Sachverhalt:
A. A.a X._ ist der Vater der am 4. Juli 2006 geborenen Z._. Die verbeiständete Tochter (Klägerin) klagte am 4. April 2007 beim Bezirksgericht Zürich gegen X._ (Beklagter) auf Zahlung von Unterhalt. Im Anschluss an die mündliche Hauptverhandlung vom 12. September 2007 setzte der Einzelrichter dem Beklagten Frist, um sich zu einem bestimmten Thema ergänzend zu äussern. Mit einer undatierten, beim Gericht am 10. Dezember 2007 eingegangenen Eingabe verlangte der Beklagte den Ausstand von Bezirksrichter W._.
A.b Mit Verfügung und Urteil vom 18. April 2008 gab der abgelehnte Einzelrichter die gewissenhafte Erklärung im Sinn von § 100 Abs. 1 GVG/ZH ab, dass kein Ausstandsgrund vorliege, überwies die Akten des Verfahrens der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich, gewährte der Klägerin die unentgeltliche Rechtspflege, wies das entsprechende Gesuch des Beklagten ab und verpflichtete diesen, an den Unterhalt der Klägerin nebst allfälligen gesetzlichen oder vertraglichen Kinderzulagen monatlich und zum voraus Fr. 1'200.-- zu entrichten, zahlbar ab Geburt der Klägerin an ihren gesetzlichen Vertreter, nach Erreichen der Mündigkeit an die Klägerin selbst. Das Urteil sah die Indexierung des Unterhaltsbeitrages vor.
A.c Der Beklagte gelangte gegen dieses Urteil mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich mit den Begehren, die Klage abzuweisen, eventuell ein Beweisverfahren durchzuführen, subeventuell die Sache zur Durchführung des Beweisverfahrens an die erste Instanz zurückzuweisen. Ferner stellte er den Antrag, ihm die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren.
A.d Die Verwaltungskommission trat am 4. Juni 2008 auf das Ablehnungsbegehren nicht ein und gab dieses an die mit der Berufung befasste II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich weiter.
A.e Mit Beschluss vom 22. August 2008 trat diese Kammer auf das Ausstandsbegehren gegen den Bezirksrichter nicht ein, gab dem Gesuch des Beklagten um unentgeltliche Prozessführung für das Rekursverfahren (betreffend die Ausstandsfrage) nicht statt, wies ferner den Rekurs des Beklagten gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung und Vertretung ab und bestätigte den diesbezüglichen Entscheid des Einzelrichters. Sodann wurde das Gesuch des Beklagten um unentgeltliche Prozessführung für das Berufungsverfahren abgewiesen. In der Sache wurde der Beklagte verpflichtet, der Klägerin nebst den gesetzlichen oder vertraglichen Kinderzulagen bis zum Abschluss einer angemessenen Ausbildung, mindestens jedoch bis zu ihrer Mündigkeit, Fr. 1'200.-- pro Monat zu entrichten, zahlbar ab Geburt der Klägerin monatlich und im Voraus an ihren jeweiligen Vertreter, nach Erreichen der Mündigkeit an die Klägerin selbst. Ferner sah das Urteil eine Indexierung des Unterhaltsbeitrages vor. Die Regelung der Kosten und Entschädigungsfolgen für das erstinstanzliche Verfahren wurden bestätigt, die Kosten des Berufungsverfahrens dem Beklagten auferlegt. Für das Berufungsverfahren sprach das Obergericht keine Prozessentschädigung zu.
B. Mit Zirkulationsbeschluss vom 24. August 2009 wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich die gegen den obergerichtlichen Beschluss erhobene Nichtigkeitsbeschwerde ab, soweit darauf einzutreten war, auferlegte die Kosten des Kassationsverfahrens dem Beklagten, wies dessen Gesuch um unentgeltliche Prozessführung für das Kassationsverfahren ab und sprach für das Kassationsverfahren keine Umtriebsentschädigungen zu.
C. Der Beklagte hat in einer am 9. Oktober 2009 der Post übergebenen Eingabe beim Bundesgericht gegen den obergerichtlichen Beschluss und den kassationsgerichtlichen Zirkulationsbeschluss Beschwerde geführt. Er beantragt, es sei in öffentlicher Urteilsverkündung festzustellen, dass der erstinstanzliche Richter befangen sei; eventuell sei die Sache zur Durchführung des entsprechenden Verfahrens und der verlangten Feststellung an die Verwaltungskommission zurückzuweisen. Ferner wird beantragt, den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 24. August 2009 sowie den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 22. August 2008 aufzuheben und die Klage abzuweisen. Für sämtliche kantonalen Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen und ihm Rechtsanwalt U._ als unentgeltlichen Rechtsbeistand zu bestellen. Auch für das Verfahren vor Bundesgericht ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege.
In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Z._ hat sich am 23. Oktober 2009 zum Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung vernehmen lassen. Sie ersucht ebenso um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet.
D. Mit Verfügung vom 4. November 2009 ist der Beschwerde hinsichtlich der bis und mit September 2009 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer beantragt, dass über die Beschwerde mit Bezug auf die Ausstandsfrage in einer öffentlichen Verhandlung entschieden werde.
Weder <ref-law> noch Art. 6 Ziff. 1 EMRK verleihen ihm einen absoluten Anspruch auf eine öffentliche Verhandlung. Diese Bestimmungen verlangen einzig, dass wenn eine Verhandlung stattzufinden hat, diese öffentlich sein muss (<ref-ruling> E. 2.6 S. 293 f.). Nach <ref-law> berät das Bundesgericht den Entscheid mündlich, wenn der Abteilungspräsident, bzw. die Abteilungspräsidentin dies anordnet, ein Richter bzw. eine Richterin dies verlangt (lit. a ) oder wenn sich keine Einstimmigkeit ergibt (lit. b). In den übrigen Fällen entscheidet das Bundesgericht auf dem Weg der Aktenzirkulation (<ref-law>). Im vorliegenden Fall ist keine der in <ref-law> genannten Voraussetzungen erfüllt, sodass von einer öffentlichen Beratung abgesehen und im Zirkulationsverfahren entschieden werden kann. Dem Gesuch auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung ist nicht zu entsprechen.
2. 2.1 Angefochten sind zwei Beschlüsse, die zur Hauptsache den Unterhalt des Kindes betreffen. Es liegt damit eine Zivilsache vermögensrechtlicher Natur vor (<ref-law>, <ref-law>; <ref-ruling> E. 2b S. 495), wobei der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- angesichts der Dauer des strittigen Unterhaltsbeitrages von Fr. 1'200.-- pro Monat ohne weiteres gegeben ist (<ref-law>).
2.2 Der Beschwerdeführer hat innert der Beschwerdefrist gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 24. August 2009 Beschwerde erhoben und in der gleichen Eingabe auch den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 22. August 2008 angefochten. Gegen beide Beschlüsse ist somit rechtzeitig Beschwerde erhoben worden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 586). Soweit der Beschwerdeführer die Bestimmungen über den Ausstand bzw. über die unentgeltliche Rechtspflege als verletzt rügt oder den Sachverhalt als willkürlich beanstandet, ist die Beschwerde in Zivilsachen einzig gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts zulässig, prüft doch das Kassationsgericht die entsprechenden Rügen nicht mit geringerer Kognition als das Bundesgericht (Art. 281 Ziffern 1 und 2 ZPO/ZH; <ref-ruling> E. 3 E. 3.4 S. 587 f.; <ref-law>). In diesem Bereich gilt daher einzig der Beschluss des Kassationsgerichts als letztinstanzlich (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 128; 133 II 585 E. 3 S. 586 ff.; Urteil 5A_316/2009 vom 2. Juli 2009 E. 1). Gegen den obergerichtlichen Beschluss ist die Beschwerde somit nur zulässig, soweit damit eine unrichtige Anwendung von materiellem Bundesrecht geltend gemacht wird. Das Bundesgericht prüft im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen Bundesrecht grundsätzlich frei (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) und die Kassationsbeschwerde ist somit ausgeschlossen (<ref-law>/ZH).
2.3 Die Beschwerde ist zu begründen (<ref-law>). Mit ihr ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie vom Obergericht verletzt worden sein sollen. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 749; 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Verfassungsverletzungen werden nur geprüft, wenn sie gerügt und gehörig begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287; <ref-ruling> E. 3.2. S. 88 mit Hinweisen). Aufgrund des für behauptete Verfassungsverletzungen geltenden Rügeprinzips sind neue rechtliche Vorbringen unzulässig (<ref-ruling> E. 2 S. 640). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) zustande gekommen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein. In der Beschwerde in Zivilsachen dürfen überdies keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (<ref-law>). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3 S. 395).
2.4 Die Ausführungen in der Beschwerde entsprechen diesen Begründungsanforderungen über weite Strecken nicht, zumal der Beschwerdeführer zum grossen Teil nicht zwischen Rügen gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts und jenen gegen den Beschluss des Obergerichts unterscheidet. Im Allgemeinen, aber insbesondere im Zusammenhang mit dem Einkommen wird nicht rechtsgenüglich durch Argumentation anhand der Erwägungen des Kassationsgerichts aufgezeigt, inwiefern dieses bei der Feststellung des Sachverhalts Willkür bzw. eine anderweitige Bundesrechtsverletzung zu Unrecht verneint hat. Soweit die Beschwerde den genannten Begründungsanforderungen nicht entspricht, kann darauf nicht eingetreten werden. Das Gesagte gilt zum Teil auch für die Beschwerde gegen den obergerichtlichen Beschluss. Im Übrigen wird bei der Behandlung der einzelnen Punkte darauf eingegangen.
3.1 3.1.1 Im vorliegenden Fall hat nicht die Verwaltungskommission des Obergerichts, sondern die mit der Berufung in der Sache befasste Kammer des Obergerichts über das Ausstandsbegehren entschieden. Der Beschwerdeführer macht geltend, nach § 21 der Verordnung des Obergerichts vom 22. Juni 2005 obliege die Aufsicht über die Bezirksgerichte der Verwaltungskommission, die überdies über streitige Ausstandsbegehren gegen die Mitglieder und Ersatzrichter aller der direkten Aufsicht des Obergerichts unterstellten Gerichte und Kommissionen zu entscheiden habe (§ 31 Abs. 4 der Verordnung). Indem die mit der Berufung befasste Kammer des Obergerichts über das streitige Ausstandsbegehren befunden habe, seien die Regeln des GVG und der Verordnung nicht beachtet worden. Das Obergericht sei damit in Willkür verfallen und habe überdies Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt.
3.1.2 Das Kassationsgericht hat dazu erwogen, die Berufungsinstanz überprüfe das Verfahren und den Entscheid der ersten Instanz im Rahmen der Berufungsanträge (<ref-law>/ZH) und sei dabei nicht auf die Beurteilung des erstinstanzlichen Prozessstoffs beschränkt. Sie überprüfe insbesondere auch Angriffs- und Verteidigungsmittel, auf welche die erste Instanz nicht eingetreten sei, überprüfe mithin auch im erstinstanzlichen Verfahren ergangene prozessleitende Entscheide und fälle einen neuen Endentscheid. Aus Gründen der raschen Prozesserledigung und der Kostenersparnis sei im Allgemeinen von einer Rückweisung abzusehen, wenn der Prozess ohne wesentliche Weiterungen von der Berufungsinstanz erledigt werden könne. Die II. Zivilkammer des Obergerichts sei damit als Berufungsinstanz befugt gewesen, den Nichteintretensentscheid der Verwaltungskommission auf das Ausstandsbegehren als erstinstanzlichen prozessleitenden Entscheid im Berufungsverfahren selbst zu überprüfen und auch im Fall der Unrichtigkeit des Nichteintretensentscheids auf eine Rückweisung zu verzichten und über das Ausstandsbegehren selbst zu entscheiden. Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich auseinander. Die Beschwerde vermag demnach in dieser Hinsicht den Begründungsanforderungen von <ref-law> bzw. <ref-law> nicht zu genügen. Darauf ist nicht einzutreten.
3.1.2 Das Kassationsgericht hat dazu erwogen, die Berufungsinstanz überprüfe das Verfahren und den Entscheid der ersten Instanz im Rahmen der Berufungsanträge (<ref-law>/ZH) und sei dabei nicht auf die Beurteilung des erstinstanzlichen Prozessstoffs beschränkt. Sie überprüfe insbesondere auch Angriffs- und Verteidigungsmittel, auf welche die erste Instanz nicht eingetreten sei, überprüfe mithin auch im erstinstanzlichen Verfahren ergangene prozessleitende Entscheide und fälle einen neuen Endentscheid. Aus Gründen der raschen Prozesserledigung und der Kostenersparnis sei im Allgemeinen von einer Rückweisung abzusehen, wenn der Prozess ohne wesentliche Weiterungen von der Berufungsinstanz erledigt werden könne. Die II. Zivilkammer des Obergerichts sei damit als Berufungsinstanz befugt gewesen, den Nichteintretensentscheid der Verwaltungskommission auf das Ausstandsbegehren als erstinstanzlichen prozessleitenden Entscheid im Berufungsverfahren selbst zu überprüfen und auch im Fall der Unrichtigkeit des Nichteintretensentscheids auf eine Rückweisung zu verzichten und über das Ausstandsbegehren selbst zu entscheiden. Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich auseinander. Die Beschwerde vermag demnach in dieser Hinsicht den Begründungsanforderungen von <ref-law> bzw. <ref-law> nicht zu genügen. Darauf ist nicht einzutreten.
3.2 3.2.1 Der Beschwerdeführer macht des Weiteren geltend, gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK sei über Ausstandsbegehren in einer öffentlichen Verhandlung zu entscheiden. Das Kassationsgericht verweise für seine gegenteilige Auffassung lediglich auf seine Rechtsprechung, was den Begründungsanforderungen von Art. 6 Ziff. 1 EMRK und 29 Abs. 2 BV (rechtliches Gehör; Pflicht zur Begründung des Entscheids) nicht genüge. Im Übrigen sei Art. 6 Ziff. 1 EMRK entgegen der Auffassung des Kassationsgerichts auf Ausstandsverfahren anwendbar.
3.2.2 Das Kassationsgericht hat auf seine Praxis verwiesen, wonach Art. 6 Ziff. 1 EMRK auf Ausstandsverfahren nicht zur Anwendung gelange und hat damit ausreichend begründet, weshalb im Fall des Beschwerdeführers auf eine öffentliche Verhandlung verzichtet wird. Der Beschwerdeführer war aufgrund dieser Begründung in der Lage, den Entscheid in dieser Hinsicht sachgerecht anzufechten. Eine Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist nicht auszumachen (zu den Anforderungen an die Begründung des Entscheids: 133 III 439 E. 3.3 S. 445). Sodann hat das Bundesgericht bereits mehrmals, darunter auch in einem den Beschwerdeführer betreffenden Fall, im Sinn des Kassationsgerichts entschieden (Urteile 1P.327/1996 vom 25. September 1996 E. 1b und 1P.428/2001 vom 14. Dezember 2001 E. 2), sodass auch insoweit von einer Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht gesprochen werden kann.
3.2.2 Das Kassationsgericht hat auf seine Praxis verwiesen, wonach Art. 6 Ziff. 1 EMRK auf Ausstandsverfahren nicht zur Anwendung gelange und hat damit ausreichend begründet, weshalb im Fall des Beschwerdeführers auf eine öffentliche Verhandlung verzichtet wird. Der Beschwerdeführer war aufgrund dieser Begründung in der Lage, den Entscheid in dieser Hinsicht sachgerecht anzufechten. Eine Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist nicht auszumachen (zu den Anforderungen an die Begründung des Entscheids: 133 III 439 E. 3.3 S. 445). Sodann hat das Bundesgericht bereits mehrmals, darunter auch in einem den Beschwerdeführer betreffenden Fall, im Sinn des Kassationsgerichts entschieden (Urteile 1P.327/1996 vom 25. September 1996 E. 1b und 1P.428/2001 vom 14. Dezember 2001 E. 2), sodass auch insoweit von einer Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht gesprochen werden kann.
3.3 3.3.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, entgegen der Behauptung des Kassationsgerichts habe er das Ausstandsbegehren nicht zu spät eingereicht, könnten doch entsprechende Begehren nach § 98 GVG grundsätzlich während des gesamten Verfahrens gestellt werden. Im vorliegenden Fall seien nach der emotional und chaotisch geführten Anhörung der Parteien durch den erstinstanzlichen Richter vom 12. September 2007 noch sieben weitere fehlerhafte und in der Folge aufgehobene Beschlüsse vom 24. September 2007 ergangen. Der Beschluss des Kassationsgerichts verletzte die Bestimmungen des GVG, ferner Art. 6 Ziff. 1 EMRK und <ref-law>.
3.3.2 Das Kassationsgericht hat dazu erwogen, ein Ablehnungsbegehren müsse nach Treu und Glauben unverzüglich nach Kenntnisnahme des Ausstandsgrundes gestellt werden. Diesem Erfordernis stehe § 98 GVG nicht entgegen, regele diese Bestimmung doch eine andere Frage, nämlich von wem und bis zu welchem Verfahrensstadium spätestens ein Ablehnungsbegehren gestellt werden könne. Am 10. Dezember 2007 sei das Ablehnungsbegehren verwirkt gewesen, selbst wenn der Beschwerdeführer durch die Beschlüsse vom 24. September 2007 noch von weiteren Ablehnungsgründen erfahren hätte.
3.3.3 Der Beschwerdeführer setzt sich mit dieser Erwägung des Kassationsgerichts nicht rechtsgenüglich auseinander und sagt nicht, inwiefern der angefochtene Beschluss aufgrund dieser Erwägung <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt. Insbesondere geht er nicht auf die Ausführungen des Kassationsgerichts ein, wonach er am 10. Dezember 2007 ein Ausstandsbegehren gestellt, aber bereits am 12. September 2007 vom Ausstandsgrund gegen den Bezirksrichter Kenntnis erhalten habe und das Ablehnungsbegehren selbst dann verwirkt wäre, wenn er am 24. September 2007 von weiteren Ablehnungsgründen Kenntnis erhalten hätte. Darauf ist nicht einzutreten.
3.3.3 Der Beschwerdeführer setzt sich mit dieser Erwägung des Kassationsgerichts nicht rechtsgenüglich auseinander und sagt nicht, inwiefern der angefochtene Beschluss aufgrund dieser Erwägung <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt. Insbesondere geht er nicht auf die Ausführungen des Kassationsgerichts ein, wonach er am 10. Dezember 2007 ein Ausstandsbegehren gestellt, aber bereits am 12. September 2007 vom Ausstandsgrund gegen den Bezirksrichter Kenntnis erhalten habe und das Ablehnungsbegehren selbst dann verwirkt wäre, wenn er am 24. September 2007 von weiteren Ablehnungsgründen Kenntnis erhalten hätte. Darauf ist nicht einzutreten.
3.4 3.4.1 Das Kassationsgericht hat zur Frage des Ausstandes von Bezirksrichter W._ weiter ausgeführt, der Beschwerdeführer habe sich mit der ersten obergerichtlichen Begründung nicht auseinandergesetzt, wonach auf das Ausstandsbegehren mangels Geltendmachung namhafter Ausstandsgründe nicht einzutreten sei.
3.4.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe sein Gesuch genügend begründet, andernfalls er von der Verwaltungskommission aufgrund der Fragepflicht hätte befragt werden müssen, was offensichtlich nicht geschehen sei. Auch damit habe das Kassationsgericht Art. 6 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> verletzt.
3.4.3 Soweit der Beschwerdeführer einfach behauptet, er habe das Ausstandsbegehren genügend begründet, ergeht er sich in appellatorische und damit unzulässige Kritik am angefochtenen Beschluss. Sodann zeigt er auch nicht auf, aufgrund welcher kantonalen Bestimmung mit Bezug auf die formellen Anforderungen an die Begründung von Rechtsmitteln eine Fragepflicht besteht. Insgesamt erweist sich die Beschwerde auch in diesem Punkt als ungenügend begründet. Darauf ist nicht einzutreten.
4.1 4.1.1 Mit Bezug auf das zur Bestimmung der Leistungsfähigkeit massgebende Einkommen hat das Obergericht mit der ersten Instanz festgestellt, der Beschwerdeführer sei tatsächlich als Arzt tätig, obwohl ihm die Praxisbewilligung entzogen worden sei. Dagegen hatte der Beschwerdeführer vor Kassationsgericht geltend gemacht, wegen des Entzugs der Praxisbewilligung könne er nicht mehr freiberuflich als Arzt tätig sein, keine Praxisvertretung machen, und es sei für ihn schwierig, anderweitig eine Anstellung zu finden; er habe dies erfolglos versucht. Zudem habe er auch nie behauptet, er arbeite als Angestellter in der "Ärztliche Hausbesuche und Betreuung rund um die Uhr AG"; Interneteinträge seien nicht aktuell. Das Kassationsgericht hat dazu erwogen, diese Vorbringen bedeuteten keine Bestreitung der erst- und zweitinstanzlichen tatsächlichen Feststellungen; die Rüge gehe daher fehl.
4.1.2 Der Beschwerdeführer bezeichnet diese Begründung unter Hinweis auf seine Ausführungen vor Obergericht als willkürlich. Mit diesen Ausführungen zeigt der Beschwerdeführer aber nicht auf, inwiefern die Schlussfolgerung des Kassationsgerichts als solche willkürlich sein soll, mit den vorgenannten vor Obergericht und dem Kassationsgericht gemachten Behauptungen werde die Feststellung der ersten und zweiten Instanz nicht widerlegt, dass er tatsächlich noch als Arzt tätig sei. Der Beschwerdeführer hat in der Nichtigkeitsbeschwerde keinen tauglichen Versuch unternommen, die Feststellung des Obergerichts, wonach er noch immer tatsächlich als Arzt arbeite, als willkürlich bzw. bundesrechtswidrig zu rügen. Die Rüge erweist sich damit als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.1.2 Der Beschwerdeführer bezeichnet diese Begründung unter Hinweis auf seine Ausführungen vor Obergericht als willkürlich. Mit diesen Ausführungen zeigt der Beschwerdeführer aber nicht auf, inwiefern die Schlussfolgerung des Kassationsgerichts als solche willkürlich sein soll, mit den vorgenannten vor Obergericht und dem Kassationsgericht gemachten Behauptungen werde die Feststellung der ersten und zweiten Instanz nicht widerlegt, dass er tatsächlich noch als Arzt tätig sei. Der Beschwerdeführer hat in der Nichtigkeitsbeschwerde keinen tauglichen Versuch unternommen, die Feststellung des Obergerichts, wonach er noch immer tatsächlich als Arzt arbeite, als willkürlich bzw. bundesrechtswidrig zu rügen. Die Rüge erweist sich damit als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.2 4.2.1 Vor Kassationsgericht hatte der Beschwerdeführer gerügt, das Obergericht habe festgestellt, er werde über das AHV-Alter hinaus arbeiten. Das Kassationsgericht hat dazu bemerkt, diese Behauptung treffe nicht zu. Das Obergericht habe vielmehr erwogen, für einen Arzt bilde der Eintritt ins AHV-Alter erfahrungsgemäss nur einer unter mehreren Faktoren, welche die Reduktion oder die Aufgabe der Erwerbstätigkeit beeinflussten. Es sei daher weder sinnvoll möglich noch zweckmässig, bereits zum heutigen Zeitpunkt eine Veränderung der wirtschaftlichen Situation des Beschwerdeführers wegen Aufgabe der Erwerbstätigkeit vorwegzunehmen. Eine Abänderung der Unterhaltsbeiträge unter diesem Titel werde durch den vorinstanzlichen Entscheid nicht ausgeschlossen. Die Rüge gehe daran vorbei.
4.2.2 Dagegen wendet der Beschwerdeführer im Wesentlichen ein, es sei unbestritten, dass er wegen des Entscheides der Gesundheitsdirektion nicht mehr als Arzt arbeiten dürfe. Die willkürliche Missachtung der tatsächlichen Verhältnisse beeinflusse die Festsetzung der Unterhaltsbeiträge massgeblich. Der Entscheid sei daher willkürlich.
4.2.3 Bezüglich der Feststellung, dass der Beschwerdeführer tatsächlich als Arzt arbeitet, kann auf E. 4.1 verwiesen werden. Im Übrigen geht der Beschwerdeführer nicht auf die Erwägung des Kassationsgerichts ein, und zeigt nicht auf, inwiefern das Kassationsgericht zu Unrecht Willkür bzw. eine andere Bundesrechtsverletzung verneint haben soll. Darauf ist insgesamt nicht einzutreten.
4.2.3 Bezüglich der Feststellung, dass der Beschwerdeführer tatsächlich als Arzt arbeitet, kann auf E. 4.1 verwiesen werden. Im Übrigen geht der Beschwerdeführer nicht auf die Erwägung des Kassationsgerichts ein, und zeigt nicht auf, inwiefern das Kassationsgericht zu Unrecht Willkür bzw. eine andere Bundesrechtsverletzung verneint haben soll. Darauf ist insgesamt nicht einzutreten.
4.3 4.3.1 Das Obergericht hat beim Beschwerdeführer ein hypothetisches Einkommen berücksichtigt. In diesem Zusammenhang warf der Beschwerdeführer mit der Nichtigkeitsbeschwerde dem Obergericht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor, weil es sich mit seinen Argumenten (Erschwernisse bei der Suche nach einer Arbeit als Arzt) nicht auseinandergesetzt habe. Das Kassationsgericht hat eine Verletzung des Gehörsanspruchs verneint und hat dazu im Wesentlichen bemerkt, diese Ausführungen gingen an der obergerichtlichen Feststellung vorbei, dass der Beschwerdeführer nicht einmal behauptet habe, sich erfolglos um eine Arbeit als Arzt bemüht zu haben, und dass der Einzelrichter deshalb auch kein Beweisverfahren habe durchführen müssen. Damit habe das Obergericht die behaupteten Erschwernisse bei der Arbeitssuche für die grundsätzliche Anrechnung eines hypothetischen Einkommens als irrelevant erachtet und sei daher auch nicht verpflichtet gewesen, sich damit auseinanderzusetzen.
4.3.2 Der Beschwerdeführer verweist auf Ziffer 7 der Nichtigkeitsbeschwerde und behauptet, er habe klar verneint, dass er eine Anstellung als Arzt finden könne. Er wirft damit dem Kassationsgericht sinngemäss vor, die Verweigerung des rechtlichen Gehörs zu Unrecht verneint zu haben. Da der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang auch eine Verletzung von <ref-law> (Beweisführungsanspruch) beanstandet, ist auf die Rüge bei der Behandlung des obergerichtlichen Beschlusses einzugehen (E. 7.1).
5. 5.1 Obwohl der Beschwerdeführer behauptet hatte, über kein Vermögen zu verfügen, hat ihm das Obergericht einen Betrag von rund Fr. 550'000.-- angerechnet, welcher ihm nachweislich zugegangen sei. Es liess dabei die (nicht belegte) Behauptung des Beschwerdeführers nicht gelten, er habe dieses Vermögen schenkungshalber an eine Institution im Ausland überwiesen. Sodann erblickte es auch darin, dass der Beschwerdeführer das Geld in den Steuererklärungen nicht deklariert und anlässlich der Pfändung erklärt hatte, er besitze kein Vermögen, sowie in der Tatsache, dass das Sozialamt vom Kapital keine Kenntnis habe, keine Indizien für den Standpunkt des Beschwerdeführers. Das Kassationsgericht hat auf die Rüge des Beschwerdeführers hin erwogen, der obergerichtliche Standpunkt sei nicht willkürlich. Dem Beschwerdeführer sei Gelegenheit gegeben worden, den Verbleib der unbestrittenermassen erhaltenen Fr. 550'000.-- offenzulegen. Indem er es lediglich bei der behaupteten, aber nicht belegten Schenkung habe bewenden lassen, werde er dem Ernst der Lage nicht gerecht.
5.2 Der Beschwerdeführer beschränkt sich darauf, seine vor Obergericht und vor Kassationsgericht gemachten Ausführungen zu wiederholen, ohne aber darzulegen, inwiefern das Kassationsgericht im Zusammenhang mit der Feststellung des Vermögens Willkür zu Unrecht verneint hat. Die Feststellung ist denn auch alles andere als willkürlich, zumal der Beschwerdeführer die Schenkung nachweislich nicht belegt hat. Die Rüge erweist sich als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
6. 6.1 Das Obergericht hat dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Prozessführung für das erstinstanzliche und zweitinstanzliche Verfahren verweigert mit der Begründung, der Beschwerdeführer könne nach wie vor über ein Vermögen von rund Fr. 550'000.-- verfügen. Der Beschwerdeführer wandte sich in der Nichtigkeitsbeschwerde dagegen.
Das Kassationsgericht hat mit Bezug auf die Tatsache, dass der Beschwerdeführer nach wie vor über sein Vermögen verfügen kann, auf die Ausführungen in E. 7.4 verwiesen und im Weiteren bemerkt, der Beschwerdeführer weise bezüglich der Annahme, er könne weiterhin über den Betrag von rund Fr. 550'000.-- verfügen, keinen Nichtigkeitsgrund nach, was für eine Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege genüge. Ob noch weitere Gründe vorlägen, wie das Obergericht annehme, könne damit offenbleiben.
6.2 Der Beschwerdeführer wiederholt im Wesentlichen seine in Ziffer 29 der Beschwerdeschrift enthaltenen Darlegungen zur Frage des Vermögens; es kann daher auf die entsprechenden Ausführungen in E. 5 verwiesen werden. Hat aber der Beschwerdeführer über seine Vermögensverhältnisse nicht lückenlos Auskunft gegeben, so kann sämtlichen kantonalen Instanzen auch nicht vorgeworfen werden, sie hätten die unentgeltliche Rechtspflege in Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 3 EMRK verweigert (<ref-ruling> E. 3a S. 181). Anzufügen bleibt, dass Art. 6 Ziff. 3 EMRK ohnehin nicht auf Zivil-, sondern auf Strafverfahren zugeschnitten ist und sich daraus für das vorliegende Verfahren nichts gewinnen lässt. Damit erübrigen sich Ausführungen zu den weiteren Rügen des Beschwerdeführers zur Frage der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Beschwerde ist somit auch insoweit abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann.
7.1 7.1.1 Das Obergericht hat im Zusammenhang mit der Ermittlung des Einkommens des Beschwerdeführers erwogen, der erstinstanzliche Richter habe diesbezüglich kein Beweisverfahren durchführen müssen; der Beschwerdeführer habe selbst nicht behauptet, sich erfolglos um eine Anstellung als Arzt bemüht zu haben, sondern lediglich abstrakt vorgetragen, nach der Publikation des Entzugs der Praxisbewilligung werde eine Arbeit nur schwer zu finden sein. Dabei behaupte er nicht, konkrete Bemühungen unternommen zu haben. Es wäre sinnlos, zu nicht aufgestellten Behauptungen ein Beweisverfahren durchzuführen.
7.1.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe entgegen allen willkürlichen Behauptungen deutlich gemacht, dass ihn kein Spital als Arzt anstellen werde. Das Obergericht habe ihn nicht zum Beweis für diese Behauptung zugelassen und habe damit <ref-law> verletzt.
7.1.3 Der Beschwerdeführer behauptet auch vor Bundesgericht nicht substanziiert, dass er sich tatsächlich erfolglos um eine Anstellung als Arzt bemüht hat, und er zeigt auch nicht rechtsgenüglich auf, dass die Feststellung des Obergerichts, es liege keine konkrete entsprechende Behauptung vor, willkürlich sein soll. Lag aber keine konkrete zum Beweis zu verstellende Aussage vor, so kann auch von einer Verletzung des Beweisführungsanspruchs im Sinn von <ref-law> keine Rede sein. Im Übrigen erörtert der Beschwerdeführer denn auch nicht klar, dass er diesbezüglich eine konkreten Beweisantrag gestellt habe. Eine Verletzung von <ref-law> ist somit auch insoweit nicht auszumachen.
7.2 7.2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vermutung des Obergerichts, er arbeite als Arzt nicht unentgeltlich, sei bundesrechtswidrig.
7.2.2 Mit diesen Ausführungen legt der Beschwerdeführer nicht den Grundsätzen von <ref-law> entsprechend dar, inwiefern das Obergericht mit seiner Vermutung Bundesrecht verletzt hat. Es entspricht allgemeiner Lebenserfahrung (und ist damit als Rechtsfrage zu behandeln; dazu hinten E. 7.5.2), dass ein Arzt seine Tätigkeit nicht unentgeltlich ausübt. Inwiefern eine solche auf Lebenserfahrung beruhende Feststellung Bundesrecht verletzen soll, ist unerfindlich.
7.2.2 Mit diesen Ausführungen legt der Beschwerdeführer nicht den Grundsätzen von <ref-law> entsprechend dar, inwiefern das Obergericht mit seiner Vermutung Bundesrecht verletzt hat. Es entspricht allgemeiner Lebenserfahrung (und ist damit als Rechtsfrage zu behandeln; dazu hinten E. 7.5.2), dass ein Arzt seine Tätigkeit nicht unentgeltlich ausübt. Inwiefern eine solche auf Lebenserfahrung beruhende Feststellung Bundesrecht verletzen soll, ist unerfindlich.
7.3 7.3.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei aufgrund des Entzugs der Praxisbewilligung und der damit verbundenen negativen Pressemeldungen nicht in der Lage, eine Arbeit als Arzt zu finden. Das Obergericht habe ihm aber dennoch ein hypothetisches Einkommen angerechnet, weil er sich nicht um eine Anstellung bemüht habe. Die Berücksichtigung eines hypothetischen Einkommens trotz der Unmöglichkeit einer Erwerbstätigkeit sei bundesrechtswidrig.
7.3.2 Nach den nicht rechtsgenüglich als willkürlich angefochtenen und damit verbindlichen Feststellungen des Obergerichts (<ref-law>) hat der Beschwerdeführer vor den kantonalen Instanzen nicht geltend gemacht, er habe sich erfolglos um eine Arbeit bemüht. Sind aber keine entsprechende erfolglose Bemühungen erstellt, so ist nicht ersichtlich, inwiefern die Berücksichtigung eines hypothetischen Einkommens gegen Bundesrecht verstossen soll. Im Übrigen legt der Beschwerdeführer auch nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern ihm die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit nicht zumutbar sein sollte. Die Rüge erweist sich als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
7.3.2 Nach den nicht rechtsgenüglich als willkürlich angefochtenen und damit verbindlichen Feststellungen des Obergerichts (<ref-law>) hat der Beschwerdeführer vor den kantonalen Instanzen nicht geltend gemacht, er habe sich erfolglos um eine Arbeit bemüht. Sind aber keine entsprechende erfolglose Bemühungen erstellt, so ist nicht ersichtlich, inwiefern die Berücksichtigung eines hypothetischen Einkommens gegen Bundesrecht verstossen soll. Im Übrigen legt der Beschwerdeführer auch nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern ihm die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit nicht zumutbar sein sollte. Die Rüge erweist sich als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
7.4 7.4.1 Bezüglich der Höhe des angerechneten Einkommens wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht vor, es habe einfach schematisch die Hälfte des Lohnes eines freiberuflichen Arztes berücksichtigt, ohne sich dabei mit dem Umstand auseinanderzusetzen, dass die berufliche Situation für den Beschwerdeführer aufgrund des Entzuges der Praxisbewilligung schwierig geworden sei. Die Vorinstanz habe auch seine schlechte finanzielle Situation nicht berücksichtigt. Die Berücksichtigung eines hypothetischen Einkommens von Fr. 70'000.-- sei daher bundesrechtswidrig.
7.4.2 Das Obergericht ist im konkreten Fall nicht von einem hypothetischen Einkommen von Fr. 70'000.-- ausgegangen, sondern hat ein solches von Fr. 50'400.-- angenommen. Die Ausführungen des Beschwerdeführers gehen somit an den tatsächlichen Annahmen des angefochtenen Beschlusses vorbei. Die Rüge setzt sich insgesamt nicht mit den obergerichtlichen Erwägungen auseinander; darauf ist nicht einzutreten. Im Übrigen wurde den Schwierigkeiten bei der Arbeitssuche sehr wohl Rechnung getragen.
7.4.2 Das Obergericht ist im konkreten Fall nicht von einem hypothetischen Einkommen von Fr. 70'000.-- ausgegangen, sondern hat ein solches von Fr. 50'400.-- angenommen. Die Ausführungen des Beschwerdeführers gehen somit an den tatsächlichen Annahmen des angefochtenen Beschlusses vorbei. Die Rüge setzt sich insgesamt nicht mit den obergerichtlichen Erwägungen auseinander; darauf ist nicht einzutreten. Im Übrigen wurde den Schwierigkeiten bei der Arbeitssuche sehr wohl Rechnung getragen.
7.5 7.5.1 Gegen das obergerichtliche Urteil macht der Beschwerdeführer weiter geltend, diese Instanz gehe einerseits zu Unrecht von einem hypothetischen Jahreseinkommen von Fr. 50'400.-- aus, berücksichtige anderseits aber die Unterhaltsbeiträge für zwei weitere aussereheliche Kinder im Gesamtbetrag von Fr. 1'600.-- nicht. Damit habe das Obergericht Bundesrecht verletzt.
Ferner betrage sein Notbedarf Fr. 2'506.40. Würden sämtliche Unterhaltsbeiträge für die drei Kinder, also ein Betrag von Fr. 2'800.-- berücksichtigt (2 x Fr. 800.-- + Fr. 1'200), müsste er mindestens Fr. 70'000.-- pro Jahr verdienen, was nachweislich nicht der Fall sei. Von dem gingen selbst die Vorinstanzen nicht aus, wenn sie zu Unrecht ein hypothetisches Einkommen von Fr. 70'000.-- (gemeint ist wohl Fr. 50'400.--) annähmen. Die Vorinstanzen gingen daher zu Unrecht und willkürlich davon aus, ein hypothetisches Einkommen von Fr. 50'400.-- genüge, um der Beschwerdegegnerin einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'200.-- monatlich zu bezahlen. Der festgesetzte Unterhaltsbeitrag greife in sein Existenzminimum ein und sei daher bundesrechtswidrig.
7.5.2 Wird eine tatsächliche Vermutung aus konkreten Umständen eines Einzelfalls abgeleitet, gehört sie zur (Indizien-) Beweiswürdigung, die ausschliesslich wegen willkürlicher Feststellung des Sachverhalts angefochten werden kann. Beruht die tatsächliche Vermutung aber auf der allgemeinen Lebenserfahrung, kann sie als Verletzung von Bundesrecht gegen das obergerichtliche Urteil geltend gemacht werden, zumal eine Verletzung von Bundesrecht frei geprüft wird (<ref-law> i.V.m. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 258; <ref-ruling> E. 2b S. 12). Das Obergericht hat das hypothetische Einkommen des Beschwerdeführers anhand der Statistik der FMH der Jahre 2003 und 2004 bzw. 2007 und somit gestützt auf allgemeine Lebenserfahrung ermittelt. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern diese Art der Ermittlung des hypothetischen Einkommens Bundesrecht verletzt. Darauf ist nicht einzutreten.
Das Obergericht ist zudem von dem vom Beschwerdeführer selbst angegeben Bedarf von Fr. 5'800.-- ausgegangen und hat diesen um die Unterhaltsbeiträge für die zwei weiteren Kinder S._ und T._ (Fr. 1'600.--) gekürzt, da der Beschwerdeführer diese Beiträge nicht leiste. Nach konstanter Rechtsprechung des Bundesgerichts zur Berechnung des Bedarfs sind nur diejenigen Beträge zu berücksichtigen, welche die betroffene Person auch tatsächlich bezahlt (<ref-ruling> E. 3a S. 22 mit zahlreichen Hinweisen). Der Beschwerdeführer hat vor dem Obergericht eingeräumt, dass er die Unterhaltsbeiträge für die Kinder S._ und T._ nicht entrichtet, weshalb die fehlende Berücksichtigung deren Unterhaltsbeiträge im Bedarf des Beschwerdeführers nicht zu beanstanden ist. Die Ausführungen des Beschwerdeführers zum Notbedarf und insbesondere die Behauptung, der für die Beschwerdegegnerin festgesetzte Unterhaltsbeitrag greife in sein Existenzminimum ein, gehen an den tatsächlichen Feststellungen des obergerichtlichen Beschlusses vorbei. Insgesamt erweist sich die Rüge als unbegründet, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
8. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der obsiegenden, durch den Rechtsdienst der Stadt Zürich vertretenen Beschwerdegegnerin steht für ihre Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung (vgl. Beschluss der II. Zivilabteilung des Bundesgerichts vom 9. Juli 2003; Urteil 5A_176/2009 vom 5. Juni 2009 E. 12) keine Entschädigung zu (vgl. 1P.360/2006 vom 15. Januar 2007 E. 7). In der Sache ist keine Vernehmlassung eingeholt worden.
9. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da sich die Beschwerde von Anfang an als aussichtslos erwiesen hat (<ref-law>). Dasjenige der Beschwerdegegnerin ist als gegenstandslos abzuschreiben, zumal ihr keine Kosten auferlegt werden, sie im Übrigen keinen Anwalt mit der Wahrung ihrer Interessen beauftragt hat, sondern vom Rechtsdienst der Stadt Zürich verbeiständet worden ist. Somit sind ihr keine Kosten entstanden, von denen sie durch die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zu befreien wäre.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen; dasjenige der Beschwerdegegnerin wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kassationsgericht des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden