Faits:
A.
Le 11 août 2008, A._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un projet de décision du 14 octobre 2010, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a informé l'assuré qu'il entendait refuser son droit à une rente d'invalidité, au motif que le taux d'invalidité présenté (7,43 %) était insuffisant pour fonder une telle prétention. Représenté par Maître M._, l'assuré a fait part de ses objections à l'encontre du projet de décision. Par la suite, il a requis l'octroi de l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative. Par décision du 20 septembre 2012, l'office AI a rejeté la demande d'assistance juridique, en considérant que la complexité du cas n'était pas telle que l'assistance d'un avocat apparût nécessaire.
B.
L'assuré a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, qui l'a débouté par jugement du 24 mai 2013.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, il conclut à ce que lui soit reconnu le droit à l'assistance juridique d'un avocat dans le cadre de la procédure administrative l'opposant à l'office AI, avec effet au 28 juillet 2011. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire pour l'instance fédérale.
Le recourant précise encore que l'office AI a rendu une décision, le 23 avril 2013, par laquelle l'administration a admis son droit à une rente entière de l'assurance-invalidité du 1 er juillet 2008 au 31 mars 2009 et contre laquelle il a formé recours auprès du Tribunal cantonal vaudois.

Considérant en droit:
1.
1.1. En vertu de l'<ref-law>, le recours en matière de droit public au Tribunal fédéral est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure. Il est également recevable contre certaines décisions préjudicielles et incidentes. Il en va ainsi de celles qui concernent la compétence et les demandes de récusation (<ref-law>). Quant aux autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément, elles peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (<ref-law>) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>).
1.2. La décision par laquelle l'assureur accorde ou refuse l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative en matière d'assurance sociale est une décision d'ordonnancement de la procédure au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1 p. 155). Elle peut par conséquent être directement attaquée par la voie du recours devant le tribunal cantonal des assurances (<ref-law>).
En ce qui concerne ensuite la nature finale ou incidente de la décision du tribunal cantonal des assurances par laquelle celui-ci se prononce uniquement sur le droit de l'assuré à l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative, la jurisprudence des deux Cours de droit social du Tribunal fédéral pourrait ne pas sembler univoque. Dans certains arrêts, la décision judiciaire cantonale a été considérée comme un jugement final au sens de l'<ref-law>, dans la mesure où le Tribunal fédéral est entré en matière sans examiner la recevabilité du recours à la lumière des <ref-law> (par exemple, arrêts 8C_48/2007 du 19 juillet 2007 [SVR 2009 IV n° 5 p. 9], 9C_964/2010 du 30 mai 2011, 9C_993/2012 du 16 avril 2013 et 9C_908/2013 du 22 février 2013). Dans d'autres, elle a été qualifiée de décision incidente conformément à l'<ref-law> (par exemple, arrêts 9C_1071/2009 du 2 février 2010, 9C_668/2009 du 25 mars 2010 consid. 1 et 9C_674/2011 du 3 août 2012 consid. 2; cf. aussi arrêt 8C_422/2009 du 30 novembre 2009 consid. 2). En tout état de cause, lorsque le tribunal cantonal des assurances statue sur le droit à l'assistance gratuite en procédure administrative en même temps qu'il se prononce sur d'autres aspects du litige en renvoyant la cause à l'administration pour complément d'instruction, le jugement cantonal constitue une décision incidente selon l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1 p. 646).
2.
Il convient de clarifier la nature incidente ou finale de la décision par laquelle le tribunal cantonal des assurances statue sur le droit de l'assuré à l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative au sens de l'<ref-law>.
2.1. Constitue une décision finale au sens de l'<ref-law> celle qui met définitivement fin à la procédure devant la dernière instance cantonale (arrêt 4A_353/2009 du 3 novembre 2009 consid. 1.1, non publié in <ref-ruling>; Bernard Corboz, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 9 ad <ref-law>). Lorsque le tribunal cantonal se prononce sur la décision incidente d'une autorité inférieure, son prononcé constitue en règle générale aussi une décision incidente (cf. arrêt 1A.46/1997 du 1 er septembre 1997 consid. 1c/aa, in RDAF 1999 I p. 577 et les références). Par un tel prononcé, le juge ne statue pas de manière définitive sur un rapport de droit (principal), mais seulement sur un aspect unique sur le chemin procédural conduisant au jugement final (<ref-ruling> consid. 4.1.3 p. 481).
2.2. Par définition, la requête visant l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans une procédure en matière d'assurance sociale s'inscrit dans le cadre d'une procédure administrative principale qui porte, en règle générale, sur le droit de l'assuré à des prestations de l'assurance sociale. Le rapport de droit faisant l'objet de la requête - le droit de l'assuré à être assisté gratuitement d'un conseil juridique dans ses relations avec l'assureur social - ne constitue donc qu'un aspect annexe de la procédure sur le fond conduisant à accorder ou à refuser des prestations à l'assuré. Il n'est donc pas indépendant de la procédure principale.
Il en va de même de la décision du tribunal cantonal des assurances par laquelle celui-ci statue exclusivement sur le refus de l'assureur social d'accorder une telle assistance juridique. En admettant ou en rejetant le recours de l'assuré contre la décision incidente de l'administration, le tribunal cantonal des assurances ne met pas fin, par son jugement, à la procédure toujours en cours sur l'octroi ou le refus de prestations d'assurance sociale. Il traite d'un aspect unique relatif au droit à l'assistance juridique en procédure administrative, tandis qu'il ne prend pas position sur le rapport de droit litigieux sur le fond (le droit éventuel à des prestations de la part de l'assurance sociale). Par conséquent, la décision cantonale qui a pour seul objet le refus (ou l'octroi) de l'assistance juridique dans la procédure administrative en matière d'assurance sociale est une décision incidente au sens de l'<ref-law>.
Il en va différemment lorsque l'assuré obtient en parallèle des prestations de l'assureur social ou ne conteste pas la décision portant sur le refus de celles-ci, et limite son recours au tribunal cantonal des assurances à la décision de l'assureur social, par laquelle son droit à l'assistance juridique gratuite pour la procédure administrative est refusé. Dans cette situation procédurale, le rapport juridique principal n'est plus litigieux; la procédure judiciaire cantonale porte seulement sur le droit à l'assistance juridique gratuite, qui constitue l'unique objet du recours, tandis que le droit aux prestations n'est plus en cause à quelque stade de la procédure que ce soit. Par conséquent, le jugement cantonal par lequel le tribunal cantonal des assurances statue sur le droit à l'assistance juridique gratuite est un jugement final au sens de l'<ref-law> (Ulrich Meyer, Die Sozialrechtspflege unter dem Bundesgerichtsgesetz, in Strassenverkehrsrechts-Tagung 2008, p. 164).
2.3. Il découle de ce qui précède que le jugement cantonal du 24 mai 2013 est une décision incidente au sens de l'<ref-law>. Le recours n'est dès lors recevable que si la décision incidente peut causer un préjudice irréparable (<ref-law>), la seconde hypothèse prévue à l'<ref-law> n'étant pas pertinente.
La décision incidente entreprise n'est en l'occurrence pas susceptible de causer un préjudice irréparable au recourant. En effet, la procédure administrative pour laquelle l'assistance juridique a été refusée, est terminée et le mandataire du recourant a déjà fait son travail. Comme le Tribunal fédéral l'a jugé dans l'<ref-ruling> consid. 2.2 p. 648, dans une telle situation, l'assuré ne court pas le risque de ne pas pouvoir faire valoir ses droits en raison du refus de l'assistance juridique; il ne s'agit plus que de la question de savoir qui réglera les honoraires de son avocat. Ce point pourra être résolu de manière définitive une fois qu'aura été rendue une décision sur le fond, relative au droit aux prestations de l'assuré, ses prétentions faisant l'objet, pour l'heure, d'une procédure judiciaire cantonale.
Selon l'<ref-law>, le recourant pourra en principe contester le refus de l'assistance juridique pour la procédure administrative dans un recours dirigé contre la décision finale. Toutefois, au cas où la juridiction cantonale lui donnerait droit sur l'ensemble de ses prétentions et qu'il n'aurait alors plus d'intérêt à recourir sur le fond, la voie de recours directe au Tribunal fédéral serait alors ouverte contre la décision incidente sur l'assistance judiciaire, une fois la décision finale rendue (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 648; arrêt 8C_243/2013 du 25 juin 2013 consid. 3.3).
2.4. En conséquence, faute de réaliser les conditions de l'<ref-law>, le recours doit être déclaré irrecevable. Cela étant, même s'il eût été recevable au regard de la pratique contrastée évoquée ci-avant, le recours aurait dû être rejeté comme il ressort de ce qui suit.
3.
3.1. La juridiction cantonale a examiné les conditions du droit du recourant à un conseil juridique pour la procédure administrative portant sur le droit éventuel à une rente de l'assurance-invalidité à la lumière de l'<ref-law> et la jurisprudence y relative (dont le jugement entrepris - auquel il suffit de renvoyer - expose dûment la teneur). L'affaire ne présentait pas un caractère exceptionnel au niveau de la phase d'instruction administrative postérieure à la communication du projet de décision à l'assuré, qui avait des difficultés à s'exprimer en français et disposait d'un faible niveau de formation. Son mandataire s'était borné à relever les contradictions des divers rapports médicaux et à réitérer à plusieurs reprises une demande d'expertise médicale. La problématique médicale n'était par ailleurs pas en soi complexe, puisqu'elle comportait un volet cardiologique dont l'intimé avait reconnu l'influence sur l'atteinte à la santé de l'intéressé, ainsi qu'un volet psychiatrique dont il s'agissait uniquement de déterminer l'existence et le degré. Toujours selon les premiers juges, la cause ne soulevait pas non plus de particularité procédurale: il s'agissait d'apprécier la valeur probante des divers rapports médicaux et l'opportunité de la mise en oeuvre d'une expertise par un médecin externe à l'office AI. Dès lors, du point de vue médical et juridique, le cas du recourant ne présentait aucune problématique qu'un représentant d'une association, un assistant social ou une personne de confiance d'une institution sociale n'aurait pu traiter de manière satisfaisante. L'assistance d'un avocat n'était donc pas nécessaire au recourant pour défendre ses intérêts face à l'intimé, de sorte que la décision de celui-ci était conforme au droit.
3.2.
3.2.1. Dans la mesure où le recourant fait tout d'abord valoir que son droit à l'assistance d'un avocat dans la procédure administrative aurait dû être admis pour le seul motif déjà qu'il ne maîtrise pas la langue française et ne dispose d'aucune qualification, son argumentation est mal fondée.
Comme l'a retenu à juste titre la juridiction cantonale, l'absence de connaissances linguistiques et le manque de formation professionnelle constituent certes des circonstances qui tiennent à la personne concernée et permettent d'admettre que l'intéressé n'est pas à même de défendre seul ses propres intérêts. Ils ne suffisent cependant pas en soi à reconnaître que l'assistance d'un avocat est nécessaire, parce que celle d'un représentant d'une association, d'un assistant social ou d'autres professionnels ou personnes de confiance d'institutions sociales serait insuffisante (cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 201; arrêt 9C_105/2007 du 13 novembre 2007 consid. 1.3 et 3.2). Il faut encore que s'ajoutent à ces éléments, des circonstances qui mettent en évidence la difficulté du cas du point objectif (complexité des questions de droit et de fait).
3.2.2. A cet égard, le recourant soutient pour l'essentiel que grâce à l'intervention de son avocat et à la stratégie de défense mise en place par celui-ci, l'office intimé a repoussé le moment de rendre la décision sur le droit à des prestations de l'assurance-invalidité, de sorte qu'à la date de la décision (le 23 avril 2013), il avait atteint l'âge de 60 ans, à partir duquel il pouvait faire valoir une absence "d'employabilité" résiduelle en raison de son âge avancé. Un défenseur autre qu'un avocat n'aurait pas gardé l'argument "en réserve" et invoqué l'âge de son mandant à un stade ultérieur de la procédure seulement.
Sans qu'il apparaisse nécessaire de se prononcer sur le caractère approprié de la défense d'un avocat, qui, de l'avis de son client, choisit sciemment de faire durer une procédure plutôt que d'obtenir le plus rapidement possible une décision sur le droit à des prestations permettant de pallier l'absence de revenus d'une activité lucrative, on constate que les arguments du recourant ne sont pas pertinents. Il accorde en effet une importance décisive aux faits qu'il était âgé de 59 ans et un mois à la date où il a présenté la demande d'assistance juridique en procédure administrative (le 24 mai 2012) et qu'il a atteint l'âge de 60 ans au cours de celle-ci, avant que la décision sur le droit aux prestations ne fût rendue. Or, contrairement à ce que semble croire le recourant, l'âge de 60 ans ne constitue pas un critère qui exclut en soi d'exiger de l'assuré en cause qu'il exploite sa capacité résiduelle de travail sur le plan économique. L'âge est un élément parmi d'autres circonstances personnelles et professionnelles qui peuvent conduire à nier qu'une personne puisse encore de manière réaliste exploiter économiquement sa capacité résiduelle de travail. L'influence de l'âge sur la possibilité de mettre en oeuvre la capacité résiduelle de travail sur le marché équilibré du travail ne peut cependant pas être évaluée selon une règle générale, mais dépend de l'ensemble des circonstances qui sont déterminantes sous l'angle des exigences relatives aux activités adaptées envisagées (par exemple, la nature et les conséquences de l'atteinte à la santé, les éventuels moyens à mettre en oeuvre pour changer de travail et se familiariser avec celui-ci, y compris la structure de la personnalité, la formation ou le parcours professionnel; arrêt 9C_954/2012 du 10 mai 2013 consid. 2 et les arrêts cités, in Plädoyer 4/2013 p. 57).
L'âge est dès lors un critère parmi d'autres qu'il appartient à l'organe d'exécution de l'assurance-invalidité de prendre d'office en considération pour se prononcer sur l'exigibilité pour l'assuré concerné de mettre en valeur une éventuelle capacité résiduelle de travail. Il ne s'agit pas d'une circonstance particulière dont il incomberait à l'assuré ou à son avocat de se prévaloir spécifiquement "en temps opportun". Le recourant ne peut donc rien tirer en sa faveur d'une prétendue particularité de la procédure administrative en relation avec son âge, qui aurait justifié l'assistance d'un avocat.
3.2.3. Quant aux autres motifs invoqués par le recourant, ils ne suffisent pas non plus à admettre qu'il se trouvait dans un cas exceptionnel où l'appel à un avocat s'imposait. On ne voit pas, et le recourant ne l'explique pas, pourquoi "la médication prescrite" par ses différents médecins constituait un aspect de sa situation médicale que seul un avocat aurait été à même de mettre en évidence, ni à quelles "pressions des assurances sociales" celui-ci aurait été le seul à pouvoir répondre. Dans la mesure où il invoque ensuite une situation hypothétique selon que l'intimé aurait ou non admis une incapacité partielle de travail en raison d'une atteinte psychique, le recourant ne peut rien en déduire par rapport à la complexité des questions litigieuses, puisque son argumentation repose sur de simples hypothèses et non sur les éléments au dossier.
C'est en vain, enfin, que le recourant se réfère au principe de l'égalité des armes, en renvoyant à l'<ref-ruling>, pour soutenir que les conditions de l'assistance juridique d'un avocat en procédure administrative et judiciaire doivent être les mêmes. Comme l'a retenu à juste titre la juridiction cantonale, et l'admet du reste le recourant, les conditions différentes -et plus sévères en procédure administrative - relatives à l'assistance d'un conseil juridique, respectivement d'un avocat dans ces deux situations découlent de la loi (art. 37 al. 4 et 61 let. f LPGA). Elles relèvent donc d'un choix délibéré du législateur, concrétisé par des dispositions légales que le principe de l'égalité des armes - pour autant qu'il soit vraiment en cause ici, ce que le recourant ne tente aucunement de démontrer - ne saurait vider de sa substance.
3.3. Il résulte de ce qui précède que le recours est en tout point mal fondé, de sorte qu'il aurait dû être rejeté s'il avait été recevable.
4.
Vu l'issue de la procédure, le recourant devrait en supporter les frais (<ref-law>). Sa demande d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale doit par ailleurs être rejetée, dès lors que ses conclusions étaient d'emblée dénuées de chances de succès (<ref-law>). Compte tenu des circonstances, il convient cependant de renoncer à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1 in fine LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 2 décembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless