Erwägungen:
1.
1.1. Mit Entscheid vom 23. Mai 2013 brachte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Zug (KESB) die am 26. April 1923 geborene A._ im Rahmen einer fürsorgerischen Unterbringung nach <ref-law> im Kurhaus B._ unter, bis die 24-Stunden-Betreuung in ihrem Wohnhaus in C._ organisiert sei. Mit Beschwerde vom 21. Juni 2013 beantragte X._, die frühere Beirätin von A._, beim Verwaltungsgericht des Kantons Zug die Aufhebung des Entscheides der KESB betreffend fürsorgerische Unterbringung; überdies beantragte sie weitere Massnahmen.
1.2. Mit Entscheid vom 25. Juni 2013 hob die KESB die am 23. Mai 2013 angeordnete fürsorgerische Unterbringung auf. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug schrieb in der Folge am 12. Juli 2013 das Beschwerdeverfahren als gegenstandslos geworden vom Geschäftsverzeichnis ab, erhob keine Kosten und sprach der Beschwerdeführerin keine Parteientschädigung zu (Ziff. 3).
1.3. X._ (Beschwerdeführerin) hat am 16. September 2013 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 12. Juli 2013 Verfassungsbeschwerde erhoben. Sie beantragt Ziff. 3 des angefochtenen Entscheides (Verweigerung einer Parteientschädigung) aufzuheben und die Sache zur Festsetzung einer angemessenen Entschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Überdies ersucht sie um Durchführung einer mündlichen Verhandlung. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Das Verwaltungsgericht hat sich indes am 24. September 2013 unaufgefordert ausführlich zur Sache geäussert.
1.4. Mit Urteil vom 5. November 2013 (5A_663/2013) wies das Bundesgericht eine Beschwerde von X._ gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, vom 9. Juli 2013 ab, mit dem ihr die Legitimation zur Rechtsverweigerungsbeschwerde als nahestehende Person von A._ aberkannt und auf eine Rechtsverweigerungsbeschwerde nicht eingetreten worden war. Das Bundesgericht erkannte in diesem Urteil die verwaltungsgerichtliche Auffassung als bundesrechtskonform, die Beschwerdeführerin sei nicht als nahestehende Person im Sinn von <ref-law> von A._ zu betrachten.
1.5. Die Beschwerdeführerin hat am 11. November 2013 am Bundesgericht Einsicht in die Akten 5D_171/2013 genommen. Sie hat bis zum heutigen Tag keine Stellungnahme zum Schreiben des Verwaltungsgerichts vom 24. September 2013 eingereicht. Die Sache ist somit spruchreif.
2.
Gegenstand der vorliegenden Verfassungsbeschwerde ist ausschliesslich die Verweigerung einer Parteientschädigung im kantonalen Beschwerdeverfahren betreffend fürsorgerische Unterbringung. Soweit die Beschwerdeführerin von einem anderen Gegenstand ausgeht, ist darauf nicht einzutreten.
3.
Die Beschwerdeführerin stellt nicht substanziiert infrage, dass das Verfahren betreffend fürsorgerische Unterbringung als gegenstandslos abzuschreiben ist, wenn die betroffene Person - wie hier - nach Einreichung der Beschwerde entlassen wird (<ref-ruling> E. 2.1 S. 500). Darauf ist nicht weiter einzugehen.
4.
4.1. Das Verwaltungsgericht verweist auf die überaus aktenreiche Vorgeschichte und insbesondere auf sein rechtskräftiges Urteil vom 25. Oktober 2012, mit dem eine Beschwerde gegen den Entscheid des Regierungsrates des Kantons Zug vom 31. Mai 2012, die heutige Beschwerdeführerin ihres Amtes als Beirätin von A._ zu entheben, abgewiesen worden war. Mit Blick auf diese Unterlagen hält es dafür, die Beschwerdeführerin sei im Lichte dieser Umstände bereits am 24. Juni 2013 (Eingang der Beschwerde) nicht geeignet gewesen, die Interessen von A._ zu wahren. Da sie somit weder als nahestehende Person im Sinn von <ref-law> noch als Vertrauensperson gemäss <ref-law> infrage komme, habe ihr bereits aus damaliger Sicht (24. Juni 2013) die Aktivlegitimation zur Einreichung einer Beschwerde gegen die fürsorgerische Unterbringung gefehlt. Da das Beschwerdeverfahren betreffend fürsorgerische Unterbringung als gegenstandslos abzuschreiben sei, stehe der Beschwerdeführerin im Lichte von § 28 Abs. 2 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 1. April 1976 (VRG) kein Anspruch auf Parteientschädigung zu.
4.2. In der subsidiären Verfassungsbeschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein sollen. (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234).
4.3. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit den Erwägungen der Vorinstanz betreffend Verweigerung der Parteientschädigung nicht den beschriebenen Begründungsanforderungen (E. 3.2) entsprechend auseinander. Insbesondere wird nicht erörtert, inwiefern die grundsätzliche Anwendung von § 28 Abs. 2 des Gesetzes über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen [Verwaltungsrechtspflegegesetz] vom 1. April 1976 (162.1; VRG) und seine Auslegung im konkreten Fall (Verweigerung einer Parteientschädigung bei Gegenstandslosigkeit des Beschwerdeverfahrens und Berücksichtigung der fehlenden Beschwerdelegitimation) die verfassungsmässigen Rechte der Beschwerdeführerin verletzen sollen.
5.
Auf die ungenügend begründete und damit offensichtlich unzulässige Verfassungsbeschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren (Art. 117 i.V.m. <ref-law>) durch den Präsidenten der Abteilung ohne mündliche Verhandlung und unter Kostenfolge für die Beschwerdeführerin (<ref-law>) nicht einzutreten.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Zug, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, D._, und E._, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden