Faits:
A.
A._, née en 1959, titulaire d'un CFC d'employée de bureau, a travaillé en cette qualité. Dès juin 2005, elle s'est occupée avec son mari de la conciergerie d'immeubles, activité qu'elle a prise à sa charge à partir de 2006 en travaillant à 70 % en tant que concierge auxiliaire. A l'arrêt de travail depuis le 25 janvier 2010 pour des raisons de santé, elle a présenté le 9 juin 2010 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Son emploi a pris fin le 31 août 2010.
Les médecins traitants de l'assurée ont déposé leurs conclusions, la doctoresse B._ (spécialiste FMH en médecine générale) dans un rapport du 9 juillet 2010, complété le 29 mars 2011 sur la base d'un rapport du docteur C._ (spécialiste FMH en neurologie) du 15 mars 2011, le docteur D._ (spécialiste FMH en rhumatologie) dans un rapport du 22 juillet 2010, complété le 11 février 2011, le docteur E._ (spécialiste FMH en chirurgie orthopédique) dans un rapport du 23 août 2010 et le docteur F._ (spécialiste FMH en psychiatrie) dans un rapport du 18 février 2011.
Une enquête économique sur le ménage a été effectuée au domicile de A._. Dans un rapport, daté des 29 mars et 18 avril 2011, l'enquêtrice a consigné les éléments sur la base desquels elle a fixé à 12 % l'empêchement dans l'activité ménagère (évaluation du 21 avril 2011).
Dans une expertise psychiatrique du 28 novembre 2011, le docteur G._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) n'a retenu aucun diagnostic ayant une répercussion sur la capacité de travail et conclu que A._ était capable de travailler à 100 % du point de vue psychiatrique. Le docteur H._ (spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie et médecin du SMR) a effectué le 6 mars 2012 un examen clinique rhumatologique. Dans un rapport du 23 mars 2012, où il a décrit les limitations fonctionnelles présentées par l'assurée, il a conclu à une capacité de travail exigible (sur le plan somatique) de 100 % dans une activité adaptée à celles-ci, dont celle d'employée de bureau, depuis le 25 janvier 2010. Le docteur I._ (médecin du SMR), dans un rapport du 9 mai 2012, a fait siennes les conclusions des docteurs G._ et H._.
Dans un préavis de refus de rente d'invalidité du 13 juin 2012, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a informé A._ qu'elle ne subissait aucune perte économique en ce qui concerne la part active et que l'empêchement était de 4 % en ce qui concerne la part ménagère. L'assurée a fait part à l'office AI de ses observations, en faisant valoir que son incapacité de travail et de gain était de 81 %, compte tenu de la dégradation progressive de son état de santé. Dans un avis du 30 octobre 2012, le docteur I._ a retenu qu'il n'y avait pas d'élément objectif nouveau interférant avec l'appréciation du docteur G._ et du docteur H._, raison pour laquelle il confirmait les conclusions de son rapport précédent. Par décision du 19 décembre 2012, l'office AI, tout en s'exprimant sur les observations de l'assurée, a nié tout droit de A._ à une rente d'invalidité, au motif qu'elle présentait une invalidité globale de 12.7 % (taux arrondi à 13 %).
B.
A._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, en concluant, sous suite de frais et de dépens, à son annulation et à l'octroi d'une rente entière d'invalidité. Requérant la mise en oeuvre de nouveaux rapports médicaux afin de définir son état de santé actuel, elle demandait à titre subsidiaire que la cause soit renvoyée à l'office AI pour qu'il statue au sens des considérants. Elle a produit un rapport du docteur D._ du 28 novembre 2013 et un rapport de la doctoresse B._ du 17 décembre 2013.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a conclu au rejet du recours.
Par arrêt du 28 janvier 2014, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et de dépens, à son annulation, le Tribunal fédéral étant invité à statuer sur le fond de la cause et à lui octroyer une rente entière d'invalidité. A titre subsidiaire, elle demande que la cause soit renvoyée à la juridiction cantonale pour qu'elle statue au sens des considérants. Elle sollicite l'assistance judiciaire.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées, sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
1.2. Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'<ref-ruling> consid. 3 p. 397 s. s'appliquent pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application du droit par cette dernière (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité précédente sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité - dans la mesure où elles dépendent d'une évaluation de la personne concrète, de son état de santé et de ses capacités fonctionnelles - relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398).
2.
Sur le plan formel, la recourante soulève le grief de violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.). Sous cet angle, elle fait valoir que son état de santé s'était aggravé et qu'au plus tard en avril 2011, soit bien avant la clôture de la procédure administrative, elle présentait une incapacité de travail de 100 % pour toute activité professionnelle et une invalidité totale, ce dont les premiers juges auraient dû tenir compte en prenant en considération les avis des docteurs B._ et D._ produits en première instance et en les confrontant avec ceux des docteurs G._ et H._. Elle allègue que le refus de la juridiction cantonale de donner suite à sa requête d'instruction complémentaire, en dépit des doutes existant sur l'aggravation de l'état de santé et son incidence sur la capacité de travail et de gain au moment de la décision administrative litigieuse, est ainsi constitutif d'une violation du droit d'être entendu. La violation de ce droit (en corrélation avec l'administration des preuves, cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 370 et les références) dans le sens invoqué par la recourante est une question qui n'a pas de portée propre par rapport aux griefs tirés de l'établissement des faits et de l'appréciation arbitraire qui en a été faite par l'autorité précédente. Il s'agit là d'un grief qu'il convient d'examiner avec le fond du litige.
3.
Il est constant que la recourante est atteinte de rachialgies diffuses dans le cadre de troubles statiques et dégénératifs du rachis, d'un syndrome rotulien gauche dans le cadre d'une chondropathie fémoro-tibiale interne gauche modérée et d'une discrète coxarthrose gauche avec status après périarthrite de la hanche gauche.
Le litige a trait au droit de la recourante à une rente d'invalidité et porte sur son état de santé, singulièrement sur le point de savoir s'il s'est aggravé sur le plan somatique et quelle est l'incidence de son état de santé sur sa capacité de travail et de gain.
4.
4.1. Le jugement cantonal expose correctement les règles applicables à la solution du litige. On peut ainsi y renvoyer.
4.2. Selon la jurisprudence, l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5: <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 4 s.; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 s.). S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves et de l'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; SPÜHLER/AEMISEGGER/DOLGE/VOCK, BGG-Komm., 2ème éd., art. 97 n° 1 avec la réf.).
5.
Les premiers juges ont retenu, avec l'intimé, que la recourante était encore en mesure d'exercer à temps plein toute activité adaptée à ses limitations physiques.
5.1. La recourante reprend devant la Cour de céans les griefs soulevés devant l'autorité précédente en ce qui concerne l'établissement des faits, singulièrement son état de santé et l'appréciation des preuves y relatives. En tant qu'il s'agit d'une critique purement appellatoire des éléments retenus par la juridiction cantonale sur le plan physique et sur le plan psychique, cette argumentation n'est en principe pas valable devant le Tribunal fédéral (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 3 p. 104 s.).
5.2. De toute manière, le recours, en tant qu'il a trait à l'état de santé de la recourante, singulièrement à son aggravation sur le plan somatique, est manifestement infondé. On peut renvoyer sur ce point au jugement entrepris, qui expose que la recourante affirme subir une péjoration de son état de santé, sans préciser en quoi consiste l'aggravation ni produire de document à l'appui de son affirmation, et que son grief en reste ainsi à l'état de simple allégué. La juridiction cantonale pouvait, sans arbitraire, considérer que le fait que les médecins traitants avaient émis un pronostic réservé (rapport de la doctoresse B._ du 9 juillet 2010), voire mauvais (rapport du docteur D._ du 22 juillet 2010) en raison d'une probable future aggravation de l'état de santé, respectivement d'une chronification des atteintes, n'était pas à même de prouver la réalité d'une péjoration.
5.3. Selon une jurisprudence constante, le juge des assurances sociales apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment de la clôture de la procédure administrative. Les faits survenus postérieurement, et qui ont modifié cette situation, doivent normalement faire l'objet d'une nouvelle décision administrative (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 243; <ref-ruling> consid. 1b p. 366). Les rapports du docteur D._ du 28 novembre 2013 et de la doctoresse B._ du 17 décembre 2013 sont postérieurs à la clôture de la procédure administrative. Il n'est pas démontré que les conditions pour la prise en considération de faits survenus postérieurement à celle-ci (ATF <ref-ruling> consid. 1b p. 366; <ref-ruling> p. 102 et les arrêts cités) soient remplies dans le cas particulier. La recourante n'a pas produit - même devant la juridiction cantonale - de pièces médicales qui pourraient mettre en doute le bien-fondé du refus de rente d'invalidité. Cela vaut également en ce qui concerne l'aspect psychique. Sous cet angle, on peut renvoyer au jugement entrepris, l'argumentation de la recourante ne répondant pas aux exigences de l'art. 42 al. 2, respectivement de l'<ref-law>.
5.4. Les premiers juges pouvaient, sans qu'on puisse leur reprocher une appréciation arbitraire des preuves, ne pas donner suite à la requête de la recourante tendant à la mise en oeuvre de nouveaux rapports médicaux. Une telle manière de procéder (appréciation anticipée des preuves) ne viole pas le droit d'être entendu selon l'art. 29 al. 2 Cst. (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 236; <ref-ruling> consid. 4b p. 94; <ref-ruling> consid. 1d p. 162). Il n'est pas démontré que la juridiction cantonale, en retenant que la recourante était encore en mesure d'exercer à temps plein toute activité adaptée à ses limitations physiques, a établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Le recours est mal fondé.
6.
La recourante n'a pas droit à l'assistance judiciaire, le recours étant dénué de chances de succès (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2.4 p. 218; <ref-ruling> consid. 5 p. 616 et les références). En application de l'art. 66 al. 1, 2ème phrase, LTF, il convient de renoncer à la perception des frais judiciaires, vu les circonstances. La recourante, qui succombe, ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 2 mai 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Wagner