Erwägungen:
1.
Am 10. April 2013 verfügte Dr. med. A._, die fürsorgerische Unterbringung des Beschwerdeführers wegen einer psychischen Störung gestützt auf Art. 426 Abs. 1 und 2 sowie <ref-law> und wies den Beschwerdeführer in die geschlossene Abteilung der Privatklinik B._ ein. Mit Bericht vom 30. April 2013 stellte die Klinik Antrag auf Verlängerung der ärztlich angeordneten fürsorgerischen Unterbringung, dem die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB des Kantons Obwalden mit Entscheid vom 10. Juni 2013 entsprach. Auch diese Einweisung erfolgte wegen einer psychischen Störung des Beschwerdeführers. Das Obergericht des Kantons Obwalden, wies die vom Beschwerdeführer gegen den Entscheid der KESB eingereichte Beschwerde am 11. Juli 2013 ab. Der Beschwerdeführer hat diesen Entscheid mit Eingabe vom 7. August 2013 beim Bundesgericht angefochten. Er beantragt sinngemäss die Entlassung und macht zur Begründung im Wesentlichen geltend, vieles, "was im Dokument des Obergerichts geschrieben stehe", sei "eine Lüge". Er sei weder selbst gefährdet noch sei er für Dritte gefährlich. Der Beschwerdeführer hat seine Beschwerde mit Eingabe vom 16. September 2013 ergänzt.
2.
Der angefochtene Entscheid wurde dem Beschwerdeführer am 12. Juli 2013 in voller Ausfertigung zugestellt. Die 30-tägige Beschwerdefrist (<ref-law>) ist damit angesichts der vom 15. Juli 2013 bis zum 15. August 2013 dauernden Gerichtsferien (<ref-law>) am Donnerstag, 12. September 2013 abgelaufen. Die Eingabe vom 16. September 2013 ist daher verspätet.
3.
Nach <ref-law> darf eine Person, die an einer psychischen Störung oder an geistiger Behinderung leidet oder schwer verwahrlost ist, in einer geeigneten Einrichtung untergebracht werden, wenn die nötige Behandlung oder Betreuung nicht anders erfolgen kann. Die Belastung und der Schutz von Angehörigen und Dritten sind zu berücksichtigen (Absatz 2). Die Massnahme gelangt zur Anwendung, wenn eine Person der persönlichen Fürsorge oder Pflege bedarf (Geiser/Etzensberger, Basler Kommentar, Erwachsenenschutz, 2012, N. 6 vor Art. 426-439 ZGB). Erste gesetzliche Voraussetzung für eine Anordnung der Massnahme ist einer der drei abschliessend genannten (Geiser/Etzensberger, a.a.O., N. 12 zu <ref-law>; Christof Bernhart, Handbuch der fürsorgerischen Unterbringung, 2011, S. 108 Rz. 262) Schwächezustände: psychische Störung, geistige Behinderung oder schwere Verwahrlosung. Erforderlich ist sodann eine sich aus dem Schwächezustand ergebende Notwendigkeit der Behandlung bzw. Betreuung ("nötige Behandlung oder Betreuung"; "l'assistance ou le traitement nécessaires" "le cure o l'assistenza necessarie"). Weitere Voraussetzung bildet, dass der Person die nötige Behandlung oder Betreuung nicht auf andere Weise als durch eine Einweisung in eine Anstalt bzw. die Zurückbehaltung in der Einrichtung gewährt werden kann. Gesetzlich verlangt ist schliesslich eine geeignete Einrichtung (Urteil 5A_189/2013 vom 11. April 2013 E. 2.1). Die betroffene Person wird entlassen, sobald die Voraussetzungen für die Unterbringung nicht mehr erfüllt sind (<ref-law>).
Betreffend den Inhalt des bei psychischen Störungen erforderlichen Gutachtens und den Inhalt des Urteils der Beschwerdeinstanz im Lichte von <ref-law> wird auf die Urteile 5A_469/2013 vom 17. Juli 2013 E. 2.4 und 5A_189/2013 vom 11. April 2013 E. 2.3 verwiesen.
3.1. Nach dem Bericht der Privatklinik B._ vom 5. Juni 2013 leidet der Beschwerdeführer weiterhin an einer schizophrenen Episode mit hebephrenen und paranoiden Zügen (ICD-10 F20.0,20.1) sowie an einer Cannabisabhängigkeit (ICD-10 F 12.25). Laut dem mündlichen Gutachten des im Verfahren beigezogenen Sachverständigen, Dr. med. C._, forensischer Dienst lups, liegt beim Beschwerdeführer eine teilremittierte hebephrene Schizophrenie vor. Psychopathologisch besteht ein Wahn im Sinn von Denkstörungen, ohne akute Suizidalität. Der Beschwerdeführer stellt die tatsächlichen Feststellungen der Experten nicht substanziiert infrage. Die Vorinstanz hat somit zu Recht eine psychische Störung, d.h. einen Schwächezustand im Sinn von <ref-law> bejaht.
3.2. Was die Notwendigkeit der medikamentösen Behandlung der festgestellten Störung anbelangt, so hat die Erkrankung des Beschwerdeführers vor allem Einflüsse auf sein Sexualverhalten. Namentlich bedeckt er gemäss mehrfachen Angaben seine Genitalien in der Öffentlichkeit nur ungenügend und hat er sich - anscheinend ohne deren Einverständnis - im Zimmer einer Mitpatientin aufgehalten. Abgesehen davon vernachlässigt er in offenbar zunehmend psychotischem Zustand die Körper- und Kleiderreinigung und bestieg er nur leicht bekleidet ohne Schuhe den schneebedeckten Pilatus. Im Weiteren leidet er an den Wahnvorstellungen. Im Lichte dieser vom Beschwerdeführer nicht substanziiert infrage gestellten tatsächlichen Feststellungen verhält sich der Beschwerdeführer in der Öffentlichkeit auffällig. Aufgrund der Art, wie er seinen Mitmenschen begegnet, und der ohne adäquate Bekleidung vorgenommenen "Wanderung" besteht namentlich unter Berücksichtigung der bevorstehenden kalten Jahreszeit eine konkrete Selbstgefährdung, deren Art und Grad es - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - rechtfertigen, die Behandlung der psychischen Störung als nötig im Sinn von <ref-law> zu betrachten.
3.3. Wie sich des weiteren aus dem Gutachten des Sachverständigen ergibt, ist die erforderliche Behandlung angesichts der mangelnden Compliance des Beschwerdeführers nicht ambulant durchführbar. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was diese Einschätzung des Gutachters infrage stellte. Damit erweist sich die weitere Zurückbehaltung in der Einrichtung als verhältnismässig. Schliesslich wird nichts gegen die Geeignetheit der Einrichtung vorgetragen.
4.
Sind sämtliche Voraussetzungen für eine fürsorgerische Unterbringung nach wie vor gegeben (<ref-law>), ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Den Umständen des konkreten Falles entsprechend werden keine Kosten erhoben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB und dem Obergericht des Kantons Obwalden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden