Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland führt gegen A._ ein Strafverfahren wegen Vergewaltigung, sexueller Handlungen mit einem Kind und Pornografie. Am 13. Januar 2015 teilte die Staatsanwaltschaft den Parteien (dem Beschuldigten und der Privatklägerin B._) mit, dass sie beabsichtige, das Verfahren hinsichtlich des Vorwurfs der Vergewaltigung einzustellen.
A._ hatte vom 1. August 2014 bis zum 31. Juli 2015 im Rahmen einer Stellvertretung eine befristete Stelle als Musiklehrer an der Schule X._. Am 16. Februar 2015 ersuchte die Erziehungsdirektion des Kantons Bern die Staatsanwaltschaft um Einsicht in die Strafakten. Sie führe gegen A._ ein Verfahren auf Einstellung im Amt. In diesem Zusammenhang habe sie Kenntnis von einem Strafverfahren wegen 16-facher Vergewaltigung erhalten.
Die Staatsanwaltschaft hiess das Akteneinsichtsgesuch mit Verfügung vom 11. März 2015 gut. Eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Bern mit Beschluss vom 22. Juni 2015 ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 3. August 2015 beantragt A._, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben und das Akteneinsichtsgesuch abzuweisen. Eventualiter sei die Akteneinsicht frühestens nach Abschluss des erstinstanzlichen Verfahrens zu gewähren. Weiter sei festzustellen, dass das Verfahren betreffend Einstellung im Amt gegenstandslos geworden sei.
Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft haben auf eine Vernehmlassung verzichtet, ebenso die Privatklägerin.
C.
Da gemäss den Akten die Anstellung des Beschwerdeführers als Musiklehrer am 31. Juli 1015 endete, lud das Bundesgericht die Erziehungsdirektion mit Verfügung vom 28. August 2015 ein, sich dazu zu äussern, ob sie an der Akteneinsicht noch ein aktuelles Interesse habe.
Mit Schreiben vom 8. September 2015 antwortete die Erziehungsdirektion, hinsichtlich des Verfahrens auf Einstellung im Amt bestehe kein aktuelles Interesse mehr. Allerdings sei bei ihr ein weiteres Verwaltungsverfahren gegen den Beschwerdeführer hängig. Dabei gehe es um den Entzug der Unterrichtsberechtigung.
In seiner Stellungnahme vom 22. September 2015 bringt der Beschwerdeführer vor, das Interesse an der Akteneinsicht sei mit Ablauf der befristeten Anstellung dahingefallen. Die Erziehungsdirektion habe das neue Verfahren auf Entzug der Unterrichtsberechtigung erst am 7. September 2015 eingeleitet. Sie habe ihm eine Frist zur Vernehmlassung angesetzt, die noch nicht abgelaufen sei. Ein Akteneinsichtsgesuch sei für dieses Verfahren jedoch nicht gestellt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid über ein Gesuch um Akteneinsicht in einem Strafverfahren. Dieser Beschluss unterliegt der Beschwerde in Strafsachen (<ref-law>).
1.2. Am 31. Juli 2015 endete die Anstellung des Beschwerdeführers als Musiklehrer. Die Erziehungsdirektion räumt richtigerweise ein, dass für das Verfahren betreffend Einstellung im Amt seither kein aktuelles Interesse mehr an der Akteneinsicht besteht. Sie ist aber offenbar der Auffassung, das Interesse sei wieder aufgelebt, als sie am 7. September 2015 ein Verfahren betreffend Entzug der Unterrichtsberechtigung eröffnete. Das trifft nicht zu. Die beiden Verwaltungsverfahren haben einen anderen Gegenstand. Dies ist für die Beurteilung des Interesses an der Akteneinsicht und damit für den Prozessausgang von Bedeutung. So war für die Vorinstanz mit Blick auf die Einstellung im Amt wesentlich, dass die Behörde in der Lage ist, von Lehrkräften ausgehenden Gefährdungen der Schülerinnen und Schüler rasch und wirksam zu begegnen. Diese Frage der Dringlichkeit beurteilt sich anders, wenn es nicht um die Suspendierung eines Lehrers, sondern um dessen Unterrichtsberechtigung geht. Allenfalls könnte es in diesem Fall beispielsweise angezeigt sein, den Ausgang des Strafverfahrens abzuwarten, was hinsichtlich der Suspendierung mit dem Interesse an einem raschen Entscheid nicht vereinbar wäre. Die Vorinstanz hat sich zu dieser Frage nicht geäussert und hatte dazu auch keinen Anlass. Auch vorliegend kann auf weitere Ausführungen dazu verzichtet werden.
Das vorliegende Verfahren ist somit gegenstandslos geworden, da es an einem aktuellen rechtlichen Interesse der Gesuchstellerin (Erziehungsdirektion) an der Beurteilung des Einsichtsbegehrens fehlt ( MATTHIAS HÄRRI, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 12 zu <ref-law>). Da auch keine Umstände vorliegen, die ein ausnahmsweises Absehen vom Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses rechtfertigen, wird das Verfahren deshalb mit einzelrichterlichem Entscheid vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 123, 296 E. 4.3 S. 299 ff.; je mit Hinweisen). Will die Erziehungsdirektion in Bezug auf das neu eröffnete Verfahren betreffend den Entzug der Unterrichtsberechtigung Einsicht in die Akten des Strafverfahrens, so wird sie der Staatsanwaltschaft ein neues Gesuch zu stellen haben. Um der Klarheit willen ist die Ziffer 1 des angefochtenen Beschlusses, mit der die Bewilligung zur Akteneinsicht bestätigt wird, aufzuheben.
2.
2.1. Erklärt das Bundesgericht einen Rechtsstreit als gegenstandslos, entscheidet es mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen (<ref-ruling> E. 2a S. 374 f. mit Hinweisen). Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen. Vielmehr muss es bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt und unter Umständen der Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage präjudiziert werden. Lässt sich der mutmassliche Ausgang eines Verfahrens im konkreten Fall nicht ohne Weiteres feststellen, ist auf allgemeine zivilprozessrechtliche Kriterien zurückzugreifen. Danach wird in erster Linie jene Partei kosten- und entschädigungspflichtig, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geführt haben (zum Ganzen: Urteil 1B_325/2012 vom 7. August 2012 E. 3 mit Hinweis).
2.2. Die Vorwürfe, die von der Schule X._ gegen den Beschwerdeführer erhoben wurden und offenbar Grund zur Einleitung des Verfahrens auf Einstellung im Amt gaben (vgl. Beilage 5 zur Beschwerde), wiegen für eine Lehrperson schwer. Sie mussten die Erziehungsdirektion als Aufsichtsbehörde zum Handeln und zu weiteren Abklärungen im Hinblick auf allfällige Massnahmen veranlassen. Dazu gehörte auch die Einsichtnahme in die Akten des laufenden Strafverfahrens, die den schwersten der gemeldeten Vorwürfe betrafen und gegebenenfalls gar hätten Anlass zu Sofortmassnahmen geben können. Unter den gegebenen Umständen konnte auch kein Zuwarten bis zum Ergehen eines Strafurteils verlangt werden. Die Rechtsgrundlagen zur Einsichtgewährung waren zweifelsfrei vorhanden (vgl. <ref-law>). Aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes wäre die Beschwerde daher voraussichtlich unter Verweis auf die Begründung im angefochtenen Entscheid (E. 5.2) zu bestätigen gewesen. Demnach sind die Verfahrenskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>) und keine Parteikosten zu sprechen (<ref-law>).

Demnach verfügt der Einzelrichter:
1.
Die Beschwerde wird als gegenstandslos geworden vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben.
Die Ziffer 1 des Beschlusses des Obergerichts des Kantons Bern, Strafabteilung, Beschwerdekammer in Strafsachen, vom 22. Juni 2015 wird aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Diese Verfügung wird dem Beschwerdeführer, B._, der Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland, der Erziehungsdirektion und dem Obergericht des Kantons Bern, Strafabteilung, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold