Fatti:
A.
Con decreto di accusa dell'8 giugno 2011, confermato il 21 giugno seguente, il Procuratore pubblico (PP) ha ritenuto A._ autore colpevole di lesioni semplici, per avere, il 16 aprile 2011, strattonato e colpito al volto con due schiaffi sua sorella, cagionandole le lesioni attestate da diversi certificati medici.
B.
In seguito all'opposizione sollevata dall'interessato, con decisione del 16 gennaio 2013, il Presidente della Pretura penale ha confermato l'imputazione del decreto di accusa, condannando l'imputato alla pena pecuniaria di quindici aliquote giornaliere di fr. 30.--, sospesa condizionalmente per un periodo di prova di tre anni, e alla multa di fr. 300.--.
C.
Contro la sentenza pretorile, A._ ha presentato un appello alla Corte di appello e di revisione penale del Cantone Ticino (CARP) che, esperito il dibattimento il 6 maggio 2013, lo ha respinto con sentenza del 16 luglio 2013 (incarto n. 17.2013.16) intimata alle parti il 9 agosto 2013.
D.
A._ impugna la sentenza della CARP con un ricorso in materia penale del 18 settembre 2013 al Tribunale federale, chiedendo di annullarla. Domanda inoltre di ritornare gli atti alla Corte cantonale composta da nuovi giudici per una nuova decisione. Il ricorrente postula pure di essere esonerato dal pagamento delle spese processuali e di riconoscergli un risarcimento per i costi sostenuti per l'intera procedura. Egli aveva peraltro introdotto il 3 settembre 2013 alla CARP uno scritto, da questa interpretato quale ricorso contro la sentenza del 16 luglio 2013 e quindi trasmesso il 9 settembre 2013 al Tribunale federale.
Non sono state chieste osservazioni sul ricorso.

Diritto:
1.
1.1. Presentato dall'imputato, che ha partecipato alla procedura dinanzi alla precedente istanza, le cui conclusioni sono state disattese (art. 81 cpv. 1 lett. a e b n. 1 LTF), e diretto contro una decisione finale (<ref-law>) resa in materia penale (<ref-law>) da un'autorità di ultima istanza cantonale (<ref-law>), il ricorso in materia penale è sotto i citati aspetti ammissibile.
1.2. La sentenza impugnata è stata intimata al ricorrente il 9 agosto 2013 tramite un invio postale raccomandato, che non sarebbe stato ritirato. Una copia del giudizio gli è stata consegnata, su sua richiesta, dalla cancelleria della Corte cantonale il 19 agosto 2013. Tenuto conto delle ferie giudiziarie, che scadevano il 15 agosto 2013 (<ref-law>), e ritenuto che lo scritto 3 settembre 2013, considerato dalla CARP quale ricorso, è stato introdotto nei termini utili e che la notificazione della sentenza impugnata è comunque avvenuta entro il termine di giacenza dell'invio raccomandato presso la posta (cfr. <ref-law>), il gravame può essere considerato tempestivo (<ref-law>).
2.
2.1. Conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF, il ricorso in materia penale al Tribunale federale può essere presentato per violazione del diritto, nel quale rientra pure il diritto costituzionale (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 1.4.1). Secondo l'<ref-law>, nel ricorso occorre spiegare per quali ragioni l'atto impugnato viola il diritto. Il ricorrente deve quindi almeno concisamente confrontarsi con le considerazioni esposte nella decisione impugnata (<ref-ruling> consid. 2.1). Le esigenze di motivazione sono inoltre accresciute laddove è censurato l'arbitrio nell'accertamento dei fatti e nella valutazione delle prove, dato che ciò equivale a sostenere che i fatti sono stati accertati in violazione dell'<ref-law> e del diritto federale (DTF <ref-ruling> consid. 1.4.1). Trattandosi di garanzie di rango costituzionale, a norma dell'<ref-law> il Tribunale federale esamina infatti le relative censure soltanto se siano motivate in modo chiaro e preciso, conformemente alla prassi precedentemente in vigore in materia di ricorso di diritto pubblico (cfr. <ref-ruling> consid. 1.4.1; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.4). In questa misura, argomentazioni vaghe o meramente appellatorie e semplici rinvii agli atti cantonali sono quindi inammissibili (DTF <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.1).
2.2. Il gravame disattende per la maggior parte le citate esigenze di motivazione ed è pertanto in larga misura inammissibile. Il ricorrente non si confronta infatti puntualmente con la sentenza impugnata, spiegando conformemente agli art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF per quali motivi violerebbe il diritto o si fonderebbe su accertamenti di fatto manifestamente insostenibili e pertanto arbitrari. Ciò vale in particolare ove egli richiama a diverse riprese gli art. 8, 9, 29 e 35 Cost. nonché gli art. 6, 13 e 14 CEDU, senza tuttavia spiegare con una motivazione rispettosa delle esposte esigenze in cosa consisterebbe la violazione. Analogamente, non sostanzia una simile violazione dichiarando in modo generico di contestare le argomentazioni della CARP e negando di essere colpevole del reato di cui all'<ref-law>. Il gravame è parimenti inammissibile laddove il ricorrente si limita a richiamare istanze ed allegati presentati nelle sedi cantonali o concernenti altre procedure, ritenuto che le censure devono essere contenute nell'atto di ricorso medesimo (<ref-ruling> consid. 3.1).
3.
3.1. Secondo il ricorrente, la sentenza impugnata sarebbe nulla, siccome disattenderebbe l'<ref-law>, essendo stata intimata alle parti soltanto il 9 agosto 2013, oltre 90 giorni dopo il dibattimento del 6 maggio 2013.
3.2. Giusta l'<ref-law>, se il giudice deve motivare la sentenza, egli la notifica entro 60 giorni, eccezionalmente entro 90 giorni, all'imputato e al pubblico ministero con la motivazione completa e alle altre parti soltanto con i punti concernenti le loro conclusioni. Si tratta tuttavia di termini d'ordine, che concretizzano il principio di celerità. La loro disattenzione non tange quindi di per sé la validità della sentenza (cfr. Niklaus Schmid, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 2a ed., 2013, n. 5 all'art. 84). Solo errori di procedura particolarmente gravi, quali per esempio l'incompetenza della Corte giudicante, possono infatti entrare in considerazione quali motivi di nullità (cfr. <ref-ruling> consid. 3.2). Nella fattispecie, pur ricordato che nel procedimento penale non vi sono ferie giudiziarie (<ref-law>) e constatato che la notifica della sentenza è effettivamente avvenuta oltre i termini legali, l'eccezione di nullità sollevata dal ricorrente è comunque infondata.
4.
Laddove critica poi l'ulteriore rinvio del pubblico dibattimento del 6 maggio 2013, il ricorrente omette di considerare che dalla lettura del giudizio impugnato risulta come la richiesta di rinvio sia stata da lui inoltrata meno di due ore prima dell'inizio del dibattimento. Disattende inoltre, che la data del dibattimento, inizialmente fissato per il 18 aprile 2013, era già stata precedentemente rinviata, in accoglimento di una sua richiesta del 17 aprile 2013. In tali circostanze e tenuto conto del fatto che il ricorrente aveva nel frattempo visionato gli atti, perché il rifiuto della Corte cantonale di rinviare nuovamente il dibattimento violerebbe il diritto, non è dato di sapere. Limitandosi ad accennare alla necessità di organizzare adeguatamente la sua difesa, l'insorgente non sostanzia motivi gravi che avrebbero potuto giustificare un ulteriore rinvio. Trascura inoltre che la fattispecie era nota, essendo già stata oggetto di un giudizio di primo grado, e non era particolarmente complessa.
5.
5.1. Il ricorrente lamenta il rifiuto della CARP di assumere altre prove, quali in particolare dei testimoni, una perizia sulle caratteristiche cutanee della vittima e il richiamo di un incarto concernente un altro procedimento. Al riguardo, egli si limita tuttavia a ribadire le sue richieste, senza censurare conformemente alle esposte esigenze di motivazione una violazione del suo diritto di essere sentito. Non adduce in particolare per quali ragioni, tenuto conto degli elementi già agli atti, le ulteriori prove invocate sarebbero state rilevanti per l'esito del procedimento penale. La garanzia del diritto di essere sentito, non impediva infatti alla Corte cantonale di procedere a un apprezzamento anticipato delle prove richieste e di rinunciare ad assumerle se era convinta che non potevano condurla a modificare il suo giudizio (cfr. <ref-ruling> consid. 5.3; <ref-ruling> consid. 3). Né il gravame adempie le condizioni poste dagli art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF, laddove il ricorrente lamenta genericamente la mancata intimazione di atti che riguarderebbero in particolare pretesi rimproveri di avere picchiato anche la madre. Anche se precisa di quali documenti si tratta (atto n. V del 26 febbraio 2013), egli disattende di avere in ogni caso avuto accesso agli atti il 29 aprile 2013 dinanzi alla Corte cantonale, come egli stesso ammette. L'affermazione secondo cui la CARP gli avrebbe impedito di prendere visione di determinati atti, anche volendo ammettere che in un determinato momento non figuravano nell'incarto, non ha quindi fondamento. D'altra parte, il procedimento penale in questione è circoscritto ai fatti riguardanti le lesioni provocate il 16 aprile 2011 alla sorella: eventuali vessazioni del ricorrente nei confronti della madre non sono in ogni modo oggetto d'imputazione e nemmeno trovano accenno nel giudizio impugnato.
5.2. Lamentando poi asserite carenze del verbale del procedimento (<ref-law>), il gravame appare tutt'altro che chiaro, non essendo peraltro ravvisabile quale sia il pregiudizio subito dal ricorrente per l'indicazione succinta di un determinato atto procedurale nel verbale del procedimento. Insufficientemente motivato anche su questo punto, il gravame si rivela ancora una volta inammissibile.
6.
Criticando la mancata ricusa dei giudici che componevano in concreto la CARP, ricordato che questo Tribunale ha già avuto modo di confrontarsi in procedimenti specifici con le argomentazioni svolte al proposito dal ricorrente (cfr. sentenze 1B_299/2013 e 1B_301/2013 del 14 ottobre 2013 e 1B_361/2013 del 30 ottobre 2013), egli accenna essenzialmente al fatto che la Corte aveva già statuito, in una composizione uguale o analoga, in procedimenti anteriori che lo interessavano. Questa circostanza non basta tuttavia, di per sé, a fondare un valido motivo di ricusa (cfr. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.2.2.2 pag. 466; <ref-ruling> consid. 1). Il ricorrente non adduce circostanze concrete, oggettivamente idonee a fondare un rischio di parzialità dei giudici che hanno statuito sull'appello, sicché il ricorso si rivela nuovamente inammissibile per difetto di motivazione.
7.
Ne segue che il ricorso deve essere respinto nella misura della sua ammissibilità.
La domanda di assistenza giudiziaria deve essere respinta, essendo il gravame fin dall'inizio privo di possibilità di successo (<ref-law>). Le spese giudiziarie sono di conseguenza poste a carico del ricorrente, in considerazione della sua soccombenza (<ref-law>). Vista la sua situazione finanziaria, si giustifica tuttavia di prelevare una tassa di giustizia ridotta (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 800.-- sono poste a carico del ricorrente.
4.
Comunicazione alle parti e alla Corte di appello e di revisione penale del Cantone Ticino.