Sachverhalt:
A.
C.C._, D.C._, E.C._ und F.C._ (Erben der " B._; Vermieter, Beschwerdegegner) vermieteten A._ (Mieterin, Beschwerdeführerin) mit Vertrag vom 18. Oktober 2002 eine 5-Zimmerwohnung an der Strasse U._ in Basel. Die Vermieter kündigten dieses Mietverhältnis am 6. November 2012 per 28. Februar 2013 wegen Eigenbedarfs für die drei Kinder von F.C._.
B.
Die Mieterin focht die Kündigung am 5. Dezember 2012 bei der Staatlichen Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten Basel-Stadt als missbräuchlich an. An der Schlichtungsverhandlung erliess die Schlichtungsstelle einen Urteilsvorschlag (Aufhebung der Kündigung), den die Vermieter ablehnten, worauf ihnen die Klagebewilligung ausgestellt wurde.
Am 29. April 2013 erhoben die Vermieter beim Zivilgericht Basel-Stadt Klage mit den Begehren, die Anträge der Mieterin in deren Kündigungsanfechtung abzuweisen und die Gültigkeit der Kündigung vom 6. November 2012 festzustellen. Mit Entscheid vom 16. Januar 2014 hob der ausserordentliche Zivilgerichtspräsident die Kündigung als missbräuchlich auf.
Dagegen gelangten die Vermieter mit Berufung an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und beantragten die Gutheissung ihrer Klage, mithin die Abweisung der Anträge der Mieterin und die Feststellung der Gültigkeit der Kündigung vom 6. November 2012. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Zivilgericht zurückzuweisen. Die Mieterin trug auf Abweisung der Berufung an, eventualiter auf angemessene Erstreckung des Mietverhältnisses, erstmals mindestens um drei Jahre bis Ende Februar 2016. Mit Entscheid vom 22. Dezember 2014 hiess das Appellationsgericht die Berufung gut und hob den Entscheid des Zivilgerichts vom 16. Januar 2014 auf. Gleichzeitig erstreckte es das Mietverhältnis einmalig bis zum 31. Januar 2016.
C.
Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Appellationsgerichts sei mit Bezug auf die als gültig erachtete Kündigung aufzuheben. Demgemäss sei die am 6. November 2012 per 28. Februar 2013 ausgesprochene Kündigung als missbräuchlich aufzuheben. Eventualiter sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Massgabe, die Sache unter Neuregelung der kantonalen Kosten zur Beurteilung der Erstreckung an das Zivilgericht zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegner beantragen, es sei die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen, sofern und soweit darauf eingetreten werden kann. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung und beantragt gestützt auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde.
Die Parteien reichten Replik und Duplik ein.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Appellationsgerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG. Sodann übersteigt der Streitwert bei einem Monatsmietzins von Fr. 1'270.-- die Grenze nach <ref-law> in mietrechtlichen Fällen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen). Die Beschwerde in Zivilsachen ist demnach zulässig.
2.
Streitig ist, ob die Kündigung vom 6. November 2012 missbräuchlich ist, weil ihr die dreijährige Sperrfrist nach <ref-law> entgegensteht, die durch eine angebliche (aussergerichtliche) Einigung über ein Mietzinsherabsetzungsbegehren der Beschwerdeführerin ausgelöst worden sein soll.
2.1. Die Kündigung eines Mietverhältnisses ist anfechtbar, wenn sie gegen den Grundsatz von Treu und Glauben verstösst (<ref-law>). Die Kündigung durch den Vermieter ist insbesondere missbräuchlich und anfechtbar, wenn sie innert drei Jahren nach einer aussergerichtlichen Einigung der Parteien über eine Forderung aus dem Mietverhältnis ausgesprochen wird (Art. 271a Abs. 1 lit. e in Verbindung mit Abs. 2 OR). Diese gesetzliche Vermutung der Missbräuchlichkeit wird durchbrochen und die dreijährige Sperrfrist kommt nicht zur Anwendung bei Kündigungen wegen dringenden Eigenbedarfs des Vermieters für sich, nahe Verwandte oder Verschwägerte (<ref-law>). Der Vermieter muss den dringenden Eigenbedarf nachweisen. Bei der Beurteilung, ob aufgrund der Umstände des Einzelfalls ein dringender Eigenbedarf anzunehmen ist, kommt dem kantonalen Gericht ein weitgehender Ermessensspielraum zu, den das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung überprüft (<ref-ruling> E. 4 S. 55 f.; Urteil 4A_52/2015 vom 9. Juni 2015 E. 2.3).
2.2. Die Vorinstanz verneinte die Missbräuchlichkeit der Kündigung. Nach eingehender Würdigung der Vorbringen vermochte sie im Zusammenhang mit dem Herabsetzungsbegehren der Beschwerdeführerin keinen eigentlichen Streit zwischen den Parteien auszumachen, der durch eine einvernehmliche Regelung beigelegt worden wäre. Sie verneinte mithin eine aussergerichtliche Einigung im Sinne von <ref-law>.
Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen diese Beurteilung und rügt eine Verletzung von Art. 271a Abs. 2 in Verbindung mit Abs. 1 lit. e OR. Sie ist der Meinung, es müsse von einer Einigung im Sinne von <ref-law> ausgegangen werden, so dass die Kündigung vom 6. November 2012 in die dreijährige Sperrfrist nach <ref-law> falle und daher missbräuchlich sei.
2.3. Auf die diesbezüglichen Ausführungen braucht nicht eingegangen zu werden. Die Beschwerdeführerin übersieht und lässt unangefochten, dass die Vorinstanz an anderer Stelle, in ihren Erwägungen zur Frage der Erstreckung des Mietverhältnisses, überdies festhielt, die Vermieter hätten einen dringenden Eigenbedarf nachgewiesen. Dagegen formuliert die Beschwerdeführerin keinerlei Rüge. Für das Bundesgericht besteht daher kein Anlass, in den diesbezüglichen Ermessensentscheid der Vorinstanz einzugreifen. Ist aber von einem nachgewiesenen dringenden Eigenbedarf des Vermieters auszugehen, gelangt die dreijährige Sperrfrist nach <ref-law> von vornherein nicht zur Anwendung (<ref-law>) und es braucht nicht geprüft zu werden, ob die Vorinstanz zu Recht eine Einigung im Sinne von <ref-law> verneinte.
2.4. Die Vorinstanz beurteilte demnach die Kündigung vom 6. November 2012 zutreffend für gültig.
3.
In der Folge prüfte die Vorinstanz eine Erstreckung des Mietverhältnisses und gewährte eine solche einmalig bis zum 31. Januar 2016.
3.1. Die Beschwerdeführerin beanstandet weder die Gewährung einer bloss einmaligen Erstreckung noch die Dauer der zugesprochenen Erstreckung. Sie wendet sich einzig dagegen, dass die Vorinstanz selbst über die Erstreckung entschieden hat, anstatt die Sache - wie vermieterseits im Eventualbegehren beantragt - zur Beurteilung der Erstreckung an die erste Instanz zurückzuweisen. Die Frage der Erstreckung sei vom Zivilgericht nicht beurteilt worden, weshalb nach <ref-law> der Rückweisungsantrag zu Recht gestellt worden sei. Mit ihrem Vorgehen habe die Vorinstanz den Instanzenzug nicht gewahrt. Da zudem betreffend Erstreckung keine Parteiverhandlung durchgeführt und keine Beweise abgenommen worden seien, komme dies einer Verletzung des rechtlichen Gehörs gleich.
3.2. Die Rüge ist unbegründet. Die Rechtsmittelinstanz kann im Berufungsverfahren neu entscheiden (<ref-law>) oder die Sache an die erste Instanz zurückweisen, wenn ein wesentlicher Teil der Klage nicht beurteilt wurde, oder der Sachverhalt in wesentlichen Teilen zu vervollständigen ist (<ref-law>).
Die Bestimmung ist als Kann-Vorschrift formuliert und überlässt demnach den Entscheid dem pflichtgemässen Ermessen der Rechtsmittelinstanz (Urteil 4A_615/2013 vom 4. April 2014 E. 6.1; siehe dazu auch die zutreffende Erwägung 3.1 der Vorinstanz, auf die verwiesen werden kann, <ref-law>). Davon hat die Vorinstanz unter den vorliegenden Umständen (insb. dringender Eigenbedarf) mit überzeugenden Gründen der Verfahrensbeschleunigung und der Prozessökonomie korrekten Gebrauch gemacht, indem sie selbst über das von der Beschwerdeführerin schon vor erster Instanz gestellte Eventualbegehren um Erstreckung entschied. Die Beschwerdegegner haben im Übrigen im Berufungsverfahren in erster Linie die Abweisung der Anträge der Beschwerdeführerin verlangt. Diese beruft sich daher zu Unrecht darauf, dass vermieterseits bloss die Rückweisung verlangt worden wäre. Ohnehin stellte laut dem angefochtenen Urteil jedenfalls die Beschwerdeführerin mit der Berufungsantwort das Eventualbegehren um angemessene Erstreckung des Mietverhältnisses.
Die Vorinstanz verstiess demnach weder gegen <ref-law> noch verletzte sie durch ihren Erstreckungsentscheid den Gehörsanspruch der Parteien, zumal die Beschwerdeführerin schon vor dem Zivilgericht (eventualiter) angemessene Erstreckung beantragt und zur Begründung die aus ihrer Sicht wesentlichen Umstände dargelegt hatte. Beide Parteien konnten sich sowohl im erstinstanzlichen als auch im Berufungsverfahren zur Erstreckung äussern. Die Beschwerdeführerin führt sodann nicht näher aus, zu welchen konkreten Behauptungen sie welche Beweise beantragt hätte, die in Verletzung ihres Beweisführungsanspruchs nicht abgenommen worden wären. Ihr allzu allgemeiner Hinweis auf "Beweise wie Parteikonfrontation und Zeugenbefragung" genügt nicht, um eine Gehörsverletzung aufzuzeigen (<ref-law>).
4.
Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren insgesamt mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juli 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger