Sachverhalt:
A. X._ ist die 1990 ausserehelich geborene, von ihrem Vater anerkannte Tochter von Y._ und Z._. Mit Eingabe vom 8. September 2008 an das Gerichtspräsidium B._ ersuchte sie darum, Y._ im Sinne einer vorsorglichen Massnahme nach den Art. 28c ff. ZGB (Persönlichkeitsschutz) - vorab superprovisorisch - zu verbieten, mit ihr in irgendeiner Form, sei es per Brief, E-Mail, Natel oder fernmündlich, in Verbindung zu treten oder sich mit ihr persönlich zu treffen oder über andere Drittpersonen als ihre Mutter mit ihr Kontakt aufzunehmen.
Mit Verfügung vom 9. September 2008 gab die Gerichtspräsidentin von B._ dem Begehren von X._ superprovisorisch statt.
In der Folge verlangte Y._ die Durchführung einer mündlichen Verhandlung, worauf die Gerichtspräsidentin am 29. September 2008 die Parteien verpflichtete, zur noch anzusetzenden Verhandlung persönlich zu erscheinen.
Am 15. Dezember 2008 beschloss das Kantonsgericht Basel-Landschaft (Abteilung Zivil- und Strafrecht), dass auf die von X._ gegen die Verfügung der Gerichtspräsidentin von B._ vom 29. September 2008 erhobene Beschwerde nicht eingetreten werde.
B. Mit einer vom 3. Februar 2009 datierten und am 5. Februar 2009 zur Post gebrachten Eingabe erhob Z._ im Namen ihrer (volljährigen) Tochter Beschwerde in Zivilsachen. Es wurde beantragt, es sei festzustellen, dass X._ nicht verpflichtet werden könne, persönlich vor Gericht zu erscheinen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht wurde um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nachgesucht.
Mit Präsidialverfügung vom 9. Februar 2009 wurde die Beschwerdeführerin darauf hingewiesen, dass die Parteivertretung patentierten Anwältinnen und Anwälten vorbehalten ist. X._ gab hierauf am 25. Februar 2009 eine von ihr persönlich unterzeichnete (ergänzte) Beschwerdeschrift vom 24. Februar 2009 bei der Post auf und erneuerte darin die in der Eingabe vom 3. Februar 2009 gestellten Rechtsbegehren.
Der Beschwerdegegner beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten, sie allenfalls abzuweisen. Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Durch Präsidialverfügung vom 26. Februar 2009 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1. Den angefochtenen Entscheid nahm die Beschwerdeführerin am 26. Januar 2009 in Empfang. Die an diesem Tag ausgelöste Beschwerdefrist von 30 Tagen (Art. 100 Abs. 1 BGG) endete am 25. Februar 2009. An diesem Tag hat die Beschwerdeführerin die von ihr persönlich unterzeichnete Beschwerdeschrift vom 24. Februar 2009 zur Post gebracht, so dass die darin enthaltenen Ergänzungen innert der Beschwerdefrist angebracht wurden und zu berücksichtigen sind.
2. Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich nicht um einen das Verfahren abschliessenden Entscheid im Sinne von Art. 90 BGG, sondern um einen (selbständig eröffneten) Zwischenentscheid (der letzten kantonalen Instanz).
2.1 Abgesehen von den in Art. 92 BGG geregelten Sonderfällen (Entscheide über die Zuständigkeit bzw. über Ausstandsbegehren) und dem hier ebenfalls ausser Betracht stehenden Fall von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG (Möglichkeit der sofortigen Herbeiführung eines Endentscheids), ist die Beschwerde in Zivilsachen gegen Zwischenentscheide nur dann zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Der Begriff des nicht wieder gutzumachenden Nachteils entspricht demjenigen, der Art. 87 Abs. 2 des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) zugrunde lag, so dass zu seiner Auslegung die Rechtsprechung zu jener Bestimmung heranzuziehen ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 129 mit Hinweis). Darnach muss es sich um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der sich auch mit einem späteren günstigen Entscheid nicht gänzlich beseitigen lässt (<ref-ruling>, E. 4 S. 141, 288, E. 3.1 S. 291, und 335, E. 4 S. 338; mit Hinweisen). Die Erfüllung dieser Voraussetzung ist in der Beschwerde darzutun, es sei denn, dass sie offensichtlich sei (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 632 mit Hinweis).
2.2 Die Beschwerdeführerin hat es unterlassen, sich mit der dargelegten Frage zu befassen und die Beschwerde entsprechend zu begründen. Ob darin, dass sie aufgrund der den Parteien auferlegten Pflicht, persönlich zur bezirksgerichtlichen Verhandlung zu erscheinen, mit dem Beschwerdegegner zusammentreffen würde, ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG zu erblicken ist, mag indessen ohnehin dahingestellt bleiben. Wie darzulegen sein wird, wäre der Beschwerde nämlich auch dann kein Erfolg beschieden, wenn die in der genannten Bestimmung verlangte Voraussetzung als erfüllt betrachtet würde.
3. Die Beschwerdeführerin geht selbst zutreffend davon aus, dass mit Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (Art. 98 BGG). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen). Bei der Willkürrüge ist in der erwähnten Form aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen bzw. eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll (<ref-ruling> E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls in einem Berufungsverfahren zulässig ist, wird nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
4. 4.1 Gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Beweismitteln erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3 S. 395).
4.2 Das Begehren der Beschwerdeführerin, bei Dr. med. R._ allenfalls einen schriftlichen Bericht über die bei einer persönlichen Begegnung mit dem Beschwerdegegner für sie zu erwartenden Folgen einzuholen, ist nach dem Gesagten von vornherein unbeachtlich. Sodann hatte die Beschwerdeführerin bereits in ihrer Beschwerde vom 9. Oktober 2008 an die Vorinstanz auf die Eloquenz des Beschwerdegegners hingewiesen. Unzulässig ist dagegen das neue Vorbringen, es handle sich beim Beschwerdegegner um einen 58-jährigen geschäfts- und lebenserfahrenen Mann, ..., zumal nicht dargetan wird, inwiefern die Voraussetzungen für eine Berücksichtigung dieses Hinweises erfüllt sein sollen.
5. 5.1 Seinen Entscheid, auf das von der Beschwerdeführerin bei ihm eingereichte Rechtsmittel nicht einzutreten, hat das Kantonsgericht vorab damit begründet, dass nach § 233 Abs. 6 der basellandschaftlichen Zivilprozessordnung (ZPO) prozessleitende Verfügungen des Gerichtspräsidiums nur zusammen mit der Hauptsache angefochten werden könnten. Sodann hält es dafür, dass selbst dann, wenn mit der Bezirksgerichtspräsidentin davon ausgegangen werden wollte, im Falle eines drohenden nicht mehr gutzumachenden Nachteils könne aufgrund von § 233 Abs. 1 ZPO gegen prozessleitende Verfügungen selbständig Beschwerde erhoben werden, auf die Beschwerde nicht einzutreten wäre, da die Beschwerdeführerin einen solchen Nachteil nicht darzutun vermocht habe. Abschliessend erklärt die Vorinstanz, eine analoge Anwendung von § 233 Abs. 7 ZPO, wonach Verfügungen betreffend Anordnung bzw. Nichtanordnung der Anhörung eines Kindes mit Beschwerde angefochten werden könnten, auf den Fall einer mündigen Person sei abzulehnen; die erwähnte Bestimmung diene nämlich vornehmlich dem Kindeswohl und es sei nicht vorgesehen, dass sich eine mündige Person mittels Beschwerde einer persönlichen Anhörung entziehen könne.
5. 5.1 Seinen Entscheid, auf das von der Beschwerdeführerin bei ihm eingereichte Rechtsmittel nicht einzutreten, hat das Kantonsgericht vorab damit begründet, dass nach § 233 Abs. 6 der basellandschaftlichen Zivilprozessordnung (ZPO) prozessleitende Verfügungen des Gerichtspräsidiums nur zusammen mit der Hauptsache angefochten werden könnten. Sodann hält es dafür, dass selbst dann, wenn mit der Bezirksgerichtspräsidentin davon ausgegangen werden wollte, im Falle eines drohenden nicht mehr gutzumachenden Nachteils könne aufgrund von § 233 Abs. 1 ZPO gegen prozessleitende Verfügungen selbständig Beschwerde erhoben werden, auf die Beschwerde nicht einzutreten wäre, da die Beschwerdeführerin einen solchen Nachteil nicht darzutun vermocht habe. Abschliessend erklärt die Vorinstanz, eine analoge Anwendung von § 233 Abs. 7 ZPO, wonach Verfügungen betreffend Anordnung bzw. Nichtanordnung der Anhörung eines Kindes mit Beschwerde angefochten werden könnten, auf den Fall einer mündigen Person sei abzulehnen; die erwähnte Bestimmung diene nämlich vornehmlich dem Kindeswohl und es sei nicht vorgesehen, dass sich eine mündige Person mittels Beschwerde einer persönlichen Anhörung entziehen könne.
5.2 5.2.1 Soweit die Beschwerdeführerin die sich aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) ergebende Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen (dazu <ref-ruling> E. 3.3 S. 445 mit Hinweisen), anspricht, sind ihre Vorbringen von vornherein unbeachtlich: Die Rüge der fehlenden Begründung richtet sich gegen die Verfügung der Gerichtspräsidentin. Gegenstand der vorliegenden Beschwerde kann indessen einzig der Entscheid der letzten kantonalen Instanz, hier der kantonsgerichtliche Nichteintretensbeschluss vom 15. Dezember 2008, bilden (Art. 75 Abs. 1 BGG).
5.2.2 Mit dem Vorbringen, das kantonale Recht dürfe die Verwirklichung des Bundesrechts nicht behindern und das Kantonsgericht hätte aus diesem Grund auf die Beschwerde eintreten müssen, rügt die Beschwerdeführerin dem Sinne nach sodann einen Verstoss gegen Art. 49 Abs. 1 BV.
Wie früher bei der staatsrechtlichen Beschwerde, wo das Recht ebenfalls nicht von Amtes wegen angewendet wurde, sondern das Rügeprinzip galt (s. oben E. 3), gelangt auch bei den Art. 98 BGG unterworfenen Beschwerden der Grundsatz zur Anwendung, dass nicht nur neue tatsächliche, sondern auch neue rechtliche Vorbringen unzulässig sind (<ref-ruling> E. 2 S. 640). Eine Verletzung des Prinzips des Vorrangs des Bundesrechts (Art. 49 Abs. 1 BV) hatte die Beschwerdeführerin vor Kantonsgericht noch nicht gerügt. Die Verfügung der Gerichtspräsidentin vom 29. September 2008, wonach die Parteien persönlich zur Verhandlung zu erscheinen hätten, hatte ihrerseits auf kantonalem Prozessrecht beruht, und die Beschwerdeführerin, die ihr den aus den personenrechtlichen Bestimmungen des Bundesrechts (Art. 28 ff. ZGB) abgeleiteten Anspruch, den Beschwerdegegner nicht treffen zu müssen, gegenübergestellt hatte, hätte schon im kantonalen Beschwerdeverfahren Anlass gehabt, eine Verletzung von Art. 49 Abs. 1 BV geltend zu machen. Bei der vor Bundesgericht erhobenen Rüge handelt es sich unter den dargelegten Umständen um ein unzulässiges neues rechtliches Vorbringen.
5.2.3 Die übrigen Vorbringen stossen insofern von vornherein ins Leere, als die Beschwerdeführerin sich nicht mit den vom Kantonsgericht für das Nichteintreten auf die Beschwerde angeführten Gründen befasst, sondern mit dem von ihr geltend gemachten Anspruch, den Beschwerdegegner nicht treffen zu müssen, d.h. mit der Sache selbst. Inwiefern der Nichteintretensentscheid als solcher gegen verfassungsmässige Rechte, namentlich etwa gegen das Willkürverbot (Art. 9 ZGB) verstossen soll, wird nicht in rechtsgenügender Weise dargelegt. Die Beschwerdeführerin begnügt sich damit, in appellatorischer Form ihre eigene Sicht der Dinge vorzutragen.
6. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Sie erschien unter den dargelegten Umständen von vornherein als aussichtslos. Wie die Beschwerdeführerin, die zur Zeit noch eine Mittelschule besucht, selbst ausführt, wird sie im Übrigen von ihrer Mutter unterstützt, so dass auch das Erfordernis der Bedürftigkeit nicht erfüllt ist (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG). Das Gesuch der Beschwerdeführerin, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist daher abzuweisen, und es sind die Gerichtskosten ausgangsgemäss der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ausserdem ist diese zu verpflichten, den Beschwerdegegner für seine Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Die Beschwerdeführerin wird verpflichtet, den Beschwerdegegner für seine Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft (Abteilung Zivil- und Strafrecht) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Mai 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel