Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1971 geborene K._ war ab Anfang Dezember 1996 als Haushälterin/Betreuerin mit einem Teilzeitpensum bei der Alterswohngemeinschaft der Familie C._ angestellt und bei der Berner Allgemeinen Versicherungs-Gesellschaft (nunmehr Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft; nachfolgend: Allianz Suisse) obligatorisch gegen Unfälle versichert. Am 24. Januar 2001 erlitt sie am Arbeitsort einen Unfall: Ihrer Schilderung vom 28. Juni 2001 zufolge half sie einem Heimbewohner vom Rollstuhl aufs WC, indem sie ihn von hinten stützte. Als der Heimbewohner aus dem Stand einknickte, versuchte sie ihn aufzufangen, worauf sie das Gleichgewicht verlor und mit dem Gesäss auf dem Plattenboden aufschlug. Der rund 80 kg schwere Heimbewohner kam - ebenfalls rückwärts stürzend - auf die Versicherte zu liegen. Wegen Rückenschmerzen und Parästhesien suchte K._ am 26. Januar 2001 ihren Hausarzt, den Internisten Dr. A._ auf, der ein lumboradikuläres Schmerzsyndrom ohne neurologische Ausfälle diagnostizierte. Gleichentags trat die Versicherte in die Medizinische Abteilung des Spitals X._ ein, wo sie bis zum 3. Februar 2001 hospitalisiert war. Bei einer am 27. Januar 2001 auf der Abteilung für Neuroradiologie des Spitals Y._ durchgeführten Computertomographie der Lendenwirbelsäule wurde als Befund eine Diskusprotrusion im Segment L4/5 sowie eine linksseitige paramediane Diskushernie im Segment L5/S1 erhoben. Die Allianz Suisse richtete Taggelder aus und übernahm die Heilbehandlung, so auch den weiteren stationären Aufenthalt in der Rheumaklinik des Spitals Y._ vom 3. bis 24. April 2001. Mit Verfügung vom 25. Januar 2002 stellte sie ihre Leistungen auf den 5. Mai 2001 hin ein, weil "zufolge Erreichens des status quo sine (zu diesem Zeitpunkt) die Leistungsvoraussetzung der natürlichen Kausalität" entfallen sei. K._ liess gegen die Leistungseinstellung Einsprache erheben, in welcher sie u.a. auf einen "vorläufigen Austrittsbericht" der Orthopädischen Klinik des Spitals Y._ vom 21. Februar 2002 verwies. In dieser Klinik unterzog sich die Versicherte am 2. Mai 2002 einer ventralen interkorporellen Spondylodese L5/S1 mit Beckenspan und einer dorsalen Spondylodese USS L5/S1 mit Dekortikation (Austrittsbericht vom 13. Mai 2002). Mit Einspracheentscheid vom 22. August 2002 wies die Allianz Suisse die Einsprache ab.
A. Die 1971 geborene K._ war ab Anfang Dezember 1996 als Haushälterin/Betreuerin mit einem Teilzeitpensum bei der Alterswohngemeinschaft der Familie C._ angestellt und bei der Berner Allgemeinen Versicherungs-Gesellschaft (nunmehr Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft; nachfolgend: Allianz Suisse) obligatorisch gegen Unfälle versichert. Am 24. Januar 2001 erlitt sie am Arbeitsort einen Unfall: Ihrer Schilderung vom 28. Juni 2001 zufolge half sie einem Heimbewohner vom Rollstuhl aufs WC, indem sie ihn von hinten stützte. Als der Heimbewohner aus dem Stand einknickte, versuchte sie ihn aufzufangen, worauf sie das Gleichgewicht verlor und mit dem Gesäss auf dem Plattenboden aufschlug. Der rund 80 kg schwere Heimbewohner kam - ebenfalls rückwärts stürzend - auf die Versicherte zu liegen. Wegen Rückenschmerzen und Parästhesien suchte K._ am 26. Januar 2001 ihren Hausarzt, den Internisten Dr. A._ auf, der ein lumboradikuläres Schmerzsyndrom ohne neurologische Ausfälle diagnostizierte. Gleichentags trat die Versicherte in die Medizinische Abteilung des Spitals X._ ein, wo sie bis zum 3. Februar 2001 hospitalisiert war. Bei einer am 27. Januar 2001 auf der Abteilung für Neuroradiologie des Spitals Y._ durchgeführten Computertomographie der Lendenwirbelsäule wurde als Befund eine Diskusprotrusion im Segment L4/5 sowie eine linksseitige paramediane Diskushernie im Segment L5/S1 erhoben. Die Allianz Suisse richtete Taggelder aus und übernahm die Heilbehandlung, so auch den weiteren stationären Aufenthalt in der Rheumaklinik des Spitals Y._ vom 3. bis 24. April 2001. Mit Verfügung vom 25. Januar 2002 stellte sie ihre Leistungen auf den 5. Mai 2001 hin ein, weil "zufolge Erreichens des status quo sine (zu diesem Zeitpunkt) die Leistungsvoraussetzung der natürlichen Kausalität" entfallen sei. K._ liess gegen die Leistungseinstellung Einsprache erheben, in welcher sie u.a. auf einen "vorläufigen Austrittsbericht" der Orthopädischen Klinik des Spitals Y._ vom 21. Februar 2002 verwies. In dieser Klinik unterzog sich die Versicherte am 2. Mai 2002 einer ventralen interkorporellen Spondylodese L5/S1 mit Beckenspan und einer dorsalen Spondylodese USS L5/S1 mit Dekortikation (Austrittsbericht vom 13. Mai 2002). Mit Einspracheentscheid vom 22. August 2002 wies die Allianz Suisse die Einsprache ab.
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hiess die hiegegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 29. Oktober 2003 teilweise gut und wies "die Streitsache zur ergänzenden Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts im Sinne der Erwägungen und zum neuen Entscheid" an die Allianz Suisse zurück.
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hiess die hiegegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 29. Oktober 2003 teilweise gut und wies "die Streitsache zur ergänzenden Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts im Sinne der Erwägungen und zum neuen Entscheid" an die Allianz Suisse zurück.
C. Die Allianz Suisse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids.
K._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen; überdies lässt sie um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege im Sinne der unentgeltlichen Verbeiständung ersuchen. Das Bundesamt für Sozialversicherung, Abteilung Unfallversicherung (seit 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit), verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die Rechtsprechung zum für die Leistungspflicht des Unfallversicherers erforderlichen natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität; <ref-ruling> Erw. 3.1, 406 Erw. 4.3.1, 119 V 337 Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, je mit Hinweisen) richtig wiedergegeben. Darauf kann verwiesen werden.
Zutreffend sind auch die vorinstanzlichen Ausführungen, wonach es einer medizinischen Erfahrungstatsache im Bereich des Unfallversicherungsrechts entspricht, dass praktisch alle Diskushernien bei Vorliegen degenerativer Bandscheibenveränderungen entstehen und ein Unfallereignis nur ausnahmsweise, unter besondern Voraussetzungen, als eigentliche Ursache in Betracht fällt. Als weitgehend unfallbedingt kann eine Diskushernie betrachtet werden, wenn das Unfallereignis von besonderer Schwere und geeignet war, eine Schädigung der Bandscheibe herbeizuführen, und die Symptome der Diskushernie (vertebrales oder radikuläres Syndrom) unverzüglich und mit sofortiger Arbeitsunfähigkeit aufgetreten sind. In solchen Fällen hat die Unfallversicherung praxisgemäss auch für Rezidive und allfällige Operationen aufzukommen. Wird die Diskushernie durch den Unfall lediglich ausgelöst, nicht aber verursacht, übernimmt die Unfallversicherung den durch das Unfallereignis ausgelösten Beschwerdeschub, spätere Rezidive dagegen nur, wenn eindeutige Brückensymptome gegeben sind (RKUV 2000 Nr. U 378 S. 190, Nr. U 379 S. 192; Urteil H. vom 18. August 2000, U 4/00; vgl. auch Debrunner, Orthopädie, orthopädische Chirurgie, 4. Aufl. Bern 2002, S. 880 unten; Debrunner/Ramseier, Die Begutachtung von Rückenschäden, Bern 1990, S. 54 ff., insbesondere S. 56; Baur/Nigst, Versicherungsmedizin, 2. Aufl. Bern 1985, S. 162 ff.; Mollowitz, Der Unfallmann, 11. Aufl. Berlin 1993, S. 164 ff.).
Zutreffend sind auch die vorinstanzlichen Ausführungen, wonach es einer medizinischen Erfahrungstatsache im Bereich des Unfallversicherungsrechts entspricht, dass praktisch alle Diskushernien bei Vorliegen degenerativer Bandscheibenveränderungen entstehen und ein Unfallereignis nur ausnahmsweise, unter besondern Voraussetzungen, als eigentliche Ursache in Betracht fällt. Als weitgehend unfallbedingt kann eine Diskushernie betrachtet werden, wenn das Unfallereignis von besonderer Schwere und geeignet war, eine Schädigung der Bandscheibe herbeizuführen, und die Symptome der Diskushernie (vertebrales oder radikuläres Syndrom) unverzüglich und mit sofortiger Arbeitsunfähigkeit aufgetreten sind. In solchen Fällen hat die Unfallversicherung praxisgemäss auch für Rezidive und allfällige Operationen aufzukommen. Wird die Diskushernie durch den Unfall lediglich ausgelöst, nicht aber verursacht, übernimmt die Unfallversicherung den durch das Unfallereignis ausgelösten Beschwerdeschub, spätere Rezidive dagegen nur, wenn eindeutige Brückensymptome gegeben sind (RKUV 2000 Nr. U 378 S. 190, Nr. U 379 S. 192; Urteil H. vom 18. August 2000, U 4/00; vgl. auch Debrunner, Orthopädie, orthopädische Chirurgie, 4. Aufl. Bern 2002, S. 880 unten; Debrunner/Ramseier, Die Begutachtung von Rückenschäden, Bern 1990, S. 54 ff., insbesondere S. 56; Baur/Nigst, Versicherungsmedizin, 2. Aufl. Bern 1985, S. 162 ff.; Mollowitz, Der Unfallmann, 11. Aufl. Berlin 1993, S. 164 ff.).
2. Der Vorinstanz ist insofern beizupflichten, als das Unfallereignis vom 24. Januar 2001 auf keinen Fall geeignet war, eine Schädigung der Bandscheiben im Lumbalbereich herbeizuführen. Dies gilt selbst dann, wenn man auf den in der vorinstanzlichen Beschwerde geschilderten Unfallhergang abstellte. Denn eine gesunde Bandscheibe ist derart widerstandsfähig, dass unter Gewalteinwirkung eher die Wirbelknochen brechen, als dass die Bandscheibe verletzt würde (Mollowitz, a.a.O., S. 165). Hingegen stellt sich die Frage, ob der durch den streitigen Unfall (bloss) ausgelöste Beschwerdeschub über den 5. Mai 2001 hinaus weiterhin andauerte. Unter Berücksichtigung des Umstandes, dass ein solcher Schub im günstigsten Fall nach Stunden oder Tagen, manchmal aber erst nach Wochen oder Monaten spontan abklingen kann (Bauer/Nigst, a.a.O., S. 163), ist vorab anhand (fach)ärztlicher Unterlagen zu klären, auf welches Leiden die nach dem Unfallereignis aufgetretenen Rückenbeschwerden zurückzuführen waren und ab welchem Zeitpunkt ein Abklingen des diesbezüglichen Beschwerdeschubs anzunehmen ist. Wie das kantonale Gericht zutreffend festgestellt hat, lässt sich dies auf Grund der vorliegenden medizinischen Akten nicht mit rechtsgenüglicher Zuverlässigkeit beantworten. Schon die Frage, ob die Beschwerdegegnerin unmittelbar nach dem Unfall vom 24. Januar 2001 im Bereich L5/S1 an einer Protrusion (Bandscheibenvorwölbung) oder bereits an einem eigentlichen Bandscheibenprolaps (Diskushernie) litt, entzieht sich nach der gegenwärtigen Aktenlage einer abschliessenden Beurteilung.
Während die am 27. Januar 2001 auf der Abteilung für Neuroradiologie des Spitals Y._ durchgeführte Computertomographie neben einer Diskusprotrusion im Segment L4/5 eine linksseitige paramediane Diskushernie im Segment L5/S1 zeigte, wurde der letztgenannte Befund weder im vom Internisten Dr. A._ verfassten Bericht des Spitals X._ vom 12. Februar 2001 noch im vom selben Mediziner ausgestellten Arztzeugnis vom 2. März 2001 erwähnt. Auch die wiederum von der Abteilung für Neuroradiologie des Spitals Y._ durchgeführte Magnetresonanztomographie vom 5. April 2001 ergab auf den zwei Ebenen L4/5 und L5/S1 lediglich Diskusprotrusionen (vgl. auch die medizinischen Stellungnahmen der Rheumaklinik des Spitals Y._ vom 25. April 2001 sowie des behandelnden Arztes Dr. A._ vom 19. August und 9. September 2001). Demgegenüber erbrachte die am 20. Februar 2002 in der Orthopädischen Klinik des Spitals Y._ vorgenommene invasive Untersuchung mittels Diskographie von L3 bis S1 laut den Angaben der Klinikärzte im Austrittsbericht vom 22. Februar 2002 sowie im "vorläufigen Austrittsbericht" vom 21. Februar 2002 den Befund einer Diskusdegeneration L4/5 und L5/S1 mit medianer Protrusion sowie "den Nachweis einer (posttraumatischen) Anulusruptur L5/S1 als Schmerzursache". Angesichts dieses nach Erlass der Verfügung vom 25. Januar 2002 erhobenen neuen (bzw. mit der früheren computertomographischen Befunderhebung im Einklang stehenden) Untersuchungsergebnisses hätte der Unfallversicherer im Einspracheentscheid vom 22. August 2002 nicht weiter auf das Aktengutachten des Chirurgen Dr. G._ vom 3. Januar 2002 abstellen dürfen, wonach mit Blick auf die medianen Diskusprotrusionen auf Höhe L4/5 und L5/S1 spätestens nach dem Austritt aus der Rheumaklinik des Spitals Y._ vom 24. April 2001 wieder der status quo sine erreicht gewesen sei. Vielmehr hätte die Allianz Suisse unter Einbezug auch der neuen medizinischen Entwicklung (die Versicherte unterzog sich am 2. Mai 2002 der bereits erwähnten Spondylodese) fachärztlich abklären müssen, an welcher Bandscheibenschädigung die Beschwerdegegnerin bis zum Einspracheentscheid jeweils tatsächlich litt und inwieweit die lumbalen Rückenschmerzen im massgebenden Zeitraum auf das Unfallereignis vom 24. Januar 2001 zurückzuführen waren bzw. noch dem damals ausgelösten Beschwerdeschub zugerechnet werden können. Die Vorinstanz hat demnach die Sache zu Recht zur ergänzenden Abklärung der natürlichen Kausalität durch "einen neutralen Rückenorthopäden" und zu anschliessender neuer Verfügung über den Leistungsanspruch an die Verwaltung zurückgewiesen.
Während die am 27. Januar 2001 auf der Abteilung für Neuroradiologie des Spitals Y._ durchgeführte Computertomographie neben einer Diskusprotrusion im Segment L4/5 eine linksseitige paramediane Diskushernie im Segment L5/S1 zeigte, wurde der letztgenannte Befund weder im vom Internisten Dr. A._ verfassten Bericht des Spitals X._ vom 12. Februar 2001 noch im vom selben Mediziner ausgestellten Arztzeugnis vom 2. März 2001 erwähnt. Auch die wiederum von der Abteilung für Neuroradiologie des Spitals Y._ durchgeführte Magnetresonanztomographie vom 5. April 2001 ergab auf den zwei Ebenen L4/5 und L5/S1 lediglich Diskusprotrusionen (vgl. auch die medizinischen Stellungnahmen der Rheumaklinik des Spitals Y._ vom 25. April 2001 sowie des behandelnden Arztes Dr. A._ vom 19. August und 9. September 2001). Demgegenüber erbrachte die am 20. Februar 2002 in der Orthopädischen Klinik des Spitals Y._ vorgenommene invasive Untersuchung mittels Diskographie von L3 bis S1 laut den Angaben der Klinikärzte im Austrittsbericht vom 22. Februar 2002 sowie im "vorläufigen Austrittsbericht" vom 21. Februar 2002 den Befund einer Diskusdegeneration L4/5 und L5/S1 mit medianer Protrusion sowie "den Nachweis einer (posttraumatischen) Anulusruptur L5/S1 als Schmerzursache". Angesichts dieses nach Erlass der Verfügung vom 25. Januar 2002 erhobenen neuen (bzw. mit der früheren computertomographischen Befunderhebung im Einklang stehenden) Untersuchungsergebnisses hätte der Unfallversicherer im Einspracheentscheid vom 22. August 2002 nicht weiter auf das Aktengutachten des Chirurgen Dr. G._ vom 3. Januar 2002 abstellen dürfen, wonach mit Blick auf die medianen Diskusprotrusionen auf Höhe L4/5 und L5/S1 spätestens nach dem Austritt aus der Rheumaklinik des Spitals Y._ vom 24. April 2001 wieder der status quo sine erreicht gewesen sei. Vielmehr hätte die Allianz Suisse unter Einbezug auch der neuen medizinischen Entwicklung (die Versicherte unterzog sich am 2. Mai 2002 der bereits erwähnten Spondylodese) fachärztlich abklären müssen, an welcher Bandscheibenschädigung die Beschwerdegegnerin bis zum Einspracheentscheid jeweils tatsächlich litt und inwieweit die lumbalen Rückenschmerzen im massgebenden Zeitraum auf das Unfallereignis vom 24. Januar 2001 zurückzuführen waren bzw. noch dem damals ausgelösten Beschwerdeschub zugerechnet werden können. Die Vorinstanz hat demnach die Sache zu Recht zur ergänzenden Abklärung der natürlichen Kausalität durch "einen neutralen Rückenorthopäden" und zu anschliessender neuer Verfügung über den Leistungsanspruch an die Verwaltung zurückgewiesen.
3. Ausgangsgemäss steht der anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu (Art. 135 in Verbindung mit Art. 159 Abs. 1 OG). Damit ist ihr Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zugestellt.
Luzern, 3. Januar 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer: Der Gerichtsschreiber: