Sachverhalt:
A.
X._ und A._ sind die Eltern von B._ (Jg. 1998). Mit Verfügung vom 21. August 2012 erteilte die Vormundschaftsbehörde C._ den Eheleuten D._ gestützt auf einen Pflegevertrag vom 26. Juli 2012 die Bewilligung, B._ per 1. August 2012 in Pflege aufzunehmen.
B.
B.a. Am 10. September 2012 legte X._ beim Kantonalen Vormundschaftsamt Basel-Landschaft Beschwerde ein. Vertreten durch Advokatin E._, liess sie beantragen, die Verfügung vom 21. August 2012 aufzuheben und ihr die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu bewilligen. Gleichentags kündigte sie auch den Pflegevertrag vom 26. Juli 2012. In ihrer Beschwerdebegründung vom 15. Oktober 2012 liess X._ ausführen, dass sie den Antrag um unentgeltliche Verbeiständung zurückziehe, denjenigen um Befreiung von den Verfahrenskosten jedoch aufrechterhalte.
B.b. Nach Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 19. Dezember 2008 über die Änderung des ZGB (Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht) am 1. Januar 2013 (AS 2011 725) überwies das Kantonale Vormundschaftsamt X._s Beschwerde zuständigkeitshalber dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht. Im Zuge der Gesetzesrevision wurde die Vormundschaftsbehörde C._ von der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Y._ (KESB) abgelöst.
B.c. Auf Antrag der Parteien sistierte das Kantonsgericht das Beschwerdeverfahren am 22. Februar 2013 bis zum 30. April 2013 bzw. bis zum Widerruf durch eine der Parteien. Mit Entscheid vom 22. April 2013 ernannte die KESB F._ als Erziehungsbeiständin für B._. Gestützt auf einen Antrag der KESB verlängerte das Kantonsgericht am 3. Juni 2013 die Sistierung des Verfahrens bis zum 30. September 2013 bzw. bis zum Widerruf durch eine der Parteien. A._ erklärte sich damit einverstanden. X._, nunmehr durch Advokat G._ vertreten, liess sich dahin gehend vernehmen, dass sie mit der Sistierung einverstanden sei, jedoch eine Wiedererwägung des angefochtenen Entscheides als angebracht erachte. Ihre Tochter sei am 14. Juni 2013 mit Hilfe der Beiständin bei den Pflegeeltern ausgezogen und wohne seither wieder bei ihr (Eingabe vom 18. Juni 2013). Mit Schreiben vom 25. September 2013 teilte die Beschwerdeführerin dem Kantonsgericht mit, sie sei nicht mehr anwaltlich vertreten. In ihrer Stellungnahme vom 27. September 2013 führte die KESB aus, das Pflegeverhältnis sei per Mitte Juni 2013 aufgelöst worden.
B.d. Mit Verfügung vom 9. Oktober 2013 schrieb die Abteilungspräsidentin des Kantonsgerichts das Verfahren als gegenstandslos ab. Sie entschied, dass keine Verfahrenskosten erhoben und die Parteikosten wettgeschlagen werden.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 9. November 2013 (Datum der Postaufgabe) wendet sich X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie stellt das Begehren, die Verfügung vom 9. Oktober 2013 (s. Bst. B.d ) dahin gehend abzuändern, dass "über die Kosten neu zu befinden sei" bzw. ihr als obsiegender Partei "für den Beizug eines Anwaltes oder einer Anwältin eine angemessene Parteientschädigung zulasten der Gegenpartei zugesprochen werde" (Ziffer 1). Unter Ziffer 2 formuliert sie das Begehren, "es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung aufgrund versehentlicher oder willkürliche[r] Nichtberücksichtigung erheblicher Tatsachen im Sachverhalt".
Das Bundesgericht hat die Vorinstanz und die KESB Y._ zur Stellungnahme eingeladen. Das Kantonsgericht erklärt mit Schreiben vom 20. Februar 2014, auf eine Vernehmlassung zu verzichten. Die Eingabe wurde der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt. Die KESB hat die Vernehmlassungsfrist ungenutzt verstreichen lassen.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid, mit dem die Vorinstanz das Beschwerdeverfahren zufolge Gegenstandslosigkeit abschreibt, ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). In der Sache drehte sich der Streit um die Bewilligung zur Aufnahme eines Pflegekindes, also um einen öffentlich-rechtlichen Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) und nicht vermögensrechtlicher Natur ist. Die rechtzeitig (<ref-law>) erhobene Beschwerde in Zivilsachen ist deshalb unabhängig vom Streitwert zulässig, auch soweit sich die Beschwerdeführerin dagegen wehrt, dass ihr das Kantonsgericht keine Parteientschädigung zuspricht (vgl. Urteil 5A_963/2013 vom 15. Januar 2014 E. 1 mit Hinweisen). Für die zugleich erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt kein Platz (<ref-law>).
2.
2.1. Das Zivilgesetzbuch regelt in Art. 450-450e ZGB verschiedene Aspekte des Verfahrens vor dem Gericht, das die Beschwerden gegen Entscheide der Erwachsenenschutzbehörde beurteilt. Diese Normen gelten auch in denjenigen Fällen, in denen die Erwachsenenschutzbehörde die Aufgaben der Kindesschutzbehörde wahrnimmt (<ref-law>; vgl. vgl. Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7074 und 7083). Sie äussern sich aber nicht zur Frage, wann ein Beschwerdeverfahren als gegenstandslos abzuschreiben ist. Ebenso wenig geben sie Aufschluss darüber, unter welchen Voraussetzungen die Beschwerde führende Partei im Falle einer Abschreibung zufolge Gegenstandslosigkeit Anspruch auf eine Parteientschädigung hat, wie sie die Beschwerdeführerin fordert. Diesbezüglich sind die Bestimmungen der Zivilprozessordnung sinngemäss anwendbar, soweit die Kantone nichts anderes bestimmen (<ref-law>). Der Kanton Basel-Landschaft hat von dieser Möglichkeit Gebrauch gemacht. In § 66 Abs. 2 seines Gesetzes über die Einführung des Zivilgesetzbuches vom 16. November 2006 (SGS 211) erklärt er die Bestimmungen des kantonalen Verwaltungsprozessrechts für anwendbar.
2.2. Die Verletzung kantonalen Rechts ist auch im ordentlichen Beschwerdeverfahren - abgesehen von hier nicht gegebenen Ausnahmen (Art. 95 lit. c-e BGG) - kein Beschwerdegrund vor Bundesgericht. Diesbezüglich kann die Beschwerdeführerin lediglich geltend machen, die Anwendung des kantonalen Rechts durch die Vorinstanz verletze das Bundesrecht im Sinne von <ref-law> - namentlich das Willkürverbot (<ref-law>) oder andere verfassungsmässige Rechte - oder das Völkerrecht im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 466; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.). Soweit die Verletzung verfassungsmässiger Rechte in Frage steht, gilt das Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
3.
3.1. In der Sache wirft die Beschwerdeführerin dem Kantonsgericht sinngemäss vor, es habe sich mit der Abschreibung des Beschwerdeverfahrens um eine gerichtliche Beurteilung des Sachverhalts gedrückt. Das Pflegeplatzverhältnis habe das Wohl ihres Kindes gefährdet und gegen die Pflegekinderverordnung verstossen, weshalb die Beschwerde zu Recht erfolgt sei. Die KESB habe nachträglich die Kostenübernahme mit den zuständigen kantonalen Dienststellen geregelt und der Pflegefamilie trotz ordentlicher Kündigung des Pflegevertrages per 31. Dezember 2012 weiterhin Pflegegeld in der Höhe von Fr. 1'200.-- ausbezahlt. Angesichts dessen sei davon auszugehen, dass die KESB die Beschwerde in der Absicht anerkannt habe, eine Überprüfung der "gesetzesverstossenden Pflegeplatzbewilligung" und die "Aufdeckung der unterlassenen Aufsichtspflicht" zu vermeiden. Dieses Vorgehen entspreche nicht den Erfordernissen der am 1. Januar 2013 in Kraft getretenen Gesetzesrevision (s. Sachverhalt Bst. B.b). Zugleich werde ihr schutzwürdiges Interesse missachtet, für das Wohl ihres minderjährigen Kindes zu sorgen, und damit die Menschenrechtskonvention verletzt, so die These der Beschwerdeführerin.
3.2. Die Einwände sind unbehelflich. Ob der angefochtene Entscheid der bundesgerichtlichen Überprüfung standhält, beurteilt sich zunächst anhand seines Ergebnisses. Dass der ursprünglich angefochtene Entscheid vom 21. August 2012 im Verlaufe des Beschwerdeverfahrens im Umfang des Streitgegenstands vorbehaltlos rückgängig gemacht, ihren Rechtsbegehren vollumfänglich entsprochen und das Beschwerdeverfahren vor dem Kantonsgericht damit gegenstandslos wurde, stellt die Beschwerdeführerin nicht in Abrede. Mit anderen Worten macht sie nicht geltend, dass sich die von ihr vorgetragenen Unterstellungen auf das Ergebnis des angefochtenen Entscheids ausgewirkt haben. Sind die behaupteten Fehler aber ohne praktische Relevanz, so kann es nicht Aufgabe des Bundesgerichts sein, auf die Abschreibungsverfügung zurückzukommen und die Begründetheit des kantonalen Rechtsmittels zu überprüfen. Soweit die Beschwerdeführerin die Widerrechtlichkeit der Platzierung von B._ in der Pflegefamilie bzw. die Verletzung der durch die Europäische Menschenrechtskonvention garantierten Rechte feststellen lassen will, ist sie auf die Verantwortlichkeitsklage nach <ref-law> zu verweisen (s. das zur Publikation vorgesehene Urteil 5A_815/2013 vom 9. Januar 2014 E. 2.2).
4.
4.1. Anlass zur Beschwerde gibt weiter der Entscheid über die Parteientschädigung der Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren. Die Beschwerdeführerin beruft sich darauf, sie sei bis zur Anerkennung der Beschwerde bzw. bis zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids durch die KESB im Juni 2013 anwaltlich vertreten gewesen. Ihr Anwalt sei in die Bemühungen der KESB involviert gewesen. Gemäss seiner Honorarnote seien für das Verfahren vor der KESB Parteikosten von Fr. 7'581.30 entstanden, wovon ihre Rechtsschutzversicherung Fr. 5'000.-- übernommen habe. Die ungedeckten Kosten von Fr. 2'581.30 seien der KESB aufzuerlegen, da diese den Anwalt für ihre Abklärungen involviert habe. Zumindest sinngemäss erhebt die Beschwerdeführerin mit den zitierten Vorbringen die Rüge, dass es offensichtlich unrichtig bzw. nicht nachvollziehbar sei, wenn das Kantonsgericht sie als "nicht mehr anwaltlich vertreten" betrachte, obwohl sie bis zu den Ereignissen, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens führten, die Hilfe eines Rechtsanwalts in Anspruch genommen habe. Die Vorwurf ist begründet:
4.2. Das Kantonsgericht selbst stellt fest, die KESB habe die Beschwerde im Verlaufe des kantonalen Beschwerdeverfahrens anerkannt. Bei der Beschwerdeanerkennung "gelte" die anerkennende Behörde als "unterliegende Partei" und werde dementsprechend grundsätzlich kosten- und entschädigungspflichtig. Ob das Kantonsgericht damit sagen will, dass die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde im kantonalen Verfahren als "Partei" auftrete und in dieser Rolle "unterliege", braucht an dieser Stelle nicht erörtert zu werden. Wie es sich damit verhält, ist eine Frage des kantonalen Rechts (s. E. 2.2) und für den Ausgang des Prozesses nicht ausschlaggebend. Denn vor Bundesgericht ist auch vom Kantonsgericht unbestritten, dass jedenfalls die Beschwerdeführerin mit Blick auf die Kostenregelung als obsiegende Partei anzusehen ist. Nun entspricht es aber einem allgemeinen Prinzip, dass sich der Prozessgewinn einer Partei auch in der Liquidation der Gerichts- und Parteikosten eines Rechtsmittelverfahrens zu Gunsten dieser Partei auswirken muss (s. Urteil 4A_521/2008 vom 26. Februar 2009 E. 10.2). Allerdings steht dem Richter im Rahmen dieses Grundsatzes ein weites Ermessen bei der Regelung der Kostenfolgen zu. Das zeigt auch § 21 Abs. 1 des kantonalen Gesetzes über die Verfassungs- und Verwaltungsprozessordnung vom 16. Dezember 1993 (VPO-BL; SGS 271), auf den das Kantonsgericht hinweist: Dieser Vorschrift zufolge "kann" der obsiegenden Partei für den Beizug eines Anwalts eine angemessene Parteientschädigung zugesprochen werden. Will der Richter die obsiegende Partei in dieser Hinsicht aber - wie hier - ganz und gar leer ausgehen lassen, so muss er die Gründe für diese Abweichung vom Normalfall klar und deutlich offenlegen (Urteil 5A_17/2013 vom 6. August 2013 E. 6.2 und 6.5.2). Davon kann im vorliegenden Fall nicht die Rede sein:
Wie sich aus dem angefochtenen Entscheid ergibt, liess sich die Beschwerdeführerin für die Erhebung und die Begründung ihrer Beschwerde (Eingaben vom 10. September und 15. Oktober 2012) anwaltlich vertreten. Ebenso betraute sie ihren Anwalt mit der Ausarbeitung ihres Sistierungsgesuchs vom 21. Februar 2013 und ihrer Eingabe vom 18. Juni 2013 (s. Sachverhalt Bst. B.a und B.c). Dass der Beschwerdeführerin dadurch Prozesskosten entstanden sind, anerkennt auch das Kantonsgericht. Sein Urteilsspruch lautet nämlich, dass die Parteikosten "wettgeschlagen" werden, also jede Partei ihre eigenen Parteikosten selbst trägt. Unter diesen Umständen verstrickt sich das Kantonsgericht in einen offensichtlichen Widerspruch, wenn es der Beschwerdeführerin die - schon im Rahmen der Beschwerde vom 10. September 2012 beantragte - Parteientschädigung mit dem blossen Hinweis verweigert, sie sei "vorliegend nicht mehr anwaltlich vertreten". Allein der Umstand, dass eine Partei das Mandatsverhältnis zu ihrer Prozessvertretung im Zeitpunkt des Kostenentscheids bereits beendet hat (s. Sachverhalt Bst. B.c), kann von vornherein kein sachlicher, das heisst vernünftiger Grund sein, dieser Partei eine Entschädigung zu verweigern, wenn zugleich feststeht, dass diese Person im fraglichen Verfahren als obsiegende Partei zu gelten hat und eine ganze Reihe wichtiger Prozesshandlungen durch einen Rechtsanwalt vornehmen liess. Das Kantonsgericht setzt sich ohne weitere Erklärungen darüber hinweg und behandelt die Beschwerdeführerin, als hätte sie ihren Prozess alleine geführt bzw. als wäre ihr gar kein Aufwand für eine Prozessvertretung entstanden. Damit hat sie das Ermessen, das ihr beim Entscheid über die Entschädigungspflicht zusteht, in offensichtlich unhaltbarer Weise ausgeübt und einen auch im Ergebnis willkürlichen (<ref-law>) Entscheid gefällt (zum Willkürbegriff vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
5.
So wie ihn das Kantonsgericht gefällt und begründet hat, erweist sich der vorinstanzliche Entscheid über die Parteientschädigung der Beschwerdeführerin nach dem Gesagten als verfassungswidrig. Allerdings kann das Bundesgericht nicht selbst darüber befinden, ob und gegebenenfalls in welcher Höhe der Beschwerdeführerin für das vorinstanzliche Verfahren tatsächlich eine Entschädigung zusteht. Denn es ist nicht seine Aufgabe, in dieser Frage sein eigenes Ermessen an die Stelle desjenigen des Kantonsgerichts zu setzen. Der angefochtene Entscheid ist deshalb in teilweiser Gutheissung der Beschwerde im Entschädigungspunkt aufzuheben. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie in pflichtgemässer Ausübung ihres Ermessens über den Antrag der Beschwerdeführerin auf Ausrichtung einer Parteientschädigung befinde. Bei diesem Ausgang des Verfahrens erscheint es angebracht, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Y._ hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>). Auch der anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdeführerin ist keine Parteientschädigung geschuldet. Sie behauptet nämlich nicht, dass ihr durch das bundesgerichtliche Verfahren ein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden wäre.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Ziffer 3 der Verfügung des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, vom 9. Oktober 2013 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB Y._ und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. März 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn