Art. 9 und 29 BV, Art. 6 EMRK, hat sich ergeben:
A.- Die D._ AG (Beschwerdegegnerin) war bis Ende 1988 Kontrollstelle der E._ AG. Am 10. Dezember 1987 wurden die Aktien der E._ AG in die E._ Holding AG eingebracht. Sämtliche Aktien an der E._ Holding AG wurden am 24. November 1988 von der F._ AG gekauft.
Am 12. Dezember 1988 schlossen die F._ AG, die E._ AG und die Bank C._ eine Vereinbarung zur Sanierung der E._ AG. Darin verpflichtete sich die F._ AG unter anderem, die Software der E._ AG zum Preis von Fr. 3'000'000.-- zu kaufen. Der Kaufpreis war zur Hälfte bis Ende 1988 zu bezahlen, für die übrigen Fr. 1'500'000.-- sollte die E._ AG der F._ AG ein langfristiges Darlehen gewähren. Die F._ AG und die E._ AG schlossen dementsprechend am 15. Dezember 1988 einen Kauf- und Lizenzvertrag sowie einen Darlehensvertrag.
Danach sollte das Darlehen von Fr. 1'500'000.-- in jährlichen Raten von Fr. 300'000.-- amortisiert werden, erstmals per 30. November 1989.
Am 5. Juli 1990 wurde über die E._ AG und die E._ Holding AG infolge einer Überschuldungsanzeige nach Art. 192 aSchKG der Konkurs eröffnet. Der F._ AG wurde am 28. Juni 1991 eine Nachlassstundung gewährt. Der Nachlassvertrag mit Vermögensabtretung wurde am 3. Dezember 1991 richterlich genehmigt.
B.- Die Bank A._, B._ und die Bank C._ (Beschwerdeführerinnen) sind Gläubigerinnen der E._ AG. Im Verlauf des Jahres 1991 liessen sie sich von der Konkursmasse die Verantwortlichkeitsansprüche gegen die Organe der konkursiten E._ AG abtreten. Am 2. September 1993 reichten die Gläubigerinnen Klage beim Amtsgericht Luzern-Stadt ein. Sie verlangten im Wesentlichen die Verurteilung von vier Beklagten, darunter die D._ AG, zur Bezahlung von Fr. 3'000'000.-- nebst Zins gestützt auf aktienrechtliche Verantwortlichkeitsansprüche. Das Amtsgericht Luzern-Stadt wies die Klage gegen die D._ AG am 21. Dezember 1998 ab. Das Gericht kam zum Schluss, die Beschwerdegegnerin habe ihre Pflichten als Kontrollstelle der konkursiten E._ AG (nur) insoweit verletzt, als sie den Bestand der angefangenen Arbeiten der E._ AG bei der Abschlussprüfung 1988 nicht geprüft habe. Das Gericht hielt jedoch den Nachweis des Kausalzusammenhangs zwischen dieser Pflichtwidrigkeit und dem eingeklagten Schaden von Fr. 3'000'000.-- nicht für erwiesen. Mit Urteil vom 18. April 2001 trat das Obergericht des Kantons Luzern auf die Appellation der Gläubigerinnen gegen das erstinstanzliche Urteil nicht ein. Das Obergericht hielt fest, dass sich die Klägerinnen mit den Ausführungen im angefochtenen Urteil überhaupt nicht auseinandersetzten.
C.- Die Gläubigerinnen haben gegen das Urteil des Obergerichts Luzern sowohl staatsrechtliche Beschwerde wie Berufung beim Bundesgericht eingereicht. Mit ihrer staatsrechtlichen Beschwerde beantragen sie die teilweise Aufhebung des angefochtenen Urteils sowie die Anweisung des Obergerichts, auf die gegen die Beschwerdegegnerin gerichtete Appellation vollumfänglich einzutreten und einen Sachentscheid zu fällen.
Das Obergericht des Kantons Luzern beantragt in seiner Vernehmlassung, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdegegnerin enthält sich ausdrücklich eines Antrages, verlangt aber eine Parteientschädigung und lässt sich in der Sache vernehmen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde ist - von hier nicht vorliegenden Ausnahmen abgesehen (<ref-ruling> E. 1c; <ref-ruling> E. 4) - kassatorischer Natur. Soweit die Beschwerdeführerinnen mehr verlangen als die Aufhebung des angefochtenen Entscheides, ist auf ihr Begehren nicht einzutreten.
2.- Die Beschwerdeführerinnen rügen, das Obergericht habe ihnen formell das Recht verweigert, indem es in überspitzt formalistischer Auslegung von <ref-law>/LU Rügepflichten eingeführt und sich mit wesentlichen Vorbringen in der Appellation nicht auseinandergesetzt habe. Ausserdem machen sie eine willkürliche Auslegung von <ref-law>/LU geltend. Weiter bringen die Beschwerdeführerinnen vor, es liege ein Verstoss gegen Art. 6 EMRK vor. Inwiefern diese Bestimmung dem Rechtssuchenden einen weitergehenden Anspruch vermittelt als die Bestimmungen in der Bundesverfassung wird nicht dargelegt. Die Prüfung der Verfassungsmässigkeit des angefochtenen Entscheides beschränkt sich somit auf die in der Bundesverfassung verankerten Rechte.
a) Nach <ref-law>/LU setzt das Obergericht dem Appellanten Frist an, um die Appellation schriftlich zu begründen. Ist der Appellant säumig, wird auf die Appellation nicht eingetreten (<ref-law>/LU). Nach den Erwägungen im angefochtenen Urteil gehört zur Appellationsbegründung die Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Urteil.
Die Appellanten haben darzutun, weshalb sie den gefällten Entscheid als falsch erachten. Die Appellation dient der Überprüfung des angefochtenen Urteils auf seine Richtigkeit und nicht der uneingeschränkten Weiterführung des Prozesses.
Daher hat das Obergericht die Wiedergabe des Sachverhalts durch die Appellantinnen nicht als ausreichende Begründung betrachtet sondern verlangt, dass diese zu den amtsgerichtlichen Erwägungen Stellung nehmen. Das Obergericht hat den Beschwerdeführerinnen vorgehalten, sie legten insbesondere nicht dar, inwiefern die Begründung der ersten Instanz falsch sein sollte, wonach die Beschwerdegegnerin ihre Pflichten nur insofern verletzt habe, als sie bei der Abschlussprüfung den Bestand der angefangenen Arbeiten nicht geprüft habe. Weiter hat das Gericht festgehalten, dass ein natürlicher Kausalzusammenhang zwischen der Pflichtverletzung und dem geltend gemachten Schaden nicht hinreichend dargetan sei.
b) Das Verbot des überspitzten Formalismus, das sich aus <ref-law> (früher Art. 4 aBV) ergibt, wendet sich gegen prozessuale Formstrenge, die als exzessiv erscheint, durch kein schutzwürdiges Interesse gerechtfertigt ist, zum blossen Selbstzweck wird und die Verwirklichung des materiellen Rechts in unhaltbarer Weise erschwert oder gar verhindert. Das Bundesgericht prüft frei, ob eine solche Rechtsverweigerung vorliegt (<ref-ruling> E. 2a/bb). Der Willkürrüge kommt insofern keine selbständige Bedeutung zu.
Wie das Bundesgericht immer wieder betont, steht nicht jede prozessuale Formstrenge mit dem Verbot der formellen Rechtsverweigerung in Widerspruch. Prozessuale Formvorschriften sind unerlässlich, um die ordnungsgemässe Abwicklung des Verfahrens sowie die Durchsetzung des materiellen Rechts zu gewährleisten (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 3). Eingaben an Behörden, vor allem Rechtsmittel, haben daher regelmässig bestimmten Anforderungen zu genügen. Es soll aus ihnen hervorgehen, dass und weshalb der Rechtssuchende einen Entscheid anficht und inwieweit dieser geändert oder aufgehoben werden soll. Wird daher die Gültigkeit eines Rechtsmittels kraft gesetzlicher Bestimmung davon abhängig gemacht, dass es einen Antrag und eine minimale Begründung enthält, so kann darin kein überspitzter Formalismus gesehen werden (<ref-ruling> E. 1b). Auch das Bundesgericht verlangt dort, wo der Sachverhalt von Amtes wegen zu klären und das Recht von Amtes wegen anzuwenden ist, eine minimale, sachbezogene Begründung (<ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 5; <ref-ruling>).
c) Das Obergericht hat den Zweck der gesetzlich verankerten Begründungspflicht im Appellationsverfahren zutreffend dargelegt, wenn es eine sachbezogene Auseinandersetzung mit dem erstinstanzlichen Urteil und die Darstellung dessen verlangt hat, was die Partei tatsächlich oder rechtlich am angefochtenen Entscheid beanstandet. Dafür genügt die blosse Schilderung des Sachverhalts aus Sicht der Partei nicht, wenn sich daraus nicht ohne weiteres ergibt, inwiefern diese mit dem angefochtenen Urteil nicht einverstanden ist. Den Beschwerdeführerinnen kann nicht gefolgt werden, wenn sie im Ergebnis das gesetzliche Erfordernis der Begründung mit einer strengen Rügepflicht gleichsetzen, um überhaupt jegliche Auseinandersetzung mit dem angefochtenen erstinstanzlichen Urteil als überspitzt formalistisch zu bezeichnen.
Überspitzte Anforderungen an die Begründung einer Rechtsschrift - die definitionsgemäss "Rügen" zu enthalten hat - sind im Übrigen nur dann geeignet, eine unhaltbare Erschwerung der materiellen Rechtsverwirklichung zu bewirken, wenn aus diesem Grund eine Partei mit für den Entscheid wesentlichen, erheblichen Vorbringen nicht gehört wird. Insofern kommen überspitzte formelle Anforderungen an die Begründung einer Verweigerung des rechtlichen Gehörs gleich.
d) Die Beschwerdeführerinnen behaupten, das Obergericht habe sich mit erheblichen Vorbringen in ihrer Appellationsschrift nicht auseinandergesetzt. So hätten sie insbesondere die Verletzung von <ref-law> gerügt sowie dargetan und bewiesen, dass die bilanzierten angefangenen Arbeiten tatsächlich nicht bestanden hätten. Weiter sei das Verhalten der Beschwerdegegnerin anhand aller Anspruchsvoraussetzungen, insbesondere auch hinsichtlich des Schadens und des Kausalzusammenhangs zwischen Pflichtverletzung und Schaden geprüft worden. Zum Schaden werde in der Appellationsschrift im Wesentlichen ausgeführt, der Gläubigerschaden hätte vermieden werden können oder wäre zumindest wesentlich geringer ausgefallen, wenn die Bilanz bereits im Anschluss an die ordentliche Generalversammlung vom 30. Juni 1989 deponiert worden wäre. In diesem Fall wäre der in der nicht mehr revidierten Erfolgsrechnung entstandene Betriebsverlust von Fr. 3'834'592. 50 nicht mehr angefallen. Zum adäquaten Kausalzusammenhang werde in der Rechtsschrift namentlich behauptet, die Pflichtverletzungen der Beschwerdegegnerin hätten die rechtzeitige Deponierung der Bilanz verhindert. Zumindest die Verluste für die zweite Hälfte des Jahres 1989 und die erste Hälfte des Jahres 1990 wären damit vermieden worden. "War in der Bilanz 1988 (Beilage 40) noch ein Reinverlust von CHF 29'173. 50 ausgewiesen, belief sich der Verlust gemäss Bilanz 1989 bereits auf CHF 3'834'560. 28 (Beilage 84) und im Konkurs, der am 5. Juli 1990 eröffnet wurde, lag ein Verlust von CHF 4'739'560. 28 vor (Beilage 120). Dieser Betrag errechnet sich aus Aktiven im Wert von CHF 2'978.--, Forderungen in Höhe von CHF 4'242'538. 28 und einem verlorenen Aktienkapital von CHF 500'000.--. Ende 1988 dagegen - so meint der Bericht der Kontrollstelle - waren noch alle Forderungen gedeckt".
e) Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde führt das vorausgegangene kantonale Verfahren nicht einfach weiter, sondern dient als ausserordentliches Rechtsmittelverfahren der spezifischen Kontrolle kantonaler Hoheitsakte unter dem besonderen Gesichtspunkt der Verfassungsmässigkeit (<ref-ruling> E. 1c). Nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss die Beschwerdeschrift daher namentlich eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind.
Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 1c). Der Rechtsschrift der Beschwerdeführerinnen ist indes nicht zu entnehmen, inwiefern sie mit ihren Ausführungen in der Appellationsbegründung die erstinstanzlichen Erwägungen beanstandet haben und in dieser Hinsicht mit erheblichen Vorbringen nicht gehört worden sein sollten. Dass die gesamte Appellationsbegründung eine Auseinandersetzung mit dem Urteil der Vorinstanz gewesen sei und die gegenteilige Feststellung des Obergerichts mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, trifft jedenfalls nicht zu.
3.- Als Verstoss gegen das Willkürverbot rügen die Beschwerdeführerinnen schliesslich, dass ihnen nicht gemäss § 70/71 ZPO/LU Frist zur Verbesserung ihrer Rechtsmitteleingabe gesetzt worden sei. Sie weisen darauf hin, dass nach dem Wortlaut von <ref-law>/LU Eingaben, die den formellen (<ref-law>/LU) oder inhaltlichen (<ref-law>/LU) Anforderungen nicht genügen, zur Verbesserung zurückgewiesen werden "können". Inwiefern willkürlich sein sollte, diese Bestimmung entsprechend ihrem Wortlaut zu verstehen, wonach die Anordnung im Einzelfall ins richterliche Ermessen gestellt ist (so entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerinnen namentlich Studer/Rüegg/Eiholzer, Der Luzerner Zivilprozess, N 1 zu § 71) ist der Beschwerde wiederum nicht zu entnehmen. Auf die Rüge ist mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten.
4.- Die staatsrechtliche Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten ist. Dem Verfahrensausgang entsprechend haben die Beschwerdeführerinnen die Gerichtskosten zu tragen. Die Beschwerdegegnerin hat sich ausdrücklich eines Antrags enthalten. Sie hat daher nicht im Sinne von Art. 159 OG obsiegt, weshalb die Grundlage für die Zusprechung einer Parteientschädigung fehlt. Dass ihr keine Parteientschädigung zusteht, rechtfertigt sich umso mehr, als sie für den Fall der Gutheissung der Beschwerde kein Kostenrisiko trug (vgl. Geiser/Münch, Prozessieren vor Bundesgericht,
2. Aufl. , S. 11). Dass sich die Beschwerdegegnerin unnötigerweise zur Sache geäussert hat, ändert daran nichts (Art. 159 Abs. 5 i.V.m. Art. 156 Abs. 6 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 15'000.-- wird den Beschwerdeführerinnen unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern (I. Kammer) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 29. Oktober 2001
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: