Sachverhalt:
A.
Im Urteil 5A_817/2011 vom 23. Januar 2012 auferlegte das Bundesgericht X._ Gerichtskosten von Fr. 1'000.--. Diesen Betrag setzte die Schweizerische Eidgenossenschaft, handelnd durch die Kasse des Schweizerischen Bundesgerichtes, nach erfolgter Mahnung mit Zahlungsbefehl vom 22. November 2012 in Betreibung (Betreibung Nr. xxx des Beitreibungsamts A._). Dagegen erhob X._ Rechtsvorschlag. Mit Urteil vom 10. Juli 2013 erteilte das Bezirksgericht Bülach der Schweizerischen Eidgenossenschaft für Fr. 1'000.-- nebst 5 % Zins seit 1. April 2012 sowie für die Betreibungskosten und die vorgeschossenen Kosten und den Entschädigungsanspruch die definitive Rechtsöffnung.
B.
Gegen das Urteil des Bezirksgerichts Bülach erhob X._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses trat mit Beschluss vom 10. September 2013 nicht auf die Beschwerde ein.
C.
C.a. X._ (Beschwerdeführer) wendet sich mit Eingabe vom 16. Oktober 2013 an das Bundesgericht. Er beantragt zusammengefasst, den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vollumfänglich aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung in einem ordentlichen Verfahren direkt an die kantonale Erstinstanz zurückzuweisen. Zudem sei der Rechtsöffnungsrichter anzuweisen, für das Rechtsöffnungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> zu gewähren. In prozessualer Hinsicht beantragt der Beschwerdeführer die Einsetzung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für das bundesgerichtliche Verfahren. Zudem verlangt er, dass ihm "vorgängig aller prozessualen Handlungen" die Zusammensetzung des Spruchkörpers bekannt gegeben werde. Das Gesuch des Beschwerdeführers, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen, hat das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 5. November 2013 abgewiesen.
C.b. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Es hat ferner die Akten des Finanzdienstes des Bundesgerichts im Zusammenhang mit dem Inkasso im Verfahren 5A_817/2011 beigezogen. Trotz eines entsprechenden Gesuchs, welches das Bundesgericht positiv beantwortet hatte, nahm der Beschwerdeführer keine Einsicht in die dem Bundesgericht vorliegenden Akten.
C.c. Im Übrigen hat das Bundesgericht B._ ein weiteres Mal (vgl. zuletzt das Urteil 5A_365/2013 vom 13. Juni 2013 E. 1) darauf hingewiesen, dass er vor Bundesgericht nicht als Vertreter bzw. Bevollmächtigter des Beschwerdeführers handeln könne und diesbezüglich eine Verletzung von <ref-law> im Raum stehe. In seiner Stellungnahme vom 9. Februar 2014 machte B._ geltend, dass er nicht gebüsst werden könne. Er verstosse nicht gegen das "Anwaltsmonopol". Vielmehr habe er mit seiner Eingabe vom 16. Oktober 2013 "den mit dieser Sache fachlich offensichtlich völlig überforderten Beschwerdeführer lediglich bei der Anhebung der Verfassungsbeschwerde ... verbeiständigt und folgerichtig für das bundesgerichtliche Verfahren einen patentierten Rechtsanwalt für seine effektive Vertretung beantragt." Vor diesem Hintergrund verzichtet das Bundesgericht auf eine Sanktion.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid, mit dem das Obergericht auf das Rechtsmittel gegen den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid nicht eintritt. Das ist ein Endentscheid in einer Zwangsvollstreckungssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 143). Die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- wird nicht erreicht (<ref-law>). Dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>), macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Die Eingabe kann daher nicht als Beschwerde in Zivilsachen, sondern nur als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden (<ref-law>).
1.2. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz vorwirft, einfaches Gesetzesrecht wie die ZPO, das ZGB oder das SchKG verletzt zu haben, ist er damit zum vornherein nicht zu hören. Für Verfassungsrügen gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, reicht es nicht aus, die Lage aus eigener Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.
Der Beschwerdeführer will mit Blick auf mögliche Ausstandsbegehren vorgängig zum Entscheid über die Zusammensetzung des Spruchkörpers des Bundesgerichts informiert werden. Der Beschwerdeführer weiss aufgrund allgemein zugänglicher Quellen, wie die zuständige II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts zusammengesetzt ist. Ein darüber hinausgehender Anspruch auf vorgängige Mitteilung der Zusammensetzung des Spruchkörpers besteht nicht (Urteil 4A_169/2009 vom 15. Juli 2009 E. 4).
3.
Der Beschwerdeführer beantragt die Bestellung eines unentgeltlichen Beistands, damit dieser ihn im Verfahren vor Bundesgericht vertrete. Auch dieser Antrag wird abgewiesen. Die Bestellung eines Anwalts durch das Bundesgericht kommt nur in Frage, wenn eine Partei auch auf Aufforderung hin nicht tätig wird und offensichtlich nicht imstande ist, ihre Sache selber zu führen (<ref-law>). Davon kann im vorliegenden Fall keine Rede sein. Zum Beleg der eigenen Unbeholfenheit genügt es nicht, am letzten Tag der Beschwerdefrist eine weitschweifige Rechtsschrift einzureichen, die den formellen Anforderungen, wenn überhaupt, nur knapp genügt (<ref-law>).
4.
4.1. In formeller Hinsicht rügt der Beschwerdeführer, der vorinstanzliche Nichteintretensbeschluss verkenne in verfassungs- und völkerrechtswidriger Weise, dass im Rechtsöffnungsverfahren willkürlich auf die Durchführung einer öffentlichen und mündlichen Verhandlung verzichtet worden sei. Darin sieht der Beschwerdeführer nicht nur eine Verletzung der Bundesverfassung (<ref-law>), sondern auch eine Missachtung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK und von Art. 14 des Internationalen Paktes über bürgerliche und politische Rechte vom 16. Dezember 1966 (Pakt II; SR 0.103.2). Nachdem das Obergericht in Ziffer 3 seines Beschlusses auf die Beschwerde nicht eintritt, ist der Streitgegenstand vor Bundesgericht grundsätzlich auf die Frage beschränkt, ob das Obergericht mit diesem Nichteintretensbeschluss verfassungsmässige Rechte des Beschwerdeführers verletzt. Angesichts der formellen Natur des Anspruchs auf eine öffentliche und mündliche Verhandlung (<ref-ruling> E. 5j S. 40) ist auf diese prozessuale Rüge trotzdem einzugehen.
4.2.
4.2.1. Nach <ref-law> gilt für Entscheide, die vom Rechtsöffnungsgericht getroffen werden, das summarische Verfahren. In diesem Verfahren kann das Gericht auf die Durchführung einer Verhandlung verzichten und aufgrund der Akten entscheiden, sofern das Gesetz nichts anderes bestimmt (<ref-law>). Eine solche Ausnahme besteht für das Rechtsöffnungsgericht nicht. Es liegt damit im Ermessen des Rechtsöffnungsgerichts, eine mündliche Verhandlung anzusetzen oder aufgrund der Akten zu entscheiden ( ANDREAS GÜNGERICH, in: Berner Kommentar, 2012, N. 1 zu <ref-law>). Vorliegend hat sich der Rechtsöffnungsrichter entschieden, auf eine mündliche Verhandlung zu verzichten. Der Beschwerdeführer tut nicht dar, inwiefern dem Rechtsöffnungsrichter in diesem Zusammenhang Willkür vorzuwerfen wäre. Gleiches gilt, soweit der Beschwerdeführer eine willkürliche Handhabung von <ref-law> geltend macht. Entgegen der Meinung des Beschwerdeführers lässt sich dieser Bestimmung kein Anspruch auf eine mündliche Verhandlung entnehmen ( CHRISTOPH HURNI, in: Berner Kommentar, 2012, N. 12 zu <ref-law>). Nichts anderes gilt für <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.6 S. 293 f.).
4.2.2. Was das Verfahren vor Bundesgericht betrifft, sind die mündliche und öffentliche Parteiverhandlung sowie die öffentliche Beratung in den Art. 57 bis 59 BGG geregelt (s. Urteil 5D_181/2011 vom 11. April 2012 E 1.4). Dass die Voraussetzungen dafür vorliegend nicht erfüllt sind, stellt der Beschwerdeführer nicht in Frage. Zu Recht kritisiert er auch nicht, dass das Bundesgericht seinen Kostenentscheid im Verfahren 5A_817/2011 (Urteil vom 23. Januar 2012) ohne öffentliche Verhandlung gefällt hat.
4.3.
4.3.1. Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person ein Recht darauf, dass über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen öffentlich verhandelt wird. Als "zivilrechtlich" im Sinne dieser Vorschrift gilt auch die Kostenfestsetzung, wenn die geltend gemachten Gerichtskosten in einem zivilrechtlichen Streit entstanden sind (Urteil 5D_181/2011 vom 11. April 2012 E. 3.1.1 mit Hinweisen). Dass die von der Schweizerischen Eidgenossenschaft in Betreibung gesetzten Gerichtskosten auf eine zivilrechtliche Streitigkeit zurückgehen und daher "zivilrechtlich" im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK sind, steht nicht in Frage. Anders als <ref-law> und <ref-law> (E. 4.2.1) beinhaltet Art. 6 Ziff. 1 EMRK auch einen Anspruch auf Durchführung eines mündlichen Verfahrens (<ref-ruling> E. 2.6 S. 293 f.). Dieser Anspruch ist allerdings nicht absolut. Eine Ausnahme vom Grundsatz der Mündlichkeit ist nach der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) etwa gegeben, wenn eine Streitsache keine Tat- oder Rechtsfragen aufwirft, die nicht adäquat aufgrund der Akten und der schriftlichen Parteivorbringen gelöst werden können (vgl. Urteil 5A_208/2011 vom 24. Juni 2011 E. 5.2 mit Hinweis). Nichts anderes ergibt sich aus dem Urteil Nr. 48962/99 des EGMR vom 5. Juli 2005, Exel gegen Tschechische Republik. Zwar kommt der EGMR in diesem Urteil zum Schluss, die Tschechische Republik habe Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt, weil das Konkursgericht dem Beschwerdeführer die Durchführung einer mündlichen Verhandlung verweigert hatte. Der EGMR weist aber ausdrücklich darauf hin, dass das Konkurserkenntnis für den Beschwerdeführer einschneidende ökonomische Konsequenzen hatte, die Sache rechtlich komplex war (Privatisierung) und es dem Beschwerdeführer deshalb nicht zugemutet werden konnte, seinen Standpunkt ausschliesslich schriftlich darzulegen (§ 57 und 58 des zitierten Urteils).
4.3.2. Im Urteil 5D_181/2011 vom 11. April 2012 E. 3.1.2 lässt das Bundesgericht offen, ob der dortige Beschwerdeführer gestützt auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK Anspruch auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung hat, weil es zum Schluss kommt, der Beschwerdeführer habe im damaligen Verfahren so oder so auf die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung verzichtet. Gleiches ist vorliegend nicht der Fall.
Das Rechtsöffnungsverfahren zielt allein darauf, das Vorhandensein eines Rechtsöffnungstitels zu überprüfen. Die Frage, ob die Forderung materiell begründet ist, stellt sich grundsätzlich nicht. Verlangt der Gläubiger - wie hier - die definitive Rechtsöffnung, so muss die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Entscheid beruhen (<ref-law>). Dabei handelt es sich definitionsgemäss um eine Urkunde. Gleiches gilt für die nach <ref-law> zulässigen Einwendungen des Schuldners. Dieser wird damit nur gehört, wenn er seinerseits durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Entscheids getilgt oder gestundet worden ist. Damit steht fest, dass die definitive Rechtsöffnung in einem Verfahren erteilt wird, in welchem als Beweismittel grundsätzlich einzig Urkunden zugelassen sind. Weitere Beweismittel, namentlich das Anhören von Zeugen, scheiden aus bzw. kommen höchstens insofern in Frage, als die Gültigkeit oder der Inhalt der Urkunde streitig ist. Beides ist vorliegend nicht der Fall. Der Sachverhalt zeichnet sich durch keine irgendwie geartete Komplexität aus, die im Lichte der EMRK und der Rechtsprechung des EGMR (vgl. E. 4.3.1) die Durchführung einer mündlichen Verhandlung nötig machen oder auch nur nahelegen würde.
4.3.3. Steht fest, dass der Beschwerdeführer keinen konventionsrechtlichen Anspruch auf Durchführung einer mündlichen Verhandlung hatte, so ist ohne Belang, dass der Beschwerdeführer bereits am 10. Juni 2013 explizit die Durchführung einer mündlichen Verhandlung verlangt hatte. Der Rechtsöffnungsrichter durfte trotz eines entsprechenden Gesuchs auf die Durchführung eines mündlichen Verfahrens verzichten, wenn er die Voraussetzungen für ein solches Verfahren als nicht gegeben erachtete. Im Übrigen ist nicht der Rechtsöffnungsrichter dafür verantwortlich, dass der Beschwerdeführer im Rechtsöffnungsverfahren die Hilfe eines Kollegen in Anspruch nahm, der im fraglichen Zeitpunkt gesundheitlich angeschlagen und deswegen nur telefonisch erreichbar war. Mit diesem Argument liesse sich allenfalls ein Gesuch um Verlängerung einer Frist zur Einreichung einer schriftlichen Stellungnahme, nicht aber ein solches um Durchführung einer mündlichen Verhandlung begründen.
4.4. Auch Art. 14 Pakt II schreibt die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung vor. Der Beschwerdeführer tut nicht dar, inwiefern diese Bestimmung einen weitergehenden Anspruch auf eine mündliche Verhandlung beinhaltet als Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Eine Verletzung von Art. 14 Pakt II ist nicht dargetan.
4.5. Mangels rechtsgenüglicher Rüge (E. 1.2) ist schliesslich nicht auf den Vorwurf einer Verletzung von Art. 13 EMRK sowie Art. 1 und 2 Pakt II einzutreten.
5.
Der Beschwerdeführer macht geltend, dass ihm der Einzelrichter des Bezirksgerichts Bülach das Recht auf Beweis und damit das rechtliche Gehör (<ref-law>) verweigert habe. In der Sache wiederholt er jedoch nur den in Erwägung 4 entkräfteten Vorwurf, die kantonalen Gerichte hätten keine mündliche Verhandlung durchgeführt und ihn so der Möglichkeit beraubt, seinen Standpunkt in fairer Weise zu vertreten.
6.
6.1. In der Sache selbst - dem Streit um die definitive Rechtsöffnung - hält das Obergericht fest, der Beschwerdeführer habe sich in seiner kantonalen Beschwerde mit dem Einwand begnügt, er sei zur Zeit nicht in der Lage, die in Betreibung gesetzte Summe zu bezahlen, da er nicht über die finanziellen Mittel dazu verfüge. Weiter habe der Beschwerdeführer ausgeführt, andernfalls hätte er die Forderung, deren Berechtigung "selbstverständlich nicht bestritten werden" könne, anstandslos beglichen. Das Obergericht schliesst daraus, dass der Beschwerdeführer "einzig zur Verfahrensverzögerung und damit rechtsmissbräuchlich" prozessiere. Dies sei nicht als schützenswertes Interesse anzusehen. Deshalb sei auf die Beschwerde gestützt auf Art. 59 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> ohne Weiterungen nicht einzutreten. Schliesslich weist das Obergericht den Beschwerdeführer darauf hin, dass im Rahmen des Pfändungsvollzugs zu prüfen sein werde, ob und inwieweit er zur Zahlung seiner Schuld imstande ist.
6.2. Vor diesem Hintergrund kann das Bundesgericht nicht prüfen, ob es sich mit den verfassungsmässigen Rechten des Beschwerdeführers verträgt, wenn der Beschwerdegegnerin in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts A._ die definitive Rechtsöffnung erteilt wird. Vor Bundesgericht kann sich der Streit - wie erwähnt (E. 4.1) - nur um die Frage drehen, ob der Beschwerdeführer in seinen verfassungsmässigen Rechten verletzt ist, weil das Obergericht in der Sache nicht auf seine Beschwerde eintritt. Der Beschwerdeführer setzt sich mit dieser Frage nicht auseinander. Insbesondere zeigt er in keiner Weise auf, inwiefern das Obergericht <ref-law> in verfassungswidriger, namentlich in willkürlicher Weise angewendet haben soll, wenn es ihm gestützt auf diese Vorschrift das schutzwürdige Interesse an der Beschwerdeführung abspricht. Im Gegenteil bestätigt er auch vor Bundesgericht, worauf der angefochtene Entscheid hinweist (E. 6.1), nämlich dass "die geschuldeten Gerichtskosten selbstverständlich nicht bestritten werden". Soweit er dem Obergericht vorwirft, mit der Bestätigung des erstinstanzlichen Urteils einen rechtsmissbräuchlichen, krass treuwidrigen Verwaltungsakt geschützt zu haben, verkennt er den beschriebenen Streitgegenstand vor Bundesgericht: Indem das Obergericht auf seine Beschwerde gar nicht erst eintritt, äussert es sich auch nicht zur Frage, welche Bewandtnis es mit dem Rechtsöffnungsentscheid des Bezirksgericht hat.
6.3. Nur der guten Ordnung halber sei der Beschwerdeführer darauf hingewiesen, dass er es sich selbst zuzuschreiben hat, wenn die Beschwerdegegnerin ihre Forderung auf die Gerichtskosten des Bundesgerichts in Betreibung setzte und dafür schliesslich die definitive Rechtsöffnung verlangte. Es genügt nicht, den von der Kasse des Bundesgerichts für die Begründung eines Erlassgesuchs zur Verfügung gestellten Fragebogen im Rechtsöffnungsverfahren vorzulegen, um so ein angeblich noch laufendes Verfahren zu dokumentieren. Dem Beschwerdeführer musste bewusst sein, dass er die definitive Rechtsöffnung nur mittels einer Bestätigung des Gläubigers, das heisst der Schweizerischen Eidgenossenschaft, abwenden konnte, wonach die Gerichtskosten in der Zwischenzeit erlassen oder gestundet worden sind. Der Beschwerdeführer kann eigene Versäumnisse bzw. Schwierigkeiten in der Kommunikation mit Dritten weder dem Finanzdienst des Bundesgerichts noch dem Rechtsöffnungsrichter anlasten. Ebenso wenig vermag er sich mit Hinweisen auf seinen Gesundheitszustand bzw. auf seine Überforderung mit dem Fall zu entschuldigen.
7.
Schliesslich beklagt sich der Beschwerdeführer darüber, dass ihm für die Verfahren vor den beiden kantonalen Instanzen die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege verweigert worden sei. Er rügt in diesem Zusammenhang eine Verletzung von <ref-law>, <ref-law>, <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 und Art. 14 EMRK sowie Art. 14 Pakt II und Art. 26 Abs. 2 Pakt II. Zu Recht weist der Beschwerdeführer darauf hin, dass der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege unter anderem von einer Prozessprognose abhängt. So besteht ein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nur, wenn die Rechtsbegehren nicht als aussichtslos erscheinen. Damit soll verhindert werden, dass eine Partei einen Prozess nur deshalb führen kann, weil sie in den Genuss der unentgeltlichen Rechtspflege kommt und das Kostenrisiko dem Staat aufbürden kann.
Der Beschwerdeführer begnügt sich im Wesentlichen mit der blossen Gegenbehauptung, seine Rechtsbegehren seien nicht aussichtslos gewesen. Anerkennt er aber zugleich, die Gerichtskosten bezahlen zu müssen, so vermag er allein mit dieser Gegenbehauptung nichts auszurichten. Was seine prozessualen Rügen angeht, ergibt sich aus den vorstehenden Erwägungen, dass der Beschwerdeführer ohne Zweifel die Möglichkeit hatte, seinen Standpunkt dem Gericht schriftlich zu unterbreiten. Dass er dies nicht tat und stattdessen auf die Durchführung einer mündlichen Verhandlung drängte bzw. hoffte, hat der Beschwerdeführer selbst zu verantworten. Allein daraus folgt nicht, dass seine Rechtsbegehren nicht aussichtslos waren.
8.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Als unterliegende Partei hat der Beschwerdeführer grundsätzlich für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Den Besonderheiten des Falls entsprechend verzichtet das Bundesgericht darauf, Kosten zu erheben. Der Beschwerdegegnerin steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>). Den Aufwand für den Bevollmächtigten kann der Beschwerdeführer nicht geltend machen. Damit erweist sich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht (<ref-law>) als gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, Herrn B._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. April 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn