Sachverhalt:
A. Mit Urteil des Einzelrichters am Bezirksgericht Zürich vom 19. Juni 2008 wurde A._ vom Vorwurf der fahrlässigen schweren Körperverletzung im Sinne von <ref-law> zum Nachteil von X._ freigesprochen. Auf die Schadenersatzforderung von X._ trat der Einzelrichter nicht ein.
Gegen dieses Urteil erhoben X._ und die Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich Berufung ans Obergericht des Kantons Zürich mit dem Antrag, A._ sei im Sinne der Anklage schuldig zu sprechen und zu bestrafen. Die I. Strafkammer des Obergerichts - in der Besetzung Oberrichter W. Hotz, Franz Bollinger und Martin Langmeier sowie juristischer Sekretär Tobias Brütsch - trat mit Beschluss vom 21. September 2009 auf die Anklage nicht ein.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich reichte gegen diesen Beschluss Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht ein. Mit Urteil 6B_966/2009 vom 25. März 2010 hiess das Bundesgericht die Beschwerde gut, hob den Beschluss der I. Strafkammer vom 21. September 2009 auf und wies die Sache zur neuen Entscheidung an das Obergericht zurück.
B. Mit Schreiben vom 19. Mai 2010 teilte Oberrichter Franz Bollinger den Parteien unter anderem mit, dass Oberrichter W. Hotz in den Ruhestand getreten sei und das Verfahren in anderer Besetzung fortgeführt werde.
Mit Eingabe vom 1. Juli 2010 stellte X._ den Antrag, in dem gegen A._ hängigen Berufungsverfahren hätten die Oberrichter Franz Bollinger und Martin Langmeier sowie der juristische Sekretär Tobias Brütsch in den Ausstand zu treten. Falls die Genannten nicht von sich aus den Ausstand erklären würden, sei das Ausstandsbegehren dem Obergericht zum Entscheid vorzulegen.
Mit Präsidialverfügung vom 16. August 2010 überwies Oberrichter Franz Bollinger das Ausstandsbegehren unter Beilage der Verfahrensakten der II. Strafkammer des Obergerichts zum Entscheid. Gleichzeitig gaben die abgelehnten Oberrichter Franz Bollinger und Martin Langmeier sowie der juristische Sekretär Tobias Brütsch die gewissenhafte Erklärung ab, sie fühlten sich in der Prozesssache nicht befangen.
Mit Beschluss vom 14. September 2010 wies die II. Strafkammer das von X._ eingereichte Ausstandsbegehren ab.
C. Mit Beschwerde in Strafsachen vom 18. Oktober 2010 beantragt X._, der Beschluss der II. Strafkammer vom 14. September 2010 sei aufzuheben, und das Ausstandsbegehren sei gutzuheissen. Eventuell sei die Sache zur neuen Entscheidung an die zuständige kantonale Instanz zurückzuweisen.
Die II. Strafkammer verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Franz Bollinger, Martin Langmeier, und Tobias Brütsch sowie die Staatsanwaltschaft IV haben sich innert Frist nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene, kantonal letztinstanzliche Beschluss ist im Rahmen eines Strafverfahrens ergangen und betrifft damit eine Strafsache im Sinne von <ref-law>. Gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über Ausstandsbegehren ist die Beschwerde nach <ref-law> grundsätzlich zulässig.
1.2 Der Beschwerdeführer verletzte sich bei einem Sturz von der Terrasse der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich schwer. Ihm kommt damit im Strafverfahren wegen fahrlässiger schwerer Körperverletzung gegen die zum Zeitpunkt des Vorfalls diensthabende Oberärztin der Psychiatrischen Universitätsklinik, A._, Opferstellung im Sinne des Opferhilfegesetzes zu (<ref-law>; SR 312.5).
Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG ist das Opfer zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann.
Dies ist vorliegend nicht der Fall. Nach § 6 Abs. 1 des kantonalen Haftungsgesetzes vom 14. September 1969 (HG/ZH; LS 170.1) haftet der Kanton Zürich für den Schaden, den Angestellte - darunter A._ - in Ausübung ihrer amtlichen Verpflichtungen Dritten widerrechtlich zufügen. Gemäss § 6 Abs. 4 HG/ZH steht dem Geschädigten kein Anspruch gegen die angestellte Person zu. Der angefochtene Entscheid kann sich somit nicht auf allfällige Zivilforderungen des Beschwerdeführers auswirken.
1.3 Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache kann der Geschädigte die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen. Das nach <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich in diesem Fall aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Ist der Beschwerdeführer - wie vorliegend - nach kantonalem Recht Partei, kann er die Verletzung jener Parteirechte rügen, die ihm nach dem kantonalen Verfahrensrecht, der BV oder der EMRK zustehen und deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung bedeutet ("Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.4 S. 44, 29 E. 1.9 S. 40; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer rügt insbesondere eine Verletzung von <ref-law>. Nach dieser Bestimmung hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht. In diesem Anspruch ist die Prozesspartei beeinträchtigt, wenn ein von ihr eingereichtes Ausstandsbegehren zu Unrecht abgewiesen wurde. Der Beschwerdeführer beruft sich insoweit auf ein Parteirecht, dessen Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (vgl. Urteil 1B_320/2009 vom 5. Juli 2010 E. 1). Er ist daher zur Beschwerde befugt. Gleiches gilt, soweit der Beschwerdeführer geltend macht, der Beschluss sei nichtig (vgl. auch nachfolgend E. 3.2). Ebenso ist der Beschwerdeführer berechtigt, Gehörsverletzungen zu rügen (<ref-ruling> E. 6.2 S. 198).
Auf die Beschwerde ist damit einzutreten.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer sieht seinen Anspruch auf richtige Besetzung des Gerichts gemäss <ref-law> als verletzt an. Gemäss dem kantonalen Recht sei für die Beurteilung von Ausstandsbegehren gegen die Mitwirkung von Mitgliedern und der juristischen Kanzlei diejenige Kammer des Obergerichts zuständig, welcher die abgelehnten Personen angehörten. Die Zuständigkeit liege damit bei der I. und nicht bei der II. Strafkammer.
2.2 Der Ausstand der Justizbeamten wird im III. Abschnitt des Gerichtsverfassungsgesetzes des Kantons Zürich vom 13. Juni 1976 (GVG/ZH; LS 211.1) geregelt.
Gemäss § 101 Abs. 2 GVG sowie § 31 Ziff. 2 der Verordnung über die Organisation des Obergerichts vom 22. Juni 2005 (VOG/ZH; LS 212.51) entscheidet die Kammer (des Obergerichts) über streitige Ausstandsbegehren, wenn sich diese gegen die Mitwirkung von Mitgliedern, Ersatzleuten und Angestellten der juristischen Kanzlei in diesem Kollegium richten, wobei gleich viele Richter wie in dem Verfahren mitzuwirken haben, in welchem der Ausstand streitig ist.
Nach der Praxis des Obergerichts erfolgt die Beurteilung von Ausstandsbegehren gegen Mitglieder einer Strafkammer jeweils durch Mitglieder der anderen Strafkammer. Der Beschwerdeführer stuft diese Praxis als mit dem Wortlaut von § 31 Ziff. 2 VOG/ZH nicht vereinbar ein.
2.3 Der Beschwerdeführer vermag mit seinem Vorbringen keine willkürliche Anwendung des kantonalen Rechts, das heisst von § 31 Ziff. 2 VOG/ZH, aufzuzeigen.
Nach § 1 Abs. 1 VOG/ZH erfüllt das Obergericht seine Aufgaben teils als Gesamtbehörde, teils in der erforderlichen Zahl von Zivil- und Strafkammern, einer Anklagekammer, einer Revisionskammer und einer Verwaltungskommission.
Der in § 31 Ziff. 2 VOG/ZH verwendete Begriff der "Kammer" kann auf die Strafkammer als Ganzes in Abgrenzung zu den anderen Kammern (Zivilkammer, Anklagekammer und Revisionskammer) bezogen werden. Dem Sinn und Zweck der Bestimmung dürfte entsprechen, dass Ausstandsbegehren gegen einzelne Mitglieder einer der Strafkammern von Strafrichtern des Obergerichts, das heisst von anderen Mitgliedern einer der Strafkammern, beurteilt werden. Weshalb die Praxis des Obergerichts, für die Beurteilung von Ausstandsbegehren nicht Richter der gleichen, sondern einer anderen (als der vom Ausstandsbegehren betroffenen) Strafkammer einzusetzen, unhaltbar sein sollte, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht dargelegt. Das Bundesgericht hat denn auch diese kantonale Praxis in einem früheren Entscheid explizit geschützt (Urteil 1B_86/2007 vom 11. Juni 2007 E. 1).
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers liegt damit keine Verletzung von <ref-law> vor.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer erachtet den angefochtenen Beschluss als nichtig, da dieser nicht gegen die drei abgelehnten Personen, sondern gegen die gesamte I. Strafkammer ergangen sei. Ebenso sei unklar, weshalb die Staatsanwaltschaft IV auf der Seite der Beschwerdegegnerschaft aufgeführt werde.
3.2 Nichtigkeit bedeutet absolute Unwirksamkeit eines Entscheides. Dieser entfaltet keinerlei Rechtswirkungen; er ist vom Erlass an (ex tunc) und ohne amtliche Aufhebung rechtlich unverbindlich. Die Nichtigkeit ist jederzeit, auch im Rechtsmittelverfahren, von Amtes wegen zu beachten und kann von jedermann jederzeit geltend gemacht werden (<ref-ruling> E. 3.1 S. 367 mit Hinweis). Fehlerhafte Entscheide sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nichtig, wenn der ihnen anhaftende Mangel besonders schwer ist, wenn er sich als offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar erweist und die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird. Inhaltliche Mängel einer Entscheidung führen nur ausnahmsweise zur Nichtigkeit. Als Nichtigkeitsgründe fallen vorab funktionelle und sachliche Unzuständigkeit der entscheidenden Behörde sowie krasse Verfahrensfehler in Betracht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 367 mit Hinweis; Ulrich Häfelin/Georg Müller/Felix Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. Aufl. 2010, Rz. 955 ff.).
3.3 Aus der Begründung des angefochtenen Beschlusses ergibt sich ohne Weiteres, dass das Ausstandsbegehren nicht gegen die gesamte I. Strafkammer des Obergerichts, sondern gegen die Oberrichter Franz Bollinger und Martin Langmeier sowie gegen den juristischen Sekretär Tobias Brütsch gerichtet ist. Die Vorinstanz hat das Ausstandsbegehren denn auch ausdrücklich unter diesem Blickwinkel geprüft. Dass im Rubrum des angefochtenen Beschlusses fälschlicherweise dennoch die gesamte I. Strafkammer (und nicht die drei abgelehnten Mitglieder) sowie die Staatsanwaltschaft IV als Beschwerdegegnerinnen aufgeführt werden, stellt keinen gravierenden Mangel dar, der den Schluss auf die Nichtigkeit des Beschlusses rechtfertigen würde. Insbesondere liegt entgegen dem Vorbringen in der Beschwerde nicht ein Entscheid "gegen eine nicht existente Partei" vor. Ferner ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht ersichtlich, dass ihm durch die falsche Parteibezeichnung ein Nachteil erwachsen wäre oder hierdurch sein Anspruch auf rechtliches Gehör respektive sein "Beweisführungsanspruch" verletzt worden wäre.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör, da er die Stellungnahme der drei Mitglieder der I. Strafkammer des Obergerichts, welche mutmasslich vom 16. August 2010 datiere, nicht zugestellt erhalten habe.
4.2 Nach ständiger Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) umfasst das Recht auf ein faires Verfahren gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK das Recht der Parteien, von jedem Aktenstück und jeder dem Gericht eingereichten Stellungnahme Kenntnis zu nehmen und sich dazu zu äussern, sofern sie dies für erforderlich halten. Unerheblich ist nach der Rechtsprechung des EGMR, ob eine Eingabe neue Tatsachen oder Argumente enthält und ob sie das Gericht tatsächlich zu beeinflussen vermag. Es ist Sache der Parteien zu beurteilen, ob ein Dokument einen Kommentar erfordert. Das Vertrauen der Rechtsuchenden in die Justiz gründet unter anderem auf der Gewissheit, sich zu jedem Aktenstück äussern zu können (Urteil Nideröst-Huber gegen Schweiz vom 18. Februar 1997, Recueil CourEDH 1997-I S. 101 § 24 auch in VPB 61/1997 Nr. 108 S. 959). Wird einer Partei keine Möglichkeit eingeräumt, zu den Bemerkungen anderer Verfahrensbeteiligter Stellung zu nehmen, ist nach der Rechtsprechung des EGMR auch das Prinzip der Waffengleichheit verletzt, das Bestandteil des Rechts auf ein faires Gerichtsverfahren bildet (vgl. Urteil Ressegatti gegen Schweiz vom 13. Juli 2006, Ziff. 30-33).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gelten diese allgemeinen Verfahrensgrundsätze des "fair trial" gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> für alle gerichtlichen Verfahren (<ref-ruling> E. 4.6 S. 104). Der Anspruch einer Partei, im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu replizieren, bildet zugleich einen Teilgehalt des verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör nach <ref-law>. Im Hinblick auf das Replikrecht in gerichtlichen Verfahren kommt <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK dieselbe Tragweite zu (<ref-ruling> E. 2.1 S. 99). Konkret hat das Bundesgericht im Entscheid 1P.730/2001 vom 31. Januar 2002 E. 2.1 unter Berufung auf die Rechtsprechung des EGMR ausdrücklich festgehalten, die beschuldigte Person, die ein Ausstandsgesuch stelle, habe Anspruch auf Zustellung und auf Stellungnahme zu den Vernehmlassungen der Staatsanwaltschaft und des abgelehnten Richters, unabhängig davon, ob diese Eingaben neue und erhebliche Gesichtspunkte enthielten (vgl. auch <ref-ruling> E. 4.5 S. 103). Nichts anderes kann gelten, wenn das Ausstandsbegehren vom Opfer eingereicht wird.
4.3 Die Vorinstanz bestreitet nicht, es unterlassen zu haben, die Stellungnahme der drei Mitglieder der I. Strafkammer vom 16. August 2010 dem Beschwerdeführer zur Kenntnisnahme zuzustellen. Damit aber missachtete sie dessen Replikrecht und verletzte hierdurch seinen Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>. Diese Verletzung kann im bundesgerichtlichen Verfahren nicht geheilt werden, wenn - wie im vorliegenden Fall - nicht nur Rechtsfragen streitig sind, sondern auch Sachverhaltsrügen erhoben werden, die das Bundesgericht nicht mit freier Kognition beurteilen kann (vgl. <ref-ruling> E. 4.9 S. 105).
Der Beschwerdeführer dringt somit in diesem Punkt mit seiner Beschwerde durch. Bei diesem Ergebnis erübrigt sich ein Eingehen auf seine weiteren Rügen.
5. Die Beschwerde ist folglich gutzuheissen, der angefochtene Beschluss aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Dem Kanton Zürich werden keine Gerichtskosten auferlegt (<ref-law>). Hingegen hat er dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>), welche praxisgemäss auf Fr. 2'000.-- festgesetzt wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Strafkammer, vom 14. September 2010 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Franz Bollinger, Martin Langmeier, Tobias Brütsch sowie der Staatsanwaltschaft IV und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Stohner