Sachverhalt:
A. Der 1947 geborene S._ ist seit 1. Juni 1979 bei der Forschungsanstalt X._ angestellt. Vom 11. Dezember 2007 bis 19. Januar 2008 liess er sich wegen seines schlechten Gesundheitszustandes im Zusammenhang mit psychischen Problemen stationär behandeln und war auch anschliessend noch arbeitsunfähig. Nachdem sich herausgestellt hatte, dass S._ den Endzeitpunkt der im ärztlichen Zeugnis vom 21. Januar 2008 attestierten Arbeitsunfähigkeit von Hand abgeändert hatte, löste die Forschungsanstalt X._ das Arbeitsverhältnis mit Verfügung vom 9. Juni 2008 per 31. Dezember 2008 auf, stellte S._ per sofort vom Dienst frei und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung.

B. S._ liess Beschwerde an das Bundesamt Y._ erheben und die Aufhebung der Kündigungsverfügung vom 9. Juni 2008, die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses bis auf Weiteres sowie die Wiedererteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde beantragen. Gleichzeitig liess er ein Doppel der Beschwerde bei der Forschungsanstalt X._ als Einsprache einreichen. Das Bundesamt Y._ leitete die Einsprache/Beschwerde an das Eidgenössische Volkswirtschaftsdepartement (EVD) weiter, welches sie seinerseits an das Bundesverwaltungsgericht überwies. Mit Zwischenverfügung vom 21. August 2008 stellte das Bundesverwaltungsgericht die aufschiebende Wirkung der Beschwerde wieder her. Bezüglich Zuständigkeitsfragen hielt es fest, dass die Forschungsanstalt X._ angesichts der bestehenden Praxis zum Erlass der angefochtenen Kündigung zuständig gewesen und das Bundesverwaltungsgericht somit sowohl zur Beurteilung der Beschwerde als auch zum Entscheid über die Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung zuständig sei. Falls eine Änderung der Praxis in Erwägung gezogen werden müsste, sei darüber nicht im Rahmen einer summarischen Prüfung, sondern im Endentscheid über die Hauptsache zu urteilen. Mit Entscheid vom 10. März 2009 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerde nicht ein und überwies diese zuständigkeitshalber an das EVD zur weiteren Behandlung.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, in Aufhebung des Entscheids des Bundesverwaltungsgerichts vom 10. März 2009 sei die Kündigungsverfügung der Forschungsanstalt X._ vom 9. Juni 2008 nichtig zu erklären, ev. aufzuheben.
Die Forschungsanstalt X._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 96; Urteil 8C_264/2009 vom 19. Mai 2009 E. 1; je mit Hinweisen).
1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Nichteintretensentscheid des Bundesverwaltungsgerichts im Bereich des öffentlichen Rechts. Dieser prozessuale Endentscheid bildet ein zulässiges Anfechtungsobjekt der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht (Art. 82 lit. a in Verbindung mit Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 41; FELIX UHLMANN, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 9 zu Art. 90 und N. 6 und 8 zu <ref-law>; BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 13 zu <ref-law>; HANSJÖRG SEILER, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtstagung 2008, St. Gallen 2009, S. 14).
1.2 Der angefochtene Entscheid betrifft die Kündigung eines öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisses - also eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>. Der Beschwerdeführer betrachtet die Kündigungsverfügung der Forschungsanstalt X._ vom 9. Juni 2008 als nichtig. Er verlangt sinngemäss unter anderem die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses und leitet daraus nicht näher bezifferte Gehaltsansprüche ab. Es handelt sich somit um eine vermögensrechtliche Streitigkeit, weshalb der Ausschlussgrund nach <ref-law> nicht vorliegt (vgl. Urteil 1C_103/2007 vom 7. Dezember 2007 E. 1.2).
Auf dem Gebiet des öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisses gilt eine Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- (<ref-law>). Der Streitwert bestimmt sich bei Beschwerden gegen Endentscheide nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben waren (<ref-law>). Lautet ein Begehren nicht auf Bezahlung einer bestimmten Geldsumme, so setzt das Bundesgericht den Streitwert nach Ermessen fest (<ref-law>). In Anbetracht der streitigen Auflösung des Arbeitsverhältnisses und des gemäss Arbeitsvertrag vom 30. Mai/24. Juni 2005 rund Fr. 162'000.- betragenden Jahreslohnes ist davon auszugehen, dass die Streitwertgrenze vorliegend bei weitem überschritten ist, weshalb eine genaue Bestimmung des Streitwertes nicht erforderlich ist (Urteile 8C_264/2009 vom 19. Mai 2009 E. 1.2 und 1C_103/2007 vom 7. Dezember E. 1.2, je mit Hinweisen).
1.3 Der Beschwerdeführer ist legitimiert (<ref-law>) und rügt zulässigerweise die Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>).
1.4 Streitgegenstand ist einzig, ob das Bundesverwaltungsgericht zu Recht auf die Beschwerde nicht eingetreten ist. Trifft dies zu, hat es bei diesem Nichteintretensentscheid sein Bewenden. Erweist er sich hingegen als bundesrechtswidrig, ist die Sache zur weiteren Behandlung des Falles an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen. Das Bundesgericht könnte den Fall nicht direkt inhaltlich entscheiden, da dies zu einer Verfahrensverkürzung führen würde. Insbesondere würde es auch an den dafür notwendigen tatsächlichen Feststellungen der gerichtlichen Vorinstanz fehlen. Auf die Beschwerde ist somit nur insoweit einzutreten, als mit Antrag 1 die Aufhebung des Entscheids des Bundesverwaltungsgerichts vom 10. März 2009 verlangt wird.
2. Streitig und zu prüfen ist die Zuständigkeit des Bundesverwaltungsgerichts zur Überprüfung der Kündigungsverfügung der Beschwerdegegnerin vom 9. Juni 2008.
2.1 Die Vorinstanz hat in einem ersten Schritt unter dem Gesichtspunkt von Art. 31 des Bundesgesetzes über das Bundesverwaltungsgericht (Verwaltungsgerichtsgesetz, VGG) geprüft, ob es sich bei der Kündigung um eine Verfügung nach Art. 5 des Bundesgesetzes über das Verwaltungsverfahren (VwVG) handle. Sie hat die Frage mit der Begründung bejaht, dass die Beschwerdegegnerin zum Erlass der Verfügung zuständig gewesen sei und somit ein zulässiges Anfechtungsobjekt vorliege. In einem zweiten Schritt hat sie unter dem Gesichtspunkt von Art. 33 VGG bzw. Art. 35 Abs. 1 des Bundespersonalgesetzes (BPG) in Verbindung mit Art. 110 der Bundespersonalverordnung (BPV) geprüft, ob die Beschwerde nicht vorerst von einer verwaltungsinternen Beschwerdeinstanz hätte beurteilt werden müssen, gegen deren Entscheid erst die Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht zulässig sei. Sie ist dabei zum Schluss gekommen, dass zunächst das EVD als verwaltungsinterne Beschwerdeinstanz anzurufen gewesen wäre und nicht direkt beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde hätte erhoben werden können. Unter diesem Gesichtspunkt hat die Vorinstanz ihre Zuständigkeit verneint.
2.2 Die vorliegend zu beurteilende Beschwerde richtet sich nicht vorab gegen die Zuständigkeit des EVD als verwaltungsinterne Beschwerdeinstanz, sondern gegen die vorinstanzliche Bejahung der Zuständigkeit der Beschwerdegegnerin als kündigungsbefugte Arbeitgeberin. Mit Beschwerdeantrag 2 wird deshalb die Nichtigerklärung bzw. Aufhebung der Kündigungsverfügung verlangt. Nach Auffassung des Beschwerdeführers hat die Delegation der Arbeitgeberbefugnisse an die Beschwerdegegnerin keine gesetzliche Grundlage, da Art. 3 Abs. 2 BPG eine solche nicht vorsehe. Zudem sei die Delegation nicht rechtsatzmässig erfolgt.
2.3 Ob die Beschwerdegegnerin zum Erlass der Kündigungsverfügung zuständig war oder nicht, ist für die Frage der vorinstanzlichen Zuständigkeit unerheblich. Fehlerhafte Verfügungen sind nämlich in der Regel anfechtbar, nur ausnahmsweise nichtig. Nichtig ist eine Verfügung nach der Rechtsprechung dann, wenn der ihr anhaftende Mangel besonders schwer und offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar ist und die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird (<ref-ruling> E. 2.1 S. 346 mit Hinweisen; TSCHANNEN/ZIMMERLI, Allgemeines Verwaltungsrecht, 2. Aufl. Bern 2005, N. 15 ff. zu § 31; Rhinow/Krähenmann, Schweizerische Verwaltungsrechtsprechung, Ergänzungsband, 1990, Nr. 40.B.I S. 118). Abgesehen davon, dass selbst von einer unzuständigen Behörde erlassene Verfügungen nicht zwingend nichtig sind (Häfelin/Müller/ Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5. Aufl. 2006, S. 202; Pierre Moor, Droit administratif II, Les actes administratifs et leur contrôle, 2. Aufl., Bern 2002, S. 314), können auch nichtige Verfügungen angefochten werden, wobei dann im Beschwerdeentscheid deren Nichtigkeit festgestellt wird (Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 1983, S. 127 und 144; Rhinow/Krähenmann, a.a.O., Nr. 40.B.II S. 118). Die Frage der Nichtigkeit einer Verfügung ist somit nicht in erster Linie für deren Anfechtbarkeit entscheidend, sondern hinsichtlich ihrer Rechtswirkungen im Falle einer unterlassenen Anfechtung. So entfalten mangelhafte, aber nicht nichtige Verfügungen mangels Anfechtung Rechtswirkung, während dies für nichtige Verfügungen nicht der Fall ist.
2.4 Das Bundesverwaltungsgericht hätte somit zunächst - unabhängig von der Frage der Zuständigkeit der Beschwerdegegnerin zum Verfügungserlass - über seine Zuständigkeit zur Beschwerdebeurteilung entscheiden müssen und über die Frage der Zuständigkeit der Beschwerdegegnerin zum Erlass der Kündigungsverfügung nur im Falle seines Eintretens und erst im Rahmen der materiellen Prüfung befinden dürfen. Der in den vorinstanzlichen Erwägungen getroffenen Feststellung der Zuständigkeit der Beschwerdegegnerin zum Verfügungserlass kommt daher keine den Nichteintretensentscheid tragende Bedeutung zu und sie ist nicht verbindlich. Mangels vorinstanzlichem materiellem Entscheid in dieser Frage kann das Bundesgericht darüber nicht im vorliegenden Verfahren befinden, was das Nichteintreten auf Beschwerdeantrag 2 zur Folge hat (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 41).
2.5 Der Beschwerdeführer beantragt, über die Zuständigkeit der Beschwerdegegnerin zum Erlass der Kündigungsverfügung sei aus Gründen der Prozessökonomie im vorliegenden Beschwerdeverfahren zu entscheiden. Er geht davon aus, dass die Feststellung der Unzuständigkeit die Nichtigkeit der Kündigungsverfügung zur Folge hätte und dass damit über die Streitigkeit endgültig entschieden wäre. Dies ist - wie aus E. 1.4 und 2.4 hievor hervorgeht - nicht der Fall. Die Sache ist daher materiell vorerst von der verwaltungsinternen Beschwerdeinstanz zu überprüfen, welcher auch die Angemessenheitskontrolle zusteht, weshalb es beim Nichteintreten auf Beschwerdeantrag 2 sein Bewenden hat.
3. Was schliesslich die vorliegend zu beurteilende Frage der Zuständigkeit des Bundesverwaltungsgerichts zur Überprüfung der Kündigungsverfügung der Beschwerdegegnerin anbelangt, hat das Bundesverwaltungsgericht diese im angefochtenen Entscheid verneint, wohingegen der Beschwerdeführer sich auf die Bestreitung der Zuständigkeit des Departements beschränkt, da hiefür keine gesetzliche Grundlage bestehe.
3.1 In personalrechtlichen Streitigkeiten können beim Bundesverwaltungsgericht mit Ausnahme vorliegend nicht zur Diskussion stehender Fälle nur Beschwerdeentscheide der verwaltungsinternen Beschwerdeinstanz angefochten werden (Art. 36 Abs. 1 BPG). Im vorinstanzlichen Entscheid hat das Bundesverwaltungsgericht dargelegt, dass zunächst das EVD als verwaltungsinterne Beschwerdeinstanz anzurufen gewesen wäre. Wie in seinem Entscheid A-488/2009 vom 4. März 2009 bezüglich zuständiger verwaltungsinterner Beschwerdeinstanz gegen die Verfügung einer landwirtschaftlichen Forschungsanstalt, auf welchen das Bundesverwaltungsgericht zur Begründung seines Standpunktes verweist, aufgezeigt, unterliegen nach Art. 35 Abs. 1 BPG Verfügungen des Arbeitgebers mit Ausnahme der in Abs. 2 genannten Fälle der Beschwerde an die in den Ausführungsbestimmungen bezeichnete interne Beschwerdeinstanz. Art. 35 BPG beauftragt - so das Bundesverwaltungsgericht - die zum Erlass der Ausführungsbestimmungen zuständigen Organe, abschliessend den verwaltungsinternen Beschwerdeweg zu bestimmen (vgl. Botschaft zum BPG vom 14. Dezember 1998, BBl 1999 1597, S. 1627). Diesen Auftrag des Gesetzgebers habe der Bundesrat in Art. 110 BPV umgesetzt, wobei als Beschwerdeinstanzen einzig die Departemente, die Oberzolldirektion oder Gruppen vorgesehen seien. Weil das EVD über keine Gruppen verfüge (vgl. Anhang zur Regierungs- und Verwaltungsorganisationsverordnung [RVOV] und Art. 4 ff. der Organisationsverordnung für das EVD [OV-EVD]) und die Oberzolldirektion als Beschwerdeinstanz wegfalle, verbleibe einzig das zuständige Departement - das EVD - als vom Bundesrecht vorgesehene Beschwerdeinstanz. Da die Departemente gemäss Wortlaut von Art. 110 lit. a BPV nur für erstinstanzliche Verfügungen der Ämter, der Gruppen und der Oberzolldirektion Beschwerdeinstanzen sind, sah das Bundesverwaltungsgericht in der Bestimmung eine Lücke bezüglich der Frage, welche Verwaltungsbehörde Beschwerdeinstanz ist gegen erstinstanzliche personalrechtliche Verfügungen von Organen, die einem Amt unterstellt sind. Nach den Grundsätzen der Lückenfüllung kam es zum Schluss, die Departemente seien nicht nur als Beschwerdeinstanzen für erstinstanzliche Verfügungen der Ämter, sondern auch für solche nachgeordneter Einheiten als zuständig zu erachten. Damit habe der Bundesrat - so das Bundesverwaltungsgericht - der Bedeutsamkeit personalrechtlicher Beschwerdeverfahren Rechnung getragen. Die Lösung rechtfertige sich auch deshalb, weil das Bundesamt Y._ bei der Entscheidfindung der ihm direkt unterstellten Forschungsanstalten, welche als unselbständige kleinere Verwaltungseinheiten nicht über die gleichen personellen und fachlichen Ressourcen verfügten wie ein Amt, gelegentlich mitwirke. Gestützt auf die Zuständigkeitsregelung beim sogenannten Sprungrekurs (<ref-law>) hätte die Bezeichnung des Amtes als Beschwerdeinstanz zur Folge, dass die gesetzlich zwingend vorgeschriebene verwaltungsinterne Beschwerdemöglichkeit aus organisatorischen Gründen nicht gewährleistet wäre, was sich wiederum mit dem Ausnahmecharakter des Sprungrekurses nur schwer rechtfertigen liesse. Schliesslich stehe Art. 110 lit. b BPV der Annahme entgegen, mit der Delegation von Verfügungskompetenzen durch das Amt an eine nachgeordnete Instanz verschiebe sich automatisch auch die Befugnis der Beschwerdeinstanz nach unten, fehle doch hiefür im Personalrecht - wie bereits dargelegt - eine Rechtsgrundlage.
3.2 Die Annahme einer Lücke bezüglich der Frage nach der verwaltungsinternen Beschwerdeinstanz gegen Verfügungen der dem Bundesamt Y._ unterstellten Forschungsanstalten sowie die aufgezeigte Lückenfüllung durch das Bundesverwaltungsgericht überzeugen in jeder Hinsicht und sind zu bestätigen. Die Vorinstanz ist somit zutreffenderweise zum Schluss gekommen, dass das EVD verwaltungsinterne Beschwerdeinstanz gegen eine Verfügung der Forschungsanstalt X._ ist. Da das EVD - wie die Vorinstanz ausführt - bei der Entscheidfindung im erstinstanzlichen Verfahren nicht mitgewirkt hat, stellt sich die Frage der Zulässigkeit eines Sprungrekurses nicht, sodass nicht direkt beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde geführt werden kann. Die Vorinstanz ist somit zu Recht auf die Beschwerde gegen die Verfügung der Forschungsanstalt X._ nicht eingetreten, sondern hat sie zuständigkeitshalber an das EVD als verwaltungsinterne Beschwerdeinstanz zur weiteren Behandlung überwiesen. Die dagegen beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
4. Dem Prozessausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten des letztinstanzlichen Verfahrens zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Eidgenössisches Volkswirtschaftsdepartement (EVD) schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. September 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch