Sachverhalt:
A.
Mit Strafbefehl vom 21. Oktober 2013 ve1-7rurteilte der Präfekt von Nyon A._ gestützt auf einen Rapport der Waadtländer Gendarmerie vom 5. September 2013 wegen einfacher Verletzung von Verkehrsregeln im Sinn von Art. 90 Abs. 1 SVG zu einer Busse von 350 Franken. Laut diesem Rapport war A._ am 5. September 2013 am Steuer eines Lieferwagens auf der Autobahn A1 zwischen Genf und Lausanne unterwegs. Dabei soll er die Sicherheitsgurten nicht getragen und zum vo1-7rausfahrenden Automobil bei einem Tempo von rund 120 km/h während rund 400 m einen Abstand von nur 5 m eingehalten haben.
Auf Einsprache von A._ hin reduzierte der Präfekt von Nyon mit Strafbefehl vom 16. Dezember 2013 die Busse auf 250 Franken. Zur Begründung führte er namentlich an, der deutschsprachige A._ habe sich mit den Waadtländer Polizeibeamten nur schlecht verständigen und seinen Standpunkt einbringen können. An der Einspracheverhandlung sei er offen und ehrlich aufgetreten ("a démontré une évidente sincérité") und habe dargelegt, dass er nicht so nahe auf den Vordermann aufgefahren und auch nicht so schnell gefahren sei, wie von den Gend1-7armen geschätzt. Er habe sich zwar dem Vordermann (zu stark) angenähert, allerdings in einer Phase kontrollierten Abbremsens. In Würdigung dieser Aussagen und des Umstands, dass es sich bei A._ um einen sehr routinierten Fahrer handle, stellte der Präfekt "im Zweifel für den Angeklagten" auf dessen Aussagen ab und hielt ihm - abgesehen vom nie bestrittenen Vorwurf, die Sicherheitsgurten nicht getragen zu haben - "nur" noch vor, aus mangelnder Vorsicht nicht stets einen genügenden Abstand zum Vordermann eingehalten zu haben. Der Strafbefehl blieb unangefochten.
B.
Am 9. Januar 2014 qualifizierte die Kommission für Administrativmassnahmen im Strassenverkehr des Kantons Freiburg (KAM) diesen Vorfall als schwere Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz im Sinn von Art. 16c Abs. 1 lit. a SVG und entzog A._ den Führerausweise für drei Monate.
Am 24. Juli 2014 hiess der III. Verwaltungsgerichtshof des Freiburger Kantonsgerichts die Beschwerde von A._ gegen diese Entzugsverfügung gut und sprach eine Verwarnung aus. Er kam zum Schluss, nach dem rechtskräftigen Strafbefehl stelle der umstrittene Vorfall eine leichte Widerhandlung im Sinn von Art. 16a Abs. 1 lit. a SVG dar.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die KAM, diesen Entscheid des III. Verwaltungsgerichtshofs aufzuheben und ihre Verfügung vom 9. Januar 2014 zu bestätigen.
D.
Der III. Verwaltungsgerichtshof verweist auf seinen Entscheid und verzichtet eine Stellungnahme. A._ beantragt, die Beschwerde abzuweisen.
Das Bundesamt für Strassen (ASTRA) beantragt, die Beschwerde gutzuheissen.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über eine Administrativmassnahme gegen einen Fahrzeuglenker. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art.82 ff. BGG offen; ein Ausnahmegrund ist nicht gegeben (Art. 83 BGG). Die KAM ist zur Beschwerde befugt (Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG i.V.m. Art. 24 Abs. 2 lit. a SVG). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, sodass auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesetz unterscheidet zwischen der leichten, mittelschweren und schweren Widerhandlung (Art. 16a-c SVG). Gemäss Art. 16a SVG begeht eine leichte Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine geringe Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft und ihn dabei nur ein leichtes Verschulden trifft (Abs. 1 lit. a). Die fehlbare Person wird verwarnt, wenn in den vorangegangenen zwei Jahren der Ausweis nicht entzogen war und keine andere Administrativmassnahme verfügt wurde (Abs. 3). Gemäss Art. 16b SVG begeht eine mittelschwere Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (Abs. 1 lit. a). Nach einer mittelschweren Widerhandlung wird der Führerausweis für mindestens einen Monat entzogen (Abs. 2 lit. a). Leichte und mittelschwere Widerhandlungen werden von Art. 90 Ziff. 1 SVG als einfache Verkehrsregelverletzungen erfasst (<ref-ruling> E. 2.4 S. 143). Gemäss Art. 16c SVG begeht eine schwere Widerhandlung, wer durch grobe Verletzung von Verkehrsregeln eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (Abs. 1 lit. a). Nach einer schweren Widerhandlung, welche einer groben Verkehrsregelverletzung im Sinne von Art. 90 Ziff. 2 SVG entspricht (<ref-ruling> E. 3 S. 237), wird der Führerausweis für mindestens drei Monate entzogen (Abs. 2 lit. a). Eine Unterschreitung der gesetzlichen Mindestentzugsdauer ist ausgeschlossen (Art. 16 Abs. 3 SVG; zum Ganzen: Urteil 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E 2.1).
2.2. Ein Strafurteil vermag die Verwaltungsbehörde grundsätzlich nicht zu binden. Allerdings gebietet der Grundsatz der Einheit der Rechtsordnung, widersprüchliche Entscheide im Rahmen des Möglichen zu vermeiden, weshalb die Verwaltungsbehörde beim Entscheid über die Massnahme von den tatsächlichen Feststellungen des Strafrichters nur abweichen darf, wenn sie Tatsachen feststellt und ihrem Entscheid zugrunde legt, die dem Strafrichter unbekannt waren, wenn sie zusätzliche Beweise erhebt oder wenn der Strafrichter bei der Rechtsanwendung auf den Sachverhalt nicht alle Rechtsfragen abgeklärt, namentlich die Verletzung bestimmter Verkehrsregeln übersehen hat. In der rechtlichen Würdigung des Sachverhalts - namentlich auch des Verschuldens - ist die Verwaltungsbehörde demgegenüber frei, ausser die rechtliche Qualifikation hängt stark von der Würdigung von Tatsachen ab, die der Strafrichter besser kennt, etwa weil er den Beschuldigten persönlich einvernommen hat (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> nicht publ. E. 3a; <ref-ruling> E. 1c/aa und bb). Auch in diesem Zusammenhang hat er jedoch den eingangs genannten Grundsatz (Vermeiden widersprüchlicher Urteile) gebührend zu berücksichtigen (Urteil 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E 2.3).
3.
3.1. Das Einhalten eines ausreichenden Abstandes beim Hintereinanderfahren im Sinn von Art. 34 Abs. 4 SVG und Art. 12 Abs. 1 VRV ist von grundlegender Bedeutung für die Verkehrssicherheit, ist doch die Missachtung dieser Regel eine häufige Unfallursache (<ref-ruling> E. 3.2.1 mit Hinweis). Für die Bestimmung des auch bei günstigen Verhältnissen minimal einzuhaltenden Abstands kann nach der Praxis des Bundesgerichts von der Faustregel "halber Tacho" (bzw. 1,8 Sekunden) ausgegangen werden (<ref-ruling> E. 3.1; Entscheid 6B_3/2010 vom 25. Februar 2010 E. 3). Keine allgemeinen Grundsätze entwickelt hat die Rechtsprechung zur Frage, bei welchem Abstand auch bei günstigen Umständen objektiv von einer groben Verkehrsregelverletzung auszugehen ist. In der Lehre wird etwa ein Abstand von 0,6 Sekunden vorgeschlagen (<ref-ruling> E. 3.2.2 mit Hinweisen). Das Bundesgericht geht bei Abständen von rund 10 m (bzw. 0,36 Sekunden) bei Tempi um die 100 km/h regelmässig von groben Verkehrsregelverletzungen aus (<ref-ruling> E. 3.2.3; Urteile 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E. 4.1; 1C_502/2011 vom 6. März 2012; 1C_274/2010 vom 7. Oktober 2010; 1C_7/2010 vom 11. Mai 2010).
3.2. Im Rapport der Gendarmerie wird dem Beschwerdeführer vorgeworfen, bei einem Tempo von 120 km/h während 400 m auf das vor ihm fahrende Fahrzeug einen Abstand von 5 m eingehalten zu haben. Bei einem solchen Fahrverhalten wäre nach der dargestellten Rechtsprechung klarerweise objektiv von einer groben Verkehrsregelverletzung bzw. einer schweren Widerhandlung auszugehen. Für den Präfekten von Nyon war allerdings dieser Vorwurf nicht bewiesen. In Würdigung der beiden einzigen Beweismittel - dem Verzeigungsrapport der Gendarmerie und der Einvernahme des Beschwerdeführers an der Einspracheverhandlung - kam er "in dubio pro reo" zum Schluss, erstellt sei einzig eine auf mangelnde Sorgfalt zurückzuführende, kurzzeitige Unterschreitung des genügenden Abstandes. Zu deren Ausmass äussert sich der Präfekt im Strafbefehl zwar nicht konkret. Aus der dafür verhängten sehr moderaten Busse von 190 Franken - gemäss Art. 3a VRV i.V.m. Ziff. 312 1. der Bussenliste des Anhangs 1 der Ordnungsbussenverordnung (vom 4. März 1996, SR 741.031) entfallen 60 Franken der Gesamtbusse von 250 Franken auf das unbestrittene Nichttragen der Sicherheitsgurte - ergibt sich indessen klar, dass er von einer geringfügigen, die Verkehrssicherheit nicht ernsthaft gefährdenden Unterschreitung des relevanten Sicherheitsabstandes "halber Tacho" ausging.
3.3. Die KAM fühlt sich an die tatsächlichen Feststellungen des Strafbefehls nicht gebunden, weil der Präfekt keine vollständige Sachverhaltsabklärung durchgeführt habe, indem er nur den Beschwerdeführer, nicht aber die beiden Gendarmen einvernommen und "die Tatsachen im Polizeirapport" völlig ausser Acht gelassen habe. Es bestehe daher der Verdacht, dass er nur an der schnellen Liquidierung des Dossiers interessiert gewesen sei.
Der nicht näher begründete Vorwurf der KAM an die Adresse des Präfekten von Nyon, er habe vermutlich die umfassende Abklärung des Sachverhalts im Interesse einer raschen, mit möglichst wenig Aufwand verbundenen Erledigung des Falles vernachlässigt, ist polemisch. Dies umso mehr, als die KAM selber keinerlei Anstalten getroffen hat, die in ihren Augen ungenügende Sachverhaltsabklärung zu ergänzen, was sie nach der in E. 2.2 angeführten Praxis des Bundesgerichts gegebenenfalls berechtigt hätte, den Vorfall aufgrund einer veränderten bzw. erweiterten Beweislage strenger zu beurteilen als es der Strafrichter tat. Die KAM hat weder Tatsachen festgestellt, die dem Präfekten unbekannt waren, noch eigene Beweise erhoben, und dieser hat auch keine Verkehrsregelverletzungen übersehen. Allein der Umstand, dass die Beweiswürdigung des Präfekten die KAM nicht überzeugt und sie selber nicht auf die Aussagen des Beschwerdeführers an der Einspracheverhandlung, sondern im Wesentlichen nur auf den Verzeigungsrapport abstellen würde, berechtigt sie unter diesen Umständen nicht, sich über die tatsächlichen Grundlagen des rechtskräftigen Strafbefehls hinwegzusetzen.
Die Beschwerde ist unbegründet. Damit bleibt es bei der dem Strafbefehl entsprechenden Beurteilung durch den III. Verwaltungsgerichtshof, wonach der Vorfall administrativ als leichte Widerhandlung im Sinn von Art. 16a SVG einzustufen und mit einer Verwarnung zu ahnden ist.
4.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Praxisgemäss hat der durch eine Rechtsschutz-Versicherungs AG vertretene Beschwerdegegner keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht des Kantons Freiburg, III. Verwaltungsgerichtshof, und dem Bundesamt für Strassen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. März 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Störi