Sachverhalt:
A.
A._ (Patient, Beschwerdeführer) wurde von seinem privaten Zahnarzt zur Implantatversorgung den Kliniken C._ der B._ zugewiesen. Anlässlich einer Untersuchung vom 29. November 2011 wurde er informiert, dass der gewünschte Eingriff an den Kliniken C._ nur nach vorgängiger paradontaler Sanierung durchgeführt werde. Er wünschte, den zuweisenden Zahnarzt selbst über das weitere Vorgehen zu informieren. Es sei ihm "dies vollständig zu überlassen". Gleichwohl rief die untersuchende Assistenzärztin am 30. November 2011 den überweisenden Privatzahnarzt des Patienten an, um ihn über das Ergebnis der Untersuchung zu informieren. Gleichentags teilte sie dem Patienten per E-Mail mit, der überweisende Arzt habe nichts gegen eine Paradontaltherapie einzuwenden. In dieser Kontaktaufnahme sah der Patient eine Missachtung seiner Patientenrechte, über die er sich in der Folge äusserst ungehalten zeigte. Am 2. Januar 2012 erklärte die untersuchende Assistenzärztin in einer E-Mail an den Direktor der Kliniken C._, die zudem dessen Stellvertreter sowie dem Patienten zugekommen ist, ihr Unverständnis über die " immer ungehaltener " ausfallende Reaktion des Patienten auf ihre Kontaktaufnahme mit dem zuweisenden Zahnarzt. Dabei schrieb sie, dass " jegliche weitere Aufregung wegen diesem Patienten verschwendete Lebensenergie " sei, und sie schliesst mit der Bemerkung, sie hoffe, sie werde solche Patienten in der Privatpraxis rechtzeitig erkennen.
B.
Der Patient liess die Implantatversorgung in der Folge (ohne vorgängige Paradontaltherapie) in einer zahnärztlichen Privatpraxis vornehmen. Dies habe zu Mehrkosten im Vergleich zu einer Behandlung ohne Paradontaltherapie an den Kliniken C._ von Fr. 470.80 geführt, da die Behandlung an den Kliniken C._ durch Assistenten in Ausbildung zu einem tieferen Taxpunktwert erfolgt wäre. Diese Mehrkosten verlangte der Patient von der B._ (Beschwerdegegnerin) nebst einer Genugtuung nach richterlichem Ermessen. Zudem beantragte er, es sei eine Verletzung seines " Patienten-Weisungsrechts " festzustellen. Auf dieses Begehren trat die B._ mit Verfügung vom 3. Juli 2012 nicht ein. Die Begehren auf Ausrichtung von Schadenersatz und Genugtuung wies sie ab. Der Rechtsmittelbelehrung folgend gelangte der Patient an die Erziehungsdirektion (ERZ). Er beantragte sinngemäss die Aufhebung der angefochtenen Verfügung und die Ausrichtung von Schadenersatz und Genugtuung. Weiter beanstandete er das Nichteintreten auf seinen Feststellungsantrag betreffend das " Patienten-Weisungsrecht ". Seine Eingabe wurde zuständigkeitshalber an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern weitergeleitet, welches sie nach Gewährung des rechtlichen Gehörs als Verwaltungsgerichtsbeschwerde an die Hand nahm. Mit Urteil vom 26. September 2013 wies der Einzelrichter des Verwaltungsgerichts die Beschwerde ab.
C.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts und die Verfügung vom 3. Juli 2012 aufzuheben und die Sache an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen zwecks Feststellung, dass sein Patienten-Weisungsrecht verletzt worden sei, dass Schadenersatz aus dieser Verletzung geschuldet sei und dass sich die untersuchende Assistenzärztin ihm gegenüber in ehrverletzender Weise geäussert habe. Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hat unaufgefordert eine Replik eingereicht. Die Beschwerdegegnerin hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in Zivilsachen steht nicht nur in Zivilsachen offen (<ref-law>), sondern ihr unterliegen auch öffentlich-rechtliche Entscheide, die in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht stehen (<ref-law>). Dazu gehören Staatshaftungsfälle aus medizinischer Behandlung (<ref-ruling> E. 1.5 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 331). Der für eine Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert (<ref-law>) wird nicht erreicht. Damit steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (<ref-law>).
1.1. Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ein reformatorisches Rechtsmittel ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>), darf sich die beschwerdeführende Partei in Zivilsachen auch im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde an sich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen. Sie muss angeben, welche Punkte des Entscheides angefochten und welche Abänderungen beantragt werden. Grundsätzlich ist ein materieller Antrag erforderlich; Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Neue Begehren sind unzulässig (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
1.1.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann davon nur abweichen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und <ref-law>), was in der Beschwerde präzise geltend zu machen ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 445 mit Hinweis). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Wer mit seinen Vorbringen über die Feststellungen im angefochtenen Entscheid hinausgeht, hat daher entweder mit Aktenhinweisen aufzuzeigen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (vgl. Urteile des Bundesgerichts 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>), oder darzulegen, inwiefern erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gegeben hat (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 395).
1.1.2. Der Beschwerdeführer verweist in tatsächlicher Hinsicht auf seine Replik vom 17. Oktober 2012 im kantonalen Verfahren und fasst das Wesentliche kurz zusammen. Nach <ref-law> ist in der Begründung der Anträge in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Blosse Verweise auf die Akten sind unbeachtlich; inwiefern das angefochtene Urteil Recht verletzt, ist in der Rechtsschrift selbst darzulegen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f. mit Hinweisen). Der Verweis auf die Replik ist demnach ungenügend, eine Zusammenfassung keine hinreichend begründete Sachverhaltsrüge nach <ref-law>. Damit bleibt es für das Bundesgericht insoweit bei den Feststellungen im angefochtenen Entscheid.
1.1.3. Gemäss dem angefochtenen Entscheid hat der Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren Schadenersatz und Genugtuung verlangt sowie die Feststellung, dass sein "Patienten-Weisungsrecht" verletzt worden sei. Das Feststellungsbegehren, dass Schadenersatz aus der Verletzung des Patienten-Weisungsrechts geschuldet sei, ist neu und damit unzulässig. Überdies würde es an einem Feststellungsinteresse fehlen (vgl. hierzu <ref-ruling> E. 3.5 S. 325; <ref-ruling> E. 3a S. 22 mit Hinweisen), da der Beschwerdeführer die Leistung von Schadenersatz (und Genugtuung) verlangen kann. Ebenso neu und damit an sich unzulässig ist das Begehren um Feststellung, dass sich die untersuchende Assistenzärztin in ehrverletzender Weise geäussert habe.
1.2. Denkbar wäre, dass der Beschwerdeführer die "neuen" Begehren nicht als eigentliche Feststellungsbegehren versteht, sondern als Massgabe, nach der die von ihm ebenfalls beantragte Rückweisung erfolgen soll. Auch mit Bezug auf das schon im kantonalen Verfahren gestellte Begehren um Feststellung, dass das Patienten-Weisungsrecht verletzt sei, beantragt der Beschwerdeführer keine Feststellung durch das Bundesgericht selbst, sondern die Rückweisung an die Vorinstanz, damit diese die Feststellung trifft. Der Rückweisungsantrag wäre indessen nur hinreichend, wenn das Bundesgericht, sollte es der Auffassung des Beschwerdeführers folgen, nicht selbst entscheiden könnte, sondern die Sache an die Vorinstanz zurückweisen müsste (vgl. E. 1.1 hiervor). Ansonsten wäre ein materieller Antrag erforderlich, mit Bezug auf die Schadenersatz- und Genugtuungsforderung mit bezifferten Rechtsbegehren (<ref-ruling> E. 4.4 S. 620; <ref-ruling> E. 2 S. 236 f.).
1.2.1. Die Vorinstanz hat nicht nur Feststellungen zum tatsächlichen Ablauf getroffen, in dem der Beschwerdeführer eine Verletzung seines Patienten-Weisungsrechts sieht, sondern auch zum geltend gemachten Schadenersatz und den Umständen, aus denen der Beschwerdeführer den Genugtuungsanspruch ableitet. Unter diesem Gesichtspunkt liegt nicht auf der Hand und wird in der Beschwerdeschrift auch nicht dargetan - wie dies die Rechtsprechung an sich verlangt (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 490) -, weshalb das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde nicht selbst in der Lage wäre, ein Sachurteil zu fällen (Urteil des Bundesgerichts 4A_369/2011 vom 11. November 2011 E. 2, ebenfalls betreffend Ansprüche nach dem kantonalen öffentlichen Haftungsrecht).
1.2.2. Allerdings gründet der Anspruch auf kantonalem Recht. Da es nicht die eigentliche Aufgabe des Bundesgerichts ist, kantonales Recht anzuwenden (vgl. <ref-law>), kann man sich fragen, ob das Bundesgericht, wenn die angefochtene Entscheidung ausschliesslich auf kantonalem Recht basiert, ausserhalb von <ref-law> überhaupt berufen ist, selbst zu entscheiden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383; Urteil des Bundesgerichts 4A_147/2010 vom 26. Mai 2010 E. 1.3). Zudem beruht die Festlegung der Höhe der Genugtuung auf richterlichem Ermessen (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 417 f. mit Hinweisen), was bei einer Gutheissung ebenfalls für eine Rückweisung an die kantonale Instanz sprechen würde. Selbst wenn man mit Blick darauf das Rückweisungsbegehren genügen lassen wollte, wäre indessen der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Die Frage braucht daher nicht abschliessend behandelt zu werden.
2.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 143; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444 mit Hinweis). Das Bundesgericht kann die Verletzung eines Grundrechtes nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
2.1. Mit Bezug auf das schon im kantonalen Verfahren gestellte Begehren, es sei festzustellen, dass das Patienten-Weisungsrecht verletzt worden sei, hat die Vorinstanz das Nichteintreten der ersten Instanz mit Blick auf das fehlende Feststellungsinteresse geschützt. Der Beschwerdeführer müsste entweder darlegen und mit Aktenhinweisen belegen, dass er im kantonalen Verfahren prozesskonform ein hinreichendes Feststellungsinteresse behauptet hat, oder aufzeigen, inwiefern es seine verfassungsmässigen Rechte verletzt, ein derartiges Feststellungsinteresse zu verlangen. Mit Blick auf <ref-law> und das aus Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> fliessende Rügeprinzip (vgl. E. 2 hiervor) ist unerlässlich, dass auf die Begründung des angefochtenen Urteils eingegangen wird (<ref-ruling> E. 2.1 S. 246; <ref-ruling> E. 3.3 S. 60). Dieser Anforderung genügt die Beschwerdeschrift nicht. Der Beschwerdereplik kommt diesbezüglich keine Bedeutung zu, da zu entsprechenden Vorbringen bereits der angefochtene Entscheid Anlass gegeben hätte und die Beschwerdereplik nicht dazu dient, in der Beschwerdeschrift Versäumtes nachzuholen. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.2. Die Vorinstanz kam zum Schluss, nicht der Vertrauensverlust gegenüber der Kliniken C._, sondern der Wille des Beschwerdeführers, den Eingriff ohne vorgängige Paradontaltherapie durchzuführen, hätte zur Behandlung in der Privatpraxis und den damit verbundenen Mehrkosten geführt.
2.2.1. Der Beschwerdeführer kritisiert diese Beweiswürdigung. Er beschränkt sich aber im Wesentlichen darauf, seine eigene Auffassung derjenigen der Vorinstanz entgegenzusetzen. Willkür in der Beweiswürdigung lässt sich so nicht aufzeigen. Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Der angefochtenen Entscheid müsste vielmehr auch im Ergebnis offensichtlich unhaltbar sein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; je mit Hinweisen).
2.2.2. Vor diesem Hintergrund erweisen sich die Vorbringen des Beschwerdeführers als unzulänglich. So hat die Vorinstanz aus der Mitteilung der untersuchenden Assistenzärztin, der überweisende Arzt sei damit einverstanden, dass die Paradontalbehandlung an den Kliniken C._ durchgeführt werde, geschlossen, die weisungswidrige Kontaktaufnahme sei für den Beschwerdeführer bereits in diesem Zeitpunkt klar ersichtlich gewesen. Der Beschwerdeführer hält diesen Schluss für unzulässig. Erstens werde aus der Wortwahl keine telefonische Unterredung ersichtlich, und zweitens sei ihm bekannt gewesen, dass der überweisende Arzt zwei Weiterbildungsjahre auf der Klinik für Parodontologie verbracht habe, womit er habe annehmen können, es handle sich um eine generelle Ermächtigung und nicht um eine Einwilligung in der konkreten Situation. Mit den Weiterbildungsjahren an der Klinik beruft sich der Beschwerdeführer auf einen Umstand, der nicht festgestellt ist, ohne eine substanziierte Sachverhaltsrüge zu erheben. Andererseits sind seine Vorbringen allenfalls geeignet aufzuzeigen, dass er trotz der Mitteilung nicht auf eine Kontaktaufnahme geschlossen haben könnte. Dies genügt nicht, um den gegenteiligen Schluss als offensichtlich unhaltbar und damit willkürlich erscheinen zu lassen.
2.2.3. Seiner Schadensberechnung legt der Beschwerdeführer die Kosten zu Grunde, die bei einer Behandlung bei den Kliniken C._ ohne Paradontalbehandlung angefallen wären. Er legt aber nicht rechtsgenüglich dar, woraus sich ergeben sollte, dass die Kliniken C._ verpflichtet oder bereit gewesen wären, den vom Beschwerdeführer gewünschten Eingriff ohne vorgängige Paradontalbehandlung durchzuführen, falls der überweisende Arzt diese für überflüssig erachtet hätte. Daraus, dass eine Behandlung ohne Paradontalbehandlung möglich gewesen wäre, folgt nicht, dass sich die Kliniken C._ zu einer derartigen Behandlung hätte bereit erklären müssen. Damit ist die Abweisung des Schadenersatzanspruches verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden und fällt auch der Genugtuungsanspruch ausser Betracht, soweit er damit begründet wird, für den behinderten Beschwerdeführer seien die privatärztlichen Praxisräumlichkeiten schwieriger zu erreichen gewesen als die Kliniken C._.
2.3. Der Beschwerdeführer erhebt vor Bundesgericht Anspruch auf Genugtuung wegen widerrechtlichem Bearbeiten von Personendaten.
2.3.1. Aus dem angefochtenen Entscheid geht aber nicht hervor, dass er seinen Anspruch auf Genugtuung bereits im kantonalen Verfahren so begründet hätte. Die Vorinstanz beschränkte sich darauf zu prüfen, ob infolge des Schreibens der untersuchenden Assistenzärztin vom 2. Januar 2012, in der diese ihr Unverständnis über die Reaktion des Beschwerdeführers auf ihre Kontaktaufnahme mit dem zuweisenden Zahnarzt ausdrückt, ein Genugtuungsanspruch besteht. Dass dies verfassungswidrig war, macht der Beschwerdeführer nicht geltend.
2.3.2. Zudem anerkennt der Beschwerdeführer selbst, Anspruch auf Genugtuung bestehe nur, sofern es die Schwere der Verletzung rechtfertige. Inwiefern die Tatsache, dass die Weisung des Beschwerdeführers nicht beachtet wurde und es ihm daher nicht möglich war, die Angelegenheit ohne vorgängige Kontaktaufnahme durch die Kliniken C._ mit dem zuweisenden Zahnarzt zu besprechen, eine schwere Verletzung darstellen könnte, ist aber nicht ersichtlich, zumal es dem Beschwerdeführer anderweitig möglich war, sich eine Meinung über die Notwendigkeit einer Paradontalbehandlung einzuholen. Damit wäre die Klageabweisung in diesem Punkt im Ergebnis ohnehin nicht willkürlich.
2.4. Der Beschwerdeführer weist schliesslich auf die Formulierung hin, die untersuchende Assistenzärztin wolle " solche Patienten in der Privatpraxis rechtzeitig erkennen " und demnach nicht behandeln. Er ist der Auffassung, " solche Patienten " bedeute wohl nichts anderes, als dass diese sich eines verwerflichen, unanständigen, allenfalls querulatorischen Verhaltens schuldig gemacht hätten. Dieser Vorwurf sei erstens völlig unangebracht und zweitens für eine Person, die selbst in der ärztlichen Grundversorgung tätig war, von besonderer Kränkung.
Auch diese Rüge ist unbegründet. Wenn sich die untersuchende Assistenzärztin für ihre Privatpraxis Patienten wünscht, die auf ein Vorgehen, wie sie es an den Tag legte, nicht äusserst ungehalten, sondern moderat reagieren und die Sache nicht weiterverfolgen, kann daraus nicht geschlossen werden, sie werfe dem Beschwerdeführer ein verwerfliches, unanständiges oder querulatorisches Verhalten vor. Im Schreiben wird klargestellt, dass es ihr darum geht, keine Lebensenergie durch weitere Aufregung über die ungehaltene Reaktion zu verschwenden. Die Äusserungen implizieren zwar eine Kritik an der Reaktion des Beschwerdeführers. Wenn die Vorinstanz der durch diese Aussagen allenfalls erlittenen Beeinträchtigung die für eine Genugtuungsforderung nach kantonalen Recht notwendige objektive Schwere abspricht, ist das aber keineswegs offensichtlich unhaltbar.
3.
Damit ist die Beschwerde insgesamt abzuweisen, soweit angesichts der Rechtsbegehren und der unzulänglichen, über weite Strecken appellatorischen Begründung überhaupt darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig. Die Beschwerdegegnerin prozessiert in eigener Sache. Sie ist nicht durch einen auswärtigen Anwalt vertreten, sondern durch ihren Generalsekretär. Da für die Beschwerdeantwort kein besonderer Aufwand nötig war, steht ihr keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4 S. 446 mit Hinweis).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. März 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak