Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 11. Juni 2007 sprach das Bezirksgericht Zürich, 3. Abteilung, X._ in 21 von 23 Anklagepunkten wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das BetmG und wegen mehrfacher Übertretung des BetmG schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von acht Jahren.
B. Mit Eingabe vom 12. Juli 2007 meldete X._ fristgerecht Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich an. Nach Zustellung des begründeten erstinstanzlichen Entscheids am 12. November 2007 nannte X._ mit Eingabe vom 29. November 2007 innerhalb der gesetzlichen Frist von 20 Tagen seine Beanstandungen. Diese richteten sich gegen zwei der 21 Teilsachverhalte (Anklageziffern I.1 und I.4.2) sowie insbesondere gegen die Strafzumessung. Zusammenfassend machte X._a geltend, er sei in vier von 23 Teilsachverhalten freizusprechen, und sein Geständnis und seine Kooperation bei der Untersuchung seien angemessen strafmindernd zu berücksichtigen. Im Ergebnis sei er zu einer Freiheitsstrafe von maximal drei Jahren zu verurteilen. Am 13. Dezember 2007 erhob die Staatsanwaltschaft Anschlussberufung mit dem Antrag, X._ sei zu einer Freiheitsstrafe von 81⁄2 Jahren und zu einer Busse von Fr. 500.-- zu verurteilen. Mit zwei Eingaben vom 4. März 2008 brachte X._ zusätzliche Beanstandungen gegen das erstinstanzliche Urteil vor, und anlässlich der Berufungsverhandlung vom 26. März 2008 bestritt er nebst den mit Eingabe vom 29. November 2007 gerügten Anklagepunkten weitere Teilsachverhalte.
C. Das Obergericht des Kantons Zürich erachtete die von X._ mit den Schreiben vom 4. März 2008 und an der Berufungsverhandlung vorgebrachten zusätzlichen Beanstandungen für verspätet. Es befand X._ mit Urteil vom 26. März 2008 der Widerhandlung gegen das BetmG und der mehrfachen Übertretung desselbigen schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von acht Jahren.
D. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 26. März 2008 sei aufzuheben, und die Sache sei zur richtigen Feststellung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
1 Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. Auf die Beschwerde ist einzutreten, da sie unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (<ref-law>) und Form (<ref-law>) von der mit ihren Anträgen unterliegenden beschuldigten Person (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 BGG) eingereicht wurde und sich gegen einen von einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) gefällten Endentscheid (Art. 90 und 95 BGG) in Strafsachen (<ref-law>) richtet.
2. 2.1 Die Vorinstanz hat in ihrer Urteilsbegründung ausgeführt, der Beschwerdeführer habe mit seiner Berufungseingabe vom 29. November 2007 einzig zwei der insgesamt 21 Teilsachverhalte bestritten. <ref-law>/ZH statuiere, dass der Berufungskläger binnen 20 Tagen nach Zustellung des begründeten Entscheids schriftlich seine Beanstandungen zu benennen habe. Mit dieser Beanstandungspflicht sei ein gemässigtes Rügeprinzip eingeführt worden, welches ähnlichen Zielen diene wie die Berufungsbeschränkung gemäss <ref-law>/ZH. Mit beiden Instituten habe der Gesetzgeber den Streitgegenstand in einem frühen Stadium grob eingrenzen wollen. Aufgrund der erhobenen Beanstandungen solle das Berufungsgericht in die Lage versetzt werden, das Verfahren sachgerecht anzugehen und über die Wahl der Verfahrensart zu entscheiden. Würden mit der Beanstandungsschrift nur noch einzelne Schuldpunkte gerügt, so sei darin eine Beschränkung der Berufung im Sinne von <ref-law> zu erkennen, könne doch gemäss dieser Vorschrift die Berufung auf einzelne Schuldpunkte eingegrenzt werden. Da der Beschwerdeführer mithin innert der Frist von <ref-law>/ZH nur zwei Anklagepunkte bestritten habe, seien die übrigen 19 Schuldsprüche nicht mehr angefochten und in Rechtskraft erwachsen (angefochtenes Urteil S. 9 ff.).
2.2 Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine willkürliche Auslegung und Anwendung von <ref-law>/ZH und damit eine Verletzung von <ref-law> vor. Er macht geltend, nach dem Verständnis der Vorinstanz entfalte <ref-law>/ZH die gleichen Wirkungen wie eine Beschränkung der Berufung nach <ref-law>/ZH. Bei der Berufungsbeschränkung und der Beanstandungspflicht aber handle es sich um zwei unterschiedliche Institute, werde doch durch <ref-law>/ZH insbesondere die Zulässigkeit einer allfälligen Anschlussberufung nicht beschränkt. Die von der Vorinstanz vertretene definitive Beschränkung der Berufung auf die schriftlich vorgebrachten Beanstandungen - und damit die Nichtzulassung neuer Rügen an der Berufungsverhandlung - sei schlechthin unhaltbar. Nach richtiger Auffassung diene <ref-law>/ZH nämlich lediglich einer ersten Orientierung des Gerichts, wo der Berufungskläger die Kernprobleme des erstinstanzlichen Urteils orte, und lasse die Möglichkeit unberührt, die erhobenen Beanstandungen anlässlich der Berufungsverhandlung zu ergänzen (Beschwerde S. 4 f.).
2.3 Gemäss <ref-law>/ZH kann die Berufung beschränkt werden auf einzelne Schuldsprüche, auf die Strafzumessung, die Anordnung von Massnahmen, den Entscheid über die Zivilforderung sowie die besonderen Anordnungen (Abs. 1). Die Berufung kann bis zum Abschluss der Berufungsverhandlung weiter eingeschränkt oder zurückgezogen werden (Abs. 2). Die Rechtskraft des angefochtenen Urteils wird im Umfang der Anfechtung gehemmt (Abs. 3).
1 Gestützt auf <ref-law>/ZH ist die Berufung binnen zehn Tagen ab Eröffnung des Dispositivs beim Gericht erster Instanz anzumelden (Abs. 1). Sie kann schriftlich oder bei Eröffnung des Entscheides mündlich zu Protokoll erklärt werden (Abs. 2). Will der Berufungskläger die Berufung einschränken, so muss er angeben, welche Teile des Entscheids er anfechten will (Abs. 3). Der Berufungskläger hat binnen 20 Tagen nach Zustellung des begründeten Entscheids schriftlich seine Beanstandungen zu benennen (Abs. 4).
2.4 Konsequenz der Berufungsbeschränkung gemäss § 413 und § 414 Abs. 3 StPO/ZH ist, dass sich die Berufungsinstanz nur noch mit den angefochtenen Urteilspunkten zu befassen hat und die nicht angefochtenen Schuldsprüche sofort in Rechtskraft erwachsen, eine spätere Ausdehnung der Berufung mithin unzulässig ist. Ratio legis der Berufungsbeschränkung ist die Verfahrensvereinfachung. Dem gleichen Zweck dient die Beanstandungspflicht gemäss <ref-law>/ZH (vgl. zum Ganzen Andreas Donatsch/Ulrich Weder/Cornelia Hürlimann, Die Revision des Zürcher Strafverfahrensrechts vom 27. März 2003, 2005, S. 57 ff.; Niklaus Schmid, Strafprozessrecht, 4. Aufl., 2005, Rz. 1030; siehe auch den Antrag, die Weisung und den Entwurf des Regierungsrats des Kantons Zürich vom 4. April 2001 zur Änderung der Kantonsverfassung und zum Gesetz über die Teilrevision der Strafprozessordnung; in: Amtsblatt des Kantons Zürich 2001, S. 635 f.; vgl. zur Auslegung von <ref-law>/ZH ferner auch die Urteile des Bundesgerichts 1P. 850/2005 vom 8. Mai 2006; in: Praxis 2007 Nr. 22 S. 125; 1P.195/2006 vom 27. Juni 2006 und 1P.69/2007 vom 12. April 2007).
2 Wie die Vorinstanz zutreffend festgehalten hat, hat der Beschwerdeführer mit seiner innert der Frist von <ref-law>/ZH eingereichten Beanstandungsschrift nur zwei von 21 Anklagepunkten, in denen er verurteilt wurde, beanstandet. Das interpretierte die Vorinstanz als Beschränkung der Berufung im Sinne von <ref-law>/ZH. Unter dem Gesichtspunkt der Willkür lässt sich dies nicht beanstanden. Würde man der Argumentation des Beschwerdeführers folgen, wonach es dem Berufungskläger unbenommen bliebe, in einer späteren Verfahrensphase, d.h. insbesondere anlässlich der Berufungsverhandlung, die selbst gewählte Eingrenzung des Streitgegenstands wieder aufzuheben und weitere Urteilspunkte der vorinstanzlichen Beurteilung zu unterstellen, würde die mit den § 413 und 414 StPO/ZH verfolgte Informationsfunktion ihres Gehalts entleert und das Ziel der Verfahrensvereinfachung untergraben, da es der Berufungsinstanz hierdurch entgegen dem gesetzgeberischen Ansinnen verunmöglicht würde, das Berufungsverfahren sachgerecht anzugehen und namentlich bereits in einem frühen Verfahrensstadium über die Wahl der Verfahrensart zu befinden (vgl. auch Urteil 1P.69/2007 vom 12. April 2007, E. 3).
3. Die Beschwerde ist daher vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Da das Rechtsmittel von vornherein aussichtslos war, kann dem Gesuch nicht entsprochen werden (<ref-law>).
2 Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr ist seinen finanziellen Verhältnissen Rechnung zu tragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Stohner