Fatti:
A.
Il 16 aprile 2010 F._, nato nel 1958, già attivo in qualità di carpentiere, ha presentato una domanda di prestazioni AI lamentando le conseguenze invalidanti di un infortunio subito il 20 agosto 2009.
Esperiti gli accertamenti del caso, tra cui in particolare una valutazione medica pluridisciplinare a cura del Servizio X._, l'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) ha attribuito all'assicurato una rendita intera dal 1° ottobre 2010 al 31 dicembre 2011, negando in seguito il diritto a prestazioni (decisione del 9 novembre 2012, preavvisata il 21 dicembre 2011). Accertata una abilità lavorativa nulla nella professione abituale e limitata al 70% (per rendimento ridotto) dai mesi di giugno/luglio 2011 in attività sostitutive leggere, l'UAI ha infatti stabilito un grado d'invalidità del 31%, insufficiente per il mantenimento del diritto alla rendita.
B.
F._ si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino al quale ha chiesto di riconoscergli una rendita intera AI anche dopo il 31 dicembre 2011.
Con pronuncia del 19 settembre 2013 la Corte cantonale ha respinto il ricorso confermando il rifiuto di una rendita dopo tale data. Aderendo alla valutazione dell'amministrazione in merito al grado d'incapacità lavorativa residua (30%) in attività sostitutiva, il giudice di prime cure ha applicato una riduzione dal reddito base da invalido del 6.8% per tenere conto della differenza tra il reddito senza invalidità realizzato e quello mediamente conseguibile a livello nazionale nello specifico settore economico (gap salariale) e del 10% per tenere conto delle particolarità del caso (capacità di svolgere solo attività leggere), accertando così un tasso d'incapacità di guadagno arrotondato del 39%.
C.
L'assicurato ha presentato ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale al quale domanda, in via principale, di annullare il giudizio cantonale e di riconoscergli una rendita AI di almeno tre quarti dal 1° gennaio 2012; in via subordinata chiede di rinviare gli atti all'istanza per complemento peritale e nuovo giudizio con riconoscimento di almeno un quarto di rendita da tale data. In ogni caso chiede di essere dispensato dal pagamento delle spese giudiziarie e di essere posto al beneficio del gratuito patrocinio.
L'UAI propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi.

Diritto:
1.
Tema del contendere è la soppressione, con effetto dal 1° gennaio 2012, della rendita (intera) di invalidità erogata al ricorrente.
2.
Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, così come stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto (<ref-law>; cfr. tuttavia l'eccezione del cpv. 2) e non è pertanto vincolato né dagli argomenti sollevati nel ricorso né dai motivi addotti dall'autorità precedente. Per il resto, fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (<ref-law>) e vi si può scostare solo qualora questo accertamento sia avvenuto in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario (<ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62), o in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> (<ref-law>), e a condizione che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
3.
Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, l'autorità cantonale di ricorso ha già esposto le norme disciplinanti la materia, rammentando in particolare i presupposti e l'estensione del diritto alla rendita (<ref-law>), il metodo ordinario di confronto dei redditi per la determinazione del grado d'invalidità di assicurati esercitanti un'attività lucrativa (<ref-law>), i compiti del medico ai fini di tale valutazione e il valore probatorio generalmente riconosciuto ai referti medici fatti allestire da un tribunale o dall'amministrazione conformemente alle regole di procedura applicabili (<ref-ruling> consid. 4 pag. 261, 351 consid. 3b/ee pag. 353; cfr. pure <ref-ruling>; <ref-ruling>). A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione, non senza tuttavia ribadire che le condizioni (<ref-law>) e gli effetti temporali (<ref-law>; v. <ref-ruling>) della riduzione o soppressione di una rendita in caso di prima assegnazione retroattiva decrescente o temporanea sono regolati in analogia all'ipotesi di revisione (<ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 2d pag. 417; SVR 2006 IV n. 13 pag. 47, I 628/01, consid. 5). Pertanto, una riduzione o soppressione può essere adottata quando le circostanze di fatto (di natura valetudinaria e/o economica) rilevanti per il diritto alla rendita si sono modificate in maniera considerevole (cfr. <ref-ruling> consid. 3.5 pag. 349 con riferimenti). Modifica che nella fattispecie è incontestata nel principio, ma non nella sua misura.
4.
4.1. Con il giudizio impugnato la Corte cantonale ha confermato, nel suo risultato, la decisione amministrativa querelata ritenendo in particolare non esservi motivo alcuno di scostarsi dalle conclusioni peritali del Servizio X._ in merito al grado d'incapacità lavorativa residua. Il primo giudice ha accertato che l'assicurato presenta una problematica psichiatrica (episodio depressivo di lieve-media gravità, cronico [ICD-10 F 32.0-1]; sindrome somatoforme da dolore persistente [ICD-10 F 45.4]) e una di natura reumatologica (stato iperalgico del ginocchio destro a seguito di numerosi traumi e interventi; sindrome lombovertebrale e cervicovertebrale cronica) che incidono negativamente sulla sua capacità lavorativa. I disturbi psichiatrici che hanno limitato totalmente la capacità lavorativa dell'assicurato nella sua precedente attività, lo limiterebbero - in questa come in ogni altra attività - nella misura del 30% dal mese di luglio 2011. Dal profilo reumatologico l'esperto incaricato (dott. P._) ha invece quantificato in 1/3 il grado di limitazione - nel senso di una riduzione del rendimento - della capacità lavorativa dal mese di giugno 2011 (trascorsi oltre tre mesi dall'ultimo intervento chirurgico al ginocchio). Preso atto di ciò, il giudice di prime cure ha concluso, insieme ai periti del Servizio X._, per un grado di capacità lavorativa complessivo del 70%. L'incapacità psichiatrica e reumatologica non si sommerebbero poiché entrambe prenderebbero in considerazione il dolore cronico, sintomo principale accusato dall'interessato.
Quanto al fatto, rilevato dall'assicurato in sede ricorsuale cantonale come pure dal servizio medico regionale dell'AI (SMR), che i periti avrebbero complessivamente quantificato al 70% il grado di capacità lavorativa residua nonostante già solo in ambito reumatologico il dott. P._ avesse ravvisato una inabilità di 1/3 (dunque del 33.3%), la Corte cantonale ha osservato che tutti i consulenti intervenuti hanno comunque avuto modo di visionare e approvare, nell'ambito della discussione avvenuta per via di circolazione, i contenuti della perizia, comprese dunque le diagnosi e la valutazione globale. A questo riguardo il giudizio impugnato rileva inoltre che i responsabili del Servizio X._, interpellati espressamente in merito ai motivi di questa discrepanza, nella loro risposta del 1° febbraio 2013 hanno dichiarato di ritenere sempre valida la valutazione del dott. P._, ma di avere comunque deciso " per praticità " di arrotondare la percentuale al 70%, dato che una diminuzione del rendimento del 30% sarebbe maggiormente praticabile.
4.2. Il ricorrente rimprovera essenzialmente alla Corte cantonale un accertamento arbitrario dei fatti determinanti per avere avallato l'arrotondamento per difetto, per motivi di mera praticità e dunque non di ordine medico, del grado d'incapacità lavorativa rilevato in ambito reumatologico e per avere di conseguenza stabilito un grado complessivo di inabilità del 30% malgrado la doppia inabilità parziale dal profilo psichiatrico (30%) e reumatologico (33.33%). L'insorgente lamenta inoltre l'assenza di una effettiva discussione plenaria fra gli esperti interessati in merito a detto arrotondamento. Il giudizio impugnato risulterebbe pertanto manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale e in contraddizione urtante con il sentimento di giustizia ed equità. L'eliminazione del vizio sarebbe oltretutto suscettibile di modificare in maniera determinante l'esito della causa perché sulla base del calcolo operato dalla stessa Corte cantonale, riconoscendo almeno il 33.3% di incapacità lavorativa residua, il grado d'invalidità si attesterebbe al 41% con conseguente mantenimento di almeno un quarto di rendita.
Il ricorrente ravvisa inoltre un accertamento arbitrario dei fatti pure nella misura in cui il giudice di prime cure, aderendo alla valutazione del Servizio X._, ha deciso di non sommare, almeno parzialmente, i due gradi di incapacità lavorativa in ambito reumatologico e psichiatrico. Per l'insorgente le affezioni di natura reumatologica e psichiatrica non sarebbero da ricondurre unicamente al dolore cronico. Le due incapacità lavorative sarebbero quindi, almeno parzialmente, indipendenti l'una dall'altra e giustificherebbero il riconoscimento di un grado complessivo di almeno il 55% e, quindi, di un tasso d'invalidità del 60% tale da conferire il diritto a tre quarti di rendita dopo il 31 dicembre 2011.
5.
5.1. Per giurisprudenza, gli accertamenti dell'autorità giudiziaria di ricorso in merito al danno alla salute, alla capacità lavorativa dell'assicurato e all'esigibilità di un'attività professionale - nella misura in cui quest'ultimo giudizio non si fonda sull'esperienza generale della vita - riguardano questioni di fatto che possono essere riesaminate da questa Corte solo in maniera molto limitata (v. consid. 2; <ref-ruling> consid. 3.2 pag. 398).
5.2. L'arbitrio non si realizza già qualora la soluzione proposta con il ricorso possa apparire sostenibile o addirittura preferibile a quella contestata; il Tribunale federale annulla la pronunzia criticata solo se il giudice del merito ha emanato un giudizio che appare - e ciò non solo nella motivazione bensì anche nell'esito - manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale, gravemente lesivo di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso oppure in contraddizione urtante con il sentimento della giustizia e dell'equità (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 211 con rinvii). Per quanto concerne più in particolare l'apprezzamento delle prove e l'accertamento dei fatti, il giudice incorre nell'arbitrio se misconosce manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, se omette senza valida ragione di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 9).
5.3. Il compito del medico consiste nel mettere a disposizione delle autorità amministrative e giudiziarie quelle informazioni specialistiche di carattere medico che esulano dal loro campo di conoscenze e di cui dette autorità hanno bisogno per potere valutare con cognizione di causa l'invalidità. Il medico interpellato deve infatti emettere un giudizio sullo stato di salute e indicare in quale misura e in quali attività l'assicurato è incapace al lavoro, la documentazione medica costituendo un importante elemento di giudizio per determinare quali lavori siano ancora ragionevolmente esigibili dall'assicurato (<ref-ruling> consid. 4 pag. 261; <ref-ruling> consid. 2 pag. 134).
Nella fattispecie è incontestato che l'arrotondamento, al 30%, del grado complessivo d'incapacità lavorativa residua è avvenuto per meri motivi di praticità e non propriamente di ordine medico (cfr. sopra, consid. 4.1 in fine). Il Servizio X._ non si è infatti limitato a rendere una valutazione di natura medico specialistica sulle limitazioni della capacità lavorativa ma ha parzialmente fondato questo giudizio anche su considerazioni di carattere extra sanitario, del tutto estranee al mandato affidatogli e al campo di competenza per il quale era stato chiamato a rendere il proprio apprezzamento. In questa (limitata) misura l'accertamento della Corte cantonale, che ha confermato l'arrotondamento proposto dal Servizio X._, è insostenibile perché contrasta con la realtà (medica) dei fatti e non trova fondamento negli atti di causa.
5.4. Conferma del resto, almeno indirettamente, l'insostenibilità dell'accertamento giudiziario su questo punto pure la reazione mostrata dall'amministrazione alla precisazione 1° febbraio 2013 del Servizio X._. Malgrado detto chiarimento, sia il dott. E._ del SMR nella sua presa di posizione del 4 febbraio 2013 sia lo stesso UAI nella sua risposta al ricorso cantonale hanno infatti indicato che l'assicurato doveva essere ritenuto abile al lavoro nella misura del 66.66% in attività adeguata al suo stato di salute. In questo modo anche l'amministrazione si è distanziata dall'arrotondamento proposto dai responsabili del Servizio X._ disattendendone implicitamente la motivazione.
5.5. Non modifica infine questa conclusione neppure l'argomento - addotto dalla Corte cantonale a giustificazione del proprio operato - secondo cui gli esperti coinvolti nella realizzazione della perizia pluridisciplinare del Servizio X._ avrebbero confermato, con l'apposizione della loro firma, di avere preso atto dei contenuti della stessa e di concordare con le diagnosi e le conclusioni ivi contenute. Già il fatto che la motivazione dell'arrotondamento del grado di incapacità lavorativa residua sia emersa - per quanto accertato dallo stesso giudizio impugnato - per la prima volta in maniera esplicita solo in sede giudiziaria cantonale, e più precisamente nella ricordata risposta 1° febbraio 2013 dei responsabili del Servizio X._, permette di quanto meno dubitare - come osserva il ricorrente - che la valutazione su questo punto sia avvenuta, per via di circolazione, nell'ambito di un'effettiva discussione consensuale tra tutti gli esperti intervenuti alla realizzazione del referto peritale del 26 giugno 2012, come invece sostiene il primo giudice. Ma anche a prescindere da questa considerazione, la conclusione peritale sulla (in) capacità lavorativa complessiva residua è contraddetta in maniera evidente e rilevante ai fini del giudizio dalla valutazione parziale del dott. P._ (per il solo ambito reumatologico), la cui validità è oltretutto stata confermata dagli stessi responsabili del Servizio X._ ancora nella presa di posizione del 1° febbraio 2013. Anche per questo motivo, il richiamo del Tribunale cantonale alla sentenza 9C_262/2013 per giustificare la soluzione qui in esame non è pertinente. Contrariamente al caso di specie, nella citata vertenza la perizia parziale non conteneva infatti nulla che facesse dubitare o rendesse addirittura sbagliata la valutazione della perizia principale.
5.6. L'accertamento della Corte cantonale in merito al grado d'incapacità lavorativa residua (30%) del ricorrente va dunque corretto in quanto manifestamente inesatto. Questa valutazione va rivista al 33.3% (<ref-law>). L'apprezzamento del primo giudice in merito alla non cumulabilità - in ragione della loro sovrapponibilità (v. sopra, consid. 4.1) - delle incapacità lavorative parziali riscontrate in ambito reumatologico e psichiatrico è invece quanto meno sostenibile. Giova ricordare all'insorgente che la questione - prettamente medica e scaturita dopo ponderata discussione collegiale fra gli esperti interessati - di principio non può essere rimessa in discussione dal giudice, tanto meno in assenza, come nella fattispecie, di convincente smentita specialistica (cfr. sentenza 9C_330/2012 del 7 settembre 2012 consid. 3.3.3 con riferimento).
6.
Di conseguenza, posto un reddito da valido di fr. 59'629.96 e un reddito da invalido di fr. 34'933.30 (anno di riferimento: 2012) - ottenuto dopo avere dedotto dal reddito base di fr. 62'438.92 una percentuale del 6.8% per gap salariale (cfr. <ref-ruling> consid. 6.1.3 pag. 304 seg.; <ref-ruling> consid. 6.2 pag. 329), del 33.3% per l'incapacità lavorativa residua e del 10% per le particolarità personali e professionali del caso (cfr. <ref-ruling>) -, si ottiene un grado d'invalidità, arrotondato (<ref-ruling>), del 41%. Per quanto precede, al ricorrente va riconosciuto il diritto a un quarto di rendita dal 1° gennaio 2012. A eccezione del grado d'incapacità lavorativa residua, l'insorgente non contesta infatti gli altri elementi di calcolo dell'invalidità accertati in maniera vincolante dalla Corte cantonale. Quanto al momento della riduzione (cfr. <ref-law>), esso può essere fissato al 1° gennaio 2012, come indicato da tutte le parti in causa (cfr. <ref-law>). In questa misura il ricorso va parzialmente accolto e la pronuncia cantonale come pure la decisione amministrativa del 9 novembre 2012 devono essere modificate.
7.
Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e vanno ripartite fra le parti (<ref-law>). Il ricorrente ha chiesto di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. Tuttavia, nella misura in cui non è divenuta priva d'oggetto a seguito dell'accoglimento parziale del ricorso, la domanda va (per la parte rimanente) respinta. In effetti, la richiesta di tre quarti di rendita era - tenuto conto dell'accertamento senz'altro sostenibile della Corte cantonale in merito alla non cumulabilità delle incapacità lavorative parziali riscontrate in ambito reumatologico e psichiatrico - sin dall'inizio priva di possibilità di successo. Parzialmente vincente in causa, F._, rappresentato da un legale, ha diritto a un'indennità di parte ridotta (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è parzialmente accolto. La sentenza del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 19 settembre 2013 e la decisione dell'Ufficio dell'assicurazione invalidità del Cantone Ticino del 9 novembre 2012 sono riformate nel senso che il ricorrente ha diritto a un quarto di rendita AI dal 1° gennaio 2012. Per il resto, il ricorso è respinto.
2.
Nella misura in cui non è divenuta priva di oggetto, la domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3.
Le spese giudiziarie, fissate in complessivi fr. 800.-, sono poste a carico del ricorrente in misura di fr. 500.- e dell'opponente in misura di fr. 300.-.
4.
L'opponente verserà al patrocinatore del ricorrente la somma di fr. 1200.- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
5.
La causa viene rinviata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino per nuova decisione sulle spese giudiziarie e sulle ripetibili nella procedura precedente.
6.
Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.