Sachverhalt:
A.
Am 11. Juli 2012 stellte Y._ bei der Baukommission der Einwohnergemeinde Biberist ein Gesuch zum Umbau seines Mehrfamilienhauses an der T._strasse .... Gegen dieses Bauprojekt erhoben die Eigentümer der benachbarten Liegenschaft, die Brüder A.X._, B.X._ und C.X._, eine Einsprache. Die Baukommission Biberist wies die Einsprache mit Entscheid vom 14. September 2012 ab und erteilte die Baubewilligung mit Auflagen. Eine dagegen erhobene Beschwerde der Brüder X._ wies das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 26. März 2013 ab, soweit es darauf eintrat. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies eine gegen diese Verfügung gerichtete Beschwerde mit Urteil vom 10. Juni 2013 ab.
B.
Die Brüder X._ erheben Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 10. Juni 2013 sowie den Entscheid der Baukommission Biberist vom 14. September 2012 aufzuheben und dem Baugesuch von Y._ vom 11. Juli 2012 den Bauabschlag zu erteilen. Eventuell sei die Angelegenheit an die Baukommission oder an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen und verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Baukommission führt in ihrer Vernehmlassung aus, sie halte an der Baubewilligung vom 14. September 2012 fest. Y._ liess sich nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Verwaltungsgerichtsentscheid, der eine baurechtliche Bewilligung bestätigt. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Die Beschwerdeführer, die am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt waren, sind als Eigentümer einer Nachbarliegenschaft zur Beschwerde befugt (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägung einzutreten.
1.2. Nicht einzutreten ist auf den Antrag der Beschwerdeführer, den Entscheid der Baukommission vom 14. September 2012 aufzuheben. Unterinstanzliche Entscheide sind mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht selbstständig anfechtbar. Sie werden aufgrund des Devolutiveffekts durch den Entscheid der letzten kantonalen Instanz ersetzt und gelten mit der dagegen gerichteten Beschwerde als mitangefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. a, b und c BGG). Die Verletzung des übrigen kantonalen Rechts kann abgesehen von hier nicht relevanten Ausnahmen gemäss Art. 95 lit. c und d BGG vor Bundesgericht nicht gerügt werden; zulässig ist jedoch die Rüge, die Anwendung dieses Rechts führe zu einer Verletzung von Bundesrecht, namentlich des verfassungsmässigen Willkürverbots (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.). Ein Verstoss gegen dieses Verbot liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht weicht wegen Willkür vom Entscheid der kantonalen Instanz nur ab, wenn dieser offensichtlich unhaltbar ist, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 318 f. mit Hinweisen).
2.
2.1. Das Verwaltungsgericht kam zum Ergebnis, die alte Version der kantonalen Bauverordnung des Kantons Solothurn vom 3. Juli 1978 mit Stand vom 1. Januar 2012 (aKBV; BGS 711.61) sei anwendbar. Die Beschwerdeführer schliessen sich vor Bundesgericht dieser Auffassung an.
2.2. Gemäss § 22 Abs. 2 aKBV richtet sich der Grenzabstand gegenüber der Nachbargrenze nach Geschosszahl und Gebäudelänge; Einzelheiten regelt der Anhang II. Dieser Anhang sieht in der Abbildung 3 vor, dass bei höhenmässig gestaffelten Gebäuden für jede Geschosszahl mit der dafür massgebenden Gebäudelänge der Grenzabstand separat zu bestimmen ist. Einzuhalten ist der jeweils sich ergebende grösste Abstand.
Abbildung 4 des Anhangs II weist für einen höhenmässig gestaffelten Baukörper folgende Skizzen und Erläuterungen auf:
Grenzabstand GA 1 Grenzabstand GA 2 massgebende Geschosszahl 2 G massgebende Geschosszahl 2G massgebende Gebäudelänge 12 m massgebende Gebäudelänge 36 m GA1 gemäss Tabelle 3,25 m GA 2 gemäss Tabelle 6,00 m Grenzabstand GA 3 Grenzabstand GA 4 massgebende Geschosszahl 3 G massgebende Geschosszahl 5 G massgebende Gebäudelänge 24 m massgebende Gebäudelänge 12 m GA 3 gemäss Tabelle 6,60 m* GA 4 gemäss Tabelle 7,20 m*
*für Teillängen massgebend, da jeweils grösser als GA 2 respektiv GA 3
2.3. Das Verwaltungsgericht erwog, aus der Abbildung 4 im Anhang II gehe hervor, dass der Grenzabstand für ein Gebäude je nach Geschosszahl unterschiedlich sein könne, also ein fünfgeschossiger Bauteil einen grösseren Abstand (GA 4) einzuhalten habe als der zweigeschossige Teil derselben Baute. Das gelte für jede Fassade, also auch für die Schmalseitige (GA 1). Dies entspreche langjähriger und ständiger Praxis der Baubehörden des Kantons und der Gemeinden. Im vorliegenden Fall befinde sich an der Südwestseite der Bauliegenschaft ein eingeschossiger, zehn Meter breiter Anbau, der zwei Meter von der Liegenschaft der Beschwerdeführer entfernt sei. Auf diesem Anbau soll nun ein Pavillon mit einer Fassadenhöhe von 2.5 m errichtet werden. Aufgrund des gemäss Anhang II Abbildungen 3 und 4 vorgesehenen gestaffelten Grenzabstandes betrage der minimale Grenzabstand für den bestehenden eingeschossigen Anbau zwei Meter. Der darauf zu errichtende Pavillon müsse als zweites Geschoss einen Grenzabstand von drei Metern aufweisen, der durch die Rückversetzung des Pavillons um einen Meter eingehalten werde. Somit verletze das Bauvorhaben den Grenzabstand zur benachbarten Liegenschaft nicht.
2.4. Die Beschwerdeführer rügen, das Verwaltungsgericht habe § 22 aKBV willkürlich angewendet. Gemäss den Skizzen zu den Abbildungen 3 und 4 des Anhangs II mache die Rückversetzung im Vergleich zu den unterliegenden Geschossen jeweils einen Drittel der gesamten Gebäudelänge aus. Ein Anwendungsbeispiel für einen auf der Schmalseite höhenmässig gestaffelten Gebäudekörper fehle im Anhang II. Daraus werde erkennbar, dass der Grenzabstand um so grösser sein soll, je höher ein Gebäudekörper auf der Fassadenseite in Erscheinung trete. Dieser Zwecksetzung widerspreche es, wenn ein nach Geschossen gestaffelter Baukörper bzw. eine stufenpyramidenartige Bauweise zugelassen würde. Diesfalls müsste bei einer Gebäudelänge von weniger als zwölf Meter das Erdgeschoss einen Grenzabstand von zwei und das erste Obergeschoss einen solchen Abstand von drei Metern wahren. Dies könne nicht dem Sinn der Grenzabstandsregelung in § 22 aKBV in Verbindung mit dem Anhang II entsprechen, weil die Rückversetzung um nur einen Meter optisch nicht auffalle und diese auch hinsichtlich des Schattenwurfs und der Beeinträchtigung der Sicht die Auswirkungen auf das Nachbargrundstück kaum verringere. Daran vermöge der vorinstanzliche Hinweis auf die angeblich langjährige Praxis nichts zu ändern, weil die angegebenen Belegstellen einzig § 22 aKBV und die dazugehörigen Skizzen im Anhang II anführten, ohne weitere konkrete Anwendungsbeispiele zu nennen.
2.5. Die im Anhang II in der Abbildung 4 als Beispiel aufgeführte Baute entspricht auf der linken Seite einer durch rückversetzte Stockwerke gebildeten Stufenpyramide. Der Grenzabstand GA 1 wird dabei nur unter Berücksichtigung der ersten beiden Stockwerke berechnet. Dies erklärt sich damit, dass die weiteren Stockwerke so weit zurückversetzt sind, dass die für diese Stockwerke geltenden Grenzabstände auf der linken Seite innerhalb des Gebäudes liegen. Dies schliesst nicht aus, dass die oberen Stockwerke bei einer geringeren Rückversetzung auf die linke Seite hin den Grenzabstand gemäss der allgemeinen Tabelle unter Berücksichtigung der Gebäudelänge und der Geschosshöhe zu wahren haben. Das Verwaltungsgericht ist somit nicht in Willkür verfallen, wenn es für den rückversetzten Pavillon auf der zweiten Geschosshöhe bei einer massgebenden Gebäudelänge von zehn Metern einen Grenzabstand von drei Metern als zulässig qualifizierte.
3.
3.1. Das Verwaltungsgericht führte aus, nach § 18 Abs. 2 aKBV werde die Gebäudehöhe vom gewachsenen oder tiefergelegten Terrain aus bis zum Schnittpunkt der Fassadenflucht mit der Oberkante der Dachfläche gemessen. Dachaufbauten, die sich im Inneren der Dachfläche befänden und nicht an der Fassade lägen, seien nicht an die Gebäudehöhe anzurechnen. Für die Bemessung der Gebäudehöhe komme es folglich darauf an, ob es sich bei der geplanten Lukarne um eine Verlängerung der Fassade oder eine Gestaltung der Dachfläche (Dachbaute) handle. § 64 KBV nenne Lukarnen als Beispiel für Dachaufbauten. Derartige Bauteile würden die Dachfläche nach oben durchbrechen und oberhalb der Dachhaut in Erscheinung treten. Im vorliegenden Fall erhöhe sich durch den geplanten Einbau der Lukarne in der vertikalen Fortsetzung der Fassade die gesetzlich zulässige und anzurechnende Gebäudehöhe nicht, sofern entsprechend den Bauplänen sowohl der Dachvorsprung wie der Ortgang vom bestehenden Dach aus weitergeführt werde. Dies werde zusätzlich mit der vom Bau- und Justizdepartement verfügten Auflage gesichert, dass zur klaren optischen Abgrenzung der Dachaufbaute gegenüber der Gebäudefassade das Vordach im Ausmass von mindestens zwei Ziegelreihen zu gestalten sei.
3.2. Die Beschwerdeführer rügen, das Verwaltungsgericht sei in Willkür verfallen, wenn es die geplante Lukarne nicht als Verlängerung der Fassade des bestehenden Baukörpers qualifiziert habe. Dies widerspreche seiner im angefochtenen Urteil zitierten Praxis, wonach nur die Dachaufbauten, die sich im Inneren der Dachfläche befinden und nicht an die Fassade reichen, nicht an die Gebäudehöhe anzurechnen seien. Die neu zu erstellenden Wände der Lukarne würden jedoch ebenbündig zu den jeweiligen Fassaden ausgeführt. Damit käme der Ausbau auf zwei Seiten an den jeweiligen Fassaden des Gebäudekörpers zu liegen und stelle somit gemäss solothurnischer Praxis keinen Dachaufbau gemäss § 64 KBV dar. Daran ändere nichts, dass der Dachvorsprung und der Ortgang des bestehenden Daches weitergeführt werden sollten, da dies rein kosmetische Vorkehrungen seien.
3.3. Gemäss der Auflage des Bau- und Justizdepartements hat der Dachabschluss unterhalb der Lukarne nebst der Traufe mindestens zwei Reihen Ziegel von der Art der bestehenden Dachfläche aufzuweisen, weshalb sich die Vorderseite der Lukarne in die Dachfläche einfügt. Auch die Seite der Lukarne wird optisch in das bestehende Dach integriert, indem dessen Ortgang weitergeführt wird. Unter diesen Umständen ist es vertretbar anzunehmen, die geplante Lukarne liege im Inneren der Dachfläche und werde als Dachaufbau und nicht als blosse Verlängerung der Fassade wahrgenommen. Demnach ist das Verwaltungsgericht nicht in Willkür verfallen, wenn es die geplante Lukarne nicht an die Gebäudehöhe anrechnete.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die Gerichtskosten den unterliegenden Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Baukommission der Einwohnergemeinde Biberist, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. November 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Gelzer