Sachverhalt:
A.
Der 1946 geborene B._ erlitt am 28. Januar 2000 einen Skiunfall. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als zuständiger obligatorischer Unfallversicherer gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Ab 1. Oktober 2001 bezog B._ eine halbe und ab 1. April 2002 eine ganze Invalidenrente der Invalidenversicherung (IV). Die SUVA stellte ihre Leistungen mit Verfügung vom 9. März 2005 und Einspracheentscheid vom 14. Dezember 2005 auf den 1. April 2005 ein, da die noch bestehenden Beschwerden nicht unfallbedingt seien. Das wurde vom Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 13. Dezember 2006 bestätigt. B._ erhob Beschwerde beim Bundesgericht. Dieses gelangte zum Ergebnis, die noch bestehenden gesundheitlichen Beschwerden seien natürlich und adäquat kausal auf den Unfall vom 28. Januar 2000 zurückzuführen. Den adäquaten Kausalzusammenhang prüfte das Bundesgericht, ausgehend von einer beim Unfall erlittenen HWS-Distorsion ohne organisch nachweisbare Unfallfolgeschäden, nach der sog. Schleudertrauma-Praxis. Es hiess die Beschwerde gut, hob den Einsprache- sowie den kantonalen Entscheid auf und wies die Sache an den Unfallversicherer zurück, damit dieser über den Leistungsanspruch des Versicherten ab 1. April 2005 neu verfüge (Urteil U 63/07 vom 7. Februar 2008). Die SUVA traf erwerbliche Abklärungen und holte ein neurologisches Gutachten vom 22. Februar 2010 (mit Ergänzung vom 12. Mai 2010) ein. Mit Verfügung vom 10. August 2010 sprach sie dem Versicherten für die verbleibenden Folgen des Unfalls rückwirkend ab 1. April 2005 eine Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 50 % zu. Einspracheweise beantragte B._, es sei eine ganze Rente auszurichten. Nachdem zwischenzeitlich das Urteil <ref-ruling> ergangen war, gelangte die SUVA zur Auffassung, zur Frage der Überwindbarkeit der Beschwerden sei eine psychiatrische Begutachtung erforderlich. Sie hielt daran trotz der von B._ wiederholt geäusserten Einwände fest und gab die Expertise am 24. Oktober 2011 bei den Universitären Psychiatrischen Kliniken X._ in Auftrag. B._ unterzog sich der Abklärung am 15. Februar 2012.
B.
Am 15. Mai 2012 reichte B._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau Rechtsverzögerungsbeschwerde ein. Er beantragte, die SUVA sei anzuweisen, unverzüglich im Sinne des bundesgerichtlichen Rückweisungsurteils vom 7. Februar 2008 über die gegen die Verfügung vom 10. August 2010 erhobene Einsprache zu entscheiden. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 7. November 2012 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt B._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids beantragen und sein vorinstanzliches Rechtsbegehren erneuern.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Sie legt hiebei das ihr zwischenzeitlich am 22. November 2012 zugegangene, mit dem Tag der Untersuchung vom 15. Februar 2012 datierte Gutachten der Universitären Psychiatrischen Kliniken X._ auf. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der Beschwerde von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 Ingress S. 542; <ref-ruling> E. 1 S. 340).
Angefochten ist ein Zwischenentscheid, gegen den die Beschwerde grundsätzlich nur unter den Voraussetzungen des <ref-law> zulässig ist. Praxisgemäss wird indessen bei Beschwerden betreffend Rechtsverweigerung und -verzögerung auf das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von <ref-law> verzichtet (<ref-ruling> E. 1.1 S. 261 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 1.3 S. 129 mit Hinweis). <ref-law> steht der Zulässigkeit der Beschwerde mithin nicht entgegen und es ist, da auch die übrigen Voraussetzungen dafür erfüllt sind, auf diese einzutreten.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen - grundsätzlich nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Im Streit, ob eine Rechtsverweigerung oder Rechtsverzögerung vorliegt, kommt diese Ausnahmeregelung allerdings nicht zur Anwendung. Es gilt die übliche enge Kognition (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; Urteil 8C_336/2012 vom 13. August 2012 E. 2.2, nicht veröffentlicht in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2013 UV Nr. 2 S. 3; SVR 2010 UV Nr. 16 S. 61, 8C_622/2009 E. 2).
3.
Der Beschwerdeführer legt der SUVA Rechtsverzögerung zur Last, da sie den anbegehrten Einspracheentscheid nicht erlasse, sondern unnötige Beweisergänzungen vornehme. Das kantonale Gericht hat eine Rechtsverzögerung verneint.
4.
Eine Gerichts- oder Verwaltungsbehörde muss jeden Entscheid binnen einer Frist fassen, die nach der Natur der Sache und nach den gesamten übrigen Umständen als angemessen erscheint. Die Geltung dieses Beschleunigungsgebots als prozessuales Grundrecht (vgl. <ref-law>; Art. 6 Ziff. 1 EMRK) für das Einspracheverfahren wurde im Gesetz (<ref-law>) bekräftigt. Erlässt der Versicherungsträger entgegen dem Begehren der betroffenen Person - innert angemessener Frist - keine Verfügung oder keinen Einspracheentscheid, so kann gestützt auf <ref-law> Rechtsverweigerungs- resp. Rechtsverzögerungsbeschwerde erhoben werden (<ref-ruling> E. 1.1 S. 409; vgl. auch SVR 2013 UV Nr. 2 E. 3).
Bei der Rechtsverzögerungsbeschwerde fehlt es grundsätzlich an einem Anfechtungsobjekt, weil die zum Entscheid berufene Behörde untätig bleibt. Ausnahmsweise kann aber auch eine positive Anordnung zu einer Rechtsverzögerung führen; zu denken ist an Verfahrensverlängerungen durch unnötige Beweismassnahmen oder an die Einräumung überlanger Fristen. Zwar tritt die Rechtsverzögerung in solchen Fällen nicht schon mit der Verfügung ein; sie wird erst in Aussicht gestellt. Die betreffende Rüge wird dennoch bereits zu diesem Zeitpunkt zugelassen. Die betroffene Person muss daher nicht abwarten, bis die Rechtsverzögerung tatsächlich eintritt, sondern kann sofort geltend machen, die Verfügung habe eine ungerechtfertigte Verzögerung zur Folge (<ref-ruling> E. 1.1 S. 409 f. mit Hinweisen; vgl. auch SVR 2013 UV Nr. 2 E. 3 mit Hinweis).
5.
Der Versicherte rügt als erstes, dass die SUVA nach dem bundesgerichtlichen Rückweisungsurteil U 63/07 vom 7. Februar 2008 überhaupt noch medizinische Abklärungen vorgenommen hat. Dazu habe nach dem besagten Urteil kein Anlass mehr bestanden.
Mit dem Urteil U 63/07 wurde indessen lediglich die Leistungseinstellung aufgehoben und die Beschwerdegegnerin verpflichtet, über die Leistungspflicht ab 1. April 2005 zu verfügen. Das war bis dahin noch nicht geschehen. Im Rahmen dieser Leistungsprüfung war die SUVA berechtigt, ja verpflichtet (<ref-law>), die hiezu noch erforderlichen Sachverhaltsabklärungen zu treffen. Dem stand das Urteil U 63/07 nicht entgegen. Dieses gab, abgesehen von der Anerkennung der Unfallkausalität der noch bestehenden Beschwerden auf der Grundlage der Schleudertrauma-Rechtsprechung, nicht vor, wie die SUVA neu zu verfügen hatte. In dieser Hinsicht ist die Beschwerde daher unbegründet.
6.
Die Rechtsverzögerungsbeschwerde beschlägt das Einspracheverfahren. Für die Zeit davor könnte dem Unfallversicherer denn auch keine Rechtsverzögerung vorgeworfen werden. Zwar erscheint der Zeitraum zwischen dem bundesgerichtlichen Rückweisungsurteil U 63/07 vom 7. Februar 2008 und der Verfügung des Unfallversicherers vom 10. August 2010 auf den ersten Blick lang. Es zeigt sich aber, dass die SUVA erwerbliche Abklärungen getroffen und das neurologische Gutachten in Auftrag gegeben hat. Dabei führte namentlich auch das Verhalten des Beschwerdeführers massgeblich zu Verzögerungen. Dieser hatte sich zunächst während geraumer Zeit gegen eine solche Begutachtung ausgesprochen und in der Folge einen vom Experten angesetzten Untersuchungstermin nicht wahrgenommen.
7.
Der Beschwerdeführer hat gegen die Verfügung vom 10. August 2010 am 13. September 2010 Einsprache erhoben. Es gilt nun das Vorgehen der SUVA ab diesem Zeitpunkt zu betrachten.
7.1. Dabei fällt auf, dass der Unfallversicherer nach der Einspracheerhebung während geraumer Zeit keine erkennbaren Vorkehren zur Erledigung des Verfahrens getroffen hat. Erst am 27. Mai 2011, mithin acht Monate später, richtete die SUVA-interne Abteilung Versicherungsleistungen eine Anfrage an die Abteilung Versicherungsmedizin. Sie hielt fest, es gehe heute darum, ein psychiatrisches Gutachten betreffend Überwindbarkeit der geklagten Beschwerden in Auftrag zu geben, und ersuchte um Bestimmung eines Experten.
Im Anschluss an die versicherungsinterne Anfrage vom 27. Mai 2011 erfolgte am 24. Oktober 2011 die Auftragserteilung an die Universitären Psychiatrischen Kliniken X._. Dass dies erneut so lange Zeit in Anspruch nahm, lag indessen wiederum massgeblich darin begründet, dass der Versicherte der Abklärungsmassnahme zunächst und während geraumer Zeit vehement opponierte. Insofern kann dem Versicherer die zeitliche Verzögerung nicht angelastet werden.
Bezüglich des vorangegangenen ungenutzten Zeitraums zwischen der Einsprache und der Anfrage vom 27. Mai 2011 läge dagegen der Schluss auf eine Verletzung des Beschleunigungsgebots nahe. Das gilt erst recht, wenn berücksichtigt wird, dass es sich um ein bereits seit geraumer Zeit hängiges Verfahren handelte. Denn je länger ein Verfahren dauert, desto eher sind die Behörden gehalten, den verbleibenden Teil speditiv abzuschliessen (vgl. Urteile 1P.449/2006 vom 15. September 2006 E. 3.3 und 1P.722/2003 vom 17. März 2004 E. 3.4). Das lange Zuwarten des Unfallversicherers liesse sich auch nicht damit rechtfertigen, dass aufgrund des am 30. August 2010 ergangenen Urteils <ref-ruling> neue Gesichtspunkte zu berücksichtigen waren. Weiterungen hiezu erübrigen sich indessen, da die Einwände des Versicherten nicht gegen dieses Zuwarten, sondern gegen die Anordnung einer psychiatrischen Abklärung an sich gerichtet sind. Diese sei unnötig und verzögere in unzulässiger Weise den Einspracheentscheid.
7.2. Nach der Rechtsprechung kann auch eine Verfahrensverlängerung aufgrund unnötiger Beweismassnahmen eine Rechtsverzögerung darstellen (E. 4 hievor; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.3 S. 158 mit Hinweisen). Dabei wird vorausgesetzt, dass die fragliche Anordnung rechtsmissbräuchlich getroffen wurde und sich ein Eingreifen des Gerichts hinsichtlich angeordneter Abklärungsmassnahmen nur rechtfertigt, wenn die Behörde ihr Ermessen offensichtlich überschritten hat (SVR 2013 UV Nr. 2 E. 3 mit Hinweis).
7.2.1. Die SUVA sah sich durch <ref-ruling> zur Anordnung der psychiatrischen Begutachtung veranlasst. Darin hat das Bundesgericht entschieden, dass die mit <ref-ruling> begründete Rechtsprechung zur invalidisierenden Wirkung anhaltender somatoformer Schmerzstörungen sinngemäss auch dann anwendbar ist, wenn es um die invalidisierende Wirkung einer "spezifischen und unfalladäquaten HWS-Verletzung (Schleudertrauma) ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle" und um andere pathogenetisch-ätiologisch unklare syndromale Beschwerdebilder ohne nachweisbare organische Grundlage (PÄUSBONOG; vgl. RUMO-JUNGO/HOLZER, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, Bundesgesetz über die Unfallversicherung, 4. Aufl. 2012, S. 132) geht (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 283; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2 S. 202 f.).
Eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung ist nach der erwähnten Rechtsprechung grundsätzlich mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar und vermag daher keine lang dauernde, zu einer Invalidität führende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit zu begründen. Nur ausnahmsweise, unter bestimmten Voraussetzungen, ist von der Unzumutbarkeit einer willentlichen Schmerzüberwindung und eines Wiedereinstiegs in den Arbeitsprozess auszugehen (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 353 ff. und seitherige Entscheide). Diese Grundsätze, welche unter die Begriffe Schmerzstörungs-, Zumutbarkeits- oder Überwindbarkeitspraxis gefasst werden können (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 202), gelten demnach sinngemäss auch bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden nach Schleudertrauma, wie sie hier zur Diskussion stehen.
7.2.2. Um die Frage der Überwindbarkeit einer Schmerzstörung, und nach dem Gesagten auch von organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden nach Schleudertrauma beurteilen zu können, bedarf es verlässlicher medizinischer Entscheidungsgrundlagen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2 ff. S. 353 ff.; siehe auch <ref-ruling> E. 3.3 S. 284).
Im vorliegenden Fall lag keine ärztliche Stellungnahme zur Frage der Überwindbarkeit der bestehenden Beschwerden vor. Wenn sich die SUVA durch <ref-ruling> veranlasst sah, hiezu die medizinischen Akten zu ergänzen, ist dies daher nach dem Gesagten sowie unter Berücksichtigung des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law>) nicht zu beanstanden und stellt namentlich auch keine Rechtsverzögerung dar. Dem steht auch das im Urteil U 63/07 Gesagte nicht entgegen. Die Beschwerde ist somit abzuweisen.
8.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Juli 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz