Sachverhalt:
A. Der aus der Elfenbeinküste stammende X._, geb. 1982, stellte am 1. April 2008 ein Asylgesuch und wurde dem Kanton Solothurn zugewiesen. X._ war zunächst im Asylzentrum Oberbalmberg untergebracht und zog im Juli 2008 nach E._/SO.
Nachdem X._ durch die Polizei am 14. August 2008, am 7. September 2008 sowie am 12. Mai 2009 jeweils bei einer als Drogenumschlagplatz bekannten Bushaltestelle beim Hauptbahnhof Solothurn angehalten und kontrolliert worden war, verfügte das Departement des Innern des Kantons Solothurn, Abteilung Ausländerfragen, am 13. Mai 2009 gegen ihn die Ausgrenzung mit der Auflage, das Gebiet der Städte Solothurn und Olten nicht mehr zu betreten.
B. Mit Urteil vom 18. Juni 2009 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die von X._ hiegegen eingereichte Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C. Mit Eingabe vom 29. Juni 2009 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde, sinngemäss verbunden mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts (und damit die gegen ihn verfügte Ausgrenzung) aufzuheben. Im weiteren ersucht er mit nachträglicher Eingabe vom 30. Juli 2009 um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Departement des Innern des Kantons Solothurn schliesst auf Abweisung der Beschwerde, das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn auf Abweisung, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration sieht von einer Stellungnahme ab.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Als von der Ausgrenzungsverfügung Betroffener ist der Beschwerdeführer zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>).
2. 2.1 Gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. a des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) kann die zuständige kantonale Behörde einer Person die Auflage machen, ein ihr zugewiesenes Gebiet nicht zu verlassen oder ein bestimmtes Gebiet nicht zu betreten (sog. Ein- oder Ausgrenzung), wenn sie keine Kurzaufenthalts-, Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung besitzt und sie die öffentliche Sicherheit und Ordnung stört oder gefährdet; diese Massnahme dient insbesondere der Bekämpfung des widerrechtlichen Betäubungsmittelhandels. Das Missachten einer Ein- und Ausgrenzung ist strafbar (Art. 119 AuG) und stellt einen Haftgrund im Rahmen der Vorbereitungs- und Ausschaffungshaft dar (Art. 75 Abs. 1 lit. b bzw. Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 AuG).
Nach der Praxis des Bundesgerichts zu Art. 13e Abs. 1 des früheren Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; in der Fassung vom 18. März 1994 [AS 1995 146 151] bzw. Abs. 1 lit. a in der Fassung vom 16. Dezember 2005 [AS 2006 4745 4767]), welcher Bestimmung der heutige Art. 74 Abs. 1 lit. a AuG entspricht, genügt für die Anordnung einer Ausgrenzung schon der hinreichend begründete Verdacht der Beteiligung am Drogenhandel, ohne dass eine entsprechende Straftat nachgewiesen sein muss (Urteile 2A.347/2003 vom 24. November 2003, in: Pra 2004 Nr. 76 S. 444, E. 2.2; 2A.268/2005 vom 3. August 2005, E. 2.1). Wird der Ausländer wiederholt im Drogenmilieu angehalten, vermag dies den ernsthaften Verdacht zu begründen, dass er jeweils nicht lediglich als Zuschauer der Drogenszene ertappt wurde, sondern dass er, sei es als Händler oder als Konsument, aktiv am unerlaubten Drogenumschlag beteiligt war. Für den hinreichend konkreten Verdacht genügt es indessen in der Regel noch nicht, dass der Ausländer bloss an Orten angetroffen wird, wo nach Kenntnis der Behörden (auch) Drogen gehandelt werden (Urteile 2A.148/2003 vom 30. Mai 2003, E. 2.3 und 3.3; 2A.268/2005 vom 3. August 2005, E. 2.1).
2.2 Gemäss den unbestrittenen Feststellungen im angefochtenen Entscheid wurde der Beschwerdeführer an drei verschiedenen Daten anlässlich von polizeilichen Drogenkontrollen in der Umgebung des Hauptbahnhofs Solothurn angehalten und kontrolliert: Am 14. August 2008 habe er sich zusammen mit einem Kollegen bei der als Drogenumschlagplatz bekannten Bushaltestelle Kneubühler aufgehalten. Als sie die in zivil gekleideten Polizisten erblickt hätten, seien sie geflohen und hätten sich unter den Tischen eines Internetcafés vor ihnen zu verstecken versucht. Bei der Durchsuchung sei kein belastendes Material gefunden worden. Am 7. September 2008 sei beobachtet worden, dass sich der Beschwerdeführer zusammen mit vier weiteren Personen wiederum im Bereich der genannten Bushaltestelle aufgehalten habe. Während zwei Personen vor den Polizisten die Flucht ergriffen hätten, sei der Beschwerdeführer stehen geblieben; dabei sei bei ihm wiederum kein belastendes Material vorgefunden worden. Schliesslich sei der Beschwerdeführer am 12. Mai 2009 erneut bei dieser Bushaltestelle angehalten und kontrolliert worden; dabei sei festgestellt worden, dass er Notengeld "in gassenüblicher Stückelung" getrennt vom übrigen Geld bei sich getragen habe. Dem Beschwerdeführer sei anlässlich der drei Kontrollen jeweils das rechtliche Gehör in Bezug auf eine mögliche Ausgrenzung aus den Städten Solothurn und Olten gewährt worden.
2.3 Das Verwaltungsgericht schliesst aus den vorerwähnten Sachumständen auf das Vorliegen eines hinreichend begründeten Verdachts der Beteiligung des Beschwerdeführers am Drogenhandel. Die Faktenlage - wie sie sich nach Darstellung im angefochtenen Entscheid präsentiert und vorliegend zu beurteilen ist (<ref-law>) - erweist sich indessen bei Lichte besehen als zu knapp für einen solchen Schluss: Wohl wurde der Beschwerdeführer dreimal bei einer als Drogenumschlagplatz bekannten Bushaltestelle angetroffen. Zu beachten ist jedoch, dass sich diese Haltestelle in der Umgebung des Hauptbahnhofes Solothurn befindet und derartige Örtlichkeiten an zentraler Lage nach allgemeiner Lebenserfahrung von einer erheblichen Anzahl Passanten und Buspassagieren und nicht allein oder vornehmlich durch Personen aus dem Drogenmilieu frequentiert werden. Hinzu kommt, dass an dieser Haltestelle offenbar jene Buslinie verkehrt, welche der Beschwerdeführer benützen muss, um von seiner Wohngemeinde E._ nach Solothurn zu gelangen, er mithin einen stichhaltigen Grund vorzuweisen vermag, diesen Ort hin und wieder aufzusuchen. Aus der Sachverhaltsdarstellung ergeben sich zudem keine Anhaltspunkte, dass der Beschwerdeführer über längere Zeit im Bereich dieser Haltestelle verweilt wäre, er diese in unüblich häufiger Abfolge oder zu ungewöhnlichen Zeiten aufgesucht hätte. Ebenso wenig wird dargetan, dass er sich dort in Personenansammlungen aufgehalten hätte oder mit Einzelpersonen verkehrt wäre, welche dem Drogenmilieu zuzuordnen sind oder die öffentliche Sicherheit und Ordnung in anderer Weise störten oder gefährdeten. Weder konnten bei ihm anlässlich der drei Kontrollen Betäubungsmittel sichergestellt werden, noch ist bekannt, dass einer seiner Kollegen - jedenfalls soweit diese ebenfalls angehalten und durchsucht werden konnten - Drogen auf sich trugen. Beim Geld in sog. "gassenüblicher Stückelung", welches beim Beschwerdeführer separiert von weiterem Bargeld (in ungenannter Höhe) in seiner Hosentasche vorgefunden wurde, handelte es sich laut den Vorakten (Effektenverzeichnis) um Fr. 10.65 sowie um eintausend afrikanische Francs (entsprechend einem derzeitigen Wert von rund Fr. 2.30). Derart geringfügige Summen erscheinen indessen (noch) nicht geeignet, den Beschwerdeführer mit dem Drogenhandel in Verbindung zu bringen. Nachweislich unkorrekt verhielt sich der Beschwerdeführer einzig dadurch, dass er sich durch Flucht einer Polizeikontrolle entziehen wollte, doch besitzt dieser Umstand für sich allein nicht genügend Gewicht, um auf eine hinreichende Verdachtslage im umschriebenen Sinne zu schliessen. Der Beschwerdeführer musste die fragliche Haltestelle, welche er zur Benützung der öffentlichen Verkehrsmittel zulässigerweise aufsuchen durfte, nicht einzig deshalb meiden, weil an dieser Stelle - wie ihm offenbar bekannt war - (auch) Drogen umgesetzt werden. Ebenso wenig durfte von ihm erwartet werden, dass er allein aufgrund des ihm im Hinblick auf eine allfällige Ausgrenzung gewährten rechtlichen Gehörs der Stadt Solothurn, welcher als Kantonshauptort aus Sicht der umliegenden Gemeinden, zu denen E._ gehört, zentralörtliche Funktion zukommt, fern bleibt.
2.4 Gebricht es nach dem Gesagten bei der Sachlage, wie sie sich nach Darstellung der Vorinstanz ergibt, schon am hinreichend begründeten Verdacht der Beteiligung des Beschwerdeführers am Drogenhandel, ist die Beschwerde bereits aus diesem Grund als begründet gutzuheissen und das angefochtene Urteil und damit die verfügte Ausgrenzung aufzuheben, ohne dass die erwähnte Massnahme noch auf ihre Verhältnismässigkeit hin zu prüfen wäre.
3. Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Damit wird das Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>) gegenstandslos. Der Beschwerdeführer ist nicht anwaltlich vertreten, weshalb ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 446).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 18. Juni 2009 aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement des Innern (Abteilung Ausländerfragen) und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Oktober 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Moser