Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 10. November 2010 sprach die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen (nachfolgend: SVA) der 1956 geborenen A._ ab November 2010 Ergänzungsleistungen zur Invalidenrente in der Höhe von monatlich Fr. 2165.- zu. Auf Einsprache der Versicherten hin erhöhte die SVA diese Leistung mit Wirkung ab Januar 2011 auf Fr. 3374.- pro Monat (Einspracheentscheid vom 25. Februar 2011). Mit Vorbescheid vom 16. März 2011 eröffnete die IV-Stelle des Kantons St. Gallen dem Ehemann der Versicherten, B._, dass er rückwirkend ab November 2009 Anspruch auf eine ganze Rente der Invalidenversicherung habe (Invaliditätsgrad: 85 %). In einer vom 1. Mai 2011 datierten Aktennotiz der SVA wurde dieser Vorbescheid erwähnt und gleichzeitig festgehalten, die mit der Berechnung der Invalidenrente befassten Sachbearbeiter (der Ausgleichskasse des Kantons St. Gallen) "informieren uns, sobald die Verfügung erlassen ist". Bereits in der an A._ gerichteten EL-Verfügung vom 10. November 2010 hatte die SVA mit Bezug auf den Ehemann ausdrücklich vermerkt: "Bitte informieren Sie uns, sobald [Sie ...] einen IV-Entscheid erhalten haben". Mit Verfügung vom 9. Juni 2011 sprach die IV-Stelle B._ entsprechend ihrem Vorbescheid eine ordentliche ganze Invalidenrente ab 1. November 2009 zu. Im vorliegenden Aktendossier findet sich kein Hinweis darauf, dass die mit der Durchführung der Ergänzungsleistung betrauten Mitarbeiter der SVA von irgendeiner Seite her auf den Erlass dieser Rentenverfügung aufmerksam gemacht worden wären. Erst im Formular "Periodische Überprüfung der Ergänzungsleistungen", welches von A._ und B._ im Mai 2012 unterzeichnet wurde, sind sowohl dessen IV-Rente als auch diejenige der beruflichen Vorsorge betraglich aufgeführt. Daraufhin nahm die SVA eine Neuberechnung vor, verneinte einen Leistungsanspruch sowohl für die Zukunft (Verfügung vom 27. September 2012) als auch rückwirkend ab Beginn der EL-Ausrichtung und forderte gleichzeitig sämtliche zu Unrecht bezogenen EL-Betreffnisse von A._ zurück (Verfügung vom 30. November 2012). Auf Einsprache hin reduzierte die SVA den verfügten Rückerstattungsbetrag von Fr. 75'400.- geringfügig auf Fr. 75'153.70 (Einspracheentscheid vom 14. Mai 2013).
B.
Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen wies die dagegen eingereichte Beschwerde ab (einzelrichterlicher Entscheid des Vizepräsidenten vom 3. Juni 2014).
C.
A._ lässt Beschwerde ans Bundesgericht führen mit dem Rechtsbegehren, es sei von einer Rückforderung der unrechtmässig ausgerichteten Ergänzungsleistungen zufolge Verwirkung gänzlich abzusehen; eventuell sei die Sache zur Durchführung des bereits vorinstanzlich beantragten Beweisverfahrens und zu anschliessendem neuen Entscheid an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Überdies lässt A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung) ersuchen.
SVA, Vorinstanz und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten alle auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde.

Erwägungen:
1.
In formeller Hinsicht wird beanstandet, dass der angefochtene Entscheid als einzelrichterlicher Entscheid und damit nicht in verfassungsmässiger Besetzung (<ref-law>) ergangen sei. Diese Rüge der funktionellen Unzuständigkeit des Einzelrichters ist vorab zu prüfen, da bei deren Begründetheit der angefochtene Entscheid ohne Prüfung der materiell streitigen Fragen aufzuheben ist (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 502).
2.
2.1. Die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255) prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232 mit Hinweisen).
2.2. Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 lit. a und b BGG prüft das Bundesgericht grundsätzlich frei, einschliesslich der Frage, ob die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Im Übrigen prüft das Bundesgericht die Handhabung kantonalen Rechts - vorbehältlich der in Art. 95 lit. c und d BGG genannten Fälle - bloss auf Willkür hin (<ref-law>; E. 2.3 hinach). Mit freier Kognition beurteilt es indessen die Frage, ob die als vertretbar erkannte Auslegung des kantonalen Prozessrechts mit den Garantien der <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK vereinbar ist.
2.3. Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 mit Hinweisen).
3.
3.1. Die Rechtspflegebestimmung des <ref-law> enthält keine Vorschrift über die Zusammensetzung der kantonalen Versicherungsgerichte. Die Regelung dieser Frage obliegt somit den Kantonen. Sowohl <ref-law> als auch Art. 6 Ziff. 1 EMRK geben dem Einzelnen Anspruch auf richtige Besetzung des Gerichts und Einhaltung der jeweils geltenden staatlichen Zuständigkeitsordnung (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 338; <ref-ruling> E. 2a S. 84; <ref-ruling> E. 3c S. 130; Urteil 8C_107/2010 E. 4.1).
3.2. Nach Art. 17 Abs. 2 des st. gallischen Gerichtsgesetzes vom 2. April 1987 (sGS 941.1) in Verbindung mit Art. 10 Abs. 2 und Art. 19 Abs. 1 der Verordnung über die Organisation und den Geschäftsgang des Versicherungsgerichtes vom 2. Dezember 2010 (OrgV; sGS 941.114) können in einfachen Fällen Präsidial- und Einzelrichterentscheide ergehen. Als einfache Fälle gelten insbesondere Streitsachen mit einem unbestrittenen oder eindeutigen Sachverhalt, die aufgrund einer klaren Rechtslage und einer feststehenden Gerichtspraxis beurteilt werden können (Art. 19 Abs. 2 OrgV). Mit dieser Umschreibung sind nicht nur offensichtlich unzulässige oder offensichtlich unbegründete Beschwerden erfasst, sondern allgemein Fälle, die in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht einfach sind, d.h. keine Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung aufwerfen und in Bezug auf Tatfragen liquid sind (Urteile 9C_867/2008 vom 6. April 2009 E. 4.2.1 und 9C_836/2008 vom 30. Oktober 2008 E. 3.4, je mit Hinweisen).
4.
Die Beschwerdeführerin macht eine offensichtliche Missachtung der angeführten kantonalen Zuständigkeitsregelung geltend, indem der Vizepräsident des Versicherungsgerichts als Einzelrichter entschieden habe, obwohl sich der Sachverhalt mitnichten als eindeutig oder unbestritten präsentiere und zudem offenkundig weder von einer klaren Rechtslage noch von einer konstanten Gerichtspraxis gesprochen werden könne. Weil die Garantie des verfassungsmässigen Richters nach <ref-law> keinen Anspruch auf Beurteilung durch ein Kollegialgericht begründet, ist im Folgenden - unter dem Blickwinkel der Willkür - die vorinstanzliche Handhabung von Art. 19 OrgV/SG zu prüfen.
4.1.
4.1.1. Bereits im vorinstanzlichen Verfahren (wie auch gegenüber der Verwaltung) hat die Beschwerdeführerin im Hinblick auf die Verwirkung des Rückforderungsanspruchs geltend gemacht, ihr Ehemann habe den zuständigen EL-Sachbearbeiter C._ am 7. September 2011 über seine am 9. Juni 2011 zugesprochene IV-Rente in Kenntnis gesetzt und sich nach deren Auswirkungen auf den EL-Anspruch erkundigt. Der Mitarbeiter habe versichert, es sei alles rechtens, die ausgerichteten Ergänzungsleistungen müssten nicht zurückbezahlt werden. Zur Stützung ihrer Darstellung reichte die Versicherte einen Auszug der Telefonrechnung ein, wonach am 7. September 2011 von ihrem Festnetzapparat aus ein über 22-minütiges Telefongespräch mit einem Anschluss der SVA geführt wurde (ausgewiesen wird deren Haupt- bzw. Eingangsnummer). Des Weitern legte die Beschwerdeführerin drei schriftliche Bestätigungen von "Zeugen vom Hörensagen" (Vorgesetzter und Berufskollege des Ehemannes, Hausarzt) ins Recht. Und schliesslich verweist sie auf die bei den EL-Akten liegende interne Stellungnahme des "Fachbereichs" zuhanden des Rechtsdienstes vom 11. April 2013, laut welcher C._ nicht mehr "bei uns" (d.h. offenbar weder im Fachbereich Ergänzungsleistungen, noch sonst bei der SVA) arbeite. Eine Aktennotiz über den Telefonanruf finde sich weder bei den Akten der Versicherten noch bei denjenigen ihres Ehemannes, weshalb die Richtigkeit des Einwandes nicht überprüft werden könne. "Aufgrund der Art von Herr[n] C._ und seinen Telefonaussagen können wir [wohl der EL-Fachbereich] aber nicht ausschliessen, dass er das [Vorgebrachte] dem Versicherten [gemeint ist dem Ehemann der Beschwerdeführerin] so mitgeteilt hat." Die Beschwerdeführerin beantragte, C._ sei als Zeuge einzuvernehmen. Im Einspracheentscheid der SVA vom 14. Mai 2013 (auf dessen Begründung sie vorinstanzlich vollumfänglich verwies) bestritt die Verwaltung die geltend gemachte Falschaussage ihres früheren Mitarbeiters (bzw. eine telefonische Mitteilung über die zwischenzeitlich ergangene IV-Verfügung vonseiten der Versicherten).
4.1.2. Der Vizepräsident des Versicherungsgerichts hielt im angefochtenen Entscheid fest, es könne offen gelassen werden, ob das behauptete Telefonat vom 7. September 2011 tatsächlich stattgefunden und den dargelegten Inhalt gehabt habe. Falls dies zutreffen würde, hätte die Beschwerdegegnerin die Ergänzungsleistungen fälschlicherweise nicht sofort angepasst. Diesen Fehler hätte sie allerdings erst im Rahmen der im Mai 2012 erfolgten periodischen Überprüfung des Anspruchs erkennen müssen. Die einjährige relative Verwirkungsfrist nach Art. 25 Abs. 2 erster Satz ATSG hätte erst dann zu laufen begonnen und wäre bei Erlass der Rückerstattungsverfügung vom 30. November 2012 noch nicht abgelaufen gewesen. Damit stützt sich die Vorinstanz auf die ständige Rechtsprechung, wonach bei einem Fehler der Verwaltung für die Fristauslösung nicht auf das erstmalige unrichtige Handeln des Versicherers abzustellen ist, sondern auf jenen Tag, an dem die Versicherungseinrichtung später - beispielsweise anlässlich einer Rechnungskontrolle - unter Anwendung der ihr zumutbaren Aufmerksamkeit ihren Fehler hätte erkennen müssen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 572; <ref-ruling> E. 1 S. 382 f.; <ref-ruling> E. 5b/aa S. 275; <ref-ruling> E. 2b S. 306 f. in fine).
4.2. Die Beschwerdeführerin macht indessen - wie schon im vorinstanzlichen Verfahren - geltend, dass die SVA nicht nur die EL-Durchführungsstelle, sondern auch die Ausgleichskasse und die IV-Stelle des Kantons St. Gallen umfasse. Bei ordnungsgemässer Handhabung der internen Abläufe hätten die mit den Ergänzungsleistungen betrauten Mitarbeiter spätestens Ende August 2011 vom Erlass der IV-Rentenverfügung an den Ehemann vom 9. Juni 2011 erfahren und sich gleichzeitig Rechenschaft darüber gegeben müssen, dass die Voraussetzungen für eine Rückerstattung von zu Unrecht bezogenen EL-Betreffnissen gegeben sind. Die Versicherte beruft sich u.a. auf die eingangs erwähnte Aktennotiz vom 1. Mai 2011, wonach die EL-Mitarbeiter von den mit der Berechnung und Auszahlung der Invalidenrente befassten Sachbearbeitern der Ausgleichskasse informiert würden, sobald die Rentenverfügung ergangen sei (vgl. Sachverhalt lit. A).
Gemäss Art. 21 Abs. 2 ELG bezeichnen die Kantone die Organe, die für die Entgegennahme der Gesuche und für die Festsetzung und die Auszahlung der Ergänzungsleistungen zuständig sind; sie können die kantonalen Ausgleichskassen, nicht aber die Sozialhilfebehörden mit diesen Aufgaben betrauen. Im Kanton St. Gallen entscheidet die SVA über Anspruch und Höhe der Ergänzungsleistungen (und somit auch über deren Rückerstattung; Art. 11 Abs. 1 des Ergänzungsleistungsgesetzes vom 22. September 1991 [ELG/SG; sGS 351.5]). Laut Art. 3 Abs. 1 des Einführungsgesetzes zur Bundesgesetzgebung über die Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung vom 13. Januar 1994 (sGS 350.1) gliedert sich die SVA in die Ausgleichskasse, die IV-Stelle und weitere Dienststellen (aktuell: Entwicklung und Services). Die Ausgleichskasse ihrerseits ist unterteilt in die Fachbereiche (oder "Prozesslinien") Beiträge, Zulagen, AHV/IV-Leistungen, Ergänzungsleistungen und Support (Organigramm der SVA; abrufbar unter www.svasg.ch: Über die SVA > Organisation). Im angefochtenen Entscheid wird dazu kurz und bündig festgestellt, dass die Ausgleichskasse auch EL-Durchführungsstelle sei und die mit der Berechnung und Auszahlung der Invalidenrente an den Ehemann betrauten Kassenmitarbeiter die EL-Sachbearbeiter über den Erlass der IV-Rentenverfügung hätten intern informieren können (ob eine solche Mitteilung zwingend gewesen wäre, lässt der vorinstanzliche Einzelrichter offen).
4.3. Angesichts der dargelegten organisatorischen Gegebenheiten drängt sich indessen die Frage auf, ob und inwieweit das im Fachbereich AHV/IV-Leistungen vorhandene Wissen um den Erlass einer EL-relevanten Rentenverfügung innerhalb der Ausgleichskasse auch dem Fachbereich Ergänzungsleistungen zuzurechnen ist, oder ob und inwieweit die Ausgleichskasse für Fälle der vorliegenden Art Vorkehrungen für den sachgerechten internen Datenfluss an die EL-Sachbearbeiter zu treffen hat und, wenn ja, innert welcher Frist die Weiterleitung erfolgen muss. Diese Fragen sind grundsätzlicher Natur, es existiert keine letztinstanzliche Rechtsprechung dazu. Je nach deren Beantwortung käme auch der umstrittenen, vorinstanzlich offen gelassenen Frage nach der geltend gemachten telefonischen Mitteilung vom 7. September 2011 (E. 4.1 hievor) entscheidwesentliche Bedeutung zu, insbesondere wenn das behauptete Telefonat und eine allfällige "Weiterleitungspflicht" nicht als (zeitlich) koinzidentes Moment verstanden werden könnten. Diesfalls könnte sich die SVA als EL-Durchführungsstelle nicht ohne weiteres auf den Standpunkt stellen, es ginge hier um das erstmalige unrichtige Handeln der Versicherungseinrichtung, welches die einjährige Verwirkungsfrist noch nicht auslöse (vgl. vorstehende E. 4.1.2).
Nach dem Gesagten ist die einzelrichterliche Erledigung der Streitsache durch die Vorinstanz offensichtlich unhaltbar. Von einer klaren Rechtslage oder einer feststehenden Gerichtspraxis wie sie Art. 19 Abs. 2 OrgV/SG vorschreibt, kann keine Rede sein. Bei richtiger Betrachtungsweise ist auch der entscheidwesentliche Sachverhalt alles andere als unbestritten oder eindeutig. Die willkürliche Anwendung der kantonalen Zuständigkeitsvorschriften durch den Vizepräsidenten des Versicherungsgerichts führt zur Aufhebung des einzelrichterlichen Entscheids. Die Vorinstanz wird die Sache in gehöriger Besetzung erneut zu beurteilen haben.
5.
Die Gerichtskosten sind dem Ausgang des Verfahrens entsprechend der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Diese hat der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin ausserdem einen angemessenen Parteikostenersatz zu leisten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Dessen Höhe entspricht der vom Rechtsvertreter eingereichten Honorarnote vom 10. November 2014 über Fr. 3472.- zuzüglich Mehrwertsteuer (Art. 12 des Reglements über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht vom 31. März 2006 [SR 173.110.210.3]). Es besteht kein Anlass, die Entschädigung tiefer anzusetzen, zumal sich der geltend gemachte Betrag im Rahmen des bundesgerichtlichen Tarifs hält (vgl. Art. 4 des erwähnten Reglements.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 3. Juni 2014 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung in gehöriger Besetzung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3750.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. September 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Attinger