Sachverhalt:
A.
A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) erhielt im November 2005 von der XY._ AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin) an der Winterthurer Messe eine schriftliche Offerte für den Kauf einer "Wärmepumpe X._". Gestützt auf diese Offerte bestellte A._ am 28. November 2005 telefonisch bei der XY._ AG eine solche Wärmepumpe. Diese wurde ihm am 19. Dezember 2005 geliefert.
In der Folge monierte A._ gegenüber der XY._ AG Mängel an der gekauften Wärmepumpe und verlangte eine Nachbesserung. Nach diversen Nachbesserungsversuchen seitens der XY._ AG hielt A._ am Vorliegen der Mängel fest, weshalb er die Rechnung für die Wärmepumpe nicht beglichen hat.
B.
B.a. Mit Klage vom 18. September 2008 beantragte die XY._ AG dem Bezirksgericht Winterthur, A._ sei zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 8'812.35 zuzüglich Zins von 5 % seit dem 25. September 2006 sowie die Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 140.-- und des Sühneverfahrens von Fr. 420.-- zu bezahlen und es sei der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. bbb._ des Betreibungsamtes Rickenbach im Umfang der Gutheissung der Klage zu beseitigen.
Mit Urteil vom 10. Februar 2012 hiess das Bezirksgericht Winterthur die Klage gut. Es kam im Wesentlichen zum Schluss, dass der Beklagte zwar das mangelhafte Aufheizen des Boilers, nicht aber den mangelhaften Wirkungsgrad der Wärmepumpe - die mangelnde COP- Leistung - rechtzeitig gerügt habe. Das Bezirksgericht ist davon ausgegangen, dass sich die mangelhafte COP-Leistung auf das Heizen des Boilers nicht auswirke, weshalb es diesen Mangel (der als solcher nicht rechtzeitig gerügt wurde) nicht als relevant erachtet hat. Bezüglich dem zweiten geltend gemachten Mangel hat das Bezirksgericht festgehalten, dass dem Beklagten der Beweis nicht gelungen sei.
B.b. Das Obergericht des Kantons Zürich wies mit Urteil vom 25. März 2013 eine vom Beklagten gegen das Urteil des Bezirksgerichts erhobene Beschwerde ab. Es hat im Wesentlichen erwogen, dass der Beklagte in seiner Beschwerde nicht aufgezeigt habe, inwiefern die Beurteilung des Bezirksgerichts falsch sei.
C.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt der Beklagte dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich sei aufzuheben, das Verfahren sei zurückzuweisen und die Kosten sowohl der beiden kantonalen Instanzen, wie auch jene des bundesgerichtlichen Verfahrens, seien der Klägerin, unter Leistung einer angemessenen Prozessentschädigung, aufzuerlegen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 3. Juni 2013 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 417 mit Hinweisen).
1.1. Der angefochtene Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (Art. 117 i.V.m. Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 114 i.V.m. Art. 75 Abs. 1 BGG). Der Streitwert erreicht die erforderliche Streitwertgrenze von Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen im vorliegenden Verfahren nicht gegeben ist. Die erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich demnach als das zulässige Rechtsmittel (Art. 113 BGG).
1.2. Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Da die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ein reformatorisches Rechtsmittel ist (Art. 117 i.V.m. Art. 107 Abs. 2 BGG), ist grundsätzlich ein materieller Antrag erforderlich; Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.). Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 490).
Die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers enthalten keinen materiellen Antrag. Er beantragt "das angefochtene Urteil sei aufzuheben. Das Verfahren sei zurückzuweisen". Aus seiner Beschwerdebegründung geht hervor, dass der Beschwerdeführer damit die Rückweisung an die erste Instanz beantragt. Er begründet dies damit, dass er bereits in seiner Beschwerde vom 20. März 2012 an das Obergericht die Rückweisung an die erste Instanz beantragt habe. Das Bezirksgericht habe keine rechtliche Beurteilung der Rechtzeitigkeit der Mängelrüge in Bezug auf die mangelnde Leistung der gekauften Wärmepumpe vorgenommen und habe sich nicht zu dem erheblich verminderten Wirkungsgrad der Pumpe geäussert.
Aus diesen Ausführungen des Beschwerdeführers kann geschlossen werden, dass er damit geltend machen will, dass das Bundesgericht bei Gutheissung der Beschwerde nicht selbst endgültig entscheiden könnte, da die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen würden. Ob das Rechtsbegehren damit den hievor dargelegten gesetzlichen Anforderungen genügt, kann jedoch offen bleiben, da die Beschwerde jedenfalls in der Sache unbegründet ist.
2.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung der Anträge in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt; unbeachtlich sind blosse Verweise auf die Akten (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f. mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer beantragt, die Kosten- und Entschädigungsfolgen beider kantonalen Verfahren seien der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Soweit der Beschwerdeführer damit verlangen wollte, die Gerichtskosten und die Parteientschädigungen der kantonalen Verfahren seien auch bei Abweisung der Beschwerde anders zu verlegen, fehlt jede Begründung (Art. 42 BGG). Auf diesen Antrag ist nicht einzutreten.
3.
Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten muss in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeführer müssen angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht kann die Verletzung eines Grundrechts nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde klar und detailliert erhoben und soweit möglich belegt ist (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Soweit die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht genügt, ist darauf nicht einzutreten (Art. 106 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
4.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV), der allgemeinen Verfahrensgarantien (Art. 29 BV) und des Grundsatzes rechtsstaatlichen Handelns (Art. 5 BV).
4.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, dass es der Beschwerdeführer unterlassen habe, sich mit dem erstinstanzlichen Entscheid adäquat auseinanderzusetzen. Er lege nicht dar, inwiefern das Bezirksgericht den Sachverhalt offensichtlich falsch festgestellt oder Bundesrecht falsch angewendet haben soll.
4.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, es könne ihm nicht vorgeworfen werden, dass er sich nicht genügend mit dem erstinstanzlichen Urteil auseinandergesetzt habe. Er habe der Vorinstanz klar dargelegt, dass das erstinstanzliche Gericht den Sachverhalt falsch festgestellt habe, da es von einer gerichtlichen Expertise abgewichen sei und nicht festgestellt habe, dass die Wärmepumpe eine um mehr als 10 % verminderte Leistungsfähigkeit gegenüber dem zugesicherten COP-Wirkungsgrad ausweise. Damit sei erstellt, dass die Wärmepumpe einen Mangel aufweise, womit das Bezirksgericht "das Recht nicht richtig" angewendet habe. Falls dem Obergericht seine Vorbringen nicht "eingeleuchtet" haben, hätte es seine Beschwerde nach Art. 132 ZPO zur Nachbesserung zurückweisen müssen.
Aus dem angefochtenen Entscheid gehe überdies nicht hervor, auf welcher Rechtsgrundlage seine Beschwerde abgewiesen worden sei. Er wisse nach den beiden vorinstanzlichen Urteilen nicht, was er, als er die mangelnde Leistungsfähigkeit der Wärmepumpe gerügt habe, falsch gemacht habe. Keiner der beiden kantonalen Entscheide würde sich mit der Frage der Rechtzeitigkeit der Prüfung einer Kaufsache auseinandersetzen.
Schliesslich bringt der Beschwerdeführer vor, die Zeugenaussagen der einvernommenen Mitarbeiter der Beschwerdegegnerin seien nicht verwertbar, da sich die Zeugen vor der Einvernahme abgesprochen hätten. Indem die Vorinstanz die Überprüfung der Wertung der Zeugenaussagen mit der überspitzt formalistischen Begründung verweigere, er habe sich nicht adäquat mit dem erstinstanzlichen Urteil auseinandergesetzt, werde ihm kein faires Verfahren gewährleistet.
4.3. Die Rügen des Beschwerdeführers sind unbegründet.
Soweit sich der Beschwerdeführer darauf beruft, die Vorinstanz sei ihrer Begründungspflicht nicht nachgekommen, legt er keineswegs dar, inwiefern ihm diese (ungenügende) Begründung eine sachgerechte Anfechtung des Entscheides verunmöglicht hätte. Es kann ihm nicht gefolgt werden, dass nicht klar sein soll, auf welcher Rechtsgrundlage der angefochtene Entscheid beruht, bringt er doch selber vor, dass zwischen den Parteien ein Kaufvertrag zustande gekommen ist und er Mängel an der Kaufsache geltend macht. Im Übrigen hat sich das Bezirksgericht sehr wohl mit der Frage der Rechtzeitigkeit seiner Mängelrüge befasst.
Ebenso wenig kann der Beschwerdeführer gehört werden, wenn er vorbringt, es habe nicht auf die Zeugenaussagen der Mitarbeiter der Beschwerdegegnerin abgestellt werden dürfen. Die Vorinstanz hat festgestellt, dass das Bezirksgericht diesem Umstand bzw. der Tatsache, dass die Zeugen nicht als vollkommen neutral bezeichnet werden können, ausdrücklich Rechnung getragen habe. Der Beschwerdeführer legt jedoch keineswegs dar, inwiefern dennoch nicht auf diese Zeugenaussagen hätte abgestellt werden dürfen bzw. inwiefern er dem Obergericht hireichend begründet habe, dass das Bezirksgericht bei der Würdigung dieser Aussagen in Willkür verfallen wäre. Allein die Tatsache, dass die Aussagen "praktisch deckungsgleic h" gelautet haben, genügt nicht, um die Beweiswürdigung als willkürlich auszuweisen.
Schliesslich vermag der Beschwerdeführer auch keine Willkür in der Sachverhaltsfeststellung aufzuzeigen. Der Beschwerdeführer stellt einzig darauf ab, dass das erstinstanzliche Gericht nicht beachtet haben soll, dass die Wärmepumpe eine verminderte Leistungsfähigkeit aufgewiesen habe; er behauptet, es habe aus sachfremden Gründen die an der Wärmepumpe geltend gemachten Mängel in "mangelnde Leistungsfähigkeit" und "das nicht richtige Aufheizen des Boilers durch die Pumpe" unterteilt. Der Beschwerdeführer macht unter Verweis auf seine Ausführungen an das Obergericht geltend, dass er diese falsche Sachverhaltsfeststellung vor der Vorinstanz in genügender Hinsicht gerügt hätte. Aus seinen Vorbringen geht aber nach wie vor nicht hervor, inwiefern die Vorinstanz bzw. das Bezirksgericht bei der Feststellung des Sachverhalts in Willkür verfallen wäre. Der Beschwerdeführer legt keineswegs dar, inwiefern die Prüfung eines einzigen Mangels an der Kaufsache, nämlich "der verminderten Leistungsfähigkeit" im Gegensatz zu den vom Bezirksgericht geprüften Mängeln für den Ausgang des Verfahrens entscheidend gewesen wäre. Es obliegt nicht dem Gericht, den Sachverhalt von Amtes wegen abzuklären, und wie vom Beschwerdeführer verlangt, bei ungenügend begründeter Sachverhaltsrügen die Beschwerde zur Nachbesserung zurückzuweisen.
Eine Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist nicht dargetan.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Die Beschwerdegegnerin hat mit ihrem Antrag auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung obsiegt; aus dem weiteren bundesgerichtlichen Verfahren ist ihr jedoch kein Aufwand entstanden. Ihr ist eine reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Reitze