hat sich ergeben:
A.-
Margrit Wenger (Beschwerdeführerin) verunfallte am
24. Juli 1995 und brach sich die Hand. Im Bezirksspital
Dornach wurde sie unter der Leitung von Dr. Valic ambulant
behandelt. Als die Heilung nicht wie erwünscht fortschritt,
verlor die Beschwerdeführerin das Vertrauen in den behan-
delnden Arzt und begab sich zu Dr. Ruckstuhl, der am
27. Februar 1996 einen operativen Korrektureingriff vornahm.
Da die Hand nicht wieder gebrauchsfähig wurde, liess die Be-
schwerdeführerin ein FMH-Gutachten über die Behandlung im
Bezirksspital Dornach erstellen. Es gelangte zum Schluss,
die Behandlung sei sorgfaltswidrig durchgeführt worden.
B.-
Am 7. Februar 1997 machte die Beschwerdeführerin
beim Gesundheitsamt des Kantons Solothurn eine Forderung von
Fr. 300'000.-- geltend (Fr. 220'385.20 als Ersatz des mate-
riellen Schadens, den Restbetrag als Genugtuung). Das Ge-
sundheitsamt übermittelte das Begehren am 19. Februar 1997
zur Beurteilung an die Betriebshaftpflichtversicherung des
Bezirksspitals Dornach, die Winterthur Versicherungsgesell-
schaft. Dies teilte das Amt der Beschwerdeführerin mit und
stellte in Aussicht, die Versicherung werde mit ihr Kontakt
aufnehmen. Ein im Rahmen dieser Vergleichsgespräche mit der
Versicherung erstelltes weiteres Gutachten gelangte zum
Schluss, dem Bezirksspital Dornach könne keine Sorgfalts-
pflichtverletzung vorgeworfen werden. Die Winterthur-Versi-
cherung lehnte am 18. September 1998 jegliche Haftung ab.
Am 18. März 1999 klagte die Beschwerdeführerin beim Verwal-
tungsgericht des Kantons Solothurn gegen den Kanton Solo-
thurn (Beschwerdegegner) und verlangte Fr. 270'000.-- nebst
Zins. Am 28. Juni 1999 trat das Verwaltungsgericht auf die
Klage nicht ein.
C.-
Gegen dieses Urteil hat die Beschwerdeführerin
staatsrechtliche Beschwerde erhoben. Sie beantragt, das an-
gefochtene Urteil aufzuheben. Der Beschwerdegegner und das
Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde,
soweit darauf einzutreten ist.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-
a) Die Beschwerdeführerin meldete ihren Anspruch am
7. Februar 1997 rechtzeitig beim zuständigen Amt an. Sofern
dieses innert drei Monaten nach Einreichung des Gesuchs
nicht oder ablehnend Stellung nimmt, kann der Anspruch ge-
mäss § 11 Abs. 2 des Verantwortlichkeitsgesetzes des Kantons
Solothurn vom 26. Juni 1966 (nachfolgend VG) innert 6 Mona-
ten beim Verwaltungsgericht eingeklagt werden. Nach Ansicht
des Verwaltungsgerichts erfolgte innert der Frist von drei
Monaten keine Stellungnahme. Mit der Eingabe vom 18. März
1999 sei die Frist von 6 Monaten nicht gewahrt und das Klag-
recht verwirkt.
b) Die Beschwerdeführerin hält diese Auslegung von
§ 11 Abs. 2 VG für willkürlich. Das zuständige Amt habe die
Beschwerdeführerin am 19. Februar 1997 über die Weiterlei-
tung ihres Schadenersatzbegehrens an die Winterthur-Versi-
cherung orientiert und insofern gegenüber der Beschwerdefüh-
rerin Stellung genommen. Die Winterthur-Versicherung habe
den Anspruch erst am 18. September 1998 abgelehnt. Daher sei
die Frist von 6 Monaten gewahrt. Die Beschwerdeführerin be-
ruft sich auf das Rechtsmissbrauchsverbot, da sie nicht über
die Notwendigkeit der Klageeinreichung aufgeklärt worden
sei, und wirft dem Verwaltungsgericht überspitzten Formalis-
mus vor.
2.-
Das zuständige Amt hat die Beschwerdeführerin an
die Versicherung verwiesen. Die Versicherung nahm mit der
Beschwerdeführerin Kontakt auf, um deren Forderung zu beur-
teilen. Wenn dies nicht als Stellungnahme im Sinn des Ge-
setzes angesehen werden kann, hätte das Amt die Beschwerde-
führerin an das Verwaltungsgericht weiterverweisen müssen
und nicht an die Versicherung. Aus der Mitteilung des Amtes
durfte die Beschwerdeführerin schliessen, sie müsse zunächst
den Entscheid der Versicherung abwarten. Sie musste nicht
damit rechnen, dass ihr Anspruch während den laufenden Ver-
gleichsgesprächen verwirken könnte. Es scheint wenig sinn-
voll, dem zuständigen Amt Abklärungen, die länger als drei
Monate dauern, zu verunmöglichen und den Ansprecher zur vor-
sorglichen Klageinreichung zu zwingen. Der Anwalt der Be-
schwerdeführerin konnte nicht ohne weiteres erkennen, dass
er nach der Auslegung des Verwaltungsgerichts vorsorglich
hätte klagen müssen (<ref-ruling> E. 1a/aa S. 258, 117 Ia
421 E. 2a S. 422 je mit Hinweisen). Ob diese Auslegung ge-
radezu willkürlich ist, kann offen bleiben. Der Beschwerde-
führerin darf jedenfalls aus ihrem Vertrauen auf das Verhal-
ten der Behörde kein Nachteil erwachsen. Daher ist davon
auszugehen, dass sie die Klage rechtzeitig eingereicht hat.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.-
Die Beschwerde wird gutgeheissen, und das Urteil
des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 28. Juni
1999 wird aufgehoben.
2.-
Die Gerichtsgebühr von Fr. 4'000.-- wird dem Be-
schwerdegegner auferlegt.
3.-
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für
das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu ent-
schädigen.
4.-
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwal-
tungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 1. Februar 2000
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: