Sachverhalt:
A. Die 1960 geborene K._ meldete sich im September 2004 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihr die IV-Stelle Basel-Landschaft mit Verfügung vom 7. Juni 2007 bei einem Invaliditätsgrad von 50 % ab 1. Juli 2004 eine halbe Invalidenrente zu.
B. In Gutheissung der Beschwerde der K._ stellte das Kantonsgericht Basel-Landschaft mit Entscheid vom 7. März 2008, eröffnet am 7. Juli 2008, fest, dass sie ab dem 1. Juli 2004 Anspruch auf eine Dreiviertelrente der Invalidenversicherung habe. Die IV-Stelle wurde verpflichtet, ihr eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 5'097.95 (inkl. Auslagen und 7,6 % Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
C. Die IV-Stelle Basel-Landschaft führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben.
K._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen und um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen. Das kantonale Gericht beantragt die teilweise Gutheissung des Eventualbegehrens. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen und Grundsätze zum Invaliditätsbegriff (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>), zum Anspruch auf eine Invalidenrente (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 geltenden Fassung) und zur Bestimmung des Invaliditätsgrades bei erwerbstätigen Personen nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law>) zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die Ausführungen über die Aufgabe des Arztes oder der Ärztin im Rahmen der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> E. 2 S. 134; vgl. auch <ref-ruling> E. 4 S. 261) sowie über den Beweiswert und die Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 3 S. 352 ff.). Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Nach unbestrittener und nicht offensichtlich unrichtiger Feststellung der Vorinstanz (E. 1) ist die Versicherte seit 1. Juli 2003 in ihrem angestammten Beruf als Sozialberaterin sowie in sämtlichen leichten Tätigkeiten zu 50 % arbeitsfähig. Unbestritten ist auch, dass sie als Gesunde zu 100 % erwerbstätig wäre. Streitig und zu prüfen sind die Höhe des hypothetischen Einkommens ohne Invalidität (Valideneinkommen) sowie des Invalideneinkommens und der daraus resultierende Invaliditätsgrad.
3.2 Auf der nicht medizinischen beruflich-erwerblichen Stufe der Invaliditätsbemessung charakterisieren sich als Rechtsfragen die gesetzlichen und rechtsprechungsgemässen Regeln über die Durchführung des Einkommensvergleichs (<ref-ruling> E. 3.4 S. 348, 128 V 29 E. 1 S. 30, 104 V 135 E. 2a und b S. 136 f.). In dieser Sicht stellt sich die Feststellung der beiden hypothetischen Vergleichseinkommen als Tatfrage dar, soweit sie auf konkreter Beweiswürdigung beruht, hingegen als Rechtsfrage, soweit sich der Entscheid nach der allgemeinen Lebenserfahrung richtet. Letzteres betrifft etwa die Fragen, ob Tabellenlöhne anwendbar sind und welches die massgebliche Tabelle ist (<ref-ruling> E. 3.3 S. 399; Urteil 8C_255/2007 vom 12. Juni 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>) sowie die Wahl der zutreffenden Stufe (Anforderungsniveau 1, 2, 3 oder 4; Urteile I 860/06 vom 7. November 2007 E. 3.2; I 732/06 vom 2. Mai 2007 E. 4.2.2) und des zu berücksichtigenden Wirtschaftszweigs oder Totalwertes (vgl. Urteil 9C_395/2008 vom 9. Oktober 2008 E. 5.3). Demgegenüber beschlägt der Umgang mit den Zahlen in der massgeblichen LSE-Tabelle eine Tatfrage. Schliesslich ist die Frage, ob ein (behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter) Leidensabzug vorzunehmen sei, eine Rechtsfrage, während jene nach der Höhe des Abzuges eine typische Ermessensfrage darstellt, deren Beantwortung letztinstanzlicher Korrektur nur mehr dort zugänglich ist, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat (<ref-ruling> E. 3.3 S. 399).
4. 4.1 Die Vorinstanz hat das Valideneinkommen auf Fr. 84'857.- festgesetzt. Die Versicherte habe vom 1. September 1999 bis 30. Juni 2003 als Sozialarbeiterin und Sozialpädagogin gearbeitet. Gestützt auf den dabei erzielten Verdienst lasse sich das hypothetische Valideneinkommen zuverlässig ermitteln. Die IV-Stelle macht geltend, der Arbeitsvertrag für die zuletzt ausgeübte Tätigkeit sei befristet gewesen und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit habe kein Arbeitsverhältnis mehr bestanden. Daher sei nicht auf den früher erzielten Lohn, sondern auf die Tabellenlöhne der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) des Bundesamtes für Statistik abzustellen und ein Valideneinkommen von Fr. 78'647.- zu veranschlagen.
4.2 Ausschlaggebend für die Höhe des Valideneinkommens ist nicht der statistisch ermittelte, durchschnittlich erzielbare Lohn, sondern das Einkommen, das die Versicherte mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erzielen würde, wenn sie nicht invalid geworden wäre. Das vor dem Eintritt des Gesundheitsschadens erzielte Einkommen ist dafür in der Regel der Anknüpfungspunkt; doch ist davon abzuweichen, wenn mit überwiegender Wahrscheinlichkeit etwas anderes erstellt ist (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 224; Urteil 9C_432/2008 vom 18. September 2008 E. 3.2).
Das Bundesgericht war im Urteil I 197/06 vom 15. März 2007 der Auffassung, es fehle an einer verlässlichen tatsächlichen Grundlage für die Berechnung des hypothetischen Valideneinkommens, weil ein bei Eintritt des Gesundheitsschadens bestehendes sowie ein späteres Arbeitsverhältnis nicht aus gesundheitlichen Gründen aufgelöst worden seien und der Versicherte in den Jahren davor im Rahmen relativ kurzer Anstellungen bei verschiedenen Arbeitgebern schwankende Einkommen erzielt habe; es zog daher die Tabellenlöhne der LSE bei. Im vorliegenden Fall ist jedoch nicht auszuschliessen, dass die Befristung des letzten Arbeitsverhältnisses aus gesundheitlichen Gründen erfolgte, zumal die Beschwerdeführerin seit einem am 23. Dezember 2000 erlittenen Myokardinfarkt an gesundheitlichen Beeinträchtigungen leidet. Ausserdem dauerte das dem befristeten unmittelbar vorangehende Arbeitsverhältnis drei Jahre, was nicht als kurz bezeichnet werden kann. Schliesslich verfügt die Versicherte über eine spezifische Ausbildung für die während knapp vier Jahren bis zum Eintritt der invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit ausgeübten Tätigkeiten (vgl. E. 4.4). Dass die Vorinstanz für die Ermittlung des Valideneinkommens auf die konkreten Arbeitsverhältnisse statt auf die Tabellenlöhne der LSE abgestellt hat, verletzt Bundesrecht nicht.
4.3 Das kantonale Gericht hat ein Invalideneinkommen von Fr. 28'939.- angenommen, was zu einem Invaliditätsgrad von 66 % führte. Ausgehend vom monatlichen Bruttolohn von Frauen in allen Wirtschaftszweigen des privaten Sektors (Tabelle TA1) für Berufs- und Fachkenntnisse voraussetzende Tätigkeiten (Anforderungsniveau 3 des Arbeitsplatzes) gemäss LSE 2004 hat es eine betriebsübliche durchschnittliche Wochenarbeitszeit von 41,7 Stunden, die gesundheitlich bedingte Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 50 % sowie einen leidensbedingten Abzug von 5 % berücksichtigt. Nach Auffassung der Verwaltung ist das Invalideneinkommen auf der Grundlage der Anforderungsniveaus 1 und 2 (Verrichtung höchst anspruchsvoller und schwierigster resp. selbstständiger und qualifizierter Arbeiten) und für Tätigkeiten im Gesundheits- und Sozialwesen zu bestimmen.
4.4 Nach vorinstanzlicher Feststellung kann die Beschwerdeführerin ihre angestammte Tätigkeit (in reduziertem Pensum) nur noch insoweit ausüben, als diese sitzend zu verrichten und körperlich nicht belastend ist. Das kantonale Gericht hat die Arbeit als Sozialpädagogin als körperlich zu belastend erachtet, jene als Sozialberaterin in körperlich angepassten Tätigkeiten jedoch für zumutbar gehalten. Die Versicherte sei in der Lage, ihre Berufs- und Fachkenntnisse als diplomierte Sozialpädagogin und -beraterin weiterhin einzusetzen. Daraus hat es in rechtlicher Hinsicht den Schluss gezogen, für die Berechnung des Invalideneinkommens sei auf das Anforderungsniveau 3 abzustellen, während es die Wahl des Totalwertes für alle Tätigkeiten nicht begründet hat. In Bezug auf die Vornahme eines Abzuges vom Tabellenlohn hat es erwogen, der krankheitsbedingten Behinderung sei bereits durch die Annahme eines deutlich reduzierten Arbeitspensums Rechnung getragen worden; es komme lediglich ein Abzug von 5 % in Frage, da die Versicherte nur in geringem Masse körperlich bedingt in der Umsetzung ihrer beruflichen Fähigkeiten eingeschränkt sei.
Die Feststellungen der Vorinstanz als solche sind weder offensichtlich unrichtig, noch beruhen sie auf einer Rechtsverletzung, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich sind (E. 1). Die Versicherte hat sich an der Fachhochschule zur "dipl. Sozialarbeiterin/Sozialpädagogin HFS" ausbilden lassen und in der Folge ihrer Ausbildung entsprechende Tätigkeiten ausgeübt. Dabei hat sie zumindest selbstständige und qualifizierte Arbeiten verrichtet und ein höheres Einkommen (vgl. E. 4.1 und 4.2) erzielt, als Frauen im Gesundheits- und Sozialwesen bei den Anforderungsniveaus 1 und 2 gemäss LSE 2004 durchschnittlich verdienten (Fr. 6'317.- x 12 : 40 x 41,5). Inwiefern ihre Arbeitsfähigkeit (oder deren Verwertbarkeit) in Bezug auf den Wirtschaftszweig und das Anforderungsniveau eingeschränkt sein soll, ist - gerade im Lichte der vorinstanzlichen Feststellungen - nicht ersichtlich. Bei der Festsetzung des Invalideneinkommens ist daher auf den Tabellenlohn abzustellen, welcher den bisherigen Tätigkeiten entspricht (LSE 2004, TA1 Frauen im Gesundheits- und Sozialwesen, Anforderungsniveau 1+2). Soweit der vorinstanzliche Entscheid davon abweicht, verletzt er Bundesrecht.
4.5 Gestützt auf den massgeblichen Tabellenlohn und unter Berücksichtigung der gesundheitlich bedingten Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 50 % sowie des nicht zu beanstandenden (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2. S. 481; <ref-ruling>; Urteil 9C_382/2007 vom 13. November 2007 E. 6) Abzuges vom Tabellenlohn von 5 % ergibt sich ein Invalideneinkommen von Fr. 37'357.-. Daraus resultiert bei einem Invaliditätsgrad von 56 % ein Anspruch auf eine halbe Rente der Invalidenversicherung. Die Beschwerde ist begründet.
5. 5.1 Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>).
5.2 Dem Begehren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) kann entsprochen werden, weil die Bedürftigkeit auf Grund der eingereichten Unterlagen als ausgewiesen gelten kann, die Vertretung durch einen Rechtsanwalt oder eine Rechtsanwältin als geboten erscheint und die Rechtsbegehren nicht als aussichtslos bezeichnet werden können (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135, 128 I 225 E. 2.5.3 S. 235). Die Beschwerdegegnerin wird der Gerichtskasse jedoch Ersatz zu leisten haben, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, vom 7. März 2008 aufgehoben.
2. Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Advokatin Kathrin Bichsel, Basel, wird als unentgeltliche Anwältin der Beschwerdegegnerin bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.- ausgerichtet.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, der Ausgleichskasse Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Januar 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Dormann