Sachverhalt:
A. A.a Das Betreibungsamt A._ pfändete in der von Y._ gegen Z._ geführten Betreibung Nr. qqq das pfändbare Einkommen ab 2. Mai 2001 bis 2. Mai 2002 (Pfändung Nr. 1) und erliess am 19. Juni 2001 die Pfändungsurkunde als provisorischen Verlustschein. Am 12. März 2003 rechnete das Betreibungsamt über die eingegangenen Lohnquoten ab. Es hielt den Erlös von Fr. 19'865.80 für die eingegangenen Lohnquoten Mai 2001 bis April 2002 zuzüglich Zins fest und errechnete zugunsten der Betreibungsgläubigerin Y._ einen Nettoerlös von Fr. 19'549.40, und nach Abzug des sofort ausbezahlten Teilbetrages (Fr. 13'500.--) einen Resterlös von Fr. 6'049.40.
Gegen diese Abrechnung erhob X._ Beschwerde und verlangte, dass der Erlös der eingegangenen Lohnquoten ihm auszuzahlen sei, da seine gestützt auf die Abtretung vom 21. Januar 1999 erhobene Eigentumsansprache am gepfändeten Einkommen anerkannt worden sei. Das Bezirksgericht Bülach als untere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen hiess die Beschwerde mit Beschluss (CB030009/U) vom 28. Juli 2003 gut und hob die Abrechnung des Betreibungsamtes vom 12. März 2003 über die Lohnpfändung in Pfändung Nr. 1 auf und wies das Betreibungsamt an, eine neue Abrechnung zu erstellen.
A.b Mit Verfügung vom 15. Mai 2003 hielt das Betreibungsamt die Auszahlung in der ebenfalls gegenüber Z._ vollzogenen Pfändung Nr. 2 den auf die Betreibungsgläubigerin Y._ entfallenden Erlös vorläufig im Umfang der nach Pfändung Nr. 1 ausbezahlten Fr. 13'500.-- vorläufig - bis zum Abschluss des betreffenden Beschwerdeverfahrens - zurück. Gegen diese Verfügung erhob Y._ Beschwerde, welche die untere Aufsichtsbehörde mit Beschluss (CB030018/U) vom 28. Juli 2003 abwies, soweit darauf eingetreten wurde.
B. Y._ erhob gegen beide erstinstanzlichen Beschlüsse Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als obere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen hiess die Beschwerde gegen den Entscheid CB030009/U mit Beschluss vom 14. April 2004 gut und setzte die angefochtene Abrechnung über die Lohnpfändung wieder in Kraft (Dispositiv-Ziffer 1). Die Beschwerde gegen den Entscheid CB030018/U wurde mit gleichem Beschluss abgewiesen (Dispositiv-Ziffer 2).
C. X._ hat den Beschluss der oberen Aufsichtsbehörde mit Beschwerdeschrift vom 3. Mai 2004 (rechtzeitig) an die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts weitergezogen und beantragt, Dispositiv-Ziffer 1 des angefochtenen Beschlusses sei aufzuheben und es sei - im Sinne der Erstinstanz - die Abrechnung des Betreibungsamtes vom 12. März 2003 über die Lohnpfändung in Pfändung Nr. 1 aufzuheben und das Betreibungsamt anzuweisen, eine neue Abrechnung zu erstellen und die eingegangenen Lohnquoten (Mai 2001 bis April 2002) ihm auszuzahlen. Weiter verlangt er aufschiebende Wirkung.
Die obere Aufsichtsbehörde hat anlässlich der Aktenüberweisung auf Gegenbemerkungen (Art. 80 OG) verzichtet. Das Betreibungsamt hat sich nicht vernehmen lassen. Die Betreibungsgläubigerin als Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Mit Präsidialverfügung vom 10. Mai 2004 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Die Kammer zieht in Erwägung:
1. Y._ beantragt in ihrer Vernehmlassung zur Beschwerde sinngemäss, Dispositiv-Ziffer 2 des vom Beschwerdeführer angefochtenen Beschlusses sei aufzuheben. Dieser Antrag ist unzulässig. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschluss der oberen Aufsichtsbehörde vom 14. April 2004 nicht innert Frist (<ref-law>) angefochten, und eine Anschlussbeschwerde ist ausgeschlossen (BGE 40 III 324 E. 1 S. 328; Art. 81 zweiter Satz OG e contrario).
2. Die obere Aufsichtsbehörde hat festgehalten, die Beschwerdegegnerin habe die Abtretung vom 21. Januar 1999, wonach der Schuldner sein Einkommen dem Beschwerdeführer abgetreten hatte, mit Klage vom 18. April 2000 erfolgreich nach <ref-law> angefochten (Urteil 5C.268/2001 des Bundesgerichts vom 28. Januar 2002). Diese Anfechtung habe sich dahingehend ausgewirkt, dass das abgetretene Vermögenssubstrat im Rahmen der Pfändung Nr. 2 - im Verfahren, in dem die Anfechtung erfolgt war - dem Schuldner zuzurechnen und pfändbar sei. Das Anfechtungsurteil wirke indessen nicht nur für die Pfändung Nr. 2 (Lohnquoten 3. März 1999 bis 3. März 2000), sondern auch für die Pfändung Nr. 1 (Lohnquoten Mai 2001 bis April 2002). Es sei nicht sachgerecht, wenn die Beschwerdegegnerin für dieselbe Forderung einen neuen Anfechtungsprozess über die gleiche Abtretung des Schuldners zu führen hätte, um den Drittanspruch des Beschwerdeführers noch einmal zu beseitigen. Daher könne der Beschwerdegegnerin nicht schaden, dass das Bezirksgericht Bremgarten am 11. September 2001 auf ihre Klage auf Bestreitung des Eigentumsanspruchs des Beschwerdeführers an dem mit Pfändung Nr. 1 beschlagnahmten Einkommen wegen Nichtleistens des Kostenvorschusses nicht eingetreten sei. Das frühere Anfechtungsurteil bestimme endgültig darüber, dass der Beschwerdeführer als Anfechtungsbeklagter die Zwangsvollstreckung in die von ihm erworbenen Aktiven zu dulden habe, weshalb die Abrechnung des Betreibungsamtes zu schützen sei.
Der Beschwerdeführer wirft der oberen Aufsichtsbehörde im Wesentlichen vor, sie verletze Bundesrecht, weil sie dem Anfechtungsurteil materielle Rechtskraft nicht nur für die frühere Pfändung Nr. 2, sondern auch für die Pfändung Nr. 1 zuerkenne und weil sie übergehe, dass sein in dieser Pfändung erhobener Eigentumsanspruch an den Lohnquoten nach <ref-law> anerkannt sei.
3. 3.1 Die Frage, ob und inwieweit jemand an der Betreibung teilnimmt und an der Verteilung partizipiert, entscheidet das Betreibungsamt (<ref-ruling> E. 3a S. 46). Dabei ist für das Betreibungsamt alleine die betreibungsrechtliche Situation im Zeitpunkt der Verteilung massgebend (Schöniger, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, N. 66 zu <ref-law>). Vorliegend ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer an der gepfändeten Forderung für Einkommen Drittansprache erhoben, das Betreibungsamt der Beschwerdegegnerin Frist zur Klage zur Bestreitung der Drittansprache nach <ref-law> erteilt und die Beschwerdegegnerin gegen die Drittansprache keine Klage erhoben, mithin die Drittansprache anerkannt hat. Auf das Vorgehen des Betreibungsamtes zur Behandlung der Drittansprache kann im vorliegenden Verfahren nicht mehr zurückgekommen werden. Strittig ist einzig, ob das Betreibungsamt für die Erstellung der Abrechnung über die Pfändung bzw. die Verteilung des Pfändungserlöses auf den Ausgang des früheren Anfechtungsprozesses, mit welchem die Zession für anfechtbar erklärt worden war, berücksichtigen durfte.
3.2 Die obere Aufsichtsbehörde stützt ihre Auffassung im Wesentlichen auf Guldener (Zwangsvollstreckung und Zivilprozess, ZSR 74/1955, S. 40 und 48 f.), wonach u.a. das Urteil im Anfechtungsprozess auch in späteren Betreibungsverfahren die Wirkung der materiellen Rechtskraft von Zivilurteilen entfalten soll, sofern sich in der späteren Betreibung die gleichen Parteien gegenüberstehen und keine Änderung der Rechtslage eingetreten ist. Diese Meinung hat sich indessen nicht durchgesetzt. Die Anfechtungsklage ist eine betreibungsrechtliche Klage mit Reflexwirkung auf das materielle Recht (<ref-ruling> E. 3d S. 113; Amonn/Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 7. Aufl. 2003, § 4 Rz 54 und 55, § 52 Rz 41; Stoffel, Voies d'exécution: Poursuite pour dettes, exécution de jugements et faillite en droit suisse, § 7 Rz 41). Diese Reflexwirkung beschränkt sich auf die Durchführung der hängigen Betreibung. Das Anfechtungsurteil (ausserhalb des Konkurses) erwächst nur in der laufenden Betreibung in materielle Rechtskraft (BGE 63 III 27 E. 3 S. 31). Es hat keine Wirkung auf die Anfechtungsklage desselben oder eines anderen Gläubigers in einer anderen Betreibung, sondern entfaltet Wirkung nur mit Bezug auf ein bestimmtes Vollstreckungsverfahren (Amonn/Walther, a.a.O., § 4 Rz 54; D. Staehelin, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, N. 24 zu <ref-law>; Bauer, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, N. 9 zu <ref-law>; Gilliéron, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, N. 16 zu <ref-law>; Stoffel, a.a.O.; Blumenstein, Handbuch des Schweizerischen Schuldbetreibungsrechts, S. 108 f. und 856 f.). Anlass, um diese in Rechtsprechung und Lehre gefestigte Auffassung in Frage zu stellen, besteht nicht. Wenn die obere Aufsichtsbehörde angenommen hat, das im Rahmen der Pfändung Nr. 2 (in den Betreibungen Nr. rrr und sss; Pfändungsverlustschein vom 21. Mai 1999) ergangene Anfechtungsurteil entfalte auch Wirkung für die Pfändung Nr. 1 (in der Betreibung Nr. qqq; Pfändungsverlustschein vom 19. Juni 2001), hat sie dem Anfechtungsurteil eine Wirkung zuerkannt, die vor Bundesrecht nicht standhält und im Übrigen mit den berechtigten Interessen anderer Gläubiger nicht vereinbar ist.
3.3 Daran ändert nichts, dass offenbar die Fortsetzung der Betreibung gestützt auf den früheren Pfändungsverlustschein zur Pfändung Nr. 1 geführt hat. Beim Fortsetzungsbegehren innert sechs Monaten nach Zustellung des Verlustscheines handelt es sich um eine neue selbständige Betreibung (<ref-ruling> E. 3 S. 26; <ref-ruling> E. 1 S. 16; Huber, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, N. 32 zu <ref-law>; Gilliéron, a.a.O., N. 43 zu <ref-law>). Entgegen der Auffassung der oberen Aufsichtsbehörde kann daher die aufgrund eines Pfändungsverlustscheines fortgesetzte Betreibung ohne neuen Zahlungsbefehl nicht als ein Ganzes mit der ursprünglichen Betreibung betrachtet werden, in welcher das Anfechtungsurteil ergangen ist.
3.4 Schliesslich übergeht die obere Aufsichtsbehörde, dass weder die Art. 286-288 SchKG von Amtes wegen angewendet werden (BGE 74 III 84 E. 2 S. 86), noch die Betreibungsbehörden über die Anfechtbarkeit von Rechtsgeschäften zu entscheiden haben. Sodann gilt nach <ref-law> bei Nichtanhebung der Klage der Anspruch des Dritten für die betreffende Betreibung als anerkannt (A. Staehelin, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, N. 12 zu <ref-law>). Auch vor diesem Hintergrund ist nicht haltbar, wenn die obere Aufsichtsbehörde zum Ergebnis gelangt ist, das Betreibungsamt habe bei der Abrechnung über die Pfändung Nr. 1 auf das frühere Anfechtungsurteil abstellen und die von der Beschwerdegegnerin anerkannte Drittansprache des Beschwerdeführers übergehen dürfen.
3.5 Nach dem Dargelegten erweist sich die Beschwerde als begründet und Dispositiv-Ziffer 1 des angefochtenen Beschlusses ist aufzuheben. In der Sache ist die Abrechnung des Betreibungsamtes vom 12. März 2003 über die Lohnpfändung in Pfändung Nr. 1 aufzuheben und das Betreibungsamt anzuweisen, eine neue Abrechnung im Sinne der Erwägungen zu erstellen, da die Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Beschluss keine genügend zuverlässige Berechnung des dem Beschwerdeführer auszubezahlenden Nettoerlöses bzw. des daraus resultierenden Verlustscheinbetrages zulassen.
4. Das Beschwerdeverfahren ist grundsätzlich kostenlos (<ref-law>), und es darf keine Parteientschädigung zugesprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt die Kammer:
1. 1.1 Die Beschwerde wird gutgeheissen und Dispositiv-Ziffer 1 des Beschlusses des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen vom 14. April 2004 wird aufgehoben.
1.2 Die Abrechnung Lohnpfändung des Betreibungsamtes A._ vom 12. März 2003 in der Pfändung Nr. 1 wird aufgehoben, und das Betreibungsamt wird angewiesen, eine Abrechnung im Sinne der Erwägungen zu erstellen.
2. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Beschwerdegegnerin, dem Betreibungsamt A._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. August 2004
Im Namen der Schuldbetreibungs- und Konkurskammer
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber: