Faits:
A. X._, né en 1970, et dame X._, née en 1974, tous deux de nationalité française, se sont mariés le 9 août 2008 à Aubonne. Aucun enfant n'est issu de cette union.
Le mari a ouvert action en divorce par demande unilatérale du 6 octobre 2009.
Par ordonnance de mesures provisionnelles du 9 juin 2010, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte a attribué à l'épouse la jouissance de l'appartement du mari sis à Paris (France), les charges y relatives étant supportées par celui-ci (I), et a rejeté toutes autres ou plus amples conclusions (II).
B. Par "requête" du 21 juin 2010, l'épouse a interjeté appel contre cette ordonnance, concluant au versement d'une contribution d'entretien de 4'500 fr. par mois dès le 1er juillet 2009 et d'une provisio ad litem de 25'000 fr., en sus - comme précisé à l'audience d'appel du 31 août 2010 - de l'attribution de la jouissance, sans les charges, de l'appartement sis à Paris.
Par jugement du 7 octobre 2010, le Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte a confirmé le chiffre I de l'ordonnance de mesures provisionnelles du 9 juin 2010 et a condamné le mari à payer à l'épouse une contribution d'entretien mensuelle de 1'400 fr. dès le 1er avril 2010, ainsi qu'une provisio ad litem de 10'000 fr.
C. Par acte du 8 novembre 2010, X._ exerce un recours en matière civile et, à titre subsidiaire, un recours constitutionnel, contre le jugement du 7 octobre 2010. Il conclut principalement à sa réforme en ce sens que les conclusions de l'épouse du 21 juin 2010 sont rejetées et l'ordonnance du 9 juin 2010 confirmée; subsidiairement, il requiert l'annulation du jugement querellé et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle instruise et statue à nouveau dans le sens des considérants.
Par courrier du 25 novembre 2010, il a informé le Tribunal fédéral qu'il avait renoncé à motiver le recours cantonal invoqué à l'appui de sa demande de suspension.
Des observations sur le fond n'ont pas été requises.
D. Par ordonnance du 30 novembre 2010, la Présidente de la cour de céans a admis la requête d'effet suspensif déposée par le recourant en ce qui concerne les contributions d'entretien arriérées, dues jusqu'au 31 octobre 2010, l'a rejetée pour le surplus et a pris acte de la renonciation du recourant au moyen de droit cantonal invoqué à l'appui de sa demande de suspension de la procédure.

Considérant en droit:
1. 1.1 La décision de mesures provisoires selon l'art. 137 al. 2 aCC est une décision en matière civile selon l'<ref-law>. Bien qu'elle soit prise alors qu'une procédure (principale) de divorce est pendante, elle est finale au sens de l'<ref-law>, car son objet est différent de celui de la procédure au fond et elle met fin à l'instance sous l'angle procédural (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 431 et les arrêts cités). Comme le litige porte uniquement sur la contribution d'entretien, le recours a pour objet une décision rendue dans une affaire pécuniaire (<ref-ruling> consid. 2 p. 395), dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, art. 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a qualité pour recourir (<ref-law>), car il a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée. Enfin, le recours a été interjeté dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Le recours en matière civile est donc en principe recevable, de sorte que le recours constitutionnel n'entre pas en considération (<ref-law>).
1.2 Selon l'<ref-law>, le recours n'est recevable qu'à l'encontre des décisions prises en dernière instance cantonale, ce qui signifie que les griefs soulevés devant le Tribunal fédéral ne doivent plus pouvoir faire l'objet d'un recours ordinaire ou extraordinaire de droit cantonal (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 527 et les références). Dans le canton de Vaud, l'arrêt sur appel en matière de mesures provisionnelles pouvait faire l'objet d'un recours en nullité au Tribunal cantonal pour les motifs prévus par l'<ref-law>/VD, à savoir pour déni de justice formel, ainsi que pour arbitraire dans l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 1b p. 259).
Attendu que le recourant a renoncé à son recours cantonal en nullité, il ne saurait remettre en cause l'appréciation des preuves du jugement querellé. En tant qu'il est interjeté, non pour les motifs précités, mais pour arbitraire dans l'application du droit civil fédéral, le recours est recevable.
2. Dès lors que la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles (<ref-ruling> consid. 5.1 in fine p. 397 et la jurisprudence citée), seule peut être dénoncée la violation de droits constitutionnels (<ref-law>). Le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de ces droits que si un tel moyen est invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 88 et les arrêts cités). Il ne traite donc pas les questions que le recourant ne remet pas expressément en cause, conformément au principe d'allégation.
Si le recourant se plaint d'arbitraire, il ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité précédente, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision se fonde sur une interprétation ou une application de la loi manifestement insoutenables (<ref-ruling> consid. 3 p. 352; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 400 et les références citées). L'arbitraire prohibé par l'art. 9 Cst. ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable, voire préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de cette décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 153; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 261; <ref-ruling> consid. 4.4.1 p. 470).
3. L'autorité cantonale de première instance a admis que les tribunaux suisses étaient compétents pour ordonner des mesures provisoires, dès lors qu'une procédure de divorce était pendante en Suisse (<ref-law>, en relation avec l'<ref-law>). Les parties ne le contestent pas.
Le litige revêt des aspects internationaux, de sorte que la question de l'application du droit suisse ne va pas de soi. Comme les parties ne contestent pas cette application par les autorités cantonales, il n'y a en l'occurrence pas lieu d'examiner ce point plus avant.
4. Le recourant se plaint d'une application arbitraire des art. 125 al. 2, 137 al. 2, 163 et 176 al. 1 ch. 1 CC. Il reproche à l'autorité cantonale d'avoir retenu que l'intimée avait mis sa carrière de comédienne entre parenthèses pour l'accompagner sur les circuits automobiles, alors qu'en réalité, elle a toujours exercé son activité professionnelle à plein temps et n'a assisté qu'à quelques-unes de ses courses durant les week-ends. Vu la répartition des tâches pendant le mariage, la durée de celui-ci - un an -, l'âge et l'état de santé des époux, ainsi que l'absence d'enfant commun, la pension devrait être basse, voire inexistante.
4.1 Le principe et le montant de la contribution d'entretien due selon l'<ref-law>, applicable par analogie aux mesures provisoires (art. 137 al. 2 aCC), se déterminent en fonction des facultés économiques et des besoins respectifs des époux (<ref-ruling> consid. 3b p. 100; <ref-ruling> consid. 20b p. 378 et les arrêts cités). L'<ref-law> constitue la cause de l'obligation d'entretien: les deux époux doivent ainsi participer, chacun selon ses facultés, aux frais supplémentaires engendrés par l'existence parallèle de deux ménages. Toutefois, quand on ne peut plus sérieusement compter sur une reprise de la vie commune, les critères applicables à l'entretien après le divorce gagnent en importance et doivent être pris en considération pour évaluer l'entretien, en particulier s'agissant de la question de la (re)prise ou de l'augmentation de l'activité lucrative d'un époux. Cela signifie, d'une part, qu'en plus des critères précédemment posés par la jurisprudence, le juge retiendra les éléments énumérés de façon non exhaustive à l'<ref-law> et, d'autre part, qu'il y a lieu d'apprécier la situation à l'aune du principe de l'indépendance économique des conjoints après le divorce (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 541; <ref-ruling> consid. 4a p. 67). Entre autres critères, doivent être pris en compte, en particulier, la répartition des tâches pendant le mariage, la durée de celui-ci et le niveau de vie des époux durant l'union conjugale (art. 125 al. 2 ch. 1-3 CC).
4.2 Selon l'autorité cantonale, il est établi qu'avant le mariage, soit dès 2001, l'intimée a accompagné le recourant, pilote automobile professionnel, sur les circuits, mettant ainsi sa propre carrière de comédienne entre parenthèses. D'après elle, il y a donc lieu d'admettre que les huit années de vie commune du couple, y compris le concubinage, ont influencé la situation économique de l'épouse, qui doit se refaire un nom dans le monde du spectacle. Dans ces circonstances, le critère de la solidarité entre les conjoints apparaît fondamental et le mari doit pourvoir à l'entretien convenable de l'épouse.
Le recourant, dont l'argumentation est largement appellatoire, ne démontre pas, conformément aux exigences de motivation requises (<ref-law>), que cette opinion serait insoutenable, étant rappelé que l'objet de la procédure de mesures provisoires est différent de celui de la procédure au fond (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 431/432; <ref-ruling> consid. 3 p. 3.2 p. 350). En application des critères établis par l'<ref-law>, une contribution d'entretien n'est due que si le mariage a concrètement influencé la situation financière de l'époux créancier («lebensprägend»). Il est vrai que, sauf si le couple a eu des enfants communs (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 61) ou en cas de déracinement culturel (arrêt 5A_649/2009 du 23 février 2010, consid. 3.2.2 et les arrêts cités), il faut présumer qu'un mariage dont la durée a été, comme ici, inférieure à cinq ans, n'a pas eu d'impact décisif sur la situation des conjoints (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 61). La jurisprudence précise toutefois qu'en présence de circonstances particulières, il n'est pas exclu de tenir compte, dans une certaine mesure, d'un concubinage qualifié lorsque les parties ont conclu un mariage subséquent, un concubinage antérieur ne pouvant cependant être pris en considération que s'il a influencé durablement la vie des partenaires, au point que la conclusion du mariage soit la confirmation de la responsabilité assumée et de la confiance existante (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 64; cf. aussi: <ref-ruling> consid. 9.2 p. 600/601).
Le recourant prétend qu'il est totalement inexact que l'épouse ait mis sa carrière de côté, qu'elle a au contraire toujours exercé à plein temps son activité indépendante et qu'elle prétexte faussement, par représailles, qu'elle l'accompagnait sur les circuits automobiles alors qu'elle n'a assisté qu'à quelques courses le week-end. Ce faisant, il s'en prend, de manière irrecevable, aux constatations de fait du jugement attaqué (<ref-law>; cf. supra, consid. 1.2). Dès lors qu'il est établi que, dès avant le mariage, l'épouse a renoncé à sa carrière pour accompagner le recourant dans son activité professionnelle, le droit fédéral n'apparaît pas arbitrairement violé.
5. Autant qu'elles sont recevables, les autres critiques formulées par le recourant concernant l'application des 125 al. 2, 137 al. 2, 163 et 176 al. 1 ch. 1 CC ne font pas apparaître arbitraire la solution cantonale.
L'argument selon lequel l'intimée est propriétaire d'un logement d'une valeur de 90'000 euros, qu'elle pourrait vendre pour assurer son entretien et ses frais de procédure, n'apparaît pas décisif, dès lors qu'il résulte du jugement attaqué - qui ne constate d'ailleurs pas la valeur de ce bien - que l'appartement en question est insalubre.
Il n'apparaît pas non plus insoutenable d'inclure dans les charges du recourant les 1'500 euros de frais et intérêts hypothécaires relatifs à son appartement, actuellement occupé par l'intimée, plutôt que le montant - non constaté - de 1'900 euros correspondant à la valeur locative et, prétendument, au prix qu'il en retirerait s'il le mettait à bail.
Enfin, dans la mesure où le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir alloué à l'intimée environ la moitié de son solde disponible, en sus de l'avantage en nature que représente pour elle la jouissance de l'appartement dont il est propriétaire, son grief n'est pas non plus fondé: si l'épouse ne bénéficiait pas de ce logement à titre gratuit, ses charges augmenteraient, de même que les revenus du mari - qui pourrait louer son logement -, d'où la fixation d'une contribution d'entretien plus élevée, tenant compte de la charge de loyer à payer à un tiers; au demeurant, le recourant ne prétend pas que la somme allouée à l'épouse, logement en sus, porterait atteinte à son minimum vital (<ref-ruling> ss), ou permettrait à celle-ci de bénéficier d'un train de vie supérieur à celui mené par les époux durant le mariage (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 595; <ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 8/9).
6. Le recourant se plaint aussi d'arbitraire dans l'application de l'<ref-law>. Il prétend que l'intimée s'est dérobée à toutes réquisitions de pièces visant à établir sa fortune, de sorte qu'il doit être considéré comme avéré qu'elle dispose de biens lui permettant d'assurer son entretien et ses frais de procédure.
6.1 L'<ref-law> règle la question du fardeau de la preuve et, partant, les conséquences de l'absence de preuve (<ref-ruling> consid. 2.6 p. 24; <ref-ruling> consid. 2a p. 522). Lorsque, comme en l'espèce, un conjoint reproche à l'autre d'avoir refusé de le renseigner sur l'état de sa fortune, cette disposition n'entre pas en ligne de compte. L'<ref-law> impose certes à l'époux une obligation de renseigner son conjoint sur ses revenus, ses biens et ses dettes, et le juge peut même l'y astreindre. La jurisprudence précise par ailleurs que, lorsque l'époux viole le devoir qui lui est imposé par l'<ref-law> en refusant de collaborer avec le tribunal, ce comportement peut avoir pour conséquence de convaincre l'autorité judiciaire de la fausseté complète ou partielle de ses allégations et, par conséquent, de l'amener à croire les indications de l'autre époux. Cette obligation de renseigner n'implique cependant pas un renversement du fardeau de la preuve (<ref-ruling> consid. 3 p. 28/29; arrêts 5A_251/2008 et 5A_276/2008 du 6 novembre 2008; 5C.123/2006 du 29 mars 2007, consid. 4.1 in FamPra.ch 2007 p. 669/670; Deschenaux/Steinauer/Baddeley, Les effets du mariage, 2e éd. 2009, n. 279 p. 178 et les références citées).
C'est ainsi dans le cadre de l'appréciation des preuves que le juge se prononcera sur le résultat de la collaboration d'un époux ou tirera les conséquences de son refus de renseigner l'autre conjoint. S'agissant d'une question qui a trait à l'appréciation des preuves, elle ne peut faire l'objet d'un recours pour violation de l'<ref-law>, en tant qu'il règle les conséquences de l'absence de preuve. D'éventuelles critiques visant l'appréciation des preuves seraient de toute manière irrecevables ici, faute d'épuisement des instances cantonales (<ref-law>; cf. supra, consid. 1.2). Par ailleurs, le recourant ne prétend pas que son droit à la preuve aurait été violé, en ce sens qu'il n'aurait pas été donné suite à ses réquisitions de pièces; un tel grief relèverait au demeurant, en l'espèce, de l'art. 29 al. 2 Cst. et non de l'<ref-law> (arrêts 5A_724/2009 du 26 avril 2010, consid. 4.1; 5A_561/2009 du 1er décembre 2009, consid. 2.1; 5A_193/2008 du 13 mai 2008, consid. 3.1).
7. Le recourant fait aussi grief à l'autorité cantonale d'avoir estimé que les frais relatifs à son chalet en Suisse étaient des frais somptuaires qui n'avaient pas à être retenus dans son minimum vital, dès lors qu'il vivait à Paris avec son amie, dans un logement dont il payait le loyer. Il soutient qu'il est domicilié depuis cinq ans en Suisse, quand bien même la mère de son futur enfant habite Paris, ce qui serait du reste admis par l'intimée et, indirectement, par l'autorité cantonale, qui a considéré qu'elle était compétente à raison du lieu.
Par cette argumentation, il s'en prend à l'appréciation des preuves effectuée par l'autorité cantonale. Celle-ci a en effet considéré que son logement se trouvait à Paris, dès lors qu'il payait à sa compagne, avec qui il vivait, un montant de 2'000 euros par mois représentant le loyer de l'appartement occupée par celle-ci, montant qu'il convenait par conséquent d'inclure dans ses charges. Le moyen est dès lors irrecevable (<ref-law>; cf. supra, consid. 1.2).
8. Les critiques relatives au paiement d'une provisio ad litem de 10'000 fr. sont également irrecevables, faute d'épuisement des instances cantonales (<ref-law>; cf. supra, consid. 1.2). En effet, le recourant s'en prend aux constatations du jugement attaqué, en affirmant que rien au dossier ne permet de considérer qu'il est un homme fortuné, alors que l'autorité cantonale a retenu que sa fortune en titres et autres placements se montait à 387'478 fr. au 31 décembre 2008. Il en va de même lorsqu'il semble critiquer, en faisant valoir que l'intimée n'a pas demandé l'assistance judiciaire, la constatation de l'autorité cantonale selon laquelle les revenus de celle-ci ne lui permettent pas de soutenir une procédure; cet argument n'est au demeurant pas décisif, le devoir d'assistance par le versement d'une provisio ad litem l'emportant d'ailleurs sur le devoir d'assistance judiciaire de l'État (<ref-ruling> consid. 3a p. 12). Enfin, tel est aussi le cas lorsqu'il soutient que le montant de 10'000 fr. est disproportionné par rapport aux coûts effectifs de la procédure.
9. En conclusion, le recours apparaît mal fondé et doit par conséquent être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera dès lors les frais de la présente procédure (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer sur le fond et qui a conclu au rejet de la requête d'effet suspensif, alors que celle-ci a été partiellement admise.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte.
Lausanne, le 8 avril 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot