Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Nachdem die sich im letztinstanzlichen Verfahren nachträglich eingereichten ärztlichen (Kurz-)Berichte der Rehaklinik Y._ vom 14. September 1999 sowie des Dr. med. K._ vom 23. September 1999 und 29. Oktober 1999 auf die hier nicht massgebende Zeit nach Erlass der Verfügungen der Beschwerdegegnerin vom 20. Februar 1998 beziehen (<ref-ruling> Erw. 1b mit Hinweisen), erübrigt sich ein zweiter Schriftenwechsel (<ref-ruling> Erw. 1 mit Hinweisen).
2.- a) Das kantonale Gericht hat die massgebenden gesetzlichen Bestimmungen über den Invaliditätsbegriff (<ref-law>), die Voraussetzungen und den Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law>) sowie die Invaliditätsbemessung bei Erwerbstätigen nach der Einkommensvergleichsmethode (<ref-law>) zutreffend dargelegt. Richtig ist auch, dass das Sozialversicherungsgericht nach ständiger Rechtsprechung die Gesetzmässigkeit der angefochtenen Verfügungen in der Regel nach dem Sachverhalt beurteilt, der zur Zeit des Verfügungserlasses (hier 20. Februar 1998) gegeben war (<ref-ruling> Erw. 1b mit Hinweisen). Darauf kann verwiesen werden. Zu ergänzen ist, dass nach der Rechtsprechung bei einer rückwirkend verfügten abgestuften und/oder befristeten Rente Revisionsgründe (<ref-law>) vorliegen müssen. Der Zeitpunkt des Wechsels für die Herauf-, Herabsetzung oder Aufhebung der Rente bestimmt sich nach <ref-law> (zur Publikation in BGE 125 V vorgesehenes Urteil I. vom 14. Juni 1999, Erw. 2d, I 84/97; <ref-ruling>).
b) Nach dem Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle Zentralschweiz (MEDAS) vom 17. Juni 1997 ist dem Beschwerdeführer auf Grund seiner Leiden (Chronisches lumbospondylogenes Syndrom mit leichter linkskonvexer Torsionsskoliose der LWS sowie abgeflachter Lendenlordose, mit erheblicher, progredienter Segmentdegeneration und bei muskulärer Dysbalance mit myofaszialem Überlastungssyndrom) die angestammte Tätigkeit als Kranführer/Baumaschinist sowie jede andere körperlich schwere bis mittelschwere Tätigkeit nicht mehr zumutbar. Hingegen ist ihm ab 20. Juni 1997 eine körperlich leichte, wechselbelastende, vor allem sitzende Tätigkeit, zu 100 % der Norm zumutbar. Zu denken sei an einfachere praxisorientierte industrielle Arbeiten. Gestützt darauf ist mit dem kantonalen Gericht festzustellen, dass dem Beschwerdeführer zwar die Ausübung seiner früheren Tätigkeit nicht mehr möglich ist, dass er aber bei einer leidensangepassten Arbeit seit 20. Juni 1997 100 % arbeitsfähig ist. Die hiegegen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vorgebrachten Gründe, namentlich die (nachträglich) eingereichten Arztzeugnisse, führen zu keiner andern Betrachtungsweise, weil sich diese - soweit erheblich - auf die Zeit nach Erlass der Verwaltungsverfügungen (20. Februar 1998) beziehen. Auf Grund der Akten bestehen auch keine Anhaltspunkte, die gegen die Unabhängigkeit und Unparteilichkeit der Gutachter der MEDAS sprechen (vgl. dazu <ref-ruling>). Zusätzlicher Aktenergänzungen bedarf es nicht, zumal von der MEDAS auch ein psychiatrisches Konsilium durchgeführt worden ist.
c) Die Beschwerdegegnerin ermittelte ab 1. Juli 1997 einen Invaliditätsgrad von 40,84 %. Dabei ging sie auf Grund der Angaben im Fragebogen für den Arbeitgeber vom 6. März 1996 von einem Valideneinkommen für 1995 von Fr. 64'805.- (13 x Fr. 4985.-) aus. Das Invalideneinkommen legte sie auf Fr. 38'340.- fest, wobei sie gestützt auf die Schweizerische Lohnstrukturerhebung (LSE) 1996 des Bundesamtes für Statistik (Tabelle 1.1.1., Tätigkeit 34, Niveau 4) von einen Jahresverdienst von Fr. 51'120.- (12 x Fr. 4'260.-) ausging und hernach einen Abzug von 25 % vornahm. Das kantonale Gericht berücksichtigte zunächst beim Valideneinkommen die Nominallohnentwicklung und errechnete für das Jahr 1996 ein Einkommen von Fr. 65'602.-. Beim Invalideneinkommen stellte es ebenfalls auf die LSE 1996 ab (Tabelle A 1.1, Sektor Produktion, Niveau 4). Den monatlichen Bruttobetrag von Fr. 4'503.- rechnete es auf eine Wochenarbeitszeit von 41 Stunden um, was ein Jahreseinkommen von Fr. 55'387.- und unter Zubilligung eines Abzuges von 25 % ein Invalideneinkommen von Fr. 41'540.- ergab. Daraus resultierte ein Invaliditätsgrad von 36,76 %.
Diesen Berechnungen kann aus verschiedenen Gründen nicht gefolgt werden. Die Arbeitsfähigkeit von 100 % für körperlich leichte Arbeiten besteht ab 20. Juni 1997 und die Rentenherabsetzung oder -aufhebung wurde von Verwaltung und Vorinstanz für das Jahr 1997 vorgenommen. Für den Einkommensvergleich ist daher auf die Einkommensverhältnisse im Jahr 1997 abzustellen. Sodann ergeben sich bei praxisgemässer Anwendung der LSE weitere Abweichungen. Nach der gemäss <ref-ruling> Erw. 3b/bb anwendbaren Tabelle A 1 der LSE belief sich der monatliche Bruttolohn (Zentralwert) für die mit einfachen und repetitiven Aufgaben (Anforderungsniveau 4) beschäftigten Männer im privaten Sektor - einschliesslich des Dienstleistungssektors (vgl. ZAK 1991 S. 321 Erw. 3b) - im Jahr 1996 auf Fr. 4'294.-. Indes gilt es zu beachten, dass dieser standardisierte Lohn generell auf einer Arbeitszeit von 40 Wochenstunden basiert, welcher Wert etwas tiefer liegt als die betriebsübliche durchschnittliche Arbeitszeit im Jahr 1996 von 41,9 Stunden (Die Volkswirtschaft 1999 Heft 12 Anhang S. 27 Tabelle B 9.2). Entgegen der Auffassung der Vorinstanz hat demnach die Umrechnung nicht auf eine Wochenarbeitszeit von 41 Stunden zu erfolgen. Bei einer wöchentlichen Arbeitszeit von 41,9 Stunden ergibt dies ein Gehalt von Fr. 4'498.- im Monat oder von Fr. 53'976.- im Jahr 1996 (Fr. 4'498.- x 12). Bei gleicher wöchentlicher Arbeitszeit im Jahr 1997 und angepasst an die Nominallohnentwicklung 1997 von 0,5 % (Die Volkswirtschaft 1999 Heft 12, Anhang S. 27 f., Tabelle B 9.2 und B 10.2) resultiert ein Invalideneinkommen für 1997 von Fr. 54'246.-. Wird mit der IV-Stelle und dem kantonalen Gericht ein Abzug von 25 % gewährt, beläuft sich das jährliche Invalideneinkommen auf Fr. 40'684.-. Stellt man dieses Invalideneinkommen dem der Lohnentwicklung auf 1997 angepassten jährlichen Valideneinkommen von Fr. 65'714.- (1995 Fr. 64'805.-, Lohnentwicklung im Baugewerbe 1996 1,2 % und 1997 0,2 %, Volkswirtschaft 1999 Heft 12, Anhang S. 28, Tabelle B 10.2) gegenüber, so resultiert ein rentenausschliessender Invaliditätsgrad von rund 38 %. Im Ergebnis lässt sich daher die Ermittlung des Invaliditätsgrades durch die Vorinstanz nicht beanstanden. Daran ändern die Vorbringen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde namentlich angesichts des grosszügig bemessenen Abzugs von 25 % beim Invalideneinkommen (vgl. AHI 1998 S. 177 Erw. 3a) nichts.
d) Da im Gutachten der MEDAS vom 17. Juni 1997 erst ab 20. Juni 1997 eine volle Arbeitsfähigkeit attestiert wird, erweist sich die von der Beschwerdegegnerin bereits auf den 1. Juli 1997 verfügte Herabsetzung der ganzen Invalidenrente im Lichte von <ref-law> als verfrüht (vgl. <ref-ruling>), weshalb die ganze Invalidenrente bis Ende September 1997 auszurichten ist, wie das kantonale Gericht ebenfalls zutreffend festgestellt hat.
3.- Zu prüfen bleibt der Zeitpunkt der vom kantonalen Gericht in Anwendung der reformatio in peius vorgenommenen Aufhebung der halben Invalidenrente.
Nach <ref-law> ist die Rente für die Zukunft entsprechend zu erhöhen, herabzusetzen oder aufzuheben, wenn sich der Grad der Invalidität eines Rentenbezügers in einer für den Anspruch erheblichen Weise ändert. Ferner bestimmt <ref-law>, dass die Herabsetzung oder Aufhebung frühestens vom ersten Tag des zweiten der Zustellung der Verfügung folgenden Monats erfolgt.
Nach der Rechtsprechung sind im Falle einer reformatio in peius - was die Vorinstanz übersehen hat - die <ref-law> und <ref-law> sinngemäss anwendbar. Dies bedeutet, dass die Aufhebung der Rente im vorliegenden Fall nur für die Zukunft erfolgen darf (<ref-law>), das heisst, die dem Beschwerdeführer von der Beschwerdegegnerin gewährte halbe Invalidenrente ist vom ersten Tag des zweiten Monats an aufzuheben, der der Zustellung des vorinstanzlichen Entscheides (hier: 18. März 1999) folgt (<ref-ruling> Erw. 3b; Ulrich Meyer-Blaser, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], S. 264). Demzufolge ist die dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 20. Februar 1998 zugesprochene halbe Invalidenrente in Abänderung des vorinstanzlichen Entscheides ab 1. Mai 1999 aufzuheben.
4.- Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (Art. 159 OG). Die vorinstanzlich zugesprochene Parteientschädigung ist zu belassen.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird insoweit teil-
weise gutgeheissen, dass der Entscheid des Versiche-
rungsgerichts des Kantons Solothurn vom 15. März 1999
insofern abgeändert wird, als die halbe Invalidenrente
auf den 1. Mai 1999 hin aufgehoben wird. Im Übrigen
wird die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abgewiesen.
II. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III. Die IV-Stelle des Kantons Solothurn hat dem Beschwer-
deführer für das Verfahren vor dem Eidgenössischen
Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von
Fr. 1000.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezah-
len.
IV. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungs-
gericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für
Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 11. Februar 2000
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: