Sachverhalt:
A. A.a Die 1958 geborene H._ war bis 30. September 1995 als stellvertretende Abteilungsleiterin in der Firma X._ tätig und dadurch bei der Elvia Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Elvia; heute: Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG; nachfolgend: Allianz) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 27. Dezember 1994 war sie mit der S-Bahn auf dem Weg zur Arbeit, als der Zug auf einen Prellbock auffuhr und entgleiste. H._ klagte danach über verschiedene gesundheitliche Beschwerden. Die Elvia erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Sie holte sodann nebst weiteren Abklärungen ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten der MEDAS am Spital Z._ (nachfolgend: MEDAS Z._) vom 28. Oktober 1996 ein. Mit Verfügung vom 19. Mai 1998 teilte die Elvia der Versicherten mit, dass aufgrund eines - tags zuvor telefonisch abgeschlossenen - Vergleichs ab 1. Juni 1998 eine Rente der Unfallversicherung (UV) aufgrund eines Invaliditätsgrades von 80 % ausgerichtet werde. Ebenfalls vergleichsweise wurde eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage eines Integritätsschadens von 50 % festgesetzt und zugesprochen.
A.b Am 3. August 2009 gab die Schweizerische Invalidenversicherung (IV), welche H._ ihrerseits seit Oktober 1995 eine (zunächst ganze, ab April 1996 halbe) Invalidenrente ausrichtete, bei der MEDAS A._ GmbH (nachfolgend: MEDAS A._) ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten in Auftrag, welches am 27. Mai 2010 erstattet wurde. Die Allianz verfügte, nachdem sie von diesem Gutachten Kenntnis erhalten hatte, am 8. Oktober 2010, die UV-Rente werde per 1. September 2010 eingestellt, da eine wesentliche gesundheitliche Verbesserung eingetreten sei, welche eine Rentenrevision rechtfertige; zudem bestehe auch ein Wiedererwägungsgrund. Daran hielt der Unfallversicherer mit Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2010 fest. H._ reichte Beschwerde beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau ein. Dieses bestätigte mit Entscheid vom 18. August 2011 einen Wiedererwägungsgrund und wies die Beschwerde ab.
Die von der Versicherten hiegegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hiess das Bundesgericht mit Urteil 8C_727/2011 (<ref-ruling>) vom 1. März 2012 teilweise gut. Es verneinte die Voraussetzungen für eine Wiedererwägung, hob den kantonalen Entscheid vom 18. August 2011 auf und wies die Sache an das Versicherungsgericht zurück, damit dieses die kantonale Beschwerde, soweit die Voraussetzungen für eine Rentenrevision betreffend, prüfe und darüber neu entscheide.
B. Mit Entscheid vom 31. Mai 2012 hiess das Versicherungsgericht die Beschwerde gut. Es verneinte einen Rentenrevisionsgrund, hob den Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2010 auf und stellte fest, die Versicherte habe auch ab 1. September 2010 Anspruch auf eine UV-Invalidenrente entsprechend einem Invaliditätsgrad von 80 %.
C. Die Allianz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheids vom 31. Mai 2012 sei der Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2010 zu bestätigen. In der Begründung wird am Vorliegen eines Rentenrevisionsgrundes festgehalten. Zudem wird geltend gemacht, die Vorinstanz hätte bei Verneinung eines Rentenrevisionsgrundes eine prozessuale Revision der Rentenverfügung vornehmen müssen.
H._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 317 f. mit Hinweis). Trotzdem obliegt es der Beschwerde führenden Partei, sich in ihrer Beschwerde sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 584; je mit Hinweisen).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Wie das kantonale Gericht zutreffend dargelegt hat, wird die Rente bei einer erheblichen Änderung des Invaliditätsgrades von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Anlass zu einer solchen Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen, etwa hinsichtlich des Gesundheitszustandes, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Rentenanspruch zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 3.5 S. 349; siehe auch <ref-ruling>). Dabei steht der Umstand, dass die Invalidenrente gestützt auf einen Vergleich zugesprochen wurde, einer Revision nicht entgegen (vgl. SVR 2011 IV Nr. 35 S. 103, 9C_662/2010 E. 2.3 mit Hinweis; Urteil 8C_781/2008 vom 23. Juni 2009 E. 6).
Ist eine anspruchserhebliche Änderung des Sachverhalts nicht mit dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181; SVR 2012 UV Nr. 5 S. 17, 8C_310/2011 E. 4.1) erstellt, bleibt es nach dem Grundsatz der materiellen Beweislast beim bisherigen Rechtszustand (vgl. SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81, 9C_418/2010 E. 3.1 mit Hinweis).
2.1 Gemäss dem angefochtenen Entscheid bilden die Rentenverfügung vom 19. Mai 1998 einerseits und der Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2010 anderseits die zeitlichen Vergleichspunkte für die Beurteilung der Frage, ob eine wesentliche Veränderung eingetreten ist. Das ist zu Recht nicht umstritten.
2.2 Als revisionsbegründende Änderung steht eine wesentliche Verbesserung des Gesundheitszustandes, und damit einhergehend der Arbeitsfähigkeit, zur Diskussion.
Das kantonale Gericht hat eine solche Veränderung verneint. Soweit nunmehr von ärztlicher Seite andere Folgerungen getroffen würden, als sie der Rentenzusprechung zugrunde gelegen hätten, beruhe dies lediglich auf einer abweichenden Beurteilung des gleich gebliebenen Gesundheitszustandes. Die Allianz hält an ihrer Auffassung, wonach sich der Gesundheitszustand wesentlich verbessert habe, fest.
2.3 Die abweichende medizinische oder rechtliche Einschätzung von im Wesentlichen unveränderten tatsächlichen Verhältnissen führt nicht zu einer materiellen Revision. Bloss auf einer anderen Wertung beruhende, revisionsrechtlich unerhebliche Differenzen sind daher von revisionsbegründenden tatsächlichen Veränderungen abzugrenzen. Eine ärztliche Schlussfolgerung, die von der früheren abweicht, obwohl sich der beurteilte Gesundheitszustand effektiv nicht verändert hat, ist meist auf eine unterschiedliche Ausübung des medizinischen Ermessens zurückzuführen. Auch eine Veränderung von versicherungsmedizinischen Beurteilungsparametern kann zu einer abweichenden ärztlichen Schlussfolgerung hinsichtlich eines tatsächlich gleich gebliebenen Zustandes führen (erwähntes Urteil SVR 2012 IV Nr. 18 E. 4.1 mit Hinweisen; Urteil 8C_459/2012 vom 8. November 2012 E. 4.2.1).
2.4 Die Vorinstanz hat erkannt, im Zeitpunkt der Verfügung vom 19. Mai 1998 habe das Gutachten der MEDAS Z._ vom 28. Oktober 1996 vorgelegen. Im Vergleichszeitpunkt des Einspracheentscheids vom 6. Dezember 2010 stütze sich die Allianz auf das Gutachten der MEDAS A._ vom 27. Mai 2010. Aus diesen medizinischen Akten ergebe sich keine Veränderung des Gesundheitszustandes.
2.5 Konkret führt das kantonale Gericht zunächst aus, in somatischer Hinsicht habe weder bei der MEDAS-Begutachtung von 1996 noch im Jahr 2010 ein organisch objektivierbares Korrelat für die geklagten Schmerzen gefunden werden können. In beiden Zeitpunkten habe ein cervico-cephales Schmerzsyndrom vorgelegen. In der MEDAS-Expertise von 2010 werde sogar aufgeführt, bereits 1996 seien alle heute zu objektivierenden Befunde erhoben worden. Weder eine Verschlechterung noch eine Verbesserung der Befunde sei dokumentiert.
Diese Beurteilung ist nicht umstritten und gibt keinen Anlass zu Weiterungen.
2.6 Das kantonale Gericht ist sodann zum Ergebnis gelangt, dasselbe Bild ergebe sich in psychischer Hinsicht. Der einzige Unterschied bestehe darin, dass das immer noch gleiche Beschwerdebild früher neuropsychologischen Funktionseinschränkungen zugeordnet worden sei, während heute psychische Gründe für die Einschränkung der Arbeitsfähigkeit angeführt würden.
2.6.1 Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen und überzeugenden Würdigung der beiden MEDAS-Gutachten. Hervorzuheben ist, dass in der Expertise der MEDAS Z._ vom 28. Oktober 1996 eine 40 %ige Arbeitsunfähigkeit insbesondere aufgrund neuropsychologischer Einschränkungen bestätigt wurde. Im Gutachten der MEDAS A._ vom 27. Mai 2010 wird nun ausgeführt, aus psychiatrischen Gründen sei von einer um 30 % eingeschränkten Arbeitsunfähigkeit auszugehen. Dabei könne auf die jetzigen neuropsychologischen Untersuchungen nicht abgestellt werden, da von einer Symptomverfälschung auszugehen sei. Retrospektiv müsse dies anhand der berichteten neuropsychologischen Befunde 1996 auch für die damalige Testuntersuchung angenommen werden. Weiter äussern sich die Experten der MEDAS A._ dahin gehend, es seien bereits im früheren MEDAS-Gutachten alle heute zu objektivierenden Befunde erhoben worden und die daraus gezogenen Schlussfolgerungen seien mit den eigenen Beurteilungen kompatibel. Lediglich die Schlussfolgerung, dass die gezeigten neuropsychologischen Einschränkungen die zumutbare Restarbeitsfähigkeit relevant einschränkten, könne nicht geteilt werden. Aus heutiger Gutachtersicht habe aufgrund der festgestellten Störungen nie eine Arbeitsunfähigkeit von mehr als 30 % vorgelegen.
Wenn die Vorinstanz darauf geschlossen hat, es liege lediglich eine abweichende medizinische Würdigung des im Wesentlichen gleich gebliebenen Gesundheitszustandes vor, ist dies im Lichte dieser gutachterlichen Aussagen nicht zu beanstanden.
2.6.2 Was die Beschwerdeführerin vorbringt, führt zu keiner anderen Betrachtungsweise.
Geltend gemacht wird, das kantonale Gericht sei zu Unrecht davon ausgegangen, es habe bereits 1998 eine voll ausgeprägte Somatisierungsstörung bestanden. Die Vorinstanz hat indessen zutreffend ausgeführt, dass die in der Expertise der MEDAS A._ vom 27. Mai 2010 diagnostizierte Somatisierungsstörung gemäss Beurteilung der begutachtenden Fachärzte wohl bereits ca. 1995 begonnen hat. Entscheidend ist aber ohnehin, dass in diesem neuen MEDAS-Gutachten letztlich nur die im Wesentlichen gleich gebliebenen Beschwerden einer anderen Diagnose zugeordnet wurden.
Beanstandet wird sodann, die Vorinstanz habe die Berichte des behandelnden Psychiaters Dr. med. R._ nicht berücksichtigt. Dieser habe im Jahr 1997 eine deutliche Depression und ein mit einer posttraumatischen Belastungsstörung vereinbares psychisches Zustandsbild geschildert. In der Expertise der MEDAS A._ vom 27. Mai 2010 gelangte der psychiatrische Gutachter indessen, in Kenntnis der Berichte des Dr. med. R._, zum Ergebnis, es liege kein depressives Zustandsbild vor. Er äusserte sich weiter dahin gehend, die Befunde gingen konform mit den früheren Untersuchungsergebnissen gemäss Expertise der MEDAS Z._ vom 28. Oktober 1996. Im Lichte dieser Experteneinschätzung ist nicht zu beanstanden, wenn sich die Vorinstanz durch die Berichte des Dr. med. R._ zu keiner anderen Beurteilung veranlasst sah.
Die Beschwerdeführerin macht weiter eine seit 1996 eingetretene deutliche gesundheitliche Besserung aus neuropsychologischer Sicht geltend. Sie beruft sich dabei namentlich auf das Gutachten der MEDAS A._ vom 27. Mai 2010. Aus diesem ergibt sich indessen wie dargelegt lediglich, dass die im Wesentlichen gleich gebliebenen Beschwerden neu nicht mehr neuropsychologisch, sondern mit dem psychischen Gesundheitszustand erklärt wurden. Eine gesundheitliche Veränderung ist damit nicht dargetan.
2.6.3 Zusammenfassend hat die Vorinstanz eine namhafte gesundheitliche Besserung zu Recht verneint.
Dass sich die erwerblichen Auswirkungen des Gesundheitszustandes verändert hätten, hat das kantonale Gericht ebenfalls ausgeschlossen. Dagegen werden keine Einwendungen erhoben. Demnach sind die Voraussetzungen für die vom Unfallversicherer vorgenommene revisionsweise Aufhebung der Rente gemäss <ref-law> nicht erfüllt. Die Beschwerde ist diesbezüglich abzuweisen.
3. Die Allianz macht sodann geltend, aufgrund der Erkenntnisse der Symptomvalidierungstests sei mit dem Gutachten der MEDAS A._ vom 27. Mai 2010 davon auszugehen, dass schon 1996 keine neuropsychologischen Defizite bestanden hätten. Dies habe jedoch damals noch nicht nachgewiesen werden können, da noch keine Symptomvalidierungstests bestanden hätten. Solche Tests stünden, wie der Stellungnahme des Neuropsychologen Dr. phil. D._ vom 6. Juli 2012 zu entnehmen sei, erst etwa seit dem Jahr 2000 zur Verfügung. Die Tatsache, dass die Versicherte bereits 1996 aggraviert resp. simuliert habe, habe erst anlässlich der MEDAS-Begutachtung von 2010 durch die früher noch nicht zur Verfügung gestandenen Systemvalidierungstests nachgewiesen werden können. Die Vorinstanz hätte daher die Beschwerde mit der substituierten Begründung der prozessualen Revision der Rentenverfügung in Anwendung von <ref-law> abweisen müssen.
Die Beschwerdegegnerin wendet namentlich ein, die Allianz berufe sich erst nach Ablauf der hiefür geltenden Frist und damit verspätet auf einen prozessualen Revisionsgrund.
3.1 Gemäss <ref-law> müssen formell rechtskräftige Verfügungen und Einspracheentscheide in Revision gezogen werden, wenn die versicherte Person oder der Versicherungsträger nach deren Erlass erhebliche neue Tatsachen entdeckt oder Beweismittel auffindet, deren Beibringung zuvor nicht möglich war. Solche neue Tatsachen oder Beweismittel sind innert 90 Tagen nach ihrer Entdeckung geltend zu machen; zudem gilt eine absolute zehnjährige Frist, die mit der Eröffnung der Verfügung zu laufen beginnt (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; SVR 2012 IV Nr. 36 S. 140, 9C_896/2011 E. 4.2; 2012 UV Nr. 17 S. 63, 8C_434/2011 E. 3, je mit Hinweisen).
Ergeben sich aus den neu entdeckten Tatsachen und Beweismitteln (lediglich) gewichtige Indizien für das Vorliegen eines prozessualen Revisionsgrundes, sind innert angemessener Frist zusätzliche Abklärungen vorzunehmen, um diesbezüglich hinreichende Sicherheit zu erhalten. In solchen Fällen beginnt die relative 90-tägige Revisionsfrist erst zu laufen, wenn die Unterlagen die Prüfung der Erheblichkeit des geltend gemachten Revisionsgrundes erlauben oder bei Säumnis in dem Zeitpunkt, in welchem der Versicherungsträger den unvollständigen Sachverhalt mit dem erforderlichen und zumutbaren Einsatz hätte hinreichend ergänzen können (erwähntes Urteil SVR 2012 IV Nr. 36 E. 4.2 mit Hinweis).
3.2 Die Beschwerdeführerin macht wie dargelegt geltend, die Tatsache, dass die Versicherte bereits 1996 aggraviert resp. simuliert habe, habe erst anlässlich der MEDAS-Begutachtung von 2010 durch die früher noch nicht zur Verfügung gestandenen Systemvalidierungstests nachgewiesen werden können.
Die MEDAS-Expertise von 27. Mai 2010 war der Allianz indessen spätestens im Zeitpunkt ihrer Verfügung vom 8. Oktober 2010 bekannt. Wenn sie sich nun erst in der letztinstanzlichen, vom 9. Juli 2012 datierenden Beschwerde darauf beruft, erfolgt dies jedenfalls nach der 90-tägigen Frist für die prozessuale Revision und somit verspätet.
Die bei der prozessualen Revision zu beachtende Frist wäre im Übrigen auch dann versäumt, wenn davon auszugehen wäre, erst das MEDAS-Gutachten habe den Anlass für weitere Abklärungen, wie die Einholung der letztinstanzlich eingereichten Stellungnahme des Dr. phil. D._ vom 6. Juli 2012, geboten (vgl. E. 3.1 zweiter Absatz hievor). Denn es ist ohne Weiteres darauf zu schliessen, dass zwischen der Kenntnisnahme des Versicherers vom MEDAS-Gutachten und dem Zeitpunkt, in welchem die Allianz ihre Anfrage an Dr. phil. D._ richtete, deutlich mehr als 90 Tage verstrichen sind. Damit wäre die entsprechende Abklärung ihrerseits zu spät erfolgt.
3.3 Nach dem Gesagten sind die Voraussetzungen für eine prozessuale Revision der Rentenverfügung nicht erfüllt. Die Beschwerde ist daher auch diesbezüglich unbegründet.
Damit kann offen bleiben, ob neue Methoden bei der Begutachtung überhaupt eine prozessuale Revision zu begründen vermöchten. Es muss auch nicht abschliessend beantwortet werden, ob die zur Stützung dieser Argumentation erst im vorliegenden Verfahren aufgelegte Stellungnahme des Dr. phil. D._ mit Blick auf das Novenverbot gemäss <ref-law> überhaupt zulässig ist. Ebenfalls offen bleiben kann, ob die besagten Systemvalidierungstests den Anforderungen an beweiskräftige medizinisch-diagnostische Abklärungsmethoden zu genügen vermöchten (vgl. hiezu: <ref-ruling> E. 5.1 S. 232 f.) und ob sie für den Zeitpunkt der Begutachtung von 2010 verlässliche Schlüsse hinsichtlich der neuropsychologischen Symptomatik ergeben haben. Denn unabhängig von der Beantwortung dieser Fragen bleibt es nach dem Gesagten dabei, dass die Beschwerde abzuweisen ist.
4. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Dezember 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz