Sachverhalt:
A.
Die Brüder A.X._, Markus und C.X._ gründeten am 18. Mai 1989 unter der Firma "Gebrüder X._ später umfirmiert in "X._ Gebrüder") eine Kollektivgesellschaft mit Sitz in I._ (Kanton Basel-Landschaft). Diese wurde am 5. Dezember 1990 in das Handelsregister eingetragen.
Mit Schreiben vom 17. Juni 2011 an A.X._ und B.X._ kündigte C.X._ den Gesellschaftsvertrag auf den 31. Dezember 2011. C.X._ erklärte darin, dass er die Kündigung auf <ref-law> i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law> stütze. Er hielt fest, dass die Liquidation der Gesellschaft im Handelsregister eintragen zu lassen und anschliessend umgehend mit der Liquidation zu beginnen sei. Für die Modalitäten der Liquidation verwies C.X._ auf die <ref-law> und hielt fest, diese seien mit seinem (von ihm bevollmächtigten) Sohn D.X._ abzusprechen.
Am 2. Januar 2012 unterbreiteten A.X._ und B.X._ dem Handelsregisteramt Basel-Landschaft das Kündigungsschreiben von C.X._ vom 17. Juni 2011 und meldeten die Liquidation an.
Gemäss Publikation im Schweizerischen Handelsamtsblatt (SHAB) vom 5. Januar 2012 wurden C.X._ mit Tagesregister-Eintrag vom 2. Januar 2012 als Gesellschafter mit Einzelunterschrift der Kollektivgesellschaft "X._ Gebrüder" und dessen zeichnungsberechtigter Sohn D.X._ aus dem Handelsregister gelöscht. Weiter wurde die Kollektivgesellschaft in Liquidation gesetzt und die Brüder von C.X._ wurden als Gesellschafter und Liquidatoren mit Einzelunterschrift im Handelsregister eingetragen.
B.
B.a. Gegen den obgenannten Handelsregistereintrag erhob C.X._ mit Eingabe vom 12. Januar 2012 beim Handelsregisteramt des Kantons Basel-Landschaft Einsprache und verlangte die Rückgängigmachung des erfolgten Registereintrages von Amtes wegen.
C.X._ machte geltend, dass er mit der Kündigung vom 17. Juni 2011 das Gesellschaftsvertragsverhältnis gekündigt, nicht aber seine Gesellschafterstellung aufgegeben habe. Das Handelsregisteramt hätte daher gemäss <ref-law> für die Anmeldung vom 2. Januar 2012 die Unterschrift aller drei Gesellschafter verlangen müssen. Da das Handelsregisteramt die Löschung von D.X._ (als Zeichnungsberechtiger) und C.X._ sowie die Eintragung von A.X._ und B.X._ als Liquidatoren ohne Unterschrift von C.X._ vorgenommen habe, sei die gesamte Eintragung materiell falsch und damit von Amtes wegen zu berichtigen. Weiter wies C.X._ darauf hin, dass weder er als Gesellschafter noch D.X._ als Zeichnungsberechtigter vor der Löschung bzw. Eintragung vom Handelsregisteramt angehört worden seien, womit ihr Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden sei. Dies müsse zur Nichtigkeit der Eintragung und damit zur amtlichen Berichtigung der Löschungen bzw. Eintragungen führen.
Mit Verfügung vom 16. Januar 2012 erklärte das Handelsregisteramt, dass mit der Genehmigung durch das Eidgenössische Amt für das Handelsregister am 3. Januar 2012 die Eintragung rechtswirksam geworden sei und ab diesem Zeitpunkt keine Eingriffe in das Register mehr möglich seien. Dem Antrag auf eine Berichtigung von Amtes wegen und der damit verbundenen Löschung des gesamten Eintrages vom 2. Januar 2012 mit Wiederherstellung des Eintragungszustandes vor dem 2. Januar 2012 könne das Handelsregisteramt mangels gesetzlicher Grundlage und Entscheidungsbefugnis nicht nachkommen.
B.b. Gegen diese Verfügung erhob C.X._, mit Eingabe vom 25. Januar 2012 beim Kantonsgericht des Kantons Basel-Landschaft Beschwerde. Er beantragte, es sei das Handelsregisteramt gerichtlich anzuweisen, alle mit Tagesregister-Datum vom 2. Januar 2012 erfolgten Eintragungen und Mutationen bei der Kollektivgesellschaft X._ Gebrüder, Firmen-Nr. CH-xxx, im Handelsregister des Kantons Basel-Landschaft zu löschen und die bis zu diesem Datum geltenden Eintragungen wiederherzustellen. Weiter sei nach erfolgter Berichtigung das Handelsregisteramt gerichtlich anzuweisen, die entsprechenden Berichtigungspublikationen im Schweizerischen Handelsamtsblatt zu veranlassen.
Das Kantonsgericht nahm die Eingabe von C.X._ als Beschwerde i.S. von § 43 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Basel-Landschaft über die Verfassungs- und Verwaltungsprozessordnung (VPO; SGS 271) i.V.m. <ref-law> entgegen. Es hiess diese mit Urteil vom 30. Mai 2012 gut und wies das Handelsregisteramt an, alle mit Tagesregister-Datum vom 2. Januar 2012 erfolgten Eintragungen und Mutationen bei der Kollektivgesellschaft X._ Gebrüder, Firmen-Nr. CH-xxx, im Handelsregister des Kantons Basel-Landschaft zu löschen und die bis zu diesem Datum geltenden Eintragungen wiederherzustellen und die entsprechenden Berichtigungspublikationen im Schweizerischen Handelsamtsblatt zu veranlassen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen stellen A.X._ und B.X._ dem Bundesgericht die folgenden Begehren:
"1. Es sei das Urteil der Vorinstanz vom 30. Mai 2012 aufzuheben und dementsprechend sei das Handelsregisteramt des Kantons Basel-Landschaft anzuweisen, alle Eintragungen und Mutationen bei der Kollektivgesellschaft X._ Gebrüder, Firmen-Nr. CHF-xxx, die infolge des Urteils der Vorinstanz vom 30. Mai 2012 vorgenommen worden sind und das TR-Datum vom 7. Juni 2012 tragen, im Handelsregister des Kantons Basel-Landschaft wieder zu streichen und alle Eintragungen und Mutationen bei der Kollektivgesellschaft X._ Gebrüder mit TR-Datum vom 2. Januar 2012 wieder einzutragen und die entsprechenden Publikationen im Schweizerischen Handelsamtsblatt zu veranlassen.
2. Eventualiter sei das Urteil der Vorinstanz vom 30. Mai 2012 aufzuheben und es sei das Handelsregisteramt des Kantons Basel-Landschaft anzuweisen, alle Eintragungen und Mutationen bei der Kollektivgesellschaft X._ Gebrüder, Firmen-Nr. CHF-xxx, die infolge des Urteils der Vorinstanz vom 30. Mai 2012 vorgenommen worden sind und das TR-Datum vom 7. Juni 2012 tragen, im Handelsregister des Kantons Basel-Landschaft wieder zu streichen und alle Eintragungen und Mutationen bei der Kollektivgesellschaft X._ Gebrüder mit TR-Datum vom 2. Januar 2012 wieder einzutragen mit Ausnahme der Löschung von Herrn C.X._ als Gesellschafter mit Einzelunterschrift und die entsprechenden Publikationen im Schweizerischen Handelsamtsblatt zu veranlassen.
3. Subeventualiter sei das Urteil der Vorinstanz vom 30. Mai 2012 aufzuheben und es sei die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen unter Einbezug der Beschwerdeführer in das Verfahren.
4. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Kantons Basel-Landschaft und zulasten des Beschwerdegegners 1 je zu gleichen Teilen."
C.X._ (Beschwerdegegner 1) beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, soweit Eintreten. Das Handelsregisteramt (Beschwerdegegner 2) liess sich nicht vernehmen. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.
A.X._ und B.X._ reichten Replik, C.X._ Duplik ein.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 24. Oktober 2012 wurden die Gesuche der Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung sowie Erlass vorsorglicher Massnahmen abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1 S. 103, 470 E. 1 S. 472; <ref-ruling> E. 1 S. 216).
1.1. Die vorliegende Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid über die Führung des Handelsregisters, der gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 2 BGG der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt. Als Vorinstanz hat ein oberes Gericht im Kanton auf ein Rechtsmittel hin letztinstanzlich entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der angefochtene Beschluss schliesst ein Verfahren betreffend die Eintragung diverser Tatsachen im Handelsregister (Löschung eines Kollektivgesellschafters und Einzelzeichnungsberechtigten, Auflösung der Gesellschaft, Firmenänderung, Einsetzung von Liquidatoren) und ist demnach als Endentscheid zu qualifizieren (<ref-law>). Entgegen den gesetzlichen Vorschriften (<ref-law>) finden sich im angefochtenen Urteil keine Angaben zum Streitwert. Mit Blick auf die wirtschaftlichen Auswirkungen der genannten Eintragung kann vorliegend ohne gegenteilige Anhaltspunkte jedoch davon ausgegangen werden, dass der Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (<ref-law>).
1.2. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. b).
Die Beschwerdeführer waren am vorinstanzlichen Verfahren weder als Partei noch als Nebenpartei beteiligt. Dass sie eine Möglichkeit gehabt hätten, sich am Verfahren zu beteiligen, ist nicht ersichtlich und behauptet auch der Beschwerdegegner 1 in seiner Vernehmlassung nicht. Die Voraussetzung von <ref-law> ist mithin gegeben. Entgegen der Auffassung des Beschwerdegegners 1 ist auch die Voraussetzung von <ref-law> gegeben, wurde mit dem angefochtenen Entscheid doch der Handelsregistereintrag beseitigt, der auf die Anmeldung der Beschwerdeführer hin vorgenommen wurde und der die Beschwerdeführer neu als Liquidatoren der Kollektivgesellschaft auswies. Die Beschwerdeführer sind damit durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und weisen ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung auf.
Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>) einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung von <ref-law> und <ref-law>. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz liege eine gültige Anmeldung zur Eintragung der Liquidation der Kollektivgesellschaft vor, denn der Beschwerdegegner 1 habe seine Zustimmung zur Anmeldung der Tatsache, dass die Gesellschaft aufgelöst ist und die Firma mit dem Liquidationszusatz zu versehen ist, bereits mit dem persönlich unterzeichneten Kündigungsschreiben vom 17. Juni 2011 gegeben. Dies sei für die Anmeldung der Auflösung und Liquidation im Handelsregister ausreichend. Das gleiche gelte für die Eintragung der Beschwerdeführer als Liquidatoren.
2.1.
2.1.1. Gemäss <ref-law> ist die Kollektivgesellschaft in das Handelsregister des Ortes einzutragen, an dem sie ihren Sitz hat. Die eintragungspflichtigen Tatsachen ergeben sich aus <ref-law>. Danach müssen bei Kollektivgesellschaften unter anderem die Firma (lit. a), die Gesellschafterinnen und Gesellschafter (lit. f) und die zur Vertretung berechtigten Personen (lit. g) in das Handelsregister eingetragen werden. Ebenfalls eingetragen werden muss die Auflösung, wenn eine Kollektivgesellschaft zum Zwecke der Liquidation aufgelöst wird (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Weiter sind gemäss <ref-law> die Liquidatoren in das Handelsregister einzutragen, auch wenn dadurch die bisherige Vertretung der Gesellschaft nicht geändert wird. Ist eine Tatsache im Handelsregister eingetragen, so muss auch jede Änderung dieser Tatsache eingetragen werden (<ref-law>).
2.1.2. Gemäss <ref-law> beruht die Eintragung in das Handelsregister auf einer Anmeldung. Dabei handelt es sich um eine an das Handelsregisteramt gerichtete Willenserklärung, mit der die Eintragung von eintragungspflichtigen oder -berechtigten Tatsachen in das Handelsregister beantragt wird ( FLORIAN ZIHLER, in: Siffert/Turin [Hrsg.], Stämpflis Handkommentar, Handelsregisterverordnung [HregV], 2013, N. 1 zu <ref-law>; MICHAEL GWELESSIANI, Praxiskommentar zur Handelsregisterverordnung, 2. Aufl. 2012, N. 66).
Bei Kollektivgesellschaften muss gemäss <ref-law> die Anmeldung der einzutragenden Tatsachen oder ihrer Veränderung von allen Gesellschaftern persönlich beim Handelsregisteramt unterzeichnet oder schriftlich mit beglaubigten Unterschriften eingereicht werden. Dies gilt gemäss Art. 42 Abs. 1 sowie Abs. 3 lit. a und c HRegV i.V.m. Art. 574 Abs. 2 und <ref-law> insbesondere auch für die Anmeldung der Auflösung und der Liquidatoren (vgl. RINO SIFFERT, in: Siffert/Turin [Hrsg.], Stämpflis Handkommentar, Handelsregisterverordnung [HregV], 2013, N. 4 zu <ref-law>; GWELESSIANI, a.a.O., N. 163). Dieses Erfordernis wird in <ref-law> wiederholt: Danach muss die Anmeldung für eintragungsbedürftige Tatsachen bei Kollektivgesellschaften von allen Gesellschafterinnen und Gesellschaftern unterzeichnet sein. <ref-law> verdeutlicht, dass die Anmeldung auf Papier beim Handelsregisteramt zu unterzeichnen ist oder mit den beglaubigten Unterschriften einzureichen ist (Satz 1). Eine Beglaubigung ist nur dann nicht erforderlich, wenn die Unterschriften schon früher in beglaubigter Form eingereicht wurden (Satz 2).
2.2. Die Vorinstanz kam zum Schluss, dass das Kündigungsschreiben des Beschwerdegegners 1 keine Anmeldung von Tatsachen ins Handelsregister darstelle. Aus dem Kündigungsschreiben gehe hervor, dass der Beschwerdeführer (recte: Beschwerdegegner 1) damit rechnete, dass er weiterhin Gesellschafter bleibe, um die Liquidationsvorgänge mitzubestimmen, bzw. dass er zumindest damit rechnete, mit der Auflösung Liquidator zu werden. Das Handelsregisteramt hätte in Wahrnehmung seiner Prüfungspflicht dem Beschwerdegegner 1 jedenfalls Gelegenheit geben müssen, zu der von den Beschwerdeführern gewünschten Löschung des Beschwerdegegners 1 sowie der Eintragung der Beschwerdeführer als Liquidatoren Stellung zu nehmen. Dadurch, dass das Handelsregisteramt die Eintragungen ohne Rücksprache mit dem Beschwerdegegner 1 vorgenommen hat, habe es dessen rechtliches Gehör verletzt. Damit sei die Beschwerde gutzuheissen und die mit Tagesregister-Datum vom 2. Januar 2012 erfolgten Eintragungen und Mutationen zu löschen.
2.3. Die Vorinstanz hat das Kündigungsschreiben des Beschwerdegegners 1 vom 17. Juni 2011 zu Recht nicht als Anmeldung im Sinne von <ref-law> qualifiziert. Denn das Schreiben ist ausschliesslich an die beiden Mitgesellschafter adressiert und kann damit entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer nicht als an das Handelsregisteramt gerichtete Willenserklärung ausgelegt werden (vgl. oben E. 2.1.2). Mangels einer von allen Gesellschaftern unterzeichneten Anmeldung hat das Handelsregisteramt die am 2. Januar 2012 in das Tagesregister aufgenommenen Tatsachen in Verletzung von <ref-law> und <ref-law> somit zu Unrecht eingetragen und die Vorinstanz hat die entsprechende Eintragung zutreffend aufgehoben. Die Rüge der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe <ref-law> bzw. <ref-law> verletzt, ist unbegründet.
3.
Die Beschwerdeführer rügen weiter eine Verletzung von <ref-law>, indem die Vorinstanz die Löschung von D.X._ als mit Einzelunterschrift zeichnungsberechtigte Person rückgängig gemacht habe. Denn gemäss <ref-law> könne eine Prokura oder Handlungsvollmacht durch jeden Gesellschafter allein mit voller Wirkung gegenüber Dritten widerrufen werden und deren Löschung bedürfe daher auch nicht der Mitwirkung aller Gesellschafter.
Die Rüge ist unbegründet. Abgesehen davon, dass es sich bei der Zeichnungsberechtigung von D.X._ um eine Einzelunterschrift und nicht um eine Handlungsvollmacht bzw. Prokura handelt (zur Abgrenzung vgl. Zihler/Krähenbühl, Zeichnungsberechtigungen und Funktionen in der handelsregisterrechtlichen Praxis, REPRAX 3/2010, S. 56 ff.), kann aus <ref-law> nicht abgeleitet werden, dass die Löschung der dort genannten Zeichnungsberechtigungen in Durchbrechung von <ref-law> auch durch einen Gesellschafter allein beim Handelsregister angemeldet werden kann. Für die Änderung des Handelsregistereintrags ist gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law> vielmehr die Anmeldung sämtlicher Gesellschafter erforderlich (vgl. Handschin/Chou, in: Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 2009, N. 38 zu <ref-law>).
4.
Die Beschwerdeführer werfen der Vorinstanz sodann eine Verletzung ihres rechtlichen Gehörs (<ref-law>) vor, indem diese die Beschwerdeführer nicht über das Verfahren in Kenntnis gesetzt und ihnen keine Parteistellung gewährt habe.
4.1.
4.1.1. Gemäss <ref-law> muss sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können, wer zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt ist. Da die Beschwerdeführer vorliegend zur Beschwerde gegen den vorinstanzlichen Entscheid legitimiert sind (oben E. 1.2), hätten die Beschwerdeführer - wenn sie vom vorinstanzlichen Verfahren Kenntnis gehabt hätten - vor der Vorinstanz Parteistellung beanspruchen können.
4.1.2. Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dieser ist formeller Natur und seine Verletzung führt daher ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst grundsätzlich zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweis). Der Anspruch auf rechtliches Gehörs ist jedoch kein Selbstzweck. Wenn nicht ersichtlich ist, inwiefern die Verletzung des rechtlichen Gehörs einen Einfluss auf das Verfahren haben könnte, besteht kein Interesse an der Aufhebung des Entscheids (Urteile 4A_153/2009 vom 1. Mai 2009 E. 4.1; 6B_168/2012 vom 27. August 2012 E. 3; 6B_206/2012 vom 5. Juli 2012 E. 1.2.2; 6B_76/2011 vom 31. Mai 2011 E. 2.1; 2P.20/2005 vom 13. April 2005 E. 3.2; vgl. auch FRANCESCO TREZZINI, Celerità e lentezza della giustizia civile di primo grado, 2010, S. 34; CHRISTOPH HURNI, in: Berner Kommentar, 2012, N. 84 zu <ref-law>).
4.2. Die Beschwerdeführer machen lediglich geltend, sie hätten sich im vorinstanzlichen Verfahren nicht zur Sache äussern können. Sie legen indessen nicht dar, inwiefern ihr Nichteinbezug als Parteien den Ausgang des vorinstanzlichen Verfahrens hätte beeinflussen können. Dies ist in der Tat denn auch nicht ersichtlich, bestreiten doch die Beschwerdeführer die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen in keiner Weise. Sie machen einzig eine falsche Anwendung des formellen Registerrechts geltend, indem sie dafür halten, die von ihnen unterzeichnete Anmeldung vom 2. Januar 2012 sei in Verbindung mit dem Kündigungsschreiben des Beschwerdegegners 1 wirksam. Diese Auffassung ist indessen unzutreffend (oben E. 2 und 3). Damit ist nicht ersichtlich, inwiefern sich die Nichtanhörung der Beschwerdeführer auf das Ergebnis des vorinstanzlichen Verfahrens hätte auswirken können. Selbst wenn eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorläge, wäre damit der angefochtene Entscheid nicht aufzuheben.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführer unter solidarischer Haftbarkeit kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 sowie Art. 68 Abs. 2 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben den Beschwerdegegner 1 für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni