Sachverhalt:
A. X._ wurde am 19. März 2012 von Z._ wegen Persönlichkeitsverletzung vor dem Kantonsgericht Schaffhausen eingeklagt. Nebst einlässlicher Erwiderung der aufgestellten Behauptungen stellte X._ in seiner Klageantwort vom 13. Juni 2012 den prozessualen Antrag, es sei ein zweiter Schriftenwechsel anzuordnen. Mit selbständig eröffneter Verfügung vom 29. August 2012 wies der Vorsitzende der I. Zivilkammer des Kantonsgerichts diesen Antrag ab, auferlegte dem Gesuchsteller Gerichtskosten von Fr. 1'000.--, verzichtete aber auf die Zusprache einer Parteientschädigung an den Kläger.
B. Am 7. September 2012 erhob X._ gegen diese Verfügung Beschwerde an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Nebst reformatorischen Begehren beantragte er, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Der Vizepräsident des Obergerichts wies diesen Verfahrensantrag ab (Verfügung vom 20. September 2012).
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. Oktober 2012 gelangt X._ (fortan: Beschwerdeführer) an das Bundesgericht, dem er beantragt, seiner vor Obergericht hängigen Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen, eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zur Sachverhaltsergänzung zurückzuweisen; alles und Kosten- und Entschädigungsfolgen.
Am 2. November 2012 erkannte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu.
In der Hauptsache sind die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Angefochten ist eine Verfügung des Vizepräsidenten des Obergerichts des Kantons Schaffhausen, mit der das Gesuch des Beschwerdeführers, seiner Beschwerde gegen einen erstinstanzlichen, die Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels verweigernden Zwischenentscheid aufschiebende Wirkung zu gewähren, abgewiesen worden ist. Wie der Entscheid, der die aufschiebende Wirkung bewilligt (<ref-ruling> E. 1 S. 447), stellt auch die angefochtene Verfügung einen Zwischenentscheid dar, zumal das Beschwerdeverfahren damit nicht abgeschlossen wird.
1.1 Gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil muss nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung rechtlicher Natur sein, was voraussetzt, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig beseitigen lässt. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382 und 522 E. 1.3 S. 525; <ref-ruling> E. 6 S. 192).
1.2 Zusammengefasst macht der Beschwerdeführer geltend, der Hauptsache liege ein äusserst komplexer Sachverhalt zugrunde. Es sei damit zu rechnen, dass der Beschwerdegegner in einer an der Hauptverhandlung mündlich gehaltenen Replik ohne vorgängigen zweiten Schriftenwechsel unzählige Noven vorbringe, zu denen er, der Beschwerdeführer, gehalten wäre, Stellung zu nehmen. Der Beschwerdegegner sei bereits seit dem 18. Juni 2012 im Besitz der Klageantwort und könne somit seit diesem Zeitpunkt eine mündliche Replik ausführlich vorbereiten. Demgegenüber müsste er, der Beschwerdeführer, unverzüglich duplizieren. Dadurch würden das rechtliche Gehör und die Grundsätze der Waffengleichheit und des fairen Verfahrens schwerwiegend und unheilbar verletzt.
1.3 Die Frage, ob mit dem Verzicht auf einen zweiten Schriftenwechsel der Anspruch auf rechtliches Gehör oder die Grundsätze der Waffengleichheit bzw. des fairen Verfahrens verletzt werden, lässt sich nicht abstrakt feststellen, sondern hängt vom konkreten weiteren Verfahrenslauf ab. Sollte die Befürchtung des Beschwerdeführers tatsächlich eintreten und der Beschwerdegegner in der Hauptverhandlung replicando zahlreiche neue Tatsachen vortragen oder Beweismittel einreichen, wird das erstinstanzliche Gericht dem Beschwerdeführer unter dem Gesichtspunkt des rechtlichen Gehörs angemessen Gelegenheit geben, zu duplizieren, und gegebenenfalls die Hauptverhandlung unterbrechen oder verschieben, um ihm genügend Zeit für seine Duplik einzuräumen. In jedem Fall wird der Beschwerdeführer eine allfällige Verletzung des rechtlichen Gehörs auch noch im Rahmen eines Rechtsmittels gegen den Endentscheid geltend machen können. Daher droht mit dem Verzicht auf die Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels kein im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nicht wieder gutzumachender Nachteil.
2. Aus den dargelegten Gründen kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Der Beschwerdeführer wird kosten-, hingegen nicht entschädigungspflichtig, da der Beschwerdegegner mit Bezug auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung für das Verfahren vor Bundesgericht unterlegen und zur Hauptsache nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden ist (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. November 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn