Faits:
A. Le 8 décembre 2004, A._ SA, à Genève, a vendu à X._ une voiture de marque Mercedes-Benz, modèle CL 600, mise en circulation le 10 novembre 2003 et dont le compteur affichait un peu plus de 20'000 kilomètres. Le prix a été fixé à 191'300 fr. Le contrat excluait toute garantie de la part du vendeur. Un «carnet de maintenance avec MobiloLife Mercedes-Benz», délivré par DaimlerChrysler AG, à Stuttgart (Allemagne), accompagnait le véhicule d'occasion; le service «MobiloLife» offre notamment une assistance en cas de panne ou de problème de démarrage, le remorquage jusqu'à l'atelier Mercedes-Benz le plus proche et une voiture de remplacement pendant une durée de réparation de cinq jours au maximum. Par ailleurs, la voiture était garantie, sous l'appellation Mercedes-Swiss-Integral MSI, jusqu'à 100'000 kilomètres ou durant trois ans par DaimlerChrysler Schweiz AG, à Schlieren, importateur pour la Suisse des véhicules de marque Mercedes-Benz.
Assez rapidement, X._ s'est plaint de défauts, en particulier de vibrations, auprès du concessionnaire Mercedes-Benz, à Genève. En juillet 2005, il s'est adressé au service après-vente de DaimlerChrysler Schweiz AG qui, après avoir testé la voiture, a contesté tout problème technique.
B. Le 9 juin 2006, X._ a introduit devant le Tribunal de première instance du canton de Genève, lieu de son domicile, une action en garantie contre DaimlerChrysler Schweiz AG et contre DaimlerChrysler AG, ainsi qu'une action en paiement dirigée uniquement contre la première citée. D'une part, ses conclusions tendaient à ce que les défenderesses soient condamnées à réparer les défauts du véhicule, plus précisément le problème de vibration, le bruit d'air du côté conducteur et le défaut de la pompe de direction ou, pour le cas où les défauts ne seraient pas réparables, à ce qu'elles soient condamnées à lui livrer un véhicule de remplacement du même modèle ou, en cas d'impossibilité, d'un modèle équivalent. D'autre part, le demandeur concluait à ce que DaimlerChrysler Schweiz AG soit condamnée à lui verser les sommes de 736 fr. et de 6'548 fr. 25 à titre de dommages-intérêts, ainsi qu'à procéder à un nettoyage complet du véhicule et à réparer les jantes.
DaimlerChrysler Schweiz AG et DaimlerChrysler AG ont soulevé une exception d'incompétence à raison du lieu.
Par jugement du 21 décembre 2006, le tribunal a fait droit à l'exception et déclaré la demande irrecevable.
Statuant le 14 septembre 2007 sur appel de X._, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance.
C. X._ interjette un recours en matière civile. Il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et à ce que les tribunaux genevois soient déclarés «compétents pour recevoir la demande en paiement dirigée (...) contre DaimlerChrysler Schweiz AG et DaimlerChrysler AG.»
Le 19 octobre 2007, DaimlerChrysler AG a changé sa raison sociale en Daimler AG. Le 21 décembre 2007, DaimlerChrysler Schweiz AG a changé la sienne en Mercedes-Benz Suisse SA.
Mercedes-Benz Suisse SA (l'intimée 1) et Daimler AG (l'intimée 2) proposent le rejet du recours.

Considérant en droit:
1. 1.1 La Cour de justice a confirmé l'incompétence des tribunaux genevois et, partant, l'irrecevabilité de la demande. Ce faisant, elle a rendu une décision mettant fin à la procédure, soit une décision finale au sens de l'<ref-law>. Au surplus, l'arrêt attaqué a été rendu en matière civile (<ref-law>) par l'autorité judiciaire cantonale supérieure statuant en dernière instance cantonale (<ref-law>).
1.2 Le recours en matière civile n'est en principe ouvert que si la valeur litigieuse minimale fixée par la loi, en l'espèce 30'000 fr., est atteinte (<ref-law>). C'est le montant encore litigieux devant la dernière instance cantonale qui est déterminant (<ref-law>). L'autorité cantonale de dernière instance doit mentionner la valeur litigieuse dans son arrêt (art. 112 al. 1 let. d LTF). Néanmoins, si les conclusions ne tendent pas au paiement d'une somme d'argent déterminée, le Tribunal fédéral fixe la valeur litigieuse selon son appréciation (<ref-law>), comme sous l'ancien droit (art. 36 al. 2 OJ; cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, in FF 2001, ch. 4.1.2.6 in fine, p. 4099). Le Tribunal fédéral n'est ainsi lié ni par l'estimation de la partie recourante ou un accord des parties (cf. <ref-ruling> consid. 1c/ee p. 495), ni par une estimation manifestement erronée de l'autorité cantonale.
En l'espèce, la Chambre civile a mentionné que la valeur litigieuse était supérieure ou égale à 30'000 fr. Les parties n'élèvent aucune objection sur ce point. En l'état, il n'est guère possible d'estimer le coût de la réparation des défauts allégués. Il n'est pas possible non plus d'estimer la différence de valeur entre le véhicule acheté et un éventuel véhicule de remplacement. Le montant retenu par la cour cantonale n'apparaît pas insoutenable de sorte qu'il y a lieu d'admettre que la valeur litigieuse s'élève à 30'000 fr. au moins. Le recours en matière civile est recevable à cet égard.
1.3 Au surplus, interjeté par la partie qui n'a pas obtenu gain de cause (<ref-law>), le recours est recevable puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
2. Le recourant conclut à ce que les tribunaux genevois soient déclarés compétents pour recevoir «la demande en paiement» dirigée contre les intimées. A prendre cette conclusion au mot, le recourant ne s'attaque qu'au sort réservé à l'action en paiement, introduite contre l'intimée 1 uniquement, et ne remet pas en cause l'irrecevabilité de la demande en garantie. Néanmoins, le recours est dirigé contre l'arrêt rendu en faveur des deux intimées. Il ressort en outre clairement des motifs du mémoire que le recourant critique également l'irrecevabilité de la demande en garantie. Il n'y a dès lors pas lieu de s'arrêter au libellé des conclusions dont le vrai sens n'a, du reste, pas échappé aux intimées.
3. Le recourant se plaint d'une violation de la Convention de Lugano du 16 septembre 1988 concernant la compétence judiciaire et l'exécution des décisions en matière civile et commerciale (Convention de Lugano ou CL; RS 0.275.11). Il fait valoir que les tribunaux genevois sont compétents pour connaître de son action contre l'intimée 2 sur la base de l'<ref-law> en liaison avec l'<ref-law>, qu'il interprète à la lumière de la jurisprudence rendue à propos de l'<ref-law>.
3.1 La Convention de Lugano est entrée en vigueur le 1er janvier 1992 pour la Suisse et le 1er mars 1995 pour l'Allemagne. Aux termes de l'<ref-law>, les personnes domiciliées ou ayant leur siège sur le territoire d'un État contractant sont en principe attraites devant les juridictions de cet État. Il y a toutefois des exceptions à la règle.
La section 2 de la Convention de Lugano (art. 5 ss) prévoit des compétences spéciales. Dans certains cas, le défendeur domicilié sur le territoire d'un État contractant peut être attrait dans un autre État contractant; c'est notamment le cas en matière contractuelle (<ref-law>).
La section 4 de la Convention de Lugano (art. 13 ss) règle la compétence en matière de contrats conclus par les consommateurs. Le contrat conclu par un consommateur est celui passé par une personne pour un usage pouvant être considéré comme étranger à son activité professionnelle (<ref-law>). Lorsqu'un litige survient en rapport avec l'un des contrats énumérés à l'art. 13 al. 1 ch. 1, 2 ou 3 CL, la compétence est déterminée par la section 4, sans préjudice des art. 4 et 5 ch. 5 CL, ce qui donne en particulier au consommateur la possibilité d'ouvrir action devant les tribunaux de l'État contractant sur le territoire duquel il est domicilié (<ref-law>). L'un des contrats concernés est celui ayant pour objet une fourniture de services ou d'objets mobiliers corporels si sa conclusion a été précédée dans l'État du domicile du consommateur d'une proposition spécialement faite ou d'une publicité et que le consommateur a accompli dans cet État les actes nécessaires à la conclusion du contrat (art. 13 al. 1 ch. 3 let. a et b CL).
3.2 En l'espèce, la Chambre civile a constaté que cinq contrats étaient en jeu, passés respectivement entre le fabricant et l'importateur suisse de la voiture, entre l'importateur et le vendeur initial du véhicule, entre ce vendeur et le premier acheteur, entre ce dernier et A._ SA, enfin entre le recourant et A._ SA, qui a vendu le véhicule d'occasion sans cession de garantie et dont il n'est pas allégué qu'elle est une agence Mercedes-Benz. Pour la cour cantonale, il n'y a ainsi pas de lien contractuel direct entre le recourant et l'intimée 2, mais une «chaîne» de contrats, qui ne donne pas lieu à l'application des <ref-law>.
Le recourant objecte pour l'essentiel que la garantie d'usine ou garantie-clients donnée par l'intimée 2, par laquelle elle s'oblige à réparer les véhicules défectueux, est un contrat sui generis unilatéral, passé avec tout acquéreur d'un véhicule fabriqué par elle. En communiquant la garantie rattachée à la voiture, l'intimée 2 se serait librement engagée, à l'égard de tout acquéreur, à respecter les obligations découlant de ladite garantie. Le recourant en déduit qu'il s'agit d'un litige en matière de contrat au sens de l'<ref-law>.
3.3 Afin de garantir une jurisprudence cohérente, l'art. 1 du Protocole no 2 sur l'interprétation uniforme de la Convention de Lugano (RS 0.275.11) prévoit que les tribunaux de chaque État contractant tiennent compte des principes définis par toute décision pertinente rendue par les tribunaux des autres États contractants concernant des dispositions de la convention. En raison de l'étroite parenté existant entre la Convention de Lugano et la Convention de Bruxelles du 27 septembre 1968, l'art. 2 du Protocole n° 2 institue par ailleurs un système d'échange d'informations portant également sur les décisions rendues par la Cour de justice des Communautés européennes (CJCE) en application de la Convention de Bruxelles. Du reste, dans une déclaration des représentants des Gouvernements de l'Association Européenne de Libre-Échange (AELE) signataires de la Convention de Lugano, ces États ont considéré approprié que leurs tribunaux, en interprétant la Convention de Lugano, tiennent compte des principes contenus dans la jurisprudence de la CJCE et des tribunaux des Etats membres des Communautés européennes relative à la Convention de Bruxelles (<ref-ruling> consid. 4; <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 631; <ref-ruling> consid. 6c p. 394/395; cf. Kathrin Klett, Die bundesgerichtliche Rechtsprechung zum Lugano-Übereinkommen, in La Convenzione di Lugano nella pratica forense e nel suo divenire, Bâle 2004, p. 160).
3.4 La réglementation des <ref-law> est exclusive pour les litiges se rapportant aux contrats conclus par les consommateurs. En particulier, les art. 2 et 5 CL ne s'appliquent pas, à l'exception des dispositions auxquelles il est renvoyé expressément (Jan Kropholler, Europäisches Zivilprozessrecht, 8e éd., Francfort 2005, n. 1 ad remarques préliminaires ad art. 8; Geimer/Schütze, Europäisches Zivilverfahrensrecht, 2e éd., Munich 2004, n. 3 ad art. 15; Hélène Gaudemet-Tallon, Compétence et exécution des jugements en Europe, 3e éd., Paris 2002, n. 264, p. 214).
En l'espèce, il n'est pas contesté que le recourant est un consommateur au sens de l'<ref-law>.
3.5 L'<ref-law> comprend la formule «en matière de contrat». Pour sa part, l'<ref-law> contient les termes «en matière contractuelle». Selon la jurisprudence de la CJCE, ces notions doivent être interprétées de façon autonome, en se référant principalement au système et aux objectifs de la convention, en vue d'assurer l'application uniforme de celle-ci dans tous les États contractants (arrêt du 20 janvier 2005 dans l'affaire C-27/02, Petra Engler c. Janus Versand GmbH, Rec. 2005, I-481, point 33 et les arrêts cités; cf. également <ref-ruling> consid. 3a). La «matière contractuelle» réservée par l'<ref-law> suppose un engagement librement assumé d'une partie envers une autre, même s'il n'y a pas conclusion d'un contrat (arrêt Engler précité, points 45 et 50); elle est interprétée de manière large (même arrêt, point 48; Yves Donzallaz, La Convention de Lugano, vol. III, n. 4420 ss, n. 4531). En revanche, l'action de nature contractuelle au sens de l'<ref-law> s'interprète de manière restrictive afin de limiter les procès au for du demandeur (forum actoris; <ref-law>), qui constitue une exception au principe général du for du défendeur posé à l'<ref-law>; selon les termes mêmes de la CJCE, «les règles de compétence spécifiques prévues aux articles 13 à 15 [CL] doivent donner lieu à une interprétation stricte, qui ne saurait aller au-delà des hypothèses expressément envisagées par ladite convention» (arrêt Engler précité, points 42 et 43 et les arrêts cités; cf. également <ref-ruling> consid. 7.2 p. 300; Kropholler, op. cit., n. 3 ad art. 15 et n. 6 ad art. 5; Geimer/Schütze, op. cit., n. 5 ad art. 15). Contrairement à ce que le recourant soutient, la notion de contrat au sens de l'<ref-law> ne coïncide pas avec celle de «matière contractuelle» de l'<ref-law>.
Selon la jurisprudence de la CJCE, l'<ref-law> invoqué par le recourant s'applique aux conditions suivantes: le demandeur doit avoir qualité de consommateur final privé, non engagé dans des activités commerciales ou professionnelles; un contrat a été conclu entre ce consommateur et le vendeur professionnel, qui a pour objet une fourniture d'objets mobiliers corporels ou de services; ce contrat a donné naissance à des obligations réciproques et interdépendantes entre les deux parties; les deux conditions spécifiques énumérées à l'art. 13 al. 1 ch. 3 let. a et b CL sont remplies (arrêt Engler précité, point 34).
3.6 En l'espèce, il n'y a pas eu conclusion d'un contrat de vente entre le recourant et l'intimée 2. Le seul contrat qui peut être envisagé entre ces deux parties est un contrat sui generis par lequel le fabricant se serait engagé envers tout acquéreur de la voiture de marque Mercedes-Benz à réparer le véhicule gratuitement à certaines conditions; l'acheteur aurait accepté cette offre tacitement (<ref-law>), dès lors qu'elle ne présentait que des avantages pour lui. Un tel contrat de garantie serait unilatéral puisqu'une seule partie s'oblige, l'autre partie se bornant à accepter (Engel, Traité des obligations en droit suisse, 2e éd., p. 160). Il n'en découlerait donc manifestement pas des obligations réciproques et interdépendantes. Faute d'engagements synallagmatiques des deux parties, un tel acte juridique ne constitue pas, en tout état de cause, un contrat au sens de l'<ref-law>, tel que défini par la jurisprudence de la CJCE.
Comme la cour cantonale l'a admis à bon droit, le recourant ne peut invoquer les <ref-law> pour ouvrir action contre l'intimée 2, dont le siège social est en Allemagne, devant les tribunaux de son domicile en Suisse.
4. Le recourant soutient que l'art. 22 LFors (RS 272) fonde la compétence des tribunaux genevois pour connaître de son action contre l'intimée 1.
4.1 En cas de litige concernant un contrat conclu avec un consommateur, ce dernier peut intenter action à son domicile (art. 22 al. 1 let. a LFors). Le contrat concerné est celui portant sur une prestation de consommation courante qui est destinée aux besoins personnels ou familiaux du consommateur et qui a été offerte par l'autre partie dans le cadre de son activité professionnelle ou commerciale (art. 22 al. 2 LFors).
4.2 La Chambre civile a jugé qu'il n'y avait pas lieu d'appliquer en l'espèce l'art. 22 LFors, au motif que la voiture achetée n'était pas un objet de consommation courante.
Défendant une interprétation large de cette notion, le recourant soutient qu'une voiture est un objet de consommation courante, indépendamment de sa valeur.
4.2.1 On peut se demander si la garantie offerte par l'intimée 1 est une prestation de consommation courante au sens de l'art. 22 LFors. La question souffre toutefois de demeurer indécise dès lors que la garantie est liée à une voiture qui n'est elle-même pas un objet de consommation courante, comme on va le voir ci-après.
4.2.2 Pour définir le contrat conclu avec un consommateur, le but spécial de protection sociale inhérent à l'art. 22 LFors, édicté dans l'intérêt du consommateur, est déterminant. Le champ d'application de cette disposition est étroit, car la protection sociale se limite, d'après la volonté du législateur, exclusivement au consommateur privé et aux prestations concernant les besoins usuels. Cette intention ne se concilie pas avec une interprétation extensive de la notion de consommation courante. Le besoin courant ne saurait ainsi dépendre uniquement du genre de la prestation en jeu, sans égard à la valeur de l'objet du contrat et aux circonstances du cas d'espèce (<ref-ruling> consid. 2.2.2 et 2.2.3 p. 271 ss et les références).
S'agissant de la valeur de la prestation relevant d'un contrat conclu avec un consommateur, une indication peut être fournie par le montant maximal pour lequel les cantons doivent prévoir une procédure de conciliation ou une procédure judiciaire simple et rapide pour les différends découlant de contrats conclus entre consommateurs et fournisseurs, car cette réglementation relève du même but de protection sociale du consommateur (Balz Gross, Konsumentenverträge [Art. 22 GestG], in Zum Gerichtsstand in Zivilsachen, Zurich 2002, p. 108 ss). Ce montant est actuellement de 20'000 fr. (art. 1 de l'ordonnance du 7 mars 2003 fixant la valeur litigieuse déterminante dans les procédures en matière de protection des consommateurs et de concurrence déloyale; RS 944.8). Il est à noter également que la loi fédérale sur le crédit à la consommation (LCC; RS 221.214.1), qui vise également à protéger le consommateur, ne s'applique pas aux contrats de crédit portant sur un montant supérieur à 80'000 fr. (art. 7 al. 1 let. e LCC).
4.2.3 En l'espèce, il n'est pas nécessaire d'examiner si une voiture est un objet de consommation courante au sens de l'art. 22 LFors. En effet, même en admettant que tel est le cas, encore faut-il tenir compte de la valeur du véhicule. Or, celle-ci s'élève en l'occurrence à plus de 190'000 fr., ce qui sort manifestement du cadre de la consommation courante. On ne discerne d'ailleurs pas le besoin particulier de protection sociale de l'acquéreur d'une voiture de luxe. La Cour de justice n'a dès lors pas violé l'art. 22 LFors en niant la compétence des juridictions genevoises pour connaître de l'action du recourant contre l'intimée 1.
5. Comme le recours est rejeté, les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant (<ref-law>), qui versera en outre des dépens aux intimées (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera aux intimées, créancières solidaires, une indemnité de 3'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 8 février 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Corboz Godat Zimmermann