Sachverhalt:
A.
A.a. F._ (geb. 2003) ist die Tochter von A._ und B._. Mit Verfügung vom 9. Januar 2009 ordnete das Richteramt Bucheggberg-Wasseramt im Rahmen eines Eheschutzverfahrens zur Überwachung des persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Tochter die Errichtung einer Erziehungsbeistandschaft gemäss <ref-law> an. Gleichzeitig wurde die Vormundschaftsbehörde der Einwohnergemeinde G._ angewiesen, die Erziehungsbeistandschaft zu errichten.
A.b. Im Mai 2009 wurde die Mandatsführung interimistisch H._, Sozialarbeiterin FH, übertragen. Am 8. September 2009 setzte die Sozialkommission E._ I._, Sozialarbeiterin FH, als Beiständin für F._ mit Wirkung ab 1. Oktober 2009 ein. Diese Beiständin wurde am 30. März 2010 wegen krankheitsbedingter Arbeitsunfähigkeit aus dem Amt entlassen. Neu wurde die Mandatsführung per 31. März 2010 D._ von der Beratungsstelle J._ GmbH übertragen.
A.c. Am 26. Februar 2013 kündigte die Einwohnergemeinde G._ die "Auftragsvereinbarung" mit der J._ GmbH vom 16./19. Dezember 2011 per 31. Mai 2013. Mit Schreiben vom 10. April 2013 an A._ hielten die Sozialen Dienste E._ fest, dass A._ von der Firma J._ GmbH über den Wechsel des Beistands von F._ per 1. Juni 2013 informiert worden sei. Die Sozialen Dienste wiesen darauf hin, dass als neue Beiständin ab 1. Juni 2013 C._ vorgesehen sei, und informierten A._ ausserdem über ihre Möglichkeit, zur Einsetzung von C._ Stellung zu nehmen und eine eigene Vertrauensperson vorzuschlagen.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 17. April 2013 beantragte der Rechtsvertreter von A._ bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Region Solothurn (im Folgenden: KESB Region Solothurn), die Sozialen Dienste E._ darauf hinzuweisen, dass eine Entlassung des bisherigen Beistandes ausschliesslich in die Kompetenz der KESB falle. Allfällige Anträge der Sozialen Dienste auf Entlassung des bisherigen Beistandes seien abzuweisen.
B.b. Am 23. April 2013 beantragten die Sozialen Dienste E._ bei der KESB Region Solothurn, die Beistandschaft für F._ sei aufgrund der Kündigung des Vertrages mit der J._ GmbH per 1. Juni 2013 auf C._ zu übertragen. D._ beantragte unter anderem, "keinen Mandatswechsel vorzunehmen".
B.c. Am 7. Juni 2013 fand vor der KESB eine Anhörung der Kindsmutter statt. Sie sprach sich für die Beibehaltung des bisherigen Beistandes D._ aus. Der Kindsvater verzichtete auf eine persönliche Anhörung, vereinbarte jedoch mit C._ für den 13. Juni 2013 einen Gesprächstermin. Mit E-Mail vom 14. Juni 2013 teilte er der KESB Region Solothurn mit, dass er mit der Einsetzung von C._ als neuer Beiständin einverstanden sei.
B.d. Mit Entscheid vom 20. Juni 2013 übertrug die KESB Region Solothurn die Beistandschaft für F._ zur Weiterführung an C._ von der K._ GmbH, unter Beibehaltung des bisherigen Aufgabenkreises. Nebst weiteren Anweisungen an die neue Beiständin bat die KESB den bisherigen Beistand D._, seinen Schlussbericht per 31. Mai 2013 einzureichen, wobei festgehalten wurde, dass die Entlassung mit der Berichtsgenehmigung erfolgen werde. Einer allfälligen Beschwerde wurde die aufschiebende Wirkung entzogen.
C.
C.a. Gegen den Entscheid der KESB Region Solothurn vom 20. Juni 2013 führte A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde mit folgenden Rechtsbegehren: "1. Der Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde vom 20. Juni 2013 sei vollumfänglich aufzuheben. 2. Es sei festzustellen, dass Herr D._ nach wie vor als Beistand von F._, geb. 2003, eingesetzt sei. 3. Eventualiter sei Herr D._, c/o J._ GmbH, als Beistand gemäss <ref-law> für F._, geb. 2003, zu ernennen. 4. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen."
C.b. Mit Verfügung vom 23. August 2013 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab.
C.c. Am 17. September 2013 bat das Verwaltungsgericht D._ sowie die Sozialen Dienste der Sozialregion E._, sich zu einer allfälligen Weiterführung der Beistandschaft durch D._ und insbesondere zur Frage zu äussern, ob dieser die Beistandschaft als Privatbeistand weiterführen könne. Mit Schreiben vom 27. September 2013 erklärte sich D._ dazu bereit. Die Sozialen Dienste der Sozialregion E._ hielten in ihrer Eingabe vom 30. September 2013 fest, dass eine Zusammenarbeit mit D._ aufgrund schlechter Erfahrungen kaum möglich erscheine.
C.d. Mit Urteil vom 11. November 2013 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
D.
D.a. Mit Eingabe vom 16. Dezember 2013 gelangt A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, das Urteil des Verwaltungsgerichtes vollumfänglich aufzuheben. In Aufhebung des Entscheides der KESB Region Solothurn vom 20. Juni 2013 sei festzustellen, dass D._ nach wie vor als Beistand von F._ eingesetzt ist. Eventualiter sei D._ als Beistand gemäss <ref-law> für F._ zu ernennen.
D.b. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten sowie Vernehmlassungen bei B._, der Vorinstanz, der KESB Region Solothurn, der Einwohnergemeinde G._, C._ und D._ eingeholt.
C._ und B._ liessen sich nicht vernehmen. Die Vorinstanz beantragt mit Eingabe vom 10. Februar 2014 (Datum der Postaufgabe), die Beschwerde kostenfällig abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. In gleicher Weise äusserte sich die KESB in ihrer Vernehmlassung vom 21. Februar 2014, in der sie an ihrem Entscheid vom 20. Juni 2013 festhielt. Die Einwohnergemeinde G._ äusserte sich in ihrer Eingabe vom 6. Februar 2014 (Datum der Postaufgabe) zur Begründung der Beschwerde, ohne einen Antrag in der Sache zu stellen. D._ äusserte sich in seiner Vernehmlassung vom 13. März 2014 "als ehemaliger Beistand" und bekräftigte seinen Standpunkt, wonach kein Grund für einen Mandatswechsel bestanden habe; einen formellen Antrag stellte er nicht.
Das Bundesgericht hat die Vernehmlassungen der Beschwerdeführerin sowie den übrigen am Verfahren Beteiligten zur Wahrung des Replikrechts zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin wehrt sich rechtzeitig (<ref-law>) gegen den Entscheid, mit dem das Verwaltungsgericht die Übertragung der Beistandschaft für F._ auf C._, die Aufforderung an D._ zur Einreichung eines Schlussberichts per 31. Mai 2013 sowie weitere Anordnungen betreffend den Wechsel des Beistands bestätigt (s. Sachverhalt Bst. B.d und C.d ). Das ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Der Streit ist nicht vermögensrechtlicher Natur (vgl. Urteil 5A_645/2010 vom 27. Dezember 2010 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Die Beschwerdeführerin hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Sie ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist damit grundsätzlich einzutreten.
2.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Unter Vorbehalt der Verletzung verfassungsmässiger Rechte wendet das Bundesgericht das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es kann eine Beschwerde daher auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (<ref-ruling> E. 4 S. 252). Demgegenüber ist das Bundesgericht grundsätzlich an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
3.
Umstritten ist zunächst, ob das Amt von D._ als Beistand von F._ mit der Kündigung der "Auftragsvereinbarung" zwischen der Einwohnergemeinde G._ und der J._ GmbH (vgl. Sachverhalt Bst. A.c ) von Gesetzes wegen endete.
Für die Vorinstanz ist dies der Fall. Das Amt des Beistandes ende nach <ref-law> von Gesetzes wegen mit dem Ende des Arbeitsverhältnisses als Berufsbeistand. Damit sei neben dem Fall, in welchem der Berufsbeistand sein Arbeitsverhältnis kündige, zweifellos auch der hier vorliegende Fall gemeint, in welchem das Auftragsverhältnis zwischen der Sozialregion E._ und der Arbeitgeberin des Berufsbeistands beendet werde. Ein Berufsbeistand, der weiterhin bei seiner Arbeitgeberin angestellt sei und berufsmässig Beistandschaften führe, könne nicht ausserhalb seiner Anstellung weitere berufsmässige Mandate führen. Wie bei einer Kündigung seitens des Mandatsträgers könne D._ das Mandat weder rechtlich noch faktisch weiterführen. Die Beschwerdeführerin ist anderer Meinung. Sie argumentiert, D._ sei nach wie vor als Berufsbeistand tätig und auch bereit, das Mandat für ihre Tochter zu übernehmen. Die Auflösung des Rahmenvertrages zwischen der Sozialregion E._ und der J._ GmbH ändere daran nichts. Mit dem Mandat sei D._ als natürliche Person und nicht die J._ GmbH betraut worden. Auch die Vorinstanz gehe schliesslich nicht davon aus, dass ein wichtiger Grund für eine Entlassung des Beistandes gemäss <ref-law> vorliege.
4.
Weder der Einsetzungsverfügung der Sozialkommission E._ vom 30. März 2010 noch der Ernennungsurkunde vom 31. März 2010 lässt sich eine zeitliche Befristung des Mandats von D._ entnehmen. Dieses ist damit als unbefristet zu betrachten. In diesem Fall setzt eine Entlassung des Beistands gegen seinen Willen voraus, dass dieser für die Erfüllung seiner Aufgaben nicht mehr geeignet ist oder ein anderer wichtiger Grund für die Entlassung vorliegt (Art. 423 Abs. 1 Ziff. 1 und 2 ZGB). Um den Beistand auf diese Weise aus dem Amt entlassen zu können, muss die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde einen entsprechenden Beschluss fassen (Urs Vogel, in: Basler Kommentar, Erwachsenenschutz, 2012, N 22 zu Art. 421-424 ZGB; PHILIPPE MEIER/SUZANA LUKIC, Introduction au nouveau droit de la protection de l'adulte, 2011, S. 289). Verweist <ref-law> auf den wichtigen Grund, hat die Behörde ihre Entscheidung im konkreten Fall nach Recht und Billigkeit zu treffen (<ref-law>). Die Behörde verfügt also über ein grosses Ermessen. Wie bei der nicht mehr bestehenden Eignung (<ref-law>) stehen auch bei der Entlassung des Mandatsträgers aus wichtigem Grund die Interessen der betroffenen Person im Vordergrund (zum Ganzen s. Urs Vogel, a.a.O., N 22 und 24 ff. zu Art. 421-424 ZGB; Daniel Rosch, in: FamKomm Erwachsenenschutz, 2013, N 8 zu <ref-law>). Ein wichtiger Grund, der zur Entlassung führen muss, liegt jedenfalls dann vor, wenn der Beistand nicht mehr wählbar ist (Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 S. 7060).
5.
5.1. Gerade zu letzterem Schluss kommt das Verwaltungsgericht. Mit Blick auf die Frage, ob D._ für die Weiterführung der Beistandschaft für F._ in Frage kommt, hält es fest, seit der Einsetzung von D._ als Beistand sei das Verhältnis zwischen D._ und dem Kindsvater B._ "sehr stark konfliktbeladen". Dies habe zu mehreren Verfahren - auch vor dem Verwaltungsgericht - geführt. Eine Wiedereinsetzung des bisherigen Beistandes D._ sei nicht sinnvoll, da dieser im Umfeld von F._ nicht vorbehaltlos akzeptiert sei und somit weitere Konflikte zwischen ihm und dem Kindsvater "vorprogrammiert wären", was dem Kindeswohl nicht dienlich wäre. Seit dem Wechsel des Beistandes habe eine Besserung der Verhältnisse stattgefunden, die auch weiterhin zu erwarten sei. Die neue Beiständin sei zudem geeignet und bereit, das Mandat zu übernehmen, was seitens der Beschwerdeführerin auch nicht bestritten werde. Die Beschwerdeführerin bezeichnet die Auffassung des Verwaltungsgerichts, dass D._ "zur Weiterführung des Mandates als Beistand nicht geeignet sei", als willkürlich. Was sie zur Begründung dieser Rüge vorträgt, vermag die vorinstanzliche Beweisergebnis aber nicht als offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law>, das heisst als willkürlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) auszuweisen (dazu Urteil 5A_909/2013 vom 4. April 2014 E. 2.3, zur Publikation vorgesehen) :
5.2. So ist die vorinstanzliche Erkenntnis, dass D._ vom Kindsvater nicht akzeptiert werde, in den Augen der Beschwerdeführerin "alleine schon deshalb willkürlich", weil es in diesem Zusammenhang offenbar nicht auf ihre Meinung als alleinige Inhaberin der elterlichen Sorge ankomme. Der Einwand ist unbehelflich. Erstens kann die Akzeptanzvon D._ beim Vater nicht davon abhängen, ob die Beschwerdeführerin D._ als Beistand für geeignet hält. Zweitens ist der Beschwerdeführerin zwar darin beizupflichten, dass sie als Inhaberin der elterlichen Sorge von der angeordneten Erziehungsbeistandschaft direkt betroffen ist. Indessen berücksichtigt die Behörde auch den Wunsch der betroffenen Person nur unter dem Vorbehalt, dass die vorgeschlagene Person für die Beistandschaft geeignet ist (<ref-law>). Deshalb kann allein daraus, dass die Behörde diese Eignung verneint, nicht der Schluss gezogen werden, dass sie die Meinung einer betroffenen Person nicht berücksichtigt hat.
5.3. Die Beschwerdeführerin begründet ihren Willkürvorwurf weiter damit, dass die KESB und auch das Verwaltungsgericht D._ bisher trotz der ständigen Interventionen des Kindsvaters eine einwandfreie Mandatsführung bescheinigt hätten. Sie verweist dazu auf ihre "Beweissätze" in der Beschwerdeschrift an das Verwaltungsgericht vom 23. Juni 2013 sowie auf frühere Entscheide des Oberamts der Region Solothurn und des Verwaltungsgerichts. Angesichts dieser "klaren und eindeutigen Aktenvorgänge" könne es nicht sein, dass das gleiche Verwaltungsgericht bzw. die gleichen Behörden zur Auffassung gelangen, eine Wiedereinsetzung von D._ als Beistand sei wegen des mangelnden Vertrauens des Kindsvaters nicht möglich. Soweit sich die Beschwerdeführerin mit Verweisen auf frühere Eingaben an Vorinstanzen begnügt, ist von vornherein ausgeschlossen, dass sie sich mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt. Damit lässt sich das vorinstanzliche Beweisergebnis nicht als offensichtlich unrichtig ausweisen. Sodann tut die Beschwerdeführerin auch nicht dar, inwiefern sich das Verwaltungsgericht im angefochtenen Urteil in offensichtliche Widersprüche zu seinen früheren Entscheiden verstrickt hätte. Weder im Urteil vom 28. September 2012 noch in demjenigen vom 4. Februar 2013 äusserte sich das Verwaltungsgericht konkret zur Eignung von D._ als Beistand. Vielmehr hielt es in diesen beiden Entscheiden fest, dass die verlangte Absetzung von D._ bereits mit Verfügung des solothurnischen Departements des Innern vom 21. November 2011 rechtskräftig abgelehnt worden sei und der Kindsvater diesbezüglich keine neuen Tatsachen geltend gemacht habe. Allein der Umstand, dass die Behörden die Absetzung von D._ in früheren Jahren ablehnten, bedeutet auch nicht zwingend, dass der angefochtene Entscheid mit den tatsächlichen Verhältnissen im November 2013, dem Zeitpunkt des angefochtenen Entscheides, in einem unauflöslichen Widerspruch stünde.
5.4. Um mit einer Willkürrüge vor Bundesgericht durchzudringen, genügt es nicht, Gründe aufzuzählen, aufgrund derer die kantonale Instanz anders hätte entscheiden müssen. Darzutun ist auch und vor allem, weshalb der angefochtene Entscheid selbst, so wie ihn die kantonale Instanz gefällt hat, im Ergebnis an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. Aus diesem Grunde vermag die Beschwerdeführerin nichts auszurichten, wenn sie daran erinnert, dass der Konflikt zwischen dem Kindsvater und D._ "nur ein Stellvertreter-Konflikt" sei, und die Befürchtung äussert, dass "über kurz oder lang dieser Konflikt auch mit der neuen Beiständin wiederum aufbrechen wird". Selbst wenn diese Befürchtung berechtigt sein sollte, folgt daraus nicht, dass die vorinstanzliche Feststellung, wonach das Verhältnis zwischen D._ und dem Kindsvater sehr stark konfliktbeladen ist, vor dem Willkürverbot nicht standhielte. Im Übrigen steht die erwähnte Befürchtung der Beschwerdeführerin im Widerspruch zur vorinstanzlichen Beurteilung, wonach sich die Verhältnisse seit dem Wechsel des Beistands verbessert hätten. Auch damit setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander.
6.
Bleibt es in tatsächlicher Hinsicht aber beim resümierten Beweisergebnis (E. 5.1 ), so ist in den Umständen, wie sie sich dem Verwaltungsgericht präsentierten und wie sie für das Bundesgericht verbindlich sind (E. 2), jedenfalls ein wichtiger Grund im Sinne von <ref-law> zu erblicken, der eine Entlassung von D._ aus seinem Amt als Beistand rechtfertigte (s. E. 4). Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin glauben machen will, hat das Verwaltungsgericht eine Entlassung aus wichtigem Grund nicht verneint. Nachdem es zum Schluss kommt, das Amt des Beistandes habe gemäss <ref-law> von Gesetzes wegen geendet, hat es gar keinen Anlass, sich mit der Entlassung aus wichtigem Grund auseinanderzusetzen. Einer Entlassung von D._ aus wichtigem Grund steht auch nicht entgegen, dass die Einwohnergemeinde G._ am 26. Februar 2013 nur die Auftragsvereinbarung mit der J._ GmbH kündigte (s. Sachverhalt Bst. A.c ) und sich den Akten kein förmlicher Beschluss betreffend die Entlassung von D._ entnehmen lässt. In seiner Stellungnahme im hiesigen Verfahren äussert sich D._ ausdrücklich als "ehemaliger Beistand". Die Beschwerdeführerin, der die fragliche Eingabe Mitte März 2014 zur Kenntnis gebracht wurde, hat sich dazu nicht mehr geäussert. Geht D._ aber selbst davon aus, dass sein Amt als Beistand für F._ mit der Kündigung der besagten Auftragsvereinbarung beendet wurde, so braucht sich das Bundesgericht nicht weiter mit der Frage auseinanderzusetzen, ob und gegebenenfalls unter welchen Voraussetzungen sich die Kündigung des Vertragsverhältnisses zwischen der Einwohnergemeinde G._ und der J._ GmbH in einen Beschluss zur Entlassung von D._ aus wichtigem Grund umdeuten liesse. Ebenso kann offenbleiben, ob diese Kündigung des organisatorischen Grundverhältnisses schon für sich allein genommen einen Umstand darstellt, der eine Entlassung gestützt auf <ref-law> zu rechtfertigen vermöchte, wie dies im Schrifttum postuliert wird (s. DANIEL ROSCH, Auflösung der organisationsrechtlichen Grundlagen und Ende des vormundschaftlichen Mandates, in: ZVW 2009 S. 364; ähnlich DERSELBE, in: FamKomm Erwachsenenschutz, a.a.O.). Hält die Beendigung des Mandats von D._ als Beistand nach dem Gesagten vor <ref-law> stand, so braucht das Bundesgericht auch nicht zu prüfen, ob das Mandat von D._ mit der Kündigung des organisationsrechtlichen Grundverhältnisses gemäss <ref-law> von Gesetzes wegen endete, wie das Verwaltungsgericht argumentiert. In diesem Sinne ist der angefochtene Entscheid mit der beschriebenen Motivsubstitution (s. E. 2) zu bestätigen.
7.
Für den nun eingetretenen Fall, dass das Bundesgericht ihr Begehren um Feststellung des Bestandes des Mandatsverhältnisses nicht gutheisst, verlangt die Beschwerdeführerin im Sinne eines Eventualantrages, D._ erneut als Beistand gemäss <ref-law> für F._ zu ernennen (s. Sachverhalt Bst. D.a ). Wie die vorigen Erwägungen zeigen, vermag die Beschwerdeführerin die vorinstanzlichen Feststellungen, aufgrund derer das Verwaltungsgericht eine Wiedereinsetzung von D._ als Beistand ablehnt, nicht zu erschüttern (E. 5.2 - 5.4). Liegt mit diesen Umständen aber schon ein wichtiger Grund für eine Entlassung vor (E. 6), so kann angesichts der beschriebenen tatsächlichen Gegebenheiten eine erneute Ernennung derselben Person auch unter dem Gesichtspunkt der Eignung (<ref-law>) nicht mehr in Frage kommen. Daran ändert auch nichts, dass sich die Beschwerdeführerin auf den Standpunkt stellt, ihr Wunsch, D._ wieder als Beistand für ihre Tochter einzusetzen, sei "bindend". Denn wie bereits erwähnt (E. 5.2 ), vermag allein der Vorschlag, eine bestimmte Person als Beistand einzusetzen, die behördliche Prüfung der Eignung der vorgeschlagenen Person nicht zu verhindern. Mithin ist dem Verwaltungsgericht keine unrichtige Ausübung des Ermessens vorzuwerfen, wenn es zum Schluss kommt, eine Wiedereinsetzung von D._ wäre dem Kindeswohl nicht dienlich, und D._ damit im Ergebnis die Eignung als Beistand abspricht. Was die Meinung von F._ angeht, beanstandet die Beschwerdeführerin zwar die vorinstanzliche Erkenntnis, dass das Mädchen bezüglich der Frage, welche Person die Beistandschaft zu führen habe, nicht urteilsfähig sei. Inwiefern die Frage der Urteilsfähigkeit des Kindes für den Ausgang des Verfahrens von entscheidender Bedeutung wäre, tut die Beschwerdeführerin aber nicht dar. Sie macht auch nicht geltend, dass die Behörden das Mädchen im Hinblick auf den Beistandswechsel (erneut) hätten anhören müssen. Schliesslich stellt die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht auch nicht in Abrede, dass die neue Beiständin C._ für das Amt geeignet und zu dessen Übernahme bereit ist. Mithin erweist sich die Beschwerde auch bezüglich des Eventualantrags als unbegründet.
8.
Gestützt auf die vorstehenden Erwägungen ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin als unterliegende Partei an sich für die Gerichtskosten aufzukommen. Im vorliegenden Fall rechtfertigt es sich aber, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, B._, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Region Solothurn, C._, D._, den Sozialen Dienste E._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. August 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn