Sachverhalt:
A. Das Kriminalgericht des Kantons Luzern verurteilte X._ am 15. November 2007 wegen Brandstiftung mit geringem Schaden, mehrfacher Sachbeschädigung sowie Hausfriedensbruchs zu einer Freiheitsstrafe von drei Monaten (bei Annahme einer in schwerem Grade verminderten Schuldfähigkeit), unter Anrechnung von 43 Tagen Untersuchungshaft. Das Kriminalgericht ordnete ausserdem unter Aufschub des Vollzugs der Freiheitsstrafe eine stationäre Massnahme gemäss Art. 59 Abs. 1 und 3 StGB an.
B. Gegen dieses Urteil erhob X._ Appellation an das Obergericht des Kantons Luzern. Dieses bestätigte am 19. August 2008 die Schuldsprüche und die Strafsanktion, ordnete jedoch anstelle der stationären eine ambulante Massnahme nach <ref-law> unter Aufschub des Strafvollzugs an.
Nachdem sich die Fortführung der ambulanten Massnahme als aussichtslos erwiesen hatte, hoben die Vollzugs- und Bewährungsdienste des Kantons Luzern diese am 4. Mai 2009 auf. Der Entscheid ist in Rechtskraft erwachsen.
C. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern beantragte mit Eingabe vom 17. Juli 2009 beim Obergericht des Kantons Luzern die Prüfung einer stationären Massnahme im Sinne von Art. 59 Abs. 1 i.V.m. Abs. 3 StGB. Dieses lehnte das Gesuch mit Entscheid vom 18. August 2009 ab.
D. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern führt Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht. Sie beantragt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Sache zur erneuten Beurteilung an das Obergericht des Kantons Luzern zurückzuweisen.
E. Die Vorinstanz beantragt in ihrer Vernehmlassung, die Beschwerde sei abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern lässt sich dazu vernehmen. In einer weiteren Stellungnahme weist die Vorinstanz auf die zwischenzeitlich verübten Straftaten von X._ hin.
F. Das Bundesgericht hat die Beschwerde in öffentlicher Sitzung beurteilt.

Erwägungen:
1. Es ist unbestritten, dass die vom Obergericht des Kantons Luzern am 19. August 2008 gegenüber der Beschwerdegegnerin ausgesprochene Freiheitsstrafe von drei Monaten vollzogen ist. Das Bundesgericht hat sich unter dem Geltungsbereich des neuen Massnahmenrechts noch nicht zur Grundsatzfrage äussern müssen, ob eine ambulante Massnahme in eine stationäre umgewandelt werden kann, wenn der Verurteilte im Zeitpunkt des Entscheids keine Reststrafe zu verbüssen hat.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin vertritt die Auffassung, dass die Anordnung einer indizierten stationären Massnahme nach Art. 59 Abs. 1 i.V.m. Abs. 3 StGB vorliegend zu prüfen sei. Nach bisherigem Recht sei gemäss bundesgerichtlicher Praxis die Umwandlung einer ambulanten in eine stationäre Massnahme in klaren Ausnahmefällen und unter strenger Berücksichtigung des Verhältnismässigkeitsprinzips möglich gewesen, wenn die neben der Massnahme ausgesprochene Strafe bereits vollständig verbüsst worden sei.
Die Vorinstanz halte im angefochtenen Entscheid zutreffend fest, dass zur Aufrechterhaltung der öffentlichen Sicherheit eine stationäre Massnahme gemäss Art. 59 Abs. 1 i.V.m. Abs. 3 StGB zweckmässig sei. Die ärztlichen Gutachten sowie die verschiedenen Rückfälle der Beschwerdegegnerin sprächen nach dem Scheitern der ambulanten für die Notwendigkeit einer (nachträglichen) stationären Massnahme. Somit liege eine Ausnahmesituation gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung vor. Dies hätte die Vorinstanz prüfen müssen, weshalb sie <ref-law> falsch ausgelegt habe (Beschwerde, S. 5 f.).
Hinzu komme, dass sowohl die Erst- als auch die Vorinstanz im vorliegenden Verfahren Massnahmen angeordnet hätten, obwohl weder im Zeitpunkt des erstinstanzlichen noch des obergerichtlichen Urteils eine Reststrafe bestanden habe. Es sei nicht einleuchtend, dass im Urteilszeitpunkt auch ohne bestehende Reststrafe eine Massnahme angeordnet werden könne, zu einem späteren Zeitpunkt jedoch nicht mehr (Beschwerde, S. 7).
2.2 Die Vorinstanz betont, das Gesuch der Beschwerdeführerin müsse nicht inhaltlich, sondern aus rechtlichen Gründen abgewiesen werden. Die Möglichkeit, bei gegebenen Voraussetzungen eine ambulante Massnahme im Sinne von <ref-law> in eine stationäre umzuwandeln, sei nur gegeben, wenn zum Zeitpunkt des nachträglichen Gerichtsentscheids noch eine Reststrafe bestehe, was sich aus dem Wortlaut dieser Bestimmung, den Materialien sowie der Literatur eindeutig ergebe. Abänderungsentscheide nach <ref-law> seien unter dem Aspekt von Art. 5 EMRK nicht ganz unproblematisch. Art. 5 Ziff. 1 lit. a EMRK verlange, dass eine Freiheitsentziehung zeitlich auf eine Verurteilung folge und kausal beziehungsweise final von dieser abhänge. Verlangt sei mit anderen Worten eine konkrete Anbindung des Freiheitsentzugs an die ursprüngliche richterliche Verurteilung (angefochtenes Urteil, S. 3 f.).
2.3 Das schweizerische Massnahmenrecht ist gekennzeichnet durch das sogenannte dualistisch-vikariierende System, wonach das Gericht bei einem Massnahmebedürftigen, der schuldhaft delinquiert hat, sowohl die schuldangemessene Strafe als auch die aus Präventionsgründen sachlich gebotene sichernde Massnahme anzuordnen hat (<ref-law>). Dies bedeutet nicht, dass mit der Verbüssung der Strafe jeder Massnahme die Grundlage entzogen wäre. Massnahmen im Sinne von <ref-law> werden ohne Rücksicht auf Art und Dauer der ausgesprochenen Strafe angeordnet. Massgebend sind der Geisteszustand des Täters und die Auswirkungen der Massnahme auf die Gefahr weiterer Straftaten. Es bestehen verschiedene Handlungsmöglichkeiten, wenn das Ziel der ambulanten Massnahme im Vollzug oder in der Freiheit nicht erreicht wird. Die Verbindung der ambulanten Massnahme mit dem Strafvollzug hindert den Richter allerdings nicht, die Massnahme nachträglich zu ändern und dem Verurteilten die nötige Psychotherapie zu verschaffen (<ref-ruling> E. 2.3.2 mit Hinweisen).
2.4 Wird die ambulante Behandlung nach geltendem Recht wegen Aussichtslosigkeit, wie vorliegend, durch das Gericht aufgehoben (<ref-law>), ist die aufgeschobene Freiheitsstrafe zu vollziehen (<ref-law>). Das Gericht entscheidet, inwieweit der mit der ambulanten Behandlung verbundene Freiheitsentzug auf die Strafe angerechnet wird (<ref-law>). Dem Gericht obliegt es dabei zu befinden, ob die Freiheitsstrafe zu verbüssen (<ref-law>) oder - anstelle des Strafvollzugs - eine stationäre therapeutische Massnahme nach den Art. 59-61 StGB anzuordnen ist (<ref-law>).
2.5 Der Bundesrat betont in seiner Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Strafgesetzbuches vom 21. September 1998 (BBl 1999 1979 ff. Ziff. 213.443), dass im neuen Recht (<ref-law>) entsprechend dem damals geltenden Recht (aArt. 43 Ziff. 3 Abs. 3 StGB) eine stationäre therapeutische Massnahme an die Stelle des Vollzugs der Freiheitsstrafe treten kann. Eine solche könne allerdings nur angeordnet werden, wenn eine vollziehbare Reststrafe vorliege. Im gleichen Sinne äussern sich mit Verweis auf die Botschaft STEFAN TRECHSEL/BARBARA PAUEN BORER, Schweizerisches Strafgesetzbuch Praxiskommentar, 2008, Art. 63b N. 6; ferner MARIANNE HEER, Das neue Massnahmerecht: zum ersten, zum zweiten, zum dritten..., in: Anwaltsrevue 8/2005, S. 307, und Basler Kommentar Strafgesetzbuch I, 2. Aufl., 2007, Art. 63b N. 6. Auch RENATE ANASTASIADIS-RITZMANN, ZStrR 126 (2008), S. 270, stellt fest, dass nach dem Gesetzestext von <ref-law> eine stationäre Massnahme nicht mehr angeordnet werden könne, wenn im ursprünglichen Urteil keine Grundstrafe verhängt oder diese bereits vollständig verbüsst worden sei; ebenso ROBERT ROTH, Mesures de sûreté et nouveau droit: confirmation, évolution et paradoxes, ZStrR 126 (2008), S. 247 f., der auf diesbezügliche Entscheide aus den Kantonen Zürich und Bern verweist; a.A. hingegen Kommentar StGB, ANDREAS DONATSCH (Hrsg.), 18. Aufl., Zürich 2010, Art. 63b N 8 mit Hinweis auf klare Ausnahmefälle nach altem Massnahmenrecht.
2.6 Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts zum alten Recht war die Umwandlung einer ambulanten in eine stationäre Massnahme auch nach vollständiger Verbüssung der Strafe gestützt auf <ref-law> zulässig (<ref-ruling> E. 2.3.2 und Urteil 6B_375/2008 vom 21. Oktober 2008 E. 4.2). Das Bundesgericht betonte, dass diese Möglichkeit nur in klaren Ausnahmefällen und unter strenger Berücksichtigung des Verhältnismässigkeitsgebotes zulässig sei. Eine Ausnahmesituation wurde etwa angenommen, wenn ein entlassener Straftäter nach dem Scheitern der Therapie die öffentliche Sicherheit in schwerer Weise gefährdete und nur eine langfristige stationäre Behandlung die Rückfallgefahr vermindern konnte (Urteil 6S.408/2005 vom 23. Januar 2006 E. 2 mit Hinweisen). Es müsste sich mithin der Schluss aufdrängen, dass der Sachrichter entweder irrte, als er von einer stationären Massnahme absah, oder dass er die akute Veränderung und Verschlimmerung der prognose- und sicherheitsrelevanten Umstände nicht voraussehen konnte oder nicht voraussah (Urteil 6S.265/2003 vom 21. November 2003 E. 4.2).
3. 3.1 Das neue Recht relativiert die bisherige bundesgerichtliche Rechtsprechung nicht. Die nach <ref-law> gleichzeitig angeordnete Strafe und stationäre Massnahme werden nacheinander vollzogen. Der Vollzug der stationären Massnahme geht dabei der Freiheitsstrafe voraus (<ref-law>). Der mit der Massnahme verbundene Freiheitsentzug ist auf die Strafe anzurechnen (<ref-law>). Er beträgt in der Regel höchstens fünf Jahre und kann um jeweils höchstens fünf Jahre verlängert werden. Die Massnahme und deren Verlängerungsmöglichkeit bestehen ungeachtet der gleichzeitig ausgesprochenen Freiheitsstrafe. Unter Umständen ist diese im Zeitpunkt des Verlängerungsentscheids der Massnahme bereits abgegolten, da der massnahmebedingte Freiheitsentzug auf die Strafe anzurechnen ist (<ref-law>). Dieser Mechanismus ist mit Blick auf die unterschiedlichen Zwecke von Strafe und Massnahme einsichtig. Strafen beziehen sich auf die Tat bzw. die in der Vergangenheit liegende Tatschuld und sind als ausgleichenden staatlichen Eingriff in die Rechtsgüter des Täters zu verstehen (FRANZ RIKLIN, Schweizerisches Strafrecht, Allgemeiner Teil I, 3. Aufl., 2007, §1 N. 10). Demgegenüber orientieren sich Massnahmen an einem künftigen Sachverhalt, nämlich der Sozialgefährlichkeit des Täters (MARIANNE HEER, Basler Kommentar Strafgesetzbuch I, 2. Aufl., 2007, Vor Art. 56 N. 2) und stellen keine Strafe dar.
Eine Massnahme ist (bei Erfüllung der übrigen Bedingungen) anzuordnen, wenn eine Strafe allein nicht geeignet ist, der Gefahr weiterer Straftaten des Täters zu begegnen (<ref-law>). Hieraus wird ersichtlich, dass eine Massnahme etwas Zusätzliches, Ergänzendes zur Strafe darstellt und von dieser unabhängig ist. Dies gilt umso mehr, als die Schuldfähigkeit des Massnahmebedürftigen vollständig fehlen und eine Strafe diesfalls nicht ausgesprochen werden kann. <ref-law> lässt in dieser Konstellation Massnahmen explizit zu.
3.2 Wie die Vorinstanz zu Recht darlegt, ist im Rahmen der späteren Abänderung von Massnahmen ebenfalls Art. 5 EMRK zu beachten. Dass diese Norm generell und damit auch ihr Abs. 1 lit. a auf therapeutische Massnahmen Anwendung findet, wird in der Lehre allgemein anerkannt (ARTHUR HAEFLIGER/FRANK SCHÜRMANN, Die europäische Menschenrechtskonvention und die Schweiz: 2. Aufl., Bern 1999, S. 91 ff.; WALTER GOLLWITZER, Menschenrechte im Strafverfahren, MRK und IPBR Kommentar Berlin 2005, Art. 5 EMRK N 42).
Gemäss Art. 5 EMRK muss eine Sanktion auf einer gerichtlichen Verurteilung beruhen. Die spätere Anpassung der Massnahme ist nur rechtsgenügend abgestützt, wenn die ursprüngliche Verurteilung und der später angeordnete beziehungsweise abgeänderte Freiheitsentzug hinreichend miteinander zusammenhängen. Ob allerdings ein solcher Zusammenhang per se zu verneinen ist, wenn anlässlich des Umwandlungsentscheides keine Reststrafe besteht, lässt sich aufgrund der Praxis des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte zu Art. 5 EMRK nicht abschliessend beurteilen. Daraus folgt aber nicht zwingend, dass der zeitlichen Komponente keinerlei Bedeutung zukommt. Massnahmen bedürfen, soweit sie das schuldangemessene Mass überschreiten, vielmehr einer besonderen Rechtfertigung durch das öffentliche Interesse (GÜNTER STRATENWERTH, Allgemeiner Teil II: Strafen und Massnahmen, 2. Aufl., § 8 N 24). Das schuldangemessene Mass der Strafe wird wiederum durch ihre Höhe ausgedrückt. Generell bleibt somit selbst die Anordnung einer therapeutischen Massnahme von der Frage der Dauer der Strafe nicht völlig unberührt. Bei geringem Verschulden und entsprechend kurzer Freiheitsstrafe ist unter Umständen aus diesem Grund trotz Therapiebedürfnis beim Betroffenen von einer Sanktion abzusehen.
Noch mehr Bedeutung kommt dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit im Rahmen des Vollzugs von therapeutischen Massnahmen, bei deren Beendigung und eben auch bei der Frage nach einer allfälligen Abänderung zu. Je länger ein Freiheitsentzug gedauert hat, umso strengere Anforderungen sind an die Art und Wahrscheinlichkeit künftiger Straftaten zu stellen, die bei der Risikoanalyse eine Rolle spielen und damit eine Aufrechterhaltung oder Umwandlung einer Massnahme zu begründen vermögen. Mit längerer Dauer des Vollzugs, mithin mit sich vergrösserndem zeitlichem Abstand zwischen der ursprünglichen Verurteilung und dem Entscheid betreffend Anpassung der Massnahme, sind zunehmend strengere Anforderungen an den Kausalzusammenhang des Art. 5 Abs. 1 lit. a EMRK zu stellen. Die Tatsache, dass keine Reststrafe besteht, kann sich daher zumindest indirekt durchaus auswirken beziehungsweise den Entscheid betreffend Zulässigkeit späterer Anpassungen präjudizieren. Je länger die Verurteilung in der Hauptsache zurückliegt, umso weniger lassen sich neue Fakten während des Vollzugs als Bestandteil des ursprünglichen Sachverhalts erkennen, die eine Massnahme zu begründen vermöchten. Dies hat das Bundesgericht - wie erwähnt - schon unter altem Recht klargestellt (Urteil 6B_375/2008 vom 21. Oktober 2008 E. 4.2).
3.3 Neben dem rein formalen zeitlichen Kriterium ist die Frage nach dem hinreichenden Zusammenhang zwischen ursprünglicher Verurteilung und Anordnung im Nachverfahren materiell zu entscheiden. Der Kausalzusammenhang im Sinne von Art. 5 Abs. 1 lit. a EMRK umfasst nicht nur eine rein zeitliche Komponente. Vielmehr bedarf es auch einer inhaltlichen Verknüpfung zwischen Verurteilung und Freiheitsentzug (HAEFLIGER/SCHÜRMANN, a.a.O., S. 93 mit weiteren Hinweisen; JOCHEN ABR. FROWEIN/WOLFGANG PEUKERT, EMRK-Kommentar, 3. Aufl., 2009, Art. 5 N 48; CHRISTOPH GRABENWARTER, Europäische Menschenrechtskonvention, 4. Aufl., 2009, S. 169; GOLLWITZER, a.a.O., Art. 5 N 47). Entscheidend ist mithin, ob die spätere Sanktion vom ursprünglichen Zweck der ersten Verurteilung inhaltlich noch getragen ist (vgl. die ähnlichen Erwägungen im Zusammenhang mit der Frage, ob nach neuem Recht eine ambulante Massnahme durch eine andere gleichartige ersetzt werden kann in <ref-ruling> E. 3.3). In der Rechtsprechung zu Art. 5 EMRK wird dieser Aspekt in den Vordergrund gestellt. Andere Sachverhalte, denen kein sogenannter Symptomcharakter zukommt, können grundsätzlich nicht Anlass zu neuen Vorkehren geben. Dies erhellt allerdings bereits daraus, dass für die vorausgegangene Aufhebung der Massnahme durch die zuständige Behörde ein besonderes Fehlverhalten vorausgesetzt ist (vgl. im Zusammenhang mit ambulanten Massnahmen HEER, a.a.O., Art. 63a N 20). So liess es der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte im Entscheid Stattford vs. United Kingdom vom 28. Mai 2002 nicht zu, dass die bedingte Entlassung eines wegen Mordes Verurteilten wegen einer nachfolgenden Fälschung von Reisepässen und Checks widerrufen wurde (dazu u.a. STEFAN TRECHSEL, Human Rights in Criminal Proceedings, Oxford 2005, S. 441 f.).
3.4 Im zu beurteilenden Fall unterscheidet sich die neue Delinquenz der Beschwerdegegnerin, die Anlass zum Antrag der Beschwerdeführerin auf Umwandlung der ambulanten Massnahme war, zwar von derjenigen, die dem Urteil in der Hauptsache zugrunde lag. Während die Beschwerdegegnerin ursprünglich kleinere Brände in Containern oder Telefonzellen legte, schreckte sie später die Bevölkerung durch Androhung von Amokläufen im Sinne von <ref-law> (vgl. dazu in den Akten der Staatsanwaltschaft die Strafverfügung des Amtsstatthalteramtes Luzern vom 7. April 2009: Schuldspruch wegen mehrfacher versuchter Schreckung der Bevölkerung, begangen in Luzern, KKL Damentoilette; in Luzern WC-Anlage Bundesplatz; in Luzern Bundesplatz-Oberlöchli-Bahnhof [VBL-Linie] und in Luzern KKL Damentoilette und Mc Donalds Damentoilette, bedingte Geldstrafe von 22 Tagessätzen à Fr. 30.--). Die Delikte setzen aber einen ähnlich grossen Personenkreis einer Gefahr aus. Es ist auch offensichtlich, dass in beiden Fällen das strafbare Verhalten im besonderen psychischen Zustand der Beschwerdegegnerin begründet ist, wie er immer schon vorgelegen hat. Das Gleiche gilt ferner für das unkooperative Verhalten der Beschwerdegegnerin im Rahmen der Therapie, worauf sich die Vollzugsbehörde bei der Aufhebung der ambulanten Massnahme zu berufen scheint (Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartementes des Kantons Luzern, Dienststelle Militär, Zivilschutz und Justizvollzug, Vollzugs- und Bewährungsdienste vom 4. Mai 2009, ebenfalls in den Akten der Staatsanwaltschaft, Beilage 2).
3.5 An der bisherigen Rechtsprechung ist auch unter dem neuen Recht festzuhalten. Es ist systemwidrig, die Umwandlung einer ambulanten in eine stationäre Massnahme nach Verbüssung der Freiheitsstrafe generell auszuschliessen. Das neue Recht sieht ungeachtet der bereits abgegoltenen Freiheitsstrafe eine unbeschränkte Verlängerungsmöglichkeit der "in der Regel nicht länger als fünf Jahre" dauernden stationären oder ambulanten Massnahme um jeweils höchstens fünf Jahre vor (Art. 59 Abs. 4 bzw. <ref-law>). Auch der Gesetzestext von <ref-law> hat sich gegenüber a<ref-law> inhaltlich nicht verändert.
4. 4.1 Zusammenfassend ist Folgendes festzuhalten: Scheitert eine ambulante Behandlung, ist bei Freiheitsstrafen nicht zwingend erforderlich, dass noch eine Reststrafe vorliegt, wenn eine stationäre therapeutische Massnahme angeordnet werden soll. In materieller Hinsicht bedarf es einer inhaltlichen Verknüpfung zwischen Verurteilung und Freiheitsentzug (das heisst der Anordnung einer stationären Therapie). Die Umwandlung einer ambulanten in eine stationäre Massnahme nach vollständiger Verbüssung der Strafe bleibt wie unter dem alten Recht in klaren Ausnahmefällen und unter strenger Berücksichtigung des Verhältnismässigkeitsgebotes zulässig. Ob eine solche Ausnahmesituation vorliegend zu bejahen ist, hat die Vorinstanz zu entscheiden.
4.2 Die Beschwerde ist gutzuheissen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern vom 18. August 2009 aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. Abs. 4 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern vom 18. August 2009 wird aufgehoben und zur Neubeurteilung der Anordnung einer Massnahme an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Entschädigungen ausgerichtet.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzernern, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Keller