Sachverhalt:
A. Die 1974 geborene G._ schloss 2002 ihre Ausbildung zur Orchesterdirigentin an der X._ ab. Seit 2001 arbeitete sie teilzeitlich als Chorleiterin/Dirigentin bei der Gemeinde Y._ sowie als Orchesterdirigentin/künstlerische Leiterin bei der Orchestergesellschaft B._. Ab 2005 war sie zudem als Dirigentin beim Kammerchor W._ tätig.
Im Dezember 2007 trat bei G._ eine Autoimmunkrankheit auf, diagnostiziert als "akute demyelinisierende Erkrankung, foudroyanter MS-Schub, DD: ADEM". Im Februar 2008 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Aargau klärte die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse ab. Sie sprach der Versicherten Hilfsmittel (Rollstuhl, Rutschbrett, WC-Sitzerhöhung, Treppensteiggerät, WC-Dusch- und Trockenanlage, bauliche Änderungen, Gehhilfe etc.) und eine Hilflosenentschädigung zu. Des Weitern übernahm sie die Kosten für ein Belastbarkeits-/Aufbautraining beim Kammerchor W._ vom 1. Dezember 2008 bis 30. November 2009 und richtete für diese Zeit Taggelder aus. Mit Wirkung auf Ende November 2009 wurden die Integrationsmassnahmen beendet. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle den Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 19. Oktober 2010).
B. Beschwerdeweise liess G._ das Rechtsbegehren stellen, es sei ihr eine ganze IV-Rente zuzusprechen. Die Sache sei zur Ermittlung des massgebenden Sachverhalts, konkret zur Klärung der verbleibenden Arbeitsfähigkeit anhand eines aktuellen und detaillierten Berichtes des behandelnden Arztes, und zur Überprüfung des Invaliditätsgrades an die IV-Stelle zurückzuweisen. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hiess die Beschwerde teilweise gut, hob die angefochtene Verfügung auf und sprach G._ eine halbe Invalidenrente mit Wirkung ab 1. Dezember 2009 zu (Entscheid vom 29. November 2011).
C. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, die Beschwerde sei unter Bestätigung der Verfügung der IV-Stelle gutzuheissen und der kantonale Entscheid insoweit aufzuheben, als der Versicherten eine Rente der Invalidenversicherung zugesprochen worden sei. Eventualiter sei die Beschwerde gutzuheissen und der kantonale Entscheid insoweit aufzuheben, als der Versicherten ab April 2010 mehr als eine Viertelsrente zugesprochen worden sei. In prozessualer Hinsicht wird beantragt, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
G._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Die IV-Stelle verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Verfügung vom 28. Mai 2012 hat das Bundesgericht der Beschwerde des BSV die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2. Es steht fest und ist unbestritten, dass die IV-Stelle den allfälligen Rentenbeginn zu Recht auf den 1. Dezember 2009 festgesetzt hat. Uneinigkeit besteht in der Frage, wie der Invaliditätsgrad zu ermitteln ist.
2.1 Das Beschwerde führende BSV stellt sich auf den Standpunkt, bei richtiger Anwendung der Einkommensvergleichsmethode resultiere kein anspruchsbegründender Invaliditätsgrad. Es macht im Wesentlichen geltend, es sei nicht korrekt, für die Beurteilung der Unterdurchschnittlichkeit des Valideneinkommens das Anforderungsniveau 1+2 des Tabellenlohnes heranzuziehen. Ohnehin falle aber eine Parallelisierung der Vergleichseinkommen ausser Betracht, wenn - wie vorliegend - auf Seite des Invalideneinkommens auf konkrete tatsächliche Löhne abgestellt werde, zumal wenn sich dabei die gleichen invaliditätsfremden Faktoren negativ auf das Lohnniveau auswirkten, welche bereits das Valideneinkommen negativ beeinflusst hätten. Eventualiter, falls doch zu parallelisieren wäre, müsste für das Jahr 2010 von veränderten wirtschaftlichen Verhältnissen ausgegangen werden, welche revisionsweise zu berücksichtigen wären (Anspruch auf eine Viertelsrente ab April 2010).
2.2 Nach Auffassung der Beschwerdegegnerin ist die von der Vorinstanz vorgenommene Parallelisierung der Vergleichseinkommen richtig. Sie bringt vor, das BSV mache mit der entsprechenden Rüge keine Rechtsverletzung geltend; die Festsetzung des Valideneinkommens sei eine Sachverhaltsfrage, welche das Bundesgericht nicht überprüfen dürfe. Die Aufwertung des Validenein-kommens sei eine Frage des Ermessens. Eine Ermessensüberschreitung oder ein Ermessensmissbrauch werde zu Recht nicht dargetan. Für den Fall, dass das Bundesgericht das Valideneinkommen wider Erwarten doch prüfe, sei es angemessener, den Invaliditätsgrad mittels Betätigungsvergleichs zu bestimmen, welche Methode ebenso zu einem Invaliditätsgrad von mehr als 50 % führe.
3. Streitig und zu prüfen ist zunächst die von der Beschwerdegegnerin aufgeworfene Frage der anwendbaren Methode der Invaliditätsbemessung. Sie beschlägt Rechtliches und kann daher vom Bundesgericht frei überprüft werden (Urteil 9C_236/2009 vom 7. Oktober 2009 E. 3.4, in: SVR 2010 IV Nr. 11 S. 35) .
3.1 Die Vorinstanz ging davon aus, dass die Versicherte im Gesundheitsfalle weiterhin zu 70 % erwerbstätig gewesen wäre. Mit Blick darauf, dass die Beschwerdegegnerin seit ihrem Abschluss an der Musikhochschule im Jahre 2002 (d.h. in den letzten fünf Jahren vor Stellung des Rentengesuchs) nie in einem 100 %-Pensum tätig war, sind diese tatsächlichen Feststellungen (vgl. dazu Urteil I 708/06 vom 23. November 2006 E. 3.1) nicht offensichtlich unrichtig oder unvollständig und daher für das Bundesgericht verbindlich. Daran vermag die in den Akten keine Stütze findende Behauptung der Versicherten, sie sei vor der Erkrankung zu mehr als 100 % Dirigentin gewesen, nichts zu ändern. Ohnehin wäre auch diesfalls der Invaliditätsgrad anhand der Einkommensvergleichsmethode zu ermitteln.
3.2 Nicht zu überzeugen vermag, was die Beschwerdegegnerin für die Anwendbarkeit des erwerblich gewichteten Betätigungsvergleichs vorbringt. Denn wie sich aus den nachstehenden Erwägungen ergibt, kann nicht die Rede davon sein, dass sich die beiden hypothetischen Vergleichseinkommen (oder wenigstens eines davon) nicht zuverlässig ermitteln oder schätzen liessen, was indessen Voraussetzung für die Durchführung des von der Versicherten im letztinstanzlichen Verfahren vorgeschlagenen ausserordentlichen Bemessungsverfahrens wäre (<ref-ruling> E. 1 S. 30 f.; Urteil 9C_236/2009 vom 7. Oktober 2009 E. 3 und 4, in: SVR 2010 IV Nr. 11 S. 35). Hinzu kommt, dass der erwerblich gewichtete Betätigungsvergleich von der Natur der Sache her auf Selbstständigerwerbende zugeschnitten ist (Ulrich Meyer, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum IVG, 2. Aufl. 2010, S. 299; Urteil 8C_346/2012 vom 24. August 2012 E. 4.5), die Beschwerdegegnerin aber als Unselbstständigerwerbende zu qualifizieren ist.
4. Im Rahmen der Einkommensvergleichsmethode gelangen die IV-Stelle und das BSV zu einem rentenausschliessenden (36 % [2009] nach der IV-Verfügung vom 19. Oktober 2010) und die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerin zu einem rentenbegründenden Invaliditätsgrad (49.53 % bzw. gerundet 50 % gemäss dem angefochtenen Entscheid).
4.1 Dem Invalideneinkommen ist nach IV-Stelle, Vorinstanz und BSV übereinstimmend der tatsächlich erzielte Verdienst zugrundezulegen (Fr. 26'300.- [2009]), weil die Versicherte ihre zumutbare Restarbeitsfähigkeit damit voll ausschöpft, besonders stabile Verhältnisse vorliegen und ihr kein Soziallohn gezahlt wird (<ref-ruling> E. 5.2 S. 301). Weiterungen dazu erübrigen sich.
4.2 Hinsichtlich der vom Bundesamt gerügten Festsetzung des Valideneinkommens macht die Beschwerdegegnerin zu Unrecht geltend, es handle sich um eine vom Bundesgericht nicht überprüfbare Tatfrage. Denn dies trifft nur zu, soweit die Ermittlung des Valideneinkommens auf konkreter Beweiswürdigung beruht; demgegenüber stellt sie eine Rechtsfrage dar, soweit sich der Entscheid nach der allgemeinen Lebenserfahrung richtet (beispielsweise die Fragen, ob Tabellenlöhne anwendbar sind, welches die massgebliche Tabelle ist und ob ein [behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter] Leidensabzug vorzunehmen sei; <ref-ruling> E. 3.3 S. 399; Urteil 9C_189/2008 vom 19. August 2008 E. 1 in fine und 4, in: SVR 2009 IV Nr. 6 S. 11). Rechtlicher Natur ist sodann auch die Frage, ob die Voraussetzungen für eine Parallelisierung der Vergleichseinkommen erfüllt sind (beispielsweise die Frage, ob die Abweichung vom branchenüblichen Durchschnittseinkommen die Erheblichkeitsschwelle erreicht; <ref-ruling> E. 6.1.1 S. 302). Im hier zu beurteilenden Fall steht gerade diese Rechtsfrage, ob die Vorinstanz die Rechtsprechung zur Parallelisierung der Vergleichseinkommen richtig angewendet hat, im Zentrum. Sie ist vom Bundesgericht frei zu prüfen (vgl. E. 1 hiervor).
4.3 Im Rahmen der Ermittlung des Valideneinkommens zog die Vorinstanz zwar wie die IV-Stelle die Einkommen heran, welche die Versicherte im Jahr 2009 beim Kammerchor W._, der Orchestergesellschaft B._ sowie beim Kirchenchor Y._ als Orchesterdirigentin, musikalische Leiterin und Chorleiterin (drei Teilpensen von insgesamt 70 %) erzielt hätte (Fr. 41'139.-). Anders als die IV-Stelle wertete sie diese Einkommen unter Hinweis auf die Rechtsprechung zur Parallelisierung der Vergleichseinkommen (um 33.01 % [Kammerchor W._], 26.57 % [Orchestergesellschaft B._] und 21.41 % [Gemeinde Y._]) auf, dies mit der Begründung, die tatsächlichen Einkommen lägen erheblich (38.01 %, 31.57 % und 26.41 %) unter dem branchenüblichen Lohn gemäss Lohnstrukturerhebung (LSE; Tabelle TA1, Anforderungsniveau 1+2, Frauen, 90-93 sonstige öffentliche und persönliche Dienstleistungen, Unterhaltung, Kultur und Sport). Auf diese Weise gelangte sie für das Jahr 2009 zu einem Valideneinkommen von Fr. 52'108.- .
4.4 Die Vorinstanz stützte sich hierfür auf die Rechtsprechung, wonach in den Fällen, in denen eine versicherte Person aus invaliditätsfremden Gründen (z.B. geringe Schulbildung, fehlende berufliche Ausbildung, mangelnde Deutschkenntnisse, beschränkte Anstellungsmöglichkeiten wegen Saisonnierstatus) ein deutlich unterdurchschnittliches Einkommen erzielt, diesem Umstand bei der Invaliditätsbemessung nach Art. 16 ATSG Rechnung zu tragen ist, sofern keine Anhaltspunkte dafür bestehen, dass sie sich aus freien Stücken mit einem bescheideneren Einkommensniveau begnügen wollte (<ref-ruling> E. 5c/bb S. 157 mit Hinweisen). Mit diesem Vorgehen wird der Grundsatz gewahrt, dass die auf invaliditätsfremde Gesichtspunkte zurückzuführenden Lohneinbussen entweder überhaupt nicht oder aber bei beiden Vergleichseinkommen gleichmässig zu berücksichtigen sind (<ref-ruling> E. 4.4 S. 225).
Praxisgemäss kann diese Parallelisierung der Einkommen entweder auf Seiten des Valideneinkommens durch eine entsprechende Heraufsetzung des effektiv erzielten Einkommens oder durch Abstellen auf die statistischen Werte (<ref-ruling> E. 5.1 S. 300 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 325) oder aber auf Seiten des Invalideneinkommens durch eine entsprechende Herabsetzung des statistischen Wertes erfolgen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 300 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 59). Dabei gilt der tatsächlich erzielte Verdienst als unterdurchschnittlich, wenn er mindestens 5 % vom branchenüblichen Tabellenlohn abweicht; eine Parallelisierung der Vergleichseinkommen hat jedoch - bei Erfüllen der übrigen Voraussetzungen - nur in dem Umfang zu erfolgen, in welchem die prozentuale Abweichung den Erheblichkeitsgrenzwert von 5 % übersteigt (<ref-ruling> E. 6.1.2 und 6.1.3 S. 302 ff.).
Eine Parallelisierung der Vergleichseinkommen rechtfertigt sich nach der Rechtsprechung aufgrund der Überlegung, dass nicht anzunehmen ist, eine gesundheitlich beeinträchtigte versicherte Person könnte einen (anteilmässig) durchschnittlichen Lohn erzielen, wenn sie schon in der Tätigkeit, die sie als Gesunde ausgeführt hatte, einen deutlich unterdurchschnittlichen Lohn erzielt hatte, weil ihre persönlichen Eigenschaften (namentlich fehlende Ausbildung oder Sprachkenntnisse, ausländerrechtlicher Status) die Erzielung eines Durchschnittslohnes verunmöglicht hatten (BGE <ref-ruling> E. 3.4.3 S. 62 und 297 E. 5.1 S. 301; vgl. zum Ganzen: Meyer, a.a.O., S. 321 ff.).
4.5 Es steht fest und ist unbestritten, dass die Versicherte aus invaliditätsfremden Gründen - nach den Mutmassungen des BSV die schlecht bezahlte Branche, die Zersplitterung durch mehrere kleine Teilzeitstellen, der Karrierebeginn etc. - als Gesunde mit ihrer Tätigkeit beim Kammerchor W._, der Orchestergesellschaft B._ und der Kirchgemeinde Y._ nur ein unterdurchschnittliches Einkommen erzielt hat. Seit Eintritt des Gesundheitsschadens übt sie mit Ausnahme ihrer Tätigkeit beim Kirchenchor Y._ dieselben Tätigkeiten aus. Damit wirken sich die gleichen invaliditätsfremden Faktoren lohnmindernd auch auf ihr - mithin ebenfalls unterdurchschnittlich ausfallendes - Invalideneinkommen aus. Haben mit anderen Worten bei Validen- und Invalideneinkommen die gleichen invaliditätsfremden Faktoren einen negativen Einfluss auf das Lohnniveau, erübrigt sich eine dem Ausgleich von Verzerrungen dienende Parallelisierung der Vergleichseinkommen im Sinne der in E. 4.4 dargelegten Rechtsprechung.
4.6 Für eine Erhöhung des Valideneinkommens kann - entgegen der Auffassung der Versicherten - auch nicht angeführt werden, es müsste berücksichtigt werden, dass im Zeitpunkt des Krankheitseintritts offene Kapazitäten bestanden hätten, welche mit Aufträgen hätten gefüllt werden können. Denn das versicherte Risiko in der Invalidenversicherung ist nicht der Verlust von Erwerbsmöglichkeiten, sondern die effektive, gesundheitlich bedingte Einbusse im Erwerbseinkommen. Mit anderen Worten ist bei einer versicherten Person, welche im Gesundheitsfall ihr wirtschaftliches Potential nicht voll ausnützt, der nicht verwertete Teil der Erwerbsfähigkeit nicht versichert (BGE <ref-ruling> E. 3.4.1 S. 61; <ref-ruling> E. 5.1.2 S. 53).
4.7 Der Einwand des BSV, es bestehe keine Handhabe für eine Parallelisierung der Vergleichseinkommen, ist nach dem in E. 4.5 Dargelegten begründet. Demnach ist das Valideneinkommen auf dem (unterdurchschnittlichen) Wert von Fr. 41'139.- (Vorinstanz) bzw. Fr. 41'320.- (IV-Stelle) zu belassen. Es erübrigen sich Weiterungen zu den vom BSV beschwerdeweise thematisierten Fragen des anwendbaren LSE-Tabellenwertes (massgebliche Stufe [Anforderungsniveau 1+2 oder 4]), welche Frage einen Einfluss auf das Mass der Unterdurchschnittlichkeit hätte, und der Begründungspflicht im Zusammenhang mit der vorinstanzlichen Feststellung, wonach Anhaltspunkte für einen freiwilligen Verzicht auf ein höheres Einkommen fehlten.
4.8 Bei dieser Sachlage ist der vorinstanzliche, der Beschwerdegegnerin eine halbe Rente zusprechende Entscheid aufzuheben. Die an die tatsächlich erzielten Einkommen anknüpfende Invaliditätsbemessung der IV-Stelle, welche zu einem rentenausschliessenden Invaliditätsgrad führt, ist Rechtens.
5. Die Gerichtskosten sind der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 29. November 2011 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und der IV-Stelle des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. November 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann