Sachverhalt:
A.
A.A._, wohnhaft in U._ AR, erwarb im Jahr 1985 in St. Gallen eine Liegenschaft mit Mietwohnungen. Dabei übernahm er für 25 Jahre Rechte sowie Pflichten gegenüber der Schweizerischen Eidgenossenschaft aus der Finanzierung der Liegenschaft mit Grundverbilligungsvorschüssen gemäss dem Wohnbau- und Eigentumsförderungsgesetz des Bundes vom 4. Oktober 1974 (WEG; SR 843). Im Jahr 2009 kamen das Bundesamt für Wohnungswesen (BWO) und A.A._ überein, den WEG-Vertrag so aufzulösen, dass A.A._ für die bisher nicht zurückbezahlten Grundverbilligungsvorschüsse und darauf aufgelaufene Schuldzinsen von insgesamt Fr. 1'685'675.45 noch eine Schlusszahlung von Fr. 577'325.-- leistete.
B.
Die erlassene Restschuld gegenüber der Schweizerischen Eidgenossenschaft in der Höhe von Fr. 1'108'350.45 erfasste die Steuerverwaltung des Kantons Appenzell A.Rh. für die Staats- und die direkte Bundessteuer 2009 als steuerbares Einkommen. Dagegen erhoben A.A._ und B.A._ erfolglos Einsprache und danach Beschwerde an das Obergericht des Kantons Appenzell A.Rh. (Urteile vom 24. April 2013 im Verfahren O5V 12 20 für die direkte Bundessteuer und im Verfahren O5V 12 18 für die Staatssteuer).
C.
Am 22. August 2013 haben A.A._ und B.A._ beim Bundesgericht Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereicht. Betreffend die Staatssteuer (Verfahren 2C_734/2013) und die direkte Bundessteuer (2C_733/2013) stellen sie im Wesentlichen den Antrag, die obergerichtlichen Urteile vom 24. April 2013 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz (eventualiter an die Veranlagungsbehörde) zurückzuweisen.
Die Steuerverwaltung und das Obergericht des Kantons Appenzell A.Rh. sowie die Eidgenössische Steuerverwaltung schliessen auf Abweisung der Beschwerde (n). Die Steuerverwaltung des Kantons St. Gallen wurde vom Bundesgericht ebenfalls eingeladen, eine Vernehmlassung einzureichen, hat aber darauf verzichtet.

Erwägungen:
I. Formelles
1.
1.1. Die vorliegenden Beschwerden richten sich gegen zwei praktisch übereinstimmende Urteile, betreffen dieselben Parteien und werfen identische Rechtsfragen auf. Es rechtfertigt sich deshalb, die Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 60 f. mit Hinweis).
1.2. Die Beschwerden sind zulässig (vgl. <ref-law> in Verbindung mit Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG, SR 642.11] sowie Art. 73 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG, SR 642.14]).
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist daher weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen.
II. Direkte Bundessteuer
2.
<ref-law> bringt im Bereich der Besteuerung des Einkommens natürlicher Personen das Konzept der Reinvermögenszugangstheorie zum Ausdruck. Danach unterliegen aufgrund der Generalklausel von <ref-law> und des nicht abschliessenden Positivkatalogs (Art. 17-23 DBG) alle wiederkehrenden und einmaligen Einkünfte der direkten Bundessteuer. Vorbehalten bleiben die Kapitalgewinne aus der Veräusserung von Privatvermögen (<ref-law>) und die im Negativkatalog von <ref-law> abschliessend aufgezählten Fälle.
2.1. Der Reinvermögenszugang, wie er <ref-law> zugrunde liegt, besteht in einer Nettogrösse. Er entspricht dem Überschuss aller Vermögenszugänge gegenüber den Vermögensabgängen derselben Steuerperiode. Einkommen ist demgemäss die Gesamtheit derjenigen Wirtschaftsgüter, die einem Individuum während der massgeblichen Steuerperiode zufliessen, und die es ohne Schmälerung seines Vermögens zur Befriedigung seiner persönlichen Bedürfnisse und für seine laufende Wirtschaft verwenden kann (vgl. zum Ganzen u.a. <ref-ruling> E. 2.1 S. 365 f.; Urteil 2C_95/2013 vom 21. August 2013 in ASA 82, S. 227, je mit weiteren Hinweisen; siehe auch das Urteil 2A.303/1994 vom 23. Dezember 1996 E. 3a in StR 52/1997, S. 418).
2.2. Um einen Einkommenszufluss gemäss <ref-law> und der Reinvermögenszugangstheorie handelt es sich insbesondere dann, wenn eine Bank gegenüber einem Privatkunden auf Forderungen verzichtet (vgl. Urteil 2C_120/2008 vom 13. August 2008 E. 2.2 StE 2008 B 21.1 Nr. 18; zum Einkommenszufluss durch Erlass einer Geschäftsschuld: vgl. u.a. Urteil 2C_104/2013 vom 27. September 2013 in ASA 82 S. 307 E. 3.4; Urteil 2C_224/2008 vom 1. April 2009 in StE 2009 B 28 Nr. 8 E. 2.2; Urteil 2A.321/1997 vom 23. September 1999 in NStP 53, S. 175 E. 2b; ausführlich <ref-ruling> E. 4b S. 272 f.).
3.
3.1. Hier haben beide kantonalen Behörden erwogen, der Beschwerdeführer habe im Jahr 2009 einen steuerbaren Einkommenszufluss erzielt. Die kantonale Steuerverwaltung geht davon aus, dass der Zufluss auf einem steuerwirksamen Forderungsverzicht der Schweizerischen Eidgenossenschaft hinsichtlich der noch nicht zurückerstatteten Darlehens- und Zinsbeträge beruhe. Das Obergericht vertritt dagegen die Auffassung, dass die früher als Darlehensgewährung steuerfreie Zuwendung durch die nachträgliche Entwicklung zu Einkommen geworden sei. Die Vorinstanz hat die strittige Leistung somit unter einem anderen Rechtstitel besteuert als die Beschwerdegegnerin.
Eine solche Motivsubstitution, mit der ein Sachverhalt mit anderen Argumenten im Ergebnis rechtlich gleich gewürdigt wird, ist zulässig, ohne dass der davon betroffenen Verfahrenspartei die Gelegenheit zur vorgängigen Stellungnahme einzuräumen gewesen wäre. Ein Gericht kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. für das Bundesgericht u.a. <ref-ruling> E. 3 einleitend S. 386, mit weiteren Hinweisen). Eine Gehörsverletzung liegt nicht vor.
3.2. In der Folge ist die steuerliche Beurteilung zuerst im Zusammenhang mit dem Erlass der dem Beschwerdeführer ausgerichteten Grundverbilligungsvorschüsse vorzunehmen (vgl. unten E. 4), dann betreffend die darauf aufgelaufenen und noch nicht zurückerstatteten Schuldzinsen (E. 5).
4.
4.1. Die Bundeshilfen nach WEG bezwecken die Förderung von Wohnungserstellungen, indem namentlich Wohnkosten verbilligt werden (<ref-law>). Das erfolgt durch die Ansetzung von unter der Marktmiete liegenden und von durch den Bund kontrollierten Anfangsmietzinsen (<ref-law>).
4.1.1. Der Bund kann an Liegenschafteneigentümer Grundverbilligungsvorschüsse in Form von verzinslichen Darlehen gemäss <ref-law> gewähren und darüber hinaus Zusatzverbilligungen gemäss <ref-law> ausrichten, die im Gegensatz zu den Grundverbilligungen nicht rückzahlbar sind. Der Bund gewährt die Grundverbilligungsvorschüsse, damit ein Liegenschafteneigentümer bereit und in der Lage ist, in der Anfangsphase die Liegenschaften zu einem nicht kostendeckenden Mietzins zu vermieten. Diese Darlehensbeiträge hat der Eigentümer samt aufgelaufenen Zinsen nach einem als öffentlich-rechtlichen Vertrag ausgestalteten Zahlungsplan (<ref-law>) zurückzuerstatten (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.4 S. 129).
Im Modellfall soll die Differenz zur Marktmiete durch kontinuierliche, durch den Bund kontrollierte Mietzinserhöhungen zunehmend kleiner werden und zu einem bestimmten Zeitpunkt wegfallen (sog. "Break-even"). Danach soll der Eigentümer durch weitere Mietzinserhöhungen in der Lage sein, die erhaltenen Grundverbilligungsvorschüsse und die dafür aufgelaufenen Zinsen zurückzuzahlen.
4.1.2. Die Grundverbilligungen werden demgemäss an den Vermieter als primär Begünstigten ausbezahlt, damit er die Mieten entsprechend verbilligen kann. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer sind in diesem System nicht die Mieter die Begünstigten aus den ausgerichteten Grundverbilligungen; vielmehr gelangen sie nur indirekt in den Genuss der sich aus dem Finanzierungssystem ergebenden Vorteile; die ermöglichten tieferen Mietzinsen sind nur eine mittelbare Folge der WEG-Finanzierung der Liegenschaft.
4.1.3. Gemäss der dargestellten Systematik der WEG-Finanzierung (vgl. oben E. 4.1.1) hat der Beschwerdeführer auch keine Gegenleistung für die ihm ausgerichteten Grundverbilligungsvorschüsse erbracht. Was die Beschwerdeführer als vermögenswirksame "Gegenleistungen" aufführen (Anfangsmietzins von maximal 65% der Marktmiete, Mietzinsüberwachung während der ganzen Laufzeit, Verzinsung der Grundverbilligungsvorschüsse, Abschöpfung von Mietertragsüberschüssen in der Rückzahlungsphase), sind vielmehr die Rahmenbedingungen der WEG-Finanzierung. Dazu gehört auch, dass die grundverbilligten Mietobjekte während mindestens 25 Jahren nur für Wohnzwecke verwendet werden dürfen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 129). Um in den Genuss solcher Vorschüsse zu kommen, ist es durchaus üblich, dass sich der Empfänger im Gegenzug bestimmten gesetzlichen Voraussetzungen und Einschränkungen unterziehen muss, die unter Umständen zu einer Verschlechterung seiner Ertragslage führen, indem die betroffene Tätigkeit nicht den ansonsten erzielbaren Ertrag einbringt.
4.2. WEG-Verträge wurden vom Bundesamt für Wohnungswesen in den Jahren 1975 bis 2001 abgeschlossen. Es zeigte sich jedoch, dass das Modell (vgl. oben E. 4.1.1) in der Realität nicht funktionierte und es in bestimmten Fällen angebracht sein konnte, den Verbilligungs-Empfängern ihre Darlehens- und Zinsschuld zu erlassen.
4.2.1. Die Möglichkeit eines derartigen Schuldenerlasses war im ursprünglichen Konzept der WEG-Finanzierung noch nicht vorgesehen und wurde erst mit der Gesetzesnovelle von 2002 eingeführt: Bei Mietzinsausfällen zuungunsten des Eigentümers während der WEG-Finanzierung werden nach einer maximalen Laufzeit von 30 Jahren noch nicht zurückerstattete Darlehen und Zinsforderungen aus Grundverbilligungsvorschüssen den Empfängern nunmehr erlassen (vgl. <ref-law> und Art. 21 Abs. 4 WEGV; siehe auch BBl 1973 II S. 733 und BBl 2002, S. 2882).
4.2.2. Der Erlass erfolgt, soweit die Bundeshilfeempfänger ihren Verpflichtungen aus dem Finanzierungs- und Tilgungsplan nachgekommen sind (vgl. <ref-law>) und der Ausstand nach 30 Jahren ausschliesslich auf systembedingte Schwierigkeiten des Grundverbilligungsmodells zurückzuführen ist (Botschaft über die Förderung von preisgünstigem Wohnraum vom 27. Februar 2002, BBl 2002, S. 2883).
4.3. Grundverbilligungsvorschüsse unterliegen zwar nicht im Zeitpunkt ihrer Auszahlung der Einkommenssteuer, da sie einen Darlehensempfang darstellen (vgl. oben E. 4.1.1; siehe auch das Rundschreiben der Eidg. Steuerverwaltung vom 4. April 1995 "Steuerliche Behandlung der Grund- und Zusatzverbilligungen nach dem Wohnbau- und Eigentumsförderungsgesetz vom 4. Oktober 1974", Ziff. I/1/a S. 1). Die Besteuerung hat aber dann zu erfolgen, wenn dem Empfänger die ihm ausgerichteten Grundverbilligungsvorschüsse nachträglich erlassen werden. Aufgrund und im Zeitpunkt dieses Schuldenerlasses (bzw. Forderungsverzichts aus Sicht der Eidgenossenschaft) werden aus ursprünglich rückzahlbaren Darlehensbeträgen nachträglich steuerbare Einkünfte (vgl. oben E. 2.1.2). Der Erlass bewirkt somit einen steuerbaren Reinvermögenszugang, gleich wie das für die von Anfang an nicht rückzahlbaren Zusatzverbilligungen im Zeitpunkt ihrer Ausrichtung der Fall ist (vgl. oben E. 4.1.1; siehe auch das Rundschreiben der EStV, a.a.O., Ziff. II/2 S. 3; PETER LOCHER, Kommentar zum DBG, I. Teil, 2004, Art. 21 Rz 51; Felix Richner/Walter Frei/Stefan Kaufmann/Hans Ulrich Meuter, Kommentar zum Zürcher Steuergesetz, 3. Aufl., 2013, § 21 Rz 37).
4.4. Die Vorinstanz hat - im Gegensatz zur kantonalen Steuerverwaltung - die Ansicht vertreten, es sei kein der Einkommenssteuer unterliegender Forderungsverzicht anzunehmen (vgl. oben E. 3.1). Sie nennt dafür mehrere Argumente (vgl. E. 2.1 der angefochtenen Urteile), denen indessen nicht gefolgt werden kann. Es steht ausser Streit, dass die Grundverbilligungsvorschüsse in der rechtlichen Form von Darlehen ausgestaltet wurden (vgl. oben E. 4.1.1), d.h. als rückzahlbare Beträge, denen entsprechende Forderungen der Eidgenossenschaft gegenüber dem Beschwerdeführer gegenüberstanden. Die Rückzahlungsverpflichtung hinsichtlich dieser Forderungen bestand aufgrund von <ref-law> bis zum Zeitpunkt des Erlasses gemäss <ref-law>. Auf die Rückzahlung verzichtete die Gläubigerin erst aufgrund der im Jahr 2009 abgeschlossenen Auflösungsvereinbarung; der Verzicht begründete zugunsten des Beschwerdeführers einen Reinvermögenszugang im von der Veranlagungsbehörde erfassten Umfang.
4.4.1. Unter Verweis auf das Bundesgerichtsurteil 2C_429/2010 vom 9. August 2011 (vgl. ASA 80, S. 404, insb. E. 2.2.3) hat das Obergericht an anderer Stelle der angefochtenen Urteile (vgl. dort E. 2.3.8) zu Recht selber festgehalten, dass die massgeblichen Vorschüsse (nebst Zinsen) dem Beschwerdeführer bereits im Zeitpunkt ihrer Auszahlung als Darlehen zugekommen waren. Gemäss dem Periodizitätsprinzip erhöhten sie seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit indessen erst in derjenigen Steuerperiode, in der die Rückzahlungspflicht aufgrund der mit der Eidgenossenschaft abgeschlossenen Auflösungsvereinbarung endgültig entfiel (vgl. betreffend den Zeitpunkt der Einkommensrealisierung allgemein u.a. das Urteil 2C_941/2012 vom 9. November 2013 in ASA 82 S. 375 E. 2.5) : Damit steht im Einklang, dass in bestimmten Fällen von Einkommenszufluss aufgrund geldwerter Leistungen, nämlich wenn mit der Rückzahlung eines zunächst ernst gemeinten Darlehens später nicht mehr gerechnet werden kann, auf den Zeitpunkt des Forderungsverzichts abgestellt wird, weil dieser Zeitpunkt die einzige wirklich schlüssige Anknüpfungsmöglichkeit ist, um die erbrachte Leistung bzw. den daraus folgenden Reinvermögenszugang steuerlich zu erfassen und konkret zu beziffern (<ref-ruling> E. 5.2.3 S. 65 mit weiteren Hinweisen).
4.4.2. Der Umstand, dass der Forderungsverzicht der Eidgenossenschaft unter den in <ref-law> genannten Voraussetzungen zustande kam, ändert weder an der Rechtsgültigkeit noch an der Werthaltigkeit der Forderungen bis zum Zeitpunkt des Auflösungsvertrags etwas. Selbst ein auf gesetzlichen Gründen beruhender Forderungsverzicht ist steuerlich zu erfassen. Dann kann es auch nicht darauf ankommen, ob die Forderung zu einem späteren Zeitpunkt noch werthaltig oder einklagbar gewesen wäre.
4.5. Was die Beschwerdeführer gegen die Einstufung des Schuldenerlasses als steuerbares Einkommen einwenden, vermag ebenfalls nicht zu überzeugen:
Unbehelflich ist vorab ihr Hinweis auf den durch das WEG-Finanzierungssystem auferlegten Verzicht auf eine angemessene Miete. Bei diesem Verzicht handelt es sich - wie bereits hervorgehoben (vgl. oben E. 4.1.3) - nicht um eine vom begünstigten Vermieter erbrachte Gegenleistung. Weiter ist festzuhalten, dass nicht erzielte Mietzinsen beim Beschwerdeführer auch nicht der Besteuerung unterlagen. Tritt später der Erlass der Grundverbilligungsvorschüsse an die Stelle der in den vergangenen 25 oder 30 Jahren nicht erzielten (und somit nicht versteuerten) Marktmieten, so liegt im Umfang dieser erlassenen Vorschüsse ein steuerlich relevanter Reinvermögenszugang vor.
Einkommenssteuerlich ebenso wenig von Bedeutung ist das Argument der Beschwerdeführer, dass die Entwertung des Gebäudes infolge Alter und Abnutzung zulasten des Vermieters gehe, wenn der Markt keine angemessenen Mieterträge zulasse, aus denen die notwendigen Erneuerungsinvestitionen finanziert werden können. Dem ist entgegenzuhalten, dass nicht nur bei WEG-finanzierten Grundstücken der Eigentümer die Folgen der allmählichen Abnutzung eines Gebäudes zu tragen hat. Die von den Beschwerdeführern als "Erneuerungsinvestitionen" bezeichneten Kosten sind je nachdem bei der Grundstückgewinnsteuer als wertvermehrende Kosten anrechenbar (Art. 12 Abs. 1 StHG) oder allenfalls sogar bei der Einkommenssteuer als Unterhaltskosten abziehbar (<ref-law>). Insofern wirken sich die getätigten Investitionen steuermindernd aus. Es wäre inkonsequent, Zuflüsse in Form von Einkünften unbesteuert zu lassen, wenn die Abflüsse in Form von Kosten steuerlich geltend gemacht werden können. Auf jeden Fall kann aus den genannten Kosten und Investitionen nicht hergeleitet werden, dass Einkünfte aus verfallenen Grundverbilligungsvorschüssen, die an die Stelle angemessener Mieterträge treten, steuerlich privilegiert behandelt werden müssten.
Die Beschwerdeführer machen ferner geltend, dass sie aus ihrer Liegenschaft in St. Gallen insgesamt keinen Reinvermögenszugang erfahren, sondern vielmehr einen Reinvermögensabfluss erlitten hätten, was sie mit einer Berechnung untermauern, die kalkulatorische Abschreibungen miteinbezieht. Abschreibungen (<ref-law>) sind auf Privatliegenschaften indes nicht zulässig und gehören nur bei Geschäftsliegenschaften zu den abziehbaren Kosten (<ref-law>). Im Gegenzug wird bei einer Veräusserung von Privatgrundstücken lediglich der Wertzuwachs (Erlös, soweit er die Anlagekosten übersteigt) der Grundstückgewinnsteuer unterworfen (Art. 12 Abs. 1 StHG); ansonsten sind Kapitalgewinne auf Privatgrundstücken steuerfrei (<ref-law>; Art. 7 Abs. 4 lit. b StHG).
5.
5.1. Mit den allgemeinen Abzügen (Art. 33 und Art. 33a DBG) wird tatsächlichen Aufwendungen, die der Steuerpflichtige erbracht hat, Rechnung getragen (vgl. Rainer Zigerlig, in: Zweifel/Athanas, Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer, 2. Aufl., 2008, Art. 33 Rz 1). Steuerlich abziehbar sind somit effektiv bezahlte Schuldzinsen. Unbezahlte Schuldzinsen können nicht abgezogen werden (vgl. Richner/Frei/Kaufmann/Meuter, a.a.O., § 50 Rz 91 f.; siehe auch das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Freiburg vom 26. April 2002, StE 2003 B 27.2 Nr. 26 = FZR 2002, 185).
5.2. Bei der WEG-Finanzierung beginnt die Verzinsung von Anfang an mit Ausrichtung der ersten Grundverbilligungsvorschüsse zu laufen. Die Fälligkeit der Zinsen ist aber aufgeschoben; sie werden zu den Schulden geschlagen. Soweit die aufgelaufenen Schuldzinsen periodisch von den steuerbaren Einkünften abgezogen werden (was gemäss Rundschreiben ESTV, a.a.O., Ziff. I.1.b S. 2 zulässig ist und hier von den Beschwerdeführern in ihren jeweiligen Steuererklärungen tatsächlich auch so gehandhabt wurde), ergibt sich daraus Zweierlei: Einerseits stellen die Schuldzinsen später bei der tatsächlichen Bezahlung nicht abziehbare Schuldrückzahlungen dar (vgl. u.a. Richner/Frei/Kaufmann/Meuter, a.a.O., § 31 Rz 12) und können dann nicht nochmals einkommensmindernd in Abzug gebracht werden. Andererseits ist ein späterer Erlass von zuvor bereits steuerlich in Abzug gebrachten Schuldzinsen als ausserordentliches Einkommen zu erfassen. Ansonsten würden sich nicht (mehr) tatsächlich zu entrichtende Schuldzinsen, denen kein früherer, aktueller oder künftiger Vermögensabgang gegenübersteht, auf systemwidrige Weise steuermindernd auswirken.
5.3. Was die Beschwerdeführer gegen die Erfassung der erlassenen Schuldzinsen als steuerbares Einkommen vorbringen, vermag nicht durchzudringen:
Die Beschwerdeführer wollen namentlich aus <ref-law> ableiten, dass sämtliche Schuldzinsen bezahlt worden seien, weil ansonsten kein Erlass gewährt worden wäre. Aus dieser Bestimmung ergibt sich aber lediglich, dass als Voraussetzung für den Erlass der Restschuld aus der WEG-Finanzierung die fälligen Vorschüsse und die (fälligen) Zinsbetreffnisse (die jeweils zur Darlehensschuld hinzugeschlagen und erst später tatsächlich entrichtet werden), bezahlt sein müssen. Dass der Beschwerdeführer nicht sämtliche Zinsen bezahlt haben kann, ergibt sich daraus, dass insgesamt Zinsen von Fr. 1'385'800.45 aufgelaufen waren, der Beschwerdeführer aber insgesamt nur Zahlungen in der Höhe von Fr. 1'294'833.-- leistete. In welchem Ausmass die Leistungen des Beschwerdeführers in der Rückzahlung von Vorschüssen und der Begleichung von Schuldzinsen bestanden, ist unerheblich, weil beide Vorgänge dieselben Einkommenssteuerfolgen haben.
Im Übrigen profitierten die Beschwerdeführer sogar von einem Zinsvorteil, als sie die Schuldzinsen teilweise vor vielen Jahren einkommenssteuerwirksam abziehen konnten, und diese Beträge erst im Zeitpunkt des Erlasses im Jahre 2009 versteuern müssen. Aus einer nachträglichen Perspektive könnte es sachgerechter gewesen sein, wenn die Zinsen steuerlich nie zum Abzug gebracht worden wären, womit deren Erlass im Jahre 2009 auch nicht steuerbar wäre. Für diesen Zinsvorteil erfolgt aber keine steuerliche Korrektur. Desgleichen wird die von den Beschwerdeführern gewünschte Diskontierung auf dem Barwert der bis zum 31. Oktober 2013 fälligen Amortisationen und Zinsen vom Grundsatz der Einkommensbesteuerung ausgeschlossen, wonach Reinvermögenszugänge stets im Nominalbetrag steuerbar sind. Das schweizerische Steuerrecht kennt keine zinsbereinigte Einkommenssteuer.
III. Kantons- und Gemeindesteuern
6.
Die für die Staatssteuer massgeblichen Gesetzesvorschriften (vgl. insb. die Generalklausel von Art. 7 Abs. 1 Satz 1 StHG und Art. 19 des Steuergesetzes des Kantons Appenzell A.Rh. vom 21. Mai 2000 [StG/AR; bGS 621.11]; für den Schuldzinsenabzug: siehe Art. 9 Abs. 2 lit. a StHG und Art. 35 Abs. 1 lit. a StG/AR) stimmen mit denjenigen überein, die für die direkte Bundessteuer gelten. Somit ist für die Kantons- und Gemeindesteuern ebenfalls ein Einkommenszufluss in dem von der Veranlagungsbehörde erfassten und vom Obergericht bestätigten Betrag anzunehmen.
IV. Verbot der interkantonalen Doppelbesteuerung
7.
7.1. Ein Verstoss gegen das Verbot der interkantonalen Doppelbesteuerung im Sinne von <ref-law> liegt u.a. dann vor, wenn ein Kanton in Verletzung der geltenden Kollisionsnormen seine Steuerhoheit überschreitet und eine Steuer erhebt, die einem anderen Kanton zusteht (virtuelle Doppelbesteuerung; vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 300 f. m.w.H.). Die Beschwerdeführer machen geltend, das angefochtene Urteil habe eine solche virtuelle Doppelbesteuerung zur Folge, ordne die Vorinstanz doch den von ihr angenommenen Einkommenszufluss dem beweglichen Vermögen zu, weshalb er im Wohnsitzkanton Appenzell A.Rh. zu besteuern sei. Stattdessen machen die Beschwerdeführer geltend, wenn überhaupt Einkünfte erzielt worden seien, dann solche aus unbeweglichem Vermögen. Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts sind das Grundeigentum und sein Ertrag aber grundsätzlich dem Kanton der gelegenen Sache (hier St. Gallen) zur ausschliesslichen Besteuerung vorbehalten (vgl. u.a. das Urteil 2P.65/2006 vom 31. August 2006 in RDAF 2006 II S. 518 E. 2.2).
7.2. Im Urteil 2C_44/2008 vom 28. Juli 2008 hat sich das Bundesgericht ausführlich mit den Steuerfolgen der WEG-Finanzierung und namentlich der Rückzahlung (mit Einschluss eines allfälligen Erlasses) von Grundverbilligungsvorschüssen auseinandergesetzt (vgl. dort E. 3.2). Es hat einen untrennbaren Zusammenhang zwischen der betroffenen Liegenschaft und der zugesprochenen Finanzierung (inkl. deren Rückerstattung) angenommen. Daran ist festzuhalten, was hier dazu führt, dass der vom Beschwerdeführer im Jahr 2009 realisierte Einkommenszufluss seinem unbeweglichen Vermögen zuzuweisen ist (vgl. hinsichtlich der Zusatzverbilligungen LOCHER, a.a.O., Art. 21 Rz 51; diesem folgend ROGER M. CADOSCH, Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer, 2008, Art. 21 Rz 4; RICHNER/FREI/KAUFMANN/MEUTER, a.a.O., § 21 Rz 37). Die erlassenen Grundverbilligungsvorschüsse kompensieren die Mietzinsverluste, welche der Liegenschafteneigentümer infolge der Auflagen aus dem öffentlich-rechtlichen WEG-Vertrag erlitten hat und die ihm die vollständige Rückzahlung der Grundverbilligungsvorschüsse aus ökonomischen Gründen verunmöglichten (vgl. oben E. 4.1.1). Deshalb rechtfertigt es sich, den staatlichen Einkommensersatz (in Form eines Schulderlasses seitens der Gläubigerin; vgl. E. 4.3) interkantonal gleich zuzuteilen wie jene Einkünfte, an deren Stelle sie treten. Das Gleiche gilt für die erlassenen Zinsen.
7.3. Eine Besteuerungskompetenz des Kantons Appenzell A.Rh. hinsichtlich des hier massgeblichen Einkommenszuflusses scheidet somit aus:
7.3.1. Ein Finanzertrag kann hier schon deshalb nicht vorliegen, weil ein solcher ein Guthaben (vgl. <ref-law> u. Art. 23 Abs. 1 lit. a StG/AR, z.B. ein Aktivdarlehen) oder sonstiges bewegliches Vermögen (vgl. Art. 20 Abs. 1 Ingress DBG und Art. 23 Abs. 1 Ingress StG/AR) voraussetzt, auf dem ein Zins oder eine sonstige Rendite erzielt worden wäre.
7.3.2. Ebenso wenig handelt es sich um übriges Einkommen (im Sinne von Art. 16 Abs. 1 und Art. 23 DBG bzw. Art. 19 Abs. 1 und Art. 26 StG/AR). Übrige Einkünfte sind nur dann dem Wohnsitzort zuzuordnen, wenn sie keinen Zusammenhang mit dem Vermögen des Steuerpflichtigen haben. Wie bereits dargelegt (vgl. oben E. 7.2) ist hier ein untrennbarer Zusammenhang zwischen den massgeblichen Einkünften und dem unbeweglichen Vermögen der Beschwerdeführer zu bejahen.
V. Kosten und Entschädigung
8.
8.1. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde betreffend die Staats- und die Gemeindesteuern gutzuheissen. Die Vorinstanz hat wohl im Umfang des von der Veranlagungsbehörde erfassten Betrags zutreffend einen steuerbaren Einkommenszufluss angenommen, diesen Zufluss aber zu Unrecht dem beweglichen Vermögen der Beschwerdeführer und somit der Besteuerungskompetenz des Wohnsitzkantons Appenzell A.Rh. zugewiesen. Demgemäss ist das angefochtene Urteil vom 24. April 2013 (Verfahren O5V 12 18) aufzuheben und ist die Sache zum Neuentscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
8.2. Betreffend die direkte Bundessteuer ist die Beschwerde dagegen abzuweisen. Gemäss <ref-law> erheben die kantonalen Steuerbehörden die Bundessteuer von den natürlichen Personen, die am Ende der Steuerperiode oder der Steuerpflicht ihren steuerlichen Wohnsitz oder, wenn ein solcher in der Schweiz fehlt, ihren steuerrechtlichen Aufenthalt im Kanton haben. Nach dieser Bestimmung ist die Steuerverwaltung des Kantons Appenzell A.Rh. - ungeachtet der sich aufdrängenden Qualifizierung des Reinvermögenszugangs als Einkommen aus unbeweglichem Vermögen - zur Erhebung der direkten Bundessteuer befugt.
8.3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens je hälftig den Beschwerdeführern (unter Solidarhaft) und dem Kanton Appenzell A.Rh. aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Die Beschwerdeführer haben Anspruch auf eine entsprechend reduzierte Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_733/2013 und 2C_734/2013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird hinsichtlich der direkten Bundessteuer abgewiesen.
3.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuern gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Appenzell A.Rh. vom 24. April 2013 (Verfahren O5V 12 18) wird aufgehoben, und die Sache wird zum Neuentscheid im Sinne der Erwägungen an das Obergericht des Kantons Appenzell A.Rh. zurückgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 10'000.-- werden zu Fr. 5'000.-- den Beschwerdeführern (unter solidarischer Haftbarkeit) und zu Fr. 5'000.-- dem Kanton Appenzell A.Rh. (kantonale Steuerverwaltung) auferlegt.
5.
Der Kanton Appenzell A.Rh. (kantonale Steuerverwaltung) hat den Beschwerdeführern für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 5'000.-- zu bezahlen.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht des Kantons Appenzell A.Rh. sowie der Steuerverwaltung des Kantons St. Gallen und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juni 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Matter