Sachverhalt:
A.
Mit Zahlungsbefehl vom 21. November 2013 setzte der Kanton Zürich gegen X._ für den Betrag von Fr. 583.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 22. Februar 2013 die Zwangsvollstreckung in Gang (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts A._). Die Betreibungsforderung fusst auf einem rechtskräftigen Beschluss der Geschäftsleitung des Kantonsrates Zürich vom 21. Februar 2013. Für die Erledigung eines Ermächtigungsverfahrens waren X._ eine Staatsgebühr von Fr. 500.-- und eine Schreibgebühr von Fr. 75.-- auferlegt worden (vgl. Urteil 1C_357/2013 vom 23. Oktober 2013). Auf der entsprechenden Rechnung vom 22. Februar 2013 kamen noch Portokosten von Fr. 8.-- dazu.
B.
Im Rechtsöffnungsverfahren hielt das Bezirksgericht Zürich, Einzelgericht Audienz, am 11. Februar 2014 eine Verhandlung ab. Einen "Nachtrag zur mündlichen Stellungnahme", den X._ gleichentags abschickte, berücksichtige das Gericht in seinem Urteil vom 11. Februar 2014 nicht. Es erteilte dem Kanton Zürich für Fr. 575.-- nebst Zins zu 5 % seit 21. November 2013 die definitive Rechtsöffnung, auferlegte X._ die Gerichtskosten von Fr. 150.-- und wies seinen Antrag auf Parteientschädigung ab. Auch X._s Armenrechtsgesuch war kein Erfolg beschieden.
C.
Erfolglos wandte sich X._ an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies seine Beschwerde am 23. Juni 2014 sowohl hinsichtlich der definitiven Rechtsöffnung als auch mit Bezug auf die Verweigerung des Armenrechts ab (Ziffer 7). Abgewiesen wurden auch die Begehren um Sistierung des Verfahrens (Ziffer 1), um Wiederherstellung der Beschwerdefrist zur Beschwerdeergänzung (Ziffer 2), um vorgängige Bekanntgabe der am Beschwerdeentscheid mitwirkenden Gerichtspersonen (Ziffer 5) und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren (Ziffer 6). Weiter hatte X._ gegen Ersatzrichter B._ und Gerichtsschreiberin C._, die am erstinstanzlichen Verfahren beteiligt waren, ein Ausstandsbegehren gestellt. Das Obergericht wies dieses Begehren ab (Ziffer 3). Auf ein Ausstandsbegehren betreffend Oberrichterin D._, Oberrichter E._ und Oberrichterin F._ sowie Gerichtsschreiberin G._ trat das Obergericht nicht ein (Ziffer 4).
D.
D.a. Mit einer als "Beschwerde in Zivilsachen und Subsidiäre Verfassungsbeschwerde" betitelten Eingabe vom 3. August 2014 (Datum der Postaufgabe) wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. In Ziffer 1 seiner Anträge stellt er das Begehren, die Nichtigkeit des Urteils "und/oder" die Unzuständigkeit des Obergerichts festzustellen und dessen Entscheid aufzuheben. Eventualiter sei die Sache zwecks Erlass einer anfechtbaren Verfügung betreffend Kostenerlass bzw. -stundung zuständigkeitshalber an den Kanton Zürich (Beschwerdegegner) zu überweisen und das Verfahren bis zum Ausgang des Verfahrens betreffend Kostenerlass bzw. -stundung zu sistieren. Subeventualiter habe das Bundesgericht "darüber vorfrageweise selber zu befinden, allenfalls den Beschwerdegegner zu hören, weshalb er diesbezüglich dem Beschwerdeführer das Recht verweigert". Im Sinne eines Eventualantrags zu Ziffer 1 verlangt der Beschwerdeführer, die Ziffern 1-3, 5-8 sowie 10 des obergerichtlichen Urteils aufzuheben und dem Beschwerdegegner die Rechtsöffnung nicht zu erteilen; eventualiter sei die Sache zur Neubegründung und -eröffnung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter beantragt der Beschwerdeführer, Ziffer 4 des angefochtenen Entscheids betreffend das Ausstandsbegehren gegen die Gerichtspersonen am Obergericht (s. Bst. C) aufzuheben und festzustellen, dass auf die Ausstandsbegehren zu Unrecht nicht eingetreten wurde. Zugleich verlangt er, das obergerichtliche Urteil wegen Befangenheit der am Entscheid beteiligten Gerichtspersonen (Oberrichterin D._, Oberrichter H._, Ersatzoberrichter I._ und Gerichtsschreiberin J._) aufzuheben und "an ein unbefangenes (ausserkantonales) Gerichtspersonen-Kollegium zu weisen".
D.b. Mit Verfügung vom 4. August 2014 wies die II. zivilrechtliche Abteilung das Sistierungsgesuch (Bst. D.a) sowie die Gesuche um aufschiebende Wirkung und vorsorgliche Massnahmen ab. Zugleich wurde der Beschwerdeführer darauf hingewiesen, dass eine Beschwerdeergänzung binnen der gesetzlichen Beschwerdefrist zu erfolgen hätte.
D.c. In einer zusätzlichen Eingabe vom 11. August 2014 sandte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht ein Arztzeugnis gleichen Datums zu. Er sei zu 100 % arbeitsunfähig, weshalb sein "Wiederherstellungsgesuch" immer noch aktuell sei. Weiter bemängelt der Beschwerdeführer, dass die Verfügung vom 4. August 2014 (Bst. D.b) weder in der gesetzmässigen Form als Verfügung des Instruktionsrichters erlassen noch von einem Gerichtsschreiber unterzeichnet worden und deshalb nichtig sei. Eine letzte Eingabe erfolgte am 4. September 2014.
D.d. Das Bundesgericht hat sich die vorinstanzlichen Akten überweisen lassen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer hegt den Verdacht, dass die bundesgerichtliche Verfügung vom 4. August 2014 nicht gesetzeskonform ergangen sei. Die Befürchtung ist unbegründet. Die Bundesgerichtskanzlei hat die Verfügung im Auftrag des Präsidenten der II. zivilrechtlichen Abteilung erlassen, der das Verfahren als Instruktionsrichter bis zum Entscheid leitet (Art. 32 Abs. 1 BGG) und über die aufschiebende Wirkung oder über andere vorsorgliche Massnahmen befindet (Art. 103 f. BGG).
2.
2.1. Die rechtzeitig eingereichte Beschwerde richtet sich in der Hauptsache gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer vermögensrechtlichen Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 Bst. a, 75, 90 und 100 BGG). Die gesetzliche Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist nicht erreicht. Dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG) stellen würde, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Die Eingabe ist daher als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 BGG). Daran vermag der Beschwerdeführer auch mit seiner Kritik an der Rechtsmittelbelehrung und an der Bezifferung des Streitwerts im angefochtenen Entscheid nichts zu ändern. Die diesbezüglichen Angaben des Obergerichts geben keinen Anlass zur Beanstandung. Insbesondere übersieht der Beschwerdeführer, dass der Rechtsöffnungsprozess kein Klageverfahren ist. Entsprechend ist das Feld "Streitwert Klage" im Stammblatt und im Formular Kostenerfassung gar nicht einschlägig. Der Vorwurf, das Obergericht habe den Streitwert dort mit "Fr. 0.00" angegeben und sich damit in Widersprüche verstrickt, läuft ins Leere. Im Übrigen tut der Beschwerdeführer gar nicht dar, inwiefern ihm aus der angeblich fehlerhaften Rechtsmittelbelehrung ein Nachteil erwachsen wäre.
2.2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde steht als einziges Rechtsmittel auch offen gegen die Entscheide, mit denen das Obergericht die Verweigerung des Armenrechts für das erstinstanzliche Verfahren bestätigt und dem Beschwerdeführer für das kantonale Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege versagt, denn das Obergericht hat diese Entscheide nicht unabhängig von der Hauptsache gefällt (s. Urteil 5A_660/2013 vom 19. März 2014 E. 1 mit Hinweis). Das Gesagte gilt sinngemäss, soweit der Beschwerdeführer die nicht selbständig eröffneten Entscheide betreffend den Ausstand der Gerichtspersonen der ersten und zweiten Instanz anficht. Auch diesbezüglich folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache.
2.3. Unbeachtlich ist die Eingabe des Beschwerdeführers vom 4. September 2014, denn eine Ergänzung der Beschwerde ist im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen nach Ablauf der Beschwerdefrist nicht möglich (s. Urteil 5A_77/2013 vom 14. Juni 2013 E. 6.3).
3.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen substantiiert darlegen, worin die Verletzung besteht (Rügeprinzip; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399). Was der Beschwerdeführer dem Bundesgericht in weitschweifiger, wenig kohärenter Art und Weise vorträgt, vermag den geschilderten Rügeanforderungen über weite Strecken nicht zu genügen. Die Ausführungen bleiben überwiegend appellatorisch, indem der Beschwerdeführer den Sachverhalt oder die Rechtslage aus eigener Sicht darstellt. Dies ist zur Begründung von Verfassungsrügen unzureichend, wobei jeweils im Sachzusammenhang darauf zurückzukommen sein wird.
4.
4.1. In formeller Hinsicht erhebt der Beschwerdeführer an verschiedenen Stellen seiner Eingabe den Vorwurf, die Vorinstanz setze sich mit seinen Vorbringen überhaupt nicht oder nicht hinreichend auseinander und verletze damit seinen verfassungsmässigen Anspruch auf eine gehörige Entscheidbegründung. Die Rüge ist unbegründet. Aus dem verfassungsmässigen Gehörsanspruch (Art. 29 Abs. 2 BV) folgt nicht, dass sich die Behörde einlässlich mit jedem sachverhaltlichen oder rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss (s. zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445). Zu begründen ist das Ergebnis des Entscheides, das im Urteilsdispositiv zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Person berührt. Die Begründung ist also nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen. Über dessen Tragweite - und nicht über ihm zugrunde liegende Erwägungen - soll sich der Betroffene anhand der Begründung Rechenschaft geben können (Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1). Eingedenk dessen ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden. Die vorinstanzlichen Erwägungen lassen klar erkennen, warum das Obergericht die verschiedenen Begehren des Beschwerdeführers abweist.
4.2. Anlass zur Beschwerde gibt unter dem Blickwinkel des Gehörsanspruchs auch das Protokoll der erstinstanzlichen Rechtsöffnungsverhandlung. Der Beschwerdeführer besteht darauf, dass sich anlässlich seiner Akteneinsicht vom 28. März 2014 kein Protokoll in den Akten befunden habe. Die Kanzleibeamtin habe ihm erklärt, dass Protokolle aus prozessökonomischen Gründen erst nach Rechtshängigkeit eines Rechtsmittels erstellt würden. Die vorinstanzliche Feststellung, wonach das Protokoll im Zeitpunkt der Akteneinsicht am 28. März 2014 erstellt gewesen sei, geisselt der Beschwerdeführer deshalb als "aktenwidrig und willkürlich". Auch diese Rüge ist unbegründet. Zwar ist der angefochtene Entscheid nicht frei von Ungereimtheiten. Denn aus dem Umstand, dass das angefochtene Urteil am 25. März 2014 versandt wurde und das Protokoll das Urteilsdispositiv enthält, folgt nicht zwingend der Schluss, dass das Protokoll im Zeitpunkt der Akteneinsicht am 28. März 2014 erstellt war. Wie es sich damit verhält, kann jedoch offenbleiben. Das Obergericht stellt nämlich fest, dass der Beschwerdeführer gar nicht behauptet habe, anlässlich der angeblichen Akteneinsicht am 28. März 2014 auf das Fehlen eines Protokolls hingewiesen zu haben. Diese Feststellung zum Prozesssachverhalt, die für das Bundesgericht verbindlich ist (Art. 105 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.), stellt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht in Abrede. Stattdessen beruft er sich auf den erwähnten Hinweis der Kanzleibeamtin. Allein damit vermag er nicht zu erklären, was ihn daran gehindert hätte, vom Bezirksgericht die unverzügliche Erstellung eines Protokolls zu verlangen. Ebenso wenig behauptet er, dass das Bezirksgericht ein entsprechendes Gesuch vor Ablauf der Beschwerdefrist abgewiesen hätte. Unter diesen Umständen kann von einer Verletzung des Anspruchs auf Akteneinsicht nicht die Rede sein.
