Nach Einsicht
in die Beschwerde des Z._ vom 23. Mai 2011 gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 28. April 2011,
in die Mitteilung des Bundesgerichts an Z._ vom 24. Mai 2011, wonach die Beschwerde die gesetzlichen Formerfordernisse nicht zu erfüllen scheine und eine Verbesserung nur innert der Beschwerdefrist möglich sei,
in die daraufhin dem Bundesgericht überbrachte Eingabe vom 1. Juni 2011,

in Erwägung,
dass ein Rechtsmittel gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG unter anderem die Begehren und deren Begründung mit Angabe der Beweismittel zu enthalten hat, wobei im Rahmen der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt; <ref-law> nennen dabei die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe,
dass bei Beschwerden, die sich - wie vorliegend - gegen einen in Anwendung kantonalen Rechts ergangenen Entscheid richten, die Verletzung blossen kantonalen Rechts keinen selbstständigen Beschwerdegrund bildet; vielmehr hat die Beschwerde führende Person darzulegen, inwiefern der beanstandete Akt gegen verfassungsmässige Rechte verstossen soll (<ref-ruling> E. 1 S. 95),
dass hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255) der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht gilt, weshalb insofern eine qualifizierte Rügepflicht besteht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; vgl. auch <ref-ruling> ff.),
dass es daher der Beschwerde führenden Person obliegt (entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen, die nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG für die staatsrechtliche Beschwerde gegolten haben), klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit weiteren Hinweisen),
dass die Eingaben des Beschwerdeführers vom 23. Mai und 1. Juni 2011 den vorerwähnten Anforderungen offensichtlich nicht genügen, weil darin namentlich nicht anhand der vorinstanzlichen Erwägungen konkret und detailliert aufgezeigt wird, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern diese durch das angefochtene Urteil des kantonalen Gerichts verletzt worden sein sollen, wobei die Beschwerde insbesondere die gesetzlichen Erfordernisse der qualifizierten Rügepflicht hinsichtlich eines zulässigen Beschwerdegrundes im Sinne von <ref-law> nicht erfüllt,
dass hieran auch die auch die blossen - in unsubstanziierter Weise vorgetragenen - Hinweise unter anderem auf verschiedene enumerierte Artikel der BV sowie auf die Verletzung des Willkür- und des Rechtsverweigerungsverbots bzw. des Rechtsgleichheitsgebots nichts ändern, weil auch diese Ausführungen den qualifizierten Anforderungen nicht zu genügen vermögen, welche <ref-law> für die Anrufung von Grundrechtsverletzungen stellt,
dass deshalb, bei allem Verständnis für die Lage des Beschwerde- führers, namentlich keine hinreichende Begründung und daher kein gültiges Rechtsmittel eingereicht wurde, obwohl das Bundesgericht auf die entsprechenden Anforderungen an Beschwerden und die nur innert der Rechtsmittelfrist noch bestehende Möglichkeit einer Verbesserung der Eingabe in der Mitteilung vom 24. Mai 2011 eigens hingewiesen hatte,
dass somit auf die - offensichtlich unzulässige - Beschwerde in Anwendung von <ref-law> nicht eingetreten werden kann,
dass es sich bei den gegebenen Verhältnissen rechtfertigt, von der Erhebung von Gerichtskosten umständehalber abzusehen (<ref-law>), weshalb sich das Begehren um unentgeltliche Prozessführung als gegenstandslos erweist,
dass hingegen das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung infolge Aussichtslosigkeit des Verfahrens abzuweisen ist (<ref-law>), zumal - entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint - eine Verbesserung der ungenügenden Eingabe nach Ablauf der Rechtsmittelfrist (<ref-law>) vorliegend auch durch einen Rechtsvertreter ausser Betracht fällt,
dass in den Fällen des <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und der Abteilungspräsident zuständig ist,

erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Juni 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Batz