Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. P._ (geb. 1964) war bei der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (damals noch Elvia Versicherungen) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert, als sie am 13. September 1999 einen Verkehrsunfall erlitt. Die Unfallversicherung erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Mit Verfügung vom 7. November 2002 teilte die Allianz Suisse P._ mit, dass sie ihre Leistungen auf den 31. August 2002 einstelle. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 24. November 2003 fest.
A. P._ (geb. 1964) war bei der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (damals noch Elvia Versicherungen) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert, als sie am 13. September 1999 einen Verkehrsunfall erlitt. Die Unfallversicherung erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Mit Verfügung vom 7. November 2002 teilte die Allianz Suisse P._ mit, dass sie ihre Leistungen auf den 31. August 2002 einstelle. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 24. November 2003 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 13. Juli 2005 insofern gut, als es die Sache zu näheren Abklärungen an die Unfallversicherung zurückwies.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 13. Juli 2005 insofern gut, als es die Sache zu näheren Abklärungen an die Unfallversicherung zurückwies.
C. Die Allianz Suisse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, der kantonale Entscheid sei aufzuheben.
P._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Vorschriften zum Anspruch auf Heilbehandlung (<ref-law>) und auf Taggeld (<ref-law>) sowie die Rechtsprechung zum natürlichen (<ref-ruling> Erw. 1) und zum adäquaten Kausalzusammenhang (<ref-ruling> Erw. 3d) als Voraussetzung für die Leistungspflicht der Unfallversicherung, zu den Schleudertraumata (<ref-ruling> ff. Erw. 4b), insbesondere zu den dabei massgebenden Kriterien für die Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs (<ref-ruling> Erw. 6a) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
1. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Vorschriften zum Anspruch auf Heilbehandlung (<ref-law>) und auf Taggeld (<ref-law>) sowie die Rechtsprechung zum natürlichen (<ref-ruling> Erw. 1) und zum adäquaten Kausalzusammenhang (<ref-ruling> Erw. 3d) als Voraussetzung für die Leistungspflicht der Unfallversicherung, zu den Schleudertraumata (<ref-ruling> ff. Erw. 4b), insbesondere zu den dabei massgebenden Kriterien für die Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs (<ref-ruling> Erw. 6a) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2. Streitig und zu prüfen ist, ob über den 31. August 2002 hinaus Anspruch auf Heilbehandlung zu Lasten der Unfallversicherung besteht.
2.1 Die Leistungseinstellung erfolgte insbesondere gestützt auf einen Bericht von Dr. med. E._, FMH für Chirurgie, vom 28. August 2002. Demnach leide die Versicherte an residuellen Cephalgien mit cervikaler Schmerzkomponente. Diese seien glaubhaft, könnten jedoch nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit allein auf das Ereignis vom 13. September 1999 zurückgeführt werden. Möglicherweise sei der Unfall eher als Auslöser zu interpretieren. Gesamthaft liege eine Empfindlichkeitsstörung vor, die durchaus weiterhin mit Massagen behandelt werden könne.
2.2 Die Vorinstanz holte drei Beweisauskünfte von Physiotherapeut Y._, vom 18. März 2005, von Dr. med. W._, Allgemeine Medizin FMH, vom 17. März 2005 und Dr. E._ vom 30. März 2005 ein. Gemäss dem Physiotherapeuten könnten die Restbeschwerden nur Folgen des Unfalls sein. Der Langzeitverlauf zeige eine zwar langsame, aber doch stetige Besserung der Symptome. Insbesondere die Häufigkeit der Migränen, ferner der Parästhesien habe auch nach dem 31. August 2002 noch reduziert werden können. Dr. W._ führt aus, es hätten nach dem 31. August 2002 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit weiterhin Unfallfolgen vorgelegen. Von einer Behandlung habe keine Besserung, aber eine Stabilisierung des Zustandes erwartet werden können. Dr. E._ nennt als weitere Ursache für die residuelle Cephalgie mit Schmerzkomponente neben dem Unfall die Empfindlichkeitsstörung. Der Unfall sei bloss möglicherweise, nicht aber mit überwiegender Wahrscheinlichkeit Teilursache, jedoch Auslöser für diese Leiden. Die druckempfindliche Muskulatur im cervicothorakalen Übergang sei eher nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit, sondern möglicherweise auf das Ereignis vom 13. September 1999 zurückzuführen. Es überwögen psychogene Komponenten, nämlich die Empfindlichkeitsstörung. Von einer Fortsetzung der Behandlung sei nach dem 31. August 2002 bloss möglicherweise eine weitere Verbesserung des Gesundheitszustandes zu erwarten gewesen.
2.3 Die Vorinstanz erachtete die Berichte von Dr. E._ als zu wenig klar in Bezug auf die Kausalitätsfrage. Ferner sei unsicher, wie es sich mit der Unfallkausalität weiterer geklagter Beschwerden verhalte (Parästhesien am linken Arm, Kopfschmerzen, Schwindel, Sehstörungen [Lichtüberempfindlichkeit], paroxysmale vegetative Symptome, Konzentrationsstörungen). Sodann sei näher abzuklären, ob einzelne Leiden noch behandelbar bzw. behandlungsbedürftig seien. Diese Fragen seien von entsprechenden Fachärzten zu beurteilen, weshalb eine rheumatologisch-orthopädische sowie eine neurologische Begutachtung erforderlich seien.
2.4 Hiegegen macht die Beschwerdeführerin geltend, die Vorinstanz hätte, statt weitere Abklärungen anzuordnen, zunächst den natürlichen und den adäquaten Kausalzusammenhang prüfen müssen. Da diese zu verneinen seien, erübrigten sich zusätzliche Untersuchungen. Zudem sei selbst nach dem Hausarzt, der bestimmt nicht zu Ungunsten seiner Patientin aussage, von einer weiteren Behandlung keine Besserung mehr zu erwarten.
2.5 Die vorerwähnten Beschwerden gehören zur typischen Symptomatik nach einem Distorsionstrauma der Halswirbelsäule. Ist ein Schleudertrauma diagnostiziert und liegt ein für diese Verletzung typisches Beschwerdebild mit einer Häufung von Beschwerden (wie etwa diffuse Kopfschmerzen, Schwindel, Konzentrations- und Gedächtnisstörungen, rasche Ermüdbarkeit, Visusstörungen, Reizbarkeit, Affektlabilität oder Depression) vor, so ist der natürliche Kausalzusammenhang zwischen - allenfalls nicht objektivierbaren - Verletzungen, die durch den versicherten Unfall eingetreten sind, und der danach eingetretenen Arbeitsunfähigkeit nach der Rechtsprechung regelmässig anzunehmen. Dabei ist der natürliche Kausalzusammenhang dann schon gegeben, wenn der Unfall lediglich die Teilursache einer bestimmten gesundheitlichen Störung bildet (<ref-ruling> Erw. 1, 117 V 360 Erw. 4b).
2.6 Es ist nicht zu bezweifeln, dass eine HWS-Distorsion vorliegt. Aus den älteren Arztzeugnissen ergibt sich, dass keine unfallfremden Faktoren den Heilungsverlauf beeinflussten (Zwischenberichte von Dr. med. H._ vom 26. November 1999 und 15. März 2000, von Dr. med. A._, Chiropraktor SCG/ECU, vom 25. April 2000, von Dr. med. J._, Spezialarzt FMH für Physikalische Medizin und Rehabilitation, speziell Rheumaerkrankungen, vom 19. Juni 2000 und von Dr. W._ vom 20. August 2001, 8. Februar 2002 und 30. Juli 2002). Zudem gibt Dr. W._ mehrmals an, dass es zu Rückfällen kommen dürfte. Dr. E._ führt im erwähnten Bericht vom 28. August 2002 aus, die Cephalgien könnten nicht auf den Unfall allein zurückgeführt werden; dieser sei als Auslöser zu verstehen. Ähnliches schreibt er in der Beweisauskunft vom 30. März 2005. Damit ist das Ereignis gemäss Dr. E._ Teilursache der geklagten Kopfschmerzen, denn ohne den Unfall als "Auslöser" wären die genannten Beschwerden nicht aufgetreten. Dies spricht dafür, dass der natürliche Kausalzusammenhang nach wie vor erfüllt sein könnte. Welche unfallfremden Ursachen vorliegen, erklärt Dr. E._ nicht. Die Empfindlichkeitsstörung wird nicht näher beschrieben, und anderweitige Anhaltspunkte für eine psychische Überlagerung sind in den Akten nicht zu finden. Auch die Unfallkausalität der übrigen erwähnten Leiden ist nicht ausgeschlossen. Wie die Vorinstanz richtig festgehalten hat, müssen sich diese einer fassbaren gesundheitlichen Beeinträchtigung zuordnen lassen. Sollte dies zutreffen, würden sich der natürliche und der adäquate Kausalzusammenhang rechtsprechungsgemäss weitgehend decken (<ref-ruling> Erw. 3b, 117 V 365 Erw. 5d/bb, je mit Hinweisen) und könnten vorliegend weiterhin erfüllt sein. Dass sich mit bildgebenden Mitteln keine pathologischen Befunde nachweisen liessen, spricht noch nicht gegen die Unfallkausalität, da sich bei Schleudertraumata oft keine Läsionen objektivieren lassen (<ref-ruling> Erw. 2b/aa, 117 V 363 Erw. 5d/aa). Schliesslich muss zur Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhanges die Frage nach den tatsächlichen Unfallfolgen und deren Dauer geklärt werden.
2.7 Nach dem Gesagten ist der Vorinstanz beizupflichten, dass der medizinische Sachverhalt nicht ausreichend abgeklärt ist und keine rechtsgenüglichen Unterlagen bestehen, welche der Unfallversicherung erlauben würden, sowohl den natürlichen als auch den adäquaten Kausalzusammenhang der geklagten Leiden zu verneinen. Ausserdem fehlen verlässliche Angaben zur Frage, ob von weiteren Behandlungen noch eine Verbesserung des Gesundheitszustandes erwartet werden kann. Diesbezüglich äussert sich der Physiotherapeut anders als Dr. E._. Die vom kantonalen Gericht angeordneten zusätzlichen Untersuchungen sind daher sachgerecht und notwendig.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Entschädigung von Fr. 1500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Entschädigung von Fr. 1500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 1. Februar 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer: Der Gerichtsschreiber: