Sachverhalt:
A. Am 5. Dezember 2011 erstatteten X._ und Y._ Strafanzeige gegen ihren ehemaligen Anwalt A._ wegen Urkundenfälschung und Betrugs. Sie brachten vor, A._ habe sie in einem Verfahren vor dem Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte vertreten. Dabei habe er dem Gerichtshof eine inhaltlich falsche Honorarnote eingereicht.
Mit Verfügung vom 21. Juni 2012 nahm die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft die Strafuntersuchung nicht anhand.
Die von X._ und Y._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft (Abteilung Strafrecht) am 4. September 2012 ab. Es befand, die zur Anzeige gebrachten Tatbestände seien offensichtlich nicht erfüllt.
B. X._ und Y._ führen Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Beschluss des Kantonsgerichts sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft anzuweisen, umgehend eine Strafuntersuchung zu eröffnen.
C. Die Staatsanwaltschaft hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.
Das Kantonsgericht beantragt unter Hinweis auf seinen Entscheid die Abweisung der Beschwerde.
A._ hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne.
X._ und Y._ haben eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den angefochtenen Entscheid ist nach <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
1.2 Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde berechtigt, wer a) vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (...) und b) ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, insbesondere die Privatklägerschaft, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Ziff. 5).
Ein Eintreten kommt hier einzig gestützt auf diese Bestimmung in Betracht.
Die Beschwerde muss auch hinsichtlich der Prozessvoraussetzungen hinreichend begründet werden (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdeführer muss - wenn das nicht offensichtlich ist - darlegen, inwiefern die Legitimationsvoraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1 S. 121; <ref-ruling> E. 2 S. 404; je mit Hinweisen). Er muss ausführen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 248 mit Hinweisen). Die Rechtsprechung stellt insoweit strenge Anforderungen (<ref-ruling> E. 1a S. 187).
Die Beschwerdeführer kommen ihrer Begründungspflicht nicht nach. Sie äussern sich nicht zur Beschwerdelegitimation, insbesondere dazu, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken können soll. Letzteres ist nicht offensichtlich. Namentlich ist nicht ohne Weiteres klar, inwiefern die Beschwerdeführer dadurch, dass der Beschwerdegegner dem Europäischen Gerichtshof eine inhaltlich unzutreffende Honorarnote eingereicht und damit diesen getäuscht haben soll, einen Schaden erlitten haben sollen. Der Beschwerdegegner bezeichnet dies (Vernehmlassung S. 3 Ziff. 5) zu Recht als "diffus".
Auf die Beschwerde kann deshalb nicht eingetreten werden.
2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens tragen die Beschwerdeführer die Kosten (<ref-law>). Sie haben dem privaten Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben dem privaten Beschwerdegegner unter solidarischer Haftbarkeit für den ganzen Betrag eine Entschädigung von je Fr. 750.--, insgesamt Fr. 1'500.--, zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien sowie der Staatsanwaltschaft und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft (Abteilung Strafrecht) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Februar 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri