Sachverhalt:
A. Am 21. März 2012 eröffnete das Konkursgericht Horgen über X._, die einen Kiosk mit Bistro führt, auf Begehren der Y._ AG den Konkurs.
Dagegen wandte sich X._ mit Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich und verlangte die Aufhebung des Konkurses. Mit Urteil vom 24. April 2012 wies das Obergericht die Beschwerde ab und eröffnete, da es der Beschwerde zuvor aufschiebende Wirkung gewährt hatte, den Konkurs neu mit Wirkung ab dem Urteilsdatum, 16.00 Uhr.
B. Am 21. Mai 2012 hat X._ (Beschwerdeführerin) Beschwerde gegen das obergerichtliche Urteil erhoben. Sie beantragt die Aufhebung des Konkurses und ersucht um aufschiebende Wirkung.
Das Obergericht hat auf Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet und die Y._ AG (Beschwerdegegnerin) hat sich nicht vernehmen lassen. Mit Präsidialverfügung vom 19. Juni 2012 ist der Beschwerde insofern aufschiebende Wirkung zuerkannt worden, als Vollstreckungsmassnahmen zu unterbleiben haben, allenfalls bereits getroffene Sicherungsmassnahmen jedoch aufrechterhalten bleiben.
Am 12. Juli 2012 hat die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht eine weitere Eingabe eingereicht.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist binnen Frist (<ref-law>) ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid des als Rechtsmittelinstanz urteilenden Obergerichts (Art. 75 und Art. 90 BGG) in einer Konkurssache (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen steht ohne Rücksicht auf den Streitwert zur Verfügung (<ref-law>).
1.2 Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 60).
Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Seine Feststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen, muss in der Beschwerde substantiiert begründet werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356). Dabei ist zu beachten, dass bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung das strenge Rügeprinzip (<ref-law>) gilt und demnach anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung willkürlich sein soll. Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten (<ref-ruling> E. 1.4.2 und 1.4.3 S. 254 f.). Auf solche rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE <ref-ruling> E. 5.1 S. 356 mit Hinweis).
Gemäss <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Im Verfahren vor Bundesgericht richtet sich die Zulässigkeit neuer Tatsachen und Beweismittel einzig nach <ref-law> und nicht nach der grosszügigeren Regelung von <ref-law> (Urteil 5A_826/2010 vom 1. März 2011 E. 3.6). Der Beschwerdeführer kann vor Bundesgericht nicht nachholen, was er vor den Vorinstanzen verpasst hat. Insoweit sind neue Tatsachen oder Beweismittel unzulässig, die bereits den Vorinstanzen hätten vorgelegt werden können (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129). Ausgeschlossen sind auch neue Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Urteil eingetreten sind (<ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.).
2. Das Obergericht hat den Konkursaufhebungsgrund der Hinterlegung des geschuldeten Betrags (<ref-law>) als nachgewiesen erachtet. Die Zahlungsfähigkeit der Beschwerdeführerin sei hingegen nicht glaubhaft (<ref-law>).
Das Obergericht hat sich zunächst dazu geäussert, dass die Beschwerdeführerin die Begründetheit sowohl der von der Beschwerdegegnerin in Betreibung gesetzten Forderung wie auch von diversen anderen Forderungen bestritten hat, die von weiteren Gläubigern in Betreibung gesetzt worden sind. Es hat dazu festgehalten, dass im vorliegenden Verfahren der Bestand dieser Forderungen nicht geprüft werde.
Zur Prüfung der Zahlungsfähigkeit hat das Obergericht massgeblich auf den Betreibungsregisterauszug abgestellt. Demgemäss seien vom 10. März 2011 bis zum 8. März 2012 gegen die Beschwerdeführerin fünfzehn Betreibungen im Gesamtbetrag von Fr. 14'377.27 angehoben worden. Davon seien vier als erledigt vermerkt und in Bezug auf die dem Konkursbegehren zugrunde liegende Forderung sei der geschuldete Betrag hinterlegt worden. Zehn Betreibungen im Gesamtbetrag von Fr. 10'076.40 seien offen, wovon vier durch Rechtsvorschlag gehemmt seien. Es verblieben damit sechs Betreibungen, wobei in einem Fall das Fortsetzungsbegehren gestellt worden sei und in den restlichen fünf sich das Verfahren im Stadium der Konkursandrohung befinde. Bezüglich einer von diesen Letzteren habe die Beschwerdeführerin die Tilgung nachgewiesen. Die Gesamtsumme der zu berücksichtigenden, unmittelbar zu begleichenden Forderungen betrage Fr. 5'593.10.
Die Beschwerdeführerin habe eine Bilanz und eine Erfolgsrechnung eingereicht. Es handle sich um Zwischenabschlüsse per 27. März 2012, doch schienen sie äusserst lückenhaft geführt zu sein. So seien keine Personalaufwände verbucht, obwohl solche bei der Beschwerdeführerin als Einzelunternehmerin anfallen müssten. Aus der Bilanz seien Aktiven von Fr. 3'584.10 und Passiven von Fr. 1'172.95 ersichtlich, was einen Reingewinn von Fr. 2'411.15 (bzw. monatlich rund Fr. 800.--) ergebe. Während der ersten drei Monate des Jahres 2012 sei ein Betriebsertrag von Fr. 16'160.19 erwirtschaftet worden, dem Aufwände von Fr. 13.749.04 gegenüberstünden. Nach Darstellung der Beschwerdeführerin belaufe sich ihr monatliches Einkommen auf ca. Fr. 8'400.-- (Fr. 2'000.-- Überschuss aus selbständiger Erwerbstätigkeit; Fr. 5'900.-- Einkommen Ehemann; Fr. 500.-- Mietanteil Tochter). Davon verblieben - gemäss ihrer Darstellung - nach Abzug der Lebenshaltungskosten von total Fr. 5'760.-- ein monatlicher Überschuss von Fr. 2'640.--. Das Obergericht hat diese Einkommensangaben jedoch aus mehreren Gründen für unzutreffend befunden: Zunächst gäben diese Zahlen nicht die Leistungsfähigkeit der Beschwerdeführerin wieder, sondern enthielten auch Einkommen ihres am Unternehmen nicht beteiligten Ehemannes. Ein monatliches Einkommen der Beschwerdeführerin von Fr. 2'000.-- sei ausserdem nicht nachgewiesen, sondern einzig eines von Fr. 800.-- (entsprechend dem monatlichen Reingewinn). Schliesslich sei auch die Bezahlung eines Mietanteils durch die Tochter nicht belegt. Die belegten Familieneinkünfte betrügen damit nur Fr. 6'700.-- (Fr. 5'900.-- [Einkommen Ehemann] + Fr. 800.-- [Reingewinn]). Ziehe man davon die geltend gemachten Lebenshaltungskosten ab (Fr. 5'760.--), so verblieben monatlich Fr. 940.-- für die Schuldentilgung. Damit könnten die unmittelbar zu begleichenden Forderungen zugegebenermassen binnen rund sechs Monaten bezahlt werden, aber nur unter Beizug des Einkommens des Ehemanns. Dieser sei zwar gestützt auf Eherecht beistandspflichtig, doch könne es nicht angehen, sein Einkommen bei der Prüfung der Zahlungsfähigkeit einer Einzelunternehmung, an der er nicht beteiligt sei, so zu gewichten, dass letztlich nur seine Einkommensstärke massgeblich wäre und nicht die Leistungsfähigkeit der Beschwerdeführerin als Unternehmerin. Es sei deshalb in erster Linie auf die Geschäftszahlen des Bistro-Kiosk-Betriebs und die persönlichen finanziellen Verhältnisse der Beschwerdeführerin abzustellen.
Das Obergericht hat sich ferner auf ein Urteil vom 25. November 2011 bezogen, mit dem es eine frühere Konkurseröffnung über die Beschwerdeführerin aufgehoben hatte. Damals habe es sich aber um einen Grenzfall gehandelt. Während der vier Monate seit diesem Urteil bis zur Konkurseröffnung vom 21. März 2012 habe es die Beschwerdeführerin nicht geschafft, positive Veränderungen des Geschäftsverlaufs zu belegen. Die buchhalterischen Angaben seien nach wie vor lückenhaft und der monatliche Reingewinn von Fr. 800.-- resultiere nur deshalb, weil sich die Beschwerdeführerin keinen Lohn ausbezahlt habe. Hätte sie dies getan, hätte ein Verlust resultiert. Über die Vermögenslage der Beschwerdeführerin sei zudem nichts bekannt. Schliesslich seien seit dem 25. November 2011 sechs neue Betreibungen angehoben worden. Eine davon (Betreibung vom 5. März 2012 durch die A._ AG über eine Forderung im Betrag von Fr. 1'206.90) bestreite die Beschwerdeführerin nicht, sondern mache geltend, sie mangels liquider Mittel nicht bezahlen zu können. Dies zeige, dass sie bereits anfangs März 2012 nicht über ausreichend liquide Mittel verfügt habe. Dies sei im Urteilszeitpunkt nicht anders. Es werde weder geltend gemacht noch sei ersichtlich, dass ein Geschäftsaufschwung bevorstehe. Aufgrund der dargestellten Verhältnisse könne nicht davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdeführerin ihre Gläubiger in absehbarer Zeit werde befriedigen können. Damit habe sie nicht hinreichend dargetan, dass sie sich bloss in einem vorübergehenden Liquiditätsengpass befinde.
3. Was die Beschwerdeführerin diesen obergerichtlichen Ausführungen entgegenhält, genügt den dargestellten Anforderungen an eine Beschwerde nicht (oben E. 1.2). Zunächst bestreitet sie weiterhin den Bestand der betriebenen wie auch weiterer Forderungen. Sie setzt sich aber nicht mit der vorinstanzlichen Erwägung auseinander, dass dies gerade nicht Verfahrensgegenstand sei. Sie bestreitet ausserdem sinngemäss ihre Konkursfähigkeit, übergeht aber, dass sie gemäss den Unterlagen (act. 4 der obergerichtlichen Akten) seit 1. November 2010 als Inhaberin eines Einzelunternehmens im Handelsregister eingetragen und damit konkursfähig ist (<ref-law>). Dass die Konkursbetreibung aufgrund der Natur der Forderung ausgeschlossen wäre (<ref-law>), macht sie nicht geltend. Sie behauptet ferner, hinsichtlich der fünfzehn Betreibungen sei einzig noch ein Betrag von Fr. 2'923.90 offen. Soweit ihre Berechnung überhaupt nachvollziehbar ist, erschöpft sie sich in einer Darstellung des Sachverhalts aus eigener Sicht, ohne dass sie darlegen würde, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt willkürlich festgestellt haben sollte. Neue Tatsachen und Beweismittel darf sie in diesem Zusammenhang ohnehin nicht vorbringen (<ref-law>; oben E. 1.2). Neu ist etwa die Behauptung, sie habe eine Teilzahlung an die B._ erbracht, und diese Behauptung bleibt im Übrigen unbelegt. Ebenso sind die Behauptung und der zugehörige Beleg neu, die Forderung der C._ bereits am 24. Oktober 2011 beglichen zu haben. Den Begründungsanforderungen genügen auch ihre Ausführungen zur Buchführung nicht. Sie macht insbesondere geltend, der Personalaufwand werde nur einmal jährlich gebucht und der Betriebsertrag für die berechnete Periode werde aufgrund gewisser erwarteter Rückerstattungen höher ausfallen. Mit diesen Behauptungen über ihre Buchführungspraxis und Mutmassungen über künftige Entwicklungen kann sie keine Willkür bei der vorinstanzlichen Würdigung von Bilanz und Erfolgsrechnung dartun. Neu und deshalb unzulässig ist des Weiteren die unterschriftliche Bestätigung ihrer Tochter, den Eltern einen monatlichen Mietanteil von Fr. 500.-- zu bezahlen. Appellatorisch sind schliesslich ihre Ausführungen zur angeblichen "indirekten Beteiligung" ihres Ehemannes an ihrem Einzelunternehmen, indem er für sie einen Kredit aufgenommen habe und gewisse Arbeiten vornehme, wobei sie im Übrigen an anderer Stelle ausführt, sie führe ihr Einzelunternehmen allein. Folglich ist ihre Argumentation weder geeignet, ihr Einkommen höher als vom Obergericht angenommen erscheinen zu lassen, noch davon abzuweichen, zur Beurteilung der Zahlungsfähigkeit primär auf ihre eigene Leistungsfähigkeit abzustellen und nicht auf das Familieneinkommen. Im Übrigen setzt sie sich nicht damit auseinander, dass sie ihre Vermögensverhältnisse nicht offengelegt habe. Was die Schlussfolgerung des Obergerichts betrifft, nämlich dass sie nicht über genügend liquide Mittel verfüge, um ihre Gläubiger in absehbarer Zeit zu befriedigen, so bestätigt sie diesen Punkt in der Beschwerde selber: Sie führt aus, dass Geld für die Begleichung dreier berechtigter betriebener Forderungen bereitstehe, dieses Geld jedoch durch ihren Ehemann zur Verfügung gestellt werden musste.
Somit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Betreibungsamt Wädenswil, dem Grundbuch- und Konkursamt Wädenswil, dem Handelsregisteramt des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. August 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg