Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Mit rechtskräftiger Verfügung vom 4. Juni 2003 verneinte die IV-Stelle Basel-Stadt auf Anmeldung vom Januar 2003 hin einen Anspruch der 1951 geborenen, als Hausfrau und Mutter tätigen E._ auf eine Invalidenrente mit der Begründung, der gestützt auf medizinische Unterlagen und eine Haushaltsabklärung bestimmte Invaliditätsgrad betrage lediglich - nicht rentenbegründende - 29 %.
Auf eine erneute Anmeldung zum Leistungsbezug vom August 2004 trat die IV-Stelle mit der Begründung nicht ein, eine anspruchsrelevante tatsächliche Veränderung sei auch mit dem von der Versicherten eingereichten Zeugnis des Dr. med. H._, Spezialarzt FMH für Innere Medizin, vom 8. September 2004 nicht glaubhaft gemacht worden (Verfügung vom 15. September 2004). Die von E._ hiegegen erhobene Einsprache wies die Verwaltung ab, soweit sie darauf eintrat (Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2005).
Auf eine erneute Anmeldung zum Leistungsbezug vom August 2004 trat die IV-Stelle mit der Begründung nicht ein, eine anspruchsrelevante tatsächliche Veränderung sei auch mit dem von der Versicherten eingereichten Zeugnis des Dr. med. H._, Spezialarzt FMH für Innere Medizin, vom 8. September 2004 nicht glaubhaft gemacht worden (Verfügung vom 15. September 2004). Die von E._ hiegegen erhobene Einsprache wies die Verwaltung ab, soweit sie darauf eintrat (Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2005).
B. Auf Beschwerde der Versicherten hin hob das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt den Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2005 auf, und es wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit diese die Neuanmeldung vom August 2004 materiell prüfe (Entscheid vom 31. August 2006).
B. Auf Beschwerde der Versicherten hin hob das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt den Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2005 auf, und es wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit diese die Neuanmeldung vom August 2004 materiell prüfe (Entscheid vom 31. August 2006).
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die IV-Stelle die Aufhebung des kantonalen Entscheides.
E._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist indessen vorher ergangen, weshalb sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG) richtet (Art. 132 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist indessen vorher ergangen, weshalb sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG) richtet (Art. 132 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. Der angefochtene Entscheid betrifft Leistungen der Invalidenversicherung. Das Bundesgericht prüft daher nur, ob das vorinstanzliche Gericht Bundesrecht verletzte, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt wurde (Art. 132 Abs. 2 OG [in der Fassung gemäss Ziff. III des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Änderung des IVG, in Kraft seit 1. Juli 2006] in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
2. Der angefochtene Entscheid betrifft Leistungen der Invalidenversicherung. Das Bundesgericht prüft daher nur, ob das vorinstanzliche Gericht Bundesrecht verletzte, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt wurde (Art. 132 Abs. 2 OG [in der Fassung gemäss Ziff. III des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Änderung des IVG, in Kraft seit 1. Juli 2006] in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
3. Im angefochtenen Entscheid, auf welchen verwiesen wird, sind die Bestimmungen über die Prüfung einer erneuten Anmeldung zum Leistungsbezug nach vorgängiger Abweisung eines entsprechenden Gesuches (Art. 87 Abs. 3 [in der bis Ende Februar 2004 gültig gewesenen und inhaltlich, soweit hier von Interesse, unverändert gebliebenen Fassung] und Abs. 4 IVV) mit der dazu ergangenen Rechtsprechung zutreffend dargelegt. Danach wird eine neue Anmeldung nur geprüft, wenn glaubhaft gemacht ist, dass sich der Grad der Invalidität im Zeitraum zwischen der letzten Verfügung (resp. im Anfechtungsfall dem Einspracheentscheid, solange das Einspracheverfahren gesetzlich vorgesehen war), worin ein Leistungsanspruch rechtskräftig verneint wurde, und der auf das erneute Leistungsbegehren hin ergangenen Verfügung (resp. im Anfechtungsfall dem Einspracheentscheid, solange das Einspracheverfahren gesetzlich vorgesehen war) in einer für den Anspruch relevanten Weise geändert hat.
3. Im angefochtenen Entscheid, auf welchen verwiesen wird, sind die Bestimmungen über die Prüfung einer erneuten Anmeldung zum Leistungsbezug nach vorgängiger Abweisung eines entsprechenden Gesuches (Art. 87 Abs. 3 [in der bis Ende Februar 2004 gültig gewesenen und inhaltlich, soweit hier von Interesse, unverändert gebliebenen Fassung] und Abs. 4 IVV) mit der dazu ergangenen Rechtsprechung zutreffend dargelegt. Danach wird eine neue Anmeldung nur geprüft, wenn glaubhaft gemacht ist, dass sich der Grad der Invalidität im Zeitraum zwischen der letzten Verfügung (resp. im Anfechtungsfall dem Einspracheentscheid, solange das Einspracheverfahren gesetzlich vorgesehen war), worin ein Leistungsanspruch rechtskräftig verneint wurde, und der auf das erneute Leistungsbegehren hin ergangenen Verfügung (resp. im Anfechtungsfall dem Einspracheentscheid, solange das Einspracheverfahren gesetzlich vorgesehen war) in einer für den Anspruch relevanten Weise geändert hat.
4. Streitig ist, ob das kantonale Gericht die IV-Stelle zu Recht dazu verhalten hat, auf die Neuanmeldung vom August 2004 einzutreten.
4.1 Im Rahmen der geänderten Kognitionsregelung gemäss Art. 132 Abs. 2 OG ist zwischen frei überprüfbarer Rechtsfrage (Art. 104 lit. a OG) einerseits und lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel zu prüfender Tatfrage (Art. 104 lit. b OG und Art. 105 Abs. 2 OG) anderseits zu unterscheiden (E. 2 hievor; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2 S. 396 und E. 3 Ingress S. 397).
Die aufgrund von medizinischen Untersuchungen gerichtlich festgestellte Arbeits(un)fähigkeit ist Entscheidung über eine Tatfrage. Dazu gehört auch die Frage, in welchem Umfang eine versicherte Person vom funktionellen Leistungsvermögen und vom Vorhandensein bzw. von der Verfügbarkeit psychischer Ressourcen her eine (Rest-)Arbeitsfähigkeit aufweist und ihr die Ausübung entsprechend profilierter Tätigkeiten zumutbar ist, es sei denn, andere als medizinische Gründe stünden der Bejahung der Zumutbarkeit im Einzelfall in invalidenversicherungsrechtlich erheblicher Weise entgegen. Soweit hingegen die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es um eine Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398).
Analoges gilt auch für die Frage, ob sich eine Arbeits(un)fähigkeit in einem bestimmten Zeitraum in einem rentenrevisionsrechtlich relevanten Sinne (Art. 17 ATSG; Art. 87 Abs. 3 und 4 IVV) verändert hat. Rechtlicher Natur sind demgegenüber die Fragen, welche Vergleichszeitpunkte im Rahmen einer Neuanmeldung heranzuziehen und wie hohe Anforderungen an das Glaubhaftmachen im Sinne von Art. 87 Abs. 3 IVV zu stellen sind (Urteil I 692/06 vom 19. Dezember 2006, E. 3.1).
4.2 Die Vorinstanz hat festgestellt, dass in den Berichten des Dr. med. H._ vom 8. September 2004 und 21. Oktober 2004 zwar grossenteils die gleichen Beschwerdebilder erwähnt würden wie in den der rentenablehnenden Verfügung vom 4. Juni 2003 zugrunde gelegenen Arztberichten. Dr. med. H._ bestätige aber im Bericht vom 8. September 2004 auch eine seit Juni 2003 eingetretene deutliche Verschlimmerung der Rückenschmerzen, und er erwähne im Bericht vom 21. Oktober 2004 zusätzliche Befunde, welche nur als Verschlechterung des Gesundheitszustandes interpretiert werden könnten. Sodann werde zwar im Bericht des Spitals X._ vom 27. Mai 2005 aus rheumatologischer Sicht ab dem 11. Juni 2005 eine volle Arbeitsfähigkeit in einer leichten Tätigkeit bestätigt. Diese Aussage hätten die Klinikärzte aber mit zwei Schreiben vom 13. Juli und 22. November 2005 soweit relativiert, dass ein Rückschluss aus dem Bericht vom 27. Mai 2005 auf die Bedeutung der Aussage des Dr. med. H._ problematisch sei. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, aufgrund der Stellungnahmen des Dr. med. H._ bestünden gewisse Anhaltspunkte für eine rentenerhebliche Verschlechterung des Gesundheitszustands. Eine solche sei daher glaubhaft gemacht.
Dass diese Sachverhaltswürdigung offensichtlich unrichtig wäre, ergibt sich weder aus der Verwaltungsgerichtsbeschwerde noch sonst wie aus den Akten. Sie ist daher für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 2 hievor).
4.3 Bei dieser Sachlage besteht der kantonale Entscheid, gemäss welchem die Verwaltung auf die Neuanmeldung vom August 2004 einzutreten hat, zu Recht.
4.3 Bei dieser Sachlage besteht der kantonale Entscheid, gemäss welchem die Verwaltung auf die Neuanmeldung vom August 2004 einzutreten hat, zu Recht.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 Satz 2 OG, in Kraft gestanden ab 1. Juli 2006). Dem Prozessausgang entsprechend sind die Kosten durch die Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG), welche überdies der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu bezahlen hat (Art. 159 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 135 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt und mit dem geleisteten Kostenvorschuss verrechnet.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt und mit dem geleisteten Kostenvorschuss verrechnet.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, der Ausgleichskasse Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen zugestellt.
Luzern, 4. Juni 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: