Sachverhalt:
Nach am 4. Juli 2007 während der Rekrutenschule zugezogenen Verletzungen am linken Ellbogen und am linken Handgelenk sowie einer lumbalen Kontusion mit Abschürfungen erhielt A._ (Jg. 1984) von der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA), Abteilung Militärversicherung (SUVA-MV), bis Anfang März 2008Taggelder zugesprochen. Auf Ersuchen seiner behandelnden Psychiaterin Frau Dr. med. B._ hin lehnte sie es nach erfolgter Untersuchung durch Frau Dr. med. C._ von der SUVA-Abteilung Versicherungsmedizin und durchgeführtem Vorbescheidverfahren mit Verfügung vom 21. Januar 2010 mangels adäquaten Kausalzusammenhanges mit dem dienstlichen Unfallereignis aus dem Jahre 2007 ab, auch für die gemeldete psychische Störung Leistungen zu erbringen. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 4. Oktober 2012 fest.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 31. Oktober 2014 ab.
A._ lässt mit Beschwerde ans Bundesgericht beantragen, die Militärversicherung sei unter Aufhebung des kantonalen Entscheides zu verpflichten, ihm weiterhin aufgrund des Unfalles vom 4. Juli 2007 Leistungen zu erbringen; eventuell sei die Militärversicherung zu zusätzlichen medizinischen Abklärungen und anschliessendem neuen Entscheid anzuhalten. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
1.2. Die für die Beurteilung der geltend gemachten Leistungsansprüche massgebenden gesetzlichen Bestimmungen und die von der Rechtsprechung hiezu weiter entwickelten Grundsätze sind im angefochtenen Entscheid ausführlich und zutreffend wiedergegeben worden. Darauf wird verwiesen (<ref-law>).
2.
2.1. Nach gründlicher Prüfung der Aktenlage, wozu auch die von der Invalidenversicherung beigezogenen Dokumente - einschliesslich eines umfassenden Gutachtens des Zentrums D._, vom 15. Juni 2011 - gehören, ist das kantonale Gericht zur Auffassung gelangt, dass die Folgen des Unfalles vom 4. Juli 2007 bis Ende Oktober 2007 ohne Komplikationen abgeheilt seien. Für die weiterhin geklagte Symptomatik konnte es keine organisch objektivierbare Ursache finden und die vom Psychiater des Zentrums D._, Dr. med. E._, am 26. Mai 2011 diagnostizierte leichte depressive Episode mit Akzentuierung narzisstischer Persönlichkeitszüge bewirke ebenso wenig wie neuropsychologische Defizite eine anspruchsrelevante Beeinträchtigung der Leistungsfähigkeit. Die behauptete Borreliose erachtete das kantonale Gericht als nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen.
2.2. Demgegenüber wendet der Beschwerdeführer ein, seine - medizinisch schwer fassbaren - psychischen Beschwerden müssten sowohl in einem natürlichen als auch in einem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 4. Juli 2007 gesehen werden; dies treffe auch auf die zwischenzeitlich festgestellte chronische Borreliose zu. Wie der Beschwerdeführer in der Begründung seiner Beschwerde festhält, will er eine unrichtige und unvollständige Ermittlung des Sachverhaltes, eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law>) sowie einen Verstoss gegen die Garantie auf ein korrektes und faires Verfahren (Art. 6 Ziff. 1 EMRK) rügen.
3.
3.1. Da gemäss <ref-law> neue Tatsachen und Beweismittel im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nur so weit vorgebracht werden dürfen, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, muss der mit der Beschwerdeschrift neu eingereichte Befundbericht des Dr. med. F._ von der Deutschen G._ GmbH, Klinik H._, vom 23. September 2013, mit welchem das Vorliegen einer Borreliose nachgewiesen werden soll, unbeachtet bleiben.
3.2. Soweit der Beschwerdeführer nach auszugsweiser Wiedergabe medizinischer Unterlagen, mit welchen sich schon das kantonale Gericht sowohl im angefochtenen militärversicherungsrechtlichen Entscheid als auch im parallel laufenden invalidenversicherungsrechtlichen Verfahren (8C_4/2015) eingehend auseinandergesetzt hat, Argumente vorträgt, die seines Erachtens gegen die überzeugend begründete vorinstanzliche Betrachtungsweise sprechen, vermag er keine davon abweichende Beurteilung seitens des Bundesgerichts zu bewirken. Vielmehr überzeugt die Beurteilung des Gesundheitszustandes des Beschwerdeführers im angefochtenen Entscheid das angerufene Gericht sowohl in neuropsychologischer als auch in psychiatrischer Hinsicht. Dasselbe gilt bezüglich des nicht erbrachten Nachweises der geltend gemachten Borreliose. Die vom Beschwerdeführer angeführten abweichenden ärztlichen Äusserungen sind nicht geeignet, den kantonalen Entscheid und namentlich die darin vorgenommene Beweiswürdigung, welche weder auf unrichtigen noch auf unvollständigen Sachverhaltserhebungen beruht, ernsthaft in Frage zu stellen. Weil die Vorinstanz schon das Vorliegen einer anspruchsrelevanten gesundheitlich bedingten Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit verneint hat und daran festzuhalten ist, erübrigt es sich, auf die in der Beschwerdeschrift ebenfalls erhobene Kritik an der vorinstanzlichen Adäquanzprüfung näher einzugehen. Letzterer kommt lediglich die Bedeutung einer Alternativbegründung zu. Angesichts der gut dokumentierten Aktenlage, welche eine zuverlässige abschliessende Beurteilung erlaubt, besteht letztinstanzlich auch kein Anlass zur Anordnung zusätzlicher Abklärungen, wie sie eventualiter beantragt werden.
3.3. Mangels Begründung ist auf die geltend gemachte Verletzung der sich aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK ergebenden Garantie auf ein faires Verfahren nicht einzugehen.
4.
Die Kosten (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG) für das mit der erhobenen Beschwerde - die als offensichtlich unbegründet im Verfahren nach <ref-law> ohne Durchführung eines Schriftenwechsels (<ref-law>) abzuweisen ist - angestrengte Gerichtsverfahren sind nach <ref-law> vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen. Weil die Rechtsmittelergreifung angesichts des eingehend und überzeugend begründeten angefochtenen Entscheids von vornherein aussichtslos war, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. März 2015
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Krähenbühl