Die Kammer zieht in Erwägung:
Die Kammer zieht in Erwägung:
1. 1.1 In der gegen X._ (für eine Forderung des Kantons Zürich von Fr. 4'558.50 zuzüglich Kosten) angehobenen Betreibung Nr. xxxx (Betreibungsamt Zürich 1) wurde im Jahre 2001 der Liquidationsanteil des Schuldners am unverteilten väterlichen Nachlass gepfändet (Pfändungsurkunde vom 22. Mai 2001). Nachdem der Gläubiger das Verwertungsbegehren gestellt hatte und eine Einigungsverhandlung erfolglos verlaufen war, wies das Bezirksgericht Zürich als untere Aufsichtsbehörde mit Beschluss vom 19. Juni 2002 das Betreibungsamt an, den fraglichen Nachlass bezüglich des gepfändeten Liquidationsanteils unter Mitwirkung der nach <ref-law> zuständigen Behörde zu teilen, sofern der erforderliche Vorschuss vom Gläubiger geleistet werde; andernfalls würde das Anteilsrecht versteigert.
1.2 Am 29. März 2006 gelangte X._ an die untere Aufsichtsbehörde über die Betreibungsämter. Er beanstandete im Wesentlichen unter Hinweis auf sein Schreiben vom 18. Juni 2001 die Pfändung des Liquidationsanteils und die unterlassene Einleitung eines Widerspruchsverfahrens, ohne dass das Amt jemals geantwortet oder eine Verfügung erlassen hätte. Die untere Aufsichtsbehörde wies die Beschwerde mit Beschluss vom 5. April 2006 ab. Hiergegen erhob X._ Beschwerde, welche das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als obere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen mit Beschluss vom 16. Juni 2006 abwies.
X._ hat den Beschluss der oberen Aufsichtsbehörde mit Beschwerdeschrift vom 3. Juli 2006 (rechtzeitig) an die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts weitergezogen und beantragt, der angefochtene Beschluss und die Pfändung seien aufzuheben. Weiter ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Die obere Aufsichtsbehörde hat anlässlich der Aktenüberweisung auf Gegenbemerkungen (Art. 80 OG) verzichtet. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Die obere Aufsichtsbehörde hat anlässlich der Aktenüberweisung auf Gegenbemerkungen (Art. 80 OG) verzichtet. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
2. Die untere Aufsichtsbehörde hat erwogen, dass die Pfändung des Liquidationsanteils (Pfändungsurkunde vom 22. Mai 2001) im früheren Rechtsmittelverfahren bestätigt worden sei, und dass der Bestand und der Umfang des Liquidationsanteils nicht im Widerspruchsverfahren, sondern im durch Beschluss vom 19. Juni 2002 bei der zuständigen Behörde einzuleitenden und zur Zeit noch hängigen Erbteilungsverfahren zu klären sei. Die obere Aufsichtsbehörde hat bestätigt, dass auf die Pfändung des Liquidationsanteils nicht mehr zurückzukommen sei, und erwogen, dass das Schreiben des Beschwerdeführers vom 18. Juni 2001 keine taugliche Anmeldung eines Drittanspruches am Liquidationsanteil gewesen und das Beschwerdeverfahren ohnehin rechtsmissbräuchlich sei.
2. Die untere Aufsichtsbehörde hat erwogen, dass die Pfändung des Liquidationsanteils (Pfändungsurkunde vom 22. Mai 2001) im früheren Rechtsmittelverfahren bestätigt worden sei, und dass der Bestand und der Umfang des Liquidationsanteils nicht im Widerspruchsverfahren, sondern im durch Beschluss vom 19. Juni 2002 bei der zuständigen Behörde einzuleitenden und zur Zeit noch hängigen Erbteilungsverfahren zu klären sei. Die obere Aufsichtsbehörde hat bestätigt, dass auf die Pfändung des Liquidationsanteils nicht mehr zurückzukommen sei, und erwogen, dass das Schreiben des Beschwerdeführers vom 18. Juni 2001 keine taugliche Anmeldung eines Drittanspruches am Liquidationsanteil gewesen und das Beschwerdeverfahren ohnehin rechtsmissbräuchlich sei.
3. Der Beschwerdeführer bringt vor, die kantonalen Aufsichtsbehörden hätten unterlassen, ihm Verfahrensakten zur Kenntnis und Stellungnahme zuzusenden. Auf den Vorwurf einer Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) sowie der EMRK kann nicht eingetreten werden, da im Beschwerdeverfahren gemäss <ref-law> ein Verstoss gegen Normen mit Verfassungsrang nicht gerügt werden kann (Art. 43 Abs. 1 i.V.m. Art. 81 OG; <ref-ruling> E. 1 S. 69; <ref-ruling> E. 5a und c S. 245).
3. Der Beschwerdeführer bringt vor, die kantonalen Aufsichtsbehörden hätten unterlassen, ihm Verfahrensakten zur Kenntnis und Stellungnahme zuzusenden. Auf den Vorwurf einer Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) sowie der EMRK kann nicht eingetreten werden, da im Beschwerdeverfahren gemäss <ref-law> ein Verstoss gegen Normen mit Verfassungsrang nicht gerügt werden kann (Art. 43 Abs. 1 i.V.m. Art. 81 OG; <ref-ruling> E. 1 S. 69; <ref-ruling> E. 5a und c S. 245).
4. Gemäss Art. 79 Abs. 1 OG ist in der Beschwerdeschrift kurz darzulegen, welche Bundesrechtssätze und inwiefern diese durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 1).
4.1 Die obere Aufsichtsbehörde hat festgehalten, dass die Pfändung des Liquidationsanteils (Pfändungsurkunde vom 22. Mai 2001) rechtswirksam und mit Beschwerde erfolglos angefochten worden sei (Beschluss der oberen Aufsichtsbehörde vom 31. Mai 2002; Urteil 7B.114/2002 des Bundesgerichts vom 29. August 2002), wobei der Beschwerdeführer bereits damals eingewendet habe, seine Mutter "habe seinerzeit sämtliche Aktiven und Passiven übernommen". Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern die obere Aufsichtsbehörde Bundesrecht verletzt habe, wenn sie auf die Pfändung des Liquidationsanteils nicht mehr zurückgekommen ist. Insoweit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
4.2 Was das nach Ansicht des Beschwerdeführers zu Unrecht unterlassene Ingangsetzen des Widerspruchsverfahrens anbelangt, so hat die Vorinstanz erwogen, dass seine Beschwerde wegen Rechtsverweigerung (<ref-law>) rechtsmissbräuchlich sei und allein dem Zweck diene, nachträglich - nach gut viereinhalb Jahren - noch ein Widerspruchsverfahren in die Wege zu leiten und damit den Gang der Verwertung zu stören und Zeit zu gewinnen; die Beschwerde verdiene schon aus diesem Grund keinen Rechtsschutz.
Diese Erwägungen der Vorinstanz stellen eine selbständige Entscheidbegründung dar (<ref-ruling> E. 2 S. 47), auf welche der Beschwerdeführer mit keinem Wort eingeht. Wohl kann wegen Rechtsverweigerung oder Rechtsverzögerung gemäss <ref-law> "jederzeit" Beschwerde geführt werden. Das bedeutet indessen nicht, dass mit dieser Beschwerde zugewartet werden kann, um aus der Untätigkeit der Betreibungsbehörden zum Schaden von anderen, vom laufenden Verfahren betroffenen Personen oder von unbestimmten Dritten einen Vorteil zu ziehen (Gilliéron, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, N. 239 zu Art. 17; vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 150; Lorandi, Betreibungsrechtliche Beschwerde und Nichtigkeit, N. 276 zu Art. 17). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass die obere Aufsichtsbehörde seine im März 2006 erhobene Beschwerde wegen angeblich rechtswidriger Unterlassung der Einleitung des Widerspruchsverfahrens gestützt auf ein Schreiben vom 18. Juni 2001 zu Unrecht als rechtsmissbräuchlich erachtet hat. Folglich genügen die Vorbringen des Beschwerdeführers, welche sich im Wesentlichen darauf beziehen, dass die Aufsichtsbehörde die Tauglichkeit seines Schreibens vom 18. Juni 2001 als Anmeldung eines Drittanspruches verneint hat, den Begründungsanforderungen nach Art. 79 Abs. 1 OG nicht. Auf die Beschwerde kann nicht eingetreten werden.
4.3 Nach dem Dargelegten kann auf die den Begründungsanforderungen nicht genügende Beschwerde nicht eingetreten werden.
4.3 Nach dem Dargelegten kann auf die den Begründungsanforderungen nicht genügende Beschwerde nicht eingetreten werden.
5. Das Beschwerdeverfahren ist grundsätzlich kostenlos (<ref-law>). Das Gesuch des anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdeführers um Befreiung von Gerichtskosten ist daher gegenstandslos.

Demnach erkennt die Kammer:
Demnach erkennt die Kammer:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Beschwerdegegner (Kanton Zürich, vertreten durch das Obergericht, Zentrales Inkasso, Thurgauerstrasse 46, 8050 Zürich) und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. August 2006
Im Namen der Schuldbetreibungs- und Konkurskammer
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber: