Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1953) ist der Vater des minderjährigen A._ (geb. 1997). Dieser hat von seiner Mutter und von seiner Grossmutter Vermögen geerbt. Für die Verwaltung des Kindesvermögens wurde eine Beistandschaft errichtet. Zum Kindesvermögen gehörte unter anderem ein Einfamilienhaus in B._, das zu einem monatlichen Mietzins von gut Fr. 3'000.-- (zuzüglich Nebenkosten) vermietet wurde.
B.
Im September 2012 verlangte X._ bei der Vormundschaftsbehörde Bülach, die Kündigung des Mietvertrags für die Liegenschaft in B._ zu genehmigen, damit er mit dem Sohn das Haus beziehen könne. Mit Entscheid vom 22. Oktober 2012 wies die Behörde das Ersuchen ab.
C.
Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 19. November 2012 Beschwerde an den Bezirksrat Bülach. Er bekräftigte, dass der Mietvertrag gekündigt werden solle. Weiter solle die Belastung der Liegenschaft von insgesamt Fr. 400'000.-- durch Kapitalleistungen (Amortisationen) von Vater und Sohn um Fr. 250'000.-- reduziert werden.
D.
Nachdem X._ einen entsprechenden Antrag gestellt hatte, teilte ihm die Leiterin der Vormundschaftsbehörde am 17. Dezember 2012 mit, dass "die Sozialbehörde Vormundschaft bzw. ab 1. Januar 2013 die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) die Zustimmung zum Erwerb des Hauses an der C._strasse xx, D._ geben wird" und dass dafür ein Betrag von Fr. 150'000.-- aus dem Kindesvermögen bewilligt werden könne. Eine Kopie dieses Schreibens sandte die Leiterin am 8. Januar 2013 an den Bezirksrat. Sie fügte den Hinweis an, damit werde die Beschwerde gegen den Beschluss vom 22. Oktober 2012 gegenstandslos. Mit Entscheid vom 16. Januar 2013 schrieb der Bezirksrat das Beschwerdeverfahren ab.
E.
X._ erhob gegen diesen Abschreibungsbeschluss Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Er beantragte dessen Aufhebung und die Rückweisung der Angelegenheit an den Bezirksrat zur Erstellung des Sachverhalts. Mit Urteil vom 12. April 2013 hob das Obergericht den Entscheid vom 16. Januar 2013 auf und wies die Sache zur weiteren Behandlung und zu neuem Entscheid an den Bezirksrat zurück. Das Obergericht erhob keine Kosten und sprach keine Parteientschädigungen zu.
F.
In der Folge wandte sich X._ mit einem Gesuch um Gewährung der unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung an das Bundesgericht. Das Bundesgericht wies das Gesuch am 13. Juni 2013 ab (Urteil 5A_365/2013).
G.
Am 18. Dezember 2013 fällte der Bezirksrat einen neuen Entscheid mit folgendem Dispositiv:
"I. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen dahingehend gutgeheissen, dass dem Antrag auf Übertragung des Wohn- und Benutzungsrechtes (bzw. dem Antrag, über die sich im Eigentum von A._ befindende Liegenschaft E._weg yyy in B._ verfügen zu können) an X._ und A._ entsprochen wird.
II. Es werden keine Kosten erhoben."
H.
Mit Eingabe vom 20. Februar 2014 führte X._ im eigenen Namen und im Namen seines Sohnes Beschwerde an das Obergericht. Dabei stellte er die folgenden Anträge:
"1. Es sei das Urteil im Kosten- und Entschädigungspunkt aufzuheben und an den Bezirksrat Bülach zur gesetzesmässigen Behandlung und Entscheidung im Sinne von Art. 238 ZPO zurückzuweisen.
Es sei die Vorinstanz anzuweisen, die am 19. November 2012 erhobene Beschwerde im Kosten- und Entschädigungspunkt den gesetzlichen Normen nach Art. 238 ZPO i.V.m. Art. 95 ZPO zu behandeln und darüber formgültig (und mit Begründung) zu entscheiden.
2. Es sei festzustellen, dass das vorliegende Streitangelegenheit zum Abschluss gebrachte Sachurteil des Bezirksrats Bülach verspätet ergangen ist und damit der völkerrechtliche Anspruch nach Art. 6 Ziff. 1 Konvention zum Schutze der Menschenrechte und Grundfreiheiten [EMRK] (SR 0.101) und Art. 14 Internationaler Pakt über bürgerliche und politische Rechte [IPBPR] auf Erlass eines Entscheides innert angemessener Frist in haftungsbegründender Weise verletzt wurde.
Ausserdem sei festzustellen, dass mit der erneuten Ablehnung der Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes für das erstinstanzliche Verfahren sowohl Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie Art. 14 und das Diskriminierungsverbot nach Art. 26 IPBPR als auch Art. 12 Übereinkommen über die Rechte des Kindes [UNO-Kindsrechtskonvention] (SR 0.107) in haftungsbegründender Weise verletzt wurde."
I.
Das Obergericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 17. März 2014 ab. Für das Verfahren des Obergerichts wurden keine Kosten erhoben. Parteienentschädigungen wurden nicht zugesprochen.
J.
Mit Beschwerde vom 5. Mai 2014 wenden sich X._ (Beschwerdeführer 1) und A._ (Beschwerdeführer 2) an das Bundesgericht. Sie verlangen, das Urteil des Obergerichts vollumfänglich unter Kosten- und Entschädigungsfolgen aufzuheben, und wiederholen in der Sache die vor Obergericht gestellten Anträge (s. Bst. H). Zudem verlangen die Beschwerdeführer, dass ihnen ein unentgeltlicher Rechtsanwalt und, falls ein solcher nicht bewilligt werde, ihnen selbst Einsicht in die Akten gewährt und Gelegenheit gegeben werde, das Dossier zu ergänzen. Schliesslich seien ihnen, falls das Bundesgericht selbst einen Entscheid in der Sache treffen sollte, die Mitwirkungsrechte zu gewähren und ein faires Verfahren im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 IPBPR zu gewährleisten. Die Beschwerdeführer stellen ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Mit Schreiben vom 18. Juni 2014 lud der Instruktionsrichter die Beschwerdeführer ein, Einblick in die Verfahrensakten zu nehmen. Von dieser Möglichkeiten wurde nicht Gebrauch gemacht.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid, mit dem die Vorinstanz die Beschwerde gegen das Urteil des Bezirksrats Bülach vom 18. Dezember 2013 abweist, ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (Art. 75 BGG). In der Hauptsache geht es um die behördliche Erlaubnis, das Wohn- und Benutzungsrecht an der Liegenschaft des Beschwerdeführers 2 in B._ zu übertragen bzw. über diese Liegenschaft zu verfügen. Das ist eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG) und vermögensrechtlicher Natur ist. Die Beschwerde in Zivilsachen ist deshalb nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Entgegen der Vorschrift von Art. 112 Abs. 1 Bst. d BGG macht das Obergericht keine Angaben zum Streitwert. Es begnügt sich mit dem Hinweis, dieser sei nicht beziffert worden. Auch die Beschwerdeführer tun in ihrem Schriftsatz keine Elemente dar, anhand derer das Bundesgericht den Streitwert schätzen könnte. Welche Bewandtnis es damit hat, kann jedoch offenbleiben:
Soweit auf ihre Vorbringen überhaupt einzutreten ist (s. E. 3.1 ), beklagen sich die Beschwerdeführer vor Bundesgericht zum einen darüber, dass ihnen der Bezirksrat keine Parteientschädigung zugesprochen hat (s. E. 3.2 ). Ob und gegebenenfalls in welchem Umfang den Beschwerdeführern im bezirksrätlichen Verfahren eine Parteientschädigung zustand, entscheidet sich nach dem kantonalen Verfahrensrecht oder nach der als kantonales Recht anwendbaren Zivilprozessordnung (Art. 450f ZGB). Steht aber allein die Anwendung des kantonalen Rechts in Frage, können die Beschwerdeführer auch mit Beschwerde in Zivilsachen nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich des Willkürverbots (Art. 9 BV) rügen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.2 und 2.3 S. 229 ff.). Weiter beklagen sich die Beschwerdeführer darüber, dass ihnen vor den kantonalen Instanzen in verfassungs- und völkerrechtswidriger Weise das Armenrecht verweigert worden sei (E. 4) und dass das Obergericht wegen der Dauer des erstinstanzlichen Verfahrens keine Grundrechtsverletzung festgestellt habe (s. E. 5). Auch bezüglich dieser Rügen geht die Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen nicht weiter als in demjenigen der subsidiären Verfassungsbeschwerde, das bei Nichterfüllung des Streitwerterfordernisses zum Zuge käme (s. Art. 106 Abs. 2 und Art. 116 BGG).
2.
Die Beschwerdeführer beantragen die Bestellung eines unentgeltlichen Beistands ihrer Wahl, damit dieser sie im Verfahren vor Bundesgericht vertrete. Aufgrund früherer Beschwerdeverfahren weiss zumindest der Beschwerdeführer 1, dass das Bundesgericht von dieser in Art. 41 BGG vorgesehenen Möglichkeit nur mit grosser Zurückhaltung Gebrauch macht (Urteil 5D_192/2013 vom 30. April 2014 E. 3). Die Voraussetzungen dafür sind auch im vorliegenden Verfahren nicht erfüllt. Zudem haben die Beschwerdeführer keinen Anspruch darauf, dass das Bundesgericht selbständig über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege befindet (Art. 64 BGG). Es genügt, dass das Bundesgericht darüber im Sachentscheid befindet und die Beschwerdeführer im Übrigen davon befreit hat, einen Kostenvorschuss zu leisten.
3.
3.1. Im Streit um die Parteientschädigung für das bezirksrätliche Verfahren halten die Beschwerdeführer daran fest, dass die Vorinstanz nicht selbst über die Parteikosten hätte entscheiden dürfen und den diesbezüglichen Entscheid dem Bezirksrat hätte überlassen müssen. Der Vorwurf geht an der Sache vorbei. Inhaltlich und im Ergebnis hat der Bezirksrat nämlich sehr wohl einen Entscheid gefällt, indem er den Beschwerdeführern keine Parteientschädigung zusprach. Unrichtig war es, dass der Bezirksrat diesen Entscheid weder in sein Urteilsdispositiv aufnahm noch begründete. Darauf hat bereits die Vorinstanz hingewiesen. Vor Bundesgericht tun die Beschwerdeführer nun aber nicht dar, inwiefern sie ein schützenswertes Interesse (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG) daran hätten, dass das Bundesgericht über die Frage befinde, ob das erwähnte Versäumnis vom Bezirksrat oder vom Obergericht zu korrigieren war. Ein solches Interesse ist auch nicht ersichtlich. Insofern kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
3.2. Zu prüfen bleibt, ob der Bezirksrat den Beschwerdeführern zu Recht eine Parteientschädigung verweigert hat. Diesbezüglich ist daran zu erinnern, dass die Beschwerdeführer einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend machen können (E. 1). In diesem Bereich gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG) : Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.). Wird Willkür in der Rechtsanwendung geltend gemacht, so ist in der Beschwerde im Einzelnen darzutun, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur dann als willkürlich auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 1.2 S. 177; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f., je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführer genügen diesen Rügeanforderungen nicht. Sie begnügen sich mit der Behauptung, dass die Vorinstanz willkürlich gehandelt und Art. 9 BV verletzt habe. Sie zeigen aber nicht auf, inwiefern die Vorinstanz die einschlägigen prozessualen Vorschriften in krass unrichtiger Weise angewendet haben soll. Die Beschwerdeführer rügen die Verletzung verschiedener weiterer Verfassungsbestimmungen (Art. 8 und 29 BV) und diverser Normen des Völkerrechts (Art. 6 Ziff. 1 und Art. 14 EMRK; Art. 14 und 26 des Internationalen Paktes über bürgerliche und politische Rechte vom 16. Dezember 1966 [SR 0.103.2]; Art. 12 des Übereinkommens über die Rechte des Kindes vom 20. November 1989 [SR 0.107]). Soweit sie nicht ebenfalls bereits an den Anforderungen an eine rechtsgenügliche Rüge scheitern, sind auch diese Vorwürfe unbegründet. Die Vorinstanz hat den Beschwerdeführern eine Parteientschädigung deshalb verweigert, weil die von privater Seite erfolgte Unterstützung nicht abgegolten werden könne und andere Kosten nicht nachgewiesen seien. Die Beschwerdeführer zeigen nicht auf, weshalb ein Regime, das die Vertretung von Parteien eines gerichtlichen Verfahrens Anwälten vorbehält und daher im Rahmen einer Parteientschädigung auch nur deren Aufwand vergütet, gegen die Verfassung oder das Völkerrecht verstossen sollte. Ebenso wenig tun sie dar, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt in verfassungswidriger, namentlich in willkürlicher Weise ermittelt haben soll (Art. 97 Abs. 1 und Art. 118 BGG), wenn sie keine weiteren Kosten der Beschwerdeführer als Aufwand anerkannte.
4.
Sodann werfen die Beschwerdeführer dem Obergericht vor, es habe sowohl ihre Rüge der Verletzung des Armenrechts im erstinstanzlichen Verfahren als auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das obergerichtliche Verfahren in willkürlicher Weise "abgeschmettert". Sie machen in diesem Zusammenhang eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 und 3 BV sowie weiterer bereits erwähnter Normen (s. E. 3.2 ) geltend. Keiner der angerufenen Bestimmungen lässt sich entnehmen, dass die Beschwerdeführer einen bedingungslosen Anspruch darauf hätten, in einem Verfahren des Kindes- und Erwachsenenschutzes vom Gemeinwesen ohne weiteres unterstützt zu werden. Insbesondere der Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung besteht nur unter qualifizierten Voraussetzungen. Neben den Anspruchsvoraussetzungen der Bedürftigkeit der Gesuch stellenden Person und der fehlenden Aussichtslosigkeit ihrer Rechtsbegehren setzt der Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung voraus, dass ohne diese Hilfe keine Garantie mehr für ein faires Verfahren besteht. Die Beschwerdeführer irren sich, wenn sie glauben, dass dieser Anspruch allein deshalb in Frage gestellt bzw. verletzt ist, weil sie sich einer professionalisierten Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde gegenübersehen.
5.
Die Beschwerdeführer werfen der Vorinstanz schliesslich vor, keine Verletzung der Verfassung und des Völkerrechts wegen der Dauer des Verfahrens festgestellt zu haben. Dabei wiederholen sie ihre vor Vorinstanz gemachten Vorwürfe, ohne sich mit der Begründung im vorinstanzlichen Entscheid näher auseinanderzusetzen. Damit genügen die Beschwerdeführer den gesetzlichen Anforderungen an die Beschwerdebegründung (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 60) nicht. Auf den Vorwurf, wonach der Bezirksrat seinen Entscheid nicht in angemessener Frist gefällt hat und die Vorinstanz dies förmlich festzustellen gehabt hätte, kann deshalb nicht eingetreten werden. Damit kann offenbleiben, ob das Verfahren tatsächlich zu lange gedauert hat bzw. ob nicht auch die Beschwerdeführer die behaupteten Verzögerungen zumindest teilweise selbst zu verantworten haben (vgl. dazu Urteil 5A_834/2013 E. 6 in fine).
6.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Als unterliegende Parteien haben die Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Den besonderen Umständen des Falls entsprechend werden die Gerichtskosten einzig dem Beschwerdeführer 1 auferlegt. Damit ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege in Bezug auf den Beschwerdeführer 2 gegenstandslos. Im Übrigen musste die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos erscheinen. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch des Beschwerdeführers 1 ist deshalb abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer 1 auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird X._ und A._, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Kreis Bülach Nord und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juli 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn