Sachverhalt:
A. P._ (geboren 1946) verheiratete sich 1981 mit O._. Der Ehe entsprossen der 1981 geborene M._ und der 1984 geborene S._. Am 11. Januar 1990 wurde die Ehe geschieden; die beiden Söhne wurden unter die elterliche Gewalt (heute: Sorge) der Mutter gestellt.
Mit Verfügung vom 12. Mai 2006 sprach die IV-Stelle Bern P._ ab 1. Juni 2006 eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zu. Des Weitern richtete sie ihm Kinderrenten für die beiden Söhne aus. Am 3. Oktober 2006 beantragte O._ die Auszahlung der Kinderrenten an die Söhne, "sofern Anspruch besteht". Am 23. November 2006 verfügte die IV-Stelle Bern, die Kinderrente für den weiterhin in Ausbildung befindlichen S._ werde ab 1. Dezember 2006 direkt auf dessen Konto überwiesen. Über eine allfällige Nachzahlung werde zu einem späteren Zeitpunkt befunden.
B. Beschwerdeweise beantragte P._ sinngemäss, die Verwaltungsverfügung sei aufzuheben und die Kinderrente für S._ an ihn auszuzahlen. Nach Beiladung zum Verfahren liess S._ verlauten, er habe seit 1. Januar 2005 freiwillig auf Unterhaltsbeiträge seitens des Vaters verzichtet; seine Mutter habe den Antrag auf Direktauszahlung ohne sein Wissen, aber in seinem Interesse gestellt. Er begrüsse das Verfahren insofern, als nun der Rechtsanspruch auf eine Rente genau geklärt werden könne. Er habe seinen Hauptwohnsitz nach wie vor bei der Mutter. Die ebenfalls als Mitinteressierte zum Verfahren beigeladene O._ hielt am Gesuch um Direktauszahlung der Kinderrente fest. Mit Entscheid vom 5. April 2007 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Beschwerde gut und hob die Verfügung vom 23. November 2006 auf.
C. S._ lässt Beschwerde führen mit dem Antrag, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die Kinderrente direkt auf das von ihm bezeichnete Konto zu überweisen.
O._ unterstützt die Beschwerde ihres Sohnes. P._ beantragt die Abweisung des Rechtsmittels. Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer ist, obwohl im kantonalen Verfahren formell nur als Beigeladener beteiligt, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und daher zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Invaliden-Kinderrente direkt dem Beschwerdeführer als mündigem, noch in Ausbildung stehenden Sohn des Rentenberechtigten ausbezahlt werden kann.
2.1 Männer und Frauen, denen eine Invalidenrente zusteht, haben für jedes Kind, das im Falle ihres Todes eine Waisenrente der AHV beanspruchen könnte, Anspruch auf eine Kinderrente (<ref-law>). Der Anspruch besteht auch für erwachsene Kinder, die noch in Ausbildung stehen, bis längstens zum vollendeten 25. Altersjahr (vgl. <ref-law>).
Gemäss <ref-law> wird die Kinderrente wie die Rente ausbezahlt, zu der sie gehört, mithin grundsätzlich an den rentenberechtigten Elternteil. Vorbehalten bleiben die Bestimmungen über die zweckmässige Verwendung (<ref-law>) und abweichende zivilrichterliche Anordnungen (<ref-law>). Der Bundesrat kann die Auszahlung für Sonderfälle in Abweichung von <ref-law> regeln, namentlich für Kinder aus getrennter oder geschiedener Ehe (<ref-law>). Gestützt auf diese Delegation hat der Bundesrat in <ref-law> festgelegt, dass für die Auszahlung der Renten sowie der Hilflosenentschädigung für Volljährige unter anderem <ref-law> sinngemäss gilt. Dessen Abs. 1 lautet: "Sind die Eltern des Kindes nicht oder nicht mehr miteinander verheiratet oder leben sie getrennt, ist die Kinderrente auf Antrag dem nicht rentenberechtigten Elternteil auszuzahlen, wenn diesem die elterliche Sorge über das Kind zusteht und es bei ihm wohnt. Abweichende vormundschaftliche oder zivilrichterliche Anordnungen bleiben vorbehalten."
2.2 Wie die Vorinstanz zutreffend festgehalten hat, ist in den dargelegten Gesetzes- und Verordnungsbestimmungen eine Drittauszahlung der Kinderrente an das mündige Kind nicht vorgesehen. Selbst wenn angenommen würde, die Mutter habe den Beschwerdeführer bloss zum Bezug der Rente bevollmächtigt, würde die Drittauszahlung an den Beschwerdeführer daran scheitern, dass nach dem klaren Wortlaut des <ref-law> die Drittauszahlung voraussetzt, dass eine elterliche Sorge besteht, was beim Beschwerdeführer seit Eintritt der Mündigkeit nicht mehr der Fall ist.
2.3 Der Beschwerdeführer vertritt indessen die Auffassung, Gesetz und Verordnung enthielten eine Lücke, welche dahingehend zu füllen sei, dass eine Drittauszahlung an ihn als mündiges Kind möglich sein müsse.
2.3.1 Eine Lücke im Gesetz besteht, wenn sich eine Regelung als unvollständig erweist, weil sie jede Antwort auf die sich stellende Rechtsfrage schuldig bleibt oder eine Antwort gibt, die aber als sachlich unhaltbar angesehen werden muss. Hat der Gesetzgeber eine Rechtsfrage nicht übersehen, sondern stillschweigend - im negativen Sinn - mitentschieden (qualifiziertes Schweigen), bleibt kein Raum für richterliche Lückenfüllung (<ref-ruling> E. 5.1 S. 478; <ref-ruling> E. 2.3 S. 233; vgl. <ref-ruling> E. 3.5 S. 567 f.).
2.3.2 Die dargelegten Bestimmungen geben, indem sie die Möglichkeit der Drittauszahlung der Kinderrente an das mündige Kind nicht erwähnen, eine Antwort auf die sich stellende Rechtsfrage. Zu prüfen bleibt, ob - wie der Beschwerdeführer geltend macht - dieser Ausschluss der Drittauszahlung an das mündige Kind sachlich unhaltbar ist.
2.3.3 Zur Stützung seines Standpunktes lässt der Beschwerdeführer anführen, es sei nicht möglich, dass nur die Waisenrente und nicht auch die Kinderrente einem noch in Ausbildung stehenden mündigen Kind ausbezahlt werden könne. Anders als der Beschwerdeführer annimmt, stimmen indessen die Auszahlungsmodalitäten der Kinderrente nicht zwingend mit denjenigen der Waisenrente überein. Die beiden sozialversicherungsrechtlichen Rentenarten sind im Zusammenhang mit der zivilrechtlichen Unterhaltspflicht der Eltern gegenüber dem Kind zu sehen (<ref-law>): Die Waisenrente ist definitionsgemäss dann geschuldet, wenn der (unterhaltspflichtige) Vater oder die (unterhaltspflichtige) Mutter gestorben ist (vgl. <ref-law>); sie ersetzt dem Kind den Wegfall des Elternteils. Der Anspruch steht zwangsläufig dem originär waisenrentenberechtigten Kind selber zu, dies im Gegensatz zur Person, welche - abgeleitet aus dem Stammrecht des Hauptrentners - eine derivative Zusatzrente bezieht (ZAK 1989 S. 224, insbes. E. 2b, bestätigt in <ref-ruling> E. 4b S. 304). Die Kinderrente hingegen ist dann geschuldet, wenn der (unterhaltspflichtige) Vater oder die (unterhaltspflichtige) Mutter noch lebt (vgl. <ref-law>; <ref-law>); sie ersetzt dem Kind nicht den Wegfall des Elternteils, sondern dient der Erleichterung der Unterhaltspflicht des invalid gewordenen oder im AHV-Alter stehenden Unterhaltsschuldners und soll dessen (durch Alter oder Invalidität bedingte) Einkommenseinbusse ausgleichen. Mit anderen Worten soll sie dem invaliden oder im AHV-Alter stehenden Elternteil ermöglichen, seiner Unterhaltspflicht nachzukommen, aber nicht der Bereicherung des Unterhaltsempfängers dienen (<ref-ruling> E. 3 S. 308, 114 II 123 E. 2b S. 125). Der Anspruch steht daher dem Rentenempfänger zu, nicht direkt dem Kind (<ref-ruling> E. 2b S. 124). Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung ist der unterschiedliche Auszahlungsmodus bei Kinder- und Waisenrenten mithin systemkonform.
2.3.4 Um den Zweck der Kinderrente - dem Unterhalt des Kindes zu dienen (<ref-ruling> E. 3 S. 134; SVR 2001 IV Nr. 39 S. 117 E. 4d, I 12/00; Urteil 5P.346/2006 vom 12. Oktober 2006, E. 3.3) - sicherzustellen, hat die Rechtsprechung vor dem Inkrafttreten der Drittauszahlungsregelung in <ref-law> auf den 1. Januar 1997 (vgl. auch <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) unter bestimmten Voraussetzungen auch ohne ausdrückliche gesetzliche Grundlage eine Drittauszahlung der Kinderrente an den nicht rentenberechtigten anderen Elternteil, unter dessen Sorge das Kind stand, zugelassen (<ref-ruling> E. 3 S. 134 f., 101 V 208 E. 2 S. 210 f.; SVR 1999 IV Nr. 2 S. 5 E. 2a, I 237/97). Aus denselben Überlegungen wurde des Weitern erkannt, dass die Rente direkt dem mündigen Kind ausbezahlt werden kann, wenn der rentenberechtigte Elternteil die zweckkonforme Verwendung der Rente nicht gewährleistet, auch wenn die Voraussetzungen des (damaligen) <ref-law>, dem der heutige <ref-law> entspricht, nicht erfüllt waren (SVR 1999 IV Nr. 2 S. 5 E. 2b, I 237/97; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts H 213/86 vom 15. Mai 1987, E. 2b). Diese Rechtsprechung blieb auch nach Inkrafttreten des neuen <ref-law> (am 1. Januar 2003) anwendbar, solange der Bundesrat von der ihm zustehenden Delegation (<ref-law>) keinen Gebrauch gemacht hatte (SVR 2002 IV Nr. 5 S. 11 E. 3c/aa, I 245/01, 2000 IV Nr. 22 S. 65 E. 1a, I 171/99).
Auf den 1. Januar 2002 hat der Bundesrat indessen die dargelegten Verordnungsbestimmungen (<ref-law> und <ref-law>) erlassen und damit positivrechtlich die Drittauszahlung an den nicht rentenberechtigten Elternteil, unter dessen Sorge das Kind steht, geregelt (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 365 f.), während er die Direktauszahlung an das mündige Kind nicht normiert hat. Aus den Erläuterungen des BSV zu dieser Verordnungsänderung (publ. in AHI 2002 S. 14 ff.) ergibt sich nicht ausdrücklich, ob in Bezug auf die Direktauszahlung an das mündige Kind ein qualifiziertes Schweigen vorliegt. In Rz. 10006 der Wegleitung über die Renten in der Eidgenössischen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (RWL) hat das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) festgelegt, dass die Kinderrenten grundsätzlich zusammen mit der Hauptrente auszuzahlen sind (Satz 1), indessen die Vorschriften über die Auszahlung bei unzweckgemässer Verwendung gelten, wenn die leistungsberechtigte Person nicht für die Kinder sorgt (Satz 2), und die Kinderrenten in einem solchen Fall auch direkt an volljährige Kinder, für die sie bestimmt sind, ausbezahlt werden können, sofern die Voraussetzung der zweckgemässen Verwendung erfüllt ist (Satz 3). Demgegenüber hat das Eidg. Versicherungsgericht im Urteil I 840/04 vom 28. Dezember 2005 (E. 4.1) - allerdings ohne nähere Ausführungen - erkannt, dass seit dem Inkrafttreten der neuen Verordnungsbestimmungen (1. Januar 2002) die vorher entwickelte Rechtsprechung nicht mehr anwendbar ist; für den Zeitraum bis Ende 2001 schloss es in <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 368 f. eine lückenfüllende Ergänzung der damals geltenden Auszahlungsordnung aus.
2.3.5 Nach <ref-law> hat zwar der unterhaltspflichtige Elternteil die für den Unterhalt des Kindes bestimmten Sozialversicherungsleistungen zusätzlich zum Unterhaltsbeitrag zu zahlen, soweit das Gericht es nicht anders bestimmt. Es gilt insoweit von Gesetzes wegen eine Kumulation von Unterhaltspflicht und der Pflicht, die Kinderrente an das Kind zu bezahlen (<ref-ruling> E. 4b S. 309 f.). Mit dem am 1. Januar 2000 in Kraft getretenen neuen Abs. 2bis von <ref-law> wurde die Stellung des Unterhaltspflichtigen insofern verbessert, als er eine nachträglich erhaltene Kinderrente nicht mehr kumulativ zu den Unterhaltsbeiträgen zu leisten hat, sondern diese sich von Gesetzes wegen entsprechend vermindern. Vorbehalten sind jedoch immer abweichende zivilgerichtliche Anordnungen, auf welche nicht nur in <ref-law>, sondern auch in <ref-law> sowie <ref-law> ausdrücklich hingewiesen wird.
Nach der in <ref-law> enthaltenen Regelung ist es mithin Sache der Zivilgerichte, aufgrund einer Gesamtwürdigung der finanziellen Verhältnisse die Unterhaltsbeiträge festzusetzen und dabei den sozialversicherungsrechtlichen Rentenansprüchen in gesamthafter Betrachtung Rechnung zu tragen. Das Zivilrecht erlaubt, eine dem Einzelfall gerecht werdende Lösung zu treffen und eine zweckentsprechende Verwendung der Kinderrente sicherzustellen. Über die Unterhaltspflicht gemäss Art. 285 Abs. 2 oder 2bis ZGB kann nicht im sozialversicherungsrechtlichen Leistungs(streit)verfahren befunden werden, da es sich dabei um eine zivilrechtliche Verpflichtung handelt (ZAK 1989 S. 224 E. 3). Angesichts der zivilrechtlichen Regelung besteht kein Anlass, eine Lücke in der sozialversicherungsrechtlichen Auszahlungsregelung anzunehmen, zumal eine sozialversicherungsrechtlich angeordnete Drittauszahlung der gesamtheitlichen Betrachtung, die namentlich bei Unterhaltszahlungen an das mündige Kind gesetzlich zwingend ist (<ref-law>), nicht zugänglich wäre.
2.3.6 Bei dieser Sachlage bleibt für richterliche Lückenfüllung kein Raum. Vielmehr muss es bei der Feststellung sein Bewenden haben, dass die Kinderrente nicht direkt an den mündigen Sohn ausbezahlt werden darf. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet.
3. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>). Der nicht anwaltlich vertretene, obsiegende Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 1 und 2 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht, SR 173.110.210.3).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der IV-Stelle Bern, der Eidgenössischen Ausgleichskasse, Bern, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und O._ schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Dezember 2007
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann