Sachverhalt:
A.
A._ (Klägerin; Beschwerdeführerin) wurde von ihrem Hausarzt mit Schreiben vom 2. Oktober 2009 wegen kolikartiger Bauchschmerzen und Reflux an die B._ Spitäler AG (Beklagte Beschwerdegegnerin) Spital C._ überwiesen. Am 5. Oktober 2009 wurde sie im Spital C._ untersucht und am 7. Oktober 2009 eine laparoskopische Cholezystektomie (Entfernung der Gallenblase ohne Öffnung der Bauchdecke) vorgenommen. Nach der Operation klagte sie über Übelkeit und Bauchschmerzen. Sie hatte zudem erhöhte Leberwerte. Deshalb wurde eine Sonographie und eine CT des Abdomens durchgeführt. Als Ursache der erhöhten Leberwerte wurden medikamentöse Nebenwirkungen vermutet. Nach Absetzung der Medikamente reduzierten sich die Leberwerte, worauf die Patientin am 12. Oktober 2009 entlassen wurde. Am 15. Oktober 2009 wurde sie zur Kontrolle aufgeboten. Wegen ihres schlechten Gesundheitszustandes überwies sie das Spital C._ zur Durchführung einer Magnetresonanz-Cholangio-Pankreatikographie (MRCP) an das Kantonsspital D._. Dort wurde ein Verschluss unterhalb der Hepaticusgabel festgestellt. Am 16. Oktober 2009 fand am Universitätsspital E._ eine Revisionsoperation statt. Sie ergab, dass bei der Operation zur Entfernung der Gallenblase durch eine falsche Clipsetzung eine Gallengangverletzung verursacht worden war.
B.
Am 8. Juni 2011 gelangte die Patientin an die Staatskanzlei des Kantons Solothurn und machte einen Anspruch auf Schadenersatz und Genugtuung geltend. Mit Verfügung vom 30. Januar 2013 wies die Staatskanzlei das Gesuch um Schadenersatz und Genugtuung ab, auferlegte der Patientin die Verfahrenskosten von Fr. 2'500.-- und sprach keine Parteientschädigung zu. Gegen diese Verfügung reichte die Patientin beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde ein. Sie beantragte, die Verfügung der Staatskanzlei aufzuheben, festzustellen, dass bei der Behandlung im Spital C._ vom 5. bis am 15. Oktober 2009 Fehler gemacht worden seien, die eine Haftung begründeten, und die Sache an die Staatskanzlei zur Beurteilung der eingeklagten Forderung zurückzuweisen. Ferner sei festzustellen, dass das Verfahren vor der Staatskanzlei unentgeltlich sei, und die o/e-Kosten des Verfahrens der Beklagten aufzuerlegen. Mit Urteil vom 19. Dezember 2013 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben, festzustellen, dass bei der Behandlung im Spital C._ vom 5. bis am 15. Oktober 2009 Fehler gemacht worden seien, die eine Haftung begründeten, und die Sache an die Staatskanzlei zur Beurteilung der eingeklagten Forderung zurückzuweisen. Eventuell sei die Sache an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen mit der Weisung, das von der Beschwerdeführerin beantragte Gutachten einzuholen und die Beschwerdegegnerin aufzufordern, die vor Anhebung des Prozesses abgegebene Stellungnahme des beratenden Arztes der "F._ Versicherung" zu edieren. Die Beschwerdegegnerin und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Parteien haben unaufgefordert eine Replik und eine Duplik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Zu beurteilen ist die Haftung aus ärztlicher Tätigkeit in einem öffentlichen Spital, die sich nach dem kantonalen Gesetz vom 26. Juni 1966 über die Haftung des Staates, der Gemeinden, der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten und Arbeiter (Verantwortlichkeitsgesetz; VG/SO; BGS 124.21) richtet. Da diese öffentlich-rechtliche Streitsache in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht, unterliegt der angefochtene Entscheid, wie die Beschwerdeführerin zutreffend erkennt, entgegen der Rechtsmittelbelehrung nicht der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, sondern der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>).
1.1. Die Beschwerdeführerin behauptet vor Bundesgericht unwidersprochen, der für die Beschwerde notwendige Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) werde überschritten. Im angefochtenen Entscheid finden sich diesbezüglich keine Ausführungen oder Feststellungen. Der Frage kommt keine Bedeutung zu. Der Anspruch basiert auf einem kantonalen Haftungsgesetz, dessen Anwendung das Bundesgericht grundsätzlich nur unter dem Gesichtspunkt der Willkür (<ref-law>) prüfen kann. Die von der Beschwerdeführerin erhobenen Rügen der willkürlichen Feststellung des Sachverhalts, der willkürlichen Rechtsanwendung und der Verletzung des rechtlichen Gehörs wären aber auch der subsidiären Verfassungsbeschwerde zugänglich. Sie wären daher selbst dann zu beurteilen, wenn der Streitwert für eine Beschwerde in Zivilsachen nicht erreicht würde.
1.2. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen und des Bundesverwaltungsgerichts. Letztinstanzlichkeit gemäss <ref-law> bedeutet, dass der kantonale Instanzenzug für die Rügen, die dem Bundesgericht vorgetragen werden, ausgeschöpft sein muss (<ref-ruling> E. 1.3 S. 527 mit Hinweisen).
1.3. Nach <ref-law> ist in der Begründung der Anträge in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Unbeachtlich sind blosse Verweise auf die Akten; inwiefern das angefochtene Urteil Recht verletzt, ist in der Rechtsschrift selbst darzulegen (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.; je mit Hinweisen).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117 mit Hinweisen).
1.4.1. Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Rechtsprechung nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür vielmehr nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dabei genügt es nicht, wenn sich nur die Begründung des angefochtenen Entscheides als unhaltbar erweist. Eine Aufhebung rechtfertigt sich nur dann, wenn der Entscheid auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen).
1.4.2. Wer die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substanziiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss <ref-law> gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Nicht einzutreten ist daher auf die Rüge, die Feststellung der Vorinstanz, der Gallengang sei anlässlich der Operation verletzt worden, sei in erheblicher Weise unpräzis, da der Hauptgallengang nicht nur verletzt, sondern durchtrennt worden sei. Inwiefern dieser Feststellung für den Ausgang des Verfahrens Bedeutung zukommt, zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf und ist auch nicht ersichtlich.
2.
Die Vorinstanz erachtete es zwar als glaubhaft, dass der Beschwerdeführerin vor der Operation ein Aufklärungsprotokoll übergeben worden sei. Sie zitiert aus einem Schreiben der Versicherung, wonach sich der behandelnde Arzt an die Konsultation genauer erinnere, weil er von der Beschwerdeführerin das erste Mal in seiner Praxis gefragt worden sei, welche Komplikationen er persönlich erlebt habe. Auch die Beschwerdeführerin sei auf das Aufklärungsgespräch zu sprechen gekommen. Dennoch erachtete die Vorinstanz den strikten Beweis, dass die Beschwerdeführerin über allfällige Verletzungsmöglichkeiten der Gallengänge aufgeklärt worden sei, nicht für erbracht. Sie ging aber davon aus, der Beschwerdegegnerin sei der Nachweis einer hypothetischen Einwilligung gelungen.
2.1. Sie berücksichtigte dabei, dass die Beschwerdeführerin von ihrem Hausarzt an das Spital C._ überwiesen wurde und anlässlich der Besprechung der Operation am 5. Oktober 2009 auf eine rasche Vornahme drängte. Das Risiko, bei der Entfernung der Gallenblase an den Gallengängen verletzt zu werden, betrage lediglich 0.4 bis 0.6 % und sei als äusserst gering zu bezeichnen. Dass sich die Beschwerdeführerin für eine Operation an der offenen Bauchdecke entschieden hätte, bei der das Risiko der Verletzung der Gallengänge noch minimer sei, erachtete die Vorinstanz als unwahrscheinlich, da dort wesentlich grössere Narben entstünden und jede Operation mit Risiken verbunden sei.
2.2. Die Beschwerdeführerin rügt den Schluss auf ihre hypothetische Einwilligung als willkürlich. Sie macht geltend, wenn man ihr gesagt hätte, dass es in den öffentlichen Spitälern im Kanton Solothurn in den letzten Jahren wiederholt vorgekommen sei, dass bei einer laparoskopischen Cholezystektomie der Hauptgang durchgetrennt worden sei und dass dieses Risiko bei der Operation mit einem Schnitt in der Bauchdecke wesentlich geringer sei, hätte sie sich wahrscheinlich für die Operation mit dem Schnitt in der Bauchdecke entschieden. Hinzu komme, dass das Risiko einer Verletzung gesenkt werden könne, wenn vorgängig eine ERCP (endoskopische retrograde Cholangiopankreatikographie) zur Darstellung der Gallenwege gemacht werde, was in manchen Spitälern der Fall sei, nicht aber im Spital C._. Darauf hätte die Beschwerdeführerin aufmerksam gemacht werden müssen. Sie hätte sich dann die Sache noch einmal überlegen können und hätte sich in einem anderen Spital operieren lassen. Die Vorinstanz begründe die hypothetische Einwilligung mit dem niedrigen Risiko der Verletzung des Gallenganges, der Tatsache, dass eine Operation mit Bauchschnitt eine Narbe hinterlassen hätte, und dem Allgemeinwissen um das mit einer Operation verbundene Risiko. Diese Argumentation müsse als Abstellen auf eine Normhypothese angesehen werden, nicht als Schluss aus anderweitigen konkreten Umständen. Der Schluss müsse aber jedenfalls als willkürlich bezeichnet werden.
2.3. Mit ihren Ausführungen zur Normhypothese bezieht sich die Beschwerdeführerin wohl auf die Rechtsprechung des Bundesgerichts, wonach Feststellungen oder Schlüsse, die nicht auf der beweismässigen Würdigung von vorgebrachten Umständen oder konkreten Anhaltspunkten beruhen, sondern ausschliesslich aufgrund von Erfahrungssätzen getroffen wurden, die sich aus der allgemeinen Lebenserfahrung ableiten, im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen frei überprüft werden können, sofern sie allgemein für gleich gelagerte Fälle Geltung beanspruchen und gleichsam die Funktion von Normen übernehmen (<ref-ruling> E. 2 S. 117 mit Hinweisen). Da sich der zu beurteilende Anspruch auf kantonales Recht stützt, ist die Kognition des Bundesgerichts allerdings auch bezüglich von Gesetzesnormen auf Willkür beschränkt. Die Vorinstanz hat zudem darauf abgestellt, dass die Beschwerdeführerin auf eine rasche Vornahme der Operation gedrängt hat. Damit hat sie die konkreten Umstände des Einzelfalles vor dem Hintergrund der allgemeinen Lebenserfahrung gewürdigt und eine Beweiswürdigung im Einzelfall vorgenommen.
2.4. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ist sie dabei nicht in Willkür verfallen. Da die Beschwerdeführerin auf eine schnelle Vornahme der Operation drängte, ist es nicht willkürlich anzunehmen, sie hätte angesichts des geringen Risikos nicht auf den Wechsel in ein Spital gedrängt, in dem vor der Operation regelmässig eine ERCP durchgeführt wurde. Ein Spitalwechsel hätte nämlich zu einer Verzögerung führen können. Auch der Schluss, die Beschwerdeführerin hätte sich mit Blick auf das geringe Risiko für die Vermeidung einer grossen Narbe entschieden, ist nicht offensichtlich unhaltbar. Dass sie sich als erste Patientin nach den Komplikationen erkundigt hat, die der Arzt, der die Operation leitete, persönlich erlebt habe, kann zwar als Indiz gewertet werden, dass sie den mit der Operation verbundenen Risiken besondere Beachtung schenkte. Es spricht aber auch dafür, dass für sie weniger die allgemeinen Fallzahlen als die konkrete Erfahrung der Person, welche die Operation durchführte, ausschlaggebend war. Die Annahme einer hypothetischen Einwilligung ist im Ergebnis nicht offensichtlich unhaltbar.
3.
Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, anlässlich der Operation sei es zu einem Kunstfehler gekommen, indem der Gallenhauptgang durch falsche Setzung der Clips verletzt worden sei.
3.1. Die Vorinstanz stützt sich im Wesentlichen auf ein vom leitenden Arzt an einer Universitätsklinik für viszerale Chirurgie und Medizin im Auftrag der Krankenkasse verfasstes Gutachten, das auf sämtlichen Berichten im Zusammenhang mit den zwei Operationen der Beschwerdeführerin basiert. Gestützt darauf kam sie zum Schluss, es lägen keine Kunstfehler vor. Bei der Operation habe sich ein der Operation immanentes Risiko verwirklicht.
3.2. Die Beschwerdeführerin stützt sich auf die Stellungnahmen eines Internisten, des Vertrauensarztes ihres Anwaltes, wonach es zu Verletzungen des Gallenweges nur bei komplizierten anatomischen Verhältnissen kommen könne, die im zu beurteilenden Fall nicht gegeben gewesen seien. Sie rügt, die Vorinstanz habe sich damit mit dem formalen Hinweis, es handle sich um ein Parteigutachten von einem Allgemeinpraktiker, inhaltlich nicht auseinandergesetzt. Ebenso sei die Vorinstanz nicht auf die Ausführungen der Beschwerdeführerin zur deutschen Lehre und Rechtsprechung eingegangen, welche die Durchtrennung der Gallenwege als Kunstfehler beurteilten. Für diese Auffassung beruft sich die Beschwerdeführerin auch auf ein Gutachten, das in einem von der Strafkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn beurteilten Fall eingeholt wurde. In diesem Fall hatten die Ärzte den Gallenblaseneingang mit dem Hauptgallengang verwechselt. Die Ärzte hatten in diesem Fall trotz während der Operation aufgetretener Indizien, die für eine Verwechslung sprachen, und trotz Bedenken, ob sie den Gallengang richtig identifiziert hatten, statt die (in diesem Fall vorhandenen) ERPC-Bilder zu konsultieren oder eine interoperative Cholangiographie zu erstellen, als einzige Massnahme den Notfallarzt hinzugezogen, der die Gänge auch falsch identifizierte. Diese Massnahme erachteten die Gutachter als inadäquat. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, die Vorinstanz hätte ihrem Antrag, bei einer der Personen, die dieses Gutachten verfasst hatten, auch für den hier zu beurteilenden Fall ein Gutachten einzuholen, stattgeben müssen ebenso wie dem Antrag auf Herausgabe der Stellungnahme des beratenden Arztes der "F._ Versicherung". Das Gutachten, auf das die Vorinstanz abgestellt habe, sei in einem anderen Prozess erstellt worden. Die Beschwerdeführerin beziehungsweise ihrem Rechtsvertreter sei mithin keine Gelegenheit eingeräumt worden, sich zur Person des Gutachters zu äussern oder Ergänzungsfragen zu stellen. Insoweit sieht sie ihren Anspruch auf rechtliches Gehör als verletzt an.
3.3. Der aus <ref-law> fliessende Anspruch auf rechtliches Gehör verleiht der betroffenen Partei das Recht, in einem Verfahren, welches in ihre Rechtsstellung eingreift, mit rechtzeitig und formgültig angebotenen Beweisanträgen gehört zu werden, soweit diese erhebliche Tatsachen betreffen und nicht offensichtlich beweisuntauglich sind. Es liegt daher keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen darf, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157). Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist hingegen verletzt, wenn ein Gericht einem Beweismittel zum vornherein ohne sachliche Begründung jede Erheblichkeit oder Tauglichkeit abspricht (<ref-ruling> E. 2 S. 291; <ref-ruling> E. 6b S. 171).
3.4. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt sodann, dass die Gerichte die rechtserheblichen Vorbringen der Parteien anhören und bei der Entscheidfindung berücksichtigen. Damit sich die Parteien ein Bild über die Erwägungen des Gerichts machen können, ist sein Entscheid zu begründen. Die Begründung muss kurz die Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinander setzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Es genügt, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188 mit Hinweisen).
3.5. Die Vorinstanz hielt fest, die Beschwerdeführerin lege mit keinem Wort da, wieso das Gutachten, auf das schon die erste Instanz abstellte, nicht genügen sollte. Die Beschwerdeführerin verweist auf die Seiten 6-16 ihrer Beschwerde gegen den erstinstanzlichen Entscheid. Durch diese ziehe sich wie ein roter Faden die Kritik an der erstinstanzlichen Auffassung, im Ergebnis könne den Aussagen des Gutachters gefolgt werden, der festgehalten habe, anlässlich der Gallenblasenoperation habe eine Fehlinterpretation der Anatomie der Gallenwege zur falschen Clipsetzung geführt, wobei sich der Grund hierfür nicht mehr eruieren lasse. Dies sei jedoch nicht als Kunstfehler sondern als behandlungsimmanentes Risiko eines solchen Eingriffes zu qualifizieren. Die Beschwerdeführerin zeigt aber nicht auf, was sie an den bezeichneten Stellen ausgeführt und in welchen Punkten sie das Gutachten konkret beanstandet hat. Bereits in formeller Hinsicht genügt die Beschwerde damit den Begründungsanforderungen nicht. Ein Gutachten kann entweder in Zweifel gezogen werden, indem Unzulänglichkeiten, Widersprüche oder Unklarheiten im Gutachten selbst aufgezeigt werden. Eine Partei kann sich aber auch auf abweichende Einschätzungen anderer Ärzte berufen, wie dies die Beschwerdeführerin in Bezug auf den Vertrauensarzt ihres Rechtsvertreters tut. Mit letzterem wird das Gutachten aber nur als ungenügend ausgewiesen, wenn die vom Gutachten abweichende Einschätzung das Gericht zu überzeugen vermag, was hier nicht der Fall war. Dass die Beschwerdeführerin eigentliche Unzulänglichkeiten des Gutachtens selbst gerügt hätte, zeigt sie nicht auf und ist nicht festgestellt. Zu prüfen bleibt, ob die abweichende Meinung des Vertrauensarztes und die Hinweise auf andere Gerichtsentscheide zur Frage der Gallengangverletzung bei willkürfreier Würdigung Zweifel am Gutachten hätten erwecken müssen.
3.6. Die Vorinstanz ist der Meinung des Vertrauensarztes nicht nur aus formellen Gründen nicht gefolgt, sondern auch aus inhaltlichen Gründen, weil er nicht dargelegt hatte, woher er die These habe, dass nur dann ein der Operation immanentes Risiko vorliegen könne, wenn die anatomischen Strukturen unübersichtlich seien. Die Beschwerdeführerin bemerkt hierzu zwar, man müsse kein Chirurg sein, um zu verstehen, dass bei komplizierten anatomischen Verhältnissen eine Verwechslung des Hauptgallenganges eher möglich und auch eher entschuldbar sei, als bei normalen anatomischen Gegebenheiten. Damit wird aber nicht plausibel erklärt, weshalb dieser Umstand den auf diesem Gebiet spezialisierten Ärzten nicht aufgefallen sein sollte im Gegensatz zum Vertrauensarzt des Rechtsvertreters, der nach den Feststellungen der Vorinstanz nicht auf dem Fachgebiet spezialisiert, sondern Internist ist. Es ändert nichts daran, dass der Vertrauensarzt seine Meinung in keiner Weise belegt hat. Die Vorinstanz hat in diesem Punkt aber nicht allein auf die Auffassung des Gutachters abgestellt. Sie berücksichtigte zudem ein Gutachten aus einem früher vom Verwaltungsgericht (und mit Urteil 4A_323/2007 vom 24. Oktober 2007 auch vom Bundesgericht) beurteilten Fall. In diesem Gutachten wird nach den Feststellungen der Vorinstanz, obwohl ebenfalls keine komplizierten anatomischen Verhältnisse gegeben waren, von einem operationsimmanenten Risiko ausgegangen. Dass diese Feststellung offensichtlich unzutreffend wäre, zeigt die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich auf. Vor diesem Hintergrund kann von Willkür keine Rede sein, wenn die Vorinstanz auch bei einer Verletzung bei übersichtlichen Strukturen nicht zwingend auf einen Kunstfehler schliesst. Aus dem im von der Strafkammer des Obergerichts behandelten Fall erstellten Gutachten kann die Beschwerdeführerin nichts ableiten. Daraus geht zwar hervor, dass eine Verletzung des Gallenhauptgangs eine Sorgfaltspflichtverletzung darstellen kann. Die konkreten Umstände waren aber andere, indem bereits während der Operation Indizien für eine fehlerhafte Behandlung auftraten. Dass mit Blick auf die ausländische Rechtsprechung vielleicht auch eine andere Würdigung denkbar wäre, genügt nicht, um die Einschätzung der Vorinstanz als willkürlich auszuweisen. Auf diese nicht den konkret zu beurteilenden Fall betreffenden Meinungen musste die Vorinstanz nicht weiter eingehen, wenn sie sich willkürfrei auf ein zum konkreten Fall ergangenes Gutachten stützen konnte.
3.7. Nicht stichhaltig ist auch der Einwand, da das Gutachten, auf das die Vorinstanz ihren Entscheid stütze, in einem anderen Verfahren eingeholt worden sei, habe der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin keine Möglichkeit gehabt, sich zur Wahl des Gutachters zu äussern oder Ergänzungsfragen zu stellen. Es ist nicht festgestellt und die Beschwerdeführerin zeigt auch nicht mit Aktenhinweis auf, dass sie im kantonalen Verfahren prozesskonform beantragt hätte, es seien dem Gutachter Zusatzfragen zu stellen, oder dass sie Einwände zur Person des Gutachters erhoben hätte. Unter diesen Umständen ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz auf das Gutachten abstellt. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist nicht dargetan.
3.8. Soweit die Beschwerdeführerin die Einholung weiterer Gutachten beantragt oder die Stellungnahme des beratenden Arztes der "F._ Versicherung", ist es ihr nicht gelungen aufzuzeigen, dass das Gutachten, auf das sich die Vorinstanz gestützt hat, bei willkürfreier Würdigung als ungenügend betrachtet werden müsste. Damit erweist sich ihre Rüge als unbegründet.
4.
Mit Blick auf die postoperative Behandlung erkennt die Beschwerdeführerin darin einen Kunstfehler, dass die Verletzung des Gallenhauptgangs erst drei Tage nach der Nachkontrolle diagnostiziert worden sei.
4.1. Der Gutachter, auf den die Vorinstanz abstellte, kam zum Schluss, aufgrund des Austrittsberichtes des Spitals C._ seien die Veränderungen als medikamentöse Nebenwirkungen eingestuft worden. Dies sei zweifellos eine mögliche Erklärung, und da sich nach Stoppen der Medikamentenabgabe die Werte leichtgradig gebessert hätten, sei es durchaus erlaubt gewesen, die Patientin nach Hause zu entlassen.
4.2. Die Beschwerdeführerin macht unter Hinweis auf die Akten geltend, die Leberwerte (Bilirubin), die nach Absetzen der Medikamente vom 9. auf den 10. Oktober von 52 auf 48 leicht gesunken seien, aber immer noch weit über der Norm gelegen hätten, seien bis zum Entlassungstag bereits wieder auf 78 angestiegen. Spätestens in diesem Zeitpunkt hätte die Fehldiagnose bemerkt und korrigiert werden müssen. In diesem Zusammenhang rügt die Beschwerdeführerin auch die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz, die erhöhten Leberwerte hätten sich nach Absetzung der Medikamente reduziert, woraufhin die Beschwerdeführerin am 12. Oktober 2009 aus dem Spital C._ entlassen worden sei, als aktenwidrig, da der Wert bis am 12. Oktober 2009 (Entlassungstag) wieder auf 78 angestiegen sei.
4.3. Die Beschwerdeführerin hat vor der Vorinstanz das Gutachten, auf das bereits die Staatskanzlei abgestellt hatte, unter Hinweis auf die abweichende Einschätzung des Vertrauensarztes ihres Anwaltes beanstandet. Der Vertrauensarzt ist aber von der Einschätzung im Gutachten nicht mit dem Hinweis abgewichen, die Leberwerte seien nach einem leichten Absinken wieder angestiegen. Er hielt vielmehr allgemein fest, das Muster der Leberwerte habe nicht den eingesetzten Medikamenten entsprochen. Dass die Beschwerdeführerin den Wiederanstieg der Werte und den Widerspruch, den sie darin zu den Ausführungen des Gutachters zu erkennen scheint, bereits im kantonalen Rechtsmittelverfahren thematisiert hat, ist nicht festgestellt und zeigt sie nicht auf. Mit Blick auf die materielle Ausschöpfung des Instanzenzuges haben die Parteien in tatsächlicher Hinsicht ihre Kritik aber bereits im kantonalen Verfahren vorzubringen, damit dort gegebenenfalls weitere Beweismassnahmen (wie Zusatzfragen an den Gutachter) angeordnet werden können. Erfolgt die Beanstandung, obwohl nicht erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gab, erst vor Bundesgericht, fehlt es insoweit an der materiellen Ausschöpfung des Instanzenzuges und ist auf die Rüge nicht einzutreten. Für die Vorinstanz war offensichtlich die Einschätzung des Experten ausschlaggebend, nicht die von ihr im Sachverhalt getroffene Feststellung, die sich im Ergebnis an das Gutachten anlehnt. Damit ist auch auf die Rüge der willkürlichen Feststellung des Sachverhaltes nicht einzutreten.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend, wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juli 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak