Faits:
A. Par décision du 20 septembre 2010, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a rejeté la demande de prestations que D._ avait présentée le 7 mai 2009.
B. La prénommée a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui : Cour de justice, Chambre des assurances sociales).
Par jugement du 10 mars 2011, la juridiction cantonale a déclaré le recours irrecevable pour cause de tardiveté.
C. D._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale afin qu'elle se prononce sur son droit aux prestations de l'AI, voire sur un éventuel renvoi de la cause à l'office AI. Elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire limitée au versement de l'avance de frais.
L'intimé conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Devant le Tribunal fédéral, le litige porte uniquement sur la question du respect du délai du recours formé contre la décision de l'intimé du 20 septembre 2010.
2. La judiction cantonale a constaté que la décision administrative avait été notifiée à la recourante le 22 septembre 2010 et que le mémoire de recours avait été déposé le 27 octobre 2010. Dès lors que le délai de recours de trente jours prévu par l'<ref-law> n'avait pas été respecté et que la recourante n'en avait pas demandé la restitution, elle a déclaré le recours irrecevable pour cause de tardiveté.
3. En procédure fédérale, la recourante se prévaut d'une notification irrégulière de la décision du 20 septembre 2010. Elle soutient que l'office intimé aurait dû notifier cette décision au mandataire qu'elle avait constitué, soit à X._ (cf. lettre du prénommé du 9 août 2010, accompagnée d'une procuration du 29 juillet 2010), au lieu de la lui remettre personnellement. La recourante en déduit que la cause doit être renvoyée aux premiers juges afin qu'ils examinent le fond de l'affaire.
Dans sa réponse, l'office intimé admet implicitement le caractère irrégulier de la notification de la décision du 20 septembre 2010, dès lors que la recourante avait élu domicile auprès de X._ pour la procédure administrative. L'intimé estime toutefois que la recourante n'a pas fait preuve de la diligence que l'on était en droit d'attendre de sa part en pareilles circonstances, car elle avait eu connaissance de la décision litigieuse bien avant l'échéance du délai de recours. A son avis, la recourante aurait pu entreprendre à temps les démarches nécessaires auprès de son mandataire.
4. Par son argumentaire, la recourante s'en prend implicitement aux constatations de fait de la juridiction cantonale de recours relatives à la notification de la décision du 20 septembre 2010. En d'autres termes, la recourante place la discussion sur le terrain de l'<ref-law>, d'après lequel le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou violation du droit au sens de l'art. 95, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause.
A l'examen du dossier, les faits constatés dans le jugement attaqué apparaissent incomplets. En effet, l'existence d'un mandataire et d'une élection de domicile auprès de ce dernier pour la procédure administrative AI n'a pas été mentionnée dans le jugement attaqué, alors que la lettre du 9 août 2010 et la procuration du 29 juillet 2010 figuraient pourtant au dossier de l'intimé qui avait été produit devant le tribunal cantonal. Dès lors que la correction de cette omission est susceptible d'influer sur le sort de la cause, ainsi qu'on va le voir, il convient de compléter d'office les constatations de l'autorité précédente, conformément à l'<ref-law>.
5. 5.1 La notification irrégulière d'une décision ne doit entraîner aucun préjudice pour les parties (<ref-law>). Cependant, la jurisprudence n'attache pas nécessairement la nullité à l'existence de vices dans la notification; la protection des parties est suffisamment garantie lorsque la notification irrégulière atteint son but malgré cette irrégularité. Il y a donc lieu d'examiner, d'après les circonstances du cas concret, si la partie intéressée a réellement été induite en erreur par l'irrégularité de la notification et a, de ce fait, subi un préjudice. Il convient à cet égard de s'en tenir aux règles de la bonne foi qui imposent une limite à l'invocation du vice de forme (<ref-ruling> consid. 3a/aa p. 99, 111 V 149 consid. 4c p. 150 et les références; arrêt C 196/00 du 10 mai 2001 consid. 3a et les références, in DTA 2002 p. 65). Cela signifie notamment qu'une décision, fût-elle notifiée de manière irrégulière, peut entrer en force si elle n'est pas déférée au juge dans un délai raisonnable (arrêt I 982/06 du 17 juillet 2007, citant SJ 2000 I p. 118 consid. 4).
Le Tribunal fédéral des assurances a eu l'occasion de préciser dans quel délai une partie est tenue d'attaquer une décision lorsque celle-ci n'est pas notifiée à son représentant - dont l'existence est connue de l'autorité -, mais directement en ses mains. Dans de telles situations, il a jugé que l'intéressé doit, en vertu de son devoir de diligence, se renseigner auprès de son mandataire de la suite donnée à son affaire au plus tard le dernier jour du délai de recours depuis la notification de la décision litigieuse, de sorte qu'il y a lieu de faire courir le délai de recours dès cette date (arrêt C 168/00 du 13 février 2001 consid. 3c, résumé in RSAS 2002 p. 509; arrêt C 196/00 précité consid. 3a). Cette pratique a été confirmée récemment, à la lumière de la CEDH et de la LPGA (arrêt 9C_85/2011 du 17 janvier 2012 consid. 6.2, 6.3 et 6.8).
5.2 Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>).
En vertu de la jurisprudence précitée, le délai de recours contre la décision de l'office intimé du 20 septembre 2010 - dont il est constant qu'elle a été effectivement reçue par la recourante le 22 septembre 2010 - a commencé à courir le 22 octobre 2010 pour arriver à échéance le 22 novembre 2010. En adressant l'acte de recours à l'autorité de première instance le 27 octobre 2010, Y._, qui s'était présenté à cette occasion en qualité de nouveau représentant de la recourante, a donc agi en temps utile.
Il s'ensuit que la cause doit être renvoyée aux premiers juges afin qu'ils en reprennent l'instruction.
6. L'office intimé, qui a conclu au rejet du recours et qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>). Par ailleurs, il est débiteur d'une indemnité de dépens en faveur de la recourante qui obtient gain de cause et qui est représentée par un mandataire professionnel (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 10 mars 2011, est annulé, la cause lui étant renvoyée pour qu'elle en reprenne l'instruction.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève.
3. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève versera à la recourante la somme de 1'400 fr. (y compris la TVA) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 28 février 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Berthoud