Faits:
Faits:
A. A.a Le 21 décembre 1994 A._ & Cie (ci-après: la banque) a engagé X._ (ci-après: le recourant) en qualité d'économiste dans son département de gérance privée et d'études financières, afin qu'il s'occupe de certains marchés de l'Europe de l'Est. Le contrat de travail a été conclu pour une durée déterminée de six mois, soit jusqu'au 30 juin 1995.
Le 9 juin 1995 les parties ont signé un nouveau contrat de travail, avec effet au 1er juillet 1995. Celui-ci prévoyait une période d'essai de trois mois avec possibilité pour chacune des parties de se libérer moyennant un préavis de 7 jours, en référence à l'art. 14 de la Convention de travail de la corporation genevoise des banquiers privés ainsi qu'à l'<ref-law>. Le salaire annuel brut du recourant s'élevait à 120'000 fr. pour les années 1995 et 1996; s'y ajoutait une participation annuelle aux bénéfices (part variable) de 60'000 fr., garantie pour ces deux années uniquement.
Le contrat stipulait encore que le demandeur obtiendrait un nombre de parts à fin 1996 pour l'année 1997. Il précisait en outre que le nombre de parts et leur valeur étaient fixés par les associés de la banque à la fin de chaque année et dépendaient non seulement de la marche générale des affaires du groupe, mais aussi d'éléments subjectifs tels que les performances, le nombre d'années de service accomplies et la position du collaborateur au sein de l'entreprise.
Il résulte de la Convention de travail précitée que le demandeur avait droit à 28 jours de vacances par année de service.
A.b Dans le courant de l'année 1996, la banque a mené des négociations avec la banque B._ (ci-après: B._) en Pologne, en vue de créer et gérer en commun un fond d'investissements. Celui-ci a été constitué le 21 novembre 1996 sous la raison sociale "C._" (ci-après: C._ SA) et a été soumis au droit polonais. Le capital social était divisé en 100 parts détenues à raison de 50 par la banque et de 49 par B._, la part restante revenant à une société polonaise. Les organes de C._ SA étaient notamment le conseil de surveillance (supervisory board), dont faisait partie certains cadres de la banque, et le conseil de direction (management board), dont le recourant était l'un des deux membres.
A.c Le 20 décembre 1996, la banque a créé une société d'investissement à capital variable de droit luxembourgeois, le D._, pour une durée limitée au 31 décembre 2003, pouvant néanmoins être liquidée de manière anticipée. C._ SA était chargée de gérer ce fond, sous la responsabilité du conseil d'administration du D._, dont le recourant était membre.
A.d Le 5 mars 1997, C._ SA et le recourant ont conclu un contrat de gestion de durée "indéterminée", pouvant, après le 30 juin 1999, être résilié par la société moyennant un préavis de six mois. Ce contrat, soumis au droit polonais, stipulait que le recourant était membre du conseil de direction (managing board) jusqu'à l'assemblée générale de la société au printemps 1999. Il prévoyait en outre que le demandeur serait nommé pour un second mandat, sauf résiliation du contrat moyennant le préavis prévu, et qu'il pouvait être nommé pour un troisième mandat, voire d'autres mandats subséquents. Outre une rémunération de 1'000 US$, le contrat mettait le recourant au bénéfice de divers avantages, tels le logement familial, les frais d'écolage, les primes d'assurance vie et maladie. En cas de licenciement sans justes motifs avant le 30 juin 1999, le contrat prévoyait le versement d'un montant correspondant à la somme totale de la rémunération du recourant et des avantages reçus jusqu'à cette date. Si le recourant n'était pas reconduit dans ses fonctions après le 30 juin 1999 et avant le 30 juin 2002, il aurait droit à un montant correspondant à sa rémunération annuelle la plus récente ainsi qu'à tous les autres avantages. Si le recourant était licencié moyennant un préavis de six mois, il aurait droit à une indemnité correspondant à 50% de sa rémunération annuelle la plus récente et des avantages découlant du contrat.
Le 1er avril 1997, C._ SA et le recourant ont conclu un contrat de travail par lequel celui-ci s'engageait en tant que membre et président du conseil de direction (managing board) à gérer et à représenter la société. Sa rémunération s'élevait à 2'000 US$ par mois, les autres conditions prévues dans le contrat de gestion du 5 mars 1997 demeurant applicables. Le contrat de travail était conclu jusqu'à l'échéance du premier mandat du recourant en tant que membre du conseil de direction. Il pouvait être prolongé automatiquement pour d'autres mandats, en cas de réélection du recourant comme membre du conseil de direction. Le contrat de travail prévoyait également une indemnité en cas de licenciement du recourant avant le 30 juin 1999 ainsi qu'en cas de non-réélection après le 30 juin 1999 et avant le 30 juin 2002.
A.e Dès le 1er avril 1997, la banque a expatrié le recourant en Pologne où celui-ci a travaillé à temps complet pour C._ SA, tout en restant employé de la banque. Pour tenir compte du coût de la vie et de l'imposition fiscale à l'étranger, la rémunération du demandeur a été adaptée. Il lui a été alloué une prime d'expatriation (hardship) d'un taux de 45% sur le salaire suisse brut (de base + parts variables + allocations) après déduction de l'impôt suisse.
Le 31 mars 1998 C._ SA, à travers le recourant, et la banque E._ (ci-après: E._) ont fondé un "limited partnership" appelé D._-L.P., détenu principalement par E._. Le 2 avril 1998, D._-L.P. et D._ ont signé un accord d'investissement en vue de l'obtention de participations dans des sociétés polonaises non cotées en bourse.
Le 29 septembre 1998, la banque a accordé au recourant un prêt de 178'000 fr., destiné au rachat d'années d'assurance sur le fond de prévoyance de l'employeur, remboursable immédiatement en cas de cessation des relations avec la banque. Le solde au 3 août 2000 s'élevait à 114'455. 65 fr., montant admis par les parties.
A la suite d'une opération financière effectuée en Pologne début 1999, un des cadres de la banque, membre du conseil de surveillance de C._ SA, a sollicité des éclaircissements de la part du recourant, lequel, étant en arrêt de travail en Suisse, n'a pu les fournir. Le 7 mai 1999, le recourant a été réélu à l'unanimité au poste de président du conseil de direction de C._ SA, avec décharge. Le 26 mai 1999, il a conclu trois nouveaux contrats - de gestion, de travail et d'interdiction de concurrence - avec cette société. Les deux premiers sont similaires à ceux conclus en mars et avril 1997 et les remplacent. La rémunération mensuelle du recourant s'y élève respectivement à 7'750 US$ et à 8'750 US$. La durée de ces deux nouveaux contrats est indéterminée, chacune des parties pouvant résilier le contrat de gestion en tout temps, et le contrat de travail moyennant un préavis de six mois.
A.f Il ressort d'une note adressée au recourant le 20 août 1999 par l'un des cadres de la banque, membre du conseil de surveillance de C._ SA, que l'assemblée générale de celle-ci a dû être repoussée, en raison de l'absence de précisions au sujet d'une opération financière. Dans une note interne du 23 août 1999, adressée notamment au recourant la banque fait état du manque de confiance et des plaintes de E._ à l'égard de celui-ci.
Le 15 septembre 1999, deux cadres de la banque, membres du conseil de surveillance de C._ SA, ont signifié au recourant, dans les locaux de la société, la cessation des rapports de travail. Le président du conseil de surveillance de C._ SA en a fait de même pour ce qui est de cette société. La banque a confirmé son licenciement le 28 septembre 1999, tout en proposant au recourant un règlement à l'amiable.
Le 28 février 2000, la banque a vendu à B._ l'intégralité des actions qu'elle détenait dans C._ SA. La convention prévoyait que le prix de vente définitif serait fixé ultérieurement, en raison des prétentions du recourant et de E._.
Le recourant ayant été incapable de travailler du 15 septembre 1999 jusqu'à fin février 2000, la banque a reconfirmé, le 23 mars 2000, son licenciement pour le 31 mai 2000.
Le 25 avril 2000, le recourant et C._ SA ont signé une convention mettant un terme aux contrats de gestion et de travail des 26 mai 1999. Elle a attribué au recourant notamment une indemnité de 189'452.38 US$ pour la résiliation du contrat de gestion et la somme de 600'000 US$ en vertu d'une clause de non-concurrence en Pologne. Elle stipulait qu'elle ne concernait pas d'éventuels arrangements entre le recourant et la banque, lesquels devront être réglés séparément.
Le 25 avril 2000, le recourant et C._ SA ont signé une convention mettant un terme aux contrats de gestion et de travail des 26 mai 1999. Elle a attribué au recourant notamment une indemnité de 189'452.38 US$ pour la résiliation du contrat de gestion et la somme de 600'000 US$ en vertu d'une clause de non-concurrence en Pologne. Elle stipulait qu'elle ne concernait pas d'éventuels arrangements entre le recourant et la banque, lesquels devront être réglés séparément.
B. Par demande en justice déposée le 10 mars 2000, X._ a assigné la banque en paiement de différents montants, modifiés en cours de procédure, qui se décomposaient le 30 mai 2000 comme suit:
- 84'000 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 30.09.1999 à titre d'avance sur la part variable 1999;
- 154'500 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 31.12.1999 à titre de solde de la part variable 1999;
- 4'090 US$ plus intérêts à 5% l'an dès le 01.01.2000 à titre de solde de salaire pour le mois de décembre 1999;
- 15'000 US$ plus intérêts à 5% l'an dès le 02.01.2000 à titre de remboursement d'un avis de droit;
- 109'029 US$ plus intérêts à 5% l'an dès le 01.02.2000 à titre d'indemnité vacances représentant 65 jours de vacances non prises en nature;
- 1'526'406 US$ plus intérêts à 5% l'an dès le 01.02.2000 à titre de versement du salaire sur 3 ans et demi, soit jusqu'au 30 juin 2003 (3,5 fois le salaire annuel de 436'116 US$);
- 20'000 US$ à titre de frais de déménagement;
- 180'000 US$ à titre de paiement d'indemnités pour dommages et intérêts, en suite de la résiliation anticipée du contrat de bail en Pologne.
Par la suite, le recourant a amplifié ses conclusions en réclamant notamment 1'936'988 US$ à titre de salaire allant jusqu'au 31 décembre 2003.
Par jugement du 11 septembre 2001, le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève a condamné la banque à payer au recourant:
- la somme brute de 238'500 fr. avec intérêts moratoires à 5% l'an dès le 1er janvier 2000, à titre de parts variables, sous déduction de la somme nette de 114'455.65 fr. avec intérêts moratoires à 5% l'an dès le 3 août 2000;
- la somme brute de 4'090 US$ avec intérêts moratoires à 5% l'an dès le 1er janvier 2000, à titre de solde de salaire pour le mois de décembre 1999;
- la somme brute de 50'805 fr. avec intérêts moratoires à 5% l'an dès le 15 mars 2000, à titre d'arriéré de salaire jusqu'au 30 mai 2000;
- la somme brute de 29'434 fr. 40 avec intérêts moratoires à 5% l'an dès le 1er juin 2000, à titre d'indemnité de vacances.
Le Tribunal des prud'hommes a également condamné la banque à diffuser sur sa messagerie interne, dans leur intégralité, les considérants 11A. à 11C. de son jugement.
Le recourant a appelé de ce jugement. Par arrêt du 31 octobre 2002, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève a annulé ledit jugement quant à l'indemnité de vacances, qu'elle a fixée à 56'770 fr. au lieu de 29'434 fr. 40, et quant à la publication des considérants sur la messagerie interne de la banque.
C. Parallèlement à un recours en réforme, le recourant dépose un recours de droit public au Tribunal fédéral. Invoquant une application arbitraire (art. 9 Cst.) de la loi de procédure civile genevoise (LPC/GE) ainsi qu'une appréciation arbitraire des preuves, il conclut principalement à l'annulation de l'arrêt de la Cour d'appel et subsidiairement à ce qu'un second échange d'écritures soit ordonné.
L'intimée conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet.
La Cour d'appel se réfère à son arrêt.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 339; <ref-ruling> consid. 1 p. 227, et les arrêts cités).
En raison du principe de la subsidiarité absolue du recours de droit public, ce moyen n'est recevable que si la prétendue violation ne peut pas être soumise par une action ou par un autre moyen de droit quelconque au Tribunal fédéral (art. 84 al. 2 OJ).
En raison du principe de la subsidiarité absolue du recours de droit public, ce moyen n'est recevable que si la prétendue violation ne peut pas être soumise par une action ou par un autre moyen de droit quelconque au Tribunal fédéral (art. 84 al. 2 OJ).
2. 2.1 Invoquant l'art. 9 Cst., le recourant reproche, tout d'abord, à la Cour d'appel l'application arbitraire de l'art. 40 let. a de la loi de procédure civile du canton de Genève (LPC/GE). Cette disposition prévoit la condamnation à l'amende de la partie qui, pour fonder sa demande ou sa défense, a recours à des allégations intentionnellement inexactes, à des imputations calomnieuses ou à tout autre moyen de mauvaise foi.
Le recourant souhaitait faire condamner à une amende un organe de la banque, lequel, ayant été entendu à titre de renseignement durant la procédure, aurait, en sa qualité de partie à la procédure, rempli les conditions prévues à l'<ref-law>/GE pour une telle condamnation. La cour cantonale aurait omis de comparer les allégations de cet organe les unes aux autres, puis aux allégations d'autres témoins et enfin aux faits figurant dans les mémoires des parties. La Cour d'appel se serait limitée à examiner les déclarations de la personne entendue, telles que figurant dans trois procès-verbaux d'audience, pour en déduire l'absence d'affirmations intentionnellement fausses ou calomnieuses à l'égard du recourant. Elle n'aurait même pas fait allusion aux accusations de la personne entendue, et aurait fermé les yeux sur les mensonges faits sans nécessité, de mauvaise foi et dans le seul but d'induire la justice en erreur et de discréditer le recourant.
2.2 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2, 177 consid. 2.1, 273 consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5; <ref-ruling> consid. 2b, 60 consid. 5a).
Lorsque la partie recourante s'en prend à l'appréciation des preuves, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1).
2.3 La faculté pour les cantons d'instituer des contraventions de procédure est expressément réservée à l'<ref-law>. Leur but est de garantir le respect par les parties et leurs auxiliaires du principe de la bonne foi dans le procès (Bertossa/Gaillard/Guyet/ Schmidt, Commentaire de la loi de procédure civile du canton de Genève du 10 avril 1987, vol. I, n. 1 ad <ref-law>/GE). Le devoir de loyauté implique que les parties renoncent au mensonge, que ce soit par action ou par omission. Un exposé contraire à la vérité peut donc être sanctionné, notamment s'il résulte de l'interrogatoire des parties (Bertossa/Gaillard/Guyet/Schmidt, op. cit., n. 2 ad <ref-law>/GE).
2.4 Se fondant sur des procès-verbaux d'audience, sur une pièce du dossier et sur un autre témoignage, la Cour d'appel a considéré, en substance, que la personne en cause, entendue à titre de renseignement, a fait part de ce qu'elle savait et de ses sentiments, sans pour autant avoir voulu induire la justice en erreur ou attenter à l'honneur du recourant.
On peut considérer que la personne entendue en l'espèce l'a été en tant qu'auxiliaire de l'intimée. Par conséquent, l'<ref-law>/GE s'applique, quand bien même ladite personne n'a été entendue qu'à titre de renseignement.
Pour analyser les propos prétendument mensongers, la cour cantonale pouvait se référer aux procès-verbaux d'audience, lesquels étaient, du moins partiellement, corroborés par une pièce du dossier et par un témoignage. Du reste, le recourant lui-même se réfère aux procès-verbaux d'audience. Si l'autorité cantonale n'a pas repris dans le détail toutes les déclarations prétendument calomnieuses, comme le lui reproche le recourant, cela ne suffit pas pour taxer son appréciation des preuves d'arbitraire. Il apparaît bien plus que la cour cantonale s'est concentrée sur les principaux reproches, adressés au recourant par rapport à certaines opérations financières et repris par la personne entendue. Dans la mesure où ces reproches constituaient une faute professionnelle aux yeux de l'intimée, la cour cantonale pouvait sans arbitraire les tenir pour pertinents. Quant aux déductions qu'elle en a faites, elles ne sauraient être qualifiées de manifestement insoutenables. En effet, la cour cantonale a précisé, par rapport à chaque élément de la déclaration retenue, ce que la personne entendue voulait exprimer. Pour les juges cantonaux, la personne a décrit ce qu'elle savait ou croyait savoir, ce qu'elle pensait être un dysfonctionnement et ce qu'elle a vécu à titre personnel. Il n'y a là rien d'indéfendable.
Pour analyser les propos prétendument mensongers, la cour cantonale pouvait se référer aux procès-verbaux d'audience, lesquels étaient, du moins partiellement, corroborés par une pièce du dossier et par un témoignage. Du reste, le recourant lui-même se réfère aux procès-verbaux d'audience. Si l'autorité cantonale n'a pas repris dans le détail toutes les déclarations prétendument calomnieuses, comme le lui reproche le recourant, cela ne suffit pas pour taxer son appréciation des preuves d'arbitraire. Il apparaît bien plus que la cour cantonale s'est concentrée sur les principaux reproches, adressés au recourant par rapport à certaines opérations financières et repris par la personne entendue. Dans la mesure où ces reproches constituaient une faute professionnelle aux yeux de l'intimée, la cour cantonale pouvait sans arbitraire les tenir pour pertinents. Quant aux déductions qu'elle en a faites, elles ne sauraient être qualifiées de manifestement insoutenables. En effet, la cour cantonale a précisé, par rapport à chaque élément de la déclaration retenue, ce que la personne entendue voulait exprimer. Pour les juges cantonaux, la personne a décrit ce qu'elle savait ou croyait savoir, ce qu'elle pensait être un dysfonctionnement et ce qu'elle a vécu à titre personnel. Il n'y a là rien d'indéfendable.
3. Le recourant reproche ensuite à la cour cantonale une constatation arbitraire de ses salaires pour les années 1997 à 2000. Dans la mesure où l'arrêt rendu par la Cour de céans sur le recours en réforme implique que le montant des salaires versés sera déterminé à nouveau par la Cour d'appel, le grief du recourant est sans objet.
3. Le recourant reproche ensuite à la cour cantonale une constatation arbitraire de ses salaires pour les années 1997 à 2000. Dans la mesure où l'arrêt rendu par la Cour de céans sur le recours en réforme implique que le montant des salaires versés sera déterminé à nouveau par la Cour d'appel, le grief du recourant est sans objet.
4. Le recourant soutient encore que la cour cantonale a apprécié arbitrairement les preuves relatives à la conclusion d'un contrat de durée entre les parties. A ses yeux, l'autorité cantonale n'aurait pas discuté ou mentionné les nombreux indices allégués en cours de procédure; elle se serait basée sur des indices erronés ou dépourvus de toute force probante.
4.1 On ne peut comprendre le grief du recourant (cf. art. 90 al. 1 let. b OJ) que comme la violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). En effet, il résulte de ce droit constitutionnel l'obligation pour l'autorité de donner suite aux offres de preuve présentées en temps utile et dans les formes requises, à moins qu'elles ne soient manifestement inaptes à apporter la preuve ou qu'il s'agisse de prouver un fait sans pertinence (<ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 4a, et les arrêts cités). Le droit de faire administrer des preuves n'empêche pas le juge de procéder à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont offertes, s'il a la certitude qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion (ATF <ref-ruling> consid. 4a et les arrêts cités).
4.2 En l'espèce, la cour cantonale a recherché comment l'attitude des parties pouvait être comprise de bonne foi en fonction de l'ensemble des circonstances, comme il est précisé dans l'arrêt rendu par la Cour de céans sur le recours en réforme. Pour la cour cantonale, les parties auraient rédigé un nouveau contrat ou du moins un avenant au contrat écrit du 9 juin 1995, si elles avaient voulu déroger à la pratique de l'intimée, qui consistait à ne régler que les conditions salariales de ses employés expatriés, à l'exclusion de la durée de l'expatriation.
4.3 Dans la mesure où le recourant critique la décision cantonale en se fondant sur des faits qui ne sont pas juridiquement pertinents au regard du droit matériel et en vue de la solution juridique du litige, telle que retenue dans l'arrêt rendu sur le recours en réforme, son grief est irrecevable. Il en est ainsi notamment lorsqu'il tente de démontrer que son expatriation était atypique et, de ce fait, limitée dans la durée. De même, lorsqu'il se fonde sur les contrats conclus avec C._ SA ou sur le D._, pour en déduire l'existence d'un contrat de durée déterminée, conclu avec l'intimée. Le recourant ne peut pas non plus se limiter à présenter, de manière appellatoire, sa propre version des faits au sujet des preuves corroborant sa thèse du contrat de durée déterminée, en s'appuyant notamment sur une lettre qu'il aurait lui-même écrite à l'intimée le 25 novembre 1999, soit après que celle-ci lui a signifié son licenciement, et dans laquelle il expose que l'intimée l'avait engagé jusqu'au 31 décembre 2003.
5. 5.1 Le recourant soutient enfin que le refus de la cour cantonale de condamner l'intimée au paiement de dépens, en application de l'art. 76 de la loi genevoise sur la juridiction des prud'hommes, du 25 février 1999, est arbitraire. Ledit article prévoit que la procédure est gratuite pour les parties, sauf disposition contraire de la loi. Toutefois, le juge peut mettre les dépens et les frais de justice à la charge de la partie qui plaide de manière téméraire. Lorsque la violation est grave, le juge peut en outre infliger une amende de 2'000 fr. au maximum.
L'art. 40 let. c LPC/GE prévoit la condamnation à l'amende de la partie qui fait un emploi abusif des procédures prévues par la loi, notamment en agissant ou en défendant de manière téméraire. Selon Bertossa/Gaillard/Guyet/Schmidt, (op. cit., vol. I, n. 4 ad <ref-law>/GE), il convient d'être prudent dans l'appréciation du caractère abusif ou téméraire d'une action ou d'une défense, sans quoi l'on risque d'entraver de manière excessive le recours aux tribunaux. Il n'en demeure pas moins que celui qui multiplie les procédures inutiles ou qui s'obstine à soutenir des moyens infondés mérite sanction.
5.2 En l'espèce, l'intimée avait demandé reconventionnellement la condamnation du recourant à des dommages et intérêts, en raison d'une prétendue faute professionnelle de celui-ci dans la conduite de deux opérations financières. La cour cantonale a estimé que, dans le cadre de la première opération, le recourant avait agi de sa propre initiative, qu'il avait omis de demander un examen juridique, qu'il n'avait pas suffisamment informé ses supérieurs hiérarchiques et qu'il y avait eu, de ce fait, un danger pour C._ SA et le D._. Toutefois, l'arrêt cantonal conclut à l'absence de preuve du dommage lié à cette première opération financière. S'agissant de la deuxième opération financière, la cour cantonale a considéré qu'il n'y avait pas eu de dommage et que, dès lors, la prétendue mauvaise exécution du contrat par le recourant ne devait pas être examinée.
Au vu de ce qui précède, singulièrement l'admission restrictive des cas de témérité (cf. également Staehelin, Commentaire zurichois, n. 28 ad <ref-law>, qui exige une faute procédurale grave comme condition subjective nécessaire pour admettre la témérité), il n'apparaît pas que la cour cantonale ait abusé du pouvoir d'appréciation qui lui est reconnu dans ce domaine, de sorte que l'on ne saurait considérer son refus de mettre des dépens à la charge de l'intimée comme étant arbitraire.
Au vu de ce qui précède, singulièrement l'admission restrictive des cas de témérité (cf. également Staehelin, Commentaire zurichois, n. 28 ad <ref-law>, qui exige une faute procédurale grave comme condition subjective nécessaire pour admettre la témérité), il n'apparaît pas que la cour cantonale ait abusé du pouvoir d'appréciation qui lui est reconnu dans ce domaine, de sorte que l'on ne saurait considérer son refus de mettre des dépens à la charge de l'intimée comme étant arbitraire.
6. Cela étant, il n'y a pas lieu de donner suite à la requête du recourant, tendant à ce qu'un second échange d'écritures soit ordonné. Le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera les frais et les dépens de la procédure fédérale (art. 156 al. 1 et 159 al.1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 15'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 15'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 17'000 fr. à titre de dépens.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 17'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 29 janvier 2004
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: La greffière: