Sachverhalt:
A. X._ machte für die Staatssteuer und die direkte Bundessteuer 2001 Umschulungskosten von Fr. 26'500.-- geltend, die von seinem steuerbaren Einkommen abzuziehen seien. Die Steuerverwaltung des Kantons Bern verweigerte diesen Abzug, weil sie die betreffenden Aufwendungen als nicht abziehbare Ausbildungskosten einstufte. Dagegen erhob X._ vergeblich Einsprache und gelangte sodann erfolglos an die kantonale Steuerrekurskommission bzw. an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern.
B. Mit Postaufgabe vom 2. Juli 2007 hat X._ beim Bundesgericht "Einsprache" gegen das einzelrichterliche Urteil des Verwaltungsgerichts vom 6. Juni 2007 erhoben. Er bringt vor, der Richter habe die massgeblichen Aufwendungen zu Unrecht beim steuerbaren Einkommen aufgerechnet. Auch hätte der Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung nicht verweigert werden dürfen. Derselbe Anspruch bestehe für das Verfahren vor Bundesgericht.
Die kantonale Steuerverwaltung stellt den Antrag, auf das Rechtsmittel nicht einzutreten, eventualiter schliesst sie - wie das Verwaltungsgericht - auf dessen Abweisung. Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid des Verwaltungsgerichts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 lit. a und 86 Abs. 1 lit. d des Bundesgerichtsgesetzes vom 17. Juni 2005, BGG, SR 173.110).
1.2 Die beim Bundesgericht eingereichte Laienbeschwerde enthält u.a. keinen förmlichen Antrag. Sinngemäss lässt sich der Beschwerdeschrift aber doch entnehmen, was der Beschwerdeführer erreichen will und warum er mit dem angefochtenen Entscheid nicht einverstanden ist. Mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens kann offen bleiben, inwiefern die Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG erfüllt sind. Nicht einzutreten ist auf die gesamten Vorwürfe gegenüber der kantonalen Steuerverwaltung, denn anfechtbar ist nur der kantonal letztinstanzliche Entscheid des Verwaltungsgerichts (vgl. <ref-law>).
1.3 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht im Sinn von <ref-law> gerügt werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 105 Abs. 2 bzw. <ref-law>).
2. 2.1 Für die direkte Bundessteuer bestimmt Art. 26 Abs. 1 lit. d des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG, SR 642.11), dass Kosten für die Weiterbildung dann abzugsberechtigt sind, wenn sie mit dem gegenwärtig ausgeübten Beruf "in Zusammenhang" stehen. Es sind nur solche Kosten abziehbar, die im Rahmen des bereits erlernten und ausgeübten Berufs anfallen, nicht dagegen die Ausbildungskosten für die erstmalige Aufnahme einer Berufstätigkeit bzw. für einen neuen (zusätzlichen) Beruf (vgl. <ref-law>). Der unmittelbare ursächliche Zusammenhang mit dem ausgeübten Beruf besteht sodann lediglich, wenn sich die Weiterbildung auf Kenntnisse bezieht, die bei der Berufsausübung verwendet werden. Er fehlt, wenn es nur um persönliche Bereicherung - etwa im Sinne kultureller Weiterbildung - geht (<ref-ruling> E. 3b S. 121). Ebenfalls keine Weiterbildungskosten im Sinne von <ref-law> bilden Auslagen für eine Fortbildung, die zum Aufstieg in eine eindeutig vom bisherigen Beruf zu unterscheidende höhere Berufsstellung (sog. Berufsaufstiegskosten) oder gar zum Umstieg in einen anderen Beruf dient (vgl. zum Ganzen u.a. ASA 72 743 E. 4.1.2; StE 2006 B 22.3 Nr. 86 E. 2.2; StR 61/2006 S. 41 E. 2.3.1; Pra 2004 Nr. 113 S. 639 E. 2.1 u. 2.2; je mit weiteren Hinweisen).
2.2 Die Abzugsfähigkeit von Umschulungskosten wurde bei der direkten Bundessteuer erst mit dem DBG eingeführt. Die Umschulung dient nicht für die Ausübung des gegenwärtigen bzw. bisherigen Berufs, sondern für die Vorbereitung eines neuen Berufs (BBl 1983 III 166 f.). Damit wollte der Gesetzgeber unter anderem auf Beschäftigungsschwierigkeiten in einzelnen Wirtschaftszweigen steuerlich Rücksicht nehmen. Der die Abzugsfähigkeit begründende Zusammenhang der Umschulungskosten mit dem (gegenwärtigen) Beruf besteht darin, dass die Ursache für die Neuorientierung in diesem Beruf zu suchen ist. Demnach ist ein Abzug der Kosten zu gewähren, wenn sich der Pflichtige etwa wegen einer Betriebsschliessung, dem Aussterben eines Berufs, aber auch wegen Krankheit oder Unfall als Grund für die nötige berufliche Neuausrichtung umschulen lässt. Der Begriff der Umschulung ist eng auszulegen, um eine Abgrenzung zu demjenigen der Zweitausbildung zu ermöglichen. (vgl. zum Ganzen Art. 8 der Verordnung des Eidgenössischen Finanzdepartements vom 10. Februar 1993 über den Abzug von Berufskosten der unselbständigen Erwerbstätigkeit bei der direkten Bundessteuer [BKV; SR 642.118.1]; siehe auch ASA 72 743 E. 4.1.3; StE 2006 B 22.3 Nr. 85 E. 2.2, 2.4.2 u. 2.4.3; je mit weiteren Hinweisen).
2.3 Vorliegend ist unbestritten, dass die massgeblichen Aufwendungen (u.a. Besuch von Seminaren und Kursen, Praktikumseinsatz, umfangreiche Reiseliteratur, Fotoausrüstung, Ausrüstung und Spezialkleidung für verschiedene Outdoor-Aktivitäten) keine Weiterbildungskosten im Sinne des Gesetzes und der Rechtsprechung (vgl. oben E. 2.1) darstellen, beziehen sie sich doch nicht auf die zuvor erlernten und ausgeübten Berufe (Lehren als Stahlbauzeichner und Fernmeldesekretär; letzte Stelle als Kundenberater bei den Schweizerischen Bundesbahnen). Fraglich ist nur noch, ob sie abzugsfähige Umschulungskosten (im Hinblick auf eine Tätigkeit in den Bereichen Fotografie, Outdoor, Reisen und Tourismus) bilden.
2.4 Das Verwaltungsgericht hat festgehalten, dass der frühere Tätigkeitsbereich des Beschwerdeführers nicht ausgestorben ist. Diese Sachverhaltsfeststellung ist auf jeden Fall nicht offensichtlich unrichtig (im Sinne von <ref-law>; vgl. oben E. 1.3) und bindet so das Bundesgericht. Der Beschwerdeführer räumt selber ein, über eine gute, breite Ausbildung zu verfügen und sich laufend weitergebildet zu haben. Zudem hat er immer wieder versucht, in den erlernten und ausgeübten Beschäftigungsgebieten eine neue Anstellung zu finden. Seine gesamten Bemühungen sind von der Vorinstanz durchaus gewürdigt worden, und es lässt sich nicht sagen, der Einzelrichter hätte dem Beschwerdeführer unterstellt, untätig geblieben zu sein. Aus dem Umstand, dass es bislang nicht zu einer neuen Anstellung im angestammten Tätigkeitsbereich gekommen ist, ist nicht zwingend zu schliessen, dass dieser nicht mehr bestehe. Eine andere Erklärung wird vom Beschwerdeführer selber mehrfach hervorgehoben: Sein Alter (Jahrgang 1956) und der Umstand, dass sein letztes Anstellungsverhältnis aus medizinischen Gründen gekündigt worden ist, mögen potentielle Arbeitgeber davon abhalten, ihn einzustellen.
2.5 Im Weiteren bringt der Beschwerdeführer vor, ein beruflicher Umstieg sei medizinisch notwendig gewesen, was das von ihm eingereichte Arztzeugnis belege. Die Vorinstanz hat dieses Zeugnis ebenfalls gebührend gewürdigt, wobei sie die Notwendigkeit eines Stellenwechsels (innerhalb des angestammten Beschäftigungsbereiches) bejaht hat, ohne aber einen gesundheitlich erforderlichen Berufswechsel anzuerkennen. Darin liegt weder eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung noch ein Verstoss gegen Bundesrecht. Insbesondere hat der Einzelrichter festhalten dürfen, dass die Situation des Beschwerdeführers sich z.B. massgeblich von der eines Bäckers unterscheidet, der aufgrund einer Mehlallergie in seinem gesamten ursprünglichen Beruf nicht mehr arbeiten kann.
2.6 Was der Beschwerdeführer sonst noch gegen die Verweigerung des Steuerabzugs durch das Verwaltungsgericht einwendet, vermag ein anderes Ergebnis ebenfalls nicht zu rechtfertigen. Es ist ihm namentlich dort nicht zu folgen, wo er sich gegen eine "einseitig juristische" Sichtweise ausspricht, im Gegensatz zu einem ganzheitlichen, menschlichen Verständnis. Ein solches kann ihm tatsächlich entgegengebracht werden, nicht zuletzt im Zusammenhang mit seinen gesundheitlichen Problemen, mit den finanziellen, gesellschaftlichen und psychischen Belastungen, die seine Langzeitarbeitslosigkeit hervorgerufen hat, sowie mit seinen Bemühungen, wieder Arbeit zu finden. Das entbindet ein Gericht - und insbesondere die oberste Rechtsmittelinstanz - indessen nicht von der Verpflichtung, die ihm unterbreiteten Rechtsfragen nach allgemeingültigen, im Gesetz und von der Rechtsprechung festgelegten Regeln zu beurteilen, die der Rechtsgleichheit und -sicherheit gerecht werden. Daraus ergibt sich, dass eine Vertrauensgrundlage aufgrund behördlicher Auskunft nur dort angenommen werden kann, wo eine solche Auskunft auch rechtsgenüglich belegt ist, was hier nicht der Fall ist. Ebenso ist der gesetzliche Begriff der abzugsfähigen Umschulungskosten - wie hervorgehoben (vgl. oben E. 2.2) - eng auszulegen. Hier sind die Voraussetzungen von <ref-law> nicht erfüllt, so dass der beanspruchte Abzug nicht gewährt werden kann.
3. Die Rechtslage bei den Staats- und Gemeindesteuern ist die gleiche wie bei der direkten Bundessteuer. Gemäss Art. 9 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden vom 14. Dezember 1990 (Steuerharmonisierungsgesetz; StHG; SR 642.14) werden von den gesamten steuerbaren Einkünften die zu ihrer Erzielung notwendigen Aufwendungen und die allgemeinen Abzüge abgerechnet. Zu den notwendigen Aufwendungen gehören auch die mit dem Beruf zusammenhängenden Weiterbildungs- und Umschulungskosten. Diese Bestimmung des Bundesrechts ist vom kantonalen Recht ohne Einschränkungen übernommen worden (vgl. Art. 31 Abs. 1 lit. d des Steuergesetzes des Kantons Bern vom 21. Mai 2000). Demzufolge können die geltend gemachten Aufwendungen auch bei den Staats- und Gemeindesteuern nicht zum Abzug zugelassen werden.
4. Gemäss Art. 111 Abs. 1 des bernischen Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG) bewilligt die Verwaltungsjustizbehörde einer Partei die unentgeltliche Prozessführung unter der doppelten Voraussetzung, dass sie einerseits ihre Bedürftigkeit nachweist und andererseits das Verfahren nicht von vornherein aussichtslos ist. Das kantonale Recht stimmt insoweit vollständig mit <ref-law> überein. Das Verwaltungsgericht hat den Nachweis der Mittellosigkeit als nicht erfüllt erachtet. Das lässt sich nicht beanstanden, nachdem der Beschwerdeführer trotz ausdrücklicher Aufforderung die notwendigen Belege betreffend seine Bedürftigkeit nicht beigebracht hatte. Daran vermögen die Einwendungen des Beschwerdeführers, soweit sie überhaupt den Begründungsanforderungen genügen (vgl. oben E. 1.2), nichts zu ändern.
5. Demnach erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen. Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es rechtfertigt sich jedoch, seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu entsprechen (<ref-law>): Im bundesgerichtlichen Verfahren hat er wenigstens belegt, dass er Arbeitslosenunterstützung bezieht. Angaben über seinen Notbedarf fehlen weiterhin. Dennoch kann unter den genannten Umständen Bedürftigkeit angenommen werden. Bei wohlwollender Betrachtungsweise lässt sich auch sagen, dass die Beschwerde nicht zum Vornherein aussichtslos war, zumal die Abgrenzung zwischen Umschulungs- und Ausbildungskosten nicht einfach ist. Es sind demnach keine Kosten zu erheben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Matter