Sachverhalt:
A.
Am 23. Dezember 2014 erstattete A._ Strafanzeige gegen Dr. B._ und machte darin geltend, dieser habe ein falsches Gutachten gemäss Art. 307 StGB erstellt und ihn mit seinen Ausführungen im Gutachten in seiner Ehre verletzt (Vorwürfe der üblen Nachrede nach Art. 173 StGB und der Verleumdung gemäss Art. 174 StGB). Hintergrund der Anzeige bildet das Scheidungsverfahren zwischen A._ und seiner Ehefrau C._, in welchem es insbesondere um die Zuteilung der gemeinsamen Tochter D._, geb. 2008, geht. In diesem Zivilverfahren verfasste Dr. B._ ein Gutachten "zur Beurteilung der Erziehungsfähigkeit beider Elternteile, Regelung von Sorgerecht, Obhut und Kontaktrecht sowie Abklärung der Notwendigkeit von Kindesschutzmassnahmen".
Mit Verfügung vom 30. Juli 2015 nahm die Staatsanwaltschaft des Kantons Bern, Region Bern-Mittelland, das Verfahren mangels rechtsgenüglicher Konkretisierung eines Anfangsverdachts hinsichtlich der geltend gemachten Straftatbestände nicht an die Hand (Art. 310 Abs. 1 lit. a StPO).
Gegen diese Verfügung reichte A._ am 22. August 2015 Beschwerde bei der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern ein mit dem Antrag, das Verfahren sei an die Hand zu nehmen. Gleichzeitig stellte er ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Am 31. August 2015 verfügte der Verfahrensleiter der Beschwerdekammer, das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege werde abgewiesen. Zur Begründung führte er aus, die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für die Privatklägerschaft setze nicht nur Mittellosigkeit, sondern auch genügende Prozesschancen voraus (Art. 136 Abs. 1 StPO); nach der derzeitigen Aktenlage sei die Beschwerde als aussichtslos einzustufen. Zugleich forderte der Verfahrensleiter A._ auf, innert zehn Tagen ab Erhalt der Verfügung bei der Kanzlei der Strafabteilung des Obergerichts eine Sicherheit von Fr. 800.-- zu leisten (Art. 383 Abs. 1 StPO). Werde die Sicherheit nicht fristgerecht geleistet, so trete die Beschwerdekammer auf das Rechtsmittel nicht ein (Art. 383 Abs. 2 StPO). In der Rechtsmittelbelehrung wies der Verfahrensleiter A._ darauf hin, dass er gegen den Entscheid betreffend unentgeltliche Rechtspflege innert 30 Tagen seit Zustellung beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen führen könne.
B.
Am 30. September 2015 hat A._ Beschwerde beim Bundesgericht erhoben, mit dem sinngemässen Hauptantrag, die Verfügung vom 31. August 2015 betreffend unentgeltliche Rechtspflege sei aufzuheben, und die Beschwerde sei ohne die verlangte Sicherheitsleistung zu behandeln. Des Weiteren hat A._ auch für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht.
Mit Beschluss vom 1. Oktober 2015 ist die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts auf die Beschwerde von A._ vom 22. August 2015 nicht eingetreten. Zur Begründung hat sie ausgeführt, die Zustellung der Verfügung vom 31. August 2015 gelte als am 8. September 2015 erfolgt. Die 10-tägige Frist zur Leistung der Prozesskostensicherheit habe folglich am 18. September 2015 geendet. Innert dieser Frist habe A._ die verlangte Sicherheit nicht geleistet.
Mit Eingabe vom 3. November 2015 führt A._ gegen den Beschluss der Beschwerdekammer vom 1. Oktober 2015 Beschwerde an das Bundesgericht und beantragt, die in seiner Beschwerde vom 30. September 2015 gestellten und begründeten Anträge seien gutzuheissen.
Die für die Behandlung der Beschwerde vom 30. September 2015 zuständige I. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat Vernehmlassungen eingeholt. Das Obergericht, die Staatsanwaltschaft und Dr. B._ verzichten auf Stellungnahmen.

Erwägungen:
1.
1.1. Anfechtungsobjekt im vorliegenden Verfahren bildet einzig die Verfügung vom 31. August 2015, mit welcher das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege mit der Begründung abgewiesen worden ist, die Beschwerde sei aussichtslos (Art. 136 Abs. 1 lit. b StPO). Die angefochtene Verfügung stellt einen Zwischenentscheid in einer Strafsache dar, der - soweit der Beschwerdeführer dazu überhaupt legitimiert ist (vgl. Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG) - nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG beim Bundesgericht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 4 S. 338). Ob diese Voraussetzungen gegeben sind bzw. waren, kann offen bleiben. In der Regel entfalten Zwischenverfügungen nur während der Hängigkeit des betreffenden Verfahrens unmittelbare Rechtswirkungen. Mit dem Verfahrensabschluss fallen ihre Wirkungen dahin und werden sie gegenstandslos. Soweit sie sich auf den Inhalt des Endentscheids ausgewirkt haben, können sie unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 3 BGG durch Beschwerde gegen den Endentscheid angefochten werden (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 332 f.).
Das Obergericht hat am 1. Oktober 2015 den verfahrensabschliessenden Endentscheid gefällt (Nichteintretensbeschluss). Damit wurde die Zwischenverfügung vom 31. August 2015 hinfällig. Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten (vgl. zum Ganzen auch Urteil 1B_226/2013 vom 30. August 2013 E. 3 und 4).
1.2. Das Vorgehen des Obergerichts wirft Fragen auf. Es hat vor Ablauf der Rechtsmittelfrist gegen einen Zwischenentscheid einen Endentscheid gefällt, der die Rechtmässigkeit des Zwischenentscheids voraussetzt, über welche noch nicht letztinstanzlich entschieden worden ist.
Gemäss Art. 383 StPO kann die Verfahrensleitung der Rechtsmittelinstanz die Privatklägerschaft verpflichten, innert einer Frist für allfällige Kosten und Entschädigungen Sicherheit zu leisten. Art. 136 StPO bleibt vorbehalten (Abs. 1). Wird die Sicherheit nicht fristgerecht geleistet, so tritt die Rechtsmittelinstanz auf das Rechtsmittel nicht ein (Abs. 2). Nach Art. 136 StPO gewährt die Verfahrensleitung der Privatklägerschaft für die Durchsetzung ihrer Zivilansprüche ganz oder teilweise die unentgeltliche Rechtspflege, wenn die Privatklägerschaft nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (Abs. 1 lit. a) und die Zivilklage nicht aussichtslos erscheint (Abs. 1 lit. b). Die unentgeltliche Rechtspflege umfasst insbesondere die Befreiung von Vorschuss- und Sicherheitsleistungen (Abs. 2 lit. a).
In Art. 383 Abs. 1 Satz 2 StPO wird somit Art. 136 StPO ausdrücklich vorbehalten, welcher bei gegebenen Voraussetzungen von Vorschuss- und Sicherheitsleistungen befreit (Abs. 2 lit. a). Die Privatklägerschaft kann mithin nur dann zu einer Sicherheitsleistung verpflichtet werden, wenn die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege nicht erfüllt sind. Diese Frage aber, nämlich ob die Zivilklage nicht aussichtslos erscheint (Art. 136 Abs. 1 lit. b StPO), ist noch nicht letztinstanzlich beurteilt. Die Frist zur Leistung einer Sicherheit ist deshalb in solchen Fällen so anzusetzen, dass sie erst zu laufen beginnt, wenn die gesetzliche Frist von 30 Tagen zur Anfechtung des Zwischenentscheids betreffend Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege unbenutzt verstrichen ist oder das Bundesgericht eine erhobene Beschwerde abgewiesen hat.
1.3. Der Beschwerdeführer hat, wie erwähnt, den Nichteintretensentscheid vom 1. Oktober 2015 mit Beschwerde vom 3. November 2015 beim Bundesgericht angefochten (Verfahren 6B_1134/2015) und zur Begründung insbesondere auf seine gegen den Zwischenentscheid vom 31. August 2015 gerichtete Beschwerde vom 30. September 2015 verwiesen. Der Zwischenentscheid vom 31. August 2015 hat sich auf den Inhalt des Endentscheids vom 1. Oktober 2015 ausgewirkt. In diesem Verfahren wird - die Legitimation des Beschwerdeführers gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG vorausgesetzt - die Rechtmässigkeit der Verpflichtung zu einer Sicherheitsleistung nach Art. 383 StPO zu prüfen und damit gleichzeitig zu beurteilen sein, ob die Vorinstanz die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege gemäss Art. 136 StPO zu Recht verneint hat. Damit ist der Rechtsschutz des Beschwerdeführers trotz Nichteintreten auf seine Beschwerde vom 30. September 2015 gewahrt.
2.
Auf die Beschwerde ist nach dem Gesagten nicht einzutreten. Aufgrund der besonderen Umstände ist auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos. Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland und dem Obergericht des Kantons Bern, Strafabteilung, Beschwerdekammer in Strafsachen, Präsident i.V., schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. November 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner