Faits:
A.
A.a. M. A.X._, né en 1963, et Mme B.X._, née en 1967, se sont mariés en 1988. De cette union sont issus deux enfants, soit C._, né en 1995, et D._, né en 2004.
Les parties sont copropriétaires de la villa familiale qu'ils ont acquise en 1999.
En raison du conflit conjugal existant depuis 2012, Mme B.X._ a quitté le domicile conjugal en février 2013, soit au cours de la procédure de mesures protectrices de l'union conjugale introduite le 5 juin 2012 (cf. infra B.), pour aller s'installer chez une amie.
A.b. La situation professionnelle et financière des parties se résume comme suit, sur la base de l'état de fait arrêté en dernière instance cantonale:
A.b.a. M. A.X._ a exercé la profession d'informaticien jusqu'en 2003, puis il a cessé cette activité pour se consacrer à des projets musicaux. Depuis 2012, il donne des cours de musique de 30 à 45 minutes les lundis après-midi, les mercredis, les jeudis et parfois les vendredis, à une quinzaine d'élèves réguliers. Il perçoit également des cachets pour ses prestations dans un groupe de musique. En moyenne, ses revenus mensuels bruts totaux se montent à 2'000 fr.
Les revenus qu'il a obtenus de 2003 à 2012 ne sont pas connus, mais il est incontesté que, à partir de 2009, M. A.X._ a été en mesure de verser à son épouse une contribution aux frais du ménage de 1'200 fr. et d'assumer, en sus, ses primes d'assurance (maladie et RC véhicule).
En 2011, pour financer ses projets musicaux, son épouse lui a accordé un prêt de 297'000 fr. remboursable à la vente de la maison. M. A.X._ a allégué avoir toutefois utilisé cet argent pour prêter lui-même 130'000 euros à un ami. Au 30 juin 2012, le solde de son compte postal s'élevait à 1'507 fr. 50.
Si, au vu du litige entre les parties concernant l'attribution de la garde des enfants et du logement conjugal, il est fait abstraction du loyer hypothétique de 1'835 fr. et du minimum vital pour débiteur vivant seul de 1'200 fr., les charges mensuelles de M. A.X._ se montent à 624 fr. 30.
A.b.b. Mme B.X._ est psychiatre. Elle a travaillé à plein temps jusqu'en 1999, puis à 80% jusqu'en janvier 2010. Elle s'est alors installée comme médecin indépendant et a réduit son taux d'activité à 65%; elle travaille les lundis, mardis après-midi, jeudis et vendredis matin. Ses revenus mensuels nets se montent à 14'098 fr. 50.
Si, pour les raisons précitées (cf. supra A.b.a), il est fait abstraction des coûts du logement de 1'339 fr. 10, du coût d'entretien des enfants et du minimum vital pour débiteur monoparental de 1'350 fr., les charges mensuelles de Mme B.X._ se montent à 1'720 fr.
B.
B.a.
B.a.a. Par acte du 5 juin 2012, Mme B.X._ a saisi le Tribunal de première instance du canton de Genève d'une requête de mesures protectrices de l'union conjugale. Elle a requis la garde des enfants, le droit de visite du père étant réservé, l'attribution du domicile conjugal, la condamnation de son époux à lui verser une contribution à l'entretien de la famille de 1'200 fr., allocations familiales non comprises, et la mise en place d'une curatelle de surveillance.
M. A.X._ a conclu à ce que la garde des enfants et le domicile conjugal lui soient attribués, ainsi qu'à la condamnation de son épouse à lui verser une contribution à l'entretien de la famille de 7'000 fr. par mois et une provisio ad litem de 5'000 fr.
B.a.b. Le 17 décembre 2012, le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) a rendu un rapport d'évaluation sociale. Il a exposé qu'aucun fait objectif ne permettait d'attribuer la garde des enfants à l'un ou l'autre des parents, que chacun d'eux prenait D._ en charge "en fonction des jours de la semaine " et qu'aucun d'eux ne se montrait " plus dysfonctionnant que l'autre dans la prise en charge " de cet enfant. Il notait seulement que les parents avaient des conceptions éducatives parfois divergentes, la mère considérant le père comme trop permissif et le père considérant la mère comme trop stricte, et qu'il importait surtout que les parents prennent conscience que la cohabitation dans un climat de tension permanente n'était pas bénéfique pour les enfants. Il a rendu compte de l'audition de l'enfant C._ qui a déclaré qu'il souhaitait vivre avec son père, plus présent et disponible, qu'il serait difficile pour lui d'être séparé de son petit frère, que sa mère était plus stricte que son père, que la situation familiale était pesante, sa mère provoquant beaucoup son père et utilisant son frère et lui-même pour l'"embêter ", et que son rapport avec sa mère s'était détérioré depuis que celle-ci avait eu une conversation avec lui au sujet de gestes déplacés que son père aurait pu avoir envers lui.
B.a.c. Par jugement du 21 mars 2013, le tribunal a attribué la garde des enfants à Mme B.X._ (ch. 2), réservé à M. A.X._ un large droit de visite devant s'exercer, à défaut d'accord entre les parties, à raison d'un week-end sur deux du vendredi soir au lundi matin, d'un ou deux soirs par semaine (ch. 3), ainsi que durant la moitié des vacances scolaires, ordonné une curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles pour une durée de deux ans mais renouvelable (ch. 4), attribué le domicile conjugal à Mme B.X._ (ch. 5) et imparti à M. A.X._ un délai au 30 avril 2013 pour quitter ledit domicile (ch. 6), et condamné Mme B.X._ à verser à M. A.X._, par mois et d'avance, à partir du moment où celui-ci aurait quitté le domicile conjugal, un montant de 780 fr. au titre de contribution d'entretien (ch. 7).
Le tribunal a attribué la garde des enfants à la mère au motif que celle-ci avait été en mesure de s'organiser de manière optimale pour simultanément assurer la prise en charge des enfants et contribuer au ménage de manière prépondérante, et que ses conceptions éducatives apparaissaient plus adaptées que celles de l'époux pour encadrer les enfants. Il lui a attribué le logement également au motif qu'il était dans l'intérêt des enfants de demeurer dans leur lieu de vie et que l'époux pouvait donner ses cours de musique ailleurs. Il a fixé la contribution d'entretien en faveur de l'époux à 780 fr. en arrêtant les revenus de ce dernier à 2500 fr. par mois, précisant qu'il n'y avait pas lieu de lui imputer un revenu hypothétique étant donné que sa situation professionnelle résultait de l'accord entre les parties, et ses charges à 3'274 fr. 30 (dont un loyer de 1'450 fr.), et en arrêtant les revenus mensuels de l'épouse à 14'098 fr. 50 et ses charges ainsi que celles des enfants à 7'167 fr. Enfin, il a rejeté la requête de provisio ad litem de l'époux au motif que celui-ci avait obtenu un prêt de 200'000 fr.
B.b.
B.b.a. Les deux parties ont formé un appel contre ce jugement auprès de la Cour de justice du canton de Genève, chacune requérant au préalable l'effet suspensif.
Par acte du 2 avril 2013, M. A.X._ a conclu à l'attribution de la garde des enfants, sous réserve du droit de visite de la mère, et du domicile conjugal, un délai de 30 jours étant imparti à son épouse pour quitter ledit domicile, et à la condamnation de Mme B.X._ à lui verser une contribution à l'entretien de la famille, par mois et d'avance, allocations familiales non comprises, de 7'000 fr. depuis le 5 juin 2012 ainsi qu'une provisio ad litem de 5'000 fr.
Par acte du 4 avril 2013, Mme B.X._ a conclu, principalement à l'annulation du chiffre 7 du jugement attaqué la condamnant à contribuer à l'entretien de son époux à hauteur de 780 fr., subsidiairement, à ce qu'elle soit condamnée à verser à son époux une contribution d'entretien de 780 fr. pour une durée de six mois à compter du jour où il aura quitté le domicile conjugal.
B.b.b. Par décision incidente du 23 mai 2013, la cour a suspendu l'effet exécutoire du chiffre 7 du dispositif du jugement attaqué.
B.b.c. Le 5 juin 2013, elle a informé les parties de la mise en délibération de la cause.
B.b.d. Par acte déposé au greffe de la cour le 23 juillet 2013, C._, devenu majeur, a donné procuration à M. A.X._ pour le représenter dans la procédure, afin de faire valoir sa créance d'entretien à l'égard de Mme B.X._.
B.b.e. Par arrêt du 30 août 2013, la cour a annulé les chiffres 3, 6 et 7 du dispositif du jugement du 21 mars 2013 et, statuant de nouveau, a attribué la garde de l'enfant D._ à Mme B.X._, réservé un large droit de visite à M. A.X._ sur cet enfant devant s'exercer, à défaut d'entente entre les parties, un week-end sur deux, du vendredi soir au lundi matin, deux soirs par semaine et la moitié des vacances scolaires, imparti à M. A.X._ un délai de trois mois dès la notification de son arrêt pour quitter le domicile conjugal, condamné Mme B.X._ à verser à M. A.X._ à titre de contribution d'entretien, par mois et d'avance, la somme de 2'000 fr. dès qu'il aura quitté le domicile conjugal et ce jusqu'au 30 septembre 2014, et condamné Mme B.X._ à verser à C._ à titre de contribution d'entretien, par mois et d'avance, allocations familiales non comprises, la somme de 2'000 fr. tant qu'il suit des études sérieuses et régulières, mais jusqu'à 25 ans au plus tard.
B.c.
B.c.a. Parallèlement à la procédure d'appel au fond, M. A.X._ a interjeté le 25 juin 2013 un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision incidente, concluant à ce que la suspension de l'effet exécutoire du jugement du Tribunal de première instance du 21 mars 2013 jusqu'à droit jugé au fond sur l'appel formé par lui soit ordonnée.
B.c.b. Par ordonnance du 26 juin 2013, l'effet suspensif a été superprovisoirement accordé à l'appel du recourant contre le jugement du Tribunal de première instance du 21 mars 2013 quant à l'attribution de la garde des enfants et de la jouissance de la villa familiale à la mère. Par ordonnance du 9 juillet 2013, ces mesures ont été confirmées à titre de mesures provisionnelles.
B.c.c. Par arrêt du 11 septembre 2013, le Tribunal fédéral a admis le recours et réformé la décision attaquée en ce sens que l'effet exécutoire attaché au dispositif du jugement rendu le 21 mars 2013 par le Tribunal de première instance est suspendu jusqu'à droit connu sur l'appel (arrêt 5A_475/2013).
C.
Par acte posté le 4 novembre 2013, M. A.X._ interjette un recours en matière civile contre l'arrêt du 30 août 2013. Il conclut principalement à sa réforme en ce sens que la garde de D._ lui est attribuée, sous réserve du droit de visite de la mère, que le domicile conjugal lui est attribué, qu'il est constaté que Mme B.X._ a d'ores et déjà évacué le domicile conjugal et qu'il lui est imparti un délai de 30 jours à compter de la réception de l'arrêt pour évacuer ses biens de ce domicile, que Mme B.X._ est condamnée à lui verser, par mois et d'avance, allocations familiales non comprises, un montant de 7'000 fr. au titre de contribution à l'entretien de la famille depuis le 5 juin 2012, et que Mme B.X._ est condamnée à lui verser le montant de 5'000 fr. à titre de provisio ad litem. Il conclut subsidiairement à son annulation et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision au sens des considérants. En substance, le recourant se plaint de la violation des art. 5 al. 3, 8 al. 2 et 29 al. 2 Cst., 112 al. 2 LTF et d'arbitraire dans l'application de l'<ref-law>.
Le recourant sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Invitées à déposer leurs observations, l'intimée a conclu au rejet du recours, alors que l'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
D.
Par ordonnance du 19 novembre 2013, l'effet suspensif a été accordé au recours.

Considérant en droit:
1.
La décision de mesures protectrices de l'union conjugale est une décision en matière civile au sens de l'<ref-law>. Elle est finale selon l'<ref-law> dès lors qu'elle met fin à l'instance sous l'angle procédural (<ref-ruling> consid. 4). Le recours a en outre pour objet une décision rendue par une autorité cantonale supérieure de dernière instance, statuant sur recours (<ref-law>), dans une affaire de nature non pécuniaire dans son ensemble, la garde d'un enfant étant litigieuse, de sorte que le recours est recevable indépendamment de la valeur litigieuse (arrêt 5A_230/2013 du 19 juillet 2013 consid. 1 et les références); il a également été interjeté dans le délai prévu par la loi (<ref-law>), par la partie qui a succombé dans ses conclusions devant l'instance précédente (<ref-law>), de sorte qu'il est recevable au regard de ces dispositions.
2.
2.1. Dès lors que les mesures protectrices de l'union conjugale sont considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5), seule peut être invoquée à leur encontre la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine un tel grief que s'il a été dûment invoqué et motivé (<ref-law>), à savoir exposé de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 3.2 et les références).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'<ref-law>, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1).
En l'espèce, la partie intitulée " faits essentiels " aux pages 4 à 16 du recours que le recourant présente est irrecevable, en tant que le recourant s'écarte de l'état de fait de l'arrêt attaqué et qu'il ne formule aucun grief d'arbitraire, de manière claire et détaillée.
3.
Le recourant critique l'attribution de la garde de l'enfant (cf. infra consid. 4), le montant de la contribution d'entretien qui a été alloué à lui-même (cf. infra consid. 7) ainsi que le refus de la provisio ad litem (cf. infra consid. 8). En revanche, il ne conteste pas que le parent qui obtient la garde de l'enfant doit se voir attribuer le logement conjugal afin que l'enfant puisse demeurer dans son environnement. Il réclame donc également l'attribution du logement, à supposer qu'il obtienne la garde de l'enfant (cf. infra consid. 5). Il ne conteste pas non plus le droit de l'intimée d'exercer un large droit de visite sur l'enfant (cf. infra consid. 6).
4.
4.1. S'agissant de l'attribution de la garde de l'enfant, l'autorité cantonale a retenu, sur la base du rapport du SPMi du 17 décembre 2012 et des déclarations des parties, que celles-ci présentaient des capacités parentales égales et étaient toutes deux aptes à exercer la garde sur l'enfant même si elles avaient des conceptions éducatives différentes, prenaient effectivement en charge l'enfant de manière équivalente - comme elles l'avaient d'ailleurs également fait durant les dix dernières années, lorsque les deux enfants du couple étaient mineurs -, montraient le même attachement à son égard, entretenaient de bons rapports avec lui, étaient soucieux de son bien-être et prenaient tous deux soin du ménage (courses et repas).
Sur la base de ces éléments, l'autorité cantonale a conclu qu'il n'existait pas de raison liée aux qualités parentales des parties pour attribuer la garde à l'un ou à l'autre des parents. Elle a néanmoins considéré que l'attribution de la garde de l'enfant à l'intimée devait être confirmée compte tenu des horaires de celle-ci, qui apparaissaient plus adaptés à la prise en charge de l'enfant: l'intimée avait congé le mercredi, en plus du mardi matin et du vendredi après-midi, et avait démontré disposer d'une importante latitude dans l'organisation de son emploi du temps, alors que, bien qu'ayant, en l'état, plus de temps libre, le recourant était occupé par son activité en dehors des horaires scolaires, en particulier le mercredi, dans la mesure où ses cours étaient dispensés à de jeunes élèves, et qu'il devrait en outre augmenter son taux d'activité.
4.2. Le recourant se plaint à la fois de la violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. Cst.), de la violation de l'<ref-law>, d'inégalité de traitement (art. 8 Cst.) et d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application de l'<ref-law>, en tant que l'autorité cantonale a attribué la garde de l'enfant à l'intimée.
4.2.1. Le grief fondé sur l'art. 29 al. 2 Cst., que le recourant invoque pour se plaindre d'un défaut de motivation de la décision attaquée, doit être d'emblée rejeté. En effet, l'autorité cantonale a très clairement exposé le motif pour lequel elle attribuait la garde à l'intimée, à savoir les horaires de celle-ci qu'elle a jugés plus adaptés, et que le recourant a parfaitement compris cette motivation qu'il attaque sur une dizaine de pages dans son grief d'arbitraire.
Le grief fondé sur l'<ref-law> est irrecevable, cette norme ne conférant aucune garantie constitutionnelle au recourant.
La violation de l'égalité de traitement est une garantie constitutionnelle dont le recourant ne peut pas se prévaloir directement à l'appui d'un recours dirigé contre une décision rendue dans une affaire opposant deux particuliers (<ref-ruling> consid. 5.1).
4.2.2. A l'appui de son grief d'arbitraire, le recourant affirme que la cour a apprécié de manière arbitraire le critère de la disponibilité des parents en considérant que les horaires de l'intimée sont plus adaptés que les siens aux besoins de l'enfant et que certains jours de présence ont plus d'importance que d'autres, alors que, travaillant à domicile, il est en réalité disponible tous les jours pour son enfant et l'intimée seulement 35% de son temps, de surcroît les mardis matin et les vendredis après-midi, notamment, lorsque l'enfant est à l'école. Il ajoute que, même à supposer que les cours qu'il dispense les mercredis après-midi poseraient problème, l'intimée pourrait exercer son droit de visite durant cette période aussi. Il ajoute également que, en lui imposant d'augmenter son temps de travail pour justifier l'attribution de la garde, la cour renverse la répartition des tâches établie depuis plus de dix ans, qui lui permettait de rester disponible pour ses enfants de manière quotidienne.
Il affirme aussi que l'autorité cantonale n'a pas examiné les autres critères essentiels pour attribuer la garde, notamment la nécessité de garantir à l'enfant une stabilité, qui impose que celui-ci demeure avec son parent référent, et le besoin de l'enfant de demeurer avec les membres de sa fratrie. A cet égard, il expose qu'il a continué de s'occuper de son fils à raison des 2/3 du temps depuis la séparation, que l'intimée habite en France voisine depuis le mois de février 2013 et exerce son droit de visite depuis lors à son nouveau domicile, et que son fils majeur a décidé de rester avec lui. Il ajoute que la cour cantonale n'a pas pris en compte le comportement de l'intimée néfaste à la communication et au maintien des contacts avec le parent non gardien tel qu'exposé au SPMi par le fils aîné.
Le recourant affirme enfin que l'autorité cantonale n'a pas tenu compte du fait que les parties ont choisi durant la vie commune un schéma traditionnel inversé et qu'elle favorise la mère aux dépens du père.
4.2.3. L'intimée allègue que le recourant a cessé son activité lucrative exclusivement pour se consacrer à ses projets musicaux, et non à l'éducation des enfants, qu'il n'a entrepris aucune démarche pour retrouver un emploi, que la procédure de mesures protectrices de l'union conjugale a duré plus de 21 mois mais que cela ne doit pas profiter à son époux qui a exercé des recours, et que, contrainte de quitter le domicile conjugal sans ses enfants, il serait injuste que le temps écoulé depuis son départ soit un argument en sa défaveur. Elle affirme ensuite que la décision cantonale qui lui accorde la garde de son fils cadet au motif que ses horaires sont plus adaptés à la prise en charge de cet enfant n'est pas arbitraire, ce d'autant plus que, si le recourant étend son activité lucrative, il n'aura pas la même flexibilité qu'elle qui travaille en qualité d'indépendante à 65%. Elle ajoute que, même si elle a quitté le domicile conjugal, les parties ont provisoirement convenu d'une garde alternée et qu'elle ne s'oppose pas au droit de visite du recourant, de sorte que la décision attaquée qui lui attribue la garde n'entraîne aucun bouleversement pour l'enfant " la seule différence résidera dans le fait qu'il ne vivra plus avec son père, mais avec sa mère ", et que le choix de l'enfant majeur de vivre avec le recourant ne doit pas être pris en considération. Elle affirme également qu'elle n'a jamais cherché à miner la relation du recourant avec ses enfants.
4.3.
4.3.1. En vertu de l'<ref-law>, relatif à l'organisation de la vie séparée, lorsque les époux ont des enfants mineurs, le juge ordonne les mesures nécessaires d'après les dispositions sur les effets de la filiation (cf. <ref-law>); il peut, notamment, attribuer la garde des enfants à un seul des parents. Les principes posés par la jurisprudence et la doctrine en matière de divorce sont applicables par analogie (<ref-ruling> consid. 5.3; arrêt 5A_319/2013 du 17 octobre 2013 consid. 2, publié in FamPra.ch 2014 p. 177). La règle fondamentale en ce domaine est l'intérêt de l'enfant. Au nombre des critères essentiels, entrent en ligne de compte les relations personnelles entre parents et enfants, les capacités éducatives respectives des parents, leur aptitude à prendre soin de l'enfant personnellement et à s'en occuper, ainsi qu'à favoriser les contacts avec l'autre parent; il faut choisir la solution qui, au regard des données de l'espèce, est la mieux à même d'assurer à l'enfant la stabilité des relations nécessaires à un développement harmonieux des points de vue affectif, psychique, moral et intellectuel. Lorsque le père et la mère offrent des conditions équivalentes, la préférence doit être donnée, dans l'attribution d'enfants en âge de scolarité ou qui sont sur le point de l'être, à celui des parents qui s'avère le plus disponible pour les avoir durablement sous sa propre garde, s'occuper d'eux et les élever personnellement. Si le juge ne peut se contenter d'attribuer l'enfant au parent qui en a eu la garde pendant la procédure, ce critère jouit d'un poids particulier lorsque les capacités d'éducation et de soin des parents sont similaires (<ref-ruling> consid. 5.3; arrêts 5A_848/2012 du 11 février 2013 consid. 3.1.2, publié in FamPra.ch 2013 p. 458; 5A_621/2010 du 8 mars 2011 consid. 2.1, publié in FamPra.ch 2011 p. 746; 5A_495/2008 du 30 octobre 2008 consid. 3.1, publié in FamPra.ch 2009 p. 238).
Pour apprécier ces critères, le juge du fait dispose d'un large pouvoir d'appréciation. Dans les recours limités à l'arbitraire, le Tribunal fédéral n'intervient que si le juge s'est écarté sans motif des principes établis par la doctrine et la jurisprudence, lorsqu'elle s'est fondée sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle pour la solution du cas d'espèce, ou lorsque, au contraire, elle n'a pas tenu compte de circonstances qui auraient impérativement dû être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1; arrêt 5A_319/2013 du 17 octobre 2013 consid. 2.1, publié in FamPra.ch 2014 p. 177).
4.3.2. En l'espèce, l'autorité cantonale a versé dans l'arbitraire en attribuant la garde de l'enfant à l'intimée.
L'autorité cantonale a tout d'abord ignoré le critère de stabilité, d'un poids particulier lorsque, comme c'est précisément le cas ici, les capacités des parents sont jugées équivalentes. En effet, il résulte du dossier que, bien que les deux parents aient participé à la prise en charge de l'enfant durant la vie commune, le recourant a, depuis la naissance de l'enfant cadet, travaillé à domicile à un pourcentage d'environ 25% - l'autorité cantonale ayant arrêté à une dizaine le nombre d'heures de cours de musique dispensées, à raison d'une quinzaine d'élèves suivant des cours de 30 à 45 minutes, et n'ayant pas quantifié le temps dédié par le recourant à son groupe de musique -, tandis que l'intimée a travaillé à 80%, puis à 65% dès les 6 ans de cet enfant. Par ailleurs, si, à l'introduction de la procédure matrimoniale en juin 2012, chacune des parties a continué à prendre en charge l'enfant suivant leurs jours disponibles (cf. rapport du SPMi p. 4), l'intimée a quitté le domicile conjugal sans son fils en février 2013 et, dès le 26 juin 2013, le recourant a obtenu l'effet suspensif à son appel contre la décision de première instance du 21 mars 2013 attribuant la garde de l'enfant et le domicile conjugal à la mère. Même si le recourant affirme lui-même que l'intimée a continué à s'occuper de leur enfant malgré son changement de domicile, il n'en demeure pas moins que, au moment où l'autorité cantonale a statué, l'enfant avait demeuré depuis plus de 6 mois avec son père au domicile conjugal. L'autorité cantonale ne pouvait faire fi de cet élément, d'autant moins que, durant la vie commune, le recourant s'était déjà occupé largement de son fils depuis sa naissance.
Ensuite, le seul critère de l'horaire que l'autorité cantonale a tenu pour prépondérant ne relègue manifestement pas à l'arrière-plan celui de la stabilité: même si ce fait ne ressort pas clairement de l'arrêt, la cour semble avoir accordé un poids particulier à la disponibilité de la mère le mercredi en raison du fait que l'enfant aurait congé ce jour-là. Néanmoins, ce critère doit fortement être relativisé, compte tenu du fait que, même s'il prodigue ses cours de musique en partie ce jour-là, le recourant est à la maison aussi les mercredis, que, en sa qualité d'indépendant, il peut lui aussi adapter ses horaires en fonction des besoins de l'enfant, notamment pour être présent durant les repas, que l'enfant, âgé d'une dizaine d'années, est doué d'une certaine autonomie, et, enfin et surtout, qu'il demeure que le recourant travaille non seulement à domicile mais aussi à un pourcentage moins élevé que l'intimée. Par surabondance, comme il sera exposé ci-après (cf. infra consid. 6), l'autorité cantonale relevant elle-même que, au vu de l'investissement particulier des deux parents dans l'éducation de l'enfant, un large droit de visite doit être instauré en faveur du parent non gardien également durant la semaine, la prise en charge de l'enfant les mercredis peut se régler par le droit de visite.
Enfin, s'agissant du taux d'activité des parties, il faut ajouter que l'autorité cantonale ne peut pas être suivie dans sa méthode consistant à d'abord décider que le recourant doit augmenter son taux d'activité, alors que l'intimée ne travaille qu'à 65% et pourrait vraisemblablement augmenter son taux d'activité au vu de sa qualité d'indépendante, puis à décider de l'attribution de la garde de l'enfant: il faut, bien au contraire, attribuer la garde notamment en fonction du critère de la disponibilité actuelle puis décider d'une éventuelle augmentation du taux d'activité du parent gardien sur la base de l'<ref-law>, lors de la fixation des contributions d'entretien à la famille, si les ressources manquent.
Les arguments supplémentaires à ceux de l'autorité cantonale que l'intimée présente n'infirment en rien ce qui précède. Pour la plupart, il s'agit de faits qui n'ont pas été retenus pas l'autorité cantonale et dont l'intimée ne dénonce pas l'établissement arbitraire; ils sont donc irrecevables. Pour le reste, que les motivations qui ont poussé l'intimée à quitter le domicile conjugal soient ou non fondées, le critère principal à prendre en considération est l'intérêt de l'enfant, qui impose que celui-ci ne soit pas séparé du recourant avec lequel il est demeuré depuis la séparation des parties.
Au vu de ce qui précède, le grief d'arbitraire de l'application de l'<ref-law> doit d'être admis et l'arrêt attaqué réformé en ce sens que la garde de l'enfant est attribuée au recourant.
Il en résulte également que l'intimée doit être condamnée à verser, par mois et d'avance, en mains du recourant, une contribution d'entretien de 700 fr., allocations familiales non comprises, en faveur de son fils, étant précisé que les parties ne contestent pas le coût d'entretien de cet enfant.
5.
S'agissant du logement conjugal, l'autorité cantonale a considéré que l'intérêt de l'enfant commandait de ne pas modifier son cadre de vie. En conséquence, le logement doit être attribué au recourant, ce d'autant plus que celui-ci y exerce son activité professionnelle et que l'intimée a déjà quitté ce domicile depuis le mois de février 2013. Néanmoins, étant donné qu'il ressort du dossier que celle-ci n'a pas pris de bail à son nom mais habite auprès d'une amie, il y a lieu de lui fixer un délai raisonnable pour trouver un logement où elle pourra déménager ses biens du logement conjugal. Sur ce point, il y a lieu de reprendre le délai de 3 mois que l'autorité cantonale avait fixé au recourant pour accomplir la même démarche, compte tenu de la situation locale.
L'arrêt attaqué est ainsi réformé sur ce point également, en ce sens que la jouissance du domicile conjugale est attribuée au recourant, qui en assumera les charges (frais hypothécaires, charges de copropriété, frais d'électricité), un délai de trois mois dès la notification de l'expédition complète du présent arrêt étant imparti à l'intimée pour libérer ledit domicile de ses biens.
6.
S'agissant du droit de visite, l'autorité cantonale a réformé la décision de première instance en instaurant un droit de visite notamment deux soirs par semaine, au lieu d'un ou deux soirs, comme fixé par le premier juge, par souci de clarté et compte tenu de l'apport important du père dans l'éducation de son fils.
Cette argumentation doit être reprise pour apprécier la situation de l'intimée. Néanmoins, afin d'éviter à l'enfant des déplacements trop fréquents les semaines où le droit de visite s'exerce durant le week-end et au vu de la disponibilité de la mère le mercredi, ce droit s'exercera, s'agissant du week-end, jusqu'au dimanche soir, au lieu du lundi matin, et, s'agissant de la semaine, du mardi soir au mercredi soir, au lieu de deux soirs indéterminés.
L'arrêt attaqué est ainsi réformé sur ce point également, en ce sens qu'un large droit de visite sur l'enfant est réservé à l'intimée, qui devra s'exercer, faute d'accord entre les parties, du vendredi soir au dimanche soir, ce un week-end sur deux, du mardi soir au mercredi soir, ainsi que la moitié des vacances scolaires.
7.
Il faut encore fixer la contribution d'entretien due au recourant.
7.1. L'autorité cantonale a arrêté les revenus mensuels nets de l'intimée à 14'098 fr. 50, ses charges mensuelles incompressibles à 4'409 fr. 10, comprenant 1'350 fr. correspondant au minimum vital pour débiteur monoparental, 1'339 fr. correspondant à 70% des charges liées à la villa familiale (frais hypothécaires, charges de copropriété, frais d'électricité), les 30% restants étant imputés aux deux enfants, et le coût d'entretien de l'enfant mineur à 700 fr., déduction faite des allocations familiales de 300 fr., de sorte qu'elle a arrêté le disponible de l'intimée à 9'500 fr. environ.
Elle a arrêté les revenus mensuels bruts du recourant à 2'000 fr. et ses charges mensuelles incompressibles à 3'659 fr. 30, comprenant 1'200 fr. correspondant au minimum vital pour un débiteur seul et 1'835 fr. correspondant au loyer d'un appartement de 4 pièces à Genève, de sorte qu'elle a arrêté le déficit du recourant à 1'659 fr. 30. L'autorité cantonale a considéré que le recourant devait étendre son activité professionnelle au motif qu'on ne pouvait plus raisonnablement compter sur la reprise de la vie commune et qu'il avait au demeurant lui-même déclaré devant le premier juge qu'il comptait travailler plus pour participer davantage à l'entretien de la famille. Précisant que le recourant était occupé environ dix heures par semaine par ses cours de musique, elle a estimé que, compte tenu de l'attribution de la garde de l'enfant à la mère, le recourant pouvait augmenter son activité de manière substantielle, ou trouver un emploi fixe, dans un délai d'un an et réaliser un revenu de 4'000 fr. au minimum pour couvrir ses propres charges. Elle a encore ajouté que l'intimée avait toujours assumé l'essentiel des charges du ménage et que le revenu du recourant suffisait à celui-ci pour couvrir ses charges tant qu'il n'avait pas de loyer à assumer.
Au vu de ces éléments, l'autorité cantonale a fixé la contribution d'entretien due au recourant à 2'000 fr. dès son départ du domicile conjugal, jusqu'au 30 septembre 2014.
L'autorité cantonale a ensuite fixé le coût d'entretien de l'enfant majeur à 1'400 fr., déduction faite des allocations familiales de 400 fr., et a fait supporter ce coût à l'intimée. Compte tenu du disponible de celle-ci, l'autorité a fixé la contribution d'entretien de l'enfant majeur à 2'000 fr.
7.2. Le recourant conclut à une contribution d'entretien globale pour la famille de 7'000 fr. dès le 5 juin 2012. Néanmoins, dans son argumentation, il se borne à reprocher à l'autorité cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire en lui octroyant un délai trop court, selon lui de 9 mois, pour augmenter son activité lucrative et réaliser un revenu de 4'000 fr., alors que son fils cadet n'a pas encore 10 ans. En revanche, il ne conteste ni son devoir d'augmenter son taux d'activité même s'il obtient la garde de l'enfant, ni la méthode de calcul concrète appliquée par l'autorité cantonale pour fixer la contribution d'entretien.
7.3.
7.3.1. En mesures protectrices de l'union conjugale, comme d'ailleurs en mesures provisionnelles pour la durée de la procédure de divorce, même lorsque l'on ne peut plus sérieusement compter sur la reprise de la vie commune, l'<ref-law> demeure la cause de l'obligation d'entretien réciproque des époux (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 3.2).
Pour fixer la contribution d'entretien, selon l'<ref-law>, le juge doit partir de la convention, expresse ou tacite, que les époux avaient conclue au sujet de la répartition des tâches et des ressources entre eux durant la vie commune. Le juge doit ensuite prendre en considération qu'en cas de suspension de la vie commune (art. 175 s. CC), le but de l'<ref-law>, soit l'entretien convenable de la famille, impose à chacun des époux le devoir de participer, selon ses facultés, notamment par la reprise ou l'augmentation de son activité lucrative, aux frais supplémentaires qu'engendre la vie séparée. Le juge peut donc devoir modifier la convention conclue pour la vie commune, pour l'adapter à des faits nouveaux (<ref-ruling> consid. 3.1).
7.3.2. Un conjoint peut se voir imputer un revenu hypothétique, pour autant qu'il puisse gagner plus que son revenu effectif en faisant preuve de bonne volonté et en accomplissant l'effort que l'on peut raisonnablement exiger de lui. L'obtention d'un tel revenu doit donc être effectivement possible (<ref-ruling> consid. 4.2.2.2; <ref-ruling> consid. 4a).
La capacité de pourvoir soi-même à son entretien est susceptible d'être limitée totalement ou partiellement par la charge que représente la garde des enfants. En principe, même en mesures protectrices de l'union conjugale, on ne peut exiger d'un époux la prise ou la reprise d'une activité lucrative à un taux de 50 % avant que le plus jeune des enfants n'ait atteint l'âge de 10 ans révolus, et de 100 % avant qu'il n'ait atteint l'âge de 16 ans révolus (arrêt 5A_319/2013 du 17 octobre 2013 consid. 2.3.3, publié in FamPra.ch 2014 p. 177; cf aussi, <ref-ruling> consid. 3c). Ces lignes directrices sont toujours valables dès lors que la garde et les soins personnels sont dans l'intérêt des enfants en bas âge, ainsi que de ceux en âge de scolarité, et que les soins personnels représentent un critère essentiel lors de l'attribution de la garde (<ref-ruling> consid. 4.2.2.2; arrêt 5A_210/2008 du 14 novembre 2008 consid. 3.2, non publié in <ref-ruling>). Elles ne sont toutefois pas des règles strictes; leur application dépend des circonstances du cas concret (<ref-ruling> consid. 4.2.2.2; arrêt 5A_241/2010 du 9 novembre 2010 consid. 5.4.3), notamment de ce qui a été convenu durant la vie commune ou des capacités financières du couple (arrêt 5A_65/2013 du 4 septembre 2013 consid. 4.2.2). Le juge du fait tient compte de ces lignes directrices dans l'exercice du large pouvoir d'appréciation qui est le sien (<ref-ruling> consid. 4).
7.3.3. En l'espèce, statuant le 30 août 2013, l'autorité cantonale a fixé un délai d'un an environ, soit jusqu'au 30 septembre 2014, au recourant pour augmenter le taux de son activité lucrative dans son domaine afin de réaliser un revenu de 4'000 fr. Vu que cette autorité a également établi que le recourant réalisait actuellement un revenu total de l'ordre de 2'000 fr., à raison d'une dizaine d'heures de travail par semaine, ce qui représente environ 25%, et d'une activité accessoire au sein d'un groupe de musique, dont l'étendue n'est pas établie, le recourant ne démontre pas que l'augmentation retenue lui imposerait de travailler à un taux d'activité supérieur à 50% environ. Bien au contraire, le recourant présente une critique purement appellatoire en se bornant à affirmer, sans la moindre explication, que le délai serait de 9 mois et qu'il serait trop court. Par ailleurs, sa critique selon laquelle on ne peut pas exiger de lui qu'il augmente son taux d'activité tant que son enfant n'a pas 10 ans révolus est sans portée, étant donné que cet enfant a précisément atteint cet âge-là en février 2014.
Pour le reste, la critique en lien avec le loyer de son fils majeur est tout simplement incompréhensible et le recourant ne présente aucune argumentation à l'appui de sa conclusion selon laquelle la pension devrait être globale, d'un montant de 7'000 fr., et due dès le 5 juin 2012; en particulier, il ne s'attaque pas de manière conforme aux exigences de l'<ref-law> à l'argumentation de l'autorité cantonale selon laquelle le recourant n'était pas fondé à réclamer un arriéré d'entretien dès lors que l'intimée avait toujours assumé l'essentiel des charges du ménage.
Ainsi, par sa critique, le recourant ne démontre pas l'arbitraire de la décision attaquée, ce d'autant plus que l'autorité cantonale a relevé que le recourant avait lui-même déclaré durant la procédure devant le premier juge qu'il comptait augmenter son taux d'activité.
Il reste donc uniquement à adapter la contribution d'entretien du recourant en fonction de la modification de l'attribution de la garde et du domicile conjugal, sur la base de l'état de fait et la méthode de calcul concrète de l'arrêt attaqué dont le recourant n'a pas dénoncé le caractère arbitraire.
Les charges mensuelles incompressibles du recourant comprennent le montant de base OP pour un débiteur monoparental, de 1'350 fr., la prime d'assurance-maladie, de 389 fr. 50, les cotisations sociales, de 91 fr., l'impôt et l'assurance pour le véhicule, de 26 fr. et 117 fr. 80, et le loyer représentant 70% des coûts de la villa familiale, de 1'339 fr. 10 (frais hypothécaires, charges de copropriété, frais d'électricité), étant précisé que le solde de 30% entre dans les charges des enfants, soit un total de 3'313 fr. 40.
Au vu de son revenu brut de 2'000 fr. jusqu'à la fin du mois d'août 2014, son déficit mensuel est de 1'315 fr. environ au lieu du montant de 1'660 fr. environ retenu par l'autorité cantonale. Néanmoins, le Tribunal fédéral étant lié par les conclusions des parties dans les procès soumis au principe de disposition comme c'est le cas pour la contribution d'entretien entre époux (<ref-law>), il n'y a pas lieu de réduire la contribution d'entretien due au recourant en raison de ces charges moindres que celles calculées par l'autorité cantonale. Au demeurant, cette autorité a fixé la contribution d'entretien à 2'000 fr. en raison de l'important disponible de l'intimée; cette argumentation reste admissible, au vu également des besoins très restreints dont il est tenu compte.
Ainsi, l'arrêt attaqué sera réformé uniquement quant au point de départ du versement de la pension, qui doit être fixé au 1 er septembre 2013, compte tenu de l'attribution du domicile conjugal au recourant dès cette date.
L'autorité cantonale a retenu que l'intimée a toujours continué de payer "les frais du ménage ", raison pour laquelle elle a jugé que la contribution d'entretien ne serait due au recourant qu'à partir de la date où il aurait quitté cette villa. Au vu de cet état de fait, il faut préciser que, à condition que l'intimée ait continué de prendre en charge les coûts du logement, de 1'913 fr. au total, elle pourra encore imputer ce montant sur les pensions dues au recourant et à l'enfant, qui comprennent une part de coût de logement, à raison de 70% sur la contribution de l'époux (1'339 fr. 10) et de 15% sur la contribution due à D._ (286 fr. 95).
8.
Le recourant se plaint ensuite de l'application arbitraire des art. 159 al. 3 et 163 ss CC, en tant que l'autorité cantonale a refusé de lui accorder une provisio ad litem de 5'000 fr.
8.1. L'autorité cantonale a constaté que, au 30 juin 2012, le recourant ne disposait que d'un montant de 1'507 fr. 50 sur son compte postal mais qu'il n'était toutefois pas vraisemblable qu'il eût utilisé intégralement le prêt de 297'000 fr. que l'intimée lui avait octroyé puisqu'il avait seulement expliqué avoir prêté 167'304 fr. à un ami, de sorte qu'il devrait lui rester un solde de 130'000 fr. Pour ce motif, l'autorité a rejeté la conclusion du recourant tendant au versement d'une provisio ad litem.
8.2. En l'espèce, le recourant se borne à répéter qu'il ne reste que 1'507 fr. 50 sur son compte et affirme que le fait que le prêt ne doit être remboursé qu'à la vente de la villa confirme qu'il n'a pas de liquidités. Cette argumentation est appellatoire et ne démontre en rien l'arbitraire de la constatation selon laquelle le recourant n'a pas démontré avoir utilisé l'entier du prêt.
Au vu de ce qui précède, le grief doit être déclaré irrecevable.
Pour les mêmes motifs, la requête d'assistance judiciaire du recourant doit être rejetée.
9.
Dans un dernier grief, le recourant invoque la violation de l'art. 5 al. 3 Cst. au motif que l'autorité cantonale a statué le 30 août 2013, soit le jour-même où elle a adressé au Tribunal fédéral le courrier selon lequel elle statuerait sur le fond de la cause en septembre. Il lui reproche de n'avoir pas attendu pour rendre son arrêt, ce qui lui aurait permis de prendre en considération l'arrêt du Tribunal fédéral ainsi que des faits nouveaux importants.
On ne décèle en l'espèce aucune violation de l'art. 5 al. 3 Cst., ce d'autant moins que l'autorité cantonale a informé les parties le 5 juin 2013 de la mise en délibération de la cause: il est dans l'ordre des choses qu'un certain délai s'écoule entre le moment où le juge prend sa décision et celui où celle-ci est notifiée aux parties, avec la motivation.
Pour autant que recevable, le grief doit donc être rejeté.
10.
En conclusion, le recours en matière civile est partiellement admis et la décision attaquée est réformée comme suit: le droit de garde de l'enfant D._ est attribué au recourant. Le droit de visite de l'intimée sur cet enfant est réservé; à défaut d'accord entre les parties, ce droit devra s'exercer du vendredi soir au dimanche soir, ce un week-end sur deux, du mardi soir au mercredi soir, et la moitié des vacances scolaires. La jouissance du domicile conjugal est attribuée au recourant, un délai de 3 mois dès la notification des motifs du présent arrêt étant imparti à l'intimée pour libérer ledit domicile de ses biens. L'intimée est condamnée à contribuer à l'entretien du recourant par le versement d'une pension de 2'000 fr., par mois et d'avance, dès le 1 er septembre 2013. L'intimée est condamnée à contribuer à l'entretien de D._ par le versement d'une pension de 700 fr., allocations familiales non comprises, par mois et d'avance, en mains du recourant, dès le 1 er septembre 2013. La requête d'assistance du recourant est rejetée. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à raison d'1/3 à charge du recourant et de 2/3 à charge de l'intimée (<ref-law>). Celle-ci versera au recourant le montant de 2'000 fr. à titre de dépens (<ref-law>). La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure cantonale.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours en matière civile est partiellement admis et la décision attaquée est réformée comme suit:
1.1. La garde de D._, né le 20 février 2004, est attribuée au recourant.
1.2. Le droit de visite de l'intimée sur D._ est réservé; à défaut d'accord entre les parties, il devra s'exercer du vendredi soir au dimanche soir, ce un week-end sur deux, du mardi soir au mercredi soir, et la moitié des vacances scolaires.
1.3 La jouissance du domicile conjugal est attribuée au recourant, un délai de 3 mois dès la notification des motifs du présent arrêt étant imparti à l'intimée pour libérer ledit domicile de ses biens.
1.4 L'intimée est condamnée à contribuer à l'entretien du recourant, du 1 er septembre 2013 au 30 septembre 2014, par le versement, par mois et d'avance, d'une contribution d'entretien de 660 fr., puis de 2'000 fr. dès que l'intimée cessera de prendre en charge les coûts de la villa familiale (frais hypothécaires, charges de copropriété, frais d'électricité).
1.5. L'intimée est condamnée à contribuer à l'entretien de D._, dès le 1 er septembre 2013, par le versement, en mains du recourant, par mois et d'avance, allocations familiales non comprises, d'une contribution d'entretien de 410 fr., puis de 700 fr. dès que l'intimée cessera de prendre en charge les coûts de la villa familiale (frais hypothécaires, charges de copropriété, frais d'électricité).
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant à raison d'1/3 et à la charge de l'intimée à raison de 2/3.
4.
L'intimée est condamnée à verser au recourant une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
5.
La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile, au Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant de Genève et au Service de protection des mineurs.
Lausanne, le 28 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Achtari