Sachverhalt:
A. X._ stellte am 31. Dezember 2007 bei der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde (RAB) das Gesuch um Zulassung seiner Gesellschaft Y._ AG (ab 13. Januar 2009 umfirmiert in Z._ AG) als Revisionsexpertin und um entsprechenden Eintrag in das Revisorenregister. Am 23. Januar 2008 bat die Revisionsaufsichtsbehörde die Y._ AG, ihre Mitarbeitenden aufzufordern, sich beim Register der RAB anzumelden bzw. sich mit der Unternehmung zu verbinden. Am 28. Januar 2008 stellte X._ das Gesuch um persönliche Zulassung als Revisionsexperte. Am 9. September 2009 teilte die Eidgenössische Revisionsaufsichtsbehörde der Z._ AG u.a. mit, sie habe festgestellt, dass letztere als Revisionsstelle bei verschiedenen Gesellschaften im Handelsregister eingetragen sei und zwar ein Gesuch um Zulassung gestellt habe, jedoch aktuell über keine Zulassung der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde verfüge. X._ und die Z._ AG liessen darauf am 2. November 2009 u.a. antworten, es seien die Gesuche der Gesellschaft und von X._ hängig und gestützt auf die Übergangsbestimmungen von Art. 43 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren (Revisionsaufsichtsgesetz, RAG; SR 221.302) seien sie davon ausgegangen, dass sie bis zum definitiven Entscheid über die Zulassung als Revisor/in bzw. Revisionsexperte/in Revisionsdienstleistungen erbringen dürften.
B. Mit Verfügung vom 19. November 2009 wies die Eidgenössische Revisionsaufsichtsbehörde das Gesuch von X._ um Zulassung als Revisionsexperte ab, soweit sie darauf eintrat. Das in diesem Gesuch enthaltene Gesuch um Zulassung als Revisor wies sie ebenfalls ab. Die Revisionsaufsichtsbehörde erwog im Wesentlichen, X._ habe nach dem 1. Januar 2008 Revisionsdienstleistungen erbracht, ohne über eine entsprechende Zulassung zu verfügen. Sie verwarf dessen Auffassung, wonach er gutgläubig habe davon ausgehen können, mit Einreichung des Zulassungsgesuches seiner Gesellschaft über eine persönliche Zulassung zu verfügen. Es ergebe sich daraus, dass der Gesuchsteller nicht für eine einwandfreie Erbringung von Revisionsdienstleistungen bürge. Ferner hielt sie fest, X._ verfüge auch nicht über die notwendige (beaufsichtigte) Fachpraxis, um als Revisionsexperte zugelassen werden zu können.
Mit Urteil vom 6. Mai 2010 wies das Bundesverwaltungsgericht eine gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde ab.
C. Mit Eingabe vom 7. Juni 2010 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das genannte Urteil sowie die diesem zugrunde liegende Verfügung aufzuheben, ihn als Revisionsexperte gemäss <ref-law> zuzulassen und ins Register aufzunehmen sowie ihn als Revisor gemäss Art. 5 der Verordnung vom 22. August 2007 über die Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren (Revisionsaufsichtsverordnung, RAV; SR 221.302.3) zuzulassen und ins Register aufzunehmen.
Die Eidgenössische Revisionsaufsichtsbehörde beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil, ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG), stützt sich auf das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren (Revisionsaufsichtsgesetz, RAG; SR 221.302) und die zugehörige Verordnung vom 22. August 2007 (Revisionsaufsichtsverordnung, RAV; SR 221.302.3). Die genannten Erlasse regeln die Zulassung und die Beaufsichtigung von Personen, die Revisionsdienstleistungen erbringen, mithin also eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts im Sinne von <ref-law>. Allerdings ist gemäss Art. 83 lit. t BGG die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche die Beurteilung geistiger oder körperlicher Fähigkeiten zum Gegenstand haben. Die Bundesbehörden stützen ihren Entscheid über die Verweigerung der Zulassung als Revisionsexperte und als Revisor darauf, dass sie dem Beschwerdeführer - im Rahmen ihrer Aufsicht - den unbescholtenen Leumund und damit seine Vertrauenswürdigkeit absprechen (vgl. <ref-law>, Urteil 2C_58/2008 vom 14. April 2008, E. 2.1). Dem angefochtenen Entscheid liegt somit nicht eine Bewertung seiner geistigen oder körperlichen Fähigkeiten zugrunde, so dass der erwähnte Ausschlussgrund keine Anwendung findet (vgl. Urteile 2C_834/2010 vom 11. März 2011, E.1, 2C_655/2009 vom 23. März 2010, E. 1, und 2C_191/2008 vom 24. Juni 2008, E. 1). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist demnach zulässig. Von vornherein nicht eingetreten werden kann aber auf das Rechtsmittel, soweit damit die Aufhebung der Verfügung der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde verlangt wird (Devolutiveffekt, vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
2. Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Appellatorische Kritik und die blosse Gegenüberstellung der eigenen Sichtweise genügen grundsätzlich nicht (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Im Bereich der Beweiswürdigung steht dem Sachgericht ein erheblicher Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 4b S. 40). Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn das Sachgericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4b S. 40; <ref-ruling> E. 1b S. 30).
3. 3.1 Natürliche Personen und Unternehmen, die Revisionsdienstleistungen (als Revisionsexperte oder Revisor) erbringen, bedürfen einer Zulassung durch die Eidgenössische Revisionsaufsichtsbehörde (Art. 3 Abs. 1 und Art. 28 RAG). Eine natürliche Person wird (unbefristet) als Revisionsexpertin zugelassen, wenn sie die Anforderungen an die Ausbildung und Fachpraxis erfüllt und über einen unbescholtenen Leumund verfügt (<ref-law>). Als Revisorin wird eine natürliche Person zugelassen, wenn sie über einen unbescholtenen Leumund verfügt, eine Ausbildung nach <ref-law> abgeschlossen hat und eine Fachpraxis von einem Jahr nachweist (<ref-law>).
Ein Unternehmen wird (für die Dauer von fünf Jahren) als Revisionsexperte oder als Revisor zugelassen, wenn u.a. die Mehrheit seines obersten Leitungs- oder Verwaltungsorgans sowie seines Geschäftsführungsorgans über die entsprechende Zulassung verfügt, wenn mindestens ein Fünftel der Personen, die an der Erbringung von Revisionsdienstleistungen beteiligt sind, über die entsprechende Zulassung verfügt, sowie wenn sichergestellt ist, dass alle Personen, die Revisionsdienstleistungen leiten, über die entsprechende Zulassung verfügen (Art. 6 Abs. 1 lit. a - c RAG).
Über die Zulassung u.a. von Revisorinnen und Revisoren sowie Revisionsexpertinnen und Revisionsexperten entscheidet die Aufsichtsbehörde auf Gesuch hin (Art. 15 Abs. 1 lit. a und b RAG). Gemäss den Übergangsbestimmungen dürfen natürliche Personen und Revisionsunternehmen, die bis vier Monate nach Inkrafttreten des Gesetzes bei der Aufsichtsbehörde ein Gesuch um Zulassung als Revisorin, Revisor, Revisionsexpertin, Revisionsexperte oder staatlich beaufsichtigtes Revisionsunternehmen einreichen, bis zum Entscheid über die Zulassung Revisionsdienstleistungen im Sinne von <ref-law> erbringen. Die Aufsichtsbehörde bestätigt der Gesuchstellerin oder dem Gesuchsteller schriftlich die fristgerechte Einreichung des Gesuchs (<ref-law>). Das Revisionsaufsichtsgesetz trat per 1. September 2007 in Kraft.
3.2 Vorliegend ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer innert der Frist von <ref-law> lediglich ein Gesuch um Zulassung als Revisionsexpertin für die Y._ AG bzw. für die Z._ AG einreichte, nicht jedoch für sich persönlich, und dass er jenes Gesuch (also für sich persönlich) erst am 28. Januar 2008 elektronisch bzw. am 4. Juni 2008 schriftlich, je auf Aufforderung durch die Aufsichtsbehörde hin, einreichte.
Die Vorinstanz hat festgestellt, durch die rechtzeitige Einreichung des Gesuchs für die Gesellschaft gelte das Gesuch um persönliche Zulassung nicht ebenfalls als rechtzeitig eingereicht, denn beim persönlichen Zulassungsgesuch handle es sich nicht um eine Ergänzung oder Präzisierung des Gesuchs des Revisionsunternehmens, sondern um ein selbständiges Gesuch, das ein vom Zulassungsverfahren des Revisionsunternehmens getrenntes Zulassungsverfahren eröffne.
Diesen Ausführungen der Vorinstanz ist beizupflichten: Aufgrund der Regelung in Art. 4 und 5 RAG für natürliche Personen einerseits und in Art. 6 für Revisionsunternehmen andererseits ergibt sich ohne Weiteres, dass es sich bei den jeweiligen Zulassungsgesuchen bzw. den daraus folgenden Zulassungsverfahren um voneinander unabhängige Verfahren handelt, auch wenn die Zulassung von im gesuchstellenden Unternehmen tätigen natürlichen Personen Voraussetzung für die Zulassung des Unternehmens darstellt. In diesem Sinne hält Art. 47 Abs. 3 RAV - welcher Ausführungsbestimmungen zur provisorischen Zulassung enthält - explizit fest, dass natürliche Personen, die bei einem Revisionsunternehmen angestellt oder an einem solchen beteiligt sind, und das jeweilige Revisionsunternehmen die Einreichung ihrer Gesuche koordinieren müssen. An den zutreffenden Feststellungen der Vorinstanz vermag das Vorbringen des Beschwerdeführers nichts zu ändern, wonach er nie die Absicht gehabt habe, ohne Zulassung Revisionsdienstleistungen zu erbringen, sondern davon ausgegangen sei, er dürfe durch das rechtzeitige Stellen des Gesuches für die Gesellschaft gestützt auf die Übergangsbestimmungen bis zum Entscheid über die Zulassung weitere Revisionsdienstleistungen erbringen. Die Vorinstanz hat diesbezüglich einerseits zu Recht festgestellt, <ref-law> schaffe keine Vertrauensgrundlage dafür, dass der Beschwerdeführer davon hätte ausgehen können, persönlich über eine provisorische Zulassung zu verfügen. Andererseits hat sie festgehalten, die von der Revisionsaufsichtsbehörde zur Verfügung gestellten Gesuchsformulare würden divergieren, je nachdem, ob es sich beim Gesuchsteller um eine natürliche Person, ein Einzelunternehmen (in dem nur der Inhaber Revisionsdienstleistungen erbringe), ein Revisionsunternehmen oder ein staatlich beaufsichtigtes Revisionsunternehmen handle. Wenn das Bundesverwaltungsgericht aufgrund dieser Sachverhaltsumstände den Schluss zog, der Hinweis des Beschwerdeführers auf die irrtümliche Ausfertigung des Gesuchs auf die Gesellschaft statt auf den Beschwerdeführer persönlich sei unbehelflich, so ist dem beizupflichten. Massgeblich ist, dass der Beschwerdeführer persönlich effektiv nicht fristgerecht ein Gesuch um Zulassung eingereicht hat.
Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz zum Ergebnis kam, das Zulassungsgesuch des Beschwerdeführers sei hinsichtlich der Anwendbarkeit der Übergangsbestimmung als verspätet zu qualifizieren.
4. Der Beschwerdeführer erfüllt unbestrittenermassen die Anforderungen an die Ausbildungen; bezüglich der Zulassung zum Revisor erfüllt er zudem unbestrittenermassen auch die Anforderungen an die Fachpraxis; streitig ist, ob er die Anforderungen an den unbescholtenen Leumund sowie - lediglich betreffend die Zulassung als Revisionsexperte - an die Fachpraxis erfüllt, wobei die Vorinstanz die Prüfung der letzteren Frage offen gelassen hat.
4.1 Der Begriff des unbescholtenen Leumunds wird in den <ref-law> bzw. 5 Abs. 1 lit. a RAG nicht näher umschrieben. Die Revisionsaufsichtsverordnung legt dazu fest, dass der Gesuchsteller zugelassen wird, wenn er über einen unbescholtenen Leumund verfügt und es sich aus keinen anderen persönlichen Umständen ergibt, dass er keine Gewähr für eine einwandfreie Prüftätigkeit bietet; zu berücksichtigen sind insbesondere im Zentralstrafregister noch nicht entfernte strafrechtliche Verurteilungen und bestehende Verlustscheine (Art. 4 RAV).
4.2 Die Vorinstanz geht unter Bezugnahme auf die eigene und die bundesgerichtliche Rechtsprechung sowie vergleichbare Regelungen in der Banken-, Börsen- und Geldwäschereigesetzgebung davon aus, dass bei der Gewährs- und Leumundsprüfung verschiedene Elemente wie Integrität, Gewissenhaftigkeit und einwandfreie Sorgfalt als berufsspezifische Leumundsmerkmale oder allgemeine Eigenschaften wie Ansehen, Achtung und Vertrauenswürdigkeit zu berücksichtigen seien. Unter Umständen könnten auch Aktivitäten, die über die Tätigkeit als Revisor und Revisionsexperte hinausgingen, die Beurteilung einer einwandfreien Prüftätigkeit beeinflussen. Nach dem Zweckartikel des Revisionsgesetzes diene dieses der ordnungsgemässen Erfüllung und der Sicherstellung der Qualität von Revisionsdienstleistungen. Die Umschreibung des Zwecks sei für die Auslegung des Revisionsaufsichtsgesetzes heranzuziehen.
Dieser Auslegung ist beizupflichten (vgl. dazu auch Urteil 2C_834/2010 vom 11. März 2011, E. 3.2).
4.3 Bei der Frage, ob die genannten Verfehlungen des Beschwerdeführers seinen beruflichen Leumund und guten Ruf beeinträchtigen und er keine Gewähr für die vertrauenswürdige Ausübung seiner Revisionstätigkeit sowie die getreue Einhaltung der entsprechenden Pflichten zu bieten vermag, verfügt die Aufsichtsbehörde über einen grossen Beurteilungsspielraum; sie hat indessen stets den Grundsatz der Verhältnismässigkeit zu beachten, d.h. für die Verneinung eines guten Leumundes muss stets eine gewisse Schwere der Verfehlungen vorliegen und diese muss mit der Verweigerung der Zulassung in einem vernünftigen Verhältnis stehen (vgl. letztgenanntes Urteil, E. 6.2, und Urteil 2C_183/2010 vom 21. Juli 2010, E. 2.3). Bei dieser Verhältnismässigkeitsprüfung ist insbesondere zu beachten, dass die Revisionspflicht den Schutz von Investoren, von Personen mit Minderheitsbeteiligungen, von Gläubigern bezweckt und der Unternehmensüberwachung dient (zur Sicherung von Arbeitsplätzen und einer nachhaltigen wirtschaftlichen Entwicklung; vgl. dazu die Botschaft vom 23. Juni 2004 zur Änderung des Obligationenrechts [Revisionspflicht im Gesellschaftsrecht] sowie zum Bundesgesetz über Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren, BBl 2004 3969 ff., 3989). Der Revisionsstelle kommt dabei eine zentrale Rolle zu. Sie soll die Zuverlässigkeit der Jahres- und Konzernrechnung sicherstellen und damit alle geschützten Personengruppen in die Lage versetzen, die wirtschaftliche Lage eines Unternehmens verlässlich zu beurteilen. Dieses Ziel der gesetzlichen Regelung von Revisionsdienstleistungen kann nur erreicht werden, wenn diese durch fachlich hinreichend qualifizierte Personen erbracht werden (vgl. BBl 2004 3975 ff.), deren Qualifikation im Rahmen der Zulassung anhand der strengen Zulassungsvoraussetzungen zu prüfen ist. Die Sicherung der Qualität der Revisionsdienstleistungen ist daher von erheblichem öffentlichen Interesse (vgl. Urteil 2C_438/2008 vom 16. Oktober 2008, E. 3; BBl 2004 3970 ff.). Im Zusammenhang mit dem Entzug der Zulassung hat das Bundesgericht immerhin festgestellt, diese solle die ultima ratio bilden für den Fall, dass zum Schutz der in Frage stehenden öffentlichen Interessen und zur Abwendung von weiteren Störungen einzig die Möglichkeit bleibe, den Betroffenen von der weiteren Berufsausübung auszuschliessen (vgl. Urteil 2C_834/2010 E. 6.2.3).
4.4 Das Bundesverwaltungsgericht hat erwogen, ein Verstoss gegen <ref-law> sei in Bezug auf die Leumundsbeurteilung offenkundig relevant. Eine einwandfreie Prüftätigkeit erfordere fachliche Kompetenz und ein korrektes Verhalten im Geschäftsverkehr, worunter in erster Linie die Einhaltung der Rechtsordnung, namentlich des Revisionsrechts, aber auch des Zivil- und Strafrechts, sowie die Beachtung des Grundsatzes von Treu und Glauben zu verstehen sei. Verstösse gegen einschlägige Rechtsnormen bzw. gegen die Treue- und Sorgfaltspflichten seien mit dem Gebot der einwandfreien Prüftätigkeit nicht zu vereinbaren.
Diesen Ausführungen der Vorinstanz ist beizupflichten. Mit Recht hat sie festgestellt, der Beschwerdeführer könne sich nicht auf seinen guten Glauben berufen. Er hat schlicht die einschlägigen, klaren Vorschriften der Revisionsaufsichtsgesetzgebung missachtet (vgl. E. 3.2). Angesichts der Bestimmung in Art. 47 Abs. 4 RAV, wonach die Gesuchstellerin oder der Gesuchsteller eine elektronische Bestätigung der provisorischen Zulassung erhält, sowie des Umstandes, dass die Aufsichtsbehörde in ihren Eingangsbestätigungen explizit darauf hinwies, diese würden nicht als Zulassung gelten und nicht zur Erbringung von Revisionsdienstleistungen berechtigen, vielmehr solle eine provisorische oder definitive Zulassung abgewartet werden, ist nicht nachvollziehbar, wie der Beschwerdeführer in guten Treuen hätte davon ausgehen dürfen, er sei zu Revisionsdienstleistungen berechtigt. Entgegen dem vom Beschwerdeführer offenbar Angenommenen handelt es sich nicht um eine unbedeutende Ordnungswidrigkeit, sondern der Beschwerdeführer hat die grundlegenden Vorschriften, die seine Berufsausübung regeln, nicht eingehalten. In diesem Kontext hat die Vorinstanz zu Recht darauf hingewiesen, dass der Gesetzgeber Zuwiderhandlungen gegen die Voraussetzungen für das Erbringen von Revisionsdienstleistungen als erheblich qualifiziert: So wird nach <ref-law> in Verbindung mit Art. 34 Abs. 1 und 2 StGB derjenige, welcher eine Revisionsdienstleistung ohne die erforderliche Zulassung oder trotz Verbot zur Ausübung einer Tätigkeit erbringt mit Gefängnis oder Geldstrafe bis zu 1'080'000 Franken bestraft. Für fahrlässige Tatbegehung wird als Strafe Busse bis zu 100'000 Franken angedroht (<ref-law>). Der Schluss der Vorinstanz, der Beschwerdeführer erfülle die Anforderungen an den unbescholtenen Leumund nicht, ist daher nicht zu beanstanden.
Entgegen dem Vorbringen des Beschwerdeführers erscheint die Verweigerung der Zulassung sowohl im öffentlichen Interesse als auch zum Schutze der Kunden erforderlich, setzt doch die Revisionstätigkeit zwingend voraus, dass den einschlägigen gesetzlichen Bestimmungen vollumfänglich Beachtung geschenkt wird. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, die Verweigerung sei wirtschaftlich nicht zumutbar, weil er einen Drittel des Umsatzes der Z._ AG verlieren würde, kann ihm nicht gefolgt werden. Zum einen belegt er den befürchteten Umsatzrückgang nicht. Zum anderen hat die Z._ AG ihr Gesuch um Zulassung als Revisionsexpertin bereits während des vorinstanzlichen Verfahrens zurückgezogen, kann also den geltend gemachten Umsatz aus Revisionstätigkeit aktuell gar nicht erzielen. Aus diesen Gründen ist auf den geltend gemachten Umsatzrückgang nicht näher einzugehen und kann die Verweigerung der Zulassung daher auch unter diesem Aspekt nicht als unverhältnismässig qualifiziert werden.
Soweit der Beschwerdeführer mit seinem Vorbringen, die Zulassung sei ihm aufgrund eines Härtefalls zu erteilen, über die vorstehend geprüfte Verhältnismässigkeit hinaus Ansprüche geltend machen will, übersieht er, dass das Gesetz geminderte Anforderungen in Härtefällen lediglich in Bezug auf die Fachpraxis vorsieht (vgl. <ref-law>). Kein derartiges Entgegenkommen ist jedoch möglich, soweit die Zulassung infolge des fehlenden unbescholtenen Leumundes verweigert werden muss, erfolgt doch die Berücksichtigung allfälliger Härten diesfalls im Rahmen der Verhältnismässigkeitsüberprüfung.
4.5 Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz zu Recht zum Schluss kam, der Leumund des Beschwerdeführers sei durch seine in Frage stehenden Pflichtverletzungen in einem Masse beeinträchtigt, welches zur Verweigerung der Zulassung führen müsse.
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Entsprechend diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. April 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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