Sachverhalt:
A. Die vermutlich aus Vorderasien stammenden und ihren Angaben zufolge A.X._, C.X._ und B.X._ (geb. 1986, 1988 und 1990) heissenden Brüder gelangten im Jahre 1999 mit ihren Eltern und ihrer Schwester (geb. 1992) in die Schweiz. Die Eltern gaben sich als Iraker aus und stellten unter Vorlage gefälschter Ausweise ein Asylgesuch. Hierauf trat das damalige Bundesamt für Flüchtlinge am 5. Januar 2001 nicht ein und wies die Familie aus der Schweiz weg. Auf die dagegen erhobene Beschwerde trat die Schweizerische Asylrekurskommission mit Urteil vom 13. Februar 2001 ebenfalls nicht ein. Die Familie reiste bisher nicht aus.
Am 20. April 2009 ordnete das Amt für Migration Basel-Landschaft gegen A.X._, B.X._ und C.X._ sowie gegen ihren Vater Ausschaffungshaft an, welche vom Einzelrichter am Kantonsgericht Basel-Landschaft mit Urteilen vom 23. April 2009 jeweils bis zum 19. Juli 2009 bestätigt wurde. Auf Antrag verlängerte die Einzelrichterin des erwähnten Kantonsgerichts mit Urteilen vom 16. Juli 2009 die Haft der drei Brüder bis zum 16. Oktober 2009.
B. A.X._, B.X._ und C.X._ beantragen dem Bundesgericht mit getrennt erhobenen Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. September 2009, die gegen sie ergangenen Urteile vom 16. Juli 2009 aufzuheben und sie aus der Haft zu entlassen.
Das kantonale Amt für Migration ersucht um Abweisung der Beschwerden, soweit auf sie eingetreten werde. Das Kantonsgericht hat auf Anträge verzichtet und auf seine Hafturteile vom 23. April und 16. Juli 2009 sowie auf die Sitzungsprotokolle verwiesen. Das Bundesamt für Migration hat sich vernehmen lassen, jedoch keinen Antrag gestellt. Mit Rechtsschriften vom 5. Oktober 2009 - am 8. Oktober beim Bundesgericht eingegangen - haben A.X._, B.X._ und C.X._ zu den Vernehmlassungen Stellung genommen; sie halten an ihren Anträgen fest.
C. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat die Gesuche um sofortige Haftentlassung im Rahmen vorsorglicher Massnahmen mit Verfügungen vom 18. September 2009 abgewiesen.

Erwägungen:
1. Die Vorinstanz hat gegenüber jedem einzelnen Beschwerdeführer ein eigenes Urteil gefällt. Diese sind dementsprechend mit je eigener Rechtsschrift an das Bundesgericht gelangt. Nachdem aber der den Urteilen zugrundeliegende Sachverhalt im Wesentlichen der Gleiche ist und die Beschwerdeführer, die durch den selben Rechtsbeistand vertreten sind, auch identische Rügen erheben, rechtfertigt sich, die Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
2. 2.1 Die Beschwerden wurden zwar nicht innerhalb von 30 Tagen nach Eröffnung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht eingereicht. Die Beschwerdeführer durften jedoch den Fristenstillstand gemäss <ref-law> vom 15. Juli bis 15. August 2009 in Anspruch nehmen, weshalb ihre Eingaben als rechtzeitig gelten (vgl. Art. 112 Abs. 2 AuG, SR 142.20; <ref-ruling> E. 1.2 S. 203 f.). Da die Dauer, um welche die Haft verlängert wurde, bisher nicht abgelaufen ist und die Beschwerdeführer weiterhin festgehalten werden, haben Letztere auch ein aktuelles Interesse an der Behandlung ihrer Eingaben (vgl. <ref-law>).
2.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat und prüft - vorbehältlich offensichtlicher Mängel - grundsätzlich nur die in seinem Verfahren hinreichend geltend gemachten Rechtsverletzungen (vgl. Art. 42 Abs. 2, 97 Abs. 1, 105 und 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.).
3. Die Beschwerdeführer räumen ein, dass ein rechtskräftiger Wegweisungsentscheid gegen sie vorliegt. Entgegen ihren Andeutungen ist dieser nicht allein deswegen ungültig geworden, weil inzwischen mehrere Jahre vergangen sind. Ihr Aufenthalt ist auch nicht nach verfügter Wegweisung zugelassen worden. Ob weggewiesenen Ausländern dennoch eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen wäre, ist im Haftverfahren - vorbehältlich besonderer Situationen, die hier nicht gegeben sind - nicht zu prüfen, (vgl. auch Art. 17 AuG; <ref-ruling> E. 2 S. 220 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 58).
4. 4.1 Die Beschwerdeführer machen vor allem geltend, ihnen könne keine Verletzung ihrer Mitwirkungspflicht vorgehalten werden; damit sei der von den Vorinstanzen angenommene Haftgrund von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 AuG nicht erfüllt. In diesem Zusammenhang habe das Haftgericht zudem gegen ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verstossen; es habe sich nicht mit ihren diesbezüglichen Ausführungen auseinandergesetzt.
4.2 Die Vorinstanz hält den Beschwerdeführern in den angefochtenen Entscheiden vor, sie hätten "auch in der Zwischenzeit nichts unternommen", um zu den für eine Rückreise notwendigen Papieren zu gelangen oder bei deren Beschaffung durch die Behörden mitzuwirken. Insoweit mag zutreffen, dass sich das Haftgericht nicht weiter zu den Ausführungen der Beschwerdeführer in ihren Plädoyers geäussert hat. Darin hatte ihr Rechtsvertreter sinngemäss ausgeführt, es sei den Beschwerdeführern "aus objektiven Gründen nicht möglich", bei der Beschaffung von Reisepapieren mitzuwirken bzw. weitergehende Handlungen vorzunehmen. Sie berufen sich darauf, als Kinder zunächst nach Deutschland und sodann in die Schweiz gelangt zu sein; daher verfügten sie über keine zuverlässigen Anhaltspunkte darüber, aus welchem Herkunftsland sie stammen; sie hätten auch keine weiter helfenden Kontakte. Ihr Vater enthalte ihnen jegliche Informationen vor.
Insoweit setzen sich die Beschwerdeführer jedoch nicht mit den - davon abweichenden - Feststellungen in den Hafturteilen vom 23. April 2009 auseinander. Dort wurde ausgeführt, der Beschwerdeführer 1 habe erklärt, er könne sich über seine Verwandtschaft im Irak Reisepapiere beschaffen. Ausserdem sei er in der Lage gewesen, sich für ein Ehevorbereitungsverfahren einen Geburtsschein zu besorgen. Obwohl ihn die Fremdenpolizeibehörden schon im Jahre 2007 aufgefordert hatten, bei der Beschaffung von Identitäts- und Reisepapieren mitzuwirken, hätte er ihnen diesen Geburtsschein zunächst vorenthalten bzw. nicht schon früher eingeholt. Den Geburtsschein will er über seine Grosseltern besorgt haben. Aus den Akten ergibt sich zudem, dass er anlässlich einer Befragung im Februar 2009 erklärte, er habe ausser einem Anruf bei der libanesischen Botschaft vor rund zwei bis drei Wochen "bisher nichts unternommen". Die Beschwerdeführer 2 und 3 hatten ihrerseits bestätigt, sie hätten sich trotz Aufforderung durch die Fremdenpolizeibehörde nicht um die Besorgung von Identitäts- oder Reisepapieren bemüht, obwohl sie wie ihr Bruder A.X._ (Beschwerdeführer 1) die Möglichkeit gehabt hätten, sich bei der Verwandtschaft eine Kopie ihres Geburtsscheins zu besorgen.
Mithin trifft es nicht zu, dass die Beschwerdeführer keine Kontakte zu Angehörigen aus Vorderasien haben (können) und es ihnen unmöglich ist mitzuwirken. Das behaupten sie zwar namentlich im bundesgerichtlichen Verfahren. Damit setzt sich der Beschwerdeführer 1 indes zu seinem früheren Verhalten (insb. Besorgung des Geburtsscheins zwecks Heirat) und teilweise auch zu vorangegangenen Äusserungen in Widerspruch. Die Beschwerdeführer 2 und 3 lassen ihrerseits jegliche Bemühungen zwecks Mitwirkung missen. Aus Vorstehendem ergibt sich, dass sie durchaus in der Lage wären, Schritte zur Identitäts- und Herkunftsfeststellung sowie zur Besorgung von Dokumenten zu unternehmen. Sie haben sich insoweit jedoch nicht in ernsthafter und zumutbarer Weise eingesetzt. Es kann in diesem Zusammenhang auch nicht davon die Rede sein, dass die Beschwerdeführer in "Sippenhaft" genommen wurden bzw. die Haft den einzigen Zweck verfolgt, Druck auf den Familienvater auszuüben, damit dieser endlich wahrheitsgemässe Angaben macht. Demnach ist der Haftgrund gemäss Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 AuG von den Vorinstanzen zu Recht nicht nur beim Vater, sondern auch bei den Beschwerdeführern bejaht worden.
4.3 Mit Blick auf die Ausführungen in den Urteilen vom 23. April 2009 stösst auch der Vorwurf ins Leere, die Vorinstanz habe ihre Begründungspflicht und damit den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt (vgl. dazu allg. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen). Die Erwägungen in den soeben erwähnten Urteilen, mit denen das Vorliegen des interessierenden Haftgrundes festgestellt wurde, behalten auch ohne ausdrückliche Bezugnahme ihre Gültigkeit für die Haftverlängerungsentscheide. Aus ihnen ergibt sich - wie ausgeführt (vgl. E. 4.2) -, dass die Behauptung der Beschwerdeführer, ihnen könne keine Mitwirkungspflichtverletzung vorgeworfen werden, unzutreffend ist.
5. Weil gegen den Beschwerdeführer 1 ein Strafverfahren wegen Betäubungsmittelhandels hängig ist, nehmen die Vorinstanzen bei ihm ebenfalls den Haftgrund von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 in Verbindung mit Art. 75 Abs. 1 lit. g AuG (Bedrohung bzw. Gefährdung von Leib und Leben) an. Das bestreitet der Beschwerdeführer 1 nicht. Auch der Beschwerdeführer 3 räumt ein, dass bei ihm zusätzlich der Haftgrund der Missachtung einer Eingrenzungsverfügung (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 in Verbindung mit Art. 75 Abs. 1 lit. b AuG) vorliegt.
6. Die Beschwerdeführer machen aber geltend, die Verlängerung der Haft sei unverhältnismässig. Sie lebten seit mehr als zehn Jahren in der Schweiz und seien vollkommen schuldlos am jetzigen Zustand. Auch sei nicht erkennbar, dass ihre Ausschaffung noch realisiert werden könne, weshalb die Haft gemäss Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG zu beenden sei.
Zwar kann den Beschwerdeführern nicht vorgeworfen werden, dass sie als Kinder bzw. Heranwachsende mit ihren Eltern eingereist sind und Letztere die Herkunft sowie genaue Identität der Familie bisher verschwiegen haben. Allerdings sind sie seit einiger Zeit nach Schweizer Recht volljährig und haben trotz der ihnen zumutbaren Möglichkeiten gar nichts bzw. nichts Wesentliches zur Feststellung ihrer Identität sowie zur Beschaffung von Reisepapieren unternommen. Schon deshalb erweist sich die Haftverlängerung als verhältnismässig. Mit Blick auf die erst im Frühsommer 2009 erlangten genaueren Erkenntnisse über eine mögliche türkische Herkunft der Familie und die insoweit noch anhaltenden Abklärungen ist derzeit auch nicht davon auszugehen, dass der Vollzug der Wegweisung im Sinne von Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG undurchführbar ist (vgl. BGE <ref-ruling> E. 4.1 S. 59 ff.). Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführer spielt keine Rolle, dass das Bundesamt für Migration dabei zwei verschiedene Namen für den Vater der Beschwerdeführer (F._ und G._) erwähnt hat.
Unbehelflich ist auch der Einwand, den Behörden sei mindestens seit dem Jahr 2006 bekannt, dass die Familie X._ türkische Wurzeln haben könnte. Gestützt auf die Äusserungen der Familie und auf eigene Feststellungen waren die Behörden zunächst davon ausgegangen, die Beschwerdeführer stammten aus dem Irak, Syrien oder aus dem Libanon. Zwar erfuhren die einheimischen Behörden später, dass die Familie vor ihrer Einreise in die Schweiz schon in Deutschland erfolglos ein Asylverfahren durchlaufen und sich dabei als türkische Staatsangehörige ausgegeben hatten. In der Schweiz hatte sich die Familie indes als irakische Staatsangehörige ausgewiesen. Demnach ist den Behörden nicht vorzuwerfen, dass sie ihre Abklärungen zunächst bei den irakischen, syrischen und libanesischen Behörden durchführten und erst anschliessend, nachdem nun auch der Vater der Beschwerdeführer - erstmals im Rahmen des Haftverfahrens - auf eine türkische Abstammung hingewiesen hat, ihre Ermittlungen in die entsprechende Richtung leiteten. Eine Ausschaffung innerhalb der maximalen Haftdauer von 18 Monaten (Art. 79 AuG) erscheint momentan noch durchaus als möglich. Auch das Beschleunigungsgebot wurde insoweit bisher gewahrt (vgl. Art. 76 Abs. 4 AuG; <ref-ruling> E. 3 S. 50 ff.).
7. Nach dem Dargelegten sind die angefochtenen Haftverlängerungen zu schützen. Demzufolge sind auch die von den Beschwerdeführern behaupteten Verletzungen der Art. 10 Abs. 2 und 31 BV nicht gegeben (vgl. <ref-law>). Somit erweisen sich die Beschwerden als unbegründet.
8. Die mittellosen Beschwerdeführer ersuchen um unentgeltliche Rechtspflege. Ihre Beschwerdebegehren sind aufgrund der besonderen Situation nicht als geradezu aussichtslos zu bezeichnen, weshalb sie trotz <ref-law> von der Bezahlung der Gerichtskosten zu befreien sind und ihnen die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren ist (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweis).

Demnach verfügt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 2C_600/2009, 2C_601/2009 und 2C_602/2009 werden vereinigt.
2. Die Beschwerden werden abgewiesen.
3. Die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege werden gutgeheissen:
3.1 Es werden keine Kosten erhoben.
3.2 Rechtsanwalt Hans Suter wird für die bundesgerichtlichen Verfahren als unentgeltlicher Rechtsbeistand eingesetzt und aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Amt für Migration Basel-Landschaft, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Merz