Sachverhalt:
A. X._, geb. 1973, serbischer Staatsangehöriger (Kosovo), reiste im Jahr 1988 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein. Er ist im Kanton Zürich niederlassungsberechtigt, wie seine ebenfalls aus dem Kosovo stammende Ehefrau und die drei gemeinsamen Kinder (geb. 1996, 1999 und 2002).
Nach zehn strafrechtlichen Verurteilungen (wegen Strassenverkehrs- und Betäubungsmitteldelikten, Nötigung, Veruntreuung, Körperverletzung, usw.) und sechs fremdenpolizeilichen Verwarnungen wurde X._ im Jahr 2004 u.a. wegen Raubes zu vier Jahren Zuchthaus verurteilt. Mit Beschluss vom 23. Mai 2007 wies ihn der Regierungsrat des Kantons Zürich für die Dauer von 10 Jahren aus der Schweiz aus. Dagegen gelangte er vergeblich an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich.
B. Am 6. Februar 2008 hat X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Er beantragt, den Beschluss des Regierungsrats aufzuheben. Weiter sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
C. Das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde (soweit darauf einzutreten sei). Der Regierungsrat hat sich nicht vernehmen lassen.
D. Mit Präsidialverfügung vom 12. Februar 2008 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegen die sich auf Art. 10 des hier noch anwendbaren Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142.20) stützende Ausweisungsverfügung ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich zulässig (vgl. <ref-law> e contrario). Im Verfahren der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann aber einzig der kantonal letztinstanzliche Entscheid angefochten werden (vgl. <ref-law>). Der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer beantragt in seinen formellen Rechtsbegehren nur, den Beschluss des Regierungsrats aufzuheben, ohne sich gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts zu wenden. Eine solche Unterlassung eines beruflichen Rechtsvertreters hätte bei einer streng formellen Betrachtungsweise zur Folge, dass auf die Beschwerde gesamthaft nicht einzutreten wäre. Aus mehreren Stellen der Beschwerdeschrift ergibt sich indessen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts ebenfalls angefochten ist. In diesem Umfang kann deshalb die Beschwerde dennoch entgegengenommen werden.
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 105 Abs. 2 bzw. <ref-law>). Weiter enthält <ref-law> ein Novenverbot, weshalb das erst nach dem Entscheid des Verwaltungsgerichts ausgestellte Arztzeugnis aus dem Recht zu weisen ist.
2. 2.1 Nach Art. 10 Abs. 1 lit. a ANAG kann ein Ausländer aus der Schweiz ausgewiesen werden, wenn er wegen eines Verbrechens oder Vergehens gerichtlich bestraft wurde. Durch die Ausweisung erlischt die Niederlassungsbewilligung (Art. 9 Abs. 3 lit. b ANAG). Der erwähnte Ausweisungsgrund ist hier unbestrittenermassen gegeben. Der Beschwerdeführer macht allerdings geltend, dass seine Ausweisung unangemessen sei.
2.2 Gemäss Art. 11 Abs. 3 ANAG soll die Ausweisung nur verfügt werden, wenn sie nach den gesamten Umständen angemessen bzw. verhältnismässig erscheint (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 523 und Art. 8 Ziff. 2 EMRK). Es sollen unnötige Härten vermieden werden. Bei der vorzunehmenden Abwägung sind vor allem die Schwere des Verschuldens des Ausländers, die Dauer seiner Anwesenheit in der Schweiz und die ihm und seiner Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen (Art. 16 Abs. 3 der Vollziehungsverordnung vom 1. März 1949 zum Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer, ANAV; SR 142.201). Entscheidend sind immer die gesamten Umstände des Einzelfalles (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2 S. 190; <ref-ruling> E. 2b S. 523; <ref-ruling> E. 2 und 3 S. 435 ff., je mit Hinweisen).
2.3 Vorliegend haben sich die kantonalen Behörden zu Recht auf das Strafmass, das gesamthaft schwere Verschulden des Beschwerdeführers, seine Vorstrafen, seine offensichtliche Uneinsichtigkeit, seine immer gravierendere Delinquenz und seine zunehmende Gewaltbereitschaft gestützt. An seiner Entfernung und Fernhaltung besteht somit ein grosses sicherheitspolizeiliches Interesse, das nur durch entsprechend gewichtige private Interessen aufgewogen werden könnte. Solche haben die Vorinstanzen hier begründeterweise nicht gesehen. Insbesondere vermögen dem Beschwerdeführer weder seine relativ lange Aufenthaltsdauer noch seine familiären Bande zu helfen. Er lebt zwar seit beinahe 20 Jahren in der Schweiz. Er konnte sich indessen weder in die Gesellschaft noch ins Berufsleben integrieren. Nach 1996 war er nurmehr zeitweise, ab 2002 überhaupt nicht mehr erwerbstätig. Seit mehreren Jahren leben er und seine Familie von der Sozialhilfe. Selbst sein familiäres Umfeld konnte ihn nicht davon abhalten, regelmässig und immer schwerer straffällig zu werden. Weder die strafrechtlichen Verurteilungen noch die fremdenpolizeilichen Verwarnungen schreckten ihn von der Fortsetzung seines deliktischen Verhaltens ab.
Dabei begnügten sich die Behörden nicht mit dem Vollzug von Freiheitsstrafen, sondern boten Hilfs- bzw. Therapiemassnahmen an. Insgesamt elfmal brachte der Beschwerdeführer diese indessen zum Scheitern. Auch der nach der Verurteilung von 2004 angeordnete stationäre Entzug misslang, so dass die Strafe schliesslich doch vollzogen werden musste. Dementsprechend haben die kantonalen Behörden die offenbar weiter bestehende Drogensucht des Beschwerdeführers zu Recht nicht als mildernden Umstand, sondern als beträchtlichen Risikofaktor eingestuft. Da der Beschwerdeführer nicht nur eine gewisse Haltlosigkeit, sondern auch eine zunehmende Gewaltbereitschaft gezeigt hat, wäre im Falle seines Verbleibs in der Schweiz mit einiger Wahrscheinlichkeit ein erneuter, je nachdem sogar schwerer Rückfall in die (Beschaffungs-)Kriminalität zu befürchten.
Der Beschwerdeführer verfügt nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz immer noch über Beziehungen zu seinem Heimatland, wo er bis zu seinem 15. Altersjahr gelebt hat und - sofern er nicht im Strafvollzug war - jedes Jahr eine gewisse Zeit verbracht hat. Eine Rückkehr erscheint so auf jeden Fall zumutbar.
2.4 Das Verwaltungsgericht hat auch die Situation der Familie zutreffend gewürdigt. Die Ehefrau ist sozusagen gar nicht integriert, weshalb ihr eine Rückkehr in die gemeinsame Heimat ebenfalls zumutbar wäre. Dasselbe gilt für die Kinder, die sich alle noch in einem anpassungsfähigen Alter befinden. Aber selbst wenn es zu einer Trennung der Familie kommen würde, wäre dies - auch unter dem Gesichtspunkt von Art. 8 EMRK - angesichts des Verschuldens des Beschwerdeführers hinzunehmen (vgl. u.a. <ref-ruling> E. 2e S. 639; <ref-ruling> E. 3b E. 297 f.; je mit Hinweisen).
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit des gestellten Rechtsbegehrens nicht entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Matter