Sachverhalt:
A. Aus der zwischen Z._ (Ehemann) und X._ im Jahre 1994 geschlossenen Ehe gingen drei Kinder hervor: R._, geboren 1998, S._, geboren 2001, und T._, geboren 2002. Die Eheleute X._ und Z._ leben seit Herbst 2003 getrennt.
Mit Urteil vom 3. Mai 2007 schied das Kreisgericht K._ die Ehe. Bezüglich der Nebenfolgen ordnete es unter anderem an, dass die drei Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt würden und eine Erziehungsbeistandschaft errichtet werde. Z._ erhielt ein Besuchs- und Ferienrecht zugesprochen und wurde verpflichtet, an den Unterhalt der drei Kinder Beiträge von monatlich je Fr. 600.-- zu zahlen.
Z._ erhob Berufung, worauf das Kantonsgericht St. Gallen (II. Zivilkammer) mit Entscheid vom 23. April 2008 die drei Kinder unter seine elterliche Sorge stellte und die Errichtung einer Erziehungsbeistandschaft bestätigte. Ferner wurde der persönliche Verkehr zwischen den Kindern und der Mutter geregelt und diese zu Unterhaltsbeiträgen von monatlich Fr. 150.-- für jedes Kind verpflichtet.
B. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 26. Juni 2008 verlangt X._, den kantonsgerichtlichen Entscheid aufzuheben und die Berufung des Beschwerdegegners gegen das erstinstanzliche Scheidungsurteil abzuweisen; allenfalls sei die Sache zur Ergänzung des Beweisverfahrens, insbesondere zur Einholung eines Fachgutachtens beim Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst oder einer anderen geeigneten Stelle und zu neuer Entscheidfindung an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Ausserdem ersucht die Beschwerdeführerin darum, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Mit dem Hinweis, hinsichtlich der Regelung der Elternrechte liege ein Gestaltungsurteil vor und dem Rechtsmittel komme in einem solchen Fall auch für die anderen Punkte von Amtes wegen Suspensivwirkung zu, ist durch Präsidialverfügung vom 8. Juli 2008 entschieden worden, dass auf das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung nicht eingetreten werde.
Ein Gesuch des Beschwerdegegners vom 5. August 2008, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu entziehen, wurde durch Verfügung des Instruktionsrichters vom 11. August 2008 abgewiesen.
In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Gegenstand der Beschwerde ist ausschliesslich die Zuweisung der elterlichen Sorge über R._, S._ und T._. Da die Beschwerdeführerin sich mit der Frage der Leistung von Beiträgen an deren Unterhalt nicht befasst und keine entsprechenden Anträge stellt, geht es um eine Zivilsache nicht vermögensrechtlicher Natur (<ref-law>). Angefochten ist ein letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG), so dass auf die von der im kantonalen Verfahren unterlegenen Partei (<ref-law>) rechtzeitig eingereichte Beschwerde (<ref-law>) aus formeller Sicht ohne weiteres einzutreten ist.
2. Mit Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>).
2.1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist deshalb weder durch die in der Beschwerdeschrift erhobenen Argumente noch durch die vorinstanzliche Begründung eingeschränkt; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem geltend gemachten Grund gutheissen, eine Beschwerde aber auch mit einer von der vorinstanzlichen Argumentation abweichenden Begründung abweisen. Angesichts der in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG festgelegten allgemeinen Begründungspflicht prüft das Bundesgericht allerdings grundsätzlich nur die erhobenen Rügen. Es ist auf jeden Fall nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Rechtsfragen zu untersuchen, soweit solche nicht (mehr) vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2.2 Unter das Bundesrecht im Sinne von <ref-law> fallen auch verfassungsmässige Rechte des Bundes (<ref-ruling> E. 3.1 S. 447; <ref-ruling> E. 1 S. 203). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 6 S. 397; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2.3 Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer kann sich mit anderen Worten nicht darauf beschränken, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Instanz, die den dargelegten Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten. Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von <ref-law>, die dem Richter geradezu in die Augen springen (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
3. In tatsächlicher Hinsicht geht das Kantonsgericht davon aus, dass gemäss dem von ihm eingeholten Sozialbericht der Fachstelle "M._" in A._ (vom 5. Dezember 2007) die Situation bei der Beschwerdeführerin Mängel aufweise: Die Beschwerdeführerin habe keine bewussten Erziehungsziele, vermöge nicht klarzumachen, welche Regeln zu Hause gälten, könne sich nur schlecht in die kindlichen Bedürfnisse einfühlen, sei wenig aufmerksam und bringe die nötige Geduld nicht auf. Spontan hätten die beiden kleineren Kinder von gelegentlichen Schlägen erzählt. Die Beschwerdeführerin unternehme mit den Kindern wenig und gehe selten ins Freie. Obwohl eigens geputzt, mache die Wohnung keinen ordentlichen Eindruck und rieche schlecht; zahlreiche Hunde würden sich darin frei aufhalten. Die Kinder duschten oder badeten nach ihren eigenen Angaben nur gelegentlich und putzten sich die Zähne nicht oft. Die Vorinstanz verweist ferner auf die schriftlichen Stellungnahmen der Lehrpersonen, wonach die Kinder von der Mutter zuwenig umsorgt würden und oft zu spät und ungenügend verpflegt in der Schule erschienen seien. Auch sei erklärt worden, die Kinder hielten sich oft nicht an Abmachungen und erledigten die Hausaufgaben gar nicht oder nur teilweise. Die Lehrerin von R._ habe ausgeführt, der Knabe wirke teilweise unpassend gekleidet und ungepflegt. Den Zeugenaussagen des - gemäss seinen Ausführungen nach einer Gefährdungsmeldung wegen unentschuldigter Absenzen, ungenügender Verpflegung und mangelhafter Zahnpflege der Kinder eingeschalteten - Amtsvormunds entnimmt das Kantonsgericht, die Mutter habe zugestanden, eine Zeit lang nicht in der Lage gewesen zu sein, am Morgen rechtzeitig aufzustehen und zu den Kindern zu schauen; bei seinen unangemeldeten Besuchen habe er dann jedoch festgestellt, dass sie immer bereit gewesen sei und die Kinder gehörig verpflegt habe. Allerdings habe er die Familie nie an einem Tisch versammelt erlebt, die Kinder hätten sich selbst bedienen müssen; es sei ihm auch aufgefallen, dass der Fernseher dauernd eingeschaltet gewesen sei. Hingegen sei ihm die Wohnung nicht übertrieben schmutzig oder unordentlich vorgekommen; er habe auch schon Schlimmeres erlebt. Aus den Parteiaussagen an der Gerichtsverhandlung hat die Vorinstanz geschlossen, die Beschwerdeführerin meine, es gebe mit den Kindern keine Probleme, sie sei ja immer zu Hause und für sie verfügbar.
Zu den Verhältnissen auf Seiten des Beschwerdegegners hält das Kantonsgericht fest, der Sozialbericht zeichne hier ein anderes Bild: Der Beschwerdegegner scheine aufmerksam, wenn auch etwas nervös. Selbst bezeichne er sich als ruhigen Typ, der wohl gelegentlich laut, jedoch nie gewalttätig werde. Im Bericht werde erklärt, es ergäben sich auch aus den Aussagen der Kinder keine Anzeichen für aggressives Verhalten. Der Vater könne den Kindern Grenzen ziehen, die er aber auch nicht immer durchzusetzen vermöge. Er höre ihnen zu, nehme ihre Anliegen ernst, unternehme mit ihnen Ausflüge oder mache mit ihnen Brett- und Kartenspiele und kümmere sich um die Schularbeiten des ältesten Sohns; allerdings nehme er es hin, wenn dieser nicht für ihn bestimmte Fernsehsendungen verfolge. Er lege Wert auf Hygiene und regelmässige Ernährung und die wenig Raum aufweisende Wohnung sei sauber. An der Gerichtsverhandlung habe er die Kinder mit ihren Stärken und Schwächen gut auseinander zu halten und ferner auch anzugeben vermocht, was sie zu ihrer Förderung besonders bräuchten. Er anerkenne im Übrigen, dass die Kinder auch an ihrer Mutter hingen.
Schliesslich bemerkt die Vorinstanz, die Kinder hätten anlässlich ihrer gerichtlichen Anhörung zu verstehen gegeben, dass sie bei der Mutter bleiben, aber auch einen engen Kontakt zum Vater behalten möchten. Laut Sozialbericht sei die Bindung der Kinder an beide Eltern etwa gleich stark.
4. Die Beschwerdeführerin rügt, das Kantonsgericht habe in willkürlicher Weise ihren Antrag auf Einholung eines Gutachtens beim Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst abgelehnt und damit gleichzeitig ihren Anspruch auf rechtliches Gehör missachtet.
In der Frage der Zuteilung der elterlichen Sorge (Art. 133 Abs. 1 und 2 ZGB) herrscht die Untersuchungsmaxime (<ref-law>). Das Gericht hat mit anderen Worten den Sachverhalt von Amtes wegen zu ermitteln, wobei es die ihm bedeutsam erscheinenden Gegebenheiten frei würdigt (dazu <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 412 f.). Indessen ist es nicht gezwungen, alle Erhebungen anzustellen, die geeignet wären, die die Kinder betreffenden Vorkehren zu beeinflussen; eine Begutachtung gemäss <ref-law> ist aber auf jeden Fall dann anzuordnen, wenn sie als einziges taugliches Beweismittel erscheint (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 384; Peter Breitschmid, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 2. Aufl. 2002, N. 4 zu <ref-law>). Verfügt das Gericht jedoch über genügende Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung, kann es - auf Grund einer vorweggenommenen Beweiswürdigung - auf weitere Beweiserhebungen auch in Fällen verzichten, die der Untersuchungsmaxime unterstehen (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735 mit Hinweisen). Von einer Missachtung des Anspruchs auf rechtliches Gehör bzw. von einer Verletzung des Beweisführungsanspruchs nach <ref-law> (dazu <ref-ruling> E. 5.4 S. 601 f.; Urteil 5A_403/2007 vom 25. Oktober 2007, E. 3.1) kann hier somit nur dann gesprochen werden, wenn der Verzicht des Kantonsgerichts, das von der Beschwerdeführerin beantragte Gutachten einzuholen, auf einer willkürlichen Würdigung der bereits erhobenen Beweise beruht.
5. Die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz bezeichnet die Beschwerdeführerin in verschiedenen Punkten als willkürlich:
5.1 Die Beschwerdeführerin hatte schon im kantonalen Verfahren den Verdacht geäussert, die Kinder stünden unter dem Einfluss des Beschwerdegegners und deren Aussagen gegebenüber der Berichterstatterin der Fachstelle "M._" seien deshalb von diesem beeinflusst. Was sie in diesem Zusammenhang vorbringt, ist nicht hinreichend substantiiert, so dass darauf nicht weiter einzutreten ist.
5.2 Die Rüge, das Kantonsgericht habe Umstände, die gegen die Eignung des Beschwerdegegners als Erzieher sprächen, nicht das gebührende Gewicht beigemessen, richtet sich nicht gegen tatsächliche Feststellungen, sondern gegen deren rechtliche Würdigung durch die Vorinstanz. Im Übrigen ist darauf hinzuweisen, dass die von der Beschwerdeführerin vermutete Freundschaft des Beschwerdegegners mit einer Dame im Rotlichtmilieu und die Bemerkung, dessen finanziellen Verhältnisse seien unsicher, in den Feststellungen des angefochtenen Entscheids keine Stütze finden. Auch diese Ausführungen sind deshalb unbeachtlich, zumal nicht dargetan wird, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Berücksichtigung erfüllt sein sollen (<ref-law>). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin betrifft ihr Hinweis auf die - übrigens unbestrittene - eingeschränkte Möglichkeit zur persönlichen Betreuung der Kinder durch den Beschwerdegegner ebenfalls die rechtliche Würdigung der tatsächlichen Gegebenheiten. Das Kantonsgericht gesteht zu, dass eine Zuweisung der Obhut über die Kinder an den Beschwerdegegner mit einem nicht ganz auszuräumenden Risiko der Überforderung (des Beschwerdegegners) oder der Vernachlässigung (der Kinder) verbunden sei. Es hält sodann jedoch fest, dass die Alternative dazu nicht etwa eine Fortsetzung des Zusammenlebens der Kinder mit der Mutter, sondern eine Fremdplatzierung wäre. Auch diese von der Beschwerdeführerin angesprochene Feststellung ist rechtlicher Natur.
5.3 Der Kritik der Beschwerdeführerin, der Sozialbericht der Fachstelle "M._" sei einseitig abgefasst und geprägt von Vorurteilen gegen den Haushalt einer Raucherin und Hundehalterin, hält das Kantonsgericht entgegen, die gewichtigsten Vorwürfe der fehlenden Familiengemeinschaft, der mangelnden Anregung, der ungenügenden Unterstützung in der Schule und der unzulänglichen Körperpflege seien von den anderen Auskunftspersonen im Kern bestätigt worden. Der blosse Hinweis der Beschwerdeführerin, Amtsvormund O._ sei weder in seinem von der ersten Instanz eingeholten Bericht noch bei seiner Einvernahme als Zeuge in der Berufungsverhandlung von einer Gefährdung des Kindeswohls bei einem (weiteren) Zusammenleben mit ihr ausgegangen, ist nicht geeignet, die vorinstanzliche Feststellung als willkürlich erscheinen zu lassen. Unbehelflich ist auch das Vorbringen, die Berichterstatterin habe nicht beide Parteien mit der gleichen Sorgfalt exploriert. Die Vorinstanz hat in diesem Zusammenhang bemerkt, die Berichterstatterin habe sich eingehender mit der Beschwerdeführerin befassen müssen, weil negative Verhaltensweisen bei ihr aufgefallen seien. Mit dieser Feststellung setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander.
5.4 Des Weiteren rügt die Beschwerdeführerin, im Sozialbericht seien ihre Wohnverhältnisse falsch beschrieben worden, indem zu Unrecht behauptet werde, es sei kein Tisch vorhanden, an dem die Familie gemeinsam essen könne. Sie verkennt, dass im Bericht nicht das Fehlen eines Tisches als Einrichtungsgegenstand festgehalten werden wollte, sondern das Fehlen eines Ortes des Zusammenseins, wo gemeinsam die Mahlzeiten eingenommen würden. Dass der Amtsvormund bei seinen Kontrollen jedes Mal habe feststellen können, dass die Beschwerdeführerin eine Mahlzeit zubereitet gehabt habe, steht den Erklärungen von Lehrpersonen, die Kinder seien gelegentlich ungenügend verpflegt in der Schule erschienen, nicht entgegen. Eine willkürliche Feststellung der tatsächlichen Verhältnisse durch die Vorinstanz ist somit auch in dieser Hinsicht nicht dargetan.
5.5 Die Beschwerdeführerin hat nach dem Gesagten nicht darzutun vermocht, dass die tatsächlichen Feststellungen des Kantonsgerichts bzw. die dem Verzicht auf ein Gutachten des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes zugrunde liegende vorweggenommene Beweiswürdigung willkürlich wäre. Damit stösst die Rüge der Gehörsverweigerung bzw. der Verletzung des Anspruchs der Beschwerdeführerin auf Beweisführung (<ref-law>) ins Leere. Wenn die Beschwerdeführerin erklärt, im Rahmen eines Gutachtens der von ihr verlangten Art wäre eine fachlich haltbare Anhörung der Kinder durchzuführen gewesen, ist zu bemerken, dass sie in diesem Zusammenhang keine hinreichend begründete Rüge vorträgt und dass die Kinder der Parteien im Übrigen durch das (erstinstanzliche) Gericht selbst angehört wurden.
6. Zu prüfen bleibt mithin die von der Beschwerdeführerin erhobene Rüge der Verletzung von <ref-law>.
6.1 Gemäss Art. 133 Abs. 1 und 2 ZGB hat das Scheidungsgericht die elterliche Sorge einem der beiden Elternteile zuzuteilen und dabei alle für das Kindeswohl massgebenden Umstände zu berücksichtigen. Auf die Meinung der Kinder ist, soweit tunlich, Rücksicht zu nehmen. Im Übrigen sind für die Zuteilung die vom Bundesgericht in der langjährigen Rechtsprechung zum früheren <ref-law> umschriebenen Kriterien wegleitend. Entscheidend ist das Kindeswohl. Die Interessen der Eltern haben in den Hintergrund zu treten. Völlig ausser Betracht zu bleiben haben vor allem emotionale Widerstände des einen Ehegatten gegenüber dem die Scheidung begehrenden anderen Ehegatten (<ref-ruling>, E. 4a S. 209, und 317, E. 2 S. 319; <ref-ruling> E. 3 S. 354 f.). Den Bedürfnissen der Kinder ist nach Massgabe ihres Alters, ihrer Neigungen und ihres Anspruchs auf elterliche Fürsorglichkeit, Zuwendung und Erziehung bestmöglich zu entsprechen. Als entscheidende Gesichtspunkte stehen dabei im Vordergrund die persönlichen Beziehungen der Eltern zu den Kindern, ihre erzieherischen Fähigkeiten und ihre Bereitschaft, die Kinder in eigener Obhut zu haben und sie weitgehend persönlich zu betreuen und zu pflegen. Auch dem Bedürfnis der Kinder nach der für eine harmonische Entfaltung in körperlicher, seelischer und geistiger Hinsicht notwendigen Stabilität der Verhältnisse ist Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 3 S. 201 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 382 f.). Das letztgenannte Kriterium erhält bei ungefähr gleicher Erziehungs- und Betreuungsfähigkeit besonderes Gewicht (<ref-ruling> E. 4a S. 209). Bei der Beurteilung dieser Fragen steht den kantonalen Behörden, die die Parteien und die Verhältnisse besser kennen als das Bundesgericht, ein erhebliches Ermessen zu. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn einschlägige Kriterien grundlos ausser Betracht geblieben oder offenkundig falsch gewichtet worden sind oder wenn die Zuteilung auf Überlegungen abgestützt worden ist, die unter dem Gesichtswinkel des Kindeswohls bedeutungslos sind oder gegen die dargelegten bundesgerichtlichen Grundsätze verstossen (BGE <ref-ruling> E. 3 S. 355; <ref-ruling> E. 2 S. 319).
6.2 Das Kantonsgericht hat die Umteilung der elterlichen Sorge auf den Beschwerdegegner im Wesentlichen damit begründet, dass dieser besser als die Beschwerdeführerin in der Lage sei, den Kindern das zu vermitteln, worauf es für eine gute Erziehung wirklich ankomme, nämlich das Wohlbefinden der Kinder sicherzustellen, ihnen Zeit und Aufmerksamkeit zu schenken, ihre Gefühle anzuerkennen, ihre Anliegen aufzunehmen, ihnen beständige Wärme zu geben, klare und erklärbare Regeln zu setzen, Gemeinsamkeit zu leben, Geduld aufzubringen und Anregungen zu vermitteln. Zwar könnte die Beschwerdeführerin die Kinder persönlich und in der gewohnten Umgebung betreuen, doch erschöpfe sich Eigenbetreuung nicht in blosser Präsenz, sondern müsse auch eine beständige Versorgung und angemessene Behütung umfassen. Im Übrigen bedeute Kontinuität nicht, dass den Kindern ein Wechsel des Umfelds stets erspart werden solle; in einer instabilen Lage könne gerade eine rasche Veränderung das Richtige sein. Die Vorinstanz weist sodann darauf hin, dass der Beschwerdegegner anders als die Beschwerdeführerin ein waches Interesse an den Kindern bekunde, ihnen einen hohen Stellenwert beimesse, beträchtliches Einfühlungsvermögen zeige und einen verlässlichen, wenn auch noch nicht geradlinigen Erziehungsstil pflege. Für den Fall, dass die Kinder ihm anvertraut würden, plane er, in die Nähe seines Arbeitsortes zu ziehen, eine geräumigere Wohnung zu mieten und die Kinder während seiner beruflich bedingten Abwesenheit an einem von der Schule angebotenen Mittagstisch, in einem Kinderhort oder in einer Tagesfamilie unterzubringen. Sein Unterkunfts- und Betreuungskonzept scheine ernst gemeint, sei aber allerdings noch nicht umgesetzt. Es müsse jedoch genügen, wenn der Beschwerdegegner sich aufrichtig darum bemühen wolle, soweit als möglich zu Hause zu sein und im Übrigen für eine geeignete Drittbetreuung zu sorgen, könne doch von einem Elternteil nicht verlangt werden, dass er sein Leben auf Vorrat umstelle. Die Zuweisung der elterlichen Verantwortung an den Beschwerdegegner stelle eine echte Chance dar, den Kindern zu liebevoller Fürsorge, gefestigter Erziehung und tatkräftiger Förderung zu verhelfen. Freilich sei sie mit dem nicht ganz auszuräumenden Risiko einer Überforderung oder Vernachlässigung verbunden, doch handle es sich gleichwohl um einen hinlänglich aussichtsreichen Versuch, und nicht um ein untolerierbares Wagnis. Eine Fremdplatzierung der Kinder, die angesichts der fehlenden Zuverlässigkeit und Beständigkeit auf Seiten der Beschwerdeführerin als Alternative einzig in Frage käme, liesse sich mit dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit nicht vereinbaren und verstiesse insbesondere gegen den Grundgedanken der Subsidiarität.
6.3 Aus dem Dargelegten erhellt, dass das Kantonsgericht sich von den nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung massgebenden Kriterien hat leiten lassen und richtigerweise dem Kindeswohl eine entscheidende Bedeutung beigemessen hat. So hat es einen grossen Wert darauf gelegt, die elterliche Sorge demjenigen Elternteil zu übertragen, der auf die Bedürfnisse der Kinder einzugehen vermag, ihre Neigungen respektiert und ihnen die gebührende Fürsorglichkeit und Zuwendung zukommen lässt. Dass die Kinder ähnlich enge persönliche Beziehungen zu beiden Parteien haben, hat die Vorinstanz nicht verkannt. Wenn sie den erzieherischen Fähigkeiten des Beschwerdegegners grösseres Gewicht beigemessen hat als der auf Seiten der Beschwerdeführerin vorhandenen Möglichkeit, die Kinder ganztags persönlich zu betreuen, hat sie von dem ihr zustehenden Ermessen keinen gegen Bundesrecht vertossenden Gebrauch gemacht. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin vermögen daran nichts zu ändern:
Mit den Vorbringen, das Kantonsgericht habe einerseits der auf ihrer Seite vorhandenen Möglichkeit, die Kinder (ganztags) persönlich zu betreuen, und andererseits dem Risiko einer Überforderung des Beschwerdegegners zuwenig Gewicht beigemessen, begnügt sich die Beschwerdeführerin damit, der Betrachtungsweise der Vorinstanz ihre eigene gegenüber zu stellen. Die Beschwerdeführerin verkennt sodann, dass die Anwendung des von ihr angerufenen Grundsatzes, die Stabilität der Verhältnisse zu bewahren, eine Gleichwertigkeit der Erziehungseignungen beider Elternteile voraussetzt (vgl. E. 6.1), was aufgrund der vom Kantonsgericht festgehaltenen Gegebenheiten hier nicht der Fall ist. Ihre Vorbringen zur Beziehung, die zwischen ihrer Mutter, der Grossmutter der Kinder, und diesen bestehe, finden in den Feststellungen der Vorinstanz keine Stütze und sind deshalb unbeachtlich (<ref-law>). Dass die Grossmutter bei einem Ausfall der Beschwerdeführerin einspringen könnte, ist sodann reine Spekulation. Im Rahmen ihrer Ausführungen zum Kindeswohl hat die Vorinstanz unter anderem auf BGE <ref-ruling> ff. verwiesen. Aus dem blossen Umstand, dass es in jenem Fall um die Zuweisung der elterlichen Obhut über ein Einzelkind gegangen und dass dieses von Anfang an durch beide Elternteile intensiv betreut worden war, wogegen die Ausgangslage hier eine andere sei, lässt sich nichts für den Standpunkt der Beschwerdeführerin gewinnen. Unbehelflich ist schliesslich auch der Hinweis auf die Ausführungen der ersten Instanz. Die Beschwerdeführerin begnügt sich damit, deren Entscheid dem angefochtenen Urteil gegenüberzustellen. Zu bemerken ist im Übrigen, dass entgegen der Auffassung des Kreisgerichts eine Umteilung der Obhut nicht nur dann in Frage kommt, wenn das Kindeswohl erheblich gefährdet ist. Eine erhebliche Gefährdung gebietet zwar einen Eingriff der angeführten Art in jedem Fall, doch kann ein solcher sich auch ohne Gefährdung des Kindeswohls als angemessen erweisen.
7. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Sie erschien unter den dargelegen Umständen von vornherein als aussichtslos. Das Gesuch der Beschwerdeführerin, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist daher abzuweisen (vgl. <ref-law>), und es sind die Gerichtskosten ausgangsgemäss der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Mit seinen Anträgen, der Beschwerde keine aufschiebende Wirkung zuzuerkennen bzw. ihr diese zu entziehen, ist der Beschwerdegegner unterlegen. Da sodann zur Sache selbst keine Vernehmlassungen eingeholt worden und dem Beschwerdegegner somit insofern keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen (II. Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. August 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel