Faits:
A. Née en 1972, R._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, le 2 juin 2004. L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a recueilli différents renseignements médicaux auprès des médecins consultés par l'assurée, dont il ressortait qu'elle était atteinte d'un état dépressif et de lombosciatalgies chroniques (rapports des docteurs H._ du 21 juin 2004, P._ du 20 avril 2005, L._ du 7 juillet 2005 et S._ du 5 août 2004).
Après avoir soumis l'intéressée à un examen psychiatrique mené par la doctoresse M._ du Service médical régional AI (SMR), qui a rendu son rapport le 19 septembre 2006, l'office AI a rejeté la demande de prestations par décision du 27 février 2007. En bref, il a considéré que l'assurée ne présentait aucune pathologie ayant une incidence sur la capacité de travail (que ce soit sur le plan somatique ou psychique) et qu'on pouvait exiger d'elle qu'elle reprenne son activité professionnelle habituelle à plein temps.
B. R._ a déféré la décision administrative au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève. Après avoir requis des informations complémentaires des docteurs N._ et T._ du Service de psychiatrie adulte de X._ (courrier du 22 octobre 2007), auprès duquel l'assurée suivait un "programme dépression" depuis le 13 mai 2005, le tribunal a confié une expertise au docteur I._, psychiatre (rapport du 13 mars 2008).
Par jugement du 28 mai 2008, le tribunal a admis le recours de R._: annulant la décision du 27 février 2007, il lui a octroyé une rente entière d'invalidité à partir du 1er août 2003 et condamné l'office AI au paiement, notamment, des frais de l'expertise judiciaire de 5000 fr.
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Il conclut à la confirmation de sa décision du 27 février 2007, en assortissant son recours d'une demande d'effet suspensif.
Le Tribunal fédéral a renoncé à procéder à un échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le jugement en cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
2. Le litige porte sur le droit de l'intimée à des prestations de l'assurance-invalidité, singulièrement une rente entière d'invalidité à partir du 1er août 2003. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence applicables au présent cas, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
3. Après examen des différentes pièces médicales au dossier, la juridiction cantonale a fait siennes les conclusions du docteur I._, auxquelles elle a reconnu pleine valeur probante et selon lesquelles l'intimée souffrait d'un état dépressif sévère sans symptôme psychotique qui l'empêchait de travailler depuis 2002. Aussi, a-t-elle retenu que R._ présentait une incapacité totale de travail et avait droit en conséquence à une rente entière d'invalidité à partir du 1er août 2003. Les premiers juges ont, en revanche, écarté l'avis de la doctoresse M._ du SMR, qui n'avait diagnostiqué aucune pathologie psychiatrique limitant la capacité de travail de l'intimée, au motif que l'évaluation du 19 septembre 2006 n'avait aucune valeur probante.
4. 4.1 Le recourant reproche tout d'abord aux premiers juges de n'avoir pas pris en considération le rapport du médecin du SMR, dont les conclusions seraient corroborées par d'autres pièces médicales au dossier qui confirmeraient l'absence d'atteinte psychique invalidante chez l'assurée.
Ce grief est mal fondé au regard de la jurisprudence rendue par le Tribunal fédéral (arrêt I 65/07 du 31 août 2007) concernant les rapports médicaux signés par la doctoresse M._ avec l'indication "Psychiatre FMH" - tel l'avis daté du 19 septembre 2006. Selon les considérations du Tribunal fédéral (des assurances), un tel rapport médical n'a pas une pleine valeur probante et ne peut servir de seule base d'appréciation de l'état de santé psychique de l'assuré pour les motifs exposés dans l'arrêt cité. Si, conformément à cette jurisprudence, l'on ne saurait nier toute valeur probante au rapport en cause du SMR, on ne peut cependant reprocher aux premiers juges d'avoir écarté l'appréciation de la doctoresse M._. Contrairement à ce que prétend le recourant, les conclusions de ce médecin ne sont pas corroborées par les autres avis qu'il cite dans ce contexte. Le docteur E._ ne s'est pas prononcé de manière claire sur l'incapacité de travail de l'intimée, tandis que la doctoresse H._ a fait état d'une dépression réactive et d'une incapacité de travail de 100% (questionnaire complémentaire pour les troubles psychiques du 21 juin 2004), de sorte que ses conclusions ne rejoignent pas celles du médecin du SMR.
4.2 Invoquant ensuite une appréciation arbitraire des preuves, le recourant fait grief aux premiers juges d'avoir accordé pleine valeur probante à l'expertise du docteur I._ qu'il qualifie de peu convaincante et lacunaire.
4.2.1 L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 4b p. 40, 118 Ia 28 consid. 1b p. 30) ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9, 127 I 38 consid. 2a p. 41).
4.2.2 Les reproches soulevés par le recourant contre la valeur probante de l'expertise du docteur I._ ne justifient pas que l'on s'en écarte. Comme l'a retenu la juridiction cantonale, celle-ci remplit toutes les exigences formelles auxquelles la jurisprudence soumet la valeur probante d'un tel document (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 352). En particulier, et quoi qu'en dise le recourant, l'expert a expliqué de façon circonstanciée les raisons qui le conduisaient à admettre une incapacité totale de travail, en énumérant les limitations fonctionnelles induites par l'état dépressif sévère diagnostiqué. On ne voit pas, par ailleurs, en quoi l'expertise serait en contradiction avec les constatations "des autres médecins ayant eu l'occasion d'examiner l'assurée", puisque les docteurs N._ et T._ ont également fait état d'une dépression sévère avec syndrome somatique (associée à un syndrome douloureux somatoforme persistant) qui rendait quasiment nulle la capacité de travail de la patiente (avis du 6 mars 2007), la doctoresse L._ étant déjà précédemment arrivée à une conclusion semblable (incapacité de travail de 100% en raison d'un épisode dépressif moyen), dans un rapport du 7 juillet 2005.
4.3 Quant au troisième moyen soulevé par le recourant, tiré de l'arbitraire dans l'établissement des faits pertinents, il doit également être rejeté. Compte tenu de l'avis des docteurs N._ et T._, déjà mentionné, la constatation des premiers juges selon laquelle le diagnostic posé par l'expert I._ a été confirmé par plusieurs autres médecins n'apparaît pas insoutenable. En ce qui concerne en particulier la constatation que "la bonne compliance [de l'intimée] a par ailleurs été relevée par tous les médecins consultés", on ne voit pas en quoi, dût-on en admettre l'inexactitude manifeste malgré les précisions apportées par les docteurs N._ et T._ confirmant que la "compliance médicamenteuse est bonne" (courrier du 22 octobre 2007), sa correction serait susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-law>); le recourant ne motive du reste aucunement ce point.
4.4 Il résulte de ce qui précède que les griefs soulevés par le recourant sur le fond doivent être rejetés.
5. En ce qui concerne la répartition des frais de la procédure cantonale, les premiers juges ont mis les coûts de l'expertise judiciaire à la charge du recourant, au motif qu'il avait agi avec légèreté en fondant le refus de prestations sur un rapport médical sans valeur probante. Le recourant conteste cette manière de procéder, en soutenant que la juridiction cantonale a violé l'<ref-law> en admettant qu'il avait agi à la légère.
5.1 Les frais d'une expertise mise en oeuvre par le tribunal cantonal des assurances en application du principe inquisitoire régissant la procédure cantonale (art. 61 let. c LPGA) vont en règle générale à la charge de la caisse du tribunal, parce qu'ils font partie des frais de justice. Ils ne peuvent être mis à la charge de l'assureur social, conformément à l'<ref-law>, que s'il a agi témérairement ou avec légèreté. La règle de la gratuité de la procédure devant le tribunal cantonal des assurances et son exception (témérité ou légèreté d'une partie au procès; sur ces notions, voir <ref-ruling> consid. 5a p. 334, arrêt P 23/03 du 4 septembre 2003, SVR 2004 EL n ° 2 p. 5) prévues par le droit fédéral (voir aussi la dérogation prévue à l'<ref-law>) ne laissent pas de place à une règle cantonale de procédure qui prévoirait d'autres dérogations au principe de la gratuité (arrêt 9C_620/2007 du 25 avril 2008).
5.2 La juridiction cantonale reproche au recourant d'avoir fondé le refus de prestations sur le rapport de la doctoresse M._, dénué de valeur probante. Ce faisant, les premiers juges s'en prennent à la motivation de la décision administrative du 27 février 2007 et non pas à l'attitude du recourant en procédure cantonale. S'il est vrai que le comportement adopté par les parties avant le procès peut parfois être être pris en considération (cf. <ref-ruling> pour la prévoyance professionnelle), le motif invoqué par la juridiction cantonale ne saurait justifier une exception au principe de la gratuité de la procédure tirée d'une action légère de l'une ou de l'autre des parties au litige devant le tribunal cantonal des assurances sociales. On ne peut reprocher au recourant d'avoir agi avec légèreté en rendant sa décision le 27 février 2007 au regard des conclusions du médecin du SMR, alors que la jurisprudence topique sur la valeur probante d'un rapport signé par celui-ci dans certaines circonstances particulières a été rendue postérieurement (le 31 août 2007).
En conséquence, la décision de la juridiction cantonale de mettre les frais de l'expertise du docteur I._ à la charge du recourant (ch. 7 du dispositif de l'arrêt entrepris) est contraire à l'<ref-law>. Elle doit, partant, être annulée et le recours apparaît bien fondé sur ce point.
6. En instance fédérale, la procédure n'est pas gratuite (<ref-law>). Compte tenu de l'issue du litige sur le fond, dans lequel les moyens invoqués par le recourant apparaissent manifestement infondés, les frais judiciaires seront entièrement mis à la charge du recourant (<ref-law>). Le présent arrêt rend par ailleurs sans objet la demande d'effet suspensif.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est très partiellement admis, en ce sens que le chiffre 7 du dispositif du jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 28 mai 2008 est annulé. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 19 août 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: La Greffière:
Borella Moser-Szeless