Faits:
A.
X._ et A.Y._ se sont rencontrés au printemps de l'année 2005 et ont noué, un mois plus tard, une relation intime. X._ a dissimulé le fait qu'il était marié. Quant à A.Y._, elle vivait séparée de son mari.
A.Y._ est tombée enceinte en février ou mars 2006.
A son troisième mois de grossesse, elle a appris que X._ était marié. Ce dernier l'a suppliée de ne pas avorter et lui a promis de l'entretenir, elle et l'enfant. Il lui a également promis d'engager une procédure de divorce.
A l'époque, A.Y._ était au chômage et touchait une indemnité s'élevant en moyenne entre 2'800 fr. et 3'000 fr. par mois, à laquelle s'ajoutait une contribution de son mari d'un montant d'environ 200 fr. par mois. Son permis de séjour en Suisse venait à échéance à la fin de l'année 2006.
Dès le mois de mai 2006, X._ a installé A.Y._ dans un appartement sis place de la Riponne à Lausanne, qu'il a sous-loué et dont il a toujours payé le loyer.
Dès le début de leurs relations intimes et jusqu'à la naissance de l'enfant, X._ s'est toujours montré généreux envers A.Y._, lui offrant des cadeaux et des voyages, lui donnant parfois de l'argent de poche et payant certaines factures.
Le 21 avril 2006, X._ a versé à la soeur de A.Y._ une somme de 15'000 USD pour un appartement en Ukraine.
L'enfant que portait A.Y._ est né le 1er novembre 2006 et a reçu le prénom B.Y._. X._ a assisté à l'accouchement et il était, au début, ravi de cette naissance. Il a cependant cessé de rendre visite à l'enfant à partir du 31 octobre 2007.
De novembre 2006 à octobre 2008, X._ a versé mensuellement et régulièrement la somme de 5'000 fr. à A.Y._, tout d'abord en ses mains, puis, dès le mois de mars 2007, par virements. Sur certains virements, il a écrit, à titre de communication, le mot " prêt ". Il a été constaté que tel était le cas pour les virements de janvier 2007, du 6 décembre 2007, du 30 janvier 2008, du 3 avril, du 30 mai, du 17 juin, du 7 juillet et du 16 octobre 2008.
Le 30 juin 2007, X._ a fait virer sur le compte de A.Y._, avec la communication " prêt ", un montant de 17'000 fr., destiné à un appartement en Ukraine. Selon un témoin, l'appartement devait revenir à l'enfant B.Y._ à sa majorité.
Par jugement en contestation de filiation rendu le 18 avril 2008, le Tribunal d'arrondissement de Lausanne a constaté que l'époux de A.Y._ n'était pas le père biologique de l'enfant.
Le 26 août 2008, la Justice de paix du district de Lausanne a désigné un curateur avec mission d'établir la filiation paternelle de l'enfant.
X._ se refusant à effectuer une reconnaissance de paternité devant l'officier d'état civil, le curateur a décidé d'ouvrir une action en constatation de la filiation et en paiement d'aliments. Il a requis, à titre de mesures provisionnelles et préprovisionnelles, une contribution à l'entretien de l'enfant à compter du 1er octobre 2008, X._ ayant déclaré à A.Y._ qu'il ne verserait plus de contribution d'entretien à compter de cette date.
Par demande du 26 février 2009, B.Y._, agissant par l'entremise de son curateur, a ouvert action contre X._ en constatation de la filiation paternelle et en paiement d'aliments.
Le 26 mars 2009, X._ a mis en demeure A.Y._ de lui rembourser les sommes dont elle avait bénéficié, soit un montant total de 201'125 fr. A.Y._ a contesté que ces montants lui aient été remis à titre de prêt, ce qui constitue l'objet du présent litige.
A la suite du dépôt du rapport d'expertise, X._ a reconnu B.Y._ comme étant son enfant lors de l'audience du 23 avril 2009. Par jugement du 3 septembre 2009, le président du Tribunal d'arrondissement de Lausanne a ratifié la convention alimentaire signée par les parties le 23 avril 2009.
B.
Par demande du 4 janvier 2010, X._ a ouvert action devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois et a conclu, avec suite de frais et dépens, à ce que A.Y._ soit condamnée à lui payer la somme de 201'125 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 9 mai 2009.
La défenderesse a conclu au rejet de la demande.
Par jugement du 27 avril 2012, la Cour civile du Tribunal cantonal a rejeté les conclusions prises par X._, statuant par ailleurs sur les frais et dépens.
Saisie d'un appel dans lequel X._ reprenait ses conclusions initiales (auxquelles la défenderesse s'opposait totalement), la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 2 octobre 2012, a confirmé le jugement attaqué et mis les frais judiciaires à la charge de l'appelant. En substance, la cour cantonale a considéré que le demandeur n'était pas parvenu à prouver l'existence d'un accord entre les parties portant sur une obligation de rembourser à la charge de la défenderesse.
C.
X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 2 octobre 2012. Invoquant l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits ainsi qu'une violation de l'<ref-law>, il a conclu, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué avec renvoi à la cour cantonale, subsidiairement à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui verser le montant réclamé dans sa demande initiale.
L'intimée conclut au rejet du recours avec suite de frais judiciaires.
Les parties ont répliqué et dupliqué.

Considérant en droit:
1.
1.1. Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions en paiement et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>), dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (<ref-law>), le recours est recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 45 al. 1, 46 al. 1 let. c, 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut donc également être formé pour violation d'un droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique d'office le droit dont il peut contrôler le respect (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 336; <ref-ruling> consid. 4 p. 317 s.). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 584; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 389; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400).
Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>).
1.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité cantonale doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 187). La partie recourante qui se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit motiver son grief d'une manière répondant aux exigences de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
1.4. Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (<ref-law>).
S'il admet le recours, le Tribunal fédéral peut statuer lui-même sur le fond ou renvoyer l'affaire à l'autorité précédente (<ref-law>). Il s'agit donc en principe d'un recours en réforme, ce qui suppose que la partie recourante prenne des conclusions sur le fond; elle ne peut s'en abstenir que si le Tribunal fédéral, à supposer qu'il accueille le recours, ne pourrait de toute manière pas statuer lui-même sur le fond (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 317; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 383; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 489 s.). En l'espèce, la cour cantonale - en raison du raisonnement qu'elle a adopté - n'a fait aucune constatation sur le montant que l'intimée pourrait devoir au recourant. En conséquence, le Tribunal fédéral, s'il admettait le recours, ne serait pas en mesure de statuer lui-même sur le fond. Il en résulte que les conclusions cassatoires prises à titre principal par le recourant sont recevables, de même bien évidemment que ses conclusions subsidiaires.
2.
2.1. A l'appui de sa demande, le recourant soutient qu'un prêt de consommation, au sens de l'<ref-law>, a été conclu entre les parties et que l'intimée lui doit remboursement des sommes qu'elle a reçues.
Selon l'<ref-law>, le prêt de consommation est un contrat par lequel le prêteur s'oblige à transférer la propriété d'une somme d'argent ou d'autres choses fongibles à l'emprunteur, à charge par ce dernier de lui en rendre autant de même espèce et qualité.
Le prêt de consommation suppose donc notamment, à la charge de l'emprunteur, une obligation de restituer (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 274; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 120). L'obligation de restituer une somme d'argent équivalente ou une chose fongible de même espèce et qualité constitue donc un élément essentiel du contrat, nécessaire pour retenir une telle qualification ( TERCIER/FAVRE, Les contrats spéciaux, 4 e éd., 2009, n° 3028; PIERRE ENGEL, Contrats de droit suisse, 2 e éd. 2000, p. 266 s.; SCHÄRER/MAURENBRECHER, Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 5 e éd. 2011, n° s 10e et 11 ad <ref-law>; BOVET/RICHA, Commentaire romand, Code des obligations I, 2 e éd. 2012, n° 4 ad <ref-law>; PETER HIGI, Zürcher Kommentar, 2003, n° 22 ad <ref-law>).
Celui qui agit en restitution d'un prêt doit apporter la preuve non seulement qu'il a remis les fonds, mais encore et au premier chef qu'un contrat de prêt de consommation a été conclu, ce qui suppose un accord sur une obligation de restitution à la charge de l'emprunteur; dire si une telle obligation a été convenue suppose une appréciation des preuves et le fardeau de la preuve incombe au demandeur (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2 p. 210). Quand bien même une donation ne se présume pas, le demandeur n'est au bénéfice d'aucune présomption légale et il doit apporter la preuve que l'obligation de remboursement a été convenue ( TERCIER/FAVRE, op. cit., n° 3009; SCHÄRER/MAURENBRECHER, op. cit., n° 11b ad <ref-law>).
Appréciant les preuves apportées, la cour cantonale est parvenue à la conclusion que le demandeur n'avait pas prouvé que les parties étaient convenues d'une obligation de remboursement à la charge de l'intimée. Si on doit la suivre dans cette appréciation des preuves, il en résulte nécessairement que la qualification de prêt de consommation est exclue. Il en résulterait alors que la cour cantonale, sans violer le droit fédéral, a rejeté à juste titre l'action du demandeur fondée sur l'existence d'un tel contrat. Il n'est nul besoin de se demander si les attributions ont été faites à titre de donation (<ref-law>) ou d'exécution d'un devoir moral (cf. <ref-ruling> consid. 4a et b p. 245 s.). Il n'y a pas davantage à se demander si les prétentions du recourant pourrait se fonder sur un contrat de société simple (<ref-law>) ou sur l'enrichissement illégitime (art. 62 et 67 CO), parce que ces constructions juridiques supposeraient que l'on élucide d'autres points de fait, ce qui est exclu devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
2.2. Les parties n'ayant conclu entre elles aucun contrat écrit relatif aux attributions litigieuses, il ne s'agit pas - contrairement à ce que suggère le recourant - d'appliquer les règles sur l'interprétation des clauses contractuelles (sur ces règles: <ref-ruling> consid. 3.2 p. 412 s.; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 612).
Il s'agit uniquement d'apprécier les preuves apportées pour déterminer si le recourant est ou non parvenu à prouver l'existence d'un accord des parties portant sur une obligation de rembourser à la charge de l'intimée.
Dès lors que le fardeau de la preuve - comme on l'a vu - incombe au demandeur, la seule question qui reste à résoudre est de savoir si la cour cantonale a correctement apprécié les preuves. Or, le Tribunal fédéral ne peut revoir cette question que sous l'angle restreint de l'arbitraire et il incombe au recourant de démontrer, par une argumentation précise, en quoi l'appréciation cantonale est insoutenable (cf. <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62).
Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral n'intervient pour cause d'arbitraire que si la décision attaquée est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51, 305 consid. 4.4 p. 319; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379 s.; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 22).
S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves, la décision attaquée n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait une déduction insoutenable (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9).
2.2.1. Le recourant reproche à la cour cantonale de s'être fondée sur deux témoignages. Il fait valoir qu'il s'agit d'amis de l'intimée. Ces témoins ont cependant déclaré - sans que cela ne soit contesté - qu'ils connaissaient les deux parties. Quoi qu'il en soit, on ne voit pas, sur la base des faits avancés par le recourant, ce qui permettrait d'affirmer qu'ils ont fait délibérément des dépositions fausses et qu'il était arbitraire de les croire. Le recourant observe que ces témoins ont reconnu qu'ils s'étaient entretenus de l'objet du litige avec l'intimée. Ce fait - relativement courant - ne permet pas encore de déduire que l'intimée a fait pression sur eux pour obtenir une déposition fausse, ni surtout que les témoins auraient accepté de faire un faux témoignage. On ne voit donc pas ce qu'il y avait d'arbitraire à croire ces personnes.
Le recourant soutient encore que ces dépositions ne sont pas recevables, parce qu'il s'agit de témoignages par ouï-dire, prohibés par la procédure cantonale encore applicable en première instance (<ref-law>). Cette opinion ne peut pas être suivie. Les témoins ont en effet exposé ce qu'ils avaient eux-mêmes entendu. Or, les déclarations que les parties faisaient à leurs connaissances, à l'époque, sur leurs relations pécuniaires est un élément d'appréciation pertinent. Les témoins ayant déclaré ce qu'ils ont personnellement entendu, alors que ces déclarations étaient pertinentes, on ne saurait dire que la disposition cantonale citée a été violée arbitrairement.
2.2.2. Le recourant fait valoir que l'intimée n'a pas déclaré au fisc, dans ses revenus, qu'elle touchait des prestations d'entretien ou des dons. La cour cantonale a observé - sans que l'arbitraire ne soit invoqué à ce propos - que le recourant n'a pas non plus déclaré dans sa fortune la créance en remboursement qu'il prétend avoir à l'encontre de l'intimée. Ainsi, chaque partie a fait une déclaration fiscale qui lui était favorable, mais qui ne correspond pas à la position qu'elle défend présentement dans la procédure. On ne peut donc rien tirer de concluant de l'argument fiscal.
2.2.3. Le recourant invoque le fait qu'à partir d'une certaine date, les virements qu'il a effectués comportent, sous la rubrique " communication ", la mention d'un prêt. Il semble cependant qu'il ait apporté régulièrement cette mention seulement à partir du moment où les relations entre les parties se sont dégradées, en tout cas à partir du moment où il a cessé de voir l'enfant. Quoi qu'il en soit, ces déclarations unilatérales du recourant sont impropres à démontrer l'existence d'un engagement de rembourser de la part de l'intimée. Le silence de celle-ci est insuffisant pour conclure à l'existence d'un engagement (cf. <ref-law>; cf. arrêt 4A_231/2010 du 10 août 2010 consid. 2.4.1 publié in SJ 2010 I p. 497).
2.2.4. Il faut relever que les éléments de preuve critiqués par le recourant ne sont pas les seuls à l'appui de la conclusion tirée par la cour cantonale. Il faut aussi tenir compte de l'ensemble des circonstances. Les versements réguliers ont commencé exactement avec la naissance de l'enfant. Le curateur de l'enfant les a d'ailleurs compris comme des prestations d'entretien, puisqu'il n'a demandé des aliments qu'à partir du moment où ces prestations ont cessé. La situation financière de l'intimée - connue du recourant - était à ce point précaire qu'il ne pouvait guère espérer obtenir le remboursement de sommes aussi importantes, du moins dans un avenir proche. Dans une telle situation, il aurait été usuel de faire signer une reconnaissance de dette, ce qui n'a pas été le cas. Si le remboursement ne devait intervenir que longtemps plus tard (comme on peut l'imaginer), la question d'un intérêt pouvait se poser et le recourant ne prétend pas que les parties en auraient parlé. Surtout, dans la situation de l'intimée, il aurait paru normal que les parties traitent de la durée du prêt (cf. Schärer/Maurenbrecher, op. cit., n° 3a ad <ref-law>) et des modalités de remboursement. Le recourant ne prétend pas et n'établit pas que ces questions aient été examinées par les parties. Il est symptomatique d'observer qu'il n'a parlé de remboursement (en procédant à une mise en demeure) qu'à un moment où les parties se trouvaient dans une situation conflictuelle.
Si l'on considère l'ensemble de ces éléments, on ne saurait dire que la cour cantonale est tombée dans l'arbitraire en concluant que le recourant n'est pas parvenu à prouver que les parties se seraient mises d'accord sur une obligation de rembourser à la charge de l'intimée. En l'absence d'un tel accord, l'existence d'un prêt de consommation - sur laquelle est fondée la demande - a été niée sans violer l'<ref-law>.
3.
Il résulte des considérations qui précèdent que le recours doit être rejeté.
Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 27 juin 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Piaget