Faits:
A. X._ et dame X._, tous deux nés en 1968, se sont mariés le 12 juin 1992. Une fille est issue de leur union: A._, née le 24 janvier 1999.
Les époux se sont séparés en mars 2002 et leur conflit a rendu nécessaires d'innombrables décisions de mesures protectrices de l'union conjugale, relatives essentiellement à la garde et aux relations personnelles avec l'enfant. Celle-ci est restée avec sa mère depuis la séparation des époux. Le droit de visite reconnu au père ne s'est pas déroulé sans heurts, malgré l'institution par le juge matrimonial, le 11 juin 2002, d'une curatelle aux relations personnelles.
Par jugement du 23 mars 2007, le Tribunal matrimonial du district de Neuchâtel a prononcé le divorce des époux, attribué à la mère l'autorité parentale et la garde sur l'enfant, sous réserve d'un droit de visite en faveur du père, et maintenu la curatelle aux relations personnelles. Il a par ailleurs fixé le montant de la contribution due par le père pour l'entretien de sa fille, liquidé le régime matrimonial et ordonné le partage par moitié des prestations de sortie LPP.
B. Sur appel du mari, qui s'en prenait notamment à l'attribution de l'autorité parentale à la mère et à la méthode de fixation de la pension mise à sa charge, et sur appel de l'épouse, qui se plaignait du partage LPP, le Tribunal cantonal neuchâtelois a, par arrêt du 3 décembre 2007, réduit le montant de la pension d'entretien mise à la charge du père, dit qu'il n'y avait pas lieu de partager les prestations de sortie accumulées par les époux durant leur mariage et confirmé le jugement du tribunal de district pour le surplus.
C. Par acte du 22 janvier 2008, le mari a interjeté un recours en matière civile contre l'arrêt du Tribunal cantonal, qu'il conteste sur les points suivants: "retrait de l'autorité parentale au père, attribution de la garde, partage LPP, refus de l'audition de l'enfant".
Le 21 février 2008, le recourant a sollicité implicitement l'assistance judiciaire.
Le dépôt de réponses n'a pas été requis.

Considérant en droit:
1. Le mémoire de recours en matière civile au sens des <ref-law> doit contenir les conclusions et les motifs à l'appui de celles-ci (<ref-law>). Les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (<ref-law>).
Pour satisfaire à cette obligation de motiver, qui correspond à celle de l'art. 55 al. 1 let. c OJ (Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4000 ss, p. 4093), le recourant doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (arrêt 1C_380/2007 du 19 mai 2008, consid. 2.1, destiné à la publication). Il n'est pas indispensable que le recourant indique expressément les dispositions légales - le numéro des articles de loi - ou qu'il désigne expressément les principes non écrits de droit qui auraient été violés; il suffit qu'à la lecture de son exposé, on comprenne clairement quelles règles de droit auraient été, selon lui, transgressées par l'autorité cantonale (cf. à propos de l'art. 55 al. 1 let. c OJ, les <ref-ruling> consid. 2a p. 400; <ref-ruling> consid. 3 p. 748 et les arrêts cités). Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral applique en effet d'office le droit (<ref-law>).
Toutefois, si le recourant se plaint de la violation de droits fondamentaux ou de dispositions de droit cantonal ou intercantonal, il doit, comme sous l'empire de l'art. 90 al. 1 let. b OJ, satisfaire au principe d'allégation: il doit indiquer précisément quelle disposition constitutionnelle ou légale a été violée et démontrer par une argumentation précise en quoi consiste la violation. Le Tribunal fédéral n'examine en effet de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (<ref-law>), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 6). Ainsi, si le recourant se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.), il ne peut se contenter de critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où la juridiction supérieure jouit d'une libre cognition; en particulier, il ne saurait se limiter à opposer son opinion à celle de l'autorité cantonale, mais il doit démontrer par une argumentation précise que cette décision se fonde sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (arrêt 1C_380/2007 déjà cité, consid. 2.2 et la jurisprudence citée).
2. Outre qu'il ne contient formellement aucune conclusion, le mémoire de recours ne satisfait manifestement pas aux exigences de motivation susmentionnées, car il ne comporte que de simples affirmations toutes générales et ne s'en prend pas à des arguments précis de l'autorité cantonale.
S'agissant plus particulièrement du sort de l'enfant, la critique du recourant consiste en cette seule phrase: "L'on refusera aussi d'entendre ma fille de 9 ans, afin de permettre d'écrire des mensonges et prendre des décisions inappropriées", ce qui s'avère nettement insuffisant comme motivation. Certes, il y a un devoir de principe d'entendre un enfant de 9 ans; il découle sans autre de la loi (<ref-law>) et de la jurisprudence (<ref-ruling>). En l'espèce, il faut toutefois tenir compte du fait que le différend familial opposant les parties a débuté en 2002, alors que l'enfant, âgée de 3 ans, était manifestement trop petite pour être entendue; en outre, l'épouse a quitté son mari à ce moment-là déjà en emmenant sa fille avec elle pour s'établir hors du canton de Neuchâtel. Les procédures se sont ensuite succédées les unes aux autres pour aboutir au prononcé du divorce le 23 mars 2007. En instance de divorce, le recourant n'a pas déposé de réponse écrite. Une expertise psychiatrique, qui devait porter également sur la fille des parties et à laquelle le recourant avait pourtant donné son consentement, n'a pas pu être mise en oeuvre faute de collaboration de sa part. L'<ref-law> aurait néanmoins commandé d'entendre l'enfant ou tout au moins de se poser la question d'une telle audition, dès lors que la jurisprudence du 1er juin 2005 concernant l'âge limite de 6 ans (<ref-ruling>) était publiée depuis longtemps au moment du divorce (23 mars 2007) et que l'enfant était alors âgée de 8 ans. Dans son appel cantonal, où il a pris diverses conclusions, y compris de nature procédurale, le recourant n'a toutefois pas contesté l'absence d'audition de l'enfant, ni non plus exigé la réparation de cette omission. Il ne l'a pas davantage fait dans une écriture ultérieure du 15 mai 2007 ou à l'audience d'appel du 3 décembre 2007 à laquelle les parties ont assisté et pu développer leurs arguments.
Le grief de violation du devoir d'audition de l'enfant s'avère donc non seulement insuffisamment motivé au regard de l'<ref-law>, mais encore tardif, voire abusif dès lors qu'il est soulevé en instance fédérale seulement alors qu'il aurait pu l'être en instance cantonale. Au demeurant, le devoir d'audition de l'enfant n'est pas absolu et les éléments du dossier ne permettent pas de retenir que dans les circonstances données une telle audition s'imposait. Comme on l'a relevé plus haut, des motifs importants pouvaient s'y opposer.
3. Il résulte de ce qui précède que le recours doit être déclaré irrecevable.
Vu l'échec prévisible du recours, la requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>) et les frais judiciaires mis à la charge du recourant.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. La demande d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la IIe Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 30 avril 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Raselli Fellay