Faits:
A. Depuis le 1er mars 1999, Y._ (ci-après: l'assuré) a travaillé pour V._; il était assuré pour une indemnité perte de gain en cas de maladie auprès de la Caisse X._ sur la base d'un contrat collectif d'indemnités journalières. Cette convention prévoit, pour 2008 et 2009, le versement d'une indemnité journalière équivalant au 90% du salaire, après un délai d'attente de 30 jours.
Le 14 novembre 2008, le Dr A._, spécialiste FMH en médecine interne, médecin traitant de l'assuré, a attesté d'une incapacité totale de travail de ce dernier pour une durée indéterminée. Le 14 décembre 2008, il a confirmé l'incapacité de travail.
A la demande de la Caisse X._, à laquelle V._ a fait parvenir une déclaration de sinistre, le Dr A._ a rendu un rapport médical le 13 janvier 2009 dans lequel il pose le diagnostic de syndrome dépressivo-anxieux développé à la suite d'importantes difficultés professionnelles; il indique qu'un traitement médicamenteux est administré à l'assuré et que celui-ci consulte une psychologue une fois par semaine.
Les 20 janvier et 13 février 2009, le Dr A._ a confirmé l'incapacité totale de travail.
A la demande de la Caisse X._, le Dr B._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, a rendu une expertise le 4 mars 2009 fondé notamment sur l'examen de l'assuré du 2 mars 2009 et un entretien téléphonique du 4 mars 2009 avec le Dr A._. Il pose les diagnostics de trouble de l'adaptation avec à la fois anxiété et dépression depuis novembre 2008 et trouble de la personnalité évitante depuis l'âge adulte, sans répercussion sur la capacité de travail de l'assuré. Il reconnaît toutefois, dans ses conclusions, que les incapacités de travail attestées jusqu'au jour de l'expertise par le médecin traitant peuvent être retenues.
Le 5 mars 2009, la Caisse X._ a informé son assuré qu'elle verserait des indemnités journalières jusqu'au 8 mars 2009.
Les 9 mars et 9 avril 2009, le Dr A._ a confirmé l'incapacité totale de travail de l'assuré.
B. Le 28 juillet 2009, l'assuré a ouvert action auprès du Tribunal cantonal des assurances sociales de Genève à l'encontre de la Caisse X._, concluant à ce que les indemnités prévues par le contrat lui soient versées. Il a précisé que son contrat de travail avait été résilié le 13 mars 2009 pour fin juillet.
La Caisse X._ a conclu au rejet de l'action.
La cour cantonale a entendu les parties en audience de comparution personnelle. La psychologue ayant suivi l'assuré, convoquée à titre de témoin, ne s'est pas présentée et la convocation est venue en retour avec la mention de la Poste "non réclamé".
A la demande de la cour cantonale, le Dr A._ a attesté le 19 janvier 2010 qu'il suivait l'assuré depuis le 6 octobre 1997, qu'il avait posé le diagnostic de syndrome dépressivo-anxieux depuis le 17 octobre 2008 justifiant depuis le 14 novembre 2008 une incapacité totale de travailler, qu'il adhérait pleinement aux constatations du Dr B._ mais qu'il ne partageait pas entièrement ses conclusions, une reprise de travail avant la mi-mai 2009 étant prématurée en raison d'un syndrome dépressif incapacitant, que depuis mai 2009, il ne délivrait plus de certificat d'arrêt de travail, l'incapacité de travail étant justifiée jusqu'au 11 mai 2009.
Par arrêt du 19 avril 2010, la cour cantonale a admis partiellement la demande de l'assuré et condamné la Caisse X._ à lui verser l'indemnité journalière du 9 mars au 11 mai 2009.
C. La Caisse X._ exerce, par un seul et même acte, un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 19 avril 2010. Invoquant une appréciation arbitraire des preuves (art. 9 Cst.), la transgression de l'art. 8 CC et de l'art. 61 LCA, la recourante conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et à ce qu'il soit confirmé que l'assuré n'a pas droit au versement d'indemnités journalières depuis le 9 mars 2009.
L'intimé conclut au rejet du recours.

Considérant en droit:
1.1 Le litige porte sur le versement, par la recourante, d'indemnités journalières pour perte de gain à l'intimé. Savoir si celui-ci a droit ou non à ces prestations dépend du contrat d'assurance qui prévoit ce type d'indemnités. Il s'agit d'une assurance complémentaire à l'assurance-maladie obligatoire. Un tel contrat ne relève pas du droit des assurances sociales, mais du droit privé (Loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance, LCA; RS 221.229.1), de sorte que la voie de recours ordinaire au Tribunal fédéral est celle du recours en matière civile (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 441 s.).
1.1 Le litige porte sur le versement, par la recourante, d'indemnités journalières pour perte de gain à l'intimé. Savoir si celui-ci a droit ou non à ces prestations dépend du contrat d'assurance qui prévoit ce type d'indemnités. Il s'agit d'une assurance complémentaire à l'assurance-maladie obligatoire. Un tel contrat ne relève pas du droit des assurances sociales, mais du droit privé (Loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance, LCA; RS 221.229.1), de sorte que la voie de recours ordinaire au Tribunal fédéral est celle du recours en matière civile (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 441 s.).
1.2 1.2.1 S'agissant d'une affaire pécuniaire qui ne porte ni sur le droit du travail ni sur le droit du bail à loyer, le recours n'est recevable que si la valeur litigieuse - déterminée selon le capital réclamé dans les dernières conclusions devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a et al. 3 LTF) - s'élève au moins à 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF).
La recourante précise elle-même que la valeur litigieuse, de 13'783 fr.77, n'atteint pas le seuil fixé à l'art. 74 al. 1 let. b LTF. Elle soutient que le recours en matière civile est néanmoins recevable, en raison de l'exception formulée à l'art. 74 al. 2 let. a LTF, la contestation soulevant une question juridique de principe.
1.2.2 La contestation soulève une question juridique de principe au sens de l'art. 74 al. 2 let. a LTF s'il est nécessaire, pour résoudre le cas d'espèce, de trancher une question juridique qui donne lieu à une incertitude caractérisée, laquelle appelle de manière pressante un éclaircissement de la part du Tribunal fédéral, en tant qu'autorité judiciaire suprême chargée de dégager une interprétation uniforme du droit fédéral (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 399).
Il incombe au recourant qui se prévaut de cette disposition d'expliquer de manière précise en quoi la contestation soulèverait une question juridique de principe (art. 42 al. 2 2ème phrase LTF).
1.2.3 En l'occurrence, la recourante, qui souligne que le Tribunal des assurances sociales est compétent pour connaître des litiges relevant des assurances complémentaires de droit privé soumis à la LCA, se plaint d'une "confusion entre les procédures de droit public concernant les assurances sociales et celles du droit privé d'assurance privée"; elle estime nécessaire que le Tribunal fédéral se prononce "sur l'opportunité de séparer clairement les autorités judiciaires" traitant ces deux domaines. La recourante se méprend sur la portée de l'art. 74 al. 2 let. a LTF. L'accès au Tribunal fédéral prévu par cette disposition vise à trancher une question juridique de principe et non à permettre à la cour de céans de se prononcer sur l'opportunité d'une modification législative. A supposer que la recourante entendait ainsi indiquer que la compétence du Tribunal des assurances sociales est incertaine, la voie du recours en matière civile ne serait pas non plus ouverte. La question de la compétence de cette autorité relevant exclusivement du droit cantonal, elle ne pourrait être examinée que sous l'angle de l'arbitraire et le Tribunal fédéral ne saurait rendre à ce sujet une décision de principe (pour le détail de l'argumentation, cf. arrêt 4A_517/2009 du 4 janvier 2010 consid. 1.3.1). En tout état de cause, la recourante ne dit pas en quoi la prétendue "confusion" aurait une incidence sur la contestation, portant sur le versement d'indemnités journalières, qui doit être tranchée en l'espèce; elle ne présente dès lors pas une motivation conforme aux réquisits de l'art. 42 al. 2 2ème phrase LTF.
Quant à la critique visant la procédure genevoise qui ne prévoit, dans ce domaine et contrairement à d'autres cantons, qu'une instance cantonale unique, on ne voit pas en quoi elle constituerait une question appelant de manière pressante un éclaircissement de la part du Tribunal fédéral. A l'art. 7 du futur Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (CPC; RO 2010 1739) - qui entrera en vigueur le 1er janvier 2011 -, le législateur fédéral a réglé expressément la question, indiquant que les cantons peuvent instituer un tribunal statuant en tant qu'instance cantonale unique sur les litiges portant sur les assurances complémentaires à l'assurance-maladie. Quant à l'art. 75 al. 2 let. a LTF, il n'est pas modifié de façon substantielle, seule sa lettre étant révisée en conséquence; il permettra aux cantons d'instituer une instance unique lorsqu'une loi fédérale - à l'instar du CPC à son art. 7 - le prévoit. Dans cette perspective, la situation n'en est pas moins claire d'ici à l'entrée en vigueur du CPC, le canton de Genève ne pouvant être tenu de modifier sa réglementation (cf. art. 130 al. 2 LTF a contrario).
1.2.4 En conséquence, le recours ne pose pas une question juridique de principe au sens de l'art. 74 al. 2 let. a LTF, de sorte que le recours en matière civile doit être déclaré irrecevable, faute d'atteindre la valeur litigieuse exigée par l'art. 74 al. 1 let. b LTF.
2. 2.1 Il faut donc examiner le recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF) formé dans le même mémoire (art. 119 al. 1 LTF).
2.2 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions libératoires (art. 115 LTF) et dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF applicable par le renvoi de l'art. 117 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF applicable par le renvoi de l'art. 114 LTF), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 48 al. 1, 100 al. 1 et 117 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
2.3 Ce recours ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF).
Quand il s'agit de droits constitutionnels, le Tribunal fédéral n'applique pas le droit d'office et il ne peut entrer en matière que dans la mesure où un grief constitutionnel a été invoqué et suffisamment motivé dans l'acte de recours (art. 117 et 106 al. 2 LTF).
Dans son argumentation, la recourante évoque l'art. 8 CC et l'art. 61 al. 1 LCA et fait donc référence à des dispositions de droit matériel fédéral. Elle n'invoque cependant pas, en relation avec ces griefs, une quelconque violation d'un droit constitutionnel d'un citoyen. Aucun droit constitutionnel n'ayant été régulièrement invoqué, il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur ces griefs.
2.4 Saisi d'un recours constitutionnel subsidiaire, le Tribunal fédéral doit statuer sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 118 al. 1 LTF). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si les faits ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 al. 2 LTF).
2.5 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 117 et 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 117 et 99 al. 2 LTF).
3. 3.1 Le seul grief valablement présenté dans le recours constitutionnel subsidiaire est donc celui d'arbitraire dans l'appréciation des preuves (art. 9 Cst.).
Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 4 s.; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 s.). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1). Le grief tiré de l'appréciation arbitraire des preuves ne peut être pris en considération que si son admission est de nature à modifier le sort du litige, ce qui n'est pas le cas lorsqu'il vise une constatation de fait n'ayant aucune incidence sur l'application du droit (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; arrêt 4P.305/2001 du 18 mars 2002 consid. 2a).
En présence de rapports médicaux contradictoires, le juge ne peut trancher l'affaire sans apprécier l'ensemble des preuves et sans indiquer les raisons pour lesquelles il se fonde sur une opinion médicale et non pas sur une autre. L'élément déterminant pour la valeur probante d'un rapport médical n'est ni son origine, ni sa désignation, mais son contenu. Ce qui compte à cet égard, c'est que les points litigieux importants aient fait l'objet d'une étude fouillée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées, qu'il ait été établi en pleine connaissance du dossier (anamnèse), que la description des interférences médicales soit claire et, enfin, que les conclusions de l'expert soient bien motivées. En ce qui concerne les rapports établis par le médecin traitant l'assuré, le juge prendra en considération le fait que celui-ci peut être enclin, en cas de doute, à prendre parti pour son patient en raison de la relation de confiance qu'ils ont nouée (<ref-ruling> consid. 3 p. 352 ss; arrêt 4A_45/2007 du 12 juin 2007 consid. 5.1; arrêt 4A_253/2007 du 13 novembre 2007 consid. 4.2).
3.2 La cour cantonale observe que l'expert mandaté par la recourante rejoint, s'agissant des constatations médicales et des diagnostics posés, l'appréciation du médecin traitant de l'assuré et que les avis ne divergent que sur le jour où celui-ci a retrouvé sa pleine capacité de travail (le 9 mars 2009 pour le Dr B._ et le 12 mai 2009 pour le Dr A._). L'autorité précédente constate que si l'expert finit par retenir (dans ses conclusions) une incapacité de travail passagère, il ne motive pas les raisons de la capacité de travail totale recouvrée en mars 2009. Elle s'appuie dès lors sur l'avis du Dr A._, celui-ci expliquant que, selon son observation clinique, les symptômes ayant justifié l'incapacité survenue en novembre 2008 ont disparu seulement à la mi-mai 2009. La cour cantonale considère que la capacité de travail de l'assuré peut être considérée comme retrouvée depuis le 11 mai 2009, comme cela a été attesté par le Dr A._, aucun autre avis médical ne contredisant celui du médecin traitant de l'assuré.
La recourante soutient que la cour cantonale n'a pas pris en compte un élément de preuve essentiel, à savoir les motifs fondant les conclusions de l'expertise du Dr B._ (pourtant exposés aux pages 8 à 10 de son rapport); elle déclare en outre ne pas comprendre comment l'avis d'un expert peut avoir moins de valeur que celui d'un généraliste; rappelant les principes auxquels doit se soumettre le juge lorsqu'il s'agit d'examiner les divers moyens de preuve qui lui sont soumis, la recourante souligne notamment que la jurisprudence admet que le médecin traitant est généralement enclin, en cas de doute, à prendre parti pour son patient en raison de la relation de confiance qui l'unit à ce dernier (<ref-ruling> consid. 3b/cc p. 353 et les références).
3.3 Selon les constatations cantonales (arrêt entrepris p. 7), le Dr B._ affirme que les diagnostics psychiatriques de troubles de l'adaptation et de la personnalité évitante n'ont pas eu d'influence sur la capacité de travail de l'assuré (hormis de courtes interruptions de l'activité professionnelle dite de "décharge"). Il conclut cependant, de façon surprenante, à une incapacité de travail totale du 14 novembre 2008 au 8 mars 2009, confirmant ainsi l'avis du Dr A._. La motivation contenue dans le rapport d'expertise (p. 8 à 10), prétendument ignorée par la cour cantonale, n'explique pas cette contradiction; en particulier, elle ne permet pas de saisir pourquoi l'expert finit par se ranger, dans ses conclusions, à l'avis du médecin traitant et pour quelles raisons il s'en distancie à partir du 9 mars 2009. Au contraire, la motivation fournie par l'expert ne fait qu'accentuer la contradiction qui entache son rapport puisqu'il souligne à plusieurs reprises que le trouble dont souffre l'assuré n'est pas incapacitant en soi.
La décision prise par la cour cantonale de donner la préférence aux conclusions du médecin traitant pourrait être longuement discutée. L'arbitraire ne résulte cependant pas du fait que la solution peut être discutée, ou qu'une autre solution peut être défendue, voire même serait préférable. L'art. 9 Cst. n'est violé que lorsque la décision du juge de fait est manifestement insoutenable (cf. supra consid. 3.1). Ainsi, lorsque deux médecins émettent des avis différents sur des bases semblables, la décision du juge de fait de se fonder sur les conclusions du médecin traitant n'est pas arbitraire lorsque celles-ci ne sont pas invalidées de manière certaine et catégorique par les constatations contenues dans le rapport du second praticien ayant examiné l'assuré (arrêt 4A_631/2009 du 17 février 2010 consid. 3).
En l'espèce, on ne saurait dire qu'il était insoutenable d'accorder une force probante au rapport du Dr A._ qui a suivi son patient depuis le 6 octobre 1997, qui a effectué des constatations médicales et posé des diagnostics entièrement confirmés par le Dr B._ et qui a expliqué (contrairement à ce dernier) la raison pour laquelle une reprise de travail était prématurée avant la mi-mai 2009, étant encore précisé qu'il a examiné deux fois l'intimé depuis le 8 mars 2009.
On ne peut dire non plus qu'il était insoutenable de se fonder sur l'avis du Dr A._, plutôt que sur celui du Dr B._, le rapport de ce dernier n'étant pas exempt de contradiction et n'offrant aucune motivation permettant de comprendre pour quelle(s) raison(s) l'assuré a retrouvé une pleine capacité de travail à partir du 9 mars 2009. Quant à l'avis du médecin traitant, bien que généraliste, sa crédibilité est renforcée par le fait que celui-ci a eu l'occasion de s'entretenir encore deux fois avec l'intimé au-delà du 2 mars 2009 (date de l'examen de l'assuré par l'expert), soit les 9 mars et 9 avril 2009 et qu'il a donc établi la persistance du syndrome dépressif sur la base d'une observation clinique.
Enfin, le fait que le médecin traitant n'a plus suivi son patient depuis le 9 avril 2009 ne permet pas de conclure qu'il était insoutenable de retenir que l'intimé a recouvré sa capacité de travail seulement le 12 mai 2009 (et non le 9 mars 2009 comme soutenu par le Dr B._). Il a été indiqué ci-dessus que c'est sans sombrer dans l'arbitraire que la cour cantonale a donné la préférence à l'avis du Dr. A._ et a considéré que l'incapacité de travail perdurait au-delà du 8 mars 2009. Quant à la durée de cette incapacité, on observera que le certificat médical remis par le Dr A._ à l'assuré le 9 avril 2009 a été établi pour un mois (ce point de fait, nullement contesté par la recourante, est rappelé par l'intimé) sur la base d'une observation clinique. Lors de l'audience, le Dr A._ a confirmé avoir estimé à l'époque qu'une reprise de travail avant la mi-mai 2009 était prématurée en raison du syndrome dépressif incapacitant de l'assuré. On ne voit donc pas en quoi l'autorité précédente aurait commis l'arbitraire en retenant que l'assuré a retrouvé sa capacité de travail après le 11 mai 2009, date soulignée par le médecin traitant dans son attestation du 19 janvier 2010.
La façon dont la cour cantonale a apprécié les preuves échappe au grief d'arbitraire et le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
4. Les frais judiciaires sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). La recourante n'a pas à verser de dépens (cf. art. 68 LTF) à l'intimé, celui-ci n'ayant pas été représenté par un avocat (art. 40 LTF; <ref-ruling> consid. 4 p. 446) et n'ayant pas établi avoir assumé des frais particuliers pour la défense de ses intérêts (cf. <ref-ruling> consid. 5b p. 519 s.).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière civile est irrecevable.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève Chambre 6 et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lausanne, le 27 septembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Piaget