Sachverhalt:
A.
Am 12. August 2013 ersuchte der irakische Staatsangehörige A._ (geb. 1988) um Ausrichtung einer Entschädigung von Fr. 15'000.-- und einer Genugtuung von Fr. 5'000.-- nach dem Opferhilfegesetz; überdies um einen Vorschuss von Fr. 10'000.--. Er führte aus, er sei im 13. Lebensjahr von einem inzwischen an Aids verstorbenen Mann mehrfach sexuell missbraucht worden.
Mit Verfügung vom 2. September 2013 wies das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen (im Folgenden: Departement) das Gesuch ab.
Den von A._ dagegen erhobenen Rekurs wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen (Abteilung I) am 23. Mai 2014 ab. Es befand in Übereinstimmung mit dem Departement, die opferhilferechtlichen Ansprüche seien verwirkt.
B.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit dem Antrag, der Entscheid des Versicherungsgerichts sei aufzuheben, und weiteren Anträgen.
C.
Das Departement beantragt unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde.
Das Versicherungsgericht und das Bundesamt für Justiz haben auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft finanzielle Leistungen nach dem Opferhilfegesetz und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit gemäss Art. 82 lit. a BGG.
Ein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG besteht nicht.
Bei der Opferhilfe geht es um eine staatliche Hilfeleistung, nicht um Staatshaftung (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 121; <ref-ruling> E. 2a S. 556; je mit Hinweisen). Die Streitwertgrenze nach Art. 85 Abs. 1 lit. a BGG ist somit nicht anwendbar (Urteil 1C_32/2014 vom 6. Oktober 2014 E. 1).
Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist daher gemäss Art. 86 Abs. 1 lit. d i.V.m. Abs. 2 BGG zulässig.
Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Er ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Er ist deshalb gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerde befugt.
Der angefochtene Entscheid stellt einen nach Art. 90 BGG anfechtbaren Endentscheid dar.
Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Da die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich gegeben ist, scheidet gemäss Art. 113 BGG die subsidiäre Verfassungsbeschwerde aus.
2.
Am 1. Januar 2009 ist das Bundesgesetz vom 23. März 2007 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (Opferhilfegesetz, OHG; SR 312.5) in Kraft getreten. Gemäss Art. 48 lit. a OHG gilt das bisherige Recht für Ansprüche auf Entschädigung oder Genugtuung für Straftaten, die vor Inkrafttreten dieses Gesetzes verübt worden sind; für Ansprüche aus Straftaten, die weniger als zwei Jahre von Inkrafttreten dieses Gesetzes verübt worden sind, gelten die Fristen nach Artikel 25.
Im vorliegenden Fall geht es um Straftaten aus den Jahren 2001 und 2002. Anwendbar ist damit unstreitig das alte Opferhilfegesetz vom 4. Oktober 1991 (aOHG; AS 1992 2465).
3.
3.1. Gemäss Art. 1 aOHG soll mit diesem Gesetz den Opfern von Straftaten wirksame Hilfe geleistet und ihre Rechtsstellung verbessert werden (Abs. 1). Die Hilfe umfasst insbesondere Entschädigung und Genugtuung (Abs. 2 lit. c).
Nach Art. 2 Abs. 1 aOHG erhält Hilfe nach diesem Gesetz jede Person, die durch eine Straftat in ihrer körperlichen, sexuellen oder psychischen Integrität unmittelbar beeinträchtigt worden ist (Opfer), und zwar unabhängig davon, ob der Täter ermittelt worden ist und ob er sich schuldhaft verhalten hat.
Gemäss Art. 11 Abs. 1 aOHG können die Opfer einer in der Schweiz verübten Straftat im Kanton, in dem die Tat verübt wurde, eine Entschädigung oder Genugtuung geltend machen.
Nach Art. 15 aOHG wird aufgrund einer summarischen Prüfung des Entschädigungsgesuches ein Vorschuss gewährt, wenn: a. das Opfer sofortige finanzielle Hilfe benötigt, oder b. die Folgen der Straftat kurzfristig nicht mit hinreichender Sicherheit festzustellen sind.
Gemäss Art. 16 Abs. 3 aOHG muss das Opfer die Gesuche um Entschädigung und Genugtuung innert zwei Jahren nach der Straftat bei der Behörde einreichen; andernfalls verwirkt es seine Ansprüche (Abs. 3).
3.2. Nach der Rechtsprechung kann die kurze Verwirkungsfrist nach Art. 16 Abs. 3 aOHG einem Gesuch um Entschädigung oder Genugtuung nur entgegengehalten werden, wenn das Opfer über die Mittel zur wirksamen Wahrnehmung seiner Rechte verfügte. Entscheidend ist insoweit die Pflicht der Polizei, das Opfer bei der ersten Einvernahme über die Beratungsstellen zu informieren, welche ihrerseits über die Hilfe an Opfer orientieren und Letztere bei ihren rechtlichen Schritten unterstützen (Art. 3 und Art. 6 Abs. 1 aOHG). Diese behördliche Informationspflicht stellt das Korrelat zur Strenge der Verwirkungsfrist dar. Grundsätzlich kann die Verwirkungsfrist deshalb einem Opfer nicht entgegengehalten werden, wenn die Behörden ihrer Informationspflicht nicht nachgekommen sind. Wurde das Opfer erst nach Ablauf der Verwirkungsfrist hinreichend informiert, muss die Behörde in Würdigung der Umstände des Einzelfalles und unter Berücksichtigung des Grundsatzes von Treu und Glauben prüfen, ob das Opfer alle geeigneten und ihm zumutbaren Vorkehren zur Wahrung seiner Rechte getroffen hat. Bejahendenfalls ist der Eintritt der Verwirkung ausnahmsweise zu verneinen (<ref-ruling> E. 2 S. 410 f.; <ref-ruling> E. 3e f. S. 244 ff.). Erhält das Opfer die gesetzlich vorgesehenen Informationen erst nach Ablauf der Verwirkungsfrist, muss es ohne weitere Verzögerung ("sans retard supplémentaire") ein Gesuch um Entschädigung oder Genugtuung stellen (<ref-ruling> E. 3 S. 412 mit Hinweis). Es läuft nicht erneut eine zweijährige Verwirkungsfrist ab der nachträglichen Information (Urteil 1A.217/1997 vom 8. Dezember 1997 E. 5b).
Haben die Behörden das Opfer nicht informiert, hat dieses jedoch von dritter Seite Kenntnis von der Möglichkeit erlangt, opferhilferechtliche Ansprüche zu stellen, kann es sich nicht auf Schuldlosigkeit berufen. Es hat die Ansprüche vielmehr mit der gebotenen Raschheit geltend zu machen (Urteil 1A.114/2006 vom 7. März 2007 E. 6.2 ff.).
3.3. Die Vorinstanz erwägt, das Kreisgericht Rheintal habe den Täter des Sexualdelikts am 25. Mai 2004 zu einer Freiheitsstrafe von 3 1⁄4 Jahren verurteilt. Spätestens zu jenem Zeitpunkt habe der Beschwerdeführer - bzw. seine Eltern, die ihn im Strafverfahren vertreten hätten - Kenntnis von der Straftat gehabt. Überdies sei für ihn bzw. seine Eltern eine massgebliche Schädigung seiner psychischen Gesundheit erkennbar gewesen. Die zweijährige Verwirkungsfrist sei daher im August 2013, als der Beschwerdeführer sein Gesuch um Ausrichtung von Entschädigung und Genugtuung sowie eines Vorschusses eingereicht habe, längst abgelaufen gewesen.
Ob die Behörden den Beschwerdeführer bzw. seine Eltern im Rahmen des Strafverfahrens ausreichend über die Opferhilferechte informiert hätten, könne offen bleiben. Selbst wenn sie das nicht getan haben sollten, widerspräche die Annahme der Verwirkung dem Grundsatz von Treu und Glauben nicht. Die Kantonspolizei habe den Beschwerdeführer nach einer von diesem am 10. Juli 2011 erlittenen einfachen Körperverletzung (Kahnbeinfraktur am linken Handgelenk sowie Schnittwunde am linken Mittelfinger) am 27. Juli 2011 auf die Opferhilfe aufmerksam gemacht. Die opferhilferechtliche Beratungsstelle habe in der Folge die vom Beschwerdeführer insoweit geltend gemachten Heilungskosten von Fr. 380.20 übernommen. Das Departement habe überdies seinem Gesuch vom 19. September 2011 entsprochen und ihm für die Folgen der Körperverletzung eine Genugtuung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet. Die Kantonspolizei habe den Beschwerdeführer somit am 27. Juli 2011 über die Opferhilfe in einem Ausmass orientiert, das ihm die Stellung eines gutgeheissenen Leistungsgesuchs ermöglicht habe. Ab diesem Datum könne er sich damit nicht mehr auf Unwissenheit bzw. die allenfalls früher erfolgte Verletzung der Informationspflicht berufen. Da er nach der Aufklärung über die Opferhilfe in der Lage gewesen sei, ohne Dritthilfe am 19. September 2011 ein Leistungsgesuch im Zusammenhang mit dem Körperverletzungsdelikt einzureichen, sei ohne Weiteres davon auszugehen, dass er auch betreffend das Sexualdelikt kognitiv in der Lage gewesen wäre, ein entsprechendes Leistungsgesuch einzureichen. Unter diesen Umständen widerspreche es Treu und Glauben nicht, wenn das Departement den Eintritt der Verwirkung im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung am 12. August 2013 - mithin mehr als zwei Jahre nach der am 27. Juli 2011 erfolgten Aufklärung - bejaht habe.
3.4. Der Beschwerdeführer wendet ein, er sei psychisch krank. Deshalb sei er nicht in der Lage gewesen, seine opferhilferechtlichen Ansprüche in Bezug auf das Sexualdelikt im Jahr 2011 geltend zu machen. Die gegenteilige Annahme der Vorinstanz sei willkürlich. Er habe Beweise angeboten, welche seine mangelnde Fähigkeit zur Geltendmachung der opferhilferechtlichen Ansprüche hätten belegen können. Die Vorinstanz habe auf die Abnahme dieser Beweise in willkürlicher Weise verzichtet und damit auch seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt. Sie habe sodann den Sachverhalt in Missachtung von Art. 16 Abs. 2 aOHG ungenügend festgestellt. Wenn sie ihm die Verwirkung entgegenhalte, verletze das Treu und Glauben (Art. 9 BV).
3.5. Es kann dahingestellt bleiben, wieweit die Rügen den Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 2, Art. 106 Abs. 2 BGG) genügen. Sie sind jedenfalls unbegründet.
Der Beschwerdeführer war im Jahr 2011 unstreitig in der Lage, wegen einer Körperverletzung ein - in der Folge gutgeheissenes - Gesuch um Opferhilfe zu stellen. Seine Rechte nach dem Opferhilfegesetz waren ihm somit spätestens zu jenem Zeitpunkt bekannt und er konnte die zu ihrer Durchsetzung notwendigen praktischen Schritte unternehmen. Damit ist nicht einzusehen, weshalb es ihm hätte verwehrt sein sollen, in Bezug auf das Sexualdelikt spätestens 2011 ebenfalls um Opferhilfe zu ersuchen. Der Beschwerdeführer nennt dafür keinen überzeugenden Grund. Das Sexualdelikt und die sich daraus ergebende psychische Belastung waren ihm 2011 längst bekannt. Wenn die Vorinstanz angenommen hat, der Beschwerdeführer wäre damals in der Lage gewesen, auch in Bezug auf das Sexualdelikt ein Opferhilfegesuch zu stellen, ist das unter den gegebenen Umständen nicht offensichtlich unhaltbar. Willkür kann der Vorinstanz somit nicht vorgeworfen werden.
Dasselbe gilt, soweit die Vorinstanz zum Schluss gekommen ist, die vom Beschwerdeführer angebotenen Beweise könnten am Ergebnis nichts ändern. Der Umstand, dass der Beschwerdeführer 2011 in der Lage war, wegen des Körperverletzungsdelikts erfolgreich ein Opferhilfegesuch zu stellen, stellt ein derart starkes Indiz dafür dar, dass es sich in Bezug auf das Sexualdelikt ebenso verhalten musste, dass es nicht als offensichtlich unhaltbar angesehen werden kann, wenn die Vorinstanz auf Weiterungen verzichtet hat. Eine Verletzung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör ist ebenso wenig gegeben. Er hat keinen Anspruch darauf, dass von ihm angebotene Beweise abgenommen werden, welche die Vorinstanz in willkürfreier antizipierter Beweiswürdigung als unerheblich beurteilt hat.
Die Vorinstanz hat den rechtserheblichen Sachverhalt hinreichend abgeklärt. Eine Verletzung von Art. 16 Abs. 2 aOHG, wonach die Behörde den Sachverhalt von Amtes wegen feststellt, ist nicht erkennbar.
Kannte der Beschwerdeführer spätestens 2011 seine Rechte nach dem Opferhilfegesetz und war er in der Lage, die zu ihrer Durchsetzung notwenigen Schritte zu unternehmen, hätte er nach der dargelegten Rechtsprechung nicht bis zum August 2013 mit der Geltendmachung seiner Ansprüche zuwarten dürfen. Er hätte vielmehr 2011 auch in Bezug auf das Sexualdelikt ohne weitere Verzögerung um Opferhilfe ersuchen müssen. Da er das nicht getan hat, verletzt es Treu und Glauben nicht, wenn die Vorinstanz die Verwirkung seiner Ansprüche angenommen hat.
Soweit sich der Beschwerdeführer auf den ihn betreffenden Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 19./24. Juni 2014 beruft, kann darauf nicht eingetreten werden. Dieser erging nach dem angefochtenen Entscheid und stellt damit ein unzulässiges Novum dar (Art. 99 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f. mit Hinweisen).
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer trägt keine Kosten (Art. 30 OHG; Art. 16 Abs. 1 aOHG; <ref-ruling> E. 4 b S. 219).
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach Art. 64 BGG ist insoweit gegenstandslos. Im Übrigen ist es abzuweisen, da die Beschwerde aussichtslos war.
Die Erhöhung der von der Vorinstanz zugesprochenen Parteientschädigung verlangt der Beschwerdeführer für den Fall seines Obsiegens. Da er unterliegt, ist darauf nicht weiter einzugehen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung I, und dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Härri