A.- G._, qui travaillait comme laborantin au service de la société coopérative X._, était assuré contre le risque d'accident auprès de la Compagnie d'assurances Y._.
Par décision du 31 janvier 1995, confirmée sur opposition de l'assuré le 4 janvier 1996, la Compagnie d'assurances Y._ a refusé de prendre en charge des lésions dorsales présentées par celui-ci, motif pris de l'absence d'accident au sens légal du terme.
G._ a recouru contre cette dernière décision devant le Tribunal administratif du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, en concluant à la reconnaissance du caractère accidentel de ses lésions et à la prise en charge de leur suite par la Compagnie d'assurances Y._.
Par jugement du 20 août 1998, le tribunal a partiellement admis le recours, en ce sens qu'il a renvoyé la cause à la Compagnie d'assurances Y._ pour qu'elle mette en oeuvre un complément d'instruction visant à déterminer si, et le cas échéant dans quelle mesure, l'assuré souffrait de lésions d'origine accidentelle.
B.- Ayant repris les droits et obligations de la Compagnie d'assurances Y._ depuis le 1er janvier 1996, Winterthur, Société Suisse d'Assurances (ci-après : Winterthur Assurances) a recouru contre ce jugement, en concluant principalement à son annulation.
Le Tribunal fédéral des assurances a clôturé l'échange d'écritures ordinaire le 28 décembre 1998.
Par arrêt du 1er juin 1999, il a admis la conclusion principale du recours.
C.- Par écriture du 10 septembre 1999, G._ demande la révision de cet arrêt, en concluant, sous suite de dépens, à son annulation et au rejet du recours que Winterthur Assurances avait formé contre le jugement rendu le 20 août 1998 par le Tribunal administratif du canton de Fribourg. A l'appui de sa demande, il produit un rapport d'expertise établi le 19 avril 1999 à l'intention de l'assurance-invalidité par le docteur F._, médecin associé au Service d'orthopédie et de traumatologie de l'appareil moteur du Centre Hospitalier Z._.
Winterthur Assurances conclut au rejet de la demande de révision, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé.

Considérant en droit :
1.- Selon l'art. 137 let. b OJ, en corrélation avec l'art. 135 OJ, la demande de révision d'un arrêt du Tribunal fédéral des assurances est recevable, notamment, lorsque le requérant a connaissance subséquemment de faits nouveaux importants ou trouve des preuves concluantes qu'il n'avait pas pu invoquer dans la procédure précédente. Sont «nouveaux» au sens de cette disposition, les faits qui se sont produits jusqu'au moment où, dans la procédure principale, des allégations de faits étaient encore recevables, mais qui n'étaient pas connus du requérant malgré toute sa diligence. En outre, les faits nouveaux doivent être importants, c'est-à-dire qu'ils doivent être de nature à modifier l'état de fait qui est à la base de l'arrêt entrepris et à conduire à un jugement différent en fonction d'une appréciation juridique correcte. Les preuves, quant à elles, doivent servir à prouver soit les faits nouveaux importants qui motivent la révision, soit des faits qui étaient certes connus lors de la procédure précédente, mais qui n'avaient pas pu être prouvés, au détriment du requérant. Si les nouveaux moyens sont destinés à prouver des faits allégués antérieurement, le requérant doit aussi démontrer qu'il ne pouvait pas les invoquer dans la précédente procédure. Une preuve est considérée comme concluante lorsqu'il faut admettre qu'elle aurait conduit le juge à statuer autrement s'il en avait eu connaissance dans la procédure principale. Ce qui est décisif, c'est que le moyen de preuve ne serve pas à l'appréciation des faits seulement, mais à l'établissement de ces derniers. Ainsi, il ne suffit pas qu'une nouvelle expertise donne une appréciation différente des faits; il faut bien plutôt des éléments de fait nouveaux, dont il résulte que les bases de la décision entreprise comportaient des défauts objectifs. Pour justifier la révision d'une décision, il ne suffit pas que l'expert tire ultérieurement, des faits connus au moment du jugement principal, d'autres conclusions que le tribunal. Il n'y a pas non plus motif à révision du seul fait que le tribunal paraît avoir mal interprété des faits connus déjà lors de la procédure principale. L'appréciation inexacte doit être, bien plutôt, la conséquence de l'ignorance ou de l'absence de preuve de faits essentiels pour le jugement (<ref-ruling> consid. 2, 293 consid. 2a, 108 V 171 consid. 1; cf. aussi <ref-ruling>).
2.- a) Le demandeur soutient que l'expertise du docteur F._ du 19 avril 1999 contient des faits nouveaux importants propres à modifier l'arrêt rendu par le Tribunal fédéral des assurances le 1er juin 1999 entre les parties.
b) Toutefois, comme l'admet le demandeur, c'est antérieurement au prononcé de cet arrêt qu'il a eu connaissance de l'expertise du docteur F._, vraisemblablement dans le courant du mois d'avril 1999. Partant, il aurait parfaitement pu invoquer celle-ci au cours de la procédure précédente déjà, si bien qu'il est douteux que sa demande de révision soit recevable (art. 137 let. b, 2ème phrase a contrario; Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. V p. 33 sv). En effet, contrairement à ce qu'il soutient, le fait que l'échange d'écritures ordinaire fût terminé (depuis le 28 décembre 1998) lorsqu'il a pris connaissance de l'expertise ne l'empêchait pas de produire celle-ci, la pratique de la Cour de céans consistant à tenir compte de moyens nouveaux présentés par les parties - même tardivement -, s'ils ont de l'importance ou sont décisifs pour l'issue du procès (RCC 1986 p. 203 consid. 3b; arrêt non publié R. du 10 juin 1996 [K 172/95], consid. 4c).
c) Quoi qu'il en soit, l'expertise du docteur F._ ne renferme pas de faits nouveaux importants au sens où l'entend la jurisprudence (consid. 1 supra).
Dans l'arrêt qui est l'objet de la demande de révision, le Tribunal fédéral des assurances avait en effet considéré, au vu des nombreuses pièces médicales au dossier, que les lésions présentées par le demandeur ne trouvaient pas leur cause dans des événements accidentels dont l'intimée répondait, vu en particulier l'absence de fracture récente. Or, l'expertise du docteur F._ ne permet nullement d'aboutir à une autre conclusion, puisque ce médecin, loin de faire mention de lésion d'origine traumatique dans son diagnostic, confirme bien plutôt qu'il n'y a pas de fracture. Certes est-il d'avis, au contraire des spécialistes consultés en juin et juillet 1997, que les douleurs dont se plaint le demandeur ne résultent pas des hémangiomes qu'il présente. Ce fait n'est toutefois pas déterminant, car il ne démontre en rien la présence, même hypothétique, de lésions d'origine traumatique.
Au demeurant, l'expertise du docteur F._ repose entièrement, en ce qui concerne le dossier radiologique, sur des pièces médicales connues des médecins sur l'avis desquels s'est fondée la Cour de céans pour rendre l'arrêt entrepris. Aussi bien, quand bien même cet expert aurait tiré d'autres conclusions que ses confrères, cela ne constituerait qu'une appréciation différente de mêmes faits, ce qui ne justifie pas une révision au sens de l'art. 137 let. b OJ.
3.- Le demandeur, qui succombe, ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 159 al. 1 en corrélation avec l'art. 135 OJ).
Par ailleurs, la procédure n'est pas gratuite, s'agissant d'un litige qui ne porte pas sur l'octroi ou le refus de prestations d'assurance (art. 134 OJ a contrario). Le demandeur supportera les frais de justice (art. 156 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances
p r o n o n c e :
I. Dans la mesure où elle est recevable, la demande de
révision est rejetée.
II. Les frais de la cause, d'un montant de 500 fr., sont
mis à la charge du demandeur et sont compensés avec
l'avance de frais d'un même montant qu'il a effectuée.
III. Il n'est pas alloué de dépens.
IV. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au
Tribunal administratif du canton de Fribourg, Cour des
assurances sociales, et à l'Office fédéral des assu-
rances sociales.
Lucerne, le 25 janvier 2000
Au nom du
Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre :
Le Greffier :