Sachverhalt:
A. Am 21. März 2003 forderte die Motorfahrzeugkontrolle des Kantons Solothurn X._ zu einer verkehrsmedizinischen und -psychologischen Untersuchung auf. Dieser unterzog sich der verkehrsmedizinischen Untersuchung; das Gutachten wurde am 30. Juni 2004 erstattet. Er wehrte sich aber gegen eine verkehrspsychologische Begutachtung. Diese Frage zog er erfolglos bis vor Bundesgericht (Urteil 6A.6/2005 vom 14. Februar 2005). Da sich X._ auch danach der verkehrspsychologischen Untersuchung nicht stellte, ordnete die Motorfahrzeugkontrolle am 23. Mai 2005 den vorsorglichen Entzug des Führerausweises an. Die in dieser Sache erhobenen Beschwerden blieben wiederum erfolglos (Urteil 6A.44/2005 vom 21. September 2005). Die Kantonspolizei Solothurn zog den Führerausweis am 2. Juli 2005 ein.
Daraufhin unterzog sich X._ einer verkehrspsychologischen Abklärung; das gestützt darauf abgefasste Gutachten stammt vom 4. Oktober 2005. Die psychologische Expertin kam zum Schluss, dass die Fahreignung für die Kategorie D1 nicht und jene für die Kategorie B knapp gegeben sei. Bezüglich der Kategorie B sei eine weitere verkehrsmedizinische Beurteilung angezeigt. Eine solche wurde in der Folge im Sinne eines Aktengutachtens durchgeführt. Dabei kam eine andere Expertin am 24. Oktober 2005 zur Einschätzung, dass die Fahreignung für die Kategorien B und D1 aus medizinischer Sicht nicht befürwortet werden könne; eine weitere medizinische Untersuchung wurde allerdings vorbehalten. Daraufhin verfügte das Departement des Innern des Kantons Solothurn am 30. November 2005 einen Entzug des Führerausweises für alle Kategorien auf unbestimmte Zeit.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn hiess am 29. März 2006 die Beschwerde von X._ gegen den auf unbestimmte Zeit ausgesprochenen Führerausweisentzug teilweise gut. In der Sache wurde die Beschwerde mit Bezug auf die Kategorie D1 abgewiesen. Mit Blick auf die Kategorie B wurde hingegen die Verwaltungsbehörde zu weiterer Abklärung des Sachverhalts verpflichtet. Dieses Urteil hob das Bundesgericht auf Beschwerde von X._ hin am 27. Juni 2006 auf, weil das Verwaltungsgericht - trotz eines entsprechenden Antrags - nicht geprüft hatte, ob dem Beschwerdeführer ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beizugeben sei (Urteil 6A.36/2006 vom 27. Juni 2006). Das Verwaltungsgericht führte ein neues Verfahren durch und fällte am 28. Februar 2007 das Urteil in der Beschwerdesache. Dabei hiess es die Beschwerde wiederum teilweise gut: Es bestätigte den Ausweisentzug bezüglich der Kategorie D1 und verlangte im Hinblick auf die Kategorie B ein zusätzliches psychiatrisches Gutachten. Eine dagegen von X._ erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 1C_79/2007 vom 6. September 2007).
B. Gestützt auf das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 28. Februar 2007 wies die Motorfahrzeugkontrolle X._ zur Abklärung der Fahreignung für Motorfahrzeuge der Kategorie B der Universitären Psychiatrischen Klinik Basel zu. Das Gutachten wurde am 14. Januar 2009 erstattet. Gemäss dem Gutachten liege bei X._ eine anankastische (zwanghafte) Persönlichkeitsstörung vor und seine Fahreignung sei in verkehrspsychiatrischer Hinsicht nicht mehr gegeben. Hinweise für eine paranoide Schizophrenie gäbe es nicht. Für die Neubeurteilung der Fahreignung sei eine regelmässige Behandlung bei einem Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie während zwei Jahren mit mindestens monatlichen Konsultationen und eine psychopharmakologische Medikation nach Massgabe des Facharztes zu empfehlen.
Das Departement des Innern des Kantons Solothurn verfügte am 9. Juni 2009 gestützt auf das Gutachten der Universitären Psychiatrischen Klinik Basel den Entzug des Führerausweises für alle Kategorien auf unbestimmte Zeit. Dagegen erhob X._ am 29. Juni 2009 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Zu Beginn der Hauptverhandlung vor dem Verwaltungsgericht stellte X._ ein Ausstandsbegehren gegen Oberrichterin Jeger. Das Verwaltungsgericht wies mit Beschluss vom 12. August 2009 das Ausstandsbegehren ab und wies in der Folge mit Urteil vom gleichen Datum die Beschwerde ab.
C. X._ führt mit Eingabe vom 27. Oktober 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil und den Beschluss des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 12. August 2009. Das Verwaltungsgericht und das Departement des Innern beantragen kostenfällige Abweisung der Beschwerde. X._ hat mit Schreiben vom 18. Dezember 2009 repliziert.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer stellt ein Ausstandsbegehren gegen mehrere Bundesrichter, so u.a. gegen die Bundesrichter Féraud, Aemisegger, Fonjallaz und Eusebio, da "sie in der gleichen Sache schon einmal" gegen ihn entschieden hätten. Das Bundesgericht hat dem Beschwerdeführer bereits mehrfach mitgeteilt, dass einem Richter die Unabhängigkeit nicht abgesprochen werden kann, nur weil er bereits in früheren Verfahren gegen den Beschwerdeführer entschieden hatte (vgl. <ref-law>). Im Übrigen ist weder ersichtlich noch wird dies vom Beschwerdeführer dargelegt, inwiefern gegen die genannten Richter eine unzulässige Vorbefassung im Sinne der Rechtsprechung vorliegen sollte (vgl. <ref-ruling> E. 3.4-3.7). Das vorliegend mit nicht nachvollziehbaren Motiven begründete Ausstandsbegehren ist unzulässig, weshalb die abgelehnten Gerichtspersonen am Entscheid darüber mitwirken können.
2. Gegen den Entzug des Führerausweises in einem strassenverkehrsrechtlichen Administrativverfahren steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> zur Verfügung. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d) und der Beschwerdeführer ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist somit unter dem Vorbehalt, dass die einzelnen Rügen den Begründungsanforderungen von <ref-law> entsprechen, einzutreten.
3. 3.1 Das Verwaltungsgericht wies das Ausstandsbegehren gegen Oberrichterin Jeger mit der Begründung ab, mit Urteil vom 30. Mai 2006 sei eine Beschwerde betreffend Rechtsverweigerung/-verzögerung abgewiesen worden. Im damaligen Verfahren sei die Arbeitsweise der Instanzen Prozessthema gewesen. Vorliegend gehe es um einen Sicherungsentzug und somit nicht um die gleiche Sache im Sinne von § 92 lit. d des kantonalen Gerichtsorganisationsgesetzes. Mit seinen Ausführungen zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, inwiefern das Verwaltungsgericht in verfassungswidriger Weise das Ausstandsbegehren abgewiesen haben sollte. Die Beschwerde ist in diesem Punkt abzuweisen, soweit sie überhaupt den Begründungsanforderungen von <ref-law> zu genügen vermag.
3.2 Soweit der Beschwerdeführer Ausstandsgründe gegen Mitarbeiter der Motorfahrzeugkontrolle und des Departements des Innern geltend macht, kann auf die Begründung im angefochtenen Urteil verwiesen werden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer vermag nicht darzulegen, dass das Verwaltungsgericht insoweit verfassungswidrig entschieden hätte.
4. Das Verwaltungsgericht wies den vom Beschwerdeführer gestellten Eventualantrag auf Einholung eines Obergutachtens u.a. mit der Begründung ab, gestützt auf die Akten und das Ergebnis des bisherigen Beweisverfahrens sei ein zusätzliches Gutachten nicht erforderlich. Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen eine willkürlicher Beweiswürdigung nicht darzulegen. Allein der Umstand, dass ihm der Schluss des Gutachtens nicht behagt, vermag die Richtigkeit der Beurteilung des Verwaltungsgerichts nicht in Frage zu stellen.
5. Soweit der Beschwerdeführer die Zuständigkeit des Kantons Solothurn für das Administrativverfahren sowie die Zuständigkeit des Departements des Innern als erstinstanzliche Entzugsbehörde bestreitet, fehlt eine rechtsgenügliche Auseinandersetzung mit den entsprechenden Ausführungen im angefochtenen Urteil. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht, inwiefern das Verwaltungsgericht in diesen Punkten Recht im Sinne von <ref-law> verletzt haben sollte. Wegen offensichtlichen Fehlens einer hinreichenden Begründung ist insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten.
6. Gleich verhält es sich, soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die kantonalen Behörden seien mit keinem Wort auf sein Revisionsgesuch betreffend Führerausweisentzug für die Kategorie D1 eingegangen. Das Verwaltungsgericht führte dazu aus, ein anfechtbarer Entscheid über ein Revisionsgesuch liege nicht vor. Der Führerausweisentzug für die Kategorie D1 sei nicht Verfahrensgegenstand; es gehe nur noch um den Führerausweis für die Kategorie B. Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander und vermag keine Verletzung von Recht im Sinne von <ref-law> aufzuzeigen. Demzufolge ist auch in diesem Punkt auf die Beschwerde nicht einzutreten.
7. Das Verwaltungsgericht bestätigte den verfügten Sicherungsentzug auf unbestimmte Zeit. Gemäss dem insgesamt stimmigen Gutachten vom 14. Januar 2009 gefährde der Beschwerdeführer als motorisierter Verkehrsteilnehmer die Verkehrssicherheit. Diesem Umstand könne nur mit einem Sicherungsentzug begegnet werden, der immer unbefristet sei und so lange daure, als die Ursache dafür bestehe. Vor diesem Hintergrund erscheine eine regelmässige Behandlung bei einem Facharzt für Psychiatrie und Psychologie während zwei Jahren mit mindestens monatlichen Konsultationen und allenfalls eine psychopharmakologische Medikation nach Massgabe des Facharztes als sinnvoll und durchaus geeignet. Auf die entsprechenden Ausführungen des Verwaltungsgerichts kann verwiesen werden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen die Rechtmässigkeit des angefochtenen Urteils nicht in Frage zu stellen. Die Beschwerde ist in diesem Punkt, soweit sie überhaupt den Begründungsanforderungen von <ref-law> zu genügen vermag, als offensichtlich unbegründet abzuweisen.
8. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Auf die Erhebung von Gerichtskosten kann verzichtet werden, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege sich als gegenstandslos erweist. Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement des Innern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Januar 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli