Faits :
A.
X._ et Y._ se sont mariés en décembre 2003. Séparés depuis le 28 novembre 2008, ils ont divorcé le 29 mars 2012.
Le 16 novembre 2006, deux décisions de taxation définitive pour l'impôt fédéral direct (ci-après: IFD) et les impôts cantonal et communal (ci-après: ICC), relatives à l'année fiscale 2005, ont été envoyées aux époux. Les montants d'impôt dus étaient de 1'413 fr. pour l'IFD et de 12'891 fr. 55 pour l'ICC. Au terme de poursuites infructueuses requises contre Y._, deux actes de défaut de biens ont été établis le 21 février 2008 pour le solde des impôts encore dus, c'est-à-dire 881 fr. 05 pour l'IFD et 4'315 fr. 20 (intérêts et frais de poursuites inclus) pour l'ICC.
Le 16 août 2007, deux décisions de taxation définitive pour l'IFD et l'ICC, relatives à l'année fiscale 2006, ont été envoyées aux époux. Les montants d'impôt dus étaient de 1'388 fr. pour l'IFD et de 14'226 fr. 65 pour l'ICC. Au terme de poursuites infructueuses requises contre Y._, deux nouveaux actes de défaut de biens ont été établis le 7 août 2008 pour le solde des impôts encore dus, c'est-à-dire 1'417 fr. 70 pour l'IFD et 12'592 fr. 30 (intérêts et frais de poursuites inclus) pour l'ICC.
Le 17 juillet 2008, deux décisions de taxation définitive pour l'IFD et l'ICC, relatives à l'année fiscale 2007, ont été envoyées aux époux. Les montants d'impôt dus étaient de 391 fr. pour l'IFD et de 8'366 fr. 10 pour l'ICC.
B.
Le 13 décembre 2012, l'office de perception du Service des contributions de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des contributions) a rendu six décisions fixant la part personnelle de X._ aux impôts fédéraux ainsi qu'aux impôts cantonaux et communaux pour les années fiscales 2005 à 2007. A la suite du rejet d'une réclamation par le Service des contributions le 24 avril 2014, X._, se prévalant notamment de la prescription des créances fiscales 2005 et 2006, a saisi la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal).
Par arrêt du 27 novembre 2014, le Tribunal cantonal a partiellement admis le recours. Il a ainsi réduit les montants d'impôt pour les années en cause, retenant des montants de 326 fr. 50 pour l'IFD 2005, 2'014 fr. pour l'ICC 2005, 527 fr. 25 pour l'IFD 2006, 5'310 fr. 10 pour l'ICC 2006, 108 fr. 80 pour l'IFD 2007 et 2'216 fr. 40 pour l'ICC 2007. Dans chacun des cas, il a déduit du montant d'impôt encore dû les frais de recouvrement relatifs aux poursuites contre Y._. Il a par contre refusé de reconnaître la prescription des dettes fiscales pour les années 2005 et 2006.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public et celle, subsidiaire, du recours constitutionnel, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 27 novembre 2014 du Tribunal cantonal, la décision sur réclamation du 24 avril 2014 du Service des contributions et les décisions de taxation fixant les parts personnelles de l'épouse aux impôts 2005 à 2007, ainsi que de constater la prescription du droit de taxer l'IFD et l'ICC pour les années fiscales 2005 et 2006 et de fixer sa part d'IFD 2007 à 108 fr. 80 et d'ICC 2007 à 2'216 fr. 40. Elle se plaint de violation du droit fédéral, respectivement d'arbitraire dans son application.
Le Service des contributions, le Tribunal cantonal et l'Administration fédérale des contributions concluent tous au rejet du recours. Dans des observations finales, X._ a encore confirmé ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal cantonal a rendu une seule décision valant tant pour l'impôt fédéral direct que pour les impôts cantonal et communal, ce qui est en principe admissible (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 262 ss). Par souci d'unification par rapport à d'autres cantons dans lesquels deux décisions sont rendues, la Cour de céans a toutefois ouvert deux dossiers, l'un concernant l'impôt cantonal (2C_58/2015) et l'autre l'impôt fédéral direct (2C_59/2015). Comme l'état de fait est identique et que les questions juridiques se recoupent, les deux causes seront néanmoins jointes et il sera statué dans un seul arrêt (<ref-law> et 24 de la loi de procédure civile fédérale du 4 décembre 1947 [PCF; RS 273]).
2.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 44; <ref-ruling> consid. 1 p. 472).
2.1. Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>) ne tombant pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'<ref-law>. La voie du recours en matière de droit public est partant ouverte, conformément aux art. 146 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'impôt fédéral direct (LIFD; RS 642.11) et 73 al. 1 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes (LHID; RS 642.14), dès lors qu'il porte sur la prescription du droit de percevoir l'impôt, une matière harmonisée aux <ref-law> et 47 al. 2 LHID. Contrairement à ce que semble penser la recourante, il n'est pas question de valeur litigieuse minimale pour que le recours en matière de droit public soit ouvert dans une cause fiscale. Partant, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (<ref-law> a contrario).
2.2. Dans la mesure où la recourante demande l'annulation de la décision sur réclamation du Service des contributions et des décisions de taxation, ses conclusions ne sont pas recevables en raison de l'effet dévolutif complet du recours déposé auprès du Tribunal cantonal (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 543; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 474).
2.3. Selon un principe général de procédure, les conclusions en constatation de droit ne sont recevables que lorsque des conclusions condamnatoires ou formatrices sont exclues. Sauf situations particulières, les conclusions constatatoires ont donc un caractère subsidiaire (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 122; arrêts 2C_490/2014 du 26 novembre 2014 consid. 1.2; 2C_199/2010 du 12 avril 2011 consid. 3.3, non publié in <ref-ruling>). Dans la mesure où la recourante conclut, parallèlement à l'annulation de l'arrêt du 27 novembre 2014 du Tribunal cantonal, à ce qu'il soit dit et constaté " que le droit de procéder à la taxation concernant l'impôt cantonal et communal et fédéral direct pour les périodes 2005 et 2006 est prescrit ", elle formule une conclusion constatatoire qui est irrecevable. Au demeurant, on relèvera encore qu'il n'est en l'occurrence de toute façon pas question d'une prescription du droit de taxer, mais du droit de percevoir l'impôt, contrairement à ce que fait valoir la recourante dans sa conclusion constatatoire.
2.4. Finalement, pour l'année fiscale 2007, la recourante demande que sa part de l'impôt soit fixée à 108 fr. 80 pour l'IFD et à 2'216 fr. 40 pour l'ICC. Or ce sont précisément les montants d'impôt que le Tribunal cantonal a retenu pour cette année fiscale. Faute de litige sur ce point, cette conclusion doit par conséquent être déclarée sans objet.
3.
Le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (<ref-law>) et applique le droit d'office (<ref-law>). Il fonde son raisonnement juridique sur les faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51) - ou en violation du droit (<ref-law>). Le recourant qui entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. <ref-law>) doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356).
4.
Il ressort des faits contenus dans l'arrêt entrepris que la recourante et son mari ont été taxés conjointement pour les années fiscales 2005 et 2006. Les décisions de taxation sont entrées en force et ont été envoyées le 16 novembre 2006, respectivement le 16 août 2007 aux époux. Faute d'avoir obtenu paiement, le Service des contributions a requis des poursuites, toutefois uniquement contre le mari de la recourante. Le Service des contributions n'ayant pas été intégralement désintéressé, il a reçu des actes de défaut de biens pour les montants impayés. Par la suite, les époux se sont séparés et ont divorcé, ce qui a conduit le Service des contributions à fixer les parts d'impôt dues par la recourante dans de nouvelles décisions. Cette dernière a refusé de s'acquitter des montants dus, faisant valoir l'exception de prescription. Le Tribunal cantonal, confirmant la décision sur réclamation du Service des contributions, a considéré que la dette n'était pas prescrite. Il a jugé que ce n'était pas un délai de prescription de cinq ans, mais un délai de 20 ans qui s'appliquait, en raison de la constatation des dettes fiscales par des actes de défaut de biens et de la responsabilité solidaire de la recourante avec son époux au moment de l'émission de ces actes.
Le litige porte tout d'abord sur le point de savoir si la recourante répond solidairement de la dette fiscale et, dans un second temps, quelle incidence a la responsabilité solidaire (ou son absence) sur la prescription de cette dette.
I. Impôt fédéral direct
5.
5.1. En matière d'IFD, les revenus des époux qui vivent en ménage commun sont additionnés, quel que soit le régime matrimonial (<ref-law>). Dans une telle situation, les époux exercent leurs droits et s'acquittent de leurs obligations de manière conjointe (<ref-law>). A teneur de l'art. 13 al. 1, 1 re phrase, LIFD, les époux qui vivent en ménage commun répondent solidairement du montant global de l'impôt. La LIFD ne règle pas expressément les effets de cette solidarité entre époux. Pour cette raison, il convient d'appliquer les règles générales du droit des obligations (cf. <ref-ruling> consid. 19b p. 291 s.; Blumenstein/Locher, System des schweizerischen Steuerrechts, 6 e éd. 2002, p. 55 s.; Xavier Oberson, Droit fiscal suisse, 4 e éd. 2012, § 25 n° 10; cf. également <ref-ruling> consid. 2.1 p. 508 s. et les références citées; arrêt 2C_432/2010 du 9 novembre 2010 consid. 4.2, ces références appliquant les règles générales de la compensation en l'absence de dispositions idoines dans la législation spéciale). Les époux doivent donc être considérés comme des débiteurs solidaires passifs, puisqu'ils sont tous deux, de par la loi, personnellement débiteurs envers l'Etat. Ils répondent ainsi chacun pour l'entier de la dette (cf. <ref-law>; cf. arrêt 2C_142/2014 du 13 avril 2015 consid. 3.4.3). En conséquence, le créancier peut, à son choix, exiger des deux ou de l'un d'eux seulement l'exécution intégrale ou partielle de l'obligation (<ref-law>; cf. arrêt 2A.379/2002 du 18 février 2003 consid. 2.2, in StE 2003 B 99.2 n° 20, Archives 73 p. 646 et RDAF 2003 II 337; Thomas Müller, Die solidarische Mithaftung im Bundessteuerrecht, thèse Berne 1999, p. 9).
5.2. La solidarité prend fin ex lege, soit lorsque les époux ne vivent pas (plus) en ménage commun (<ref-law>), soit lorsque l'un d'eux est insolvable (art. 13 al. 1, 2 e phrase, LIFD).
Dans les cas d'absence de ménage commun, le moment de la séparation, respectivement du divorce, détermine celui de l'extinction de la solidarité (cf. Peter Locher, Kommentar zum DBG, I. Teil, 2001, n° 14 ad <ref-law>; Christine Jacques, in Yersin/Noël [éd.], Commentaire romand, Impôt fédéral direct, 2008, n° 17 ad <ref-law>; cf. arrêt 2A.379/2002 précité consid. 2.2).
L'insolvabilité doit être reconnue dès l'instant où sont établis des éléments qui attestent de l'incapacité durable du débiteur de remplir ses obligations financières, par exemple, un surendettement complet, l'existence d'actes de défaut de biens (à tout le moins définitifs), l'ouverture de la faillite ou la conclusion d'un concordat par abandon d'actifs (ch. 6.2.1 de la circulaire n° 30 de l'Administration fédérale des contributions du 21 décembre 2010 concernant l'imposition des époux et de la famille selon la loi fédérale sur l'impôt fédéral direct; Peter Locher, op. cit., n° 15 ad <ref-law>; Christine Jacques, op. cit. n° 12 ad <ref-law>; Greminger/Bärtschi, in Zweifel/Athanas [éd.], Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer [DBG] Art. 1-82, 2 e éd. 2008, n° 3 ad <ref-law>; Richner/Frei/Kaufmann, Handkommentar zum DBG, 2003, n° 9 ad <ref-law>).
5.3. En l'espèce, les actes de défaut de biens du 21 février 2008 font référence à l'<ref-law> et mentionnent qu'il n'a pas été constaté chez le débiteur la présence de biens saisissables (<ref-law>). Ils valent dès lors comme actes de défaut de biens définitif (cf. art. 115 al. 1 et 149 LP; Nicolas Jeandin, in Dallèves/Foëx/Jeandin [éd.], Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, n° 1 ad <ref-law>) et suffisent pour reconnaître l'insolvabilité de l'époux de la recourante au sens de l'art. 13 al. 1, 2 e phrase, LIFD. C'est par conséquent à la date du 21 février 2008 que la solidarité fiscale entre la recourante et son époux a pris fin pour les impôts des périodes fiscales 2005 et 2006 encore dus (Peter Locher, op. cit., n° 15 ad <ref-law>; Christine Jacques, op. cit., n° 13 ad <ref-law>; Greminger/Bärtschi, op. cit., n° 3 ad <ref-law>), ce que le Service des contributions a su dès l'instant où il a reçu lesdits actes de défaut de biens. La séparation puis le divorce du couple, intervenus postérieurement, n'ont plus d'effet à cet égard.
6.
La recourante invoque une violation de l'<ref-law>, dans la mesure où l'autorité précédente a jugé que le délai de prescription de 20 ans d'une créance constatée par un acte de défaut de biens s'appliquait également à un débiteur solidaire. Elle soutient que la prescription est acquise, en application de l'<ref-law>.
Il convient donc de déterminer les conséquences de la fin de la solidarité intervenue le 21 février 2008 sur la prescription de la dette fiscale de la recourante.
6.1. A teneur de l'<ref-law>, la créance constatée par un acte de défaut de biens se prescrit par 20 ans à compter de la délivrance de l'acte de défaut de biens. En se référant à une jurisprudence du Tribunal fédéral rendue en matière de TVA (cf. <ref-ruling>), le Tribunal cantonal a jugé que les délais de prescription de la LIFD ne s'appliquaient pas au cas d'espèce. Selon lui, c'est le délai de prescription de 20 ans, prévu par l'<ref-law>, qui devait être opposable à l'épouse solidairement responsable du paiement de la dette fiscale du couple, malgré le fait que l'acte de défaut de biens n'ait pas été dressé à son nom. Ce raisonnement ne peut être suivi. Puisque les actes de défaut de biens définitifs datés du 21 février 2008 ont mis fin à la solidarité entre les époux, conformément à la disposition spéciale de l'art. 13 al. 1, 2 e phrase, LIFD (cf. consid. 5.3 ci-dessus), ils ne sauraient constituer en même temps l'élément qui fait partir un délai de prescription de 20 ans à l'encontre de la recourante, qui n'était pas la débitrice poursuivie. L'<ref-law> ne trouve ainsi pas d'application en l'espèce. Contrairement à la solution retenue par le Tribunal cantonal, ce sont les délais de prescription ordinaires de la LIFD qui restent applicables.
6.2. En matière d'IFD, la prescription du droit de percevoir l'impôt est prévue à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, les créances d'impôt se prescrivent par cinq ans à compter de l'entrée en force de la taxation (prescription relative). Aux termes de l'<ref-law>, la prescription est acquise dans tous les cas après dix ans à compter de la fin de l'année au cours de laquelle la taxation est entrée en force (prescription absolue). La prescription est suspendue ou interrompue aux conditions prévues à l'art. 120 al. 2 et 3 LIFD (<ref-law>). Ainsi, un nouveau délai de prescription commence notamment à courir lorsque l'autorité prend une mesure tendant à fixer ou faire valoir la créance d'impôt et en informe le contribuable ou une personne solidairement responsable avec lui du paiement de l'impôt (cf. <ref-law> par renvoi de l'<ref-law>). Selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, toutes les mesures des autorités portées à la connaissance du contribuable et tendant à recouvrer la créance fiscale, de même que de simples lettres ou injonctions interrompent le délai de prescription (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 67 s.; <ref-ruling> consid. 3.4.3 p. 281 s.; <ref-ruling> consid. 2c p. 3). Il s'agit plus généralement de tout acte officiel (Ryser/Rolli, Précis de droit fiscal suisse [impôts directs], 4e éd. 2002, p. 497), c'est-à-dire également de réquisitions de poursuite et de toute autre mesure du droit des poursuites (Peter Locher, Kommentar zum Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer, III. Teil, 2015, n° 35 ad <ref-law>; Michael Beusch, in Zweifel/Athanas [éd.], Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer [DBG], 2 e éd. 2008, n° 46 ad <ref-law>). De même lorsque dure la solidarité fiscale, toute mesure du droit des poursuites dirigée contre un débiteur fait partir un nouveau délai de prescription également contre la personne solidairement responsable (cf. <ref-law>, par renvoi de l'<ref-law>). L'acte de défaut de biens constitue une telle mesure, quand bien même il met fin, pour le futur, à la solidarité entre les époux.
6.3. Appliqué au cas d'espèce, cela signifie que jusqu'à la fin de la solidarité des époux survenue le 21 février 2008, tout acte relatif aux impôts 2005 ou 2006, qu'il émane de l'autorité fiscale ou de l'autorité de poursuite et qu'il soit dirigé contre la recourante ou son mari, fait courir un nouveau délai de prescription du droit de percevoir l'impôt qu'il concerne. Postérieurement à cette date, seuls les actes dirigés contre la recourante sont à prendre en compte pour la prescription des dettes fiscales de cette dernière.
6.4. S'agissant en premier lieu de l'année fiscale 2005, une décision de taxation définitive pour l'IFD a été envoyée aux époux le 16 novembre 2006. La prescription absolue sera donc atteinte en fin 2016. La prescription relative de cinq ans a commencé à courir à la date d'entrée en force de cette décision. L'acte de défaut de biens du 21 février 2008, ultime acte interruptif de prescription dirigé contre l'époux et opposable à l'épouse, intervenu dans les cinq ans suivant la taxation, a fait courir un nouveau délai de prescription pour la perception de l'impôt auprès de cette dernière. Le 13 décembre 2012, c'est-à-dire dans un délai de cinq ans suivant l'acte de défaut de biens précité, le Service des contributions a fixé la part de la recourante à l'impôt pour l'année en cause. Cette mesure constitue également un cas d'application de l'<ref-law>, par renvoi de l'<ref-law>, qui fait partir un nouveau délai de prescription. Force est ainsi de constater que la part d'IFD due par la recourante pour l'année 2005 n'est pas encore prescrite à ce jour.
Le recours est donc rejeté dans la mesure où il est recevable en tant qu'il concerne l'impôt fédéral direct pour l'année fiscale 2005.
6.5. Quant à l'année fiscale 2006, une décision de taxation définitive pour l'IFD a été envoyée aux époux le 16 août 2007. La prescription absolue sera atteinte en fin 2017. Sans suspension ni interruption de la prescription, la créance se serait prescrite en 2012. Néanmoins, les 21 février 2008 puis 13 décembre 2012 (cf. consid. 6.4 ci-dessus), soit dans les délais de prescription relative, des mesures constituant des cas d'application de l'<ref-law>, par renvoi de l'<ref-law>, ont à chaque fois fait partir de nouveaux délais de prescription. Force est ainsi de constater que la part d'IFD due par la recourante pour l'année 2006 n'est pas encore prescrite à ce jour.
Le recours est donc rejeté dans la mesure où il est recevable en tant qu'il concerne l'impôt fédéral direct pour l'année fiscale 2006.
II. Impôts cantonal et communal
7.
La LHID traite de la prescription du droit de percevoir l'impôt à son art. 47 al. 2. Le droit cantonal en fait de même aux art. 186 et 187 de la loi neuchâteloise du 21 mars 2000 sur les contributions directes (LCdir/NE; RSN 631.0). Cependant, la LHID laisse les législateurs cantonaux déterminer les cas dans lesquels la prescription est suspendue ou interrompue (Bernhard J. Greminger, in Zweifel/Athanas [éd.], Bundesgesetz über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG], 2e éd. 2002, n° 9 s. ad <ref-law>). Surtout, à la différence de la LIFD, elle ne contient pas de disposition relative à la solidarité entre les époux (cf. <ref-ruling> consid. 4b p. 146; arrêt 2P.201/2005 du 13 janvier 2006 consid. 2.2). Elle ne règle donc pas la question de savoir si les époux répondent solidairement du paiement de l'impôt et s'il existe des situations mettant fin à la responsabilité solidaire. A ce propos, le canton de Neuchâtel a repris les règles de l'<ref-law> à l'art. 15 al. 1 LCdir/NE.
L'extinction de la solidarité entre époux n'étant pas une matière harmonisée, mais un question de pur droit cantonal, sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), l'on ne peut en invoquer la violation en tant que telle devant le Tribunal fédéral (<ref-law> e contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que l'application du droit cantonal consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire (art. 9 Cst.) ou la garantie d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 314; arrêt 2C_330/2013 du 10 septembre 2013 consid. 2.1). En l'espèce, le mémoire de la recourante ne remplit pas ces conditions, raison pour laquelle le recours doit être déclaré irrecevable en tant qu'il concerne l'ICC.
8.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 2C_58/2015 et 2C_59/2015 sont jointes.
2.
Le recours en matière de droit public est rejeté dans la mesure où il est recevable en tant qu'il concerne l'impôt fédéral direct.
3.
Le recours en matière de droit public est irrecevable en tant qu'il concerne les impôts cantonal et communal.
4.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
5.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
6.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service des contributions et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, ainsi qu'à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 23 octobre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
Le Greffier : Tissot-Daguette