Fatti:
A.
A.a. Dal 1989 C._ è stato alle dipendenze della Repubblica e Cantone Ticino in qualità di custode e capo materiale del centro X._ a Y._, dove usufruiva pure di un appartamento di servizio. A seguito della riorganizzazione della Sezione Z._, che prevedeva tra l'altro la soppressione della funzione dell'interessato, il Consiglio di Stato nel settembre del 2012 gli ha prospettato l'intenzione di rescindere il rapporto d'impiego. Fallito il tentativo di conciliazione, con decisione del 6 novembre 2012 il Governo cantonale ha disdetto il rapporto di lavoro con effetto al 31 maggio 2013.
A.b. Il 19 novembre 2012 le competenti autorità cantonali hanno quindi comunicato all'interessato che la cessazione del rapporto di lavoro comportava pure la decadenza del diritto all'utilizzazione dell'appartamento di servizio, invitandolo a riconsegnare l'immobile entro il medesimo termine.
A.c. C._ ha impugnato la decisione di scioglimento del suo rapporto d'impiego con ricorso davanti al Tribunale cantonale amministrativo.
A.d. Il 31 maggio 2013 l'interessato ha opposto il suo rifiuto a lasciare i locali fino al termine della procedura ricorsuale avviata. Con decisione del 7 giugno 2013 il Governo cantonale gli ha quindi chiesto il versamento di fr. 1000.- mensili per l'utilizzo abusivo, dal 1° giugno 2013, dell'appartamento, fissandogli un ultimo termine inderogabile al 31 luglio seguente per la riconsegna del bene messo a disposizione e togliendo preventivamente l'effetto sospensivo a un eventuale ricorso.
B.
B.a. C._ ha deferito anche questa risoluzione al Tribunale cantonale amministrativo, chiedendo in via provvisionale il ripristino dell'effetto sospensivo, domanda questa respinta dall'autorità giudiziaria adita per pronuncia del 16 luglio 2013.
B.b. Nel frattempo, il 1° luglio 2013, mediante pronuncia poi cresciuta in giudicato, la stessa Corte cantonale aveva disatteso il gravame proposto dall'interessato avverso lo scioglimento del suo rapporto di impiego con effetto al 31 maggio 2013.
C.
C.a. C._ ha deferito il giudizio cantonale del 16 luglio 2013 con ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale al quale, protestate spese e ripetibili, chiede, preliminarmente, di conferire effetto sospensivo al gravame. Nel merito, egli chiede di riformare la decisione impugnata nel senso di concedere l'effetto sospensivo al ricorso inoltrato contro la risoluzione governativa del 7 giugno 2013 pendente presso l'istanza precedente. Domanda infine di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria, nel senso di ottenere la dispensa dal pagamento di spese.
C.b. Il Governo cantonale, protestate spese e ripetibili, postula la reiezione integrale delle richieste ricorsuali.
C.c. Con scritto del 30 settembre 2013 l'insorgente ha chiesto di tenere in sospeso la presente procedura ricorsuale in attesa dell'esito delle trattative avviate con il Governo cantonale.

Diritto:
1.
1.1. Decisioni riguardanti l'effetto sospensivo configurano delle decisioni in materia di misure cautelari ai sensi dell'<ref-law> (Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, n. 7 ad <ref-law>), contro le quali il ricorrente può far valere soltanto la violazione di diritti costituzionali. Nel caso di specie, il ricorrente fa valere la violazione del principio della proporzionalità (<ref-law>), del divieto dell'arbitrio (<ref-law>) e del diritto di essere sentito (<ref-law>).
1.2. In tale ambito giova osservare in primo luogo che il principio della proporzionalità richiamato dall'insorgente (<ref-law>) non costituisce un diritto costituzionale autonomo ai sensi dell'<ref-law> (<ref-ruling> segg.).
1.3. Per giurisprudenza, la questione a sapere se nel singolo caso l'effetto sospensivo vada mantenuto o revocato deve fondarsi su motivi chiari e convincenti e risultare da una ponderazione degli interessi pubblici e privati in discussione. L'autorità chiamata a pronunciarsi in tal senso fonda di principio la sua decisione sui documenti agli atti, che esamina in un giudizio in cui la ponderazione degli interessi avviene "prima facie". Essa beneficia in questo ambito di un ampio potere di apprezzamento (<ref-ruling> consid. 3 pag 289 segg.). Per quanto appaia manifesto, può tenere conto anche del presumibile esito della lite (<ref-ruling> consid. 2b pag. 191; <ref-ruling> consid. 5b pag. 45; <ref-ruling> consid. 2a pag. 116).
2.
2.1. Nell'evenienza concreta la Corte cantonale ha ritenuto che l'interesse pubblico a una celere attuazione della riorganizzazione della Sezione del militare e della protezione della popolazione e la necessità di disporre immediatamente anche dei locali abitativi occupati dal ricorrente prevalevano sul contrapposto interesse di quest'ultimo di poter continuare ad abitare nell'appartamento di servizio nelle more procedurali. La precedente istanza ha quindi rilevato che la data della riconsegna dell'appartamento era nota all'interessato al più tardi dal 19 novembre 2012, per cui egli avrebbe disposto di oltre otto mesi di tempo per trovare un'altra sistemazione per sé e per la sua famiglia. Dagli atti non risultava tuttavia che egli avesse intrapreso alcunché, limitandosi a opporre il suo rifiuto a lasciare l'abitazione fino al termine delle procedure ricorsuali pendenti. Concludendo la Corte cantonale ha osservato che in considerazione delle circostanze concrete e del margine di apprezzamento riservato all'autorità che adotta la misura cautelare, non si intravedeva alcun abuso del potere di apprezzamento da parte del Governo cantonale, né alcuna violazione del principio della proporzionalità, soggiungendo che, del resto, l'esito della procedura appariva già a questo stadio piuttosto ben definito, se non addirittura scontato, tenuto conto delle norme cantonali applicabili.
2.2. Il Tribunale federale condivide questa valutazione, le censure ricorsuali relative alla pretesa violazione del divieto d'arbitrio e del diritto di essere sentito dovendo ritenersi infondate. Ciò vale a maggior ragione se si considera che, per giudizio del 1° luglio 2013, il Tribunale cantonale amministrativo ha, come visto (v. sub Fatti B.b), disatteso il gravame proposto dall'interessato avverso lo scioglimento del suo rapporto di impiego, che era strettamente connesso con l'utilizzo dell'appartamento in parola. Il ricorso dev'essere pertanto respinto e la pronuncia impugnata confermata.
3.
3.1. L'emanazione della presente sentenza rende priva d'oggetto la domanda di effetto sospensivo per la procedura federale.
3.2. In applicazione dell'<ref-law> si può eccezionalmente rinunciare a prelevare spese giudiziarie. La domanda di assistenza giudiziaria del ricorrente volta ad ottenere la dispensa dal pagamento delle spese giudiziarie è pertanto priva di oggetto.
3.3. La domanda di sospensione della procedura deve essere respinta, poiché il Governo cantonale rifiuta, come emerge dalla sua presa di posizione del 15 ottobre 2013, trattative concernenti una eventuale proroga dell'utilizzo dell'appartamento di servizio a Y
3.4.._ da parte dell'insorgente. Non sussiste di conseguenza motivo alcuno per non porre termine alla procedura.
3.5. Nessun diritto a ripetibili può essere riconosciuto al Governo cantonale (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
Non si prelevano spese giudiziarie.
3.
Comunicazione alle parti e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.