Sachverhalt:
A. Die Pfarrei St. Theodul Törbel reichte am 26. Februar 2007 das Gesuch zum Bau einer Kapelle auf der Moosalp, Parzelle Törbel Nr. 8556, Koordinaten 630'180/122'350, ein. Das dafür vorgesehene Grundstück liegt ausserhalb der Bauzone auf dem Gebiet der Munizipalgemeinde Törbel und gehört der Burgergemeinde Törbel, welche der Bauherrschaft ein Baurecht einräumte. Die Gemeinde veröffentlichte das Baugesuch im kantonalen Amtsblatt vom 2. März 2007. Gegen das Bauvorhaben erhob unter anderen die Stiftung Landschaftsschutz Schweiz Einsprache. Am 29. Juni 2007 bewilligte die Gemeinde das Gesuch, soweit sie dafür zuständig war und leitete die Angelegenheit an die kantonale Baukommission weiter. Diese verweigerte die Baubewilligung am 6. Februar 2008 mit der Begründung, das Bauvorhaben sei nicht zonenkonform und erfülle das Erfordernis der Standortgebundenheit nicht.
B. Die Pfarrei St. Theodul beschwerte sich gegen den Bauabschlag beim Staatsrat des Kantons Wallis. Dieser hiess die Beschwerde nach Durchführung eines Augenscheins am 10. Dezember 2008 gut und wies die Akten zur Erteilung der Baubewilligung und zur Eröffnung der für die Verwirklichung des Bauvorhabens ebenfalls nötigen Rodungsbewilligung an die kantonale Baukommission zurück. Gegen diesen Entscheid des Staatsrats erhob die Stiftung Landschaftsschutz Schweiz Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Kantonsgericht Wallis. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 3. April 2009 im Sinne der Erwägungen ab.
C. Gegen das Urteil des Kantonsgerichts vom 3. April 2009 führt die Stiftung Landschaftsschutz Schweiz Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie verlangt im Wesentlichen, das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben und die nachgesuchte Baubewilligung für den Bau der Kapelle sei in Bestätigung des Entscheids der kantonalen Baukommission vom 6. Februar 2008 zu verweigern. Eventuell sei das Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 3. April 2009 aufzuheben und zu neuem Entscheid über die gesamte Baubewilligung an die zuständige kantonale Instanz zurückzuweisen.
D. Die Pfarrei St. Theodul beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Staatsrat und das Kantonsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Gemeinde Törbel und die kantonale Baukommission verzichten auf eine Stellungnahme.
Das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) verneint in seiner Stellungnahme an das Bundesgericht die Standortgebundenheit des Bauvorhabens, verzichtet aber auf einen formellen Antrag zur Sache. Der Gemeinderat Törbel befürwortet das Projekt weiterhin. Die Stiftung Landschaftsschutz Schweiz sowie die Pfarrei St. Theodul halten an ihren jeweiligen Rechtsstandpunkten fest.
E. Mit Präsidialverfügung vom 10. Juni 2009 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren betreffend eine bewilligungspflichtige zonenwidrige Anlage ausserhalb der Bauzone und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zu Grunde. Das Bundesgerichtsgesetz enthält auf dem Gebiet des Bau- und Planungsrechts keinen Ausschlussgrund von der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a und Art. 83 BGG).
1.2 Mit dem angefochtenen Entscheid wird die Beschwerde gegen einen Entscheid des Kantonsgerichts im Sinne der Erwägungen abgewiesen. Die Beschwerde an das Kantonsgericht richtete sich gegen einen Entscheid des Staatsrats, in welchem die Sache an die kantonale Baukommission zur Erteilung der Baubewilligung und zur Eröffnung der Rodungsbewilligung zurückgewiesen wurde. Mit dieser Rückweisung wird das Verfahren nicht abgeschlossen. Gemäss <ref-law> ist gegen (andere) selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide die Beschwerde zulässig, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde. Ob die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, prüft das Bundesgericht frei. Würde es in Gutheissung der Beschwerde die Zulässigkeit einer Ausnahmebewilligung für das umstrittene Vorhaben der Pfarrei St. Theodul verneinen, wäre das Verfahren endgültig abgeschlossen und der weitere mit dem vorliegenden Baugesuchsverfahren verbundene beachtliche Aufwand bliebe erspart. Demzufolge ist von einem Anwendungsfall von <ref-law> auszugehen (<ref-ruling> E. 1.2.3 f. S. 143 f.; 186 E. 1.2 S. 188; je mit Hinweisen).
1.3 Die Stiftung Landschaftssschutz Schweiz gehört zu den gesamtschweizerischen Organisationen, die nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> zur Erhebung von Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht berechtigt sind (vgl. Ziff. 13 Anhang der Verordnung über die Bezeichnung der beschwerdeberechtigten Umweltschutzorganisationen vom 27. Juni 1990, VBO, SR 814.076). Sie hat am kantonalen Verfahren als Partei teilgenommen und erfüllt die Voraussetzungen des Beschwerderechts gemäss den <ref-law> und 89 Abs. 2 lit. d BGG (Urteil des Bundesgerichts 1A.251/2003 vom 2. Juni 2004 E. 2.1; vgl. ferner <ref-ruling> E. 2 S. 51 f. mit zahlreichen Hinweisen).
1.4 Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2. Eine Ausnahmebewilligung im Sinne von Art. 24 RPG (SR 700) setzt voraus, dass der Zweck der Bauten und Anlagen einen Standort ausserhalb der Bauzonen erfordert (Standortgebundenheit, Art. 24 lit. a RPG) und keine überwiegenden Interessen entgegenstehen (Art. 24 lit. b RPG). Umstritten ist, ob die Vorinstanzen die Standortgebundenheit der umstrittenen Kapelle zu Recht bejaht haben.
2.1 Die Standortgebundenheit im Sinne von Art. 24 lit. a RPG ist nach ständiger bundesgerichtlicher Praxis zu bejahen, wenn eine Anlage aus technischen oder betriebswirtschaftlichen Gründen oder wegen der Bodenbeschaffenheit auf einen Standort ausserhalb der Bauzone angewiesen ist, oder wenn ein Werk aus bestimmten Gründen in einer Bauzone ausgeschlossen ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 4a S. 255; <ref-ruling> E. 5a S. 261). Dabei genügt eine relative Standortgebundenheit: Es ist nicht erforderlich, dass überhaupt kein anderer Standort in Betracht fällt; es müssen jedoch besonders wichtige und objektive Gründe vorliegen, die den vorgesehenen Standort gegenüber anderen Standorten innerhalb der Bauzone als viel vorteilhafter erscheinen lassen (Urteil des Bundesgerichts 1A.186/2002 vom 23. Mai 2003 in: ZBl 105/2004 103 E. 3; <ref-ruling> E. 4.2 S. 417; <ref-ruling> E. 4a S. 362; Haller/Karlen, Raumplanungs-, Bau- und Umweltrecht, 3. Aufl., Band I, 1999 S. 195 Rz. 711; Waldmann/Hänni, Raumplanungsgesetz, 2006, Art. 24 Rz. 10).
2.2 Die umstrittene Kapelle auf der Moosalp erfüllt die Voraussetzungen für die Bejahung der Standortgebundenheit nicht. Sie ist weder aus technischen noch aus betriebswirtschaftlichen Gründen auf einen Standort ausserhalb der Bauzone angewiesen, noch ist ihre Erstellung in der Bauzone ausgeschlossen (Urteil des Bundesgerichts 1A.188/1997 vom 10. November 2009 in: Rivista di diritto amministrativo e tributario ticinese [RDAT] 1998 I S. 270 E. 3; vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 445 f. betreffend einen Aschenbeisetzungsplatz mit drei Pyramiden auf einer Alp; CHRISTOPH JÄGER, Kultusbauten im Planungs-, Bau- und Umweltschutzrecht, in: Pahud de Mortagnes/Zufferey [Hrsg.], Bau und Umwandlung religiöser Gebäude, S. 131 ).
Das Kantonsgericht führt aus, die Moosalp sei ein einzigartiger Ort im Oberwallis. Ihre spezielle Lage und gute Erreichbarkeit als Naherholungsgebiet mache sie zu einem beliebten Ausflugsziel. Sie sei Ausgangs- und Endpunkt verschiedenster Wanderungen und ermögliche es auch älteren Menschen, sich relativ rasch von tieferen Regionen in ein Gebiet zu begeben, das eine ausgezeichnete Aussicht auf die Bergwelt ermögliche. Das dort noch gelebte Älplertum mit der Sömmerung des Viehs erhöhe die Attraktivität. Die Moosalp werde insbesondere an Wochenenden von vielen Menschen aufgesucht.
Wie das Kantonsgericht zutreffend darlegt, kommen die vielen Besucher auf die Moosalp, um die Bergwelt zu geniessen. Dieser Besuchszweck setzt die Erstellung der umstrittenen Kapelle nicht voraus. Die Besucher suchen dort nicht einen "Rückzugsort", einen "Ort der Stille und Besinnung". Im Oberwallis bestehen nach den Ausführungen des Kantonsgerichts schon zahlreiche solche Orte der Stille und Einkehr innerhalb und ausserhalb der Bauzone. Innerhalb der Bauzone steht der Neuerrichtung solcher Projekte bei entsprechender Ausgestaltung der Bau- und Zonenordnung grundsätzlich nichts im Weg. Ausserhalb der Bauzone sind sie grundsätzlich mangels Standortgebundenheit unzulässig. Das trifft wie erwähnt auch auf das vorliegende Kapellenprojekt auf der Moosalp zu. Das Kantonsgericht bejaht die Standortgebundenheit für die Errichtung der umstrittenen Baute auf der Moosalp, weil der gewählte Standort bei den Besuchern aufgrund der einmaligen Natur- und Bergwelt ein situationsbezogen verursachtes Bedürfnis nach Ruhe und Besinnung schaffe. Dabei lässt es ausser Acht, dass die touristisch attraktive Moosalp nicht besucht wird, weil es sich um einen Ort der Einsamkeit, Besinnung und Einkehr handelt. Dafür sind andere Orte in der Umgebung klarerweise besser geeignet. Anders mag es sich verhalten bei den Besuchern der regelmässig auf der Moosalp stattfindenden Feldgottesdienste. Diese sind vom umstrittenen Vorhaben jedoch nicht betroffen und gehören nicht zum vorliegenden Streitgegenstand. Sie können jedenfalls auch ohne die projektierte Kapelle weiterhin durchgeführt werden.
3. Die Beschwerde ist zudem noch aus einem anderen Grund gutzuheissen: Die Angelegenheit wurde vom Staatsrat mit Zustimmung des Kantonsgerichts "mit der verbindlichen Anweisung, die Baubewilligung zu erteilen, und die Rodungsbewilligung zu eröffnen" an die kantonale Baukommission zurückgewiesen. Dieses Vorgehen ist nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts unzulässig. Das Kantonsgericht hat damit eine Art verbindliches "Teilurteil" über die Standortgebundenheit erlassen und bereits zu einzelnen Elementen der Interessenabwägung gemäss Art. 24 lit. b RPG Stellung genommen (noch nicht rechtskräftig beurteilte Rodungsfrage, Landschaftsschutz, Erschliessung usw.). Art. 24 lit. b RPG verlangt indessen eine umfassende Abwägung aller für und gegen das Vorhaben sprechenden Interessen (<ref-ruling> E. 3.2 f. S. 68 ff.; Urteil des Bundesgerichts 1A.186/2002 vom 23. Mai 2003 in: ZBl 105/2004 S. 103 E. 3.4 ff.). Diese Abwägung kann erst vorgenommen werden, wenn alle erforderlichen Abklärungen der kantonalen Fachstellen vorliegen und sämtliche Interessen bekannt sind. In formeller Hinsicht verlangt Art. 24 lit. b RPG, dass die Interessenabwägung durch die nämliche Behörde vorgenommen wird, d.h. dass für die Interessenabwägung massgebende Einzelfragen nicht separaten Verfahren vorbehalten werden dürfen (vgl. z.B. <ref-ruling> E. 6b S. 514 mit Hinweisen). Diese bundesrechtlichen Verfahrensanforderungen hat das Kantonsgericht nicht beachtet (vgl. zum Ganzen Urteil 1A.186/2002 vom 23. Mai 2003 in: ZBl 105/2004 S. 103 ff. mit Hinweisen).
4. Die Beschwerde ist somit gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Baubewilligung für die Kapelle auf der Parzelle Nr. 8556 in Törbel zu verweigern. Auf die übrigen Vorbringen der Beschwerdeführerin ist bei diesem Ergebnis nicht weiter einzugehen.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Diese hat der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts des Kantons Wallis vom 3. April 2009 aufgehoben.
Die Baubewilligung für die Kapelle auf der Parzelle Nr. 8556 in Törbel wird verweigert.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Pfarrei St. Theodul auferlegt.
3. Die Pfarrei St. Theodul hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Munizipalgemeinde Törbel, der Kantonalen Baukommission und dem Staatsrat des Kantons Wallis sowie dem Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Dezember 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Haag