Faits:
A. A._ est née à Genève, le 6 mars 2004, de la relation hors mariage entre dame X._, née le 13 décembre 1971, et Y._, né le 7 juillet 1969, qui a reconnu sa paternité par acte d'état civil du 1er décembre 2003.
Sur requête des parents qui ont décidé de ne plus poursuivre la vie commune, le Tribunal tutélaire du canton de Genève a notamment, par ordonnance du 6 octobre 2006, attribué à ceux-ci l'autorité parentale conjointe sur leur fille, dit que la garde de l'enfant était confiée à la mère en cas de dissolution du ménage et fixé les modalités du droit de visite du père ainsi que la contribution d'entretien mise à sa charge.
Le père s'est constitué un nouveau domicile à B._ (GE) à la fin du mois de novembre 2006. Les parents travaillent tous deux dans cette commune, où ils résidaient lorsqu'ils vivaient ensemble et où l'enfant a fréquenté une crèche jusqu'en septembre 2007. Depuis cette date, la fillette a été scolarisée en France voisine par sa mère, dans une école privée située à proximité de B._.
Par ordonnance du 5 octobre 2007, le Tribunal tutélaire a fait droit à une nouvelle demande des parents tendant au prononcé d'une garde alternée, à raison d'une semaine sur deux chez l'un et chez l'autre, et de la moitié des vacances scolaires. Cette autorité s'est en particulier fondée sur un rapport du Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) du 27 septembre 2007, préconisant la ratification de la convention déposée par les parents qui avaient, d'ores et déjà, instauré une garde alternée de fait.
En mars 2008, la mère s'est établie avec l'enfant chez son compagnon en France voisine. A teneur d'une attestation de l'Office cantonal de la population, elle est toutefois officiellement domiciliée avec sa fille chez ses parents, à Z._ (GE).
B. Par requête du 8 février 2008 adressée à l'Autorité de surveillance des tutelles du canton de Genève, la mère a demandé le retrait, à son seul profit, de l'autorité parentale sur l'enfant détenue par le père, ainsi que l'attribution de la garde, un droit de visite usuel étant réservé au père. Celui-ci s'est opposé à ces conclusions et a sollicité, reconventionnellement, l'attribution des droits parentaux en sa faveur, un droit de visite usuel étant réservé à la mère.
Aux dires des parties devant cette autorité ainsi qu'à teneur d'un nouveau rapport du SPMi du 5 mai 2008, le système de garde alternée a cependant continué de bien fonctionner.
Par arrêt du 19 août 2008, l'Autorité de surveillance des tutelles a déclaré irrecevables les conclusions des parties tendant à l'attribution en leur faveur respective de la garde de l'enfant et à la réglementation du droit de visite, a retiré à la mère l'autorité parentale sur la fillette et a transmis le dossier au Tribunal tutélaire pour qu'il statue sur le droit de garde et sur les relations personnelles.
C. La mère interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 19 août 2008, dont elle demande l'annulation. Elle conclut principalement à l'attribution à son seul profit de l'autorité parentale, celle octroyée au père lui étant retirée, et au maintien de la garde alternée. Subsidiairement, elle demande la transmission de la cause au Tribunal tutélaire pour qu'il statue sur les modalités de la garde de l'enfant ainsi que sur le droit de visite du père.
L'intimé propose le rejet du recours. Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
D. Par ordonnance du 16 octobre 2008, la présidente de la cour de céans a déclaré la requête d'effet suspensif sans objet, en application de l'<ref-law>.
E. La présente cause a fait l'objet d'une délibération publique le 27 août 2009.

Considérant en droit:
1. 1.1 Déposé en temps utile (<ref-law>) et en la forme prévue par la loi (<ref-law>), contre une décision finale modifiant l'attribution de l'autorité parentale prise en application de l'<ref-law>, soit dans une matière civile (<ref-law>), par une autorité statuant en dernière (unique) instance cantonale (<ref-law> et 35 LOJ/GE [RSG E 2 05]), le présent recours est en principe recevable.
1.2 Le chef de conclusions de la recourante tendant au maintien de la garde alternée est irrecevable, faute de décision cantonale à ce sujet.
1.3 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), à l'<ref-law>, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 104/105). Le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant, les exigences de motivation correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (<ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254; <ref-ruling> consid. 6 p. 397).
1.4 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - à savoir arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>), ce qu'il appartient au recourant de démontrer (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 61). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>); il en est ainsi même lorsque la maxime inquisitoire est applicable (<ref-ruling> consid. 1c p. 231/232 [ad art. 55 al. 1 let. c OJ]).
2. Après avoir estimé que les conditions nécessaires à l'exercice en commun de l'autorité parentale n'était plus réunies, la cour cantonale a examiné quel parent pouvait la conserver. Se fondant sur le rapport du SPMi du 5 mai 2008, elle a considéré que chacun d'eux présentait des compétences comparables en matière éducative. Ils avaient l'un et l'autre pris des dispositions pour réduire ou aménager leur vie professionnelle, le père bénéficiant toutefois, comme indépendant, d'un peu plus de temps libre que la mère et pouvant en outre adapter ses horaires en fonction des besoins de l'enfant. Enfin, le choix du parent détenteur de l'autorité parentale ne modifierait pas le lieu de résidence principal de la fillette, celle-ci ayant vécu avec ses deux parents avant qu'une garde alternée ne soit mise en place, étant relevé que l'enfant disposait dans les deux logements de sa propre chambre.
Il ressortait cependant des faits de la cause que la mère avait pris des décisions unilatérales concernant l'enfant. Elle l'avait en effet retirée de la crèche pour la scolariser en France à la fin du mois d'août 2007, à l'insu du père; de plus, elle avait indiqué à celui-ci que la fillette était domiciliée à Z._ (GE), depuis le mois de mars 2008, alors qu'en réalité, l'enfant avait emménagé avec sa mère au domicile français de son nouveau compagnon. Le père n'avait quant à lui jamais pris de décision unilatéralement au sujet de sa fille; certes, il avait parfois été rigide dans la mise en oeuvre de la garde partagée, mais sans outrepasser ses droits. De surcroît, il apparaissait davan-tage en mesure de favoriser les contacts de l'enfant avec la mère que l'inverse, puisqu'il avait respecté les accords passés et souscrit à la poursuite de la garde partagée; la mère avait pour sa part modifié plusieurs fois ses conclusions en cours de procédure, en réclamant parfois la garde exclusive pour elle-même avec un droit de visite minimum pour le père ou, au contraire, en admettant la poursuite de la garde partagée. Il convenait ainsi de retirer l'autorité parentale à la mère, qui s'était révélée peu apte à coopérer de manière positive avec le père dans le cadre de l'autorité parentale conjointe.
L'autorité cantonale a par ailleurs déclaré irrecevables les conclusions des parties relatives à la garde et au droit de visite, considérant que ces questions étaient de la compétence du Tribunal tutélaire, auquel il convenait de transmettre le dossier pour qu'il statue à ce sujet.
3. La recourante se plaint d'arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves, en relation avec l'application des art. 298a al. 2, 133 et 134 CC. Elle conteste avoir inscrit l'enfant dans une école en France à l'insu du père, pour des motifs égoïstes, avoir menti à celui-ci sur le lieu de domicile de la fillette et avoir refusé à plusieurs reprises de collaborer avec lui en prenant unilatéralement des décisions concernant leur fille. Elle reproche en outre à l'autorité cantonale d'avoir retenu que l'intimé avait toujours eu un comportement adéquat envers l'enfant et qu'il serait davantage qu'elle-même en mesure de favoriser les contacts avec l'autre parent.
3.1 En ce qui concerne l'appréciation des preuves et l'établissement des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en ce domaine aux juridictions cantonales (<ref-ruling> consid. 4b p. 40; <ref-ruling> consid. 9 p. 399 et les citations). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst. - en relation avec les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF -, que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raisons objectives, de tenir compte de preuves pertinentes ou s'il a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables; encore faut-il que la décision attaquée en soit viciée dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62).
3.2 Autant que la recourante se réfère à des allégations nouvelles ou qui contredisent les faits retenus par l'autorité cantonale, sans exposer à cet égard une critique motivée conformément aux exigences légales et jurisprudentielles, ses arguments sont irrecevables. Il en va ainsi lorsqu'elle relate les circonstances et les motifs pour lesquels elle a inscrit sa fille dans une école en France à la rentrée 2007, de même que lorsqu'elle allègue qu'elle a consulté une thérapeute à ce propos, ou encore que l'intimé a assisté à la rentrée scolaire de l'enfant. En outre, la recourante ne conteste pas avoir procédé seule à l'inscription scolaire de l'enfant ou à son changement de domicile, de sorte que ses critiques sur la connaissance ou non de ces faits par le père sont sans incidence sur les constatations de l'arrêt attaqué selon lesquelles elle a pris ces décisions de façon unilatérale sans l'accord de l'intimé. Aussi, il ne saurait être reproché à l'autorité cantonale d'avoir fait preuve d'arbitraire sur ce point. Pour le surplus, son argumentation est purement appellatoire et ne saurait dès lors être prise en compte. Le grief tiré de l'art. 9 Cst. est ainsi infondé dans la faible mesure de sa recevabilité.
4. La recourante se plaint d'une violation des art. 133 al. 2 et 134 CC, en relation avec l'<ref-law>. Elle reproche en substance à l'Autorité de surveillance de ne pas avoir pris en considération les critères pertinents pour statuer sur l'attribution de l'autorité parentale, la décision étant motivée uniquement par une volonté de la sanctionner pour ses prétendues fautes dans l'exercice de l'autorité parentale commune. Les décisions prises pour l'enfant l'avaient été pour le bien de cette dernière. En outre, c'était le père et non elle qui s'était montré peu apte à coopérer dans le cadre de l'exercice de l'autorité parentale conjointe. Elle fait aussi grief à l'autorité cantonale d'avoir mal apprécié l'ensemble des circonstances pour statuer sur l'attribution de l'autorité parentale et de ne pas avoir pris en considération le bien de l'enfant.
4.1 A la requête du père ou de la mère, de l'enfant ou de l'autorité tutélaire, l'autorité tutélaire de surveillance modifie l'attribution de l'autorité parentale lorsque des faits nouveaux importants l'exigent pour le bien de l'enfant (<ref-law>). Cette disposition correspond à l'<ref-law> (Message du 15 novembre 1995 concernant la révision du code civil suisse, in FF 1996 p. 1 ss, n° 244.41 p. 168 [ci-après: Message]). Toute modification dans l'attribution de l'autorité parentale suppose ainsi que la nouvelle réglementation soit requise dans l'intérêt de l'enfant en raison de la survenance de faits nouveaux, considérations qui valent aussi pour la suppression de l'autorité parentale conjointe. Cependant, comme l'intérêt de l'enfant commande une certaine stabilité dans ses relations avec ses père et mère, chaque divergence des parents concernant l'enfant ne constitue pas une modification essentielle au sens de l'<ref-law>, respec-tivement de l'<ref-law>. Les conditions d'une suppression de l'autorité parentale conjointe impliquent surtout que les fondements essentiels de la responsabilité commune des parents n'existent plus et que, dans l'intérêt de l'enfant, l'autorité parentale doit être attribuée à l'un d'entre eux seulement (Message, n° 233.63 p. 135). Tel est le cas lorsque la capacité et la volonté des parents de coopérer n'existe plus (arrêts 5A_616/2007 du 23 avril 2008 consid. 7.1 et les références citées; 5P.212/2002 du 12 novembre 2002 consid. 2.2.3, publié in FamPra.ch 2003 p. 449; cf. aussi arrêt 5C.32/2007 du 10 mai 2007 consid. 4, publié in FamPra.ch 2007 p. 946). Le dépôt par un parent ou par l'enfant lui-même d'une requête en modification de l'autorité parentale conjointe au profit d'une attribution exclusive en faveur de l'un d'eux constitue en soi une indication que l'autorité parentale conjointe ne répond plus à l'intérêt de l'enfant (Ingeborg Schwenzer, Commentaire bâlois, 3e éd., n° 13 ad <ref-law>). Une telle requête révèle en outre la perte de l'aptitude des parents à coopérer (Annatina Wirz, Famkommentar Scheidung, n° 15 ad <ref-law> et n° 20 ad <ref-law>). Si les parents ne sont plus en mesure d'exercer en commun l'autorité parentale, le bien de l'enfant commande alors une nouvelle réglementation de celle-ci (Annatina Wirz, op. cit., n° 21 ad <ref-law>).
Savoir si des faits nouveaux dans le sens sus-décrit justifient une modification de l'autorité parentale s'examine au vu des circonstances de l'espèce. Le juge établit d'office les faits (<ref-law>). La maxime inquisitoire ne dispense pas pour autant les parties de leur devoir d'allégation, celles-ci étant tenues de collaborer de manière active dans la procédure et d'étayer leurs propres thèses, soit notamment de renseigner le juge sur les faits de la cause (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 412).
4.2 En l'occurrence, c'est à juste titre que l'autorité cantonale a retenu que les parties ne s'accordaient plus pour exercer l'autorité parentale conjointe et qu'elles n'étaient plus en mesure de dépasser leurs divergences pour prendre ensemble les décisions fondamentales relatives à l'intérêt de l'enfant. Outre le fait que chacune d'elles a conclu à l'attribution exclusive de l'autorité parentale, ce qui constitue déjà en soi une indication claire qu'elles ont perdu la capacité et la volonté de coopérer, ce manque de collaboration a été constaté par le SPMi dans son rapport du 5 mai 2008, et résulte encore des décisions unilatérales prises par la mère au sujet du lieu de scolarisation ainsi que de domicile de l'enfant.
La recourante se livre à une longue énumération de faits qui ne ressortent pas de l'arrêt querellé, tels certains refus du père de modifier l'organisation prévue pour l'enfant pendant qu'il en avait la garde ou de permettre à la mère de participer à certaines manifestations scolaires, ou encore de s'occuper de l'enfant quand il n'était pas en mesure de le faire, pour tenter de démontrer que c'est l'intimé qui aurait pris des décisions unilatérales relatives à l'enfant et aurait ainsi failli à son devoir de coopérer. Ces affirmations, qui ne trouvent aucun appui dans la décision attaquée, sont nouvelles et, par conséquent, irrecevables (<ref-law>). De toute façon, elles ne font que confirmer que les parties ne sont plus capables de collaborer dans le cadre d'une autorité parentale conjointe.
Autant que la recourante cherche à prouver que sa décision de scolariser la fillette en France a été prise dans l'intérêt de celle-ci et non, contrairement à ce que relève l'autorité cantonale, dans son intérêt propre, son grief d'appréciation arbitraire des preuves n'apparaît pas pertinent. En effet, il est établi qu'elle a transgressé les règles de l'autorité parentale conjointe sur des questions importantes, comme la scolarisation d'un enfant, qui nécessite l'accord des deux parents. Dans cette mesure, il est sans importance que la décision ait été conforme à l'intérêt de l'enfant.
Au demeurant, la recourante ne critique pas le principe de la dissolution de l'autorité parentale conjointe, mais se borne à soutenir que l'autorité cantonale a violé les art. 298a al. 2, 133 al. 2 et 134 CC en attribuant l'autorité parentale au père. Il convient dès lors d'examiner cette question.
Au demeurant, la recourante ne critique pas le principe de la dissolution de l'autorité parentale conjointe, mais se borne à soutenir que l'autorité cantonale a violé les art. 298a al. 2, 133 al. 2 et 134 CC en attribuant l'autorité parentale au père. Il convient dès lors d'examiner cette question.
4.3 4.3.1 Une modification de l'autorité parentale conjointe au sens de l'<ref-law> n'implique pas un simple renvoi à la règle de l'<ref-law>, soit un retour de l'autorité parentale à la mère non mariée avec le père. La nouvelle réglementation doit se fonder sur le bien de l'enfant; la décision sera ainsi prise en application des mêmes critères que ceux qui régissent l'attribution de l'autorité parentale en cas de divorce des parents tels qu'ils découlent de l'<ref-law> (arrêts 5A_375/2008 du 11 août 2008 consid. 2; 5C.34/2006 du 27 juin 2006 consid. 1.2, publié in FamPra.ch 2006 p. 973 et les références citées; voir aussi Wirz/Eggli, FamKommentar Scheidung, n° 23 ad <ref-law>).
Le principe fondamental pour le choix du parent auquel est attribué l'autorité parentale est l'intérêt de l'enfant, celui des parents étant relégué à l'arrière-plan. Dans chaque cas, l'attribution doit se faire de manière à répondre le mieux possible aux besoins de l'enfant, le juge devant tenir compte de toutes les circonstances importantes pour le bien de celui-ci (<ref-law>). Au nombre des critères essentiels entrent en ligne de compte les relations personnelles entre les deux parents et l'enfant, les capacités éducatives respectives des parents, leur aptitude à prendre soin de l'enfant personnellement et à s'en occuper ainsi qu'à favoriser les contacts avec l'autre parent; il faut choisir la solution qui, au regard des données de l'espèce, est la mieux à même d'assurer à l'enfant la stabilité des relations nécessaires à un développement harmonieux des points de vue affectif, psychique, moral et intellectuel. Si le juge ne peut se contenter d'attribuer l'enfant au parent qui en a eu la garde pendant la procédure, ce critère jouit d'un poids particulier lorsque les capacités d'éducation et de soin des parents sont similaires (<ref-ruling> consid. 3 p. 354/355; <ref-ruling> consid. 4a p. 209, 317 consid. 2 p. 319; <ref-ruling> consid. 5 p. 203/204; <ref-ruling> consid. 3 p. 382/383; arrêts 5C.212/2005 du 25 janvier 2006 consid. 4.2, publié in FamPra.ch 2006 p. 753 et 5C.238/2005 du 2 novembre 2005 consid. 2.1, publié in FamPra.ch 2006 p. 193).
Le juge appelé à se prononcer sur le fond qui, par son expérience en la matière, connaît mieux les parties et le milieu dans lequel l'enfant est amené à vivre, dispose d'un large pouvoir d'appréciation. Le Tribunal fédéral n'intervient que lorsque le juge, sans aucun motif, a écarté des critères essentiels pour la décision sur l'attribution de l'enfant ou, à l'inverse, s'est fondé sur des éléments dépourvus d'importance au regard du bien de l'enfant ou contrevenant aux principes du droit fédéral (<ref-ruling> consid. 2 p. 355; arrêts 5C.212/2005 et 5C.238/2005 susmentionnés).
4.3.2 Autant que la recourante cherche à démontrer que le père s'est révélé peu coopérant dans l'exercice de l'autorité parentale, son argumentation ne correspond pas aux exigences de motivation requises; de surcroît, ses critiques n'apparaissent pas décisives pour l'issue du litige, l'autorité cantonale ayant retenu, sans que la recourante n'établisse d'arbitraire sur ce point, que l'intimé, bien qu'il se soit parfois montré rigide dans l'application de la garde partagée, n'a jamais outrepassé ses droits.
L'autorité cantonale a motivé en partie son refus d'attribuer l'autorité parentale à la mère en raison du peu d'aptitude de celle-ci à collaborer avec le père, compte tenu des décisions relatives au lieu de scolarisation et de domicile de l'enfant prises unilatéralement. La pertinence d'un tel critère dans la décision d'attribution exclusive de l'autorité parentale, qui est usuellement examiné dans les décisions d'octroi d'une autorité parentale conjointe ou de suppression de celle-ci, peut rester indécise dès lors que l'autorité cantonale s'est fondée sur d'autres éléments pour apprécier le bien de l'enfant, tels que développés par la jurisprudence dans le cadre de l'application de l'<ref-law> (cf. supra, consid. 4.3.1). Elle a ainsi procédé à l'examen des capacités éducatives des parents, qu'elle a jugées équivalentes, de leur disponibilité pour l'enfant, considérant que le père l'était un peu plus que la mère, de leur faculté de favoriser les contacts de l'enfant avec l'autre parent, retenant que le père avait cette faculté et moins la mère, ainsi que des conditions de vie de l'enfant parmi lesquelles le logement, considéré comme équivalent chez les deux parents. L'autorité cantonale a ainsi passé en revue les divers critères pertinents pour l'examen du bien de l'enfant; dans cette mesure il ne saurait lui être reproché d'avoir contrevenu au droit fédéral.
L'autorité cantonale a constaté que les parents avaient des capacités éducatives équivalentes et s'occupaient tous deux bien de l'enfant, qui entretenait de bonnes relations avec chacun d'eux selon le rapport du SPMi, constatations que la recourante ne remet pas en cause. Elle conteste en revanche l'appréciation selon laquelle le père disposerait d'un peu plus de temps libre que la mère et serait susceptible, en sa qualité d'indépendant, de modifier ses horaires de travail en tout temps, selon les besoins de sa fille. Contrairement à ce qu'elle allègue, l'arrêt querellé a toutefois tenu compte du fait qu'elle avait réduit son temps de travail pour être disponible les mercredis. Pour étayer sa critique, la recourante fait valoir que le père travaille le samedi et fait garder l'enfant ce jour-là: ce faisant, elle invoque des faits nouveaux irrecevables (<ref-law>).
Quand elle affirme que le cadre de vie de la fillette est plus favorable chez elle que chez le père, au motif que celle-ci vit désormais dans une maison avec jardin et bénéficie de contacts familiaux avec la fille de son compagnon, elle allègue également des faits nouveaux, qui ne peuvent être pris en considération. Seraient-ils établis que ces faits seraient impropres à rendre insoutenable l'appréciation cantonale relative à l'équivalence du cadre de vie offert à l'enfant, qui dispose de sa propre chambre chez chacun de ses parents.
La recourante ne saurait par ailleurs se fonder sur la situation antérieure à l'instauration de l'autorité parentale conjointe pour réclamer, sous le couvert du critère de la stabilité, que les droits parentaux lui soient attribués, la modification de l'autorité parentale conjointe au sens de l'<ref-law> n'impliquant pas un simple renvoi à la règle de l'<ref-law>, soit un retour de l'autorité parentale à la mère non mariée avec le père (cf. supra, consid. 4.3.1). On peine à la suivre lorsqu'en relation avec ce même critère de la stabilité, elle reproche à l'autorité de surveillance de modifier le cadre scolaire de l'enfant au profit d'une nouvelle école enfantine à B._ - ce qui ne ressort pas de l'arrêt cantonal, qui relève simplement que l'école de B._ est prête à accueillir l'enfant dès la rentrée scolaire 2008 -, tout en déclarant qu'elle accepte volontiers que sa fille soit désormais à nouveau scolarisée en Suisse, l'école étant située en face de son lieu de travail. En tout état, un éventuel changement d'école de l'enfant en septembre 2008 constitue un fait nouveau irrecevable. La cour cantonale n'a pas non plus violé le droit fédéral en attribuant l'autorité parentale au père sans considération du jeune âge et du sexe de l'enfant. Il résulte en effet des constatations cantonales, en particulier du rapport du SPMi, que l'enfant vit bien le rythme hebdomadaire de la garde alternée instaurée en septembre 2007 déjà, de sorte qu'elle est habituée à recevoir soins et éducation tant de la part de son père que de sa mère et que la qualité des relations de l'enfant avec chacun de ses parents est bonne.
Le fait que la mère ait accepté au moment de la séparation du couple de partager l'autorité parentale, puis une garde alternée ne rend pas insoutenable l'appréciation de l'autorité cantonale selon laquelle le père est actuellement davantage en mesure de favoriser les contacts de l'enfant avec l'autre parent, motif pris que la mère a modifié plusieurs fois ses conclusions relatives à la garde de l'enfant, la réclamant à titre exclusif avec un droit de visite limité du père, motivation que la recourante ne discute pas. Dans la mesure où elle soutient que l'intimé aurait fait savoir qu'il s'opposait au maintien de la garde alternée et envisageait de ne lui accorder qu'un droit de visite limité, la recourante fait valoir des faits nouveaux irrecevables, étant au surplus rappelé que c'est elle qui a pris l'initiative de déposer devant l'autorité cantonale des conclusions en suppression de la garde alternée. Enfin, ses allégués relatifs à la réticence du père à maintenir des contacts téléphoniques entre l'enfant et elle pendant sa semaine de garde, ou encore concernant son refus de la laisser se rendre au carnaval de l'école, ne suffisent pas à établir que l'appréciation de l'autorité cantonale serait insoutenable s'agissant de la situation actuelle.
Dans ces conditions, l'Autorité de surveillance n'a pas abusé de son large pouvoir d'appréciation et, partant, n'a pas violé le droit fédéral en attribuant l'autorité parentale à l'intimé, compte tenu des critères de stabilité, de disponibilité et d'aptitude à favoriser les contacts entre l'enfant et l'autre parent.
5. Dans un autre moyen, la recourante reproche à l'Autorité de surveillance de ne pas avoir nommé de curateur à l'enfant comme le prévoit l'<ref-law>.
5.1 Le droit de la filiation ne comprend pas de disposition analogue à celle de l'<ref-law>, qui prévoit la possibilité de désigner un curateur à l'enfant aux fins de le représenter dans une procédure de divorce (arrêt 5C.80/2001 du 31 mai 2001 consid. 3, non publié in <ref-ruling>, publié in FamPra.ch 2001 p. 836). L'application de cette norme par analogie (question laissée ouverte s'agissant de la procédure en mesures protectrices de l'union conjugale dans l'arrêt 5P.139/2002 du 3 juin 2002 consid. 2; admise par une partie de la doctrine: Meier/Stettler, Droit de la filiation, vol. II, 3ème éd., n° 103 p. 59; Hegnauer, Grundriss des Kindesrechts, 5e éd., n. 27.24a, et prévue dans le projet de Code de procédure civile fédérale (CPC) en son art. 299 [in FF 2009 I p. 21 ss], avec pour conséquence l'abrogation de l'<ref-law>) est un point qui peut rester indécis dès lors que le grief doit être rejeté même en cas d'application de la norme par analogie, comme il sera exposé ci-après.
5.2 En l'occurrence, les juges n'ont certes pas examiné d'office la nécessité d'ordonner une curatelle comme le prescrit l'<ref-law>, ainsi qu'en témoigne le dossier, alors que les parties avaient déposé des conclusions divergentes en matière d'attribution de l'autorité parentale. Toutefois, l'Autorité de surveillance a invité le SPMi à rendre un rapport dont il ne ressort pas la nécessité de nommer un curateur à l'enfant. En outre, les parties ont ensuite déposé des conclusions écrites motivées sans pour autant requérir la nomination d'un curateur. Une telle représentation n'a dès lors pas été réclamée en instance cantonale. De plus, même devant le Tribunal fédéral, la recourante se borne à dénoncer l'absence d'examen de la nécessité d'une représentation, sans conclure formellement au prononcé d'une telle nomination et sans motiver son grief. Il ne ressort ainsi pas des faits de la cause qu'un curateur doive représenter l'enfant dans le cadre de la procédure, la seule circonstance d'un litige relatif à l'attribution de l'autorité parentale ne suffisant pas. Autant qu'il est recevable, le grief est ainsi infondé.
6. La recourante expose en outre que l'Autorité de surveillance, tout en lui restituant l'autorité parentale exclusive, aurait pu ordonner le maintien de la garde alternée. Elle prétend que c'est à tort que la juridiction cantonale s'est déclarée incompétente pour statuer sur cette question.
Le Tribunal fédéral a jugé que l'instauration d'une garde alternée s'inscrit dans le cadre de l'exercice conjoint de l'autorité parentale et, partant, suppose l'accord des deux parents (arrêts 5C.42/2001 du 18 mai 2001 consid. 3, publié in SJ 2001 I 408 consid. 3b in fine et les citations; 5P.173/2001 du 28 août 2001 consid. 7a, publié in FamPra.ch 2002 p. 163, 165; dans ce sens: Annatina Wirz, op. cit., n. 27 ad <ref-law>). Au demeurant, l'admissibilité d'une garde alternée doit être appréciée sous l'angle de l'intérêt de l'enfant et dépend, entre autres conditions, de la capacité de coopération des parents (SJ 2001 I 408 consid. 3b in fine et les citations). Un tel accord fait défaut en l'espèce puisque les parents ont conclu, devant la juridiction cantonale, à l'attribution de l'autorité parentale en leur faveur, à l'exclusion de l'autre parent. La recourante ne saurait par conséquent reprocher à l'autorité cantonale de ne pas avoir maintenu une telle garde alternée, d'autant qu'elle conclut formellement au renvoi de la cause au Tribunal tutélaire pour qu'il statue à ce sujet.
7. Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. La recourante, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>) et versera en outre des dépens à l'intimé (<ref-law>), dont la demande d'assistance judiciaire devient ainsi sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire de l'intimé est sans objet.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Une indemnité de 2'000 fr., à payer à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à l'Autorité de surveillance des tutelles du canton de Genève.
Lausanne, le 27 août 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot