Erwägungen:
1. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen erhob beim Kantonsgericht Schaffhausen Anklage gegen X._ wegen qualifizierter Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und mehrfacher Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes. Am 11. Februar 2010 stellte X._ gegen das Kantonsgericht ein Ablehnungsbegehren mit dem Antrag, den Prozess gegen ihn an ein auswärtiges Gericht zu überstellen. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen trat mit Entscheid vom 1. April 2010 auf das Ausstandsgesuch nicht ein. Das Bundesgericht wies mit Urteil vom 7. Juni 2010 (1B_115/2010) die Beschwerde von X._ gegen den Entscheid des Obergerichts ab.
2. Am 22. Juli 2010 setzte das Kantonsgericht die Hauptverhandlung neu auf den 27. Oktober 2010 fest. Mit Eingabe vom 23. Juli 2010 stellte X._ ein Ablehnungsbegehren gegen den Vorsitzenden der II. Strafkammer, die beisitzenden Kantonsrichter, Markus Kübler und Manuela Hardmeier, sowie die zuständige Gerichtsschreiberin. Das Kantonsgericht überwies am 3. August 2010 das Ablehnungsbegehren dem Obergericht des Kantons Schaffhausen zum Entscheid. Dieses trat mit Entscheid vom 6. August 2010 auf das Ausstandsgesuch nicht ein. In Bezug auf die beisitzenden Kantonsrichter und die Gerichtsschreiberin trat das Obergericht mangels Zuständigkeit nicht ein.
Mit Verfügung vom 20. August 2010 trat der Vorsitzende der II. Strafkammer des Kantonsgerichts Schaffhausen auf das Ausstandsgesuch gegen die beisitzenden Kantonsrichter nicht ein. Bezüglich der Gerichtsschreiberin wies er das Begehren ab. Zur Begründung führte er zusammenfassend aus, dass bezüglich der beisitzenden Kantonsrichter das Ablehnungsbegehren verspätet eingereicht wurde. Nicht von Bedeutung sei dabei, dass das Kantonsgericht erst mit Vorladung vom 22. Juli 2010 die Hauptverhandlung auf den 27. Oktober 2010 terminiert habe. Der Angeklagte habe aufgrund der ursprünglichen Vorladung vom 2. Juli 2009 gewusst, dass die beisitzenden Kantonsrichter für die Verhandlung vorgesehen sind.
3. X._ führt mit Eingabe vom 16. September 2010 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung des Kantonsgerichts Schaffhausen vom 20. August 2010. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4. Streitgegenstand der angefochtenen Verfügung des Kantonsgerichts ist das Ausstandsbegehren gegen die beiden beisitzenden Kantonsrichter sowie die Gerichtsschreiberin. Nicht Streitgegenstand ist das Ausstandsbegehren gegen den Vorsitzenden der II. Strafkammer des Kantonsgerichts Schaffhausen; über dieses Ausstandsbegehren hat das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Entscheid vom 6. August 2010 befunden. Der Beschwerdeführer macht in seiner Beschwerde an das Bundesgericht geltend, dass die Gerichtsschreiberin "vom Befangenheitsantrag" nicht betroffen sei. Folglich ist die Verfügung des Kantonsgerichts einzig insoweit angefochten, als auf das Ausstandsbegehren gegen die beisitzenden Kantonsrichter nicht eingetreten wurde.
5. Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Das Kantonsgericht erachtete das Ausstandsgesuch gegen die beisitzenden Kantonsrichter als verspätet eingereicht. Es ging dabei davon aus, dass der Beschwerdeführer bereits aufgrund der ursprünglichen Vorladung vom 2. Juli 2009 gewusst habe, dass die beisitzenden Kantonsrichter für die Verhandlung vorgesehen sind. Mit dieser Begründung setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander und vermag daher auch nicht darzulegen, inwiefern das Kantonsgericht Recht im Sinne von <ref-law> verletzt haben sollte, als es auf das Ausstandsbegehren wegen verspäteter Einreichung nicht eintrat. Da die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen der angefochtenen Verfügung darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
6. Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. September 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli