Sachverhalt:
A.
Der 1957 geborene S._ meldete sich am 12. Juni 2009 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 18. September 2012 den Anspruch auf berufliche Massnahmen sowie auf eine Rente, da der Invaliditätsgrad nur 20 % betrage.
B.
Die Beschwerde des S._ wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 16. Mai 2013 ab.
C.
S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, unter Aufhebung des Entscheids vom 16. Mai 2013 sei ihm ab 1. Dezember 2009 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventualiter sei die Sache zur Festlegung der Höhe der Invalidenrente an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat unter Verweis auf die medizinischen Unterlagen, die Stellungnahmen des Regionalen Ärztlichen Dienstes vom 25. Mai 2011, 25. November 2011 und 25. Juli 2012 sowie die Erkenntnisse des psychiatrischen Fachgutachtens der Frau Dr. med. H._ vom 23. Februar 2011 festgestellt, dass der Beschwerdeführer die Anspruchsvoraussetzungen zur Erteilung einer Invalidenrente weder vor der Begutachtung noch danach erfüllte. Vielmehr sei er seit dem Zeitpunkt der Exploration am 23. Februar 2011 für jegliche Tätigkeit ohne erhöhtes Unfallrisiko (wie Arbeiten in der Höhe, auf Gerüsten oder das Bedienen gefährlicher Maschinen) vollschichtig arbeitsfähig. Alle involvierten Ärzte hätten die psychische Situation als bestimmend für die Beschwerden und die Einschränkung der Leistungsfähigkeit gesehen.
2.2. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat (E. 1). Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen), die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei überprüfen kann (<ref-law>).
2.3. Die vorinstanzliche Feststellung über die somatischen Aspekte wird vom Beschwerdeführer nicht in Abrede gestellt. Was er gegen die weiteren Sachverhaltsfeststellungen vorbringt, hält nicht stand. Das Gutachten der Frau Dr. med. H._, welches eine 80%ige Arbeitsfähigkeit attestiert, genügt den materiellen bundesrechtlichen Anforderungen an die Beweiskraft (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis) : Es beruht auf eingehender Untersuchung des Beschwerdeführers und die Expertin berücksichtigte die medizinischen Unterlagen. Weiter hat die Gutachterin die Arbeitsfähigkeit zu Recht mit Blick auf die Rechtsprechung des Bundesgerichts zu den somatoformen Schmerzstörungen und ähnlichen Zuständen (<ref-ruling>) eingeschätzt (vgl. Urteil 8C_426/2011 vom 29. September 2011 E. 8.5; SVR 2008 IV Nr. 62 S. 203, 9C_830/2007 E. 4.2). Im Gutachten wird nachvollziehbar und einleuchtend dargelegt, dass die von Frau Dr. med. H._ gestellte Diagnose der rezidivierenden depressiven Störung mit gegenwärtig leichtgradiger Episode ohne somatisches Syndrom sich nicht invalidisierend auswirkt. Eine Arbeitsunfähigkeit kommt sodann nur in Betracht, wenn die Schmerzstörung nach Einschätzung des Arztes eine derartige Schwere aufweist, dass der versicherten Person die Verwertung ihrer verbleibenden Arbeitskraft auf dem Arbeitsmarkt bei objektiver Betrachtung nicht mehr zumutbar ist. Im vorliegenden Fall fehlt es jedoch an einer begleitenden schwerwiegenden psychischen Erkrankung. Der psychische Gesundheitszustand erlaubt angepasste Arbeiten. Zudem erfolgte auch kein sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens, ein primärer Krankheitsgewinn ist nicht ersichtlich und auch das Kriterium unbefriedigender Behandlungsergebnisse ist nicht gegeben.
2.4. Nach dem Gesagten sind die vorinstanzliche Beweiswürdigung und Sachverhaltsfeststellung nicht offensichtlich unrichtig, sie beruhen auch nicht auf einer Rechtsverletzung. Daher bleiben sie für das Bundesgericht verbindlich (E. 1).
3.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird entsprochen (<ref-law>). Er hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Rechtsanwalt Fabian Malovini wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdeführers bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Januar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Schmutz