Sachverhalt:
A. Der 1963 geborene E._ ist in den Gemeinden A._ (seit 1988), B._ (seit 1998) und C._ (seit 2000) als Musikschullehrer für das Instrument Schlagzeug tätig und in die Besoldungsklassen 13-16 eingereiht. Mit Eingabe vom 11. März 2005 ersuchte er die Direktion für Bildung und Kultur des Kantons Zug (nachfolgend: DBK) darum, er sei rückwirkend ab 1995 in die Besoldungsklassen 15-18 einzureihen. Zur Begründung verwies er auf das ihm im Jahr 1995 ausgestellte Diplom der Schule X._ für das Hauptinstrument Schlagzeug und das Nebeninstrument Klavier. Die DBK qualifizierte die Eingabe vom 11. März 2005 als Wiedererwägungsgesuch und trat darauf nicht ein (Entscheid vom 9. August 2005). Hierauf erhob E._ gegen die Verfügungen über die Besoldungseinreihungen Verwaltungsbeschwerde, auf welche der Regierungsrat des Kantons Zug wegen versäumter Rechtsmittelfrist nicht eintrat (Entscheid vom 29. August 2006). Am 9. Oktober 2006 stellte E._ ein zweites Wiedererwägungsgesuch betreffend rückwirkende Höhereinreihung ab 1995. Darauf trat die DBK wiederum nicht ein (Entscheid vom 13. August 2007). Gleich entschied sie auf ein drittes Wiedererwägungsgesuch vom 18. September 2007 hin (Entscheid vom 11. Dezember 2007).
B. E._ führte gegen den Entscheid vom 11. Dezember 2007 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zug. Dieses wies die Beschwerde ab und auferlegte E._ eine Spruchgebühr von Fr. 1000.- (Entscheid vom 27. Januar 2009).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt E._ beantragen, in Aufhebung der Entscheide des Verwaltungsgerichts vom 27. Januar 2009 und der DBK vom 11. Dezember 2007 sei letztere anzuweisen, seine Einstufung in die Besoldungsklasse in Wiedererwägung zu ziehen. Er macht zudem geltend, für das verwaltungsgerichtliche Verfahren hätten ohnehin keine Kosten erhoben werden dürfen.
Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 96; BGE 8C_688/2008 vom 14. Januar 2009 E. 1; je mit Hinweisen).
1.1 Der angefochtene Entscheid betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis und somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (<ref-law>). Da es um die Einreihung in die Besoldungsklassen und mithin um eine vermögensrechtliche Angelegenheit geht, ist der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht gegeben. Der Entscheid ist durch eine letzte kantonale Instanz erlassen worden und nicht mit Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht anfechtbar (<ref-law>). Es handelt sich um einen verfahrensabschliessenden Entscheid (<ref-law>). Insoweit sind die Eintretensvoraussetzungen erfüllt.
1.2 Die Zulässigkeit der Beschwerde in vermögensrechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet der öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisse setzt sodann voraus, dass der Streitwert nicht weniger als Fr. 15'000.- beträgt (<ref-law>) oder sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>).
Letzteres hätte der Beschwerdeführer darlegen müssen, damit die Beschwerde unter diesem Gesichtspunkt als zulässig betrachtet werden könnte (<ref-law>). Da er dies unterliess, ist die Streitwertgrenze von <ref-law> massgeblich.
1.2.1 Der Streitwert bestimmt sich bei Beschwerden gegen Endentscheide nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben waren (<ref-law>). Lautet ein Begehren nicht auf Bezahlung einer bestimmten Geldsumme, so setzt das Bundesgericht den Streitwert nach Ermessen fest (<ref-law>).
Das kantonale Gericht ging von einem Streitwert von über Fr. 20'000.- aus. Der Beschwerdeführer rügt dies im Zusammenhang mit den Verfahrenskosten, welche ihm die Vorinstanz nach Massgabe des Streitwertes auferlegt hat. Der Streitwert sei unter Fr. 20'000.- festzulegen.
1.2.2 Der Beschwerdeführer macht dabei in grundsätzlicher Hinsicht geltend, der Streitwert sei tiefer als die von der Vorinstanz angenommenen mindestens Fr. 20'000.-, da es nur um die Frage der Wiedererwägung gehe und nicht um die Besoldungseinreihung als solche.
Dem Rechtsbehelf der Wiedererwägung ist (wie dem ausserordentlichen Rechtsmittel der Revision) eigen, dass in einem ersten Schritt geprüft wird, ob Gründe für ein Rückkommen auf eine Verfügung bestehen, und in einem zweiten Schritt, ob diese Gründe eine Änderung der Verfügung rechtfertigen (HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5. Aufl. 2006, Rz. 1032, 1037 f., 1041 ff.; auch zum Folgenden). Das Verfahren läuft somit zweistufig ab, wobei zwischen dem Zulassungsverfahren und dem Entscheidverfahren unterschieden wird (PIERMARCO ZEN-RUFFINEN, Le réexamen et la révision des décisions administratives, in: François Bohnet [Hrsg.], Quelques actions en annulation, 2007, S. 195 ff., Rz. 42 und N 46).
Der Einwand des Beschwerdeführers läuft darauf hinaus, dass im Zulassungsverfahren kein oder ein geringerer Streitwert besteht als im eigentlichen Entscheidverfahren. Das trifft nicht zu. Wird die Wiedererwägung nicht zugelassen, liegt ein Endentscheid vor, mit dem der für den Fall der Zulassung beantragte Sachentscheid ausgeschlossen wird. Dem ablehnenden Zulassungsentscheid kommt daher der gleiche Streitwert zu, wie wenn das Wiedererwägungsgesuch zugelassen und in der Sache entschieden worden wäre.
1.2.3 Die Prüfung des Streitwertes nach Massgabe von <ref-law> ergibt Folgendes:
Der Beschwerdeführer beantragte im vorinstanzlichen Verfahren, das DBK sei anzuweisen, auf das Wiedererwägungsgesuch betreffend neue Besoldungseinreihung einzutreten; eventualiter sei der Beschwerdeführer rückwirkend per Datum der heute noch gültigen Anstellungsverhältnisse in die 15.-18. Gehaltsklasse einzustufen.
Vom Ausgang des vorinstanzlichen Verfahrens hängen Lohnforderungen ab. Löhne fallen unter den Begriff der wiederkehrenden Leistungen gemäss <ref-law> (BEAT RUDIN, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N 59 zu <ref-law>). Nach dieser Bestimmung gilt als Wert wiederkehrender Leistungen der Kapitalwert; bei ungewisser oder unbeschränkter Dauer gilt als Kapitalwert der zwanzigfache Betrag der einjährigen Leistung.
Im Nichteintretensentscheid vom 29. August 2006 errechnete der Regierungsrat für den zurückliegenden Zeitraum von rund elf Jahren (vom 1. Februar 1995 bis zum 31. Juli 2006) eine Lohndifferenz von Fr. 33'355.-. Auch ohne abschliessende Prüfung, ob diese Berechnung in allen Teilen zutrifft, ist davon auszugehen, dass im vorliegenden Fall die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- bei weitem überschritten ist. Das gilt erst recht, wenn berücksichtigt wird, dass es nicht nur um die bis zum damaligen Entscheiddatum bereits fällig gewordenen allfälligen Lohndifferenzen geht, sondern um die sich noch länger auswirkende höhere Einstufung als solche. Eine genaue Bestimmung des Streitwerts ist unter diesen Umständen nicht erforderlich (Urteil 1C_6/2007 vom 22. August 2007 E. 2.3 mit Hinweis).
1.3 Das Streitwerterfordernis ist nach dem Gesagten erfüllt. Gleiches gilt für die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Der angefochtene Entscheid stützt sich in der Sache auf <ref-law> (verfassungsmässiger Anspruch auf Wiedererwägung) sowie kantonales Recht (§ 29 des Gesetzes über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen vom 1. April 1976 [Verwaltungsrechtspflegegesetz; BGS 162.1] und § 2 der bis 31. Dezember 2007 in Kraft gestandenen Verordnung über die Besoldungen der Musikschullehrer vom 10. Dezember 1990 [BGS 412.311; nachfolgend: Besoldungsverordnung]; vgl. auch § 7 Abs. 1 des Gesetzes über das Dienstverhältnis und die Besoldung der Lehrpersonen an den gemeindlichen Schulen vom 21. Oktober 1976 [Lehrpersonalgesetz; BGS 412.31] in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung). Als Beschwerdegrund kommt im Wesentlichen die Verletzung von Bundesrecht, insbesondere von verfassungsmässigen Rechten der Bundesverfassung in Frage (<ref-law>). Die Anwendung des kantonalen Rechts als solches bildet nicht Beschwerdegrund. Überprüft werden kann insoweit nur, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung sonstwie gegen übergeordnetes Recht verstossen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.; Urteil 1C_312/2008 vom 26. Februar 2009 E. 1.3, auch zum Folgenden). Diesbezüglich gelten strengere Anforderungen an die Begründungspflicht: Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255) nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Für derartige Rügen gelten die gleichen Begründungsanforderungen, wie sie gestützt auf Art. 90 Abs. 1 lit. b OG für die staatsrechtliche Beschwerde aufgestellt worden sind (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt nicht, dass kantonale Regelungen über die Wiederaufnahme eines Verfahrens verfassungswidrig angewendet worden wären. Daher ist hier nur zu prüfen, ob unmittelbar von Bundesverfassungs wegen (<ref-law>) die Pflicht bestand, auf das Wiedererwägungsgesuch einzutreten.
3.2 Das kantonale Gericht hat die Voraussetzungen, unter denen aufgrund von <ref-law> (Art. 4 aBV) ein Anspruch auf Wiedererwägung besteht, richtig dargelegt. Danach besteht eine behördliche Pflicht, auf ein entsprechendes Gesuch einzutreten, wenn die Umstände sich seit dem ersten Entscheid wesentlich geändert haben oder wenn der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand (<ref-ruling> E. 3a S. 6 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 2b S. 46 f. je mit Hinweisen; HÄFELIN/MÜLLER/ UHLMANN, a.a.O., Rz. 1833 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 6 S. 137 mit Hinweisen). Die erste dieser Voraussetzungen betrifft die nachträgliche Fehlerhaftigkeit einer Verfügung. Bei der zweiten Voraussetzung geht es um einen ursprünglichen Fehler der Verfügung; hier besteht kein grundsätzlicher Unterschied mehr zwischen Revisionsbegehren und Wiedererwägungsgesuch (HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, a.a.O., Rz. 1043; vgl. auch Urteil 1P.563/2002 vom 18. Dezember 2002 E. 2 mit Hinweis).
3.3 Die Vorinstanz hat zutreffend erkannt, dass keine wesentliche Änderung der Verhältnisse vorliegt. Das ist denn auch unbestritten. Der Beschwerdeführer macht vielmehr geltend, das Schreiben von G._ vom 10. September 2007 sei ein neues Beweismittel, welches die ursprünglichen Verfügungen betreffend Besoldungseinreihung als fehlerhaft erscheinen lasse. Entgegen dem kantonalen Gericht sei es auch erheblich.
3.4 Erheblich ist ein Beweismittel, wenn angenommen werden muss, es hätte im ursprünglichen Verfahren zu einem andern Entscheid beziehungsweise einer andern Verfügung geführt, wenn es der verfügenden Behörde schon damals bekannt gewesen wäre (vgl. <ref-ruling> E. 5b S. 358 mit Hinweisen).
3.4.1 Die Vorinstanz ging davon aus, die Einteilung in die Besoldungsklassen 15-18 sei im Verfügungszeitpunkt wie heute gemäss kantonalem Recht den Inhabern eines Lehrdiploms des Schweizerischen Musikpädagogischen Verbandes (SMPV) vorbehalten. Das Schreiben von G._ könnte daher insoweit nur erheblich sein, wenn sich daraus ergäbe, dass der Beschwerdeführer - entgegen früheren Annahmen - über ein SMPV-Lehrdiplom verfügt. Das Schreiben äussert sich aber lediglich zur Gleichwertigkeit des Diploms der Schule X._, welches der Beschwerdeführer im Jahre 1995 erworben hat, mit einem SMPV-Lehrdiplom.
3.4.2 Erheblich könnte das Schreiben von G._ sodann sein, wenn die verfügende Behörde bei den seinerzeitigen Lohneinstufungsverfügungen das kantonale Recht so ausgelegt und angewendet hätte, dass über den Wortlaut hinaus nicht nur SMPV-Diplome zu der höheren Einstufung berechtigten, sondern auch diesen gleichwertige Diplome, dass die Behörde dannzumal aber davon ausgegangen wäre, der Beschwerdeführer erfülle auch bei dieser über den Wortlaut hinausgehenden Auslegung der kantonalen Bestimmungen die Voraussetzungen nicht, weil sein Diplom nicht gleichwertig sei. Denn dann wäre die Gleichwertigkeit bereits im Verfügungszeitpunkt massgebliches Tatbestandselement gewesen und ein neues Beweismittel zu diesem Punkt daher erheblich.
Dass die verfügende Behörde damals die Verordnung in diesem Sinn ausgelegt hätte, macht der Beschwerdeführer aber selber nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Er führt lediglich an, dass im Laufe des zwischen den Parteien geführten Schriftverkehrs die Exponenten der DBK mit Schreiben vom 3. August 2002 und 20. Dezember 2006 die Auffassung vertreten hätten, Gleichwertigkeit sei nicht gegeben. Im Übrigen legte die DBK bereits in ihrem Entscheid vom 9. August 2005 zum ersten Wiedererwägungsgesuch dar, dass § 2 der (damals noch in Kraft stehenden) Besoldungsverordnung auf die formellen Abschlüsse abstelle und lediglich ein staatlich anerkanntes Berufsdiplom oder ein Lehrdiplom SMPV zur höheren Einstufung führe. Die Vorbringen des Beschwerdeführers laufen auf eine Rüge an der damaligen Auslegung und Anwendung der Besoldungsverordnung hinaus. Solches hätte er aber im Rahmen der Anfechtung der seinerzeitigen Einstufungsverfügungen vorbringen müssen und kann er nicht mittels Wiedererwägung nachholen. Es muss somit auch nicht darauf eingegangen werden, ob die von der DBK getroffenen Unterscheidungen zwischen den verschiedenen Diplomen auf willkürlicher Gesetzesauslegung beruhen resp. ob die kantonale Rechtsgrundlage gegen höherrangiges Recht verstösst oder nicht.
3.4.3 Das angerufene Beweismittel wäre im Übrigen auch nicht neu im Sinne der Rechtsprechung. Nur wenn eine solche Gleichwertigkeitsbestätigung bei genügender Sorgfalt nicht schon früher hätte vorgebracht werden können oder dazu kein Anlass bestand, wäre sie als neues Beweismittel zu betrachten (vgl. E. 3.2 hievor). Die Diskussion, ob vergleichbare Diplome gleich zu behandeln sind, hätte sich aber schon bei Verfügungserlass führen lassen. Es ist auch nicht auf der Hand liegend, weshalb eine entsprechende Bestätigung nicht schon damals hätte vorgebracht werden können. Entsprechendes wäre vom Beschwerdeführer darzulegen, was nicht erfolgt ist.
3.5 Das kantonale Gericht hat einen Anspruch auf Wiedererwägung somit zu Recht verneint.
4. Der Beschwerdeführer äussert sich sodann zur Kostenauferlegung im kantonalen Verfahren. Er macht geltend, entgegen dem vorinstanzlichen Entscheid sei das Verfahren wegen Nichterreichens der Streitwertgrenze von mindestens Fr. 20'000.- gemäss § 70 Abs. 4 des kantonalen Gesetzes über das Arbeitsverhältnis des Staatspersonals (Personalgesetz; BGS 154.21) kostenlos.
Diesbezüglich hat es mit der Feststellung sein Bewenden, dass nach dem zuvor Gesagten (E. 1.2.3 hievor) auch diese Streitwertgrenze nach kantonalem Recht eindeutig erreicht ist. Eine willkürliche Gesetzesanwendung, wie sie der Beschwerdeführer behauptet, liegt damit nicht vor. Es erübrigen sich Weiterungen zu der - von der Vorinstanz offengelassenen - Frage, ob § 70 Abs. 4 Personalgesetz hier überhaupt anwendbar wäre.
5. Dem Prozessausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten des letztinstanzlichen Verfahrens zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Direktion für Bildung und Kultur des Kantons Zug und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Mai 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Leuzinger Lanz