Faits:
A. A.a La Fondation pour l'animation socioculturelle lausannoise (ci-après: la FASL ou la Fondation), dont le siège est à Lausanne, est une fondation de droit privé, au sens des <ref-law>, qui se veut d'utilité publique et qui a pour but la promotion des activités socioculturelles. Elle exploite des centres de loisirs situés sur le territoire de la commune de Lausanne au moyen de fonds mis à sa disposition par celle-ci.
La Fédération suisse du personnel des services publics (actuellement: le Syndicat suisse des services publics; ci-après: le SSP), qui a son siège à Zurich, est une association de droit suisse (<ref-law>) regroupant le personnel des administrations, institutions et entreprises communales, cantonales et fédérales ainsi que des entreprises et institutions mixtes et privées d'utilité publique.
Le 16 juin 1997, la FASL et le SSP ont signé une convention collective de travail (ci-après: la convention collective ou la CCT). Ce faisant, ils affirmaient "leur volonté de collaborer sur toutes les questions touchant aux problèmes des animateurs socioculturels et du personnel des centres de loisirs" (art. 1er CCT). La FASL s'est engagée à ne prendre et à ne conserver à son service que des collaborateurs ayant adhéré par écrit à la convention collective (art. 68 CCT). Cette dernière institue une commission paritaire professionnelle (ci-après: la CPP), constituée d'un président désigné d'entente entre les parties, ainsi que de deux délégués des employeurs et de deux délégués des collaborateurs avec un suppléant pour chacun des deux groupes (art. 49 CCT). Elle prévoit également la désignation par l'assemblée générale des collaborateurs de la FASL d'une commission du personnel (ci-après: la CP; art. 54 al. 1 CCT).
La convention collective contient notamment les dispositions suivantes, qui intéressent la présente procédure:
"Fin de l'engagement
Résiliation
Art. 8.- Après le temps d'essai, le délai de résiliation est de 3 mois, pour la fin d'un mois.
Art. 8.- Après le temps d'essai, le délai de résiliation est de 3 mois, pour la fin d'un mois.
... L'employeur notifie le licenciement par lettre recommandée, en indiquant le motif du licenciement...
Sont réservées les dispositions légales restreignant le droit de résiliation, ainsi que les mesures prévues aux articles 47 et 48 de la présente convention...
Le non-respect des délais entraîne l'application des règles prévues en la matière par le CO.
Révocation et résiliation pour justes motifs
Art. 10.- La FASL et le collaborateur peuvent, sans avertissement préalable, se départir immédiatement du contrat de travail pour de justes motifs. Le dépôt d'un recours a un effet suspensif sur la résiliation, sauf décision contraire de la commission paritaire professionnelle (appelée ci-après «CPP»). Ce recours doit être déposé dans les dix jours, dès réception de la notification. Les mesures prévues à l ́article 11 de la présente convention sont applicables.
Constituent en particulier de justes motifs les faits suivants: atteinte à la morale, abus de confiance, négligence professionnelle grave.
Pour tous les autres cas, la procédure de l ́article 47 doit être respectée.
Procédure en cas de licenciement pour justes motifs
Art. 11.- Le licenciement pour justes motifs ne peut être prononcé qu'après l'audition du collaborateur, qui peut se faire assister.
Le licenciement doit être notifié au collaborateur par lettre recommandée, avec indication des motifs.
Il peut faire l'objet d'un recours, dont les modalités sont stipulées à l'art. 48. Le collaborateur peut demander l'assistance d'un syndicat ou de la commission du personnel.
***
Mesures disciplinaires
Infractions entraînant une mesure
Art. 46.- Le collaborateur qui enfreint ses devoirs, soit intentionnellement, soit par négligence ou imprudence grave, est passible d'une mesure disciplinaire, sans préjudice des sanctions pénales ou civiles qui peuvent résulter de ces infractions.
Mesure disciplinaire
Art. 47.- Les mesures disciplinaires sont prononcées par le comité de la FASL. Elles sont les suivantes:
a) l'avertissement écrit,
b) l'avertissement écrit renouvelé,
c) le licenciement (voir article 8).
Le licenciement doit être précédé de deux avertissements écrits, sauf dans le cas de faute grave, constituant un juste motif de renvoi immédiat (voir article 10).
Avant toute décision de licenciement, une enquête sera ouverte, au cours de laquelle le collaborateur sera appelé à se justifier. Il peut se faire assister. L'enquête terminée, le collaborateur est informé par écrit de la décision
prise.
Les règles de l'article 11 concernant le recours sont applicables.
Recours
Art. 48.- Dans les 10 jours après réception de la lettre l'avisant de la décision prise, le collaborateur a droit d'interjeter appel auprès:
- du président de la commission du personnel (CP) s'il désire voir sa sanction faire l'objet d'une démarche collective
ou
- du président de la commission paritaire professionnelle (CPP) fonctionnant comme tribunal arbitral, s'il désire que sa sanction soit traitée d'une manière individuelle et confidentielle.
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Commission paritaire professionnelle (CPP)
Mission
Art. 53.- La CPP se prononce sur les questions d'interprétation que pourrait soulever la présente convention collective de travail, tant en cas de différend collectif ou individuel.
Lorsqu'un litige surgit entre la FASL et un collaborateur ou la commission du personnel quant à l'application aux cas d'espèce de la présente convention collective de travail, la CPP tente la conciliation, pour autant qu'elle en soit requise par l'une des parties.
Faute d'accord ou en cas de refus des propositions formulées par la commission paritaire, le litige sera - en cas de conflit collectif et à la requête de la partie la plus diligente - porté devant l'office cantonal de conciliation et d'arbitrage en cas de conflit collectif du travail.
***
Commission du personnel (CP)
Attributions générales
Art. 55.- Dans le cadre de ses attributions, la CP:
Art. 55.- Dans le cadre de ses attributions, la CP:
... h) sous réserve des dispositions de l'<ref-law>, est informée préalablement de tout licenciement envisagé, de ses motifs et donne son avis à ce sujet après avoir consulté le ou les intéressés,
... h) sous réserve des dispositions de l'<ref-law>, est informée préalablement de tout licenciement envisagé, de ses motifs et donne son avis à ce sujet après avoir consulté le ou les intéressés,
...
Règlement des litiges
Art. 62.- Tout litige relatif à l'application ou à l'interprétation de la convention collective de travail que les intéressés ne parviendraient pas à régler directement fera l'objet d'une tentative de conciliation entre le comité de la FASL et la commission du personnel qui pourront, chacune, se faire assister respectivement d'un représentant patronal ou syndical.
En cas de conflit individuel la personne concernée peut faire appel au président de la CP, et la procédure à suivre sera décidée d'un commun accord.
La commission paritaire peut être saisie de tout litige non résolu. Elle peut être également saisie directement à la requête des parties contractantes, de la CP, ou d'un ou plusieurs collaborateurs. Dans ce dernier cas, la commission paritaire décidera si la procédure de conciliation prévue ci-dessus doit ou non être mise en oeuvre. Pour la suite de la procédure: se référer à l'art. 53.
***
Dispositions finales
Cas non prévus par la convention
Art. 67.- Les cas non traités dans la présente convention seront réglés conformément aux articles du Code des Obligations, prévus en la matière."
A.b Par contrat de travail du 19 février 1998, la FASL a engagé X._ comme animateur pour son centre de loisirs de W._.
Le 16 septembre 2009, X._ a fait l'objet d'un premier licenciement que le président de la CPP a annulé par sentence du 16 juillet 2010. L'animateur a été réintégré au sein du personnel de la FASL. Dispensé de l'obligation de travailler de la fin juillet 2010 jusqu'à la mi-janvier 2011, il a ensuite été transféré au centre de loisirs de V._, contre son gré, ce qu'il a très mal vécu et qui a entraîné une incapacité de travail du 11 février au 1er mai 2011. Du 2 mai au 2 juillet 2011, puis du 4 juillet au 25 août 2011, X._ s'est vu confier d'autres missions qu'il a apparemment accomplies avec succès.
Le 26 août 2011, la FASL a averti X._ de son intention d'ouvrir une procédure de licenciement à son encontre. La CP s'est opposée à ce qu'un éventuel congé ordinaire fût signifié à l'animateur. Ce nonobstant, la FASL, par lettre recommandée du 9 septembre 2011, a licencié son employé avec effet au 31 décembre 2011 en invoquant le motif suivant: "A la suite des événements survenus au centre de W._ et aux difficultés liées à votre affectation au centre de V._, le comité a constaté que le lien de confiance qui doit naturellement exister entre employeur et employé a été irrémédiablement rompu".
B. B.a X._ a contesté son renvoi par lettre recommandée du 15 septembre 2011. Dans un mémoire du 6 octobre 2011 rédigé avec l'aide de deux syndicats, il a conclu, en substance, à l'annulation de ce qu'il qualifiait de mesure de rétorsion à caractère disciplinaire, à sa réintégration au centre de loisirs de W._ dans ses fonctions antérieures à son premier licenciement, à la signature d'une convention de remise au travail et à l'ouverture par la CPP d'une procédure probatoire à l'effet de constater les violations répétées de la CCT imputées à la FSAL.
La CPP a siégé les 12 octobre et 16 septembre 2011. Lors de la première audience, X._ a précisé ses conclusions en ce sens qu'il requérait l'interprétation par la CPP de certaines dispositions de la convention collective, une tentative de conciliation et, en cas d'échec, un arbitrage du président de la CPP. La tentative de conciliation n'a pas abouti. Le 14 février 2012, la CPP a rendu un avis interprétatif sur les points soulevés par X._.
Le président de la CPP a tenu une audience arbitrale en date du 24 février 2012. Il a tenté en vain de concilier les parties. A cette occasion, la FASL a contesté que le congé ordinaire litigieux ait revêtu un caractère disciplinaire; elle a maintenu que les prétentions en cause échappaient à la disposition des parties, s'est opposée à ce que l'arbitre statue en équité et a sollicité le prononcé d'une sentence sur compétence. De son côté, X._, après avoir réaffirmé qu'il avait fait l'objet d'une mesure disciplinaire arbitrable, a invité le président de la CPP à rendre une sentence d'ensemble en équité. Sur proposition de l'arbitre, il a opté pour l'application de la procédure simplifiée tandis que la FASL s'en est remise à la décision de l'arbitre. La valeur litigieuse étant difficile à estimer, il a été relevé qu'elle pourrait avoisiner les 19'000 fr.
Par lettre de son conseil du 14 mars 2012, la FASL a invité l'arbitre à décliner sa compétence au motif que les droits invoqués par le demandeur, déduits selon elle de l'<ref-law>, n'étaient pas disponibles.
Dans un courriel du 15 mars 2012, X._ et ses conseils ont indiqué qu'ils renonçaient à l'audition de témoins.
B.b Par sentence arbitrale "partielle" du 17 août 2012, le président de la CPP s'est déclaré compétent pour statuer sur le licenciement du 9 septembre 2011 de X._. Pour ce faire, il a tenu le raisonnement résumé ci-après.
Les rapports de travail litigieux sont régis par la convention collective. En effet, se pliant aux exigences de l'art. 68 CCT, X._ s'est soumis à cette convention, laquelle lui est dès lors applicable, à tout le moins, en vertu de l'<ref-law>.
La procédure suivie sera celle des art. 353 ss du Code de procédure civile (CPC; RS 272) relatifs à l'arbitrage interne. Dans la mesure nécessaire et faute d'un accord des parties à ce sujet, l'arbitre appliquera la procédure sommaire des <ref-law>, conformément à l'<ref-law>. N'ayant pas été autorisé par les deux parties à le faire, il ne statuera pas en équité (<ref-law>). La conclusion de X._, qui vise à l'annulation du licenciement contesté, nécessite l'examen des trois conditions de recevabilité suivantes: le respect du délai de saisine, l'arbitrabilité du litige et la compétence du président de CPP.
X._ a reçu la lettre de licenciement le 10 septembre 2011. Il a contesté son congé dans le délai de dix jours fixé à l'art. 48 CCT, agissant ainsi en temps utile.
Le différend qui oppose les parties est arbitrable. Contrairement à la jurisprudence fédérale en la matière (<ref-ruling>), que la doctrine critique à juste titre, il faut admettre que les prétentions découlant d'un contrat individuel de travail relèvent de la libre disposition des parties, au sens de l'<ref-law>, même si elles sont visées par une disposition impérative de la loi, et qu'elles le deviennent en tout état de cause quand l'action est ouverte par le travailleur plus d'un mois après la fin du contrat (<ref-law>) ou, comme en l'espèce, quand celui-ci poursuit le procès sans désemparer après l'avoir introduit peu avant l'échéance de ce délai. De surcroît, les circonstances de la cause en litige ne sont pas les mêmes que celles qui ont donné lieu à l'arrêt de principe précité: d'une part, la convention d'arbitrage a été insérée dans une convention collective et non dans un contrat individuel de travail; d'autre part, c'est le travailleur, et non l'employeur, qui a saisi l'arbitre. Force est de souligner, par surabondance, que le droit dont se prévaut le demandeur - faire annuler la mesure disciplinaire que constituerait son licenciement pour des motifs inconsistants - ne relève pas de l'<ref-law> ni même du Code des obligations, mais constitue une faculté supplémentaire octroyée par la CCT aux employés de la FASL; de ce fait, il ne saurait être soustrait à l'arbitrage puisque ceux-ci peuvent en disposer librement.
La compétence ratione materiae du président de la CPP pour statuer en tant qu'arbitre unique dépend de la nature disciplinaire ou non de la mesure contestée, en l'occurrence le licenciement incriminé; cela découle clairement des art. 46 à 48 CCT. La législation suisse relative au contrat de travail ne prévoit pas de sanctions disciplinaires dans les relations entre employeur et employé, contrairement à ce qui est le cas, par exemple, dans le droit de la fonction publique. Cependant, elle ne les exclut pas, de sorte qu'il est loisible aux parties d'en prévoir dans un règlement d'entreprise, une convention collective ou un contrat individuel de travail. Pour savoir si une mesure revêt un caractère disciplinaire, il faut rechercher si elle sanctionne un comportement fautif. Tel serait le cas selon X._, ce que conteste la FASL. En l'état de l'instruction, l'arbitre n'est pas à même de se forger une conviction sur la nature disciplinaire ou non du congé en raison de la position des plus imprécises adoptée par l'employeur quant aux motifs qui l'ont poussé à licencier son employé et de la renonciation de ce dernier à administrer de plus amples preuves. Il se fondera donc sur le seul élément indiscutable dont il dispose, à savoir la lettre de licenciement du 9 septembre 2011. Cette lettre fait état d'une rupture irrémédiable du lien de confiance trouvant son origine dans les événements survenus au centre de W._ et les difficultés liées à l'affectation de l'animateur au centre de V._. On doit en déduire le reproche implicite adressé à X._ d'avoir rompu le lien de confiance indispensable à la poursuite des rapports de travail. Il existe donc une forte présomption que le licenciement vise à sanctionner aussi une résistance du travailleur à se plier aux injonctions de son employeur. Dès lors, l'arbitre retient le caractère disciplinaire du congé, si bien que la troisième condition de recevabilité est réalisée à l'instar des deux autres.
X._ souhaiterait obtenir une sentence vidant le fond du litige. Il n'est pas possible d'accéder à sa demande. En effet, si le relatif manque de preuves sur les circonstances ayant conduit à son licenciement n'a pas empêché de statuer sur le caractère disciplinaire de cette mesure, il serait périlleux de se prononcer sur le fond sans rouvrir l'instruction.
C. Le 18 septembre 2012, la FASL (ci-après: la recourante) a adressé au Tribunal fédéral un recours en matière civile, assorti d'une requête d'effet suspensif, en vue d'obtenir l'annulation de la sentence du 17 août 2012. Elle conclut, en outre, à ce qu'il soit dit que l'arbitre unique n'est compétent ni pour statuer sur la validité du congé litigieux ni pour lui ordonner de réintégrer le collaborateur licencié.
L'effet suspensif a été accordé au recours par ordonnance présidentielle du 5 novembre 2012.
Le président de la FASL, qui a produit son dossier, a déclaré ne pas avoir d'observations à formuler au sujet du recours.
Dans sa réponse du 7 janvier 2013, X._ (ci-après: l'intimé) a conclu à l'irrecevabilité et, subsidiairement, au rejet du recours.
Les parties ont maintenu leurs conclusions respectives dans le cadre d'un second échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. L'<ref-law> prévoit que le droit en vigueur au moment de la communication de la sentence s'applique aux voies de recours. En l'espèce, la sentence attaquée a été communiquée aux parties le 17 août 2012, soit après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2011, du CPC. Par conséquent, s'agissant d'un arbitrage interne, ce sont les art. 389 à 395 CPC qui fixent les conditions auxquelles cette sentence pouvait être déférée au Tribunal fédéral (<ref-law>). La seule voie de droit entrant en ligne de compte est le recours en matière civile (<ref-law>) en vertu de l'<ref-law> et du renvoi de l'<ref-law> à cette disposition.
L'arbitre unique estime la valeur litigieuse de la présente cause à quelque 19'000 fr., la recourante à plus de 34'000 fr. S'agissant d'une affaire pécuniaire (cf., par analogie, l'arrêt 8C_428/2012 du 14 novembre 2012 consid. 1) en matière de droit du travail, la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. fixée à l'<ref-law> est donc atteinte. Par conséquent, la voie du recours en matière civile est ouverte, indépendamment de la question de savoir si l'exigence d'une valeur litigieuse minimale s'applique aussi à l'arbitrage interne (cf. l'arrêt 4A_395/2012 du 16 octobre 2012 consid. 1).
2. 2.1 Lorsque, par une sentence séparée, un tribunal arbitral admet sa compétence, il rend une sentence incidente (art. 359 al. 1 et art. 383 CPC). Tel est le cas en l'espèce, bien que la sentence entreprise soit improprement qualifiée de partielle. En vertu de l'<ref-law>, ladite sentence ne pouvait être attaquée devant le Tribunal fédéral que pour les motifs tirés de la composition irrégulière (<ref-law>) ou de l'incompétence (<ref-law>) du tribunal arbitral. En l'occurrence, la recourante invoque le second de ces deux motifs.
2.2 La recourante est particulièrement touchée par la sentence attaquée, laquelle l'oblige à se soumettre à la juridiction d'un arbitre dont elle conteste la compétence. Aussi a-t-elle un intérêt digne de protection à l'annulation de cette sentence, ce qui lui confère la qualité pour recourir (<ref-law>).
Par ailleurs, le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (<ref-law>). Il satisfait du reste aux exigences de motivation, quoi qu'en dise l'intimé.
2.3 Le recours reste purement cassatoire (cf. l'<ref-law> qui exclut l'application de l'<ref-law> dans la mesure où cette disposition permet au Tribunal fédéral de statuer sur le fond de l'affaire). Toutefois, lorsque le litige porte sur la compétence d'un tribunal arbitral, il a été admis, par exception, que le Tribunal fédéral pouvait constater lui-même la compétence ou l'incompétence (<ref-ruling> consid. 3.3.4 p. 616; <ref-ruling> consid. 1b).
La conclusion de la recourante tendant à ce que le Tribunal fédéral constate lui-même l'incompétence de l'arbitre unique pour connaître du litige divisant les parties est ainsi recevable.
2.4 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés dans la sentence attaquée (cf. <ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter d'office les constatations des arbitres, même si les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit (cf. l'<ref-law> qui exclut l'application de l'<ref-law>). En revanche, il conserve la faculté de revoir l'état de fait à la base de la sentence attaquée si l'un des griefs mentionnés à l'<ref-law> est soulevé à l'encontre dudit état de fait ou que des faits ou des moyens de preuve nouveaux sont exceptionnellement pris en considération dans le cadre de la procédure du recours en matière civile (arrêt 4A_627/2011 du 8 mars 2012 consid. 3.1).
2.5 En matière d'arbitrage interne, le grief tiré de l'incompétence du tribunal arbitral (<ref-law>) correspond à celui qu'énonce l'<ref-law> pour l'arbitrage international (arrêt 4A_627/2011, précité, ibid.).
Saisi du grief d'incompétence, le Tribunal fédéral examine librement les questions de droit, y compris les questions préalables, qui déterminent la compétence ou l'incompétence du tribunal arbitral. Il n'en devient pas pour autant une cour d'appel. Aussi ne lui incombe-t-il pas de rechercher lui-même, dans la sentence attaquée, les arguments juridiques qui pourraient justifier l'admission du grief fondé sur l'<ref-law>. C'est bien plutôt à la partie recourante qu'il appartient d'attirer son attention sur eux, pour se conformer aux exigences de l'<ref-law> (arrêt 4A_627/2011, précité, consid. 2.4; cf. <ref-ruling> consid. 3.1).
3. La recourante cherche à démontrer, en premier lieu, que la clause arbitrale insérée dans la CCT n'en constituerait pas véritablement une et, dans l'hypothèse inverse, qu'elle serait de toute façon entachée de nullité. En second lieu, invoquant la jurisprudence fédérale en la matière, elle conteste l'arbitrabilité même du différend qui l'oppose à l'intimé, au motif que ce différend porterait sur une prétention du travailleur résultant d'une disposition absolument impérative de la loi.
Dès lors qu'une convention d'arbitrage ne peut être valablement conclue que si elle porte sur un litige arbitrable, la question de l'arbitrabilité du litige doit être logiquement traitée en priorité (CHRISTOPH HURNI, in Commentaire bernois, Schweizerische Zivilprozessordnung, vol. I, 2012, n° 7 ad <ref-law>), en dépit de l'ordre choisi par la recourante pour présenter ses griefs.
4. 4.1 L'arbitrabilité est une condition de validité de la convention d'arbitrage et, partant, de la compétence du tribunal arbitral. Les moyens s'y rapportant, que le Tribunal fédéral examine librement (cf. consid. 2.5 ci-dessus), sont visés par le motif de recours prévu à l'<ref-law> (cf., mutatis mutandis, l'arrêt 4A_388/2012 du 18 mars 2013 consid. 3.1 et les précédents cités). Dans son sens objectif, l'arbitrabilité désigne les causes susceptibles d'être tranchées par la voie de l'arbitrage, c'est-à-dire l'arbitrabilité ratione materiae (<ref-ruling> consid. 3a p. 355). Dans l'arbitrage interne, elle est réglée à l'<ref-law> aux termes duquel l'arbitrage peut avoir pour objet toute prétention qui relève de la libre disposition des parties. Cette dernière notion reprend celle qui figurait à l'art. 5 du concordat sur l'arbitrage du 27 mars 1969 (CA). Elle s'écarte ainsi de celle de la nature patrimoniale de la cause, qui détermine l'arbitrabilité des litiges dans l'arbitrage international visé par le chapitre 12 de la LDIP (cf. <ref-law>). C'est dire que tous les efforts déployés par la recourante et l'intimé en vue d'exclure (recours, p. 11 n. 27 à 29) ou d'établir (réponse, p. 9 s. let. D) le caractère patrimonial de la présente cause apparaissent vains.
4.2 Dans son arrêt de principe du 28 juin 2010 en la cause 4A_71/2010, publié aux <ref-ruling>, sur lequel la recourante fait fond, le Tribunal fédéral rappelle que le travailleur ne peut renoncer à ses créances issues de dispositions impératives ou semi-impératives, au sens des art. 361 et 362 CO, que dans les limites fixées à l'<ref-law>. Il en déduit qu'une créance ne relève pas de la libre disposition des parties, selon l'art. 5 CA, si elle ne peut pas faire l'objet d'une renonciation valable, faute de répondre aux conditions de l'<ref-law>. Dès lors, selon lui, si le travailleur ne peut pas renoncer à certaines créances en vertu de cette disposition, il ne peut pas non plus convenir d'avance qu'elles seront soumises à l'arbitrage. Une clause compromissoire n'est donc pas valable si elle est insérée dans le contrat de travail pour s'appliquer aux contestations futures qui s'élèveront, le cas échéant, au sujet de telles créances (consid. 4.6 p. 473).
Cette jurisprudence a essuyé un certain nombre de critiques au sein de la doctrine (pour un aperçu des avis favorables et défavorables à l'arrêt précité, cf. WERNER WENGER, in Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 2e éd. 2013, n° 19 ad <ref-law>; DIETSCHY, Les conflits de travail en procédure civile suisse, 2011, p. 124, note de pied 628; LUCA BEFFA, Arbitrabilité des conflits individuels de travail: critique de l'arrêt 4A_71/2010 du 28 juin 2010 et questions ouvertes, in AJP 2010 p. 1439 s.). On lui reproche essentiellement, sur le plan des principes, de méconnaître la notion de libre disposition en établissant à tort un lien nécessaire entre la possibilité de renoncer à une prétention et le droit de faire valoir cette prétention selon telle ou telle procédure. Pareille assimilation négligerait le fait qu'en concluant une convention d'arbitrage sous la forme d'une clause compromissoire, le travailleur ne renonce pas à des créances résultant de dispositions impératives de la loi, mais uniquement à soumettre ces créances à un tribunal étatique (BEFFA, op. cit., p. 1441; PHILIPPE SCHWEIZER, in Revue suisse de procédure civile [RSPC] 2010 p. 365; ROMINA CARCAGNI ROESLER, Arbeits- und Sozialversicherungsrecht, in Entwicklungen im schweizerischen Wirtschaftsrecht, Zurich 2010-2011, I. Arbeitsrecht, p. 93 s.; ISABELLE WILDHABER/ALEXANDRA JOHNSON WILCKE, Die Schiedsfähigkeit von individualarbeitsrechtlichen Streitigkeiten in der Binnenschiedsgerichtsbarkeit, in Arbeitsrecht, Zurich 2010, p. 165; les mêmes, in avoline 2010 n° 519 p. 1). Pour certains auteurs, généraliser la règle posée dans l'arrêt en question impliquerait d'exclure l'arbitrabilité de toutes les prétentions, comme celles déduites de l'<ref-law> ou de l'<ref-law>, auxquelles une personne autre qu'un travailleur ne peut renoncer pendant la durée d'un contrat déterminé, ce qui ne correspond pas à l'état actuel du droit (CHRISTIAN OETIKER/PETER HOSTANSKY, Die neue Binnenschiedsgerichtsbarkeit - Gerichtspraxis zu Art. 353-399 ZPO, in AJP 2013 p. 204; BERNHARD BERGER, Die Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Zivilprozessrecht im Jahre 2010, in RJB 2012 p. 170). La compatibilité de la jurisprudence critiquée, rendue au sujet de l'art. 5 CA, avec la disposition prétendument plus libérale de l'<ref-law> est également discutée (FELIX DASSER, in Kurzkommentar ZPO, 2010, n° 15 ad <ref-law>), de même qu'est mise en avant la faculté pour les parties à un contrat de travail, pourtant domiciliées en Suisse, d'écarter le critère de la libre disposition de la prétention au profit du critère de la nature patrimoniale de la cause (<ref-law>) au moyen d'un opting out, i.e. en excluant conventionnellement les règles touchant l'arbitrage interne et en choisissant d'appliquer les dispositions du chapitre 12 de la LDIP (<ref-law>; WENGER, op. cit., n° 21 ad <ref-law> avec l'indication des auteurs admettant ou refusant la possibilité d'un opting out dans le domaine du contrat de travail). Sur un plan plus pratique, enfin, il est encore fait état des difficultés auxquelles pourrait s'exposer le travailleur, lié par une convention d'arbitrage valable, qui entend élever des prétentions dont certaines découlent de dispositions impératives de la loi et d'autres pas, attendu qu'il devrait saisir à la fois un tribunal étatique et un tribunal arbitral pour faire valoir l'ensemble de ses droits (WOLFGANG PORTMANN/JEAN-FRITZ STÖCKLI, Schweizerisches Arbeitsrecht, 3e éd. 2011, n° 973; BERGER, op. cit., p. 170 s.; THOMAS PIETRUSZAK, Schiedsfähigkeit arbeitsrechtlicher Streitigkeiten gemäss Art. 5 Konkordat über die Schiedsgerichtsbarkeit, in Push-Service Entscheide, publié le 15 septembre 2010, n° 9).
Point n'est, toutefois, besoin d'analyser plus avant ces critiques ni de soumettre la jurisprudence actuelle, qui est récente, à un réexamen. En effet, le moyen pris de l'inarbitrabilité du litige ne saurait prospérer, pour les motifs indiqués ci-après (cf. consid. 4.3), même si l'on s'en tenait à cette jurisprudence.
4.3 Employeur atypique, la recourante apparaît comme une institution hybride dans laquelle droit privé et droit public s'entremêlent. Si, de par sa nature, elle relève du droit privé, puisqu'elle a été constituée en une fondation au sens des <ref-law>, son but, son financement et son organisation l'apparentent à une institution relevant du droit public. Fondation d'utilité publique, cette personne morale, que l'on pourrait qualifier de para-étatique, a pour but la promotion des activités socioculturelles dans le cadre défini par la Charte lausannoise de l'animation, laquelle cherche à favoriser l'intégration sociale, à prévenir les comportements indésirables et à développer la solidarité au sein de la population, entre autres objectifs (voir le texte des statuts de ladite fondation et celui de la Charte sur le site internet http://www.fasl.ch). Ses ressources proviennent essentiellement d'une subvention annuelle que lui alloue la commune de Lausanne pour couvrir ses frais de fonctionnement. Deux représentants de cette commune, désignés par la Municipalité, font partie du conseil de fondation et le comité exécutif de cette dernière doit comprendre l'un d'entre eux. Le service de révision de ladite commune fonctionne comme organe de contrôle des comptes de la fondation. Par ailleurs, toute modification des statuts de celle-ci doit être soumise à la Municipalité, qui en informe le conseil communal (pour l'indication des dispositions statutaires pertinentes, voir la réponse, p. 8 ch. 2).
Quant à l'autre signataire de la CCT, il s'agit d'un syndicat représentant principalement les travailleurs du service public (cf. let. A.a ci-dessus).
La convention collective elle-même, signée le 16 juin 1997 par ces deux partenaires, contient de nombreuses dispositions que l'on s'attendrait à trouver dans un règlement communal sur le statut des fonctionnaires plutôt que dans un contrat collectif destiné à régir les rapports de travail de droit privé entre un employeur et ses employés. Ainsi en va-t-il, par exemple, de celles qui alignent les traitements et autres allocations en faveur du personnel de la fondation sur ceux du personnel de la commune de Lausanne (art. 31 al. 1, 35, 36, 37 et 38 CCT et l'annexe n° 1 qui reprend l'échelle des traitements établie par ladite commune). Mais c'est surtout le cas du chapitre IX relatif aux "Mesures disciplinaires" (art. 46 à 48 CCT). Il y est question de l'ouverture d'une "enquête" - avant toute décision de licenciement - au cours de laquelle le collaborateur sera invité à se justifier et pourra se faire assister (art. 47 al. 3 CCT); du droit d'"interjeter appel" contre la sanction disciplinaire - avertissement écrit, avertissement écrit renouvelé, licenciement -, qui est accordé au collaborateur sanctionné (art. 48 CCT sous le titre "Recours"); de la possibilité offerte au collaborateur qui use de ce droit de choisir entre une démarche collective (art. 48 1er tiret CCT) et un traitement individuel de son cas (art. 48 second tiret CCT).
Il appert des caractéristiques singulières ainsi mises en évidence en ce qui concerne tant les signataires de la convention collective que le contenu de cet accord que l'on se trouve, en l'occurrence, aux frontières du droit privé et du droit public. A tort ou à raison, les partenaires sociaux n'ont pas craint d'aménager leurs rapports selon des règles ressortissant à deux domaines juridiques distincts. Il en est résulté une situation complexe tenant à l'impossibilité de régler à coup sûr tous les problèmes que pose l'application de la CCT par un raisonnement fondé exclusivement sur le droit privé ou sur le droit public. L'incertitude en résultant n'est pas imputable à l'intimé, lequel n'a adhéré à la convention collective qu'au moment de la conclusion du contrat de travail, mais aux signataires de la convention collective. En cette qualité, la recourante doit, dès lors, en assumer les conséquences. La principale, s'agissant de la cause pendante, est qu'il est exclu d'examiner la question de l'arbitrabilité de la prétention litigieuse - à savoir le droit de l'intimé d'obtenir l'annulation de son licenciement - en fonction des règles du code des obligations relatives au caractère impératif de l'<ref-law> et de leur incidence sur l'admissibilité de ladite prétention. Il se justifie, au contraire, étant donné les circonstances relevées plus haut, de considérer cette prétention comme une faculté sui generis que la CCT octroie au collaborateur sous le coup d'un licenciement, eu égard à la nature particulière des rapports de travail réglés par elle et au caractère disciplinaire que revêt cette mesure. Compte tenu de la spécificité d'une telle prétention, sa validité ne peut pas être appréciée à la même aune que le droit à la réintégration qui serait invoqué, dans le cadre d'une relation de travail usuelle, par un travailleur s'estimant victime d'un congé abusif. Il est donc illusoire de vouloir l'examiner au regard des principes jurisprudentiels relatifs aux art. 336a, 341 al. 1 et 361 CO. Il suffit, bien plutôt, de constater que la recourante a accordé à ses collaborateurs un droit spécifique dont ils ont l'entière maîtrise, c'est-à-dire qu'ils peuvent exercer s'ils le souhaitent (en recourant contre le licenciement disciplinaire) ou auquel il leur est loisible de renoncer d'emblée (absence de recours), voire pendente lite (retrait du recours). Il suit de là que l'on est en présence d'une prétention relevant de la libre disposition des parties, au sens de l'<ref-law>.
Au demeurant, force est d'observer que n'est pas exempt de contradiction le comportement consistant à refuser à une personne le droit d'exercer une faculté qu'on lui a octroyée par la voie procédurale que l'on a instituée spécialement à cette fin. C'est pourtant l'attitude que la recourante adopte à l'égard de l'intimé.
5. Il reste à examiner si le président de la CPP s'est fondé sur une convention d'arbitrage valable pour en déduire sa compétence relativement à la prétention arbitrable que l'intimé lui avait soumise.
5.1 La convention d'arbitrage litigieuse consiste en une clause compromissoire insérée dans la convention collective signée le 16 juin 1997 (art. 48 CCT) et à laquelle le contrat de travail conclu le 19 février 1998 par la recourante et l'intimé renvoie globalement. En vertu de l'<ref-law>, la validité des conventions d'arbitrage conclues avant l'entrée en vigueur de la présente loi (1er janvier 2011) est déterminée selon le droit le plus favorable.
S'agissant de la validité matérielle de la convention d'arbitrage, l'<ref-law> reprend la notion de droit relevant de la libre disposition des parties, telle qu'elle figurait déjà à l'art. 5 CA (Message du 28 juin 2006 relatif au code de procédure civile suisse, FF 2006 7000 ch. 5.25.2 [ci-après cité: Message]; <ref-ruling> consid. 4), si bien que la question du droit le plus favorable ne se pose pas.
Il en va différemment, en revanche, pour ce qui est de la forme que doit revêtir la convention d'arbitrage, étant donné que l'<ref-law> se contente de tout moyen permettant d'établir la preuve de cet accord par un texte là où l'art. 6 al. 1 CA exigeait la forme écrite, c'est-à-dire, selon l'<ref-law>, la signature de toutes les parties liées par la convention d'arbitrage. Dès lors, la disposition transitoire précitée rend applicable sur ce point l'<ref-law>. Dans la présente cause, la recourante ne soulève aucun grief en rapport avec cette disposition. Elle ne soutient pas, en particulier, que le renvoi global à la convention collective, effectué dans le contrat de travail qui la liait à l'intimé, serait insuffisant (sur la problématique de la convention d'arbitrage par référence, cf., parmi d'autres: GABRIELLE KAUFMANN-KOHLER/ANTONIO RIGOZZI, Arbitrage international - Droit et pratique à la lumière de la LDIP, 2e éd. 2010, nos 232 ss; sur le cas spécifique des CCT, cf. DIETSCHY, op. cit., n° 253). Aussi n'y a-t-il pas lieu de pousser plus avant l'analyse sur ce point (cf. consid. 2.5 ci-dessus).
5.2 La convention d'arbitrage est un accord par lequel deux ou plusieurs parties déterminées ou déterminables s'entendent pour confier à un tribunal arbitral ou à un arbitre unique, en lieu et place du tribunal étatique qui serait compétent, la mission de rendre une sentence à caractère contraignant sur un ou des litiges existants (compromis arbitral) ou futurs (clause compromissoire) résultant d'un rapport de droit déterminé (<ref-law>; Message, FF 2006 7001 ch. 5.25.3; cf. <ref-ruling> consid. 2.2.3 p. 35; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 70 et les références).
Bien que sa formulation soit assez concise, voire elliptique, l'art. 48 CCT (cf. let. A.a ci-dessus) contient tous les éléments constitutifs d'une convention d'arbitrage ainsi définie et, plus précisément, d'une clause compromissoire, même s'il ne les énonce pas tous de manière explicite. D'abord, les parties qui ont passé cet accord sont connues. Il s'agit des deux personnes morales ayant signé la convention collective. Sans doute la clause arbitrale n'a-t-elle pas vocation à s'appliquer aux litiges divisant ces parties-là mais à ceux qui pourraient naître des rapports de travail noués par la recourante avec ses collaborateurs. Cet état de choses, inhérent aux différents types de clauses que contient une convention collective de travail - clauses normatives (<ref-law>), semi-normatives (<ref-law>) et obligationnelles (<ref-law>) -, ne signifie pas que la partie tenue de soumettre à un arbitrage le règlement des différends individuels susceptibles de l'opposer à la recourante ne serait pas déterminable en l'occurrence. Au contraire, elle l'est dès lors que, par l'adhésion à la convention collective (<ref-law>) que prescrit l'art. 68 CCT à tout collaborateur, cette partie n'est autre qu'un membre du personnel de la recourante (sur la notion de collaborateur, cf. art. 1er al. 2 CCT). Ensuite, l'identité de l'arbitre appelé à statuer est, elle aussi, connue, l'art. 48 CCT se référant expressément au président de la CPP et aucune des parties ne soutenant que le texte quelque peu ambigu de cette disposition ("... le collaborateur a droit d'interjeter appel auprès...du président de la [CPP] fonctionnant comme tribunal arbitral...") devrait être interprété en ce sens que le président de la CPP ne serait habilité qu'à recevoir l'appel, à charge pour la CPP elle-même d'en connaître. Par ailleurs, il découle implicitement de la mention "tribunal arbitral", figurant à l'art. 48 CCT, et de l'absence de toute référence à une juridiction étatique cantonale, tels les prud'hommes, qui serait chargée de statuer sur le même objet sans égard à la décision prise par le président de la CPP, que les signataires de la convention collective n'ont pas voulu mettre en oeuvre ce dernier pour une simple conciliation ou médiation visant à prévenir l'ouverture d'un procès devant les tribunaux étatiques compétents, mission que l'art. 53 al. 2 CCT confie du reste à la CPP in corpore, ni en qualité d'expert-arbitre (sur la distinction entre une sentence arbitrale et une expertise-arbitrage, cf. arrêt 4A_254/2011 du 5 juillet 2011 consid. 4.1), mais afin qu'il rende, en lieu et place de ces tribunaux, une sentence revêtue de l'autorité de la chose jugée. C'est du reste ce qu'il a fait, dans sa sentence du 16 juillet 2010, en annulant un premier licenciement signifié à l'intimé. Enfin, les litiges visés par la clause compromissoire sont déterminables et issus d'un rapport de droit déterminé, attendu qu'ils concernent les mesures disciplinaires prononcées par la recourante à l'encontre de l'un de ses collaborateurs (art. 47 CCT) ainsi que la résiliation immédiate du contrat de travail pour de justes motifs (art. 10 et 11 CCT).
La recourante objecte que, dans la mesure où l'arbitrage est un mode conventionnel de règlement des litiges, une clause arbitrale doit être, par essence, bilatérale et réciproque, c'est-à-dire permettre à chacune des parties de s'y référer. Tel ne serait pas le cas de l'art. 48 CCT, s'agissant d'une clause arbitrale qui n'offre qu'au seul collaborateur la possibilité de recourir contre une mesure disciplinaire et qui lui accorde, de surcroît, la faculté d'opter entre une démarche collective, par l'intermédiaire du président de la CP, et un traitement individuel de son cas, dans le cadre d'un arbitrage du président de la CPP. En bref, selon la recourante, comme l'employé seul peut choisir son juge, on ne peut plus parler d'arbitrage. Semblable argumentation ne convainc pas. On peut d'ailleurs se demander si la recourante n'agit pas de manière contradictoire en l'opposant à l'intimé alors que c'est elle qui, d'entente avec le SSP, a inséré la clause arbitrale litigieuse dans la convention collective conclue en 1997 avec ce syndicat. Quoi qu'il en soit, l'existence de la CCT établit le caractère contractuel de l'arbitrage et démontre que celui-ci ne résulte pas d'un acte unilatéral de l'un des deux signataires de la convention collective. Pour le surplus, rien ne s'oppose, au regard du principe de la liberté contractuelle (cf. <ref-law>), à ce que les parties déterminent librement l'objet de la convention d'arbitrage, dans les limites de la loi. Ainsi, la convention peut disposer que le recours à l'arbitrage est facultatif, en ce sens que les deux parties ou l'une d'elles se voient accorder le choix entre l'arbitrage et la juridiction ordinaire (PIERRE JOLIDON, Commentaire du Concordat suisse sur l'arbitrage, 1984, p. 124 n° 411; PIERRE LALIVE/JEAN-FRANÇOIS POUDRET/CLAUDE REYMOND, Le droit de l'arbitrage interne et international en Suisse, 1989, n° 1.1 ad art. 4 CA; THOMAS RÜEDE/REIMER HADENFELDT, Schweizerisches Schiedsgerichtsrecht, 2e éd. 1993, p. 40 let. b). De même peut-elle exclure certains types de litiges ou certaines parties à un litige de son champ d'application (cf. RÜEDE/HADENFELDT, op. cit., p. 38 n° 2). En restreignant la portée matérielle de la clause compromissoire à certaines contestations et en permettant au collaborateur visé par une mesure disciplinaire de choisir entre un mode de règlement collectif et la voie arbitrale, les parties à la CCT ont fait usage de leur liberté contractuelle. La recourante ne saurait venir s'en plaindre après coup.
Il suit de là que le reproche fait au président de la CPP d'avoir statué en l'absence d'une véritable convention d'arbitrage n'est pas fondé.
5.3 A titre subsidiaire, la recourante soutient que la condition de l'existence d'un licenciement disciplinaire, à laquelle la CCT subordonne la compétence arbitrale du président de la CPP, contrevient à l'ordre public, en ce qu'elle permet à l'arbitre unique d'annuler pareil licenciement, s'il est abusif, et de forcer l'employeur à réintégrer le collaborateur congédié dans son emploi. Elle conteste, en tout état de cause, que l'intimé ait fait l'objet d'un licenciement disciplinaire et déplore que l'arbitre unique en ait jugé autrement sua sponte, à défaut de toute allégation sur ce point, méconnaissant par là même le droit d'être entendu des parties.
5.3.1 Il convient de rappeler, en ce qui concerne la première branche de cette argumentation subsidiaire, que c'est la recourante qui a signé, en son temps, avec le SST, la convention collective réservant la possibilité de soumettre à un arbitre unique les litiges en matière de sanctions disciplinaires. Dès lors, comme on l'a déjà souligné par deux fois, il paraît contradictoire, de sa part, de vouloir dénier, aujourd'hui, à l'intimé le droit d'exercer une faculté qu'elle s'était engagée, à l'époque, envers le syndicat de travailleurs partie à la CCT, à accorder à l'ensemble de ses collaborateurs.
Cela étant, force est de constater que l'intéressée ne précise pas ce qu'il faut entendre, selon elle, par "ordre public", notion protéiforme s'il en est (cf. CLAIRE HUGUENIN, in Commentaire bâlois, Obligationenrecht I, 5e éd. 2011, n°s 25 ss ad <ref-law>). Il n'appartient pas à la Cour de céans de le faire à sa place, ce qui rend irrecevable le grief considéré dans la mesure où il impute au président de la CPP une violation de cette notion-là. Au demeurant, les remarques formulées au consid. 4.3 du présent arrêt peuvent également être opposées à cette partie du moyen examiné.
5.3.2 La seconde branche du même moyen soulève la question de savoir si le différend soumis au président de la CPP entre ou non dans le champ d'application de la convention d'arbitrage.
5.3.2.1 L'interprétation d'une convention d'arbitrage se fait selon les règles générales d'interprétation des contrats (arrêt 4A_146/2012 du 10 janvier 2013 consid. 3.4.1 et les précédents cités). Encore faut-il tenir compte, en l'occurrence, du fait que la clause compromissoire a été insérée dans une convention collective (sur les principes régissant l'interprétation d'une CCT, cf. arrêt 4A_163/2012 du 27 novembre 2012 consid. 4.1 et les références). Au reste, le sens à donner à cette clause compromissoire n'apparaît pas sujet à caution, du moins en ce qui concerne le licenciement ordinaire contesté par l'intimé par opposition au licenciement immédiat pour justes motifs traité aux art. 10 et 11 CCT. Les trois dispositions topiques figurent sous un seul et même chapitre intitulé "Mesures disciplinaires". L'art. 48 CCT, qui constitue la clause arbitrale, vise notamment le licenciement disciplinaire (art. 47 al. 1 let. c CCT) signifié au collaborateur ayant enfreint ses devoirs, soit intentionnellement, soit par négligence ou imprudence grave (art. 46 CCT dont le titre marginal fait référence à des "infractions" et qui réserve aussi d'éventuelles sanctions pénales ou civiles). En d'autres termes, il résulte de la systématique de la CCT et du texte de ces trois dispositions que, s'agissant d'un licenciement ordinaire, seul celui qui revêt le caractère d'une mesure disciplinaire tombe sous le coup de la convention d'arbitrage, à l'exclusion de la résiliation des rapports de travail ne visant pas à sanctionner une faute du collaborateur congédié, laquelle résiliation, réglée à l'<ref-law>T (il réserve expressément, à son al. 4, les mesures prévues aux art. 47 et 48 CCT), n'échappe pas, a contrario, à la compétence des tribunaux étatiques. La ratio legis d'un tel système, pour le moins complexe, n'est guère perceptible et découle peut-être de la spécificité, déjà évoquée (cf. consid. 4.3 ci-dessus), des rapports de travail que la recourante noue avec ses collaborateurs. Il n'importe d'ailleurs. Seule est décisive, dans le cas concret, la conclusion incontestable, tirée de l'interprétation de la CCT, selon laquelle la compétence matérielle du président de la CCP pour statuer en tant qu'arbitre unique n'est donnée que si le licenciement ordinaire incriminé constitue une mesure disciplinaire.
5.3.2.2 L'intimé, qui a saisi l'arbitre unique, soutient que cette condition est réalisée, puisqu'il voit dans son licenciement une mesure de rétorsion à caractère disciplinaire. La recourante professe l'opinion inverse. Conformément à la règle générale en matière de preuve (<ref-law>), il appartenait à l'intimé d'alléguer et, au besoin, de prouver les circonstances desquelles la nature disciplinaire de son licenciement pourrait être inférée. De son côté, le président de la CPP devait exiger la preuve de ces circonstances, parce qu'elles déterminent sa compétence. Il ne pouvait pas se contenter de leur simple vraisemblance pour qualifier le licenciement contesté de disciplinaire.
A cet égard, et dans un autre contexte, la recourante fait une allusion, sous ch. 1 de sa réplique, à la théorie des faits de double pertinence (Theorie der doppelrelevanten Tatsachen; sur cette notion, cf. l'<ref-ruling> consid. 2.3 p. 34 et les arrêts cités). Selon cette théorie, alors que les faits qui déterminent uniquement la compétence d'un tribunal doivent être prouvés, s'ils sont contestés, il suffit, suivant les circonstances, pour admettre la compétence d'un tribunal, que les faits allégués avec une certaine vraisemblance à l'appui d'une action constituent à la fois la condition de cette compétence et le fondement nécessaire de la prétention soumise à l'examen du tribunal. Toutefois, l'intimé ne saurait rien déduire de cette théorie en faveur de sa thèse selon laquelle la compétence matérielle de l'arbitre unique serait donnée in casu. Le caractère disciplinaire ou non du licenciement ordinaire incriminé par lui - autrement dit la volonté de l'employeur de sanctionner une faute du collaborateur visé par cette mesure - ne détermine, en l'occurrence, que la compétence de l'arbitre unique, puisqu'aussi bien s'il était avéré, il établirait cette compétence, que la mesure disciplinaire critiquée soit justifiée ou non. En revanche, le sort du litige au fond dépendra de la réponse à donner à cette dernière question. On pourrait objecter, il est vrai, que la nature disciplinaire du congé contesté joue également un rôle en ce qui concerne le fondement matériel de la prétention litigieuse dans la mesure où, en l'absence de cette caractéristique, l'intimé serait tenté de soutenir que son licenciement ordinaire était abusif pour avoir été déguisé en une pseudo-mesure disciplinaire. Quoi qu'il en soit, même si le caractère disciplinaire du congé signifié à l'intimé devait être regardé comme un fait de double pertinence, cet état de choses n'influerait pas sur la solution du problème de compétence qui se pose ici. En effet, il a été jugé, de longue date, que la théorie des faits de double pertinence ne saurait entrer en ligne de compte lorsque la compétence d'un tribunal arbitral est contestée, car il est exclu de contraindre une partie à souffrir qu'un tel tribunal se prononce sur des droits et obligations litigieux, s'ils ne sont pas couverts par une convention d'arbitrage valable (ATF <ref-ruling> consid. 2b/bb p. 56 s. et l'arrêt cité; pour un exemple d'annulation d'une sentence arbitrale internationale en raison de l'application inadmissible de la théorie des faits de double pertinence, cf. l'arrêt 4P.226/2004 du 9 mars 2005 consid. 4.3.3).
Le motif du congé relève du fait (arrêt 4A_129/2003 du 5 septembre 2003 consid. 4.1 et les arrêts cités). Par conséquent, si l'arbitre unique avait posé des constatations fermes quant aux raisons ayant poussé la recourante à congédier l'intimé, le Tribunal fédéral ne pourrait pas les revoir, étant précisé que la recourante n'invoque pas, sur ce point, un grief fondé sur l'art. 393 let. e CPC (cf. consid. 2.4 ci-dessus). Ce n'est, toutefois, pas le cas. Le président de la CPP constate que les positions diamétralement opposées adoptées de part et d'autre ne sauraient emporter sa conviction quant au caractère disciplinaire ou non du congé "en l'état de l'instruction". Il en est ainsi réduit à se fonder sur "le seul élément indiscutable dont il dispose", soit la lettre de licenciement du 9 septembre 2011. Analysant le contenu de cette missive à la lumière des événements survenus au centre de W._ et des difficultés rencontrées par l'intimé lors de son affectation au centre de V._, il conclut au caractère disciplinaire du congé, "nonobstant le relatif manque de preuves" sur les circonstances à l'origine de celui-ci, tout en concédant qu'il serait périlleux de statuer au fond sans rouvrir l'instruction. Semblable argumentation révèle, de par sa formulation même, la perplexité dans laquelle le président de la CPP s'est trouvé lorsqu'il s'est agi, pour lui, de constater le motif du licenciement de l'intimé. Sans doute l'arbitre unique a-t-il fini par privilégier la thèse du congé à caractère disciplinaire, sur le vu du texte de la lettre de licenciement. Il s'y est résolu, cependant, en raisonnant sous l'angle de la vraisemblance et sans exclure catégoriquement qu'une instruction complémentaire puisse infirmer sa conclusion à ce sujet. Ce faisant, il a méconnu les principes susmentionnés.
5.4 Cela étant, il y a lieu d'admettre le recours et d'annuler la sentence attaquée. Il n'est cependant pas possible d'accueillir la conclusion de la recourante visant à faire constater que le président de la CPP n'est pas compétent pour trancher le litige qui lui a été soumis. En effet, on ne peut pas exclure, à ce stade de la procédure, que, dans la nouvelle sentence incidente sur la compétence qu'il rendra après avoir complété l'instruction sur la nature disciplinaire ou non du congé litigieux, voire dans sa sentence finale (cf. art. 359 al. 1 in fine CPC), l'arbitre unique aboutisse au même résultat que celui auquel il est parvenu dans la sentence présentement annulée.
6. La recourante a obtenu gain de cause dans la mesure où elle réclamait l'annulation de la sentence attaquée. Sa conclusion tendant à faire constater l'incompétence ratione materiae de l'arbitre unique a, en revanche, été rejetée et son sort demeure incertain. L'hypothèse ne peut ainsi pas être écartée, en l'état, que l'intimé finisse par triompher sur la question de la compétence.
Dans ces conditions, il se justifie de répartir par moitié les frais judiciaires relatifs à la procédure fédérale (<ref-law>) et de compenser les dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et la sentence attaquée est annulée.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis pour moitié à la charge de chacune des parties.
3. Les dépens sont compensés.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au président de la Commission paritaire professionnelle de la Fondation pour l'animation socioculturelle lausannoise.
Lausanne, le 17 avril 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Carruzzo