Sachverhalt:
A. A.a In einer Betreibung auf Grundpfandverwertung gegen X._ hatte die Bank Y._ am 5. Juli 2007 für den Betrag von Fr. 199'750.57 zuzüglich Zinsen die Rechtsöffnung erwirkt. Die Aberkennungsklage von X._ war am 30. September 2009 abgewiesen worden.
A.b Am 23. Juni 2010 reichte X._ beim Bezirksgericht Aarau eine negative Feststellungsklage ein und stellte Antrag auf Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Der Präsident des Bezirksgerichts Aarau wies das Armenrechtsgesuch ab und setzte dem Kläger Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses (Verfügung vom 28. Juni 2010). X._ wehrte sich gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege vergeblich. Letztinstanzlich wies das Bundesgericht seine Beschwerde mit Urteil 5A_684/2010 vom 20. Oktober 2010 ab.
B. B.a Mit Verfügung vom 8. November 2010, die er irrtümlich X._ persönlich zugestellt hatte, beraumte der Gerichtspräsident eine letzte Frist von zehn Tagen zur Leistung des Kostenvorschusses von Fr. 10'000.-- an. Auf Gesuch des Rechtsvertreters von X._ wurde die Frist mit Verfügung vom 24. November 2010 neu bis zum 15. Dezember 2010 angesetzt.
B.b Unterdessen stellte X._ am 2. Dezember 2010 erneut ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Wiederum verweigerte ihm das Bezirksgericht das Armenrecht (Verfügung vom 6. Dezember 2010). Die hierauf erhobenen Beschwerden wiesen das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 6. Januar 2011 und das Bundesgericht mit Urteil 5A_123/2011 vom 14. März 2011 ab.
B.c In einem Schreiben an das Bezirksgericht vom 13. Dezember 2010 nimmt X._s Rechtsvertreter Bezug auf ein Telefonat mit dem Bezirksgericht und hält fest, "dass die Frist vom 15. Dezember 2010 bezüglich der Einzahlung des Kostenvorschusses aufgrund der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde hinfällig ist. Nach einer allfälligen abschlägigen Beurteilung durch das Obergericht würde eine neue Frist angesetzt".
B.d Mit Urteil vom 19. Januar 2011 trat das Bezirksgericht Aarau auf die negative Feststellungsklage infolge Nichtleistung des Kostenvorschusses nicht ein.
C. C.a Hierauf erhob X._ am 8. Februar 2011 Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau. Sein gleichzeitig eingereichtes Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Berufungsverfahren wies der Instruktionsrichter mit Verfügung vom 1. Juni 2011 ab. Mit Urteil vom 7. Oktober 2011 hob das Bundesgericht diese Verfügung auf (Verfahren 5A_460/2011).
C.b In der Folge beantragte X._ dem Obergericht mit Eingabe vom 13. Oktober 2011, das erstinstanzliche Urteil vom 19. Januar 2011 aufzuheben und ihm eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. Zur Begründung wurde ausgeführt, infolge aussergerichtlicher Einigung sei die negative Feststellungsklage (s. Bst. B) gemäss beiliegendem Schreiben an das Bezirksgericht Aarau zurückgezogen worden. Am 14. Oktober 2011 ging beim Obergericht die vom Bezirksgericht zuständigkeitshalber weitergeleitete Rückzugserklärung ein.
C.c Mit Urteil vom 30. November 2011 hob das Obergericht das Urteil des Bezirksgerichts (Bst. B.d) auf und schrieb das Verfahren als durch Klagerückzug erledigt ab. Auf die Anträge vom 13. Oktober 2011 trat es nicht ein. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren wies es ab, soweit es darauf eintrat.
D. Mit Beschwerde vom 10. Januar 2012 wendet sich X._ (fortan Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 30. November 2011 aufzuheben und das Verfahren zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen; eventualiter sei ihm für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Weiter ersucht er darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihm für das bundesgerichtliche Verfahren das Armenrecht zu gewähren.
Mit Verfügung vom 23. April 2012 erkannte das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt. Am 19. Juni 2012 hat das Obergericht des Kantons Aargau dem Bundesgericht mitgeteilt, es verzichte auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde. Das Schreiben wurde dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>), mit dem die unentgeltliche Rechtspflege in einem zivilrechtlichen Verfahren verweigert worden ist. Dieser Entscheid ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann und daher gemäss <ref-law> selbständig anfechtbar ist (Urteile 5A_10/2007 vom 23. März 2007 E. 2.3; 5A_262/ 2008 vom 8. September 2008 E. 1.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647). Das Hauptsacheverfahren betraf eine negative Feststellungsklage mit einem Antrag über der gesetzlichen Streitwertgrenze; der diesbezügliche Abschreibungsentscheid des Obergerichts konnte letztinstanzlich mit Beschwerde in Zivilsachen vor Bundesgericht angefochten werden (Art. 72 Abs. 1 und Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Gegen den letztinstanzlichen Entscheid betreffend die unentgeltliche Rechtspflege kann mithin ebenfalls Beschwerde in Zivilsachen erhoben werden (Urteil 5A_123/2011 vom 14. März 2011 E. 1 mit Hinweisen).
2. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung seines Anspruchs auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege geltend. Hierzu beruft er sich auf <ref-law> und auf <ref-law>. Diesen Vorschriften zufolge hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Umstritten ist - wie bereits im Beschwerdeverfahren 5A_460/2011 - die Aussichtslosigkeit der Berufungsanträge, die der Beschwerdeführer vor Obergericht gestellt hat. Hierbei handelt es sich um eine Rechtsfrage, die das Bundesgericht im ordentlichen Beschwerdeverfahren mit freier Kognition prüft. Tatsächliche Feststellungen der kantonalen Behörden überprüft es hingegen nur auf Willkür (<ref-law>) hin (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 14 mit Hinweis). Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
3. 3.1 Die Natur des Rechtspflegeanspruches bringt es mit sich, dass ein Gericht bis zum rechtskräftigen Entscheid über ein hängiges Rechtspflegegesuch keinen Nichteintretensentscheid wegen Nichtleistung des Kostenvorschusses fällen darf. Wird dem Gesuchsteller die unentgeltliche Rechtspflege ohne Einschränkung gewährt, fällt die Kostenvorschussverfügung dahin; wird sie ihm rechtskräftig verweigert, so muss ihm durch erneute Fristansetzung jedenfalls die Möglichkeit eingeräumt werden, den verlangten Kostenvorschuss (noch) zu bezahlen. Dies alles hat das Bundesgericht erst neulich in seiner Rechtsprechung zu <ref-law> in Erinnerung gerufen, denn auch diese Vorschrift, wonach das Gericht bei Nichtleistung des Kostenvorschusses auf die Klage nicht eintritt, enthält keine Regel für den Fall, dass zugleich noch ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege hängig ist (s. <ref-ruling> E. 4.2 S. 165; vgl. auch die Urteile 5A_759/2011 vom 16. März 2012 E. 2.2 und 5D_7/2012 vom 26. März 2012 E. 2.2). Die erwähnten Grundsätze gelten auch für entsprechende Vorschriften des anwendbaren kantonalen Verfahrensrechts (vgl. Urteil 5A_241/ 2012 vom 3. Mai 2012 E. 2.3.3), in diesem Fall für § 103 Abs. 1 der aargauischen Zivilprozessordnung (ZPO/AG; SAR 221.100, in Kraft bis 31. Dezember 2010).
3.2 Das Obergericht kam zum Schluss, jedenfalls mit Ablauf der Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses am 15. Dezember 2010 sei der Beschwerdeführer säumig geworden. Die gesetzliche Säumnisfolge gemäss <ref-law>/AG bleibe von der Einreichung einer Beschwerde gegen ein abgewiesenes Armenrechtsgesuch unberührt; nach rechtskräftiger Abweisung der Beschwerde betreffend die unentgeltliche Rechtspflege habe der Nichteintretensentscheid "zwangsläufig" erfolgen müssen, weshalb die dagegen erhobene Beschwerde klar aussichtslos erscheine und kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege bestehe. In der Tat stellte das Bezirksgericht in seinem Urteil vom 19. Januar 2011 fest, dass das Obergericht die Beschwerde gegen die Verweigerung des Armenrechts mit Urteil vom 6. Januar 2011 abgewiesen habe, dieses Urteil sogleich rechtskräftig wurde, weil eine allfällige Weiterziehung an das Bundesgericht keine aufschiebende Wirkung habe, und damit die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses abgelaufen sei, weshalb auf die Klage infolge Nichtleisten des Kostenvorschusses nicht einzutreten sei.
3.3 Faktisch setzte das Bezirksgericht den Beschwerdeführer mit seiner Vorgehensweise unter Zwang, den Kostenvorschuss von Fr. 10'000.-- bis spätestens am 15. Dezember 2010 zu bezahlen, um einen Nichteintretensentscheid abzuwenden - obwohl bei Ablauf der Zahlungsfrist noch keine Gewissheit über die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege bestand. Dies kommt einer Aushöhlung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege gleich und läuft auf eine Rechtsverweigerung hinaus, wird der Partei, die auf die Beurteilung ihres Rechtspflegegesuchs wartet und den Gerichtskostenvorschuss nicht bezahlen kann, der Rechtsweg doch geradezu abgeschnitten. Entgegen der Darstellung des Obergerichts kann also keine Rede davon sein, dass die mit Eingabe vom 8. Februar 2011 gestellten Berufungsanträge des Beschwerdeführers "klar aussichtslos" waren. Nachdem die Erfolgsaussichten eines kantonalen Rechtsmittels in Frage stehen, muss es für die Verneinung der Aussichtslosigkeit genügen, dass gewisse Chancen auf eine zumindest teilweise Gutheissung der Berufungsanträge bestehen (vgl. Urteil 5A_107/2010 vom 30. April 2010 E. 2.3 mit Hinweisen). Dass dies der Fall war, zeigen im Übrigen nicht nur die vorstehenden Ausführungen, sondern auch der Entscheid des Obergerichts vom 6. Januar 2011, mit dem die Beschwerde gegen die Verweigerung des Armenrechts abgewiesen wurde. Dort führt das Obergericht aus, die Beschwerde im Sinne von <ref-law>/AG habe gemäss § 342 i.V.m. <ref-law>/AG aufschiebende Wirkung, weshalb kein Anlass bestehe, das Verfahren zur Bezahlung des Kostenvorschusses zu sistieren. Auch wenn dahingestellt bleiben kann, welche Bewandtnis es mit der aufschiebenden Wirkung der kantonalen Beschwerde hatte, lässt sich der angefochtene Entscheid vom 19. Januar 2011 in Anbetracht dieser Ausführungen erst recht nicht nachvollziehen.
3.4 War die Berufung gegen das Urteil des Bezirksgerichts Aarau vom 19. Januar 2011 schon deshalb nicht aussichtslos, weil der erstinstanzliche Nichteintretensentscheid mit der Verfahrensgarantie der unentgeltlichen Rechtspflege als solcher unvereinbar ist, kann auch vor Bundesgericht offenbleiben, wie es sich mit den fernmündlichen Aussagen der Gerichtsschreiberin des Bezirksgerichts Aarau verhält, die der Beschwerdeführer in seinem - unwidersprochenen - Schreiben an das Bezirksgericht vom 13. Dezember 2010 (s. Bst. B.c) festgehalten haben will. Ebenso wenig braucht beurteilt zu werden, ob der Beschwerdeführer das Bezirksgericht nur deshalb angerufen hatte, um sich nach einem Gesuch um Sistierung der Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses zu erkundigen, wie er dies vor Bundesgericht zum ersten Mal behauptet.
4. Im Ergebnis ist die Beschwerde also gutzuheissen. Ziffer 3 des angefochtenen Urteils ist aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an das Obergericht des Kantons Aargau zurückzuweisen. Der Kanton Aargau hat keine Kosten zu tragen, muss aber den Beschwerdeführer für das Verfahren vor Bundesgericht entschädigen (Art. 66 Abs. 4 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Ziffer 3 des Urteils des Obergerichts des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, vom 30. November 2011 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: V. Monn