Sachverhalt:
A. Der im Kanton Nidwalden wohnhafte J._ war in der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (nachfolgend: OKP) bei der KPT Krankenkasse AG (nachfolgend: Krankenkasse; KPT) und für Leistungen "allgemeine Abteilung ganze Schweiz" bei der KPT Versicherungen AG (nachfolgend: Zusatzversicherer) versichert. Vom 8. bis 14. Juli 2005 unterzog er sich in der allgemeinen Abteilung der swissana clinic meggen im Kanton Luzern einer Hüftimplantation. Die Klinik stellte J._ insgesamt den Betrag von Fr. 14'640.20 in Rechnung (7 Tagespauschalen zu je Fr. 790.- und ein Hüftimplantat zu Fr. 5'458.70 sowie zusätzliche Rechnungen für Arztleistungen, Physiotherapie und Labor). Der von J._ bezahlte gesamte Betrag wurde ihm von den Versicherern vergütet.
Mit Schreiben vom 9. August 2006 teilte die KPT der Klinik mit, laut bundesrätlichem Tarifentscheid vom 4. März 2005 betrage ihre Tagespauschale Fr. 887.- (Kliniktarif von Fr. 493.- plus Arzttarif von Fr. 394.-). Dies ergebe für den Spitalaufenthalt von J._ (inklusive Implantat) den Betrag von Fr. 6'209.-. Darum habe die Klinik von der bereits bezahlten Summe (Fr. 14'640.20) den Differenzbetrag (Fr. 8'431.20) an sie zurückzuerstatten. Sie werde dann die erforderliche Korrektur vornehmen (Rückabwicklung der Abrechnung/Kostenbeteiligung des Versicherten).
B. Nach erfolgloser Vermittlungsverhandlung am 18. Oktober 2006 reichte die KPT am 21. November 2006 beim Schiedsgericht gemäss Art. 89 KVG des Kantons Luzern Klage gegen die Klinik ein. Sie stellte die folgenden Rechtsbegehren:
1. Die swissana clinic meggen sei zu verpflichten, für den Aufenthalt von Herrn J._ auf der allgemeinen Abteilung der swissana clinic vom 8. bis 14. Juli 2005 Rechnung nach dem vom Bundesrat im Entscheid vom 4. März 2005 festgesetzten Kliniktarif von Fr. 493.- pro Tag zu stellen, wobei die Kosten für das Implantat im Kliniktarif enthalten sein müssen.
2. Die swissana clinic meggen sei zu verpflichten, Herrn J._ die über den vom Bundesrat für die obligatorische Krankenpflegeversicherung festgesetzten Kliniktarif hinausgehenden Zahlungen zurückzuerstatten.
Mit Urteil vom 26. Mai 2009 trat das Schiedsgericht auf die Klage wegen fehlender sachlicher Zuständigkeit nicht ein.
C. Die KPT erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt:
1. Das Schiedsgerichtsurteil vom 26. Mai 2009 sei aufzuheben.
2. Die swissana clinic meggen sei zu verpflichten, für den Aufenthalt von Herrn J._ auf der allgemeinen Abteilung der swissana clinic vom 8. bis 14. Juli 2005 Rechnung nach dem vom Bundesrat im Entscheid vom 4. März 2005 festgesetzten Kliniktarif von Fr. 493.- pro Tag zu stellen, wobei die Kosten für das Hüftimplantat im Kliniktarif gemäss den anrechenbaren Kosten enthalten sein müssen.
3. Die swissana clinic meggen sei zu verpflichten, Herrn J._ die über den vom Bundesrat für die obligatorische Krankenpflegeversicherung festgesetzten Tarif hinausgehenden Zahlungen zurückzuerstatten.
Vorinstanz und Klinik beantragen Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Schiedsgericht gemäss Art. 89 KVG des Kantons Luzern beurteilt Streitigkeiten zwischen Versicherern und Leistungserbringern, welche die obligatorische Krankenpflegeversicherung und die freiwillige Taggeldversicherung betreffen (Art. 89 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 1a Abs. 1 KVG).
1.2 Partei im Verfahren vor dem Schiedsgericht kann nach der Definition des Versicherers in den Art. 11-13 KVG nur die KPT Krankenkasse AG als Betreiberin der OKP sein, nicht hingegen ihre KPT/CPT-Gruppen-Schwester KPT Versicherungen AG als Zusatzversicherer.
1.3 Die Beschwerdeführerin firmiert in der Beschwerde zwar unter dem Namen KPT Krankenkasse AG, sie argumentiert aber bisher im Verfahren verschiedentlich aus der Sicht und Interessenlage der KPT/CPT-Gruppe oder der KPT Versicherungen AG. Das schadet aber nicht, da auch die Beschwerdeführerin als Krankenversichererin die Frage nach der Tragweite des Tarifschutzes aufwerfen kann (<ref-ruling> E. 2.5; Urteil 9C_383/2009 vom 9. März 2010 E. 1.3).
2. Streitig ist aufgrund des Rechtsbegehrens, ob die Klinik verpflichtet sei, für den Aufenthalt des Versicherten auf der allgemeinen Abteilung die Rechnung nach dem vom Bundesrat am 4. März 2005 festgesetzten OKP-Kliniktarif zu stellen, und ob sie die darüber hinaus erbrachten Zahlungen zurückerstatten müsse.
2.1 Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Nichteintretensentscheid; darin ist - auch nicht im Sinne einer Eventualbegründung - das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren nicht materiell geprüft worden. Die Vorinstanz hat dazu lediglich erwogen, die Klägerin bestreite nicht, einen Betrag von Fr. 6'209.- zu schulden bzw. den bereits bezahlten Betrag in dieser Höhe anzuerkennen. Auch die beklagte Klinik anerkenne diesen im Rahmen des behördlich geregelten Tarifs bzw. im Rahmen der OKP. Da der behördlich festgelegte Tarif gemäss KVG unstrittig sei, sei nicht weiter zu untersuchen, welche Leistungen damit abgegolten sind. Denn die Pauschalen bezögen sich "nicht auf Grundversicherung und Zusatzversicherung" sondern allein auf Leistungen im Rahmen der Grundversicherung gemäss KVG. Die Klägerin könne sich in diesem Rahmen auf den Tarifschutz berufen. Jener erstrecke sich indes nicht auf den über die obligatorische Grundversicherung hinausgehenden Vertrag und decke nicht Leistungen, die mangels KVG-Deckung durch die Patienten selber oder durch Zusatzversicherungen getragen werden. Ob die Klinik weitere Geldleistungen gegenüber der Klägerin geltend machen könne, sei eine Frage, welche im Rahmen der Zusatzversicherung zu beurteilen sei. Dafür sei das Schiedsgericht nicht zuständig und deshalb habe es auf die Klage nicht einzutreten.
2.2 In einer solchen Verfahrenssituation kann Anfechtungsobjekt der Beschwerde an das Bundesgericht (Art. 82 lit. a und Art. 90 BGG) einzig der Nichteintretensentscheid sein (Art. 90 BGG). Das Bundesgericht hat nur zu prüfen, ob die Vorinstanz zu Recht auf die bei ihr erhobene Klage nicht eingetreten ist (<ref-ruling> E. 1.1 S. 76). Auf die in Ziff. 2 und 3 des Rechtsbegehrens gestellten Anträge ist hingegen nicht einzutreten, da dies eine Auseinandersetzung mit der materiellrechtlichen Seite bedingt, die hier prozessual ausscheidet. Zu prüfen ist einzig der in Ziff. 1 gestellte Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheides.
3. Der Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen (Nichteintretens-)Entscheides wird von der Beschwerdeführerin damit begründet, sie habe ein schutzwürdiges Interesse daran, weil es hier im Wesentlichen um die Frage gehe, ob der Tarifschutz nach Art. 44 KVG bei ausserkantonalen, nicht medizinisch indizierten Wahlbehandlungen in der allgemeinen Abteilung eines auf der Spitalliste des Standortkantons aufgeführten, privat finanzierten Spitals anwendbar ist. Dazu, ob der festgesetzte Tarif sich auf inner- wie auch ausserkantonale Patienten beziehe bzw. ein Tarifunterschied für die beiden Kategorien zulässig sei, äussere sich der bundesrätliche Tarifentscheid vom 4. März 2005 nämlich nicht. Ein entsprechendes Erläuterungsbegehren der Klinik sei vom Bundesrat abgewiesen worden.
3.1 Zunächst ist unbestritten, dass hier eine Wahloperation in der allgemeinen Abteilung eines nicht öffentlich finanzierten ausserkantonalen Listenspitals mit entsprechendem Leistungsauftrag durchgeführt worden ist; auch steht fest, dass für die ausserkantonale Behandlung nicht medizinische Gründen den Ausschlag gaben, da die Leistung im Kantonsspital des Wohnkantons angeboten wird (Art. 41 Abs. 2 lit. a KVG e contrario).
3.2 Jedoch besteht ein enger Zusammenhang zwischen der materiellrechtlichen und der zuständigkeitsrechtlichen Frage: Die Zuständigkeit des Schiedsgerichts ist vom Klagebegehren und dessen Fundament abhängig. Bildet jenes wie hier der Tarifschutz, ist die Zuständigkeit des Schiedsgerichts gegeben (<ref-ruling> E. 2.5.4 S. 356; <ref-ruling> E. 1.2 S. 445).
3.3 Vorinstanz und Beschwerdegegnerin berufen sich auf <ref-ruling>. Dort hatte das Bundesgericht die Zuständigkeit des Schiedsgerichts verneint, weil weder der Umfang der Grundversorgung noch die Leistungspflicht des Grundversicherers noch der Umfang des Tarifschutzes nach Art. 44 KVG umstritten war, sondern einzig das Ausmass einer Vergütung, die unbestritten nicht von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zu bezahlen war (E. 2.4 S. 274). Im Unterschied zu jenem Fall geht es hier aber um eine Tariffrage nach KVG: Auch wenn die ausserkantonale Wahlbehandlung als solche nicht eine Pflichtleistung darstellt, so haben doch die Versicherten in diesem Falle Anspruch auf Leistungen aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung im Rahmen von Art. 41 Abs. 1 Satz 3 KVG (in der bis Ende 2008 geltenden Fassung). Die Beschwerdeführerin hatte in ihrer Klage beantragt, es sei der Kliniktarif von Fr. 493.- (inklusive Kosten des Implantats) in Rechnung zu stellen, welcher vom Bundesrat am 4. März 2005 festgelegt worden war. Sie vertrat dabei die Auffassung, dieser Tarif sei auch auf ausserkantonale Patienten anwendbar. Die Beschwerdegegnerin stellte sich demgegenüber auf den Standpunkt, der vom Bundesrat festgelegte Tarif sei nur für Kantonseinwohner anwendbar; für ausserkantonale Versicherte sei mangels eines festgelegten Tarifs ein Referenztarif festzulegen. Im Unterschied zu <ref-ruling> ist hier somit nach der Klage- und Beschwerdebegründung umstritten und nicht rechtsverbindlich geklärt, welcher OKP-Tarif im konkreten Fall einer ausserkantonalen Wahlbehandlung für die allgemeine Abteilung der Beschwerdegegnerin massgebend ist. Dieser Streit fällt in die Zuständigkeit des Schiedsgerichts. Dass die Höhe des anwendbaren KVG-Tarifs auch Auswirkungen auf die Höhe der vom Patienten bzw. seiner Zusatzversicherung zu leistenden Vergütung haben kann, ändert daran nichts (vgl. <ref-ruling> E. 2.5.4 S. 356). Die Sache ist somit zum materiellen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid des Schiedsgerichts gemäss Art. 89 KVG des Kantons Luzern vom 26. Mai 2009 wird aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie über die Klage materiell entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Schiedsgericht gemäss Art. 89 KVG und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. März 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Schmutz