Sachverhalt:
A.
X._ wurde am ...1982 geboren und am ...1982 unter dem Vornamen "A._" als Person weiblichen Geschlechts in das Geburtsregister eingetragen. Am 3. September 2002 liess sich X._ die weiblichen Geschlechtsorgane operativ entfernen. Mit Entscheid vom 17. Dezember 2002 stellte das Amtsgericht Luzern-Land fest, dass X._ männlichen Geschlechts ist und der Vorname von "A._" zu "B._" geändert wird.
Am 3. September 2012 reichte X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Klage gegen den Kanton Luzern ein und beantragte, der Kanton Luzern habe ihm Fr. 100'000.-- Genugtuung und Fr. 237'913.20 Schadenersatz zu leisten. Gleichzeitig beantragte X._ die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern überwies die Akten am 10. September 2012 zuständigkeitshalber an das Bezirksgericht Luzern.
B.
Mit Entscheid vom 26. November 2012 wies die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Luzern, Abteilung 1, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ab. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht Luzern) mit Entscheid vom 8. Februar 2013 ab, soweit darauf eingetreten werden konnte.
C.
Vor Bundesgericht beantragt X._, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern vom 8. Februar 2013 aufzuheben und dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Ferner sei ihm im bundesgerichtlichen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, eventualiter auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten.
Das Obergericht des Kantons Luzern beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Luzern, Abteilung 1, und der Kanton Luzern haben sich nicht vernehmen lassen.
Am 7. Juni 2013 hat der Beschwerdeführer eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 338; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131; Urteil 2C_164/2012 vom 31. August 2012 E. 1.2). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 3 S. 144; Urteil 2D_1/2007 vom 2. April 2007 E. 2.2). Vorliegend macht der Beschwerdeführer Staatshaftungsansprüche in der Höhe von rund Fr. 340'000.-- geltend, womit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachbeurteilungsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweis). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten, darin eingeschlossen solcher, die sich aus Völkerrecht ergeben, gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 76 f.; <ref-ruling> E. 5.2 S. 373, 274 E. 1.6 S. 280 f.)
Unerlässlich ist dabei unter anderem, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Urteils eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin Bundesrecht verletzt wird. Der Beschwerdeführer muss sich konkret und spezifisch mit den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzen, sodass aus der Beschwerde ersichtlich ist, in welchen Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 306; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; Urteil 2C_1109/2012 vom 17. Juni 2013 E. 1.3.1).
2.2. Die Beschwerdeschrift genügt den genannten Anforderungen über weite Strecken nicht:
2.2.1. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit des Staatshaftungsprozesses gegen den Kanton Luzern. Mit den Ausführungen der Vorinstanz setzt sich der Beschwerdeführer nicht näher auseinander. Die von der Vorinstanz verneinten Haftungsvoraussetzungen werden nur summarisch erwähnt; einzig unter dem Titel der Verjährung geht der Beschwerdeführer näher auf das Haftungsrecht ein. Soweit er sich erstmals in der Replik - ebenfalls nur summarisch - dazu äussert, bleiben seine Ausführungen unberücksichtigt, hätten sie doch ohne Weiteres bereits in der Beschwerdeschrift vorgebracht werden können und sind daher verspätet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 21; <ref-ruling> E. 1.7 S. 162; <ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47; Urteil 2C_66/2013 vom 7. Mai 2013 E. 1.2).
2.2.2. Die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege wird vom Beschwerdeführer zwar bestritten, doch erhebt er diesbezüglich nicht ausdrücklich eine zulässige Rüge (<ref-law>). Da die Bestimmungen der Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO) vorliegend über den Verweis im kantonalen Haftungsrecht zur Anwendung gelangen, handelt es sich um subsidiäres kantonales öffentliches Recht, dessen Verletzung vor Bundesgericht nicht als solches gerügt werden kann (vgl. <ref-law>; Urteil 2C_888/2010 vom 7. April 2011 E. 4 mit Hinweis). Ob die bloss sinngemäss erhobene Rüge der Verletzung von <ref-law> den Anforderungen nach <ref-law> genügt, kann letztlich offenbleiben, da der vorinstanzliche Entscheid auch unter diesem Aspekt nicht zu beanstanden ist (vgl. sogleich E. 3).
2.2.3. Dagegen äussert sich der Beschwerdeführer eingehend zur Rechtslage bei Inter- und Transsexualismus: Die (register-) rechtliche Anerkennung der Geschlechts- und Namensänderung an einen vorgängigen operativen Eingriff zu knüpfen, beeinträchtige das Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens (Art. 8 EMRK), die persönliche Freiheit (<ref-law>) und das Recht auf selbstbestimmte Entfaltung der Persönlichkeit (Art. 10 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Es fehle an der gesetzlichen Grundlage, dem öffentlichen Interesse und der Verhältnismässigkeit für einen solch schwerwiegenden Eingriff in grund- bzw. menschenrechtlich geschützte Rechtsgüter.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Dieser Anspruch umfasst einerseits die Befreiung von den Verfahrenskosten und andererseits - soweit notwendig - das Recht auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder die Gewinnaussichten nur wenig geringer sind als die Verlustgefahren. Massgebend ist, ob sich eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218; <ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweis).
3.2. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer summarischen Prüfung nach den Verhältnissen zur Zeit, zu der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218; <ref-ruling> E. 5 S. 616; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f. mit Hinweisen). Grundlage der Beurteilung bilden die konkreten Verhältnisse, d.h. die Begehren und der zu ihrer Begründung vorgebrachte Sachverhalt unter Einschluss der Beweismittel und Beweisanträge (<ref-ruling> E. 2b S. 114; Urteil 5A_81/2009 vom 2. März 2009 E. 4.4.2; GEROLD STEINMANN, in: St. Galler Kommentar BV, 2. Aufl. 2008, N. 39 zu <ref-law>). Dabei ist Rechtsfrage, welche Umstände bei der Beurteilung der Prozessaussichten in Betracht fallen und ob sie für oder gegen eine hinreichende Erfolgsaussicht sprechen, Tatfrage hingegen, ob und wieweit einzelne Tatumstände erstellt sind (<ref-ruling> E. 2c S. 307; Urteil 5A_923/2012 vom 15. März 2013 E. 4.1).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer bringt im bundesgerichtlichen Verfahren vor, er habe vorgängig zu seiner geschlechtsanpassenden Operation einen Antrag auf Status- und Namensänderung gestellt. Dessen Gutheissung sei u.a. von der Voraussetzung abhängig gemacht worden, dass er seine weiblichen Geschlechtsorgane operativ entfernen lasse. Aufgrund dessen habe er sich "gezwungen" gesehen, in den operativen Eingriff einzuwilligen; die ihn psychisch belastende Situation habe ihm keine andere Möglichkeit offengelassen. Der daraus resultierende körperliche und seelische Schaden werde ihn lebenslang begleiten. So leide der Beschwerdeführer heute unter schweren Depressionen, einer Cannabisabhängigkeit und sei zu 100% arbeitsunfähig.
4.2.
4.2.1. Vor der Vorinstanz berief sich der Beschwerdeführer neben dem erwähnten "Antrag auf Status- und Namensänderung" auf Auskünfte kantonaler Angestellter, wobei er jedoch bislang keine entsprechenden Beweismittel eingereicht hat. Unstrittig ist, dass allfällige Auskünfte die damalige registerrechtliche Praxis zutreffend wiedergegeben hätten. Wie diese Praxis aus heutiger Sicht zu bewerten ist, kann an dieser Stelle offenbleiben (vgl. oben E. 2.2.3). Entscheidend ist vielmehr, dass es nach den Vorbringen des Beschwerdeführers und derzeitigem Aktenstand keine Anzeichen dafür gibt, dass die geschlechtsanpassende Operation auf "erzwungenes" staatliches Handeln zurückzuführen war und nicht auf einer rechtsgültigen Einwilligung des Beschwerdeführers beruhte.
4.2.2. Eine geschlechtsanpassende Operation stellt einen schwerwiegenden, irreversiblen chirurgischen Eingriff dar und ist gemäss den ärztlichen Behandlungsrichtlinien nur indiziert, wenn der Wunsch nach einer Geschlechtsanpassung durch eingehende, insb. psychiatrisch-psychotherapeutische Untersuchungen über einen längeren Zeitraum hinweg erhärtet ist (vgl. die Nachweise in <ref-ruling> E. 9.2 S. 104 ff.). Es gibt in den Vorbringen des Beschwerdeführers keine Anhaltspunkte dafür, dass es sich vorliegend anders verhalten hätte. Ausserdem hätte der Beschwerdeführer bei fehlendem Willen zur geschlechtsanpassenden Operation die beanstandete registerrechtliche Praxis vorgängig zum Eingriff gerichtlich überprüfen lassen können, zumal er bereits vor der Operation einen ersten Antrag um Geschlechts- und Namensänderung gestellt haben will. Soweit ein abschlägiger Entscheid vorliegen sollte, wäre darauf im Hauptprozess nicht zurückzukommen (Prinzip der "Einmaligkeit des Rechtsschutzes"; vgl. § 4 Abs. 2 Satz 2 des Haftungsgesetzes des Kantons Luzern vom 13. September 1988 [SRL 23; nachfolgend: HG/LU]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 142; <ref-ruling> E. 2 S. 147 ff.; Urteil 2C_158/2010 vom 18. August 2010 E. 2.4).
4.2.3. Damit ist nicht ersichtlich, inwiefern der Beschwerdeführer durch einen Angestellten des Kantons Luzern widerrechtlich geschädigt worden wäre (§ 4 Abs. 1 HG/LU). Soweit das kantonale Haftungsrecht auf ein Verschulden abstellt (§ 4 Abs. 1 HG/LU), hat die Vorinstanz zutreffend darauf hingewiesen, dass der Nachweis des Fehlens des Verschuldens im Hauptprozess wohl ohne Weiteres zu erbringen wäre. Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht substanziiert auseinander.
4.3.
4.3.1. Was die Verjährung betrifft, ist mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass die schädigende Handlung vorliegend nicht in der Operation selbst erblickt werden kann, hat doch der Beschwerdeführer hierzu - nach der Aktenlage (vgl. oben E. 4.2) - rechtsgültig eingewilligt. Soweit der Beschwerdeführer seine Ersatzansprüche aus früheren Ereignissen (Auskünfte, Gesuchsablehnung) herleiten will, müssen sie sich jedenfalls vor dem 2. September 2002 als dem Datum des Spitaleintritts ereignet haben. Daraus schliesst die Vorinstanz, dass allfällige Ansprüche des Beschwerdeführers aus diesen Handlungen absolut verjährt seien, da der Beschwerdeführer erst am 3. September 2012 und damit nicht innert zehn Jahren nach der schädigenden Handlung (vgl. § 8 Abs. 1 HG/LU) eine fristwahrende Handlung vorgenommen habe. Die Frage nach der Wahrung der relativen Verjährungsfrist von zwei Jahren seit Kenntnis des Schadens und des haftpflichtigen Gemeinwesens könne offengelassen werden (vgl. § 8 Abs. 1 HG/LU).
4.3.2. Die genannten Zeitabläufe werden vom Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren nicht bestritten. Er führt jedoch aus, es sei sowohl "unbillig als auch unverhältnismässig, einfach auf die Verjährung abzustellen". Es sei eine opferbezogene Perspektive einzunehmen und auf das Datum der Auswirkungen abzustellen.
4.3.3. Es ist nicht ersichtlich, weshalb vorliegend dem Zeitablauf keine Rechnung zu tragen wäre (vgl. <ref-ruling> E. 8 S. 200 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 152 ff.; Urteil 2C_164/2012 vom 31. August 2012 E. 3.6). Das Bundesgericht lehnt es in konstanter Praxis ab, sich aufgrund möglicher Härten im Einzelfall über geltende Verjährungsvorschriften hinwegzusetzen (<ref-ruling> E. 7.5 S. 200; <ref-ruling> E. 4a/aa S. 220 mit Hinweisen). Diese führen vorliegend nicht dazu, dass die vom Beschwerdeführer angerufene Rechtsweggarantie des Art. 6 EMRK ihres Inhalts entleert würde (vgl. <ref-ruling> E. 8.2 S. 201 ff. mit Hinweisen), besonders da der Beschwerdeführer die beanstandete registerrechtliche Praxis bereits vorgängig zur geschlechtsanpassenden Operation durch zumutbare Vorkehren auf ihre Rechtmässigkeit hätte überprüfen lassen können. Soweit sich der Beschwerdeführer zur Wahrung der relativen Verjährungsfrist darauf beruft, dass er "frühestens" im Jahr 2011 von der Widerrechtlichkeit der damaligen registerrechtlichen Praxis erfuhr, ist darauf hinzuweisen, dass ein solcher Rechtsirrtum nach der Bundesgerichtspraxis verjährungsrechtlich grundsätzlich irrelevant ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 68 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1a S. 3; <ref-ruling> E. 1a S. 44 f.; Urteil C.516/1985 vom 11. Februar 1986 E. 3c, in: JdT 1986 I 425; vgl. ferner Urteil 2C_404/2012 vom 11. Februar 2013 E. 5.1). Inwiefern es sich vorliegend mit Bezug auf § 8 Abs. 1 HG/LU anders verhalten sollte, ist weder ersichtlich noch dargetan (vgl. Urteil 2C.3/2005 vom 10. Januar 2007 E. 4.1).
4.4. Wenn die Vorinstanz angesichts dieser Sach- und Rechtslage einstweilig davon ausging, die Staatshaftungsklage erscheine aussichtslos, ist dies nicht zu beanstanden. Dabei durfte die Vorinstanz auch berücksichtigen, dass der Beschwerdeführer bezüglich der Haftungsvoraussetzungen - ausgenommen das Verschulden - die Beweislast trägt (vgl. Urteil 2C_687/2012 vom 14. Dezember 2012 E. 2).
5.
Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 65 f. BGG). Der Beschwerdeführer hat zwar anfänglich um unentgeltliche Rechtspflege ersucht, aber in der Folge trotz Aufforderung den fehlenden Bedürftigkeitsnachweis nicht erbracht und den Kostenvorschuss bezahlt, womit auf einen stillschweigenden Rückzug des Gesuchs zu schliessen ist (vgl. Urteil 2C_1197/2012 vom 17. Mai 2013 E. 5.2). Besondere Umstände, die es rechtfertigen würden, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten, sind nicht ersichtlich (<ref-law>). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. August 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Egli