5.
Von vornherein unbehelflich sind die Einwände, mit denen der Beschwerdeführer die Recht- bzw. Verfassungsmässigkeit der kantonsrätlichen Kostenerhebung bestreitet, die dem vorliegenden Betreibungsverfahren zugrunde liegt (s. Sachverhalt Bst. A). Der Rechtsöffnungsrichter prüft lediglich, ob ein vollstreckbarer Titel vorliegt, das heisst ob sich die in Betreibung gesetzte Forderung aus dem vorgelegten Entscheid ergibt. Er hat weder über den materiellen Bestand der Forderung zu befinden noch darf er sich mit der materiellen Richtigkeit des Urteils befassen (<ref-ruling> E. 6.1.1 S. 584 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 318 f.; je mit Hinweisen). Vorbehalten bleiben Mängel, die zur Nichtigkeit des Vollstreckungstitels führen und die der Rechtsöffnungsrichter von Amtes wegen beachten muss. Dass ein derartiger Mangel vorläge, behauptet der Beschwerdeführer nicht und ist auch nicht ersichtlich. Das Bundesgericht selbst hat den Beschluss der Geschäftsleitung des Kantonsrates Zürich vom 21. Februar 2013 für verfassungskonform befunden (Urteil 1C_357/2013 vom 23. Oktober 2013).
6.
6.1. Der Beschwerdeführer beruft sich darauf, dass er den Kanton Zürich am 2. Dezember 2013 um Erlass bzw. Stundung seiner Schuld ersucht habe. Damit sei noch vor dem Rechtsöffnungsgesuch vom 7. Januar 2014 ein Verfahren in einer öffentlichrechtlichen Angelegenheit rechtshängig geworden. Diese "Verwaltungssache" habe der Kanton Zürich gemäss § 1 des zürcherischen Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (LS 175.2) auf dem kantonalen Verwaltungsweg fortführen müssen. Vor diesem Hintergrund rügt der Beschwerdeführer die Verletzung verschiedener Verfassungsbestimmungen.
6.2. Beruht die Forderung - wie hier - auf einem vollstreckbaren Entscheid einer schweizerischen Verwaltungsbehörde, so kann der Schuldner die definitive Rechtsöffnung nur abwenden, wenn er durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Entscheids getilgt oder gestundet ist (Art. 81 Abs. 1 SchKG). Diese Vorschrift gilt auch dann, wenn es sich beim Gläubiger um ein Gemeinwesen handelt. Denn wie das Obergericht zu Recht betont, sind auch Geldforderungen, die ihren Grund im öffentlichen Recht haben, nach den Vorschriften des Bundesgesetzes über Schuldbetreibung und Konkurs zu vollstrecken (Art. 38 Abs. 1 SchKG; <ref-ruling> E. 3 S. 2). Der Umstand, dass der Beschwerdeführer ein Gemeinwesen zum Gläubiger hat, bedeutet nicht, dass er die definitive Rechtsöffnung schon mit einem blossen Gesuch um Stundung oder Erlass zu verhindern vermöchte. Vielmehr hat er den vollen Beweis dafür zu leisten, dass die Schuld seit Erlass des Entscheids, also seit dem 21. Februar 2013, tatsächlich gestundet oder (durch Schulderlass) getilgt wurde. Blosse Glaubhaftmachung genügt nicht (<ref-ruling> E. 3a S. 503). Nach dem Wortlaut von Art. 81 Abs. 1 SchKG hat der Schuldner diesen Beweis durch Urkunden zu erbringen. Das sind Schriftstücke, die sich auf die Betreibungsforderung beziehen und anhand derer der Rechtsöffnungsrichter prüfen kann, ob die Schuld im konkreten Fall getilgt oder gestundet wurde ( DANIEL STAEHELIN, Basler Kommentar, 2. Auflage 2010, N 4 zu Art. 81 SchKG). Die beschriebene Beweislast geht mit der entsprechenden Behauptungslast der beweispflichtigen Partei einher (Urteil 4A_516/2011 vom 24. Februar 2012 E. 5 und <ref-ruling> E. 1b S. 343).
6.3. Dass er im kantonalen Verfahren den tatsächlich erfolgten Erlass oder die Stundung seiner Schuld behauptet und das Obergericht dies übersehen hätte, macht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht geltend. Deshalb verletzt die Vorinstanz die verfassungsmässigen Rechte des Beschwerdeführers in keiner Weise, wenn sie ihm entgegenhält, er habe den Erlass oder die Stundung der Schuld nicht einmal behauptet. Die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung kann auch nicht davon abhängen, ob und gegebenenfalls unter welchen Voraussetzungen dem Beschwerdeführer gegenüber dem Kanton Zürich ein Anspruch auf Erlass oder Stundung zusteht. Welche Bewandtnis es damit hat, ist nicht Gegenstand des Rechtsöffnungsverfahrens. Die Rüge, der Kanton Zürich habe das Gesuch um Erlass oder Stundung nicht behandelt und sich eine Rechtsverweigerung zuschulden kommen lassen, geht deshalb an der Sache vorbei. Dasselbe gilt für den Vorwurf, der Kanton Zürich sei ohne Rechtsschutzinteresse bös- und mutwillig an den Rechtsöffnungsrichter gelangt und habe damit gegen das Gebot von Treu und Glauben und das Verbot des überspitzten Formalismus verstossen. Nachdem der Kanton Zürich die Zwangsvollstreckung vorantrieb und die Beseitigung des Rechtsvorschlages verlangte, musste auch dem Beschwerdeführer klar sein, dass der Gläubiger gerade nicht bereit war, die Schuld zu stunden oder zu erlassen. Der Beschwerdeführer hält diese Vorgehensweise des Kantons Zürich für "völlig nutzlos und unverhältnismässig"; da er als Sozialhilfeempfänger bekanntermassen mittellos und die Schuld offensichtlich uneinbringlich sei, fehle es an einem öffentlichen Interesse für die Rechtsöffnung. Auch diese Einwände gehen fehl, denn ob und inwieweit der Beschwerdeführer seine Schuld bezahlen kann, wird erst im Rahmen des Pfändungsvollzuges zu prüfen sein und ist nicht Gegenstand des Rechtsöffnungsprozesses. Das zuletzt Gesagte gilt sinngemäss, soweit der Beschwerdeführer beteuert, angesichts des Eintrags im Betreibungsregister könne er keine neue Wohnung finden und müsse "ohnmächtig seiner Obdachlosigkeit entgegensehen". Schliesslich konnte das Gesuch des Beschwerdeführers auch nicht zur Folge haben, dass dem Kanton Zürich der Weg zum Rechtsöffnungsrichter "verschlossen" war und es für das Rechtsöffnungsverfahren deswegen an einer Prozessvoraussetzung gefehlt hätte. Zu Recht weist schon das Obergericht diese Rüge als unbegründet zurück.
7.
Im Streit um das Armenrecht wirft der Beschwerdeführer den kantonalen Instanzen vor, sie hätten die Anspruchsvoraussetzung der fehlenden Aussichtslosigkeit seiner (Rechtsmittel-) Begehren nicht "ex ante", sondern "ex post" beurteilt. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Verhältnisse zur Zeit, in der das Armenrechtsgesuch gestellt wurde (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen). Dabei ist Rechtsfrage, welche Umstände bei der Beurteilung der Prozessaussichten in Betracht fallen und ob sie für oder gegen eine hinreichende Erfolgsaussicht sprechen, Tatfrage hingegen, ob und wieweit einzelne Tatumstände erstellt sind (<ref-ruling> E. 2c S. 307). Bei der Beurteilung der Erfolgsaussichten eines Rechtsmittels kommt es darauf an, ob das Rechtsmittel prozessual unzulässig oder aussichtslos ist (Urteil 5A_417/2009 vom 31. Juli 2009 E. 2.2 mit zahlreichen Hinweisen ). Mithin ist zu beachten, dass ein erstinstanzliches Urteil vorliegt, das mit den gestellten Rechtsbegehren verglichen werden kann (Urteil 4A_226/2011 vom 31. Mai 2011 E. 3.2).
Das Obergericht schützt die Vorgehensweise des Bezirksgerichts mit der Begründung, dieses habe das Gesuch frühestens am 11. Februar 2014 prüfen können. An diesem Tag, an dem der Beschwerdeführer seinen Standpunkt erstmals vorgetragen hatte, habe das Bezirksgericht auch seinen Entscheid gefällt. Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen Erkenntnissen nicht auseinander. Was das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren angeht, anerkennt der Beschwerdeführer ausdrücklich, dass über das Gesuch auch am Ende des Verfahrens entschieden werden dürfe. Mit dem nicht näher substantiierten Vorwurf, auch das Obergericht habe sich einer "ex post"-Betrachtung bedient, genügt er den Begründungsanforderungen (E. 3) nicht. Dasselbe trifft zu, soweit sich der Beschwerdeführer darüber beklagt, dass das Obergericht den erstinstanzlichen Armenrechtsentscheid schütze, obwohl er vor Bezirksgericht teilweise obsiegt habe. Die Vorinstanz rechnet dem Beschwerdeführer im Detail vor, weshalb er in erster Instanz in einem Umfang von weniger als fünf Prozent obsiegt habe. Dagegen bringt der Beschwerdeführer nichts Substantielles vor. Bloss zu behaupten, dass Aussichtslosigkeit in solchen Fällen "natürlich nie angenommen werden" dürfe, genügt nicht.
8.
Nach alledem ist auch den Ausstandsbegehren der Boden entzogen, mit denen der Beschwerdeführer verschiedenen Gerichtspersonen im kantonalen Verfahren Voreingenommenheit und Parteilichkeit vorwirft (vgl. Sachverhalt Bst. D.a). Denn seine These, dass "die Sache ... offensichtlich persönlich motiviert" sei, begründet der Beschwerdeführer einzig damit, dass die kantonalen Instanzen falsch entschieden hätten. Wie die vorigen Ausführungen zeigen, vermag der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid aber nicht als verfassungswidrig auszuweisen. Abgesehen davon vermöchte auch ein materiell falscher Entscheid keinen objektiven Verdacht der Befangenheit des Richters zu erregen, der ihn gefällt hat (<ref-ruling> E. 3b S. 404). Eine Ausnahme von diesem Grundsatz fällt nur in Betracht, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, die als schwere Verletzung der Richterpflichten bewertet werden müssen (<ref-ruling> E. 3a S. 138; <ref-ruling> E. 3b S. 404). Derlei ist hier nicht dargetan.
9.
Die Beschwerde erweist sich also insgesamt als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer unterliegt. Er hat für die Verfahrenskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Kanton Zürich ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Soweit der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um das Armenrecht ersucht, ist sein Begehren abzuweisen. Nach dem Gesagten musste die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos gelten. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. September 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: V. Monn