Faits:
A. Z._ travaillait comme aide-infirmière au service de l'Hôpital X._. Depuis 2002, son taux d'activité était de 90 %. Elle était assurée contre le risque d'accidents auprès de la Winterthur Assurances (depuis 2006 : Axa Winterthur).
Le 29 juin 2005, Z._ a été victime d'une chute sur son lieu de travail, qui a entraîné une entorse ainsi qu'une fracture transverse de type Weber de la malléole du côté gauche. Axa Winterthur a pris en charge le cas. L'assurée a d'abord été traitée par le docteur P._, de l'Hôpital X._, puis par la doctoresse B._, de l'Hôpital orthopédique Y._. Dans un rapport médical du 13 décembre 2005 établi à l'intention de l'assureur-accidents, celle-ci a indiqué que l'évolution était favorable avec une bonne consolidation de la fracture ainsi qu'une disparition des douleurs et que le traitement était terminé. Z._ a repris son travail à 50 % dès le 6 décembre 2005, puis à son taux habituel à partir du 27 décembre 2005.
Début novembre 2006, Z._ a repris contact avec Axa Winterthur pour signaler qu'elle souffrait de nouveau de douleurs à la cheville gauche. Elle a consulté plusieurs médecins (les docteurs S._, L._ et C._). L'assureur-accidents a confié une expertise médicale au docteur V._. Ce médecin a conclu que «la majorité de la pathologie actuelle» était vraisemblablement à mettre en relation avec des pieds plats valgues dégénératifs secondaires à une surcharge pondérale (rapport d'expertise du 21 mai 2008). L'assurée s'est déterminée sur ce rapport et a eu l'occasion de poser des questions complémentaires à l'expert, qui a donné ses réponses dans un rapport du 26 septembre 2008.
Par décision du 14 octobre 2008, Axa Winterthur a refusé d'allouer des prestations d'assurance, motif pris de l'absence de lien de causalité entre les troubles annoncés au mois de novembre 2006 et l'accident du 29 juin 2005. Saisi d'une opposition, l'assureur-accidents l'a écartée dans une nouvelle décision du 27 février 2009.
B. Par jugement du 12 août 2009, la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé par l'assurée contre la décision sur opposition du 27 février 2009.
C. Z._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle requiert l'annulation. Elle conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise, et nouveau jugement sur son droit aux prestations.
Axa Winterthur conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique ne s'est pas déterminé.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le refus de prestations de l'assurance-accidents, de sorte que le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF).
2. La responsabilité de l'assureur-accidents s'étend, en principe, à toutes les conséquences dommageables qui se trouvent dans un rapport de causalité naturelle et adéquate avec l'événement assuré. Les prestations d'assurance sont donc également versées en cas de rechutes ou de séquelles tardives (<ref-law>). Selon la jurisprudence, il y a rechute lorsqu'une atteinte présumée guérie récidive, de sorte qu'elle conduit à un traitement médical ou à une (nouvelle) incapacité de travail. Les rechutes se rattachent par définition à un événement accidentel. Corrélativement, elles ne peuvent faire naître une obligation de l'assureur-accidents (initial) de verser des prestations que s'il existe un lien de causalité naturelle et adéquate entre les nouvelles plaintes de l'intéressé et l'atteinte à la santé causée à l'époque par l'accident assuré (<ref-ruling> consid. 2c p. 296 et les références; RAMA 1994 n° U 206 p. 327 consid. 2).
Le jugement entrepris expose correctement les principes jurisprudentiels relatifs à la notion de causalité naturelle et adéquate, ainsi qu'à l'appréciation de la valeur probante des expertises médicales ordonnées par l'administration. Sur ces points, il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 Pour rendre ses conclusions, le docteur V._ a procédé à un examen clinique approfondi du status orthopédique de l'assurée et effectué de nouvelles radiographies de la cheville. Il a également passé en revue tous les faits médicaux déterminants depuis la survenance de l'accident du 29 juin 2005. Selon ses constatations, la fracture s'est bien consolidée avec une bonne qualité osseuse. Il n'y avait aucun signe d'ostéophytose ni de conflit manifeste astragalo-péronéen suggérant une malposition de la fracture. L'évolution était tout à fait favorable et sans atteinte dégénérative significative due au traumatisme accidentel. Le docteur V._ a également relevé des pieds plats valgues acquis débutants bilatéraux et un BMI à 33. L'ensemble de ces éléments ont conduit l'expert à retenir que les plaintes actuelles de Z._ étaient probablement plutôt à mettre sur le compte de la pathologie dégénérative de ses pieds qu'aux séquelles de l'accident. Au plan orthopédique, une incapacité de travail de 40 % dans la profession d'infirmière était justifiée; en revanche, la prénommée ne subissait aucune limitation dans une activité semi-assise et sans port de charge lourdes. Enfin, l'état actuel de la cheville n'entraînait, pour le moment, aucune atteinte à l'intégrité (rapport d'expertise du 21 mai 2008).
3.2 Dans ses réponses aux questions et remarques complémentaires formulées par la recourante, le docteur V._ a apporté les précisions suivantes. Le fait qu'aucun problème de pieds plats n'avait été mentionné lors des premières constatations médicales ne signifiait pas forcément qu'il n'y avait pas déjà un affaissement des pieds. Une telle atteinte, constatable cliniquement, n'était visible sur des clichés radiographiques que si ceux-ci étaient pris «en charge», ce qui n'avait pas été le cas des clichés effectuées à l'Hôpital X._. Il s'agissait en outre d'une pathologie évolutive. Quant à l'influence de l'accident sur la situation actuelle, il n'était certes pas exclu que les séquelles de la fracture ne jouent pas aussi un tout petit rôle. Ce rôle était cependant très limité (inférieur à 50 pour cent), de sorte qu'une relation de causalité relevait tout au plus du domaine du possible (rapport complémentaire du 26 septembre 2008).
4. La recourante fait grief aux premiers juges de s'être fondés sur le rapport du docteur V._, dont elle remet en cause la pertinence des conclusions. Elle conteste que ses douleurs actuelles puissent être attribuées à un problème de pieds plats valgues. Elle en veut pour preuve que ce problème n'avait été évoqué ni par les docteurs O._ et P._ de l'Hôpital X._, ni par la doctoresse B._, qui avait répondu par la négative à la question de savoir si d'autres causes jouaient un rôle dans l'évolution de son cas. Une contre-expertise s'avérait nécessaire.
5. Il n'existe, en l'occurrence, aucun motif de s'écarter de l'avis du docteur V._ et de mettre en oeuvre une nouvelle expertise. D'une part, on ne voit pas que l'appréciation de ce médecin reposerait sur des constatations médicales incomplètes ou inexactes tant en ce qui concerne l'évolution de la fracture que l'existence d'un valgus de l'arrière-pied des deux côtés. Sur ces points, de même que sur les effets qu'un tel valgus peut entraîner du point de vue statique, les observations des docteurs L._ et C._ vont dans le même sens que celles de l'expert (voir notamment leurs rapports respectifs des 16 janvier 2007 et 12 décembre 2007). Quant à la doctoresse B._, elle avait déjà noté le développement d'un arrière-pied en valgus nécessitant un support plantaire de correction dans son dernier rapport médical LAA du 13 décembre 2005. D'autre part, les raisons qui ont amené l'expert à nier un rapport de causalité entre les nouvelles plaintes de l'assurée et l'accident initial ont fait l'objet d'une motivation circonstanciée et convaincante. La recourante, qui se réfère à des évaluations médicales antérieures à sa déclaration de rechute, alors que la fracture de la malléole gauche était encore en voie de consolidation, n'apporte aucun argument décisif qui les contredirait.
Il s'ensuit que le jugement entrepris n'est pas critiquable et que le recours doit être rejeté.
6. La recourante, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>) et n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, d'un montant de 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 5 octobre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: La Greffière:
Leuzinger von Zwehl