Sachverhalt:
A.
A._ (Bauherr, Beschwerdeführer) ist Eigentümer der Liegenschaft U._. Im Jahre 2003 liess er sich im Rahmen eines Umbaus durch die B._ AG (Unternehmerin, Beschwerdegegnerin) eine Offerte für Spengler- und Sanitärarbeiten zum Gesamtpreis von Fr. 144'186.05 unterbreiten. In der Offerte wurde festgehalten, dass für die Ausführung der Arbeiten die geltenden SIA-Normen, insbesondere die SIA-Norm 118 "Allgemeine Bedingungen für Bauarbeiten", verbindlich sein sollen. In der Folge wurden die Arbeiten nicht exakt so ausgeführt, wie in der Offerte vom 14. Mai 2003 festgelegt worden war. Auf der Rechnung über den Auftrag ist festgehalten, dass die Arbeiten in der Zeit vom Mai 2003 bis 31. März 2005 ausgeführt worden seien. Den gemäss Rechnung vom 15. April 2005 noch offenen Betrag von Fr. 40'752.40 beglich der Bauherr im Mai 2005.
Im Sommer 2005 stellte der Bauherr bzw. dessen Architekt, C._, fest, dass es Probleme mit der Entwässerung der Terrasse gab. Zur Behebung dieses Problems wandte sich der Bauherr an die Unternehmerin, die sich der Entwässerungsproblematik annahm und die notwendigen Arbeiten ausführte. Die Arbeiten wurden am 31. Dezember 2005 abgeschlossen. Die Schlussrechnung für die Terrassenentwässerung vom 20. Januar 2006 belief sich auf den Betrag von total Fr. 85'092.60. Auf der Rechnung wurde vermerkt, dass die Arbeiten zwischen dem 1. September und dem 31. Dezember 2005 ausgeführt worden seien.
Im Verlauf des Jahres 2009 stellte der Bauherr im unterkellerten Terrassenanbau einen Wassereintritt fest. Gestützt auf einen Kostenvoranschlag seines Architekten forderte er von der Unternehmerin für den ihm dadurch entstandenen Schaden Fr. 384'017.60.
B.
Mit Vorladungsbegehren vom 5. Februar 2010 machte der Bauherr das Verfahren beim Richteramt Olten-Gösgen anhängig. Im Rahmen einer vorsorglichen Beweisführung wurde mit Datum vom 4. Juni 2010 ein Kurzgutachten erstattet. Anlässlich einer Aussöhnungsverhandlung konnte keine Einigung erzielt werden. Nach Durchführung des Schriftenwechsels (Klage vom 11. Oktober 2010, Klageantwort vom 21. Dezember 2010) und Erstattung eines gerichtlichen Gutachtens fand am 21. Mai 2013 die Hauptverhandlung vor dem Amtsgericht mit Zeugen- und Parteibefragung statt. Mit Urteil vom gleichen Tag wies das Amtsgericht die Klage ab.
Dagegen gelangte der Bauherr an das Obergericht des Kantons Solothurn mit dem Antrag, die Unternehmerin sei zu verpflichten, ihm den Betrag von Fr. 408'838.45 zu bezahlen. Das Obergericht wies die Berufung am 19. Dezember 2013 ab.
C.
Der Bauherr beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts vom 19. Dezember 2013 aufzuheben und die Unternehmerin zu verpflichten, ihm einen Betrag von Fr. 408'838.45 zu bezahlen. Eventuell sei die Sache zur Durchführung einer öffentlichen Hauptverhandlung mit Partei- und Zeugenbefragung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerin schliessen auf Abweisung der Beschwerde, erstere unter Verzicht auf Gegenbemerkungen und unter Hinweis auf die Akten und Motive ihres Urteils.
Der Beschwerdeführer reichte eine Stellungnahme zur Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin ein. Die Beschwerdegegnerin verzichtete auf Bemerkungen zu dieser.

Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in Zivilsachen sind grundsätzlich erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung (nachfolgende Erwägung 2) ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89; Urteil 4A_408/2013 vom 17. Januar 2014 E. 2, zur Publikation vorgesehen; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.1).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.1/ 2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.8; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1. S. 399).
Wie nachfolgend aufzuzeigen ist, genügt die vorliegende Beschwerde diesen Anforderungen zu grossen Teilen nicht.
2.2. Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (<ref-law>). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf der Beschwerdeführer die Replik nicht dazu verwenden, die Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.4). Die Replik ist nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2).
Soweit der Beschwerdeführer in seiner Replik darüber hinausgeht, können seine Ausführungen nicht berücksichtigt werden.
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 3 und 7.1, 462 E. 2.4). Soweit sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90; Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Überdies hat sie darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18; <ref-ruling> E. 1.4.3).
Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; <ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 2, 467 E. 3.1). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Sachgericht erhebliche Beweismittel übersieht, augenscheinlich missversteht oder grundlos ausser Acht lässt, oder wenn es aus den vorliegenden Beweisen unhaltbare Schlüsse zieht (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.1). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.3). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2b).
Der Beschwerdeführer kann demnach im Folgenden nicht gehört werden, soweit er seine Argumentation auf einen Sachverhalt stützt, der von den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht, ohne im Einzelnen hinreichend begründete Sachverhaltsrügen gemäss den eben dargelegten Grundsätzen zu formulieren. Unbeachtet bleiben muss insbesondere auch die eigene Sachverhaltsdarstellung des Beschwerdeführers, die er seinen rechtlichen Ausführungen voranstellt und in der er die vorinstanzlichen Feststellungen nach Belieben ergänzt.
3.
Die Vorinstanz wies die Berufung des Beschwerdeführers bzw. dessen Klage mit mehrfacher Begründung ab.
Sie hielt erstens mit dem Amtsgericht fest, es habe sich beim Auftrag für die Entwässerung und Abdichtung der Terrasse aus dem Jahr 2005 und bei demjenigen basierend auf der Offerte aus dem Jahr 2003 um zwei unterschiedliche Aufträge gehandelt. Sie hielt es bezüglich des Auftrags aus dem Jahr 2005 als erwiesen, dass die Auftragsbestätigung vom 7. November 2005 dem Beschwerdeführer zugegangen sei und somit die Grundlage des betreffenden Werkvertrags bilde, mit der Folge, dass die darin enthaltene, verkürzte Gewährleistungsfrist von 18 Monaten und nicht die fünfjährige Frist gemäss SIA-Norm 118 bzw. <ref-law> zum Zuge komme. Folglich seien sämtliche Ansprüche des Beschwerdeführers am 1. Juli 2007 verwirkt, nachdem die Übergabe des Werkes spätestens im Dezember 2005 stattgefunden habe.
Zweitens schützte die Vorinstanz die Begründung des Amtsgerichts, wonach die Mängelrüge verspätet erfolgt sei. Der Mangel gelte danach seit dem 14. September 2009 als entdeckt, sei aber erst am 23./25. November 2009 gerügt worden. Weil die Mängelrüge damit rund zwei Monate zu spät erfolgt sei, gelte das Werk als genehmigt.
Drittens pflichtete die Vorinstanz auch der Begründung des Amtsgerichts bei, es sei nicht erwiesen, dass die Beschwerdegegnerin zweifellos für den Wassereintritt verantwortlich sei, da andere Ursachen nicht vollständig ausgeschlossen werden könnten.
Schliesslich erwog die Vorinstanz sinngemäss, der geltend gemachte Schaden sei nicht hinreichend substanziiert bzw. nicht nachgewiesen.
4.
Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe bei der Vorinstanz gerügt, dass das erstinstanzliche Verhandlungsprotokoll diverse Lücken aufweise, insgesamt als zu knapp erscheine und einen falschen Eindruck vermittle und dass einige wichtige Zeugenaussagen gar nicht protokolliert worden seien. Ferner habe er in der Berufungsschrift sowohl Partei- als auch Zeugenbefragungen beantragt. Die Vorinstanz habe im angefochtenen Urteil vom 19. Dezember 2013 lapidar ausgeführt, über die Berufung könne ohne Durchführung einer Verhandlung entschieden werden, ohne dies zu begründen. Dass die Vorinstanz trotz erheblicher Bemängelung des erstinstanzlichen Protokolls und Begehren um Anordnung einer Partei- und Zeugenbefragung ohne Begründung auf die Durchführung einer Berufungsverhandlung verzichtet habe, verletze den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und den Anspruch auf Durchführung einer mündlichen Verhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
4.1. Mit der vorliegenden Zivilklage auf Schadenersatz wird über einen zivilrechtlichen Anspruch im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK entschieden. Der Beschwerdeführer hat daher gestützt auf diese Bestimmung Anspruch auf eine Parteiverhandlung im kantonalen Gerichtsverfahren; dies impliziert ein Recht auf eine mündliche Verhandlung, denn die in dieser Konventionsbestimmung verlangte Öffentlichkeit des Verfahrens kann nur im Rahmen einer mündlichen Verhandlung hergestellt werden (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2e S. 47; <ref-ruling> E. 2c S. 51; <ref-ruling> E. 5d).
Im Rechtsmittelverfahren, das hier der Schweizerischen Zivilprozessordnung unterstand (<ref-law>), gilt das Recht auf eine öffentliche Verhandlung allerdings nur sehr beschränkt. Es besteht hier namentlich nicht, wenn die Rechtsmittelinstanz bloss Rechtsfragen zu überprüfen hat und, wie vorliegend, vor der Gerichtsinstanz, die mit der Feststellung des Sachverhalts befasst war, öffentlich verhandelt wurde oder jedenfalls eine mündliche Verhandlung hätte beantragt werden können (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2e/aa; <ref-ruling> E. 5e; Urteil 4P.268/2006 vom 5. Dezember 2006 E. 2). Auch bei einem Berufungsgericht, das einen Fall - wie hier die Vorinstanz (<ref-law>) - hinsichtlich der Tatsachenfeststellungen und der Rechtsausführungen überprüfen kann, räumt Art. 6 Ziff. 1 EMRK nach der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte nicht immer, unabhängig von der Art der zu entscheidenden Fragen, ein Recht auf eine öffentliche Verhandlung ein. So müssten nach der Durchführung der erstinstanzlichen Hauptverhandlung ausser dem Gesichtspunkt der Aufrechterhaltung des Vertrauens in die Gerichte mittels Durchführung von öffentlichen Verhandlungen auch weitere Aspekte berücksichtigt werden, wie das Recht auf ein Verfahren innerhalb angemessener Frist und das damit zusammenhängende Erfordernis einer raschen Erledigung der dem Gericht unterbreiteten Fälle; wenn in erster Instanz eine öffentliche Verhandlung stattgefunden habe, könne daher das Fehlen einer solchen Verhandlung in zweiter oder dritter Instanz durch besondere Merkmale der betreffenden Verfahren gerechtfertigt sein; dabei komme es insbesondere auf die Natur der konkret streitigen, von der Rechtsmittelinstanz zu beurteilenden Fragen an (BGE <ref-ruling> E. 5e S. 36 mit Hinweisen; vgl. dazu auch <ref-ruling> E. 2b S. 318 f.).
Die Parteien können stillschweigend auf ihren Anspruch auf eine mündliche öffentliche Verhandlung verzichten. Sie haben daher in Verfahren, in denen das anwendbare Prozessrecht eine solche nicht zwingend vorschreibt, einen dahingehenden Verfahrensantrag zu stellen; unterlassen sie dies, wird angenommen, sie hätten auf ihren Anspruch aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK verzichtet (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2e/aa S. 48).
4.2. Im Rahmen des vorinstanzlichen Berufungsverfahrens lag es nach der Kann-Vorschrift von <ref-law> im Ermessen des Gerichts, ob es von Amtes wegen eine mündliche und öffentliche Parteiverhandlung durchführen wollte (vgl. dazu Reetz/Hilber, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 17 zu <ref-law>; Sterchi, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 1 und 6 ff. zu <ref-law>). Eine solche war mithin nicht zwingend vorgeschrieben.
Der Beschwerdeführer macht nicht geltend (und es ist auch nicht ersichtlich), dass er im vorinstanzlichen Verfahren ausdrücklich die Durchführung einer mündlichen öffentlichen Verhandlung beantragt hätte. Seiner Ansicht, er habe "grundsätzlich rechtzeitig eine öffentliche Verhandlung beantragt", kann nicht gefolgt werden. So kritisierte er in der Berufungsschrift seinen eigenen Vorbringen nach bloss die erstinstanzliche Protokollierung der Hauptverhandlung. Ferner beantragte er im Zusammenhang mit verschiedenen Ausführungen zur Sache Zeugen- bzw. Parteibefragungen. Diesen Ausführungen und Anträgen mochte zwar stillschweigend die Erwartung zugrunde liegen, dass das Gericht eine mündliche Verhandlung durchführen werde, doch haben solche Begehren praxisgemäss bloss den Charakter von Beweisanträgen; sie lassen für sich allein noch nicht hinreichend klar auf den Wunsch der Partei nach einer konventionskonformen publikumsöffentlichen Gerichtsverhandlung schliessen (<ref-ruling> E. 2.3.2; <ref-ruling> E. 3a S. 55).
Hinzu kommt, dass die Vorinstanz gemäss den Vorbringen des Beschwerdeführers nach Eingang der Berufungsantwort die Kostennoten der Parteivertreter einverlangt habe. Damit wurde für den Beschwerdeführer ohne weiteres ersichtlich, dass die Vorinstanz das Berufungsverfahren abzuschliessen gedachte und keine öffentliche und mündliche Verhandlung vorsah. Es wäre vom Beschwerdeführer spätestens in dieser Situation zu erwarten gewesen, dass er nun einen ausdrücklichen Antrag auf Durchführung einer Verhandlung stellte bzw. auf seinem - von ihm zu Unrecht als hinreichend erachteten - Antrag auf eine Verhandlung beharrt hätte. Es ist fraglich, ob die vorliegende Rüge unter den gegebenen Umständen nicht als verspätet zu betrachten ist. - Es verstösst gegen Treu und Glauben und das Verbot des Rechtsmissbrauchs, wenn eine Partei einen ihr bekannten (angeblichen) formellen Mangel nicht unverzüglich vorbringt, sondern zuwartet, um ihn allenfalls erst im Anschluss an ein für sie ungünstiges Urteil des betreffenden Gerichts geltend zu machen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4.3, je mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2 S. 4).
Jedenfalls durfte die Vorinstanz nach dem Dargelegten ohne Konventionsverletzung vom Verzicht auf die Durchführung einer mündlichen Verhandlung ausgehen.
4.3. Mangels hinreichenden Antrags auf Durchführung einer mündlichen und öffentlichen Verhandlung bestand für die Vorinstanz auch kein Anlass, den Verzicht auf eine solche ausführlich zu begründen. Der Vorwurf, die Vorinstanz habe insoweit ihre aus dem verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör folgenden Pflicht, ihren Entscheid zu begründen, verletzt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.1 S. 503 f.), stösst damit ins Leere.
Unter den gegebenen Umständen begründete die Vorinstanz ihren Entscheid, keine Verhandlung durchzuführen, jedenfalls genügend, wenn sie ausführte, über die Berufung könne ohne Durchführung einer solchen entschieden und für die Parteistandpunkte und die Erwägungen der Erstinstanz grundsätzlich auf die Akten verwiesen werden. Sie brachte damit hinreichend zum Ausdruck, dass sie die beantragte, erneute Partei- und Zeugenbefragung für nicht erforderlich betrachtete, womit dem Beschwerdeführer eine sachgerechte Anfechtung des Entscheids möglich war.
4.4. Es könnte sich fragen, ob der Verzicht der Vorinstanz auf die Durchführung einer mündlichen und öffentlichen Verhandlung zu einer Verletzung des aus dem Gehörsanspruch fliessenden Rechts des Beschwerdeführers auf Abnahme der beantragten Beweismittel (Zeugeneinvernahme, Parteibefragung [<ref-law>]) führte. Eine entsprechende Rüge lässt sich der Beschwerde indessen nicht mit hinreichender Klarheit entnehmen und die Beschwerde enthält auch keine genügende Begründung in diesem Sinn.
Insoweit wäre zu beachten, dass es der Vorinstanz zustand, die beantragten Beweismittel antizipiert zu würdigen und auf deren Abnahme - und damit auch auf die Durchführung einer mündlichen Verhandlung zu diesem Zweck - zu verzichten, wenn sie aufgrund der bereits abgenommenen Beweise ihre Überzeugung gebildet hatte und willkürfrei davon ausgehen durfte, diese würde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157; <ref-ruling> E. 2.1 S. 429; <ref-ruling> E. 5.4 S. 602; <ref-ruling> E. 3c S. 223 f.).
Um eine Verletzung des Anspruchs auf Beweisabnahme im vorinstanzlichen Verfahren zu begründen, müsste der Beschwerdeführer aufzeigen, hinsichtlich welchen entscheiderheblichen und prozesskonform eingebrachten Tatfragen die Vorinstanz in willkürlicher Weise angenommen hätte, ihre aus den Akten (einschliesslich des erstinstanzlichen Verhandlungsprotokolls) gewonnene Überzeugung würde durch eine weitere Partei- und Zeugenbefragung nicht geändert, obwohl in diesen Punkten eine lückenhafte oder mangelhafte Protokollierung seitens der Erstinstanz gerügt worden war.
Entsprechende, substanziierte Ausführungen lassen sich der Beschwerde indessen nicht entnehmen. Seinen Vorbringen nach begnügte sich der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren damit, in pauschaler Weise zu rügen, das erstinstanzliche Verhandlungsprotokoll weise Lücken auf und erscheine insgesamt als zu knapp, vermittle einen falschen Eindruck, und es seien einige wichtige Zeugenaussagen gar nicht im Protokoll aufgenommen worden. Er legt nicht dar, bezüglich welchen und inwiefern entscheiderheblichen Fragen er die erstinstanzliche Protokollierung von Partei- oder Zeugenaussagen vor der Vorinstanz als lückenhaft oder mangelhaft gerügt und die Vorinstanz in willkürlicher Weise angenommen hätte, eine erneute Partei- und Zeugeneinvernahme würde ihre durch die Akten gewonnene Überzeugung nicht ändern. Mit seinem pauschalen Vorwurf, die Vorinstanz habe sich in ihrem Urteil auf ein Protokoll abgestützt, das chaotisch und mangelhaft sei, vermag er keine Verletzung des Anspruchs auf Beweisabnahme aufzuzeigen, zumal er sich in seinen Ausführungen zum - letztlich einzig entscheidenden - Punkt (nachfolgende Erwägung 5), welche Gewährleistungsfrist für die strittigen Arbeiten gilt, selber mehrmals auf das kritisierte Protokoll als Beweismittel beruft.
5.
Der Beschwerdeführer bestreitet, dass die Parteien für die Entwässerung und Abdichtung der Terrasse im Jahr 2005 einen gesonderten Vertrag geschlossen hätten, in dem sie eine verkürzte Gewährleistungsfrist vereinbart hätten. Er macht geltend, es sei insoweit lediglich ein Zusatzauftrag zum ursprünglich im Jahr 2003 vergebenen Auftrag erteilt worden. Die Mängelrüge sei innerhalb der danach geltenden fünfjährigen Gewährleistungsfrist nach der SIA-Norm 118 erfolgt. Die Schlussfolgerung der Vorinstanz, dass die Auftragsbestätigung vom 7. November 2005 dem Beschwerdeführer zugegangen sei und somit Grundlage des Werkvertrages bilde, sei nicht korrekt.
Der Bestand eines Vertrags ist wie dessen Inhalt durch Auslegung zu bestimmen. Ziel der Vertragsauslegung ist es, in erster Linie den übereinstimmenden wirklichen Parteiwillen festzustellen (<ref-law>). Diese subjektive Vertragsauslegung beruht auf Beweiswürdigung, die vor Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> gerügt werden kann (s. <ref-ruling> E. 3.2 S. 412 f.; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 274, 626 E. 3.1, je mit Hinweisen, sowie die vorstehende Erwägung 2). Steht eine tatsächliche Willensübereinstimmung fest, bleibt für eine Auslegung nach dem Vertrauensgrundsatz kein Raum. Diese Regel gilt auch für die Frage, ob ein Vertrag abgeschlossen worden ist (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 1a S. 73).
Die Vorinstanz erachtete es als erwiesen, dass bezüglich der Arbeiten zur Entwässerung und Abdichtung der Terrasse im Jahr 2005 ein neuer, zusätzlicher Vertrag geschlossen wurde, und nicht nur eine Abänderung bzw. ein Zusatzauftrag des bereits definitiv abgerechneten und abgeschlossenen Auftrages aus dem Jahr 2003 vorliege. Desgleichen sah sie es als erstellt an, dass die betreffende Auftragsbestätigung vom 7. November 2005 dem Beschwerdeführer zugegangen sei, welche die verkürzte Gewährleistungsfrist von 18 Monaten enthält. Sie folgte in diesen Punkten der einlässlichen Beweiswürdigung der Erstinstanz bzw. verwarf die vom Beschwerdeführer dagegen erhobenen Einwendungen. Es sei im Übrigen unbestritten, dass der Auftrag mündlich erteilt worden sei und eine Auftragsbestätigung lediglich die Bestätigung des ergangenen Auftrages darstellte. Sie stellte damit einen entsprechenden übereinstimmenden tatsächlichen Parteiwillen fest.
Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was die vorinstanzliche Beweiswürdigung als willkürlich erscheinen lassen könnte. Vielmehr begnügt er sich damit, dieselbe in rein appellatorischer Weise zu kritisieren, indem er sie als nicht korrekt bezeichnet und ihr in frei gehaltenen Ausführungen seine eigene Sicht der Dinge gegenüberstellt bzw. eine einseitige Würdigung der vorgebrachten Argumentation und der Akten rügt, ohne sich aber hinreichend mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinanderzusetzen und im Einzelnen deren offensichtliche Unhaltbarkeit aufzuzeigen. Überdies ergänzt er dabei die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz in verschiedenen Punkten, ohne indessen dazu Sachverhaltsrügen im vorstehend (Erwägung 2) umschriebenen Sinne zu substanziieren, so beispielsweise wenn er geltend macht, es sei unter allen Beteiligten mehrheitlich mündlich verkehrt worden. Der Beschwerdeführer verkennt mit seinen Vorbringen, dass das Bundesgericht keine Appellationsinstanz ist, der die freie Überprüfung des Sachverhalts zustünde. Auf seine Ausführungen kann nicht eingetreten werden.
Von vornherein fehl geht die Rüge, die Vorinstanz habe im Zusammenhang mit der Frage, ob der Beschwerdeführer die Auftragsbestätigung vom 7. November 2005 erhalten habe, die Beweislast unzulässig umgekehrt, indem sie ihm vorwerfe, er erkläre nicht, weshalb der Architekt D._ in seiner Kostenprüfung auf gewisse Zahlen abstelle. Da mit Bezug auf den Zugang der Bestätigung kein offenes Beweisergebnis vorliegt, ist die Beweislastverteilung insoweit gegenstandslos (<ref-ruling> E. 4.3.4 S. 241; <ref-ruling> E. 5.4 S. 602) und die Rüge ihrer unrichtigen Verteilung stösst ins Leere.
Nachdem der Beschwerdeführer den Schluss der Vorinstanz, der Beschwerdeführer müsse die Auftragsbestätigung vom 7. November 2005 erhalten haben, nicht umzustossen vermag, ist es auch unbehelflich, wenn er geltend macht, diese habe nicht dem mündlich vereinbarten Vertragsinhalt entsprochen. Wenn die Vorinstanz aus dem Umstand, dass der Beschwerdeführer der Auftragsbestätigung nicht widersprach, ableitete, die Auftragsbestätigung habe dem mündlich Vereinbarten entsprochen, kann ihr jedenfalls keine Willkür vorgeworfen werden und der Beschwerdeführer macht Entsprechendes auch nicht oder jedenfalls nicht rechtsgenügend geltend.
Es bleibt damit bei der vorinstanzlichen Feststellung, dass für die strittigen Arbeiten ein neuer Vertrag geschlossen wurde, nach dem eine bloss 18-monatige Gewährleistungsfrist gilt. Dass die Gewährleistungsansprüche bei dieser Sachlage im Jahre 2009, als die Mängelrüge erhoben wurde, bereits verwirkt waren, bestreitet der Beschwerdeführer nicht. Die Vorinstanz wies die Klage mithin schon aus diesem Grund zu Recht ab, ohne dass auf ihre Zusatzbegründungen (vorstehende Erwägung 3) und die dagegen erhobenen Rügen eingegangen zu werden braucht.
6.
Die Beschwerde ist nach dem Ausgeführten abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 7'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 8'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juni 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer