Erwägungen:
1.
Die Helvetia Nostra erhob gegen ein von der Baugesellschaft X._ am 9. November 2012 eingereichtes Baugesuch Einsprache. Die Gemeinde Savognin bewilligte das Bauvorhaben am 27. Dezember 2012 und wies gleichzeitig die Einsprache ab. Dagegen wandte sich die Helvetia Nostra mit einer Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Dieses trat mit Urteil vom 19. Februar 2013 auf die Beschwerde nicht ein und auferlegte die auf Fr. 1'033.-- bestimmten Gerichtskosten der Beschwerdeführerin. Gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil gelangte die Helvetia Nostra mit Beschwerde vom 18. März 2013 ans Bundesgericht.
Mit Schreiben vom 23. Mai 2013 zog die Beschwerdegegnerin ihr Baugesuch zurück.
2.
2.1. Durch den Rückzug des Baugesuchs ist die vorliegende Beschwerde gegenstandslos geworden. Sie ist daher als erledigt abzuschreiben (<ref-law>), wobei mit summarischer Begründung über die Prozesskosten zu entscheiden ist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
Die Beschwerdegegnerin beantragt im Hinblick darauf, es sei von einer Kostenauflage bzw. Entschädigungspflicht zu ihren Lasten abzusehen, zumal sie ihr Baugesuch in guten Treuen eingereicht und überdies keinerlei Anlass zum bundesgerichtlichen Verfahren gegeben habe.
2.2. Unnötige Kosten werden derjenigen Partei auferlegt, die sie verursacht hat (<ref-law>). Nach diesem Grundsatz rechtfertigt es sich, der Beschwerdegegnerin die Kosten der durch den Baugesuchsrückzug gegenstandslos gewordenen Rechtsmittelverfahren aufzuerlegen, unabhängig von den Erfolgsaussichten der Beschwerde. Aufgrund des Rückzugs des Baugesuchs in einem frühen Stadium des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die diesbezüglichen Kosten auf eine reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 300.-- festzusetzen (<ref-law> analog).
Mit Blick auf das soeben Gesagte, den Baugesuchsrückzug und das Verursacherprinzip, steht der Beschwerdegegnerin, auch wenn anwaltlich vertreten, keine Parteientschädigung zu.
Die Beschwerdeführerin ihrerseits ist nicht anwaltlich vertreten und hat daher praxisgemäss keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung.
Ebenso steht der in ihrem amtlichen Wirkungskreis tätigen Gemeinde keine Parteientschädigung zu (<ref-law>; s. dazu <ref-ruling>).
3. Wie ausgeführt, ist das vorliegende Verfahren mit dem Baugesuchs-rückzug gegenstandslos geworden.
Durch die am 22. Mai 2013 ergangenen Urteile des Bundesgerichts betreffend Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra und unmittelbare Anwendbarkeit der Art. 75b und 197 Ziff. 9 BV (Verfahren 1C_614/2012, 1C_646/2012 und 1C_649+650/2012; s. Webseite www.bger.ch / "Rechtsprechung (gratis) " / "Weitere Urteile ab 2000", mit Eingabe der entsprechenden Verfahrensnummer ins Suchfeld) ist die Basis des dem bundesgerichtlichen Verfahren zugrunde liegenden verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 19. Februar 2013 und des ursprünglichen kommunalen Entscheids vom 27. Dezember 2012 massgebend verändert worden, was selbstredend Auswirkungen auf deren Kostenregelungen zur Folge hat.
Insoweit ist es angezeigt, dass das Bundesgericht diese Regelung sogleich selber neu trifft (wie bereits im Verfahren 1C_207/2013 gemäss Urteil vom 16. Juli 2013). Nachdem die Beschwerdegegnerin ihr Baugesuch zurückgezogen hat, rechtfertigt es sich, ihr die verwaltungsgerichtlichen Kosten, gemäss Urteil vom 15. Januar 2013 ausmachend Fr. 1'033.--, aus denselben Gründen wie die bundesgerichtlichen Kosten aufzuerlegen. Ebenso steht der Beschwerdeführerin auch für das kantonale Verfahren keine Parteientschädigung zu, da sie auch damals nicht anwaltlich vertreten war.
Auf welche Weise die Gemeinde Savognin den nunmehrigen Abschluss des kommunalen Bauverfahrens im Kostenpunkt gemäss ihren Verfahrenstarifen zu regeln haben wird, lässt sich hier nicht abschätzen. Die Sache geht daher insoweit zurück an die Gemeinde.

Demnach wird erkannt:
1.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_294/2013 wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
Es wird festgestellt, dass der am 27. Dezember 2012 ergangene kommunale Baubewilligungs- und Einspracheentscheid und das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 19. Februar 2013 gegenstandslos geworden sind. Die Sache geht zurück an die Gemeinde Savognin zur Prüfung der Kostenfrage hinsichtlich des nunmehrigen Abschlusses des kommunalen Verfahrens.
2.
Der Beschwerdegegnerin (Baugesellschaft X._) werden die auf Fr. 1'033.-- festgesetzten verwaltungsgerichtlichen Kosten und die bundesgerichtlichen Kosten von Fr. 300.-- auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Savognin und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. August 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp