Sachverhalt:
A. Am 3. Mai 2006 wurde A._ Opfer eines Tötungsdelikts. Er hinterliess die von ihm getrennt lebende Ehefrau X._, den Sohn Y._ (geb. 1998) und die Tochter Z._ (geb. 2001).
Am 26. Juli 2006 beantragte die Ehefrau, vertreten durch Rechtsanwältin Beatrice Abegglen, bei der Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern (im Folgenden: Fürsorgedirektion), es sei ihr opferhilferechtliche Soforthilfe zu gewähren sowie eine Entschädigung und Genugtuung zuzusprechen. Die Fürsorgedirektion sistierte in der Folge das Verfahren.
Am 29. November 2007 verurteilte das Kreisgericht V Burgdorf-Fraubrunnen den Täter wegen vorsätzlicher Tötung zu 14 Jahren Zuchthaus; überdies zur Zahlung von Genugtuungen in Höhe von Fr. 25'000.-- an die Ehefrau sowie von je Fr. 30'000.-- an die beiden Kinder. Gegen dieses Urteil erklärte der Täter am 3. Dezember 2007 die Appellation, die er auf die Strafzumessung beschränkte. Das kreisgerichtliche Urteil erwuchs somit unter anderem hinsichtlich der zugesprochenen Genugtuungen in Rechtskraft.
Mit Eingabe vom 1. Juli 2008 beantragte Rechtsanwältin Abegglen der Fürsorgedirektion die Wiederaufnahme des Verfahrens und die Ausrichtung von opferhilferechtlichen Genugtuungen an die Ehefrau von Fr. 25'000.-- sowie die Kinder von je Fr. 30'000.-- zuzüglich Zins.
Mit Verfügung vom 18. Mai 2009 schrieb die Fürsorgedirektion das Gesuch der Ehefrau um Entschädigung wegen Rückzugs als erledigt am Geschäftsverzeichnis ab. Sie sprach der Ehefrau eine Genugtuung von Fr. 5'000.-- zuzüglich Zins von 5 % seit dem 3. Mai 2006 zu. Das Gesuch der Kinder um Genugtuung wies die Fürsorgedirektion ab. Sie befand, eine Genugtuung von Fr. 5'000.-- an die Ehefrau sei angemessen, da diese im Zeitpunkt der Tötung nicht mehr mit dem Opfer zusammengelebt und mit diesem keine nähere Beziehung mehr gehabt habe. Die Fürsorgedirektion kam sodann zum Schluss, das Gesuch um Genugtuung für die Kinder sei nach Ablauf der zweijährigen Verwirkungsfrist gestellt worden.
B. Die von der Ehefrau und den Kindern dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern (Verwaltungsrechtliche Abteilung) am 1. Dezember 2009 ab (Ziff. 1); ebenso das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung unter Beiordnung von Beatrice Abegglen als amtliche Anwältin (Ziff. 2).
C. Die Ehefrau und die beiden Kinder führen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die Ziffern 1 und 2 des Urteils des Verwaltungsgerichts seien aufzuheben. In Gutheissung der Beschwerde sei das Gesuch der Ehefrau um Genugtuung vollumfänglich gutzuheissen. Eventualiter sei in Gutheissung der Beschwerde das Gesuch der Ehefrau um Genugtuung nach Ermessen des Bundesgerichts gutzuheissen, und zwar in einem Umfang, der nicht unter Fr. 20'000.-- (zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 3. Mai 2006) liege. In Gutheissung der Beschwerde sei auf die Gesuche der beiden Kinder einzutreten und anschliessend seien diese Gesuche im vom Kreisgericht festgesetzten Umfang von je Fr. 30'000.-- gutzuheissen. Eventualiter sei in Gutheissung der Beschwerde auf die Gesuche der beiden Kinder einzutreten und anschliessend seien diese Gesuche nach Ermessen des Bundesgerichts gutzuheissen, und zwar in einem Umfang, der nicht unter je Fr. 25'000.-- (zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 3. Mai 2006) liege. Eventuell sei die Sache in Gutheissung der Beschwerde an das Verwaltungsgericht oder an die Fürsorgedirektion zurückzuweisen. Den Beschwerdeführern sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren unter Beiordnung von Beatrice Abegglen als unentgeltliche Rechtsbeiständin, und zwar sowohl für das Verfahren vor Vorinstanz als auch vor Bundesgericht.
D. Das Verwaltungsgericht und die Fürsorgedirektion haben sich vernehmen lassen je mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
Das Bundesamt für Justiz hat auf Bemerkungen verzichtet.
Die Beschwerdeführer haben zu den Vernehmlassungen Stellung genommen. Sie halten an den in der Beschwerde gestellten Anträgen fest.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid betrifft finanzielle Leistungen nach dem Opferhilfegesetz und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit gemäss <ref-law>.
Ein Ausschlussgrund nach <ref-law> besteht nicht.
Bei der opferhilferechtlichen Genugtuung geht es um eine staatliche Hilfeleistung, nicht um Staatshaftung (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 121 mit Hinweisen). <ref-law>, wonach die Beschwerde auf dem Gebiet der Staatshaftung nur zulässig ist, wenn der Streitwert nicht weniger als 30'000 Franken beträgt (Abs. 1 lit. a) oder sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Abs. 2), ist somit nicht anwendbar.
Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung (Art. 74 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Bern vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege [VRPG; BSG 155.21]). Die Beschwerde ist daher gemäss Art. 86 Abs. 1 lit. d i.V.m. Abs. 2 BGG zulässig.
Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, sind durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und haben ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Sie sind deshalb gemäss <ref-law> zur Beschwerde befugt.
Der angefochtene Entscheid stellt einen nach <ref-law> anfechtbaren Endentscheid dar.
Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt der folgenden Erwägungen - einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführer bringen (Beschwerde S. 6-11 Ziff. 4) vor, die der Ehefrau von der Vorinstanz zugesprochene Genugtuung von Fr. 5'000.-- zuzüglich Zins sei unhaltbar tief. Der angefochtene Entscheid sei insoweit offensichtlich unbillig und in stossender Weise ungerecht. Das Kreisgericht, das eine Genugtuung von Fr. 25'000.-- zugesprochen habe, habe den Umstand, dass die Ehefrau im Zeitpunkt der Tötung seit drei Jahren vom Opfer getrennt gelebt habe, genugtuungsmindernd berücksichtigt. Damit gehe es nicht an, wenn die Vorinstanz die Genugtuung aus diesem Grund noch weiter herabsetze.
2.2 Am 1. Januar 2009 ist das neue Bundesgesetz vom 23. März 2007 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (Opferhilfegesetz, OHG; SR 312.5) in Kraft getreten. Gemäss <ref-law> gilt das bisherige Recht für Ansprüche unter anderem auf Genugtuung für Straftaten, die vor Inkrafttreten dieses Gesetzes verübt worden sind.
Der Ehemann bzw. Vater der Beschwerdeführer ist vor dem 1. Januar 2009 getötet worden. Anwendbar ist im vorliegenden Punkt daher unstreitig das alte Bundesgesetz vom 4. Oktober 1991 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (aOHG; AS 1992 2465 ff.).
2.3 Gemäss Art. 1 aOHG soll mit diesem Gesetz den Opfern von Straftaten wirksame Hilfe geleistet und ihre Rechtsstellung verbessert werden (Abs. 1). Die Hilfe umfasst unter anderem Entschädigung und Genugtuung (Abs. 2 lit. c).
Nach Art. 2 aOHG enthält Hilfe nach diesem Gesetz jede Person, die durch eine Straftat in ihrer körperlichen, sexuellen oder psychischen Integrität unmittelbar beeinträchtigt worden ist (Opfer), und zwar unabhängig davon, ob der Täter ermittelt worden ist und ob er sich schuldhaft verhalten hat (Abs. 1). Namentlich der Ehegatte und die Kinder des Opfers werden diesem gleichgestellt unter anderem bei der Geltendmachung von Entschädigung und Genugtuung (Art. 11-17), soweit ihnen Zivilansprüche gegenüber dem Täter zustehen (Abs. 2 lit. c).
Gemäss Art. 12 Abs. 2 aOHG kann dem Opfer unabhängig von seinem Einkommen eine Genugtuung ausgerichtet werden, wenn es schwer betroffen ist und besondere Umstände es rechtfertigen.
2.4 Die Ehefrau steht hier unstreitig nach Art. 2 Abs. 2 lit. c i.V.m. Art. 12 Abs. 2 aOHG eine Genugtuung zu. Umstritten ist allein deren Höhe.
Das alte Opferhilfegesetz enthält keine Bestimmungen über die Bemessung der Genugtuung. Nach der Rechtsprechung sind die von den Zivilgerichten entwickelten Bemessungsgrundsätze zu Art. 47 und 49 OR sinngemäss heranzuziehen (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 119 mit Hinweisen).
Gemäss <ref-law> kann der Richter bei Tötung eines Menschen (...) unter Würdigung der besonderen Umstände den Angehörigen des Getöteten eine angemessene Geldsumme als Genugtuung zusprechen. Die Genugtuung bezweckt den Ausgleich für erlittene Unbill, indem das Wohlbefinden anderweitig gesteigert oder die Beeinträchtigung erträglicher gemacht wird (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 119 mit Hinweisen).
Für die Bemessung der Genugtuung im Falle der Tötung ist insbesondere die Intensität der Beziehung zwischen der getöteten Person und deren Angehörigen massgebend. Die Höhe der zuzusprechenden Summe hängt massgeblich vom Ausmass der Beeinträchtigung des tatsächlichen Nähegefühls zwischen dem Getöteten und dem Anspruchsteller im Zeitpunkt der Tötung ab. Dabei kommt der Tatsache, ob der Ansprecher mit dem Opfer zusammengewohnt hat, regelmässig eine grosse Bedeutung zu, weil darin ein wichtiger Anhaltspunkt für die Intensität einer Beziehung liegt (Urteile 1C_106/2008 vom 24. September 2008 E. 3.2.2, in: ZBl 109/2008 S. 614; 1A.196/2000 vom 7. Dezember 2000 E. 3c, in: ZBl 102/2001 S. 492; je mit Hinweisen).
Die Festsetzung der Höhe der Genugtuung ist eine Entscheidung nach Billigkeit. Schematische Massstäbe sind insoweit abzulehnen. Die Genugtuung darf nicht nach festen Tarifen bemessen, sondern muss dem Einzelfall angepasst werden (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 120; <ref-ruling> E. 4.3 S. 55; je mit Hinweisen).
Im Unterschied zum Zivilrecht besteht bei der Bemessung einer Genugtuung nach Opferhilferecht die Besonderheit, dass es sich bei dieser nicht um eine Leistung aus Verantwortlichkeit, sondern um eine staatliche Hilfeleistung handelt. Nach der Rechtsprechung erreicht sie deshalb nicht ohne Weiteres die gleiche Höhe wie die zivilrechtliche, sondern kann unter Umständen davon abweichen oder gar wegfallen. Insbesondere kann berücksichtigt werden, dass die Genugtuung nicht vom Täter, sondern von der Allgemeinheit bezahlt wird. Dies kann namentlich dann eine Reduktion gegenüber der zivilrechtlichen Genugtuung rechtfertigen, wenn diese aufgrund von subjektiven, täterbezogenen Merkmalen - z.B. besonders skrupellose Art der Begehung der Straftat - erhöht worden ist (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 121; <ref-ruling> E. 4.3 S. 55; je mit Hinweisen).
Liegt ein Urteil eines Zivil- oder Strafgerichts über einen Genugtuungsanspruch gemäss <ref-law> vor, in welchem dem Opfer nach umfassenden Sachverhaltsfeststellungen, Beweiswürdigungen und rechtlichen Erwägungen eine Genugtuung in bestimmter Höhe zugesprochen worden ist, sollten die Opferhilfeinstanzen nach der Rechtsprechung nicht ohne sachliche Gründe davon abweichen. Eine Abweichung rechtfertigt sich, wenn die Opferhilfebehörden aufgrund eigener Beweiserhebungen Tatsachen feststellen, die dem Zivil- oder Strafrichter unbekannt waren oder die er nicht beachtet hat; wenn neue Tatsachen vorliegen, deren Würdigung zu einem abweichenden Entscheid führt; wenn die Beweiswürdigung des Zivil- oder Strafrichters feststehenden Tatsachen klar widerspricht; oder wenn dieser bei der Anwendung des geltenden Rechts auf den Sachverhalt nicht alle Rechtsfragen abgeklärt hat. In reinen Rechtsfragen sind die Opferhilfeinstanzen nicht an die Beurteilung durch den Zivil- oder Strafrichter gebunden (<ref-ruling> E. 3d S. 13 ff.). Bei der Bemessung der Genugtuung nach Art. 12 Abs. 2 aOHG handelt es sich um eine solche Rechtsfrage (Urteile 1C_286/2008 vom 1. April 2009 E. 4; 1A.299/2000 vom 30. Mai 2001 E. 3b).
Das Bundesgericht beurteilte verschiedentlich Entscheide kantonaler Opferhilfebehörden als bundesrechtmässig, die eine deutlich tiefere Genugtuung zusprachen als das Strafgericht im Adhäsionsverfahren. So im Urteil 1A.299/2000 vom 30. Mai 2001, wo die opferhilferechtliche Genugtuung einen Viertel der Summe betrug, die das Strafgericht zugesprochen hatte; ebenso im Urteil 1C_286/2008 vom 1. April 2009, wo die opferhilferechtliche Genugtuung einen Fünftel betrug; ferner im Urteil 1C_284/2008 vom 1. April 2009, wo die opferhilferechtliche Genugtuung drei Zehntel betrug.
Der kantonalen Behörde steht bei der Festsetzung der Höhe der Genugtuung ein weiter Ermessensspielraum zu. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn sie grundlos von den in Lehre und Rechtsprechung entwickelten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle spielen oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Acht gelassen hat, die sie hätte berücksichtigen müssen; ebenso, wenn sich ihr Entscheid als offensichtlich ungerecht erweist (<ref-ruling> E. 2.2.5 S. 121 mit Hinweisen).
2.5 Die von der Vorinstanz zugesprochene Genugtuung von Fr. 5'000.-- beträgt einen Fünftel derjenigen, auf die das Kreisgericht im Adhäsionsverfahren erkannt hat. Nach der dargelegten Rechtsprechung liegt allein darin keine Bundesrechtsverletzung. Es stellt sich die Frage, ob die Vorinstanz sachliche Gründe für ihren Entscheid hatte.
Nach den für das Bundesgericht verbindlichen vorinstanzlichen Feststellungen (<ref-law>) war die Ehefrau im Zeitpunkt der Tat elf Jahre mit dem Opfer verheiratet. Im August 2002 ging dieses mit einer anderen Frau eine neue Beziehung ein. Deshalb trennten sich die Eheleute im Frühjahr 2003. Seither führte das Opfer mit seiner Freundin einen gemeinsamen Haushalt. Nach Angaben der Freundin war eine spätere Heirat geplant. Die Ehefrau wünschte nach der Trennung die Scheidung, was das Opfer jedoch ablehnte. Die Ehefrau begegnete dem Opfer nach der Trennung nur noch, wenn dieses die Kinder zur Ausübung des Besuchsrechts abholte. Dabei sprach sie mit dem Opfer nur noch das Nötigste.
Unter diesen Umständen ist die Auffassung der Vorinstanz nicht zu beanstanden, die Ehe sei im Zeitpunkt der Tötung gescheitert gewesen. Wenn die Vorinstanz für die Ehefrau überhaupt eine Genugtuung als gerechtfertigt ansah, so deshalb, weil die Ehefrau durch den Tod des Opfers gleichwohl betroffen war. Nach den vorinstanzlichen Feststellungen löste dieser bei ihr psychischen Schmerz und grosse Trauer aus, weshalb sie vorübergehend ärztliche und psychotherapeutische Hilfe in Anspruch nehmen musste. Sie ist seit der Tat nachdenklicher geworden und hat Schlafstörungen. Zudem ist sie hinsichtlich der Kindererziehung nunmehr auf sich allein gestellt und hat die Reaktion der Kinder auf den Tod des Vaters aufzufangen.
Auch wenn man diese Belastungen berücksichtigt, ist es angesichts des Umstandes, dass die Eheleute im Zeitpunkt der Tat getrennt lebten und nicht einmal mehr ein freundschaftliches Verhältnis pflegten, im Lichte der dargelegten Rechtsprechung nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz annimmt, dass hier die Genugtuung nur einen Bruchteil der Summe betragen kann, die in der Regel hinterbliebenen Ehegatten ausgerichtet wird. Die Vorinstanz geht insoweit unter Bezugnahme auf KLAUS HÜTTE UND ANDERE (Die Genugtuung, 3. Aufl., Stand August 2005, 0/4 und I/32) von einer Basisgenugtuung von 30'000 bis 40'000 Franken aus. Die Vorinstanz verweist sodann auf ein Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 24. März 2005, welches einem seit Jahren von seiner Ehefrau getrennt lebenden Gatten bei deren Tötung eine Genugtuung von Fr. 5'000.-- zugesprochen hatte (vgl. HÜTTE UND andere, a.a.O., Genugtuung bei Verlust eines Ehegatten, Zeitraum 2003-2005, II/1 Nr. 1).
Nennt die Vorinstanz danach sachliche Gründe dafür, weshalb sie eine Genugtuung von Fr. 5'000.-- und damit eine deutlich tiefere als das Kreisgericht zugesprochen hat und deckt sich dieser Betrag mit jenem, auf den ein kantonales Obergericht in einem vergleichbaren Fall erkannt hat, kann ihr keine Überschreitung ihres weiten Ermessens vorgeworfen werden. Sie hat keine unwesentlichen Umstände berücksichtigt und keine massgeblichen ausser Acht gelassen. Der von ihr zugesprochen Betrag ist nicht offensichtlich ungerecht.
Die Beschwerde ist im vorliegenden Punkt daher unbegründet.
3. 3.1 Die Beschwerdeführer wenden (Beschwerde S. 11-19) ein, indem die Vorinstanz den Genugtuungsanspruch der Kinder als verwirkt beurteilt habe, habe sie Art. 16 aOHG, den Grundsatz von Treu und Glauben und das Verbot des überspitzten Formalismus verletzt.
3.2 Gemäss <ref-law> gelten für Ansprüche aus Straftaten, die weniger als zwei Jahre vor Inkrafttreten dieses Gesetzes (am 1. Januar 2009) verübt worden sind, die Fristen nach <ref-law>.
Der Ehemann bzw. Vater der Beschwerdeführer ist mehr als zwei Jahre vor Inkrafttreten des neuen Opferhilfegesetzes getötet worden. Auch für die Verwirkungsfrist ist hier deshalb unstreitig das alte Opferhilfegesetz massgeblich.
3.3 Gemäss Art. 16 aOHG sehen die Kantone ein einfaches, rasches und kostenloses Verfahren vor (Abs. 1). Die Behörde stellt den Sachverhalt von Amtes wegen fest (Abs. 2). Das Opfer muss die Gesuche um Entschädigung und Genugtuung innert zwei Jahren nach der Straftat bei der Behörde einreichen; andernfalls verwirkt es seine Ansprüche (Abs. 3).
Die Vorinstanz kommt (angefochtener Entscheid S. 5-10 E. 3) zum Schluss, die Anwältin der Beschwerdeführer habe es verpasst, die opferhilferechtlichen Ansprüche der Kinder innert der zweijährigen Verwirkungsfrist geltend zu machen. Mit der Eingabe vom 26. Juli 2006 an die Fürsorgedirektion habe die Anwältin nur den Genugtuungsanspruch der Ehefrau geltend gemacht. Am 3. Dezember 2007 habe die Anwältin der Fürsorgedirektion die beim Kreisgericht eingereichte Klage auf Schadenersatz und Genugtuung vom 26. November 2007 und das kreisgerichtliche Urteil vom 29. November 2007 je in Kopie eingereicht. Mit der Klage vom 26. November 2007 seien keine Ansprüche gegenüber dem Staat geltend gemacht worden. Die Klageerhebung habe daher die Verwirkungsfrist nicht zu wahren vermocht. Das Opferentschädigungsverfahren bilde ein Gesuchsverfahren. Erweise sich das vom Opfer eingereichte Gesuch als unvollständig, müsse ihm Gelegenheit gegeben werden, das Gesuch zu vervollständigen. Dies gelte aber nur, sofern überhaupt ein - wenn auch mangelhaftes - Gesuch eingereicht worden sei. Das Aufmerksammachen von (überdies anwaltlich vertretenen) Personen auf allfällige opferhilferechtliche Ansprüche gehöre nicht dazu. Die Fürsorgedirektion sei daher nicht gehalten gewesen, sich bei der Anwältin der Beschwerdeführer zu erkundigen, ob nicht auch die Kinder Ansprüche nach dem Opferhilfegesetz erheben wollten.
3.4 Nach der Rechtsprechung sollen es Art. 16 Abs. 1 und 2 aOHG dem Opfer ermöglichen, rasch und auf unbürokratische Weise einen Entscheid zu erwirken. An die Substanziierung eines Gesuchs um Entschädigung und Genugtuung nach Art. 11 ff. aOHG können daher keine allzu strengen Anforderungen gestellt werden (<ref-ruling> E. 4.1 S. 52 mit Hinweisen).
Im Fall, der dem Urteil 1A.93/2004 vom 2. September 2004 zugrunde lag, wurde eine Familie am 18. August 2000 Opfer eines Überfalls. Am 25. Oktober 2001 stellte sie ein Gesuch um opferhilferechtliche Entschädigung und Genugtuung. Darin machte sie eine Entschädigung für verschiedene Schadensposten geltend, nicht jedoch für Haushaltschaden. Am 30. Januar 2003 beantragte die Familie eine Entschädigung für Haushaltschaden. Darauf trat die kantonale Opferhilfestelle nicht ein, weil dieser Schaden nach Ablauf der zweijährigen Verwirkungsfrist geltend gemacht worden sei, was das kantonale Verwaltungsgericht bestätigte. Das Bundesgericht hiess die von der Ehefrau erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde gut. Es kam zum Schluss, der Entschädigungsanspruch auch für den Haushaltschaden sei mit dem Gesuch vom 25. Oktober 2001 gewahrt worden. Das Bundesgericht berücksichtige insoweit den in Art. 16 Abs. 2 aOHG verankerten Untersuchungsgrundsatz. Es erwog, danach sei es Aufgabe der zuständigen Behörden, den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen und die sich daraus ergebende Entschädigung zu berechnen. Erweise sich das vom Opfer eingereichte Gesuch als unvollständig, müsse dem Opfer Gelegenheit gegeben werden, sein Gesuch zu vervollständigen. Komme die Behörde dieser Aufgabe nicht nach, obwohl sich in den Akten Hinweise auf das mögliche Bestehen eines weiteren Schadens ergeben, wäre es stossend, die im Entschädigungsgesuch nicht ausdrücklich aufgeführten Schadenspositionen als verwirkt zu betrachten (E. 5.4.3; vgl. auch E. 4.5).
3.5 Aus den Akten ergibt sich Folgendes:
Am 26. Juli 2006 reichte die Anwältin der Beschwerdeführer der Fürsorgedirektion ein Schreiben ein. Darin führte die Anwältin insbesondere aus, sie sei von der Beschwerdeführerin 1 mit der Wahrung ihrer Interessen "i.S. Strafrecht" beauftragt worden. Namens ihrer Klientin stellte die Anwältin den Antrag, es sei der Klientin die Soforthilfe zu gewähren sowie eine Entschädigung und Genugtuung zuzusprechen. Da das Verfahren noch im Ermittlungsstadium sei, könne die Anwältin zurzeit weder die Entschädigung noch die Genugtuung beziffern. Die Anwältin wies sodann darauf hin, ihre Klientin müsse vom Sozialamt unterstützt werden. Die Geltendmachung von Witwen- und Halbwaisenrenten (für die Kinder der Klientin und ihres getöteten Ehemannes) sei an die Hand genommen worden.
Mit Schreiben vom 3. Dezember 2007 sandte die Anwältin der Fürsorgedirektion namentlich die Klage vom 26. November 2007 auf Schadenersatz und Genugtuung zu, welche sie namens der Ehefrau und der Kinder beim Kreisgericht eingereicht hatte; ebenso das Strafurteil des Kreisgerichts vom 29. November 2007.
Im Rubrum der Klage vom 26. November 2007 werden die Ehefrau und die Kinder als "Privatkläger/Opfer" bezeichnet. Die Anwältin beantragte, der Täter sei zu verurteilen, den Privatklägern und Opfern je folgende Genugtuungen zuzüglich Zins von 5 % seit dem 3. Mai 2006 zu bezahlen: Der Ehefrau Fr. 35'000.-- und den beiden Kinder je Fr. 40'000.--. Zur Begründung führte die Anwältin aus, die Privatkläger seien - als Ehefrau und Kinder des Getöteten - in ihrer Persönlichkeit widerrechtlich verletzt worden. Sie hätten deshalb Anspruch auf Leistung einer Geldsumme als Genugtuung, wenn die Schwere der Verletzung es rechtfertige und dies nicht anders wieder gutgemacht worden sei. Sodann führte die Anwältin aus, die beiden Kinder seien zum Zeitpunkt der Tat 8- bzw. 5-jährig gewesen. Sie hätten - trotz der Trennung der Eltern - mit ihrem Vater Kontakt gehabt und vermissten ihn sehr. Die bisher gesprochene Genugtuung bei Tötung eines Elternteils könne bis zu Fr. 40'000.-- betragen. Die Anwältin verwies dazu auf den Kommentar von GOMM/ZEHNTNER zum Opferhilfegesetz (2005, N. 38 zu Art. 12 aOHG).
Aus dem der Fürsorgedirektion zugesandten Dispositiv des Urteils des Kreisgerichts vom 29. November 2007 ergab sich, dass dieses den Täter zur Zahlung einer Genugtuung von Fr. 25'000.-- an die Ehefrau und von Genugtuungen von je Fr. 30'000.-- (zuzüglich Zins) an die beiden Kinder verurteilt hatte.
Aus dem der Fürsorgedirektion zugesandten Dispositiv des Urteils des Kreisgerichts vom 29. November 2007 ergab sich, dass dieses den Täter zur Zahlung einer Genugtuung von Fr. 25'000.-- an die Ehefrau und von Genugtuungen von je Fr. 30'000.-- (zuzüglich Zins) an die beiden Kinder verurteilt hatte.
3.6 3.6.1 Im Schreiben vom 26. Juli 2006 stellte die Anwältin den Antrag, es sei der Ehefrau eine Entschädigung und Genugtuung zuzusprechen. Eine Genugtuung für die Kinder verlangte sie nicht. Sie wies aber darauf hin, sie habe die Geltendmachung von Halbwaisenrenten für diese an die Hand genommen. Die Fürsorgedirektion wusste somit, dass die Ehefrau Kinder hat, deren Vater das Opfer war.
Aus der der Fürsorgedirektion eingereichten Klage vom 26. November 2007 ergab sich sodann, dass die Anwältin auch die Kinder ausdrücklich als "Opfer" bezeichnete. Zudem verlangte die Anwältin Genugtuungen für die Kinder unter Hinweis auf den Kommentar zum Opferhilfegesetz. Dem Urteil vom 29. November 2007 konnte die Fürsorgedirektion sodann entnehmen, dass das Kreisgericht den Kindern Genugtuungen von je Fr. 30'000.-- zugesprochen hatte.
Unter diesen Umständen musste sich der Fürsorgedirektion die Frage aufdrängen, ob die Anwältin mit ihrer Eingabe vom 3. Dezember 2007 mitsamt Beilagen nicht eine opferhilferechtliche Genugtuung auch für die Kinder verlangen wollte. Damit durfte die Fürsorgedirektion nicht einfach schweigen. Vielmehr hätte sie die Anwältin insoweit zu einer Klarstellung auffordern müssen.
3.6.2 Dies ergibt sich bereits aus Art. 16 aOHG. Wie dargelegt, gewährleistet diese Bestimmung ein einfaches Verfahren. Das Opfer soll auf unbürokratische Weise einen Entscheid erwirken können. Damit verträgt sich keine Formenstrenge. Zudem verpflichtet Art. 16 aOHG die Behörde zur Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen und somit im Zweifelsfall zur Nachfrage (SUSANNA STAEHELIN, Verfahrensfragen zum Opferhilfegesetz, Mitteilungen aus dem Institut für zivilgerichtliches Verfahren in Zürich, 22/1997, S. 29). Da sich aus den der Fürsorgedirektion zugesandten Unterlagen klare Hinweise darauf ergaben, dass die Kinder ebenfalls (indirekte) Opfer sind, deshalb Anspruch auf eine opferhilferechtliche Genugtuung haben und dieser auch geltend gemacht werden sollte, hätte sie von Amtes wegen die insoweit notwendigen Abklärungen treffen müssen. Der vorliegende Fall liegt insoweit im Wesentlichen gleich wie jener, über den das Bundesgericht im erwähnten Urteil 1A.93/2004 vom 2. September 2004 zu befinden hatte. Während sich dort aus den Akten Hinweise darauf ergaben, dass auch ein Haushaltschaden entstanden war, waren hier klare Anhaltspunkte dafür gegeben, dass auch die Kinder Anspruch auf opferhilferechtliche Genugtuung haben. Die Behörde hätte im vorliegenden Fall daher ebenso von Amtes wegen die erforderlichen Ermittlungen vornehmen müssen.
Eine vergleichbare Rechtslage besteht - worauf das Bundesgericht im erwähnten Urteil 1A.93/2004 vom 2. September 2004 (E. 5.4.4) bereits hingewiesen hat - im Sozialversicherungsrecht. Dem ist Rechnung zu tragen, da die Opferhilfe der Sozialversicherung nahe steht. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind Entschädigung und Genugtuung gemäss Art. 11 ff. aOHG zwischen Sozialversicherung und Sozialhilfe anzusiedeln (Urteil 1A.120/2004 vom 19. Oktober 2004 E. 2.4). Im Bereich der Invalidenversicherung hat die Verwaltung zwar nicht alle überhaupt möglichen Leistungsansprüche abzuklären, jedoch jene, die vernünftigerweise mit dem vorgetragenen Sachverhalt und allfälligen bisherigen oder neuen Akten im Zusammenhang stehen (<ref-ruling> E. 3b S. 264 f.). Dies spricht ebenfalls für die Aufklärungspflicht der Fürsorgedirektion im zu beurteilenden Fall, da sich aus dem ihr dargelegten Sachverhalt und den eingereichten Akten klare Hinweise für Genugtuungsansprüche auch der Kinder ergaben.
3.6.3 Zu berücksichtigen ist sodann der Anspruch jeder Person, von den staatlichen Organen nach Treu und Glauben behandelt zu werden (<ref-law>). Auch daraus kann sich die Aufklärungspflicht der Behörde ergeben (<ref-ruling> E. 4a S. 270 mit Hinweisen; ISABELLE HÄNER, Die Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts, in: Häner/Waldmann [Hrsg.], Das erstinstanzliche Verwaltungsverfahren, 2008, S. 40 und 43; CLÉMENCE GRISEL, L'obligation de collaborer des parties en procédure administrative, 2008, S. 141 f. N. 386; JEAN-FRANÇOIS EGLI, La protection da la bonne foi dans le procès, in: Verfassungsrechtsprechung und Verwaltungsrechtsprechung, 1992, S. 228 f.; BÉATRICE WEBER-DÜRLER, Vertrauensschutz im öffentlichen Recht, 1983, S. 41).
So verhält es sich hier. Es widerspricht Treu und Glauben, wenn die Behörde trotz klarer Hinweise darauf, dass ein opferhilferechtlicher Anspruch besteht und dieser geltend gemacht werden soll, nichts zur Klärung unternimmt, um dem Opfer in der Folge vorzuwerfen, es habe die zweijährige Verwirkungsfrist verpasst. Die Fürsorgedirektion hätte hier umso mehr Anlass zur Aufklärung gehabt, als es bei den in Frage stehenden opferhilferechtlichen Genugtuungen für die Kinder um namhafte Beträge geht, welche für diese in Anbetracht ihrer wirtschaftlichen Verhältnisse von erheblicher Bedeutung wären. In einem solchen Fall ist die Behörde in verstärktem Mass zur Aufklärung verpflichtet (vgl. HÄNER, a.a.O., S. 37/38).
3.6.4 Ob die Fürsorgedirektion überdies das Verbot des überspitzten Formalismus und damit <ref-law> verletzt hat (<ref-ruling> E. 2a S. 142 mit Hinweisen), kann dahingestellt bleiben.
3.6.5 Aus dem Verhalten der Fürsorgedirektion darf den Kindern kein Nachteil erwachsen. Die Verwirkung ihrer Genugtuungsansprüche kann ihnen daher nicht entgegengehalten werden.
3.7 Wie sich dem Urteil des Kreisgerichts (S. 50 f.) entnehmen lässt, hatten die Kinder trotz der Trennung der Eltern Kontakt zum Vater und besuchten ihn regelmässig. Die Kinder standen nach seiner Tötung unter Schock und mussten therapeutische Hilfe in Anspruch nehmen. Nach Aussagen der Mutter weinen sie oft, machen sich viele Sorgen und denken häufig an den Vater. Sie müssen nun ohne diesen aufwachsen, was für sie aufgrund ihres Alters (heute 9 und 12 Jahre) einen erheblichen Verlust darstellt.
Bei dieser Sachlage liegt auf der Hand, dass die Kinder ebenfalls Anspruch auf eine opferhilferechtliche Genugtuung haben. Wenn die kantonalen Behörden der Mutter, die vom Vater getrennt gelebt hat und mit diesem nicht einmal mehr ein freundschaftliches Verhältnis gepflegt hat, eine opferhilferechtliche Genugtuung zugesprochen haben, müssen sie das gegenüber den Kindern erst recht tun. Dies gebietet der Grundsatz der Rechtsgleichheit (<ref-law>). Fraglich kann nur die Höhe der Genugtuung sein.
Wie dargelegt, steht der kantonalen Behörde insoweit ein weiter Ermessensspielraum zu. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, dieses Ermessen anstelle der kantonalen Behörde auszuüben. Die Sache wird deshalb an die Vorinstanz zurückgewiesen zur Festsetzung der Höhe der den Kindern je zuzusprechenden opferhilferechtlichen Genugtuung (<ref-law>).
4. Die Vorinstanz hat den Beschwerdeführern in Anwendung von Art. 30 Abs. 1 und 2 OHG keine Kosten auferlegt (angefochtener Entscheid S. 15 E. 6.1). Sie hat die Ausrichtung einer amtlichen Entschädigung an die Vertreterin der Beschwerdeführer abgelehnt, da diese nicht bedürftig seien und die Beschwerde ausserdem aussichtslos gewesen sei (E. 6.2).
Die Beschwerdeführer machen (Beschwerde S. 21) geltend, die Vorinstanz hätte die unentgeltliche Verbeiständung gewähren müssen. Sie legen jedoch mit keinem Wort dar, inwiefern der angefochtene Entscheid insoweit Bundesrecht verletzen soll. Insbesondere rügen sie keine willkürlich Anwendung kantonalen Rechts und damit eine Verletzung von <ref-law>. Ebenso wenig berufen sie sich auf <ref-law>. Gemäss <ref-law> prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist. Es wendet insoweit das Recht nicht von Amtes wegen an. Es gelten die gleichen (erhöhten) Begründungsanforderungen wie früher bei der staatsrechtlichen Beschwerde nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG. Das Bundesgericht prüft daher nur klar und detailliert erhobene und - soweit möglich - belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.1 f. mit Hinweisen). Dem genügt die Eingabe der Beschwerdeführer nicht. Zu einer näheren Begründung, inwiefern der angefochtene Entscheid insoweit Bundesrecht verletzen soll, hätten sie umso mehr Anlass gehabt, als nach ihren eigenen Angaben ihr Einkommen das Existenzminimum um monatlich Fr. 265.45 und damit deutlich übersteigt.
Auf die Beschwerde kann im vorliegenden Punkt daher nicht eingetreten werden.
5. Die Beschwerde wird danach, soweit darauf einzutreten ist, teilweise gutgeheissen.
Die Beschwerdeführer tragen, auch soweit sie unterliegen, keine Kosten (Art. 30 Abs. 1 und 2 OHG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> ist insoweit gegenstandslos.
Soweit die Beschwerdeführer obsiegen, hat der Kanton ihrer Vertreterin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ist insoweit gegenstandslos.
Soweit die Beschwerdeführer unterliegen, war die Beschwerde aussichtslos und kann das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung deshalb nicht bewilligt werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird, soweit darauf einzutreten ist, teilweise gutgeheissen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 1. Dezember 2009 aufgehoben und die Sache zur Neubeurteilung an dieses zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Der Kanton Bern hat der Vertreterin der Beschwerdeführer, Rechtsanwältin Beatrice Abegglen, eine Entschädigung von Fr. 1'000.-- zu bezahlen.
5. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Kanton Bern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. September 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Härri