Sachverhalt:
A. Die 1987 geborene, entmündigte und unter elterlicher Sorge stehende R._ bezieht eine ganze Rente der Invalidenversicherung und eine Hilflosenentschädigung wegen mittelschwerer Hilflosigkeit. Seit März 2005 lebt sie unter der Woche in der Stiftung A._ und an den Wochenenden sowie in den Ferien bei ihrer Mutter, G._, welche die elterliche Sorge alleine innehat. Die Mutter der Versicherten wohnte bis Juli 2009 in X._, Kanton Zürich, bevor sie nach Y._ im Kanton Aargau umzog. Mit Beschluss des Gemeinderates Z._/AG vom 7. September 2009 ging die Aufsicht über die entmündigte R._ von der Vormundschaftsbehörde X._ auf diejenige der Gemeinde Z._ über; gleichzeitig wurde G._ als Inhaberin des elterlichen Sorgerechts verpflichtet, für ihre Tochter eine Rechnung über deren Einnahmen und Ausgaben zu führen. Die Gemeinde X._, welche bislang Ergänzungsleistungen (EL) zur IV-Rente von R._ ausgerichtet hatte, ersuchte die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau, Ausgleichskasse (nachfolgend: SVA Aargau), um Festsetzung und Auszahlung dieser Leistung ab August 2009. Die zürcherische Gemeinde stellte sich auf den Standpunkt, mit der Wohnsitzverlegung der Versicherten in den Kanton Aargau sei auch die ergänzungsleistungsrechtliche Zuständigkeit auf diesen Kanton übergegangen. Mit Verfügung vom 2. November 2009 lehnte die SVA Aargau "die Zuständigkeit des Kantons Aargau ab" und wies "das Begehren um Ausrichtung einer Ergänzungsleistung" ab.
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hiess die von der Gemeinde X._ dagegen eingereichte Beschwerde mit Entscheid vom 10. August 2010 gut, hob die Verfügung der SVA Aargau vom 2. November 2009 auf und verpflichtete diese, den Anspruch von R._ auf Ergänzungsleistung materiell zu prüfen und darüber zu verfügen.
C. Die SVA Aargau führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Das Bundesgericht hat die Gemeinde X._, die als Mitinteressierte beigeladene R._ (vertreten durch ihre Mutter), das Versicherungsgericht des Kantons Aargau und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) zur Stellungnahme eingeladen, die beiden erstgenannten mit dem Hinweis, dass Stillschweigen zum Gesuch um aufschiebende Wirkung als Einverständnis ausgelegt werde.
Die Gemeinde X._ nimmt das Gesuch um aufschiebende Wirkung "zur Kenntnis" und verzichtet ausdrücklich auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde. Das BSV beantragt deren Gutheissung, während das Versicherungsgericht des Kanons Aargau und die Beigeladene auf eine Stellungnahme verzichten.

Erwägungen:
1. Beim angefochtenen vorinstanzlichen Entscheid handelt es sich aufgrund der dispositivmässigen Verpflichtung der SVA Aargau zur materiellen Prüfung des EL-Anspruchs und neuer Verfügung um einen Rückweisungsentscheid und damit um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>. Die für eine selbständige Anfechtung erforderliche Voraussetzung des nicht wiedergutzumachenden Nachteils im Sinne von lit. a dieser Bestimmung ist erfüllt, da die Sozialversicherungsanstalt gezwungen wird, entgegen ihrer Rechtsauffassung eine neue Verfügung zu erlassen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483; Urteil 8C_79/2010 vom 24. September 2010 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2. Das Bundesgericht prüft, ungeachtet dessen, dass die Beschwerdeführerin diesbezüglich keine Einwände erhebt, von Amtes wegen die formellen Gültigkeitserfordernisse des vorinstanzlichen Verfahrens, insbesondere auch die Frage, ob das kantonale Gericht zu Recht auf die Beschwerde eingetreten ist (<ref-ruling> E. 3 S. 25; <ref-ruling> E. 2 Ingress S. 9; <ref-ruling> E. 1.2 S. 95 mit Hinweis). - Die Gemeinde X._ war als bisher zuständige EL-Durchführungsstelle im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren aktivlegitimiert (vgl. <ref-ruling>). Es stellt sich indessen die Frage, ob sie nicht zunächst Einsprache gegen die Verfügung der SVA Aargau hätte erheben müssen.
2.1 Nach <ref-law> (SR 830.1) kann gegen Einspracheentscheide oder Verfügungen, gegen welche eine Einsprache ausgeschlossen ist, Beschwerde erhoben werden. Verfügungen der EL-Behörden sind, anders als etwa Verfügungen der IV-Stellen (vgl. <ref-law>), gestützt auf Art. 52 Abs. 1 erster Satzteil ATSG grundsätzlich mit Einsprache anfechtbar. Die Beschwerde ist demnach nicht gegeben. Sie kann erst gegen den Einspracheentscheid erhoben werden. Art. 52 Abs. 1 zweiter Satzteil ATSG sieht indessen - im EL-Verfahren als Ausnahme von der genannten Regel - vor, dass gegen prozess- und verfahrensleitende Verfügungen die Einsprache unzulässig ist, was nach <ref-law> wiederum den Beschwerdeweg öffnet.
Nach <ref-law> prüft der Versicherungsträger seine Zuständigkeit von Amtes wegen. Falls er sich als zuständig erachtet, stellt er dies durch Verfügung fest, wenn eine Partei die Zuständigkeit bestreitet (Abs. 2); erachtet er sich hingegen als unzuständig, tritt er durch Verfügung auf die Sache nicht ein, wenn eine Partei die Zuständigkeit behauptet (Abs. 3 der genannten Gesetzesbestimmung).
2.2 Der Vorinstanz ist insoweit beizupflichten, als die Verfügung der SVA Aargau vom 2. November 2009 nach ihrem tatsächlichen rechtlichen Bedeutungsgehalt eine Nichteintretensverfügung wegen örtlicher Unzuständigkeit im Sinne von <ref-law> darstellt (vgl. <ref-ruling> E. 2). Als solche setzt sie - anders als bei Bejahung der Zuständigkeit gemäss Abs. 2 von <ref-law> - dem Verwaltungsverfahren ein Ende, zumindest in denjenigen Fällen, in denen - wie hier - eine Weiterleitung an die als zuständig erachtete Stelle (<ref-law>) ausser Betracht fällt (vgl. SVR 2010 IV Nr. 40 S. 126, 9C_1000/2009 E. 1.2 zu Art. 90 und 92 BGG). Als Endverfügung gemäss <ref-law> kann eine solche Nichteintretensverfügung nicht als blosse prozess- und verfahrensleitende Verfügung im Sinne von Art. 52 Abs. 1 zweiter Satzteil ATSG qualifiziert werden (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 47). Das verfügte Nichteintreten hätte daher - wie in der Rechtsmittelbelehrung dargelegt - mittels Einsprache, nicht mit direkter Beschwerde ans kantonale Versicherungsgericht angefochten werden müssen.
2.3 Eine Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids aus formellen Gründen kommt dennoch nicht in Frage: Die unterschiedlichen Standpunkte der Parteien zur Frage der örtlichen Zuständigkeit sind ebenso bekannt wie die diesbezügliche Auffassung des kantonalen Gerichts. Es ist zudem offensichtlich allen Verfahrensbeteiligten daran gelegen, Klarheit darüber zu gewinnen, welcher Kanton für die Festsetzung und die Auszahlung der Ergänzungsleistung zuständig ist. Würde der angefochtene Entscheid aufgehoben und die Sache zur Durchführung des Einspracheverfahrens an die SVA Aargau zurückgewiesen, käme dies unter den gegebenen Umständen einem formellen Leerlauf gleich, welcher dem Gebot der Prozessökonomie zuwiderliefe (Urteil 8C_781/2010 vom 15. März 2011 E. 2.4 mit Hinweis).
3. Im Streite liegt die Zuständigkeit für die Festsetzung und die Auszahlung der Ergänzungsleistung ab 1. August 2009.
3. Im Streite liegt die Zuständigkeit für die Festsetzung und die Auszahlung der Ergänzungsleistung ab 1. August 2009.
3.1 3.1.1 Nach Art. 1a Abs. 3 aELG (aufgehoben auf Ende 2007) war der Kanton, in dem der Bezüger seinen Wohnsitz hatte, zuständig für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung. Der Wohnsitz im Sinne dieser Vorschrift bestimmt sich nach den Art. 23-26 ZGB (<ref-law> in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 ELG sowohl in der Fassung des am 1. Januar 2008 in Kraft getretenen neuen Rechts [SR 831.30] als auch in derjenigen des abgelösten aELG). Der zivilrechtliche Wohnsitz einer Person befindet sich an dem Ort, wo sie sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält (<ref-law>) und den sie sich zum Mittelpunkt ihrer Lebensinteressen gemacht hat (<ref-ruling> E. 3.1 S. 312; <ref-ruling> E. 1 S. 238; <ref-ruling> E. 3 S. 102). Der Aufenthalt an einem Ort zum Zweck des Besuchs einer Lehranstalt und die Unterbringung einer Person in einer Erziehungs-, Versorgungs-, Heil- oder Strafanstalt begründen keinen Wohnsitz (<ref-law>).
3.1.2 Rechtsprechungsgemäss wird jedoch in der letztgenannten Bestimmung lediglich die Vermutung angestellt, wonach der Aufenthalt am Studienort oder in einer Anstalt nicht bedeutet, dass auch der Lebensmittelpunkt an den fraglichen Ort verlegt worden ist. Diese Vermutung ist widerlegbar, insbesondere wenn eine urteilsfähige mündige Person freiwillig und selbstbestimmt, allenfalls vom "Zwang der Umstände" (etwa Angewiesensein auf Betreuung, finanzielle Gründe) diktiert, sich zu einem Anstaltsaufenthalt unbeschränkter Dauer entschlossen und überdies die Anstalt und den Aufenthaltsort frei gewählt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 600; <ref-ruling> E. 2.1 S. 239 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 312; <ref-ruling> E. 2b und c S. 239 ff.). Die Widerlegung der Vermutung gemäss <ref-law> und mithin die Annahme der Wohnsitzverlegung eines EL-Bezügers an den Anstaltsort konnte also nach der früheren gesetzlichen Regelung zu einem Wechsel in der ergänzungsleistungsrechtlichen Zuständigkeit führen (<ref-ruling>). Das Bundesgericht erkannte durchaus, dass diese Rechtslage die Standortgemeinden und -kantone von Einrichtungen zur Betreuung und Pflege Behinderter finanziell benachteiligte und dadurch letztlich der Mobilität der Betroffenen bei der Suche nach einer geeigneten Institution abträglich war, weil sich zum Teil Widerstand gegen ein vorgesehenes Heimprojekt oder die Aufnahme ausserkantonaler Heimbewohner regte. Es befand indessen, es bleibe Sache des Gesetzgebers, Abhilfe zu schaffen und gegebenenfalls ergänzungsleistungsrechtlich eine vom zivilrechtlichen Wohnsitz abweichende Lösung vorzusehen (<ref-ruling> E. 3.3 in fine S. 314; <ref-ruling> E. 2d in fine S. 242).
3.1.3 Eine derartige vom zivilrechtlichen Wohnsitz abweichende Regelung wurde im Bundesgesetz vom 24. Juni 1977 über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG; SR 851.1) verankert. Dessen Art. 5 bestimmt, dass der Aufenthalt in einem Heim, einem Spital oder einer andern Anstalt und die behördliche oder vormundschaftliche Versorgung einer mündigen oder entmündigten Person in Familienpflege keinen Unterstützungswohnsitz begründen; der Eintritt eines solchen Sachverhaltes beendigt denn auch einen bestehenden Unterstützungswohnsitz nicht (<ref-law>). Diese Regelung dient unter anderem dem Schutz der Standortkantone und soll den Anreiz nach kantonsexterner Unterbringung unterstützungsbedürftiger Personen verringern (Urteil 8C_79/2010 vom 24. September 2010 E. 7.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 2A.714/2006 vom 10. Juli 2007 E. 3.2). Der Gesetzgeber nahm dabei bewusst in Kauf, dass eine freiwillig in ein Heim eintretende und am Ort des Heims zivilrechtlichen Wohnsitz begründende Person ihren Unterstützungswohnsitz weiterhin dort hat, wo sie vor dem Heimeintritt ihren Lebensmittelpunkt hatte (Werner Thomet, Kommentar zum Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [ZUG], 2. Aufl. 1994, N. 109 zu Art. 5 und N. 153 zu <ref-law>).
3.2 Im Rahmen der Neugestaltung des Finanzausgleichs und der Aufgabenteilung zwischen Bund und Kantonen (NFA) wurde das bisher geltende Bundesgesetz vom 19. März 1965 über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (aELG) einer Totalrevision unterzogen. Das neue Bundesgesetz vom 6. Oktober 2006 (ELG) wurde auf den 1. Januar 2008 in Kraft gesetzt. Laut dessen Art. 21 Abs. 1 erster Satz wird - in Verbindung mit <ref-law> - die kantonale Zuständigkeit für die Festsetzung und die Auszahlung der Ergänzungsleistung grundsätzlich nach wie vor an den zivilrechtlichen Wohnsitz der bezugsberechtigten Person geknüpft. Der zweite Satz von Art. 21 Abs. 1 ELG stellt nun aber im Sinne einer Ausnahme klar, dass der Aufenthalt in einem Heim, einem Spital oder einer andern Anstalt und die behördliche oder vormundschaftliche Versorgung einer mündigen oder entmündigten Person in Familienpflege keine neue Zuständigkeit begründen. Diese Bestimmung ist mangels einer anderslautenden Übergangsbestimmung sofort anwendbar (SVR 2011 EL Nr. 6 S. 17, 9C_972/2009 E. 2.2 in fine).
Gemäss Art. 21 Abs. 2 ELG bezeichnen die Kantone die Organe, die für die Entgegennahme der Gesuche und für die Festsetzung und die Auszahlung der Ergänzungsleistungen zuständig sind; sie können die kantonalen Ausgleichskassen, nicht aber die Sozialhilfebehörden mit diesen Aufgaben betrauen. Während der Kanton Aargau - wie die meisten Kantone - die kantonale Ausgleichskasse (Sozialversicherungsanstalt) mit der EL-Durchführung betraut hat (§ 5 Abs. 1 und § 7 Abs. 2 des Gesetzes vom 26. Juni 2007 über Ergänzungsleistungen zur AHV und IV im Kanton Aargau [Ergänzungsleistungsgesetz Aargau, ELG-AG; SAR 831.300]), hat der Kanton Zürich diese Aufgabe grundsätzlich den politischen Gemeinden übertragen (§ 2 des Zürcher Gesetzes vom 7. Februar 1971 über die Zusatzleistungen zur eidgenössischen AHV/IV [Zusatzleistungsgesetz, ZLG; LS 831.3]).
3.3 Die beschwerdeführende SVA Aargau und das BSV interpretieren die Ausnahmeregelung gemäss zweitem Satz von Art. 21 Abs. 1 ELG in dem Sinne, dass bei Heimbewohnern in jedem Falle derjenige Kanton EL-rechtlich zuständig bleibt, welcher die Ergänzungsleistung vor dem Heimeintritt ausgerichtet hatte - und zwar unabhängig von allfälligen "direkten" oder "abgeleiteten Wohnsitzverschiebungen" (so in der Beschwerdeschrift). Demgegenüber stellen sich die Vorinstanz und die Gemeinde X._ auf den Standpunkt, dass nach der genannten neuen Gesetzesbestimmung zwar der Heimaufenthalt an sich keine neue ergänzungsleistungsrechtliche Zuständigkeit zu begründen vermag, eine solche Änderung in der kantonalen Zuständigkeit aber unter Berücksichtigung des Grundsatzes von Art. 21 Abs. 1 erster Satz ELG weiterhin eintreten kann, namentlich dann, wenn der abgeleitete zivilrechtliche Wohnsitz bevormundeter oder entmündigter, unter elterlicher Sorge stehender Heimbewohner wechselt.
In diesem Zusammenhang gilt es Folgendes klarzustellen: Die gemäss <ref-law> entmündigte, unter die elterliche Sorge ihrer Mutter gestellte R._ (<ref-law>) hat ihren (abgeleiteten) zivilrechtlichen Wohnsitz am Wohnsitz der Mutter (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 306 ff.; Daniel Staehelin, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch, Bd. I, 4. Aufl. 2010, N. 12 zu <ref-law>; Schnyder/Murer, Berner Kommentar, 3. Aufl. 1984, N. 22 zu <ref-law>), d.h. bis Juli 2009 in X._, danach in Y._. Entgegen den missverständlichen Ausführungen im angefochtenen Entscheid wie auch in der dagegen erhobenen Beschwerde spielt im hier zu beurteilenden Fall der Sitz der Vormundschaftsbehörde, welche die Aufsicht über die Versicherte ausübt (nunmehr Z._, früher X._), keine Rolle. <ref-law>, wonach bevormundete Personen ihren (ebenfalls abgeleiteten) Wohnsitz am Sitz der zuständigen Vormundschaftsbehörde haben, ist auf volljährige Entmündigte, die unter elterlicher Sorge stehen, nicht anwendbar. Dies ändert indessen nichts an der nachfolgend zu beantwortenden Rechtsfrage: Führt die Verlegung des abgeleiteten Wohnsitzes der nach wie vor im selben Behindertenheim lebenden EL-Bezügerin von X._ in den Kanton Aargau zu einem Wechsel in der ergänzungsleistungsrechtlichen Zuständigkeit? Oder mit andern Worten: Ist dieser rechtserhebliche Sachverhalt unter die Grundnorm (erster Satz von Art. 21 Abs. 1 ELG) oder aber unter die Ausnahmeregelung (zweiter Satz dieser Gesetzesbestimmung) zu subsumieren?
In diesem Zusammenhang gilt es Folgendes klarzustellen: Die gemäss <ref-law> entmündigte, unter die elterliche Sorge ihrer Mutter gestellte R._ (<ref-law>) hat ihren (abgeleiteten) zivilrechtlichen Wohnsitz am Wohnsitz der Mutter (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 306 ff.; Daniel Staehelin, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch, Bd. I, 4. Aufl. 2010, N. 12 zu <ref-law>; Schnyder/Murer, Berner Kommentar, 3. Aufl. 1984, N. 22 zu <ref-law>), d.h. bis Juli 2009 in X._, danach in Y._. Entgegen den missverständlichen Ausführungen im angefochtenen Entscheid wie auch in der dagegen erhobenen Beschwerde spielt im hier zu beurteilenden Fall der Sitz der Vormundschaftsbehörde, welche die Aufsicht über die Versicherte ausübt (nunmehr Z._, früher X._), keine Rolle. <ref-law>, wonach bevormundete Personen ihren (ebenfalls abgeleiteten) Wohnsitz am Sitz der zuständigen Vormundschaftsbehörde haben, ist auf volljährige Entmündigte, die unter elterlicher Sorge stehen, nicht anwendbar. Dies ändert indessen nichts an der nachfolgend zu beantwortenden Rechtsfrage: Führt die Verlegung des abgeleiteten Wohnsitzes der nach wie vor im selben Behindertenheim lebenden EL-Bezügerin von X._ in den Kanton Aargau zu einem Wechsel in der ergänzungsleistungsrechtlichen Zuständigkeit? Oder mit andern Worten: Ist dieser rechtserhebliche Sachverhalt unter die Grundnorm (erster Satz von Art. 21 Abs. 1 ELG) oder aber unter die Ausnahmeregelung (zweiter Satz dieser Gesetzesbestimmung) zu subsumieren?
3.4 3.4.1 Ausgangspunkt jeder Auslegung bildet der Wortlaut der Bestimmung. Vom klaren, d.h. eindeutigen und unmissverständlichen Wortlaut darf nur ausnahmsweise abgewichen werden, u.a. dann, wenn triftige Gründe dafür vorliegen, dass der Wortlaut nicht den wahren Sinn der Norm wiedergibt. Solche Gründe können sich aus der Entstehungsgeschichte der Bestimmung, aus ihrem Grund und Zweck oder aus dem Zusammenhang mit andern Vorschriften ergeben. Eine historisch orientierte Auslegung ist für sich allein nicht entscheidend. Anderseits vermag aber nur sie die Regelungsabsicht des Gesetzgebers (die sich insbesondere aus den Materialien ergibt) aufzuzeigen, welche wiederum zusammen mit den zu ihrer Verfolgung getroffenen Wertentscheidungen verbindliche Richtschnur des Gerichts bleibt, auch wenn es das Gesetz mittels teleologischer Auslegung oder Rechtsfortbildung veränderten, vom Gesetzgeber nicht vorausgesehenen Umständen anpasst oder es ergänzt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 17 mit Hinweisen).
3.4.2 Den Materialien zur Totalrevision des ELG lässt sich entnehmen, dass der Gesetzesentwurf zuhanden des Parlaments dem Bundesrat die Kompetenz einräumte, nach Anhörung der Kantone für in Heimen oder Spitälern lebende Personen besondere Zuständigkeitsbestimmungen zu erlassen (Art. 21 Abs. 1 zweiter Satz ELG-Entwurf gemäss Botschaft vom 7. September 2005 zur Ausführungsgesetzgebung zur NFA; BBl 2005 6029 ff., 6357 [Anhang 3]). Zur Begründung wurde ausgeführt, bei Heimbewohnern sei es in der Praxis zwischen den Kantonen immer wieder zu Streitigkeiten über die Zuständigkeit gekommen, "weil gerade die Wohnsitzfrage nicht immer ohne weiteres zu beantworten" sei (BBl 2005 6232 f. Ziff. 2.9.8.3 zu Art. 21 ELG). Auf Antrag seiner vorberatenden Kommission (Protokolle der Sitzung vom 18./19. Januar 2006 [S. 69 ff.] und derjenigen vom 6./7. Februar 2006 [S. 20 ff.]) beschloss der Ständerat als Erstrat, die Kompetenz des Bundesrates zu streichen und durch den nunmehr geltenden zweiten Satz von Art. 21 Abs. 1 ELG zu ersetzen. Im Rahmen der ständerätlichen Beratung führte der Kommissionssprecher aus, diese neue Regelung stimme mit derjenigen im hievor (E. 3.1.3) erwähnten ZUG überein. Die zum Zuständigkeitsgesetz entwickelte Praxis für Heim- und Anstaltsinsassen sowie Familienpfleglinge solle grundsätzlich auch im EL-Bereich Anwendung finden. Zuhanden der Materialien werde mit aller Deutlichkeit festgehalten, dass die Änderung keine Auswirkungen auf die Festlegung des zivilrechtlichen Wohnsitzes habe. Dieser bestimme sich einzig und allein nach dem ZGB (AB 2006 S 212). Der Nationalrat stimmte dem gegenüber der bundesrätlichen Vorlage neu gefassten Art. 21 Abs. 1 ELG diskussionslos zu (AB 2006 N 1255; SVR 2011 EL Nr. 6 S. 17, 9C_972/2009 E. 5.3.2.1).
3.4.3 Die dargelegte Entstehungsgeschichte der streitigen Norm zeigt, dass es dem Gesetzgeber darum ging, bei Heimbewohnern eine Kongruenz zwischen Ergänzungsleistung und Sozialhilfe herzustellen. Mit der dem ZUG nachempfundenen Ausnahmeregelung im zweiten Satz von Art. 21 Abs. 1 ELG sollten zum einen die zwischen den Kantonen immer wieder auftretenden, sich an der Wohnsitzfrage entzündenden Streitigkeiten über die ergänzungsleistungsrechtliche Zuständigkeit bei Heimbewohnern künftig möglichst vermieden werden (vgl. vorstehende E. 3.1.2 und 3.4.2 am Anfang). Zum andern ging die gesetzgeberische Regelungsabsicht dahin, die Benachteiligung der Standortkantone von Heimen, Anstalten und vergleichbaren Institutionen (vgl. hiezu vorne E. 3.1.2 f.) fortan zu verringern. Wie weit die Kongruenz zwischen Ergänzungsleistung und Sozialhilfe reicht, beantwortet sich nach der jeweiligen Rechtsanwendungslage. So hat das Bundesgericht im Zusammenhang mit dem fraglichen Eintritt einer EL-Bezügerin in eine der angeführten Einrichtungen festgestellt, ein solcher bleibe nach dem klaren Willen des Gesetzgebers, wie er auch im Wortlaut seinen Niederschlag gefunden hat, ohne Bedeutung für die Frage der Zuständigkeit für die Festsetzung und die Auszahlung der Ergänzungsleistung, unabhängig davon, ob am Ort der Institution zivilrechtlicher Wohnsitz begründet wird. Zuständig ist bzw. bleibt der Kanton, in welchem die Ergänzungsleistung beziehende Person unmittelbar vor dem Heim- oder Anstaltseintritt Wohnsitz hatte. Insoweit stellt sich die in der Praxis häufig schwierige Frage der Abgrenzung von wohnsitzbegründendem freiwilligen Eintritt in ein Heim oder eine Anstalt und nicht wohnsitzrelevanter Unterbringung nicht mehr. Für den Fall eines Aufenthalts in einem Heim, einem Spital oder einer andern Anstalt hat der Gesetzgeber somit eine Regelung getroffen, bei welcher - ähnlich wie im Fürsorgebereich (E. 3.1.2 f.) - der zivilrechtliche Wohnsitz und die Zuständigkeit für die Festsetzung und die Auszahlung der (Ergänzungs-)Leistung auseinanderfallen können (SVR 2011 EL Nr. 6 S. 17, 9C_972/2009 E. 5.3.2.2).
3.4.4 Was die hier zu beantwortende Rechtsfrage (E. 3.3 hievor in fine) betrifft, ist der - in den drei Sprachfassungen übereinstimmende - Wortlaut von Art. 21 Abs. 1 zweiter Satz ELG ("der Aufenthalt in ...", "le séjour dans ...", "il soggiorno in ...") ebenfalls eindeutig: Einzig der Heim- oder Anstaltsaufenthalt als solcher bleibt nach der neuen gesetzlichen Ausnahmeregelung für die Bewohner der erwähnten Einrichtungen EL-rechtlich unbeachtlich. Anderweitige Umstände, nach denen sich der zivilrechtliche Wohnsitz und damit dem Grundsatze nach auch die ergänzungsleistungsrechtliche Zuständigkeit bestimmen (Art. 21 Abs. 1 erster Satz ELG in Verbindung mit <ref-law>), sind indessen nach wie vor massgebend. So ändert die bisherige örtliche Zuständigkeit für die Festsetzung und die Auszahlung der Ergänzungsleistung, wenn - wie hier - der gemäss <ref-law> abgeleitete Wohnsitz einer entmündigten, unter elterlicher Sorge stehenden leistungsberechtigten Heimbewohnerin in einen andern Kanton verlegt wird, weil deren Mutter als alleinige Inhaberin des Sorgerechts vom zürcherischen X._ in den Kanton Aargau zieht. Dieselben Überlegungen gelten für den ebenso abgeleiteten, am Sitz der Vormundschaftsbehörde liegenden zivilrechtlichen Wohnsitz bevormundeter Heim- oder Anstaltsbewohner (<ref-law>): Deren Wohnsitzwechsel in einen andern Kanton führt nach der Grundnorm von Art. 21 Abs. 1 erster Satz ELG ebenfalls zu einer Änderung in der bisherigen ergänzungsleistungsrechtlichen Zuständigkeit, wobei eine solche Wohnsitzverlegung der formellen Übertragung der Vormundschaft auf die Vormundschaftsbehörde am neuen Ort bedarf (Art. 377 Abs. 1 und 2 ZGB; Daniel Staehelin, a.a.O., N. 4 ff. zu <ref-law>; vgl. Urteil P 5/02 vom 24. April 2002 E. 2). Hätte der Gesetzgeber tatsächlich in dem Sinne legiferieren wollen, dass bei Heimbewohnern die im Zeitpunkt des Eintritts bestehende kantonale Zuständigkeit der EL-Behörden in keinem Falle mehr eine Änderung erfährt, hätte er für die Ausnahmebestimmung zweifellos eine entsprechende Formulierung gewählt.
3.4.5 Gründe für eine vom unmissverständlichen Wortlaut abweichende Auslegung von Art. 21 Abs. 1 zweiter Satz ELG (E. 3.4.1 hievor) bestehen nicht: Die erwähnte, vom Gesetzgeber beabsichtigte Kongruenz zwischen Ergänzungsleistung und Sozialhilfe ist unter systematischem Blickwinkel insofern begrenzt, als sich die Zuständigkeit im EL-Bereich grundsätzlich nach dem zivilrechtlichen Wohnsitz richtet (erster Satz von Art. 21 Abs. 1 ELG), wogegen der Bedürftige seinen sog. Unterstützungswohnsitz nach <ref-law> prinzipiell in dem Kanton hat, wo er sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält. Dem im vorliegenden Zusammenhang interessierenden abgeleiteten Wohnsitz nach Art. 25 Abs. 1 oder 2 ZGB kommt somit im Sozialhilferecht für Erwachsene keinerlei Bedeutung zu (vgl. demgegenüber <ref-law> für unmündige Kinder). Folglich lassen sich für die hier zu beantwortende Rechtsfrage nach der Tragweite des zweiten Satzes von Art. 21 Abs. 1 ELG von vornherein keine Kongruenzüberlegungen anstellen, obwohl diese Ausnahmebestimmung mit derjenigen von <ref-law> weitgehend übereinstimmt (vgl. E. 3.1.3 und 3.4.2 f. hievor). Immerhin ist anzumerken, dass der Aufenthalt in einem Heim oder einer Klinik auch unter der Herrschaft des ZUG nicht dazu führt, dass der Unterstützungswohnsitz praktisch nicht mehr ändern kann (Urteil 8C_79/2010 vom 24. September 2010 E. 7.2 in fine, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 2A.714/2006 vom 10. Juli 2007 E. 3.3).
Auch eine am Sinn und am Zweck (teleologisch) oder an der Entstehungsgeschichte der Norm orientierte Interpretation ändert nichts am bisher ermittelten Auslegungsergebnis. Keiner der angeführten, sich aus den Materialien ergebenden Aspekte der gesetzgeberischen Regelungsabsicht verlangt nach einer über den Wortlaut hinausgehenden Subsumtion des hier relevanten Sachverhalts unter die Ausnahme- statt unter die Grundregel (d.h. unter den zweiten statt den ersten Satz von Art. 21 Abs. 1 ELG). So kann die vorliegende Anknüpfung der ergänzungsleistungsrechtlichen Zuständigkeit an den abgeleiteten zivilrechtlichen Wohnsitz bevormundeter oder entmündigter, unter elterlicher Sorge stehender Heimbewohner offenkundig nicht dazu führen, dass sich - wie unter dem früheren aELG - an der oft schwierigen Abgrenzung zwischen wohnsitzbegründendem freiwilligem Eintritt ins Heim einerseits und nicht wohnsitzrelevanter Unterbringung anderseits Streitigkeiten unter den Kantonen entfachen (vgl. E. 3.4.2 f. hievor). Ebenso wenig kommt es nach der dargelegten Lösung zu einer nennenswerten Benachteiligung der Standortkantone von Heimen und Anstalten (vgl. dazu vorne E. 3.1.2 f. und 3.4.3).
3.4.6 Die Auslegung der Ausnahmeregelung von Art. 21 Abs. 1 zweiter Satz ELG anhand der normunmittelbaren Kriterien führt zum Ergebnis, dass der Wortlaut der Gesetzesbestimmung deren wahren Sinn zum Ausdruck bringt. Bei Heim- oder Anstaltsbewohnern steht einzig der Aufenthalt in der jeweiligen Einrichtung als solcher der Begründung einer neuen ergänzungsleistungsrechtlichen Zuständigkeit entgegen, während anderweitige, den zivilrechtlichen Wohnsitz als grundsätzlichen Anknüpfungspunkt bestimmende Umstände (Art. 21 Abs. 1 erster Satz ELG) nach wie vor massgebend bleiben (so der abgeleitete Wohnsitz nach Art. 25 Abs. 1 oder 2 ZGB).
Die der gesetzlichen Regelung widersprechende, vom BSV im Hinblick auf den vorliegenden Rechtsstreit ergänzte Verwaltungsweisung (Rz. 1330.02 der Wegleitung über die Ergänzungsleistungen zur AHV und IV [WEL] in der ab 1. April 2011 gültigen Fassung) ist unbeachtlich.
3.5 Nach dem Gesagten ging die Zuständigkeit für die Festsetzung und die Auszahlung der Ergänzungsleistung von R._ am 1. August 2009 von der Gemeinde X._ auf die SVA Aargau über, als die Mutter der Leistungsbezügerin als (alleinige) Inhaberin der elterlichen Sorge in Y._/AG neuen zivilrechtlichen Wohnsitz nahm.
4. Unter Berücksichtigung der in <ref-ruling> E. 4.1 S. 80 wiedergegebenen Verwaltungspraxis (aktuell Rz. 1500.02 der hievor erwähnten WEL) hat die Gemeinde X._ über Ende Juli 2009 hinaus weiterhin die Ergänzungsleistungen für R._ (bis zur rechtskräftigen Feststellung der Zuständigkeit provisorisch) ausgerichtet. Die SVA Aargau wird der Gemeinde X._ diese Leistungen zurückzuerstatten haben.
5. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung der vorliegenden Beschwerde wird mit dem heutigen Urteil gegenstandslos.
6. Die Gerichtskosten werden der SVA Aargau als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und R._ schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Januar 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Attinger