Faits:
A.
A.X._, ressortissante russe née le 20 août 1960, est entrée en Suisse le 13 novembre 2007 en vue d'y épouser B.X._, ressortissant suisse. Suite au mariage, célébré à St-Maurice le 18 janvier 2008, elle a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour pour regroupement familial, renouvelée jusqu'au 17 janvier 2011.
Dans le cadre de la procédure de demande de prolongation de cette autorisation, initiée par A.X._ le 14 janvier 2011, B.X._ a refusé de signer l'attestation de ménage commun au motif que la vie commune avec son épouse n'était plus possible. Lors de son audition du 23 février 2012 par la police intercommunale du Salentin, il a précisé qu'il avait déjà consulté un avocat en vue de divorcer à la mi-octobre 2010. A cette occasion, il a produit une attestation de témoignage et une lettre de tiers certifiant que les X._ faisaient chambre séparée lors du séjour qu'ils avaient effectué à leur domicile en août 2010 pour le premier et en février 2011 pour l'autre. Par lettre du 23 mars 2011, A.X._ a exposé au Service de la population et des migrations du canton du Valais (ci-après: le Service cantonal) qu'elle avait épousé B.X._ à l'insistance de celui-ci, qu'après son arrivée en Suisse, elle avait réalisé que son mari cherchait avant tout à s'attacher les services d'une femme de ménage, qu'il ne lui remettait que peu d'argent de poche, qu'il souffrait de problèmes d'alcool, qu'il la confinait à la maison, mais qu'elle l'aimait toujours et faisait tout son possible pour maintenir le lien conjugal.
Au cours de son audience du 26 avril 2011, le Juge de district de Martigny a ratifié la convention de mesures protectrices de l'union conjugale conclue par les parties. Celle-ci prévoyait notamment que la vie commune était suspendue dès le 26 avril 2011, qu'A.X._ quitterait le logement familial au plus tard le 31 mai 2011 et que B.X._ s'acquitterait d'une pension mensuelle de 1'900 fr. en faveur de sa femme, la dernière fois le 1er avril 2012.
B.
Le 29 août 2011, le Service cantonal a refusé de prolonger l'autorisation de séjour d'A.X._ et a prononcé son renvoi de Suisse. Il a retenu que les conditions des art. 50 al. 1 let. a, 50 al. 1 let. b et al. 2 de la loi fédérale sur les étrangers du 16 décembre 2005 (LEtr; RS 142.20) n'étaient pas remplies.
Cette décision a été confirmée par le Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) le 20 juin 2012.
Saisi d'un recours formé par A.X._ et dirigé contre la décision précitée du Conseil d'Etat, le Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public (ci-après: le Tribunal cantonal) l'a rejeté, par arrêt du 16 novembre 2012. Il a considéré, en substance, que la durée de la vie commune des X._ au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr était inférieure à trois ans, qu'à supposer que tel ne fût pas le cas, A.X._ ne pouvait pas se prévaloir d'une intégration réussie au sens de cette disposition et que les conditions de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr n'étaient pas remplies.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 16 novembre 2012 et de prolonger son autorisation de séjour. Elle se plaint de la violation de son droit d'être entendue, d'une constatation inexacte des faits entraînant une violation de l'art. 50 LEtr et qualifie son renvoi de Suisse de totalement disproportionné. Elle requiert également d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire.
Le Tribunal cantonal, le Conseil d'Etat et l'Office fédéral des migrations renoncent à se déterminer sur le recours. Le Tribunal cantonal ne formule pas de conclusions; le Conseil d'Etat et l'Office fédéral des migrations concluent au rejet du recours.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 43; <ref-ruling> consid. 1 p. 103).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. En l'espèce, la vie conjugale de la recourante avec un ressortissant suisse ayant cessé d'exister, celle-ci ne peut déduire un droit à une autorisation de séjour de l'art. 42 al. 1 LEtr ni de l'art. 49 LEtr. Reste l'art. 50 al. 1 LEtr qui subordonne la prolongation de son autorisation de séjour à certaines conditions dont se prévaut la recourante. En pareilles circonstances, il convient d'admettre un droit de recourir sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le point de savoir si c'est à juste titre que les autorités cantonales ont nié la réalisation des conditions de l'art. 50 LEtr ressortissant au fond et non à la recevabilité (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 287).
1.2. Pour le surplus, le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF); il a été formé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>) par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. LTF). Par conséquent, il est en principe recevable en tant que recours en matière de droit public.
2.
Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement juridique sur les faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; cf. pour la notion d'arbitraire <ref-ruling> consid. 7.1 p. 51) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356).
3.
Invoquant la violation du droit d'être entendu et la constatation inexacte des faits, la recourante fait grief au Tribunal cantonal d'avoir ignoré les témoignages de sa famille et de ses amis, d'avoir sous-estimé les violences psychologiques subies et d'avoir retenu que l'union conjugale avait cessé avant la date du 26 avril 2011. Se prévalant des principes de l'interdiction de l'arbitraire et de la protection de la bonne foi, elle se plaint également de ce que le Tribunal cantonal n'ait pas décrit son mari tel qu'il est, soit un homme autoritaire, "radin" et manipulateur, qui a abandonné sa femme à son triste sort et qui a fui ses responsabilités. Enfin, elle dénonce une violation du principe de proportionnalité, en ce sens que son renvoi de Suisse n'est pas nécessaire dès lors qu'elle a prouvé sa volonté de s'intégrer en dépit des obstacles dressés par son mari; enfermée dans un cercle vicieux, elle ne pourra réussir pleinement son intégration socio-professionnelle que dès l'instant où elle sera libérée de B.X._.
Force est de constater que, sous couvert d'établissement des faits et d'appréciation des preuves, les critiques formulées par la recourante se rapportent en fait à l'appréciation du droit par l'instance précédente, puisqu'elles portent sur la qualité et la durée de la vie commune, ainsi que sur sa situation personnelle après la dissolution de l'union conjugale et, par conséquent, sur l'appréciation juridique des faits pertinents. Elles seront par conséquent examinées ci-après (cf. infra consid. 4 et 5).
4.
4.1. Selon l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 LEtr subsiste si l'union conjugale a duré au moins trois ans et que l'intégration est réussie. Il s'agit de deux conditions cumulatives (<ref-ruling> consid. 3.3.3 p. 119). Le délai de trois ans prévu par cette disposition se calcule en fonction de la durée pendant laquelle les époux ont fait ménage commun en Suisse (<ref-ruling> consid. 3.3.5 p. 120; arrêt 2C_430/2011 du 11 octobre 2011 consid. 4.1). La durée de trois ans vaut de façon absolue, quand bien même la fin de la vie conjugale serait intervenue quelques jours ou semaines seulement avant l'expiration du délai (cf., notamment, arrêt 2C_748/2011 du 11 juin 2012 consid. 2.1).
La notion d'union conjugale de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr ne se confond pas avec celle du mariage. Alors que celui-ci peut n'être plus que formel, l'union conjugale implique une vie conjugale effective, sous réserve des exceptions mentionnées à l'art. 49 LEtr (<ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 347; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 115 ss; arrêt 2C_748/2011 précité, consid. 2.1). Elle ne se confond pas non plus avec celle de la seule cohabitation mais implique une volonté matrimoniale commune de la part des époux. A cet égard, la période durant laquelle les conjoints continuent provisoirement à cohabiter en attendant de pouvoir se constituer deux domiciles séparés ne peut pas être prise en compte dans le calcul de trois ans de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, faute de vie conjugale effective (arrêt 2C_748/2011 précité, consid. 2.1).
4.2. En l'espèce, c'est sans arbitraire que le Tribunal cantonal a retenu que l'union conjugale avait pris fin avant l'échéance du délai de trois ans au 18 janvier 2011. Comme il l'a déclaré, B.X._ a entamé des démarches auprès d'un avocat en vue de divorcer en octobre 2010 déjà. Ses propos ont été confirmés par la recourante dans son recours auprès du Tribunal cantonal. Le 7 janvier 2011, B.X._ a en outre donné procuration écrite à un avocat de St-Maurice pour entamer des démarches officielles en vue d'une séparation. Enfin, le 14 janvier 2011, l'intéressé a refusé de signer la déclaration de ménage commun liée à la demande de prolongation de l'autorisation de séjour de la recourante, alors qu'il l'avait dûment complétée antérieurement. Il a précisé, dans la déclaration écrite remise lors de son audition du 23 février 2011, que depuis sept mois, les époux faisaient chambre séparée, que chacun s'occupait de son linge et de ses repas et que cette cohabitation était pesante et désolante. Ces faits ont été confirmés, par écrit, par deux amis de B.X._, qui ont séjourné pendant quelques jours au domicile des X._, l'un en août 2010, l'autre en février 2011. Ils ont décrit une simple cohabitation des époux, dépourvue de vie conjugale effective.
Contrairement à ce que soutient la recourante, le Tribunal cantonal n'a pas aveuglément suivi la version des faits de son mari et des amis de celui-ci. Il s'est tout d'abord fondé sur un certain nombre de faits objectifs (la consultation de deux avocats pour engager des démarches judiciaires en vue d'un divorce et d'une séparation ainsi que le refus de signer l'attestation de ménage commun). Puis, après avoir relevé que les déclarations de B.X._ devaient être appréhendées avec prudence, il a estimé que les explications données étaient circonstanciées et ne pouvaient pas être d'emblée suspectes d'être mensongères. A ses yeux, la vacuité de l'union conjugale était d'ailleurs implicitement admise par la recourante qui avait allégué, dans la procédure de recours cantonale, que son mari vivait déjà comme un homme divorcé avant la date du 26 avril 2011 et qu'il fréquentait d'autres femmes qu'il invitait même à la maison. Quel que soit le jugement que l'on peut porter sur une telle attitude, elle démontre que l'union conjugale était clairement rompue, étant précisé que les causes de la désunion ne sont pas déterminantes dans le cadre de l'application de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr. Dans ces conditions, les déclarations des deux amis de B.X._ s'inscrivaient logiquement dans le tableau dépeignant une simple cohabitation et non plus une union conjugale effectivement vécue. Le Tribunal cantonal pouvait donc en tenir compte sans se voir reprocher un quelconque parti-pris.
En retenant que l'union conjugale avait pris fin le 14 janvier 2011 au plus tard, soit avant l'échéance du délai de trois ans, et qu'en conséquence, l'art. 50 al. 1 let. a LEtr ne trouvait pas application, le Tribunal cantonal n'a pas violé le droit fédéral. Il est dès lors superflu d'examiner si l'intégration de la recourante est ou non réussie au sens de cette disposition. Il n'y a donc pas lieu de vérifier le bien-fondé de l'argumentation figurant dans l'arrêt attaqué sur ce point, celle-ci étant superfétatoire.
5.
La recourante invoque également une violation de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr dans la mesure où le Tribunal cantonal a nié l'existence de raisons personnelles majeures justifiant la poursuite de son séjour en Suisse, notamment celles résultant de violences psychologiques.
5.1. Selon l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint et des enfants à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité subsiste si la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures. L'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr vise à régler les situations qui échappent aux dispositions de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, soit parce que le séjour en Suisse durant le mariage n'a pas duré trois ans, soit parce que l'intégration n'est pas suffisamment accomplie, ou encore parce que ces deux aspects font défaut mais que - eu égard à l'ensemble des circonstances - l'étranger se trouve dans un cas de rigueur après la dissolution de la famille (cf. <ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 348 s.). A cet égard, c'est la situation personnelle de l'intéressé qui est décisive et non l'intérêt public que revêt une politique migratoire restrictive. Il s'agit par conséquent uniquement de décider du contenu de la notion juridique indéterminée "raisons personnelles majeures" et de l'appliquer au cas d'espèce, en gardant à l'esprit que l'art. 50 al. 1 let. b LEtr confère un droit à la poursuite du séjour en Suisse. Comme il s'agit de cas de rigueur survenant à la suite de la dissolution de la famille, en relation avec l'autorisation de séjour découlant du mariage, les raisons qui ont conduit à sa dissolution revêtent par conséquent de l'importance. L'admission d'un cas de rigueur personnel survenant après la dissolution de la communauté conjugale suppose que, sur la base des circonstances d'espèce, les conséquences de la perte de séjour pour la vie privée et familiale de la personne étrangère soient d'une intensité considérable (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 394 s.). Le Tribunal fédéral a mis en lumière un certain nombre de situations dans lesquelles la poursuite du séjour en Suisse peut s'imposer, qui ne sont toutefois pas exhaustives. Parmi celles-ci figurent notamment les violences conjugales et la réintégration fortement compromise dans le pays d'origine (cf. <ref-ruling> consid. 5.3 p. 4), mais aussi le cas dans lequel le conjoint duquel dépend le droit de séjour de l'étranger décède (cf. <ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 349).
S'agissant de la violence conjugale, il faut qu'il soit établi que l'on ne peut exiger plus longtemps de la personne admise dans le cadre du regroupement familial qu'elle poursuive l'union conjugale, parce que cette situation risque de la perturber gravement. La violence conjugale doit par conséquent revêtir une certaine intensité (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 4). La notion de violence conjugale inclut également la violence psychologique. A l'instar de violences physiques, seuls des actes de violence psychique d'une intensité particulière peuvent justifier l'application de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr (arrêt 2C_748/2011 précité, consid. 2.2.1).
S'agissant de la réintégration sociale dans le pays de provenance, l'art. 50 al. 2 LEtr exige qu'elle semble fortement compromise. La question n'est donc pas de savoir s'il est plus facile pour la personne concernée de vivre en Suisse, mais uniquement d'examiner si, en cas de retour dans le pays d'origine, les conditions de sa réintégration sociale, au regard de sa situation personnelle, professionnelle et familiale, seraient gravement compromises (cf. arrêt 2C_1119/2012 du 4 juillet 2013 consid. 5.1 et les références). Le simple fait que l'étranger doit retrouver des conditions de vie qui sont usuelles dans son pays de provenance ne constitue pas une raison personnelle majeure au sens de l'art. 50 LEtr, même si ces conditions de vie sont moins avantageuses que celles dont cette personne bénéficie en Suisse (cf. arrêt 2C_1188/2012 du 17 avril 2013 consid. 4.1).
5.2. Dans le cas particulier, le Tribunal cantonal a retenu que chacun des époux s'était plaint d'être victime de pressions psychologiques de la part de son conjoint et que la désunion avait pu engendrer des souffrances psychiques chez la recourante. Ces souffrances ne se distinguaient cependant guère de celles qui accompagnaient usuellement toute crise conjugale. Dans ce sens, le certificat médical du 12 avril 2011 produit par la recourante, qui posait le diagnostic d'état anxio-dépressif réactionnel dans le contexte de la situation conjugale, ne se différenciait pas de ceux généralement établis en cas de dissensions conjugales. Au demeurant, la recourante ne s'était jamais plainte officiellement avant le mois d'avril 2011 d'une souffrance à ce point intense que la poursuite de l'union conjugale aurait été intolérable. Elle n'avait d'ailleurs jamais saisi le juge des mesures protectrices de l'union conjugale. Ces constatations, que l'argumentation largement appellatoire de la recourante ne saurait mettre en doute, ont logiquement amené le Tribunal cantonal à considérer que la recourante n'avait pas établi l'existence de violences psychiques d'une intensité et d'une constance telles qu'elles justifieraient l'application de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr.
Pour ce qui est de la réinsertion sociale de la recourante dans son pays d'origine, il est patent qu'elle ne saurait être qualifiée de gravement compromise dès lors qu'elle y a vécu jusqu'à l'âge de 47 ans, qu'elle y a ses repères socio-culturels, qu'elle y possède un logement en copropriété et qu'elle y sera accueillie par son fils et ses amis. Compte tenu de son âge, il ne lui sera certes pas facile de se procurer un travail, de la même manière que la recherche d'un emploi en Suisse ne serait guère aisée, mais elle retrouvera les conditions de vie qui sont usuelles dans ce pays. Et même si celles-ci devaient se révéler moins avantageuses qu'en Suisse, cette circonstance ne constituerait pas une raison personnelle majeure au sens de l'art. 50 LEtr.
Dans ces conditions, un retour en Russie peut être exigé de la recourante. Son renvoi dans le pays de provenance n'est ni arbitraire ni contraire à la bonne foi mais correspond à la réglementation prévue par l'art. 50 LEtr. Sous l'angle de la proportionnalité (art. 96 LEtr et 5 al. 2 Cst; <ref-ruling> consid. 4.4 et 4.5 p. 382 s.; arrêt 2C_1045/2011 du 18 avril 2012 consid. 2.1), on ne voit pas que le renvoi de la recourante, arrivée en Suisse il y a environ cinq ans et demi à l'âge de 47 ans, actuellement âgée de 53 ans, dont la famille ne vit pas en Suisse, lui occasionnerait un tel désavantage au point de faire primer son intérêt privé à demeurer en Suisse sur l'intérêt public à une politique restrictive en matière de séjour des étrangers.
6.
Il ressort de ce qui précède que le recours doit être rejeté. Le recours auprès du Tribunal fédéral était d'emblée voué à l'échec, de sorte que l'assistance judiciaire requise en relation avec la présente procédure doit être refusée (<ref-law>).
Les frais judiciaires seront donc mis à la charge de la recourante (<ref-law>). Ils seront toutefois fixés en tenant compte de sa situation financière. Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 2 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service de la population et des migrations, au Conseil d'Etat et au Tribunal cantonal, Cour de droit public, du canton du Valais, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 2 août 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor