Sachverhalt:
A.
A.a. Das Veterinäramt des Kantons Thurgau (nachfolgend: Veterinäramt) erliess am 23. Juli 2010 ein unbefristetes Tierhalteverbot bezogen auf alle Nutztiere gegen A._ sowie alle mit ihm im gleichen Haushalt wohnenden Personen mit Wirkung ab 31. August 2010 (Ziff. 10 des Verfügungsdispositivs). Ferner wurde festgehalten, die Gebäude und Einrichtungen der betreffenden Liegenschaften dürften nicht wieder zur Haltung von Tieren verwendet werden, ohne dass vorgängig eine Abnahme durch das Veterinäramt stattgefunden habe (Ziff. 13 des Verfügungsdispositivs). Das vom Beschwerdeführer angefochtene Tierhalteverbot wurde mit Urteil des Bundesgerichts 2C_635/2011 vom 11. März 2012 rechtskräftig.
A.b. Am 4. Mai 2012 stellte das Veterinäramt fest, die Verfügung vom 23. Juli 2010 sei zu vollziehen, und setzte A._ eine Frist bis zum 30. Juni 2012, um seinen Nutztierbestand aufzulösen und seine Stallungen und Einrichtungen vollständig zu räumen (Ziff. 4 des Verfügungsdispositivs). Für den Fall, dass diese Frist ungenutzt verstreichen sollte, wurde die Ersatzvornahme auf den 10. Juli 2012 um 9 Uhr angesetzt. A._ habe diesfalls vor Ort zur Verfügung zu stehen; die Ersatzvornahme erfolge auf seine Kosten (Ziff. 5 des Verfügungsdispositivs). Wiederum wurde festgehalten, in den Gebäuden und Einrichtungen, welche A._ für seine Tierhaltung genutzt habe, dürften ohne vorgängige Abnahme durch das Veterinäramt keine Tiere mehr gehalten werden (Ziff. 3 des Verfügungsdispositivs).
B.
B.a. Gegen die Vollstreckungsverfügung vom 4. Mai 2012 rekurrierte A._ am 14. Mai 2012 mit dem Begehren, diese sei aufzuheben und ihm sei Frist zur Räumung seiner Stallungen und Einrichtungen zu gewähren, bis das Veterinäramt die Gebäude und Einrichtungen für die Tierhaltung abgenommen haben würde. Zur Begründung führte er an, er beabsichtige, seinen gesamten Viehbestand einem Nachfolger zu übergeben. Hierzu bedürfe es gemäss Ziff. 13 der Verfügung vom 23. Juli 2010 einer vorgängigen Abnahme durch das Veterinäramt, welche hiermit formell beantragt werde.
B.b. Zudem ersuchte der Beschwerdeführer am 24. Mai 2012 das Veterinäramt, innert Frist eine Abnahme seiner Stallungen vorzunehmen. Er verfüge über einen rechtlichen Anspruch auf diese Amtshandlung, welche überdies für eine geordnete Betriebsübergabe erforderlich sei.
Mit Schreiben vom 4. Juni 2012 teilte das Veterinäramt dem Beschwerdeführer mit, es gebe dem Antrag nicht statt, weil das Verfahren zur Zeit beim Regierungsrat hängig sei. Es könne deshalb vorläufig keine weiteren Schritte unternehmen.
B.c. Der Regierungsrat des Kantons Thurgau (nachfolgend: Regierungsrat) trat am 3. Juli 2012 auf die Eingabe des Beschwerdeführers vom 14. Mai 2012 nicht ein, soweit sie die Räumungsandrohung, d.h. die Androhung der Ersatzvornahme betraf. Hingegen hob er das für die Ersatzvornahme vorgesehene Datum (10. Juli 2012) auf und räumte A._ eine Frist von fünf Tagen ein, um gegen den Entscheid des Veterinäramts vom 4. Mai 2012 Beschwerde erheben zu können. Die daraufhin von A._ erhobene Beschwerde vom 9. Juli 2012 wies der Regierungsrat am 6. August 2012 ab. Auf eine dagegen beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde trat dieses nicht ein (vgl. Urteil 2C_781/2012 vom 21. August 2012), worauf das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau (nachfolgend: Verwaltungsgericht) den Regierungsratsentscheid am 19. Dezember 2012 bestätigte.
C.
A._ erhebt am 25. Februar 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und auf die angedrohte Ersatzvornahme sei zu verzichten; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, ebenso das Veterinäramt. Der Regierungsrat beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Veterinärwesen (BVET) hat sich vernehmen lassen, jedoch explizit auf einen Antrag verzichtet. Mit Replik vom 11. Juni 2013 hält A._ an seinen Rechtsbegehren fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid ist ein Endentscheid im Sinn von <ref-law>. Er stützt sich auf das Tierschutzgesetz vom 16. Dezember 2005 (TSchG; SR 455) und betrifft somit eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts gemäss <ref-law>; eine sachliche Ausnahme nach <ref-law> liegt nicht vor. Vorinstanz ist eine kantonal letztinstanzliche Gerichtsbehörde im Sinn von <ref-law>. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig.
1.2. Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Er ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Er ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert.
1.3. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
1.4. Für die hilfsweise erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt gemäss <ref-law> kein Raum, weshalb darauf nicht einzutreten ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 287).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Verletzung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht bildet keinen eigenständigen Rügegrund; sie wird nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür geprüft (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 318 mit Hinweisen). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
3.
Streitgegenstand bildet die Frage, ob die Vorinstanz den Beschluss des Regierungsrates vom 6. August 2012, die Vollziehung des rechtskräftigen Tierhalteverbots mittels Ersatzvornahme zu bestätigen, zu Recht geschützt hat.
Die Vorinstanz erwog, der Grund des Tierhalteverbots liege in der nachgewiesenen Unfähigkeit des Beschwerdeführers, seine Tiere artgerecht und nach den Vorschriften des Tierschutzgesetzes zu halten. Das Vollstreckungsverfahren diene dazu, die Tiere so schnell als möglich dem Einfluss des Beschwerdeführers zu entziehen, um sie zu schützen. Solle die Zwangsvollstreckung unterbleiben, habe der Beschwerdeführer nachzuweisen, dass die Voraussetzungen dafür nicht mehr gegeben seien bzw. dass sich die Verhältnisse in der Zwischenzeit so erheblich verändert hätten, dass für die dort lebenden Tiere keine Gefahr mehr bestehe, vom Beschwerdeführer erneut schlecht gehalten und behandelt zu werden. Der Beschwerdeführer habe einen auf den 1. Mai 2012 datierten Pachtvertrag mit seinem Neffen erst im laufenden Verfahren und nicht in jenem vor dem Regierungsrat aufgelegt. Bei dem 1992 geborenen Neffen handle es sich zwar um einen ausgebildeten Landwirt mit Fähigkeitszeugnis. Die verwandtschaftliche Nähe zum Beschwerdeführer, das jugendliche Alter und die damit verbundenen fehlenden beruflichen Erfahrungen liessen jedoch eine Scheinverpachtung vermuten. Der Beschwerdeführer würde den Pächter und das Personal weiterhin beeinflussen und den Betrieb in personeller und organisatorischer Hinsicht aus dem Hintergrund führen. Zudem sei nur der Ökonomieteil des Gewerbes, nicht aber das Wohnhaus verpachtet worden; üblicherweise nehme jedoch der Pächter eines Tierhaltungsbetriebs vor Ort Wohnsitz. Die Tatsache, dass der Beschwerdeführer weiterhin in seinem Wohnhaus bleibe, zeige, dass es ihm nicht leicht falle, sich vom Betrieb zu lösen. Es sei daher nicht zu erwarten, dass er von der Tierhaltung Abstand nehme, wenn sein neuer Pächter nicht anwesend sei.
4.
4.1. Unter dem Titel der Verletzung des rechtlichen Gehörs macht der Beschwerdeführer geltend, seine (erste) Beschwerde an den Regierungsrat vom 14. Mai 2012 hätte zwingend zur Aufhebung der Verfügung vom 4. Mai 2012 führen müssen. Dem angefochtenen Urteil der Vorinstanz ging jedoch nicht der Nichteintretensentscheid des Regierungsrats vom 3. Juli 2012 voraus, sondern der (abweisende) Regierungsratsbeschluss vom 6. August 2012. Der vom Beschwerdeführer beanstandete Regierungsratsbeschluss vom 3. Juli 2012 ist rechtskräftig und bildete nicht Anfechtungsgegenstand im vorinstanzlichen Verfahren. In Bezug auf diesen Regierungsratsbeschluss war eine Überprüfung des Anspruchs auf rechtliches Gehör daher im vorinstanzlichen Verfahren ebenso ausgeschlossen wie im vorliegenden Verfahren (zum Streitgegenstand vgl. E. 3).
4.2. Der Antrag auf Beizug der Akten des beim Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau hängigen Aufsichtsbeschwerdeverfahrens ist abzuweisen, weil der Gegenstand dieses Verfahrens nicht vom Streitgegenstand erfasst wird (vgl. E. 3).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer führt an, nebst dem Tierhalteverbot habe das Veterinäramt entschieden, dass die Gebäude und Einrichtungen der betreffenden Liegenschaften nicht wieder zur Haltung von Tieren verwendet werden dürften, ohne dass vorgängig eine Abnahme durch das Veterinäramt stattgefunden habe. Weitere Auflagen, welche im vorliegenden Vollstreckungsverfahren relevant wären, seien ihm gegenüber nicht verfügt worden. Mit der Verpachtung seines Landwirtschaftsbetriebs und der Übertragung des Viehbestands auf den Pächter sei er - der Beschwerdeführer - den Auflagen des Veterinäramts nachgekommen. Er habe das Tierhalteverbot bereits umfassend erfüllt, so dass eine Ersatzmassnahme sinnlos sei.
5.2. Eine Verfügung, mit der ein rechtskräftiger Entscheid vollzogen wird, kann nur soweit angefochten werden, als die gerügte Rechtswidrigkeit in der Vollstreckungsverfügung selbst begründet ist. Grundsätzlich ausgeschlossen ist die Rüge, die frühere (materielle) Verfügung sei rechtswidrig. Eine Ausnahme von diesem Grundsatz macht das Bundesgericht allenfalls, wenn die Verletzung von unverzichtbaren oder unverjährbaren Grundrechten geltend gemacht wird oder die Nichtigkeit der ursprünglichen Verfügung zur Diskussion steht (Urteil 2C_1/2012 vom 18. September 2012 E. 4.3; <ref-ruling> E. 1.1 S. 412; Urteile 8C_300/2008 vom 28. November 2008 E. 3; 5A_169/2007 vom 21. Juni 2007 E. 2.3). Eine Ausnahme dieser Art liegt hier nicht vor.
5.2.1. Der Beschwerdeführer qualifiziert Ziff. 13 des Dispositivs der Verfügung vom 23. Juli 2010 als Auflage und macht geltend, er habe diese erfüllt. Dieser Rechtsauffassung kann nicht gefolgt werden. Eine Auflage ist die mit einer Verfügung verbundene zusätzliche Verpflichtung des Adressaten zu einem Tun, Dulden oder Unterlassen (Tschannen/Zimmerli/Müller, Allgemeines Verwaltungsrecht, 3. Aufl. 2009, S. 250 Rz. 94; Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. Aufl. 2010, Rz. 913). Die Mitteilung, wonach die Gebäude und Einrichtungen nicht ohne vorgängige Abnahme durch das Veterinäramt wieder zur Tierhaltung verwendet werden dürften, betrifft aber gerade nicht den Beschwerdeführer, denn er ist mit einem Tierhalteverbot belegt. Schon aus diesem Grund kann es sich nicht um eine Auflage zu Ziff. 10 des Verfügungsdispositivs handeln.
Es stellt sich die grundsätzliche Frage, ob Ziff. 13 der Verfügung vom 23. Juli 2010 überhaupt eine Verpflichtung enthält, welche als Verfügung im Rechtssinn gelten könnte. § 4 Abs. 1 Ziff. 1 des Gesetzes des Kantons Thurgau vom 23. Februar 1981 über die Verwaltungsrechtspflege (170.1; nachfolgend: Verwaltungsrechtspflegegesetz) definiert von Amtes wegen erlassene, rechtsgestaltende Verfügungen als Anordnungen von Behörden im Einzelfall, die sich auf öffentliches Recht stützen und die Begründung, Änderung oder Aufhebung von Rechten oder Pflichten zum Gegenstand haben. Die Legaldefinition setzt voraus, dass die Anordnung einen oder mehrere (bestimmte oder bestimmbare) Adressaten oder eine unbestimmte Zahl von Adressaten betrifft. Ziff. 13 der Verfügung vom 23. Juli 2010 richtet sich nicht an einen bestimmten oder bestimmbaren Adressaten. Zwar betrifft die Mitteilung einen allfälligen Betriebsnachfolger des Beschwerdeführers. Bevor ein solcher in Erscheinung tritt, kann die "Anordnung" keine (gewollten) Rechtswirkungen entfalten, da sie dem "Adressaten" nicht eröffnet wurde. Ziff. 13 des Verfügungsdispositivs stellt also keine Individualverfügung dar. Es handelt sich aber auch nicht um eine Allgemeinverfügung (eine solche wäre überdies amtlich zu publizieren) : Nicht eine unbestimmte Anzahl von Adressaten ist angesprochen, sondern ein allenfalls zukünftiger, im Zeitpunkt des Erlasses der Verfügung vom 23. Juli 2010 noch unbekannter Benutzer der zu räumenden Einrichtungen und Gebäude.
5.2.2. Mangels eines im Zeitpunkt der Mitteilung existierenden Adressaten muss der Verfügungscharakter von Ziff. 13 der Verfügung vom 23. Juli 2010 verneint werden. Es handelt sich um eine Information, welche den Beschwerdeführer zu nichts verpflichtet, aber auch zu nichts berechtigt. Das Gleiche gilt für den in Ziff. 3 der Vollziehungsverfügung vom 4. Mai 2012 wiederholten Hinweis mit demselben Inhalt. Ein Rechtsverhältnis zwischen dem Veterinäramt und dem Beschwerdeführer wird dadurch jedenfalls nicht konstituiert. Der Hinweis in Ziff. 13 der Verfügung vom 23. Juli 2010 bzw. Ziff. 3 der Verfügung vom 4. Mai 2012 ist daher als Realakt zu qualifizieren. Ob damit Rechte und Pflichten von Dritten berührt werden, kann dahingestellt bleiben. Ebenso kann offen bleiben, welche Anforderungen in baulicher Hinsicht an die Tierhaltung zu stellen sind bzw. ob die am 1. September 2008 in Kraft getretenen strengeren Vorschriften zur Anwendung kommen.
Der Beschwerdeführer geht somit fehl in der Annahme, er könne durch die "Erfüllung der Auflage" die Vollziehung des Tierhalteverbots mittels Ersatzvornahme verhindern. Aufgrund der Rechtskraft des Tierhalteverbots wurde der Beschwerdeführer aufgefordert, seine Stallungen und Einrichtungen vollständig zu räumen. Nachdem er die Räumungsfrist ungenutzt hat verstreichen lassen, durfte das Veterinäramt die Ersatzvornahme gestützt auf § 86 Abs. 2 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes anordnen.
5.3. Der Beschwerdeführer moniert, die beantragte Stallabnahme sei ihm bis heute verwehrt geblieben. Gegen die unbegründete Verweigerung der Stallabnahme, welche einzig die Verhinderung der Verpachtung mit Übertragung des Viehbestands bezwecken könne, habe er am 7. Juli 2012 eine Rechtsverweigerungsbeschwerde eingereicht.
Wie in E. 5.2.2 dargelegt, wurde der Beschwerdeführer gerade nicht verpflichtet, eine Stallabnahme zu dulden; ebenso wenig hat er in der vorliegenden Konstellation einen Anspruch darauf. Die Behandlung des Gesuchs vom 24. Mai 2012 durch das formlose Schreiben des Veterinäramts vom 4. Juni 2012 bildet auch nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens, weshalb nicht näher darauf einzugehen ist. Dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer war es unbenommen, beim Veterinäramt eine formelle Verfügung zu verlangen, wenn er davon überzeugt war, einen Rechtsanspruch auf ein Verfahren in dieser Sache und damit auf einen anfechtbaren Entscheid zu haben.
5.4. Die Rüge, das Veterinäramt habe die Androhung der Ersatzvornahme unzulässigerweise mit der Vollstreckungsanordnung verknüpft und die Höhe der mutmasslichen Kosten nicht angegeben, brachte der Beschwerdeführer bereits im vorinstanzlichen Verfahren vor. Die Vorinstanz hat zutreffend erwogen, dass diese Verknüpfung unproblematisch ist, weil der Adressat Gelegenheit erhält, innerhalb der Erfüllungsfrist die angedrohte Ersatzvornahme abzuwenden. Bezüglich der Kosten führt die Vorinstanz zu Recht an, dass deren Höhe naturgemäss nicht im Voraus bekannt ist. Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung der Vorinstanz in keiner Weise auseinander, sondern wiederholt lediglich seine Beanstandungen. Er tut im Übrigen nicht dar, inwiefern die Vorinstanz § 86 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes, welcher die verwaltungsrechtliche Zwangsvollstreckung regelt, willkürlich angewendet haben soll.
5.5. Weiter moniert der Beschwerdeführer, er sei in seiner Eigentums- und Wirtschaftsfreiheit ungebührlich eingeschränkt. Das Tierhalteverbot beinhalte nicht die Auflösung des Nutztierbestands mit Räumung der Gebäude und Einrichtungen. Wie vom Bundesgericht im Urteil 2C_634/2011 vom 11. März 2012 E. 3.4 ausdrücklich erwähnt, habe er davon ausgehen dürfen, seinen Tierbestand ohne vorgängige Räumung einem nachfolgenden Bewirtschafter zu marktüblichen Konditionen innert angemessener Frist übergeben zu dürfen. Die Liquidation eines gesamten Tierbestands und über 80 Grossvieheinheiten sei weder erforderlich noch tierschutzkonform und damit unverhältnismässig. Die Räumung stelle zudem einen widerrechtlichen Eingriff in fremdes Eigentum dar, denn er - der Beschwerdeführer - habe den Viehbestand bereits an den Pächter verkauft.
5.5.1. Eine Verletzung der Eigentums- und Wirtschaftsfreiheit hat das Bundesgericht in Bestätigung der Rechtmässigkeit des Tierhalteverbots bereits verneint (vgl. Urteil 2C_635/2011 vom 11. März 2012 E. 3.4). Der Beschwerdeführer kann diese Rügen im Zusammenhang mit der hier zu beurteilenden Ersatzvornahme lediglich insoweit erneut vorbringen, als er durch Letztere mehr beschwert ist als durch das (rechtskräftige) Tierhalteverbot (vgl. E. 5.2). Dies könnte auf die Eigentumsgarantie zutreffen, wenn dem Beschwerdeführer mit der Ersatzvornahme der endgültige Entzug seines Viehs drohen würde. Da er jedoch selbst angibt, seinen Viehbestand an den Pächter veräussert zu haben, entfällt die Berufung auf die Eigentumsgarantie.
5.5.2. Der Beschwerdeführer geht zu Unrecht davon aus, er sei zu einer Liquidation seines Viehbestands verpflichtet worden. Die Rüge der Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips läuft diesbezüglich ins Leere. Dem Beschwerdeführer wurde Gelegenheit gegeben, bis zum 30. Juni 2012 seinen Viehbestand aufzulösen und seine Stallungen und Einrichtungen zu räumen, ansonsten das Veterinäramt die Räumung in Anwendung von § 86 Abs. 2 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes selbst oder durch einen Dritten vornehmen würde. Die Ersatzvornahme ist eine Konsequenz des Tierhalteverbots und als solche durch dessen gesetzliche Grundlage (hier Art. 23 Abs. 1 lit. a TschG) abgedeckt. Das öffentliche Interesse an der Vollziehung eines Tierhalteverbots ist evident. Auch die Verhältnismässigkeit der Ersatzvornahme ist gegeben, nachdem vorgängig eine Frist zur Auflösung des Tierbestands und zur Räumung der Stallungen und Einrichtungen angesetzt worden war. Dass eine Umgehung der Vollstreckung durch "Erfüllung der Auflagen" nicht möglich ist, wurde in E. 5.2.1 und E. 5.2.2 bereits dargelegt.
5.5.3. Es trifft im Übrigen nicht zu, dass der Beschwerdeführer mit der Teilverpachtung seines Hofs eine der vom Bundesgericht genannten Handlungsalternativen umgesetzt hat: Im Urteil 2C_635/2011 vom 11. März 012 E. 3.4 wurde eine Verletzung der Eigentumsgarantie bzw. der Wirtschaftsfreiheit verneint mit der Begründung, der Beschwerdeführer könne den Betrieb auf eine andere Bewirtschaftungsart (d.h. ohne Nutztierhaltung) umstellen oder den Hof an einen Pächter übergeben, welcher den Betrieb im Einklang mit der Tierschutzgesetzgebung führe. Die erste Variante geht von einer Beendigung der Tierhaltung, die zweite von deren Weiterführung durch einen anderen Bewirtschafter aus, wobei im zweiten Fall eine räumliche und betriebliche Trennung des Beschwerdeführers von seinem Viehbestand vorausgesetzt wird (vgl. die Wendung "Übergabe des Hofs an einen Pächter"). Indem der Beschwerdeführer nur das Ökonomiegebäude verpachtet hat und weiterhin das Wohngebäude nutzt, hat er den Hof nicht übergeben. Der Einwand des Beschwerdeführers, ihm sei nur ein Tierhalteverbot, nicht aber eine Umzugsverpflichtung auferlegt worden, geht fehl: Wollte er den Tierbestand als Ganzes erhalten und den Betrieb übergeben, hätte er den Hof verlassen müssen; diesfalls wäre es Sache des neuen Bewirtschafters gewesen, für die Einhaltung der Tierschutzvorschriften, namentlich für die gesetzeskonforme Unterbringung des Viehs in den Ställen, besorgt zu sein. Oder aber der Beschwerdeführer wollte auf dem Hof bleiben; diesfalls wäre er verpflichtet gewesen, den Viehbestand aufzulösen bzw. die Tiere zu verkaufen.
5.5.4. Daran ändert auch der Einwand nichts, er - der Beschwerdeführer - und sein Neffe, welcher den Hof gepachtet habe, würden nicht im gleichen Haushalt wohnen und es widerspreche dem Wortlaut des Tierhalteverbots, wenn eine Tierhaltung erst wieder mit seinem Wegzug möglich sein solle. Der Beschwerdeführer verkennt, dass die Verpachtung an einen Verwandten in Verbindung mit der Tatsache, dass er selbst trotz des Tierhalteverbots weiterhin auf dem Hof lebt, missbräuchlich erscheint. Die Vorinstanz hat zu Recht bezweifelt, dass der Zweck des Tierhalteverbots unter diesen Gegebenheiten erreicht werden kann. Im Vordergrund steht dabei der Umstand, dass der Beschwerdeführer das Ökonomiegebäude in letzter Minute, nämlich am 1. Mai 2012, an einen Verwandten verpachtet hat, welcher nicht auf dem Hof lebt, während er selbst weiterhin dort wohnt. Dieses Vorgehen diente offensichtlich der Umgehung des Tierhalteverbots und sollte gleichzeitig die Behörden dazu bringen, die Anordnung der Ersatzvornahme aufzuheben. Die Befürchtung der Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer direkt sowie über seinen Neffen Einfluss auf die Tierhaltung nehmen könnte, ist gerechtfertigt. Von einer Verletzung von Treu und Glauben kann nicht die Rede sein.
5.5.5. Aufgrund des Gesagten braucht nicht mehr geprüft zu werden, ob die Vorinstanz die berufliche Eignung des Pächters in willkürlicher Weise verneint hat, wie der Beschwerdeführer vorbringt.
5.6. Die vorstehenden Erwägungen führen zum Schluss, dass die Vorinstanz die Anordnung der Ersatzvornahme zu Recht bestätigt hat. Weder erweist sich diese Massnahme als unverhältnismässig, noch sind andere Gründe ersichtlich, welche einer Vollziehung der Verfügung vom 23. Juli 2010 im Weg stehen würden.
6.
Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet abzuweisen ist. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten.
6.1. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdeführer gemäss <ref-law> grundsätzlich kostenpflichtig; er hat indessen um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Gemäss <ref-law> befreit das Bundesgericht eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Praxisgemäss sind Prozessbegehren als aussichtslos anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 mit Hinweisen).
Dem Rechtsmittel waren kaum Erfolgsaussichten beschieden. Es musste dem Beschwerdeführer klar sein, dass die überstürzte Verpachtung seines Betriebs an einen Neffen missbräuchlich erscheint, zumal nicht dieser, sondern er selbst das Wohnhaus des Gewerbes nutzt. Bereits die Vorinstanz hat das Rechtsbegehren als aussichtslos bezeichnet und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, und die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.
6.2. Gemäss Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG ist keine Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Veterinärwesen (BVET) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Oktober 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner