Sachverhalt:
A. Am 28. Oktober 2004 ersuchte F._ das Eidgenössische Departement des Innern (EDI) um Anerkennung der Gleichwertigkeit seiner Weiterbildung zum Spezialisten für labormedizinische Analytik für den Facharzttitel FAMH (Schweizerischer Verband der Leiter medizinisch-analytischer Laboratorien) im Bereich medizinische Genetik. Das Gesuch wurde vom Bundesamt für Gesundheit (BAG) behandelt.
B. Am 1. November 2007 liess F._ beim Bundesverwaltungsgericht eine Rechtsverzögerungsbeschwerde gegen das EDI einreichen.
Am 4. Dezember 2007 lehnte das EDI das Gesuch um Anerkennung der Gleichwertigkeit seiner Weiterbildung zum Spezialisten für labormedizinische Analytik mit der monodisziplinären FAMH-Weiterbildung in medizinischer Genetik ab.
Mit Entscheid vom 8. April 2008 schrieb das Bundesverwaltungsgericht das Rechtsverzögerungsbeschwerdeverfahren infolge Gegenstandslosigkeit ab (Dispositiv-Ziffer 1), auferlegte den Parteien keine Verfahrenskosten (Dispositiv-Ziffer 2) und sprach dem Beschwerdeführer keine Parteientschädigung zu (Dispositiv-Ziffer 3).
C. F._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, Dispositiv-Ziffer 3 des Abschreibungsentscheids vom 8. April 2008 sei aufzuheben und ihm für das Rechtsverzögerungsbeschwerdeverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'139.80 zuzusprechen, eventualiter die Sache zu diesem Zweck an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesverwaltungsgericht äussert sich materiell zur Sache, ohne einen Antrag zu stellen. Das EDI beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Zulassung als Leistungserbringer zur Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung ist in <ref-law> und den dazugehörigen Bestimmungen der KVV und KLV geregelt. Diesbezügliche Streitigkeiten fallen nicht in den Anwendungsbereich des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teils des Sozialversicherungsrechts (ATSG; Art. 1 Abs. 1 und Abs. 2 lit. a KVG). Die Zulassungsbedingungen für Laboratorien gemäss <ref-law>, die im Auftrag eines anderen zugelassenen Leistungserbringers neben den Analysen der Grundversorgung weitere Analysen durchführen, werden in <ref-law> sowie Art. 42 und 43 KLV näher umschrieben. Danach hat sich die leitende Person über eine Weiterbildung in der Laboranalytik auszuweisen. Als solche gilt die vom Schweizerischen Verband der Leiter medizinisch-analytischer Laboratorien (FAMH) anerkannte Weiterbildung in Hämatologie, klinischer Chemie, klinischer Immunologie und medizinischer Mikrobiologie. Im Bereich der medizinischen Genetik bestehen weitergehende Anforderungen (<ref-law>). Das Eidgenössische Departement des Innern entscheidet über die Gleichwertigkeit einer Weiterbildung, die den Regelungen der FAMH nicht entspricht (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
1.2 Auf das Verfahren vor dem EDI ist das Verwaltungsverfahrensgesetz vom 20. Dezember 1969 (VwVG) anwendbar (Art. 1 Abs. 1 und Abs. 2 lit. a VwVG). Die Entscheide des Departements stellen Verfügungen im Sinne von <ref-law> dar; sie können nach Art. 31 und Art. 33 lit. d des Verwaltungsgerichtsgesetzes vom 17. Juni 2005 (VGG) beim Bundesverwaltungsgericht angefochten werden. Dessen Entscheide können mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht weitergezogen werden (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. a und <ref-law>).
1.2.1 Nach Art. 46a und 50 VwVG kann gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern einer anfechtbaren Verfügung jederzeit Beschwerde geführt werden, und zwar bei der in der Hauptsache zuständigen Beschwerdeinstanz oder allenfalls bei der Aufsichtsbehörde (<ref-law>; Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl., S. 87 oben). Geht es um die Zulassung als Leistungserbringer zur Tätigkeit zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung, hat somit das Bundesverwaltungsgericht über eine gegen das EDI gerichtete Rechtsverweigerungs- oder Rechtsverzögerungsbeschwerde zu befinden. Letztinstanzlich entscheidet die in der Hauptsache zuständige II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts (Art. 35 lit. d des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 [BGerR]). Diese Regelung gilt auch, wenn wie vorliegend das Departement lite pendente in der Sache verfügt, das Bundesverwaltungsgericht das Verfahren mangels eines schutzwürdigen Interesses an der Feststellung einer Rechtsverzögerung als gegenstandslos abschreibt (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 314 und Gygi a.a.O. S. 227) und lediglich der Parteikostenentscheid angefochten wird (Meinungsaustausch mit der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung nach Art. 36 des Reglements für das Bundesgericht).
Die formellen Gültigkeitserfordernisse sind gegeben und somit ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Nach Art. 7 des hier noch anwendbaren Reglements vom 11. Dezember 2006 über die Kosten und Entschädigungen vor dem Bundesverwaltungsgericht (VGKE, erlassen von der provisorischen Gerichtsleitung des Bundesverwaltungsgerichts in Ausführung von <ref-law>) haben obsiegende Parteien Anspruch auf eine Parteientschädigung für die ihnen erwachsenen notwendigen Kosten (Abs. 1). Obsiegt die Partei nur teilweise, so ist die Parteientschädigung entsprechend zu kürzen (Abs. 2). Sind die Kosten verhältnismässig gering, so kann von einer Parteientschädigung abgesehen werden (Abs. 4). Wird ein Verfahren gegenstandslos, so prüft das Gericht, ob eine Parteientschädigung zuzusprechen ist. Für die Festsetzung der Parteientschädigung gilt Artikel 5 sinngemäss (<ref-law>).
<ref-law> bestimmt Folgendes: "Wird ein Verfahren gegenstandslos, so werden die Verfahrenskosten in der Regel jener Partei auferlegt, deren Verhalten die Gegenstandslosigkeit bewirkt hat. Ist das Verfahren ohne Zutun der Parteien gegenstandslos geworden, so werden die Kosten auf Grund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes festgelegt."
2.2 Es ist - zu Recht - unbestritten, dass sich die Frage, ob der Beschwerdeführer Anspruch auf eine Parteientschädigung für das (gegenstandslos gewordene) Rechtsverzögerungsbeschwerdeverfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht hat, nach Art. 5, 7 und 15 VGKE beurteilt. Die vom Bundesrat u.a. gestützt auf <ref-law> erlassene Verordnung vom 10. September 1969 über Kosten und Entschädigungen im Verwaltungsverfahren (SR 172.041.0) ist nur für das Verfahren vor Verwaltungsbehörden anwendbar, nicht für Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht.
3. Das Bundesverwaltungsgericht hat von der Zusprechung einer Parteientschädigung abgesehen mit der Begründung, der mutmassliche Ausgang des Verfahrens lasse sich bei summarischer Untersuchung nicht bestimmen und der Aufwand der Parteien sei verhältnismässig gering im Sinne von <ref-law>. Damit verneint es implizit, dass das Departement mit dem Erlass der Verfügung vor seinem Entscheid über die Rechtsverzögerungsbeschwerde im Sinne von Art. 5 erster Satz VGKE die Gegenstandslosigkeit des Verfahrens bewirkt hat. Andernfalls wären die Prozessaussichten in diesem Zeitpunkt nicht zu beurteilen gewesen, wie auch der Beschwerdeführer sinngemäss geltend macht (vgl. Michael Beusch/André Moser/Lorenz Kneubühler, Ausgewählte prozessrechtliche Fragen im Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht, in: ZBl 1/2008 S. 1 ff., 35 f.). Diese Prüfung hat die Vorinstanz jedoch offenbar vorgenommen und ist dabei zum Ergebnis gelangt, der mutmassliche Ausgang des Verfahrens lasse sich nicht bestimmen. Wenn sie in der Folge wegen des nach ihrer Auffassung verhältnismässig geringen Aufwands des Beschwerdeführers resp. seines Rechtsvertreters gestützt auf <ref-law> von der Zusprechung einer Parteientschädigung abgesehen hat, kann dies nur im Sinne der Bejahung des Anspruchs im Grundsatz verstanden werden.
4. Die Vorinstanz ist von verhältnismässig geringen Kosten des Beschwerdeführers resp. einem verhältnismässig geringen Aufwand seines Rechtsvertreters im Sinne von <ref-law> ausgegangen, ohne dies zu begründen, insbesondere ohne hiezu tatsächliche Feststellungen zu treffen. In ihrer Vernehmlassung führt sie zur Begründung an, der Beschwerdeführer habe auch im Rahmen seiner Replik keine Kostenote eingereicht, weshalb sie unter Würdigung aller Umstände im Rahmen von <ref-law> von der Zusprache einer Parteientschädigung abgesehen habe. Aufgrund der Akten und der Vorbringen in der Beschwerde kann der sachlich gebotene Vertretungsaufwand im vorinstanzlichen Verfahren offensichtlich (<ref-law>) nicht als verhältnismässig gering im Sinne dieser Reglementsbestimmung bezeichnet werden. Das Departement macht in seiner Vernehmlassung zu Recht nichts anderes geltend.
5. Im Weitern hat die Vorinstanz - ebenfalls ohne nähere Begründung - festgestellt, der mutmassliche Ausgang des Verfahrens lasse sich bei summarischer Untersuchung nicht bestimmen. Dem widerspricht der Beschwerdeführer. Der Umstand, dass das EDI nach mehr als dreijähriger Verfahrensdauer am 4. Dezember 2007 ohne jeden Zweifel unter Druck der am 1. November 2007 eingereichten Rechtsverzögerungsbeschwerde endlich verfügt habe, beweise eindeutig, dass der Prozessausgang bestimmbar gewesen sei. Ohne Beschwerde hätte das Departement bis heute noch keinen Entscheid gefällt. Abgesehen davon habe das EDI mit der vor dem Entscheid über die Rechtsverzögerungsbeschwerde erlassenen Verfügung den Grund für die Gegenstandslosigkeit des Verfahrens gesetzt und sei demzufolge nach dem klaren Wortlaut von Art. 5 erster Satz VGKE kosten- und entschädigungspflichtig, ohne dass die Prozessaussichten zu würdigen gewesen seien. Im Übrigen treffe ihn an der Verzögerung des Verfahrens keine Schuld. Er sei seinen Mitwirkungspflichten stets nachgekommen, habe wiederholt auf die lange Dauer des Verfahrens aufmerksam gemacht, einen Entscheid verlangt sowie die Einreichung einer Rechtsverzögerungsbeschwerde angekündigt. Dem hält das Departement in seiner Vernehmlassung entgegen, das Argument des Beschwerdeführers, es habe mit dem Entscheid in der Sache den Grund gesetzt, welcher schliesslich zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geführt habe, könne nicht gehört werden. Der Gesuchsteller habe es mehrmals in der Hand gehabt zu bewirken, dass die Zulassungsbehörde rascher verfügt hätte. Das Einreichen einer Rechtsverzögerungsbeschwerde sei auf Grund der Umstände, insbesondere des widersprüchlichen und sogar als renitent zu bezeichnenden Verhaltens des Beschwerdeführers, überhaupt nicht gerechtfertigt gewesen. Im Übrigen habe sich das EDI auf Grund von <ref-ruling> zu einer Praxisänderung veranlasst gesehen, auf Grund welcher das bis dahin gänzlich chancenlose Gesuch erneut habe geprüft werden müssen, was zu einer Verfahrensverzögerung geführt habe. Aus im Wesentlichen denselben Gründen kann gemäss Vorinstanz das Dahinfallen des Rechtsschutzinteresses und die Abschreibung des Verfahrens nicht dem EDI angelastet werden.
5.1 Der Entscheid des EDI in der Sache (Nichtanerkennung der Gleichwertigkeit der Weiterbildung zum Spezialisten für labormedizinische Analytik für den Facharzttitel FAMH im Bereich medizinische Genetik) hat - rein kausal betrachtet - die Gegenstandslosigkeit des hängigen Rechtsverzögerungsbeschwerdeverfahrens im wortlautgetreuen Sinne von Art. 5 erster Satz VGKE bewirkt. Die Erhebung der Beschwerde hatte indessen keine Sistierung des Verfahrens zur Folge. Die gegenteilige Auffassung vertrüge sich weder mit der gesetzlichen Pflicht nach <ref-law> zum Entscheid der Anerkennungsfrage noch mit dem gemäss <ref-law> auch im Verfahren vor Verwaltungsinstanzen bestehenden Anspruch auf Beurteilung innert angemessener Frist. Abgesehen davon zielt eine Rechtsverzögerungsbeschwerde gerade darauf ab, ein als rechtswidrig zögerlich geführt erachtetes Verfahren zu beschleunigen und zur Erledigung innert nützlicher Frist zu bringen (nicht veröffentlichtes Urteil 2A.219/1996 vom 11. Juli 1996 E. 2; André Moser/Peter Übersax, Prozessieren vor Eidgenössischen Rekurskommissionen, in: Thomas Geiser/Peter Münch [Hrsg.], Handbücher für die Anwaltspraxis, Bd. III, S. 170 Rz. 5.7; vgl. auch Gygi a.a.O. S. 227 oben). Dem widerspräche, bei Erlass der Verfügung vor dem Entscheid über die Rechtsverzögerungsbeschwerde von einem die Gegenstandslosigkeit bewirkenden Verhalten der verfügenden Behörde im Sinne von Art. 5 erster Satz VGKE zu sprechen und sie ohne weiteres für kosten- und entschädigungspflichtig zu erklären.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers zieht somit der Entscheid über die Nichtanerkennung der Gleichwertigkeit der Weiterbildung zum Spezialisten für labormedizinische Analytik für den Facharzttitel FAMH im Bereich medizinische Genetik nicht die Kosten- und Entschädigungspflicht des verfügenden Departementes für das gegenstandslos gewordene Rechtsverzögerungsbeschwerdeverfahren nach sich. Diese Rechtsfolge greift erst, wenn die summarische Prüfung der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrunds (Art. 5 zweiter Satz VKGE) zu seinen Gunsten ausfällt oder zu keinem eindeutigen Ergebnis führt.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers zieht somit der Entscheid über die Nichtanerkennung der Gleichwertigkeit der Weiterbildung zum Spezialisten für labormedizinische Analytik für den Facharzttitel FAMH im Bereich medizinische Genetik nicht die Kosten- und Entschädigungspflicht des verfügenden Departementes für das gegenstandslos gewordene Rechtsverzögerungsbeschwerdeverfahren nach sich. Diese Rechtsfolge greift erst, wenn die summarische Prüfung der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrunds (Art. 5 zweiter Satz VKGE) zu seinen Gunsten ausfällt oder zu keinem eindeutigen Ergebnis führt.
5.2 5.2.1 Rechtsverzögerung ist eine besondere Form formeller Rechtsverweigerung (<ref-ruling> E. 2 S. 238; René Rhinow/Heinrich Koller/Christina Kiss, Öffentliches Prozessrecht und Justizverfassungsrecht des Bundes; Basel 1996, N 200; Hansjörg Seiler/Nicolas von Werdt/Andreas Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, N 5 und 9 zu Art. 94). Sie ist gegeben, wenn die zuständige Verwaltungs- oder Gerichtsbehörde sich zwar bereit zeigt, einen von Gesetzes wegen zu treffenden Entscheid zu fällen, diesen aber nicht binnen der Frist erlässt, welche nach der Natur der Sache und nach der Gesamtheit der übrigen Umstände als angemessen erscheint (<ref-ruling> E. 1.1 S. 409, 130 I 312 E. 5.1 S. 331, 103 V 194 E. 3c; Ulrich Häfelin/Georg Müller/Felix Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5. Aufl., Zürich 2006, N 1658). Dabei sind insbesondere die Art des Verfahrens, die Schwierigkeit der Materie, das Verhalten der Beteiligten und auch die Bedeutung der Angelegenheit für den Rechtsuchenden zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 332, 125 V 188 E. 2a S. 191, 119 Ib 311 E. 5b S. 325; Rhinow/Koller/Kiss a.a.O N 225).
5.2.2 Das Bundesverwaltungsgericht hat im angefochtenen Entscheid festgestellt, der mutmassliche Ausgang des Verfahrens lasse sich bei summarischer Prüfung nicht bestimmen, ohne dies jedoch näher zu begründen. In ihrer Vernehmlassung führt die Vorinstanz aus, eine Verfahrensdauer von 36 Monaten seit der Einreichung des Gesuchs sei zwar sehr lange. Der Beschwerdeführer habe indessen durch seine zahlreichen Unmutsäusserungen u.a. betreffend die angeblich mangelnde juristische Kompetenz von Mitarbeitern des EDI und des BAG sowie dadurch, dass er die zeitgerechte Vorlage von Akten immer wieder verzögert habe, das Verfahren selbst massgeblich verlängert und verkompliziert. In Anbetracht der langen Verfahrensdauer einerseits und des Verhaltens des Gesuchstellers anderseits habe der voraussichtliche Prozessausgang nicht ohne weiteres ermittelt werden können.
Das EDI seinerseits macht nicht etwa geltend, bei Gesuchen um die Anerkennung der Gleichwertigkeit einer Weiterbildung, die den Regelungen der FAMH nicht entspricht (<ref-law> in Verbindung mit Art. 42 Abs. 3 und <ref-law>), stelle eine dreijährige Behandlungsdauer die Regel dar. Die vom Departement angeführten Umstände vermögen die Verfahrensdauer im Falle des Beschwerdeführers jedenfalls nicht zu erklären. Gegenteils wären die Akten offenbar bereits im Dezember 2005 spruchreif gewesen und hätte gestützt darauf das Gesuch aus Sicht der Verwaltung abgewiesen werden müssen. An dieser Beurteilung hatte sich gemäss Schreiben des BAG vom 6. September 2007 nichts geändert. Es ist daher nicht nachvollziehbar, weshalb das EDI in diesem Zeitpunkt nicht längst verfügt hatte. Der Hinweis des Departements, der Beschwerdeführer habe nicht unmissverständlich verlangt resp. es mehrmals in der Hand gehabt zu bewirken, dass es rascher verfüge, ist offensichtlich nicht stichhaltig. Es hatte die Verfahrensleitung inne und war verpflichtet, bei Spruchreife der Akten unter Wahrung der Gehörsrechte des Gesuchstellers zu verfügen. Sodann legt das EDI nicht dar, inwiefern die Praxisänderung als Folge des am 27. März 2006 ergangenen <ref-ruling> zur Verlängerung des Verfahrens um weitere mehr als 19 Monate im Zeitpunkt der Erhebung der Rechtsverzögerungsbeschwerde am 1. November 2007 beigetragen hatte. Schliesslich kann entgegen der Auffassung der Vorinstanz dieses Vorgehen nicht als rechtsmissbräuchlich ("wider besseres Wissen") bezeichnet werden, selbst wenn in diesem Zeitpunkt mit einem baldigen materiellen Entscheid zu rechnen war. Der Gesuchsteller konnte nach Art. 46a und Art. 50 VwVG in Verbindung mit <ref-law> jederzeit Rechtsverzögerungsbeschwerde erheben (E. 1.2.1).
5.2.3 Das EDI hat aufgrund der langen Dauer der Behandlung des Gesuchs um Anerkennung der Gleichwertigkeit der Weiterbildung zum Spezialisten für labormedizinische Analytik für den Facharzttitel FAMH im Bereich medizinische Genetik zur Rechtsverzögerungsbeschwerde begründeten Anlass gegeben. Nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> hat daher der Beschwerdeführer Anspruch auf eine Parteientschädigung für das gegenstandslos gewordene Verfahren. Von einer Entschädigung kann nicht abgesehen werden, da nicht von verhältnismässig geringen Kosten im Sinne von <ref-law> gesprochen werden kann (E. 4). Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers hat im vorinstanzlichen Verfahren keine Kostennote eingereicht. Die Parteientschädigung ist daher nach Art. 14 Abs. 2 zweiter Satz VGKE auf Grund der Akten festzusetzen. Die in diesem Verfahren eingereichte Honorarnote stellt eine nicht vom vorinstanzlichen Entscheid veranlasste neue Tatsache im Sinne von <ref-law> dar und hat demzufolge unbeachtet zu bleiben. Die Vorinstanz wird somit die Parteientschädigung für das gegenstandslos gewordene Rechtsverzögerungsbeschwerdeverfahren nach Massgabe von Art. 14 Abs. 2 zweiter Satz VGKE festzusetzen haben. In diesem Sinne ist die Beschwerde begründet.
6. Dem EDI dürfen als unterliegender Partei keine Gerichtskosten auferlegt werden (<ref-law>). Hingegen hat es dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Beschwerde wird Dispositiv-Ziffer 3 des Abschreibungsentscheids vom 8. April 2008 aufgehoben. Die Sache wird an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen, damit es im Sinne von E. 5.2.3 die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren festsetze.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das EDI hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. September 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler