Sachverhalt:
A. X._ (Ehefrau) und Z._ (Ehemann) stehen seit dem 8. September 2011 in einem Eheschutzverfahren vor dem Bezirksgericht Zürich.
Am 23. November 2011 stellte X._ ein Gesuch um vorsorgliche Massnahmen. Sie verlangte, Z._ zu verpflichten, ihr für sich und für die beiden Kinder (S._ und T._, beide geb. am xxxx 2002) für die Dauer des Eheschutzverfahrens ab 1. August 2011 monatliche, vorauszahlbare Unterhaltsbeiträge von Fr. 3'250.-- (je Fr. 1'125.-- für die Kinder und Fr. 1'000.-- für sie persönlich), zuzüglich Kinder- und Familienzulagen, zu zahlen (Ziff. 1). Zudem verlangte sie eine Regelung des Besuchsrechts von Z._ (Ziff. 2). Am 30. November 2011 beantragte X._, die verlangten Unterhaltszahlungen superprovisorisch anzuordnen.
Mit Verfügung vom 2. Dezember 2011 trat das Bezirksgericht auf die Begehren um Erlass vorsorglicher und superprovisorischer Massnahmen in Bezug auf die Unterhaltsbeiträge nicht ein und wies das Begehren um vorsorgliche Massnahmen im Übrigen ab.
B. Am 19. Dezember 2011 erhob X._ Berufung und verlangte, das Bezirksgericht sei anzuweisen, auf ihre Anträge um Erlass vorsorglicher und superprovisorischer Massnahmen hinsichtlich der Unterhaltsbeiträge einzutreten. Zudem ersuchte sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren.
Mit Urteil vom 8. Februar 2012 trat das Obergericht des Kantons Zürich auf die Berufung nicht ein, soweit sie den Erlass superprovisorischer Massnahmen betraf, und wies sie im Übrigen ab (Dispositivziff. 1). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren wies es ab (Ziff. 2). Die zweitinstanzlichen Gerichtskosten wurden auf Fr. 500.-- festgesetzt (Ziff. 3) und X._ auferlegt (Ziff. 4). Zudem wurde sie verpflichtet, Z._ eine Parteientschädigung von Fr. 1'080.-- zu zahlen (Ziff. 5).
C. Am 12. März 2012 hat X._ (Beschwerdeführerin) gegen das obergerichtliche Urteil Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie verlangt, ihren Antrag auf Erlass vorsorglicher Massnahmen auf Unterhaltszahlung gutzuheissen und das angefochtene Urteil insoweit aufzuheben. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Ausserdem beantragt sie Gutheissung ihres Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren. Ferner verlangt sie, die zweitinstanzlichen Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und keiner Partei eine Parteientschädigung für das zweitinstanzliche Verfahren zuzusprechen. Im Hinblick auf die zweitinstanzliche Parteientschädigung verlangt sie die Gewährung aufschiebender Wirkung. Schliesslich ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Obergericht hat auf Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet und Z._ (Beschwerdegegner 1) hat um Abweisung ersucht. Mit Präsidialverfügung vom 28. März 2012 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Am 29. Juni 2012 hat die Beschwerdeführerin auf Aufforderung hin Unterlagen zu ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eingereicht. Zugleich verlangt sie im Sinne eines Eventualantrags einen Prozesskostenvorschuss (provisio ad litem) von Fr. 3'000.-- zuzüglich 8 % MwSt vom Beschwerdegegner 1.
Das Obergericht ist eingeladen worden, sich zur Frage der unentgeltlichen Rechtspflege im Berufungsverfahren vernehmen zu lassen. Es hat darauf verzichtet. Im Übrigen hat das Bundesgericht keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Nach ausdrücklicher Erklärung der Beschwerdeführerin ist ihr Gesuch um Erlass superprovisorischer Massnahmen nicht Gegenstand der Beschwerde an das Bundesgericht. Hingegen ficht sie die Verweigerung vorsorglicher Massnahmen während des Eheschutzverfahrens an.
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind selbständig eröffnete Massnahmenentscheide, die vor oder während eines Hauptverfahrens erlassen werden und nur für die Dauer des Hauptverfahrens bzw. unter der Bedingung, dass ein Hauptverfahren eingeleitet wird, Bestand haben, Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 3.1 S. 86 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 79; vgl. auch <ref-ruling> E. 1 S. 20 f.). Dies gilt nicht nur bei Anordnung der Massnahme, sondern auch bei Verweigerung derselben (<ref-ruling> E. 1.1 S. 328). Zwischenentscheide können nur unter eingeschränkten Voraussetzungen vor Bundesgericht angefochten werden, wobei hinsichtlich der anbegehrten Massnahme auf Unterhaltszahlung einzig die Variante von <ref-law> in Betracht kommt, d.h. es muss die Gefahr eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils bestehen. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> muss rechtlicher Natur sein, was voraussetzt, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382; <ref-ruling> E. 6 S. 192; je mit Hinweisen). Früher hat das Bundesgericht bei Zwischenentscheiden, mit denen vorsorgliche Massnahmen erlassen oder verweigert wurden, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil regelmässig bejaht. Ob dies weiterhin zutrifft, hat es kürzlich offengelassen. Es hat aber - in Einklang mit seiner Rechtsprechung zu anderen Zwischenentscheiden - gefordert, dass der Beschwerdeführer in der Beschwerdebegründung aufzeigen müsse, inwiefern ihm im konkreten Fall ein nicht wieder gutzumachender Nachteil rechtlicher Natur drohe (<ref-ruling> E. 1.1 S. 328 f. mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin äussert sich nicht dazu, inwiefern ihr aus der Verweigerung der vorsorglichen Massnahme ein Nachteil rechtlicher Natur erwachsen könnte. Auf ihre Beschwerde kann insoweit nicht eingetreten werden.
1.2 Daneben ficht die Beschwerdeführerin auch die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Berufungsverfahren vor Obergericht an.
Der Entscheid, mit dem die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wird, ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Er unterliegt dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel (<ref-ruling> E. 1.4 S. 264) und damit der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Das Obergericht hat als letzte kantonale Instanz geurteilt, allerdings über die unentgeltliche Rechtspflege nicht auf Rechtsmittel hin, sondern als einzige Instanz (vgl. <ref-law>). Dies schadet jedoch nicht, da es mit einem Berufungsverfahren befasst war und den Zwischenentscheid über die unentgeltliche Rechtspflege in diesem Rahmen gefällt hat (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426; <ref-ruling> E. 1.1 S. 42). Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) ist insoweit einzutreten. Gerügt werden kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>).
2. Das Obergericht hat das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Berufung abgewiesen.
2.1 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer summarischen Prüfung nach den Verhältnissen zur Zeit, zu der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen).
2.1 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer summarischen Prüfung nach den Verhältnissen zur Zeit, zu der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen).
2.2 2.2.1 Vorliegend geht es um die Frage, ob es als aussichtslos erscheint, im Rahmen eines Eheschutzverfahrens eine vorsorgliche Massnahme auf Zahlung von Unterhalt zu verlangen. Das Obergericht hat dies nicht gesondert - anhand der zuvor genannten Kriterien (vgl. zu ihrer Geltung im Anwendungsbereich von <ref-law> <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218) - überprüft, sondern offensichtlich aufgrund des Verfahrensausgangs in der Sache auf Aussichtslosigkeit geschlossen. In der Sache hat das Obergericht festgehalten, die schweizerische ZPO (SR 272) sehe für das Eheschutzverfahren keine vorsorglichen Massnahmen vor, dies im Gegensatz zu Scheidungsverfahren (<ref-law>) oder Unterhaltsklagen (<ref-law>). Es handle sich nicht um eine Gesetzeslücke, da Scheidungen und Unterhaltsklagen im ordentlichen Verfahren, Eheschutzbegehren hingegen im Summarverfahren behandelt würden. Gemäss <ref-law> könne die Leistung einer Geldzahlung nur dann als vorsorgliche Massnahme verfügt werden, wenn dies im Gesetz ausdrücklich vorgesehen sei. Die ZPO zähle die möglichen Fälle abschliessend auf. Das Obergericht hat unter Hinweis auf die Botschaft vom 28. Juni 2006 zur ZPO (BBl 2006 S. 7355 Ziff. 5.19 zum Entwurf von <ref-law>) ausgeführt, es sei nicht anzunehmen, dass die ZPO diesbezüglich unvollständig sei. Für eine Analogie im Bereich der Eheschutzverfahren bestehe kein Raum.
2.2.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die sich stellende Rechtsfrage werde in der Literatur kontrovers diskutiert und höchstrichterliche Rechtsprechung dazu fehle, so dass nicht von Aussichtslosigkeit gesprochen werden könne.
Tatsächlich wird in der Literatur vertreten, während eines Eheschutzverfahrens seien vorsorgliche oder - hier nicht mehr interessierende - superprovisorische Massnahmen zulässig (vgl. etwa STEFANIE PFÄNDER BAUMANN, in: Brunner und andere [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], 2011, N. 10 zu Art. 273; IVO SCHWANDER, in: Gehri/Kramer [Hrsg.], ZPO Kommentar, 2010, N. 9 zu <ref-law>; DENIS TAPPY, in: CPC, Code procédure civile commenté, 2011, N. 14 ff. zu <ref-law>). Ein entsprechender Bedarf wird insbesondere damit begründet, dass sich Eheschutzverfahren in die Länge ziehen können (GASSER/RICKLI, Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kurzkommentar, 2010, N. 5 zu <ref-law>). Was die konkret verlangte Massnahme betrifft (Zusprechung von Kindes- und Ehegattenunterhalt), so finden sich ebenfalls Stimmen in der Literatur, die eine entsprechende vorsorgliche Regelung nicht ausschliessen (vgl. ROLF VETTERLI, in: FamKomm Scheidung, Bd. II: Anhänge, 2. Aufl. 2011, N. 15 zu <ref-law>; JONAS SCHWEIGHAUSER, in: Sutter-Somm und andere [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 2010, N. 28 zu <ref-law>; CYRIL HEGNAUER, in: Berner Kommentar, 1997, N. 14 f. zu Art. 281-284 ZGB). Höchstrichterliche Rechtsprechung im Rahmen der eidgenössischen ZPO zu diesen Rechtsfragen besteht nicht (vgl. zur früheren Rechtslage <ref-ruling> E. 4.1 S. 64; <ref-ruling> E. 3b und 4 S. 22 f.). Ihre Beantwortung bedarf einer eingehenden Auseinandersetzung mit den einschlägigen rechtlichen Grundlagen, insbesondere mit <ref-law>, dessen wertungsmässiger Übereinstimmung mit weiteren Normen des Unterhaltsrechts (z.B. <ref-law>) und der Frage, ob im Bereich der Eheschutzverfahren, die trotz ihres summarischen Charakters und der allfälligen Dringlichkeit der Regelung eine gewisse Zeit dauern können, eine ungewollte Lücke vorliegt. Die Rechtslage ist nicht dermassen klar, dass die Frage nach der Zulässigkeit vorsorglicher Massnahmen auf Unterhaltszahlung im Eheschutzverfahren im Rahmen der Prüfung der Erfolgsaussichten einer entsprechenden Berufung verneint werden könnte. Das Obergericht hat deshalb die Berufung der Beschwerdeführerin zu Unrecht als aussichtslos erachtet, wenigstens was die von der Vorinstanz herangezogenen Gründe für die Aussichtslosigkeit betrifft. Andere Umstände, die das Begehren bzw. die Berufung der Beschwerdeführerin als aussichtslos erscheinen lassen könnten, nennt die Vorinstanz nicht. Die Beschwerde ist insoweit gutzuheissen. Die Vorinstanz hat die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin noch nicht beurteilt. Zu ihrer Prüfung ist die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Die Beschwerdeführerin ficht auch die Verteilung der Gerichtskosten und der Parteientschädigung für das Berufungsverfahren an (Dispositivziff. 4 und 5). Die Rüge wird allerdings nicht selbständig erhoben, sondern in Abhängigkeit vom Ausgang der Hauptsache. Über die Tragung der Gerichtskosten und die allfällige Entschädigung der Anwältin der Beschwerdeführerin für das Berufungsverfahren wird das Obergericht neu zu entscheiden haben, sofern der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren zu gewähren ist und sie in diesem Verfahren Anspruch auf unentgeltliche Rechtsvertretung haben sollte. Hingegen befreit die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht von der Pflicht, der obsiegenden Gegenpartei eine Parteientschädigung zu entrichten, so dass die entsprechende Regelung (Dispositivziff. 5) nicht aufzuheben ist.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, auf die Erhebung von Gerichtskosten (<ref-law>) und auf die Zusprechung von Parteientschädigungen zu verzichten (<ref-law>).
Die Beschwerdeführerin hat ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und eventualiter um provisio ad litem durch den Beschwerdegegner 1 gestellt. Die Gewährung unentgeltlicher Rechtspflege gemäss <ref-law> setzt formell einen Antrag voraus, der ausdrücklich zu stellen, zu begründen und zu belegen ist. Materiell hängt die Gewährung unentgeltlicher Rechtspflege insbesondere vom Nachweis der Bedürftigkeit ab. Es obliegt der Gesuchstellerin, ihre aktuellen Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend aufzuzeigen und soweit wie möglich zu belegen (<ref-ruling> E. 4a S. 164 f.; Urteil 5A_57/2010 vom 2. Juli 2010 E. 7, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Die Beschwerdeführerin hat zwar auf Aufforderung hin zahlreiche Unterlagen zu ihren finanziellen Verhältnissen eingereicht. Sie kommentiert diese jedoch nicht weiter. Es ist unter diesen Umständen nicht Aufgabe des Bundesgerichts, die Belege im Einzelnen zu überprüfen. Auf das Gesuch ist deshalb mangels genügender Begründung nicht einzutreten (Urteil 5A_554/2011 vom 16. Januar 2012 E. 3). Auf das (Eventual-)gesuch um provisio ad litem tritt das Bundesgericht nicht ein (Urteil 5A_793/2008 vom 8. Mai 2009 E. 6).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und Ziff. 2 und 4 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 8. Februar 2012, I. Zivilkammer, werden aufgehoben. Die Angelegenheit wird an das Obergericht zu neuer Beurteilung im Sinne der Erwägungen zurückgewiesen. Im Übrigen wird auf die Beschwerde nicht eingetreten.
2. Auf das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird nicht eingetreten.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Es werden keine Parteientschädigungen gesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. August 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zingg