Erwägungen:
1.
1.1. X._ (geb. 1969) stammt aus Nigeria. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt hat ihm am 30. Januar 2013 Frist bis zum 30. April 2013 gesetzt, um das Land zu verlassen, worauf er ein Gesuch um Familiennachzug für seine Ehefrau und die beiden Kinder gestellt hat, die er nach Abschluss der negativen Bewilligungsverfahren am 31. Dezember 2012 in die Schweiz hatte nachkommen lassen. Am 2. März 2013 ersuchte er um Wiedererwägung der Wegweisung, worauf das Migrationsamt am 5. April 2013 nicht eintrat. Am 4. Juni 2013 wurde X._ in Ausschaffungshaft genommen, welche der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 7. Juni 2013 prüfte und bis zum 4. September 2013 bestätigte.
1.2. X._ ist hiergegen am 5. Juli 2013 an das Bundesgericht gelangt. Er wurde am 8. Juli 2013 aufgefordert, bis spätestens dem 12. Juli 2013 den angefochtenen Entscheid nachzureichen, andernfalls seine Beschwerdeschrift nicht beachtet werde. Er hat seine vom 5. Juli 2013 datierte Eingabe (gemäss Poststempel) in der Folge erst am 16. Juli 2013 und damit verspätet der Post übergeben, doch ersucht er um "Fristverlängerung bis am 20. Juli 2013". Da die ihm gesetzte Frist abgelaufen ist und er nicht innert dieser um eine Verlängerung nachsuchte, liesse sich sein Antrag dahin verstehen, die versäumte Frist sei wiederherzustellen. Hierzu bestünde indessen kein Anlass: Gemäss <ref-law> wird eine versäumte Frist wiederhergestellt, wenn der Gesuchsteller nachweist, dass er oder sein Vertreter durch ein unverschuldetes Hindernis davon abgehalten worden ist, innerhalb der Frist zu handeln, er binnen 30 Tagen die Wiederherstellung verlangt und gleichzeitig die versäumte Rechtshandlung nachholt. Ein unverschuldetes Hindernis liegt vor, wenn der Partei (und gegebenenfalls ihrem Vertreter) am Verpassen der Frist keinerlei Vorwurf gemacht werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2a; Urteil 8F_3/2011 vom 28. Juli 2011). Weder der Beschwerdeführer selber noch sein Rechtsvertreter legen dar, welches unverschuldete Hindernis sie daran gehindert hätte, rechtzeitig von der ihnen gebotenen Nachfrist zu profitieren. Diese könnte deshalb nicht wieder hergestellt oder verlängert werden. Da der Beschwerdeführer nicht innert der angesetzten Frist das Urteil nachgereicht hat, bleibt die Rechtsschrift unbeachtlich (<ref-law>). Auf die Eingabe ist somit durch den Präsidenten als Instruktionsrichter androhungsgemäss im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
1.3. Der Beschwerdeführer ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Da keine Kosten erhoben werden (<ref-law>), ist das Gesuch gegenstandslos. Mit dem vorliegenden Nichteintretensentscheid fallen die Gesuche um aufschiebende Wirkung gegen den Wegweisungsvollzug bzw. um Anordnung der sofortigen Haftentlassung ebenfalls dahin.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar