Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Am 23. Dezember 2002 erhob die Helsana Versicherungen AG (nachfolgend: Helsana) beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau Klage gegen den Kanton Thurgau mit dem Rechtsbegehren:
Es sei der Beklagte zu verpflichten, der Klägerin einen vom Gericht zu beziffernden Geldbetrag zu bezahlen.
Im Weitern stellte die Helsana folgenden Verfahrensantrag:
Es sei das Verfahren für 18 Monate zu sistieren.
Eventualiter sei die Klage von Amtes wegen an das zuständige Gericht weiterzuleiten und im Sinne der vorerwähnten Begehren weiterzubehandeln.
Subeventualiter sei die Klage an die zuständige kantonale Stelle zwecks Erlass einer verwirkungsfristwahrenden und beschwerdefähigen Verfügung betreffend den geltend gemachten Rückforderungsanspruch weiterzuleiten.
In der Begründung führte der Krankenversicherer u.a. aus, er habe bis Anfang 2002 sämtliche Rechnungen betreffend medizinisch indizierte ausserkantonale ambulante Behandlungen vollumfänglich bezahlt. Mit zwei Urteilen vom 21. Dezember 2001 (K 203/98 und K 204/98) habe das Eidgenössische Versicherungsgericht entschieden, dass die Kantone bei medizinisch bedingten ausserkantonalen ambulanten Behandlungen in öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitälern grundsätzlich eine Differenzzahlungspflicht nach <ref-law> treffe, wenn und soweit die in Rechnung gestellten Kosten höher seien als die Tarife des Standortkantons. In Anbetracht dieser Entscheide stelle sich für die Klägerin das Problem der Rückforderung des jeweils vorgeleisteten Tarifdifferenzbetrages, welcher durch den Wohnkanton hätte bezahlt werden müssen.
Der Kanton Thurgau, vertreten durch das Departement für Finanzen und Soziales, beantragte in seiner Antwort Nichteintreten auf die Klage, eventualiter deren Abweisung.
Mit Entscheid vom 26. März 2003 trat das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau auf die Klage nicht ein (Dispositiv-Ziffer 1). Es auferlegte der Klägerin eine Verfahrensgebühr von Fr. 1000.- (Dispositiv-Ziffer 2). Eine Weiterleitung der Angelegenheit an die zuständige kantonale Stelle (Kantonsarzt) erachtete das Gericht wegen Fehlens jeglicher konkreter Angaben nicht als angezeigt (Erw. 1d).
Mit Entscheid vom 26. März 2003 trat das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau auf die Klage nicht ein (Dispositiv-Ziffer 1). Es auferlegte der Klägerin eine Verfahrensgebühr von Fr. 1000.- (Dispositiv-Ziffer 2). Eine Weiterleitung der Angelegenheit an die zuständige kantonale Stelle (Kantonsarzt) erachtete das Gericht wegen Fehlens jeglicher konkreter Angaben nicht als angezeigt (Erw. 1d).
B. Die Helsana führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit den Rechtsbegehren:
Der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, der Beschwerdeführerin einen noch zu beziffernden Geldbetrag zu bezahlen.
Eventualiter sei der Nichteintretensbeschluss (...) vom 26. März 2003 aufzuheben und die Vorinstanz zu verpflichten, auf die Eingabe der Beschwerdeführerin vom 23. Dezember 2002 einzutreten und diese nach Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels materiell zu behandeln.
Subeventualiter sei der Nichteintretensbeschluss der Vorinstanz vom 26. März 2003 zu bestätigen und die Eingabe der Beschwerdeführerin vom 23. Dezember 2002 an die zuständige kantonale Stelle zwecks Weiterbehandlung weiterzuleiten.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und der Kanton Thurgau, vertreten durch das Departement für Finanzen und Soziales, beantragen je die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung als Aufsichtsbehörde (seit 1. Januar 2004: Bundesamt für Gesundheit) reicht keine Vernehmlassung ein.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Die Kostenübernahme bei ambulanter, teilstationärer und stationärer Behandlung im Rahmen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung ist in <ref-law> geregelt.
1.1.1 Art. 41 Abs. 3 erster Satz KVG lautet wie folgt: Beansprucht die versicherte Person aus medizinischen Gründen die Dienste eines ausserhalb ihres Wohnkantons befindlichen öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitals, so übernimmt der Wohnkanton die Differenz zwischen den in Rechnung gestellten Kosten und den Tarifen des betreffenden Spitals für Einwohner und Einwohnerinnen des Kantons (Ausgleichs- oder Differenzzahlungspflicht: <ref-ruling> und 310).
Der Begriff der medizinischen Gründe wird in Absatz 2 zweiter Satz näher umschrieben (vgl. dazu <ref-ruling>).
1.1.2 Gemäss Art. 41 Abs. 3 dritter Satz KVG regelt der Bundesrat die Einzelheiten. Diese Befugnis bezieht sich auch auf verfahrensrechtliche Fragen (<ref-ruling> Erw. 3).
1.2 Gemäss <ref-ruling> fallen unter den Begriff Dienste im Sinne des <ref-law> grundsätzlich alle im betreffenden ausserkantonalen öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spital erbrachten Leistungen, ungeachtet der Form der Behandlung (stationär, teilstationär, ambulant), einschliesslich eines allfälligen Aufenthalts, für welche als Folge der Kostenbeteiligung des zuständigen Gemeinwesens (Art. 49 Abs. 1, 2 und 5 KVG) nach Kantonszugehörigkeit differenzierende Tarife bestehen.
1.2 Gemäss <ref-ruling> fallen unter den Begriff Dienste im Sinne des <ref-law> grundsätzlich alle im betreffenden ausserkantonalen öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spital erbrachten Leistungen, ungeachtet der Form der Behandlung (stationär, teilstationär, ambulant), einschliesslich eines allfälligen Aufenthalts, für welche als Folge der Kostenbeteiligung des zuständigen Gemeinwesens (Art. 49 Abs. 1, 2 und 5 KVG) nach Kantonszugehörigkeit differenzierende Tarife bestehen.
1.3 1.3.1 Die Regelung der Zuständigkeit und des Verfahrens zur Geltendmachung und allenfalls gerichtlichen Durchsetzung von Ansprüchen gegen den Wohnkanton der versicherten Person aufgrund von <ref-law> ist grundsätzlich Sache der Kantone. Dabei handelt es sich um selbstständiges kantonales Recht, dessen Verletzung im Rahmen einer Verwaltungsgerichtsbeschwerde lediglich in engen Grenzen gerügt werden kann. Das Verfahren darf indessen nicht in der Weise ausgestaltet sein, dass die Durchsetzung des bundesrechtlichen Differenzzahlungsanspruchs übermässig erschwert oder sogar vereitelt würde (<ref-ruling> Erw. 5; vgl. auch RKUV 2003 Nr. KV 254 S. 238 Erw. 6).
1.3.2 Nach der seit 1. Januar 1996 geltenden Ordnung im Kanton Thurgau werden von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen Kostengutsprachen für ausserkantonale Hospitalisationen in öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitälern auf Gesuch der überweisenden Stelle vom Kantonsarzt erteilt (§ 14 Abs. 1 der Verordnung des Regierungsrates vom 19. Dezember 1995 zum Gesetz über die Krankenversicherung). Gegen (ablehnende) Entscheide des Kantonsarztes kann beim Departement für Finanzen und Soziales Rekurs erhoben werden (§ 2 Abs. 1 der erwähnten Verordnung in Verbindung mit §§ 35 und 43 Ziff. 1 des Gesetzes vom 23. Februar 1981 über die Verwaltungsrechtspflege [VRG]). Gegen die Rekursentscheide des Departementes kann beim kantonalen Verwaltungsgericht Beschwerde eingereicht werden (§ 54 VRG; TVR 2000 Nr. 38 S. 164 ff.).
1.3.2 Nach der seit 1. Januar 1996 geltenden Ordnung im Kanton Thurgau werden von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen Kostengutsprachen für ausserkantonale Hospitalisationen in öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitälern auf Gesuch der überweisenden Stelle vom Kantonsarzt erteilt (§ 14 Abs. 1 der Verordnung des Regierungsrates vom 19. Dezember 1995 zum Gesetz über die Krankenversicherung). Gegen (ablehnende) Entscheide des Kantonsarztes kann beim Departement für Finanzen und Soziales Rekurs erhoben werden (§ 2 Abs. 1 der erwähnten Verordnung in Verbindung mit §§ 35 und 43 Ziff. 1 des Gesetzes vom 23. Februar 1981 über die Verwaltungsrechtspflege [VRG]). Gegen die Rekursentscheide des Departementes kann beim kantonalen Verwaltungsgericht Beschwerde eingereicht werden (§ 54 VRG; TVR 2000 Nr. 38 S. 164 ff.).
2. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde richtet sich gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 25. März 2003, auf die Klage der Helsana vom 23. Dezember 2002 gegen den Kanton betreffend Ansprüche aus <ref-law> u.a. mangels einer anfechtbaren Verfügung nicht einzutreten. Die Rechtmässigkeit dieser verfahrensmässigen Erledigung des klageweise anhängig gemachten Forderungsstreites bildet vorliegend das Prozessthema.
2.1 Streitigkeiten über die Auslegung und Anwendung von <ref-law> sind sozialversicherungsrechtlicher Natur im Sinne von Art. 128 OG und daher letztinstanzlich durch das Eidgenössische Versicherungsgericht zu beurteilen (<ref-ruling> Erw. 1, 410 Erw. 1, 123 V 290 und 315 Erw. 3a). Das Gleiche gilt, wenn, wie vorliegend, eine letzte kantonale Instanz im Sinne von Art. 98 lit. g und 98a Abs. 1 OG aus formellen Gründen auf ein Begehren um Differenzzahlung nicht eingetreten ist und diese Verfahrenserledigung als bundesrechtswidrig gerügt wird.
Die sachliche Zuständigkeit des Eidgenössischen Versicherungsgerichts für die Beurteilung der Rechtmässigkeit des angefochtenen Entscheides ist daher zu bejahen.
2.2 Im Weitern gehört der dem Verfahren zugrunde liegende, durch die Begehren in der Klage vom 23. Dezember 2002 bestimmte materiellrechtliche Streitgegenstand dem Bundessozialversicherungsrecht an. Damit ist auch das Eintretenserfordernis der bundesrechtlichen Verfügungsgrundlage gegeben (<ref-ruling>; vgl. auch SZS 2001 S. 173).
2.3 Die übrigen formellen Voraussetzungen sind ebenfalls erfüllt (vgl. zur Beschwerdelegitimation der Helsana im Besonderen Art. 103 lit. a OG und <ref-ruling> f. Erw. 4).
2.4 Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist somit einzutreten.
2.4 Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist somit einzutreten.
3. Während der Rechtshängigkeit der Klage ist am 1. Januar 2003 das Bundesgesetz vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) in Kraft getreten.
3.1.1 Dieses Gesetz koordiniert das Sozialversicherungsrecht des Bundes, indem es u.a. ein einheitliches Sozialversicherungsverfahren festlegt und die Rechtspflege regelt (Art. 1 Ingress und lit. b ATSG).
Die verfahrensrechtlichen Vorschriften finden sich in den <ref-law>. Es gilt, soweit vorliegend von Bedeutung, folgende Regelung: Über Leistungen, Forderungen und Anordnungen, die erheblich sind oder mit denen die betroffene Person nicht einverstanden ist, hat der Versicherungsträger schriftlich Verfügungen zu erlassen (<ref-law>). Gegen Verfügungen kann innerhalb von 30 Tagen bei der verfügenden Stelle Einsprache erhoben werden (Art. 52 Abs. 1 erster Teilsatz ATSG). In den Artikeln 27-54 oder in den Einzelgesetzen nicht abschliessend geregelte Verfahrensbereiche bestimmen sich nach dem Verwaltungsverfahrensgesetz vom 20. Dezember 1968 (<ref-law>).
3.1.2 Die Bestimmungen dieses Gesetzes sind auf die bundesgesetzlich geregelten Sozialversicherungen anwendbar, wenn und soweit die einzelnen Sozialversicherungsgesetze es vorsehen (<ref-law>).
Nach <ref-law> in der ab 1. Januar 2003 geltenden Fassung sind die Bestimmungen des ATSG auf die Krankenversicherung anwendbar, soweit das vorliegende Gesetz nicht ausdrücklich eine Abweichung vorsieht. Sie finden keine Anwendung in den in Absatz 2 dieser Vorschrift genannten Bereichen.
3.2 Nach der Rechtsprechung sind neue Verfahrensvorschriften vorbehältlich anders lautender Übergangsbestimmungen in der Regel mit dem Tag des In-Kraft-Tretens sofort und in vollem Umfang anwendbar. Dieser intertemporalrechtliche Grundsatz kommt dort nicht zur Anwendung, wo hinsichtlich des verfahrensrechtlichen Systems zwischen altem und neuem Recht keine Kontinuität besteht und mit dem neuen Recht eine grundlegend andere Verfahrensordnung geschaffen worden ist (noch nicht publiziertes Urteil M. vom 23. Oktober 2003 [H 69/03] Erw. 3.2, <ref-ruling> Erw. 2.2 mit Hinweisen).
Der Allgemeine Teil des Sozialversicherungsrechts, soweit hier von Bedeutung, enthält lediglich eine übergangsrechtliche Regelung formeller Natur. Nach <ref-law> haben die Kantone ihre Bestimmungen über die Rechtspflege diesem Gesetz innerhalb von fünf Jahren nach seinem Inkrafttreten anzupassen; bis dahin gelten die bisherigen kantonalen Vorschriften.
Der Allgemeine Teil des Sozialversicherungsrechts, soweit hier von Bedeutung, enthält lediglich eine übergangsrechtliche Regelung formeller Natur. Nach <ref-law> haben die Kantone ihre Bestimmungen über die Rechtspflege diesem Gesetz innerhalb von fünf Jahren nach seinem Inkrafttreten anzupassen; bis dahin gelten die bisherigen kantonalen Vorschriften.
4. Es stellt sich die Frage, ob unter dem ATSG von Bundesrechts wegen die Versicherer Ansprüche gegen einen Kanton aufgrund von Art. 41 Abs. 3 erster Satz KVG direkt mit Klage bei einer allenfalls vom kantonalen Recht zu bezeichnenden Gerichtsbehörde geltend zu machen haben. Verhielte es sich so, könnte der angefochtene Entscheid vom 26. März 2003 nur bestätigt werden, wenn das Nichteintreten auf die Eingabe vom 23. Dezember 2002 mit der Begründung, es fehle an einer nach altem Recht erforderlichen anfechtbaren Verfügung, nicht überspitzt formalistisch wäre.
4. Es stellt sich die Frage, ob unter dem ATSG von Bundesrechts wegen die Versicherer Ansprüche gegen einen Kanton aufgrund von Art. 41 Abs. 3 erster Satz KVG direkt mit Klage bei einer allenfalls vom kantonalen Recht zu bezeichnenden Gerichtsbehörde geltend zu machen haben. Verhielte es sich so, könnte der angefochtene Entscheid vom 26. März 2003 nur bestätigt werden, wenn das Nichteintreten auf die Eingabe vom 23. Dezember 2002 mit der Begründung, es fehle an einer nach altem Recht erforderlichen anfechtbaren Verfügung, nicht überspitzt formalistisch wäre.
5. 5.1 Gemäss <ref-law> sind unter anderem Streitigkeiten der Versicherer unter sich (Art. 87; lit. d) sowie das Verfahren vor dem kantonalen Schiedsgericht (Art. 89; lit. e) vom Anwendungsbereich des ATSG ausgenommen. Streitigkeiten zwischen Versicherern und Kantonen betreffend die Differenzzahlungspflicht des Gemeinwesens nach <ref-law> sind nicht als Ausnahmen erwähnt.
Die Aufzählung in <ref-law> ist nicht abschliessend. Es gibt an anderen Stellen im Krankenversicherungsgesetz weitere ausdrücklich vom Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts abweichende Vorschriften (vgl. Gebhard Eugster, ATSG und Krankenversicherung: Streifzug durch Art. 1-55 ATSG, in: SZS 2003 S. 215). Hiezu zählen nicht Art. 41 Abs. 3 erster und dritter Satz KVG. Diese Bestimmungen haben durch das ATSG keine Änderung erfahren.
5.2 Im Bericht der Kommission des Nationalrates für soziale Sicherheit und Gesundheit vom 26. März 1999 «Parlamentarische Initiative Sozialversicherungsrecht» (BBl 1999 4523 ff.) wird zu <ref-law> ausgeführt, das ATSG sei primär auf das Verhältnis Versicherte-Versicherer zugeschnitten. Es sollten daher diejenigen Bereiche ausgenommen werden, für welche das ATSG-Verfahren nicht geeignet sei (BBl 1999 4673). Die von der Kommission vorgeschlagene Fassung von <ref-law> passierte die parlamentarische Beratung diskussionslos (Amtl. Bull. 1999 N 1252, 2000 S 189 und N 652) und wurde unverändert ins Gesetz übernommen.
5.3 <ref-law> nimmt Streitigkeiten der Versicherer unter sich lediglich in Bezug auf <ref-law> vom Anwendungsbereich des ATSG aus. Diese Bestimmung in der ab 1. Januar 2003 geltenden Fassung regelt die Frage der örtlichen Zuständigkeit. Danach haben die Versicherer bei Streitigkeiten unter sich das Versicherungsgericht desjenigen Kantons anzurufen, in dem der beklagte Versicherer seinen Sitz hat.
5.3.1 Nach der bisherigen Praxis hatten die Krankenversicherer keine Befugnis zum Erlass von Verfügungen gegenüber einem anderen Krankenversicherer (vgl. <ref-ruling> Erw. 1a sowie Urteil I. vom 23. November 2001 [U 177/01] Erw. 2a im Verhältnis Unfallversicherer/Krankenversicherer). Bei Streitigkeiten untereinander hatten sie sich direkt an das nach alt Art. 86 Abs. 3 letzter Satz KVG örtlich zuständige kantonale Versicherungsgericht zu wenden (Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR]/Soziale Sicherheit, S. 228 Rz 408).
5.3.2 Daran hat der Allgemeine Teil des Sozialversicherungsrechts nichts geändert. Im Gesetzgebungsprozess wurde das ATSG-Verfahren, welches vorgängig einer gerichtlichen Beurteilung streitiger Ansprüche oder Verpflichtungen eine Verfügung und in der Regel einen Einspracheentscheid vorsieht (Erw. 3.1.1), im Verhältnis zwischen den Versicherern als nicht geeignet bezeichnet (Erw. 5.2). Sodann ist in <ref-law>, welcher im Wortlaut alt Art. 86 Abs. 3 letzter Satz KVG entspricht (vgl. BBl 1999 4684), vom beklagten Versicherer die Rede.
5.4 In <ref-ruling> Erw. 5 hat das Eidgenössische Versicherungsgericht entschieden, dass die Verfahrens- und Rechtspflegebestimmungen gemäss <ref-law> lediglich Streitigkeiten zwischen Versicherten und Versicherern bzw. Versicherern unter sich oder mit Dritten (Art. 80-87 KVG) sowie Streitigkeiten zwischen Versicherern und Leistungserbringern (<ref-law>) beschlagen. In Erw. 6.3 des Urteils S. vom 14. November 2003 (K 22/03) sodann hat es festgestellt, die Differenzzahlungspflicht nach <ref-law> verleihe den Kantonen trotz des sozialversicherungsrechtlichen Charakters der Verpflichtung (vgl. <ref-ruling> Erw. 3c) nicht den Status eines Krankenversicherers im Sinne des Gesetzes.
5.4.1 Die in <ref-law> festgeschriebene Verpflichtung des Wohnkantons der versicherten Person, einen bestimmten Teil der Kosten der ausserkantonalen Hospitalisation zu übernehmen, sofern die Dienste des betreffenden öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitals aus medizinischen Gründen beansprucht werden, ist sozialversicherungsrechtlicher Natur. Es besteht insofern kein Unterschied zur Kostenübernahmepflicht der Krankenversicherer im Rahmen dieser Bestimmung. Mit anderen Worten ist in Bezug auf die dem Spital zu vergütenden Leistungen nicht danach zu differenzieren, wer (Versicherer oder Wohnkanton) und in welchem Umfang für die Kosten der medizinisch begründeten ausserkantonalen Hospitalisation (Behandlung und Aufenthalt) aufzukommen hat (<ref-ruling> f. Erw. 3b/bb). In diesem Sinne kommt den Kantonen in Bezug auf die Differenzzahlungspflicht nach <ref-law> durchaus eine den Versicherern zumindest ähnliche Stellung zu.
5.4.2 Durch die den Kantonen in <ref-law> auferlegte Differenzzahlungspflicht werden an sich zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung gehende Kosten auf einen anderen Träger, die Kantone, verlagert. Es liegt u.a. eine sozialpolitisch motivierte Massnahme zur Kosteneindämmung im Bereich der stationären Krankenpflege vor (<ref-ruling> Erw. 3b/bb). Durch die Differenzzahlungen erfolgt ein finanzieller Ausgleich zwischen (kleineren) Kantonen, welche aus gesundheitspolitischen Gründen bestimmte stationäre Behandlungen nicht anbieten, und Kantonen mit ausgebauter Spitalversorgung. Die Verpflichtung der Kantone zur Kostenbeteiligung im Rahmen von <ref-law> weist somit Subventionscharakter auf und stellt insoweit ein versicherungsfremdes Element dar (<ref-ruling> Erw. 3b/aa). Dies kommt auch darin zum Ausdruck, dass es den Kantonen offen steht, durch interkantonale Vereinbarungen andere Abrechnungsmodi festzulegen als die in <ref-law> vorgesehene einzelfallweise Kostenbeteiligung des Wohnkantons der versicherten Person (<ref-ruling> Erw. 3b/cc).
Eine am Normzweck orientierte Betrachtungsweise lässt die Stellung der Kantone im Rahmen von <ref-law> somit qualifiziert anders erscheinen als diejenige der Versicherer. Das Gemeinwesen erbringt nicht Versicherungsleistungen im eigentlichen Sinne. Vielmehr stellen die Differenzzahlungen gewissermassen eine besondere Form interkantonalen Lastenausgleichs im Bereich des Spitalwesens dar. Bei Streitigkeiten zwischen Versicherern und Kantonen im Rahmen von Art. 41 Abs. 3 erster Satz KVG geht es im Übrigen nicht um die Rückforderung von Leistungen, auf die kein Anspruch besteht.
5.4.3 Die Kantone können somit trotz der sozialversicherungsrechtlichen Natur der Verpflichtung in Bezug auf ihre Differenzzahlungen nach Art. 41 Abs. 3 erster Satz KVG nicht als Versicherer im Sinne des Krankenversicherungsgesetzes (<ref-law>) gelten. Streitigkeiten zwischen Versicherern und Kantonen im Rahmen dieser Gesetzesbestimmung lassen sich folgerichtig nicht unter <ref-law> subsumieren.
5.5 Aus dem Gesagten ergibt sich, dass auch unter dem ATSG das Bundesrecht nicht zwingend vorschreibt, dass die Versicherer Ansprüche gegen einen Kanton aufgrund von Art. 41 Abs. 3 erster Satz KVG direkt mit Klage bei einer allenfalls vom kantonalen Recht zu bezeichnenden Gerichtsbehörde geltend zu machen haben. Die in Erw. 4 aufgeworfene Frage ist somit zu verneinen. Damit kann offen bleiben, ob die verfahrensrechtliche Ordnung des Allgemeinen Teils des Sozialversicherungsrechts vorliegend anwendbar ist.
5.5 Aus dem Gesagten ergibt sich, dass auch unter dem ATSG das Bundesrecht nicht zwingend vorschreibt, dass die Versicherer Ansprüche gegen einen Kanton aufgrund von Art. 41 Abs. 3 erster Satz KVG direkt mit Klage bei einer allenfalls vom kantonalen Recht zu bezeichnenden Gerichtsbehörde geltend zu machen haben. Die in Erw. 4 aufgeworfene Frage ist somit zu verneinen. Damit kann offen bleiben, ob die verfahrensrechtliche Ordnung des Allgemeinen Teils des Sozialversicherungsrechts vorliegend anwendbar ist.
6. 6.1 Hinsichtlich der nach In-Kraft-Treten des ATSG anwendbaren Verfahrensordnung auf kantonaler Ebene bei Streitigkeiten zwischen Krankenversicherern und Kantonen betreffend die Differenzzahlungspflicht des Gemeinwesens nach Art. 41 Abs. 3 erster Satz KVG gilt Folgendes: Entweder sind die Verfahrensvorschriften des ATSG anwendbar oder es kommt kraft <ref-law> das Verwaltungsverfahrensgesetz (VwVG) zum Zuge, oder es ist weiterhin nach <ref-ruling> Erw. 5 kantonales Recht massgebend. Allen Regelungen ist bezogen auf den Kanton Thurgau gemeinsam, dass einer allfälligen gerichtlichen Auseinandersetzung eine Verfügung im Sinne von <ref-law> vorauszugehen hat. Der direkte Weg an das kantonale Verwaltungsgericht steht nicht offen.
