Sachverhalt:
A.
Die 1958 geborene A._ (nachfolgend: Versicherte) leidet unter anderem an einer kombinierten Persönlichkeitsstörung sowie einem Alkoholabhängigkeitssyndrom (seit ca. 1976 bzw. 1981) und wurde seit 1981 viele Male an der Klinik X._ stationär behandelt. Vom 1. Januar 1999 bis zum 31. August 2008 (letzter effektiver Arbeitstag: 31. Juli 2008) war die Versicherte bei der Unternehmung Q._ angestellt, welche berufsvorsorgerechtlich der PKE Pensionskasse Energie (nachfolgend: PKE) angeschlossen war. Ab dem 10. August 2008 arbeitete sie bei der Einwohnergemeinde Z._ und war bei der BVK Personalvorsorge des Kanton Zürich (nachfolgend: BVK) berufsvorsorgeversichert.
Die Versicherte meldete sich am 27. Dezember 2007 erstmals bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich führte medizinische und erwerbliche Abklärungen durch und gewährte Arbeitsvermittlung, welche sie - unter Hinweis auf die per 10. August 2008 aufgenommene, rentenausschliessende Tätigkeit - am 17. Dezember 2008 als abgeschlossen erklärte. Ferner verneinte sie mit Verfügung vom 5. März 2009 den Anspruch auf eine Invalidenrente. Am 1. September 2010 meldete sich die Versicherte erneut zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 17. November 2011 sprach ihr die IV-Stelle eine ganze Invalidenrente rückwirkend ab 1. Mai 2011 zu (Invaliditätsgrad von 100 %). Die BVK verneinte ihre Leistungspflicht mit der Begründung, die relevante Arbeitsunfähigkeit sei bereits im vorangegangenen Arbeitsverhältnis eingetreten und der zeitliche Zusammenhang sei durch die Tätigkeit bei der Gemeinde Z._ nicht unterbrochen worden. Zugleich anerkannte sie ihre Vorleistungspflicht (Einspracheentscheid vom 28. November 2011).
B.
Die Versicherte erhob am 14. Juni 2012 Klage mit dem Rechtsbegehren, die BVK sei zur Leistung der gesetzlichen und reglementarischen Leistungen zuzüglich 5 % Verzugszins ab Klageerhebung zu verpflichten. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich lud die PKE zum Verfahren bei und wies die Klage mit Entscheid vom 28. Februar 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die PKE beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Leistungspflicht des Kantons Zürich festzustellen.
Der Kanton Zürich, vertreten durch die Finanzdirektion, diese vertreten durch die BVK, trägt auf Abweisung der Beschwerde, während die Versicherte auf Gutheissung der Beschwerde schliesst. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Die PKE ist zur Beschwerde legitimiert, da sie am vorinstanzlichen Verfahren als Beigeladene teilgenommen hat und durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist, weil die Vorinstanz eine Leistungspflicht des Kantons Zürich verneint hat, davon ausgehend, die massgebende Arbeitsunfähigkeit sei eingetreten, als A._ noch bei der PKE versichert war und der zeitliche Konnex sei seither nicht unterbrochen worden (Art. 89 Abs. 1 BGG).
2.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, indem es die Leistungspflicht des Beschwerdegegners verneint hat.
3.2.
3.2.1. Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, welcher der Ansprecher bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, angeschlossen war (Art. 23 lit. a BVG). Die Leistungspflicht setzt einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich der Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit (Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf von zumindest 20 Prozent; <ref-ruling> E. 3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23; SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143 E. 2.3 mit Hinweisen, 9C_127/2008) und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus (<ref-ruling> E. 4.1 S. 275).
3.2.2. Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, der zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen der gleiche ist wie derjenige, auf welchem die Erwerbsunfähigkeit beruht (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 22).
3.2.3. Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war. Bei der Prüfung dieser Frage sind die gesamten Umstände des konkreten Einzelfalles zu berücksichtigen, namentlich die Art des Gesundheitsschadens, dessen prognostische Beurteilung durch den Arzt sowie die Beweggründe, welche die versicherte Person zur Wiederaufnahme oder Nichtwiederaufnahme der Arbeit veranlasst haben. Zu den für die Beurteilung des zeitlichen Konnexes relevanten Umständen zählen auch die in der Arbeitswelt nach aussen in Erscheinung tretenden Verhältnisse, wie etwa die Tatsache, dass ein Versicherter über längere Zeit hinweg als voll vermittlungsfähiger Stellensuchender Taggelder der Arbeitslosenversicherung bezieht. Allerdings kann solchen Zeiten nicht die gleiche Bedeutung beigemessen werden wie Zeiten effektiver Erwerbstätigkeit. Mit Bezug auf die Dauer der den zeitlichen Konnex unterbrechenden Arbeitsfähigkeit kann die Regel von Art. 88a Abs. 1 IVV als Richtschnur gelten. Nach dieser Bestimmung ist eine anspruchsbeeinflussende Verbesserung der Erwerbsfähigkeit in jedem Fall zu berücksichtigen, wenn sie ohne wesentliche Unterbrechung drei Monate gedauert hat und voraussichtlich weiterhin andauern wird. Bestand während mindestens drei Monaten wieder volle Arbeitsfähigkeit und erschien gestützt darauf eine dauerhafte Wiedererlangung der Erwerbsfähigkeit als objektiv wahrscheinlich, stellt dies ein gewichtiges Indiz für eine Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs dar. Anders verhält es sich, wenn die fragliche, allenfalls mehr als dreimonatige Tätigkeit als Eingliederungsversuch zu werten ist oder massgeblich auf sozialen Erwägungen des Arbeitgebers beruhte und eine dauerhafte Wiedereingliederung unwahrscheinlich war (BGE <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22 mit Hinweisen).
Diese Grundsätze gelten sinngemäss auch, wenn eine Vorsorgeeinrichtung ihre Leistungspflicht mit der Begründung verneinen will, eine berufsvorsorgerechtlich bedeutsame Arbeitsunfähigkeit habe bereits vor Beginn des Vorsorgeverhältnisses bestanden und ohne wesentliche Unterbrechung bis zum Beginn der Versicherungsdeckung angedauert (Urteil 9C_273/2012 vom 20. November 2012 E. 4.1.2 mit Hinweis).
4.
4.1. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz hat die IV-Stelle den Beschwerdegegner sowie die Beschwerdeführerin ins Vorbescheidverfahren einbezogen und ihnen die Rentenverfügung vom 17. November 2011 formgültig eröffnet. Diese ist unangefochten in Rechtskraft erwachsen. Die Vorinstanz zog daraus den Schluss, es bestehe grundsätzlich eine Bindung an die Feststellungen der IV-Stelle. Indes gilt die Bindung im Bereich der weitergehenden Vorsorge nur, wenn das Vorsorgereglement ausdrücklich oder unter Hinweis auf das Gesetz vom selben Invaliditätsbegriff wie die Invalidenversicherung ausgeht (<ref-ruling> E. 1 in fine S. 311 mit Hinweisen; Urteil 9C_858/2010 vom 17. Mai 2011 E. 2.3.1). Dies ist hier nicht der Fall, sehen die Statuten der Versicherungskasse für das [zürcherische] Staatspersonal vom 22. Mai 1996 [LS 177.21]; in Kraft seit 1. Januar 2000) doch eine Berufs- (§§ 19 f.) und Erwerbsinvalidität (§§ 21 f.) vor. Beide Begriffe sind weiter gefasst als der Invaliditätsbegriff von Art. 23 BVG resp. von Art. 4 Abs. 1 IVG in Verbindung mit Art. 8 Abs. 1 ATSG (Urteil 9C_213/2011 vom 2. November 2011 E. 4.4.1 mit Hinweis, in: SVR 2012 BVG Nr. 14 S. 61). Folglich ist der Anspruch auf eine Invalidenrente der beruflichen Vorsorge frei zu beurteilen.
4.2. Feststellungen der Vorinstanz zur gesundheitlich bedingten Arbeitsunfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, binden das Bundesgericht, soweit sie nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 97 Abs. 1 BGG sowie Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 397). Die auf Grund einer konkreten Beweiswürdigung getroffene Feststellung des zeitlichen Konnexes ist Tatfrage; ob die Beweiswürdigung unter Beachtung der rechtsprechungsgemäss relevanten Kriterien erfolgte, ist Rechtsfrage.
5.
5.1. Das kantonale Gericht stellte fest, die Versicherte leide bereits seit vielen Jahren an denselben Gesundheitsstörungen (kombinierte Persönlichkeitsstörung, Alkoholabhängigkeitssyndrom, Sapho-Syndrom). Diese hätten bereits vor der Tätigkeit bei der Gemeinde Z._ zu vielen Perioden von Arbeitsunfähigkeit und schliesslich auch zur Invalidität geführt. Der sachliche Konnex sei somit zu bejahen. Zum engen zeitlichen Zusammenhang erwog es, anfänglich habe die Versicherte bei der Gemeinde Z._ ihre Arbeitsleistung gemäss Aktenlage erbringen können. Indes sei es bereits Ende 2008 zu einem erheblichen Alkoholabusus und einer rund einwöchigen Hospitalisation gekommen, womit der zeitliche Konnex zu den früheren Arbeitsunfähigkeiten mit dieser Periode der Arbeitstätigkeit (10. August 2008 bis Ende 2008) nicht unterbrochen worden sei. Auch die Arbeitstätigkeit vom 7. Januar bis zum 21. September 2009 reiche - angesichts des sich jahrelang wiederholenden Ablaufs mit vielen Hospitalisationen und Perioden der Arbeitsunfähigkeit - für einen Unterbruch nicht aus. Hinzu komme, dass Dr. med. C._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, im Bericht vom 5. Juni 2008 ein 100 %-Pensum für eine Überforderung gehalten habe. Schliesslich habe auch die Versicherte die Tätigkeit bei der Gemeinde Z._ als letzten Versuch betrachtet, (im Erwerbsleben) nochmals Fuss zu fassen.
5.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Sachverhaltswürdigung und macht geltend, entgegen der Vorinstanz sei der zeitliche Konnex unterbrochen worden, zumal 2008 vier Monate und 2009 elf Monate voller Arbeitsfähigkeit vorgelegen hätten. Lediglich die fünf Arbeitsunfähigkeitstage vom 1. bis 5. Januar 2009 hätten die gesamte Periode der Arbeitstätigkeit bei der Gemeinde Z._ von über sechzehn Monaten unterbrochen. Nach der von der Rechtsprechung bestätigten Faustregel genüge für den Unterbruch des zeitlichen Konnexes eine Periode von drei Monaten voller Arbeitsfähigkeit. Beim vorliegenden Krankheitsbild handle es sich nicht um einen Spezialfall, welcher eine längere Dauer voller Arbeitsfähigkeit voraussetze. Auch sei die Tätigkeit bei der Gemeinde Z._ nicht als Wiedereingliederungsversuch zu qualifizieren.
6.
6.1. Nach den nicht offensichtlich unrichtigen und damit letztinstanzlich verbindlichen Feststellung des kantonalen Gerichts war die Versicherte Anfang Januar 2009 rund eine Woche und erneut ab dem 22. (bis zum 25.) September 2009 (vollständig) arbeitsunfähig (vgl. auch Austrittsbericht der Klinik X._ vom 7. Januar 2009; Arbeitgeberfragebogen vom 17. September 2010). Ob die passagere Arbeitsunfähigkeit vom 22. bis 25. September 2009 tatsächlich auf das im Vordergrund stehende psychische Leiden - wovon die Vorinstanz implizite auszugehen scheint - zurückzuführen ist, ist ungewiss, braucht indes nicht abschliessend geklärt zu werden. So oder anders sind namentlich für die Zeiträume vom 10. August 2008 (Stellenantritt bei der Gemeinde Z._) bis zum 1. Januar 2009 sowie vom 7. Januar bis zum 21. September 2009 keine Einschränkungen der Arbeitsfähigkeit auszumachen. Weder wurde ärztlicherseits eine Arbeitsunfähigkeit attestiert, noch lässt sich den Akten, insbesondere der Aktennotiz vom 12. November 2008 betreffend das Probezeitgespräch entnehmen, dass eine Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten wäre. Gegenteils wird von Seiten der Arbeitgeberin eine hohe Belastbarkeit und eine ausserordentliche Einsatz- und Leistungsbereitschaft attestiert. Damit ist für diese zwei Perioden eine berufsvorsorgerechtlich relevante Arbeitsunfähigkeit auszuschliessen. Die Vorinstanz erachtete die gut viereinhalb bzw. achteinhalb Monate dauernden Perioden der vollen Arbeitsfähigkeit, obschon diese die Richtschnur von Art. 88a Abs. 1 IVV (E. 3.2.3 hievor) deutlich überschreiten, als nicht ausreichend, um den zeitlichen Konnex zu unterbrechen.
Diese Betrachtungsweise verletzt Bundesrecht. Zunächst geben Krankheitsgeschichte und Erwerbsbiografie der Versicherten keinen Anlass, für die Annahme eines Unterbruchs des zeitlichen Konnexes eine wesentlich längere Periode der vollen Arbeitsfähigkeit als die in der Regel massgebenden drei Monate vorauszusetzen. Zwar kam es - wie die Vorinstanz zutreffend feststellte - seit 1981 immer wieder zu psychischen Krisen verbunden mit Alkoholexzessen und damit einhergehenden Arbeitsunfähigkeiten. Indes war die Versicherte zwischen diesen Krisen jeweils wieder über längere Zeit uneingeschränkt arbeitsfähig. Damit verhält es sich ähnlich wie bei Schubkrankheiten, bei denen es zu längeren Zeitabschnitten mit wiederhergestellter und in neuen Arbeitsverhältnissen verwerteter Arbeitsfähigkeit kommen kann. In diesen Fällen ist rechtsprechungsgemäss kein allzu strenger Massstab an die Beurteilung der zeitlichen Konnexität zu legen (Urteil 9C_292/2008 vom 22. August 2008 E. 4.3.2 mit Hinweis). Dies hat auch für den vorliegenden Fall zu gelten. Ins Gewicht fällt sodann, dass der Stellenantritt vom 10. August 2008 weder massgeblich auf sozialen Erwägungen der Arbeitgeberin beruhte noch im Rahmen eines von der Arbeitgeberin unterstützten Eingliederungsversuchs im Sinne der Rechtsprechung er folgte, war die Anstellung doch nicht bloss versuchsweise vorgesehen und die Arbeitgeberin über vorhandene gesundheitliche Einschränkungen nicht einmal informiert (vgl. Schreiben der Versicherten vom 23. August 2008). Daran ändert nichts, dass die Versicherte den Stellenantritt gegenüber der IV-Stelle als letzten Versuch, nochmals Fuss zu fassen, bezeichnete. Soweit die Vorinstanz - was die prognostische Beurteilung betrifft - auf die Einschätzung des Dr. med. C._ verwies, so trifft zu, dass dieser ein 100 %-Pensum für eine Überforderung hielt. Immerhin erachtete er, sofern eine Stabilisierung gelinge, längerfristig eine Verbesserung im Bereich des Möglichen (Bericht vom 5. Juni 2008). Andererseits berichteten die Ärzte der Klinik Y._ am 9. November 2007 von einem nach dem Klinikaufenthalt deutlich psychophysisch gestärkten und stabilisierten Zustand und hielten - bei gutem Verlauf - eine 100%ige Arbeitsfähigkeit für wahrscheinlich, wobei die Versicherte ihre Grenzen beachten und für ausreichend Regeneration sorgen müsse. Ferner attestierte Dr. med. N._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, Klinik X._, am 22. Juli 2008 - und damit kurz vor Antritt der neuen Stelle - eine volle Arbeitsfähigkeit in der bisherigen Tätigkeit, sofern die Arbeit teilzeitlich oder in weniger Stress verursachender Umgebung erfolge. Damit ging die Mehrheit der behandelnden Fachärzte aus prognostischer Sicht von einer vollständigen Arbeitsfähigkeit aus, sofern die Rahmenbedingungen stimmten bzw. die Versicherte ihre Grenzen beachte. Folglich erschien im Zeitpunkt des Stellenantritts eine dauerhafte (siehe dazu Urteil B 95/06 vom 4. Februar 2008 E. 6.1) Wiedererlangung der Erwerbsfähigkeit nicht unwahrscheinlich.
6.2. Nach dem Gesagten wurde der zeitliche Zusammenhang zwischen den vor der Anstellung bei der Gemeinde Z._ aufgetretenen Arbeitsunfähigkeiten und der späteren Invalidität unterbrochen, weil die Versicherte namentlich über die Zeiträume von viereinhalb und achteinhalb Monaten wieder die vollständige funktionelle Leistungsfähigkeit wiedererlangt hatte. Die im Mai 2010 während des Arbeitsverhältnisses eingetretene neuerliche Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache in der Folge unbestrittenermassen zur Invalidität führte, begründet die Leistungspflicht des Beschwerdegegners. Es wird Sache des Beschwerdegegners sein, den Leistungsanspruch in zeitlicher und masslicher Hinsicht festzusetzen (<ref-ruling>), wobei Rentenbetreffnisse ab Klageanhebung (14. Juni 2012) bzw. ab späterem Fälligkeitsdatum mit 5 % zu verzinsen sind (Urteil 9C_122/2009 vom 10. August 2009 E. 3.3 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2010 BVG Nr. 1 S. 3).
7.
7.1. Der unterliegende Beschwerdegegner trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es stehen sich zwei Versicherer gegenüber, weshalb für die Gerichtsgebühr der ordentliche Rahmen nach Art. 65 Abs. 3 BGG gilt und Art. 65 Abs. 4 lit. a BGG keine Anwendung findet (Urteil 8C_241/2008 vom 25. März 2009 E. 9, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 IV Nr. 31 S. 87).
7.2. Der Beschwerdegegner hat der Versicherten eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Der obsiegenden Beschwerdeführerin steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG; Urteil 9C_920/2008 vom 16. April 2009 E. 7 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 BVG Nr. 30 S. 109).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 28. Februar 2013 aufgehoben. Der Beschwerdegegner wird in Gutheissung der Klage verpflichtet, A._ die im Sinne der Erwägungen in zeitlicher und masslicher Hinsicht festzusetzenden Invalidenleistungen zu erbringen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Versicherte für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, A._, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Dezember 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Furrer