Sachverhalt:
A. Mit Urteil des Strafgerichtspräsidiums Basel-Landschaft vom 27. Mai 2009 wurde X._ des versuchten Diebstahls, des Hausfriedensbruchs und des Verstosses gegen Einreisevorschriften schuldig erklärt und im Rahmen einer Gesamtstrafe (unter Einbezug einer vollziehbar erklärten Restfreiheitsstrafe von 253 Tagen gemäss Urteil des Strafgerichts Basel-Landschaft vom 18. März 2008) zu einer unbedingt vollziehbaren Freiheitsstrafe von 11 Monaten verurteilt. Der Verurteilte erklärte dagegen die Appellation.
B. Am 8. Juni 2009 beantragte die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft beim Kantonsgericht Basel-Landschaft die Verlängerung der Sicherheitshaft. Mit Eingabe vom 12. Juni 2009 beantragte der Verurteilte unter anderem seine Haftentlassung. Mit Verfügung vom 24. Juni 2009 wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Präsidentin der Abteilung Zivil- und Strafrecht, das Haftentlassungsgesuch ab und es verlängerte die Sicherheitshaft bis zur Appellationsverhandlung, längstens bis 24. Dezember 2009.
C. Gegen die kantonsgerichtliche Verfügung vom 24. Juni 2009 gelangte X._ mit Beschwerde vom 2. Juli 2009 (Posteingang: 6. Juli 2009) an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die unverzügliche Haftentlassung.
Das Kantonsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, während die Staatsanwaltschaft auf eine Stellungnahme ausdrücklich verzichtete. Der Beschwerdeführer erhielt Gelegenheit zur Replik.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein strafprozessualer Entscheid betreffend Haftverlängerung. Soweit der Beschwerdeführer Anträge stellt (betreffend Auslieferung nach Deutschland bzw. Haftentschädigung), die sich nicht auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheides beziehen, kann darauf nicht eingetreten werden (vgl. Art. 78 i.V.m. Art. 80 Abs. 1 BGG).
2. Strafprozessuale Haft darf nach basellandschaftlichem Strafverfahrensrecht nur angeordnet bzw. aufrecht erhalten werden, wenn und solange die angeschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und konkrete Anhaltspunkte für einen besonderen Haftgrund vorliegen, namentlich Fortsetzungs- oder Fluchtgefahr (§ 77 Abs. 1 StPO/BL). Fortsetzungsgefahr ist gegeben, wenn aufgrund konkreter Indizien ernsthaft zu befürchten ist, der Verdächtige werde die Freiheit benutzen, um seine deliktische Tätigkeit weiterzuführen, sofern diese eine erhebliche Gefahr für Leib, Leben, Freiheit oder Eigentum anderer Personen darstellt (§ 77 Abs. 1 lit. c StPO/BL).
2.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung der persönlichen Freiheit. Er bestreite den Vorwurf des versuchten Diebstahls. Die erfolgte Verurteilung sei geradezu "hanebüchen" und willkürlich. Auch der Haftgrund der Fortsetzungsgefahr sei nicht erfüllt. Fünf einschlägige Vorstrafen reichten dafür nicht aus.
2.2 Versuchter Diebstahl, insbesondere Einbruchdiebstahl, wird als Verbrechen unter Strafe gestellt (Art. 139 i.V.m. Art. 186 und Art. 10 Abs. 2 StGB). Die tatsächlichen und rechtlichen Gründe für den betreffenden erstinstanzlichen Schuldspruch werden im Urteil des Strafgerichtspräsidiums Basel-Landschaft vom 27. Mai 2009 ausführlich und willkürfrei dargelegt. Die Vorbringen des Beschwerdeführers lassen den betreffenden dringenden Tatverdacht nicht dahinfallen. In welchen Punkten die Beweiswürdigung und rechtliche Qualifikation der Sachrichterin geradezu unhaltbar seien, legt er nicht dar. Auf appellatorische Kritik des Beschwerdeführers am erstinstanzlichen Strafurteil ist nicht einzutreten. Entsprechende Vorbringen werden im hängigen kantonalen Berufungsverfahren zu prüfen sein und beziehen sich (über das Dargelegte hinaus) nicht auf den Gegenstand des angefochtenen Haftprüfungsentscheides.
2.3 Nach der Praxis des Bundesgerichtes kann die Anordnung von Haft wegen Fortsetzungsgefahr dem strafprozessualen Ziel der Beschleunigung dienen, indem verhindert wird, dass sich das Verfahren durch immer neue Delikte kompliziert und in die Länge zieht. Auch die Wahrung des Interesses an der Verhütung weiterer Delikte ist nicht verfassungs- und grundrechtswidrig. Vielmehr anerkennt Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK ausdrücklich die Notwendigkeit, Angeschuldigte an der Begehung strafbarer Handlungen zu hindern, somit Spezialprävention, als Haftgrund (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen).
2.4 Bei der Annahme, dass der Angeschuldigte weitere Verbrechen oder erhebliche Vergehen begehen könnte, ist allerdings Zurückhaltung geboten. Da Präventivhaft einen schwerwiegenden Eingriff in das Recht der persönlichen Freiheit darstellt, muss sie auf einer hinreichenden gesetzlichen Grundlage beruhen, im öffentlichen Interesse liegen und verhältnismässig sein. Die Aufrechterhaltung von strafprozessualer Haft wegen Fortsetzungsgefahr ist verhältnismässig, wenn einerseits die Rückfallprognose sehr ungünstig und anderseits die zu befürchtenden Delikte von schwerer Natur sind. Die rein hypothetische Möglichkeit der Verübung weiterer Delikte sowie die Wahrscheinlichkeit, dass nur geringfügige Straftaten verübt werden, reichen dagegen nicht aus, um eine Präventivhaft zu begründen. Schliesslich gilt auch bei der Präventivhaft - wie bei den übrigen Haftarten - dass sie nur als "ultima ratio" angeordnet oder aufrecht erhalten werden darf. Wo sie durch mildere Massnahmen ersetzt werden kann, muss von der Anordnung oder Fortdauer der Haft abgesehen und an ihrer Stelle eine dieser Ersatzmassnahmen verfügt werden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 73 mit Hinweisen).
2.5 Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, Art. 31 BV) wegen der Ablehnung eines Haftentlassungsgesuches erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung des kantonalen Prozessrechtes frei. Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.5 S. 73 f.).
2.6 Dem Beschwerdeführer wird eine erhebliche Anzahl einschlägiger Vorstrafen (wegen mehrfachen Diebstahls, Hausfriedensbruchs, Verweisungsbruchs bzw. Missachtung von Einreisesperren) zur Last gelegt. Die Vorinstanz verweist diesbezüglich auf die Erwägungen des Urteils des Strafgerichtspräsidiums Basel-Landschaft vom 27. Mai 2009. Der Beschwerdeführer wurde erstinstanzlich erneut (unter anderem) wegen versuchten Einbruchdiebstahls und Hausfriedensbruchs verurteilt. Seine letzte rechtskräftige Verurteilung (durch das Strafgericht Basel-Landschaft) erfolgte am 18. März 2008, seine letzte bedingte Entlassung aus dem Strafvollzug am 12. November 2008. Die zu befürchtenden neuen Vermögensdelikte sind schwerer Natur. Das Strafgericht sieht es als erwiesen an, dass der Beschwerdeführer am 21. Februar 2009 - ausgerüstet mit einem sogenannten Fensterbohrer - erneut in ein Privathaus (in Augst/BL) einzubrechen versucht habe, in der Absicht, dort Wertsachen zu stehlen. Von Anwohnern dabei ertappt, sei der Beschwerdeführer geflüchtet, worauf er gewaltsam habe festgenommen werden müssen. Bei dieser Sachlage bestehen ausreichend konkrete Anhaltspunkte für die Annahme von Fortsetzungsgefahr. Es kann offenbleiben, ob darüber hinaus auch noch der separate Haftgrund der Fluchtgefahr erfüllt wäre. Wirksame Ersatzmassnahmen für Haft sind hier nicht ersichtlich, zumal dem Beschwerdeführer vom erstinstanzlichen Gericht vorgeworfen wird, dass ihn weder die Wirkung von vollzogenen Freiheitsstrafen noch die Auferlegung von Einreisesperren bisher davon abhalten konnte, weiter einschlägig zu delinquieren.
3. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, bei der strafprozessualen Haft handle es sich faktisch um eine "vorgezogene vollständige Strafverbüssung". Die bisherige Haftdauer verletze insofern die Unschuldsvermutung und sei unverhältnismässig.
3.1 Gemäss Art. 31 Abs. 3 BV hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich abgeurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Sie liegt dann vor, wenn die Haftfrist die mutmassliche Dauer der zu erwartenden freiheitsentziehenden Sanktion übersteigt. Bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit der Haftdauer ist namentlich der Schwere der untersuchten Straftaten Rechnung zu tragen. Der Richter darf die Haft nur so lange erstrecken, als sie nicht in grosse zeitliche Nähe der (im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung) konkret zu erwartenden Dauer der freiheitsentziehenden Sanktion rückt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 170, 270 E. 3.4.2 S. 281, je mit Hinweisen). Im Weiteren kann eine Haft die zulässige Dauer auch dann überschreiten, wenn das Strafverfahren nicht genügend vorangetrieben wird. Die Frage, ob eine Haftdauer als übermässig bezeichnet werden muss, ist aufgrund der konkreten Verhältnisse des einzelnen Falles zu beurteilen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 170 f., 270 E. 3.4.2 S. 281; <ref-ruling> E. 4.1 S. 27 f., je mit Hinweisen).
3.2 Wie sich aus den Akten ergibt, wurde der Beschwerdeführer am 21. Februar 2009 verhaftet und in strafprozessuale Haft versetzt. Am 27. Mai 2009 wurde er erstinstanzlich verurteilt. Es droht ihm (bei einer Bestätigung des Urteils im Appellationsverfahren) ein Strafvollzug von 11 Monaten Dauer. Der Vorinstanz ist darin beizupflichten, dass das von der Sachrichterin (im Rahmen der zu berechnenden Gesamtstrafe) festgelegte Strafmass (bei einer vollziehbaren Reststrafe von mehr als acht Monaten) nicht willkürlich hoch erscheint. Auf darüber hinausgehende appellatorische Kritik am erstinstanzlichen Strafurteil ist nicht einzutreten. Nach dem Gesagten ist die bisherige Haftdauer von ca. 5 Monaten noch nicht in grosse Nähe des im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung zu erwartenden Strafvollzuges gerückt. Prozessuale Versäumnisse der kantonalen Justizbehörden werden in der Beschwerde nicht substanziiert dargelegt und sind auch aus den Akten nicht ersichtlich. Von einer "Verschleppung des erstinstanzlichen Verfahrens" kann keine Rede sein, zumal das Strafurteil bereits drei Monate nach dem mutmasslichen Deliktsdatum erfolgte. Der Termin der Appellationsverhandlung ist nach Darstellung des Beschwerdeführers auf den 4. August 2009 angesetzt worden. Auch insofern erscheint die bisherige Haftdauer verhältnismässig.
4. Die Rüge des Beschwerdeführers, die Sicherheitshaft sei ohne gesetzmässige Haftprüfung fortgesetzt worden, erweist sich ebenfalls als unbegründet. Wie den Akten zu entnehmen ist, erfolgten die letzten Haftverlängerungen (vor dem angefochtenen Entscheid vom 24. Juni 2009) am 27. Mai bzw. 22. Juni 2009 (je mit Wirkung bis 24. Juni 2009). Soweit er sinngemäss eine Verletzung des Begründungsgebotes bzw. des Verbotes der Rechtsverweigerung rügt, ist die Beschwerde offensichtlich unbegründet. Im angefochtenen Entscheid werden die Haftgründe und die Argumente gegen das Vorliegen einer Überhaft ausreichend dargelegt. Dass die Vorinstanz erwog, das Haftprüfungsverfahren diene nicht der appellatorischen Prüfung des erstinstanzlichen Strafurteils, begründet weder eine Rechtsverweigerung, noch eine Gehörsverletzung.
5. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird.
Der Beschwerdeführer beantragt die unentgeltliche Prozessführung. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt erscheinen (und insbesondere die Bedürftigkeit des im Strafverfahren amtlich verteidigten Gesuchstellers aus den Akten ersichtlich wird), ist dem Begehren zu entsprechen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist gemäss dem Ausgang des Verfahrens nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Prozessführung bewilligt. Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Parteientschädigung zugesprochen.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Präsidentin der Abteilung Zivil- und Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juli 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Forster