Sachverhalt:
A. Der Lenker eines Personenwagens mit dem deutschen Kennzeichen A._ überschritt am 4. März 2007 auf der Autobahn A1 in Oberbuchsiten die zulässige Höchstgeschwindigkeit von 120 km/h (nach Abzug der Sicherheitsmarge von 6 km/h) um 15 km/h. Halter des Fahrzeuges ist X._. Mit Übertretungsanzeige der Polizei des Kantons Solothurn vom 12. März 2007 wurde er gestützt auf Ziff. 303.3.c. Anhang 1 Ordnungsbussenverordnung vom 4. März 1996 (OBV; SR 741.031) mit einer Ordnungsbusse von Fr. 120.-- belegt. Nach unbenutzter Zahlungsfrist wurde das ordentliche Verfahren eingeleitet. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn bestrafte X._ gestützt auf die Anzeige der Polizei am 25. September 2007 mit einer Busse von Fr. 120.--. Ausserdem wurde ihm eine Staatsgebühr in der Höhe von Fr. 90.-- auferlegt. Nachdem X._ vorgebracht hatte, weder die Übertretungsanzeige vom 12. März 2007 noch eine Mahnung vom 10. Mai 2007 erhalten zu haben, hielt die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 24. Januar 2008 an der Busse, nicht jedoch an der auferlegten Staatsgebühr, fest. Gegen diese Verfügung erhob X._ Einsprache.
B. Mit Urteil des Amtsgerichtspräsidenten von Thal-Gäu vom 7. Juli 2008 wurde X._ der einfachen Verkehrsregelverletzung (<ref-law>) schuldig gesprochen und mit einer Busse von Fr. 120.-- bestraft. Eine dagegen erhobene Kassationsbeschwerde wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 8. Dezember 2008 ab.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 8. Dezember 2008 sowie das Urteil des Amtsgerichtspräsidenten von Thal-Gäu vom 7. Juli 2008 seien aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der Verkehrsregelverletzung freizusprechen.
D. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. Soweit der Beschwerdeführer die Aufhebung des Urteils des Amtsgerichtspräsidenten von Thal-Gäu vom 7. Juli 2008 verlangt, wendet er sich nicht gegen den letztinstanzlichen Entscheid. Auf die Beschwerde ist in diesem Punkt nicht einzutreten, denn Anfechtungsobjekt bildet einzig das kantonal letztinstanzliche Urteil der Vorinstanz vom 8. Dezember 2008 (<ref-law>).
2. Der Beschwerdeführer bestreitet, das Fahrzeug zum fraglichen Zeitpunkt gelenkt zu haben. Er wirft der Vorinstanz eine willkürliche Beweiswürdigung (<ref-law>) vor. Der Rückschluss von der Haltereigenschaft auf die Fahrereigenschaft sei willkürlich, da er am 2. Juli 2008 - und nicht erst mit der Kassationsbeschwerde - ein Foto aus einem amtlichen Dokument eingereicht habe, welches ihn zeige. Das Radarbild sei ungenau. Deshalb sei die Annahme der Vorinstanz willkürlich, wonach derjenige der Täter sei, der auf Grund eines Radarfotos nicht ausgeschlossen werden könne. Da er dem fotografierten Fahrzeugführer allenfalls ähnlich sei, hätte er als Täter ausgeschlossen werden müssen (Beschwerde S. 2).
3. Für die Vorinstanz bestehen keine ernsthafte Zweifel, dass der Beschwerdeführer am 4. März 2007 das Fahrzeug lenkte und die zulässige Höchstgeschwindigkeit überschritt. Die Vorinstanz hat erwogen, der Beschwerdeführer habe erstmals in der Kassationsbeschwerde begründet bestritten, das Fahrzeug zum fraglichen Zeitpunkt gelenkt zu haben. Zuvor (im erstinstanzlichen Verfahren) habe er mit Eingabe vom 2. Juli 2008 einen Ausweis mit seinem Foto in Kopie eingereicht, wobei er lediglich habe ausführen lassen, das Bild würde ihn zeigen. Er habe nicht geltend gemacht, den tatsächlichen Fahrzeuglenker nicht benennen zu können oder zu wollen. Der Eingabe vom 2. Juli 2008 sei zu entnehmen, dass der Vertreter des Beschwerdeführers eine Entscheidung im schriftlichen Verfahren beantragt und somit sinngemäss ein Dispensationsbegehren betreffend die erstinstanzliche Verhandlung gestellt habe. Daraus könne geschlossen werden, dass er seinen Standpunkt auch mündlich vor Gericht nicht näher habe darlegen wollen. Der Beschwerdeführer habe es somit damit bewenden lassen, seine Urheberschaft an der Überschreitung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit zu bestreiten, ohne die Schlussfolgerung auf seine Täterschaft auf Grund seiner Haltereigenschaft und des Umstands, dass er gestützt auf das Radarfoto nicht habe ausgeschlossen werden können, irgendwie zu entkräften (angefochtenes Urteil S. 5).
4. Betreffend die Beweiswürdigung ist die Kognition des Bundesgerichts auf Willkür im Sinne von <ref-law> beschränkt. Nach der bundesgerichtlichen Praxis liegt Willkür vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148 mit Hinweisen).
5. Der Beschwerdeführer legt nicht ausreichend dar, inwiefern die Erwägungen im vorinstanzlichen Urteil willkürlich und der angefochtene Entscheid (auch) im Ergebnis verfassungswidrig sein sollten. Seine Ausführungen erschöpfen sich weitgehend in einer appellatorischen Kritik, was unzulässig ist. Auf die entsprechenden Rügen ist nicht einzutreten. Die Vorinstanz hat angenommen, dass der Beschwerdeführer die fragliche Verkehrsregelverletzung begangen hat. Sie hat sich - unter Hinweis auf den erstinstanzlichen Entscheid - auf die Haltereigenschaft des Beschwerdeführers und die Radarfotos gestützt sowie den Umstand berücksichtigt, dass der Beschwerdeführer sich darauf beschränkte, seine Täterschaft zu bestreiten. Dabei hat die Vorinstanz nicht verkannt, dass die Haltereigenschaft nur ein Indiz für die Täterschaft darstellt (angefochtenes Urteil S. 4 f.; Urteil 1P.641/2000 vom 24. April 2001 E. 4, in: Pra 90/2001 Nr. 110 S. 639 und RUDH 2001 p. 115; Urteil 1P.428/2003 vom 8. April 2004 E. 4.6.1). Auch übersah sie nicht, dass die Radarfotos nicht deutlich genug sind, um darauf Gesichtszüge unterscheiden zu können. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz den Beweis seiner Täterschaft nicht allein deshalb als erbracht angesehen, weil er auf Grund der Radarbilder nicht als Täter habe ausgeschlossen werden können. Vielmehr hat die Vorinstanz festgehalten, der Beschwerdeführer habe bestritten, die zulässige Höchstgeschwindigkeit überschritten zu haben, ohne den Rückschluss auf seine Urheberschaft auf Grund seiner Haltereigenschaft und der Tatsache, dass die Radaraufnahmen ihn nicht ausschliessen würden, irgendwie zu entkräften. Die Vorinstanz hat somit aus den Radarfotos keinen positiven Beweis abgeleitet, sondern festgehalten, dass ihn diese als möglichen Täter nicht entlasten würden. Das ist nicht zu beanstanden. Soweit der Beschwerdeführer sinngemäss vorbringt, ein Vergleich der Radarfotos mit dem von ihm eingereichten Bild hätte ihn als Fahrzeuglenker ausschliessen müssen, erschöpfen sich seine Ausführungen in der Wiedergabe seiner eigenen Sicht der Dinge, und sie vermögen keine Willkür zu begründen. Inwiefern die Vorinstanz die Radarbilder und das eingereichte Foto willkürlich gewürdigt hätte, ist nicht ersichtlich. Im Übrigen sind die Ausführungen des Beschwerdeführers widersprüchlich, soweit er vorbringt, er hätte allein gestützt auf die Bilder als Täter ausgeschlossen werden müssen, und gleichzeitig festhält, die Radarfotos seien ungenau. Nachdem keine Anhaltspunkte vorliegen, dass das Fahrzeug am fraglichen Tag von einer Drittperson benutzt wurde, durfte die Vorinstanz, ohne in Willkür zu verfallen, seine Täterschaft als ausreichend indiziert qualifizieren.
6. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Mai 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Faga