Faits:
A.
Par jugement du 10 décembre 2012, le juge pénal du Tribunal de première instance de la République et Canton du Jura a reconnu A._ coupable d'injures et de menaces, commises entre le 29 novembre 2011 et le 31 janvier 2012 à l'encontre de B._ (son ex-épouse) et l'a condamné à une peine pécuniaire de 10 jours-amende, le montant du jour-amende étant fixé à 80 francs. Par le même jugement, il a reconnu B._ coupable de lésions corporelles simples avec un objet dangereux, commises le 5 février 2011 au préjudice de A._ et l'a condamnée à verser à ce dernier une indemnité pour tort moral de 2'000 francs. Tous deux ont été acquittés de plusieurs chefs d'infraction figurant dans l'acte d'accusation.
B.
B._, en sa qualité de partie plaignante, a appelé de ce jugement s'agissant de l'acquittement partiel de A._ et a conclu à l'allocation d'une indemnité pour tort moral. A._ a également appelé de ce jugement en tant qu'il libérait B._ de certains chefs d'infraction et a conclu à ce qu'il lui soit alloué une indemnité pour tort moral de 8'000 francs. Il n'a pas contesté sa culpabilité pour les infractions retenues par le jugement, ni la peine prononcée.
Par jugement du 3 septembre 2013, la Cour pénale du Tribunal cantonal de la République et Canton du Jura a donné très partiellement suite aux conclusions de B._ en reconnaissant A._ coupable d'une injure supplémentaire commise le 5 février 2011. Ce faisant, elle a déclaré l'exempter de toute peine pour cette infraction, et l'a condamné à une peine pécuniaire de 20 jours-amende à 80 francs chacun et au paiement d'une indemnité de 500 francs en faveur de B._ à titre d'indemnité pour tort moral. Elle a débouté A._ de toutes ses conclusions en augmentation de l'indemnité de 2'000 francs pour tort moral qui lui avait été allouée.
C.
A._ forme un recours en matière pénale auprès du Tribunal fédéral contre le jugement cantonal dont il demande l'annulation partielle en ce sens qu'il soit condamné à une peine pécuniaire de 10 jours-amende et que B._ soit condamnée à lui verser une indemnité pour tort moral de 6'000 francs. Pour le surplus, il conclut au renvoi du dossier de la cause à l'autorité cantonale pour une nouvelle décision s'agissant des frais et dépens de la procédure cantonale. Il sollicite par ailleurs l'assistance judiciaire.
Invitée à se déterminer, la cour pénale a conclu à l'admission du recours sur la quotité de la peine et à la condamnation du recourant à la peine prononcée par le juge de première instance. Elle expose qu'un renvoi ne se justifie pas dès lors que le sort des frais et dépens en instance d'appel n'aurait pas été différent quelle qu'eût été la peine prononcée. Le Ministère public n'a pas formulé d'observation.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 46).
1.2. Le recourant tout à la fois prévenu et partie plaignante, conteste l'aggravation de sa peine ainsi que le montant qui lui a été alloué à titre d'indemnité pour tort moral. Partant, il a la qualité pour recourir sur ces deux points (art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 et 5 LTF), le recours en matière pénale est par conséquent recevable.
2.
Le recourant se plaint d'une violation de l'<ref-law>, respectivement du principe de l'interdiction de la reformatio in peius. Il fait valoir que la cour d'appel n'était pas en droit d'aggraver sa peine en la faisant porter de 10 à 20 jours-amende.
2.1. Selon la jurisprudence, une interprétation cohérente du CPP impose de considérer qu'en cas d'admission de l'appel de la partie plaignante sur la culpabilité, la cour d'appel doit fixer une nouvelle peine correspondant à la culpabilité finalement admise, cas échéant en prononçant une sanction plus sévère que celle arrêtée en première instance. Que le ministère public n'ait pas de son côté formé d'appel ou d'appel joint, voire même qu'il ait conclu, comme partie à la procédure d'appel (cf. art. 104 al. 1 let. c CPP), au rejet de l'appel de la partie plaignante est sans portée, dès lors que celle-ci est habilitée à former appel sur la seule question de la culpabilité (<ref-law>). La fixation d'une nouvelle peine vaut tant pour le cas où la partie plaignante conteste avec succès un acquittement que pour celui où elle obtient une autre qualification juridique, qui était incluse dans l'acte d'accusation, mais qui n'avait pas été retenue par le jugement de première instance (<ref-ruling> consid 1.2 p. 88). A contrario, lorsque la partie plaignante est déboutée de ses conclusions sur la culpabilité, la cour d'appel ne peut pas revoir la peine infligée par le premier juge, à défaut d'appel principal ou joint du Ministère public.
2.2. Dans le cas d'espèce, la partie plaignante a contesté sans succès l'acquittement du recourant de certains chefs d'accusation, sous réserve d'une infraction d'injure proférée le 5 février 2011. Les magistrats cantonaux ont cependant exempté de toute peine le recourant pour cette infraction. L'adjonction d'un chef de culpabilité supplémentaire assorti d'une exemption de peine impliquait, dans cette configuration particulière, de considérer que l'appel de la partie plaignante était rejeté sur la culpabilité. La cour cantonale, comme elle l'admet du reste dans sa détermination, ne pouvait donc pas revoir la peine arrêtée en première instance au détriment du recourant. Partant, le grief est bien fondé et le recours doit être admis sur ce point.
3.
3.1. Dans un second grief, le recourant conteste le montant de l'indemnité pour tort moral qui lui a été alloué, il l'estime insuffisant. Il soutient que les faits ont été appréciés de manière arbitraire.
3.2. En vertu de l'<ref-law>, le juge peut, en tenant compte de circonstances particulières, allouer à la victime de lésions corporelles une indemnité équitable à titre de réparation morale. Ces circonstances particulières consistent dans l'importance de l'atteinte à la personnalité du lésé, l'<ref-law> étant un cas d'application de l'<ref-law>. Les lésions corporelles, qui englobent tant les atteintes physiques que psychiques, doivent donc en principe impliquer une importante douleur physique ou morale ou avoir causé une atteinte durable à la santé. Parmi les circonstances qui peuvent, selon les cas, justifier l'application de l'<ref-law>, figurent une longue période de souffrance et d'incapacité de travail, de même que les préjudices psychiques importants (arrêt 4A_373/2007 du 8 janvier 2008 consid. 3.2, non publié in <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 119; arrêt 6B_213/2012 du 22 novembre 2012 consid. 3.1). En raison de sa nature, l'indemnité pour tort moral, destinée à réparer un dommage qui ne peut que difficilement être réduit à une simple somme d'argent, échappe à toute fixation selon des critères mathématiques, de sorte que son évaluation en chiffres ne saurait excéder certaines limites. L'indemnité allouée doit toutefois être équitable (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 704 s. et les arrêts cités). Statuant selon les règles du droit et de l'équité (<ref-law>), le juge dispose d'un large pouvoir d'appréciation. Le Tribunal fédéral ne substitue qu'avec retenue sa propre appréciation à celle de la juridiction cantonale. Il n'intervient que si la décision s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence, repose sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou encore ne tient pas compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération. En outre, il redresse un résultat manifestement injuste ou une iniquité choquante (ATF <ref-ruling> consid. 2.2.3 p. 120 et consid. 2.2.5 p. 121; <ref-ruling> consid. 2a p. 417 s.).
3.3. En substance, la cour cantonale a retenu que le recourant avait subi une atteinte à son intégrité physique, à savoir une blessure à l'abdomen. Sa vie n'avait pas été mise en danger mais il avait dû subir une hospitalisation de quelques jours et une interruption de travail de trois semaines. Selon son médecin traitant, il souffrait d'un stress post-traumatique. Ce diagnostic ne devait toutefois pas être mis uniquement en lien direct avec l'altercation du 5 février 2011, mais également avec les sentiments de haine et d'injustice éprouvés par le recourant dans les rapports qu'il entretenait avec son ex-épouse et sa fille. Il y avait lieu de préciser qu'il n'était plus en traitement depuis longtemps. En outre, l'acte dont il avait été victime constituait une réponse au climat de crainte dans lequel il avait voulu maintenir l'intimée.
3.3.1. Ces constatations de fait lient la Cour de céans (<ref-law>), à moins qu'elles n'aient été établies de façon manifestement inexacte (<ref-law>), ce que le recourant ne démontre pas conformément aux exigences de motivation accrue relatives au grief d'arbitraire (<ref-law>). Ainsi, contrairement à ce qu'il allègue, la cour pénale n'a pas ignoré l'importance de sa blessure dont elle a décrit l'ampleur dans ses constatations en fait; elle a également tenu compte de son incapacité totale de travail durant trois semaines et six semaines pour tout travail physique avec port de poids. La circonstance que le recourant fait des cauchemars pour établir qu'il souffre toujours d'un stress post-traumatique, outre qu'il s'agit d'une allégation nouvelle, partant irrecevable (<ref-law>), ne contredit pas la constatation cantonale selon laquelle il n'est plus en traitement depuis longtemps. A cet égard, le certificat médical du 2 septembre 2013 constitue une pièce nouvelle irrecevable (<ref-law>). Lorsqu'il affirme que rien ne prouve que son traumatisme aurait aussi pour origine les tensions préexistantes avec l'intimée et sa fille et qu'il soutient qu'il n'avait plus aucune animosité envers l'intimée, sa critique purement appellatoire est irrecevable. Le recourant ne démontre pas en quoi la cour pénale aurait arbitrairement considéré qu'il nourrissait des sentiments de haine et d'injustice. Enfin, la cour pénale n'a pas ignoré, contrairement à ce qu'il prétend, le modus operandi de l'ex-épouse et sa détermination à le frapper non pour se défendre, mais par vengeance ou pour le décourager de l'importuner à l'avenir. Au demeurant, ces éléments sont pertinents pour apprécier la culpabilité de l'intimée et non pour établir la gravité du tort moral.
Le recourant prétend encore qu'il n'existe aucune proportion entre les sommes allouées en tort moral à lui-même et à l'intimée par les magistrats cantonaux. Il tente ainsi d'invoquer une inégalité de traitement. Cependant, se contentant d'une affirmation à cet égard, il ne formule aucun grief recevable au regard de l'art. 42 al. 2, respectivement 106 al. 2 LTF.
3.3.2. Compte tenu de l'ensemble des circonstances, l'indemnité allouée de 2'000 francs ne paraît pas inéquitable. La cour cantonale n'a pas outrepassé le large pouvoir d'appréciation dont elle disposait à un point qu'il faille redresser un résultat manifestement injuste ou une iniquité choquante. Le grief soulevé doit donc être rejeté.
4.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être partiellement admis sur la peine. Le jugement sera réformé en ce sens que le recourant est condamné à la peine fixée par le jugement de première instance du 10 décembre 2012. Pour le surplus, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant requiert l'assistance judiciaire. Cette requête est sans objet dans la mesure où il obtient gain de cause et peut, à ce titre, prétendre à des dépens réduits de la part du canton (art. 64 al. 2 et 68 al. 1 LTF). Le recours était, pour le surplus, dénué de chance de succès, si bien que l'assistance judiciaire doit être refusée dans cette mesure (<ref-law>). Une partie des frais sera ainsi supportée par le recourant (<ref-law>), dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis. Le jugement attaqué est réformé en ce sens que A._ est condamné à une peine pécuniaire de 10 jours-amende, le montant du jour-amende étant fixé à 80 francs. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 400 francs, sont mis à la charge du recourant.
4.
Le canton du Jura versera à l'avocat du recourant une indemnité de 1'500 francs à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour pénale du Tribunal cantonal du canton du Jura.
Lausanne, le 1er avril 2014
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Mathys
La Greffière: Boëton