Sachverhalt:
A.
In der von der X._ AG gegen Y._ erhobenen Betreibung Nr. xxx (Zahlungsbefehl vom 13. Dezember 2012 des Betreibungsamtes Sirnach) für eine Forderung von Fr. 536'696.20 nebst Kosten erhob der Schuldner Rechtsvorschlag mit der Anmerkung "kein Einkommen - kein Vermögen". Das Betreibungsamt übermittelte den Rechtsvorschlag am 14. Januar 2013 gestützt auf <ref-law> dem Bezirksgericht Münchwilen, da der Schuldner Rechtsvorschlag mit der Begründung erhoben habe, er sei nicht zu neuem Vermögen gekommen. Mit Verfügung vom 21. Januar 2013 verpflichtete das Bezirksgericht (Vizepräsidium) die X._ AG, bis zum 5. Februar 2013 einen Kostenvorschuss von Fr. 900.-- zu bezahlen; bei Säumnis werde "auf das Gesuch nicht eingetreten".
B.
Die X._ AG erhob am 24. Januar 2013 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Thurgau und beantragte, die Parteirollen seien zu tauschen und es sei Y._ zur Bezahlung des Kostenvorschusses zu verpflichten. Mit Entscheid vom 6. März 2013 wies das Obergericht die Beschwerde ab. Zur Begründung hielt es unter Hinweis auf die kantonale Praxis fest, dass im Verfahren nach <ref-law> der Gläubiger kostenvorschusspflichtig sei.
C.
Mit Eingabe vom 22. April 2013 hat die X._ AG Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Die Beschwerdeführerin beantragt, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 6. März 2013 sei aufzuheben, und in der vor Bezirksgericht hängigen Sache sei Y._ (Beschwerdegegner) als Kläger aufzuführen und ihm der Kostenvorschuss aufzuerlegen. Weiter ersucht die X._ AG um aufschiebende Wirkung.
Mit Präsidialverfügung vom 8. Mai 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Obergericht beantragt ohne weitere Bemerkungen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdegegner hat sich in der Sache nicht vernehmen lassen; sinngemäss ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Obergericht hat den Entscheid über die Kostenvorschusspflicht zur richterlichen Bewilligung des Rechtsvorschlages beurteilt, welchen der Schuldner mit der Begründung des fehlenden neuen Vermögens erhoben hat (<ref-law>). Der Entscheid über die Verteilung der Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens kann - wie das Obergericht angenommen hat - mit Beschwerde gemäss <ref-law> angefochten werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 131). Der kantonal letztinstanzliche Entscheid unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 BGG).
1.2. Die Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses ist ein Zwischenentscheid, der zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> führt, wenn im Säumnisfall auf die Klage bzw. das Rechtsmittel nicht eingetreten wird (Urteil 4A_100/2009 vom 15. September 2009 E. 1.3, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der Streitwert von Fr. 30'000.-- gemäss dem in der Hauptsache strittigen Begehren ist erreicht (Art. 51 Abs. 1 lit. c, Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Die innert Frist (<ref-law>) erhobene Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig.
1.3. Bei der Bewilligung des Rechtsvorschlages wegen fehlenden neuen Vermögens geht es um die Vollstreckbarkeit der in Betreibung gesetzten Forderung, so dass - wie betreffend die Rechtsöffnung (<ref-ruling> E. 1.5 S. 400) - keine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> vorliegt. Mit vorliegender Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
2.
Anlass zur Beschwerde gibt die Verfügung des Bezirksgerichts, mit welcher von der Beschwerdeführerin als Gläubigerin ein Kostenvorschuss verlangt wird, um über die Bewilligung des vom Schuldner erhobenen Rechtsvorschlages wegen fehlenden neuen Vermögens zu entscheiden.
2.1. Zu Recht steht fest, dass der Entscheid über das Vorliegen neuen Vermögens (Art. 265a Abs. 1 bis 3 SchKG) im summarischen Verfahren gefällt wird (<ref-law>) und das Gericht von der klagenden Partei einen Vorschuss bis zur Höhe der mutmasslichen Gerichtskosten verlangen kann (<ref-law>). Klagende Partei ist, wer vom Gericht die Prüfung eines Rechtsanspruchs bzw. eines Entscheides beantragt (vgl. u.a. URWYLER, in: DIKE-Kommentar ZPO, 2011, N. 3 zu <ref-law>). Das Obergericht erachtet die Beschwerdeführerin bzw. Gläubigerin als "klagende Partei" und damit kostenvorschusspflichtig, weil sie um Fortsetzung der Betreibung durch Rechtsöffnung ersuche. Die Beschwerdeführerin macht im Wesentlichen eine Verletzung von <ref-law>, <ref-law> sowie <ref-law> geltend. Entsprechend der Praxis in anderen Kantonen und dem Verfahren um Bewilligung des Rechtsvorschlages in der Wechselbetreibung sei der Schuldner, welcher das gerichtliche Bewilligungsverfahren mit seiner Begründung des Rechtsvorschlages auslöse, kostenvorschusspflichtig.
2.2. Erhebt der Schuldner Rechtsvorschlag mit der Begründung, er sei nicht zu neuem Vermögen gekommen, so legt das Betreibungsamt den Rechtsvorschlag dem Richter des Betreibungsortes vor, welcher die Parteien anhört und entscheidet (<ref-law>). Das Bundesgericht hat zur Zuweisung der Parteirollen an den Betreibenden bzw. den Betriebenen, welche für die Kostenvorschusspflicht massgebend ist, bis anhin nicht Stellung genommen.
2.2.1. In der Lehre ist umstritten, ob der Gläubiger oder der Schuldner den Kostenvorschuss leisten muss, den der Richter für seinen Entscheid nach <ref-law> erheben kann. Nach Ansicht eines Teils der Autoren tritt - wie bei der Rechtsvorschlagsbewilligung in der Wechselbetreibung (<ref-law>) - der Schuldner als Gesuchsteller auf und kommt diesem die Klägerrolle zu: Wenn der Schuldner den Kostenvorschuss nicht leistet, verzichtet er auf die Prüfung der Begründetheit des Rechtsvorschlages wegen fehlenden neuen Vermögens und es wird auf seinen Rechtsvorschlag nicht eingetreten (vgl. BRÖNNIMANN, Neuerungen bei ausgewählten Klagen des SchKG, ZSR 1996 I 228; GASSER, Ein Jahr revidiertes SchKG [...], in: ST 1998 S. 20; FÜRSTENBERGER, Einrede des mangelnden und Feststellung des neuen Vermögens [...], 1999, S. 72, 80; HUBER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 21 zu <ref-law>; MARCHAND, Précis de droit des poursuites, 2. Aufl. 2013, S. 199). Nach anderer Auffassung steht nicht die Bewilligung, sondern - wie bei der Rechtsöffnung - die Beseitigung des Rechtsvorschlages im Vordergrund: Wenn der Gläubiger den Kostenvorschuss nicht leistet, verzichtet er auf die Prüfung der Zulässigkeit des Rechtsvorschlages wegen fehlenden neuen Vermögens (vgl. JAEGER/WALDER/KULL/KOTTMANN, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 4. Aufl. 1997/99, N. 2 zu <ref-law>; ANGST, Übersicht über die Rechtsprechung zum neuen SchKG, BlSchK 1997 S. 206; GUT/RAJOWER/SONNENMOSER, Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens, in: AJP 1998 S. 532; GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. III, 2001, N. 14 zu <ref-law>; SPAHR, Prozessuales zum Bewilligungsverfahren nach <ref-law> [...], BlSchK 2004, S. 125 f.; JEANDIN, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 18 zu <ref-law>; NÄF, in: Kurzkommentar SchKG, 2009, N. 7 zu <ref-law>). Die kantonale Praxis betreffend Kostenvorschusspflicht geht (entsprechend den Lehrmeinungen) in verschiedene Richtungen (zulasten des Schuldners Basel-Landschaft [BlSchK 2003 Nr. 16 S. 93], Zürich [ZR 2004 Nr. 7 S. 23], Schaffhausen [SJZ 2004 S. 443], Aargau [CAN 2012 Nr. 4 S. 24], Wallis [ZWR 2013 S. 198]; zulasten des Gläubigers Thurgau [BlSchK 2000 Nr. 26 S. 104], Jura [Urteil CC 15/2013 des Kantonsgerichts vom 28. Februar 2013]).
2.2.2. Dem Gesetzestext von <ref-law> lässt sich selber nichts über die Zuweisung der Parteirollen an den Betreibenden bzw. den Betriebenen entnehmen. Die am 1. Januar 1997 in Kraft getretene Revision des SchKG hat dem Schuldner nach einem Konkurs die Möglichkeit belassen, einer Betreibung durch einfach begründeten Rechtsvorschlag ("kein neues Vermögen") entgegenzutreten. Hingegen wurde das Verfahren zur Feststellung neuen Vermögens des Schuldners neu (durch Vorschaltung einer summarischen Prüfung) zweistufig geordnet; Ziel war dabei die Besserstellung des Gläubigers im gerichtlichen Verfahren (Botschaft vom 8. Mai 1991 über die Änderung des SchKG, BBl 1991 III 1 Ziff. 207.63, S. 158). In den eidgenössischen Räten wurde vorgeschlagen, dass das Betreibungsamt die Überweisung des begründeten Rechtsvorschlages an den Richter nur auf Antrag des Gläubigers vornehmen soll; der Vorschlag fand keine Zustimmung (Amtl. Bull. N 1993 S. 38 f.; S 1993 S. 655). Nach früherem Recht lag die Initiative, das Vorliegen neuen Vermögens gerichtlich feststellen zu lassen, beim Gläubiger (vgl. alt <ref-law>; u.a. FAVRE, Droit de poursuite, 3. Aufl. 1974, S. 353). Die neue Regelung hat in einer ersten Phase die Rollen getauscht ( BRÖNNIMANN, a.a.O.) : Der Schuldner muss sich den Rechtsvorschlag richterlich bewilligen lassen (vgl. <ref-law>). Dies spricht eher dafür, im Schuldner die klagende Partei zu sehen, weil er durch den begründeten Rechtsvorschlag den Richter anruft und einen Entscheid beantragt.
2.2.3. Unverkennbar ist der Zusammenhang mit der Regelung des Rechtsvorschlages in der Wechselbetreibung (<ref-law>), an welcher sich die Bestimmung von <ref-law> orientiert ( GASSER, a.a.O.; vgl. <ref-law>). Hier wie dort muss der Schuldner um Bewilligung des Rechtsvorschlages ersuchen und wird der Rechtsvorschlag automatisch dem Richter vorgelegt. In der Wechselbetreibung kommt dem Schuldner nach praktisch einhelliger Meinung die Klägerrolle zu, weil sein Rechtsvorschlag die Anrufung des Richters herbeiführt ( DALLÈVES, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 18 zu <ref-law>; gl.M. JAEGER/WALDER/KULL/ KOTTMANN, a.a.O., N. 8 zu <ref-law>; ROTH, in: Kurzkommentar SchKG, 2009, N. 3 zu <ref-law>; BAUER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 12 zu <ref-law>; a.M. GILLIÉRON, a.a.O., N. 10 f. zu <ref-law>). Dieses mit <ref-law> vergleichbare Bewilligungs- und Vorlageverfahren legt ebenfalls nahe, die Klägerrolle eher beim Schuldner als beim Gläubiger zu sehen.
2.2.4. Ausschlaggebend für die Zuweisung der Parteirollen erscheint allerdings die Betrachtung von Gegenstand und Zweck des Verfahrens von <ref-law>. Zur Beurteilung steht nicht die Anhebung der Betreibung, sondern einzig die Feststellung neuen Vermögens (vgl. FÜRSTENBERGER, a.a.O., S. 80), wobei die Initiative im Einredeverfahren beim Schuldner liegt, welcher glaubhaft machen muss, dass er nicht zu neuem Vermögen gekommen ist. Beim Rechtsvorschlag nach <ref-law> und bei der Beseitigung des Rechtsvorschlages (<ref-law>) handelt es sich um zwei Verfahren mit verschiedenem Gegenstand (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 35; GILLIÉRON, a.a.O., N. 23 zu <ref-law>; NÄF, a.a.O., N. 9 zu <ref-law>). Der Rechtsvorschlag gemäss <ref-law> bzw. die Einrede des mangelnden neuen Vermögens bringt die Betreibung nicht zum Stillstand, sondern erst die - automatisch beantragte - Bewilligung des Richters ( AMONN/WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 9. Aufl. 2013, § 18 Rz. 19 f.). Eine Rolle spielt zudem, dass der Schuldner seinen Anspruch auf wirtschaftliche und soziale Erholung nach dem Konkurs in der Betreibung durch einfach begründete Einrede erheben kann, das "Gewicht" mit Bezug auf die Mitwirkung am Verfahren jedoch beim Schuldner liegen soll (vgl. Amtl. Bull. N 1993 S. 38/39, Votum Bundesrat Koller). Damit tritt der Umstand, dass es der Gläubiger ist, der die Betreibung angehoben hat und die Einrede beseitigen will, eher in den Hintergrund, und es entspricht mehr der Natur und dem Ziel des Verfahrens, die Klägerrolle im Einredeverfahren gemäss <ref-law> dem Schuldner zuzuweisen.
2.3. Nach dem Dargelegten ist - entgegen der Auffassung der Vorinstanz - in Anwendung von <ref-law> nicht die Beschwerdeführerin als Gläubigerin, sondern der Beschwerdegegner als Partei zu betrachten, welche als Schuldner dem Gericht die Prüfung eines Rechtsanspruchs beantragt und damit nach <ref-law> kostenvorschusspflichtig wird. Die Beschwerde in Zivilsachen ist begründet und gutzuheissen. Der Richter (<ref-law>) hat dem Schuldner Frist zur Leistung des Kostenvorschusses (nach <ref-law>) anzusetzen. Wird der Kostenvorschuss nicht innert Frist geleistet, kann auf den Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens nicht eingetreten werden.
2.4. Schliesslich wird in der Lehre vorgeschlagen (u.a. GASSER, a.a.O.), dass das Betreibungsamt dem Betreibenden in Analogie zur Wechselbetreibung (<ref-law>) Kenntnis von der Erhebung des Rechtsvorschlages mangels neuen Vermögens geben soll. Die Frage ist hier nicht zu entscheiden, sondern liegt zur Beantwortung in der Kompetenz der Aufsichtsbehörden.
3.
Der Beschwerde in Zivilsachen ist Erfolg beschieden. Der Entscheid des Obergerichts ist aufzuheben. Die Sache ist an die Vorinstanz im Sinne der Erwägung, dass dem Beschwerdegegner gemäss <ref-law> Frist zur Leistung des Vorschusses anzusetzen ist, zurückzuweisen. Weiter hat sie über die Kosten des vorangegangenen Verfahrens neu zu entscheiden (vgl. <ref-law>).
Es werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>). Das kantonale Verfahren ist Folge des unzutreffenden Entscheids des Bezirksgerichts über die Kostenvorschusspflicht, der von Amtes wegen gefällt und vom Obergericht durch blossen Hinweis auf die "kantonale Praxis" bestätigt worden ist; der Beschwerdegegner hat weder im kantonalen noch bundesgerichtlichen Verfahren einen Antrag betreffend Parteirollenverteilung gestellt. Es rechtfertigt sich, den Kanton Thurgau zu einer Parteientschädigung an die Beschwerdeführerin zu verpflichten (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 7 S. 483; Urteil 1B_87/2007 vom 22. Juni 2007 E. 8, nicht publ. in: <ref-ruling>).
Das Gesuch des (anwaltlich nicht vertretenen) Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege wird gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 6. März 2013 aufgehoben.
1.2. Die Sache wird an die Vorinstanz im Sinne der Erwägung, dass dem Beschwerdegegner Frist zur Leistung des Vorschusses für Gerichtskosten für das Verfahren nach <ref-law> anzusetzen ist, sowie zu neuem Entscheid über die Kosten des vorangegangenen Verfahrens zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Thurgau hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege wird zufolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Levante