Sachverhalt:
A. Der 1949 geborene V._ eröffnete am 24. September 1992 bei der Freizügigkeitsstiftung der SBG (Rechtsvorgängerin der Freizügigkeitsstiftung der UBS AG) ein Freizügigkeitskonto. Mit Schreiben vom 7. Januar 2009 teilte das Patronato Z._, vertreten durch seinen damaligen Direktor A._, der Freizügigkeitsstiftung der UBS AG mit, V._ erreiche am 11. Januar 2009 das 60. Altersjahr und werde vorzeitig pensioniert; es beantragte - mit beigelegter Vollmacht - die Auszahlung seiner Austrittsleistung auf ein Konto bei der Bank X._. Die Freizügigkeitsstiftung der UBS AG zeigte mit Schreiben vom 9. Januar 2009 die für den 13. Januar 2009 vorgesehene Überweisung von Fr. 58'763.90 an. Am 13. Januar 2009 erfolgte die Überweisung.
Als sich V._ am 13. August 2009 bei der Freizügigkeitsstiftung der UBS AG nach dem Stand seines Kontos erkundigte, verwies diese ihn auf das Schreiben vom 9. Januar 2009. Am 12. Oktober 2009 forderte V._ die Freizügigkeitsstiftung der UBS AG auf, die Austrittsleistung auf ein Konto bei der Bank Y._ zu überweisen. Weder er noch seine Frau hätten die Vollmacht unterschrieben. Die Freizügigkeitsstiftung der UBS AG lehnte mit Schreiben vom 30. Oktober 2009 ab. In der weiteren Korrespondenz wurde keine Einigung erzielt.
B. Am 1. Juli 2010 reichte V._ beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt Klage ein mit dem Rechtsbegehren, die Freizügigkeitsstiftung der UBS AG sei zu verpflichten, die Austrittsleistung in Höhe von Fr. 61'347.70, zuzüglich Zins seit 12. Januar 2009, zu erbringen. Sowohl der Auszahlungsantrag als auch die Vollmacht seien nie von ihm und seiner Ehefrau unterzeichnet worden.
Im Verlaufe des Prozesses teilte V._ mit, im Strafverfahren gegen A._, in welchem er als Geschädigter beteiligt sei (Eingabe vom 9. März 2011), sei erkannt worden, dass dieser die Zustellung des Schreibens vom 9. Januar 2009 verhindert habe (Eingabe vom 21. April 2011).
Mit Entscheid vom 17. Mai 2011 wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt die Klage ab.
C. V._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Freizügigkeitsstiftung der UBS AG zu verpflichten, seine Austrittsleistung in der Höhe von Fr. 61'347.70, zuzüglich Zins ab Austritt mit Datum vom 12. Januar 2009, zu erbringen. Eventualiter sei die Sache zur Abklärung an die Vorinstanz zu überweisen.
Die Freizügigkeitsstiftung der UBS AG lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, eventualiter auf Rückweisung an die Vorinstanz. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Die Behebung des Mangels muss für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (vgl. <ref-law>).
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2. Die Vorinstanz gelangte zum Ergebnis, die Freizügigkeitsstiftung habe aufgrund der vorgelegten, anscheinend korrekt beglaubigten Unterschriften keine Anhaltspunkte für eine Fälschung gehabt. Damit hätten ihr auch keine weitergehenden, über die Unterschriftsprüfung hinausgehenden Sorgfaltspflichten oblegen, wie etwa die vom Beschwerdeführer postulierte Pflicht, die Aktualität der angegebenen Wohnadresse oder den Inhaber des Auszahlungskontos zu überprüfen. Da der Beschwerdegegnerin keine Sorgfaltspflichtverletzung vorgeworfen werden könne, fehle es an einer zentralen Voraussetzung des eingeklagten Anspruchs.
Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, die Vorinstanz habe die gebotene Sorgfalt falsch beurteilt, insbesondere in willkürlicher Weise das für Banken geltende Mass angewendet. Die Beschwerdegegnerin habe ihre Sorgfaltspflicht in mehrfacher Hinsicht verletzt. Es sei bundesrechtswidrig, dass die Vorinstanz die Frage nach der Notwendigkeit einer Beglaubigung offengelassen und die Beweiswürdigung darüber unterlassen habe, ob eine solche korrekt erfolgt sei.
Nach Auffassung der Beschwerdegegnerin sind die Anspruchsvoraussetzungen nicht erfüllt. Das kantonale Gericht habe kein Bundesrecht verletzt, wenn es erkannt habe, dass sie sich jedenfalls exkulpieren könne. Selbst wenn das Bundesgericht - wider Erwarten - zum Schluss gelangen sollte, sie habe unsorgfältig gehandelt, wäre die Klage abzuweisen, weil es am Nachweis der übrigen Anspruchsvoraussetzungen fehle.
3. Ein Freizügigkeitskonto wird im Rahmen der Säule 2b durch einen privatrechtlichen Vorsorgevertrag begründet, der rechtsdogmatisch den Innominatverträgen zuzuordnen ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 307 mit Hinweisen auf <ref-ruling> E. 4b S. 232 und 122 V 142 E. 4b S. 145). Es stellt sich die Frage, ob die Beschwerdegegnerin gestützt auf das Schreiben des Patronato Z._ vom 7. Januar 2009 das Freizügigkeitskonto des Beschwerdeführers mit befreiender Wirkung saldieren konnte.
3.1 Der Beschwerdeführer und die Vorinstanz bezeichnen den eingeklagten Betrag fälschlicherweise als Schaden, der dem Beschwerdeführer infolge unsorgfältigen Handelns der Beschwerdegegnerin entstanden sein soll. Tatsächlich verlangt der Beschwerdeführer Erfüllung eines Vertrags. Das Rechtsbegehren in der Klage geht denn auch in diese Richtung, lautet es doch auf Erbringung der Austrittsleistung. Die Beschwerdegegnerin ist aufgrund der vertraglichen Vereinbarung, die zur Errichtung des Freizügigkeitskontos geführt hat, gehalten, dem Beschwerdeführer auf sein Verlangen hin das bestehende Guthaben gemäss Vertrags- resp. Reglementsbedingungen auszuzahlen. Mit anderen Worten hat die Schuldnerin dem Gläubiger zu leisten. Leistet sie einem unberechtigten Dritten, so hat sie grundsätzlich nicht erfüllt, und zwar auch dann, wenn sie in gutem Glauben leistet (Urteil 4A_536/2008 vom 10. Februar 2009 E. 5.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2 S. 452, 112 II 450 E. 3a S. 454, 111 II 263 E. 1 S. 265, 108 II 314 E. 2 S. 315 f.; GAUCH/SCHLUEP/SCHMID/EMMENEGGER, Schweizerisches Obligationenrecht, Allgemeiner Teil, Bd. II, 9. Aufl. 2008, S. 11 Rz. 2072 f. und S. 14 Rz. 2093; URS LEU, Basler Kommentar, 5. Aufl. 2011, N. 7 zu <ref-law>; ROLF H. WEBER, Berner Kommentar, 2. Aufl. 2005, N. 121 zu <ref-law>; MARIUS SCHRANER, Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 2000, N. 117 zu <ref-law>; VON TUHR/ESCHER, Allgemeiner Teil des Schweizerischen Obligationenrechts, Bd. II, 3. Aufl. 1974, S. 21 f.). Der Fall unterscheidet sich vom Sachverhalt, der in <ref-ruling> zu beurteilen war.
3.2 Der Nachweis richtiger Erfüllung des Vertrags obliegt der Vertragsschuldnerin. Nach dem Gesagten trägt sie in der Regel das Risiko einer Leistung an einen Unberechtigten. Ob und inwieweit eine Überwälzung dieses Risikos auf den Beschwerdeführer zulässig ist, kann offenbleiben, da die Beschwerdegegnerin eine solche nicht geltend macht und auch keine entsprechende Vertragsklausel aktenkundig ist.
4. Die Beschwerdegegnerin hat im vorinstanzlichen Verfahren wiederholt bestritten, dass Vollmacht und Auszahlungsantrag gefälscht seien. In der Beschwerdeantwort bekräftigt sie diese Bestreitung. Die Vorinstanz hat nicht geprüft, inwieweit es sich um Fälschungen handelt. So spricht sie lediglich von "(vermutlich) gefälschten Unterschriften" bzw. "mutmasslich gefälschten Unterschriften". In Anbetracht der Erwägung 3.1 ist entscheidrelevant, ob und inwieweit die fraglichen Unterschriften gefälscht sind. Allenfalls bedarf es diesbezüglich, wie die Beschwerdegegnerin in der Klageantwort festgehalten hat, eines Schriftgutachtens (v.a. wenn die Strafakten nicht ergiebig sind). Die Sache ist daher an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es den Sachverhalt vollständig ermittle und ergänze sowie - nach Gewährung des rechtlichen Gehörs - neu über die Streitsache entscheide.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Dieser gilt aufgrund der angeordneten Rückweisung als obsiegende Partei (<ref-ruling> E. 6.2 S. 235).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 17. Mai 2011 aufgehoben und die Sache an dieses zurückgewiesen wird, damit es, nach erfolgten Ergänzungen im Sinne der Erwägungen, über die Klage neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. März 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann