Fatti:
A. A.a C._, nato nel 1963, all'epoca dei fatti dipendente della ditta X._ SA in qualità di gerente di un bar e, in quanto tale, assicurato d'obbligo contro gli infortuni presso la Allianz Suisse Società di Assicurazioni SA, in data 5 ottobre 2008 è caduto dalle scale riportando una contusione alla caviglia sinistra. Il caso è stato assunto dall'assicuratore infortuni, il quale ha corrisposto le prestazioni di legge.
Per decisione del 13 febbraio 2009, sostanzialmente confermata il 15 maggio seguente anche in seguito all'opposizione interposta dall'interessato, l'assicuratore infortuni ha negato, con effetto dal 1° marzo 2009, ogni ulteriore obbligo di prestazione per difetto del necessario nesso di causalità tra i disturbi lamentati e l'infortunio in esame.
Adito su ricorso dell'assicurato, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha annullato la decisione su opposizione e rinviato gli atti alla Allianz per l'esecuzione di accertamenti specialistici più approfonditi relativi all'eziologia dei disturbi al piede sinistro (pronuncia del 5 ottobre 2009).
A.b Dando seguito alla pronuncia di rinvio, la Allianz ha affidato l'incarico di compiere i necessari accertamenti alla Clinica Y._. Preso atto delle conclusioni peritali, l'assicuratore infortuni ha confermato la decisione di non erogare ulteriori prestazioni dopo il 1° marzo 2009 per carenza del necessario nesso di causalità tra l'infortunio e i disturbi accusati dall'assicurato (decisione del 21 gennaio 2011 e decisione su opposizione del 4 agosto 2011).
B. Adito nuovamente dall'assicurato, il Tribunale cantonale delle assicurazioni, statuendo per giudice unico, ha confermato l'operato dell'assicuratore infortuni (pronuncia del 29 febbraio 2012).
C. C.a Patrocinato dall'avv. Tuto Rossi, l'assicurato ha presentato ricorso al Tribunale federale, al quale, protestate spese e ripetibili, chiede di annullare il giudizio cantonale e di condannare la Allianz a ripristinare la rendita (recte: l'indennità giornaliera) e a pagare gli arretrati a decorrere dal 1° marzo 2019 (recte: 2009) oltre interessi del 5% da quella data. Subordinatamente postula il rinvio della causa all'istanza precedente affinché disponga un complemento istruttorio.
Non sono state chieste osservazioni al gravame.
C.b Pendente lite, la Clinica Y._ ha trasmesso per conoscenza a questa Corte un nuovo rapporto medico, datato 22 maggio 2012.

Diritto:
1. In via preliminare si osserva come il nuovo rapporto della Clinica Y._ è posteriore al giudizio impugnato e pertanto inammissibile anche perché non si vede in quale misura si realizzerebbero le condizioni per eccezionalmente ammettere il nuovo mezzo di prova ai sensi dell'<ref-law>.
2. Oggetto della lite è il tema di sapere se all'assicurato sia stato correttamente negato il diritto a prestazioni assicurative a contare dal 1° marzo 2009.
3. Nei considerandi dell'impugnato giudizio, l'autorità di ricorso cantonale ha in modo esatto ed esauriente esposto i principi giurisprudenziali disciplinanti la materia. In particolare ha precisato a quali condizioni sono dati i requisiti per l'erogazione di prestazioni assicurative rilevando fra l'altro come la relazione causale naturale tra infortunio e danno alla salute debba essere dimostrata secondo il grado della verosimiglianza preponderante, una semplice possibilità non bastando. Allo stesso modo, essa autorità ha giustamente rammentato che pure l'estinzione del nesso di causalità deve essere stabilita con il grado della verosimiglianza preponderante richiesto in materia di assicurazioni sociali, la semplice possibilità che l'evento non esplichi più effetto causale non essendo per contro sufficiente. Alla pronuncia impugnata può così essere fatto riferimento e prestata adesione.
4. La Corte cantonale, dopo avere proceduto ad un'attenta analisi della perizia 17 giugno 2010 - compresi un suo complemento del 2 novembre 2010 e le ulteriori precisazioni fornite il 2 febbraio 2012 - allestita dalla Clinica Y._ in attuazione di quanto ordinato dalla pronuncia di rinvio del 5 ottobre 2009, ha sostanzialmente rilevato che le turbe soggettivamente risentite dall'assicurato non avevano trovato sufficiente correlazione sul piano oggettivo, sicché, nella misura in cui non poteva essere individuata l'origine dei disturbi dal profilo medico-scientifico, la decisione non poteva che risultare sfavorevole per l'interessato nel senso che i disturbi stessi non potevano essere ritenuti in nesso causale naturale con l'evento del 5 ottobre 2008.
5. 5.1 Nella loro perizia, gli specialisti della Clinica Y._ hanno chiaramente negato la presenza di postumi organici oggettivabili, suscettibili di spiegare i dolori neuropatici accusati dal ricorrente anche dopo il 1° marzo 2009. Contrariamente a quanto indicato dalla pronuncia querelata, ciò non esclude tuttavia a priori l'esistenza di un nesso di causalità naturale con l'evento traumatico in esame (cfr. SVR 2012 UV n. 5 pag. 17 [8C_310/2011] consid. 5.1 con riferimenti). Nel caso di disturbi in relazione di causalità naturale con l'infortunio, ma senza deficit funzionali organici oggettivabili, occorre piuttosto procedere a un esame particolare dell'adeguatezza del nesso causale. Se da tale esame emerge non essere dato il necessario nesso di causalità adeguata, si può rinunciare a esperire ulteriori indagini sulla questione della causalità naturale tra l'infortunio e i disturbi lamentati (<ref-ruling> consid. 5.1 pag. 472). È quanto si avvera nell'evenienza concreta.
5.2 Stante la palese inapplicabilità della prassi relativa ai colpi di frusta, ai fini dell'esame dell'adeguatezza del nesso causale devono essere applicati alla presente fattispecie i criteri sviluppati in materia di evoluzione psichica abnorme conseguente a infortunio (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 112; cfr. pure la recente sentenza 8C_498/2011 del 3 maggio 2012 consid. 4, destinata alla pubblicazione).
Per stabilire il nesso di causalità adeguato tra disturbi psichici e infortunio, la giurisprudenza ha sviluppato dei criteri obiettivi e ha in particolare classificato gli infortuni, a seconda della dinamica, nella categoria degli eventi insignificanti o leggeri, in quella degli eventi gravi e in quella degli eventi di grado medio (<ref-ruling> consid. 6 pag. 138 segg.).
Nei casi di infortunio insignificante o leggero, l'esistenza di un nesso di causalità adeguata tra evento ed eventuali disturbi psichici può di regola essere a priori negata. Secondo l'esperienza della vita e ritenute le cognizioni acquisite in materia di medicina degli infortuni, può in effetti essere ammesso che un infortunio insignificante o leggero non sia di natura tale da provocare un'incapacità lavorativa e di guadagno di origine psichica (<ref-ruling> consid. 6a pag. 139).
Nella fattispecie, non vi è alcun dubbio che la caduta dalle scale in questione dev'essere classificata nella predetta categoria degli infortuni insignificanti o leggeri.
6. Posto quanto precede, il ricorso dev'essere respinto e la pronuncia impugnata confermata, quantomeno nel suo risultato, per difetto del necessario rapporto di causalità adeguata tra i disturbi tuttora accusati dall'interessato e l'infortunio oggetto della lite. Le spese seguono la soccombenza e sono poste a carico del ricorrente (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 750.- sono poste a carico del ricorrente.
3. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale della sanità pubblica.