Faits:
A.
S._ s'est inscrit au chômage le 6 décembre 2010. Un délai cadre d'indemnisation lui a été ouvert dès le 1er janvier 2011.
Du 26 au 30 décembre 2011, l'assuré a pris des vacances et été libéré de son obligation de rechercher un emploi durant cette période.
Par décision du 20 janvier 2012, l'Office régional de placement de Lausanne (ORP) a suspendu le droit de l'assuré à l'indemnité de chômage pour une durée de 5 jours à compter du 1er janvier 2012, au motif que celui-ci n'avait pas déposé ses recherches d'emploi du mois de décembre 2011 dans le délai prescrit (soit au plus tard le 5 janvier 2012).
Le 25 janvier 2012 (timbre postal), l'assuré s'est opposé à cette décision. Il a expliqué qu'en raison des fêtes de fin d'année et de son départ en vacances, il avait malencontreusement oublié de remettre le formulaire requis. Il a joint le document à son opposition. Dans une nouvelle décision du 28 mars 2012, le Service cantonal de l'emploi a partiellement admis l'opposition en ce sens qu'il a réduit la durée de la suspension à quatre jours.
B.
S._ a recouru contre cette dernière décision devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois.
Par jugement du 1er octobre 2012, le tribunal cantonal a admis le recours et annulé la décision attaquée.
C.
Le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) interjette un recours en matière de droit public. Il conclut à l'annulation du jugement cantonal et à la confirmation de la décision prononcée en première instance.
Le Service cantonal de l'emploi forme également un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal dont il requiert l'annulation en concluant à la confirmation de sa décision sur opposition du 28 mars 2012.
S._ s'est déterminé sur les recours, en concluant à leur rejet.

Considérant en droit:
1.
Les recours en matière de droit public concernent des faits de même nature, portent sur des questions juridiques communes et sont dirigés contre le même jugement. Il se justifie donc de joindre les causes et de les liquider dans un seul arrêt (<ref-ruling> consid. 1 p. 60; <ref-ruling> consid. 1 p. 126; <ref-ruling> consid. 1 p. 215 et les références).
2.
2.1. D'après l'<ref-law>, ont notamment qualité pour interjeter un recours de droit public au Tribunal fédéral la Chancellerie fédérale, les départements fédéraux ou, pour autant que le droit fédéral le prévoie, les unités qui leur sont subordonnées, si l'acte attaqué est susceptible de violer la législation fédérale dans leur domaine d'attribution. En l'occurrence, le seco peut se prévaloir de la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral contre les jugements rendus par les tribunaux cantonaux des assurances, que lui confère l'<ref-law> dans le domaine de l'assurance-chômage.
2.2. Quant à la qualité pour recourir du Service cantonal de l'emploi, elle se déduit de l'<ref-law> en corrélation avec l'art. 89 al. 2 let. d LTF.
3.
Le jugement entrepris expose les dispositions légales relatives à la suspension du droit aux indemnités de chômage (art. 30 al. 1 let. c LACI) et à l'obligation des assurés d'apporter la preuve de leurs efforts en vue de retrouver un emploi (<ref-law>). On peut y renvoyer sur ces points.
On rappellera qu'aux termes de l'<ref-law>, dans sa teneur en vigueur dès le 1er avril 2011 (RO 2011 1179), l'assuré doit remettre la preuve de ses recherches d'emploi pour chaque période de contrôle au plus tard le cinq du mois suivant ou le premier jour ouvrable qui suit cette date. A l'expiration de ce délai, et en l'absence d'excuse valable, les recherches d'emploi ne sont plus prises en considération.
4.
4.1. Le premier juge a retenu que S._ avait eu un comportement irréprochable pendant plus d'une année précédant son oubli de remettre ses recherches d'emploi du mois de décembre 2011. Se référant à la casuistique en matière de suspension du droit à l'indemnité, il a estimé que le prénommé n'avait pas à être traité plus sévèrement qu'un assuré qui manque par erreur un entretien avec son conseiller pour la première fois et dont le comportement montre qu'il prend par ailleurs ses obligations de chômeur au sérieux, cas de figure dans lequel le Tribunal fédéral avait déjà plusieurs fois jugé qu'une sanction ne se justifiait pas (voir les arrêts 8C_834/2010 du 11 mai 2011 consid. 2.3, 8C_469/2010 du 9 février 2011 consid. 2.3, et 8C_447/2008 du 16 octobre 2008 consid. 5.1 in: DTA 2009 p. 271). Cette solution s'imposait d'autant plus qu'un chômeur qui ne se rend pas à une entrevue avec son conseiller perd une opportunité d'être informé sur les possibilités d'orientation, de formation et de placement existantes, tandis que l'intimé n'avait, pour sa part, perdu aucune occasion d'être conseillé ou placé sur le marché du travail du fait de son oubli.
4.2. Les recourants font valoir qu'on ne saurait faire une correspondance entre le motif de sanction consistant à omettre de participer à un entretien de conseil et celui d'oublier de remettre ses recherches d'emploi dans le délai prescrit. Selon le texte de l'ordonnance, ne pas fournir ses recherches d'emploi à temps équivaut à ne pas en avoir effectué du tout. Or, l'assuré était tenu de démontrer chaque mois sa volonté de retrouver un emploi en apportant la preuve des recherches effectuées. En outre, une exemption de la sanction ne pouvait intervenir que si l'assuré concerné avait dépassé le délai prévu pour un motif valable. Dans le cas d'espèce, les circonstances invoquées par l'intimé ne constituaient pas un tel motif. Dès lors que le juge cantonal avait statué sur la base de considérations qui ne se trouvaient pas en relation avec le but et l'intention du législateur, son jugement devait être annulé.
5.
Dans un arrêt récent publié aux <ref-ruling> (8C_601/2012 du 26 février 2013), le Tribunal fédéral a admis la conformité à la loi du nouvel article 26 al. 2 OACI qui ne prévoit plus l'octroi d'un délai de grâce comme dans son ancienne version, dont le texte avait été mis en parallèle avec celui de l'<ref-law> (voir <ref-ruling> consid. 6.2 p. 91). Dans ce contexte, il a souligné que cette disposition de l'ordonnance constitue une concrétisation des <ref-law> et 30 al. 1 let. c LACI, en vertu desquels un assuré doit apporter la preuve de ses efforts en vue de rechercher du travail pour chaque période de contrôle sous peine d'être sanctionné. Il a également déclaré que la suspension du droit à l'indemnité est exclusivement soumise aux dispositions spécifiques de l'assurance-chômage, en particulier l'<ref-law> ainsi que les dispositions d'exécution adoptées par le Conseil fédéral, et non pas à la LPGA. Le Tribunal fédéral a en déduit que la loi n'impose pas de délai supplémentaire et que, sauf excuse valable, une suspension du droit à l'indemnité peut être prononcée si les preuves ne sont pas fournies dans le délai de l'<ref-law>, peu importe qu'elles soient produites ultérieurement, par exemple dans une procédure d'opposition.
Compte tenu de ce qui précède, on doit donner raison aux recourants et constater qu'il n'y a pas de place pour une extension de la jurisprudence rendue dans les cas où les assurés oublient une fois de se rendre à un entretien de conseil à ceux dans lesquels ils déposent leurs justificatifs en dehors du délai prescrit pour la première fois. Le Service cantonal de l'emploi était donc fondé à confirmer la suspension du droit de l'indemnité à l'encontre de l'intimé dès lors qu'il est établi que celui-ci a envoyé ses recherches d'emploi le 25 janvier 2012 au lieu du 5 janvier 2012. Quant à la durée de la sanction prononcée - quatre jours - elle n'apparaît pas critiquable vu que l'intimé a réagi seulement après avoir pris connaissance de la décision de suspension et de surcroît largement - vingt jours - après le délai dont il disposait à cet effet (voir pour comparaison l'arrêt 8C_601/2012 précité).
Les recours se révèlent ainsi bien fondés.
6.
L'intimé, qui succombe, supporte les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Les causes 8C_885/2012 et 8C_886/2012 sont jointes.
2.
Les recours sont admis et le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois du 1er octobre 2012 est annulé. La décision sur opposition du 28 mars 2012 est confirmée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal vaudois, Cour des assurances sociales.
Lucerne, le 2 juillet 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Ursprung
La Greffière: von Zwehl