Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und B._ heirateten im Juni 1989. Am 12. November 2004 stellten die Ehegatten beim Bezirksgericht Zürich ein gemeinsames Scheidungsbegehren und verlangten die gerichtliche Beurteilung der strittigen Scheidungsfolgen.
A.b. A._ ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Scheidungsverfahren. Mit Verfügungen vom 1. November 2006 (für die Zeit ab Eingang des Gesuchs bis Ende 2005) und 18. Mai 2009 (auch für die Zeit ab Januar 2006) wies das Bezirksgericht das Gesuch ab. Auch das Obergericht des Kantons Zürich wies mit Beschluss vom 24. Januar 2008 ein Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für ein Rekursverfahren (betreffend eine vom Bezirksgericht angeordnete vorsorgliche Massnahme während des Scheidungsverfahrens) ab.
Gestützt auf ein neues Gesuch von A._ vom 25. Januar 2011 gewährte ihm das Bezirksgericht im Scheidungsverfahren mit Verfügung vom 24. Mai 2011 "einstweilen" die unentgeltliche Rechtspflege ab 26. Januar 2011. Auf Gesuch vom 9. Juni 2011 gewährte es ihm mit Verfügung vom 14. Juni 2011 sodann auch eine unentgeltliche Verbeiständung ab 10. Juni 2011 und beschränkt auf die noch strittigen Punkte der güterrechtlichen Auseinandersetzung.
A.c. Mit Urteil vom 20. Dezember 2012 schied das Bezirksgericht die Parteien und urteilte über die Nebenfolgen der Scheidung.
B.
B.a. Gegen dieses Urteil erhob A._ am 7. Februar 2013Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich (beschränkt auf die güterrechtliche Auseinandersetzung, die Kosten- und Entschädigungsregelung sowie auf die auszugsweise Mitteilung des Urteils an die Steuerbehörden als Anzeige wegen Verdachts auf Steuerhinterziehung).
B.b. Zudem ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren. Mit Beschluss vom 13. März 2013 wies das Obergericht dieses Gesuch ab und setzte A._ Frist zur Leistung des Kostenvorschusses.
C.
Dem Bundesgericht beantragt A._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner Beschwerde in Zivilsachen vom 12. April 2013 und deren Ergänzung vom 29. April 2013, der Beschluss vom 13. März 2013 sei aufzuheben, es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren zu gewähren und demnach das Obergericht anzuweisen, von der Einforderung eines Kostenvorschusses abzusehen.
Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung und verlangt die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet (Schreiben vom 17. April 2013). Das Bundesgericht hat der Beschwerde mit Verfügung vom 22. April 2013 die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Bundesgericht hat die Vorakten, in der Sache jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid eines oberen Gerichts über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren (<ref-law>; zum Erfordernis der double instance vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 426). Ein solcher selbstständig eröffneter Entscheid ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382).
In der Hauptsache geht es um ein Scheidungsverfahren und damit um eine Zivilsache (<ref-law>), wobei offengelassen werden kann, ob eine vermögensrechtliche Angelegenheit vorliegt, da bejahendenfalls der erforderliche Streitwert gestützt auf die vor dem Obergericht angefochtene güterrechtliche Auseinandersetzung bei Weitem erfüllt wäre (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist in der Hauptsache zulässig und kann demnach auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid ergriffen werden.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer stellte in seiner Berufungseingabe an das Obergericht vom 7. Februar 2013 ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Zur Begründung dieses Gesuchs führte er aus, seine finanziellen Verhältnisse entsprächen denjenigen im bezirksgerichtlichen Verfahren, weshalb er die entsprechenden Ausführungen, Urkunden und Belege auch zum "integrierenden Bestandteil" des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren erklärte. Zudem sei es aktenkundig, dass er mittellos sei, zumal sein Einkommen sich auf eine volle Invalidenrente beschränke, er Schulden von mindestens Fr. 91'350.55 habe und abgesehen von seiner Wohnungseinrichtung und dem Vorsorgeguthaben in der Säule 3a (wovon die Hälfte seiner Ehefrau zustehe) über keine Aktiven verfüge. Er reichte zudem eine Bestätigung der zuständigen IV-Stelle sowie einen Betreibungsregisterauszug ein (vgl. S. 23 f. der Berufungseingabe vom 7. Februar 2013; <ref-law>).
2.2.
2.2.1. Das Obergericht hat im angefochtenen Entscheid erwogen, der Beschwerdeführer habe in den Jahren 1986 und 1987 mit seinem Bruder als Miteigentümer je zur Hälfte drei Wohnungen in Paris gekauft. Sodann habe er über ein Konto bei einer Bank in Zürich verfügt, wobei er sich den Saldo dieses Kontos von Fr. 446'350.-- im August 2001 bar habe auszahlen lassen.
Das Bezirksgericht habe ein erstes Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abgewiesen (Verfügungen vom 1. November 2006 und 18. Mai 2009), da auch nach zweimaliger Aufforderung hin unbelegt geblieben sei, ob der Beschwerdeführer aus der Versteigerung seines Miteigentumsanteils an den Wohnungen in Paris einen Erlös erhalten habe und noch über diesen verfüge. Ebenso sei die wirtschaftliche Berechtigung am Bankkonto und der Verbleib dieser Gelder unbelegt geblieben. Auch in einem Rekursverfahren habe es selbst mit derselben Begründung ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abgewiesen (Beschluss vom 24. Januar 2008).
Das Bezirksgericht habe zwar ein neues Gesuch des Beschwerdeführers mit Verfügungen vom 24. Mai 2011 und 14. Juni 2011 unter Vorbehalt des noch ausstehenden Beweisergebnisses zum Güterrecht (insbesondere bezüglich der Grundstücke in Paris und dem Bankkonto) einstweilen bewilligt. In diesem Beweisverfahren habe sich ergeben, dass der Beschwerdeführer der wirtschaftlich Berechtigte am fraglichen Bankkonto gewesen sei, weshalb dieser sodann neu behauptet habe, den abgehobenen Saldo von rund Fr. 446'000.-- innerhalb weniger Monate mit Glücksspiel, Alkohol und Prostituierten verbraucht zu haben. Bezüglich der Grundstücke in Paris habe das Bezirksgericht diese bei der güterrechtlichen Auseinandersetzung ausser Acht gelassen und deshalb auf weitere diesbezügliche Beweiserhebungen verzichtet.
2.2.2. Das Obergericht hat sodann die vom Beschwerdeführer im bezirksgerichtlichen Verfahren vorgebrachten Urkunden zu den drei Wohnungen in Paris gewürdigt. Demnach sei nach wie vor unklar und der Beschwerdeführer habe nicht ausreichend substanziiert, ob er heute noch über diese Wohnungen oder einen Teil eines allfälligen Verkaufs- oder Verwertungserlöses verfüge beziehungsweise was mit einem solchen Erlös geschehen sei.
2.2.3. Im Ergebnis habe der Beschwerdeführer seine Mitwirkungspflicht in Bezug auf seine Liegenschaften in Frankreich und die daraus resultierenden Vermögensverhältnisse verletzt. Sei er insoweit seiner "Auskunftspflicht hinsichtlich seiner Vermögensverhältnisse nicht gehörig nachgekommen", müsse das Gesuch "mangels Glaubhaftmachung der Bedürftigkeit" abgewiesen werden (S. 8 und S. 10 des obergerichtlichen Entscheids). Bei diesem Ergebnis könne offenbleiben, ob der Beschwerdeführer seine Mitwirkungspflicht auch bezüglich der Gelder aus dem Bankkonto verletzt habe; immerhin sei die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers auch insoweit in Frage zu stellen. Sodann stützten die insgesamt unplausiblen finanziellen Lebensverhältnisse des Beschwerdeführers die Vermutung, dass er über weitere Einkünfte oder weiteres Vermögen verfüge.
2.2.4. Von einer Nachfrist zur Einreichung fehlender Angaben und Unterlagen könne abgesehen werden: Kenne der Beschwerdeführer aus einem früheren Verfahren die Anforderungen an seine Auskunftspflicht, sei bei einem mangelhaft begründeten und dokumentierten neuen Gesuch von einer Fristansetzung zur Ergänzung abzusehen. Dies gelte insbesondere im Rechtsmittelverfahren, wenn die um unentgeltliche Rechtspflege ersuchende Partei bereits vor der ersten Instanz auf ihre Mitwirkungspflicht hingewiesen worden sei und ihr aus jenem Verfahren bekannt sei, dass es ihrem Gesuch an der nötigen Substanziierung und Dokumentierung fehle.
Vorliegend habe das Bezirksgericht den Beschwerdeführer im Rahmen der Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung drei Mal aufgefordert, sachdienliche Belege zu den Liegenschaften in Paris und den daraus resultierenden Vermögensverhältnissen einzureichen. Auch im eigenen Beschluss vom 24. Januar 2008 habe es (das Obergericht) den Beschwerdeführer darauf hingewiesen, er sei seiner Auskunftspflicht nicht ausreichend nachgekommen. Sodann habe das Bezirksgericht im angefochtenen Sachentscheid darauf hingewiesen, der Beschwerdeführer sei seiner Auskunftspflicht hinsichtlich der Liegenschaften nicht nachgekommen, auch wenn dies keinen Einfluss auf das Ergebnis gehabt habe, da das Bezirksgericht einen güterrechtlichen Anspruch der Ehefrau aus den Liegenschaften des Beschwerdeführers verneint habe.
Unter diesen Umständen könne für das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren auf weitere Versuche zur "Erhältlichmachung" tauglicher Vermögensunterlagen zu den Liegenschaften beziehungsweise einem daraus erzielten Erlös verzichtet werden.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer legt in seiner Beschwerdeergänzung vom 29. April 2013 ausführlich und mit mehreren Beweismitteln dar, warum er als mittellos zu betrachten sei. Soweit er damit seine Beschwerde begründet (und nicht sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren), ist darauf von vornherein nicht einzutreten: Das Obergericht hat das Gesuch des Beschwerdeführers wegen der Verletzung der Mitwirkungspflicht in Bezug auf die erwähnten Grundstücke in Paris abgewiesen; die weiteren finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers hat es deshalb gar nicht mehr geprüft, auch wenn es ergänzend festgehalten hat, die Ausführungen des Beschwerdeführers zum Bankkonto sowie seine insgesamt unplausiblen finanziellen Lebensverhältnisse stützten die erwähnte Schlussfolgerung. Zu beurteilen ist deshalb vor dem Bundesgericht einzig, ob das Obergericht das Gesuch zu Recht abgewiesen hat, weil der Beschwerdeführer in Bezug auf diese Grundstücke seiner Mitwirkungspflicht nicht nachgekommen ist. Wäre die Beschwerde begründet, müsste das Bundesgericht die Angelegenheit zur weiteren Prüfung der Mittellosigkeit und der übrigen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung an das Obergericht zurückweisen.
3.2.
3.2.1. Der Beschwerdeführer macht allgemein geltend, die obergerichtliche Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren verletze <ref-law>, <ref-law> und <ref-law>.
3.2.2. Mit <ref-law> wird der als verfassungsrechtliche Minimalgarantie in <ref-law> verankerte Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung auf Gesetzesstufe geregelt. Im Anwendungsbereich der Zivilprozessordnung sind damit seit dem 1. Januar 2011 <ref-law> massgebend. Der vom Beschwerdeführer erhobene Einwand der Verletzung seines Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege ist demnach vorliegend im Lichte von <ref-law> zu behandeln (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 218 mit Hinweisen). Den Rügen der Verletzung von <ref-law> und von <ref-law> kommt daneben keine eigenständige Bedeutung zu.
4.
4.1. Nach <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Wenn dies zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, insbesondere wenn die Gegenpartei anwaltlich vertreten ist, besteht darüber hinaus ein Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand (<ref-law>).
4.2.
4.2.1. Bei der Prüfung der Mittellosigkeit hat die entscheidende Behörde sämtliche Umstände im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung zu würdigen und der gesamten wirtschaftlichen Situation des Gesuchstellers Rechnung zu tragen. Zu diesem Zweck sind einerseits seine finanziellen Verpflichtungen und andererseits seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse zu berücksichtigen.
4.2.2. Die gesuchstellende Person hat ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse darzulegen und sich zur Sache sowie über ihre Beweismittel zu äussern (<ref-law>). Diesbezüglich trifft die gesuchstellende Person eine umfassende Mitwirkungspflicht. An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Situation dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer die Verhältnisse sind. Es obliegt grundsätzlich dem Gesuchsteller, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich auch zu belegen. Verweigert er die zur Beurteilung seiner aktuellen Gesamtsituation erforderlichen Angaben oder Belege, so kann die Behörde die Mittellosigkeit verneinen (vgl. Urteile 4A_639/2012 vom 22. Januar 2013 E. 4.1; 4A_675/2012 vom 18. Januar 2013 E. 7.2; 5A_810/2011 vom 7. Februar 2012 E. 3.2.2; 4A_459/2011 vom 5. Oktober 2011 E. 1.4; <ref-ruling> E. 4a S. 164 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 181 f.).
4.3. Im Rechtsmittelverfahren ist die unentgeltliche Rechtspflege neu zu beantragen (<ref-law>), das heisst, es ist ein neues Gesuch und ein neuer Entscheid nötig. Es besteht demnach - anders als dies in einigen Kantonen bis zum Inkrafttreten der Schweizerischen Zivilprozessordnung der Fall (vgl. z.B. Urteil 5A_226/2011 vom 10. Juni 2011 E. 3.3.2) und auch in Art. 111 des Vorentwurfs der Expertenkommission zur ZPO vom Juni 2003 noch vorgesehen war - keine Weitergeltung eines vor erster Instanz bewilligten Gesuchs (<ref-ruling> E. 6.5.3 S. 473).
Für das Rechtsmittelverfahren sind die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege neu zu prüfen (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur ZPO, BBl 2006 7303 Ziff. 5.8.4 zu Art. 117 E-ZPO), zumal nunmehr die Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels infrage steht (vgl. Urteil 5A_265/2012 vom 30. Mai 2012 E. 2.2 f.) und sich die Mittellosigkeit grundsätzlich nach den Verhältnissen im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung (vorliegend also vor der Rechtsmittelinstanz) beurteilt (Urteil 5A_124/2012 vom 28. März 2012 E. 3.3).
4.4. Bedarf es demnach für das Rechtsmittelverfahren eines neuen Gesuchs, gelten dafür grundsätzlich dieselben formellen Anforderungen wie für das Gesuch vor der ersten Instanz, also insbesondere auch mit Blick auf die Mitwirkungspflicht bezüglich der Einkommens- und Vermögensverhältnisse gemäss <ref-law> (vgl. BÜHLER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Band I, 2012, N. 137 zu <ref-law>; HUBER, in: Brunner/Gasser/ Schwander [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung, 2011, N. 13 zu <ref-law>).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer wendet ein, es sei willkürlich und verletze seinen Anspruch auf rechtliches Gehör, wenn das Obergericht auf Vorgänge zurückgreife, die teilweise über 25 Jahre zurücklägen (wie insbesondere der Erwerb diverser Grundstücke in Paris).
5.2. Der Beschwerdeführer macht damit sinngemäss geltend, das Obergericht sei von einem falschen Begriff der Mittellosigkeit gemäss <ref-law> ausgegangen. Der Willkürrüge kommt demnach keine eigenständige Bedeutung zu (vgl. E. 3.2.2 oben). Inwiefern eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) vorliegen soll, begründet der Beschwerdeführer nicht. Darauf ist nicht einzutreten.
5.3. Für die Beurteilung der Mittellosigkeit ist wie erwähnt (vgl. E. 4.2.1 oben) auch das Vermögen des Gesuchstellers zu berücksichtigen. Wenn das Obergericht dabei geprüft hat, ob der Beschwerdeführer über Grundeigentum oder Gelder aus dessen Verkauf verfügt, ist dies demnach nicht zu beanstanden, selbst wenn der Erwerb dieser Grundstücke zeitlich weit zurückliegen mag.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, er habe seine Mitwirkungspflicht nicht verletzt, da er nach dem gutheissenden Entscheid des Bezirksgerichts nicht verpflichtet gewesen sei, seine Mittellosigkeit vor dem Obergericht nochmals darzulegen.
6.2. Ob der Gesuchsteller seine Mittellosigkeit für sein Gesuch für das Rechtsmittelverfahren auch dann umfassend darzulegen hat, wenn ihm vor der ersten Instanz die unentgeltliche Rechtspflege bereits gewährt wurde (in diese Richtung Urteil 4A_675/2012 vom 18. Januar 2013 E. 7.1 f.; so im Übrigen auch für die unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren: Urteile 2C_238/2012 vom 30. Juli 2012 E. 5.2; 6B_588/2007 vom 11. April 2008 E. 6.2), oder ob er sich bei einem zeitlich nicht weit zurückliegenden erstinstanzlichen Bewilligungsentscheid damit begnügen kann, bei seither unveränderten finanziellen Verhältnissen auf die vor der ersten Instanz eingereichten Unterlagen zu verweisen, kann offenbleiben.
6.3.
6.3.1. Vorliegend haben die kantonalen Gerichte dem Beschwerdeführer im Scheidungsverfahren Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mehrmals verweigert, da er (unter anderem) seine Vermögensverhältnisse mit Blick auf die Liegenschaften in Paris beziehungsweise daraus erzielte Erlöse nicht rechtsgenüglich dargelegt hatte. Zwar hat das Bezirksgericht dann am 24. Mai 2011 ein neues Gesuch des Beschwerdeführers bewilligt. Es hat jedoch erwogen, dass nach wie vor gestützt auf die Akten eine gewisse Wahrscheinlichkeit bestehe, dass der Beschwerdeführer Vermögenswerte verheimliche und von diesem Vermögen gelebt haben könnte, zumal das (Ersatz-) Einkommen offensichtlich nicht ausgereicht habe, um die vom ihm gewählte Lebenshaltung zu finanzieren. Da jedoch der Beschwerdeführer nunmehr Sozialhilfe beziehe, deute dies darauf hin, dass die allfälligen Vermögenswerte nunmehr aufgebraucht seien, weshalb ihm "- unter Vorbehalt des Beweisergebnisses zum Güterrecht - einstweilen" die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen sei. Im Dispositiv hielt das Bezirksgericht ausdrücklich fest, die unentgeltliche Rechtspflege werde "einstweilen" bewilligt (<ref-law>; vgl. die Verfügung des Bezirksgerichts vom 24. Mai 2011; act. 286 S. 2 und 3).
6.3.2. Im Sachentscheid vom 20. Dezember 2012 hielt das Bezirksgericht fest, der Beschwerdeführer habe sich mit Blick auf die Liegenschaften in Paris (beziehungsweise einem daraus erzielten Erlös) unkooperativ verhalten und sei einer Editionsauflage nicht nachgekommen. Aus prozessualen Gründen (Behauptungslast der Ehefrau) verneinte das Bezirksgericht jedoch einen güterrechtlichen Anspruch der Ehefrau aus diesen Liegenschaften.
Hinzu kommt, dass die Unterstützung durch die Sozialen Dienste Ende Januar 2012 endete (<ref-law>; act. 278/10) und der Beschwerdeführer, wie er selbst vor Bundesgericht ausführt (S. 4 der Beschwerdeergänzung vom 29. April 2013), demnach seit Februar 2013 und damit im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs vom 7. Februar 2013 um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren keine Sozialhilfeleistungen mehr erhält.
6.3.3. Aufgrund dieser Ausgangslage hätte der Beschwerdeführer seine Mittellosigkeit im Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren umfassend darlegen müssen. Abgesehen davon, dass die kantonalen Instanzen im Laufe des Scheidungsverfahrens mehrere Gesuche wegen Verletzung der Mitwirkungspflicht abgewiesen hatten, waren die Entscheidgrundlagen für das vom Bezirksgericht einstweilen bewilligte Gesuch zwischenzeitlich weggefallen (unkooperatives Verhalten im Beweisverfahren vor Bezirksgericht und Wegfall der Sozialhilfe). Diese einstweilen bewilligte unentgeltliche Rechtspflege vom 24. Mai 2011 lag im Übrigen im Zeitpunkt des Gesuchs für das Berufungsverfahren auch bereits knapp zwei Jahre zurück (vgl. zu Letzterem BÜHLER, a.a.O., N. 137 zu <ref-law>).
Der Beschwerdeführer hatte damit bereits ausreichend Anlass, seine Mittellosigkeit im neuen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren umfassend und detailliert und insbesondere mit Blick auf die Liegenschaften in Paris (beziehungsweise einen daraus erzielten Erlös) mit Belegen darzulegen. Es kann deshalb keine Rede davon sein, dass er "schlechterdings nicht damit" habe rechnen müssen, dass vor dem Obergericht nochmals Ausführungen zu seiner Bedürftigkeit im Allgemeinen und zu seinen Liegenschaften in Paris im Besonderen nötig sind (S. 8 der Beschwerde). Wie soeben erläutert, war das Gegenteil der Fall.
Der Beschwerdeführer verweist schliesslich auf eine "Zürcher Praxis", wonach im Rechtsmittelverfahren einem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege - fehlende Veränderungen in den finanziellen Verhältnissen vorausgesetzt - in der Regel entsprochen werde, wenn dies auch bereits vor der ersten Instanz der Fall gewesen sei (S. 7 der Beschwerde). Das Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren unterstand der Schweizerischen Zivilprozessordnung (vgl. <ref-law>, vgl. Urteil 5A_405/2011 vom 27. September 2011 E. 5.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der Beschwerdeführer beruft sich demnach vergeblich auf eine frühere kantonale Praxis (<ref-ruling> E. 4.4.1 S. 377).
Eine Verletzung von <ref-law> (und <ref-law>) liegt demnach insoweit nicht vor.
7.
7.1. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, das Obergericht habe an seine Mitwirkungspflicht zu hohe Anforderungen gestellt, die er praktisch gar nicht habe erfüllen können. Abgesehen davon sei er seiner Mitwirkungspflicht nachgekommen.
7.2. Inwiefern das Obergericht von zu hohen Anforderungen an die Offenlegung der Verhältnisse in Bezug auf die Wohnungen in Paris ausgegangen sein soll, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Insbesondere führt er nicht aus, dass es ihm nicht möglich gewesen sein soll, die vom Bezirksgericht mehrfach geforderten Unterlagen einzureichen. Darauf ist nicht einzutreten (<ref-law>).
7.3.
7.3.1. Das Obergericht hat in Bezug auf die Liegenschaften in Paris beziehungsweise allfällige daraus erzielte Erlöse in tatsächlicher Hinsicht Folgendes festgestellt: Was die Wohnung an der Rue X._ betreffe, habe der Beschwerdeführer nur den Kaufvertrag, entgegen den mehrmaligen Aufforderungen des Bezirksgerichts aber keine weiteren Belege eingereicht. Für die 2- und 4-Zimmerwohnung in Y._ habe er entgegen den mehrmaligen Aufforderungen des Bezirksgerichts nur den jeweiligen Kaufvertrag und je zwei Urkunden des Grundbuchamts eingereicht, wobei daraus nichts Nachvollziehbares gefolgert werden könne.
Das Obergericht kam deshalb beweiswürdigend zum Ergebnis, aus den eingereichten Unterlagen ergebe sich nicht, dass der Beschwerdeführer in Frankreich über kein Grundeigentum mehr verfüge, beziehungsweise dass er über keine finanziellen Mittel aus dem Verkauf oder der Verwertung solchen Grundeigentums mehr verfüge.
7.3.2. Vor dem Bundesgericht begründet der Beschwerdeführer ausführlich, dass er nicht mehr (Mit-) Eigentümer dieser Wohnungen sei und auch über keinerlei Verkaufs- oder Verwertungserlös mehr verfüge. Er belegt seine Ausführungen mit einer Auskunft der zuständigen französischen Behörde vom 28. März 2013 und macht dazu erläuternde Bemerkungen (S. 7 der Beschwerde und S. 14 ff. der Beschwerdeergänzung).
7.3.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor dem Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Neu sind Tatsachen und Beweismittel, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt worden sind (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 365).
Soweit der Beschwerdeführer sich auf Tatsachen und Beweismittel abstützt, die bereits anlässlich des vorinstanzlichen Entscheids Bestand hatten, aber von ihm nicht vorgebracht wurden (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 128 f.), oder erst nach dem angefochtenen Entscheid entstanden sind (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229; was insbesondere die Auskünfte der zuständigen französischen Behörde vom 28. März 2013 betrifft), sind diese Tatsachen und Beweismittel unzulässig und unbeachtlich.
7.3.4. Gegen die geschilderte Beweiswürdigung des Obergerichts (vgl. Ziff. 7.3.1 oben) erhebt der Beschwerdeführer keine Sachverhaltsrügen (vgl. Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>). Auf seine appellatorische Kritik, er sei seiner Mitwirkungspflicht nachgekommen, ist nicht einzutreten (zu den Anforderungen an eine Sachverhaltsrüge vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 356).
8.
8.1. Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, das Obergericht wäre verpflichtet gewesen, ihm eine Nachfrist einzuräumen, wenn es zum Ergebnis gelangt sei, das Gesuch sei ungenügend begründet. Vorliegend habe zudem das Bezirksgericht seine finanzielle Situation als genügend dargelegt erachtet; gelange das Obergericht zum gegenteiligen Schluss, habe es ihm "in Nachachtung von Art. 9 und <ref-law>" Gelegenheit zur Behebung dieser Mängel zu geben (S. 7 ff. der Beschwerde).
8.2.
8.2.1. Das Bundesgericht hat in seiner Rechtsprechung zum heutigen <ref-law> präzisiert, dass das Gericht allenfalls unbeholfene Rechtsuchende - mit Blick auf ihre Mitwirkungspflicht hinsichtlich der finanziellen Verhältnisse - auf die Angaben hinzuweisen hat, die es zur Beurteilung des Gesuchs benötigt (BGE <ref-ruling> E. 3a S. 181; vgl. auch Urteil 5A_446/2009 vom 19. April 2013 E. 6.2.2). Wie es sich damit im Anwendungsbereich der ZPO im Einzelnen verhält, braucht nicht vertieft zu werden (vgl. immerhin <ref-law> und zur Fragepflicht gemäss <ref-law> Urteil 5A_855/2012 vom 13. Februar 2013 E. 5.4 mit Hinweisen).
8.2.2. Vorliegend war der Beschwerdeführer anwaltlich vertreten. Sodann war ihm aus dem bisherigen Verfahren (und den mehrmals aus diesem Grund abgewiesenen Gesuchen) seine Mitwirkungspflicht - gerade mit Bezug auf die fraglichen Liegenschaften in Paris beziehungsweise den daraus erzielten Erlösen - bekannt. Schliesslich waren die Gründe für die erstinstanzlich (und knapp zwei Jahre zurückliegende) einstweilen gewährte unentgeltliche Rechtspflege zwischenzeitlich weggefallen. Unter diesen Umständen hatte er demnach ausreichend Anlass, seine Mittellosigkeit (insbesondere mit Blick auf die Liegenschaften in Paris) vor dem Obergericht ausführlich zu begründen und zu belegen, und war das Obergericht nicht verpflichtet, ihm eine Nachfrist zur Einreichung von Belegen anzusetzen oder ihn zu befragen. Es wäre ihm im Übrigen auch möglich gewesen, sein Gesuch im erwähnten Sinne zu begründen, wie die vor Bundesgericht eingereichten Belege zeigen. Eine Verletzung von Art. 9 und <ref-law> ist nicht ersichtlich (vgl. auch Urteil 5P.184/2005 vom 18. Juli 2005 E. 2.2 mit Hinweisen; BÜHLER, a.a.O., N. 138 zu <ref-law>).
9.
Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Das Obergericht wird dem Beschwerdeführer eine neue Frist zur Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen haben (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 165 f.).
Der Beschwerdeführer wird kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig (Art. 66 und Art. 68 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, verdeutlichen doch die vorstehenden Erwägungen, dass die gestellten Begehren von Beginn an keinen Erfolg haben konnten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juni 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Bettler