Sachverhalt:
A. X._ und seine Schwester, Y._, sind Eigentümer der 52'586 m2 umfassenden, in der Landwirtschaftszone der Gemeinde Wünnewil-Flamatt gelegenen Parzelle Nr. 607. Im Jahr 2006 erstellte X._ auf diesem Grundstück unmittelbar nördlich der in der Wohnzone mittlerer Dichte gelegenen Parzelle Nr. 1525 ohne Baubewilligung eine Garage mit Lagerraum zum Lagern der für eine gewerbliche Tätigkeit benötigten Werkzeuge und Materialien. Diese Baute weist eine Grundfläche von 11 m x 6,1 m und eine Höhe von 5,5 m auf (sie wird in der Folge als Remise bzw. Schopf bezeichnet). Mit Schreiben vom 27. Juni 2006 forderte der Gemeinderat von Wünnewil-Flamatt X._ auf, die Bauarbeiten sofort einzustellen und unverzüglich ein entsprechendes Baugesuch einzureichen oder aber die Baute zu entfernen.
Am 11. Oktober 2006 stellte X._ bei der Gemeinde ein Gesuch um "eine geringfügige Erweiterung der Wohnzone mittlere Dichte" im Bereich der Remise. Mit Verfügung vom 29. Januar 2007 wies der Gemeinderat das Begehren ab. Gegen diese Verfügung erhoben X._ und Y._ Beschwerde beim Oberamtmann des Sensebezirks und erneuerten ihr Gesuch um "Umzonierung" eines Teils der Parzelle Nr. 607. Ihre Eingabe wurde zuständigkeitshalber an die Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion des Kantons Freiburg (RUBD) weitergeleitet, welche die Beschwerde mit Entscheid vom 9. August 2007 abwies.
In der Folge gelangten X._ und Y._ mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Kantonsgericht Freiburg. Mit Urteil vom 14. Juli 2008 wies dieses die Beschwerde ab. Dabei erwog es, es sei nicht dargetan, dass bedeutende Veränderungen der Gegebenheiten eingetreten seien, welche die beantragte Zonenplanänderung zu rechtfertigen vermöchten. Zudem würde die geplante spätere Überbauung der Parzelle Nr. 607 erschwert, wenn von diesem Grundstück schon jetzt Teile abgetrennt würden.
Gegen das Urteil des Kantonsgerichts erhoben X._ und Y._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde ans Bundesgericht. Mit Urteil vom 18. März 2009 trat dieses auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht ein, während es die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abwies, soweit es darauf eintrat (Verfahren 1C_376/2008).
B. Bereits am 26. Februar 2007 hatte X._ ein nachträgliches Baugesuch für den "Neubau einer Remise/Schopf" auf der Parzelle Nr. 607 eingereicht. Mit Verfügung vom 2. April 2008 lehnte die Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion die Erteilung der notwendigen Ausnahmebewilligung nach Art. 24 des Bundesgesetzes über die Raumplanung vom 22. Juni 1979 (RPG; SR 700) sowie der kantonalen Sonderbewilligung im Sinne von Art. 59 Abs. 1 des Raumplanungs- und Baugesetzes des Kantons Freiburg vom 9. Mai 1983 (RPBG/FR) ab. Sie erwog im Wesentlichen, dass die strittige Baute sich in der Landwirtschaftszone befinde und weder für die Haltung von Kleintieren noch für eine Lagerung von landwirtschaftlichen Produkten als zonenkonform bewilligt werden könne. Daraufhin verweigerte der Oberamtmann des Sensebezirks am 2. Juni 2008 auch die baupolizeiliche Bewilligung.
C. Mit Strafbefehl vom 4. Juni 2008 verurteilte der Oberamtmann des Sensebezirks X._ wegen Bauens ohne Baubewilligung zu einer Busse von Fr. 2'500.--.
D. Mit Beschwerde vom 2. Juli 2008 gelangte X._ an das Kantonsgericht und beantragte, es seien die Verfügung des Oberamtmannes vom 2. Juni 2008 und der Strafbefehl vom 4. Juni 2008 sowie der RUBD-Entscheid vom 2. April 2008 aufzuheben; eventuell sei die Sache zu neuer Bearbeitung und zu neuem Entscheid an die Vorinstanzen und die Gemeinde Wünnewil-Flamatt zurückzuweisen. Das Baugesuch vom 26. Februar 2007 sei zu genehmigen und das Verfahren vor dem Kantonsgericht zu sistieren, bis die im Gang befindliche Revision der Ortsplanung in der Gemeinde Wünnewil-Flamatt rechtskräftig abgeschlossen sei.
Der II. Verwaltungsgerichtshof des Kantonsgerichts wies die Beschwerde mit Urteil vom 8. Mai 2009 ab, soweit er darauf eintrat, und wies die Angelegeheit an den Oberamtmann zur Prüfung der Frage, ob und wie der ursprüngliche Zustand wiederherzustellen sei.
E. Mit Eingabe vom 12. Juni 2009 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) und subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>). Er beantragt, das am 8. Mai 2009 ergangene Urteil des II. Verwaltungsgerichtshofs des Kantonsgerichts sowie der RUBD-Entscheid vom 2. April 2008 seien aufzuheben; die Sache sei zu neuem Entscheid an die Vorinstanzen zurückzuweisen. Aufzuheben sei zudem auch der Strafbefehl des Oberamtmannes. Sodann sei der Anteil der Parzelle Nr. 607 mit dem fraglichen Schopf in die Bauzone umzuzonen; das Baugesuch zur Errichtung eines Schopfes sei zu genehmigen und die Baubewilligung zu erteilen. Das bundesgerichtliche Verfahren sei zu sistieren, bis die im Gange befindliche Revision der Ortsplanung der Gemeinde Wünnewil-Flamatt rechtskräftig abgeschlossen sei. Gleichzeitig ersucht der Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Er rügt namentlich eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>), des Willkürverbots (<ref-law>) und des Gleichbehandlungsgebots (<ref-law>).
F. Mit Präsidialverfügung vom 13. Juli 2009 ist das Sistierungsbegehren abgewiesen und das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gutgeheissen worden.
G. Der II. Verwaltungsgerichtshof des Kantonsgerichts und die Gemeinde Wünnewil-Flamatt beantragen, die Beschwerden seien abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion schliesst auf Abweisung der Beschwerden. Der Oberamtmann des Sensebezirks hat sich nicht vernehmen lassen. In seiner Replik hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen Entscheid des Verwaltungsgerichts steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> offen; eine Ausnahme gemäss <ref-law> liegt nicht vor. Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde verbleibt somit kein Raum (<ref-law>). Auf diese ist deshalb nicht einzutreten (entsprechend schon das den Beschwerdeführer betreffende Urteil vom 18. März 2009).
Der Beschwerdeführer als Baugesuchsteller ist ohne Weiteres zur vorliegenden Beschwerde legitimiert (<ref-law>; s. dazu etwa <ref-ruling> E. 1.3.3 S. 253 f.).
1.2 Nicht einzutreten ist zunächst auf die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers, soweit sie sich auf den Entscheid der Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion vom 2. April 2008 beziehen. Dieser Entscheid ist durch das Urteil des Kantonsgerichts ersetzt worden (sog. Devolutiveffekt) und gilt als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
1.3 Die Verletzung von Grundrechten - einschliesslich die willkürliche Anwendung von kantonalem Recht - wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Dies gilt auch hinsichtlich der Frage, ob der Sachverhalt willkürlich oder unter verfassungswidriger Verletzung einer kantonalen Verfahrensregel ermittelt worden ist (<ref-law>; s. dazu <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen).
Soweit die Beschwerdeschrift diesen Anforderungen genügt (s. nachf. E. 2 ff. zu den einzelnen Rügen), ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich einzutreten (abgesehen von der Einschränkung gemäss E. 1.2 oben und unter Vorbehalt der nachf. E. 1.4/1.5).
1.4 Im Streit liegt hier wie im kantonalen Verfahren die Frage, ob die Verweigerung der nachträglichen Baubewilligung für die Remise auf dem Grundstück Nr. 607 vor kantonalem bzw. eidgenössischem Recht standhält. Soweit der Beschwerdeführer im Verfahren vor Bundesgericht Fragen aufwirft und Anträge stellt, welche ausserhalb des Prozessgegenstandes liegen, ist darauf nicht einzutreten.
Dies gilt für den Antrag des Beschwerdeführers, der Strafbefehl des Oberamtmannes des Sensebezirks sei aufzuheben. Das Kantonsgericht hat im angefochtenen Entscheid (Ziff. 8) dargelegt, dass es nicht zuständig sei, den Strafbefehl aufzuheben. Da die Vorbringen des Beschwerdeführers keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Urteils darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten.
1.5 Der Beschwerdeführer beruft sich in seiner Replik auf neue Beweismittel. Nach <ref-law> sind Noven indes nur zulässig, wenn erst der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt. Diese Voraussetzung ist nicht erfüllt (vgl. <ref-ruling> E. 2 und E. 3). Das vom Beschwerdeführer neu ins Recht gelegte, an seinen Rechtsvertreter gerichtete Schreiben vom 2. November 2009 sowie die Einladung der Gemeinde Wünnewil-Flamatt zu der die Ortsplanungsrevision betreffenden Einigungsverhandlung vom 26. Oktober 2009 sind daher unbeachtlich.
2. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe keinen Augenschein durchgeführt. Damit habe sie den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt (<ref-law>).
Dabei legt der Beschwerdeführer indes in keiner Weise dar, welcher entscheiderhebliche Sachverhalt mit dem beantragten Beweismittel hätte bewiesen werden sollen. Er vermag daher auch nicht darzutun, inwiefern eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör vorliegt, wenn die Vorinstanz auf eine entsprechende Beweiserhebung verzichtete. Die vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang behaupteten Rechtsverletzungen sind somit nicht hinreichend begründet, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
3. Der Beschwerdeführer beantragt auch im bundesgerichtlichen Verfahren, es sei ein Augenschein durchzuführen. Auch dabei legt er aber nicht dar, welcher entscheiderhebliche Sachverhalt damit bewiesen werden soll. Ein Augenschein erübrigt sich umso mehr, als die tatsächlichen Umstände aus den in den Akten liegenden Plänen und Fotografien genügend hervor gehen und das Bundesgericht grundsätzlich an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt gebunden ist (<ref-law>; s. im Übrigen vorstehende E. 1.3).
4. Der Beschwerdeführer macht geltend, dass in der Gemeinde Wünnewil-Flamatt die Grundsätze der Gesetzmässigkeit und Rechtsgleichheit in der Praxis nicht beachtet, sondern unzulässige Gewerbe in der Wohnzone mittlerer Dichte toleriert würden. Aufgrund dieses Sachverhaltes habe er in guten Treuen annehmen können, dass auch der Bau des Schopfes bewilligt würde (Anspruch auf Gleichbehandlung im Unrecht), weil dieser sich korrekt in die Gebäudegruppe des früheren Landwirtschaftsbetriebes integriere.
Auch dabei handelt es sich indes um ein unzulässiges Novum (<ref-law>, vgl. vorstehende E. 1.5): Der Beschwerdeführer erwähnt diese Problematik nicht bereits im verwaltungsgerichtlichen Verfahren, sondern erstmals in der im bundesgerichtlichen Verfahren erstatteten Replik, dies, ohne dass das angefochtene Urteil dazu Anlass geben würde. Auf diesen Einwand ist somit ebenfalls nicht einzutreten.
5. Unsubstanziiert ist sodann die Rüge, wonach das Kantonsgericht einen völlig unangemessenen und unverhältnismässigen Entscheid gefällt habe, indem es das Beschwerdeverfahren nicht bis zum rechtskräftigen Nutzungsrichtplan sistiert habe.
Der II. Verwaltungsgerichtshof hat erwogen, dass Baugesuche gestützt auf Art. 85 Abs. 1 RPBG/FR grundsätzlich nach den Vorschriften zu beurteilen seien, welche im Zeitpunkt der Prüfung durch die zuständigen Behörden gegolten hätten, bzw. nach dem zur Zeit der Errichtung der Baute massgebenden Recht. Die erste öffentliche Auflage der Ortsplanungsrevision der Gemeinde Wünnewil-Flamatt habe vom 6. Juni bis zum 6. Juli 2008 gedauert. Die Frage, ob die neue Ordnung hinsichtlich der Baute günstiger sein werde bzw. ob damit die Remise sogar planungs- und baurechtskonform werden sollte, könne offen bleiben. Es bleibe dabei, dass das Gericht allein zu prüfen habe, ob aufgrund des bei der Errichtung der Baute geltenden Rechts nachträglich eine Baubewilligung erteilt werden könne. Würde dem Sistierungsgesuch stattgegeben, müssten praktisch alle Verfahren betreffend Bauten, die ohne die erforderlichen Bewilligungen erstellt worden seien, im Hinblick auf eine allfällige Revision der Nutzungsplanung ausgesetzt werden. Immerhin sei bei der Beurteilung der Frage, ob die widerrechtlich erstellte Remise abzubrechen sei (Wiederherstellungsverfahren), das neue Recht nicht ausser Acht zu lassen.
Der Beschwerdeführer bringt vor, die verwaltungsgerichtliche Behauptung, wonach das Recht ex tunc massgebend sei, sei mit Rücksicht auf den in Bearbeitung stehenden Nutzungsplan unzutreffend, unverhältnismässig und unangemessen. Ein rechtskäftiger Nutzungsrichtplan, in welchem die Parzelle Nr. 607 von der Landwirtschaftszone in die Bauzone umgezont werden soll, beeinflusse die vorliegende Beschwerdesache grundlegend. Die Vorinstanz verkenne, dass es sich um eine ausserordentliche Baugesuchssache handle und nicht um ein normales Baugesuchsverfahren. Der rechtskräftige Erlass des Nutzungsrichtplanes sei deshalb abzuwarten und das vorliegende Beschwerdeverfahren bis dann zu sistieren.
Den Akten lässt sich entnehmen, dass der im Rahmen der Ortsplanrevison der Gemeinde Wünnewil-Flamatt öffentlich aufgelegte Nutzungsrichtplan lediglich vorsieht, die Parzelle Nr. 607 dem Richtplangebiet zuzuweisen. Mithin wird dies an der Bebaubarkeit der Parzelle nichts ändern, zumal diese nach wie vor in der Landwirtschaftszone verbleiben wird. Unter diesen Umständen durfte das Kantonsgericht ohne Willkür von einer Sistierung des Beschwerdeverfahrens absehen, da auch das vom Beschwerdeführer vorgetragene Argument, dass es sich um eine Ausnahmesache handle, nicht geeignet ist, die von der Vorinstanz dargelegten Gründe (angefochtenes Urteil E. 4a-4f) als unhaltbar erscheinen zu lassen. Dies umso mehr, als schon das Bundesgericht im Urteil 1C_376/2008 vom 18. März 2009 (E. 4.2) erwogen hat, dass, auch wenn der Nutzungsplan der Gemeinde Wünnewil-Flamatt rechtskräftig sei, sich dadurch noch keine parzellenscharfen Aussagen hinsichtlich der Zonenzuweisung eines bestimmten Grundstücks ableiten liessen. Dazu bedürfe es des weiteren Aktes der Zonennutzungsplanung, die zwar den Richtplan zur Grundlage habe, aber doch eine eigenständige raumplanerische Aufgabe darstelle, in deren Rahmen die massgebenden öffentlichen und privaten Interessen umfassend gegeneinander abgewogen würden.
6. 6.1 Die Vorinstanz hat erwogen, dass das Grundstück Nr. 607 in der Landwirtschaftszone liege. Der Auffassung des Beschwerdeführers, es bestehe immer noch ein Landwirtschaftsbetrieb oder ein landwirtschaftliches Gewerbe, könne nicht gefolgt werden. Es liege keine Gesamtheit von Land, Gebäuden, Inventar und Arbeitskräften vor. Das Ökonomiegebäude sei in Wohnraum umgestaltet worden, während die Parzelle Nr. 607 einem Landwirt und den Hornussern verpachtet sei. Damit stehe fest, dass es sich bei der strittigen Remise um eine Baute ausserhalb der Bauzone und mithin um eine zonenwidrige und widerrechtliche Baute handle. Zu prüfen sei, ob der Beschwerdeführer Anspruch auf eine Ausnahmebewilligung habe. Die Remise diene als Lagerraum zum Lagern der für die gewerbliche Tätigkeit benötigten Werkzeuge und Materialien. Eine solche Baute entspreche weder dem Zweck der Landwirtschaftszone (Art. 16a RPG in Verbindung mit Art. 56 Abs. 2 und 3 RPBG), noch sei sie standortgebunden (Art. 24 RPG). Da weder ein Landwirtschaftsbetrieb noch ein landwirtschaftliches Gewerbe vorliege, falle die Anwendung von Art. 24b Abs. 1bis RPG ausser Betracht. Auch könne die Remise nicht als landwirtschaftlicher Nebenbetrieb ausserhalb der Bauzone qualifiziert werden, weshalb sie auch nicht gestützt auf Art. 24b Abs. 1 RPG bewilligungsfähig sei. Dass der Beschwerdeführer Schafe halten wolle, ändere am Umstand, dass die Remise nicht als zonenkonformer Haupt- oder Nebenbetrieb zu bezeichnen sei, nichts. Die landwirtschaftliche Bewirtschaftung im Sinne von Art. 16a RPG unterscheide sich von der Freizeitlandwirtschaft insbesondere durch einen dauernden, auf Wirtschaftlichkeit ausgerichteten und organisierten Einsatz von Kapital und Arbeitskraft in einem wirtschaftlich bedeutenden Umfang. Es sei davon auszugehen, dass weder mit 25 noch mit 35 Schafen und Lämmern ein monatliches Einkommen zu erzielen sei, das als existenzsichernd zu bezeichnen sei. Vor diesem Hintergrund sei richtigerweise von einem Hobby- bzw. Freizeitlandwirtschaftsbetrieb auszugehen, der keine längerfristige wirtschaftliche Rentabilität garantiere. Die in Frage stehende Schafhaltung diene nicht zur Existenzsicherung. <ref-law> halte ausdrücklich fest, dass Bauten und Anlagen für die Freizeitlandwirtschaft als nicht zonenkonform gelten würden. Mithin sei die Zonenkonformität der Remise zu verneinen.
6.2 Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass der früher von seinen Eltern geführte Landwirtschaftsbetrieb aufgegeben worden ist, das einstige Ökonomiegebäude zur Wohnnutzung umgebaut wurde und die Parzelle Nr. 607 als Landwirtschaftsland bzw. an die Hornusser verpachtet ist. Entgegen seiner Auffassung kann nicht von einem landwirtschaftlichen Gewerbe die Rede sein: Die fragliche Remise ist nicht Bestandteil einer Gesamtheit von landwirtschaftlichen Grundstücken, Bauten und Anlagen, die als Grundlage der landwirtschaftlichen Produktion dient und zu deren Bewirtschaftung, wenn sie landesüblich ist, mindestens eine Standardarbeitskraft nötig ist (vgl. Art. 7 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 4. Oktober 1991 über das bäuerliche Bodenrecht (BGGB; SR 211.412.11).
Die verwaltungsgerichtliche Schlussfolgerung, die Remise sei keine Baute für einen Haupt- oder Nebenlandwirtschaftsbetrieb, sondern allenfalls eine solche für die vom Beschwerdeführer beabsichtigte Freizeitlandwirtschaft und gelte daher nach <ref-law> nicht als zonenkonform, ist daher nicht zu beanstanden. Die Vorinstanz hat die Standortgebundenheit der Baute im Sinne von Art. 24 lit. a RPG zu Recht verneint. Die Remise kann daher auch nicht gestützt auf Art. 24b Abs. 1bis bzw. Art. 24b Abs. 1 RPG bewilligt werden. Diesbezüglich kann im Übrigen auf die dem angefochtenen Urteil zugrunde liegenden Erwägungen (E. 10-12) verwiesen werden, zumal die Beschwerdeschrift sich zu diesem Punkt nicht äussert.
Nach dem Gesagten erweist sich die Remise als materiell widerrechtlich. Dieser grundlegende Rechtsmangel kann durch eine angeblich gute Einordnung der Baute in die bestehende Gebäudegruppe nicht behoben werden, weshalb auf das entsprechende Vorbringen des Beschwerdeführers nicht weiter einzugehen ist.
7. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Dem Ausgang des vorliegenden Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Gemeinde Wünnewil-Flamatt, dem Oberamtmann des Sensebezirks, der Raumplanungs-, Umwelt- und Baudirektion des Kantons Freiburg sowie dem Kantonsgericht Freiburg, II. Verwaltungsgerichtshof, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. März 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp