Sachverhalt:
A. Mit Zahlungsbefehl Nr. 001 des Betreibungsamtes Grenchen-Bettlach wurde X._ (Beschwerdeführerin) von Y._ (Beschwerdegegnerin) erstmals auf den Betrag von Fr. 18'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 15. Juli 2006 betrieben. Das auf den erhobenen Rechtsvorschlag hin eingereichte Rechtsöffnungsbegehren wurde vom Gerichtspräsidenten Solothurn-Lebern am 16. Mai 2006 mangels Fälligkeit der Forderung abgewiesen.
Nachdem die Beschwerdegegnerin am 30. Mai 2006 die Kündigung des im Streite liegenden Darlehensvertrags ausgesprochen und so die Fälligkeit der Forderung herbeigeführt hatte, betrieb sie die Beschwerdeführerin am 7. September 2006 erneut. Der Zahlungsbefehl Nr. 002 des Betreibungsamtes Emmental-Oberaargau, Dienststelle Wangen, wurde von der Mutter der Beschwerdeführerin entgegengenommen. Der Forderungsgrund wurde mit "Darlehensvertrag vom 3. Mai 2003" bezeichnet. Die Beschwerdeführerin erhob keinen Rechtsvorschlag, weil sie angeblich keine Kenntnis vom Zahlungsbefehl erhalten hatte. Am 7. September 2007 meldete sich die Beschwerdeführerin auf dem Betreibungsamt und erhielt Akteneinsicht. Nachdem das Betreibungsamt Region Solothurn, Filiale Grenchen, am 16. Oktober 2007 den Pfändungsvollzug verfügt hatte, erhob die Beschwerdeführerin gegen die Pfändungsurkunde Beschwerde. Diese wurde von der SchKG-Kammer des Obergerichts des Kantons Solothurn mit Urteil vom 28. November 2007 abgewiesen mit der Begründung, die Beschwerdeführerin habe die 10-tägige Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags, die mit der Akteneinsicht am 7. September 2007 zu laufen begonnen habe, verpasst.
B. Am 5. Dezember 2007 klagte die Beschwerdeführerin gegen die Beschwerdegegnerin beim Richteramt Solothurn-Lebern nach Art. 85a SchKG auf Feststellung, dass die in Betreibung gesetzte Forderung von Fr. 18'000.-- nebst Zins nicht bestehe. Weiter beantragte sie, die Betreibung bzw. den Pfändungsvollzug vorläufig einzustellen. Zudem ersuchte sie um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Verfügung vom 25. Januar 2008 wies der Amtsgerichtspräsident den Antrag der Beschwerdeführerin auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zufolge Aussichtslosigkeit ab und bewilligte der Beschwerdegegnerin die unentgeltliche Rechtspflege (Ziffer 1). Den Antrag auf vorläufige Einstellung der Betreibung bzw. des Pfändungsvollzugs wies er ebenfalls ab (Ziffer 2). Ferner ordnete er das schriftliche Verfahren an und kündigte an, dass der Beschwerdeführerin nach Rechtskraft der Ziffern 1 und 2 Frist zur Einreichung der schriftlich begründeten Klage angesetzt werde (Ziffer 3).
Die Beschwerdeführerin gelangte an das Obergericht des Kantons Solothurn und beantragte die vorläufige Einstellung der Betreibung bzw. des Pfändungsvollzugs und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Urteil vom 18. April 2008 wies das Obergericht den Rekurs ab. Es gewährte der Beschwerdegegnerin für das obergerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und verweigerte diese der Beschwerdeführerin zufolge Aussichtslosigkeit.
C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, die Betreibung Nr. 002 des Betreibungsamtes Emmental-Oberaargau, Dienstelle Wangen an der Aare, und der Pfändungsvollzug Nr. 003 des Betreibungsamtes Region Solothurn, Filiale Grenchen-Bettlach, seien für die Dauer des Verfahrens vorläufig einzustellen. Der Beschwerdeführerin sei für das erstinstanzliche, das oberinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren sowie den bevorstehenden Zivilprozess die unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung von Rechtsanwältin Scheitlin als unentgeltlichen Rechtsbeistand zu gewähren. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur erneuten Beurteilung zurückzuweisen.
Die kantonalen Akten wurden beigezogen. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt (Art. 102 BGG).
D. Mit Präsidialverfügung vom 6. Juni 2008 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung gewährt.

E. Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist zum einen ein Entscheid, mit dem die vorläufige Einstellung der Betreibung im Sinne von Art. 85a Abs. 2 SchKG abgelehnt wurde. Ein solcher Massnahmeentscheid gilt als Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Urteil 5P.69/2003 vom 4. April 2003, E. 4.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 2c). Er kann demnach selbständig angefochten werden (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG).
1.2 Angefochten ist zum anderen ein Entscheid, mit dem die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wurde. Auch dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; Urteil 4A_350/2007 vom 3. Oktober 2007, E. 2; 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1).
1.3 In der Hauptsache geht es um eine vermögensrechtliche Angelegenheit mit einem Streitwert von Fr. 18'000.--. Gegen den Endentscheid ist daher die Beschwerde in Zivilsachen ausgeschlossen (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Aufgrund der Einheit des Verfahrens kann somit auch gegen die angefochtenen Zwischenentscheide nur subsidiäre Verfassungsbeschwerde ergriffen werden (Urteil 2D_1/2007 vom 2. April 2007, E.2.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2), wie dies die Beschwerdeführerin denn auch korrekt getan hat.
2. Nach Eingang einer Klage nach Art. 85a SchKG auf Feststellung, dass die Schuld nicht oder nicht mehr besteht, stellt das Gericht die Betreibung vorläufig ein, wenn ihm die Klage als "sehr wahrscheinlich begründet" erscheint (Art. 85a Abs. 2 SchKG). Dies bedeutet, dass die Prozesschance des Schuldners als deutlich besser erscheinen muss als jene des Gläubigers (Amonn/Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 7. Aufl., Bern 2003, S. 141 Rz. 25; Daniel Staehelin, Basler Kommentar, Ergänzungsband, ad N. 19 ff. zu Art. 85a SchKG).
2.1 Die Vorinstanz beurteilte die Klage der Beschwerdeführerin nicht als "sehr wahrscheinlich begründet", weshalb sie die vorläufige Einstellung der Betreibung ablehnte.
Die Beschwerdeführerin rügt eine "willkürliche Sachverhalts- und Beweiswürdigung". Soweit sie diese Rüge gegen die erstinstanzliche Beurteilung richtet, kann sie damit nicht gehört werden, da Anfechtungsobjekt nicht die Verfügung des Amtsgerichtspräsidenten, sondern einzig das Urteil des Obergerichts bildet. Wie nachfolgend aufgezeigt wird, gelingt es ihr indessen auch nicht, die Beurteilung der Begründetheit der Klage durch die Vorinstanz als willkürlich auszuweisen.
2.2 Die Vorinstanz ging bei ihrer Beurteilung der Erfolgsaussichten der Klage korrekt davon aus, dass die Beschwerdegegnerin als Gläu-bigerin die Behauptungs- und Beweislast hinsichtlich der rechtsbegründenden und die Beschwerdeführerin als Schuldnerin diejenige bezüglich der rechtshindernden und rechtsaufhebenden Tatsachen trage. Die Beschwerdegegnerin legte zum Beweis der Schuld die schriftliche Schuldanerkennung vom 5. Mai 2003 ins Recht:
"Schulden
Melchnau, 3.5.2003
Hiermit schuldet mir die obgenannte X._ einen Betrag von 18'000 Franken. Sie wird es mir, Y._, in Raten von 100 Franken monatlich zurückbezahlen.
Die Gläubigerin: (sig. Y._)
Die Schuldnerin: (sig. X._)"
2.3 Die Beschwerdeführerin hatte vor erster Instanz eingewendet, nie ein solches Dokument unterschrieben zu haben. Vor der Vorinstanz machte sie eine Fälschung ihrer Unterschrift geltend, wobei sie diverse Vergleichsunterschriften einreichte, die sich - auch für einen Laien erkennbar - von der Unterschrift auf der "Vereinbarung vom 3. Mai 2003" unterscheiden würden. Wohl wäre der Beschwerdeführerin darin Recht zu geben, dass sie mit ihrer Behauptung, die Unterschrift sei gefälscht, nicht ausgeschlossen werden dürfte, nur weil sie dies vor erster Instanz noch nicht behauptet hatte, da die Bestreitung, die ins Recht gelegte Schuldanerkennung unterschrieben zu haben, die Annahme impliziert, die dort aufgeführte Unterschrift sei gefälscht. Jedoch hilft dies der Beschwerdeführerin nicht weiter. Die Vorinstanz wies nämlich die Behauptung einer Fälschung gar nicht (als unzulässiges Novum) zurück. Sie führte lediglich aus, es falle auf, dass die angebliche Fälschung der Unterschrift, welche eigentlich das "schlagende" Argument zur Entkräftung der Forderung wäre, erst vor zweiter Instanz vorgebacht werde, obwohl der Beschwerdeführerin - sollte denn tatsächlich eine Fälschung vorliegen - dieses Argument schon seit Prozessbeginn bekannt gewesen wäre. Die Vorinstanz zog dieses Vorgehen mithin lediglich bei der Beurteilung der Glaubwürdigkeit der Behauptung einer Fälschung mit in Betracht.
Die Vorinstanz prüfte das Argument einer Fälschung und verglich die ins Recht gelegten Unterschriften der Beschwerdeführerin miteinander. Dabei führte sie aus, die Unterschrift auf der Schuldanerkennung und diejenige auf dem Gesuch zur Erlangung der unentgeltlichen Rechtspflege seien tatsächlich nicht identisch. Sie würden aber keineswegs so stark voneinander abweichen, dass ein Laie eine Fälschung vermuten müsste. Unterschriften veränderten sich über mehrere Jahre hinweg ein wenig. Bestätigt werde dies gerade auch durch die von der Beschwerdeführerin eingereichten Urkunden. Die Unterschrift der Beschwerdeführerin auf der Anwaltsvollmacht vom 4. Februar 2008 unterscheide sich von derjenigen auf dem Gesuch zur Erlangung der unentgeltlichen Rechtspflege. Ebenso würden sich die Unterschriften auf den Mietverträgen vom 27. November 2006 und vom 27. März 2003 deutlich unterscheiden. Aus den nicht immer identischen Unterschriften ergebe sich daher kein konkreter Hinweis auf eine Fälschung.
Dieser Beurteilung stellt die Beschwerdeführerin lediglich ihre eigene Interpretation der Vergleichsunterschriften entgegen und vermag damit nicht aufzuzeigen, inwiefern die Beweiswürdigung der Vorinstanz willkürlich wäre. Ebenso wenig begründet sie rechtsgenüglich, inwiefern die Vorinstanz geradezu in Willkür verfallen sein soll, indem sie die Behauptung der Beschwerdegegnerin, der Betrag von Fr. 18'000.-- sei in Teilbeträgen über eine längere Zeitspanne übergeben worden, durch das blosse Vorbringen der Beschwerdeführerin, es sei nicht möglich, dass eine Sozialhilfebezügerin ein Darlehen in der Höhe von Fr. 18'000.-- gewähre, nicht entkräftet sah.
2.4 Da somit die Klage der Beschwerdeführerin nicht als "sehr wahrscheinlich begründet" im Sinne von Art. 85a Abs. 2 SchKG erschien, hat die Vorinstanz die vorläufige Einstellung der Betreibung zu Recht abgelehnt. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet und ist abzuweisen.
3. Betreffend die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV. Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt. Unabhängig davon besteht ein solcher Anspruch unmittelbar aufgrund von Art. 29 Abs. 3 BV. Dieser setzt neben der Bedürftigkeit der Gesuch stellenden Partei kumulativ voraus, dass ihre Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheinen. Aussichtslos in diesem Sinn sind nach konstanter Rechtsprechung Begehren, für welche die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135). Die Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes ist ausserdem an die Voraussetzung geknüpft, dass dies zur Wahrung der Rechte notwendig ist (Art. 29 Abs. 3 Satz 2 BV).
3.1 Vorliegend ist einzig streitig, ob die Begehren der Beschwerdeführerin als aussichtslos erscheinen. Die Vorinstanz hat dies bejaht, unter Bezugnahme auf ihre Erwägungen zur Begründetheit der Klage im Rahmen des Entscheids über die vorläufige Einstellung der Betreibung. Nachdem sich diese Beurteilung entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin nicht als willkürlich erwiesen hat, konnte darauf abgestellt werden. Die vorinstanzliche Beurteilung der Prozessaussichten ist nicht zu beanstanden und der Beschwerdeführerin wurde die unentgeltliche Rechtspflege ohne Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV verweigert.
4. Die Beschwerdeführerin rügt zudem eine Verletzung des Rechtsverzögerungsverbots nach Art. 29 Abs. 1 BV, weil sie auf den Entscheid des Obergerichts mehr als zwei Monate habe warten müssen. Damit ist sie von vornherein nicht zu hören, fehlt ihr doch das Rechtsschutzinteresse, nachdem der Entscheid zwischenzeitlich längst ergangen ist.
Schliesslich erweist sich der Vorwurf, sie sei in Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV von der Vorinstanz nicht "gleich und gerecht" behandelt worden, als offensichtlich unbegründet. Die Vorinstanz hat durchaus auch die Vorbringen der Beschwerdeführerin geprüft. Dass sie den Argumenten der Beschwerdeführerin nicht folgte, bedeutet keine Verletzung des Anspruchs auf ein faires Verfahren.
5. Die Beschwerdeführerin ersucht um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren. Das Bundesgericht gewährt einer bedürftigen Partei, deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, auf Antrag Befreiung von der Bezahlung der Gerichtskosten sowie von der Sicherstellung der Parteientschädigung. Nötigenfalls bestellt es ihr einen Rechtsanwalt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich, dass die subsidiäre Verfassungsbeschwerde aussichtslos ist. Da es bereits an der Erfolgsaussicht mangelt, erübrigt sich die Prüfung der weiteren Voraussetzungen. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor Bundesgericht ist abzuweisen. Die Beschwerdeführerin trägt somit die Kosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden, sind keine Parteientschädigungen zu sprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Corboz Sommer