Sachverhalt:
A.
X._, wohnhaft in L._/ZH, ist Eigentümerin einer rund 2'000 m 2 umfassenden Liegenschaft in der Gemeinde M._/TG. Auf diesem Gelände hält sie mehrere eigene und fremde Hunde.
Infolge verschiedener Probleme durch entwichene Tiere, liess sie zum einen die bereits bestehende Umzäunung erhöhen und verbessern. Zum anderen liess sie innerhalb der bestehenden Umzäunung, im Abstand von ca. 30 cm zum Zaun, eine Installation von zwei weiteren Drähten in Höhen von 20 cm resp. 60 cm ab Boden anbringen. Diese zwei Drähte wurden unter Strom gesetzt.
Mit Verfügung vom 2. April 2012 verpflichtete das Veterinäramt des Kantons Thurgau X._ dazu, die stromführenden Einrichtungen an ihrem Zaun zu entfernen, da diese verboten seien.
B.
Gegen die Verfügung des kantonalen Veterinäramtes rekurrierte X._ beim Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau. Mit Entscheid vom 5. Oktober 2012 wies dieses den Rekurs in der Hauptsache ab.
In der Folge beschwerte sich X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Mit Urteil vom 27. März 2013 wies dieses die Beschwerde ebenfalls ab.
C.
Mit Eingaben vom 14. Mai 2013 und vom 16. Mai 2013 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids; eventualiter sei die Angelegenheit an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau zurückzuweisen.
Das Veterinäramt, das Departement für Inneres und Volkswirtschaft sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Mit Schreiben vom 12. Juli 2013 nimmt X._ zum Vernehmlassungsergebnis Stellung.
Mit Schreiben vom 13. November 2013 lädt das Bundesgericht schliesslich das Bundesamt für Veterinärwesen (BVET) zur Vernehmlassung ein. Dieses nimmt in der Folge am 12. Dezember 2013 zur Angelegenheit Stellung. Mit Eingabe vom 8. Januar 2014 äussert sich die Beschwerdeführerin zur Stellungnahme des BVET und beantragt erneut die Gutheissung der ursprünglichen Anträge. Mit separaten Schreiben vom 14. Januar 2014 geben sowohl das kantonale Veterinäramt als auch das Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau bekannt, dass sie nach wie vor die Abweisung der Beschwerde beantragen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau äussert sich nicht zur Vernehmlassung des BVET.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist gestützt auf <ref-law> zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Indes prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht: Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287). Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
1.3. Das Bundesgericht stellt grundsätzlich auf den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt ab (<ref-law>). Diese Sachverhaltsfeststellungen können vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Die Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden, ist gleichbedeutend mit der Willkürrüge und muss daher gemäss den Anforderungen von <ref-law> in der Beschwerdeschrift begründet werden (<ref-ruling> E. 1.2.2 und E. 1.4.3 S. 252 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 351 f.). Vorausgesetzt ist zudem, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführerin macht vorab geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt nicht frei geprüft, weil sie bei der Beurteilung der vorliegenden Angelegenheit auf die aktenkundigen Fotografien der Umzäunung abgestellt und auf die Durchführung eines Augenscheins verzichtet habe. In diesem Zusammenhang rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung von <ref-law> sowie des rechtlichen Gehörs. Letzteres sieht sie ferner auch dadurch verletzt, dass die Vorinstanz ihrem Antrag nicht nachgekommen sei, bei der Erstellerin bzw. der Lieferantin der im Streit liegenden Anlage einen Bericht über deren Beschaffenheit und Zulässigkeit in anderen Kantonen einzuholen.
Ob diese formalen Rügen der Beschwerdeführerin zutreffen bzw. inwieweit die gestellten Beweisanträge überhaupt geeignet sind, rechtserhebliche Erkenntnisse zu gewinnen, kann im vorliegenden Fall offen bleiben, zumal sich die Beschwerde nach der heute geltenden Rechtslage jedenfalls in materieller Hinsicht als begründet erweist, wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen.
3.
3.1. Art. 76 Abs. 2 der Tierschutzverordnung vom 23. April 2008 (TschV; SR 455.1; in Kraft seit 1. September 2008) lautet wie folgt:
"Die Verwendung von Geräten, die elektrisieren, für den Hund sehr unangenehme akustische Signale aussenden oder mittels chemischer Stoffe wirken, ist verboten".
Hierauf stützt sich die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid und führt aus, auch die Einzäunungsanlage der Beschwerdeführerin stelle ein "Gerät" im Sinne dieser Bestimmung dar. Da ein solches strikt verboten sei, könne es auch durch allfällige Massnahmen wie einer Reduktion des Abstandes zwischen Stromdraht und Zaun, einer Verringerung des Stromimpulses oder dem Anbringen von Abschreckbändern nicht tierschutzgerecht ausgestaltet werden. Aus diesem Grund müsse die Installation entfernt werden. Ein Belassen der Drähte bei permanent abgeschaltetem Strom erscheine ungenügend: Einerseits sei es mit zumutbarem Kontrollaufwand nicht überprüfbar, ob die Beschwerdeführerin den Strom nicht einfach wieder zuführe und andererseits hätten die Drähte ohne Strom auch keine Funktion mehr, sondern stellten für die Tiere einzig eine potenzielle Verletzungsgefahr dar.
3.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet dagegen, dass es sich beim fraglichen Elektrozaun um ein "Gerät" i.S.v. Art. 76 Abs. 2 TschV handelt: Die Installation messe ca. 40 x 60 Meter und bestehe aus vielen einzelnen Teile wie Verstrebungen, Haltestangen und Isolatoren. Eine derartige Anlage sei eindeutig kein Gerät, sondern vielmehr etwas "Käfigartiges". Unter "Geräten" i.S.v. Art. 76 Abs. 2 TschV seien historisch betrachtet nur die bei Ausbildung und Dressur verwendeten stromführenden Halsbänder, Fussfesseln und dergleichen zu verstehen. Falls der Verordnungsgeber beabsichtigt hätte, elektrische Zaunsysteme ebenfalls zu verbieten, so wäre angesichts der hohen Regelungsdichte und der hohen Detaillierung in der Tierschutzverordnung eine ausdrückliche Regelung zu erwarten gewesen.
Sodann argumentiert die Beschwerdeführerin, der Begriff "elektrisieren" im Sinne von Art. 76 Abs. 2 TschV müsse in Zusammenhang mit Abs. 1 derselben Bestimmung gesehen und interpretiert werden: Gemäss Art. 76 Abs. 1 TschV dürfen Hilfsmittel "nicht derart verwendet werden, dass dem Tier Verletzungen oder erhebliche Schmerzen zugefügt werden oder dass es stark gereizt oder in Angst versetzt wird". Vom Erfordernis dieser Tatbestandsmerkmale sei deshalb auch bei der Auslegung des Begriffs "elektrisieren" auszugehen. Im vorliegenden Fall seien die genannten Tatbestandsmerkmale jedoch nicht erfüllt, da die Anlage den Hunden weder Verletzungen noch starke Schmerzen zufügen könne.
3.3. Entscheidend und durch Auslegung zu klären ist somit, ob die im Streit liegende Installation als verbotenes elektrisierendes Gerät i.S.v. Art. 76 Abs. 2 TschV zu bezeichnen ist. Die Materialien zu dieser Bestimmung erweisen sich als wenig ergiebig: Aus den letztmals am 6. Dezember 2010 überarbeiteten "Erläuterungen zu den einzelnen Bestimmungen der neuen Tierschutzverordnung" des BVET geht einzig hervor, dass die vormaligen (d.h. vor dem 1. September 2008 bestehenden) Ausnahmen für die unsichtbaren elektrisierenden Zaunsysteme gestrichen wurden und solche Installationen seither verboten sind; gemäss der Vernehmlassung des BVET handelt es sich bei den unsichtbaren Zaunsystemen um im Boden vergrabene Drähte, die beim Überqueren ein am Körper des Hundes angebrachtes Empfängergerät aktivieren, welches dem Tier einen Stromstoss versetzt. Zu anderen Zaunsystemen äussern sich die Erläuterungen des BVET nicht; namentlich bringen sie auch nicht zum Ausdruck, dass diesbezüglich nach wie vor Ausnahmen bestehen würden. Somit liesse sich diesbezüglich sowohl ein Analogieschluss rechtfertigen (generelles Verbot von elektrischen Zäunen, da keine explizite Ausnahme für oberirdische, sichtbare Zäune besteht) als auch ein Umkehrschluss begründen (oberirdische, sichtbare Zäune bleiben erlaubt, da nur die Ausnahmen für die unsichtbaren Zäune gestrichen wurden).
3.4. Indessen wurde die Tierschutzverordnung mit Änderung vom 23. Oktober 2013, in Kraft seit 1. Januar 2014, u.a. wie folgt ergänzt:
Art. 35 Abs. 5 TschV
"Auslaufflächen dürfen mit stromführenden Zäunen begrenzt werden, wenn die Auslauffläche ausreichend gross und so gestaltet ist, dass die Tiere genügend Distanz zum Zaun halten und einander ausweichen können."
Die genannte Bestimmung ist im Kapitel über die Haustiere bei den allgemeinen Bestimmungen aufgeführt und folglich auch für Hunde anwendbar. Dass die Auslauffläche im hier zu beurteilenden Fall ausreichend gross ist, wird von keiner Seite bestritten und kann angesichts der Abmessungen von ca. 40 x 60 Metern als erstellt gelten. Nicht zu folgen ist dem kantonalen Veterinäramt sowie dem thurgauischen Departement für Inneres und Volkswirtschaft insoweit, als diese Behörden -ebenfalls unter Hinweis auf eine Stellungnahme des BVET - die Auffassung vertreten, aufgrund des Abstandes von 30 cm zum Zaun seien die beiden stromführenden Drähte nicht mehr als Teil der Umzäunung, sondern als eigenständiges, für die Hunde nicht sichtbares Gerät zu betrachten: Die stromführende, oberirdisch verbaute und mindestens 60 cm hohe Drahtinstallation verläuft deckungsgleich mit der Aussenumzäunung und erscheint als Bestandteil bzw. als Erweiterung derselben. Insofern ist es ausreichend, dass die Hunde die Umzäunung als Ganzes wahrnehmen und die mit einer Berührung verbundene unangenehme Erfahrung der Annäherung an den Zaun zuordnen können.
3.5. Somit steht fest, dass die im Streit liegende stromführende Umzäunung jedenfalls seit dem 1. Januar 2014 zulässig ist. Da die Anlage gegenwärtig noch montiert ist, drängt es sich auf, den hier vorliegenden zeitlich offenen Dauersachverhalt nach der heute geltenden Rechtslage zu beurteilen: Falls die Beschwerde nach der bis zum 31. Dezember 2013 in Kraft gewesenen Fassung der Verordnung abzuweisen gewesen wäre - was an dieser Stelle offen bleiben kann -, so hätte dies eine Verpflichtung zum Rückbau zur Folge, obschon die gleiche Anlage sogleich neu erstellt werden dürfte. Eine solche Verpflichtung erschiene jedoch a priori als sinn- und zwecklos und mithin auch als unverhältnismässig.
4.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 27. März 2013 ersatzlos aufzuheben.
Bei diesem Verfahrensausgang werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>). Der Kanton Thurgau hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen. Da die Rechtslage und infolgedessen der mutmassliche Prozessausgang zum Zeitpunkt der Verfahrenseinleitung und des vorinstanzlichen Urteils als offen zu bezeichnen gewesen wäre (vgl. E. 3.3 und E. 3.5 hiervor), rechtfertigt es sich indes, die Parteientschädigung zu reduzieren (<ref-law>). Aus demselben Grund besteht für das Bundesgericht auch keine Veranlassung, die Kosten des vorangegangenen Verfahrens anders zu verteilen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 27. März 2013 wird aufgehoben.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Thurgau hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung in Höhe von Fr. 1'500.-- zu entrichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Veterinärwesen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Januar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler