Sachverhalt:
A.
A.a. Im Februar 2003 wurde für X._ eine Beistandschaft auf eigenes Begehren nach a<ref-law> errichtet. Die Beistandschaft wurde zuletzt von C._ geführt. Dieser erklärte im Januar 2013 gegenüber der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Thun seine Demission und beantragte, die Beistandschaft an die Wohn- und Lebensgemeinschaft B._ in D._ zu übertragen, wo X._ seit längerer Zeit lebt. Nach einer Besprechung bei der KESB Thun beantragten X._ und A._, der Leiter des B._, die Beistandschaft aufzuheben.
A.b. Mit Kammerentscheid vom 18. April 2013 hob die KESB Thun die bestehende Beistandschaft nach a<ref-law> auf (Ziffer 2) und ordnete neu eine Vertretungsbeistandschaft mit Einkommens- und Vermögensverwaltung nach Art. 394 i.V.m. <ref-law> an, die sie wie folgt umschrieb (Ziffer 3) :
"Für X._ wird eine Vertretungsbeistandschaft mit Einkommens- und Vermögensverwaltung nach Art. 394 i.V.m. <ref-law> angeordnet mit den Aufgabenbereichen
a) stets für eine geeignete Wohnsituation bzw. Unterkunft besorgt zu sein und ihn bei allen in diesem Zusammenhang erforderlichen Handlungen umfassend zu vertreten,
b) für sein gesundheitliches Wohl sowie für hinreichende medizinische Betreuung zu sorgen und ihn bei allen dafür erforderlichen Vorkehren zu vertreten,
c) sein soziales Wohl zu fördern und ihn bei allen dafür erforderlichen Vorkehren zu vertreten,
d) ihn beim Erledigen der administrativen Angelegenheiten soweit nötig zu vertreten, insbesondere auch im Verkehr mit Behörden, Ämtern, Banken, Post, (Sozial-) Versicherungen, sonstigen Institutionen und Privatpersonen,
e) ihn beim Erledigen der finanziellen Angelegenheiten zu vertreten, insbesondere sein Einkommen und Vermögen sorgfältig zu verwalten.
C._ wurde aus dem Amt entlassen. Als neuen Beistand setzte die KESB den Berufsbeistand E._ ein (Ziffer 4).
B.
Hierauf wandten sich X._ und A._ mit Beschwerde an das Obergericht des Kantons Bern. Dieses hiess ihr Rechtsmittel mit Entscheid vom 22. August 2013 teilweise gut. Es hob Ziffer 3 Bst. a, b und c des Entscheides der KESB Thun (Bst. A.b) auf. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 20. September 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, das Urteil des Obergerichts und den Kammerentscheid der KESB Thun aufzuheben und festzustellen, dass die Voraussetzungen für eine künftige Beistandschaft nicht gegeben sind. Eventualiter sei ihm C._ als Vertretungsbeistand nach <ref-law> zu bestellen; subeventualiter beantragt er, die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
C.b. Mit Verfügung vom 4. Oktober 2013 hat das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.
C.c. Das Bundesgericht hat das Obergericht, die KESB Thun und A._ zur Vernehmlassung eingeladen. Die KESB Thun und das Obergericht verzichteten auf eine solche, Letzteres unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid sowie die dem Bundesgericht zur Verfügung gestellten Akten. A._ brachte in seiner Stellungnahme seine Betroffenheit über das Vorgehen der Behörde zum Ausdruck und erklärte, dass der Beschwerdeführer seiner Meinung nach in der Lage sei, Entscheide über seine privaten Angelegenheiten zu treffen und vor allem selbst zu bestimmen, in welchen Belangen und von wem er bei Bedarf Hilfe in Anspruch nehmen möchte. Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer sowie der Vorinstanz und der KESB zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) über die Anordnung einer Beistandschaft. Der Entscheid ist öffentlich-rechtlich, steht aber in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Ziff. 6 lit. b BGG). Die Angelegenheit ist nicht vermögensrechtlicher Natur (Urteil 5A_357/2011 vom 7. Oktober 2011 E. 2). Die Beschwerde ist rechtzeitig eingereicht worden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Er ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>). Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Der Beschwerdeführer kann die Feststellung des Sachverhalts rügen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 351, 398 E. 7.1, 466 E. 2.4). Aus dem Gesagten folgt, dass das Bundesgericht das neu ins Recht gelegte ärztliche Zeugnis von Dr. med. F._ nicht berücksichtigen kann. Die Urkunde datiert vom 5. September 2013, ist also nach dem angefochtenen Entscheid verfasst worden (Sachverhalt Bst. B). Sie stellt damit ein echtes Novum dar (<ref-law>).
3.
Nach <ref-law> gilt für den Erwachsenenschutz das neue Recht, sobald die Änderung vom 19. Dezember 2008 in Kraft getreten ist. Dies war am 1. Januar 2013 der Fall (AS 2011 767). Abgesehen von der Entmündigung (dazu <ref-law>) fallen die bis zu diesem Zeitpunkt angeordneten Massnahmen spätestens mit Ablauf von drei Jahren, das heisst spätestens am 31. Dezember 2015 dahin, sofern die Erwachsenenschutzbehörde sie nicht in eine Massnahme des neuen Rechts überführt hat (<ref-law>). Vorliegend hat die KESB die Demission des bisherigen Beistands zum Anlass genommen, die bisherige Verbeiständung auf eigenes Begehren (a<ref-law>) durch eine Vertretungsbeistandschaft gemäss <ref-law> in Verbindung mit einer Vermögensverwaltung gemäss <ref-law> zu ersetzen. Diese Form der Beistandschaft kann auch gegen den Willen des Betroffenen angeordnet werden. Sie schränkt die Handlungsfähigkeit des Verbeiständeten aber nicht ein, es sei denn, die Erwachsenenschutzbehörde treffe eine andere Anordnung (<ref-law>). Im vorliegenden Fall liegt keine solche Anordnung vor. Der Beschwerdeführer behielt also seine volle Handlungsfähigkeit. Die gleichen Regeln gelten für die Vermögensverwaltung, die im Gesetz als besondere Form der Vertretungsbeistandschaft ausgestaltet ist (<ref-law>).
4.
4.1. Die Vorinstanz erwägt, dass der Beschwerdeführer weiterhin der Unterstützung bedarf. Der geistige Schwächezustand des inzwischen 77-jährigen Beschwerdeführers sei mit zunehmendem Alter "mit Bestimmtheit nicht geringer geworden". Zudem habe der bisherige Beistand in seinem Schlussbericht vom 28. Januar 2013 ausgeführt, dass der Beschwerdeführer an "leichtem Gedächtnisschwund" leide. Ferner habe die Anhörung vom 8. Juli 2013 ergeben, dass ihm die Übersicht über die finanziellen Verhältnisse "vollständig" fehlte. Nach der Meinung des Obergerichts dürfte der Beschwerdeführer auch nicht in der Lage sein, ausserhalb eines geschützten Rahmens für seine täglichen Bedürfnisse zu sorgen. Die von einer Beistandschaft gebotene Unterstützung sei deshalb notwendig.
Weiter hält das Obergericht fest, dass die Erwachsenenschutzbehörde Massnahmen nur dann anordnen dürfe, wenn die Unterstützung der hilfsbedürftigen Person durch die Familie, andere nahestehende Personen oder private oder öffentliche Dienste nicht ausreiche oder von vornherein als ungenügend erscheine. Wie der Kreis der nahestehenden Personen zu umschreiben sei, lasse sich dem Gesetz, der Rechtsprechung und der Lehre nicht entnehmen. Die Sorge könne jedoch bestimmt nicht einer Person überlassen werden, die wegen Interessenkollisionen als Beistandsperson nicht in Frage komme. Dabei erfasse das Gesetz in <ref-law> nicht nur die konkrete, sondern auch die abstrakte bzw. theoretische Gefahr einer Interessenkollision. Ein effektiver Schutz der verbeiständeten Person sei nur dann gewährleistet, wenn die blosse Möglichkeit, dass die Interessen der verbeiständeten Person gefährdet sein könnten, die Vertretungsmacht des Beistandes im Umfang des Interessenkonflikts entfallen lasse. Die persönlichen Qualitäten bzw. die Integrität und Vertrauenswürdigkeit des Beistands würden keine Rolle spielen.
Mit Bezug auf A._ führt das Obergericht aus, dieser sei zwar nicht mehr Mitglied des Stiftungsrats der Stiftung B._, aber nach wie vor Verwaltungsratspräsident der G._ AG und "Vater" der Wohn- und Lebensgemeinschaft B._. Auch wenn sich diese um ein familiäres Zusammenleben bemühe, könne sie nicht einer Familie gleichgesetzt werden. Massgebend sei nicht das Selbstverständnis, sondern die Aussensicht. Diese ergebe, dass Bewohner wie der Beschwerdeführer aufgrund eines entgeltlichen Vertrags im B._ lebten. Mitarbeitende des Vertragspartners könnten nicht gleichzeitig die Interessen des Bewohners wahrnehmen. Im konkreten Fall komme hinzu, dass das B._ auch als potenzieller Erbe des Beschwerdeführers einem Interessenkonflikt unterliegen könnte. Deshalb komme A._ als Beistand nicht in Frage.
4.2. Der Beschwerdeführer stellt nicht in Abrede, in finanziellen Belangen auf Unterstützung angewiesen zu sein. Er macht aber geltend, selbst beurteilen zu können, welche Geschäfte er tätigen will und welche nicht. Er könne auch einschätzen, wem er eine Vollmacht erteilen will, namentlich mit Blick auf die Erledigung seiner Zahlungen. Daher seien die Voraussetzungen zur Errichtung einer Beistandschaft nicht gegeben. Weiter bestreitet der Beschwerdeführer auch das Vorliegen eines Interessenkonfliktes. Die Beziehungen und der Umgang im B._ seien familiär. Das B._ sei eine gemeinnützige Organisation, der jegliche Gewinnorientierung fehle. Er erhalte die Unterstützung durch die Familie A._ täglich und in allen Belangen. Die Familie A._ habe ihn auch, wo nötig, bei der Regelung seiner finanziellen Angelegenheiten bereits unterstützt. Es bestehe demnach kein Zweifel, dass die Familie A._ für ihn auch in Zukunft weiterhin da sein werde. Seine Interessen würden sich im vorliegenden Fall darauf beschränken, dass allfällige Rechnungen fristgerecht bezahlt und die administrativen Arbeiten korrekt ausgeführt werden. Er betreibe keine grösseren Rechtsgeschäfte mit seinem Vermögen, sondern habe hauptsächlich die Rechnungen der Krankenkasse und für das B._ zu zahlen. A._ sei eine wichtige Verbindungsperson zum B._ und daran interessiert, dass die Bewohner sich in der Wohngemeinschaft in ihren letzten Lebensjahren gut und wie in einer Familie fühlten. Bei objektiver Betrachtung sei bezüglich dieser Hilfestellungen kein Interesse ersichtlich, das A._ durch Ausnützung seiner Position verfolgen könnte. Auch dass das B._ als potentieller Erbe des Beschwerdeführers in Frage käme, dürfe nicht als Interessenkonflikt gewertet werden, da ansonsten jeder Nachkomme, der seinen Eltern bei den finanziellen Angelegenheiten helfe, in einem Interessenkonflikt stünde.
4.3. Nach dem Gesagten ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer insbesondere in finanziellen Angelegenheiten auf Hilfe angewiesen ist. Zu prüfen ist aber, ob von der nach dem neuen Recht angeordneten Massnahme (E. 3) abgesehen werden kann, weil der Beschwerdeführer selbst in der Lage ist, diese Hilfe zu organisieren, bzw. ob ihm nahestehende Personen gewillt und in der Lage sind, diese Hilfe zu leisten.
4.3.1. In <ref-law> unterstellt der Gesetzgeber alle behördlichen Massnahmen des Erwachsenenschutzes den beiden Maximen der Subsidiarität und der Verhältnismässigkeit. Subsidiarität (<ref-law>) heisst, dass behördliche Massnahmen nur dann anzuordnen sind, wenn die Betreuung der hilfsbedürftigen Person auf andere Weise nicht angemessen sichergestellt ist (Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7042). Ist die gebotene Unterstützung der hilfsbedürftigen Person auf andere Art - durch die Familie, andere nahestehende Personen (vgl. dazu Urteil 5A_663/2013 vom 5. November 2013 E. 3) oder private oder öffentliche Dienste - schon gewährleistet, so ordnet die Erwachsenenschutzbehörde keine Massnahme an (<ref-law>). Kommt die Erwachsenenschutzbehörde demgegenüber zum Schluss, die vorhandene Unterstützung der hilfsbedürftigen Person sei nicht ausreichend oder von vornherein ungenügend, so muss ihre behördliche Massnahme verhältnismässig, das heisst erforderlich und geeignet sein (<ref-law>). Die Erwachsenenschutzbehörde hat dabei nicht gesetzlich fest umschriebene, starre Massnahmen, sondern "Massnahmen nach Mass" zu treffen, das heisst solche, die den Bedürfnissen der betroffenen Person entsprechen (<ref-law>). Es gilt der Grundsatz "Soviel staatliche Fürsorge wie nötig, so wenig staatlicher Eingriff wie möglich" (vgl. Botschaft, a.a.O., S. 7017). Dies gilt auch für die Errichtung einer Vertretungsbeistandschaft nach <ref-law>.
4.3.2. Unter dem Gesichtspunkt der Eignung scheint auch das Obergericht davon auszugehen, dass A._ für die Vertretung des Beschwerdeführers in finanziellen Angelegenheiten grundsätzlich in Frage kommt. Einzig der behauptete Interessenkonflikt disqualifiziert ihn in den Augen der Vorinstanz für eine mögliche Unterstützung. Ein solcher Interessenkonflikt besteht aber nur insofern, als A._ Präsident des Verwaltungsrates der G._ AG ist, der die Liegenschaft der Wohn- und Lebensgemeinschaft B._ gehört. Die Voraussetzung der Erforderlichkeit jedes erwachsenenschutzrechtlichen Eingriffs verlangt jedoch, dass sich der verfolgte Zweck - die Unterstützung der hilfsbedürftigen Person - nicht mit milderen behördlichen Massnahmen erreichen lässt. Allein unter diesem Aspekt ist nicht ersichtlich, weshalb dem Beschwerdeführer die nötige Unterstützung nur mittels einer Vertretungsbeistandschaft gemäss Art. 394 i.V.m. <ref-law> verschafft werden kann, welche die Erledigung sämtlicher finanziellen Angelegenheiten erfasst (s. Sachverhalt Bst. A.a). Ein Grund für einen derart schwerwiegenden erwachsenenschutzrechtlichen Eingriff kann unter Umständen dann vorliegen, wenn die betroffene Person über ein beträchtliches Vermögen verfügt und ohne fremde Unterstützung ernsthaft Gefahr liefe, ihre wirtschaftliche Situation in unhaltbarer Weise aufs Spiel zu setzen (vgl. Urteil 5A_836/2011 vom 5. Juni 2012 E. 2.2.2). Dass solcherlei Umstände auch im Falle des Beschwerdeführers vorlägen, lässt sich dem angefochtenen Entscheid aber gerade nicht entnehmen. Unter den gegebenen Umständen ist dem Schutzbedürfnis des Beschwerdeführers vollauf Genüge getan, wenn die KESB Thun die G._ AG und das B._ verpflichten würde, sie über bevorstehende Vertragsänderungen zu informieren, die für den Beschwerdeführer mit Preiserhöhungen für Kost und Logis verbunden sind. Die gesetzliche Grundlage für eine solche mildere Massnahme liefert <ref-law>: Erscheint die Errichtung einer Beistandschaft wegen des Umfangs der Aufgaben als offensichtlich unverhältnismässig, so kann die Erwachsenenschutzbehörde von sich aus das Erforderliche vorkehren, namentlich die Zustimmung zu einem Rechtsgeschäft erteilen. Schliesslich lässt sich auf diese Weise auch dem beschriebenen Leitsatz Rechnung tragen, wonach die behördlichen Anordnungen nach Mass zu treffen sind (s. E. 4.3.1).
4.3.3. Das Gesagte wird bekräftigt durch das Institut des Vorsorgeauftrages, das der Gesetzgeber mit dem neuen Erwachsenenschutzrecht geschaffen hat. Mit einem solchen Vorsorgeauftrag kann jede handlungsfähige Person eine andere natürliche oder eine juristische Person beauftragen, im Fall ihrer Urteilsunfähigkeit die Personensorge oder die Vermögenssorge zu übernehmen oder sie im Rechtsverkehr zu vertreten (<ref-law>). Diese Möglichkeit wirkt sich auch auf das oben erwähnte Subsidiaritätsprinzip aus: Eine behördliche Massnahme darf nur angeordnet werden, wenn bei Urteilsunfähigkeit der hilfsbedürftigen Person keine oder keine ausreichende eigene Vorsorge getroffen worden ist und die Massnahmen von Gesetzes wegen nicht genügen (<ref-law>). Könnte der Beschwerdeführer, dessen Handlungsfähigkeit zum heutigen Zeitpunkt von keiner Seite bestritten wird, A._ aber als Vorsorgebeauftragten einsetzen, so muss es ihm auch möglich sein, dessen Hilfe als noch urteilsfähige Person in Anspruch zu nehmen. Das Gleiche gilt für die Unterstützung seitens der Wohn- und Lebensgemeinschaft B._. Anders zu entscheiden hiesse, dem Selbstbestimmungsrecht für den Fall der Urteilsunfähigkeit eine grössere Bedeutung beizumessen als den Befugnissen einer (noch) urteilsfähigen Person. Das aber ist nicht der Sinn des Gesetzes.
4.4. Zusammenfassend ist in Gutheissung der Beschwerde festzuhalten, dass die gesetzlichen Voraussetzungen für eine Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung (Art. 394 i.V.m. 395 ZGB), wie sie das Obergericht angeordnet hat, nicht gegeben sind. Angesichts dessen erübrigt es sich, zu den Eventualbegehren Stellung zu nehmen. Da keine Zustimmung des Beschwerdeführers vorliegt, scheidet auch die Möglichkeit aus, die in der Zwischenzeit rechtskräftig aufgehobene Beistandschaft auf eigenes Begehren nach altem Recht (a<ref-law>) durch eine Begleitbeistandschaft nach neuem Recht (<ref-law>) zu ersetzen.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die KESB Thun. Ihr bzw. dem Kanton Bern sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen, denn sie haben ohne Vermögensinteresse zu verfolgen in ihrem amtlichen Wirkungskreis gehandelt (<ref-law>). Sie haben den anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer für seinen Aufwand im Verfahren vor dem Bundesgericht aber voll zu entschädigen (<ref-law>). Nicht zu entschädigen ist A._. Eine Rückweisung der Sache zur Regelung der Kosten des kantonalen Verfahrens kann unterbleiben. Mit der Aufhebung des Urteils des Obergerichts durch das Bundesgericht fallen auch die in diesem Urteil verfügten Verfahrenskosten von Fr. 1'000.-- dahin. Im Übrigen ist der Beschwerdeführer erst im Verfahren vor Bundesgericht anwaltlich vertreten; die KESB Thun hatte keine Verfahrenskosten erhoben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Zivilabteilung, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, vom 22. August 2013 aufgehoben. Für X._ wird keine Vertretungsbeistandschaft mit Einkommens- und Vermögensverwaltung nach Art. 394 i.V.m. <ref-law> angeordnet.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Bern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB Thun, A._ und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn