Sachverhalt:
A. Vor dem Richteramt Dorneck-Thierstein führen X._ (Ehemann bzw. Vater) und Z._ (Ehefrau bzw. Mutter) ein Ehescheidungsverfahren, das Letztere am 24. März 2010 angehoben hatte.
Am 30. September 2010 teilte der Amtsgerichtspräsident die Obhut über den gemeinsamen Sohn Y._ (geb. 4. November 2002) für die Dauer des Scheidungsverfahrens dem Vater zu. Die Mutter erhielt ein Besuchsrecht, das jede zweite Woche von Donnerstagabend, 19.00 Uhr, bis Montagmorgen, 7.00 Uhr, und in den Zwischenwochen von Mittwochabend, 19.00 Uhr, bis Donnerstagabend, 19.00 Uhr, auszuüben ist, wobei das letztgenannte Besuchsrecht faktisch offenbar von Donnerstagabend bis Freitagabend ausgeübt wird. Hinzu kommt ein Ferienrecht von sechs Wochen pro Jahr. Die Ehefrau und Mutter wurde verpflichtet, für den Sohn Y._ einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 950.-- zuzüglich Kinderzulagen und für ihren Ehemann von Fr. 765.-- zu bezahlen.
Am 13. Januar 2012 änderte der Amtsgerichtspräsident die Verfügung vom 30. September 2010 ab und verpflichtete die Ehefrau, für den Sohn Y._ mit Wirkung ab 1. Februar 2012 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'050.-- zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen. Zugleich wurde der Unterhaltsbeitrag für den Ehemann ebenfalls mit Wirkung ab 1. Februar 2012 auf Fr. 250.-- reduziert.
B. Gegen die Verfügung vom 13. Januar 2012 erhob der Ehemann am 25. Januar 2012 Berufung. Er beantragte, die Ehefrau zu verpflichten, mit Wirkung ab Oktober 2011 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 3'840.-- (Fr. 1'070.-- für Y._ und Fr. 2'770.-- für ihn persönlich) zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen. Mit Urteil vom 28. März 2012 wies das Obergericht des Kantons Solothurn die Berufung ab.
C. Am 27. April 2012 hat X._ (Beschwerdeführer) gegen das obergerichtliche Urteil Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er verlangt die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Z._ (Beschwerdegegnerin) sei zu verpflichten, ihm und dem Sohn Y._ mit Wirkung ab Februar 2012 für die weitere Dauer des Scheidungsverfahrens einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'569.-- (Fr. 1'050.-- für den Sohn und Fr. 519.-- für ihn persönlich) zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz oder an die erste Instanz zurückzuweisen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Am 25. Mai 2012 hat der Beschwerdeführer Unterlagen zu seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nachgereicht.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil betrifft die vorsorgliche Unterhaltsregelung während eines Scheidungsverfahrens und damit eine vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>). Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) ist angesichts der Höhe des strittigen Unterhaltsbeitrags und der unbestimmten Dauer der Unterhaltspflicht erreicht (<ref-law>). Die fristgerecht erhobene Beschwerde (<ref-law>) richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 431 f.) des auf Rechtsmittel hin urteilenden Obergerichts (<ref-law>). Grundsätzlich ist die Beschwerde in Zivilsachen somit zulässig.
1.2 Entscheide über vorsorgliche Massnahmen während des Scheidungsverfahrens unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Dabei gilt das Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen und tritt auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht ein. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es nicht aus, die Rechtslage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat, was die rechtssuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588 f.).
2. Vor Bundesgericht ist einzig der persönliche Unterhaltsbeitrag des Beschwerdeführers strittig, und zwar konkret die Frage, ob ihm ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden kann.
2.1 Die Vorinstanz hat ausgeführt, der Beschwerdeführer habe an der Aussöhnungsverhandlung vom 1. Juni 2010 ausgesagt, er könne immer mal ein paar hundert Franken verdienen, vielleicht ca. Fr. 1'500.-- pro Monat. Der Amtsgerichtspräsident habe den Beschwerdeführer bei Erlass der Verfügung vom 30. September 2010 auf dieser Zusage behaftet und ihm - da Y._ wochentags die Schule besuche und die Beschwerdegegnerin ein ausgedehntes Besuchs- und Ferienrecht habe - ein durchschnittliches Monatseinkommen von Fr. 2'000.-- angerechnet. Der Beschwerdeführer habe diese Verfügung nicht angefochten. Er habe - so das Obergericht - ohne Einschränkung zugestanden, dass er ein Erwerbseinkommen erzielen könnte, wenn er dies wolle. In der Verfügung vom 13. Januar 2012 sei der Amtsgerichtspräsident folglich zu Recht weiterhin von einem hypothetischen Einkommen von Fr. 2'000.-- ausgegangen.
2.2 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) und des rechtlichen Gehörs (<ref-law>). Mit der letztgenannten Rüge macht der Beschwerdeführer eine mangelnde Auseinandersetzung mit seinen Vorbringen im Berufungsverfahren geltend, und zwar bezüglich seiner Ausführungen zur Interpretation seiner Aussage an der Aussöhnungsverhandlung. Dieser Rüge kommt jedoch vorliegend keine eigenständige Bedeutung zu, sondern sie geht in der Rüge der willkürlichen Interpretation seiner Aussage auf.
Der Beschwerdeführer macht im Einzelnen geltend, es sei ihm wegen der Betreuung des Sohnes nicht möglich, das ihm angerechnete hypothetische Einkommen zu erzielen. Er betreue das Kind grundsätzlich rund um die Uhr. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sei die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit dem betreuenden Elternteil im Umfang von 50 % in der Regel erst zumutbar, wenn das jüngste Kind zehnjährig sei. Da sich die Vorinstanz mit dieser Rechtsprechung nicht befasst habe, sei ihr Entscheid willkürlich. Die von der Vorinstanz herangezogene Aussage an der Aussöhnungsverhandlung habe sich auf die Zeit bezogen, als er die Obhut über Y._ noch nicht innehatte. Ein Zugeständnis für die Zeit nach dem Obhutswechsel auf ihn bestehe nicht. Er könne bloss Fr. 400.-- pro Monat verdienen, was er an der Instruktionsverhandlung vom 26. September 2011 zu Protokoll gegeben habe. Daraus sei ersichtlich, dass er eben gerade nicht in der Lage sei, das angerechnete Einkommen zu erzielen. Die wenigen hundert Franken, die er sporadisch erzielen könne, stellten Einkommen aus überobligatorischer Tätigkeit dar und seien nicht anzurechnen.
2.3 Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen). Entsprechendes gilt für die Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (<ref-ruling> E. 3.1 S. 178 mit Hinweisen).
2.4 Der Beschwerdeführer verweist hinsichtlich der Frage, ob ihm überhaupt eine Erwerbstätigkeit zugemutet werden kann, auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach dies in der Regel erst der Fall sei, wenn das jüngste Kind zehnjährig sei (unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 3c S. 10; Urteil 5A_6/2009 vom 30. April 2009 E. 2.2, in: FamPra.ch 2009 S. 769). Die bundesgerichtliche Rechtsprechung statuiert diesbezüglich jedoch bloss eine Richtlinie und nicht eine starre Regel (vgl. neben dem letztgenannten Urteil auch Urteil 5A_241/2010 vom 9. November 2010 E. 5.4.3, in: FamPra.ch 2011 S. 193, und jüngst <ref-ruling> E. 4.2.2.2 S. 109), was der Beschwerdeführer denn auch anerkennt. Das Obergericht hat zwar nicht ausdrücklich auf diese Rechtsprechung Bezug genommen. Es hat aber darauf hingewiesen, dass das Kind Y._ wochentags die Schule besuche und die Beschwerdegegnerin ein ausgedehntes Besuchs- und Ferienrecht habe. Demgegenüber erscheint die Behauptung des Beschwerdeführers, er betreue Y._ grundsätzlich rund um die Uhr, als rein appellatorisch. Die Vorinstanz ist angesichts der geschilderten Umstände (Schulbesuch, ausgedehntes Besuchsrecht) und des blossen Richtliniencharakters der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht in Willkür verfallen, wenn es dem Beschwerdeführer neben der Betreuung eines fast zehnjährigen Kindes die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit zugemutet hat.
2.5 Im Übrigen bestreitet der Beschwerdeführer, dass auf seine Äusserung an der Aussöhnungsverhandlung, er könne ca. Fr. 1'500.-- pro Monat verdienen, abgestellt werden könne, da sich diese Aussage auf die Zeit vor der Obhutszuteilung an ihn bezogen habe. Ein entsprechender ausdrücklicher Vorbehalt lässt sich der protokollierten Aussage jedoch nicht entnehmen. Insofern stellt der Beschwerdeführer mit seiner Interpretation der damaligen Aussage bloss die eigene Sicht der Dinge dar und es erscheint nicht als willkürlich, wenn das Obergericht davon ausgegangen ist, das Zugeständnis sei ohne Einschränkung erfolgt. Auch der Verweis auf die Instruktionsverhandlung und die dort gemachte Aussage, er verdiene monatlich Fr. 400.-- hilft ihm nicht. Es ist nicht willkürlich, wenn das Obergericht einzig auf seine Aussage an der Aussöhnungsverhandlung abgestellt und aus seiner Aussage an der Instruktionsverhandlung nicht abgeleitet hat, er könne effektiv nicht mehr als Fr. 400.-- verdienen.
2.6 Die Beschwerde ist folglich abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
3. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war seine Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, und dem Richteramt Dorneck-Thierstein, Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. August 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zingg