Sachverhalt:
A.
A.a. A._ verletzte sich am ... bei einem Sturz zuhause an der linken Hand (Diagnose: Ruptur des radialen Seitenbandes MP-Gelenk linker Daumen Distorsion PIP-Gelenk Dig. II links; Bericht Orthopädische Klinik, Orthopädie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Spital B._ vom 21. Juli 2004). Der obligatorische Unfallversicherer erbrachte die gesetzlichen Leistungen, u.a. Taggelder. Gestützt auf die Gutachten des Dr. med. C._, Chirurgie FMH, vom 21. August 2008 und der Dres. med. D._ und E._, Leitender Arzt und Oberarzt Klinik für Wiederherstellungschirurgie Spital F._, vom 30. Juli 2010 wurden die Taggeldleistungen zum 31. August 2008 eingestellt (Einspracheentscheid vom 5. Dezember 2008, Verfügung vom 13. August 2010).
A.b. Im Mai 2005 hatte sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Bezug von Leistungen (Wiedereingliederung in die bisherige Tätigkeit) angemeldet. Die IV-Stelle Basel-Landschaft holte beim Zentrum G._ ein interdisziplinäres Gutachten vom 20. März 2012 ein. Dr. med. H._, Facharzt für Innere Medizin FMH, und pract. med. I._, Facharzt Psychiatrie und Psychotherapie, Co-Leiter und Leiter des regionalen ärztlichen Dienstes (RAD), nahmen am 5. Juli 2012 zur Expertise Stellung, wobei der Internist darüber hinaus auch eine Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit ab 25. April 2004 abgab. Am 28. August 2012 äusserte sich Dr. med. H._ nochmals zur Arbeitsfähigkeit des Versicherten in einer angepassten Tätigkeit. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach die IV-Stelle mit Verfügungen vom 5. Juli 2013 A._ ab 1. August 2005 bis 31. Dezember 2005 und ab 1. Juli bis 31. August 2007 eine ganze Rente samt zwei Kinderrenten zu.
B.
Die Beschwerde des A._ hiess das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, in Aufhebung der angefochtenen Verfügungen mit Entscheid vom 15. Mai 2014 in dem Sinne gut, als es feststellte, dass vom 1. August 2005 bis 31. Mai 2006 und vom 1. Juli bis 30. November 2007 Anspruch auf eine ganze Rente sowie vom 1. Juni 2006 bis 30. Juni 2007 und vom 1. Dezember 2007 bis 31. März 2012 Anspruch auf eine halbe Invalidenrente besteht (Dispositiv-Ziffer 1).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle Basel-Landschaft, die Verfügung vom 5. Juli 2013 sei insofern wieder herzustellen, als dem Versicherten zwischen dem 1. Januar 2006 und dem 30. Juni 2007 keine Rente zuzusprechen sei; überdies sei die ganze Rente ab 1. Juli 2007 bis Ende November 2007 zu befristen und festzustellen, dass ab Dezember 2007 kein Rentenanspruch mehr besteht.
A._ ersucht um Abweisung der Beschwerde, eventualiter Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Vornahme weiterer Abklärungen und zur Neuentscheidung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D.
Mit Verfügung vom 3. November 2014 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz, auf Rüge hin oder von Amtes wegen, berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht, und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 9C_311/2013 vom 12. November 2013 E. 2.1).
1.2. Diese Grundsätze gelten auch in Bezug auf die konkrete Beweiswürdigung (vgl. Urteil 9C_999/2010 vom 14. Februar 2011 E. 1). Dem kantonalen Versicherungsgericht steht als Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zu (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 40). Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn es diesen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211; zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen). Inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht haben soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261). Auf ungenügend begründete Rügen oder bloss allgemein gehaltene appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit Hinweis; Urteil 9C_311/2013 vom 12. November 2013 E. 2.2).
2.
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3; Urteil 9C_61/2014 vom 23. Juli 2014 E. 2.3 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin hat verschiedene Dokumente eingereicht, welche sich indessen bereits in den vorinstanzlichen Verfahrensakten befinden. Die betreffenden Unterlagen sind somit nicht neue Tatsachen und Beweismittel im Sinne von <ref-law>.
3.
Streitgegenstand gemäss den Begehren in der Beschwerde (Urteil 1C_330/2013 vom 15. Oktober 2013 E. 2.1) bildet der Anspruch des Beschwerdegegners auf eine Rente der Invalidenversicherung ab 1. Januar 2006 bis 30. Juni 2007 und vom 1. Dezember 2007 bis 31. März 2012. Die von der Vorinstanz zugesprochene ganze Rente für die Monate August bis Dezember 2005 und Juli bis November 2007 ist nicht angefochten ebenso nicht, dass ab 1. April 2012 kein Rentenanspruch besteht. Darauf ist letztinstanzlich nicht mehr einzugehen (<ref-law>).
4.
Die Vorinstanz hat die gesundheitlich bedingte Arbeitsunfähigkeit für die Zeit vom 1. Januar 2006 bis 31. Dezember 2011 gestützt auf Berichte und Unfallscheine der behandelnden Ärzte festgesetzt. Ob dies zulässig ist, kann für die Zeit bis 23. Juli 2008 offen gelassen werden. Der RAD-Arzt Dr. med. H._ (und nicht, wie die Vorinstanz fälschlicherweise in E. 5.2 ihres Entscheids angenommen hat, med. pract. I._) listete in seiner Stellungnahme vom 5. Juli 2012 zum Gutachten des Zentrums G._ vom 20. März 2012 die Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdegegners ab Unfalldatum (25. April 2004) bis 23. Juli 2008 detailliert auf. Danach bestand vom 19. Dezember 2005 bis 21. Februar 2006 eine Arbeitsunfähigkeit von 75 % und vom 24. September 2007 bis 23. Juli 2008 von 50 %. Unter diesen Umständen ist die Zusprache einer ganzen Rente vom 1. Januar bis 31. Mai 2006 sowie einer halben Rente vom 1. Dezember 2007 bis 31. Oktober 2008 (vgl. zur Änderung des Anspruchs in zeitlicher Hinsicht Art. 88a Abs. 1 zweiter Satz IVV und Urteil 9C_901/2009 vom 5. Februar 2010 E. 3.5) nicht zu beanstanden. Der dazwischenliegende Zeitraum mit Anspruch auf eine halbe Rente ist nicht von Interesse (vorne E. 3). Dr. H._ änderte zwar am 28. August 2012 seine Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit unter Berücksichtigung des Belastungsprofils einer einhändigen Tätigkeit mit Einsatz der linken adominanten Hand als Hilfshand ab. Indessen hatte er bei seiner früheren Beurteilung vom 5. Juli 2012 erwähnt, dass Angaben zur Arbeitsunfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit entfallen würden. Die Abweichung vom 28. August 2008 begründete er nicht weiter. Bei dieser Sachlage ist die vorinstanzliche Rentenzusprechung bis 31. Oktober 2008, soweit streitig, nicht zu bemängeln, die Beschwerde insoweit unbegründet.
5.
Für den Zeitraum vom 24. Juli 2008 bis zur Untersuchung vom 2. bis 6. Januar 2012 im Rahmen der Begutachtung des Zentrums G._ hat die Vorinstanz auf Berichte der behandelnden Ärzte abgestellt (E. 5.1). Die im Unfallversicherungsverfahren erstellten Gutachten des Dr. med. C._ vom 21. August 2008 und der Dres. med. D._ und E._ vom 30. Juli 2010, auf welche Dr. med. H._ in seiner Stellungnahme vom 5. Juli 2012 verwies, hat sie nicht als beweiskräftig erachtet (E. 5.2).
5.1. Frau Dr. med. J._, Co-Chefärztin Klinik für Hand- und periphere Nervenchirurgie, Spital K._, bescheinigte im Unfallschein UVG mit Eingangsstempel "10. Sept. 2008, LC NW-CH/ML" die ihres Erachtens ab 10. März 2008 bestandenen Arbeitsunfähigkeiten, ohne die Angaben zu begründen. Ebenso wenig ist ersichtlich, wie lange die zuletzt am 27. August 2008 attestierten 50 % gelten sollten. Dr. med. L._, Assistenzarzt Orthopädische Klinik, Orthopädie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Spital B._, äusserte sich im Bericht vom 5. August 2009 nicht zur Arbeitsunfähigkeit, sondern gab lediglich an, dass er die Anstrengung des Patienten, weiterhin 50 % zu arbeiten, sehr unterstützen würde. Das undatierte Arbeitsunfähigkeitszeugnis des Dr. med. M._, Arzt für Allgemeine Medizin FMH (von der Vorinstanz "Arbeitsunfähigkeitszeugnis Nordwestschweiz" bezeichnet) enthielt keine Begründung. Auch im Arztbericht vom 30. Mai 2011 äusserte er sich nicht zur zumutbaren Arbeitsfähigkeit, sondern gab lediglich an, der Versicherte habe seit drei Jahren eine 50%-Arbeitsstelle, die er nur unter Schmerzen bewältigen könne; wegen den Schmerzen sei es ihm nicht möglich, mehr als 50 % zu arbeiten. Dr. med. N._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, hielt in seinem kurzen Bericht vom 26. Mai 2011 fest, der Beschwerdegegner sei zumindest seit 19. Juni 2009 aus medizinisch-psychiatrischen Gründen zu 50 % arbeitsunfähig, ohne dies zu begründen. Schliesslich enthielt auch das Arztzeugnis von Frau Dr. med. O._, FMH Allgemeinmedizin, Klinik P._, vom 8. Juni 2011 keine Begründung für die attestierte Arbeitsunfähigkeit von 50 % vom 8. Juni bis 8. Juli 2011. Gemäss dem zusammen mit Dr. med. Q._, FMH Rheumatologie, verfassten Bericht vom 22. März 2011 war eine leichte Tätigkeiten ohne repetitive Abläufe und ohne langes Sitzen/ Stehen wahrscheinlich möglich.
5.2. Dr. med. C._ hielt in seinem Gutachten vom 21. August 2008 fest, der Beschwerdegegner sei als Mitarbeiter im Reinigungsdienst für neun Stunden pro Tag ganztägig voll einsetzbar. Als unfallfremd seien die Symptomausweitung, die Inkonsistenz und die Selbstlimitierung zu sehen. Dres. med. D._ und E._ bezifferten in ihrem Gutachten vom 30. Juli 2010 die Arbeitsfähigkeit auf acht Stunden im Tag. Die Vorinstanz hat den Expertisen keine Beweiskraft zuerkannt. Auf die Begründung braucht an dieser Stelle nicht näher eingegangen zu werden. Immerhin ist festzustellen, dass auch unter Berücksichtigung der formalen Mängel des Gutachtens der Dres. med. D._ und E._ deren Ausführungen als unabhängige Experten der Klinik für Wiederherstellungschirurgie des Spitals F._ doch klar ein anderes, jedenfalls kein geringeres Gewicht haben als die meist nicht einmal begründeten Angaben der behandelnden Ärzte zur Arbeitsfähigkeit des Beschwerdegegners.
5.3.
5.3.1. Die Vorinstanz hat die Beurteilung von Gesundheitszustand und zumutbarer Arbeitsfähigkeit durch die Gutachter des Zentrums G._ als schlüssig erachtet. Dieselben Experten verwarfen indessen die abweichende Einschätzung der Arbeitsfähigkeit durch Dr. med. M._ und Dr. med. N._. Unter "Kritische Würdigung vorhandener Arztberichte, vor allem bei Diskrepanzen in der Beurteilung der Arbeitsfähigkeit" hielten sie u.a. fest, namentlich der psychiatrische Facharzt habe die anzuwendenden Überlegungen im Sinne der Frage einer Prüfung der Zumutbarkeit der Überwindung eines psychosomatischen Leidens nicht gestellt. Indem die Vorinstanz die Beurteilung des Zentrums G._ als schlüssig begründet bezeichnet, trotzdem aber auf die von den Gutachtern als nicht zutreffend erachtete abweichende Einschätzung der behandelnden Ärzte abgestellt hat, begab sie sich in unlösbaren Widerspruch zu sich selber. Jedenfalls hätte sie sich mit der diesbezüglichen Kritik in der Expertise auseinandersetzen müssen. Dies gilt umso mehr, als die Angaben der behandelnden Ärzte zur Arbeitsfähigkeit, insbesondere jene von Dr. med. J._, Dr. med. L._, Dr. med. N._ und Dr. med. O._ gar keine Begründung enthielten, soweit überhaupt ein Prozentwert genannt wurde. Es kommt dazu, dass diese Ärzte die von den Gutachtern des Zentrums G._ festgestellten deutlichen demonstrativen und appellatorischen Komponenten im Verhalten offensichtlich gänzlich unberücksichtigt liessen und - im Gegensatz zu Dr. med. C._ - nicht thematisierten. Unter diesen Umständen muss die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz als offensichtlich unrichtig bezeichnet werden. Es besteht insofern somit keine Bindungswirkung. Vielmehr kann das Bundesgericht den rechtserheblichen Sachverhalt selber frei feststellen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; Ulrich Meyer/Johanna Dormann, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 52 zu <ref-law>; Urteil 9C_258/2014 vom 3. September 2014 E. 6.2).
5.3.2. Die Gutachter des Zentrums G._ stellten im Rahmen der handchirurgischen Untersuchung sowie der neu erstellten Röntgenbilder lediglich minimste tendinotische Veränderungen fest, welche die Beschwerden nicht erklären könnten. Ebenso wenig seien die geklagten Beschwerden im LWS-Bereich auf somatischer Ebene noch die Schulterschmerzen orthopädisch erklärbar. Es bleibe letztlich nur die Erklärung einer psychosomatischen Entwicklung im weitesten Sinne für die geklagten somatischen Beschwerden mit einer Schmerzverarbeitungs- und Ausweitungsproblematik. Es bestehen keine Hinweise, dass sich dieser Zustand erst im Zeitpunkt der Abfassung der Expertise eingestellt hätte. Im Gegenteil zeigen die Gutachten des Dr. med. C._ und der Dres. med. D._ und E._ auf, dass im Wesentlichen dieselben Verhältnisse insbesondere im Bereiche der linken Hand schon seit Juli 2008 gegeben waren. Es ist keine Veränderung aktenkundig, die für eine Verbesserung des Gesundheitszustandes erst in einem späteren Zeitpunkt sprechen würde. Dies gilt auch in psychiatrischer Hinsicht. Nach nicht offensichtlich unrichtiger Feststellung der Vorinstanz stimmen die Erkenntnisse von Dr. med. Dipl.-Psych. R._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, in seinem Gutachten vom 22. Dezember 2008 im Wesentlichen mit der Beurteilung des psychiatrischen Gutachters des Zentrums G._ überein in dem Sinne, dass (auch) insofern keine Arbeitsunfähigkeit seit Juli 2008 angenommen werden kann. Es ist somit davon auszugehen, dass überwiegend wahrscheinlich bereits seit der Untersuchung im Rahmen der Begutachtung durch Dr. med. C._ am 24. Juli 2008 die von den Gutachtern des Zentrums G._ angenommene Arbeitsfähigkeit von 100 % auch in der bisher ausgeübten Tätigkeit als Reinigungsdienst-Mitarbeiter gegeben war. Damit ist ein Rentenanspruch nicht erst seit 1. April 2012, sondern bereits ab 1. November 2008 (Art. 88a Abs. 1 zweiter Satz IVV) nicht mehr ausgewiesen. Insoweit ist die Beschwerde begründet.
6.
Die Parteien haben die Gerichtskosten nach Massgabe ihres Unterliegens zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat im Umfang seines Obsiegens Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>). Insoweit ist sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos. Im Übrigen kann seinem Begehren entsprochen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Ziffer 1 des Entscheids des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 15. Mai 2014 wird dahingehend abgeändert, dass der Beschwerdegegner keinen Anspruch auf eine halbe Invalidenrente vom 1. November 2008 bis 31. März 2012 hat; Ziffer 3 und 4 (Verfahrenskosten, Parteientschädigung) werden aufgehoben. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Rechtsanwalt André Baur wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdegegners bestellt.
3.
Von den Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin Fr. 200.- und dem Beschwerdegegner Fr. 600.- auferlegt. Der Anteil des Beschwerdegegners wird einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 600.- zu entschädigen.
5.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdegegners wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'800.- ausgerichtet.
6.
Das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, hat die Gerichtskosten und die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren neu festzusetzen.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Februar 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Fessler