Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Schreiben vom 23. Juli 2013 beantragte B.X._ (Ehemann) dem Zivilgericht Basel-Stadt (Zivilgericht) die Regelung des Getrenntlebens von seiner Frau A.X._ (Ehefrau).
A.b. Die Ehefrau liess am 19. August 2013 ein Begehren um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung stellen. Sie begründete ihr Begehren damit, dass sie kein Vermögen habe und finanziell bedürftig sei. Zwar hätten die Ehegatten eine Liegenschaft in Frankreich (Liegenschaft). Diese sei jedoch seit längerer Zeit zum Verkauf ausgeschrieben und ob daraus ein Gewinn resultiere, sei fraglich.
A.c. Das Zivilgericht bestätigte den Ehegatten das Getrenntleben mit Verfügung vom 27. August 2013. Zugleich traf es eine vorläufige Unterhaltsregelung für die drei gemeinsamen Kinder.
A.d. Am 15. Oktober 2013 bestätigte das Zivilgericht das Getrenntleben und sprach sich zur Obhutszuteilung aus. Betreffend die Obhut der jüngsten Tochter sollten die Ehegatten das Gericht bis am 15. Januar 2014 über eine Einigung informieren. Die Unterhaltsregelung blieb unverändert. Der Kostenentscheid sollte zu einem späteren Zeitpunkt erfolgen (Ziff. 6).
A.e. Am 10. Dezember 2013 stellte die Ehefrau ein Gesuch um Anordnung einer superprovisorischen Schuldneranweisung, da der Ehemann die mit Verfügung vom 27. August 2013 festgesetzten Kinderunterhaltsbeiträge nicht rechtzeitig zahlte. Darin ersuchte sie überdies um die Neuberechnung der Unterhaltsbeiträge und um Kostenverlage auf das Hauptverfahren.
A.f. Mit Entscheid vom 16. Dezember 2013 wies das Zivilgericht das Gesuch um Schuldneranweisung kostenfällig (Ziff. 5) ab (Ziff. 2). In Ziff. 4 des Entscheides hielt das Zivilgericht fest: " Der Antrag beider Ehegatten auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen. " In der separaten Rechtsmittelbelehrung zu Ziff. 4 wies das Zivilgericht die Ehegatten auf die Möglichkeit der Beschwerde hin.
A.g. Dieser Entscheid wurde der Ehefrau über ihre Rechtsvertreterin am 18. Dezember 2013 zugestellt. Diese erhob während der Frist von 10 Tagen keine Beschwerde.
A.h. Am 14. Januar 2014 liess sich die Ehefrau zur Besuchsregelung und zu Obhutsfragen betreffend die jüngste Tochter vernehmen. Sie informierte das Gericht, dass die Ehegatten zwischenzeitlich einen Vorvertrag für die Liegenschaft unterzeichnen konnten. Es sei allerdings noch nicht bekannt, ob netto ein Erlös resultiere. Die Abrechnung werde frühestens im April 2014 vorliegen, weshalb sie das Gericht bitte, erst nach Kenntnis dieser Abrechnung den Kostenentscheid zu fällen. Mit Schreiben vom 6. Februar 2014 reichte die Ehefrau dem Zivilgericht weitere Unterlagen zur finanziellen Situation der Ehegatten sowie den Vorvertrag zum Liegenschaftsverkauf ein.
A.i. Am 13. Februar 2014 entschied das Zivilgericht über die Obhutszuteilung des jüngsten Kindes (Ziff. 1), die Errichtung einer damit verbundenen Besuchsrechtsbeistandschaft (Ziff. 2), sowie den Kinder- und Ehegattenunterhalt (Ziff. 3 und 4). Die Ehegatten wurden zur hälftigen Bezahlung der Gerichtskosten verurteilt, die Parteikosten wurden wettgeschlagen (Ziff. 5).
A.j. Beide Ehegatten verlangten die schriftliche Urteilsbegründung.
B.
B.a. Am 28. März 2014 erhob die Ehefrau Berufung an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (Appellationsgericht oder Vorinstanz). Die Berufung richtete sich einerseits gegen die Obhutszuteilung, die Besuchsrechtsanordnung und die Höhe des Unterhalts (Ziff. 2, 3 und 4). Andererseits verlangte die Ehefrau, es sei ihr für das erstinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren, und die beiliegende Honorarnote für das erstinstanzliche Verfahren zu bewilligen (Ziff. 5). Eventualiter sei diese Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 6), alles unter Kostenfolge zu Lasten des Berufungsbeklagten respektive unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung (Ziff. 8).
B.b. Das Appellationsgericht gewährte den Ehegatten mit Verfügung vom 23. April 2014 die unentgeltliche Prozessführung für das zweitinstanzliche Verfahren - unter dem ausdrücklichen Hinweis auf die Möglichkeit eines Widerrufs und der Rückforderung, insbesondere im Falle der Gewinnerzielung aus dem Verkauf der Liegenschaft.
B.c. Mit Entscheid vom 26. Mai 2014 (zugestellt am 17. Juni 2014) prüfte und bestätigte das Appellationsgericht den erstinstanzlichen Kostenentscheid. In den Ziff. 4.2 und 4.3 der Entscheidbegründung erachtete es die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung als mit Entscheid vom 16. Dezember 2013 rechtskräftig entschiedene und für den Kostenentscheid nicht mehr relevante Frage. Im Dispositiv bestätigte das Appellationsgericht daher die Kostenregelung des erstinstanzlichen Urteils, ohne auf die unentgeltliche Rechtspflege Bezug zu nehmen.
B.d. Am 19. Juni 2014 stellte die Vorinstanz den Ehegatten ein im Dispositiv - Ziff. 1, betreffend den Wohnsitz des jüngsten Kindes - berichtigtes Urteil zu.
C.
C.a. Die Ehefrau (Beschwerdeführerin) erhob am 17. Juli 2014 Beschwerde in Zivilsachen. Sie verlangt, die von der Vorinstanz in Ziff. 4.3 der Entscheidbegründung verfügte Abweisung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das erstinstanzliche Verfahren sei aufzuheben und der Beschwerdeführerin für das Eheschutzverfahren vor dem Zivilgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu bewilligen. Weiter beantragt sie, die Honorarnote vom 28. März 2014 für das Verfahren vor dem Zivilgericht sei zu genehmigen, eventualiter an dieses oder die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Schliesslich verlangt die Beschwerdeführerin die Kostenfolge zulasten der Vorinstanz respektive die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das Verfahren vor Bundesgericht, und stellt Verfahrensanträge zur Aktenedition und zur Einreichung einer Replik.
C.b. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassung eingeholt. Insofern besteht kein Anlass zur Gewährung eines Replikrechts.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit dem die Vorinstanz gleichzeitig mit dem Endentscheid in der Hauptsache auf eine Beschwerde gegen den die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung verweigernden erstinstanzlichen Entscheid nicht eingetreten ist. In einem solchen Fall folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. Dort geht es um einen Eheschutzentscheid, der auch nicht vermögensrechtliche Belange regelt. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich auch gegen den die unentgeltliche Rechtspflege verweigernden Entscheid gegeben. Die Beschwerdeführerin ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.2. Eheschutzentscheide unterstehen grundsätzlich <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Sind die Beschwerdegründe im Hauptverfahren auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte beschränkt, so gilt dies auch im Streit um die unentgeltliche Rechtspflege (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt, indem sie die - mit Entscheid vom 16. Dezember 2013 - im Rahmen der Schuldneranweisung verfügte Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege als für das ganze Eheschutzverfahren geltend qualifizierte. Damit rügt sie sinngemäss eine Verletzung von <ref-law>.
2.1. Die Vorinstanz erwog, aus dem Entscheid vom 16. Dezember 2013 gehe nicht hervor, dass sich die Abweisung des Kostenerlassgesuchs (Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege) nur auf das Verfahren betreffend Schuldneranweisung bezogen habe. Ferner habe die Beschwerdeführerin für das Schuldneranweisungsverfahren auch kein separates Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege gestellt. Daher sei nicht ersichtlich, wieso das Zivilgericht nur für das Gesuch um Schuldneranweisung über die unentgeltliche Rechtspflege hätte entscheiden sollen. Antrag und Entscheid müssten sich prozessrechtlich entsprechen. Ansonsten müsste bei jedem einzelnen Begehren in einem laufenden Eheschutzverfahren um unentgeltliche Rechtspflege ersucht und bei jeder einzelnen Verfügung darüber entschieden werden. Dies widerspreche der Praxis und würde für alle Beteiligten einen grossen, völlig unnötigen Aufwand verursachen. Daher bestünde kein Zweifel, dass die am 16. Dezember 2013 erfolgte Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege sich auf das ganze laufende Eheschutzverfahren bezogen habe.
2.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege habe sich nur auf das Verfahren betreffend Schuldneranweisung bezogen. Dies folge daraus, dass die Entscheidung vom 16. Dezember 2013 unter dem "Gegenstand" der Schuldneranweisung ergangen sei. Zudem habe sie für das Verfahren um Schuldneranweisung den Antrag gestellt, die Kosten auf das Hauptverfahren zu verlegen. Dies impliziere, dass auch diese Kosten je nach Ausgang des Entscheids betreffend unentgeltliche Rechtspflege vom Staat übernommen würden. Da diesem Antrag nicht entsprochen und die Kosten direkt verlegt worden seien, habe sie davon ausgehen können, dass die Frage der unentgeltlichen Prozessführung auch nur für dieses Gesuch separat entschieden worden sei. Weiter hätte es keinen Sinn ergeben, am 16. Dezember 2013 über das Gesuch für das gesamte Verfahren zu entscheiden, da in der Entscheidung vom 15. Oktober 2013 die Frage noch offen gelassen und bis zum 16. Dezember 2013 keine neuen Unterlagen zu den finanziellen Verhältnissen eingereicht worden seien. Schliesslich seien durch das Verhalten der ersten Instanz Unklarheiten geschaffen worden: Entweder sei das Verfahren um Schuldneranweisung als ein dem Eheschutzverfahren integrierter Bestandteil zu qualifizieren und sämtliche Kosten am Ende zu verlegen, oder aber, die Schuldneranweisung sei ein separates Verfahren und entsprechend sei separat über die Kostenverlage und unentgeltliche Rechtspflege zu entscheiden. Die Beschwerdeführerin habe vor dem Zivilgericht beantragt, die Kosten auf das Hauptverfahren zu verlegen, da ihrer Ansicht nach die Verfahren miteinander verknüpft werden können. Indem die erste Instanz einen separaten Kostenentscheid ausfällte, habe die Beschwerdeführerin von einer Trennung der Verfahren ausgehen dürfen. Dies habe zur Konsequenz, dass auch die unentgeltliche Rechtspflege nur für dieses separate Verfahren verweigert wurde. Eine Mischform sei unzulässig. Die Vorinstanz sei auf diese Frage nicht eingegangen und habe sich daher nicht hinreichend mit der Problematik auseinandergesetzt.
2.3. Das Bundesgericht ist an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt. Zum Prozesssachverhalt zählen unter anderem die Anträge der Parteien, ihre Tatsachenbehauptungen und rechtlichen Erörterungen sowie ihre Prozesserklärungen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt im Anwendungsbereich von <ref-law> nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588).
2.4.
2.4.1. Wie die Vorinstanz festgestellt hat, erging die in Frage stehende Entscheidung zur unentgeltlichen Rechtspflege vom 16. Dezember 2013 zwar unter dem Titel "Gegenstand: Direktlohnanweisung". Für das Gesuch um Schuldneranweisung wurde jedoch kein separates Begehren um unentgeltliche Rechtspflege gestellt. Wenn mit Entscheid vom 16. Dezember 2013 die bisher noch offene Frage der unentgeltlichen Rechtspflege entschieden wird, obwohl im Rahmen der Schuldneranweisung kein separates Gesuch diesbezüglich gestellt wurde, ist naheliegend, dass sich diese Entscheidung auf den gestellten Antrag und damit das ganze Eheschutzverfahren bezieht. Es ist nicht ersichtlich, wieso das Zivilgericht ohne entsprechenden Antrag zur unentgeltlichen Prozessführung für die Schuldneranweisung eine separate Entscheidung ausschliesslich für dieses Gesuch hätte treffen sollen.
2.4.2. Bei der Schuldneranweisung gemäss <ref-law> handelt es sich um eine privilegierte Zwangsvollstreckungsmassnahme sui generis (<ref-ruling> E. 1.1 S. 668 mit Hinweisen). Die unentgeltliche Rechtspflege und die Schuldneranweisung sind zwei verschiedene Prozessthemen. Die Verschiedenheit beider Prozessgegenstände geht auch aus dem Entscheid des Zivilgerichts hervor, welches betreffend die Begründung und die Rechtsmittelbelehrung zwischen der Schuldneranweisung (Ziff. 1-3 und 5) und der unentgeltlichen Rechtspflege (Ziff. 4) differenzierte: Bezüglich der Schuldneranweisung verfasste das Zivilgericht einen kurzen Hinweis zur Abweisung (Ziff. 2), der ausdrücklich nicht als Ersatz einer schriftlichen Begründung galt. Bezüglich der Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege (Ziff. 4) verfasste das Zivilgericht eine Begründung, in der es auf die anlässlich der Verhandlung vom 15. Oktober 2013 eingereichten Unterlagen Bezug nahm und zum Schluss kam, dass die Ehegatten bei Erzielen des geplanten Verkaufspreises über ausreichend Vermögenswerte verfügten, um für die Kosten des vorliegenden Verfahrens aufzukommen. Auch in der Rechtsmittelbelehrung des Entscheides vom 16. Dezember 2013 differenzierte das Zivilgericht zwischen den Ziff. 1-3 und 5 einerseits, und Ziff. 4 andererseits. Betreffend die Ziff. 1-3 und 5 wurde im Wesentlichen ausgeführt, dass innert nicht erstreckbarer Frist von 10 Tagen um eine Begründung ersucht werden könne, andernfalls dies als Verzicht auf die Anfechtung des Entscheides gelte. Betreffend Ziff. 4 wies das Zivilgericht in der Rechtsmittelbelehrung darauf hin, dass gegen diese Verfügung innert nicht erstreckbarer Frist von 10 Tagen seit Zustellung beim Appellationsgericht Basel-Stadt schriftlich und begründet Beschwerde gemäss <ref-law> erhoben werden könne, wobei diese Frist während den Gerichtsferien nicht still stehe. Die Beschwerdeführerin kann aus der Kostenverteilung für die Schuldneranweisung (Ziff. 5) daher nicht auf den sachlichen Geltungsbereich der unentgeltlichen Prozessführung schliessen.
2.4.3. Weiter begründete das Zivilgericht die Abweisung des Gesuchs unter Bezugnahme auf Unterlagen, die von den Ehegatten anlässlich der letzten Eheschutzverhandlung vom 15. Oktober 2013 eingereicht wurden. Aus der Begründung ergibt sich, dass das Zivilgericht in der Zwischenzeit die anlässlich der Verhandlung vom 15. Oktober 2013 eingereichten Unterlagen studiert und festgestellt hat, dass die Ehegatten bei Erzielen des geplanten Verkaufspreises über ausreichend Vermögenswerte verfügten, um für die Kosten des vorliegenden Verfahrens aufzukommen. Dass das Zivilgericht zu diesem Zeitpunkt über das Gesuch entscheidet, ist nicht ungewöhnlich. Denn insbesondere, wenn ein Rechtsvertreter nach Einreichung des Gesuchs gehalten ist, weitere Verfahrensschritte zu unternehmen, ist es unabdingbar, dass die Behörden über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung umgehend entscheiden, damit Klient und Rechtsvertreter sich über das finanzielle Verfahrensrisiko Klarheit verschaffen können (Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2 mit Hinweis).
2.4.4. Auch wenn vorliegend eine offensichtliche (re) Trennung der Prozessgegenstände der Klarheit gedient hätte, so ist die Vorinstanz zumindest nicht in Willkür verfallen, wenn sie feststellt, die Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung mit Entscheid vom 16. Dezember 2013 beziehe sich auf das einzige Gesuch der Beschwerdeführerin vom 19. August 2013 und damit auf das ganze laufende Eheschutzverfahren. Die Rüge erweist sich als unbegründet.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt zudem die Verletzung des verfassungsmässigen Rechts auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gemäss <ref-law>.
3.1. Die Vorinstanz erwog, die am 16. Dezember 2013 erfolgte Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege habe sich auf das ganze laufende Eheschutzverfahren bezogen. Wenn die Beschwerdeführerin diesen Entscheid trotz entsprechender Rechtsmittelbelehrung nicht angefochten habe, so könne sie die Kostenauflage im Entscheid vom 13. Februar 2014 nicht mehr mit dem Einwand beanstanden, sie hätte Anspruch auf Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. Diese Frage sei mit dem Entscheid des Zivilgerichts vom 16. Dezember 2013 rechtskräftig entschieden worden. Der Kostenentscheid beinhalte nur noch die Verteilung der Prozesskosten und die Höhe der Gerichtsgebühr, wogegen keine Einwände erhoben wurden.
3.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law> und <ref-law>. Sie begründet diese mit der Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin und dem verfrühten Entscheid des Zivilgerichts. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, dass die Bedürftigkeit ersichtlich gewesen wäre, hätte die erste Instanz mit ihrer Entscheidung - wie beantragt - bis April 2014 zugewartet. Indem die Vorinstanz diesen Entscheid des Zivilgerichts "stütze", habe sie das Recht der Beschwerdeführerin auf unentgeltliche Rechtspflege und damit verfassungsmässige Rechte der Beschwerdeführerin sowie Bundesrecht verletzt.
3.3. Die Vorinstanz hat den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht materiell geprüft, sondern ist auf die Beschwerde gegen die Verweigerung (sinngemäss) nicht eingetreten. Damit ist vor Bundesgericht nicht zu überprüfen, ob die Vorinstanz den Anspruch nach <ref-law> zu Unrecht verweigert hat respektive die Beschwerdeführerin bedürftig gewesen wäre. Das Bundesgericht hätte - bei gegebener Rüge - zu überprüfen, ob die Vorinstanz zu Recht von der Rechtskraft des Entscheides vom 16. Dezember 2013 ausgegangen und damit nicht auf die Beschwerde eingetreten ist. Dies aber ist eine prozessuale Frage, welche sich nicht aus <ref-law>, sondern aus der Schweizerischen Zivilprozessordnung ergibt. Die Überprüfung der Anwendung von Bundesrecht und damit der ZPO kann vorliegend nur im Rahmen der eingeschränkten Kognition erfolgen. Die Beschwerdeführerin müsste darlegen, inwiefern die Schweizerische Zivilprozessordnung in Verletzung verfassungsmässiger Rechte - willkürlich - angewendet worden sei. Dies tut sie aber nicht. Damit ist auf diese Rüge nicht einzutreten.
4.
Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin hat für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen aufzeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden. Damit mangelt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch der Beschwerdeführerin ist abzuweisen. Der Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. September 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Griessen