Fatti:
A. Il 29 gennaio 2008 santésuisse Ticino segnalava il dott. X._ per sospetta ineconomicità e trasmetteva gli atti all'avv. Giorgio Foppa, Presidente della Commissione paritetica di fiducia (CPF) - istituita, di comune accordo, insieme all'Ordine dei medici del Cantone Ticino (OMCT) -, per un esperimento di conciliazione.
Il 14 e il 18 febbraio 2008 il Presidente della CPF convocava il dott. X._ per un tentativo di conciliazione e fissava la data della relativa udienza. In data 15 aprile, il dott. X._, patrocinato dall'avv. Rossano Bervini, chiedeva la ricusa dei tre membri della CPF designati da santésuisse, di cui contestava l'imparzialità per essere in rapporti di dipendenza con gli assicuratori malattia e con santésuisse. Al termine dell'udienza di conciliazione, svoltasi l'11 giugno 2008, la CPF sospendeva la procedura per pronunciarsi sull'eccezione di ricusa dei tre membri designati da santésuisse.
Ritenendola da un lato intempestiva e dall'altro infondata, mediante decisione del 18 giugno 2008 il Presidente della CPF respingeva l'eccezione di ricusa.
B. Adito su ricorso del medico, il Tribunale arbitrale in materia di assicurazione contro le malattie e gli infortuni del Cantone Ticino confermava la decisione del Presidente della CPF e accollava al dott. X._ le tasse e le spese di giustizia (per complessivi fr. 2'504.80) come pure un importo di fr. 500.- a titolo di ripetibili (pronuncia del 22 ottobre 2008).
C. Sempre patrocinato dall'avv. Bervini, il dott. X._ ha interposto un ricorso di diritto pubblico (recte: in materia di diritto pubblico) e un ricorso sussidiario in materia costituzionale al Tribunale federale, al quale chiede di annullare il giudizio del Tribunale arbitrale e di accogliere di conseguenza l'istanza di ricusa dei tre membri della CPF designati da santésuisse. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi.
Con atto del 23 dicembre 2008, sempre tramite il proprio patrocinatore, il dott. X._ ha segnalato di essere venuto a conoscenza "recentissimamente e per puro caso fortuito" del fatto che l'arbitro del Tribunale arbitrale designato da santésuisse, avv. Y._, sarebbe membro del consiglio d'amministrazione di H._ e di altre società ad essa riconducibili. Ravvisando in questa circostanza un motivo di esclusione dell'arbitro in questione, il ricorrente chiede di esaminare pregiudizialmente questa eccezione e di annullare il giudizio impugnato.
Chiamati ad esprimersi, santésuisse, patrocinata dall'avv. Mario Molo, il Presidente della CPF e il Tribunale arbitrale propongono la reiezione del gravame.

Diritto:
1. 1.1 Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con pieno potere di cognizione la sua competenza (<ref-law>), rispettivamente l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (<ref-ruling> consid. 1 pag. 37; <ref-ruling> consid. 1.1 pag. 251).
1.2 I ricorsi, presentati con un solo atto (<ref-law>) e in tempo utile dal destinatario della decisione impugnata, che in quanto tale risulta senz'altro legittimato ad agire (<ref-law>), concernono una vertenza evasa dall'autorità precedente in una causa di diritto pubblico che non ricade sotto alcuna delle eccezioni previste dall'<ref-law>. Ne discende che il ricorso sussidiario in materia costituzionale ai sensi degli art. 113 segg. LTF, proponibile solo nella misura in cui non è ammissibile il ricorso ordinario secondo gli articoli 72-89 LTF, è irricevibile. Le argomentazioni addotte in tale mezzo di impugnazione vanno comunque trattate nell'ambito del rimedio ordinario, nella misura in cui l'allegato ricorsuale adempie le esigenze formali di questo tipo di ricorso (<ref-ruling> consid. 1.2 pag. 302).
1.3 Avendo per oggetto una decisione pregiudiziale o incidentale notificata separatamente e concernente una domanda di ricusazione, il ricorso in materia di diritto pubblico è per contro di massima ricevibile anche sotto il profilo dell'<ref-law>.
2. 2.1 Con il ricorso in materia di diritto pubblico può in particolare venir censurata la violazione del diritto federale (<ref-law>), nozione che comprende anche i diritti costituzionali dei cittadini (<ref-ruling> consid. 3.1, 462 consid. 2.3). Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto (<ref-law>). Tuttavia, conformemente all'<ref-law>, esamina la violazione di diritti fondamentali e di disposizioni di diritto cantonale e intercantonale soltanto se il ricorrente ha sollevato e motivato tale censura. In quest'ambito, la motivazione esatta corrisponde a quanto valeva per il ricorso di diritto pubblico sotto l'imperio dell'art. 90 cpv. 1 lett. b OG (DTF <ref-ruling> consid. 1.4.2 pag. 254; <ref-ruling> consid. 1.4 pag. 287). Il gravame deve quindi contenere un'esauriente motivazione giuridica dalla quale si possa segnatamente dedurre se, perché ed eventualmente in quale misura la decisione impugnata leda il ricorrente nei suoi diritti costituzionali (v. <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 31; <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 120; <ref-ruling> consid. 3c pag. 43).
2.2 Anche l'accertamento dei fatti può venir censurato solo entro limiti ristretti, ovvero se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (art. 97 cpv. 1 e 105 cpv. 1 e 2 LTF). Occorre quindi, ad esempio, che la valutazione delle prove risulti arbitraria (sentenza 4A_223/2007 del 30 agosto 2007, consid. 3.2). La parte ricorrente che intende scostarsi dai fatti stabiliti dall'autorità precedente deve spiegare in maniera circostanziata per quali motivi ritiene che le condizioni di una delle eccezioni previste dall'<ref-law> sarebbero realizzate. In caso contrario, a meno di lacune manifeste da rettificare d'ufficio, non si può tener conto di uno stato di fatto diverso da quello posto a fondamento della decisione impugnata (DTF <ref-ruling> consid. 1.4.3 pag. 254).
2.3 Possono infine essere addotti nuovi fatti e nuovi mezzi di prova soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore (<ref-law>).
3. 3.1 Quando ormai il termine di ricorso era già scaduto da un mese, l'insorgente ha segnalato l'esistenza di un motivo di esclusione o comunque di ricusa di uno degli arbitri che aveva partecipato alla pronuncia impugnata. Egli ha così fatto valere che l'avv. Y._ avrebbe dovuto astenersi dalla funzione di arbitro del Tribunale arbitrale in quanto risultava essere consigliera d'amministrazione di una parte interessata (H._) alla procedura e, in quanto tale - in virtù dell'ordinamento di procedura civile applicabile per il rinvio operato dall'art. 7 cpv. 1 del regolamento cantonale concernente l'organizzazione e la procedura del Tribunale arbitrale in materia di assicurazione contro le malattie e gli infortuni del 18 marzo 1998 (RL/TI 3.4.1.1.2) -, andava considerata iudex inhabilis.
3.2 Secondo una giurisprudenza sviluppata sotto il regime dell'abrogata OG, nuovi fatti e nuovi mezzi di prova presentati dopo la scadenza del termine di ricorso o - ciò che non è avvenuto nel presente contesto - al di fuori di un secondo scambio di allegati disposto (eccezionalmente) dal Tribunale (art. 110 cpv. 4 vOG; <ref-ruling> consid. 1 pag. 323) potevano essere presi in considerazione unicamente se contenevano fatti nuovi rilevanti oppure prove decisive giusta l'art. 137 lett. b vOG e se erano atti a giustificare una eventuale revisione del giudizio (<ref-ruling> segg.). Ora, la questione di sapere se questa giurisprudenza sia ugualmente applicabile sotto la LTF qualora i nuovi fatti o i nuovi mezzi di prova siano tali da giustificare una revisione ai sensi dell'<ref-law> può rimanere indecisa (sentenza 9C_436/2007 del 6 dicembre 2007, consid. 6.1.2; cfr. tuttavia anche la sentenza 9C_40/2007 del 31 luglio 2007, in SVR 2009 IV n. 10 pag. 21, consid. 3.1, in cui alla domanda è stato risposto affermativamente).
3.3 Sia come sia, infatti, i nuovi fatti allegati dal ricorrente non avrebbero comunque, anche se solo per motivi formali, giustificato una revisione ai sensi dell'<ref-law>. In effetti, così come formulata, una eventuale istanza di revisione si sarebbe rivelata inammissibile (sulla differenza tra requisiti di ricevibilità e ammissibilità di un'istanza di revisione cfr. <ref-ruling>, 96 I 279 consid. 1 con riferimenti; cfr. pure la sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni I 636/00 del 2 aprile 2001, consid. 1b con riferimenti). Limitandosi a segnalare di essere venuto a conoscenza del motivo di esclusione "solo recentissimamente e per puro caso fortuito", il ricorrente è venuto meno all'obbligo generale, dedotto dall'<ref-law>, di motivare le proprie allegazioni ("Substanzierungspflicht") che nel caso concreto gli imponeva di circostanziare l'esistenza delle condizioni di ricevibilità dell'atto e in particolare di indicare esattamente quando e in quali circostanze egli sarebbe venuto a conoscenza dei fatti invocati (Yves Donzallaz, Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, 2008, n. 4648, pag. 1672; cfr. pure sentenza 9F_9/2007 del 15 settembre 2008, cosid. 2.1). Non avendolo fatto, risulta impossibile per questa Corte verificare se l'insorgente non avesse potuto attivarsi già prima in sede arbitrale (cfr. a tal proposito, per analogia, sentenza 4A_528/2007 del 4 aprile 2008, consid. 2.5 - 2.5.3) e, soprattutto, se egli ha agito tempestivamente una volta scoperto il motivo di esclusione/ricusazione.
3.4 Ne discende che il Tribunale federale non può prendere in considerazione i fatti invocati dal ricorrente dopo il termine di ricorso e non può di conseguenza statuire sulla domanda di esclusione o comunque di ricusa dell'arbitro designato da santésuisse per la procedura dinanzi al Tribunale arbitrale (sul tema cfr. tuttavia sentenze 9C_149/2007 del 4 giugno 2007, in SVR 2008 KV n. 17 pag. 65, consid. 4 e 5, e K 29/04 del 29 luglio 2004, consid. 3 con riferimenti).
3.5 Alla medesima conclusione si giungerebbe del resto anche se, per ipotesi, si considerasse come fatto notorio - che proprio perché notorio non avrebbe dovuto essere né allegato né provato - la circostanza (funzione di amministratrice dell'avv. Y._) invocata dal ricorrente (v. <ref-ruling> consid. 4.1 pag. 89 seg.; <ref-ruling> consid. 3.4 pag. 121 seg. con riferimenti).
A parte il fatto che gli effetti di pubblicità di un'iscrizione a registro di commercio (<ref-law>) non necessariamente si estendono anche ai rapporti di diritto pubblico (v. sentenza 2C_382/2007 del 23 novembre 2007, in RF 63/2008 pag. 290, consid.4.2), l'eventuale violazione delle norme di diritto cantonale relative alla esclusione o alla ricusa di un arbitro o dei diritti costituzionali (quale è la garanzia del giudice naturale [v. ad esempio sentenza 1P.188/2005 del 14 luglio 2005, in Pra 2006 n. 25 pag. 177, consid. 2.5.2) non avrebbe comunque potuto essere esaminata d'ufficio da questo Tribunale, ma solo in presenza di una censura tempestivamente motivata e circostanziata (v. consid. 2.1; cfr. pure sentenza 9C_837/2008, consid. 2.1).
4. 4.1 Spetta di massima ai Cantoni disciplinare - nel rispetto delle esigenze minime poste dal diritto federale - la procedura per fare valere le pretese tra assicuratori e fornitori di prestazioni (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni K 143/03 del 30 aprile 2004, in RAMI 2004 n. KV 289 pag. 309, consid. 6.1 con riferimenti). Di conseguenza, il tema della ricusa dei tre membri designati da santésuisse presso la CPF è essenzialmente retto dal diritto cantonale. Il Tribunale federale esamina l'applicazione di questo ordinamento limitatamente all'aspetto della sua conformità con il diritto federale. In particolare verifica che il diritto cantonale non sia stato interpretato o applicato in maniera arbitraria. Il diritto cantonale deve ovviamente rispettare le garanzie minime del diritto federale. Il Tribunale federale esamina liberamente l'adempimento di questa condizione (SVR 2008 KV n. 17 pag. 65, consid. 3.1; RAMI 2004 n. KV 289 pag. 309, consid. 6.1 con riferimenti).
4.2 L'<ref-law> dispone tra le altre cose che le liti tra assicuratori e fornitori di prestazioni sono decise da un tribunale arbitrale (cpv. 1) e che il Cantone disciplina la procedura, la quale deve a sua volta essere semplice e spedita (cpv. 5).
Da parte sua, la legge cantonale di applicazione della LAMal del 26 giugno 1997 (LCAMal; RL/TI 6.4.6.1) stabilisce che le convenzioni tariffali o relative al controllo della qualità delle prestazioni possono prevedere una Commissione cantonale paritetica per una procedura di conciliazione e che in questo caso il Tribunale arbitrale può essere adito solo dopo avere esperito una procedura conciliativa, entro 30 giorni dalla risoluzione della Commissione paritetica (art. 77 cpv. 4 LCAMal). Questo concetto è sancito, con una formulazione di tenore analogo, anche dall'art. 2 cpv. 2 del regolamento cantonale concernente l'organizzazione e la procedura del Tribunale arbitrale.
4.3 Pronunciandosi a proposito di una regolamentazione cantonale (svittese) che prevedeva la possibilità - poi concretatasi per l'esistenza di una convenzione tra le parti interessate che ne disciplinava le modalità - di avviare una procedura di conciliazione prima di promuovere quella arbitrale, il Tribunale federale (delle assicurazioni) ha già avuto modo di rilevare la conformità di massima di una simile normativa al diritto federale (RAMI 2004 n. KV 289 pag. 309, consid. 8). In quella occasione, il Tribunale federale delle assicurazioni aveva tutelato la decisione del Tribunale arbitrale di non entrare in materia di una petizione prima che la stessa fosse sottoposta alla competente commissione paritetica di fiducia per un tentativo di conciliazione. La stessa Corte aveva ugualmente ricordato come con l'istituzione (contrattuale) di un'istanza conciliativa si intendessero evitare, nel limite del possibile, inutili processi dinanzi al Tribunale arbitrale e come, nel caso concreto, la specifica regolamentazione della procedura conciliativa non ostasse a priori alla realizzazione del principio di celerità imposto dall'<ref-law> (RAMI 2004 n. KV 289 pag. 309, consid. 8.4 e 8.6).
4.4 Come nella succitata sentenza, anche nel Cantone Ticino la possibilità di istituire la CPF è ancorata nella legge (art. 77 cpv. 4 LCAMal; per gli altri casi cfr. per contro sentenza K 70/06 del 30 luglio 2007, consid. 2 non pubblicato in <ref-ruling>, ma in SVR 2008 KV n. 4 pag. 11) e trova la sua piena realizzazione nell'Accordo cantonale di adesione alla Convenzione quadro TARMED (ACAT), concluso d'intesa da santésuisse e dall'OMCT (v. art. 19 ACAT, nella versione del 29 ottobre 2003 applicabile in concreto). Per il resto, stabilendo che, al termine della fase probatoria, il dibattimento principale deve di regola avvenire al più tardi entro 6 mesi dall'avvio della procedura (prorogabili di due mesi una volta sola; art. 22 del regolamento della CPF, allegato E ACAT) e che le parti, dopo essere state informate dalla CPF, possono iniziare il procedimento avanti il giudice ordinario competente se nessuna decisione è emanata nel termine di otto mesi dall'avvio della procedura (art. 24 regolamento CPF), la procedura di conciliazione non contravviene a priori all'obbligo di celerità della procedura prescritto dall'<ref-law> (cfr. RAMI 2004 n. KV 289 pag. 309, consid. 8.4).
5. 5.1 Senza arbitrio, il Tribunale arbitrale ha accertato che l'adesione all'ACAT è facoltativa (art. 2 ACAT) e che la CPF si compone di un presidente neutro, designato dalle parti, nonché di 3 rappresentanti dell'OMCT, nominati da quest'ultimo, e di 3 rappresentanti degli assicuratori, nominati da santésuisse (art. 18 [recte: 19, nella versione qui applicabile] ACAT). Allo stesso modo ha osservato che, per il regolamento della CPF convenuto dalle parti, l'attività lavorativa per un assicuratore malattia o in qualità di medico non costituisce motivo di ricusa (art. 1 cpv. 4 regolamento CPF). Il Tribunale arbitrale ha quindi pure rilevato che nella materia (verifica dell'economicità delle prestazioni fornite) alla base della procedura di ricusa, la CPF dispone unicamente di potere conciliativo, ma non anche decisionale (art. 18 bis [recte: 19 bis, nella versione qui applicabile] cpv. 2 ACAT).
5.2 Il ricorrente sostiene che la CPF dev'essere considerata alla stregua di un organo giudiziario di prima istanza in ragione della funzione conciliativa obbligatoriamente prescritta dal diritto cantonale (v. consid. 4.2). Di conseguenza, pretende che anche la procedura dinanzi alla CPF offra le stesse garanzie di competenza, indipendenza e imparzialità tutelate dall'<ref-law> e dall'art. 6 CEDU. Ciò che però non avverrebbe in relazione ai tre membri della CPF designati da santésuisse. Egli ritiene infatti inammissibile che gli assicuratori, che hanno avviato la procedura per ineconomicità nei suoi confronti, siano direttamente rappresentati nella CPF da propri dipendenti e, oltre a ribadire la ricusazione dei tre membri, eccepisce l'incostituzionalità dell'art. 1 cpv. 4 regolamento CPF.
6. 6.1 Il diritto ad un giudice indipendente e imparziale, garantito dall'<ref-law> e dall'art. 6 n. 1 CEDU, trova applicazione unicamente nei confronti di autorità o magistrati agenti nell'ambito delle loro funzioni giurisdizionali.
Ora, la CPF non è un'autorità giudiziaria vera e propria. Per quanto accertato, senza arbitrio, dal Tribunale arbitrale, al di fuori dei casi espressamente previsti dall'art. 19 bis cpv. 1, 3, 4 e 5 ACAT, la CPF esercita prevalentemente funzione conciliativa. Ritenuto che il criterio determinante per stabilire l'applicabilità delle garanzie costituzionali invocate nel gravame è di natura funzionale e non organica (<ref-ruling> consid. 3a pag. 19 con rinvii), la loro applicazione non può imporsi nel caso in esame, atteso che la CPF non è competente ad emanare una decisione realmente vincolante per le procedure di ineconomicità (cfr. a contrario sentenza 4P.308/1997 del 22 gennaio 1998, in Rep 1998 pag. 82, consid. 3a; cfr. pure Auer/Malinverni/Hottelier, Droit constitutionnel suisse, vol. II, 2a ed., 2006, pag. 572, n. 1227).
E ad ogni modo, per completezza, si ricorda che le garanzie dell'<ref-law> e dell'art. 6 CEDU non osterebbero nemmeno a una eventuale attribuzione di competenze decisionali a un organismo corporativo nella misura in cui dette decisioni sono comunque impugnabili dinanzi a un'istanza giudiziaria che soddisfa le esigenze dell'art. 6 n. 1 CEDU (<ref-ruling> consid. 3a pag. 234; Pettiti/Decaux/Imbert, La Convention européenne des droits de l'homme, 1995, pag. 263).
6.2 A differenza di quanto avverrebbe se ad essere analizzata fosse la posizione di un membro di un Tribunale arbitrale (cfr. ad esempio SVR 2008 KV n. 17 pag. 65, consid. 4.2 con riferimenti), la regolamentazione contestata - tenuto anche conto delle peculiarità della procedura conciliativa - non può pertanto dirsi incostituzionale per il fatto che non considera, per i membri e i supplenti della CPF, motivo di ricusa l'attività lavorativa per un assicuratore malattia (o l'attività di medico). Né è contraria al diritto federale la decisione del Tribunale arbitrale che ha applicato senza arbitrio l'ordinamento in materia.
6.3 Il ricorrente sembra infine ignorare che le domande di ricusa contro i tre membri della CPF designati da santésuisse sono comunque state presentate tardivamente.
A tal proposito, premesso che, per l'art. 17 regolamento CPF, la domanda di ricusa avrebbe dovuto essergli presentata per iscritto entro 30 giorni dalla comunicazione introduttiva della procedura, il Presidente della CPF ha ricordato come, malgrado tale comunicazione fosse avvenuta in concreto il 14 febbraio 2008 e indicasse per nome tutti i membri della CPF (compresi quelli di santésuisse), il ricorrente avesse reagito soltanto - fuori tempo massimo - in data 15 aprile 2008 invocando l'eccezione di ricusa. Tale circostanza risulta dagli atti ed è rimasta incontestata in sede ricorsuale (per il resto, sulla legittimità di esigere che le istanze di ricusazione siano presentate nelle forme ed entro termini determinati cfr. <ref-ruling> consid. 2 pag. 122 seg.; <ref-ruling> consid. 5a pag. 289).
7. Il ricorso in materia di diritto pubblico deve pertanto essere respinto, mentre il ricorso sussidiario in materia costituzionale deve essere dichiarato inammissibile. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono quindi poste a carico del ricorrente (<ref-law>), il quale rifonderà a santésuisse, patrocinata da un legale, ripetibili per la sede federale (<ref-law>; sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni K 150/03 del 18 maggio 2004, consid. 9, non pubblicato in <ref-ruling>). La CPF non ha per contro diritto al rimborso di spese ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico è respinto.
2. Il ricorso sussidiario in materia costituzionale è inammissibile.
3. Le spese giudiziarie di fr. 1000.- sono poste a carico del ricorrente.
4. Il ricorrente verserà a santésuisse la somma di fr. 2'800.- a titolo di ripetibili della sede federale.
5. Comunicazione alle parti, al Tribunale arbitrale in materia di assicurazione contro le malattie e gli infortuni e all'Ufficio federale della sanità pubblica.