Sachverhalt:
A. Der 1992 geborene L._ ist deutscher Staatsangehöriger. Er leidet seit Geburt an einer inkompletten Lähmung der linken Körperhälfte (spastische Hemiparese), Schwerhörigkeit und an einer Sprachstörung. Seit dem 1. Oktober 2005 hat L._ Wohnsitz in der Schweiz. Seine Mutter und gesetzliche Vertreterin, A._, meldete ihn am 23. August 2005 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug (unter anderem medizinische Massnahmen, Beiträge an die Sonderschulung, Hilflosenentschädigung und Hilfsmittel) an. Die IV-Stelle des Kantons Aargau lehnte das Gesuch bezüglich medizinischer Massnahmen, Sonderschulung und Hilfsmittel ab mit der Begründung, die im Sozialversicherungsabkommen zwischen Deutschland und der Schweiz enthaltenen Voraussetzungen für den Leistungsbezug seien nicht erfüllt (Verfügung vom 29. September 2005). Die dagegen erhobene Einsprache wies die Verwaltung ab; im Zeitpunkt der Wohnsitznahme in der Schweiz (1. Oktober 2005) sei der Versicherungsfall bezüglich der erwähnten Kategorien von Eingliederungsmassnahmen schon seit längerer Zeit eingetreten gewesen (Entscheid vom 19. Dezember 2005). Aufgrund einer Abklärung an Ort und Stelle (Bericht vom 14. November 2005) erkannte die IV-Stelle L._ hingegen mit Wirkung ab Oktober 2005 eine Entschädigung für Hilflosigkeit mittleren Grades zu (Verfügung vom 22. November 2005).
Mit Schreiben vom 1. und 20. Juni 2006 ersuchte das Zentrum für körperbehinderte Kinder B._ bei der IV-Stelle um Kostengutsprache für Sonderschulung, Ergotherapie und Physiotherapie im Rahmen der Sonderschulung. Die IV-Stelle trat auf die Leistungsbegehren nicht ein mit der Begründung, es sei nicht dargetan, dass sich die tatsächlichen Verhältnisse seit der vorangegangenen Leistungsabweisung in anspruchserheblicher Weise verändert hätten, respektive wiederum unter Hinweis auf die staatsvertragliche Ordnung der Versicherungsklausel (durch Einspracheentscheid vom 1. August 2006 bestätigte Verfügung vom 27. Juni 2006 [betreffend Sonderschulung]; Verfügung vom 22. September 2006 [betreffend medizinische Massnahmen in Form von Ergo- und Physiotherapie]).
B. Die mit dem sinngemässen Begehren um Zusprechung von medizinischen Massnahmen, Hilfsmitteln und Sonderschulung eingelegte Beschwerde vom 23. Oktober 2006 wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau ab. Zur Begründung führte das kantonale Gericht aus, aufgrund des Sozialversicherungsabkommens mit Deutschland hätten minderjährige Personen deutscher Staatsangehörigkeit Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen der schweizerischen Invalidenversicherung, wenn sie in der Schweiz Wohnsitz haben und, unmittelbar bevor diese Massnahmen in Betracht gekommen sind, ununterbrochen während mindestens eines Jahres dort gewohnt haben. Mit Blick auf die schon in Deutschland bezogenen Sozialleistungen und auf die Natur der Behinderung stehe fest, dass die Invalidität und damit der Versicherungsfall hinsichtlich aller beantragter Kategorien von Eingliederungsmassnahmen (medizinische Massnahmen, Sonderschulung und Hilfsmittel) bereits vor der Einreise in die Schweiz erstmals objektiv notwendig geworden seien. Die Verwaltung habe den Leistungsanspruch somit zu Recht verneint (Entscheid vom 19. Juni 2007).
C. L._ führt, vertreten durch seine Mutter A._, Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren auf Zusprechung der vorinstanzlich strittigen Leistungen.
IV-Stelle, kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Die IV-Stelle des Kantons Aargau stellte mit Einspracheentscheid vom 19. Dezember 2005 in Anwendung des Abkommens zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Bundesrepublik Deutschland über Soziale Sicherheit vom 25. Februar 1964 fest, im Zeitpunkt der Einreise des Gesuchstellers in die Schweiz (1. Oktober 2005) sei der Versicherungsfall für medizinische Massnahmen, Hilfsmittel und Sonderschulung schon eingetreten gewesen. Demzufolge bestehe hinsichtlich dieser Leistungsarten kein Anspruch. Dieser Einspracheentscheid blieb unangefochten und wurde rechtskräftig. Nachdem das Zentrum für körperbehinderte Kinder im Juni 2006 um Kostengutsprache für Sonderschulung, Ergotherapie und Physiotherapie ersucht hatte, trat die IV-Stelle auf die Leistungsbegehren nicht ein mit der Begründung, es sei nicht dargetan, dass sich die tatsächlichen Verhältnisse seit der vorangegangenen Leistungsablehnung in anspruchserheblicher Weise verändert hätten (Verfügungen vom 27. Juni 2006 [betreffend Sonderschulung] und vom 22. September 2006 [betreffend medizinische Massnahmen, insbesondere Ergo- und Physiotherapie]), respektive wiederum unter Hinweis auf die staatsvertragliche Ordnung der Versicherungsklausel (Einspracheentscheid vom 1. August 2006 zur Verfügung vom 27. Juni 2006).
Das kantonale Gericht trat ohne weiteres auf die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde ein und bestätigte die Rechtsauffassung der Verwaltung, nach den Vorgaben des Sozialversicherungsabkommens mit Deutschland sei die Leistungszuständigkeit der schweizerischen Invalidenversicherung nicht gegeben. Bei dieser Ausgangslage stellt sich die Frage, ob die auf Nichteintreten lautenden Verfügungen Gegenstand einer materiellen Überprüfung durch die Vorinstanz bilden konnten.
1.2 Nach ständiger Rechtsprechung prüft das Bundesgericht von Amtes wegen die formellen Gültigkeitserfordernisse des Verfahrens, insbesondere auch die Frage, ob die Vorinstanz zu Recht auf die Beschwerde oder Klage eingetreten ist. Hat die Vorinstanz übersehen, dass es an einer Prozessvoraussetzung fehlte, und hat sie materiell entschieden, ist dies im Rechtsmittelverfahren von Amtes wegen zu berücksichtigen mit der Folge, dass der angefochtene Entscheid aufgehoben wird (<ref-ruling> E. 1.2 S. 95; <ref-ruling> E. 2a).
1.3 Nachdem die Leistungsbegehren hinsichtlich Sonderschulung und medizinische Massnahmen früher abgelehnt worden waren (formell rechtskräftiger Einspracheentscheid vom 19. Dezember 2005), hätte sich die Verwaltung bei Gelegenheit der neuerlichen Anträge vom Juni 2006 unter dem Rückkommenstitel der Wiedererwägung materiell mit der Angelegenheit neu befassen können.
1.3.1 Nach <ref-law> kann ein Versicherungsträger auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Diese Bestimmung wurde in Anlehnung an die bis zum Inkrafttreten des ATSG von der Rechtsprechung entwickelten Kriterien (<ref-ruling> E. 2c S. 469 mit Hinweisen) erlassen. Das Zurückkommen auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide beim Fehlen eigentlicher Revisionsgründe wird weiterhin in das Ermessen des Versicherungsträgers gelegt (vgl. BBl 1991 II 262). Damit ist auch die bisherige Rechtsprechung, wonach kein gerichtlich durchsetzbarer Anspruch auf Wiedererwägung besteht (<ref-ruling> E. 2a S. 13 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1b/cc S. 479), gesetzlich verankert (<ref-ruling> E. 4.1 S. 52 und E. 4.2.1 S. 54).
1.3.2 Ein Gericht kann auf eine Beschwerde gegen den Entscheid der Verwaltung, auf ein Wiedererwägungsgesuch nicht einzutreten, seinerseits nicht eintreten. <ref-law> weist auf diese Ausnahme vom Beschwerderecht zwar nicht ausdrücklich hin. Sie ergibt sich aber ohne weiteres aus dem Umstand, dass das Eintreten auf ein Wiedererwägungsgesuch im Ermessen des Versicherungsträgers liegt. Letztlich gibt es daher auch keine Einsprachemöglichkeit (<ref-law>), wenn die Verwaltung auf ein Wiedererwägungsgesuch nicht eintritt (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 55; Urteil I 896/06 vom 19. März 2007, E. 3.2).
1.3.3 Ob die IV-Stelle - dem Wortlaut des Verfügungsdispositivs entsprechend - tatsächlich nicht auf die Streitfrage eingetreten ist oder aber ob es diese allenfalls doch materiell an die Hand genommen hat, ist durch Auslegung der betreffenden Verfügung zu ermitteln. Im letzteren Fall bezöge sich die gerichtliche Überprüfungsbefugnis auf die Frage, ob die Voraussetzungen für eine Wiedererwägung der - als bestätigt angenommenen - Verfügung gegeben sind, das heisst, ob die Verwaltung zu Recht die ursprüngliche, formell rechtskräftige Verfügung nicht als zweifellos unrichtig oder ihre Korrektur als unerheblich qualifizierte (<ref-ruling> E. 2a S. 13).
Das Verfügungsdispositiv ist demnach nicht ausschlaggebend, sondern nur ein Indiz zur Beantwortung der Frage, in welchem Sinne die Verwaltung ein Wiedererwägungsgesuch behandelt hat. Keine materielle Neubeurteilung liegt vor, wenn die Verwaltung bloss die für die frühere, formell rechtskräftig gewordene Verfügung ausschlaggebend gewesenen Gründe wiederholt und unter Hinweis darauf darlegt, weshalb auf das Wiedererwägungsgesuch nicht eingetreten werden könne (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 14). Soweit die auf Nichteintreten lautende Verfügung nur mit einem Hinweis auf die staatsvertragliche Ordnung der Versicherungsklausel begründet wurde (Einspracheentscheid vom 1. August 2006), handelt es sich um eine blosse Wiederholung der früheren Motivation. Allerdings stellt sich diesbezüglich die Frage, ob wegen der fehlenden Einsprachefähigkeit der Nichteintretensverfügung (oben E. 1.3.2 in fine) nicht ohnehin nur die Begründung der dem genannten Einspracheentscheid zugrunde liegenden Verfügung vom 27. Juni 2006 (betreffend Sonderschulung) massgebend sei, welche derjenigen der Verfügung vom 22. September 2006 (betreffend medizinische Massnahmen) entspricht. Hier wurde das Nichteintreten damit begründet, es sei nicht dargetan, dass sich die tatsächlichen Verhältnisse seit der vorangegangenen Leistungsabweisung in anspruchserheblicher Weise verändert hätten. Die Frage kann indes offen bleiben. Denn auch der Hinweis auf den nach Rechtsauffassung der IV-Stelle fehlenden neuen Versicherungsfall - in diesem Sinne muss die Begründung verstanden werden, es seien keine anspruchserheblich veränderten Verhältnisse geltend gemacht -, hat keinen Bezug zur nach den gegebenen Verhältnissen angezeigt gewesenen rechtlichen Auseinandersetzung mit dem Abkommen zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit vom 21. Juni 1999 (FZA; SR 0.142.112.681; vgl. sogleich E. 2). Bleibt es daher bei einem Nichteintretensentscheid der Verwaltung, hätte die Vorinstanz auf die dagegen erhobene Beschwerde nicht eintreten dürfen.
2. Dem Beschwerdeführer steht es frei, bei der IV-Stelle unter Hinweis auf dieses Urteil und die nachstehend zu zitierenden Präjudizien ein Wiedererwägungsgesuch einzureichen. Ein Leistungsanspruch hinge indessen auch von den bisher nie geprüften jeweiligen leistungsspezifischen Anspruchsvoraussetzungen ab (vgl. <ref-ruling> E. 7.3 S. 195).
2. Dem Beschwerdeführer steht es frei, bei der IV-Stelle unter Hinweis auf dieses Urteil und die nachstehend zu zitierenden Präjudizien ein Wiedererwägungsgesuch einzureichen. Ein Leistungsanspruch hinge indessen auch von den bisher nie geprüften jeweiligen leistungsspezifischen Anspruchsvoraussetzungen ab (vgl. <ref-ruling> E. 7.3 S. 195).
2.1 2.1.1 Hinsichtlich des Anspruchs auf medizinische Massnahmen hat das Bundesgericht mit Urteil I 816/06 vom 19. April 2007 (<ref-ruling>, bestätigt durch Urteil 9C_348/2007 vom 10. Dezember 2007) erkannt, dass ein Kind, das Staatsangehöriger eines Vertragsstaats ist, in Bezug auf die Leistungen bei Geburtsgebrechen (ungeachtet der Unterscheidung zwischen eigenen und abgeleiteten Ansprüchen) in den persönlichen Geltungsbereich der Verordnung (EWG) Nr. 1408/71 des Rates vom 14. Juni 1971 zur Anwendung der Systeme der sozialen Sicherheit auf Arbeitnehmer und Selbständige sowie deren Familienangehörige, die innerhalb der Gemeinschaft zu- und abwandern (SR 0.831.109.268.1), fällt und sich damit grundsätzlich auf das Verbot einer nach Staatsangehörigkeit unterschiedlichen Behandlung berufen kann (Art. 3 der Verordnung Nr. 1408/71; <ref-ruling> E. 5.5 S. 327). Zudem wird die vorliegende Sache auch vom sachlichen Geltungsbereich der Verordnung Nr. 1408/71 erfasst, da die zur Behandlung von Geburtsgebrechen notwendigen medizinischen Massnahmen Leistungen im Sinne von Art. 4 Abs. 1 lit. a der Verordnung Nr. 1408/71 sind (<ref-ruling> E. 5.6 S. 328). Soweit schweizerische Staatsangehörige in der Lage des Beschwerdeführers Anspruch auf medizinische Massnahmen bei Geburtsgebrechen haben, muss dasselbe für den Beschwerdeführer gelten, auch wenn er die für ausländische Staatsangehörige geltenden gesetzlichen Vorschriften nicht erfüllt (vgl. <ref-ruling> E. 5.7 S. 329).
2.1.2 Der Anspruch auf Sonderschulmassnahmen für ein Kind, das noch nicht während eines Jahres Wohnsitz in der Schweiz hatte, als die gesundheitliche Beeinträchtigung erstmals einen speziellen Unterricht notwendig machte, wurde mit Urteil I 582/04 vom 2. Februar 2006 (<ref-ruling>) im Grundsatz bejaht. Das Bundesgericht hielt fest, dass das Kind eines Wanderarbeitnehmers, das im aufnehmenden Staat Wohnsitz hat, unter den gleichen Bedingungen unter anderem Zugang zum allgemeinen Unterricht haben muss wie Angehörige des betreffenden Landes. Von dieser Regel erfasst wird - unabhängig davon, ob eine spätere Erwerbsfähigkeit zu erwarten ist - auch der Unterricht für behinderte Kinder. Eine anderslautende Ordnung widerspräche dem Ziel der Integration von Familienangehörigen im Sinne von Art. 3 Abs. 6 des Anhanges I des FZA (vgl. auch Art. 12 der Verordnung [EWG] Nr. 1612/68 des Rates vom 15. Oktober 1968 über die Freizügigkeit der Arbeitnehmer innerhalb der Gemeinschaft; <ref-ruling> E. 7.2 S. 194).
2.1.3 Der vorinstanzlich ebenfalls behandelte Anspruch auf Hilfsmittel ist mit Blick auf die beantragten Leistungen (oben E. 1.1) nicht Verfahrensgegenstand.
2.2 Unter dem Aspekt der Wiedererwägbarkeit ist im Übrigen die zeitliche Abfolge der zitierten Urteile und der Nichteintretensverfügungen der IV-Stelle unerheblich. Denn unabhängig davon, ob die Verwaltung im Zeitpunkt der Verfahrenserledigungen schon Kenntnis der einschlägigen Rechtsprechung haben konnte (insoweit diese schon ergangen war), hätte es sich bei gegebener Ausgangslage jedenfalls aufgedrängt, die geltend gemachten Ansprüche im Lichte des FZA zu prüfen.
2.3 Sollte sich die Beschwerdegegnerin trotz der abkommensrechtlich klar zugunsten des Beschwerdeführers lautenden Rechtslage weigern, sich mit der Sache neu zu befassen, stünde der Aufsichtsweg an das BSV offen, ist dieses doch praxisgemäss befugt, der Durchführungsstelle die Erledigung eines konkreten Versicherungsfalles vorzuschreiben (Urteil I 222/02 vom 19. Dezember 2002, E. 2 mit Hinweisen).
3. Unter Berücksichtigung der besonderen Umstände wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 19. Juni 2007 wird aufgehoben, und es wird festgestellt, dass auf die vorinstanzliche Beschwerde vom 23. Oktober 2006 nicht einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, der Ausgleichskasse des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Mai 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
i.V. Lustenberger Traub