Sachverhalt:
A. Die im August 2003 in der Rechtsform einer Stiftung gegründete ETH Zürich Foundation bezweckt u.a. die Forschung und Lehre an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich (ETHZ). Bis Ende April 2005 waren die für die Stiftung tätigen Mitarbeiter über die ETHZ bei der Eidgenössischen Ausgleichskasse (EAK) versichert. Ab 26. Januar 2004 war X._ beratend für die ETH Zürich Foundation tätig, wobei sie auch operative Aufgaben erfüllte, ab Juli im zeitlichen Umfang von 80 % eines Vollzeitpensums. Gemäss Tagebucheintrag im Schweizerischen Handelsregister vom 9. November 2004 war neu X._ Delegierte des Stiftungsrates mit Kollektivunterschrift zu zweien. Mit Verfügungen vom 25. Juli 2008 forderte die EAK von der ETHZ paritätische AHV/IV/EO/ALV-Beiträge in der Höhe von ........ auf den im Zeitraum von Januar 2004 bis April 2005 ausbezahlten Honoraren als Entgelt für die Tätigkeit von X._ sowie Verzugszinsen von ........ nach, was sie mit Einspracheentscheid vom 3. Juni 2009 bestätigte.
B. Die Beschwerden von X._ und der ETHZ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich nach zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 21. April 2011 ab.
C. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, Gerichtsentscheid und Einspracheentscheid seien aufzuheben; eventualiter sei die Sache zur hinreichenden Abklärung des Sachverhaltes und zu erneutem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die EAK beantragt die Abweisung der Beschwerde, desgleichen das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV). Das kantonale Gericht und die ETHZ haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Streitgegenstand bildet die Frage, ob die Honorarzahlungen der ETH Zürich Foundation als Entschädigung für die Tätigkeit der Beschwerdeführerin im Zeitraum von Januar 2004 bis April 2005 massgebenden Lohn darstellen und die ETHZ diesbezüglich als abrechnungs- und beitragszahlungspflichtiger Arbeitgeber gilt.
2.1 2.1.1 Die Beiträge der erwerbstätigen Versicherten werden in Prozenten des Einkommens aus unselbständiger und selbständiger Erwerbstätigkeit festgesetzt (<ref-law>). Vom Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit, im folgenden massgebender Lohn genannt, wird ein Beitrag von 4,2 Prozent erhoben (<ref-law>). Der Arbeitgeberbeitrag beträgt 4,2 Prozent der Summe der an beitragspflichtige Personen bezahlten massgebenden Löhne (<ref-law>). Die Beiträge vom Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit sind bei jeder Lohnzahlung in Abzug zu bringen und vom Arbeitgeber zusammen mit dem Arbeitgeberbeitrag periodisch zu entrichten (<ref-law>; Prinzip der Beitragserhebung an der Quelle: <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 500 mit Hinweisen).
Als Arbeitgeber gilt, wer obligatorisch versicherten Personen Arbeitsentgelte gemäss Artikel 5 Absatz 2 ausrichtet (<ref-law>).
2.1.2 Als massgebender Lohn gilt jedes Entgelt für in unselbständiger Stellung auf bestimmte oder unbestimmte Zeit geleistete Arbeit (<ref-law>). Dazu gehören begrifflich sämtliche Bezüge der Arbeitnehmerin und des Arbeitnehmers, die wirtschaftlich mit dem Arbeitsverhältnis zusammenhängen, gleichgültig, ob dieses Verhältnis fortbesteht oder gelöst worden ist und ob die Leistungen geschuldet werden oder freiwillig erfolgen. Als beitragspflichtiges Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit gilt somit nicht nur unmittelbares Entgelt für geleistete Arbeit, sondern grundsätzlich jede Entschädigung oder Zuwendung, die sonstwie aus dem Arbeitsverhältnis bezogen wird, soweit sie nicht kraft ausdrücklicher gesetzlicher Vorschrift von der Beitragspflicht ausgenommen ist (<ref-ruling> E. 4 S. 558 mit Hinweis). Es ist von einer objektbezogenen Definition des massgebenden Lohnes auszugehen in dem Sinne, dass es grundsätzlich nicht darauf ankommt, wer das Entgelt bezahlt, sondern ob die geldwerte Leistung im Arbeitsverhältnis wirtschaftlich hinreichend begründet ist (BGE 9C_12/2011 vom 8. August 2011 E. 2.2.1; Paul Cadotsch, Wird der AHV-massgebende Lohn durch die Auszahl- und Zahladresse beeinflusst?, SZS 2009 S. 5 ff.).
2.2 Ob im Einzelfall unselbständige Erwerbstätigkeit (und nicht selbständige im Sinne von <ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 252 f.) vorliegt und das dafür bezahlte Entgelt massgebender Lohn im Sinne von <ref-law> darstellt, beurteilt sich nicht auf Grund der Rechtsnatur des Vertragsverhältnisses zwischen den Parteien. Entscheidend sind vielmehr die wirtschaftlichen Gegebenheiten. Die zivilrechtlichen Verhältnisse vermögen dabei allenfalls gewisse Anhaltspunkte für die AHV-rechtliche Qualifikation zu bieten, ohne jedoch ausschlaggebend zu sein. Als unselbständig erwerbstätig ist im Allgemeinen zu betrachten, wer von einem Arbeitgeber in betriebswirtschaftlicher bzw. arbeitsorganisatorischer Hinsicht abhängig ist und kein spezifisches Unternehmerrisiko trägt (<ref-ruling> E. 1 S. 162 mit Hinweisen; SVR 2011 AHV Nr. 11 S. 33, 9C_946/2009 E. 2.1).
3. 3.1 Nach den insoweit unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz war die Beschwerdeführerin ab 26. Januar 2004 während eines Tages in der Woche für die ETH Zürich Foundation tätig. Die Tätigkeit war zu Beginn beratender Natur, wobei sie bereits damals in ihrer Funktion als Ambassador der Geschäftsführung operative Aufgaben übernahm. Es waren eine fixe Entschädigung, eine relative Anwesenheitspflicht und für den Fall der Beendigung der Zusammenarbeit eine Kündigungsfrist von einem Monat vereinbart. Ab 1. Juli 2004 betrug der zeitliche Umfang der Tätigkeit 80 % eines Vollzeitpensums. Neu war die Beschwerdeführerin Delegierte des Stiftungsrates (vorbehältlich der Wahl als Stiftungsrat, welche im November 2004 erfolgte) und Geschäftsführerin der Geschäftsstelle der Stiftung. Entsprechend den im Mandatsvertrag mit der M._ AG vom 23. November 2004 festgehaltenen Aufgaben war die Beschwerdeführerin umfassend mit der strategischen und operativen Leitung der Stiftung betraut. Sie war direkt dem Stiftungsratspräsidenten unterstellt und mit diesem zusammen zeichnungsberechtigt. Es bestand eine Kündigungsfrist von drei Monaten und es war ein Konkurrenzverbot vereinbart.
3.2 Aus diesen für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) hat die Vorinstanz gefolgert, die Tätigkeit der Beschwerdeführerin sei weit über eine reine Beratertätigkeit hinausgegangen. Es habe sich um eine umfassende Tätigkeit für die Stiftung gehandelt mit einer klaren Einbindung in deren Arbeitsorganisation und Weisungsgebundenheit gegenüber dem Stiftungsratspräsidenten. In Ziff. 10 des Mandatsvertrages werde die Beschwerdeführerin denn auch als Arbeitnehmerin bezeichnet. Die tatsächlichen Gegebenheiten sprächen somit überwiegend für eine unselbständige Erwerbstätigkeit für die Stiftung. Daran ändere nichts, dass das Vertragsverhältnis als Auftrag bezeichnet worden sei und formell die M._ AG als Vertragspartei aufgetreten sei.
4. Die Beschwerdeführerin bringt vor, es habe ein Auftragsverhältnis zwischen zwei juristischen Personen bestanden. Der Auftrag sei durch eine bestimmte Person innerhalb der Beauftragten, nämlich sie, erfüllt worden. Für ihre Anstellung bei der Auftragnehmerin seien eine korrekte AHV-Beitragsmeldung erstattet und entsprechende Beiträge vollumfänglich bezahlt worden. Wenn die Vorinstanz unter diesen Umständen auf unselbständige Erwerbstätigkeit für die Auftraggeberin erkenne, gehe sie "gewissermassen" von Rechtsmissbrauch aus. Die Voraussetzungen, welche die Annahme einer Rechtsumgehung rechtfertigten, seien indessen offensichtlich nicht gegeben. Die im konkreten Fall gewählte juristische Konstruktion sei völlig üblich und werde in der Schweiz tausendfach verwendet. Der rechtserhebliche Sachverhalt sei insoweit jedenfalls nicht hinreichend abgeklärt.
5. In rechtlicher Hinsicht ist nach Auffassung der Vorinstanz im vorliegenden Fall <ref-ruling> massgebend. Demgegenüber erachtet die Beschwerdeführerin <ref-ruling> als sinngemäss anwendbar.
5. In rechtlicher Hinsicht ist nach Auffassung der Vorinstanz im vorliegenden Fall <ref-ruling> massgebend. Demgegenüber erachtet die Beschwerdeführerin <ref-ruling> als sinngemäss anwendbar.
5.1 5.1.1 In <ref-ruling> ging es um einen Versicherten, dessen Tätigkeit für eine (ausländische) Firma in der Beratung bei der Errichtung zweier Farbfabriken und bei der Ausbildung des für den Betrieb dieser Produktionsstätten vorgesehenen Personals bestand. Das damalige Eidg. Versicherungsgericht hielt u.a. fest, es sei eine bekannte Erscheinung der neueren Zeit, dass sich sowohl Einzelpersonen als auch Organisationen, die auf ein bestimmtes technisches oder kaufmännisches Fachgebiet spezialisiert seien, einer Firma (exklusiv oder neben andern) auf bestimmte oder unbestimmte Zeit in einem selbständigen Auftragsverhältnis in Beraterfunktion zur Verfügung stellten. Ein typisches solches selbständiges Beratungsverhältnis liege im konkreten Fall vor, worauf insbesondere die rigorosen gegenseitigen Möglichkeiten der Vertragsauflösung gemäss Art. 11 des "Contrat pour une mission de conseiller" hinwiesen. Anderseits sei der Versicherte nicht in die Administration der Auftraggeberin eingegliedert und keinem speziellen Weisungsrecht unterstellt gewesen. Eine arbeitsorganisatorische Abhängigkeit lasse sich nicht feststellen. Die wirtschaftliche Abhängigkeit habe sich darin erschöpft, dass der Versicherte während der Dauer des Vertragsverhältnisses ausschliesslich für dieselbe Firma habe tätig sein müssen, was für sich allein jedoch nicht entscheidend sei (E. 3b).
5.1.2 <ref-ruling> lag folgender Sachverhalt zugrunde: S. war einziger Verwaltungsrat und Alleinaktionär der Büro Dr. S. AG. Diese hatte mit der P. AG einen Dienstleistungsvertrag abgeschlossen. Im Rahmen dieser Vereinbarung übernahm S. besondere Aufgaben im Geschäftsbereich der P. AG sowie die Leitung des Verwaltungsrates und weitere damit im Zusammenhang stehende Aufgaben. Für diese Tätigkeit bezahlte die P. AG der Büro Dr. S. AG ein Honorar. Das Bundesgericht entschied, dass das Verwaltungsratshonorar nur dann und soweit massgebenden Lohn im Sinne von <ref-law> und <ref-law> darstellt, wenn es an den Mandatsträger persönlich bezahlt wird. Übt hingegen der Verwaltungsrat seine Tätigkeit als Arbeitnehmer eines Dritten aus und wird die Entschädigung für die Verwaltungsratstätigkeit diesem Dritten ausbezahlt, so ist sie nicht massgebender Lohn des Verwaltungsrats, sondern allenfalls Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit dieses Dritten (wenn es sich um eine natürliche Person handelt). Der Lohn, den der Verwaltungsrat für seine Tätigkeit als Arbeitnehmer des Dritten erhält, ist seinerseits Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit (E. 5.2).
Aus <ref-ruling> einerseits lässt sich - im Umkehrschluss - insofern nicht direkt etwas für den hier zu beurteilenden Fall ableiten, als Vertragspartei der ETH Zürich Foundation nicht die Beschwerdeführerin war, sondern die M._ AG (bis 9. Februar 2004: S._ AG), an welche auch das Honorar bezahlt wurde. Anderseits ist der vorliegende Fall mit dem in <ref-ruling> beurteilten Sachverhalt insofern vergleichbar, als die Beschwerdeführerin einziges Mitglied des Verwaltungsrates der M._ AG und - allerdings erst seit November 2004 - auch Stiftungsrat der ETH Zürich Foundation war, welche den Mandatsvertrag betreffend ihren persönlichen Einsatz für letztere abgeschlossen hatten.
5.2 Es kann offenbleiben, inwiefern den erwähnten Urteilen (<ref-ruling> und <ref-ruling>) vorliegend präjudizielle Bedeutung zukommt. Nach verbindlicher Feststellung der Vorinstanz war die Beschwerdeführerin ab 26. Januar 2004 während eines Tages in der Woche, ab 1. Juli 2004 in einem 80 %-Pensum für die ETH Zürich Foundation tätig. Von Beginn weg lag das Schwergewicht ihrer Tätigkeit im operativen und nicht im strategischen Bereich. Daran änderte auch die Wahl in den Stiftungsrat der Foundation nichts. Es bestand eine klare Einbindung in die Arbeitsorganisation der Stiftung und eine Weisungsgebundenheit (vorne E. 3.2). Demgegenüber hatte die M._ AG keine Befugnisse, was die Ausübung der Tätigkeit der Beschwerdeführerin im Rahmen des Mandatsvertrages betraf und angesichts des Vollpensums bei der ETH Zürich Foundation auch keine selbständige Bedeutung. Unter diesen Umständen kann die rechtliche Selbständigkeit der M._ AG, an die das Honorar für ihre Tätigkeit für die Stiftung bezahlt wurde, keine Beachtung finden, wie die Vorinstanz im Ergebnis richtig erkannt hat. Die Ausgleichskasse hat somit zu Recht auf den betreffenden Zahlungen der ETH Zürich Foundation im Zeitraum von Januar 2004 bis April 2005 paritätische Beiträge erhoben hat. Die Beschwerde ist unbegründet.
6. Wiewohl nicht zum Streitgegenstand zählend, rechtfertigen sich noch folgende Bemerkungen.
6.1 Die Beschwerdeführerin ersuchte die Ausgleichskasse des Kantons Schwyz um Rückerstattung der Beiträge auf dem von der M._ AG ausbezahlten Lohn für ihre Tätigkeit für die ETH Zürich Foundation im Zeitraum Januar 2004 bis April 2005, was diese bis auf den Betrag von Fr. 1.20 zufolge Verjährung jedoch ablehnte. Nach Auffassung des BSV führt dies nicht zu einer doppelten Beitragspflicht. Vielmehr habe es die Versicherte unterlassen, gestützt auf <ref-law> rechtzeitig das Notwendige zur Rückforderung vorzukehren. Diese Betrachtungsweise ist grundsätzlich richtig. Es stellt sich indessen die Frage, ob die betreffenden Beiträge an die von der ETHZ nachzuzahlenden Beiträge auf den Honorarzahlungen der Stiftung anzurechnen sind. Allerdings betrifft diese Frage nicht die hier allein streitige Beitragsfestsetzung, sondern die Beitragsvollstreckung in Form teilweiser Tilgung der Beitragsschuld durch Berücksichtigung anderweitiger auf dem gleichen Substrat geleisteter Beiträge.
6.2 Gemäss dem im Bundessozialversicherungsrecht sinngemäss anwendbaren <ref-law> (<ref-ruling> E. 6.1.1 S. 135; <ref-ruling> E. 4a S. 53) kann eine verjährte Forderung zur Verrechnung gebracht werden, wenn sie zur Zeit, wo sie mit der andern Forderung verrechnet werden konnte, noch nicht verjährt war (Urteil 9C_79/2011 vom 24. August 2011 E. 3.1). Einer (direkten) Anwendung dieser Bestimmung steht schon entgegen, dass die ETHZ als abrechnungs- und beitragszahlungspflichtiger Arbeitgeber und die M._ AG verschiedene juristische Personen sind. Es besteht somit keine Identität zwischen Schuldner und Verrechnungsgläubiger.
6.2 Gemäss dem im Bundessozialversicherungsrecht sinngemäss anwendbaren <ref-law> (<ref-ruling> E. 6.1.1 S. 135; <ref-ruling> E. 4a S. 53) kann eine verjährte Forderung zur Verrechnung gebracht werden, wenn sie zur Zeit, wo sie mit der andern Forderung verrechnet werden konnte, noch nicht verjährt war (Urteil 9C_79/2011 vom 24. August 2011 E. 3.1). Einer (direkten) Anwendung dieser Bestimmung steht schon entgegen, dass die ETHZ als abrechnungs- und beitragszahlungspflichtiger Arbeitgeber und die M._ AG verschiedene juristische Personen sind. Es besteht somit keine Identität zwischen Schuldner und Verrechnungsgläubiger.
6.3 6.3.1 Nach der Rechtsprechung wird mit der fristgerechten formgültigen Eröffnung der Beitragsverfügung die Verwirkung nach <ref-law> ein für allemal bis zur Höhe des (nach-)geforderten Betrages ausgeschlossen. Die Verfügung behält ungeachtet ihres späteren rechtlichen Schicksals ihre verwirkungsausschliessende Kraft, ob sie nun in Rechtskraft erwächst oder vom Richter oder wiedererwägungsweise von der Verwaltung nachträglich aufgehoben und durch eine andere ersetzt wird (Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts H 115/04 vom 29. Dezember 2004 E. 7.3.1, H 158/02 vom 30. Oktober 2002 E. 3.2 und H 60/01 vom 19. November 2001 E. 4).
6.3.2 Entrichtete eine versicherte Person persönliche Beiträge und zeigt sich später, dass es sich bei der fraglichen Tätigkeit um eine unselbständige Erwerbstätigkeit handelte, sind - allenfalls unter den Voraussetzungen der Wiedererwägung oder prozessualen Revision (Art. 53 Abs. 1 und 2 ATSG; SVR 2010 AHV Nr. 12 S. 42, 9C_1094/ 2009 E. 2.4 mit Hinweisen) - auf den betreffenden Einkommen nachträglich paritätische Beiträge zu erheben. Dabei sind die bereits als Selbständigerwerbender bezahlten Beiträge im Umfang der Arbeitnehmerbeiträge der nachgeforderten paritätischen Beiträge anzurechnen (EVGE 1959 S. 25 E. 5 S. 32 ff.; vgl. auch Rz. 3025 und 3035 der Wegleitung über den Bezug der Beiträge [WBB] in der AHV, IV und EO, in der ab 1. Januar 2008 geltenden Fassung). In gleicher Weise haben im Zusammenhang mit einer bestimmten Tätigkeit entrichtete paritätische Beiträge ein für allemal als bezahlt zu gelten und sind daher bei einem nachträglichen Wechsel der Person des beitragspflichtigen Arbeitgebers in der Beitragsvollstreckung anzurechnen.
7. Die im Grundsatz unterliegende Beschwerdeführerin hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich (ETHZ), dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Ausgleichskasse Schwyz und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Januar 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler