Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Schreiben vom 27. Februar 2012 reichte X._ bei der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat eine Strafanzeige gegen das "Betreibungsamt 11", die "Stadtpolizei Zürich (Hr. Y._) und Winterthur" im Zusammenhang mit einem gegen ihn durchgeführten betreibungsrechtlichen Verfahren ein. Am 8. März 2012 ersuchte die Staatsanwaltschaft X._, seine Anzeige zu verdeutlichen und alle wesentlichen schriftlichen Unterlagen oder möglichen Beweismittel einzureichen. X._ ergänzte seine Ausführungen erst wieder mit Schreiben vom 13. Februar 2013.
A.b. Am 17. Mai 2013 überwies die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat die Strafanzeige von X._ auf dem Dienstweg (über die Leitung der Staatsanwaltschaft und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich) dem Obergericht des Kantons Zürich. Dabei beantragte sie, die für eine Strafverfolgung erforderliche Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung nicht zu erteilen, da aus den eingegangenen Unterlagen nicht annähernd nachvollziehbar sei, wer wann und wo welche Straftat begangen haben sollte.
A.c. Am 8. August 2013 beschloss das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung bzw. die Nichtanhandnahme des Verfahrens gegen unbekannte Funktionäre der Betreibungsämter Zürich 11 und 12 nicht zu erteilen. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, dass aus den vorgetragenen Beanstandungen kein strafrechtlich massgebliches Verhalten ersichtlich sei.
B.
Mit als Beschwerde bezeichneter Eingabe vom 18. September 2013 an das Bundesgericht beantragt X._, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat zu ermächtigen, eine Strafuntersuchung gegen die angezeigten Personen zu eröffnen. Im Wesentlichen macht er geltend, das Obergericht habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt und sein Beschluss sei bundesrechtswidrig und willkürlich.
C.
Das Betreibungsamt 12 hat unter Hinweis darauf, am fraglichen Fall überhaupt nicht beteiligt zu sein, auf Äusserungen verzichtet. Das Betreibungsamt 11 bestätigt, in der Sache allein tätig gewesen zu sein, und schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
D.
Mit Eingabe vom 14. Oktober 2013 stellt X._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafuntersuchung steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272). Die Mitarbeitenden des Betreibungsamts sowie der kommunalen Polizeikorps gehören nicht den obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden an, weshalb der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. e BGG nicht greift (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f.).
1.2. Nach Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Dafür genügt ein tatsächliches Interesse. Ein rechtlich geschütztes Interesse wie gemäss Art. 81 BGG bei der Beschwerde in Strafsachen braucht es für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht. Der Beschwerdeführer als angebliches Opfer der von ihm behaupteten Straftaten hat ein tatsächliches Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids und ist zur Beschwerde legitimiert.
1.3. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann, von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen, nur die Verletzung von Bundesrecht (vgl. Art. 95 lit. a BGG) sowie die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhaltes (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG) gerügt werden.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt. Insbesondere habe er entgegen den Ausführungen im angefochtenen Entscheid die Personen, gegen die er eine Strafuntersuchung beantrage, und die beanstandeten Verhaltensweisen in seinen Eingaben an die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat genannt.
2.2. Die Vorinstanz ging davon aus, dass sich die Anzeige gegen ungenannte Angestellte der Betreibungsämter 11 und 12 gerichtet hatte.
2.2.1. In seiner ersten Eingabe vom 27. Februar 2012 war der Beschwerdeführer insofern tatsächlich vage geblieben, hatte aber in seinem Rubrum ausdrücklich ausgeführt, Strafanzeige gegen das "Betreibungsamt 11" sowie die "Stadtpolizei Zürich (Hr. Y._) und Winterthur" zu erstatten. Im zweiten Schreiben vom 13. Februar 2013 nannte er den Polizeibeamten Y._ und den Betreibungsbeamten Z._ und verwies zur Identifizierung des beteiligten Beamten der Stadtpolizei Winterthur auf den Polizeirapport zu den beanstandeten Ereignissen vom 25. Februar 2012.
2.2.2. Damit lassen sich die Personen, gegen die eine Strafuntersuchung erhoben werden soll, entgegen der Auffassung der Vorinstanz mit genügender Genauigkeit identifizieren. Zwei Namen sind bekannt, und der dritte Name sollte ohne grosse Schwierigkeiten eruierbar sein.
2.2.3. Überdies geht es nicht nur um Angestellte des Betreibungsamtes, sondern auch um Polizeibeamte, die von jenen zur Vornahme der fraglichen Betreibungshandlungen beigezogen wurden.
2.2.4. Entgegen dem Rubrum im angefochtenen Beschluss stehen allerdings nur vom Betreibungsamt 11 angeordnete Handlungen zur Diskussion. Das Betreibungsamt 12 war mit dem vorliegenden Fall nicht befasst. Dieser Fehler dürfte daher stammen, dass in der Überweisungsverfügung der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat beim Beschrieb der beschuldigten Person fälschlicherweise - und wohl zurückgehend auf einen Verschrieb - das Stadtammann- und Betreibungsamt Zürich 12 genannt wird.
2.3. Der Beschwerdeführer beanstandet sodann die Feststellung der Vorinstanz, es sei nicht klar, welche strafrechtlichen Vorwürfe er erhebe. Es kann hier offen bleiben, wo dabei genau die Abgrenzung von Tat- und Rechtsfrage verläuft. Zutreffend ist, dass das Obergericht ausführte, der Beschwerdeführer erhebe immer wieder neue Vorwürfe und es sei nicht klar, welche Amtshandlungen er überhaupt beanstande. Die Vorinstanz ging aber zu Recht davon aus, der Beschwerdeführer wende sich gegen das Verhalten von Betreibungs- und Polizeibeamten im Zusammenhang mit einem gegen ihn laufenden Betreibungs- bzw. Pfändungsverfahren. Einige konkrete Vorwürfe ergeben sich in durchaus nachvollziehbarer Weise aus der Eingabe des Beschwerdeführers an die Staatsanwaltschaft vom 13. Februar 2013 sowie aus seiner Vernehmlassung an das Obergericht vom 22. Juli 2013. Insbesondere sieht er mögliche Strafhandlungen im behördlichen Zwang, der für die Pfändung von Gegenständen in seiner Wohnung am 25. Februar 2012 ihm gegenüber angewendet wurde, und darin, dass die Beamten dafür mit Hilfe eines Schlüsselservices die Wohnungstür öffneten und in der Folge seine Wohnung betraten, sowie in weiteren behördlichen Pfändungsmassnahmen. Im Übrigen durfte das Obergericht die erhobenen Vorwürfe als zu wenig konkret beurteilen, ohne dadurch Bundesrecht zu verletzen.
2.4. Nach Art. 105 Abs. 2 BGG kann das Bundesgericht diese offensichtlichen Mängel in der Sachverhaltsfeststellung beheben, ohne dass deswegen die Beschwerde gutgeheissen und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen werden muss.
3.
3.1. Gemäss Art. 7 Abs. 2 lit. b StPO können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt. Diese Bestimmung bietet den Kantonen die Möglichkeit, die Strafverfolgung sämtlicher Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden von einer Ermächtigung abhängig zu machen. Als Vollziehungsbehörden gelten alle Organisationen, die öffentliche Aufgaben wahrnehmen (Urteil des Bundesgerichts 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.3). Die hier beschuldigten Angehörigen des Betreibungsamtes und der Polizei sind als solche Mitglieder einer Vollziehungsbehörde.
3.2. Massgeblich sind einzig strafrechtliche Gesichtspunkte. Die Ermächtigung zur Strafverfolgung darf insbesondere nicht aus Gründen der Opportunität verweigert werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 278 f.). Das schliesst aber nicht aus, dass für die Erteilung der Ermächtigung genügende minimale Hinweise auf strafrechtliches Verhalten verlangt werden. Durch das Ermächtigungserfordernis sollen Behördenmitglieder und Beamte namentlich vor mutwilliger Strafverfolgung geschützt und es soll damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sichergestellt werden. Dass eine Behörde einen unliebsamen Entscheid gefällt hat oder nicht wunschgemäss im Sinne eines Gesuchstellers aktiv wird, begründet noch keine Pflicht, die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen. Vielmehr darf dafür vorausgesetzt werden, dass eine Kompetenzüberschreitung oder ein gemessen an den Amtspflichten missbräuchliches Verhalten oder ein sonstiges Verhalten, das strafrechtliche Konsequenzen zu zeitigen vermag, in minimaler Weise glaubhaft erscheint, mithin genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen (Urteil des Bundesgerichts 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 3.1).
3.3. Wie die Vorinstanz zu Recht festhält, begründet es keinen Amtsmissbrauch im Sinne von Art. 312 StGB, wenn eine Behörde oder ein Beamter in Ausübung der amtlichen Tätigkeit eine für einen Betroffenen unliebsame Handlung vornimmt. Daran ändert nichts, wenn allenfalls eine Rechtsmittelinstanz einen Entscheid aufhebt oder abändert. Der Tatbestand setzt vielmehr voraus, dass Mitglieder einer Behörde oder Beamte ihre Amtsgewalt missbrauchen, um sich oder einem andern einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem anderen einen Nachteil zuzufügen. Dass dieses Tatbestandselement hier vorliegen könnte, ist überhaupt nicht ersichtlich. Auch bei den vom Beschwerdeführer konkreter beanstandeten Amtshandlungen gibt es keine Hinweise auf Strafdelikte. Vom Beschwerdeführer genannt oder vom Zusammenhang in Frage kämen zwar theoretisch auch weitere Tatbestände. Mit der Vorinstanz ist der Beschwerdeführer aber darauf hinzuweisen, dass es Sinn und Zweck des Pfändungsverfahrens ist, dem Schuldner Vermögenswerte zur Verwertung und späteren Schuldentilgung zu entziehen (vgl. Art. 89 ff. SchKG). Dazu ergibt sich ausdrücklich aus dem Gesetz, dass der Schuldner im Bedarfsfall polizeilich vorgeführt werden kann und dass Räumlichkeiten, in denen sich pfändbare Wertgegenstände befinden oder mit Grund vermutet werden, nötigenfalls mit Polizeigewalt geöffnet werden dürfen (vgl. Art. 91 Abs. 2 und 3 SchKG). Für die vom Beschwerdeführer als Straftaten beanstandeten Handlungen gibt es also von vornherein einen gesetzlichen Rechtfertigungsgrund. Dafür, dass die Behörden im vorliegenden Fall gesetzeswidrig oder unverhältnismässig gehandelt hätten, bestehen keine Hinweise.
3.4. Ergänzend ist auf das Urteil des Bundesgerichts 5A_859/2011 vom 21. Mai 2012 zu verweisen, in dem die fragliche Pfändung in betreibungsrechtlicher Hinsicht gewürdigt wurde. Schon damals verwies das Bundesgericht darauf, die beanstandeten Handlungen seien gesetzlich gerechtfertigt und eine Rechtsverletzung werde nicht in hinreichender Weise dargelegt (vgl. insbes. E. 3.4.2 des genannten Urteils). Gleichermassen verhält es sich hier unter strafrechtlichen Gesichtspunkten.
3.5. Gibt es mithin keine genügenden minimalen Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung, verletzt es Bundesrecht nicht, die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu verweigern. Schon gar nicht ist dies willkürlich.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
Ausnahmsweise rechtfertigt es sich im vorliegenden Fall, auf die Erhebung von Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu verzichten (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG), womit das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, den Betreibungsämtern Zürich 11 und Zürich 12, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax