internationale Schiedsgerichtsbarkeit; rechtliches Gehör, hat sich ergeben:
A.- Am 23. Juli 1997 veröffentlichte die Schweizerische Bankiervereinigung in in- und ausländischen Zeitungen die Namen von Personen, deren Konten vor dem Ende des Zweiten Weltkrieges von Nichtschweizern eröffnet worden und seither nachrichtenlos geblieben waren. Wer sich bezüglich eines der publizierten Konten berechtigt glaubte, wurde eingeladen, bei der Treuhandfirma ATAG Ernst & Young in Basel ein Anspruchsformular ("Claim Form") einzureichen.
Auf der publizierten Liste fand sich auch der Name Princess Catherine Duleep Singh (fortan Kontoinhaberin). Am 12. November 1997 erhob A._ (Beschwerdeführer) mit dem vorgesehenen Formular Anspruch auf deren Konto. Die ATAG leitete das Begehren des Beschwerdeführers an die kontoführende Bank (Beschwerdegegnerin) weiter, welche es am 18. Mai 1998 jedoch ablehnte, dem Beschwerdeführer ihre Identität und den Kontostand offenzulegen. Sie begründete dies damit, dass der Beschwerdeführer keine Dokumente vorlege, welche seine Erbberechtigung zu erstellen vermöchten.
B.- Am 25. Oktober 1999 lehnte es ein Einzelschiedsrichter des Schiedsgerichtes für Nachrichtenlose Konten in der Schweiz (fortan Schiedsgericht) ebenfalls ab, den Namen der Beschwerdegegnerin offenzulegen. Gleich entschied am 28. April 2000 ein hierauf mit der Sache befasstes Dreiergremium desselben Schiedsgerichtes.
C.-Der Beschwerdeführer hat gegen den Entscheid des Schiedsgerichtes für Nachrichtenlose Konten in der Schweiz vom 28. April 2000 staatsrechtliche Beschwerde erhoben.
Darin beantragt er dem Bundesgericht, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an das Schiedsgericht zurückzuweisen. Im Rahmen einer vorsorglichen Massnahme sei der Beschwerdegegnerin überdies zu untersagen, irgendwelche Vermögenswerte der Kontoinhaberin an Dritte herauszugeben. Die Beschwerdegegnerin schliesst in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde. Das Schiedsgericht beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten.
D.- Mit Präsidialverfügung vom 29. Juni 2000 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Erlass einer vorsorglichen Massnahme abgewiesen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Der Beschwerdeführer begründet die Zulässigkeit seines Rechtsmittels mit Art. 191 Abs. 1 des Bundesgesetzes über das Internationale Privatrecht (IPRG; SR 291), wonach das Bundesgericht einzige Instanz für Beschwerden gegen Urteile internationaler Schiedsgerichte ist. Die Anwendung der Bestimmungen des IPRG über die internationale Schiedsgerichtsbarkeit setzt jedoch zunächst voraus, dass es sich beim Anfechtungsobjekt überhaupt um einen Schiedsentscheid im Sinne von <ref-law> handelt.
2.-a) Trägerin des Schiedsgerichtes für Nachrichtenlose Konten in der Schweiz ist die von der Schweizerischen Bankiervereinigung im Herbst 1997 errichtete privatrechtliche Stiftung "Independent Claims Resolution Foundation", deren Zweck die Errichtung und Überwachung des Schiedsgerichtes ist. Am 15. Oktober 1997 hat der Stiftungsrat der Trägerstiftung zudem die Schiedsordnung des hier in Frage stehenden Verfahrens erlassen (vgl. zum Ganzen Riemer/von Segesser/von der Crone, Das "Schiedsgericht für Nachrichtenlose Konten in der Schweiz", Bulletin ASA 1998 S. 252 ff.; Amance Dourthe-Perrot, Le Tribunal arbitral pour les comptes en déshérence en Suisse, Revue de l'arbitrage 1999 S. 21 ff.).
b) Die publizierte Liste von Inhabern von nachrichtenlosen Konten enthält lediglich Namen und - soweit bekannt - Wohnsitz des Kontoinhabers. In einer ersten Phase sieht die Schiedsordnung in Art. 10 ein Vorprüfungsverfahren vor, welches nicht den vorherigen Abschluss einer Schiedsvereinbarung voraussetzt (Art. 10 Abs. 5 Schiedsordnung). In diesem Vorprüfungsverfahren hat die - dem Ansprecher vorerst unbekannte - kontoführende Bank der ATAG innerhalb von 20 Tagen nach Eingang des Anspruchsformulars mitzuteilen, ob sie mit der Offenlegung ihres Namens und des Vermögenswertes des nachrichtenlosen Kontos einverstanden ist (Art. 10 Abs. 1 Schiedsordnung). Stimmt die Bank der Offenlegung zu, entscheidet - sofern dann eine gültige Schiedsvereinbarung vorliegt - das Schiedsgericht nach Massgabe von Art. 11 ff. der Schiedsordnung über den Anspruch.
Teilt hingegen die Bank ihren Entscheid der ATAG nicht innerhalb von 20 Tagen mit, oder lehnt sie ab, dass ihr Name und der Wert des nachrichtenlosen Kontos dem Ansprecher mitgeteilt wird, so legt die ATAG den Anspruch dem Schiedsgericht zur Vorprüfung durch einen Einzelschiedsrichter vor (Art. 10 Abs. 2 Schiedsordnung). Dieser verweigert gemäss Art. 10 Abs. 3 Ziff. (i) und (ii) der Schiedsordnung die Offenlegung, wenn der Ansprecher keine Informationen über seine Berechtigung auf das nachrichtenlose Konto eingereicht hat oder falls offensichtlich ist, dass der Ansprecher nicht auf das nachrichtenlose Konto berechtigt ist.
Einen solchen die Offenlegung der kontoführenden Bank ablehnenden Entscheid hat der Einzelschiedsrichter im vorliegenden Fall am 25. Oktober 1999 gefällt.
Art. 10 Abs. 4 der Schiedsordnung sieht im Weiteren vor, dass der Ansprecher innerhalb von 30 Tagen nach dem Entscheid des Einzelschiedsrichters eine verbesserte Anmeldung einreichen kann. Dies ist im vorliegenden Fall geschehen, worauf ein Dreierschiedsgericht die Offenlegung der kontoführenden Bank und die Weiterbehandlung des Anspruchs des Beschwerdeführers mit dem nun angefochtenen Entscheid vom 28. April 2000 endgültig ablehnte.
3.- a) Gegenstand des erwähnten Vorprüfungsverfahrens ist nicht die materielle Berechtigung des Ansprechers auf das nachrichtenlose Konto. Vielmehr geht es zunächst darum, mittels einer Plausibilitätsprüfung zu entscheiden, ob im konkreten Einzelfall das - grundsätzlich nach wie vor geltende - Bankgeheimnis (Art. 47 des Bundesgesetzes vom 8. November 1934 über die Banken und Sparkassen, BankG; SR 952. 0) gegenüber dem Ansprecher überhaupt besteht oder allenfalls aufgehoben werden kann, was erst die Durchführung eines Schiedsverfahrens über den geltend gemachten Anspruch ermöglicht. Aus rechtlicher Sicht qualifiziert sich die Anmeldung des Ansprechers, selbst wenn sie eine von diesem unterzeichnete Schiedsvereinbarung enthalten sollte, als Offerte an die noch unbekannte Bank, eine Schiedsvereinbarung abzuschliessen. Will die Bank diese Offerte nach Prüfung der vom Ansprecher eingereichten Unterlagen annehmen, offenbart sie ihre Identität und die Schiedsvereinbarung kommt zustande.
Erachtet die Bank dagegen - wie hier - die eingereichten Unterlagen als ungenügend, bedeutet dies nicht zwingend, dass keine Schiedsvereinbarung zustandekommen kann. Die Bank hat sich nämlich für den Fall, dass ein Gremium des Schiedsgerichtes keine die Offenlegung ihrer Identität und des Wertes des nachrichtenlosen Kontos ausschliessende Gründe gemäss Art. 10 Abs. 3 Ziff. (i) und (ii) der Schiedsordnung feststellt, zum Abschluss einer Schiedsvereinbarung verpflichtet (Kellerhals, Review in International and Domestic Arbitration Cases, ASA Special Series No. 13 S. 117). Teilt das Schiedsgericht die Auffassung der Bank in Bezug auf die Offenlegung nicht und erachtet es die Geheimhaltungsgründe gemäss Art. 10 Abs. 3 Ziff. (i) und (ii) als nicht gegeben, kann die Bank daher zum Abschluss einer Schiedsvereinbarung verpflichtet werden; ihre Identität wird sodann trotz ihres ursprünglichen gegenteiligen Entscheides offengelegt und sie darf den Abschluss der Schiedsvereinbarung nicht mehr verweigern. Kommt das zuständige Gremium des Schiedsgerichts hingegen zum selben Schluss wie die Bank, bleibt es bei deren die Preisgabe ihrer Identität und den Abschluss einer Schiedsvereinbarung ablehnenden Entscheid.
b) Das Vorprüfungsverfahren gemäss Art. 10 der Schiedsordnung ist kein Schiedsverfahren, sondern ein Verfahren eigener Art, das dem eigentlichen Schiedsverfahren aufgrund der Besonderheiten der in Frage stehenden Materie vorgeschaltet ist und zum Abschluss der Schiedsvereinbarung führen kann (Dourthe-Perrot, a.a.O., S. 28). Es soll damit namentlich verhindert werden, dass Unbeteiligte das zur Beurteilung von Ansprüchen auf nachrichtenlose Vermögenswerte in der Schweiz eingerichtete Schiedsverfahren aus sachfremden Motiven für sog. "fishing expeditions" missbrauchen und durch die Anmeldung offensichtlich nicht bestehender Ansprüche Aufschluss über die Bankverbindung und die Vermögensverhältnisse von Inhabern nachrichtenloser Konten oder deren Erben erhalten. Das Vorprüfungsverfahren gemäss Art. 10 der Schiedsordnung trägt damit dem Spannungsfeld zwischen der Wahrung des Bankgeheimnisses einerseits und dem Bedürfnis der Ansprecher nach Transparenz anderseits Rechnung.
c) Der mit dem Vorprüfungsverfahren befasste Spruchkörper des Schiedsgerichtes für Nachrichtenlose Vermögenswerte in der Schweiz handelt nach dem Gesagten nicht als Schiedsgericht im Sinne der <ref-law>. Seine Tätigkeit im Vorprüfungsverfahren ist vielmehr vergleichbar mit derjenigen eines Gutachtergremiums, welchem die eine Streitpartei die Kompetenz übertragen hat, endgültig über das Vorliegen der Voraussetzungen für den Abschluss einer Schiedsvereinbarung zu befinden (Dourthe-Perrot, a.a.O., S. 31 mit Fn. 25).
d) Dass es sich beim Vorprüfungsverfahren nicht um ein eigentliches Schiedsverfahren handelt, geht zwar aus Art. 10 Abs. 5 der Schiedsordnung hervor, wonach es für die Vorprüfung keiner Schiedsvereinbarung bedarf. Allerdings ist bedauerlich, dass die interessierten Kreise über die rechtliche Natur dieses Vorprüfungsverfahrens nicht klarer informiert werden. So wird in den Erläuterungen zum Schiedsverfahren zur Frage, ob der den Anspruch ablehnende Entscheid der Schiedsrichter angefochten werden kann, Folgendes ausgeführt:
"Ja, nach schweizerischem Recht haben Sie die Möglichkeit, den Entscheid der Schiedsrichter innert 30 Tagen nach Eröffnung anzufechten. Die Anfechtungsgründe sind, wie bei allen Schiedsentscheiden, eingeschränkt". Wenn zudem wie im vorliegenden Fall die im Vorprüfungsverfahren ergangenen Entscheide vorbehaltlos als solche des Schiedsgerichtes für Nachrichtenlose Konten in der Schweiz bezeichnet werden, ist nachvollziehbar, dass die Betroffenen aufgrund der vom Schiedsgericht abgegebenen Erläuterungen auch in den Vorprüfungsentscheiden anfechtbare Schiedsentscheide erblicken.
Dies ändert jedoch nichts daran, dass nach der Ausgestaltung der Verfahrensordnung eine Schiedsvereinbarung seitens der kontoführenden Bank erst vorliegt, wenn sie selbst oder ein Gremium des Schiedsgerichts keine der Offenlegung der Kundenbeziehung entgegenstehenden Gründe gemäss Art. 10 Abs. 3 Ziff. (i) und (ii) der Schiedsordnung als gegeben erachtet hat.
e) Handelt es sich beim Vorprüfungsverfahren nicht um ein Schiedsverfahren gemäss <ref-law>, stellen die in dessen Rahmen ergangenen Entscheide auch keine Anfechtungsobjekte im Sinne von Art. 190 f. IPRG bzw. Art. 85 lit. c OG dar. Auf die staatsrechtliche Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden (so im Ergebnis auch Kellerhals, a.a.O., S. 117).
4.-Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG).
Der Streitwert des Verfahrens ist nicht bekannt. Angesichts der Tatsache, dass die beurteilte Rechtsfrage erstmals entschieden wurde, rechtfertigt es sich, die Gerichtskosten auf Fr. 2'000.-- festzusetzen. Der nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin ist praxisgemäss keine Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Schiedsgericht für Nachrichtenlose Konten in der Schweiz schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 21. November 2000
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: