Faits:
A. A._, originaire du Kosovo, est arrivé en Suisse en septembre 2007. D'avril 2008 à juillet 2008, il a travaillé au service d'un bureau d'architecture à Y._. Le 6 août 2009, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en indiquant avoir été victime d'un accident de la circulation le 23 mars 2009 et être totalement incapable de travailler depuis lors.
Interpellé par l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI), le Service de la population du canton de Vaud a indiqué que A._ n'était au bénéfice d'aucun titre de séjour valable, séjournant et travaillant illégalement sur le territoire vaudois depuis septembre 2007. L'intéressé avait cependant sollicité un permis de séjour pour des raisons médicales et son séjour était toléré jusqu'à droit connu sur sa demande de régularisation de séjour.
L'office AI a informé l'intéressé qu'il envisageait de rejeter sa demande de rente (projet de décision du 13 décembre 2010). En bref, il considérait que A._, qui semblait s'être affilié à l'AVS/AI comme personne sans activité lucrative dès février 2010, ne réalisait pas les conditions d'assurance, parce qu'il ne comptait pas trois années au moins de cotisations au moment de la survenance de l'invalidité (soit mars 2010), même dans l'hypothèse d'une affiliation rétroactive à partir de son arrivée en Suisse. A._ a contesté ce point de vue, en invoquant notamment avoir cotisé à une assurance-vieillesse en Allemagne du 15 décembre 1991 au 15 janvier 1999 (cf. attestation de la Deutsche Rentenversicherung Z._ du 19 janvier 2011). Par décision du 23 février 2011, l'office AI a nié le droit de l'intéressé à une rente d'invalidité.
Entre-temps, A._ a sollicité l'octroi de moyens auxiliaires sous la forme d'un appareillage acoustique, ce qui lui a été refusé par décision du 22 mars 2011. Les recours successifs formés par l'intéressé contre cette décision ont été rejetés par la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois (jugement du 14 septembre 2012, cause AI 122/11 - 302/2012) et par le Tribunal fédéral (arrêt de ce jour, cause 9C_875/2012).
B. Saisi d'un recours de A._ contre cette décision, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a rejeté, par jugement du 14 septembre 2012 (cause AI 97/11 - 301/2012).
C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Sous suite de dépens, il conclut en substance à ce que la cause soit renvoyée au Tribunal cantonal vaudois pour qu'il rende une nouvelle décision respectant son droit d'être entendu. A titre subsidiaire, il conclut à la réforme du jugement cantonal en ce sens qu'il est dit qu'il remplit en principe les conditions de l'octroi des prestations de l'assurance-invalidité demandées "selon la convention avec l'ex-Yougoslavie" et au renvoi de la cause au Tribunal cantonal vaudois pour qu'il examine si ladite convention est applicable à son cas.
Le Tribunal fédéral n'a pas procédé à un échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Selon l'art. 106 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral contrôle librement le respect du droit fédéral, y compris les traités internationaux conclus par la Suisse (cf. art. 95 let. b LTF; <ref-ruling> consid. 2 p. 248). Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, auquel cas il peut les rectifier ou les compléter d'office (art. 105 al. 2 LTF).
2. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité de l'assurance-invalidité suisse. La juridiction cantonale a nié le droit à une telle prestation en application de l'art. 36 al. 1 LAI (dans sa version en vigueur à partir du 1er janvier 2008, applicable en l'espèce). Selon cette disposition, "a droit à une rente ordinaire l'assuré qui, lors de la survenance de l'invalidité, compte trois années au moins de cotisations". Les premiers juges ont retenu que le recourant ne réalisait pas cette condition, puisqu'au moment de la survenance de l'invalidité, le 23 mars 2010, il ne comptait pas trois années de cotisations en Suisse, même dans l'hypothèse où il fallait faire remonter le début de son affiliation à la date de son arrivée en Suisse, en septembre 2007.
La juridiction cantonale a considéré que le recourant ne pouvait rien tirer en sa faveur de la Convention du 8 juin 1962 entre la Confédération suisse et la République Populaire Fédérative de Yougoslavie relative aux assurances sociales (RS 0.831.109.818.1; ci-après: la convention de sécurité sociale). Elle a laissé ouverte la question de savoir si cette convention était effectivement applicable au litige, compte tenu de la décision du Conseil fédéral selon laquelle la convention de sécurité sociale n'était plus applicable au Kosovo à partir du 1er avril 2010. Elle a en effet retenu que la convention de sécurité sociale - dût-elle être considérée comme valable en l'espèce - prévoyait que le ressortissant kosovar (ou serbe) devait remplir en Suisse les mêmes conditions qu'un ressortissant suisse afin de toucher une rente d'invalidité (soit, entre autres exigences, celles de l'art. 36 al. 1 LAI). La convention de sécurité sociale ne comprenait par ailleurs pas une réglementation selon laquelle les périodes de cotisations accomplies dans un Etat membre de l'Union européenne (en l'occurrence, l'Allemagne) ou de l'Association européenne de libre échange (AELE) devaient être prises en considération pour déterminer le droit aux prestations en Suisse, tel le régime instauré par l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681) et les règlements communautaires auxquels il renvoie (art. 8 ALCP, annexe II à l'ALCP, Section A, en relation avec les art. 37 ss du Règlement [CEE] no 1408/71 du Conseil du 14 juin 1971 relatif à l'application des régimes de sécurité sociale aux travailleurs salariés, aux travailleurs non salariés et aux membres de leur famille qui se déplacent à l'intérieur de la Communauté et, depuis le 1er avril 2012, les art. 6, 45 et 51 du Règlement [CE] no 883/2004 du Parlement européen et du Conseil du 29 avril 2004 portant sur la coordination des systèmes de sécurité sociale [RS 0.831.109.268.1]).
En particulier, toujours selon l'autorité de recours de première instance, le principe de l'égalité de traitement entre les ressortissants yougoslaves (ici, kosovars) et les ressortissants suisses prévu à l'art. 2 de la convention de sécurité sociale n'implique pas que les premiers puissent, à l'instar des seconds, invoquer les droits qui sont reconnus aux Suisses par le biais de l'ALCP (en l'occurrence, le droit de se prévaloir des périodes de cotisations accomplies dans un Etat membre de l'Union européenne ou de l'AELE). Par conséquent, le recourant, qui n'avait ni la nationalité suisse, ni la nationalité d'un Etat membre de l'Union européenne et n'entrait donc pas dans le champ d'application personnel de l'ALCP, ne pouvait se prévaloir des périodes de cotisations accomplies en Allemagne pour prétendre une rente ordinaire d'invalidité suisse.
3. 3.1 Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu. Il reproche aux premiers juges d'avoir manqué d'avertir les parties qu'ils envisageaient de ne pas répondre au point de savoir si la convention de sécurité sociale était applicable à son cas, mais d'examiner si celle-ci permettait l'octroi ou non des prestations requises. De son avis, le seul point discuté en procédure administrative avait porté sur l'application en tant que telle de la convention de sécurité sociale, de sorte que si la juridiction cantonale avait voulu traiter d'"autre chose" que de la question que lui avait soumise les parties, elle aurait dû les en avertir et les entendre à ce sujet. A défaut, elle avait surpris les parties, en violation des règles sur la bonne foi et le droit d'être entendu.
3.2 Selon la jurisprudence relative à l'art. 29 al. 2 Cst., lorsqu'une autorité judiciaire entend fonder sa décision sur une norme légale ou un motif juridique qui n'a pas été évoqué au cours de la procédure et dont aucune des parties en présence ne s'est prévalue et ne pouvait supputer la pertinence dans le cas particulier, elle doit alors donner aux parties la possibilité de s'exprimer, à peine de violer leur droit d'être entendue garanti par la Constitution (<ref-ruling> consid. 5b/bb p. 278 et les arrêts cités).
3.3 Le recourant ne saurait sérieusement prétendre qu'il ne pouvait s'attendre à ce que la juridiction cantonale se fonde sur les dispositions de la convention de sécurité sociale pour examiner son droit à une rente de l'assurance-invalidité suisse, singulièrement que l'examen des premiers juges s'étendrait au-delà de la seule question de l'application de la convention pour inclure la situation qui prévaudrait dans le cas où celle-ci fût applicable. Dans son mémoire de recours cantonal, A._ s'est en effet lui-même référé à l'art. 2 de la convention de sécurité sociale - en considérant donc que cette disposition s'appliquait à son cas -, pour en déduire qu'il pouvait, en vertu du principe de l'égalité de traitement, faire valoir les périodes de cotisations qu'il avait effectuées en Allemagne. En examinant la situation à la lumière des dispositions de la convention de sécurité sociale, en particulier de son art. 2, les premiers juges ont dès lors répondu à l'un des griefs soulevés par le recourant contre la décision administrative, de sorte que celui-ci, assisté au demeurant d'un avocat, ne saurait se déclarer surpris par la motivation du jugement entrepris.
En conséquence, dès lors que l'autorité judiciaire de première instance ne s'est pas fondée sur des motifs juridiques dont la prise en compte ne pouvait pas être raisonnablement prévue par le recourant, elle n'était pas tenue d'interpeller ce dernier sur la motivation envisagée. Sa manière de procéder ne relève dès lors pas d'une violation du droit d'être entendu ou des règles sur la bonne foi, pas davantage, du reste, que d'une violation du principe ne eat iudex ultra petita partium (également invoqué dans le recours), qui interdit au juge de dépasser le cadre du litige fixé par les conclusions des parties.
En vertu de l'art. 61 let. d LPGA, le Tribunal cantonal vaudois n'était en effet pas lié par les conclusions des parties. Dès lors qu'il n'a pas réformé la décision litigieuse au détriment du recourant, il n'avait pas à lui donner l'occasion de se prononcer au-delà de l'échange d'écritures auquel il a dûment procédé. Au demeurant, le juge, tenu d'appliquer le droit d'office, ne statue pas au-delà des conclusions des parties s'il s'écarte entièrement ou partiellement des moyens de droit invoqués par celles-ci pour examiner la prétention en cause, telle qu'elle est demandée en justice (<ref-ruling> consid. 3a p. 175; arrêt 4A_307/2011 du 16 décembre 2011 consid. 2.4). Compte tenu des conclusions du recourant en instance cantonale tendant à ce qu'il soit reconnu qu'il réalise la condition de l'art. 36 al. 1 LAI quant aux trois années de cotisations, on constate que la juridiction cantonale a tranché le litige dans le cadre fixé par le recours cantonal. Les griefs du recourant sont dès lors mal fondés.
4. 4.1 Le recourant se plaint encore, sur le fond, d'une violation de l'art. 2 de la convention de sécurité sociale. Il prétend que le principe de l'égalité de traitement entre ressortissants yougoslaves et suisses consacré par cette disposition conventionnelle implique, en raison de la conception moniste de l'ordre juridique suisse, qu'il puisse se prévaloir des droits qui sont reconnus aux Suisses par le biais de l'ALCP, partant, des périodes de cotisations accomplies en Allemagne.
4.2 L'argumentation du recourant ne saurait être suivie, dès lors qu'il accorde à la conception moniste de la relation entre le droit international public et le droit interne une portée qu'elle n'a pas.
4.2.1 Selon la conception moniste, qui est suivie, entre autres Etats, par la Suisse (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 326 in fine), l'ordre juridique international et l'ordre juridique interne forment un seul système cohérent. La règle internationale est reçue dans l'ordre interne à la suite d'un acte parlementaire d'approbation, sans qu'elle ait à subir de transformation. Aussi, le particulier, lorsque les conditions de l'applicabilité directe sont réunies, peut-il invoquer cette règle en tant que telle devant les organes juridictionnels du for (arrêt 4C.422/2004 du 13 septembre 2005 consid. 3.1.1, non publié in <ref-ruling>).
Conformément à la conception moniste, qui a donc trait à la question de la validité immédiate d'un traité international, le recourant est par conséquent autorisé à invoquer en justice les dispositions de la convention de sécurité sociale (pour autant qu'elles aient un caractère directement applicable [self executing], ce qui n'est pas contesté en l'occurrence). L'approche moniste n'implique en revanche pas une "relation que l'on pourrait qualifier de transitive" comme le soutient en vain le recourant, entre, d'une part, le principe de l'égalité prévu par la convention (entre ressortissants suisses et yougoslaves) et, d'autre part, celui prévu par l'ALCP et les règlements communautaires auxquels renvoie l'accord (entre ressortissants suisses et ressortissants d'un Etat membre de l'Union européenne). Dès lors que le champ d'application personnel de l'ALCP s'étend "aux ressortissants d'une partie contractante", soit aux ressortissants des Etats membres de l'Union européenne et de la Suisse (ainsi que, pour certains droits, aux membres de la famille; cf. art. 1, 2 et 7 ALCP, art. 2 par. 1 des Règlements n° 1408/71 et n° 883/2004) et que le recourant n'est au bénéfice ni de la nationalité suisse, ni de celle d'un Etat membre de l'Union européenne (et n'est pas non plus membre de la famille d'un ressortissant suisse ou communautaire), il ne peut rien tirer en sa faveur des dispositions de l'ALCP. En d'autres termes, celui qui n'est ni suisse, ni ressortissant communautaire n'est pas au nombre des sujets auxquels s'applique l'ALCP et, comme tel, ne bénéficie d'aucun droit à être traité de la même manière qu'un ressortissant suisse ou communautaire résidant en Suisse (arrêts 2A.540/2002 du 13 novembre 2002 consid. 2.3, in Pra 2003 n° 99 p. 524, et 2A.233/2002 du 17 octobre 2002 consid. 4.2, in RDAT 2003 I n° 50 p. 162).
4.2.2 Enfin, "l'application la plus complète possible" de l'égalité de traitement de l'art. 2 de la convention de sécurité sociale, dont se prévaut le recourant en se référant au Message du Conseil fédéral, du 4 mars 1963, concernant l'approbation d'une convention sur les assurances sociales conclue entre la Suisse et la Yougoslavie (FF 1963 670 ss., ad B.II.1.b p. 683), ne signifie pas qu'il puisse bénéficier de l'ensemble des droits reconnus aux ressortissants suisses en vertu de traités internationaux dont le champ d'application ratione personae ne comprend pas les ressortissants serbes ou kosovars, faute d'adhésion de la part de l'ex-Yougoslavie (ou des Etats qui lui ont succédé). Un tel effet d'équivalence du principe de l'égalité de traitement n'est pas prévu par la convention de sécurité sociale: le passage du Message cité partiellement par le recourant montre que le principe de l'égalité de traitement en ce qui concerne les rentes ordinaires de l'assurance-invalidité suisse implique que "[...] les ressortissants yougoslaves pourront faire valoir un droit aux rentes ordinaires de l'assurance-invalidité suisse après une seule année [aujourd'hui, trois ans, cf. art. 36 al. 1 LAI] de cotisations déjà [...]". L'interprétation extensive que fait le recourant du principe de l'égalité de traitement de l'art. 2 de la convention de sécurité sociale ne trouve ainsi appui ni dans les travaux préparatoires, ni dans le texte même de celle-ci, comme l'ont retenu à juste titre les premiers juges, aux considérations desquels on peut renvoyer pour le surplus.
5. Il résulte de ce qui précède que le recours est en tout point mal fondé.
6. Vu l'issue du litige, le recourant doit supporter les frais de justice y afférents (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 février 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless