Faits:
A. Le 24 mars 2006, sur réquisition de la Fondation institution supplétive LPP, Agence générale de la Suisse romande (ci-après: la Fondation ou l'institution supplétive), l'Office des poursuites de Morges-Aubonne a notifié à Z._, dans la poursuite n° xxxx, un commandement de payer les sommes de 18'572 fr.65 avec intérêts à 6% l'an dès le 1er janvier 2006 et de 100 fr. sans intérêts. La cause de l'obligation indiquée était "[...] solde du compte courant prime au 31.12.2005" et "frais de contentieux". Le poursuivi a formé opposition totale.
Le 24 mai 2006, la Fondation a rendu une décision selon laquelle le poursuivi, désigné comme "l'employeur", était son débiteur des montants susmentionnés. Selon une attestation du 4 août 2006, aucun recours n'a été formé devant la Commission fédérale de recours en matière de prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité.
B. Le 4 octobre 2006, la Fondation a requis le Juge de paix du district de Morges de prononcer la mainlevée définitive de l'opposition. Elle a produit le commandement de payer, la décision du 24 mai 2006 et l'attestation de la Commission fédérale de recours du 4 août 2006.
Le Juge de paix a rejeté la requête par décision du 15 novembre 2006, au motif que la décision du 24 mai 2006 était postérieure au commandement de payer.
Statuant le 8 mars 2007, la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par la Fondation et maintenu le prononcé entrepris.
C. Contre cet arrêt, la Fondation exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut à sa réforme en ce sens que la mainlevée au commandement de payer est accordée pour les montants susmentionnés, ainsi que pour les frais du commandement de payer par 193 fr.35. L'intimé n'a pas déposé de réponse. L'autorité cantonale se réfère à son arrêt.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2 p. 210; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 251, 439 consid. 2 p. 441).
1.1 La décision rendue en matière de mainlevée - définitive ou provisoire - de l'opposition est une décision finale au sens de l'<ref-law> puisqu'elle met fin à l'instance. Elle peut faire l'objet du recours en matière civile (<ref-law>) lorsque la valeur litigieuse atteint au moins 30'000 fr. (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 399/400) ou, exceptionnellement et pour autant que cela soit démontré (<ref-law>), lorsqu'elle soulève une question juridique de principe (<ref-law>).
1.2 La notion de question juridique de principe doit être interprétée de manière restrictive. En particulier, lorsque le point soulevé ne concerne que l'application des principes jurisprudentiels à un cas d'espèce, il ne peut être qualifié de question juridique de principe (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 496).
D'après la jurisprudence, l'institution supplétive ne peut pas rendre une décision et lever l'opposition formée par l'employeur à la poursuite qui tend au paiement des cotisations; elle doit agir par la voie de l'action (administrative) et, ensuite, suivre la voie ordinaire, comme cela vaut, en général, pour tout autre sujet de droit privé (<ref-ruling> consid. 3 p. 15; <ref-ruling> ss; <ref-ruling> ss). La loi sur la prévoyance professionnelle ayant été modifiée le 3 octobre 2003, avec entrée en vigueur le 1er janvier 2005, la question de savoir si l'institution supplétive peut rendre une décision levant l'opposition nécessite un réexamen à la lumière des nouvelles dispositions légales, ce d'autant que les jurisprudences cantonales vont dans des sens opposés. De surcroît, la solution de cette question revêt une grande importance pratique dès lors qu'elle doit fixer le déroulement de la procédure de poursuite dans des affaires qui relèvent de l'administration de masse. L'institution supplétive recourante a d'ailleurs déjà introduit quatre recours identiques contre quatre arrêts de la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal vaudois du 8 mars 2007, rendus sur quatre requêtes de mainlevée définitive à l'encontre de quatre employeurs poursuivis pour des cotisations impayées et posant la même question juridique. Enfin, dès lors que l'institution supplétive ne peut se permettre d'attendre que les cotisations impayées par un seul employeur atteignent 30'000 fr., la poursuite porte forcément toujours sur un montant inférieur et, partant, la valeur litigieuse minimale prévue à l'<ref-law> ne peut jamais être atteinte. Pour ces trois raisons, il y a donc lieu d'admettre l'existence d'une question juridique de principe au sens de l'<ref-law>.
1.3 Interjeté en temps utile (<ref-law>) par la partie qui a succombé devant l'autorité précédente (<ref-law>), contre une décision prise sur recours en dernière instance cantonale (<ref-law>), le recours en matière civile est aussi recevable au regard de ces dispositions.
2. 2.1 L'autorité cantonale admet que la recourante a un intérêt au recours puisqu'elle n'a pas déjà levé elle-même l'opposition, et ce indépendamment du point de savoir si elle serait ou non en droit de rendre une décision de mainlevée. La Cour des poursuites et faillites considère toutefois que, pour obtenir la mainlevée, le poursuivant doit notamment prouver l'identité entre la prétention déduite en poursuite et la créance reconnue dans le titre. Or, en l'espèce, la décision condamnant l'employeur à payer les montants litigieux est postérieure à la réquisition de poursuite; elle n'avait donc pas été rendue lors de la notification du commandement de payer et n'était ainsi pas exécutoire à cette date. La cause invoquée dans le commandement de payer, à savoir le solde du compte courant de prime au 20 février 2006, est ainsi différente de celle mentionnée dans la requête de mainlevée (soit la décision rendue par l'institution supplétive le 1er juin 2006). Toujours selon l'autorité cantonale, on ne peut pas admettre qu'il s'agit de la même créance qui aurait été simplement constatée dans la décision postérieure, puisque la décision en cause n'est pas constatatoire et qu'une décision administrative assimilable à un jugement au sens de l'<ref-law> est une décision "formatrice". L'objection de la recourante, selon laquelle la décision portant condamnation à payer une somme d'argent n'est prise qu'après l'opposition au commandement de payer, ne serait pas fondée car la poursuite ne pourrait être introduite avant que ladite décision n'ait été rendue. La cour cantonale se réfère à un avis de doctrine (Gilliéron, Les garanties de procédure dans l'exécution forcée ayant pour objet une somme d'argent ou des sûretés à fournir, Le cas des prétentions de droit public, in SJ 2003 II 361 ss, p. 376-377), selon lequel les caisses-maladie doivent prendre une décision portant condamnation à payer une somme d'argent avant de requérir une poursuite, car une telle décision n'est assimilée à un jugement civil exécutoire que si elle est exécutoire (art. 54 de la loi fédérale du 6 octobre 2000 sur la partie générale des assurances sociales [LPGA; RS 830.1].
2.2 La recourante se prévaut de l'<ref-law>, qui prévoit que ses décisions sont assimilables aux jugements exécutoires au sens de l'<ref-law>. Elle expose que, conformément à cette dernière disposition, le créancier peut demander au juge de lever définitivement l'opposition lorsque sa créance repose sur une décision exécutoire, sans que le législateur n'exige que le titre de mainlevée existe avant l'ouverture de la poursuite. Au contraire, la mainlevée définitive doit être accordée lorsque la décision qui en est le titre est devenue exécutoire après le commandement de payer, mais avant la mainlevée.
3. Sous l'empire de l'ancien droit, le Tribunal fédéral avait jugé que l'institution supplétive en matière de prévoyance professionnelle - dont la créance a sa cause juridique dans le droit public (<ref-ruling> consid. 3 p. 15/16) - ne pouvait pas, puisqu'elle ne disposait pas d'un pouvoir de décision pour la perception de cotisations, invoquer la jurisprudence relative aux caisses-maladie (<ref-ruling>) pour lever elle-même l'opposition formée par l'employeur à la poursuite tendant au paiement de cotisations; elle devait d'abord intenter action (administrative) et, ensuite, suivre la voie ordinaire de la poursuite (<ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling> précités). Depuis le 1er janvier 2005, le nouvel <ref-law> prévoit que l'institution supplétive peut rendre des décisions afin de remplir les obligations prévues à l'art. 60 al. 2 let. a et b et à l'<ref-law>; ces décisions sont assimilables à des jugements exécutoires au sens de l'<ref-law>.
Bien que le texte légal ne le précise pas expressément, contrairement à d'autres dispositions plus explicites (art. 69 al. 1, 3 et 4 de la loi sur la TVA [LTVA; RS 641.20]), l'institution supplétive qui a la compétence de rendre une décision sur le fond a également celle de lever l'opposition du débiteur au commandement de payer. Ce pouvoir découle déjà de l'<ref-law>, dont la teneur a été précisée par la modification du 16 décembre 1994, entrée en vigueur le 1er janvier 1997. En prévoyant que le créancier agit "par la voie de la procédure ordinaire ou administrative", cette disposition prescrit que le litige sur le fondement matériel de la créance qui fait l'objet de la poursuite ne doit pas être porté devant le juge cantonal de l'exécution forcée - c'est-à-dire selon procédure sommaire et incidente de mainlevée -, mais devant l'autorité matériellement compétente, à savoir soit le juge civil ordinaire, soit l'autorité ou le tribunal administratif. De surcroît, lorsque l'<ref-law> précise que la continuation de la poursuite ne peut être requise "qu'en se fondant sur une décision passée en force qui écarte expressément l'opposition", il autorise clairement le juge civil ordinaire ou l'autorité, respectivement le tribunal administratif, à lever l'opposition, de façon à ce qu'il ne soit pas nécessaire - sous réserve des cas visés par l'<ref-law> - de recourir encore à la procédure cantonale (sommaire) de mainlevée (arrêt non publié K 40/99 du 25 juin 1999, consid. 2c-2d). Tel était déjà le sens donné par la jurisprudence à l'ancien <ref-law> (<ref-ruling> consid. 3 p. 65; <ref-ruling> consid. 2b p. 331; arrêt non publié B.150/1994 du 18 juillet 1994, consid. 3a). La compétence de prononcer la mainlevée reconnue au juge civil saisi de l'action en reconnaissance de dette doit être également reconnue aux autorités ou aux tribunaux administratifs lorsque le droit fédéral ou cantonal attribue force exécutoire, au sens de l'<ref-law> (sur cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 89), à leurs décisions portant sur le paiement d'une somme d'argent (<ref-ruling> consid. 3 p. 65); demeurent réservées les exceptions que le débiteur peut soulever contre une décision rendue dans un autre canton que celui du for de la poursuite, conformément à l'<ref-law>. Il n'existe aucun motif de leur dénier cette compétence. L'assimilation des prononcés administratifs aux jugements civils, lorsqu'ils sont rendus sur opposition à la poursuite, se justifie d'autant plus que la loi l'impose lorsque ces titres sont antérieurs au commandement de payer (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3 p. 66).
Certes, ce pouvoir permet à l'administration de lever l'opposition au commandement de payer dans la poursuite qu'elle a elle-même requise contre un particulier, ce qui, pour certains auteurs, violerait le principe selon lequel nul ne peut être à la fois juge et partie. Le législateur a toutefois reconnu expressément ce privilège aux autorités administratives lors de la révision de la LP de 1997, par l'adjonction, à l'<ref-law>, de la voie "administrative", ainsi que lors de l'adoption de lois spéciales. Le Tribunal fédéral a pris acte de cette volonté du législateur, exprimée à réitérées reprises (<ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 2b p. 331; <ref-ruling> consid. 3 p. 64/66). L'accès à un tribunal indépendant et impartial, garanti par l'art. 6 par. 1 CEDH, est sauvegardé par la possibilité pour le débiteur de recourir auprès d'une autorité judiciaire contre la décision administrative de première instance (<ref-ruling> consid. 3c p. 111/112). Il n'y a pas lieu de revenir sur cette jurisprudence (dans ce sens: Dominik Gasser, Rechtsöffnung im Verwaltungsverfahren, in ZZZ 2005 p. 183 ss, p. 184; Staehelin, in Basler Kommentar, n. 14 ad <ref-law>).
En conclusion, l'institution supplétive - qui est une autorité administrative au sens de l'art. 1 al. 2 let. e PA (<ref-law>) - et les autorités de recours qui sont habilitées à rendre des décisions en vertu de l'<ref-law> sont des instances administratives selon l'art. 79 al. 1, 1ère phrase, LP et ont la compétence, non seulement, de rendre une décision en matière de cotisations, mais aussi d'écarter l'opposition pour permettre la continuation de la poursuite, comme l'exige expressément l'art. 79 al. 1, 2ème phrase, LP.
4. En ce qui concerne le déroulement de la poursuite, il convient de préciser ce qui suit.
4.1 Le droit suisse admet que l'on puisse poursuivre une personne même pour des créances qui ne se basent sur aucun jugement, sur aucun document public, pas même sur un titre privé; le complément nécessaire d'un droit de poursuite aussi étendu est la possibilité pour le poursuivi de faire opposition (<ref-ruling> consid. 4.1.1 p. 141). Le créancier qui entend procéder au recouvrement de sa créance de droit public - comme d'ailleurs d'une créance de droit civil - peut donc choisir entre, premièrement, agir pour obtenir d'abord un jugement condamnant au paiement de sa créance et introduire ensuite la poursuite, ou, deuxièmement, requérir en premier lieu la poursuite puis, en cas d'opposition du débiteur, agir par la voie de la procédure administrative - de la procédure civile ordinaire pour une créance de droit civil - pour faire reconnaître son droit.
4.1.1 S'il adopte la première manière d'agir, partant s'il introduit la poursuite alors qu'il est déjà en possession d'un jugement exécutoire valant titre de mainlevée au sens de l'<ref-law>, le créancier doit requérir la levée définitive de l'opposition au commandement de payer formée par le débiteur auprès du juge de la mainlevée du canton où a lieu la poursuite, conformément à l'<ref-law>. Le débiteur peut alors opposer les exceptions prévues par l'<ref-law>.
4.1.2 Selon le second mode de procéder, donc s'il requiert la poursuite sans être en possession d'un titre de mainlevée et que le débiteur forme opposition au commandement de payer, le créancier qui veut continuer la poursuite doit agir par la voie de la procédure administrative pour faire reconnaître son droit, conformément à l'<ref-law>. Si la loi l'y autorise, l'autorité administrative créancière doit ainsi rendre une décision condamnant le débiteur à lui payer une somme d'argent, et lever elle-même l'opposition au commandement de payer. La continuation de la poursuite ne peut en effet être requise que sur la base d'une décision passée en force qui écarte expressément l'opposition (art. 79 al. 1, 2ème phrase, LP). Cette procédure administrative revêt la même double fonction que le procès civil en reconnaissance de dette pour les créances de droit civil, dans lequel le juge civil statue sur le fond et sur la levée de l'opposition (<ref-ruling> consid. 3 p. 65). La décision de l'autorité administrative de première instance peut évidemment faire l'objet de recours, selon les dispositions topiques applicables.
Si, alors même qu'elle en a le pouvoir, l'institution supplétive omet de lever l'opposition lorsqu'elle rend sa décision sur le fond, elle ne pourra pas requérir directement la continuation de la poursuite, l'art. 79 al. 1, 2ème phrase, LP exigeant pour ce faire "une décision passée en force qui écarte expressément l'opposition". La créancière sera alors contrainte de suivre la voie de la procédure cantonale (sommaire) de mainlevée et ne pourra requérir la continuation de la poursuite que lorsqu'elle aura obtenu la mainlevée définitive de l'opposition. Car, d'une part, l'autorité administrative ne peut exercer sa compétence relevant de l'exécution forcée que si elle statue en même temps sur le fond; d'autre part, l'autorité de la chose jugée de sa décision sur le fond lui interdit de revenir sur celle-ci pour la confirmer et lever l'opposition. Il y a encore lieu de préciser que lorsque la décision est rendue par une autorité administrative d'un autre canton, l'office des poursuites doit, dès réception de la réquisition de continuer la poursuite, assigner au débiteur un délai de 10 jours pour soulever les exceptions prévues à l'<ref-law>, le créancier devant, le cas échéant, requérir une décision du juge de la mainlevée du for de la poursuite (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2-3 p. 247 ss).
Contrairement à ce qu'affirme la cour cantonale, il n'est donc ni nécessaire, ni même possible que la décision sur le fond soit rendue avant la notification du commandement de payer. Il découle de la faculté pour le créancier de requérir la poursuite sans être en possession d'un titre exécutoire, et du déroulement de la poursuite qui s'ensuit, que la cause de l'obligation indiquée dans le commandement de payer n'est pas formellement identique à celle figurant dans la réquisition de continuer la poursuite; mais il s'agit bien matériellement de la même créance, seule la preuve de celle-ci étant différente.
4.2 En l'occurrence, l'institution supplétive a choisi le second mode de procéder et a introduit la poursuite en se fondant sur sa facture/bordereau du 1er mars 2006. Le poursuivi ayant fait opposition au commandement de payer qui lui a été notifié par l'office des poursuites, la créancière a rendu, le 24 mai 2006, une décision sur le fond, mais elle a omis de lever formellement l'opposition au commandement de payer. Dès lors, c'est à raison qu'elle a saisi le juge cantonal de la mainlevée, qui demeurait seul compétent pour lever définitivement l'opposition.
Par sa décision du 24 mai 2006, la recourante a condamné l'intimé à lui payer les sommes de 18'572 fr.65 avec intérêts à 6% l'an dès le 1er janvier 2006 et de 100 fr. de frais de sommation et de contentieux. Dans les motifs de sa décision, l'institution supplétive se réfère expressément au commandement de payer n° xxxx. Il y a donc bien identité entre la poursuite et la décision du 24 mai 2006, qui est en force selon attestation du 4 août 2006. Le Tribunal fédéral est ainsi en mesure de prononcer lui-même la mainlevée définitive. Il n'y a toutefois pas lieu de le faire concernant les frais du commandement de payer (100 fr.), dont le sort suit celui de la poursuite (<ref-law>).
5. Le recours doit par conséquent être admis. L'intimé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>) et versera en outre des dépens à la recourante (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que l'opposition formée par Z._ au commandement de payer n0 xxxx de l'Office des poursuites de Morges-Aubonne du 13 mars 2006 est levée à concurrence des montants de 18'572 fr.65 avec intérêts à 6% l'an dès le 1er janvier 2006 et de 100 fr.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à payer à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimé.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 13 décembre 2007
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Mairot