Sachverhalt:
A. In der Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamts A._ stellte die Y._ AG am 7. August 2012 das Konkursbegehren gegen X._ für eine Forderung von Fr. 26'772.30 nebst Zins zu 5% seit 22. Dezember 2011. X._ führt unter der Firma "X._ B._" eine Einzelunternehmung für die Planung und Erstellung von Gartenanlagen und für Gartenpflege.
Mit Entscheid vom 4. September 2012 eröffnete das Bezirksgericht A._ den Konkurs über X._.
B. Dagegen erhob X._ am 12. September 2012 eine Beschwerde an das Obergericht des Kantons Thurgau. Dieser lag eine schriftliche Erklärung der Y._ AG vom 12. September 2012 bei, in der diese auf die Durchführung des Konkurses verzichtete.
Das Obergericht des Kantons Thurgau wies die Beschwerde mit Entscheid vom 23. Oktober 2012 ab und eröffnete den Konkurs über den Beschwerdeführer per 23. Oktober 2012.
C. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner Beschwerde in Zivilsachen vom 10. Dezember 2012, der obergerichtliche Entscheid und die Konkurseröffnung seien aufzuheben.
Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung. Das Obergericht und die Y._ AG (nachfolgend Beschwerdegegnerin) haben sich dazu nicht vernehmen lassen. Mit Verfügung vom 15. Januar 2013 hat das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung in dem Sinne zuerkannt, als der Konkurs eröffnet bleibt, jedoch bis zum Entscheid des Bundesgerichts Vollstreckungsmassnahmen zu unterbleiben haben.
Das Bundesgericht hat die Vorakten, in der Sache hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Gegen den Endentscheid über die Konkurseröffnung ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (Art. 90 und Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG), und zwar unabhängig von der Höhe des Streitwerts (<ref-law>) und ohne Einschränkung der Beschwerdegründe (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 689 f.). Die im Übrigen fristgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid eines oberen Gerichts, das kantonal letztinstanzlich auf Rechtsmittel hin geurteilt hat (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist demnach grundsätzlich zulässig.
2. 2.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig und damit willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 638) oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> zustande gekommen ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.2 Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Auf rein appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung oder Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356).
2.3 Die Sachverhaltsfeststellung beziehungsweise Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234).
3. 3.1 Nach <ref-law> kann der Entscheid des Konkursgerichts innert zehn Tagen mit Beschwerde nach der ZPO angefochten werden. Die Parteien können dabei neue Tatsachen geltend machen, wenn diese vor dem erstinstanzlichen Entscheid eingetreten sind (Abs. 1). Die Rechtsmittelinstanz kann die Konkurseröffnung aufheben, wenn der Schuldner seine Zahlungsfähigkeit glaubhaft macht und durch Urkunden beweist, dass inzwischen der Gläubiger auf die Durchführung des Konkurses verzichtet (Abs. 2 Ziff. 3).
3.2 Das Obergericht hat festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin mit Schreiben vom 12. September 2012 auf die Durchführung des Konkurses verzichtet hat und damit der Konkurshinderungsgrund nach <ref-law> erfüllt ist (Ziff. 2b S. 6 des angefochtenen Entscheids). Umstritten ist deshalb einzig noch, ob der Beschwerdeführer auch die zusätzliche Voraussetzung der Zahlungsfähigkeit glaubhaft gemacht hat.
3.3 Glaubhaft gemacht ist eine Tatsache dann, wenn für deren Vorhandensein gewisse Elemente sprechen, selbst wenn das Gericht noch mit der Möglichkeit rechnet, dass sie sich nicht verwirklicht haben könnte (<ref-ruling> E. 3.1 S. 720).
Im Hinblick auf die Aufhebung der Konkurseröffnung heisst dies, dass die Zahlungsfähigkeit des Konkursiten wahrscheinlicher sein muss als seine Zahlungsunfähigkeit. In diesem Bereich dürfen keine zu strengen Anforderungen gestellt werden, insbesondere wenn die wirtschaftliche Überlebensfähigkeit des schuldnerischen Unternehmens nicht von vornherein ausgeschlossen werden kann. Es liegt am Schuldner, Beweismittel vorzulegen, die geeignet sind, seine Zahlungsfähigkeit als glaubhaft erscheinen zu lassen. Der Schuldner muss namentlich nachweisen, dass gegen ihn kein Konkursbegehren in einer ordentlichen Konkurs- oder in einer Wechselbetreibung hängig ist und dass keine weiteren vollstreckbaren Betreibungen vorliegen. Zahlungsfähigkeit bedeutet, dass ausreichend liquide Mittel zur Begleichung der fälligen Schulden vorhanden sind. Grundsätzlich als zahlungsunfähig erweist sich ein Schuldner, der beispielsweise Konkursandrohungen anhäufen lässt, systematisch Rechtsvorschlag erhebt und selbst kleinere Beträge nicht bezahlt. Bloss vorübergehende Zahlungsschwierigkeiten lassen den Schuldner noch nicht als zahlungsunfähig erscheinen, ausser wenn keine wesentlichen Anhaltspunkte für eine Verbesserung seiner finanziellen Situation zu erkennen sind und er auf unabsehbare Zeit als illiquid erscheint. Die Beurteilung der Zahlungsfähigkeit beruht auf einem aufgrund der Zahlungsgewohnheiten eines Konkursiten gewonnenen Gesamteindruck.
Ob das kantonale Gericht das richtige Beweismass (Glaubhaftmachung) angewandt hat, ist eine vom Bundesgericht frei zu prüfende Rechtsfrage. Demgegenüber beschlägt die Bewertung der dem Gericht vorgelegten Beweismittel die Beweiswürdigung, die vom Bundesgericht nur unter dem eingeschränkten Gesichtspunkt von <ref-law> geprüft wird (vgl. E. 2.1 oben; zum Ganzen Urteile 5A_115/2012 vom 20. April 2012 E. 3; 5A_118/2012 vom 20. April 2012 E. 3.1 f.).
4.1 4.1.1 Das Obergericht ist im angefochtenen Entscheid zum Ergebnis gelangt, der Beschwerdeführer habe seine Zahlungsfähigkeit nicht glaubhaft gemacht.
4.1.2 Es hat ausgeführt, der von Amtes wegen eingeholte Betreibungsregisterauszug verzeichne seit dem 1. Januar 2010 58 Betreibungen im Betrag von insgesamt Fr. 263'099.26. In 24 Betreibungen in der Höhe von insgesamt Fr. 91'000.-- habe der Beschwerdeführer die Ausstände bezahlt. Seit Januar 2012 sei der Beschwerdeführer 21 Mal betrieben worden. In diversen Betreibungen sei der Konkurs angedroht worden.
Die Jahresrechnungen 2009 - 2011 zeigten, dass die Einzelunternehmung des Beschwerdeführers trotz positiver Abschlüsse auch Ende 2011 noch ein negatives Eigenkapital ausweise. Aktiven von rund Fr. 148'300.-- stünde ein Fremdkapital von Fr. 169'000.-- gegenüber. Die Einzelunternehmung sei auch nach dem erfreulichen Betriebsergebnis im Jahr 2011 überschuldet und verfüge nicht über liquide Mittel.
Soweit der Beschwerdeführer seine Zahlungsunfähigkeit als vorübergehend aufgrund des Ausfalls seines besten Mitarbeiters wegen eines Unfalls im November 2011 zu erklären versuche, sei dies nicht stichhaltig, bestünden doch die erwähnten finanziellen Schwierigkeiten bereits seit April 2010.
4.1.3 Das Obergericht ist zum Ergebnis gelangt, aufgrund der offenen Betreibungen von insgesamt mindestens Fr. 160'000.--, der Illiquidität und der Überschuldung der Einzelunternehmung vermöge der Beschwerdeführer seine Zahlungsfähigkeit nicht glaubhaft zu machen. Daran änderten Debitoren von netto Fr. 26'000.-- und angefangene Arbeiten im Wert von Fr. 60'000.-- nichts.
4.1.3 Das Obergericht ist zum Ergebnis gelangt, aufgrund der offenen Betreibungen von insgesamt mindestens Fr. 160'000.--, der Illiquidität und der Überschuldung der Einzelunternehmung vermöge der Beschwerdeführer seine Zahlungsfähigkeit nicht glaubhaft zu machen. Daran änderten Debitoren von netto Fr. 26'000.-- und angefangene Arbeiten im Wert von Fr. 60'000.-- nichts.
4.2 4.2.1 Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend, da er zum Beweis, "wie und in welcher Form er seinen Verbindlichkeiten nachkommen" könne und wolle, vom Obergericht nicht zugelassen worden sei (Ziff. 1 S. 5 und Ziff. 2.4 S. 7 der Beschwerde).
4.2.2 Wendet der Beschwerdeführer vor Bundesgericht eine Verletzung seines Beweisführungsanspruchs ein und ergibt sich aus dem angefochtenen Entscheid nicht, dass er die fraglichen Tatsachen behauptet und prozesskonform dazu Beweise angeboten hat, ist dies in der Beschwerdeschrift detailliert darzulegen und mit Aktenhinweisen zu belegen (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 196).
Diese Anforderungen kommt der Beschwerdeführer nicht nach, begnügt er sich doch mit dem pauschalen Verweis, er sei nicht zum Beweis zugelassen worden. Darauf ist demnach nicht einzutreten und es braucht demzufolge von vornherein nicht erörtert zu werden, bis zu welchem Zeitpunkt der Schuldner seine Zahlungsfähigkeit nach <ref-law> glaubhaft zu machen hat.
Diese Anforderungen kommt der Beschwerdeführer nicht nach, begnügt er sich doch mit dem pauschalen Verweis, er sei nicht zum Beweis zugelassen worden. Darauf ist demnach nicht einzutreten und es braucht demzufolge von vornherein nicht erörtert zu werden, bis zu welchem Zeitpunkt der Schuldner seine Zahlungsfähigkeit nach <ref-law> glaubhaft zu machen hat.
4.3 4.3.1 Der Beschwerdeführer macht vor dem Bundesgericht nicht geltend, das Obergericht sei (in rechtlicher Hinsicht) von einem falschen Begriff der Zahlungsfähigkeit gemäss <ref-law> ausgegangen oder habe ein falsches Beweismass angewandt. Zwar bringt er Letzteres vor, jedoch kritisiert er in der Begründung dieses Einwands ausschliesslich die Beweiswürdigung, das heisst die Frage, ob der Beweis für die Zahlungsfähigkeit gemäss dem in <ref-law> vorgesehenen Beweismass der Glaubhaftmachung im konkreten Fall erbracht ist. Auf seine Rügen der willkürlichen Beweiswürdigung ist nachfolgend einzugehen.
4.3.2 Der Beschwerdeführer legt vor Bundesgericht dar, er habe am 8. Oktober 2012 einem Konkurrenzbetrieb Warenvorräte und Maschinen für Fr. 120'000.-- verkauft (Beilage 5). Er habe jedoch nur einige wenige kostspielige Maschinen verkauft, so dass sein Geschäft nach wie vor betriebsfähig sei; so habe er etwa in den beiden Wochen vor Einreichung seiner Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht Schneeräumungsdienst leisten können. Mit dem Geld aus diesem Verkauf habe er am 9. Oktober 2012 offene Rechnungen über Fr. 104'985.65 bezahlt, darunter auch die Forderung der Beschwerdegegnerin (Beilage 6). Sodann habe er in der Zeit vom 21. November 2012 bis 3. Dezember 2012 mehrere Rechnungen an Kunden in der Höhe von insgesamt Fr. 22'408.70 ausgestellt (Beilagen 4/1 - 4/13). Wie schliesslich dem aktualisierten Betreibungsregisterauszug vom 7. Dezember 2012 (Beilage 7) zu entnehmen sei, habe er sämtliche in Betreibung gesetzten Forderungen beglichen.
4.3.3 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor dem Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Neu sind Tatsachen, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt wurden (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 364 f.).
Die vom Beschwerdeführer in E. 4.3.2 erwähnten Tatsachenbehauptungen und Beweismittel (Beilagen 4 - 7) sind neu. Die Zulässigkeit von erst im bundesgerichtlichen Verfahren vorgebrachten Tatsachen und eingereichten Beweismitteln richtet sich nicht nach <ref-law>, sondern ausschliesslich nach <ref-law> (zum Verhältnis von <ref-law> und <ref-law> vgl. Urteile 5A_115/2012 vom 20. April 2012 E. 4.2.2; 5A_826/2010 vom 1. März 2011 E. 3.6).
4.3.4 Der aktualisierte Betreibungsregisterauszug, die ausgestellten Rechnungen (Beilagen 4 und 7) sowie der Hinweis auf den Schneeräumungsdienst betreffen Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Entscheid entstanden sind. Solche echte Noven sind - jedenfalls soweit sie den angefochtenen Entscheid in der Sache betreffen - vor Bundesgericht stets unzulässig und unbeachtlich (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.).
4.3.5 Ebenfalls unzulässig und unbeachtlich sind die übrigen Tatsachen und Beweismittel (Verkauf von Warenvorräten und Maschinen und Bezahlung diverser Rechnungen; Beilagen 5 und 6), die zwar vor dem obergerichtlichen Entscheid Bestand hatten, die aber der Beschwerdeführer vor dem Obergericht nicht vorgebracht hat, obwohl er dazu Anlass gehabt hätte, ging es doch bereits vor Obergericht einzig um die Frage seiner Zahlungsfähigkeit (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 128 f.).
4.3.6 Der Beschwerdeführer stützt seine Rüge der willkürlichen Beweiswürdigung fast (vgl. die weiteren Argumente in E. 4.3.7 unten) ausschliesslich auf die erwähnten unzulässigen neuen Tatsachen und Beweismittel (Ziff. 2.2 - 2.4 S. 6 f. und Ziff. 3 S. 7 ff. der Beschwerde). Er räumt denn auch selber ein, die von ihm "als echte Noven beigelegten Unterlagen und Dokumente" belegten, dass er "die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt" habe, "weshalb der Konkurs aufzuheben" sei (Ziff. 3.3 S. 9 der Beschwerde). An anderer Stelle hält er fest, das Obergericht habe willkürlich angenommen, er sei überschuldet, obschon er durch den Verkauf eines Teils seiner Warenvorräte und Maschinen einen Erlös von Fr. 120'000.-- erzielt habe (Ziff. 2.3 S. 6 der Beschwerde) oder er legt dar, "die nun eingereichten Noven" widerlegten die Auffassung des Obergerichts (Ziff. 2.3 S. 7 der Beschwerde).
Sind diese neuen Tatsachen und Beweismittel wie erwähnt unzulässig und unbeachtlich, ist auf die Rüge der willkürlichen Beweiswürdigung nicht einzutreten.
4.3.7 Daneben beanstandet der Beschwerdeführer die obergerichtliche Beweiswürdigung als willkürlich, weil das Obergericht seinen Hinweis, es seien in den letzten Jahren Abschreibungen in der Grössenordnung zwischen Fr. 30'000.-- und Fr. 40'000.-- verbucht worden, mit dem Hinweis "unter den Tisch gewischt" habe, an der Illiquidität ändere sich selbst dann nichts, wenn das Anlagevermögen zu tief bewertet worden wäre. Weiter bemängelt er, das Obergericht habe den positiven Rechnungsabschlüssen der Jahre 2009 - 2011 keine Beachtung geschenkt.
Eine solche Begründung vermag den Anforderungen an eine Rüge der willkürlichen Beweiswürdigung nicht zu genügen. Das Obergericht hat die Zahlungsfähigkeit wie erwähnt (vgl. E. 4.1.3 oben) im Ergebnis aufgrund der Illiquidität und Überschuldung des Einzelunternehmens des Beschwerdeführers und aufgrund der offenen Betreibungen von insgesamt mindestens Fr. 160'000.-- bejaht. Wie der Beschwerdeführer richtig darstellt, hat das Obergericht festgehalten, an diesem Ergebnis ändere sich selbst dann nichts, wenn man annehmen würde, das Anlagevermögen sei zu tief bewertet. Sodann hat es die positiven Jahresabschlüsse durchaus berücksichtigt.
Der Beschwerdeführer unterlässt es, sich mit dieser ausführlich begründeten Würdigung des Obergerichts auseinanderzusetzen und begnügt sich mit appellatorischer Kritik. Darauf ist nicht einzutreten (vgl. E. 2.2 oben).
5. Aus den dargelegten Gründen ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer wird kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau und im Dispositiv dem Grundbuchamt A._, dem Amt für Handelsregister und Zivilstandswesen des Kantons Thurgau, dem Konkursamt des Kantons Thurgau und dem Betreibungsamt A._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Januar 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Bettler