Sachverhalt:
A.
Rechtsanwalt X._ wurde mit Verfügung des Gerichtspräsidenten des Bezirksgerichts Baden vom 7. November 2012 als unentgeltlicher Rechtsvertreter von Q._ in einem Eheschutzverfahren eingesetzt.
B.
Am 13. Dezember 2012 reichte Rechtsanwalt X._ eine Kostennote über den Betrag von Fr. 6'007.50 (inkl. Auslagen von Fr. 462.50 und Mehrwertsteuer) ein. Mit Verfügung vom 17. April 2013 sprach ihm der Bezirksgerichtspräsident für seine Tätigkeit im Eheschutzverfahren Fr. 3'739.50 (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer) zu.
C.
Am 6. Mai 2013 erhob Rechtsanwalt X._ gegen die erstinstanzliche Kostenfestsetzung Beschwerde beim Obergericht des Kantons Aargau. Er beantragte, ihm sei der Betrag gemäss Kostennote von Fr. 6'007.50 nebst 5 % Zins seit dem 8. Januar 2013 auszuzahlen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen.
Das Obergericht hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 17. Juni 2013 teilweise gut. Es sprach Rechtsanwalt X._ einen Betrag von total Fr. 4'279.50 zu. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Die Gerichtskosten für das Beschwerdeverfahren auferlegte es zu drei Vierteln Rechtsanwalt X._; Parteientschädigungen sprach es keine zu.
D.
Rechtsanwalt X._ (Beschwerdeführer) gelangt hiergegen mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde und eventualiter Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Die Gerichtskasse Baden, eventualiter die Kasse des Obergerichts, sei anzuweisen, ihm Fr. 6'007.50 nebst 5 % Zins seit dem 8. Januar 2013 auszuzahlen. Es sei festzustellen, dass zweitinstanzlich keine Verfahrenskosten zu verlegen seien; eventualiter seien diese vom Staat Aargau zu tragen. Weiter sei ihm für das obergerichtliche Verfahren eine angemessene Entschädigung zuzusprechen.
Das Bundesgericht hat die Akten, in der Sache selbst aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG; für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde i.V.m. Art. 114 resp. <ref-law>) betreffend Festsetzung der Entschädigung des unentgeltlichen Anwalts in einem Eheschutzverfahren, mithin ein unmittelbar mit Zivilrecht zusammenhängender öffentlich-rechtlicher Entscheid im Sinne von <ref-law> (Urteil 5A_199/2012 vom 31. Mai 2012 E. 1.3). Vor der letzten kantonalen Instanz war einzig das Honorar strittig; der massgebende Streitwert richtet sich folglich nach diesem Betrag (vgl. Urteile 5A_480/2013 vom 22. August 2013 E. 1; 5A_396/2012 vom 5. September 2012 E. 1.2). Angesichts der verlangten Entschädigung von rund Fr. 6'000.-- ist der für die Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert nicht erreicht (<ref-law>). Wie sich aus dem Nachfolgenden ergibt, rügt der Beschwerdeführer Willkür resp. willkürliche Rechtsanwendung, mithin Verfassungsverletzungen. Verfassungsrechtliche Fragen können im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) beurteilt werden, so dass sich - entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers - die Annahme einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) nicht rechtfertigt (<ref-ruling> E. 1.3.3 S. 188).
Zulässig ist somit einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) und als solche ist die Eingabe des Beschwerdeführers entgegenzunehmen. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>). Es gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur in der Beschwerde selbst klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Vorbringen und appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
1.3. Bei der Festsetzung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands verfügen die kantonalen Instanzen über ein weites Ermessen. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn die Vorinstanz dieses willkürlich ausgeübt hat ( <ref-ruling> E. 3a S. 2; <ref-ruling> E. 2b S. 134; zuletzt Urteil 5A_480/2013 vom 22. August 2013 E. 2.2).
Ein angefochtener Entscheid ist erst dann aufzuheben, wenn der dem amtlichen Anwalt zugesprochene gesamthafte Betrag auch im Ergebnis willkürlich erscheint (<ref-ruling> E. 3d S. 112; zuletzt in Urteil 5A_199/2012 vom 31. Mai 2012 E. 2.2).
2.
Die kantonalen Instanzen setzten die strittige Entschädigung gestützt auf kantonales Recht fest ( §§ 3 bis 10 des Dekrets über die Entschädigung der Anwälte [Anwaltstarif; AnwT], in der am 1. Januar 2011 in Kraft getretenen Version; SAR 291.150).
2.1. Nach § 3 Abs. 1 lit. b AnwT beträgt die Grundentschädigung in nicht vermögensrechtlichen Angelegenheiten des ordentlichen Verfahrens nach dem mutmasslichen Aufwand des Anwalts sowie nach der Bedeutung und der Schwierigkeit des Falles Fr. 1'210.-- bis Fr. 14'740.--. In Summarsachen, worunter auch Eheschutzsachen fallen, beträgt die Grundentschädigung 25-100 % dieser Ansätze (§ 3 Abs. 2 AnwT). Durch die Grundentschädigung sind Instruktion, Aktenstudium, rechtliche Abklärungen, Korrespondenz und Telefongespräche sowie eine Rechtsschrift und die Teilnahme an einer behördlichen Verhandlung abgegolten (§ 6 Abs. 1 AnwT). Für zusätzliche Rechtsschriften und Verhandlungen erhöht sich die Grundentschädigung um je 5-30 %, wobei überflüssige Eingaben nicht in Betracht fallen (§ 6 Abs. 3 AnwT).
2.2. Das Obergericht erwog, vorliegend sei von einem durchschnittlichen Eheschutzverfahren auszugehen. Die Grundentschädigung in einem solchen durchschnittlichen Verfahren betrage gemäss der in AGVE 2002 S. 78 dargelegten obergerichtlichen Praxis Fr. 2'500.--. Ausserdem seien dem Beschwerdeführer für zusätzliche Eingaben gemäss § 6 Abs. 3 AnwT Zuschläge von insgesamt 40 % der Grundentschädigung zu gewähren. Daraus ergab sich eine Entschädigung von total Fr. 4'279.50 (Grundhonorar Fr. 2'500.--, Zuschlag 40 % Fr. 1'000.--, Auslagen Fr. 462.50, Mehrwertsteuer Fr. 317.--).
3.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, das Grundhonorar willkürlich auf Fr. 2'500.-- festgesetzt zu haben.
3.1. Für willkürlich hält er insbesondere, dass der gesetzlich vorgegebene Rahmen für die Gerichtsgebühren prozentual stärker ausgeschöpft worden sei, als der Rahmen für die Honorarentschädigung.
Wie dem Beschwerdeführer bereits in Urteil 5D_67/2010 vom 6. September 2010 (E. 3.4) mitgeteilt wurde, ist die Festsetzung der Gerichtsgebühr im Hinblick auf die Bestimmung des Anwaltshonorars für das Gericht grundsätzlich nicht verbindlich. Da überdies der Beschwerdeführer diese Rüge in seiner kantonalen Beschwerde vom 6. Mai 2013 nicht vorgebracht hat, ist diesbezüglich mangels Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs (Art. 75 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) ohnehin nicht einzutreten.
3.2. Sodann macht der Beschwerdeführer geltend, das vorliegend zu beurteilende Eheschutzverfahren, welches über ein Jahr gedauert habe, sei von der Vorinstanz willkürlich als "durchschnittliches" Verfahren beurteilt worden. Seiner Ansicht nach dauert ein durchschnittliches Eheschutzverfahren vier, längstens fünf Monate.
Die Rüge geht insofern an der Sache vorbei, als von der blossen Dauer eines Verfahrens weder auf die Schwierigkeit des Verfahrensgegenstands noch auf den konkret anfallenden Aufwand geschlossen werden kann. Dass das vorliegende Eheschutzverfahren in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht überdurchschnittliche Schwierigkeiten aufgewiesen hätte, bringt er nicht vor. Damit ist keine Willkür ersichtlich, wenn die Vorinstanz das Verfahren als durchschnittlich qualifizierte.
3.3. Weiter rügt der Beschwerdeführer als willkürlich, dass die Vorinstanz zwar von einem durchschnittlichen Verfahren ausgegangen sei, ihm dann aber gerade nicht eine durchschnittliche Grundentschädigung zugesprochen habe. Unter "durchschnittlicher Grundentschädigung" versteht er dabei den Mittelwert des gemäss § 3 Abs. 2 AnwT für die Grundentschädigung vorgegebenen Rahmens (vgl. E. 2.1). Er führt aus, der Mittelwert betrage Fr. 4'584.--. Somit habe die Grundentschädigung für ein durchschnittliches Verfahren Fr. 4'584.-- und nicht Fr. 2'500.-- zu betragen.
Der Beschwerdeführer setzt damit einfach seine eigene Interpretation, was eine durchschnittliche Grundentschädigung sei, der Auslegung (und damit der gefestigten Praxis) der Vorinstanz entgegen. Der Beschwerdeführer begründet indes mit keinem Wort, weshalb der Anwaltstarif dahin gehend ausgelegt werden sollte, dass in einem durchschnittlichen Verfahren der Mittelwert des gesetzlich vorgesehenen Rahmens als Grundentschädigung zugesprochen werden müsste. Dem Anwaltstarif selbst lässt sich jedenfalls kein solcher Hinweis entnehmen. Damit ist keine willkürliche Ermessensausübung (E. 1.3) ersichtlich, bloss weil die Vorinstanz die Grundentschädigung auf einen tieferen Betrag als den Mittelwert festgesetzt hat.
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass der Beschwerdeführer selbst in der Kostennote vom 13. Dezember 2012 ein Grundhonorar von Fr. 3'000.-- geltend gemacht hatte und nicht Fr. 4'584.--. Zu diesem Widerspruch äussert sich die Beschwerdeschrift nicht.
3.4. Im Zusammenhang mit dem Grundhonorar kritisiert der Beschwerdeführer sodann, es sei missbräuchlich, auf eine Praxis aus dem Jahre 2002 abzustützen. Damit werde die Teuerung nicht berücksichtigt. Auch sei mit dem Inkrafttreten der ZPO per 1. Januar 2011 das Verfahren erheblich aufwendiger geworden als davor, so dauerten heute beispielsweise Eheschutzverhandlungen einen halben Tag anstatt wie früher maximal zwei Stunden. Eine Entschädigung, welche auf Überlegungen aus dem Jahr 2002 basiere, könne daher per se nicht gerecht sein.
Die Ausführungen des Beschwerdeführers bleiben unsubstanziiert (E. 1.2). So zeigt er namentlich nicht auf, weshalb das Verfahren unter der ZPO aufwendiger sein soll. Mit der blossen Behauptung, die Verhandlungen würden länger dauern und dem Hinweis auf den allgemeinen Anstieg des Kostenniveaus ist keine Willkür darzutun.
3.5. Die weiteren Ausführungen bezüglich des strittigen Honorars sind appellatorischer Natur (behauptetes Missverhältnis zwischen dem Anstieg von Richterlöhnen gegenüber den Anwaltsentschädigungen; Respektlosigkeit gegenüber Anwälten, die Mandate mit unentgeltlicher Prozessführung annehmen müssten). Diesbezüglich sind die Rügeanforderungen nicht erfüllt (E. 1.2).
4.
Der Bes chwerdeführer beanstandet sodann die von der Vorinstanz getroffene Kosten- und Entschädigungsregelung.
4.1. In erster Linie kritisiert er, dass die Vorinstanz ihm drei Viertel (Fr. 675.--) der Gerichtskosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens auferlegte. Infolge der Verurteilung zu den Kosten stehe er trotz teilweiser Gutheissung seiner Beschwerde (und der damit verbundenen Erhöhung seiner Entschädigung) unter dem Strich schlechter da als zuvor. Es ergebe sich faktisch eine "Minderentschädigung" von Fr. 134.50 resp. nach Aufrechnung seiner Aufwendungen für das Beschwerdeverfahren ein Minus von über Fr. 1'000.--. Wenn die Vorinstanz auf Beschwerde hin die Honorarentschädigung erhöhe, im Gegenzug aber Verfahrenskosten auferlege, verunmögliche sie faktisch eine Beschwerdeführung gegen ungenügend hohe Entschädigungen, was sich als willkürlich erweise. Dies sei umso stossender, als der entschädigungspflichtige Staat quasi in eigener Sache über die Höhe der Entschädigung des eingesetzten Rechtsvertreters entscheide.
Die Rüge geht an der Sache vorbei. Wie der Beschwerdeführer zwar richtig festhält, hiess die Vorinstanz seine Beschwerde teilweise gut. Im Übrigen wies diese die Beschwerde aber willkürfrei (vgl. E. 3) ab. Hat der Beschwerdeführer im Beschwerdeverfahren mehr verlangt, als ihm zugesprochen werden konnte, so ist es nicht willkürlich, wenn ihm die Vorinstanz im Umfang seines Unterliegens Kosten auferlegt hat. Dabei spielt es entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers auch keine Rolle, dass ihm der Staat und nicht eine private Gegenpartei gegenüberstand. Gerichtskosten fallen unabhängig davon an, welche Parteien beteiligt sind.
4.2. Der Beschwerdeführer rügt weiter, es erweise sich als krass willkürlich, wenn in Verfahren betreffend Fixierung der Entschädigung Verfahrenskosten erhoben werden könnten. Er ist der Ansicht, es dürften keine Verfahrenskosten erhoben werden, wie dies <ref-law> für das eigentliche Gesuchsverfahren vorgebe. Er sieht hierin eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung, wobei diesbezüglich auf vorstehende Erwägung 1.1 verwiesen werden kann.
Diese Einwendung ist unbehelflich. <ref-law> sieht einzig für das Gesuchsverfahren betreffend unentgeltliche Rechtspflege Kostenlosigkeit vor, hingegen gerade nicht für Rechtsmittelverfahren (<ref-ruling> E. 6.5.5 S. 474 f.). Selbst wenn die Bestimmung auf Verfahren betreffend Entschädigung des unentgeltlichen Anwalts Anwendung finden würde, wäre damit keine Willkür darzutun in Bezug auf eine Kostenerhebung im Beschwerdeverfahren.
4.3. Im Zusammenhang mit den Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens ruft der Beschwerdeführer <ref-law> sodann an, weil ihm die Vorinstanz trotz seines teilweisen Obsiegens keine Parteientschädigung zugesprochen habe. Es könne nicht sein, dass ein Anwalt allein deshalb zusätzlichen Aufwand habe, weil die Erstinstanz die Höhe seiner Entschädigung zu tief fixiert habe. Er verlangt vom Bundesgericht, ihm sei für das zweitinstanzliche Verfahren eine angemessene Entschädigung zuzusprechen (Rechtsbegehren Ziff. 3).
Der Beschwerdeführer hat vor Obergericht (betragsmässig) nur teilweise obsiegt. Er führt vor Bundesgericht nicht aus, wie sich dieses teilweise Obsiegen im Ergebnis auf eine allfällige Parteientschädigung auswirken müsste; eine Bezifferung seines Begehrens fehlt. Anträge betreffend Geldforderungen sind indes gemäss konstanter Rechtsprechung zu beziffern (<ref-ruling> E. 2 S. 236 f.). Diese Erfordernis gilt auch für die selbständige Anfechtung von Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens (Urteil 5A_34/2009 vom 26. Mai 2009 E. 11.3, nicht publ. in <ref-ruling>). Unter bestimmten Voraussetzungen könnte die Angabe des Betrages, der mindestens verlangt wird (Urteil 4A_691/2012 vom 17. Januar 2013 E. 2), oder die Bezeichnung der Grundlage, auf welcher die Entschädigung zu berechnen sei, genügen (Urteil 4A_375/2012 vom 20. November 2012 E. 1.2, nicht publ. in <ref-ruling>). Der Beschwerdeführer führt nichts in der Art aus.
Auf die Beschwerde bezüglich Parteientschädigung kann somit mangels formell rechtsgenüglichen Rechtsbegehrens nicht eingetreten werden.
5.
Schliesslich wehrt sich der Beschwerdeführer dagegen, dass die Vorinstanz auf sein Begehren, ihm sei ein Verzugszins von 5 % seit dem 8. Januar 2013 zu bezahlen, nicht eintrat.
5.1. Die Vorinstanz führte hierzu aus, der Antrag betreffend Zins sei erst in der Beschwerde gestellt worden; das Begehren sei damit im Sinne von <ref-law> neu und unzulässig, weshalb hierauf nicht einzutreten sei.
5.2. Der Beschwerdeführer rügt diesbezüglich Willkür, die Beschwerdeschrift erschöpft sich aber in appellatorischen Ausführungen (sinngemäss: es bestehe trotz Regelungsbedarf keine gesetzliche Regelung, wann die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands zu bezahlen resp. innert welcher Frist diese zu überprüfen sei; er habe in der Kostennote eine Überweisung innert 3 Wochen, d.h. bis zum 8. Januar 2013, erbeten; die Festsetzung habe ab Einreichung seiner Kostennote Monate gedauert; Rechtsanwälte müssten alle Leistungen vorfinanzieren; es entspreche nicht <ref-law>, wenn Entschädigungsbegehren monatelang in der Schublade liegen gelassen würden). Mit der Begründung der Vorinstanz setzt sich der Beschwerdeführer indes nicht auseinander, weshalb zum vornherein auf die Rüge nicht einzutreten ist (E. 2.1).
6.
Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen. Sie wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Baden, Gerichtspräsidium, und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann