Sachverhalt:
A.
B._ und A._ wurden an der Delegiertenversammlung des damaligen Zweckverbandes D._ (heute Zweckverband C._; nachstehend Zweckverband) vom 22. Juni 1987 als Heimleiter gewählt. Am 19. Oktober 2010 führte das Amt für soziale Sicherheit des Kantons Solothurn im Zentrum C._ einen Aufsichtsbesuch durch. Gestützt auf den Aufsichtsbericht vom 28. Oktober 2010 verfügte dieses am 10. Februar 2011 unter anderem, dass die Ausbildung des Heimleiters in einem Äquivalenzverfahren geprüft werden müsse und diesem die Möglichkeit geboten werden solle, eine Aus- und Weiterbildung in Bezug auf Kommunikation und Organisation zu absolvieren. Seit dem 10. Februar 2011 war B._ gestützt auf ein Zeugnis des behandelnden Psychiaters, Dr. med. X._, bis auf weiteres krankgeschrieben. Nachdem der Vorstand des Zweckverbandes an der Sitzung vom 3. März 2011 mit B._ und A._ das weitere Vorgehen bezüglich der Heimleitung besprochen hatte, berichtete die Zeitung E._ in der Ausgabe vom 5. März 2011 über eine sofortige einvernehmliche Auflösung des Arbeitsverhältnisses mit dem Leiterpaar. Mit Schreiben vom 21. März 2011 verlangte deren Rechtsvertreter vom Zweckverband zu diesen Aussagen eine Erklärung.
Mit Eingabe vom 19. April 2011 reichten B._ und A._ beim Regierungsrat des Kantons Solothurn Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsbeschwerde gegen den Zweckverband ein. Der Vorstand des Zweckverbandes bekundete daraufhin mit Schreiben vom 9. Juli 2011 seine Absicht, das ordentliche Kündigungsverfahren einzuleiten. Den Betroffenen wurde im Sinne der Gewährung des rechtlichen Gehörs Frist zur Stellungnahme angesetzt. B._ und A._ ersuchten daraufhin um Akteneinsicht und stellten ein Ausstandsbegehren gegen die Präsidentin und den Vizepräsidenten des Zweckverbandes. Am 2. August 2011 reichten sie ein weiteres Rechtsverweigerungsbegehren gegen den Zweckverband ein.
Der Zweckverband wies das Ausstandsbegehren am 10. August 2011 ab. Gleichzeitig beschloss dieser, das Anstellungsverhältnis mit B._ und A._ unter Einhaltung der ordentlichen Kündigungsfrist per 30. November 2011 aufzulösen.
B._ reichte gegen die Kündigung Beschwerde beim Volkswirtschaftsdepartement (VWD) des Kantons Solothurn ein. Mit Entscheid vom 9. Januar 2012 schrieb das VWD die Rechtsverweigerungsbeschwerden als gegenstandslos geworden ab. Die Beschwerde von B._ betreffend Kündigung wies es ab.
B.
Die von B._ dagegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 17. Juli 2013 ab.
C.
B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung beantragen.
Während das Verwaltungsgericht auf eine Vernehmlassung verzichtet, lässt der Zweckverband auf Abweisung der Beschwerde schliessen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Diese betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>. Da mit der angefochtenen Kündigung Lohnforderungen und allenfalls weitere geldmässige Ansprüche in Zusammenhang stehen, liegt eine vermögensrechtliche Streitigkeit vor, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht gegeben ist.
1.2. In vermögensrechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet der öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisse ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, wenn der Streitwert (gemäss <ref-law>) nicht weniger als Fr. 15'000.- beträgt (<ref-law>) oder wenn sich eine Frage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Letzteres wird vom Beschwerdeführer nicht geltend gemacht (vgl. <ref-law>), weshalb sich die Zulässigkeit der Beschwerde an der Streitwertgrenze von <ref-law> entscheidet. Der Streitwert bestimmt sich bei Beschwerden gegen Endentscheide nach den Begehren, die vor Vorinstanz streitig geblieben sind (<ref-law>). Lautet ein Begehren nicht auf Bezahlung einer bestimmten Geldsumme, setzt das Bundesgericht gemäss <ref-law> den Streitwert nach Ermessen fest. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Kündigung sei während der krankheitsbedingten Sperrfrist erfolgt und daher ungültig. Ihm stünden folglich während fortdauerndem Arbeitsverhältnis die entsprechenden Lohnfortzahlungen von monatlich rund Fr. 10'000.- zu. Nach dem angefochtenen Entscheid ist von einem Streitwert von über Fr. 15'000.- auszugehen. Die Streitwertgrenze von <ref-law> ist erreicht.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht (einschliesslich der verfassungsmässigen Rechte) gerügt werden. Die Verletzung von kantonalrechtlichen Bestimmungen kann - vorbehältlich politische Rechte umschreibender Normen (<ref-law>) - lediglich in Form der Verletzung von kantonalen verfassungsmässigen Rechten (<ref-law>) oder für den Fall gerügt werden, dass damit gleichzeitig Bundesrecht oder Völkerrecht verletzt wird (so etwa bei einer Verletzung von Grundrechten der BV, insbesondere des Willkürverbots [<ref-law>] oder des Rechtsgleichheitsgebots [<ref-law>]).
2.2. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht gilt demgegenüber eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>). Das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid die Grundrechte oder kantonales und interkantonales Recht verletzt, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 3.2 S. 400).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.4. Willkür in der Rechtsanwendung liegt dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 319 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; <ref-ruling> E. 5.1 S. 22, je mit Hinweisen).
3.
Strittig ist, ob die vom Beschwerdegegner am 10. August 2011 verfügte Kündigung des Arbeitsverhältnisses gemäss angefochtenem Entscheid rechtmässig ist.
3.1. Der Beschwerdeführer war Angestellter des Zweckverbandes. Unbestritten ist, dass es sich um ein öffentlich-rechtliches Anstellungsverhältnis handelt. Der Zweckverband ist gemäss § 166 Abs. 1 des Gemeindegesetzes des Kantons Solothurn vom 16. Februar 1992 (GG; BGS 131.1) eine öffentlich-rechtliche Körperschaft mit eigener Rechtspersönlichkeit. Nach § 179 GG sind auf die Angestellten der Zweckverbände die Bestimmungen des fünften Titels sinngemäss anzuwenden (§§ 111 ff. GG). Darauf verweist ausdrücklich auch Art. 22 der Statuten des Zweckverbandes. Gemäss § 120 Abs. 1 GG ist das Dienstverhältnis der Angestellten - ausser bei aushilfsweisen und befristeten Arbeitsverhältnissen (§ 120 Abs. 4 GG) - in der Regel öffentlich-rechtlich. § 121 GG sieht vor, dass jede Gemeinde in einer Dienst- und Gehaltsordnung die Rechte und Pflichten des haupt- und nebenamtlichen Gemeindepersonals festzuhalten hat. Gemäss § 209 GG sind die von der Gesetzgebung vorgeschriebenen rechtsetzenden Gemeindereglemente "nur gültig, wenn sie vom Departement, dessen Sachgebiet sie betreffen, genehmigt worden sind" (Abs. 1). Vorbehalten bleiben abweichende gesetzliche Regelungen (Abs. 2). Die Zweckverbände und die übrigen der Zusammenarbeit der Gemeinden dienenden öffentlich-rechtlichen Organisationen unterstehen wie die Gemeinden der Staatsaufsicht (§ 215 GG).
3.2. Der Zweckverband, welcher bisher über keine Dienst- und Gehaltsordnung verfügte, beschloss an der Delegiertenversammlung vom 27. November 1996 die Dienst- und Gehaltsordnung Zweckverband D._ (nachfolgend: DGO 1997) und setzte diese auf den 1. Januar 1997 in Kraft. Nach den unbestrittenen Feststellungen des Verwaltungsgerichts wurde diese nicht dem zuständigen Departement zur Genehmigung vorgelegt. Dieses Erfordernis erfüllt erst die seit 1. Januar 2012 in Kraft stehende Dienst- und Gehaltsordnung des Zweckverbandes C._.
3.3. Es fragt sich, welche rechtliche Konsequenz dieser Mangel zur Folge hat. Im Urteil 2C_86/2009 vom 19. November 2009, wo es um Gebühren für den Wasserverbrauch ging, hielt das Bundesgericht fest, die Genehmigung sei nach dem klaren Wortlaut von § 209 Abs. 1 GG konstitutiv. Ein zu genehmigendes Reglement werde nur gültig, wenn die vorgeschriebene Genehmigung erteilt worden sei. Der nicht genehmigten Tariferhöhung wurde die Rechtsverbindlichkeit abgesprochen und der Tarifänderung die Anwendung versagt, da es gegen das Willkürverbot und das <ref-law> zugrundeliegende Legalitätsprinzip verstosse, wenn eine kommunale Norm zulasten eines Abgabepflichtigen angewendet werde, obwohl sie nach dem höherrangigen kantonalen Recht nicht rechtsgültig geworden sei.
3.4. Das Verwaltungsgericht hat erwogen, der Beschwerdeführer habe sich seinerzeit beim Zweckverband beworben, sein Einverständnis mit den Anstellungsbedingungen erklärt und schliesslich die Wahl angenommen. Ein Arbeitsvertrag in der üblichen schriftlichen Form liege nicht vor. Es sei jedoch davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer in den Jahren 1987 bis 2011 seine Arbeit nach den Vorgaben des Arbeitgebers verrichtet und dafür einen Lohn bezogen habe. Ab 1. Januar 1997 habe sich das Arbeitsverhältnis im beidseitigen Einvernehmen nach den Bestimmungen der DGO 1997 gerichtet, welche somit trotz fehlender Genehmigung durch das zuständige Departement zwischen den Parteien zur Anwendung komme. Eine aushilfs- und ersatzweise Anwendung der Bestimmungen des Gesetzes des Kantons Solothurn vom 27. September 1992 über das Staatspersonal (Staatspersonalgesetz; BGS 126.1) würde nach Ansicht des Verwaltungsgerichts die Gemeindeautonomie des Zweckverbandes verletzen und dem Grundsatz von Treu und Glauben widersprechen. Aufgrund des Verweises in § 73 DGO 1997 auf die Bestimmungen des Obligationenrechts komme dieses als subsidiäres kommunales Recht zur Anwendung (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 236; Urteil 8C_451/2013 vom 20. November 2013 E. 5.2.2). Die Kündigungsbeschränkungen richteten sich mangels anderslautender Regelung in der DGO 1997 nach <ref-law>, weshalb bei Krankheit gemäss <ref-law> von einer Sperrfrist von 180 Tagen auszugehen sei. Diese Frist sei am 9. August 2011 (Krankschreibung ab 10. Februar 2011) abgelaufen. Mit dem Beschluss der Kündigung vom 10. August 2011 sei diese Frist auf alle Fälle gewahrt, die verfügte Kündigung daher nicht zur Unzeit erfolgt und demzufolge nicht nichtig im Sinne von <ref-law>.
3.5. Laut Beschwerdeführer hat das Verwaltungsgericht mit dem Abstellen auf die Bestimmungen der DGO 1997 auf die Frage der Rechtmässigkeit der Kündigung eine gemäss § 209 Abs. 1 GG ungültige Bestimmung angewendet und damit gegen das Willkürverbot (<ref-law>) und das Legalitätsprinzip (<ref-law>; Art. 5 der Verfassung des Kantons Solothurn vom 8. Juni 1986; KV; BGS 111.1) verstossen. Da die Gemeinden gemäss dem klaren Wortlaut von § 209 Abs. 1 GG nur mit Zustimmung der kantonalen Behörden rechtsetzende Gemeindereglemente erlassen dürften, sei die vorinstanzliche Auslegung willkürlich, wonach gestützt auf die Gemeindeautonomie die DGO 1997 und subsidiär die Bestimmungen des Obligationenrechts dennoch anwendbar seien. Ausserdem bemängelt er eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>; Art. 18 Abs. 2 KV), weil die Vorinstanz die Parteien nicht dazu befragt habe, ob sie gutgläubig von der Anwendung der DGO 1997 ausgegangen seien und sich danach organisiert hätten in der Meinung, diese sei geltendes Recht, was bestritten werde. Abgesehen davon beruhe die Annahme, Treu und Glauben könne einem formell nicht zustande gekommenen Gemeindereglement Gültigkeit verschaffen, auf einer willkürlichen Anwendung von § 209 Abs. 1 GG. Lückenfüllend komme stattdessen das Staatspersonalgesetz zur Anwendung.
3.6. Das Legalitätsprinzip (<ref-law>) ist - abgesehen von seiner spezifischen Bedeutung im Strafrecht und im Abgaberecht - kein verfassungsmässiges Individualrecht, sondern ein Verfassungsgrundsatz, dessen Missachtung nicht selbstständig, sondern nur im Zusammenhang mit der Verletzung des Grundsatzes der Gewaltenteilung, der Rechtsgleichheit, des Willkürverbots oder eines speziellen Grundrechts gerügt werden kann (<ref-ruling> E. 2.1 S. 163 mit Hinweisen). Insbesondere kann aus dem Legalitätsprinzip keine verfassungsmässige Garantie auf einen gerichtlichen Rechtsschutz abgeleitet werden (<ref-ruling> E. 4 S. 392). In seiner Ausgestaltung als Rechtssatzvorbehalt dient das Legalitätsprinzip dazu, eine rechtsgleiche Behandlung vergleichbarer Fälle sicherzustellen. Zu diesem Zweck sollen sich denn auch die Rechte und Pflichten der öffentlich Bediensteten im Grundsatz aus einem (zumindest materiellen) Gesetz ergeben (Urteil 8D_6/2013 vom 13. November 2013 E. 4.3).
3.7. Durch die Ungültigkeit der DGO 1997 ist eine vom kommunalen Gesetzgeber nicht gewollte Lücke entstanden, welche vom Gericht und den rechtsanwendenden Behörden auszufüllen ist (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.2 S. 60). Wenn das Verwaltungsgericht diese durch sinngemässe Anwendung der Bestimmungen der DGO 1997 gefüllt hat, erscheint dies als vertretbar. Die DGO 1997 wurde an der Vorstandssitzung des Zweckverbandes vom 13. November 1996 einlässlich beraten. Wie dem Protokoll zu entnehmen ist, beruhte der Entwurf auf den bisher im Zweckverband geltenden und angewandten Regelungen. Dieser wollte sich soweit wie möglich am Privatrecht und damit am Obligationenrecht orientieren. Dies ergibt sich auch aus dem Ingress der von der Delegiertenversammlung am 27. November 1996 genehmigten DGO 1997 und deren Verweis auf das Obligationenrecht. Das Staatspersonalgesetz bildete aufgrund der Materialien nicht Grundlage der DGO 1997, und es wird auch nicht darauf verwiesen. Insofern unterscheidet sich der vorliegende Sachverhalt von dem in <ref-ruling> beurteilten Fall. Bis zur Feststellung der Nichtgenehmigung der DGO 1997 durch das VWD gingen die Parteien von dessen Anwendbarkeit auf ihr Rechtsverhältnis aus, wie sich unter anderem dem Kündigungsbeschluss des Zweckverbandes vom 10. August 2011 und den Eingaben des Beschwerdeführers an den Regierungsrat vom 19. April 2011 und an das Amt für Gemeindeorganisation vom 25. August 2011 entnehmen lässt. Die Annahme der Vorinstanz, das Arbeitsverhältnis habe sich im beidseitigen Einvernehmen nach der DGO 1997 gerichtet, erweist sich daher nicht als offensichtlich unrichtig. Der Zweckverband hat seine Dienst- und Gehaltsordnung nach Kenntnis der fehlenden Genehmigung in weitgehend unveränderter Form - insbesondere unter Beibehaltung des Verweises auf das Obligationenrecht als subsidiäres kommunales Recht - durch das VWD genehmigen lassen. Auch wenn der Erlass als Grundlage für Akte im Abgaberecht nicht zu genügen vermöchte (vgl. bereits erwähntes Urteil 2C_86/2009), ist die Rechtsauffassung des Verwaltungsgerichts, dass im vorliegenden Zusammenhang lückenfüllend auf die DGO 1997 und nicht auf das Staatspersonalgesetz abzustellen sei, im Rahmen eines freiwillig eingegangenen besonderen Rechtsverhältnisses unter dem Gesichtswinkel des angerufenen Willkürverbots vertretbar. Sie steht auch im Einklang damit, dass mit der in § 121 GG statuierten Delegation an die Gemeinden zum Erlass einer Dienst- und Gehaltsordnung deren Legitimation zur Rechtsetzung gesichert wurde. Dadurch, dass das Verwaltungsgericht die Kündigung nach der DGO 1997 und dem Obligationenrecht beurteilt hat, nahm es somit keine unerlaubte Lückenfüllung (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2 S. 711 mit Hinweisen) vor. Vielmehr hält seine Betrachtungsweise vor dem Willkürverbot stand.
4.
4.1. Aufgrund der vorstehenden Überlegungen kann den Bestimmungen der DGO 1997 die lückenfüllende Anwendbarkeit grundsätzlich nicht abgesprochen werden. Nach dessen § 64 Abs. 1 kann der Arbeitgeber das Anstellungsverhältnis kündigen. Die Frist richtet sich nach § 63 DGO 1997. Danach können definitiv angestellte Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer unter Einhaltung einer gegenseitigen Kündigungsfrist von drei Monaten je auf Ende des Monats kündigen (§ 63 Abs. 2 DGO 1997). Die Kündigung ist zu begründen (§ 64 Abs. 2 DGO 1997). Die Kündigungsbeschränkungen und die Kündigung zulässiger privatrechtlicher Anstellungsverhältnisse richten sich nach dem Obligationenrecht (§ 64 Abs. 3 DGO 1997). Gemäss § 61 DGO 1997 wird das Dienstverhältnis dem Grundsatz nach unter anderem dann aufgelöst, wenn der Arbeitgeber oder der Arbeitnehmer das Angestelltenverhältnis kündigt (lit. a), disziplinarische oder andere wichtige Gründe vorliegen (lit. d) oder wenn die Anstellungsvoraussetzungen weggefallen sind (lit. e). Nach § 67 Abs. 1 DGO 1997 kann einem Arbeitnehmer wegen mangelnder Eignung oder Leistungsfähigkeit oder weil das Verhalten zu berechtigten Klagen Anlass gab, gekündigt werden. Laut § 73 DGO 1997 kommen die Bestimmungen der einschlägigen Normalarbeitsverträge und bei deren Fehlen, die des Obligationenrechts zur Anwendung, wenn die Richtlinien und die individuellen Abmachungen das Arbeitsverhältnis nicht regeln.
4.2. Das Verwaltungsgericht ging davon aus, dass sich die Kündigungsbeschränkungen mangels spezifischer Regelung nach <ref-law> in Verbindung mit § 73 DGO 1997 richten. Gemäss <ref-law> darf der Arbeitgeber das Arbeitsverhältnis nicht kündigen, während der Arbeitnehmer ohne eigenes Verschulden durch Krankheit oder durch Unfall ganz oder teilweise an der Arbeitsleistung verhindert ist, und zwar ab dem sechsten Dienstjahr während 180 Tagen.
4.3. Der Beschwerdeführer vermag nicht darzutun, inwiefern die vorinstanzliche Auslegung, wonach vorliegend eine Sperrfrist von 180 Tagen auf jeden Fall gewahrt sei, willkürlich sein soll. Selbst wenn dem Beschwerdeführer folgend angenommen würde, die Kündigungsbeschränkungen des Obligationenrechts kämen gestützt auf § 64 Abs. 3 DGO 1997 lediglich im Rahmen der Kündigung privatrechtlicher Anstellungsverhältnisse zur Anwendung, käme nach dem in E. 3.7 hievor Gesagten nicht automatisch der zwölfmonatige Kündigungsschutz gemäss Art. 27 bis des Staatspersonalgesetzes zum Zuge. Vielmehr müsste mangels ausdrücklicher Statuierung einer Sperrfrist für die Kündigung öffentlich-rechtlicher Anstellungsverhältnisse in der DGO 1997 lediglich die dreimonatige Kündigungsfrist gemäss § 64 Abs. 1 in Verbindung mit § 63 Abs. 2 DGO 1997 eingehalten werden. Soweit der Beschwerdeführer einwendet, die Einhaltung einer Sperrfrist für die Aussprechung der Kündigung öffentlich-rechtlicher Arbeitsverhältnisse durch den Arbeitgeber bei nicht selbstverschuldeter Krankheit gehöre zu den allgemein unumstrittenen Grundzügen der schweizerischen Rechtsordnung, weshalb Abweichungen davon einer klaren gesetzlichen Grundlage bedürften, erweist sich sein Einwand als unbehelflich (vgl. dazu <ref-ruling>; <ref-ruling>). Auch soweit sich der Beschwerdeführer auf den Anspruch auf Leistungen bei Krankheit, Unfall und Schwangerschaft gemäss § 58 Abs. 2 DGO 1997 beruft, welcher bei länger andauernder Arbeitsverhinderung (innerhalb zwölf aufeinander folgender Monate) eine Lohnzahlung von 80 Prozent bis zum Eintritt des Rentenfalles vorsieht, kann daraus nicht auf eine entsprechende Sperrfrist für die Kündigung geschlossen werden. Diese Bestimmung sieht lediglich vor, dass der Arbeitgeber den Lohn während einer beschränkten Zeit weiterzubezahlen hat, wenn der Arbeitnehmer auf Grund einer krankheits- oder unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit seine Arbeitsleistung nicht erbringen kann. Die Verpflichtung setzt damit voraus, dass der Arbeitgeber zur Lohnzahlung verpflichtet wäre, wenn der Arbeitnehmer seine Arbeitsleistung erbracht hätte. Die Lohnfortzahlungspflicht gilt - vorbehältlich einer anderslautenden Regelung - grundsätzlich nur, soweit und solange ein Arbeitsverhältnis besteht. Der zeitliche Kündigungsschutz und die Lohnfortzahlungspflicht sind in der DGO 1997 (anders als etwa in § 27 ter Abs. 2 lit. b in Verbindung mit § 47 Abs. 1 lit. b des Staatspersonalgesetzes) nicht koordiniert (vgl. zur fehlenden Koordination im Obligationenrecht Urteil 4C.315/ 2006 vom 10. Januar 2007 E. 3).
4.4. Nach den unbestrittenen und für das Bundesgericht somit verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz war der Beschwerdeführer ab dem 10. Februar 2011 durch Dr. med. X._ zu 100 Prozent krankgeschrieben, womit die 180-tägige Sperrfrist bis 9. August 2011 dauerte. Diese wurde vom Zweckverband mit der am 10. August 2011 beschlossenen Kündigung somit gewahrt.
5.
5.1.
5.1.1. Der Beschwerdegegner begründete die Kündigung primär mit der gesundheitlichen Verfassung des Beschwerdeführers, welche bewirke, dass diesem die notwendige Eignung fehle, seine Funktion als Leiter des Zentrums C._ weiterhin auszuüben. Die Vorinstanz hat in tatsächlicher Hinsicht für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (E. 2.3 hievor) festgestellt, dass der Beschwerdeführer gemäss Schreiben des behandelnden Psychiaters, Dr. med. X._, vom 1. Februar 2012 und Gutachten des Vertrauensarztes der Taggeldversicherung, Dr. med. Z._, vom 31. Mai 2011 zumindest für die angestammte Tätigkeit als Heimleiter dauerhaft vollständig arbeitsunfähig sei. Davon gehe auch der Beschwerdeführer selber aus, indem er durch seinen Rechtsvertreter ausführen lasse, er sei aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr imstande gewesen, seiner Funktion als Heimleiter beim Zweckverband nachzugehen. Der Beschwerdeführer legt nicht dar und es sind auch keine Anhaltspunkte ersichtlich, inwiefern die vorinstanzlichen Tatsachenfeststellungen offensichtlich unrichtig wären oder sonst wie gegen Bundesrecht verstossen würden.
5.1.2. Als weiteren Kündigungsgrund führte der Zweckverband unter Berufung auf den Aufsichtsbericht des Amtes für soziale Sicherheit vom 28. Oktober 2010 und dessen Verfügung vom 10. Februar 2011 die fehlende fachliche Eignung des Beschwerdeführers zur Führung eines Heims in der Grösse des Zentrums C._ an. Dieser Kündigungsgrund blieb von der Vorinstanz unbeanstandet und wird vom Beschwerdeführer grundsätzlich nicht in Frage gestellt, weshalb nicht näher darauf einzugehen ist.
5.1.3. Weiter begründete der Zweckverband die Kündigung damit, das für die Ausübung einer Kaderfunktion erforderliche Vertrauensverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und dem Vorstand sowie den Mitarbeitenden sei in einem Ausmass erschüttert, dass eine weitere Beschäftigung nicht mehr in Frage komme. Nach den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz anerkennt der Beschwerdeführer dies selber, wenn er davon ausgeht, dass eine Weiterbeschäftigung beim Zweckverband undenkbar sei.
5.1.4. Das Verwaltungsgericht gelangte zum Ergebnis, dass mit der mangelnden gesundheitlichen und fachlichen Eignung und dem massiv gestörten Vertrauensverhältnis die Kündigungsvoraussetzungen von § 67 DGO 1997 erfüllt seien und die Auflösung des Arbeitsverhältnisses im Lichte der DGO 1997 daher als gültig zu bestätigen sei. Zum selben Ergebnis führt laut den vorinstanzlichen Erwägungen auch eine Prüfung unter Berücksichtigung der staatspersonalrechtlichen Kündigungsvorschriften.
5.2. Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, eine Kündigung wegen mangelnder Eignung und Leistungsfähigkeit zufolge Krankheit sei nicht zulässig. Die DGO 1997 sehe eine Kündigung zufolge krankheitsbedingter Arbeitsunfähigkeit nicht vor. Da ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis nur gestützt auf eine gesetzliche Grundlage und aus zureichenden Gründen aufgelöst werden könne, liege eine Verletzung von <ref-law> und Art. 5 KV sowie eine willkürliche Rechtsanwendung (insbesondere von §§ 61 bis 69 DGO 1997) vor.
5.3. Die vorinstanzliche Auffassung, die Kündigungsvoraussetzungen gemäss DGO 1997 seien erfüllt, verstösst weder gegen das Legalitätsprinzip noch gegen das Willkürverbot. Für die ordentliche Kündigung eines öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisses müssen in jedem Fall sachliche oder triftige Gründe vorliegen, selbst wenn dies im Personalrecht nicht ausdrücklich verankert ist. Denn das aus <ref-law> fliessende Willkürverbot sowie der Verfassungsgrundsatz der Verhältnismässigkeit gebieten, dass eine Kündigung in pflichtgemässer Ermessensausübung nur gestützt auf sachliche Gründe ausgesprochen werden kann. Grundsätzlich ist eine Kündigung dann sachlich begründet, wenn die Weiterbeschäftigung des betreffenden Angestellten dem öffentlichen Interesse, insbesondere demjenigen einer gut funktionierenden Verwaltung, widerspricht (Urteil 8C_826/2009 vom 1. Juli 2010 E. 2; PETER HÄNNI, Das öffentliche Dienstrecht der Schweiz, 2. Aufl. 2008, S. 549 und S. 558). Es genügen objektive, nicht vom Arbeitnehmer verschuldete Gründe, wie beispielsweise gesundheitliche Probleme oder fachliches Unvermögen. Sachlich ist es daher nicht unhaltbar, einen Angestellten zu entlassen, der aus gesundheitlichen Gründen für seine Tätigkeit nicht mehr geeignet ist und seine Beschäftigung auf Dauer nicht wieder wird aufnehmen oder fortsetzen können (BGE <ref-ruling> E. 2b/bb S. 57; Urteil 2A.3/2001 vom 18. April 2001 E. 2b; HÄNNI, a.a.O., S. 558). Beruht die streitige Auflösung des Arbeitsverhältnisses auf der festgestellten gesundheitlichen Nichteignung des Beschwerdeführers, ist damit bereits ein zulässiger bzw. triftiger Grund gegeben. Der Beschwerdeführer blendet mit seiner Argumentation aus, dass der Zweckverband noch weitere Kündigungsgründe angeführt hat. Dazu äussert er sich nicht, und er legt insbesondere nicht dar, inwiefern der vorinstanzliche Entscheid diesbezüglich gegen Bundesrecht verstösst. Es muss daher nicht näher darauf eingegangen werden (E. 2.2. hievor).
5.4. Durfte die Vorinstanz somit ohne in Willkür zu verfallen annehmen, es liege ein sachlicher Kündigungsgrund vor, so ist der kantonale Entscheid bundesrechtlich nicht zu beanstanden. Die Beschwerde ist daher abzuweisen, ohne dass näher zu prüfen ist, ob die Kündigung entsprechend der Eventualbegründung des angefochtenen Entscheids auch unter dem Blickwinkel einer lückenfüllenden Anwendung des Staatspersonalgesetzes rechtmässig sei.
6.
Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, indem der Zweckverband gleichzeitig mit der Kündigung über das Ausstandsbegehren und das Gesuch um Akteneinsicht verfügt habe, sei sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden, ist darauf nicht näher einzugehen. Das Verwaltungsgericht hat sich mit den verfahrensrechtlichen Rügen eingehend befasst. Inwiefern der angefochtene Entscheid in diesem Punkt Recht verletzt, begründet der Beschwerdeführer nicht (E. 2.2 hievor). Es ist daher nicht weiter darauf einzugehen.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegende Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>; Urteile 8C_109/2011 vom 9. Februar 2012 E. 5; 8C_151/2010 vom 31. August 2010). Der Beschwerdegegner bringt nichts vor, das ein Abweichen von diesem Grundsatz rechtfertigen würde.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. Mai 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Hofer