Faits:
A.
B._ et A._ sont les enfants de C._, décédée le 23 novembre 1999 à Oleyres; ils sont ses seuls héritiers en vie.
B.
B.a. Par demande du 5 juin 2007, B._ a notamment conclu au partage de la succession. Statuant le 25 septembre 2007, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de La Broye et du Nord vaudois a ordonné le partage et commis un notaire à cette fin. Les parties n'ayant toutefois pu s'entendre sur la proposition du notaire, la présidente du tribunal a, par jugement du 6 mai 2013, fixé les modalités du partage.
B.b. Le 10 juin 2013, A._ a fait appel du jugement précité. Le 17 juin 2013, il a été invité à verser, d'ici au 5 juillet suivant, une avance de frais de 5'000 fr.; par courrier mis à la poste le 5 juillet 2013, l'intéressé a " refusé provisoirement " d'effectuer cette avance.
Le 9 juillet 2013, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a informé l'appelant que le paiement de l'avance de frais constituait une condition de recevabilité de l'appel et lui a imparti un délai au 19 juillet 2013 pour s'en acquitter.
Par arrêt du 20 août 2013, constatant que l'avance de frais requise n'avait pas été versée et que le courrier du 9 juillet 2013 n'avait donné lieu à aucune réaction de la part de l'appelant, la Juge déléguée de la Cour d'appel civile a déclaré l'appel irrecevable.
C.
Par mémoire du 23 septembre 2013 - intitulé " refus d'arrêt " -, A._ s'est adressé au Tribunal fédéral, sans l'assistance d'un mandataire professionnel: il expose " refuser catégoriquement " la décision cantonale, précisant qu'il n'est " nullement question de recourir au Tribunal fédéral tant que l'instruction de la cause n'est pas terminée ", et sollicite d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire. Par lettre du 6 octobre 2013, le recourant confirme en bref n'avoir " nullement fait un recours auprès de Tribunal fédéral, mais uniquement un refus de l'arrêt attaqué ", tout en réitérant sa requête d'assistance judiciaire. Par nouveau courrier du 10 octobre suivant, il a informé la Cour de céans s'être également adressé à la cour cantonale; enfin, en réponse à une demande de clarification du Président de la IIe Cour de droit civil, il a maintenu son intention de recourir contre l'arrêt cantonal.
Invitée à se déterminer sur le recours et à préciser les modalités de la notification de son courrier du 9 juillet 2013, la juridiction cantonale a indiqué que celui-ci avait été communiqué sous simple pli; pour le surplus, elle s'en remet à justice quant au sort du recours. L'intimée s'en remet aussi à justice sur le sort de la cause, tout en précisant que, en prétendant ne pas avoir reçu le courrier du 9 juillet 2013, le recourant est d'une " mauvaise foi évidente ".

Considérant en droit:
1.
Le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF) dans le cadre d'une action en partage d'une succession, c'est-à-dire en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). S'agissant en l'espèce d'une cause de nature pécuniaire (arrêt 5A_337/2013 du 23 octobre 2013 consid. 1 et la jurisprudence citée), la valeur litigieuse excède le seuil minimal de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a en outre pris part à la procédure devant la juridiction précédente (art. 76 al. 1 let. a LTF) et a un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 let. b LTF). Indépendamment de son intitulé, l'écriture du 23 septembre 2013, qui remplit au demeurant les exigences formelles posées à l'art. 42 LTF, est ainsi recevable comme recours en matière civile au regard des dispositions précitées.
2.
2.1. La Juge déléguée de la Cour d'appel civile a déclaré l'appel irrecevable en application de l'art. 101 al. 3 CPC, en vertu duquel le tribunal n'entre pas en matière sur une demande ou une requête si l'avance de frais n'est pas fournie à l'échéance d'un délai supplémentaire. Elle a retenu que l'appelant n'avait pas versé l'avance de frais dans le délai imparti le 17 juin 2013 ( 5 juillet 2013), ni dans le délai supplémentaire fixé le 9 juillet 2013 ( 19 juillet 2013), l'intéressé ayant par ailleurs été rendu attentif au fait que la fourniture de l'avance de frais constituait une condition de recevabilité de l'appel.
2.2. Le recourant expose, entre autres moyens, n'avoir jamais reçu le courrier du 9 juillet 2013, en sorte qu'il se dit contraint de " refuser " la décision entreprise et demande " l'analyse des points 2° et 3° " de son mémoire. On comprend de cette argumentation qu'il invite la Cour de céans à tirer les conséquences de l'absence de notification du courrier susmentionné et, partant, qu'il conteste le refus d'entrer en matière sur son appel cantonal. En substance, il se plaint dès lors d'une violation de l'art. 101 al. 3 CPC.
3.
Conformément à l'art. 59 CPC, le tribunal n'entre en matière que sur les demandes et les requêtes qui satisfont aux conditions de recevabilité de l'action (al. 1), parmi lesquelles figure le versement des avances et des sûretés en garantie des frais de procès (al. 2 let. f ). Selon l'art. 101 CPC - applicable en instance d'appel ( JEANDIN, in : Code de procédure civile commenté, 2011, n° 15 Intro. ad art. 308-334 CPC) -, le tribunal impartit un délai pour la fourniture des avances et des sûretés (al. 1) et, si celles-ci ne sont pas fournies à l'échéance d'un délai supplémentaire, il n'entre pas en matière sur la demande ou la requête (al. 3). En fixant un tel délai, le tribunal rend les parties attentives aux conséquences du défaut (art. 147 al. 3 CPC). Ces principes valent de manière générale, à savoir également quant à l'exigence du versement d'une avance de frais par l'appelant ( cf. TAPPY, in : Code de procédure civile commenté, op. cit., n os 15 et 16 ad art. 147 CPC). Le fardeau de la preuve de la notification d'un acte incombe en principe à l'autorité qui entend en tirer une conséquence juridique (<ref-ruling> consid. 5.9 p. 309, avec les nombreuses références); cette preuve peut néanmoins résulter d'autres indices ou de l'ensemble des circonstances, par exemple un échange de correspondance ultérieur ou le comportement du destinataire (<ref-ruling> consid. 2a p. 46).
En l'espèce, la juridiction précédente supportait dès lors le fardeau de la preuve de la notification de l'acte par lequel un délai supplémentaire avait été fixé à l'appelant. Faute de versement de l'avance de frais requise dans le délai initial, la Juge cantonale expose avoir imparti, par courrier du 9 juillet 2013 adressé sous pli simple, le délai supplémentaire exigé par la loi; de son côté, le recourant allègue n'avoir pas reçu ce courrier. En l'absence d'autres indices ou circonstances particulières, force est d'admettre que l'autorité cantonale n'a pas établi la notification de la lettre en question et, partant, la fixation du délai supplémentaire pour effectuer l'avance de frais. Dans ces circonstances, sa décision d'irrecevabilité viole l'art. 101 al. 3 CPC; l'arrêt entrepris doit ainsi être annulé et l'affaire renvoyée à l'autorité cantonale pour remédier au vice constaté et, le cas échéant, poursuivre l'instruction de la cause.
4.
Vu ce qui précède, la décision attaquée doit être annulée et la cause renvoyée en instance cantonale pour nouvelle décision. Les frais de la procédure fédérale sont mis à la charge de l'intimée; bien qu'elle s'en soit remise à justice sur l'issue du recours, elle a néanmoins présenté une argumentation s'opposant à celle du recourant (art. 66 al. 1 LTF; arrêt 4A_518/2012 du 8 janvier 2013 consid. 3.1 et 3.2). La demande d'assistance judiciaire du recourant, non représenté et qui l'a emporté, n'a plus d'objet; il n'y a pas lieu de lui octroyer des dépens, puisqu'il a procédé sans le concours d'un avocat (<ref-ruling> consid. 4).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est sans objet.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Juge déléguée de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 3 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
Le Greffier: Braconi