Sachverhalt:
A. A.a Die 1955 geborene W._ war als Primarlehrerin tätig und bei der Beamtenversicherungskasse des Kantons Zürich (nachfolgend: BVK) für die berufliche Vorsorge versichert, bis sie am 31. Mai 2003 aus gesundheitlichen Gründen aus dem Schuldienst entlassen wurde. Die BVK richtete ihr ab 1. Juni 2003 eine volle Berufsinvalidenrente samt Überbrückungszuschuss aus, stellte diese Leistungen indessen ab 30. November (Rente) resp. 1. Juni 2005 (Zuschuss) ein und verneinte den Anspruch auf eine Erwerbsinvalidenrente. Daran hielt sie auf Einwand der Versicherten hin fest.
A.b Im Mai 2003 meldete sich W._ bei der Invalidenversicherung erstmals zum Leistungsbezug an. Nachdem ihr Begehren abgewiesen wurde (Verfügung vom 25. November 2003), ersuchte sie im Februar 2006 erneut um Leistungen. Mit Verfügung vom 23. Juli 2008 verneinte die IV-Stelle des Kantons Zürich wiederum einen Rentenanspruch mit der Begründung, die Arbeitsunfähigkeit beruhe vor allem auf einer Alkoholabhängigkeit, weshalb keine Invalidität im Sinne des Gesetzes vorliege. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 19. März 2009 ab.
B. Am 8. April 2010 liess W._ Klage erheben mit dem Antrag, der Kanton Zürich sei zu verpflichten, ihr ab 1. Juni 2005 mindestens eine Rente von 25 % wegen Invalidität auszurichten; die einzelnen Rentenbetreffnisse seien ab Einleitung der Klage mit 5 % zu verzinsen. Nach zweifachem Schriftenwechsel wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage mit Entscheid vom 28. Januar 2011 ab.
C. W._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, unter Aufhebung des Entscheids vom 28. Januar 2011 sei die Sache an die BVK zurückzuweisen, damit diese die Erwerbsinvaliditätsrente von mindestens 25 % ab 1. Juni 2005 festsetze, wobei die einzelnen Rentenbetreffnisse ab Klageeinleitung mit 5 % zu verzinsen seien.
Der Kanton Zürich lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, während das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichten.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat einen länger als zwei Jahre währenden Anspruch auf eine Berufsinvalidenrente nach § 19 Abs. 1 der Statuten der Versicherungskasse für das Staatspersonal des Kantons Zürich vom 22. Mai 1996 (BVK-Statuten; Zürcher Gesetzessammlung 177.21) verneint mit der Begründung, die Versicherte habe das 50. Altersjahr erst nach Eintritt des Versicherungsfalles vollendet. In Bezug auf den Anspruch auf eine Erwerbsinvalidenrente (§§ 21 f. BVK-Statuten) hat sie festgestellt, es sei keine erhebliche Arbeitsunfähigkeit erstellt, die nicht wesentlich auf eine Alkoholabhängigkeit zurückzuführen sei. Schwergewichtig bestehe ein Suchtgeschehen ohne selbstständiges Leiden mit Krankheitswert. Dies stelle aus rechtlicher Sicht für den Anspruch auf eine Invalidenrente kein relevanter Gesundheitsschaden dar.
2.2 Die Beschwerdeführerin bringt nichts gegen die vorinstanzlichen Erwägungen betreffend die Berufsinvalidenrente vor, sondern macht lediglich eine Erwerbsinvalidität geltend (vgl. <ref-law>). Sie begründet diese im Wesentlichen damit, dass sie die Alkoholabhängigkeit für eine invalidisierende Krankheit im Sinne von § 21 Abs. 2 BVK-Statuten hält. Ausserdem liege eine eigenständige Gesundheitsstörung mit Krankheitswert vor.
3. 3.1 Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit resp. die Zulässigkeit der bei ihm erhobenen Rechtsmittel von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 96; Urteil 8C_264/2009 vom 19. Mai 2009 E. 1; je mit Hinweisen).
3.2 Aus dem Schreiben der BVK vom 23. August 2005 geht hervor, dass diese die (Berufs-)Invalidenrente über den 1. Juni 2005 hinaus bis zum 30. November 2005 ausrichtete. Insoweit war bereits die beim kantonalen Gericht erhobene Klage gegenstandslos und ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4. 4.1 Anspruch auf Invalidenleistungen aus beruflicher Vorsorge haben Personen, die im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 40 % invalid sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert waren (Art. 23 Abs. 1 BVG). Mit Bezug auf die weitergehende berufliche Vorsorge steht es den Vorsorgeeinrichtungen im Rahmen von Art. 6 und Art. 49 Abs. 2 BVG sowie der verfassungsmässigen Schranken (wie Rechtsgleichheit, Willkürverbot und Verhältnismässigkeit) frei, den Invaliditätsbegriff und/oder das versicherte Risiko abweichend von Art. 23 BVG zu definieren (SZS 1997 S. 557, B 40/93 E. 4a; <ref-ruling> E. 3c S. 108 f. mit Hinweisen). Während sie im Rahmen der obligatorischen beruflichen Vorsorge jedenfalls die Mindestvorschrift des Art. 23 BVG zu beachten haben (Art. 6 BVG), gilt diese Bestimmung einschliesslich der hierzu ergangenen Rechtsprechung im überobligatorischen Bereich nur, soweit die Reglemente oder Statuten bezüglich des massgebenden Invaliditätsbegriffs oder versicherten Risikos nichts Abweichendes vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 69 mit Hinweisen).
4.2 Nach dem Auslaufen der Rente wegen Berufsinvalidität (vgl. §§ 19 f. BVK-Statuten) haben versicherte Personen Anspruch auf eine Rente, wenn volle oder teilweise Erwerbsinvalidität besteht (§ 21 Abs. 1 BVK-Statuten). Eine versicherte Person gilt als erwerbsinvalid, wenn sie infolge Krankheit oder Unfall ihre bisherige oder eine andere, ihrem Wissen und Können entsprechende und zumutbare Erwerbstätigkeit nicht mehr ausüben kann, oder wenn sie aufgrund eines Entscheides der eidgenössischen IV-Kommission invalid erklärt wurde (§ 21 Abs. 2 BVK-Statuten).
4.2 Nach dem Auslaufen der Rente wegen Berufsinvalidität (vgl. §§ 19 f. BVK-Statuten) haben versicherte Personen Anspruch auf eine Rente, wenn volle oder teilweise Erwerbsinvalidität besteht (§ 21 Abs. 1 BVK-Statuten). Eine versicherte Person gilt als erwerbsinvalid, wenn sie infolge Krankheit oder Unfall ihre bisherige oder eine andere, ihrem Wissen und Können entsprechende und zumutbare Erwerbstätigkeit nicht mehr ausüben kann, oder wenn sie aufgrund eines Entscheides der eidgenössischen IV-Kommission invalid erklärt wurde (§ 21 Abs. 2 BVK-Statuten).
4.3 4.3.1 Soweit es um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen geht, ist das kantonale und kommunale Berufsvorsorgerecht vom Bundesgericht frei zu überprüfen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 200). Da es sich bei der Versicherungskasse um eine Vorsorgeeinrichtung öffentlichen Rechts handelt, hat die Auslegung der einschlägigen Bestimmungen der BVK-Statuten - anders als die Auslegung der Vorsorgereglemente privatrechtlicher Versicherungsträger - nach den gewöhnlichen Regeln der Gesetzesauslegung zu erfolgen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 316 f., mit Hinweisen; SVR 2011 BVG Nr. 3 S. 10, 9C_789/2009 E. 2.2; 2008 BVG Nr. 2 S. 6, B 104/06 E. 5.1).
4.3.2 Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zugrunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden. Die Gesetzesauslegung hat sich vom Gedanken leiten zu lassen, dass nicht schon der Wortlaut die Norm darstellt, sondern erst das an Sachverhalten verstandene und konkretisierte Gesetz. Gefordert ist die sachlich richtige Entscheidung im normativen Gefüge, ausgerichtet auf ein befriedigendes Ergebnis der ratio legis (<ref-ruling> E. 7.1 S. 203; <ref-ruling> E. 5.1 S. 53). Bei der Interpretation des in Urkunden, Statuten oder Reglementen von Vorsorgeeinrichtungen verwendeten Invaliditätsbegriffs ist insbesondere darauf abzustellen, was in anderen Gebieten der Sozialversicherung oder nach den allgemeinen Rechtsgrundsätzen darunter verstanden wird (SZS 2006 S. 144, B 33/03 E. 3.2 mit Hinweis).
4.3.2 Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zugrunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden. Die Gesetzesauslegung hat sich vom Gedanken leiten zu lassen, dass nicht schon der Wortlaut die Norm darstellt, sondern erst das an Sachverhalten verstandene und konkretisierte Gesetz. Gefordert ist die sachlich richtige Entscheidung im normativen Gefüge, ausgerichtet auf ein befriedigendes Ergebnis der ratio legis (<ref-ruling> E. 7.1 S. 203; <ref-ruling> E. 5.1 S. 53). Bei der Interpretation des in Urkunden, Statuten oder Reglementen von Vorsorgeeinrichtungen verwendeten Invaliditätsbegriffs ist insbesondere darauf abzustellen, was in anderen Gebieten der Sozialversicherung oder nach den allgemeinen Rechtsgrundsätzen darunter verstanden wird (SZS 2006 S. 144, B 33/03 E. 3.2 mit Hinweis).
4.4 4.4.1 Die BVK-Statuten unterscheiden zwischen Erwerbs- (§§ 21 f.) und Berufsinvalidität (§§ 19 f.). Während für diese eine blosse Einschränkung der Arbeitsfähigkeit in der bisherigen Berufstätigkeit genügt, wird bei jener auch auf jede andere, dem (bisherigen) "Wissen und Können entsprechende und zumutbare Erwerbstätigkeit" verwiesen; alternativ ist der Entscheid der "eidgenössischen IV-Kommission" und damit die gesetzliche Vorgabe nach IVG (in Verbindung mit dem ATSG) massgeblich. Damit steht fest, dass der Begriff der "Erwerbsinvalidität" von § 21 Abs. 2 BVK-Statuten weiter gefasst ist als der Invaliditätsbegriff von Art. 23 BVG resp. von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> (Urteil B 35/06 vom 27. September 2006 E. 2.2.2 in fine).
4.4.2 In Bezug auf die Invalidenversicherung begründet Alkoholismus - auch wenn dieser eine Krankheit darstellt - für sich allein keine Invalidität im Sinne des Gesetzes (<ref-ruling>; <ref-ruling> E. 2 S. 28 f.; vgl. auch UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, N. 25 zu <ref-law>). Vielmehr wird er invalidenversicherungsrechtlich erst relevant, wenn er eine Krankheit oder einen Unfall bewirkt hat, in deren oder dessen Folge ein körperlicher, geistiger oder psychischer (vgl. SVR 2007 IV Nr. 1 S. 1, I 750/04, E. 1.2 mit Hinweisen), die Erwerbsfähigkeit beeinträchtigender Gesundheitsschaden eingetreten ist, oder wenn er selber Folge eines körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheitsschadens ist, dem Krankheitswert zukommt (<ref-ruling> E. 3c S. 268 mit Hinweis; Urteile 8C_951/2010 vom 30. Mai 2011 E. 4.1; I 169/06 vom 8. August 2006 E. 2.2 mit Hinweisen). Trifft dies nicht zu, ist invalidenversicherungsrechtlich - auch im Kontext der generell in der Sozialversicherung geltenden Schadenminderungspflicht (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 278; <ref-ruling> E. 4a mit Hinweisen, Urteil 9C_916/2010 vom 20. Juni 2011 E. 2.2) - von der Zumutbarkeit abstinenten Verhaltens auszugehen (vgl. Urteil 9C_395/2007 vom 15. April 2008 E. 2.3, wonach auch durch den Alkoholkonsum induzierte psychiatrische Störungen reversibel und daher unbeachtlich sind); dies schliesst die Annahme einer längere Zeit dauernden Arbeitsunfähigkeit aus. An dieser Rechtsprechung misst sich auch der Anspruch auf eine Invalidenrente der beruflichen Vorsorge, sofern dabei vom Invaliditätsbegriff gemäss IVG auszugehen ist. Fraglich ist, ob das auch in Bezug auf die Erwerbsinvalidität gilt, wie sie in § 21 Abs. 2 BVK-Statuten definiert wurde.
4.4.3 Aus dem Wortlaut von § 21 Abs. 2 BVK-Statuten allein lässt sich die aufgeworfene Frage nicht klar beantworten. Der Invaliditätsbegriff dieser Bestimmung unterscheidet sich zwar vom gesetzlichen (Art. 8 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>) in Bezug auf die massgeblichen Verweistätigkeiten: Statutarisch werden dem "Wissen und Können entsprechende und zumutbare Erwerbstätigkeiten", gesetzlich aber "Erwerbsmöglichkeiten auf dem in Betracht kommenden ausgeglichenen Arbeitsmarkt" postuliert. Hingegen ist kein begrifflicher Unterschied zwischen der statutarischen und gesetzlichen Regelung ersichtlich, was den erforderlichen Gesundheitsschaden anbelangt: Laut Statuten sind "Krankheit oder Unfall" relevant, nach <ref-law> eine "Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit" (vgl. Art. 3 Abs. 1 und Art. 4 ATSG sowie <ref-ruling> E. 1a S. 79, wonach Alkoholabhängigkeit eine Krankheit darstellt). Damit steht der Wortlaut von § 21 Abs. 2 BVK-Statuten der Übernahme der Rechtsprechung zum invalidisierenden Charakter von Suchtkrankheiten (E. 4.4.2) nicht entgegen, zumal bei Gesundheitsschäden, denen die invalidisierende Wirkung grundsätzlich abgesprochen wird, die Art einer Verweistätigkeit nicht von Belang ist. Im Sinn der Einheit der Rechtsordnung (E. 4.3.2 in fine) ist es indessen geboten, die dargelegten, im Bereich der Invalidenversicherung entwickelten Grundsätze auch bei der Beurteilung des streitigen Anspruchs aus beruflicher Vorsorge anzuwenden. Daran ändert auch nichts, dass der Beschwerdegegner die Alkoholabhängigkeit in Bezug auf die Berufsinvalidität nach § 19 Abs. 1 BVK-Statuten - welche grundsätzlich nur einen befristeten Rentenanspruch begründet - als invalidisierende Krankheit anerkannte.
4.4.3 Aus dem Wortlaut von § 21 Abs. 2 BVK-Statuten allein lässt sich die aufgeworfene Frage nicht klar beantworten. Der Invaliditätsbegriff dieser Bestimmung unterscheidet sich zwar vom gesetzlichen (Art. 8 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>) in Bezug auf die massgeblichen Verweistätigkeiten: Statutarisch werden dem "Wissen und Können entsprechende und zumutbare Erwerbstätigkeiten", gesetzlich aber "Erwerbsmöglichkeiten auf dem in Betracht kommenden ausgeglichenen Arbeitsmarkt" postuliert. Hingegen ist kein begrifflicher Unterschied zwischen der statutarischen und gesetzlichen Regelung ersichtlich, was den erforderlichen Gesundheitsschaden anbelangt: Laut Statuten sind "Krankheit oder Unfall" relevant, nach <ref-law> eine "Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit" (vgl. Art. 3 Abs. 1 und Art. 4 ATSG sowie <ref-ruling> E. 1a S. 79, wonach Alkoholabhängigkeit eine Krankheit darstellt). Damit steht der Wortlaut von § 21 Abs. 2 BVK-Statuten der Übernahme der Rechtsprechung zum invalidisierenden Charakter von Suchtkrankheiten (E. 4.4.2) nicht entgegen, zumal bei Gesundheitsschäden, denen die invalidisierende Wirkung grundsätzlich abgesprochen wird, die Art einer Verweistätigkeit nicht von Belang ist. Im Sinn der Einheit der Rechtsordnung (E. 4.3.2 in fine) ist es indessen geboten, die dargelegten, im Bereich der Invalidenversicherung entwickelten Grundsätze auch bei der Beurteilung des streitigen Anspruchs aus beruflicher Vorsorge anzuwenden. Daran ändert auch nichts, dass der Beschwerdegegner die Alkoholabhängigkeit in Bezug auf die Berufsinvalidität nach § 19 Abs. 1 BVK-Statuten - welche grundsätzlich nur einen befristeten Rentenanspruch begründet - als invalidisierende Krankheit anerkannte.
4.5 4.5.1 Die vorinstanzlichen Feststellungen hinsichtlich des Gesundheitszustands und der Arbeitsfähigkeit (E. 2.1) sind nicht offensichtlich unrichtig oder willkürlich: Laut neuropsychologischem Gutachten des Spitals X._ vom 7. Januar 2008 liegt zwar eine "leichte (bifrontale) Hirnfunktionsstörung unspezifischer Ätiologie" vor. Dass diese für sich allein die Erwerbsfähigkeit beeinträchtigen soll, ist nicht ersichtlich, zumal sich anlässlich der Begutachtung keine "typische resp. ausgeprägte Pathologie, wie man sie nach dem langjährigen schweren Alkoholabusus erwarten könnte", fand. Aus der Expertise des Dr. med. S._ vom 29. Dezember 2005 geht ebenfalls nicht hervor, dass die von ihm gestellten Diagnosen einem eigenständigen, vom Suchtgeschehen abgelösten Leiden entsprechen (vgl. Urteile 9C_960/2009 vom 24. Februar 2010 E. 2.2; 9C_395/2007 vom 15. April 2008 E. 2.3 und 2.4). Die in diesen Unterlagen jeweils attestierte Einschränkung der Erwerbsfähigkeit von (höchstens) 50 % ist daher aus rechtlicher Sicht (E. 4.4.2 und 4.4.3) nicht relevant (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.5 S. 356). Auch aus den übrigen medizinischen Unterlagen ist ein solcher, rechtlich massgeblicher Gesundheitsschaden nicht ersichtlich.
4.5.2 Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung beruhen auch nicht auf einer Rechtsverletzung. Eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheides war möglich, weshalb von einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) nicht gesprochen werden kann (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 1a S. 181). Das kantonale Gericht hat sich nicht nur auf verschiedene Berichte psychiatrischer Fachärzte, sondern auch auf ein - den Anforderungen an die Beweiskraft genügendes (<ref-ruling> E. 3a S. 352) - neuropsychologisches Gutachten gestützt. Der Verzicht auf weitere Abklärungen erfolgte daher in zulässiger antizipierender Beweiswürdigung (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 157; <ref-ruling> E. 1d S. 162), wodurch der Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>) nicht verletzt wird. Die vorinstanzlichen Feststellungen betreffend den Gesundheitszustand und die Arbeitsfähigkeit (E. 2.1) sind daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1).
4.6 Nach dem Gesagten hat das kantonale Gericht zu Recht den Anspruch auf eine Erwerbsinvalidenrente verneint. Auf die Ausführungen der Beschwerdeführerin zur Schadenminderungspflicht ist somit nicht einzugehen. Die Beschwerde ist unbegründet.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. November 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Dormann