Sachverhalt:
A.
Der 1967 geborene I._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und wohnt in Kosovo. Mit Schreiben vom 8. Juni 2010 (Eingang: 17. Juni 2010) ersuchte er bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) um Rückvergütung der von ihm in den Zeiträumen 1989/1990 und 1995 bis 2000 geleisteten AHV-Beiträge. Der entsprechende Formularantrag datiert vom 12. Juni 2010 und ging am 23. Juni 2010 bei der SAK ein. Darin bestätigte er, dass er und alle seine Familienangehörigen die Schweiz definitiv verlassen hätten. Gemäss Bestätigung der früheren Wohnsitzgemeinde X._ vom 25. Oktober 2010 reiste er am 15. Juli 2000 nach Kosovo aus. Am 22. Dezember 2010 verfügte die SAK einen Rückvergütungsbetrag von Fr. 22'163.50. Die dagegen erhobene Einsprache mit dem Antrag auf einen höheren Rückvergütungsbetrag wies sie mit Einspracheentscheid vom 20. September 2011 ab.
B.
Das Bundesverwaltungsgericht hiess die dagegen erhobene Beschwerde insoweit gut, als es den Einspracheentscheid vom 20. September 2011 aufhob; im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 19. November 2012). In der Begründung führte es aus, dass das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen auf kosovarische Staatsangehörige weiter anwendbar sei und daher kein Rückvergütungsanspruch bestehe.
C.
Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 19. November 2012 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 20. September 2011 zu bestätigen.
Das Bundesgericht setzte I._ auf dem internationalen Rechtshilfeweg eine Frist zur Bezeichnung eines Zustelldomizils und gleichzeitig zur Vernehmlassung. Der Empfang dieses Schreibens datiert vom 8. Mai 2013. Die gesetzte Frist von 30 Tagen lief ungenutzt ab.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliesst auf Gutheissung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist - wozu auch Unvollständigkeit gehört (Urteil 9C_395/2009 vom 16. März 2010 E. 2.4) - oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
2.1. <ref-law> sieht vor, dass Ausländern, die ihren Wohnsitz im Ausland haben und mit deren Heimatstaat keine zwischenstaatliche Vereinbarung besteht, sowie ihren Hinterlassenen die gemäss den Artikeln 5, 6, 8, 10 oder 13 bezahlten Beiträge rückvergütet werden können. Der Bundesrat regelt die Einzelheiten, insbesondere das Ausmass der Rückvergütung.
2.2. Gemäss Art. 1 Abs. 1 der bundesrätlichen Verordnung vom 29. November 1995 über die Rückvergütung der von Ausländern an die Alters- und Hinterlassenenversicherung bezahlten Beiträge (RV-AHV; SR 831.131.12) können Ausländer, mit deren Heimatstaat keine zwischenstaatliche Vereinbarung besteht, sowie ihre Hinterlassenen die der Alters- und Hinterlassenenversicherung entrichteten Beiträge zurückfordern, sofern diese gesamthaft während mindestens eines vollen Jahres geleistet worden sind und keinen Rentenanspruch begründen. Massgebend ist die Staatsangehörigkeit im Zeitpunkt der Rückforderung (Abs. 2).
<ref-law> normiert, dass die Beiträge zurückgefordert werden können, sobald die Person aller Voraussicht nach endgültig aus der Versicherung ausgeschieden ist und sowohl sie selber als auch die Ehefrau oder der Ehemann und ihre noch nicht 25-jährigen Kinder nicht mehr in der Schweiz wohnen.
3.
Wie das Bundesgericht in <ref-ruling> entschieden hat, ist das Abkommen vom 8. Juni 1962 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der ehemaligen (Sozialistischen) Föderativen Volksrepublik Jugoslawien über Sozialversicherung (SR 0.831.109.818.1) ab 1. April 2010 nicht weiter auf kosovarische Staatsangehörige anzuwenden. Dem Urteil lag der Fall eines 1977 geborenen kosovarischen Staatsangehörigen mit Wohnsitz in Kosovo zu Grunde, dessen Gesuch auf Rückvergütung der AHV-Beiträge das Bundesverwaltungsgericht unter Hinweis auf die Weiteranwendung des Sozialversicherungsabkommens abgewiesen hatte.
4.
Der vorliegende Fall präsentiert sich nicht anders: Der Beschwerdegegner hat in seinem Antrag auf Rückvergütung von AHV-Beiträgen angegeben, er sei kosovarischer Staatsangehöriger. Die Frage nach einer Doppelbürgerschaft hat er explizit verneint; dies auch bezüglich seiner Ehefrau. Abgesehen davon hat das Bundesgericht einen Automatismus oder den Grundsatz, dass Personen aus dem Kosovo neben der Staatsangehörigkeit des Kosovos auch die serbische Staatsangehörigkeit besitzen, wie es im Entscheid C-4828/2010 des Bundesverwaltungsgerichts vom 7. März 2011 vertreten wird, verworfen (<ref-ruling> E. 12.2 S. 285). Bei dieser Sachlage ist der Beschwerdegegner aller Voraussicht nach endgültig aus der AHV ausgeschieden. Er könnte (dereinst) nur dann eine Altersrente beanspruchen, wenn und solange er seinen Wohnsitz und gewöhnlichen Aufenthalt in der Schweiz hätte, da mit seinem Heimatstaat der Republik Kosovo seit April 2010 keine anderslautende zwischenstaatliche Vereinbarung mehr besteht (<ref-law>). Durch seine definitive Ausreise aus der Schweiz und der Wohnsitznahme im Ausland hat der Beschwerdegegner keine Anwartschaft mehr auf eine Altersrente. Dass auch die weiteren Anspruchsvoraussetzungen (vgl. E. 2.2 hievor) erfüllt sind, ist unbestritten, weshalb der Beschwerdegegner einen Anspruch auf Rückvergütung der AHV-Beiträge hat.
Indem die SAK am 22. Dezember 2010 einen Rückvergütungsbetrag von Fr. 22'163.50 zugesprochen hat, hat sie in grundsätzlicher Hinsicht korrekt gehandelt. Mit Einspracheentscheid vom 20. September 2011 hat sie an der Rückvergütung - auch in masslicher Hinsicht - festgehalten. Die dagegen beim Bundesverwaltungsgericht eingereichte Beschwerde hat hauptsächlich den Umfang der Rückvergütung zum Inhalt. Darüber hat die Vorinstanz, weil sie zu Unrecht einen Rückvergütungsanspruch verneint hat, nicht befunden. Um dem Beschwerdegegner den ordentlichen Instanzenweg nicht zu verkürzen, ist die Sache zu neuer Entscheidung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen.
5.
Eine Rückweisung zu erneutem Entscheid mit offenem Ausgang gilt als Obsiegen (Urteil 2C_60/2011 vom 12. Mai 2011 E. 2.4 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 4 S. 80 betreffend das öffentliche Recht). Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens ist der Beschwerdegegner kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 19. November 2012 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. September 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Helfenstein