Erwägungen:
1. In dem beim Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirkes Meilen hängigen Rechtsöffnungsverfahren beantragte der Beschwerdeführer bei der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich die Ablehnung des mit der Sache befassten ausserordentlichen Ersatzrichters. Die Verwaltungskommission trat mit Beschluss vom 14. April 2008 auf das Ablehnungsbegehren nicht ein mit der Begründung, nachdem der Einzelrichter in der Sache bereits entschieden habe, sei über die geltend gemachten Ablehnungsgründe im Rechtsmittelverfahren gegen den Sachentscheid zu befinden.
Der Beschwerdeführer gelangt mit Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht und beantragt sinngemäss die Aufhebung des Beschlusses der Verwaltungskommission sowie die Gutheissung seines Ablehnungsbegehrens. Am 13. Juni 2008 hat er seine Beschwerde ergänzt.
2. Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 113 i.V.m. <ref-law>). Es gilt das sogenannte Rügeprinzip (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat in der Beschwerdeschrift darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (vgl. die Rechtsprechung zur staatsrechtlichen Beschwerde, statt vieler <ref-ruling> E. 2 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 1d S. 201). Wie unter der Herrschaft des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) müssen die erhobenen Rügen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1).
3. Der Beschwerdeführer geht auf die Begründung des angefochtenen Entscheides nicht ein und zeigt nicht in Auseinandersetzung mit ihr auf, inwiefern der angefochtene Entscheid Verfassungsrecht verletzt. Auf die offensichtlich unzulässige Verfassungsbeschwerde ist daher in Anwendung von <ref-law> i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten.
4. Die Gerichtskosten werden dem Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juli 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Zbinden