Sachverhalt:
A.
Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach der 1965 geborenen P._ mit Wirkung ab 1. August 1999 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zu (Einspracheentscheid vom 3. September 2004). Im Jahre 2008 bestätigte sie ihren Anspruch revisionsweise (Mitteilung vom 23. Juli 2008).
Im Juli 2010 machte P._ eine Verschlechterung ihres gesundheitlichen Zustandes geltend und beantragte die erneute revisionsweise Überprüfung des Rentenanspruches. Vorbescheidsweise stellte die IV-Stelle die Abweisung des Rentenerhöhungsgesuches in Aussicht. Nach Einholung weiterer medizinischer Unterlagen hielt sie daran fest (Verfügung vom 13. Oktober 2011).
B.
Die von P._ mit dem Antrag auf Zusprache einer höheren Invalidenrente erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich gut, hob die Verfügung vom 13. Oktober 2011 auf und stellte fest, dass die Versicherte für die Zeit ab 1. Juli 2010 Anspruch auf eine Dreiviertelsrente hat (Entscheid vom 14. März 2013).
C.
Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Verfügung der IV-Stelle sei zu bestätigen.
Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die IV-Stelle verzichtet auf eine Vernehmlassung und verweist auf die Beschwerde des BSV.
D.
Mit Verfügung vom 8. Juli 2013 hat die Instruktionsrichterin der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Nach Würdigung der medizinischen Akten gelangte die Vorinstanz zum Ergebnis, dass sich der Gesundheitszustand der Versicherten im massgebenden Vergleichszeitraum nicht verändert habe, sodass in einer behinderungsangepassten Tätigkeit weiterhin eine 50%ige Arbeitsfähigkeit bestehe. Im Rahmen des von ihr durchgeführten Einkommensvergleichs legte die Vorinstanz dem Valideneinkommen den vormals für das Jahr 2007 ermittelten Lohn, aufgerechnet auf das Jahr 2010, zugrunde (Fr. 73'775.80). Hinsichtlich des Invalideneinkommens ging sie demgegenüber davon aus, dass der früher ermittelte Wert nicht mehr beigezogen werden könne, da dieser anhand einer konkreten Anstellung festgesetzt worden sei, welche die Versicherte im Jahr 2008 verloren habe. Da die Versicherte im August 2009 einen Nervenzusammenbruch erlitten habe und seither arbeitslos sei, müsse das Invalideneinkommen unter Bezugnahme auf den allgemeinen Arbeitsmarkt bestimmt werden. Abzustellen sei demnach auf die statistischen Durchschnittswerte der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE). Dabei sei entsprechend dem Handelsdiplom und der langjährigen Berufserfahrung, über welche die Versicherte verfüge, auf die Werte des Anforderungsniveaus 3 (Berufs- und Fachkenntnisse vorausgesetzt) abzustellen (Fr. 5'095.- [LSE 2008, S. 26, Tabelle TA1]). Nach Berücksichtigung der durchschnittlichen wöchentlichen Arbeitszeit (41,6 Stunden) und Anpassung an die Nominallohnentwicklung resultierte für das Jahr 2010 ein Einkommen von Fr. 65'620.80. Da die Beschwerdeführerin selbst bei einem Pensum von 50 % sehr grosse Belastungen des Schulter- und Handbereichs vermeiden müsse und aus psychischer Sicht auf ein wohlwollendes Arbeitsumfeld angewiesen sei, erscheine ein leidensbedingter Abzug von 15 % angemessen. Bei einem Pensum von 50 % führe dies zu einem Invalideneinkommen von Fr. 27'888.85. Damit betrage der Invaliditätsgrad gerundet 62 %, womit die Versicherte ab 1. Juli 2010 Anspruch auf eine Dreiviertelsrente habe.
3.
3.1. Die Feststellungen des kantonalen Gerichts, wonach sich der Gesundheitszustand und die Arbeitsfähigkeit der Versicherten im massgebenden Zeitraum nicht verändert haben (Arbeitsfähigkeit von 50 % in einer angepassten Tätigkeit), sind nicht offensichtlich unrichtig und werden auch vom beschwerdeführenden Bundesamt nicht bestritten. Sie sind für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 1).
3.2. Das Bundesamt stellt sich auf den Standpunkt, bei der gegebenen Sachlage liege kein Revisionsgrund vor. Wenn die Vorinstanz von einem unveränderten Gesundheitszustand ausgehe und dann trotzdem das Invalideneinkommen neu mit einem leidensbedingten Abzug von 15 % berechne, verkenne sie, dass vorliegend gar kein Revisionsgrund gegeben sei und der Rentenanspruch nicht weiter hätte geprüft werden dürfen. Die von der Vorinstanz vorgenommene Neuberechnung der Rente beruhe auf einer falschen Anwendung der Revisionsbestimmungen des <ref-law>.
3.3. Die in <ref-law> für eine Revision der Invalidenrente (oder anderer Dauerleistungen) vorausgesetzte erhebliche Änderung des Invaliditätsgrades kann sich ergeben einerseits durch Entwicklungen des Gesundheitszustandes, der medizinisch-theoretischen Arbeitsfähigkeit oder der massgebenden Vergleichseinkommen und andererseits durch einen Wechsel der Methode der Invaliditätsbemessung (vgl. <ref-ruling> E. 3.5 S. 349 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 3b S. 199; Ulrich Meyer, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 2. Aufl. 2010, S. 374 ff.; Ueli Kieser, Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts [ATSG], 2. Aufl. 2009, N. 16 ff. zu <ref-law>).
3.4. Als revisionsbegründende Tatsachenänderung nahm die Vorinstanz, auch wenn sie diese nicht ausdrücklich als solche bezeichnete, eine Entwicklung des Invalideneinkommens an. Sie erwog, die Versicherte habe die im Rahmen der erstmaligen Rentenzusprache beigezogene konkrete Anstellung im Jahr 2008 verloren und übe seither keine Erwerbstätigkeit mehr aus. Dies habe zur Folge, dass das Invalideneinkommen neu anhand statistischer Durchschnittswerte gemäss LSE zu ermitteln sei. Dieses Vorgehen ist nicht zu beanstanden. Denn rechtsprechungsgemäss genügt es für die Annahme eines Revisionsgrundes, dass das Invalideneinkommen mit der Aufgabe der Erwerbstätigkeit hypothetisch aufgrund von Durchschnittswerten (<ref-ruling> E. 5.2 S. 301) festzulegen ist (Urteil 9C_251/2012 vom 5. Juni 2012 E. 4.1; vgl. auch SVR 1996 IV Nr. 70 S. 203, I 124/94 E. 3c).
3.5. Ist nun aber ein Revisionstatbestand gegeben, steht einer umfassenden (vgl. BGE <ref-ruling> E. 4b S. 200; SVR 2004 IV Nr. 17 S. 53, I 526/02 E. 2.3; Urteile 9C_223/2011 vom 3. Juni 2011 E. 3.1; 9C_744/2008 vom 19. November 2008 E. 3.1.1 mit weiteren Hinweisen) Prüfung des Rentenanspruchs nichts entgegen (vgl. Urteil 9C_251/2012 vom 5. Juni 2012 E. 4.2).
4.
Das beschwerdeführende Bundesamt macht für den Fall, dass das Bundesgericht zum Schluss kommen sollte, es liege ein Revisionsgrund vor, geltend, es hätte jedenfalls kein leidensbedingter Abzug (für die Notwendigkeit erhöhter Rücksichtnahme durch den Arbeitgeber und das Auftreten von Schulterbeschwerden) gewährt werden dürfen.
4.1. Wird das Invalideneinkommen auf der Grundlage von statistischen Durchschnittswerten ermittelt, ist der entsprechende Ausgangswert (Tabellenlohn) um maximal 25 % zu kürzen, wenn persönliche und berufliche Merkmale wie Art und Ausmass der Behinderung, Lebensalter, Dienstjahre, Nationalität resp. Aufenthaltskategorie oder Beschäftigungsgrad Auswirkungen auf die Lohnhöhe haben und die versicherte Person deswegen die verbliebene Arbeitsfähigkeit auch auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichem Erfolg verwerten kann (<ref-ruling> E. 5.2 S. 301; <ref-ruling> E. 5b/aa-cc S. 79 f.).
Die Frage, ob ein Abzug vorzunehmen sei, ist eine vom Bundesgericht frei zu prüfende Rechtsfrage (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 72).
4.2. Was den Abzug für die Notwendigkeit erhöhter Rücksichtnahme durch den Arbeitgeber (enthalten im total gewährten Abzug von 15 %) anbelangt, macht das Bundesamt geltend, die psychischen Beschwerden hätten sich, wie unbestritten sei, nicht verschlimmert. Es könne nicht neu ein leidensbedingter Abzug für etwas gewährt werden, das bereits 2003 diagnostiziert worden sei. Dieser Argumentation kann nicht gefolgt werden. Denn in Frage kommt ein Abzug von Vornherein nur bei der Einkommensermittlung anhand von Tabellenlöhnen, wie sie hier im Rahmen der Rentenrevision vorgenommen wurde, und nicht etwa auch, wenn - wie hier anlässlich der erstmaligen Rentenzusprache - das Invalideneinkommen anhand des konkret erzielten Verdienstes ermittelt wird. Es wäre deshalb in dieser Konstellation durchaus denkbar, dass ein bereits zum Zeitpunkt der ersten Rentenzusprache vorhandener Umstand erst im Rahmen der Rentenrevision als Abzug berücksichtigt wird (weil dafür zuvor keine Handhabe bestand). Beizupflichten ist dem BSV hingegen insoweit, als es geltend macht, dass eine psychisch bedingt verstärkte Rücksichtnahme seitens Vorgesetzter und Arbeitskollegen von der Gerichtspraxis nicht als eigenständiger abzugsfähiger Umstand anerkannt wird (vgl. dazu SVR 2010 IV Nr. 28 S. 87, 9C_708/2009 E. 2.3.2; Urteil 9C_226/2013 vom 4. September 2013 E. 4.2.2; 8C_712/2012 vom 30. November 2012 E. 4.2.1). Es besteht kein Anlass, hier anders zu entscheiden. Soweit die Vorinstanz hierfür einen Abzug gewährt hat, hält dies vor Bundesrecht nicht stand.
Mit dem vorgenommenen Abzug von insgesamt 15 % wollte die Vorinstanz sodann auch der Tatsache Rechnung tragen, dass die Versicherte selbst bei einem Pensum von 50 % sehr grosse Belastungen des Schulter- und Handbereichs vermeiden muss. Das BSV wendet zu Recht ein, dass die Arbeitsfähigkeit bereits unter Berücksichtigung der Schulterbeschwerden für repetitive Tätigkeiten auf 50 % festgesetzt worden sei und die Gewährung eines zusätzlichen Abzuges einer doppelten Berücksichtigung gleichkäme. Die Vorinstanz hat in ihren Erwägungen zur Arbeitsfähigkeit ausdrücklich und verbindlich festgehalten, dass die neu aufgetretenen Beschwerden in der linken Schulter die Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit bei einem Pensum von 50 % nicht weiter einschränken würden. Es bestehen denn auch keine Anhaltspunkte dafür, dass die wegen des Gesundheitsschadens zu beachtende Rahmenbedingung (Vermeiden sehr grosser Belastungen des Schulter- und Handbereichs) die Ausübung einer (der Beschwerdegegnerin aufgrund des Handelsdiploms möglichen) qualifizierten Erwerbstätigkeit (entsprechend dem beigezogenen Anforderungsniveau 3) dergestalt behindern würde, dass dadurch die Gehaltserwartung erheblich beeinflusst würde (vgl. dazu auch Urteil 9C_549/2012 vom 7. März 2013 E. 3.3.2). Auch insoweit ist der von der Vorinstanz gewährte Abzug demnach bundesrechtswidrig.
4.3. Da auch keine anderen beruflichen oder persönlichen Merkmale, die einen Abzug vom Tabellenlohn zu begründen vermöchten, ersichtlich sind, ist von einem - ungekürzten - Invalideneinkommen von Fr. 32'810.40 (50 % von Fr. 65'620.80) auszugehen.
4.4. Stellt man das Invalideneinkommen von Fr. 32'810.40 dem unbestritten gebliebenen Valideneinkommen von Fr. 73'775.80 gegenüber, resultiert ein Invaliditätsgrad von gerundet 56 %. Dieser verleiht weiterhin Anspruch auf die von der IV-Stelle zugesprochene halbe Rente (<ref-law>).
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Das obsiegende Bundesamt hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 14. März 2013 wird aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der IV-Stelle des Kantons Zürich, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Ausgleichskasse des Kantons Zürich und der Pensionskasse X._ schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Oktober 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann