Faits:
A. Le 20 septembre 2006, X._ a déposé plainte pénale auprès du Procureur général du canton de Genève contre Y._, pour escroquerie, éventuellement abus de confiance ou vol. Disant être actif dans le négoce des pierres précieuses et des bijoux, il alléguait que la dénoncée, une richissime ressortissante de Taïwan qui était sa cliente depuis 1999, lui avait fait savoir, au début 2006, qu'elle était à la recherche d'une parure exceptionnelle. Il lui en avait remise une, composée de 7 pièces, d'une valeur de CHF 38'850'000. En août 2006, la dénoncée l'avait informé qu'une expertise de la parure avait révélé que sa valeur n'excédait pas € 17'000'000. Par fax du 3 septembre 2006, elle s'était engagée à lui payer cette somme dès que possible. Depuis cette date, il avait vainement tenté d'obtenir le paiement ou la restitution de la parure.
Le 18 mai 2007, X._ a déposé une nouvelle plainte pénale contre Y._, pour infraction à l'<ref-law>.
B. Dans le cadre des investigations menées, le juge d'instruction a, notamment, entendu, séparément, X._ et, en qualité de témoin, Y._, lesquels ont fait des déclarations contradictoires. Au terme de l'enquête, il a transmis le dossier au Procureur général, sans inculpation.
C. Par ordonnance du 21 août 2007, le Procureur général a classé les plaintes de X._, celle du 20 septembre 2006 faute de prévention suffisante et celle du 18 mai 2007 pour des motifs d'opportunité.
D. Contre cette décision, X._ a recouru à la Chambre d'accusation genevoise.
Lors de l'audience du 26 septembre 2007, la Chambre d'accusation a écarté une demande de report de l'audience, formulée le 24 septembre 2007 par le nouveau conseil de X._, au motif que la convocation mentionnait expressément que l'audience serait consacrée à l'appel de la cause et aux éventuelles plaidoiries et que le recourant devait assumer les conséquences de sa décision de changer de conseil. La cause a ensuite été gardée à juger.
Par ordonnance du 12 décembre 2007, la Chambre d'accusation a rejeté le recours. Elle a écarté le grief par lequel le recourant se plaignait de n'avoir pas été autorisé par le juge d'instruction à prendre connaissance de la déposition de l'intimée et de diverses autres pièces du dossier. Pour le surplus, elle a confirmé le classement des plaintes.
E. X._ forme un recours en matière pénale et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral, pour violation de son droit d'être entendu et arbitraire dans l'appréciation des preuves. Il conclut à l'annulation de la décision attaquée et à la réouverture de la procédure pénale en vue de sa confrontation avec la dénoncée. Des déterminations n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1. La décision attaquée, qui est finale (<ref-law>), a été rendue en matière pénale (<ref-law>), par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>). Elle peut donc faire l'objet d'un recours en matière pénale (<ref-law>), de sorte que le recours constitutionnel subsidiaire est exclu (cf. <ref-law>).
2. Le recourant n'est manifestement pas un accusateur privé au sens de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 4 LTF. Au vu des infractions qu'il a dénoncées, il n'est pas non plus une victime au sens de l'<ref-law> et ne peut donc fonder sa qualité pour recourir sur l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF. Il n'est pas plus habilité à recourir sur la base de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 6 LTF, dès lors qu'il ne conteste plus le classement de sa plainte pour infraction à l'<ref-law> et que les autres infractions qu'il a dénoncées se poursuivent d'office. Le recourant revêt ainsi la qualité de simple lésé.
Selon la jurisprudence, le simple lésé n'a en principe pas qualité pour former un recours en matière pénale. L'action pénale, soit le droit de poursuivre et de punir les infractions, appartient en effet exclusivement à l'Etat. Elle ne profite qu'indirectement au simple lésé, qui n'a en principe qu'un intérêt de fait à sa mise en oeuvre. Celui-ci n'a d'intérêt juridique à obtenir l'annulation d'une décision relative à la conduite de l'action pénale que si cette décision porte atteinte aux droits procéduraux, dont la violation équivaut à un déni de justice formel, qui lui sont reconnus par le droit cantonal ou qui découlent directement du droit constitutionnel. Il n'est donc habilité à recourir que pour se plaindre de la violation de tels droits, notamment de son droit d'être entendu. Il ne peut remettre en cause, même de façon indirecte, la décision sur le fond, par exemple contester l'application de la loi matérielle ou se plaindre d'arbitraire dans l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 2 p. 229 ss).
3. Au vu de la jurisprudence précitée, le grief du recourant pris d'une appréciation arbitraire des preuves est irrecevable.
4. Le recourant se plaint à divers égards d'une violation de son droit d'être entendu.
4.1 Il fait d'abord valoir que, par le refus de renvoyer l'audience, la Chambre d'accusation cantonale l'a privé de son droit de plaider devant elle, en violation de l'art. 29 al. 2 Cst.
De jurisprudence constante, le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. n'implique pas que l'intéressé ait pu s'exprimer oralement devant l'autorité appelée à statuer; il suffit qu'il ait pu le faire par écrit (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 428 et les arrêts cités). Or, le recourant a pu faire valoir ses moyens dans le recours qu'il a adressé à la Chambre d'accusation cantonale. Le grief est dès lors infondé.
4.2 Le recourant voit ensuite une violation de son droit d'être entendu dans le fait que le juge d'instruction n'a pas inculpé la dénoncée, ne l'entendant que comme témoin. Il fonde ce grief sur l'<ref-law>/GE, en tant qu'il prescrit que "dès que l'enquête révèle des charges suffisantes, le juge d'instruction inculpe la personne faisant l'objet de son instruction".
Le grief ainsi formulé revient en réalité à invoquer une violation de l'<ref-law>/GE, au motif que les conditions d'une inculpation, à savoir l'existence de charges suffisantes, seraient réalisées. L'existence de telles charges constitue toutefois l'objet de la cause au fond, que le recourant n'est pas habilité, fût-ce indirectement, à remettre en cause (cf. supra, consid. 2). Partant, le grief est irrecevable.
4.3 Le recourant se plaint encore d'avoir été privé de la possibilité d'être confronté à la dénoncée. Ce faisant, il se borne à tirer les conséquences d'une absence d'inculpation, avant laquelle l'instruction est non-contradictoire (<ref-law>/GE), de sorte que le grief n'est en définitive pas distinct du précédent.
4.4 Dans le cadre de son grief d'arbitraire, le recourant reproche à la Chambre d'accusation cantonale d'avoir ignoré sa requête de consulter la teneur des enregistrements téléphoniques et de se déterminer sur ceux-ci.
On peut s'étonner d'un tel grief, dès lors que le recourant, à titre préalable, indique expressément que le présent recours ne porte pas sur le classement de sa plainte pour infraction à l'<ref-law>. Quoiqu'il en soit, le recourant n'établit aucunement avoir présenté la requête invoquée devant la Chambre d'accusation cantonale. Dans la mesure où il entendrait en réalité se plaindre de ce que l'autorité cantonale n'ait pas examiné son grief pris de ce qu'il n'a pas eu accès à certaines pièces du dossier, notamment aux enregistrements téléphoniques, sa critique serait dépourvue de tout fondement, comme cela ressort du considérant 3 de la décision attaquée.
5. Le recours doit ainsi être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre d'accusation du canton de Genève.
Lausanne, le 14 avril 2008
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Schneider Angéloz