Faits:
A. A.Y._ est né le 8 septembre 2005 de la relation de dame Y._, née le 25 juillet 1975, avec X._, né le 2 octobre 1969.
Dame Y._ est mère de deux autres enfants, nés respectivement les 29 mars 1996 et 23 octobre 1997, qui vivent avec leur père dont elle est divorcée. X._ est aussi le père de trois autres enfants, âgés respectivement de 16, 9 et 7 ans. Il vit avec une amie, elle-même mère de deux enfants de 10 et 8 ans, qui ne travaille pas.
B. Statuant sur requête de l'enfant A.Y._, représenté par sa curatrice, et de sa mère, dame Y._, le Tribunal civil de l'arrondissement de la Veveyse a, par jugement du 24 janvier 2007, constaté la paternité de X._ sur l'enfant et l'a condamné au versement d'une contribution à l'entretien de celui-ci d'un montant de 200 fr. par mois dès la naissance, allocations familiales non comprises, ainsi qu'au paiement d'une somme de 500 fr. pour les frais d'acquisition du trousseau de son fils.
Tant X._ que dame Y._ ont appelé de ce jugement en ce qui concerne le montant la contribution d'entretien et les frais de trousseau. Par arrêt du 15 février 2008, la 1ère Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg a rejeté les recours et confirmé le jugement de première instance.
C. X._ interjette un recours au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 15 février 2008. Il conclut à ce qu'il soit dit qu'il versera uniquement une contribution d'entretien à raison de l'allocation familiale perçue selon les barêmes du canton de Vaud, dès que le jugement sera rendu et jusqu'à la majorité de l'enfant. Ultérieurement, il a complété son recours par une lettre faisant valoir le grief d'arbitraire.
Le recourant sollicite également le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des déterminations n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et avec une pleine cognition la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2 p. 465). Le recourant n'a pas intitulé son mémoire. Son écriture sera traitée d'office comme un recours en matière civile, dans la mesure où elle en remplit les conditions.
2. 2.1 En l'espèce, sont litigieux la contribution d'entretien en faveur de l'enfant et les frais de son trousseau (art. 285 et 295 CC). Il s'agit d'une contestation civile de nature pécuniaire (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 494 ss; également: <ref-ruling> consid. 2 p. 395), dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (<ref-law>). Le recours, dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par l'autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>), émane de la partie qui a succombé dans ses conclusions en instance cantonale (<ref-law>) et a été déposé en temps utile, de même que son complément (<ref-law>). Partant, il est recevable.
2.2 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties. Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité, (<ref-law>), à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 152). Il ne connaît de la violation de droits fondamentaux ou du droit cantonal que si ce grief a été soulevé et motivé par le recourant (<ref-law>), les exigences de motivation correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (<ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254; <ref-ruling> consid. 6 p. 397).
2.3 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui entend s'écarter des constatations de la juridiction cantonale doit exposer de manière circonstanciée en quoi les exceptions prévues par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui figurant dans la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 152). Les faits nouveaux et les preuves nouvelles sont prohibés à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
En ce qui concerne l'établissement des faits et l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en ce domaine aux juridictions cantonales (<ref-ruling> consid. 9 p. 399 et les citations). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables; encore faut-il que la décision attaquée en soit viciée dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2a p. 41; cf. aussi <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254/255).
3. On peut comprendre à la lecture du recours et de son complément que le recourant se plaint d'appréciation arbitraire des faits et des preuves ainsi que de violation du droit fédéral.
3.1 Selon l'<ref-law>, la contribution d'entretien doit correspondre aux besoins de l'enfant ainsi qu'à la situation et aux ressources des père et mère. Il est tenu compte de la fortune et des revenus de l'enfant, ainsi que de la participation de celui des parents qui n'a pas la garde de l'enfant à la prise en charge de ce dernier.
Ces différents critères doivent être pris en considération; ils exercent une influence réciproque les uns sur les autres. Ainsi, les besoins de l'enfant doivent être examinés en relation avec les trois autres éléments évoqués et la contribution d'entretien doit toujours être dans un rapport raisonnable avec le niveau de vie et la capacité contributive du débirentier (<ref-ruling> consid. 3a p. 112). En présence de capacités financières limitées, le minimum vital du débirentier au sens du droit des poursuites doit en principe être garanti (<ref-ruling> consid. 2c p. 70; <ref-ruling> consid. 1a/aa p. 356; <ref-ruling> consid. 3b/bb p. 5 et consid. 5 p. 9; <ref-ruling> consid. 2 p. 370 ss). En outre, lorsque plusieurs enfants ont droit à une contribution d'entretien, le principe de l'égalité de traitement doit être respecté (<ref-ruling> consid. 2c p. 70; <ref-ruling> consid. 2b p. 357 et les arrêts cités).
3.2 Pour fixer la contribution mensuelle à 200 fr., le Tribunal cantonal a retenu que le recourant disposait d'un revenu mensuel net de 5'024 fr.10 et fixé ses charges à 4'260 fr.75, d'où un solde disponible de 763 fr.35. Il a considéré que le recourant ne pouvait pas assumer l'intégralité de l'entretien de sa compagne au seul motif qu'elle ne travaillait pas et gardait les enfants du recourant, même si cette activité justifiait une contre-prestation; il a ainsi supprimé des charges alléguées la prime d'assurance-maladie de cette dernière et a admis dans le minimum vital du recourant un montant de base de 1'000 fr., soit les deux tiers de la somme de 1'550 fr. admise pour un couple.
4. Le recourant critique en premier lieu le montant de ses charges. Il fait valoir qu'il se trouve en dessous du minimum vital, son déficit étant de 689 fr. Contrairement à ce que retient l'arrêt entrepris, il ne disposerait ainsi d'aucun solde disponible.
4.1 Le recourant inclut dans ses charges, sans aucune motivation, un poste de 476 fr. au titre de "pension foyer", qui ne figure pas dans les frais admis par le Tribunal cantonal. Faute de critique de l'arrêt querellé à propos de l'omission de ce poste, il n'en sera pas tenu compte.
4.2 Il allègue en outre que ses charges hypothécaires s'élèvent à 1'988 fr. par mois, au lieu des 1'757 fr.75 retenus par l'autorité cantonale. A cet égard, cette juridiction a détaillé, sur la base des pièces produites, le montant de différents prêts hypothécaires et les intérêts y afférents. Sans se prononcer sur le décompte d'intérêts ainsi établi, le recourant se borne à affirmer que le taux hypothécaire du 1er rang s'est élevé à 3% depuis le 18 décembre 2006 pour passer à 3,25% dès le 1er novembre 2007, sans démontrer avoir soumis ces faits à l'autorité cantonale. Il produit aussi des pièces dont il n'allègue pas qu'elles auraient été présentées en appel; elles seront donc déclarées irrecevables, en application de l'<ref-law>. Sur la base des éléments à disposition (<ref-law>), le coût des frais hypothécaires pris en considération dans l'arrêt entrepris apparaît correct.
4.3 Dans un autre grief, le recourant reproche aux juges cantonaux de ne pas avoir inclus dans ses charges l'assurance-maladie de sa compagne, d'un montant de 363 fr. par mois, et de ne pas avoir tenu compte de l'intégralité du minimum vital pour couple, soit 1'550 fr., dès lors que cette dernière s'occupe du ménage et ses enfants aînés.
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Il a été jugé (cf. arrêt 5P.427/2004 du 14 décembre 2004, consid. 2.3) qu'on ne saurait admettre un droit pour le concubin d'être entretenu par l'autre, sauf circonstances particulières (Franz Werro, Concubinage, mariage et démariage, Berne 2000, n. 129 p. 47). Le mari séparé ou divorcé, débiteur d'une pension, ne peut donc en principe pas invoquer les dépenses que lui occasionne l'entretien d'une concubine pour justifier une diminution de ses capacités financières, dès lors qu'il n'est pas tenu d'entretenir celle-ci (Catherine Noir-Masnata, Les effets patrimoniaux du concubinage et leur influence sur le devoir d'entretien entre époux séparés, thèse Lausanne 1982, p. 79). La décision de tenir compte ou non, dans le calcul des charges d'une partie, des frais d'assurance-maladie ou de tout ou partie du minimum vital, est une question qui relève du droit (cf. à propos d'une charge de loyer: arrêt 5A_170/2007 du 27 juin 2007, consid. 3.3).
Contrairement à ce que prétend le recourant, le Tribunal cantonal a reconnu que l'aide apportée par l'amie de celui-ci pour le gardiennage des enfants équivalait à une prestation. La Cour d'appel a ainsi réduit la participation de l'intéressée aux dépenses communes au lieu de lui en faire supporter la moitié, comme cela aurait été le cas si elle n'avait fourni aucune prestation. Ainsi, en n'incluant pas dans les charges incompressibles du recourant l'assurance-maladie de sa compagne et en réduisant le minimum vital de base pour couple de 1'550 fr. à 1'000 fr., l'autorité cantonale n'a pas agi de manière contraire au droit fédéral, ce d'autant qu'elle a renoncé pour les autres charges, notamment de logement, à une participation de ladite compagne.
4.4 En conséquence, les critiques du recourant sur le décompte des charges retenues par le Tribunal cantonal, visant à les augmenter d'une somme totale de 1'619 fr.25 (soit 230 fr.25 de différence de charges hypothécaires, 550 fr. de minimum vital supplémentaire, 363 fr. d'assurance-maladie et 476 fr. à titre de "pension foyer"), étant écartées, son raisonnement à partir duquel il affirme être en dessous du minimum vital devient sans objet. En effet, le solde prétendument négatif, qu'il chiffre à 689 fr. par mois, se révèle positif sans lesdites charges et lui laisse un disponible de 930 fr.25, soit une somme même plus élevée que celle retenue par l'autorité cantonale (1'619 fr.25 - 689 fr. = 930 fr.25). Or, ce montant lui permet d'assurer la contribution d'entretien, fixée à 200 fr. par mois.
5. En relation avec ses revenus, le recourant, sans émettre de critique motivée sur l'arrêt cantonal, indique quels étaient ses ressources en décembre 2005 et janvier 2006, exposant en outre avoir bénéficié du revenu minimum de réinsertion du 1er février au 30 juin 2006. Il produit des pièces à l'appui de ses allégations. Autant qu'on le comprenne, le recourant en conclut qu'il n'avait pas les moyens de payer la contribution durant cette période.
Toutefois, il ne soutient pas, ni a fortiori ne démontre, que les pièces sur lesquelles il se fonde pour appuyer ses dires auraient été soumises à la Cour d'appel, ni que celle-ci les aurait arbitrairement appréciées ou écartées. Dans ces conditions, ses allégations sont irrecevables.
S'agissant du montant mensuel net de 5'024 fr. retenu par l'autorité cantonale comme étant son revenu actuel, il n'émet aucune critique claire, invoquant pour sa part une somme nette de 6'300 fr. dont il déduit des charges professionnelles plus élevées que celles admises par l'arrêt entrepris. Dès lors qu'il ne développe ni n'établit de façon intelligible en quoi le raisonnement du Tribunal cantonal serait insoutenable, son grief est également irrecevable.
6. 6.1 En ce qui concerne la mère de l'enfant, l'autorité cantonale a retenu que celle-ci s'était séparée de son ami et allait louer un appartement dont le loyer s'élevait à 1'300 fr. par mois. Elle percevait mensuellement une rente AI et des prestations complémentaires de 1'980 fr., ainsi qu'une rente complémentaire pour l'enfant de 792 fr. Son minimum vital se montait à 2'910 fr.80, de sorte que son déficit était de 930 fr.80 (1'980 fr. - 2'910 fr.80). Sur la base des tabelles zurichoises, réduites de 25% pour tenir compte du coût de la vie moins élevé dans les cantons de Fribourg et Vaud, les frais relatifs à l'enfant pouvaient être arrêtés à 1'507 fr.50 par mois. Etant donné son déficit, la mère ne pouvait pas participer à l'entretien de son fils, sa contribution intervenant en nature.
6.2 Le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir inclus à tort dans les charges de la mère le minimum de base du droit des poursuites de 1'100 fr. et un plein loyer. Il expose que celle-ci est entièrement entretenue par son concubin, avec qui elle fait toujours ménage commun. Son disponible serait ainsi de 1'807 fr. par mois. Le recourant évalue aussi la situation financière future de l'intimée, affirmant qu'elle devrait récupérer ses deux enfants nés d'un premier mariage et percevoir des contributions pour leur entretien, ainsi que des prestations complémentaires de l'AI en leur faveur.
Cette argumentation est en grande partie appellatoire et, dans cette mesure, ne saurait être prise en considération. A cet égard, il convient de rappeler qu'il n'appartient pas au Tribunal fédéral de procéder une nouvelle fois à l'appréciation des preuves administrées, mais au recourant d'établir en quoi celle opérée par l'autorité cantonale serait insoutenable. Dans le cas présent, le recourant se borne essentiellement à opposer son opinion à celle de l'autorité cantonale, sans rien démontrer. En particulier, il n'expose pas de façon motivée que la constatation du Tribunal cantonal, selon laquelle l'intimée s'est séparée de son compagnon et assure seule son propre entretien ainsi que ses charges, serait arbitraire, ce qui rend sa critique irrecevable.
7. Le recourant conteste également devoir prendre à sa charge le coût du trousseau de l'enfant, fixé à 500 fr. Il fait valoir que l'intimée a reçu une allocation de naissance de 1'500 fr. qui couvre ses frais de couche et, en décembre 2007, des allocations familiales rétroactives pour son fils.
Il produit des pièces datées des 28 décembre 2007 et 8 février 2008, dont il n'allègue ni ne démontre qu'il les aurait soumises à l'autorité cantonale, de sorte qu'elles sont irrecevables (<ref-law>). Au demeurant, le droit au remboursement des frais de trousseau de l'enfant résulte de l'<ref-law>; or, le recourant n'allègue pas que l'autorité cantonale aurait violé le droit fédéral en n'appliquant pas l'<ref-law>, qui autorise le juge, si les circonstances le justifient, à imputer les prestations de tiers auxquelles la mère a droit en vertu de la loi. En conséquence, le grief ne peut qu'être rejeté, dans la faible mesure de sa recevabilité.
8. Sur le vu de ce qui précède, le recours doit donc être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Les conclusions de l'intéressé étant dépourvues de toutes chances de succès, sa requête d'assistance judiciaire doit également être rejetée (<ref-law>) et l'émolument de justice mis à sa charge (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens, des observations n'ayant pas été requises.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg.
Lausanne, le 14 avril 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Mairot