Sachverhalt:
A. F._ war ab 1993 bei der Einwohnergemeinde X._ (nachfolgend: Gemeinde) als Musiklehrer an der Musikschule tätig. Nach einem unbezahlten Urlaub von November 2004 bis Juli 2005 schloss er am 31. August 2005 mit der Gemeinde rückwirkend auf den 1. August 2005 einen neuen öffentlich-rechtlichen Arbeitsvertrag für diese Tätigkeit ab. Darin wurde seine Einreihung in die Gehaltsstufe 13 der Lohnklasse M1 vereinbart. Davon abweichend entschied das kantonale Departement für Kultur und Bildung (nachfolgend: DBK), Amt für Volksschule und Kindergarten (nachfolgend: AVK), am 6. September 2006, F._ werde in die Lohnklasse M2 eingeteilt. Auf den 31. Juli 2008 kündigte die Gemeinde das Anstellungsverhältnis, was letztinstanzlich mit Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 2. September 2009 bestätigt wurde.
F._ machte wiederholt geltend, ihm sei rückwirkend höherer Lohn auszurichten. Am 10. Dezember 2009 teilte ihm die Gemeinde mit, sie sei von falschen Gehaltsstufen ausgegangen. F._ sei von August 2005 bis Dezember 2007 in der Gehaltsstufe 1 und ab Anfang 2008 nach Gehaltsstufe 8 der Lohnklasse M2 entlöhnt worden. Korrekterweise hätte der Lohn innerhalb der Lohnklasse M2 ab August 2005 nach Gehaltsstufe 13, ab Anfang 2006 nach Gehaltsstufe 14, ab Anfang 2007 nach Gehaltsstufe 15 und ab Anfang 2008 nach Gehaltsstufe 16 ausgerichtet werden müssen. Der sich daraus ergebende zusätzliche Lohnanspruch von Fr. 26'404.50 (einschliesslich der aufgelaufenen Verzugszinse) werde F._ nachgezahlt. Der darin enthaltene Lohn für den Monat Juli 2008 von Fr. 2'438.90 (inkl. Anteil 13. Monatslohn) werde aber bis zur Herausgabe der Schulschlüssel durch F._ für die Kosten einer Schlossauswechslung zurückbehalten.
B. F._ erhob beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Klage mit den materiellen Rechtsbegehren:
1. Es sei die Beklagte über den anerkannten Betrag von Fr. 23'298.45 hinaus zur Zahlung von mindestens weiteren Fr. 27'741.- zuzüglich Sozialleistungen und je mittleren Verzugszinsen von 5 % zu verpflich- ten.
2. Es sei die Beklagte zur Zahlung des Monatslohnes für den Monat Juli 2008 zuzüglich Sozialleistungen und Verzugszinses von 5 % ab 1. Au- gust 2008 zu verpflichten.
3. Es sei die Beklagte zu verpflichten, dem Kläger für die Monate August und September 2007 den Lohn für zwei zusätzliche Wochenstunden und von Oktober 2007 bis Juli 2008 den Lohn für zusätzliche einein- halb Wochenstunden, jeweils zuzüglich Sozialleistungen und mittleren Verzugszinses von 5 %, zu bezahlen.
4. Es sei die Beklagte zu verpflichten, dem Kläger die gesetzlichen BVG- Beiträge für die Zeit ab 2003 bis 2008 zuzüglich mittleren Verzugs- zinses von 5 % zu bezahlen.
5. Es sei die Beklagte zu verpflichten, dem Kläger die üblichen Dienst- geschenke zu bezahlen.
Zudem wurde um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung ersucht. Das Verwaltungsgericht wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 24. Dezember 2009 ab. Den zugleich verlangten Gerichtskostenvorschuss zahlte F._ in der Folge ein.
Mit Entscheid vom 15. Juni 2010 wies das Verwaltungsgericht die Klage ab, soweit es darauf eintrat.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten stellt F._ folgende Anträge:
1. Es sei das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 15. Juni 2010 vollumfänglich aufzuheben.
2. Es seien dem Beschwerdeführer mindestens Fr. 27'741.- zuzüglich Sozialleistungen (direkt an die Sozialversicherung zahlbar) sowie mitt- leren Verzugszinses von 5 % zuzusprechen.
3. Es sei die Beschwerdegegnerin zur Zahlung des Monatslohns für den Monat Juli 2008 zuzüglich Sozialleistungen und Verzugszinses von 5 % ab 1. August 2008 zu verpflichten.
4. Es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, dem Beschwerde- führer für die Monate August und September 2007 den Lohn für zwei zusätzliche Wochenstunden und von Oktober 2007 bis Juli 2008 den
Lohn für zusätzliche eineinhalb Wochenstunden, jeweils zuzüglich Sozialleistungen und mittleren Verzugszinses von 5 %, zu entrichten.
5. Es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, die gesetzlichen BVG- Beiträge für die Zeit ab 2003 bis 2008 zuzüglich mittleren Verzugs- zinses von 5 % an die zuständige Sozialversicherung zu entrichten.
Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die Einwohnergemeinde verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Gemäss Art. 107 Abs. 1 BGG darf das Bundesgericht nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen.
Demnach bildet die vorinstanzliche Verneinung des Anspruchs auf Dienstaltersgeschenke und auf den mit dem Lohn für den Juli 2008 zurückbehaltenen pro rata-Anteil des 13. Monatslohnes mangels hiezu gestellter Anträge nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
In der Beschwerdebegründung wird vorgebracht, das kantonale Gericht habe das im Klageverfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht behandelt. Diese Darstellung trifft nicht zu. Die Vorinstanz hat über das Gesuch mit Verfügung vom 24. Dezember 2009 befunden. Weiterungen erübrigen sich, zumal es an einem formellen Antrag hiezu fehlt.
2. Der angefochtene Entscheid betrifft mit den hauptsächlich streitigen Lohnforderungen eine vermögensrechtliche Angelegenheit auf dem Gebiet der öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisse. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist demnach zulässig (Art. 82 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit Art. 83 lit. g BGG). Das gesetzliche Streitwerterfordernis (Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG) ist erfüllt. Gleiches gilt hinsichtlich der weiteren Voraussetzungen für das Eintreten auf die Beschwerde. Soweit bezüglich einzelner Begehren anderes gilt, wird darauf in den entsprechenden Erwägungen eingegangen.
3. 3.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Der vorinstanzliche Entscheid stützt sich in der Sache auf kantonales Recht. Als Beschwerdegrund kommt im Wesentlichen die Verletzung von Bundesrecht, insbesondere von verfassungsmässigen Rechten der Bundesverfassung in Frage (Art. 95 BGG). Die Anwendung des kantonalen Rechts als solches bildet nicht Beschwerdegrund. Überprüft werden kann insoweit nur, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung sonstwie gegen übergeordnetes Recht verstossen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.; Urteil 8C_690/2010 vom 1. November 2010 E. 2.1, auch zum Folgenden). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, auch zum Folgenden). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geht es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 262; <ref-ruling> E. 2.1 S. 120; je mit Hinweisen; Urteil 8C_690/2010 vom 1. November 2010 E. 2.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 316).
3.2 Nach der Rechtsprechung ist eine Entscheidung willkürlich, wenn sie eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Willkürliche Rechtsanwendung liegt zudem nicht schon vor, wenn eine andere Lösung vertretbar oder sogar vorzuziehen wäre (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen, Urteil 8C_690/2010 vom 1. November 2010 E. 2.2.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 316).
4. Der Beschwerdeführer hat in zweifacher Hinsicht Lohnnachzahlungen (nebst Sozialleistungen und Verzugszins) über diejenigen hinaus, welche ihm die Beschwerdegegnerin am 10. Dezember 2009 zugesichert hat, eingeklagt und auch vorliegend geltend gemacht.
4.1 Grundlage der zusätzlichen Lohnforderung von Fr. 27'741.- soll eine höhere Einstufung bilden.
4.1.1 In der Beschwerde wird hiezu ausgeführt, die Besoldung hätte nach Lohnklasse M2 ausgerichtet werden müssen, sei aber bis zur Kündigung im Oktober 2007 nach Lohnklasse M3 erfolgt.
Die Gemeinde hat bei der Berechnung der Nachzahlung vom 10. Dezember 2009 angegeben, die Lohnzahlungen seien nach Lohnklasse M2 erfolgt, welche auch der zugesicherten Lohnnachzahlung zugrunde gelegt worden sei. Dies hat der Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren nicht in Frage gestellt und war auch Basis der vorinstanzlichen Beurteilung. Wenn er nun neu und ohne Angabe, inwiefern das kantonale Gericht eine sich aus den Akten ergebende Tatsache unbeachtet gelassen hätte, geltend macht, die Lohnzahlungen seien nach Lohnklasse M3 erfolgt, stellt dies ein unzulässiges Vorbringen im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG dar, welches keine Beachtung finden kann.
Selbst wenn davon ausgegangen würde, der Beschwerdeführer habe versehentlich die Höhereinstufung in Lohnklasse M2 postuliert, tatsächlich aber - entsprechend seiner Argumentation im vorinstanzlichen Verfahren - diejenige in Lohnklasse M1 gemeint, könnte der Antrag nicht gutgeheissen werden. Das zeigen die folgenden Erwägungen.
4.1.2 Das kantonale Gericht hat namentlich erwogen, gemäss § 5 der kantonalen Verordnung über Staatsbeiträge im Musikunterricht vom 23. Mai 1995 (BGS 126.515.855.15) sei für die Bestimmung der Lohnklasse das DBK zuständig. Dieses nehme die Einstufung der Musiklehrkräfte instrumentbezogen vor und teile der Einwohnergemeinde die Einstufung in die entsprechende Besoldungsklasse mit. Diese Einstufung sei für die Einwohnergemeinde verbindlich. Vorliegend sei sie mit Einstufungs-Entscheid des DBK vom 6. September 2006 erfolgt. Die Besoldung sei daher zu Recht nach dieser Lohnklasse und nicht nach der im Anstellungsvertrag genannten Lohnklasse M1 ausgerichtet worden.
4.1.3 In der Beschwerde wird nicht vorgebracht, inwiefern diese Beurteilung auf einer willkürlichen Anwendung kantonalen Rechts beruhen soll. Geltend gemacht wird im Wesentlichen, der Lohn hätte gemäss Anstellungsvertrag ausgerichtet werden müssen. Der Beschwerdeführer legt aber nicht dar, aufgrund welcher Normen oder Rechtsgrundsätze die abweichende Beurteilung der Vorinstanz unhaltbar sein soll. Auch der Umstand, dass der Entscheid des DBK erst gut ein Jahr nach Unterzeichnung des Anstellungsvertrages erfolgt ist, lässt die vorinstanzliche Rechtsanwendung nicht als geradezu willkürlich erscheinen.
4.1.4 Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, er habe vom Einstufungs-Entscheid des DBK keine Kenntnis erhalten.
4.1.4.1 Gemäss dem angefochtenen Entscheid ist dies wenig glaubhaft. Schliesslich habe der Beschwerdeführer dem Musikschulleiter resp. dem AVK seine Ausweise zur Prüfung überlassen. Es sei naheliegend, dass er sich dann auch nach dem Resultat seiner Einstufung erkundigt habe. Zudem sei das Thema der jeweiligen Einstufung in eine der Lohnklassen M1 bis M3 in den Kreisen der Musikschullehrer sicher präsent. Der Beschwerdeführer selber behaupte ja, er habe mitansehen müssen, wie andere Musiklehrer, welche über die gleiche Ausbildung verfügten, Lohnanstiege erhalten hätten, und wie Personen mit niedrigerer beruflicher Qualifikation in die gleiche Lohnklasse eingereiht worden seien. Er habe überdies nach dem 1. August 2005 nie bei der Arbeitgeberin gegen eine Lohnabrechnung opponiert oder auch nur nachgefragt, sondern die Lohnabrechnungen akzeptiert. Erst im Zusammenhang mit der Kündigung durch die Beschwerdegegnerin sei das Thema Einstufung/ Gehalt auf den Tisch gekommen. Dass der Beschwerdeführer jahrelang und immer wieder nachgefragt und sich nach seinem Lohn erkundigt hätte, wie er darzutun versuche, sei nicht bewiesen. Es mute vielmehr komisch an, wenn er im September 2007 eine Kopie seines Arbeitsvertrages verlangt habe, weil er sein Exemplar nicht mehr habe finden können. Immerhin habe er bis zu diesem Zeitpunkt eine recht beträchtliche Anzahl Lohnabrechnungen und zwei Jahreslohnausweise erhalten und akzeptiert, ohne dagegen resp. gegen seine Einstufung zu intervenieren.
4.1.4.2 Der Beschwerdeführer wendet diesbezüglich ein, der Musikschulleiter habe bereits seit 1998/99 über die Ausweise verfügt. Selbst wenn dies zuträfe, würde dies aber nicht genügen, um die vorinstanzliche Beurteilung als willkürlich erscheinen zu lassen.
Soweit geltend gemacht wird, der Lohn sei nach Lohnklasse M3 ausgerichtet worden, hat es mit dem Hinweis auf die fehlende Zulässigkeit und Begründetheit dieses Vorbringens (E. 4.1.1 hievor) und damit auch der Folgerungen, welche der Beschwerdeführer daraus zieht, sein Bewenden.
Der Beschwerdeführer argumentiert weiter, die Gemeinde habe ihm auf seine Anfrage im Jahr 2007 hin eine manipulierte Fassung des Vertrages von 2005 zugestellt. Es ist indessen nicht erkennbar, inwiefern der vorinstanzliche Entscheid deswegen willkürlich sein soll. Die von der Vorinstanz nicht beantwortete Frage, ob tatsächlich ein verändertes Vertragsexemplar zugestellt wurde, kann daher auch letztinstanzlich offenbleiben.
Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung ergeben sich auch aus einem 10 Jahre zurückliegenden Schreiben der Gemeinde keine Erkenntnisse, welche die vorinstanzliche Beurteilung als willkürlich erscheinen lassen. Namentlich geht daraus nicht hervor, dass der Beschwerdeführer sich entgegen dem angefochtenen Entscheid nach dem 1. August 2005 um die Lohneinstufung bemüht hätte.
4.1.5 Festzuhalten bleibt, dass der Beschwerdeführer gemäss dem angefochtenen Entscheid nicht dargetan hat, die Einstufung in die Lohnklasse M2 sei objektiv falsch und widerspreche den massgeblichen Richtlinien. In der Beschwerde wird nicht dargetan, inwiefern diese Beurteilung falsch sein soll. Selbst wenn daher einzelne Beanstandungen gegenüber dem Vorgehen der Gemeinde berechtigt sein sollten, bleibt es doch im Ergebnis dabei, dass die von dieser vorgenommene Einstufung von der Vorinstanz in nicht willkürlicher Weise bestätigt wurde. Die Beschwerde ist daher diesbezüglich abzuweisen.
4.2 Der Beschwerdeführer verlangt weiter, ihm sei der eingeklagte Lohn für zusätzliche Wochenstunden zuzusprechen.
4.2.1 Das kantonale Gericht hat hiezu erwogen, der Beschwerdeführer stütze sich hiebei auf ein undatiertes und nicht unterzeichnetes Schreiben der Gemeinde mit dem Titel "Provisorischer Stundenplan für die Schüler und Schülerinnen von F._". Die Gemeinde ihrerseits habe die Abrechnung aufgrund der Schülerlisten für die Zeit von August bis Juli 2007 bis Juli 2008 erstellt. Diese hätten auch die Basis der ordentlichen Lohnabrechnungen der Musiklehrer gebildet und seien wesentlich aussagekräftiger als der provisorische Stundenplan, der zufolge Freistellung des Beschwerdeführers auch unter einem gewissen Zeitdruck zustande gekommen sein dürfte. Die höhere Wochenstundenzahl sei daher nicht bewiesen.
4.2.2 Die Vorinstanz hat begründet, weshalb sie die Schülerlisten für beweiskräftiger als den Stundenplan erachtet. In der Beschwerde wird nichts vorgetragen, was diese Beurteilung als willkürlich erscheinen liesse. Das gilt selbst wenn die Schülerlisten ihrerseits nicht auf definitiven Zahlen beruht haben sollten. Soweit geltend gemacht wird, das kantonale Gericht hätte weitere Beweise erheben müssen, hat es mit der Feststellung sein Bewenden, dass die antizipierte Beweiswürdigung, welche die Vorinstanz zum Verzicht auf Beweisergänzungen bewogen hat, jedenfalls nicht als willkürlich zu betrachten ist.
Die Beschwerde ist somit auch in diesem Punkt abzuweisen.
4.3 Sind die geltend gemachten Löhne nach dem Gesagten nicht zuzusprechen, gilt dies ohne weiteres auch für die - zu diesen akzessorischen - Verzugszinse und Sozialleistungen.
5. Die Gemeinde hat in der Lohnabrechnung vom 10. Dezember 2009 ausgeführt, "für die Kosten einer Schlossauswechslung in der Musikschule" werde "bis zur Herausgabe der Schulschlüssel durch Herrn F._ der Betrag von Fr. 2'438.90 zurückbehalten (Lohn Juli 2008 inkl. Anteil 13. Monatslohn pro rata für das Jahr 2008)".
5.1 Das kantonale Gericht hat dies im angefochtenen Entscheid bestätigt und die Klage auch diesbezüglich abgewiesen. Es ging hiebei beweismässig davon aus, der Beschwerdeführer sei im Besitz eines Schulschlüssels oder habe diesen verloren. Damit sei der Arbeitgeber nach Art. 323a OR zum vorgenommenen Lohnrückbehalt berechtigt.
Die Vorinstanz zieht mithin eine Regel des Bundeszivilrechts als subsidiäres kantonales Recht heran. Bezüglich Rügepflicht und bundesgerichtlicher Überprüfungsbefugnis gilt damit das zuvor Gesagte (E. 3.1 hievor; vgl. Urteil 2C_616/2008 vom 16. Juni 2009 E. 3.1).
5.2 Der Beschwerdeführer beantragt, in diesbezüglicher Gutheissung der Klage sei die Beschwerdegegnerin zur Zahlung des Lohnes für den Monat Juli 2008 zuzüglich Sozialleistungen und Verzugszins von 5 % ab 1. August 2008 zu verpflichten.
Der Antrag ist begründet. Nach Art. 323a OR darf der Arbeitgeber, sofern es verabredet oder üblich oder durch Normalarbeitsvertrag oder Gesamtarbeitsvertrag bestimmt ist, einen Teil des Lohnes zurückbehalten (Abs. 1). Von dem am einzelnen Zahltag fälligen Lohn darf nicht mehr als ein Zehntel des Lohnes und im gesamten nicht mehr als der Lohn für eine Arbeitswoche zurückbehalten werden; jedoch kann ein höherer Lohnrückbehalt durch Normalarbeitsvertrag oder Gesamtarbeitsvertrag vorgesehen werden (Abs. 2). Ist nichts anderes verabredet oder üblich oder durch Normalarbeitsvertrag oder Gesamtarbeitsvertrag bestimmt, so gilt der zurückbehaltene Lohn als Sicherheit für die Forderungen des Arbeitgebers aus dem Arbeitsverhältnis und nicht als Konventionalstrafe (Abs. 3).
Im vorliegenden Fall dürfte ein Lohnrückbehalt, wenn überhaupt, höchstens innerhalb der Limiten von Art. 323a Abs. 2 OR erfolgen und dort aufgrund der gegebenen Umstände auf einen Wochenlohn zu beschränken sein, zumal im angefochtenen Entscheid nicht dargetan wird, gestützt auf welche Grundlagen ein höherer Anteil hätte zurückbehalten werden dürfen. Ein Rückbehalt ist aber deshalb stossend, weil die damit zu deckende Gegenforderung nicht annähernd substanziiert ist. Die Klage ist diesbezüglich gutzuheissen. Der Lohn für den Monat Juli 2008 ist nachzuzahlen. Er ist zu verzinsen und es sind die üblichen Sozialabgaben auszurichten.
6. Der Beschwerdeführer beantragt gesondert von den erwähnten Sozialversicherungsbeiträgen, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, auf den Löhnen für die Jahre 2003 bis 2008 die gesetzlichen BVG-Beiträge (zuzüglich Verzugszins) an die zuständige Sozialversicherung zu entrichten.
Das kantonale Gericht ist auf das entsprechende Klagebegehren nicht eingetreten. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, weshalb sich die Vorinstanz mit diesem Antrag hätte befassen müssen. Ob auf die Beschwerde dennoch eingetreten werden kann, muss nicht abschliessend geprüft werden, da sich der angefochtene Entscheid zumindest im Ergebnis als richtig erweist: Das kantonale Gericht begründet seinen Entscheid damit, dass nur der Versicherungsträger, nicht aber der Versicherte die Bezahlung von BVG-Beiträgen des Arbeitgebers erstreiten dürfe. Das trifft so nicht zu. Es fehlt vielmehr an der sachlichen Zuständigkeit der Vorinstanz für die Beurteilung dieser Forderung. Streitigkeiten zwischen Arbeitnehmer und Arbeitgeber über die Bezahlung von BVG-Beiträgen an den Versicherungsträger sind nicht im arbeits- oder dienstrechtlichen Prozess, sondern im Klageverfahren vor dem in Art. 73 BVG vorgesehenen Berufsvorsorgegericht zu beurteilen (vgl. auch JÜRG BRÜHWILER, Obligatorische berufliche Vorsorge, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Bd. XIV Soziale Sicherheit, 2. Aufl. 2007, Rz. 193 f.). Die Vorinstanz ist somit zu Recht, wenn auch mit abweichender Begründung, nicht auf die Beschwerde eingetreten.
7. Die Gerichtskosten werden dem Verfahrensausgang entsprechend zu drei Vierteln dem Beschwerdeführer und zu einem Viertel der Beschwerdegegnerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG;vgl. auch <ref-ruling>). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen.
Der Beschwerdeführer hat den Prozess selber geführt, ohne dass er hiezu eines Rechtsvertreters bedurft hätte. Die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung steht daher nicht zur Diskussion.
Die unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten setzt unter anderem Bedürftigkeit des Gesuchstellers voraus (Art. 64 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer hat indessen die gerichtlich einverlangten Angaben und Belege zu seinen finanziellen Verhältnissen nicht beigebracht. Es ist daher aufgrund der Akten zu entscheiden. Danach ist die Bedürftigkeit nicht ausgewiesen. Das führt zur Abweisung des Gesuchs.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 15. Juni 2010 wird aufgehoben. In teilweiser Gutheissung der Klage vom 23. Dezember 2009/22. Februar 2010 wird die Einwohnergemeinde X._ verpflichtet, dem Beschwerdeführer den Lohn für den Juli 2008 zuzüglich Verzugszins zu 5 % ab 1. August 2008 zu bezahlen. Soweit weitergehend, wird die Klage abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Von den Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden dem Beschwerdeführer Fr. 1'500.- und der Beschwerdegegnerin Fr. 500.- auferlegt.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. Januar 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz