Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. 1953) ist die nicht verheiratete Mutter von Y._ (geb. 1994). Der Vater, ein staatenloser Flüchtling, stammt aus Russland, hält sich zur Zeit bei der Mutter auf und ist erwerbslos; die Kinderalimente mussten bevorschusst werden. Wegen erheblicher Beziehungsprobleme zwischen Mutter und Tochter errichtete die Sozialbehörde der Gemeinde A._ mit Beschluss vom 4. Dezember 2008 über Y._ zunächst eine Beistandschaft nach <ref-law>. Später ordnete sie deren Unterbringung in einer Pflegefamilie an und entzog der Mutter schliesslich die Obhut über die Tochter. In der Folge wechselte die Tochter mehrmals die vereinbarten Pflegeplätze und kehrte im Juni 2010 unplanmässig zu ihrer Mutter zurück.
A.b Am 17. Juli 2010 ersuchten X._ und Y._ um Aufhebung der Beistandschaft unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beiordnung ihres Anwaltes. Mit Beschluss vom 23. September 2010 hob die Sozialbehörde A._ den Obhutsentzug auf. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies sie mit Entscheid vom 4. November 2010 (mangels Nachweises der Bedürftigkeit und Notwendigkeit einer Verbeiständung) ab. Am 23. November 2010 wies die Sozialbehörde A._ auch das Gesuch um Aufhebung der Beistandschaft ab.
B. X._ und Y._ gelangten in beiden Angelegenheiten an den Bezirksrat Winterthur und ersuchten wiederum um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. Mit Beschluss vom 25. März 2011 vereinigte der Bezirksrat die Verfahren und wies das Gesuch mangels Bedürftigkeit ab, ebenso die Beschwerde gegen den Entscheid der Sozialbehörde A._ vom 23. November 2010.
C. Am 8. April 2011 erhoben X._ und Y._ beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung gegen den Beschluss des Bezirksrates Winterthur vom 25. März 2011 und ersuchten um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Berufungsverfahren. In einem selbständig eröffneten Beschluss vom 18. Juli 2011 wies das Obergericht das Gesuch mangels Bedürftigkeit der Mutter ab und setzte eine Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'500.--.
D. Nachdem die Beschwerdeführerinnen den einverlangten Kostenvorschuss geleistet hatten, nahm das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung an die Hand und wies sie mit Urteil vom 8. September 2011 insoweit ab, als damit die Aufhebung der Beistandschaft verlangt wurde. Demgegenüber hiess es die Berufung hinsichtlich der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für die Verfahren vor der Sozialbehörde A._ und dem Bezirksrat gut, mit der Begründung, für den fraglichen Zeitraum sei die Bedürftigkeit der Gesuchstellerinnen zu bejahen. Schliesslich auferlegte das Obergericht den Beschwerdeführerinnen die Hälfte der Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- und sprach ihnen für das Berufungsverfahren keine Prozessentschädigung zu.
E. Mit Eingabe vom 12. September 2011 (Datum der Postaufgabe) wenden sich X._ (Mutter/Beschwerdeführerin 1) und Y._ (Tochter/Beschwerdeführerin 2) gegen den Entscheid vom 18. Juli 2011 an das Bundesgericht und beantragen die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das obergerichtliche und das bundesgerichtliche Verfahren.
Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>; Urteil 5A_336/2011 vom 8. August 2011 E. 1.2) betreffend die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). In der Hauptsache geht es um eine vormundschaftliche Massnahme, gegen welche die Beschwerde in Zivilsachen ergriffen werden kann (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 7 BGG), weshalb sie auch gegen den Zwischenentscheid gegeben ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 647).
Nachdem das Obergericht in seinem zwischenzeitlich gefällten Urteil in der Hauptsache den Beschwerdeführerinnen die Hälfte der Gerichtskosten auferlegte und keine Prozessentschädigung zusprach, ist die vorliegende Streitsache nicht gegenstandslos.
Nachdem das Obergericht in seinem zwischenzeitlich gefällten Urteil in der Hauptsache den Beschwerdeführerinnen die Hälfte der Gerichtskosten auferlegte und keine Prozessentschädigung zusprach, ist die vorliegende Streitsache nicht gegenstandslos.
1.2 1.2.1 Nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> kann eine Partei insoweit selbständig Prozess führen, als sie handlungsfähig ist. Die Prozessfähigkeit ist demnach im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen eine Eintretensvoraussetzung. Ob sie erfüllt ist, prüft das Bundesgericht von Amtes wegen.
1.2.2 Die Prozessfähigkeit ist eine Wirkung der vom Bundesrecht in <ref-law> geordneten Handlungsfähigkeit im Prozess. Handlungsfähigkeit besitzt, wer mündig und urteilsfähig ist (<ref-law>). Wer hingegen urteilsfähig, aber nicht mündig ist, vermag sich nur mit Zustimmung seines gesetzlichen Vertreters durch seine Handlungen zu verpflichten (<ref-law>). Allerdings vermögen urteilsfähige Unmündige Rechte auszuüben, die ihnen um ihrer Persönlichkeit willen zustehen (<ref-law>). Nachdem sich die urteilsfähige, aber unmündige Tochter mit ihrer Mutter gemeinsam an das Bundesgericht wendet, vor diesem denselben Standpunkt wie ihre Mutter einnimmt und sich auch durch denselben Anwalt vertreten lässt, ist ohne Weiteres anzunehmen, dass sie den Prozess vor Bundesgericht mit der ausdrücklichen Zustimmung ihrer Mutter als ihrer gesetzlichen Vertreterin führt (Art. 19 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Unter diesen Gegebenheiten kann offenbleiben, ob die Tochter den Prozess vor Bundesgericht auch ohne Zustimmung ihrer Mutter führen könnte.
1.3 Grundsätzlich ist das Bundesgericht an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, er sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (<ref-law>), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist (Botschaft, BBl 2001 IV 4338; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder er beruhe auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>). Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Für all diese Elemente gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
1.4 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzung für ein nachträgliches Behaupten neuer Tatsachen oder das Einreichen neuer Beweismittel erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 226). Diesen Anforderungen kommen die Beschwerdeführerinnen nicht nach, weshalb die erstmals vor Bundesgericht aufgestellten Behauptungen und eingereichten Unterlagen unbeachtlich bleiben.
Erst nach dem angefochtenen Entscheid eingetretene Tatsachen oder erstellte Beweisurkunden sind unzulässig, da für diese von vornherein nicht der angefochtene Entscheid Anlass zur Einreichung vor Bundesgericht geben kann (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Dies gilt - jedenfalls die Beschwerde gegen den vorinstanzlichen Entscheid betreffend - sowohl für das Arztzeugnis von Dr. B._ vom 9. August 2011 als auch für die Tatsache, dass die Mutter offenbar ab August 2011 keine Ausbildungszulage mehr für ihre Tochter erhält.
2. 2.1 Die Zuständigkeit des Obergerichts für die Behandlung von Rechtsmitteln gegen Entscheide der Bezirksräte in familienrechtlichen Angelegenheiten (Art. 90-456 ZGB) ergibt sich aus § 187 des Gesetzes des Kantons Zürich über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess vom 10. Mai 2010 (LS 211.1). Dieser Bestimmung zufolge richtet sich das Rechtsmittelverfahren - unter Vorbehalt von hier nicht relevanten Ausnahmen - nach <ref-law>. Folgerichtig hat das Obergericht seinem Entscheid die <ref-law> zu Grunde gelegt. Dennoch ist die ZPO nicht direkt anwendbar. Vielmehr stellen die Verfahrensvorschriften kantonales Recht dar. Daher gilt auch hier der Grundsatz, wonach der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung vorliegend in erster Linie durch das kantonale Recht geregelt wird. Unabhängig davon besteht ein solcher Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung auf Grund von <ref-law>. Da die Beschwerdeführerinnen nicht geltend machen, dass sich aus dem Verfassungs- und Verfahrensrecht des Kantons Zürich ein über <ref-law> hinausgehender Anspruch ergibt, ist vorliegend - wie gerügt - die bundesrechtliche Minimalgarantie massgebend.
2.2 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Falls es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Hinsichtlich der Voraussetzung der Bedürftigkeit des Gesuchstellers prüft das Bundesgericht frei, ob die Kriterien zu deren Bestimmung im Sinne von <ref-law> zutreffend gewählt worden sind; die tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Behörden dagegen werden nur auf Willkür hin überprüft (<ref-ruling> E. 5.1 S. 223 mit Hinweis).
Eine Person ist bedürftig, wenn sie nicht in der Lage ist, für die Prozesskosten aufzukommen, ohne dass sie Mittel beanspruchen müsste, die zur Deckung des Grundbedarfs für sie und ihre Familie notwendig sind (<ref-ruling> E. 2.5.1 S. 232 mit Hinweisen). Verbleibt nach der Deckung des Grundbedarfs ein Überschuss, ist die Bedürftigkeit der gesuchstellenden Partei zu verneinen, wenn der monatliche Überschuss ihr es ermöglicht, die Prozesskosten bei weniger aufwändigen Prozessen innert eines Jahres, bei anderen innert zweier Jahre zu tilgen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 224 mit Hinweis). Entscheidend ist zudem, ob die gesuchstellende Partei mit dem ihr verbleibenden Überschuss in der Lage ist, die anfallenden Gerichts- und Anwaltskostenvorschüsse innert absehbarer Zeit zu leisten (<ref-ruling> E. 3a S. 9; <ref-ruling> E. 4a S. 370 f.).
3. Umstritten ist die Bedürftigkeit der Mutter.
3.1 Nach den Feststellungen des Obergerichts verfügt die Mutter über ein monatliches Gesamtnettoeinkommen von Fr. 5'739.-- (Nettoerwerbseinkommen aus einem Pensum vom 74.5% inkl. 13. Monatslohn und Ausbildungszulagen für die Tochter: Fr. 4'525.--; IV-Renten: Fr. 754.--; bevorschusste Kinderunterhaltsbeiträge: Fr. 460.--). Nach Abzug eines - vor Bundesgericht ausdrücklich anerkannten - Bedarfs von Fr. 4'600.70 resultiert ein Freibetrag von Fr. 1'138.30. Daraus zog das Obergericht den Schluss, die Mutter könne nicht als mittellos bezeichnet werden.
3.1 Nach den Feststellungen des Obergerichts verfügt die Mutter über ein monatliches Gesamtnettoeinkommen von Fr. 5'739.-- (Nettoerwerbseinkommen aus einem Pensum vom 74.5% inkl. 13. Monatslohn und Ausbildungszulagen für die Tochter: Fr. 4'525.--; IV-Renten: Fr. 754.--; bevorschusste Kinderunterhaltsbeiträge: Fr. 460.--). Nach Abzug eines - vor Bundesgericht ausdrücklich anerkannten - Bedarfs von Fr. 4'600.70 resultiert ein Freibetrag von Fr. 1'138.30. Daraus zog das Obergericht den Schluss, die Mutter könne nicht als mittellos bezeichnet werden.
3.2 3.2.1 Die Beschwerdeführerinnen beanstanden eine willkürliche Feststellung des massgeblichen Einkommens der Mutter. Zwar schulde der Vater Kinderalimente von Fr. 455.-- pro Monat, die er aber nicht zu zahlen in der Lage sei. Die vom Obergericht angenommene Alimentenbevorschussung bestehe nicht mehr; sie sei mit Entscheid vom 9. November 2010 aufgehoben worden. Dies hätten die Beschwerdeführerinnen in ihrer Eingabe an das Obergericht vom 17. Mai 2011 geltend gemacht. Damit reduziere sich der anrechenbare Freibetrag auf Fr. 678.30.
3.2.2 Abgesehen davon, dass die Beschwerdeführerinnen den Entscheid über die Aufhebung der Alimentenbevorschussung vom 9. November 2010 dem Obergericht nicht eingereicht haben und entgegen ihrer Behauptung sich ihrer Eingabe vom 17. Mai 2011 nichts Derartiges entnehmen lässt, kann eine Prüfung dieser Sachverhaltsrüge unterbleiben, denn die Beschwerdeführerinnen kommen ihrer Begründungspflicht nicht nach. Sie führen selber aus, nach Abzug der angeblich nicht mehr bevorschussten Alimente verbleibe ein monatlicher Überschuss von Fr. 678.30. Damit kann die Mutter innert eines Jahres (E. 2.2) Prozesskosten von (gerundet) Fr. 8'000.-- bezahlen. Nun behaupten die Beschwerdeführerinnen nicht und legen auch nicht dar, dass dieser Betrag für die Deckung der anfallenden Prozesskosten nicht ausreichen soll. Ebenso wenig behaupten sie, der von ihnen berechnete Überschuss genüge nicht, um den einverlangten Vorschuss fristgerecht leisten zu können. Nach dem Gesagten wäre die Bedürftigkeit der Mutter zu verneinen, selbst wenn die Sachverhaltsrüge zutreffen würde; darauf ist nicht einzutreten.
3.2.3 Untauglich ist der Hinweis, es sei notorisch, dass ein monatlicher Freibetrag in der Höhe von Fr. 678.30 wegen unvorhergesehener notwendiger Kosten wie medizinischer, betreuerischer, einrichtungsbedingter, zur Ausbildung erforderlicher oder dem Unterhalt der Liegenschaft dienender Auslagen nicht für die Deckung der Prozesskosten genüge, denn damit beanstanden die Beschwerdeführerinnen im Grunde genommen die Berechnung ihres Grundbedarfs. Nachdem sie die Bedarfsrechnung des Obergerichts im Betrag von Fr. 4'600.70 ausdrücklich anerkennen und im Übrigen die angeführten Ausgabenpositionen weder beziffern noch belegen, kann auch auf diesen Einwand nicht eingetreten werden.
3.2.3 Untauglich ist der Hinweis, es sei notorisch, dass ein monatlicher Freibetrag in der Höhe von Fr. 678.30 wegen unvorhergesehener notwendiger Kosten wie medizinischer, betreuerischer, einrichtungsbedingter, zur Ausbildung erforderlicher oder dem Unterhalt der Liegenschaft dienender Auslagen nicht für die Deckung der Prozesskosten genüge, denn damit beanstanden die Beschwerdeführerinnen im Grunde genommen die Berechnung ihres Grundbedarfs. Nachdem sie die Bedarfsrechnung des Obergerichts im Betrag von Fr. 4'600.70 ausdrücklich anerkennen und im Übrigen die angeführten Ausgabenpositionen weder beziffern noch belegen, kann auch auf diesen Einwand nicht eingetreten werden.
3.3 3.3.1 Weiter werfen die Beschwerdeführerinnen dem Obergericht vor, von einem monatlichen Erwerbseinkommen von Fr. 4'525.-- ausgegangen zu sein, weil die Einkommenssituation "alles andere als stabil" sei. Die eingereichten Arztzeugnisse belegten eine maximale Arbeitsbelastung von 50%, wogegen die Mutter 74.5% arbeite, was ihrer Gesundheit schade. Die Steuerrechnungen 2005 bis 2010 zeigten ein ständiges Auf und Ab des Einkommens zwischen Fr. 30'600.-- und Fr. 43'000.--.
3.3.2 Bei der Prüfung der Bedürftigkeit hat die entscheidende Behörde sämtliche Umstände im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung zu würdigen. Die Beschwerdeführerinnen behaupten nicht, dass das monatliche Erwerbseinkommen im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung nicht Fr. 4'525.-- (inkl. 13. Monatslohn und Ausbildungszulagen für die Tochter) betrug. Wohl haben sie bereits vor Obergericht Befürchtungen angemeldet, der aktuelle Zustand sei alles andere als gesichert. Substanziiert haben sie diese indes nicht, so dass dem Obergericht nicht vorgeworfen werden kann, in verfassungswidriger Art und Weise vom massgeblichen Einkommen abgewichen zu sein. Darüber hinaus unterlassen es die Beschwerdeführerinnen, das ihrer Ansicht nach anrechenbare Einkommen zu beziffern. Damit erweist sich die Rüge als unbegründet, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann.
3.4 Zumindest sinngemäss machen die Beschwerdeführerinnen geltend, das Obergericht habe zu Unrecht Auslagen des offenbar bei diesen untergebrachten pflegebedürftigen Vaters unberücksichtigt gelassen. Wohl haben die Beschwerdeführerinnen vor Obergericht auf diesen Umstand hingewiesen, ohne allerdings in ihrer Bedarfsrechnung daraus Konsequenzen zu ziehen. Bezifferte Anträge stellen sie auch vor Bundesgericht keine. Darauf ist nicht einzutreten.
3.4 Zumindest sinngemäss machen die Beschwerdeführerinnen geltend, das Obergericht habe zu Unrecht Auslagen des offenbar bei diesen untergebrachten pflegebedürftigen Vaters unberücksichtigt gelassen. Wohl haben die Beschwerdeführerinnen vor Obergericht auf diesen Umstand hingewiesen, ohne allerdings in ihrer Bedarfsrechnung daraus Konsequenzen zu ziehen. Bezifferte Anträge stellen sie auch vor Bundesgericht keine. Darauf ist nicht einzutreten.
3.5 3.5.1 Ausserdem wenden die Beschwerdeführerinnen ein, die Mutter habe Schulden von über Fr. 120'000.-- (einschliesslich eine Forderung der Gemeinde A._ von Fr. 104'806.75 für die Kosten der Fremdplatzierung der Tochter), die es zu berücksichtigen gelte, selbst wenn keine regelmässigen Abschlagszahlungen getätigt würden.
3.5.2 Aus der allgemeinen Umschreibung der Bedürftigkeit, wonach eine Person als solche zu gelten hat, wenn sie nicht in der Lage ist, für die Prozesskosten aufzukommen, ohne dass sie Mittel beanspruchen müsste, die zur Deckung des Grundbedarfs für sie und ihre Familie notwendig sind (E. 2.2), ergibt sich, dass im Bedarf nur Ausgaben für den laufenden Lebensunterhalt des Beschwerdeführers bzw. seiner Familie zu berücksichtigen sind. Rechtsprechungsgemäss gilt dies auch für laufende und verfallene Steuerschulden, sofern diese effektiv bezahlt werden (<ref-ruling> E. 5.2.1 S. 224). Sodann sind z.B. Leasingraten für ein sog. Kompetenzgut (d.h. nicht pfändbares Vermögen im Sinne von Art. 92 Abs. 1 oder Art. 93 Abs. 1 SchKG) zu berücksichtigen (Urteil 5A_27/2010 vom 15. April 2010 E. 3.2.2), allerdings wiederum auch nur dann, wenn sie effektiv bezahlt werden. Andere Ausgaben, die nicht oder nicht mehr zum Lebensunterhalt beitragen, bleiben unberücksichtigt. Die Forderung der Gemeinde A._ betrifft gehabte Aufwendungen für die Fremdplatzierung der Tochter; eine Erstattung derselben trägt zum Lebensunterhalt der Beschwerdeführerinnen nichts (mehr) bei, weshalb sie selbst dann nicht zu berücksichtigen wären, wenn sie effektiv bezahlt würden. Der Hintergrund der anderen Schulden bleibt gänzlich unbekannt, weshalb auch diese unberücksichtigt bleiben. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet.
4. Ferner bezeichnen die Beschwerdeführerinnen die Ausführungen des Obergerichts zum Wert der Liegenschaft und zur möglichen Aufstockung der Hypothek als willkürlich. Dieser Vorwurf zielt ins Leere, denn das Obergericht liess die Frage ausdrücklich offen, ob die Mutter die erforderlichen Mittel, von denen der Bezirksrat Winterthur im Zusammenhang mit dem für das dortige Verfahren gestellten Gesuch ausgegangen war, aus einer zusätzlichen hypothekarischen Belastung oder dem Verkauf ihrer Liegenschaft beschaffen könne bzw. müsse.
5. Schliesslich machen die Beschwerdeführerinnen geltend, der Tochter stehe ein eigenständiger Anspruch auf Vertretung im Prozess und deshalb ein eigenständiger Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege zu.
5.1 In diesem Zusammenhang erwog das Obergericht, die Tochter sei zwar mittellos, aber die Leistungsfähigkeit der Eltern sei ihr wegen der gesetzlichen Unterstützungspflicht zuzurechnen. Während der Vater offensichtlich mittellos sei, treffe dies auf die Mutter nicht zu.
5.2 Dagegen wenden die Beschwerdeführerinnen ein, bei der Geltendmachung gefährdeter höchstpersönlicher Rechte durch urteilsfähige Unmündige dürften keine Abhängigkeiten wie die Unterhaltspflicht der Eltern einwirken und es sei nicht zumutbar, vor Geltendmachung ihrer Rechte eine Kostengarantie der Eltern einzuholen bzw. allenfalls sogar vorher einzuklagen. Aufgrund ihrer Bedeutung habe der Rechtsschutz von höchstpersönlichen Rechtsgütern für Kinder und Jugendliche vorbehaltlos garantiert zu sein. Es sei Sache der Gerichte, Kosten für den Schutz der Grundrechte von Minderjährigen allenfalls von begüterten Eltern einzufordern, wenn die Voraussetzungen dazu gegeben seien.
5.3 Gemäss <ref-law> haben die Eltern für den Unterhalt des Kindes aufzukommen, inbegriffen die Kosten von Erziehung, Ausbildung und Kindesschutzmassnahmen. Zur Unterhaltspflicht der Eltern gegenüber minderjährigen Kindern gehört auch der Rechtsschutz. Die Eltern sind gehalten, für die Prozesskosten eines minderjährigen Kindes aufzukommen. Bei der Beurteilung der Frage, ob ein minderjähriges Kind bedürftig sei, dürfen deshalb auch die finanziellen Verhältnisse der Eltern berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 3d S. 206 mit zahlreichen Hinweisen). Insofern erweisen sich die Erwägungen des Obergerichts als zutreffend.
Nach dem Gesagten steht zum einen fest, dass die Mutter nicht bedürftig ist (E. 3.2-3.5). Zum andern verursacht allein die Teilnahme der Tochter am Prozess, in welchem sie dieselben Standpunkte vertritt und sich vom gleichen Anwalt vertreten lassen will wie ihre Mutter (E. 1.2.2), auch keine zusätzlichen Kosten. Die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege zugunsten der Tochter steht daher nicht im Widerspruch zu <ref-law>. Die Tochter ist von vornherein nicht von der Bevorschussung der Kosten durch die Mutter abhängig, und der Schutz der Rechtsgüter des Kindes ist vollumfänglich gewährleistet. Ins Leere stösst deshalb die Argumentation der Beschwerdeführerinnen, wonach es urteilsfähigen Unmündigen nicht zumutbar sei, vor Geltendmachung ihrer Rechte eine Kostengarantie der Eltern einzuholen, und der Rechtsschutz von höchstpersönlichen Rechtsgütern für Kinder vorbehaltlos garantiert werden müsse.
6. Aus den genannten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerinnen unterliegen und sind kostenpflichtig (<ref-law>). Aufgrund der besonderen Umstände wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos angesehen werden, weshalb es an den materiellen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege mangelt (<ref-law>) und das entsprechende Gesuch abzuweisen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird verzichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Oktober 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn