wird festgestellt und in Erwägung gezogen:
1.- Auf Antrag der Ausgleichskasse Luzern wurde über die X._ AG am 16. August 2001 der Konkurs wegen Zahlungseinstellung eröffnet. Das kantonale Obergericht hiess den Rekurs der Schuldnerin gut und hob das angefochtene Konkursdekret auf (Entscheid vom 10. Dezember 2001). Mit staatsrechtlicher Beschwerde wegen Verletzung von <ref-law> (Schutz vor Willkür) beantragt die Ausgleichskasse Luzern zur Hauptsache den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
2.- Ohne vorgängige Betreibung kann ein Gläubiger beim Gericht die Konkurseröffnung verlangen gegen einen der Konkursbetreibung unterliegenden Schuldner, der seine Zahlungen eingestellt hat (Art. 190 Abs. 1 Ziffer 2 SchKG). Der kantonal letztinstanzliche Entscheid über die beantragte Konkurseröffnung ohne vorgängige Betreibung unterliegt auf Bundesebene einzig der staatsrechtlichen Beschwerde (<ref-ruling> E. 1 S. 55 und weitere Nachweise bei Braconi, Les voies de recours au Tribunal fédéral dans les contestations de droit des poursuites, FS Schuldbetreibung und Konkurs im Wandel, Basel 2000, S. 249 ff., S. 253 bei/in Anm. 36-40).
3.- Die Beschwerdeführerin will die Zahlungseinstellung der Schuldnerin durch einen Auszug aus dem Betreibungsregister per 25. Januar 2002 belegen. Die Vorgehensweise ist unzulässig, zumal das Bundesgericht im Rahmen einer Willkürbeschwerde gegen die Verweigerung der Konkurseröffnung neue Belege nicht berücksichtigt (<ref-ruling> E. 2a S. 39) und auf die tatsächlichen Verhältnisse abstellt, wie sie im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids, d.h. hier am 10. Dezember 2001, gegeben waren (<ref-ruling> E. 3a S. 283/284). Die Beschwerdeführerin bezeichnet es ferner als aktenwidrig, dass die Beschwerdegegnerin im Mai 2001 Fr. 24'000.-- an sie bezahlt haben wolle. Die Aktenwidrigkeitsrüge ist unbegründet.
Die behauptete Feststellung findet sich im angefochtenen Urteil nicht. Es heisst, die Beschwerdegegnerin habe "im April 2001 und im Mai 2001 Zahlungen im Umfang von Fr. 91'935. 35 geleistet, darunter Fr. 11'197. 05 an die Klägerin (scil. Beschwerdeführerin) persönlich" (E. 3.3. S. 6). Die Bezahlung dieses Betrags lässt sich dem von der Beschwerdeführerin angerufenen Beleg Nr. 4 entnehmen (Einzahlungen vom 12. April 2001 über Fr. 5'515. 20 und Fr. 46.65, beide eingegangen am 17. ds., und vom 16. Mai 2001 über Fr. 5'635. 20, eingegangen am 17. ds.). Weitere auf den Sachverhalt bezogene Vorbringen der Beschwerdeführerin erfüllen die gesetzlichen Anforderungen an die Begründung nicht (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG); ein klarer Widerspruch zu den Akten ist anhand der beanstandeten Feststellung und der Aktenstelle genau zu belegen, und wo willkürliche Beweiswürdigung gerügt wird, muss dargelegt werden, worin die qualifiziert falsche Wertung des Beweisergebnisses liegt (vgl. dazu Galli, Die rechtsgenügende Begründung einer staatsrechtlichen Beschwerde, SJZ 81/1985 S. 121 ff., S. 127 Ziffer 2.2). In tatsächlicher Hinsicht ist nach dem Gesagten vom obergerichtlichen Entscheid auszugehen.
4.- Zahlungseinstellung im Sinne von Art. 190 Abs. 1 Ziffer 2 SchKG liegt vor, wenn der Schuldner unbestrittene und fällige Forderungen nicht mehr bezahlt, Betreibungen gegen sich auflaufen lässt u.a.m.; der Konkursgrund setzt nicht voraus, dass der Schuldner sämtliche Zahlungen eingestellt hat, sondern es genügt, wenn sich die Zahlungseinstellung auf einen wesentlichen Teil des Geschäftsbetriebs bezieht. Auf die zutreffende Darstellung des Obergerichts kann verwiesen werden (E. 3.2. S. 4 ff.; zuletzt: Urteile des Bundesgerichts 5P.412/1999 vom 17. Dezember 1999, E. 2b, in: SJ 2000 I S. 250 f., und 5P.442/1993 vom 15. Dezember 1993, E. 3a, in:
SJ 1994 S. 435). Dass die Beschwerdegegnerin ihren anerkannten Zahlungsverpflichtungen nicht mehr nachgekommen ist, dass sie eine Vielzahl erfolgloser Betreibungen gegen sich hat durchführen lassen und dass sie namentlich die Beschwerdeführerin als eine ihrer Hauptgläubigerinnen nicht befriedigt hat, ist im Grundsatz unbestritten und rechtfertigte an sich die Annahme des erwähnten Konkursgrundes.
Für das Obergericht ist indessen entscheidend gewesen, dass die Zahlungseinstellung dauerhaft sein muss; es darf nicht erwiesenermassen bloss eine vorübergehende Zahlungsschwierigkeit vorliegen, sondern der Schuldner muss sich auf unabsehbare Zeit in dieser Lage befinden (BGE 23 I 181 E. 5 S. 187; <ref-ruling> E. 4b S. 155 und die seitherige Rechtsprechung). Dass eine Zahlungseinstellung auf unbestimmte Zeit ("dauernd" bzw. "durable") notwendig ist, folgt aus dem Konkursgrund selbst, wie das Obergericht zutreffend hervorgehoben hat (E. 3.2. S. 4). Denn die sofortige Konkurseröffnung ist im Grunde genommen nur bei Zahlungsunfähigkeit gerechtfertigt, deren äusserlich erkennbares Merkmal in der Zahlungseinstellung besteht; diese statt eigentlicher Zahlungsunfähigkeit nachzuweisen, fällt dem Gläubiger leichter (Fritzsche/Walder, Schuldbetreibung und Konkurs nach schweizerischem Recht, II, 3.A. Zürich 1993, § 38 N. 10, S. 91; Gilliéron, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, III, Lausanne 2001, N. 28 zu <ref-law>, mit Nachweisen). Zur Bestimmung des Zeitmasses, ab welchem die Zahlungseinstellung als dauernd geltend kann, müssen stets die Begleitumstände des Einzelfalls mitberücksichtigt werden (vgl. dazu Werner Baumann, Die Konkurseröffnung nach dem Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Zürich 1978, Druck 1979, S. 50 ff.). Dies und die Unbestimmtheit des Rechtsbegriffs der Zahlungseinstellung eröffnen dem Konkursgericht einen weiten Spielraum des Ermessens (Gilliéron, N. 27 zu <ref-law>, mit Nachweisen).
Das Obergericht hat der Beschwerdegegnerin geglaubt, sie habe ihre Geschäftstätigkeit nur vorübergehend eingestellt, diese jedoch im April 2001 wieder aufgenommen. Es ist davon ausgegangen, die Darstellung werde durch die Zahlungen von mehr als Fr. 90'000.-- innerhalb zweier Monate belegt, zumal die Beschwerdegegnerin im Januar 2001 laut Verlustschein keine pfändbaren Aktiven besessen habe. Den Einwand der Beschwerdeführerin, die offenen Monatspauschalen vom Mai 2001 bis August 2001 dokumentierten die Zahlungseinstellung zusätzlich, hat das Obergericht mit der Begründung verworfen, die Zeitspanne sei zu kurz, um eine dauernde Zahlungseinstellung annehmen zu können (E. 3.3. S. 6 f.). Es ist vor <ref-law> haltbar, die Zahlungseinstellung als Ausdruck von Zahlungsunfähigkeit zu verneinen, wenn Gläubiger im Umfang von über Fr. 90'000.-- befriedigt werden können. Davon durfte das Obergericht willkürfrei ausgehen, und entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin ist in Anbetracht dieses Betrags eine Zahlungseinstellung auf unbestimmte Zeit nicht erwiesen. Unter dem eingeschränkten Blickwinkel der Willkür (<ref-law>) in den obergerichtlichen Ermessensentscheid einzugreifen, besteht kein Grund (<ref-ruling> E. 2c S. 109; <ref-ruling> E. 3c S. 10).
Die Beschwerdeführerin erhebt schliesslich den Einwand, die Zahlungen der Beschwerdegegnerin von April und Mai 2001 dienten offensichtlich lediglich dazu, um behaupten zu können, die Zahlungen seien nicht eingestellt bzw. der Betrieb sei wieder aufgenommen worden. Die erwähnten Zahlungen hatte die Beschwerdegegnerin in ihrem Rekurs an das Obergericht behauptet, um ihre Zahlungseinstellung zu widerlegen (S. 4 f. Ziffer 6 der Rekurseingabe, amtl. Bel. 1). In ihrer dreiseitigen Vernehmlassung erhob die Beschwerdeführerin keinen mit ihrem heutigen inhaltlich übereinstimmenden Einwand (amtl. Bel. 6). Das rechtliche Vorbringen ist insoweit neu und im Rahmen der Willkürbeschwerde gegen ein Konkursdekret unzulässig (<ref-ruling> E. 2a S. 39), zumal auch nicht erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gegeben hat, sondern bereits die Rekurseingabe der Beschwerdegegnerin im kantonalen Verfahren (vgl. zu den Ausnahmen vom Novenverbot: <ref-ruling> E. 4a S. 122; <ref-ruling> E. 3a S. 10). Im angefochtenen Entscheid fehlen zudem die tatsächlichen Feststellungen, die die rechtliche Beurteilung gestatteten, die Beschwerdegegnerin habe mit ihren Zahlungen bloss den drohenden Konkurs abzuwenden beabsichtigt; auch die Erfüllung des Rechtsmissbrauchstatbestandes bedarf der Tatsachengrundlage (<ref-ruling> E. 3d S. 63). Ob die Vorgehensweise der Beschwerdegegnerin ihre Zahlungseinstellung dokumentiert und deshalb der Konkurs wegen offenbaren Rechtsmissbrauchs eröffnet werden könnte, mag somit dahingestellt bleiben (vgl. dazu Brunner, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, II, Basel 1998, N. 17 zu <ref-law>).
Aus den dargelegten Gründen kann nicht gesagt werden, das Obergericht habe die Zahlungseinstellung im Sinne von Art. 190 Abs. 1 Ziffer 2 SchKG willkürlich verneint. Bei diesem Ergebnis stellt sich die Frage nicht mehr, ob die Herbeiführung eines Konkurses gestützt auf <ref-law> auch für öffentlich-rechtliche Forderungen möglich ist (vgl. Urteil des Bundesgerichts 5P.114/1999 vom 25. Mai 1999, E. 3, zusammengefasst in: SJ 1999 I 497).
5.- Die unterliegende Beschwerdeführerin wird kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 und 2 OG; <ref-ruling> Nr. 30).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 5'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern (Schuldbetreibungs- und Konkurskommission als Rekursinstanz) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 7. März 2002
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: