Sachverhalt:
A. X._ (im Folgenden: Kläger) war als Schmuck- und Edelsteinhändler selbstständig erwerbstätig. Nach seinen Angaben gab er diese Tätigkeit im Jahre 1995 auf und befasste sich danach mit der Liquidation des vorhandenen Lagers an Schmuck und Edelsteinen. Am 19. August 1996 erneuerte er seine Schadenversicherung bei der Versicherung Y._ (nachstehend: Beklagte). Insbesondere gegen Einbruchdiebstahl und Beraubung waren versichert Schmuck, Edelsteine und Geldwerte im Tresor "BAUER PE 1600" für die Summe von 1.05 Millionen Franken.
Am 6. September 1997 meldete der Kläger der Beklagten einen bewaffneten Raubüberfall, der sich am Vortag ereignet haben soll. Die Beklagte verweigerte ihre Leistungen. Ende 1998 leitete der Kläger den Forderungsprozess ein und begehrte, die Beklagte zur Zahlung von 1.05 Millionen Franken nebst Zins zu verpflichten.
Wie zuvor schon das Bezirksgericht Zürich (4. Abteilung) wies das Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich die Klage ab, und zwar aus zwei Gründen: Einerseits gehören die angeblich gestohlenen Wertsachen zum Privatvermögen des Klägers und sind durch die Versicherung nicht gedeckt, zumal der Versicherungsschutz nur die dem Geschäftsbetrieb zuzuordnenden Werte erfasst (E. 3 S. 4 ff.), und andererseits hat der Kläger nach Auffassung des Obergerichts den ihm obliegenden Nachweis nicht erbracht, dass der Tresor ausgeraubt wurde (E. 4 S. 7 ff. des Urteils vom 26. Juni 2003).
B. Mit eidgenössischer Berufung erneuert der Kläger sein Begehren, die Beklagte habe ihm 1.05 Millionen Franken nebst Zins zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache zur Beweisabnahme an das Obergericht zurückzuweisen. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Eine Berufungsantwort ist nicht eingeholt worden.
C. Gegen das obergerichtliche Urteil hat der Kläger staatsrechtliche Beschwerde und kantonale Nichtigkeitsbeschwerde erhoben. Die II. Zivilabteilung des Bundesgerichts und das Kassationsgericht des Kantons Zürich traten auf die jeweilige Beschwerde am 26. September 2003 (5P.311/2003) und am 5. November 2003 nicht ein.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Gemäss unangefochtener Vertragsauslegung des Obergerichts beschränkt sich der Versicherungsschutz auf Werte im Tresor "BAUER PE 1600". Beweisthema hat damit gebildet, dass eine unbekannte Täterschaft die vom Kläger aufgelisteten Wertsachen aus dem genannten Tresor gestohlen hat, d.h. den Tresor geöffnet und die näher bezeichneten Wertsachen heraus- und mitgenommen hat. Das Obergericht hat festgestellt, der Kläger habe den Beweis für diese anspruchsbegründenden Tatsachen nicht erbracht. Der Kläger macht eine Verletzung des bundesrechtlichen Beweismasses geltend.
2. Das Obergericht hat die beweisrechtlichen Besonderheiten bei Ansprüchen aus Versicherungsverträgen anhand der Rechtsprechung des Bundesgerichts dargestellt (E. 4a S. 8 unter Verweis auf das Urteil 5C.11/2002 vom 11. April 2002, E. 2a/aa). Danach ist für den Eintritt des Versicherungsfalls behauptungs- und beweispflichtig, wer gegenüber dem Versicherer einen Anspruch erhebt. Da der Nachweis rechtsbegründender Tatsachen im Bereich des Versicherungsvertrags regelmässig mit Schwierigkeiten verbunden ist, geniesst der beweispflichtige Versicherungsnehmer insofern eine Beweiserleichterung, als er nur eine überwiegende Wahrscheinlichkeit für das Bestehen des geltend gemachten Versicherungsanspruchs darzutun hat. Allerdings kann der Versicherer im Rahmen des Gegenbeweises Indizien geltend machen, welche die Glaubwürdigkeit des Ansprechers erschüttern oder erhebliche Zweifel an der von ihm geschilderten Diebstahlsvariante erwecken. Gelingt dies dem Versicherer, ist vom Versicherungsnehmer der strikte Beweis des Eintritts des Versicherungsfalls zu fordern.
Das zitierte Urteil 5C.11/2002, das die bundesgerichtliche Rechtsprechung zusammenfasst, ist in Fachzeitschriften veröffentlicht worden (SJZ 98/2002 S. 338 f. Nr. 17/2; JdT 2002 I S. 531 ff.; Haftung und Versicherung [HAVE] 2002 S. 376 ff.). Es hat zu teilweise kritischen Bemerkungen Anlass gegeben. Hervorgehoben werden einerseits begriffliche Ungenauigkeiten in Fragen des Beweismasses und andererseits Schwierigkeiten, die sich aus einem gleichsam zweistufigen ("doppelten") Beweismass ergeben (Leuenberger, in: ZBJV 139/2003 S. 652 ff.; Abrecht, in: JdT 2002 I S. 534 ff.; Nef, in: HAVE 2002 S. 378 f.). Zudem wird beanstandet, aus der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gehe nicht klar hervor, welcher Grad an Wahrscheinlichkeit im Einzelnen erforderlich sei und was geschehe, wenn der Versicherer den Gegenbeweis erbringe (vgl. etwa Nef, in: Kommentar zum Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag, Basel 2001, N. 23 und 27 zu <ref-law>; Gabus, Justification du sinistre et prétention frauduleuse en matière d'assurance privée, in: HAVE 2003 S. 31 ff., 33 ff. Ziff. II).
3. Die bundesgerichtliche Rechtsprechung zum Beweis des Eintritts des Versicherungsfalls ist zusammenzufassen und zu präzisieren wie folgt:
3.1 Gemäss <ref-law> hat, wo es das Gesetz nicht anders bestimmt, derjenige das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen, der aus ihr Rechte ableitet. Demgemäss hat die Partei, die einen Anspruch geltend macht, die rechtsbegründenden Tatsachen zu beweisen, während die Beweislast für die rechtsaufhebenden bzw. rechtsvernichtenden oder rechtshindernden Tatsachen bei der Partei liegt, die den Untergang des Anspruchs behauptet oder dessen Entstehung oder Durchsetzbarkeit bestreitet. Diese Grundregel kann durch abweichende gesetzliche Beweislastvorschriften verdrängt werden und ist im Einzelfall zu konkretisieren (ausführlich: <ref-ruling> E. 2a/aa S. 273 mit Hinweisen). Sie gilt auch im Bereich des Versicherungsvertrags (Nebel, im zit. VVG-Kommentar, N. 4 und N. 9 zu <ref-law>, mit Hinweisen).
Nach der erwähnten Grundregel hat der Anspruchsberechtigte - in der Regel der Versicherungsnehmer, der versicherte Dritte oder der Begünstigte - die Tatsachen zur "Begründung des Versicherungsanspruches" (Marginalie zu Art. 39 des Bundesgesetzes vom 2. April 1908 über den Versicherungsvertrag [VVG; SR 221.229.1]) zu beweisen, also namentlich das Bestehen eines Versicherungsvertrags, den Eintritt des Versicherungsfalls und den Umfang des Anspruchs. Den Versicherer trifft die Beweislast für Tatsachen, die ihn zu einer Kürzung oder Verweigerung der vertraglichen Leistung berechtigen (z.B. wegen schuldhafter Herbeiführung des befürchteten Ereignisses: <ref-law>) oder die den Versicherungsvertrag gegenüber dem Anspruchsberechtigten unverbindlich machen (z.B. wegen betrügerischer Begründung des Versicherungsanspruches: <ref-law>).
Anspruchsberechtigter und Versicherer haben im Streit um vertragliche Leistungen je ihr eigenes Beweisthema und hierfür je den Hauptbeweis zu erbringen. Dies trifft auch dann zu, wenn sich beide Beweisthemen im gleichen Verfahren gegenüberstehen, wie das im Zusammenhang mit Diebstahlversicherungen oft der Fall ist (z.B. Urteil des Bundesgerichts 5C.146/2000 vom 15. Februar 2001, E. 2-4, teilweise publ. in: Pra 90/2001 Nr. 119 S. 706 ff.). Das Gericht wird zwar die zum einen Beweisthema vorgebrachten Indizien auch im Hinblick auf das andere Beweisthema würdigen (zit. Urteil 5C.11/2002, E. 2a/cc; Nef, Kommentar, a.a.O., N. 58 zu <ref-law>, und in: HAVE 2002 S. 378 f. Ziff. 4). Aus der Beweislosigkeit beim einen Thema (z.B. zur absichtlichen Herbeiführung des Versicherungsfalls) darf aber nicht einfach auf den Beweis beim andern Thema (z.B. zum Eintritt des Versicherungsfalls) geschlossen werden. Das käme einer Umkehr der Beweislast gleich und bedeutete eine Verletzung von <ref-law> (Urteil 5C.86/1996 vom 5. Dezember 1996, E. 4; Niquille-Eberle, Beweiserleichterungen im Versicherungsrecht, in: Haftpflicht- und Versicherungsrechtstagung 1997, S. 227 ff., 236).
3.2 Ein Beweis gilt als erbracht, wenn das Gericht nach objektiven Gesichtspunkten von der Richtigkeit einer Sachbehauptung überzeugt ist. Absolute Gewissheit kann dabei nicht verlangt werden. Es genügt, wenn das Gericht am Vorliegen der behaupteten Tatsache keine ernsthaften Zweifel mehr hat oder allenfalls verbleibende Zweifel als leicht erscheinen. Ausnahmen von diesem Regelbeweismass, in denen eine überwiegende Wahrscheinlichkeit als ausreichend betrachtet wird, ergeben sich einerseits aus dem Gesetz selbst und sind andererseits durch Rechtsprechung und Lehre herausgearbeitet worden. Den Ausnahmen liegt die Überlegung zu Grunde, dass die Rechtsdurchsetzung nicht an Beweisschwierigkeiten scheitern darf, die typischerweise bei bestimmten Sachverhalten auftreten (vgl. <ref-ruling> E. 2b/aa S. 275). Die Beweiserleichterung setzt demnach eine "Beweisnot" voraus. Diese Voraussetzung ist erfüllt, wenn ein strikter Beweis nach der Natur der Sache nicht möglich oder nicht zumutbar ist, insbesondere wenn die von der beweisbelasteten Partei behaupteten Tatsachen nur mittelbar durch Indizien bewiesen werden können. Eine Beweisnot liegt aber nicht schon darin begründet, dass eine Tatsache, die ihrer Natur nach ohne weiteres dem unmittelbaren Beweis zugänglich wäre, nicht bewiesen werden kann, weil der beweisbelasteten Partei die Beweismittel fehlen. Blosse Beweisschwierigkeiten im konkreten Einzelfall können nicht zu einer Beweiserleichterung führen (Urteil des Bundesgerichts 5C.175/1997 vom 17. Oktober 1997, E. 2 und 3; allgemein: Hohl, Procédure civile, t. I: Introduction et théorie générale, Bern 2001, N. 1098 S. 210, und ausführlich in: Le degré de la preuve, Festschrift Vogel, Freiburg i.Üe. 1991, S. 125 ff., 151 f.).
Im Zusammenhang mit dem Eintritt des Versicherungsfalls geht die Rechtsprechung davon aus, dass - namentlich bei der Diebstahlversicherung - in der Regel eine Beweisnot gegeben ist, so dass sich die Herabsetzung des Beweismasses rechtfertigt (zuletzt: Urteile 5C.47/2002 vom 17. April 2002, E. 2b, und 5C.99/2002 vom 12. Juni 2002, E. 2.1).
3.3 Das Beweismass ist für den Eintritt des Versicherungsfalls auf die überwiegende Wahrscheinlichkeit ("la vraisemblance prépondérante"; "la verosimiglianza preponderante") herabgesetzt (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 276). Gelegentlich verwendete das Bundesgericht andere Begriffe, ohne dass damit beabsichtigt war, das Beweismass inhaltlich anders zu umschreiben. Es empfiehlt sich, inskünftig eine einheitliche Terminologie zu verwenden.
Das Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit muss insbesondere von der Glaubhaftmachung ("la simple vraisemblance"; "la semplice verosimiglianza") abgegrenzt werden. Denn zum einen umschreibt "Glaubhaftmachen" oftmals das Beweismass, das im Rahmen von vorläufigen, zumeist mit Beweismittelbeschränkungen getroffenen Entscheiden, namentlich vorsorglichen Massnahmen, gilt. Zum anderen unterscheidet sich der jeweilen geforderte Grad an Wahrscheinlichkeit. Glaubhaft gemacht ist eine Tatsache schon dann, wenn für deren Vorhandensein gewisse Elemente sprechen, selbst wenn das Gericht noch mit der Möglichkeit rechnet, dass sie sich nicht verwirklicht haben könnte (vgl. <ref-ruling> E. 4c S. 398; <ref-ruling> E. 4 S. 413; <ref-ruling> E. 5a S. 14). Demgegenüber sind die Anforderungen beim Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit höher: Die Möglichkeit, dass es sich auch anders verhalten könnte, schliesst die überwiegende Wahrscheinlichkeit zwar nicht aus, darf aber für die betreffende Tatsache weder eine massgebende Rolle spielen noch vernünftigerweise in Betracht fallen (Hohl, Procédure civile, t. I, a.a.O., N. 1061 f. S. 200 f. und N. 1096 f. S. 210, sowie in: Procédure civile, t. II: Organisation judiciaire, compétence, procédures et voies de recours, Bern 2002, N. 2760-2763 S. 225).
Ausdrücklich abgelehnt hat das Bundesgericht sodann ein gleichsam "variables Beweismass", wonach an den Beweis einer Tatsache um so höhere Anforderungen zu stellen sind, je weniger wahrscheinlich die Behauptung ist (zit. Urteil 5C.99/2002, E. 2.4). Es trifft zwar zu, dass eine bestimmte Tatsache je nach den Umständen des konkreten Einzelfalls dem Gericht mehr oder weniger rasch als überwiegend wahrscheinlich erscheint. Diese Überlegung gehört aber in den Bereich der Beweiswürdigung (Guldener, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 3. Aufl., Zürich 1979, S. 322 Ziff. IV/1).
3.4 Dem Versicherer steht ein - aus <ref-law> abgeleitetes - Recht auf Gegenbeweis zu. Er hat Anspruch darauf, zum Beweis von Umständen zugelassen zu werden, die beim Gericht erhebliche Zweifel an der Richtigkeit der Gegenstand des Hauptbeweises bildenden Sachbehauptungen wach halten und diesen dadurch vereiteln sollen. Für das Gelingen des Gegenbeweises ist mithin bloss erforderlich, dass der Hauptbeweis erschüttert wird (<ref-ruling> E. 4b S. 397) und damit die Sachbehauptungen nicht mehr als überwiegend wahrscheinlich erscheinen.
Thema des Gegenbeweises ist die Sachdarstellung des hauptbeweisbelasteten Anspruchsberechtigten. Dazu gehört auch dessen Glaubwürdigkeit: Da sich der Eintritt des Versicherungsfalls in der Regel nicht direkt, sondern bloss mit mehr oder weniger schlüssigen Indizien beweisen lässt, kann eine Beeinträchtigung der Glaubwürdigkeit geeignet sein, auch die Überzeugungskraft der Sachdarstellung zu erschüttern (Nef, Kommentar, a.a.O., N. 36 und 42 ff. zu <ref-law>, und in: HAVE 2002 S. 379 Ziff. 5). Es steht dem Versicherer zudem frei, eine - von derjenigen des Anspruchsberechtigten - abweichende Sachdarstellung aufzuzeigen, die neben der behaupteten Version ebenso ernsthaft in Frage kommt oder sogar näher liegt (Hohl, in: Festschrift Vogel, a.a.O., S. 157; sog. erweitertes oder qualifiziertes Gegenbeweisthema: Schmid, <ref-law>: Überblick und Beweislast, in: Der Beweis im Zivilprozess, Bern 2000, S. 11 ff., 17). Eine Verpflichtung dazu besteht indessen nicht und eine Überwälzung der Beweislast ist damit nicht verbunden (Urteil 5C.79/2000 vom 8. Januar 2001, E. 1b/bb; vgl. Nef, in: HAVE 2002 S. 378 Ziff. 3).
Gelingt der Gegenbeweis, dürfen die vom Anspruchsberechtigten behaupteten Tatsachen nicht als bewiesen - d.h. als überwiegend wahrscheinlich gemacht - anerkannt werden. Der Hauptbeweis ist vielmehr gescheitert. Damit hat es sein Bewenden, wie das Bundesgericht erst kürzlich festgehalten hat (zit. Urteil 5C.99/2002, E. 2.4). Insoweit kann nicht daran festgehalten werden, der Anspruchsberechtigte habe den strikten Beweis des Eintritts des Versicherungsfalls zu leisten, wenn dem Versicherer der Gegenbeweis gelinge. Denn im Rahmen der Urteilsfindung erfolgt eine Gesamtwürdigung aller Ergebnisse des Beweisverfahrens durch das Gericht. Es macht zudem keinen Sinn, dem Anspruchsberechtigten den strikten Beweis zu überbinden, den er umso weniger erbringen könnte, als er schon an der tieferen Beweishürde scheiterte.
3.5 Die Ergebnisse können wie folgt zusammengefasst werden: Wer gegenüber dem Versicherer einen Anspruch erhebt, ist für den Eintritt des Versicherungsfalls behauptungs- und beweispflichtig (E. 3.1). Da dieser Beweis regelmässig mit Schwierigkeiten verbunden ist, geniesst der beweispflichtige Anspruchsberechtigte insoweit eine Beweiserleichterung (E. 3.2) und genügt seiner Beweislast, wenn er den Eintritt des Versicherungsfalls überwiegend wahrscheinlich zu machen vermag (E. 3.3). Gelingt es dem Versicherer im Rahmen des ihm zustehenden Gegenbeweises, an der Sachdarstellung des Anspruchsberechtigten erhebliche Zweifel zu wecken, so ist der Hauptbeweis des Anspruchsberechtigten gescheitert (E. 3.4).
4. Aus den dargelegten Gründen ist das Obergericht von den zutreffenden rechtlichen Annahmen ausgegangen, indem es vom Kläger den Nachweis einer überwiegenden Wahrscheinlichkeit des Diebstahls verlangt und die Beklagte zum Gegenbeweis zugelassen hat. Soweit der Kläger eine Verletzung des Beweismasses einwendet, muss seine Berufung abgewiesen werden.
5. Zur Hauptsache erblickt der Kläger eine "Beweismassverletzung" darin, dass das Obergericht seine Glaubwürdigkeit als erschüttert angesehen habe und deshalb eine überwiegende Wahrscheinlichkeit seiner Sachdarstellung nicht habe genügen lassen.
Beweislastverteilung (<ref-law>) und Beweisanforderungen im Sinne des Beweismasses werden - wie gesagt (E. 3.1 und 3.2 hiervor) - durch das Bundesrecht geregelt, dessen Verletzung mit Berufung geltend gemacht werden kann (Art. 43 OG). Nicht überprüft werden kann hingegen, ob der den bundesrechtlichen Anforderungen entsprechende Beweis von der beweisbelasteten Partei tatsächlich erbracht worden ist; das ist nach ständiger Rechtsprechung eine Frage der gerichtlichen Beweiswürdigung, die auf Bundesebene einzig mit der - vom Kläger im Übrigen auch erhobenen - staatsrechtlichen Beschwerde angefochten werden kann (zuletzt: Urteil 5C.64/2003 vom 18. Juli 2003, E. 2.2, und zit. Urteil 5C.99/2002, E. 2.5; <ref-ruling> E. 2b/bb S. 277 f.).
Soweit der Kläger die Berücksichtigung seiner Steuerunterlagen und die daraus gezogenen Schlüsse kritisiert und soweit er seine Aussagen im Gerichtsverfahren und die Protokolle über seine Sachdarstellung gegenüber den Ermittlungsbehörden anders würdigt und namentlich festgestellte Widersprüche erklärt oder behebt, kann auf seine Berufung nicht eingetreten werden. Denn zur unüberprüfbaren Indizienbeweiswürdigung gehören die Feststellungen des Obergerichts, gegen die Glaubwürdigkeit des Klägers sprächen sowohl das Verheimlichen von Vermögenswerten gegenüber Steuerbehörden als auch die offenkundigen Widersprüche und Ungereimtheiten zwischen den ersten Aussagen gegenüber den Ermittlungsbehörden und den späteren Sachdarstellungen im gerichtlichen Verfahren (vgl. dazu insbesondere Pantli/Kieser/Pribnow, Die "Aussage der ersten Stunde" im Schadensausgleichsrecht - und die Mangelhaftigkeit ihrer Aufzeichnung, AJP 2000 S. 1195 ff., 1199 f. Ziff. II/B/3).
6. Erweist sich nach dem Gesagten die eine der beiden Begründungen als bundesrechtskonform, so ist es auch das obergerichtliche Urteil selbst. Es erübrigt sich damit, auf die andere selbstständige Begründung einzugehen, wonach für die angeblich gestohlenen Wertsachen keine Versicherungsdeckung bestehen soll. Blosse Erwägungen bedeuten keine Beschwer (<ref-ruling> E. 3 S. 159 f.; <ref-ruling> E. 5.1 S. 323).
7. Der unterliegende Kläger wird kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Berufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 15'000.-- wird dem Kläger auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Januar 2004
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: