Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- In formellrechtlicher Hinsicht macht die Beschwerdeführerin geltend, die Verwaltung habe in schwerwiegender Weise gegen den in Art. 4 BV und Art. 6 EMRK geschützten Anspruch auf rechtliches Gehör verstossen, weil sie in der Verfügung vom 19. Juni 1997 die Ablehnung des Anspruchs auf berufliche Eingliederungsmassnahmen nicht begründet habe. Indem die Vorinstanz diese bereits in der erstinstanzlichen Beschwerdeschrift erhobene Rüge nicht geprüft habe, habe sie ihrerseits den Gehörsanspruch der Versicherten verletzt.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör ergibt sich nach der Rechtsprechung aus Art. 4 Abs. 1 der bis 31. Dezember 1999 in Kraft gewesenen Bundesverfassung (<ref-ruling> Erw. 1a mit Hinweisen). Diese Grundsätze gelten auch unter der Herrschaft der am 1. Januar 2000 in Kraft getretenen Bundesverfassung (Art. 29 Abs. 2; noch nicht publiziertes Urteil M. vom 5. Juni 2000 [C 357/98]), weshalb offen bleiben kann, ob vorliegend die neue oder die alte Bundesverfassung
Anwendung findet.
Die streitige Verfügung vom 19. Juni 1997 enthält keine ausdrückliche Begründung zur Ablehnung des Begehrens um berufliche Eingliederungsmassnahmen. Mit der Feststellung, die Versicherte sei seit dem 1. März 1996 voll arbeitsfähig und vermöchte im bisherigen Beruf ein rentenausschliessendes Erwerbseinkommen zu erzielen, wurde sinngemäss indessen sowohl die Ablehnung des Begehrens um berufliche Eingliederungsmassnahmen als auch die Verweigerung einer Invalidenrente begründet. Auch wenn die Begründung nicht restlos zu befriedigen vermag, war sie so abgefasst, dass sich die Betroffene über die Tragweite der Verfügung Rechenschaft geben und sie in voller Kenntnis der Sache weiterziehen konnte, was unter dem Gesichtspunkt des rechtlichen Gehörs genügt (<ref-ruling> Erw. 5b mit Hinweisen).
Richtig ist, dass die Vorinstanz der aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör folgenden Prüfungs- und Begründungspflicht insofern nicht nachgekommen ist, als sie sich zu der in der erstinstanzlichen Beschwerdeschrift erhobenen Rüge einer Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die Verwaltung nicht geäussert hat. Da eine Gehörsverletzung durch die Verwaltung zu verneinen ist und sich der kantonale Entscheid materiell mit dem Begehren um berufliche Eingliederungsmassnahmen befasst, kann hierin keine schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs erblickt werden, sodass der Mangel im Hinblick auf die umfassende Überprüfungsbefugnis des Eidg. Versicherungsgerichts als geheilt gelten kann (<ref-ruling> Erw. 4c/aa, 124 V 392 Erw. 5a; SVR 1999 UV Nr. 25 S. 75 Erw. 1c, je mit Hinweisen).
2.- a) Nach Art. 8 Abs. 1 IVG haben invalide oder von einer Invalidität unmittelbar bedrohte Versicherte Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen, soweit diese notwendig und geeignet sind, die Erwerbsfähigkeit wieder herzustellen, zu verbessern, zu erhalten oder ihre Verwertung zu fördern. Dabei ist die gesamte noch zu erwartende Arbeitsdauer zu berücksichtigen.
Die Invalidität gilt als eingetreten, sobald sie die für die Begründung des Anspruchs auf die jeweilige Leistung erforderliche Art und Schwere erreicht hat. Bei den beruflichen Eingliederungsmassnahmen für Volljährige gilt der Versicherungsfall dann als eingetreten, wenn der Gesundheitsschaden sich dermassen schwerwiegend auf die Erwerbsfähigkeit auswirkt, dass der betroffenen Person die Ausübung ihrer bisherigen Erwerbstätigkeit nicht mehr zugemutet werden kann, die in Frage stehende Eingliederungsmassnahme als notwendig erscheint und die erforderlichen Krankenpflege- und Rehabilitationsmassnahmen abgeschlossen sind (<ref-ruling> Erw. 1b mit Hinweisen).
b) Nach Art. 28 Abs. 1 IVG hat der Versicherte Anspruch auf eine ganze Rente, wenn er mindestens zu 66 2/3 %, auf eine halbe Rente, wenn er mindestens zu 50 % oder auf eine Viertelsrente, wenn er mindestens zu 40 % invalid ist; in Härtefällen hat der Versicherte nach Art. 28 Abs. 1bis IVG bereits bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 40 % Anspruch auf eine halbe Rente.
Für die Bemessung der Invalidität wird gemäss Art. 28 Abs. 2 IVG das Erwerbseinkommen, das der Versicherte nach Eintritt der Invalidität und nach Durchführung allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihm zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte, in Beziehung gesetzt zum Erwerbseinkommen, das er erzielen könnte, wenn er nicht invalid geworden wäre.
Nach Art. 28 Abs. 2 IVG gehen Eingliederungsmassnahmen den Rentenleistungen vor. Diese werden nur erbracht, wenn die versicherte Person nicht oder bloss in ungenügendem Masse eingegliedert werden kann. Sowohl bei der erstmaligen Prüfung des Leistungsgesuches wie auch im Revisionsfall hat die Verwaltung von Amtes wegen abzuklären, ob vorgängig der Gewährung oder Weiterausrichtung einer Rente Eingliederungsmassnahmen durchzuführen sind (<ref-ruling> f., 99 V 48).
3.- a) Dr. med. H._, Spezialarzt für Innere Medizin, welcher die Versicherte von 1979 bis 1994 behandelt und am 20. März 1997 untersucht hatte, führte in seinem Bericht vom 1. April 1997 aus, die Beschwerdeführerin sei 1995 wegen eines lumbovertebralen Syndroms mit Diskushernie operiert worden; seither gehe es ihr vom Rücken her gut. Dagegen leide sie seit drei Jahren an Gelenkbeschwerden, insbesondere an den Hüft- und Kniegelenken, ferner auch an den Schulter- und Ellbogengelenken. Bei der Untersuchung vom 20. März 1997 fand Dr. med. H._ unauffällige neurologische Verhältnisse, eine gute Beweglichkeit der Gelenke und weder Schwellungen oder Rötungen noch wesentliche Druckdolenzen; lediglich im rechten Schultergelenk war eine leichte Einschränkung der Beweglichkeit festzustellen. Zur Arbeitsfähigkeit führte der Arzt aus, ein Arbeitsversuch im Gastgewerbe könne auf Grund der jetzigen Befunde ohne weiteres gemacht werden. Die Arbeitsaufgabe sei nicht in erster Linie wegen Krankheit erfolgt. Die Versicherte glaube selber, dass sie wieder eine Tätigkeit im Hotel- oder Gastgewerbe ausüben könne. Durch eine Gewichtsreduktion oder Gymnastik könne die Arbeitsfähigkeit weiter verbessert werden. Berufliche Massnahmen seien nicht angezeigt; eine ärztliche Behandlung sei nicht notwendig.
Frau Dr. med. B._, praktische Ärztin, bei welcher die Beschwerdeführerin seit April 1994 in Behandlung steht, stellt in einem Bericht vom 1. April 1997 die Diagnosen "Status nach Nukleotomie L4/5 und Dekompression bei engem Spinalkanal am 13. Oktober 1995, mässige generelle Spondylarthrose, rezidivierende Depressionen". Die Versicherte bedürfe bis auf weiteres noch der Physiotherapie und einer medikamentösen Behandlung. Sie sollte keine rückenbelastenden Arbeiten ausführen, könne den Beruf als Serviertochter aber durchaus zu 100 % ausüben. Die Klinik X._ hatte im Anschluss an die Operation vom 13. Oktober 1995 eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bis 31. Dezember 1995, eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % vom 1. Januar bis 29. Februar 1996 und eine voraussichtlich wieder volle Arbeitsfähigkeit ab 1. März 1996 angegeben (Arztzeugnis PD Dr. med. G._, Chefarzt Abteilung Wirbelsäule, Klinik X._, vom 20. Dezember 1995). Mit Zeugnis vom 23. September 1996 bestätigte Frau Dr. med. B._ eine volle Arbeitsfähigkeit ab 16. Oktober 1996. Ab dem 10. September 1996 hatte die Beschwerdeführerin Arbeitslosenentschädigung bezogen und sich selber als voll vermittlungsfähig bezeichnet. b) Auf Grund der genannten medizinischen Unterlagen ist davon auszugehen, dass der Versicherten in dem für die Beurteilung massgebenden Zeitpunkt des Verfügungserlasses (19. Juni 1997) eine Tätigkeit im Gastgewerbe zu 100 % möglich und zumutbar gewesen wäre. Mangels einer leistungsbegründenden Invalidität bestand daher weder Anspruch auf berufliche Eingliederungsmassnahmen noch auf eine Invalidenrente, wie Verwaltung und Vorinstanz zu Recht entschieden haben. Entgegen den Ausführungen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde war insbesondere auch kein Anspruch auf Arbeitsvermittlung (Art. 18 IVG) gegeben, da nach dem Gesagten nicht anzunehmen ist, dass die Beschwerdeführerin wegen des Gesundheitsschadens bei der Suche nach einer geeigneten Stelle beeinträchtigt war. Die Arbeitsvermittlung oblag unter den gegebenen Umständen den Durchführungsorganen der Arbeitslosenversicherung, bei welchen sich die Versicherte zum Leistungsbezug angemeldet hatte (<ref-ruling>; AHI 2000 S. 68).
An diesem Ergebnis vermag die von der Vorinstanz auf Antrag der Beschwerdeführerin eingeholte Stellungnahme von Dr. med. S._ vom 30. August 1999 nichts zu ändern. Zwar wird darin ein ziemlich ausgeprägtes Schmerzsyndrom der peripheren Gelenke sowie ein Restschmerzsyndrom nach erfolgter Diskushernienoperation angegeben und die Auffassung vertreten, die Versicherte sei als Serviertochter höchstens zu 50 % arbeitsfähig. Dr. S._ weist jedoch darauf hin, dass die Beschwerdeführerin erstmals am 6. April 1998 in seiner Praxis erschienen sei und er zur Arbeitsfähigkeit als Serviertochter im Jahre 1996 nicht schlüssig Stellung nehmen könne. In dem für die Beurteilung massgebenden Zeitpunkt des Verfügungserlasses war die Versicherte nach übereinstimmender Auffassung der behandelnden Ärzte in der bisherigen Tätigkeit im Gastgewerbe aber voll einsatzfähig gewesen. Auf Grund des Berichts von Dr. med. S._ bestand kein Anlass zur Anordnung ergänzender medizinischer und beruflicher Abklärungen. Dagegen war die Verwaltung anzuweisen, den Sachverhalt für die Zeit nach Erlass der angefochtenen Verfügung zu prüfen, wie die Vorinstanz zu Recht entschieden hat.
Zu einem andern Schluss führt schliesslich auch der mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde eingereichte Bericht des Spitals L._ vom 4. Juli 1995 nicht, wo die Beschwerdeführerin auf Anordnung von Frau Dr. med. B._ in der Zeit vom 15. bis 27. Juni 1995 wegen eines lumboradikulären Syndroms L4/5 behandelt worden war. Der Bericht betrifft den Sachverhalt vor der Diskushernienoperation vom 13. Oktober 1995. Er ändert nichts daran, dass nach den Angaben der behandelnden Ärztin spätestens am 16. Oktober 1996 und damit vor Erlass der streitigen Verfügung vom 19. Juni 1997 volle Arbeitsfähigkeit bestanden hat. Im Übrigen hat die Versicherte gegenüber Dr. med. H._ am 20. März 1997 selber angegeben, seitens des
Rückens keine wesentlichen Beschwerden mehr zu haben.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
II. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 3. August 2000
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der III. Kammer:
Die Gerichtsschreiberin: