Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss vom 5. Juli 2010 des Obergerichts des Kantons Thurgau, das einen Rekurs des Beschwerdeführers gegen die erstinstanzliche Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung an die Beschwerdegegnerin für Fr. 9'920.-- (ausstehende Mietzinse von August 2009 bis und mit März 2010) abgewiesen hat, soweit es darauf eingetreten ist,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Beschluss des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Beschluss vom 5. Juli 2010 erwog, der Beschwerdeführer bestreite die Eigenschaft des Mietvertrags vom 9. April 2009 als eines provisorischen Rechtsöffnungstitels für fällige Mietzinse ebenso wenig wie deren Betrag, die von der Beschwerdegegnerin sowohl im Mietvertrag wie auch bei Unterzeichnung des Rechtsöffnungsgesuchs verwendete Bezeichnung "xxx-AG" sei die Abkürzung der im Handelsregister eingetragenen Unternehmung "X._ AG", was dem Beschwerdeführer keineswegs erst im Rechtsöffnungsverfahren, sondern bereits im vorangegangenen, mit rechtskräftigem Entscheid abgeschlossenen Schlichtungsverfahren klar gewesen sei, unter diesen und weiteren Umständen habe die erste Instanz den vom Beschwerdeführer erhobenen Einwand der fehlerhaften Parteibezeichnung zu Recht als trölerisch qualifiziert,
dass das Obergericht weiter erwog, im Rechtsöffnungsverfahren könne sich der Beschwerdeführer nicht auf die im Schlichtungsentscheid als unerheblich beurteilten Mängel des Mietobjekts berufen, hinsichtlich des von ihm behaupteten Anspruchs auf Mietzinsredukton fehle es an der Glaubhaftmachung und Liquidität, ebenso wenig könne der Beschwerdeführer im summarischen Rechtsöffnungsverfahren Schadenersatz oder Genugtuung fordern und Widerklage erheben, diesbezüglich müsse er vielmehr den ordentlichen Prozessweg beschreiten, die erste Instanz habe somit zu Recht die provisorische Rechtsöffnung für die (von August 2009 bis und mit März 2010) geschuldeten Mietzinse (von Fr. 1'240.-- pro Monat) erteilt, zumal die Forderung betragsmässig unangefochten sei,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht keine Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend macht,
dass er erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert anhand der entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen aufzeigt, inwiefern der Beschluss des Obergerichts vom 5. Juli 2010 verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. September 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann