Faits:
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A. Après avoir travaillé durant plusieurs années dans la gestion de fortune pour de nombreuses banques et occupé, jusqu'au 13 juin 1983, un poste au sein de la direction de la banque Y._, A._ s'est mis à son compte, comme gérant indépendant. Il a alors incité plusieurs clients, dont il s'était occupé précédemment, à ouvrir un compte et un dépôt de titres auprès de la Banque Z._, devenue la Banque X._ (ci-après: la Banque). Il était lui-même déjà client de cette banque, pour son propre compte, d'une part, et pour le compte d'autrui, à titre fiduciaire, d'autre part.
En 1976, 1978 et 1980, A._ avait ouvert, en son nom mais sous les pseudonymes de "aa", "bb" et "cc", des comptes auprès de la Banque. Il gérait les deux premiers à titre fiduciaire pour des tiers. Pour ces comptes, A._ avait signé les conditions générales de la Banque qui prévoyaient, parmi d'autres clauses, un droit de gage général de la Banque sur les papiers-valeurs déposés, celle-ci se réservant le droit de réaliser les gages de gré à gré. Il était en outre stipulé une obligation du client de présenter toute contestation d'un extrait de décompte ou de dépôt immédiatement après la réception de l'avis correspondant, mais au plus tard dans le délai fixé par la Banque. Par ailleurs, A._ et la Banque avaient convenu, lors de l'ouverture du compte, de faire garder le courrier y relatif à la Banque, le courrier ainsi retenu étant considéré comme délivré à la date qu'il portait.
En 1983 et 1984, A._ a reçu le mandat de gérer des comptes ouverts par des tiers auprès de la Banque sous les pseudonymes de "dd", "ee" et "ff". Les conditions de ces dépôts étaient les mêmes que celles relatives aux comptes "aa", "bb" et "cc".
B._ a été engagé par la Banque le 1er juin 1979. Il a été responsable du département de gestion de fortune à compter du 1er janvier 1981, puis sous-directeur à compter du 1er janvier 1984. A fin février 1985, il a été licencié avec effet immédiat après la découverte, en décembre 1984, de plusieurs violations de ses obligations contractuelles vis-à-vis de la Banque. Il a été condamné pénalement pour avoir, en substance, fait octroyer des crédits lombards à des personnes ou sociétés qu'il entendait ainsi favoriser, alors qu'il savait ou devait savoir que les titres déposés ne représentaient pas de garantie suffisante.
Parmi les personnes favorisées figurait C._, actionnaire et animateur de la société américaine R._ Inc. et de sa filiale, S._ Company Inc., qui étaient censées explorer, puis exploiter des gisements d'or et au sujet desquelles il s'est avéré, lors de l'instruction pénale conduite contre B._, d'une part, qu'elles n'étaient pas en possession de tous les droits miniers, d'autre part, que C._, n'ayant pour seul objectif que de réaliser le plus vite possible un profit personnel, avait trompé les investisseurs sur la valeur réelle des sociétés.
Parmi les autres personnes ou sociétés favorisées figurait la société T._, appartenant à E._ et F._. Cette société a été mise au bénéfice d'un crédit garanti par le dépôt de diverses actions que B._ a permis de libérer ultérieurement alors que les crédits n'étaient pas remboursés.
E._ et F._ figuraient aussi parmi les administrateurs et actionnaires de la société U._, qui avait pour but la participation, diversifiée dans plusieurs secteurs économiques, dans d'autres sociétés. Il existait à Londres un marché hors bourse des actions U._, la valeur de ces titres étant publiée dans le journal économique "...".
U._ a connu des difficultés financières durant l'année 1985, principalement en raison de l'échec d'un projet d'investissement dans le secteur hôtelier. La valeur de ses actions a donc baissé durant ladite année et U._ a finalement été rachetée par la société V._.
Depuis octobre 1982, B._ avait placé des actions de U._ dans certains portefeuilles de clients de la Banque et il en avait acquis pour lui-même et pour sa compagne. Le premier portefeuille concerné était celui de "cc", soit le dépôt personnel de A._. Dès 1983, des actions U._ ont aussi été achetées pour les comptes "dd", "aa", "bb" et "ff".
Dans le cadre de ses activités professionnelles, A._ a occupé la fonction d'administrateur de plusieurs sociétés dont W._, à Genève. Au cours de l'année 1984, des titres W._ de A._ ont été déposés à la Banque sur le compte "aa".
En 1985 et après la découverte des agissements de B._, la plupart des comptes de A._ et de ses clients auprès de la Banque présentaient des débits.
Dans cette situation, tant A._ que la Banque (cette dernière en vertu de son droit de gage sur les titres dans les dépôts "dd", "ee" et "aa") ont cherché à vendre des titres, dont ceux de W._, de la manière la plus avantageuse. Une offre de N._ de 73 USD par titre W._ aurait été faite en 1985. Ces titres ont finalement été vendus à N._ au prix de 55 USD par titre à fin 1989.
Dès 1987, A._ et la Banque sont entrés en pourparlers. Les négociations ont échoué et A._ s'est fait céder les droits de ses propres clients contre la Banque.
Dès 1987, A._ et la Banque sont entrés en pourparlers. Les négociations ont échoué et A._ s'est fait céder les droits de ses propres clients contre la Banque.
B. Par demande du 9 novembre 1992, A._ a assigné la Banque en paiement de divers montants à titre de dommages-intérêts, en lui reprochant une mauvaise gestion de fortune.
La défenderesse a conclu à libération en niant toute obligation de gestion de fortune de sa part.
Par jugement du 23 octobre 2000, le Tribunal de première instance du canton de Genève a rejeté la demande.
Statuant par arrêt du 10 octobre 2003, sur appel du demandeur, la Cour de justice a confirmé ce jugement.
Statuant par arrêt du 10 octobre 2003, sur appel du demandeur, la Cour de justice a confirmé ce jugement.
C. Parallèlement à un recours de droit public qui a été rejeté, dans la mesure où il était recevable, par arrêt séparé de ce jour, le demandeur interjette un recours en réforme. Il y reprend les conclusions condamnatoires qu'il avait soumises aux juridictions cantonales en requérant, à titre subsidiaire, le renvoi de la cause à la Cour de justice pour qu'elle rende une nouvelle décision dans le sens des considérants de l'arrêt fédéral.
La défenderesse propose le rejet du recours.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Eu égard à la valeur litigieuse qui dépasse le seuil de 8'000 fr. fixé à l'art. 46 OJ, le recours en réforme est en principe recevable; de plus, il a été déposé en temps utile (art. 54 al. 1 OJ) et dans les formes requises (art. 55 OJ) contre un arrêt rendu par la dernière instance cantonale (art. 48 OJ).
2. Saisi d'un recours en réforme, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits contenus dans la décision attaquée, à moins que des dispositions fédérales en matière de preuve n'aient été violées, qu'il faille rectifier des constatations reposant sur une inadvertance manifeste (art. 63 al. 2 OJ) ou compléter les constatations de l'autorité cantonale parce que celle-ci n'a pas tenu compte de faits pertinents et régulièrement allégués (art. 64 OJ). Dans la mesure où la partie recourante présente un état de fait qui s'écarte de celui contenu dans la décision attaquée, sans se prévaloir avec précision de l'une des exceptions qui viennent d'être rappelées, il n'est pas possible d'en tenir compte. Il ne peut être présenté de griefs contre les constatations de fait, ni de faits ou de moyens de preuve nouveaux (art. 55 al. 1 let. c OJ). Le recours en réforme n'est donc pas ouvert pour se plaindre de l'appréciation des preuves et des constatations de fait qui en découlent. Dans son examen du recours, le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties, lesquelles ne peuvent en prendre de nouvelles (art. 55 al. 1 let. b OJ); en revanche, il n'est lié ni par les motifs que les parties invoquent (art. 63 al. 1 OJ), ni par l'argumentation juridique de la cour cantonale (art. 63 al. 3 OJ). Il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux invoqués par la partie recourante et peut également rejeter un recours en adoptant une autre argumentation juridique que celle retenue par la cour cantonale (<ref-ruling>, consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 2c et les références).
3. Le recourant se plaint de l'interprétation erronée de l'<ref-law>, du défaut d'application des art. 41 et 55 CO et de la violation des <ref-law> et 196 de la loi de procédure civile genevoise (LPC gen.).
3.1 Constatant que, selon lui, la cour cantonale aurait admis que B._ avait agi dans le cadre d'une gestion d'affaires intéressée, au sens de l'<ref-law>, le recourant reproche aux juges précédents d'avoir, parce qu'ils retenaient que A._ avait ratifié les actes de B._, omis d'examiner si les agissements de ce dernier, qu'il qualifie de délictuels, constituaient un acte illicite ou contraire aux moeurs, engageant la responsabilité de la défenderesse en vertu des art. 41 et 55 CO.
A cet égard, le recourant estime que la cour cantonale aurait dû retenir que B._ avait commis un acte illicite en plaçant sans autorisation et sans droit les titres U._ dans certains dépôts. Ces titres, hautement spéculatifs, auraient été placés sur des comptes ne présentant pas de couverture suffisante, les rendant ainsi fortement débiteurs; cette activité aurait eu pour objectif de favoriser les intérêts des propriétaires de l'entreprise U._, ainsi que B._ lui-même. Par là, celui-ci aurait commis des actes de gestion déloyale, éventuellement un abus de confiance, au sens des art. 158 et 138 CP.
Or, la cour cantonale, après avoir passé en revue les diverses sortes de gestion d'affaires connues du Code des obligations, a admis que B._ avait cru au potentiel de gain des actions U._ et que ces perspectives étaient objectivement justifiées jusqu'en 1984. Elle a exclu que B._ ait agi sciemment au détriment de A._ et elle a rejeté l'existence d'un acte illicite.
Pour les besoins de sa démonstration, le recourant se fonde donc sur d'autres faits que ceux qu'a retenus la cour cantonale. Sur le vu de ceux-ci, il n'est pas établi que B._ ait voulu s'immiscer dolosivement dans la sphère d'un tiers pour traiter l'affaire de ce dernier comme la sienne propre et s'en approprier les profits (<ref-ruling> consid. 2a; arrêt 4C.234/1999 du 12 janvier 2000, consid. 6aa, publié in SJ 2000 I 421; arrêt 4C. 389/2002 du 2 mars 2003, consid. 3.2). On ne peut dès lors retenir que B._ doive se voir reprocher une gestion entreprise exclusivement ou de façon prépondérante dans son propre intérêt au sens de l'<ref-law>. Les conséquences que le recourant tire d'une prétendue gestion imparfaite de mauvaise foi ne sont donc pas pertinentes, car elles sont fondées sur un état de fait contraire à celui retenu, sans arbitraire, par la cour cantonale.
Il s'ensuit le rejet de ce moyen dans la mesure où il est recevable.
3.2 Le recourant reproche à la cour cantonale de n'avoir pas examiné si, hormis la recherche d'une tromperie visant à un enrichissement illégitime pour les dirigeants de U._, B._ n'avait pas cherché à obtenir un avantage patrimonial pour ceux-ci ou pour lui-même. Et le recourant de décrire toutes les circonstances de fait qui auraient dû amener la cour cantonale à cette conclusion. Il énumère des éléments, tirés notamment du dossier pénal instruit à la charge de B._, pour montrer que celui-ci avait favorisé les intérêts de la société T._ et la société U._, appartenant toutes deux à E._ et F._, cela par divers procédés qui avaient causé un préjudice à la Banque.
Le recourant déduit de la circonstance que U._ et T._ ont été favorisées la conclusion que l'acquisition des titres U._ et leur placement dans les comptes gérés par A._ avaient eu pour objectif de générer un faux marché desdites actions, d'obtenir des commissions de gestion et, en faveur de la Banque, de forts intérêts débiteurs, soit d'obtenir un avantage patrimonial pour lui-même et des tiers.
Or, la cour cantonale n'a pas retenu cela. Elle a précisément distingué le comportement déloyal de B._ vis-à-vis de la Banque, prouvé par la procédure pénale, de celui adopté à l'égard de A._ et des clients de celui-ci, ce dernier comportement étant dépourvu de tromperie. S'il est vrai que l'achat et le placement des actions U._ dans les comptes de A._ et de ses clients a certainement été bénéfique pour les propriétaires de U._, il n'est nullement établi que B._ ait recherché de façon exclusive ou prépondérante, pour lui ou pour des tiers, un avantage patrimonial indu.
Ce moyen doit également être rejeté autant qu'il est recevable.
3.3 A._ relève ensuite que, de toute façon, les opérations de B._ dans le cadre des transactions sur les titres U._ ont permis à la Banque d'encaisser des intérêts débiteurs et des commissions sur lesdites transactions.
Le recourant ne dit pas dans ce moyen en quoi il critique l'arrêt de la cour cantonale et les faits qu'il signale, dans la mesure où ils seraient avérés, ne sont pas pertinents, car ils n'établissent en rien la recherche d'un avantage illégitime au détriment du demandeur.
Cela entraîne l'irrecevabilité du moyen.
3.4 Le recourant se plaint ensuite de ce que la cour cantonale n'a pas retenu qu'il avait subi un dommage patrimonial. Il revient derechef sur les circonstances démontrant selon lui l'existence d'un acte illicite, en raison de la commission par B._ d'actes de gestion déloyale. Il soutient qu'il était erroné de retenir que la valeur pour laquelle les titres U._ avaient été attribués aux comptes qu'il gérait ait correspondu à leur valeur réelle sur le marché. Les opérations de B._ auraient généré des intérêts débiteurs très élevés et conduit B._ à faire appel, sans l'accord de A._, à des actes de nantissement réciproques entre les divers comptes. A._ aurait en outre été empêché d'exiger l'extourne des titres acquis par B._. Cela l'aurait aussi contraint de céder des titres sûrs et d'accepter des crédits en vue de rétablir la situation.
Toute cette argumentation, fondée sur des faits ignorés par la cour cantonale ou contraires à ceux qu'elle a retenus, est irrecevable en réforme. Le recourant a tenté, en vain, de les établir par son recours de droit public. Il n'est pas possible dans ces conditions de retenir que les actions U._ n'aient pas eu la valeur pour laquelle elles avaient été attribuées aux comptes de A._. On ne peut pas non plus admettre que le recourant, qui dit avoir été mécontent de ces achats, n'ait pas eu la possibilité d'en exiger l'extourne et, d'une façon générale, que B._ ait commis des actes devant être qualifiés pénalement de gestion déloyale.
Il n'est pas nécessaire, dans ces conditions, d'examiner dans le présent moyen si les directives de l'Association suisse des banquiers (ASB), qui limitent les pouvoirs du banquier dans la gestion des comptes de ses clients, sont ou non applicables en l'espèce. A._ se borne au demeurant à soulever la question de la validité de la ratification pour annoncer qu'il l'examinera ensuite. Ladite question, comme celle de l'application des directives de l'ASB, sera par conséquent traitée ultérieurement.
Le moyen tiré de l'absence de constatation d'un dommage patrimonial causé à A._ doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.5 Partant à nouveau de la prémisse selon laquelle la cour cantonale aurait reconnu que B._ avait agi en recherchant avant tout son propre intérêt, et donc commis un acte de gestion imparfaite au sens de l'<ref-law>, le recourant fait grief aux juges cantonaux d'avoir admis qu'une telle gestion pouvait faire l'objet d'une ratification au sens de l'<ref-law>.
3.5.1 Aux termes de l'<ref-law>, lorsque la gestion n'a pas été entreprise dans l'intérêt du maître, celui-ci n'en a pas moins le droit de s'approprier les profits qui en résultent. Quant à l'<ref-law>, il dispose que si les actes du gérant ont été ratifiés par le maître, les règles du mandat deviennent applicables.
La loi distingue la gestion d'affaires parfaite (ou altruiste) effectuée dans l'intérêt du maître (<ref-law>), de la gestion d'affaires imparfaite (ou intéressée), entreprise dans l'intérêt du gérant (<ref-law>; voir à ce propos, notamment : Schmid, Commentaire zurichois, n. 14 et 15 ad Vorbemerkungen zu Art. 419-424 CO; Hofstetter, Le mandat et la gestion d'affaires, in Traité de droit privé suisse, VII/2, p. 229). La gestion parfaite est régulière lorsqu'elle était commandée par les intérêts du maître (<ref-law>); elle est irrégulière lorsque le gérant avait bien l'intention d'agir en faveur du maître, mais qu'il l'a fait sans que cela ait été utile, voire contrairement à la volonté du maître (arrêt 4C.389/2002 du 21 mars 2003, précité, consid. 3.2; Tercier, Les contrats spéciaux, 3e éd., n. 5312 et 5313). La gestion peut encore être qualifiée de parfaite lorsque le gérant a parallèlement un intérêt propre à l'intervention. Ce n'est que si le gérant agit exclusivement ou de manière prépondérante dans son propre intérêt que la gestion doit être qualifiée d'imparfaite (Héritier/Lachat, Commentaire romand, n. 6 ad <ref-law>, n. 2 ad <ref-law> et n. 5 ad <ref-law>; Schmid, op. cit., n. 18 ad <ref-law>).
En l'occurrence, la cour cantonale a admis que B._ avait agi dans le cadre d'une gestion d'affaires, car il avait dépassé les pouvoirs qui étaient confiés à la Banque par les contrats de dépôt (cf. Héritier/Lachat, op cit., n. 17 ad <ref-law>). Mais, contrairement à ce qu'affirme le recourant, les juges précédents, s'ils ne se sont pas prononcés expressément sur ce point, ont implicitement écarté l'hypothèse d'une gestion imparfaite en admettant qu'il n'était pas établi que B._ ait agi dans l'intention de se procurer ou de procurer à des tiers un enrichissement illégitime au détriment de A._ et des autres acheteurs des titres U._. Par les faits qu'elle retient, la cour cantonale a ainsi reconnu, implicitement, l'existence d'une gestion parfaite irrégulière, au sens où l'entendent la jurisprudence et la doctrine précitées.
Les prémisses de fait alléguées par le recourant sont donc erronées. Cela rend son recours irrecevable (art. 63 al. 2 OJ).
3.6 Dans un moyen qu'il présente comme subsidiaire, le recourant se plaint de la violation de l'<ref-law>.
A juste titre, il ne développe pas d'argumentation sur la prétendue violation de l'<ref-law> gen., grief pourtant annoncé en tête de la partie "Discussion et droit" de son mémoire de recours. Le recours en réforme n'est, en effet, pas ouvert pour se plaindre de la violation du droit cantonal (art. 55 al. 1 let. c OJ).
Le recourant soutient que les rapports entre lui-même et la Banque étaient régis par les directives de l'ASB, que ces directives interdisaient de procéder aux actes de gestion commis par B._ sans le consentement écrit et préalable du client, que la ratification de tels actes devait de même être soumise à la forme écrite et qu'une ratification tacite ne pouvait par conséquent être admise. Se fondant sur le fait que, selon lui, les placements opérés par B._ avaient été le fruit d'une manoeuvre délictuelle intéressée, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law> en retenant, contrairement à diverses circonstances de fait qu'il énumère, qu'il avait ratifié lesdits agissements.
On ne peut pas suivre le recourant lorsqu'il invoque les directives de l'ASB. Ces règles, modifiées pour la dernière fois en 2000 et publiées dans BF 1997 et 2001 , droit bancaire et financier, ch. 45-23 et 45-28, sont applicables aux mandats de gestion confiés à des banques. Elles représentent des règles de comportement. Elles ne déploient aucun effet sur la relation de base, de droit civil, qui lie le client à la banque et qui est régie par les <ref-law>. Or, en l'espèce, il n'y avait précisément aucun mandat de gestion confié à la Banque. Les rapports entre celle-ci et le demandeur n'étaient donc réglés que par les dispositions légales relatives à la gestion d'affaires.
Au demeurant, même si l'on voulait appliquer lesdites règles en l'occurrence, aucune de leurs dispositions, contrairement à ce qu'avance le recourant, n'interdirait au client de ratifier un acte de gestion qu'il n'avait pas approuvé préalablement.
Pour ce qui concerne la prétendue violation de l'<ref-law>, il convient de rappeler que l'<ref-law> règle, pour tout le domaine du droit civil fédéral, la répartition du fardeau de la preuve et, partant, les conséquences de l'absence de preuve. Il confère en outre le droit à la preuve et à la contre-preuve, mais non le droit à des mesures probatoires déterminées. Cette disposition ne s'oppose ni à une appréciation anticipée des preuves, ni à la preuve par indice (<ref-ruling> consid. 2.6 p. 24/25 et les arrêts cités). Le juge cantonal viole l'<ref-law> s'il omet ou refuse d'administrer des preuves sur des faits pertinents et régulièrement allégués ou s'il tient pour exactes les allégations non prouvées d'une partie, nonobstant leur contestation par l'autre (<ref-ruling> consid. 2a p. 291). En revanche, lorsque l'appréciation des preuves convainc le juge qu'une allégation de fait a été établie ou réfutée, la répartition du fardeau de la preuve devient sans objet (<ref-ruling> consid. 2b/aa p. 277 et la jurisprudence mentionnée). L'<ref-law> ne saurait être invoqué pour faire corriger l'appréciation des preuves, qui ressortit au juge du fait (<ref-ruling> consid. 2d p. 25; <ref-ruling> consid. 3 p. 253; 117 III 609 consid. 3c p. 613).
En l'occurrence, sous le couvert d'une critique concernant l'application de l'<ref-law>, le recourant se plaint en réalité d'une mauvaise appréciation des preuves par la cour cantonale. Partant à nouveau de prémisses expressément écartées par les juges cantonaux, selon lesquelles B._ aurait agi de façon illicite et délictueuse, dans son seul intérêt, A._ énumère les éléments de fait qui auraient dû selon lui conduire la cour cantonale à ne pas retenir l'existence d'une ratification.
Il s'agit là de critiques qui ont leur place dans un recours de droit public, mais non dans la procédure du recours en réforme, et qui n'ont, en tout état de cause, aucun rapport avec l'application de l'<ref-law>.
Il s'ensuit l'irrecevabilité du recours sur ce point.
3.7 Dans un dernier moyen, le recourant tente de démontrer que la cour cantonale ne pouvait, sans violer l'<ref-law>, retenir que la Banque n'avait pas vendu des titres W._ au prix intéressant offert par N._ en raison du fait que A._ lui-même avait souhaité attendre une offre plus élevée. Et le recourant d'avancer des faits: la Banque était nantie des titres en question et avait donc le pouvoir de les vendre sans attendre, les prétendues instructions de A._ seraient infirmées par le témoignage de G._, etc., toutes circonstances qui auraient dû amener la cour cantonale à considérer que la Banque n'avait pas apporté la preuve qui lui incombait.
Ces critiques sont vaines. L'existence d'instructions de A._ sur ce point ayant été retenue par la cour cantonale, il n'y a plus de place pour une violation de l'<ref-law>.
Le moyen est donc irrecevable.
Le moyen est donc irrecevable.
4. Le recourant, qui succombe, devra supporter les frais de la procédure et verser des dépens à l'intimée (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ). Pour fixer le montant de ceux-ci, il sera tenu compte de ce que, pour une très large part, la longue réponse au recours consiste en un exposé de faits, inutile et sans référence à ceux retenus par la cour cantonale, la réponse, plus ou moins pertinente, aux arguments du recourant ne tenant que sur une dizaine de pages.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 25'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 25'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 20'000 fr. à titre de dépens.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 20'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 25 mai 2004
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
La juge présidant: Le greffier: