Sachverhalt:
A. Der 1967 geborene B._ verletzte sich am 19. Juni 2005 bei einem Unfall am linken Fuss. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA), bei welcher er über seinen damaligen Arbeitgeber obligatorisch unfallversichert war, anerkannte ihre Leistungspflicht für den Unfall und für zwei, im Februar 2006 und im März 2008 gemeldete, Rückfälle. Sie gewährte jeweils vorübergehend Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Im Mai 2010 wurden erneut Beschwerden als Rückfall gemeldet. Die SUVA verneinte mit Verfügung vom 30. November 2010 ihre Leistungspflicht hiefür mit der Begründung, gemäss Beurteilung ihres Kreisarztes bestehe zwischen dem Unfall vom 19. Juni 2005 und den jetzigen Fussbeschwerden kein sicherer oder wahrscheinlicher Kausalzusammenhang. Daran hielt der Versicherer auf die von B._ erhobene Einsprache hin fest (Entscheid vom 5. April 2011).
B. Beschwerdeweise beantragte B._, der Einspracheentscheid sei aufzuheben und es seien, nach weiteren medizinischen Abklärungen (insbesondere Gutachten), die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern gewährte ihm die unentgeltliche Prozessführung und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 17. Februar 2012 ab.
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung von Einsprache- und vorinstanzlichem Entscheid seien die gesetzlichen Leistungen zu erbringen; eventuell "sei die Sache nach weiteren medizinischen Abklärungen - insbesondere externes Gutachten - zur neuen Beurteilung an die SUVA zurückzuweisen". Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall vom 19. Mai 2005 ein Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung für die im Mai 2010 gemeldeten Beschwerden besteht.
Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zur Leistungspflicht des Unfallversicherers und zu den hiefür vorausgesetzten kausalen Zusammenhängen, insbesondere bei Rückfällen und Spätfolgen, sowie zu den zu beachtenden Beweisregeln, namentlich dem zu beachtenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit, zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Rechtsprechungsgemäss handelt es sich bei einem Rückfall um das Wiederaufflackern einer vermeintlich geheilten Krankheit, so dass es zu ärztlicher Behandlung, möglicherweise sogar zu (weiterer) Arbeitsunfähigkeit kommt. Von Spätfolgen spricht man, wenn ein scheinbar geheiltes Leiden im Verlaufe längerer Zeit organische oder auch psychische Veränderungen bewirkt, die zu einem anders gearteten Krankheitsbild führen können. Rückfälle und Spätfolgen schliessen sich somit begrifflich an ein bestehendes Unfallereignis an. Entsprechend können sie eine Leistungspflicht des (damaligen) Unfallversicherers nur auslösen, wenn zwischen den erneut geltend gemachten Beschwerden und der seinerzeit beim versicherten Unfall erlittenen Gesundheitsschädigung ein natürlicher und adäquater Kausalzusammenhang besteht (<ref-ruling> E. 2c S. 296 f.; SVR 2009 UV Nr. 62 S. 217, 8C_91/2009 E. 3.4 mit weiteren Hinweisen).
3. 3.1 Beim Unfall vom 19. Juni 2005 hat der Versicherte eine "dislozierte Fraktur Basis Os metatarsale V links" erlitten, d.h. den Bruch eines Mittelfussknochens. Diese Verletzung wurde am 23. Juni 2005 mittels offener Reposition und endomedullärer Verschraubung operativ versorgt. Bei einem weiteren Eingriff vom 27. Juni 2006 wurde das Osteosynthesematerial entfernt (Arztberichte vom 23. Juni und 7. Juli 2005 sowie 27. Januar 2006).
Die im Mai 2010 gemeldeten Beschwerden bestehen gemäss dem - der Rückfallmeldung beigelegten - Bericht des Dr. med. P._, Facharzt FMH für Chirurgie und Sportmedizin, vom 18. Mai 2010 in Schmerzen im oberen Sprunggelenk (OSG) links. In diesem Arztbericht wird weiter ausgeführt, eine Untersuchung mittels MRI vom 16. April 2010 habe die Befunde "osteochondrale Läsion des lateralen Talus von 4 mm Breite, Ruptur des Ligamentum Fibula talare anterior, Knochenmarksödem als Zeichen übermässiger Belastung des Talus und der distalen Tibia, Flüssigkeitsansammlung entlang der Hallucis longus Sehne" ergeben.
3.2 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die von Dr. med. P._ beschriebenen Beschwerden seien nicht überwiegend wahrscheinlich natürlich kausal auf den Unfall vom 19. Juni 2005 zurückzuführen. Es stützt sich hiebei auf die von Kreisarzt Dr. med. R._ in der ärztlichen Beurteilung vom 27. September 2010 (und daneben in zwei Stellungnahmen vom 25. Juni und 26. November 2010) vertretene Auffassung. Besonderes Gewicht haben Versicherungsmediziner und Vorinstanz dabei auf den Umstand gelegt, dass im Rahmen des Grundfalles und des ersten Rückfalles keine Beschwerden am OSG geklagt worden seien und es auch keiner ärztlichen Abklärung in diesem Körperbereich bedurft habe.
Der Versicherte beruft sich zur Begründung seiner abweichenden Auffassung auf die Stellungnahmen des Dr. med. D._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates FMH, vom 4. September 2010 und 13. Januar 2011. Darin wird eine kausale Bedeutung des Unfall vom 19. Juni 2005 für die im Mai 2010 gemeldeten Beschwerden bejaht.
Der Versicherte beruft sich zur Begründung seiner abweichenden Auffassung auf die Stellungnahmen des Dr. med. D._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates FMH, vom 4. September 2010 und 13. Januar 2011. Darin wird eine kausale Bedeutung des Unfall vom 19. Juni 2005 für die im Mai 2010 gemeldeten Beschwerden bejaht.
3.3 3.3.1 Zur Beurteilung sozialversicherungsrechtlicher Leistungsansprüche bedarf es verlässlicher medizinischer Entscheidgrundlagen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist demnach entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232 mit Hinweis auf 125 V 351 E. 3a S. 352).
3.3.2 Dennoch hat es die Rechtsprechung mit dem Grundsatz der Beweiswürdigung als vereinbar erachtet, in Bezug auf bestimmte Formen medizinischer Berichte und Gutachten Richtlinien für die Beweiswürdigung aufzustellen. So weicht das Gericht bei Gerichtsgutachten nach der Praxis nicht ohne zwingende Gründe von der Einschätzung der medizinischen Fachperson ab (<ref-ruling> E. 3b/aa S. 352 mit Hinweisen). Hinsichtlich von Versicherungsträgern im Verfahren nach <ref-law> eingeholter, den Anforderungen der Rechtsprechung entsprechender, Gutachten externer Spezialärzte wurde festgehalten, das Gericht dürfe diesen Gutachten vollen Beweiswert zuerkennen, solange "nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit" der Expertise sprechen (<ref-ruling> E. 4.4 S. 470 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3b/bb S. 353). Zur Frage der Berichte und Gutachten versicherungsinterner Fachpersonen wurde der Grundsatz betont, wonach ein Anstellungsverhältnis dieser Person zum Versicherungsträger alleine nicht schon auf mangelnde Objektivität und Befangenheit schliessen lässt. Soll ein Versicherungsfall jedoch ohne Einholung eines externen Gutachtens entschieden werden, so sind an die Beweiswürdigung strenge Anforderungen zu stellen. Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen, so sind ergänzende Abklärungen vorzunehmen (<ref-ruling> E. 4.4 S. 470 mit Hinweisen). Aus dem Grundsatz der Waffengleichheit folgt sodann das Recht der versicherten Person, mittels eigener Beweismittel die Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der ärztlichen Feststellungen der versicherungsinternen Fachpersonen in Zweifel zu ziehen. Dazu wurde erkannt, dass diese von der versicherten Person eingereichten Beweismittel regelmässig von behandelnden Ärztinnen und Ärzten oder von anderen medizinischen Fachpersonen stammen, die in einem auftragsrechtlichen Verhältnis zur versicherten Person stehen. Da sich die behandelnden Ärztinnen und Ärzte zudem in erster Linie auf die Behandlung zu konzentrieren haben, verfolgen deren Berichte nicht den Zweck einer den abschliessenden Entscheid über die Versicherungsansprüche erlaubenden objektiven Beurteilung des Gesundheitszustandes und erfüllen deshalb kaum je die materiellen Anforderungen an ein Gutachten gemäss <ref-ruling> E. 3a S. 352. Aus diesen Gründen und aufgrund der Erfahrungstatsache, dass Hausärzte mitunter im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung im Zweifelsfall eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagen, wird im Streitfall eine direkte Leistungszusprache einzig gestützt auf die Angaben der behandelnden Ärztinnen und Ärzte kaum je in Frage kommen (<ref-ruling> E. 4.5 S. 470 f. mit Hinweis).
3.4 Dr. med. R._ hat sich als versicherungsinterner Arzt zur streitigen Kausalitätsfrage geäussert. Auf seine Aussagen kann somit nur dann abgestellt werden, wenn keine - auch nur geringen - Zweifel an ihrer Verlässlichkeit bestehen (E. 3.3.2 hievor). Der Kreisarzt stützte sich offenbar nur auf die medizinischen Akten und nicht auf eine von ihm durchgeführte Untersuchung des Versicherten. Einer rein aktengestützten ärztlichen Beurteilung kann zwar je nach der zu beantwortenden medizinischen Fragestellung Beweiswert zukommen. Ob dies hier zutrifft, braucht aber nicht beantwortet zu werden. Gleiches gilt für die Frage, ob Dr. med. R._ als Allgemeinmediziner fachlich geeignet ist, die gegebene gesundheitliche Problematik ärztlich zu beurteilen, oder ob es hiefür nicht eher orthopädischer Fachkenntnisse bedürfte. Dr. med. R._ hat sich nämlich bei seinen Ausführungen nur sehr kurz gehalten. Eine eigentliche Begründung, im Sinne einer einlässlichen Auseinandersetzung mit den medizinischen Vorakten und einer nachvollziehbaren Erläuterung der getroffenen Folgerungen, enthalten seine ärztliche Beurteilung und seine Stellungnahmen nicht. Hinzu kommt, dass Dr. med. D._ hinsichtlich der Unfallkausalität eine gänzlich andere Auffassung vertritt. Dabei erlauben die medizinischen Akten nicht, die fachärztliche Beurteilung des Dr. med. D._ von vornherein zu verwerfen. Das gilt auch unter Berücksichtigung des Umstandes, dass ein weiterer Kreisarzt, Dr. med. G._, am 30. Juli 2010 die Auffassung vertreten hat, die jetzigen Beschwerden seien nicht Unfallfolgen, zumal Dr. med. G._ dies in keiner Weise begründet hat. Es ist im Übrigen auch nicht ersichtlich, auf welches medizinische Fachgebiet er spezialisiert ist.
Bei dieser Ausgangslage bestehen Zweifel an den kreisärztlichen Beurteilungen, weshalb diese nicht gestatten, die Unfallkausalität der im Mai 2010 gemeldeten Beschwerden verlässlich zu verneinen. Das gilt erst recht, wenn berücksichtigt wird, dass im Rahmen des zweiten, im März 2008 gemeldeten und von der SUVA offenbar vorbehaltlos anerkannten Rückfalles u.a. Beschwerden am OSG geklagt wurden und deswegen am 2. Februar 2009 eine diagnostische Arthroskopie am OSG erfolgte. Zur Bedeutung dieser Gesichtspunkte haben sich bislang weder die Bericht erstattenden Ärzte noch der Versicherer und die Vorinstanz geäussert.
Damit sind weitere Abklärungen im Sinne eines (versicherungsexternen) fachmedizinischen Gutachtens unabdingbar, zumal die Aussagen des Dr. med. D._ ebenfalls keine genügende Klarheit verschaffen. Zwar ist nicht erkennbar, ob Dr. med. D._ als behandelnder Arzt Stellung genommen hat, was bereits eine zurückhaltende Gewichtung seiner Aussagen rechtfertigen würde (E. 3.3.2 hievor), oder ausschliesslich für eine fachmedizinische Beurteilung beigezogen wurde. Das muss hier aber auch nicht abschliessend beantwortet werden. Denn die Stellungnahmen des Dr. med. D._ vom 4. September 2010 und 13. Januar 2011 sind ihrerseits zu kurz gehalten und begründet, als dass sie die zuverlässige Grundlage für eine Bejahung der streitigen Unfallkausalität bilden könnten.
Das fachärztliche Gutachten ist entgegen dem Eventualantrag des Beschwerdeführers nicht vom Bundesgericht, sondern von der SUVA einzuholen, an welche die Sache hiefür und zur neuen Verfügung über den streitigen Leistungsanspruch zurückzuweisen ist.
4. Die Rückweisung der Sache an den Versicherungsträger zu weiterer Abklärung und neuer Verfügung (mit noch offenem Ausgang) gilt praxisgemäss als volles Obsiegen der Beschwerde führenden Partei im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie überhaupt beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235; Urteile 8C_21/2012 vom 27. März 2012 E. 4 und 8C_997/2010 vom 10. August 2011 E. 5; vgl. auch <ref-ruling>). Demnach hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu entrichten. Damit wird dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 17. Februar 2012 und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt vom 5. April 2011 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Leistungsanspruch neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Juni 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz