Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Die Versicherten haben sich in der Krankenpflegeversicherung an den Kosten der für sie erbrachten Leistungen zu beteiligen (<ref-law>). Die Kostenbeteiligung besteht einerseits aus einem festen Jahresbetrag (Franchise), andererseits aus einem Selbstbehalt von 10 % der die Franchise übersteigenden Behandlungskosten (<ref-law>). Für Kinder wird keine Franchise erhoben, und es gilt die Hälfte des Höchstbetrages des Selbstbehaltes (<ref-law>).
b) Nach <ref-law> und <ref-law> können die Versicherer neben der ordentlichen Krankenpflegeversicherung unter anderem die Versicherung mit wählbaren Franchisen (im folgenden Franchisenversicherung) anbieten, in welcher sich die Versicherten gegen eine Prämienermässigung stärker als in der ordentlichen Krankenpflegeversicherung an den Kosten beteiligen (<ref-law>: "stärker als nach Artikel 64 [KVG]"; <ref-law>: "höhere Franchise als nach Artikel 103 Absatz 1 [KVV]").
Für Kinder sind Franchisen von 150, 300 oder 375 Franken zulässig (<ref-law>). Je nach vereinbarter Franchise durften die Kinderprämien bis 31. Dezember 1997 um höchstens 20, 35 oder 40 Prozent reduziert werden (altArt. 95 Abs. 2 KVV in der bis 31. Dezember 1997 geltenden Fassung). Nach neuArt. 95 Abs. 2 KVV (in der seit 1. Januar 1998 in Kraft stehenden Fassung) gelten folgende Prozentsätze: 15, 30 oder 40 Prozent.
2.- Die versicherte Person kann unter Einhaltung einer dreimonatigen Kündigungsfrist den Versicherer auf das Ende eines Kalendersemesters wechseln (<ref-law>). Bei einer Prämienerhöhung kann sie den Versicherer unter Einhaltung einer Kündigungsfrist von einem Monat seit Ankündigung der Prämienerhöhung auf das Ende eines Monats wechseln (<ref-law>). Zufolge der Regelung in <ref-law>, dessen Gesetzmässigkeit das Eidgenössische Versicherungsgericht bejaht hat (RKUV 1998 Nr. KV 39 S. 375), kann der Wechsel zu einem anderen Versicherer bei einer Franchisenversicherung frühestens ein Jahr nach dem Beitritt zu dieser besonderen Versicherungsform unter Einhaltung der in Art. 7 Abs. 1 und 2 KVG festgesetzten Kündigungsfristen auf das Ende eines Kalenderjahres erfolgen.
3.- Streitig und zu prüfen ist, ob die von der Assura per 1. Januar 1998 vorgenommene Anpassung der monatlichen Versicherungsprämien der beiden Kinder des Beschwerdegegners - bei einer gleichbleibenden Jahresfranchise von 150 Franken pro Kind - von bisher 36 Franken auf neu 38 Franken eine Prämienerhöhung im Sinne von <ref-law> darstellt, die zur Auflösung des die obligatorische Krankenpflege betreffenden Versicherungsverhältnisses unter Einhaltung einer Kündigungsfrist von einem Monat (<ref-law>) auf den 31. Dezember 1997 berechtigt.
4.- a) In <ref-ruling> hat sich das Eidgenössische
Versicherungsgericht eingehend mit der Frage auseinandergesetzt, ob eine Verminderung der Prämienreduktion in der Franchisenversicherung ohne Änderung des bisherigen Prämiensatzes die Anwendung der besonderen Kündigungsfrist von <ref-law> erlaubt. Die Prämie wird in diesem Urteil als Beitrag der versicherten Person zur Finanzierung der Ausgaben der Krankenkasse für die obligatorische Krankenpflegeversicherung bezeichnet; sie besteht im Geldbetrag vor Abzug allfälliger gesetzlich oder statutarisch vorgesehener Reduktionen, den der Versicherer im Tarif festlegt und dem BSV zur Genehmigung einreicht. Diese Definition ergibt sich aus der Gesamtheit der zur Finanzierung der Krankenversicherung (Art. 60 bis <ref-law>) ergangenen Gesetzesbestimmungen, insbesondere aus Art. 61 Abs. 1 und 4 KVG. Eine Prämienerhöhung im Sinne von <ref-law> liegt nach dieser Umschreibung des Begriffs der Prämie nur in jenen Fällen vor, in denen eine Erhöhung des durch den Versicherer im Tarif festgelegten und der Genehmigung durch das BSV unterliegenden Prämiensatzes erfolgt. Dem abweichenden Kreisschreiben 97/9 des BSV über die Aufnahme von Versicherten und den Wechsel des Versicherers vom 12. November 1997 kann daher nicht gefolgt werden (vgl. zur Unverbindlichkeit von Verwaltungsweisungen für das Sozialversicherungsgericht: <ref-ruling> Erw. 4a, 122 V 253 Erw. 3d, 363 Erw. 3c, je mit Hinweisen).
b) Vorliegend hat der Beschwerdegegner tatsächlich eine ab 1. Januar 1998 um je zwei Franken erhöhte Prämie für die Franchisenversicherung seiner beiden Kinder zu gewärtigen. Diese Anpassung ergibt sich jedoch nicht aus einer Änderung des der Genehmigung durch das BSV unterliegenden Prämiensatzes, welcher bei der Assura im Kanton Solothurn für das Jahr 1998 keine Neufestsetzung erfahren hat. Die Erhöhung resultiert vielmehr einzig und in direkter Weise aus der Herabsetzung des Prämienreduktionssatzes von 20 auf 15 Prozent für Franchisen im Betrag von 150 Franken gemäss der Regelung in neuArt. 95 Abs. 2 lit. b KVV. Unter diesen Umständen ist ein Wechsel des Versicherers unter Einhaltung einer Kündigungsfrist von einem Monat nach <ref-law> nicht zulässig.
c) Nach dem Gesagten erfolgte die Kündigung des Beschwerdegegners vom 3. November 1997 verspätet. Grundsätzlich entfaltet dieses einseitige, nicht annahmebedürftige Rechtsgeschäft seine Wirkung im Falle der nicht rechtzeitigen Eingabe auf den nächstmöglichen Kündigungstermin (RKUV 1991 Nr. K 873 S. 195 Erw. 4a mit Hinweisen auf Lehre und Rechtsprechung), im vorliegenden Fall somit, wie von der Assura im Einspracheentscheid vom 5. März 1998 richtig festgehalten wird, auf den 31. Dezember 1998 (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; Erw. 2 hiervor). Weitere Voraussetzung bildet dabei die rechtzeitige Mitteilung der neuen Versicherung an den bisherigen Versicherer, dass die versicherten Personen bei ihr ohne Unterbruch des Versicherungsschutzes versichert seien (<ref-law>). Entgegen der Auffassung der Assura hindert jedoch der allfällige Umstand, dass die Versicherten mit der Bezahlung von Prämien und Kostenbeteiligungen im Rückstand sind, die Wirksamkeit einer Kündigung nicht. Denn gemäss einem noch nicht veröffentlichten Urteil P. vom 29. Juni 1999, K 176/98, ist <ref-law>, wonach der bisherige Versicherer säumige Versicherte, die den Versicherer wechseln wollen, erst dann aus dem Versicherungsverhältnis entlassen darf, wenn die ausstehenden Prämien oder Kostenbeteiligungen vollständig bezahlt sind, gesetzwidrig. Zu diesem Schluss gelangte das Eidgenössische Versicherungsgericht, weil <ref-law> das in Art. 7 Abs. 1 und 2 KVG statuierte Recht auf den Wechsel des Versicherers einschränkt und damit den einer Vollzugsnorm gesetzten Rahmen überschreitet.
5.- Da es nicht um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen geht, ist das Verfahren kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens gehen die Kosten zu Lasten des Beschwerdegegners (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird
der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons
Solothurn vom 23. Dezember 1998 aufgehoben.
II. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwer-
degegner auferlegt.
III. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 500.- wird der
Assura Kranken- und Unfallversicherung zurückerstat-
tet.
IV. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsge-
richt des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für
Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 12. Januar 2000
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer:
Die Gerichtsschreiberin: