Sachverhalt:
A. Die 1948 geborene R._ meldete sich am 6. November 2003 zum Leistungsbezug bei der IV-Stelle Basel-Stadt an, welche nach Beizug medizinischer und beruflicher Unterlagen eine psychiatrische Begutachtung veranlasste (Expertise vom 3. Juli 2006). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 19. Oktober 2007 den Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung (Invaliditätsgrad 37,5 %).
B. Die von R._ hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 16. Juli 2008 gut und sprach ihr mit Wirkung ab 1. November 2003 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung zu.
C. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) und die IV-Stelle Basel-Stadt führen je Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragen, die Verfügung vom 19. Oktober 2007 sei, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, zu bestätigen. Sodann sei den Beschwerden die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die Versicherte lässt die Abweisung der Beschwerden beantragen; eventualiter sei die Sache zu ergänzender Abklärung an die Verwaltung zurückzuweisen. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt vernimmt sich im abweisenden Sinne.
D. Mit Verfügung vom 1. Dezember 2008 hat der Instruktionsrichter die aufschiebende Wirkung der Beschwerden angeordnet.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerden 9C_782/2008 und 9C_790/2008 richten sich gegen denselben letztinstanzlichen kantonalen Entscheid und betreffen den gleichen Streitgegenstand. Es rechtfertigt sich daher, die Verfahren zu vereinigen und in einem gemeinsamen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 126 und 192 E. 1 S. 194, je mit Hinweisen; Urteil 9C_734/2007 vom 1. April 2008 E. 1).
1.2 Auf den Eventualantrag der Beschwerdegegnerin, die Sache sei zu weiterer Abklärung an die Verwaltung zurückzuweisen, kann nicht eingetreten werden, da das Bundesgerichtsgesetz das Institut der Anschlussbeschwerde nicht kennt und die Beschwerdegegnerin nicht selbstständig Beschwerde erhoben hat (ULRICH MEYER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 4 zu <ref-law>).
2. 2.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2.2 Gemäss <ref-law> wird für die Bestimmung des Invaliditätsgrades das Erwerbseinkommen, das die versicherte Person nach Eintritt der Invalidität und nach Durchführung der medizinischen Behandlung und allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihr zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte, in Beziehung gesetzt zum Erwerbseinkommen, das sie erzielen könnte, wenn sie nicht invalid geworden wäre. Sodann sieht <ref-law> (in der bis zum 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung) vor, dass bei einem Invaliditätsgrad von 40 % ein Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung besteht. Nach <ref-law> (in der bis zum 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung) entsteht der Anspruch auf eine Invalidenrente, wenn der Versicherte während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens zu 40 % arbeitsunfähig gewesen war.
3. Streitig und zu prüfen ist die Höhe des Invaliditätsgrades, wobei BSV und IV-Stelle die im angefochtenen Entscheid mit der Begründung eines unterdurchschnittlichen Valideneinkommens vorgenommene Herabsetzung des Invalidenlohnes um 2 % als rechtlich falsch rügen. Im Weiteren schliessen sie mit Bezug auf die Gewährung eines behinderungsbedingten Abzuges von 5 % durch das kantonale Gericht auf einen Rechtsfehler.
4. 4.1 Im Rahmen der Invaliditätsbemessung betrifft die Feststellung des Gesundheitsschadens, d.h. die Befunderhebung und die gestützt darauf gestellte Diagnose, ebenso eine Tatfrage wie die aufgrund von medizinischen Untersuchungen gerichtlich festgestellte Arbeitsunfähigkeit (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398). Demgegenüber charakterisieren sich auf der beruflich-erwerblichen Stufe der Invaliditätsbemessung als Rechtsfragen die gesetzlichen und rechtsprechungsgemässen Regeln über die Durchführung des Einkommensvergleichs (<ref-ruling> E. 3.4 S. 348 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 30 f.; <ref-ruling> E. 2a und b S. 136 f.), einschliesslich derjenigen über die Anwendung der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung des Bundesamtes für Statistik (LSE; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 475 f.; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 76 f.; <ref-ruling> E. 3b/aa S. 322 f.). Die Bestimmung der beiden für den Einkommensvergleich erforderlichen hypothetischen Vergleichseinkommen stellt sich als Tatfrage dar, soweit sie auf konkreter Beweiswürdigung beruht, hingegen als Rechtsfrage, soweit sich der Entscheid nach der allgemeinen Lebenserfahrung richtet. Letztes betrifft etwa die Frage, ob Tabellenlöhne anwendbar sind, welches die massgebliche Tabelle ist und ob ein behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter Leidensabzug vorzunehmen sei. Die Frage nach der Höhe eines in einem konkreten Fall grundsätzlich angezeigten leidensbedingten Abzuges ist schliesslich eine typische Ermessensfrage, deren Beantwortung letztinstanzlicher Korrektur nur mehr dort zugänglich ist, wo das kantonale Gericht sein Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat (<ref-ruling> E. 3.3 S. 399).
4.2 Das kantonale Gericht stellte nicht offensichtlich unrichtig und daher für das Bundesgericht verbindlich ein Valideneinkommen von Fr. 47'499.- fest (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 BGG), wobei es den im Jahr 2002 in der angestammten Tätigkeit der Raumpflegerin erzielten Lohn von Fr. 46'844.- um die Nominallohnentwicklung des Jahres 2002 anhob. Den Ablauf der Wartezeit gemäss <ref-law> verlegte es mithin auf das Jahr 2003. Anhand eines Vergleichs des Validenlohnes mit dem sich aus der LSE 2002, Tabelle TA1, Total, Frauen, Anforderungsniveau 4, ergebenden und die Lohnentwicklung 2002 einbeziehenden Betrages von Fr. 48'457.- schloss die Vorinstanz auf ein um 2 % unterdurchschnittliches Valideneinkommen, welche Differenz sie mit der Herabsetzung des Invalidenlohnes berücksichtigte.
4.2.1 Bezog eine versicherte Person aus invaliditätsfremden Gründen (z.B. geringe Schulbildung, fehlende berufliche Ausbildung, mangelnde Deutschkenntnisse) ein deutlich unterdurchschnittliches Einkommen, ist diesem Umstand bei der Invaliditätsbemessung nach <ref-law> Rechnung zu tragen, sofern keine Anhaltspunkte dafür bestehen, dass sie sich aus freien Stücken mit einem bescheideneren Einkommensniveau begnügen wollte (<ref-ruling> E. 5c/bb S. 157 mit Hinweisen). Nur dadurch ist der Grundsatz gewahrt, dass die auf invaliditätsfremde Gesichtspunkte zurückzuführenden Lohneinbussen entweder überhaupt nicht oder aber bei beiden Vergleichseinkommen gleichmässig zu berücksichtigen sind (<ref-ruling> E. 4.4 S. 225). Diese Parallelisierung der Einkommen kann praxisgemäss entweder auf Seiten des Valideneinkommens durch eine entsprechende Heraufsetzung des effektiv erzielten Einkommens oder durch Abstellen auf die statistischen Werte (vgl. Urteil I 697/05 vom 9. März 2007, in: SVR 2008 IV Nr. 2 S. 3 und Urteil I 750/04 vom 5. April 2006 E. 5.5) oder aber auf Seiten des Invalideneinkommens durch eine entsprechende Herabsetzung des statistischen Wertes (vgl. Urteil U 454/05 vom 6. September 2006 E. 6.3.3 mit Hinweisen) erfolgen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 4.1 S. 325 f.).
4.2.2 Auch nach der mit <ref-ruling> präzisierten Rechtsprechung führt nicht jedes im Vergleich zum jeweiligen statistischen Lohn tiefere Valideneinkommen zu einer Parallelisierung der Einkommen mittels Anhebung des Validen- oder Reduktion des Invalidenlohnes um den Unterschied. Vielmehr bedarf es weiterhin einer deutlichen Unterdurchschnittlichkeit. Die Klarstellung im genannten Urteil bezog sich allein auf die Hervorhebung der Unterscheidung zwischen leidensbedingtem Abzug und Korrektur der Vergleichseinkommen durch Parallelisierung (<ref-ruling> E. 4.1 S. 325 und E. 6.2 S. 329).
4.2.3 Eine Differenz von 2 % zwischen hypothetischem Valideneinkommen und statistischem Lohn liegt im Rahmen üblicher Streuungen und Schwankungen der Löhne. Die Erfahrung zeigt, dass Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer wegen eines so geringen Lohnunterschiedes die Arbeitsstelle nicht wechseln; Mindereinkommen dieser Grössenordnung werden in Kauf genommen. Die Berufung der Beschwerdegegnerin auf den Rechtsgleichheitsgrundsatz dringt mangels Erheblichkeit nicht durch. Von einem deutlich unterdurchschnittlichen Lohn als Voraussetzung für eine Parallelisierung der Einkommen kann nicht die Rede sein (<ref-ruling> E. 4.1 S. 325 und E. 6.2 S. 329). Indem das kantonale Gericht die Lohndifferenz von 2 % zum Anlass nahm, den Invalidenlohn um eben dieses Mass herabzusetzen, hat es Bundesrecht verletzt (vgl. Urteil 9C_404/2007 vom 11. April 2008 E. 2.3, in: SVR 2008 IV Nr. 49 S. 163).
5. 5.1 Die Vorinstanz erkannte auf der Basis der Leistungsfähigkeitsschätzung des Dr. med. A._, Facharzt für Angiologie, vom 29. Mai 2007 und der von Dr. med. B._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, erstellten Expertise vom 3. Juli 2006 nicht offensichtlich unrichtig ein noch zumutbares wöchentliches Arbeitspensum von 32,5 Std. sowie eine zusätzliche Leistungsbeeinträchtigung von 20 % und ermittelte einen Lohn von Fr. 29'616.- (inkl. Abzug von 2 %, vgl. E. 4.2.3). Dabei stützte sie sich gleich wie bei der Feststellung der Unterdurchschnittlichkeit des Valideneinkommens auf die LSE 2002, Tabelle TA 1, Total, Frauen, Anforderungsniveau 4, und reduzierte den nach Berücksichtigung der Lohnentwicklung für 2002 errechneten Jahreslohn von Fr. 48'457.- (vgl. E. 4.2) gemäss den ärztlichen Leistungsvorgaben, was unter dem Gesichtswinkel der gesetzlichen Kognition zu keiner Beanstandung Anlass gibt (<ref-law>). Aufgrund des in Erwägung 4 hievor Dargelegten entfällt unter dem Titel des unterdurchschnittlichen Valideneinkommens hingegen eine Herabsetzung des Invalidenlohnes um 2 %, womit Letzter auf Fr. 30'286.- zu liegen kommt.
5.2 Wie es sich mit dem von BSV und IV-Stelle beanstandeten leidensbedingten Abzug von 5 % verhält, kann offen bleiben; selbst wenn dieser mit kantonalem Gericht zugestanden wird, erreicht der Invaliditätsgrad bei einem Validenlohn von Fr. 47'499.- (E. 4.2) und einem Invalideneinkommen von Fr. 28'771.- mit 39,43 % bzw. abgerundet 39 % (<ref-ruling>) das leistungsbegründende Mass von 40 % nicht. Damit sind die Beschwerden begründet.
6. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 9C_782/2008 und 9C_790/2008 werden vereinigt.
2. Die Beschwerden werden gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 16. Juli 2008 wird aufgehoben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. März 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Ettlin