Sachverhalt:
A. Der 1981 geborene J._ war seit dem 1. Juli 2001 als Facharbeiter bei der Q._ AG angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch versichert. Am 8. Mai 2007 zog er sich bei Arbeiten mit dem Hochdruckreinigungsgerät ein Hochdruckinjektionstrauma palmarseitig am Thenar rechts zu, welches im Spital X._, Departement Chirurgie, Klinik für Wiederherstellungschirurgie, operativ behandelt wurde. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Nach medizinischen Abklärungen sprach sie dem Versicherten mit Verfügung vom 11. Mai 2010 mit Wirkung ab 1. Februar 2010 eine Invalidenrente bei einer Erwerbsunfähigkeit von 24 Prozent und eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 5 Prozent zu. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie mit Einspracheentscheid vom 15. Oktober 2010 ab.
B. Die von J._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 12. Juli 2012 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt J._ die Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 1 und 2 des kantonalen Entscheids und die Zusprechung einer Rente basierend auf einem Invaliditätsgrad von 100 Prozent und einer Integritätsentschädigung von mindestens 80 Prozent beantragen. Zudem habe ihm die SUVA die Kosten des Gutachtens des Dr. med. B._ zu ersetzen. Eventualiter sei die Sache zur Erstellung eines Gutachtens und zur Erprobung der Erwerbsfähigkeit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht J._ um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
D. Mit Verfügung vom 30. Januar 2013 hat das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels Nachweis der prozessualen Bedürftigkeit abgewiesen. Ein von J._ gestelltes Wiedererwägungsgesuch wies das Bundesgericht mit Verfügung vom 14. Februar 2013 zufolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdefahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2. Die für die Beurteilung der Streitsache massgeblichen Rechtsgrundlagen wurden im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen (<ref-law>).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer für die Folgen des Unfalls vom 8. Mai 2007 Anspruch auf eine höhere Invalidenrente der Unfallversicherung hat.
3.1 Das kantonale Gericht ging davon aus, der Beschwerdeführer leide unbestrittenermassen an auf das beim Unfall vom 8. Mai 2007 erlittene Hochdruckinjektionstrauma zurückzuführenden Beschwerden an der rechten Hand. Gemäss den medizinischen Unterlagen habe ab Ende Januar von weiteren Behandlungsmassnahmen keine wesentliche Besserung mehr erwartet werden können, weshalb die SUVA den Fall zu Recht (unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und gleichzeitiger Prüfung des Anspruchs auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung) auf diesen Zeitpunkt hin abgeschlossen habe. Das Sozialversicherungsgericht hat daher den streitigen Anspruch auf eine höhere Invalidenrente geprüft. Bezüglich der verbleibenden Unfallfolgen und deren Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit gelangte dieses in einlässlicher und sorgfältiger Würdigung der medizinischen Aktenlage, namentlich gestützt auf die Beurteilungen des Kreisarztes der SUVA, Dr. med. W._, vom 21. Februar 2008 und 4. März 2009, der Ärzte des Spitals X._, Departement Chirurgie, Klinik für Wiederherstellungschirurgie, vom 18. Juli 2008, des Dr. med. D._, Facharzt FMH für Allgemeine Medizin, vom 29. Mai 2009 und 10. August 2009 sowie der Dres. med. V._, Facharzt FMH für Chirurgie, und S._, Fachärztin FMH für Neurologie, beide SUVA Versicherungsmedizin, vom 19. November 2009, zum Ergebnis, dem Versicherten sei die angestammte Tätigkeit als Kanalreiniger nicht mehr zumutbar; einer leidensangepassten Tätigkeit könne er hingegen vollzeitlich mit voller Leistungsfähigkeit nachgehen. Das kantonale Gericht hat des Weitern mit einlässlicher Begründung dargelegt, weshalb der von den übrigen medizinischen Beurteilungen abweichenden Diagnose eines komplexen regionalen Schmerzsyndroms (CRPS) gemäss Privatgutachten des Dr. med. B._ vom 19. Januar 2009 und dessen Bericht vom 26. Februar 2010 und seiner ebenfalls von keinem andern mit dem Versicherten befassten Mediziner geteilten Einschätzung einer lediglich 60 prozentigen Arbeitsfähigkeit in einer Verweistätigkeit zufolge vermehrten Pausenbedarfs nicht gefolgt werden kann. Eine Gesamtwürdigung der relevanten medizinischen Unterlagen führte die Vorinstanz zum Schluss, dass die vom Versicherten aufgelegte Beurteilung des Dr. med. B._ nicht geeignet ist, Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der Feststellungen der versicherungsinternen Mediziner zu wecken. Von einer Einvernahme des Dr. med. B._ als Zeugen und weiteren medizinischen Abklärungen sah die Vorinstanz ab, da davon keine neuen Erkenntnisse zu erwarten seien.
3.2 Der Beschwerdeführer macht eine Rechtsverweigerung (Art. 6 EMRK) und Verletzung von <ref-law> geltend, weil das kantonale Gericht in den Erwägungen des angefochtenen Entscheids nicht auf seinen Einwand eingegangen sei, die SUVA habe den Fall verfrüht abgeschlossen, ohne im Sinne von <ref-law> die Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abzuwarten. Das kantonale Gericht hat den Fallabschluss der SUVA auf den 31. Januar 2010 unter Hinweis auf die medizinischen Unterlagen ausdrücklich bestätigt, da im besagten Zeitpunkt von einer Fortführung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr zu erwarten gewesen sei. Aus der vorinstanzlichen Sachverhaltszusammenfassung ergibt sich zudem, dass zu jenem Zeitpunkt keine Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung mehr zur Diskussion standen. Etwas anderes wird denn auch vom Beschwerdeführer nicht geltend gemacht. Die vorinstanzliche Beurteilung entspricht den Grundsätzen zum Fallabschluss (<ref-law>; <ref-ruling>) und ist daher nicht zu beanstanden. Von der beantragten Rückweisung der Sache an die SUVA zwecks vorgängiger Durchführung einer Erprobung der Eingliederungsfähigkeit kann daher abgesehen werden.
3.3 Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 und Art. 61 lit. c ATSG) und des Beschleunigungsgebotes (Art. 6 EMRK), weil das kantonale Gericht trotz sich widersprechender Arztberichte davon abgesehen habe, ein gerichtliches Gutachten in Auftrag zu geben. Mangels medizinischer Kenntnisse sei dieses gar nicht in der Lage gewesen, den Sachverhalt inhaltlich zu würdigen und die Beurteilung des Dr. med. B._ zu widerlegen. Bei der Würdigung von sich widersprechenden ärztlichen Berichten und Gutachten ist nicht allein die Diagnose massgebend, sondern unter welchen Beschwerden die versicherte Person leidet, ob diese objektiviert werden können und welche Tätigkeiten die versicherte Person trotz ihrer gesundheitlichen Einschränkungen noch zumutbar sind. Darüber geben die für medizinische Laien durchaus verständlich abgefassten medizinischen Unterlagen und Schlussfolgerungen umfassend Aufschluss.
3.4 Der Beschwerdeführer erhebt keine Rügen, welche die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit als unrichtig oder unvollständig (<ref-law>) oder den angefochtenen Entscheid als rechtsfehlerhaft nach <ref-law> erscheinen lassen. Entgegen der von ihm vertretenen Auffassung trifft es insbesondere nicht zu, dass die Ärzte des Spitals X._ für Verweisungstätigkeiten von einer Arbeitsfähigkeit von lediglich 50 Prozent ausgingen. Vielmehr attestierten diese laut Bericht zuhanden der IV-Stelle vom 18. Juli 2008 für eine adaptierte (nicht-handwerkliche) Tätigkeit eine unbeschränkte Arbeitsfähigkeit. Zudem hält auch Dr. med. B._ in seiner Stellungnahme zur Beurteilung der SUVA-Ärzte vom 26. Februar 2010 nicht mehr am ursprünglich postulierten Pausenbedarf von 40 Prozent einer Vollzeitbeschäftigung, sondern lediglich noch am Erfordernis einer die rechte Hand nicht belastenden ganztägigen Tätigkeit fest (je weniger Belastung, um so weniger Pausen). Die Feststellungen der Vorinstanz sind daher nicht bundesrechtswidrig. Von weiteren medizinischen Abklärungen ist abzusehen, da hievon keine neuen Erkenntnisse zu erwarten sind (antizipierte Beweiswürdigung: <ref-ruling> E. 5.2 S. 69).
3.5 Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung des Grundsatzes des fairen Verfahrens und der Waffengleichheit (Art. 6 EMRK) rügt, wird auf die Erwägungen in <ref-ruling> verwiesen, in welchem praktisch identische Rügen seines Rechtsvertreters zu beurteilen waren.
4. In erwerblicher Hinsicht ist das von der SUVA ermittelte und von der Vorinstanz übernommene Valideneinkommen des Versicherten von Fr. 70'850.- unbestritten, weshalb es damit sein Bewenden hat.
Bezüglich des anhand der Dokumentation von Arbeitsplätzen (DAP) der SUVA ermittelten Invalideneinkommens von Fr. 53'583.- rügt der Beschwerdeführer, wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren, eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, weil ihm die verwendeten DAP-Blätter nicht zugestellt worden seien. Das Akteneinsichtsrecht wird grundsätzlich nur auf entsprechendes Gesuch hin gewährt (Urteil 1C_482/2010 vom 14. April 2011 E. 3.1 mit Hinweisen). Ein Gesuch um Akteneinsicht wurde im vorinstanzlichen Verfahren nicht gestellt, obwohl dem Beschwerdeführer dies ohne weiteres möglich gewesen wäre, falls sich die DAP-Blätter tatsächlich nicht bei den von der SUVA am 18. Februar 2010 und am 28. Juni 2010 dem Rechtsvertreter zugestellten Aktenkopien befanden. Nicht stichhaltig ist auch der Einwand, im Rahmen der Ermittlung des Invalideneinkommens nach den DAP-Blättern sei nicht nachgewiesen, dass dem Versicherten Stellen mit entsprechendem Profil auf dem Arbeitsmarkt offen stünden. Denn es ist unbeachtlich, ob der Arbeitsplatz frei oder besetzt ist, weil die Invaliditätsbemessung auf der Fiktion eines ausgeglichenen Arbeitsmarktes beruht (<ref-ruling> E. 4.2.2. S. 480).
Das kantonale Gericht hat daher zu Recht den auf die DAP-Blätter gestützten Einkommensvergleich der SUVA bestätigt und dem Beschwerdeführer eine Rente entsprechend einem Invaliditätsgrad von 24 Prozent zugesprochen.
5. 5.1 Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz den Anspruch auf eine Integritätsentschädigung im angefochtenen Entscheid geprüft und in Würdigung der medizinischen Unterlagen aufgrund einer Integritätseinbusse von 5 Prozent bestätigt. Von einer Rechtsverweigerung (Art. 6 EMRK) kann daher keine Rede sein.
5.2 Der Beschwerdeführer beantragt zwar die Zusprechung einer höheren Integritätsentschädigung, ohne dies indessen im Sinne von <ref-law> näher zu begründen. Auf die Beschwerde kann daher insoweit nicht eingetreten werden (<ref-law>).
6. Der Beschwerdeführer rügt überdies eine Verletzung von Art. 6 EMRK und von <ref-law>, weil das kantonale Gericht eine Übernahme der Kosten der Beurteilung des Dr. med. B._ durch die SUVA abgelehnt hat. Expertenkosten sind nur dann Bestandteil der Parteientschädigung nach <ref-law> (SVR 2011 IV Nr. 13 S. 35 f., E. 2; <ref-ruling> f.), sofern die betreffende Beurteilung für die Interessenwahrung notwendig war, weil sich der medizinische Sachverhalt erst aufgrund dieser neu beigebrachten Untersuchungsergebnisse schlüssig feststellen lässt, und soweit die Vorinstanz massgeblich darauf abgestellt hat (Urteil 9C_819/2010 vom 29. Oktober 2010 E. 7). Im vorliegenden Fall sind diese Voraussetzungen nach den zutreffenden Feststellungen der Vorinstanz nicht erfüllt.
7. 7.1 Die offensichtlich unbegründete Beschwerde wird im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> - ohne Durchführung eines Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den kantonalen Entscheid (Art. 102 Abs. 1 und Art. 109 Abs. 3 BGG) - abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
7.2 Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. April 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Hofer