Sachverhalt:
A. Das Geschworenengericht des Kantons Zürich sprach X._ am 25. August 2006 der versuchten eventualvorsätzlichen Tötung im Sinne von Art. 111 in Verbindung mit <ref-law> schuldig. Es bestrafte ihn - unter Zubilligung einer Verminderung der Schuldfähigkeit in schwerem Grade - mit zwei Jahren Gefängnis, unter Anrechnung von 120 Tagen erstandener Polizei- und Untersuchungshaft. Es ging davon aus, dass X._ den Geschädigten, der in Tat und Wahrheit ein Polizeibeamter war, irrtümlich für einen Einbrecher hielt und somit sachverhaltsirrtümlich (<ref-law>) eine Notwehrsituation (<ref-law>) annahm, wobei er aber durch die bewusste und gewollte Abgabe eines Schusses in Richtung des am Hauseingang stehenden vermeintlichen Einbrechers, wodurch allerdings niemand getroffen wurde, die Grenzen der Notwehr überschritt (<ref-law>).
Mit Beschluss vom gleichen Tag ordnete das Geschworenengericht die Einziehung der Tatwaffe sowie die Verwertung von mehreren weiteren Schusswaffen samt Munition und die Verwendung des Verwertungserlöses zur Kostendeckung an.
B. X._ erhebt mit Eingabe vom 31. Dezember 2006 eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde mit den Anträgen, das Urteil des Geschworenengerichts sei aufzuheben und die Sache zu seiner Freisprechung, eventualiter zu seiner Verurteilung wegen versuchter Gefährdung des Lebens (im Sinne von Art. 129 in Verbindung mit <ref-law>), subeventualiter zu seiner Verurteilung zu einer bedingt vollziehbaren Gefängnisstrafe von höchstens 18 Monaten wegen versuchter vorsätzlicher Tötung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
C. X._ focht das Urteil des Geschworenengerichts auch mit kantonaler Nichtigkeitsbeschwerde an. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich wies mit Zirkulationsbeschluss vom 12. November 2007 die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
D. X._ erhebt gegen des Beschluss des Kassationsgerichts mit Eingabe vom 7. Januar 2008 Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, der Beschluss sei aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der versuchten vorsätzlichen Tötung freizusprechen; eventualiter sei die Sache zur Einholung eines ballistischen Ergänzungsgutachtens an das Geschworenengericht zurückzuweisen. Er ersucht zudem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und beantragt ferner, der Beschwerde in Strafsachen sei, insbesondere auch in Bezug auf die zivilrechtlichen Ansprüche, die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
E. Mit einer weiteren Eingabe vom 7. Januar 2008 erhebt X._ unter Hinweis auf die Rechtsmittelbelehrung im Entscheid des Kassationsgerichts sowie auf <ref-law> auch Beschwerde in Strafsachen gegen das Urteil des Geschworenengerichts vom 25. August 2006, welches er bereits am 31. Dezember 2006 mit eidgenössischer Nichtigkeitsbeschwerde angefochten hat. Er stellt darin im Wesentlichen dieselben Anträge wie in der eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde. Er bezeichnet seine Eingabe vom 7. Januar 2008 als Ergänzung zur eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde, welche er zum integrierenden Bestandteil der neuen Eingabe erklärt.

Erwägungen:
1. 1.1 Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG; SR 173.110) in Kraft getreten. Dieses ist auf Beschwerdeverfahren vor dem Bundesgericht nur anwendbar, wenn auch der angefochtene Entscheid nach dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangen ist (<ref-law>). Das Urteil des Geschworenengerichts ist vor, der Entscheid des Kassationsgerichts nach dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangen.
Der Beschwerdeführer hat gegen das Urteil des Geschworenengerichts nach Massgabe des damals geltenden Verfahrensrechts mit Eingabe vom 31. Dezember 2006 eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde gemäss Art. 268 ff. BStP erhoben. Er hat gegen den Entscheid des Kassationsgerichts nach Massgabe des neuen Verfahrensrechts mit Eingabe vom 7. Januar 2008 Beschwerde in Strafsachen eingereicht. Mit einer weiteren Eingabe vom gleichen Tag hat er zudem unter Berufung auf <ref-law> und auf eine entsprechende Rechtsmittelbelehrung im Entscheid des Kassationsgerichts auch Beschwerde in Strafsachen gegen das Urteil des Geschworenengerichts erhoben, welches er am 31. Dezember 2006 bereits mit eidgenössischer Nichtigkeitsbeschwerde angefochten hatte. Er stellt in der Eingabe vom 7. Januar 2008 gegen das Urteil des Geschworenengerichts im Wesentlichen dieselben Anträge wie in der eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde und bezeichnet sie als Ergänzung zur eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde, die er zum integrierenden Bestandteil der neuen Eingabe erklärt.
1.2 Wenn der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts mit einem Rechtsmittel, das nicht alle Rügen nach den Artikeln 95-98 BGG zulässt, bei einer zusätzlichen kantonalen Gerichtsinstanz angefochten worden ist, so beginnt die Beschwerdefrist erst mit der Eröffnung des Entscheids dieser Instanz (<ref-law>). Das Urteil des Geschworenengerichts ist im Sinne dieser Bestimmung ein Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts, der mit einem Rechtsmittel, das nicht alle Rügen gemäss Art. 95-98 BGG zulässt, bei einer zusätzlichen kantonalen Gerichtsinstanz, nämlich dem Kassationsgericht, angefochten worden ist.
Allerdings ist das Urteil des Geschworenengerichts vor dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangen und daher übergangsrechtlich für sich genommen mit eidgenössischer Nichtigkeitsbeschwerde anfechtbar (<ref-law> e contrario), welche der Beschwerdeführer denn auch mit Eingabe vom 31. Dezember 2006 erhoben hat. Dies ist indessen nicht entscheidend. Massgebend ist, dass der Entscheid des Kassationsgerichts nach dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangen ist, das Verfahren der Beschwerde gegen diesen Entscheid sich somit nach dem Bundesgerichtgsgesetz richtet und dieses in <ref-law> die Mitanfechtung des Obergerichtsurteils zulässt. <ref-law> ist mithin auch anwendbar, wenn der mit einem ausserordentlichen kantonalen Rechtsmittel angefochtene Entscheid des oberen kantonalen Gerichts vor dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangen ist. Mit der Beschwerde gegen einen nach dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangenen Entscheid des kantonalen Kassationsgerichts kann somit auch das vor dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangene Obergerichtsurteil, das Gegenstand des kantonalen Kassationsverfahrens bildete, mitangefochten werden (<ref-ruling> E. 1.3 und E. 1.4; Urteil 6B_51/2007 vom 3. September 2007, E. 1).
Allerdings ist das Urteil des Geschworenengerichts vor dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangen und daher übergangsrechtlich für sich genommen mit eidgenössischer Nichtigkeitsbeschwerde anfechtbar (<ref-law> e contrario), welche der Beschwerdeführer denn auch mit Eingabe vom 31. Dezember 2006 erhoben hat. Dies ist indessen nicht entscheidend. Massgebend ist, dass der Entscheid des Kassationsgerichts nach dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangen ist, das Verfahren der Beschwerde gegen diesen Entscheid sich somit nach dem Bundesgerichtgsgesetz richtet und dieses in <ref-law> die Mitanfechtung des Obergerichtsurteils zulässt. <ref-law> ist mithin auch anwendbar, wenn der mit einem ausserordentlichen kantonalen Rechtsmittel angefochtene Entscheid des oberen kantonalen Gerichts vor dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangen ist. Mit der Beschwerde gegen einen nach dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangenen Entscheid des kantonalen Kassationsgerichts kann somit auch das vor dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangene Obergerichtsurteil, das Gegenstand des kantonalen Kassationsverfahrens bildete, mitangefochten werden (<ref-ruling> E. 1.3 und E. 1.4; Urteil 6B_51/2007 vom 3. September 2007, E. 1).
1.3 1.3.1 Der Beschwerdeführer hat allerdings bereits mit Eingabe vom 31. Dezember 2006 das Urteil des Geschworenengerichts vom 25. August 2006 nach Massgabe des damals geltenden Verfahrensrechts mit eidgenössischer Nichtigkeitsbeschwerde wegen Verletzung eidgenössischen Rechts angefochten. Er hat sodann nach der Zustellung des begründeten Entscheids des Kassationsgerichts, durch welchen seine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde abgewiesen wurde, mit zwei Eingaben vom 7. Januar 2008 einerseits den Entscheid des Kassationsgerichts und andererseits das Urteil des Geschworenengerichts mit Beschwerde in Strafsachen angefochten, wobei er die gegen das Urteil des Geschworenengerichts erhobene Eingabe als Ergänzung der eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde bezeichnet, die er zum integrierenden Bestandteil der neuen Eingabe erklärt. Es stellt sich somit die Frage, wie unter derartigen Umständen prozessual zu verfahren ist.
1.3.2 Hätte der Beschwerdeführer, nachdem ihm der begründete Entscheid des Kassationsgerichts zugestellt worden war, einzig diesen Entscheid und nicht auch erneut das Urteil des Geschworenengerichts beim Bundesgericht angefochten, so müsste die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde, die er bereits am 31. Dezember 2006 nach Massgabe des damals geltenden Verfahrensrechts gegen das Urteil des Geschworenengerichts erhoben hat, vom Bundesgericht behandelt werden. Aus den vorstehend zitierten Bundesgerichtsentscheiden ergibt sich nicht, dass ein vor dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangenes Urteil des oberen kantonalen Gerichts im Falle der Einreichung einer dagegen erhobenen kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde allein mit einer Beschwerde gegen den Entscheid des kantonalen Kassationsgerichts beim Bundesgericht (mit-)angefochten werden kann und daher die bereits vorher erhobene eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde gegen das Urteil des oberen kantonalen Gerichts unzulässig wird. Andererseits kann es einem Beschwerdeführer, der bereits das Urteil des oberen kantonalen Gerichts nach dem damals geltenden Verfahrensrecht mit eidgenössischer Nichtigkeitsbeschwerde angefochten hat, nicht verwehrt sein, in einer Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Kassationsgerichts auch das Urteil des oberen kantonalen Gerichts nochmals anzufechten, zumal die Begründung des Kassationsgerichtsentscheids Anlass geben kann, bestimmte Einwände gegen das Urteil des oberen kantonalen Gerichts nicht mehr zu erheben und statt dessen andere Rügen vorzutragen.
1.3.3 Allerdings kann es gegebenenfalls nicht in Betracht kommen, die beiden Eingaben eines Beschwerdeführers gegen ein vor dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangenes Urteil eines oberen kantonalen Gerichts als zwei eigenständige Beschwerden in selbständigen Verfahren zu beurteilen. Vielmehr sind die beiden Eingaben als eine einzige Beschwerde zu behandeln. Dabei ist in der Regel die erste, als eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde eingereichte Eingabe als Bestandteil der zweiten, als Beschwerde in Strafsachen eingereichte Eingabe zu betrachten und ist diese Beschwerde, soweit auch der Entscheid des Kassationsgerichts mit Beschwerde in Strafsachen angefochten wird, als Bestandteil dieses Rechtsmittels anzusehen, durch welches somit neben dem Entscheid des Kassationsgerichts das Urteil des oberen kantonalen Gerichts mitangefochten wird.
1.3.4 Dies bedeutet im vorliegenden Fall Folgendes: Die eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde vom 31. Dezember 2006 gegen das Urteil des Geschworenengerichts ist als Bestandteil der Beschwerde in Strafsachen vom 7. Januar 2008 gegen das Urteil des Geschworenengerichts zu betrachten, und diese Beschwerde ist als Bestandteil der Beschwerde in Strafsachen vom 7. Januar 2008 gegen den Entscheid des Kassationsgerichts zu behandeln, durch welchen das Urteil des Geschworenengerichts mitangefochten wird. Alle drei Eingaben des Beschwerdeführers an das Bundesgericht sind somit verfahrensrechtlich als Bestandteile einer einzigen Beschwerde in Strafsachen anzusehen, die sich zum einen gegen den Entscheid des Kassationsgerichts vom 12. November 2007 und zum andern gegen das Urteil des Geschworenengerichts vom 25. August 2006 richtet. Gleichwohl werden die drei Eingaben zum besseren Verständnis in den folgenden Erwägungen teilweise separat behandelt.
2.1 2.1.1 Gemäss der Anklageschrift der Staatsanwaltschaft begab sich der Polizeibeamte A._ gemeinsam mit drei weiteren Polizeibeamten am 8. April 2004, um ca. 04.00 Uhr, zum Wohnort des Beschwerdeführers, nachdem bei der Polizei eine Meldung einer Drittperson betreffend dessen Suizidabsichten eingegangen war. Dem Beschwerdeführer wird vorgeworfen, er habe, nachdem der Polizeibeamte A._, der Zivilkleidung trug, mehrmals geklingelt, gerufen und an die Haustüre geklopft habe, aus einem Fenster im ersten Stock des von ihm bewohnten Hauses mit einer Pistole in Richtung der Hauseingangstüre gezielt und bewusst und gewollt eine Patrone in Richtung des dort stehenden Polizeibeamten A._, den er für einen Einbrecher hielt, abgefeuert, wobei das Geschoss allerdings niemanden traf.
2.1.2 Der Beschwerdeführer stellte im kantonalen Verfahren nicht in Abrede, dass er bewusst und gewollt einen Schuss abgab. Er machte aber geltend, er habe aus dem Fenster geradeaus schiessen wollen, doch sei er unmittelbar bei der Schussabgabe vom Podest, auf dem er gestanden sei, auf den ersten Treppenabsatz abgerutscht, so dass er anstatt geradeaus ungewollt in Richtung der Lärmquelle, d.h. die am Hauseingang stehende Person, geschossen habe. Der Beschwerdeführer beantragte vor dem Geschworenengericht zur Untermauerung dieser Darstellung sowie zur Bestimmung der Flugbahn des Projektils die Einholung eines ballistischen Ergänzungsgutachtens.
Das Geschworenengericht hat die Darstellung des Beschwerdeführers als völlig unglaubhaft qualifiziert und festgestellt, dass er nicht abgerutscht war, sondern den Schuss mit Wissen und Willen in Richtung der am Hauseingang stehenden Person abgefeuert hatte. Es stützte diese Feststellung im Wesentlichen auf die Zeugenaussagen der vier Polizeibeamten einerseits sowie auf das Aussageverhalten des Beschwerdeführers andererseits. Die Einholung des beantragten ballistischen Ergänzungsgutachtens lehnte es ab.
2.1.3 In seiner kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich machte der Beschwerdeführer geltend, dass die Beweiswürdigung des Geschworenengerichts willkürlich sei, teilweise auf aktenwidrigen Annahmen beruhe und gegen die Maxime "in dubio pro reo" verstosse. Zudem sei sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden.
Das Kassationsgericht hat alle Rügen, soweit sie überhaupt ausreichend substantiiert waren, als unbegründet erachtet und daher die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte.
2.2 Der Beschwerdeführer macht in seiner Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Kassationsgerichts allgemein geltend, dieses habe eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör durch das Geschworenengericht zu Unrecht verneint, damit die willkürliche Beweiswürdigung seitens des Geschworenengerichts nicht korrigiert und den Grundsatz "in dubio pro reo" weiterhin verletzt. Somit stütze sich der Entscheid des Kassationsgerichts auch auf eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts, da in Verletzung von <ref-law> nicht alle notwendigen Beweise zur Klärung des Sachverhalts abgenommen worden seien. Der Beschwerdeführer macht in diesem Zusammenhang konkret geltend, das Geschworenengericht habe seinen Beweisantrag auf Einholung eines ballistischen Ergänzungsgutachtens zu Unrecht abgelehnt und das Kassationsgericht habe die in der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde dagegen erhobenen Einwände zu Unrecht als unbegründet beziehungsweise nicht ausreichend substantiiert erachtet. Im Weiteren macht der Beschwerdeführer geltend, das Kassationsgericht habe eine willkürliche Beweiswürdigung seitens des Geschworenengerichts, namentlich eine willkürliche Würdigung der Aussagen des Polizeibeamten A._ und seines eigenen Aussageverhaltens, zu Unrecht nicht korrigiert.
2.2 Der Beschwerdeführer macht in seiner Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Kassationsgerichts allgemein geltend, dieses habe eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör durch das Geschworenengericht zu Unrecht verneint, damit die willkürliche Beweiswürdigung seitens des Geschworenengerichts nicht korrigiert und den Grundsatz "in dubio pro reo" weiterhin verletzt. Somit stütze sich der Entscheid des Kassationsgerichts auch auf eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts, da in Verletzung von <ref-law> nicht alle notwendigen Beweise zur Klärung des Sachverhalts abgenommen worden seien. Der Beschwerdeführer macht in diesem Zusammenhang konkret geltend, das Geschworenengericht habe seinen Beweisantrag auf Einholung eines ballistischen Ergänzungsgutachtens zu Unrecht abgelehnt und das Kassationsgericht habe die in der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde dagegen erhobenen Einwände zu Unrecht als unbegründet beziehungsweise nicht ausreichend substantiiert erachtet. Im Weiteren macht der Beschwerdeführer geltend, das Kassationsgericht habe eine willkürliche Beweiswürdigung seitens des Geschworenengerichts, namentlich eine willkürliche Würdigung der Aussagen des Polizeibeamten A._ und seines eigenen Aussageverhaltens, zu Unrecht nicht korrigiert.
2.3 2.3.1 Das Gutachten des Wissenschaftlichen Dienstes der Stadtpolizei Zürich vom 21. Dezember 2005 kam gestützt auf zahlreiche Schiessversuche zum Ergebnis, dass der Schuss, welchen der Beschwerdeführer vom Fenster aus abgab, aufgrund der Position der dessen Waffe zuzuordnenden Patronenhülse in Richtung der Haustüre abgefeuert worden war (kant. Akten act. 16/7 S. 7, 13). Das Gutachten war von B._ und C._ erstellt worden. Die Staatsanwaltschaft und die Verteidigung beantragten übereinstimmend deren Befragung als Zeugen in der Hauptverhandlung. Dem Antrag wurde stattgegeben. C._ und B._ konnten jedoch wegen Auslandabwesenheit nicht an der Hauptverhandlung erscheinen. Deshalb wurde das ballistische Gutachten mit dem Einverständnis des Geschworenengerichtspräsidenten von D._ erläutert. Dieser konnte allerdings verschiedene Fragen, die ihm von der Verteidigung gestellt wurden, nicht beantworten. Im Anschluss an die Befragung von D._ beantragte die Verteidigung in der Hauptverhandlung die Einholung eines ballistischen Ergänzungsgutachtens, was abgelehnt wurde.
2.3.2 Der Beschwerdeführer legt nicht dar, welche konkreten Fragen, die seines Erachtens rechtlich erheblich sind, D._ mangels eines speziellen Expertenwissens auf dem Gebiet der Ballistik nicht habe beantworten können. Er legt auch nicht dar, weshalb und inwiefern für die Beantwortung der ihn interessierenden Frage, ob die Hand, in welcher er die Pistole hielt, im Augenblick der Schussabgabe - wie er behauptete - unmittelbar am Fenstersims angelehnt gewesen sein musste, damit das abgeschossene Projektil überhaupt die Abprallstelle treffen konnte, im konkreten Fall unter den gegebenen Umständen ein spezielles Expertenwissen auf dem Gebiet der Ballistik erforderlich sei.
Die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör ist daher insoweit nicht rechtsgenüglich begründet.
2.3.3
2.3.3.1 Der Beschwerdeführer wollte mit dem von ihm beantragten ballistischen Ergänzungsgutachten den Beweis erbringen, dass seine Hand, in welcher er die Pistole hielt, im Augenblick der Schussabgabe unmittelbar am Fenstersims gewesen sei. Dieser Umstand würde nach seiner Meinung die Darstellung stützen, dass er im Moment der Schussabgabe vom Podest, auf dem er stand, auf den ersten Treppenabsatz abgerutscht sei.
In tatsächlicher Hinsicht ist unstreitig davon auszugehen, dass das Projektil zwischen der Hauswand und einem Geländer passieren musste, um auf die bekannte Abprallstelle zu treffen. Unstreitig ist das Geländer 8 cm und die Abprallstelle 3 cm von der Hauswand entfernt. Fest steht zudem, dass das Fenstersims ca. 8 cm über die Hauswand hinausragt und dass das Fenster, von dem aus der Beschwerdeführer unstreitig den Schuss abgab, ca. 150 cm (linker Fensterrand aus der Sicht des Schützen) bis 240 cm (rechter Fensterrand) von der Abprallstelle entfernt ist. Aufgrund dieser Daten ermittelte das Geschworenengericht, dass die Hand, in welcher der Beschwerdeführer die Pistole hielt, im Augenblick der Schussabgabe - je nach dem Standort des Beschwerdeführers am Fenster - ca. 20 - 35 cm über das Fenstersims hinausragen konnte und somit entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers nicht am Fenstersims angelehnt sein musste, damit das Projektil die Abprallstelle treffen konnte (siehe Urteil des Geschworenengerichts S. 45-47).
2.3.3.2 Der Beschwerdeführer wandte in seiner kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde ein, die diesbezüglichen Berechnungen, welche das Geschworenengericht in seinem Urteil (S. 45 ff.) anstellte und durch eine Skizze veranschaulichte, seien nicht nachvollziehbar und nicht überprüfbar. Das Kassationsgericht hielt dazu fest, dass die Beschwerde insoweit den Begründungsanforderungen nicht genüge. Es wäre Sache des Beschwerdeführers gewesen darzulegen, welche konkreten Überlegungen des Geschworenengerichts nicht nachvollziehbar seien. Eine bloss pauschale Behauptung genüge nicht, weshalb insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten sei (Entscheid des Kassationsgerichts S. 20 f.).
2.3.3.3 Dagegen wird in der Beschwerde in Strafsachen eingewendet, die Verteidigerin sei mathematisch zu wenig versiert, um die Berechnungen des Geschworenengerichts nachvollziehen und sich damit konkret auseinander setzen zu können, und aus diesem Grunde habe sie die Berechnungen des Geschworenengerichts auch in der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde nicht substantiiert widerlegen können. Das Kassationsgericht werfe ihr daher zu Unrecht vor, nicht im Detail dargelegt zu haben, welche konkreten Überlegungen bei den Berechnungen des Geschworenengerichts nicht überprüfbar seien, und es schütze damit die willkürliche Beweiswürdigung seitens des Geschworenengerichts.
Die Rüge ist unbegründet. Die mit einer Skizze veranschaulichten Berechnungen des Geschworenengerichts sind verständlich und nachvollziehbar. Einer mathematischen Versiertheit bedarf es hiefür nicht. Es ging dabei allein um die Behauptung des Beschwerdeführers, dass die Hand, in welcher er die Pistole hielt, im Augenblick der Schussabgabe unmittelbar am Fenstersims angelehnt gewesen sein musste, damit das Projektil überhaupt zwischen der Hauswand und dem Geländer hindurch auf die unbestrittene Abprallstelle gelangen konnte. Das Geschworenengericht hat diese Behauptung verständlich und nachvollziehbar widerlegt.
Die diesbezüglichen Feststellungen des Geschworenengerichts beruhen insoweit entgegen den weiteren Einwänden des Beschwerdeführers auch nicht auf blossen Schätzungen beziehungsweise hypothetischen Annahmen. Es steht fest, dass die Entfernung zwischen der Abprallstelle und dem Fenster, aus welchem der Beschwerdeführer unstreitig den Schuss abgab, ca. 150 cm (linker Fensterrand aus der Sicht des Schützen) bis ca. 240 cm (rechter Fensterrand) beträgt. Unbekannt ist allerdings, ob sich die Hand des Beschwerdeführers im Augenblick der Schussabgabe eher in der Nähe des linken oder aber des rechten Fensterrandes oder allenfalls in der Mitte des Fensters befand. Dies ist indessen unerheblich, weil unabhängig davon die Hand im Augenblick der Schussabgabe nicht unmittelbar am Fenstersims gewesen sein musste, sondern, je nachdem, bis ca. 35 cm beziehungsweise bis ca. 20 cm vom Fenstersims entfernt gewesen sein konnte, damit das abgeschossene Projektil zwischen der Hauswand und dem Geländer hindurch auf die Abprallstelle treffen konnte.
2.4 Das Geschworenengericht hat die Darstellung des Beschwerdeführers, dass er im Moment der Schussabgabe vom Podest auf den ersten Treppenabsatz abgerutscht sei und daher statt geradeaus ungewollt in Richtung des Hauseingangs und der dort stehenden Person geschossen habe, als völlig unglaubhaft qualifiziert. Es hat diese Würdigung ausführlich begründet und unter anderem darauf hingewiesen, dass die diesbezüglichen Schilderungen des Beschwerdeführers im Verlauf des Verfahrens bis zur Hauptverhandlung immer detaillierter geworden seien, was unter anderem deshalb befremdend wirke, weil der Beschwerdeführer sich an die übrigen Umstände meist nicht einmal ansatzweise habe erinnern können.
Auf die in der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde dagegen erhobenen Einwände ist das Kassationsgericht mangels ausreichender Begründung nicht eingetreten. Der Beschwerdeführer legt in seiner Beschwerde in Strafsachen nicht dar, inwiefern dadurch verfassungsmässige Rechte verletzt worden seien. Was er dazu vorbringt (Beschwerde S. 11 f. Ziff. 7), erschöpft sich im Übrigen in einer appellatorischen Kritik, die zur Begründung einer Willkürrüge nicht genügt.
2.5 Der Beschwerdeführer hatte in seiner kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde die Würdigung der Zeugenaussagen des Polizeibeamten A._ durch das Geschworenengericht als willkürlich kritisiert. Das Kassationsgericht hat diese Kritik als unbegründet abgewiesen. Dass der Beschwerdeführer seinen rechten Arm mit der Schusswaffe, den er zunächst geradeaus aus dem Fenster hielt, gemäss einer Aussage des Zeugen A._ "ziemlich schnell" nach links (in Richtung des Hauseingangs) drehte, spricht nach der Auffassung des Kassationsgerichts nicht für die Darstellung des Beschwerdeführers, dass er abgerutscht sei. Auch eine kontinuierliche Bewegung könnte "ziemlich schnell" erfolgt sein (Entscheid des Kassationsgerichts S. 6).
Der Beschwerdeführer macht geltend, das Kassationsgericht verkenne dabei den Umstand, dass er stark alkoholisiert gewesen sei. Es sei gerichtsnotorisch, dass eine stark alkoholisierte Person eher verlangsamt als zügig beziehungsweise sehr schnell reagiere. Damit habe das Kassationsgericht den Sachverhalt willkürlich zu seinen Ungunsten ausgelegt (Beschwerde S. 11 Ziff. 6).
Der Einwand ist nicht ohne weiteres verständlich, nachdem der Beschwerdeführer selber im Verfahren vor dem Kassationsgericht gerade daraus, dass er gemäss einer Aussage des Zeugen A._ den Arm "ziemlich schnell" bewegt habe, etwas zu seinen Gunsten ableiten wollte (siehe kantonale Nichtigkeitsbeschwerde S. 4 Ziff. 3 dritter Absatz). Möglicherweise will der Beschwerdeführer aber zum Ausdruck bringen, dass die ziemlich schnelle Armbewegung deshalb für das behauptete Abrutschen spreche, weil eine alkoholisierte Person normalerweise, ohne Abrutschen, eher verlangsamt handle. Wie es sich damit verhält, kann indessen dahingestellt bleiben, da sich der Einwand ohnehin in einer blossen appellatorischen Kritik erschöpft, die zur Begründung der Rüge der willkürlichen Beweiswürdigung nicht genügt.
2.6 Der Beschwerdeführer macht in seiner Beschwerde vom 7. Januar 2008 gegen den Entscheid des Kassationsgerichts abschliessend geltend, die Notwehrsituation habe sich entgegen den Ausführungen im Urteil des Geschworenengerichts (S. 58) nicht nur auf das Haus (und somit auf das Eigentum), sondern auch auf seine körperliche Integrität bezogen, da er, falls er aus dem Fenster geschaut hätte, woran er sich allerdings nicht mehr erinnere, am Hauseingang zwei bewaffnete Männer gesehen hätte, die möglicherweise ihre Schusswaffe gar gegen ihn gerichtet haben konnten (Beschwerde S. 12 f. Ziff. 8).
Auf die Beschwerde ist in diesem Punkt schon deshalb nicht einzutreten, weil der Beschwerdeführer in seiner kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde vom 22. Januar 2007 keine entsprechende Rügen vorgetragen und das Kassationsgericht sich denn auch in seinem Entscheid mit solchen Fragen nicht befasst hat, so dass es insoweit an einem letztinstanzlichen kantonalen Entscheid fehlt.
3. Der Beschwerdeführer ficht das Urteil des Geschworenengerichts erstens in seiner als (eidgenössische) "Nichtigkeitsbeschwerde" bezeichneten Eingabe vom 31. Dezember 2006 und zweitens in seiner als "Beschwerde in Strafsachen" bezeichneten Eingabe vom 7. Januar 2008 beim Bundesgericht an.
3.1 Der Beschwerdeführer erhebt in seiner Beschwerde in Strafsachen vom 7. Januar 2008 gegen das Urteil des Geschworenengerichts unter den Ziffern II.1 - 9 (S. 6-15) im Wesentlichen dieselben Rügen wie in seiner Beschwerde in Strafsachen vom gleichen Tag gegen den Entscheid des Kassationsgerichts. Die beiden Beschwerden stimmen insoweit grösstenteils wörtlich miteinander überein. Der Beschwerdeführer wirft dem Geschworenengericht willkürliche Beweiswürdigung sowie Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör vor. Diese Rügen sind unzulässig, da sie mit der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich erhoben werden konnten und daher das Urteil des Geschworenengerichts insoweit kein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid ist. Der Beschwerdeführer muss vielmehr in der Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Kassationsgerichts darlegen, weshalb und inwiefern dieses eine willkürliche Beweiswürdigung und eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör durch das Geschworenengericht zu Unrecht verneint habe beziehungsweise auf entsprechende Rügen in der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde zu Unrecht nicht eingetreten sei. Der Beschwerdeführer hat derartige Rügen denn auch in seiner Beschwerde in Strafsachen vom 7. Januar 2008 gegen den Entscheid des Kassationsgerichts erhoben (siehe dazu E. 2 hievor). Auf die in der Eingabe vom 7. Januar 2008 unter den Ziffern II.1-9 (S. 6-15) gegen das Urteil des Geschworenengerichts erhoben Rügen ist daher nicht einzutreten.
3.1 Der Beschwerdeführer erhebt in seiner Beschwerde in Strafsachen vom 7. Januar 2008 gegen das Urteil des Geschworenengerichts unter den Ziffern II.1 - 9 (S. 6-15) im Wesentlichen dieselben Rügen wie in seiner Beschwerde in Strafsachen vom gleichen Tag gegen den Entscheid des Kassationsgerichts. Die beiden Beschwerden stimmen insoweit grösstenteils wörtlich miteinander überein. Der Beschwerdeführer wirft dem Geschworenengericht willkürliche Beweiswürdigung sowie Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör vor. Diese Rügen sind unzulässig, da sie mit der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich erhoben werden konnten und daher das Urteil des Geschworenengerichts insoweit kein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid ist. Der Beschwerdeführer muss vielmehr in der Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Kassationsgerichts darlegen, weshalb und inwiefern dieses eine willkürliche Beweiswürdigung und eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör durch das Geschworenengericht zu Unrecht verneint habe beziehungsweise auf entsprechende Rügen in der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde zu Unrecht nicht eingetreten sei. Der Beschwerdeführer hat derartige Rügen denn auch in seiner Beschwerde in Strafsachen vom 7. Januar 2008 gegen den Entscheid des Kassationsgerichts erhoben (siehe dazu E. 2 hievor). Auf die in der Eingabe vom 7. Januar 2008 unter den Ziffern II.1-9 (S. 6-15) gegen das Urteil des Geschworenengerichts erhoben Rügen ist daher nicht einzutreten.
3.2 3.2.1 Der Beschwerdeführer macht in seiner Beschwerde in Strafsachen vom 7. Januar 2008 gegen das Urteil des Geschworenengerichts unter den Ziffern II. 10-12 (S. 15-18) geltend, er habe entgegen der Auffassung des Geschworenengerichts nicht mit dem Eventualvorsatz der Tötung gehandelt. Allenfalls sei ihm vorzuwerfen, in pflichtwidriger Unvorsichtigkeit zur Abwehr eines vermeintlich unrechtmässigen Angriffs gegen die Lärmquelle bei der Hauseingangstür geschossen und dabei gehofft zu haben, niemanden zu töten oder zu verletzen. Sein Verhalten hätte bloss mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zu einer Verletzung, aber nicht zwingend zur Tötung des Geschädigten führen können, auch wenn die Schussabgabe aus relativ naher Distanz erfolgt sei. Er habe auch überhaupt kein Motiv gehabt, einen sich ausserhalb seines Hauses aufhaltenden (vermeintlichen) Einbrecher zu töten. Er habe die mutmasslichen Einbrecher mit einem Warnschuss aus dem Fenster verjagen wollen. Er habe sie nicht töten wollen und eine allfällige Tötung auch nicht in Kauf genommen. Daher habe er sich nicht des eventualvorsätzlichen Tötungsversuchs schuldig gemacht. Allenfalls sei ihm eine versuchte Gefährdung des Lebens oder eventuell eine versuchte fahrlässige Tötung anzulasten. Er wirft dem Geschworenengericht vor, dass es sich mit der Frage der Abgrenzung zwischen Eventualvorsatz und bewusster Fahrlässigkeit überhaupt nicht befasst und sich mit den hiefür relevanten Umständen nicht auseinander gesetzt habe. Im Zeitpunkt der Schussabgabe habe er eine Blutalkoholkonzentration von 2 o/oo aufgewiesen. Der psychiatrische Gutachter habe ihm in Bezug auf den Vorwurf der versuchten vorsätzlichen Tötung eine Beeinträchtigung der Steuerungsfähigkeit in hohem Grade attestiert. Zu den für die Abgrenzung von Eventualvorsatz und bewusster Fahrlässigkeit erheblichen Umständen gehöre auch das Handlungsmotiv, das allein darin bestanden habe, die vermeintlichen Einbrecher zu verjagen.
Der Beschwerdeführer bestreitet auch in seiner eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde vom 31. Dezember 2006 unter den Ziffern II.4-8 (S. 6-9) den Eventualvorsatz der Tötung. Das Geschworenengericht habe sich darauf beschränkt, den Eventualvorsatz aus dem "erstellten äusseren Sachverhalt" abzuleiten, der sich allerdings darin erschöpfe, dass er aus kurzer Distanz einen Schuss in Richtung eines Menschen abgegeben habe. Richtigerweise müssten aber nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts die gesamten Umstände berücksichtigt werden, was das Geschworenengericht zu Unrecht ausser Acht gelassen habe. Zu diesen Umständen gehöre neben dem Handlungsmotiv auch das "Nachtatverhalten". Er habe sich nach der Schussabgabe ins Haus zurückgezogen, ohne irgendwelche Massnahmen zu ergreifen. Dies spreche offensichtlich dafür, dass er nicht damit gerechnet habe, bei der Schussabgabe jemanden tödlich getroffen zu haben. Hätte er in Kauf genommen, jemanden zu verletzen oder zu töten, so hätte er sich - wovon nach der allgemeinen Lebenserfahrung auszugehen sei - anschliessend über den Erfolg seines Handelns vergewissert und sicher nicht in Kauf genommen, einen sterbenden oder getöteten Menschen vor seiner Haustür liegen zu lassen.
3.2.2 Das Geschworenengericht hat sich in der Tat nicht eingehend mit dem subjektiven Tatbestand und somit mit der Frage befasst, ob dem Beschwerdeführer in Bezug auf einen allfälligen Tötungserfolg Eventualvorsatz oder aber lediglich bewusste Fahrlässigkeit vorzuwerfen sei. Es hat den Tötungseventualvorsatz mit einer knappen Begründung bejaht (siehe Urteil des Geschworenengerichts S. 52, 53, 57), im Wesentlichen mit dem Argument, wer wie der Beschwerdeführer bewusst und gewollt aus kürzester Distanz in Richtung einer Person schiesse, nehme dabei zweifellos in Kauf, dass er diese tödlich verletze. Diese knappe Begründung ist indessen in einem Fall der vorliegenden Art nicht zu beanstanden. Der Beschwerdeführer hat mit Wissen und Willen aus einer kurzen Entfernung von ca. 2 - 3 Metern aus dem Fenster im ersten Stock seines Hauses in Richtung der "Lärmquelle" beim Hauseingang und damit in Richtung des dort stehenden Menschen, den er für einen Einbrecher hielt, einen Schuss aus einer Pistole abgegeben. Indem er dies tat, nahm er eine tödliche Verletzung im Falle ihres Eintritts im Sinne des Eventualvorsatzes in Kauf, mochte ihm eine solche allenfalls auch unerwünscht sein. Bei der Abgabe eines Schusses aus so naher Entfernung in Richtung eines Menschen kann angesichts der Art der Tathandlung nicht ernsthaft in Betracht gezogen werden, dass in Bezug auf einen allfälligen Tötungserfolg lediglich bewusste Fahrlässigkeit vorgelegen und sich der Vorsatz höchstens allenfalls auf eine Gefährdung des Lebens gerichtet habe. Der vorliegende Fall unterscheidet sich wesentlich von dem in der Beschwerde (Ziffer II.11 S. 10) erwähnten Fall eines Mannes, der auf eine Türe schoss im Wissen darum, dass sich im dahinterliegenden Raum Menschen aufhielten, was das Geschworenengericht des Kantons Zürich in einem Urteil vom 4. November 1997 (ZR 97/1998 Nr. 53) als versuchte Gefährdung des Lebens qualifiziert hat. Die schwere Verminderung der Zurechnungsfähigkeit, welche das Geschworenengericht, dem psychiatrischen Gutachten folgend, dem Beschwerdeführer zugebilligt hat (Urteil des Geschworenengerichts E. IV.3.4.4 S. 68), berührt die Frage des Eventualvorsatzes nicht.
Die Bejahung des Eventualvorsatzes in Bezug auf eine allfällige Tötung, der unstreitig auch für einen Schuldspruch wegen vollendeten Tötungsversuchs genügt, verstösst daher nicht gegen Bundesrecht.
Die Bejahung des Eventualvorsatzes in Bezug auf eine allfällige Tötung, der unstreitig auch für einen Schuldspruch wegen vollendeten Tötungsversuchs genügt, verstösst daher nicht gegen Bundesrecht.
3.3 3.3.1 Das Geschworenengericht ging entsprechend der Anklage davon aus, dass der Beschwerdeführer den Menschen am Hauseingang, in dessen Richtung er einen Schuss abgab, für einen Einbrecher hielt. Es billigte dem Beschwerdeführer daher zu, er habe mit Notwehrwillen gehandelt. Dem Beschwerdeführer sei es bei der Schussabgabe um eine Abwehr gegangen, um die "Verteidigung seines Hauses" (Urteil des Geschworenengerichts S. 58). Objektiv habe allerdings offensichtlich keine Notwehrlage bestanden (Urteil des Geschworenengerichts S. 59), doch habe der Beschwerdeführer sachverhaltsirrtümlich eine solche angenommen (Urteil des Geschworenengerichts S. 60). Die Abgabe eines Schusses in Richtung des vermeintlichen Einbrechers beim Hauseingang stelle indessen eine Überschreitung der Grenzen der Notwehr und somit einen Notwehrexzess dar. Der (vermeintliche) Angriff der Einbrecher habe sich bloss gegen das Eigentum des Beschwerdeführers gerichtet, während dessen Abwehr auf die körperliche Integrität (Leib und Leben) gezielt gewesen sei. Die Schussabgabe in Richtung des vermeintlichen Einbrechers sei daher völlig unverhältnismässig gewesen (Urteil des Geschworenengerichts S. 60 f.).
3.3.2 Der Beschwerdeführer macht in seiner eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde vom 31. Dezember 2006 geltend, entgegen der Auffassung der Vorinstanz liege kein Notwehrexzess vor. Es sei nämlich in tatsächlicher Hinsicht zu seinen Gunsten davon auszugehen, dass die am Hauseingang stehende Person, die er für einen Einbrecher gehalten habe, eine Schusswaffe gegen ihn gerichtet habe und er somit auch mit einem Angriff gegen sein Leben bedroht gewesen sei. Zwar habe er im Verfahren konstant ausgesagt, dass er niemanden bei der Hauseingangstür gesehen beziehungsweise gar nicht in jene Richtung geschaut habe. Er habe indessen von Anfang an eine Erinnerungslücke bezüglich des Geschehens geltend gemacht. Er könne gemäss den Erkenntnissen des psychiatrischen Gutachters am fraglichen Morgen alles Mögliche gesehen haben, nur wisse er es nicht mehr. Der Beschwerdeführer meint, unter Berücksichtigung dieser Erinnerungslücke sei zu seinen Gunsten davon auszugehen, dass er bei seinem Blick aus dem Fenster in Richtung Hauseingang zwei Männer in Zivilkleidern, nämlich (vermeintliche) Einbrecher, gesehen haben müsse, von welchen mindestens einer die Schusswaffe aus der kurzen Distanz von 1 1⁄2 - 2 Metern direkt gegen ihn gerichtet habe. Er habe unter anderem in Anbetracht der durch das heftige Poltern gegen die Haustüre signalisierten Gewaltbereitschaft der vermeintlichen Einbrecher davon ausgehen müssen, dass ein Angriff mit der gegen ihn gerichteten Schusswaffe unmittelbar bevorgestanden habe. Bei dieser Sachlage habe er einen Schuss in Richtung des vermeintlichen Angreifers abgeben dürfen (eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde vom 31. Dezember 2006, Ziffern II.13 ff. S. 11 ff.).
Diese Einwände hat der Beschwerdeführer auch vor dem Geschworenengericht eventualiter vorgetragen. Das Geschworenengericht ist diesem Eventualstandpunkt nicht gefolgt. Der Beschwerdeführer hätte bei der behaupteten Sachlage nämlich auch den uniformierten Polizeibeamten E._ sehen müssen, was er aber stets bestritten habe. Ebenso spreche der ganze Handlungsablauf, wie der Beschwerdeführer seine Waffe zuerst geradeaus und dann auf den Hauseingang gerichtet habe, gegen die Annahme, er habe zuerst eine Waffe wahrgenommen und sich erst dann zur Schussabgabe entschlossen (Urteil des Geschworenengerichts S. 62).
Das Geschworenengericht stellt damit fest, der Beschwerdeführer habe den Schuss nicht erst abgegeben, nachdem er eine auf ihn gerichtete Schusswaffe wahrgenommen habe. Diese Feststellung ist tatsächlicher Natur. Der Beschwerdeführer hätte sie in seiner kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht anfechten können. Dies hat er jedoch unterlassen (siehe E. 2.6 hievor).
3.4 Der Beschwerdeführer ficht in seiner eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde vom 31. Dezember 2006 gegen das Urteil des Geschworenengerichts abschliessend die Strafzumessung an (Ziffer II.16 ff. S. 13 ff.). Er nennt einige Umstände, die seines Erachtens zu seinen Gunsten sprechen. Das Geschworenengericht habe gewisse Strafzumessungskriterien ausser Acht gelassen beziehungweise zu wenig zu seinen Gunsten gewichtet.
Zur Hauptsache macht der Beschwerdeführer geltend, dass es überhaupt nur wegen des "ungeschickten" Verhaltens der Polizeibeamten zur Schussabgabe gekommen sei und dieses "Mitverschulden" der Polizeibeamten strafmindernd hätte berücksichtigt werden müssen. Dem Beschwerdeführer wurde indessen gerade auch wegen des von ihm kritisierten Vorgehens der Polizeibeamten zugebilligt, er habe irrtümlich angenommen, es mit Einbrechern zu tun zu haben, womit grundsätzlich eine Notwehrlage gegeben war. Andererseits hat der Beschwerdeführer offensichtlich nichts unternommen, um sich Klarheit zu verschaffen, dass in Tat und Wahrheit Polizeibeamte vor seinem Haus standen, was nicht schwierig gewesen wäre.
Der Beschwerdeführer meint, dass sich die ihm vom psychiatrischen Gutachter bescheinigte geringe kriminelle Energie ebenfalls strafmindernd auswirken sollte. Damit legt er indessen nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern das Geschworenengericht Umstände, welche die Frage der kriminellen Energie betreffen, bei der Bemessung der Strafe zu seinen Lasten offensichtlich falsch gewichtet habe.
Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, sein Verschulden werde durch die ihm zugebilligte schwere Verminderung der Schuldfähigkeit stark relativiert. Dies ist richtig. Das Geschworenengericht hat denn auch erwogen, dass die schwere Verminderung der Schuldfähigkeit eine Reduktion der Strafe um drei Viertel rechtfertigt (Urteil des Geschworenengerichts S. 71/72). Inwiefern bei der gebotenen Berücksichtigung der gesamten Umstände die vom Geschworenengericht ausgefällte Strafe von zwei Jahren Gefängnis bundesrechtswidrig zu hoch sei, ist nicht ersichtlich.
4. Die vom Beschwerdeführer in insgesamt drei Eingaben erhobene Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 12. November 2007 und gegen das Urteil des Geschworenengerichts des Kantons Zürich vom 25. August 2006 ist somit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Gesuch ist abzuweisen, da die Eingaben des Beschwerdeführers keine Aussicht auf Erfolg hatten. Der Beschwerdeführer hat daher die bundesgerichtlichen Kosten zu zahlen. Bei deren Bemessung ist seinen angespannten finanziellen Verhältnissen Rechnung zu tragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde gegen den Entscheid des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 12. November 2007 und gegen das Urteil des Geschworenengerichts des Kantons Zürich vom 25. August 2006 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich, dem Geschworenengericht des Kantons Zürich und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Mai 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Näf