Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Landschaft führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen des Verdachts auf Drogenhandel. Mit Entscheid vom 26. März 2011 ordnete das kantonale Zwangsmassnahmengericht Untersuchungshaft vorläufig bis zum 20. April 2011 an. Auf ein Haftverlängerungsgesuch der Staatsanwaltschaft vom 15. April 2011 hin verlängerte der Präsident des Zwangsmassnahmengerichts am 19. April 2011 die Untersuchungshaft provisorisch bis zum 6. Mai 2011. Am 28. April 2011 entschied das Zwangsmassnahmengericht, dass kein besonderer Haftgrund mehr vorliege und das Haftverlängerungsgesuch der Staatsanwaltschaft deshalb abzuweisen sei. X._ werde - unabhängig vom Einlegen eines Rechtsmittels - gleichentags, spätestens bis 18.30 Uhr, aus der Haft entlassen.
Gegen diesen Entscheid gelangte die Staatsanwaltschaft am 28. April 2011 mit Beschwerde an das Kantonsgericht Basel-Landschaft mit den Anträgen, die Untersuchungshaft sei gemäss ihrem Haftverlängerungsgesuch vom 15. April 2011 um zwei Monate zu verlängern und der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung beizulegen.
Mit Verfügung vom 29. April 2011 lud der Kantonsgerichtspräsident X._ zur Stellungnahme zum Gesuch der Staatsanwaltschaft um aufschiebende Wirkung bis zum 4. Mai 2011 ein. Er erwog, die Beschwerdeerklärung der Staatsanwaltschaft mit Antrag um aufschiebende Wirkung vermöge die - zumindest vorläufige - Haftentlassung des Beschuldigten nicht zu verhindern. Die Erteilung der aufschiebenden Wirkung und die Gutheissung der Beschwerde der Staatsanwaltschaft würden zudem keinen Rechtstitel verleihen, um umgehend eine neue Verhaftung anzuordnen. X._ liess sich am 4. Mai 2011 mit einem Antrag auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung vernehmen. Am 5. Mai 2011 wies der Kantonsgerichtspräsident das Gesuch der Staatsanwaltschaft um aufschiebende Wirkung ab.
B. Mit Beschwerde in Strafsachen vom 30. Mai 2011 beantragt die Staatsanwaltschaft, die Verfügung des Kantonsgerichts vom 5. Mai 2011 sei aufzuheben und ihrer Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen. Eventualiter sei festzustellen, dass die aufschiebende Wirkung hätte erteilt werden müssen. Weiter sei festzustellen, dass das Verbot der Rechtsverzögerung verletzt worden sei.
Das Zwangsmassnahmengericht und das Kantonsgericht beantragen die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. X._ stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Rechtsmittelentscheid über eine Entlassung aus der Untersuchungshaft im Sinne von <ref-law>. Dagegen kann Beschwerde in Strafsachen nach den <ref-law> geführt werden.
1.1 Die Beschwerde in Strafsachen ist grundsätzlich nur gegen verfahrensabschliessende (End-)Entscheide zulässig (vgl. <ref-law>). Gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, welche weder die Zuständigkeit noch ein Ausstandsbegehren betreffen, steht sie bloss offen, wenn der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge hat (<ref-law>) oder die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Entscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen kann (<ref-law>). Die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> sollen das Bundesgericht entlasten. Dieses soll sich möglichst nur einmal mit einer Sache befassen und sich überdies nicht bereits in einem frühen Verfahrensstadium ohne genügend umfassende Sachverhaltskenntnis teilweise materiell festlegen müssen. Können allfällige Nachteile in verhältnismässiger Weise auch noch mit einer bundesgerichtlichen Beurteilung nach Ausfällung des Endentscheids behoben werden, so tritt das Bundesgericht auf gegen Vor- und Zwischenentscheide gerichtete Beschwerden nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 34 f.).
Im umstrittenen Zwischenentscheid hat der Kantonsgerichtspräsident das Gesuch der Staatsanwaltschaft, der Beschwerde aufschiebende Wirkung beizulegen, abgewiesen. Mit dem bundesgerichtlichen Entscheid darüber, ob dies in Verletzung des Strafprozessrechts geschehen ist, kann weder das vorinstanzliche Verfahren abgeschlossen noch ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten erspart werden. Die Beschwerden sind deshalb nur zulässig, falls der Staatsanwaltschaft aus dem angefochtenen Zwischenentscheid ein nicht wieder gutzumachender Nachteil erwächst, d.h. damit eine Beeinträchtigung verbunden ist, die auch durch einen für sie allenfalls günstigen bundesgerichtlichen Endentscheid nicht oder nicht mehr vollständig behoben werden kann (<ref-ruling> E. 2.1 S. 190 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 632; <ref-ruling> E. 4 S. 141). Ein solcher Nachteil liegt nicht schon darin, dass durch den Zwischenentscheid das vorinstanzliche Verfahren verlängert oder verteuert wird (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.4 S. 36; <ref-ruling> E. 1c S. 100). Der angefochtene Entscheid hat zur Folge, dass X._ sich während dem Beschwerdeverfahren über die Untersuchungshaft vor dem Kantonsgericht in Freiheit befindet, obwohl nach Auffassung der Staatsanwaltschaft weiterhin ein besonderer Haftgrund (hier Kollusionsgefahr) besteht. Eine Freilassung trotz Vorliegens eines besonderen Haftgrunds kann die Fortführung des Strafverfahrens erschweren oder gar vereiteln. Diese Beeinträchtigungen können durch einen für die Staatsanwaltschaft günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden. Damit ist ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne der Rechtsprechung grundsätzlich zu bejahen.
1.2 Zur Beschwerde ist berechtigt, wer am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Die Staatsanwaltschaft gehört grundsätzlich zum Kreis der beschwerdebefugten Parteien (Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 3 BGG; <ref-ruling> E. 1). Nach <ref-law> kann die verhaftete Person Entscheide über die Anordnung, die Verlängerung und die Aufhebung der Untersuchungs- oder Sicherheitshaft bei der Beschwerdeinstanz anfechten. Dasselbe Beschwerderecht steht nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung der Staatsanwaltschaft zu (<ref-ruling> E. 1.3 S. 24, 87 E. 3 S. 89, 230 E. 1 S. 232).
1.3 Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt. Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2. Die Beschwerdeführerin bringt vor, das Kantonsgericht habe die Frist, innert welcher ein Entscheid über die aufschiebende Wirkung hätte gefällt werden müssen, nicht eingehalten. Nur mit einer sofortigen Erteilung der aufschiebenden Wirkung hätten die Entlassung des Beschuldigten aus der Haft und anschliessende Kollusionshandlungen verhindert werden können. Mit seinem Vorgehen habe das Kantonsgericht der Staatsanwaltschaft das Recht abgeschnitten, rechtswirksam Beschwerde gegen den Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts erheben zu können, da auch bei einer Gutheissung der Beschwerde die Entlassung des Beschuldigten und die Kollusionshandlungen nicht mehr rückgängig gemacht werden könnten. Indem das Kantonsgericht erst am Tag nach der Haftentlassung des Beschuldigten entschieden habe, habe es das Verbot der Rechtsverzögerung (<ref-law>) verletzt.
2.1 Nach <ref-law> ist die beschuldigte Person unverzüglich freizulassen, wenn das Zwangsmassnahmengericht die Untersuchungshaft nicht anordnet (s. auch <ref-law>). Dieses Recht auf unverzügliche Freilassung ergibt sich aus dem Grundrecht der persönlichen Freiheit (<ref-law>), welches gestützt auf die <ref-law> und Art. 5 EMRK in strafrechtlichen Verfahren unter bestimmten Voraussetzungen eingeschränkt werden kann (s. auch <ref-law>). Erfolgt die Freilassung, obwohl ein Haftgrund nach <ref-law> besteht, kann das die Fortführung des Strafverfahrens erschweren oder gar vereiteln. Um dies zu verhindern, besteht ein Interesse, dass die Staatsanwaltschaft im Rahmen ihrer Beschwerde an die Beschwerdeinstanz nach <ref-law> zumindest vorübergehend die Freilassung verhindern kann (137 IV 230 E. 2.1 S. 233).
2.2 Strafprozessuale Rechtsmittel haben nach <ref-law> keine aufschiebende Wirkung. Vorbehalten bleiben abweichende Bestimmungen der StPO oder Anordnungen der Verfahrensleitung der Rechtsmittelinstanz. Diese trifft in Anwendung von <ref-law> die notwendigen und unaufschiebbaren verfahrensleitenden und vorsorglichen Massnahmen. Hierzu gehört nach ausdrücklicher Vorschrift von <ref-law> die Anordnung von Haft. Diese Bestimmungen sind grundsätzlich geeignet, die Untersuchungshaft während des Beschwerdeverfahrens betreffend die Haftentlassung aufrechtzuerhalten. Die lückenlose Weiterführung der Untersuchungshaft steht in einem gewissen Gegensatz zur Pflicht, die beschuldigte Person unverzüglich freizulassen, wenn das Zwangsmassnahmengericht die Untersuchungshaft nicht anordnet (<ref-law>). Würde die beschuldigte Person jedoch unmittelbar im Anschluss an den Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts trotz des Bestehens von Haftgründen auf freien Fuss gesetzt, so würde das Beschwerderecht der Staatsanwaltschaft vereitelt und die Fortführung des Strafverfahrens unter Umständen erschwert oder gar verunmöglicht. Aus der StPO ergeben sich verschiedene mögliche Vorgehensweisen, um diesen Problemen zu begegnen (vgl. 137 IV 230 E. 2.2).
2.2.1 In Fällen, in welchen zwischen dem Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts und dem Zeitpunkt der Haftentlassung mehrere Stunden oder Tage liegen, erscheint es bei unverzüglicher Einreichung der Beschwerde durch die Staatsanwaltschaft (sofortige Überbringung, elektronische Einreichung) möglich, dass die Beschwerdeinstanz noch vor der Entlassung des Beschuldigten vorsorglich die Fortführung der Haft anordnet (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1B_258/2011 vom 24. Mai 2011). Eine solche "superprovisorische" Haftanordnung durch die Beschwerdeinstanz gestützt auf <ref-law> setzt voraus, dass die Staatsanwaltschaft die Beschwerdefrist gemäss <ref-law> nicht ausschöpft, sondern die Beschwerde unmittelbar nach Kenntnis des Haftentlassungsentscheids einreicht und zumindest vorläufig, aber dennoch rechtsgenügend begründet (Art. 384 i.V.m. <ref-law>). Zudem darf sich die Staatsanwaltschaft nicht auf einen Antrag um aufschiebende Wirkung (<ref-law>) beschränken. Vielmehr muss sie in der Regel ausdrücklich die Anordnung der Haft durch die Beschwerdeinstanz beantragen. Diesen nach <ref-law> zulässigen Antrag hat die Verfahrensleitung der Beschwerdeinstanz superprovisorisch, d.h. ohne vorherige Anhörung der beschuldigten Person zu behandeln, wenn dies zum Schutz des Untersuchungszwecks notwendig ist. Spätestens anschliessend an eine solche vorsorgliche Haftanordnung muss der beschuldigten Person in jedem Fall das rechtliche Gehör gewährt werden (<ref-law>; <ref-law>). Nach dieser Gehörswahrung hat die Verfahrensleitung der Beschwerdeinstanz unverzüglich in Anwendung von <ref-law> einen neuen vorsorglichen Entscheid über die Untersuchungshaft zu treffen, wenn die Haftsache vor der Beschwerdeinstanz noch nicht entscheidungsreif ist (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 324).
2.2.2 Eine Regelung, wie sie <ref-law> für die Sicherheitshaft nach dem erstinstanzlichen Urteil vorsieht, besteht für die Aufrechterhaltung der Untersuchungshaft nach dem Freilassungsentscheid des Zwangsmassnahmengerichts nicht. Eine analoge Anwendung von Gesetzesbestimmungen, die sich zuungunsten des Beschuldigten auswirken würde, wäre mit dem Legalitätsprinzip nicht vereinbar (vgl. GÜNTER STRATENWERTH, Schweizerisches Strafrecht, Allgemeiner Teil I, Die Straftat, 3. Auflage 2005, § 4 N. 33). Hinzu kommt, dass das Antragsrecht der Staatsanwaltschaft gemäss <ref-law> nach der Botschaft zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts explizit auf das erstinstanzliche Verfahren beschränkt ist (BBl 2006 1235). Auch aus diesem Grund kann eine analoge Anwendung im Untersuchungsverfahren nicht in Frage kommen (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 234).
2.2.3 Für den Fall, dass die Beschwerdeinstanz nach dem Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts wegen des Anspruchs des Beschuldigten auf unverzügliche Freilassung (<ref-law>) nicht rechtzeitig im Rahmen einer Beschwerde der Staatsanwaltschaft über die vorläufige Weiterführung der Haft entscheiden kann, wird in der Literatur die Möglichkeit eines erneuten Haftbefehls bzw. Haftantrags der Staatsanwaltschaft im Sinne von <ref-law> erwähnt (vgl. Markus Hug, in: Donatsch/Hansjakob/Lieber, Kommentar StPO, 2010, N. 9 zu Art. 222). Ähnlich, wie dies in <ref-law> für die Sicherheitshaft nach dem erstinstanzlichen Urteil ausdrücklich vorgesehen ist, würde dieses Vorgehen ermöglichen, dass der Freiheitsentzug im Zeitpunkt der Anrufung der Rechtsmittelinstanz fortdauert und damit der Zweck der Strafuntersuchung nicht beeinträchtigt wird. Ob ein solches Vorgehen angesichts des schweren Eingriffs in die persönliche Freiheit rechtlich zulässig ist, hat das Bundesgericht in BGE 1B_232/2011 vom 12. Juli 2011 E. 2.2.4 offengelassen.
2.3 In der vorliegenden Angelegenheit stellte das Zwangsmassnahmengericht seinen Entscheid der Staatsanwaltschaft per Fax am 28. April 2011 um 15.22 Uhr zu. Die Entlassung des Beschuldigten erfolgte am gleichen Tag um 17.30 Uhr. Ebenfalls am 28. April 2011 erhob die Staatsanwaltschaft beim Kantonsgericht (vorab per Fax) Beschwerde gegen den Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts. Sie beantragte neben einer Haftverlängerung um zwei Monate die Erteilung der aufschiebenden Wirkung im Sinne von <ref-law>. In ihrer summarischen Beschwerdebegründung führte die Staatsanwaltschaft aus, damit die Beschwerdeführung überhaupt einen Sinn habe, müsse es möglich sein, dass die Beschwerdeinstanz die aufschiebende Wirkung erteile, andernfalls könne das Strafverfahren bei Vorliegen eines besonderen Haftgrunds behindert oder sogar verunmöglicht werden.
2.4 Dieser Auffassung ist grundsätzlich zuzustimmen (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1B_258/2011 vom 24. Mai 2011 E. 2.3). Das Beschwerderecht der Staatsanwaltschaft kann nur dann wirksam ausgeübt werden, wenn der Beschuldigte zumindest zu Beginn des Beschwerdeverfahrens noch in Haft ist und die Beschwerdeinstanz in die Lage versetzt wird, über dessen Freilassung im Rahmen des Beschwerdeverfahrens zu entscheiden. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung war unter den vorliegenden Umständen jedoch nicht geeignet, die Entlassung des Beschuldigten aus der Untersuchungshaft zu verhindern. Die Behandlung eines solchen Gesuchs setzt zumindest den Beizug und die Prüfung der Verfahrensakten durch die Beschwerdeinstanz voraus. Dazu reichte die zur Verfügung stehende kurze Zeit zwischen Einreichung der Beschwerde und Entlassung des Angeschuldigten nicht aus. Insoweit geht der von der Staatsanwaltschaft erhobene Vorwurf der Rechtsverzögerung fehl.
Zur Gewährleistung des Beschwerderechts der Staatsanwaltschaft erscheint es erforderlich, die Freilassung des Angeschuldigten aufzuschieben, bis die Beschwerdeinstanz über die Fortdauer der Haft während des Beschwerdeverfahrens im Sinne von <ref-law> wenigstens superprovisorisch entscheiden kann. Vor dem Hintergrund des Anspruchs des Angeschuldigten auf unverzügliche Freilassung gemäss <ref-law> muss die Staatsanwaltschaft ihre Beschwerde bei der Beschwerdeinstanz unmittelbar nach Kenntnis des Haftentlassungsentscheids einreichen und die notwendigen und unaufschiebbaren verfahrensleitenden und vorsorglichen Massnahmen beantragen (<ref-law>; s. E. 2.2.1 hiervor). Das Beschwerderecht der Staatsanwaltschaft beinhaltet, dass die Untersuchungshaft nach dem Freilassungsentscheid des Zwangsmassnahmengerichts bis zur sofortigen Beschwerdeerhebung durch die Staatsanwaltschaft bei der Beschwerdeinstanz fortbesteht. Nur auf diese Weise kann das in <ref-law> i.V.m. <ref-law> und <ref-law> verankerte Beschwerderecht der Staatsanwaltschaft wirksam ausgeübt werden. Nach dem Eingang der Beschwerde hat die zuständige Verfahrensleitung der Beschwerdeinstanz die erforderlichen Anordnungen im Sinne von <ref-law> zu erlassen. Solche Anordnungen müssen aus Gründen der Dringlichkeit meist ohne Anhörung der betroffenen Person als superprovisorische Verfügung ergehen. Sie sind anschliessend nach Gewährung des rechtlichen Gehörs zu bestätigen oder zu ändern (vgl. E. 2.2.1 hiervor).
2.5 Eine von der Staatsanwaltschaft unmittelbar nach Kenntnis des Haftentlassungsentscheids, aber vor der tatsächlichen Entlassung des Beschuldigten eingereichte Beschwerde hat somit zur Folge, dass die Untersuchungshaft vorläufig weiterbesteht, bis die zuständige Verfahrensleitung der Beschwerdeinstanz (superprovisorisch) über weitere Massnahmen im Sinne von <ref-law> entscheiden kann. Es handelt sich dabei in der Regel um eine Verlängerung der Haft um einige Stunden, was im Interesse der Erreichung des Untersuchungszwecks bei bestehenden Haftgründen und zur Gewährleistung eines wirksamen Beschwerderechts der Staatsanwaltschaft mit <ref-law> vereinbar erscheint. Da dieser Aufschub der Freilassung zur Gewährleistung des vom Gesetz vorausgesetzten wirksamen Beschwerderechts der Staatsanwaltschaft unabdingbar ist, steht ihm auch <ref-law> nicht entgegen. In diesem Sinne ist die genannte aufschiebende Wirkung Teil des Beschwerderechts der Staatsanwaltschaft. Sie ist zeitlich eng begrenzt, bis die Verfahrensleitung der Beschwerdeinstanz in der Lage ist, über Massnahmen nach <ref-law> zu entscheiden (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 245).
3. Es ergibt sich, dass die Beschwerde im Sinne der Erwägungen gutzuheissen ist, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens ist es gerechtfertigt, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Landschaft und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Haag