Fatti:
A.
Nell'ottobre 1996 A._, residente in Italia, ha aperto il conto denominato xxx presso la B._SA. Lo ha chiuso nel giugno 2002 per approfittare delle agevolazioni del cosiddetto scudo fiscale.
L'8 settembre 2008 il cliente ha avviato una causa civile davanti al Pretore di Lugano chiedendo che la banca fosse condannata a pagargli fr. 97'728.61; nel corso della procedura la domanda è stata convertita in Euro 60'701.55. L'attore sosteneva che quest'ultima somma era stata prelevata indebitamente dal suo conto il 2 giugno 1999 falsificando le firme sua e di sua madre sulla ricevuta bancaria. La convenuta si è opposta all'azione adducendo l'autenticità delle firme e l'accettazione dell'operazione da parte del cliente, informato su tutti i movimenti del conto.
Il Pretore ha respinto la petizione il 27 dicembre 2012. La II Camera civile del Tribunale di appello ticinese ha a sua volta respinto l'appello dell'attore con sentenza del 1° aprile 2014.
B.
A._ insorge davanti al Tribunale federale con un atto del 2 maggio 2014 intitolato " Ricorso in materia di diritto civile e ricorso sussidiario in materia costituzionale ". Chiede che la sentenza cantonale sia annullata e che il suo appello del 1° febbraio 2013 sia accolto.
La B._SA propone di respingere il ricorso con risposta del 13 giugno 2014. L'autorità cantonale non si è pronunciata.

Diritto:
1.
Il ricorso è presentato dalla parte soccombente nella procedura cantonale (<ref-law>), è tempestivo (<ref-law>) ed è volto contro una sentenza finale (<ref-law>) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75LTF) in una causa civile (<ref-law>) con un valore litigioso superiore a fr. 30'000.-- (<ref-law>). Il ricorrente non quantifica la propria domanda di riforma del giudizio cantonale, contravvenendo di per sé all'<ref-law>. L'omissione non pregiudica tuttavia l'ammissibilità del ricorso in materia civile poiché, nella seconda richiesta di giudizio del gravame, il ricorrente chiede l'accoglimento del proprio appello, le cui domande sono state riprese nella motivazione della sentenza impugnata, ed è quindi desumibile la sua volontà di postulare la condanna dell'opponente al pagamento di Euro 60'701.55 (<ref-ruling> consid. 6.2 pag. 621 seg.).
Il ricorso sussidiario in materia costituzionale è invece improponibile d'entrata (<ref-law>).
2.
Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>). Tuttavia, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione imposto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, di regola esso considera solo gli argomenti proposti nell'atto di ricorso (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.1).
In linea di massima il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può scostarsene o completarlo solo se è stato effettuato in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto (<ref-law>). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere censurato alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
Se rimprovera all'autorità cantonale un accertamento dei fatti manifestamente inesatto - chesignifica arbitrario (<ref-ruling> consid. 4.2 con rinvii; <ref-ruling> consid. 1.2.2) - il ricorrente deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.5 pag. 314; <ref-ruling> consid. 2.2). Il giudice cantonale fruisce di un grande potere discrezionale nel campo dell'apprezzamento delle prove (e dell'accertamento dei fatti in genere). Il ricorrente che invoca l'arbitrio deve pertanto spiegare e dimostrare con precisione, sotto pena dell'inammissibilità della censura, che la sentenza impugnata ha ignorato il senso e la portata di un mezzo di prova pertinente, ha omesso senza ragioni valide di tenere conto di una prova importante suscettibile di modificare l'esito della lite, oppure ha ammesso o negato un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (<ref-ruling> consid. 4.1.2 pag. 62; <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62; <ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 2.1).
3.
La Corte cantonale ha costatato che agli atti vi sono un Parere tecnico su firme e nome A._ e C._ prodotto dall'attore e un Preavviso di perizia calligrafica di firme allestito dalla Polizia scientifica, su richiesta del Ministero pubblico, nell'ambito del procedimento penale, poi abbandonato, a carico di un dipendente della convenuta e di un gestore patrimoniale esterno dell'attore. Il primo documento è stato definito di parte. I giudici cantonali si sono invece soffermati sul secondo, nel quale si legge, a mo' di conclusione, che " Gli accertamenti tecnici intrapresi sostengono l'ipotesi secondo la quale le firme apposte sulla fiche di prelevamento datata del 2 giugno 1999 sono state falsificate ". Pur riconoscendo a questo referto un " valore probatorio accresciuto ", la Corte cantonale ha considerato che non si tratta di una " prova certa ", poiché vi è formulata solo un'ipotesi; oltretutto, hanno aggiunto, la parte convenuta, che non era parte nel procedimento penale, non ha potuto partecipare all'assunzione della prova.
Il ricorrente contesta la valutazione di questa prova da parte dell'autorità cantonale. A parer suo il termine " ipotesi " starebbe a significare che la verifica calligrafica ha confermato "l a tesi/ipotesi avanzata dall'attore ". La perizia non avrebbe perciò " carattere indiziario "; proverebbe invece in modo decisivo la falsità delle firme.
Questa critica è espressa in modo appellatorio. Il ricorrente non adduce né motiva l'errore manifesto o l'arbitrio; si limita a contrapporre la propria interpretazione a quella dell'autorità cantonale, rinviando peraltro anche a quanto egli avrebbe esposto in sede di appello. Per di più egli non si confronta con l'argomentazione dell'autorità cantonale secondo la quale la parte convenuta non ha potuto partecipare all'assunzione della prova peritale.
Ne viene l'inammissibilità della censura volta contro l'apprezzamento della perizia calligrafica.
4.
La Corte ticinese ha accertato che il ricorrente, sebbene avesse chiesto e ottenuto la documentazione completa concernente i movimenti del suo conto una prima volta nell'aprile 2002 poi ancora all'inizio del 2006, ha mosso le prime contestazioni soltanto nel 2008; ha in seguito stabilito che tale silenzio, durato sei anni, è " indiziante di correttezza e accettazione " e che le " rimostranze sollevate dopo un così lungo periodo violano il principio della buona fede e non possono essere accolte ".
Il ricorrente censura anche questa parte del giudizio, in fatto e diritto. Non è tuttavia necessario esaminare queste contestazioni. S'è detto che secondo gli accertamenti della sentenza cantonale commentati sopra, che rimangono vincolanti (<ref-law>), il ricorrente non ha provato la falsificazione delle due firme sulla ricevuta bancaria. La sua azione andava perciò respinta a prescindere dall'argomentazione aggiuntiva della sentenza impugnata.
5.
Le spese e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 4'000.-- sono poste a carico del ricorrente, che rifonderà all'opponente fr. 5'000.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.