Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1969) stammt aus Nigeria. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt hat ihm am 30. Januar 2013 Frist bis zum 30. April 2013 gesetzt, um das Land zu verlassen, worauf er ein Gesuch um Familiennachzug für seine Ehefrau und die beiden Kinder gestellt hat, die er nach Abschluss der negativen Bewilligungsverfahren am 31. Dezember 2012 in die Schweiz hatte nachkommen lassen. Am 2. März 2013 ersuchte er um Wiedererwägung der Wegweisung, worauf das Migrationsamt am 5. April 2013 nicht eintrat.
Am 4. Juni 2013 wurde X._ in Ausschaffungshaft genommen, welche der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 7. Juni 2013 prüfte und bis zum 4. September 2013 bestätigte. Das Bundesgericht trat auf eine hiergegen gerichtete Beschwerde am 18. Juli nicht ein (Urteil 2C_620/2013). Der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen genehmigte in der Folge (30. August 2013) eine Verlängerung der Ausschaffungshaft bis zum 4. Dezember 2013.
B.
Mit Eingabe vom 18. September 2013 beantragt X._ vor Bundesgericht, den Verlängerungsentscheid aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, ihn aus der Ausschaffungshaft sofort freizulassen. Im Weiteren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Verfügung vom 19. September 2013 wies der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.
Das Migrationsamt, der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht und das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. X._ hat am 4. Oktober 2013 an seinen Anträgen und Ausführungen festgehalten.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG hat die Rechtsschrift die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Vorbringen müssen sachbezogen sein, damit aus der Beschwerdeschrift ersichtlich ist, in welchen Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzt (<ref-ruling>). Auf Rügen, die diese Anforderungen nicht erfüllen, ist von vornherein nicht einzutreten.
1.2. Die Eingabe deckt sich über weite Strecken wortwörtlich mit der schon im Juli 2013 vor Bundesgericht eingereichten Beschwerdeschrift (Verfahren 2C_620/2013) und genügt die erwähnten Begründungspflichten insoweit nicht, da sie nicht in gezielter Form auf die für das Ergebnis massgeblichen Ausführungen der Vorinstanz eingeht (<ref-ruling> E. 2.1-2.3; Urteil 2C_675/2013 vom 30. August 2013 E. 2.1).
Indem sie wiederum den negativen Bewilligungs- bzw. den negativen Wiedererwägungsentscheid kritisiert und die Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung des Beschwerdeführers in Frage stellt, weil sich der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte dazu noch nicht geäussert hat, übersieht sie zudem auch, dass das Verfahren vor dem Haftrichter nicht der Überprüfung des Wegweisungsentscheids oder von anderen den Ausländer zur Ausreise verpflichtenden Verfügungen dient, sondern zur Kontrolle der Rechtmässigkeit der angeordneten Ausschaffungshaft bzw. deren Verlängerung bestimmt ist (Urteile 2C_675/2013 vom 30. August 2013 E. 2.2 und 2C_749/2012 vom 28. August 2012 E. 2.1).
Der Haftrichter darf die Haftgenehmigung nur verweigern, wenn der Wegweisungsentscheid oder andere den Ausländer zur Ausreise verpflichtenden Verfügungen offensichtlich unzulässig, d.h. geradezu willkürlich bzw. nichtig erscheinen (<ref-ruling> E. 2 S. 58; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 198), was hier weder substantiiert behauptet noch belegt wird. Auf die im erwähnten Zusammenhang erhobenen Rügen ist daher auch aus diesem Grund nicht einzutreten.
2.
Sofern der Beschwer deführer materiell eine Verletzung des Beschleunigungsgebotes behauptet, weil vom 5. Juni 2013 bis zum hier massgeblichen Zeitpunkt der Haftverlängerung "gar nichts konkretes" unternommen worden wäre, erweist sich seine Eingabe hingegen als unbegründet.
2.1. Im Rahmen des sogenannten "Beschleunigungsgebots" sind die für den Vollzug der Weg- oder Ausweisung nötigen Vorkehren durch die Behörde umgehend zu treffen (Art. 76 Abs. 4 AuG). Arbeiten diese nicht zielstrebig auf den Wegweisungsvollzug hin, ist die Festhaltung mit der einzig zulässigen Zielsetzung der ausländerrechtlichen Zwangsmassnahmen, den Vollzug sicherzustellen, nicht mehr vereinbar (Art. 5 Ziff. 1 EMRK; Andreas Zünd, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli, Migrationsrecht, 3. Aufl. 2012, Rz. 9 zu Art. 76 AuG; Tarkan Göksu, in: Caroni/Gächter/Thurnherr, SHK Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, 2010, N. 22 zu Art. 76 AuG; Thomas Hugi Yar, § 10 Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, N. 10.99 ff.). Das Bundesgericht bejaht eine Verletzung des Beschleunigungsgebots, wenn während rund zwei Monaten keinerlei geeigneten Vorkehren mehr im Hinblick auf die Ausschaffung getroffen werden, ohne dass die Verzögerung auf das Verhalten der ausländischen Behörden oder des Betroffenen zurückzuführen ist (BGE 2C_598/2013 vom 22. Juli 2013 E. 2.1; <ref-ruling> E. 3a).
2.2. Eine Untätigkeit während mehr als zwei Monaten liegt hier aber nicht vor.
Wie den Akten zu entnehmen ist und vom Bundesamt für Migration in seiner Stellungnahme vom 1. Oktober 2013 zu Recht bestätigt wurde, bestand zwischen kantonalen Behörden und dem Bundesamt für Migration - jedenfalls vom 5. Juni 2013 bis zum hier massgeblichen Zeitpunkt der Haftverlängerung - eine rege Zusammenarbeit, die auf die Ermöglichung der Ausschaffung des Beschwerdeführers gerichtet war und in deren Rahmen auch mit der nigerianischen Botschaft Kontakte aufgenommen worden sind. Auch die Befragung des Beschwerdeführers durch eine nigerianische Delegation stand am 30. August 2013 bereits in Aussicht (angefochtenes Urteil, E. 2). Im gleichen Zusammenhang und entgegen der Meinung des Beschwerdeführers ist im Übrigen hinzuzufügen, dass der Ausschaffungshaft gerade auch eine gewisse Zwangswirkung zukommt, da der Ausländer es in der Hand hat, seinerseits mit einer Kooperation das Wegweisungsverfahren zu beschleunigen und die Zwangsmassnahme zu verkürzen oder gar zu beenden (Urteil 2C_101/2013 vom 21. Februar 2013 E. 2.3.1). Selbstverständlich werden die Behörden das Beschleunigungsgebot auch weiterhin zu beachten haben.
Unter diesen Umständen erweist sich die Verlängerung der Haft bis zum 4. Dezember 2013 auch als verhältnismässig.
3.
3.1. Soweit darauf eingetreten werden kann, ist die Beschwerde somit abzuweisen. Für alles Weitere kann auf die zutreffenden Ausführungen im Entscheid des Einzelrichters für Zwangsmassnahmen verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG).
3.2. Da die Eingabe gestützt auf die bundesgerichtliche Praxis zum Vornherein aussichtslos war, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Aufgrund der Umstände ist dennoch auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Oktober 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Savoldelli