Faits:
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A. Depuis décembre 2002, Hélène Châtelain, Présidente du Tribunal des mineurs du canton de Vaud, est chargée d'une enquête pénale ouverte contre A._, enfant mineure née en 1989, prévenue d'avoir participé à diverses infractions contre le patrimoine et consommé des stupéfiants. Le 18 février 2003, la Présidente a obtenu le rapport - très succinct - d'un psychiatre que les parents avaient auparavant consulté au sujet des échecs scolaires de leur fille. Elle a ensuite ordonné le placement de la prévenue en observation à l'établissement de la Clairière, dans le canton de Genève, dès le 13 mars 2003.
Selon le rapport établi à l'issue de la période d'observation, daté du 22 mai 2003, un retour dans le milieu familial n'était pas souhaitable. On préconisait, dans l'immédiat, un placement à la ferme équestre des Bruyères à Frontenaud, en France (Saône-et-Loire), solution que la prévenue disait accepter après avoir pu visiter les lieux. Pour la suite, on recherchait un foyer et une école afin que la prévenue pût reprendre sa scolarité dès la rentrée de l'automne 2003. Trois autres projets de placement, proposés par les parents, étaient écartés.
La prévenue a en fait séjourné à la ferme des Bruyères dès le 16 mai 2003. Le 19 suivant, déjà renseignée sur les résultats de l'observation, la Présidente a ordonné le placement correspondant pour une durée indéterminée, sous le régime de la garde provisionnelle prévue par l'art. 32 al. 1 de la loi vaudoise du 26 novembre 1973 sur la juridiction pénale des mineurs. La prévenue et son père B._ ont recouru contre cette mesure, pour critiquer surtout le choix du lieu de placement. La Chambre supérieure du Tribunal des mineurs les a déboutés par arrêt du 18 juin 2003. Le 6 octobre 2003, la Cour de cassation pénale du Tribunal fédéral a déclaré irrecevables un pourvoi en nullité et un recours de droit public dirigés contre ce dernier prononcé (arrêts 6S.304/2003 et 6P.121/2003).
Depuis le 23 juin 2003, la prévenue est en fuite et son lieu de séjour actuel est inconnu des autorités judiciaires.
Depuis le 23 juin 2003, la prévenue est en fuite et son lieu de séjour actuel est inconnu des autorités judiciaires.
B. Divers incidents sont survenus au cours des placements à la Clairière et à la ferme des Bruyères. B._ a adressé à la Présidente de très nombreuses lettres pour s'en plaindre et protester contre le régime du placement à la Clairière, qu'il jugeait trop sévère et inadapté aux besoins de sa fille, puis pour critiquer le placement à la ferme des Bruyères et, en général, les démarches accomplies par l'autorité. Selon une déclaration de la prévenue recueillie le 9 avril 2003, que son père a récemment confirmée, celui-ci l'a emmenée durant plusieurs jours en France dans le but de la soustraire aux recherches de la police, pendant une période où elle s'était échappée de la Clairière en abusant d'un congé. Selon d'autres informations reçues par la Présidente et consignées au procès-verbal des opérations et décisions (23 juin, 2 et 21 juillet 2003), B._ est impliqué dans la fuite actuelle de la prévenue et il sait où elle se trouve; cela ressort aussi, d'ailleurs, de lettres qu'il a adressées au Tribunal des mineurs le 20 octobre 2003 et le 30 mars 2004.
B. Divers incidents sont survenus au cours des placements à la Clairière et à la ferme des Bruyères. B._ a adressé à la Présidente de très nombreuses lettres pour s'en plaindre et protester contre le régime du placement à la Clairière, qu'il jugeait trop sévère et inadapté aux besoins de sa fille, puis pour critiquer le placement à la ferme des Bruyères et, en général, les démarches accomplies par l'autorité. Selon une déclaration de la prévenue recueillie le 9 avril 2003, que son père a récemment confirmée, celui-ci l'a emmenée durant plusieurs jours en France dans le but de la soustraire aux recherches de la police, pendant une période où elle s'était échappée de la Clairière en abusant d'un congé. Selon d'autres informations reçues par la Présidente et consignées au procès-verbal des opérations et décisions (23 juin, 2 et 21 juillet 2003), B._ est impliqué dans la fuite actuelle de la prévenue et il sait où elle se trouve; cela ressort aussi, d'ailleurs, de lettres qu'il a adressées au Tribunal des mineurs le 20 octobre 2003 et le 30 mars 2004.
C. Par acte du 14 août 2003, B._ a demandé la récusation de la Présidente Hélène Châtelain au motif que les mesures prises par elle étaient, à son avis, illégales et gravement inadéquates, à tel point qu'elle se révélait suspecte de partialité. B._ se référait notamment à la garantie d'un juge indépendant et impartial conférée par l'art. 30 al. 1 Cst. Le Tribunal d'accusation du Tribunal cantonal vaudois a rejeté cette requête par arrêt du 9 septembre 2003. L'arrêt indiquait, sans plus de détails, que le requérant ne faisait valoir aucun des motifs de récusation concrets prévus par l'<ref-law> vaud. (parenté, intérêt à la cause, etc.), que les reproches élevés contre la Présidente du Tribunal des mineurs n'étaient "nullement fondés" et que l'examen du dossier ne révélait aucun indice de partialité.
Agissant au nom de sa fille par la voie du recours de droit public, B._ a requis le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 9 septembre 2003. Invoquant notamment le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., il se plaignait d'une décision insuffisamment motivée. Statuant le 15 janvier 2004, la Cour de céans a reconnu le bien-fondé de ce grief et a annulé l'arrêt attaqué (cause 1P.618/2003).
Le Tribunal d'accusation a rendu un nouvel arrêt consécutif à la demande de récusation, le 2 mars 2004; il l'a derechef rejetée. Après discussion des critiques élevées contre la Présidente, il a constaté que celle-ci n'avait commis aucune erreur de nature à justifier la suspicion de partialité.
Le Tribunal d'accusation a rendu un nouvel arrêt consécutif à la demande de récusation, le 2 mars 2004; il l'a derechef rejetée. Après discussion des critiques élevées contre la Présidente, il a constaté que celle-ci n'avait commis aucune erreur de nature à justifier la suspicion de partialité.
D. Toujours au nom de sa fille, B._ a saisi le Tribunal fédéral d'un deuxième recours de droit public, tendant cette fois à l'annulation de l'arrêt du 2 mars 2004. Il persiste à soupçonner la Présidente de partialité et à la tenir pour récusable selon l'art. 30 al. 1 Cst.; il se plaint aussi d'un déni de justice.
Invités à répondre, le Tribunal d'accusation et le magistrat intimé ont renoncé à déposer des observations.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le Tribunal fédéral a reconnu le pouvoir de représentation légale de B._ (arrêt 1P.618/2003 du 15 janvier 2004, consid. 1); ce pouvoir n'est d'ailleurs pas contesté.
1. Le Tribunal fédéral a reconnu le pouvoir de représentation légale de B._ (arrêt 1P.618/2003 du 15 janvier 2004, consid. 1); ce pouvoir n'est d'ailleurs pas contesté.
2. Aux termes de l'<ref-law> vaud., applicable par renvoi de l'art. 29 ch. 2 de la loi sur la juridiction pénale des mineurs (LJPM), le magistrat visé par une demande de récusation est remplacé provisoirement par son suppléant ou substitut, à moins que le Tribunal cantonal ne lui désigne un remplaçant ad hoc.
Dans un mémoire adressé au Tribunal d'accusation le 25 février 2004, B._ a demandé la désignation d'un remplaçant ad hoc pour la Présidente Hélène Châtelain. Cette requête n'a reçu aucune réponse mais, de toute évidence, elle est devenue sans objet avec l'arrêt présentement attaqué qui met fin à la procédure de récusation. Son auteur n'est donc pas fondé à se plaindre, sur ce point, d'un déni de justice formel.
Dans un mémoire adressé au Tribunal d'accusation le 25 février 2004, B._ a demandé la désignation d'un remplaçant ad hoc pour la Présidente Hélène Châtelain. Cette requête n'a reçu aucune réponse mais, de toute évidence, elle est devenue sans objet avec l'arrêt présentement attaqué qui met fin à la procédure de récusation. Son auteur n'est donc pas fondé à se plaindre, sur ce point, d'un déni de justice formel.
3. Dans l'arrêt précité du 15 janvier 2004 (consid. 3), le Tribunal fédéral a rappelé que selon la jurisprudence relative à la garantie constitutionnelle d'un tribunal indépendant et impartial (art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH), tout plaideur peut exiger la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à faire naître un doute sur son impartialité. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat, mais seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles du plaideur ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 2; voir aussi <ref-ruling> consid. 3 p. 73, 125 I 119 consid. 3a p. 122, 124 I 255 consid. 4a p. 261). Le Tribunal fédéral a souligné que même lorsqu'elles sont établies, des erreurs de procédure ou d'appréciation commises par un juge ne suffisent pas à fonder objectivement un soupçon de partialité; seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, qui doivent être considérés comme des violations graves des devoirs du magistrat, peuvent avoir cette conséquence. Les erreurs éventuellement commises doivent être constatées et redressées dans le cadre des procédures de recours prévues par la loi; il n'appartient pas au juge de la récusation d'examiner la conduite du procès à la façon d'un organe de surveillance (<ref-ruling> consid. 3a p. 138; <ref-ruling> consid. 3b/bb p. 158).
Contrairement à ce qui est sous-entendu par le représentant légal de la recourante, le Tribunal fédéral n'a pas procédé lui-même à un contrôle des actes de la Présidente du Tribunal des mineurs et il n'a donc constaté aucun manquement imputable à ce magistrat. Il a seulement jugé que le Tribunal d'accusation devait se prononcer sur les griefs élevés contre elle. L'arrêt présentement attaqué satisfait à cette obligation. Le représentant maintient toutefois ses critiques afin d'obtenir la récusation qui lui est refusée.
Sur chacune des mesures prises dans la cause de sa fille, il développe longuement sa propre opinion concernant les besoins de cette mineure et la juste manière de les prendre en considération. En tant qu'elles sont utiles à son point de vue, il se réfère aux conclusions du rapport médical daté du 18 février 2003. Cette démarche pourrait éventuellement aboutir dans une instance d'appel entreprise contre les décisions en cause, mais elle est vaine à l'appui d'une demande de récusation. Le représentant légal a été débouté du seul recours qu'il a effectivement exercé en temps utile, dirigé contre le placement à la ferme des Bruyères. On ne voit donc aucun indice objectif d'erreurs graves et répétées dans le cadre d'un conflit où les plus importantes des mesures contestées ont précisément pour but, à la suite du rapport d'observation du 22 mai 2003, de réduire l'influence du milieu familial dans le développement de l'intéressée.
Sur chacune des mesures prises dans la cause de sa fille, il développe longuement sa propre opinion concernant les besoins de cette mineure et la juste manière de les prendre en considération. En tant qu'elles sont utiles à son point de vue, il se réfère aux conclusions du rapport médical daté du 18 février 2003. Cette démarche pourrait éventuellement aboutir dans une instance d'appel entreprise contre les décisions en cause, mais elle est vaine à l'appui d'une demande de récusation. Le représentant légal a été débouté du seul recours qu'il a effectivement exercé en temps utile, dirigé contre le placement à la ferme des Bruyères. On ne voit donc aucun indice objectif d'erreurs graves et répétées dans le cadre d'un conflit où les plus importantes des mesures contestées ont précisément pour but, à la suite du rapport d'observation du 22 mai 2003, de réduire l'influence du milieu familial dans le développement de l'intéressée.
4. Le recours de droit public se révèle mal fondé, ce qui entraîne son rejet. A titre de partie qui succombe, la recourante devrait en principe acquitter l'émolument judiciaire. Compte tenu que l'intérêt de la recourante à cette procédure engagée par son représentant légal n'apparaît pas clairement, il se justifie toutefois de renoncer à le percevoir.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
2. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
3. Le présent arrêt est communiqué en copie au représentant de la recourante, à la Présidente du Tribunal des mineurs Hélène Châtelain et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 17 mai 2004
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: