Faits:
A.
R._ a travaillé en qualité de manoeuvre du bâtiment. Le 28 février 2005, il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en indiquant qu'il souffrait d'une hernie discale, de maux de dos et de jambes.
L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a confié un mandat d'expertise au Centre d'expertises médicales (CEM); les experts ont déposé leur rapport le 9 février 2007. L'office AI a ensuite requis l'avis du docteur A._, psychiatre au SMR, qui a remis son rapport le 14 janvier 2008.
Dans un projet de décision du 21 mai 2008, l'office AI a fait savoir à l'assuré que sa capacité de travail était nulle dans son activité habituelle de manoeuvre, mais qu'une capacité entière pouvait être exigée dans une activité adaptée; comme la perte de gain qui s'ensuivait était de 2 %, l'office AI envisageait de refuser l'octroi d'une rente, mais restait à sa disposition pour une aide au placement. Le dossier a été complété par un rapport de la doctoresse U._, psychiatre, du 8 avril 2009, ainsi que par un rapport du docteur T._, chirurgien orthopédique, médecin au SMR, du 13 juillet 2009.
Par décision du 12 mai 2010, l'office AI a rejeté la demande.
B.
R._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant principalement à son annulation et au renvoi de la cause pour nouvelle instruction, subsidiairement à l'octroi d'une rente.
L'office AI a produit un rapport du docteur O._, psychiatre, du 28 avril 2011.
Par jugement du 1 er novembre 2012, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C.
R._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens. Il conclut principalement au versement d'une rente entière d'invalidité dès le 1 er juillet 2005, subsidiairement au renvoi de la cause aux premiers juges, plus subsidiairement à l'administration.

Considérant en droit:
1.
Le litige porte sur le droit du recourant à une rente de l'assurance-invalidité, respectivement sur sa capacité de travail.
Les premiers juges ont exposé correctement les règles applicables à la solution du litige, si bien qu'il suffit de renvoyer au jugement attaqué.
2.
Dans un premier moyen, le recourant se plaint d'arbitraire lors de l'appréciation des avis et rapports médicaux versés au dossier. Il reproche aux juges cantonaux de s'être fondés principalement sur l'avis du docteur T._ qui attestait une capacité de travail totale avec une diminution de rendement de 20 % dans une activité adaptée sur le plan somatique, alors que les avis des médecins qui avaient conclu à une incapacité totale en raison de ses troubles psychiques n'ont pas été pris en compte (notamment le rapport d'expertise du CEM du 9 février 2007, ainsi que les rapports de la doctoresse U._, du 8 avril 2009 et du docteur O._, du 28 avril 2011). Selon le recourant, le jugement confine à l'arbitraire dans la mesure où il est constaté que seuls les médecins du SMR et le docteur F._ se sont prononcés sur la capacité de travail.
Par ailleurs, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir mal apprécié son état de santé psychique et les répercussions sur sa capacité de travail. Il relève que le docteur O._ a attesté une schizophrénie paranoïde existant depuis 2004, dont le CEM aurait aussi fait état en 2007. Dès lors que cette affection préexistait au 12 mai 2010, jour où la décision administrative litigieuse a été rendue, il estime que les juges cantonaux auraient dû en tenir compte et ordonner un complément d'instruction.
Finalement, le recourant se prévaut d'une violation des art. 28 et 28a LAI, car son revenu d'invalide a été établi sans tenir compte du fait qu'il ne travaille plus depuis septembre 2003 et qu'il n'aurait plus de capacité de travail en raison de ses affections somatiques et psychiques.
3.
Le recourant semble ignorer que les seuls avis médicaux qui peuvent entrer en ligne de compte pour fixer la capacité de travail exigible sont ceux qui satisfont aux réquisits jurisprudentiels relatifs à la force probante de tels documents (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 352). On ne saurait dès lors suivre le recourant lorsqu'il reproche aux premiers juges de n'avoir pas jugé sa cause à la lumière de rapports qui ne remplissent précisément pas ces conditions.
En ce qui concerne l'incidence des affections somatiques sur la capacité de travail, la juridiction cantonale a constaté que les médecins du CEM ont bien retenu les mêmes limitations fonctionnelles que le SMR, mais qu'ils ne se sont en revanche pas prononcés sur la capacité de travail (jugement cantonal, consid. 4b p. 17 en bas). La cause a dès lors été jugée à la lumière des conclusions du docteur T._, dont le rapport du 13 juillet 2009 permettait de combler cette lacune. Le recourant ne démontre pas en quoi l'appréciation des preuves de l'autorité précédente, qui a tenu compte d'une capacité de travail de 80 % dans une activité adaptée, serait contraire au droit.
A propos du volet psychiatrique, les premiers juges ont constaté que le docteur O._, qui suit son patient depuis juillet 2010, est le premier spécialiste à poser le diagnostic de schizophrénie paranoïde. Le constat de l'autorité précédente n'a rien d'inexact; en effet, contrairement au point de vue du recourant, le docteur L._, psychiatre au CEM, n'a pas retenu pareil diagnostic mais indiqué au contraire qu'il lui paraissait peu probable (rapport du 9 février 2007, p. 15). Pour le surplus, le recourant ne démontre pas non plus en quoi l'appréciation de la juridiction cantonale, qui a admis l'existence d'une pleine capacité de travail sous l'angle psychiatrique en se fondant sur les conclusions du docteur A._, résulterait d'une appréciation insoutenable des preuves. Dans ce contexte, le recourant ne remet pas davantage en cause le bien-fondé du jugement attaqué, dans lequel il a été admis que les facteurs psychosociaux qui représentent chez lui un frein à la reprise d'une activité professionnelle, ne sauraient être pris en considération.
Il s'ensuit que la capacité de travail du recourant s'élève à 80 % dans une activité adaptée. Quant au revenu d'invalide, il a été arrêté selon les statistiques de l'Enquête suisse sur la structure des salaires, dès lors que le recourant n'exerce plus d'activité lucrative depuis plusieurs années; la comparaison des revenus n'est par ailleurs ni contestée ni sujette à discussion.
4.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 7 août 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Berthoud