Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 13. Oktober 2004 sprach die IV-Stelle Luzern dem 1958 geborenen A._ eine halbe Rente der Invalidenversicherung ab 1. September 2000 zu bei einem Invaliditätsgrad von 55 %. Im Juni 2009 leitete sie ein Revisionsverfahren ein. Mit Verfügung vom 12. Juni 2013 ermittelte die IV-Stelle einen Invaliditätsgrad von nunmehr 30 % und hob die bisherige Invalidenrente auf Ende Juli 2013 auf. Weiter sprach sie A._ mit Verfügung vom 19. Juni 2013 Eingliederungsmassnahmen ab 1. August 2013, unter Weiterausrichtung der bisherigen Rente längstens bis 31. Juli 2015, zu.
B.
Mit Entscheid vom 6. März 2014 hiess das Kantonsgericht Luzern die dagegen erhobene Beschwerde insofern gut, als es die Verfügung vom 12. Juni 2013 aufhob und dem Versicherten weiterhin eine halbe Invalidenrente zusprach (Dispositiv-Ziff. 1) sowie das Verfahren in Bezug auf die Verfügung vom 19. Juni 2013 als erledigt erklärte (Dispositiv-Ziff. 2). Sodann sprach es A._ eine Parteientschädigung von pauschal Fr. 3'000.- (inkl. Auslagen und MWST) zu (Dispositiv-Ziff. 5).
C.
A._ lässt "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten / subsidiäre Verfassungsbeschwerde" führen mit dem Antrag, es sei Dispositiv-Ziff. 5 des Entscheids vom 6. März 2014 aufzuheben und das kantonale Gericht anzuweisen, die Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren neu festzusetzen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Angefochten wird ein Entscheid des kantonalen Sozialversicherungsgerichts in Bezug auf den Anspruch auf eine Parteientschädigung im kantonalen Beschwerdeverfahren (vgl. <ref-law> [SR 830.1]). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen. Die Verfassungsbeschwerde als subsidiäres Rechtsmittel ist damit unzulässig (<ref-law> e contrario).
2.
2.1. Das kantonale Gericht hat die Parteikostenentschädigung entsprechend dem Verfahrensausgang und pauschal auf Fr. 3'000.- festgelegt.
2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, das kantonale Gericht habe einen zweiten Schriftenwechsel angeordnet. Die Duplik der IV-Stelle, mit welcher die Gutheissung der Beschwerde im Sinne einer Rückweisung zu weiteren Abklärungen beantragt wurde, habe es ihm mit Schreiben vom 4. März 2014 zugestellt. Bereits am 12. März 2014 habe er die Kostennote seines Rechtsvertreters einreichen lassen. Der vorinstanzliche Entscheid vom 6. März 2014 sei am 14. März 2014 versandt und ihm am 17. März 2014 zugestellt worden. Diese neuen Behauptungen sind durch den angefochtenen Entscheid veranlasst und ergeben sich aus den vorinstanzlichen Akten; sie sind zulässig (vgl. <ref-law>) und treffen zu.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>), weil das kantonale Gericht mit dem vorinstanzlichen Entscheid die Parteientschädigung festgesetzt habe, bevor er überhaupt von der (bei ihm erst am 7. März 2014 eingetroffenen) Duplik habe Kenntnis nehmen können; somit habe er keine Möglichkeit gehabt, die Kostennote vor Erlass des Entscheids vom 6. März 2014 einzureichen. Zudem hält er die Entschädigung in der Höhe von Fr. 3'000.- für unzureichend begründet (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; vgl. auch <ref-law> und <ref-law>) und willkürlich (<ref-law>).
3.
3.1. Nach <ref-law> hat die obsiegende Beschwerde führende Person Anspruch auf Ersatz der Parteikosten. Diese werden vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen. Über diese Regelung hinaus ist die Bemessung der Parteientschädigung eine Angelegenheit des kantonalen Rechts (<ref-ruling> E. 6.1 S. 158 f.; Urteil 9C_622/2013 vom 29. Januar 2014 E. 2).
3.2. Es besteht keine bundesrechtliche Verpflichtung des kantonalen Versicherungsgerichts, für die Festsetzung der Parteientschädigung eine Kostennote des Rechtsvertreters einzuholen (Urteil 9C_693/2010 vom 24. Januar 2011 E. 5). Davon unberührt bleibt indessen das aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) abgeleitete Recht des Betroffenen, (rechtzeitig) eine Kostennote seines Rechtsvertreters einzureichen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 282; <ref-ruling> E. 5.1 S. 293; <ref-ruling> E. 3.1 S. 370 mit Hinweisen). Tut er dies, ist das kantonale Gericht verpflichtet, eine allfällige Abweichung von der Kostennote zu begründen (Urteile 9C_721/2013 vom 9. April 2014 E. 3.2; 9C_622/2013 vom 29. Januar 2014 E. 4.3; SVR 2013 IV Nr. 26 S. 75, 8C_54/2013 E. 5.1 und 5.2).
3.3. Der Beschwerdeführer macht zu Recht geltend, dass er bis zum Zeitpunkt, da ihm das kantonale Gericht die (fristgerecht eingereichte) Duplik der IV-Stelle zustellte, nicht mit dem Abschluss des Verfahrens, sondern im Gegenteil sogar noch mit weiterem Aufwand rechnen musste: In Bezug auf die (erwartete) Duplik hätte sich etwa eine Stellungnahme als angezeigt erweisen können, weshalb vom Gericht auch stets die Möglichkeit zu gewähren ist, sich zu einer Eingabe der Verwaltung zu äussern (<ref-ruling> E. 2.1-2.4 S. 485 ff.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 99; vgl. <ref-ruling> E. 4.6 S. 104). Erst als die Duplik beim Rechtsvertreter des Beschwerdeführers eintraf und zur Kenntnis genommen werden konnte, d.h. frühestens am 5. März 2014, musste er einerseits von der Spruchreife der Sache ausgehen und stand anderseits fest, dass keine weiteren Arbeiten mehr anfallen würden.
Schon am 12. März 2014, mithin innerhalb höchstens einer Woche, reichte der Rechtsanwalt der Vorinstanz seine Kostennote ein. Bei dieser Gegebenheit kann nicht gesagt werden, er habe nicht umgehend auf die Zustellung reagiert und somit auf weitere Eingaben verzichtet (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 486 mit Hinweisen). Die Einreichung erfolgte jedenfalls innerhalb der 10-tägigen Frist, die die sozialrechtlichen Abteilungen des Bundesgerichts in der Regel für freiwillige Bemerkungen nach Durchführung des Schriftenwechsels ansetzen (vgl. http://www.bger.ch/index/juridiction/jurisdiction-inherit-template/jurisdiction-echange-ecritures.htm). Demzufolge handelte der Rechtsvertreter rechtzeitig.
Mit der bereits am 6. März 2014 erfolgten Entscheidung über die Beschwerde hat die Vorinstanz dem Beschwerdeführer das Äusserungsrecht in Bezug auf die Parteientschädigung abgeschnitten. Hinzu kommt, dass die Kostennote dem kantonalen Gericht am 13. März 2014 und somit noch vor Versendung des angefochtenen Entscheids zuging. Dieser entfaltete - mangels Eröffnung (vgl. dazu § 112 Abs. 1 des Gesetzes vom 3. Juli 1992 über die Verwaltungsrechtspflege [SRL 40]) - bis dahin noch keinerlei Rechtswirkung gegenüber den Parteien, weshalb das Gericht ohne weiteres darauf hätte zurückkommen können. Das vorinstanzliche Vorgehen verletzt somit den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör. Die darauf beruhende Festsetzung der Parteientschädigung ist folglich auch unzulänglich begründet und kann in dieser Verfahrenslage nicht bestätigt werden.
3.4. Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur. Dessen Verletzung führt ungeachtet der Erfolgsaussichten in der Sache selbst zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 5.1 S. 390; <ref-ruling> E. 3d/aa S. 437). Weshalb von einer Rückweisung der Sache an die Vorinstanz abzusehen sein soll, etwa weil sie zu einem formalistischen Leerlauf führen würde (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197; <ref-ruling> E. 4.2.2.2 S. 126; <ref-ruling> E. 2.2 S. 204), ist nicht ersichtlich und wird vom kantonalen Gericht auch nicht dargelegt. Dieses wird unter Berücksichtigung der Kostennote vom 12. März 2014 (vgl. E. 3.2) erneut über die Parteientschädigung zu entscheiden haben.
4.
Der Kanton Luzern hat den Beschwerdeführer für das Verfahren vor Bundesgericht zu entschädigen (Art. 68 Abs. 4 in Verbindung mit <ref-law>). Dagegen sind ihm keine Kosten aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen und Dispositiv-Ziff. 5 des Entscheids des Kantonsgerichts Luzern vom 6. März 2014 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Festsetzung der Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Luzern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Juli 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann