Sachverhalt:
A.
Der 1965 geborene E._, Automechaniker, stürzte am 14. Mai 1985 auf der Treppe und erlitt eine Radiusfraktur loco classico rechts. Die Invalidenversicherung finanzierte ab 22. August 1988 eine einjährige Umschulung auf eine kaufmännische Tätigkeit. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als zuständige Unfallversicherung sprach E._ eine Integritätsentschädigung, entsprechend einer Integritätseinbusse von 7,5 % (Verfügung vom 16. September 1988), und eine Invalidenrente, basierend auf einer Erwerbsunfähigkeit von 25 % (Verfügung vom 16. Oktober 1991), zu. Ab 21. Juni 2000 liess sich E._ in einem Jahr zum Multimedia-Produzenten umschulen. Am 24. April 2008 wurde er als Motorradfahrer von einem Personenwagen angefahren. Dabei zog er sich eine Schulterverletzung zu. Er beantragte am 15. April 2010 die Ausrichtung einer Invalidenrente. Die IV-Stelle Zug zog die Akten der SUVA und der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG bei (darunter das Gutachten des Dr. med. S._, Orthopädische Chirurgie FMH, vom 15. Februar 2010, eingeholt von der Allianz Suisse), bei. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte sie einen Rentenanspruch mit der Begründung, spätestens seit Mai 2010 sei von einer vollen Arbeitsfähigkeit als Webdesigner auszugehen (Verfügung vom 5. Juli 2011).
B.
Dagegen liess E._ Beschwerde erheben mit dem Antrag, die Sache sei zur korrekten Abklärung und erneuten Entscheidung an die IV-Stelle zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug stellte Dr. med. S._ eine Ergänzungsfrage. Dieser antwortete am 14. August 2012 und reichte nach gerichtlicher Aufforderung am 28. August 2012 eine Begründung nach. E._ liess daraufhin das im Rahmen des parallel geführten Haftpflichtprozesses vom Kantonsgericht eingeholte Gutachten des Prof. Dr. med. J._, Chefarzt, und des Dr. med. P._, Assistenzarzt, Klinik für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Spital X._, vom 26. Oktober 2012 zu den Akten geben. Mit Entscheid vom 29. November 2012 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde gut und sprach E._ für die Zeit vom 1. Januar bis 31. Mai 2011 eine befristete halbe Rente, basierend auf einem Invaliditätsgrad von 50 %, zu.
C.
E._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das Rechtsbegehren stellen, die von der Vorinstanz vorgenommene Terminierung der zugesprochenen Rente per 31. Mai 2011 "wie auch der bis zu diesem Zeitpunkt festgelegte IV-Grad von 50 %" seien aufzuheben und die Sache sei zur neuen Abklärung und Entscheidung an die Verwaltung zurückzuweisen. Ferner wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Die IV-Stelle Zug und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die übrigen Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 3 mit Hinweisen). Mit Blick darauf, dass die Vorinstanz dem Versicherten im vorliegenden Fall eine befristete halbe Rente zugesprochen hat, ist sein rechtliches Interesse an einer Prüfung durch das Bundesgericht trotz dispositivmässig voller Gutheissung des Rechtsmittels durch das kantonale Gericht mit entsprechender Kostenfolge zu bejahen. Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
3.
Das kantonale Gericht hat die massgeblichen Rechtsgrundlagen unter Berücksichtigung der intertemporalrechtlichen Fragen, die sich aufgrund der am 1. Januar 2004 und 1. Januar 2008 im Rahmen der 4. und 5. IV-Revision erfolgten Rechtsänderungen stellen (vgl. Urteil 8C_829/2008 vom 23. Dezember 2008 E. 2.1 mit Hinweisen), zutreffend wiedergegeben. Es betrifft dies insbesondere die Bestimmungen und Grundsätze zu den Begriffen der Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 Abs. 1 ATSG) und der Invalidität (Art. 4 Abs. 1 IVG in Verbindung mit Art. 8 Abs. 1 ATSG), zu den Voraussetzungen und zum Umfang des Rentenanspruchs (aArt. 28 Abs. 1 IVG [in der vom 1. Januar 2004 bis 31. Dezember 2007 in Kraft gestandenen Fassung], Art. 28 Abs. 2 IVG), zur Aufgabe der Ärzte bei der Ermittlung des Invaliditätsgrades (<ref-ruling> E. 4 S. 99 mit Hinweisen) und zum Beweiswert sowie zur Würdigung ärztlicher Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352). Darauf wird verwiesen.
4.
4.1. In Würdigung der medizinischen Unterlagen, namentlich des Gutachtens des Dr. med. S._ vom 15. Februar 2010 mit ergänzenden Stellungnahmen vom 14. und 28. August 2012, gelangt die Vorinstanz zum Schluss, vom 17. September bis Ende Dezember 2010 habe eine 100%ige und in den Monaten Januar und Februar 2011 eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit bestanden. Ab März 2011 sei wieder von einer uneingeschränkten Arbeitsfähigkeit in der zuletzt ausgeübten Tätigkeit als Webdesigner auszugehen. Die Verbesserung der Erwerbsfähigkeit ab März 2011 sei in Anwendung von Art. 88a Abs. 1 lit. b IVG erst ab Ende Mai 2011 zu berücksichtigen. Gestützt auf einen Prozentvergleich resultiere vorübergehend ein 50%iger Invaliditätsgrad, weshalb von Januar bis Mai 2011 ein Anspruch auf eine halbe Invalidenrente gegeben sei. Ein Rentenanspruch für die davorliegende Zeit sei mit Blick auf die erst am 15. April 2010 erfolgte Anmeldung zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung (und die 100%ige Arbeitsfähigkeit in der Zeit vom 1. Mai bis 16. September 2010) zu verneinen.
4.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, auf die Einschätzung des Dr. med. S._ könne namentlich deshalb nicht abgestellt werden, weil er seine Beurteilung der Arbeitsfähigkeit unter dem Vorbehalt eines komplikationslosen Verlaufs - welcher in der Folge aber nicht eingetreten sei - abgegeben habe. Der behandelnde Dr. med. H._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie FMH, Zentrum für Endoprothetik und Gelenkchirurgie, Klinik Z._, habe in seinem Bericht vom 7. April 2011 festgestellt, dass die linke Schulter infolge eines persistierenden Reizzustandes bei durchgemachtem low-grade-Infekt schmerzhaft und nicht belastbar sei.
4.3. Die IV-Stelle wendet dagegen ein, Dr. med. S._ sei in seinen Stellungnahmen vom August 2012 trotz der von Dr. med. H._ am 7. April 2011 dargelegten Problematik nicht grundsätzlich von seiner Meinung abgerückt. Damit bestätige er, dass er den vom behandelnden Spezialarzt erwähnten Beschwerden keine massgebende Bedeutung beigemessen habe, ansonsten er eine Nachbegutachtung durchgeführt oder sich eine solche zumindest ausbedungen hätte.
5.
5.1. Dr. med. S._ stellte in seinem Gutachten vom 15. Februar 2010 (basierend auf seiner Untersuchung vom 8. Februar 2010) fest, dass der Beschwerdeführer nach der Schulterarthroskopie links vom 15. Oktober 2009 in postoperativer Rehabilitation stehe und der Operateur die weitere Arbeitsfähigkeit festsetzen werde. "Vorsichtig geschätzt" werde mit einer Wiederaufnahme der Tätigkeit als selbstständiger Webdesigner ab März 2010, zunächst zu 50 %, mit Steigerung auf 75 % ab 1. April 2010 und 100 % ab 1. Mai 2010, gerechnet. Der längerfristige Erfolg der Operation wurde vom Experten in der Folge nicht verifiziert. Anlässlich der Rückfrage des kantonalen Gerichts vom 18. Juli 2012 erhielt er Gelegenheit, sich zur Arbeitsfähigkeit ab 15. Februar 2010 - insbesondere mit Blick auf die zwischenzeitlich am 17. September 2010 durchgeführte Schulter-Rearthroskopie rechts - zu äussern. Sein Attest einer Arbeitsfähigkeit von 100 % vom 1. Mai bis 16. September 2010, von 0 % vom 17. September bis Ende Dezember 2010, von 50 % vom 1. Januar bis 28. Februar 2011 und wiederum von 100 % ab 1. März 2011 stützt sich offensichtlich auf Erfahrungswerte bei unproblematischem intra- und postoperativem Verlauf, nicht auf die konkreten Umstände. Dr. med. S._ wies in seiner Stellungnahme vom 28. August 2012 denn auch ausdrücklich darauf hin, dass der Versicherte nochmals konsiliarisch befragt und untersucht werden müsste, falls Komplikationen aufgetreten seien. Seine Arbeitsfähigkeitsschätzungen für den konkreten Einsatz als Webdesigner sind allesamt - abgesehen vom Hinweis auf Erfahrungswerte - nicht weiter begründet.
5.2. Es ist dem Beschwerdeführer beizupflichten, dass bei dieser unklaren Ausgangslage die Einschätzung des behandelnden Dr. med. H._ vom 7. April 2011, wonach bei einer attestierten 100%igen Arbeitsunfähigkeit seit 13. Januar 2010 die linke Schulter infolge eines persistierenden Reizzustandes schmerzhaft und nicht belastbar sei, nicht übersehen werden darf. Auch im Gutachten des Spitals X._ vom 26. Oktober 2012, welches unter anderem auf einer Untersuchung vom 24. August 2012 beruht, wird angegeben, dass die lange andauernde Beschwerdesymptomatik ohne restitutio ad integrum im Zusammenhang mit Schulterinfektionen (wie sie der Versicherte im Nachgang zur Schulteroperation links vom 10. Oktober 2008 erlitten hatte) bekannt sei. Nicht geklärt ist zudem die Frage, ob sich nach den insgesamt fünf Schulteroperationen zwischen November 2008 und September 2010 mit mässigem Erfolg eine psychische Krankheit entwickelt hat. Im Gutachten des Dr. med. T._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, medizinisches Begutachtungsinstitut Y._, vom 9. März 2010 wurde eine krankheitswertige psychische Störung noch verneint, währenddem die Experten des Spitals X._ auf mehrfach geäusserte Suizidgedanken hinwiesen und eine psychiatrische Betreuung als wünschenswert erachteten, sich aber einer genauen Beurteilung unter Hinweis auf ihre in diesem Bereich nicht vorhandene Fachkompetenz enthielten.
5.3. Zusammenfassend ergibt sich, dass entgegen der Auffassung von Verwaltung und Vorinstanz auf die prognostische Einschätzung des Dr. med. S._ vom 15. Februar 2010 nicht abgestellt werden kann. Seine Angaben vom 14. und 28. August 2012 basieren auf Erfahrungswerten. Es ist zweifelhaft, ob diese im vorliegenden Fall Gültigkeit beanspruchen können, weil gestützt auf die Angaben des Dr. med. H._ nicht von einem problemlosen postoperativen Verlauf ausgegangen werden kann. Das Gutachten des Spitals X._ attestiert ab 24. April 2008 eine 100%ige und ab September 2011 eine 70%ige Arbeitsunfähigkeit, macht aber nicht klar, aus welchen Gründen die diagnostizierte unspezifische, schmerzhafte Funktionseinschränkung bei lediglich leichtgradiger Tendinopathie der Supra- und Infraspinatussehne Schulter links - ohne pathomorphologisches Korrelat, welches die geschilderten Beschwerden zureichend erklären könnte - selbst in der körperlich leichten Bürotätigkeit als Webdesigner solch gravierende Folgen haben soll. Auch die übrigen ärztlichen Unterlagen liefern keine zuverlässige Grundlage bezüglich der einschränkenden Auswirkungen der gesundheitlichen Beschwerden auf die Erwerbstätigkeit. Die auf den Akten basierenden Stellungnahmen des Regionalen ärztlichen Dienstes vom 1. Juni 2011 und 14. November 2012 vermögen die Lücken nicht zu füllen. Fraglich ist schliesslich, ob neben der schulterspezifischen Problematik noch weitere gesundheitliche Beschwerden bestehen, welche die Arbeitsfähigkeit einschränken. Der medizinische Sachverhalt war zum Zeitpunkt der rentenablehnenden Verfügung vom 5. Juli 2011 unvollständig abgeklärt. Die Unzulänglichkeit konnte auch durch die gerichtliche Nachfrage bei Dr. med. S._ und das Gutachten des Spitals X._ nicht behoben werden, weshalb die Rentenberechnung der Vorinstanz verfrüht ist.
6.
Die Angelegenheit ist an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit sie ein polydisziplinäres Gutachten einhole, welches die Frage nach der restlichen Arbeitsfähigkeit umfassend klärt. Gestützt auf die erlangten Ergebnisse hat die Verwaltung anschliessend den Rentenanspruch erneut zu prüfen.
7.
Die IV-Stelle hat als unterliegende Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist somit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, vom 29. November 2012 und die Verfügung der IV-Stelle Zug vom 5. Juli 2011 werden aufgehoben und die Angelegenheit wird an die IV-Stelle Zug zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Anspruch auf eine Invalidenrente neu verfüge.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, der Ausgleichskasse des Kantons Zug und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Juli 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz