Faits:
A.
Le 21 février 2013, B._, a fait notifier à A._ un commandement de payer les sommes de 379 fr. 50, plus intérêts à 6% (recte: 5%) l'an dès le 1er décembre 2012, et 50 fr., sans intérêt, au titre de " (1) Primes LAMal: A._ xxxx (22-07-1951) 01-12-2012/31-12-2012 Fr. 379.50 (2) Frais administratifs " (poursuite n° xxxx de l'Office des poursuites du district de Morges). Le poursuivi n'a pas formé opposition.
Dès lors que A._ était inscrit au registre du commerce en qualité de chef d'une raison individuelle, une commination de faillite lui a été notifiée le 11 avril 2013.
B.
Par acte du 28 juin 2013, la poursuivante a requis la faillite.
Par jugement du 19 août 2013, statuant par défaut des deux parties, la Présidente du Tribunal d'arrondissement de La Côte a prononcé la faillite de A._, avec effet dès ce jour à 11h45. Le failli a recouru le 21 août 2013, produisant notamment la copie d'un ordre de paiement de 496 fr. 05 donné le 17 juillet 2013 en faveur de la poursuivante. Statuant le 4 décembre 2013, la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la Cour des poursuites et faillites) a confirmé l'ouverture de la faillite, avec effet dès ce jour à 16h15.
C.
Par mémoire du 19 décembre 2013, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris, principalement à sa réforme en ce sens que la faillite n'est pas prononcée et, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
Il n'a pas été requis de réponse sur le fond.
D.
Par ordonnance du 15 janvier 2014, le Président de la IIe Cour de droit civil a attribué l'effet suspensif au recours, en ce sens qu'aucun acte d'exécution de la décision attaquée ne doit être entrepris pendant la procédure fédérale.

Considérant en droit:
1.
1.1. Interjeté dans le délai légal (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 689) qui confirme, en dernière instance cantonale et sur recours (<ref-law>), l'ouverture de la faillite du recourant (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable, indépendamment de la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. d LTF); le débiteur, qui a succombé devant la juridiction précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>).
1.2. Le recourant produit un extrait du registre des poursuites le concernant daté du 17 décembre 2013, Cette pièce étant postérieure à la décision attaquée, elle doit être écartée d'emblée (<ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 123; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 343 s.). En outre, pour la première fois en instance fédérale, le recourant produit un ordre de paiement daté du 25 septembre 2013 relatif à l'avance de frais qu'il devait effectuer pour la procédure cantonale, sans toutefois exposer en quoi sa production serait admissible au regard des exigences légales, de sorte que cette pièce est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3 p. 395).
2.
2.1. La décision entreprise n'étant pas de nature provisionnelle au sens de l'<ref-law>, la cognition du Tribunal fédéral n'est pas restreinte à la violation des droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 689 s.).
2.2. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral, lequel comprend les droits constitutionnels (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 447 s., 462 consid. 2.3 p. 466). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 3 p. 415; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104). Néanmoins, pour que le Tribunal fédéral entre en matière sur le recours, le recourant doit exposer succinctement dans son mémoire en quoi l'acte attaqué viole le droit (<ref-law>), c'est-à-dire discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer en quoi il estime que le droit aurait été violé (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 584; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287). S'agissant de la violation des droits fondamentaux, le grief doit être exposé de manière claire et détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254). Le recourant qui se plaint de la violation de tels droits doit ainsi indiquer précisément quelle disposition constitutionnelle a été violée et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (ATF <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287; <ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254).
2.3. Lorsque la décision entreprise comporte plusieurs motivations indépendantes et suffisantes pour sceller le sort de la cause, il incombe au recourant, sous peine d'irrecevabilité, de démontrer que chacune d'entre elles est contraire au droit (ATF 138 I 728 consid. 3.4 p. 735, 97 consid. 4.1.4 p. 100).
3.
La Cour des poursuites et faillites a tout d'abord considéré qu'un certain nombre de documents étaient irrecevables, à savoir: une lettre du recourant du 23 octobre 2013, accompagnée de pièces nouvelles, par laquelle il faisait valoir qu'il avait réglé, le même jour, la somme de 495 fr. 50 en faveur de l'intimée; des déterminations de l'intimée du 14 octobre 2013; un courrier du 25 octobre 2013 dans lequel l'intimée informait la Cour des poursuites et faillites que le recourant s'était acquitté de la poursuite n° xxxx.
En revanche, les pièces produites avec le recours du 21 août 2013 étaient recevables, à savoir: une copie d'une lettre adressée par la poursuivante au débiteur le 4 juillet 2013, concernant une " commination de faillite n° xxxx ", l'invitant à régler, avant le 31 juillet 2013, la somme de 496 fr. 05 et précisant qu'une fois le paiement enregistré, la procédure engagée serait annulée; une copie d'un relevé de compte établi par la poursuivante le 8 juillet 2013, arrêtant à 496 fr. 05 la somme due par le poursuivi pour la prime d'assurance du 1er au 31 mars 2013 (380 fr. 05), plus divers frais de rappel, de sommation et de poursuite; une copie d'un ordre de paiement de 496 fr. 05 donné le 17 juillet 2013 par le poursuivi en faveur de la poursuivante.
L'autorité précédente a encore constaté que le recourant faisait l'objet de huit poursuites, dont six étaient au stade de la saisie, pour un montant total de 59'073 fr. 45, et qu'il était sous le coup d'une saisie de salaire ou de revenu d'un montant de 2'100 fr. par mois.
En droit, la cour cantonale a tout d'abord considéré que c'était à bon droit que le premier juge avait prononcé la faillite (art. 171 et 172 à 173a LP). En effet, les pièces produites par le failli à l'appui de son recours faisaient référence à une commination de faillite n° xxxx, à savoir une autre poursuite que celle en cause dans la présente procédure. L'autorité de recours a ajouté que, au demeurant, ces pièces ne suffisaient pas à établir le paiement de la dette, puisqu'il était indiqué dans l'ordre de paiement que le paiement était enregistré dans la liste des paiements en attente d'exécution et que, sous réserve de modification du donneur d'ordre et des disponibilités du compte, il serait exécuté le 17 juillet 2013. Dès lors que le failli n'avait pas prouvé par titre avant l'audience de faillite qu'il avait payé la dette concernée par le litige, les conditions d'un rejet de la réquisition de faillite n'étaient pas réunies.
Examinant ensuite les conditions de l'annulation d'un jugement de faillite au regard de l'<ref-law>, la Cour des poursuites et faillites a retenu qu'elles n'étaient pas non plus remplies. En effet, le failli n'a pas établi, devant l'autorité de recours, s'être acquitté de la créance à l'origine de la faillite; il n'a pas non plus rendu vraisemblable sa solvabilité, dès lors qu'il n'a pas produit de pièces comptables, que l'extrait des poursuites le concernant démontre qu'il fait l'objet de huit poursuites, dont six au stade de la saisie, et qu'il fait l'objet d'une retenue mensuelle de revenu.
4.
Le recourant affirme que la cour cantonale a versé dans l'arbitraire (art. 9 Cst.) s'agissant de la constatation des faits et de l'appréciation des preuves. Il soutient qu'elle aurait dû retenir que le montant réclamé par l'intimée dans le cadre de la présente poursuite avait été payé, dès lors qu'il a produit un ordre de paiement permettant de le prouver, et que cet ordre de paiement ne porterait pas imputation à une autre poursuite. A cela s'ajouterait que dans sa " prise de position du 14 octobre 2013, citée par les premiers juges ", l'intimée aurait elle-même admis que le paiement avait été effectué. En outre, l'autorité précédente aurait dû constater qu'il s'était acquitté de l'avance de frais de 300 fr. qui lui avait été réclamée pour la procédure cantonale; ce paiement constituerait un fait notoire, " puisque s'il ne l'avait pas fait, son recours aurait été déclaré irrecevable ". Enfin, le recourant prétend qu'il ne fait plus l'objet de poursuites exécutoires, ce qui serait également un fait notoire.
4.1.
4.1.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). La partie recourante ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitraire selon l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 278) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
Contrairement à ce qui prévaut en procédure de mainlevée provisoire, dans laquelle le débiteur doit rendre vraisemblable sa libération (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 143 s.), la preuve stricte du paiement de la dette est exigée tant pour le rejet de la réquisition de faillite (<ref-law>; arrêt 5P.443/2004 du 4 février 2005 consid. 3 [à propos de la preuve du sursis]; Flavio Cometta, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, n° 6 ad <ref-law>; Roger Giroud, in: Basler Kommentar, SchKG II, 2e éd., 2010, n° 8 ad <ref-law>) que pour l'annulation du jugement de faillite (<ref-law>; Giroud, op. cit., n° 24 ad <ref-law>). En cas d'ordre de paiement, le paiement n'est effectif au sens de l'<ref-law> que lorsque le compte du bénéficiaire est crédité (Giroud, op. cit., n° 16 ad <ref-law> et les arrêts cités).
4.1.2. En l'espèce, en tant qu'il soutient que l'ordre de paiement du 17 juillet 2013 suffisait à prouver le paiement de la dette, le recourant ne peut être suivi, au regard de la jurisprudence précitée (cf. supra consid. 4.1.1). En outre, s'agissant du degré de la preuve, l'arrêt qu'il cite (arrêt 5P.155/2002 du 23 mai 2002 consid. 3a) ne lui est d'aucun secours, dès lors qu'il se rapporte à une procédure de mainlevée provisoire, dans laquelle la vraisemblance du moyen libératoire suffit (cf. supra consid. 4.1.1).
4.2.
4.2.1. De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral se montre réservé en matière d'établissement des faits et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît dans ce domaine aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 9 p. 399). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si l'autorité cantonale n'a manifestement pas saisi le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 234 et les arrêts cités).
Les faits notoires, qu'il n'est pas nécessaire d'alléguer ni de prouver, sont ceux dont l'existence est certaine au point d'emporter la conviction du juge, qu'il s'agisse de faits connus de manière générale du public ou seulement du juge. Pour être notoire, un renseignement ne doit pas être constamment présent à l'esprit, il suffit qu'il puisse être contrôlé par des publications accessibles à chacun (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 5.2). Le registre des poursuites n'étant ni une publication accessible à chacun, ni une donnée connue de tous, les faits qui en ressortent ne sont pas notoires (arrêt 5A_423/2013 du 17 septembre 2013 consid. 3.3).
4.2.2. En l'espèce, en tant qu'il soutient qu'il est arbitraire de considérer que l'ordre de paiement du 17 juillet 2013 concerne une autre poursuite que celle qui fait l'objet de la présente cause, le recourant se méprend. En effet, l'autorité cantonale a fondé son raisonnement sur les pièces qu'il a lui-même produites à l'appui de son recours, et dont le contenu n'est pas contesté. Ces documents font clairement référence à une poursuite n° xxxx, pour un montant de 496 fr. 05, à savoir une autre poursuite que celle qui est à l'origine de la faillite, l'ordre de paiement du 17 juillet 2013 étant d'ailleurs du même montant. L'argumentation du recourant selon laquelle le paiement aurait été confirmé par les déterminations de l'intimée du 14 octobre 2013 n'est pas pertinente, cette écriture ayant été déclarée irrecevable, sans qu'il ne formule d'ailleurs de grief à cet égard. Au demeurant, dans ce courrier du 14 octobre 2013, il est indiqué que " le bulletin de versement de Fr. 496.05 payé le 17 juillet 2013 correspond à la poursuite n° xxxx ". Partant, c'est sans arbitraire que la cour cantonale a constaté que le paiement du 17 juillet 2013 concernait la poursuite n° xxxx.
Quant à l'état des poursuites intentées à son encontre, dont il a déjà été rappelé que le document produit en instance fédérale dans le but de l'établir est irrecevable (cf. supra consid. 1.2), il ne constitue pas un fait notoire (cf. supra consid. 4.2.1 in fine). Il en va de même du paiement de l'avance de frais - autant que cet argument est pertinent -, dès lors que ce fait ne peut pas être contrôlé par des publications accessibles à chacun (cf. supra consid. 4.2.1).
5.
Le recourant soutient que la juridiction précédente a enfreint l'<ref-law> en imputant le paiement qu'il aurait effectué le 17 juillet 2013 sur une autre dette que celle qui a donné lieu au jugement de faillite du 19 août 2013. A l'appui de son argumentation, il indique que contrairement à ce qu'a retenu la cour cantonale, il n'a pas fait de déclaration ni émis de quittance au moment de procéder au paiement, de sorte que le paiement devait être imputé sur la dette exigible, à savoir celle qui a conduit au jugement de faillite.
Dès lors que l'autorité précédente a constaté, sans tomber dans l'arbitraire, qu'une déclaration d'imputation résulte des pièces produites à l'appui du recours (cf. supra consid. 4.2.2), la critique du recourant est dépourvue de fondement. A cela s'ajoute que, quand bien même la lettre du 25 octobre 2013 a été déclarée irrecevable, elle constate que le recourant y affirme lui-même avoir opéré le paiement le 23 octobre 2013 (p. 4 de l'arrêt entrepris), ce qu'il ne conteste pas, pas plus qu'il ne prétend avoir payé cette dette deux fois.
6.
Le recourant expose qu'en faisant abstraction du paiement qu'il prétend avoir effectué et du fait qu'il a versé 300 fr. d'avance de frais pour la procédure cantonale, la Cour des poursuites et faillites a été amenée à confirmer la décision de faillite. Le fait que " le paiement tardif d'une somme modeste " ait une conséquence aussi lourde constituerait une décision choquante et, partant, arbitraire.
Sous couvert de l'interdiction de l'arbitraire et sans expliciter davantage son grief, le recourant se plaint en réalité d'une mauvaise application des art. 171 (en relation avec l'art. 172 ch. 3) et 174 al. 2 ch. 1 LP, étant rappelé que s'agissant du présent recours, la cognition de la Cour de céans n'est pas limitée aux griefs constitutionnels (cf. supra consid. 2.1)
6.1.
6.1.1. Saisi d'une requête de faillite, le juge statue sans retard et même en l'absence des parties; il doit prononcer la faillite sauf dans les cas mentionnés aux art. 172 à 173a LP (<ref-law>). Aux termes de l'<ref-law>, le juge rejette la réquisition de faillite notamment lorsque le débiteur justifie par titre que la créance a été acquittée en capital, intérêts et frais, ou que le créancier lui a accordé un sursis.
6.1.2. En l'occurrence, il ressort des faits de l'arrêt entrepris, dont le caractère arbitraire n'a pas été établi (cf. supra consid. 4.2.2), que le recourant n'a pas prouvé s'être acquitté de la dette à l'origine de la faillite. Il en découle que les conditions de l'<ref-law> ne sont pas réalisées. En tant qu'il expose avoir effectué le versement de l'avance de frais requise pour la procédure cantonale, le recourant invoque des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt entrepris et dont on ne discerne au demeurant pas la pertinence. Pour ces motifs, le grief de violation des art. 171 et 172 ch. 3 LP doit être rejeté.
6.2.
6.2.1. Aux termes de l'<ref-law>, l'autorité de recours peut annuler le jugement de faillite lorsque le débiteur rend vraisemblable sa solvabilité et qu'il établit par titre que l'une des conditions suivantes a été remplie: la dette, intérêts et frais compris, a été payée (ch. 1), la totalité du montant à rembourser a été déposée auprès de l'autorité de recours à l'intention du créancier (ch. 2) ou le créancier a retiré sa réquisition de faillite (ch. 3). Ainsi, le débiteur ne doit pas seulement prouver le paiement de la dette à l'origine de la faillite, mais également rendre vraisemblable sa solvabilité. Ces deux conditions sont cumulatives (arrêts 5A_640/2011 du 4 janvier 2012 consid. 2 in fine; 5A_126/2010 du 10 juin 2010 consid. 6.2; doctrine).
6.2.2. En l'occurrence, bien qu'il critique le refus de l'autorité de recours d'annuler le jugement de faillite prononcé par le premier juge, le recourant ne prétend pas qu'il aurait rendu vraisemblable sa solvabilité. Dès lors qu'il s'agit d'une condition indispensable pour qu'un jugement de faillite puisse être annulé (cf. supra consid. 6.2.1), le grief est d'emblée irrecevable (cf. supra consid. 2.3).
7.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable, aux frais du recourant (<ref-law>). La partie intimée, qui n'est pas représentée par un avocat (<ref-ruling> consid. 4 p. 136), n'a pas été invitée à répondre sur le fond et a renoncé à se déterminer sur la requête d'effet suspensif, de sorte qu'il n'y a pas lieu de lui allouer de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Office des poursuites du district de Morges, à l'Office des faillites de l'arrondissement de La Côte, à Monsieur le Préposé cantonal au Registre du Commerce, au Registre foncier du district de Morges et à la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 3 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Bonvin