Sachverhalt:
A.
Am 9. Juli 2012 stellte Y._ Strafanzeige gegen X._ wegen Amtsgeheimnisverletzung.
Am 27. Februar 2013 ersuchte die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich das Obergericht des Kantons Zürich, ihr die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen X._ zu erteilen. Die Staatsanwaltschaft führte zusammenfassend aus, X._ habe am 21. März 2012 in seiner Eigenschaft als Mitglied der Sozialbehörde der Stadt Bülach die Sozialhilfebezügerin Y._ in deren Wohnung in Bülach aufgesucht, um dem Verdacht des Sozialhilfemissbrauchs nachzugehen. Zur Befragung von Y._ habe X._ zwei Polizisten beigezogen; als ad hoc Dolmetscherin anwesend gewesen sei auch eine Nachbarin. Da diese drei Personen die ganze Befragung, an welcher mutmasslich Amtsgeheimnisse preisgegeben worden seien, mitverfolgt hätten, bestehe nach summarischer Prüfung der Verdacht auf mehrfache Amtsgeheimnisverletzung.
Mit Beschluss vom 10. Mai 2013 erteilte das Obergericht der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung von X._.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 10. Juni 2013 beantragt X._, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben. Die Angelegenheit sei zur Vervollständigung des Sachverhalts und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventualiter sei die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung zu verweigern.
Das Obergericht verzichtet auf eine Stellungnahme. Die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei diese abzuweisen. Den gleichen Antrag stellt Y._. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich beantragt Beschwerdeabweisung. Die Eingaben wurden X._ zugestellt. Dieser verzichtet auf eine weitere Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer ist als Mitglied der Sozialbehörde Bülach Beamter im Sinn von <ref-law>. Nach <ref-law> (SR 312.0) i.V.m. § 148 des Gesetzes über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess des Kantons Zürich vom 10. Mai 2010 (GOG/ZH; LS 211.1) darf er für mit seiner beruflichen Tätigkeit in Zusammenhang stehende Delikte nur mit Ermächtigung des Obergerichts verfolgt werden. Mit dem angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen Beschluss erteilte das Obergericht der Staatsanwaltschaft diese Ermächtigung. Der Entscheid schliesst das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer nicht ab, sondern ermöglicht im Gegenteil dessen Einleitung bzw. Fortführung. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, gegen den nach <ref-law> die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur bewirken könnte, oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272; Urteil 1C_129/2013 vom 28. Mai 2013 E. 1).
Nach ständiger Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach <ref-law> erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich ist, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1.1 S. 327 ff.; <ref-ruling> E. 4 S. 95). Der Beschwerdeführer macht in seiner Beschwerde keine Ausführungen zu <ref-law> und kommt somit seiner Begründungsobliegenheit im Sinne von <ref-law> nicht nach. Dass die Voraussetzungen von <ref-law> gegeben sind, ist im Übrigen auch nicht ersichtlich.
1.2.
1.2.1. Die Durchführung eines Strafverfahrens begründet nach konstanter Rechtsprechung keinen Nachteil rechtlicher Natur im Sinne von <ref-law>, der mit einem für die beschuldigte Person günstigen Entscheid nicht behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 4 S. 140 f.).
1.2.2. Ebenso fällt eine Anfechtung gestützt auf <ref-law> ausser Betracht. Bei Gutheissung des Eventualantrags des Beschwerdeführers läge zwar ein Endentscheid vor. Kumulativ erforderlich ist jedoch, dass damit ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart würde. Das Bundesgericht legt diese Voraussetzung im Strafverfahren restriktiv aus (vgl. Urteil 1B_155/2011 vom 14. Juni 2011 E. 1.4). Mit der Eröffnung der Strafuntersuchung gegen den Beschwerdeführer wegen Amtsgeheimnisverletzung (<ref-law>) ist nicht notwendigerweise ein bedeutender Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren verbunden. Die erforderlichen Abklärungen dürften sich vorliegend auf die Einvernahmen des Beschwerdeführers, der Beschwerdegegnerin, der beiden beteiligten Polizisten und der Nachbarin der Beschwerdegegnerin beschränken. Der Ermächtigungsentscheid verhindert nicht, dass die Staatsanwaltschaft nach diesen Beweismassnahmen das Verfahren einstellt, sofern sie dannzumal zum Schluss kommt, dass die Voraussetzungen für eine Einstellung nach <ref-law> erfüllt sind. Damit aber sind die Voraussetzungen von <ref-law> nicht gegeben (vgl. insoweit auch Urteil 1B_314/2011 vom 20. September 2011 E. 3).
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (<ref-law>). Er hat der Rechtsvertreterin der Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Damit wird deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat der Rechtsvertreterin der Beschwerdegegnerin, Rechtsanwältin Noëlle Cerletti, eine Entschädigung von Fr. 1'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II, der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. September 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Stohner