Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1. In Gutheissung einer Beschwerde des Anzeigeerstatters gegen eine Einstellungsverfügung erkannte die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid, die Staatsanwaltschaft bzw. das Bezirksamt Bischofszell würden angewiesen, das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer weiterzuführen. Damit liegt kein Entscheid vor, der das kantonale Verfahren abschliesst. Dass einer der Spezialfälle von <ref-law> vorläge, behauptet der Beschwerdeführer nicht. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde gemäss <ref-law> nicht zulässig. Darauf ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn