Sachverhalt:
A.
Am 8. Januar 2014 verurteilte das Einzelgericht Bern-Mittelland X._ wegen sexuellen Handlungen mit Kindern zu einer bedingten Geldstrafe von 100 Tagessätzen zu Fr. 100.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren sowie zu einer Verbindungsbusse von Fr. 2'000.--. Es verpflichtete ihn zur Zahlung von Fr. 369.30 Schadenersatz nebst Verzugszins sowie einer Genugtuung von Fr. 1'000.-- an die Privatklägerin A._.
B.
Auf Berufung von X._ und Anschlussberufung von A._ bestätigte das Obergericht des Kantons Bern diesen Schuldspruch am 22. Januar 2015 und verurteilte X._ zu einer bedingten Geldstrafe von 100 Tagessätzen zu Fr. 110.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren sowie zu einer Verbindungsbusse von Fr. 2'200.--. Es verpflichtete ihn zur Zahlung von Fr. 530.70 Schadenersatz nebst Verzugszins sowie einer Genugtuung von Fr. 1'000.-- an A._.
C.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 22. Januar 2015 sei aufzuheben und er von sämtlichen Anschuldigungen freizusprechen. Die Zivilforderung von A._ sei abzuweisen.
D.
Obergericht und Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern verzichten auf eine Vernehmlassung. A._ beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" und eine willkürliche Beweiswürdigung.
1.2. Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV ist, oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Die Beweiswürdigung ist willkürlich, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist oder mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht. Dass eine andere Lösung oder Würdigung ebenso vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, genügt für die Annahme von Willkür nicht (<ref-ruling> E. 3.2.5; <ref-ruling> E. 7.1; je mit Hinweisen). Eine entsprechende Rüge muss klar vorgebracht und substanziiert begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen). Auf eine rein appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil tritt das Bundesgericht nicht ein (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen).
Dem Grundsatz "in dubio pro reo" kommt in der vom Beschwerdeführer angerufenen Funktion als Beweiswürdigungsregel im Verfahren vor Bundesgericht keine über das Willkürverbot von Art. 9 BV hinausgehende selbstständige Bedeutung zu (<ref-ruling> E. 7; <ref-ruling> E. 2a; je mit Hinweisen).
1.3. Die Vorinstanz gibt zunächst die Beweiswürdigung der ersten Instanz wieder, die sich sehr ausführlich mit den Aussagen der Privatklägerin, des Beschwerdeführers sowie verschiedener Zeugen auseinandersetzt und auch objektive Beweismittel wie den Emailverkehr zwischen Privatklägerin und Beschwerdeführer miteinbezieht (Urteil, S. 9-19). Diese Erwägungen erachtet die Vorinstanz als zutreffend und umfassend. Anschliessend nimmt sie eine zusammenfassende sowie ergänzende eigene Beweiswürdigung vor und geht insbesondere auf die in der Berufungsbegründung vorgebrachten Einwände des Beschwerdeführers ein (Urteil, S. 19-24).
1.4. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt (Beschwerde, S. 3-6), vermag weder Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung noch eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" zu begründen. Seine Ausführungen beschränken sich auf eine appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil sowie darauf, eine andere mögliche Beweiswürdigung bzw. seine eigene Sicht der Dinge aufzuzeigen. Damit lässt sich keine Willkür begründen, weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung des Anklagegrundsatzes geltend (Beschwerde, S. 5). Zur Begründung führt er aus, die Vorinstanz erachte es als erwiesen, dass er einmal Geschlechtsverkehr mit der Privatklägerin gehabt habe. Den genauen Zeitpunkt könne die Vorinstanz allerdings nicht nennen, sondern ihn lediglich eingrenzen auf einen Dienstagnachmittag zwischen November und dem 18. Dezember 2011. Auch die Uhrzeit sei nicht eruierbar. So habe er keine Möglichkeit, sich wirksam gegen die Beschuldigung zu wehren und Entlastungselemente vorzubringen.
2.2. Nach dem Anklagegrundsatz (Art. 9 Abs. 1 StPO) bestimmt die Anklageschrift den Gegenstand des Gerichtsverfahrens (Umgrenzungsfunktion). Die Anklage hat die der beschuldigten Person zur Last gelegten Delikte in ihrem Sachverhalt so präzise zu umschreiben, dass die Vorwürfe in objektiver und subjektiver Hinsicht genügend konkretisiert sind. Zugleich bezweckt das Anklageprinzip den Schutz der Verteidigungsrechte der beschuldigten Person und garantiert den Anspruch auf rechtliches Gehör (Informationsfunktion; <ref-ruling> E. 6.2 f.; Urteil 6B_130/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 6.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen). Die Anklageschrift ist nicht Selbstzweck, sondern Mittel zum Zweck der Umgrenzung des Prozessgegenstandes und der Information der beschuldigten Person, damit diese die Möglichkeit hat, sich zu verteidigen (Urteil 6B_1011/2014 vom 16. März 2015 E. 1.5.3 mit Hinweis). Ungenauigkeiten sind solange nicht von entscheidender Bedeutung, als für die beschuldigte Person keine Zweifel darüber bestehen können, welches Verhalten ihr vorgeworfen wird (Urteil 6B_803/2014 vom 15. Januar 2015 E. 1.3 mit Hinweis).
2.3. Der Anklageschrift ist ohne Weiteres zu entnehmen, was dem Beschwerdeführer vorgeworfen wird. Der in Frage kommende Tatzeitpunkt betrifft einige wenige Dienstagnachmittage in einem überblickbaren Zeitraum und erscheint damit genügend eingeschränkt. Es ist weder ersichtlich noch wird vom Beschwerdeführer aufgezeigt, inwiefern ihm wegen des zeitlich nicht exakt festgelegten Tatzeitpunkts eine wirksame Verteidigung nicht möglich gewesen sein soll. Eine Verletzung des Anklagegrundsatzes liegt nicht vor.
3.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Zivilpunkt des angefochtenen Urteils.
3.1.
3.1.1. Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, die Privatklägerin habe sich bereits vor den angeblichen Vorfällen im Jahr 2011 in psychiatrischer Behandlung befunden. Es sei in keiner Weise belegt, inwiefern seither die behaupteten sexuellen Handlungen anlässlich solcher Therapiesitzungen thematisiert worden seien. Trotzdem komme die Vorinstanz zum Schluss, dass ein Schaden infolge seines widerrechtlichen Verhaltens zu bejahen und die Kausalität grundsätzlich ebenfalls vorhanden sei. Weshalb dem so sein soll, erwähne die Vorinstanz nicht, womit sie ihre Begründungspflicht verletze. Die Vorinstanz komme alsdann zum Schluss, dass 50 Prozent des Therapieaufwands auf die angeblichen Ereignisse mit dem Beschwerdeführer zurückzuführen seien, ohne dies anhand sachlicher und nachvollziehbarer Kriterien zu begründen. Die angeführten Therapie- und Transportkosten seien bereits vor dem Jahr 2011 angefallen, weshalb die Kausalität zu den ihm vorgeworfenen Straftaten gänzlich fehle. Die Festlegung auf 50 Prozent sei willkürlich.
3.1.2. Gemäss Art. 41 Abs. 1 OR ist zum Ersatz verpflichtet, wer einem anderen (vorsätzlich oder fahrlässig) widerrechtlich Schaden zufügt. Das schädigende Ereignis muss die Ursache des Schadens sein, d.h. es muss ein (natürlicher und adäquater) Kausalzusammenhang zwischen beiden Elementen bestehen (Urteil 6B_993/2008 vom 20. März 2009 E. 3.2.1).
3.1.3. Die Vorinstanz verweist auf die Ausführungen des erstinstanzlichen Gerichts und erwägt ergänzend (Urteil, S. 35), die Privatklägerin mache als Schaden die ab dem Jahr 2012 aufgelaufenen selbstgetragenen Therapiekosten sowie den Aufwand für die Fahrten mit öffentlichen Verkehrsmitteln zu ihren Therapiesitzungen geltend. Da sie aber schon vor den sexuellen Handlungen durch den Beschwerdeführer in therapeutischer Behandlung gewesen sei, sei es schwierig festzustellen, inwieweit diese Therapie durch die Ereignisse mit dem Beschwerdeführer bedingt sei. Immerhin bestätige aber ein Arztbericht in den Akten die Notwendigkeit der Therapie im Zusammenhang mit den fraglichen Vorfällen. Der Kausalzusammenhang zwischen dem schuldhaften Verhalten des Beschwerdeführers und dem Schaden sei damit grundsätzlich vorhanden. Schwierig sei die Bezifferung des Schadens. Dem habe die erste Instanz Rechnung getragen, indem sie methodisch 50 Prozent des Therapieaufwands den Ereignissen mit dem Beschwerdeführer zugeschrieben habe. Dem könne gefolgt werden.
3.1.4. Die Erwägungen der Vorinstanz erweisen sich als unzutreffend. Der von ihr erwähnte Arztbericht (pag. 203) bestätigt zwar, dass sich die Privatklägerin in psychotherapeutischer Behandlung befinde und "Ihr gesundheitlicher Zustand verlangt, dass diese Betreuung auch in Zukunft notwendig sein wird". Sodann listet der Bericht den Therapieplan in zeitlicher Hinsicht auf und erwähnt eine begleitende Verschreibung von Antidepressiva. Inhaltlich äussert er sich allerdings nicht zu den Therapiesitzungen. Entgegen der Darstellung der Vorinstanz stellt er auch keine Verbindung her zwischen der Notwendigkeit der Therapie und den strafbaren Handlungen des Beschwerdeführers. Aktuell ist folglich kein Beweis vorhanden für einen bestehenden Kausalzusammenhang zwischen dessen schuldhaftem Verhalten und mindestens einem Teil der therapeutischen Behandlung der Privatklägerin. Abgesehen davon, dass dem Entscheid der Vorinstanz nicht zu entnehmen ist, aus welchen Gründen sie die festgelegte Quote von 50 Prozent als angemessen erachtet, ist ohne Nachweis des erforderlichen Kausalzusammenhangs bereits die Verpflichtung des Beschwerdeführers zur Zahlung von Schadenersatz an die Privatklägerin bundesrechtswidrig. Die Beschwerde ist in diesem Punkt gutzuheissen.
3.2.
3.2.1. Gegen die Verurteilung zur Zahlung einer Genugtuung wendet der Beschwerdeführer ein, es liege kein genugtuungswürdiges Verhalten vor. Die Privatklägerin sei im massgebenden Zeitpunkt zwar noch knapp im Schutzalter gewesen, habe aber bereits sexuelle Erfahrung gehabt und sei weder in einem Abhängigkeits- noch in einem besonderen Vertrauensverhältnis zu ihm gestanden. Die behaupteten sexuellen Handlungen hätten nicht gegen ihren Willen stattgefunden. Im Gegenteil habe sie diese als angenehm empfunden, und gemäss ihren eigenen Angaben sei es ihre Idee gewesen, ihn zu sich nach Hause einzuladen. Inwiefern sie einen Schaden erlitten haben soll, sei deshalb nicht ersichtlich. Die Zusprechung einer Genugtuung stelle unter diesen Umständen eine Rechtsverletzung dar.
3.2.2. Wer in seiner Persönlichkeit widerrechtlich verletzt wird, hat Anspruch auf Leistung einer Geldsumme, sofern die Schwere der Verletzung es rechtfertigt und diese nicht anders wiedergutgemacht werden kann (Art. 49 Abs. 1 OR). Die Genugtuung bezweckt den Ausgleich für erlittene immaterielle Unbill bzw. erlittenes Unrecht (<ref-ruling> E. 2.2.2). Dem Sachgericht steht bei der Festsetzung der Höhe der Genugtuung ein weiter Ermessensspielraum zu. In diesen greift das Bundesgericht nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von den in Lehre und Rechtsprechung ermittelten Bemessungsgrundsätzen abweicht, wenn sie Tatsachen berücksichtigt, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle spielen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Acht lässt, die sie in ihren Entscheid hätte miteinbeziehen müssen. Darüber hinaus greift es in Entscheide ein, wenn sich diese als offensichtlich unbillig bzw. als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 7a; <ref-ruling> E. 2a; je mit Hinweisen).
3.2.3. Der Beschwerdeführer wird der sexuellen Handlungen mit Kindern zum Nachteil der Privatklägerin für schuldig befunden. Dass die Vorinstanz in der Folge davon ausgeht, die Privatklägerin habe eine Verletzung im Sinne von Art. 49 Abs. 1 OR erlitten, bedeutet weder eine Überschreitung noch einen Missbrauch ihres Ermessens und ist auch nicht offensichtlich unbillig oder in stossender Weise ungerecht. Den vom Beschwerdeführer vorgebrachten Aspekten wird mit der eher geringen Höhe der Genugtuung ausreichend Rechnung getragen. Obschon ein schweres Delikt vorliegt, ist im Vergleich mit anderen Urteilen kein besonders gravierenderer Fall gegeben und das der Privatklägerin zugefügte seelische Leiden nicht als aussergewöhnlich hoch einzustufen. Eine Genugtuung von Fr. 1'000.-- erscheint angemessen.
4.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 22. Januar 2015 ist aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird über die Schadenersatzforderung der Privatklägerin neu zu befinden haben. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die Parteien werden im Umfang ihres Unterliegens kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Gerichtskosten sind zu Fr. 2'000.-- dem Beschwerdeführer und zu Fr. 500.-- der Beschwerdegegnerin 2 aufzuerlegen. Dem Kanton Bern sind keine Kosten zu überbinden (Art. 66 Abs. 4 BGG).
Der Beschwerdeführer und die Beschwerdegegnerin 2 sind je gegenseitig zur Zahlung einer reduzierten Parteientschädigung verpflichtet (Art. 68 Abs. 2 BGG). Diese beiden Forderungen sind zu verrechnen, darüber hinausgehende Entschädigungsansprüche aus dem bundesgerichtlichen Verfahren bestehen nicht.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 22. Januar 2015 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten werden dem Beschwerdeführer zu Fr. 2'000.-- und der Beschwerdegegnerin 2 zu Fr. 500.-- auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Strafabteilung, 1. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Siegenthaler