Faits:
A. X._ s'est inscrit à la Faculté de droit de l'Université de Genève dès la rentrée académique 2004/2005 au programme spécial pour titulaires d'une licence mention gestion d'entreprise, qu'il avait obtenue à la Faculté des sciences économiques et sociales en avril 2004. Après deux échecs, il a réussi la première série de son programme d'études, lors de la session d'octobre 2006.
A la session de juin/juillet 2007, il a présenté cinq examens du programme de la deuxième série. Ces examens ont fait l'objet d'un procès-verbal daté du 11 juillet 2007, qui indiquait notamment que, pour les résultats d'examens, le délai d'opposition était de 30 jours conformément à l'article 4 al. 1 du règlement interne relatif aux procédures d'opposition et de recours du 25 février 1977 (en abrégé: RIOR).
Le 3 septembre 2007, X._, faisant référence à la décision du 11 juillet 2007, a formé deux oppositions, l'une à la note de 4 obtenue à l'examen de droit administratif général, l'autre à la note de 4,25 obtenue à l'examen de droit de l'Union européenne.
Par décision du 1er octobre 2007, le Doyen de la Faculté de droit a déclaré les oppositions du 3 septembre 2007 irrecevables, car le délai d'opposition de 30 jours de l'art. 4 al. 1 RIOR était arrivé à échéance au plus tard le 14 août 2007, compte tenu d'un délai de réception raisonnable d'environ trois jours.
B. Saisie d'un recours de X._, la Commission de recours de l'Université de Genève (en abrégé: la Commission de recours) a rejeté celui-ci, par décision du 14 novembre 2007. Elle a retenu en substance que, comme l'intéressé admettait avoir reçu le procès-verbal du 11 juillet 2007 et que le délai d'opposition était de 30 jours, les oppositions du 3 septembre 2007 étaient manifestement tardives. En outre, il n'y avait pas lieu de restituer le délai pour former opposition, car X._ ne prétendait pas avoir été empêché d'agir sans sa faute. Il se réclamait certes de la suspension des délais du 1er au 31 août, prévue par les art. 14bis et 20bis RIOR, mais ces dispositions avaient été abrogées le 14 juin 2007, lors de l'entrée en vigueur de la nouvelle version du règlement, dont il avait pu avoir connaissance dès le 28 juin 2007, date à laquelle, selon la Faculté de droit, le règlement modifié était à disposition des étudiants au secrétariat.
C. X._ forme un recours au Tribunal fédéral contre la décision du 14 novembre 2007. Il conclut à l'annulation de cette décision, à la dissolution de la Commision de recours - qui aurait jugé sa cause de manière impartiale (recte : partiale et arbitraire, comme indiqué par le recourant lui-même dans sa lettre au Tribunal fédéral du 17 décembre 2007) - et à la réparation de son dommage.
La Commission de recours de l'Université de Genève a renoncé à se déterminer sur le recours, déclarant persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt.
La Faculté de droit se réfère à la décision du Doyen du 1er octobre 2007, à sa prise de position devant la Commission de recours et à la décision de cette dernière, à laquelle elle déclare pouvoir en substance adhérer. Elle relève que certains faits et arguments présentés par le recourant sont nouveaux et, partant, irrecevables; elle rappelle toutefois que les règlements à jour sont disponibles à son secrétariat des étudiants et qu'une indication administrative sur son site internet ne saurait valoir publication officielle et entrée en vigueur d'une modification réglementaire.
Le 15 mai 2008, le recourant a répondu aux déterminations de la Faculté de droit qui lui ont été communiquées le 8 mai 2008.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>).
1.1 Le recourant, qui agit seul, n'a pas indiqué par quelle voie de recours il procède devant le Tribunal fédéral. Toutefois, cette imprécision ne saurait lui nuire si son recours répond aux exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 296). Dans la mesure où le présent litige relève du droit public cantonal, il y a lieu d'examiner si l'acte de recours remplit les conditions de recevabilité du recours en matière de droit public (<ref-law>).
1.2 La décision attaquée est une décision finale (<ref-law>) qui émane d'une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF).
D'après l'<ref-law>, les cantons doivent instituer des tribunaux supérieurs qui statuent comme autorités précédant immédiatement le Tribunal fédéral. On peut se demander si la Commission de recours de l'Université constitue un Tribunal supérieur au sens de cette disposition, entrant dans la catégorie des autorités cantonales de dernière instance visées par l'art. 86 al. 1 let. d LTF. La question peut cependant demeurer indécise, dès lors les cantons disposent d'un délai de deux ans à compter de l'entrée en vigueur de la loi sur le Tribunal fédéral (<ref-law>), soit jusqu'au 1er janvier 2009, pour adapter leur législation à la LTF.
1.3 En vertu de l'art. 83 let. t LTF, le recours en matière de droit public n'est pas ouvert à l'encontre des décisions sur le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, notamment en matière de scolarité obligatoire, de formation ultérieure ou d'exercice d'une profession. Le motif d'irrecevabilité contenu dans cette disposition dépend de la matière et non du grief soulevé (arrêts non publiés 2C_501/2007 du 18 février 2008, consid. 1.1 et 2C_560/2007 du 23 octobre 2007, consid. 2.2).
En l'espèce, le litige porte sur le point de savoir si les oppositions formées par le recourant à l'encontre de deux de ses examens, dont il a obtenu les résultats le 11 juillet 2007, pouvaient ou non être considérées comme irrecevables, car déposées tardivement. Bien qu'elle porte sur une question de procédure, la décision attaquée concerne, quant au fond, les résultats des examens du recourant, expressément exclus par l'art. 83 let. t LTF. En vertu du principe de l'unité de la procédure (<ref-ruling> consid. 2a p. 414), le recours en matière de droit public est donc également irrecevable sur le délai d'opposition litigieux. Le présent recours doit dès lors être traité comme recours constitutionnel subsidiaire.
1.4 Déposé en temps utile (art. 117 et 100 al. 1 LTF), contre une décision finale (art. 117 et 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale (art. 114 et 86 al. 1 let. d LTF), par le destinataire de la décision attaquée qui a un intérêt juridique à son annulation (<ref-law>), le présent recours est en principe recevable, sous les deux réserves suivantes.
1.5 Le recourant requiert la dissolution de la Commission de recours qui, selon lui, aurait jugé sa cause de manière partiale et arbitraire, ainsi que la réparation de son dommage. Hormis le fait que ces conclusions sont nouvelles (art. 117 et 99 al. 2 LTF), le recourant ne motive nullement ses griefs par rapport aux art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF, applicables par envoi de l'<ref-law>, et à la jurisprudence (<ref-ruling> consid. 3.1 et 3.2 p. 399/400; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 589 et les arrêts cités). Son recours est dès lors irrecevable sur ces deux points.
1.6 Il n'y a en outre pas lieu de prendre en considération la correspondance du recourant du 15 mai 2008, déposée en dehors du délai de recours, sans que les conditions exceptionnelles pour ordonner un second échange d'écritures soient remplies (art. 117 et 102 al. 3 LTF).
2. 2.1 Le recours constitutionnel subsidiaire ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Saisi d'un tel recours, le Tribunal fédéral, n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (<ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254; <ref-ruling> consid. 6 p. 397), qui doit montrer, par une argumentation circonstanciée, en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 261); s'il se prévaut de la violation d'un droit constitutionnel en relation avec l'application du droit cantonal, le recourant doit préciser quelle est la norme cantonale qui est visée (<ref-ruling> consid. 2a p. 3). En particulier, lorsque le recourant se plaint d'une application arbitraire du droit cantonal, il ne peut se contenter de critiquer l'acte attaqué comme il le ferait dans une procédure d'appel où l'autorité de recours peut revoir librement l'application du droit. Il doit préciser en quoi cet acte serait arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 255 et la jurisprudence citée).
En outre, selon l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Tel est le cas lorsque des éléments de fait se révèlent être pertinents en raison d'une nouvelle argumentation juridique figurant dans la décision attaquée (cf. Ulrich Meyer, Commentaire bâlois, n. 47 ad <ref-law>, p. 980). N'appartiennent pas à cette catégorie les faits que le recourant a omis d'invoquer devant l'instance inférieure et qui ne pouvaient, pour ce motif, pas être pris en compte par l'autorité précédente (arrêt 4A_36/2008 du 18 février 2008 consid. 4.1).
2.2 Devant le Tribunal fédéral, le recourant soutient que la Faculté de droit n'a nullement renseigné ses étudiants sur la modification du RIOR. La communication des notes d'examen du 11 juillet 2007 ne faisait aucune référence à une nouvelle disposition de ce règlement et le site internet de la Faculté n'a pas communiqué ce changement. La nouvelle version du règlement n'a ainsi été publiée, selon le recourant, que le 25 septembre 2007, comme en atteste l'historique des modifications annexé au recours. Partiellement nouveaux en ce qui concerne en particulier la date de publication, ces faits résultent toutefois directement de la décision attaquée devant le Tribunal fédéral. En effet, celle-ci a expressément retenu que le recourant avait pu prendre connaissance des modifications du RIOR, entrées en vigueur le 14 juin, dès le 28 juin 2007. Or, cet argument ne ressortait pas de la décision du Doyen de la Faculté de droit du 1er octobre 2007, dans laquelle celui-ci se borne à calculer le délai d'opposition de 30 jours à partir de la délivrance du procès-verbal d'examen du 11 juillet 2007, sans faire aucune référence à la modification du règlement abrogeant la suspension de ce délai pendant le mois d'août. La Commission de recours s'est donc appuyée sur une motivation juridique différente de celle de la Faculté, qui trouve son origine dans les observations de cette dernière du 30 octobre 2007, transmises au recourant que pour information, le 5 novembre 2007. On ne peut donc reprocher au recourant de ne pas avoir invoqué ces faits dans son recours du 10 octobre 2007 devant ladite Commission. Contrairement à ce que soutient la Faculté de droit dans ses observations, il faut ainsi admettre que les faits allégués par le recourant peuvent être pris en compte, car ils résultent de la décision entreprise (<ref-law>).
3. Le litige revient à se demander si le recourant peut se prévaloir d'une disposition du RIOR qui a été abrogée depuis le 14 juin 2007 et qui prévoyait la suspension des délais durant le mois d'août. A l'instar de la Faculté de droit, la Commission de recours a considéré que les oppositions du recourant étaient tardives, en retenant que l'intéressé avait pu avoir connaissance de la modification du RIOR dès le 28 juin 2007, date à laquelle la nouvelle version de ce règlement avait été mise par la faculté à disposition des étudiants intéressés.
Le recourant, qui invoque l'arbitraire, conteste cette argumentation, en faisant valoir que la Commission de recours a repris telles quelles les affirmations de la Faculté de droit dans sa réponse du 30 octobre 2007, sans vérifier s'il avait réellement pu connaître les modifications du RIOR dès le 28 juin 2007. Il prétend que le secrétariat de la Faculté de droit n'a rien communiqué aux étudiants et que, ni le procès-verbal du 11 juillet 2007, ni le site internet de la Faculté ne contenaient d'indications à cet égard, les modifications du RIOR ayant été publiées sur le site internet de l'Université le 25 septembre 2007 seulement.
3.1 D'une manière générale, la publication des lois, règlements et arrêtés est une condition nécessaire pour qu'ils soient applicables et juridiquement contraignants. Le citoyen doit en effet avoir la possibilité de connaître le droit pour s'y soumettre. Il s'agit d'un principe général qui découlait de l'art. 4 aCst. (<ref-ruling> consid. 4b p. 8 et les référence citées) et qui se rattache maintenant à l'art. 5 Cst. (arrêt 2P.83/2002 du 24 juin 2003, consid. 2.3, non publié). La forme de la publication qui est exigée dépend de la législation de l'entité publique concernée (<ref-ruling> consid. 4b in fine p. 8).
Lorsqu'il existe un mode de publication officielle, celui-ci détermine le moment où les actes peuvent déployer des effets juridiques envers les particuliers. D'autres formes de publication peuvent co-exister, mais elles ne seront pas dotées des mêmes effets. Par exemple, en droit fédéral, la loi fédérale du 18 juin 2004 sur les recueils du droit fédéral et de la Feuille fédérale (LPubl; RS 170.512) prévoit que les lois sont en principe publiées dans le Recueil officiel (cf. art. 2 à 4 LPubl). Cette publication officielle est déterminante pour que les obligations figurant dans les textes puissent prendre naissance (<ref-law>). Si un acte est publié dans le RO après son entrée en vigueur, les obligations qui y sont inscrites ne naissent que le jour qui suit la publication (<ref-law>). Les textes en vigueur sont aussi publiés dans le Recueil systématique, sous forme papier et électronique (cf. art. 11 et 16 LPubl; à ce sujet, Urs Paul Holenstein/ Ardita Driza Maurer, La publication électronique des actes législatifs suisses: élaboration d'un modèle structuré pour les textes de lois fédéraux, cantonaux et communaux, in Mélanges Heinrich Koller, Bâle 2006). Ces diverses formes de publications complètent, mais ne remplacent pas la publication officielle au RO.
Lorsqu'aucun mode de publication officielle n'est prévu, il faut tout de même, pour que les obligations figurant dans un texte ayant force obligatoire puissent être opposables aux intéressés, que ceux-ci aient pu en avoir connaissance (cf. arrêt 6B_99/2007 du 30 mai 2007 consid. 3.2.2). Ce moment doit être déterminé en fonction des moyens d'information mis en place par l'autorité. En l'absence de publication officielle, il serait en effet arbitraire de faire primer une source d'information sur une autre.
3.2 Dans le canton de Genève, la publication dans la Feuille d'avis officielle est le mode officiel de publication qui détermine le jour de l'entrée en vigueur des lois et des règlements adoptés par le Conseil d'Etat; ceux-ci sont en outre publiés dans un recueil officiel systématique de la législation genevoise (cf. art. 14, 15 et 17 de la loi genevoise du 8 décembre 1956 sur la forme, la publication et la promulgation des actes officiels, RSGE B 2/05). En l'espèce, la loi sur l'Université du 26 mai 1973 (LU; RSGE C1 30), son règlement d'application (RSGE C1 30.01) et le règlement de l'Université du 7 septembre 1988 (RU; RSGE C1 30.06) répondent à ces exigences de publication. En ce qui concerne les conditions et les modalités du droit d'opposition, l'art. 33 al. 1 LU renvoie au règlement de l'Université; celui-ci institue une procédure d'opposition et une procédure de recours (art. 87 RU), tout en se référant, pour les détails, à un règlement interne (art. 87 al. 2 RU), soit au RIOR qui n'est lui-même pas publié, ni à la Feuille d'avis officielle, ni au recueil systématique du canton. A noter que, depuis le 13 décembre 2007, l'art. 87 RU est devenu l'art. 88 RU, (cf. règlement du 5 décembre 2007 modifiant le règlement de l'Université), sans toutefois apporter de changements aux principes qui figuraient à l'ancien art. 87 RU. Par conséquent, en l'absence de publication officielle, le RIOR ne peut déployer des effets que s'il est porté à la connaissance de ses destinataires d'une autre manière. En principe, les étudiants peuvent en obtenir une version papier auprès du secrétariat ou le consulter dans sa forme électronique, sur le site internet de l'Université.
3.3 Le 14 juin 2007, le Département de l'instruction publique du canton de Genève a approuvé l'abrogation des art. 14bis et 20bis RIOR, qui prévoyaient que les délais ne couraient pas du 1er au 31 août inclusivement. Cette suspension concernait en particulier le délai d'opposition de 30 jours à compter de la notification des décisions portant sur l'appréciation des examens, des épreuves ou de tout autre contrôle des connaissances selon les art. 15 ss RIOR. En vertu de l'art. 35 ch. 1 RIOR, ces modifications sont entrées en vigueur immédiatement, soit le 14 juin 2007, date de leur ratification par le Département de l'instruction publique. Le nouveau texte du règlement était à la disposition des étudiants qui en faisaient la demande à partir du 28 juin 2007 auprès du Secrétariat de la Faculté. En revanche, le règlement modifié a été porté à la connaissance du public sur le site internet de l'Université le 25 septembre 2007 seulement, ainsi que l'indique clairement l'historique des modifications figurant à la fin du règlement dans sa version du 14 juin 2007. Il s'ensuit que, si le recourant a consulté le site internet de l'Université avant de former son opposition, il n'a pas pu avoir connaissance des modifications du RIOR. Reste à se demander si celui-ci était tenu de se renseigner auprès du Secrétariat des étudiants.
3.3.1 Dans ses déterminations, la Faculté de droit relève que la mise à disposition d'un règlement sur internet ne saurait valoir publication officielle. Encore faut-il qu'une telle publication existe. Or, comme on l'a vu (supra consid. 3.2) une publication officielle du RIOR n'est pas prévue. Il s'agit donc de déterminer à partir de quand la modification du 14 juin 2007 peut être opposée au recourant, compte tenu des moyens d'information mis à sa disposition.
En l'espèce, il n'apparaît pas que le procès-verbal d'examen du 11 juillet 2007 ait attiré l'attention du recourant sur l'existence de modifications du RIOR, notamment sur la suspension du délai pour faire opposition, puisqu'il ne mentionnait que le délai de recours de 30 jours de l'art. 4 al. 1 RIOR. Dans ces conditions, on ne voit pas comment le recourant aurait pu ou dû se douter que le délai pour faire opposition à ses notes ne pouvait plus être prolongé par la suspension durant le mois d'août prévue par l'art. 20bis RIOR. S'agissant d'une modification essentielle, adoptée le 14 juin, soit juste avant la session d'examen d'été, on pouvait en effet attendre de la Faculté de droit qu'elle rende les étudiants attentifs au fait que cette suspension était supprimée, en même temps qu'elle mentionnait le délai d'opposition. Le recourant n'avait pas de raison particulière d'aller chercher le règlement au secrétariat, plutôt que de le consulter sur le site internet officiel de l'Université. Contrairement à ce que soutient l'autorité intimée, il n'y a en effet aucun motif de faire primer l'une de ces sources d'information sur l'autre, puisque ni l'une ni l'autre n'est officielle. Ainsi, tant que le site internet de l'Université prévoyait l'ancienne version du règlement, celui-ci était opposable aux étudiants, à moins que ces derniers aient été expressément informés d'une modification qui serait à leur disposition au Secrétariat des étudiants, ce qui n'a pas été le cas du recourant.
3.3.2 Il s'ensuit que la Commission de recours a retenu arbitrairement que la date du 28 juin 2007 était déterminante pour la prise de connaissance des modifications du RIOR du 14 juin 2007 par les étudiants. Celle-là n'est donc pas opposable au recourant qui, dans les circonstances en cause, ne pouvait se douter que la version du RIOR figurant sur le site internet de l'Université n'était plus valable (<ref-ruling> p. 220 consid. 2b/aa; arrêt 2P.304/2005 du 14 mars 2006, publié in ZBl107/2006 p. 539, consid. 2.3; voir également <ref-ruling> ss, à propos de la nouvelle pratique relative à la suspension des délais prévue à l'<ref-law> en cas de détention préventive, non prévisible pour le recourant).
3.4 Au vu de ce qui précède, le recours doit être admis et la décision attaquée annulée. En application de l'art. 107 al. 2 i.f. LTF, il y a lieu également de renvoyer l'affaire à la Faculté de droit pour qu'elle statue sur les oppositions du recourant.
4. Le recourant ayant procédé seul et l'intérêt patrimonial de l'autorité intimée n'étant pas en cause (<ref-law>), le présent jugement sera rendu sans frais, ni dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis dans la mesure où il est recevable.
2. La décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée au Doyen de la Faculté de droit de l'Université de Genève pour nouvelle décision.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Commission de recours de l'Université de Genève.
Lausanne, le 19 juin 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Merkli Rochat