Nach Einsicht
in die (als Verfassungsbeschwerde entgegengenommene) Eingabe gegen den Beschluss vom 24. Mai 2012 des Obergerichts des Kantons Zürich, das auf eine Beschwerde des Beschwerdeführers gegen einen Nichteintretensentscheid des Bezirksgerichts Zürich (Nichteintreten - mangels Leistung des Kostenvorschusses trotz Ansetzung einer Nachfrist - auf ein Gesuch des Beschwerdeführers um Ausstellung eines Erbscheins) nicht eingetreten ist,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Beschluss des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG; Streitwert vorliegend Fr. 4'214.10) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss Art. 74 Abs. 2 BGG allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG sowie Art. 116 BGG), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG),
dass das Obergericht im Beschluss vom 24. Mai 2012 erwog, der Beschwerdeführer habe den erstinstanzlichen Entscheid am 13. März 2012 entgegengenommen, die 10-tägige Beschwerdefrist habe somit am 23. März 2012 geendet, die Beschwerde an das Obergericht sei indessen erst am 28. März 2012 und damit verspätet bei der Schweizerischen Post eingegangen, auf die Beschwerde sei daher nicht einzutreten, im Übrigen wäre sie unbegründet gewesen, weil das erstinstanzliche Gericht zu Recht mangels Vorschusszahlung einen Nichteintretensentscheid gefällt habe, die diesbezüglichen Beschwerdevorbringen seien unbehelflich,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass er erst recht nicht anhand dieser Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert aufzeigt, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den Beschluss des Obergerichts vom 24. Mai 2012 verletzt sein sollen,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. Art 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (Art. 66 Abs. 1 BGG),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 BGG das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Zürich sowie dem Bezirksgericht Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Füllemann