Sachverhalt:
A.
A.a. Die X._ AG mit Sitz in M._ (Beschwerdeführerin) wurde am 5. Juli 2010 in das Handelsregister eingetragen und hat ihr Rechtsdomizil im Lokal des Anwaltsbüros von A._ (Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin) an der L._ in M._.
A._ ist seit der Gründung der Gesellschaft einziger Verwaltungsrat mit Einzelunterschrift.
Mit Tagesregister-Eintrag vom 21. September 2012 wurde die seit dem 5. Juli 2010 als Revisionsstelle fungierende Y._ Treuhand AG aus dem Handelsregister gelöscht.
A.b. Mit an das Rechtsdomizil der X._ AG adressiertem Schreiben vom 15. Oktober 2012 (zugestellt am 18. Oktober 2012) teilte das Handelsregisteramt des Kantons Zürich (Beschwerdegegner) der Gesellschaft mit, dass die Y._ Treuhand AG als Revisionsstelle im Handelsregister gelöscht worden sei und die Gesellschaft damit über keine Revisionsstelle mehr verfüge. Das Handelsregisteramt wies die X._ AG darauf hin, dass eine Aktiengesellschaft gemäss <ref-law> über eine von der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde zugelassene und im Handelsregister eingetragene Revisionsstelle verfügen, oder aber der Verzicht auf eine Revision im Sinne von <ref-law> eingetragen sein müsse. Dies sei bei der X._ AG nicht gegeben, womit ein Organisationsmangel im Sinne von <ref-law> vorliege. Das Handelsregisteramt forderte die X._ AG deshalb dazu auf, den gesetzmässigen Zustand hinsichtlich der Revisionsstelle innert 30 Tagen herzustellen. Weiter hielt das Handelsregisteramt fest, dass es dem zuständigen Gericht den Antrag stellen werde, die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen, falls die Gesellschaft den rechtmässigen Zustand nicht innert Frist herstelle.
Die X._ AG liess die ihr angesetzte Frist ungenutzt verstreichen.
B.
Mit Gesuch vom 3. Dezember 2012 beantragte das Handelsregisteramt dem Handelsgericht des Kantons Zürich, es seien infolge Mängeln in der gesetzlich zwingenden Organisation der X._ AG die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen.
Zur Begründung führte das Handelsregisteramt aus, die X._ AG verfüge weder über eine Revisionsstelle, noch sei der Verzicht auf eine Revision i.S. von <ref-law> eingetragen. Das oberste Leitungsorgan habe die ihm angesetzte Frist ungenutzt verstreichen lassen und trotz Ankündigung der Überweisung an den Richter keine Revisionsstelle und auch keinen Verzicht auf eine Revision angemeldet.
B.a. Mit prozessleitender Verfügung vom 18. Dezember 2012 (zugestellt am 19. Dezember 2012) stellte das Handelsgericht des Kantons Zürich der X._ AG ein Doppel des Gesuchs zu (Dispositiv-Ziffer 1) und setzte der Gesellschaft eine einmalige Frist bis 29. Januar 2013 an, um den rechtmässigen Zustand herzustellen oder konkret zureichende Gründe darzulegen, welche gegen das Gesuch des Handelsregisteramts sprechen. Weiter wies das Handelsgericht darauf hin, dass bei Säumnis oder unbehelflichen Einwendungen durch Urteil des Handelsgerichts die Auflösung der Gesellschaft und ihre Liquidation nach den Konkursregeln angeordnet werde (Dispositiv-Ziffer 2).
Die X._ AG liess die ihr angesetzte Frist wiederum ungenutzt verstreichen.
Mit Urteil vom 15. Februar 2013 löste das Handelsgericht die X._ AG auf, ordnete deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs an und beauftragte das Konkursamt Zürich (Altstadt) mit deren Vollzug.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt die X._ AG dem Bundesgericht die folgenden Anträge:
"1. Es sei das Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 15. Februar 2013 aufzuheben und die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen und der Beschwerdeführerin Frist anzusetzen, binnen fünf Wochen ab Entscheid eine Generalversammlung durchzuführen mit der Auflage, an selbiger den bestehenden Organisationsmangel zu beheben; gleichzeitig bei Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens.
2. Eventualiter: Es sei das angefochtene Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 15. Februar 2013 aufzuheben und die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen zur Ernennung der fehlenden Revisionsstelle der Beschwerdeführerin und zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens.
3. alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Beschwerdegegners."
Die Vorinstanz hat in ihrer Vernehmlassung vom 16. April 2013 zur Beschwerde Stellung genommen, ohne Antrag zu stellen. Das Handelsregisteramt beantragt in seiner Vernehmlassung vom 22. April 2013 die Abweisung des Begehrens betreffend die Kosten- und Entschädigungsfolgen.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 5. April 2013 wurde festgestellt, dass der Beschwerde im Umfang der gestellten Begehren von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung zukommt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>), der von einem oberen kantonalen Gericht erging, das als Fachgericht für handelsrechtliche Streitigkeiten und einzige kantonale Instanz eingesetzt ist (<ref-law>), ist innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) von der mit ihren Rechtsbegehren unterlegenen Partei (<ref-law>) eingereicht worden und bei der Streitsache handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>). Eine Streitwertgrenze besteht für Beschwerden gegen Urteile kantonaler Handelsgerichte nicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 69 f.). Beschwerdegegner ist - entgegen dem Rubrum des angefochtenen Entscheids - nicht der Kanton Zürich, sondern dessen Handelsregisteramt, welches in Organisationsmängelverfahren von Bundesrechts wegen als Partei auftreten kann (<ref-law> i.V.m. <ref-law> und <ref-law>; vgl. Daniel Willisegger, Grundstruktur des Zivilprozesses, 2012, S. 249).
2.
Die Beschwerdeführerin macht eine Verletzung von <ref-law> geltend. Der angefochtene Auflösungsentscheid verletze das Verhältnismässigkeitsprinzip, welches bei der Auswahl der zur Behebung des Organisationsmangels erforderlichen Massnahme zu beachten sei. Reagiere eine Gesellschaft auf Aufforderungen des Handelsregisteramts bzw. Handelsgerichts nicht sofort, habe die betreffende Gerichtsinstanz wenigstens in den Grundzügen die konkrete Situation der Gesellschaft zu kennen. Andernfalls habe sie ein zweites Mal Frist anzusetzen. Dies sei vorliegend nicht geschehen. Zudem sei als milderes Mittel zunächst entsprechend der Stufenfolge der Massnahmen gemäss Art. 731b Abs. 1 Ziff. 1-3 OR richterlich das fehlende Organ zu ernennen. Dass diese Massnahme vorliegend nicht sachgerecht bzw. zielführend wäre, gehe aus dem angefochtenen Entscheid nicht hervor.
2.1.
2.1.1. Aktiengesellschaften haben ihre Jahresrechnung durch eine Revisionsstelle ordentlich (<ref-law>) oder gegebenenfalls eingeschränkt (<ref-law>) prüfen zu lassen. Nach <ref-law> kann mit Zustimmung sämtlicher Aktionäre auf eine eingeschränkte Revision verzichtet werden, wenn die Gesellschaft im Jahresdurchschnitt nicht mehr als zehn Vollstellen hat (sog. Opting-out ).
2.1.2. Gemäss <ref-law> stellt der Handelsregisterführer dem Gericht bei Mängeln in der gesetzlich zwingenden Organisation einer Gesellschaft den Antrag, die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen. Nach <ref-law> kann das Gericht insbesondere der Gesellschaft unter Androhung ihrer Auflösung eine Frist ansetzen, binnen derer der rechtmässige Zustand wieder herzustellen ist (Abs. 1 Ziff. 1), das fehlende Organ oder einen Sachwalter ernennen (Abs. 1 Ziff. 2) oder die Gesellschaft auflösen und ihre Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs anordnen (Abs. 1 Ziff. 3).
2.1.3. Mit <ref-law> wollte der Gesetzgeber dem Gericht einen hinreichenden Handlungsspielraum gewähren, um eine mit Blick auf die konkreten Umstände des Einzelfalles angemessene Massnahme treffen zu können (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 298; <ref-ruling> E. 3.5 S. 170; <ref-ruling> E. 11.4.1 S. 371). Das Gericht ist bei der Ausübung dieses Handlungsspielraums freilich nicht ungebunden: Die in <ref-law> genannten Massnahmen stehen in einem Stufenverhältnis. Das Gericht soll die drastische Massnahme der Auflösung gemäss Ziffer 3 erst anordnen, wenn die milderen Massnahmen gemäss Ziffer 1 und Ziffer 2 nicht genügen oder erfolglos geblieben sind (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 298 f.). Es gilt mithin das Verhältnismässigkeitsprinzip: Nur wenn sich mildere Mittel nicht als sachgerecht bzw. zielführend erweisen, kommt als ultima ratio die Auflösung der Gesellschaft nach <ref-law> zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 299; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 280). Dies ist etwa der Fall, wenn Verfügungen nicht zustellbar sind oder wenn sich die Gesellschaft in keiner Art und Weise vernehmen lässt (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 299).
2.1.4. Fehlt der Gesellschaft die Revisionsstelle und wurde der Mangel innert richterlich angesetzter Frist nicht behoben, ist die Ernennung des fehlenden Organs grundsätzlich die angemessene Massnahme zur Beseitigung des Organisationsmangels (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 302; Urteil 4A_411/2012 vom 22. November 2012 E. 2.1.5). Denn gegenüber der Anordnung der Auflösung der Gesellschaft und deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs stellt die Ernennung des fehlenden Organs das mildere Mittel dar. Dem Gericht wird es regelmässig als verhältnismässig und den verfolgten Zielen angemessen erscheinen, der Ernennung einer Revisionsstelle gegenüber der Anordnung der Auflösung und der Liquidation der Gesellschaften nach den Vorschriften über den Konkurs den Vorzug zu geben (Urteil 4A_411/2012 vom 22. November 2012 E. 2.1.5). Diese Lösung entspricht auch den Vorstellungen des Gesetzgebers, wollte dieser mit <ref-law> doch lediglich eine einheitliche Ordnung für die Behebung und Sanktionierung sämtlicher Mängel in der gesetzlich vorgeschriebenen Organisation der Gesellschaft schaffen, dabei aber die Fälle der Durchsetzung zwingender Vorgaben gegenüber dem bisherigen Recht nicht erweitern (Botschaft vom 19. Dezember 2001 zur Revision des Obligationenrechts [GmbH-Recht sowie Anpassungen im Aktien-, Genossenschafts-, Handelsregister- und Firmenrecht], BBl 2002, S. 3231 f.). Das bisherige Recht sah bei Fehlen einer Revisionsstelle die Ansetzung einer Frist zur Behebung des Mangels und bei deren erfolglosen Verstreichen die richterliche Ernennung der Revisionsstelle, nicht aber die Auflösung der Gesellschaft vor (aArt. 727f OR). Es ist nicht davon auszugehen, dass der Gesetzgeber mit <ref-law> die Stufenfolge dieser Massnahmen durchbrechen wollte (Urteil 4A_411/2012 vom 22. November 2012 E. 2.1.5).
Aus prozessökonomischen Gründen kann das Gericht der Gesellschaft bei Einsetzung einer Revisionsstelle freilich gleichzeitig unter Androhung der Auflösung bei Nichtbeachtung eine Frist zur Bezahlung des gemäss <ref-law> zu leistenden Vorschusses ansetzen. Ein solches Vorgehen ermöglicht dem Gericht, die Gesellschaft nach unbenutztem Fristablauf direkt aufzulösen, ohne auf ein erneutes Gesuch des Handelsregisterführers, eines Gesellschafters oder Gläubigers verwiesen zu sein (Urteil 4A_411/2012 vom 22. November 2012 E. 2.2.3).
2.1.5. Die Vorinstanz stellte fest, dass die Beschwerdeführerin über keine gesetzmässige Revisionsstelle (<ref-law>) und auch über keinen eingetragenen Verzicht auf die (eingeschränkte) Revision (<ref-law>) verfügt. Damit liege bei der Beschwerdeführerin ein schwerwiegender Organisationsmangel vor. Da die Beschwerdeführerin die richterlich angesetzte Frist zur Behebung des Mangels ungenutzt verstreichen liess, kam die Vorinstanz zum Schluss, dass die Gesellschaft aufzulösen sei.
2.1.6. Gegen diese Erwägungen wendet die Beschwerdeführerin zwar zutreffend ein, dass - mit Blick auf das Stufenverhältnis der in <ref-law> genannten Massnahmen - die Auflösung der Gesellschaft bei blossem Fehlen einer Revisionsstelle grundsätzlich unangemessen ist. Denn die Auflösung der Gesellschaft muss stets ultima ratio bleiben; sie kommt nur zum Zuge, wenn sich mildere Mittel nicht als sachgerecht bzw. zielführend erweisen. Aus dem vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt geht indessen hervor, dass die Beschwerdeführerin vorliegend bereits im Mängelbeseitigungsverfahren vor dem Handelsregisteramt gemäss <ref-law> auf die entsprechende Fristansetzung von 30 Tagen in keiner Weise reagiert hat. Auch auf die Fristansetzung durch die Vorinstanz gemäss prozessleitender Verfügung vom 18. Dezember 2012 hat die Beschwerdeführerin überhaupt keine Reaktion gezeigt. Dieses Verhalten lässt sich mit Blick auf die konkreten Verhältnisse nicht erklären, handelt doch für die Beschwerdeführerin ein im Anwaltsregister eingetragener Rechtsanwalt als einziger Verwaltungsrat, welcher sich der Bedeutung und Tragweite der entsprechenden Aufforderungen zur Behebung des Organisationsmangels bewusst sein musste. Aber selbst wenn es sich beim Organwalter der Beschwerdeführerin um einen juristischen Laien handelte, wäre ein Untätigbleiben auf zwei hintereinander folgende Fristansetzungen nicht nachvollziehbar. In der Tat gehen weder aus dem vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt noch aus der Beschwerdeschrift stichhaltige Gründe hervor, weshalb die Beschwerdeführerin sich im vorinstanzlichen sowie Verfahren vor dem Handelsregisteramt in keiner Art und Weise vernehmen liess. Vor diesem Hintergrund durfte und musste die Vorinstanz davon ausgehen, dass die Beschwerdeführerin auch bei richterlicher Einsetzung einer Revisionsstelle keine Reaktion zeigen und insbesondere den Vorschuss gemäss <ref-law> nicht leisten würde. Die mildere Massnahme gemäss <ref-law> hätte sich unter diesen Umständen nicht als zielführend erwiesen, womit die Vorinstanz zu Recht auf Auflösung der Gesellschaft erkannt hat. Eine Verletzung von <ref-law> liegt nicht vor.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni