Faits :
A.
Le 11 juillet 2013, X._ a demandé au Tribunal civil du canton de Genève de lui accorder l'assistance juridique pour un recours formé auprès de la Chambre administrative de la Cour de Justice de la République et canton de Genève à l'encontre d'une décision de l'Office du logement du canton de Genève (ci-après: l'Office cantonal du logement) du 22 mai 2013. Dans sa requête, elle a demandé la nomination de l'Association genevoise de défense des locataires (ci-après: l'ASLOCA) en tant que conseil juridique.
Par décision du 15 juillet 2013, la Vice-présidente du Tribunal civil a rejeté cette demande, au motif que les conditions posées pour la nomination et la rémunération d'un mandataire professionnellement qualifié, soit en l'espèce l'ASLOCA, par l'assistance juridique n'étaient pas réalisées. Le fait que le droit cantonal autorisait une partie à se faire représenter par un mandataire professionnellement qualifié dans le cadre d'une procédure administrative n'était pas pertinent sous l'angle des règles applicables en matière d'assistance juridique.
Par acte du 21 août 2013, X._ a formé un recours contre cette décision auprès de la Cour de justice (Assistance judiciaire), qui, par l'entremise de sa Vice-présidente, l'a partiellement admis le 12 septembre 2013.
Le 1er octobre 2013, statuant sur renvoi de la Cour de justice, la Vice-présidente du Tribunal civil a accordé l'assistance juridique pour le recours auprès de la Chambre administrative de la Cour de Justice contre la décision sur réclamation prononcée le 22 mai 2013 par l'Office cantonal du logement, la limitant aux frais de recours, à l'exclusion des frais d'avocat.
B.
Contre la décision du 12 septembre 2013, X._ a formé auprès du Tribunal fédéral un recours en matière de droit public.
Par arrêt du 11 juin 2014 (cause 2C_1042/2013), le Tribunal fédéral a admis le recours, annulé l'arrêt attaqué et renvoyé l'affaire à la Cour de justice pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il a retenu qu'en omettant d'examiner le grief de la recourante concernant la conformité du droit cantonal au droit supérieur, les juges cantonaux n'avaient pas respecté le droit d'être entendue de l'intéressée.
Le 13 août 2014, la Cour de justice a rendu un nouvel arrêt par lequel elle a rejeté le recours formé par X._ en tant qu'il portait sur la nomination d'office de l'ASLOCA.
C.
Contre cette décision, X._ interjette un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Elle conclut, préalablement, à l'octroi de l'assistance judiciaire, et, principalement, à l'annulation de la décision entreprise en tant qu'elle consacre une violation de son droit d'être entendue et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Subsidiairement, X._ demande l'annulation de la décision attaquée et à ce qu'elle soit mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours contre la décision de l'Office cantonal du logement du 22 mai 2013 et à ce que l'ASLOCA, respectivement un collaborateur de l'ASLOCA, soit nommé en tant que conseil juridique; plus subsidiairement, elle conclut au renvoi du dossier à l'autorité précédente dans le sens des considérants.
Le Tribunal fédéral a renoncé à demander une avance de frais et a informé la recourante qu'il serait statué ultérieurement sur sa demande d'assistance judiciaire.
Le Vice-Président du Tribunal civil persiste dans sa décision initiale du 15 juillet 2013 et se réfère aux observations du 28 novembre 2013, qu'il avait déposées dans la cause 2C_1042/2013. L'Autorité de recours en matière d'Assistance judiciaire renonce à se déterminer. Le 28 octobre 2014, la recourante a formulé des observations complémentaires.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine librement et avec une pleine cognition la recevabilité des recours portés devant lui (<ref-ruling> consid. 2 p. 60).
1.1. Selon l'<ref-law>, une décision incidente peut faire l'objet d'un recours devant le Tribunal fédéral si elle peut causer un préjudice irréparable.
1.2. Dans le cadre d'une procédure administrative, le refus de l'assistance juridique est une décision incidente qui cause en principe un dommage irréparable, de sorte que le recours au Tribunal fédéral est immédiatement ouvert (sur ce point cf. arrêt précité 2C_1042/2013 rendu entre les parties le 11 juin 2014 consid. 1.2; cf. aussi <ref-ruling> consid. 2.2 p. 602).
1.3. Au surplus, le recours est dirigé contre une décision rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Il a été interjeté par la destinataire de l'arrêt attaqué, qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>). Formé en temps utile (<ref-law>), dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>), le recours en matière de droit public est principe recevable.
2.
2.1. En vertu de l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. Cela signifie que la partie recourante doit exposer en quoi l'état de fait retenu par l'instance précédente est arbitraire ou contraire au droit et préciser en quoi la correction du vice aurait une influence sur l'issue de la cause, faute de quoi il n'est pas possible de s'écarter des faits arrêtés dans l'arrêt attaqué (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379).
2.2. La recourante reproche à l'instance précédente d'avoir omis de mentionner que l'Office cantonal du logement avait, par décision du 10 avril 2013, supprimé la subvention personnalisée dont bénéficiait l'intéressée. Selon la recourante, ce fait permet de comprendre qu'elle fait partie d'une catégorie de personnes parmi les plus démunies. Cet élément n'est toutefois pas déterminant pour l'issue du litige. L'indigence de la recourante n'est pas contestée, mais seulement la possibilité de désigner l'ASLOCA comme défenseur d'office. Le grief tiré de l'établissement arbitraire des faits doit partant être rejeté.
3.
Au demeurant, les critiques de la recourante quant à la constatation des faits se confondent avec son grief relatif à la violation du droit d'être entendu, constitutive d'un déni de justice formel. La recourante se plaint en effet d'une violation du devoir de motivation de l'autorité, qui aurait ignoré ses griefs portant sur la distinction à opérer entre les art. 10 al. 1 et 10 al. 2 de la loi [de la république et canton de Genève] du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA; RS/GE E 5 10) et sur la violation des conditions de l'art. 36 Cst. Ce moyen rejoint également le grief de violation de l'art. 112 al. 1 let. a et b LTF.
3.1. Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., confère à toute personne le droit d'exiger, en principe, qu'un jugement ou une décision défavorable à sa cause soit motivé. L'objet et la précision des indications à fournir dépendent de la nature de l'affaire et des circonstances particulières du cas; néanmoins, en règle générale, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée. L'autorité peut se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige; il suffit que le justiciable puisse apprécier correctement la portée de la décision et l'attaquer à bon escient et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle (cf. <ref-ruling> consid. 3.3.1 p. 677; arrêt 4A_452/2013 du 31 mars 2014 consid. 5). Quant à l'art. 112 al. 1 let. a et b LTF, il prévoit que les décisions doivent contenir les conclusions, les allégués, les moyens de preuves offerts et les déterminations des parties lorsqu'elles ne résultent pas des pièces du dossier, les motifs déterminants de fait et de droit, notamment les dispositions légales appliquées.
3.2. En l'espèce, la motivation de l'arrêt attaqué est suffisante au regard des exigences formelles de l'art. 112 al. 1 let. a et b LTF. L'arrêt attaqué expose de manière suffisamment claire pour quels motifs le refus de désigner l'ASLOCA comme défenseur d'office respecte le droit fédéral, de sorte que la recourante pouvait attaquer sa décision à bon escient sur cette base. Pour le reste, il n'appartenait pas à l'instance précédente de répondre à chacune des critiques formulées par la recourante dans son écriture et c'est à bon droit qu'elle s'est limitée à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige. En réalité, les arguments soulevés par la recourante ont trait à l'interprétation et à l'application du droit cantonal, griefs qui seront examinés ci-après. Le grief de la violation des art. 29 al. 2 Cst. et. 112 al. 1 let. a et b LTF est par conséquent rejeté.
4.
Invoquant l'art. 9 Cst., la recourante soutient que l'autorité précédente a appliqué les art. 10 al. 1, 2 et 4 LPA et 12 du règlement sur l'assistance juridique et l'indemnisation des conseils juridiques et défenseurs d'office en matière civile, administrative et pénale (RAJ; RS/GE E 2 05.04) de manière arbitraire. Elle reproche à l'autorité intimée d'avoir considéré que ces dispositions ne permettaient l'indemnisation par l'Etat que des avocats et avocat-stagiaires, à l'exclusion des mandataires professionnellement qualifiés, pourtant autorisés à représenter les justiciables devant la juridiction administrative.
4.1. Sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, la violation du droit cantonal n'est pas un motif de recours (<ref-law> a contrario, arrêt 1C_704/2013 du 17 septembre 2014 consid. 7.1). Elle peut en revanche être constitutive d'une violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law>, telle que l'interdiction de l'arbitraire à teneur de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 69; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 249). Appelé à revoir l'application d'une norme cantonale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, ou encore si elle a été adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. Lorsque l'interprétation défendue par l'autorité cantonale ne se révèle pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, elle est confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 318).
4.2. Conformément à une jurisprudence constante, la loi s'interprète en premier lieu selon sa lettre (interprétation littérale). Si le texte n'est pas absolument clair, si plusieurs interprétations sont possibles, il convient de rechercher la véritable portée de la norme, en la dégageant de tous les éléments à considérer, soit notamment des travaux préparatoires (interprétation historique), du but de la règle, de son esprit, ainsi que des valeurs sur lesquelles elle repose, singulièrement de l'intérêt protégé (interprétation téléologique) ou encore de sa relation avec d'autres dispositions légales (interprétation systématique) (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 83; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 107 s.; <ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 118). Le Tribunal fédéral ne privilégie aucune méthode d'interprétation, mais s'inspire d'un pluralisme pragmatique pour rechercher le sens véritable de la norme (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 273; <ref-ruling> consid. 3.4 p. 184).
4.3. L'art. 10 LPA traite de l'assistance juridique en matière administrative. Selon le premier alinéa de cette disposition, les avocats sont tenus, lorsqu'il en sont requis, de représenter dans une procédure contentieuse portée devant une juridiction administrative une partie dont les revenus ou la fortune ne sont pas suffisants pour couvrir les frais d'une procédure. L'alinéa 2 précise que le président du Tribunal civil accorde l'assistance juridique sur sa demande à toute personne physique dont la fortune ou les revenus ne sont pas suffisants pour couvrir les frais d'une procédure administrative ou pour lui assurer l'aide et les conseils d'un avocat ou d'un avocat-stagiaire lorsque ceux-ci sont nécessaires. L'assistance juridique peut être refusée si les prétentions ou les moyens sont manifestement mal fondés. L'art. 10 al. 4 renvoie pour le surplus aux dispositions réglementaires édictées par le Conseil d'Etat en matière d'assistance juridique. Selon l'ancien art. 15 al. 1 RAJ, le conseil juridique nommé ne peut facturer à la personne bénéficiaire ni provisions ni honoraires. L'Etat l'indemnise pour son activité (al. 2). L'art. 12 RAJ, dans sa version - applicable en l'occurrence - jusqu'au 8 septembre 2013, précise enfin que le conseil juridique peut être un avocat ou un mandataire professionnellement qualifié au sens de l'art. 10 de la loi d'application du code civil suisse et autres lois fédérales en matière civile du 28 novembre 2010 (LaCC; RS/GE E 1 05). D'après cette disposition, dans sa version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2012, les mandataires professionnellement qualifiés peuvent assister ou représenter les parties devant la commission de conciliation en matière de baux et loyers, le Tribunal des baux et loyers et le Tribunal des prud'hommes, ainsi que devant la chambre des baux et loyers et la chambre des prud'hommes de la Cour de justice.
4.4. Se fondant sur une interprétation littérale de l'art. 10 LPA, la Cour cantonale a retenu que les mandataires professionnellement qualifiés étaient exclus des conseils juridiques pouvant être nommés d'office en procédure administrative. L'activité déployée par ces mandataires ne pouvait donc donner lieu à une indemnisation par l'Etat. Cette lecture résultait d'un choix délibéré du législateur, comme cela ressortait des travaux préparatoires de l'art. 10 LPA. L'art. 12 RAJ avait certes introduit une exception au monopole de l'avocat en matière d'assistance juridique, mais celle-ci ne s'étendait qu'à des domaines spécifiques (en matière de bail ou de droit du travail), à l'exclusion du droit administratif où la notion de mandataire professionnellement qualifié avait une portée beaucoup plus large. La cour cantonale en a déduit que rien ne permettait de retenir un oubli du législateur, de sorte que l'énumération prévue à l'art. 10 al. 2 LPA devait être considérée comme exhaustive.
La recourante conteste ce raisonnement. Selon elle, l'absence de mention à l'art. 10 al. 2 LPA des mandataires professionnellement qualifiés procède d'une lacune de la loi. Cette lacune doit être comblée en se référant à l'art. 12 RAJ qui, depuis l'entrée en vigueur du Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (ci-après: CPC) le 1er janvier 2011, étend l'assistance juridique aux mandataires professionnellement qualifiés.
5.
5.1. En l'occurrence, le texte de l'art. 10 LPA est clair: seuls les avocats, à l'exclusion des mandataires professionnellement qualifiés, peuvent être nommés d'office dans le cadre d'une procédure contentieuse portée devant une juridiction administrative. Les mandataires professionnellement qualifiés ne sont pas davantage visés par l'art. 12 RAJ, dans sa version en vigueur jusqu'au 8 septembre 2013, dans la mesure où cette disposition n'étend l'assistance juridique qu'aux mandataires professionnellement qualifiés représentant des parties devant les tribunaux spécialisés en matière de bail et de droit du travail. A rigueur de texte, le droit cantonal ne prévoit donc pas la possibilité pour les mandataires professionnellement qualifiés d'être nommés d'office dans le cadre d'une procédure contentieuse portée devant une juridiction administrative. Il n'est donc pas insoutenable de considérer que leur activité ne peut donner lieu à une rémunération par l'Etat sur la base du règlement cantonal sur l'assistance juridique. A cet égard, on peine à suivre la recourante lorsqu'elle opère une distinction entre la nomination d'office et la prise en charge par l'Etat des frais d'avocat. Il résulte en effet clairement du droit cantonal genevois (art. 10 LPA en lien avec l'art. 15 RAJ) que seuls les conseils juridiques nommés peuvent être rémunérés par l'Etat.
5.2. Cette lecture de la loi est du reste corroborée par l'interprétation historique de l'art. 10 LPA. Certes, l'art. 53 de l'ancien code de procédure administrative prévoyait que les mandataires qualifiés inscrits au tableau étaient tenus de représenter gratuitement une partie indigente (Rapport de la commission chargée d'examiner le projet de loi constitutionnelle instituant un tribunal administratif, in Mémorial du Grand Conseil genevois [ci-après: MGC] du 6 décembre 1968 [n° 1867-A], p. 3115). A l'époque, les parlementaires avaient estimé qu'il était "tout naturel que l'obligation de l'assistance judiciaire soit étendue, en matière de procédure administrative, à toutes les personnes bénéficiant du monopole de représentation" (Rapport de la commission chargée d'examiner le projet de loi constitutionnelle instituant un tribunal administratif, in MGC du 6 décembre 1968 [n° 1867-A], p. 3027). L'organisation judiciaire cantonale a toutefois été modifiée en 1978. Ce changement a entraîné la suppression, à l'art. 53 al. 1 LPA, des mandataires professionnellement qualifiés. Le Grand Conseil a par ailleurs adopté un nouvel art. 143 A LOJ, par lequel il a réservé l'assistance juridique à l'aide et aux conseils d'un avocat ou d'un avocat-stagiaire. D'après les travaux parlementaires, ces modifications avaient été décidées sur la base du constat qu'il n'existait pas de tableau recensant les différents mandataires qualifiés et qu'il était "difficile de déterminer avec précision le cercle des personnes à qui l'obligation d'accepter d'être nommé d'office devait être imposée". Les nouvelles dispositions conféraient ainsi "un monopole aux avocats dans le domaine de l'assistance juridique". Les parlementaires ont cependant estimé que cela "correspond[ait] à la nature de l'activité de l'avocat à qui la jurisprudence du Tribunal fédéral reconn[aissait] la qualité d'auxiliaire de la justice" (Projet de loi modifiant la loi sur l'organisation judiciaire et le code de procédure administrative, in MGC du 17 mars 1978 [n° 4899-4691-A], p. 1229-1230). Contrairement au mandataire professionnellement qualifié, l'avocat s'engageait, en prêtant serment devant le Conseil d'Etat, à "assumer la charge de défenseur d'office et à l'exécuter conformément à la loi". Il était par ailleurs "soumis à la censure d'une commission de surveillance et devait en principe faire la preuve de ses connaissances juridiques au cours d'examens professionnels". L'avocat présentait donc des "garanties sinon de bonne exécution de son mandat, du moins de connaissances à la portée de ses devoirs et obligations, qu'il était difficile d'imposer à des professions moins précisément réglementées" (Rapport de la commission judiciaire chargée d'examiner le projet de loi modifiant la loi sur l'organisation judiciaire et le code de procédure administrative, in MGC du 17 mars 1978 [n° 4899-A], p. 2364-2365). Il n'est donc pas arbitraire de déduire des travaux parlementaires que la volonté du législateur était d'exclure les mandataires professionnellement qualifiés de la possibilité d'être nommés d'office et rémunérés par l'Etat.
5.3. Selon la recourante, cette situation a changé avec l'entrée en vigueur de l'art. 68 al. 2 let. d CPC, lequel autorise les mandataires professionnellement qualifiés à représenter les parties à titre professionnel devant les juridictions spéciales en matière de contrat de bail et de contrat de travail. Cette disposition a été reprise en droit cantonal à l'ancien art. 10 LaCC. La recourante fait valoir qu'en étendant l'assistance juridique aux mandataires visés à l'art. 10 LaCC, le Grand Conseil a voulu conférer le statut de conseil juridique susceptible d'être nommé et rémunéré par l'Etat à l'ensemble des mandataires professionnellement qualifiés, y compris aux mandataires agissant devant une juridiction administrative. Ce raisonnement ne permet pas de retenir que le droit cantonal aurait été appliqué de manière insoutenable. Outre le fait qu'il contredit le texte clair de l'art. 12 RAJ, il ne trouve aucun fondement dans les travaux préparatoires. Quoi qu'en dise la recourante, le RAJ n'a jamais étendu la notion de conseil juridique à tous les mandataires professionnellement qualifiés, sans distinction selon la juridiction saisie. Dans sa version en vigueur depuis le 1er janvier 2011, l'art. 12 RAJ renvoyait à l'ancien art. 10 LaCC dont la teneur correspondait mot pour mot à l'actuel art. 15 LaCC. Le 9 septembre 2013, le RAJ n'a subi qu'une modification de forme, destinée à adapter le texte de loi à la nouvelle numérotation de la LaCC. Ainsi, contrairement à ce que laisse entendre la recourante, le champ d'application de l'art. 12 RAJ a été d'emblée limité aux mandataires professionnellement qualifiés agissant devant les juridictions spéciales en matière de contrat de bail et de contrat de travail. Au demeurant, la Cour cantonale a exposé les raisons pour lesquelles il y avait lieu de traiter différemment les mandataires agissant devant une juridiction administrative de ceux mentionnés à l'art. 12 RAJ. D'après l'instance précédente, alors que les mandataires professionnellement qualifiés représentant des parties devant les juridictions spéciales en matière de contrat de bail et de contrat de travail sont aisément identifiables, les mandataires professionnellement qualifiés agissant devant une juridiction administrative peuvent couvrir un spectre beaucoup plus large de personnes, notamment des architectes, des fiduciaires ou des associations. Il s'ensuit qu'en procédure administrative, il est plus difficile de déterminer avec précision le cercle des personnes à qui l'obligation d'accepter une nomination d'office doit être imposée. Dans ces conditions, il n'est pas insoutenable de considérer que le droit cantonal a volontairement distingué les deux situations, afin de ne pas étendre trop largement le cercle des mandataires tenus d'accepter les nominations d'office.
Le Vice-Président de la Cour de justice n'a partant pas versé dans l'arbitraire en interprétant les art. 10 LPA et 12 RAJ selon leur texte clair.
6.
La recourante se plaint d'une violation des 6 CEDH, 29 al. 3 Cst. et 40 al. 4 Cst./GE (recte: 40 al. 3 Cst./GE) (A 2 00).
6.1. L'art. 6 par. 1 CEDH donne à toute personne le droit à ce que sa cause soit entendue équitablement, publiquement et dans un délai raisonnable, par un tribunal indépendant et impartial établi par la loi, qui décidera soit des contestations sur ses droits et obligations de caractère civil, soit du bien-fondé de toute accusation en matière pénale dirigée contre elle.
En l'occurrence, le litige porte au fond sur le refus de cumuler une subvention personnalisée avec des prestations complémentaires fédérales et cantonales à l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité. La question de savoir s'il s'agit d'une contestation portant sur un droit de caractère civil ou pénal peut rester ouverte dès lors que l'art. 6 par. 1 CEDH ne confère de toute façon pas une protection plus étendue que l'art. 29 al. 3 Cst. (<ref-ruling> consid. 3 p. 264). C'est donc à la lumière de l'art. 29 al. 3 Cst. qu'il y a lieu de connaître du grief.
6.2. D'après l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Elle a droit à l'assistance gratuite d'un défenseur, dans la mesure où la sauvegarde de ses droits le requiert. L'art. 29 al. 3 Cst. confère au justiciable une garantie minimale, dont le Tribunal fédéral examine librement le respect (arrêts 8C_376/2014 du 14 août 2014 consid. 2; 5A_275/2013 du 12 juin 2013 consid. 6.2.1; 5A_336/2011 du 8 août 2011 consid. 2.2). La recourante n'établit pas que l'art. 40 al. 3 Cst./GE lui offrirait une protection plus étendue que l'art. 29 al. 3 Cst., si bien que l'examen du Tribunal fédéral se confinera à cette dernière garantie.
Selon la jurisprudence, il n'existe pas, dans le cadre de l'assistance judiciaire, un droit au libre choix de son mandataire (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 116; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 263; arrêt 2C_79/2013 du 26 août 2013 consid. 2.2.1). Le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de trancher qu'un canton pouvait limiter l'assistance judiciaire à l'assistance d'office d'un mandataire ayant justifié de connaissances suffisantes lors d'un examen approprié, même si le droit cantonal autorisait d'autres personnes à représenter les plaideurs devant certains tribunaux. Dans cette affaire, la recourante avait mandaté un membre d'une association de locataires pour la représenter dans une procédure en matière de baux et loyers. Le Tribunal fédéral a également jugé que la réglementation en vigueur dans plusieurs cantons, selon laquelle peuvent seuls être désignés comme défenseurs d'office les avocats qui sont domiciliés dans le canton ou qui y exercent régulièrement leur profession, est en principe compatible avec l'ancien art. 4 aCst. (désormais art. 29 al. 3 Cst.; cf. <ref-ruling> consid. 3b p. 164; <ref-ruling> consid. 5c p. 70 s.; arrêt 2P.287/1997 du 25 novembre 1997, in SJ 1998 p. 189). En effet, seuls les avocats du canton étaient soumis à la surveillance générale et au pouvoir disciplinaire du canton, ainsi qu'à l'obligation d'accepter une défense d'office; de plus, ils maîtrisaient mieux les règles de procédure cantonale que leurs confrères de l'extérieur. Dans sa jurisprudence ultérieure, la Cour de céans a cependant précisé que l'argument relatif à la meil-leure connaissance de la procédure cantonale était pratiquement sans objet du fait de l'entrée en vigueur de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (Loi sur les avocats, LLCA; RS 935.61) et que celui des coûts n'était guère pertinent dans la mesure où un avocat domicilié dans son canton d'exercice pouvait être plus éloigné du tribunal qu'un avocat d'un canton voisin. Seuls les motifs relatifs à l'obligation d'accepter des mandats d'office et au pouvoir de surveillance et de discipline du canton restaient ainsi pertinents (arrêts 2C_79/2013 du 26 août 2013 consid. 2.2.1; 5A_63/2010 du 29 mars 2010 consid. 3.2; 5A_175/2008 du 8 juillet 2008 consid. 5.1). Enfin, dans un arrêt plus récent, le Tribunal fédéral a reconnu que la réglementation en vigueur dans le canton de Genève, selon laquelle l'assistance juridique ne s'étendait pas aux organismes d'utilité publique assimilés à des organismes agissant à moindres frais, était compatible avec l'art. 29 al. 3 Cst. (arrêt 2C_241/2008 du 27 mai 2008). Le Tribunal fédéral a considéré que, dans la mesure où le législateur cantonal tentait par ce moyen de maîtriser au mieux les coûts de l'assistance juridique et de procéder à une gestion parcimonieuse des deniers publics, il se fondait sur des motifs objectifs et répondait à un intérêt public évident (consid. 5.2).
Les cantons peuvent donc décider, dans le respect des droits de la partie indigente garantis par l'art. 29 al. 3 Cst., de limiter le cercle des personnes auxquelles ils confient les mandats d'assistance juridique.
6.3. En l'occurrence, l'autorité cantonale n'a pas refusé à la recourante l'assistance judiciaire et la désignation d'un défenseur d'office. Elle a seulement refusé de prendre en charge les honoraires de la personne choisie par la recourante, qui est un mandataire professionnellement qualifié. Or, le droit à l'assistance juridique, tel qu'il découle de l'art. 29 al. 3 Cst., n'accorde pas au plaideur un droit inconditionnel au choix de son défenseur. Le fait que, selon l'art. 9 LPA, la recourante puisse décider de se faire représenter par un mandataire professionnellement qualifié ne signifie pas à lui seul qu'une telle personne puisse être nommée d'office (cf. <ref-ruling> consid. 3 b) p. 164; arrêt 2P.287/1997 du 25 novembre 1997 consid. 2c). La garantie constitutionnelle minimale tend uniquement à assurer aux indigents la défense efficace de leurs droits en justice (cf. <ref-ruling> consid. 3 b) p. 164). La législation cantonale ne porte pas atteinte à ce droit en limitant le cercle des personnes pouvant être nommées d'office dans le cadre d'une procédure administrative aux mandataires présentant des garanties de connaissances juridiques et dont l'activité est soumise à la censure d'une commission disciplinaire. Le droit cantonal vise ainsi à rémunérer un service de qualité permettant de garantir la protection des justiciables et le bon fonctionnement des tribunaux. Il se fonde en cela sur des motifs objectifs et répond à un intérêt public. Pour le surplus, on peine à comprendre comment la nomination d'office d'un avocat serait préjudiciable à l'intérêt financier de la recourante. Comme l'a expliqué l'instance précédente, le tarif d'un avocat collaborateur est identique au tarif prévu pour les mandataires professionnellement qualifiés (cf. art. 16 RAJ). Il n'y a du reste aucune raison de penser que le collaborateur, désigné d'office, ne s'acquitte pas convenablement de sa mission. Dans ces conditions, l'instance précédente n'a pas violé les garanties minimales déduites de l'art. 29 al. 3 Cst. en confirmant le refus de désigner un mandataire professionnellement qualifié en qualité de défenseur d'office.
7.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Succombant, la recourante n'a pas droit à des dépens (<ref-law>). Dans la mesure où les conclusions de la recourante n'avaient pas de chance de succès suffisante, la demande d'assistance judiciaire est rejetée (<ref-law>). Les frais judiciaires seront toutefois réduits pour tenir compte de sa situation financière (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à la Vice-présidente du Tribunal civil, Assistance juridique, et à la Cour de justice du canton de Genève, Assistance judiciaire.
Lausanne, le 22 janvier 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : McGregor