Sachverhalt:
A.
Der kubanische Staatsangehörige A.A._ (geb. 1968) reiste Ende 1998 in die Schweiz ein und heiratete im März 1999 die hier niedergelassene chilenische Staatsangehörige B.A._, worauf ihm zunächst die Aufenthalts- und im März 2004 die Niederlassungsbewilligung erteilt wurde. Am 6. November 2000 ging aus der Ehe der Sohn C.A._ hervor. Im November 2004 erhielten B.A._ und C.A._ das Schweizer Bürgerrecht.
B.
Mit Strafbefehl der Bezirksanwaltschaft Zürich vom 20. Oktober 2004 wurde A.A._ wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand sowie Verletzung von Verkehrsregeln zu einer bedingten Gefängnisstrafe von zwei Monaten und einer Busse von Fr. 300.-- verurteilt, unter Ansetzung einer Probezeit von drei Jahren. Aufgrund dieser Verurteilung wurde A.A._ am 17. November 2004 fremdenpolizeilich verwarnt. Mit Urteil vom 5. März 2008 sprach das Bezirksgericht Zürich A.A._ der Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz schuldig und verurteilte ihn (unter Einbezug der am 20. Oktober 2004 ausgefällten bedingten Strafe) zu einer Gesamtstrafe von drei Jahren, wobei der Vollzug im Umfang von 18 Monaten aufgeschoben wurde (bei einer Probezeit von drei Jahren).
In der Folge widerrief das Migrationsamt des Kantons Zürich A.A._ mit Verfügung vom 21. Juli 2008 die Niederlassungsbewilligung und ordnete an, er habe das schweizerische Staatsgebiet unverzüglich nach Entlassung aus dem Strafvollzug zu verlassen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde gegen den abschlägigen Rekursentscheid des Regierungsrats des Kantons Zürich mit Entscheid vom 20. Mai 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 2C_515/2009 vom 27. Januar 2010 ab.
C.
A.A._ machte daraufhin Vollzugshindernisse gegen seine Wegweisung geltend, da er als Auswanderer nach kubanischer Gesetzgebung nicht mehr zur ständigen Wohnsitznahme in seiner kubanischen Heimat berechtigt sei. Mit Urteil C-6436/2010 vom 23. Dezember 2013 erachtete das Bundesverwaltungsgericht den Wegweisungsvollzug als durchführbar und lehnte eine vorläufige Aufnahme letztinstanzlich ab.
D.
Mit Gesuch vom 27. Januar 2014 ersuchte A.A._ das Migrationsamt um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, wobei er vorbrachte, sich bei der kubanischen Botschaft in Bern erfolglos um ein Gesuchsformular für die definitive Wiedereinreise nach Kuba bemüht zu haben. Das Migrationsamt wies das Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung mit Verfügung vom 17. Juni 2014 ab und trat auf das Ersuchen, ein Gesuchsformular für die definitive Wiedereinreise nach Kuba auf dem Amtsweg einzuholen, nicht ein. Eine Beschwerde bei der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich blieb erfolglos (Entscheid vom 21. November 2014). Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 11. März 2015 ab.
E.
Am 13. Mai 2015 erhebt A.A._ Beschwerde beim Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Eventualiter sei das Gesuchsformular zur Wiedereinreise zwecks erneuter Wohnsitzaufnahme in Kuba bei der kubanischen Botschaft auf dem Amtsweg einzuholen.
Während die Sicherheitsdirektion explizit auf eine Vernehmlassung verzichtet hat, beantragt das Verwaltungsgericht die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Staatssekretariat für Migration schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde. Das Migrationsamt hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, der grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (vgl. <ref-law>, <ref-law>, <ref-law>). Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide betreffend ausländerrechtliche Bewilligungen nur zulässig, wenn das Bundesrecht oder das Völkerrecht einen Anspruch auf die Bewilligung einräumt (<ref-law> e contrario). Für das Eintreten genügt, wenn die betroffene Person in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein solcher Anspruch besteht (<ref-ruling> E. 2.5 S. 315 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f.; <ref-ruling> E. 1.1.5 S. 149 f.). Der Beschwerdeführer wohnt zusammen mit seiner Schweizer Ehegattin und seinem Sohn, der ebenfalls das Schweizer Bürgerrecht besitzt. Er kann sich daher grundsätzlich auf einen Anspruch auf Erteilung der Aufenthaltsbewilligung berufen (Art. 42 Abs. 1 AuG [SR 142.20]). Zudem beruft er sich auf das Recht auf Familienleben nach Art. 8 EMRK und <ref-law>. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (vgl. Art. 42 und 100 Abs. 1 BGG) des nach <ref-law> legitimierten Beschwerdeführers ist - mit nachstehender Einschränkung (E. 3.4) - einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Die Beschwerde ist dabei hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen, und der blosse Verweis auf Ausführungen in andern Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 3.2 S. 400 f.). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 116 f.). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.
2.1. Die Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers wurde gestützt auf Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. b AuG rechtskräftig widerrufen (vgl. Urteil 2C_515/2009 vom 27. Januar 2010). Dieser Entscheid könnte nur durch Revision des bundesgerichtlichen Urteils aufgehoben werden (<ref-law>). Ein solches Gesuch hat der Beschwerdeführer nicht gestellt.
Mit letztinstanzlichem Urteil C-6436/2010 vom 23. Dezember 2013 beurteilte das Bundesverwaltungsgericht den Vollzug der Wegweisung des Beschwerdeführers weder als unmöglich noch als unzumutbar im Sinne von Art. 83 Abs. 2 und 4 AuG. Die beantragte vorläufige Aufnahme wurde ihm folglich rechtskräftig verweigert.
2.2. Der Widerruf einer Niederlassungsbewilligung beendet eine bisher bestehende Aufenthaltsberechtigung; er wirkt damit pro futuro, indem ab der Rechtskraft des Entscheids die Bewilligung nicht mehr besteht und damit (abgesehen von einem bewilligungsfreien Aufenthalt gemäss Art. 10 Abs. 1 AuG) der Aufenthalt in der Schweiz nicht mehr zulässig ist. In der Folge kann grundsätzlich jederzeit ein neues Bewilligungsgesuch eingereicht werden. Wird dieses bewilligt, so lebt damit nicht die frühere, rechtskräftig aufgehobene Bewilligung wieder auf, sondern es handelt sich um eine neue Bewilligung, die voraussetzt, dass im Zeitpunkt ihrer Erteilung die geltenden Bewilligungsvoraussetzungen erfüllt sind. Das Einreichen eines neuen Gesuchs darf jedoch nicht dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder infrage zu stellen. Die Verwaltungsbehörde ist von Verfassungs wegen verpflichtet, auf ein neues Gesuch einzutreten, wenn die Umstände sich seit dem ersten Entscheid wesentlich geändert haben oder wenn der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung dazu bestand (BGE <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2.1 S. 181 f.; Urteile 2C_644/2014 vom 9. Februar 2015 E. 1.3; 2C_1224/2014 vom 12. Dezember 2014 E. 4.2; 2C_876/2013 vom 18. November 2013 E. 3.1).
2.3. Eine strafrechtliche Verurteilung verunmöglicht die Erteilung einer (neuen) Aufenthaltsbewilligung nicht zwingend ein für allemal. Soweit der Ausländer, gegen den Entfernungsmassnahmen ergriffen wurden, nach wie vor einen Rechtsanspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung besitzt und es seinen hier anwesenden nahen Angehörigen nicht zumutbar ist, ihm ins Heimatland zu folgen und dort das Familienleben zu pflegen, kann eine Neubeurteilung angezeigt sein, wenn sich der Betroffene seit der Verurteilung bzw. Strafverbüssung bewährt und er sich über eine angemessene Dauer in seiner Heimat klaglos verhalten hat, so dass eine Integration in die hiesigen Verhältnisse absehbar und eine allfällige Rückfallgefahr vernachlässigbar erscheint (<ref-ruling> E. 5 S. 504; Urteile 2C_956/2014 vom 21. August 2015 E. 3.1.1; 2C_1170/2012 vom 24. Mai 2013 E. 3.3; je mit Hinweisen).
Für die Bemessung dieser ausländerrechtlichen Bewährungsfrist wird mangels einer ausdrücklichen gesetzlichen Regelung praxisgemäss an die Regelhöchstdauer des Einreiseverbots von fünf Jahren (vgl. Art. 67 Abs. 3 AuG) angeknüpft. Hat sich der Betroffene während fünf Jahren im Ausland bewährt, ist es regelmässig angezeigt, den Anspruch auf Familiennachzug neu zu prüfen. Das schliesst eine frühere Prüfung nicht aus, soweit das Einreiseverbot von Beginn an unter fünf Jahren angesetzt ist oder eine Änderung der Sachlage eintritt, die derart ins Gewicht fällt, dass ein anderes Ergebnis ernstlich in Betracht fällt (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 181 f.; Urteile 2C_1224/2013 vom 12. Dezember 2014 E. 5.1.2; 2C_1170/2012 vom 24. Mai 2013 E. 3.4.1 f.). Ein Anspruch auf eine erneute Prüfung besteht allerdings nur, wenn der Betroffene die Schweiz tatsächlich verlassen hat, nachdem der Widerruf seiner Bewilligung oder deren Nichtverlängerung in Rechtskraft erwachsen ist (Urteile 2C_956/2014 vom 21. August 2015 E. 3.1.2; 2C_1224/2013 vom 12. Dezember 2014 E. 5.1.2).
2.4. Vorliegend hat sich der Beschwerdeführer seit dem rechtskräftigen Widerruf seiner Niederlassungsbewilligung, soweit bekannt, bewährt, doch hat er die Schweiz nach jenem Verfahren nicht verlassen. Aus der zitierten Rechtsprechung vermag er daher nichts zu seinen Gunsten abzuleiten (vgl. Urteil 2C_1163/2013 vom 8. August 2014 E. 5.2). Die Vorinstanz ging daher zu Recht davon aus, dass ein Anspruch auf Neubeurteilung nur zu bejahen ist, wenn sich die Rechts- oder Sachlage seit dem Widerruf der Niederlassungsbewilligung wesentlich geändert haben.
3.
3.1. Wie schon die Vorinstanz festgestellt hat, stellen weder der Umstand, dass der Beschwerdeführer nach eigenem Bekunden zu keinen Klagen Anlass gegeben hat, noch dass er seine Beziehung zu seinem Sohn und seiner Ehefrau weiterpflegt, eine relevante neue Tatsache dar. Des Weiteren ist in der Zwischenzeit keine grundsätzliche Rechtsprechungsänderung erfolgt, die eine Neubeurteilung der Sachlage rechtfertigen würde. Die entsprechende Rüge des Beschwerdeführers verweist im Wesentlichen auf seine Eingaben im vorinstanzlichen Verfahren, ohne sich im Einzelnen mit den Ausführungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen. Worin die Praxisänderung liegen und inwiefern die Vorinstanz Recht verletzt haben soll, legt er aber nicht dar. Es braucht daher nicht weiter hierauf eingegangen zu werden (vgl. <ref-law>; vorne E. 1.2).
3.2. Auch dem vom Beschwerdeführer angeführten Übereinkommen vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107) lässt sich zu seinen Gunsten nichts weiter ableiten. Zwar handelt es sich bei der vorrangigen Berücksichtigung des Kindeswohls praxisgemäss um einen Leitgedanken bzw. eine Interpretationsmaxime, die bei Erlass und Auslegung des Gesetzes zu beachten sind. So trägt das Bundesgericht der Kinderrechtskonvention im migrationsrechtlichen Zusammenhang im Rahmen der Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK als einem Element unter anderen Rechnung (Urteile 2C_648/2014 vom 6. Juli 2015 E. 2.3; 2C_851/2014 vom 24. April 2015 E. 4.2; je mit Hinweisen). Aus der Kinderrechtskonvention ergibt sich aber weder ein direkter Anspruch auf Erteilung einer ausländerrechtlichen Bewilligung noch auf Familienzusammenführung (<ref-ruling> E. 3b S. 367; <ref-ruling> E. 5d S. 390 ff.; Urteil 2C_648/2014 vom 6. Juli 2015 E. 2.3). Dem Kindeswohl wurde bereits in der Interessenabwägung im Verfahren betreffend den Widerruf der Niederlassungsbewilligung gebührend Rechnung getragen (vgl. Urteil 2C_515/2009 vom 27. Januar 2010 E. 3.3).
3.3. Der Beschwerdeführer bringt vor, die kubanische Botschaft weigere sich, ihm ein Gesuchsformular für die Wiedereinreise nach Kuba auszuhändigen, da eine solche von vornherein aussichtslos sei. Auch gelinge es ihm nicht, eine weitergehende Bestätigung der Botschaft als die bereits eingereichte erhältlich zu machen. Hierzu ist Folgendes festzuhalten: Das Bundesgericht hatte sich bereits in früheren Urteilen mit der kubanischen Regelung betreffend Aus- bzw. Rückreise seiner Staatsbürger zu befassen. Die dem Urteil 2C_13/2012 vom 8. Januar 2013 zugrunde liegende kubanische Rechtslage wurde indessen mit Wirkung ab 14. Januar 2013 geändert. Im Urteil 2C_248/2014 vom 4. Dezember 2014 führte das Bundesgericht dazu unter Verweis auf eine Stellungnahme des Bundesamtes für Migration aus, die neue Gesetzgebung beinhalte die Möglichkeit der definitiven Rückkehr nach Kuba für alle kubanischen Staatsangehörigen im Ausland, unabhängig von der Dauer ihres bisherigen Auslandaufenthalts, vom Rechtsstatus im Aufenthaltsstaat und von ihrem bisherigen "Auslandsstatus" nach kubanischem Recht. Auch Personen mit Status als Emigrant sei es grundsätzlich möglich, jederzeit definitiv nach Kuba zurückzukehren. Es bestehe zwar kein Rechtsanspruch auf eine Bewilligung; eine entsprechende Gesuchstellung sei aber ausdrücklich zulässig und die Praxis bleibe abzuwarten (Urteil 2C_248/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 3.4.1).
3.4. Den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz resp. des Bundesverwaltungsgerichts (Urteil C-6436/2010 vom 23. Dezember 2013) zufolge hat der Beschwerdeführer kein Gesuch um Bewilligung der definitiven Rückkehr nach Kuba gestellt. Ob ihm eine definitive Rückkehr erlaubt worden wäre, stehe nicht fest und könne nicht abschliessend beurteilt werden. Im Hinblick auf die von den kubanischen Behörden verabschiedeten Lockerungen der entsprechenden Bestimmungen könne ein solches Gesuch zumindest nicht als aussichtslos bezeichnet werden. Damit ist der Beschwerdeführer - wie schon die Vorinstanz und das Bundesverwaltungsgericht richtig festgestellt haben - seiner Mitwirkungspflicht (vgl. Art. 90 AuG) nicht genügend nachgekommen und hat den Nachweis nicht erbracht, dass eine freiwillige Rückkehr nach Kuba nicht möglich ist. Die Unmöglichkeit der Rückkehr erweist sich somit nicht als erstellt und die Vorinstanz durfte davon ausgehen, dass der ausstehende Wegweisungsvollzug (auch) durch den Beschwerdeführer zu vertreten war. Auf den Eventualantrag, von Amtes wegen ein Gesuchsformular bei der kubanischen Botschaft einzuholen, ist - mangels Rechtsanspruchs - nicht einzutreten.
3.5. Nach dem Gesagten liegt weder eine wesentliche Änderung der Sach- noch der Rechtslage vor. Die Vorinstanz kam folglich zu Recht zum Schluss, dass der Aufenthaltsstatus des Beschwerdeführers nicht neu zu überprüfen ist. Auf die Ausführungen des Beschwerdeführers in der Beschwerdeschrift, die sich weitgehend auf eine neuerliche Interessenabwägung beziehen, ist daher nicht weiter einzugehen. Es erweist sich damit auch nicht als nötig, im vorliegenden Verfahren den Sohn des Beschwerdeführers als Zeugen anzuhören; der entsprechende Antrag ist abzuweisen.
3.6. Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65, Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werde n dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich 2. Abteilung und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Dezember 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Fuchs