Sachverhalt:
A. X._ wurde am 23. Januar 2007 vom Bezirksgericht Zürich wegen falscher Anschuldigung, Betrugs und Urkundenfälschung unter Einbezug von zwei widerrufenen bedingt ausgesprochenen Freiheitsstrafen zu einer Freiheitsstrafe als Gesamtstrafe von 22.5 Monaten verurteilt. Im Umfang von 16.5 Monaten wurde der Vollzug der Freiheitsstrafe aufgeschoben, wohingegen sechs Monate minus fünf durch Untersuchungshaft erstandene Tage zum Vollzug angeordnet wurden.
B. Am 24. Februar 2011 verfügte das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich, X._ habe sich am 13. April 2011 zum Strafantritt zu melden. Am 5. April 2011 stellte X._ bei der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich ein Begnadigungsgesuch in Bezug auf den Vollzug des Urteils des Bezirksgerichts vom 23. Januar 2007, wobei sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ersuchte. Auf einen von X._ gleichzeitig erhobenen Rekurs gegen die Strafantrittsverfügung trat die Direktion der Justiz und des Innern am 14. April 2011 nicht ein. Sie leitete die Rekurseingabe jedoch als Gesuch um Prüfung der Hafterstehungsfähigkeit an das Amt für Justizvollzug weiter und sistierte gleichentags das Begnadigungsverfahren bis zum rechtskräftigen Entscheid über das Gesuch um Prüfung der Hafterstehungsfähigkeit.
C. Das Amt für Justizvollzug trat mit Verfügung vom 29. Oktober 2012 auf das Gesuch um Prüfung der Hafterstehungsfähigkeit nicht ein und setzte den Strafantrittstermin neu auf den 4. März 2013 fest. Die von X._ gegen die Verfügung des Amts für Justizvollzug vom 29. Oktober 2012 erhobenen Rechtsmittel wurden von der Direktion der Justiz und des Innern am 28. Dezember 2012 sowie vom Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 21. Februar 2013 abgewiesen. Am 25. Februar 2013 ersuchte X._ um Wiederaufnahme des Begnadigungsverfahrens, wobei sie erneut den Antrag stellte, dem Begnadigungsgesuch sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Mit Verfügung vom 26. Februar 2013 nahm die Direktion der Justiz und des Innern das Begnadigungsverfahren wieder auf und wies das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ab.
D. Gegen die Verfügung der Direktion der Justiz und des Innern vom 26. Februar 2013 hat X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, dem Begnadigungsgesuch die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Mit Verfügung des Bundesgerichts vom 1. März 2013 wurde der Beschwerde ans Bundesgericht die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Die Vorinstanz beantragt unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde. Das Amt für Justizvollzug beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Mit dem angefochtenen Entscheid wurde die aufschiebende Wirkung eines Begnadigungsgesuchs verweigert.
1.1 Begnadigungsentscheide sind Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 107 mit Hinweisen; SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2007, N. 34 zu Art. 82; BERNHARD WALDMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Auflage 2011, N. 19 zu Art. 82; a.M. ALAIN WURZBURGER, Commentaire de la LTF, 2009, N. 73 zu Art. 82). Zu prüfen ist deshalb, ob der Beschwerdeführerin die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen steht.
1.2 Ein Ausnahmegrund nach <ref-law> liegt nicht vor. Der angefochtene Entscheid ist ein das Begnadigungsverfahren nicht abschliessender Zwischenentscheid, der geeignet ist, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> zu bewirken. Es handelt sich sodann um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid im Sinne von <ref-law>, zumal im Kanton Zürich bei Begnadigungen die Beschwerde ans Verwaltungsgericht ausgeschlossen ist (§ 44 lit. b des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zürich [VRG; LS 175.2]). Zwar ist die Vorinstanz nicht ein oberes Gericht im Sinne von <ref-law>, Begnadigungen sind aber zu den Entscheiden mit vorwiegend politischem Charakter im Sinne von <ref-law> zu zählen, für welche die Kantone anstelle eines Gerichts eine andere Behörde als unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts einsetzen können (vgl. SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, a.a.O., N. 22 zu Art. 86; ESTHER TOPHINKE, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, a.a.O., N. 22 zu Art. 86; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, N. 3015, S. 1135; Schlussbericht der Expertenkommission für die Totalrevision der Bundesrechtspflege vom Juni 1997, herausgegeben vom Bundesamt für Justiz, S. 23). Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde berechtigt (vgl. <ref-law>) und hat die Beschwerdeschrift rechtzeitig eingereicht (vgl. <ref-law>).
1.3 Zu prüfen bleibt, ob die Beschwerdeschrift den gesetzlichen Formerfordernissen entspricht. Mit der Beschwerde ans Bundesgericht gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Als Zwischenentscheid über die aufschiebende Wirkung fällt der angefochtene Entscheid unter diese Regelung. Für entsprechende Einwendungen gilt eine qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 S. 196 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin macht geltend, der angefochtene Entscheid sei in sich widersprüchlich und überzeuge nicht. Darin könnte die Rüge erblickt werden, der angefochtene Entscheid sei willkürlich im Sinne von <ref-law>. Ob die Beschwerdeführerin die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten in genügender Weise gerügt und begründet hat, erscheint fraglich. Diese Frage kann aber offen bleiben, da die Beschwerde ohnehin abzuweisen ist.
2. 2.1 Willkürlich im Sinne von <ref-law> ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtssatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 7.1 S. 51 mit Hinweisen).
2.2 Einem Begnadigungsgesuch kommt im Kanton Zürich grundsätzlich keine aufschiebende Wirkung zu (§ 202 Satz 2 des Gesetzes über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess [GOG; LS 211.1]). Gemäss kantonaler Praxis kann die Direktion der Justiz und des Innern die aufschiebende Wirkung jedoch ausnahmsweise gewähren. Vorausgesetzt wird unter anderem, dass sich das Gesuch nicht als offensichtlich aussichtslos oder trölerisch erweist.
2.3 Die Vorinstanz liess offen, ob das Begnadigungsgesuch der Beschwerdeführerin trölerisch sei. Sie erachtete das Gesuch aber als offensichtlich aussichtslos. Eine Begnadigung setze voraus, dass der Gesuchsteller besonders begnadigungswürdig erscheine und zwingende Begnadigungsgründe vortragen könne. Solche könnten etwa in einer massiv veränderten persönlichen und beruflichen Situation des Betroffenen seit seiner Verurteilung liegen, die sich jedoch so auswirken müsse, dass ein Strafvollzug für den Verurteilten eine ausserordentliche, vom Richter so nicht gewollte Härte bedeuten würde. Mit anderen Worten müsste der Gesuchsteller darlegen können, dass die von ihm vorgebrachten Begnadigungsgründe in ihrer Gesamtheit derart zu gewichten seien, dass der Vollzug der Strafe als unzumutbar oder gerade zu unmenschlich erachtet werden müsste.
Soweit die Beschwerdeführerin gesundheitliche Gründe vorbringe, die dem Vollzug der Freiheitsstrafe entgegenstünden, sei auf das abgeschlossene Verfahren um Prüfung der Hafterstehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin hinzuweisen. Im Begnadigungsverfahren sei von der Hafterstehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin und der Vollstreckbarkeit der Strafe auszugehen. Die Beschwerdeführerin bringe zwar vor, ihre Lebenssituation habe sich dank der Unterstützung ihres Ehemanns und des Umstands, dass sie nun für zwei kleine Kinder die Verantwortung übernehmen müsse, stabilisiert. Dies seien aber keine möglichen Gründe für eine Begnadigung. Familiäre Einschränkungen und Belastungen träfen zahlreiche Familien strafrechtlich verurteilter Personen in ähnlicher Weise und seien in Kauf zu nehmende Auswirkungen der Strafjustiz und des Strafvollzugs. Von einer vom Richter nicht gewollten ausserordentlichen Härte könne jedenfalls nicht gesprochen werden, umso mehr als es sich lediglich um eine relativ kurze Freiheitsstrafe handle und grundsätzlich ein Vollzug in der Form der Halbgefangenschaft möglich sei.
2.4 Der Entscheid der Vorinstanz ist nachvollziehbar und jedenfalls nicht willkürlich im Sinne von <ref-law>. Zunächst erscheint es im Hinblick auf § 202 Satz 2 GOG nicht unhaltbar, einem Begnadigungsgesuch die aufschiebende Wirkung nicht zu erteilen, wenn es aussichtslos erscheint. Weiter ist es nicht willkürlich, dass die Vorinstanz von der Vollstreckbarkeit der Freiheitsstrafe ausgegangen ist und das Berufen auf gesundheitliche Gründe für eine mögliche Begnadigung als nicht erfolgsversprechend einstufte. Schliesslich hat die Vorinstanz nachvollziehbar dargelegt, weshalb auch die weiter von der Beschwerdeführerin genannten Gründe eine Begnadigung offensichtlich nicht rechtfertigen können.
Was die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde ans Bundesgericht vorbringt, ist nicht geeignet, den vorinstanzlichen Entscheid als offensichtlich unhaltbar erscheinen zu lassen. Soweit sie einwendet, sie habe sich seit der Verurteilung des Bezirksgerichts vom 23. Januar 2007 nie mehr etwas zuschulden kommen lassen, ist darauf hinzuweisen, dass sie gemäss dem in den Akten liegenden Auszug aus dem Schweizerischen Strafregister für Vorkommnisse in den Jahren 2007 bis 2011 mehrmals rechtskräftig wegen Betrugs verurteilt worden ist. Im Übrigen ist auch darin keine Willkür zu erkennen, dass die Vorinstanz der Beschwerdeführerin den möglichen weiteren Verlauf des Begnadigungsverfahrens aufzeigte und sie darauf hinwies, dass mit einem allfälligen Entscheid des Kantonsrats üblicherweise frühestens nach einem Jahr gerechnet werden könnte.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich, Amtsleitung, und der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle