Sachverhalt:
A.
Nachdem ein erstes Leistungsgesuch am 31. Mai 2002 abgelehnt worden war, meldete sich die 1948 geborene S._ im Juli 2005 erneut bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihr die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 22. November 2007 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 40 % ab 1. Februar 2005 eine Viertelsrente zu.
B.
Am 14. Januar 2008 erhob Rechtsanwalt Tim Walker namens und im Auftrag von S._ bei der IV-Stelle Einsprache und beantragte unter anderem, die Verfügung vom 22. November 2007 sei aufzuheben und seiner Mandantin eine höhere Invalidenrente zuzusprechen. Die Verwaltung überwies die Eingabe zuständigkeitshalber an das kantonale Versicherungsgericht zur Behandlung als Beschwerde.
Mit präsidialem Entscheid vom 9. September 2008 trat das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen auf die Eingabe vom 14. Januar 2008 (Einsprache) nicht ein.
C.
S._ lässt durch Rechtsanwalt Tim Walker Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der Entscheid vom 9. September 2008 aufzuheben, soweit das Rechtsmittel ganz oder teilweise gutgeheissen werde, für das kantonale Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen sowie ein zweiter Schriftenwechsel nach Zustellung der Vernehmlassungen der übrigen Verfahrensbeteiligten durchzuführen.
Kantonales Gericht, IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
D.
Mit Verfügung vom 11. Februar 2009 ist das Gesuch von S._ um unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit abgewiesen worden.

Erwägungen:
1.
Das Hauptbegehren in der Beschwerde lautet auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. In der Begründung dieses Antrags wird gerügt, das Nichteintreten auf die am 14. Januar 2008 irrtümlich bei der IV-Stelle eingereichte und als solche bezeichnete Einsprache gegen deren Verfügung vom 22. November 2007 (Zusprechung einer Viertelsrente ab 1. Februar 2005) sei überspitzt formalistisch. Die Vorinstanz hätte die Eingabe als Beschwerde entgegennehmen und materiell behandeln müssen. Somit liegt insgesamt ein hinreichend klares, den Streitgegenstand eindeutig bestimmendes Begehren vor (Art. 42 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> und 116 V 265 E. 2a S. 266).
2.
Die Beschwerdeführerin beantragt die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels. Ein solcher ist indessen nicht erforderlich (Art. 102 Abs. 3 BGG).
3.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann unter Berücksichtigung der den Parteien obliegenden Rügepflicht eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254; Urteil 9C_562/2008 vom 3. November 2008 E. 1).
4.
Den angefochtenen Nichteintretensentscheid erliess der Präsident der Abteilung II des kantonalen Versicherungsgerichts. Die Beschwerdeführerin bestreitet die einzelrichterliche Zuständigkeit.
4.1. Die kraft Art. 1 Abs. 1 IVG auch bei Streitigkeiten betreffend eine Rente der Invalidenversicherung anwendbaren Rechtspflegebestimmungen des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (Art. 56 ff. ATSG) enthalten keine Vorschriften über die Zusammensetzung, insbesondere die (numerisch) richtige Besetzung der kantonalen Versicherungsgerichte. Die Regelung dieser Frage obliegt somit den Kantonen. Auslegung und Anwendung kantonalen Gesetzesrechts prüft das Bundesgericht - vorbehältlich der in Art. 95 lit. c und d BGG genannten Fälle - lediglich unter dem eingeschränkten Blickwinkel der Willkür (Art. 9 BV). Dagegen beurteilt sich frei und ohne Bindung an allfällige Vorbringen der Parteien, ob die - als vertretbar erkannte - Auslegung kantonaler Vorschriften mit der in Art. 30 Abs. 1 BV gewährleisteten Garantie eines durch Gesetz geschaffenen, zuständigen, unabhängigen und unparteiischen Gerichts und mit dem übrigen Bundesrecht vereinbar ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 338; SVR 2006 KV Nr. 31, K 139/04 E. 2.2 [in <ref-ruling> nicht publiziert]; BGE 9C_781/2008 vom 25. März 2009 E. 3.1).
Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 1.2 S. 177; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f., je mit Hinweisen; Urteil 9C_836/2008 vom 30. Oktober 2008 E. 2.3).
4.2.
4.2.1. Nach Art. 17 Abs. 2 des st. gallischen Gerichtsgesetzes vom 2. April 1987 (sGS 941.1) ist das Versicherungsgericht in Abteilungen gegliedert. Es spricht Recht durch Kammern von drei oder fünf Mitgliedern. Für einfache Fälle können Einzelrichterentscheide vorgesehen werden. Gemäss Art. 9 der Verordnung vom 11. Januar 2005 über die Organisation des Versicherungsgerichtes (sGS 941.114) können in einfachen Fällen die Abteilungspräsidentinnen und Abteilungspräsidenten sowie die teilamtlichen Mitglieder als Einzelrichterinnen und Einzelrichter entscheiden (Abs. 1). Als einfache Fälle gelten insbesondere Streitsachen mit einem unbestrittenen oder eindeutigen Sachverhalt, die aufgrund einer klaren Rechtslage oder einer feststehenden Gerichtspraxis beurteilt werden können (Abs. 2). Mit dieser Umschreibung sind nicht nur offensichtlich unzulässige oder offensichtlich unbegründete Beschwerden erfasst, sondern allgemein Fälle, die in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht einfach sind, d.h. keine Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung aufwerfen und in Bezug auf Tatfragen liquid sind (Urteil 9C_836/2008 vom 30. Oktober 2008 E. 3.4; vgl. auch Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts I 578/03 vom 8. Juni 2004 E. 2.2 und I 622/01 vom 30. Oktober 2002 E. 2.3).
4.2.2. In tatsächlicher Hinsicht steht fest, dass die Verfügung vom 22. November 2007 (Zusprechung einer Viertelsrente ab 1. Februar 2005) eine Rechtsmittelbelehrung enthielt. Danach konnte innert 30 Tagen beim kantonalen Versicherungsgericht Beschwerde eingereicht werden. Der während laufender Rechtsmittelfrist mandatierte Rechtsvertreter der Versicherten reichte am 14. Januar 2008, dem unbestrittenermassen letzten Tag der Frist, bei der verfügenden IV-Stelle Einsprache ein und beantragte die Zusprechung einer höheren Invalidenrente. Die Verwaltung leitete die Eingabe zuständigkeitshalber an das kantonale Versicherungsgericht zur Behandlung als Beschwerde weiter. Dieses trat auf die Eingabe vom 14. Januar 2008 (Einsprache) nicht ein. Der Sachverhalt ist insoweit klar. Ob (auch) in rechtlicher Hinsicht ein einfacher Fall im Sinne des einschlägigen kantonalen Rechts vorliegt, ist zweifelhaft. Die Frage des Nichteintretens oder Eintretens auf die von der IV-Stelle überwiesene Eingabe vom 14. Januar 2008 ist unter verschiedenen rechtlichen Gesichtspunkten zu prüfen, wie auch die vorinstanzlichen Erwägungen zeigen. Von einer diesbezüglich klaren Rechtslage kann jedenfalls nicht gesprochen werden (vgl. nachstehend E. 7). Wie es sich damit verhält, kann jedoch offenbleiben. Die materiell streitige Frage, ob die Eingabe bei der IV-Stelle vom 14. Januar 2008 eine - rechtzeitig erhobene - Beschwerde darstellt und demzufolge vom kantonalen Versicherungsgericht (in numerisch richtiger Besetzung) zu behandeln ist (E. 1), kann abschliessend entschieden werden.
5.
5.1.
5.1.1. Über Leistungen, Forderungen und Anordnungen, die erheblich sind oder mit denen die betroffene Person nicht einverstanden ist, hat der Versicherungsträger schriftlich Verfügungen zu erlassen (Art. 49 Abs. 1 ATSG). Die Verfügungen werden mit einer Rechtsmittelbelehrung versehen (Art. 49 Abs. 3 Satz 1 ATSG). Gegen Verfügungen kann innerhalb von 30 Tagen bei der verfügenden Stelle Einsprache erhoben werden; davon ausgenommen sind prozess- und verfahrensleitende Verfügungen (Art. 52 Abs. 1 ATSG). Der Versicherungsträger kann auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (Art. 53 Abs. 2 ATSG).
Gelangt die Partei rechtzeitig an einen unzuständigen Versicherungsträger, so gilt die Frist als gewahrt (Art. 39 Abs. 2 ATSG).
5.1.2. Gegen Einspracheentscheide oder Verfügungen, gegen welche eine Einsprache ausgeschlossen ist, kann Beschwerde erhoben werden (Art. 56 Abs. 1 ATSG). Jeder Kanton bestellt ein Versicherungsgericht als einzige Instanz zur Beurteilung von Beschwerden aus dem Bereich der Sozialversicherung (Art. 57 ATSG). Die Beschwerde ist innerhalb von 30 Tagen nach der Eröffnung des Einspracheentscheides oder der Verfügung, gegen welche eine Einsprache ausgeschlossen ist, einzureichen. Die Artikel 38-41 sind sinngemäss anwendbar (Art. 60 Abs. 1 und 2 ATSG). Die Beschwerde muss eine gedrängte Darstellung des Sachverhaltes, ein Rechtsbegehren und eine kurze Begründung enthalten. Genügt sie diesen Anforderungen nicht, so setzt das Versicherungsgericht der Beschwerde führenden Person eine angemessene Frist zur Verbesserung und verbindet damit die Androhung, dass sonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 61 lit. b ATSG).
5.2. Diese Ordnung galt nach Art. 1 Abs. 1 IVG in der Zeit vom 1. Januar 2003 bis 30. Juni 2006 ohne Ausnahme auch im Leistungsbereich der Invalidenversicherung. Gegen rentenablehnende Verfügungen war somit Einsprache bei der verfügenden IV-Stelle zu erheben. Seit 1. Juli 2006 gilt indessen wieder dieselbe Regelung wie vor Inkrafttreten des Allgemeinen Teils des Sozialversicherungsrechts am 1. Januar 2003. Danach geht der Verfügung ein Vorbescheidverfahren voraus (Art. 57a Abs. 1 IVG sowie Art. 73bis und 73ter IVV). Die Verfügungen der IV-Stellen sind beim kantonalen Versicherungsgericht am Ort der IV-Stelle oder beim Bundesverwaltungsgericht anzufechten (Art. 69 Abs. 1 IVG; AS 2003 2006 f).
6.
Die Beschwerdeführerin rügt, das Nichteintreten der Vorinstanz auf die mit «Einsprache betreffend Invalidenrente» überschriebene Eingabe bei der verfügenden IV-Stelle verletze Art. 9 BV (Grundsatz von Treu und Glauben), Art. 29 BV (Anspruch auf ein faires Verfahren und rechtliches Gehör), Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie Art. 96 Abs. 1 des kantonalen Gerichtsgesetzes (Berichtigung offenkundiger Versehen von Entscheiden, wie Schreibfehler und irrige Bezeichnungen der Beteiligten), sei insgesamt überspitzt formalistisch. Sie bringt im Wesentlichen vor, aus der Eingabe vom 14. Januar 2008 gehe ganz eindeutig der Wille hervor, die Verfügung vom 22. November 2007 vorbehaltlos anzufechten. Es gehe einzig und allein um eine irrtümlich falsche Bezeichnung einer Eingabe («Einsprache» statt «Beschwerde»). Dieser blosse Formfehler hätte von der Vorinstanz ohne weiteres und ohne Änderung von Antrag und Begründung korrigiert werden können und müssen, indem sie die Worte «Einsprache» durch «Beschwerde» und «Einsprecherin» durch «Beschwerdeführerin» ersetzt hätte.
7.
Überspitzter Formalismus als eine besondere Form der Rechtsverweigerung liegt vor, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, oder wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt (<ref-ruling> E. 4b S. 417). Prozessuale Formen sind jedoch unerlässlich, um die ordnungsgemässe Abwicklung des Verfahrens sowie die Durchsetzung des materiellen Rechts zu gewährleisten (<ref-ruling> E. 4 S. 315; <ref-ruling> E. 3 S. 40). Überspitzter Formalismus ist daher nur gegeben, wenn die strikte Anwendung der Formvorschriften durch keine schutzwürdigen Interessen gerechtfertigt ist, zum blossen Selbstzweck wird und die Verwirklichung des materiellen Rechts in unhaltbarer Weise erschwert oder verhindert (<ref-ruling> E. 2.4.3 S. 248; <ref-ruling> E. 5.4.1 S. 183; <ref-ruling> E. 3a S. 170).
7.1. Die Vorinstanz hat erwogen, die Versicherte resp. ihr Rechtsvertreter habe trotz klarer, korrekter Rechtsmittelbelehrung das falsche, nämlich nicht mehr existierende Rechtsmittel der Einsprache nach Art. 52 Abs. 1 ATSG ergriffen und gerade keine Beschwerde im Sinne von Art. 56 Abs. 1 ATSG erhoben. In der Einsprache sei zwar gegenüber der IV-Stelle schriftlich der Wille kundgetan worden, die Verfügung nicht gelten zu lassen, und es sei eine Änderung der Rechtslage verlangt worden. Dabei handle es sich indessen nicht um einen in prozessual gehöriger Form klar bekundeten Anfechtungswillen im Sinne von Art. 61 lit. b ATSG. Seit der Abschaffung des Einspracheverfahrens im Bereich der Invalidenversicherung verlange eine gültige Beschwerde in Abgrenzung zu einem Wiedererwägungsgesuch, welches den Fristenlauf nicht unterbreche, zusätzlich eine klare Willenskundgabe, die Sache vor den Richter tragen zu wollen. Da die Versicherte nicht ein taugliches Rechtsmittel, nämlich eine Beschwerde an das Versicherungsgericht, versehentlich am unzuständigen Ort, nämlich bei der IV-Stelle, habe einreichen lassen, gelange Art. 39 Abs. 2 ATSG in Verbindung mit Art. 60 Abs. 2 ATSG nicht zur Anwendung.
7.2.
7.2.1. Nach der klaren gesetzlichen Regelung war die Verfügung vom 22. November 2007 direkt beim Versicherungsgericht am Ort der IV-Stelle anzufechten (Art. 69 Abs. 1 lit. a IVG; E. 5.1 und 5.2). In diesem Sinne lautete auch die Rechtsmittelbelehrung in der Verfügung, was unbestritten ist. Damit war für den Rechtsvertreter der Versicherten bei Erstellen der mit «Einsprache betreffend Invalidenrente» überschriebenen und bei der IV-Stelle eingereichten Eingabe vom 14. Januar 2008 die objektive Rechtslage klar ersichtlich. Nach seiner Darlegung in der Beschwerde verwendete er «auf der Basis einer früheren Eingabe nach der bis am 30. Juni 2006 gültigen verfahrensrechtlichen Regelung» die Bezeichnung Einsprache statt Beschwerde. Mit der Vorinstanz kann somit nicht von einer bloss irrtümlich falschen Bezeichnung (Einsprache) des Rechtsmittels (Beschwerde) gesprochen werden.
7.2.2. Anderseits kann nicht gesagt werden, die Versicherte resp. ihr Rechtsvertreter habe bewusst gegen die Verfügung vom 22. November 2007 Einsprache bei der verfügenden IV-Stelle und nicht - gesetzlich einzig zulässig - Beschwerde beim kantonalen Versicherungsgericht erhoben. Unbestrittenermassen sollte die lediglich eine Viertelsrente zusprechende Verfügung einer erneuten rechtlichen Beurteilung zugeführt werden. Bei zumutbarer Kenntnis von Gesetz und Rechtsmittelbelehrung hätte der Rechtsvertreter der Versicherten unzweifelhaft Beschwerde beim kantonalen Versicherungsgericht erhoben und nicht etwa ein Wiedererwägungsgesuch gestellt, was die Vorinstanz nicht auszuschliessen scheint. Die Eingabe bei der IV-Stelle vom 14. Januar 2008 genügt denn auch den (minimalen) Anforderungen an Antrag und Begründung einer Beschwerde (Art. 61 lit. b ATSG). Insbesondere ergibt sich daraus klar der Wille zur Anfechtung der Verfügung vom 22. November 2007 (<ref-ruling> E. 2 S. 163). Unter diesen Umständen muss es als überspitzt formalistisch bezeichnet werden, dass das kantonale Gericht die von der IV-Stelle gestützt auf Art. 30 ATSG weitergeleitete Eingabe vom 14. Januar 2008 (Einsprache) nicht als formgültige Beschwerde betrachtet und die darin beantragte Zusprechung mindestens einer halben Rente nicht materiell behandelt hat. Dies wird die Vorinstanz nachzuholen haben. Die Beschwerde ist begründet.
8.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Kanton St. Gallen kraft Verursacherprinzip die Gerichtskosten zu tragen und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz und Abs. 3 und Art. 68 Abs. 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 9. September 2008 aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie die Eingabe vom 14. Januar 2008 als Beschwerde materiell behandle.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Kanton St. Gallen auferlegt.
3.
Der Kanton St. Gallen hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2000.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, der Ausgleichskasse des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. April 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler