Faits:
A. A.X._ est propriétaire d'un chien de race Labrador né en 2006. Le 20 mars 2009, son petit-fils de dix-neuf mois a été griffé au visage par ce chien. Le cas a été dénoncé au Service de la consommation et des affaires vétérinaires du canton de Genève (ci-après: le service) par le Dr Y._, au moyen d'un document officiel intitulé "formulaire pour l'annonce de blessures par morsure de chien chez l'être humain". Il était précisé qu'il s'agissait d'une griffure et non d'une morsure.
Au cours d'un entretien téléphonique ayant eu lieu le 25 mars 2009, la mère de l'enfant a expliqué au service que son fils connaissait bien le chien concerné, qui était jeune et assez excité. Selon elle, l'enfant avait été griffé parce qu'il s'était trop approché de la gamelle du chien. Par courrier du 27 mars 2009, l'épouse de X._ a donné une explication semblable, en précisant qu'il ne s'agissait ni d'une agression, ni d'une morsure. Le 3 avril 2009, le service a procédé à une évaluation, au cours de laquelle il a constaté que le chien était vif et assez brusque, même s'il ne manifestait pas de comportement agressif. Il a en outre relevé que le chien avait fugué une fois détaché et que sa maîtresse avait eu de la peine à le faire revenir. A cette occasion, les époux X._ ont expliqué que le chien avait griffé l'enfant en tendant sa patte vers sa gamelle. Ils ont précisé que la griffure était assez profonde, raison pour laquelle le pédiatre avait décidé de suturer la blessure.
Par décision du 7 avril 2009, le service a ordonné que des mesures de sécurité soient prises par les époux X._ afin d'éviter que le chien n'effraie ou ne blesse des personnes ou ses congénères et afin d'éviter que le chien ne se trouve seul ou sans surveillance en présence d'enfants. Il a également ordonné qu'un test de maîtrise soit passé avec le chien par les époux X._ et par toute autre personne susceptible de promener régulièrement l'animal en question, le rapport y relatif devant parvenir au service avant le 30 septembre 2009.
B. A.X._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif), en demandant l'annulation de la décision attaquée, subsidiairement la levée de l'obligation de passer un test de maîtrise avec le chien. Le Tribunal administratif a rejeté ce recours par arrêt du 25 août 2009. Il a considéré en substance que la griffure subie par l'enfant était assimilable à une morsure, de sorte que le cas devait être dénoncé au service en application de l'art. 12 al. 1 de la loi cantonale du 1er octobre 2003 sur les conditions d'élevage, d'éducation et de détention des chiens (LChiens; RSG M 3 45). De plus, le détenteur de l'animal n'ayant pas observé les dispositions applicables en la matière, le service pouvait ordonner diverses mesures en application de l'art. 23 LChiens. Les mesures ordonnées en l'espèce respectaient en outre le principe de la proportionnalité.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Il se plaint implicitement d'une application arbitraire de la législation cantonale sur les chiens et il invoque une violation du principe de la proportionnalité. Le Tribunal administratif se réfère aux considérants de son arrêt. Agissant pour le Service de la consommation et des affaires vétérinaires, le Département de l'économie et de la santé du canton de Genève s'est déterminé; il conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. L'Office vétérinaire fédéral a présenté des observations, concluant que les mesures ordonnées ne semblaient pas disproportionnées.

Considérant en droit:
1. Formé contre une décision de police vétérinaire prise sur la base du droit public cantonal, le présent recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public conformément aux art. 82 ss de la loi sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. Par ailleurs, en tant que destinataire de l'ordre de prendre des mesures de sécurité et de passer un test de maîtrise avec son chien, le recourant est directement touché par la décision attaquée et a un intérêt digne de protection à en obtenir l'annulation ou la modification; il a dès lors qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Pour le surplus, interjeté en temps utile contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours est recevable au regard des art. 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF.
2. A l'appui de son écriture, le recourant dépose un certificat médical établi le 14 octobre 2009 par la pédiatre Z._, exposant que la griffure subie par le petit-fils du recourant le 20 mars 2009 n'avait nécessité qu'une désinfection et qu'il ne persistait aucune trace de griffure lors d'un contrôle effectué le 3 septembre 2009. On ne voit pas en quoi le contenu de ce document justifierait de faire une exception à l'interdiction des faits et moyens de preuves nouveaux (art. 99 al. 1 LTF). En effet, il ne suffit pas qu'un moyen de preuve ait été découvert après la décision attaquée pour justifier une telle exception, la tâche du Tribunal fédéral étant de dire si l'autorité précédente a ou non violé le droit sur la base de la situation existant au moment où elle a rendu sa décision (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 395; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 343 s.; BERNARD CORBOZ, in Commentaire LTF, n. 26 ad art. 99 LTF). Il ne sera donc pas tenu compte de cette preuve nouvelle.
3. Le recourant critique l'application de diverses normes de droit cantonal sur les chiens, à savoir les art. 11, 12 et 23 LChiens, ainsi que l'art. 24 du règlement d'application de la LChiens (RChiens; RSG M 3 45.01). Devant le Tribunal fédéral, la violation du droit cantonal ne peut être invoquée que si elle constitue également une atteinte au droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF ou au droit international au sens de l'art. 95 let. b LTF. L'atteinte au droit fédéral peut notamment résulter du fait que le droit cantonal a été appliqué de façon arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 251 s. et les références). C'est sous cet angle que doivent être compris les moyens du recourant, celui-ci se plaignant essentiellement d'une interprétation "abusive" des dispositions en cause. Faute d'une véritable démonstration de l'arbitraire, la recevabilité du grief est douteuse au regard des exigences de motivation déduites de l'art. 106 al. 2 LTF. Cette question peut cependant demeurer indécise vu l'issue du recours.
3.1 Appelé à revoir l'interprétation d'une norme sous l'angle restreint de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement plus judicieuse - paraît possible (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 133; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 260 s. et les arrêts cités).
3.2 Les dispositions de la LChiens dont le recourant critique l'application ont la teneur suivante:
art. 11 Obligations du détenteur
1 Tout détenteur de chien est tenu de prendre les précautions nécessaires afin qu'il ne puisse pas lui échapper ou nuire au public ou aux animaux.
2 Il doit, en particulier, veiller à l'empêcher de mordre, menacer ou poursuivre le public - en particulier les enfants et les personnes âgées - ou les autres animaux.
[...]
art. 12 Morsures
1 Il appartient aux agents de la force publique, aux communes, aux agents de la police municipale, au corps médical, aux éducateurs canins et aux vétérinaires d'annoncer au département les cas de blessures dues à des morsures de chiens qui parviennent à leur connaissance.
[...]
art. 23 Mesures
En cas d'inobservation des dispositions de la présente loi et de son règlement d'application, le département peut ordonner, notamment, les mesures suivantes :
a) l'obligation de prendre des cours d'éducation canine;
b) la castration ou la stérilisation des chiens;
c) l'interdiction d'élever des chiots;
d) l'interdiction de détenir un chien;
e) le séquestre provisoire ou définitif du chien;
f) la mise à mort du chien;
g) la révocation de l'autorisation de pratiquer l'éducation canine;
h) la révocation de l'autorisation d'exercer l'activité de promeneur de chiens;
i) la révocation de l'autorisation d'acquérir ou de détenir un chien potentiellement dangereux.
Quant à l'art. 24 RChiens, il est formulé comme suit:
art. 24 Morsures
1 Il appartient aux agents de la force publique, aux communes, aux agents de sécurité municipaux, au corps médical, aux vétérinaires et aux éducateurs canins d'annoncer au service les cas de blessures dues à des morsures de chiens qui parviennent à leur connaissance.
2 Lorsqu'un cas de morsure est signalé au service, celui-ci peut, selon la gravité, procéder à une évaluation et séquestrer immédiatement le chien. Lorsque l'animal présente des troubles de comportement avérés, le service ordonne sa mise à mort. Les frais résultant de ces mesures sont à la charge du détenteur du chien.
3 Dans les cas bénins, le service peut obliger le détenteur à suivre des cours d'éducation canine.
[...]
3.3 En l'occurrence, le Tribunal administratif a d'abord considéré que la griffure occasionnée par le chien du recourant pouvait être assimilée à une morsure. La plaie était en effet profonde et elle avait nécessité des points de suture, ce qui n'était pas anodin pour un enfant de dix-neuf mois. L'annonce de l'incident du 20 mars 2009 entrait donc dans le cadre des art. 12 LChiens et 24 RChiens. Le recourant critique cette appréciation en reprochant au Tribunal administratif de "faire montre de bien peu de connaissance des animaux" en assimilant une griffure à une morsure. Il perd cependant de vue que c'est la gravité de la lésion qui a motivé l'annonce du cas. Or, même si la loi ne parle que de morsures, il n'y a rien de choquant à l'appliquer aussi en cas de griffure, si celle-ci a provoqué une lésion comme cela s'est produit en l'espèce. Dans la mesure où il reconnaît lui-même que la plaie a été suturée, le recourant est du reste malvenu de minimiser la blessure subie par l'enfant. Quoi qu'il en soit, il ne démontre pas en quoi l'annonce de ce cas au service compétent résulterait d'une application arbitraire des normes précitées, l'art. 24 al. 3 RChiens montrant au demeurant que même des "cas bénins" peuvent être annoncés.
Par ailleurs, le recourant remet en cause le bien-fondé des mesures ordonnées par le service en application de l'art. 23 LChiens. Il estime en effet qu'il n'a pas violé les obligations du détenteur définies à l'art. 11 LChiens, car son chien n'a pas poursuivi ou menacé son petit-fils, qui s'est lui-même approché de l'animal. Cet argument n'est toutefois pas pertinent, car il importe peu que le chien n'ait pas littéralement poursuivi l'enfant. Il est en effet incontesté que l'animal en question a échappé un instant à la surveillance de son maître et qu'il a occasionné une blessure à un enfant, ce qui peut sans arbitraire être assimilé à une nuisance ou une menace au sens de l'art. 11 LChiens. La liste des comportements visés n'est au demeurant pas exhaustive, comme en atteste l'usage de l'expression "en particulier" à l'art. 11 al. 2 LChiens. La solution retenue par l'autorité cantonale n'est dès lors pas manifestement contraire au sens et au but de cette disposition, qui vise d'ailleurs expressément à protéger les personnes vulnérables que sont "les enfants et les personnes âgées". Supposé recevable, ce premier grief devrait donc être rejeté.
4. Le recourant se plaint également d'une violation du principe de la proportionnalité. Comme le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit fédéral en général (art. 95 let. a LTF), il est possible d'invoquer ce principe, mentionné à l'art. 5 al. 2 Cst., directement et indépendamment d'un droit fondamental (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 156 s. et les références). Le Tribunal fédéral a toutefois précisé que, lorsqu'il examine le droit cantonal indépendamment de toute atteinte à un droit fondamental, il ne revoit pas le respect du principe de la proportionnalité librement, mais seulement sous l'angle de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 158; arrêt 2C_444/2007 du 4 avril 2008 consid. 2.2 publié in ZBGR 2008 p. 381).
En l'espèce, le recourant prétend que la décision litigieuse aura pour conséquence que son chien sera dorénavant considéré comme dangereux au sens de l'art. 2A al. 2 LChiens. Il n'a cependant jamais été question de qualifier le chien du recourant de dangereux et il n'est pas d'emblée certain que l'on retiendra qu'il s'agit d'un chien "avec antécédents avérés, soit ceux ayant déjà attaqué et mordu" au sens de la disposition précitée. Quoi qu'il en soit, une telle qualification et les conséquences qui en découleraient ne sont pas l'objet de la présente procédure. Pour le surplus, il y a lieu de constater que les mesures ordonnées par le service sont modérées au regard du catalogue de mesures prévu par les art. 23 LChiens et 24 RChiens. Le recourant ne démontre d'ailleurs pas en quoi elles seraient manifestement disproportionnées.
5. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. La cause sera renvoyée au Service de la consommation et des affaires vétérinaires du canton de Genève, afin qu'il fixe un nouveau délai pour la remise du rapport concernant le test de maîtrise, le délai fixé dans la décision du 7 avril 2009 étant arrivé à échéance. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. La cause est renvoyée au Service de la consommation et des affaires vétérinaires du canton de Genève, afin qu'il impartisse un nouveau délai pour la remise du rapport concernant le test de maîtrise.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure, au Tribunal administratif de la République et canton de Genève, 1ère section, et à l'Office vétérinaire fédéral.
Lausanne, le 19 avril 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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