Sachverhalt:
A. X._ und Y._ heirateten am 14. September 1990. Sie wurden Eltern dreier Mädchen (geb. 1991, 1997 und 1999) und eines Knaben (geb. 1993). Mit Urteil vom 2. November 2005 schied das Bezirksgericht Arbon die Ehe. Die elterliche Sorge teilte es für die drei Töchter der Mutter, für den Sohn hingegen dem Vater zu. Es regelte die weiteren Kinderbelange und verpflichtete den Vater, für den Unterhalt seiner drei Töchter monatlich je Fr. 400.-- zuzüglich der Zulagen aller vier Kinder an die Mutter zu bezahlen. Das Scheidungsurteil erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
B. Am 29. Januar 2009 reichte X._ beim Bezirksgericht Arbon eine Abänderungsklage ein. An der Hauptverhandlung vom 22. Juni 2009 präzisierte er seine Rechtsbegehren und verlangte hauptsächlich eine Herabsetzung der Unterhaltsbeiträge für seine drei Töchter auf monatlich je Fr. 180.-- sowie die Zusprechung von nur drei Kinderzulagen. Gleichzeitig beantragte X._ die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sowie die Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes.
Das Bezirksgericht Arbon hiess die Klage mit Urteil vom 22. Juni 2009 teilweise gut und änderte das Scheidungsurteil vom 2. November 2005 insoweit ab, als die Unterhaltsbeiträge für die drei Töchter auf monatlich je Fr. 330.-- reduziert wurden, nur noch die Kinderzulagen für diese drei Kinder zu überweisen waren und X._ verpflichtet wurde, allfällige Gratifikationen oder einen allfälligen 13. Monatslohn in vollem Umfang an Y._ zu bezahlen. Antragsgemäss gewährte das Bezirksgericht X._ die unentgeltliche Rechtspflege und bestellte ihm einen unentgeltlichen Rechtsbeistand.
C. Gegen dieses Urteil erklärte X._ am 1. Oktober 2009 die Berufung, die er am 26. Oktober 2009 mit seinen Anträgen ergänzte. Mit Verfügung vom 13. Januar 2010 entzog der Präsident des Obergerichts des Kantons Thurgau X._ die unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Berufung.
D. Mit Eingabe vom 3. Februar 2010 (Postaufgabe am 4. Februar 2010) sowie deren Ergänzung vom 13. Februar 2010 (Postaufgabe am 15. Februar 2010) hat X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) beim Bundesgericht eine Beschwerde eingereicht. Er verlangt sinngemäss die Aufhebung der obergerichtlichen Verfügung vom 13. Januar 2010 und die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege (unter Beiordnung eines Anwalts) für das Berufungsverfahren. Sinngemäss stellt er weiter ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Der Präsident des Obergerichts beantragt in seiner Vernehmlassung vom 1. März 2010 die Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung der Abteilungspräsidentin vom 4. März 2010 wurde der Beschwerde von Amtes wegen die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Am 17. März 2010 hat der Beschwerdeführer eine Replik eingereicht und seine Begehren bestätigt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>), mit welchem dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Berufungsverfahren entzogen worden ist. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131), dessen ungeachtet, ob er während des Hauptverfahrens, zusammen mit dem Endentscheid oder nach diesem ergangen ist (Urteil 5A_396/2009 vom 5. August 2009 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.2 Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). Im vorliegenden Fall sind die Unterhaltsbeiträge für die drei unmündigen Töchter des Beschwerdeführers strittig, womit eine Zivilsache mit Vermögenswert vorliegt (<ref-ruling> E. 2b S. 495). Die Streitwertgrenze ist angesichts der gesetzlichen Unterhaltsdauer erfüllt (<ref-law> i.V.m. <ref-law>; <ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist nach dem Gesagten in der Hauptsache zulässig und kann auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid ergriffen werden. Die angefochtene Verfügung vom 13. Januar 2010 wurde dem Beschwerdeführer am 14. Januar 2010 zugestellt. Damit hat der Beschwerdeführer sowohl die Beschwerde vom 3. Februar 2010 als auch deren Ergänzung vom 13. Februar 2010 fristgerecht (<ref-law>) eingereicht.
1.3 Der Beschwerdeführer hat in seiner Beschwerde vom 3. Februar 2010, in deren Ergänzung vom 13. Februar 2010 sowie in seiner Replik vom 17. März 2010 neue tatsächliche Behauptungen und Dokumente vorgebracht. Gemäss <ref-law> dürfen Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Ausgeschlossen sind dabei von vornherein echte Noven, das heisst erst nach dem Entscheid der Vorinstanz eingetretene Tatsachen und erstellte Beweisurkunden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Sämtliche vom Beschwerdeführer neu eingereichten Beweismittel, die nach dem angefochtenen Urteil erstellt wurden und danach eingetretene Tatsachen betreffen, sind deshalb unzulässig. Soweit der Beschwerdeführer unechte Noven vorbringt, legt er nicht dar, inwiefern die gesetzliche Voraussetzung für die nachträgliche Einreichung seiner Beweismittel erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3 S. 395). Unter diesem Vorbehalt kann auf die Beschwerde eingetreten werden. Mit ihr kann eine Verletzung von Bundesrecht gerügt werden, wozu auch das Verfassungsrecht gehört (<ref-law>).
1.4 Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht nebst der Aufhebung der angefochtenen Verfügung in der Sache die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes für das kantonale Berufungsverfahren. Dieser Antrag ist überflüssig. Denn nach dem Prozessrecht des Kantons Thurgau gilt die in erster Instanz bewilligte unentgeltliche Rechtspflege auch für das Rechtsmittelverfahren, es sei denn, sie werde durch ausdrückliche Verfügung für das zweitinstanzliche Verfahren entzogen (§ 83 Abs. 2 und § 84 ZPO/TG; MERZ, Die Praxis zur thurgauischen Zivilprozessordnung, 2. Auflage 2007, N. 27a zu <ref-law>/TG und N. 4 zu <ref-law>/TG). Sollte sich deshalb die angefochtene Verfügung, mit welcher der Obergerichtspräsident die unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Berufung entzogen hat, als verfassungswidrig erweisen, bedarf es keiner Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege beziehungsweise einer Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes.
2. Gegenstand der Beschwerde ist die Prüfung der Prozessaussichten im Hinblick auf die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. In der Hauptsache geht es um die Zusprechung von Kinderunterhaltsbeiträgen im Rahmen eines Abänderungsverfahrens.
2.1 Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass ihm das kantonale Recht weitergehende Ansprüche einräumt, als die in <ref-law> verankerte Minimalgarantie (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 2; <ref-ruling> E. 2.1 S. 133). Danach hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand. Ob der verfassungsmässige Anspruch verletzt wurde, prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei. Soweit es um tatsächliche Feststellungen der kantonalen Instanz geht, ist seine Prüfungsbefugnis auf Willkür beschränkt (<ref-ruling> E. 2.3 S. 14).
2.2 Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen). Dabei ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, dem Sachrichter vorgreifend zu prüfen, ob das vom Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren gestellte Begehren zu schützen sei oder nicht, sondern einzig, ob der von ihm verfolgte Rechtsstandpunkt im Rahmen des sachlich Vertretbaren liegt beziehungsweise nicht von vornherein unbegründet erscheint (<ref-ruling> E. 3a S. 115).
2.3 Geht es wie hier um die Beurteilung der Erfolgsaussichten eines kantonalen Rechtsmittels, ist zu beachten, dass ein erstinstanzliches Urteil vorliegt, das mit den gestellten Rechtsmittelanträgen verglichen werden kann. Der Rechtsmittelinstanz wird dadurch die summarische Prüfung der Erfolgsaussichten erleichtert. Nur wenn der Rechtsmittelkläger dem erstinstanzlichen Entscheid nichts Wesentliches entgegensetzen kann, läuft er Gefahr, dass ein Rechtsmittel als aussichtslos eingestuft wird, namentlich wenn eine eingeschränkte Kognition oder Rügepflicht gilt (Urteil 4P.74/2004 vom 26. April 2004 E. 2.3; Meichssner, Das Grundrecht auf unentgeltliche Rechtspflege, 2008, S. 112). Ob der Beschwerdeführer tatsächlich Aussicht darauf hat, mit seinen Berufungsanträgen vollumfänglich durchzudringen, ist nicht massgebend; für die Verneinung der Aussichtslosigkeit ist mitunter ausreichend, wenn gewisse Chancen auf teilweise Gutheissung des Berufungsbegehrens bestehen (Urteil 1B_296/2008 vom 11. Dezember 2008 E. 2.4 mit Hinweis).
3. 3.1 Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer die von der ersten Instanz gewährte unentgeltliche Rechtspflege entzogen, weil sie die Aussichten der bei ihr erhobenen Berufung als "offensichtlich aussichtslos" beurteilte. Ihrer Ansicht nach sind die erstinstanzlichen Erwägungen zutreffend und ist nicht ersichtlich, inwiefern sie zu anderen Schlüssen kommen sollte.
3.2 Der Beschwerdeführer trägt demgegenüber vor, seine Berufung sei nicht aussichtslos. Er macht hauptsächlich geltend, die für die Berechnung der Unterhaltsbeiträge massgebenden Faktoren des betreibungsrechtlichen Existenzminimums sowie des Einkommens seien falsch berechnet worden. Insbesondere liege ein Eingriff in seinen Notbedarf vor.
3.3 In seinem Abänderungsurteil berücksichtigte das Bezirksgericht beim Lohn des Beschwerdeführers ebenfalls Fr. 250.-- aus dem Einkommen seines Sohnes (dieses setzt sich aus einer Ausbildungszulage von Fr. 250.-- pro Monat sowie dem Lehrlingslohn zusammen; S. 11 des Urteils vom 22. Juni 2009). Der Beschwerdeführer hat dieses Vorgehen so verstanden, als ihm die Ausbildungszulage seines Sohnes in der Höhe von Fr. 250.-- zu seinem Einkommen hinzugerechnet wurde. Dagegen wendet er ein, diese Zulage stehe ausschliesslich seinem Sohn zu und sei deshalb im Rahmen seines Einkommens gar nicht zu berücksichtigen (Berufungsantrag Nr. 1 vom 26. Oktober 2009). In der angefochtenen Verfügung ist der Obergerichtspräsident darauf nicht näher eingegangen. Wie aus seiner Vernehmlassung vom 1. März 2010 hervorgeht, verstand aber auch er das bezirksgerichtliche Vorgehen so, als dass die Ausbildungszulage des Sohnes in der Höhe von Fr. 250.-- dem Einkommen des Beschwerdeführers zugerechnet wurde (S. 1 der Vernehmlassung vom 1. März 2010). Die in Frage stehende Aussichtslosigkeit des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege beurteilte er folglich aufgrund dieser Sichtweise und bezeichnete das Vorgehen des Bezirksgerichts zwar als diskutabel, jedoch im Ergebnis als nicht zu beanstanden.
3.4 Der Unterhaltsbeitrag soll den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern entsprechen und ausserdem Vermögen und Einkünfte des Kindes sowie den Beitrag des nicht obhutsberechtigten Elternteils an der Betreuung berücksichtigen (<ref-law>). Zur Beurteilung der Aussichtslosigkeit hat die Vorinstanz an den Faktor der Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers angeknüpft. Diese ergibt sich aus der Gegenüberstellung von Bedarf und Nettoeinkommen (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 162). Für die Berechnung des Bedarfs ist auf das betreibungsrechtliche Existenzminimum abzustellen.
3.5 Gemäss <ref-law> sind Kinderzulagen, Sozialversicherungsleistungen und ähnliche für den Unterhalt des Kindes bestimmte Leistungen, die dem Unterhaltspflichtigen zustehen, zusätzlich zum Unterhaltsbeitrag zu zahlen, soweit das Gericht es nicht anders bestimmt. Eine weitgehend spiegelbildliche Bestimmung findet sich in Art. 8 des Bundesgesetzes vom 24. März 2006 über die Familienzulagen (FamZG; SR 836.2). Dies hat zur Folge, dass bei der Beurteilung der Leistungsfähigkeit des Unterhaltsverpflichteten und damit bei der Bemessung des Unterhaltsbeitrages nach <ref-law> solche Sozialleistungen vorweg abzuziehen sind (sog. Grundsatz der Kumulation; <ref-ruling> E. 4b S. 309 f.; <ref-ruling> E. 2.3.5 S. 18 f. und ausführlich Urteil 5A_746/2008 vom 9. April 2009 E. 6.1 mit Hinweisen).
3.6 Nach dem Gesetzeswortlaut ist zwar nicht ausgeschlossen, dass das Gericht eine andere Lösung trifft. Ausgehend vom Grundsatz der Kumulation ist dies jedoch nur in Ausnahmefällen angezeigt (vgl. HEGNAUER, Berner Kommentar, 1997, N. 101 zu <ref-law>; WIDMER, Kindesunterhalt und Kinderzulagen gemäss FamZG, Jusletter 20. Juli 2009, S. 4). Ob das Bezirksgericht die Ausbildungszulage des Sohnes tatsächlich (vollumfänglich oder mindestens teilweise) dem Einkommen des Beschwerdeführers zugerechnet hat, ist zumindest nicht auf den ersten Blick ersichtlich und kann nicht im Rahmen einer summarischen und vorläufigen Prüfung nachvollzogen werden. Eine solche Hinzurechnung könnte dazu führen, dass der Sohn des Beschwerdeführers im Verhältnis zu dessen drei Töchtern ungleich behandelt würde, wenn ihnen die Zulagen ungeschmälert zuzüglich zum Unterhaltsbeitrag überwiesen werden. Ob darin eine finanzielle Ungleichbehandlung liegen würde und ob diese durch die objektiven Bedürfnisse der Kinder gerechtfertigt wäre (vgl. zum Grundsatz <ref-ruling> E. 2b S. 358 f.), bedarf einlässlicher Prüfung der konkreten Verhältnisse und kann regelmässig nicht auf Anhieb gesagt werden. Andererseits könnte die Mischrechnung des Bezirksgerichts zur Folge haben, dass die für den Sohn bestimmte Ausbildungszulage als Lohnbestandteil die Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers erhöhen und damit indirekt der Bezahlung der Unterhaltsbeiträge an die drei Töchter dienen würde. Zutreffend hat der Obergerichtspräsident deshalb die (nicht klar formulierte) Berechnungsweise des Bezirksgerichts als "diskutabel" bezeichnet. Ob sie sich auch auf das Ergebnis auswirkt, kann im Rahmen der bloss summarischen Prüfung von Erfolgsaussichten einer Berufung nicht beurteilt werden, sondern ist Gegenstand der Beurteilung dieser Berufung selbst.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer hat in seiner Berufung vom 26. Oktober 2009 (Antrag Nr. 6) weiter vorgebracht, er werde ab dem 1. Januar 2010 für seine obligatorische Krankenpflegeversicherung einen Beitrag von neu Fr. 260.-- monatlich zu leisten haben. Der Obergerichtspräsident hat in der angefochtenen Verfügung vom 13. Januar 2010 auf die bezirksgerichtlichen Ausführungen verwiesen (Anrechnung von Fr. 45.-- pro Monat) und diese als "offensichtlich zutreffend" bezeichnet. In seiner Vernehmlassung vom 1. März 2010 (S. 3) hält er fest, mit dem vom Bezirksgericht zugestandenen Betrag von Fr. 45.-- sei selbst eine allfällige Erhöhung des Beitrags an die obligatorische Krankenpflegeversicherung offensichtlich abgedeckt.
4.2 Nach § 230 Abs. 1 des Gesetzes vom 6. Juli 1988 über die Zivilrechtspflege des Kantons Thurgau (ZPO; RB 271) können in den Berufungseingaben neue Tatsachen behauptet, Bestreitungen erhoben und neue Beweismittel bezeichnet werden (vgl. Urteil 5P.431/2003 vom 13. Januar 2004 E. 2.3.3). Zulässig sind nicht nur unechte, sondern auch echte Noven (MERZ, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>/TG).
4.3 Die vorgenannte Bestimmung führt somit dazu, dass die Vorinstanz die Änderungen in den finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers und damit bei der Berechnung der Leistungsfähigkeit grundsätzlich zu berücksichtigen hat. Das Bezirksgericht ging von einer monatlichen Prämie von Fr. 140.45 aus (S. 8 des Urteils vom 22. Juni 2009). Demgegenüber behauptet der Beschwerdeführer in seiner Berufung vom 26. Oktober 2009 (Antrag Nr. 6) eine Erhöhung auf Fr. 260.--. Angesichts dieser behaupteten Erhöhung kann den Ausführungen der Vorinstanz, wonach in den bezirksgerichtlich schlussendlich gewährten Fr. 45.-- auch eine allfällige Erhöhung mitberücksichtigt wäre, nicht gefolgt werden. Ob hingegen diese (behaupteten) Veränderungen eine Gutheissung der Berufung des Beschwerdeführers zur Folge haben, kann offenbleiben und ist von der Vorinstanz zu prüfen.
5. Bereits mit Blick auf diese beiden vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen ergibt sich, dass seine Berufung nicht von vornherein als aussichtlos bezeichnet werden kann. Der Beschwerdeführer kann dem erstinstanzlichen Entscheid Wesentliches entgegensetzen. Bei der Beurteilung der Aussichtslosigkeit ist ebenfalls zu berücksichtigen (vgl. E. 2.3 oben), dass die Vorinstanz im Berufungsverfahren über eine umfassende Kognition verfügt und den erstinstanzlichen Entscheid (im Rahmen der Berufungsanträge) in seiner Gesamtheit überprüfen kann (<ref-law>/TG; MERZ, a.a.O., N. 1 und 2 zu <ref-law>/TG). Abschliessend ist festzuhalten, dass die Prüfung der Bemessungsgrundlagen (Bedarf und Nettoeinkommen) für den Unterhaltsbeitrag vertiefter Abklärung bedarf und nicht im Rahmen bloss summarischer Prüfung eines Gesuchs um unentgeltliche Prozessführung erfolgen kann (vgl. E. 2.2 oben). Die Rüge einer Verletzung der verfassungsmässigen Minimalgarantie gemäss <ref-law> ist begründet und die angefochtene Verfügung aufzuheben. Eine Rückweisung an die Vorinstanz kann unterbleiben (vgl. E. 1.4 oben).
6. Ungeachtet des Verfahrensausgangs sind dem Kanton Thurgau keine Kosten aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Beschwerdeführer sind als obsiegender Partei keine Kosten aufzuerlegen; der von ihm geleistete Kostenvorschuss in der Höhe von Fr. 500.-- ist ihm zu erstatten. Eine Parteientschädigung ist nicht zu sprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG sowie Art. 11 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]; <ref-ruling> E. 4 S. 580; <ref-ruling> E. 4 S. 136), wobei der Beschwerdeführer ohnehin keine Auslagen ausgewiesen hat. Bei dieser Kosten- und Entschädigungsregelung wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und die Verfügung des Präsidenten des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 13. Januar 2010 aufgehoben.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. April 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Bettler