Fatti:
Fatti:
A. C._, nata nel 1948, insegnante al beneficio di prestazioni assicurative contro la disoccupazione e quindi assicurata presso l'Istituto nazionale svizzero di assicurazione contro gli infortuni (INSAI), in data 31 ottobre 1998 è rimasta coinvolta in un incidente della circolazione stradale lamentando un trauma distorsivo alla colonna cervicale. Il caso è stato assunto dall'INSAI, il quale ha corrisposto le prestazioni di legge. Dall'11 gennaio al 9 febbraio 1999 l'assicurata è stata degente alla Clinica X._, dal mese di aprile 1999 è stata in cura dal dott. M._, specialista FMH in psichiatria e psicoterapia, e dal 3 al 28 maggio seguente ha soggiornato, su prescrizione di tale sanitario, presso l'Ospedale Y._ d'Intragna.
Con decisione del 4 giugno 1999 l'Istituto assicuratore ha negato la propria responsabilità relativamente ai disturbi di natura psichica, facendo valere il difetto di una relazione di causalità adeguata con l'evento infortunistico subito nell'ottobre 1998. Su opposizione dell'interessata l'INSAI ha confermato la propria posizione l'8 settembre 1999, annunciando la chiusura del caso a far tempo dal 14 settembre 1999. Un'ulteriore opposizione interposta contro quest'ultimo provvedimento è stata respinta con decisione su opposizione del 13 dicembre 1999.
Con decisione del 4 giugno 1999 l'Istituto assicuratore ha negato la propria responsabilità relativamente ai disturbi di natura psichica, facendo valere il difetto di una relazione di causalità adeguata con l'evento infortunistico subito nell'ottobre 1998. Su opposizione dell'interessata l'INSAI ha confermato la propria posizione l'8 settembre 1999, annunciando la chiusura del caso a far tempo dal 14 settembre 1999. Un'ulteriore opposizione interposta contro quest'ultimo provvedimento è stata respinta con decisione su opposizione del 13 dicembre 1999.
B. C._, patrocinata dall'avvocato M. Molo di Bellinzona, è insorta contro tale decisione con ricorso al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino. Chiedeva che le fossero corrisposte le prestazioni legali cui aveva diritto, ritenuto che dal profilo del giudizio sull'adeguatezza del nesso causale si doveva far capo ai criteri sviluppati per le lesioni da "colpo di frusta" anziché applicare i principi sulle conseguenze psichiche di un infortunio.
Con giudizio del 28 settembre 2001 la Corte cantonale, fondandosi segnatamente su una perizia medica giudiziaria a cura della Clinica Z._, ha accolto il gravame in quanto era stata accertata l'esistenza di un nesso causale naturale ed adeguato fra l'infortunio del 31 ottobre 1998 ed il danno lamentato dall'insorgente. La causa veniva pertanto rinviata all'INSAI affinché avesse ad esprimersi nuovamente sul diritto a prestazioni dopo il 13 settembre 1999.
Con giudizio del 28 settembre 2001 la Corte cantonale, fondandosi segnatamente su una perizia medica giudiziaria a cura della Clinica Z._, ha accolto il gravame in quanto era stata accertata l'esistenza di un nesso causale naturale ed adeguato fra l'infortunio del 31 ottobre 1998 ed il danno lamentato dall'insorgente. La causa veniva pertanto rinviata all'INSAI affinché avesse ad esprimersi nuovamente sul diritto a prestazioni dopo il 13 settembre 1999.
C. L'INSAI interpone un ricorso di diritto amministrativo avverso il giudizio cantonale postulandone l'annullamento e la conferma della decisione su opposizione del 13 dicembre 1999. Argomenta che la patologia psichica lamentata dall'assicurata risulterebbe situarsi in primo piano rispetto ai disturbi tipici riscontrati dopo un infortunio di tipo "colpo di frusta". Non sarebbero invece dati i presupposti richiesti ove si valuti la causalità adeguata facendo riferimento ai principi applicabili nel caso di alterazioni dello sviluppo psichico.
Rispondendo al gravame tramite il suo legale, C._ ne propone la disattenzione, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi.

Diritto:
Diritto:
1. La lite verte sul punto di sapere se sussista, anche dopo il 13 settembre 1999, un nesso di causalità naturale e adeguata fra i disturbi di natura psichica lamentati da C._ e l'infortunio avvenuto nell'ottobre 1998.
Nei considerandi dell'impugnato giudizio l'autorità di ricorso cantonale ha debitamente illustrato le norme legali ed i principi di giurisprudenza applicabili in concreto, per cui a tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione.
Nei considerandi dell'impugnato giudizio l'autorità di ricorso cantonale ha debitamente illustrato le norme legali ed i principi di giurisprudenza applicabili in concreto, per cui a tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione.
2. 2.1 La Corte cantonale, allo scopo di chiarire la fattispecie da un profilo medico, ha ordinato una perizia giudiziaria affidandone l'allestimento alla Clinica Z._. Dal referto del 15 gennaio 2001 emerge in particolare la diagnosi di sindrome cervicale cronica con stato di distorsione della colonna cervicale in seguito a un incidente della circolazione stradale avvenuto il 31 ottobre 1998. Secondo i periti giudiziari C._ aveva certamente accusato una distorsione, rispettivamente un trauma d'accelerazione al rachide cervicale, circostanza che era stata riconosciuta anche dal medico di fiducia dell'INSAI (esami medici circondariali del 18 dicembre 1998 e del 31 marzo 1999). I dolori cervicali cronici ed i deficit neuropsicologici lamentati a contare dall'evento infortunistico costituivano inoltre una naturale conseguenza del trauma distorsivo alla colonna cervicale. Sempre a mente dei designati esperti, la capacità lavorativa dell'assicurata era nulla per quanto riguardava la sua originaria professione d'insegnante.
Fondandosi su tale perizia e sugli atti medici già all'inserto, in particolare sul parere del dott. M._, la precedente istanza ha concluso che la valutazione dell'adeguatezza del legame causale non andava eseguita dal profilo di un'elaborazione psichica abnorme dopo infortunio (<ref-ruling> segg.), bensì in applicazione della giurisprudenza vigente in materia di trauma d'accelerazione alla colonna cervicale (<ref-ruling> segg. e 123 V 99 consid. 2a). Classificato l'infortunio tra gli eventi di grado medio, al limite della categoria degli infortuni leggeri o insignificanti, e rammentato che per ammettere l'adeguatezza è necessaria alternativamente la presenza, cumulativamente, di tutti i fattori elencati o la particolare intensità dei fattori effettivamente intervenuti, la Corte cantonale ha ritenuto essere soddisfatti il criterio della persistenza dei disturbi, quello della durata eccezionalmente lunga della cura medica nonché quello del grado e della durata dell'incapacità lavorativa.
2.2 Nel suo gravame l'INSAI contesta che la causalità adeguata possa essere valutata in base ai principi elaborati per gli infortuni del tipo "colpo di frusta" o lesioni analoghe. A sostegno della sua tesi adduce essenzialmente che l'assicurata ha presentato solo una minima parte dei disturbi tipici per tali eventi, che le difficoltà a livello psichico si sono sviluppate rapidamente, che il ricovero presso l'Ospedale Y._ era stato ordinato per quel motivo, e che nell'insieme C._ era stata curata soprattutto dal lato psichico. Ne deduce che, non essendo stato prescritto alcun analgesico al momento della dimissione dalla Clinica X._ (dove aveva soggiornato dall'11 gennaio al 9 febbraio 1999), l'assicurata non avrebbe accusato dolori rilevanti persistenti. Ritiene pure che, dopo la dimissione dall'Ospedale Y._ (nel maggio 1999) ella aveva beneficiato unicamente di sporadiche cure fisioterapiche e di alcune consultazioni presso lo psichiatra, per cui la cura medica non sarebbe stata eccezionalmente lunga. Inoltre, ha rilevato l'Istituto insorgente, l'interessata aveva ricominciato a lavorare nel maggio 2000. Comunque, ha ricordato, secondo la giurisprudenza la durata dell'incapacità lavorativa è ininfluente se i disturbi psichici sono apparsi subito dopo l'infortunio.
2.2 Nel suo gravame l'INSAI contesta che la causalità adeguata possa essere valutata in base ai principi elaborati per gli infortuni del tipo "colpo di frusta" o lesioni analoghe. A sostegno della sua tesi adduce essenzialmente che l'assicurata ha presentato solo una minima parte dei disturbi tipici per tali eventi, che le difficoltà a livello psichico si sono sviluppate rapidamente, che il ricovero presso l'Ospedale Y._ era stato ordinato per quel motivo, e che nell'insieme C._ era stata curata soprattutto dal lato psichico. Ne deduce che, non essendo stato prescritto alcun analgesico al momento della dimissione dalla Clinica X._ (dove aveva soggiornato dall'11 gennaio al 9 febbraio 1999), l'assicurata non avrebbe accusato dolori rilevanti persistenti. Ritiene pure che, dopo la dimissione dall'Ospedale Y._ (nel maggio 1999) ella aveva beneficiato unicamente di sporadiche cure fisioterapiche e di alcune consultazioni presso lo psichiatra, per cui la cura medica non sarebbe stata eccezionalmente lunga. Inoltre, ha rilevato l'Istituto insorgente, l'interessata aveva ricominciato a lavorare nel maggio 2000. Comunque, ha ricordato, secondo la giurisprudenza la durata dell'incapacità lavorativa è ininfluente se i disturbi psichici sono apparsi subito dopo l'infortunio.
2.3 2.3.1 Le argomentazioni dell'INSAI non sono convincenti e non possono pertanto rimettere in forse l'esito del giudizio impugnato. Va innanzitutto rilevato che nel suo gravame l'Istituto ricorrente non fa capo minimamente alla perizia giudiziaria stilata dai sanitari della Clinica Z._ in data 15 gennaio 2001, né accenna al parere del dott. M._, espressosi a più riprese, segnatamente in un referto dell'11 agosto 2001. Inoltre, occorre notare che nel rapporto d'uscita della Clinica X._ del 24 febbraio 1999 veniva prescritta della fisioterapia; data la persistenza di limitazioni della mobilità e di disturbi della concentrazione e smemoratezza, la paziente rimaneva inabile al lavoro nella misura del 100 %, malgrado si auspicasse a quel tempo una ripresa lavorativa come insegnante. Anche secondo rapporti dell'Ospedale Y._ (del 28 maggio e 17 giugno 1999) lo scompenso psichico era avvenuto a seguito dell'incidente stradale con conseguente trauma distorsivo a livello della colonna cervicale. Infine, pure un esame neuropsicologico effettuato presso la Clinica H._ (rapporto del 4 giugno 1999) aveva evidenziato disturbi della concentrazione e della memoria nonché eccessiva affaticabilità.
2.3.2 Dato quanto precede, a ragione i giudici di prime cure hanno considerato che la valutazione dell'adeguatezza del legame causale andava eseguita conformemente alla giurisprudenza in materia di trauma d'accelerazione della colonna cervicale (<ref-ruling> segg. e 123 V 99 consid. 2a). Pure a ragione essi hanno ammesso, per i motivi esposti nel querelato giudizio, essere soddisfatti con sufficiente intensità i tre criteri della persistenza dei dolori, della durata della cura medica, nonché del grado e della durata dell'incapacità lavorativa.
È vero che, secondo la giurisprudenza, la durata dell'incapacità lavorativa è ininfluente se i disturbi psichici sono apparsi subito dopo l'infortunio. In effetti, nel caso di colui che a distanza di pochi mesi dall'infortunio presenta uno stato psichico depressivo non può essere asserito che la lamentata affezione psichica si sia sviluppata progressivamente e corrisponda al risultato di un'incapacità lavorativa per motivi organici prolungatasi nel tempo (sentenza dell'11 gennaio 2001 in re D., U 208/00). Tuttavia, determinante nella presente evenienza dev'essere ritenuto essenzialmente il grado dell'incapacità lavorativa, il quale sin dall'inizio è stato valutato nella misura del 100 % nella professione di insegnante (cfr. RAMI 1998 no. U 307 pag. 450 consid. 3b). Ne deriva che il giudizio impugnato merita conferma.
3. La procedura è gratuita (art. 134 OG). Vincente in causa, C._, patrocinata da un legale, ha diritto ad un'indennità di parte per la procedura federale, la quale sarà posta a carico dell'Istituto soccombente (art. 159 e 135 OG).

Per questi motivi, il Tribunale federale delle assicurazioni pronuncia:
1. Il ricorso di diritto amministrativo è respinto.
1. Il ricorso di diritto amministrativo è respinto.
2. Non si percepiscono spese giudiziarie.
2. Non si percepiscono spese giudiziarie.
3. L'INSAI verserà all'assicurata opponente la somma di fr. 2500.- a titolo di indennità di parte per la procedura federale.
3. L'INSAI verserà all'assicurata opponente la somma di fr. 2500.- a titolo di indennità di parte per la procedura federale.
4. La presente sentenza sarà intimata alle parti, al Tribunale cantonale delle assicurazioni e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.