Sachverhalt:
A.
A.a. Der Steuerpflichtige X._ (geb. 1928) arbeitete bis zu seiner Pensionierung 1994 in M._/BS. Im November 2010 meldete er sich nach L._/LU ab, wo er heute in einem Pflegeheim lebt. Die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt veranlagte X._ bis 2009 jeweils mit seinem Einkommen und Vermögen als unbeschränkt Steuerpflichtigen. Gleichzeitig war er Mitglied einer Gemeinderschaft, die in L._/LU über Grundeigentum verfügt, weshalb er im Kanton Luzern beschränkt steuerpflichtig war.
A.b. Seit dem 31. Januar 2011 besteht für X._ eine Beiratschaft (nach neuem Erwachsenenschutzrecht eine Beistandschaft). Am 9. Juni 2011 erstattete der Beirat für X._ gegenüber der Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt und dem Steueramt L._/LU Selbstanzeige hinsichtlich nicht deklarierter Wertschriften.
A.c. Die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt erhob in der Folge Nachsteuern für die Steuerperioden 2001 bis 2009 in der Höhe von total Fr. 14'630.60 (Verfügung vom 1. Juli 2011). Die Steuerverwaltung ging dabei wie bei der ordentlichen Veranlagung vom Wohnsitz des Steuerpflichtigen in M._/BS aus. Diese Verfügung erwuchs in Rechtskraft.
A.d. Nach Durchführung von Abklärungen kam die Dienststelle Steuern des Kantons Luzern, Nachsteuern und Steuerstrafen, insbesondere aufgrund einer Meldung der Vormundschaftsbehörde M._/BS vom 20. Januar 2011 zum Schluss, dass sich der Wohnsitz von X._ seit seiner Pensionierung 1994 in L._/LU befinde und er entsprechend im Kanton Luzern unbeschränkt steuerpflichtig sei. Sie teilte ihm mit Schreiben vom 20. Oktober 2011 die Einleitung eines Nachsteuerverfahrens betreffend die Jahre 2001 bis 2009 mit und eröffnete ihm das Untersuchungsergebnis sowie die in Aussicht stehenden Nachsteuerveranlagungen. Am 3. November 2011 verfügte die Dienststelle Steuern die folgenden Nachsteuern (inkl. Verzugszinsen) : für die direkte Bundessteuer 2002, 2007 bis 2009 total Fr. 584.30 bzw. für die Staats-, Gemeinde- und Kirchensteuern 2001 bis 2009 total Fr. 126'935.90.
B.
Mit Einspracheentscheiden vom 4. April 2012 wies die Dienststelle Steuern des Kantons Luzern die von X._ gegen die Nachsteuerveranlagungen erhobenen Einsprachen ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Abgaberechtliche Abteilung (seit 1. Juni 2013: Kantonsgericht, 4. Abteilung) wies mit Urteil vom 27. Mai 2013 die dagegen erhobenen Beschwerden ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 28. Juni 2013 erhebt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Kantone Luzern und Basel-Stadt. Er beantragt, der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 27. Mai 2013 sei vollumfänglich aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die Steuerhoheit des Kantons Luzern im Zeitraum 2001 bis 2009 bloss beschränkter (kraft Grundeigentum) und nicht unbeschränkter Natur (kraft Wohnsitz) sei bzw. der Kanton Luzern örtlich nicht zuständig sei, im Zeitraum 2001 bis 2009 die direkte Bundessteuer zu erheben. Eventualiter seien die Veranlagungen der Jahre 2001 bis 2009 sowie die Nachsteuerverfügung vom 1. Juli 2011 der Steuerbehörden des Kantons Basel-Stadt aufzuheben und die zuständigen Behörden seien zu verpflichten, die für den Zeitraum 2001 bis 2009 geleisteten Steuerbeträge samt Verzugszins von 5 % an den Beschwerdeführer zurückzuerstatten. X._ rügt im Wesentlichen einen Verstoss gegen das interkantonale Doppelbesteuerungsverbot (<ref-law>).
D.
Die Dienststelle Steuern sowie das Kantonsgericht des Kantons Luzern beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit sie sich gegen diesen Kanton richtet. Die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt beantragt, die Beschwerde gegen den Kanton Luzern sei gutzuheissen und die Veranlagungsverfügungen für die Steuerperioden 2001 bis 2009 (Nachsteuern) seien aufzuheben. Sodann erhebt sie eventualiter die Einrede der Verwirkung des Besteuerungsrechts des Kantons Luzern. Subeventualiter beantragt sie, auf den Verzinsungsantrag sei nicht einzutreten. Die Eidgenössische Steuerverwaltung verzichtet in Bezug auf die Kantons- und Gemeindesteuern auf einen Antrag. In Bezug auf die direkte Bundessteuer beantragt sie die Gutheissung der Beschwerde gegen den Kanton Luzern. Mit Replik hält die Dienststelle Steuern des Kantons Luzern an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Die Vorinstanz hat ein einziges Urteil für die Staats- und Gemeindesteuern sowie für die direkte Bundessteuer erlassen, was zulässig ist, soweit die zu entscheidende Rechtsfrage im Bundesrecht und im harmonisierten kantonalen Recht gleich geregelt ist (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 262 f.). Unter diesen Umständen ist dem Beschwerdeführer nicht vorzuwerfen, nicht zwei getrennte Beschwerden eingereicht und keine getrennten Anträge gestellt zu haben; aus seiner Eingabe geht deutlich hervor, dass sie beide Steuerarten betrifft (<ref-ruling> E. 1.3.3 S. 264; Urteil 2C_1086/2012 vom 16. Mai 2013 E. 1.1, in: StE 2013 B 11.1 Nr. 24). Das Bundesgericht hat hier für die Staats- und Gemeindesteuer (2C_604/2013) und die direkte Bundessteuer (2C_605/2013) getrennte Dossiers angelegt. Da beide Verfahren auf demselben Sachverhalt beruhen und sich dieselben Rechtsfragen stellen, sind die Verfahren zu vereinigen und die Beschwerde ist in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> [SR 279]; <ref-ruling> E. 1 S. 60 f. mit Hinweis).
2.
2.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher (End-) Entscheid einer oberen kantonalen Gerichtsbehörde in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, der mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Eine Ermächtigung zur Prozessführung (vgl. <ref-law>) mit Substitutionsrecht für den Beistand des Beschwerdeführers liegt in den Akten. Die allgemeinen Sachurteilsvoraussetzungen geben sodann - unter Vorbehalt des Nachfolgenden - zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass, so dass auf das Rechtsmittel grundsätzlich einzutreten ist.
Nicht einzutreten ist auf den Antrag des Beschwerdeführers, das Bundesgericht habe festzustellen, die Steuerhoheit des Kantons Luzern im Zeitraum 2001 bis 2009 sei bloss beschränkter (kraft Grundeigentum) und nicht unbeschränkter Natur (kraft Wohnsitz) bzw. der Kanton Luzern sei örtlich nicht zuständig, im Zeitraum 2001 bis 2009 die direkte Bundessteuer zu erheben. Solche Begehren sind nur zulässig, soweit ein schutzwürdiges rechtliches oder tatsächliches Interesse dargetan wird, das nicht ebenso gut mit einem rechtsgestaltenden Begehren gewahrt werden kann (<ref-ruling> E. 2c S. 303). Vorliegend umfasst das Aufhebungsbegehren auch die mit dem erwähnten Antrag verlangten Feststellungen. Das Feststellungsbegehren hat damit keine selbständige Bedeutung und erweist sich daher als überflüssig.
2.2. Auch auf dem Gebiet des Verbots der interkantonalen Doppelbesteuerung (<ref-law>) ist der Instanzenzug in einem Kanton vollständig zu durchlaufen, ehe das Bundesgericht angerufen werden kann (Art. 86 Abs. 1 lit. d i.V.m. Abs. 2 BGG). Trifft dies zu, kann zusammen mit dem noch nicht rechtskräftigen letztinstanzlichen Entscheid des einen Kantons auch die bereits rechtskräftige Veranlagungsverfügung oder der bereits rechtskräftige Rechtsmittelentscheid eines weiteren Kantons bzw. mehrerer weiterer Kantone angefochten werden. In Bezug auf diese Verfügungen und Entscheide aus einem oder mehreren anderen Kantonen besteht praxisgemäss kein Erfordernis der Letztinstanzlichkeit (<ref-ruling> E. 1.4 S. 376; <ref-ruling> E. 2.4 S. 307, 308 E. 2.4 S. 313; Urteile 2C_708/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 1.3, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_92/2012 vom 17. August 2012 E. 1.3, in: ASA 81 S. 671). Die Beschwerdefrist bei Beschwerden wegen interkantonaler Kompetenzkonflikte beginnt spätestens zu laufen, sobald in beiden (bzw. allen) Kantonen Entscheide getroffen worden sind, gegen welche beim Bundesgericht Beschwerde geführt werden kann (<ref-law>; vgl. zum Ganzen zitiertes Urteil 2C_92/2012 vom 17. August 2012 E. 1.3).
Im zu beurteilenden Fall herrscht hinsichtlich der Steuerjahre 2001 bis 2009 zwischen den Kantonen Luzern und Basel-Stadt ein derartiger (positiver) interkantonaler Kompetenzkonflikt. Neben dem (nicht rechtskräftigen) Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Luzern vom 27. Mai 2013 können damit auch die (längst rechtskräftigen) Veranlagungsverfügungen der Steuerjahre 2001 bis 2009 des Kantons Basel-Stadt sowie die Nachsteuerverfügung vom 1. Juli 2011 angefochten werden. Dementsprechend richtet sich die Beschwerde für den Fall, dass dem Hauptantrag nicht stattgegeben wird, auch gegen den Kanton Basel-Stadt (Eventualantrag).
2.3. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 540; <ref-ruling> E. 3 S. 386; <ref-ruling> E. 2.2. S. 550).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz können nur berichtigt werden, sofern sie entweder offensichtlich unrichtig, d. h. willkürlich ermittelt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356; zum Willkürbegriff: <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 8.1 S. 153). Zudem hat die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234).
2.5. Die Bindung des Bundesgerichts an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt (<ref-law>) und das Novenverbot (<ref-law>) gelten auch für Beschwerden in Sachen der interkantonalen Doppelbesteuerung. Anders verhält es sich nur dann, wenn der Kanton, dessen Veranlagung bereits rechtskräftig ist und für den die Bindungswirkung nicht gilt, diese Feststellungen bestreitet. Nur in diesem Fall kommt das Bundesgericht nicht umhin, den Sachverhalt frei zu prüfen, und ist auch das Novenverbot zu relativieren (<ref-ruling> E. 1.7 S. 378; <ref-ruling> E. 2.3 S. 306; Urteil 2C_92/2012 vom 17. August 2012 E. 1.5; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Ein Verstoss gegen das Verbot der interkantonalen Doppelbesteuerung im Sinne von <ref-law> liegt vor, wenn ein Steuersubjekt von zwei oder mehreren Kantonen (Steuerhoheiten) für das gleiche Steuerobjekt und dieselbe Steuerperiode zur Besteuerung herangezogen wird (aktuelle Doppelbesteuerung) oder wenn ein Kanton in Verletzung der geltenden Kollisionsnormen seine Steuerhoheit überschreitet und eine Steuer erhebt, die einem anderen Kanton zusteht (virtuelle Doppelbesteuerung). Ausserdem darf ein Kanton ein Steuersubjekt grundsätzlich nicht deshalb stärker belasten, weil es nicht im vollen Umfang seiner Steuerhoheit untersteht, sondern zufolge seiner territorialen Beziehungen auch in einem anderen Kanton steuerpflichtig ist (Schlechterstellungsverbot; <ref-ruling> E. 3.1 S. 300 f.; <ref-ruling>45 E. 2.2 S. 147; <ref-ruling> E. 2.1 S. 306 f.).
3.2. Streitgegenstand ist das Hauptsteuerdomizil des Steuerpflichtigen für die Steuerperioden 2001 bis 2009. Sowohl der Kanton Luzern als auch der Kanton Basel-Stadt beanspruchen die unbeschränkte Steuerpflicht. Damit liegt unbestrittenermassen eine aktuelle Doppelbesteuerung im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung vor.
4.
4.1. Der Kanton Basel-Stadt bringt als Eventualstandpunkt vor, der Kanton Luzern habe sein Besteuerungsrecht für die hier massgeblichen Steuerperioden verwirkt. Die Verwirkungseinrede ist vorweg zu prüfen. Stellt sie sich als begründet dar, ist die Beschwerde gegen den Kanton Luzern von vornherein gutzuheissen. Andernfalls wäre der Frage nachzugehen, ob der Beschwerdeführer seinen steuerrechtlichen Wohnsitz in den Jahren 2001 bis 2009 bereits von M._/BS nach L._/LU verlegt hatte.
4.2. Praxisgemäss verwirkt ein Kanton, der die für die Steuerpflicht massgeblichen Tatsachen kennt oder kennen kann, sein Recht auf Besteuerung, wenn er trotzdem mit der Erhebung des Steueranspruchs ungebührlich lange zuwartet und wenn bei Gutheissung des erst nachträglich erhobenen Anspruchs ein anderer Kanton zur Rückerstattung von Steuern verpflichtet werden müsste, die er formell ordnungsgemäss in guten Treuen und in Unkenntnis des kollidierenden Steueranspruchs bezogen hat (<ref-ruling> E. 3.2 S. 67; <ref-ruling> E. 3.3.4 S. 279 f.; je mit Hinweisen). Unter der einjährigen Gegenwartsbemessung gilt eine Veranlagung für periodische Steuern in der Regel dann als verspätet, wenn sie später als ein Jahr nach Ablauf der auf die Steuerperiode folgenden Veranlagungsperiode erfolgt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 67 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 33 ff.). Bei einem Nachsteuerverfahren im Sinne von <ref-law> bzw. Art. 53 Abs. 1 StHG und § 174 Abs. 1 des Steuergesetzes [des Kantons Luzern] vom 22. November 1999 (StG/LU; SRL Nr. 620) hat die Veranlagung nicht zwingend innerhalb der fraglichen Steuer- und Veranlagungsperiode zu erfolgen; umso strenger wird gefordert, dass der berechtigte Kanton den Steueranspruch erhebt, sobald er von den massgebenden Verhältnissen Kenntnis hat, und dass er das Verfahren ohne ungebührliche Verzögerung durchführt; denn bei der Nachsteuer ist in besonderem Masse mit Rückwirkungen auf bereits bezogene Steuern in anderen Kantonen zu rechnen (Urteil 2C_27/2009 vom 9. Juli 2009 E. 2.1 mit Hinweis).
Die Verwirkung des Besteuerungsrechts eines Kantons bezweckt, den die Einrede erhebenden Kanton davor zu bewahren, schon bezogene Steuern aufgrund eines an sich vorrangigen, aber erst ungebührlich spät erhobenen Steueranspruches des anderen Kantons zurückerstatten zu müssen. Deshalb kann die Verwirkung auch nur durch den anderen Kanton und nicht durch die steuerpflichtige Person geltend gemacht werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 67; <ref-ruling> E. 3.3.4 S. 279 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 33 ff.; siehe auch schon <ref-ruling> E. 4 S. 475 ff.).
4.3. Vorliegend ist unbestritten, dass der Kanton Basel-Stadt den Beschwerdeführer in den Steuerperioden 2001 bis 2009 formell ordnungsgemäss, in guten Treuen und in Unkenntnis des kollidierenden Steueranspruchs, veranlagt hat. Dies trifft auch auf die Nachsteuerverfügung vom 1. Juli 2011 zu, die auf die Selbstanzeige des Steuerpflichtigen zurückzuführen war.
Es bleibt somit noch zu prüfen, ob der Kanton Luzern mit der Geltendmachung seines Besteuerungsanspruchs (im Sinne einer unbeschränkten Steuerpflicht) ungebührlich lange zugewartet hat. Das ist hier zu bejahen: Der Kanton Luzern hat den Steuerpflichtigen in den Steuerjahren 2001 bis 2009 nur als beschränkt Steuerpflichtigen (aufgrund Mitgliedschaft der Gemeinderschaft) besteuert. Erst Ende 2011 kamen die Steuerbehörden des Kantons Luzern zum Schluss, dass der Steuerpflichtige in den Steuerjahren 2001 bis 2009 unbeschränkt steuerpflichtig gewesen sein soll. Das entsprechende Nachsteuerverfahren wurde am 20. Oktober 2011 eingeleitet und die Nachsteuerveranlagung am 3. November 2011 erlassen. Die Nachsteuer ist praxisgemäss eine Mehrsteuer, die sich aufgrund des Nachsteuerverfahrens gegenüber der ursprünglichen Veranlagung ergibt (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 25 f.; Richner/Frei/Kaufmann/Meuter, Handkommentar zum DBG, 2. Aufl. 2009, Art. 151 N. 3). Der Kanton Luzern hat hier das Nachsteuerverfahren für insgesamt neun Steuerperioden erst knapp zwei Jahre nach Ablauf der letzten strittigen Steuerperiode (2009) eingeleitet. Daraus ergibt sich, wie auch die ESTV in ihrer Vernehmlassung zu Recht ausgeführt hat, dass der Kanton Luzern das Verfahren praxisgemäss ungerechtfertigt lange verzögert hat. Zwar könnte hier zumindest noch in Bezug auf die letzte umstrittene Steuerperiode (2009) eingewendet werden, der Kanton sei innerhalb zweier Jahre nach Ende der Steuerperiode ("n+2") tätig geworden. Diese Regel ist jedoch in erster Linie für periodische Steuern anwendbar (Steuerveranlagung im ordentlichen Verfahren); in der speziellen Konstellation eines Nachsteuerverfahrens gelten wie erwähnt (vgl. E. 4.2 hiervor) strengere Voraussetzungen: der berechtigte Kanton müsste den Steueranspruch erheben, sobald er von den massgebenden Verhältnissen Kenntnis hat oder haben kann.
Die Vorinstanz führt dazu aus, dem Steueramt L._/LU sei im Zeitpunkt des Erlasses der Veranlagungen für die Steuerjahre 2001 bis 2009 nicht bekannt gewesen, dass der Steuerpflichtige seinen Wohnsitz nach L._/LU verlegt haben soll. Erst durch die Anordnung von vormundschaftlichen Massnahmen habe das Steueramt den Wohnsitzwechsel "entdeckt" (vgl. angefochtener Entscheid E. 5b). Diese Feststellungen werden vom Kanton Basel-Stadt jedoch bestritten, was dazu führt, dass das Bundesgericht nicht daran gebunden ist (vgl. E. 2.5 hiervor). Es ist sodann nicht einzusehen, weshalb die Luzerner Steuerbehörde erst Ende 2011 von der (angeblichen) Hauptwohnsitzverlegung des Steuerpflichtigen in den Kanton Luzern per 1994 Kenntnis nehmen konnte. So ist dem Kanton Basel-Stadt zuzustimmen, dass der angebliche Wohnsitz bei der Schwester des Steuerpflichtigen in einem kleinen Dorf auf dem Land während fast 20 Jahren kaum verborgen geblieben wäre. Dies gilt umso mehr, als der Kanton Luzern den Steuerpflichtigen in den umstrittenen Steuerperioden bereits seiner beschränkten Steuerpflicht unterworfen hatte, da er in L._/LU als Mitglied einer Gemeinderschaft über Grundeigentum verfügte. Insgesamt entspricht damit die vorgenommene Beurteilung nicht nur dem allgemeinen Sinn und Zweck des Instituts der Verwirkung, sondern auch den für Nachsteuerverfahren besonders strengen Anforderungen.
5.
Daraus folgt, dass sowohl in Bezug auf die direkte Bundessteuer wie auf die Staats- und Gemeindesteuern die Beschwerde gegenüber dem Kanton Luzern gutzuheissen ist, soweit darauf eingetreten werden kann; das angefochtene Urteil ist aufzuheben, und die Sache ist zur Verlegung der Kosten- sowie Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Die Beschwerde gegen den Kanton Basel-Stadt ist abzuweisen.
Dementsprechend wird der Kanton Luzern, der Vermögensinteressen verfolgt, kosten- und entschädigungspflichtig (vgl. Art. 65 f. u. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_604/2013 und 2C_605/2013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde gegen den Kanton Luzern wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist; das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 27. Mai 2013 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Verlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an das Kantonsgericht Luzern zurückgewiesen.
3.
Die Beschwerde gegen den Kanton Basel-Stadt wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 4'000.-- werden dem Kanton Luzern auferlegt.
5.
Der Kanton Luzern hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 6'000.-- auszurichten.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung (vormals Verwaltungsgericht, abgaberechtliche Abteilung), sowie der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger