Sachverhalt:
A. Soweit darauf einzutreten war, hiess das Bundesgericht mit Urteil 9C_569/2009 vom 22. März 2010 die von der KPT Krankenkasse AG erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des Schiedsgerichts gemäss <ref-law> des Kantons Luzern vom 26. Mai 2009 gut und hob diesen auf; es wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit sie über die bei ihr am 21. November 2006 eingereichte Klage der KPT gegen die swissana clinic meggen materiell entscheide.
B. Mit Eingabe vom 28. April 2010 (Poststempel) beantragt die swissana clinic meggen, das Urteil 9C_569/2009 sei in Revision zu ziehen und die Beschwerde der KPT gegen den Entscheid des Schiedsgerichts gemäss <ref-law> des Kantons Luzern vom 26. Mai 2009 abzuweisen.

Erwägungen:
1. 1.1 Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zugrunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt.
1.2 Gemäss <ref-law> kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Nach der Rechtsprechung sind Tatsachen erheblich, die geeignet sind, die tatbeständliche Grundlage eines ergangenen Urteils zu verändern und bei zutreffender rechtlicher Würdigung zu einem anderen Ergebnis zu führen (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 204 f., Urteil 8F_4/2009 vom 24. August 2009 E. 1.2, je mit Hinweis).
2. 2.1 Begründet wird das Revisionsgesuch damit, das Bundesgericht habe den Entscheid C-5666/2008 des Bundesverwaltungsgerichts vom 25. Mai 2009 und die Stellungnahme vom 10. August 2006 des Bundesamtes für Justiz, Abteilung für Beschwerden an den Bundesrat, nicht berücksichtigt, wonach es "sich bei der ausserkantonalen Wahlbehandlung um eine Behandlung handelt, die nicht dem Tarifrecht und dem Tarifschutz des KVG untersteht".
2.2 Von dieser Rechtslage geht auch die Rechtsprechung des Bundesgerichts aus, namentlich auch im hier zur Diskussion stehenden Urteil 9C_569/2009 E. 3.3, weshalb kein Grund bestand, ausdrücklich auf die gleichlautenden Urteile bzw. Stellungnahmen hinzuweisen. Präzisierend ist anzumerken, dass zwar der vom ausserkantonalen Leistungserbringer in Rechnung gestellte Betrag nicht dem Tarifschutz nach KVG untersteht, indessen die obligatorische Krankenpflegeversicherung gemäss aArt. 41 Abs. 1 Satz 3 KVG sich an den Kosten im Umfang eines nach KVG erlassenen Wohnkantontarifs beteiligen muss (vgl. z.B. <ref-ruling>).
2.3 Die Gutheissung der Beschwerde wurde damit begründet, dass nach der Klage- und Beschwerdebegründung umstritten und nicht rechtsverbindlich geklärt sei, welcher OKP-Tarif für den gemäss aArt. 41 Abs. 1 Satz 3 KVG von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zu übernehmenden Anteil massgebend sei; (nur) zur Beurteilung dieser Frage wurde an das Schiedsgericht zurückgewiesen. Dass insoweit das Urteil des Bundesgerichts auf einer nicht berücksichtigten Tatsache beruhen würde, wird von der Gesuchstellerin nicht geltend gemacht. Entgegen ihrer Darstellung wird im Urteil des Bundesgerichts auch nicht in Frage gestellt, dass die Differenz zwischen dem vom Schiedsgericht festzulegenden, für die Vergütung nach aArt. 41 Abs. 1 Satz 3 KVG massgebenden Tarif, und dem von der Gesuchstellerin in Rechnung gestellten Betrag zu Lasten des Patienten bzw. einer allfälligen Zusatzversicherung geht und nicht eine KVG-rechtliche, sondern eine privatrechtliche Frage ist (vgl. E. 3.3 in fine des Urteils 9C_569/2009).
3. Weil das Bundesgericht keine erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat, ist ein Revisionsgrund gemäss <ref-law> nicht ausgewiesen und somit das Revisionsgesuch unbegründet und deshalb ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) abzuweisen.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten der Gesuchstellerin aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.- werden der Gesuchstellerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Schiedsgericht gemäss <ref-law> und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Juni 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Schmutz