Sachverhalt:
A. H._ war ab 1. Juni 2003 als selbständigerwerbender Dachdecker der Ausgleichskasse Luzern angeschlossen. Diese lehnte mit Verfügung vom 1. Juli 2010 die Anerkennung als Selbständigerwerbender auch in Bezug auf die Tätigkeit als Kaffeemaschinen-Servicetechniker ab 1. Oktober 2009 ab, woran sie mit Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2010 festhielt.
B. Die Beschwerde des H._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 31. August 2011 ab.
C. H._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, er sei als selbständiger Kaffeemaschinen-Techniker einzustufen.

Erwägungen:
1. Die Vorinstanz ist zu Recht auf die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2010 betreffend die Nichtanerkennung als selbständigerwerbender Kaffeemaschinen-Servicetechniker eingetreten (<ref-ruling>).
2. Die Vorinstanz hat die Statusfrage in Bezug auf die Tätigkeit als Kaffeemaschinen-Servicetechniker losgelöst von der selbständigen Tätigkeit als Dachdecker geprüft, was der Beschwerdeführer zu Recht nicht als bundesrechtswidrig rügt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3b in fine S. 172). Dabei hat sie die Rechtsprechung zur Abgrenzung selbständiger von unselbständiger Erwerbstätigkeit richtig wiedergegeben, worauf verwiesen wird (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 162 mit Hinweisen; SVR 2011 AHV Nr. 11 S. 33, 9C_946/2009 E. 2.1).
3. Die Vorinstanz hat festgestellt, es müsse aufgrund der Akten davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführer derzeit einzig im Auftrag von M. als Kaffeemaschinen-Servicetechniker arbeite. Für diesen einzigen Arbeitgeber sei er nach eigenen Angaben bereits seit 2005 im selben Umfang tätig gewesen und habe Kaffeemaschinen direkt bei Kunden repariert. Die Mietkosten für die erst Ende 2009 in der Liegenschaft seiner Ehefrau eingebaute Werkstatt könnten daher nicht als betriebsnotwendiger Einsatz von Kapital qualifiziert werden. Da es keine direkten Aufträge mit anderen Kunden gebe, habe der Beschwerdeführer auch kein Inkasso- oder Delkredere-Risiko zu tragen. Das hauptsächliche Risiko bestehe letztlich darin, von M. keine Aufträge mehr zu erhalten, vergleichbar mit einem Arbeitnehmer, dessen Arbeitgeber keinen Lohn mehr bezahlt, wobei es sich nach der Rechtsprechung indessen nicht um ein spezifisches Unternehmerrisiko handle. Schliesslich bestehe nach Angaben des Beschwerdeführers auch eine Pflicht gegenüber dem Auftraggeber zur periodischen Berichterstattung (Arbeitsrapporte, Abrechnung über die geleistete Arbeit) und die Entlöhnung erfolge regelmässig. Die Merkmale für unselbständige Erwerbstätigkeit würden somit klar überwiegen.
4. 4.1 Soweit der Beschwerdeführer appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung übt, ist darauf und auf die daraus gezogenen rechtlichen Schlüsse nicht einzugehen (Urteile 9C_735/2010 vom 21. Oktober 2010 E. 3 und 4A_28/2007 vom 30. Mai 2007 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68 und 134 II 244 E. 2.1 f. S. 245 f.). Im Weitern ergibt sich aus den in diesem Verfahren eingereichten Unterlagen zwar, dass der Beschwerdeführer in den Monaten April und Mai 2011 auch für Dritte Service- und Reparatur-Arbeiten an Kaffeemaschinen ausgeführt hat. Dabei handelt es sich indessen um neue Tatsachen und Beweismittel, ohne dass dargelegt wird, inwiefern diese erst durch den angefochtenen Entscheid rechtswesentlich geworden sind und nicht bereits im vorinstanzlichen Verfahren eingebracht werden konnten und mussten (<ref-law>; SVR 2011 EL Nr. 6 S. 17, 9C_972/2009 E. 4.2 mit Hinweisen). Die betreffenden Dokumente haben somit unbeachtet zu bleiben. Abgesehen davon beschlagen sie Sachverhalte nach dem den gerichtlichen Prüfungszeitraum begrenzenden Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2011 (<ref-ruling> E. 2 S. 354; SVR 2011 IV Nr. 31 S. 90, 9C_728/2009 E. 1).
4.2 Soweit der Beschwerdeführer allgemein bestreitet, von M. (in betriebswirtschaftlicher und organisatorischer Hinsicht) abhängig zu sein, ist darauf hinzuweisen, dass die Begriffe selbständigerwerbend und unselbständigerwerbend im beitragsrechtlichen Sinne nicht übereinzustimmen brauchen mit dem, was üblicherweise darunter verstanden wird (<ref-ruling> E. 3b S. 172). Im Weitern rügt der Beschwerdeführer zwar zu Recht, dass aus dem Einbau der Werkstatt in der Liegenschaft seiner Ehefrau (erst) im November 2009 nicht ohne weiteres im Umkehrschluss gefolgert werden kann, er habe bis zu diesem Zeitpunkt die Kaffeemaschinen immer direkt bei den Kunden repariert. Die Vorinstanz nennt keine weiteren Gründe, weshalb insbesondere Reparatur-Arbeiten nicht auch in eigenen Räumlichkeiten - nach Angaben des Versicherten in der Dachdeckerwerkstatt - ausgeführt werden konnten. Abgesehen davon müsste bei Annahme eines Kundenservice konsequenterweise die Verwendung eines Autos als unabhängig vom Arbeitserfolg zu tragender Einsatz von Kapital betrachtet werden, was ein Merkmal für selbständige Erwerbstätigkeit darstellte. Dies vermag indessen am vorinstanzlichen Ergebnis, dass die Tätigkeit als Kaffeemaschinen-Servicetechniker jedenfalls für die Zeit bis zum Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2010 als unselbständige Erwerbstätigkeit einzustufen ist, nichts zu ändern. Die Beschwerde ist somit unbegründet.
5. Die in diesem Verfahren eingereichten Unterlagen rufen einer Neubeurteilung des Beitragsstatuts in Bezug auf die Tätigkeit als Kaffeemaschinen-Servicetechniker spätestens für die Zeit ab 1. April 2011. Zu diesem Zweck sind die Akten an die Ausgleichskasse zu überweisen.
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von der Bezahlung von Gerichtskosten kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Akten werden an die Ausgleichskasse Luzern überwiesen, damit sie im Sinne von E. 5 verfahre.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Oktober 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler