Erwägungen:
1. X._ (geb. 1980) stammt aus der Türkei. Vom 2. April 2002 bis zum 5. Juni 2008 war sie mit einem hier niederlassungsberechtigten Landsmann verheiratet (Trennung 2007). Am 26. August 2008 ehelichte sie in ihrer Heimat einen weiteren türkischen Gatten, um dessen Nachzug sie in der Folge ersuchte. X._ verfügt über zwei Kinder von diesem, welche in der Schweiz leben (Geburten Juni 2009 und Juli 2011). Der Migrationsdienst des Kantons Bern beantragte dem Bundesamt für Migration am 6. April 2009, seine Zustimmung zur Verlängerung der am 14. Februar 2009 abgelaufenen Aufenthaltsbewilligung von X._ zu erteilen, was dieses am 2. Juli 2009 ablehnte. Das Bundesverwaltungsgericht bestätigte den entsprechenden Entscheid auf Beschwerde hin am 29. Juni 2012. X._ beantragt, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und ihre Bewilligung zu verlängern.
2. Die Eingabe erweist sich aufgrund der zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid, auf die ergänzend verwiesen wird (<ref-law>), als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im Verfahren nach <ref-law> erledigt werden:
2.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensvorschriften ermittelt worden ist (<ref-law>). Der Betroffene muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt klar und eindeutig mangelhaft erscheint (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 3 S.104 f.). Die Beschwerdeführerin erhebt hinsichtlich der Sachverhaltsfeststellung weitgehend nur solche unzulässige Kritik und weist vorab darauf hin, dass sie als alleinerziehende Mutter von zwei Kindern das ihr Mögliche für die Integration getan habe. Ihre Darlegungen sind nicht geeignet, die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten infrage zu stellen. Es ist mit dieser davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin vorab in türkischen Kreisen verkehrt, sie sich trotz des Aufenthalts von inzwischen über neun Jahren sprachlich nicht zu integrieren vermochte und sie seit dem 30. November 2011 Sozialhilfe bezieht, wobei nach Einschätzung der zuständigen Sozialabteilung vom 7. Februar 2012 keine Besserung in Sicht ist. Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz davon ausgehen, dass bei der Beschwerdeführerin keine hinreichende Integration im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG besteht, auch wenn an das Erfordernis der beruflichen Integration keine zu hohen Anforderungen gestellt werden dürfen (vgl. das Urteil 2C_427/2011 vom 26. Oktober 2011 E. 5.2 - 5.4).
2.2 Das Bundesverwaltungsgericht durfte auch ohne Verletzung von Bundesrecht das Vorliegen eines Falles von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG verneinen: Die Beschwerdeführerin ist erst mit 22 Jahren in die Schweiz gekommen. Sie hat die Kontakte mit ihrem Heimatland aufrechterhalten. Ihr Ehegatte und der Vater ihrer Kinder sowie die Eltern und gewisse Geschwister leben immer noch in der Türkei. Eine Rückkehr dorthin ist ihr unter diesen Umständen ohne Weiteres zumutbar, zumal sich die Kinder noch in einem anpassungsfähigen Alter befinden und sie dort mit ihrem Vater zusammengeführt werden. Bei der Anwendung von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG ist entscheidend, ob die persönliche, berufliche und familiäre Wiedereingliederung der betroffenen ausländischen Person bei einer Rückkehr in ihre Heimat als stark gefährdet zu gelten hätte und nicht, ob ein Leben in der Schweiz einfacher wäre und - aus welchen Gründen auch immer - vorgezogen würde (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 350). Ein persönlicher, nachehelicher Härtefall setzt aufgrund der gesamten Umstände eine erhebliche Intensität der Konsequenzen für das Privat- und Familienleben voraus, die mit der Lebenssituation nach dem Dahinfallen der gestützt auf Art. 43 Abs. 1 AuG abgeleiteten Anwesenheitsberechtigung verbunden sein muss (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 350 und das Urteil 2C_781/2010 vom 16. Februar 2011 E. 2.2). Es ist nicht ersichtlich und die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern ihre Rückkehr in die Türkei in diesem Sinn besondere Probleme stellen würde, die in einem hinreichend engen Zusammenhang zur ursprünglich anspruchsbegründenden Ehe und dem damit verbundenen bisherigen (bewilligten) Aufenthalt in der Schweiz stünden (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 350).
3. 3.1 Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Mit dem vorliegenden Sachentscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
3.2 Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1 ́000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. August 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar