Sachverhalt:
A. Die Polizeibeamtin X._ nahm am 21. Juni 2008 am Schalter der Stadtpolizei Luzern von einer Finderin ein Couvert mit Fr. 550.-- entgegen und stellte eine Fundanzeige aus. Das Geld gelangte aber nie an das Fundbüro. Daher bestand der Verdacht, X._ habe das Geld veruntreut. Mit Genehmigung der Amtsstatthalterin Luzern stellte die Polizei eine "Veruntreuungsfalle", indem ein Mittelsmann der Polizei am 8. Oktober 2008 der diensthabenden X._ eine Bauchtasche, enthaltend unter anderem EUR 153.--, abgab mit der Bemerkung, diese sei von Touristen gefunden worden, in deren Auftrag er sie abliefere. Vor Dienstschluss von X._ wurde festgestellt, dass diese das Formular "Fundanzeige" insoweit nicht richtig ausgefüllt hatte, als dass sie darin das in der Bauchtasche enthaltene Notengeld im Gesamtbetrag von EUR 150.-- nicht aufgeführt hatte. Nachdem X._ ihren Nachtdienst beendet hatte, wurde sie am 9. Oktober 2008, um 07.00 Uhr, an ihrem Arbeitsplatz festgenommen und in der Folge polizeilich befragt. Sie gab zu, den Betrag von EUR 150.-- aus der Bauchtasche behändigt zu haben. Anlässlich einer zweiten polizeilichen Befragung am Nachmittag desselben Tages räumte sie nach anfänglichem Bestreiten auch ein, den Betrag von Fr. 550.--, der am 21. Juni 2008 abgegeben worden war, an sich genommen zu haben. Mit schriftlicher Eingabe vom 17. Oktober 2008 sowie anlässlich der untersuchungsrichterlichen Einvernahme vom 13. November 2008 widerrief X._ ihr Geständnis betreffend den Vorfall vom 21. Juni 2008. Sie bestätigte hingegen den Vorfall vom 8./9. Oktober 2008.
B. B.a Die Amtsstatthalterin von Luzern sprach X._ mit Entscheid vom 29. Mai 2009 der mehrfachen qualifizierten Veruntreuung schuldig, begangen am 21. Juni 2008 und am 8./9. Oktober 2008 in Luzern, und bestrafte sie mit einer bedingten Geldstrafe von 50 Tagessätzen zu Fr. 130.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren und mit einer Busse von 1'000 Franken.
B.b Das Amtsgericht Luzern-Stadt sprach X._ auf deren Einsprache mit Urteil vom 15. März 2010 vom Vorwurf der qualifizierten Veruntreuung, angeblich begangen am 21. Juni 2008, in Anwendung des Grundsatzes "in dubio pro reo" frei. Es sprach sie hingegen der qualifizierten Veruntreuung gemäss Art. 138 Ziff. 1 und 2 i.V.m Art. 172ter Abs. 1 StGB, begangen am 8./9. Oktober 2008, schuldig und bestrafte sie mit einer Busse von 800 Franken.
Gegen diesen Entscheid erhob die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern Appellation unter anderem mit dem Antrag, X._ sei auch in Bezug auf den Vorfall vom 21. Juni 2008 der Veruntreuung schuldig zu sprechen. X._ erklärte Anschlussappellation mit dem Antrag, sie sei vollumfänglich freizusprechen.
B.c Das Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, sprach X._ mit Urteil vom 22. November 2010 vom Vorwurf der qualifizierten Veruntreuung nach Art. 138 Ziff. 1 und 2 teilweise i.V.m. Art. 172ter Abs. 1 StGB, angeblich begangen am 21. Juni 2008 und am 8./9. Oktober 2008, frei.
C. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D. Das Obergericht des Kantons Luzern verzichtet unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid auf Vernehmlassung.
X._ stellt in ihrer Vernehmlassung den Antrag, die Beschwerde der Staatsanwaltschaft sei abzuweisen und das Urteil des Obergerichts zu bestätigen.

Erwägungen:
1. 1.1 Nach der Ansicht der ersten Instanz ist der Einsatz des (privaten) Mittelsmannes der Polizei, welcher am 8. Oktober 2008 die fingierten Fundgegenstände abgab, keine verdeckte Ermittlung im Sinne des damals geltenden Bundesgesetzes über die verdeckte Ermittlung. Die dadurch gewonnenen Erkenntnisse seien daher verwendbar. Die erste Instanz sprach deshalb die Beschwerdegegnerin in Bezug auf den Vorfall vom 8./9. Oktober 2008 der Veruntreuung schuldig. Hingegen sprach sie die Beschwerdegegnerin betreffend den Vorfall vom 21. Juni 2008, in Bezug auf welchen diese zunächst ein Geständnis abgelegt, dieses dann aber widerrufen hatte, in Anwendung der Maxime "in dubio pro reo" frei.
Die Vorinstanz ist demgegenüber mit der Beschwerdegegnerin der Auffassung, der fragliche Einsatz sei als verdeckte Ermittlung zu qualifizieren. Sie erwägt, die fingierte Fundabgabe sei im Rahmen eines polizeilichen Ermittlungsverfahrens erfolgt. Es habe der Verdacht bestanden, dass die Beschwerdegegnerin den Geldbetrag von Fr. 550.--, der am 21. Juni 2008 abgegeben worden sei, veruntreut habe. Der Beschwerdegegnerin sei durch den Einsatz des (privaten) Mittelsmannes der Polizei eine Falle gestellt worden. Es sei somit einerseits um die Aufklärung einer Straftat gegangen, die voraussichtlich begangen werden sollte, und andererseits um die Ermittlung einer Straftat (Veruntreuung), die schon begangen worden sei, ohne dass allerdings insoweit bereits ein Strafverfahren eröffnet gewesen sei. Die Vorinstanz erwägt unter Hinweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung, dass die verdeckte Ermittlung ein "Anknüpfen von Kontakten" voraussetze. Dies sei hier der Fall. Wohl habe nach der insoweit zutreffenden Auffassung der ersten Instanz der Mittelsmann der Polizei in keiner Weise auf den Tatentschluss der Beschwerdegegnerin eingewirkt, sondern lediglich eine Gelegenheit zur Veruntreuung geschaffen, welche die Beschwerdegegnerin ausgenützt habe. Doch stelle die fingierte Fundabgabe eine Täuschungshandlung dar, womit mehr als nur eine einfache Observation vorliege. Die Vorinstanz erwägt im Weiteren, dass die aus dem Einsatz gewonnenen Erkenntnisse mangels der erforderlichen richterlichen Genehmigung der verdeckten Ermittlung nicht verwertbar seien. Aufgrund der Fernwirkung des Beweisverwertungsverbots sei auch das - in der Folge widerrufene - Geständnis der Beschwerdegegnerin betreffend den Vorfall vom 21. Juni 2008 nicht verwertbar, da es ohne verdeckte Ermittlung nicht erlangt worden wäre. Die Vorinstanz spricht daher die Beschwerdegegnerin vom Vorwurf der mehrfachen Veruntreuung frei. Bei dieser Begründung hatte die Vorinstanz keinen Anlass zu prüfen, ob die Beschwerdegegnerin in Bezug auf den Vorfall vom 21. Juni 2008 im Übrigen auch in Anwendung des Grundsatzes "in dubio pro reo" freizusprechen wäre.
1.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die fingierte Fundabgabe sei mit einer "Diebesfalle" vergleichbar. Sie sei keine verdeckte Ermittlung im Sinne des hier massgebenden (früheren) Bundesgesetzes über die verdeckte Ermittlung. Das nach der diesbezüglichen Rechtsprechung wesentliche Kriterium des "Anknüpfens von Kontakten" im Sinne eines aktiven, zielgerichteten Verhaltens sei nicht erfüllt. Der Mittelsmann der Polizei habe sich darauf beschränkt, der auf dem Polizeiposten diensttuenden Beschwerdegegnerin eine Bauchtasche abzugeben mit der Bemerkung, Touristen hätten sie gefunden, in deren Auftrag er sie jetzt hier abgebe. Der Mittelsmann habe daraufhin den Polizeiposten verlassen. Seine einzige Täuschungshandlung habe darin bestanden, sich nicht als Mittelsmann der Polizei zu erkennen zu geben und der Beschwerdegegnerin eine Fundgeschichte vorzusetzen. Der Mittelsmann der Polizei habe in keiner Weise auf die Willensbildung, den Tatentschluss und das Verhalten der Beschwerdegegnerin eingewirkt. Diese sei in ihrer Willensbildung frei und unbeeinflusst geblieben.
1.3 Die Beschwerdegegnerin wendet ein, der als solcher nicht erkennbare Angehörige beziehungsweise Mittelsmann der Polizei habe durch die fingierte Fundabgabe mit ihr einen Kontakt zwecks Provokation einer Straftat und Täterüberführung und somit zu Ermittlungszwecken geknüpft. Dies sei im Lichte der Rechtsprechung des Bundesgerichts als verdeckte Ermittlung zu qualifizieren. Durch die Kontaktaufnahme seitens des Mittelsmannes der Polizei sei sie nicht nur getäuscht, sondern zu einer Straftat provoziert worden, denn wäre ihr jene "Falle" nicht gestellt worden, hätte es keine Fundunterschlagung respektive Veruntreuung gegeben. Das Gesetz unterscheide entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin nicht zwischen einfachen und qualifizierten Täuschungshandlungen. Auf die Eingriffs- und Täuschungsintensität komme es nicht.
2. 2.1 Die Zulässigkeit des vorliegend in Frage stehenden Einsatzes des Mittelsmannes der Polizei vom 8./9. Oktober 2008 bestimmt sich nach dem Bundesgesetz vom 20. Juni 2003 über die verdeckte Ermittlung (AS 2004 4589), das bis zum Inkrafttreten der Schweizerischen Strafprozessordnung und der darin enthaltenen Bestimmungen betreffend die verdeckte Ermittlung (Art. 286 ff. StPO) am 1. Januar 2011 gegolten hat. Im Strafprozessrecht gebietet das Legalitätsprinzip, die Beweise nach dem jeweils gültigen Recht zu erheben, so dass sie nicht durch eine Gesetzesänderung nachträglich mangelhaft werden können (Urteil 6P.109/2003 vom 16. Januar 2004 E. 6; 6B_568/2009 vom 8. Oktober 2009 E. 4.1).
2.2 Gemäss Art. 1 aBVE hatte die verdeckte Ermittlung nach diesem Gesetz zum Zweck, mit Angehörigen der Polizei, die nicht als solche erkennbar sind, in das kriminelle Umfeld einzudringen und damit beizutragen, besonders schwere Straftaten aufzuklären. Eine verdeckte Ermittlung konnte gemäss Art. 4 Abs. 1 aBVE angeordnet werden, wenn (a) bestimmte Tatsachen den Verdacht begründeten, besonders schwere Straftaten seien begangen worden oder sollten voraussichtlich begangen werden und (b) andere Untersuchungshandlungen erfolglos geblieben waren oder die Ermittlungen sonst aussichtslos wären oder unverhältnismässig erschwert würden. Eine verdeckte Ermittlung durfte gemäss Art. 4 Abs. 2 aBVE nur zur Verfolgung der darin aufgeführten Straftaten eingesetzt werden. Dazu zählte gemäss Art. 4 Abs. 1 lit. a aBVE auch die Veruntreuung im Sinne von Art. 138 StGB. Die Ernennung des verdeckten Ermittlers und der Einsatz des verdeckten Ermittlers im Strafverfahren bedurften der richterlichen Genehmigung (Art. 7 Abs. 1 und Art. 17 Abs. 1 aBVE). Bei deren Fehlen durften die durch die verdeckte Ermittlung gewonnenen Erkenntnisse weder für weitere Ermittlungen noch zum Nachteil einer beschuldigten Person verwendet werden (Art. 18 Abs. 5 Satz 2 aBVE).
Der Anwendungsbereich des aBVE war unter anderem mangels einer gesetzlichen Definition des Begriffs der verdeckten Ermittlung unklar. In der Lehre wurden zur Bestimmung des Anwendungsbereichs verschiedene Lösungen vorgeschlagen, die auf unterschiedliche Kriterien (Legende, zeitliche Dauer, Eingriffs-, Handlungs- und/oder Täuschungsintensität etc.) abstellten. Aus der Sicht des Bundesgerichts liess sich durch solche Kriterien der Anwendungsbereich des aBVE nicht hinreichend klar bestimmen. Aus diesen Gründen ist nach der Rechtsprechung mangels einer klaren, abweichenden Regelung im Gesetz im Zweifelsfall davon auszugehen, dass jedes Anknüpfen von Kontakten mit einer verdächtigen Person zu Ermittlungszwecken durch einen nicht als solchen erkennbaren Polizeiangehörigen ungeachtet des Täuschungsaufwandes und der Eingriffsintensität als verdeckte Ermittlung im Sinne des aBVE zu qualifizieren ist und unter dessen Anwendungsbereich fällt (<ref-ruling> E. 3.7). Somit sind auch kurzzeitige verdeckte Kontakte, die in der Lehre etwa als "verdeckte Fahndung" bezeichnet werden, als verdeckte Ermittlung im Sinne des aBVE anzusehen. Das Kriterium des "Anknüpfens von Kontakten" nimmt Bezug auf die Ausführungen in der bundesrätlichen Botschaft zum BVE (BBl 1998 4241 ff., 4283), wonach verdeckte Ermittlung das Anknüpfen von Kontakten zu verdächtigen Personen ist, die darauf abzielen, die Begehung von strafbaren Handlungen festzustellen und zu beweisen. Das Kriterium des "nicht als solchen erkennbaren Polizeiangehörigen" entspricht der Formulierung in Art. 1 aBVE.
Diese weite Auslegung des Begriffs der verdeckten Ermittlung im Sinne des aBVE ist in der Lehre auf Kritik gestossen; sie hat aber auch Zustimmung gefunden (Urteile 6B_743/2009 vom 8. März 2010 E. 2.1; 6B_837/2009 vom 8. März 2010 E. 3.1, je mit Hinweisen). Die Kritik an der Rechtsprechung wird unter anderem damit begründet, dass "nach der bisher vorherrschenden Auffassung eher ein qualifiziert täuschendes Verhalten (Verwenden einer Legende, eigentliches Einschleichen in ein kriminelles Umfeld und eine länger dauernde Aktivität) verlangt wird" (NIKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar 2009, N 3 vor Art. 286-289). Erforderlich sei ein Mindestmass an aktiver Täuschung, im Regelfall der Aufbau eines gewissen Vertrauensverhältnisses zur Zielperson (NIKLAUS SCHMID, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts, 2009, N 1182 f.).
Das Bundesgericht hat an seiner Rechtsprechung trotz der in einem Teil der Lehre dagegen geäusserten Kritik festgehalten. Dem Gesetz lässt sich keine hinreichend klare Grundlage für die Auffassung entnehmen, dass eine verdeckte Ermittlung nur bei einer (wie auch immer zu definierenden) gewissen Täuschungs- und/oder Eingriffsintensität beziehungsweise Dauer des Einsatzes angenommen werden kann. Diese Kriterien sind im Übrigen zu vage und daher für die Bestimmung des Anwendungsbereichs des Gesetzes ungeeignet. Das Bundesgericht hat klargestellt, dass das als wesentlich erkannte Kriterium des "Anknüpfens von Kontakten" das Element eines aktiven, zielgerichteten Verhaltens enthält. Dieses Kriterium ist nicht ohne weiteres erfüllt, wenn ein nicht als solcher erkennbarer Polizeiangehöriger beispielsweise im Rahmen einer Observation von der Zielperson angesprochen wird und sich auf ein kurzes Gespräch einlässt (Urteile 6B_743/2009 vom 8. März 2010 E. 3.1 und E. 3.3; 6B_837/2009 vom 8. März 2010 E. 3.2 und E. 3.4; 6B_207/2010 vom 22. April 2010 E. 3.2).
2.3 Im Lichte dieser Rechtsprechung ist der vorliegend in Frage stehende Einsatz des Mittelsmannes der Polizei nicht als verdeckte Ermittlung im Sinne des aBVE zu qualifizieren. Der Mittelsmann der Polizei beschränkte sich darauf, am 8. Oktober 2008 auf dem Polizeiposten der diensttuenden Beschwerdegegnerin, die im Verdacht stand, im Juni 2008 eine Fundsache veruntreut zu haben, eine Bauchtasche samt Inhalt abzugeben mit der wahrheitswidrigen Bemerkung, diese sei von Touristen gefunden worden, in deren Auftrag er sie abliefere. Danach entfernte er sich wieder. Damit fanden kein Gespräch und keinerlei Interaktion zwischen den beiden Beteiligten im Hinblick auf die Begehung einer strafbaren Handlung statt. Wohl wurde die verdächtige Zielperson getäuscht, indem der Mittelsmann der Polizei sich nicht als solcher zu erkennen gab und wahrheitswidrig erklärte, bei der Bauchtasche handle es sich um einen Fundgegenstand. Doch wirkte der Mittelsmann der Polizei weder auf die Zielperson ein, noch wäre es aufgrund eines irgendwie gearteten Zusammenwirkens anlässlich seines Erscheinens am Dienstort der Zielperson zu einer strafbaren Handlung gekommen. Daher ist das wesentliche Kriterium des "Anknüpfens von Kontakten" nicht erfüllt. Es ging beim Einsatz nur darum, einen Gegenstand als eine während der Dienstzeit der verdächtigen Zielperson abgegebene Fundsache kenntlich zu machen. Daher hätte der Mittelsmann der Polizei ebenso gut den Gegenstand etwa versehen mit der Aufschrift "gefunden" wortlos während der Dienstzeit der verdächtigen Zielperson auf dem Polizeiposten deponieren können. Das Anknüpfen eines Kontaktes mit der Zielperson war gerade nicht erforderlich. Die Beschwerdegegnerin ihrerseits beging die ihr angelastete Veruntreuung aufgrund einer vom Verhalten des Mittelsmannes der Polizei unabhängigen Entscheidung.
2.4 Die hier in Frage stehende fingierte Fundabgabe ("Veruntreuungsfalle") ist somit keine verdeckte Ermittlung im Sinne des aBVE. Der Freispruch der Beschwerdegegnerin vom Vorwurf der mehrfachen qualifizierten Veruntreuung kann daher entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht damit begründet werden, dass die aus der fingierten Fundabgabe direkt und indirekt gewonnenen Erkenntnisse mangels der für eine verdeckte Ermittlung im Sinne des aBVE erforderlichen richterlichen Genehmigung nicht verwertbar seien.
3. Die Beschwerde ist gutzuheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern, II. Kammer, vom 22. November 2010 aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die unterlegene Beschwerdegegnerin, die in ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde beantragt hat, die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern, II. Kammer, vom 22. November 2010 aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die bundesgerichtlichen Kosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. August 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Näf