Sachverhalt:
A.
A.a. Die gesetzlichen Erben von F._ (1932-2004) streiten um die Teilung ihrer Erbschaft. Am 11. Februar 2013 reichte Rechtsanwalt Beat Rieder im Namen von A._ beim Bezirksgericht Leuk und Westlich-Raron gegen seinen Vater E._, seine Geschwister D._, C._, X._ und Y._ sowie seine Nichte B._ eine Erbteilungsklage ein.
A.b. Mit Klageantwort vom 5. April 2013 anerkannte E._ das Rechtsbegehren von A._. Er weigerte sich aber, allfällige aus der gerichtlichen Erbteilung entstehende Mehrkosten zu übernehmen.
A.c. In ihrer Klageantwort vom 17. April 2013 machte X._ unter anderem geltend, Rechtsanwalt Beat Rieder sei seit vielen Jahren der Vertrauensanwalt und Vertrauensnotar von E._. Er befinde sich deshalb im Erbteilungsstreit in einem Interessenkonflikt. X._ beantragte, Rechtsanwalt Beat Rieder als Parteivertreter des Klägers vom Verfahren auszuschliessen. Auch Y._ rügt in ihrer Klageantwort vom 9. April 2013 diese Interessenkollision. Sie überliess es dem Gericht, den geschilderten Sachverhalt zu würdigen.
A.d. A._ bestritt in seiner Replik vom 4. Juni 2013, dass eine Interessenkollision vorliege. E._ sei mit der Erbteilungsklage einverstanden und anerkenne die Rechtsbegehren.
A.e. Mit Verfügung vom 6. Juni 2013 forderte die Bezirksrichterin Rechtsanwalt Beat Rieder auf, sein Mandat sofort niederzulegen. A._ setzte sie eine Frist bis zum 8. Juli 2013, um einen neuen Rechtsvertreter zu bezeichnen oder dem Gericht mitzuteilen, dass er den Prozess selbständig fortführe. Ebenso wies sie A._ an, Beat Rieders bisherige Prozesshandlungen zu genehmigen, andernfalls sie unberücksichtigt blieben.
B.
B.a. Am 20. Juni 2013 legte A._ beim Kantonsgericht Wallis Beschwerde ein. Er liess beantragen, die Verfügung vom 6. Juni 2013 aufzuheben und festzustellen, dass Rechtsanwalt Beat Rieder berechtigt ist, das Mandat fortzuführen. E._ stimmte den Ausführungen in der Beschwerde zu und liess verlauten, es bestehe keine Interessenkollision. X._ und Y._ beantragten je, die Beschwerde abzuweisen. Letztere stellte überdies das Begehren, die Aufsichtskammer über die Walliser Rechtsanwälte "von Amtes wegen zu benachrichtigen".
B.b. Mit Urteil vom 29. November 2013 hiess das Kantonsgericht die Beschwerde gut und entsprach den erwähnten Rechtsbegehren.
C.
C.a. Mit Beschwerde vom 17. Januar 2014 wendet sich X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. In der Sache beantragt sie, das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben und festzustellen, "dass Rechtsanwalt Beat Rieder das Mandat sofort niederzulegen hat". A._ sei eine Frist von dreissig Tagen im Sinne der erstinstanzlichen Verfügung (s. Bst. A.e) anzusetzen. Weiter stellt sie das Begehren, auch E._, C._ und B._ unter Ansetzung einer Frist von dreissig Tagen dazu aufzufordern, einen neuen Rechtsvertreter zu bezeichnen oder dem Gericht mitzuteilen, ob sie den Prozess selbständig fortführen, und die bisherigen Prozesshandlungen von Rechtsanwalt Beat Rieder ausdrücklich zu genehmigen. In prozessualer Hinsicht verlangt die Beschwerdeführerin, ihre Beschwerde mit derjenigen von Y._ zu vereinigen, die in der gleichen Sache an das Bundesgericht gelangt ist (Verfahren 5A_48/2014).
C.b. Mit Verfügung vom 21. Januar 2014 teilte die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerdeführerin mit, dass die beiden Beschwerden in getrennten Verfahren instruiert werden. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 476). Freilich muss die Eingabe auch bezüglich der Eintretensvoraussetzungen hinreichend begründet sein (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 121).
2.
Streitig ist, ob Rechtsanwalt Beat Rieder sein Mandat als Prozessvertreter von A._ sofort niederlegen muss, weil er sich in einem Interessenkonflikt im Sinne von Art. 12 Bst. c des Anwaltsgesetzes vom 23. Juni 2000 (BGFA; SR 935.61) befindet. Das Kantonsgericht hat die Frage verneint und die gegenteilige Verfügung des Bezirksgerichts aufgehoben (s. Sachverhalt Bst. A.e und B.b ). Urteilt - wie hier - das in der Hauptsache zuständige Gericht über die Zulässigkeit der anwaltlichen Vertretung, so ist sein Entscheid kein Endentscheid im Sinne von <ref-law>, sondern ein (selbständig eröffneter) Zwischenentscheid, den das Bundesgericht im Rahmen desjenigen Beschwerdeverfahrens überprüft, das in der Hauptsache zulässig ist (Urteil 1B_420/2011 vom 21. November 2011 E. 1.1). Selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide können vor Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 und 93 BGG angefochten werden.
3.
Die Beschwerdeführerin beruft sich zum einen auf <ref-law>. Danach ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren zulässig. Die Beschwerdeführerin argumentiert, der Begriff des "Ausstands" sei in einem weiten Sinn zu verstehen. Ausstandsbegehren könnten gegen "jede am Verfahren beteiligte Person" gestellt werden, auch gegen einen Parteivertreter. Denn Rechtsanwalt Beat Rieder sei nicht Partei des laufenden Hauptverfahrens.
Die Sichtweise geht fehl. Zwar können nach der Rechtsprechung nicht nur Zwischenentscheide über den Ausstand von Justizpersonen, sondern auch solche über den Ausstand von Sachverständigen unter <ref-law> fallen (Urteil 2C_991/2011 vom 18. Juli 2012 E. 1.3 mit Hinweisen). Die Ausstandspflicht von Sachverständigen fusst auf der Überlegung, dass ein Gericht in Fachfragen nur aus triftigen Gründen von der Meinung eines gerichtlich bestellten Sachverständigen abweichen darf (dazu <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 198 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 548; <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 391). Hat die Expertenmeinung in aller Regel grosses Gewicht, so soll der Sachverständige auch den formellen Anforderungen an die Unabhängigkeit und Unparteilichkeit genügen, wie sie für Gerichtspersonen gelten. Deshalb unterstehen sachverständige Personen den gleichen Ausstandsgründen wie Gerichtspersonen (s. <ref-law>). Ganz anders verhält es sich mit dem Rechtsanwalt, der in einem Zivilprozess als Vertreter und Hilfsperson einer Partei auftritt. Übt er seine Tätigkeit nicht unabhängig aus oder verstrickt er sich in einen Interessenkonflikt (Art. 12 Bst. b und c BGFA), so berührt sein Fehlverhalten nicht den verfassungsmässigen Anspruch auf ein gesetzlich geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Der Anwalt handelt ausschliesslich im Interesse seines Mandanten. Seine allfällige Pflicht, das Mandat wegen eines Interessenkonflikts niederzulegen, begründet deshalb keine Ausstandspflicht im Sinne von <ref-law>.
4.
4.1. Mithin hat es das Bundesgericht mit einem selbständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> zu tun. Die Beschwerde ist nur unter den in dieser Vorschrift genannten Voraussetzungen zulässig. Eine Zulässigkeit nach Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG scheidet aus. Dass die Gutheissung der Beschwerde keinen Endentscheid herbeiführen würde, liegt auf der Hand. Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin glauben machen will, ist mit dem Endentscheid im Sinne der zitierten Norm nicht der endgültige Entscheid über die Vertretungsbefugnis von Rechtsanwalt Beat Rieder, sondern der Endentscheid in der Hauptsache, hier also im Erbteilungsprozess gemeint (s. Urteil 4A_632/2012 vom 21. Februar 2013 E. 2.2.1). Die Beschwerde ist deshalb nur zulässig, wenn der angefochtene Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG). Dieser Nachteil muss rechtlicher Natur sein. Ein rein tatsächlicher Nachteil, der als natürliche Folge des Verfahrensfortgangs erscheint, genügt nicht. Der Nachteil muss über dies irreparabel sein. Diese Voraussetzung ist nicht erfüllt, soweit ein für die Beschwerdeführerin günstiger Endentscheid den Nachteil vollumfänglich behöbe (<ref-ruling> E. 1.3 S. 525 mit Hinweisen). Es obliegt der Beschwerdeführerin darzutun, dass die Eintretensvoraussetzungen gemäss Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG erfüllt sind, es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 632 und E. 2.4.2 S. 633).
4.2. Die Beschwerdeführerin argumentiert, bei einer Weiterführung des Hauptverfahrens ohne letztinstanzliche Überprüfung des angefochtenen Entscheids müsse sie in einem Prozess als Beklagte auftreten, in welchem "bekanntlich und offensichtlich nicht alle Parteien ... mit offenen Karten spielen und gewisse Aspekte - wie beispielsweise die rechtsanwaltliche Interessenwahrung sowie die Verteilung der Parteirollen nach ihren wahren Interessen - verheimlichen". Die Beschwerdeführerin hegt den Verdacht, auch E._, D._, C._ und B._ würden in Tat und Wahrheit von Rechtsanwalt Beat Rieder vertreten. Sie beteuert, in diesem Prozess nicht zu wissen, welche Partei durch welchen Rechtsvertreter vertreten wird. Unter diesen Umständen sei es ihr "schlichtweg nicht zuzumuten", den Prozess fortzuführen. Damit verbleibe ihr auch bei späterer Feststellung einer Interessenkollision ein nicht wieder gutzumachender Nachteil. Was die Beschwerdeführerin als unzumutbar erachtet, sind offensichtlich nur die tatsächlichen Umstände, die sich ihrer Meinung nach aus dem Fortgang des Verfahrens ergeben. Darin liegt nach dem Gesagten gerade kein Nachteil rechtlicher Art, wie ihn Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG voraussetzt. Die hier streitige Situation lässt sich auch nicht mit dem Fall eines Elternteils vergleichen, der sich in einem familienrechtlichen Prozess gegen die Person des Kindesvertreters zur Wehr setzt (vgl. Urteil 5A_710/2012 vom 2. Juli 2013 E. 1).
4.3. Weiter befürchtet die Beschwerdeführerin, dass ihre eigenen Rechtshandlungen "allenfalls unter Kostenfolgen" zunichte gemacht würden und sie zur Vornahme weiterer Prozesshandlungen gezwungen wäre, falls der Kläger A._ oder weitere von Rechtsanwalt Beat Rieder vertretene Parteien nach der späteren Feststellung einer Interessenkollision die bisherigen Prozesshandlungen des Anwalts nicht genehmigen. Dies ergebe sich aus Art. 2 Abs. 2 des Walliser Gesetzes über den Anwaltsberuf vom 6. Februar 2001, wonach die nicht genehmigten Prozesshandlungen "ungeachtet" bleiben. Davon betroffen wäre namentlich die verfahrenseinleitende Erbteilungsklage vom 11. Februar 2013, mit der Folge dass "der gesamte Prozess" dahinfiele. Diese Befürchtungen beruhen auf blossen Mutmassungen. Inwiefern das angebliche "Risiko" einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur darstellen soll, ist nicht ersichtlich. Soweit sich die Beschwerdeführerin um eine Verteuerung des Verfahrens sorgt, macht sie wiederum einen bloss tatsächlichen Nachteil geltend, der die Anfechtbarkeit nach Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG nicht zu begründen vermag (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 632). Auch die angerufene kantonale Vorschrift hilft der Beschwerdeführerin nicht weiter. Die Norm handelt vom Anwaltsmonopol. Sie besagt, dass eine Partei, deren Prozessvertreter nicht im Anwaltsregister eingetragen ist, die Prozesshandlung oder Eingabe auf Geheiss des Richters binnen einer angemessenen Frist unterzeichnen oder sich durch einen eingetragenen Anwalt vertreten lassen muss. Der Richter hat die Partei darauf aufmerksam zu machen, dass im Unterlassungsfall die Prozesshandlung oder Eingabe unbeachtet bleibt. Die Beschwerdeführerin tut nicht dar, inwiefern diese Regel auch in einer Konstellation gilt, wie sie sie schildert. Und selbst wenn ihrer Auffassung gefolgt werden könnte, folgt aus der Unbeachtlichkeit gegnerischer Prozesshandlungen keineswegs, dass auch die Prozesshandlungen der Beschwerdeführerin rechtlich nicht wirksam sind. Dass der Gegner eigene Prozessschritte wiederholen muss, mag eine Verlängerung des Verfahrens nach sich ziehen. Allein darin liegt aber wiederum kein rechtlicher Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG (s. BGE a.a.O.).
4.4. Dass der angefochtene Entscheid im Sinne der zitierten Rechtsprechung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann, ist schliesslich auch nicht geradezu offensichtlich. Insbesondere lässt sich ein solcher Nachteil nicht aus der behaupteten Verletzung von <ref-law> herleiten. Denn die in dieser Vorschrift enthaltenen Regeln über die Ausübung des Anwaltsberufs schützen in erster Linie die Interessen des Klienten des Anwalts und nicht diejenigen der Gegenpartei (s. Urteil 1B_420/2011 vom 21. November 2011 E. 1.2.2). Schliesslich hat das Kantonsgericht zwar einen nicht leicht wiedergutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 319 Bst. b Ziff. 2 ZPO bejaht und ist auf die kantonale Beschwerde von A._ eingetreten. Auch daraus folgt aber keineswegs, dass der Entscheid des Kantonsgerichts einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG bewirken kann. Denn vor dem Kantonsgericht stand - anders als im hiesigen Verfahren - nicht der Nachteil der Beschwerdeführerin, sondern derjenige von A._ auf dem Spiel. Im Übrigen deckt sich Art. 319 Bst. b Ziff. 2 ZPO auch nicht mit Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG, lässt jene Vorschrift doch schon einen nicht "leicht" wiedergutzumachenden Nachteil genügen.
5.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde gegen das Urteil des Kantonsgerichts vom 29. November 2013 als unzulässig. Das Bundesgericht kann auf die Beschwerde insgesamt nicht eintreten. Befasst sich das Bundesgericht aber gar nicht erst mit der Sache, so erübrigt es sich auch, das vorliegende Verfahren mit dem Verfahren 5A_48/2014 zu vereinigen. Der entsprechende Antrag ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie wird deshalb kostenpflichtig (<ref-law>). Den Beschwerdegegnern ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Der Antrag auf Vereinigung mit dem Verfahren 5A_48/2014 wird abgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Wallis, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Mai 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn