Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg stellte das Strafverfahren gegen X._ wegen Widerhandlungen gegen das Tierschutz- und das Hundegesetz am 13. Mai 2013 ein. Sie auferlegte die Verfahrenskosten von Fr. 26.50 dem Staat und lehnte die Zusprechung einer Entschädigung oder Genugtuung an X._ ab.
B.
Das Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, hiess am 16. September 2013 die Beschwerde von X._ gut und sprach ihr eine Entschädigung für die Kosten ihrer Rechtsvertretung im staatsanwaltlichen Verfahren von Fr. 1'271.20 zu. Es nahm die Verfahrenskosten auf die Staatskasse und sprach X._ für das Beschwerdeverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 484.30 zu.
C.
Die Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg erhebt Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben "und die Beschwerde der Beschuldigten sei abzuweisen", eventuell sei das Verfahren zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerde ist vom stellvertretenden Leitenden Staatsanwalt der Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg unterzeichnet.

Erwägungen:
1.
1.1. Bund und Kantone bestimmen ihre Strafbehörden und deren Bezeichnungen (<ref-law>). Sie regeln Wahl, Zusammensetzung, Organisation und Befugnisse der Strafbehörden, soweit dieses Gesetz oder andere Bundesgesetze dies nicht abschliessend regeln (<ref-law>). Der Kanton Aargau hat im Einführungsgesetz zur Schweizerischen Strafprozessordnung (EG StPO/AG; SAR 251.200) seine Strafbehörden geregelt. Nach § 40 Abs. 1 EG StPO/AG können die zuständige Staatsanwältin oder der zuständige Staatsanwalt die kantonalen Rechtsmittel und die Bundesrechtsmittel ergreifen. Das gleiche Recht steht nach Absatz 2 der Oberstaatsanwaltschaft zu.
1.2. Die Strafprozessordnung ist anwendbar auf Verfahren, die von den Strafbehörden des Bundes und der Kantone geführt werden. Die Verfahrensvorschriften anderer Bundesgesetze bleiben ausdrücklich vorbehalten (vgl. <ref-law>). Zu diesen anderen Bundesgesetzen zählt insbesondere auch das Bundesgerichtsgesetz.
Die Legitimation zur Beschwerde in Strafsachen richtet sich nach <ref-law> und nicht nach der Stellung, die einem Beteiligten im kantonalen Verfahren eingeräumt wurde. Die kantonale Einführungsgesetzgebung zur Strafprozessordnung bestimmt zwar, wer allgemein und in den konkreten Fällen die Funktionen der Staatsanwaltschaft ausübt. Ob jedoch nur einem und gegebenenfalls welchem oder mehreren Staatsanwälten nebeneinander die Befugnis zukommt, Beschwerde in Strafsachen zu führen, entscheidet sich nach dem Bundesgerichtsgesetz (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 143; <ref-ruling> E. 1 S. 238). Demzufolge ist die kantonalrechtliche Bestimmung von Art. 40 Abs. 1 EG StPO/AG für das Verfahren vor dem Bundesgericht nicht massgebend.
2.
2.1. Das Bundesgericht hat schon unter der Geltung des (früheren) BG über den Bundesstrafprozess festgehalten, dass die eidgenössischen Rechtsmittel der einheitlichen Anwendung des Bundesrechts dienen. Den kantonalen Staatsanwaltschaften komme bei der Verwirklichung dieses Ziels eine wichtige Aufgabe zu. Sie tragen mit der Ergreifung von Rechtsmitteln wesentlich zu einer einheitlichen Praxis innerhalb des Kantons bei und stellen sicher, dass sich diese mit der Rechtsprechung des Bundesgerichts in Einklang befindet. Da ausser in den Fällen der Bundesgerichtsbarkeit kein einheitlicher öffentlicher Ankläger für das Gebiet der Eidgenossenschaft besteht, sondern diese Aufgabe auf die einzelnen Kantone aufgeteilt ist, müsse eine weitere Aufsplitterung vermieden werden. Das Bundesgericht hat es deshalb ausgeschlossen, dass neben einer für den ganzen Kanton tätigen und in letzter Instanz beschwerdebefugten Staatsanwaltschaft auch noch öffentliche Ankläger, die für Fälle aus einem Teilgebiet des Kantons zuständig sind, zur eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde (heute Beschwerde in Strafsachen) legitimiert sind. Es ist in diesem Sinn auf die Beschwerde eines Statthalteramtes des Kantons Zürich (<ref-ruling> E. 4 S. 154 f.) wie auch auf die Beschwerde einer regionalen Staatsanwaltschaft des Kantons Wallis nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 1 S. 143). In <ref-ruling> E. 1.3 S. 38 f. hat es nach dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergänzend festgestellt, dass allein die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert ist, selbst wenn sie das vorausgegangene kantonale Rechtsmittelverfahren nicht geführt hat, sondern die Anklage von einer ihr untergeordneten Behörde vertreten wurde.
2.2. An dieser Rechtsprechung ist auch unter der Geltung der schweizerischen Strafprozessordnung festzuhalten. Nach Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG ist "die Staatsanwaltschaft" und sind nicht die einzelnen Staatsanwälte zur Beschwerde legitimiert (Marc Thommen, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 3 zu <ref-law>). Die Staatsanwaltschaft trägt in ihrer Eigenschaft als Behörde die Verantwortung für die gleichmässige Durchsetzung des staatlichen Strafanspruchs (<ref-law>).
Diese Aufgabe kommt im Kanton Aargau der Oberstaatsanwaltschaft zu. Sie beaufsichtigt nach § 4 Abs. 4 EG StPO/AG die kantonale Staatsanwaltschaft und die Staatsanwaltschaften für die Bezirke und sorgt für die einheitliche Gesetzesanwendung sowie die sachgerechte Aufgabenerfüllung der Staatsanwaltschaften. Der Oberstaatsanwaltschaft stehen im einzelnen Strafverfahren die gleichen Befugnisse wie den Staatsanwaltschaften zu. Sie kann zudem jederzeit hängige Strafverfahren an sich ziehen oder einer anderen Staatsanwaltschaft zuweisen (§ 4 Abs. 5 EG StPO/AG), und sie ist gleichermassen berechtigt, die kantonalen und die Bundesrechtsmittel zu ergreifen (§ 40 Abs. 2 EG StPO/AG).
Die Beschwerde in Strafsachen steht "der Staatsanwaltschaft" offen (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG). Dass zwei nebeneinander beschwerdeberechtigte öffentliche Ankläger des Kantons nicht beide im gleichen Fall Beschwerde führen können, wurde vom Bundesgericht bereits entschieden (<ref-ruling> E. 2). Besteht eine für den ganzen Kanton zuständige Oberstaatsanwaltschaft oder eine vergleichbare Behörde (vgl. dazu Niklaus Schmid, Handbuch des Strafprozessrechts, 2. Aufl. 2013, N. 355, S. 128 f.), die innerhalb des Kantons für eine einheitliche Rechtsanwendung zu sorgen hat und Rechtsmittel vor den letzten kantonalen Instanzen ergreifen kann, ist diese allein zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert. Dies gilt auch, wenn das kantonale Recht mehreren Behörden das Recht einräumt, den staatlichen Strafanspruch vor den kantonalen Gerichten zu vertreten (<ref-ruling> E. 1). Es kann nicht entscheidend sein, welche Anklagebehörde vor der letzten kantonalen Instanz tatsächlich auftrat. Damit würde der Oberstaatsanwaltschaft die Möglichkeit genommen, durch Einreichen einer Beschwerde in Strafsachen für die einheitliche Rechtsanwendung im Kanton zu sorgen, falls sie im Verfahren vor der letzten kantonalen Instanz nicht beteiligt war. Die Einschränkung des Beschwerderechts kann deshalb nur dadurch erfolgen, dass der untergeordneten Staatsanwaltschaft die Beschwerdelegitimation gänzlich abgesprochen wird (<ref-ruling> E. 4). Auf die Beschwerde der Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg ist deshalb nicht einzutreten.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. Abs. 4 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen, da der Beschwerdegegnerin keine Kosten der Rechtsvertretung erwachsen sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Faga