Sachverhalt:
A. A.a Die Z._ AG leitete beim Betreibungsamt Zürich 6 mehrere Betreibungen gegen X._ ein.
A.b Am 6. Oktober 2009 erteilte das Bezirksgericht Zürich (Audienzrichteramt) in der Betreibung Nr. 1 auf Pfandverwertung die provisorische Rechtsöffnung (Verfügung EB091615/U). Am 6. Juni 2010 wurde in der Betreibung Nr. 2 auf Pfandverwertung (Verfügung EB100807/U) sowie in der in der Betreibung Nr. 3 auf Pfändung (Verfügung EB100808/U) ebenfalls die provisorische Rechtsöffnung erteilt.
A.c Am 6. Januar 2010 sowie am 24. August 2010 erhob X._ beim Bezirksgericht Zürich gegen die Z._ AG die Klagen auf Aberkennung der Forderungen bzw. des Pfandrechts. Da sie innert der angesetzten Frist die ihr auferlegten Prozesskautionen nicht geleistet hatte, trat das Bezirksgericht mit Beschlüssen (CG100002, CG100145, CG100146) vom 25. Oktober 2010 auf die Klagen nicht ein.
B. Gegen die Nichteintretensentscheide gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Zürich, welches die Rekurse mit Beschlüssen vom 14. Februar 2011 (LN100055-O/U und LN100056-O/U) und vom 15. Februar 2011 (LN100057-O/U) abwies und die erstinstanzlichen Entscheide bestätigte.
C. X._ führt mit Eingaben vom 24. März 2011 Beschwerden in Zivilsachen (Verfahren 5A_210/2011, 5A_212/2011, 5A_213/2011). Die Beschwerdeführerin verlangt, die Beschlüsse des Obergerichts vom 14. und 15. Februar 2011 aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für die bundesgerichtlichen Verfahren.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Die Beschwerden richten sich gegen Entscheide, die zwischen den gleichen Parteien ergangen sind; zudem gründen die angefochtenen Entscheide teilweise auf gleichen Erwägungen und lauten die Beschwerdebegründungen teilweise gleich. Es rechtfertigt sich, die Beschwerden zu vereinigen und im gleichen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>).
2. 2.1 Angefochten sind obergerichtliche Entscheide, mit welchen das Nichteintreten auf die Klage auf Aberkennung (<ref-law>) der Darlehensforderungen bzw. der Faustpfandrechte bestätigt wurde. Die angefochtenen Entscheide unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>). Die Streitwertgrenze ist offensichtlich erreicht (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist ohne weiteres legitimiert (<ref-law>), die verfahrensabschliessenden Entscheide (<ref-law>) mit Beschwerde anzufechten. Die fristgemäss erhobenen Beschwerden (<ref-law>) sind grundsätzlich zulässig.
2.2 Mit vorliegenden Beschwerden kann die Verletzung von u.a. Bundes- einschliesslich Verfassungsrecht (<ref-law>) gerügt werden. Die Verletzung kantonaler Gesetze kann das Bundesgericht nur insoweit prüfen, als in der Beschwerde entsprechende Verfassungsrügen erhoben werden (vgl. <ref-law>).
2.3 In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 591).
3. Vor dem Obergericht war (in den Verfahren LN100056-O/U und LN100057-O/U) u.a. die Wahrung des Anspruchs der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör umstritten.
3.1 Nach den vorinstanzlichen Erwägungen hat das Bezirksgericht der Beschwerdeführerin mit der Mitteilung der Nichteintretensentscheide (CG100145, CG100146) auch die Eingabe der Beschwerdegegnerin (Aberkennungsbeklagten) vom 17. September 2010 zugesandt. In diesem Schreiben habe die Beschwerdegegnerin darum ersucht, zukünftige Gesuche um Fristerstreckung der Beschwerdeführerin zurückhaltend zu bewilligen. Nach Auffassung des Obergerichts hat die Eingabe nichts mit dem Nichteintreten auf die Aberkennungsklagen infolge Nichtleistung der Prozesskaution durch die Beschwerdeführerin zu tun. Dem Bezirksgericht könne daher keine Gehörsverletzung vorgeworfen werden, wenn es die betreffende Eingabe nicht früher (d.h. vor dem Entscheid) der Beschwerdeführerin zur Kenntnis zugestellt habe. Eine allfällige Gehörsverletzung sei im Rekursverfahren bzw. vor Obergericht ohnehin geheilt worden. Die Beschwerdeführerin rügt, dass sie sich zum Schreiben der Gegenpartei vom 17. September 2010 nicht habe äussern können und die Vorinstanz mit ihrer Auffassung gegen <ref-law> verstosse.
3.2 Gemäss <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK haben die Parteien eines Gerichtsverfahrens Anspruch auf rechtliches Gehör. Diese Garantie umfasst auch das Recht, von den beim Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können (sog. Replikrecht: <ref-ruling> E. 2.1 S. 99). Die Wahrnehmung des Replikrechts setzt voraus, dass die fragliche Eingabe der Partei zugestellt wird. Das Bundesgericht hat wiederholt festgehalten, dass den Verfahrensbeteiligten ein Anspruch auf Zustellung von Vernehmlassungen zusteht, unabhängig davon, ob diese Eingaben neue und erhebliche Gesichtspunkte enthalten. Das Gericht muss vor Erlass seines Urteils eingegangene Vernehmlassungen den Beteiligten zustellen, damit diese sich darüber schlüssig werden können, ob sie sich dazu äussern wollen oder nicht (BGE 5A_791/2010 E. 2.3.1, mit Hinweisen).
3.3 Vorliegend setzte das Bezirksgericht der Beschwerdeführerin am 26. August 2010 (und am 10. September 2010 erstreckte) Frist bis zum 11. Oktober 2010 zur Leistung der Prozesskaution von Fr. 223'000.-- (im Verfahren CG100145/U) sowie von Fr. 35'000.-- (im Verfahren CG100146/U), jeweils unter Androhung der Säumnisfolgen. Innert Frist hat sich die Beschwerdeführerin nicht vernehmen lassen. Es steht fest, dass das Bezirksgericht die Eingabe der Beschwerdegegnerin (Aberkennungsbeklagten) vom 17. September 2010 der Beschwerdeführerin erst mit der Mitteilung des Nichteintretensentscheides zugesandt hat. Die Beschwerdeführerin konnte sich vor Erlass der Nichteintretensentscheide wegen Nichtleistung der Prozesskaution nicht zum Schreiben der Gegenseite äussern.
3.4 Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin liegt keine Gehörsverletzung vor. Es ist unbestritten, dass Gegenstand der Nichteintretensentscheide einzig das Nichtbezahlen der auferlegten Prozesskaution war. Ebenso wenig steht in Frage, dass sich das Schreiben der Gegenpartei vom 17. September 2010 auf ein allfälliges Gesuch der Beschwerdeführerin um Fristerstreckung bezieht und sinngemäss dessen Ablehnung beantragt wird. Über ein solches Gesuch musste das Bezirksgericht indessen nicht befinden, weil die Beschwerdeführerin keines (mehr) eingereicht hatte. Entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin ist der von <ref-law> geschützte Anspruch, selber beurteilen zu dürfen, ob die Eingabe der Beschwerdegegnerin neue und erhebliche Gesichtspunkte für die Entscheidfindung enthalte, nicht berührt. Die Bezahlung bzw. Nicht-Bezahlung der auferlegten Prozesskaution innert Frist bzw. der (Nicht-) Eintretensbeschluss des Bezirksgerichts hing einzig vom Entschluss der betroffenen Partei, d.h. der Beschwerdeführerin ab, ebenso die Möglichkeit, innert Frist ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu stellen. Wenn das Obergericht zur Auffassung gelangt ist, das Bezirksgericht habe auf die Klagen der Beschwerdeführerin zufolge Nichtbezahlen der Prozesskaution nicht eintreten dürfen, ohne zuvor Kenntnis des Schreibens der Beschwerdegegnerin vom 17. September 2010 zu geben, stellt dies keine Verletzung der Verfahrensgarantie dar. Bei diesem Ergebnis erübrigen sich Erörterungen zur Frage, unter welchen Voraussetzungen eine Heilung der Gehörsverletzung im nächstinstanzlichen Verfahren möglich ist (vgl. dazu BGE 5A_791/2010 E. 2.3.2, mit Hinweisen).
4. Weiter waren vor dem Obergericht die Festsetzung der Gerichtsgebühren für die erstinstanzlichen Nichteintretensentscheide umstritten. Zu diesem Streitpunkt hat das Obergericht auf seine Verordnung über die Gerichtsgebühren vom 4. April 2007 (GerGebV) abgestellt, wonach Grundlage für die Festsetzung der Gebühren der Streitwert bzw. das tatsächliche Streitinteresse, der Zeitaufwand des Gerichts sowie die Schwierigkeit des Falls sind (§ 2 Abs. 1 GerGebV). Im Zivilprozess kann der Streitwert gemäss Tarif (§ 4 Abs. 1 GerGebV) um bis zu einem Drittel gesenkt (§ 4 Abs. 2 GerGebV) und bei Erledigung ohne Anspruchsprüfung weiter bis auf die Hälfte gesenkt werden (§ 10 Abs. 1 GerGebV). Anhand dieser Bestimmungen hat das Obergericht die Festsetzung der Gebühren mit Blick auf die maximale Ermässigung wie folgt überprüft:
Beim Streitwert von Fr. 5'500'000.-- betrage die Gebühr Fr. 75'750.--, bei maximaler Reduktion Fr. 50'500.-- und weiterer maximaler Senkung Fr. 25'250.--. Das Bezirksgericht habe Fr. 25'000.-- auferlegt (Beschluss CG100002/U).
Beim Streitwert von über Fr. 8'050'000.-- betrage die Gebühr Fr. 101'250.--, bei maximaler Reduktion Fr. 67'500.-- und weiterer maximaler Senkung Fr. 33'750.--. Das Bezirksgericht habe Fr. 35'000.-- auferlegt (Beschluss CG100145/U).
Beim Streitwert von Fr. 202'000.-- betrage die Gebühr Fr. 12'830.--, bei maximaler Reduktion Fr. 8'553.-- und weiterer maximaler Senkung Fr. 4'276.--. Das Bezirksgericht habe Fr. 5'000.-- auferlegt (Beschluss CG100146/U).
Das Obergericht hat gefolgert, dass in allen drei erstinstanzlichen Verfahren die konkret auferlegten Gerichtsgebühren angemessen seien.
4.1 Die Festsetzung des Streitwertes für die einzelnen Aberkennungsklagen (dazu D. STAEHELIN, in: Basler Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Auf. 2010, N. 48 zu <ref-law>) stellt die Beschwerdeführerin nicht in Frage. Zu Recht ist unbestritten, dass sich die Gerichtskosten für die Aberkennungsklage nach kantonalem Recht richten, woran das Inkrafttreten der ZPO nichts geändert hat (Art. 95 Abs. 2, Art. 96 ZPO). Die Beschwerdeführerin beruft sich auf das Legalitätsprinzip. Sie legt allerdings nicht dar, inwiefern § 202 GVG/ZH, auf welchen sich die GerGebV stützt, keine hinreichende gesetzliche Grundlage (dazu <ref-ruling> E. 1 S. 250, E. 3b S. 253; <ref-ruling> E. 2. S. 182) darstellen soll, um die strittigen Gerichtskosten zu erheben. Im Wesentlichen rügt sie eine Verletzung der verfassungsmässigen Grundsätze bei der Anwendung des kantonalen Gebührenrechts (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> ff.; zum Äquivalenzprinzip <ref-ruling> E. 2.3 S. 228; WURZBURGER, De la constitutionnalité des émoluments judiciaires en matiére civile, in: Festschrift Poudret, 1999, S. 300 f., S. 307 f.; HOHL, Procédure civile, Bd. II, 2. Aufl. 2010, Rz. 616).
4.2 Die Beschwerdeführerin macht (in den Verfahren 5A_210/2011 und 5A_212/2011) geltend, die Anwendung des "starren Tarifs" erweise sich als unverhältnismässig, zumal der Nichteintretensbeschluss keinen grossen Aufwand erfordert habe und ein Parallelverfahren in gleicher Weise habe erledigt werden können. Sie bezieht sich damit auf die vom Bezirksgericht auferlegte Gerichtsgebühr von Fr. 35'000.-- (Beschluss CG100145/U) sowie von Fr. 25'000.-- (Beschluss CG100002/U).
4.2.1 Entgegen der Bezeichung der Beschwerdeführerin ist die GerGebV nicht starr ausgestaltet, sondern erlaubt eine Erhöhung bzw. Ermässigung der Gerichtsgebühren. Für die Erhöhung bzw. Ermässigung der nach einem Tarif abgestuften Gerichtsgebühren ist im Einzelfall der Aufwand massgebend, den das Verfahren mit sich bringt, wie die Anzahl der Verhandlungen, der Umfang der Rechtsschriften und Beilagen sowie die tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeit des Falles (SPÜHLER/DOLGE/GEHRI, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 9. Aufl. 2010, 8. Kap. Rz. 28). Die Beschwerdeführerin bestreitet selber nicht, dass die kantonalen Instanzen die Gerichtsgebühren nach dem "Minimalansatz" bemessen haben, weil die Gebühren nach § 4 Abs. 2 GerGebV sowie mangels Anspruchsprüfung gemäss § 10 GerGebV auf das Minimum herabgesetzt worden sind. Damit wurde dem geringen Verfahrensaufwand offensichtlich und weitestgehend Rechnung getragen.
4.2.2 Aus dem Hinweis auf die Gleichartigkeit der beiden Verfahren kann die Beschwerdeführerin nichts für sich ableiten. Zum einen steht fest, dass in beiden Verfahren die Gerichtsgebühr praktisch auf das Minimum gesenkt und damit der durch ein Parallelverfahren verminderte Aufwand ebenfalls berücksichtigt worden ist. Zum anderen legt die Beschwerdeführerin nicht dar, inwiefern die Vorinstanz die GerGebV willkürlich angewendet habe (<ref-law>), wenn die Gerichtsgebühren nicht nach Addition der verschiedenen Streitwerte in mehreren Verfahren berechnet hat. Dass bei einem Streitwert von über Fr. 8 Mio. die erstinstanzliche Gerichtsgebühr von Fr. 35'000.-- bzw. bei einem Streitwert Fr. 5'500'000.-- die Gerichtsgebühr von 25'000.-- eine geradezu unverhältnismässige Belastung und eine Verletzung des Äquivalenzprinzips darstellen sollen, kann nicht gesagt werden.
4.2.3 Weiter übt die Beschwerdeführerin Kritik an der Gerichtsgebühr für die Beschlüsse des Obergerichts, welches die (zweitinstanzliche) Gerichtsgebühr für den Streitwert von Fr. 5'500'000.-- auf Fr. 25'000.-- (Beschluss LN100055-O/U) und für den Streitwert von Fr. 8'050'000.-- auf Fr. 33'750.-- (Beschluss LN100056-O/U) festgesetzt hat. Die Vorinstanz hat die Gerichtskosten nach den gleichen, wie für die Erstinstanz massgebenden Regeln bemessen (vgl. § 13 Abs. 1 GerGebV). Dass das Rechtsmittelverfahren mit Bezug auf die Kostenfestsetzung als ein in sich geschlossenes Verfahren betrachtet wird (STERCHI, Gerichts- und Parteikosten im Zivilprozess, in: Schöbi [Hrsg.], Gerichtskosten, Parteikosten, Prozesskaution, unentgeltliche Prozessführung, 2001, S. 16), stellt die Beschwerdeführerin zu Recht nicht in Frage. Es ist nicht ersichtlich, dass die Festsetzung der obergerichtlichen Gerichtsgebühren, für welche unbestrittenermassen die Herabsetzungen weitestgehend gewährt wurden, gegen die verfassungsmässigen Grundsätze verstossen soll.
5. Nach dem Dargelegten ist den Beschwerden in Zivilsachen kein Erfolg beschieden. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (<ref-law>). Zufolge Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren und deren Begründung kann der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege nicht gewährt werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 5A_210/2011, 5A_212/2011 und 5A_213/2011 werden vereinigt.
2. Die Beschwerden in Zivilsachen werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 12'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. August 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Levante