Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Das Baudepartement des Kantons Basel-Stadt schrieb am 30. April 1999 die Lieferung von jährlich rund 1'600 Staatssärgen für drei Jahre ab dem 1. Januar 2000 öffentlich aus. Am 26. Oktober 1999 schlug es 1'400 Särge zum Stückpreis von Fr. 146.-- der Bestattungen B._ AG, Basel, und 200 Särge zum Stückpreis von Fr. 160.-- der X._ AG, Beromünster, zu.
A. Das Baudepartement des Kantons Basel-Stadt schrieb am 30. April 1999 die Lieferung von jährlich rund 1'600 Staatssärgen für drei Jahre ab dem 1. Januar 2000 öffentlich aus. Am 26. Oktober 1999 schlug es 1'400 Särge zum Stückpreis von Fr. 146.-- der Bestattungen B._ AG, Basel, und 200 Särge zum Stückpreis von Fr. 160.-- der X._ AG, Beromünster, zu.
B. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) hiess am 9. Mai 2001 einen Rekurs der X._ AG gegen diesen Vergabeentscheid insofern gut, als es feststellte, dass der Zuschlag des Baudepartements rechtswidrig erfolgt sei. Es verpflichtete die Bestattungen B._ AG, die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- zu tragen und der X._ AG eine pauschale Parteientschädigung von Fr. 4'500.-- auszurichten.
B. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) hiess am 9. Mai 2001 einen Rekurs der X._ AG gegen diesen Vergabeentscheid insofern gut, als es feststellte, dass der Zuschlag des Baudepartements rechtswidrig erfolgt sei. Es verpflichtete die Bestattungen B._ AG, die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- zu tragen und der X._ AG eine pauschale Parteientschädigung von Fr. 4'500.-- auszurichten.
C. Die Bestattungen B._ AG hat hiergegen am 27. August 2001 staatsrechtliche Beschwerde eingereicht. Die X._ AG beantragt, auf diese nicht einzutreten, eventuell sie abzuweisen. Das Baudepartement des Kantons Basel-Stadt schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. Das Appellationsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
C. Die Bestattungen B._ AG hat hiergegen am 27. August 2001 staatsrechtliche Beschwerde eingereicht. Die X._ AG beantragt, auf diese nicht einzutreten, eventuell sie abzuweisen. Das Baudepartement des Kantons Basel-Stadt schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. Das Appellationsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
D.
Mit Verfügung vom 14. November 2001 hat der Abteilungspräsident das mit der Beschwerde verbundene Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Die Beschwerdeführerin beantragt, das Verfahren mit dem Paralleldossier 2P.214/2001 zu vereinigen. Nachdem zwei separate Entscheide mit je unterschiedlichen Beschwerdegegnerinnen angefochten sind, rechtfertigt sich dies indessen nicht.
1. Die Beschwerdeführerin beantragt, das Verfahren mit dem Paralleldossier 2P.214/2001 zu vereinigen. Nachdem zwei separate Entscheide mit je unterschiedlichen Beschwerdegegnerinnen angefochten sind, rechtfertigt sich dies indessen nicht.
2. Nach neuerer Rechtsprechung sind Entscheide über die Vergabe öffentlicher Arbeiten Hoheitsakte, die mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten werden können (<ref-ruling> E. 2 - 4 S. 92 ff.). Das Appellationsgericht hat festgestellt, dass der Zuschlag an die Beschwerdeführerin rechtswidrig erfolgt ist; es hob diesen indessen nicht auf, da der Vertrag mit ihr am 29./31. Dezember 1999 bereits abgeschlossen worden war. Es fragt sich unter diesen Umständen, wieweit die Beschwerdeführerin noch über ein aktuelles praktisches Interesse an ihrer Eingabe verfügt (Art. 88 OG).
2. Nach neuerer Rechtsprechung sind Entscheide über die Vergabe öffentlicher Arbeiten Hoheitsakte, die mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten werden können (<ref-ruling> E. 2 - 4 S. 92 ff.). Das Appellationsgericht hat festgestellt, dass der Zuschlag an die Beschwerdeführerin rechtswidrig erfolgt ist; es hob diesen indessen nicht auf, da der Vertrag mit ihr am 29./31. Dezember 1999 bereits abgeschlossen worden war. Es fragt sich unter diesen Umständen, wieweit die Beschwerdeführerin noch über ein aktuelles praktisches Interesse an ihrer Eingabe verfügt (Art. 88 OG).
3. 3.1 Das Gesetz vom 20. Mai 1999 über öffentliche Beschaffungen des Kantons Basel-Stadt (Beschaffungsgesetz) bestimmt, dass das Verwaltungsgericht auf Rekurs hin die Aufhebung des Zuschlags beschliessen kann, wenn der Vertrag noch nicht abgeschlossen worden ist (§ 30 Abs. 4 des Beschaffungsgesetzes). Ist dies bereits geschehen und erweist sich der Rekurs als begründet, stellt es die Rechtswidrigkeit des Entscheids fest; der Vertrag als solcher wird dadurch nicht berührt (vgl. § 30 Abs. 3 des Beschaffungsgesetzes). Der Auftraggeber haftet in diesem Fall für den Schaden, den er durch die Verfügung verursacht hat, wobei sich seine Verantwortlichkeit auf die Aufwendungen beschränkt, die dem Anbieter im Zusammenhang mit dem Vergabe- und Rechtsmittelverfahren erwachsen sind (§ 33 Abs. 1 und 2 des Beschaffungsgesetzes).
3.2 Zwar steht dem übergangenen Bewerber die staatsrechtliche Beschwerde gegen den Vergabeentscheid selbst dann offen, wenn mit dem Konkurrenten der Vertrag bereits abgeschlossen worden ist, da er aufgrund der Sonderregel in Art. 9 Abs. 3 des Binnenmarktgesetzes (SR 943.02) wegen des Schadenersatzanspruchs weiterhin über ein aktuelles praktisches Interesse an der Überprüfung des umstrittenen Zuschlags verfügt (vgl. <ref-ruling> E. 5b S. 97 f.; Urteil vom 2. März 2000, E. 1c, in: Pra 2000 Nr. 134 S. 796)). Anders verhält es sich jedoch beim Submittenten, mit dem der Vertrag abgeschlossen wurde, sofern sich die Feststellung der Rechtswidrigkeit des Zuschlags - wie hier (vgl. § 30 Abs. 3 des Beschaffungsgesetzes) - auf seine Rechtsstellung überhaupt nicht mehr auswirken kann. Eine allfällige Gutheissung der staatsrechtlichen Beschwerde ist für ihn in diesem Fall mit keinem praktischen Nutzen verbunden, und es fehlt ihm deshalb das nach Art. 88 OG erforderliche schutzwürdige Interesse zur Ergreifung dieses Rechtsmittels.
3.3 Ist ein Beschwerdeführer zur Anfechtung in der Sache selber nicht legitimiert, kann er dennoch gegen den Kostenentscheid staatsrechtliche Beschwerde führen, da er durch diesen persönlich und unmittelbar in seinen Interessen betroffen wird (<ref-ruling> E. 1b S. 255; <ref-ruling>; <ref-ruling>). Dies führt aber nicht dazu, dass der Sachentscheid trotz fehlender Legitimation - wenn nicht direkt, so doch indirekt - umfassend geprüft würde. Der Betroffene ist in diesem Fall nur befugt, geltend zu machen, der Kostenspruch sei aus Gründen verfassungswidrig, die mit dem Entscheid in der Hauptsache in keinem unmittelbaren Zusammenhang stehen (BGE <ref-ruling> S. 91; <ref-ruling> E. 4 S. 299). Die Beschwerdeführerin erhebt vorliegend insofern keine rechtsgenüglich begründeten Rügen (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG): Wohl erachtet sie es als willkürlich, dass ihr die Kosten auferlegt wurden, obschon sie im kantonalen Verfahren nur beigeladen gewesen sei; zudem beanstandet sie die Höhe der Gerichtsgebühr und der Parteientschädigung als solche. Sie legt jedoch nicht dar, welche Rechtsnorm das Appellationsgericht in diesem Zusammenhang inwiefern qualifiziert unrichtig angewandt bzw. nicht angewandt haben und warum der Kostenentscheid offensichtlich unhaltbar sein soll (vgl. <ref-ruling> E. 5b S. 264; <ref-ruling> E. 2a S. 3/4); dieser ist deshalb nicht auf seine Verfassungsmässigkeit hin zu prüfen. Das mag für die Beschwerdeführerin zwar hart erscheinen, doch bestand für sie letztlich kein zwingender Anlass, sich am 23. März 2000 im Verfahren vor dem Appellationsgericht durch eigene Anträge noch einer allfälligen Kostenfolge auszusetzen, nachdem der Instruktionsrichter die Gewährung der aufschiebenden Wirkung am 26. November 1999 verweigert hatte und gestützt hierauf der Vertrag mit ihr bereits am 29./ 31. Dezember 1999 abgeschlossen worden war.
3.3 Ist ein Beschwerdeführer zur Anfechtung in der Sache selber nicht legitimiert, kann er dennoch gegen den Kostenentscheid staatsrechtliche Beschwerde führen, da er durch diesen persönlich und unmittelbar in seinen Interessen betroffen wird (<ref-ruling> E. 1b S. 255; <ref-ruling>; <ref-ruling>). Dies führt aber nicht dazu, dass der Sachentscheid trotz fehlender Legitimation - wenn nicht direkt, so doch indirekt - umfassend geprüft würde. Der Betroffene ist in diesem Fall nur befugt, geltend zu machen, der Kostenspruch sei aus Gründen verfassungswidrig, die mit dem Entscheid in der Hauptsache in keinem unmittelbaren Zusammenhang stehen (BGE <ref-ruling> S. 91; <ref-ruling> E. 4 S. 299). Die Beschwerdeführerin erhebt vorliegend insofern keine rechtsgenüglich begründeten Rügen (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG): Wohl erachtet sie es als willkürlich, dass ihr die Kosten auferlegt wurden, obschon sie im kantonalen Verfahren nur beigeladen gewesen sei; zudem beanstandet sie die Höhe der Gerichtsgebühr und der Parteientschädigung als solche. Sie legt jedoch nicht dar, welche Rechtsnorm das Appellationsgericht in diesem Zusammenhang inwiefern qualifiziert unrichtig angewandt bzw. nicht angewandt haben und warum der Kostenentscheid offensichtlich unhaltbar sein soll (vgl. <ref-ruling> E. 5b S. 264; <ref-ruling> E. 2a S. 3/4); dieser ist deshalb nicht auf seine Verfassungsmässigkeit hin zu prüfen. Das mag für die Beschwerdeführerin zwar hart erscheinen, doch bestand für sie letztlich kein zwingender Anlass, sich am 23. März 2000 im Verfahren vor dem Appellationsgericht durch eigene Anträge noch einer allfälligen Kostenfolge auszusetzen, nachdem der Instruktionsrichter die Gewährung der aufschiebenden Wirkung am 26. November 1999 verweigert hatte und gestützt hierauf der Vertrag mit ihr bereits am 29./ 31. Dezember 1999 abgeschlossen worden war.
4. 4.1 Damit ist in der Sache mangels Legitimation (Art. 88 OG) und im Kostenpunkt mangels rechtsgenügender Beschwerdebegründung (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG) auf die Eingabe nicht einzutreten.
4.2 Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG); sie hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren zudem angemessen zu entschädigen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Baudepartement des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Januar 2002
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts:
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: