Faits:
A. La Banque N._, à Genève, a modifié sa raison sociale dès 1997 et elle s'appelle actuellement A._ Group SA. A._ Bank, à Zurich, est devenue sa filiale; celle-ci a une succursale à Genève.
Dès 1990, X._ a ouvert un compte auprès de la Banque N._ et il a alors souscrit divers documents, tels que les conditions générales de l'établissement et un acte de nantissement. Cette relation s'est poursuivie avec A._ Group SA (ci-après: A._ Group). Celle-ci a chargé A._ Bank, par sa succursale de Genève, d'assumer « l'administration » du compte. Le titulaire a souscrit en janvier 1998 un « mandat de représentation » en faveur de A._ Bank, pour habiliter celle-ci à le représenter auprès de A._ Group et à disposer de ses avoirs selon les instructions qu'il donnerait. Il n'existait aucun mandat de gestion du compte.
Le compte et ses sous-comptes en diverses monnaies furent utilisés pour des opérations à terme sur le marché des changes. Le titulaire téléphonait régulièrement à A._ Bank, à Genève, pour donner ses instructions. Selon les exigences de la banque, le découvert des opérations à terme ne devait pas excéder 90% de la valeur de l'ensemble des actifs déposés par le titulaire, nantis en faveur de A._ Group. Afin de contrôler le respect de la marge ainsi exigée, A._ Bank établissait plusieurs fois par semaine un tableau présentant les positions ouvertes, les risques correspondants et la marge qui subsistait. Quelques-uns de ces tableaux furent remis au titulaire, à sa demande expresse.
Par courriel du 9 janvier 2003, le titulaire fut averti d'un manque de marge s'élevant à 40'000 livres britanniques; on lui proposait d'y remédier en clôturant certaines positions. X._ prit d'autres dispositions pour reconstituer la marge. Il continua d'ordonner des opérations à terme qui furent exécutées par A._ Bank.
Au cours du mois de février 2003, A._ Bank fit état d'un manque de marge atteignant 100'000 livres. X._ contesta en avoir été averti dès le 14 février, selon ce qu'affirmaient ses interlocuteurs, et il fit valoir que ce manque était impossible car il avait très récemment rétabli une situation normale. Il accusa la banque de lui avoir fourni des informations erronées et trompeuses au sujet de la marge disponible, cela dès décembre 2002 déjà; sur cette base, il avait entrepris de nouvelles opérations et subi, de ce fait, des pertes substantielles. Il réclama des informations en vue d'établir son dommage. Il réclama en particulier, mais sans succès, les tableaux de calcul de marge relatifs à diverses dates en décembre 2002 et janvier 2003.
Par ailleurs, X._ réclama la documentation concernant deux cartes de crédit dont il était titulaire avec son épouse.
B. Le 21 mars 2005, devant le Tribunal de première instance du canton de Genève, X._ a introduit une demande de mesures provisionnelles contre A._ Bank, tendant à la remise de divers documents concernant son compte et les deux cartes de crédit. La partie citée a très partiellement acquiescé à cette requête; pour le surplus, le tribunal l'a rejetée par ordonnance du 7 avril 2005. La Cour de justice a confirmé cette décision le 7 juillet suivant. Le requérant était renvoyé à agir par voie de procédure ordinaire car son droit aux documents litigieux n'était ni évident ni reconnu.
C. Le 2 mai 2007, X._ a ouvert action contre A._ Bank devant le Tribunal de première instance; la défenderesse devait être condamnée, sous menace des peines de l'<ref-law> en cas d'insoumission, à remettre les documents ci-après:
C. Le 2 mai 2007, X._ a ouvert action contre A._ Bank devant le Tribunal de première instance; la défenderesse devait être condamnée, sous menace des peines de l'<ref-law> en cas d'insoumission, à remettre les documents ci-après:
... B. Copie de tous les relevés quotidiens, à partir du 1er décembre 2002 et jusqu'à fin mars 2003, de la position de marge du compte n° 99999, incluant le tableau montrant quotidiennement la liste détaillée des positions FX ouvertes avec les limites stop-loss individuelles correspondantes et la somme totale du risque pour les opérations de change de devises, ainsi que le tableau montrant la somme totale détaillée des engagements, face à la valeur de gage détaillée des actifs.
C. Copie du document officiel authentique d'évaluation mensuelle du compte n° 99999 émis à fin novembre 2002, fin décembre 2002, fin janvier 2003, fin février 2003 et fin mars 2003.
C. Copie du document officiel authentique d'évaluation mensuelle du compte n° 99999 émis à fin novembre 2002, fin décembre 2002, fin janvier 2003, fin février 2003 et fin mars 2003.
... G. Copie de tous les relevés de compte mensuels de la carte de crédit Visa du demandeur pour les dix dernières années.
... G. Copie de tous les relevés de compte mensuels de la carte de crédit Visa du demandeur pour les dix dernières années.
... Des conclusions subsidiaires étaient libellées comme suit:
Acheminer le demandeur à prouver par toutes voies de droit, notamment par la comparution personnelle des parties, l'audition de témoins et l'expertise, les faits allégués dans la présente demande sous chiffres 1 à 61.
La défenderesse a conclu, pour l'essentiel, au rejet de l'action.
Le tribunal s'est prononcé le 24 janvier 2008; il a partiellement accueilli l'action. Il n'a pas donné suite à l'offre de preuve du demandeur.
Celui-ci a appelé de ce jugement et la défenderesse a usé de l'appel incident. La Cour de justice n'a pas non plus donné suite à l'offre de preuve. Statuant le 5 décembre 2008, elle a réformé le jugement en ce sens que la défenderesse doit seulement, à l'exclusion de toute autre prestation, se procurer et remettre les relevés concernant la carte de crédit du demandeur, depuis 1997, contre remboursement de ses frais à raison de 50 euros par période semestrielle.
D. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de justice et de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision.
La défenderesse conclut au rejet du recours.

Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement final (<ref-law>), rendu en matière civile (<ref-law>) et en dernière instance cantonale (<ref-law>). Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (<ref-law>); il a ensuite saisi le Tribunal fédéral en temps utile (<ref-law>). La valeur litigieuse, évaluée par appréciation (<ref-law>), excède le minimum légal de 30'000 fr. (<ref-law>).
Selon la jurisprudence relative à l'<ref-law>, le mémoire introductif du recours au Tribunal fédéral doit comporter des conclusions portant sur le sort de la cause, et la partie recourante n'est en principe pas recevable à réclamer seulement l'annulation de la décision attaquée. Dans la présente affaire, le demandeur adopte ce dernier procédé. Or, celui-ci n'est admis que dans l'hypothèse où le Tribunal fédéral, en cas de succès du recours, ne pourrait de toute manière pas rendre un jugement final et devrait, au contraire, renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour complètement de l'état de fait et nouvelle décision selon l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3; voir aussi <ref-ruling> consid. 1 p. 436; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 188).
En tant que le demandeur reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas recueilli les témoignages offerts par lui, cette hypothèse particulière semble réalisée car il est d'emblée exclu que la cour de céans administre elle-même ces preuves. Pour le surplus, en tant que le demandeur présente aussi d'autres critiques, cette hypothèse n'est pas réalisée. Il n'est cependant pas nécessaire de statuer sur la recevabilité des conclusions tendant seulement à l'annulation de la décision attaquée, car, de toute manière, celle-ci résiste aux griefs élevés contre elle.
2. Le recours en matière civile est ouvert pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (<ref-law>). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 246; <ref-ruling> consid. 1.4.2). Le recours n'est pas recevable pour violation du droit cantonal, hormis les droits constitutionnels cantonaux (art. 95 let. c LTF) et certaines dispositions sans pertinence en matière civile (art. 95 let. d LTF).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>); en règle générale, les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont irrecevables (<ref-law>). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (<ref-law>). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
3. La Cour de justice retient que le demandeur a intenté une action en reddition de compte fondée sur l'<ref-law>. Au sujet des relevés quotidiens destinés au contrôle de la marge, réclamés à la défenderesse sous let. B des conclusions de la demande, la Cour se prononce comme suit:
Selon la doctrine et la jurisprudence, la banque n'est pas responsable à l'égard de son client pour les transactions qui nécessitent l'existence d'une marge, lorsqu'elle ne demande pas de marge ou qu'elle se contente d'une marge insuffisante. La marge a pour seul but de protéger la banque, soit de limiter les risques en cas d'insolvabilité du client. La banque est donc libre de renoncer à cet avantage [...]. Il ressort d'ailleurs de la documentation contractuelle produite que la fixation et le calcul des marges appliquées au compte [du demandeur] se faisaient de manière discrétionnaire par [la défenderesse], ce qui confirme que la marge n'était destinée qu'à protéger la banque [...].
En vertu du « mandat de représentation », [la défenderesse] devait transférer les ordres [du demandeur] à A._ Group et réceptionner les documents bancaires que A._ Group désirait faire parvenir à son client. Certes, [la défenderesse] a accepté de mettre à disposition [du défendeur] toute la documentation nécessaire pour reconstituer les opérations qu'il a ordonnées, notamment les relevés de compte et les avis de crédit et débit. Cela ne suffit toutefois pas pour retenir l'existence d'un accord particulier entre les parties, selon lequel [la défenderesse] se serait engagée à établir quotidiennement l'évolution de la marge et [à] informer [le défendeur] de tout dépassement de celle-ci. Les calculs de marge ont en effet été effectués par [la défenderesse] en sa qualité d'administratrice des comptes pour A._ Group. La Cour retient donc que c'est à bien plaire, avec l'accord et pour le compte de A._ Group, que [la défenderesse] a communiqué [au demandeur] le tableau de calcul de marge de son compte. L'argumentation contraire [du demandeur], développée pour la première fois en appel, doit être rejetée.
Sur la base du droit cantonal de procédure, la Cour a par ailleurs refusé d'entendre ou de faire entendre, en qualité de témoins, le sous-directeur et une collaboratrice de la succursale de Genève. A ce sujet, la Cour s'est exprimée comme suit:
En l'espèce, [le demandeur] n'a pas demandé l'audition de témoins en première instance et les faits au sujet desquels l'ouverture des enquêtes est sollicitée ne sont ni nouveaux, ni nouvellement connus par lui. Dans de telles circonstances, il n'y a pas lieu de donner suite à cette requête.
4. Le demandeur affirme qu'en première instance déjà, il a fait état d'un accord particulier ayant pour objet le contrôle quotidien de la marge, et offert la preuve par témoins. Invoquant l'art. 9 Cst., il reproche à la Cour de retenir arbitrairement qu'il n'a pas demandé l'audition de témoins en première instance. Il invoque aussi l'<ref-law>, relatif au fardeau de la preuve dans les actions soumises au droit civil fédéral, et l'art. 29 al. 2 Cst. concernant la garantie du droit d'être entendu en procédure judiciaire ou administrative.
Il est exact que, dans son mémoire introductif déposé le 2 mai 2007, le demandeur a allégué un accord particulier qui, prétendument, obligeait la défenderesse au contrôle quotidien de la marge; dans cette écriture, le demandeur a aussi pris, comme le prévoit l'<ref-law> gen., des conclusions relatives aux mesures probatoires. Cependant, aux termes de l'<ref-law> gen., l'enquête par témoins ne peut porter que sur des faits précis et concluants. Cette condition implique que l'allégué à prouver contienne toutes les précisions de temps, de lieux et de personnes qui sont nécessaires pour situer le fait dont on se prévaut; sinon, le droit à la preuve par témoins n'est pas reconnu (Bertossa/Gaillard/Guyet/Schmidt, Commentaire de la loi de procédure civile du canton de Genève, n° 1 ad <ref-law>). Or, le demandeur n'a pas précisé, dans le mémoire, si l'accord particulier était exprès ou tacite. Dans cette seconde éventualité, il n'a pas précisé quel comportement de quelles personnes, dotées du pouvoir de représenter la défenderesse, lui avait permis d'admettre de bonne foi, conformément au principe de la confiance déterminant dans l'interprétation des manifestations de volonté (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4 p. 27/28), que la marge serait chaque jour contrôlée non seulement dans l'intérêt et pour la protection de la banque, mais aussi dans son propre intérêt et pour l'avertir de l'évolution des risques encourus.
Au regard de cette situation, les précédents juges auraient pu retenir sans arbitraire que l'offre de preuve par témoins, articulée en première instance, ne satisfaisait pas aux exigences de l'<ref-law> gen. Dans son résultat sinon dans sa motivation (cf. <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148), le refus d'entendre les témoins échappe donc au grief tiré de l'art. 9 Cst. Pour le même motif, soit l'insuffisance de l'allégation au regard des dispositions cantonales de procédure, le refus d'entendre ou faire entendre les témoins est également compatible avec les <ref-law> (cf. ATF <ref-ruling> consid. 4a p. 317) et 29 al. 2 Cst. (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 157).
5. Le demandeur se prévaut aussi d'une lettre que la défenderesse a adressée à son conseil le 10 septembre 2003, alors que la relation des parties était déjà conflictuelle. Cet écrit contient le passage ci-après: « Nous sommes bien évidemment disposés, conformément à nos obligations contractuelles, à fournir à votre client et à vous-même toute la documentation nécessaire pour reconstituer les opérations que votre client a initiées (sic) ». Contrairement à l'argumentation soumise au Tribunal fédéral, on ne saurait retenir que la défenderesse ait alors promis, par cette déclaration, de remettre au demandeur aussi les relevés quotidiens destinés au contrôle de la marge. La lettre contient en effet une référence expresse aux obligations contractuelles, évidemment préexistantes, de la défenderesse, et celle-ci n'avait alors aucun motif de souscrire des engagements supplémentaires. Or, conformément au jugement de la Cour, la défenderesse ne s'était pas obligée à créer et remettre les relevés destinés au contrôle de la marge.
Le demandeur se prévaut encore d'un entretien téléphonique avec le sous-directeur de la succursale de Genève, le 2 mars 2003; selon ses affirmations, ce dernier lui a alors promis un envoi de documents comprenant les relevés destinés au contrôle de la marge. Compte tenu que le sous-directeur n'avait pas le pouvoir d'engager la défenderesse par sa signature individuelle, sa déclaration n'a pas pu engendrer, à la charge de cette partie, l'obligation correspondante. La juridiction cantonale pouvait donc, sans violer les <ref-law> et 29 al. 2 Cst., renoncer à entendre le ou les témoins qui auraient, selon le demandeur, confirmé cette déclaration.
6. La Cour de justice retient que la défenderesse n'est tenue, envers le demandeur, qu'à raison du « mandat de représentation » conclu avec lui en janvier 1998, et qu'elle n'a pas qualité pour défendre en tant que les prétentions en cause devraient être dirigées contre la société-mère A._ Group. Contrairement à l'opinion du demandeur, le moyen tiré du défaut de qualité pour défendre ne peut pas être jugé abusif, au regard de l'<ref-law>, simplement parce que précédemment, la défenderesse ne l'a pas soulevé pour s'opposer à la demande de mesures provisionnelles.
Le demandeur se plaint de n'avoir pas obtenu la « copie du document officiel authentique d'évaluation mensuelle du compte n° 99999 émis à fin novembre 2002 », selon let. C des conclusions de la demande. La Cour rejette cette prétention au motif que la défenderesse ne détient pas le document voulu et que l'établissement des relevés de compte incombait à A._ Group. Le demandeur se plaint d'arbitraire parce que la défenderesse lui a fourni deux évaluations différentes de son compte à la même date, respectivement établies le 4 mars et le 27 mai 2003; il juge choquant que le titulaire du compte « ne puisse pas savoir lequel des deux documents, voire un troisième, traduit la réalité de la situation ». Or, en fournissant ces évaluations, la défenderesse semble avoir exécuté son obligation de rendre compte selon l'<ref-law>; il est sans importance que par leur contenu, lesdites évaluations révèlent peut-être des défauts dans l'exécution d'autres obligations contractuelles de la défenderesse ou de sa société-mère. De toute manière, le demandeur ne conteste pas que l'obligation d'établir les relevés de compte n'incombait pas à la défenderesse mais à A._ Group.
7. Le recours se révèle privé de fondement, dans la mesure où les conclusions présentées sont recevables. A titre de partie qui succombe, son auteur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Le demandeur acquittera un émolument judiciaire de 6'000 francs.
3. Le demandeur versera, à titre de dépens, une indemnité de 7'000 fr. à la défenderesse.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 13 mai 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin