Sachverhalt:
A. Der Steuerpflichtige X._ (geb. 1953) wurde mit jeweils separaten Verfügungen vom 12. Januar 2006 der Steuerverwaltung des Kantons Basel-Landschaft verpflichtet, Nachsteuern für die direkte Bundessteuer 2001 in der Höhe von Fr. 63'395.20 sowie für die Staats-, Gemeinde- und Fürsorgesteuer 2001 in der Höhe von Fr. 90'286.20 bzw. Fr. 43'879.10 zu bezahlen (jeweils zuzüglich Verzugszins). Die Steuerverwaltung führte dazu aus, X._ sei darauf hingewiesen worden, dass seine Inhaberaktien der Praxisklinik Y._ AG ab 1997 als Geschäftsvermögen zu versteuern seien und künftige Kapitalgewinne aus deren Verkauf der Besteuerung unterlägen. Im Jahr 2001 habe X._ 500 Inhaberaktien der Praxisklinik Y._ AG an seine Mutter verkauft, ohne dies in der Steuererklärung zu deklarieren, weshalb der aus diesem Verkauf resultierende Kapitalgewinn nachträglich zu besteuern sei. Weiter ging die Steuerverwaltung davon aus, dass X._ für die Nichtdeklaration ein mittelschweres Verschulden treffe und auferlegte ihm zusätzlich eine Steuerbusse wegen vollendeter Steuerhinterziehung in der Höhe von 100 % der Nachsteuer (Bundessteuer Fr. 63'395.20; Staatssteuer Fr. 90'286.20; Gemeindesteuer Fr. 43'879.10).
B. Die von X._ am 10. Februar 2006 separat erhobenen Einsprachen wurden von der Steuerverwaltung am 23. Juli 2007 teilweise gutgeheissen, indem sie an der Nachsteuerberechnung festhielt, aber die Steuerbussen aufhob. Die gegen diese Einsprachentscheide von X._ erhobene Beschwerde bzw. den Rekurs hiess das Steuer- und Enteignungsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Steuergericht, (im Folgenden: Steuergericht) mit separaten Entscheiden vom 14. Dezember 2007 wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs gut, hob die Einspracheentscheide auf und wies das Verfahren zur Neubeurteilung an die Steuerverwaltung zurück. Mit neuen Einspracheentscheiden vom 7. Mai 2009 bestätigte die Steuerverwaltung die Nachsteuerforderungen und reduzierte die ausgesprochenen Bussen von 100 % auf 33,3 % der Nachsteuer (Bundessteuer Fr. 21'131.--; Staatssteuer Fr. 30'095.--; Gemeindesteuer Fr. 14'626.--). Den dagegen erhobenen Rekurs bzw. die Beschwerde vom 8. Juni 2009 wies das Steuergericht mit separaten Entscheiden vom 23. Oktober 2009 ab. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, wies mit je separaten Urteilen vom 24. November 2010 die dagegen erhobenen Beschwerden ab.
C. Mit je separater Eingabe vom 9. März 2011 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt die Aufhebung der angefochtenen Urteile; es seien gegen den Beschwerdeführer weder Nachsteuern noch Bussen für das Steuerjahr 2001 (Bundessteuer bzw. Staatssteuer) auszusprechen. Eventualiter sei die vorliegende Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D. Die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Landschaft beantragt die Abweisung der Beschwerden. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, sowie die Eidgenössische Steuerverwaltung verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die weitgehend gleich lautenden Beschwerden betreffen dieselben Parteien, richten sich gegen praktisch übereinstimmende Urteile und werfen identische Rechtsfragen auf. Es rechtfertigt sich deshalb, die Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 24 BZP; <ref-ruling> E. 1 S. 60 f. mit Hinweis).
1.2 Die Beschwerden sind zulässig (vgl. Art. 82 ff. BGG in Verbindung mit Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11] bzw. mit Art. 73 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG; SR 642.14]).
1.3 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist daher weder an die in den Beschwerden geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerden aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder sie mit einer vom angefochtenen Entscheid abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140 mit Hinweis).
I. Direkte Bundessteuer
2. 2.1 Ergibt sich aufgrund von Tatsachen oder Beweismitteln, die der Steuerbehörde nicht bekannt waren, dass eine Veranlagung zu Unrecht unterblieben oder eine rechtskräftige Veranlagung unvollständig ist, oder ist eine unterbliebene oder unvollständige Veranlagung auf ein Verbrechen oder ein Vergehen gegen die Steuerbehörde zurückzuführen, so wird die nicht erhobene Steuer samt Zins als Nachsteuer eingefordert (Art. 151 Abs. 1 DBG). Ein Verschulden des Steuerpflichtigen bildet nicht Voraussetzung, vielmehr kommt es auf die Würdigung der Pflichten an, welche die Steuerbehörde einerseits und den Steuerpflichtigen andererseits bei der Veranlagung treffen. Für die Beantwortung der (entscheidenden) Frage, ob Tatsachen oder Beweismittel neu sind oder schon bei der Veranlagung vorgelegen haben, ist der Aktenstand im Zeitpunkt der Veranlagung massgebend (Urteil 2C_26/2007 E. 3.1 vom 10. Oktober 2007, in: ASA 78 S. 308).
2.2 Nach Artikel 123 Abs. 1 DBG stellen die Veranlagungsbehörden zusammen mit dem Steuerpflichtigen die für eine vollständige und richtige Besteuerung massgebenden tatsächlichen und rechtlichen Verhältnisse fest. Daraus ergibt sich zunächst, dass Behörden und Steuerpflichtiger grundsätzlich gemeinsam auf eine richtige und vollständige Veranlagung hin arbeiten.
2.2.1 Der Steuerpflichtige muss seinerseits alles tun, um eine solche zu ermöglichen (Art. 126 Abs. 1 DBG), und hat insbesondere das Formular für die Steuererklärung wahrheitsgemäss und vollständig auszufüllen (Art. 124 Abs. 2 DBG); er trägt die Verantwortung für dessen Richtigkeit und Vollständigkeit. Mit der Steuererklärung zusammen hat er der Veranlagungsbehörde zusätzlich bestimmte Beilagen einzureichen. Ist sich der Steuerpflichtige über die steuerrechtliche Bedeutung einer Tatsache im Unklaren, darf er diese nicht einfach verschweigen, sondern hat auf die Unsicherheit hinzuweisen. Jedenfalls muss er die Tatsache als solche vollständig und zutreffend darlegen (Urteile 2C_26/2007 vom 10. Oktober 2007 E. 3.2.1, in: ASA 78 S. 308; 2A.182/2002 vom 25. April 2003 E. 3.3.1, in: ASA 73 S. 482).
2.2.2 Die Veranlagungsbehörde ihrerseits prüft die eingereichte Steuererklärung und nimmt die erforderlichen Untersuchungen vor (Art. 130 Abs. 1 DBG). Dabei darf sie sich grundsätzlich darauf verlassen, dass der Steuerpflichtige die Steuererklärung richtig und vollständig ausgefüllt hat; sie ist ohne besonderen Anlass nicht verpflichtet, Quervergleiche mit Akten anderer Steuerpflichtiger vorzunehmen oder selber im Steuerdossier des Betroffenen nach ergänzenden Unterlagen zu suchen. Allerdings darf die Veranlagungsbehörde nicht im gleichen Masse unbesehen auf die in der Steuererklärung gemachten Angaben abstellen, wie sie dies bei einer Selbstveranlagungssteuer tun könnte. Sie hat insbesondere zu berücksichtigen, dass vom Steuerpflichtigen nicht bloss Tatsachen in die Formulare einzutragen sind, sondern sich beim Ausfüllen der Steuerklärung auch eigentliche Rechtsfragen stellen. Eine Pflicht zur Vornahme ergänzender Abklärungen besteht für die Veranlagungsbehörde aber nur dann, wenn die Steuererklärung Fehler enthält, die klar ersichtlich bzw. offensichtlich sind. Weist die Steuererklärung zwar erkennbare Mängel auf, sind diese aber nicht geradezu offensichtlich, so führt das nicht dazu, dass hiermit zusammenhängende Tatsachen oder Beweismittel als den Behörden schon im Veranlagungszeitpunkt bekannt fingiert werden (bzw. dass sich die Behörden ein entsprechendes Wissen anrechnen lassen müssten; Urteile 2C_26/2007 vom 10. Oktober 2007 E. 3.2.2, in: ASA 78 S. 308; 2A.182/2002 vom 25. April 2003 E. 3.3.2 f., in: ASA 73 S. 482).
3. 3.1 Im vorliegenden Fall ist umstritten, ob mit Bezug auf den Aktienverkauf neue Tatsachen vorliegen, was nach der soeben dargestellten Rechtslage Voraussetzung für eine Nachsteuererhebung betreffend das Steuerjahr 2001 bildet. Die Vorinstanz vertritt die Auffassung, dass die Steuerverwaltung im Zeitpunkt der Veranlagung des Steuerjahres 2001 nicht vollumfänglich über alle für eine korrekte Veranlagung notwendigen Tatsachen in Kenntnis war, weshalb diese eine Nachbesteuerung gemäss Art. 151 DBG erheben durfte. Konkret geht es um den Verkauf von 500 Inhaberaktien der Praxisklinik Y._ AG; der Beschwerdeführer hat diese Aktien am 14. Juli 2001 im Zusammenhang mit einem Liegenschaftskauf im Kanton Tessin seiner Mutter an Zahlungs statt übergeben. Da die Aktien als Geschäftsvermögen des Beschwerdeführers der Kapitalgewinnsteuerpflicht unterliegen, hätte dieser in der Steuererklärung 2001 den Aktienverkauf deklarieren müssen. Die Vorinstanz führt dazu aus, der Beschwerdeführer habe bloss eine Schenkung seiner Mutter angegeben, Hinweise auf den Verkauf der Aktien hätten sich jedoch keine in der Steuererklärung befunden. Der Beschwerdeführer könne den Beweis, ob der Vertrag über den Verkauf der Liegenschaft im Kanton Tessin, aus welchem der Aktienverkauf ersichtlich sei, der Steuerveranlagung 2001 beigelegen habe, nicht erbringen. Im Ergebnis habe der Beschwerdeführer nicht hinreichend auf den Verkauf der 500 Inhaberaktien hingewiesen und damit seine Deklarationspflicht verletzt.
3.2 Die Ausführungen der Vorinstanz vermögen insgesamt nicht zu überzeugen:
3.2.1 Aus dem Vertrag vom 14. Juli 2001 ergibt sich, dass die Mutter des Beschwerdeführers zwei Grundstücke im Kanton Tessin im Wert von Fr. 1'294'740.-- an ihren Sohn veräusserte und der Kaufpreis durch eine Schenkung (Fr. 403'810.--), die Übernahme von Hypotheken (Fr. 390'930.--) sowie durch Übergabe der 500 Inhaberaktien der Praxisklinik Y._ AG (Fr. 500'000.--) beglichen wurde. Der Beschwerdeführer gibt an, diesen Vertrag der Steuererklärung 2001 beigelegt zu haben, die Steuerverwaltung erklärt hingegen, der Kauf der Liegenschaft sei nicht genügend dokumentiert worden.
3.2.1.1 In der Steuererklärung 2001 finden sich wohl einige Hinweise auf den Kaufvertrag: So hat der Beschwerdeführer auf dem Formular "Wertschriften- und Guthabenverzeichnis 2001" unter der Rubrik "Erhaltene Schenkung" eine Schenkung seiner Mutter mit Datum vom 14. Juli 2001 deklariert und unter der Rubrik "Zusammensetzung der Schenkung" den Hinweis "gemäss Beilage" angebracht. Auf der letzten Seite der Steuererklärung hat er unter der Rubrik "Beilagen" den Vermerk "Schenkungsunterlagen" angebracht. Im Formular "Wohn- und Geschäftsliegenschaften 2001" hat er die Liegenschaft im Tessin aufgeführt und wiederum mit dem Hinweis "gemäss Beilage Tessin" versehen. Schliesslich hat der Beschwerdeführer im Wertschriftenverzeichnis die 500 Inhaberaktien mit einem Bruttoertrag von Fr. 20'000.-- zwar angegeben, in der Kolonne "Steuerwert am 31.12.2001" aber einen Strich angebracht.
3.2.1.2 Die Vorinstanz vertritt die Auffassung, im Zusammenhang mit der Liegenschaft im Tessin verweise der Beschwerdeführer lediglich auf eine Beilage und nicht explizit auf den Kaufvertrag, weshalb der Beschwerdeführer den Beweis nicht erbringen könne, dass der Kaufvertrag der Steuererklärung 2001 beigelegen habe oder der Steuerbehörde der Verkauf der Aktien hätte bekannt sein müssen (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.3.2).
Der Beschwerdeführer weist dagegen darauf hin, dass sich aus den Akten Anhaltspunkte ergeben, wonach die Steuerverwaltung zum Zeitpunkt der Veranlagung der Steuerperiode 2001 Kenntnis vom besagten Kaufvertrag gehabt hätte: In der Tat kann den Details zur Veranlagungsverfügung Staatssteuer bzw. direkte Bundessteuer vom 25. November 2003 entnommen werden, dass unter Position 109 "Wertschriften und Guthaben" die 500 Inhaberaktien nicht mehr aufgenommen worden sind; es wurde der selbstdeklarierte Wert von Fr. 136'400.-- aus der Steuererklärung übernommen. Ebenso übernommen worden ist in Position 30 der "Wertschriftenertrag privat" von Fr. 23'330.-- sowie in Position 102 die Liegenschaften im Tessin in der Höhe von Fr. 1'294'000.--, ferner in Position 120 der Betrag von Fr. 390'930.-- für Schulden (entsprechend der im Kaufvertrag übernommenen Hypothekarschuld). Diese letztgenannten Beträge sind aber nur aus dem Kaufvertrag vom 14. Juli 2001 ersichtlich und die Steuerverwaltung hätte diese wohl kaum ohne konkrete Belege akzeptiert.
3.2.1.3 Der Vorinstanz ist jedoch zuzustimmen, wenn sie ausführt, aufgrund der divergierenden Aussagen des Beschwerdeführers und der Steuerverwaltung könne nachträglich nicht mehr festgestellt werden, ob der Kaufvertrag der Steuererklärung tatsächlich beigelegen habe oder nicht (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.3.2). Die Frage kann auch im vorliegenden Verfahren letztlich offen gelassen werden (vgl. E. 3.2.3 hiernach).
3.2.2 Gemäss unbestritten gebliebener Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz wurde der Beschwerdeführer mehrfach von der Steuerverwaltung darauf hingewiesen, dass die Inhaberaktien der Praxisklinik Y._ AG ab 1997 als Geschäftsvermögen zu besteuern seien und künftige Kapitalgewinne aus deren Verkauf der Gewinnbesteuerung unterlägen. Nach Ansicht der Steuerbehörden hat der Beschwerdeführer das aus dem Verkauf der fraglichen Aktien erzielte Einkommen nicht genügend deklariert.
Entscheidend ist in diesen Zusammenhang nun aber Folgendes: Der Beschwerdeführer ist stets davon ausgegangen, dass durch den Verkauf der Inhaberaktien der Praxisklinik Y._ AG gar kein Kapitalgewinn realisiert worden ist, da er diese zum Nennwert von Fr. 1'000.-- an seine Mutter verkauft hat. Dabei stützte sich unter anderem auf das Kreisschreiben Nr. 28 der Schweizerischen Steuerkonferenz (Wegleitung zur Bewertung von Wertpapieren ohne Kurswert für die Vermögenssteuer), die Jahresrechnungen 1998-2000 der Y._ AG sowie diverse Entscheide der Steuerbehörden, welche auf einen Verkehrswert der Aktien unter dem Nennwert Fr. 1000.-- schliessen lassen. Aufgrund dieser Umstände erscheint es nachvollziehbar, dass der Beschwerdeführer gutgläubig davon ausging, bei der Veräusserung der Aktien keinen Gewinn erzielt zu haben. Ebenso ist plausibel, dass er bei dieser Sachlage in der Steuererklärung 2001 lediglich deklarierte, die fraglichen Akten nicht mehr zu besitzen. Der Beschwerdeführer hat damit eine unklare Tatsache nicht einfach verschwiegen, sondern auf die Unsicherheit hingewiesen.
3.2.3 Daraus ergibt sich, dass - selbst wenn der Ansicht, der Kaufvertrag vom 14. Juli 2001 sei der Steuererklärung 2001 nicht beigelegen, gefolgt werden sollte - die Steuerverwaltung hier ihre Untersuchungspflicht verletzt hat: Aufgrund der zahlreichen Hinweise des Beschwerdeführers auf die erwähnten Schenkungsbeilagen (vgl. E. 3.2.1.1 hiervor) sowie des Umstandes, dass der Beschwerdeführer seit Beginn der Verfahrens von einem Verkehrswert ausging, der keine Kapitalgewinnsteuer auslöst (vgl. E. 3.2.2 hiervor), hätten sich weitere Abklärungen aufgedrängt. Insbesondere konnte der Umstand, dass der Beschwerdeführer in der Kolonne "Steuerwert am 31.12.2001" einen deutlich sichtbaren Strich eingefügt hat, ohne Weiteres so verstanden werden, dass sich die Aktien zu diesem Zeitpunkt nicht mehr im Eigentum des Beschwerdeführers befanden. Davon scheint auch - wie bereits erwähnt - die Steuerverwaltung ausgegangen zu sein, da sie in den Veranlagungsverfügungen 2001 die Aktien gemäss den deklarierten Angaben des Beschwerdeführers beim Wertschriftenbestand - im Unterschied zu den vorhergehenden Steuerperioden - nicht mehr berücksichtigt hat. Die Folgerung der Vorinstanz, es hätten keine konkreten Anhaltspunkte bestanden, die auf einen Verkauf der Aktien hingedeutet hätten (vgl. angefochtener Entscheid E. 5.4.3), erscheint unter diesen Umständen nicht nachvollziehbar.
3.3 Hat somit wie vorliegend eine Steuerbehörde davon abgesehen, einen bestimmten, einfach zu erhellenden Umstand näher abzuklären, obwohl dazu Anlass bestünde, so kann sie keine Nachsteuer erheben, wenn sie nachträglich bessere Kenntnis von diesem Umstand erhält (vgl. Urteile 2C_94/2010 vom 10. Februar 2011 E. 4.2; 2A.706/2006 vom 1. März 2007 E. 3.4; 2A.585/2005 vom 8. Mai 2006 E. 3.2, in: StE 2007 B 97.41 Nr. 19). Unterlässt die Steuerbehörde nähere Abklärungen, so ist ihr das entsprechende Wissen anzurechnen. Mangels neuer Tatsachen kommt damit eine Nachsteuer nicht in Frage.
Zugleich ist damit der objektive Tatbestand einer vollendeten Steuerhinterziehung gemäss Art. 175 DBG ausgeschlossen (vgl. Urteile 2A.706/2006 vom 1. März 2007 E. 3.4; 2A.583/2004 vom 21. April 2005 E. 3.1).
3.4 Somit erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten betreffend die direkte Bundessteuer als begründet und ist gutzuheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, vom 24. November 2010 ist aufzuheben.
3.5 Damit erübrigen sich weitere Ausführungen zu den verbleibenden Rügen des Beschwerdeführers (Verletzung des rechtlichen Gehörs, Höhe des Kapitalgewinns bzw. der Nachsteuer sowie Rechtmässigkeit der Steuerbusse).
II. Staats- und Gemeindesteuer
4. 4.1 § 146 Abs. 1 bzw. § 151 des Gesetzes [des Kantons Basel-Landschaft] vom 7. Februar 1974 über die Staats- und Gemeindesteuern (Steuergesetz, StG/BL; SGS 331) harmoniert mit Art. 53 Abs. 1 bzw. 56 Abs. 1 StHG und entspricht im Wesentlichen Art. 151 Abs. 1 bzw. 175 DBG. Daraus folgt, dass die Erwägungen zur direkten Bundessteuer für die kantonalen Steuern analog massgebend sind, und es ergibt sich dasselbe Ergebnis.
4.2 Demnach erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten betreffend die Staats- und Gemeindesteuern gleichermassen als begründet und ist ebenfalls gutzuheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, vom 24. November 2010 ist aufzuheben.
III. Kosten und Entschädigung
5. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Kosten der bundesgerichtlichen Verfahren dem Kanton Basel-Landschaft, der Vermögensinteressen verfolgt, aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Dem Beschwerdeführer ist eine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 BGG). Über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens hat das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, neu zu befinden (Art. 67 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 2C_223/2011 und 2C_224/2011 werden vereinigt.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten betreffend die direkte Bundessteuer (2C_223/2011) wird gutgeheissen und das Urteil des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, vom 24. November 2010 aufgehoben.
3. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten betreffend die Staats- und Gemeindesteuern (2C_224/2011) wird gutgeheissen und das Urteil des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, vom 24. November 2010 aufgehoben.
4. Die Angelegenheit wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen im kantonalen Verfahren an das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, zurückgewiesen.
5. Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 9'000.-- werden dem Kanton Basel-Landschaft auferlegt.
6. Der Kanton Basel-Landschaft hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 6'000.-- zu bezahlen.
7. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Steuerverwaltung des Kantons Basel-Landschaft, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, sowie der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. September 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Winiger