Sachverhalt:
A.
Die 1953 geborene A._ arbeitete seit dem Jahre 1982 für die B._ AG ab 1. Juni 2011 als Gerantin in einem Teilzeitpensum zu einem Bruttolohn von Fr. 5'000.--. Nachdem ab September 2011 der Lohn zunächst gar nicht und später nur noch teilweise und in kleinen Raten ausbezahlt wurde, liess A._ sich den Betrag der ausstehenden Zahlungen von der Arbeitgeberin regelmässig unterschriftlich bestätigen. Am 27. Mai 2013 teilte die Arbeitgeberin ihren Angestellten mit, dass sie Insolvenz angemeldet habe und das Arbeitsverhältnis aufgelöst werde. Der Konkurs über die B._ AG wurde am 24. Juni 2013 eröffnet und am 25. Juli 2013 mangels Aktiven wieder eingestellt.
Am 25. Juni 2013 stellte A._ Antrag auf Insolvenzentschädigung in der Höhe von Fr. 43'649.-- für unbezahlt gebliebenen Lohn und Ferienentschädigung. Mit Verfügung vom 24. Juli 2013 lehnte die öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Basel-Stadt eine Leistungspflicht mit der Begründung ab, die Versicherte sei ihrer Schadenminderungspflicht nicht in genügendem Masse nachgekommen. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Entscheid vom 10. Oktober 2013).
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 13. Mai 2014 teilweise gut. Es verpflichtete die Arbeitslosenkasse, eine Entschädigung auszurichten, die der Höhe von vier im Jahre 2012 durchschnittlich ausbezahlten Löhnen entspricht und wies die Sache zur genauen Berechnung des Anspruchs an die Kasse zurück.
C.
Das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Basel-Stadt (AWA) führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es sei der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts vom 13. Mai 2014 aufzuheben und festzustellen, die Versicherte habe keinen Anspruch auf Insolvenzentschädigung.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Im angefochtenen Gerichtsentscheid werden die Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf Insolvenzentschädigung (Art. 51 Abs. 1 und Art. 58 AVIG; vgl. auch <ref-ruling>), zum Umfang des Anspruchs (<ref-law>) sowie zu den Pflichten des Arbeitnehmers im Konkurs- oder Pfändungsverfahren (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3d S. 59; ARV 2002 Nr. 8 S. 62, C 91/01, und Nr. 30 S. 190, C 367/01; ARV 1999 Nr. 24 S. 140, C 183/97) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. In tatsächlicher Hinsicht stellte die Vorinstanz fest, in den Monaten September bis Dezember 2011 sei - mit Ausnahme einer Teilzahlung von Fr. 830.-- am 30. Dezember 2011 - kein Lohn ausbezahlt worden. Auch in den Jahren 2012 und 2013 seien nur teilweise und unregelmässig Lohnzahlungen geflossen, sodass der Ausstand am 27. Mai 2013 Fr. 33'711.75 (netto) betragen habe. Die Richtigkeit der jeweiligen Guthaben habe sich die Versicherte jeweils unterschriftlich bestätigen lassen. Eine Betreibung gegen die Arbeitgeberin habe sie am 11. Juni 2013, also nach Auflösung des Arbeitsverhältnisses eingeleitet. Das kantonale Gericht folgerte daraus, die Beschwerdeführerin sei ihrer Schadenminderungspflicht während des Bestehens des Arbeitsverhältnisses nur ungenügend nachgekommen. Während eines solchen seien indessen nicht allzu hohe Anforderungen an die Schadenminderungspflicht zu stellen. Die Versicherte sei insgesamt über 30 Jahre bei der B._ AG beschäftigt gewesen und damit habe ein gewisses Vertrauensverhältnis bestanden. Es erscheine deshalb nachvollziehbar, dass sie den Zusicherungen auf künftige Lohnzahlungen Glauben schenkte. Die Vorinstanz kam zum Schluss, die Verletzung der Schadenminderungspflicht wiege nicht derart schwer, dass sie mit einer gänzlichen Leistungsverweigerung zu sanktionieren sei. Die Insolvenzentschädigung sei vielmehr lediglich um den Betrag zu reduzieren, auf welchen die Versicherte im Jahre 2012 monatlich durchschnittlich verzichtet habe. In diesem Sinne hiess sie die Beschwerde teilweise gut.
3.2. Beschwerdeweise bringt das AWA vor, die Versicherte habe ihre Forderungen nicht mit dem erforderlichen, der Situation angepassten Nachdruck geltend gemacht. Erst nach der Kündigung des Arbeitsverhältnisses sei sie aktiv geworden. Das kantonale Gericht habe zudem nicht beachtet, dass die Versicherte vor ihrer Anstellung als Gerantin vom 30. Mai 2006 bis zum 12. Januar 2011 als Revisionsstelle der B._ AG im Handelsregister eingetragen gewesen sei. Es sei daher davon auszugehen, dass sie Einblick in den Geschäftsgang der Firma gehabt habe. Es gehe nicht an, wegen eines besonderen persönlichen Verhältnisses zur Arbeitgeberin diese zu schonen, um die vertraglichen Ansprüche später bei der Arbeitslosenversicherung geltend zu machen.
4.
4.1. Machen Arbeitnehmende gegenüber dem Arbeitgeber oder der Arbeitgeberin während längerer Zeit keine Anstalten, ihrer Lohnforderung mit hinreichender Deutlichkeit Ausdruck zu verleihen, signalisieren sie mangelndes Interesse. Dadurch verlieren sie auch gegenüber der Arbeitslosenversicherung ihre Schutzbedürftigkeit und Schutzwürdigkeit. Die Bestimmung von <ref-law>, wonach der Arbeitnehmer im Konkurs- oder Pfändungsverfahren alles unternehmen muss, um seine Ansprüche gegenüber dem Arbeitgeber zu wahren, bezieht sich dem Wortlaut nach auf das Konkurs- und Pfändungsverfahren. Sie bildet jedoch Ausdruck der allgemeinen Schadenminderungspflicht, welche auch dann Platz greift, wenn das Arbeitsverhältnis vor der Konkurseröffnung aufgelöst wird (<ref-ruling> E. 4 S. 60; ARV 1999 Nr. 24 S. 140). Eine ursprüngliche Leistungsverweigerung infolge Verletzung der Schadenminderungspflicht im Sinne der zu <ref-law> ergangenen Rechtsprechung (E. 2 hiervor) setzt voraus, dass der versicherten Person ein schweres Verschulden, also vorsätzliches oder grobfahrlässiges Handeln oder Unterlassen vorgeworfen werden kann. Dem Erfordernis der Verhältnismässigkeit ist mit dem Ausmass der von den Arbeitnehmenden zu erwartenden Vorkehrungen Rechnung zu tragen (SVR 2014 AlV Nr. 4 S. 9 E. 4.1 [8C_66/2013]). Nach ständiger Rechtsprechung wird eine konsequente und kontinuierliche Weiterverfolgung der eingeleiteten Schritte gefordert, welche in einem der vom Gesetz geforderten zwangsvollstreckungsrechtlichen Stadien münden müssen, damit Anspruch auf Insolvenzentschädigung besteht. Arbeitnehmende sollen sich gegenüber dem Arbeitgeber nämlich so verhalten, als ob es das Institut der Insolvenzentschädigung gar nicht gäbe. Dieses Erfordernis lässt ein längeres Untätigsein nicht zu (SVR 2014 AlV Nr. 4 S. 9 E. 4.2 [8C_66/2013]).
4.2. Die Versicherte argumentiert, das AWA sei seiner Begründungspflicht gemäss <ref-law> nicht in genügendem Masse nachgekommen, da in der Beschwerde keine Verletzung von Bundesrecht gerügt werde.
Obwohl eine deutlichere Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid angezeigt gewesen wäre, ist den beschwerdeführerischen Vorbringen insgesamt doch eindeutig genug zu entnehmen, inwiefern das AWA das Recht als verletzt erachtet. Die materiellen Vorbringen sind demnach zu prüfen.
4.3. Wie in der Beschwerde richtig vorgebracht wird, liegen überhaupt keine Sachverhaltselemente vor, die darauf hindeuten würden, dass die Versicherte vor Beendigung des Arbeitsverhältnisses etwas unternommen hätte, um zu ihrem Lohn zu kommen. Nach konstanter Rechtsprechung - auf welche auch im angefochtenen Entscheid verwiesen wird - genügt es für die Erfüllung der Schadenminderungspflicht in der Regel nicht, wenn Lohnausstände lediglich mündlich gemahnt werden. Die unterschriftliche Bestätigung der offenen Lohnforderungen kann entgegen der Darstellung der Beschwerdegegnerin qualitativ nicht mit einer schriftlichen Mahnung gleichgesetzt werden. Insbesondere beinhaltet die blosse schriftliche Schuldanerkennung keine nachdrückliche Aufforderung, die Ausstände zeitnah zu begleichen. Vielmehr wird mit der Schuldanerkennung seitens der Gläubigerin Geduld signalisiert. Zu beachten gilt auch die lange Dauer der ausgebliebenen oder nur sporadisch und in kleinen Raten erfolgten Lohnzahlungen und die - auch gemessen am Betrag des monatlichen Nettolohnes von Fr. 4'382.-- - hohen Schulden von Fr. 33'711.--. Bereits drei Monate nach Beginn des Arbeitsverhältnisses als Gerantin wurde der Versicherten vorerst überhaupt kein Lohn mehr ausbezahlt. Die Schulden häuften sich in der Folge weiter an. Trotz Teilzahlungen im Verlaufe der nächsten eineinhalb Jahren wuchs der Ausstand an. Trotzdem blieb die Versicherte untätig. Die Einschätzung des nur ungenügenden Handelns seitens der Beschwerdegegnerin wird denn auch vom kantonalen Gericht geteilt, hält dieses doch in tatsächlicher Hinsicht fest, diese sei während des Bestehens des Arbeitsverhältnisses ihrer Schadenminderungspflicht nur ungenügend nachgekommen. Indem die Vorinstanz trotz dieser Feststellung folgerte, eine - reduzierte - Insolvenzentschädigung sei auszurichten, hat sie Bundesrecht verletzt. Entgegen dem angefochtenen Entscheid gibt es rechtlich keine Möglichkeit, eine "reduzierte Insolvenzentschädigung" zuzusprechen, "weil die Verletzung der Schadenminderungspflicht jedenfalls nicht so schwer wiegt, dass sie mit einer gänzlichen Leistungsverweigerung zu sanktionieren wäre". Entweder wurde die Schadenminderungspflicht in einem bestimmten Zeitraum in schwerem Masse verletzt, womit eine versicherte Person keinen Leistungsanspruch hat, oder eine eventuelle Pflichtverletzung ist als weniger schwer einzustufen, sodass von einer Sanktion abzusehen ist. Ausser dem langandauernden Arbeitsverhältnis und dem fortgeschrittenen Alter der Versicherten hat das kantonale Gericht keine weiteren Umstände genannt, welche das Verhalten der Beschwerdegegnerin einsichtig und nachvollziehbar erscheinen liessen, weshalb der angefochtene Entscheid in Gutheissung der Beschwerde aufgehoben und der Anspruch der Versicherten auf Insolvenzentschädigung wegen Verletzung der Schadenminderungspflicht vor der Konkurseröffnung zu verneinen ist.
5.
Dem Verfahrensausgang entsprechend hat die unterliegende Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>)

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 13. Mai 2014 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid des Amtes für Wirtschaft und Arbeit vom 10. Oktober 2013 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt, dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) und der Öffentlichen Arbeitslosenkasse Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Januar 2015
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Schüpfer