Faits :
Faits :
A. Le 21 mars 1996, le Conseil général de la Ville Y._ a voté un crédit de l'ordre de 5'000'000 fr. pour la rénovation complète d'un collège. Les travaux d'architecture, ainsi que la direction des travaux, ont été confiés à la Société A._ SA, dont X._, architecte, était l'administrateur et le salarié. Ce dernier s'est occupé personnellement de ce contrat.
A._ SA a été dissoute, puis radiée du registre du commerce le 15 janvier 1999, avant l'inscription d'une nouvelle raison sociale, B._ SA. Le but social de A._ SA incluait l'accomplissement de mandats d'architecture et d'urbanisme, alors que celui de B._ SA ne comportait que la gestion et l'administration d'immeubles. X._ a assuré la Ville qu'il assumerait la fin des travaux à titre personnel. En mars 1999, il a procédé, avec le concours de l'architecte communal, à une analyse de la situation financière, qui s'est révélée déficitaire, ce qui a nécessité des crédits supplémentaires pour achever l'ouvrage. Le 25 juin 1999, l'architecte communal a réclamé à X._ l'établissement immédiat de certains décomptes, déjà exigés lors d'une rencontre du 4 juin 1999. Après une nouvelle réclamation du 17 septembre 1999 et une mise en demeure du 28 janvier 2000, le Conseil communal a résilié le mandat de X._ le 25 février 2000. La Ville avait alors payé à titre d'honoraires à A._ SA la somme de 351'450 fr. sur les 385'000 fr. initialement prévus.
Le 9 avril 2001, la Ville a fait notifier à X._ un commandement de payer la somme de 200'000 fr. au titre des dommages-intérêts pour inexécution du contrat d'architecte, qui a été frappé d'opposition.
Le 9 avril 2001, la Ville a fait notifier à X._ un commandement de payer la somme de 200'000 fr. au titre des dommages-intérêts pour inexécution du contrat d'architecte, qui a été frappé d'opposition.
B. B.a Le 15 août 2001, la Ville Y._ (la demanderesse et intimée) a introduit auprès du Tribunal cantonal neuchâtelois une action visant à la réduction des honoraires de X._ (le défendeur et recourant) au montant de 351'450 fr. déjà payé, à la condamnation de celui-ci à lui verser la somme de 100'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 25 février 2000 à titre de dommages-intérêts et au prononcé de la mainlevée définitive de l'opposition faite au commandement de payer.
Par jugement du 18 novembre 2004, la Ire Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois a condamné le défendeur à payer à la demanderesse la somme de 68'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 25 février 2000. La mainlevée définitive de l'opposition faite au commandement de payer susmentionné a été prononcée à due concurrence.
B.b Statuant sur recours en réforme interjeté par le défendeur à l'encontre de ce jugement, le Tribunal fédéral a considéré que les principes de calcul du dommage n'avaient pas été établis de manière conforme au droit fédéral. Le recours a été partiellement admis et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle procède à « la détermination du coût horaire total des prestations exécutées par le service d'architecture de la Commune qui, multiplié par quatre cent nonante-cinq, donnera le montant de l'indemnisation due à cette dernière ». Le recours de droit public déposé parallèlement au recours en réforme a été rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Par ordonnance sur preuves du 1er février 2006, le juge instructeur a écarté la requête du défendeur tendant à ce que le nouveau jugement soit rendu sans aucune administration des preuves et a admis celles proposées par la demanderesse.
Le 15 mars 2007, la cour cantonale a rendu un nouveau jugement, au terme duquel elle a condamné le défendeur à payer à la demanderesse le montant de 42'900 fr., avec intérêts à 5% l'an dès le 25 février 2000. Elle a également levé l'opposition faite par le défendeur au commandement de payer à lui notifié.
Se référant au tarif-horaire de l'année 2000, les juges cantonaux ont calculé le coût des 495 heures de travail effectuées par les trois personnes du service d'architecture de la demanderesse en charge du dossier. L'autorité cantonale a ainsi obtenu 30'281 fr. 60 pour les 320 heures réalisées par l'architecte dirigeant, 6'346 fr. 50 pour les 150 heures réalisées par le directeur des travaux et 1'089 fr. 25 pour les 25 heures réalisées par l'adjointe à la direction, soit un total de 37'717 fr. 35. A cette somme ont été ajoutés les cotisations aux assurances sociales - AVS, AI, APG, assurance-chômage et prévoyance professionnelle -, à raison de 6'223 fr. 36 (16,5% de 37'717. 35), ainsi qu'un montant forfaitaire de 754 fr. 34 (2% de 37'717. 35) pour les frais de téléphone, de télécopie ou de courrier. Sur les 44'695 fr. 05 (37'717. 35 + 6'223. 36 + 754. 34) obtenus, la cour cantonale a encore procédé à un abattement de 4%, conformément aux normes SIA, puisque le temps consacré au décompte final, inclus dans les 495 heures de travail effectuées par les fonctionnaires, ne pouvait être formellement établi qu'après la fin des travaux et ne représentait donc pas un « travail supplémentaire » consécutif à la mauvaise exécution du défendeur. Compte tenu de ces éléments, le montant de l'indemnisation due à la demanderesse a été arrêté à la somme - arrondie - de 42'900 francs.
Se référant au tarif-horaire de l'année 2000, les juges cantonaux ont calculé le coût des 495 heures de travail effectuées par les trois personnes du service d'architecture de la demanderesse en charge du dossier. L'autorité cantonale a ainsi obtenu 30'281 fr. 60 pour les 320 heures réalisées par l'architecte dirigeant, 6'346 fr. 50 pour les 150 heures réalisées par le directeur des travaux et 1'089 fr. 25 pour les 25 heures réalisées par l'adjointe à la direction, soit un total de 37'717 fr. 35. A cette somme ont été ajoutés les cotisations aux assurances sociales - AVS, AI, APG, assurance-chômage et prévoyance professionnelle -, à raison de 6'223 fr. 36 (16,5% de 37'717. 35), ainsi qu'un montant forfaitaire de 754 fr. 34 (2% de 37'717. 35) pour les frais de téléphone, de télécopie ou de courrier. Sur les 44'695 fr. 05 (37'717. 35 + 6'223. 36 + 754. 34) obtenus, la cour cantonale a encore procédé à un abattement de 4%, conformément aux normes SIA, puisque le temps consacré au décompte final, inclus dans les 495 heures de travail effectuées par les fonctionnaires, ne pouvait être formellement établi qu'après la fin des travaux et ne représentait donc pas un « travail supplémentaire » consécutif à la mauvaise exécution du défendeur. Compte tenu de ces éléments, le montant de l'indemnisation due à la demanderesse a été arrêté à la somme - arrondie - de 42'900 francs.
C. Le défendeur exerce un recours en matière civile contre le prononcé du 15 mars 2007. Il conclut à l'annulation et à la réforme de l'arrêt attaqué, en ce sens que la demanderesse soit déboutée de toutes ses conclusions. Subsidiairement, il demande le renvoi du dossier à l'instance cantonale. Le défendeur fait valoir une violation du droit fédéral (<ref-law>), ainsi qu'une application arbitraire du droit de procédure cantonal (art. 223 et 330 CPC/NE).
La demanderesse s'est déterminée, en concluant au rejet du recours et à la confirmation du jugement cantonal. Quant à l'autorité cantonale, elle s'est référée à son jugement.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Comme la décision attaquée a été rendue après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2007 (RO 2006, 1242), de la loi fédérale sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), le recours est régi par le nouveau droit (<ref-law>).
1. Comme la décision attaquée a été rendue après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2007 (RO 2006, 1242), de la loi fédérale sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), le recours est régi par le nouveau droit (<ref-law>).
2. Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions (<ref-law>) et dirigé contre un jugement final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 francs (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
2. Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions (<ref-law>) et dirigé contre un jugement final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 francs (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
3. 3.1 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui. Il ne peut pas entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>).
3.2 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (cf. <ref-ruling> consid. 1.4). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
3.3 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (<ref-law>).
3.3 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (<ref-law>).
4. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law> en ayant admis la demande de l'intimée, alors qu'elle était insuffisamment motivée en fait. Le défaut d'allégation dont souffrait l'acte devait conduire à son rejet.
4.1 A la suite de l'admission partielle du recours en réforme interjeté par le recourant contre le jugement du 18 novembre 2004, la cause a été renvoyée à la cour cantonale, « pour que cette dernière procède à la détermination du coût horaire total des prestations exécutées par le service d'architecte de la Commune qui, multiplié par quatre cent nonante-cinq, donnera le montant de l'indemnisation due à cette dernière ». La juridiction cantonale a estimé que les circonstances alléguées par l'intimée étaient propres à établir l'existence du dommage et sa quotité. C'est ainsi qu'après avoir administré les preuves complémentaires, elle a arrêté le montant dû par le recourant à l'intimée à titre de dommages-intérêts.
Le recourant prétend qu'aucun allégué de la demande ne permet d'établir le montant du préjudice sur la base du critère de calcul du dommage à prendre en considération, soit le coût des frais effectifs encourus par l'intimée. Sur ce point, il indique que le nombre d'heures effectuées par le service d'architecture n'est mentionné que dans la pièce littérale no 22. Le recourant ajoute qu'il n'a pas déposé de réponse et qu'ainsi, les faits de la demande étaient tous contestés. Dans cette mesure, l'intimée devait détailler précisément les faits sur lesquels elle fondait son droit. Toujours sous le couvert de l'<ref-law>, le recourant reproche à la cour cantonale de n'avoir pas considéré le montant du traitement des employés comme un fait générateur et de l'avoir ainsi privé de la faculté d'y opposer quelques faits dirimants que ce soit.
4.2 C'est le droit matériel fédéral qui détermine dans quelle mesure il faut préciser les faits invoqués pour qu'on puisse leur appliquer les dispositions déterminantes de ce droit (<ref-ruling> consid. 2b; <ref-ruling> consid. 3e). Pour que soit satisfaite l'exigence de la motivation suffisante (Substanzierungspflicht), les faits, allégués en la forme prescrite et en temps utile selon le droit de procédure cantonal applicable, doivent être suffisamment précis pour, d'une part, que la partie adverse puisse les contester en connaissance de cause et, le cas échéant, administrer la preuve contraire et pour, d'autre part, que le juge puisse statuer sur la prétention litigieuse, fondée sur le droit fédéral (<ref-ruling> consid. 2b et les références; au sujet de cette notion de charge de la motivation en fait, cf. Fabienne Hohl, Procédure civile, tome I, n. 795 ss). Aussi le droit fédéral est-il violé lorsque l'autorité cantonale admet à tort une demande dont la motivation en fait est insuffisante au regard de la norme de droit matériel fédéral invoquée ou si elle rejette une demande bien qu'elle soit suffisamment motivée en fait.
4.3 A l'appui de l'action intentée contre le recourant, l'intimée a invoqué l'inexécution d'une obligation contractuelle. Sur la base de l'<ref-law>, applicable en cas de révocation du mandat selon l'<ref-law>, elle a renoncé à demander l'exécution des obligations contractuelles et réclamé des dommages-intérêts pour cause d'inexécution (art. 107 al. 2, 2e hypothèse, CO).
Le fardeau de la preuve du dommage causé incombe au créancier (<ref-law> par renvoi de l'<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 2b). Il revient donc à celui-ci d'alléguer et, en cas de contestation, de prouver les circonstances de fait pertinentes à cet égard, soit l'existence du dommage et sa quotité. Le lésé doit alléguer et établir toutes les circonstances qui parlent pour la survenance d'un dommage et permettent de l'évaluer, dans la mesure où cela est possible et où on peut l'attendre de lui (<ref-ruling> consid. 3a).
Les allégués de fait de la demande indiquent notamment que « le Service d'architecture a fait le décompte final qui était réclamé au défendeur depuis longtemps » (all. 21), que « les prestations inexécutées par le défendeur et effectuées par le Service d'architecture de la demanderesse représentent 29'400.- frs pour la direction et l'achèvement des travaux et 70'850.- frs pour l'élaboration du décompte final et l'examen de la situation financière, soit un montant arrondi de 100'000.- frs » (all. 23), et que « le Service d'architecture de la demanderesse a donc effectué des prestations d'architecte pour un montant arrondi de 100'000 frs conséquemment à l'inexécution du défendeur de son mandat » (all. 24).
Les allégations de l'intimée désignent la nature des prestations effectuées par ses fonctionnaires, ainsi que leur coût. Pour ce qui est de la durée des prestations de remplacement, il ressort du jugement du 18 novembre 2004 que les employés de l'intimée ont effectué 495 heures de travail pour pallier à l'inexécution du mandat par le recourant. Dans le cadre des recours de droit public et en réforme déposés contre ce prononcé, cette constatation de fait n'a pas été jugée arbitraire et, encore moins, contraire au droit fédéral. Il n'y a donc pas lieu d'y revenir dans le présent recours.
Sur la base des allégués de la demande, les juges cantonaux ont pu identifier la prétention en dommages-intérêts et statuer sur la demande. A la lecture de ces allégués, il est explicite qu'à la suite de la demeure du recourant, l'intimée a dû faire face au travail non exécuté et demander à certains de ses fonctionnaires de diriger et achever les travaux, d'élaborer le décompte final et d'examiner la situation financière, et que ces tâches de remplacement ont nécessité 495 heures de travail. Ces heures ont occasionné un coût, lequel a été dûment chiffré. Indépendamment du mode de calcul appliqué par l'intimée pour chiffrer ce coût, il ne pouvait échapper au recourant que dommage et coût des prestations étaient liés et que le coût des 495 heures effectuées correspondait à la charge alléguée de 100'000 francs. Sur cette base et quel que soit le mode de calcul du dommage - qui relève du droit (<ref-ruling> consid. 4; <ref-ruling> consid. 6.2; <ref-ruling> consid. 2.4) -, le recourant disposait de tous les éléments de fait nécessaires pour contester l'existence du dommage et sa quotité, y compris, le cas échéant, le taux horaire réclamé, qu'il était en mesure de calculer en divisant le coût total allégué par le nombre d'heures effectuées. Il était également à même de faire administrer la(es) preuve(s) contraire(s), ce qu'il s'est abstenu de faire. L'on ne saurait, par conséquent, faire grief à l'intimée de ne pas avoir formellement allégué le montant du traitement des fonctionnaires, ainsi que le montant des cotisations sociales y afférent, ces éléments étant implicitement contenus dans le fait pertinent se rapportant aux coûts des prestations effectuées par le service d'architecture de l'intimée. Au demeurant, on peine à voir quelle preuve le recourant aurait pu faire administrer pour contrer ces faits.
Dans ces circonstances, l'autorité cantonale n'a pas méconnu les exigences du droit fédéral en matière de charge de la motivation en fait et le grief tiré de la violation de l'<ref-law> est infondé.
4.4 Il convient encore d'observer que le recourant n'invoque et, encore moins, ne démontre une quelconque violation de l'<ref-law>, appliqué par l'autorité cantonale pour déterminer forfaitairement le montant des « autres frais » (téléphone, télécopie ou courrier), fixé à 2% du dommage.
4.4 Il convient encore d'observer que le recourant n'invoque et, encore moins, ne démontre une quelconque violation de l'<ref-law>, appliqué par l'autorité cantonale pour déterminer forfaitairement le montant des « autres frais » (téléphone, télécopie ou courrier), fixé à 2% du dommage.
5. Le recourant dénonce également une application arbitraire des art. 223 et 330 CPC/NE. En substance, il reproche à l'autorité cantonale d'avoir administré des moyens de preuve sur le salaire des employés communaux et sur les autres frais administratifs et comptables, alors que ces faits n'ont pas été allégués en procédure.
5.1 L'<ref-law>/NE prévoit qu'après l'administration complète des preuves, le juge peut ordonner, d'office ou sur requête, les preuves complémentaires qui lui paraissent indispensables à la manifestation de la vérité. Quant à l'<ref-law>/NE, il stipule que si le tribunal l'estime nécessaire à la manifestation de la vérité, il a la faculté d'ordonner un complément d'instruction (al. 1). Il peut notamment faire adresser de nouvelles questions aux témoins qui ont été entendus et aux experts qui ont fonctionné, et interroger à nouveau les parties (al. 2). Il peut aussi renvoyer les parties à proposer de nouveaux moyens de preuve à l'appui de tel ou tel fait invoqué en procédure (al. 3).
5.2 Dans la mesure où il a été jugé que la motivation en fait du préjudice était suffisante au regard de la norme de droit matériel applicable et donc conforme au droit fédéral, le grief du recourant tombe à faux. Il est en effet erroné de prétendre que les preuves complémentaires administrées, pour donner suite à l'injonction faite par le Tribunal fédéral, ne se fondaient sur aucun fait allégué en procédure. Au demeurant, l'administration des moyens de preuve proposés par l'intimée n'est pas contraire aux dispositions de droit cantonal susmentionnées.
5.2 Dans la mesure où il a été jugé que la motivation en fait du préjudice était suffisante au regard de la norme de droit matériel applicable et donc conforme au droit fédéral, le grief du recourant tombe à faux. Il est en effet erroné de prétendre que les preuves complémentaires administrées, pour donner suite à l'injonction faite par le Tribunal fédéral, ne se fondaient sur aucun fait allégué en procédure. Au demeurant, l'administration des moyens de preuve proposés par l'intimée n'est pas contraire aux dispositions de droit cantonal susmentionnées.
6. En conclusion, le recours ne peut qu'être rejeté.
6. En conclusion, le recours ne peut qu'être rejeté.
7. Compte tenu de l'issue du litige, le recourant, qui succombe, doit acquitter l'émolument judiciaire.
Il ne sera pas alloué de dépens à l'intimée, qui n'en a à juste titre pas requis, puisqu'elle plaide en personne (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 5b; <ref-ruling> consid. 6b).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie au mandataire du recourant, à la Ville Y._ et à la Ire Cour civile du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 4 juillet 2007
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le président: La greffière: