Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft Lenzburg-Aarau (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) führt ein Strafverfahren gegen den serbischen Staatsangehörigen X._. Sie wirft ihm vor, an mehreren Einbruchdiebstählen beteiligt gewesen zu sein. Zudem soll er sich der Misswirtschaft, der Unterlassung der Buchführung und des Verstrickungsbruchs schuldig gemacht haben.
Am 24. April 2011 wurde er festgenommen und anschliessend in Untersuchungshaft versetzt. Diese wurde seither verlängert.
Am 5. Oktober 2011 und 13. Februar 2012 wies das Bundesgericht Haftbeschwerden von X._ ab, soweit es darauf eintrat (Urteile 1B_502/2011 und 1B_48/2012).
B. Am 21. März 2012 ersuchte X._ um Haftentlassung.
Am 22. März 2012 beantragte die Staatsanwaltschaft die Abweisung des Gesuchs und die Verlängerung der Haft bis zum 29. Juni 2012.
Mit Verfügung vom 29. März 2012 wies das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Aargau das Haftentlassungsgesuch ab und verlängerte die Untersuchungshaft bis zum 29. Juni 2012.
Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau (Beschwerdekammer in Strafsachen) am 11. April 2012 ab.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und der Beschwerdeführer unverzüglich aus der Untersuchungshaft zu entlassen. Eventualiter sei er unverzüglich unter Auferlegung von Ersatzmassnahmen (Kaution Fr. 5'000.--) aus der Untersuchungshaft zu entlassen.
D. Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft haben auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig.
Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a i.V.m. lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt.
Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2. Der Beschwerdeführer beantragt, zur Vervollständigung des Sachverhalts sei bei der Staatsanwaltschaft das gesamte Aktendossier des Verfahrens ST.2011.2949 beizuziehen.
Der Beizug dieser Akten ist nicht notwendig. Das Obergericht hat dem Bundesgericht die Akten des kantonalen Haftprüfungsverfahrens eingereicht. Diese genügen zur Beurteilung der vorliegenden Beschwerde, zumal der Beschwerdeführer darin im Wesentlichen lediglich die Rügen wiederholt, zu denen das Bundesgericht in seinen beiden Urteilen bereits Stellung genommen hat. Der Antrag wird deshalb abgewiesen.
3. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz habe ihren Entscheid unzureichend begründet und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt.
Es kann offen bleiben, ob die Rüge den Begründungsanforderungen (<ref-law>) genügt. Sie ist jedenfalls unbegründet. Die Vorinstanz hat sich mit den wesentlichen Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt und ihren Entscheid (E. 2-5) ausreichend begründet. Der Beschwerdeführer war denn auch ohne Weiteres in der Lage, diesen in Kenntnis aller Umstände anzufechten.
4. 4.1 Gemäss <ref-law> ist Untersuchungshaft zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie: a) sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entzieht; b) Personen beeinflusst oder auf Beweismittel einwirkt, um so die Wahrheitsfindung zu beeinträchtigen (...).
Untersuchungshaft darf nicht länger dauern als die zu erwartende Freiheitsstrafe (<ref-law>).
4.2 Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Annahme des dringenden Tatverdachts.
Das Bundesgericht hat den dringenden Tatverdacht bereits in den Urteilen vom 5. Oktober 2011 und 13. Februar 2012 bejaht. Darauf zurückzukommen besteht kein Anlass. Nach wie vor ist der dringende Tatverdacht des Einbruchdiebstahls in zumindest fünf Fällen gegeben (Urteil vom 13. Februar 2012 E. 3.3 f.). Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was zu einer abweichenden Beurteilung führen könnte.
Inzwischen ist der dringende Tatverdacht verschiedener Betreibungs- und Konkursdelikte hinzugekommen. Es bestehen ernstliche Anhaltspunkte dafür, dass der Beschwerdeführer faktisch Organ einer Konkurs gegangenen Gesellschaft mit beschränkter Haftung war. Er hat anerkannt, das Gesellschaftsvermögen zusammen mit einer weiteren Person vorwiegend für private Zwecke verbraucht zu haben. Die Gesellschaft kam zudem ihrer Buchführungspflicht nicht nach. Der Beschwerdeführer hat sodann ausgesagt, sein Lohn sei seit längerer Zeit gepfändet gewesen. Er habe aber ab und zu "schwarz" Überstunden gemacht und den dadurch erzielten Mehrverdienst dem Betreibungsamt nicht gemeldet. Die kantonalen Instanzen nehmen insoweit den Verdacht der Misswirtschaft (<ref-law>), der Unterlassung der Buchführung (<ref-law>) und des Verstrickungsbruchs (<ref-law>) an. Dies ist nicht zu beanstanden.
4.3 Der Beschwerdeführer bestreitet die Fluchtgefahr.
Auch dazu hat sich das Bundesgericht in seinen Urteilen bereits geäussert. Die Umstände haben sich seither nicht wesentlich verändert. Nach wie vor ist daher Fluchtgefahr offensichtlich zu bejahen. Es kann auf das Urteil vom 13. Februar 2012 (E. 4) verwiesen werden.
4.4 Da ein Haftgrund für die Inhaftierung genügt, braucht nicht geprüft zu werden, ob Verdunkelungsgefahr hinzukomme. Die Ausführungen des Beschwerdeführers dazu sind belanglos.
4.5 Das Bundesgericht hat in seinen Urteilen mildere Ersatzmassnahmen anstelle der Untersuchungshaft als ungenügend für die Bannung der Fluchtgefahr beurteilt. Insbesondere hat es eine Kaution als untauglich erachtet (Urteil vom 13. Februar 2012 E. 6). Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was es rechtfertigen könnte, darauf zurückzukommen.
4.6 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Dauer der Haft sei unverhältnismässig.
Im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Urteils vom 13. Februar 2012 befand er sich knapp zehn Monate in Haft. Das Bundesgericht erwog, er müsse mit einer Freiheitsstrafe rechnen, welche diese Dauer deutlich übersteige (E. 7).
Die Dauer der Haft beträgt heute ca. 13 Monate. Nach wie vor besteht der dringende Tatverdacht in Bezug auf mindestens fünf bandenmässige Einbruchdiebstähle. <ref-law> droht für bandenmässigen Diebstahl Freiheitsstrafe bis zu zehn Jahren oder Geldstrafe nicht unter 180 Tagessätzen an. Schon der Vorwurf der Einbruchdiebstähle wiegt schwer. Mit den Konkursdelikten kommen weitere Vorwürfe hinzu. Angesichts dessen muss der Beschwerdeführer mit einer Freiheitsstrafe rechnen, welche die bisher erstandene Haft weiterhin deutlich übersteigt. Die Haft ist daher nach wie vor verhältnismässig.
4.7 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Beschleunigungsgebots.
4.7.1 Nach der Rechtsprechung ist die Rüge, das Strafverfahren werde nicht mit der verfassungs- und konventionsrechtlich gebotenen Beschleunigung geführt, im Haftprüfungsverfahren nur soweit zu beurteilen, als die Verfahrensverzögerung geeignet ist, die Rechtmässigkeit der Untersuchungshaft in Frage zu stellen und zu einer Haftentlassung zu führen. Dies ist nur der Fall, wenn sie besonders schwer wiegt und zudem die Strafverfolgungsbehörden, z.B. durch eine schleppende Ansetzung der Termine für die anstehenden Untersuchungshandlungen, erkennen lassen, dass sie nicht gewillt oder nicht in der Lage sind, das Verfahren nunmehr mit der für Haftfälle verfassungs- und konventionsrechtlich gebotenen Beschleunigung voranzutreiben und zum Abschluss zu bringen. Ist die gerügte Verzögerung des Verfahrens weniger gravierend, kann offen bleiben, ob eine Verletzung des Beschleunigungsgebots vorliegt. Ob dies der Fall ist, kann in der Regel denn auch erst der Sachrichter unter der gebotenen Gesamtwürdigung beurteilen, der auch darüber zu befinden hat, in welcher Weise - z.B. durch eine Strafreduktion - eine allfällige Verletzung des Beschleunigungsgebots wieder gut zu machen ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 96; <ref-ruling> E. 2.2.1 f. S. 151 f.; je mit Hinweisen).
4.7.2 Was der Beschwerdeführer vorbringt, ist jedenfalls nicht geeignet, eine besonders schwer wiegende Verfahrensverzögerung, die nach der dargelegten Rechtsprechung allein zur Haftentlassung führen könnte, darzutun. Die Haftentlassung kommt daher auch unter diesem Gesichtswinkel nicht in Betracht. Ob überhaupt eine Verletzung des Beschleunigungsgebots vorliegt, wird gegebenenfalls der Sachrichter zu beurteilen haben.
4.7.3 Die Staatsanwaltschaft legt im Antrag auf Abweisung des Entlassungsgesuchs und Haftverlängerung vom 22. März 2012 (S. 4 Ziff. 2.3) dar, das vorliegende Strafverfahren werde, wie jedes andere Haftverfahren, mit der grösstmöglichen Beschleunigung vorangetrieben; es werde so bald als möglich abgeschlossen und Anklage erhoben. Darauf ist die Staatsanwaltschaft zu behaften. Das erstinstanzliche Gericht wird sodann mit Rücksicht auf <ref-law> die Hauptverhandlung zügig anzusetzen haben.
5. Die Rügen der Verletzung der Menschenwürde und der Unschuldsvermutung sind unbegründet. Dazu hat sich das Bundesgericht bereits geäussert, worauf verwiesen werden kann (Urteil vom 13. Februar 2012 E. 8.1 und 8.6).
6. 6.1 Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten auferlegt. Sie erwägt, der Beschuldigte, der im Rechtsmittelverfahren unterliege, habe stets die Verfahrenskosten zu tragen (<ref-law>). <ref-law> gehe nicht so weit, dass einem armengenössigen Beschuldigten, der im Rechtsmittelverfahren unterliege, keine Verfahrenskosten auferlegt werden könnten.
Der Beschwerdeführer wendet ein, die Vorinstanz hätte ihm die unentgeltliche Rechtspflege gewähren und auf die Auferlegung von Kosten daher verzichten müssen.
6.2 Der angefochtene Entscheid verletzt jedenfalls im Ergebnis auch insoweit kein Bundesrecht. Gemäss <ref-law> besteht Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nur, wenn das Rechtsbegehren nicht aussichtslos ist. Bei Haftbeschwerden ist Aussichtslosigkeit mit Zurückhaltung anzunehmen (Urteil 1B_732/2011 vom 19. Januar 2012 E. 7). Auch wenn man diesen Massstab zugrunde legt, muss die Beschwerde an die Vorinstanz als aussichtslos bezeichnet werden. Der Beschwerdeführer machte darin in der Sache im Wesentlichen lediglich geltend, die Erwägungen des Bundesgerichts in seinen beiden Urteilen seien falsch, ohne dafür überzeugende Gründe anzuführen. War die Beschwerde an die Vorinstanz aussichtslos, verletzt die Auferlegung der Kosten jedenfalls im Ergebnis kein Bundesrecht.
7. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Da sie aussichtslos war, kann die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law> nicht bewilligt werden. Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Lenzburg-Aarau und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Mai 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri