Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss vom 11. Mai 2010 des Obergerichts des Kantons Zürich (Verwaltungskommission), das dem Beschwerdeführer (für sein Ablehnungsbegehren gegen einen erstinstanzlichen Rechtsöffnungsrichter in einem Rechtsöffnungsverfahren für eine Forderung von Fr. 293.--) eine Frist von 10 Tagen zur Leistung einer Prozesskaution von Fr. 150.-- angesetzt hat mit der Androhung, dass bei Säumnis auf das Ablehnungsbegehren nicht eingetreten würde,
in das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Beschluss des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Beschluss vom 11. Mai 2010 erwog, der Beschwerdeführer schulde aus erledigten und nicht mehr weiterziehbaren Verfahren vor zürcherischen Gerichtsbehörden Kosten, weshalb er in Anwendung von § 73 Ziff. 4 ZO/ZH zur erwähnten Prozesskaution aufzufordern sei,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht in nachvollziehbarer Weise auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen eingeht und verständlich darlegt, weshalb (nach seiner Auffassung) nunmehr auch das Zürcher Obergericht befangen sein soll,
dass der Beschwerdeführer erst recht nicht anhand der obergerichtlichen Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert aufzeigt, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den Beschluss des Obergerichts vom 11. Mai 2010 verletzt sind,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,
dass mit dem bundesgerichtlichen Entscheid des Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung gegenstandslos wird,

erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 100.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann