Sachverhalt:
A. Anfangs 2006 schlossen die X._ AG (Beschwerdegegnerin) und die Y._ AG, für welche A._ (Beschwerdeführer) zeichnet, einen Mietvertrag über eine 1 1/2-Zimmerwohnung sowie einen Garagenplatz in der Liegenschaft B._ zu einem Bruttomietzins von Fr. 950.-- monatlich ab. Am 17. August 2007 vereinbarten der Beschwerdeführer, die Beschwerdegegnerin sowie die Y._ AG - vertreten durch den Beschwerdeführer -, dass das Mietverhältnis mit der Y._ AG per Ende Juli beendet werde und dass der Beschwerdeführer das Mietobjekt ohne die Garage per Anfang August zu einem Nettomietzins von Fr. 840.-- übernehme.
Mit Schreiben vom 17. Juli 2007 setzte die Beschwerdegegnerin der damaligen Mieterin - der Y._ AG - wegen Zahlungsrückstands gestützt auf <ref-law> eine Zahlungsfrist für die ausstehenden Mietzinse und drohte für den Fall des Ausbleibens der Zahlung die vorzeitige Kündigung an. Mit amtlichem Formular vom 12. Dezember 2007 kündigte die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer und der Y._ AG unter Hinweis auf die Mahnung vom 17. Juli 2007 den Mietvertrag gestützt auf <ref-law> auf Ende Januar 2008.
B. Mit Klage vom 14. Januar 2008 beantragte die Beschwerdegegnerin dem Einzelrichter am Bezirksgericht March, dem Beschwerdeführer zu befehlen, die 1 1/2-Zimmerwohnung in der Liegenschaft B._ per 31. Januar 2008 zu räumen. Der Beschwerdeführer beantragte, auf die Klage sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Mit Verfügung vom 1. Februar 2008 befahl der Einzelrichter am Bezirksgericht March dem Beschwerdeführer, die 1 1/2-Zimmerwohnung in der Liegenschaft B._ bis spätestens drei Tage nach Rechtskraft der Verfügung ordnungsgemäss zu verlassen und der Beschwerdegegnerin zu übergeben.
Gegen diese Verfügung erhob der Beschwerdeführer Nichtigkeitsbeschwerde ans Kantonsgericht Schwyz. Mit Beschluss vom 3. März 2008 nahm das Kantonsgericht die Nichtigkeitsbeschwerde als Rekurs entgegen (Ziff. 1). Sodann wies es den Rekurs ab, soweit darauf einzutreten war, und bestätigte die angefochtene Verfügung des Einzelrichters des Bezirksgerichts March (Ziff. 2).
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 27. März 2008 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, Ziff. 2 des Beschlusses des Kantonsgerichts Schwyz aufzuheben und dahingehend zu entscheiden, dass zwischen dem Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin bezüglich der 1 1/2-Zimmerwohnung in der Liegenschaft B._ nach wie vor ein gültiger Mietvertrag bestehe.
Gleichzeitig stellt der Beschwerdeführer das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Weiter beantragt er, dass der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen sei.
D. Auf die Einholung einer Vernehmlassung wurde verzichtet, weil sich die Beschwerde ohne Weiteres als aussichtslos erweist.

Erwägungen:
1. Gemäss <ref-law> ist in vermögensrechtlichen Angelegenheiten die Beschwerde nur zulässig, wenn der Streitwert in arbeits- und mietrechtlichen Fällen mindestens Fr. 15'000.-- (lit. a) und in allen übrigen Fällen mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (lit. b). Bei einem Ausweisungsverfahren, bei dem auch die Gültigkeit der Kündigung strittig ist, bestimmt sich der Streitwert aufgrund der Miete, die für diejenige Dauer geschuldet ist, während welcher der Mietvertrag unter der Annahme, dass die Kündigung zu Recht angefochten wurde, zwingend weiter bestehen würde, bevor eine neue Kündigung ausgesprochen werden könnte (<ref-ruling> E. 1 S. 149 und 111 II 384 E. 1 S. 386 betreffend OG; Urteil 4A_516/2007 vom 6. März 2008 E. 1.1 betreffend BGG). Da der Beschwerdeführer bei einer Gutheissung der Anfechtung von einem dreijährigen Kündigungsschutz profitieren würde (<ref-law>), ist unter Berücksichtigung eines Nettomietzinses von Fr. 840.-- pro Monat der Streitwert von Fr. 15'000.-- erreicht.
Im Übrigen wird die Beschwerde von einer Partei erhoben, die im kantonalen Verfahren unterlegen ist (<ref-law>), und die Beschwerde richtet sich gegen ein Endurteil (<ref-law>) in einer Zivilsache (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), so dass auf die Beschwerde einzutreten ist.
2. In seiner Verfügung vom 1. Februar 2008 bejahte der Einzelrichter am Bezirksgericht March zunächst die Aktivlegitimation der Beschwerdegegnerin, die Ausweisung des Beschwerdeführers zu verlagen. Sodann hielt er den Einwand, es bestehe kein Mietvertrag zwischen den Prozessparteien, angesichts der Vereinbarung vom 17. August 2007 für unbegründet. Schliesslich hielt er fest, dass sich der Beschwerdeführer in Zahlungsverzug befinde, dass die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer diesen Rückstand angezeigt und das Mietverhältnis unter Beachtung der Formvorschriften gekündigt habe, nachdem der ausstehende Mietzins innert der angesetzten Frist nicht bezahlt worden sei.
Im Rekursverfahren vor Kantonsgericht machte der Beschwerdeführer in erster Linie geltend, dass die Kündigungsandrohung vom 17. Juli 2007 nicht an ihn, sondern die Y._ AG gerichtet gewesen sei. Dazu führte das Kantonsgericht einerseits aus, dass der Beschwerdeführer zwar zutreffend darauf hinweise, dass die Mahnung und Kündigungsandrohung vom 17. Juli 2007 an die Y._ AG - unter Kopie an den Beschwerdeführer - adressiert gewesen sei. Allerdings sei es rechtsmissbräuchlich, wenn sich der Beschwerdeführer darauf berufe, die Mahnung und die Kündigungsandrohung sei nicht an ihn gerichtet gewesen. Da er sich in der Vereinbarung vom 17. August 2007 als einzelzeichnungsberechtigter Verwaltungsrat der Y._ AG zur Begleichung der Mietzinsausstände verpflichtet habe, verdiene sein Argument, die Mahnung und Kündigungsandrohung sei nicht an ihn als natürliche Person gerichtet worden, keinen Schutz. Andererseits sei die Behauptung, die Abmahnung sei einzig an die Y._ AG - nicht jedoch an den Beschwerdeführer als natürliche Person - gerichtet gewesen, als neu zu qualifizieren, ohne dass begründet worden sei, warum das Novum erst jetzt in den Prozess eingeführt werde.
3. Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, dass aufgrund der Vereinbarung vom 17. August 2007 davon auszugehen sei, dass der Beschwerdeführer per 1. August 2007 mit der Beschwerdegegnerin einen neuen Mietvertrag abgeschlossen habe. Der Beschwerdeführer müsse sich daher die Mahnung vom 17. Juli 2007 an die Adresse der Y._ AG nicht anrechnen lassen und könne auch nicht für die Mietzinsschulden seiner Vormieterin belangt werden.
3.1 Vorab ist festzuhalten, dass das Kantonsgericht im angefochtenen Beschluss festgehalten hat, der im Rekursverfahren eingenommene Standpunkt des Beschwerdeführers, die Abmahnung vom 17. Juli 2007 sei einzig an die Y._ AG - und nicht an den Beschwerdeführer als natürliche Person - gerichtet gewesen, sei als neu zu qualifizieren. Die Behauptung des Beschwerdeführers, dem Einzelrichter am Bezirksgericht March habe die Abmahnung vom 17. Juli 2007 vorgelegen und der Beschwerdeführer sei damit seiner Mitwirkungspflicht nachgekommen, ist nicht überzeugend. Die im Mietrecht geltende soziale Untersuchungsmaxime (<ref-law>) entbindet die Parteien nicht, die entscheidwesentlichen Behauptungen aufzustellen und Unterlagen vorzulegen, sondern verpflichtet den Richter lediglich, seine Fragepflicht auszuüben (<ref-ruling> E. 4a S. 238). Nachdem die Vorinstanz unangefochten festgestellt hat, dass der Einzelrichter die Parteien zur Klärung des Sachverhaltes befragt habe, wäre es dem Beschwerdeführer - auch wenn er damals noch nicht rechtskundig vertreten war - zumutbar gewesen, darauf hinzuweisen, er habe die Zahlungsaufforderung und Kündigungsandrohung vom 17. Juli 2007 nicht erhalten. Schon aus diesem Grund ist die Beschwerde abzuweisen.
3.2 Die Beschwerde erweist sich aber auch als unbegründet, soweit sie sich gegen die Begründung der Vorinstanz in der Sache richtet. Ob die Beschwerdegegnerin mit dem Beschwerdeführer aufgrund der Vereinbarung vom 17. August 2007 einen neuen Mietvertrag abschloss - in welchem Fall der Beschwerdeführer eine an einen früheren Mieter gerichtete Mahnung und Kündigungsandrohung nicht gegen sich gelten lassen müsste -, ist durch Auslegung zu ermitteln. Das Kantonsgericht hat keinen tatsächlichen Konsens festgestellt, wie die Parteien die Vereinbarung übereinstimmend verstanden haben. Der Vertragsinhalt ist daher durch Auslegung aufgrund des Vertrauensprinzips zu ermitteln. Dabei sind die Erklärungen der Parteien so auszulegen, wie sie nach ihrem Wortlaut und Zusammenhang sowie den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten. Die Auslegung nach dem Vertrauensprinzip ist eine Rechtsfrage, wobei das Bundesgericht an die Feststellungen der kantonalen Instanz über die äusseren Umstände sowie das Wissen und Wollen der Beteiligten grundsätzlich gebunden ist (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Nach den Feststellungen der Vorinstanz wohnt der Beschwerdeführer seit Beginn des Mietverhältnisses mit der Y._ AG seit Anfang Februar 2006 in der 1 1/2-Zimmerwohnung in der Liegenschaft B._. Ferner steht fest, dass ausschliesslich der Beschwerdeführer als einzelzeichnungsberechtigter Verwaltungsrat dafür besorgt gewesen war, dass die Y._ AG aus dem Mietvertrag entlassen wurde, weil die Vereinbarung vom 17. August 2007 vom Beschwerdeführer sowohl für sich selbst als auch für die Y._ AG unterschrieben wurde. Unter diesen Umständen ist davon auszugehen, dass mit der Vereinbarung vom 17. August 2007 nicht der bestehende Mietvertrag mit der Y._ AG aufgehoben und ein neuer Mietvertrag mit dem Beschwerdeführer abgeschlossen werden sollte, sondern dass der Beschwerdeführer an Stelle der Y._ AG auch formell als Mietpartei in das bisherige Mietverhältnis eintreten sollte. Anders ist nicht zu erklären, dass auch diese Gesellschaft an der Vereinbarung vom 17. August 2007 mitwirkte und diese - durch den Beschwerdeführer - unterzeichnete. Das bedeutet, dass alle Rechte und Pflichten aus dem Mietverhältnis auf den Beschwerdeführer persönlich übergingen. Zutreffend weist die Vorinstanz denn auch darauf hin, dass eine eigentliche Übergabe des Mietobjektes als typisches Merkmal eines neuen Mietvertrages nicht erforderlich gewesen sei, weil der Beschwerdeführer das Mietobjekt, das er bereits bewohnte, von der Gesellschaft, für die er handelte, übernommen habe. Der Hinweis des Beschwerdeführers, er sei bis 31. Juli 2007 Untermieter der Y._ AG gewesen, ist neu und unzulässig, weil nicht erst der angefochtene Entscheid Anlass für diese neue Behauptung gab (<ref-law>). Nachdem aber davon auszugehen ist, dass der Beschwerdeführer das bestehende Mietverhältnis übernahm, muss er sich die Mahnung und Kündigungsandrohung vom 17. Juli 2007, die ihm übrigens auch persönlich in Kopie zugestellt worden war, entgegen halten lassen. Sein Einwand, die Mahnung und Kündigungsandrohung beziehe sich auf ein anderes Mietverhältnis, welches ihn nicht betreffe, erweist sich somit als nicht stichhaltig. Damit stellt sich die Frage nicht, ob sich der Beschwerdeführer rechtsmissbräuchlich auf einen neuen Mietvertrag beruft. Entscheidend ist einzig, dass der Beschwerdeführer als Übernehmer des bisherigen Mietverhältnisses die Mahnung und Kündigungsandrohung vom 17. Juli 2007 gegen sich gelten lassen muss, dass nach den Feststellungen der Vorinstanz die Mietzinsausstände nicht beglichen waren und dass die formellen Anforderungen an eine Zahlungsverzugskündigung eingehalten sind. Im Übrigen ist auch nicht mehr umstritten, dass die Handlungen von X._ der Beschwerdegegnerin anzurechnen sind und dass die Beschwerdegegnerin aktivlegitimiert ist.
4. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Da keine Vernehmlassung eingeholt wurde, entfällt eine Entschädigungspflicht.
5. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen. Da die vom Beschwerdeführer erhobenen Beanstandungen offensichtlich unbegründet sind, erweist sich die Beschwerde als aussichtslos, was zur Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege führt (<ref-law>).
6. Mit dem heutigen Urteil wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz, 1. Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. April 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Klett Mazan