Sachverhalt:
A.
Am 12. Dezember 2011 erteilte der Gemeinderat Villigen den Grundeigentümern Z._ und Y._ die nachträgliche Bewilligung für die Erstellung von Terrassenbauten auf der Parzelle 3413 an der Haldenstrasse 17, Stilli (seit 1. Januar 2006 fusioniert mit der Gemeinde Villigen), mit Auflagen und Bedingungen. In Ziffer 2 des Entscheids stellte er fest, dass die geschlossene Bauweise aus Sicht des Ortsbildschutzes zulässig sei; der unterschrittene Grenzabstand zu den Nachbarparzellen 3352 und 3374 könne somit toleriert werden. Gemäss Ziffer 3 kann die Teilüberdachung nicht unbedingt als ortsbildtypisch und in das Ortsbild integriert betrachtet werden; die bereits erstellte Überdachung sei innert nützlicher Frist zu beseitigen.
B.
In teilweiser Gutheissung der von X._ erhobenen Verwaltungsbeschwerde formulierte das Departement Bau, Verkehr und Umwelt des Kantons Aargau (BVU) die Ziffer 4 (recte: 3) der Baubewilligung vom 12. Dezember 2011 neu wie folgt: "Die Teilüberdachung kann nicht unbedingt als ortsbildtypisch und in das Ortsbild integriert betrachtet werden. Die bereits erstellte Überdachung ist innert 2 Wochen ab Rechtskraft der Baubewilligung zu beseitigen." Im Übrigen lehnte es die Beschwerde ab (Entscheid vom 28. März 2012).
C.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Aarau wies die dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab (Entscheid vom 17. April 2013).
D.
X._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Antrag, die Baubewilligung des Gemeinderates vom 12. Dezember 2011 sei aufzuheben; eventualiter sei die Sache an das kantonale Gericht, subeventualiter an den Gemeinderat Villigen zurückzuweisen.
Y._, das kantonale Verwaltungsgericht, das BVU und der Gemeinderat Villigen schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
X._ nimmt in der Folge zur Vernehmlassung des Y._ Stellung und hält an seinem Antrag fest.

Erwägungen:
1.
Z._ ist am 8. November 2012, während der Dauer des Verfahrens vor dem kantonalen Gericht, verstorben. Y._ ist nun Alleineigentümer der Parzelle Nr. 3413. Er ist demzufolge im Prozess vor Bundesgericht der einzige private Beschwerdegegner.
2.
2.1. Gegen den angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen Entscheid über eine Baubewilligung steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 82 ff. BGG). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, verfügt als unmittelbarer Nachbar über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache und könnte aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids einen praktischen Nutzen ziehen, z.B. wenn die aus seiner Sicht störenden Terrassenbauten nicht zugelassen würden; er ist damit zur Beschwerde befugt (Art. 89 Abs. 1 BGG).
2.2. Der angefochtene Entscheid stützt sich in der Sache auf kantonales bzw. kommunales Planungs- und Baurecht. Da dessen Verletzung keinen Beschwerdegrund nach Art. 95 BGG darstellt, kann der Entscheid nur darauf überprüft werden, ob er auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder sonst wie gegen übergeordnetes Recht verstösst (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.). Der Beschwerdeführer legt zwar nicht im Einzelnen dar, inwiefern der angefochtene Entscheid im Ergebnis geradezu willkürlich sein soll. Er rügt aber hinreichend begründet (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 BGG), dass Willkür (Art. 9 BV) bei der Anwendung der kommunalen Abstandsvorschrift vorliegen solle. Er bringt somit einen zulässigen Beschwerdegrund vor. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
3.
Die Vorinstanz gelangt zum Schluss, die nachträgliche Baubewilligung des Gemeinderates für die auf dem Grundstück der Bauherrschaft, am westlich hinter ihrem bestehenden Gebäude liegenden Hang erstellte zweistufige Terrassenkonstruktion, welche direkt an die Nachbarparzelle des Beschwerdeführers grenzt, sei rechtens. Es sei nicht ersichtlich, inwiefern die Terrassenkonstruktion am vorgesehenen Standort den Zweck der Dorfzone nicht wahren sollte, zumal in der Dorfzone sowohl die offene als auch die geschlossene Bauweise zulässig sei. Die Parzelle sei lediglich elf Meter breit und die Geländesituation hinter dem Haus sei steil, womit eine sinnvolle Bebauung des streitbetroffenen Gebiets unter Einhaltung des als Richtwert geltenden Grenzabstands von vier Metern kaum möglich wäre. Lasse der Gemeinderat in einer solchen Konstellation Abweichungen vom Richtwert zu, so erscheine dies sachlich durchaus begründet, zumal die Bauordnung dafür Raum lasse. Es sei jedoch nicht zu verhehlen, dass der bewilligte Nullabstand grosszügig sei und im konkreten Fall auch eine etwas zurückhaltendere Abweichung vom Richtwert möglich gewesen wäre. Unter Beachtung der Gemeindeautonomie sei die Beurteilung des Gemeinderates allerdings rechtlich vertretbar, weshalb das Verwaltungsgericht gehalten sei, den gemeinderätlichen Entscheid zu respektieren.
4.
Der Beschwerdeführer konzentriert sich letztinstanzlich auf die Frage, ob der Gemeinderat auf einen Grenzabstand für die Terrassenbauten verzichten durfte. Er wirft der Vorinstanz, welche diese Frage bejaht, eine einseitige Betrachtungsweise vor. Die Ermessensbetätigung müsse sich auch nach den Kriterien richten, welche sich aus dem Sinn und Zweck der gesetzlichen Vorschriften zu den Grenzabständen ergäben. Es sei aus der Rechtsordnung abzuleiten, welche Grenzabstände in welchen Situationen sachgerecht seien. Alle in der Sache erheblichen Interessen müssten berücksichtigt und sorgfältig gegeneinander abgewogen werden. Das Vorgehen des Verwaltungsgerichts habe sich nicht an den gesetzlichen Massstäben orientiert. Das Ergebnis lasse sich nicht sachlich rechtfertigen und sei willkürlich.
4.1. Die Gemeinden sind für den Erlass der Nutzungspläne und die Ausscheidung und Definition der verschiedenen Nutzungszonen zuständig (§ 13 Abs. 1 und § 15 des kantonalen Gesetzes vom 19. Januar 1993 über Raumentwicklung und Bauwesen [Baugesetz, BauG; SAR 713.100]). Sie sind nach § 106 der Verfassung des Kantons Aargau vom 25. Juni 1980 (SAR 110.000) befugt, derartige kommunale Aufgaben im Rahmen von Verfassung und Gesetz nach eigenem Ermessen zu erfüllen. Den Gemeinden kommt somit beim Erlass und der Ausgestaltung der Nutzungszonen verfassungsrechtlich geschützte Autonomie zu. Es ist daher folgerichtig und keineswegs willkürlich, dass sich das Verwaltungsgericht bei der Überprüfung der Anwendung der einschlägigen kommunalen Bestimmungen über den Grenzabstand in der Dorfzone durch den Gemeinderat eine gewisse Zurückhaltung auferlegt, soweit es um typisch lokale Angelegenheiten geht und weder überörtliche Interessen noch überwiegende Rechtsschutzinteressen berührt werden. Hat der Gemeinderat eine unter die Gemeindeautonomie fallende unbestimmte Regelung vertretbar ausgelegt, so ist das Verwaltungsgericht jedenfalls verfassungsrechtlich nicht zum Einschreiten verpflichtet, auch wenn andere Auslegungsergebnisse rechtlich ebenfalls möglich wären.
4.2. Die Parzelle der Bauherrschaft liegt in der Dorfzone der Gemeinde Villigen, Ortsteil Stilli, weshalb der Gemeinderat die Bau- und Nutzungsordnung der Gemeinde Stilli vom 10. Dezember 1999 (BNO) zur Anwendung brachte. § 5 Abs. 1 BNO scheidet die verschiedenen Bauzonen aus und legt für die Dorfzone einen Grenzabstand von vier Metern fest. Gemäss § 5 Abs. 3 BNO gilt dieser Grenzabstand bei Neubauten als Richtwert. Der Gemeinderat kann Abweichungen von diesem Richtwert bewilligen, sofern der Zonenzweck gewahrt wird. In der Dorfzone ist die geschlossene Bauweise zulässig (§ 5 Abs. 6 in Verbindung mit § 10 BNO). Mit der Regelung in § 5 Abs. 3 BNO wird dem Gemeinderat bei der Festlegung des Grenzabstands im konkreten Fall ein beträchtliches Ermessen eingeräumt, welches entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers auch die Befugnis umfasst, auf einen Grenzabstand ganz zu verzichten.
4.3. Es ist mit dem Beschwerdeführer einig zu gehen, dass die rechtsanwendende Behörde das Ermessen pflichtgemäss auszuüben hat. Sie ist dabei insbesondere an die verfassungsrechtlichen Schranken der Rechtsgleichheit und des Willkürverbots gebunden.
4.3.1. Die Argumentation in der letztinstanzlich eingereichten Beschwerdeschrift zielt im Wesentlichen auf eine Sachlage mit offener Bauweise, wie sie hier aber nicht vorliegt. Eine Verletzung der Rechtsgleichheit lässt sich aus dem Umstand, dass in anderen Fällen, in welchen die Besonderheiten bei geschlossener Bauweise keine Beachtung finden mussten (so unter anderem im Zusammenhang mit der Nutzung eines Dachs als Terrasse), an der Notwendigkeit eines Grenzabstandes festgehalten wurde, nicht ableiten. Denn nach diesem Grundrecht ist Gleiches nach Massgabe seiner Gleichheit gleich, Ungleiches aber ungleich zu behandeln.
4.3.2. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht weicht vom Entscheid der kantonalen Instanz nur ab, wenn dieser offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 318 f. mit Hinweisen). Diese Voraussetzungen sind vorliegend nicht erfüllt. Das kantonale Gericht legt hinreichend und willkürfrei dar, dass der Zonenzweck bei geschlossener Bauweise gewahrt wird, wenn kein Grenzabstand eingehalten wird. Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Rügen allenfalls aufzuzeigen, dass es angemessen gewesen wäre, einen Grenzabstand für die Terrassenkonstruktionen festzulegen, nicht aber, dass der gegenteilige Entscheid der Vorinstanzen geradezu willkürlich ist. Die Prüfungsbefugnis des kantonalen Gerichts ist auf die unrichtige und unvollständige Feststellung des Sachverhalts sowie die Rechtskontrolle begrenzt. Sie umfasst - abgesehen von hier nicht zutreffenden Ausnahmen - keine Prüfung der Angemessenheit (§ 55 des Gesetzes vom 4. Dezember 2007 über die Verwaltungsrechtspflege [Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRPG; SAR 271.200]). Die Vorinstanz hat sich an diesen Prüfungsumfang gehalten und es lässt sich folglich nicht beanstanden, dass sie den Verzicht auf einen Grenzabstand bestätigt, obwohl sie eine zurückhaltendere Abweichung vom Richtwert von vier Metern bevorzugt hätte.
4.3.3. Das Bundesgericht auferlegt sich Zurückhaltung, soweit die Beurteilung der Streitsache von einer Würdigung der örtlichen Verhältnisse abhängt, welche die kantonalen Behörden besser überblicken (<ref-ruling> E. 1.2 S. 305; <ref-ruling> E. 5.2 S. 245; je mit Hinweisen). Beim Entscheid darüber, ob bei beengten Platzverhältnissen zufolge geschlossener Bauweise Terrassenbauten an der Parzellengrenze zuzulassen sind, spielen lokale Anliegen und ortsspezifische Interessen eine herausragende Rolle.
4.4.
Das Verwaltungsgericht gibt im angefochtenen Entscheid an, weshalb der Verzicht auf einen Grenzabstand rechtlich nicht zu beanstanden sei. Dabei macht es implizit auch deutlich, weshalb die im Rahmen der Rechtskontrolle vorgenommene Überprüfung der pflichtgemässen Ermessensausübung durch den Gemeinderat zu Ungunsten des Beschwerdeführers ausfällt. Die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs zufolge Missachtens der Begründungspflicht (Art. 29 Abs. 2 BV; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.2 S. 236 mit Hinweisen) ist damit nicht stichhaltig.
5.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dieser hat zudem den privaten Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat den privaten Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Villigen, dem Departement Bau, Verkehr und Umwelt des Kantons Aargau und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. November 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz