Faits:
Faits:
A. B._ est propriétaire, sur le territoire de la commune de Paudex, de la parcelle n° 18 du registre foncier. Il s'y trouve une maison familiale, actuellement inoccupée, avec quelques annexes et dépendances.
La parcelle n° 18 est incluse dans le périmètre du plan partiel d'affectation (PPA) "A la Verrière", entré en vigueur le 28 janvier 2003. Elle est classée dans l'aire des aménagements extérieurs, définie à l'art. 12 du règlement du plan partiel d'affectation précité (RPPA). Le bâtiment existant (maison et annexes accolées) est figuré sur le plan.
La parcelle n° 18 est incluse dans le périmètre du plan partiel d'affectation (PPA) "A la Verrière", entré en vigueur le 28 janvier 2003. Elle est classée dans l'aire des aménagements extérieurs, définie à l'art. 12 du règlement du plan partiel d'affectation précité (RPPA). Le bâtiment existant (maison et annexes accolées) est figuré sur le plan.
B. Le 1er avril 2004, B._ a soumis à la Municipalité de la commune de Paudex (ci-après: la municipalité) une demande de permis de construire pour un projet comportant la transformation et l'assainissement de la maison familiale, la démolition et la reconstruction de diverses annexes ainsi que la construction d'un garage double. La demande d'autorisation a été mise à l'enquête publique et A._ a formé opposition. Ce dernier est propriétaire de deux parcelles à proximité: d'une part la parcelle n° 256, contiguë à la parcelle n° 18, cultivée dans le cadre d'une entreprise horticole et classée dans la zone de verdure du PPA "A la Verrière"; d'autre part la parcelle n° 14, où se trouve son habitation, hors du périmètre du PPA et à un peu plus de 100 m de la parcelle n° 18. L'opposant soutenait que le terrain litigieux était classé en zone de non bâtir et il évoquait la question des distances entre la construction et les limites de propriété.
Le 22 juillet 2004, la municipalité a délivré le permis de construire - sauf pour le garage prévu en limite de propriété - et rejeté l'opposition de A._. Celui-ci a recouru contre la décision communale auprès du Tribunal administratif du canton de Vaud, en se plaignant en substance d'une violation des règles sur la transformation et la reconstruction des bâtiments existants, d'une violation des règles sur les distances aux limites et d'une atteinte au caractère architectural du quartier. Le Tribunal administratif a rejeté ce recours par un arrêt rendu le 10 août 2005.
Le 22 juillet 2004, la municipalité a délivré le permis de construire - sauf pour le garage prévu en limite de propriété - et rejeté l'opposition de A._. Celui-ci a recouru contre la décision communale auprès du Tribunal administratif du canton de Vaud, en se plaignant en substance d'une violation des règles sur la transformation et la reconstruction des bâtiments existants, d'une violation des règles sur les distances aux limites et d'une atteinte au caractère architectural du quartier. Le Tribunal administratif a rejeté ce recours par un arrêt rendu le 10 août 2005.
C. Agissant par la voie du recours de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif. Il se plaint d'une application arbitraire de différentes règles communales d'aménagement du territoire.
B._ et la municipalité concluent au rejet du recours.
B._ et la municipalité concluent au rejet du recours.
D. Le recourant a demandé l'effet suspensif. Par ordonnance du 15 septembre 2005, le Président de la Ire Cour de droit public a interdit toute mesure d'exécution de l'arrêt attaqué jusqu'à décision sur la requête d'effet suspensif.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le présent arrêt rend sans objet la requête d'effet suspensif.
1. Le présent arrêt rend sans objet la requête d'effet suspensif.
2. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2 p. 147, 153 consid. 1 p. 156; <ref-ruling> consid. 1 p. 363, 361 consid. 1 p. 364).
2.1 La qualité pour agir par la voie du recours de droit public est définie à l'art. 88 OJ. Ce recours est ouvert uniquement à celui qui est atteint par l'acte attaqué dans ses intérêts personnels et juridiquement protégés. Le recours formé pour sauvegarder l'intérêt général ou ne visant qu'à préserver des intérêts de fait est en revanche irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 117; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 300; <ref-ruling> consid. 1a p. 44 et les arrêts cités). D'après la jurisprudence relative à cette disposition, celui qui conteste l'octroi d'une autorisation de construire à un autre propriétaire, en dénonçant une application arbitraire (art. 9 Cst.) de la réglementation en matière d'aménagement du territoire ou de police des constructions, doit alors invoquer la violation d'une norme du droit cantonal tendant, au moins accessoirement, à la protection de ses intérêts de propriétaire voisin. Dans cette situation, l'intérêt juridiquement protégé ne peut pas résulter du seul art. 9 Cst. (cf. <ref-ruling> consid. 1.5 p. 118; <ref-ruling> consid. 2a et 3b p. 84 s.; à propos plus spécialement du recours du voisin: <ref-ruling> consid. 2c p. 46; <ref-ruling> consid. 1c p. 442; <ref-ruling> consid. 1a p. 234 et les arrêts cités).
2.2 Le recourant se plaint d'une application arbitraire des prescriptions de police de constructions, le Tribunal administratif ayant confirmé une autorisation communale pour un bâtiment trop proche de la limite de propriété. Il se plaint également d'une application arbitraire des normes limitant l'augmentation du volume d'une construction existante lors d'une transformation.
D'après la jurisprudence relative à l'art. 88 OJ, les règles sur les distances aux limites peuvent être considérées comme des règles mixtes, tendant à protéger tant l'intérêt public que l'intérêt des voisins; encore faut-il que celui qui s'en prévaut se trouve dans le champ de protection de ces dispositions (cf. notamment <ref-ruling> consid. 2d p. 47; <ref-ruling> consid. 1b p. 235). De même, une norme qui a pour effet de limiter la densité et le volume des constructions dans un quartier, comme par exemple un coefficient maximum d'utilisation ou d'occupation du sol, peut aussi être considérée comme une règle mixte, au sens précité (cf. <ref-ruling> consid. 2d p. 47; <ref-ruling> consid. 3b p. 20). Les intimés font néanmoins valoir à ce propos que, le terrain du recourant directement voisin de la parcelle litigieuse étant inconstructible (zone de verdure du PPA "A la Verrière"), admettre une construction trop importante ou trop proche de la limite de propriété n'aurait pas d'incidence sur la valeur ou l'utilisation de ce terrain. En d'autres termes, dans une telle situation, les règles sur le volume ou les distances n'auraient pas d'effet protecteur pour les voisins. Il n'y a pas lieu d'examiner cela plus avant car la question de la recevabilité du recours peut, sur ce point, demeurer indécise, vu le sort à réserver aux griefs sur le fond (cf. infra, consid. 3 et 4).
2.3 La jurisprudence relative à l'art. 88 OJ retient en particulier que les pures clauses d'esthétique sont des règles qui visent à protéger exclusivement l'intérêt public et non pas accessoirement l'intérêt des voisins (ATF <ref-ruling> consid. 1b p. 235 et les arrêts cités). Il en va de même des principes généraux de la planification, ou encore des prescriptions sur la protection des monuments, de la nature et du paysage (<ref-ruling> consid. 2a p. 437).
Le recourant critique l'arrêt attaqué en tant qu'il considère que le constructeur intimé ne pouvait pas opter pour une autre solution architecturale, consistant à prolonger le bâtiment principal, et que la solution choisie rendait les volumes "plus lisibles et plus esthétiques". Dans la mesure où le recourant prétend que le Tribunal administratif aurait ainsi toléré des extensions excessives et trop proches de la limite, ce grief n'a pas de portée indépendante par rapport aux griefs précédents (cf. supra, consid. 2.2). Si le recourant entend par là mettre en cause, plus généralement, les caractéristiques architecturales du projet, ses griefs sont irrecevables en vertu de l'art. 88 OJ.
Le recourant critique l'arrêt attaqué en tant qu'il considère que le constructeur intimé ne pouvait pas opter pour une autre solution architecturale, consistant à prolonger le bâtiment principal, et que la solution choisie rendait les volumes "plus lisibles et plus esthétiques". Dans la mesure où le recourant prétend que le Tribunal administratif aurait ainsi toléré des extensions excessives et trop proches de la limite, ce grief n'a pas de portée indépendante par rapport aux griefs précédents (cf. supra, consid. 2.2). Si le recourant entend par là mettre en cause, plus généralement, les caractéristiques architecturales du projet, ses griefs sont irrecevables en vertu de l'art. 88 OJ.
3. Le recourant reproche au Tribunal administratif d'avoir fait preuve d'arbitraire - et donc d'avoir violé l'art. 9 Cst. - en tolérant un nouveau bâtiment à 3.21 m de la limite de la parcelle n° 18, alors que la distance réglementaire serait de 5 m.
3.1 Selon la jurisprudence relative à l'art. 9 Cst., l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable; il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 219; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9 et les arrêts cités).
3.2 Dans l'arrêt attaqué, le Tribunal administratif relève que l'art. 12 RPPA, qui définit l'affectation de l'aire des aménagements extérieurs, ne fixe aucune règle relative à la distance à observer entre constructions et limites de propriété. Il retient que le règlement communal du plan général d'affectation et de la police des constructions (RPGA) n'impose par ailleurs pas une distance à la limite qui s'appliquerait dans toutes les zones, y compris dans les aires spécialement définies par des plans partiels d'affectation. Le Tribunal administratif explique qu'il n'y aurait pas de sens à prévoir de telles règles dans une aire en principe inconstructible, à l'exception de garages souterrains et de constructions de modeste importance (art. 12 al. 2 RPPA), et où les bâtiments existants - qui peuvent être transformés, reconstruits ou légèrement agrandis (art. 11 RPPA en relation avec l'art. 42 RPGA) - doivent en principe conserver la même implantation.
Le recourant ne conteste pas que le plan partiel d'affectation ne prévoit pas, pour la parcelle litigieuse, de règle sur les distances entre bâtiments et limite de propriété. Il prétend toutefois que la réglementation d'une autre zone du plan général d'affectation, la zone de villas de faible densité (art. 24 ss RPGA), devrait servir de référence. C'est de ces dispositions qu'il déduit la prétendue distance réglementaire de 5 m. Or, en l'absence de règle imposant l'application d'une telle distance, par analogie ou à titre de droit supplétif, dans l'aire des aménagements extérieurs du plan partiel d'affectation concerné, il n'est pas arbitraire de ne pas en tenir compte. En outre, comme l'implantation des constructions autorisées dans cette aire est définie selon d'autres critères (en fonction de la situation, du volume et des autres caractéristiques des bâtiments existants), il n'est pas non plus arbitraire de considérer que l'absence de règles sur les distances à la limite n'est pas une lacune (proprement dite) de la réglementation communale. Les griefs du recourant à ce propos sont donc mal fondés.
Le recourant ne conteste pas que le plan partiel d'affectation ne prévoit pas, pour la parcelle litigieuse, de règle sur les distances entre bâtiments et limite de propriété. Il prétend toutefois que la réglementation d'une autre zone du plan général d'affectation, la zone de villas de faible densité (art. 24 ss RPGA), devrait servir de référence. C'est de ces dispositions qu'il déduit la prétendue distance réglementaire de 5 m. Or, en l'absence de règle imposant l'application d'une telle distance, par analogie ou à titre de droit supplétif, dans l'aire des aménagements extérieurs du plan partiel d'affectation concerné, il n'est pas arbitraire de ne pas en tenir compte. En outre, comme l'implantation des constructions autorisées dans cette aire est définie selon d'autres critères (en fonction de la situation, du volume et des autres caractéristiques des bâtiments existants), il n'est pas non plus arbitraire de considérer que l'absence de règles sur les distances à la limite n'est pas une lacune (proprement dite) de la réglementation communale. Les griefs du recourant à ce propos sont donc mal fondés.
4. Le recourant se plaint d'une application arbitraire de la règle communale qui autorise, dans l'aire des aménagements extérieurs, des agrandissements de peu d'importance. Selon lui, cette règle ne saurait viser une transformation entraînant une augmentation de volume de 20 %.
Le Tribunal administratif a appliqué en l'espèce l'art. 42 al. 3 RPGA, par renvoi de l'art. 11 RPPA, qui permet à la municipalité d'autoriser des agrandissements de peu d'importance des bâtiments existants et des dépendances. La pertinence de cette norme n'est pas contestée.
Le Tribunal administratif a évalué l'ampleur de l'augmentation de volume du bâtiment existant, "mise en rapport avec l'ensemble du bâtiment"; il a estimé qu'il s'agissait d'une augmentation "de l'ordre de 5 %", et non pas de 20 %. Le recourant admet qu'une augmentation de 5 % serait effectivement de peu d'importance. Il critique en réalité l'estimation de cette dernière proportion, d'après lui insuffisamment motivée dans l'arrêt, et il en déduit que le taux de 20 % aurait dû être retenu. Or dans l'état de fait (let. D), le Tribunal administratif a indiqué les résultats des calculs faits par le constructeur au sujet de la surface et du volume du bâtiment, avant et après la reconstruction. Les chiffres mentionnés dans l'arrêt permettent de calculer les proportions de l'agrandissement, en surface et en volume, et il est encore précisé que des dépendances situées à l'est et vouées à la démolition n'ont pas été comptabilisées, pour ces calculs, dans la surface et le volume existants (la prise en compte de ces dépendances réduit donc la proportion calculée sur la base des chiffres indiqués). Il ressort ainsi clairement des données figurant dans l'arrêt attaqué que l'agrandissement litigieux est nettement inférieur à 20 %, et partant que c'est à tort que le recourant soutient qu'il aurait fallu tenir compte d'une augmentation aussi importante dans l'application des art. 11 RPPA et 42 al. 3 RPGA. Le grief d'arbitraire est donc, sur ce point, mal fondé.
Le Tribunal administratif a évalué l'ampleur de l'augmentation de volume du bâtiment existant, "mise en rapport avec l'ensemble du bâtiment"; il a estimé qu'il s'agissait d'une augmentation "de l'ordre de 5 %", et non pas de 20 %. Le recourant admet qu'une augmentation de 5 % serait effectivement de peu d'importance. Il critique en réalité l'estimation de cette dernière proportion, d'après lui insuffisamment motivée dans l'arrêt, et il en déduit que le taux de 20 % aurait dû être retenu. Or dans l'état de fait (let. D), le Tribunal administratif a indiqué les résultats des calculs faits par le constructeur au sujet de la surface et du volume du bâtiment, avant et après la reconstruction. Les chiffres mentionnés dans l'arrêt permettent de calculer les proportions de l'agrandissement, en surface et en volume, et il est encore précisé que des dépendances situées à l'est et vouées à la démolition n'ont pas été comptabilisées, pour ces calculs, dans la surface et le volume existants (la prise en compte de ces dépendances réduit donc la proportion calculée sur la base des chiffres indiqués). Il ressort ainsi clairement des données figurant dans l'arrêt attaqué que l'agrandissement litigieux est nettement inférieur à 20 %, et partant que c'est à tort que le recourant soutient qu'il aurait fallu tenir compte d'une augmentation aussi importante dans l'application des art. 11 RPPA et 42 al. 3 RPGA. Le grief d'arbitraire est donc, sur ce point, mal fondé.
5. Il s'ensuit que le recours de droit public doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
Les frais du présent arrêt doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 153, 153a et 156 al. 1 OJ). Il aura en outre à payer des dépens au constructeur intimé ainsi qu'à la municipalité, ces deux parties étant représentées par un avocat (art. 159 al. 1 et 2 OJ). L'allocation de dépens à cette commune, qui en raison de sa taille ne dispose pas d'une infrastructure administrative et juridique suffisante pour procéder sans l'assistance d'un mandataire, est conforme à la pratique du Tribunal fédéral, dans un domaine où l'autonomie communale peut être invoquée.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de droit public est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours de droit public est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 3'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 3'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 1'500 fr., à payer à B._ à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 1'500 fr., à payer à B._ à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4. Une indemnité de 1'500 fr., à payer à la commune de Paudex à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4. Une indemnité de 1'500 fr., à payer à la commune de Paudex à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
5. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et au Tribunal administratif du canton de Vaud.
Lausanne, le 2 novembre 2005
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: