Sachverhalt:
A.
X._ ist Inhaber eines Führerausweises der Kategorie C1. Die Motorfahrzeugkontrolle der Kantonspolizei Basel-Stadt forderte ihn am 17. Januar 2012 dazu auf, sich einer vertrauensärztlichen Kontrolluntersuchung zu unterziehen.
B.
Dagegen rekurrierte X._ beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt. Die ärztliche Kontrolle sei zu Unrecht angeordnet worden. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement wies den Rekurs am 2. Juli 2012 ab, soweit es darauf eintrat.
X._ focht diesen Entscheid beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt an und ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Der Appellationsgerichtspräsident wies das Gesuch am 21. November 2012 ab und forderte ihn am 12. Dezember 2012 dazu auf, einen ratenweisen Kostenvorschuss zu leisten.
Dagegen führte X._ Beschwerde ans Bundesgericht. Dieses hiess die Beschwerde gut und hob die Entscheide des Appellationsgerichtspräsidenten auf (Urteil 1C_665/2012 vom 19. April 2013). Nach Auffassung des Bundesgerichts war der Rekurs nicht von vornherein aussichtslos; demnach erkannte es, X._ werde für das kantonale Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und ihm die Leistung des Kostenvorschusses erlassen.
Der Appellationsgerichtspräsident erstattete X._ in der Folge die an den Kostenvorschuss geleisteten Raten zurück. In der Sache wies das Appellationsgericht den Rekurs am 14. August 2013 ab.
C.
X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, das Urteil des Appellationsgerichts sei aufzuheben; von der Durchführung einer Kontrolluntersuchung sei abzusehen; eventuell sei diese später als angeordnet durchzuführen; der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu gewähren.
D.
Am 29. Oktober 2013 erteilte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung.
E.
Das Appellationsgericht und das Bundesamt für Strassen (ASTRA) schliessen je auf Abweisung der Beschwerde. Die Kantonspolizei und das Justiz- und Sicherheitsdepartement haben sich nicht vernehmen lassen. X._ hat auf eine Replik verzichtet.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft die Anordnung einer vertrauensärztlichen Untersuchung zur Feststellung der Fahreignung im Strassenverkehr und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Streitig ist, ob die Vorinstanz die Anordnung der Kontrolluntersuchung zu Recht bestätigt hat.
Der Beschwerdeführer rügt im Hauptpunkt, Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 der Verordnung vom 27. Oktober 1976 über die Zulassung von Personen und Fahrzeugen zum Strassenverkehr (VZV; SR 741.51) sei verfassungswidrig. Indem die Vorinstanz gestützt auf diese Bestimmung die Anordnung der ärztlichen Kontrolle bestätigt habe, verletze sie sein Recht auf persönliche Freiheit.
Das Bundesgericht kann Verordnungen des Bundesrates vorfrageweise auf ihre Gesetz- und Verfassungsmässigkeit prüfen (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 290). Die Durchführung einer medizinischen Fahreignungsabklärung beschränkt den Beschwerdeführer in seinem Recht auf persönliche Freiheit (<ref-law>; vgl. u.a. <ref-ruling> E. 5 S. 121). Dieser Eingriff muss auf einer genügenden gesetzlichen Grundlage beruhen, im öffentlichen Interesse liegen und verhältnismässig sein (<ref-law>).
2.1. Gemäss <ref-law> müssen Motorfahrzeugführer über Fahreignung und Fahrkompetenz verfügen. Über Fahreignung verfügt, wer die erforderliche körperliche und psychische Leistungsfähigkeit zum sicheren Führen von Motorfahrzeugen hat (Abs. 2 lit. b). Fahrkompetent ist, wer Fahrzeuge der Kategorie, für die der Ausweis gilt, sicher führen kann (Abs. 3 lit. b).
Das Gesetz sieht demzufolge eine Unterscheidung der Führerausweise nach Fahrzeugkategorien vor. Gleichzeitig überlässt es die Unterteilung und Ausgestaltung der Ausweiskategorien dem Verordnungsgeber (vgl. <ref-law>). Letztere finden sich in <ref-law>. Dieser Grundordnung entspricht es, an die Fahreignung und Fahrkompetenz je nach Ausweiskategorie unterschiedlich hohe Anforderungen zu stellen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 388; Urteil 6A.21/2002 vom 7. Mai 2002 E. 4.2).
Der Beschwerdeführer verfügt über einen Führerausweis der Kategorie C1. Dieser erlaubt ihm das Führen eines Motorwagens mit einem Gesamtgewicht zwischen 3'500 und 7'500 kg (vgl. <ref-law>). Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 VZV verpflichtet die Ausweisinhaber der Kategorie C1 im Gegensatz zu Lenkern tieferer Kategorien, sich bis zum 50. Altersjahr alle fünf und danach alle drei Jahre einer ärztlichen Untersuchung zu unterziehen. Indem der Verordnungsgeber für die periodische Fahreignungsabklärung nach Ausweiskategorien unterscheidet, folgt er der Grundordnung des Strassenverkehrsgesetzes. Der Bundesrat hält sich somit an die Grenzen der ihm im Gesetz eingeräumten Befugnisse. Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 VZV stützt sich auf eine genügende formell-gesetzliche Grundlage.
2.2. Wenn die streitige Bestimmung für Ausweisinhaber der Kategorie C1 bis zum 50. Altersjahr alle fünf und danach alle drei Jahre eine ärztliche Kontrolle vorsieht, liegt dies entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers zudem im öffentlichen Interesse. Der Ausweis C1 befähigt diesen zum Führen eines Fahrzeugs mit einem Gewicht von bis zu 7.5 Tonnen. Von einem derart schweren Wagen geht ein erhöhtes Gefährdungspotenzial für andere Verkehrsteilnehmer aus. Es dient der öffentlichen Sicherheit im Strassenverkehr, an die Fahreignung dieser Lenker erhöhte Anforderungen zu stellen und sie von Beginn weg in regelmässigen Abständen untersuchen zu lassen (vgl. <ref-ruling> E. 3.6-3.7 S. 389 f. mit Hinweisen; PHILIPPE WEISSENBERGER, Kommentar zum SVG, 2011, N. 21 zu Art. 16d; Rolf Seeger, Die periodische medizinische Überprüfung der Fahreignung bei Seniorinnen und Senioren und bei Inhabern von höheren Führerausweiskategorien, in: Jahrbuch zum Strassenverkehrsrecht, 2009, S. 102 f.). Die Unterscheidung zu Inhabern tieferer Ausweiskategorien, welche sich erst ab dem 70. Altersjahr ärztlich abklären lassen müssen, ist somit gerechtfertigt. Ob der Betroffene seinen Ausweis beruflich einsetzt oder nicht, spielt insoweit keine Rolle. Der Einwand des Beschwerdeführers, er nutze diesen nur zu privaten Zwecken, ist unbehelflich.
Bei Kontrolluntersuchungen von Lenkern höherer Fahrzeugkategorien stehen zwar körperliche oder psychische Einschränkungen im Vordergrund, die bereits in jüngeren Jahren auftreten (vgl. Seeger, a.a.O., S. 103). Diese können sich mit fortschreitendem Alter jedoch häufen oder verstärken. So verliert etwa eine 40-jährige im Vergleich zu einer 20-jährigen Person im Durchschnitt rund 10% an Sehschärfe; bei einer 60-jährigen Person beträgt der Verlust bereits 25% (vgl. UVEK, Erläuternder Bericht zum Vernehmlassungsentwurf - Umsetzung des Handlungsprogramms für mehr Sicherheit im Strassenverkehr [Via Sicura], 2008, S. 24 mit Hinweisen). Vor diesem Hintergrund erscheint es entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers sachgerecht, das Untersuchungsintervall ab dem Alter von 50 Jahren von fünf auf drei Jahre zu verkürzen.
Das dargelegte Interesse der öffentlichen Sicherheit wiegt genügend schwer, um den Eingriff in die persönliche Freiheit des Beschwerdeführers zu rechtfertigen. Das gilt umso mehr, als Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 VZV nicht den Entzug des Führerausweises regelt, sondern lediglich die Durchführung von Kontrolluntersuchungen. Der Eingriff ist somit verhältnismässig und hält auch insoweit vor <ref-law> stand.
2.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Anwendung von Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 VZV führe zu einer Altersdiskriminierung.
Gemäss <ref-law> darf niemand wegen seines Alters diskriminiert werden. Das Diskriminierungsverbot macht es nicht absolut unzulässig, an einem verpönten Merkmal anzuknüpfen. Hingegen begründet dieser Umstand den Verdacht einer unzulässigen Unterscheidung, der nur durch eine genügende Rechtfertigung umzustossen ist (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 267).
Alle Lenker haben jederzeit über die für den Strassenverkehr erforderliche Fahreignung zu verfügen. Wenn von entsprechenden Kontrollen die über 50-jährigen häufiger betroffen sind als andere Altersgruppen, beruht dies nicht auf dem Alter an sich, sondern auf der damit erfahrungsgemäss verbundenen Abnahme der körperlichen Fahreignung (vgl. E. 2.2). Verkürzt der Verordnungsgeber das Untersuchungsintervall ab dem Alter von 50 Jahren, ist dies somit gerechtfertigt. Bei der Festsetzung der massgeblichen Altersgrenze ist eine gewisse Schematisierung unvermeidbar (s. Urteil 2A.234/2003 vom 28. Mai 2003 E. 2.2.2). Auch darin ist keine Diskriminierung zu erkennen.
Die Anordnung einer ärztlichen Kontrolluntersuchung gestützt auf Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 VZV hält danach vor der Verfassung stand. Die Beschwerde erweist sich im Hauptpunkt als unbegründet.
3.
Im Eventualpunkt macht der Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz habe die Verordnungsbestimmung falsch ausgelegt. Dementsprechend müsse er sich zu früh untersuchen lassen.
Der Beschwerdeführer wurde letztmals im Alter von 48 Jahren untersucht. Die Kantonspolizei hat ihn dazu aufgefordert, sich mit 51 Jahren erneut einer ärztlichen Kontrolle zu unterziehen.
Nach Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 VZV haben sich Lenker der Fahrzeugkategorie C1 bis zum 50. Altersjahr alle fünf Jahre einer ärztlichen Kontrolluntersuchung zu unterziehen, danach alle drei Jahre.
Streitig ist, ab wann das verkürzte Untersuchungsintervall gilt, ob ab der letzten Kontrolle, bevor der Betroffene das 50. Altersjahr vollendet hat, oder ab dem ersten Arztbesuch danach. Die Vorinstanz vertritt die erste Lesart, der Beschwerdeführer die zweite.
3.1. Ausgangspunkt jeder Auslegung ist der Wortlaut. Auslegungsbedürftig ist das Wort "danach".
Der Text macht vorab deutlich, dass sich die Untersuchungstermine je nach Alter nach einem längeren oder kürzeren Intervall bestimmen ("alle fünf" oder "alle drei Jahre"). Ausgehend davon liegt es nahe, das Wort "danach" so zu verstehen, dass sich das Untersuchungsintervall erst nach Erreichen der massgeblichen Altersgrenze verkürzen soll. In dieser vom Beschwerdeführer vertretenen Lesart verkürzte sich die Zeitspanne grundsätzlich erst ab dem ersten Arztbesuch nach vollendetem 50. Altersjahr. Dieser Grundsatz wäre im Übrigen dahingehend einzuschränken, dass eine Person, die letztmals vor dem vollendeten 50. Altersjahr untersucht wurde, spätestens im Alter von 53 Jahren wieder zu kontrollieren wäre. Insoweit ist der Wortlaut klar, der besagt, dass die Betroffenen "danach", das heisst ab dem vollendeten 50. Altersjahr "alle drei Jahre" zu untersuchen sind. Eine Person, die letztmals im Alter von 49 Jahren kontrolliert wurde, wäre demnach bereits mit 53 und nicht etwa mit 54 Jahren wieder zu kontrollieren.
Folgte man dagegen der Auslegung der Vorinstanz, verkürzte sich das Untersuchungsintervall bereits ab dem letzten Arztbesuch vor vollendetem 50. Altersjahr auf drei Jahre. So wäre eine Person, die mit 47 Jahren kontrolliert wurde, bereits mit 50 Jahren erneut zu untersuchen. Ein solches Ergebnis widerspräche dem Wortlaut, nach dem die Betroffenen "bis zum 50. Altersjahr alle fünf Jahre" zu untersuchen sind.
Es erscheint demnach zweifelhaft, ob das vorinstanzliche Verständnis mit dem Wortlaut vereinbar ist. Die vom Beschwerdeführer befürwortete Lesart ist - unter dem erwähnten Vorbehalt - jedenfalls naheliegender und insoweit vorzuziehen.
3.2. Die Vorinstanz vertritt den Standpunkt, eine weite Auslegung rechtfertigte sich durch den Zweck der Bestimmung. Dem ist nicht zu folgen. Zwar entspricht es dem Willen des Gesetzgebers, an die gesundheitliche Verfassung von Lenkern höherer Kategorien im Interesse der Verkehrssicherheit erhöhte Anforderungen zu stellen (vgl. E. 2.1). Diesem Anliegen trägt der Verordnungsgeber in naheliegender Lesart (E. 3.1) aber bereits dadurch genügend Rechnung, dass er die Betroffenen dazu verpflichtet, sich von Beginn weg alle fünf Jahre und ab dem Alter von 50 Jahren alle drei Jahre untersuchen zu lassen (vgl. E. 2.2). Diese Regelung ist vergleichsweise streng (s. im europäischen Vergleich etwa die Richtlinie des Europäischen Parlaments und des Rates über den Führerschein, 2006/126/EG, ABl. L 403 vom 30. Dezember 2006 S. 18 ; diese bestimmt in Art. 7 Ziff. 2 lit. b i.V.m. Ziff. 3 lit. a und Anhang III Ziff. 4 für die Fahrzeugkategorie C1 ein einheitliches Intervall von 5 Jahren - d.h. ohne altersbezogene Verkürzung).
Eine weitere Senkung der Altersgrenze von 50 auf 47 Jahre, wie sie die Vorinstanz in extensiver Auslegung von Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 VZV befürwortet (vgl. E. 3.1), lässt sich mit Gründen der Verkehrssicherheit denn auch nicht rechtfertigen. Ausgewiesen ist einzig, dass die körperliche Fahreignung mit fortschreitendem Alter allmählich abnimmt. Dass diese bereits ab dem Alter von 47 Jahren deutlich nachliesse, ist hingegen unbelegt (vgl. etwa Zeno Fischer, Beschränkung der Verkehrszulassung aus Krankheits- und Altersgründen aus der Sicht der Zulassungsbehörde, in: Aktuelle Fragen des Straf- und Administrativmassnahmerechts im Strassenverkehr, 1995, S. 52 ff.; Rolf Seeger, Fahren im Alter - Hauptprobleme und sinnvolle Konzepte zur Überprüfung der Fahreignung aus verkehrsmedizinischer Sicht, in: Jahrbuch zum Strassenverkehrsrecht, 2005, S. 14 ff.; vgl. UVEK, Erläuternder Bericht, a.a.O., S. 24; Philippe Weissenberger, a.a.O., N. 18 zu <ref-law>; je mit Hinweisen). Auch mit Blick auf den Normzweck besteht demnach kein Anlass, der Bestimmung einen Sinn beizulegen, der mit dem Wortlaut nur schwer vereinbar ist.
An dieser Erkenntnis vermag die Vorinstanz auch mit Hinweis auf den bei den Akten liegenden Benutzerleitfaden "FABER" des Bundesamtes für Strassen zur Umstellung der EDV in den Kantonen nichts zu ändern. Dieser beschränkt sich darauf, den kantonalen Behörden die Berechnungsregeln zur automatischen Bestimmung der Untersuchungstermine darzulegen. Als Hilfsmittel für eine sachgerechte Auslegung der streitigen Bestimmung taugt dieser Leitfaden nicht.
3.3. Verfassungsrechtliche Gesichtspunkte (<ref-ruling> E. 4.2 S. 71) legen schliesslich ein Verständnis nahe, das den Beschwerdeführer in seinem Recht auf persönliche Freiheit (<ref-law>) möglichst wenig einschränkt. Auch dies spricht für eine enge Auslegung der Verordnungsbestimmung.
Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 VZV ist demnach entgegen der vorinstanzlichen Auffassung nicht in dem Sinne zu verstehen, dass sich eine Person bereits ab der letzten Kontrolle vor dem vollendeten 50. Altersjahr alle drei Jahre zu untersuchen lassen hat. Sie ist vielmehr so auszulegen, dass eine Person, die letztmals vor dem vollendeten 50. Altersjahr kontrolliert wurde, erst ab dem ersten Arztbesuch danach im Abstand von drei Jahren - spätestens aber im Alter von 53 Jahren - wieder zu untersuchen ist. Demzufolge ist der Beschwerdeführer, der letztmals im Alter von 48 Jahren kontrolliert wurde, mit 53 Jahren und nicht, wie angeordnet, mit 51 Jahren zu untersuchen. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als begründet.
4.
Dem Eventualantrag entsprechend ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen; der angefochtene Entscheid ist insoweit aufzuheben. Die Sache ist im Sinne der Erwägungen zu neuer Anordnung einer vertrauensärztlichen Kontrolluntersuchung an die Kantonspolizei zurückzuweisen. Im Hauptantrag wird die Beschwerde abgewiesen.
Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. Das Gesuch ist gegenstandslos geworden, soweit die Beschwerde gutgeheissen wird (<ref-law>). Da die Voraussetzungen erfüllt sind (vgl. <ref-law>), ist das Gesuch im Übrigen zu bewilligen. Auf die Erhebung von Gerichtskosten ist vollumfänglich zu verzichten. Der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführer hat für sein teilweises Obsiegen keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 5b S. 519 f.). Das gilt auch für die Parteikosten im vorinstanzlichen Verfahren (vgl. <ref-law>; § 30 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege vom 14. Juni 1928[SG 270.100; VRPG]). In diesem Punkt erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird dem Eventualantrag entsprechend teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 14. August 2013 wird insoweit aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuer Anordnung einer vertrauensärztlichen Kontrolluntersuchung an die Kantonspolizei Basel-Stadt zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung wird, soweit nicht gegenstandslos geworden, gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird dem Bescherdeführer, der Kantonspolizei Basel-Stadt, Motorfahrzeugkontrolle, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Geisser