Faits:
A.
Z._, né en 1925, domicilié à ..., est assuré auprès de X._ SA (ci-après: X._ ou l'assureur) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie et accident. Le précité a également conclu avec l'assureur des assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale, à savoir une assurance pour les traitements à l'étranger, la médecine empirique et les médicaments, appelée R._, une assurance couvrant les check-up médicaux, les vaccinations et les mesures de prévention de la santé, dénommée S._, et une assurance d'hospitalisation couvrant, en complément à l'assurance obligatoire des soins, notamment les coûts en division commune dans des établissements hospitaliers de Suisse avec des tarifs reconnus, appelée T._ (<ref-law>).
Le 22 août 2009, Z._ a été hospitalisé à l'Hôpital A._ pour une fracture du fémur gauche traitée par prothèse totale de hanche. De nombreuses complications sont survenues à la suite de l'intervention chirurgicale. Du 18 septembre 2009 au 8 février 2010, l'assuré a été hospitalisé dans le service de médecine interne de réhabilitation de l'Hôpital B._, à ..., puis du 9 février 2010 au 1er novembre 2010 dans le département de réhabilitation et gériatrie de l'Hôpital C._, à ..., pour rééducation à la marche (<ref-law>).
Considérant que l'état de santé de Z._ ne nécessitait plus de suivi quotidien dans un établissement hospitalier au-delà du 8 mars 2010, un établissement médico-social étant désormais plus adapté, X._, par décision du 4 juin 2010, confirmée sur opposition le 15 octobre 2010, a notifié à l'assuré que les prestations versées au titre de l'assurance obligatoire des soins seraient limitées dès le 9 mars 2010 à 70 fr. par jour, tarif applicable aux patients en attente de placement (<ref-law>).
Par un acte du 17 novembre 2010 intitulé « Recours et demande en paiement » qu'il a adressé à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève, Z._ a tout à la fois recouru contre la décision sur opposition prise par X._ le 15 octobre 2010 (cause dite LAMal) et formé à l'encontre de l'assureur une « demande en paiement en matière d'assurances complémentaires » portant sur 49'200 fr. plus intérêts à 5% dès le 1er juin 2010 (200 fr. par jour du 9 février 2010 au 1er novembre 2010) ainsi que sur 450 fr. avec intérêts à 5% dès le 9 février 2010 (15 fr. par jour durant 30 jours) (cause dite LCA). Z._ a expliqué que, dans la mesure où les prestations qu'il réclamait pour hospitalisation en service de soins continus ne seraient pas prises en charge au titre de l'assurance obligatoire des soins, X._ en serait redevable au titre de l'assurance complémentaire T._, qui relève de la loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1).
Par réponse du 17 décembre 2010, X._ a conclu au rejet de la demande en paiement de Z._ en tant qu'elle était recevable.
Par ordonnance du 30 mars 2011, la Chambre des assurances sociales, avec l'accord des parties, a suspendu la procédure en paiement (cause LCA) jusqu'à droit jugé dans la cause LAMal. Cette ordonnance de suspension a été renouvelée le 10 avril 2012.
Par arrêt du 7 novembre 2012, la Chambre des assurances sociales, statuant sur la cause LAMal, a admis le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition de X._ du 15 octobre 2010 et prononcé que ce dernier avait « droit à la prise en charge de son traitement hospitalier du 9 mars au 1er novembre 2010 ».
Saisie d'un recours en matière de droit public déposé par X._ contre l'arrêt précité, la IIe Cour de droit social du Tribunal fédéral, par arrêt du 9 mai 2013.
Le 4 juin 2013, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice genevoise a ordonné la reprise de l'instruction de la cause LCA.
Par courrier du 24 juin 2013, le conseil de Z._ a informé la Chambre des assurances sociales que l'Hôpital A._, qui avait ouvert action contre le prénommé pour obtenir le remboursement des coûts générés par son hospitalisation du 9 février au 1er novembre 2010, avaient retiré leur demande après avoir été payés par X._, que la « demande en paiement en matière d'assurances complémentaires du 17 novembre 2010 » avait ainsi perdu son objet, mais « sous réserve des dépens » dont Z._ requérait l'allocation, ce dernier affirmant avoir été contraint d'ouvrir action contre X._ pour obtenir les prestations dues.
La Chambre des assurances sociales ayant remis copie pour information à X._ de l'écriture du 24 juin 2013 susmentionnée, l'assureur a soutenu, dans une écriture du 25 juin 2013, que Z._ « succomberait s'il devait maintenir sa demande au titre de l'assurance complémentaire, puisqu'il a obtenu l'allocation de toutes ses conclusions au titre de l'assurance obligatoire des soins ».
Par arrêt du 17 juillet 2013, la Chambre des assurances sociales, statuant en instance cantonale unique, a déclaré sans objet la demande en paiement du 17 novembre 2010 (1), condamné X._ à verser au demandeur Z._ une indemnité de 4'000 fr. à titre de dépens, « TVA et débours inclus » (2) et dit que la procédure était gratuite (3).
B.
X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 17 juillet 2013 en tant qu'il a statué sur les dépens. L'assureur conclut principalement à ce que le chiffre 2 du dispositif de cet arrêt soit annulé, subsidiairement à ce que, après annulation du chiffre 2 dudit dispositif, la cause soit retournée à la Chambre des assurances sociales pour qu'elle se prononce à nouveau selon les considérants que rendra le Tribunal fédéral.
L'intimé propose le rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.
La Chambre des assurances sociales a envoyé des déterminations par lesquelles elle a reconnu que le Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (CPC; RS 272) ne s'appliquait pas à la procédure dès lors que celle-ci avait été ouverte en 2010 et que le droit aux dépens devait s'examiner au regard des anciennes dispositions du droit cantonal genevois. Elle a ajouté que dans la mesure où la recourante soutenait n'avoir en réalité versé aucune prestation au titre de la LCA, « ce point devrait être pris en compte, le cas échéant, dans la fixation des dépens ».

Considérant en droit:
1.
1.1. Les assurances complémentaires au sens de l'art. 12 al. 2 de la loi fédérale du 18 mars 1994 sur l'assurance-maladie (LAMal; RS 832.10) relèvent, en vertu de l'<ref-law>, de la LCA, de sorte qu'elles donnent lieu à une contestation civile (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 441 s.). La voie de recours ouverte contre la décision attaquée est donc bien celle du recours en matière civile.
Selon l'<ref-law>, les cantons peuvent instituer un tribunal qui statue en tant qu'instance cantonale unique sur les litiges portant sur les assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale. Le canton de Genève a fait usage de cette faculté en prévoyant, à l'art. 134 al. 1 let. c de la loi genevoise du 26 septembre 2010 sur l'organisation judiciaire (LOJ; RSG E 2 05), que la Chambre des assurances sociales connaît en instance cantonale unique des contestations relatives aux assurances complémentaires à l'assurance-maladie obligatoire.
Avec l'entrée en vigueur du CPC, l'art. 74 al. 2 let. b et l'<ref-law> ont été modifiés en ce sens que la formule " une loi fédérale prescrit une instance cantonale unique" a été remplacée par la phrase "une loi fédérale prévoit une instance cantonale unique". Se référant aux travaux préparatoires, la jurisprudence a admis que cette modification législative avait pour but d'englober non seulement les cas pour lesquels le droit fédéral impose une instance cantonale unique, mais aussi ceux pour lesquels il permet au droit cantonal de prévoir une instance cantonale unique (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 800). Comme on l'a vu, le canton de Genève a usé de cette faculté. Il résulte donc de l'<ref-law> que l'on se trouve en présence d'un cas où, selon la nouvelle formulation de la LTF, une loi fédérale prévoit une instance cantonale unique. En conséquence, la cour cantonale a valablement statué en instance unique (<ref-law>) et le recours est recevable sans égard à la valeur litigieuse (<ref-law>).
1.2. Interjeté par la partie que la décision attaquée touche dans ses intérêts financiers (<ref-law>), dirigé contre un jugement final sur la question des dépens, le recours est en principe recevable puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.3. Le recours en matière civile est ouvert pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (<ref-law>). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 336) et apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 584). Le Tribunal fédéral n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 in fine p. 400/401).
1.4. Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (<ref-law>). La juridiction fédérale peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62), ou établies en violation du droit comme l'entend l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
2.
Dans l'arrêt déféré, la cour cantonale a considéré que la recourante s'était acquittée des prestations dues à l'intimé au titre de l'assurance obligatoire des soins, de sorte que la demande en paiement que celui-ci avait formée contre l'assureur avait perdu son objet. Retenant apparemment que l'intimé avait dû déposer la demande en paiement du 17 novembre 2010 pour obtenir versement par son adverse partie des prestations en question, l'autorité cantonale a fait application de l'<ref-law> et condamné l'assureur à verser à l'intimé une indemnité de dépens fixée à 4'000 fr., TVA et débours inclus.
3.
3.1. La recourante invoque tout d'abord la violation des art. 95, 96 et 404 al. 1 CPC. Elle fait valoir que la procédure qui a abouti à l'arrêt querellé était pendante lors de l'entrée en vigueur du CPC le 1er janvier 2011, si bien qu'elle restait soumise à l'ancien droit de procédure jusqu'à la clôture de l'instance par l'arrêt cantonal. La fixation des dépens relevait ainsi entièrement de l'ancienne loi genevoise de procédure civile, et non du droit fédéral, singulièrement du CPC.
La recourante prétend encore que c'est à tort que la cour cantonale a admis que l'intimé avait obtenu gain de cause dans la cause LCA initiée par la demande en paiement du 17 novembre 2010. Elle déclare n'avoir versé aucune prestation au titre de la LCA suite à l'arrêt rendu le 9 mai 2013 par la IIe Cour de droit social du Tribunal fédéral. De toute manière, poursuit-elle, si la juridiction fédérale n'avait pas jugé nécessaire et appropriée l'hospitalisation de l'intimé pour la période postérieure au 8 mars 2010, l'assurance complémentaire T._ n'aurait pu couvrir les prestations que l'intimé réclamait au titre de la LCA, car cette assurance complémentaire n'intervient qu'en complément de la LAMal, mais non si les prestations sont refusées au titre de la LAMal.
3.2. D'après l'<ref-law>, les procédures en cours à l'entrée en vigueur du CPC sont régies par l'ancien droit de procédure jusqu'à la clôture de l'instance.
En l'espèce, la demande en paiement a été introduite devant la Chambre des assurances sociales le 17 novembre 2010 avant l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2011, du Code de procédure civile unifié. Cette procédure demeure donc soumise à l'ancien droit de procédure jusqu'au jugement final par la Chambre des assurances sociales (cf. <ref-ruling> consid. 2.6.1; <ref-ruling> consid. 2.1). Il suit de là que la fixation des dépens dans le cadre de cette instance ne relevait nullement du droit fédéral, mais bien de l'ancien droit cantonal genevois.
La cour cantonale, en réglant le sort des dépens de cette procédure par application de l'<ref-law>, a rendu une décision qui n'est pas conforme au droit. Elle devra statuer sur les dépens conformément à l'ancien droit de procédure du canton de Genève.
Le droit genevois avait repris le principe de base de la procédure civile, selon lequel les frais et dépens sont répartis d'après le sort des conclusions (Erfolgsprinzip) (cf. <ref-ruling> consid. 6b p. 2; arrêts 4A_338/2013 du 2 décembre 2013 consid. 2.3 et 4A_518/2012 du 8 janvier 2013 consid. 3.1; BERNARD BERTOSSA ET AL., Commentaire de la loi de procédure civile genevoise, n° 6 ad art. 176 aLPC/GE).
Il appartiendra en conséquence à la cour cantonale de déterminer si la recourante a versé à l'intimé des prestations au titre de la LCA. S'il se révélait que tel n'était pas le cas, la recourante ne pourrait être considérée comme la partie ayant succombé dans le procès en paiement ouvert par l'intimé le 17 novembre 2010.
Il incombera également à la Chambre des assurances sociales d'arrêter les frais de la procédure au regard de l'ancien droit cantonal, puisque l'art. 114 let. e CPC, auquel elle s'est référée, n'est pas applicable.
Le recours en matière civile devra être partiellement admis, les chiffres 2 et 3 du dispositif de l'arrêt attaqué seront annulés et la cause sera retournée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens dans le sens des considérants. Les chiffres 1 et 4 dudit dispositif seront maintenus.
Vu la solution adoptée, on peut se dispenser d'examiner le grief de la recourante reposant sur une prétendue violation de son droit d'être entendue.
4.
Les frais de la procédure fédérale seront mis à la charge de l'intimé.
Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à la recourante, puisqu'elle n'a pas recouru aux services d'un avocat et n'a pas invoqué de dépenses particulières (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 27 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet