Faits:
A. C._ est assuré contre les accidents auprès de Zurich, Compagnie d'assurances (ci-après : Zurich assurances), conformément à la loi fédérale sur l'assurance-accidents, du 20 mars 1981 (LAA). Il est en outre au bénéfice d'une assurance complémentaire à la LAA garantissant la prise en charge, par Zurich assurances, d'une hospitalisation en division privée. Enfin, il est assuré contre la maladie par Helsana assurances SA pour l'assurance obligatoire des soins au sens de la loi fédérale sur l'assurance-maladie, du 18 mars 1994 (LAMal).
Le 18 septembre 2003, l'employeur de C._ a annoncé à Zurich assurances que ce dernier s'était blessé au genou droit en sortant d'un voiture, le 30 août 2003. Il s'était rendu le lendemain au Centre hospitalier X._ pour s'y faire soigner. Divers traitements lui ont par la suite été prodigués et il a notamment subi une intervention chirurgicale le 8 octobre 2003 à la Clinique Y._.
Dans un premier temps, Zurich assurances a pris en charge ces traitements. Par lettre du 5 octobre 2004, elle a toutefois informé l'assuré du fait qu'elle ne pourrait régler que «les factures afférentes aux soins et examens jusqu'à l'intervention du 8 octobre 2003». Elle précisait qu'elle ne pourrait pas prendre en charge cette intervention et les traitements postérieurs comme suite de l'événement du 30 août 2003, à défaut de rapport de causalité naturelle entre cet événement et les lésions traitées. Le 6 octobre 2004, Zurich assurances a également avisé la Centrale d'encaissement des établissements sanitaires du fait que son intervention prenait fin au 7 octobre 2004. Elle a par la suite rectifié cette information en précisant que son intervention prenait fin le 7 octobre 2003 déjà et en invitant la Centrale d'encaissement à s'adresser désormais à la caisse-maladie de C._.
Par décision du 19 novembre 2004 et décision sur opposition du 8 juillet 2005, Zurich assurances a finalement nié tout droit de l'assuré à des prestations de l'assurance-accidents, au motif que l'événement dommageable ne constituait ni un accident, ni une lésion assimilée à un accident.
B. Helsana Assurances SA a recouru contre la décision sur opposition du 8 juillet 2005 devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud. Elle a conclu, en substance, à l'annulation de cette décision dans la mesure où elle niait le droit de l'assuré aux prestations de l'assurance-accidents pour la période courant jusqu'au 19 novembre 2004.
Zurich assurances a conclu au rejet du recours en soutenant qu'elle n'avait reconnu aucune obligation de prester avant la décision du 19 novembre 2004. Invité à se déterminer en qualité d'intéressé, C._ a proposé l'admission du recours.
Par jugement du 10 avril 2007, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours.
C. Helsana Assurances SA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. En substance, elle en demande la réforme en ce sens que l'intimée soit condamnée à prendre en charge le traitement des lésions du genou subies par l'assuré, pour la période du 30 août 2003 au 19 novembre 2004, subsidiairement du 30 août 2003 au 5 octobre 2004.
L'intimée conclut au rejet du recours, alors que C._ a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Aux termes de l'<ref-law>, l'assureur doit rendre par écrit les décisions qui portent sur des prestations, créances ou injonctions importantes ou avec lesquelles l'intéressé n'est pas d'accord (al. 1). L'assureur qui rend une décision touchant l'obligation d'un autre assureur d'allouer des prestations est tenu de lui en communiquer un exemplaire. Cet autre assureur dispose des mêmes voies de droit que l'assuré (al. 4). En l'occurrence, il s'ensuit qu'Helsana assurances SA disposait, en instance cantonale, des mêmes voies de droit que C._ pour attaquer la décision sur opposition du 8 juillet 2005. Elle a également qualité pour agir en instance fédérale contre le jugement du 10 avril 2007 du Tribunal des assurances du canton de Vaud.
2. Dès lors que le jugement entrepris porte exclusivement sur le droit à des prestations en nature de l'assurance-accidents (traitement médical), le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente. Il peut rectifier ou compléter d'office les constatations de cette autorité si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (art. 97 et 105 LTF).
3. 3.1 La recourante ne conteste pas devoir prendre en charge le traitement médical du genou droit de l'assuré pour la période courant dès le 19 novembre 2004. Elle soutient, en revanche, qu'après avoir accepté, dans un premier temps, de couvrir le cas, l'intimée ne pouvait plus revenir sur ce point qu'en mettant fin à ses prestations par une décision produisant des effets ex nunc et pro futuro.
3.2 En instance cantonale comme en instance fédérale, la recourante a allégué que l'intimée avait régulièrement payé les factures qui lui étaient soumises par les divers fournisseurs de prestations jusqu'en septembre 2004, pour un montant total de l'ordre de 17'000 fr. Ces allégations ne sont pas contestées et sont étayées par diverses pièces au dossier. On peut en inférer que Zurich assurances a déjà payé, notamment, la facture relative à l'intervention chirurgicale du 8 octobre 2003 à la Clinique Y._. Sur ce point, il convient de compléter les constatations manifestement incomplètes des premiers juges. Dans la mesure où la recourante soutient que ces frais de traitement doivent rester à la charge de l'intimée, ses conclusions sont d'ordre constatatoire. Dans la mesure, en revanche, où elle exige que l'intimée soit condamnée à prendre en charge des traitements supplémentaires, ses conclusions sont condamnatoires. Il convient d'aborder l'un après l'autre ces deux types de conclusions.
4. 4.1 En ce qui concerne les traitements déjà pris en charge par l'intimée, cette dernière n'exige, dans la décision sur opposition litigieuse, aucune restitution de prestations à l'assuré, mais constate simplement qu'il n'avait pas droit aux prestations de l'assurance-accidents. Par ailleurs, bien qu'elle annonce son intention de demander un remboursement de prestations à l'assurance-maladie, elle ne statue pas sur sa créance en remboursement vis-à-vis de la recourante. Elle n'avait d'ailleurs pas le pouvoir de rendre une décision sur ce point, à l'encontre d'un assureur-maladie (<ref-ruling> consid. 4 p. 180 ss et les références).
4.2 Vis-à-vis de l'assuré, l'intimée n'avait aucun intérêt digne de protection à rendre une décision de constatation sur son obligation de prendre en charge des prestations qu'elle avait déjà fournies et dont elle n'exigeait pas la restitution (sur l'exigence d'un tel intérêt pour rendre une décision de constatation : <ref-ruling> consid. 2.3 p. 391; en rapport avec une décision constatant, avec effet rétroactif, l'absence du droit aux prestations déjà allouées : arrêt U 200/04 du 19 septembre 2005). A défaut d'un tel intérêt digne de protection, il convient d'annuler la décision sur opposition du 8 juillet 2005 dans la mesure où elle constate que l'assuré n'avait pas droit aux prestations en nature déjà perçues; les conclusions de la recourante sur ce point sont donc admises partiellement et le jugement entrepris réformé dans ce sens. Les conclusions en constatation de droit prises par la recourante sont irrecevables pour le surplus, pour le même motif de l'absence d'intérêt digne de protection à une décision de constatation.
5. 5.1 La recourante ne précise pas sur quels traitements exactement portent ses conclusions condamnatoires, c'est-à-dire quels traitements, qui n'auraient pas encore été payés, l'intimée devrait être condamnée à prendre à sa charge pour la période courant jusqu'au 19 novembre 2004. Tout au plus peut-on déduire de ses allégations en instances cantonale et fédérale - et des pièces figurant au dossier - que l'assuré a été hospitalisé le 1er septembre 2004 à la Clinique Y._ et que l'intimée a refusé de prendre en charge le traitement. Il convient, sur ce point également, de compléter les constatations de faits figurant dans le jugement entrepris. Cela étant, en l'absence de toute autre précision de la part de la recourante, on interprétera ses conclusions condamnatoires en ce sens qu'elles portent sur l'obligation de l'intimée de prendre en charge ces frais d'hospitalisation.
5.2 La recourante se réfère à la jurisprudence d'après laquelle l'assureur-accidents a la possibilité de mettre fin avec effet ex nunc et pro futuro à son obligation de prester, qu'il avait initialement reconnue en versant des indemnités journalières et en prenant en charge des frais de traitement, sans devoir se fonder sur un motif de révocation d'une décision entrée en force (reconsidération ou révision procédurale; <ref-ruling>). Elle en déduit qu'a contrario, l'assureur-accidents ne peut pas mettre fin avec effet rétroactif à son obligation de prester si les conditions de la reconsidération ou de la révision procédurale (cf. art. 53 al. 1 et 2 LPGA) ne sont pas remplies. Cette conclusion n'est exacte que dans la mesure où elle porte sur des prestations pour lesquelles l'assurance-accidents a déjà reconnu son obligation de prester, par une décision formelle ou informelle (art. 49 et 51 LPGA). En revanche, l'assurance-accidents conserve la possibilité d'ajuster rétroactivement le droit à des indemnités journalières qu'elle n'a pas encore versées, ainsi que le droit à un traitement médical pour lequel elle n'a pas encore admis son obligation de prester (<ref-ruling>).
En l'occurrence, la Clinique Y._ a expressément demandé à l'intimée une garantie de prise en charge pour l'hospitalisation de l'assuré en septembre 2004. Elle savait par conséquent que la prise en charge de ce traitement par l'intimée n'allait pas de soi et devait encore faire l'objet d'une décision. Aussi ne pouvait-elle pas fournir de prestations en nature, pour le compte de l'assurance-accidents, avant d'avoir obtenu une confirmation de l'intimée qu'elle prendrait en charge le traitement. Le lendemain de la demande de garantie, soit le 2 septembre 2004, l'intimée a d'ailleurs répondu négativement à la Clinique Y._. Dans ces conditions, il faut constater qu'elle n'a pas reconnu son obligation de prendre en charge l'hospitalisation de l'assuré dans cet établissement, en septembre 2004. Elle était donc en droit de refuser la prestation litigieuse en conférant un effet rétroactif à la décision du 19 novembre 2004 et à la décision sur opposition du 8 juillet 2005. Sur ce point, les conclusions de la recourante sont mal fondées.
6. Vu ce qui précède, la recourante n'obtient que partiellement gain de cause, dans le sens exposé au consid. 4. Les frais de justice seront répartis par moitié entre les parties (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable. Le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 10 avril 2007 est réformé en ce sens que la décision sur opposition de Zurich Compagnie d'assurances du 8 juillet 2005 est annulée dans la mesure où elle porte sur des prestations déjà versées à l'assuré.
2. Le recours est rejeté pour le surplus.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis pour 1'500 fr. à la charge de la recourante et pour 1'500 fr. à la charge de l'intimée.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 20 juin 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Métral