A.- a) Professeur de tennis, M._ donne depuis plus de vingt ans des cours au centre sportif situé à X._. Durant cette période, il s'est constitué une importante clientèle. Le club a eu divers propriétaires successifs, il s'est appelé A._, B._ S.A. puis, dès le 1er janvier 2001, C._ S.A.
M._ utilise plus particulièrement le court n° 6 du club (court intérieur) mais aussi des courts extérieurs pour y donner des cours privés à raison de 120 heures par mois. Il entretient des contacts directs avec ses élèves, tant pour fixer les rendez-vous que pour encaisser le prix de ses leçons, sans faire appel, dans ce contexte, aux services administratifs du club. Pour l'utilisation des courts entre janvier et août 2001, M._ a versé au club des montants variant entre 2'985 fr. et 3'685 fr. par mois. Il assure lui-même le paiement de ses cotisations sociales et a souscrit, à sa charge, divers contrats d'assurance.
Par ailleurs, M._ reçoit du club une rémunération pour les enseignements qu'il donne lors des stages que celui-ci organise à l'intention de ses membres.
A titre d'exemple, il a réalisé durant le mois de février 2001 un revenu à titre privé de 13'700 fr., a versé au club un montant de 3'400 fr. et a reçu de celui-ci 3'360 fr. représentant sa rémunération pour 48 heures d'enseignement en stage.
b) Le 26 octobre 2000, après un entretien avec les responsables de B._ S.A., M._ s'est vu remettre un courrier lui confirmant que le centre sportif ne serait plus exploité par cette société à partir du 1er janvier 2001.
Ce courrier précisait que désormais, les relations contractuelles le liant à elle ainsi que "tous les engagements conclus" prendraient fin au 31 décembre 2000. M._ était invité, s'il le souhaitait, à prendre contact avec les repreneurs en vue d'examiner avec eux la possibilité d'une collaboration future.
c) La société C._ S.A. a repris la propriété et l'exploitation des installations sportives du club avec effet au 1er janvier 2001. Sans qu'aucun contrat de reprise de l'exploitation n'ait été signé, la société B._ S.A.
a été liquidée.
Dès le 1er janvier 2001, C._ S.A. s'est fixé comme objectif de développer les activités sportives pratiquées sur le site, en particulier de créer une école de tennis sur la base d'un nouveau concept pédagogique. Les relations C._ S.A. avec les professeurs de tennis ont été assujetties à un nouveau règlement entré en vigueur le 1er février 2001 ("Règlement pour les professeurs de tennis"). Dans son préambule, est considérée comme prioritaire la garantie aux membres du club d'un seuil de disponibilité des courts à raison de 50% entre 8h et 12h, 60% entre 12h et 14h et 80% à partir de 18h.
d) Le 31 juillet 2001, C._ S.A. a adressé à M._ un courrier lui confirmant le contenu d'un entretien datant du mois de juin 2001 lors duquel lui avait été signifiée la résiliation de ses relations contractuelles avec le club pour le 1er septembre 2001. Il y était précisé qu'à partir de cette date, le club ne ferait plus appel à ses services pour les stages de tennis et qu'à teneur du nouveau règlement, il n'était plus autorisé à donner des leçons privées dans son enceinte.
Par courrier du 9 août 2001, M._ s'est insurgé contre la décision que le club venait de prendre à son égard et a invoqué la gravité du préjudice qu'il subissait de ce fait, qualifiant les rapports le liant au club de "rapport de location" et se référant à l'intitulé "location de courts" des fiches établies par le club. Il invitait C._ S.A. à reconsidérer jusqu'au 17 août les termes de son courrier du 31 juillet 2001, à défaut de quoi il menaçait de "saisir la justice".
Sans aucun commentaire, C._ S.A. a accusé réception de ce courrier le 13 août 2001. Des discussions ont eu lieu le 21 août dans les locaux du club entre M._ son avocat et le directeur général du club. Le 27 août, M._ a reçu un téléphone lui annonçant qu'aucune négociation n'était possible et que la teneur du courrier du 31 juillet était en tous points maintenue.
B.- M._ a déposé devant le Tribunal des baux et loyers de Genève une requête de mesures provisionnelles et préprovisionnelles urgentes contre C._ S.A. Il concluait pour l'essentiel à ce qu'il soit autorisé à utiliser comme par le passé le court n° 6, avec libre accès du lundi au vendredi.
Le 30 août 2001, le Tribunal a fait droit à ses conclusions jusqu'à nouvelle décision après audition des parties. Celles-ci ont été entendues le 10 septembre 2001.
Par jugement du 17 septembre 2001, le Tribunal des baux et loyers, statuant sur mesures provisionnelles, s'est déclaré incompétent ratione materiae, a annulé l'ordonnance du 30 août 2001 et a débouté les parties de toutes autres conclusions.
Par arrêt du 12 novembre 2001, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève a confirmé le jugement du 17 septembre 2001.
C.- M._ forme un recours de droit public contre l'arrêt du 12 novembre 2001 et conclut à son annulation.
Invitée à déposer une réponse, l'intimée conclut, sur la forme, à l'irrecevabilité du recours et, sur le fond, à son rejet. La Chambre d'appel en matière de baux et loyers se réfère aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.- a) Le recours de droit public n'est en principe ouvert qu'à l'encontre de décisions prises en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 OJ).
Peuvent être attaquées par un recours de droit public les décisions finales ainsi que les décisions préjudicielles ou incidentes sur la compétence et sur les demandes de récusation, prises séparément. Le recours de droit public est recevable contre d'autres décisions préjudicielles ou incidentes prises séparément s'il peut en résulter un préjudice irréparable (art. 87 al. 1 et 2 OJ, nouvelle teneur en vigueur depuis le 1er mars 2000; RO 2000 416 s.).
L'arrêt attaqué confirme l'incompétence ratione materiae du Tribunal des baux et loyers pour statuer sur la requête de mesures provisionnelles du recourant, il s'agit donc d'une décision finale au sens de l'art. 87 OJ (sur cette notion: <ref-ruling> consid. 3b p. 327). Prise en dernière instance cantonale, elle peut être attaquée par la voie du recours de droit public.
L'intimée soutient que la décision attaquée ne cause pas un dommage irréparable au recourant, ce qui entraîne l'irrecevabilité de son recours. Cette argumentation suppose que l'on qualifie la décision cantonale d'incidente; or si tel était le cas, le recours de droit public serait également recevable car la loi n'exige pas la menace d'un dommage irréparable pour attaquer une décision cantonale concernant la compétence (cf. art. 87 al. 1 OJ).
b) Le recours de droit public est ouvert pour violation des droits constitutionnels des citoyens (art. 84 al. 1 let. a OJ); le recours n'est toutefois recevable que si la prétendue violation ne peut pas être soumise par une action ou un autre moyen de droit au Tribunal fédéral ou à une autre autorité fédérale (art. 84 al. 2 OJ).
Le recourant reproche à la Chambre d'appel d'avoir fait preuve d'arbitraire en retenant qu'un contrat de bail n'aurait pas été rendu vraisemblable au sens de l'art. 324 de la loi de procédure genevoise (LPC gen.), qui régit les mesures provisionnelles en matière civile. Il se plaint d'une application arbitraire des art. 261, 266l et o CO.
Pour déterminer s'il était compétent à raison de la matière, le Tribunal des baux et loyers a été amené à se prononcer, à titre préjudiciel, sur l'existence d'un contrat de bail portant sur une chose immobilière. Or l'application du droit fédéral dans les motifs d'un jugement portant sur une question de droit cantonal ne peut être l'objet ni d'un recours en réforme ni d'un recours en nullité, sauf si le juge cantonal était tenu de prendre en considération la loi fédérale (<ref-ruling> consid. 1c p. 241). Tel n'était pas le cas en l'espèce. Il en découle que le grief soulevé par le recourant ne peut être invoqué que dans le cadre d'un recours de droit public et que le principe de la subsidiarité est ainsi respecté.
c) Le recourant est personnellement touché par l'arrêt attaqué qui le déboute de ses conclusions, de sorte qu'il a un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que cette décision n'ait pas été prise en violation de ses droits constitutionnels; il a donc qualité pour recourir (art. 88 OJ). Interjeté en temps utile (art. 89 al. 1 OJ), dans la forme prévue par la loi (art. 90 al. 1 OJ), le recours est recevable.
2.- Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours (art. 90 al. 1 let. b OJ; <ref-ruling> consid. 3c p. 43). Concernant l'arbitraire, il appartient en particulier au recourant de démontrer, par une argumentation précise, en quoi la décision incriminée est insoutenable (<ref-ruling> consid. 1b p. 495; <ref-ruling> consid. 2a).
3.- Le recourant reproche à la Chambre d'appel d'avoir arbitrairement nié l'existence d'un contrat de bail en violation des art. 261, 266l et o CO et estime que, de ce fait, l'<ref-law> gen. a été appliqué de manière insoutenable.
a) Le Tribunal des baux et loyers a examiné si le recourant avait rendu vraisemblable le droit allégué, comme l'exige l'<ref-law> gen. Arrivant à la conclusion que tel n'était pas le cas puisque les éléments caractéristiques du bail faisaient défaut, il s'est déclaré incompétent à raison de la matière pour connaître de la requête de mesures provisionnelles. Ce faisant, il a implicitement appliqué l'art. 56K let. a de la loi sur l'organisation judiciaire genevoise (LOJ gen.), disposition qui lui confère la compétence de statuer sur tout litige relatif au contrat de bail à loyer ou à ferme non agricole portant sur une chose immobilière.
Le recourant aurait par conséquent dû se plaindre d'une application arbitraire de la norme cantonale régissant la compétence du Tribunal des baux et loyers et non de l'<ref-law> gen. Déclarer le grief du recourant irrecevable pour ce motif constituerait cependant un excès de formalisme. En effet, tant l'art. 56K LOJ gen. que l'<ref-law> gen. impliquent l'examen de la nature des relations contractuelles qui lient les parties.
b) Il s'agit donc d'examiner s'il était arbitraire de ne pas soumettre aux règles du bail à loyer la convention qui liait les parties en juillet 2001, date de sa résiliation par l'intimée.
c) Une décision est arbitraire si elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou si elle contredit de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité (<ref-ruling> consid. 3a, 119 Ia 28 consid. 3, 117 Ia 13 consid. 2c, 27 consid. 7a). Arbitraire et violation de la loi ne sauraient être confondus; une violation doit être manifeste et reconnue d'emblée pour être considérée comme arbitraire. Le Tribunal fédéral n'a pas à examiner quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner aux dispositions applicables; il doit uniquement dire si l'interprétation qui a été faite est défendable. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution pourrait aussi se défendre et sembler même plus correcte (<ref-ruling> consid. 2b p. 56, 60 consid. 5a p. 70).
4.- La cour cantonale a retenu que les parties étaient liées par actes concluants, depuis de nombreuses années, par un accord selon lequel le recourant d'une part, était autorisé à utiliser les courts du club pour donner des cours à ses propres élèves et d'autre part, s'engageait à donner des cours contre rémunération aux membres du club lors des stages organisés par celui-ci. La cour cantonale a qualifié cet accord de contrat mixte comportant des éléments du bail à loyer (pour l'utilisation des courts par la clientèle privée du recourant) et du mandat (pour les cours donnés aux membres du club dans le cadre de stages). Elle a relevé que cette deuxième activité était épisodique.
La constatation de la cour cantonale mérite une rectification en ce sens que l'accord de longue date ne concernait pas les parties à la procédure mais B._ S.A.
et le recourant.
a) Selon la jurisprudence, l'application des dispositions sur l'extinction des rapports contractuels édictées pour protéger le locataire suppose l'existence d'un véritable contrat de bail à loyer. En cas de contrats composés, réunissant diverses conventions distinctes mais dépendantes entre elles, ou de contrat mixte contenant d'autres éléments que ceux ayant trait au bail à loyer ou à ferme, il convient de rechercher le centre de gravité des relations contractuelles, appréhendées comme un seul et unique accord. Compte tenu de leur dépendance réciproque, il n'est en effet pas possible de soumettre chaque composante du contrat à un sort juridique propre, ce qui n'est pas sans incidence sur l'extinction du contrat. En conséquence, l'application des dispositions sur l'extinction du bail est exclue lorsque la cession de l'usage de l'objet du contrat n'apparaît que comme un élément purement accessoire et secondaire, l'accent étant mis sur d'autres éléments du contrat (<ref-ruling> consid. 3a p. 161).
b) Pour déterminer le centre de gravité de la relation contractuelle en cause, l'autorité cantonale s'est basée sur le règlement élaboré par l'intimée, entré en vigueur le 1er février 2001. Elle a estimé que ce règlement faisait partie intégrante des principes gouvernant la relation contractuelle liant les parties et qu'il représentait une sorte de cahier des charges du recourant. Il était légitime de s'y référer vu l'absence de toute convention écrite. La cour cantonale a déduit de son contenu que l'usage des courts à l'intention de la clientèle privée du recourant était désormais un élément accessoire, presque toléré, par rapport aux engagements du recourant à l'égard des membres du club et que son statut était, dans cette mesure, modifié. Par conséquent, la convention mixte liant les parties n'était pas régie par les dispositions relatives au bail à loyer.
A l'appui de son raisonnement, la cour cantonale a pris en considération le fait que le recourant n'avait pas réagi à la résiliation par B._ S.A. de leurs relations contractuelles pour le 31 décembre 2000 et qu'il n'avait pas contesté, lors de son entrée en vigueur le 1er février 2001, le règlement de C._ S.A.
c) L'intimée conteste que la convention la liant au recourant contienne des éléments relatifs au contrat de bail.
Ce grief est infondé, les considérants pertinents de l'arrêt attaqué étant conformes au droit fédéral.
d) aa) Le recourant considère que le raisonnement cantonal viole l'<ref-law>. Selon lui, la lettre de résiliation de B._ S.A. n'appelait aucune réaction de sa part et ne pouvait modifier ou supprimer la relation de bail qui continuerait avec le nouveau propriétaire du club.
bb) Divers éléments retenus par l'autorité cantonale font apparaître que la convention liant le recourant à B._ S.A. depuis plusieurs années comportait des éléments relevant du contrat de bail et d'autres du contrat de mandat, l'aspect bail étant toutefois prépondérant. La modification ou la résiliation de cette convention était par conséquent soumise aux règles du bail à loyer (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 161).
La convention portait tant sur la location du court intérieur n° 6 que sur celle des courts extérieurs. Seul le court intérieur peut être qualifié de local commercial au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2b p. 110). Cela suffit toutefois pour soumettre l'ensemble de la convention aux règles concernant la location de locaux commerciaux. B._ S.A. devait donc respecter les exigences de l'<ref-law>, à savoir l'usage d'une formule agréée par le canton. Rien de tel n'a cependant été constaté. Cette résiliation étant nulle (<ref-law>), le contrat mixte soumis aux règles du bail était toujours en vigueur lorsque C._ S.A. a acquis les installations sportives le 1er janvier 2001. En vertu de l'<ref-law>, selon lequel le bail passe à l'acquéreur de la chose louée lorsque, après la conclusion du contrat, le bailleur aliène cette chose, les obligations découlant du contrat mixte ont passé à C._ S.A. avec la propriété de l'établissement.
e) aa) Le recourant estime que la cour cantonale a arbitrairement ignoré les art. 266l et o CO en considérant que l'entrée en vigueur du règlement élaboré par C._ S.A. avait modifié les relations contractuelles entre les parties au point de supprimer le contrat de bail.
bb) La cour cantonale n'a pas considéré que le contrat de bail avait pris fin lors de l'entrée en vigueur du règlement. Analysant ce document, elle en a conclu qu'il réduisait la possibilité pour le recourant de donner des leçons privées dans l'enceinte du club, qu'il donnait la priorité aux services du club pour ses membres et modifiait, dans cette mesure, le statut du recourant. Ce règlement déplaçait clairement le centre de gravité du contrat mixte du côté du mandat, l'aspect bail devenant accessoire. Le grief de violation des art. 266l et o CO n'a donc pas d'objet.
f) aa) Le recourant soutient que ce règlement ne le liait pas puisqu'il ne l'avait pas formellement accepté et que son attention n'avait pas été attirée sur la réduction importante de ses possibilités d'enseigner à titre privé dans les installations du club. Il ajoute que malgré l'entrée en vigueur du règlement, la situation de fait n'a pas changé.
Ainsi, de février à août 2001, il a continué à utiliser contre paiement les courts du club à raison de 120 heures par mois.
bb) Les faits retenus par l'autorité cantonale ne permettent pas, en effet, de constater que le recourant a donné son accord aux modifications contractuelles qu'entraînait le règlement élaboré par l'intimée. Au contraire, alors que ce règlement était en vigueur, le recourant a réalisé, durant le mois de février 2001, un revenu de 13'700 fr. à titre privé et de 3'360 fr. pour 48 heures d'enseignement donnés durant les stages organisés par le club. Pour l'utilisation des courts à titre privé, il a versé au club une somme de 3'400 fr. Le montant de ce dernier poste est resté pratiquement identique jusqu'en août 2001.
L'intimée rappelle que le règlement interdisait aux professeurs de tennis d'effectuer plus de 7 heures de leçons par jour, privées ou dans le cadre d'un stage, et que, dès la troisième semaine de janvier 2001, le recourant a souvent donné 10 heures de cours par jour voire même, à une occasion, 12 heures.
L'intimée ne conteste toutefois pas que ces cours ont été donnés dans l'enceinte du club. Le recourant a donc à chaque fois obtenu son aval pour pouvoir louer les courts où il dispensait ses leçons. L'intimée ne conteste pas non plus que le recourant lui a versé, de janvier à août 2001, les montants indiqués par la cour cantonale pour l'utilisation des courts. Elle est donc mal venue de reprocher au recourant d'avoir ignoré le règlement de février 2001. A son égard en tout cas, elle semble avoir fait de même. Si le comportement du recourant la gênait, elle aurait pu y mettre un terme en refusant de placer des courts à sa disposition hors des limites fixées par le règlement.
g) Au vu de ces constatations, il était insoutenable de soumettre les relations contractuelles en cause aux règles du mandat. D'une part, la convention mixte qui liait le recourant à B._ S.A. jusqu'au 31 décembre 2000 était clairement centrée sur la location de courts au recourant; d'autre part, cette convention ayant été transférée à C._ S.A., sa modification impliquait l'accord des deux parties. Or le règlement de l'intimée modifiant de manière importante le statut du recourant n'a pas été approuvé par celui-ci. En outre, l'attitude et le comportement des parties du mois de février au mois d'août 2001 démontrent que ce règlement a été ignoré tant par le recourant que par l'intimée.
On ne pouvait donc pas raisonnablement se baser sur ce document pour déterminer le centre de gravité du contrat mixte liant les parties. En revanche, l'analyse du contrat à la lumière de son historique et du comportement des parties révèle que la location de courts au recourant pour son enseignement privé constituait l'élément prépondérant des relations contractuelles et fondait ainsi sans conteste la compétence du Tribunal des baux et loyers au sens de l'art. 56K LOJ gen.
Le recours de droit public sera par conséquent admis et l'arrêt attaqué annulé.
5.- Il appartiendra à l'intimée, qui succombe, d'assumer les frais judiciaires et les dépens de la procédure fédérale (art. 156 al. 1, art. 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs
le Tribunal fédéral :
1. Admet le recours et annule l'arrêt attaqué;
2. Met un émolument judiciaire de 2'000 fr. à la charge de l'intimée;
3. Dit que l'intimée versera au recourant une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens;
4. Communique le présent arrêt en copie aux mandataires des parties et à la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève.
_
Lausanne, le 18 mars 2002 ECH
Au nom de la Ie Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président,
Le Greffier,