Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Dr. R._, ihr Ehemann F._ und deren Kinder, alle deutsche Staatsangehörige, wurden nach ihrer Wohnsitznahme in der Schweiz zufolge gleichwertiger Versicherung in Deutschland von der Versicherungspflicht im Sinne des <ref-law> befreit (Entscheid des Departements für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau vom 28. Juli 1997). Am 10. Dezember 2002 verfügte das Einwohneramt der Stadt X._ (Krankenkassenkontrollstelle), die Familie habe - mit Blick auf das In-Kraft-Treten des Abkommens vom 21. Juni 1999 über die Personenfreizügigkeit (FZA) - den Nachweis der Versicherung bei einer schweizerischen Krankenkasse beizubringen. Diese Verfügung wurde vom Stadtrat und vom kantonalen Departement für Finanzen und Soziales geschützt (Rekursentscheide vom 21. Januar und vom 7. April 2003).
A. Dr. R._, ihr Ehemann F._ und deren Kinder, alle deutsche Staatsangehörige, wurden nach ihrer Wohnsitznahme in der Schweiz zufolge gleichwertiger Versicherung in Deutschland von der Versicherungspflicht im Sinne des <ref-law> befreit (Entscheid des Departements für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau vom 28. Juli 1997). Am 10. Dezember 2002 verfügte das Einwohneramt der Stadt X._ (Krankenkassenkontrollstelle), die Familie habe - mit Blick auf das In-Kraft-Treten des Abkommens vom 21. Juni 1999 über die Personenfreizügigkeit (FZA) - den Nachweis der Versicherung bei einer schweizerischen Krankenkasse beizubringen. Diese Verfügung wurde vom Stadtrat und vom kantonalen Departement für Finanzen und Soziales geschützt (Rekursentscheide vom 21. Januar und vom 7. April 2003).
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hob den Entscheid des Departements in Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde am 20. August 2003 auf.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hob den Entscheid des Departements in Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde am 20. August 2003 auf.
C. Der Kanton Thurgau führt, vertreten durch das Departement für Finanzen und Soziales, Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid des kantonalen Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Familie (Beschwerdegegner) unter die Krankenversicherungspflicht in der Schweiz falle, weil weder aufgrund des FZA noch des schweizerischen Krankenversicherungsrechts ein Befreiungsgrund vorliege.
Während die Stadt X._ auf eine Vernehmlassung verzichtet, schliessen die Beschwerdegegner auf Nichteintreten, eventuell Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das kantonale Gericht beantragt, es sei auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht einzutreten. Das Bundesamt für Sozialversicherung äussert sich, ohne einen Antrag zu stellen.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Eine Streitsache kann nur materiell beurteilt werden, wenn sämtliche Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> Erw. 1). Vorliegend ist fraglich, ob der Kanton Thurgau zur Ergreifung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde legitimiert ist. Das Gemeinwesen leitet eine Beschwerdebefugnis im Wesentlichen aus der Sorge um eine rechtsgleiche Anwendung des <ref-law> und um die "Durchsetzung des Versicherungsobligatoriums als Instrument zur Gewährleistung der Solidarität" ab. Vorinstanz und Beschwerdegegner beantragen, es sei auf die Beschwerde des Kantons Thurgau mangels Legitimation nicht einzutreten.
1. Eine Streitsache kann nur materiell beurteilt werden, wenn sämtliche Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> Erw. 1). Vorliegend ist fraglich, ob der Kanton Thurgau zur Ergreifung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde legitimiert ist. Das Gemeinwesen leitet eine Beschwerdebefugnis im Wesentlichen aus der Sorge um eine rechtsgleiche Anwendung des <ref-law> und um die "Durchsetzung des Versicherungsobligatoriums als Instrument zur Gewährleistung der Solidarität" ab. Vorinstanz und Beschwerdegegner beantragen, es sei auf die Beschwerde des Kantons Thurgau mangels Legitimation nicht einzutreten.
2. Zu prüfen ist, ob der durch das Departement für Finanzen und Soziales handelnde Kanton Thurgau gesetzlich zur Behördenbeschwerde ermächtigt ist. Massgebend für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht ist Art. 132 in Verbindung mit Art. 103 lit. a-c OG.
2.1 Art. 103 lit. b OG regelt die Beschwerdebefugnis der zuständigen Bundesbehörden. Diese ist gegeben, sofern ein (spezifisches öffentliches) Interesse an der Lösung des Streitfalls zu vermuten ist (<ref-ruling> Erw. 1c, 114 V 242 Erw. 3b; vgl. Attilio R. Gadola, Die Behördenbeschwerde in der Verwaltungsrechtspflege des Bundes - ein "abstraktes" Beschwerderecht?, in: AJP 1993 S. 1460 f.). Die Bestimmung sieht allein die Beschwerdeberechtigung des in der Sache zuständigen Departements oder der zuständigen Dienstabteilung der Bundesverwaltung vor. Aufgrund dieses Legitimationstitels können eidgenössische Aufsichtsbehörden, welche im öffentlichen Interesse über die richtige und einheitliche Rechtsanwendung in ihrem Zuständigkeitsgebiet zu wachen haben, eine letztinstanzliche justizielle Kontrolle veranlassen (vgl. <ref-ruling> Erw. 1b). Hinsichtlich des bundesrechtlich abschliessend geordneten Krankenversicherungsobligatoriums (<ref-law>; Art. 1 bis 6 KVV) kommt die aufsichtsrechtlich motivierte Befugnis zur Ergreifung einer Behördenbeschwerde ausschliesslich dem Eidgenössischen Departement des Innern (EDI) zu (<ref-ruling>; vgl. auch <ref-ruling>).
2.2 Gemäss Art. 103 lit. c OG ist darüber hinaus jede andere Person, Organisation oder Behörde beschwerdeberechtigt, wenn dies im Bundesrecht so vorgesehen ist. Mangels spezialgesetzlicher Anordnung kann sich der Beschwerdeführer auch nicht auf diese Bestimmung stützen.
2.3 Nach Art. 103 lit. a OG ist zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Eidgenössische Versicherungsgericht berechtigt, wer durch die angefochtene Verfügung berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat.
2.3.1 Die Rechtsprechung betrachtet als schutzwürdiges Interesse im Sinne von Art. 103 lit. a OG jedes praktische oder rechtliche Interesse, welches eine von einer Verfügung betroffene Person an deren Änderung oder Aufhebung geltend machen kann. Das schutzwürdige Interesse besteht somit im praktischen Nutzen, den die Gutheissung der Beschwerde dem Verfügungsadressaten verschaffen würde, oder - anders ausgedrückt - im Umstand, einen Nachteil wirtschaftlicher, ideeller, materieller oder anderweitiger Natur zu vermeiden, welchen die angefochtene Verfügung mit sich bringen würde. Das rechtliche oder auch bloss tatsächliche Interesse braucht somit mit dem Interesse, das durch die von der beschwerdeführenden Person als verletzt bezeichnete Norm geschützt wird, nicht übereinzustimmen. Immerhin wird verlangt, dass die Person durch die angefochtene Verfügung stärker als jedermann betroffen sei und in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache stehe (<ref-ruling> Erw. 3, 127 V 3 Erw. 1b, 82 Erw. 3a/aa).
2.3.2 Die in Art. 103 lit. a OG (und <ref-law>; vgl. <ref-ruling> Erw. 3 i.i.) aufgeführten Legitimationsvoraussetzungen sind zwar in erster Linie auf Privatpersonen zugeschnitten. Nach der Rechtsprechung schliesst dies indessen nicht aus, dass sich auch ein Gemeinwesen zur Begründung seiner Beschwerdebefugnis auf diese Bestimmung berufen kann. Dies gilt einerseits dann, wenn das Gemeinwesen gleich oder ähnlich wie ein Privater betroffen ist, was insbesondere dann der Fall ist, wenn seine vermögensrechtlichen Interessen in Frage stehen. Um die Legitimation begründen zu können, muss diese Wirkung konkret sein und eine direkte Folge des angefochtenen Aktes darstellen. Anderseits ist ein Gemeinwesen legitimiert, wenn es durch die angefochtene Verfügung in seinen hoheitlichen Befugnissen berührt ist, im betreffenden Bereich über Autonomie verfügt und ein spezifisches schutzwürdiges eigenes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Dagegen begründet das bloss allgemeine Interesse an einer richtigen Auslegung und Durchsetzung des objektiven Bundesrechts allein keine Beschwerdebefugnis des Gemeinwesens, zumal diesem Anliegen mit Art. 103 lit. b und c OG Rechnung getragen wird. Insbesondere ist die in einem Rechtsmittelverfahren unterlegene Vorinstanz nicht legitimiert; es genügt nicht, dass eine Behörde in einem Bereich, in welchem sie zur Rechtsanwendung zuständig ist, eine bestimmte Rechtsauffassung vertritt, die in Widerspruch steht zu derjenigen einer anderen zuständigen bzw. übergeordneten Instanz (<ref-ruling>, 127 II 38 Erw. 2d und e, 127 V 83 Erw. 3a/bb, 125 II 194 Erw. 2a/aa, 123 II 375 Erw. 2d, je mit Hinweisen; Häfelin/Müller, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4. Aufl., Zürich 2002, Rz 1954 und 1785; Isabelle Häner, Die Beteiligten im Verwaltungsverfahren und Verwaltungsprozess, Zürich 2000, Rz 825 ff.; Pierre Moor, La qualité pour agir des autorités et collectivités dans les recours de droit public et de droit administratif, in: Études de procédure et d'arbitrage en l'honneur de Jean-François Poudret, Lausanne 1999, S. 104 f. und 116 ff.; Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2. Aufl., Zürich 1998, Rz 922 und 566 ff.; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl., Bern 1983, S. 171 f.; kritisch zum Kriterium der "Privatbetroffenheit" Gadola, a.a.O., S. 1468 f.).
2.3.3 Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat im Jahre 1984, noch unter der Herrschaft des KUVG, entschieden, dass ein kantonales Departement, das als untere Beschwerdebehörde entschieden hat und dessen Verfügung durch das kantonale Verwaltungsgericht aufgehoben wurde, nicht berechtigt ist, gestützt auf Art. 103 lit. a OG Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu führen (<ref-ruling>). An dieser Rechtslage hat sich mit dem In-Kraft-Treten des KVG anfangs 1996 nichts geändert. Es besteht nach wie vor kein genügend enger Bezug des beschwerdeführenden Kantons zum Streitgegenstand.
2.3.3.1 Zunächst liegt die Einlegung des Rechtsmittels nicht im unmittelbaren und konkreten eigenen finanziellen Interesse des Kantons Thurgau (vgl. zur Kasuistik ARV 2005 S. 150 Erw. 4; SVR 2000 IV Nr. 14 S. 42 Erw. 3a): Der bestehende Versicherungsschutz deckt den für die obligatorische Versicherung massgebenden Leistungskatalog gemäss KVG jedenfalls ab, wie die von den Beschwerdegegnern beigebrachten Unterlagen ihres deutschen Krankenversicherers belegen. Selbst wenn entgegen diesen klaren Zusicherungen ungedeckte Krankheitskosten entstünden, würde sich ein allfälliges subsidiäres Einstehen für die entsprechenden Kosten durch die öffentliche Hand (Sozialhilfe) als potentielles Risiko, nicht aber als direkte und konkrete Folge des angefochtenen Aktes darstellen, wie es zur Begründung der Beschwerdebefugnis erforderlich ist (Erw. 2.3.2 hievor).
2.3.3.2 Im Zentrum der Argumentation des Beschwerdeführers steht das Anliegen der Solidarität in der obligatorischen Krankenversicherung (vgl. Botschaft über die Revision der Krankenversicherung vom 6. November 1991, BBl 1992 I 125 f.). Zur Annahme einer Beschwerdeberechtigung wäre zunächst vorausgesetzt, dass der Kanton im Bereich von Versicherungsobligatorium und Versicherungspflicht über Autonomie verfügt, wie es vor In-Kraft-Treten des KVG noch der Fall war; das neue Recht sieht indes - im Gegensatz zur früheren Gesetzeslage - ein bundesweites Versicherungsobligatorium vor (<ref-law>; BBl 1992 I 99 und 141). Ein eigener Gestaltungsspielraum der Kantone besteht somit nicht mehr; namentlich sind die Ausnahmen von der Versicherungspflicht im Bundesrecht abschliessend geregelt (<ref-law> und <ref-law>). Den Kantonen kommt bloss noch Vollzugs- und Kontrollzuständigkeit zu, indem sie für die Einhaltung der bundesrechtlichen Versicherungspflicht und für die Entscheidung über Ausnahmegesuche zu sorgen haben (<ref-law>; <ref-law>). Bei materiellrechtlichen kantonalen Bestimmungen im Zusammenhang mit der Überwachung der Versicherungspflicht und der Zwangszuweisung handelt es sich um unselbstständiges kantonales Ausführungsrecht zu Bundesrecht (Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, Basel 1998, Rz 24). Vorliegend fehlt es nach dem Gesagten nicht nur am originären Wirkungskreis, sondern auch am für die Legitimation des Gemeinwesens zusätzlich erforderlichen spezifischen eigenen Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids, möchte der Beschwerdeführer doch vorab einer - seiner Rechtsauffassung nach - gleichmässigen Anwendung des Gesetzes zum Durchbruch verhelfen. Damit vertritt der Kanton Thurgau ein allgemeines öffentliches Interesse, das keine hinlängliche Grundlage für die Beschwerdebefugnis bildet.
2.4 Ist der Kanton Thurgau im vorliegenden Zusammenhang unter keinem Titel beschwerdebefugt, kann die Sache nicht zur materiellen Prüfung entgegengenommen werden.
3. 3.1 Das Verfahren ist an sich kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Dem Prozessausgang entsprechend wären die Kosten vom Kanton Thurgau als unterliegender Partei zu tragen (Art. 135 in Verbindung mit Art. 156 Abs. 1 OG). Gestützt auf Art. 156 Abs. 2 OG sind dem Beschwerdeführer jedoch keine Gerichtskosten aufzuerlegen, zumal er nicht vorrangig in seinem Vermögensinteresse gehandelt hat.
3.2 Hingegen haben die anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner Anspruch auf eine Parteientschädigung zu Lasten des Kantons Thurgau (Art. 135 in Verbindung mit Art. 159 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Thurgau hat den Beschwerdegegnern für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Der Kanton Thurgau hat den Beschwerdegegnern für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, dem Bundesamt für Gesundheit und der Stadt X._ zugestellt.
Luzern, 2. November 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: