Faits:
A.
B._, né en 1975, de nationalité kosovare, est entré illégalement en Suisse début janvier 2007; depuis lors, il a travaillé sans autorisation dans le domaine de la construction. Il a été interpellé sur un chantier de Renens le 1 er octobre 2007. Le 16 novembre 2007, l'Office fédéral des migrations (ODM) a émis à son encontre une interdiction d'entrée et de séjour valable jusqu'au 15 novembre 2009. Le 3 septembre 2008, le Service des migrations du canton de Neuchâtel a rendu à son encontre une décision de renvoi, immédiatement exécutoire; le renvoi a été exécuté le 9 septembre 2008.
Par jugement du 5 novembre 2009, B._ a été condamné par défaut par le Tribunal de police de La Chaux-de-Fonds à une peine privative de liberté ferme de six mois et au paiement d'une amende de 1'000 fr. - peine d'ensemble après révocation d'un précédent sursis - pour séjour et travail illégal, ainsi que pour avoir conduit une voiture alors qu'il était en possession d'un faux permis de conduire.
B.
B.a. Le 2 décembre 2011, B._ a requis de l'Ambassade de Suisse à Pristina l'ouverture d'une procédure préparatoire de mariage; il désirait se marier en Suisse avec A._, ressortissante suisse née en 1965; il a également demandé une autorisation d'entrée en Suisse en vue de mariage.
L'Office de l'état civil du Nord vaudois a entendu la fiancée le 23 février 2012; le fiancé a été auditionné le 30 avril 2012 à l'Ambassade de Suisse à Pristina.
Après avoir été informés par la Direction de l'état civil, le 14 mai 2012, que des doutes sérieux existaient quant à leur intention de fonder une communauté conjugale, les fiancés se sont déterminés par écrit le 23 mai 2012.
B.b. Par décision du 23 juillet 2012, l'Office de l'état civil a refusé de prêter son concours à la célébration du mariage.
B.c. Par acte du 14 septembre 2012, la fiancée a recouru contre cette décision devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: CDAP). Dans ses observations du 26 octobre 2012, la Direction de l'état civil a conclu au rejet du recours. Le 30 novembre 2012, la recourante a déposé un mémoire complémentaire.
Par lettre du 14 février 2013, la fiancée a requis l'annulation de l'audience de la CDAP prévue le 6 mars 2013, pour le motif que plusieurs membres de la famille de son fiancé avaient été auditionnés la veille par des représentants des services diplomatiques de Suisse au Kosovo, sans doute à la demande de l'autorité intimée; elle a indiqué qu'il convenait d'obtenir des éclaircissements à ce sujet, respectivement de suspendre la procédure le temps qu'elle puisse se déterminer sur les procès-verbaux d'audition établis; elle a également requis l'audition de son fiancé et de l'un des frères de celui-ci.
Le 20 février 2013, la Direction de l'état civil a confirmé qu'elle avait adressé à l'Ambassade de Suisse à Pristina une requête en vue de procéder à une enquête de situation afin de vérifier si le fiancé vivait seul avec ses enfants, ou s'il faisait toujours ménage commun avec son épouse coutumière.
L'audience a été renvoyée.
Le 1er mars 2013, la Direction de l'état civil a remis à la CDAP le rapport d'enquête établi le 14 février 2013 par un membre du personnel de l'ambassade, qui s'était rendu au domicile du fiancé avec des interprètes.
Par courrier du 30 avril 2013, la fiancée a demandé que le rapport du 14 février 2013 soit retiré du dossier. Le 24 avril 2013, elle a indiqué qu'elle n'avait pas de mesure d'instruction complémentaire à présenter. La Direction de l'état civil s'est encore déterminée le 27 mai 2013. Le 4 juin 2013, la fiancée a indiqué, par l'intermédiaire de son conseil, qu'elle renonçait à la convocation d'une audience ainsi qu'à l'audition de témoins.
Le recours a été rejeté par arrêt du 3 septembre 2013.
C.
Par acte du 4 octobre 2013, la fiancée dépose un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à la réforme de l'arrêt entrepris, en ce sens que l'Office de l'état civil "est invité à célébrer le mariage des fiancés "; subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause " à l'autorité intimée " pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle requiert en outre l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des réponses n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1.
1.1. L'arrêt attaqué, qui porte sur le refus de concourir à la célébration du mariage (<ref-law>), constitue une décision finale au sens de l'<ref-law> (arrêt 5A_612/2012 du 19 novembre 2012 consid. 1), prise sur recours par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), en application de normes de droit public, notamment de droit des étrangers, dans une matière connexe au droit civil (<ref-law>; arrêts 5A_347/2013 du 22 août 2013 consid. 1.1; 5A_814/2011 du 17 janvier 2012 consid. 1, non publié in <ref-ruling>). La décision entreprise est de nature non pécuniaire (<ref-law> a contrario). Le présent recours est interjeté dans le respect du délai légal (<ref-law>) et de la forme prévue par l'<ref-law>, par une partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>).
1.2. La question se pose de savoir si les fiancés forment une consorité active nécessaire pour recourir contre une décision de refus de concourir à la célébration du mariage: le cas échéant si, comme en l'espèce, les fiancés n'ont pas recouru conjointement, celui qui a déposé le recours n'avait pas la légitimation active; cela devait entraîner le rejet du recours cantonal (<ref-ruling> consid. 3.5). Cependant, la question peut rester ouverte en l'occurrence, dès lors que les griefs de la recourante sont quoi qu'il en soit mal fondés.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 550). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine que les questions soulevées; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104 s.). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été invoqué et motivé par le recourant, c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 310; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 234; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 399 in fine).
2.2. Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Il peut compléter ou rectifier, même d'office, les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (<ref-law>), si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Cette partie ne peut toutefois pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; elle doit plutôt indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF <ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252). Une critique des faits qui ne satisfait pas au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1) est irrecevable (ATF <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 261 s.; <ref-ruling> consid. 1b p. 495).
2.3. La recourante expose qu'en réalité, son fiancé séjourne à nouveau en Suisse depuis le mois d'août 2012, contrairement à ce qu'elle avait allégué devant l'autorité précédente. Dès lors, le rapport de l'Ambassade, en tant qu'il retient que le fiancé vit avec la mère de ses enfants au Kosovo, ne refléterait pas la vérité. La recourante produit des pièces à l'appui de cette allégation.
A moins de résulter de la décision précédente - ce qui n'est pas le cas en l'espèce - aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peuvent être présentés devant le Tribunal fédéral, de sorte que ces nouveaux éléments sont irrecevables (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 5.2.4 p. 229; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 344).
3.
La cour cantonale a considéré que des éléments clairs et concrets permettaient de conclure que le fiancé ne voulait manifestement pas fonder une communauté conjugale, mais cherchait à éluder les dispositions sur l'admission et le séjour des étrangers (<ref-law>), à savoir notamment le fait que, par le passé, il ait travaillé durant de nombreuses années illégalement en Suisse; qu'il ait tenté d'entrer ou de séjourner dans d'autres pays de l'espace Schengen; qu'il soit revenu en Suisse, bien qu'une interdiction d'entrée lui ait été notifiée; enfin, qu'interrogé par les autorités, il ait tenté de minimiser la durée de son séjour illégal en Suisse. A cela s'ajoutaient des " fausses déclarations " du fiancé qui servent sa cause, à savoir régulariser sa situation au regard des normes de police des étrangers en Suisse au moyen d'un mariage. Au surplus, la cour cantonale a retenu que le fiancé forme toujours une communauté conjugale avec son épouse coutumière, dont il se prétend séparé.
4.
La recourante soutient, dans un premier grief, que l'<ref-law> violerait en tant que tel son droit au mariage (art. 12 Cst. et 14 CEDH). Elle indique que le refus de célébrer le mariage est l'atteinte la plus grave au droit du mariage et nécessite une loi au sens formel, un motif d'intérêt public et le respect du principe de la proportionnalité.
Ce faisant, elle n'explique pas en quoi l'<ref-law> contreviendrait aux dispositions précitées, de sorte que les exigences de motivation ne sont pas respectées; partant, le grief est irrecevable (<ref-law>). Cela étant, il sied de rappeler que selon la jurisprudence, l'<ref-law> ne porte pas atteinte à l'essence du droit au mariage, mais ne vise qu'à faire obstacle à un exercice abusif de ce droit (arrêts 5A_347/2013 du 22 août 2013 consid. 4.1; 5A_901/2012 du 23 janvier 2013 consid. 3.2.2).
5.
La recourante soutient que l'enquête locale effectuée par l'Ambassade de Suisse à Pristina à la demande de la Direction de l'état civil, de même que le rapport qui a été établi suite à cette enquête, ne reposent sur aucune base légale. Partant, le rapport devrait être retranché du dossier. La recourante se plaint également de ce que ce rapport serait entaché de partialité. Enfin, elle estime que l'autorité précédente a constaté les faits et apprécié les preuves de manière arbitraire (art. 9 Cst.) en ce qui concerne l'abus de droit au mariage (<ref-law>).
5.1. En vertu de l'<ref-law>, l'officier de l'état civil est compétent pour célébrer le mariage. Il peut refuser son concours lorsque deux conditions cumulatives sont remplies (<ref-law>). D'une part, les intéressés ne doivent avoir aucune volonté de fonder une communauté conjugale. D'autre part, ils doivent avoir l'intention d'éluder les dispositions sur l'admission et le séjour des étrangers. La réalisation de ces deux conditions doit être manifeste (arrêts 5A_901/2012 du 23 janvier 2013 consid. 4.2.1 et les références; 5A_225/2011 du 9 août 2011 consid. 5.1.1).
En l'espèce, il n'est toutefois pas nécessaire d'examiner si les conditions de l'<ref-law> sont satisfaites ou non, dès lors que le refus de célébrer le mariage peut de toute manière être confirmé pour un autre motif.
5.2. La loi prévoit en effet, comme condition de la célébration du mariage, que les fiancés qui ne sont pas citoyens suisses doivent établir la légalité de leur séjour en Suisse au cours de la procédure préparatoire (<ref-law>). L'<ref-law> n'offre aucune marge de manoeuvre à l'officier d'état civil confronté à une demande de mariage émanant d'un étranger qui n'a pas établi la légalité de son séjour en Suisse. Il n'a pas d'autre alternative, conformément au voeu du législateur, que de refuser la célébration du mariage (cf. art. 67 al. 3 de l'ordonnance du 21 avril 2004 sur l'état civil [OEC, RS 211.112.2]; <ref-ruling> consid. 4 in fine p. 47; <ref-ruling> consid. 3.7 p. 359 s.). L'<ref-law> ne permet notamment pas à l'officier de l'état civil de statuer préjudiciellement sur la légalité du séjour. Afin de respecter le principe de la proportionnalité et d'éviter tout formalisme excessif, celui-ci devra néanmoins laisser au fiancé étranger un délai suffisant pour saisir l'autorité compétente et produire l'attestation de la légalité de son séjour en Suisse (<ref-ruling> consid. 5 p. 47; arrêt 5A_612/2012 du 19 novembre 2012 consid. 6.1).
En l'espèce, la Direction de l'état civil a notifié son préavis négatif le 14 mai 2012, et la décision de l'Office de l'état civil est intervenue le 23 juillet 2012; le fiancé a donc eu plus de deux mois pour produire une attestation de la légalité de son séjour. La Cour de céans a déjà eu l'occasion de préciser qu'un délai de 60 jours était suffisant à cet égard (arrêt 5A_612/2012 du 19 novembre 2012 consid. 6.2), en sorte que les 70 jours dont a disposé le fiancé en l'espèce l'étaient a fortiori également. Or, il n'est pas établi que le fiancé a été mis, lors de la procédure préparatoire, au bénéfice d'un titre de séjour, bien qu'il ait déposé une demande en ce sens auprès de l'Ambassade de Suisse à Pristina. P ar conséquent, l'Office de l'état civil ne pouvait que refuser concourir à la célébration du mariage.
Il s'ensuit que le grief de la recourante doit être rejeté par substitution de motifs.
6.
Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Comme les conclusions de la recourante étaient d'emblée vouées à l'échec, sa requête d'assistance judiciaire est rejetée (<ref-law>). La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). L'Office de l'état civil, qui n'a pas été invité à répondre, n'a pas droit à l'allocation de dépens (art. 68 al. 2 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, à l'Office de l'état civil du Nord vaudois et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 27 novembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Bonvin