Faits:
A.
M. A.X._, né en 1961, et Mme B.X._, née en 1967, se sont mariés le 2 juin 2006 à Collonges-Bellerive. Une fille, C._, née le 1er avril 2007, est issue de cette union.
Dès 2011, les conjoints ont rencontré d'importantes difficultés conjugales.
Le 23 janvier 2013, l'épouse a requis des mesures protectrices de l'union conjugale. Par jugement du 22 mars 2013, le Tribunal de première instance de Genève a, notamment, attribué aux parents une garde alternée sur l'enfant et la jouissance exclusive du logement conjugal au mari. Il a de plus condamné celui-ci à verser mensuellement des contributions d'entretien de 400 fr. pour la fillette et de 3'100 fr. pour l'épouse.
B.
Par arrêt du 28 juin 2013, la Cour de justice du canton de Genève a, entre autres points, attribué à la mère la garde de l'enfant, sous réserve du droit de visite du père, ainsi que la jouissance exclusive du domicile conjugal. Les contributions d'entretien mensuelles ont par ailleurs été portées à 860 fr. pour l'enfant et à 4'550 fr. pour l'épouse.
C.
Par acte du 29 juillet 2013, le mari exerce un recours en matière civile contre cet arrêt. Il demande en substance, principalement, la garde de l'enfant, sous réserve du droit de visite de la mère, la jouissance exclusive du domicile conjugal, un délai de 30 jours étant imparti à celle-ci pour déménager, qu'il soit dit qu'il percevra les allocations familiales et, enfin, qu'il lui soit donné acte de son engagement de verser, en faveur de l'épouse, une contribution à son entretien d'un montant de 3'700 fr. par mois à compter du jour où elle quittera le domicile conjugal. Subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Des réponses sur le fond n'ont pas été requises.
L'intimée a par ailleurs sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire.
D.
Par ordonnance du 12 août 2013, le Président de la cour de céans a admis la requête d'effet suspensif du mari.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF) dans une affaire civile (<ref-law>) non pécuniaire dans son ensemble, en sorte que le recours est recevable indépendamment de la valeur litigieuse (arrêt 5A_230/2013 du 19 juillet 2013 consid. 1 et la jurisprudence citée). Le recourant a en outre pris part à la procédure devant l'autorité précédente (<ref-law>) et a un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>).
1.2. Dès lors que la décision entreprise porte sur le prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale (<ref-law>), soit de mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5), le Tribunal fédéral dispose d'une cognition restreinte à la seule violation des droits constitutionnels. Il n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et dûment motivés (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.4).
1.3. Aux termes de l'<ref-law>, les mesures protectrices de l'union conjugale sont ordonnées à la suite d'une procédure sommaire. La décision de mesures protectrices de l'union conjugale est en principe provisoire et revêtue d'une autorité de la chose jugée limitée, dès lors qu'elle précède généralement la procédure de divorce. La jurisprudence rendue avant l'entrée en vigueur du CPC demeure applicable (en particulier l'<ref-ruling> consid. 2b/bb) : la cognition du juge est limitée à la simple vraisemblance des faits et à un examen sommaire du droit (arrêts 5A_810/2012 du 22 mars 2013 consid. 1.4; 5A_661/2011 du 10 février 2012 consid. 2.3).
1.4. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'<ref-law>, le recourant ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de la décision attaquée que s'il démontre la violation de droits constitutionnels par l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 4.1). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>), et ce même si la maxime d'office est applicable.
Dans le domaine de l'appréciation des preuves et de la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 1b et les références). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause. Cette retenue est d'autant plus grande lorsque le juge n'examine la cause que d'une manière sommaire et provisoire (<ref-ruling> consid. 3.3 et les références; <ref-ruling> consid. 2b/bb).
1.5. En vertu des principes de la bonne foi et de l'épuisement des griefs (<ref-law>), tous les moyens nouveaux sont exclus dans le recours en matière civile au sens de l'<ref-law>, que ceux-ci relèvent du fait ou du droit, sauf dans les cas où seule la motivation de la décision attaquée donne l'occasion de les soulever (<ref-ruling> consid. 2; arrêt 5A_547/2012 du 14 mars 2013 consid. 2.3 et la jurisprudence citée).
1.6. Selon l'<ref-law>, les conclusions nouvelles sont irrecevables, et ce indépendamment de l'application de la maxime d'office en instance cantonale (arrêt 5A_807/2012 du 6 février 2012 consid. 4.2.3). Dans la mesure où le recourant demande que la garde de l'enfant, et non plus une garde alternée, lui soit attribuée, il n'y a donc pas lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant se plaint d'arbitraire dans l'application du droit fédéral, notamment de l'<ref-law>, au motif que sa fille n'a pas été entendue dans la procédure. Il invoque en outre sur ce point l'art. 12 de la Convention de l'ONU sur les droits de l'enfant (CDE; RS 0.107).
2.1. Savoir si et à quelles conditions les enfants doivent être entendus est une question résolue au premier chef par l'<ref-law>, selon lequel les enfants sont entendus personnellement et de manière appropriée par le juge ou par un tiers nommé à cet effet, pour autant que leur âge ou de justes motifs ne s'y opposent pas. Cette réglementation reprend pour l'essentiel celle de l'art. 144 aCC, de sorte que la jurisprudence rendue sous l'ancien droit s'applique (arrêt 5A_397/2011 du 14 juillet 2011 consid. 2.1, publié in FamPra.ch 2011 p. 1031). L'audition ne présuppose pas que l'enfant ait la capacité de discernement au sens de l'<ref-law>. Selon la ligne directrice suivie par le Tribunal fédéral, il doit, en principe, être entendu à partir de six ans révolus (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 1.2.3). L'audition de l'enfant, alors qu'il n'a pas encore de capacité de discernement par rapport aux enjeux, vise avant tout à permettre au juge compétent de se faire une idée personnelle et de disposer d'une source de renseignements supplémentaire pour établir l'état de fait et prendre sa décision (<ref-ruling> consid. 2.6; <ref-ruling> consid. 1.1; arrêt 5A_119/2010 du 12 mars 2010 consid. 2.1.3).
L'audition des enfants découle aussi directement de l'art. 12 de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (CDE; RS 0.107; <ref-ruling> consid. 3a). Cette norme conventionnelle ne consacre toutefois pas de prérogatives plus larges que celles résultant de l'<ref-law> (au sujet de l'art. 144 aCC, cf. ATF <ref-ruling> et les références; arrêt 5A_735/2007 du 28 janvier 2008 consid. 2.1, publié in FamPra.ch 2008 p. 449). L'art. 12 CDE garantit à chaque enfant le droit d'exprimer son avis dans toute procédure le concernant, dans la mesure où il est capable de se forger une opinion propre, ce qui correspond à la notion de discernement au sens de l'<ref-law> (ATF <ref-ruling> consid. 1.1 et les références).
2.2. Il résulte de ce qui précède que, compte tenu de l'âge de la fillette en procédure d'appel, à savoir six ans depuis le 1er avril 2013, et des circonstances de l'espèce, l'autorité cantonale, qui a statué le 28 juin suivant, n'a pas rendu, à ce stade, une décision insoutenable (art. 9 Cst.) en omettant de l'entendre ou de la faire entendre, ce d'autant que le recourant ne prétend pas qu'une telle audition ait été requise. Il n'apparaît pas non plus que l'art. 12 CDE ait été violé.
3.
L'autorité cantonale aurait aussi fait preuve d'arbitraire en attribuant la garde de l'enfant à l'intimée.
3.1. En vertu de l'<ref-law>, relatif à l'organisation de la vie séparée, lorsque les époux ont des enfants mineurs, le juge ordonne les mesures nécessaires d'après les dispositions sur les effets de la filiation (cf. <ref-law>); il peut, notamment, attribuer la garde des enfants à un seul des parents. Les principes posés par la jurisprudence et la doctrine en matière de divorce sont applicables par analogie. La règle fondamentale en ce domaine est l'intérêt de l'enfant. Au nombre des critères essentiels, entrent en ligne de compte les relations personnelles entre parents et enfants, les capacités éducatives respectives des parents, leur aptitude à prendre soin de l'enfant personnellement et à s'en occuper, ainsi qu'à favoriser les contacts avec l'autre parent; il faut choisir la solution qui, au regard des données de l'espèce, est la mieux à même d'assurer à l'enfant la stabilité des relations nécessaires à un développement harmonieux des points de vue affectif, psychique, moral et intellectuel. Lorsque le père et la mère offrent des conditions équivalentes, la préférence doit être donnée, dans l'attribution d'enfants en âge de scolarité ou qui sont sur le point de l'être, à celui des parents qui s'avère le plus disponible pour les avoir durablement sous sa propre garde, s'occuper d'eux et les élever personnellement (<ref-ruling> consid. 5.5 et l'arrêt mentionné).
3.2. En l'espèce, l'autorité cantonale a estimé que depuis leur séparation, les parties étaient belliqueuses et particulièrement agressives l'une envers l'autre. A défaut d'entente entre elles, l'intérêt de l'enfant commandait ainsi d'attribuer la garde de celui-ci à l'une d'elles seulement. Conformément à la répartition des tâches au sein du couple, la mère, sans emploi, s'était toujours occupée personnellement de sa fille depuis la naissance de celle-ci, le père contribuant financièrement aux besoins de sa famille en travaillant à plein temps et s'étant dès lors moins occupé de l'enfant que son épouse. Il avait certes manifesté la volonté d'aménager son emploi du temps afin d'assurer une garde alternée, mais n'avait pas prétendu pouvoir se charger seul de la garde. Il apparaissait d'ailleurs peu probable qu'un nouvel aménagement de son horaire de travail soit suffisant pour lui permettre d'assumer la garde exclusive. Enfin, si ses capacités éducatives n'étaient pas contestées, il était important de tenir compte du fait que l'épouse, en tant que mère au foyer, avait toujours pris soin personnellement de l'enfant depuis la naissance.
Le recourant prétend en bref que les juges précédents se sont écartés des faits établis de manière choquante en considérant que la garde devait être attribuée à la mère, bien qu'ils aient admis que depuis 2011, celle-ci lui confiait régulièrement l'enfant pour aller dormir chez son amant ou chez sa mère. Cette motivation, de nature appellatoire, ne suffit pas à démontrer que la cour cantonale aurait fait preuve d'arbitraire en attribuant la garde exclusive à la mère. Le recourant se borne en effet à substituer son opinion à celle des juges précédents, notamment lorsqu'il soutient que cette décision ne permettra pas d'assurer une stabilité à l'enfant, la situation de l'intimée, qui voyage d'un domicile à l'autre depuis deux ans, étant pour le moins chaotique. De surcroît, il ne s'en prend pas à l'argument de l'autorité cantonale selon lequel une garde alternée n'était pas dans l'intérêt de l'enfant, faute d'entente entre les parties.
Dès lors, il n'établit pas que l'arrêt attaqué soit insoutenable dans son résultat, étant rappelé que l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution soit aussi concevable. Pour le surplus, il n'apparaît pas, et le recourant ne le met d'ailleurs nullement en évidence, que l'autorité cantonale ait excédé de manière arbitraire son pouvoir d'appréciation (<ref-law>, en relation avec l'art. 9 Cst.), par exemple en se référant à des critères dénués de pertinence ou en ne tenant pas compte d'éléments essentiels (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 2; cf. aussi <ref-ruling> consid. 3a). Autant qu'il est recevable, le grief doit donc être rejeté, sans qu'il y ait lieu d'examiner la question du versement des allocations familiales au recourant ni celle de la suppression de la contribution d'entretien pour sa fille. Il en va de même de l'allégation selon laquelle la pension pour l'épouse doit être diminuée à 3'700 fr. par mois, celle-ci pouvant se reloger chez son amant (<ref-law>).
4.
Le recourant reproche aussi à l'autorité cantonale d'avoir fait preuve d'arbitraire en attribuant le domicile conjugal à l'intimée.
4.1. Si les époux ne parviennent pas à s'entendre au sujet de la jouissance de l'habitation conjugale, l'<ref-law> prévoit que le juge attribue provisoirement le logement conjugal à l'une des parties en faisant usage de son pouvoir d'appréciation. Il doit procéder à une pesée des intérêts en présence, de façon à prononcer la mesure la plus adéquate au vu des circonstances concrètes (arrêt 5A_132/2013 du 24 mai 2013 consid. 4.2.1 et les références). En premier lieu, le juge doit examiner à quel époux le domicile conjugal est le plus utile («grösserer Nutzen»), indépendamment des droits résultant de la propriété, de la liquidation des biens ou des relations contractuelles (<ref-ruling> consid. 2d; cf. <ref-ruling> consid. 4). Ce critère conduit à attribuer le logement à celui des époux qui en tirera objectivement le plus grand bénéfice, compte tenu de ses besoins réels. A cet égard, entre en particulier en considération l'intérêt de l'enfant, confié au parent qui réclame l'attribution du logement, à pouvoir demeurer dans l'environnement qui lui est familier (arrêt 5A_930/2012 du 16 mai 2013 consid. 3.3.2).
4.2. Se fondant sur le critère de l'utilité, la cour cantonale a considéré que l'octroi de la garde de la fille des parties, âgée de six ans, à la mère, et le fait qu'il était important de permettre à l'enfant de demeurer dans un environnement familier, plaidaient en faveur de l'attribution du domicile familial à l'épouse, celle-ci devant au demeurant bénéficier d'un logement suffisamment grand pour vivre non seulement avec l'enfant commun des parties, mais aussi avec sa fille D._, née le 1er septembre 1999 d'une précédente union. Partant du principe que la garde de sa fille devrait lui être attribuée, le recourant prétend que l'intimée pourrait résider chez son amant, alors que lui-même ne dispose, pour se loger, que du domicile conjugal, qu'il a financé seul au moyen de biens propres. Les juges précédents n'auraient pas non plus tenu compte du changement de domicile de l'intimée en 2012, qui dénoterait le peu d'attachement de celle-ci au logement conjugal. Enfin, il expose qu'il a spécialement aménagé son bien immobilier pour pouvoir effectuer la gymnastique appropriée à ses problèmes d'arthrose aux genoux et assumer, en cas de besoin, ses tâches professionnelles à distance, de façon à être disponible pour sa fille. Par ces affirmations, le recourant substitue sa propre appréciation de la cause à celle de l'autorité cantonale, faisant en particulier primer son droit de propriété, pourtant subsidiaire, sur l'intérêt prépondérant de l'intimée lié à la présence auprès d'elle de l'enfant commun des parties, dont elle a la garde. Dès lors qu'il n'a pas démontré que cette solution serait insoutenable (cf. supra, consid. 3), ses critiques tombent à faux. Autant qu'il est recevable (<ref-law>), le grief est par conséquent infondé.
5.
Vu ce qui précède, le recours apparaît manifestement mal fondé et doit donc être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à répondre sur le fond et qui a conclu au rejet, autant que recevable, de la demande d'effet suspensif, alors que celle-ci a été admise. Quant à la requête d'assistance judiciaire de l'intimée, elle doit être rejetée concernant la détermination sur l'effet suspensif, faute de chances de succès, et déclarée sans objet pour le surplus, des observations sur le fond n'ayant pas été requises (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimée est rejetée s'agissant de la détermination sur l'effet suspensif et déclarée sans objet pour le surplus.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 23 décembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Mairot