Faits:
A.
B._ a été engagé par le Syndicat intercommunal de X._ à C._ dès le 1er juillet 2009, par contrat de durée indéterminée à un taux d'activité de 100 %.
L'intéressé a subi une incapacité de travail entière à partir du 24 août 2011. Cette incapacité a été annoncée à l'assureur-maladie en cas de perte de gain, lequel a confié une expertise au docteur V._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 6 janvier 2012, ce médecin n'a pas retenu de diagnostic avec répercussion sur la capacité de travail.
Se fondant sur cet avis médical, l'assureur-maladie a supprimé le droit de B._ à une indemnité journalière à partir du 1er février 2012.
Par courrier du 1er février 2012, X._ a mis en demeure son employé de réintégrer son poste de travail immédiatement, en le rendant attentif aux conséquences que pourrait avoir le non-respect de cette injonction sur les rapports de service. Le 6 février 2012, X._ a sommé son employé de reprendre le travail sous peine de résiliation des rapports de travail avec effet immédiat et lui a imparti un délai de huit jours pour se déterminer. Le 11 février suivant, B._ a adressé à l'employeur un certificat du docteur D._ faisant état d'une incapacité de travail entière du 1er au 29 février 2012.
Invité par l'employeur à lui communiquer le dossier complet de l'intéressé, l'assureur-maladie a refusé d'accéder à cette demande en raison des dispositions relatives à la protection des données et a indiqué qu'il n'y avait pas de motif de mettre en cause les conclusions de l'expert, selon lesquelles l'intéressé ne présentait aucune affection de nature à réduire sa capacité de travail.
Par courrier du 23 avril 2012, l'employeur a enjoint à l'intéressé de lui communiquer le rapport d'expertise du docteur V._ du 6 janvier 2012, ainsi que tout autre document de nature à établir son état de santé et l'a invité derechef à se déterminer sur une éventuelle résiliation des rapports de travail. Par lettre du 3 mai 2012, B._ a refusé de communiquer les documents requis en invoquant le secret médical. En outre, il a produit un certificat de son médecin traitant faisant état d'une incapacité de travail entière.
Par décision du 14 mai 2012, l'employeur a mis fin aux rapports de service avec effet au 31 août 2012 pour violation grave des devoirs de service. Il a considéré qu'en dépit de plusieurs mises en demeure, et bien que l'expert eût nié l'existence de toute maladie de nature à empêcher la reprise de son activité professionnelle, l'intéressé n'avait fourni aucune prestation de travail depuis le 1er février 2012.
B.
Saisie d'un recours formé par B._, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel l'a rejeté par jugement du 20 août 2012.
C.
B._ forme un recours en matière de droit public en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation du jugement cantonal et de la décision de résiliation des rapports de service du 14 mai 2012. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à la juridiction précédente pour instruction complémentaire au sens des considérants.
L'intimé conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens.
La juridiction cantonale a renoncé à se déterminer sur le recours.

Considérant en droit:
1.
Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public, lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions qui concernent une contestation non pécuniaire. Devant la juridiction précédente, l'intéressé a demandé sa réintégration. Dans cette mesure, il s'agit d'une contestation pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. La valeur litigieuse est déterminée, en cas de recours contre une décision finale, par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (<ref-law>). On doit ainsi admettre que la valeur litigieuse, devant l'autorité précédente, portait sur plusieurs mois voire plusieurs années de salaire. Par conséquent, le seuil requis par l'<ref-law> est largement dépassé.
Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise par le Tribunal administratif fédéral, le recours respecte les exigences des art. 42, 86 al. 1 let. a, 90 et 100 al. 1 LTF. Le recours en matière de droit public est par conséquent recevable.
2.
2.1. Le recourant invoque une application arbitraire du droit communal par la juridiction cantonale. Il allègue que la confirmation de la décision de résiliation des rapports de service du 14 mai 2012 constitue une violation de l'art. 2.25 du règlement général de X._ (ci-après: le règlement), intitulé " validité des décisions " et aux termes duquel les décisions sont prises à la majorité des membres présents, étant précisé que le président ne vote pas, mais départage en cas d'égalité. L'intéressé soutient que rien au dossier ne donne à penser que la procédure de vote prévue par cette disposition a été respectée. Dans ce contexte, il invoque une violation par la juridiction cantonale de son droit d'être entendu relativement aux mesures d'instruction proposées. En particulier, il reproche aux premiers juges de n'avoir pas instruit le point de savoir quels étaient les membres du comité de X._ qui ont voté pour la résiliation des rapports de service. Une instruction sur ce point aurait permis, selon le recourant, d'établir que les membres dudit comité n'ont pas voté au sujet de la résiliation des rapports de service et que la décision a été prise seulement par son président et son secrétaire, en violation de l'art. 2.25 du règlement. Par ailleurs, il reproche à la juridiction cantonale d'avoir écarté sans motivation sa requête d'audition des témoins N._ et F._.
2.2. Sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal ou communal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 466). Autrement dit, le Tribunal fédéral ne revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal et communal que sous l'angle de l'arbitraire. Il ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain, ce qu'il appartient au recourant de démontrer par une argumentation qui réponde aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 351 s.; <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254 et les références).
La jurisprudence a par ailleurs déduit de l'art. 29 al. 2 Cst., notamment, le droit pour le justiciable d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes. Le droit d'être entendu ne s'oppose cependant pas à ce que l'autorité mette un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui permettent de se forger une conviction et que, procédant d'une façon non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient plus l'amener à modifier son opinion (cf. <ref-ruling> consid. 5.3 p. 236).
2.3. En l'espèce, la volonté du comité de direction a été manifestée par la décision du 14 mai 2012, dûment signée par son président et son secrétaire, dont la signature collective à deux engage valablement le Syndicat intercommunal de X._ (art. 2.26 du règlement). Par ailleurs, il n'existe en l'occurrence aucun indice permettant de supposer que le président et le secrétaire du comité ont outrepassé leur pouvoir de représentation en signant une décision non conforme à la volonté du comité de X._. Dans ces conditions, la juridiction cantonale pouvait, sans tomber dans l'arbitraire, reconnaître la validité de la décision de licenciement et renoncer valablement à compléter l'instruction sur ce point.
3.
Le recourant reproche en outre à la juridiction précédente d'avoir écarté sa demande tendant à la mise en oeuvre d'une expertise médicale pluridisciplinaire.
Ce grief est mal fondé. Contrairement à ce que paraît croire le recourant, c'est au travailleur qu'il appartient d'apporter la preuve que son empêchement de travailler est dû à la maladie ou à l'accident (Christiane Brunner/Jean-Michel Bühler/Jean-bernard Waeber/Christian Bruchez, Commentaire du contrat de travail, 2004, ad art. 324a p. 110 n. 3; Pierre Tercier/Pascal G. Favre, Les contrats spéciaux, 2009, p. 517 n. 3505; arrêt 8C_838/2009 du 17 février 2010 consid. 4.3).
Comme l'ont relevé les premiers juges, le recourant n'a pas contesté la décision de son assureur-maladie de supprimer le droit aux prestations sur la base du rapport du docteur V._. Dans les certificats produits par l'intéressé, son médecin traitant s'est contenté de faire état d'une incapacité de travail, sans indiquer, ne fût-ce que sommairement, le motif de cette incapacité ni prendre position sur le rapport du docteur V._. Le fait que le recourant s'est retranché derrière le secret médical pour refuser de communiquer ce rapport à l'employeur ou toute attestation plus détaillée relatifs à son état de santé (lettre du 3 mai 2012) donnait à penser qu'il n'était pas en mesure de justifier son incapacité de travail (cf. Olivier Subilia/Jean-Louis Duc, Droit du travail - Eléments de droit suisse, 2010, n° 142 ad <ref-law>). Dans ces conditions, la juridiction précédente pouvait sans tomber dans l'arbitraire considérer que l'incapacité alléguée n'était pas établie et écarter la demande d'expertise.
4.
Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
5.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). L'intimé ne peut se voir allouer une indemnité de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lucerne, le 4 septembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
Le Greffier: Beauverd