie de droit ordinaire de nature réformatoire, son admission ou son rejet sur la base des faits constatés dans la décision attaquée conduit à ce que l'arrêt du Tribunal fédéral se substitue à la décision attaquée. Dans cette hypothèse, la demande en révision doit être formée devant le Tribunal fédéral dont l'arrêt constitue alors la seule décision en force susceptible d'être révisée pour les motifs énumérés aux art. 121 et 123 LTF. La demande en révision n'est possible devant l'instance précédente que lorsque le recours en matière de droit public a été déclaré irrecevable ou lorsque le motif de la demande en révision porte sur des aspects qui n'étaient plus litigieux en procédure principale devant le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 670).
4. Cela étant précisé, la question à résoudre n'était pas tant de savoir s'il existait un motif de révision que de savoir si le premier jugement rendu emportait autorité de chose jugée par rapport aux conclusions formulées dans le cadre de la seconde procédure.
4.1 Un jugement a l'autorité de la chose jugée lorsqu'il est obligatoire, c'est-à-dire qu'il ne peut plus être remis en discussion ni par les parties, ni par les tribunaux (arrêt 5C.242/2003 du 20 février 2004 consid. 2.1). Il y a autorité de la chose jugée lorsque la prétention litigieuse est identique à celle qui a déjà fait l'objet d'un jugement passé en force (identité de l'objet du litige). Tel est le cas lorsque, dans l'un et l'autre procès, les parties ont soumis au juge la même prétention en se fondant sur la même cause juridique et sur les mêmes faits (<ref-ruling> consid. 1 p. 242; <ref-ruling> consid. 2a p. 18; <ref-ruling> consid. 4a p. 477; cf. également <ref-ruling> consid. 3b p. 286). L'identité des prétentions s'entend au sens matériel, et non grammatical; il n'est pas nécessaire, ni même déterminant, que les conclusions soient formulées de manière identique dans les deux procès. Le Tribunal fédéral a admis que, même si elle s'en écarte par son intitulé, une nouvelle conclusion aura un objet identique à celle déjà jugée, si elle était déjà contenue dans celle-ci, si elle est simplement son contraire ou si elle ne se pose qu'à titre préjudiciel, alors que, dans le premier procès, elle se posait à titre principal (ATF <ref-ruling> consid. 2a p. 18; <ref-ruling> consid. 4a p. 477). L'identité de l'objet s'étend en outre à tous les faits qui font partie du complexe de faits, y compris les faits dont le juge n'a pas pu tenir compte parce qu'ils n'ont pas été allégués, qu'ils ne l'ont pas été selon les formes et à temps ou qu'ils n'ont pas été suffisamment motivés (<ref-ruling> consid. 2b et 3 p. 744). En principe, seul le jugement au fond ("Sachurteil") jouit de l'autorité de la chose jugée. Il faut donc que le juge ait examiné le fondement matériel de la prétention déduite en justice; pour déterminer si cette condition est réalisée, il y a lieu de se référer aux motifs du jugement, même si l'autorité de la chose jugée ne s'attache qu'au dispositif (<ref-ruling> consid. 4a p. 195; <ref-ruling> consid. 3b p. 13; <ref-ruling> consid. 2a p. 18; <ref-ruling> consid. 4a p. 477/478).
4.1 Un jugement a l'autorité de la chose jugée lorsqu'il est obligatoire, c'est-à-dire qu'il ne peut plus être remis en discussion ni par les parties, ni par les tribunaux (arrêt 5C.242/2003 du 20 février 2004 consid. 2.1). Il y a autorité de la chose jugée lorsque la prétention litigieuse est identique à celle qui a déjà fait l'objet d'un jugement passé en force (identité de l'objet du litige). Tel est le cas lorsque, dans l'un et l'autre procès, les parties ont soumis au juge la même prétention en se fondant sur la même cause juridique et sur les mêmes faits (<ref-ruling> consid. 1 p. 242; <ref-ruling> consid. 2a p. 18; <ref-ruling> consid. 4a p. 477; cf. également <ref-ruling> consid. 3b p. 286). L'identité des prétentions s'entend au sens matériel, et non grammatical; il n'est pas nécessaire, ni même déterminant, que les conclusions soient formulées de manière identique dans les deux procès. Le Tribunal fédéral a admis que, même si elle s'en écarte par son intitulé, une nouvelle conclusion aura un objet identique à celle déjà jugée, si elle était déjà contenue dans celle-ci, si elle est simplement son contraire ou si elle ne se pose qu'à titre préjudiciel, alors que, dans le premier procès, elle se posait à titre principal (ATF <ref-ruling> consid. 2a p. 18; <ref-ruling> consid. 4a p. 477). L'identité de l'objet s'étend en outre à tous les faits qui font partie du complexe de faits, y compris les faits dont le juge n'a pas pu tenir compte parce qu'ils n'ont pas été allégués, qu'ils ne l'ont pas été selon les formes et à temps ou qu'ils n'ont pas été suffisamment motivés (<ref-ruling> consid. 2b et 3 p. 744). En principe, seul le jugement au fond ("Sachurteil") jouit de l'autorité de la chose jugée. Il faut donc que le juge ait examiné le fondement matériel de la prétention déduite en justice; pour déterminer si cette condition est réalisée, il y a lieu de se référer aux motifs du jugement, même si l'autorité de la chose jugée ne s'attache qu'au dispositif (<ref-ruling> consid. 4a p. 195; <ref-ruling> consid. 3b p. 13; <ref-ruling> consid. 2a p. 18; <ref-ruling> consid. 4a p. 477/478).
4.2 4.2.1 En tant que la demande avait pour objet le versement à la recourante d'un montant en capital en lieu et place de la rente actuellement allouée, elle était effectivement irrecevable. Dans le cadre de la première procédure, il a été clairement constaté que les dispositions règlementaires applicables n'autorisaient pas la caisse de prévoyance à servir autre chose qu'une rente (arrêt 9C_224/2010 du 1er septembre 2010 consid. 2.3). L'arrêt du Tribunal fédéral étant revêtu de l'autorité de la chose jugée, il faisait par conséquent obstacle à un réexamen de cette question. Il importait à cet égard peu que les conclusions portassent cette fois-ci sur le versement de l'avoir de vieillesse plutôt que sur le versement du capital-décès.
4.2.2 Au demeurant, les arguments soulevés par la recourante à l'appui de sa nouvelle demande étaient dénués de fondement.
4.2.2.1 En statuant dans le cadre de la première procédure sur la nature de la prestation à laquelle pouvait prétendre la recourante, la juridiction cantonale, puis le Tribunal fédéral, ont implicitement reconnu la poursuite de l'affiliation de H._ auprès de la caisse de prévoyance. Cela est d'ailleurs conforme au règlement de prévoyance. Selon l'art. 33 al. 4, 1ère phrase, du Règlement de la Caisse paritaire de prévoyance de l'industrie et de la construction (ci-après: le règlement de prévoyance), un assuré qui bénéficie d'une retraite anticipée selon les conventions collectives (FAR ou RESOR) continue d'être affilié à la caisse de prévoyance jusqu'au jour de la retraite réglementaire (arrêt 9C_224/2010 précité consid. 2.2).
4.2.2.2 Il n'existe aucun fondement réglementaire qui exigerait de la caisse de prévoyance qu'elle établisse un nouveau plan de prévoyance avec la fixation d'un nouveau montant de cotisation. Au contraire, l'art. 18 de la Convention collective pour la retraite anticipée dans le second oeuvre romand prévoit expressément que la Fondation RESOR prend en charge durant la période de versement de la rente les cotisations à l'institution de prévoyance, le montant de celles-ci ne pouvant en aucun cas excéder les 10 % du salaire déterminant pris en compte pour fixer la rente transitoire de retraite anticipée ni être supérieur aux 10 % du gain assuré à l'institution de prévoyance.
4.2.2.3 Le non-paiement éventuel des cotisations dues par la fondation RESOR à la caisse de prévoyance n'est pas susceptible d'entraîner la rupture de l'affiliation. Il s'agit en effet d'un problème qui relève des rapports entre la fondation RESOR et la caisse de prévoyance, sans influence aucune sur la situation de la personne assurée et sur les prétentions que celle-ci peut avoir à l'égard de la caisse de prévoyance.
4.3 En revanche, la question du montant de la rente de conjoint survivant n'a pas encore fait l'objet d'un examen judiciaire. La demande était par conséquent recevable en tant qu'elle portait sur ce point.
5. 5.1 Même si les griefs soulevés par la recourante sont présentés de manière relativement confuse, on comprend néanmoins, à la lumière des reproches proférés (non-prise en considération des cotisations versées par la fondation RESOR; absence de certificat de prévoyance pour l'année 2007) qu'elle fait grief à la caisse de prévoyance de s'être fondée sur des bases erronées ou, à tout le moins, contradictoires pour calculer le montant de sa rente.
5.2 Selon la juridiction cantonale, les prestations dues devaient, conformément à l'art. 42 du règlement de prévoyance, être calculées sur la base des éléments en vigueur au jour du décès. En 2007, la rente de veuve était égale à 60 % de la rente annuelle de retraite/invalidité que l'assuré percevait lors de son décès (s'il était déjà invalide ou à la retraite) ou aurait perçu s'il avait été invalide lors de son décès. Dans ces conditions, la base de calcul ne pouvait pas être la rente de retraite (22'375 fr. selon le certificat 2006), dès lors que H._ aurait atteint l'âge de la retraite en 2009 seulement, mais bien la rente d'invalidité (20'504 fr. 45 en 2006). Si l'époux de la recourante était décédé en 2006, la rente de veuve aurait été de 12'302 fr. soit 1'025 fr. 15 par mois, alors qu'elle a été fixée à 1'061 fr. 35 par mois dès le 1er juillet 2007, ce qui suffisait à démontrer que la fondation RESOR avait versé à la caisse de prévoyance les cotisations dues.
5.3 A la lecture du raisonnement suivi par la juridiction cantonale, il apparaît que celui-ci repose sur une simple hypothèse, non étayée par des éléments concrets et objectifs. En procédant de la sorte, la juridiction cantonale est tombée dans l'arbitraire, ce qui justifie, pour ce motif déjà, l'annulation du jugement entrepris et le renvoi de la cause.
5.4 Aucune pièce versée au dossier ne permet de vérifier que le montant de 1'061 fr. 35 calculé par la caisse de prévoyance est conforme aux dispositions règlementaires applicables.
5.4.1 Comme relevé à juste titre par la juridiction cantonale, seul importe pour le calcul de la rente le montant de l'avoir de prévoyance au jour du décès de la personne assurée. Dans cette mesure, les différents certificats établis par la caisse de prévoyance au cours du temps, constatant un avoir de vieillesse de 265'570 fr. 25 au 1er janvier 2006 et de 278'651 fr. 10 au 31 janvier 2007, ne sont d'aucune utilité, puisque l'avoir de vieillesse a nécessairement évolué entre la date d'établissement de ces documents et celle du décès de H._.
5.4.2 D'après l'art. 42 let. b du règlement de prévoyance, le montant annuel de la rente de conjoint survivant est égal à 60 % de la rente annuelle d'invalidité ou de retraite qui était assurée au défunt au jour de son décès. Compte tenu de la rente mensuelle de conjoint survivant de 1'061 fr. 35 allouée par la caisse de prévoyance, cela donne un montant (arrondi) de 21'227 fr. ([(1'061 fr. 35 x 100) / 60] x 12). Selon l'art. 32 let. a du règlement de prévoyance, le montant de la rente de retraite est calculé en pour cent de l'avoir de vieillesse constitué au jour de la retraite réglementaire (taux de conversion; in casu: 6,99 %), ce qui donne dans le cas d'espèce le montant de 303'677 fr. ([21'227 x 100] / 6,99). Ce montant est très éloigné des montants figurant dans les certificats de prévoyance susmentionnés ou encore du montant du capital-décès de 281'470 fr. 85 communiqué le 12 octobre 2010 à la recourante.
5.5 Quand bien même le montant de l'avoir de vieillesse qui semble avoir été retenu par la caisse de prévoyance pour fixer le montant de la rente est supérieur à tous les chiffres communiqués précédemment à la recourante, il n'en demeure pas moins que l'on ignore, en l'état des documents remis et des explications fournies par la caisse de prévoyance, sur quelles bases l'avoir de vieillesse, respectivement la rente de la recourante ont été calculés; on ne saurait notamment affirmer, au degré de la vraisemblance prépondérante, que les bonifications dues par la fondation RESOR ont été prises en considération pour déterminer l'avoir de vieillesse. Vu les griefs invoqués par la recourante, on peut déplorer que la caisse de prévoyance n'ait pas produit spontanément au cours de la procédure un calcul détaillé de la rente qui aurait permis de lever tout doute à ce sujet. En tout état de cause, il convient dans le cas particulier de renvoyer l'affaire à la juridiction cantonale afin qu'elle instruise ce point, en requérant notamment auprès de la caisse de prévoyance copie du calcul détaillé (incluant l'historique de l'évolution de l'avoir de prévoyance [bonifications de vieillesse et intérêts]) auquel celle-ci a dû nécessairement procéder pour fixer la prestation de la recourante.
6. Pour le reste, il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur la prétention en dommages-intérêts formulée par la recourante dans son recours en matière de droit public. Hormis le fait que son montant a été amplifié en procédure fédérale par rapport au montant réclamé en procédure cantonale, ce qui n'est pas admissible au regard de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.4.2 p. 365), la recourante n'explicite pas de manière suffisamment circonstanciée en quoi consiste précisément le comportement reproché à la fondation de prévoyance, en quoi celui-ci serait illicite et quel serait le préjudice financier subi à raison de ce comportement.
7. 7.1 Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être partiellement admis. Le jugement attaqué est annulé et la cause renvoyée à la juridiction cantonale pour qu'elle statue dans le sens des considérants. Il lui appartiendra de régler à nouveau le sort des frais et dépens de la procédure cantonale (art. 67 et 68 al. 5 LTF).
7.2 Vu l'issue de la procédure, il se justifie de mettre les frais afférents à la procédure pour moitié à la charge de la recourante et pour moitié à charge de l'intimée. La recourante, qui n'est pas représentée par un avocat, n'a pas droit à une indemnité de dépens réduite.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 10 janvier 2012 est annulé en tant qu'il porte sur la question de la rente de la prévoyance professionnelle. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 250 fr. à la charge de la recourante et pour 250 fr. à la charge de l'intimée.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 novembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Piguet