Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1980) stammt aus der Türkei. Das Migrationsamt des Kantons Aargau nahm ihn am 25. März 2008 in Ausschaffungshaft, welche der Präsident des Rekursgerichts im Ausländerrecht des Kantons Aargau am 25. März 2008 prüfte und bis zum 23. Juni 2008 bestätigte. Das Bundesgericht wies die von X._ hiergegen gerichtete Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten am 11. April 2008 ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 2C_270/ 2008).
1.2 Mit Urteil vom 8. Mai 2008 wies der Präsident des Rekursgerichts des Kantons Aargau ein Haftentlassungsgesuch von X._ ab, da die Voraussetzungen für dessen ausländerrechtliche Festhaltung nach wie vor gegeben seien. X._ ist hiergegen am 22. Mai 2008 mit dem Antrag an das Bundesgericht gelangt, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Seine Eingabe erweist sich aufgrund der eingeholten Unterlagen als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden; es erübrigt sich deshalb zu prüfen, ob sie den Begründungsanforderungen von <ref-law> genügt: Das Bundesgericht hat am 11. April 2008 die Haftvoraussetzungen umfassend geprüft und deren Vorliegen bejaht. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was die damalige Beurteilung in Frage stellen könnte. Er weigert sich nach wie vor, in die Türkei zurückzukehren, so dass nicht davon ausgegangen werden kann, dass er sich ohne Haft den Behörden für den Vollzug seiner Wegweisung freiwillig zur Verfügung halten wird (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f.). Sein (nachträglich) eingereichtes Asylgesuch hat den Wegweisungsentscheid nicht dahinfallen lassen, da mit dessen Beurteilung in absehbarer Zeit gerechnet werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 380 und die Ausführungen hierzu im Urteil 2C_270/2008 vom 11. April 2008, E. 2.2); offenbar wurde er denn inzwischen auch am 15. Mai 2008 zu seinen Asylgründen einvernommen. Die Asyl- und Wegweisungsfrage bildet - wie ihm dies bereits dargelegt worden ist - als solche nicht Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens, weshalb auf seine entsprechenden Ausführungen hier nicht weiter einzugehen ist. Seinen gesundheitlichen Problemen kann im Rahmen des Festhaltungsvollzugs Rechnung getragen werden; es steht ihm frei, um den Besuch eines Arztes oder die Abgabe von Medikamenten zu ersuchen. Für alles Weitere wird auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid und im bundesgerichtlichen Urteil vom 11. April 2008 verwiesen (<ref-law>).
3. Es rechtfertigt sich aufgrund der Umstände, keine Gerichtsgebühr zu erheben (<ref-law>). Das Migrationsamt des Kantons Aargau wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird. Eine Kopie des vorliegenden Entscheids wird zudem dem unentgeltlichen Rechtsvertreter des Beschwerdeführers im kantonalen Verfahren zur Kenntnis gegeben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt des Kantons Aargau, dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Migration sowie (zur Information) dem Rechtsbeistand des Beschwerdeführers im kantonalen Verfahren schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Mai 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar