Faits:
A.
A.a. M. B.X._, né en 1971, et Mme A.X._, née en 1972, tous deux de nationalité suisse, se sont mariés à Vevey le 15 décembre 2001. Deux enfants sont issus de cette union: C._, né en 2003 et D._, née en 2005.
Par prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale du 22 décembre 2006, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a notamment autorisé les conjoints à vivre séparés et confié la garde de leurs enfants à la mère.
Depuis lors, les époux ont signé plusieurs conventions réglant notamment la question du droit de visite, conventions qui ont été approuvées judiciairement. En outre, une mesure de curatelle à forme de l'<ref-law> a été instaurée en faveur des enfants le 10 août 2007 et le Service de protection de la jeunesse (SPJ) désigné en qualité de curateur.
Le 4 octobre 2007, une expertise pédopsychiatrique a été mise en oeuvre et confiée au Dr E._ avec pour mission de faire toute proposition utile relative à l'attribution de la garde des enfants et à l'exercice des relations personnelles. Le 7 novembre 2007, ce médecin a rendu un préavis recommandant de retirer la garde à la mère et de la confier au SPJ, à charge pour ce service d'organiser un placement des enfants.
A.b. Par prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale du 22 novembre 2007, la Présidente du Tribunal, considérant en substance que le placement des enfants s'imposait pour les protéger du conflit conjugal, particulièrement destructeur, a retiré avec effet immédiat le droit de garde sur les deux enfants à la mère, confié leur garde au SPJ, à charge pour ce service de les placer ensemble dans un lieu protégé et approprié, et délégué, dans un premier temps, au SPJ la mission d'organiser le droit de visite de chaque parent sur les enfants, dans le lieu et selon les modalités les plus appropriés.
Les enfants ont été placés dans un foyer le 26 décembre 2007 puis, dès le mois d'août 2011, dans un autre, en raison de l'âge de l'aîné.
A la suite du prononcé du 22 novembre 2007, l'épouse a déposé de nombreuses requêtes visant à ce que le droit de garde sur les enfants lui soit attribué ou concernant l'exercice de son droit de visite. Le mari a également sollicité la mise en place de diverses mesures provisoires. Ces requêtes ont donné lieu à la notification de plusieurs décisions judiciaires.
B.
Par jugement du 28 février 2013, le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a, notamment, prononcé le divorce des époux, attribué l'autorité parentale sur l'aîné au père et celle sur la cadette à la mère, confié la garde des deux enfants au SPJ, avec entre autres missions de décider de leur lieu de vie et d'organiser le droit de visite de chacun des parents, enfin, transmis le jugement à l'autorité de protection de l'enfant compétente pour assurer le suivi de la mesure de retrait du droit de garde.
Par arrêt du 8 mai 2013, notifié en expédition complète le 16 juillet 2013, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté les appels interjetés par chacune des parties et confirmé le jugement de première instance.
C.
Par acte du 11 septembre 2013, l'épouse exerce un recours en matière civile contre l'arrêt précité. Elle conclut, principalement, à ce que l'autorité parentale et la garde des enfants lui soient confiées, aucune mesure de retrait du droit de garde n'étant prononcée. Subsidiairement, elle demande l'attribution de l'autorité parentale et de la garde.
La recourante sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des observations n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1.
1.1. L'arrêt entrepris est une décision finale (<ref-law>), rendue en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale supérieure statuant sur recours (<ref-law>) dans une contestation non pécuniaire. La recourante, qui a qualité pour recourir (<ref-law>), a agi dans le délai prévu par la loi (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
1.2. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.1). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si de tels griefs ont été invoqués et motivés par le recourant («principe d'allégation», <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 3.2), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
1.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par la juridiction précédente (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La partie recourante qui soutient que les faits ont été constatés d'une manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF <ref-ruling> consid. 1.2.2), doit satisfaire au principe d'allégation (<ref-law>) susmentionné.
2.
La recourante se plaint d'une violation de l'<ref-law> au motif que seule l'autorité parentale sur la cadette lui a été attribuée, celle sur l'aîné ayant été confiée au père. Elle estime que cette solution n'est pas conforme à l'intérêt des enfants.
2.1. Selon l'<ref-law>, lorsqu'il attribue l'autorité parentale et règle les relations personnelles, le juge tient compte de toutes les circonstances importantes pour le bien de l'enfant; il prend en considération une éventuelle requête commune des parents et, autant que possible, l'avis de l'enfant. Le principe fondamental en ce domaine est l'intérêt de l'enfant, celui des parents étant relégué à l'arrière-plan (<ref-ruling> consid. 5.3; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 4a et 317 consid. 2).
L'autorité cantonale, qui connaît le mieux les parties et le milieu dans lequel vit l'enfant, dispose à cet égard d'un large pouvoir d'appréciation (<ref-law>); le Tribunal fédéral n'intervient que lorsqu'elle a écarté, sans aucun motif, des critères essentiels pour la décision relative à l'attribution de l'enfant ou, à l'inverse, lorsqu'elle s'est fondée sur des éléments dépourvus d'importance au regard du bien de l'enfant ou qui contreviennent aux principes du droit fédéral. Il sanctionne en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une inéquité choquante (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 5.4; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 3).
2.2. En ce qui concerne l'attribution de l'autorité parentale, la cour cantonale a considéré que les arguments développés par les premiers juges, sur la base des constatations de l'expert F._, apparaissaient pertinents. En effet, seule une parfaite égalité entre les parents était de nature à maintenir le fragile équilibre familial qui s'était instauré, alors qu'une asymétrie serait susceptible de provoquer un renouvellement de leur conflit au détriment des enfants, ce qu'il y avait précisément lieu d'éviter. La solution des premiers juges, consistant à attribuer l'autorité parentale sur le fils au père et celle sur la fille à la mère se révélait ainsi adéquate et devait être confirmée par adoption de motifs. De plus, contrairement à ce que soutenait la mère, un partage de l'autorité parentale ne conduisait pas inéluctablement à une séparation des enfants puisqu'il ne valait qu'aussi longtemps que la garde serait attribuée au SPJ, soit durant la période pendant laquelle les enfants seraient placés ensemble en foyer.
Ce faisant, les juges précédents n'ont pas mésusé du large pouvoir d'appréciation dont ils disposaient. Selon la recourante, on ne voit pas en quoi l'instauration d'une «égalité» entre les parents contribuera au bien-être des enfants qui se trouveront séparés contre leur gré, dès lors que le placement est destiné à prendre fin à court terme; partant, la solution adoptée par l'autorité cantonale contraindra les parents à ouvrir action en modification du jugement de divorce à brève échéance et, les tribunaux étant peu enclins à modifier la situation des enfants, on peut redouter que la séparation d'aujourd'hui devienne définitive. Ces arguments n'apparaissent pas convaincants. Il résulte en effet du jugement de première instance, auquel l'autorité cantonale se réfère, que le Dr F._, dans son rapport du 30 mai 2012 comme dans son témoignage à l'audience du 27 juin 2012, a insisté à plusieurs reprises sur le fait qu'une asymétrie des droits des père et mère sur leurs enfants ne pouvait qu'alimenter le conflit parental, donc être préjudiciable aux enfants, et que l'égalité des droits des parents constituait une condition pour permettre une évolution positive de ceux-ci. La recourante le conteste, sans toutefois démontrer que les juges précédents auraient arbitrairement apprécié les preuves en se fondant sur l'avis dudit expert. Quant à ses critiques relatives à une éventuelle séparation des enfants, elles ne sont pas non plus fondées, dès lors que le droit de garde a été retiré aux parents et confié au SPJ et que les enfants ont été placés dans le même foyer. A cet égard, il importe peu que les père et mère doivent intenter une éventuelle action en modification du jugement de divorce en cas d'évolution de la situation, notamment si la mesure de retrait du droit de garde devait être levée.
3.
L'autorité cantonale aurait aussi, à la suite d'une constatation arbitraire des faits, violé l'<ref-law> en confirmant la mesure de retrait du droit de garde au lieu d'attribuer celui-ci à la recourante.
3.1. Selon l'<ref-law>, lorsqu'elle ne peut éviter autrement que le développement de l'enfant ne soit compromis, l'autorité retire l'enfant aux père et mère ou aux tiers chez qui il se trouve et le place de façon appropriée. Dès lors que l'application des <ref-law> suppose une pesée d'intérêts de la part des autorités cantonales, le Tribunal fédéral fait preuve de retenue en revoyant leurs décisions (<ref-ruling> consid. 5b). Le danger doit être tel qu'il soit impossible de le prévenir par les mesures moins énergiques prévues aux art. 307 et 308 CC; sa cause doit résider dans le fait que le développement corporel, intellectuel ou moral de l'enfant n'est pas assez protégé ou encouragé dans le milieu de ses père et mère ou dans le milieu où ceux-ci l'ont placé (arrêts 5A_729/2013 du 11 décembre 2013 consid. 4.1; 5A_835/2008 du 12 février 2009 consid. 4.1 avec les références).
Dans l'application de l'<ref-law>, comme pour toute norme qui accorde au juge un large pouvoir d'appréciation, le Tribunal fédéral n'intervient que si la décision attaquée s'écarte des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, autrement dit si elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle ou, à l'inverse, si elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération (cf. supra, consid. 2.1).
3.2. En l'espèce, l'autorité cantonale a estimé qu'il n'était pas établi que le conflit entre les parents ne serait désormais plus susceptible de perturber gravement l'éducation des enfants. Si l'autorité de première instance avait certes relevé une amélioration dans le comportement des parents, celle-ci ne suffisait pas à exclure tout danger pour les enfants. En particulier, le fait que la mère eût présenté en audience, sans toutefois les produire, des dessins de sa fille censés établir des atteintes d'ordre sexuel par le père, alors même que celui-ci avait été libéré pénalement et que la mère avait échappé de justesse à une condamnation pour diffamation, montrait que cette dernière était loin d'avoir achevé le processus d'atténuation du conflit avec le père, processus dont l'expert avait déclaré qu'il devait être conduit dans le cadre du placement en foyer des enfants. Pour les juges précédents, on ne pouvait, dans ces conditions, prendre le risque qu'une restitution de la garde et les difficultés liées à l'exercice du droit de visite ne compromettent à nouveau gravement la situation des enfants. Sur ce point également, le raisonnement tenu en première instance devait être confirmé par adoption de motifs.
La recourante soutient que les conditions strictes posées au retrait du droit de garde ne sont plus réalisées. A l'appui de cette affirmation, elle se réfère aux rapports des Drs G._ et F._, qui confirment qu'un changement positif est intervenu chez chacun des parents, et sur les déclarations de l'intervenante auprès du foyer où sont placés les enfants, déclarations selon lesquelles la relation parents-enfants est bonne. Selon la recourante, une mesure moins contraignante, tel qu'un travail ambulatoire, serait possible, comme l'a observé le directeur du foyer. La garde devrait par conséquent lui être octroyée, ce même directeur ayant clairement déclaré n'avoir jamais entendu ou entendu dire qu'elle discréditait le père, alors que le contraire était vrai. A propos des dessins de sa fille, dont elle a fait état à l'audience, elle affirme qu'il serait manifestement inexact de les mettre en relation avec l'ancienne affaire pénale de dénonciation du père, laquelle aurait été induite par d'autres faits. La cour cantonale ne pouvait donc en déduire qu'elle n'avait pas modifié son comportement à l'égard de son mari.
Les allégations de la recourante concernant les dessins de sa fille sont toutefois appellatoires (<ref-law>), de sorte que l'opinion de la Cour d'appel selon laquelle, en dépit d'une certaine amélioration, le processus d'apaisement du conflit entre les parents est loin d'être achevé, n'apparaît pas insoutenable (art. 9 Cst.). Ce d'autant qu'il résulte de la motivation du jugement de première instance, fondée sur le rapport de l'expert F._ et à laquelle l'autorité cantonale se réfère, que la situation reste encore fragile, de sorte qu'il convient de laisser le temps aux enfants de continuer leur travail de reconstruction psychique au sein du foyer. Partant, les juges précédents n'ont pas violé le droit fédéral, ni abusé de leur pouvoir d'appréciation, en estimant qu'en l'état, le maintien du retrait du droit de garde et du placement des enfants était opportun.
4.
En conclusion, le recours se révèle mal fondé et doit donc être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Vu cette issue - prévisible - de la procédure, la requête d'assistance judiciaire de la recourante ne saurait être admise (<ref-law>). Les frais judiciaires seront dès lors supportés par celle-ci (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens, des observations n'ayant pas été requises.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 30 janvier 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Mairot