(Zivilprozess; Beweiswürdigung; rechtliches Gehör), hat sich ergeben:
A.- A._ (Beschwerdegegner) schloss mit der X._ AG (Beschwerdeführerin) am 30. Juni 1996 einen Beratervertrag, gültig ab 1. Juli 1996. Seine Aufgabe bestand darin, die Beschwerdeführerin in Kommunikationsangelegenheiten zu beraten und namentlich die Marke X._ aufzubauen. Zwei weitere Beraterverträge schloss er am 30. Juni 1996 und am 1. Juli 1996 mit den Firmen Y._ AG und Z._ AG. Zwischen den Prozessparteien wurde folgende Honorarregelung getroffen:
"Der Aufwand für die zu erbringenden Leistungen
wird nach Manntagen berechnet und beträgt mindestens
2,5 Manntage im Monat. Darüber hinaus
erbrachte Leistungen erfolgen nach jeweiliger
Absprache mit X._ AG und werden bis
spätestens 6 Wochen nach dem jeweiligen
Monatsende durch A._ gesondert in
Rechnung gestellt.
Die Leistungen werden zum Tagessatz von 1000
CH-Fr. zuzüglich der in der Schweiz gültigen
gesetzlichen Mehrwertsteuer vergütet. Damit
ergibt sich ein Mindestbetrag von 2.500 CH-Fr
plus Mehrwertsteuer pro Monat, zahlbar zum
jeweiligen Monatsende.. "
Der Beschwerdegegner nahm seine Beratertätigkeit am 1. Juli 1996 auf. Er stellte der Beschwerdeführerin in der Folge für seine Tätigkeit monatlich jeweils Fr. 2'662. 50 (Honorar zuzüglich Mehrwertsteuer von Fr. 162. 50) in Rechnung.
Diese Beträge wurden regelmässig ohne Beanstandungen bezahlt, obwohl der Beschwerdegegner teilweise weniger als 2,5 Manntage pro Monat für die Beschwerdeführerin tätig war.
Der Beschwerdegegner stellte allerdings für die Monate, in denen seine Leistung über das vertraglich vorgesehene Minimum hinausging, auch keine Zusatzrechnungen. Im Jahre 1998 kam es bei der Bezahlung der in Rechnung gestellten Beträge zu Verzögerungen. Die Rechnungen für die Monate Juni, August, September und Oktober 1998 blieben unbezahlt. Der Beschwerdegegner mahnte die Beschwerdeführerin verschiedentlich und forderte die Bezahlung der insgesamt Fr. 10'650.--.
In der Folge bezahlte die Beschwerdeführerin das Honorar für den Juni 1998. Mit Schreiben vom 27. November 1998 kündigte sie den Beratervertrag per Ende Dezember 1998. Die Rechnungen für die Monate November und Dezember 1998 blieben ebenfalls unbezahlt. Die Beschwerdeführerin beglich somit die Honorarforderungen für insgesamt 5 Monate nicht.
B.- Mit Klage vom 15. Januar 1999 beim Richteramt Solothurn-Lebern verlangte der Beschwerdegegner die Bezahlung der Entschädigung für die Monate August bis Dezember 1998 von total Fr. 13'312. 50 nebst Zins. Das angerufene Gericht hiess die Klage mit Urteil vom 28. Oktober 1999 gut. Das Obergericht des Kantons Solothurn bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 4. Dezember 2000/5. Januar 2001.
C.- Gegen das obergerichtliche Urteil führt die Beschwerdeführerin sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch Berufung. Mit der staatsrechtlichen Beschwerde verlangt sie die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde, verzichtet aus Kostengründen aber auf die Einreichung einer Beschwerdeantwort.
Das Obergericht des Kantons Solothurn verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Das Obergericht hat festgestellt, dem Beschwerdegegner sei der Beweis gelungen, dass sich die Beschwerdeführerin verpflichtet habe, ihm während der Dauer des Beratervertrages eine Pauschalvergütung von monatlich Fr. 2'500.-- zuzüglich Mehrwertsteuer zu bezahlen. Die Parteien hätten die Höhe der für die Leistungen des Beschwerdegegners mindestens zu zahlenden Vergütung zum Voraus bestimmt ohne Rücksicht darauf, wieviel sein Aufwand tatsächlich betragen wird. Wollten die Parteien lediglich die Höhe der Vergütung nach dem Zeitaufwand des Beschwerdegegners festlegen, hätte in ihrem Vertrag nicht explizit erwähnt werden müssen, dass die monatliche Mindestentschädigung Fr. 2'500.-- zuzüglich Mehrwertsteuer beträgt.
Das Gericht hielt weiter fest, dass zur Ermittlung des Vertragsinhaltes in erster Linie auf den tatsächlichen Willen der Parteien abzustellen sei. Dabei ergebe sich, dass sowohl der Vertragstext (aus den dargelegten Gründen) wie auch die Aussagen der Parteien auf die Vereinbarung eines Pauschalhonorars schliessen lassen. Die Pauschalabrede habe als Grundlage für die Honorarberechnung gedient und der Beschwerdegegner habe mit einem unregelmässigen Pensum gearbeitet - manchmal mehr, manchmal weniger als 2,5 Tage pro Monat. Über 2 Jahre lang sei dem Beschwerdegegner jeden Monat dasselbe Honorar unabhängig vom Umfang der geleisteten Arbeit entrichtet worden. Der Beschwerdegegner habe zudem nie schriftlich Rechenschaft über seinen Zeitaufwand ablegen müssen.
b) Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Obergericht habe <ref-law> verletzt, indem es mit seiner Beweiswürdigung und seiner Sachverhaltsdarstellung in Willkür verfallen sei. Die Argumentation des Obergerichtes sei widersprüchlich.
Einerseits habe es aufgrund der Partei- und Zeugenaussagen festgestellt, dass der Beschwerdegegner monatlich durchschnittlich während 2,5 Manntagen tatsächlich tätig gewesen sei. Anderseits habe es dem Vertrag entnommen, dass das Mindesthonorar von Fr. 2'500.-- voraussetzungslos geschuldet gewesen sei. Das Obergericht habe auch übersehen, dass die Parteien das Monatshonorar nur deshalb auf Fr. 2'500.-- festgesetzt hätten, weil sie den tatsächlichen Aufwand auf 2,5 Manntage geschätzt hätten. Es sei daher unhaltbar, den Parteien die Abrede eines voraussetzungslos geschuldeten Pauschalhonorares zu unterstellen. Gegen eine solche Abrede spreche auch die Vereinbarung, dass der Beschwerdegegner für zusätzliche Leistungen, die über die 2,5 Manntage hinaus gehen, eine Entschädigung verlangen konnte.
c) Der Beschwerdeführerin ist zwar beizupflichten, dass die Möglichkeit, eine Zusatzrechnung für tatsächlich geleisteten Mehraufwand zu stellen, für sich allein genommen nicht dem Konzept der Pauschalvergütung entspricht. Die Beschwerdeführerin übersieht jedoch, dass eine Abweichung ausdrücklich nur für den Fall von Zusatzleistungen vorgesehen war, nicht für den Fall der Minderleistung und - vor allem - dass nach dem Beweisergebnis gar nie Zusatzrechnungen gestellt wurden. Die Parteien haben dem Konzept der Pauschalvergütung vollumfänglich Rechnung getragen. So ist der vertraglich vorgesehene Mindestansatz auch in jenen Monaten bezahlt worden, in denen die tatsächliche Leistung das vereinbarte Pensum von 2,5 Manntagen nicht erreicht hat. Zudem wurde vom Beschwerdegegner über die tatsächlich erbrachte Arbeitsleistung keine Rechenschaft verlangt. Der Standpunkt der Beschwerdeführerin hinkt insbesondere auch deshalb, weil der Beschwerdegegner nach dem Beweisergebnis nur "im Schnitt" während monatlich 2,5 Tagen tatsächlich gearbeitet hat, so dass ihm die Beschwerdeführerin das dennoch gleichbleibende Honorar nur im Sinne eines Mindesthonorares hat auszahlen können. Ein Widerspruch zur Beweiswürdigung oder in der Sachverhaltsdarstellung ist somit in keiner Weise auszumachen.
Die Parteien haben sich von der Vorstellung einer nach tatsächlichem Zeitaufwand geschuldeten Entschädigung gelöst, weshalb auch die der Festlegung des Mindesthonorares zugrundeliegende Schätzung des mutmasslich zu bewältigenden Arbeitspensums entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin für die Bemessung der Entschädigung nicht mehr relevant ist. Es liegt weder Willkür in der Beweiswürdigung noch in der Sachverhaltsdarstellung vor. Die Rüge ist daher unbegründet.
2.- Die Beschwerdeführerin erhebt weiter den Vorwurf der Gehörsverletzung, weil das Obergericht über den tatsächlichen vom Beschwerdegegner getriebenen Arbeitsaufwand kein Beweisverfahren durchgeführt habe.
Der nunmehr in <ref-law> ausdrücklich gewährleistete Anspruch auf rechtliches Gehör räumt dem Betroffenen als persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht das Recht ein, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheides zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen. Entsprechend umfasst der Gehörsanspruch für die entscheidende Behörde insbesondere die Pflicht, die Argumente und Verfahrensanträge der Partei entgegenzunehmen und zu prüfen sowie die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen, es sei denn, diese beträfen eine nicht erhebliche Tatsache oder seien offensichtlich untauglich, die streitige Tatsache zu beweisen (<ref-ruling> E. 2a/aa; <ref-ruling> E. 2, je mit Hinweisen).
Das Obergericht hat willkürfrei festgestellt, dass die Parteien ein von der konkreten Arbeitsleistung unabhängiges Pauschalhonorar vereinbart haben. Es bestand demnach keine Veranlassung, den tatsächlich erbrachten Arbeitsaufwand abzuklären, da dieser nach Ansicht des Obergerichts unerheblich war. Die Rüge ist ebenfalls unbegründet.
3.- Die Beschwerde ist abzuweisen. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen. Da sich der Beschwerdegegner am Verfahren nicht beteiligt hat, besteht kein Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 156 Abs. 1 und 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn (Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 1. Juni 2001
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: