Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1973) stammt aus Algerien. Er ersuchte in der Schweiz wiederholt um Asyl, wobei er jeweils im Dublinverfahren in das zuständige Italien überführt wurde. Am 12. September 2013 nahm das Bundesamt für Migration das nationale Asylverfahren auf, da die Frist für eine erneute Überstellung von A._ nach Italien abgelaufen war. Am 14. Oktober 2013 trat es auf sein Asylgesuch nicht ein und wies ihn weg. Hiergegen gelangte A._ erfolglos an das Bundesverwaltungsgericht (Urteil vom 13. November 2013).
1.2. Am 19. Juni 2014 teilte das Bundesamt für Migration dem für den Vollzug der Wegweisung zuständigen Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau mit, dass A._ als algerischer Staatsangehöriger identifiziert worden sei und ein Laissez-passer für ihn erhältlich gemacht werden könne.
1.3. Das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau nahm A._ gestützt hierauf am 21. Juli 2014 in Ausschaffungshaft. Der Einzelrichter am Verwaltungsgericht des Kantons Aargau prüfte und bestätigte diese am 25. Juli 2014 bis zum 20. Oktober 2014. A._ ist hiergegen mit dem Antrag an das Bundesgericht gelangt, er sei aus der Haft zu entlassen.
2.
2.1. Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist dabei in gezielter Form auf die für das Ergebnis massgeblichen Ausführungen der Vorinstanz einzugehen (<ref-ruling> E. 2.1 - 2.3).
2.2. Der Beschwerdeführer kritisiert den Asyl- und Wegweisungsentscheid; er will in der Schweiz verbleiben und eine "weitere Chance" erhalten; er habe sich integriert. Verfahrensgegenstand vor Bundesgericht bildet indessen - von hier nicht relevanten Ausnahmen abgesehen - ausschliesslich die Rechtmässigkeit der angeordneten Ausschaffungshaft zur Sicherung des Vollzugs der Wegweisungsverfügung und nicht diese selber (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 197 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 220; <ref-ruling> E. 2b). Mit den Voraussetzungen der Ausschaffungshaft setzt sich der Beschwerdeführer (wenn überhaupt) nur am Rande auseinander. Er hält diese für "unmenschlich", legt indessen nicht dar, dass und inwiefern dies der Fall wäre. Soweit er auf seine gesundheitlichen Probleme verweist (Panikattacken), wird diesen - wie der Beschwerdeführer selber einräumt - im Rahmen des Haftvollzugs bereits heute Rechnung getragen. Da er sich somit nicht sachbezogen mit dem Verfahrensgegenstand auseinandersetzt und darlegt, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid die bundesgerichtliche Praxis missachten und die einschlägigen ausländerrechtlichen Bestimmungen verletzen würde, ist auf seine Eingabe nicht einzutreten. Dies kann ohne Weiterungen durch den Präsidenten im Verfahren nach <ref-law> geschehen.
2.3. Der Beschwerdeführer ist im Dublinverfahren wiederholt nach Italien weggewiesen worden, aber immer wieder in die Schweiz zurückgekehrt, wobei er die gegen ihn ausgesprochene Einreisesperre missachtete. Sein Asylgesuch ist rechtskräftig negativ entschieden und er in seine Heimat weggewiesen worden. Sein Verhalten (Straffälligkeit; wiederholte Weigerung, nach Algerien zurückzukehren; Missachtung der Einreisesperre; "Untertauchen" usw.), lässt darauf schliessen, dass er sich ohne Festhaltung den Behörden für den Vollzug der Wegweisung nicht zur Verfügung halten wird (vgl. Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> E. 3.1). Eine mildere Massnahme als seine Festhaltung ist nicht geeignet, die Verfügbarkeit für die Ausschaffung zu sichern. Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind (Beschleunigungsgebot usw.), ist der angefochtene Entscheid bundesrechtskonform. Der Beschwerdeführer kann seine Haft verkürzen, indem er bei der Ausschaffung mit den Behörden kooperiert. Eine illegale Ausreise in einen anderen europäischen Staat ist nicht möglich (Art. 115 Abs. 2 AuG); nur sein Heimatstaat ist völkerrechtlich gehalten, ihn zurückzunehmen (<ref-ruling> E. 4.2.2; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 60).
3.
Es rechtfertigt sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Es sind keine Entschädigungen geschuldet (<ref-law>). Das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau wird eingeladen, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. August 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar