Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1977 geborene O._ war Produktionsmitarbeiterin bei der Q._ AG und bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 15. oder 17. Januar 2008 (Schaden-Datum unpräzis) verletzte sie sich beim Ausrutschen auf einer Treppe. Deswegen suchte die Versicherte am 18. Januar 2008 Frau T._, Ärztin für Allgemeine Medizin, auf. Diese diagnostizierte im Zeugnis vom 29. Februar 2008 eine Kontusion des linken Handgelenks und linken Vorderarms mit konsekutiven Muskelverspannungen im Schulter-Nackenbereich links. Dr. med. R._, Handchirurgie FMH, diagnostizierte im Bericht vom 20. März 2008 eine kleine Läsion des TFCC im Bereich der radialen Insertion am Handgelenk links; weiter führte er aus, am 20. Februar 2008 sei der Versicherten zudem ein schweres Glas aus dem Schrank auf den Daumen gefallen; seit den Ereignissen vom 17. Januar und 20. Februar 2008 klage sie über persistierende Beschwerden im Handgelenk ulnarseits. Dr. med. M._, Leitender Arzt i.V. Rheumatologie, Klinik X._, diagnostizierte im Bericht vom 10. Juni 2008 ein Schulter-Armsyndrom links (Sturz am 15. Januar 2008 mit Anschlagen der linken Hand; protrahierte Schmerzen; kleiner Riss im TFCC linke Hand [MRI 18. März 2008]; Verdacht auf zusätzliche neuropathische Komponente). Der von der SUVA konsiliarisch beigezogene Dr. med. A._, Leitender Arzt Abteilung für Handchirurgie des Spitals Y._, diagnostizierte am 14. August 2008 ein Schmerzsyndrom nach Bagatelltrauma (Kausalgie) Handgelenk und Vorderarm links als Teilsymptom einer Algodystrophie (Sudeck). Die SUVA kam für die Heilbehandlung sowie das Taggeld auf und zog weitere Arztberichte bei. Mit Verfügung vom 16. September 2008 stellte sie die Leistungen auf dieses Datum hin ein, da keine objektivierbaren behandlungsbedürftigen Unfallfolgen vorlägen; dagegen erhob einzig der Krankenversicherer der Versicherten Einsprache, die er aber am 5. November 2008 zurückzog.
A.b. Am 26. August bzw. 28. September 2009 meldete die Versicherte der SUVA einen Rückfall. Diese zog diverse Arztberichte und eine Aktenstellungnahme der Dres. med. V._, Facharzt für Chirurgie FMH, und B._, Facharzt für Neurologie FMH, und für Psychiatrie und Psychotherapie, beide SUVA Versicherungsmedizin, vom 18. Februar 2010 bei. Mit Verfügung vom 24. Februar 2010 eröffnete sie der Versicherten, sie könne auf die Gesuche um Wiedererwägung und prozessuale Revision der Verfügung vom 16. September 2008 nicht eintreten. Die Einsprache der Versicherten wies sie ab, soweit sie darauf eintrat (Entscheid vom 10. August 2010). Dagegen erhob die Versicherte beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde. Sie reichte ein für die IV-Stelle des Kantons St. Gallen erstelltes Gutachten der Dres. med. C._, Fachärztin FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, und K._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, vom 31. Juli 2010 ein. Das kantonale Gericht wies die Beschwerde insoweit ab, als damit ein Rückkommen auf die Verfügung vom 16. September 2008 unter den Rückkommenstiteln der Wiedererwägung und prozessualen Revision verlangt werde; zur Verfügung über die Rückfallmeldung wies es die Sache an die SUVA zurück (Entscheid vom 17. August 2011); dieser Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
A.c. In der Folge zog die SUVA eine Aktenstellungnahme der Dres. med. V._ und B._ vom 23. März 2012 bei. Mit Verfügung vom 2. April 2012 verneinte sie ihre Leistungspflicht. Die Einsprache der Versicherten wies sie ab, da die geklagten Handbeschwerden links nicht überwiegend wahrscheinlich als Rückfall zum Unfall vom 17. Januar 2008 zu qualifizieren seien; selbst wenn eine Rückfallkausalität zu bejahen wäre, wäre keine Rente geschuldet, da bei der Versicherten keine relevante Einschränkung der Leistungsfähigkeit vorliege, die eine Erwerbseinbusse zu Folge hätte (Entscheid vom 24. Mai 2012).
B.
Die gegen den letztgenannten Entscheid geführte Beschwerde wies das kantonale Gericht mit Entscheid vom 25. März 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides seien ihr die gesetzlichen Leistungen, insbesondere eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur ergänzenden medizinischen Abklärung und Prüfung der Rückfallkausalität an die SUVA zurückzuweisen.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann unter Berücksichtigung der den Parteien obliegenden Begründungs- resp. Rügepflicht eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Die Vorinstanz hat die Grundlagen über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 2 S. 111 f.) sowie den Rückfall und die Spätfolgen als besondere revisionsrechtliche Tatbestände (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4b S. 457; SVR 2009 UV Nr. 62 S. 217 E. 3.4 [8C_91/2009], 2005 MV Nr. 1 S. 1 E. 1.2 [M 1/02]) richtig dargelegt. Gleiches gilt betreffend den Beweiswert von Arztberichten im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 232; betreffend versicherungsinterne ärztliche Beurteilungen vgl. <ref-ruling>; betreffend Aktenberichte bzw. -gutachten siehe SVR 2010 UV Nr. 17 S. 63 E. 7.2 [8C_239/2008]; RKUV 1993 Nr. U 167 S. 95 E. 5d). Darauf wird verwiesen.
3.
Gleichentags wie den hier angefochtenen Entscheid erliess die Vorinstanz den Entscheid betreffend das invalidenversicherungsrechtliche Verfahren, worin die Sache zur ergänzenden Abklärung der Arbeitsfähigkeit der Versicherten an die IV-Stelle zurückgewiesen wurde. Die Versicherte kann aus diesem Entscheid, den sie auflegt, nichts zu ihren Gunsten ableiten, wie die folgenden Erwägungen zeigen. Denn als finale Versicherung hat die Invalidenversicherung im Unterschied zur Unfallversicherung sämtliche Leiden der Versicherten unabhängig von ihrer Ursache zu berücksichtigen; vorliegend ist vorab zu beurteilen, ob die von der Versicherten geklagten Beschwerden unfallbedingt sind (<ref-ruling> E. 3b S. 178; SVR 2011 IV Nr. 55 S. 163 E. 4.5.6 [8C_671/2010]).
4.
4.1. Die Vorinstanz erwog, gestützt auf die Beurteilungen der Dres. med. V._ und B._ vom 18. Februar 2010 und 23. März 2012 sei ein natürlicher Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 15./17. Januar (und vom 20. Februar) 2008 sowie den mit Rückfallmeldung vom 26. August und 28. September 2009 angegebenen Beschwerden zu verneinen. Unabhängig vom (Nicht-) Vorliegen einer natürlichen Kausalität wäre angesichts des unbestrittenermassen bagatellären Ereignisses eine Adäquanz allfälliger psychischer Beschwerden ohnehin klar zu verneinen.
4.2. Die Versicherte wendet im Wesentlichen ein, es lägen sehr wohl unfallbedingte Beschwerden (insbesondere Morbus Sudeck) mit einem Verlauf vor, aufgrund derer die Rückfallkausalität zu bejahen sei. Im von der Invalidenversicherung veranlassten Gutachten vom 31. Juli 2010 habe Dr. med. K._ folgende Diagnosen gestellt: 1. Schulter-Arm-Syndrom links (M45.12) bei Status nach Kontusion des linken dominanten Handgelenks (15. Januar 2008), nach erneuter Kontusion des linken Handgelenks (20. Februar 2008), nach Infiltration des linken Handgelenks mit Ostenil (13. Oktober 2008), nach Stellatumblockade (3. Dezember 2009); 2. CRPS Typ I (früher Morbus Sudeck) Stadium 2 der linken oberen Extremität (M89.09). Die Rückfallkausalität sei angesichts der erheblichen, aufgrund einer nach der ersten rechtskräftigen Beurteilung eingetretenen unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit zu bejahen.
5.
5.1. Mit Verfügung vom 16. September 2008 stellte die SUVA die Leistungen auf dieses Datum hin ein. Zur Begründung führte sie aus, es lägen keine objektivierbaren behandlungsbedürftigen Unfallfolgen vor; für eine allfällig nötige weitere ärztliche Behandlung werde die Anmeldung bei der zuständigen Krankenkasse empfohlen. Diese Verfügung erwuchs in Rechtskraft, nachdem die einzig vom Krankenversicherer der Versicherten erhobene Einsprache zurückgezogen wurde.
Damit wurde die Unfallkausalität der von der Versicherten nach den Unfällen vom 15./17. Januar 2008 und vom 20. Februar 2008 geklagten Beschwerden rechtskräftig verneint, was auch die Versicherte einräumt (vgl. E. 4.2 hievor in fine); in Frage standen bereits damals die Handbeschwerden links und das Schulter-Arm-Syndrom links. Die rechtskräftige Verneinung der Unfallkausalität eines Leidens führt - vorbehältlich der prozessualen Revision oder der Wiedererwägung (hierzu vgl. E. 5.2 hienach) - zur Ablehnung sämtlicher künftiger Leistungsbegehren aufgrund dieses Leidens; dies gilt auch hinsichtlich geltend gemachter Rückfälle oder Spätfolgen (RKUV 1998 Nr. U 310 S. 463 E. 2).
Soweit in der Verfügung vom 16. September 2008 zur Unfallkausalität nicht objektivierbarer Beschwerden nicht Stellung genommen wurde, ist Folgendes festzuhalten: Die vorinstanzliche Verneinung der adäquaten Unfallkausalität allfälliger psychischer Beschwerden der Versicherten ist unbestritten; diesbezüglich braucht mithin nicht geprüft zu werden, ob der natürliche Kausalzusammenhang besteht (<ref-ruling> E. 5.1 S. 472).
5.2. Mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 17. August 2011 hat die Vorinstanz erkannt, dass die Voraussetzungen nicht erfüllt sind, um im Rahmen einer Wiedererwägung (wegen zweifelloser Unrichtigkeit; <ref-law>; SVR 2010 IV Nr. 5 S. 10 E. 2 [8C_1012/2008]) oder einer prozessualen Revision (wegen Entdeckung erheblicher neuer Tatsachen oder Auffinden von Beweismitteln, deren Beibringung zuvor nicht möglich war; <ref-law>; ARV 2008 Nr. 16 S. 245 E. 2.2 [8C_93/2007]) auf die rechtskräftige Verneinung der Unfallkausalität des Gesundheitsschadens zurückzukommen. Hiermit hat es sein Bewenden.
5.3. Da von weiteren medizinischen Abklärungen keine entscheidwesentlichen Erkenntnisse zu erwarten sind, ist darauf zu verzichten; dies verstösst weder gegen den Untersuchungsgrundsatz noch gegen den Gehörsanspruch (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236; Urteil 8C_220/2013 vom 4. Juli 2013 E. 3). Nach dem Gesagten ist der vorinstanzliche Entscheid im Ergebnis nicht zu beanstanden.
6.
Die unterliegende Versicherte trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. August 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar