Sachverhalt:
A.
Die Lloyd's Underwriters London (nachfolgend: Lloyd's) richtete A._ für die Folgen einer am 15. Oktober 2005 während eines Eishockeyspiels erlittenen Knieverletzung als Unfallversicherer Leistungen (Heilungskosten und Taggelder) in Höhe von insgesamt Fr. 42'991.80 aus. Am 21. September 2006 ersuchte diese die Zürich Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Zürich) um Rückerstattung der von ihr erbrachten Versicherungsleistungen mit der Begründung, beim Ereignis vom 15. Oktober 2005 handle es sich um den Rückfall eines Unfallereignisses aus dem Jahre 1996, für welches die Zürich als damaliger Unfallversicherer zuständig sei; diese habe daher den Rückfall vom 15. Oktober 2005 zu übernehmen. Am 30. Juni 2008 ersuchte die Lloyd's auch die AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) um Rückerstattung der von ihr erbrachten Versicherungsleistungen. A._ sei von November 2004 bis April 2005 bei ihr unfallversichert gewesen, als er im März 2005 bei einem Unfall das linke Knie verletzt habe. Die Kniebeschwerden vom 15. Oktober 2005 und ab dem 1. Dezember 2005 hätten daher bei der AXA als Rückfall des Unfalls vom März 2005 gemeldet werden müssen. Nachdem sowohl die Zürich als auch die AXA eine Rückvergütung an die Lloyd's abgelehnt hatten, gelangte diese an das Bundesamt für Gesundheit (nachfolgend: BAG) und ersuchte um Erlass einer Verfügung nach <ref-law>. Mit Verfügung vom 3. November 2011 stellte das BAG die Leistungspflicht der Lloyd's für das Ereignis vom 15. Oktober 2005 und die dadurch ausgelösten gesundheitlichen Probleme aufgrund früherer Unfälle fest.
B.
Die von der Lloyd's gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde hiess das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 25. Oktober 2013 teilweise gut, hob die Verfügung vom 3. November 2011 auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung im Sinne der Erwägungen und anschliessendem Erlass einer neuen Verfügung an das BAG zurück.
C.
Mit Beschwerde beantragt das BAG, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei festzustellen, dass der im Streit stehende Betrag von Fr. 42'991.80 für Leistungen aus der obligatorischen Unfallversicherung von der Lloyd's zu tragen sei.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Stellungnahme. Die Zürich und die AXA schliessen auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Die Lloyd's beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts (<ref-law>) in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit. Er unterliegt der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>), zumal kein Ausnahmegrund nach <ref-law> vorliegt.
2.
2.1. Das BAG beruft sich für seine Legitimation auf das in SVR 2010 UV Nr. 5 S. 21 publizierte Urteil 8C_293/2009. In jenem Fall trat das Bundesgericht auf die Beschwerde des gestützt auf <ref-law> im Rahmen eines negativen Kompetenzkonfliktes zwischen zwei obligatorischen Unfallversicherern verfügenden Bundesamtes ein, ohne sich mit dessen Beschwerdelegitimation ausdrücklich auseinanderzusetzen.
2.1.1. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Dieses allgemeine Beschwerderecht ist grundsätzlich auf Privatpersonen zugeschnitten. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts können Gemeinwesen und andere öffentlich-rechtliche Körperschaften das allgemeine Beschwerderecht dann in Anspruch nehmen, wenn sie durch den angefochtenen Entscheid gleich oder ähnlich wie Private betroffen sind (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 406 mit Hinweisen). Ausserdem anerkennt die Praxis die Beschwerdebefugnis eines Gemeinwesens, wenn dieses durch den fraglichen Akt in qualifizierter Weise in schutzwürdigen hoheitlichen Interessen berührt wird (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 508; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 149 mit Hinweisen). Das kann bei vermögensrechtlichen Interessen und bei Eingriffen in spezifische eigene öffentliche Sachanliegen der Fall sein (vgl. BERNHARD WALDMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 43 f. zu <ref-law>). Das allgemeine Interesse an der richtigen Rechtsanwendung verschafft indessen keine Beschwerdebefugnis im Sinne dieser Regelung; insbesondere ist die im Rechtsmittelverfahren unterlegene Vorinstanz nicht berechtigt, gegen den sie desavouierenden Entscheid an das Bundesgericht zu gelangen (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 508; <ref-ruling> E. 4.2 S. 279; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 47; MICHAEL PFLÜGER, Die Legitimation des Gemeinwesens zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, 2013, Rz. 193 ff. S. 80 ff.). Gestützt auf die allgemeine Legitimationsklausel sind Gemeinwesen daher nur restriktiv zur Beschwerdeführung zugelassen (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 509 mit Hinweisen; Urteil 1C_670/2013 vom 10. Februar 2014 E. 3).
2.1.2. Kann bezüglich der Frage, welcher Unfallversicherer die Leistungen zu erbringen hat, keine Einigkeit erzielt werden, hat nach <ref-law> (SR 832.20) das BAG darüber zu entscheiden. Wird es in diesem Sinne angerufen, entscheidet es als erstinstanzliche Verwaltungsbehörde. Es muss in einer Verfügung bestimmen, welcher Versicherer zuständig ist und die materiellen Leistungen erbringen muss (bereits erwähntes Urteil 8C_293/2009 E. 4). Da einer justiziellen Administrativbehörde nach dem Grundsatz, dass eine öffentlich-rechtliche Körperschaft, deren Verfügung durch eine obere Instanz nicht bestätigt worden ist, ihren Standpunkt nicht auf dem Rechtsmittelweg durchzusetzen versuchen soll, grundsätzlich keine Beschwerdelegitimation zukommt (vgl. E. 2.1.1 hievor), sofern nicht besonders qualifizierte Interessen geltend gemacht werden können, erscheint es äusserst fraglich, dass sich das BAG in der vorliegenden Konstellation mit Erfolg auf die allgemeine Klausel von <ref-law> berufen kann. Wie sich aus den nachstehenden Erwägungen ergibt, kann die Frage in diesem Verfahren jedoch offenbleiben.
2.2. Unmittelbar gestützt auf <ref-law> beschwerdebefugt sind die Departemente des Bundes oder, soweit das Bundesrecht es vorsieht, die ihnen unterstellten Dienststellen, wenn der angefochtene Akt die Bundesgesetzgebung in ihrem Aufgabenbereich verletzen kann. Eine Verordnung des Bundesrates oder eines Departements reicht dafür aus (vgl. dazu PFLÜGER, a.a.O., Rz. 835 ff. S. 348 ff.; WALDMANN, a.a.O., N. 50 zu <ref-law>; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, N. 49 zu <ref-law>). <ref-law> (SR 832.202) ermächtigt das Bundesamt, gegen Entscheide der kantonalen Schiedsgerichte, der kantonalen Versicherungsgerichte und des Bundesverwaltungsgerichts Beschwerde beim Bundesgericht zu erheben. Diese Behördenbeschwerde ermöglicht die gerichtliche Überprüfung hinsichtlich der richtigen, rechtsgleichen und einheitlichen Anwendung des Bundessozialversicherungsrechts ( KIESER, a.a.O., N. 49 zu <ref-law>; vgl. dazu auch PFLÜGER, a.a.O., Rz. 830 S. 345). Ob sich das BAG in seiner Funktion als erstinstanzliche Verwaltungsbehörde im Sinne von <ref-law> zur Begründung der Beschwerdelegitimation auf <ref-law> berufen könnte, kann aus den nachstehenden Gründen auch offenbleiben.
2.3. Nach <ref-law> sind Personen, Organisationen und Behörden, denen ein anderes Bundesgesetz dieses Recht einräumt berechtigt, Beschwerde einzureichen. <ref-law> (SR 830.1) ermächtigt den Bundesrat, das Beschwerderecht der Durchführungsorgane der einzelnen Sozialversicherungen vor dem Bundesgericht zu regeln. Diese Vorschrift ermöglicht es der Exekutive, die Organe der Sozialversicherung auf Verordnungsstufe zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zuzulassen (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 56; PFLÜGER, a.a.O., Rz. 996 S. 418). Auf das Verfahren über geldwerte Streitigkeiten zwischen Versicherern (<ref-law>) findet <ref-law> indessen keine Anwendung (<ref-law>).
2.4. Die Frage der Beschwerdelegitimation nach Art. 89 Abs. 1 und 2 lit. a BGG braucht in diesem Verfahren nicht abschliessend beantwortet zu werden. Wie sich nachfolgend aus E. 3.7 ergibt, fehlt es für eine Anhandnahme der Beschwerde ohnehin an den Voraussetzungen von <ref-law>.
3.
3.1. Der angefochtene Entscheid weist die Sache zur Vornahme ergänzender Abklärungen und neuer Beurteilung an das BAG zurück. Das Bundesverwaltungsgericht beurteilt in seinem angefochtenen Entscheid zwar für das BAG abschliessend über materiellrechtliche Teilfragen, jedoch nicht über einzelne Rechtsbegehren. Demnach schliesst sein Entscheid das Verfahren weder insgesamt noch über einzelne Rechtsbegehren ab, weshalb es keinen End- oder Teilentscheid im Sinne von Art. 90 und 91 BGG darstellt, sondern einen Zwischenentscheid (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 und 4.3 S. 481 f.).
3.2. Auch wenn Rückweisungsentscheide das Verfahren nicht abschliessen, werden sie dennoch wie Endentscheide behandelt, falls der unteren Instanz, an welche die Sache zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung nur noch der rechnerischen Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 127).
3.3. Eine solche Konstellation liegt bei einem Rückweisungsentscheid, mit dem - wie hier - unter anderem eine ergänzende Sachverhaltsabklärung verlangt wird, jedoch nicht vor. Diese erfordert namentlich eine Würdigung und Subsumtion des ergänzend festgestellten Sachverhalts, so dass es nicht um eine blosse "rechnerische" Umsetzung im Sinne der erwähnten Rechtsprechung geht. Daran ändert auch nichts, dass das zurückweisende Gericht dabei bereits gewisse Rechtsfragen für die Vorinstanz verbindlich beantwortet hat. Eine andere Sichtweise würde dem Ziel, dass jede Rechtssache möglichst nur einmal vor das Bundesgericht getragen werden soll (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 141; <ref-ruling> E. 2.2 S. 191), entgegenlaufen. Auch wäre sie der Rechtssicherheit abträglich. Die Betroffenen würden vor die nicht immer leicht zu beantwortende Frage gestellt, ob bereits der Rückweisungsentscheid anfechtbar ist bzw. - wegen der Qualifikation als Endentscheid - angefochten werden muss, um nicht später mit ihren Einwänden bei Ergreifen der Rechtsmittel gegen die in der Folge ergehenden Entscheide ausgeschlossen zu sein. Zudem ist denkbar, dass infolge oder anlässlich von zusätzlichen Sachverhaltsabklärungen neue Rechtsfragen auftreten.
3.4. Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder zu Ausstandsbegehren noch zur Zuständigkeit ergehen (dazu <ref-law>), ist die Beschwerde gemäss <ref-law> nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beschwerdeverfahren ersparen würde (lit. b).
3.5. Zu prüfen ist somit, ob eine der Tatbestandsalternativen des Art. 93 Abs. 1 lit. a oder b BGG erfüllt ist. Dass diejenige der lit. b gegeben wäre, ist beim vorinstanzlich festgestellten Abklärungsbedarf zu verneinen (vgl. Urteil 9C_878/2008 vom 18. November 2008 E. 1.2.2).
3.6. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> muss rechtlicher Natur sein und somit auch mit einem für die Beschwerde führende Partei günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig behebbar sein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 647). Er entsteht regelmässig nicht bloss aus dem Umstand, dass eine Sache an eine untere Instanz zu neuem Entscheid zurückgewiesen wird. Daran ändert nichts, dass das Verfahren dadurch verlängert und verteuert wird (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 483). Denn das Bundesgericht soll sich, wie erwähnt, grundsätzlich nur einmal mit einem Fall befassen müssen und diesen hierbei insgesamt beurteilen können. Deshalb sind Ausnahmen von diesem Grundsatz restriktiv zu handhaben, zumal die Parteien keiner Rechte verlustig gehen, wenn der Zwischenentscheid prinzipiell noch zusammen mit dem Endentscheid anfechtbar ist (vgl. <ref-law>).
3.7.
3.7.1. Das Bundesgericht nimmt einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> an, wenn eine beschwerdebefugte Behörde durch einen Rückweisungsentscheid gezwungen wird, eine ihrer Ansicht nach rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Ihren eigenen Entscheid kann die Behörde nicht anfechten. Er könnte dadurch rechtskräftig werden, ohne dass sie je Gelegenheit hatte, ihn dem Bundesgericht zu unterbreiten. Um dies zu vermeiden, darf die Behörde unter Berufung auf <ref-law> bereits gegen den Rückweisungsentscheid oder den ihn bestätigenden Entscheid an das Bundesgericht gelangen (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 482 ff.).
3.7.2. Diese Rechtsprechung beruht im Wesentlichen darauf, dass die Verwaltung zur Anfechtung eines gestützt auf den Rückweisungsentscheid zu erlassenden Entscheids mangels formeller Beschwer nicht befugt wäre und die versicherte Person ihrerseits in der Regel keinen Anlass hat, den neu zu erlassenden Entscheid anzufechten, wenn er zu ihrem Vorteil ist, so dass im Ergebnis der allenfalls rechtswidrige Entscheid keiner bundesgerichtlichen Überprüfung unterzogen werden könnte. Wäre die Verwaltung nicht befugt, bereits den (behaupteterweise) bundesrechtswidrigen Rückweisungsentscheid des kantonalen Gerichts anzufechten, könnte somit der darauf beruhende rechtswidrige Entscheid praktisch nicht angefochten und das falsche Ergebnis nicht mehr korrigiert werden. Daher führt der Rückweisungsentscheid in dieser Konstellation zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 484).
3.7.3. Gemäss <ref-law> erlässt das BAG bei geldwerten Streitigkeiten zwischen Versicherern eine Verfügung. Ein Unfallversicherer, der gegenüber dem anderen Unfallversicherer keine Weisungsbefugnis besitzt, kann somit das BAG anrufen, worauf dieses mittels einer Verfügung darüber zu befinden hat, welcher Versicherer nach den materiellrechtlichen Vorschriften leistungspflichtig ist. Dieser Rechtsweg steht namentlich offen, wenn ein negativer Kompetenzkonflikt zwischen zwei Versicherern über die Leistungspflicht bezüglich eines Schadensereignisses vorliegt oder wenn - wie vorliegend - ein Versicherer von einem anderen Versicherer Rückerstattung von gegenüber der versicherten Person erbrachten Leistungen verlangt (<ref-ruling> E. 4d S. 181). Das Bundesamt verfügt in diesen Fällen als Aufsichtsbehörde über eine Streitigkeit zwischen Unfallversicherern und nicht als Behörde mit Eigeninteresse.
3.7.4. Bei dieser Konstellation kann der unterliegende Unfallversicherer, welcher weder Anlass noch Möglichkeit hatte, den vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid anzufechten (<ref-law>; vorne E. 3.6), die vom BAG zu erlassende Verfügung und anschliessend den noch zu erlassenden Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts und dabei auch das von der Vorinstanz Entschiedene anfechten (<ref-law>). Da der allenfalls rechtswidrige Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom unterliegenden Unfallversicherer ans Bundesgericht weitergezogen werden kann, verhält es sich - im Gegensatz zur hievor in E. 3.7.2 erwähnten Konstellation - nicht so, dass im Ergebnis der allenfalls rechtswidrige Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts keiner bundesgerichtlichen Überprüfung unterzogen werden könnte.
3.8. Zusammenfassend ergibt sich somit in Bezug auf den Rückweisungsentscheid, dass für das BAG kein nicht wieder gutzumachender, rechtlicher Nachteil vorliegt, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
4.
Das Bundesamt, welches nicht in seinem Vermögensinteresse handelt, trägt keine Kosten (<ref-law>). Als Organisation mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben haben die Beschwerdegegnerinnen zum vornherein keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Juni 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Hofer