Faits:
A.
A.a. Par décision du 28 mars 2011, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a refusé d'allouer une allocation pour impotent à S._.
A.b. Par jugement du 20 juin 2012, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales (ci-après: la Cour de justice), a admis le recours formé contre la décision du 28 mars 2011, annulé ladite décision, dit que S._ avait droit à une allocation pour impotent de degré moyen dès le 1 er septembre 2008, condamné l'office AI à payer à l'assurée une indemnité de 2'500 fr. à titre de participation à ses frais et dépens et mis un émolument de 1'000 fr. à la charge de l'office AI.
A.c. Par arrêt du 8 janvier 2013 (cause 9C_633/2012), le Tribunal fédéral a partiellement admis le recours formé par l'office AI et réformé le jugement du 20 juin 2012 de la Cour de justice, en ce sens que S._ avait droit à une allocation pour impotent de degré faible dès le 1 er septembre 2008. La cause a été renvoyée à la Cour de justice pour qu'elle rende une nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure cantonale.
B.
Par jugement du 13 février 2013, la Cour de justice de la République et canton de Genève a condamné l'office AI à verser à S._ une indemnité de 2'500 fr. à titre de participation à ses frais et dépens et mis un émolument de 1'000 fr. à la charge de l'office AI.
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il conclut à l'annulation.
S._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Par exception à ce principe, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2.
Sur le plan formel, l'office recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu, en tant que la juridiction cantonale aurait statué sans qu'il ait eu la possibilité de se déterminer sur la prise de position produite le 31 janvier 2013 par l'intimée.
2.1.
2.1.1. Compris comme l'un des aspects de la notion générale de procès équitable au sens des art. 29 ss Cst., le droit d'être entendu garantit notamment le droit pour une partie à un procès de prendre connaissance de toute argumentation présentée au tribunal et de se déterminer à son propos, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement susceptible d'influer sur le jugement à rendre. Il appartient en effet aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier contient des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Toute prise de position ou pièce nouvelle versée au dossier doit ainsi être communiquée aux parties pour leur permettre de décider si elles veulent ou non faire usage de leur faculté de se déterminer (<ref-ruling> consid. 2.3.3 p. 157; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 197 et les références).
2.1.2. Il est du devoir du tribunal de garantir aux parties un droit effectif à la réplique dans chaque cas particulier. Il peut à cet effet accorder à la partie concernée un délai (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 197). Il peut néanmoins suffire de transmettre à la partie concernée la prise de position ou la pièce nouvelle versée au dossier, lorsque l'on peut attendre d'elle - notamment lorsqu'elle est représentée par un avocat ou par une personne qui a de bonnes connaissances en droit - qu'elle prenne position immédiatement ou qu'elle demande au tribunal de lui fixer un délai pour ce faire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 487). Pour que le droit à la réplique soit garanti, il faut toutefois que le tribunal laisse un laps de temps suffisant à la partie concernée, entre la remise des documents et le prononcé de sa décision, pour qu'elle ait la possibilité de déposer des observations si elle l'estime nécessaire à la défense de ses intérêts. Cette pratique peut certes engendrer une certaine incertitude, dès lors que la partie ignore de combien de temps elle dispose pour formuler une éventuelle prise de position. La Cour européenne des droits de l'homme a toutefois admis la conformité du procédé avec l'art. 6 § 1 CEDH, dès lors qu'il suffit à la partie de demander à l'autorité de pouvoir prendre position et de requérir la fixation d'un délai (arrêt Joos contre Suisse du 15 novembre 2012, n° 43245/07, §§ 27 ss, en particulier §§ 30-32). Pour résumer de manière plus générale la pratique, le Tribunal fédéral considère qu'un délai inférieur à dix jours ne suffit pas à garantir l'exercice du droit de répliquer, tandis qu'un délai supérieur à vingt jours permet, en l'absence de réaction, d'inférer qu'il a été renoncé au droit de répliquer (arrêts 5A_155/2013 du 17 avril 2013 consid. 1.4 et 1B_407/2012 du 21 septembre 2012 consid. 2.2).
2.2. En qualité d'organe chargé de l'application de la législation en matière d'assurances sociales, l'office recourant est réputé connaître la jurisprudence du Tribunal fédéral et donc censé savoir que le droit à la réplique existe indépendamment d'un délai formel et doit être exercé sans retard. S'il convient d'admettre qu'il peut être parfois difficile d'évaluer le temps nécessaire pour examiner une prise de position et rédiger des commentaires, ce désavantage est néanmoins contrebalancé par la possibilité de pouvoir demander un délai pour ce faire. En l'occurrence, l'écriture remise le 31 janvier 2013 par l'intimée à la juridiction cantonale faisait à peine plus d'une page et n'avait, pour tout contenu, qu'une invitation à maintenir les frais et les dépens de la procédure cantonale tels qu'ils avaient été fixés initialement. Force est d'admettre que l'office recourant était en mesure d'examiner très rapidement si le contenu de ce document nécessitait qu'on lui apporte des commentaires et de requérir à cet effet, le cas échéant, l'octroi d'un délai. Eu égard à l'ensemble des circonstances du cas d'espèce, on ne saurait considérer que la juridiction cantonale a violé le droit d'être entendu de l'office recourant en statuant le 13 février 2013, soit plus de dix jours après la réception par celui-ci de la copie du courrier de l'intimée.
3.
Sur le fond, l'office recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir alloué à l'intimée, sans la moindre explication, des dépens à hauteur de 2'500 fr., montant qui n'était pas justifié au vu des circonstances. En effet, l'intimée n'avait obtenu que partiellement gain de cause et le litige ne présentait pas une grande complexité, dès lors qu'il n'avait pas impliqué la rédaction d'écritures ayant nécessité d'importantes recherches juridiques ou un raisonnement ardu, ni de nombreuses audiences.
3.1.
3.1.1. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 Cst., celui d'obtenir une décision motivée. Le destinataire de la décision et toute personne intéressée doit pouvoir la comprendre et l'attaquer utilement en connaissance de cause s'il y a lieu, et l'instance de recours doit pouvoir exercer pleinement son contrôle si elle est saisie (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 236; <ref-ruling> consid. 2a/aa p. 16). Le juge n'est toutefois pas toujours tenu de motiver la décision par laquelle il fixe le montant des dépens alloués à une partie obtenant totalement ou partiellement gain de cause dans un procès, ou l'indemnité allouée à l'avocat d'office; il est admis de façon générale que le juge est en mesure de se rendre compte de la nature et de l'ampleur des opérations que le procès a nécessitées. Lorsqu'il existe un tarif ou une règle légale fixant des minima et maxima, le juge ne doit motiver sa décision que s'il sort de ces limites ou si des éléments extraordinaires sont invoqués par la partie concernée, ou encore si le juge s'écarte d'une note de frais produite par l'intéressé et alloue une indemnité inférieure au montant habituel, en dépit d'une pratique bien définie. L'exigence d'une motivation de la décision touchant le montant des dépens risquerait sinon d'aboutir à des formules stéréotypées qui ne différeraient guère de l'absence de motivation. Le Tribunal fédéral ne motive d'ailleurs pas, en principe, les décisions en matière de dépens pour les causes qui sont portées devant lui (<ref-ruling>; voir également arrêt I 308/98 du 28 juillet 1999 consid. 3, in SVR 2000 IV n. 11 p. 31).
3.1.2. En l'occurrence, la juridiction cantonale s'est contentée d'appliquer la règle générale, selon laquelle il n'y a pas lieu, en principe, de motiver la décision en matière de dépens. Le grief développé par l'office recourant serait admissible si la juridiction cantonale s'était écartée d'un tarif ou d'une règle légale cantonale fixant des minima et des maxima. Or, ce n'est manifestement pas le cas en l'espèce. D'après l'art. 6 du règlement sur les frais, émoluments et indemnités en procédure administrative du 30 juillet 1986 (RFAP; RS/GE E 5 10.03), la juridiction peut allouer à une partie pour les frais indispensables occasionnés par la procédure, y compris les honoraires éventuels d'un mandataire, une indemnité de 200 à 10'000 fr. Dans la mesure où le montant alloué à l'intimée se situe dans la fourchette prévue par le droit cantonal, la juridiction cantonale n'était pas tenue de motiver sa décision et n'a, partant, pas violé le droit d'être entendu de l'office recourant.
3.2.
3.2.1. Selon l'art. 61 let. g LPGA, le recourant qui obtient gain de cause a droit au remboursement de ses frais et dépens dans la mesure fixée par le tribunal; leur montant est déterminé sans égard à la valeur litigieuse d'après l'importance et la complexité du litige. Il y a gain de cause au sens de cette disposition, lorsque le tribunal annule - totalement ou partiellement - la décision attaquée et rend un jugement plus favorable pour la personne concernée ou lorsqu'il renvoie la cause à l'administration pour instruction complémentaire et nouvelle décision (cf. <ref-ruling> consid. 6.2 p. 235 et les références). Lorsque le litige porte sur la quotité d'une prestation d'assurance sociale (montant et/ou durée), l'admission partielle des conclusions du recours - par exemple lorsqu'une demi-rente est octroyée en lieu et place d'une rente entière - ne justifie en principe une réduction des dépens que si les conclusions du recours ont eu une influence sur l'importance et la complexité du litige (<ref-ruling> consid. 2c p. 407; voir également arrêts 8C_568/2010 du 3 décembre 2010 consid. 4.1, 9C_580/2010 du 16 novembre 2010 consid. 4.1 et 9C_94/2010 du 26 mai 2010 consid. 4.1). Le point de savoir si et à quelles conditions une partie a droit à des dépens en instance cantonale de recours lorsqu'elle obtient gain de cause relève du droit fédéral et dépend non seulement de l'issue du litige mais également de la personne de l'ayant droit (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 115 et les arrêts cités). La fixation du montant de l'indemnité de dépens ressortit en revanche au droit cantonal et échappe, en principe, à la compétence du Tribunal fédéral. Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), la violation du droit cantonal ne constitue en effet pas un motif de recours; la partie recourante peut uniquement se plaindre de ce que l'application du droit cantonal par l'autorité précédente consacre une violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law> - notamment de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) - ou du droit international au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 466; <ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 251).
3.2.2. L'office recourant ne parvient pas à démontrer le caractère arbitraire du montant des dépens alloués à l'intimée. Le fait qu'elle n'ait obtenu, au final, que partiellement gain de cause dans ses conclusions, puisque seule une allocation pour impotent de degré faible lui a été allouée au lieu de l'allocation pour impotent de degré moyen initialement requise, ne constitue pas un facteur justifiant de réduire l'indemnité de dépens, la question de la quotité de la prestation allouée n'ayant eu à l'évidence aucune incidence sur l'importance et la complexité du litige. Quant au montant de 2'500 fr., il reste dans la marge inférieure de la fourchette prévue par le droit cantonal (cf. supra consid. 3.1.2), ce qui laisse à penser que la juridiction cantonale a considéré le cas comme ne présentant pas une complexité et des difficultés particulières. Faute pour l'office recourant d'indiquer quelle disposition du droit cantonal de procédure aurait été violée et pour quels motifs il estime que ce montant doit être considéré comme manifestement disproportionné - la simple énumération des actes de procédure effectués par l'intimée n'étant à ce titre pas suffisante -, il n'y a pas lieu de s'écarter de l'appréciation faite par la juridiction cantonale.
4.
L'office recourant conteste également le montant des frais judiciaires qui ont été mis à sa charge. Au vu du degré de complexité du dossier, du fait qu'il n'y a pas eu d'actes d'instruction complexes ni d'expertise judiciaire et qu'une seule audience de comparution personnelle des parties a eu lieu, les frais de 1'000 fr. seraient arbitraires.
4.1. Conformément à l'<ref-law>, la procédure doit être gratuite pour les parties; des émoluments de justice et les frais de procédure peuvent toutefois être mis à la charge de la partie qui agit de manière téméraire ou témoigne de légèreté. L'art. 69 al. 1bis LAI (en vigueur depuis le 1 er juillet 2006) déroge à cette disposition dans la mesure où la procédure de recours en matière de contestations portant sur l'octroi ou le refus de prestations de l'assurance-invalidité devant le tribunal cantonal des assurances est soumise à des frais de justice. Le montant des frais doit alors être fixé en fonction de la charge liée à la procédure, indépendamment de la valeur litigieuse, et se situer entre 200 et 1'000 fr. Les frais de justice ne peuvent être ni inférieurs ni supérieurs à ces montants, les cantons demeurant cependant libres de renoncer totalement ou partiellement à la perception de frais de justice s'il existe une base légale qui l'autorise (<ref-ruling> consid. 1 p. 123).
4.2. L'art. 69 al. 1bis LAI ne fixe aucune règle en matière de répartition des frais, si bien qu'il n'existe aucune directive à l'intention des tribunaux de première instance précisant selon quels principes les frais de justice doivent être répartis entre les parties. Cette disposition ne limite la compétence des cantons en matière de procédure qu'en ce qui concerne le principe même de l'absence de gratuité de la procédure en matière d'octroi et de refus de prestations de l'assurance-invalidité et la fourchette des montants pouvant être prélevés (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 62 et les références). La répartition des frais de justice est régie par le principe dit du résultat (" Erfolgsprinzip "), qui repose sur la présomption que la partie qui succombe a causé les coûts du procès (<ref-ruling> consid. 6b p. 2). La mise en oeuvre de ce principe relève du droit cantonal de procédure, dont le Tribunal fédéral n'examine l'application que sous l'angle de l'arbitraire (art. 9 Cst.).
4.3. En l'espèce, l'office recourant estime tout au plus implicitement que le montant des frais mis à sa charge serait disproportionné par rapport à l'ampleur de la procédure. Cela étant, la charge liée à une procédure ne se mesure pas ou, du moins, pas seulement au nombre de mesures d'instruction mises en oeuvre. Il convient également de tenir compte de la charge de travail sous-jacente à l'examen du dossier, laquelle dépend notamment des difficultés posées par le litige sur le plan juridique (cf. arrêt 9C_113/2008 du 11 novembre 2008 consid. 7). En mettant les frais de la procédure cantonale de recours, par 1'000 fr., à la charge de l'office recourant, la juridiction cantonale est restée dans la marge d'appréciation qui lui est reconnue par le droit fédéral. Faute pour l'office recourant de démontrer en quoi ce montant serait excessivement élevé ou, à tout le moins, dérogerait à la pratique habituelle de la juridiction cantonale, on ne saurait considérer que la juridiction cantonale a fait preuve d'arbitraire.
5.
Mal fondé, le recours doit être rejeté. Vu l'issue du litige, les frais et les dépens de la procédure sont mis à la charge de l'office recourant (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée la somme de 1'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 22 juillet 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Piguet