Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss vom 5. Juli 2010 des Obergerichts des Kantons Thurgau, das einen Rekurs (u.a.) des Beschwerdeführers gegen die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung an die Beschwerdegegnerin (für Fr. 1'869.-- gegenüber dem Beschwerdeführer) abgewiesen hat, soweit es darauf eingetreten ist,
in das sinngemässe Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Beschluss des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Beschluss vom 5. Juli 2010 erwog, der erstinstanzliche Richter habe zu Recht auf Grund eines gültigen Rechtsöffnungstitels die definitive Rechtsöffnung erteilt, nachdem der Beschwerdeführer weder Tilgung noch Stundung noch Verjährung noch andere relevante Einwendungen geltend gemacht habe, der Beschwerdeführer beschränke sich, soweit seine Vorbringen überhaupt verständlich seien, auf beleidigende Beschimpfungen gegenüber allen möglichen Behörden, die materielle Begründetheit der Steuerforderung und deren Höhe hätte sodann der Beschwerdeführer mit Beschwerde gegen die Steuerveranlagungsverfügung anfechten müssen, im Rechtsöffnungsverfahren könne diese Frage nicht mehr geprüft werden, schliesslich werde das Betreibungsamt im Zusammenhang mit der Pfändung den finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers Rechnung zu tragen haben,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass er erst recht nicht anhand dieser Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen aufzeigt, inwiefern der Beschluss des Obergerichts vom 5. Juli 2010 verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass dem Beschwerdeführer in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Verfassungsbeschwerde die unentgeltliche Rechtspflege nicht gewährt werden kann (<ref-law>),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann