Sachverhalt:
A. Der Einzelrichter in Strafsachen des Bezirks Bülach befand X._ am 10. Mai 2006 der mehrfachen groben Verletzung von Verkehrsregeln für schuldig und bestrafte ihn mit einer Busse von Fr. 1'200.--, bedingt vorzeitig löschbar bei einer Probezeit von einem Jahr.
B. Mit Urteil vom 3. Mai 2007 bestätigte die II. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich den erstinstanzlichen Schuldspruch und verurteilte X._ (anstelle einer Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 40.--) zur Leistung von 80 Stunden gemeinnütziger Arbeit, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 3. Mai 2007 sei aufzuheben, und er sei freizusprechen. Eventualiter sei er mit einer Busse von höchstens Fr. 80.-- bzw. mit einer kleinen Geldstrafe in diesem Umfang zu bestrafen, wobei stattdessen gemeinnützige Arbeit von 8 Stunden anzuordnen sei unter Aufschub des Vollzugs und unter Ansetzung einer Probezeit von einem Jahr.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Auf die Beschwerde ist einzutreten, da sie unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) und Form (Art. 42 BGG) von der in ihren Anträgen unterliegenden beschuldigten Person (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 BGG) eingereicht wurde und sich gegen einen von einer letzten kantonalen Instanz (Art. 80 BGG) gefällten Endentscheid (Art. 90 und 95 BGG) in Strafsachen (Art. 78 Abs. 1 BGG) richtet.
2. Die Vorinstanz geht von folgendem Sachverhalt aus: Der Beschwerdeführer fuhr am 24. Mai 2005 gegen 18.25 Uhr mit seinem schwarzen Personenwagen der Marke Lancia auf dem Gemeindegebiet von Baltenswil/Bassersdorf auf der zweispurigen Neuen Winterthurstrasse Richtung Tagelswangen. Dabei schloss er bei einer Geschwindigkeit von 80 km/h auf der Überholspur bis auf wenige Meter auf einen vor ihm fahrenden Personenwagen der Marke Mazda auf. Nachdem die Lenkerin bzw. der Lenker des Mazdas den geplanten Spurwechsel auf die rechte Fahrbahn mit dem Richtungsanzeiger bekannt gegeben hatte, scherte der Beschwerdeführer mit einer Geschwindigkeit von mindestens 80 km/h auf die Normalfahrbahn aus und überholte den Mazda rechter Hand.
Diese Sachverhaltsfeststellungen stützt die Vorinstanz im Wesentlichen auf die Aussagen der beiden Zeugen A._ und B._, welche erklärten, von ihrem Personenwagen aus die Auffahr- und Überholmanöver des Lancia-Fahrers aus einer Distanz von rund 100 Metern beobachtet zu haben. A._ gab weiter zu Protokoll, ihm sei es zum Zeitpunkt, als der schwarze Lancia auf den Mazda aufgefahren sei, gelungen, sich die ersten drei Ziffern der Kontrollschildnummer des Lancias zu notieren (ZH YYY). Nachdem sie diesen zwischenzeitlich aus den Augen verloren hätten, seien sie beim nächsten Lichtsignal in Tagelswangen wieder auf einen schwarzen Lancia aufgeschlossen, dessen erste drei Ziffern der Kontrollschildnummer mit den zuvor notierten übereingestimmt hätten. Er habe sich alsdann die ganze Nummer aufgeschrieben (ZH YYYYY).
Vom Beschwerdeführer, der Halter des schwarzen Lancias mit der Kontrollschildnummer ZH YYYYY ist, wird nicht in Abrede gestellt, mit seinem Fahrzeug zu jenem Zeitpunkt am Lichtsignal in Tagelswangen gestanden zu haben. Hingegen bestreitet er, die umschriebenen Auffahr- und Überholmanöver ausgeführt zu haben.
3. 3.1 Das Bundesgericht ist an die Feststellung des Sachverhalts grundsätzlich gebunden (Art. 105 BGG). Diese kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Feststellung des Sachverhalts handelt es sich genau genommen ebenfalls um eine Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG, nämlich um eine Verletzung des Willkürverbots. Hieraus folgt die Obliegenheit des Beschwerdeführers, diese substantiiert und detailliert zu rügen (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG).
Diese gesetzliche Regelung entspricht der bisherigen bundesgerichtlichen Praxis zur Rügepflicht im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde (<ref-ruling> E. 1.4). Demgemäss tritt das Bundesgericht auf ungenügend begründete Vorbringen und bloss allgemein gehaltene, rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht ein (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Den Begründungsanforderungen wird nicht Genüge getan, wenn der Beschwerdeführer im Rahmen pauschaler Vorbringen einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei verfassungswidrig. Vielmehr muss in Auseinandersetzung mit der Begründung des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis gegen ein konkretes verfassungsmässiges Recht verstossen soll (grundlegend: <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 1b; vgl. ferner <ref-ruling> E. 3c und 4 mit weiteren Hinweisen).
Der Beschwerdeführer wiederholt über weite Strecken einzig seine bereits im kantonalen Verfahren erhobenen Tatsachenbehauptungen und stellt der Beweiswürdigung des Obergerichts lediglich seine eigene Sicht der Dinge gegenüber, ohne zu erörtern, inwiefern der Entscheid (auch) im Ergebnis verfassungswidrig sein sollte. Seine Vorbringen erschöpfen sich mithin weitgehend in einer unzulässigen appellatorischen Kritik am angefochtenen Urteil und genügen folglich den Begründungsanforderungen gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG nicht. Insoweit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Dies gilt insbesondere auch für seine eventualiter erhobene Rüge, wonach nicht belegt sei, dass er die Zeichengebung des Mazda-Fahrers gesehen habe.
3.2 Der Beschwerdeführer macht namentlich geltend, die vorinstanzliche Beweiswürdigung sei willkürlich, da es für die beiden Zeugen gar nicht möglich gewesen sei, aus einer Distanz von 100 bis 150 Metern die Kontrollschildnummer des Lancias zu erkennen und auch nur teilweise abzulesen (Beschwerde S. 5).
Willkür im Sinne von Art. 9 BV liegt nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung einzig vor, wenn der angefochtene Entscheid auf einer schlechterdings unhaltbaren oder widersprüchlichen Beweiswürdigung beruht bzw. im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Dass das angefochtene Urteil mit der Darstellung des Beschwerdeführers nicht übereinstimmt oder eine andere Lösung oder Würdigung vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, genügt praxisgemäss für die Begründung von Willkür nicht (<ref-ruling> nicht publ. E. 4.1; <ref-ruling> E. 2b mit Hinweisen).
Die Vorinstanz hat ausgeführt, Entfernungen seien schwierig abzuschätzen, weshalb die Distanz zwischen dem Fahrzeug der beiden Zeugen und dem Lancia auch weniger als 100 Meter betragen haben könnte. Jedenfalls sei die Aussage von A._, wonach es ihm gelungen sei, sich die ersten drei Ziffern der Kontrollschildnummer des Lancias zu notieren, durchaus glaubhaft. Diese Feststellungen sind nicht unhaltbar. Der angefochtene Entscheid hält in diesem Punkt der bundesgerichtlichen Willkürprüfung stand.
3.3 Der Beschwerdeführer rügt des Weiteren eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo". Die beiden Zeugen hätten den schwarzen Lancia auf einer von diversen Ein- und Ausfahrten gesäumten Strecke von rund fünf Kilometern zeitweilig aus dem Blickfeld verloren. Die Möglichkeit, dass ein anderer Lancia-Fahrer in den fraglichen Vorfall verwickelt gewesen sei, sei deshalb nicht von der Hand zu weisen. Zu seinen Gunsten sei folglich von einer anderen Täterschaft auszugehen (Beschwerde S. 7).
Als Beweiswürdigungsregel besagt der aus der Unschuldsvermutung (Art. 32 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 2 EMRK) abgeleitete Grundsatz "in dubio pro reo", dass sich das Strafgericht nicht von einem für die angeklagte Person ungünstigen Sachverhalt überzeugt erklären darf, wenn bei objektiver Betrachtung Zweifel bestehen, ob sich der Sachverhalt so verwirklicht hat. Inwiefern dieser Grundsatz verletzt ist, prüft das Bundesgericht unter dem Gesichtspunkt der Willkür, d.h. es greift nur ein, wenn das Sachgericht die angeklagte Person verurteilte, obgleich bei objektiver Würdigung des Beweisergebnisses offensichtlich erhebliche bzw. schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an deren Schuld fortbestanden. Bloss abstrakte und theoretische Zweifel sind nicht massgebend, weil solche immer möglich sind und absolute Gewissheit nicht verlangt werden kann (<ref-ruling> E. 2 und 4 mit Hinweisen).
Die Vorinstanz hat erwogen, es könne praktisch ausgeschlossen werden, dass zwei schwarze Lancias mit übereinstimmenden ersten drei Ziffern des Kontrollschilds beteiligt gewesen seien. Ausserdem schliesse die vom Zeugen A._ abgegebene Beschreibung des Lancia-Fahrers die Täterschaft des Beschwerdeführers keineswegs aus. Der Umstand schliesslich, dass die fragliche Strecke als Heimweg von seinem Arbeitsort bzw. vom Wohnort seines Vaters in Betracht falle, sei ein Indiz für die Täterschaft des Beschwerdeführers.
Bloss abstrakte und theoretische Zweifel sind, wie dargelegt, nicht von Relevanz. Die Vorinstanz konnte ohne Willkür folgern, es bestünden keine offensichtlich erheblichen bzw. schlechterdings nicht zu unterdrückenden Zweifel daran, dass es sich beim Lancia-Fahrer am Lichtsignal in Tagelswangen um jenen handelte, welcher zuvor die Auffahr- und Überholmanöver ausgeführt hatte. Da der Beschwerdeführer nicht dementiert, zum massgeblichen Zeitpunkt den am Lichtsignal in Tagelswangen beobachteten schwarzen Lancia gefahren zu haben, ist der Schluss der Vorinstanz auf seine Täterschaft nicht zu beanstanden.
3.4 Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie es unterlassen habe, hinreichend abzuklären, wie es dem Zeugen A._ angeblich gelungen sein soll, die ersten drei Ziffern der Kontrollschildnummer des Lancias abzulesen (Beschwerde S. 9).
Art. 29 Abs. 2 BV gewährleistet den Anspruch auf rechtliches Gehör. Daraus ergibt sich der Anspruch der Parteien, mit rechtzeitig und formgültig angebotenen Beweisanträgen und Vorbringen gehört zu werden, soweit diese erhebliche Tatsachen betreffen und nicht offensichtlich beweisuntauglich sind (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3b, je mit Hinweisen). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, seine Überzeugung würde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3a, 241 E. 2, je mit Hinweisen).
Die Vorinstanz hat eingehend dargelegt, weshalb sie die Aussagen der beiden Zeugen A._ und B._ als glaubhaft eingestuft hat. Sie konnte deshalb ohne Verstoss gegen Art. 29 Abs. 2 BV in antizipierter Beweiswürdigung auf weitere Beweismassnahmen verzichten, da solche keinen wesentlichen Erkenntnisgewinn versprochen hätten.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer verlangt eine Herabsetzung der Probezeit von zwei Jahren auf ein Jahr. Gemäss dem Grundsatz der "lex mitior" gelange bezüglich der Frage des bedingten Strafvollzugs bisheriges Recht zur Anwendung, welches die Bestimmung einer Probezeit von einem Jahr ermöglicht habe. Die vorinstanzliche Bemessung der Probezeit auf zwei Jahre verstosse zudem gegen das Verbot der "reformatio in peius" und führe damit zu einer unzulässigen Schlechterstellung (Beschwerde S. 14 f.).
4.2 Die Vorinstanz hat erwogen, eine bedingte Geldstrafe stelle im Vergleich zu einer altrechtlichen (unbedingten) Busse die mildere Sanktion dar. Dabei sei die Probezeit auf die minimal mögliche Dauer von zwei Jahren festzusetzen (angefochtenes Urteil S. 10 f.).
4.3 Gemäss Art. 2 StGB wird nach diesem Gesetz beurteilt, wer nach dessen Inkrafttreten ein Verbrechen oder Vergehen begeht (Abs. 1). Hat der Täter ein Verbrechen oder Vergehen vor Inkrafttreten dieses Gesetzes begangen, erfolgt die Beurteilung aber erst nachher, so ist dieses Gesetz anzuwenden, wenn es für ihn das mildere ist (Abs. 2). Das Anknüpfungskriterium der lex mitior (Rückwirkung des milderen Gesetzes) erfordert einen Vergleich der konkurrierenden Strafgesetze, der anhand der von der Rechtsprechung und Lehre entwickelten Grundsätze vorzunehmen ist (vgl. zum Folgenden das zur Publikation bestimmte Urteil des Bundesgerichts 6B_109/2007 vom 17. März 2008, E. 6 und 7).
Ob das neue im Vergleich zum alten Gesetz milder ist, beurteilt sich nicht nach einer abstrakten Betrachtungsweise, sondern in Bezug auf den konkreten Fall (Grundsatz der konkreten Vergleichsmethode). Der Richter hat die Tat sowohl nach altem als auch nach neuem Recht (hypothetisch) zu prüfen und durch Vergleich der Ergebnisse festzustellen, nach welchem der beiden Rechte der Täter besser wegkommt (<ref-ruling> E. 2c mit Hinweisen; Günter Stratenwerth, Schweizerisches Strafrecht, Allgemeiner Teil I, 3. Aufl., Bern 2005, § 4 Rz. 13 S. 84; Stefan Trechsel, Schweizerisches Strafgesetzbuch, Kurzkommentar, 2. Aufl., Zürich 1997, Art. 2 N. 11; Alfred von Overbeck, Der zeitliche Geltungsbereich des Schweizerischen Strafgesetzbuches und die Behandlung der Übergangsfälle, ZStrR 56/1942 S. 359 ff.).
Der Gesetzesvergleich hat sich ausschliesslich nach einem objektiven Massstab zu richten (Grundsatz der Objektivität). Massgebend ist, welches die nach dem Gesetz gefundene, objektiv günstigere Rechtslage darstellt, nicht etwa der subjektive Gesichtspunkt, welche Sanktion dem Täter persönlich als vorteilhafter erscheint (Peter Halter, Das zeitliche Geltungsgebiet des Schweizerischen Strafgesetzbuches, Luzern 1942, S. 33).
Anzuwenden ist in Bezug auf ein und dieselbe Tat nur entweder das alte oder das neue Recht (Grundsatz der Alternativität). Eine kombinierte Anwendung der beiden Rechte ist ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 2a, je mit Hinweisen), weil ein Gesetz, das nicht gilt und zu keiner Zeit gegolten hat, nicht anwendbar sein kann (Halter, a.a.O., S. 334).
4.4 Im Zusammenhang mit der Revision vom 13. Dezember 2002 beschränkt sich die Frage nach dem milderen Recht im Wesentlichen auf einen Vergleich der konkret ermittelten Sanktionen. Wie sich aus der Gesetzesystematik ergibt, können sie sich in Strafart (Art. 34 - 41 StGB), Strafvollzugsmodalität (Art. 42 - 46 StGB) und Strafmass (Art. 47 - 48a StGB) unterscheiden. In der Abstufung der Strafarten (Geldstrafe, gemeinnützige Arbeit, Freiheitsstrafe) wie auch der Strafvollzugsmodalitäten (bedingte, teilbedingte, unbedingte Strafe) kommt eine Rangfolge zum Ausdruck. Darin liegt eine Bewertung des Gesetzgebers, die dem Vergleich zwischen altem und neuem Recht als verbindlicher Massstab zu Grunde zu legen ist. Auszugehen ist daher von einer eigentlichen Kaskadenanknüpfung: (1.) Die Sanktionen (Hauptstrafen) sind nach der Qualität der Strafart zu vergleichen. (2.) Bei gleicher Strafart entscheidet sich der Vergleich aufgrund der Strafvollzugsmodalität. (3.) Bei gleicher Strafart und Strafvollzugsmodalität kommt es auf das Strafmass an. (4.) Bei Gleichheit der Hauptstrafe sind allfällige Nebenstrafen zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 3b mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 2a). Erst wenn sich die Entscheidung auf einer Stufe nicht herbeiführen lässt, weil sich im konkreten Fall keine Veränderung der Rechtsfolgen ergibt, ist der Vergleich auf der nächsten Stufe fortzusetzen.
4.5 Busse (im Geldsummensystem) und Geldstrafe (im Tagessatzsystem) sind qualitativ gleichwertig. Beide Sanktionen treffen den Täter im Rechtsgut Vermögen. Sie unterscheiden sich jedoch im System ihrer Bemessung sowie dadurch, dass nur die Geldstrafe, nicht aber die Busse, bedingt oder teilbedingt verhängt werden kann.
Wenn eine unbedingt auszufällende Geldstrafe mit einer (unbedingten) Busse zu vergleichen ist, so entscheidet die konkret ermittelte Höhe des Geldbetrages. Ist die Geldstrafe jedoch bedingt auszusprechen (Art. 42 StGB), ist sie die mildere, weil weniger eingriffsintensive Sanktion. Dies gilt grundsätzlich unabhängig davon, ob der ermittelte Geldstrafenbetrag höher liegt als der Bussenbetrag, denn eine bedingte Strafe ist gegenüber einer gleichartigen unbedingten Strafe immer die mildere Sanktion. Nur ausnahmsweise, wenn die aufgeschobene Geldstrafe die Busse um ein Vielfaches übersteigt, kann die Busse im Einzelfall als mildere Sanktion erscheinen (ähnlich Franz Riklin, Revision des Allgemeinen Teils des Strafgesetzbuches: Fragen des Übergangsrechts, AJP 2006 S. 1474).
Nach der gesetzlichen Rangordnung kann die gemeinnützige Arbeit nur an Stelle einer Geldstrafe bis zu 180 Tagessätzen angeordnet werden und ist daher mit dieser Sanktion zu vergleichen. Die Anordnung bedarf der Zustimmung des Täters (Art. 37 Abs. 1 StGB), was dafür spricht, dass das Gesetz die gemeinnützige Arbeit auch im Vergleich zur Busse des alten Rechts als mildere Sanktion wertet.
4.6 Aus dem Dargelegten folgt, dass die von Vorinstanz bedingt ausgesprochene Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 40.-- bzw. die mit Zustimmung des Beschwerdeführers bedingt angeordnete gemeinnützige Arbeit von 80 Stunden verglichen mit der von der ersten Instanz verhängten Busse von Fr. 1'200.-- die mildere Sanktion bedeutet. Gestützt auf den Grundsatz der Alternativität, wonach in Bezug auf ein und dieselbe Tat nur entweder das alte oder das neue Recht anzuwenden ist (E. 4.3), hat die Vorinstanz auch bei der Bestimmung der Probezeit zutreffend auf neues Recht abgestellt. Die Festsetzung der Probezeit auf die gemäss Art. 44 Abs. 1 StGB minimal mögliche Dauer von zwei Jahren ist daher nicht zu beanstanden und kommt im Ergebnis keiner unzulässigen Schlechterstellung gleich.
5. Die Beschwerde ist demnach vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Mai 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Stohner