Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1975) bezieht seit Mai 2005 eine ganze Invalidenrente (Verfügungen vom 13. Dezember 2006 und 29. Januar 2007). Im Rahmen einer Überprüfung des Anspruchs ordnete die IV-Stelle des Kantons Zürich dessen Aufhebung (mit Wirkung ab September 2013) an (Verfügung vom 18. Juli 2013).
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 15. April 2014).
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, die gesetzlich geschuldeten Leistungen auszurichten, insbesondere weiterhin die Invalidenrente zu bezahlen.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Nach lit. a Abs. 1 der am 1. Januar 2012 in Kraft getretenen Schlussbestimmungen der Änderung des IVG vom 18. März 2011 (6. IV-Revision, erstes Massnahmenpaket [AS 2011 5659; BBl 2011 2723 und 2010 1817]; nachfolgend: Schlussbestimmung) werden Renten, die bei pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage gesprochen wurden, innerhalb von drei Jahren nach Inkrafttreten der Änderung überprüft. Sind die Voraussetzungen nach <ref-law> nicht erfüllt, so wird die Rente herabgesetzt oder aufgehoben, auch wenn die Voraussetzungen von <ref-law> nicht erfüllt sind. Abs. 1 findet keine Anwendung auf Personen, die im Zeitpunkt des Inkrafttretens der Änderung das 55. Altersjahr zurückgelegt haben oder im Zeitpunkt, in dem die Überprüfung eingeleitet wird, seit mehr als 15 Jahren eine Rente der Invalidenversicherung beziehen (Abs. 4).
Das kantonale Gericht hielt fest, die seit Mai 2005 laufende Invalidenrente sei im Wesentlichen wegen einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung zugesprochen worden; eine objektivierbare Ursache für die Kopfschmerzproblematik habe nicht gefunden werden können. Die Rentenberechtigung sei daher nach der Schlussbestimmung zu überprüfen, wenn auch die weiteren Voraussetzungen (<ref-ruling>, 197) gegeben seien (E. 6.1 des angefochtenen Entscheids).
1.2. Bei der Zusprechung der Invalidenrente haben neben der somatoformen Schmerzstörung unter anderem auch Spannungskopfschmerzen bei einer langjährigen Migräne eine Rolle gespielt (vgl. psychiatrisches Gutachten des Dr. B._ vom 19. April 2006 und dort erwähnte u.a. neurologische Berichte). Das Bundesgericht hat offengelassen, ob die Migräne zu den objektivierbaren Beschwerdebildern zu zählen ist (<ref-ruling> E. 3.3.1). Mit Blick auf das Folgende kann offen bleiben, wie es sich unter diesem Aspekt mit der Anwendbarkeit der Schlussbestimmung verhält (vgl. Urteil 9C_121/2014 vom 3. September 2014 E. 2.4-2.7).
1.3.
1.3.1. Die Schlussbestimmung ist nur anwendbar, wenn die einschlägige Rechtsprechung (<ref-ruling> und folgende) bei der Rentenzusprechung nicht berücksichtigt worden ist (<ref-ruling> E. 2.2.1.3 S. 13 und E. 2.3 S. 14). Die Vorinstanz geht davon aus, bei der Rentenzusprechung habe keine "eigentliche" Prüfung der betreffenden Vorgaben stattgefunden. Keine der ärztlichen Stellungnahmen vor der Rentenzusprechung enthalte detaillierte Ausführungen zur Gesamtheit der betreffenden Kriterien; diese seien in den Akten denn auch nirgendwo spezifisch diskutiert worden (E. 6.2 des angefochtenen Entscheids).
1.3.2. Dem kann nicht gefolgt werden. Da dem Rentenantrag stattgegeben wurde, bestand kein Anlass, die Leistungsverfügungen vom 13. Dezember 2006 und 29. Januar 2007 vertieft zu begründen. Die IV-Stelle hat sich indes ausdrücklich auf die Eingabe der Beschwerdeführerin vom 30. August 2006 bezogen. Dabei handelte es sich um eine Stellungnahme zum Vorbescheid vom 24. Juli 2006; mit diesem hatte die Verwaltung der Versicherten mitgeteilt, es bestehe keine Invalidität im Sinne des Gesetzes, weil "die entscheidenden Kriterien für die Unüberwindlichkeit der somatoformen Schmerzstörung (...) " fehlten. Die Beschwerdeführerin legte in der Stellungnahme vom 30. August 2006 anhand der betreffenden Kriterien dar, inwiefern das Leiden aus ihrer Sicht invalidisierend sei (Ziff. 3 und 4). Der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) der Invalidenversicherung hielt "nach nochmaliger Prüfung des Falles zusammen mit den erfahrenen Psychiatern im RAD" fest, mit dem psychiatrischen Gutachter sei von einem "chronifizierten, verfestigten und therapeutisch nicht mehr angehbaren Verlauf der somatoformen Schmerzstörung" auszugehen (Aktennotiz vom 5. September 2006).
1.3.3. Bei diesem Hergang kann nicht davon gesprochen werden, die damals bestehende Praxis zu den syndromalen Beschwerdebildern sei nicht "auf der Grundlage der massgebenden Überwindbarkeitsrechtsprechung" (<ref-ruling> E. 2.2.1.3 S. 13) resp. "in Kenntnis der Praxis zu den anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen" (BGE a.a.O. E. 2.3 S. 14) erfolgt: Die gegenüber dem Vorbescheid geänderte Beurteilung in den Leistungsverfügungen muss anhand der zwischenzeitlich thematisierten spezifischen Kriterien erfolgt sein; andere mögliche Entscheidungsmotive sind nicht ersichtlich. Unmassgeblich ist in diesem Zusammenhang, ob die Rechtsprechung seinerzeit richtig umgesetzt worden ist. Der vom kantonalen Gericht hervorgehobene Umstand, keine der seinerzeitigen ärztlichen Berichte enthalte detaillierte Ausführungen zu den einzelnen Kriterien (E. 6.2.2), betrifft, wie die Beschwerdeführerin zutreffend anmerkt, die Voraussetzungen einer allfälligen Wiedererwägung (dazu sogleich E. 2).
2.
2.1. Ist es somit nicht zulässig, unter dem Titel der Schlussbestimmung auf den Rentenanspruch zurückzukommen, stellt sich die Frage, ob die strittige Verfügung mit der substituierten Begründung der Wiedererwägung der ursprünglichen Leistungsverfügungen zu schützen sei (vgl. erwähntes Urteil 9C_121/2014 E. 3.2.2).
2.2. Dafür ist nach <ref-law> unter anderem deren zweifellose Unrichtigkeit vorausgesetzt. Es darf kein vernünftiger Zweifel an der Unrichtigkeit der Verfügung möglich, also nur dieser einzige Schluss denkbar sein (Urteil 8C_1012/2008 E. 4.1 vom 17. August 2009, SVR 2010 IV Nr. 5 S. 10; Urteile 9C_587/2010 vom 29. Oktober 2010 E. 3.3.1 und 9C_575/2007 vom 18. Oktober 2007 E. 2.2). In diesem Sinne qualifiziert unrichtig ist eine Verfügung einmal dann, wenn die erforderlichen fachärztlichen Abklärungen überhaupt nicht oder nicht mit der erforderlichen Sorgfalt durchgeführt worden sind (vgl. Urteile 9C_121/2014 E. 3.3.2 f. und 9C_307/2011 vom 23. November 2011 E. 3.2 mit Hinweis). Weiter ist in der Regel zweifellose Unrichtigkeit gegeben, wenn eine Leistungszusprechung aufgrund falscher Rechtsregeln erfolgte oder wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden. Soweit indessen ermessensgeprägte Teile der Anspruchsprüfung vor dem Hintergrund der Sach- und Rechtslage einschliesslich der Rechtspraxis im Zeitpunkt der rechtskräftigen Leistungszusprechung (<ref-ruling> E. 3 S. 389) in vertretbarer Weise beurteilt worden sind, ist zweifellose Unrichtigkeit nicht anzunehmen (vgl. Urteile 9C_621/2010 vom 22. Dezember 2010 E. 2.2 und I 222/02 vom 19. Dezember 2002 E. 3.2).
2.3.
2.3.1. Im Kopfwehzentrum C._ wurden im Herbst 2004 chronische Spannungskopfschmerzen mit migräneartigen Exazerbationen und Analgetikaüberkonsum diagnostiziert (Bericht vom 9. September 2004). Nachdem verschiedene neurologische Untersuchungen hiefür keine Erklärung zutage gefördert (vgl. etwa den Bericht des Prof. D._ vom 9. Juni 2005) und die Rheumaklinik am Spital E._ den Verdacht auf ein depressives Zustandsbild formuliert hatte (Bericht vom 2. September 2005), holte die IV-Stelle beim Psychiater Dr. B._ ein Gutachten ein. Der Sachverständige wog die in eigener Abklärung erhobenen Befunde und die den medizinischen Vorakten entnommenen lebens- und krankengeschichtlichen Aspekte nachvollziehbar ab und gelangte zum Schluss, es liege eine maligne regressive Entwicklung mit Somatisierung und depressiven Symptomen bei einer Primärpersönlichkeit mit ausgeprägten narzisstischen Zügen und einer langjährigen chronifizierten Migräne vor. Dieser Zustand sei gemäss ICD-10 mit den Diagnosen einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (Ziff. F45.4) mit namentlich Spannungskopfschmerzen bei einer langjährigen Migräne (Ziff. G43) erfassbar. Der psychiatrische Gutachter machte konkrete Behandlungsvorschläge, hielt zugleich aber fest, die Prognose sei schlecht. Eine Reflexion und therapeutische Bearbeitung des Geschehens sei nicht möglich, zumal der Krankheitsprozess chronifiziert und fixiert erscheine. Die Untersuchte sei in jeglicher Tätigkeit vollständig arbeitsunfähig (Expertise vom 19. April 2006). Der RAD hielt zunächst fest, das umfassende Gutachten sei zwar nachvollziehbar, doch begründeten die einschlägigen Kriterien keine invalidisierende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Nach einer Stellungnahme der Versicherten und einer Rücksprache mit internen Psychiatern kam der ärztliche Dienst der Invalidenversicherung darauf zurück und folgte unter Hinweis auf die Chronifizierung der gutachterlichen Einschätzung (vgl. oben E. 1.3.2).
2.3.2. Unter diesen Umständen kann nicht gesagt werden, die damalige Beurteilung sei geradezu unvertretbar gewesen, weil die erforderlichen fachärztlichen Abklärungen überhaupt nicht oder nicht mit der erforderlichen Sorgfalt durchgeführt worden seien. Die vorinstanzliche Feststellung, keine der damals vorliegenden ärztlichen Berichte habe detaillierte Ausführungen zu den einzelnen Kriterien enthalten, ändert daran nichts: Im Zeitpunkt der leistungszusprechenden Verfügungen lagen die Ergebnisse umfassender anästhesiologischer, neurologischer, rheumatologischer und psychiatrischer Abklärungen vor, welche in ihrer Gesamtheit eine Beurteilung nach Massgabe der Schmerzrechtsprechung ohne Weiteres erlaubten. Mit Blick auf die erwähnte Auseinandersetzung der Beschwerdeführerin mit dieser Praxis (Eingabe vom 30. August 2006), welcher die IV-Stelle damals offensichtlich gefolgt ist, erscheint sodann auch der - insofern kriteriengestützte - rechtliche Schluss auf eine vollständige Arbeitsunfähigkeit nicht geradezu unvertretbar und somit auch nicht zweifellos unrichtig im Sinne von <ref-law>. Ob die seinerzeitige Zusprechung einer ganzen Invalidenrente einer freien Prüfung der Anspruchsvoraussetzungen standhielte, ist hier nicht zu entscheiden.
3.
Die Feststellung des kantonalen Gerichts, der Gesundheitszustand habe sich seit der ursprünglichen Leistungszusprechung nicht wesentlich geändert (E. 6.3 und 6.5.1 des angefochtenen Entscheids; vgl. auch S. 18 Ziff. 4.1.8 und S. 31 Ziff. 6.3 des MEDAS-Gutachtens vom 23. Mai 2013), ist nicht offensichtlich unrichtig. Das Bundesgericht ist somit daran gebunden (vgl. <ref-law>). Daher entfällt eine Rentenrevision nach <ref-law>.
4.
Mangels eines Rückkommensgrundes steht der Beschwerdeführerin die bisherige Rentenleistung auch über August 2013 hinaus zu.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Ausserdem hat sie der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 15. April 2014 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 18. Juli 2013 werden aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und der Eidgenössischen Ausgleichskasse schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Dezember 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub