Faits:
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A. Suite à un accident de circulation survenu en 1990, dame B._ a confié en 1995 la défense de ses intérêts à A._, avocat au barreau de Genève. Le 15 juin 1996, ce dernier l'a engagée en qualité de secrétaire à temps partiel; le dernier salaire mensuel brut de la salariée s'élevait à 1974 fr.
Dès le 12 février 1999, dame B._ s'est trouvée en incapacité totale de travailler pour cause de maladie, soit, selon un rapport médical du 19 octobre 1999, une "profonde dépression consécutive aux douleurs permanentes provenant de l'accident".
Par ailleurs, dame B._ était particulièrement sensible à l'attitude de son employeur, très exigeant et sujet à de brusques accès de colère; cette situation a entraîné une détérioration de son état psychique, selon un rapport médical du 17 décembre 2000.
Par ailleurs, dame B._ était particulièrement sensible à l'attitude de son employeur, très exigeant et sujet à de brusques accès de colère; cette situation a entraîné une détérioration de son état psychique, selon un rapport médical du 17 décembre 2000.
B. Le 29 mai 2000, dame B._ s'est plainte auprès de l'Ordre des avocats de Genève de ce que A._ retenait une partie des indemnités d'assurance au titre de provisions pour l'activité qu'il déployait pour elle, en sa qualité de mandataire. Par lettre du 31 mai 2000, reçue par A._ le 2 juin suivant dans la matinée, l'Ordre a requis de son membre un certain nombre de documents comptables relatifs à ce dossier.
Par lettre recommandée datée du 1er juin 2000 (jeudi de l'Ascension, férié), postée le 2 juin entre 20 h. et 22 h.00, A._ a résilié le contrat de travail de dame B._ avec effet au 31 août 2000. Cette écriture porte les initiales "cf", soit celles du clerc d'avocat dame C._, qui a déclaré ne pas travailler à l'étude les jours fériés, ni antidater ou postdater les courriers qu'elle avait à rédiger.
Le 4 juillet 2000, dame B._ s'est opposée à son licenciement en invoquant l'<ref-law> et a demandé la motivation du congé. Son employeur l'a justifié le 5 juillet 2000 par "des restructurations intervenues au sein de (son) Etude".
Le 22 décembre 2000, dame B._ a déposé une demande en paiement devant le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève, concluant à l'allocation de 11 844 fr. à titre d'indemnité pour résiliation abusive de son contrat de travail et de 10 000 fr. à titre de réparation morale, le tout avec intérêts à 5% dès le 2 juin 2000. A._ a conclu à l'irrecevabilité, respectivement au rejet de la demande.
Par jugement du 1er novembre 2001, le Tribunal des prud'hommes a condamné A._ à payer à son ancienne employée la somme de 1500 fr., avec intérêts à 5% dès le 31 août 2000.
Dame B._ a appelé de ce jugement, en reprenant ses précédents moyens. A._ a formé appel incident en concluant à la condamnation de l'appelante principale au paiement de 1579 fr.50 avec intérêts à 5% dès le 30 septembre 2000, 1632 fr.15 avec intérêts à 5% dès le 31 octobre 2000, 11 953 fr.45 + TVA et intérêts à 5% dès le 6 juillet 2000 et 1329 fr.70 + TVA et intérêts à 5% dès le 2 juin 2000.
Statuant par arrêt du 16 septembre 2002, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève a condamné A._ à payer à dame B._ la somme nette de 5922 fr. avec intérêts à 5% dès le 31 août 2000. En substance, la juridiction cantonale a retenu que les conclusions nouvelles de A._ étaient irrecevables dans la mesure où elles outrepassaient celles prises en première instance. Le licenciement était abusif, ce qui donnait droit à l'appelante principale de réclamer une indemnité que la cour cantonale a fixée à trois mois de salaire, soit 5922 fr. L'ancienne employée n'avait par contre pas droit à une indemnité pour tort moral, le profond état dépressif ayant trouvé son origine dans les douleurs lancinantes consécutives à l'accident de circulation de 1990.
Statuant par arrêt du 16 septembre 2002, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève a condamné A._ à payer à dame B._ la somme nette de 5922 fr. avec intérêts à 5% dès le 31 août 2000. En substance, la juridiction cantonale a retenu que les conclusions nouvelles de A._ étaient irrecevables dans la mesure où elles outrepassaient celles prises en première instance. Le licenciement était abusif, ce qui donnait droit à l'appelante principale de réclamer une indemnité que la cour cantonale a fixée à trois mois de salaire, soit 5922 fr. L'ancienne employée n'avait par contre pas droit à une indemnité pour tort moral, le profond état dépressif ayant trouvé son origine dans les douleurs lancinantes consécutives à l'accident de circulation de 1990.
C. Agissant par la voie du recours de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt mentionné ci-dessus et de renvoyer la cause à l'instance cantonale pour nouvelle décision. Invoquant l'art. 9 Cst., le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir apprécié contrairement à la réalité le témoignage de son clerc, dame C._, au sujet de la lettre de congé du 1er juin 2000. Il fait également grief à la Cour d'appel de n'avoir pas porté en déduction du montant de 5922 fr. la somme de 4541 fr.35, représentant le total de trois montants déjà versés à son ancienne employée ou dus par cette dernière.
L'intimée conclut au rejet du recours.
La Cour d'appel se réfère à son arrêt.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. 1.1 Le recours de droit public au Tribunal fédéral est ouvert contre une décision cantonale pour violation des droits constitutionnels des citoyens (art. 84 al. 1 let. a OJ).
L'arrêt attaqué est final dans la mesure où, d'une part, la cour cantonale a déclaré irrecevables certaines conclusions du recourant et, d'autre part, a rejeté une partie de ses moyens libératoires par une décision au fond qui n'est susceptible d'aucun autre moyen de droit sur le plan fédéral ou cantonal, s'agissant du grief de violation directe d'un droitde rang constitutionnel (art. 84 al. 2 et 86 al. 1 OJ).
Le recourant est personnellement touché par la décision entreprise, qui écarte ses conclusions libératoires en grande partie, de sorte qu'il a un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que cette décision n'ait pas été adoptée en violation de ses droits constitutionnels; en conséquence, la qualité pour recourir (art. 88 OJ) doit lui être reconnue.
Interjeté en temps utile (art. 89 al. 1 OJ) dans la forme prévue par la loi (art. 90 al. 1 OJ), le présent recours est à cet égard recevable.
1.2 Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours (art. 90 al. 1 let. b OJ; <ref-ruling> consid. 1c et les arrêts cités, p. 53/54).
1.3 En raison de la nature cassatoire du recours de droit public (<ref-ruling> consid. 2c in fine p. 5; III 279 consid. 1b p. 282 et les références), la conclusion tendant au renvoi de la procédure devant la Cour d'appel pour nouvelle décision dans le sens des considérants est superflue.
1.3 En raison de la nature cassatoire du recours de droit public (<ref-ruling> consid. 2c in fine p. 5; III 279 consid. 1b p. 282 et les références), la conclusion tendant au renvoi de la procédure devant la Cour d'appel pour nouvelle décision dans le sens des considérants est superflue.
2. 2.1 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou encore heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat. A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire même préférable (<ref-ruling> consid. 2 p. 86, 177 consid. 2.1 p. 182; II 259 consid. 5 p. 280/281).
2.2 Saisi d'un recours de droit public mettant en cause l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral examine seulement si le juge cantonal a outrepassé son pouvoir d'appréciation et établi les faits de manière arbitraire (<ref-ruling> consid. 2a p. 41; <ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 2d p. 37/38; <ref-ruling> consid. 1b p. 30 et les arrêts cités). Une constatation de fait n'est pas arbitraire pour la seule raison que la version retenue par le juge ne coïncide pas avec celle de l'une ou l'autre des parties; encore faut-il que l'appréciation des preuves soit manifestement insoutenable, en contradiction flagrante avec la situation effective, qu'elle constitue la violation d'une règle de droit ou d'un principe juridique clair et indiscuté, ou encore qu'elle heurte de façon grossière le sentiment de la justice et de l'équité (ATF <ref-ruling> consid. 1b p. 30), ce qu'il appartient au recourant d'établir (<ref-ruling> consid. 1b p. 495 et les arrêts cités).
2.2 Saisi d'un recours de droit public mettant en cause l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral examine seulement si le juge cantonal a outrepassé son pouvoir d'appréciation et établi les faits de manière arbitraire (<ref-ruling> consid. 2a p. 41; <ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 2d p. 37/38; <ref-ruling> consid. 1b p. 30 et les arrêts cités). Une constatation de fait n'est pas arbitraire pour la seule raison que la version retenue par le juge ne coïncide pas avec celle de l'une ou l'autre des parties; encore faut-il que l'appréciation des preuves soit manifestement insoutenable, en contradiction flagrante avec la situation effective, qu'elle constitue la violation d'une règle de droit ou d'un principe juridique clair et indiscuté, ou encore qu'elle heurte de façon grossière le sentiment de la justice et de l'équité (ATF <ref-ruling> consid. 1b p. 30), ce qu'il appartient au recourant d'établir (<ref-ruling> consid. 1b p. 495 et les arrêts cités).
2.3 2.3.1 Le recourant se plaint tout d'abord de ce que la Cour d'appel aurait ignoré la réalité des faits en ne retenant que ceux "à charge" de la déposition du témoin "clef", soit dame C._.
A cet égard, la cour cantonale, au consid. 3 in fine de l'arrêt critiqué, a confirmé le jugement du Tribunal des prud'hommes, qui considérait que le licenciement avait été motivé par les démarches de l'employée auprès de l'Ordre des avocats de Genève; la Cour d'appel a notamment précisé que "la manoeuvre destinée à laisser penser que cet envoi avait précédé la réception du pli adressé par l'Ordre des avocats ne fait d'ailleurs que confirmer le lien causal entre le contenu de ce pli et l'avis de licenciement".
A ce sujet, le recourant ne conteste pas qu'il a reçu la lettre de l'Ordre des avocats du 31 mai 2000 le 2 juin suivant dans la matinée. De plus, il ressort du dossier, soit plus particulièrement de l'enveloppe contenant la lettre de résiliation du contrat de travail, du 1er juin 2000, que cette dernière a été postée le 2 juin 2000 peu avant 22 heures. Par rapport à ces indices matériels non contestés et univoques, la déposition de dame C._ n'est pas d'une grande clarté en ce sens qu'elle contient certains éléments se trouvant en contradiction avec les autres. Ainsi, le témoin a déclaré qu'elle ne travaillait pas à l'étude les jours fériés, notamment pas l'Ascension ou le 1er août, et qu'elle aurait été frappée si elle avait dû venir travailler un de ces jours-là, alors que son employeur, Me A._, venait régulièrement travailler à ces occasions. Le témoin a également rapporté qu'elle n'antidatait ni ne postdatait des courriers mais qu'il était "possible que cela soit fait, sans qu(' elle) sache par qui". Elle a enfin ajouté que "si le 1er juin 2000, je n'ai pas travaillé, j'ai dû écrire le courrier un ou deux jours avant ou peut-être le 1er juin; si Me A._ m'avait demandé de venir une ou deux heures ce jour-là, j'aurais alors travaillé un jour férié".
En retenant de ce témoignage, non exempt de contradictions et comportant une déposition hypothétique ("si le 1er juin 2000 je n'ai pas travaillé, j'ai dû écrire ..."), que la lettre de résiliation du 1er juin 2000 était postérieure à la réception du courrier de l'Ordre des avocats et motivée par ce dernier, la Cour d'appel n'a pas apprécié arbitrairement le témoignage de dame C._, mais s'est appuyée sur les parties de sa déclaration qui étaient énoncées directement, sans réserve ni condition, et qui correspondaient à la chronologie découlant de l'examen des indices matériels. La cour cantonale pouvait de façon soutenable préférer ces parties de la déposition, corroborées par d'autres éléments, au jeu d'hypothèses évoquées par le témoin. Il n'y a en effet aucun arbitraire à trouver une force de conviction supérieure dans une déposition pure et simple, confirmant des éléments matériels dûment constatés, plutôt que dans des hypothèses ne reposant sur rien.
Le premier moyen du recourant est dénué de fondement.
2.3.2 Le recourant fait ensuite grief à la Cour d'appel d'avoir constaté les faits de manière lacunaire en n'imputant pas, sur l'indemnité à payer, divers montants qui auraient déjà été versés à l'intimée ou qui seraient dus par elle.
Sur ce point, la cour cantonale s'est référée à l'art. 312 de la loi de procédure civile genevoise (LPC gen.), applicable en l'espèce par renvoi de l'art. 11 de la loi sur la juridiction des prud'hommes. L'<ref-law> gen. prévoit que la cour ne peut statuer sur aucun chef de demande qui n'a pas été soumis aux premiers juges, sous réserve de diverses exceptions, notamment la compensation pour cause postérieure au jugement de première instance (<ref-law> gen.). En appliquant strictement le principe de l'immutabilité du litige, et en relevant que les prétentions compensatoires du recourant étaient antérieures au jugement du Tribunal des prud'hommes, la cour cantonale a interprété le droit de procédure pertinent d'une manière qui échappe au grief d'arbitraire. En particulier, les créances compensatoires invoquées datent respectivement d'octobre et de juin 2000, de sorte qu'elles sont largement antérieures au jugement de première instance rendu par le Tribunal des prud'hommes le 1er novembre 2001.
Le second moyen du recourant doit être rejeté.
Le second moyen du recourant doit être rejeté.
3. Il suit de là que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. La procédure fédérale est gratuite puisqu'elle a trait à un différend résultat du contrat de travail dont la valeur litigieuse déterminante, calculée au moment du dépôt de la demande (<ref-ruling> consid. 5b p. 42), ne dépasse pas le plafond de 30 000 fr. fixé à l'<ref-law>.Cette disposition ne dispense cependant pas la partie qui succombe de verser à la partie adverse une indemnité à titre de dépens (<ref-ruling> consid. 5c p. 42).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2000 fr. à titre de dépens.
2. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2000 fr. à titre de dépens.
3. Le présent arrêt est communiqué en copie aux parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 6 janvier 2003
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: