Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen das Urteil vom 6. Mai 2010 des Obergerichts des Kantons Solothurn, das auf einen Rekurs des Beschwerdeführers gegen einen definitiven Rechtsöffnungsentscheid (Streitwert Fr. 300.--) nicht eingetreten ist, den Rekurs betreffend die unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen, dem Beschwerdeführer auch für das obergerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege verweigert und diesem eine Gebühr von Fr. 100.-- auferlegt hat,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Entscheid des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht erwog, wegen des Fr. 1'000.-- nicht übersteigenden Streitwertes stehe der Rekurs gegen den Rechtsöffnungsentscheid nicht offen (<ref-law>/SO), die Aussichtslosigkeit des Rekurses schliesse die unentgeltliche Rechtspflege aus, auch die erstinstanzliche Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit sei nicht zu beanstanden, weil der Beschwerdeführer gegenüber der beantragten Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für Verfahrenskosten von Fr. 300.-- keine zulässigen Einreden (<ref-law>) erhoben habe,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise auf die entscheidenden Erwägungen des Obergerichts eingeht,
dass er erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand dieser Erwägungen aufzeigt, inwiefern das Urteil des Obergerichts vom 6. Mai 2010 verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Verfassungsbeschwerde abzuweisen ist (<ref-law>),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 150.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und Obergericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Mai 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann