Sachverhalt:
A.
Der 1958 geborene A._ bezog gestützt auf die Verfügung der IV-Stelle Bern vom 18. April 2002 bei einem Invaliditätsgrad von 46 % vom 1. Oktober 1999 bis 31. Oktober 2000 eine halbe Härtefallrente und ab 1. Januar 2001 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung. Mit Verfügung vom 4. März 2008 erhöhte die Verwaltung den Anspruch revisionsweise per 1. September 2004 bei einem Invaliditätsgrad von 50 % auf eine halbe Rente. Im Rahmen eines weiteren Revisionsverfahrens holte die nunmehr zuständige IV-Stelle des Kantons Aargau ein interdisziplinäres medizinisches Gutachten der Medizinische Begutachtungsstelle B._ vom 27. August 2012 ein. Mit Verfügung vom 15. Januar 2013 hob sie die Rente auf den ersten Tag des zweiten Monats nach Zustellung der Verfügung auf. Sie begründete dies damit, die Prüfung des Leistungsanspruchs nach den Schlussbestimmungen zur 6. IV-Revision, erstes Massnahmenpaket (nachfolgend: SchlBest IVG) habe einen Invaliditätsgrad von lediglich 33 % ergeben. Zugleich sprach die Verwaltung dem Versicherten berufliche Wiedereingliederungsmassnahmen zu.
B.
A._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau lud die AXA Winterthur als berufliche Vorsorgeeinrichtung bei. Mit Entscheid vom 16. Dezember 2013 wies es die Beschwerde und zugleich - mangels ausgewiesener Bedürftigkeit - das mit dieser gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und weiterhin eine halbe Rente, eventuell eine Viertelsrente zuzusprechen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die zuletzt ausgerichtete halbe Invalidenrente zu Recht aufgehoben wurde oder ob weiterhin Anspruch auf diese Rente, eventuell auf eine Viertelsrente besteht.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, richtig dargelegt. Das betrifft nebst den Bestimmungen und Grundsätzen zum für einen Rentenanspruch mindestens erforderlichen Invaliditätsgrad von 40 %, zur invalidisierenden Wirkung anhaltender somatoformer Schmerzstörungen, zur Invaliditätsbemessung durch Einkommensvergleich und zum Beweisrecht namentlich auch die am 1. Januar 2012 in Kraft getretene Regelung gemäss lit. a SchlBest IVG (soweit hier von Interesse).
Nach Abs. 1 dieser Bestimmung werden Renten, die bei pathogene-tisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage (nachfolgend: unklare Beschwerden resp. unklare Beschwerdebilder) gesprochen wurden, innerhalb von drei Jahren nach Inkrafttreten dieser Änderung überprüft. Sind die Voraussetzungen nach Artikel 7 ATSG nicht erfüllt, so wird die Rente herabgesetzt oder aufgehoben, auch wenn die Voraussetzungen von Artikel 17 Absatz 1 ATSG nicht erfüllt sind. Gemäss Abs. 4 findet Absatz 1 keine Anwendung auf Personen, die im Zeitpunkt des Inkrafttretens dieser Änderung das 55. Altersjahr zurückgelegt haben oder im Zeitpunkt, in dem die Überprüfung eingeleitet wird, seit mehr als 15 Jahren eine Rente der Invalidenversicherung beziehen.
3.
Das kantonale Gericht hat erkannt, sowohl die am 18. April 2002 erfolgte Rentenzusprechung als auch die am 4. März 2008 verfügte Rentenerhöhung hätten im Wesentlichen auf einem unklaren Beschwerdebild beruht. Damit seien die Voraussetzungen zur Prüfung des Rentenanspruchs im Sinne von lit. a Abs. 1 SchlBest IVG erfüllt. Im Zeitpunkt der rentenaufhebenden Verfügung vom 15. Januar 2013 lägen in körperlicher Hinsicht namentlich degenerative Diskopathien vor. Deswegen bestehe in der zuletzt ausgeübten Tätigkeit eines Lagerarbeiters eine volle Arbeitsunfähigkeit; eine angepasste Tätigkeit hingegen sei vollzeitlich zumutbar. Die überdies gestellten psychiatrischen Diagnosen begründeten keine invalidisierende Arbeitsunfähigkeit.
3.1. Der Beschwerdeführer macht in grundsätzlicher Hinsicht geltend, die Anwendung von lit. a Abs. 1 SchlBest IVG setze voraus, dass die Rente ausschliesslich aufgrund unklarer Beschwerden zugesprochen worden sei. Für eine Rentenaufhebung wäre überdies erforderlich, dass auch im Revisionszeitpunkt ausschliesslich ein unklares Beschwerdebild vorliege. Beides treffe hier nicht zu, hätten doch von Beginn weg und weiterhin nebst unklaren Beschwerden auch organische Ursachen der Arbeitsunfähigkeit bestanden.
Der Einwand ist nicht stichhaltig. Der Umstand, dass eine laufende Rente sowohl für unklare Beschwerden als auch für andere Gesundheitsschäden (nachfolgend: erklärbare Beschwerden) zugesprochen wurde, steht der Anwendung von lit. a Abs. 1 SchlBest in Bezug auf die unklaren Beschwerden nicht entgegen. Das hat das Bundesgericht jüngst entschieden (Urteil 8C_74/2014 vom 16. Mai 2014, zur Publikation vorgesehen). Es kann nichts anderes gelten, wenn im Zeitpunkt der Rentenrevision ebenfalls unklare und erklärbare Beschwerden bestehen. Der Anwendung von lit. a Abs. 1 SchlBest IVG steht damit nichts im Wege, zumal unbestrittenermassen keiner der Ausnahmetatbestände gemäss Abs. 4 der Bestimmung vorliegt.
3.2. Der Versicherte bringt vor, gemäss dem Gutachten der Medizinischen Begutachtungsstelle B._ vom 27. August 2012 bestehe aufgrund der körperlichen Gesundheitsschädigung aktuell auch in angepassten Tätigkeiten eine um 30 % verminderte Leistungsfähigkeit. Die Vorinstanz hat dies nicht als invalidisierenden Faktor betrachtet. Sie hat dazu erwogen, zwar dürfte aufgrund einer lang dauernden Arbeitsabstinenz und einer wahrscheinlich ungenügenden körperlichen Betätigung infolge der Schmerzchronifizierung und einer somatischen Dekonditionierung eine solche Leistungsminderung bestehen. Gemäss Expertise der Medizinischen Begutachtungsstelle B._ sei dies aber durch eine medizinische Trainingstherapie zwecks Optimierung von Kraft und Kraftausdauer sowie durch Angewöhnung an einen angepassten Arbeitsplatz korrigierbar. Diese Beurteilung überzeugt. Der Versicherte begründet auch nicht, inwiefern sie rechtswidrig sein soll.
3.3. Weitere Einwände betreffen den psychischen Gesundheitszustand und seine Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit. Das kantonale Gericht hat diese Gesichtspunkte nach der Rechtsprechung zur invalidisierenden Wirkung anhaltender somatoformer Schmerzstörungen beurteilt.
3.3.1. Nach dieser Rechtsprechung gilt eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung grundsätzlich als mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar und vermag daher keine lang dauernde, zu einer Invalidität führende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit zu begründen. Nur ausnahmsweise, unter bestimmten Voraussetzungen, ist von der Unzumutbarkeit einer willentlichen Schmerzüberwindung und eines Wiedereinstiegs in den Arbeitsprozess auszugehen. Ob ein solcher Ausnahmefall vorliegt, entscheidet sich im Einzelfall anhand verschiedener Kriterien (<ref-ruling> und seitherige Entscheide). Diese sog. Überwindbarkeitsrechtsprechung findet auch bei anderen unklaren Beschwerdebildern Anwendung (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.1.3 S. 13 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550, je mit Hinweisen).
3.3.2. Die Vorinstanz hat erwogen, im psychiatrischen Teilgutachten der Medizinischen Begutachtungsstelle B._ vom 8. Juni 2012 seien eine leichte bis grenzwertig mittelgradige depressive Episode mit somatischem Syndrom (ICD-10: F33.1) und eine somatoforme Schmerzstörung (ICD-10: F45.4) diagnostiziert worden. Selbst wenn von einer mittelgradigen depressiven Episode im eigentlichen Sinne ausgegangen werde, stelle dies nach der Rechtsprechung keine von depressiven Verstimmungszuständen klar unterscheidbare andauernde Depression im Sinne eines verselbstständigten Gesundheitsschadens dar, die es der betroffenen Person verunmöglichte, die Folgen der bestehenden Schmerzproblematik zu überwinden. Damit liege auch keine relevante psychische Komorbidität im Sinne der Überwindbarkeitsrechtsprechung vor. Die weiteren relevanten Kriterien seien ebenfalls nicht hinreichend erfüllt, um den rechtlichen Schluss auf eine invalidisierende psychische Gesundheitsschädigung zu gestatten.
Der Beschwerdeführer macht geltend, gemäss dem interdisziplinären Hauptgutachten der Medizinischen Begutachtungsstelle B._ vom 27. August 2012 liege eine chronische majore Depression, aktuell leichten bis mittleren Grades, vor, welche sich unabhängig von der Schmerzstörung auf die Arbeits- und Leistungsfähigkeit auswirke, aber auch eine erhebliche Komorbidität zur Schmerzstörung darstelle. Auch weitere Kriterien gemäss der Überwindbarkeitsrechtsprechung seien erfüllt.
3.3.3. Kognitionsrechtlich gilt Folgendes: Im Rahmen der Invaliditätsbemessung betrifft die Feststellung des Gesundheitsschadens, d.h. die Befunderhebung und die gestützt darauf gestellte Diagnose, ebenso eine Tatfrage wie die aufgrund von medizinischen Untersuchungen gerichtlich festgestellte Arbeitsunfähigkeit (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398). Zu diesen vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt auch, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (oder ein damit vergleichbarer syndromaler Zustand) vorliegt, und bejahendenfalls, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 66 ff. mit Hinweis). Die Beantwortung dieser Rechtsfrage obliegt nicht den Arztpersonen, sondern den rechtsanwendenden Behörden (Urteil 9C_302/2012 vom 13. August 2012 E. 4.2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2012 IV Nr. 56 S. 200). Es können sich daher Konstellationen ergeben, bei welchen von der im medizinischen Gutachten festgestellten Arbeitsunfähigkeit abzuweichen ist, ohne dass dieses seinen Beweiswert verlöre (SVR 2013 IV Nr. 9 S. 21, 8C_842/2011 E. 4.2.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 3 S. 356).
3.3.4. Die vom Versicherten erwähnte Aussage im Gutachten der Medizinischen Begutachtungsstelle B._ lässt die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen zur Diagnose nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen. Das gilt namentlich auch, soweit das kantonale Gericht gestützt auf die fachärzliche Beurteilung des psychiatrischen Experten auf eine nur leichte bis grenzwertig mittelgradige Episode der depressiven Störung geschlossen hat.
Wie die Vorinstanz sodann zutreffend erkannt hat, werden nach der Rechtsprechung leicht-mittelgradige Episoden einer Depression und selbst mittelgradige depressive Episoden regelmässig nicht als von depressiven Verstimmungszuständen klar unterscheidbare andauernde Depression im Sinne eines verselbstständigten Gesundheitsschadens betrachtet, die es der betroffenen Person verunmöglichte, die Folgen der bestehenden Schmerzproblematik zu überwinden. Daran ändert nichts, wenn die depressive Episode vor dem Hintergrund einer rezidivierenden depressiven Störung diagnostiziert worden ist (Urteile 8C_581/2013 vom 10. Dezember 2013 E. 4.2; 8C_213/2012 vom 13. April 2013 E. 3.2, je mit Hinweisen).
In einlässlicher und überzeugender Würdigung der Sach- und Rechtslage hat das kantonale Gericht sodann dargelegt, weshalb die weiteren massgeblichen Kriterien (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 354 f.) nicht in genügender Weise vorliegen, um die Schmerzstörung als unüberwindbar zu betrachten. Was der Versicherte einwendet, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Die degenerativen Diskopathien wurden zu Recht nicht als massgebliche chronische körperliche Begleiterkrankung anerkannt, zumal der Versicherte weiterhin in einer angepassten Tätigkeit vollzeitlich arbeitsfähig ist. Für die die Arbeitsfähigkeit nicht beeinflussende Herzproblematik gilt nichts anderes. Die durchgeführten Therapien lassen die Schmerzstörung ebenfalls nicht als unüberwindbar erscheinen, zumal, wie die Vorinstanz zutreffend erkannt hat, keine konsequent durchgeführte Behandlung im Sinne des entsprechenden Kriteriums durchgeführt wurde und der Versicherte verschiedene ärztlich empfohlene Therapien abgelehnt hatte. Ein sozialer Rückzug in allen Belangen liegt ebenfalls nicht vor, pflegt der Versicherte doch zumindest familiäre und weitere verwandtschaftliche Kontakte im In- und Ausland (vgl. Urteil 9C_973/2012 vom 11. Juli 2013 E. 3.2).
4.
Nach dem Gesagten bleibt es beim von der Vorinstanz definierten Zumutbarkeitsprofil. Das kantonale Gericht hat erwogen, davon ausgehend sei ein Einkommensvergleich für das Jahr 2012 vorzunehmen. Das ohne Gesundheitsschaden mutmasslich erzielte Einkommen (Valideneinkommen) sei gestützt auf die zuletzt realisierten, der Lohnentwicklung angepassten Einkünfte auf Fr. 95'740.- festzusetzen. Das trotz gesundheitsbedingter Beeinträchtigung zumutbarerweise noch erzielbare Einkommen (Invalideneinkommen) sei mittels Tabellenlöhnen gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) zu bestimmen und betrage Fr. 62'354.-. Ein leidensbedingter Abzug vom Invalideneinkommen sei nicht gerechtfertigt. Aus dem Vergleich der Einkommen ergebe sich eine Einbusse von Fr. 33'386.-, was einem Invaliditätsgrad von (gerundet) 35 % entspreche. Damit werde der für eine Invalidenrente mindestens erforderliche Invaliditätsgrad von 40 % nicht erreicht. Die Rente sei daher zu Recht aufgehoben worden.
Der Versicherte postuliert, es sei ein leidensbedingter Abzug von 25 % beim Invalideneinkommen vorzunehmen.
4.1. Praxisgemäss kann von dem anhand von LSE-Tabellenlöhnen ermittelten Invalideneinkommen unter bestimmten Voraussetzungen ein leidensbedingter Abzug vorgenommen werden. Dieser soll persönlichen und beruflichen Umständen (leidensbedingte Einschränkung, Alter, Dienstjahre, Nationalität/Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad) Rechnung tragen, welche negative Auswirkungen auf die Lohnhöhe der gesundheitlich beeinträchtigten Person haben können. Der Einfluss sämtlicher Merkmale auf das Invalideneinkommen ist nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen, wobei der Abzug auf höchstens 25 % zu begrenzen ist (<ref-ruling> und seitherige Entscheide). Ob ein leidensbedingter Abzug vorzunehmen sei, ist eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 5.1 S. 72).
4.2. Der Beschwerdeführer begründet den geltend gemachten Abzug mit somatisch und psychisch bedingten Einschränkungen.
Das kantonale Gericht hat erwogen, gemäss gutachterlicher Beurteilung seien angepasste Tätigkeiten vollzeitlich zumutbar. Da der angewandte Tabellenlohn für Männer mit Arbeiten auf dem Anforderungsniveau 4 bereits auf einer Vielzahl von leichten bis mittelschweren Tätigkeiten basiere, wirke sich dies hier kaum aus. Diese Beurteilung ist im Lichte der Rechtsprechung (vgl. aus jüngerer Zeit Urteil 9C_226/2013 vom 4. September 2013 E. 4.2.2 mit Hinweisen) nicht zu beanstanden. Soweit der Versicherte in diesem Zusammenhang geltend macht, ihm seien nur leichte bis sehr leichte Tätigkeiten zumutbar, findet dies in den medizinischen Akten keine verlässliche Stütze. So sind gemäss dem Gutachten der Medizinischen Begutachtungsstelle B._ vom 27. August 2012 körperlich belastende Tätigkeiten zwar nur noch begrenzt ausübbar, aber nicht gänzlich ausgeschlossen. Im Weiteren wurde bereits festgestellt, dass keine psychisch bedingte Invalidität vorliegt. Auch unter diesem Gesichtswinkel lässt sich ein Abzug daher nicht rechtfertigen.
4.3. Der vorinstanzliche Einkommensvergleich wird im Übrigen nicht beanstandet und gibt keinen Anlass zu Weiterungen. Die Rente wurde demnach zu Recht aufgehoben, was zur Abweisung der Beschwerde führt.
5.
Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da aktuell die Bedürftigkeit aufgrund der eingereichten Belege ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Dr. Beatrice Gurzeler, Rechtsdienst Integration Handicap, wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwältin Dr. Beatrice Gurzeler, Rechtsdienst Integration Handicap, wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'000.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der AXA Winterthur, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Juni 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz