Faits:
A.
A.a. A.X._, ressortissant de Serbie-et-Monténégro né en 1966, est père de quatre enfants issus de son premier mariage avec sa compatriote B.X._ née Y._. Il s'agit de C._ née en 1990, D._ née 1993, E._ né le 22 septembre 1995 et F._ (ou G._) née le 25 août 1999.
A.b. A.X._ est entré en Suisse le 2 juillet 2001. Ses enfants restés au pays ont été pris en charge, apparemment, par leur mère et, accessoirement, par le frère du prénommé, H.X._, toute la famille vivant dans le même village du Kosovo. Sa demande d'asile ayant été rejetée, A.X._ a été mis au bénéfice d'une admission provisoire. Le mariage des époux X._-Y._ a été dissous par jugement du tribunal d'arrondissement de Prizren du 30 septembre 2003. La garde des enfants C._, D._ et E._ a été confiée à leur père, un droit de visite étant accordé à la mère.
Le 29 juillet 2004, A.X._ s'est remarié avec Z._, ressortissante suisse de 30 années son aînée. Il a de ce fait obtenu une autorisation de séjour par regroupement familial. Par décision du 15 avril 2006, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a révoqué ladite autorisation, au motif que les époux s'étaient séparés le 9 décembre 2005. Le couple ayant déclaré avoir repris la vie commune, cette autorité est revenue sur sa décision le 10 juillet 2006.
Entre-temps, par jugement du 30 janvier 2006, le tribunal communal de Rahovec a confié la garde de F._ - qui n'était pas mentionnée dans le jugement du tribunal d'arrondissement de Prizren du 30 septembre 2003 pour le motif qu'elle n'avait pu être enregistrée en raison de la situation de guerre dans le pays - à son père.
A.c. Le 3 mars 2008, C._, D._, E._ et F._ ont déposé une demande de visa pour la Suisse, afin de pouvoir rejoindre leur père à Renens (VD). Ils ont notamment produit une attestation selon laquelle leur mère B.X._ consentait à ce qu'ils se rendent auprès de leur père en Suisse. Par décision du 27 avril 2009, le Service cantonal a refusé de délivrer une autorisation d'entrée et de séjour aux enfants, notamment au motif que leur centre de vie se situait au Kosovo, où ils avaient toujours vécu, et que la demande était intervenue tardivement, le père ayant eu la possibilité de les faire venir en 2004 déjà, soit après avoir obtenu son autorisation de séjour. La décision de refus du Service cantonal a été confirmée par arrêt de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) du 20 octobre 2009. Par arrêt du 20 mai 2010 (cause 2C_508/2009), le Tribunal fédéral a rejeté le recours dirigé contre l'arrêt du Tribunal cantonal.
B.
Le 19 juin 2012, A.X._ a sollicité du Service cantonal la reconsidération de la décision du 27 avril 2009 et le regroupement familial pour ses enfants E._ et F._, joignant à sa demande une attestation établie par A.X._ autorisant ses enfants cadets à vivre auprès de leur père en Suisse. Par décision du 22 octobre 2012, le Service cantonal a déclaré la demande de reconsidération irrecevable et l'a subsidiairement rejetée, au motif qu'aucun élément nouveau n'avait été invoqué par l'intéressé et qu'il apparaissait que les conditions de prise en charge au Kosovo des enfants ne s'étaient pas sensiblement modifiées. Par arrêt du 18 janvier 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours formé par A.X._ contre la décision du 22 octobre 2012 et a confirmé cette dernière.
C.
A.X._ forme un "recours adressé au Tribunal fédéral, Cour de droit administratif et public" contre l'arrêt du 18 janvier 2013. Il conclut principalement, sous suite de frais et dépens, à l'annulation dudit arrêt et à la constatation de son droit d'obtenir le regroupement familial avec ses enfants E._ et F._, auxquels les autorisations nécessaires devront être délivrées. Subsidiairement, il demande au Tribunal fédéral de dire qu'il doit être entré en matière sur sa nouvelle requête de regroupement familial, et de retourner le dossier aux autorités cantonales pour complément d'instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Tribunal cantonal et l'Office fédéral des migrations concluent au rejet du recours; le Service cantonal renonce à se déterminer. Après avoir renoncé à répliquer dans son courrier du 30 mai 2013, A.X._ a, le 3 juin 2013, adressé un courrier accompagné de six pièces à l'attention du Tribunal fédéral; par courrier du 5 juin 2013 adressé au recourant, avec copie à la Cour de céans, le Service cantonal a informé A.X._ que sa demande de réexamen du 3 juin 2013 avait été suspendue jusqu'à droit connu sur le recours interjeté auprès du Tribunal fédéral.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 369).
1.1. Bien qu'il soit assisté d'un avocat, le recourant a simplement déclaré former un "recours" auprès du Tribunal fédéral. Cette désignation imprécise ne saurait lui nuire à condition que le recours remplisse les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 491).
1.2. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit. Comme déjà indiqué (arrêt 2C_508/2009 du 20 mai 2010 consid. 2), le recourant peut potentiellement tirer un droit, issu de l'art. 8 par. 1 CEDH protégeant la vie familiale, au regroupement avec ses deux enfants encore mineurs, de sorte que son recours ne tombe pas sous le coup des exceptions de l'<ref-law> (cf. aussi <ref-ruling> consid. 2.7 p. 293 s.).
1.3. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) portant sur le refus de l'autorité cantonale d'entrer en matière sur une décision déniant la délivrance d'autorisations de séjour par regroupement familial. Le recours a de plus été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (<ref-law>), par le recourant qui est atteint par la décision entreprise et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>). Le "recours", traité en tant que recours en matière de droit public, est partant recevable, sous réserve des éléments qui suivent.
1.4. Lorsque l'autorité saisie d'une demande de réexamen refuse, comme in casu, d'entrer en matière, un recours ne peut porter que sur le bien-fondé de ce refus (cf. <ref-ruling> consid. 8d p. 395; arrêts 2C_504/2013 du 5 juin 2013 consid. 3; 2C_349/2012 du 18 mars 2013 consid. 5.1). En tant que le recourant demande au Tribunal fédéral de constater son droit au regroupement familial avec ses enfants E._ et F._ et d'ordonner à l'autorité cantonale de leur délivrer les autorisations nécessaires, ses conclusions sont dès lors irrecevables.
1.5. Par ailleurs, il ne sera pas tenu compte du courrier du 3 juin 2013 ni de ses annexes, que le recourant a produits après le délai, prolongé, imparti par la Cour de céans pour lui adresser d'éventuelles observations complémentaires et sans que le motif avancé par l'intéressé à l'appui de sa demande de restitution de délai ne permette de retenir un empêchement excusable (cf. <ref-law>; arrêt 2C_734/2012 du 25 mars 2013 consid. 3.3). Au demeurant, ce courrier se fonde sur des pièces nouvelles irrecevables (<ref-law>).
1.6. Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), l'on ne peut invoquer la violation du droit cantonal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (<ref-law> e contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 314).
Se contentant, dans son mémoire, de se plaindre d'une application arbitraire du droit de procédure cantonale (en l'occurrence, les art. 81 et 82 de la loi vaudoise sur la procédure administrative du 28 octobre 2008 [LPA/VD; RS/VD 173.36] concernant l'échange d'écritures), le recourant n'indique pas en quoi le Tribunal cantonal aurait fait une application insoutenable de l'art. 82 LPA/VD qui lui permet de renoncer à un tel échange, de sorte que ce grief est irrecevable. En tant que le recourant se fonde en outre sur le droit d'être entendu, son grief sera examiné ultérieurement (consid. 3 infra).
2.
La contestation a pour objet la procédure de réexamen introduite par le recourant le 19 juin 2012. Est litigieux le point de savoir si c'est à juste titre que le Tribunal cantonal a refusé d'entrer en matière sur la requête au motif qu'aucun élément nouveau n'avait été invoqué.
3.
Le recourant soutient que l'arrêt entrepris serait constitutif d'une violation de son droit d'être entendu. Il expose en substance qu'au moment de rédiger son mémoire de recours devant le Tribunal cantonal, il avait demandé au Service cantonal de lui envoyer pour consultation le dossier relatif à la procédure de regroupement familial, ce que cette autorité avait finalement fait, après avoir été relancée, à quelques jours de l'échéance pour recourir. Cependant, le jour du dépôt du recours cantonal, le 22 novembre 2012, le recourant s'était notamment aperçu de ce que des pièces manquaient au dossier, ce dont il avait immédiatement informé le Service cantonal, qui lui avait envoyé lesdites pièces le 28 novembre 2012. En parallèle, le recourant avait, dans son recours devant le Tribunal cantonal, conclu à pouvoir compléter son recours une fois les pièces et éclaircissements manquants obtenus. Or, "sans avertissement autre que la communication de la composition de la Cour (...), le Tribunal cantonal [avait] rendu, par surprise, l'arrêt" querellé, privant de facto le recourant de la possibilité d'"affiner son argumentation en fait et en droit" dans le cadre d'un second échange d'écritures.
3.1. Le droit d'être entendu, garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, d'avoir accès au dossier, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 293; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 282; arrêt 5A_832/2012 du 25 janvier 2013 consid. 4.1). Il ne s'oppose pas à ce que l'autorité mette un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 4.3.2 p. 376). Par ailleurs, il ne saurait y avoir violation du droit d'être entendu si une partie renonce à ou néglige elle-même de s'exprimer en temps utile (arrêt 2C_724/2010 du 27 juillet 2011 consid. 4.1, RDAF 2012 II 37). En outre, une violation du droit d'être entendu est réparée lorsque le recourant a la possibilité de s'exprimer devant une autorité de recours jouissant d'une pleine cognition (cf. <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 197 s.; arrêt 2C_66/2013 du 7 mai 2013 consid. 3.2.3).
3.2. Il ressort du dossier (cf. <ref-law>) qu'après avoir contacté le Service cantonal par courrier du 9 novembre 2012 afin de consulter le dossier relatif à la procédure, le recourant, respectivement son avocat, s'était vu remettre ledit dossier de main à main, en date du 19 novembre 2012. Le recours cantonal avait été formé le 22 novembre 2012. La lettre du recourant au Service cantonal faisant état de pièces manquantes remonte à cette même date. Cette autorité cantonale avait expédié les pièces manquantes par pli recommandé du 28 novembre 2012. Le Tribunal cantonal avait indiqué aux parties la composition dans laquelle il statuerait par courrier du 11 janvier 2013. L'arrêt querellé, rendu sans qu'il n'eût été procédé à un échange d'écritures, date du 18 janvier 2013.
3.3. Il en résulte que, s'agissant de la partie du dossier que le Service cantonal a remise au recourant le 19 novembre 2012, ce dernier a disposé d'environ quatre jours pour prendre connaissance des pièces, en lever si nécessaire des photocopies et les faire le cas échéant valoir dans le cadre de son mémoire de recours à l'attention du Tribunal cantonal. Le recourant n'invoquant aucune circonstance exceptionnelle, notamment liée à la taille hors de norme du dossier ou à un empêchement objectif de l'avocat constitué de se consacrer pleinement à sa lecture, le délai pour étudier le dossier doit être considéré comme ayant été suffisant pour assurer la défense adéquate de ses intérêts (comp. arrêt 2C_168/2013 du 7 mars 2013 consid. 2.2 et 2.3).
Pour ce qui concerne les pièces manquantes que le Service cantonal a communiquées à l'intéressé postérieurement au dépôt du recours cantonal, il aurait appartenu au recourant, qui était pourtant défendu par un mandataire professionnel et en tant qu'il eût estimé opportun de consacrer des développements au sujet de ces pièces, d'interpeller les précédents juges au sujet de sa requête tendant à pouvoir compléter son mémoire, voire d'adresser spontanément de telles observations au Tribunal cantonal après la réception desdites pièces. Le recourant avait du reste le temps de se manifester, dès lors qu'il a reçu les pièces manquantes le 28 novembre 2012 et que l'arrêt attaqué a été rendu le 18 janvier 2013. En outre, il confine à la témérité pour le recourant de se plaindre d'avoir été pris au dépourvu, dès lors que le 11 janvier 2013, il a reçu l'avis relatif à la composition de la cour du Tribunal cantonal. Il sied d'ajouter qu'en procédure administrative vaudoise, le recours au Tribunal cantonal a un effet dévolutif complet (cf. arrêts 2C_778/2012 du 19 novembre 2012 consid. 1.3; 2C_121/2012 du 2 juillet 2012 consid. 1.3; BENOÎT BOVAY, Procédure administrative, 2000, p. 399) et que cette juridiction dispose d'un plein pouvoir d'examen (cf. art. 98 al. 1 LPA/VD), qui lui auraient permis de tenir compte d'un mémoire complémentaire restant dans le cadre défini par les conclusions du recours. Or, étant donné qu'après réception du dossier complet, le recourant ne s'était plus manifesté, les juges cantonaux étaient en droit de considérer qu'il avait renoncé à présenter des observations additionnelles une fois les pièces manquantes consultées, d'autant que le recours leur paraissait d'emblée manifestement mal fondé au vu des pièces au dossier (cf. art. 82 al. 1 LPA/VD; arrêt 2D_78/2009 du 29 avril 2010 consid. 3.1).
3.4. En conséquence, le fait pour le Tribunal cantonal de ne pas avoir donné suite à la demande du recourant de pouvoir compléter son mémoire de recours et d'avoir rendu un arrêt sans procéder à un échange d'écritures n'a en l'espèce pas violé son droit d'être entendu.
4.
Dans un argument de fond, le recourant reproche aux précédents juges d'avoir confirmé la décision du Service cantonal de ne pas entrer en matière sur sa demande de réexamen, alors même que la situation à trancher serait fondamentalement différente de celle de la requête formulée en 2008. En effet, le regroupement familial ne serait sollicité plus que pour les deux enfants cadets, ce qui poserait moins de problèmes d'hébergement et d'intégration en Suisse. Par ailleurs, les autorités vaudoises auraient dû tenir compte du vieillissement de plusieurs années du grand-père paternel des deux enfants, dont la santé ne lui permettrait plus de s'en occuper, tandis que les autres membres de la famille vivant au Kosovo - la mère ayant d'emblée été incapable d'en prendre soin - ne seraient plus disponibles pour suivre l'éducation des enfants.
4.1. La jurisprudence a déduit de l'art. 29 Cst. que l'autorité administrative est tenue de se saisir d'une demande de réexamen lorsque les circonstances se sont modifiées de façon notable depuis la décision attaquée ou lorsque le requérant invoque des faits essentiels et des moyens de preuve nouveaux qu'il ne connaissait pas ou a été dans l'impossibilité de faire valoir dans la procédure antérieure. Le réexamen de décisions administratives entrées en force ne doit pas être admis trop facilement. Il ne saurait en particulier servir à remettre sans cesse en cause des décisions exécutoires ou à détourner les délais prévus pour les voies de droit ordinaires. Le droit des étrangers n'échappe pas à cette règle (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 181; arrêt 2C_349/2012 du 18 mars 2013 consid. 4.2.1).
4.2. En l'espèce, les enfants C._ et D._ sont majeures, si bien qu'elles ne se qualifieraient par principe pas pour un regroupement familial avec le recourant, au sens de l'art. 44 LEtr. En outre, il convient de souligner que les deux enfants cadets E._ et F._ dont le regroupement est requis ne sont plus les "jeunes enfants" que décrit le recourant dans son mémoire: l'un, né en septembre 1995, s'apprête à célébrer ses dix-huit ans, tandis que la plus jeune, née en 1999, aura quatorze ans en août 2013. Contrairement à ce qu'affirme le recourant, les problèmes d'intégration en Suisse et d'apprentissage de la langue française (les enfants parlant apparemment "un peu de français"; cf. arrêt attaqué, p. 4) que rencontreraient les deux enfants, qui ont grandi au Kosovo, en cas de regroupement familial avec leur père risqueraient d'être importants (cf. arrêt 2C_508/2009 précité, consid. 5.2). Partant, on ne voit pas en quoi le fait pour le recourant de ne requérir le regroupement familial plus qu'avec ses deux enfants cadets constituerait une modification notable des circonstances justifiant que les autorités cantonales entrent en matière sur cette demande, d'autant moins que, dans son arrêt du 20 octobre 2009, le Tribunal cantonal avait déjà eu à traiter d'une demande subsidiaire du recourant portant sur le regroupement familial avec ses trois plus jeunes enfants.
En outre, il résulte de l'arrêt querellé, de l'arrêt qu'avait rendu le Tribunal cantonal le 20 octobre 2009, ainsi que de l'arrêt 2C_508/2009 précité ayant rejeté le recours formé contre l'arrêt cantonal de 2009, que les arguments du recourant relatifs à la prétendue incapacité ou au défaut de volonté allégué de sa famille proche de s'occuper de ses enfants avaient déjà dûment été pris en considération par le passé et qu'il avait au contraire été retenu que les enfants - dont, au demeurant, plusieurs ont accédé et l'un accédera prochainement à l'âge de la majorité - bénéficiaient d'un "solide encadrement au Kosovo", mis en place par plusieurs membres de la famille, y compris par la mère des enfants qui en avait apparemment assuré la garde effective (cf. arrêt 2C_508/2009 précité, consid. 5.2). C'est partant à juste titre que les précédents juges ont considéré que le vieillissement et la santé fragile alléguée du grand-père paternel des deux plus jeunes enfants ne constituaient pas des faits nouveaux notables propres à justifier un réexamen au fond de la requête en regroupement familial.
5.
Au vu de ce qui précède, c'est à bon droit que le Tribunal cantonal a confirmé le refus du Service cantonal de réexaminer la décision du 27 avril 2009. Le "recours" formé par l'intéressé, traité en tant que recours en matière de droit public, doit par conséquent être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Succombant, le recourant supporte les frais judiciaires (<ref-law>). Aucun dépens ne sera alloué (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours, traité en tant que recours en matière de droit public, est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population du canton de Vaud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 21 juin 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Chatton