Faits:
Faits:
A. A._ a travaillé en qualité d'enseignante à l'école primaire. Le 21 août 1998, elle a déposé une demande de prestations de l'AI, que l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (l'office AI) a rejetée par décision du 11 octobre 1999 (taux d'invalidité de 35 %). De son côté, la Caisse de pension de la République et canton du Jura a reconnu les taux d'invalidité suivants : 30,76 % dès le 20 mars 1998, 28,85 % dès le 1er août 1999 et 46,15 % dès le 1er août 2001. Depuis le 1er août 2002, A._ bénéficie d'une retraite anticipée pour la part active.
Le 12 juillet 2000, l'assurée a présenté une nouvelle demande de prestations de l'AI, invoquant une fibromyalgie, des affections psychiques, ainsi qu'une surdité partielle. Se fondant sur les avis des docteurs R._ (rapports des 26 septembre 2000 et 20 octobre 2001) et J._ (rapports des 6 octobre 2000 et 18 septembre 2001), l'office AI a informé l'assurée qu'il envisageait de fixer le taux d'invalidité à 44,52 % (cf. projet d'acceptation de rente du 29 mai 2002). L'intéressée a manifesté son opposition. Sur recommandation de son médecin-conseil, l'office AI a confié un mandat d'expertise multidisciplinaire à la Clinique X._, fonctionnant en qualité de centre d'observation médicale de l'AI (COMAI). Dans leur rapport du 14 juin 2005, les docteurs D._ et L._ ont attesté que la capacité de travail de l'assurée avait diminué continuellement, passant de 50 % (en mars 1999) à 0 % (en août 2002), en raison d'un syndrome polyalgique idiopathique diffus, d'un trouble dépressif persistant, d'une anxiété généralisée, d'un trouble de la personnalité (personnalité dépendante avec traits obsessionnels) et d'une surdité de perception médio-cochléaire bilatérale. Les médecins du COMAI ont précisé que le syndrome polyalgique idiopathique diffus et la surdité, bien qu'ils aient joué un rôle dans la diminution de la capacité de travail, étaient toutefois en arrière plan par rapport à la pathologie psychiatrique sévère, savoir le trouble dépressif persistant, le trouble anxieux et le trouble de la personnalité. L'office AI a soumis le rapport du 14 juin 2005 au docteur S._, médecin à la Clinique Y._, lequel s'est déclaré d'accord avec les conclusions du COMAI. En revanche, le docteur M._, médecin au SMR Z._, a estimé que le COMAI avait mis en évidence un syndrome douloureux somatoforme persistant qui ne constituait pas une maladie invalidante au sens de l'AI en l'absence d'une comorbidité psychiatrique significative. A son avis, le diagnostic d'anxiété généralisée ne pouvait être retenu, tandis que le trouble de la personnalité dépendante, présent depuis l'adolescence, n'avait pas empêché l'assurée de travailler pendant de nombreuses années (rapport du 8 novembre 2005).
Par décision du 16 novembre 2005, confirmée sur opposition le 10 janvier 2006, l'office AI a rejeté la demande, considérant que l'atteinte à la santé psychique n'était pas invalidante.
Par décision du 16 novembre 2005, confirmée sur opposition le 10 janvier 2006, l'office AI a rejeté la demande, considérant que l'atteinte à la santé psychique n'était pas invalidante.
B. A._ a déféré cette décision à la Chambre des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura en concluant au versement d'une rente d'invalidité.
Par jugement du 9 novembre 2006, la juridiction cantonale a admis le recours, allouant à l'assurée une demi-rente d'invalidité dès le 1er août 2001, puis une rente entière depuis le 1er août 2002.
Par jugement du 9 novembre 2006, la juridiction cantonale a admis le recours, allouant à l'assurée une demi-rente d'invalidité dès le 1er août 2001, puis une rente entière depuis le 1er août 2002.
C. L'office AI a interjeté un recours de droit administratif contre ce jugement dont il a demandé l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision du 10 janvier 2006. Le recourant a produit un nouveau rapport du SMR (du 21 novembre 2006), émanant du docteur C._.
L'intimée a conclu au rejet du recours, avec suite de frais et dépens. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. La loi sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 395).
1. La loi sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 395).
2. Le jugement entrepris porte sur des prestations de l'assurance-invalidité, de sorte que le Tribunal fédéral examine uniquement si l'autorité cantonale de recours a violé le droit fédéral, y compris l'excès et l'abus du pouvoir d'appréciation, si les faits pertinents ont été constatés de manière manifestement inexacte ou incomplète ou s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure (art. 132 al. 2 OJ [dans sa teneur selon le ch. III de la loi fédérale du 16 décembre 2005 portant modification de la LAI, en vigueur depuis le 1er juillet 2006], en relation avec les art. 104 let. a et b, ainsi que 105 al. 2 OJ).
Lorsque le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral est limité par l'art. 105 al. 2 OJ, la possibilité d'alléguer des faits nouveaux ou de faire valoir de nouveaux moyens de preuve est très restreinte. Selon la jurisprudence, seules sont admissibles dans ce cas les preuves que l'instance inférieure aurait dû réunir d'office, et dont le défaut d'administration constitue une violation de règles essentielles de procédure (<ref-ruling> consid. 1c p. 99, 120 V 481 consid. 1b et les références p. 485).
Lorsque le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral est limité par l'art. 105 al. 2 OJ, la possibilité d'alléguer des faits nouveaux ou de faire valoir de nouveaux moyens de preuve est très restreinte. Selon la jurisprudence, seules sont admissibles dans ce cas les preuves que l'instance inférieure aurait dû réunir d'office, et dont le défaut d'administration constitue une violation de règles essentielles de procédure (<ref-ruling> consid. 1c p. 99, 120 V 481 consid. 1b et les références p. 485).
3. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée présente une atteinte à la santé invalidante justifiant le versement d'une demi-rente d'invalidité à compter du 1er août 2001, respectivement une rente entière depuis le 1er août 2002.
Les premiers juges ont exposé correctement les règles applicables à la solution du litige (<ref-ruling>; voir aussi <ref-ruling> et 131 V 49), si bien qu'il suffit de renvoyer au consid. 3 du jugement attaqué. Quant aux principes développés par la jurisprudence en matière de troubles somatoformes douloureux, ils s'appliquent par analogie lorsqu'il s'agit d'apprécier le caractère invalidant d'une fibromyalgie (<ref-ruling>).
Les premiers juges ont exposé correctement les règles applicables à la solution du litige (<ref-ruling>; voir aussi <ref-ruling> et 131 V 49), si bien qu'il suffit de renvoyer au consid. 3 du jugement attaqué. Quant aux principes développés par la jurisprudence en matière de troubles somatoformes douloureux, ils s'appliquent par analogie lorsqu'il s'agit d'apprécier le caractère invalidant d'une fibromyalgie (<ref-ruling>).
4. A l'issue de l'appréciation consciencieuse des preuves, reposant sur un examen du dossier médical, le Tribunal cantonal est parvenu à la conclusion que l'intimée ne possède plus les ressources nécessaires pour surmonter ses douleurs et réintégrer le circuit économique (consid. 5 in fine du jugement attaqué). Il s'agit-là d'une constatation de fait qui lie le Tribunal fédéral (consid. 2 supra; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 397 ss). Par ailleurs, la reconnaissance d'une incapacité de travail, partielle depuis le mois d'août 2001 puis totale dès le mois d'août 2002, a été documentée médicalement (par rapports et expertises) au cours de la procédure administrative. A elle seule, l'appréciation divergente du SMR Z._ du 8 novembre 2005 ne permet pas de qualifier cette constatation de fait du Tribunal cantonal de manifestement erronée. Il en va de même du rapport du SMR du 21 novembre 2006, produit à l'appui du recours de droit administratif, indépendamment du fait que cet avis médical constitue un nouveau moyen de preuve qui n'est pas recevable (cf. consid. 2 supra). Certes, le bien-fondé des constatations de fait des premiers juges aurait pu être remis en question si ces derniers avaient omis de tenir compte des critères jurisprudentiels permettant de reconnaître, exceptionnellement, un caractère invalidant à un trouble somatoforme douloureux ou fibromyalgique. Or l'éventualité inverse s'est produite en l'espèce, car la juridiction cantonale a précisément examiné le cas à la lumière des principes jurisprudentiels (cf. <ref-ruling> consid. 2.2.3 pp. 354 ss), avant d'admettre que les critères en cause étaient réunis, ce qui lie aussi le Tribunal fédéral (consid. 2.2 de l'arrêt I 683/06 du 29 août 2007).
Eu égard au syndrome douloureux qui a empiré au cours des années (malgré un suivi psychiatrique régulier de plus de dix ans), au caractère prononcé d'autres affections psychiques (un état anxieux et un trouble de la personnalité), ainsi qu'à la surdité bilatérale (qui est susceptible d'aggraver l'état de santé psychique de l'intimée), le Tribunal cantonal n'a pas violé le droit fédéral en retenant l'existence d'une comorbidité psychiatrique au syndrome douloureux.
Le recours, manifestement infondé, sera dès lors rejeté en application de l'art. 36a OJ.
Le recours, manifestement infondé, sera dès lors rejeté en application de l'art. 36a OJ.
5. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 134 al. 2 OJ). Pour le même motif, il est redevable d'une indemnité de dépens à l'intimée (art. 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de droit administratif est rejeté.
1. Le recours de droit administratif est rejeté.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée la somme de 2'000 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
3. Le recourant versera à l'intimée la somme de 2'000 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 18 décembre 2007
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud