Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1957), verheiratet von 1979 bis 1990, Mutter zweier 1979 und 1981 geborener Söhne sowie einer Tochter mit Jahrgang 1984, hatte nach siebenjähriger Primarschulzeit u.a. im Service und vom 1. Oktober 1989 bis 31. August 1999 während 20 Stunden pro Woche in der Firma B._ als Büro- und Service-Hilfe gearbeitet (letzter Arbeitstag: 7. März 1997; Arbeitgeberbescheinigung vom 18. Oktober 1999). Unter Hinweis auf seit längerem bestehende Gelenkschmerzen meldete sie sich am 3. September 1999 bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Gestützt u.a. auf einen Bericht des behandelnden Hausarztes Dr. med. C._ vom 15. September 1999, dem ein Bericht des Spitals D._, Medizinische Klinik, vom 13. September 1999 über eine am 8. September 1999 erfolgte Untersuchung beilag, gelangte die Versicherte bei einem nach der gemischten Methode (Bericht über die Abklärung an Ort und Stelle vom 9. Oktober 2000) ermittelten Invaliditätsgrad von 87 % in den Genuss einer ganzen Invalidenrente ab 1. Juni 1999 (Verfügung vom 18. Mai 2001). Nach Revisionen in den Jahren 2006 und 2009 blieb der Anspruch auf die ganze Invalidenrente bestehen (Invaliditätsgrad jeweils 91 %).
A.b. Am 3. April 2012 leitete die IV-Stelle des Kantons Aargau erneut eine Überprüfung des laufenden Rentenanspruches ein. Sie holte bei der Medizinische Abklärungsstelle (MEDAS) ein vom 7. Mai 2013 datierendes interdisziplinäres Gutachten ein. Mit Vorbescheid vom 17. Juli 2013 stellte die Verwaltung zufolge eines ermittelten Invaliditätsgrades von 20 % die Aufhebung der ganzen Invalidenrente in Aussicht, in welchem Sinne sie trotz hiegegen erhobenen Einwänden am 30. September 2013 verfügte. Zudem lehnte sie mit Verfügung vom 18. November 2013 das im Vorbescheidverfahren gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung im Verwaltungsverfahren ab.
B.
Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau wies die gegen die Verfügungen vom 30. September und 18. November 2013 erhobenen Beschwerden ab (Entscheid vom 19. Juni 2014).
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei "vollumfänglich" aufzuheben und ihr weiterhin eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventualiter sei die Sache "an die Vorinstanz bzw. die Beschwerdegegnerin" zu weiteren Sachverhaltsabklärungen zurückzuweisen.
Während die IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliesst, haben kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen von einer Vernehmlassung abgesehen.

Erwägungen:
1.
Das Rechtsbegehren lautet auf vollumfängliche Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides. Ihrem rechtlichen Gehalt nach bezieht sich die Beschwerde jedoch einzig auf die vorinstanzliche Abweisung der gegen die Rentenaufhebungsverfügung vom 30. September 2013 gerichteten Beschwerde. Zur Abweisung der Beschwerde gegen die verweigerte unentgeltliche Verbeiständung im Administrativverfahren gemäss Verfügung vom 18. November 2013 durch das kantonale Gericht findet sich in der Beschwerde keine Begründung, beziehen sich doch die abschliessenden Ausführungen (S. 13) auf die unentgeltliche Rechtspflege vor Bundesgericht. Auf die unentgeltliche Verbeiständung im Administrativverfahren - (möglicher) Anfechtungs-, nicht aber Streitgegenstand für das letztinstanzliche Verfahren - ist daher nicht einzugehen (Art. 107 Abs. 1 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Voraussetzungen für eine Rentenaufhebung gestützt auf lit. a Abs. 1 der Schlussbestimmungen zur 6. IV-Revision (erstes Massnahmenpaket), in Kraft vom 1. Januar 2012 bis 31. Dezember 2014, erfüllt sind. Das kantonale Gericht hat die entsprechenden Bestimmungen und die darunter fallenden Beschwerdebilder (<ref-ruling> E. 2.2 S. 549) zutreffend dargelegt (E. 3.2 und 4.3.4 des angefochtenen Entscheides). Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. Die Beschwerde legt unter Abschnitt B. "Kein syndromales Beschwerdebild" (S. 5 ff.) unter Bezugnahme auf die aus der Zeit vor der ursprünglichen Rentenzusprechung datierenden Berichte (von denen die Beschwerdegegnerin erst im Revisionsverfahren 2005 erfuhr) dar, dass die gesundheitlichen Beeinträchtigungen " im Zeitpunkt der ursprünglichen Rentenzusprechung (wie auch heute) hauptsächlich auf organisch erkennbare und erklärbare Grundlagen zurückzuführen" seien, womit es an den Voraussetzungen für eine Revision gemäss den Schlussbestimmungen zur 6. IV-Revision fehle.
Diese Betrachtungsweise wird sowohl den Verhältnissen im Zeitpunkt der Rentenzusprechung (2001) bzw. des Rentenbeginnes (1. Juni 1999) als auch in jenem der Rentenaufhebung (30. September 2013) nicht gerecht. Das kantonale Gericht, noch nicht im Besitze des in der Beschwerde (S. 10 Ziff. 25) erwähnten Urteils 8C_74/2014 vom 16. Mai 2014 (publiziert als <ref-ruling>), kam zum Schluss, dass bei Fällen mit unklaren Beschwerden eine allfällig zusätzlich bestehende somatische Diagnose der Rentenrevision gestützt auf lit. a Abs. 1 Schlussbestimmungen IVG-Revision 6a nicht entgegenstehe. Diese Rechtsauffassung trifft zu. Die in diesem Rahmen getroffene vorinstanzliche Feststellung, es hätten neben dem fibromyalgieähnlichen Syndrom auch organisch objektivierbare Beschwerden im Zeitpunkt der Rentenzusprechung bestanden (Arthrose im linken Handgelenk, Diskushernienoperation), kann weder als rechtsfehlerhaft noch als offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG) bezeichnet werden. Im Zeitpunkt der umstrittenen Rentenaufhebung verhält es sich nicht anders, wie sich aus dem eingeholten MEDAS-Gutachten vom 7. Mai 2013 und der dazu ergangenen Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) ergibt: "Nach 3 Rückenoperationen mit neuropathischen Beschwerden bestehen organisch objektivierbare Korrelate, welche die Beschwerden mehrheitlich erklären. Syndromale Beschwerden lassen sich höchstens zusätzlich in Form von Ausprägung oder Intensität der Schmerzen postulieren. Dies ändert jedoch nichts an den organisch objektivierbaren Funktionseinschränkungen in verschiedenen Bereichen des Bewegungsapparates (Hand, HWS, LWS, rechter Fuss) " (Antwort des RAD vom 24. Mai 2013).
3.2. Eventualiter trägt die Beschwerde vor, dass ein zumindest überwiegender Teil der gesundheitlichen Beeinträchtigungen auf somatische Erkrankungen zurückzuführen sei. Unter diesen Umständen wäre das kantonale Gericht verpflichtet gewesen, kraft Untersuchungsgrundsatz in Berücksichtigung der neuesten bundesgerichtlichen Rechtsprechung mittels Ergänzungsfragen an die Gutachterstelle oder Rückweisung an die Verwaltung abzuklären, ob zwischen den erklärbaren und den nicht erklärbaren Beschwerden klar unterschieden werden könne (Beschwerde S. 10 f.).
Zwar hat das Bundesgericht mit Urteil 8C_34/2014 vom 8. Juli 2014 entschieden, dass eine Rentenaufhebung nach den Schlussbestimmungen der IV-Revision 6a ausser Betracht fällt, wenn die Invalidenrente sowohl für unklare als auch für erklärbare Beschwerden zugesprochen worden war, welche diagnostisch zwar unterscheidbar sind, die aber bezüglich der darauf zurückzuführenden Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit keine exakte Abgrenzung erlauben. Weiterungen im Sinne dieser Rechtsprechung zu einem sogenannten "Misch-Sachverhalt" (vgl. auch SVR 2014 IV Nr. 39 S. 137, 9C_121/2014 E. 2.4-2.7) sind im Falle der Beschwerdeführerin, welche im Verfahren gemäss IV-Revision 6a die materielle Beweislast trägt (Urteil 9C_495/2014 vom 7. September 2014 E. 3.2), rechtlich nicht geboten. Denn es steht ausweislich der Akten fest, dass das interdisziplinäre MEDAS-Gutachten vom 7. Mai 2013 unter Berücksichtigung sämtlicher Diagnosen aus allen Fachgebieten die Leistungsfähigkeit für die beiden angestammten Tätigkeiten (ab dem dritten Monat nach Wiederaufnahme der Arbeit) auf 80 % einschätzt, jeweils bei voller zeitlicher Präsenz (MEDAS-Gutachten S. 29 und 31). Dass das kantonale Gericht hierauf und nicht auf die teils abweichende Sichtweise des RAD abgestellt hat, kann im Rahmen der gesetzlichen Kognition ebenfalls nicht beanstandet werden, sodass es auch insoweit bei der Verbindlichkeitswirkung der vorinstanzlichen Entscheidung über die Arbeitsfähigkeit als einer Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.) bleibt (Art. 105 Abs. 1 BGG).
4.
Steht die schlussbestimmungsrechtliche Grundlage für die streitige Rentenaufhebung fest, erübrigen sich Fragen nach der Revision gemäss Art. 17 Abs. 1 ATSG und der Wiedererwägung wegen allfälliger zweifelloser Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenzusprechung nach Art. 53 Abs. 2 ATSG.
5.
5.1. Nach ständiger Rechtsprechung ist im Regelfall eine medizinisch attestierte Verbesserung der Arbeitsfähigkeit grundsätzlich auf dem Weg der Selbsteingliederung verwertbar. Nach ebenfalls ständiger Rechtsprechung können indes nach langjährigem Rentenbezug ausnahmsweise Erfordernisse des Arbeitsmarktes der sofortigen Anrechnung einer medizinisch vorhandenen Leistungsfähigkeit und medizinisch möglichen Leistungsentfaltung entgegenstehen, wenn aus den Akten einwandfrei hervorgeht, dass die Verwertung eines bestimmten Leistungspotenzials ohne vorgängige Durchführung befähigender Massnahmen allein vermittels Eigenanstrengung der versicherten Person nicht möglich ist (SVR 2011 IV Nr. 30 S. 86, 9C_163/2009 und seitherige Praxis, z.B. 9C_178/2014 vom 29. Juli 2014). Diese Rechtsprechung ist allerdings auf Fälle beschränkt worden, in denen die (revisions- oder wiedererwägungsweise) Rentenaufhebung eine versicherte Person betrifft, welche das 55. Altersjahr zurückgelegt oder die Rente seit mehr als 15 Jahre bezogen hat (SVR 2011 IV Nr. 73 S. 220, 9C_228/2010 E. 3).
5.2. Die Beschwerdeführerin kann sich nicht auf diese Rechtsprechung berufen, obwohl sie im Zeitpunkt der Rentenaufhebung (Verfügung vom 30. September 2013) schon fast 56 Jahre alt war (geboren am 11. Dezember 1957). Denn der massgebliche Rentenaufhebungsgrund ist nach dem Gesagten die Schlussbestimmung zur IV-Revision 6a, welche bezüglich des Alters auf deren Inkrafttreten (1. Januar 2012) abstellt, als die Beschwerdeführerin noch nicht 55-jährig war. Dem im MEDAS-Gutachten unter Prognose und Empfehlungen zu Therapie- und Integrationsmassnahmen (S. 29) klar ausgedrückten Bedürfnis nach Eingliederungsunterstützung wird nicht durch allgemeine Eingliederungsmassnahmen Rechnung getragen sondern durch rentenbegleitete Massnahmen zur Wiedereingliederung nach Art. 8a IVG (lit. a Abs. 2 und 3 der Schlussbestimmungen). Solche hatte die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin vorgeschlagen, diese jedoch mit Verfügung vom 11. November 2013 mangels Interesse der Versicherten abgelehnt. Daher ist die hier allein strittige vorinstanzlich bestätigte Rentenaufhebungsverfügung vom 30. September 2013 auch unter eingliederungsrechtlichem Gesichtspunkt nicht zu beanstanden. Die Invaliditätsbemessung als solche ist nicht angefochten, so dass sich Weiterungen erübrigen.
6.
Dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege kann entsprochen werden, da die hiefür erforderlichen Voraussetzungen als erfüllt betrachtet werden können (Art. 64 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Markus Zimmermann wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Februar 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Traub