Sachverhalt:
A. Am 14. September 2009 klagte X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau gegen den Kanton Thurgau mit den Anträgen, es sei ihm der durch das Betreibungsamt A._ zugefügte Schaden in der Höhe von Fr. 8'000.-- zu ersetzen und aufgrund der willkürlichen Verletzung und Entwürdigung seiner Person eine Genugtuung von Fr. 5'000.-- zuzusprechen. Mit Urteil vom 23. Dezember 2009 (Versand am 12. Januar 2010) wies das Verwaltungsgericht die Klage kostenfällig ab.
B. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und beantragt, das angefochtene "Urteil aufzuheben und entweder zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen oder direkt vom Bundesgericht neu zu entscheiden".
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG) über eine Staatshaftung im Sinn von <ref-law>. Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen (<ref-law>), sofern der Streitwert Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>). Dies ist vorliegend nicht der Fall. Der Beschwerdeführer hat zu Recht das Rechtsmittel der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) ergriffen.
1.2 Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist ein reformatorisches Rechtsmittel (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; Urteil 5D_35/2007 vom 4. Juli 2007, E. 2), sodass der Beschwerdeführer grundsätzlich einen Antrag in der Sache stellen muss, ansonsten die Beschwerde unzulässig ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 489).
Soweit möglich, muss ein in Geld ausdrückbares Begehren beziffert werden (<ref-ruling> E. 2 S. 237). Ist dies - wie vorliegend - nicht der Fall, lässt es das Bundesgericht ausnahmsweise, namentlich bei offensichtlich von Laien verfassten Beschwerden genügen, wenn sich aus der Beschwerdebegründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, ohne weiteres ergibt, worum es geht (<ref-ruling> in fine). In diesem Sinne ist zu Gunsten des Beschwerdeführers davon auszugehen, dass er vor Bundesgericht materiell das Gleiche wie im kantonalen Verfahren - die Zusprache von Schadenersatz in der Höhe von Fr. 8'000.-- und einer Genugtuung von Fr. 5'000.-- - beantragt, sodass die Beschwerdeschrift insofern den Anforderungen an das Rechtsbegehren gemäss <ref-law> genügt.
1.3 Gemäss <ref-law> kann mit der Verfassungsbeschwerde die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden. Nach Art. 118 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law> kommt eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat. Wird Letzteres geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich (<ref-law>), offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 6 und 7.1 und 134 I 140 E. 5.4 S. 148, je mit Hinweisen).
2. Der Beschwerdeführer begründet seinen Schadenersatzanspruch damit, er habe zufolge widerrechtlicher Handlungen des Betreibungsamtes A._ unnötigerweise und mehrfach von seinem Arbeitsort in Deutschland in die Schweiz hin und zurück reisen müssen. Das Verwaltungsgericht hat die Schadenersatzforderung hauptsächlich deshalb abgewiesen, weil er seinen Schaden nicht einmal im Ansatz ausgewiesen habe. Namentlich habe er die mehrfachen, angeblich unnützen Hin- und Rückreisen nicht zu beweisen vermocht; nachgewiesen sei einzig ein Behördengang am 15. April 2009, der aber zufolge einer Pfändungsankündigung in einer gegen den Beschwerdeführer gerichteten Betreibung notwendig gewesen sei. Soweit der Beschwerdeführer Willkür in der Beweiswürdigung behauptet, genügt er den genannten strengen Begründungsanforderungen (s. E. 1.3) nicht. Er beschränkt sich vielmehr darauf, seine Version des Vorgefallenen zu schildern, ohne aufzuzeigen, inwiefern das Verwaltungsgericht bei der Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung in Willkür verfallen sein soll. Darauf ist nicht einzutreten.
Sodann fällt auf, dass sich in den Erwägungen des Verwaltungsgerichts keine Ausführungen über die Höhe des geltend gemachten Schadens finden, was der Beschwerdeführer nicht beanstandet. In der Tat findet sich im gesamten Dossier kein einziger Beleg, aus dem nachvollzogen werden könnte, wie der Beschwerdeführer den Schadensbetrag von Fr. 8'000.-- errechnet hat. Auch vor Bundesgericht belässt er es mit dem Hinweis, er habe mehrfach unnötigerweise aus Deutschland anreisen müssen, ohne über die Behauptung, es sei "ein immenser Aufwand" entstanden, hinaus aufzuzeigen, welches die konkreten finanziellen Folgen dieser angeblich unnützen Reisen gewesen sein sollen. Der Vorwurf des mangelnden Nachweises des behaupteten Schadens trifft zu, und der die Klage abweisende Entscheid ist aus verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten nicht zu beanstanden.
3. Hinsichtlich des Anspruchs auf Genugtuung ist der Beschwerdeschrift nichts zu entnehmen. Insofern kann nicht auf die Beschwerde eingetreten werden.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Kanton Thurgau ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett