Sachverhalt:
A.
Das Kantonale Steueramt St. Gallen stellte am 4. Juli 2012 fest, A._ sei in den Jahren 2010 und 2011 in U._ unbeschränkt steuerpflichtig. Eine dagegen erhobene Einsprache wies es am 29. Januar 2013 ab.
B.
Gegen den Einspracheentscheid rekurrierte A._, anwaltlich vertreten, am 26. Februar 2013 bei der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen. Diese forderte ihn am 27. Februar 2013 auf, bis zum 15. März 2013 einen Kostenvorschuss von Fr. 800.-- zu leisten. Die Aufforderung war mit der Androhung verbunden, das Verfahren werde bei nicht fristgerechter Bezahlung des Kostenvorschusses am Protokoll abgeschrieben.
Innert der angesetzten Frist wurde der Kostenvorschuss nicht geleistet. Am 26. März 2013 reichte A._ ein Gesuch um Wiederherstellung der versäumten Frist ein und bezahlte den Kostenvorschuss. Die Verwaltungsrekurskommission wies das Gesuch am 23. April 2013 ab, und zugleich schrieb sie den Rekurs ab. Die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 8. November 2013 ab.
C.
A._ erhebt am 21. Dezember 2013 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben, die Wiederherstellung der Frist für die Zahlung des Kostenvorschusses gutzuheissen und die Sache zur materiellen Entscheidung an die Verwaltungsrekurskommission zurückzuweisen. Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung über die Wiederherstellung an das Verwaltungsgericht, subeventuell an die Verwaltungsrekurskommission zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht und das Steueramt schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Dem angefochtenen Urteil liegt in der Hauptsache ein kantonaler Steuerdomizilentscheid zugrunde, welcher gemäss <ref-law> und <ref-law> der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt. Mit der Abweisung des Fristherstellungsgesuchs hat das Verwaltungsgericht zugleich den Rekurs abgeschrieben, womit ein Endentscheid (<ref-law>) angefochten ist. Eine sachliche Ausnahme nach <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerde ist zulässig.
1.2. Der Beschwerdeführer ist als Steuerpflichtiger zur Beschwerdeführung legitimiert (<ref-law>). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde (vgl. <ref-law>, <ref-law>) ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). Die Verletzung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht bildet keinen eigenständigen Rügegrund; sie wird nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür geprüft (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 318 mit Hinweisen). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
3.
3.1. Nach Art. 96 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege (VRP/SG; sGS 951.1) kann die Behörde einen Kostenvorschuss verlangen. Entspricht der Betroffene trotz Hinweis auf die Säumnisfolgen der Aufforderung nicht, so kann das Verfahren abgeschrieben werden oder die anbegehrte Amtshandlung unterbleiben, wenn nicht öffentliche Interessen entgegenstehen (Art. 96 Abs. 2 VRP/SG).
3.2. Gemäss Art. 30 Abs.1 VRP/SG finden für die Fristwiederherstellung die Bestimmungen der ZPO Anwendung, sofern dieser Erlass nichts anderes vorsieht. <ref-law> erlaubt auf Gesuch hin die Wiederherstellung einer (behördlichen oder gesetzlichen) Frist, wenn die Partei glaubhaft macht, dass sie kein oder nur ein leichtes Verschulden trifft.
4.
Der Beschwerdeführer hatte das Fristwiederherstellungsgesuch mit einer Erkrankung begründet und zum Nachweis derselben ein ärztliches Attest beigelegt, in dem eine vom 12. März 2013 bis 25. März 2013 dauernde Arbeitsunfähigkeit bescheinigt wurde. Das Arztzeugnis enthielt keine Angaben zur Art der gesundheitlichen Beeinträchtigung.
Die Vorinstanz schützte den abweisenden Entscheid der Verwaltungsrekurskommission mit folgender Begründung: In der Praxis werde ein leichtes Verschulden im Sinn von <ref-law> nur mit Zurückhaltung angenommen, was mit Blick auf den weiten Ermessensspielraum der Bestimmung nicht zu beanstanden sei. Der Rechtsvertreter habe die gebotene Sorgfalt vermissen lassen, indem er sich vor Ablauf der Frist nicht über die Bezahlung des Vorschusses vergewissert habe. Dies stelle kein nur leichtes Verschulden dar. Zudem reiche rechtsprechungsgemäss ein Arztzeugnis, in dem ohne nähere Angabe von Gründen eine volle Arbeitsunfähigkeit in einem bestimmten Zeitraum bescheinigt werde, als Nachweis für eine Fristwiederherstellung nicht aus. Arbeitsunfähigkeit sei nicht gleichzusetzen mit Handlungsunfähigkeit oder der Unmöglichkeit, einen Kostenvorschuss zu leisten. Die Rechtsfolge der Abschreibung sei angedroht worden, weshalb die Verwaltungsrekurskommission nicht gehalten gewesen sei, die Ermessensausübung noch im Einzelnen zu begründen. Vielmehr hätte der Beschwerdeführer im Wiederherstellungsgesuch darlegen müssen, dass der Abschreibung ausserordentliche Umstände oder öffentliche Interessen entgegenstehen. Nachdem er dies unterlassen habe, habe die Verwaltungsrekurskommission sich auf die Feststellung beschränken dürfen, der Abschreibung stünden keine öffentlichen Interessen entgegen.
5.
Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend. Aufgrund der formellen Natur dieses Anspruchs sind die entsprechenden Rügen vorab zu behandeln (<ref-ruling> E. 5.1 S. 237).
5.1. Der Beschwerdeführer moniert, die Vorinstanz habe von sich aus zur Begründung erstmals das vermeintliche Verhalten des Rechtsvertreters thematisiert und daran ein "nicht mehr leichtes Verschulden" geknüpft. Es seien keine tatsächlichen Sachverhaltsumstände zu diesem Thema erhoben worden und er - der Beschwerdeführer - habe sich zu entsprechenden Feststellungen oder rechtlichen Aspekten nicht äussern können.
Die Vorinstanz hat in ihrem Entscheid die Begründung der Verwaltungsrekurskommission bestätigt und eine weitere Begründung hinzugefügt: Sie sieht im Verhalten des Rechtsvertreters eine Nachlässigkeit, welche die Verweigerung der Fristwiederherstellung rechtfertige. Dabei geht sie vom unbestrittenen Sachverhalt aus, wonach der Rechtsvertreter dem Beschwerdeführer die Aufforderung zur Bezahlung des Kostenvorschusses samt Einzahlungsschein weitergeleitet hat. Eine zusätzliche Begründung wäre nur unzulässig, wenn sie sich auf ein Beweisergebnis abstützt, zu dem der Beschwerdeführer vorgängig nicht Stellung nehmen konnte. Nach der bundesgerichtlichen Praxis reicht der Anspruch auf rechtliches Gehör nicht so weit, dass eine Partei die Gelegenheit erhalten muss, sich zu jedem möglichen Ergebnis, das von der entscheidenden Behörde ins Auge gefasst wird, zu äussern. Die Behörde hat nicht ihre Begründung den Parteien vorgängig zur Stellungnahme zu unterbreiten. Es genügt, dass sich die Parteien zu den Grundlagen des Entscheids, insbesondere zum Sachverhalt sowie zu den anwendbaren Rechtsnormen, vorweg äussern und ihre Standpunkte einbringen können (<ref-ruling> E. 3.4 S. 495).
5.2. Weiter rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz sei auf seinen Beweisantrag, ein Gutachten zum Krankheitsverlauf einzuholen, nicht eingegangen.
Die Vorinstanz hat den Beweisantrag behandelt und implizit abgewiesen. Sie erwog, der Beschwerdeführer habe bis anhin nicht dargelegt, worin genau die ärztlich bescheinigte Arbeitsunfähigkeit begründet sei, obwohl er wissen müsse, dass Arbeitsunfähigkeit nicht gleichzusetzen sei mit Handlungsunfähigkeit oder der Unmöglichkeit, einen Kostenvorschuss zu leisten. Deswegen seien weder die Verwaltungsrekurskommission noch sie - die Vorinstanz selbst - gehalten gewesen, auf "gut Glück" weitere Abklärungen vorzunehmen. Von einer Verletzung der Untersuchungspflicht könne nicht die Rede sein. Dies würde eine substanziierte Sachverhaltsdarstellung voraussetzen, woran es hier fehle.
Es trifft somit nicht zu, dass die Vorinstanz sich nicht mit dem Antrag auf Einholung eines Gutachtens auseinandergesetzt hat. Sie hat - wenn auch ohne explizite Erwähnung des Beweisantrags - nachvollziehbar dargelegt, warum sie diesem Begehren nicht stattgeben wollte. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt nicht vor.
6.
6.1. In sachverhaltlicher Hinsicht beanstandet der Beschwerdeführer, aus den Akten sei nicht ersichtlich und es sei nicht abgeklärt worden, wie sich der Rechtsvertreter nach dem Erhalt der Kostenvorschussverfügung effektiv verhalten habe und in welcher Art und Häufigkeit und mit welchem Inhalt die Kommunikation zwischen ihm - dem Beschwerdeführer - und dem Rechtsvertreter erfolgt sei und ob der Rechtsvertreter nach den tatsächlichen Umständen davon ausgehen durfte und musste, dass die Zahlung rechtzeitig erfolgen werde.
Die nach Ansicht des Beschwerdeführers abzuklärenden Umstände betreffen das Innenverhältnis zwischen ihm und seinem Rechtsvertreter. Sie sind für die Frage, ob er das Fristversäumnis schuldhaft im Sinn von <ref-law> herbeigeführt habe, nicht relevant. Denn der Auftraggeber muss sich das Verhalten seines Vertreters ohnehin anrechnen lassen (Urteile 2C_1031/2013 vom 26. Mai 2014 E. 5.3; 2C_699/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 3.4; Niccolò Gozzi, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 14 zu <ref-law>), so dass es dem Beschwerdeführer nicht helfen würde, wenn die Säumnis im Innenverhältnis dem Rechtsvertreter anzulasten wäre. Es ist daher nicht von Belang, ob dieser - wie die Vorinstanz erwogen hat - verpflichtet war, vor Ablauf der Frist beim Beschwerdeführer nachzufragen, ob die Zahlung tatsächlich erfolgt sei. Die Sachverhaltsrügen sind unbegründet.
6.2. Unbegründet ist auch das Vorbringen des Beschwerdeführers, seine Prozesserfahrung und seine Zuverlässigkeit bei behördlichen Zahlungen sowie der Zeitpunkt seiner Erkrankung im Verhältnis zur Dauer bis zum Fristende seien nicht berücksichtigt worden.
Das Vorhandensein oder Nichtvorhandensein von Prozesserfahrung spielt dort eine Rolle, wo eine Partei sich auf den Grundsatz beruft, wonach ihr aus fehlerhafter Eröffnung kein Nachteil erwachsen dürfe (vgl. für den Bund <ref-law>, <ref-law>; LORENZ KNEUBÜHLER, in: Auer/Müller/Schindler [Hrsg.], Kommentar VwVG, 2008, N. 8 zu <ref-law>). Im vorliegenden Fall waren dem Beschwerdeführer die Folgen der Nichteinhaltung der Frist unmissverständlich angedroht worden, so dass er aus allfälliger mangelnder Prozesserfahrung nichts ableiten kann; zudem hätte er bei Unklarheiten seinen Rechtsvertreter konsultieren können.
Warum die Zuverlässigkeit bei behördlichen Zahlungen Gegenstand von Abklärungen hätte bilden sollen, ist nicht ersichtlich. Bisheriges Zahlungsverhalten ist bei der Frage, ob sich der Beschwerdeführer von seinem Fristversäumnis exkulpieren kann, nicht zu berücksichtigen, weil für die Beurteilung des Verschuldens die konkreten Umstände des Einzelfalls massgeblich sind (Gozzi, a.a.O., N. 11 zu <ref-law>).
Die verbleibende Dauer zwischen dem Eintritt der Erkrankung und dem Ende der Frist spielt nur dann eine entscheidende Rolle, wenn die Erkrankung eine gewisse Schwere aufweist (vgl. <ref-ruling> E. 2a). Dies war hier nicht der Fall, wie aus der nachstehenden E. 6.3 hervorgeht. Im Übrigen hatte bereits die Verwaltungsrekurskommission in ihrem Entscheid vom 23. April 2013 darauf hingewiesen, dass zwischen dem Eintritt der Erkrankung und dem Ende der Frist vier Tage lagen. Diese Erwägung wurde von der Vorinstanz implizit bestätigt.
6.3. In rechtlicher Hinsicht rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe zu Unrecht erwogen, dass ein leichtes Verschulden im Sinn von <ref-law> nur mit Zurückhaltung anzunehmen sei. Weder die von der Vorinstanz zitierte Literaturstelle, der Gesetzeswortlaut noch die Materialien würden diese Auslegung stützen.
Dem Beschwerdeführer ist darin zuzustimmen, dass ein weiter Ermessensspielraum nicht bedeutet, dass ein nur leichtes Verschulden generell mit Zurückhaltung anzunehmen wäre. Die Regeln der ZPO, auf die Art. 30 Abs. 1 VRP/SG verweist, stellen jedoch hier kantonales Recht dar. Ihre Anwendung ist vom Bundesgericht lediglich unter dem Aspekt der Willkür zu prüfen (vgl. E. 2). Zu prüfen ist, ob die Vorinstanz ein mehr als leichtes Verschulden im Sinn von <ref-law> in willkürlicher Weise bejaht hat.
Gemäss ärztlichem Zeugnis war der Beschwerdeführer ab dem 12. März 2013 zu 100% arbeitsunfähig. Bis zum Ablauf der Frist blieben noch vier Tage. Es ist nicht ersichtlich und wird auch nicht dargetan, warum der Beschwerdeführer die Zahlung des Kostenvorschusses nicht hätte vornehmen oder durch seinen Rechtsvertreter oder eine Drittperson hätte vornehmen lassen können. Rechtsprechungsgemäss stellt eine Krankheit nur dann einen Wiederherstellungsgrund dar, wenn sie kurz vor Ablauf der Frist auftritt und so ernsthaft ist, dass die betroffene Person keine fristwahrenden Massnahmen mehr treffen kann (vgl. Urteil 2C_1031/2013 vom 26. Mai 2014 E. 5.3 mit Hinweis auf Urteil 2C_401/2007 vom 21. Januar 2008 E. 3.3). Eine 100%-ige Arbeitsunfähigkeit bedeutet nicht zwingend eine ernsthafte Erkrankung im Sinn dieser Rechtsprechung. Der Beschwerdeführer hat zu den Auswirkungen der Krankheit auf seine Handlungsfähigkeit keine Angaben gemacht, so dass die Vorinstanz ohne weitere Abklärungen davon ausgehen durfte, dass er einfache Verrichtungen wie einen Telefonanruf oder einen Zahlungsauftrag an ein Finanzinstitut hätte tätigen können.
Der Beschwerdeführer weist zutreffend darauf hin, dass <ref-law> nicht den vollen Beweis für die unverschuldete oder nur leicht verschuldete Verhinderung verlangt. Im Ergebnis ändert dies jedoch nichts an der Würdigung der Vorinstanz. Denn mit dem Arztzeugnis hat der Beschwerdeführer zwar seine Arbeitsunfähigkeit bewiesen, jedoch nicht glaubhaft gemacht, dass ihn an der Fristversäumnis nur ein leichtes Verschulden trifft. Die Vorinstanz hat das mehr als leichte Verschulden des Beschwerdeführers ohne Willkür bejaht.
6.4. Dass die Frist erstreckbar war, wie der Beschwerdeführer vorbringt, ändert an dieser Würdigung nichts, zumal er ein Fristerstreckungsgesuch hätte stellen können. Aus <ref-law>, welcher den Kostenvorschuss für gerichtliche Beweiserhebungen zum Gegenstand hat, kann der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten ableiten. Diese Thematik ist von der Verweisnorm des Art. 30 Abs. 1 VRP/SG nicht erfasst, weshalb <ref-law> nicht einschlägig ist.
6.5. Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, unter dem Aspekt der Menschenwürde nach <ref-law> und dem Persönlichkeitsschutz nach <ref-law> sei eine ärztlich ausgewiesene vollständig dienstleistungsbezogene persönliche Leistungsunfähigkeit als absoluter Schwächezustand zu respektieren und dem Erkrankten auch vom Staat und seinen Behörden unter Achtung der Gesundheit und Menschenwürde die Gelegenheit zu lassen, sich zu erholen, bevor von ihm unter Rechtsverlustfolge gesetzlich fakultative Zahlungen eingefordert werden dürften.
Die in Art. 96 VRP/SG verankerte Befugnis zur Einholung eines Kostenvorschusses und zur Abschreibung des Verfahrens bei Fristversäumnis sind zwar als Kann-Bestimmungen formuliert. Dennoch ist die Behörde befugt, bei Nichtbezahlung des Kostenvorschusses die angedrohte Rechtsfolge eintreten zu lassen, wenn nicht öffentliche Interessen entgegenstehen. Das dies der Fall wäre, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Eine willkürliche Auslegung von Art. 96 VRP/SG ist nicht erkennbar.
Der Beschwerdeführer begründet nicht und es ist nicht nachvollziehbar, inwiefern durch die Abschreibung des Beschwerdeverfahrens seine Würde als Mensch und seine persönliche Freiheit beeinträchtigt sein sollen. Es ist daher nicht weiter darauf einzugehen (vgl. E. 2).
Auch die Verfassungsrügen betreffend die Verletzung des Verhältnismässigkeitsgrundsatzes nach <ref-law>, des Willkürverbots nach <ref-law> und des Verbots des überspitzten Formalismus nach <ref-law> entbehren einer substanziierten Begründung, weshalb sie nicht weiter zu prüfen sind (vgl. E. 2)
6.6. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe den Grundsatz von Treu und Glauben nach <ref-law> verletzt. Es sei widersprüchlich, einen (gesetzlich nicht erforderlichen) Nachweis des einschlägigen Hinderungsgrunds zu verlangen und gleichzeitig den angebotenen Beweisantrag abzuweisen. Unter Hinweis auf das Gebot des blossen Glaubhaftmachens nach <ref-law>, auf die fehlende Eignung von medizinisch nicht geschulten Richterpersonen, die Auswirkungen medizinischer Diagnosen auf die effektive medizinisch-funktionale Leistungsfähigkeit zu beurteilen, sowie aus Datenschutzgründen habe er keine Einzelheiten zur Diagnose bzw. zum Krankheitsverlauf angegeben.
Wie in E. 5.2 dargelegt, hat die Vorinstanz nachvollziehbar begründet, warum sie es nicht für nötig hielt, den Gesundheitszustand des Beschwerdeführers im fraglichen Zeitraum näher abklären zu lassen. Die (hierfür notwendigen) Anhaltspunkte, dass tatsächlich ein Fristwiederherstellungsgrund vorlag, hätte der Beschwerdeführer ohne Weiteres liefern können, indem er den behandelnden Arzt von der Schweigepflicht hätte entbinden können (vgl. Urteil 2C_823/2011 vom 28. Juni 2012 E. 4.2.1). Seine Berufung auf "Datenschutz" geht fehl, weil jedes Gericht mit sensiblen Daten sorgsam umzugehen hat. Es stand dem Beschwerdeführer frei, selbst einen Arztbericht oder ein Gutachten über seinen Gesundheitszustand ins Recht zu legen. Die Befürchtung des Beschwerdeführers, Richterpersonen wüssten einen Arztbericht oder ein ärztliches Gutachten nicht zu interpretieren, ist unbegründet. Nachdem der Beschwerdeführer es vorzog, die Vorinstanz ohne Not im Unklaren über seine gesundheitliche Beeinträchtigung (aus der er Rechte ableiten wollte) zu lassen, handelte diese nicht treuwidrig, wenn sie entsprechende Nachforschungen unterliess. Eine Verletzung von Treu und Glauben liegt nicht vor.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Ausgangsgemäss ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner