Sachverhalt:
A.
Der am 5. September 1949 geborene, seit 1993 als selbstständiger Goldschmied mit eigenem Verkaufslokal tätige A._ meldete sich im November 2010 unter Hinweis auf Psoriasis vulgaris mit Nagelbefall bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 27. September 2011 wies die IV-Stelle Bern das Leistungsbegehren ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 9. Januar 2012 gut und wies die Sache zu neuer Entscheidung an die Verwaltung zurück. Nach weiteren Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens ermittelte die IV-Stelle Bern einen Invaliditätsgrad von 10 %; folglich verneinte sie wiederum mit Verfügung vom 12. Februar 2013 einen Rentenanspruch.
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hiess die dagegen erhobene Beschwerde gut, hob die Verfügung vom 12. Februar 2013 auf und sprach dem Versicherten eine ganze Invalidenrente ab 1. Mai 2011 zu (Entscheid vom 2. Dezember 2013).
C.
Die IV-Stelle beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 2. Dezember 2013 sei aufzuheben, eventualiter sei dem Versicherten ab 1. Mai 2011 eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Mit einer weiteren Eingabe reicht sie einen Auszug aus dem individuellen Konto ein.
A._ schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2. Tatsächlicher Natur sind die Feststellungen zum Gesundheitszustand einer versicherten Person und der daraus resultierenden Arbeits (un) fähigkeit, die das Sozialversicherungsgericht gestützt auf medizinische Untersuchungen trifft; soweit die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es um eine Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.; Urteil 9C_133/2011 vom 29. April 2011 E. 1). Rechtsfrage ist auch, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über die Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit erfolgt (Urteil 9C_190/2009 vom 11. Mai 2009 E. 3.3).
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin legt nicht dar und es ist auch nicht ersichtlich, weshalb der dem Bundesgericht neu eingereichte Auszug aus dem individuellen Konto nicht früher hätte verlangt und in das vorinstanzliche Verfahren eingebracht werden können. Er ist daher unzulässig.
2.
2.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, der Versicherte sei seit Juli 2009 in seiner Arbeitsfähigkeit eingeschränkt. Die Arbeit als Goldschmied sei zu 20 %, jene als Schmuckverkäufer und jede andere leidensangepasste Tätigkeit zu 100 % zumutbar. Für den Einkommensvergleich, bezogen auf das Jahr 2011, hat sie das Valideneinkommen auf Fr. 63'487.- festgelegt. In Bezug auf das Invalideneinkommen hat das kantonale Gericht die Aufgabe der selbstständigen Erwerbstätigkeit für zumutbar gehalten; hingegen hat es die Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit verneint. Folglich hat es eine vollständige Erwerbsunfähigkeit angenommen und dem Versicherten eine ganze Invalidenrente zugesprochen.
2.2. Die Feststellungen betreffend die Arbeitsfähigkeit und das Valideneinkommen bleiben unbestritten und sind verbindlich (E. 1.1). Die IV-Stelle bestreitet lediglich die Invaliditätsbemessung (vgl. <ref-law>) in Bezug auf das Invalideneinkommen. Sie argumentiert, die Restarbeitsfähigkeit lasse sich in einer unselbstständigen Tätigkeit verwerten. Sodann sei 2011 im Rahmen der selbstständigen Erwerbstätigkeit ein Betriebsgewinn von Fr. 28'334.- erzielt und in der Buchhaltung ausgewiesen worden; mindestens dieser Betrag sei als Invalideneinkommen zu berücksichtigen.
3.
3.1.
3.1.1. Das - in unselbstständiger Tätigkeit - trotz der gesundheitlichen Beeinträchtigung zumutbarerweise erzielbare Einkommen ist bezogen auf einen ausgeglichenen Arbeitsmarkt zu ermitteln, wobei an die Konkretisierung von Arbeitsgelegenheiten und Verdienstaussichten keine übermässigen Anforderungen zu stellen sind (im Einzelnen dazu Urteil 9C_830/2007 vom 29. Juli 2008 E. 5.1, in: SVR 2008 IV Nr. 62 S. 203). Das fortgeschrittene Alter wird, obgleich an sich ein invaliditätsfremder Faktor, in der Rechtsprechung als Kriterium anerkannt, welches zusammen mit weiteren persönlichen und beruflichen Gegebenheiten dazu führen kann, dass die einer versicherten Person verbliebene Resterwerbsfähigkeit auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt realistischerweise nicht mehr nachgefragt wird, und dass ihr deren Verwertung auch gestützt auf die Selbsteingliederungslast nicht mehr zumutbar ist. Fehlt es an einer wirtschaftlich verwertbaren Resterwerbsfähigkeit, liegt eine vollständige Erwerbsunfähigkeit vor, die einen Anspruch auf eine ganze Invalidenrente begründet (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 831/05 vom 21. August 2006 E. 4.1.1 mit Hinweisen). Der Einfluss des Lebensalters auf die Möglichkeit, das verbliebene Leistungsvermögen auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt zu verwerten, lässt sich nicht nach einer allgemeinen Regel bemessen, sondern hängt von den Umständen des Einzelfalls ab. Massgebend können die Art und Beschaffenheit des Gesundheitsschadens und seiner Folgen, der absehbare Umstellungs- und Einarbeitungsaufwand und in diesem Zusammenhang auch Persönlichkeitsstruktur, vorhandene Begabungen und Fertigkeiten, Ausbildung, beruflicher Werdegang oder Anwendbarkeit von Berufserfahrung aus dem angestammten Bereich sein (<ref-ruling> E. 3.1 S. 460; Urteile 9C_153/ 2011 vom 22. März 2012 E. 3.1; 9C_918/2008 vom 28. Mai 2009 E. 4.2.2 mit Hinweisen).
3.1.2. Die Vorinstanz hat das Alter des Versicherten von 62 Jahren und 10 Monaten, seine seit rund 20 Jahren andauernde Selbstständigkeit und die damit verbundenen Schwierigkeiten, sich in ein hierarchisches Betriebsgefüge einzuordnen, die ästhetischen Beeinträchtigungen an den Fingernägeln sowie die relativ kurze Dauer eines allfälligen Rentenanspruchs berücksichtigt und daraus auf die Unverwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit geschlossen. Dabei hat sie auf den 18. Juli 2012 Bezug genommen, zu welchem Zeitpunkt der Bericht der Dermatologischen Klinik B._ als Grundlage für die Feststellung der verbleibenden Arbeitsfähigkeit erstellt wurde.
3.1.3. Der IV-Stelle ist zwar darin beizupflichten, dass den ästhetischen Beeinträchtigungen mit der Benutzung von Handschuhen entgegengewirkt werden könnte. Unter Betrachtung der übrigen Gesichtspunkte stellt die vorinstanzliche Auffassung dennoch keine Verletzung von Bundesrecht dar. In der Tat verbleibt nur noch eine eher kurze Aktivitätsdauer von weniger als zwei Jahren und zwei Monaten, während welcher zudem ein Umstellungs- und Einarbeitungsaufwand nicht von der Hand zu weisen ist. Daran ändern auch berufliches Fachwissen und Erfahrung aus selbstständiger Tätigkeit nichts. Das kantonale Gericht hat deshalb zu Recht angenommen, dass unter den konkreten Umständen die Arbeitskraft des Versicherten auch auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt realistischerweise nicht (mehr) nachgefragt wird.
3.2. Nach dem Gesagten steht fest, dass die Restarbeitsfähigkeit in einer unselbstständigen Tätigkeit nicht verwertbar ist. Der Beschwerdeführerin ist indessen beizupflichten, dass dieser Umstand im konkreten Fall noch nicht den Schluss auf eine vollständige Erwerbsunfähigkeit zulässt. Er bedeutet lediglich, dass vom Versicherten nicht verlangt werden kann, seinen Betrieb aufzugeben. Zu prüfen ist demnach, welches Einkommen er mit dessen Weiterführung erzielen kann resp. hätte erzielen können.
3.3. Die Vorinstanz hat verbindlich (E. 1.1) festgestellt, der Versicherte könne nach Durchführung von vorgeschlagenen Umstrukturierungsmassnahmen, d.h. mit der Anstellung eines Goldschmiedes, nur noch ein geringes Einkommen erzielen. Nicht geprüft hat sie die von ihr bereits im Entscheid vom 9. Januar 2012 aufgeworfene Frage, was der Versicherte mit der (alleinigen) Tätigkeit als Schmuckverkäufer - allenfalls bei Ankauf von Waren - verdienen könnte. Diesbezüglich lässt sich dem Abklärungsbericht für Selbstständigerwerbende vom 17. Dezember 2012 lediglich entnehmen, dass der Versicherte "wenige Stücke fertig als Handelsware eingekauft" habe und sich damit "nicht derart hohe Preise und auch sonst kein guter Umsatz erzielen" liessen. Welcher Gewinn konkret aus dem Verkauf bereits produzierter oder angekaufter Ware erwirtschaftet werden könnte, wurde nicht ausgeführt. Weiter ist zu berücksichtigen, dass die Arbeitsfähigkeit als Goldschmied gemäss Bericht der Klinik B._ vom 18. Juli 2012 spätestens seit 9. Juli 2012 immerhin 20 % beträgt (E. 2.1 und 3.1.2). Sodann wurden für die Jahre 2010 resp. 2011 - bei damals fehlender Arbeitsfähigkeit als Goldschmied - Betriebsgewinne von immerhin Fr. 47'179.- resp. Fr. 28'334.- ausgewiesen.
Bei der gegebenen Aktenlage lässt sich das Invalideneinkommen - auf der Grundlage einer Weiterführung des Betriebes bis zum Erreichen des ordentlichen Pensionsalters - nicht zuverlässig feststellen. Die Verwaltung wird weitere Abklärungen zu treffen und über den Rentenanspruch erneut zu entscheiden haben. Insofern ist die Beschwerde begründet.
4.
Die Rückweisung der Sache an das kantonale Gericht oder an den Versicherungsträger zur erneuten Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt praxisgemäss (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235 mit Hinweisen) für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als volles Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie überhaupt beantragt, oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder Eventualantrag gestellt wird (Urteil 8C_139/2013 vom 2. Dezember 2013 E. 3). Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdegegner die Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (<ref-law>).
Das Ergebnis ist ohne Einfluss auf die vorinstanzliche Kostenverlegung, weshalb sich eine diesbezügliche Rückweisung der Sache an die Vorinstanz erübrigt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 2. Dezember 2013, soweit er den Rentenanspruch betrifft, und die Verfügung der IV-Stelle Bern vom 12. Februar 2013 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die IV-Stelle Bern zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Mai 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann