Sachverhalt:
A.
Die X._ AG mit Sitz in A._ A/ZH bezweckt statutengemäss das Reinigen, Rekonditionieren, Lackieren, Beschriften, Entsorgen und Transportieren von Gebinden aller Art. Verschmutzte Fässer, die sich hier nicht reinigen lassen, verbringt sie nach Deutschland. Bei den Behältnissen handelt es sich um solche mit einem abnehmbaren Deckel ("Deckelfässer") und solche ohne Deckel ("Spundfässer). In Deutschland werden sie durch eine spezialisierte Unternehmung entweder entsorgt oder "rekonditioniert", ehe sie wieder zur X._ AG gelangen. Die in Deutschland ausgeführte Rekonditionierung umfasst Massnahmen wie Ausbrennen, Ausbeulen, Sandbestrahlung, Bordierung, Phosphatierung oder Lackierung, Grundierung, Bespritzen mit Farbe und Anbringen eines neuen Unternehmenskennzeichens. Spundfässer, d. h. Behältnisse, die über keinen abnehmbaren Deckel verfügen, werden zudem aufgeschnitten.
B.
Aufgrund eines Begehrens des deutschen Hauptzollamts in Münster überprüfte die Eidgenössische Zollverwaltung ab Dezember 2010 amtshilfeweise 134 Ursprungsnachweise auf ihre Richtigkeit hin. Die X._ AG hatte zum Verbringen der Fässer nach Deutschland jeweils Pro-forma-Rechnungen erstellt, auf welchen sie die für Zollzwecke erforderliche Lieferantenerklärung ("Rechnungserklärung") angebracht hatte. Mit Verfügung vom 21. Februar 2011 stellte die Zollkreisdirektion Schaffhausen fest, in 133 von 134 Fällen seien die Ursprungsnachweise ungültig. Der X._ AG sei es nicht gelungen, den Schweizer Ursprung der gebrauchten Fässer nachzuweisen. Die Behälter müssten als Waren unbestimmten Ursprungs gelten.
C.
Die X._ AG erhob dagegen am 23. März 2011 bei der Oberzolldirektion "vorsorglich" Beschwerde. Sie machte geltend, bei den Fässern handle es sich um Altwaren im Sinne des Protokolls Nr. 3 zum Freihandelsabkommen zwischen der Schweiz und der EWG. Als solche seien sie ohne weiteren Nachweis als Schweizer Ursprungswaren zu behandeln, sofern sie in der Schweiz oder in der EU bezogen worden seien. Die Fässer seien zudem unter der Tarifnummer 7310.1000 einzureihen. Weiter beantragte die X._ AG, das Beschwerdeverfahren sei zu sistieren, bis die Antwort auf das gleichentags bei der Oberzolldirektion eingereichte Gesuch um verbindliche Ursprungsauskunft vorliege. Dies erlaube es ihr, anschliessend zu entscheiden, ob an der (vorsorglichen) Beschwerde festzuhalten sei.
D.
Die Oberzolldirektion sistierte das Beschwerdeverfahren antragsgemäss und beantwortete das Auskunftsersuchen vom 23. März 2011 mit schriftlicher Auskunft vom 13. April 2011. Darin führte sie aus, der Exporteur der Fässer sei bei deren Ausfuhr nach Deutschland berechtigt, einen Ursprungsnachweis auszustellen, soweit ihm ein Vorursprungsnachweis vorliege, d. h. eine Lieferantenerklärung seines Schweizer Lieferanten. Könne keine solche Erklärung beigebracht werden oder handle es sich um Fässer mit Ursprung in einem Drittstaat, sei das Ausstellen eines Ursprungsnachweises unzulässig. Im konkreten Fall habe der Vorgang zollrechtlich als Wiederaufbereitung der bestehenden Fässer zu gelten, sodass sie nicht unter die Waren im Sinne von Art. 5 Abs. 1 lit. h des Protokolls Nr. 3 zum Freihandelsabkommen zwischen der Schweiz und der EWG fielen.
E.
Im Frühjahr 2011 ersuchte die X._ AG die Oberzolldirektion um Erlass einer (Auskunfts-) Verfügung, in welcher der Ursprung der betroffenen Waren entsprechend der Auskunft vom 13. April 2011 verbindlich festgehalten werde. Die Oberzolldirektion erklärte am 27. Mai 2011, Tarifauskünfte gälten nicht als beschwerdefähige Verfügungen.
Dagegen erhob die X._ AG am 30. Mai 2011 beim Bundesverwaltungsgericht ein als Rechtsverweigerungsbeschwerde bezeichnetes Rechtsmittel. Mit Urteil vom 20. März 2012 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerde nicht ein. Es begründete dies damit, dass die X._ AG mit ihrer Rechtsverweigerungsbeschwerde den Erlass einer Verfügung verlange, obwohl die "Zollkreisdirektion Schaffhausen in der gleichen Sache bereits am 21. Februar 2011 eine solche erlassen hatte". Zudem könne die beantragte Feststellung des Schweizer Ursprungs nicht Streitgegenstand einer Rechtsverweigerungsbeschwerde bilden.
Mit Eingabe vom 10. Mai 2012 gelangte die X._ AG an das Bundesgericht. Hinsichtlich der zweistufigen Ausgestaltung des zollrechtlichen Auskunftsanspruchs erwog das Bundesgericht im Urteil 2C_423/2012 vom 9. Dezember 2012, aus der Möglichkeit, eine schriftliche Auskunft zu verlangen (<ref-law>) fliesse nach dem Prinzip der Parallelität der Formen ein Rechtsanspruch auf Erlass einer beschwerdefähigen Auskunftsverfügung (E. 3.3). Beim gesetzlichen Anspruch auf Erteilung einer verbindlichen einfachschriftlichen Auskunft handle es sich um eine Rechtsstreitigkeit gemäss <ref-law>, sodass der Rechtsweg gegeben sein müsse (E. 3.5). Kein derartiger Anspruch bestehe, falls eine Veranlagung bereits rechtshängig oder rechtskräftig sei (Subsidiarität der Feststellungsverfügung).
F.
Die OZD nahm das sistierte Verfahren am 16. Januar 2013 wieder auf. Mit Entscheid vom 5. April 2013 wies sie die Beschwerde ab. Zur Begründung führte sie aus, die gebrauchten Fässer seien keine Ursprungswaren im Sinne von Art. 5 Abs. 1 lit. h des Protokolls Nr. 3 zum Freihandelsabkommen zwischen der Schweiz und der EWG. Mangels Lieferantenerklärungen von Schweizer Lieferanten, die den präferenziellen Ursprung belegten, gälten die Fässer als unbestimmten Ursprungs, weshalb die Ursprungsnachweise zu Unrecht bestünden. Mit Eingabe vom 10. Mai 2013 erhob die X._ AG Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht, welches diese am 28. August 2013 abwies.
G.
Mit Eingabe vom 2. Oktober 2013 (Postaufgabe) erhebt die X._ AG (nachfolgend: die Zollpflichtige) beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, das Urteil vom 28. August 2013 sei aufzuheben, eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vor- oder an die Unterinstanz zurückzuweisen.
Während die Unterinstanz die Abweisung der Beschwerde beantragt, verzichtet die Vorinstanz auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 44; <ref-ruling> E. 1 S. 369; <ref-ruling> E. 1 S. 475).
1.2.
1.2.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen (End-) Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Er kann grundsätzlich beim Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 BGG). Im Zollrecht, finden sich keine weitergehenden Bestimmungen. Gegenteils verweist <ref-law> auf die allgemeinen Bestimmungen über die Bundesrechtspflege.
1.2.2. Zu berücksichtigen bleibt <ref-law>. Danach ist die Beschwerde unzulässig gegen Entscheide über die Zollveranlagung, wenn diese auf Grund der Tarifierung oder des Gewichts der Ware erfolgt. Unzulässigkeit besteht, soweit die "technische" Frage der Tarifierung zur Diskussion steht. Hingegen ist die Beschwerde zulässig bei anderen (Rechts-) Fragen im Zusammenhang mit Veranlagungen, die auf Tarif oder Gewicht beruhen (Urteile 2C_423/2012 vom 9. Dezember 2012 E. 1.3 in der vorliegenden Angelegenheit; 2C_1049/2011 vom 18. Juli 2012 E. 1.1 [Audi A8]; <ref-ruling> E. 1b S. 107 [Getreideflocken]). Namentlich hat das Bundesgericht schon unter Art. 100 Abs. 1 lit. h des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG; BS 3 53) erkannt, dass Streitigkeiten über Zollpräferenzen bzw. den Nachbezug von Zollabgaben wegen Verweigerung einer solchen Präferenz bei nachträglicher Prüfung des Ursprungsnachweises nicht unter die Ausnahmebestimmung fallen (Urteile 2C_355/2007 vom 19. November 2007 E. 1.3 [Damenmäntel]; 2A.461/2003 vom 20. Januar 2004 E. 1.1 [Oberbekleidung]; <ref-ruling> E. 1 S. 219 f. [Jeans]). Diese Rechtsprechung ist unter dem inhaltlich gleichen neuen Verfahrensrecht weiterzuführen. Entgegen den Zweifeln der Eidgenössischen Zollverwaltung ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.3.
1.3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; <ref-ruling> E. 2.2 S. 540; <ref-ruling> E. 3 S. 386; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550).
1.3.2. Fragen des Bundesrechts und des Völkerrechts klärt das Bundesgericht mit freier Kognition (Art. 95 lit. a und b BGG; Urteile 2C_715/2013 vom 13. Januar 2014 E. 1.4.1; 2C_576/2013 vom 20. Dezember 2013 E. 1.6). Trotz der Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (<ref-law>), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.3.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die vorinstanzlichen Feststellungen können nur berichtigt werden, sofern sie entweder offensichtlich unrichtig, d. h. willkürlich ermittelt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356; zum Begriff der Willkür in der Rechtsanwendung <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>). Zudem hat die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234).
2.
2.1. Waren, die ins schweizerische Zollgebiet oder aus dem schweizerischen Zollgebiet verbracht werden, sind zollpflichtig und müssen nach dem Zollgesetz vom 18. März 2005 (ZG; SR 631.0) sowie nach dem Zolltarifgesetz vom 9. Oktober 1986 (ZTG; SR 632.10) veranlagt werden (<ref-law>; Urteil 2C_1049/2011 vom 18. Juli 2012 E. 3.1 [Audi A8] mit Hinweisen, in: ASA 81 S. 509).
2.2.
2.2.1. Gemäss <ref-law> bleiben völkerrechtliche Verträge vorbehalten. Die Schweiz hat auf multilateraler und bilateraler Ebene verschiedene Freihandelsabkommen getroffen. Freihandelszonen umfassen im Idealfall den gesamten Güterverkehr. Meist sind die Freihandelszonen aber auf den Bereich der Industriegüter beschränkt (Thomas Cottier/David Herren, in: Martin Kocher/Diego Clavadetscher, Zollgesetz, 2009, N. 73 der Einleitung zum ZG; Remo Arpagaus, Zollrecht, 2007, N. 47). Die Ursprungsregeln legen die Voraussetzungen fest, unter welchen ein Produkt als Erzeugnis eines berechtigten Landes gilt und eine Nullzollbehandlung beanspruchen kann (Cottier/Herren, a. a. O., N. 76 der Einleitung zum ZG).
2.2.2. Hier von Bedeutung ist das Abkommen vom 22. Juli 1972 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Wirtschaftsgemeinschaft (SR 0.632.401; nachfolgend: FHA CH/EWG), in Kraft getreten für die Schweiz am 1. Januar 1973 (AS 1972 3115). Das Abkommen gilt für Ursprungserzeugnisse der Gemeinschaft und der Schweiz, namentlich solche, die unter die Kapitel 25 bis 97 des Harmonisierten Systems zur Bezeichnung und Codierung der Waren fallen, mit Ausnahme der in Anhang I aufgeführten Waren (Art. 2 Ziff. i FHA CH/EWG). Gemäss Art. 11 FHA CH/EWG finden sich die massgebenden Ursprungsregeln in Protokoll Nr. 3 zum Abkommen.
2.2.3. Das Protokoll Nr. 3 vom 15. Dezember 2005 über die Bestimmung des Begriffs "Erzeugnisse mit Ursprung in" oder "Ursprungserzeugnisse" und über die Methoden der Zusammenarbeit der Verwaltungen (SR 0.632.401.3), in Kraft getreten am 15. Dezember 2005, hält im Sinne eines Positivkatalogs fest, welche Erzeugnisse für die Zwecke des Abkommens als Ursprungserzeugnisse der Schweiz zu betrachten sind. Dazu führt Art. 2 Abs. 2 Protokoll Nr. 3 aus:
"Für die Zwecke des Abkommens gelten als Ursprungserzeugnisse der Schweiz (Hervorhebungen durch das Bundesgericht) :
a) Erzeugnisse, die im Sinne des Artikels 5 in der Schweiz vollständig gewonnen oder hergestellt worden sind;
b) Erzeugnisse, die in der Schweiz unter Verwendung von Vormaterialien hergestellt worden sind, die dort nicht vollständig gewonnen oder hergestellt worden sind, vorausgesetzt, dass diese Vormaterialien in der Schweiz im Sinne des Artikels 6 in ausreichendem Masse be- oder verarbeitet worden sind."
Weitgehend gleiche Ursprungskriterien kennt - im Bereich der autonomen Ursprungsregeln - Art. 9 der Verordnung vom 9. April 2008 über die Beglaubigung des nichtpräferenziellen Ursprungs von Waren (VUB; SR 946.31). Im Anschluss an Art. 2 Abs. 2 lit. a Protokoll Nr. 3 führt sodann Art. 5 Abs. 1 Protokoll Nr. 3 aus, welche Erzeugnisse als in der Gemeinschaft oder in der Schweiz "vollständig gewonnen oder hergestellt" gelten. Hier von Bedeutung ist namentlich Art. 5 Abs. 1 lit. h Protokoll Nr. 3 (Hervorhebungen wiederum durch das Bundesgericht) :
"Als in der Gemeinschaft oder in der Schweiz vollständig gewonnen oder hergestellt gelten (...) dort gesammelte Altwaren, die nur zur Gewinnung von Rohstoffen verwendet werden können, einschliesslich gebrauchter Reifen, die nur zur Runderneuerung oder als Abfall verwendet werden können."
In Abgrenzung zu Art. 2 findet sich in Art. 7 Protokoll Nr. 3 ("Nicht ausreichende Be- oder Verarbeitungen") ein Negativkatalog.
2.2.4. Ursprungserzeugnisse der Gemeinschaft erhalten bei der Einfuhr in die Schweiz und Ursprungserzeugnisse der Schweiz erhalten bei der Einfuhr in die Gemeinschaft die Begünstigungen des Abkommens, sofern einer der im Protokoll genannten Ursprungsnachweise erbracht wird (Art. 16 Abs. 1 Protokoll Nr. 3; Urteil 2C_355/2007 vom 19. November 2007 E. 2.2 [Damenmäntel]). Als Ursprungsnachweise gelten die Warenverkehrsbescheinigung EUR.1 (ebenda lit. a), die Warenverkehrsbescheinigung EUR-MED (ebenda lit. b) oder, in den in Art. 22 Abs. 1 genannten Fällen, eine vom Ausführer abgegebene Erklärung bestimmten Wortlauts auf einer Rechnung, einem Lieferschein oder einem anderen Handelspapier, in dem die Erzeugnisse so genau bezeichnet sind, dass die Feststellung der Nämlichkeit möglich ist (sog. "Erklärung auf der Rechnung" oder "Rechnungserklärung"; vorne lit. B). Die "Nämlichkeitssicherung" dient dabei der Sicherung der Identität einer Ware ( ARPAGAUS, a. a. O., N. 766; insbesondere zur Abgrenzung von Identitätsprinzip und Äquivalenzprinzip im Veredelungsverkehr Ivo Gut, in: Kocher/Clavadetscher, a. a. O., N. 3 der Vorbemerkungen zu Art. 12 und 13 ZG). Bei der Ausfuhr begnügen sich die Zollbehörden des Ausfuhr staates praxisgemäss mit einer bloss formellen Prüfung der Unterlagen, ohne materielle Kontrolle der Waren (zu einer früheren Fassung des Protokolls Nr. 3 namentlich <ref-ruling> E. 2 S. 57; <ref-ruling> E. 3a S. 326 [Bekleidung]; zum Ganzen Urteil 2C_355/2007 vom 19. November 2007 E. 2.2 [Damenmäntel]).
2.2.5. Die Ursprungsausweise sind den Zollbehörden des Einfuhrlandes nach den dort geltenden Verfahrensvorschriften vorzulegen (Art. 25 Protokoll Nr. 3). Die Präferenzverzollung muss regelmässig geltend gemacht werden, bevor die Waren aus der Zollkontrolle entlassen worden sind (Urteil 2C_32/2011 vom 7. April 2011 E. 4.5). Bei Vorlage des Nachweises haben die Zollbehörden des Einfuhrstaates die eingeführten Waren als Ursprungserzeugnisse anzuerkennen (Urteil 2C_355/2007 vom 19. November 2007 E. 2.2). Haben die Zollbehörden des Einfuhrstaates begründete Zweifel an der Echtheit des Dokumentes oder an der Richtigkeit der Angaben über den tatsächlichen Ursprung der Waren, können sie von den Zollbehörden des Ausfuhrstaates eine nachträgliche Prüfung verlangen (Art. 33 Abs. 1 und 3 Protokoll Nr. 3). Das Verfahren dieser Nachprüfung richtet sich ausschliesslich nach dem innerstaatlichen Recht des ersuchten Staates. An dessen Ergebnis sind die Behörden des Einfuhrstaates gebunden (Urteil 2C_355/2007 vom 19. November 2007 E. 2.2; <ref-ruling> E. 1c S. 171). Der Beweis für die Richtigkeit des Ursprungsnachweises, welcher grundsätzlich erst im Nachprüfungsverfahren zu erbringen ist (auch dazu Urteil 2C_355/2007 vom 19. November 2007 E. 2.2; ferner BGE <ref-ruling> E. 3a S. 326 [Bekleidung]), obliegt dem Exporteur (dazu schon <ref-ruling> E. 2b S. 173; vgl. auch <ref-ruling> E. 1 S. 308 [Starcoat]).
2.2.6. Das Bundesgericht betrachtet das Freihandelsabkommen CH/EWG in ständiger Rechtsprechung als reines Handelsabkommen, das keinen einheitlichen Binnenmarkt mit überstaatlicher Wettbewerbsordnung anstrebt, sondern lediglich eine Freihandelszone. Eine Zollunion besteht heute zwar innerhalb der Europäischen Union (Art. 28 Abs. 1 des Vertrags von Lissabon über die Arbeitsweise der Europäischen Union [AEUV]) und im Verhältnis zwischen der Schweiz und Liechtenstein (Vertrag vom 29. März 1923 zwischen der Schweiz und Liechtenstein über den Anschluss des Fürstentums Liechtenstein an das schweizerische Zollgebiet; SR 0.631.112.514), nicht aber zwischen der Schweiz und der Europäischen Union. Nichts Anderes lässt sich dem Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Union sowie ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681) entnehmen (Botschaft vom 23. Juni 1999 zur Genehmigung der sektoriellen Abkommen zwischen der Schweiz und der EG, BBl 1999 6128, insb. 6132, 6149 und 6161). Schon nach dem seinerzeitigen Abkommen über den Europäischen Wirtschaftsraum (EWR-Abkommen) wären die Bestimmungen des Rechtsbestandes der EG bezüglich der Zollunion und der gemeinsamen Handelspolitik von einer Regelung ausdrücklich ausgenommen geblieben (Botschaft vom 18. Mai 1992 zur Genehmigung des Abkommens über den Europäischen Wirtschaftsraum, BBl 1992 IV 1, insb. Ziff. 4.1 S. 47 und Ziff. 7.21 S. 126; zum Ganzen Urteil 2C_1049/2011 vom 18. Juli 2012 E. 5.2).
2.2.7. Da als reines Handelsabkommen ausgestaltet, ist das Freihandelsabkommen CH/EWG nach ständiger bundesgerichtlicher Praxis von den Schweizer Gerichten grundsätzlich autonom auszulegen und anzuwenden (kritisch dazu Arpagaus, a. a. O., N. 325 ff.) bzw. nach den Auslegungsgrundsätzen des Wiener Übereinkommens vom 23. Mai 1969 über das Recht der Verträge (SR 0.111; nachfolgend: VRK). Dieses ist für die Schweiz am 6. Juni 1990 in Kraft getreten (AS 1990 1112). Als völkergewohnheitsrechtlich anerkannte Auslegungshilfe entfalten die im Wiener Übereinkommen festgeschriebenen Auslegungsregeln (Art. 31 ff. VRK) Wirkung auch für die Zeitspanne vor ihrem Inkrafttreten (Art. 4 VRK; <ref-ruling> E. 3.1 S. 526 f.; <ref-ruling> E. 4c S. 238; Frédéric Dopagne, in: Olivier Corten/Pierre Klein [Hrsg.], Les Conventions de Vienne sur le droit des traités, 2006, N. 21 zu Art. 4 VRK; vgl. auch Andreas R. Ziegler, Einführung in das Völkerrecht, 2. Aufl. 2011, N. 249; Walter Kälin/Astrid Epiney/Martina Caroni/Jörg Künzli, Völkerrecht, 3. Aufl. 2010, S. 33). Hilfsweise können schliesslich das Recht der Europäischen Union und die Rechtsprechung des Gerichtshofs der Europäischen Union herangezogen werden (<ref-ruling>E. 10.3 S. 294 f. [Sovag] ; <ref-ruling> E. 6b S. 378 [PVC]; <ref-ruling> E. 3a S. 59 [Omo]; <ref-ruling> E. 2c S. 179 [Stanley Adams]; Urteil 2A.593/2005 vom 6. September 2006 E. 5.4 [Physiogel®]).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die von der Zollpflichtigen nach Deutschland verbrachten, zu rekonditionierenden Fässer als Ursprungserzeugnisse der Schweiz betrachtet werden können. Erst diese Eigenschaft erlaubt die zollfreie Einfuhr in Deutschland. Es fragt sich namentlich, ob die Fässer in der Schweiz dadurch "vollständig gewonnen oder hergestellt" worden sind, dass die gesammelten Altwaren nur zur Gewinnung von Rohstoffen verwendet werden können. Unstreitig liegen keine Lieferantenerklärungen oder Warenverkehrsbescheinigungen vor, die den präferenziellen Ursprung der Fässer belegen.
3.2.
3.2.1. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>; vorne E. 1.3.3) umfasst der Vorgang der Rekonditionierung verschiedene Schritte (vorne lit. A). Der Vorinstanz zufolge vermögen derartige Massnahmen keinen Anwendungsfall von Art. 5 Abs. 1 lit. h des Protokolls Nr. 3 zu begründen. Normgemäss sei zu verlangen, dass in der Schweiz gesammelte Altwaren einzig zur Gewinnung von Rohstoffen verwendet werden könnten. Daran fehle es aber, wenn eine Altware einerseits nach erfolgter Be- oder Verarbeitung wieder ihrem ursprünglichen Zweck zugeführt werden könne oder anderseits durch eine sonstige Behandlung wieder funktionstüchtig gemacht werde und dabei gegenständlich erhalten bleibe (Urteil E. 3.2 f.).
3.2.2. Die Zollpflichtige qualifiziert die zu rekonditionierenden Fässer vorab als Altwaren, dies entgegen der Vorinstanz, welche die Frage offen lässt. Die gesammelten Fässer könnten, u. a. aus Sicherheitsgründen, nicht mehr dem ursprünglichen Zweck entsprechend verwendet werden. Im Zeitpunkt der Ausfuhr handle es sich bei den Fässern um Alteisen bzw. Abfall. Die Vorinstanz verkenne, dass eine Verarbeitung auch vorliegen könne, wenn die zu verarbeitende Ware gegenständlich erhalten bleibe. Die Fässer dienten auf diese Weise als Sekundärrohstoff, d. h. als Altmaterial. Die Auffassung der Vorinstanz führe im Ergebnis dazu, dass Altmaterialien, die "theoretisch noch verwendbar" seien, nie als Altwaren im Sinne von Art. 5 Abs. 1 lit. h Protokoll Nr. 3 gelten könnten. Aus ökologischer und ökonomischer Sicht sei es aber wünschenswert, dass das "Alteisen" nicht zunächst eingeschmolzen werden müsse. Zweck und Ziel des Freihandelsabkommen legten eine weite Auslegung nahe. Dem Positivkatalog von Art. 5 Abs. 1 Protokoll Nr. 3 lägen verschieden Konstellationen zugrunde, in welchen sich der Ursprung faktisch nicht (mehr) nachweisen lasse. Daraus folge, dass die Strukturveränderung keine zwingende Voraussetzung bilde. Fässer, die sich nur noch zur Rekonditionierung oder Entsorgung eigneten, müssten allein durch das Sammeln in der Schweiz als Schweizer Ursprungswaren gelten.
3.3.
3.3.1. Gemäss bundesrätlicher Botschaft zu Art. 2 FHA CH/EWG ist das "Abkommen auf die Waren mit Ursprung in einer der beiden Vertragsparteien anwendbar. Nicht unter das Abkommen fallen reine Transitgüter oder Erzeugnisse aus Drittländern, die in einer der Vertragsparteien bloss eine ungenügende Verarbeitung erfahren und somit keinen Ursprung erlangt haben. (...) Wenn gesagt wird, das Abkommen sei auf die Erzeugnisse der Kapitel 25-99 anwendbar, so heisst das somit nicht, dass automatisch alle zwischen der Schweiz und der EWG ausgetauschten Erzeugnisse dieser Kapitel zollfrei werden" (Botschaft vom 16. August 1972 über die Genehmigung der Abkommen zwischen der Schweiz und den Europäischen Gemeinschaften, BBl 1972 II 653, insb. 674).
3.3.2. Für die Zwecke des Freihandelsabkommens gelten als Ursprungserzeugnisse der Schweiz namentlich die im Sinne des Positivkatalogs in der Schweiz vollständig gewonnenen oder hergestellten Erzeugnisse (Art. 2 Abs. 2 lit. a Protokoll Nr. 3) ; vorne E. 2.2.3). Der Positivkatalog von Art. 5 Abs. 1 Protokoll Nr. 3 umfasst eine Reihe von mineralischen, pflanzlichen oder tierischen Erzeugnissen. Praktisch von Bedeutung ist das Kriterium ("vollständig gewonnenen oder hergestellt") freilich nur, soweit es um Altwaren (lit. h) oder Abfälle (lit. i) geht. Die landwirtschaftlichen Erzeugnisse - der eigentliche Hauptanwendungsfall - sind vom Anwendungsbereich des Abkommens gerade ausgenommen (Arpagaus, a. a. O., N. 249).
3.3.3. Die Einbettung der Altwaren und Abfälle in eine Norm, die auch die mineralischen, pflanzlichen oder tierischen Erzeugnisse zum Gegenstand hat, verdeutlicht, dass das Abkommen von einem ähnlichen Charakter und einem vergleichbaren Verwendungszweck all dieser Erzeugnisse ausgeht. Nach dieser Betrachtungsweise bilden neben mineralischen, pflanzlichen oder tierischen Erzeugnissen auch Abfälle und gesammelte Altwaren (lediglich) den Ausgangspunkt für die Gewinnung oder Herstellung eines Erzeugnisses. Die Botschaft zum Freihandelsabkommen führt dazu aus, das Kriterium der vollständigen Erzeugung liege vor, wenn keine Ausgangsmaterialien aus Drittländern verwendet würden. "Dies trifft z. B. zu auf Erzeugnisse wie Mineralien, Pflanzen und Tiere sowie Altwaren und Abfälle" (a. a. O., 688). Was die gesammelten Altwaren anbelangt, sollen diese "nur zur Gewinnung von Rohstoffen" verwendet werden können (Art. 5 Abs. 1 lit. h Protokoll Nr. 3). Das von der Vorinstanz und der Zollpflichtigen zitierte Urteil 4 K 167/08 des Finanzgerichts Hamburg vom 26. Januar 2009 (vorne E. 3.2.2) zeigt beispielhaft auf, was darunter zu verstehen ist. Im konkreten Fall liessen sich die gebrauchten, abgenutzten Kunststoffabdeckungen von Lastwagen ("LKW-Planen"), die bestimmungsgemäss nicht mehr eingesetzt werden konnten, nur noch nach erfolgter Reinigung und Konfektionierung verwenden. In einer ersten Phase wurden die Abdeckungen schnittmustergemäss hergerichtet und in der zweiten Phase zu einer Tasche verarbeitet. Kennzeichnend für die gesammelten Altwaren (hier: Lastwagenplanen) ist, dass sie nur (noch) zur Gewinnung von Rohstoffen (hier: Teile einer Tasche) genutzt werden können.
3.3.4. Zum seinerzeitigen Art. 23 Abs. 2 lit. i der Verordnung (EWG) Nr. 2913/92 des Rates vom 12. Oktober 1992 zur Festlegung des Zollkodex der Gemeinschaften, der im Wesentlichen die Art. 5 Abs. 1 lit. h und i Protokoll Nr. 3 zusammenfasste, wurde verlangt, dass "nur solche Waren unter den Altwarenbegriff [fallen], die ihre ursprüngliche Zweckbestimmung nicht mehr erfüllen. Die schlichte Tatsache, dass Waren gebraucht und abgenutzt sind, ist folglich nicht hinreichend". Dies trifft insbesondere dann zu, wenn die Rohstoffgewinnung "den einzig wirtschaftlich sinnvollen Verwendungszweck darstellt" (Hans-Joachim Priess, in: Peter Witte [Hrsg.], Zollkodex, 3. Aufl. 2002, N. 22 zu Art. 23 ZK).
3.3.5. Unter allen Auslegungsgesichtspunkten ergibt sich, dass Art. 5 Abs. 1 lit. h Protokoll Nr. 3 wie folgt zu verstehen ist: Das fragliche Erzeugnis, das aus technischen, rechtlichen oder anderen Gründen nicht mehr seinem ursprünglichen Hauptzweck entsprechend nutzbar ist ("Erschöpfungsprinzip"), lässt sich einzig noch zu dem vom Abkommen vordefinierten Ersatzzweck verwenden, wobei es einen Rohstoff für ein neues Erzeugnis bildet ("Transformationsprinzip"). Mit Recht verweist die Eidgenössische Zollverwaltung in ihrer Vernehmlassung auf den französischen Wortlaut, wo von "récuperation des matières premières" gesprochen wird. Das Freihandelsabkommen sieht zwar die Zollbefreiung vor, aber nur für jene Erzeugnisse, die ausdrücklich in den Anwendungsbereich des Übereinkommens fallen. Ist der Tatbestand von Art. 5 Abs. 1 lit. h Protokoll Nr. 3 nicht gegeben und fehlen Ursprungszeugnisse, ist auch abkommensrechtlich von einem zollpflichtigen Tatbestand auszugehen.
3.3.6. Vor diesem Hintergrund erhellt, dass die gebrauchten Reifen, soweit sie nur (noch) zur Runderneuerung genutzt werden können und von welchen Art. 5 Abs. 1 lit. h Protokoll Nr. 3 spricht, keine Konkretisierung des Altwarentatbestands darstellen. Dem Nachsatz "... einschliesslich gebrauchter Reifen ..." ist nicht bloss deklaratorische, sondern konstitutive Bedeutung beizumessen.
Mit Recht erwägt die Vorinstanz, falls die Nennung beispielhaft zu verstehen wäre, hätten sich die Abkommensparteien vom gewöhnlichen Sprachgebrauch entfernt, wofür nichts spreche. Die Entstehungsgeschichte der Reifenklausel in Art. 5 Abs. 1 lit. h Protokoll Nr. 3 verdeutliche aber, dass neben den Reifen, die nur (noch) zur Gewinnung von Rohstoffen verwendet werden können, auch jene erfasst werden sollten, die einer eigentlichen Wiederaufbereitung noch zugänglich sind (Urteil E. 3.4). Daran ändert nichts, dass ursprünglich von "vorbehaltlich" und nun von "einschliesslich" die Rede ist. Die Zollpflichtige bemerkt hierzu, eine Spezialregelung für einzelne Warenkategorien lasse sich mit dem Zweck des Freihandelsabkommens nicht vereinbaren. Dementsprechend habe die Vorinstanz rechtsungleich entschieden, wenn sie die Runderneuerung von Reifen und die Rekonditionierung von Fässern unterschiedlich beurteile.
Der Zollpflichtigen ist entgegenzuhalten, dass die "Spezialregelung" aus durchaus nachvollziehbaren Gründen geschaffen wurde. Augenscheinlich bestand das Bedürfnis, auch derartige Reifen präferenziell zu behandeln. Da der Tatbestand der Altwaren keine Subsumtion zuliess, galt es, ergänzend einen neuen Tatbestand zu schaffen. Unter diesen Umständen ist die Ungleichbehandlung von Fässern und Reifen geboten und kann sie den Gleichheitsgrundsatz (<ref-law>) nicht verletzen. Der entsprechenden Rüge der Zollpflichtigen ist nicht weiter nachzugehen.
3.3.7. Wie die Vorinstanz überzeugend darlegt, lassen sich die in Deutschland vorgenommenen Arbeiten zwar weitgehend unter den Positivkatalog (Art. 5 Abs. 1 Protokoll Nr. 3) subsumieren, doch bilden die rekonfektionierten (Deckel-) Fässer gerade keinen Rohstoff zur Gewinnung oder Herstellung eines (neuen), allenfalls bearbeiteten oder verarbeiteten Erzeugnisses, nachdem die zweckerschöpften Erzeugnisse lediglich ertüchtigt und derart hergerichtet werden, dass sie wieder dem ursprünglichen Zweck dienen. Das begriffsnotwendige Transformationsprinzip bleibt dabei unerfüllt. Gleiches gilt für die Spundfässer, die aufgeschnitten und nunmehr als Deckelfässer eingesetzt werde (Urteil E. 3.5 f.).
4.
4.1. Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen und das vorinstanzliche Urteil zu bestätigen.
4.2. Die Zollpflichtige hat aufgrund ihres Unterliegens die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG).
4.3. Der Eidgenossenschaft, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. März 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher