Erwägungen:
1. X._, geb. 1957, aus dem Kosovo stammend, hielt sich von 1989 bis 1992 als Saisonnier in der Schweiz auf. Im November 1992 wurde ihm eine Aufenthaltsbewilligung zwecks Erwerbstätigkeit erteilt. Im März 1994 erlitt er einen Arbeitsunfall. In der Folge bezog er SUVA-Taggelder, anschliessend Arbeitslosenentschädigung. Seit 1997 ist er Sozialhilfeempfänger; bis heute ist er mit rund 200'000 Franken unterstützt worden. Jahrelang versuchte er, eine IV-Rente zu erwirken. Schliesslich stellte das Eidgenössische Versicherungsgericht am 20. Oktober 2005 fest, er könne im Umfang von 70 % einer Arbeit nachgehen; entsprechend wies es das Begehren um Zusprechung einer Invalidenrente definitiv ab.
Seit dem 1994 erlittenen Unfall ging X._ nie mehr einer Erwerbstätigkeit nach. Die Aufenthaltsbewilligung wurde mehrmals nur noch im Hinblick auf sozialversicherungsrechtliche Abklärungen verlängert, letztmals bis zum 31. Oktober 2003. Das Kantonale Amt für Ausländerfragen Zug lehnte vorerst am 23. Oktober 2003 und sodann am 17. Januar 2007 eine weitere Bewilligungsverlängerung ab. Die gegen die Verfügung vom 17. Januar 2007 erhobene Beschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Zug am 19. August 2008 ab, unter gleichzeitiger Ansetzung einer Ausreisefrist (Bestätigung der Wegweisung). Mit Urteil vom 18. Dezember 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug die gegen den regierungsrätlichen Entscheid erhobene Beschwerde ab.
Mit vom 23. Januar 2009 datierter, von einem Rechtsanwalt verfasster, am 16. Februar 2009 zur Post gegebener Beschwerde stellt X._ dem Bundesgericht den Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden. Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2. 2.1 Gemäss Art. 83 lit. c BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2). Ebenso ist sie unzulässig gegen die Wegweisung (Ziff. 4).
2.2 Der Beschwerdeführer behauptet, Art. 8 EMRK räume ihm einen Rechtsanspruch ein. Soweit Art. 8 EMRK das Recht auf Achtung des Familienlebens garantiert, entfällt vorliegend die Möglichkeit, sich darauf zu berufen, weil Ehefrau und Kinder des Beschwerdeführers im Kosovo leben. Was das ebenfalls von Art. 8 EMRK garantierte Recht auf Achtung des Privatlebens betrifft, genügt der Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286 f., um aufzuzeigen, dass dem Beschwerdeführer angesichts seines vom Verwaltungsgericht beschriebenen, nicht substantiiert bestrittenen bisherigen Verhaltens auch diesbezüglich offensichtlich kein Bewilligungsanspruch zusteht. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig.
Der Beschwerdeführer will seine Beschwerde, unter Hinweis auf das allgemeine Verhältnismässigkeitsprinzip, ergänzend als subsidiäre Verfassungsbeschwerde verstanden wissen. Abgesehen davon, dass mit diesem Rechtsmittel bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (Art. 116 BGG) und das Verhältnismässigkeitsgebot ein verfassungsmässiges Prinzip, nicht aber ein im Rahmen der Verfassungsbeschwerde selbständig anrufbares Grundrecht darstellt (vgl. <ref-ruling> E. 4.1), ist er mangels Bewilligungsanspruchs zur subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht legitimiert (Art. 115 lit. b BGG; vgl. <ref-ruling>). Soweit er geltend macht, die Handlungsweise der kantonalen Behörden sei "wahrlich als eine Form von Rechtsverweigerung zu betiteln", kritisiert er - mangels Legitimation unzulässigerweise - allein den materiellen Bewilligungsentscheid; inwiefern allenfalls eine (formelle) Rechtsverweigerung vorliegen solle, wird in keiner Weise dargetan (Art. 42 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.3 Die vorliegende Beschwerde erweist sich als in jeder Hinsicht offensichtlich unzulässig (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG). Ohnehin grenzt die Beschwerdeführung an Rechtsmissbrauch (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. c BGG). Auf die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.4 Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Unnötig verursachte Kosten hat zu bezahlen, wer sie verursacht (Art. 66 Abs. 3 BGG). Für den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, der schon verschiedentlich in ausländerrechtlichen Verfahren vor Bundesgericht aufgetreten ist, konnte es keine Zweifel daran geben, dass das Bundesgericht auf die vorliegende Beschwerde nicht eintreten würde. Die mithin unnötig verursachten Gerichtskosten sind gestützt auf Art. 66 Abs. 3 BGG ihm aufzuerlegen.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Kantonalen Amt für Ausländerfragen Zug, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Verwaltungsrechtliche Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Februar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller