Faits:
A. Par décision du 4 décembre 2008, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: OCAI) a rejeté la demande de prestations de B._, au motif qu'il disposait d'une capacité entière de travail dans une activité adaptée.
B. Le 5 janvier 2009, l'assuré a formé un recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève. Au cours de l'échange d'écritures ordonné par le Tribunal, divers rapports médicaux ont été versés au dossier. Par jugement du 15 juin 2009, expédié le 26 juin suivant, le Tribunal a débouté B._. Entre-temps, le 18 juin 2009, l'assuré a produit de nouvelles pièces médicales, qui lui ont été retournées le 23 juin 2009; le Tribunal l'a informé que son dossier avait été délibéré le 15 juin 2009 et qu'un arrêt lui serait notifié prochainement.
C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, dont il demande l'annulation. Il conclut à titre principal au versement d'une rente entière d'invalidité et subsidiairement au versement d'une demi-rente.
Le Tribunal fédéral a renoncé à procéder à un échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. Le recourant reproche aux premiers juges de ne pas avoir tenu compte des nouvelles pièces qu'il leur a envoyées le 18 juin 2009, alors que les parties n'avaient pas été informées de la clôture de la procédure d'instruction. Il y voit à la fois une violation de la maxime d'office et une violation de son droit d'être entendu.
1.1 En l'espèce, les documents en cause ont été transmis à la juridiction cantonale à une date à laquelle celle-ci avait déjà rendu le jugement entrepris, qui n'a été envoyé aux parties qu'une dizaine de jours après son prononcé le 15 juin 2009. On ne voit donc pas en quoi les premiers juges auraient ici porté atteinte au principe inquisitoire, prévu à l'art. 61 let. c LPGA pour la procédure cantonale, en ne prenant pas en considération des pièces médicales dont ils ne disposaient pas au moment de statuer. Le recourant ne prétend d'ailleurs pas que les premiers juges auraient administré les preuves ou mené leur instruction de manière incomplète. C'est en vain qu'il se réfère en outre à l'arrêt I 627/04 du 23 mai 2005 qui porte sur une situation différente de la sienne, puisque les nouvelles pièces alors en cause étaient parvenues à l'autorité judiciaire près de vingt jours avant qu'elle ne rende son jugement.
1.1 En l'espèce, les documents en cause ont été transmis à la juridiction cantonale à une date à laquelle celle-ci avait déjà rendu le jugement entrepris, qui n'a été envoyé aux parties qu'une dizaine de jours après son prononcé le 15 juin 2009. On ne voit donc pas en quoi les premiers juges auraient ici porté atteinte au principe inquisitoire, prévu à l'art. 61 let. c LPGA pour la procédure cantonale, en ne prenant pas en considération des pièces médicales dont ils ne disposaient pas au moment de statuer. Le recourant ne prétend d'ailleurs pas que les premiers juges auraient administré les preuves ou mené leur instruction de manière incomplète. C'est en vain qu'il se réfère en outre à l'arrêt I 627/04 du 23 mai 2005 qui porte sur une situation différente de la sienne, puisque les nouvelles pièces alors en cause étaient parvenues à l'autorité judiciaire près de vingt jours avant qu'elle ne rende son jugement.
1.2 1.2.1 En ce qui concerne ensuite le grief tiré de la violation du droit d'être entendu, il paraît douteux qu'il soit suffisamment motivé. Le recourant n'invoque aucune disposition de droit cantonal ou fédéral qui aurait obligé les premiers juges à lui annoncer expressément et formellement la clôture de la procédure d'instruction; il ne cite pas davantage une jurisprudence qui déduirait une telle obligation du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. La question de la recevabilité du grief peut toutefois demeurer ouverte dès lors qu'il est, quoi qu'il en soit, mal fondé.
1.2.2 L'art. 29 al. 2 Cst. garantit aux parties à une procédure judiciaire ou administrative le droit d'être entendues. La jurisprudence en a déduit, en particulier, le droit pour le justiciable de s'expliquer avant qu'une décision soit prise à son détriment, celui de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision, celui d'avoir accès au dossier, celui de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 370 et les références). Les exigences du droit d'être entendu ne sont pas respectées si le tribunal communique une prise de position (ou une pièce nouvelle) à une partie, mais lui signifie dans le même temps que l'échange d'écritures est terminé, privant ainsi la partie de toute possibilité de présenter ses observations (cf. <ref-ruling> consid. 3.3.2 p. 46 et les références). Lorsque le droit de procédure applicable prévoit qu'il n'y a en principe qu'un seul échange d'écritures - comme c'est le cas devant le Tribunal fédéral (cf. art. 102 al. 1 et 3 LTF) -, l'autorité peut se limiter, dans un premier temps, à communiquer la prise de position à titre d'information, sans avis formel de la possibilité de répliquer; pour autant que le juge n'ait pas clôturé l'échange d'écritures, la partie est ainsi mise en situation de faire ou non usage de son droit de réplique; si elle s'en abstient, elle est censée y avoir renoncé après l'écoulement d'un délai raisonnable (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 99 s.; <ref-ruling> consid. 3.3.3 s. p. 46 s.; voir également arrêt 2C_688/2007 du 11 février 2008, consid. 2.2). Au terme de ce délai, le juge peut statuer sans avis formel de clôture de l'échange d'écritures ou de l'instruction, sous réserve d'une disposition de procédure prévoyant expressément une telle obligation.
1.2.3 En l'espèce, après avoir entendu les parties (le 16 mars 2009), la juridiction cantonale a accordé un délai jusqu'au 23 mars 2009 au recourant pour produire les pièces médicales dont il faisait état dans son recours, ce qu'il a fait le 18 mars 2009. Les déterminations que l'intimé a déposées au sujet de ces pièces ont été communiquées au recourant par courrier du 23 avril 2009. Sans prendre position par rapport à la lettre de l'intimé, le recourant a encore fait verser au dossier une décision de l'assurance-chômage, le 5 mai 2009, que le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales a transmise à l'intimé, avant de rendre son jugement le 15 juin 2009. Dans ces circonstances, même si la juridiction cantonale n'a pas formellement informé les parties que la procédure d'instruction était close, celles-ci ont eu la possibilité de réagir aux envois et déterminations de l'autre. Ainsi, si le recourant entendait réagir à la prise de position de l'intimé du 20 avril 2009, en produisant, par exemple, de nouvelles pièces médicales, il avait toute latitude pour ce faire avant le 15 juin 2009. Compte tenu du délai écoulé entre le dernier courrier adressé par l'autorité cantonale de recours à B._ et la date à laquelle elle a statué, elle pouvait considérer que le recourant avait renoncé à dupliquer ou à produire de nouveaux moyens de preuve. Le grief tiré de la violation du droit d'être entendu soulevé par le recourant doit dès lors être également rejeté.
1.2.4 On ajoutera que les pièces produites le 18 juin 2009 par le recourant concernent l'évolution de son état de santé en mai et juin 2009. Dès lors qu'ils portent sur des circonstances postérieures à la période déterminante sous l'angle des faits pertinents pour l'examen juridictionnnel en cas de recours (s'étendant jusqu'à la décision du 4 décembre 2008), ces documents n'auraient de toute façon pas pu être pris en considération par la juridiction cantonale (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 243, 129 V 1 consid. 1.2 p. 4, 127 V 466 consid. 1 p. 467, 116 V 246 consid. 1a p. 248).
2. Pour le surplus, les conclusions du recourant portant sur l'allocation d'une rente d'invalidité ne reposent sur aucune motivation et ne remplissent dès lors pas les conditions de l'<ref-law>, de sorte qu'elles sont irrecevables.
3. Vu l'issue de la procédure, le recourant doit supporter les frais de justice y afférents, sans pouvoir prétendre une indemnité à titre de dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans le mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 décembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless