Sachverhalt:
A.
Am 6. Juni 2011 meldete K._ sich und seine Ehefrau, beide AHV-Rentner, zum Bezug von Ergänzungsleistungen an. Mit Verfügung vom 26. Juli 2011 verneinte die Ausgleichskasse des Kantons Bern für die Zeit ab 1. Juni 2011 einen Anspruch infolge eines Einnahmenüberschusses. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 21. Dezember 2011 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde und das gleichzeitig gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 18. Februar 2013 ab.
C.
K._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 18. Februar 2013 und der Einspracheentscheid vom 21. Dezember 2011 seien aufzuheben und die Sache sei an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Das kantonale Gericht schliesst sinngemäss auf Gutheissung der Beschwerde. Die Ausgleichskasse und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Die jährliche Ergänzungsleistung (Art. 3 Abs. 1 lit. a ELG [SR 831.30]) entspricht dem Betrag, um den die anerkannten Ausgaben die anrechenbaren Einnahmen übersteigen (Art. 9 Abs. 1 ELG). Die anerkannten Ausgaben und die anrechenbaren Einnahmen von Ehegatten werden zusammengerechnet (Art. 9 Abs. 2 ELG). Nicht angerechnet werden Hilflosenentschädigungen der Sozialversicherungen (Art. 11 Abs. 3 lit. d ELG). Sind in der Tagestaxe eines Heims oder Spitals auch die Kosten für die Pflege einer hilflosen Person enthalten, so wird die Hilflosenentschädigung der AHV, IV, Militär- oder Unfallversicherung als Einnahme angerechnet (Art. 15b ELV [SR 831.301]).
2.
2.1. Das kantonale Gericht hat für das Jahr 2011 die anrechenbaren Einnahmen auf Fr. 54'565.60 veranschlagt; dabei hat es namentlich - wie bereits die Ausgleichskasse im Einspracheentscheid - eine Hilflosenentschädigung in Höhe von Fr. 5'472.- miteinbezogen. Die anerkannten Ausgaben hat es auf Fr. 52'791.- festgesetzt. Beim resultierenden Einnahmenüberschuss von Fr. 1'774.60 hat es einen Anspruch auf die jährliche Ergänzungsleistung verneint. Ferner hat es in prozessualer Hinsicht in Anbetracht des ausgewiesenen Vermögens die unentgeltliche Verbeiständung (vgl. <ref-law> [SR 830.1]) verweigert.
2.2. Ein Anhaltspunkt für den Tatbestand der Ausnahmeregelung von Art. 15b ELV ist nicht ersichtlich. Der Beschwerdeführer erblickt in der Anrechnung der Hilflosenentschädigung zu Recht eine Verletzung von Art. 11 Abs. 3 lit. d ELG, was denn auch die Vorinstanz explizit einräumt. Bei anrechenbaren Einnahmen von Fr. 49'093.60 besteht - pro rata temporis ab 1. Juni 2011 (vgl. Art. 12 Abs. 1 ELG) - Anspruch auf eine jährliche Ergänzungsleistung von Fr. 3'697.40.
2.3. Bei diesem Ergebnis hat der Beschwerdeführer für das vorinstanzliche Verfahren Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>), weshalb die Ausführungen betreffend unentgeltliche Verbeiständung gegenstandslos werden und darauf nicht einzugehen ist.
2.4. Trotz Formulierung eines rein kassatorischen Antrags wird mit der Beschwerde - wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren - sinngemäss die jährliche Ergänzungsleistung beantragt (vgl. Anwaltsrevue 2009 8 S. 393, 9C_251/2009 E. 1.3 mit Hinweisen; MEYER/DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 2a und 7 zu <ref-law>). Es besteht keine Veranlassung für eine Rückweisung der Sache (E. 2.2), das Bundesgericht entscheidet reformatorisch (<ref-law>; MEYER/DORMANN, a.a.O., N. 12 zu <ref-law>).
3.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Der obsiegende Beschwerdeführer hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 18. Februar 2013 und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse des Kantons Bern vom 21. Dezember 2011 werden aufgehoben. Der Beschwerdeführer hat zusammen mit seiner Ehefrau ab 1. Juni 2011 Anspruch auf eine jährliche Ergänzungsleistung von Fr. 3'697.40.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Juni 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann