Sachverhalt:
A. Am 26. November 2008 erteilte der Gemeinderat Baar dem X._ die Baubewilligung für die Einzäunung eines Hunde-Ausbildungsplatzes auf der in der Landwirtschaftszone gelegenen Parzelle GS Nr. 2251, Schachen, Blickensdorfer-Allmig. Gleichzeitig eröffnete er die folgende Verfügung des kantonalen Amtes für Raumplanung (ARP) vom 13. November 2008:
"1.1 Das Wiesland steht dem X._ als Hundeausbildungsplatz zur Verfügung. Eine entsprechende Betriebsbewilligung erteilt die Gemeinde zusammen mit ihrer Baubewilligung.
1.2 Die Gesuchsunterlagen sind massgeblich.
1.3 Jede Nutzungs- bzw. bauliche Änderung bedarf einer Bewilligung.
1.4 Abbruch- und Aushubmaterial ist vorschriftsgemäss zu entsorgen.
1.5 Die östliche Abgrenzung des Hundeausbildungsplatzes hat eine Distanz von 6 m zum Waldrand bzw. Zufahrtsweg einzuhalten.
1.6 Auf eine Beleuchtung des Hundeausbildungsplatzes ist zu verzichten.
1.7 Das Gebäude auf dem Areal des Hundeausbildungsplatzes ist bis spätestens 31. Dezember 2008 entfernt.
1.8 Ausserhalb der Kurstage dürfen auf dem ganzen Areal keine Gerätschaften stehen. Die Geräte sind unmittelbar vor Kursbeginn aufzustellen, und sämtliche Geräte sind nach dem jeweiligen Kurs/Anlass unverzüglich wieder abzubauen.
1.9 Die Emissionsbegrenzungen nach <ref-law> sind einzuhalten.
1.10 Auf dem Hundeausbildungsplatz hat Ordnung und Sauberkeit zu gelten. Es ist der Gemeinde Baar bis zum 31. Dezember 2008 ein Plan mit Angabe über einen Versäuberungsplatz einzureichen.
1.11 Die Nichtbefolgung der Auflagen und das nicht-professionelle Führen der Hundeausbildungskurse führt zum Entzug der Betriebsbewilligung.
2. Die Erteilung der gemeindlichen Baubewilligung bleibt ausdrücklich vorbehalten. Die Gemeinde wird diesen Entscheid mit der Bau- und Betriebsbewilligung der Bauherrschaft zustellen und eine Kopie ihrer Vertretung bzw. dem Grundeigentümer übermitteln."
B. Gegen diese Verfügung des ARP reichte X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Zug Beschwerde ein und beantragte, die Punkte der Auflagen und Bedingungen Nrn. 1.6, 1.8 und 1.9 (recte 1.10) seien zu streichen.
Mit Urteil vom 28. April 2009 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde teilweise gut und hob die Ziff. 1.8 und 1.10 der Auflagen und Bedingungen der angefochtenen Verfügung des ARP auf. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts. Zudem verlangt es, das Baugesuch des Beschwerdegegners vom 16. September 2008 sei abzuweisen. Eventualiter sei die Verfügung des Amtes für Raumplanung vom 13. November 2008 zu bestätigen, mit Ausnahme des vom Verwaltungsgericht aufgehobenen zweiten Satzes der Auflage 1.10 ("Es sei der Gemeinde Baar bis zum 31. Dezember 2008 ein Plan mit Angabe über einen Versäuberungsplatz einzureichen.").
D. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Einwohnergemeinde Baar verzichtet auf eine Stellungnahme. Das Amt für Raumplanung des Kantons Zug stellt im Namen des Kantons Zug den Antrag, die Beschwerde sei unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer abzuweisen. X._ verlangt die Abweisung der Beschwerde und die Übernahme der Verfahrenskosten durch das Bundesamt.

Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren betreffend eine bewilligungspflichtige zonenwidrige Anlage ausserhalb der Bauzone und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zu Grunde. Das Bundesgerichtsgesetz enthält auf dem Gebiet des Bau- und Planungsrechts keinen Ausschlussgrund von der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a und Art. 83 BGG).
1.2 Mit dem angefochtenen Entscheid wird auf einem Gelände in der Landwirtschaftszone und damit ausserhalb der Bauzone kantonal letztinstanzlich ein Hundeausbildungsplatz mit verschiedenen Auflagen und Bedingungen bewilligt. Dieses Erkenntnis stellt einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> dar.
1.3 Die Beschwerdeberechtigung des Bundesamts für Raumentwicklung ergibt sich aus <ref-law> i.V.m. Art. 48 Abs. 4 der Verordnung vom 28. Juni 2000 über die Raumplanung (Raumplanungsverordnung, RPV, SR 700.1).
1.4 Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2. 2.1 Das Verwaltungsgericht geht zutreffend davon aus, der in Frage stehende Hundeausbildungsplatz sei in der Landwirtschaftszone zonenfremd. Seiner Ansicht nach kann die verlangte Umnutzung des Landwirtschaftslandes daher nur als Ausnahme im Sinne von Art. 24a RPG (SR 700) bewilligt werden. Mit Ausnahme der Beleuchtungseinrichtungen seien diese Voraussetzungen für den umstrittenen Hundeausbildungsplatz erfüllt, weil dafür keine baulichen Massnahmen im Sinne von Art. 22 Abs. 2 lit. a RPG erforderlich seien. Die für den Betrieb notwendigen "Agility-Geräte" seien wegen ihrer geringen Grösse keine bewilligungspflichtigen Bauten. Anders verhalte es sich mit den Beleuchtungseinrichtungen.
2.2 Das Verwaltungsgericht hat den umstrittenen Hundeausbildungsplatz zu Recht als Anlage im Sinne von Art. 24 ff. RPG bezeichnet, welche nach Ziff. 1.9 der Verfügung des kantonalen Amtes für Raumplanung vom 13. November 2008 die Emissionsbegrenzungen nach <ref-law> einzuhalten hat. Erfordert die Änderung des Zwecks einer Baute oder Anlage ausserhalb der Bauzonen keine baulichen Massnahmen im Sinne von Art. 22 Abs. 1 RPG, so ist gemäss Art. 24a Abs. 1 RPG eine Ausnahmebewilligung zu erteilen, wenn durch die Zweckänderung keine neuen Auswirkungen auf Raum, Erschliessung und Umwelt entstehen (lit. a) und die Änderung nach keinem anderen Bundeserlass unzulässig ist (lit. b).
2.3 Nach dem klaren Wortlaut von Art. 24a RPG ist es nicht massgebend, ob eine zonenwidrige Anlage ausserhalb der Bauzone erhebliche oder bloss geringfügige Auswirkungen hat; sobald die Zweckänderung von Land ausserhalb der Bauzone mit einer Mehrbelastung der Erschliessung oder der Umwelt verbunden ist, fällt eine Bewilligung gemäss Art. 24a RPG ausser Betracht (Urteil des Bundesgerichts 1A.214/2002 vom 12. September 2003 E. 5.1.1, in ZBl 106/2005 S. 152; Urteil 1A.274/2006 vom 6. August 2007 E. 3.2.3; WALDMANN/HÄNNI, Raumplanungsgesetz, 2006, Art. 24a N. 6).
Es ist offensichtlich und bedarf keiner weiteren Begründung, dass der Hundeausbildungsplatz zu einer Zunahme des Verkehrsaufkommens und daher zu einer Mehrbelastung von Erschliessung und Umwelt im Sinne von Art. 24a RPG führen würde. Er kann somit entgegen der Auffassung des Verwaltungsgerichts und des Beschwerdegegners nicht gestützt auf Art. 24a RPG bewilligt werden. Der Umstand, dass einzelne auf dem Platz aufgestellte "Agility-Geräte" für sich betrachtet nicht baubewilligungspflichtig sind, vermag daran nichts zu ändern. Entscheidend ist eine Gesamtbetrachtung der umstrittenen Anlage.
3. Diese Erwägungen führen zum Ergebnis, dass die Beschwerde des Bundesamtes für Raumentwicklung gutzuheissen und die gestützt auf Art. 24a RPG erteilte Baubewilligung aufzuheben ist.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind dem unterliegenden privaten Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug vom 28. April 2009 sowie die gestützt auf Art. 24a RPG erteilte Baubewilligung des Gemeinderats Baar vom 26. November 2008 und die Verfügung des kantonalen Amts für Raumplanung vom 13. November 2008 werden aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem privaten Beschwerdegegner auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Baar, dem Amt für Raumplanung und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Verwaltungsrechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Haag