Erwägungen:
1.
1.1. Der aus dem Kosovo stammende X._ (geb. 1976) reiste am 2. April 1996 in die Schweiz ein und ersuchte um Asyl. Das Gesuch wurde am 16. September 1996 abgewiesen und dem Gesuchsteller eine Frist bis zum 31. Mai 1998 zur Ausreise gesetzt.
Am 13. Mai 1998 heiratete X._ eine 17 Jahre ältere Schweizer Bürgerin und erhielt daraufhin am 25. Mai 1998 die Aufenthaltsbewilligung. Gegen das erstinstanzliche Scheidungsurteil vom 12. Dezember 2002 reichte X._ Beschwerde ein; die Scheidung erwuchs am 4. September 2003 in Rechtskraft. Zuvor war mit Verfügung vom 5. Mai 2003 seine Aufenthaltsbewilligung nicht verlängert worden.
Am 31. Oktober 2003 heiratete X._ die Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1973) und erhielt am 5. November 2003 wiederum die Aufenthaltsbewilligung bzw. am 18. September 2008 die Niederlassungsbewilligung. Am 15. August 2009 liess sich das Ehepaar scheiden.
1.2. Am 22. Dezember 2009 heiratete X._ im Kosovo seine Landsfrau Z._ (geb. 1977). Am 16. August 2012 stellte er ein Gesuch um Familiennachzug für seine Ehefrau bzw. für die gemeinsame Tochter (geb. 7. Oktober 2004) und den gemeinsamen Sohn (geb. 23. April 2009). Aus den eingereichten Unterlagen ging hervor, dass X._ die Vaterschaft für die beiden ausserehelichen Kinder am 16. Dezember 2008 bzw. 4. Mai 2009 anerkannt hatte. Am 15. Oktober 2012 kam sodann das dritte gemeinsame Kind zur Welt.
1.3. Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs widerrief die Abteilung Migration und Schweizer Ausweise namens des Departementes des Innern des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 23. April 2013 die Niederlassungsbewilligung von X._ und wies diesen aus der Schweiz weg. Auf das Gesuch um Familiennachzug trat das Departement nicht ein. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 1. Juli 2013 ab.
1.4. Mit Eingabe vom 2. August 2013 erhebt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 1. Juli 2013 sei aufzuheben und der Familiennachzug für seine Ehefrau und die beiden gemeinsamen Kinder zu bewilligen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
1.5. Mit Verfügung vom 7. August 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Auf die Anordnung eines Schriftenwechsels wurde verzichtet.
2.
Die von X._ beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> mit summarischer Begründung und Verweis auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu erledigen ist.
3.
3.1. Gegen den angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen Endentscheid über den Widerruf einer Niederlassungsbewilligung ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 [e contrario] und Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG), weil grundsätzlich ein Anspruch auf das Fortbestehen dieser Bewilligung gegeben ist und bei einer Bejahung des Fortbestehens - ebenfalls dem Grundsatze nach - ein Recht auf Familiennachzug besteht (Art. 43 AuG; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4).
3.2. Nach dem hier anwendbaren Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) kann die Niederlassungsbewilligung widerrufen werden, wenn der Ausländer oder sein Vertreter im Bewilligungsverfahren falsche Angaben macht oder wesentliche Tatsachen verschwiegen hat (Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. a AuG). Die unter dem alten Recht (Art. 9 Abs. 2 lit. a und Abs. 4 lit. a ANAG) zu diesem Widerrufsgrund entwickelte Praxis gilt im Wesentlichen auch für Art. 62 lit. a AuG. Namentlich muss die falsche Angabe oder das Verschweigen wesentlicher Tatsachen in der Absicht erfolgt sein, gestützt darauf den Aufenthalt oder die Niederlassung bewilligt zu erhalten. Der Ausländer ist verpflichtet, den Behörden wahrheitsgetreu über alles Auskunft zu geben, was für den Bewilligungsentscheid massgebend sein kann (Art. 3 Abs. 2 und Art. 13f ANAG bzw. Art. 90 AuG). Wesentlich sind dabei nicht nur Umstände, nach denen die Fremdenpolizei ausdrücklich fragt, sondern auch solche, von denen der Gesuchsteller wissen muss, dass sie für den Bewilligungsentscheid massgeblich sein können (Urteile 2C_595/2011 vom 24. Januar 2012 E. 3.3; 2C_15/2011 vom 31. Mai 2011 E. 4.2.1). Als wesentlicher Umstand gilt gemäss ständiger Rechtsprechung insbesondere das Vorhandensein von vor- bzw. ausserehelichen Kindern bei Gesuchen zum Verbleib beim in der Schweiz ansässigen Ehepartner bzw. bei der Ehepartnerin (vgl. die Urteile 2C_243/2008 vom 18. Juni 2008 E. 2.3; 2A.423/2006 vom 26. Oktober 2006 E. 2.1; 2A.346/2004 vom 10. Dezember 2004 E. 2.2; je mit Hinweisen). Der Widerruf ist allerdings nur zulässig, wenn er aufgrund der relevanten Gesamtumstände verhältnismässig ist (Urteil 2C_1081/2012 vom 16. April 2013 E. 2.1 mit Hinweisen).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer erhebt zunächst - erstmals vor Bundesgericht - die Rüge der Verletzung von Art. 63 Abs. 2 AuG. Danach kann die Niederlassungsbewilligung von Ausländern, die sich seit mehr als 15 Jahren ununterbrochen und ordnungsgemäss in der Schweiz aufhalten, nur aus Gründen von Art. 63 Abs. 1 lit. b AuG (schwerwiegender Verstoss oder Gefährdung der öffentlichen Sicherheit und Ordnung) oder Art. 62 lit. b AuG (Verurteilung zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe) widerrufen werden. Demnach wäre nach Ablauf dieser Zeit ein Widerruf gestützt auf Art. 62 lit. a AuG wegen falscher Angaben oder Verschweigens wesentlicher Tatsachen nicht mehr möglich. Insoweit sieht der Gesetzgeber einen Widerruf als unverhältnismässig an (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 13 sowie die nicht amtlich publizierte E. 5; Botschaft zum AuG in BBl 2002 S. 3810 f.). Für die Anwendbarkeit von Art. 63 Abs. 2 AuG ist sodann entscheidend, dass die erwähnten 15 Jahre bis zur erstinstanzlichen Verfügung des Widerrufs erfüllt werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 12). Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers ist jedoch der Aufenthalt als Asylbewerber nicht in die Berechnung der Aufenthaltszeit nach Art. 63 Abs. 2 AuG einzubeziehen, da sein Asylgesuch abgewiesen worden ist (<ref-ruling> E. 4.6 S. 16).
4.2. Im vorliegenden Fall hielt sich der Beschwerdeführer zwischen seiner Einreise im April 1996 bzw. der Abweisung des Asylgesuchs im September 1996 und der erstmaligen Eheschliessung mit einer Schweizer Staatsangehörigen am 13. Mai 1998 nicht ordnungsgemäss im Sinne der erwähnten Praxis in der Schweiz auf. Wie der Beschwerdeführer selber festgestellt hat (vgl. Beschwerde Ziff. 9), wurde damit seine Niederlassungsbewilligung 20 Tage vor Ablauf der Frist nach Art. 63 Abs. 2 AuG widerrufen (Eheschliessung am 13. Mai 1998 und Widerruf durch erstverfügende Behörde am 23. April 2013).
4.3. Damit steht die Bestimmung von Art. 63 Abs. 2 AuG einem Widerruf der Niederlassungsbewilligung offensichtlich nicht entgegen. Inwiefern die Bestimmung hier "sinngemäss" anwendbar sein soll, ist nicht ersichtlich. Ebenso wenig ist einzusehen, warum die Vorinstanz gegen <ref-law> verstossen haben soll, weil sie im angefochtenen Entscheid die Anwendbarkeit von Art. 63 Abs. 2 AuG nicht geprüft habe, hat doch der Beschwerdeführer diese Rüge vor der Vorinstanz gar nie erhoben.
5.
5.1. Die Vorinstanz hat verschiedene Indizien festgestellt, die für eine Scheinehe sprechen: So hat der Beschwerdeführer eine Aufenthaltsbewilligung durch Heirat mit einer beträchtlich älteren Schweizer Ehefrau kurz vor Ablauf der Ausreisefrist erwirkt. Nach der Scheidung folgte sehr rasch eine zweite Ehe mit einer Schweizerin zur Erlangung einer neuen Aufenthaltsbewilligung. Kurz nach Erhalt der Niederlassungsbewilligung liess sich der Beschwerdeführer scheiden und heiratete anschliessend eine Landsfrau und stellte für sie und die während der zweiten Ehe mit der Schweizer Staatsangehörigen gezeugten Kinder ein Nachzugsgesuch (vgl. angefochtener Entscheid E. 3). Wie die Vorinstanz richtig ausgeführt hat, ergibt sich damit schon aus dem zeitlichen Ablauf der Ereignisse klar, dass der Beschwerdeführer nach einem aus zahlreichen Verfahren bekannten Verhaltensmuster (vgl. statt vieler Urteil 2C_535/2012 vom 30. August 2012 E. 3.3 mit Hinweisen) planmässig vorgegangen ist, um sich in der Schweiz ein Anwesenheitsrecht zu verschaffen und seiner Familie den Nachzug zu ermöglichen.
5.2. Der Beschwerdeführer räumt ein, dass er gegenüber den Migrationsbehörden die aussereheliche Tochter nicht erwähnt habe (vgl. Beschwerdeschrift Ziff. 16). Wie die Vorinstanz richtig festgehalten hat, kann damit dahingestellt bleiben, ob der Beschwerdeführer im Zeitpunkt der Erteilung der Niederlassungsbewilligung am 18. September 2008 über die zweite Schwangerschaft bereits im Bilde war. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers ist es derart offensichtlich, dass das Vorhandensein einer ausserehelichen Beziehung und von ausserehelichen Kindern im Heimatstaat bzw. der beabsichtigte Familiennachzug in fremdenpolizeilicher Hinsicht von Relevanz ist, dass dies selbst einer gänzlich rechtsunkundigen Person ohne weiteres klar sein muss (vgl. Urteil 2C_72/2009 vom 5. März 2009 E. 3.2 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer kann daher das Bestehen einer Täuschungsabsicht nicht mit Erfolg bestreiten.
Damit ist im Ergebnis der Widerrufsgrund von Art. 63 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit Art. 62 lit. a AuG erfüllt.
5.3. Der Widerruf der Niederlassungsbewilligung erweist sich, gestützt auf die Ausführungen der Vorinstanz (dortige E. 4), auch als verhältnismässig (vgl. Art. 96 AuG). Zwar ist der Beschwerdeführer zumindest beruflich in der Schweiz integriert und bestreitet seinen Lebensunterhalt selber. Das allein macht aber die Rückkehr in den Kosovo nicht unzumutbar. Sodann wird allgemeines Wohlverhalten an sich als selbstverständlich vorausgesetzt und bedarf keiner besonderen Erwähnung. Hinzu kommt, dass der Beschwerdeführer - nach eigenen Angaben - bis zu seinem 14. Altersjahr (möglicherweise auch länger, vgl. dazu E. 5.4 hiernach) vorwiegend in seiner Heimat lebte und damit dort die prägenden Lebensjahre verbracht hat. Weiter darf davon ausgegangen werden, dass er mit den kulturellen und gesellschaftlichen Gepflogenheiten seines Heimatlandes nach wie vor bestens vertraut ist. Dies ergibt sich insbesondere auch daraus, dass seine derzeitige Ehefrau und die drei gemeinsamen Kinder sowie weitere Verwandte im Kosovo leben. Dem Beschwerdeführer ist somit ohne weiteres zuzumuten, zu seiner Familie in die Heimat zurückzukehren.
5.4. Soweit der Beschwerdeführer eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhaltes rügt, kann ihm nicht gefolgt werden: Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn u.a. die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann, was hier jedoch nicht der Fall ist. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe den Kosovo bereits mit 14 Jahren - und nicht wie die Vorinstanz ausgeführt habe mit 20 Jahren - Richtung Slowenien und Bulgarien verlassen. 1995 habe er sodann in Österreich ein Asylgesuch gestellt. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers fällt die Interessenabwägung aber nicht anders aus, ob nun der Beschwerdeführer schon mit 14 oder erst mit 20 Jahren seine Heimat verlassen hat. Die vom Beschwerdeführer noch teilweise nachträglich eingereichten Unterlagen, die seinen Aufenthalt in Bulgarien beweisen sollen, erscheinen sodann - sofern sie ohnehin nicht als Novum aus dem Recht zu weisen sind - als kaum überprüfbar und wenig glaubwürdig. Damit erweist es sich auch als unnötig, weitere Akten (etwa betreffend Asylgesuch in Österreich) von Amtes wegen einzuholen bzw. einholen zu lassen.
5.5. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten schliesslich, soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG (Abweichungen von den Zulassungsvoraussetzungen wegen schwerwiegendem persönlichen Härtefall) geltend macht (vgl. <ref-law>). Bei der angerufenen Bestimmung geht es um eine Ermessensbewilligung (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 348), welche von den Kantonen im Rahmen von Art. 96 AuG erteilt werden kann. Sodann ist die Beschwerdeberechtigung auch für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) - bei Fehlen eines Rechtsanspruchs - nicht gegeben, wenn ein ausländerrechtlicher Entscheid in materieller Hinsicht angefochten wird (vgl. <ref-ruling> ff.). Zulässig wäre hier einzig die Rüge, ihm zustehende Verfahrensgarantien, namentlich sein Anspruch auf rechtliches Gehör, seien verletzt worden (sog. "Star-Praxis"); diesbezügliche Rügen erhebt der Beschwerdeführer jedoch nicht.
6.
6.1. Der verfügte Widerruf der Niederlassungsbewilligung verletzt somit kein Bundesrecht. Als Folge des rechtmässigen Entzuges der Niederlassungsbewilligung durfte die Vorinstanz ferner davon ausgehen, dass dem Familiennachzugsgesuch betreffend die heutige Ehefrau und die gemeinsamen Kinder die Grundlage entzogen ist. Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Ergänzend kann auf die Erwägungen im angefochtenen Urteil verwiesen werden (<ref-law>). Bei diesem Ergebnis besteht auch kein Anlass, dem Eventualantrag (Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung) stattzugeben.
6.2. Entsprechend diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement des Innern des Kantons Solothurn, vertr. durch Migration und Schweizer Ausweise, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. November 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger