Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 6. Januar 2009 setzte die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt den Anspruch des D._ für den Monat Oktober 2008 auf 14.1 Taggelder fest. Zur Begründung führte sie aus, der Versicherte habe in der Selbstdeklaration vom 31. Oktober 2008 angegeben, er sei gemäss Arztzeugnis des Dr. med. M._ vom 13. Oktober 2008 für die Zeit vom 1. bis 24. Oktober 2008 voll arbeitsunfähig gewesen. Da während der Rahmenfrist für den Leistungsbezug bereits 34.9 der gesetzlich vorgesehenen 44 Krankentaggelder ausbezahlt worden seien, könnten im Oktober - nebst 5 ordentlichen Taggeldern ab Wiedererlangung der Arbeitsfähigkeit - lediglich noch die restlichen 9.1 Krankentaggelder entschädigt werden. Diese Verfügung wurde mit Einspracheentscheid vom 24. Februar 2009 bestätigt.
B. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt wies die von D._ erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 31. August 2009 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt D._ beantragen, es seien ihm für den Monat Oktober 2008 für 23 Kontrolltage Arbeitslosentaggelder auszurichten; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Amt für Wirtschaft und Arbeit Basel-Stadt schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>).
2. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen zur Vermittlungsfähigkeit als Voraussetzung für den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) zutreffend dargelegt. Richtig ist auch, dass nach <ref-law> Versicherte, die wegen Krankheit (<ref-law>), Unfall (<ref-law>) oder Schwangerschaft vorübergehend nicht oder nur vermindert arbeits- und vermittlungsfähig sind und deshalb die Kontrollvorschriften nicht erfüllen können, sofern sie die übrigen Anspruchsvoraussetzungen erfüllen, Anspruch auf das volle Taggeld haben; dieser dauert längstens bis zum 30. Tag nach Beginn der ganzen oder teilweisen Arbeitsunfähigkeit und ist innerhalb der Rahmenfrist auf 44 Taggelder beschränkt. Arbeitslose, die ihren Anspruch nach Abs. 1 ausgeschöpft haben und weiterhin vorübergehend vermindert arbeitsfähig sind, haben, sofern sie unter Berücksichtigung ihrer verminderten Arbeitsfähigkeit vermittelbar sind und alle übrigen Anspruchsvoraussetzungen erfüllen, Anspruch auf das volle Taggeld, wenn sie mindestens 75 Prozent, und auf das halbe Taggeld, wenn sie zu mindestens 50 Prozent arbeitsfähig sind (<ref-law>).
3. Nach den Feststellungen des kantonalen Gerichts stand der Beschwerdeführer in der Zeit vom 3. September bis 21. Oktober 2008 wegen Psoriasis in der Behandlung des Dr. med. G._, ohne jedoch von diesem Arzt krankgeschrieben worden zu sein. Mit Zeugnis vom 13. Oktober 2008 attestierte Dr. med. M._ eine volle Arbeitsunfähigkeit vom 23. September bis 24. Oktober 2008. Weiter hat das kantonale Gericht erwogen, aufgrund einer medikamentösen Behandlung seien laut Schreiben des Versicherten vom 10. November 2008 starke Übelkeit, Durchfall, Herzrasen, Herzstechen, Gelenk- und Sehnenschmerzen sowie Hautveränderungen aufgetreten. Gemäss Protokoll des RAV sei dieser am 30. September 2008 in sichtlich schlechter Verfassung zum Termin erschienen. Den Schreiben des Versicherten an Dr. med. M._ und die Öffentliche Arbeitslosenkasse vom November 2008 sei überdies zu entnehmen, dass sich der Beschwerdeführer in einem schlechten Gesundheitszustand befunden habe. Daraus schloss die Vorinstanz, dieser sei in der Zeit vom 1. bis 24. Oktober 2008 arbeits- und vermittlungsunfähig gewesen. Damit komme <ref-law> zur Anwendung. Indem der Beschwerdeführer diese Vorgehensweise in Abrede stelle, nachdem es zur streitigen Kürzung gekommen sei, während er sie für den Vormonat noch akzeptiert habe, handle er widersprüchlich.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung von Bundesrecht geltend, weil die Vorinstanz den Umstand als unerheblich betrachtet habe, dass er die Kontrollvorschriften trotz der bescheinigten Arbeitsunfähigkeit erfüllt habe. Nach dem unmissverständlichen Wortlaut von <ref-law> habe der Gesetzgeber die Ausrichtung von Krankentaggeldern an die kumulative Voraussetzung einer vorübergehenden gesundheitlichen Aufhebung oder Beschränkung der Arbeits- und Vermittlungsfähigkeit und einer daraus resultierenden Unfähigkeit, die Kontrollvorschriften zu erfüllen, geknüpft. Zudem müsse die versicherte Person arbeits- und vermittlungsunfähig sein, damit die Vorschrift über die Krankentaggelder zur Anwendung gelange.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung von Bundesrecht geltend, weil die Vorinstanz den Umstand als unerheblich betrachtet habe, dass er die Kontrollvorschriften trotz der bescheinigten Arbeitsunfähigkeit erfüllt habe. Nach dem unmissverständlichen Wortlaut von <ref-law> habe der Gesetzgeber die Ausrichtung von Krankentaggeldern an die kumulative Voraussetzung einer vorübergehenden gesundheitlichen Aufhebung oder Beschränkung der Arbeits- und Vermittlungsfähigkeit und einer daraus resultierenden Unfähigkeit, die Kontrollvorschriften zu erfüllen, geknüpft. Zudem müsse die versicherte Person arbeits- und vermittlungsunfähig sein, damit die Vorschrift über die Krankentaggelder zur Anwendung gelange.
4.2 Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zugrunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden. Die Gesetzesauslegung hat sich vom Gedanken leiten zu lassen, dass nicht schon der Wortlaut die Norm darstellt, sondern erst das an Sachverhalten verstandene und konkretisierte Gesetz. Gefordert ist die sachlich richtige Entscheidung im normativen Gefüge, ausgerichtet auf ein befriedigendes Ergebnis der Ratio legis. Dabei befolgt das Bundesgericht einen pragmatischen Methodenpluralismus und lehnt es namentlich ab, die einzelnen Auslegungselemente einer hierarchischen Prioritätsordnung zu unterstellen. Die Gesetzesmaterialien können beigezogen werden, wenn sie auf die streitige Frage eine klare Antwort geben (<ref-ruling> E. 3 S. 21; <ref-ruling> E. 4.1 S. 174; <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 178).
4.3 <ref-law> regelt in der hier anwendbaren, seit 1. Juli 2003 in Kraft stehenden Fassung unter der Marginalie "Taggeld bei vorübergehend fehlender oder verminderter Arbeitsfähigkeit" unter anderem den Taggeldanspruch bei Krankheit. Daraus und aus dem Wortlaut von <ref-law>, der als Anspruchsvoraussetzung die vorübergehende fehlende oder verminderte Arbeits- und Vermittlungsfähigkeit nennt, geht hervor, dass die Arbeitsunfähigkeit eine conditio sine qua non darstellt und der Nennung der Vermittlungsfähigkeit keine eigenständige Bedeutung zukommt. Ist die Vermittlungsfähigkeit nicht wegen mangelnder Arbeitsfähigkeit, sondern wegen mangelnder Arbeitsberechtigung oder Vermittlungsbereitschaft eingeschränkt (vgl. zu den drei Elementen der Vermittlungsfähigkeit <ref-law>), begründet dies an sich keinen Anspruch gemäss <ref-law> (Urteil C 138/03 vom 15. September 2005 E. 5.3). Die Arbeitsfähigkeit bildet ein wesentliches Element der Vermittlungsfähigkeit (vgl. <ref-law>: "...in der Lage...ist"). Eine Verknüpfung von Arbeits- und Vermittlungsfähigkeit in <ref-law> wäre daher materiellrechtlich nicht notwendig gewesen. Laut GERHARDS (Kommentar zum Arbeitslosenversicherungsgesetz [AVIG], Bd. I, 1988, N. 19 zu <ref-law>) erfolgte die redaktionelle Beibehaltung lediglich der Form halber, weil durch die Regelung von <ref-law> die Vermittlungsfähigkeit materiell deutlich in den Hintergrund geschoben wird. Über das Kriterium der vorübergehenden Einschränkung in der Arbeitsfähigkeit erfolgt überdies die Abgrenzung zu den Behinderten im Sinne von <ref-law>. Bei länger dauernder gesundheitlicher Beeinträchtigung ist die Vermittlungsfähigkeit (<ref-law>) massgebendes Abgrenzungskriterium (<ref-ruling> E. 6.1.3 S. 189).
4.4 Die Koordinationsvorschrift des <ref-law> stellt eine Ausnahme vom Grundprinzip der ALV dar, wonach Leistungen nur bei Vermittlungsfähigkeit der Versicherten in Betracht kommen (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Sie wurde in den Gesetzesentwurf aufgenommen, weil kranke Arbeitslose nicht nur keine Leistungen der Arbeitslosenversicherung, sondern auf Grund der in vielen Fällen aufgeschobenen Krankentaggeldversicherung auch keine Taggelder der Krankenversicherung erhielten (<ref-ruling> E. 3b S. 154 mit Hinweis auf die bundesrätliche Botschaft zu einem neuen Bundesgesetz über die obligatorische Arbeitslosenversicherung und Insolvenzentschädigung vom 2. Juli 1980 [BBl 1980 III 585]). Laut Botschaft zu einem revidierten Arbeitslosenversicherungsgesetz vom 28. Februar 2001 (BBl 2001 2245, Ziff. 2.1 2284) soll die versicherte Person bei vorübergehend fehlender oder verminderter Arbeitsfähigkeit wegen Krankheit, Unfall oder Schwangerschaft in der Rahmenfrist für den Leistungsbezug zweimal während der Dauer von 30 Kalendertagen entschädigt werden, was je 22 Taggelder entspricht. Obwohl die Arbeitslosenversicherung aufgrund der Sonderregelung von <ref-law> Leistungen zu erbringen hat, die eigentlich die Krankenversicherung tragen müsste, soll laut Botschaft zur Änderung des Arbeitslosenversicherungsgesetzes vom 3. September 2008 daran festgehalten werden, weil es auf Bundesebene kein Obligatorium für eine Krankentaggeldversicherung gibt und ein Abschlusszwang für Arbeitslose kaum durchsetzbar ist (BBl 2008 7733, Ziff. 1.2.2.3).
4.5 Die arbeitslose Person, welche Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung erhebt, muss die Kontrollvorschriften erfüllen (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Nach dem Wortlaut von <ref-law> hat sowohl die vermindert wie auch die voll arbeits- und vermittlungsunfähige arbeitslose Person Anspruch auf das volle Krankentaggeld. Daraus ist zu schliessen, dass die Bestimmung nicht nur auf jene Versicherten anwendbar ist, die praktisch voll arbeitsunfähig sind und aus diesem Grund die Kontrollpflichten nicht erfüllen können, sondern auch auf jene, die die Kontrollvorschriften - zumindest teilweise - noch erfüllen können. Davon geht auch das seco in Rz. C167 des Kreisschreibens über die Arbeitslosenentschädigung aus. Danach sind die Taggelder auch dann nach <ref-law> auszurichten, wenn die versicherte Person trotz Arbeitsunfähigkeit die Kontrollvorschriften erfüllt hat. Auf der anderen Seite dient der Einschub auch der Verhinderung von Missbräuchen, indem sich die arbeitslose Person nicht einfach unter dem Hinweis auf eine Unpässlichkeit der Kontrollpflicht entziehen kann. Versicherte, die vorübergehend ganz oder teilweise arbeitsunfähig sind und ihren Taggeldanspruch geltend machen wollen, müssen ihre Arbeitsunfähigkeit denn auch innert einer Woche seit deren Beginn der zuständigen Amtsstelle melden (<ref-law>).
4.6 Zusammenfassend ergibt sich somit, dass für die Anwendung von <ref-law> massgebendes Kriterium die Arbeitsunfähigkeit bildet. Davon ging auch das kantonale Gericht aus. Indem es in der Folge geprüft hat, ob der Versicherte in der fraglichen Zeit arbeitsunfähig war, ist es nicht bundesrechtswidrig vorgegangen.
5. 5.1 Gemäss <ref-law> muss der Arbeitslose seine Arbeits(un)fähigkeit mit einem ärztlichen Zeugnis nachweisen. Obwohl einem solchen Zeugnis keine uneingeschränkte Beweiskraft zukommt, setzt die Bezweiflung seiner Richtigkeit das Vorliegen ernsthafter Gründe voraus (Urteil C 12/96 vom 10. September 1996 E. 2a). Die Arbeitslosenkasse kann in jedem Fall eine vertrauensärztliche Untersuchung auf Kosten des Versicherten anordnen (<ref-law>). Eine solche Massnahme ist vor allem dann angezeigt, wenn Verdacht auf ein "Gefälligkeitszeugnis" vorliegt (GERHARDS, a.a.O., N. 63 zu <ref-law>). Im Rahmen der Beweiswürdigung im Sozialversicherungsrecht hat das Gericht seinen Entscheid, sofern das Gesetz nicht etwas Abweichendes vorsieht, nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu fällen. Die blosse Möglichkeit eines bestimmten Sachverhalts genügt den Beweisanforderungen nicht. Der Richter und die Richterin haben vielmehr jener Sachverhaltsdarstellung zu folgen, die sie von allen möglichen Geschehensabläufen als die wahrscheinlichste würdigen (<ref-ruling> E. 5b S. 360, 125 V 193 E. 2 S. 195, je mit Hinweisen; vgl. 130 III 321 E. 3.2 und 3.3 S. 324 f.).
5.2 Soweit der Beschwerdeführer rügt, es gehe nicht an, aufgrund widersprüchlicher Arztzeugnisse und nachweislich erbrachter Arbeitsbemühungen für den Monat Oktober die Vermittlungsfähigkeit und damit den Anspruch auf ein "normales" Arbeitslosentaggeld zu verneinen, vermag er damit nicht durchzudringen. Er hat der Arbeitslosenkasse das Attest des Dr. med. M._ eingereicht, das eine ganze Arbeitsunfähigkeit bescheinigt. Dieses Zeugnis wird vom Versicherten zu Recht nicht in Frage gestellt. In seinen Schreiben an Dr. med. M._ vom 10. November 2008 und an die Arbeitslosenkasse vom 12. November 2008 hat er seinen in der massgeblichen Zeit schlechten Gesundheitszustand zudem selber beschrieben. Dr. med. G._ hat im Rahmen der von der Arbeitslosenkasse durchgeführten Abklärungen lediglich bestätigt, den Beschwerdeführer behandelt aber nicht krank geschrieben zu haben. In gesundheitlicher Hinsicht setzt die Vermittlungsfähigkeit grundsätzlich volle Arbeitsfähigkeit voraus mit der Fähigkeit, zumutbare Arbeit im Sinne von <ref-law> verrichten zu können (THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Soziale Sicherheit, Bd. XIV, Rz. 265 S. 2259). Auch wenn angesichts der getätigten Stellenbewerbungen gewisse Zweifel hinsichtlich der Schwere der Erkrankung anzubringen sind, beruht die aufgrund einer Würdigung der Akten erfolgte Schlussfolgerung des kantonalen Gerichts, wonach vom Versicherten während der Zeit seiner Krankschreibung nicht habe erwartet werden können, sofort eine Stelle anzutreten, weder auf einer unrichtigen oder unvollständigen Sachverhaltsermittlung noch verstösst die dieser Einschätzung zu Grunde liegende Beweiswürdigung gegen Bundesrecht.
6. Die Beschwerde ist somit abzuweisen. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten vom Beschwerdeführer als unterliegender Partei zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Dezember 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer