Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1974) und A._ (geb. 1985) sind die verheirateten Eltern von B._ (geb. 2007). Am 16. August 2010 hatte die Ehefrau ein Eheschutzgesuch gestellt. Seither streiten sich die Eheleute in erster Linie um ihren Sohn. Das Eheschutzgericht hörte Zeugen an, holte Gutachten ein und ordnete eine Erziehungsbeistandschaft an. Während des laufenden Eheschutzprozesses kam es ausserdem zu einem Verfahren betreffend den Erlass vorsorglicher Massnahmen, in welchem es ebenfalls um das Kind ging. Nachdem sich die Eltern die Obhut zunächst geteilt hatten, übertrug das Regionalgericht Emmental-Oberaargau diese mit Entscheid vom 9. August 2012 der Mutter. Auf Berufung des Vaters hin bestätigte das Obergericht des Kantons Bern am 17. Oktober 2012 diesen Massnahmeentscheid. Nach einer Fortsetzungsverhandlung, die am 25. Oktober 2012 stattfand, erging am 10. Dezember 2012 der erstinstanzliche Eheschutzentscheid. Das Regionalgericht stellte B._ unter die Obhut der Mutter, behielt die Erziehungsbeistandschaft bei und regelte das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters. Unterhaltsbeiträge wurden keine zugesprochen. Beiden Parteien gewährte das Regionalgericht die unentgeltliche Rechtspflege.
B.
Am 4. März 2013 legte X._ Berufung beim Obergericht des Kantons Bern ein. In der Sache beantragte er, seinen Sohn für die Dauer der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts unter seine Obhut zu stellen, die Erziehungsbeistandschaft weiterzuführen und der Mutter ein angemessenes Besuchs- und Ferienrecht zu gewähren. In prozessualer Hinsicht stellte er das Begehren, das Kind gerichtlich anzuhören. Weiter ersuchte er für das Berufungsverfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Zusammen mit ihrer Berufungsantwort vom 22. März 2013 stellte auch A._ ein entsprechendes Gesuch. Mit Entscheid vom 27. Juni 2013 wies der Instruktionsrichter X._s Armenrechtsgesuch ab (Ziffer 1 des Urteilsspruchs). Dasjenige der Ehefrau hiess er gut (Ziffer 2).
C.
Mit einem als "Subsidiäre Verfassungsbeschwerde" betitelten Schriftsatz vom 29. Juli 2013 (Datum der Postaufgabe) wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, Ziffer 1 des obergerichtlichen Entscheids aufzuheben und ihm für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Eventualiter sei das Armenrechtsgesuch "hinsichtlich der materiellen Voraussetzung (Erfolgsaussicht) " im Verfahren vor dem Obergericht "zu bewilligen und zur Prüfung der formellen Voraussetzung an das Obergericht zurückzuweisen". Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat keine Vernehmlassungen, wohl aber die kantonalen Akten eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer wehrt sich gegen einen Entscheid des Obergerichts, mit dem dieses sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren abweist. Nach der Rechtsprechung ist dieser Entscheid ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann und der daher gemäss <ref-law> selbständig anfechtbar ist (Urteile 5A_10/2007 vom 23. März 2007 E. 2.3 und 5A_262/2008 vom 8. September 2008 E. 1.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1 S. 131). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). Dort geht es um die Zuteilung der Obhut, also um eine Zivilsache (<ref-law>) nicht vermögensrechtlicher Natur. Entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, ist die Beschwerde in Zivilsachen in der Hauptsache zulässig. Daher kann sie auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid ergriffen werden. Die Eingabe ist somit als ordentliche Beschwerde entgegenzunehmen (vgl. <ref-law>). Dass das Obergericht mit Bezug auf die angefochtene Verfügung nicht als Rechtsmittelinstanz im Sinne von <ref-law> entschieden hat, steht der Zulässigkeit des Rechtsmittels nicht entgegen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426 f.). Auf die fristgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
Auch die Beschwerdegründe können im Beschwerdeverfahren gegen Zwischenentscheide nicht weiter gehen als im Hauptverfahren. Sind die Beschwerdegründe im Hauptverfahren - wie hier im Eheschutzprozess (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.) - auf die Geltendmachung verfassungsmässiger Rechte beschränkt, so sind sie es daher auch im vorliegenden Verfahren (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2). Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seiner Ansprüche auf unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>) und auf Rechtsweggarantie (<ref-law>). Diesbezüglich gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Die rechtsuchende Partei muss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte in der Beschwerde präzise vorbringen und begründen. Im Schriftsatz ist im Einzelnen substanziiert darzulegen, worin die Verletzung besteht (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht beurteilt nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.). Sind die Anforderungen des Rügeprinzips erfüllt, so prüft das Bundesgericht frei, ob die angerufenen verfassungsmässigen Rechte verletzt sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 31 mit Hinweisen). Dabei ist es allerdings an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Von diesen Sachverhaltsfeststellungen kann das Bundesgericht nur abweichen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kamen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), was wiederum präzise geltend zu machen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 445).
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, weil die aussergerichtliche Erledigung des Rechtsstreits von der Sache her ausgeschlossen sei, dürfe ihm die unentgeltliche Rechtspflege von vornherein nicht wegen der angeblichen Aussichtslosigkeit seiner Begehren verweigert werden. Er bezieht sich damit auf die Rechtsprechung, wonach das Armenrechtsgesuch der beklagten Partei nicht wegen Aussichtslosigkeit der Verteidigung abgelehnt werden kann, wenn ein Rechtsstreit weder aussergerichtlich noch durch Anerkennung oder Vergleich vor Gericht erledigt werden kann, wie dies in Ehe- und Statussachen der Fall ist (Urteile 5A_265/2012 vom 30. Mai 2012 E. 4.2.2; 5A_814/2009 vom 31. März 2010 E. 3.4.1.5; 5P.182/1996 vom 14. Juni 1996 E. 2c). Indessen hat das Bundesgericht ausdrücklich offengelassen, ob diese Rechtsprechung auch für Rechtsmittelverfahren gilt, in denen die um das Armenrecht ersuchende Partei als Rechtsmittelklägerin auftritt (Urteil 5A_265/2012 a.a.O.). Ein derartiger Fall liegt hier vor.
Der Beschwerdeführer beruft sich darauf, dass er zwecks Regelung des Getrenntlebens (inklusive der Obhutszuteilung) "den Rechtsweg beschreiten" müsse bzw. eine aussergerichtliche Regelung "nicht möglich" sei. Er übersieht dabei, dass das Regionalgericht sein Getrenntleben einschliesslich der Kinderbelange mit Entscheid vom 10. Dezember 2012 bereits geregelt hat. Bei der Beurteilung der Erfolgsaussichten einer Berufung kommt es ausschliesslich darauf an, ob das Rechtsmittel prozessual unzulässig oder aussichtslos ist (Urteil 5A_417/2009 vom 31. Juli 2009 E. 2.2 mit zahlreichen Hinweisen), und nicht darauf, dass die um das Armenrecht ersuchende Partei überhaupt erst "ein Verfahren anstrengen muss" (s. Stefan Meichssner, Aktuelle Praxis der unentgeltlichen Rechtspflege, in: Jusletter, 7. Dezember 2009, Rz. 37). Mithin ist zu beachten, dass ein erstinstanzliches Urteil vorliegt, das mit den gestellten Rechtsbegehren verglichen werden kann (Urteil 4A_226/2011 vom 31. Mai 2011 E. 3.2). Dass er aus irgend einem Grund gezwungen gewesen wäre, gegen den Eheschutzentscheid vom 10. Dezember 2012 Berufung einzulegen, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Auch war es ihm unbenommen, sein Rechtsmittel zurückzuziehen und den Rechtsstreit auf diese Weise aus eigener Initiative zur Erledigung zu bringen. Die Beschwerde erweist sich insofern als unbegründet.
4.
Weiter wehrt sich der Beschwerdeführer gegen die vorinstanzliche Erkenntnis, seine Berufung müsse "als zum Vornherein aussichtslos" erachtet werden. Darin liege eine Verletzung von <ref-law>.
4.1. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Aussichtslos im Sinne der zitierten Norm sind Prozessbegehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Verhältnisse zur Zeit, in der das Armenrechtsgesuch gestellt wurde (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen). Dabei ist Rechtsfrage, welche Umstände bei der Beurteilung der Prozessaussichten in Betracht fallen und ob sie für oder gegen eine hinreichende Erfolgsaussicht sprechen, Tatfrage hingegen, ob und wieweit einzelne Tatumstände erstellt sind (<ref-ruling> E. 2c S. 307; s. auch E. 2).
4.2. Das Obergericht verweist auf seine Praxis, wonach es auch in Eheschutzverfahren nicht "ohne Not" von den Erkenntnissen des Vorderrichters abweiche, weil dieser die konkreten örtlichen und persönlichen Verhältnisse besser kenne. Dieser "Ohne-Not-Praxis" zufolge rechtfertige sich ein Eingreifen in oberer Instanz nur dann, wenn sich die vom erstinstanzlichen Richter getroffene Lösung als offensichtlich unsachlich oder unangemessen erweise, namentlich wenn massgebliche Umstände überhaupt nicht berücksichtigt worden seien. Vor diesem Hintergrund und angesichts der Tatsache, dass mit dem Entscheid vom 17. Oktober 2012 (s. Sachverhalt Bst. A) in derselben Streitigkeit bereits ein oberinstanzlicher Entscheid vorliege, hätte eine vermögende Person gegen Entscheid des Regionalgerichts vom 10. Dezember 2012 nicht erneut Berufung eingelegt, so der Befund des Obergerichts. Der Entscheid vom 10. Dezember 2012 entspreche dem erwähnten Massnahmeentscheid, der knapp zwei Monate zuvor ergangen sei. Dass sich die Verhältnisse seither zum Nachteil des Kindeswohls massgeblich verändert hätten, sei "offensichtlich nicht der Fall". Der Beschwerdeführer erwähne keine neuen Elemente als die bereits Bekannten. Neu habe er einzig die Befragung des erst sechsjährigen Kindes sowie ein neues Gutachten verlangt.
4.3. Ob die bernische "Ohne-Not-Praxis" als solche vor Bundesrecht standhält, namentlich ob sie mit der Schweizerischen Zivilprozessordnung vereinbar ist, kann dahingestellt bleiben, denn dies zieht der Beschwerdeführer nicht in Zweifel (<ref-law>; s. E. 2). Ebenso wenig macht er geltend, dass der inhaltliche Vergleich des erstinstanzlichen Entscheids mit dem zeitnahen früheren Urteil der Berufungsinstanz in rechtlicher Hinsicht (E. 4.1) kein Kriterium sein dürfe, um im Hinblick auf die Prüfung seines Armenrechtsgesuchs die Erfolgsaussichten seiner Berufung gegen jenen Entscheid zu beurteilen. Der Beschwerdeführer argumentiert vielmehr auf der tatsächlichen Ebene: Er wirft dem Obergericht vor, indem es auf seinen Entscheid vom Oktober 2012 abstelle, beurteile es seine Berufung "aus dem Blickwinkel einer bereits durchgeführten Beweiswürdigung", was einer "unzulässigen antizipierten Beweiswürdigung" gleichkomme. In den Augen des Beschwerdeführers hätte das Obergericht die Prozessaussichten "unter Einbezug einer summarischen Beweisabnahme" abschätzen und hierbei insbesondere berücksichtigen müssen, dass er im Berufungsverfahren die Befragung seines Sohnes, ein neuerliches Gutachten und einen Bericht des Beistandes verlangt habe. Wie diese Vorbringen zeigen, will der Beschwerdeführer letztlich die vom Obergericht als ausschlaggebend erachtete Feststellung angreifen, wonach sich die Verhältnisse seit dem obergerichtlichen Entscheid vom 17. Oktober 2012 nicht massgeblich zum Nachteil des Kindeswohls verändert haben (E. 4.2). Um damit vor Bundesgericht Erfolg zu haben, müsste er dartun, dass diese Feststellung offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2. S. 252 mit Hinweisen) ist (E. 2). Das gelingt dem Beschwerdeführer aber nicht, wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt.
4.4. Der Beschwerdeführer begnügt sich mit Hinweisen auf die erwähnten Beweisanträge, die er vor Obergericht gestellt hat. Allein damit vermag er die besagte Feststellung, anhand derer die Vorinstanz seine Prozessaussichten beurteilt hat (E. 4.2), aber nicht zu erschüttern. Inwiefern diese Beweisanträge geeignet wären, eine massgebliche Veränderung der Verhältnisse zum Nachteil des Kindeswohls darzutun, und damit auch seine Berufung als nicht aussichtslos erschiene, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf. War das vorhandene Gutachten bei der Beurteilung der Prozessaussichten über zwei Jahre alt, so folgt allein daraus keineswegs zwingend, dass die Expertise überholt wäre und "ein aktuelles Gutachten bzw. eine Ergänzung eingeholt werden" müsste, um einen sachgerechten Entscheid fällen zu können. Ebenso wenig reicht es aus, einfach zu behaupten, gestützt auf die EMRK und die UN-Kinderrechtskonvention sei eine Befragung des Kindes mittlerweile "unumgänglich" und "mehr als angezeigt, um der aktuellen Situation gerecht zu werden". Und schliesslich genügt es auch nicht, der erstinstanzlichen Behörde vorzuhalten, sie habe es "verpasst", beim Beistand einen Bericht einzuholen. Das Gesagte gilt sinngemäss für den weiteren Vorwurf, das Obergericht übersehe, dass die Aussagen der Parteien vom 25. Oktober 2012 (s. Sachverhalt Bst. A) im obergerichtlichen Massnahmeentscheid vom 17. Oktober 2012 "logischerweise" nicht miteinbezogen werden konnten. Inwiefern diese Aussagen für die Beurteilung der Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Armenrechtsgesuchs von Bedeutung gewesen wären, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf.
4.5. Nach dem Gesagten bleibt es dabei, dass sich die tatsächlichen Verhältnisse, die im Hinblick auf die Obhutszuteilung von Bedeutung sind, bis zum Zeitpunkt der Gesuchstellung nicht verändert haben. Die vorinstanzliche Erkenntnis, dass er in seiner Berufung keine neuen Elemente erwähne, vermag der Beschwerdeführer nicht umzustossen. Gelangt das Obergericht aber willkürfrei zum Schluss, der Beschwerdeführer habe dem erstinstanzlichen Urteil mit Bezug auf den Obhutsstreit nichts Wesentliches entgegenzusetzen, so kann dem Beschwerdeführer auch das Argument nicht weiterhelfen, dass an die Anspruchsvoraussetzung der fehlenden Aussichtslosigkeit tiefere Anforderungen zu stellen seien, weil der Streit um die Obhutszuteilung "in einer schweren Art und Weise" in seine Rechtsstellung eingreife.
5.
Neben der Verletzung von <ref-law> wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht auch eine Verletzung der Rechtsweggarantie (<ref-law>) vor. Indem es "pauschal ohne Einbezug der allenfalls möglichen veränderten Lage" die Aussichtslosigkeit annehme, verweigere es ihm faktisch den Rechtsweg, da er nicht in der Lage sei, den verlangten Vorschuss zu leisten. Damit wiederholt der Beschwerdeführer im Wesentlichen das Argument, mit dem er schon seine These der fehlenden Aussichtslosigkeit seiner Berufung untermauert (E. 4.3 und 4.4). Fehlt es aber an einer Voraussetzung für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, so besteht auch im Lichte der Rechtsweggarantie kein weitergehender Anspruch darauf, das Verfahren trotzdem unentgeltlich durchführen zu können (Urteil 5A_531/2007 vom 9. November 2007 E. 5.2). Die Rüge ist deshalb unbegründet. Soweit der Beschwerdeführer im angefochtenen Entscheid schliesslich gar eine Rechtsverweigerung (<ref-law>) ausgemacht haben will, verkennt er, dass das Obergericht einen Entscheid gefällt und auch den Grund genannt hat, warum es ihm das Armenrecht für das Berufungsverfahren nicht gewährt (zum Begriff der Rechtsverweigerung vgl. Urteil 5A_598/2010 vom 20. Oktober 2010 E. 1 mit Hinweisen).
6.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er wird kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Obergericht des Kantons Bern ist keine Parteientschädigung geschuldet (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. September 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn