Sachverhalt:
A. Gemäss bestrittenem Sachverhalt schlug X._ am 17. August 2007, etwa um 08.10 Uhr, auf dem Friedhofsgelände in O._ mit grosser Wucht seine Faust in das Gesicht von A._. Dieser erlitt dadurch eine schmerzhafte Prellung im Bereich des Oberkiefers und der Nasenspitze mit Nasenbluten sowie einen Bluterguss mit deutlicher Schwellung der Oberlippe. Der Faustschlag führte zudem zu einer Luxation und Kontusion der Frontzähne seines Oberkiefers sowie zu einer Druckempfindlichkeit im Bereich der Zahnwurzeln.
B. Das Kantonsgericht Nidwalden verurteilte X._ am 5. März 2009 wegen einfacher Körperverletzung zu einer bedingten Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu Fr. 120.-- und zu einer Busse von Fr. 600.--. Es verpflichtete ihn zur Zahlung von Fr. 100.-- Schadenersatz (unter Vorbehalt der Nachklage) und von Fr. 1'000.-- Genugtuung an A._.
Auf Appellation von X._ hin bestätigte das Obergericht des Kantons Nidwalden, Strafabteilung, Kleine Kammer, am 3. Dezember 2009 das erstinstanzliche Urteil sowohl im Schuld- als auch im Strafpunkt. Der Entscheid wurde den Parteien am 15. Juli 2010 zugestellt.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Nidwalden sei aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der einfachen Körperverletzung freizusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. In einer Ergänzung zur Beschwerde macht er geltend, der Obergerichtspräsident und die Oberrichter seien voreingenommen und befangen gewesen.
Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. In einer Beschwerde an das Bundesgericht muss dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid das Recht im Sinne von <ref-law> verletzt. Auf die Vorbringen des Beschwerdeführers, die sich nicht mit dem angefochtenen Urteil befassen, sondern z.B. den Schriftenwechsel mit dem Gemeinderat bzw. Redaktionsleiter des Mitteilungsblattes "O._er" oder die Geschehnisse im Jägerverein betreffen, ist nicht einzutreten.
2. Der Beschwerdeführer rügt in seiner innert der Beschwerdefrist eingereichten Beschwerdeergänzung sinngemäss eine Verletzung seines Anspruchs auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht nach <ref-law>. Er macht im Wesentlichen geltend, die vorinstanzlichen Richter hätten vor der Appellationsverhandlung vom 3. Dezember 2009 den ihn vorverurteilenden Zeitungsartikel im "O._er" (3/2009) gekannt. Zudem bringt er vor, er habe Anfang Juli 2010 erfahren, dass die Lebenspartnerin des Rechtsanwaltes des Beschwerdegegners 2, L._, die geschiedene Ehefrau des Obergerichtspräsidenten P._ sei und dass die geschiedene Ehefrau von Rechtsanwalt L._ auf der Gerichtskanzlei arbeite. Auffällig sei weiter, dass die Vorinstanz Rechtsanwalt L._ sehr hohe und unbegründete Entschädigungen zugesprochen habe. Diese Umstände würden den Anschein der Befangenheit der vorinstanzlichen Richter erwecken.
2. Der Beschwerdeführer rügt in seiner innert der Beschwerdefrist eingereichten Beschwerdeergänzung sinngemäss eine Verletzung seines Anspruchs auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht nach <ref-law>. Er macht im Wesentlichen geltend, die vorinstanzlichen Richter hätten vor der Appellationsverhandlung vom 3. Dezember 2009 den ihn vorverurteilenden Zeitungsartikel im "O._er" (3/2009) gekannt. Zudem bringt er vor, er habe Anfang Juli 2010 erfahren, dass die Lebenspartnerin des Rechtsanwaltes des Beschwerdegegners 2, L._, die geschiedene Ehefrau des Obergerichtspräsidenten P._ sei und dass die geschiedene Ehefrau von Rechtsanwalt L._ auf der Gerichtskanzlei arbeite. Auffällig sei weiter, dass die Vorinstanz Rechtsanwalt L._ sehr hohe und unbegründete Entschädigungen zugesprochen habe. Diese Umstände würden den Anschein der Befangenheit der vorinstanzlichen Richter erwecken.
2.1 2.1.1 Gemäss <ref-law>, hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Voreingenommenheit und Befangenheit werden angenommen, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten begründet sein. Bei der Beurteilung ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 210; <ref-ruling> E. 2.1 S. 240; je mit Hinweisen). Die persönliche Unbefangenheit des gesetzlichen Richters wird grundsätzlich vermutet (<ref-ruling> E. 3b S. 55; Urteil 1B_298/2010 vom 3. November 2010 E. 2.1; je mit Hinweisen).
2.1.2 Nach Art. 40 Ziff. 3 des Gesetzes über die Organisation und das Verfahren der Gerichte des Kantons Nidwalden vom 28. April 1968 (Gerichtsgesetz/NW; 261.1) kann eine Partei den Richter, Gerichts- oder Justizbeamten ablehnen, wenn dieser mit dem Rechtsanwalt einer Partei in einem Verwandtschaftsverhältnis steht. Ein Verwandtschaftsverhältnis liegt unter anderem bei Ehegatten vor (Art. 29 Ziff. 2 Gerichtsgesetz/NW). Ein weiterer Ablehnungsgrund besteht gemäss Art. 40 Ziff. 6 Gerichtsgesetz/NW, wenn eine der vorerwähnten Gerichtspersonen wegen persönlichen oder wirtschaftlichen Bindungen oder aus anderen Gründen in der Sache nicht unbefangen erscheint. Das Ausstandsbegehren ist schriftlich und begründet innert zehn Tagen ab Kenntnisnahme des Grundes einzureichen. Falls ein Unfähigkeits- oder Ablehnungsgrund erst an der Hauptverhandlung bekannt wird, kann es an der Verhandlung mündlich gestellt werden (Art. 42 Gerichtsgesetz/NW).
2.2 Auf das Vorbringen des Beschwerdeführers, wonach die vorinstanzlichen Richter befangen seien, weil sie dem Rechtsanwalt des Beschwerdegegners 2 zu hohe und unbegründete Entschädigungen zugesprochen hätten, ist mangels rechtsgenügender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 60; je mit Hinweisen).
2.3 Der Beschwerdeführer nahm in seinem Schlusswort anlässlich der Appellationsverhandlung zu einem im "O._er" (3/2009) erschienen Zeitungsartikel Stellung. Er machte geltend, er werde dadurch vorverurteilt. Sein Einwand in der Beschwerdeschrift, seine Proteste gegen diesen Zeitungsartikel an der Verhandlung hätten weder im Protokoll noch im angefochtenen Urteil Eingang gefunden, ist unbegründet. Einerseits ist im Verhandlungsprotokoll unter "7. Schlusswort des Angeklagten" festgehalten, dass er dazu Stellung bezogen habe (Verhandlungsprotokoll vom 3. Dezember 2009 S. 12). Andererseits ist nicht zu beanstanden, dass diese Proteste im vorinstanzlichen Urteil nicht erwähnt werden, da es unter anderem die Anträge der Verfahrensbeteiligten und nur die wesentliche Wiedergabe des Verhandlungsablaufs zu enthalten hat [§ 146 Ziff. 4 und 5 i.V.m. § 157 Abs. 1 der Verordnung über den Strafprozess des Kantons Nidwalden vom 11. Januar 1989 (StPO/NW; 263.1)]. Damit ist auch die sinngemässe Rüge der Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör unbegründet.
Der Beschwerdeführer, welcher im vorinstanzlichen Verfahren noch anwaltlich vertreten war, machte indessen an der Appellationsverhandlung nicht geltend, dass die Mitglieder bzw. der Präsident des Obergerichts durch die Lektüre des vorerwähnten Zeitungsartikels beeinflusst worden und dadurch befangen seien. Da er trotz Kenntnis des angeblichen Ablehnungsgrundes nicht unverzüglich und gemäss dem kantonalen Ausstandsverfahren ein Ausstandsbegehren stellte und dies selbst an der Appellationsverhandlung unterliess, hat er insoweit sein Recht nach dem Grundsatz von Treu und Glauben verwirkt (<ref-ruling> E. 3.4 S. 211; <ref-ruling> E. 2.2 S. 336; je mit Hinweisen). Es ist ohnehin fraglich, ob die Lektüre eines einzigen Zeitungsartikels, selbst wenn dieser vorverurteilend sein sollte, bereits den Anschein der Befangenheit zu erwecken vermag (<ref-ruling> E. 7b und 7c S. 22 ff. mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer, welcher im vorinstanzlichen Verfahren noch anwaltlich vertreten war, machte indessen an der Appellationsverhandlung nicht geltend, dass die Mitglieder bzw. der Präsident des Obergerichts durch die Lektüre des vorerwähnten Zeitungsartikels beeinflusst worden und dadurch befangen seien. Da er trotz Kenntnis des angeblichen Ablehnungsgrundes nicht unverzüglich und gemäss dem kantonalen Ausstandsverfahren ein Ausstandsbegehren stellte und dies selbst an der Appellationsverhandlung unterliess, hat er insoweit sein Recht nach dem Grundsatz von Treu und Glauben verwirkt (<ref-ruling> E. 3.4 S. 211; <ref-ruling> E. 2.2 S. 336; je mit Hinweisen). Es ist ohnehin fraglich, ob die Lektüre eines einzigen Zeitungsartikels, selbst wenn dieser vorverurteilend sein sollte, bereits den Anschein der Befangenheit zu erwecken vermag (<ref-ruling> E. 7b und 7c S. 22 ff. mit Hinweisen).
2.4 2.4.1 Der Beschwerdeführer erfuhr von den "verwandtschaftlichen" Beziehungen erst Anfang Juli 2010, somit erst nach der Appellationsverhandlung und Ausfällung des vorinstanzlichen Urteils. Insoweit ist sein Ablehnungsrecht nicht verwirkt. Zu prüfen ist, ob diesbezüglich ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz gemäss <ref-law> vorliegt bzw. ob der erst nach der Ausfällung des vorinstanzlichen Entscheids bekannt gewordene angebliche Ablehnungsgrund mit einem kantonalen Rechtsmittel geltend gemacht werden kann. Denn ein Akt ist nur letztinstanzlich, wenn die vor Bundesgericht erhobenen Rügen mit keinem kantonalen Rechtsmittel hätten geltend gemacht werden können (Urteil 1B_25/2008 vom 2. Juli 2008 E. 1.2.2 mit Hinweis). Gemäss Art. 44 Gerichtsgesetz/NW kann ein Entscheid mit der Nichtigkeitsbeschwerde zwar noch binnen zwölf Monaten nach dessen Zustellung angefochten werden. Im Falle eines Ablehnungsgrundes nach Art. 40 Gerichtsgesetz/NW ist dies aber nur möglich, wenn der vom Ablehnungsgrund betroffene Justizbeamte die Pflicht zur Kenntnisgabe missachtet hat oder das Ablehnungsbegehren einer Partei nicht behandelt wurde (Paul Odermatt, Grundzüge der Gerichtsorganisation und der Zivilrechtspflege im Kanton Nidwalden, Dissertation Zürich 1971, S. 93). Es ist nicht ersichtlich, dass vorliegend ein solcher Grund bestanden hätte, weshalb unklar ist, ob auf eine allfällige Nichtigkeitsbeschwerde des Beschwerdeführers eingetreten worden wäre. Das Bundesgericht verzichtet auf das Erfordernis der Erschöpfung des Instanzenzugs, wenn an der Zulässigkeit eines kantonalen Rechtsmittels ernsthafte Zweifel bestehen (<ref-ruling> E. 1.5 S. 94; Urteil 1B_25/2008 vom 2. Juli 2008 E. 1.2.3; je mit Hinweisen). Ob vorliegend diese Eintretensvoraussetzung erfüllt ist, kann offenbleiben, da der Einwand der Befangenheit gemäss nachstehender Erwägung ohnehin unbegründet ist.
2.4.2 Nach der Rechtsprechung können besondere Gegebenheiten hinsichtlich des Verhältnisses zwischen dem Richter und einem Parteivertreter den objektiven Anschein der Befangenheit des Ersteren begründen und daher dessen Ausstand gebieten. Erforderlich ist aber, dass die beanstandete Beziehungsnähe das Mass des sozial Üblichen übersteigt und bei objektiver Betrachtung geeignet ist, sich auf die Partei selber und deren Prozess auszuwirken (<ref-ruling> E. 5 S. 276 f.; Urteil 5A_253/2010 vom 10. Mai 2010 E. 2.2; Urteil 1P.711/2004 vom 17. März 2005 E. 3.2, in: Pra 2005 Nr. 112 S. 791; Regina Kiener, Richterliche Unabhängigkeit, Bern 2001, S. 133).
Die vom Beschwerdeführer behaupteten Umstände sind bei objektiver Betrachtung weder einzeln noch gesamthaft geeignet, Misstrauen in die Unparteilichkeit bzw. Unbefangenheit der Oberrichter bzw. des Obergerichtspräsidenten zu erwecken. Die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf ein verfassungsmässiges Gericht ist unbegründet.
3. Der Beschwerdeführer rügt die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz. Diese habe den Sachverhalt offensichtlich falsch festgestellt, die Beweise willkürlich gewürdigt und den Grundsatz "in dubio pro reo" verletzt (Beschwerde S. 3 ff.).
3.1 Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 BGG). Offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 39).
Wird die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Feststellung des Sachverhalts) gerügt, gelten qualifizierte Anforderungen an die Beschwerdebegründung. Diese Fragen prüft das Bundesgericht nur, wenn eine entsprechende Rüge in der Beschwerde substantiiert begründet vorgebracht worden ist. Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246 mit Hinweisen).
3.2 Die Vorinstanz würdigt verschiedene Beweismittel. Sie erachtet die Aussagen des Beschwerdegegners 2 als glaubhaft, schlüssig und im Kerngeschehen übereinstimmend. Insbesondere deren Detailreichtum spreche für ihre Glaubhaftigkeit. Im Wesentlichen habe dieser ausgeführt, er sei auf dem Friedhof beschäftigt gewesen, als der Beschwerdeführer aufgetaucht sei und sich vor ihm hingestellt habe. Nach einem Wortgefecht habe ihm dieser einen Faustschlag mitten in sein Gesicht versetzt, worauf sogleich seine Nase geblutet habe. Das Blut, das sich in seinem Mund wegen der aufgeplatzten Lippe angesammelt habe, habe er ausgespuckt. Nachdem der Beschwerdeführer weggegangen sei, habe er umgehend seine Vorgesetzte informiert. Auf ihren Wunsch sei der Kanzleiangestellte K._ auf dem Friedhof erschienen, um ihn und den "Standort" zu fotografieren. Die Vorinstanz hält fest, die klaren und nachvollziehbaren Äusserungen des Beschwerdegegners 2 seien im Weiteren durch Arztberichte und die unmittelbar nach dem Ereignis angefertigten Bildaufnahmen bestätigt (angefochtenes Urteil S. 9 ff. und 14 f.). Sie verneint hingegen die Glaubhaftigkeit der Aussagen des Beschwerdeführers, da diese auffallend vage, farblos und stereotyp sowie teilweise widersprüchlich seien. Es sei insbesondere nicht ersichtlich, weshalb er in der telefonischen Befragung durch die Polizei, nachdem der Polizeibeamte ihn über die ihm vorgeworfene Tat informiert habe, hätte fragen sollen, ob jemand den Vorfall gesehen habe. Auch seine Mutmassung darüber, wie der Beschwerdegegner 2 (sonst) zu den Verletzungen habe kommen können, seien lebensfremd. Die Vorinstanz kommt zum Schluss, der Sachverhalt sei gemäss den glaubhaften Aussagen des Beschwerdegegners 2 erstellt (angefochtenes Urteil S. 10 ff. und 15 f.).
3.3 Soweit der Beschwerdeführer den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz und ihrer ausführlichen Beweiswürdigung lediglich seine eigene Sicht der Dinge gegenüberstellt, ohne näher zu erörtern, inwiefern der angefochtene Entscheid (auch) im Ergebnis schlechterdings unhaltbar sein soll, erschöpfen sich seine Vorbringen in unzulässiger appellatorischen Kritik. Darauf ist nicht einzutreten. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn er pauschal behauptet, er habe jeweils wahrheitsgetreu ausgesagt (Beschwerde S. 4 und 11) und den Beschwerdegegner 2 nicht geschlagen (Beschwerde S. 6 und 11), oder wenn er vorbringt, die Möglichkeit der Selbstverletzung mit dem Besenstiel sei nicht unrealistisch (Beschwerde S. 10).
3.4 Der Beschwerdeführer macht geltend, der Beschwerdegegner 2 habe mit der zu den Akten eingereichten Fotografie, welche Blutspuren auf einem Gully zeige, und durch seine diesbezüglichen Aussagen über den genauen Ort des behaupteten Geschehens täuschen wollen. Deshalb sei er unglaubwürdig (Beschwerde S. 5 f.).
Der Einwand ist unbegründet. Der Beschwerdegegner 2 wollte mit der von ihm eingereichten Fotoaufnahme seine Verletzungen und nicht den genauen Ort des Ereignisses auf dem Friedhofgelände belegen. Dieser ist zudem für die Frage, ob der Beschwerdeführer die ihm vorgeworfene Tat beging, nicht relevant.
3.5 Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, der Zeuge Z._ sei nicht glaubwürdig (Beschwerde S. 7 ff.).
Dieser Zeuge war am inkriminierten Vorfall nicht anwesend und ist demgemäss für dessen Abklärung nicht von Bedeutung. Die Vorinstanz hat seine Aussagen gewürdigt, um die Begleitumstände der Tat zu erforschen. Es ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht dargelegt, inwiefern die Frage der Glaubwürdigkeit des Zeugen Z._ für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnte. Auf die Rüge ist nicht einzutreten.
3.6 Der Beschwerdeführer wendet ein, anlässlich der telefonischen Befragung habe ihm der Polizeibeamte eine suggestive Frage gestellt. Damit habe dieser <ref-law>/NW verletzt, wonach insbesondere verfängliche Fragen und Vorspiegelung unbewiesener Tatsachen, namentlich zur Erwirkung eines Geständnisses, nicht gestattet seien (Beschwerde S. 10).
Auf diese Rüge ist mangels Erschöpfung des Instanzenzugs nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer hätte sie mit der Appellation an die Vorinstanz geltend machen müssen (§ 154 ff StPO/NW), was er nicht tat. Mithin liegt diesbezüglich kein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law> vor.
3.7 Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" als Beweislastregel (Beschwerde S. 3 und 11). Die Rüge ist unbegründet. Aus den vorinstanzlichen Erwägungen ergibt sich nicht, dass die Vorinstanz von der falschen Überzeugung ausgeht, der Beschwerdeführer habe seine Unschuld zu beweisen, und dass sie ihn verurteilt, weil ihm dieser Beweis misslang (siehe hierzu <ref-ruling> E. 2a S. 40). Die Vorinstanz verurteilt ihn vielmehr deshalb, weil sie in Würdigung der Aussagen keine Zweifel daran hat, dass er die ihm angelastete Tat beging (angefochtenes Urteil S. 16).
4. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Nidwalden, Strafabteilung, Kleine Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Dezember 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Pasquini