Sachverhalt:
A. A.a Der irakische Staatsangehörige X._, geb. 1980, reiste am 13. November 2002 in die Schweiz ein und stellte hier ein Asylgesuch. Am 3. August 2008 lehnte das Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Bundesamt für Migration) das Gesuch ab und wies X._ aus der Schweiz weg. Mit Entscheid vom 23. Dezember 2005 ordnete das Bundesamt für Migration in teilweiser Wiedererwägung der früheren Verfügung die vorläufige Aufnahme von X._ in der Schweiz an. Die schweizerische Asylrekurskommission (heute: Bundesverwaltungsgericht) schrieb daraufhin eine bei ihr hängige Beschwerde wegen Gegenstandslosigkeit ab. Am 18. April 2007 wies das Amt für Migration des Kantons Luzern ein Gesuch von X._ um Erteilung einer ordentlichen Aufenthaltsbewilligung aufgrund eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalles ab.
A.b Mit Verfügung vom 14. März 2008 hob das Bundesamt für Migration die vorläufige Aufnahme von X._ auf und wies ihn erneut aus der Schweiz weg. Am 17. Dezember 2008 wies das Bundesverwaltungsgericht eine dagegen erhobene Beschwerde ab. Die Möglichkeit, im Rahmen eines Rückkehrhilfeprogramms mit finanzieller Unterstützung freiwillig in den Irak zurückzukehren, nahm X._ nicht wahr. Mit Entscheid vom 13. Januar 2009 trat das kantonale Amt für Migration auf ein weiteres Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung aufgrund eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalles nicht ein. Am 24. März 2009 trat das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern auf eine dagegen gerichtete Beschwerde ebenfalls nicht ein.
A.c Am 25. Februar 2009 ersuchte das kantonale Amt für Migration das Bundesamt für Migration um Vollzugsunterstützung. Am 3. März 2009 erhielt das Bundesamt von der irakischen Botschaft die Ermächtigung zur Ausstellung eines Reisepapiers (Laissez-Passer). Dieses wurde am 29. Mai 2009 im Hinblick auf einen vom Amt für Migration des Kantons Luzern gebuchten Flug nach Erbil ausgestellt. Am 2. Juni 2009 wurde X._ in Ausschaffungshaft genommen. Tags darauf scheiterte die Ausreise an seinem Widerstand. X._ blieb in der Folge weiterhin in Ausschaffungshaft.
B. B.a Am 29. Juli 2009 wurde über X._ die Durchsetzungshaft bis zum 28. August 2009 angeordnet bzw. es wurde die bisherige Ausschaffungs- in Durchsetzungshaft umgewandelt. Mit Entscheid vom 24. August 2009 bestätigte das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern eine erste Verlängerung der Durchsetzungshaft um zwei Monate. Am 7. September 2009 teilte die Gutachterkommission des Kantons Luzern X._ mit, dass sie auf ein erneutes Gesuch vom 6. Juli 2009 um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung aufgrund eines Härtefalles nicht eintrete. Mit Gesuch vom 22. September 2009 beantragte X._ die Haftentlassung. Daraufhin führte der Haftrichter am Verwaltungsgericht am 1. Oktober 2009 eine mündliche Gerichtsverhandlung durch, wobei er die Haftverlängerung bis zum 28. Oktober 2009 nochmals bestätigte.
B.b Dagegen führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 1. Oktober 2009 sei aufzuheben und er sei aus der Durchsetzungshaft zu entlassen (Verfahren 2C_683/2009).
B.c Das Amt für Migration des Kantons Luzern hat innert Frist keine Vernehmlassung eingereicht. Das Verwaltungsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Bundesamt für Migration liess sich am 3. November 2009 ohne formellen Antrag vernehmen. Der Beschwerdeführer hat sich am 4. November 2009 nochmals zur Sache geäussert.
C. C.a Mit Verfügung vom 21. Oktober 2009 verlängerte das kantonale Amt für Migration die Durchsetzungshaft ein zweites Mal um weitere zwei Monate. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern genehmigte diese zweite Haftverlängerung am 26. Oktober 2009 im schriftlichen Verfahren. X._ machte von der Möglichkeit, eine mündliche Verhandlung vor dem Verwaltungsgericht zu verlangen, keinen Gebrauch.
C.b Hingegen erhob X._ auch gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid vom 26. Oktober 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, auch diesen Entscheid aufzuheben und ihn aus der Durchsetzungshaft zu entlassen (Verfahren 2C_731/2009).
C.c Das kantonale Amt für Migration hat sich am 10. November 2009 zur Sache geäussert, ohne formell Antrag zu stellen. Das Verwaltungsgericht hat innert Frist keine Vernehmlassung eingereicht. Das Bundesamt für Migration hat auf eine Stellungnahme verzichtet. X._ liess sich am 18. November 2009 nochmals zur Sache vernehmen. Am 26. November 2009 ging beim Bundesgericht ein ergänzendes Schreiben des Amts für Migration vom 25. November 2009 ein.

Erwägungen:
1. 1.1 Die zwei bundesgerichtlichen Verfahren stehen in engem Zusammenhang. Es stehen sich die gleichen Verfahrensbeteiligten gegenüber, und es geht inhaltlich letztlich um die Überprüfung derselben Haft, wenn auch formell zwei Entscheide zu beurteilen sind, die unterschiedliche Zeitspannen betreffen. Es rechtfertigt sich daher, die Verfahren 2C_683/2009 und 2C_731/2009 zu vereinigen und über die Beschwerden in einem einzigen Urteil zu entscheiden (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 194 mit Hinweisen).
1.2 Am 25. November 2009 reichte das Amt für Migration des Kantons Luzern im Verfahren 2C_731/2009 ausserhalb jeglicher gesetzlicher oder richterlicher Frist ein ergänzendes Schreiben ein, in dem es sich auf die Eingabe des Beschwerdeführers vom 4. November 2009 im Verfahren 2C_683/2009 bezieht. Einerseits hätte das kantonale Amt schon längst Gelegenheit gehabt, dazu im Verfahren 2C_683/2009 eine ergänzende Eingabe einzureichen. Andererseits bestand im Verfahren 2C_731/2009 die Möglichkeit, sich im Rahmen der dortigen Stellungnahmen während des ordentlichen Schriftenwechsels zu den fraglichen Umständen zu äussern. Die Eingabe vom 25. November 2009 erweist sich damit in doppelter Hinsicht als verspätet und ist aus dem Recht zu weisen.
2. 2.1 Gegen kantonale richterliche Entscheide betreffend die Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen, soweit der Betroffene an der Beurteilung seiner Eingabe ein aktuelles praktisches Interesse hat (<ref-law>). Fällt das aktuelle Interesse im Verlauf des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (nicht publizierte E. 2 von <ref-ruling>, Urteil 2C_10/2009).
2.2 Am 22. September 2009 ersuchte der Beschwerdeführer um Haftentlassung. Art. 78 AuG, worin die Durchsetzungshaft ihre gesetzliche Grundlage findet, sieht die Möglichkeit eines Haftentlassungsgesuchs nicht vor, und es erscheint fraglich, ob Art. 80 Abs. 5 AuG, wo die Haftentlassungsgesuche für die Vorbereitungs- und Ausschaffungshaft geregelt sind, auch auf die Durchsetzungshaft anwendbar ist (vgl. THOMAS HUGI YAR, § 10 Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, Rz. 10.29; ANDREAS ZÜND, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli, Migrationsrecht, 2. Aufl. 2009, N. 7 zu Art. 80 AuG). Der Haftrichter behandelte die Eingabe denn auch offenbar als Gesuch um Durchführung einer mündlichen Verhandlung über die erstmalige Haftverlängerung um zwei Monate, obwohl der Bestätigungsentscheid im schriftlichen Verfahren bereits am 24. August 2009 ergangen war. Ob der Beschwerdeführer in diesem Sinne eine mündliche Verhandlung auch noch rund einen Monat später verlangen konnte oder ob die Eingabe allenfalls ausnahmsweise doch als Gesuch um Haftentlassung entgegenzunehmen war (vgl. HUGI YAR, a.a.O., Rz. 10.32; ZÜND, a.a.O., N. 7 zu Art. 80 AuG), erscheint unklar, kann aber offen bleiben. Im vorliegenden Fall ist nämlich das aktuelle Interesse an der Beurteilung der ersten Beschwerde betreffend das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 1. Oktober 2009 dahingefallen: Der Beschwerdeführer befindet sich zwar nach wie vor in Durchsetzungshaft, doch beruht diese nunmehr allein auf dem Entscheid vom 26. Oktober 2009, mit dem der Haftrichter die zweite Verlängerung der Durchsetzungshaft genehmigte. Es rechtfertigt sich auch nicht, ausnahmsweise vom Erfordernis des aktuellen Interesses abzusehen, weil die aufgeworfenen Fragen im Einzelfall kaum je rechtzeitig höchstrichterlich überprüft werden könnten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 674). Nicht nur ist der erste Entscheid über die Haftentlassung bzw. erstmalige Haftverlängerung in den beanstandeten Punkten durch den nachmaligen zweiten Entscheid über die weitere Fortsetzung der Haft ersetzt worden, sondern der Beschwerdeführer trägt im Wesentlichen genau die gleichen Rügen vor. Seine Anliegen können mithin im hängigen Beschwerdeverfahren über die zweite Haftverlängerung vollumfänglich geprüft werden. Das Verfahren 2C_683/2009 kann deshalb als gegenstandslos geworden abgeschrieben werden (vgl. die bereits erwähnte E. 2 von <ref-ruling>, Urteil 2C_10/2009). Einzutreten ist hingegen auf die Beschwerde im Verfahren 2C_731/2009.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer macht vor dem Bundesgericht unter anderem geltend, er leide zunehmend unter der psychischen Belastung. Dabei handelt es sich um ein neues Vorbringen, denn weder in den Akten noch in den Feststellungen des Verwaltungsgerichts finden sich entsprechende Hinweise auf seinen Gesundheitszustand.
3.2 Nach <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Einen solchen Zusammenhang gibt es im vorliegenden Fall nicht. Im Gegenteil hätte sich der Beschwerdeführer bereits vor dem Verwaltungsgericht auf seine gesundheitlichen Probleme berufen müssen, so weit er daraus Rechtsfolgen zu seinen Gunsten ableiten will. Der Beschwerdeführer hätte dazu um so mehr Gelegenheit gehabt, als ihm die Möglichkeit offen stand, vor dem Verwaltungsgericht eine mündliche Verhandlung zu verlangen. Durch seinen Verzicht auf einen solchen Antrag vergab er auch die Möglichkeit, neue Tatsachen ins Verfahren einzubringen, was er nunmehr vor dem Bundesgericht nicht mehr nachholen kann. Insofern ist mithin auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4. 4.1 Zweck der Durchsetzungshaft ist es, die ausreisepflichtige Person in jenen Fällen zu einer Verhaltensänderung zu bewegen, in denen nach Ablauf der Ausreisefrist der Vollzug der rechtskräftig gegen sie angeordneten Weg- oder Ausweisung - trotz entsprechender behördlicher Bemühungen - ohne ihre Kooperation nicht (mehr) möglich erscheint (vgl. Art. 78 AuG). Der damit verbundene Freiheitsentzug stützt sich auf Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK (Haft zur Sicherung eines schwebenden Ausweisungsverfahrens) und dient in diesem Rahmen zur Erzwingung einer durch das Gesetz vorgeschriebenen Verpflichtung des Betroffenen (Art. 5 Ziff. 1 lit. b EMRK). Die Durchsetzungshaft bildet das letzte Mittel, wenn und soweit keine andere Massnahme (mehr) zum Ziel führt, den illegal anwesenden Ausländer auch gegen seinen Willen in seine Heimat verbringen zu können. Sie darf nach dem Willen des Gesetzgebers maximal 18 Monate dauern, muss aber in jedem Fall verhältnismässig sein. Die Vorbereitungs-, Ausschaffungs- und Durchsetzungshaft dürfen zusammen eine Höchstdauer von 24 Monaten nicht überschreiten (Art. 79 AuG). Diese Höchstdauer wird künftig wegen der EU-Rückführungsrichtlinie auf 18 Monate zu senken sein (vgl. Art. 15 der Richtlinie 2008/115/EG des Europäischen Parlaments und des Rates vom 16. Dezember 2008 über gemeinsame Normen und Verfahren in den Mitgliedstaaten zur Rückführung illegal aufhältiger Drittstaatsangehöriger, ABl. 2008 L 348 vom 24. Dezember 2008 S. 98 ff.). Innerhalb der zulässigen Höchstdauer ist jeweils aufgrund der Umstände im Einzelfall zu prüfen, ob die ausländerrechtliche Festhaltung insgesamt (noch) geeignet bzw. erforderlich erscheint und nicht gegen das Übermassverbot verstösst (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 107; <ref-ruling> E. 2 S. 204 ff.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 96 ff.).
4.2 Bei dieser Beurteilung ist dem Verhalten des Betroffenen, den die Papierbeschaffung allenfalls erschwerenden objektiven Umständen (ehemalige Bürgerkriegsregion usw.) sowie dem Umfang der von den Behörden bereits getroffenen Abklärungen Rechnung zu tragen und zu berücksichtigen, wieweit der Ausländer es tatsächlich in der Hand hat, die Festhaltung zu beenden, indem er seiner Mitwirkungs- bzw. Ausreisepflicht nachkommt. Von Bedeutung können zudem seine familiären Verhältnisse sein sowie der Umstand, dass er allenfalls wegen seines Alters, Geschlechts oder Gesundheitszustands als "besonders schutzbedürftig" gelten muss. Das mutmassliche künftige Verhalten des Betroffenen ist jeweils aufgrund sämtlicher Umstände abzuschätzen; dabei kommt dem Haftrichter wegen der Unmittelbarkeit seiner Kontakte mit dem Betroffenen ein gewisser Beurteilungsspielraum zu. Ein erklärtes konsequent unkooperatives Verhalten bildet in diesem Rahmen nur einen - allenfalls aber gewichtigen - Gesichtspunkt unter mehreren. Je länger die ausländerrechtlich motivierte Festhaltung dauert und je weniger die Ausschaffung absehbar erscheint, desto strengere Anforderungen sind an die fortbestehende Hängigkeit des Ausweisungsverfahrens im Sinne von Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK zu stellen und desto kritischer ist die jeweilige Haftverlängerung zu hinterfragen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 107f.; <ref-ruling> E. 2 S. 204 ff.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 96 ff.).
4.3 Der Vollzug einer Entfernungsmassnahme bzw. die darauf angeordnete ausländerrechtliche Administrativhaft kann unter Umständen bei der Verlobung mit einer in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Person unverhältnismässig erscheinen. Grundsätzlich ändern Heiratsabsichten freilich an der durch die Haft gesicherten Wegweisung nichts. Abgesehen von besonderen Ausnahmesituationen, etwa wenn - nach einer langdauernden, festen und tatsächlich gelebten Beziehung - die Heirat konkret unmittelbar bevorsteht, können sich Verlobte für ihre Anwesenheitsberechtigung auch nicht auf den Schutz des Privat- und Familienlebens nach Art. 8 EMRK berufen. Nach der Rechtsprechung sind der Vollzug einer Wegweisung und die damit verbundene Haft nur dann allenfalls unverhältnismässig, wenn sämtliche für die Eheschliessung notwendigen Papiere vorliegen, ein konkreter Heiratstermin feststeht und binnen Kurzem mit der Aufenthaltsbewilligung gerechnet werden kann (Urteile 2C_180/2007 vom 12. Juni 2007 E. 2.4 und 2A.671/2006 vom 11. Dezember 2006 E. 2.3.1 mit Hinweisen; vgl. <ref-ruling> E. 4.2.4 S. 63 f.; HUGI YAR, a.a.O., Rz. 10.150 f.).
5. 5.1 Die tatbeständlichen Voraussetzungen der Durchsetzungshaft wie insbesondere das Vorliegen einer rechtskräftigen Wegweisung, die Missachtung der Ausreisepflicht und die Unzulässigkeit einer Ausschaffungshaft sind im vorliegenden Fall nicht umstritten. Strittig ist einzig, ob die Verlängerung der Durchsetzungshaft noch verhältnismässig ist. Der Beschwerdeführer hat zwar weder über seine Identität getäuscht noch die Beschaffung von Reisepapieren vereitelt. Er weigert sich aber nach wie vor, die Schweiz zu verlassen und in sein Heimatland zurückzukehren. Von Behördenseite sind alle Voraussetzungen einer erfolgreichen Heimkehr erbracht. Insbesondere liegt ein Reisepapier vor, das die Rückkehr ermöglichen würde. Der Ausreiseversuch vom 3. Juni 2009 scheiterte einzig am Widerstand des Beschwerdeführers. Ein Flug für einen erneuten Versuch könnte jederzeit gebucht werden. Das bisherige Verhalten des Beschwerdeführers wie auch entsprechende Äusserungen seinerseits lassen darauf schliessen, dass er sich einer Heimkehr weiterhin widersetzen wird. Die Durchsetzungshaft hat in diesem Sinne noch immer als geeignet zu gelten, den Beschwerdeführer zum Einlenken zu bringen und die angeordnete Wegweisung vollziehbar werden zu lassen.
5.2 Der Beschwerdeführer befindet sich seit dem 2. Juni 2009 in Ausschaffungshaft bzw. seit dem 29. Juli 2009 in Durchsetzungshaft. Diese dauert somit, gemessen am Zeitpunkt des angefochtenen haftrichterlichen Betätigungsentscheides, seit rund drei Monaten an. Insgesamt befindet sich der Beschwerdeführer seit rund fünf Monaten in Haft. Unter Berücksichtigung der angefochtenen Verlängerung wird die Maximaldauer, die bisher zu beurteilen ist, sieben Monate Freiheitsentzug insgesamt bzw. fünf Monate Durchsetzungshaft betragen. Mit dieser Haftdauer ist die gesetzlich zulässige Höchstdauer von 18 Monaten bei der Durchsetzungshaft bzw. von 24 Monaten insgesamt noch deutlich unterschritten. Selbst die Berücksichtigung der in der noch nicht umgesetzten EU-Rückführungsrichtlinie vorgesehenen Maximaldauer ändert an dieser Einschätzung nichts. Die ausländerrechtlich motivierte Festhaltung dauert damit derzeit noch nicht so lange, dass bereits deswegen besonders strenge Anforderungen an die fortbestehende Hängigkeit des Ausweisungsverfahrens zu stellen wären.
5.3 Der Beschwerdeführer unterhält eine enge freundschaftliche Beziehung mit einer rund 20-jährigen Schweizerin. Angeblich beabsichtigt das Paar zu heiraten. Die Echtheit der Beziehung wird von keiner Seite in Frage gestellt und wird durch verschiedene in den Akten liegende Unterlagen belegt. Auch die Vorinstanz hat daran grundsätzlich keine Zweifel geäussert. Unklar erscheint einzig, ob bereits von einer eigentlichen Verlobung auszugehen ist oder nicht. Das kann aber offen bleiben. Die für die Eheschliessung notwendigen Papiere liegen jedenfalls nicht vor. Ebenso wenig steht ein konkreter Heiratstermin fest, so dass nicht binnen Kurzem mit einer Aufenthaltsbewilligung zugunsten des Beschwerdeführers zu rechnen ist. Somit begründet die allenfalls geplante Heirat zurzeit nicht die Unverhältnismässigkeit der Haftverlängerung.
5.4 Die angefochtene Haftverlängerung verstösst daher nicht gegen Bundesrecht.
6. Demnach ist die Beschwerde im Verfahren 2C_683/2009 als gegenstandslos abzuschreiben und diejenige im Verfahren 2C_731/2009 als unbegründet abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die bundesgerichtlichen Verfahren 2C_683/2009 und 2C_731/2009 werden vereinigt.
2. Das Verfahren 2C_683/2009 wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Die Beschwerde im Verfahren 2C_731/2009 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
4. Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30.November 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Uebersax