Faits:
A. Le 18 octobre 2002, le notaire Y._ a instrumenté un acte de vente entre A._, vendeur, et X._, acheteuse, portant sur une parcelle située sur la commune de ... (Valais).
L'acte, qui prévoyait un prix de vente de 630'000 fr., précisait que la parcelle était située en zone à bâtir selon une attestation communale annexée. Le jour de l'instrumentation de l'acte, le notaire ne disposait toutefois pas encore de l'attestation de zone. En outre, selon ce dernier document, la parcelle ne se trouvait pas entièrement en zone à bâtir.
Une solution a finalement été trouvée avec la commune de ..., en accord avec le bureau du registre foncier, afin que la villa qui devait être construite sur la parcelle se trouve totalement à l'intérieur de la zone à bâtir.
Le 28 avril 2003, Y._ a établi sa note d'honoraires pour l'acte de vente. Celle-ci s'élève à 13'139 fr.40 et comprend notamment les débours avancés par le notaire (versés au registre foncier de Sion et au cadastre de ...) d'un montant total supérieur à 9'000 fr. et l'émolument (selon tarif) de 2'765 fr.
X._ ne s'étant pas acquittée de la facture, Y._ a introduit une poursuite contre elle. L'acheteuse a formé opposition totale; le juge suppléant d'... a refusé de prononcer la mainlevée.
Dénoncé pénalement par X._, le notaire a été condamné, par ordonnance pénale du 7 septembre 2004, à une amende de 400 fr. pour faux dans les titres commis dans l'exercice de fonctions publiques par négligence au sens de l'<ref-law>.
B. Le 21 avril 2006, Y._ a ouvert une action en paiement à l'encontre de X._ devant la juge des districts d'.... Il a conclu à ce que l'acheteuse soit condamnée à lui verser le montant de 13'139 fr.40.
L'expert judiciaire mandaté en cours d'instruction a estimé la valeur de la propriété à 633'804 fr. en 2002 et à 757'035 fr. au jour de l'expertise.
Par jugement du 12 mai 2009, la juge de district a rejeté la demande.
La juge de la Cour civile II du Tribunal cantonal valaisan a, par jugement du 13 juillet 2010, admis l'appel du notaire et condamné X._ à lui verser le montant de 13'139 fr.40 avec intérêt à 5% dès le 11 novembre 2003.
La juge cantonale a considéré que X._ n'avait pas apporté la preuve d'un quelconque dommage (causé par les manquements du notaire) dont elle pourrait opposer le montant en compensation de la prétention de Y._. Elle a également retenu que les services du notaire ont été, nonobstant les erreurs commises, utiles, l'acte instrumenté ayant été inscrit au registre foncier et muté au cadastre de ... (X._ y figurant comme propriétaire de la parcelle litigieuse). Elle a en outre relevé que, l'erreur étant aisément reconnaissable, tant le vendeur que l'acheteuse aurait dû s'en rendre compte. En conséquence, la juge de la Cour civile du Tribunal cantonal valaisan a considéré que, contrairement à l'avis de la première instance, le notaire n'avait pas commis d'abus de droit en réclamant une rémunération pour une prestation pour laquelle il a été condamné pénalement.
C. X._ exerce un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre le jugement du 13 juillet 2010. Elle conclut à l'admission du recours, à la réforme de la décision de la juge de la Cour civile en ce sens que la demande de Y._ soit rejetée, subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité précédente. Dans le recours en matière civile, la recourante invoque une violation des art. 19 al. 2, 41 ss CO et de l'<ref-law>. Dans le recours constitutionnel subsidiaire, elle fait grief à la juge cantonale d'avoir appliqué arbitrairement (art. 9 Cst.) les art. 19 et 41 ss CO, l'<ref-law>, les art. 5, 19 et 32 de la loi valaisanne sur le notariat du 1er décembre 2004 (LN-VS) et l'art. 19 de l'ancienne loi valaisanne sur le notariat du 15 mai 1942 (aLN-VS).
L'intimé conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens.

Considérant en droit:
1. 1.1 S'agissant d'une affaire pécuniaire qui ne porte ni sur le droit du travail ni sur le droit du bail à loyer, le recours n'est recevable que si la valeur litigieuse - déterminée selon le capital réclamé dans les dernières conclusions devant l'autorité précédente (<ref-law>) - s'élève au moins à 30'000 fr. (<ref-law>).
La recourante souligne elle-même que la valeur litigieuse, de 13'139 fr.40, n'atteint pas le seuil fixé à l'<ref-law>. Elle soutient que le recours en matière civile est néanmoins recevable, en raison de l'exception formulée à l'<ref-law>, la contestation soulevant une question juridique de principe.
1.1.1 La contestation soulève une question juridique de principe au sens de l'<ref-law> s'il est nécessaire, pour résoudre le cas d'espèce, de trancher une question juridique qui donne lieu à une incertitude caractérisée, laquelle appelle de manière pressante un éclaircissement de la part du Tribunal fédéral, en tant qu'autorité judiciaire suprême chargée de dégager une interprétation uniforme du droit fédéral (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 399).
Il incombe à la partie recourante qui se prévaut de cette disposition d'expliquer de manière précise en quoi la contestation soulèverait une question juridique de principe (art. 42 al. 2 2ème phrase LTF).
En l'occurrence, la recourante invoque une violation des <ref-law>. Elle axe cependant son argumentation sous l'angle des <ref-law>, insistant sur le fait que le Tribunal fédéral n'a jamais eu à trancher la question de la rémunération du mandataire lorsque la mauvaise exécution du contrat de mandat repose sur une faute à caractère pénal.
1.1.2 La cour cantonale retient - et la recourante ne le conteste pas - que le litige est soumis à l'ancienne loi valaisanne sur le notariat du 15 mai 1942 (aLN-VS), en vigueur au moment des faits. Elle explique qu'en Valais le notaire est un officier public exerçant une activité indépendante (art. 1 al. 2 aLN-VS) et observe qu'en l'espèce l'intimé a accompli une tâche ministérielle (l'instrumentation d'un acte de vente entrant dans l'activité habituelle du notaire valaisan en sa qualité d'officier public).
Lorsque le notaire accomplit ses fonctions ministérielles, ses relations avec ses clients relèvent du droit public et échappent au champ d'application des dispositions contractuelles sur le mandat; la responsabilité du notaire pour une éventuelle mauvaise exécution de ses tâches officielles ne relève donc pas du droit des contrats (<ref-ruling> consid. 1b p. 251; <ref-ruling> consid. 7a p. 372 et les références). La responsabilité des fonctionnaires et employés publics cantonaux est en principe régie par les <ref-law>, sauf si le canton, en vertu de l'<ref-law>, a réglementé la question (<ref-ruling> consid. 1b p. 251; <ref-ruling> consid. 2a p. 103).
En l'espèce, l'art. 19 aLN-VS prescrit que le notaire est civilement responsable pour les fautes commises dans l'exercice de son ministère; cette responsabilité est donc régie par le droit cantonal, les art. 41 à 60 CO ne s'appliquant qu'à titre de droit cantonal supplétif (<ref-ruling>, p. 47; cf. DENIS PIOTET, La responsabilité patrimoniale des notaires et autres officiers publics, thèse Lausanne 1981, p. 59). La violation de normes de droit fédéral qui constituent du droit cantonal supplétif relève du droit cantonal, et non du droit fédéral (<ref-ruling> consid. 1 p. 78). La prétention litigieuse relève donc exclusivement du droit cantonal. A noter qu'il ne suffit pas d'invoquer l'abus de droit au sens de l'<ref-law> pour transformer une question de droit cantonal en une question de droit fédéral (BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2009, no 26 ad <ref-law>).
Pour ouvrir exceptionnellement la voie du recours en matière civile en application de l'<ref-law>, il faut que la question juridique présentée se rapporte à un domaine du droit qui est soumis au contrôle du Tribunal fédéral. Autrement dit, la question doit se rapporter à une norme dont la violation est un motif de recours au Tribunal fédéral en vertu des art. 95 et 96 LTF (arrêt 4A_517/2009 du 4 janvier 2010 consid. 1.3.1; Message du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4108 ch. 4.1.3.1). Si la question concerne exclusivement le droit cantonal, que le Tribunal fédéral ne peut pas revoir librement, il ne saurait rendre à ce sujet une décision de principe; si son pouvoir d'examen est limité à la violation des droits constitutionnels, il suffit que le recourant interjette un recours constitutionnel subsidiaire et une dérogation à l'exigence de la valeur litigieuse ne se justifie pas (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 187 s.).
1.1.3 En conséquence, le recours ne pose pas une question juridique de principe au sens de l'<ref-law>, de sorte que le recours en matière civile doit être déclaré irrecevable, faute d'atteindre la valeur litigieuse exigée par l'<ref-law>.
Les moyens présentés dans le recours en matière civile peuvent néanmoins être pris en compte sous l'angle du recours constitutionnel subsidiaire formé dans le même mémoire, à condition toutefois que les exigences propres à cette dernière voie soient satisfaites (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 et 3 p. 399 s.).
2. 2.1 Il faut examiner la recevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>) formé dans le même mémoire (<ref-law>).
2.2 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions libératoires (<ref-law>) et dirigé contre un jugement final (<ref-law> applicable par le renvoi de l'<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law> applicable par le renvoi de l'<ref-law>), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. c, 48 al. 1, 100 al. 1 et 117 LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
2.3 Ce recours ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>).
Quand il s'agit de droits constitutionnels, le Tribunal fédéral n'applique pas le droit d'office et il ne peut entrer en matière que dans la mesure où un grief constitutionnel a été invoqué et suffisamment motivé dans l'acte de recours (art. 117 et 106 al. 2 LTF).
2.4 Saisi d'un recours constitutionnel subsidiaire, le Tribunal fédéral doit statuer sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si les faits ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (<ref-law>). En conséquence, il n'est pas possible de prendre en considération l'exposé des faits figurant aux pages 7 à 10 du recours interjeté contre le jugement cantonal.
2.5 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 117 et 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 117 et 99 al. 2 LTF).
3. 3.1 La recourante reproche à l'autorité précédente d'avoir nié son dommage (mémoire de recours n. 58) et d'avoir retenu que l'intimé a droit, malgré la faute qu'il a commise, à l'entier de ses honoraires, alors même qu'il n'aurait rien fait pour diminuer le dommage causé (mémoire de recours n. 59).
Elle ne prétend pas que la cour cantonale aurait fait preuve d'arbitraire dans l'établissement des faits ou l'appréciation des preuves, mais soulève ses critiques sous l'angle de l'application arbitraire des dispositions cantonales et fédérales. Elle invoque simplement la violation des <ref-law>, des art. 5, 19, 32 LN-VS et de l'art. 19 aLN-VS, sans expliquer en quoi l'application de ces dispositions serait insoutenable. Les griefs ne répondent donc pas à l'exigence de motivation posée à l'<ref-law> (par le renvoi de l'<ref-law>) et ils sont dès lors irrecevables (cf. supra consid. 2.3).
Quant à la seule argumentation circonstanciée fournie par la recourante dans ce contexte, elle est entreprise en lien avec les <ref-law>, dispositions inapplicables en l'espèce (cf. infra consid. 1.1.2). Le grief est par conséquent mal fondé.
3.2 La recourante soutient qu'il est choquant qu'un notaire, officier public dans lequel les clients placent leur confiance, puisse réclamer le paiement d'honoraires pour l'établissement d'un acte faux pour lequel il a été condamné pénalement. En obligeant la cliente à payer les honoraires, elle estime que l'autorité précédente a violé l'interdiction de l'abus de droit (<ref-law>).
La transgression des règles de droit invoquées par la recourante ne peut être examinée que sous l'angle de l'art. 9 Cst. Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 4 s.; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 s.).
La recourante rappelle qu'il y a abus de droit lorsqu'une institution juridique est détournée de son but (<ref-ruling> consid. 5 p. 252; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 539; <ref-ruling> consid. 4a p. 323). Par les explications fournies, on comprend qu'elle n'entend pas soutenir que l'intimé aurait adopté une attitude contradictoire ou qu'il n'aurait aucun intérêt à faire valoir sa prétention (pour ces cas de mise en oeuvre de l'interdiction de l'abus de droit: <ref-ruling> consid. 4 p. 123 s.; <ref-ruling> consid. 5d p. 476 s.).
La recourante prétend plutôt que le notaire exercerait un droit (celui relatif au paiement des honoraires) acquis de façon abusive (cf. entre autres auteurs: PAUL-HENRI STEINAUER, Le Titre préliminaire du Code civil, in TDPS II/1, 2009, n. 600 ss p. 227 ss et les références). Elle fait donc référence au principe "nemo auditur turpitudinem suam allegans", soit à l'exception de position mal acquise (cf. ATF 114 II79 consid. 3a p. 81; sur la notion: STEINAUER, op. cit., n. 600 p. 227). Dans ce domaine, la fonction corrective prévue à l'<ref-law> ne peut être exercée par le juge que dans les cas où le droit a été acquis de façon contraire à la loi, à des engagements contractuels ou d'une manière contraire aux moeurs (STEINAUER, op. cit., n. 600 p. 227; HANS MERZ, in Berner Kommentar, 1966, nos 543 ss et 550 ss ad <ref-law>; HAUSHEER/JAUN, Die Einleitungsartikel des ZGB, 2003, no 123 ad <ref-law> et les références doctrinales).
3.3 En l'espèce, il s'agit de se demander si la créance du notaire (d'un montant de 13'139 fr.40) a été acquise de façon contraire à la loi ou d'une manière contraire aux moeurs (le notaire ayant accompli une tâche ministérielle, l'hypothèse d'un engagement contractuel peut être écartée; cf. supra consid. 1.1.2).
Il faut d'emblée mettre en évidence que la majeure partie de la prétention de l'intimé (plus de 9'000 fr.) porte sur le remboursement de débours payés (au registre foncier et au cadastre) par ce dernier pour le compte de la recourante. Quant à l'émolument de 2'765 fr., la cour a établi que le notaire l'a fixé, en fonction de l'acte de vente, selon le tarif correspondant. A cet égard, la juridiction précédente constate que les services du notaire ont été, nonobstant les erreurs commises, utiles: l'acte instrumenté, fixant un prix de vente de 630'000 fr., a été inscrit au registre foncier et muté au cadastre de ..., la recourante y figurant comme propriétaire de la parcelle litigieuse; une solution ayant finalement été trouvée avec la commune de ..., en accord avec le registre foncier, la villa qui devait être construite sur la parcelle se trouve finalement totalement à l'intérieur de la zone à bâtir. Examinant toutes les circonstances évoquées par la recourante, la juridiction précédente a en outre conclu que celle-ci n'a subi aucun dommage.
Au regard des éléments qui précèdent, on ne saurait dire qu'il était manifestement insoutenable de considérer que la prétention du notaire n'a pas été acquise d'une façon illicite ou contraire aux moeurs et, ainsi, de conclure que le notaire n'a pas commis d'abus de droit en exigeant le versement de ses honoraires (émolument et débours).
Reste à examiner l'argument selon lequel la recourante aurait conclu le contrat de vente sous l'emprise d'une erreur causée par le comportement négligent du notaire.
L'exception de position mal acquise trouve son expression légale en matière d'erreur essentielle à l'<ref-law>, cette disposition permettant à la partie victime d'un vice du consentement de ne pas maintenir le contrat (cf. HAUSHEER/JAUN, op. cit., no 124 ad <ref-law>; STEINAUER, op. cit., n. 601 p. 227). En l'espèce, la recourante n'a pas manifesté sa volonté d'invalider le contrat pour erreur essentielle. Elle ne cherche pas à démontrer qu'elle pourrait quand même encore invoquer l'exception de position mal acquise en se fondant sur la clause générale de l'<ref-law>. On peut au surplus encore observer à cet égard que l'autorité précédente retient que le vendeur et l'acheteuse aurait dû se rendre compte de l'erreur commise par le notaire et signaler celle-ci. Cela étant, on ne saurait considérer que la juridiction cantonale a appliqué l'<ref-law> de manière arbitraire en n'exerçant pas la fonction corrective de cette disposition dans le cas d'espèce.
Quant au moyen tiré de la violation de l'<ref-law>, il doit être rejeté pour les mêmes motifs que ceux exposés plus haut, dans la faible mesure où il peut être considéré comme recevable sous l'angle de la motivation requise par l'<ref-law> (par le renvoi de l'<ref-law>). Il est dès lors inutile d'examiner de façon plus approfondie si, sur le principe, l'<ref-law> est bien applicable, au moins par analogie, s'agissant de la prétention d'un notaire relevant du droit cantonal (cf. supra consid. 1.1.2).
3.4 Enfin, la recourante estime que le jugement cantonal conduit à un résultat arbitraire puisqu'il est choquant qu'une décision constate qu'un mandataire a droit à l'entier de ses honoraires, sans aucune réduction, alors qu'il a commis une faute pénale au préjudice du mandant, et qu'il n'a absolument rien fait pour aider son mandant suite à cette faute.
Le grief repose en partie sur des faits non établis par la cour cantonale. Celle-ci a en effet constaté que, contrairement à l'allégation de la recourante, le notaire n'était pas resté inactif après avoir instrumenté l'acte contenant l'erreur sur la répartition des surfaces. Il ressort en outre du jugement cantonal que le travail accompli par l'officier public a été utile et que la recourante n'a subi aucun dommage. Au surplus, la majeure partie de la prétention du notaire porte sur le remboursement de frais (débours) avancés par lui. Cela étant, on ne saurait conclure que le jugement prononcé par la cour cantonale est arbitraire, en particulier qu'il heurterait de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité, étant encore précisé que le notaire a été condamné, sur le plan pénal, pour l'erreur commise par négligence dans le cadre de l'instrumentation de l'acte de vente (cf. <ref-law>).
4. Il ressort des considérants qui précèdent que le recours en matière civile est irrecevable. Le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté dans la mesure où il est recevable.
Les frais et les dépens sont mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière civile est irrecevable.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. La recourante versera à l'intimé une indemnité de 1'500 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour civile II.
Lausanne, le 7 décembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Piaget