Sachverhalt:
A. Die 1951 geborene R._ war als Büroangestellte der Firma X._ bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (heute firmierend unter "AXA Winterthur", nachstehend: die [AXA] Winterthur) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 9. August 2003 beim Rasensprengen in einen Lichtschacht fiel und sich an der Wirbelsäule verletzte. Die Winterthur anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen, stellte diese jedoch mit Verfügung vom 20. Juni 2006 und Einspracheentscheid vom 25. Januar 2007 per 30. Juni 2006 ein, da die über dieses Datum hinaus anhaltend geklagten Beschwerden nicht mehr in einem rechtsgenüglichen Kausalzusammenhang zum Unfallereignis stünden.
B. Die von R._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 5. Dezember 2007 teilweise gut, hob den angefochtenen Einspracheentscheid auf und wies die Sache zur Veranlassung eines Gutachtens im Sinne der Erwägungen sowie zum anschliessenden Erlass einer neuen Verfügung an die Winterthur zurück.
C. Mit Beschwerde beantragt die AXA Winterthur, es sei unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides der Einspracheentscheid vom 25. Januar 2007 und damit die Leistungseinstellung per 30. Juni 2006 zu bestätigen, eventuell sei die Vorinstanz zu verpflichten, ihrerseits ein Obergutachten einzuholen.
Während R._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Das kantonale Gericht hat die Sache unter Aufhebung des Einspracheentscheides zu weiteren medizinischen Abklärungen an die Beschwerdeführerin zurückgewiesen. Damit hat sie einen Zwischenentscheid im Sinne der <ref-law> gefällt (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481). Da der selbständig eröffnete Entscheid weder die Zuständigkeit noch ein Ausstandsbegehren betrifft, ist eine Beschwerde nur zulässig, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte (<ref-law>), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>).
2. Es ist nicht erkennbar, dass der vorinstanzliche Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil für die Beschwerdeführerin bewirken würde. Insbesondere wird - da der angefochtene Entscheid keine materiell-rechtlichen Vorgaben enthält - die Versicherung durch ihn nicht gezwungen, einen ihres Erachtens rechtswidrigen neuen Entscheid zu erlassen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 484 und Urteil 8C_362/2007 vom 16. Januar 2008, E. 2.2). Das kantonale Gericht hat zudem keine Sachverhaltsfeststellungen getroffen, welche für die Beschwerdeführerin in dem Sinne verbindlich wären, dass sie nach Vorliegen des Gutachtens von ihr nicht korrigiert werden könnten. <ref-law> ist nicht erfüllt. Dies gilt, selbst wenn die vorinstanzliche Feststellung, der rechtserhebliche Sachverhalt sei ungenügend abgeklärt, offensichtlich unrichtig wäre oder auf einer qualifiziert unrichtigen oder sogar willkürlichen Beweiswürdigung beruhte. Auch eine solche Rechtsverletzung (Art. 95 lit. a und Art. 97 Abs. 1 BGG) vermöchte dem Nachteil an sich unnötiger Abklärungen nicht rechtlichen Charakter zu geben (Urteil 9C_301/2007 vom 28. September 2007, E. 2.2).
3. Eine Gutheissung der Beschwerde würde zwar einen sofortigen Endentscheid herbeiführen; kantonale Rückweisungsentscheide, mit denen einzig eine ergänzende Sachverhaltsabklärung angeordnet wird, verursachen indessen in der Regel kein weitläufiges Beweisverfahren mit einem bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten im Sinne des Gesetzes (Urteile 8C_742/2007 vom 4. April 2008, E. 3, 8C_222/2007 vom 5. Mai 2008, E. 3 und 8C_222/2008 vom 13. Juni 2008, E. 3). Auch vorliegend ist nicht ersichtlich, dass die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt wären, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5). Sie hat der Beschwerdegegnerin überdies eine Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>). Mit diesem Nichteintretensentscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Juli 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung i.V. Jancar