Faits:
A. A.a A._ SA (ci-après: A._), en Belgique, courtier, est le mandataire de la Banque Y._ SA (ci-après: Y._). B._ Ltd, courtier en assurances, et C._ Limited sont les représentants des assureurs X._.
Le 16 décembre 1998, Y._ a reçu, de la part de son courtier, un document émis par B._ Ltd intitulé « COVER NOTE NO.... », relatif à la police d'assurance conclue entre Y._ et X._. La couverture d'assurance prenait effet le 15 novembre 1998 à 12h01 et se terminait le 15 novembre 1999 à 12h01.
A.b La police d'assurance suisse de X._ pour banques, dont la version anglaise fait foi mais dont les parties s'accordent sur sa traduction française, dispose notamment ce qui suit :
« CLAUSE D'ASSURANCE 1
Malhonnêteté des employés
Sont assurés les sinistres résultant uniquement et directement de tout acte malhonnête ou frauduleux de tout employé, que ces actes soient commis seul ou de connivence avec d'autres. Ces actes ayant été commis par ledit employé avec l'intention soit de faire subir une perte au Preneur d'Assurance, soit d'obtenir un gain pécuniaire irrégulier pour soi-même. [...]
EXCLUSIONS GÉNÉRALES
NE SONT PAS COUVERTS par la présente Police:
1. Tout sinistre:
(a) survenu avant la date rétroactive ou tout sinistre impliquant tout acte, transaction ou événement qui a eu lieu ou commencé avant la date rétroactive, ou
(b) découvert avant la période de validité de cette Police, telle qu'elle est indiquée dans le Profil du contrat. [...]
CONDITIONS GÉNÉRALES
1. Frais et dépenses judiciaires
Les Assureurs indemniseront le Preneur d'Assurance des frais de justice et honoraires d'avocat raisonnablement encourus et payés par le Preneur d'Assurance, après avoir obtenu le consentement préalable des Assureurs, pour défendre tout procès ou action entamé contre le Preneur d'Assurance, à l'égard desquels le Preneur d'Assurance établit que l'acte ou les actes qui ont été commis, ou les événements qui sont survenus, lui donneraient droit à une indemnisation au titre de cette Police. [...]
6. Limite d'indemnité
(a) Selon cette clause, la responsabilité des Assureurs pour tous les sinistres, y compris les frais et dépens judiciaires, est limitée au montant du contrat (1'000'000 fr.).
7. Avis et découverte de sinistre
Il est une condition préalable au droit d'indemnité sous cette Police que les Assureurs soient informés par écrit dès que possible, mais au plus tard dans les trente (30) jours après la découverte par le Preneur d'Assurance de tout sinistre sous cette Police.
Pour l'application de cette Police le sinistre sera censé être découvert au moment où le Preneur d'Assurance se rend compte de faits qui selon le jugement d'une personne sensée pourraient laisser à supposer qu'un sinistre du genre couvert par cette Pollice pourrait ou a déjà eu lieu. Dans ce cas il ne sera pas tenu compte du moment auquel ses actes, transactions ou événements causant ou contribuant audit sinistre se sont produits si le Preneur d'Assurance avait suffisamment d'information à ce moment pour prouver qu'un tel sinistre est couvert selon les termes et conditions de cette Police, même si le montant et les éléments d'un tel sinistre ne sont pas encore connus.
Le terme de découverte signifie également le moment où le Preneur d'Assurance est informé d'un sinistre effectif ou potentiel dont le Preneur d'Assurance est responsable envers un tiers et ceci dans des circonstances qui pourraient représenter un sinistre couvert sous cette Police, si ces informations s'avéreraient correctes, même si le montant ou les éléments d'un tel sinistre ne sont pas encore connus.
Tout sinistre ou tous sinistres découverts par le Preneur d'Assurance et qui sont imputables à des actes ou omissions d'une personne, sans tenir compte qu'il s'agit ou non d'un employé seront considérés comme un seul sinistre.
10 . Règlement de sinistres et expiration
(a) Le paiement de l'indemnité n'est pas échu tant que le sinistre fait l'objet d'une enquête par la Police ou d'une instruction pénale et que la procédure n'est pas terminée par un verdict [« judgment » dans la version anglaise] ou d'une autre manière.
(b) Les créances qui dérivent de cette assurance se prescrivent par deux (2) ans à dater de la réalisation de l'événement qui cause un sinistre en vertu de ce contrat. Si la créance du Preneur d'Assurance se fonde sur un verdict [« judgment »] prononcé contre lui-même, la créance du Preneur d'Assurance contre les Assureurs ne se prescrit que par deux ans à dater du jour où le verdict [« judgment »] est devenu exécutoire.
Les demandes d'indemnité rejetées par les Assureurs qui n'ont pas fait l'objet d'une action en justice dans les 2 ans qui suivent la réalisation du risque sont frappées de déchéance.
11. [for convenu notamment au domicile suisse du Preneur d'Assurance]
12. Interprétation
Sauf stipulation contraire du présent contrat, les dispositions de la loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance sont applicables. Dans la mesure où cette Police contient des dispositions contraires à celles des provisions obligatoires de la LCA, ces dispositions seront censées être modifiées pour se conformer à la loi. »
A.c Y._ a engagé D._ en qualité d'apporteur d'affaires du 1er avril 1998 au 31 mars 1999, date à laquelle son contrat a pris fin. En juillet 1999, à l'occasion de la contestation d'un relevé de compte par E._, justificatifs à l'appui - qui se révéleront être des faux -, Y._ a suspecté D._ de malversations; elle a porté plainte pénale contre lui le 5 novembre 1999.
Le 16 septembre 1999, Y._ a annoncé le sinistre oralement à son mandataire A._, qui en a informé immédiatement B._ Ltd. La perte était estimée à USD 1'280'000.-, à la suite d'agissements de D._. Celui-ci avait recommandé à des clients de Y._ d'investir USD 850'000.- dans un fonds de placement, qui s'est révélé inexistant; en outre, il avait proposé à deux clients des investissements de respectivement USD 200'000.- et USD 230'000.-, argent qui avait été encaissé mais dont toute trace avait disparu.
Après qu'un premier arrêt de la Cour correctionnelle avec jury du 9 avril 2002, le condamnant à trois ans de réclusion pour abus de confiance simple et aggravé, escroquerie et faux dans les titres eut été cassé, D._ a été rejugé par la Cour correctionnelle avec jury, qui l'a condamné le 13 mars 2003 à trente-trois mois de réclusion. D._ s'est pourvu en vain en cassation, puis au Tribunal fédéral, qui a rejeté son recours de droit public par arrêt du 23 février 2004.
A.d À la suite de l'annonce du sinistre du 16 septembre 1999, A._, Y._ et C._ Ltd se sont rencontrés afin de préparer le travail de l'expert mandaté par les assureurs; jusqu'en septembre 2000, ils ont élaboré un état de faits (« statement of facts »).
Y._ ayant sollicité une position claire de la part des assureurs, C._ Ltd lui a répondu le 15 novembre 2000 qu'il n'était pas encore certain que les pertes annoncées fussent couvertes par la police d'assurance, compte tenu de certaines clauses d'exclusion de responsabilité, telles que la connaissance du dommage antérieure à la période de validité de la police - ce qui était le cas à son sens dans l'affaire du pseudo fonds de placement -, l'annonce tardive du sinistre et l'absence de preuve à ce jour d'une intention malhonnête de D._, entre autres.
Le 24 mai 2001, C._ Ltd, répondant à un courrier de Y._ du 11 janvier 2001, lui a indiqué qu'elle était en mesure de lui faire part de la détermination des assureurs, reprenant les griefs évoqués dans son courrier du 15 novembre 2000: s'agissant de la connaissance antérieure du dommage, les assureurs sollicitaient de plus amples investigations avant d'adopter une position finale; en outre, selon eux, il n'était toujours pas établi que D._ avait perçu un gain personnel irrégulier; C._ Ltd se référait en outre aux obligations de Y._ relatives à l'annonce du sinistre et à sa coopération.
Y._ ayant requis le 18 décembre 2001 une prise de position claire de la part des assureurs, sans les intermédiaires A._ ou C._ Ltd, J._, avocat de X._ à Zurich, a confirmé le 5 février 2002 que les assureurs s'exprimeraient uniquement par l'intermédiaire de leurs représentants et qu'ils avaient clairement décliné la prise en charge du sinistre par courriers des 15 novembre 2000 et 24 mai 2001.
Le Tribunal fédéral ayant statué en dernier lieu le 23 février 2004 sur le recours interjeté par D._, Y._ a le 31 janvier 2005 mis en demeure les assureurs, par l'intermédiaire de J._, de se déterminer avant le 28 février 2005. Se déclarant surpris d'être sollicité pour cette affaire dont la dernière correspondance remontait « à trois années en arrière », J._ a sollicité le 25 février 2005 la remise de divers documents avant de pouvoir se déterminer. Finalement, répondant le 30 décembre 2005 à un courrier de Y._ du 5 décembre 2005, il a confirmé l'absence de responsabilité des assureurs et a exposé qu'en tout état de cause, les prétentions de Y._ étaient prescrites.
B. B.a Le 22 février 2006, Y._ a actionné X._ en paiement de CHF 1'000'000.- devant le Tribunal de première instance du canton de Genève, en invoquant quatre dommages :
- dommage n° 1 : Le 29 septembre 2000, Y._ a conclu avec F._ Limited, G._ Inc., H._ et I._ une convention aux termes de laquelle elle leur versait une somme de USD 983'175.-, qui comprenait l'avoir perdu dans le pseudo fonds de placement, avec les intérêts, ainsi qu'une somme de USD 30'000.- due à F._ Limited, plus les intérêts.
À ce titre, Y._ élève contre X._ une prétention de CHF 1'709'479.- (contre-valeur de la somme de USD 983'175.- versée le 29 septembre 2000); elle réclame en outre le remboursement des honoraires et frais engagés pour la défense de ses intérêts, par CHF 86'257.30.
- dommage n° 2 : En octobre 1998, I._, qui n'était pas client de Y._, et F._ Limited ont investi respectivement USD 200'000.- et USD 30'000.- sur le compte d'une société domiciliée aux Îles Vierges Britanniques, sur le conseil de D._ qui était le directeur de cette société et qui a utilisé les fonds ainsi versés dans son propre intérêt. L'action ouverte par I._ et F._ Limited contre Y._ en paiement de CHF 333'480.- (contre-valeur de USD 200'000.-) a été rejetée par jugement du Tribunal de première instance du canton de Genève du 28 novembre 2002, confirmé par arrêt de la Cour de justice du 13 juin 2003.
À ce titre, Y._ élève contre X._ une prétention en remboursement des honoraires et frais engagés pour la défense de ses intérêts, par CHF 10'987.50.
- dommage n° 3 : E._ a investi USD 200'000.- dans un produit financier à très haut rendement que lui avait proposé D._; il a reçu le remboursement de USD 50'000.-, mais n'a jamais obtenu le solde de son investissement, auquel a fait place un solde débiteur; par courriers des 28 juillet et 13 août 1999, E._ a contesté le relevé de Y._, faisant valoir qu'il était dans l'attente d'être crédité d'une somme supérieure à USD 450'000.-. Y._ l'a indemnisé à concurrence de USD 113'736.57, à la suite de la signature d'une convention du 29 mai 2000.
À ce titre, Y._ élève contre X._ une prétention de CHF 192'512.22 (contre-valeur de la somme de USD 113'736.57 versée le 29 mai 2000); elle réclame en outre le remboursement des honoraires et frais engagés pour la défense de ses intérêts, par CHF 26'557.85.
- dommage n° 4 : Y._ réclame à X._ le remboursement des honoraires et frais engagés pour la défense de ses intérêts par devant les juridictions pénales, par CHF 96'971.65.
Au total, les prétentions de Y._ sont supérieures au montant de la couverture d'assurance, raison pour laquelle elle les a arrêtées à CHF 1'000'000.-.
D'entrée de cause, X._ a excipé de prescription et de péremption et a conclu au déboutement de Y._.
B.b Par jugement du 29 mars 2007, le Tribunal de première instance a réservé le bien-fondé de deux notes d'honoraires - l'une de CHF 1'895.30 du 27 juillet 2004 et l'autre de CHF 2'971.10 du 15 octobre 2004) - puis a débouté Y._ de toutes ses conclusions, avec suite de dépens. Il a considéré que les prétentions de Y._ en remboursement du montant des indemnités qu'elle avait versées aux victimes des malversations commises par D._ étaient prescrites et périmées, puisqu'elles résultaient de conventions conclues en 2000 et que Y._ savait de manière définitive dès le 5 février 2002 au plus tard que les assureurs n'entendaient pas l'indemniser de ce chef, en raison de sa connaissance des faits litigieux au moment de la conclusion du contrat; quant aux prétentions de Y._ en paiement d'indemnités de protection juridique, la prescription avait commencé à courir dès l'exigibilité des notes d'honoraires, de sorte que seules deux de ces notes n'étaient pas atteintes par la prescription lors de l'ouverture d'action.
B.c Statuant sur appel de Y._ par arrêt du 14 décembre 2007, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a annulé ce jugement; statuant à nouveau, elle a constaté que les prétentions de Y._ à l'encontre de X._ ne sont ni prescrites ni périmées et a renvoyé la cause au Tribunal de première instance pour instruction et décision sur le fond.
La cour cantonale a rappelé qu'en matière d'assurance de responsabilité civile, la prescription court dès que la responsabilité de l'assuré est constatée par un tribunal et que la condamnation à verser une indemnité au lésé - la transaction étant assimilée à la condamnation civile - est définitive et exécutoire. Elle a considéré que la spécificité de l'assurance responsabilité civile conclue pour se protéger des conséquences pécuniaires résultant d'actes malhonnêtes d'employés impliquait non seulement la condamnation de l'assuré au plan civil envers des tiers lésés, mais également la constatation définitive de la responsabilité pénale de l'employé. En vertu du caractère accessoire de la créance en protection juridique, voire de son unicité avec le litige principal, la prescription avait ainsi commencé à courir le 23 février 2004, date de la dernière décision judiciaire, pour toutes les prétentions de Y._, à l'exception des deux notes d'honoraires qui étaient postérieures à cette date; dès lors, en ouvrant action le 22 février 2006, Y._ avait valablement interrompu la prescription pour la totalité de ses prétentions. Par ailleurs, ses prétentions n'étaient pas périmées, le contrat d'assurance ne pouvant stipuler un délai de déchéance plus bref que le délai de prescription.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile au Tribunal fédéral, X._ conclut avec suite de dépens à la réforme de cet arrêt, en ce sens qu'il soit constaté que les prétentions de Y._ à son encontre sont prescrites et périmées et que Y._ soit déboutée de toutes ses prétentions.
Y._ conclut avec suite de dépens à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.
La recourante a requis l'octroi de l'effet suspensif au recours, que le Président de la Cour de céans a accordé par ordonnance du 28 février 2008.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement sa compétence, respectivement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2, 439 consid. 2, 489 consid. 3; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1 et les arrêts cités).
1.1 Le recours en matière civile est recevable contre les décisions finales (<ref-law>) et contre les décisions partielles au sens de l'<ref-law>. Aux termes de l'<ref-law>, il est également recevable contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (al. 1); ces décisions ne peuvent plus être attaquées ultérieurement (al. 2). Les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément ne peuvent faire l'objet d'un recours, selon l'<ref-law>, que (a) si elles peuvent causer un préjudice irréparable, ou (b) si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse. Si le recours n'est pas recevable au regard de ces conditions ou s'il n'a pas été utilisé, les décisions préjudicielles et incidentes peuvent être attaquées par un recours contre la décision finale dans la mesure où elles influent sur le contenu de celle-ci (<ref-law>). Cette réglementation est fondée sur des motifs d'économie de la procédure : en tant que cour suprême, le Tribunal fédéral ne devrait en principe connaître qu'une seule fois de la même affaire, à la fin de la procédure, à moins que l'on ne se trouve dans l'un des cas où la loi autorise exceptionnellement, précisément pour des raisons d'économie de la procédure, un recours immédiat contre une décision préjudicielle ou incidente (<ref-ruling> consid. 2.1 et les références citées; arrêt 4A_453 2007 du 9 janvier 2008, destiné à la publication, consid. 2.2).
En l'espèce, l'arrêt attaqué, par lequel l'autorité précédente a constaté que les prétentions de Y._ à l'encontre de X._ ne sont ni prescrites ni périmées et a renvoyé la cause au Tribunal de première instance pour instruction et décision sur le fond, constitue une décision préjudicielle ou incidente qui, dès lors qu'elle ne concerne pas la compétence ou la récusation (cf. <ref-law>), ne peut faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral que si l'une des deux hypothèses prévues par l'<ref-law> devait être réalisée (<ref-ruling> consid. 1.1, 629 consid. 2.2).
1.2 La recourante se borne à cet égard à affirmer péremptoirement que l'arrêt entrepris, par lequel la cour cantonale a rejeté les exceptions de prescription et de péremption soulevées par la recourante et renvoyé la cause au juge de première instance pour qu'il soit statué sur le fond, constituerait le « cas typique où l'admission du recours pourrait conduire immédiatement à une décision finale, ce qui permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse », de sorte que « l'arrêt attaqué constitue sans aucun doute une décision au sens de l'art. 93 [al. 1] let. b LTF ».
L'intimée conteste cette affirmation. Elle expose qu'il résulte de l'état de fait de l'arrêt attaqué que l'instruction de la cause ne nécessitera pas d'expertises techniques ou de nombreuses auditions de témoins, les faits se rapportant aux détournements effectués par D._ ayant été entièrement instruits au cours de la procédure pénale qui s'est achevée par l'arrêt du Tribunal fédéral du 23 février 2004 ou à l'occasion des procédures civiles menées contre Y._ par les victimes de ces détournements.
1.3 La recevabilité du recours immédiat selon l'<ref-law> suppose cumulativement que le Tribunal fédéral puisse mettre fin une fois pour toutes à la procédure en jugeant différemment la question tranchée dans la décision préjudicielle ou incidente et que la décision finale immédiate qui pourrait ainsi être rendue permette d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-ruling> consid. 2.4.1 et les références citées).
La première de ces deux conditions apparaît réalisée en l'espèce, dans la mesure où, si le Tribunal fédéral devait suivre la thèse de la recourante selon laquelle les prétentions de l'intimée - y compris, selon la thèse de la recourante, la prétention globale d'assistance juridique incluant les deux notes d'honoraires postérieures au 23 février 2004 - sont prescrites et/ou périmées, cela conduirait au déboutement de l'intimée.
Quant à la seconde condition, il appartient à la partie recourante d'établir qu'une décision finale immédiate permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse, si cela n'est pas manifeste; il doit en particulier indiquer de manière détaillée quelles questions de fait sont encore litigieuses, quelles preuves - déjà offertes ou requises - devraient encore être administrées et en quoi celles-ci entraîneraient une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-ruling> consid. 2.4.2 et les références citées). L'<ref-law> ne visant que la procédure probatoire, soit l'administration des preuves, il ne suffit pas que l'examen de l'ensemble des questions qui se posent en droit requière des recherches juridiques fastidieuses et une réflexion approfondie, ni que la complexité de la cause entraîne la rédaction de longues écritures, le cas échéant devant deux instances cantonales successives.
En l'espèce, la recourante n'indique pas quelles questions de fait sont encore litigieuses - on en est réduit à des suppositions sur la base de l'état de fait de l'arrêt attaqué - ni quelles mesures probatoires elle entend solliciter. Elle n'allègue pas qu'il serait encore nécessaire, alors que de nombreuses pièces ont déjà été produites et que les faits se rapportant aux détournements opérés par D._ ont été entièrement instruits au cours de la procédure pénale qui s'est achevée par l'arrêt du Tribunal fédéral du 23 février 2004, d'ordonner des mesures probatoires, telles que des expertises techniques ou l'audition de nombreux témoins, qui entraîneraient une procédure probatoire longue et dispendieuse. Dans ces circonstances, comme la réalisation de cette condition ne saute pas aux yeux, force est de constater qu'il n'est pas établi qu'une décision finale immédiate permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse.
1.4 Il résulte de ce qui précède qu'un recours immédiat contre l'arrêt de la Cour de justice du 14 septembre 2007 n'est pas ouvert sur la base de l'<ref-law>. Un tel recours n'apparaît pas davantage ouvert sur la base de l'<ref-law>, dont la recourante ne se prévaut d'ailleurs à juste titre pas. En effet, selon la jurisprudence, un préjudice ne peut être qualifié d'irréparable que s'il cause un inconvénient de nature juridique, ce qui est le cas lorsqu'une décision finale même favorable à la partie recourante ne le ferait pas disparaître entièrement; en revanche, un dommage de pur fait, tel que la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme un dommage irréparable de ce point de vue (<ref-ruling> consid. 2.3.1 et les arrêts cités; arrêt 4A_453 2007 du 9 janvier 2008, destiné à la publication, consid. 2.1 et 2.2).
2. En définitive, le recours ne peut qu'être déclaré irrecevable. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>) et versera à son adverse partie une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 15'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Une indemnité de 17'000 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 28 mars 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Abrecht