6.2 Es ist daher von Bundesrechts wegen nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz auf die Klage der Helsana vom 23. Dezember 2002 gegen den Kanton Thurgau mangels einer anfechtbaren Verfügung nicht eingetreten ist (vgl. <ref-ruling> Erw. 1a).
In diesem Zusammenhang kann offen bleiben, ob das kantonale Recht in Bezug auf ambulante Behandlungen aus medizinischen Gründen in ausserkantonalen öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitälern nach <ref-law> lückenhaft ist, wie in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vorgebracht wird. In § 14 Abs. 1 der regierungsrätlichen Verordnung vom 19. Dezember 1995 zum Gesetz über die Krankenversicherung ist die Rede von ausserkantonalen Hospitalisationen. Darunter fallen in erster Linie die stationären und teilstationären Behandlungen einschliesslich Aufenthalt in einem Spital. Dabei dürfte es sich um den Regelfall im Anwendungsbereich des <ref-law> handeln. In <ref-ruling> ging es denn auch materiell um Fragen, welche den stationären Fall betrafen. Dass auch ambulante Behandlungen unter den Begriff der Dienste im Sinne von <ref-law> fallen, wurde erst später mit <ref-ruling> entschieden. Der thurgauische Gesetzgeber hat die Regelung nicht an diese Rechtsprechung angepasst und den Begriff Hospitalisationen nicht ersetzt. Bei dieser Rechtslage durfte die Vorinstanz, ohne Bundesrecht zu verletzen oder sogar in Willkür zu verfallen, § 14 Abs. 1 der regierungsrätlichen Verordnung vom 19. Dezember 1995 zum Gesetz über die Krankenversicherung auch auf Tatbestände der Beanspruchung der ambulanten Dienste eines ausserkantonalen öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitals aus medizinischen Gründen anwenden.
6.3 Bei diesem Ergebnis braucht insbesondere unter intertemporalrechtlichem Gesichtswinkel an sich nicht näher geprüft zu werden, welche der drei in Erw. 6.1 erwähnten Verfahrensordnungen bei Streitigkeiten zwischen Krankenversicherern und Kantonen nach Art. 41 Abs. 3 erster Satz KVG unter dem ATSG anwendbar ist. Es erscheint indessen angezeigt, diesen Punkt bereits hier endgültig zu klären.
6.3.1 Wie in Erw. 5.2 dargelegt, will das ATSG-Verfahren (<ref-law>) in erster Linie im Verhältnis Versicherer-Versicherte angewendet sein. Die Kantone sind indessen in Bezug auf ihre Verpflichtung zu Differenzzahlungen nach Art. 41 Abs. 3 erster Satz KVG nicht Versicherer im krankenversicherungsrechtlichen Sinne (Erw. 5.4.3). Ebenfalls können sie nicht als Versicherungsträger oder ihnen gleichgestellte Durchführungsorgane nach <ref-law> bezeichnet werden. Schliesslich ist zu beachten, dass Art. 41 Abs. 3 dritter Satz KVG dem Bundesrat die Befugnis gibt, die Einzelheiten zu regeln. Darunter fallen auch verfahrensrechtliche Fragen (Erw. 1.1.2). Diese Kompetenznorm ist durch das ATSG nicht geändert oder aufgehoben worden.
6.3.2 Aus den vorstehenden Gründen ist auch nach In-Kraft-Treten des Allgemeinen Teils des Sozialversicherungsrechts die Regelung der Zuständigkeit und des Verfahrens zur Geltendmachung und allenfalls gerichtlichen Durchsetzung des Anspruchs auf Differenzzahlung nach Art. 41 Abs. 3 erster Satz KVG auf kantonaler Ebene weiterhin grundsätzlich Sache der Kantone (<ref-ruling> Erw. 5).
6.3.2 Aus den vorstehenden Gründen ist auch nach In-Kraft-Treten des Allgemeinen Teils des Sozialversicherungsrechts die Regelung der Zuständigkeit und des Verfahrens zur Geltendmachung und allenfalls gerichtlichen Durchsetzung des Anspruchs auf Differenzzahlung nach Art. 41 Abs. 3 erster Satz KVG auf kantonaler Ebene weiterhin grundsätzlich Sache der Kantone (<ref-ruling> Erw. 5).
7. 7.1 Die Helsana macht geltend, das Erfordernis der Verfügung erschwere übermässig oder vereitele unter den gegebenen Umständen sogar die Durchsetzung des bundesrechtlichen Differenzzahlungsanspruchs. Sie habe bis zu den Urteilen H. vom 10. Dezember 2001 (<ref-ruling>) sowie R. und K. vom 21. Dezember 2001 (SVR 2002 KV Nr. 34 S. 123 und K 204/98) sämtliche Rechnungen ihrer Versicherten betreffend medizinisch indizierte ausserkantonale ambulante Behandlungen und Untersuchungen in öffentlichen und öffentlich subventionierten Spitälern inklusive den kantonalen Differenzbetrag gemäss <ref-law> vollumfänglich bezahlt. Demzufolge stehe ihr nach <ref-ruling> Erw. 4 ein eigenständiger Rückerstattungsanspruch gegenüber dem jeweiligen Wohnkanton des oder Versicherten zu. Sie habe im Verlauf des Jahres 2002 die Kantone, worunter den Kanton Thurgau, wegen der Abwicklung der Rückforderungsfälle kontaktiert. Ein entsprechendes Schreiben vom 19. November 2002 sei indessen vom Departement für Finanzen und Soziales abschlägig beantwortet worden. Ebenfalls habe die Schweizerische Sanitätsdirektorenkonferenz in einem Rundschreiben vom 3. Dezember 2002 an die kantonalen Gesundheitsdepartemente sich dahingehend geäussert, auf Rückforderungen der Helsana nicht einzutreten.
Die klageweise geltend gemachten Ansprüche gegen den Kanton Thurgau umfassten sodann sämtliche Rückforderungen für medizinisch indizierte ausserkantonale ambulante Behandlungen und Untersuchungen in öffentlichen und öffentlich subventionierten Spitälern der vergangenen fünf Jahre. Dabei handle es sich nicht um ein oder zwei Fälle, sondern um eine Vielzahl, deren Ermittlung erst am 7. Mai 2003 habe abgeschlossen werden können. Die Geltendmachung der Forderungen direkt mittels gerichtlicher Klage habe den Vorteil, dass der Anspruch nicht beziffert werden müsse und das Rechtsmittel auf jeden Fall verwirkungsfristwahrende Wirkung habe. Zudem könnten sinngemäss lediglich auf diese Weise dem Kanton die zahlreichen «Anspruchsdurchsetzungsverhinderungsmöglichkeiten» genommen werden.
Aufgrund des Gesagten sei schliesslich zu erwarten, dass die Helsana in der verwaltungsinternen Verwaltungsrechtspflege des Kantons chancenlos ist. Da überdies Zuständigkeit und Verfahrensweg betreffend vollständiger Anspruchswahrung von gesamtschweizerischer Bedeutung seien, mache es Sinn, dass das Eidgenössische Versicherungsgericht sowohl in materieller wie auch in formeller Hinsicht über das Rückforderungsbegehren direkt entscheide.
Aufgrund des Gesagten sei schliesslich zu erwarten, dass die Helsana in der verwaltungsinternen Verwaltungsrechtspflege des Kantons chancenlos ist. Da überdies Zuständigkeit und Verfahrensweg betreffend vollständiger Anspruchswahrung von gesamtschweizerischer Bedeutung seien, mache es Sinn, dass das Eidgenössische Versicherungsgericht sowohl in materieller wie auch in formeller Hinsicht über das Rückforderungsbegehren direkt entscheide.
7.2 7.2.1 Das verfahrensmässige Vorgehen der Helsana, ihre Forderungen gegen den Kanton Thurgau direkt mit Klage gerichtlich geltend zu machen, ist unzulässig. Etwas anderes behauptet, zumindest im Grundsatz, zu Recht auch der Krankenversicherer nicht. Die Rechtsuchenden haben nicht die Wahl zwischen verschiedenen Verfahren, um ihre Ansprüche geltend zu machen und durchzusetzen. Sie haben den Weg zu beschreiten, den das Gesetz vorschreibt (vgl. auch Alfred Kölz/Jürg Bosshart/Martin Röhl, Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 2. Aufl., Rz 8 der Vorbemerkungen zu §§ 41-71 VRG). Unklarheiten rechtlicher Natur, insbesondere offene Fragen in Bezug auf die Verjährung oder Verwirkung der Ansprüche sind unbeachtlich. Sind, wie vorliegend, das Bestehen einer Forderung und deren Höhe durch eine Verfügung festzustellen und festzulegen, kann diese Verfahrensstufe nicht einfach übersprungen und direkt die (im Rahmen der nachträglichen Verwaltungsrechtspflege zuständige) Gerichtsbehörde angerufen werden.
Im Übrigen ist nicht einsehbar, weshalb der Krankenversicherer nicht sofort und spätestens nach Kenntnis von den Urteilen R. und K. vom 21. Dezember 2001 (K 203/98 und K 204/98) seine Forderungen aus <ref-law> gegenüber dem Kanton Thurgau vorsorglich beim zuständigen Departement für Finanzen und Soziales geltend machte. Ein solches Vorgehen drängte sich umso mehr auf, als und soweit in Bezug auf die Frage der Verjährung oder Verwirkung der Ansprüche Unklarheit bestand. An der Geltendmachung der Forderungen aus <ref-law> gegenüber dem Kanton Thurgau auf dem hiefür vorgesehen Weg hinderte die Helsana auch nicht die auf eine pauschale Lösung gerichteten Verhandlungen der santésuisse mit der Schweizerischen Sanitätsdirektorenkonferenz. Zum einen musste ebenfalls mit dem Scheitern dieser Bemühungen gerechnet werden. Zum andern ist nicht auszuschliessen, dass der administrative Aufwand und verfahrensmässige Engpässe als Folge der nicht zu vernachlässigenden Zahl von Rückerstattungsanträgen sich unter Umständen positiv auf die laufenden Verhandlungen ausgewirkt hätten.
7.2.2 Dass das thurgauische Verfahren zur Geltendmachung und allenfalls gerichtlichen Durchsetzung von Ansprüchen aus Art. 41 Abs. 3 erster Satz KVG gegen den Kanton als solches den in <ref-ruling> Erw. 5 gestellten bundesrechtlichen Minimalanforderungen nicht genügte, wird zu Recht nicht vorgebracht. Der Weg über die Verfügung hat im Übrigen den Vorteil, dass der Gesuchsteller das Forderungsbegehren grundsätzlich nicht genau zu beziffern hat.
7.2.3 Ob durch das Kostengutsprachegesuch oder erst durch den Entscheid des Kantonsarztes eine laufende Verjährungsfrist unterbrochen oder der Eintritt der Verwirkung gehemmt wird, kann offen bleiben (vgl. Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, S. 269 Rz 13 f. zu Art. 24 und S. 337 Rz 5 zu Art. 29). Ebenfalls braucht hier nicht entschieden zu werden, welche Bedeutung der Klage vom 23. Dezember 2002 für die Frage des Erlöschens der Ansprüche infolge Zeitablaufs zukommt (vgl. immerhin zu Art. 23 KUVG [Rückforderung wegen unwirtschaftlicher Behandlung] RKUV 2003 Nr. KV 250 S. 218 ff. Erw. 2.2). Darüber wird der Kantonsarzt resp. das Departement für Finanzen und Soziales als Rekursinstanz zuerst zu befinden haben.
7.3 Nach dem Gesagten ist es bundesrechtlich nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz mit der Begründung, es fehle an einer anfechtbarer Verfügung, nicht auf die Klage vom 23. Dezember 2002 eingetreten ist. Daraus ergibt sich auch die Unzulässigkeit des Hauptbegehrens (Zusprechung eines noch zu beziffernden Geldbetrages; vgl. <ref-ruling> Erw. 2a und SVR 1997 UV Nr. 66 S. 226 Erw. 1a sowie auch <ref-ruling> e contrario).
7.3 Nach dem Gesagten ist es bundesrechtlich nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz mit der Begründung, es fehle an einer anfechtbarer Verfügung, nicht auf die Klage vom 23. Dezember 2002 eingetreten ist. Daraus ergibt sich auch die Unzulässigkeit des Hauptbegehrens (Zusprechung eines noch zu beziffernden Geldbetrages; vgl. <ref-ruling> Erw. 2a und SVR 1997 UV Nr. 66 S. 226 Erw. 1a sowie auch <ref-ruling> e contrario).
8. Das Subeventualbegehren (Weiterleitung der Eingabe vom 23. Dezember 2002 an die zuständige kantonale Stelle [Kantonsarzt] zwecks Weiterbehandlung) wurde schon im kantonalen Verfahren gestellt. Die Vorinstanz erachtete diese prozessuale Handlung wegen Fehlens jeglicher konkreter Angaben nicht als angezeigt.
Es lässt sich fragen, ob der angefochtene Entscheid in Bezug auf die abgelehnte Weiterleitung der Sache an den Kantonsarzt überhaupt eine Verfügung im Sinne von Art. 97 Abs. 1 OG und <ref-law> darstellt (vgl. <ref-ruling> f. Erw. 2a; vgl. auch <ref-ruling>). Indes, selbst wenn das bejaht wird, ist im Verhalten der Vorinstanz keine Bundesrechtswidrigkeit zu erblicken. Eine solche wird denn auch nicht gerügt. Insbesondere wird die Frage, ob der Eingabe vom 23. Dezember 2002 (verjährungs- oder verwirkungs-)fristwahrende Bedeutung zukommt, von der Nichtweiterleitung an die zuständige kantonale Stelle nicht berührt. Es besteht daher auch für das Eidgenössische Versicherungsgericht kein Anlass, die Sache an den Kantonsarzt zu überweisen. Art. 107 Abs. 1 OG kommt auch nicht sinngemäss zum Zuge.
Es lässt sich fragen, ob der angefochtene Entscheid in Bezug auf die abgelehnte Weiterleitung der Sache an den Kantonsarzt überhaupt eine Verfügung im Sinne von Art. 97 Abs. 1 OG und <ref-law> darstellt (vgl. <ref-ruling> f. Erw. 2a; vgl. auch <ref-ruling>). Indes, selbst wenn das bejaht wird, ist im Verhalten der Vorinstanz keine Bundesrechtswidrigkeit zu erblicken. Eine solche wird denn auch nicht gerügt. Insbesondere wird die Frage, ob der Eingabe vom 23. Dezember 2002 (verjährungs- oder verwirkungs-)fristwahrende Bedeutung zukommt, von der Nichtweiterleitung an die zuständige kantonale Stelle nicht berührt. Es besteht daher auch für das Eidgenössische Versicherungsgericht kein Anlass, die Sache an den Kantonsarzt zu überweisen. Art. 107 Abs. 1 OG kommt auch nicht sinngemäss zum Zuge.
9. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario; <ref-ruling> Erw. 9). Dem Prozessausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der Helsana aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG in Verbindung mit Art. 135 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, unter Anrechnung des von ihr geleisteten Kostenvorschusses von Fr. 500.-.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, unter Anrechnung des von ihr geleisteten Kostenvorschusses von Fr. 500.-.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zugestellt.
Luzern, 11. Februar 2004
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der I. Kammer: Der Gerichtsschreiber: