Sachverhalt:
A. X._ und Y._ heirateten am xxxx 2006.
A.a Mit Eheschutzurteil vom 26. März 2009 bewilligte der Amtsgerichtspräsident von A._ den Parteien das Getrenntleben und erkannte unter anderem, dass sie sich gegenseitig keinen Unterhalt schulden.
A.b X._ erhob gegen dieses Urteil Rekurs an das Obergericht des Kantons Solothurn und verlangte insbesondere angemessene Unterhaltsbeiträge. Weiter ersuchte sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und beantragte eventualiter, ihr Ehemann sei zu verpflichten, ihr für das Rekursverfahren und ihre Anwaltskosten einen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zu überweisen.
A.c Mit Urteil des Obergerichts vom 24. Juli 2009 wurde der Rekurs abgewiesen, soweit darauf eingetreten wurde. Die Gerichts- und Parteikosten wurden X._ auferlegt und ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bzw. um Gewährung eines Kostenvorschusses wurde infolge Aussichtslosigkeit des Rekurses abgewiesen.
B. X._ (fortan: Beschwerdeführerin) ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 31. August 2009 an das Bundesgericht gelangt. Sie verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils, soweit ihr die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wurde und beantragt die Rückweisung der Sache an das Obergericht zur Bestellung des amtlichen Rechtsbeistandes und zur Festsetzung dessen Honorars. Eventualiter sei Y._ (fortan: Beschwerdegegner) zur Bezahlung des im Rekursverfahren beantragten Kostenvorschusses von Fr. 2'000.-- zu verpflichten. Zudem ersucht sie für das Verfahren vor Bundesgericht erneut um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und beantragt eventualiter, der Beschwerdegegner sei zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses von Fr. 5'000.-- zu verpflichten.
Das Obergericht und der Beschwerdegegner haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>), mit dem die unentgeltliche Verbeiständung bzw. die Gewährung eines Prozesskostenvorschusses verweigert worden ist. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131), dessen ungeachtet, ob er während des Hauptverfahrens, zusammen mit dessen Endentscheid oder nach diesem ergangen ist (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2).
1.2 Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. Diese betraf hier ein Eheschutzverfahren, für welches die Beschwerde in Zivilsachen offen steht (<ref-law>) . Folglich ist auch für die Anfechtung der Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung bzw. die Nichtgewährung eines Prozesskostenvorschusses die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (vgl. BGE 5A_396/2009 E. 1.2). Die Beschwerdeführerin bezeichnet ihre Eingabe als Beschwerde in Zivilsachen und eventualiter als subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Da die Voraussetzungen für eine Beschwerde in Zivilsachen vorliegend erfüllt sind, kann die subsidiäre Verfassungsbeschwerde von vornherein nicht greifen (<ref-law>). Die Eingabe ist somit lediglich als Beschwerde in Zivilsachen zu behandeln. Eheschutzverfahren betreffen schliesslich eine vorsorgliche Massnahme in Sinn von <ref-law>. Damit kann vorliegend einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-ruling> E. 5 S. 396 f.). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398).
2. Die Vorinstanz hat das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege bzw. um Gewährung eines Prozesskostenvorschusses abgewiesen, weil es deren Rekursbegehren als aussichtslos beurteilte. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe mit diesem Entscheid ihren Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege gemäss <ref-law> und <ref-law> (Willkürverbot) verletzt.
3. Nach <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Falls es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen aufgrund einer summarischen Prüfung nach den Verhältnissen zur Zeit, zu der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird, die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Die Rüge einer bedürftigen Partei, ihr verfassungsmässiger Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege sei verletzt, prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei. Soweit es um tatsächliche Feststellungen der kantonalen Instanz geht, ist seine Prüfungsbefugnis auf Willkür beschränkt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 14). Dabei ist es allerdings nicht seine Aufgabe, dem Sachgericht vorgreifend zu prüfen, ob das vom Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren gestellte Begehren zu schützen sei oder nicht. Bei der Abklärung, ob die fehlende Aussichtslosigkeit als Voraussetzung für einen grundrechtlichen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege gegeben ist, hat das Bundesgericht lediglich zu prüfen, ob der vom Bedürftigen verfolgte Rechtsstandpunkt im Rahmen des sachlich Vertretbaren liegt bzw. nicht von vornherein unbegründet erscheint (<ref-ruling> E. 3a S. 115). Die prognostische Beurteilung der Erfolgsaussichten eröffnet dem Sachgericht einen Beurteilungsspielraum, in den das Bundesgericht auch bei freier Prüfung der Rechtsfragen nur mit Zurückhaltung eingreift. Erforderlich ist, dass das Sachgericht von anerkannten Rechtsgrundsätzen abgewichen ist, dass es Umstände berücksichtigt hat, die für die Prognose im Einzelfall keine Rolle spielen dürfen oder umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen (vgl. <ref-ruling> E. 5.4 S. 211).
4. Mit Rekurs an das Obergericht hat sich die Beschwerdeführerin gegen das Urteil des Amtsgerichts gewehrt und erneut Unterhaltsbeiträge beantragt.
4.1 Das Obergericht hält diesen Rekurs von vornherein als aussichtslos.
Zur Begründung führt es aus, die Beschwerdeführerin habe nach ihren eigenen Angaben vor der Heirat in einer Boutique in Dubai gearbeitet, wo sie monatlich rund USD 2'500.-- verdient habe. Im Anschluss an die Trennung habe sie versucht, nach Dubai zurückzukehren, die Einreise sei ihr aber verweigert worden. Sie habe daher in der Schweiz ein Asylgesuch gestellt.
Im Rekursverfahren habe die Beschwerdeführerin zum ersten Mal Schreiben eingereicht, die belegen, dass sie auf Stellensuche sei. Wer sich jedoch innerhalb von 15 Monaten bloss sechs Mal um eine Arbeitsbeschäftigung umsehe, müsse sich vorwerfen lassen, sich nicht ernsthaft um eine Erwerbstätigkeit zu bemühen. Da die Beschwerdeführerin fliessend Englisch spreche, dürfe mit dem Amtsgerichtspräsidenten davon ausgegangen werden, dass sie eine gefragte Arbeitskraft sei. Zudem habe die Beschwerdeführerin mit ihrem Rekurs keine Bestätigung der behaupteten Verweigerung der Einreise nach Dubai eingereicht, weshalb sie nicht nachzuweisen vermöge, dass sie im Dezember 2007 nicht nach Dubai zurückkehren und dort eine Erwerbstätigkeit mit Einkünften im früheren Rahmen hätte aufnehmen können.
Zusammenfassend sei aus diesen Gründen davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin ohne weiteres in der Lage sei, ihren Bedarf mit eigenen Einkünften zu decken. Sie habe deshalb keinen Anspruch auf Unterhaltsbeiträge. Wie es sich mit den Einkommens- und Vermögensverhältnissen ihres Ehemannes verhalte, müsse vorliegend nicht weiter geprüft werden. Der Rekurs sei somit als aussichtslos zu beurteilen, weshalb sie weder einen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege noch auf Gewährung eines Prozesskostenvorschusses habe.
4.2 Die Beschwerdeführerin erachtet die Begründung des Amtsgerichtspräsidenten - wie auch die des Obergerichts - als willkürlich und der dagegen erhobene Rekurs daher nicht als aussichtlos. Die Frage, ob sie ihren Unterhalt aus eigenen Mitteln bestreiten könne, sei nicht genügend abgeklärt worden.
Die Vorinstanzen hätten es insbesondere unterlassen, ihren Bedarf zu ermitteln und die Höhe des Einkommens, welches sie angeblich erzielen könne, festzulegen. Zudem werde nicht ansatzweise begründet, weshalb sie aufgrund der blossen Tatsache, dass sie fliessend Englisch spreche, eine gefragte Arbeitskraft sein soll. Dieser Schluss sei angesichts der derzeitigen Wirtschafts- und Arbeitsmarktlage unhaltbar und damit willkürlich. Auch bleibe aufgrund der vorinstanzlichen Ausführungen völlig unklar, in welcher Branche sie ohne weiteres eine Arbeit finden sollte. Ebenso unhaltbar sei die Argumentation, sie könne nach Dubai zurückkehren und dort ein Einkommen erzielen. Als äthiopische Staatsangehörige verfüge sie in Dubai über kein Aufenthaltsrecht. Weiter gehe es nicht an, dass ihr sogar für die Zeit, in welcher sie als Asylsuchende einem Arbeitsverbot unterlag sowie rückwirkend für das Jahr vor Einreichung ihres Eheschutzbegehrens ein hypothetisches Einkommen angerechnet werde. Unter den gegebenen Umständen dürfe man ihr kein hypothetisches Einkommen anrechnen und es bestehe daher ein Anspruch auf Unterhalt bzw. es hätte ein solcher Anspruch zumindest geprüft werden müssen. Ihr Rekurs sei somit keineswegs aussichtslos gewesen.
4.3 Bei der Festsetzung von Unterhaltsbeiträgen darf anstatt vom tatsächlichen Leistungsvermögen, von einem hypothetischen Einkommen ausgegangen werden, falls und soweit die betreffende Person bei gutem Willen bzw. bei ihr zuzumutender Anstrengung mehr zu verdienen vermöchte, als sie effektiv verdient. Wo die reale Möglichkeit einer Einkommenssteigerung fehlt, muss eine solche jedoch ausser Betracht bleiben. Bei der Frage, ob es der Beschwerdeführerin auch tatsächlich möglich ist, ein solches Einkommen zu erzielen, handelt es sich um eine Tatfrage, die durch entsprechende Feststellungen oder durch die allgemeine Lebenserfahrung zu beantworten ist (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 5 und E. 4c/bb S. 7).
Sowohl das Amtsgericht wie auch das Obergericht gehen vorliegend davon aus, dass es der Beschwerdeführerin ohne weiteres möglich sei, ein ihren Bedarf deckendes Einkommen zu erzielen. Zu dieser Überzeugung gelangen sie einzig aufgrund der Tatsache, dass die Beschwerdeführerin fliessend Englisch spricht sowie des fehlenden Dokuments, welches die Verweigerung der Rückkehr nach Dubai bestätigen könnte. Die Vorinstanzen haben es damit unterlassen, weitere Tatsachen festzustellen, die für die Beurteilung der Annahme eines hypothetischen Einkommens unabdingbar sind. Zum einen erfolgten keine Feststellungen über die Höhe des Bedarfs der Beschwerdeführerin und damit auch keine Angaben über das Einkommen, welches sie zu ihrer Bedarfsdeckung überhaupt erzielen müsste. Weshalb die Beschwerdeführerin allein aufgrund des Umstandes, dass sie fliessend Englisch spricht, eine gefragte Arbeitskraft sein sollte, begründen die Vorinstanzen ebenfalls mit keinem Wort. Anzumerken ist dazu insbesondere, dass mangels Feststellung ihrer beruflichen Qualifikation sowie der Berufserfahrung nicht beurteilt werden kann, ob es sich bei der Beschwerdeführerin um eine Arbeitskraft handelt, die auf dem Arbeitsmarkt gesucht wird. Auch fehlen Ausführungen zu möglichen Bereichen, in denen sie tätig sein könnte. Weiter liegt es auf der Hand, dass es einer äthiopischen Staatsangehörigen nicht ohne weiteres möglich ist, nach Dubai einzureisen bzw. dort eine Arbeitsstelle anzunehmen. Auch dazu fehlt eine eigentliche Begründung bzw. Feststellungen über den Bedarf und die Verdienstmöglichkeiten sowie die Arbeitsmarktlage in Dubai. Hinzu kommt, dass das Amtsgericht der Beschwerdeführerin bereits für die Zeit von einem Jahr vor Einreichung des Eheschutzbegehrens ein hypothetisches Einkommen angerechnet hat, was grundsätzlich nicht angeht, da es für diese Zeit offensichtlich an einer realen Möglichkeit der rückwirkenden Einkommenserzielung fehlt (vgl. Urteil 5P.255/2003 E. 4.3.1 und 4.3.2, in: FamPra.ch 2004 S. 372). Nach dem Gesagten haben es die Vorinstanzen unterlassen, unabdingbare Feststellungen zur Beantwortung der Frage, ob der Beschwerdeführerin die Erzielung eines bedarfsdeckenden Einkommens möglich ist, zu treffen. Weiter haben sie ihr für ein Jahr vor Gesuchseinreichung und somit rückwirkend ein hypothetisches Einkommen angerechnet, was grundsätzlich unzulässig ist. Die Schlussfolgerung des Amtsgerichts, wie auch des Obergerichts, die Beschwerdeführerin sei ohne weiteres in der Lage, ein bedarfsdeckendes Einkommen zu erzielen, weshalb kein Anspruch auf Unterhaltsbeiträge bestehe, muss vor diesem Hintergrund als willkürlich beurteilt werden. Folglich kann auch der Rekurs der Beschwerdeführerin gegen das Eheschutzurteil des Amtsgerichtspräsidenten an das Obergericht, mit welchem sie die Aufhebung dieses Urteils und insbesondere die Zusprechung eines Unterhaltsbeitrages verlangt, nicht als aussichtslos bezeichnet werden.
5. Die Beschwerde erweist sich somit als begründet. Zur Zeit kann noch nicht über die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Verfahren entschieden werden, da das Obergericht die weiteren Voraussetzungen (Bedürftigkeit und Notwendigkeit des Anwalts) noch nicht beurteilt hat. Auch müsste vor einer allfälligen Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege geprüft werden, wie es sich mit den Einkommens- und Vermögensverhältnissen des Beschwerdegegners verhält, um zu beurteilen, ob dieser zu einem Prozesskostenvorschuss für das Rekursverfahren und für die Anwaltskosten der Beschwerdeführerin verpflichtet werden könnte. Denn auf Grund ihrer Subsidiarität kann die unentgeltliche Rechtspflege von einem bedürftigen Ehegatten nur beansprucht werden, wenn der andere Ehegatte einen Prozesskostenvorschuss - die sog. provisio ad litem - zu leisten nicht in der Lage oder der ihm auferlegte Vorschuss nicht oder nur mit aussergewöhnlichen Schwierigkeiten einbringlich ist (Urteil 5P.441/2005 vom 9. Februar 2006 E. 1.1 und 1.2, in: Pra 2006 Nr. 143 S. 987). Zu diesen weiteren Abklärungen und zur neuen Entscheidung ist die Sache an das Obergericht zurückzuweisen.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Solothurn hat indes die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>).
7. Bei dieser Kosten- und Entschädigungsregelung wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Solothurn, Zivilkammer, vom 24. Juli 2009 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Beurteilung der Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin und der Notwendigkeit anwaltlicher Verbeiständung sowie zur Abklärung der Einkommens- und Vermögensverhältnisse des Beschwerdegegners an das Obergericht zurückgewiesen.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Der Kanton Solothurn hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin:
Hohl Gut Kägi