Sachverhalt:
A.
A.a. D._ (Kläger und Beschwerdegegner) befand sich am Abend des 10. September 1990 im letzten Wagen einer abfahrtbereiten Zugskomposition der Achterbahn "E._" des Schaustellerbetriebes A._, als eine weitere Zugskomposition am Ende ihrer Fahrt nicht ordnungsgemäss abgebremst wurde und von hinten auf die wartende Zugskomposition auffuhr. Die Unfallursache konnte nicht geklärt werden.
A.b. Am 11. September 1990 begab sich der Kläger zur ärztlichen Untersuchung in das Triemli-Spital in Zürich, wo ein Schleudertrauma der Hals- und Lendenwirbelsäule diagnostiziert wurde. In der Folge war der Kläger vollständig arbeitsunfähig, ab dem 11. Februar 1991 noch zu 50 %. Am 15. April 1991 nahm er seine Arbeit wieder auf, erlitt jedoch im Mai 1992 einen Rückfall. Ab dem 9. November 1992 war er zu 50 % arbeitsunfähig. Am 12. Dezember 1992 erlitt er einen Verkehrsunfall, der zu einer 100%-igen Arbeitsunfähigkeit führte.
A.c. Mit Verfügung vom 3. Februar 1993 sprach die Invalidenversicherung dem Kläger eine zweijährige Handelsausbildung zu, die er jedoch aufgrund anhaltender Konzentrationsstörungen nach einem Semester schon wieder abbrechen musste. Ab dem 20. September 1993 war er wiederum zu 50 % arbeitsunfähig.
Mit Verfügung vom 10. August 1995 sprach die IV dem Kläger eine ganze Rente ab 1. September 1994 zu, auf der Grundlage einer 75%-igen Erwerbsunfähigkeit.
B.
B.a. Am 15. Februar 1999 reichte der Kläger beim Zivilgericht Basel-Stadt Klage ein mit dem Begehren, A._ sei zur Leistung einer Genugtuung von Fr. 60'000.-- nebst Zins und Kosten zu verurteilen. Das Zivilgericht bejahte die Kausalität des Unfalls vom 10. September 1990 für die anhaltenden Beschwerden des Klägers und sprach ihm mit Urteil vom 26. Juni 2002 eine Genugtuung von Fr. 40'000.-- (abzüglich der von der SUVA geleisteten Integritätsentschädigung von Fr. 8'160.--) zu.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte dieses Urteil am 29. Oktober 2003.
B.b. Mit Klage vom 23. April 2003 beantragte der Kläger dem Zivilgericht Basel-Stadt, A._ sei zu verpflichten, ihm unter dem Titel Ersatz des Erwerbsausfalls (einschliesslich Rentenkürzung) Schadenersatz von Fr. 1'877'410.-- nebst Zins von Fr. 135'158.-- zu bezahlen sowie Zins zu 5 % auf Fr. 2'021'568.-- ab dem 23. April 2003, Mehrforderung vorbehalten.
Das Zivilgericht Basel-Stadt entschied am 21. November 2007; nachdem die Beklagte am 17. Juni 2004 verstorben war, traten ihre Erbinnen B._ und C._ als Beklagte in den Prozess ein. Mit rektifiziertem Urteil vom 28. Februar 2008 verurteilte das Zivilgericht die Beklagten, dem Kläger Fr. 237'288.-- nebst Zins zu 5 % ab 21. November 2007 zu bezahlen. Die Mehrforderung wies es ab.
B.c. Gegen das Urteil des Zivilgerichts Basel-Stadt reichte der Kläger am 5. März 2008 beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt Appellation ein mit dem Rechtsbegehren, die Erbinnen von A._ (Beklagte und Beschwerdeführerinnen) seien in Aufhebung des erstinstanzlichen Entscheides zu verpflichten, ihm Fr. 1'917'625.-- nebst Zins zu bezahlen, Mehrforderung vorbehalten.
Die Beklagten erhoben am 31. März 2008 Anschlussappellation mit dem Begehren auf Abweisung der Klage.
Nachdem die Parteien auf den 28. Oktober 2009 zu einer Verhandlung vorgeladen worden waren, reichten die Beklagten am 12. Oktober 2009 eine Noveneingabe samt eines Ermittlungsberichts und zwei DVD-Video-Zusammenschnitten eines "Investigation Service " ein, die dem Kläger am 23. Oktober 2009 zugestellt wurden. Nachdem das Gericht die beiden DVDs am 28. Oktober 2009 auszugsweise besichtigt hatte, brach es die Verhandlung ab. Mit Verfügung vom 30. November 2009 wurden die Parteien aufgefordert, Sachverständige für ein medizinisches Gutachten vorzuschlagen und Fragen zu stellen. Nachdem das Inselspital am 26. Oktober 2010 ein Gutachten und am 9. August 2013 ein Ergänzungsgutachten erstattet hatte, zog der Kläger am 14. November 2013 seine Appellation zurück mit der Feststellung, dass damit auch die Anschlussappellation entfalle.
Die Beklagten beantragten mit Eingabe vom 7. Februar 2014, es sei vom Rückzug der Appellation Kenntnis zu nehmen, der erstinstanzliche Entscheid sei in Gutheissung der Anschlussappellation aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Die Beklagten machten im Wesentlichen geltend, nach dem massgebenden kantonalen Prozessrecht sei die Anschlussappellation mit dem Beginn der Verhandlung vom 28. Oktober 2009 selbständig geworden.
Mit Entscheid vom 25. April 2014 erkannte das Appellationsgericht Basel-Stadt, das zweitinstanzliche Verfahren werde infolge Rückzugs der Appellation als erledigt abgeschrieben.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragen die Beklagten dem Bundesgericht, es sei festzustellen, dass die im vorinstanzlichen Verfahren erhobene Anschlussappellation selbständig geworden und zu beurteilen sei; weiter sei der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 25. April 2014 aufzuheben und die Sache zur materiellen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Das Appellationsgericht Basel-Stadt und der Beschwerdegegner schliessen in ihren Vernehmlassungen auf Abweisung der Beschwerde.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 11. Juli 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 133 mit Hinweisen).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Rechtsmittelentscheid eines oberen kantonalen Gerichts (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Sie ist innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) von der mit ihren Rechtsbegehren unterlegenen Partei (<ref-law>) eingereicht worden und bei der Streitsache handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>) mit einem Streitwert von über Fr. 30'000.-- (<ref-law>). Auf das Rechtsmittel ist unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) einzutreten.
1.2. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.1/2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
1.3. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Bundesverfassungsrecht gerügt werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382 f.). Nicht zu den in <ref-law> vorgesehenen Rügegründen gehört hingegen die Verletzung kantonalen Rechts, dessen Anwendung und Auslegung das Bundesgericht einzig unter dem Blickwinkel eines Verstosses gegen Bundesrecht oder gegen Bundesverfassungsrecht beurteilen kann (<ref-ruling> E. 2.4 S. 249; <ref-ruling> E. 4.3 S. 521 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382 f.).
1.4. Die eidgenössische ZPO ist am 1. Januar 2011 in Kraft getreten. Nach <ref-law> gilt das bisherige Verfahrensrecht für Verfahren, die bei Inkrafttreten dieses Gesetzes hängig waren, bis zum Abschluss vor der betroffenen Instanz. Das rektifizierte Urteil des erstinstanzlichen Zivilgerichts datiert vom 28. Februar 2008 und die Appellation wurde vom Beschwerdegegner am 5. März 2008, die Anschlussappellation der Beschwerdeführerinnen am 31. März 2008 erklärt. Auf das gesamte kantonale Verfahren bleibt damit die frühere Zivilprozessordnung des Kantons Basel-Stadt anwendbar, wie die Vorinstanz festhält und die Beschwerdeführerinnen zu Recht nicht bestreiten.
1.5. Das Bundesgericht kann die Anwendung des von den Beschwerdeführerinnen als verletzt gerügten <ref-law>/BS nicht frei überprüfen. Dies verkennen die Beschwerdeführerinnen weitgehend. Wenn sie unter Darstellung ihres Verständnisses der kantonalen Norm den Prozesssachverhalt aus ihrer Sicht schildern und der Vorinstanz vorwerfen, sie lasse unbeachtet, dass die Hauptverhandlung im Zeitpunkt des Rückzugs der Appellation bereits begonnen hatte, und berücksichtige die der kantonalen Norm zugrunde liegende ratio legis bei der Anwendung des Ausnahmesachverhaltes nicht, so üben sie rein appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil. Darauf ist nicht einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerinnen rügen, die Vorinstanz habe durch falsche Anwendung von <ref-law>/BS Verfassungsrecht verletzt, insbesondere ihren Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung vor Gerichten gemäss <ref-law> und § 12 Abs. 1 lit. a KV/BS sowie ihren Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> und § 12 Abs. 1 lit. b KV/BS . Ausserdem sehen sie in der Beendigung des Verfahrens ohne Urteil einen Verstoss gegen das in <ref-law> und § 10 KV/BS gewährleistete Willkürverbot und den Schutz von Treu und Glauben. Der Beschwerde ist freilich keine Begründung zu entnehmen, wonach die Tragweite der kantonalen Gewährleistungen über die bundesverfassungsmässigen Garantien hinausgehen würde.
2.1. <ref-law>/BS bestimmte unter dem Marginale "Zurückziehung der Appellation" das Folgende:
"Jede Partei kann die ergriffene Appellation zurückziehen, und zwar wenn die Akten dem Appellationsgericht noch nicht eingereicht sind, durch schriftliche Erklärung bei dem Präsidenten der ersten Instanz oder bei der Zivilgerichtsschreiberei; wenn die Einsendung schon stattgefunden hat, durch schriftliche Erklärung bei dem Präsidenten oder Schreiber des Appellationsgerichtes. Die Folge der Zurückziehung ist, dass, insofern die Gegenpartei nicht ihrerseits gleichfalls appelliert hat, das erstinstanzliche Urteil in Rechtskraft erwächst. Hat eine Anschliessung der Gegenpartei an die Appellation stattgefunden, so fällt sie mit der Zurückziehung dahin. Die von der Appellation wieder abstehende Partei trägt die bisher der Appellation wegen ergangenen Kosten. Von der Zurückziehung der Appellation ist der Gegenpartei durch die betreffende Gerichtskanzlei Anzeige zu machen."
2.2. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil unter Verweis auf den Wortlaut dieser Norm erkannt, dass die Anschlussappellation mit der Zurückziehung der Appellation dahinfällt. Der Auffassung der Beschwerdeführerinnen, wonach die Anschlussappellation "zu Beginn der Hauptverhandlung selbständig" geworden sei, hat sie widersprochen. Zwar bestehe seit 1939 eine Praxis, wonach entgegen dem Gesetzeswortlaut mit Beginn der öffentlichen Urteilsberatung eine Verselbständigung der Anschlussappellation eintrete. Es sollten damit taktische, ergebnisorientierte Appellationsrückzüge - namentlich bei Ausstellung des Verfahrens nach der Urteilsberatung - verhindert werden. Das Gericht verwies darauf, dass der von den Beschwerdeführerinnen für ihre Ansicht zitierte Autor ( R.J. BAERLOCHER, Das Rechtsmittelsystem des baselstädtischen Zivilprozesses, 1964) zwar die Entstehung der Praxis eingehend schildere, jedoch unzutreffend oder ungenau formuliere, wenn er die Verselbständigung der Anschlussappellation mit der Hauptverhandlung eintreten lassen wolle. Sowohl aus dem Leitentscheid des Appellationsgerichts vom 14. November 1958 (BJM 1959, S. 42) wie aus dem Kommentar zur Basler Zivilprozessordnung ( B. HABERTHÜR, Praxis zur Basler Zivilprozessordnung mit Erläuterungen, Bd. II, 1964, S. 898) ergebe sich klar, dass nach Beginn der (öffentlichen) zweitinstanzlichen Urteilsberatung der Rückzug der Appellation nicht mehr zum Dahinfallen der Anschlussappellation führen könne. Die Vorinstanz hat namentlich abgelehnt, in Ausdehnung der bisherigen Praxis eine weitere Ausnahme vom klaren Gesetzeswortlaut zuzulassen. In diesem Zusammenhang hat sie dargelegt, die Beschwerdeführerinnen würden eine noch weitere Ausdehnung des vom zitierten Autor nicht nur missverstandenen, sondern auch kritisierten Ausnahmetatbestandes beanspruchen, weil die Hauptverhandlung gar noch nicht begonnen habe.
2.3. Die Beschwerdeführerinnen stützen ihre Argumentation auf die Annahme, die "Verselbständigung" der Anschlussappellation trete nach der altrechtlichen kantonalen Praxis mit Beginn der Hauptverhandlung ein. Das Appellationsgericht zeigt jedoch im angefochtenen Urteil auf, dass erst nach Beginn der Urteilsberatung ein Rückzug der Appellation nach der ehemaligen kantonalen Praxis nicht mehr zum Dahinfallen der Anschlussappellation führte. Inwiefern eine solche Regelung - die dem geltenden <ref-law> entspricht (dazu <ref-ruling> E. 4 S. 789 ff.) - die von den Beschwerdeführerinnen angerufenen Grundrechte verletzen sollte, lässt sich der Beschwerde nicht entnehmen und wäre im Übrigen auch nicht ersichtlich.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Diesem Ausgang entsprechend tragen die Beschwerdeführerinnen die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens und haben dem anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner dessen Parteikosten zu ersetzen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtsgebühr von Fr. 6'000.-- wird den Beschwerdeführerinnen auferlegt (unter solidarischer Haftbarkeit und intern zu gleichen Teilen).
3.
Die Beschwerdeführerinnen haben den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen (unter solidarischer Haftbarkeit und intern zu gleichen Teilen).
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni