Sachverhalt:
A. X._ wird vorgeworfen, am 4. November 2007 beim Hirschenplatz in Zürich an einer tätlichen Auseinandersetzung zwischen zwei Gruppen von Männern beteiligt gewesen zu sein und dabei dem am Raufhandel ebenfalls beteiligten A._ mit einem Schraubenzieher eine Stichverletzung am Oberkörper zugefügt und diesen erheblich verletzt zu haben. Gegen X._ wird unter anderem wegen versuchter vorsätzlicher Tötung ermittelt (vgl. den Haftantrag vom 25. Juni 2008).
Am 23. Juni 2008 beantragte X._ die Entlassung aus der Untersuchungshaft. Mit Verfügung vom 27. Juni 2008 wies der Haftrichter des Bezirksgerichts Zürich das Haftentlassungsgesuch ab und verlängerte die Untersuchungshaft bis zum 30. September 2008 wegen Kollusionsgefahr.
B. X._ hat beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen und Verfassungsbeschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte erhoben. Er beantragt, die Haftverfügung sei aufzuheben, und er sei aus der Untersuchungshaft zu entlassen. Ferner ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
C. Der Haftrichter und der zuständige Staatsanwalt der Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich, Gewaltdelikte, verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in Strafsachen ist in <ref-law> geregelt. Angefochten ist vorliegend ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist in seinen rechtlich geschützten Interessen betroffen (Art. 81 Abs. 1 lit. a und b BGG), und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Die Eintretensvoraussetzungen der Beschwerde in Strafsachen sind damit erfüllt. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist demzufolge nicht einzutreten (vgl. <ref-law>).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer bestreitet die Voraussetzungen zur Fortsetzung der Untersuchungshaft. Er rügt eine Verletzung der persönlichen Freiheit und des Willkürverbots.
2.2 Gemäss § 58 Abs. 1 und 2 der Strafprozessordnung des Kantons Zürich vom 4. Mai 1919 (StPO/ZH) ist die Anordnung und Fortdauer der Untersuchungshaft zulässig, wenn der Angeschuldigte eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtigt wird und aufgrund bestimmter Anhaltspunkte Flucht-, Kollusions-, Wiederholungs- oder Ausführungsgefahr ernsthaft zu befürchten ist. Die Untersuchungshaft ist durch mildere Massnahmen zu ersetzen, sofern sich der Haftzweck auch auf diese Weise erreichen lässt (§ 58 Abs. 4 i.V.m. § 72 f. StPO/ZH). Unter gleichen Voraussetzungen ist die Anordnung und Aufrechterhaltung der Sicherheitshaft zulässig (<ref-law>/ZH). Sind diese Vorschriften eingehalten, so steht der Untersuchungshaft auch unter dem Blickwinkel der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2 <ref-law>, Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK) nichts entgegen.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer ist geständig, dem Geschädigten mit einem Schraubenzieher eine Stichverletzung am Oberkörper zugefügt zu haben. Er macht indessen geltend, es habe sich nicht um eine schwere, sondern nur um eine leichte Körperverletzung gehandelt. Aus den ärztlichen Gutachten ergebe sich, dass für den Geschädigten keine ernsthafte oder unmittelbare Lebensgefahr bestanden habe. Der Haftrichter gehe aktenwidrig und willkürlich vom Vorliegen einer Lebensgefahr aus. Des Weitern bestreitet der Beschwerdeführer den subjektiven Tatbestand der versuchten vorsätzlichen Tötung. Anders als im Bundesgerichtsurteil 1P.382/2006 vom 6. Juli 2006 entschieden worden sei, müsse vorliegend geprüft werden, ob Anhaltspunkte dafür bestehen, dass der subjektive Tatbestand erfüllt sein könnte.
3.2 Im Gegensatz zum erkennenden Sachrichter hat das Bundesgericht bei der Überprüfung des dringenden Tatverdachts keine erschöpfende Abwägung sämtlicher belastender und entlastender Beweisergebnisse vorzunehmen. Auch der subjektive Tatbestand, vorliegend der (Eventual-)Vorsatz der Tötung oder schweren Körperverletzung, braucht nicht "nachgewiesen" zu werden (Urteile des Bundesgerichts 1P.617/2001 vom 15. Oktober 2001, E. 2d; 1P.733/1999 vom 13. Januar 2000, E. 2a/aa). Macht ein Angeschuldigter geltend, gegen ihn würden ohne ausreichenden Tatverdacht strafprozessuale Massnahmen ergriffen, ist zu prüfen, ob genügend konkrete Anhaltspunkte dafür bestehen, dass der Beschwerdeführer eine Straftat begangen hat, die kantonalen Behörden somit das Bestehen eines dringenden Tatverdachts mit vertretbaren Gründen bejahen durften (<ref-ruling> E. 3c S. 146). Auch das vom Beschwerdeführer zitierte Urteil 1P.382/2006 vom 6. Juli 2006 geht von dieser Prämisse aus.
3.3 Mit seinem Vorbringen, er habe dem Geschädigten lediglich eine leichte Körperverletzung zugefügt, verkennt der Beschwerdeführer, dass Untersuchungshaft - unter Vorbehalt des Verbots der Überhaft - bereits angeordnet werden darf, wenn der Angeschuldigte eines Vergehens (einfache Körperverletzung; vgl. das Bundesgerichtsurteil 1P.366/2005 vom 7. Juli 2005, E. 2) dringend verdächtigt wird. Zudem bezieht sich der dringende Tatverdacht in seinem Fall unter anderem auf versuchte vorsätzliche Tötung, somit auf ein versuchtes Verbrechen. Für die Frage, ob der Haftgrund des dringenden Tatverdachts bezüglich des letztgenannten Delikts gegeben ist, spielt es keine Rolle, ob die dem Geschädigten zugefügte Stichverletzung - für sich genommen - als einfache oder schwere Körperverletzung zu qualifizieren ist. Im Übrigen ist es nicht Sache des Haftrichters, die vom Beschwerdeführer erwähnten ärztlichen Gutachten abschliessend zu würdigen.
Ebenso wenig lässt die blosse Bestreitung der (eventual-)vorsätzlichen Tatbegehung durch den Beschwerdeführer die Annahme des dringenden Tatverdachts dahinfallen. Unter den gegebenen Umständen ist die Frage des subjektiven Tatbestandes nicht im vorliegenden Haftprüfungsverfahren abschliessend zu beurteilen, sondern (nach einer entsprechenden Anklageerhebung) vom erkennenden Strafgericht.
Der dringende Tatverdacht ist somit zu bejahen. Eine Verletzung der persönlichen Freiheit oder des Willkürverbots ist insoweit nicht auszumachen.
4. 4.1 Sodann bestreitet der Beschwerdeführer den besonderen Haftgrund der Kollusionsgefahr.
4.2 Nach der Rechtsprechung genügt die theoretische Möglichkeit, dass der Angeschuldigte in der Freiheit kolludieren könnte, nicht, um die Fortsetzung der strafprozessualen Haft zu rechtfertigen. Es müssen vielmehr konkrete Indizien für die Annahme von Verdunkelungsgefahr sprechen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 23). Dazu gehören namentlich das bisherige Verhalten des Angeschuldigten im Strafprozess, seine persönlichen Merkmale, seine Stellung und seine Tatbeiträge im Rahmen des untersuchten Sachverhalts sowie seine Beziehungen zu den ihn belastenden Personen (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 23).
4.3 Der Beschwerdeführer ist geständig, dem Geschädigten mit einem Schraubenzieher eine Stichverletzung zugefügt zu haben. Er macht aber geltend, er habe einem Kollegen, welcher von vier Personen angegriffen worden sei, helfen wollen. Die Version eines rechtfertigenden Notstandes im Sinne von <ref-law> wurde bislang von keinem Zeugen und keiner Auskunftsperson bestätigt.
Da dem Beschwerdeführer ein Kapitalverbrechen zur Last gelegt wird, muss damit gerechnet werden, dass die Strafsache vom Geschworenengericht beurteilt wird (§ 198a Abs. 1 Ziff. 3 lit. c StPO/ZH i.V.m. § 56 GVG/ZH). In diesem Verfahren gilt das Unmittelbarkeitsprinzip, so dass die beantragten Zeugen nochmals aussagen müssen (vgl. <ref-law>/ZH).
Es ist deshalb nicht von der Hand zu weisen, dass der Beschwerdeführer bei einer allfälligen Freilassung versuchen könnte, Mitbeteiligte, Zeugen, Auskunftspersonen und weitere Personen aus seinem Umfeld unter Druck zu setzen. Diese Gefahr ist nicht bloss eine theoretische, da der Beschwerdeführer, wie der Haftrichter festhielt, gemäss Strafregisterauszug vom 12. Dezember 2007 bereits mehrfach Gewaltdelikte (einfache Körperverletzung, Angriff) beging. Auch war der Beschwerdeführer zu Beginn des Ermittlungsverfahrens nicht geständig, sondern wollte mit der Sache angeblich nichts zu tun gehabt haben. Dieses Aussageverhalten gereicht dem Beschwerdeführer im Haftprüfungsverfahren wegen Kollusionsgefahr zum Nachteil. Hinzu kommt, dass das Strafverfahren einen Raufhandel zwischen zwei Männergruppen betrifft. Es ist nicht auszuschliessen, dass der Beschwerdeführer versucht sein könnte, seine Beziehungen zu einzelnen Beteiligten auszunützen und sich mit diesen abzusprechen.
Die Haftvoraussetzung der Kollusionsgefahr ist damit zu bejahen. Eine Grundrechtsverletzung ist auch insoweit nicht gegeben.
5. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde in Strafsachen als unbegründet und ist demzufolge abzuweisen. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer hat um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren ersucht. Diesem Antrag kann entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Strafsachen wird abgewiesen.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird bewilligt:
3.1 Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.2 Rechtsanwalt Jean-Christophe Schai wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit einem Honorar von Fr. 1'500.-- entschädigt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich, Gewaltdelikte, und dem Bezirksgericht Zürich, Haftrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. August 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder