Sachverhalt:
A.
A.a. Am 28. März 1995 gebar Frau B.X._ im kantonalen Spital E._ SG einen Sohn mit Namen C.X._. Der Geburtsvorgang verlief stark verzögert (protrahiert). Unmittelbar danach wurde beim Neugeborenen eine fehlende Atmung mit Herz-Kreislauf-Versagen festgestellt, die eine schwerwiegende und irreversible Hirnschädigung zur Folge hatte.
Am 15. Februar 2002 reichte die Eidgenössische Invalidenversicherung (Klägerin) beim Vermittleramt der Stadt St. Gallen ein Schadenersatzbegehren gegen den Kanton St. Gallen ein. Sie beantragte, dass dieser zum Ersatz aller IV-Leistungen zu verurteilen sei, welche die Invalidenversicherung im Zusammenhang mit der perinatalen Behandlung im Spital E._ SG zu erbringen habe. Gleichzeitig beantragte sie die Sistierung des Vermittlungsverfahrens mit der Begründung, dass die künftig zu erbringenden Leistungen noch nicht absehbar seien. Am 28. Februar 2002 sistierte das Vermittleramt der Stadt St. Gallen das Verfahren bis auf Weiteres.
A.b. Am 5. März 2008 beantragte die Klägerin beim Vermittleramt Rebstein die Aufhebung der damals vom Vermittleramt der Stadt St. Gallen angeordneten Sistierung und die Fortführung des Verfahrens. Zur Begründung führte sie aus, dass infolge Gesetzesänderung nicht mehr der Kanton St. Gallen, sondern die in Rebstein domizilierte Spitalregion A._ Partei sei. Das Vermittleramt Rebstein hob die Sistierung am 7. März 2008 auf und setzte der Spitalregion A._ eine Frist von zwei Monaten an zur Einreichung einer Stellungnahme zum Schadenersatzbegehren der Klägerin. Am 5. Mai 2008 teilte diese mit, sie erachte das Vermittleramt Rebstein für die Aufhebung der Sistierung nicht als zuständig; eventualiter sei die Klage zufolge Verwirkung abzuweisen.
Am 4. Juni 2008 schrieb die Klägerin dem Vermittleramt Rebstein, dass ihr unter diesen Umständen die gesetzlich vorgesehene Frist von drei Monaten zur Einreichung der Klage beim Gericht anzusetzen sei. Mit Schreiben vom 7. Juni 2008 setzte das Vermittleramt Rebstein der Klägerin eine Frist von drei Monaten zur Einreichung der Klage beim zuständigen Kreisgericht an.
B.
B.a. Mit Klageschrift vom 28. August 2008 beantragte die Klägerin, die Spitalregion A._ (Beklagte) sei zu verurteilen, der Klägerin Fr. 1'075'962.45 zuzüglich Zinsen zu bezahlen. Mit Klageantwort vom 24. Februar 2009 beantragte die Beklagte Nichteintreten auf die Klage, eventualiter Abweisung. In der Replik vom 25. Juni 2009 erhöhte die Klägerin ihre Forderung auf Fr. 1'189'141.80.
Mit Entscheid vom 3. März 2010 wies das Kreisgericht Rheintal die Klage wegen Verwirkung ab, soweit es auf sie eintrat. Es erwog, die Klägerin hätte die Klage innert zweier Monate nach dem Vermittlungsvorstand dem Gericht einreichen müssen, hielt ihr aber zugute, ihr damaliger Rechtsvertreter habe auf die Richtigkeit der ihm vom Vermittler angesetzten dreimonatigen Klagefrist im Lichte der Rechtsprechung des Bundesgerichtes über den Vertrauensschutz verlassen dürfen. Deshalb schade die verspätete Einreichung der Klägerin nicht. Gleichwohl wies das Kreisgericht die Klage ab mit der Begründung, die Klägerin habe die einjährige Verwirkungsfrist gemäss Art. 4 aVG SG nicht eingehalten; sie habe spätestens am 3. Juli 2000 die Höhe ihres Schadens mit genügender Sicherheit abschätzen können.
B.b. Gegen den Entscheid des Kreisgerichts Rheintal vom 3. März 2010 erhob die Klägerin Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen.
Mit Endentscheid vom 2. Juli 2012 wies das Kantonsgericht Berufung und Klage ab, soweit es auf sie eintrat.
B.c. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. September 2012 beantragte die Klägerin (Beschwerdeführerin) dem Bundesgericht, der Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen vom 2. Juli 2012 sei aufzuheben und die Angelegenheit sei zum Entscheid über die Wahrung der einjährigen Verwirkungsfrist sowie zur materiellen Beurteilung des geltend gemachten Anspruchs an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Urteil 4A_483/2012 vom 7. März 2013 hiess die I. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts die Beschwerde gut, hob den angefochtenen Entscheid auf und wies die Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung zurück. Das Bundesgericht erwog, dass die Ansetzung der Frist von drei Monaten durch das Vermittleramt Rebstein geeignet war, eine Vertrauensgrundlage zu bilden, dass der Beschwerdeführerin keine grobe prozessuale Unsorgfalt vorgeworfen werden könne und dass sie bezüglich der nachteiligen Dispositionen der Klageeinreichung in Ausschöpfung der Frist zu schützen sei, und es wies die Sache zum Entscheid über die Frage der Wahrung dieser Frist an die Vorinstanz zurück.
B.d. Mit Entscheid vom 22. Oktober 2013 wies die III. Zivilkammer des Kantonsgerichts St. Gallen die Klage erneut ab, soweit es darauf eintrat, und bestätigte den erstinstanzlichen Kostenspruch.
Das Kantonsgericht kam zum Schluss, dass das erst am 15. Februar 2002 eingereichte Schadenersatzbegehren unter dem Gesichtspunkt der relativen Verwirkungsfrist als verspätet gelten müsse mit der Folge, dass die eingeklagte Regressforderung verwirkt sei.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 27. Januar 2014 beantragt die eidgenössische Invalidenversicherung (Beschwerdeführerin) dem Bundesgericht, der Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen vom 22. Oktober 2013 sei aufzuheben und die Angelegenheit sei zur materiellen Beurteilung des geltend gemachten Anspruchs an die Vorinstanz, eventuell an die erste Instanz, zurückzuweisen.
Mit Vernehmlassung vom 27. Februar 2014 beantragte die Spitalregion A._ (Beschwerdegegnerin) Abweisung der Beschwerde.
Am 17. März 2014 reichte die Beschwerdeführerin weitere Bemerkungen und am 1. April 2014 die Beschwerdegegnerin Gegenbemerkungen ein.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 20. Februar 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 133 mit Hinweisen).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Berufungsentscheid eines oberen kantonalen Gerichts (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Sie wurde innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) von der mit ihren Rechtsbegehren unterlegenen Partei (<ref-law>) eingereicht. Bei der Streitsache handelt es sich um eine Angelegenheit medizinischer Staatshaftung (Art. 31 Abs. 1 lit. d des Reglements für das Bundesgericht, BGerR [173.110.131]), die in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht (<ref-law>; BGE135 III 320 E.1.1 S. 331; <ref-ruling> E. 2.1 S. 465 f.). Der Streitwert übersteigt Fr. 30'000.-- (<ref-law>), weshalb auf die Beschwerde in Zivilsachen unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten ist.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Bundesverfassungsrecht gerügt werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382). Nicht zu den in <ref-law> vorgesehenen Rügegründen gehört hingegen die Anwendung und Auslegung kantonalen Rechts, dessen Anwendung und Auslegung das Bundesgericht einzig unter dem Blickwinkel eines Verstosses gegen Bundesrecht oder gegen Bundesverfassungsrecht beurteilen kann (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 4.3 S. 521; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382 f.).
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist weder an die mit der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden, und kann deshalb die Beschwerde auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder abweisen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 104; <ref-ruling> E. 1. S. 50, mit Hinweisen). Indessen prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.1 S. 104). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Aus den materiellrechtlichen Rügen muss zumindest sinngemäss ersichtlich sein, inwieweit der angefochtene Entscheid nach Ansicht der Beschwerdeführerin bundesrechtliche Normen verletzen soll, wenn der von der Vorinstanz verbindlich festgestellte - und nicht lediglich ein vom Beschwerdeführer behaupteter abweichender - Sachverhalt zugrunde gelegt wird (<ref-law>).
1.4. Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), darf sich der Beschwerdeführer grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht - wie hier - im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil erforderliche Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f. mit Hinweisen).
2.
Thema des vorliegenden Beschwerdeverfahrens ist die Einhaltung der relativen Verwirkungsfrist gemäss aArt. 4 Abs. 1 des Verantwortlichkeitsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 7. Dezember 1959 (VG SG [1959] nGS [neue Gesetzessammlung des Kantons St. Gallen] 17-59). Diese Norm bestimmt, dass der Geschädigte das Schadensersatzbegehren innerhalb eines Jahres, nachdem er von der Schädigung Kenntnis erhalten hat, einreichen muss.
3.
Die Vorinstanz erwog, zur Auslegung der kantonalrechtlichen Norm aArt. 4 Abs. 1 VG SG seien jene Grundsätze beizuziehen, welche Lehre und Rechtsprechung zu <ref-law> entwickelt haben. Danach sei für den Fristbeginn die kumulative Kenntnis von Schaden und Schädiger massgebend, was auch - mit (nicht weiter spezifizierten) Nuancen - für eine Regressklägerin gelte. Entscheidend sei, wann diese geleistet habe und wann ihr die Möglichkeit zu Regressnahme bekannt geworden sei. Nach Rechtsprechung und Lehre gelte der Schädiger als bekannt, wenn über die Person, gegen die sich das Schadenersatzbegehren richtet, Gewissheit bestehe. Verdacht oder blosse Vermutungen reichten nicht aus, das Verfügen über Beweismittel sei jedoch nicht erforderlich. Zur Kenntnis des Schädigers gehöre die Kenntnis der natürlichen Kausalität; erst wenn die Schadensursache feststehe, könne auch der Täter eruiert werden.
3.1. Die Vorinstanz hielt fest, es hätten sich weder aus der Anmeldung zum Bezug von IV-Leistungen vom 28. April 1995 noch dem ärztlichen Bericht von Dr. F._ vom 15. Januar 1996 Anhaltspunkte für ein Fremdverschulden für die Behinderung von C.X._ gegeben. Indes sei es am 6. Oktober 1999 zu einem Telefongespräch zwischen der Rechtsanwältin der geschädigten Familie und Herrn D._ von der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen gekommen. Gleichentags habe die Rechtsanwältin die Sozialversicherungsanstalt schriftlich unter Bezug auf das vorgängig geführte Telefonat um Zusendung der IV-Anmeldung ersucht. Zur Dokumentation des Vertretungsverhältnisses habe sie eine Vollmacht mit dem Betreff "Spital E._/verantwortl. Organe" übermittelt. Die Vorinstanz hielt ferner fest, dass die Vertreter von C.X._ am 1. März 1999 beim Bezirksamt St. Gallen gegen den Kanton St. Gallen als Träger des Spitals E._ ein unbeziffertes Schadensersatzbegehren eingereicht habe. Medizinische Vorabklärungen, die der Klage beilagen, hätten ergeben, dass im Zusammenhang mit der Geburt von C.X._ eine Schädigung durch das Spitalpersonal erfolgt sei, indem der Geburtsvorgang nicht lege artis begleitet worden sei.
3.2. Gestützt auf diese Tatsachenfeststellungen schloss die Vorinstanz, es liege auf der Hand, dass Gegenstand des am 6. Oktober 1999 zwischen der Rechtsanwältin und Herrn D._ geführten Telefonats - wie von der Beklagten behauptet und von der Klägerin nicht bestritten - die gegenüber dem Spital E._ geltend gemachten Schadensersatzansprüche gewesen seien. Allerdings könne der genaue Inhalt des Gesprächs offen bleiben und die von der Beklagten beantragte Befragung der Rechtsanwältin der geschädigten Familie unterbleiben, auch, weil der Klägerin spätestens mit Zugang der Vollmacht, die den Betreff "Spital E._/verantwortl. Organe" trug und deren Inhalt der Klägerin als Vertreterin der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Gallen zuzurechnen sei, bekannt war, dass die Familie des Geschädigten die Organe des Spitals E._ für die ab Geburt bei C.X._ aufgetretene Behinderung verantwortlich mache. Die Klägerin bringe nicht vor, die Hinweise der Familie seien so abwegig gewesen, dass sie nicht mindestens zu weiteren Abklärungen Anlass gegeben hätten. Habe die Klägerin aber erkennen können, dass die Organe des Spitals E._ für den durch die Behinderung von C.X._ entstandenen Schaden verantwortlich gemacht wurden, sei ihr der Schädiger und die Möglichkeit, Regress zu nehmen, bekannt. Dass zusätzlich ein Gutachten hätte vorliegen müssen, welches die Verantwortlichkeit stütze, sei nicht erforderlich, denn solches sei nur in gewissen aussergewöhnlichen Fällen vonnöten, wenn der natürliche Kausalzusammenhang nur mittels seiner wissenschaftlichen Expertise festgestellt werden könne. Im Übrigen hätte die Klägerin spätestens im Oktober 1999 zumindest die von der geschädigten Familie mit dem Schadenersatzbegehren vom 1. März 1999 eingereichten medizinischen Vorabklärungen erhältlich machen können.
3.3. Aus diesen Umständen ergebe sich, so weiter die Vorinstanz, dass der Klägerin der (potentielle) Schädiger spätestens ab Oktober 1999 bekannt gewesen sei; dies gelte umso mehr, als es sich bei ihr um eine professionelle Organisation handle, die berufsmässig Schadens- und Regressfälle abwickle und die für die Bedeutung der in diesem Zusammenhang zu wartenden Verjährung und Verwirkungsfristen besonders sensibilisiert sei.
4.
Die Beschwerdeführerin rügt die gestützt auf ihre tatsächliche Feststellung getroffene Annahme der Vorinstanz, dass die Beschwerdeführerin bereits ab 6. Oktober 1999 die erforderliche sichere Kenntnis der Person des Ersatzpflichtigen gehabt haben soll, als willkürlich; sie behauptet eine willkürliche Anwendung von Art. 4 Abs. 1 aVG SG sowie eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung, auf welcher die willkürliche Anwendung und Auslegung von Art. 4 Abs. 1 aVG SG beruhe.
4.1. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 2.1 S. 211; je mit Hinweisen).
4.2. Bezüglich der Auslegung von Art. 4 Abs. 1 aVG SG schliesst sich die Beschwerdeführerin den von der Vorinstanz aufgeführten, aus Lehre und Rechtsprechung zu <ref-law> entwickelten Grundsätzen bezüglich des Begriffs der Kenntnis von der Person des Ersatzpflichtigen als solchen an. Ihre Rügen zielen auf deren konkrete Anwendung und auf die von der Vorinstanz getroffenen Tatsachenfeststellungen.
4.3.
4.3.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Vorinstanz habe in tatsächlicher Hinsicht nirgends festgestellt, es sei ihr während dem Telefongespräch vom 6. Oktober 1999 zur Kenntnis gebracht worden, dass der Rechtsvertreter von C.X._ bereits am 1. März 1999 ein unbeziffertes Schadensersatzbegehren eingereicht habe, und dass medizinische Vorabklärungen ergeben hätten, dass im Zusammenhang mit der Geburt eine Schädigung durch das Spitalpersonal erfolgt sei. Ebensowenig habe die Vorinstanz - nachdem sie es als auf der Hand liegend bezeichnet habe, dass das Schadensersatzbegehren Gegenstand des Telefongesprächs gewesen sei - festgestellt, dass die Beschwerdeführerin Kenntnis sowohl vom Schadenersatzbegehren als solchem als auch von dessen Inhalt erhalten habe. Sollten die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz indes dahingehend zu verstehen sein, dass der Inhalt des Begehrens anlässlich des Telefongesprächs erhärtet worden wären, so gingen diese weit über das hinaus, was die Beschwerdegegnerin in der Berufungsantwort behauptet hatte; solches wäre als willkürliche Verletzung der Verhandlungsmaxime gemäss <ref-law>/SG zu qualifizieren. Denn hätte sich die Vorinstanz bei ihrer Sachverhaltsfeststellung an die von der Beschwerdegegnerin aufgestellten tatsächlichen Behauptungen gehalten, so hätte sie in tatsächlicher Hinsicht nicht davon ausgehen dürfen, dass der Beschwerdeführerin anlässlich des Telefonats vom 6. Oktober 1999 sowohl vom Schadenersatzbegehren als solchen als auch von dessen Inhalt, insbesondere von angeblichen medizinischen Vorabklärungen, Kenntnis gegeben wurde. Für den Ausgang des Verfahrens sei dieser Umstand insoweit entscheidend gewesen, als die Vorinstanz dann nicht den Schluss auf weitere Hinweise hätte ziehen können, die zu weiteren Abklärungen Anlass gegeben hätten. Ebensowenig hätte sie den Schluss ziehen dürfen, die Beschwerdeführerin habe die mit dem Schadenersatzbegehren vom 1. März 1999 eingereichten medizinischen Vorabklärungen erhältlich machen können. All diese Umstände habe die Vorinstanz zur Begründung dafür angeführt, dass die Beschwerdeführerin bereits am 6. Oktober 1999 Kenntnis von der Person des Ersatzpflichtigen gehabt haben soll; es lägen indes keine Anhaltspunkte dafür vor, dass die Beschwerdeführerin anlässlich jenes Telefongesprächs mehr oder anderes erfahren hätte, als die Beschwerdegegnerin behauptet habe.
4.3.2. Die Beschwerdeführerin trägt weiter vor, die Vorinstanz habe den genauen Inhalt des Telefongesprächs vom 6. Oktober 1999 offen gelassen und bereits aus dem Zugang der Vollmacht mit dem Betreff "Spital E._/verantwortl. Organe" abgeleitet, dass die Beschwerdeführerin dadurch Kenntnis von der Person des Ersatzpflichtigen gehabt habe. Sie habe jedoch nirgends festgestellt, dass und inwieweit konkrete Umstände anlässlich des Telefonats releviert worden wären, aufgrund derer von einer haftungsbegründenden Sorgfaltswidrigkeiten bei der Geburt auszugehen wäre. Die Auffassung, wonach schon allein die Mandatierung eines Anwalts zur Abklärung der Haftungsfrage zur sicheren Kenntnis der Person des Ersatzpflichtigen führe, ohne dass die konkreten, haftungsbegründenden Umstände aufgezeigt würden, sei qualifiziert falsch und somit willkürlich; die blosse Tatsache, dass ein Dritter die Haftungsfrage abklärte, habe der Beschwerdeführerin in keiner Weise die für die Begründung einer Klage notwendige Kenntnis verschaffen können.
4.3.3. Die Vorinstanz stelle auch nirgends in tatsächlicher Hinsicht fest, dass die medizinischen Vorabklärungen, die dem Schadenersatzbegehren vom 1. März 1999 beigelegt waren, der Beschwerdeführerin zur Kenntnis gebracht worden seien. Gleichwohl halte sie dafür, die Beschwerdeführerin hätte spätestens im Oktober 1999 diese von der geschädigten Familie erhältlich machen können und schliesse daraus, dass die Beschwerdeführerin dies nicht getan habe, auf deren Kenntnis der Person des Ersatzpflichtigen. Selbst die Beschwerdegegnerin habe nirgends behauptet, die Beschwerdeführerin habe anlässlich des Telefonats vom 6. Oktober 1999 Kenntnis von jenen Vorabklärungen der Familie erhalten. Die Vorinstanz verfalle in Willkür, indem sie Schlussfolgerungen aus tatsächlichen Verhältnissen ziehe, welche die Beschwerdegegnerin nicht behauptet habe.
4.3.4. Überdies sei es willkürlich, aus dem Vollmachtsbetreff "Spital E._/verantwortl. Organe" den Schluss zu ziehen, dass die Familie des Geschädigten die Organe des Spitals E._ für die ab Geburt aufgetretene Behinderung verantwortlich gemacht habe. Die Beschwerdegegnerin habe in der Berufungsantwort ausgeführt, es möge zutreffen, dass die Beschwerdeführerin erstmals anlässlich des Telefonats vom 6. Oktober 1999 davon Kenntnis erhielt, dass ein Anwalt das Vorliegen von Verantwortlichkeitsansprüchen gegenüber dem Spital E._ bzw. dessen Träger prüfte; die Beschwerdegegnerin habe weder dort noch sonst behauptet, dass die Familie des Geschädigten die Organe des Spitals im Rahmen des Telefonats verantwortlich gemacht hätten. Die gegenteilige Annahme der Vorinstanz verletze die Verhandlungsmaxime gemäss <ref-law>/SG und sei aktenwidrig und willkürlich.
4.3.5. Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz gehe davon aus, "die Hinweise der Familie" sei nicht so abwegig gewesen, dass diese nicht mindestens zu weiteren Abklärungen Anlass gegeben hätten, ohne aber tatsächliche Feststellungen darüber zu treffen, worin solche Hinweise bestanden haben sollen. Es sei qualifiziert falsch, die angeblichen Hinweise überhaupt nicht zu umreissen und trotzdem den Schluss zu ziehen, diese hätten zu weiteren Abklärungen Anlass gegeben. Die Vorinstanz habe an anderer Stelle selbst dargelegt, dass blosse Vermutungen bezüglich der zur Begründung einer Klage notwendigen Elemente nicht ausreichten, sondern dass insofern Gewissheit bestehen müsse; dies setze ebenfalls voraus, dass Gewissheit darüber bestehe, dass überhaupt haftungsbegründende Umstände vorlägen. Dass und inwieweit die Beschwerdeführerin anlässlich des Telefonats vom 6. Oktober 1999 über solche Umstände etwas erfahren haben soll, sei dem angefochtenen Entscheid nicht zu entnehmen, weshalb es qualifiziert falsch sei, wenn die Vorinstanz aufgrund nicht dargelegter Umstände den Schluss ziehe, die Beschwerdeführerin hätte gleichwohl weitere Abklärungen vornehmen müssen.
4.4.
4.4.1. Demgegenüber bringt die Beschwerdegegnerin vor, die tatsächliche Feststellung der Vorinstanz, wonach es auf der Hand liege, dass die gegenüber dem Spital E._ geltend gemachten Schadenersatzansprüche Gegenstand des Telefongesprächs vom 6. Oktober 1999 gewesen seien, auch den Umstand erfasse, dass der bevollmächtigte Anwalt bereits beim Bezirksamt ein Schadensersatzbegehren eingereicht hatte, und dass das damit eingeleitete Verfahren dann sistiert worden war. Zu verlangen, dass die Vorinstanz dies im angefochtenen Entscheid auch ausdrücklich hätte erwähnen müssen, wäre überspitzter Formalismus. Ein Telefonanruf ohne Erörterung dieser Fragen hätte keinen Sinn gemacht, denn für ein blosses Begehren um Zustellung einer Kopie der IV-Anmeldung hätte ein kurzes Schreiben mit Beilage der Vollmacht genügt.
4.4.2. Aus dem Vermerk "verantwortl. Organe" in der Vollmacht sei auch klar ersichtlich, dass die Familie des Geschädigten gewillt war, Schadenersatzansprüche gegenüber dem Träger des Spitals geltend zu machen. Ohne diesen Willen wäre der Beizug eines Anwalts nicht erklärlich gewesen. Die Beschwerdeführerin wisse aber auch, dass Schadensersatzansprüche gegenüber einem Spital eine Verletzung der ärztlichen Sorgfaltspflicht voraussetzten. Das Datum der Vollmacht (13. November 1998) habe der Beschwerdeführerin gezeigt, dass der Anwalt der Familie des Geschädigten nicht erst am Anfang seiner Abklärungen stehe.
4.4.3. Der Vorwurf einer Verletzung der Verhandlungsmaxime gemäss <ref-law>/SG sei verfehlt. In der Berufungsantwort habe die Beschwerdegegnerin behauptet, die Rechtsanwältin der Familie habe beim Telefongespräch vom 6. Oktober 1999 auch auf die Geltendmachung von Schadenersatzansprüchen gegenüber dem Spital G._ [recte wohl E._] bzw. dessen Träger und/oder Organe hingewiesen. Wenn zusätzlich die Befragung der Rechtsanwältin als Zeugin beantragt wurde, sei es nicht erforderlich gewesen, in der Rechtsschrift weitere Details zum Inhalt des Gesprächs zu behaupten. Im st. gallischen Staatshaftungsrecht gelte der Verhandlungsgrundsatz nicht absolut. Gemäss den Erwägungen der Vorinstanz solle der Richter sein Ermessen zumindest dann zu tatbestandlichen Abklärungen und zur Beweisaufnahme ausüben, wenn die Unvollständigkeit der Tatsachenbehauptungen oder der Beweisanträge für ihn ohne weiteres erkennbar seien. Dies werde auch von der Beschwerdeführerin nicht beanstandet.
Die Beschwerdeführerin rüge deshalb zu Unrecht, das Kantonsgericht stelle nirgends fest, sie sei anlässlich des Telefonats vom 6. Oktober 1999 über den Inhalt des von der Familie des Geschädigten gestellten Schadensersatzbegehrens orientiert worden. Dieser Inhalt sei offensichtlich gewesen. Wäre der Nachweis des konkreten Inhalts des Telefongesprächs erforderlich gewesen, so hätte die Vorinstanz darüber gemäss dem Antrag der Beschwerdegegnerin die Rechtsanwältin der Familie als Zeugin befragen müssen; zu Recht habe sie dies aber als nicht erforderlich betrachtet.
4.4.4. Was als "Hinweise der Familie" zu verstehen sei, ergebe sich klar aus dem Zusammenhang der Ausführungen der Vorinstanz: Gemeint sei damit alles, was der Mitarbeiter der Beschwerdeführerin beim Telefongespräch mit der Rechtsanwältin der Familie erfahren habe und die Beschwerdeführerin aus der zugestellten Anwaltsvollmacht vom 13. November 1998 habe schliessen können.
4.4.5. Die Vorinstanz habe entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin nicht an Stelle der Annahme effektiver Kenntnis sich damit begnügt, dass die Beschwerdeführerin von den massgeblichen Umständen bei gehöriger Sorgfalt hätte Kenntnis erlangen können. Vielmehr habe sie festgehalten, dass ein weiteres Zuwarten nach dem 6./7. Oktober 1999 unter dem Gesichtspunkt des Fristbeginns nur hätte gerechtfertigt werden können, wenn die Beschwerdeführerin darauf weitere Abklärungen getroffen hätte. Überdies müssten der Beschwerdeführerin aufgrund ihres Fachwissens wenige detaillierte Informationen genügen, um eine Kenntnis der massgeblichen Umstände bejahen zu können, als bei einem medizinischen, versicherungsrechtlichen und haftpflichtrechtlichen Fragen unbewanderten Laien.
4.4.6. Schliesslich hebt die Beschwerdegegnerin hervor, dass das Bundesgericht einen Entscheid nur aufhebe, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar sei. Davon, dass das angefochtene Urteil im Ergebnis willkürlich wäre, könne bestimmt keine Rede sein.
5.
Die Vorinstanz hat massgeblich auf den unbestrittenen Umstand abgestellt, dass am 6. Oktober 1999 ein Telefongespräch zwischen der Rechtsanwältin der geschädigten Familie und Herrn D._ von der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen stattfand, und dass die Rechtsanwältin gleichentags die Sozialversicherungsanstalt schriftlich unter Bezugnahme auf das vorgängig geführte Telefonat und unter Beilegung eine Vollmacht mit dem Betreff "Spital E._/verantwortl. Organe" um Zusendung der IV-Anmeldung ersuchte. Die Vorinstanz hat daraus gefolgert, es liege auf der Hand, dass Gegenstand des Telefongesprächs die von der geschädigten Familie gegenüber dem Spital E._ geltend gemachten Schadensersatzansprüche gewesen sein. Sie liess indes den genauen Inhalt des Gesprächs offen und lehnte die von der Beschwerdegegnerin beantragte Zeugenbefragung ab, und zwar "auch", weil der Beschwerdeführerin spätestens mit Zugang der Vollmacht und deren Inhalt zufolge Zurechnung des Wissens der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen bekannt gewesen sei, dass die Familie des Geschädigten die Organe des Spitals für die ab Geburt des Sohnes aufgetretene Behinderung verantwortlich mache.
6.
Diese Tatsachenfeststellungen der Vorinstanz und die daraus gezogene rechtliche Schlussfolgerung halten einer Willkürprüfung nicht stand.
6.1. Die Beschwerdeführerin moniert zu Recht, dass die Vorinstanz keine tatsächlichen Feststellungen darüber getroffen hat, welche konkrete Umstände anlässlich des Telefongesprächs releviert wurden sein sollten, aufgrund derer die Beschwerdeführerin von einer haftungsbegründenden Sorgfaltswidrigkeit bei der Geburt hätte ausgehen müssen. Vielmehr brach die Vorinstanz ihren ersten Begründungsstrang ab und leitete mit dem Wort "auch" zum zweiten Begründungsstrang hinüber. Dieser erschöpft sich jedoch wiederum in der Feststellung, dass der Beschwerdeführerin aus dem Vorliegen der Anwaltsvollmacht der Familie mit Datum vom 13. November 1998 mit dem Betreff "Spital E._/verantwortl. Organe" zufolge Zurechnung des Wissens der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen bekannt gewesen sei, dass die Familie des Geschädigten die Organe des Spitals für die ab Geburt des Sohnes aufgetretene Behinderung verantwortlich mache. Auch diese Feststellung ergänzte die Vorinstanz nicht mit tatsächlichen Angaben zum konkreten Inhalt des Schadenersatzbegehrens, und namentlich zur Frage, weshalb die Beklagte verantwortlich gemacht werde. Zwar hält die Vorinstanz an anderer Stelle fest, dass dem Schadenersatzbegehren medizinische Vorabklärungen beigelegt worden seien, nicht jedoch, dass dieser Umstand der Sozialversicherungsanstalt im Laufe des Telefonats vom 6. Oktober 1999 tatsächlich zur Kenntnis gebracht worden sei; ebensowenig stellte sie fest, dass dieser konkrete Umstand im kantonalen Verfahren unbestritten behauptet worden wäre.
Aus dem blossen Umstand, dass die Familie des Geschädigten am 13. November 1998 einen Rechtsanwalt mit der Frage der Verantwortlichkeit des Spitals E._ mandatiert hat, lassen sich keine sicheren Schlüsse bezüglich der weiteren Mandatserfüllung ziehen, und der angefochtene Entscheid enthält keine Feststellungen darüber, worauf konkret sich solche Schlüsse hätten stützen sollen. Die Beschwerdegegnerin argumentiert zwar, aus dem Vermerk "verantwortl. Organe" in der Vollmacht sei klar ersichtlich, dass die Familie des Geschädigten gewillt gewesen sei, Schadensersatzansprüche gegenüber dem Träger des Spitals geltend zu machen, denn ohne diesen Willen wäre der Beizug eines Anwalts nicht erklärlich gewesen; damit unterstellt die Beschwerdegegnerin der Familie, bereits im Zeitpunkt der Mandatserteilung das Ergebnis der vorerst vorzunehmenden Klärung der Rechtslage vorwegzunehmen. Der angefochtene Entscheid enthält aber keine dahingehende Tatsachenfeststellung.
6.2. Die weiteren Vorbringen der Beschwerdegegnerin, welche darauf bauen, dass die Beschwerdeführerin aufgrund des Telefongesprächs vom 6. Oktober 1999 konkrete Kenntnisnahme der Schädigung erlangt haben soll, überzeugen nicht. Sie vermögen insbesondere nicht aufzuzeigen, dass die vorhin fehlend bezeichneten Tatsachenfeststellungen sich zufolge "Offensichtlichkeit" erübrigen würden oder aber sich aus dem "Zusammenhang" der vorinstanzlichen Ausführungen ergäben.
6.3. Der abschliessende Einwand der Beschwerdegegnerin, der angefochtene Entscheid erweise sich, wenn nicht in der Begründung, so doch im Ergebnis der Annahme des Eintritts der (relativen) Klageverwirkung, jedenfalls nicht als willkürlich, besteht aus appellatorischen Hinweisen, denen sich nicht entnehmen lässt, gestützt auf welche weitere Begründungselemente des angefochtenen Entscheid sich dieses Ergebnis willkürfrei ergäbe; solche sind auch nicht ersichtlich. In Ermangelung einer willkürfreien Feststellung der tatsächlichen Kenntnis von Schädiger und Schädigung konnte die Vorinstanz im vorliegenden Fall nicht ohne Willkür auf die Klageverwirkung als Ergebnis schliessen.
6.4. Bei dieser Sachlage kann offenbleiben, inwieweit die Feststellung der Vorinstanz, wonach die Beschwerdeführerin über ein Jahr vor der Klageeinreichung genügende Kenntnis vom Ausmass des Schadens gehabt habe, zutreffend ist.
Die Beschwerde ist daher gutzuheissen, der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache ist an die Vorinstanz zur Fortsetzung des Verfahrens und neuer Entscheidung zurückzuweisen.
7.
Diesem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der angefochtene Entscheid wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 12'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 14'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni