Arbeitsvertrag; Kündigung, hat sich ergeben:
A.- X._ war seit 1976 als Jurist bei der Y._-Versicherung angestellt. Per 1. Januar 1986 wurde er zum Vizedirektor ernannt, womit er der Geschäftsleitung angehörte. Am 7. Juli 1998 kündigte sein Vorgesetzter Z._ das Arbeitsverhältnis auf den 30. Juni 1999 unter gleichzeitiger Freistellung des Arbeitnehmers. Auf dessen Verlangen begründete die Arbeitgeberin die Kündigung am 14. Juli 1998 und stellte ihm anfangs August 1998 ein geändertes Arbeitszeugnis zu. Der Arbeitnehmer bemängelte in einem weiteren Schreiben vom 14. August 1998 einige Textpassagen des Arbeitszeugnisses und die ungenügende Begründung der Kündigung. Er warf die Frage des Rechtsmissbrauchs auf und behielt sich eine Prüfung der Kündigung vor.
In einem an den Verwaltungsrat der Y._-Versicherung gerichteten Schreiben vom 25. April 1999 wies X._ darauf hin, dass der Verwaltungsrat und nicht die Geschäftsleitung für seine Entlassung zuständig und ausserdem Z._ nicht einzelzeichnungsberechtigt sei; überdies ergebe sich aus der Begründung der Kündigung deren Rechtsmissbräuchlichkeit. Mit Briefen vom 18. und 31 Mai 1999 hielt die Arbeitgeberin an der Gültigkeit und Rechtmässigkeit der Kündigung fest.
B.- Am 22. Dezember 1999 reichte X._ beim Arbeitsgericht Zürich Klage gegen die Y._-Versicherung ein. Er stellte die Begehren, es sei festzustellen, dass die Kündigung ungültig und die Beklagte verpflichtet sei, dem Kläger den Lohn von Fr. 171'000.-- pro Jahr bzw. Fr. 14'500.-- pro Monat sowie die Arbeitgeberbeiträge für die Vorsorgeeinrichtung auch nach dem 30. Juni 1999 so lange zu bezahlen, als das Arbeitsverhältnis weiter bestehe. Er verlangte zudem die Verpflichtung der Beklagten zur Zahlung weiterer Geldleistungen aus dem Arbeitsverhältnis.
Eventuell beantragte er die Feststellung, dass die Kündigung rechtsmissbräuchlich sei, und die Verpflichtung der Beklagten zur Zahlung einer Entschädigung von sechs Monatslöhnen nebst Zins; schliesslich forderte er die Veröffentlichung eines den Eventualantrag gutheissenden Urteils und beantragte, es sei Vormerk zu nehmen, dass weitere Schadenersatzansprüche für die wirtschaftlichen Folgen der missbräuchlichen Kündigung vorbehalten seien. Mit Urteil vom 14. Dezember 2000 wies das Arbeitsgericht die Klage ab.
Der Kläger gelangte mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich, welches das Rechtsmittel und die Klage mit Urteil vom 28. Mai 2001 abwies.
C.- Der Kläger hat das Urteil des Obergerichts mit Berufung beim Bundesgericht angefochten. Er stellt die Anträge, dieses Urteil aufzuheben und festzustellen, dass die Kündigung des Arbeitsvertrags ungültig und die Beklagte verpflichtet sei, dem Kläger auch nach dem 30. Juni 1999 pro Jahr Fr. 245'000.-- für Lohn, Incentiv, Mitarbeiter-Aktien, Beiträge an die Lebensversicherung, Prämienrabatte und Prämienersatz so lange zu bezahlen, bis der Arbeitsvertrag rechtsgültig gekündigt sei; sodann sei davon Vormerk zu nehmen, dass der Kläger sich an den geschuldeten Betrag für den Zeitraum vom 30. Juli 1999 bis 31. Dezember 2000 total Fr. 154'610.-- und für das Jahr 2001 Fr. 100'000.-- an Anwaltshonoraren anrechnen lasse. Eventualiter sei festzustellen, dass die Kündigung rechtsmissbräuchlich sei, und die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger eine Entschädigung von Fr. 85'500.-- nebst 5 % Zins seit 1. Juli 1999 zu zahlen; schliesslich sei davon Vormerk zu nehmen, dass sich der Kläger weitere Schadenersatzansprüche für die wirtschaftlichen Folgen der missbräuchlichen Kündigung ausdrücklich vorbehalte.
Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Der Kläger macht in erster Linie geltend, die Kündigung sei ungültig, weil ausschliesslich der Verwaltungsrat und nicht auch die Geschäftsleitung dafür zuständig gewesen sei. Zur Begründung bringt er vor, nach <ref-law> habe der Verwaltungsrat die unverzichtbare und unübertragbare Zuständigkeit zur Ernennung und Abberufung der mit der Geschäftsführung und der Vertretung beauftragten Personen. Er schliesst daraus, dass der Verwaltungsrat nicht nur für seine Absetzung als Vizedirektor, sondern auch für die Kündigung des Arbeitsverhältnisses ausschliesslich zuständig gewesen wäre. Das Obergericht ist demgegenüber davon ausgegangen, dass die Abberufung als Organ der Aktiengesellschaft und die Kündigung des Arbeitsverhältnisses zwei von einander zu trennende Rechtsgeschäfte darstellten, für welche nicht die gleiche Zuständigkeit gelten müsse.
a) Die Frage, welches Rechtsverhältnis zwischen der juristischen Person und ihren Organen besteht, wird in Lehre und Rechtsprechung unterschiedlich beantwortet. Sie wird vor allem im Zusammenhang mit den Mitgliedern des Verwaltungsrats behandelt, stellt sich aber in ähnlicher Weise auch für Direktoren oder Vizedirektoren.
aa) In der Lehre wird mehrheitlich die Meinung vertreten, die Tätigkeit der Mitglieder der obersten geschäftsführenden Organe einer juristischen Person beruhe auf einem mandatähnlichen Vertrag (Staehelin, Zürcher Kommentar, N. 42 zu <ref-law>; Streiff/von Kaenel, Leitfaden zum Arbeitsvertragsrecht, 5. Aufl. , N. 6 zu <ref-law>; Forstmoser/Meier-Hayoz/Nobel, Schweizerisches Aktienrecht, Bern 1996, § 28 N. 10). Zum Teil wird das Bestehen eines Arbeitsvertrags - jedenfalls für den Verwaltungsratsdelegierten - ausdrücklich ausgeschlossen (Roland von Büren, Schweizerisches Privatrecht, Bd. VIII/6, Der Konzern, Basel 1997, S. 81). Soweit allerdings die Tätigkeit hauptberuflich ausgeübt wird, zieht die Lehre auch das Vorliegen eines Arbeitsvertrags in Betracht (Staehelin, a.a.O., N. 42 zu <ref-law>; Rehbinder, Berner Kommentar, N. 52 zu <ref-law>). Ein solcher Vertrag wird in der Regel im Verhältnis zwischen der Gesellschaft und einem Direktor oder Vizedirektor gegeben sein. Diese sind trotz ihrer leitenden Stellung gegenüber dem Verwaltungsrat weisungsgebunden, so dass ein Unterordnungsverhältnis im Sinne des Arbeitsvertragsrechts nahe liegt (Staehelin, a.a.O., N. 42 zu <ref-law>).
Das Bundesgericht hat sich mehrmals zur Frage des Rechtsverhältnisses zwischen einer Aktiengesellschaft und ihren Organen geäussert. Dabei hat es tendenziell die Direktoren als Arbeitnehmer und die Verwaltungsräte als Beauftragte betrachtet (BGE 53 II 408 E. 3a; <ref-ruling> E. 1) oder für diese das Bestehen eines mandatähnlichen Vertrages sui generis angenommen (<ref-ruling> E. 4). Davon abweichend hat das Bundesgericht aber auch schon entschieden, dass der Verwaltungsrat ebenfalls in einem Arbeitsverhältnis stehen kann (BGE 75 II 149 E. 2a). Bei der Beantwortung der Frage ist jedenfalls zu beachten, dass die Qualifikation der Tätigkeit als selbständige oder unselbständige Arbeit nicht für alle Rechtsgebiete nach den gleichen Kriterien zu beurteilen ist. Namentlich kann es im Fall eines Organs, welches die juristische Person wirtschaftlich beherrscht, an dem für das Konkursprivileg im Sinne von Art. 219 Abs. 4 erste Klasse lit. a SchKG notwendigen Unterordnungsverhältnis fehlen, obgleich die Parteien der Meinung sind, einen Arbeitsvertrag geschlossen zu haben (<ref-ruling> E. 2 und 3). Besonderheiten gelten zudem für die Unterscheidung zwischen selbständiger und unselbständiger Tätigkeit im Steuerrecht (<ref-ruling> E. 3) und bei der Arbeitslosenversicherung (<ref-ruling> E. 2). Richtigerweise ist deshalb die Beurteilung des Rechtsverhältnisses stets aufgrund der Besonderheiten des konkreten Falles vorzunehmen.
Nach der Lehre handelt es sich bei der Rechtsbeziehung zwischen dem Organ und der Gesellschaft um ein schuld- bzw. vertragsrechtliches Doppelverhältnis (Müller/Lipp/Plüss, Der Verwaltungsrat, 2. Aufl. , Zürich 1999, S. 57; Wernli, Basler Kommentar, N. 25 zu <ref-law>).
Allerdings wird auch die Meinung vertreten, es liege ein einheitliches Rechtsverhältnis vor, für dessen Beendigung aber unterschiedliche Regeln gelten sollen (Forstmoser/Meier-Hayoz/Nobel, a.a.O., § 28 N. 5 und 15). Die beiden Rechtsverhältnisse sind indessen mit Bezug auf Entstehung, Wirkung und Auflösung klar auseinander zu halten, selbst wenn zwischen ihnen eine enge Wechselbeziehung besteht. Für alle drei Bereiche gelten je unterschiedliche Regelungen, die sich aber gegenseitig beeinflussen. So kann der angestellte Verwaltungsrat seine Arbeitnehmerinteressen nicht in gleicher Weise wie ein anderer Arbeitnehmer gegenüber der Aktiengesellschaft wahrnehmen, weil seine gesellschaftsrechtliche Stellung ihn zur Wahrung der Interessen der Aktiengesellschaft verpflichtet (<ref-law>; Urteil 4C.402/1998 vom 14. Dezember 1999, E. 2a, abgedruckt in Pra 89/2000, Nr. 50, S. 285 ff.). Hinsichtlich der Anstellung und der Kündigung gelten für das gesellschafts- und das arbeitsrechtliche Verhältnis unterschiedliche Regeln. Für die Beendigung wird dies in <ref-law> ausdrücklich festgehalten, wenn es dort heisst, dass Entschädigungsansprüche von abberufenen Organen vorbehalten bleiben (Böckli, Die Abberufung von Geschäftsleitungsmitgliedern durch den Verwaltungsrat:
Befugnis, Verpflichtung, Verhältnismässigkeit, in FS Bär, Bern 1998, S. 48; Watter, Basler Kommentar, N. 15 zu <ref-law>).
Die Abberufung eines Verwaltungsrats oder Direktors aus dessen Organstellung richtet sich somit nach anderen Regeln als die Kündigung des Arbeits- oder Auftragsverhältnisses bzw. des Vertrags sui generis. Namentlich gelten für die Beendigung des Arbeitsvertrags auch bei einem Gesellschaftsorgan die Vorschriften des Arbeitsvertragsrechts einschliesslich der Fristen und des Kündigungsschutzes. Es ist deshalb möglich, dass das Arbeitsverhältnis auch nach der Abberufung des Arbeitnehmenden als Organ weiter besteht oder umgekehrt das Arbeitsverhältnis beendet ist und die Organstellung andauert.
bb) Im vorliegenden Fall bestand ohne Zweifel neben der Organstellung des Klägers ein Arbeitsverhältnis zwischen diesem und der Beklagten. Der Kläger war bereits Arbeitnehmer der Beklagten bevor er zu deren Organ wurde und blieb es danach. Er stand auch als Mitglied der Geschäftsleitung in einem Subordinationsverhältnis und empfing Weisungen von den übergeordneten Direktoren und dem Verwaltungsrat.
b) Das Vorgehen des Obergerichts, das zwischen dem arbeitsvertraglichen Verhältnis und der gesellschaftsrechtlichen Stellung des Klägers unterschieden hat, ist demnach nicht zu beanstanden. Entsprechend hat es zu Recht die Zuständigkeit für die Kündigung des Arbeitsverhältnisses nicht nach den für die Abberufung der Organe geltenden Bestimmungen beurteilt. Es trifft zu, dass es sich bei der Abberufung von Direktoren um eine Kompetenz handelt, welche dem Verwaltungsrat unentziehbar zusteht (<ref-law>).
Nur soweit die entsprechenden Personen von der Generalversammlung gewählt sind, gilt eine andere Zuständigkeit für die Abberufung. Aber auch in diesem Fall kann der Verwaltungsrat die Person in ihren organschaftlichen Funktionen einstellen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3b S. 199 f.). Die Unübertragbarkeit der Wahl- und Abberufungsbefugnis betrifft aber nur die obersten dem Verwaltungsrat direkt unterstehenden Mitglieder der Geschäftsleitung (Böckli, Schweizer Aktienrecht, 2. Aufl. , Zürich 1996, Rz. 1566; Watter, a.a.O., N. 15 zu <ref-law>). Die Unübertragbarkeit bedeutet überdies nicht, dass die nächstuntere Ebene nicht ermächtigt werden könnte, selbst Abberufungen vorzunehmen. Die Unübertragbarkeit hat lediglich zur Folge, dass in jedem Fall der Verwaltungsrat auch das Recht hat, selber solche Abberufungen vorzunehmen (Böckli, Aktienrecht, Rz. 1566b). Die Frage, ob die Beklagte eine derartige Delegation vorgenommen hat, ist allerdings ohne Bedeutung, weil es vorliegend nicht um die Abberufung als Organ geht, sondern um die Kündigung des Arbeitsverhältnisses.
aa) Zur Erklärung der Kündigung ist die Vertragspartei selbst oder ihr rechtmässiger Vertreter legitimiert.
Bei einer juristischen Person kann die Kündigung sowohl von einem zeichnungsberechtigten Organ wie auch von einer bevollmächtigten Person ausgehen. Die Vollmacht zur Kündigung kann besonders erteilt worden sein oder sich aus einer umfassenden Vollmacht wie der Prokura (<ref-law>) oder der General- oder Handlungsvollmacht (<ref-law>) ergeben (Staehelin, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>).
Es ist nun nicht ersichtlich, warum der Vorgesetzte des Klägers nicht für die Kündigung des Arbeitsverhältnisses hätte zuständig sein sollen. Als Geschäftsleitungsmitglied kam ihm umfassende Organqualität zu und seine Vertretungsbefugnis bezog sich auf alle Geschäfte, die der Zweck der Gesellschaft mit sich bringen kann (<ref-law>). Die Anstellung und Entlassung von Mitarbeitern gehört ohne Zweifel in diesen Kreis von Rechtshandlungen. Eine Beschränkung der Berechtigung im internen Verhältnis durch ein Organisationsreglement oder durch Weisungen des Verwaltungsrats bestand nicht. Daraus ergibt sich, dass der Vorgesetzte des Klägers grundsätzlich ermächtigt war, die Kündigung des Arbeitsverhältnisses auszusprechen.
Entgegen der Auffassung des Klägers besteht im Übrigen kein Widerspruch darin, dass einerseits die Vertretungsbefugnis der Geschäftsleitung nach dem Aktienrecht beurteilt wird, andererseits aber die gesellschaftsrechtlichen Zuständigkeiten für die Abberufung der Organe nicht massgebend sind. Es handelt sich dabei vielmehr um die Folgerung aus dem Umstand, dass das Arbeitsverhältnis auch dann auf einer vertraglichen Vereinbarung zwischen der juristischen Person und dem Arbeitnehmer beruht, wenn dieser gleichzeitig deren Organ ist. Die für das vertragliche Verhältnis notwendigen rechtsgeschäftlichen Vereinbarungen folgen nicht anderen Grundsätzen als bei einem Vertrag mit einem aussenstehenden Dritten. Wer für die Gesellschaft rechtsgeschäftlich handeln kann, bestimmt sich in erster Linie nach dem Aktienrecht. Dieses ist deshalb auch für die Frage massgebend, ob die Geschäftsleitung oder der Verwaltungsrat für den Abschluss und die Beendigung eines Arbeitsvertrags zuständig ist.
bb) Der Kläger macht schliesslich geltend, dem Arbeitsvertrag lasse sich durch Auslegung entnehmen, dass die Zuständigkeit für die Kündigung auf den Verwaltungsrat beschränkt worden sei. Zwar äussere sich der schriftliche Vertrag dazu nicht ausdrücklich. Diese Zuständigkeit ergebe sich aber mit Blick auf die verschiedenen Informations- und Zustimmungserfordernisse namentlich in Bezug auf Nebentätigkeiten durch eine Vertragsauslegung nach dem Vertrauensprinzip.
Die Vorinstanz hat sich im angefochtenen Urteil (E. 2c) eingehend mit den Vorbringen des Klägers befasst und diese mit zutreffender Begründung, auf die hier verwiesen wird, für unbegründet erklärt. Eine Verletzung der vom Kläger angerufenen <ref-law> sowie Art. 1 und 18 OR kann ihr nicht vorgeworfen werden.
2.- Der Kläger wendet ferner ein, die Kündigung sei nur durch ein einziges Mitglied der Geschäftsleitung erfolgt, obschon deren Mitglieder ausschliesslich kollektivzeichnungsberechtigt seien. Er leitet daraus ab, dass die Kündigung nicht rechtsgültig ausgesprochen worden ist. Die Vorinstanz hat festgestellt, dass eine im Voraus erteilte Zustimmung durch den anderen Vorgesetzten des Klägers nicht bewiesen worden ist.
a) Die Kündigung ist ein Gestaltungsrecht, das durch ein einseitiges Rechtsgeschäft ausgeübt wird (<ref-ruling> E. 2a; Staehelin, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>; Rehbinder, a.a.O., N. 1 zu <ref-law>). Weil mit der Kündigung das Rechtsverhältnis einseitig umgestaltet wird, ist sie grundsätzlich bedingungsfeindlich und unwiderruflich (Rehbinder, a.a.O., N. 1 und 3 zu <ref-law>; Staehelin, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>). Bedingungen sind nur zulässig, soweit deren Eintritt ausschliesslich vom Willen des Gekündigten abhängt, so dass sich dieser nicht in einer unsicheren Lage befindet (Streiff/von Kaenel, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>).
b) Aus dem Grundsatz der Klarheit der Kündigung sowie deren Bedingungsfeindlichkeit und Unwiderruflichkeit folgt, dass sie erst wirksam sein kann, wenn sie von der dafür zuständigen Person ausgesprochen worden ist. Ist die notwendige Genehmigung oder Zustimmung eines zweiten Vorgesetzten noch nicht erfolgt, kann die Kündigung ihre Wirkungen nicht entfalten (Staehelin, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>). Für die Gegenpartei steht noch nicht fest, ob das Arbeitsverhältnis beendet werden soll. Diese Unsicherheit ist ihr nicht zuzumuten. Sie hat einen Anspruch darauf, während der ganzen Kündigungsfrist ohne Einschränkung zu wissen, dass das Arbeitsverhältnis beendet wird. Ein Schwebezustand ist nicht zumutbar.
Von einer Unsicherheit über die Kündigung oder einem Schwebezustand kann allerdings nur gesprochen werden, wenn die gekündigte Partei tatsächlich an der Verbindlichkeit der Kündigung zweifelt. Wird der Mangel geheilt, bevor der Arbeitnehmer diesen bemerkt, bestand von seiner Seite nie Unsicherheit über die Wirksamkeit der Kündigung.
Dass der Mangel der Vertretungsmacht grundsätzlich nachträglich geheilt werden kann, steht ausser Zweifel.
<ref-law> sieht ausdrücklich die nachträgliche Genehmigung der von einem nicht bevollmächtigten Stellvertreter vorgenommenen Rechtsgeschäfte durch den Prinzipal vor.
Die Bestimmung ist analog auf Organe juristischer Personen anwendbar (Zäch, Berner Kommentar, N. 4 Vorbem. zu Art. 38-39 OR). Hat eine nur kollektivzeichnungsberechtigte Person allein gehandelt, kann dieser Mangel durch die Zustimmung eines zweiten Zeichnungsberechtigten im Nachhinein geheilt werden. Die Genehmigung kann auch stillschweigend erfolgen.
c) Im vorliegenden Fall wurde die Kündigung durch ein bloss kollektivzeichnungsberechtigtes Mitglied der Geschäftsleitung am 7. Juli 1998 ausgesprochen. Auf die Aufforderung des Gekündigten hin wurde die Kündigung mit Schreiben vom 14. Juli 1998 begründet. Dieses Schreiben wurde von zwei kollektivzeichnungsberechtigten Mitgliedern der Geschäftsleitung unterzeichnet. Demgegenüber begann sich der Kläger erst nach Erhalt der Begründung gegen die Kündigung zu wehren. Die fehlende zweite Kollektivunterschrift machte er sogar erst später geltend. Unter diesen Umständen hat die Unterschrift des zweiten Direktionsmitglieds auf dem Schreiben vom 14. Juli 1998, mit dem die Kündigung begründet wurde, den ursprünglichen Mangel in der Vertretungsmacht geheilt. Der Kläger wurde erst später auf den Mangel aufmerksam. Somit bestand für ihn während der massgebenden Zeit keine durch die fehlende Zweitunterschrift begründete Unsicherheit über die Gültigkeit der Kündigung. Wurde der Mangel aber nachträglich geheilt, kann sich der Kläger nicht auf eine davon herrührende Unwirksamkeit der Kündigung berufen.
3.- Der Kläger hält schliesslich daran fest, dass die Kündigung missbräuchlich sei. Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gekommen, die von ihm geltend gemachten Umstände reichten nicht aus, um die Kündigung als im Sinne von <ref-law> missbräuchlich erscheinen zu lassen.
a) Missbräuchlich ist eine Kündigung, wenn sie aus bestimmten Gründen ausgesprochen wird, die in <ref-law> umschrieben sind (<ref-ruling> E. 2a; Geiser, der neue Kündigungsschutz im Arbeitsrecht, BJM 1994 S. 174). Es ist offensichtlich, dass die vom Kläger geltend gemachten Umstände unter keinen der in <ref-law> ausdrücklich aufgeführten Tatbestände fallen. Wenn die Kündigung erfolgte, weil "unterschiedliche Vorstellungen über die Art und Weise der Ausübung der Tätigkeit" bestanden haben, wie dies in der Begründung der Kündigung festgehalten worden ist, liegt darin nicht eine Kündigung wegen der Ausübung eines verfassungsmässigen Rechts im Sinne von <ref-law>.
Die Beklagte wollte mit dieser Begründung eindeutig weder die Freiheit der Meinungsäusserung noch das Recht des Arbeitnehmers ansprechen, bestimmte Vorstellungen zu haben.
Vielmehr handelte es sich dabei um eine verkürzte Ausdrucksweise, mit der ausgesagt wurde, dass die Art und Weise, wie der Kläger seine Arbeit ausführte, nicht den Vorstellungen seiner Vorgesetzten entsprach, ohne dass diese behaupten wollten, ihre eigenen Vorstellungen seien die besseren oder die richtigeren.
b) Die Aufzählung in <ref-law> ist indessen nicht abschliessend (<ref-ruling> E. 2a mit Hinweisen; Brühwiler, a.a.O., Ziff. II zu <ref-law>; Geiser, a.a.O., S. 188; Rehbinder, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>; Streiff/von Kaenel, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>). Sie konkretisiert vielmehr das allgemeine Rechtsmissbrauchsverbot und gestaltet dieses mit für den Arbeitsvertrag geeigneten Rechtsfolgen aus. Missbräuchlichkeit kann somit auch gegeben sein, wenn das Verhalten der kündigenden Partei unter keinen der im Gesetz aufgezählten Tatbestände zu subsumieren ist. So hat die Rechtsprechung im Zusammenhang mit Änderungskündigungen erwogen, Missbrauch könne vorliegen, wenn eine unbillige Änderung der Lohn- und Arbeitsbedingungen durchgesetzt werden soll, für die weder marktbedingte noch betriebliche Gründe bestehen, und die Kündigung als Druckmittel verwendet wird, um die Arbeitnehmenden zu einem bestimmten Verhalten zu bewegen (<ref-ruling> E. 2a mit Hinweisen). Der Vorwurf der Missbräuchlichkeit setzt indessen voraus, dass die geltend gemachten Gründe gleich schwer wiegen wie die im Gesetz ausdrücklich aufgeführten.
Das trifft vorliegend eindeutig nicht zu. Wohl kann als unkorrektes Verhalten betrachtet werden, jemandem am Freitag zu versichern, man wolle ihn nicht loswerden, und ihm in der nächsten Woche dennoch zu kündigen. Ein solches Verhalten reicht aber nicht aus, einen Rechtsmissbrauch zu begründen. Es ist unbestritten, dass die erwähnte Zusicherung den Kläger nicht zu irgendwelchen Dispositionen veranlasst hat, welche durch die nachfolgende Kündigung hinfällig geworden wären. Daraus ist ihm kein Nachteil erwachsen.
Unter diesen Umständen hat das Obergericht zu Recht das Vorliegen einer missbräuchlichen Kündigung verneint.
4.- Aus diesen Gründen ist die Berufung abzuweisen und das angefochtene Urteil zu bestätigen.
Da <ref-law> nicht anwendbar ist, sind Gerichtskosten zu erheben. Diese werden dem Ausgang des Verfahrens entsprechend dem Kläger auferlegt (Art. 156 Abs. 1 OG). Er hat die Beklagte für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird abgewiesen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 28. Mai 2001 bestätigt.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 7'000.-- wird dem Kläger auferlegt.
3.- Der Kläger hat die Beklagte für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich (1. Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 10. Dezember 2001
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: