Sachverhalt:
A.
A.a. Gegen X._ läuft im Anschluss an ein Scheidungsverfahren eine Betreibung. Mit Eingabe vom 15. November 2013 erhob er beim Bezirksgericht Y._ als Aufsichtsbehörde über die Betreibungsämter Beschwerde. Er rügte die seiner Ansicht nach fehlerhafte Zustellung von drei Zahlungsbefehlen durch das Betreibungsamt Z._. Im Rahmen dieses Verfahrens hielt X._ in einem Schreiben vom 17. Januar 2014 fest, dass er aufgrund seines gesundheitlichen Zustands nicht in der Lage sei, zu den Vernehmlassungen der Beschwerdegegner Stellung zu nehmen. Gleichzeitig machte er geltend, dass sämtliche Richterinnen und Richter am Bezirksgericht Y._ in den Ausstand zu treten hätten, da sie sich gegen ihn im Wahlkampf um eine Richterstelle am Bezirksgericht Y._ befänden. Weiter beschuldigte er sie des Amtsmissbrauchs, da sie ohne einen entsprechenden Antrag ein Beweisverfahren eröffnet hätten, um ihn auf diese Weise bei Familienmitgliedern in Verruf zu bringen.
A.b. Am xx.xx.2014 fanden die Wahlen ans Bezirksgericht Y._ statt. X._, der www Stimmen erhielt, verpasste die Wahl. Gewählt wurden die bisherigen A._ (xxx Stimmen), B._ (yyy Stimmen) und C._ (zzz Stimmen).
A.c. Am 11. Februar 2013 qualifizierte das Bezirksgericht Y._ in der Besetzung mit B._, D._ und C._ das Ausstandsbegehren von X._ als völlig unsubstantiiert und trat darauf nicht ein. X._ gelangte in der Folge an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 24. März 2014 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde vom 8. April 2014 wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er wiederholt sein Begehren, wonach alle Richterinnen und Richter am Bezirksgericht Y._ in den Ausstand zu treten hätten. Gleichzeitig kritisiert er, dass über sein Ausstandsbegehren jene Richterinnen und Richter befunden hätten, gegen die sich das Ausstandsbegehren gerichtet habe. Eventualiter sei der Ausstand auf ein Jahr nach dem Wahlkampf zu beschränken, subeventualiter sei die Sache an das Obergericht zu verweisen. Zudem ersuchte er darum, ihm die Frist für die vollständige Bearbeitung der Beschwerde bis zum 20. Mai 2014 zu verlängern.
Das Bundesgericht teilte dem Beschwerdeführer am 9. April 2014 mit, dass es sich bei der Beschwerdefrist um eine gesetzliche Frist handelt, die nicht erstreckt werden kann (<ref-law>).
Dazu aufgefordert, einen Kostenvorschuss zu leisten, reagierte der Beschwerdeführer mit einem nachträglichen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 2. Juni 2014 hat das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt und die Behandlung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege vertagt.
Das Bundesgericht hat sich die vorinstanzlichen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 476).
1.2. Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 Bst. a BGG i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerde ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze gegeben (Art. 74 Abs. 2 Bst. c BGG). Angefochten ist ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid über den Ausstand. Dagegen ist die Beschwerde zulässig, ohne dass ein nicht wieder gutzumachender Nachteil darzutun wäre (<ref-law>). Die Vorinstanz hat als letzte kantonale Instanz entschieden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen; er ist durch den Entscheid der Vorinstanz besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Auf die rechtzeitig eingereichte (Art. 100 Abs. 2 Bst. a BGG) Beschwerde ist einzutreten.
2.
Gemäss <ref-law> obliegt die Regelung des Verfahrens vor den kantonalen Aufsichtsbehörden den Kantonen, unter Vorbehalt der bundesrechtlichen Vorgaben gemäss <ref-law> und der verfassungsrechtlichen Minimalanforderungen. Im Kanton Zürich verweist § 18 des kantonalen Einführungsgesetzes zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs vom 26. November 2007 (LS 281) auf § 83 ff. des zürcherischen Gesetzes über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess vom 10. Mai 2010 (LS 211.1). Diese Bestimmungen wiederum verweisen auf die Vorschriften der (schweizerischen) ZPO.
Für das Bundesgericht bedeutet dies, dass es die Handhabung der ZPO durch die Vorinstanz nicht frei überprüft, sondern bloss auf Willkür hin (<ref-law>). Dabei gilt das Rügeprinzip (<ref-law>). Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass ihm nach der ZPO bzw. nach kantonalem Recht weitergehende Rechte zustehen, als sie sich aus der Verfassung ergeben (vgl. zum Ganzen: Urteil 5A_336/2011 vom 8. August 2011 E. 2.2 mit Hinweisen). Das Rügeprinzip ist auch insofern zu beachten, als der Beschwerdeführer eine Verletzung des Anspruchs auf einen verfassungsmässigen Richter geltend macht (<ref-law>). Im Übrigen prüft das Bundesgericht die Verletzung dieser Bestimmung frei.
3.
Im vorliegenden Fall hat sich die Vorinstanz materiell mit dem Ausstandsbegehren befasst und es abgewiesen, obwohl das Bezirksgericht darauf mangels Substanziierung gar nicht eingetreten war. Gegen diese Vorgehensweise erhebt der Beschwerdeführer keine dem Rügeprinzip (E. 2) genügenden Einwände. Seine Kritik beschränkt sich im Wesentlichen auf den Vorwurf, dass sehr wohl die Möglichkeit bestanden hätte, Ersatzrichter oder ein anderes Gericht als das vom Ausstandsbegehren betroffene mit der Behandlung seines Ausstandsbegehrens zu beauftragen. Allein diese Möglichkeit genügt nicht, um den vorinstanzlichen Entscheid als willkürlich oder sonst wie als verfassungswidrig auszuweisen. In der Folge kann offenbleiben, ob im konkreten Fall die Voraussetzungen dafür erfüllt waren, dass die betreffenden Richterinnen und Richter des Bezirksgerichts Y._ am 11. Februar 2014 über das gegen sie gerichtete Ausstandsbegehren entscheiden durften (vgl. Urteil 1C_103/2011 vom 24. Juni 2011 mit Hinweisen).
4.
4.1. Zu beantworten bleibt die Frage, ob ein Richter in den Ausstand treten muss, weil er mit einer Partei im Wahlkampf um eine Richterstelle steht. Der Beschwerdeführer beruft sich dabei sinngemäss auf die Ausstandsgründe von Art. 47 Abs. 1 Bst. a und f ZPO. Nach der zuerst erwähnten Bestimmung hat eine Gerichtsperson in den Ausstand zu treten, wenn sie in der Sache ein persönliches Interesse hat. Nach der zweiten Bestimmung muss eine Gerichtsperson in den Ausstand treten, wenn sie wegen anderer als der im Gesetz erwähnten Gründe, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder ihrer Vertretung, befangen sein könnte.
4.2. Zumindest unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten ist im vorliegenden Fall weder der eine noch der andere Ausstandsgrund gegeben. So ist nicht zu erkennen, welches Interesse die Richter, deren Ausstand der Beschwerdeführer verlangt, am Ausgang des betreibungsrechtlichen Beschwerdeverfahrens haben könnten. Die Behauptung des Beschwerdeführers, dass die Richter im Fall einer Prozessniederlage von seiner wirtschaftlichen Schwächung profitieren könnten, ist an den Haaren herbeigezogen. Ebensowenig hilft dem Beschwerdeführer der Ausstandsgrund von Art. 47 Abs. 1 Bst. f ZPO weiter. Diese Norm begreift sich als Auffangtatbestand. Der darin vorgesehene Ausstandsgrund kann in einem besonders gearteten Bezug des Richters zu einer Partei liegen, so wenn eine besondere Verpflichtung zwischen dem Richter und einer Partei oder gar eine Abhängigkeit von einer Partei besteht. Dabei begründen eine politische Verbindung, ein kollegiales Verhältnis, die berufliche Beziehung, gemeinsames Studium oder Militärdienst noch keinen Ausstandsgrund. Keine Bedenken hinsichtlich der Unparteilichkeit erweckt im Allgemeinen auch die blosse Kollegialität unter Gerichtsmitgliedern. Bei der Anwendung von Art. 47 Abs. 1 Bst. f ZPO kommt es vielmehr darauf an, ob der Ausgang des Verfahrens bei objektiver Betrachtungsweise noch als offen erscheint (vgl. das ein Strafverfahren betreffendes Urteil 1B_121/2014 vom 13. Juni 2014 E. 2.1 mit Hinweis).
Diese Grundsätze gelten auch im vorliegenden Fall. Entsprechend begründet der Kampf um eine Richterstelle keinen Ausstandsgrund. Dies gilt zumindest so lange, als sich dieser Kampf in geordneten Bahnen abspielt, das heisst die abgelehnten Richter sich nicht zu persönlichen Angriffen auf ihren den Ausstand verlangenden Mitbewerber hinreissen lassen. Solche Ausrutscher werden vom Beschwerdeführer nicht geltend gemacht und sind auch nicht ersichtlich.
4.3. Geht man davon aus, dass ein Wahlkampf grundsätzlich keinen Ausstandsgrund begründet, gilt dies auch für die Zeit nach erfolgter Wahl. Entsprechend erübrigt es sich zu prüfen, ob die Vorinstanz zu Recht davon ausgegangen ist, dass der Beschwerdeführer sein Rechtsbegehren vor zweiter Instanz in unzulässiger Weise abgeändert hat, indem er verlangt hat, den Ausstandsgrund auf ein Jahr nach der Wahl festzulegen.
5.
Der Beschwerdeführer begründet sein Ausstandsbegehren zusätzlich damit, dass das Bezirksgericht Y._ entgegen dem einschlägigen Verfahrensrecht Zeugen einvernommen habe. Das Argument geht, wie dem Beschwerdeführer bereits die beiden Vorinstanzen erklärt haben, an der Sache vorbei. Materielle oder prozessuale Rechtsfehler vermögen den Ausstand der implizierten Gerichtspersonen nur dann zu begründen, wenn sie besonders krass sind und wiederholt auftreten, so dass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zu Lasten einer der Prozessparteien auswirken; andernfalls begründen sie objektiv keinen Anschein der Befangenheit (Urteil 1B_121/2014 vom 13. Juni 2014 E. 2.1 mit Hinweisen).
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Den besonderen Umständen des Falls entsprechend (vgl. E. 3) wird auf Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>). Dem Bezirksgericht Y._ und dem Betreibungsamt Z._ ist keine Parteientschädigung geschuldet (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist als gegenstandslos abzuschreiben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Y._, dem Betreibungsamt Z._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. September 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn