Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdeführerin) wurde von der Y._ AG (seit Januar 2009 X._ AG, Beschwerdegegnerin) per 1. September 2007 zu 80 % als "Pflegefachfrau DN II" angestellt. Während der bis 30. November 2007 dauernden Probezeit konnten beide Parteien das Arbeitsverhältnis mit einer Frist von fünf Tagen auf das Ende einer Woche kündigen. Mit Schreiben vom 6. Oktober 2007 kündigte die Beschwerdegegnerin das Arbeitsverhältnis auf den 14. Oktober 2007. Nachdem die Beschwerdeführerin fristgerecht gegen die Kündigung Einsprache erhoben und eine Begründung verlangt hatte, teilte die Beschwerdegegnerin ihr folgende Kündigungsgründe mit: Die Beschwerdeführerin habe am 2. Oktober 2007 in einem kurzfristig von ihr verlangten Gespräch der Leiterin des Pflegezentrums sowohl fachliche als auch charakterliche Inkompetenz vorgeworfen und erklärt, sie werde sich nach einer neuen Stelle umsehen. Diese und weitere Äusserungen und Verhaltensweisen der Beschwerdeführerin verunmöglichten eine konstruktive Zusammenarbeit und belegten zudem, dass diese auch aus Sicht der Beschwerdeführerin nicht möglich sei.
B. Die Beschwerdeführerin gelangte an das Bezirksgericht Weinfelden und forderte von der Beschwerdegegnerin Fr. 14'700.-- brutto (entsprechend drei Monatslöhnen) Entschädigung für die in ihren Augen missbräuchliche Kündigung. Zudem verlangte sie die Ausstellung eines Arbeitszeugnisses, dessen Wortlaut sie im Einzelnen vorgab. Am 11. Februar 2008 stellte die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin ein Zeugnis zu, welches von der beantragten Formulierung abwich. Mit Urteil vom 12. August/5. Dezember 2008 wies das Bezirksgericht die Forderungsklage ab und verpflichtete die Beschwerdegegnerin, ein gegenüber dem der Beschwerdeführerin zugestellten in einem Punkt textlich abgeändertes Zeugnis auszustellen. Die gegen dieses Urteil erhobene kantonale Berufung wies das Obergericht des Kantons Thurgau am 16. April 2009 kostenfällig ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen hält die Beschwerdeführerin an ihren im kantonalen Verfahren gestellten Begehren fest und beantragt überdies die Aufhebung des angefochtenen Entscheides, soweit ihr für das kantonale Berufungsverfahren Verfahrenskosten von Fr. 3'000.-- auferlegt worden sind. Das Obergericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, und verweist auf den angefochtenen Entscheid. Auch die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde und verlangt für das Verfahren vor Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 4'000.--.

Erwägungen:
1. Die Vorinstanz geht davon aus, der nach <ref-law> massgebliche Streitwert betrage Fr. 19'600.-- entsprechend der eingeklagten drei Monatslöhne plus eines zusätzlichen Monatslohns für das Zeugnis. Diese Einschätzung bindet das Bundesgericht nicht. Da aber bereits die Forderungsklage die notwendige Streitwertgrenze beinahe erreicht, wird der bei Streitigkeiten aus einem Arbeitsverhältnis vorgesehene Streitwert von Fr. 15'000.-- (<ref-law>) jedenfalls erreicht.
2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz habe die Beschwerdegegnerin gekündigt, weil die Beschwerdeführerin ihre Meinung über innerbetriebliche Unzulänglichkeiten und über eine Direktvorgesetzte äusserte. Dieser Kündigungsgrund verletze <ref-law> und <ref-law>. Ein Arbeitnehmer dürfe nicht dafür abgestraft werden, dass er in einer Unterredung mit der Geschäftsführung Vorgänge im Betrieb kritisiert. Eine deswegen ausgesprochene Kündigung verletze das Recht auf Meinungsäusserung und sei daher missbräuchlich und verfassungswidrig. Die Vorinstanz habe indessen die Frage der Meinungsäusserungsfreiheit nicht geprüft.
2.1 Die Probezeit soll den Parteien die Möglichkeit bieten, einander kennenzulernen, was zur Schaffung eines Vertrauensverhältnisses notwendig ist. Sie erlaubt den Parteien abzuschätzen, ob sie die gegenseitigen Erwartungen erfüllen, und sie werden in die Lage versetzt, über die in Aussicht genommene langfristige Bindung in Kenntnis der konkreten Umstände zu urteilen. Das Recht, während der Probezeit mit verkürzter Frist zu kündigen, ist ein Ausfluss der Vertragsfreiheit. Bei Abschluss des Vertrages liegt es grundsätzlich im Belieben des Arbeitgebers, welchen von mehreren Kandidaten er einstellen will. Ebenso entscheidet der Arbeitnehmer frei, für welche Arbeitsstelle er sich bewirbt. Nach <ref-law> wirkt diese Abschlussfreiheit in die Probezeit nach, indem die Parteien grundsätzlich den Entscheid über eine langfristige Bindung aufgrund der in der Probezeit gewonnenen Erkenntnisse frei treffen können. Soweit sich die Kündigung an diesem Zweck der Probezeit orientiert, ist allein darin, dass ihr etwas "Willkürliches" anhaftet, kein Rechtsmissbrauch zu erblicken. Die zulässige "Willkür" entspricht der Freiheit der Parteien, darüber zu entscheiden, ob sie sich langfristig binden wollen (<ref-ruling> E. 7.1.1 S. 111 mit Hinweisen). Zu prüfen ist im Einzelfall, ob die Kündigung, welche einen Tatbestand nach <ref-law> erfüllt oder sonst in einem gewöhnlichen Arbeitsverhältnis als missbräuchlich angesehen würde, mit Blick auf den durch die Probezeit verfolgten Zweck zulässig erscheint (<ref-ruling> E. 7.1 S. 110 f.).
2.2 Nach <ref-law> ist die Kündigung missbräuchlich, wenn sie ausgesprochen wird, weil die andere Partei ein verfassungsmässiges Recht ausübt, es sei denn, die Rechtsausübung verletze eine Pflicht aus dem Arbeitsverhältnis oder beeinträchtige wesentlich die Zusammenarbeit im Betrieb. <ref-law> gewährleistet als Grundrecht die Meinungs- und Informationsfreiheit und gewährt jeder Person das Recht, ihre Meinung frei zu bilden und sie ungehindert zu äussern und zu verbreiten.
2.2.1 Das Grundrecht der Meinungsäusserungsfreiheit soll dem Bürger sowohl die persönliche als auch die politische Entfaltung ermöglichen und bildet geradezu eine Voraussetzung für das Funktionieren des demokratischen Entscheidfindungsprozesses (<ref-ruling> E. 6 S. 592). In diesem Rahmen ist auch Kritik am Arbeitgeber vom Schutz der Meinungsäusserungsfreiheit erfasst (STREIFF/VON KAENEL, Arbeitsvertrag, 6. Aufl. 2006, N. 6 zu <ref-law>, S. 680 mit Hinweisen), wobei sich aus der Natur des Arbeitsverhältnisses selbst gewisse Einschränkungen ergeben, denn die Arbeitszeit dient primär der Erledigung der vertraglichen Pflichten, nicht der Meinungsäusserung des Arbeitnehmers.
2.2.2 Im zu beurteilenden Fall geht es aber nicht um die Meinungsäusserungsfreiheit als solche und die allenfalls dadurch geschützte Kritik am Arbeitgeber. Die Beschwerdeführerin hat den Kontakt mit dem Arbeitgeber vielmehr gesucht, um die unbefriedigende Situation an ihrem Arbeitsplatz und die in ihren Augen mangelnde Kompetenz ihrer Vorgesetzten zu thematisieren. Es muss dem Arbeitnehmer erlaubt sein, den Arbeitgeber auf Missstände hinzuweisen, um so mehr, wenn die Arbeitssituation des Arbeitnehmers selbst betroffen ist. Dieses Recht ist allerdings kein direkter Ausfluss des in der Bundesverfassung verankerten Grundrechts der Meinungsäusserungsfreiheit, sondern ergibt sich unabhängig davon aus den gegenseitigen Fürsorge- beziehungsweise Treuepflichten, die das Arbeitsverhältnis kennzeichnen und die unter Umständen weiter reichende Ansprüche als die Verfassung gewähren. So genügt es nicht, wenn der Arbeitgeber das Recht des Arbeitnehmers auf freie Meinungsäusserung bloss respektiert, er kann vielmehr gehalten sein, aktiv zu werden, beispielsweise um zwischen den Arbeitnehmern entstandenen Streit zu schlichten, worauf die Beschwerdeführerin selbst hinweist. Demgegenüber könnte die Pflicht, die Meinungsäusserung zur Kenntnis zu nehmen, nicht aus <ref-law> abgeleitet werden, da eine entsprechende Pflicht nur für Behörden im Rahmen des Petitionsrechts nach <ref-law> besteht.
2.3 Welche Bedeutung der Meinungsäusserungsfreiheit bei der gegenüber dem Arbeitgeber geäusserten Kritik zukommt, braucht indessen angesichts der speziellen Situation während der Probezeit nicht abschliessend behandelt zu werden, so dass die kantonalen Instanzen nicht gehalten waren, darauf näher einzugehen. Die Beschwerdeführerin hat der Leiterin des Pflegezentrums sowohl fachliche als auch charakterliche Inkompetenz vorgeworfen und angekündigt, sie werde sich nach einer anderen Stelle umsehen. Ob die erhobenen Vorwürfe zutreffen, kann offen bleiben. Das Verhalten der Beschwerdeführerin belegt, dass die Zusammenarbeit zwischen ihr und ihrer Vorgesetzten sich schwierig gestaltete, und sie tat durch den Hinweis auf die Suche einer anderen Stelle kund, dass sie nicht damit rechnete, es könne eine auf Dauer tragfähige Lösung gefunden werden.
2.4 Es ist gerade der Sinn der Probezeit, den Parteien den Entscheid, ob sie sich langfristig binden wollen, in Kenntnis der Arbeitserfahrungen am konkreten Arbeitsplatz zu ermöglichen. Wenn die Beschwerdegegnerin während der Probezeit erkennt, dass es bei der Zusammenarbeit mit den übrigen Angestellten zu Problemen kommt, und sie sich daher nicht langfristig an die Beschwerdeführerin binden will, ist dies legitim und entspricht dem Zweck der Probezeit. Es ist Ausfluss der in die Probezeit nachwirkenden Abschlussfreiheit, dass die Kündigung auch dann zulässig ist, wenn den Arbeitnehmer an der unbefriedigenden Situation kein Verschulden trifft beziehungsweise im konkreten Fall die Vorwürfe der Beschwerdeführerin ganz oder teilweise berechtigt sein sollten. Der Arbeitnehmer hat zwar auch während der Probezeit Anspruch darauf, vor Übergriffen seiner Vorgesetzten geschützt zu werden. Insoweit muss sich der Arbeitgeber auch während der Probezeit um die Schlichtung allfälliger Streitigkeiten bemühen. Der Arbeitnehmer kann aber nicht verlangen, dass der Arbeitgeber das Arbeitsverhältnis fortsetzt und sich langfristig bindet, wenn bereits während der Probezeit Schwierigkeiten bei der Zusammenarbeit mit dem übrigen Personal erkennbar werden. Hier wirkt eben die Abschlussfreiheit nach (<ref-ruling> E. 7.1.1 S. 111 mit Hinweisen) und räumt dem Arbeitgeber die Möglichkeit ein, das Arbeitsverhältnis aufzulösen, um einen Arbeitnehmer zu suchen, der sich besser in die bestehenden Verhältnisse einfügt.
2.5 Da sich im Verlauf der Probezeit anhand der konkreten Erfahrungen am Arbeitsplatz zeigte, dass tatsächlich keine Aussicht auf eine fruchtbare Zusammenarbeit bestand, ging die Vorinstanz zu Recht davon aus, dass sich die Kündigung am Zweck der Probezeit orientiert und daher nicht missbräuchlich ist (<ref-ruling> E. 7.1 S. 110 f.). Ob die Kündigung ausserhalb der Probezeit in einem gewöhnlichen Arbeitsverhältnis mit Blick auf Art. 336 Abs. 1 lit. b und c OR als missbräuchlich einzustufen wäre, kann offen bleiben.
3. Im Zusammenhang mit dem Arbeitszeugnis macht die Beschwerdeführerin geltend, bei ihren Aufgaben sei die Kontaktaufnahme mit Angehörigen und die Begleitung in Krisensituationen sowie während des Sterbens zu erwähnen, selbst wenn es in der kurzen Probezeit nie zu einem Todesfall gekommen sei. Das Arbeitszeugnis habe sämtliche Funktionen und Verantwortlichkeitsbereiche, mit denen ein Arbeitnehmer betraut wurde, lückenlos aufzuführen.
3.1 Gemäss <ref-law> kann der Arbeitnehmer jederzeit vom Arbeitgeber ein Zeugnis verlangen, das sich über die Art und Dauer des Arbeitsverhältnisses sowie über seine Leistungen und sein Verhalten ausspricht. Das Zeugnis soll einerseits das berufliche Fortkommen des Arbeitnehmers fördern (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 179 mit Hinweis) und andererseits zukünftigen Arbeitgebern ein möglichst getreues Abbild von Tätigkeit, Leistung und Verhalten des Arbeitnehmers vermitteln (STREIFF/VON KAENEL, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>, S. 467 f.). Aus den Grundsätzen der Wahrheit und Vollständigkeit des Arbeitszeugnisses folgt, dass das Vollzeugnis über alle in <ref-law> aufgeführten Punkte, d.h. über die Art und die Dauer der Anstellung sowie über die Leistungen und das Verhalten des Arbeitnehmers Auskunft geben muss (<ref-ruling> E. 3.2 S. 180). Es hat eine detaillierte Auflistung der wichtigen Funktionen und der das Arbeitsverhältnis prägenden Tätigkeiten des Arbeitnehmers zu enthalten (STREIFF/VON KAENEL, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>). Massgebend ist allerdings nicht die vertraglich vereinbarte, sondern die tatsächlich ausgeübte Tätigkeit (SUSANNE JANSSEN, Die Zeugnispflicht des Arbeitgebers, 1996, S. 102; LUKAS FAESCH, Das Arbeitszeugnis im schweizerischen Arbeitsvertragsrecht OR Art. 330a, 1984, S. 59 mit Hinweisen).
3.2 Es ist nicht Sinn des Zeugnisses, Tätigkeiten aufzuführen, die der Arbeitnehmer gar nicht ausgeübt hat. Mit der Erwähnung der Kontaktaufnahme mit Angehörigen und der Begleitung in Krisensituationen sowie während des Sterbens könnte der unzutreffende Eindruck entstehen, die Beschwerdeführerin habe auf diesen Gebieten praktische Erfahrung gesammelt, und die Bewertung der Arbeitgeberin beziehe sich auch auf diese Tätigkeiten. Gerade Begriffe wie "Kontaktaufnahme" und "Begleitung" erwecken den Eindruck, es gehe um konkrete Fälle. Unter dem Gesichtspunkt der Klarheit und der Wahrheit des Zeugnisses müsste daher jedenfalls deutlich gemacht werden, dass während der Anstellungsdauer keine derartigen Fälle auftraten. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ist aber nicht davon auszugehen, dass diesem Aufgabenbereich eine derart zentrale Bedeutung zukommt, dass ohne seine Nennung der Eindruck entstünde, die Beschwerdeführerin habe eine weniger anspruchsvolle Funktion ausgeübt, als dies tatsächlich der Fall war. Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn das Zeugnis die Kontaktaufnahme mit Angehörigen und die Begleitung in Krisensituationen sowie während des Sterbens nicht erwähnt.
3.3 Die Beschwerdeführerin verlangt, der Grund der Kündigung sei im Arbeitszeugnis zu erwähnen. Wegen der Missbräuchlichkeit der Kündigung sei es wichtig, dass eine Formel gewählt werde, die der Beschwerdeführerin wirtschaftlich keinen Schaden zuführe. Die Kündigung hat sich indessen nicht als missbräuchlich erwiesen, so dass die darauf gestützte Argumentation der Beschwerdeführerin in sich zusammenfällt und ihre Rüge nicht hinreichend begründet erscheint (<ref-law>).
3.4 Im Übrigen legt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht zwar wiederum ihren im kantonalen Verfahren unterbreiteten Zeugnisentwurf vor, begründet aber nicht, weshalb weitere Anpassungen des ihr zugesprochenen Zeugnisses notwendig wären. Mangels hinreichender Begründung (<ref-law>) ist darauf nicht einzutreten.
4. Zum Schluss beanstandet die Beschwerdeführerin, dass ihr im kantonalen Berufungsverfahren zufolge Mutwilligkeit Prozesskosten auferlegt worden seien. Diese Auffassung sei schon deshalb falsch, weil die Vorinstanz auf nachgeschobene Kündigungsgründe, mit denen sich das Bezirksgericht auseinandersetzte, von vornherein nicht eingegangen sei. Auch habe sich keine der beiden Vorinstanzen mit der Frage der freien Meinungsäusserung befasst.
Diese Vorbringen der Beschwerdeführerin sind kaum nachvollziehbar. Erweist sich die Kündigung schon als gerechtfertigt, ohne dass die Vorinstanz sich zu nachgeschobenen Kündigungsgründen zu äussern hatte, spricht dies nicht für, sondern gegen die Prozessaussichten der Beschwerdeführerin. Wenn diese sich im kantonalen Berufungsverfahren auf die Meinungsäusserungsfreiheit berief, statt sich mit dem Zweck der Probezeit auseinanderzusetzen, der nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, auf welche bereits das Bezirksgericht hingewiesen hatte, bei der Beurteilung der Missbräuchlichkeit von Kündigungen während der Probezeit massgeblich ist, verletzt die Vorinstanz kein Bundesrecht, wenn sie das Rechtsmittel der Beschwerdeführerin insoweit als mutwillig einstufte. Der Beschwerdeführerin musste auch bewusst sein, dass eine undifferenzierte Auflistung sämtlicher Funktionen und Verantwortlichkeitsbereiche den unzutreffenden Eindruck erwecken könnte, sie habe auf all diesen Gebieten Erfahrung gesammelt. Die Rüge ist unbegründet, soweit angesichts der rudimentären Begründung überhaupt darauf einzutreten ist.
5. Die Beschwerde ist insgesamt abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin wird reduziert kostenpflichtig, schuldet aber die volle Parteientschädigung. Angesichts von Streitwert und Aufwand erscheinen die von der Beschwerdegegnerin beantragten Fr. 4'000.-- als übersetzt. Praxisgemäss ist die Parteientschädigung auf Fr. 2'000.-- festzusetzen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. November 2009
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Luczak