Sachverhalt:
A.
Mit Gesuch vom 2. November 2011 beantragte X._ beim Gerichtspräsidium Rheinfelden, dem Y._ AG sei zu befehlen, ihn sofort aus den Räumlichkeiten des Spitals A._ zu entlassen und es sei ihm die Möglichkeit zu erteilen, direkt in die Rehaklinik in B._ verlegt zu werden. Zugleich sei ihm die vollständige Krankengeschichte auszuhändigen. Dieser Befehl sei mit der Androhung der Ungehorsamsstrafe (<ref-law>) zu verbinden und er sei superprovisorisch sofort zu erlassen.
Mit Entscheid vom 30. Juli 2012 trat das Gerichtspräsidium Rheinfelden auf das Gesuch nicht ein.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 16. August 2012 Berufung an das Obergericht des Kantons Aargau. Er beantragte, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Angelegenheit an das Gerichtspräsidium zur materiellen Behandlung zurückzuweisen. Allenfalls habe das Obergericht die Entlassung und die Möglichkeit zur Verlegung sowie die Herausgabe der Krankengeschichte (alles unter Androhung der Ungehorsamsstrafe) selber anzuordnen.
Mit Schreiben vom 20. September 2012 teilte C._ von der Amtsvormundschaft des Bezirks Rheinfelden dem Obergericht mit, das Bezirksgericht Rheinfelden habe die Entmündigungsklage gegen X._ mit Urteil vom 4. Juli 2012 gutgeheissen und dieses Urteil sei inzwischen rechtskräftig geworden. Zugleich wies er sich über seine Ernennung zum Vormund von X._ durch den Gemeinderat E._ am 23. Juli 2012 aus.
Mit Schreiben vom 28. September 2012 orientierte das Gerichtspräsidium Rheinfelden das Obergericht über das am 4. Juli 2012 gefällte und am 25. August 2012 rechtskräftig gewordene Urteil, mit dem X._ gestützt auf [a]<ref-law> entmündigt worden war.
Mit Schreiben vom 15. Oktober 2012 zog C._ (nachfolgend: Vormund) die Berufung von X._ zurück. Mit Verfügung vom 18. Oktober 2012 schrieb der Instruktionsrichter das obergerichtliche Verfahren als durch Rückzug der Berufung erledigt ab. X._ erhob dagegen Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Am 7. März 2013 hiess das Bundesgericht die Beschwerde wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs gut und wies die Angelegenheit an das Obergericht zurück (Urteil 5A_841/2012 vom 7. März 2013).
Das Obergericht nahm das Verfahren in der Folge wieder auf und zog insbesondere die Akten des Entmündigungsverfahrens bei. Mit Entscheid vom 11. November 2013 schrieb es das Verfahren erneut zufolge Rückzugs der Berufung als erledigt ab.
C.
Am 20. Dezember 2013 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids vom 11. November 2013 und die Rückweisung der Angelegenheit an die Vorinstanz zur materiellen Behandlung.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid ist die Beschwerde in Zivilsachen das zutreffende Rechtsmittel (Art. 72 Abs. 1; Art. 75, Art. 76 BGG; vgl. Urteil 5A_841/2012 vom 7. März 2013 E. 1.1). Wie bereits im Verfahren 5A_841/2012 steht dem Beschwerdeführer weiterhin das Recht zu, selbständig bzw. durch einen Vertreter an das Bundesgericht zu gelangen (vgl. E. 1.2 des genannten Urteils). Da das Bundesgericht in der Sache nicht selber urteilen könnte, beschränkt sich der Beschwerdeführer zulässigerweise auf einen Aufhebungs- und einen Rückweisungsantrag (vgl. E. 1.3 des genannten Urteils). Der angefochtene Entscheid betrifft laut Rubrum vorsorgliche Massnahmen des Persönlichkeitsschutzes. Sowohl die allfällige Anordnung der Massnahmen wie auch die nunmehr ausgesprochene Verfahrensabschreibung regeln das Verhältnis jedoch faktisch definitiv, ohne dass ein späterer Hauptsacheprozess mit gleichem oder ähnlichem Thema vorgesehen oder sinnvoll wäre (vgl. zu vorsorglichen Massnahmen mit definitiver Wirkung FABIENNE HOHL, Procédure civile, II, 2. Aufl. 2010, Rz. 1830, 1844 ff.). Es rechtfertigt sich deshalb, den angefochtenen Entscheid nicht als vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> zu behandeln (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 731), so dass dem Bundesgericht alle Beschwerdegründe gemäss Art. 95 bis 97 BGG unterbreitet werden können.
Soweit der Beschwerdeführer Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend macht, so wendet das Bundesgericht das Recht zwar grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. für Ausnahmen Abs. 2 dieser Norm) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 1.3 S. 584 mit Hinweisen).
Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn die Feststellung offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Will der Beschwerdeführer die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten, muss er darlegen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356). Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356).
2.
Der Beschwerdeführer hat am 19. September 2011 eine auf F._ lautende Vollmacht unterzeichnet, wobei die Unterschrift des Beschwerdeführers notariell beglaubigt wurde. F._ bevollmächtigte daraufhin einen Rechtsanwalt, der für den Beschwerdeführer das Entlassungsgesuch vom 2. November 2011 beim Gerichtspräsidium Rheinfelden anhängig machte. Das Gerichtspräsidium Rheinfelden trat auf das Gesuch nicht ein, da der Beschwerdeführer bei Unterzeichnung der Vollmacht nicht urteilsfähig gewesen sei.
Im nachfolgenden obergerichtlichen Verfahren stellte sich die Frage, ob der Vormund die Berufung des Beschwerdeführers wirksam zurückziehen konnte.
Das Obergericht hat es zunächst abgelehnt, das Rechtsgeschäft zwischen dem Beschwerdeführer und F._ als Vorsorgeauftrag zu qualifizieren (<ref-law>). Es spreche zwar nichts dagegen, dass ein Vorsorgeauftrag bereits vor Inkrafttreten des neuen Kindes- und Erwachsenenschutzrechts suspensiv bedingt habe abgeschlossen werden können, doch seien jedenfalls die Formvorschriften von <ref-law> nicht erfüllt.
Das Obergericht hat sodann den Standpunkt des Beschwerdeführers verworfen, beim Entscheid, in welchem Spital er gepflegt werden wolle, handle es sich um ein absolut höchstpersönliches Recht. Träfe diese Auffassung zu, könnte selbst bei unbestrittener Urteilsunfähigkeit keine Vertretung stattfinden, so dass die hilfsbedürftige Person ohne medizinische Pflege bleiben müsste. Bei relativ höchstpersönlichen Rechten handle demgegenüber anstelle des urteilsunfähigen Berechtigten dessen gesetzlicher Vertreter. Eine vor Eintritt der Urteilsunfähigkeit ausgestellte Vollmacht könne vom gesetzlichen Vertreter widerrufen werden (unter Hinweis auf <ref-ruling>). Zur Einsetzung des gesetzlichen Vertreters hat das Obergericht erwogen, die Wohnsitzgemeinde des Beschwerdeführers habe diesem am 12. Dezember 2011 vorsorglich die Handlungsfähigkeit entzogen und C._ als gesetzlichen Vertreter bestimmt (vgl. dazu Urteil 5A_575/2012 vom 19. Oktober 2012). Am 4. Juli 2012 habe das Bezirksgericht Rheinfelden den Beschwerdeführer auf Klage seiner Wohnsitzgemeinde hin entmündigt. Der Beschwerdeführer habe nunmehr zwar vorgebracht, das Entmündigungsurteil sei nichtig, da ihm damals kein unabhängiger Rechtsanwalt beigestellt worden sei. Die Frage, ob das Urteil nichtig sei, könne jedoch offen gelassen werden, denn selbst wenn dies der Fall wäre, würde der am 12. Dezember 2011 angeordnete vorsorgliche Entzug der Handlungsfähigkeit weiter gelten. Folglich habe C._ die Berufung des Beschwerdeführers in jedem Fall als gesetzlicher Vertreter desselben zurückgezogen. Diesen Rückzug müsse sich der Beschwerdeführer entgegenhalten lassen. Im Entmündigungsverfahren sei ein psychiatrisches Gutachten eingeholt worden, das am 11. Mai 2012 erstattet worden sei und das dem Beschwerdeführer eine bleibende Urteilsunfähigkeit infolge einer dementiellen Entwicklung attestiere. Das Gutachten sei vollständig, nachvollziehbar und schlüssig und könne selbst dann beigezogen werden, wenn das Entmündigungsurteil nichtig sein sollte, da die Frage der Vertretung des Beschwerdeführers im vorliegenden Verfahren ohnehin von Amtes wegen habe abgeklärt werden müssen. Der Beschwerdeführer bzw. dessen Rechtsvertreter habe das Gutachten inhaltlich nicht kritisiert, nachdem er im vorliegenden, obergerichtlichen Verfahren die Akten des Entmündigungsverfahrens eingesehen habe. Wenn der Beschwerdeführer somit spätestens im Mai 2012 nicht mehr urteilsfähig gewesen sei, so sei der gesetzliche Vertreter berechtigt gewesen, das Rechtsmittel zurückzuziehen.
3.
Der Beschwerdeführer sieht durch dieses Urteil <ref-law> und <ref-law> verletzt.
Im Zentrum steht die Frage, ob der Beschwerdeführer hinsichtlich der Frage, wo er gepflegt werden möchte, urteilsfähig ist oder nicht. Dabei setzt er sich nicht mit dem psychiatrischen Gutachten vom 11. Mai 2012 auseinander, auf das das Obergericht verwiesen hat. Der Gutachter attestiert ihm darin eine fortgeschrittene und weiter fortschreitende Demenz und hält fest, dass er selbst einfache Geschäfte nicht mehr zu überblicken vermöge. Aufgrund seiner sprachlichen Beeinträchtigungen sei er auch kaum mehr in der Lage, über sein geistiges Leben Auskunft zu geben. Dem stellt der Beschwerdeführer einzig entgegen, er könne auf Fragen mit Kopfnicken oder Kopfschütteln antworten und er habe die Frage, in welchem Spital er gepflegt werden möchte, auf diese Weise beantwortet. Diese Frage sei im Übrigen nicht komplex, sondern sehr einfach zu beantworten. Das angefochtene Urteil stützt jedoch die Behauptung nicht, dass er Fragen durch Kopfnicken und -schütteln beantworten könne. Der Beschwerdeführer behauptet zwar, dies ergebe sich aus dem psychiatrischen Gutachten, doch belegt er dies nicht durch genauen Hinweis auf die einschlägige Stelle. Insofern fehlt es an einer genügenden Sachverhaltsrüge (<ref-law>; oben E. 1). Er behauptet auch nicht, dass entsprechende Reaktionen bzw. Antworten von ihm auf die Frage nach dem gewünschten Aufenthaltsort im Gutachten oder anderswo dokumentiert wären. Vorliegend kann die Bestimmung des eigenen Aufenthaltsorts schliesslich nicht als Entscheid betrachtet werden, der sehr einfach zu fällen ist. Der Beschwerdeführer müsste unter anderem abwägen, ob und welche Pflege und Betreuung er wünscht, inwiefern die anfallenden Kosten eine Rolle spielen sollen und welche Institution gegebenenfalls für die gewünschte Pflege am besten geeignet ist.
Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, er habe einen Vertreter bestellt, nämlich F._, damit dieser die anstehende Frage entscheide. Es sei nicht erstellt, dass er (der Beschwerdeführer) zum Zeitpunkt der Abgabe dieser Vollmacht urteilsunfähig gewesen sei. Der Beschwerdeführer übergeht dabei die vorinstanzliche Erwägung, dass der gesetzliche Vertreter eine Vollmacht widerrufen kann, wenn der Beschwerdeführer erst nach der Vollmachterteilung urteilsunfähig geworden sein sollte. Die Frage, ob der Beschwerdeführer bei der Erteilung der Vollmacht noch urteilsfähig gewesen ist (was das Gerichtspräsidium Rheinfelden verneint hat), ist demnach nicht entscheidend. Das Obergericht hat im Rückzug der Berufung offenbar einen solchen Widerruf gesehen, wenigstens soweit sich die Vollmacht auf die Führung des vorliegenden Verfahrens erstreckt.
Im Widerspruch zum soeben geschilderten Standpunkt bringt der Beschwerdeführer schliesslich vor, der Entscheid darüber, in welchem Spital er untergebracht werden soll, stelle ein absolut höchstpersönliches Recht dar und sei somit keiner Vertretung zugänglich. Wie bereits die Vorinstanz ausgeführt hat, ist dies jedoch nicht der Fall. Eine Vertretung des Urteilsunfähigen muss in diesem Punkt möglich sein, könnten doch sonst pflegebedürftige urteilsunfähige Personen in solchen Fragen gar nicht vertreten werden (vgl. zum ärztlichen Eingriff <ref-ruling> E. 7b/bb S. 362 f.).
Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Vormund und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg