Sachverhalt:
A.
A.a. Die X._ GmbH mit Sitz in Y._ (Beschwerdeführerin) wurde am 8. Oktober 2003 in das Handelsregister eingetragen. Sie bezweckt den Import, Vertrieb und Verkauf von Weinen und anderen Spezialitäten vorwiegend aus Sizilien.
Die Gesellschaft verfügte seit ihrer Gründung im Jahr 2003 nie über eine Revisionsstelle.
A.b. Mit Eingabe vom 22. Januar 2011 meldete die Beschwerdeführerin unter Beifügung von Belegen die Eintragung des Verzichts auf eine eingeschränkte Revision ( Opting-out ) beim Handelsregisteramt des Kantons Aargau (Beschwerdegegner) an.
Mit Schreiben vom 26. Januar 2011 bestätigte das Handelsregisteramt den Eingang der Anmeldung und forderte von der Beschwerdeführerin nebst den bereits eingereichten Beilagen zusätzlich den Prüfungsbericht eines zugelassenen Revisors für den Jahresabschluss 2009 nach.
Mit Eingabe vom 2. Juli 2011 meldete die Beschwerdeführerin den Eintrag von A._ als Vorsitzende der Geschäftsführung an und erneuerte gleichzeitig die Anmeldung des Opting-outs. Sie stellte sich dabei auf den Standpunkt, dass für die Eintragung des Opting-outs kein Prüfungsbericht eines zugelassenen Revisors benötigt werde.
Mit Schreiben vom 22. November 2011 forderte das Handelsregisteramt die Beschwerdeführerin erneut auf, den Prüfungsbericht eines zugelassenen Revisors für den Jahresabschluss 2009 beizubringen.
B.
B.a. Mit Verfügung vom 17. September 2012 verweigerte das Handelsregisteramt sowohl den Eintrag des Opting-outs als auch den Eintrag von A._ als Vorsitzende der Geschäftsführung.
Zur Begründung führte es aus, das Opting-out gelte in zeitlicher Hinsicht ab dem Zeitpunkt seiner Erklärung. Da Art. 7 der Übergangsbestimmungen der Änderung des OR vom 16. Dezember 2005 verlange, dass die Bestimmungen zur Revisionsstelle vom ersten Geschäftsjahr an gelten, das mit dem Inkrafttreten dieses Gesetzes oder danach beginne, sei die Jahresrechnung 2009 der Beschwerdeführerin durch eine zugelassene Revisionsstelle zu prüfen. Das Handelsregisteramt führte weiter aus, es verzichte zugunsten der Beschwerdeführerin auf die Prüfung der Jahresrechnung 2008, da die Jahresrechnung von Gesetzes wegen die Vorjahreszahlen (vorliegend 2008) beinhalten müsse. Bezüglich der Eintragung von A._ als Vorsitzende der Geschäftsführung hielt das Handelsregisteramt fest, die Gesellschaft habe mit Eingabe vom 2. Juli 2011 die Vorsitzende der Geschäftsführung zusammen mit dem (nicht eintragungsfähigen) Opting-out angemeldet. Es liege bis heute keine Anmeldung vor, auf welcher alleine nur die unbestrittene Wahl der Vorsitzenden der Geschäftsführung aufgeführt sei.
B.b. Dagegen reichte die Beschwerdeführerin am 20. Oktober 2012 Beschwerde beim Handelsgericht des Kantons Aargau ein mit folgenden Rechtsbegehren:
"1. Die Verfügung des Handelsregisteramtes des Kantons Aargau vom 17. September 2012 sei aufzuheben.
2. Das Handelsregisteramt des Kantons Aargau sei anzuweisen, die am 2. Juli 2011 zur Eintragung angemeldete Vorsitzende der Geschäftsführung im Handelsregister einzutragen.
3. Das Handelsregisteramt des Kantons Aargau sei anzuweisen, den am 22. Januar 2011 zur Eintragung angemeldeten Verzicht auf eine eingeschränkte Revision (opting-out-Anmeldung) im Handelsregister einzutragen."
Mit Urteil vom 20. Februar 2013 wies das Handelsgericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen ficht die Beschwerdeführerin das Urteil des Handelsgerichts an und wiederholt die vor der Vorinstanz gestellten Anträge.
Das Handelsregisteramt und die Vorinstanz beantragen Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die vorliegende Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid über die Führung des Handelsregisters, der gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 2 BGG der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt. Als Vorinstanz hat ein oberes Gericht im Kanton auf ein Rechtsmittel hin letztinstanzlich entschieden (Art. 75 BGG i.V.m. Art. 165 Abs. 2 HRegV). Das angefochtene Urteil schliesst ein Verfahren betreffend die Eintragung diverser Tatsachen im Handelsregister (Verzicht auf eingeschränkte Revision, Eintrag einer Vorsitzenden der Geschäftsführung) ab und ist demnach als Endentscheid zu qualifizieren (Art. 90 BGG). Entgegen den gesetzlichen Vorschriften (Art. 112 Abs. 1 lit. d BGG) finden sich im angefochtenen Urteil keine Angaben zum Streitwert. Mit Blick auf die wirtschaftlichen Auswirkungen der genannten Eintragung kann vorliegend ohne gegenteilige Anhaltspunkte jedoch davon ausgegangen werden, dass der Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 51 Abs. 2 BGG).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Art. 62 i.V.m. Art. 83 HRegV. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz gehöre ein Prüfungsbericht eines zugelassenen Revisors für den Jahresabschluss 2009 nicht zu den Beilagen, welche für die Anmeldung eines Opting-outs im Handelsregister erforderlich sind.
2.1.
2.1.1. Gemäss Art. 818 Abs. 1 i.V.m. Art. 727 Abs. 1 Ziff. 2 müssen Gesellschaften mit beschränkter Haftung ihre Jahresrechnung und gegebenenfalls ihre Konzernrechnung durch eine Revisionsstelle ordentlich prüfen lassen, wenn zwei der nachstehenden Grössen in zwei aufeinander folgenden Geschäftsjahren überschritten werden: a. Bilanzsumme von 20 Millionen Franken; b. Umsatzerlös von 40 Millionen Franken; c. 250 Vollzeitstellen im Jahresdurchschnitt.
Sind die Voraussetzungen für eine ordentliche Revision nicht gegeben, so muss die Gesellschaft ihre Jahresrechnung durch eine Revisionsstelle eingeschränkt prüfen lassen (Art. 727a Abs. 1 OR).
Gemäss Art. 727a Abs. 2 OR kann auf die eingeschränkte Revision mit der Zustimmung sämtlicher Gesellschafter verzichtet werden, wenn die Gesellschaft nicht mehr als zehn Vollzeitstellen im Jahresdurchschnitt hat (sog. Opting-out ). Dieses Opting-out ist gemäss Art. 727a Abs. 5 OR dem Handelsregister anzumelden.
2.1.2. Gemäss Art. 83 HRegV gelten bei einer Gesellschaft mit beschränkter Haftung u.a. für die Revision und für die Revisionsstelle die handelsregisterrechtlichen Bestimmungen über die Aktiengesellschaft sinngemäss. Hierzu gehört Art. 62 HRegV, der unter dem Marginale "Verzicht auf eine eingeschränkte Revision" steht und wie folgt lautet:
1 Aktiengesellschaften, die weder eine ordentliche noch eine eingeschränkte Revision durchführen, müssen dem Handelsregisteramt mit der Anmeldung zur Eintragung des Verzichts eine Erklärung einreichen, dass:
a. die Gesellschaft die Voraussetzungen für die Pflicht zur ordentlichen Revision nicht erfüllt;
b. die Gesellschaft nicht mehr als zehn Vollzeitstellen im Jahresdurchschnitt hat;
c. sämtliche Aktionärinnen und Aktionäre auf eine eingeschränkte Revision verzichtet haben.
2 Diese Erklärung muss von mindestens einem Mitglied des Verwaltungsrats unterzeichnet sein. Kopien der massgeblichen aktuellen Unterlagen wie Erfolgsrechnungen, Bilanzen, Jahresberichte, Verzichtserklärungen der Aktionärinnen und Aktionäre oder das Protokoll der Generalversammlung müssen der Erklärung beigelegt werden. Diese Unterlagen unterstehen nicht der Öffentlichkeit des Handelsregisters nach den Artikeln 10-12 und werden gesondert aufbewahrt.
3 Die Erklärung kann bereits bei der Gründung abgegeben werden.
4 Das Handelsregisteramt kann eine Erneuerung der Erklärung verlangen.
5 Soweit erforderlich, passt der Verwaltungsrat die Statuten an und meldet dem Handelsregisteramt die Löschung oder die Eintragung der Revisionsstelle an.
Vorliegend ist umstritten, ob zu den "massgeblichen aktuellen Unterlagen" i.S. von Art. 62 Abs. 2 Satz 1 HRegV auch der Prüfungsbericht eines zugelassenen Revisors für die als Beleg einzureichende Jahresrechnung gehört.
2.2. Die Vorinstanz führte aus, dass mit Inkrafttreten des neuen GmbH-Rechts per 1. Januar 2008 alle Gesellschaften mit beschränkter Haftung grundsätzlich (eingeschränkt) revisionspflichtig wurden. Ohne entsprechendes Opting-out müssten daher bei GmbHs die Jahresrechnungen der Jahre 2008 und folgende revidiert werden. Daraus schloss die Vorinstanz, dass bei einem Opting-out ab dem Geschäftsjahr 2009 oder später der Nachweis der Revision der vorangehenden Jahresrechnungen ab 2008 notwendig sei. Mit der Anmeldung sei in diesem Fall nebst den weiteren Unterlagen eine von einem zugelassenen Revisor geprüfte Bilanz (mit Vorjahreszahlen) und eine Jahresrechnung 2008 einzureichen. Andernfalls dürfe das Handelsregisteramt davon ausgehen, dass kein gültiges Opting-out beschlossen wurde.
Im vorliegenden Fall habe die Beschwerdeführerin das von der Gesellschafterversammlung beschlossene Opting-out mit Eingabe vom 22. Januar 2011 beim Handelsregister angemeldet, wobei die Anmeldung zugleich den entsprechenden Zirkulationsbeschluss enthalten habe. Der Verzicht auf die Revisionsstelle könne aber frühestens für das Geschäftsjahr 2010 gelten, da die Gesellschaft die Fristen für den Beschluss eines Verzichts für die Geschäftsjahre 2008 und 2009 verpasst habe. Entsprechend sei die Beschwerdeführerin für die Geschäftsjahre 2008 und 2009 revisionspflichtig und müsse der Anmeldung auf einen Verzicht der Revisionsstelle eine von einem zugelassenen Revisor geprüfte Bilanz (mit Vorjahreszahlen) und Jahresrechnung 2009 beilegen. Da die Beschwerdeführerin es unterlassen habe, einen entsprechenden Prüfungsbericht eines zugelassenen Revisors für den Jahresabschluss 2009 beizulegen, habe das Handelsregisteramt die Eintragung des Opting-outs zu Recht verweigert.
2.3.
2.3.1. Die Voraussetzungen eines Opting-outs ergeben sich aus Art. 727 OR i.V.m. Art. 727a Abs. 2 OR und werden in Art. 62 Abs. 1 lit. a - c HRegV wiederholt. Es handelt sich dabei um die folgenden drei Erfordernisse ( PETER/CAVADINI/DUNANT, in: Commentaire romand, 2008, N. 7 zu Art. 727a OR; PETER BÖCKLI, Schweizer Aktienrecht, 4. Aufl. 2009, § 15 N 514 ff.; Botschaft zur Änderung des Obligationenrechts [Revisionspflicht im Gesellschaftsrecht] sowie zum Bundesgesetz über die Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren vom 23. Juni 2004, BBl 2004 3969, S. 4014) :
(1) Nichterfüllen der Voraussetzungen für die Pflicht zur ordentlichen Revision (Art. 62 Abs. 1 lit. a HRegV; Art. 727a Abs. 1 OR);
(2) Nichtüberschreiten von zehn Vollzeitstellen im Jahresdurchschnitt (Art. 62 Abs. 1 lit. b HRegV; Art. 727a Abs. 2 OR);
(3) Verzicht sämtlicher Gesellschafter auf eine eingeschränkte Revision (Art. 62 Abs. 1 lit. c HRegV; Art. 727a Abs. 2 OR);
Aus der intertemporalrechtlichen Vorschrift von Art. 174 HRegV ergibt sich weiter, dass das Opting-out erst ins Handelsregister eingetragen werden darf, wenn ein Mitglied des Verwaltungsrats schriftlich bestätigt, dass die Revisionsstelle die Jahresrechnung für das Geschäftsjahr, welches vor dem Inkrafttreten des neuen Rechts begonnen hat, geprüft hat. Diese Vorschrift bezieht sich indessen nur auf Aktiengesellschaften, Kommanditaktiengesellschaften und Genossenschaften, also Gesellschaftsformen, die bereits unter altem Recht revisionspflichtig waren ( FLORIAN ZIHLER, in: Siffert/Turin [Hrsg.], Stämpflis Handkommentar, Handelsregisterverordnung [HregV], 2013, N. 1 zu Art. 174 HRegV). Für Gesellschaften mit beschränkter Haftung gilt diese Regel nicht.
Das Opting-out kann aufgehoben werden, falls ein Aktionär spätestens zehn Tage vor der Generalversammlung eine eingeschränkte Revision verlangt (Art. 727a Abs. 4 Satz 2 OR; BÖCKLI, a.a.O., § 15 N 518).
2.3.2. Zweck der "massgeblichen aktuellen Unterlagen" i.S. von Art. 62 Abs. 2 Satz 2 HRegV ist der Nachweis der Voraussetzungen eines gültigen Opting-outs ( ZIHLER, a.a.O., N. 16 zu Art. 62 HRegV; WATTER/MAIZAR, in: Basler Kommentar, 4. Aufl. 2012, N. 33 zu Art. 727a OR; vgl. auch Urteil 4A_509/2012 vom 8. März 2013 E. 2.2). Bei der Vorschrift von Art. 62 Abs. 2 Satz 2 HRegV handelt es sich mithin um eine Konkretisierung des in Art. 15 Abs. 2 HRegV verankerten Belegprinzips, wonach die ins Handelsregister einzutragenden Tatsachen zu belegen und die dazu erforderlichen Belege dem Handelsregisteramt einzureichen sind (dazu ZIHLER, a.a.O., N. 6 ff. zu Art. 15 HRegV).
Nach der Rechtsprechung soll mit der Jahresrechnung (bestehend aus Bilanz und Erfolgsrechnung) belegt werden, dass die Gesellschaft die erste Opting-out -Voraussetzung erfüllt, nämlich das Nichterfüllen der Voraussetzungen für die Pflicht zur ordentlichen Revision (Urteil 4A_509/2012 vom 8. März 2013 E. 2.2; vgl. auch WATTER/MAIZAR, a.a.O., N. 33 zu Art. 727a OR).
Um dies zu belegen, genügt freilich eine Jahresrechnung, die den massgeblichen Normen des Rechnungslegungsrechts entspricht. Eines Prüfungsberichts einer Revisionsstelle bedarf es hierzu nicht, obliegt es doch dem Handelsregisteramt, summarisch zu prüfen, ob Struktur und Inhalt der eingereichten Bilanzen und Erfolgsrechnungen ausreichend sind, um die Höhe der Bilanzsumme und des Umsatzerlöses bestimmen zu können ( ZIHLER, a.a.O., N. 17 zu Art. 62 HRegV). Auch für den Nachweis der weiteren beiden Opting-out -Voraussetzungen, also das Nichtüberschreiten von zehn Vollzeitstellen im Jahresdurchschnitt und der Verzicht sämtlicher Gesellschafter auf eine eingeschränkte Revision, bedarf es keines Prüfungsberichtes. Dies steht im Einklang mit der Praxismitteilung des Eidgenössischen Amtes für das Handelsregister vom 2. Juli 2009, S. 3, wonach als Beleg lediglich eine gemäss Art. 961 OR unterzeichnete, nicht aber revidierte Jahresrechnung eingereicht werden muss. Auch in der Lehre wird vertreten, dass die Jahresrechnungen, die als Belege beim Handelsregisteramt eingereicht werden, nicht revidiert sein müssen ( ZIHLER, a.a.O., N. 20 zu Art. 62 HRegV; implizit auch BÖCKLI, a.a.O., § 15 N 676).
2.3.3. Eine andere Lehrmeinung, auf welche die Vorinstanz in E. 3.4 des angefochtenen Entscheids abgestellt hat und die offenbar der Praxis einiger kantonaler Handelsregisterämter entspricht, verlangt hingegen, dass bei einem Opting-out ab einem späteren Jahr als 2008 auch der Nachweis der Revision der vorangegangenen Jahre zu erbringen sei, wobei die Revisionsstelle im Hinblick auf diese Berichterstattung nur zu wählen, nicht aber im Handelsregister einzutragen sei ( MICHAEL GWELESSIANI, Praxiskommentar zur Handelsregisterverordnung, 2. Aufl. 2012, N. 280a zu Art. 62 HRegV). Diese Lehrmeinung gründet auf der Überlegung, dass seit dem 1. Januar 2008 sämtliche Kapitalgesellschaften, also auch Gesellschaften mit beschränkter Haftung, zumindest eingeschränkt revisionspflichtig sind (Art. 727 ff. i.V.m. Art. 818 OR sowie Art. 7 der Übergangsbestimmungen der Änderung vom 16. Dezember 2005). Sie impliziert, dass die (bisherige) Erfüllung der Revisionspflicht bzw. das Vorliegen einer revidierten Jahresrechnung eine weitere, ungeschriebene Voraussetzungeines wirksamen Opting-outs bildet. Davon geht auch die Vorinstanz aus, wenn sie in E. 3.3.4 des angefochtenen Entscheids dafürhält, dass ohne "von einem zugelassenen Revisor geprüfte Bilanz (mit Vorjahreszahlen) und Jahresrechnung 2008 ... kein gültiges Opting-out beschlossen" worden sei.
Diese (isolierte) Lehrmeinung verkennt freilich, dass sich die Voraussetzung der Erfüllung der Revisionspflicht bzw. des Vorliegens einer geprüften Jahresrechnung weder aus Art. 727 OR i.V.m. Art. 727a Abs. 2 OR noch aus Art. 62 Abs. 1 lit. a - c HRegV ergibt. Aus diesen Normen lassen sich lediglich die drei oben in E. 2.3.1 genannten Voraussetzungen ableiten. Eine zusätzliche Voraussetzung einer geprüften Jahresrechnung ergibt sich weder aus den Materialien, noch wird dies in der Literatur zu Art. 727 f. OR vertreten (statt aller BÖCKLI, a.a.O., § 15 N 514 ff., 676). Ebensowenig lässt sich aus den von der Vorinstanz zitierten Praxismitteilungen des Eidgenössischen Amtes für das Handelsregister vom 28. November 2008, S. 2, bzw. vom 2. Juli 2009, Ziff. 2.1 eine entsprechende Voraussetzung ableiten, äussern sich diese doch lediglich zur Gültigkeit der Genehmigung einer Jahresrechnung nach Art. 731 Abs. 3 OR. Hat eine Gesellschaft keine Revisionsstelle bestellt und damit ihre (bisherige) Revisionspflicht nicht erfüllt, so hätte dies im Rahmen eines Organisationsmängelverfahrens von einer nach Art. 731b OR aktivlegitimierten Partei (Handelsregisteramt, Gesellschafter, Gläubiger) geltend gemacht werden müssen, steht aber einem wirksamen Opting-out nicht entgegen.
2.3.4. Aus dem Gesagten ergibt sich, dass ein Prüfungsbericht eines zugelassenen Revisors für die als Beleg einzureichende Jahresrechnung nicht zu den "massgeblichen aktuellen Unterlagen" i.S. von Art. 62 Abs. 2 Satz 2 HRegV gehört. Denn die (bisherige) Erfüllung der Revisionspflicht bzw. das Vorliegen einer revidierten Jahresrechnung bildet weder eine weitere, ungeschriebene Voraussetzung eines wirksamen Opting-outs, noch bedarf es eines Prüfungsberichts zum Nachweis der drei aus Art. 727 OR i.V.m. Art. 727a Abs. 2 OR sowie Art. 62 Abs. 1 lit. a - c HRegV folgenden Opting-out -Voraussetzungen.
Die Vorinstanz ist in Verletzung von Art. 727 f. OR i.V.m. Art. 62 HRegV somit zu Unrecht zum Schluss gelangt, dass die Beschwerdeführerin dem Handelsregisteramt zur Eintragung des Opting-outs den Prüfungsbericht eines zugelassenen Revisors für den Jahresabschluss 2009 nachreichen muss.
2.4. Die Beschwerde ist somit in diesem Punkt begründet und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben, soweit das Begehren um Eintragung des Opting-outs abgewiesen wurde. Den für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 1 BGG) lässt sich indessen nicht entnehmen, welche Belege die Beschwerdeführerin ihrer Anmeldung des Opting-outs beigelegt hat bzw. welchen Inhalt diese haben. Damit kann das Bundesgericht auch nicht reformatorisch beurteilen, ob die für den Nachweis der Opting-out -Voraussetzungen notwendigen Belege vorliegen. Die Sache ist daher in Anwendung von Art. 107 Abs. 2 BGG an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese hat festzustellen, ob die notwendigen Belege vorliegen (wobei der zu Unrecht verlangte Prüfungsbericht nicht dazu gehört), und neu zu entscheiden, ob das Opting-out im Handelsregister einzutragen ist.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt weiter eine Verletzung des Belegprinzips gemäss Art. 15 Abs. 2 HRegV sowie des Anmeldeprinzips gemäss Art. 16 HRegV, indem die Vorinstanz ihr Begehren um Eintragung der neuen Vorsitzenden der Geschäftsführung abgewiesen habe.
3.1. Die Vorinstanz hielt fest, dass die Anmeldung vom 2. Juli 2011 (im Original rückdatiert auf das Datum der ersten Anmeldung; vorinstanzliche Beschwerdebeilagen 7 und 8) sowohl die Erklärung enthalte, dass die Gesellschafterin A._ neu als Vorsitzende der Geschäftsführung eingetragen werden soll, als auch die Erklärung, dass die Gesellschaft auf eine eingeschränkte Revision verzichtet habe. Die Anmeldung sei zudem mit den Unterschriften sämtlicher Gesellschafter versehen, so dass die Anmeldung als Beleg für die beiden angemeldeten Tatsachen fungiere. Damit stelle sich das Problem, dass in Bezug auf die Personalmutation Anmeldung und Beleg nicht gänzlich übereinstimmen, da aus dem Beleg mehr hervorgehe, als angemeldet wurde: Liesse man die Anmeldung vom 2. Juli 2011 (rückdatiert auf 26. Januar 2011) nämlich als Beleg für die Personalmutation gelten, würde dieser Beleg wegen der darin enthaltenen Opting-out -Erklärung die eingetragenen Tatsachen als unrichtig erscheinen lassen, was dem Wahrheits- und Klarheitsgebot des Art. 26 HRegV zuwiderliefe. Denn der neu im Register vorhandene Beleg, welcher zusätzlich zur gemeldeten Personalmutation die - tatsächlich nicht erfolgte - Opting-out -Erklärung enthalte, widerspräche dem im Handelsregister Eingetragenen. Ein Beleg, der nicht mit der Anmeldung übereinstimme, bewirke aber gerade eine Täuschung über tatsächlich nicht eingetragene Tatsachen. Problematisch sei dies insbesondere deshalb, weil die Belege nicht nur intern als Nachweis für die angemeldeten Tatsachen dienen, sondern weil sie - wie die Einträge im Hauptregister und die Anmeldungen - öffentlich seien (Art. 10 HRegV).
3.2. Dem hält die Beschwerdeführerin entgegen, dass das in Art. 15 Abs. 2 HRegV verankerte Belegprinzip bedeute, dass nichts im Handelsregister eingetragen werden darf, was nicht durch einen Beleg nachgewiesen ist. Art. 16 Abs. 1 HRegV lege sodann fest, dass die Anmeldung die einzutragenden Tatsachen angeben muss. Da in der Anmeldung vom 2. Juli 2011 sämtliche für die Anmeldung der neuen Vorsitzenden relevanten Tatsachen enthalten seien, sei die Eintragung vorzunehmen. Die Ausführungen der Vorinstanz bezüglich der Verletzung des Wahrheitsgebots und Täuschungsverbots gemäss Art. 26 HRegV seien unzutreffend, da bezüglich der Eintragung der Vorsitzenden die notwendigen Belege unbestritten vorhanden seien.
3.3. Gemäss Art. 809 Abs. 3 OR muss die Gesellschafterversammlung den Vorsitz regeln, falls die GmbH mehrere Geschäftsführer hat. Die Gesellschafterversammlung entscheidet durch Beschluss (Art. 808 OR). Gemäss Art. 23 Abs. 1 HRegV muss das Protokoll beziehungsweise ein Protokollauszug über die Beschlussfassung als Beleg eingereicht werden, wenn Tatsachen zur Eintragung ins Handelsregister angemeldet werden, die auf einem Beschluss beruhen. Nach Art. 23 Abs. 3 HRegV ist ein Protokoll oder ein Protokollauszug bei Beschlüssen der GmbH-Gesellschafterversammlung nicht erforderlich, wenn die Anmeldung von sämtlichen im Handelsregister eingetragenen Gesellschaftern unterzeichnet ist.
Die Anmeldung vom 2. Juli 2011 wurde von sämtlichen Gesellschaftern der Beschwerdeführerin unterzeichnet. Die Vorinstanz ist damit zu Recht zum Schluss gelangt, dass die Anmeldung gleichzeitig auch den Beleg darstellt für den Beschluss über die Ernennung der neuen Vorsitzenden der Geschäftsführung wie auch für den Beschluss über den Verzicht auf die eingeschränkte Revision.
Da in Bezug auf die Ernennung der neuen Vorsitzenden der Geschäftsführung folglich sowohl die Eintragungsanmeldung als auch der hierfür einzig notwendige Beleg vorliegen, hätte die Vorinstanz die Eintragung der Vorsitzenden aber nicht verweigern dürfen. Denn selbst wenn das gleichzeitig angemeldete Opting-out mangels vollständiger Belege gemäss Art. 62 Abs. 2 HRegV nicht eingetragen werden könnte, würde entgegen der Auffassung der Vorinstanz noch keine Täuschungsgefahr geschaffen, nur weil der Beleg für die Personalmutation gleichzeitig auch einen Beleg für den Opting-out -Beschluss darstellt. Denn dieser allein sagt nichts darüber aus, ob die Voraussetzungen eines wirksamen Opting-outs auch tatsächlich gegeben sind; hierzu sind die weiteren, oben in E. 2.3 erwähnten Belege erforderlich. Zudem sind gegenüber Dritten nur die Registereinträge und nicht die Belege massgebend (Art. 933 Abs. 1 OR). Solange das Opting-out nicht definitiv im Register eingetragen ist, geht damit von allfälligen Belegen, in denen von einem Opting-out die Rede ist, keine Täuschungsgefahr aus.
3.4. Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt begründet und der angefochtene Entscheid ist somit vollumfänglich aufzuheben. Der Beschwerdegegner ist anzuweisen, die am 2. Juli 2011 zur Eintragung angemeldete Vorsitzende der Geschäftsführung im Handelsregister einzutragen.
4.
Die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegner ist im bundesgerichtlichen Verfahren nicht kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 4 BGG). Die Beschwerdeführerin ist nicht anwaltlich vertreten, weshalb ihr praxisgemäss keine Entschädigung zugesprochen wird (<ref-ruling> E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Der angefochtene Entscheid wird in teilweiser Gutheissung der Beschwerde aufgehoben und der Beschwerdegegner wird angewiesen, die von der Beschwerdeführerin am 2. Juli 2011 zur Eintragung angemeldete Vorsitzende der Geschäftsführung im Handelsregister einzutragen.
Im Übrigen wird die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Aargau, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. September 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni