A.- Mit Verfügung vom 5. Juli 1995 stellte die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) die Leistungen an die am 11. Juli 1993 verunfallte W._ auf den 9. Juli 1995 ein, woran sie mit Einspracheentscheid vom 21. August 1997 festhielt. Auf die hiegegen erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 5. November 1997 androhungsgemäss nicht ein, nachdem der Rechtsvertreter, Rechtsanwalt Dr. S._ innert angesetzter Frist die ungebührliche Äusserungen
enthaltende Beschwerdeschrift vom 16. Oktober 1997 nicht verbessert hatte, und auferlegte Rechtsanwalt Dr. S._ eine Ordnungsbusse von Fr. 400.-. Die hiegegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Eidgenössische Versicherungsgericht mit Urteil vom 15. Mai 1998 ab, soweit darauf einzutreten war. In den Erwägungen hielt es fest, ob die Vorinstanz die zweite, vom Rechtsvertreter bei ihr (am 20. November 1997) eingereichte Beschwerde in gleicher Sache materiell zu prüfen habe, sei nicht im vorliegenden Prozess zu entscheiden.
Mit Entscheid vom 30. September 1998 trat das Verwaltungsgericht auf die zweite Beschwerde vom 20. November 1997 ein, hiess diese gut, hob den Einspracheentscheid vom 21. August 1997 auf und hielt fest, dass die SUVA W._ über den 9. Juli 1995 hinaus die gesetzlichen Leistungen zu erbringen habe.
In Gutheissung der von der SUVA hiegegen eingereichten Verwaltungsgerichtsbeschwerde hob das Eidgenössische Versicherungsgericht den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 30. September 1998 auf mit der Feststellung, dass auf die Beschwerde vom 20. November 1997 nicht einzutreten sei (Urteil vom 12. April 1999). Wie bereits beim Urteil vom 15. Mai 1998 (U 319/97) wirkte auch in diesem Fall Gerichtsschreiber Maillard mit.
B.- Mit Revisionsgesuch vom 27. Mai 1999 lässt W._ beantragen, das Urteil vom 12. April 1999 sei "wegen Befangenheit von Gerichtsschreiber Maillard im Sinne von Art. 23 OG, <ref-law> sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK aufzuheben und die Sache einer Kammer des Eidgenössischen Versicherungsgerichts zum neuen Entscheid zuzuweisen".
Während die SUVA die Rückweisung des Revisionsgesuchs zur Verbesserung verlangt und im Übrigen auf Nichteintreten auf das Rechtsmittel schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Von einer Rückweisung der Eingabe der Gesuchstellerin zur Verbesserung im Sinne von Art. 30 Abs. 3 OG ist entgegen dem Antrag der SUVA aus verfahrensökonomischen Gründen abzusehen, obwohl die Rechtsschrift Äusserungen enthält, die zumindest im Grenzbereich der Ungebührlichkeit liegen.
2.- a) Nach Art. 136 lit. a OG kann die Revision eines bundesgerichtlichen Entscheides verlangt werden, wenn die Vorschriften dieses Gesetzes über die Besetzung des Gerichts oder Art. 57 über die Aussetzung der Entscheidung verletzt werden, sowie im Falle von Art. 28 Abs. 1 OG erklärt Amtshandlungen als anfechtbar, an denen eine Gerichtsperson teilgenommen hat, die ihr Amt nicht hätte ausüben dürfen; Art. 28 Abs. 2 OG bestimmt, dass bei Ablehnung (einer Gerichtsperson) die Nichtigkeit erst auf den Zeitpunkt des Ablehnungsbegehrens eintritt.
b) Weil Art. 28 Abs. 2 OG eine rückwirkende Aufhebung von Amtshandlungen ausschliesst, können im Revisionsverfahren nach Art. 136 lit. a OG lediglich Ausschlussgründe nach Art. 22 OG, nicht dagegen Ablehnungsgründe nach Art. 23 OG geltend gemacht werden (<ref-ruling>, 111 Ia 77; Poudret, Commentaire OJ, Bd. I S. 144 f. mit Hinweisen; Rhinow/ Koller/Kiss, Öffentliches Prozessrecht und Justizverfassungsrecht des Bundes, S. 92 Rz 469). Ob sich diese Regelung auch dann mit der Bundesverfassung und Art. 6 Ziff. 1 EMRK vereinbaren lässt, wenn die Partei vorgängig des Entscheids keine Kenntnis von der Zusammensetzung des urteilenden Gerichts hatte, erscheint fraglich (vgl. Poudret, a.a.O., S. 145), kann im vorliegenden Fall aber offen bleiben, wie sich aus dem Folgenden ergibt.
3.- a) Nach Art. 58 Abs. 1 (erster Teilsatz) aBV darf niemand seinem verfassungsmässigen Richter entzogen werden. Art. 6 Ziff. 1 EMRK, welcher grundsätzlich in allen bundessozialversicherungsrechtlichen Streitigkeiten anwendbar ist (<ref-ruling> f. Erw. 2a mit Hinweisen), verlangt, dass über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen in billiger Weise öffentlich und innerhalb angemessener Frist durch ein unabhängiges und unparteiisches, auf Gesetz beruhendes Gericht entschieden wird (vgl. <ref-ruling> Erw. 2a zu den einzelnen Verfahrensgarantien).
Unabhängigkeit, Unparteilichkeit und Trennung des Gerichts von staatlichen und privaten Einflüssen beurteilen sich im Bereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 58 Abs. 1 aBV nach den gleichen Massstäben (Kölz, BV-Kommentar, Rz 41 zu Art. 58 mit Hinweis auf die Rechtsprechung des Bundesgerichts). Wie das Eidgenössische Versicherungsgericht im Urteil J. vom 19. Mai 2000, U 161/98, festgestellt hat, gilt dies auch unter der Herrschaft der am 1. Januar 2000 in Kraft getretenen neuen Bundesverfassung vom 18. April 1999 (BV). <ref-law>, wonach jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht hat, hat an der aus Art. 58 Abs. 1 aBV abgeleiteten Garantie des unabhängigen und unparteiischen Richters nichts geändert. Es kann daher offen bleiben, ob im hier zu beurteilenden Fall die neue oder die alte Bundesverfassung Anwendung findet.
Praxisgemäss sind Ablehnungs- und Ausstandsgründe so früh als möglich geltend zu machen. Nach der Rechtsprechung zu Art. 58 aBV bzw. <ref-law> verstösst es gegen Treu und Glauben, Einwände dieser Art erst im Rechtsmittelverfahren vorzubringen, wenn und insoweit der - echte oder vermeintliche - Organmangel schon im vorangegangenen Verfahren hätte festgestellt werden können. Wer einen solchen Mangel feststellt und sich nicht unverzüglich dagegen zur Wehr setzt, sondern sich stillschweigend auf den Prozess einlässt, verwirkt den Anspruch auf spätere Anrufung der verletzten Verfassungsbestimmung (<ref-ruling> Erw. 4b und 114 V 62 Erw. 2c mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> Erw. 2, 119 Ia 227 Erw. 5a mit weiteren Hinweisen). Dies hat auch dann zu gelten, wenn in der gleichen Sache mehrere Urteile der gleichen Instanz ergehen. Auch in diesen Fällen darf der Betroffene mit der Geltendmachung von Ablehnungs- und Ausschlussgründen nicht zuwarten, um allenfalls je nach dem Ausgang des ersten Verfahrens solche Gründe später vorzubringen.
b) Die Gesuchstellerin begründet die geltend gemachte Befangenheit von Gerichtsschreiber Maillard in erster Linie damit, dass dieser in der Zeit vom 1. Mai 1996 bis 31. August 1997 und damit während der Zeit, als der Einspracheentscheid vom 21. August 1997 in ihrer Sache erging, im Einsprachedienst der SUVA gearbeitet habe. Dabei ist unbestritten, dass Gerichtsschreiber Maillard sich nie mit dem konkreten Fall befasst hat. Wie dem Revisionsgesuch zu entnehmen ist, hatte der Rechtsvertreter der Gesuchstellerin von der früheren Tätigkeit von Gerichtsschreiber Maillard bereits vor Erlass des Einspracheentscheides der SUVA vom 21. August 1997 Kenntnis gehabt. Er hätte die aus dieser Tätigkeit abgeleiteten Ablehnungsgründe daher bereits in der Vernehmlassung zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde der SUVA gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 30. September 1998 vorbringen müssen. Denn er musste auf Grund des Urteils des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 15. Mai 1998 damit rechnen, dass Gerichtsschreiber Maillard auch im Rahmen des neuen Verfahrens mit der Urteilsredaktion betraut sein würde. Diesen Umstand muss sich die Gesuchstellerin entgegenhalten lassen. Der Anspruch auf Geltendmachung von Ablehnungsgründen ist in diesem Punkt daher als verwirkt zu betrachten, weshalb insoweit auf das Revisionsgesuch nicht einzutreten ist.
4.- Soweit sich das Revisionsgesuch auf Tatsachen stützt, die erst nach dem Urteil vom 12. April 1999 eingetreten oder bekannt geworden sind, vermögen diese einen Ablehnungsgrund im Sinne von Art. 23 OG nicht zu begründen.
a) Gemäss Art. 23 lit. c OG darf ein Mitglied oder nebenamtlicher Richter des Bundesgerichts sein Amt nicht ausüben, wenn Tatsachen vorliegen, die ihn in Bezug auf den zu beurteilenden Fall als befangen erscheinen lassen. Dieser Grundsatz ist nach den Garantien von Art. 58 aBV bzw. <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK auch auf Gerichtsschreiber anwendbar, sofern sie an der Willensbildung des Spruchkörpers mitwirken (<ref-ruling> Erw. 4c mit Hinweisen). Die aus dem Verfahrens-, Verfassungs- und Konventionsrecht fliessenden Garantien sind verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Umstände vorliegen, welche den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Für die Ablehnung einer Gerichtsperson braucht nicht nachgewiesen zu werden, dass diese tatsächlich befangen ist. Es genügt vielmehr, wenn Umstände vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Bei der Beurteilung des Anscheins der Befangenheit und der Gewichtung solcher Umstände kann jedoch nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abgestellt werden. Das Misstrauen in den Richter muss vielmehr in objektiver Weise als begründet erscheinen (<ref-ruling> Erw. 3a in fine mit Hinweis, 118 Ia 286 Erw. 3d, 117 Ia 184 Erw. 3b und 326).
b) Im Revisionsgesuch werden keine Gründe vorgetragen, welche eine Befangenheit oder Voreingenommenheit des am Urteil vom 12. April 1999 mitwirkenden Gerichtsschreibers Maillard objektiv als begründet erscheinen liessen. Aus dem Umstand, dass das Urteil vom 12. April 1999 nach Auffassung der Gesuchstellerin rechtsfehlerhaft ist, lässt sich die geltend gemachte Befangenheit nicht ableiten. Abgesehen davon, dass die Zuständigkeit und Verantwortung für den Entscheid bei der urteilenden Kammer liegt, genügen formelle und materielle Fehler in der Fallbeurteilung in der Regel nicht zur Annahme einer Befangenheit (<ref-ruling> Erw. 3a, 113 Ia 410 Erw. 2b). Hieran ändert der Hinweis auf andere, angeblich unzutreffende Urteile, an welchen Gerichtsschreiber Maillard mitgewirkt hat, nichts. Es lassen sich daraus weder objektive Anzeichen von Befangenheit oder Voreingenommenheit noch konkrete Anhaltspunkte dafür entnehmen, dass Gerichtsschreiber Maillard bei seiner bisherigen Tätigkeit am Eidgenössischen Versicherungsgericht und insbesondere in dem hier zur Diskussion stehenden Verfahren im Einflussbereich der SUVA stand, wie dies im Revisionsgesuch behauptet wird. Für nähere Abklärungen, wie sie die Gesuchstellerin in diesem Zusammenhang beantragt, besteht kein Anlass. Schliesslich lassen sich auch aus der raschen Erledigung des mit Urteil vom 12. April 1999 abgeschlossenen Verfahrens keine objektiven Anzeichen der Befangenheit oder Voreingenommenheit ableiten. Für den in diesem Zusammenhang geäusserten Verdacht, wonach Gerichtsschreiber Maillard bei der Zirkulation des Urteilsentwurfs nicht allen Mitgliedern der urteilenden Kammer sämtliche Akten vorgelegt habe, fehlen jegliche Anhaltspunkte.
5.- Soweit darauf einzutreten ist, erweist sich das Revisionsgesuch als offensichtlich unbegründet, weshalb es im Verfahren nach Art. 143 Abs. 1 OG erledigt wird.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf
einzutreten ist.
II. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Gesuch-
stellerin auferlegt und mit dem geleisteten Kosten-
vorschuss verrechnet.
III. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungs-
gericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für
Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 11. Juli 2000
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Vorsitzende der I. Kammer:
Der Gerichtsschreiber:
i.V.