Faits:
A. A.a En août 1986, X._, né le 6 octobre 1952, a été engagé par la compagnie aérienne V._ en qualité de convoyeur/chauffeur poids lourds à l'aéroport de Genève-Cointrin, tout d'abord comme auxiliaire, puis dès le 1er décembre 1986 avec le statut d'employé fixe.
Y._), dont le siège est à ... et qui possède une succursale à ..., a pour but social notamment la production de repas, boissons et prestations de services dans le domaine de la gastronomie aérienne. La compagnie V._ ayant transféré à Y._ ses activités de « catering », celle-ci a repris le 16 septembre 1992 le contrat de travail de X._, avec les avantages liés à son ancienneté.
X._ avait essentiellement pour tâches de convoyer dans la zone aéroportuaire, et notamment sur le tarmac, un camion chargé de marchandises vers ou à partir des avions; accessoirement, il travaillait comme préparateur, effectuant le chargement ou le déchargement des camions, mais pouvait également être affecté à d'autres activités. Le dernier salaire mensuel brut du prénommé s'est élevé à 5'795 fr.35 pour 42 heures de travail par semaine.
Le 1er janvier 2005 est entré en vigueur un nouveau règlement d'entreprise applicable au personnel de Y._. Selon l'art. 2 de ce règlement, la consommation de boissons alcoolisées est strictement interdite avant le début du travail et pendant les heures de travail, le taux d'alcoolémie autorisé sur le tarmac étant de 0o/oo.
Le 23 octobre 2006, X._ a signé une note interne, par laquelle il confirmait avoir pris connaissance et accepter l'Ordre de service n° 18 de l'Aéroport International de Genève (AIG) relatif à l'admission des véhicules et des conducteurs, ainsi qu'aux règles de circulation dans l'enceinte de l'aéroport; cet ordre de service prévoit notamment que tous les conducteurs doivent présenter un taux d'alcoolémie de 0o/oo.
A.b Il a été retenu que jusqu'au 29 décembre 2007, X._ a donné toute satisfaction à son employeur.
Le jour en question, il a été demandé au travailleur, en plus de ses tâches de préparateur, de remplacer momentanément le chef de sortie, qui est la personne ayant pour fonction de contrôler tous les mouvements sur le tarmac et de centraliser les départs et les arrivées des véhicules. Une erreur a alors été commise dans le chargement du « catering » sur un vol de la compagnie W._ à destination de Moscou et retour; un document de contrôle n'a pas été rempli correctement, en sorte que l'avion a décollé sans emporter de trolleys de vente ni de caisses à bar. X._ a expliqué qu'en ayant dû suppléer le chef de sortie, il avait délégué ses fonctions de préparateur à des collègues, auxquels il avait fait confiance.
Il a été constaté que le cumul des tâches de chef de sortie et de préparateur « pose problème ».
Le 30 décembre 2007, un avertissement a été prononcé à l'encontre de X._ en raison des événements de la veille.
A.c En janvier 2008 se sont déroulées des négociations entre un syndicat et Y._ à propos du renouvellement d'une convention collective de travail.
Le 23 janvier 2008, à la suite du refus d'une proposition de l'assemblée générale du personnel par la direction de Y._, le syndicat a annoncé que les employés se mettaient immédiatement en grève. Celle-ci a toutefois été interrompue le jour même, car Y._ avait saisi l'autorité compétente d'une requête en conciliation.
X._ a participé activement à la grève précitée, faisant partie des derniers employés à cesser le mouvement le soir du 23 janvier à 20 heures.
A.d Le 25 janvier 2008, la Police de sécurité internationale (PSI) a organisé un contrôle d'alcoolémie sur le tarmac de l'aéroport. Vers 16 h. 45, X._ a été contrôlé positif avec un taux de 0.47 à 0.50o/oo. La PSI lui a notifié aussitôt une interdiction immédiate de circuler sur le tarmac. C'était la première fois que le travailleur subissait un test d'alcoolémie positif.
X._ a été appelé peu après par la direction de Y._, laquelle l'a licencié oralement avec effet immédiat pour faute grave. Des collègues du prénommé ont déclaré que son licenciement était à mettre en relation avec sa participation à la grève deux jours auparavant, même si aucun autre gréviste n'a été licencié.
X._ a été en incapacité de travail pour cause de maladie du 28 janvier au 2 mars 2008. Invoquant la fin des rapports de travail intervenue le 25 janvier 2008, Y._ lui a refusé tout versement d'indemnités perte de gain.
Par courrier du 31 janvier 2008, Y._ a confirmé au salarié son licenciement immédiat avec effet au 25 janvier 2008, motivé par le contrôle positif qu'il avait subi ce jour-là.
Par décision du 26 février 2008, non contestée, l'AIG a constaté la caducité de l'autorisation de conduire sur le tarmac délivrée à Y._, compte tenu du congé immédiat survenu le 25 janvier 2008.
B. B.a Par demande du 19 mai 2008 déposée devant la juridiction prud'homale genevoise, X._ a ouvert action contre Y._, lui réclamant 34'772 fr.10 à titre de salaire pendant les quatre mois du délai de congé conventionnel, échéance repoussée au 31 juillet 2008 du fait de l'incapacité de travail, 3'471 fr.90 pour 13 jours de vacances non prises, et 34'772 fr.10 à titre d'indemnité de six mois de salaire pour congé immédiat injustifié, respectivement abusif.
La défenderesse a conclu à sa libération.
La Caisse de chômage A._ est intervenue dans la procédure, se déclarant subrogée dans les droits du demandeur à concurrence de 12'863 fr.05 en capital.
L'instruction a établi qu'un autre convoyeur de Y._, contrôlé en mars 2009 avec un taux d'alcoolémie de 0.6 à 0.7 o/oo, a été licencié de manière ordinaire et qu'il a pu, après une interdiction de conduire de 24 heures, exercer ses fonctions de convoyeur durant le délai de congé d'un mois.
Par jugement du 1er avril 2009, la juridiction des prud'hommes du canton de Genève a débouté le demandeur de toutes ses conclusions, faisant subir le même sort aux conclusions de l'intervenante.
B.b Le demandeur a appelé de ce jugement. Il a repris ses conclusions de première instance, en concluant en plus à l'octroi d'un intérêt moratoire de 5% l'an dès le 25 janvier 2008. Après l'expiration du délai d'appel, il a encore amplifié ses conclusions, requérant le versement de 36'564 fr.60 à titre de salaire durant le délai de congé, 3'650 fr.85 à titre d'indemnités de vacances non prises et 36'564 fr.60 pour indemniser le congé abrupt non justifié.
L'intervenante n'a pas pris de conclusions en appel.
Par arrêt du 21 janvier 2010, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes de Genève a rejeté l'appel et confirmé le jugement attaqué. La cour cantonale a considéré préalablement que le demandeur n'était pas autorisé à augmenter ses conclusions après le dépôt de l'acte d'appel. Passant à l'examen du fond, elle a retenu que le travailleur, qui a conduit son véhicule sur le tarmac avec un taux d'alcoolémie de 0.47 à 0.50o/oo, a contrevenu à une règle de sécurité essentielle sur laquelle son attention avait été spécifiquement attirée. Comme cette faute avait été commise par un convoyeur d'âge mûr et expérimenté, qui devait donner l'exemple à ses collègues plus jeunes, elle devait être qualifiée de grave et propre à détruire à elle seule le lien de confiance. Un renvoi immédiat était ainsi justifié, même en l'absence d'un avertissement préalable signifié pour une faute similaire. La Cour d'appel a encore souligné que le demandeur ne pouvait tirer argument de manquements dus à l'alcool commis par d'autres convoyeurs de la défenderesse, étant donné les circonstances différentes dans lesquelles ils ont eu lieu. Enfin, l'autorité cantonale a jugé qu'aucun élément du dossier ne permettait de retenir l'hypothèse d'un congé de représailles abusif.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité. Il requiert que cette décision soit annulée et que la défenderesse soit condamnée à lui verser le montant brut de 36'546 fr.60 à titre de salaire afférent au délai de congé, plus intérêts à 5% l'an dès le 25 janvier 2008, ainsi que la somme de 3'650 fr.85 à titre d'indemnités de vacances correspondant aux 13 jours de vacances dus pendant le délai de congé, avec les mêmes intérêts.
L'intimée propose le rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.

Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par le demandeur qui a entièrement succombé dans ses conclusions en paiement et qui a ainsi la qualité pour recourir (<ref-law>), dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire de droit du travail dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. de l'<ref-law>, le recours est par principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 674; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 382). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4 et l'arrêt cité). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1.4 et 6.2). Le recourant ne peut de toute manière demander une correction de l'état de fait que si celle-ci est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
1.3 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>).
Et, en vertu de l'<ref-law>, toute conclusion nouvelle est irrecevable. Cette norme vise en particulier l'augmentation des conclusions (arrêt 5A_556/2008 du 29 mai 2009 consid. 1.4, non publié à l'<ref-ruling>). Les conclusions dont l'autorité précédente n'a pas été valablement saisie sont également irrecevables en instance fédérale (YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Berne 2008, ch. 4069, p. 1479, qui se réfère à l'arrêt 4A_240/2007 du 20 septembre 2007, consid. 5).
Il résulte de l'arrêt déféré que les conclusions augmentées prises par le demandeur après l'expiration du délai d'appel, qui se montaient à 36'564 fr.60 (salaire pendant le délai de congé) et 3'650 fr.85 (indemnités de vacances), ont été déclarées irrecevables en raison de la tardiveté de leurs formulations. Ipso facto, elles sont également irrecevables devant le Tribunal fédéral.
En instance cantonale, le demandeur avait requis paiement de 34'772 fr.10 à titre de salaire jusqu'au terme ordinaire du contrat, 3'471 fr.90 pour des jours de vacances non pris en nature et 34'772 fr.10 à titre d'indemnité pour licenciement abrupt injustifié
Le recourant n'a pas maintenu en instance fédérale la conclusion tendant au paiement d'une indemnité pour congé immédiat injustifié prévue par l'<ref-law>. Acte lui en soit donné.
Il suit de là que les conclusions formulées par le recourant devant la juridiction fédérale se révèlent irrecevables en tant qu'elles excèdent les deux sommes de 34'772 fr.10 et de 3'471 fr.90.
2. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir enfreint les <ref-law> et 337 al. 3 in initio CO. Il fait valoir que cette juridiction n'a retenu dans son raisonnement juridique que les faits qui étaient en sa défaveur, sans procéder à une appréciation de l'ensemble des circonstances de l'espèce. Il rappelle que son âge avancé et son expérience ont été pris en compte à sa charge, alors que le fait qu'il a travaillé durant 23 ans pour la compagnie V._ puis pour l'intimée, cela à l'entière satisfaction desdits employeurs, n'est absolument pas considéré à son crédit. Le demandeur en déduit que les magistrats genevois ont rendu une décision qui enfreint l'<ref-law> et qui au surplus n'est pas conforme à l'équité.
2.1 Il est constant que les parties se sont liées par un contrat de travail et que celui-ci était conclu pour une durée indéterminée. Ledit contrat était donc susceptible d'une résiliation ordinaire avec observation d'un délai de congé, selon l'<ref-law>, ou d'une résiliation immédiate pour de justes motifs, selon les art. 337 et 337a CO.
Il faut donc vérifier si le fait pour le travailleur d'avoir conduit un véhicule de livraison sur le tarmac de l'AIG le 25 janvier 2008 avec un taux d'alcoolémie de 0.47 à 0.50o/oo constituait un juste motif pour mettre fin abruptement à son contrat de travail, compte tenu qu'un avertissement lui avait été donné 26 jours plus tôt pour des faits différents.
2.2 Selon l'art. 337 al. 1 1ère phrase CO, l'employeur et le travailleur peuvent résilier immédiatement le contrat de travail en tout temps pour de justes motifs. Doivent notamment être considérées comme tels toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail (cf. <ref-law>).
Mesure exceptionnelle, la résiliation immédiate pour justes motifs doit être admise de manière restrictive. D'après la jurisprudence, les faits invoqués à l'appui d'un renvoi immédiat doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave du travailleur justifie son licenciement immédiat; si le manquement est moins grave, il ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 31, 213 consid. 3.1 p. 221; <ref-ruling> consid. 2.1). Par manquement du travailleur, on entend la violation d'une obligation découlant du contrat de travail, comme l'obligation de loyauté ou de discrétion ou celle d'offrir sa prestation de travail.
Le juge apprécie librement s'il existe de justes motifs (art. 337 al. 3 in initio CO). Il applique les règles du droit et de l'équité (<ref-law>). A cet effet, il prendra en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position et les responsabilités du travailleur, le type et la durée des rapports contractuels, ainsi que la nature et l'importance des manquements (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 32; <ref-ruling> consid. 4a p. 354). Le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec réserve la décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou, à l'inverse, lorsqu'elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 32, 213 consid. 3.1 p. 220; <ref-ruling> consid. 2 p. 382).
2.3 Il est incontesté que le recourant, s'il n'a pas commis d'infraction pénale à l'occasion de son travail en conduisant le 25 janvier 2008 à l'AIG un véhicule de livraison avec une alcoolémie comprise entre 0.47 et 0.50o/oo, a violé le règlement d'entreprise de l'intimée ainsi que l'Ordre de service n° 18 de l'AIG, qui prescrivent que le taux d'alcoolémie autorisé sur le tarmac est de 0o/oo
Il n'en demeure pas moins que dès l'instant où l'art. 337 al. 1 et 2 CO constitue une disposition absolument impérative au sens de l'<ref-law>, ni le règlement d'entreprise précité, ni l'Ordre de service en cause, pris isolément ou dans leur ensemble, ne sauraient permettre à eux seuls de prononcer à l'encontre d'un travailleur un congé sans délai. Il faut en toutes hypothèses que les conditions posées par l'<ref-law> soient réalisées.
La doctrine moderne considère, de manière générale, que l'ivresse du salarié sur son lieu de travail ne saurait justifier son licenciement immédiat s'il n'avait pas été dûment averti auparavant que la répétition d'un tel manquement serait dorénavant considérée comme un juste motif de congé abrupt (MANFRED REHBINDER, Commentaire bernois, n° 8 ad <ref-law>; TERCIER/FAVRE, Les contrats spéciaux, 4e éd., 2009, ch. 3756 p. 561; PIERRE ENGEL, Contrats de droit suisse, 2e éd., 2000, p. 378; BRUNNER/BÜHLER/WAEBER/BRUCHEZ, Commentaire du contrat de travail, 3e éd., n° 8 ad <ref-law> p. 276). En revanche, si le salarié a causé un dommage à l'employeur alors qu'il accomplissait son travail sous l'influence de l'alcool, par exemple s'il a détruit le véhicule d'entreprise qu'il pilotait, il a commis une faute grave, de sorte que son licenciement immédiat est alors autorisé sans avertissement préalable (ADRIAN STAEHELIN, Commentaire zurichois, n° 21 ad <ref-law>, p. 624; TERCIER/FAVRE, op. cit., ch. 3759 p. 561).
Dans un arrêt 4C.112/2002 du 8 octobre 2002 consid 5, publié in JAR 2003 p. 329 s., le Tribunal fédéral a admis, dans le cas du directeur d'un centre informatique, que la consommation de drogues dures (i.e. héroïne) à la place de travail ne justifiait pas un congédiement immédiat sans qu'un avertissement ait été donné au salarié, aux motifs qu'elle n'avait pas influencé négativement les prestations de travail de l'intéressé ni le climat de travail et que ce dernier n'avait pas de fonctions représentatives à l'égard des tiers.
Dans le cas présent, il n'a pas été retenu que le demandeur, lorsqu'il a été contrôlé positif le 25 janvier 2008 avec un taux d'alcoolémie de 0.47 à 0.50o/oo, avait en raison de son état mal accompli ses prestations de travail ou dérangé de quelconque manière ses collègues de l'AIG. Il a été contrôlé de manière totalement inopinée par la PSI, sans avoir attiré l'attention sur lui par un comportement particulier. Certes, il avait reçu un avertissement le 30 décembre 2007, mais pour des faits n'ayant rien à voir avec la consommation d'alcool. Avant le 25 janvier 2008, le recourant n'avait d'ailleurs jamais subi un test d'alcoolémie positif et rien ne permet de penser qu'il aurait récidivé s'il n'avait pas été licencié avec effet immédiat.
La cour cantonale a affirmé que le demandeur, homme d'âge mûr, devait donner l'exemple à ses collègues plus jeunes. Elle a toutefois omis de retenir que ce dernier n'exerçait pas une fonction à responsabilités, n'avait personne sous ses ordres et percevait un salaire moyen, de sorte que l'on ne saurait l'assimiler à un cadre dont le comportement doit être apprécié avec une rigueur accrue (cf. à ce propos <ref-ruling>; Staehelin, op. cit., n° 8 ad <ref-law>). L'argument en cause des magistrats genevois en perd toute sa pertinence.
La Chambre d'appel a en outre totalement minimisé le fait que le recourant avait travaillé une très longue période (plus de 21 ans) sans subir le moindre reproche de la compagnie V._ ou de l'intimée, qui avait repris les activités de « catering » de la première en septembre 1992. Il s'agissait pourtant d'un élément très important à prendre en compte dans l'appréciation des circonstances de l'espèce.
On ne sait si pendant le délai de congé, en l'occurrence de quatre mois, le demandeur aurait été autorisé à nouveau à conduire sur le tarmac de l'aéroport. Peu importe. En effet, il pouvait être affecté durant ce laps de temps uniquement à des tâches de préparateur ayant la mission de charger et décharger les camions circulant à l'aéroport, activité qu'il avait au demeurant toujours exercée en parallèle à ses fonctions de convoyeur/chauffeur poids lourds.
ll suit de là que la faute commise par le demandeur le 25 janvier 2008, soit se présenter sur le lieu de travail avec un taux d'alcool compris entre 0.47 à 0.50o/oo, doit être qualifiée de gravité moyenne. Partant, ce manquement ne permettait pas, à considérer les données de l'espèce où le recourant avait été averti antérieurement sur la base de faits qui n'avaient aucun rapport avec le comportement incriminé, de le congédier abruptement:
Pour avoir retenu le contraire, la cour cantonale a enfreint l'<ref-law> en abusant de son pouvoir d'appréciation.
Le grief doit être admis.
3. 3.1 Le travailleur licencié de manière injustifiée a droit à ce qu'il aurait gagné, si les rapports de travail avaient pris fin à l'échéance du délai de congé ou à la cessation du contrat conclu pour une durée déterminée (<ref-law>). La prétention du travailleur fondée sur cette disposition est une créance en dommages-intérêts qui comprend principalement le salaire; cette créance peut recouvrir aussi le droit aux vacances, alors remplacé par des prestations en argent, à moins que le travailleur ait suffisamment de temps à disposition pour prendre ses jours de vacances, ce qui est le cas s'il dispose pour ce faire de plus de deux à trois mois (<ref-ruling> consid. 4a/bb p. 282; <ref-ruling> consid. 3b; REHBINDER, op. cit., n° 3 ad <ref-law>).
3.2 In casu, il n'a pas été contesté que le demandeur, après 20 ans de service, bénéficiait d'un délai de congé de quatre mois. Après avoir été congédié abruptement le 25 janvier 2008, il a été incapable de travailler du 28 janvier au 2 mars 2008, soit pendant 35 jours, période qui a suspendu le délai de congé en application de l'<ref-law>, de sorte que ce dernier est venu à échéance le 29 juin 2008, terme reporté au 30 juin 2008 (cf. <ref-law>).
Il s'ensuit que le recourant a droit au paiement de son salaire pour la période du 26 janvier au 31 janvier 2008 (6 jours), ainsi que pour les mois de février à juin 2008 (5 mois). A considérer le salaire mensuel brut du travailleur, à savoir 5'795 fr.35, divisé par 21,7 (nombre de jours de travail par mois, cf. arrêt 4C.189/1992 du 24 novembre 1992 consid. 3b, in SJ 1993 p. 354), six jours de travail représentent un montant de 1'602 fr.40 ((5'795,35 : 21,7) x 6). En ajoutant cette somme au montant correspondant à 5 mois de salaire, c'est-à-dire 28'976 fr.75 (5'795,35 x 5), on obtient un total de 30'579 fr.15.
En revanche, le recourant n'a pas droit à une indemnité de vacances, car celles-ci pouvaient être prises pendant le délai de congé de quatre mois.
En définitive, il sied d'allouer au recourant la somme brute de 30'579 fr.15, laquelle portera intérêts à 5% l'an dès le 15 avril 2008, échéance moyenne.
4. En résumé, le recours doit être admis, l'arrêt attaqué annulé et il sera prononcé que l'intimée versera au recourant le montant de 30'579 fr.15, sous déduction des cotisations d'assurances sociales, plus intérêts à 5% l'an dès le 15 avril 2008.
Le dispositif notifié le 17 mai 2010, qui allouait au recourant en capital par inadvertance 30'759 fr.15 au lieu de 30'579 fr. 15, doit être corrigé dans cette mesure.
Le demandeur, qui requérait devant le Tribunal fédéral le versement en tout de 40'197 fr.45, se voit ainsi allouer un peu plus du 75% de ses conclusions. Dans ces conditions, il se justifie de répartir l'émolument judiciaire de 2'000 fr. à raison des trois quarts à la charge de l'intimée et du quart restant à la charge du recourant et de compenser les dépens selon cette clé de répartition. Enfin, la cause sera renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle statue à nouveau sur les frais de l'instance cantonale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé.
2. L'intimée versera au recourant la somme de 30'579 fr.15, sous déduction des cotisations d'assurances sociales, plus intérêts à 5% l'an dès le 15 avril 2008.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à raison de 1'500 fr. à la charge de l'intimée et de 500 fr. à la charge du recourant.
4. L'intimée versera au recourant une indemnité de 1'250 fr. à titre de dépens réduits.
5. La cause est retournée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais de l'instance cantonale.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 14 mai 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Le Greffier:
Corboz Ramelet