Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdeführer) war bei der B._ AG angestellt und im Rahmen eines Kollektivversicherungsvertrages mit der X._ Zusatzversicherungen AG (Beschwerdegegnerin) gegen Erwerbsausfall taggeldversichert. Das versicherte Taggeld betrug 80 % des Lohnanspruchs und war ab dem 90. Krankheitstag für eine maximale Dauer von 730 Tagen zu leisten. Der Beschwerdeführer arbeitete zudem in einem Nebenverdienst bei der C._ AG.
Ab 21. Juni 1999 war der Beschwerdeführer krank. Die Beschwerdegegnerin richtete ab dem genannten Zeitpunkt Taggeldleistungen aus. Am 19. Juni 2001 stellte die Beschwerdegegnerin die Taggeldzahlungen ein.
Mit Verfügungen vom 4. April 2003 beziehungsweise vom 18. Juni 2004 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich dem Beschwerdeführer rückwirkend ab 1. Juni 2000 eine Viertelsrente und ab 1. Juli 2004 eine Dreiviertelsrente zu. Mit Verfügung vom 25. Juni 2004 gewährte sie dem Beschwerdeführer rückwirkend auch für die Zeit vom 1. Juni 2000 bis 30. Juni 2004 eine Dreiviertelsrente.
In der Folge machte die X._ Versicherungen AG für die Zeit vom 1. Juni 2000 bis 19. Juni 2001 eine Überversicherung des Beschwerdeführers geltend. Dieser war jedoch nicht bereit, den verlangten Betrag zurückzuzahlen.
B. Am 29. November 2005 erhob die Beschwerdegegnerin gegen den Beschwerdeführer Klage beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit dem Begehren, dieser sei zufolge Überentschädigung zu verpflichten, den Betrag von Fr. 7'877.85 zurückzuerstatten. Zudem sei ihr für den Zeitraum vom 1. Mai bis zum 30. November 2003 gegenüber der IV-Stelle direkte Verrechnungskompetenz einzuräumen.
Mit Urteil vom 7. Februar 2007 verpflichtete der Einzelrichter des Sozialversicherungsgerichts den Beschwerdeführer, der Beschwerdegegnerin den Betrag von Fr. 7'877.85 zu bezahlen. Im Übrigen (Verrechnungskompetenz gegenüber der IV-Stelle) wies er die Klage ab.
C. Der Beschwerdeführer erhob Beschwerde in Zivilsachen und eventuell subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts vom 7. Februar 2007 sei, soweit es den Beschwerdeführer zur Rückerstattung von Fr. 7'877.85 an die Beschwerdegegnerin verpflichtet, aufzuheben.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen.
Der Einzelrichter des Sozialversicherungsgerichts verzichtete auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid am 7. Februar 2007 ergangen ist, richtet sich das Verfahren nach dem BGG (<ref-law>).
2. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
2.1 Nach Art. 12 Abs. 2 und 3 des Krankenversicherungsgesetzes (KVG; SR 832.10) unterliegen Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung dem Versicherungsvertragsgesetz (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 1a/aa, 229 E. 2b). Als Rechtsmittel an das Bundesgericht kommt daher die Beschwerde in Zivilsachen in Betracht.
2.2 Bei der vorliegenden Streitsache, mit der Taggeldleistungen zurückverlangt werden, handelt es sich überdies um eine vermögensrechtliche Angelegenheit.
2.2.1 In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde in Zivilsachen nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens 30'000 Franken beträgt (<ref-law>). Vorliegend beträgt der Streitwert lediglich Fr. 7'877.85, weshalb sich die Beschwerde in Zivilsachen insofern als unzulässig erweist.
2.2.2 Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag nicht, ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>) oder wenn ein Bundesgesetz eine einzige kantonale Instanz vorschreibt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer beruft sich auf diese beiden Bestimmungen:
2.2.2.1 Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, so ist in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer missachtet diese Begründungspflicht. Er führt lediglich einige Fragen auf, die sich seines Erachtens im vorliegenden Fall stellen. Sodann macht er zwar geltend, diese seien von grundsätzlicher Bedeutung. Indessen begründet er mit keinem Wort und ist auch nicht ersichtlich, weshalb dies der Fall sein soll. Die Beschwerde in Zivilsachen erweist sich somit auch insofern als unzulässig.
2.2.2.2 Der Beschwerdeführer ist ferner der Meinung, die Beschwerde sei zulässig, weil ein Bundesgesetz eine einzige kantonale Instanz vorschreibe, wobei er sich auf Art. 85 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 17. Dezember 2004 betreffend die Aufsicht über Versicherungsunternehmen (Versicherungsaufsichtsgesetz, VAG, SR 961.01) beruft.
Nach Art. 85 Abs. 1 VAG entscheidet das Gericht privatrechtliche Streitigkeiten zwischen Versicherungsunternehmen oder zwischen Versicherungsunternehmen und Versicherten. Für Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung nach dem KVG sehen die Kantone ein einfaches und rasches Verfahren vor, in dem das Gericht den Sachverhalt von Amtes wegen feststellt und die Beweise nach freiem Ermessen würdigt (Art. 85 Abs. 2 VAG).
Eine einzige kantonale Instanz schreiben verschiedene Bundesgesetze auf dem Gebiet des Immaterialgüterrechts (<ref-law> [SR 231.1]; <ref-law> [SR 232.11], <ref-law> [SR 232.12], <ref-law> [SR 232.14]; Art. 42 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 20. März 1975 über den Schutz von Pflanzenzüchtungen [Sortenschutzgesetz, SR 232.16]), Art. 14 Abs. 1 des Kartellgesetzes (KG, SR 251) und Art. 23 des Kernenergiehaftpflichtgesetzes vom 18. März 1983 (KHG, SR 732.44) vor.
Für Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung ist hingegen von Bundesrechts wegen nicht eine einzige kantonale Instanz vorgeschrieben. Art. 85 Abs. 1 VAG verlangt lediglich, dass privatrechtliche Streitigkeiten durch "das Gericht" ("le juge") entschieden werden; gemeint sind ordentliche Gerichte (oder Schiedsgerichte) und nicht eine Verwaltungsbehörde (vgl. zu Art. 47 aVAG vom 5. Mai 1976, der Art. 85 VAG entspricht [BBl 2003 3789, 3839]: <ref-ruling> E. 2 S. 464; BBl 1976 II 917). Es wird aber nicht vorgeschrieben, dass das Gericht als einzige kantonale Instanz entscheidet. Art. 85 Abs. 2 VAG statuiert sodann für Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung ein einfaches und rasches Verfahren und die Untersuchungsmaxime analog den Bestimmungen für gewisse Mietrechts- und Arbeitsrechtsstreitigkeiten (Art. 274d und Art. 343 OR; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 424 mit Hinweisen). Aus diesen Verfahrensvorschriften ergibt sich aber keine Verpflichtung der Kantone, eine einzige kantonale Instanz vorzusehen. Der Fall von <ref-law>, wonach die Beschwerde in Zivilsachen bei nicht erreichtem Streitwerterfordernis dennoch zulässig ist, wenn ein Bundesgesetz eine einzige kantonale Instanz vorschreibt, liegt demnach nicht vor.
Daran ändert nichts, dass im Kanton Zürich - wie der Beschwerdeführer vorbringt - über Klagen aus Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung nach der geltenden kantonalen Prozessordnung lediglich eine Instanz entscheidet. Die Kantone sind frei, ob sie ein Sozialversicherungsgericht oder ein Zivilgericht mit solchen Streitigkeiten betrauen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 464). Im Kanton Zürich ist das Sozialversicherungsgericht zuständig (§ 2 lit. b des Gesetzes des Kantons Zürich vom 7. März 1993 über das Sozialversicherungsgericht [GSVGer]). Dieses nimmt zwar von der Einbettung in die zürcherische Gerichtsorganisation her die Stellung eines oberen Gerichts ein (vgl. Urteil 5C.94/1998 vom 15. Juni 1998 E. 2b). Es fungiert aber in den vorliegend interessierenden Streitigkeiten nicht als Rechtsmittelinstanz. Dies kollidiert mit dem Prinzip der "double instance", wie es das Bundesgerichtsgesetz für Zivilsachen vorschreibt (<ref-law>), und erfordert zu gegebener Zeit eine Anpassung der kantonalen Ordnung (<ref-law>). Es ändert aber nichts daran, dass für Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung kein Bundesgesetz eine einzige kantonale Instanz vorschreibt und demnach die Beschwerdemöglichkeit nach <ref-law> entfällt.
2.2.2.3 Die erhobene Beschwerde in Zivilsachen ist somit weder unter dem Titel von <ref-law> noch nach <ref-law> zulässig, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
3. Der Beschwerdeführer erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde.
3.1 Diese ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen, soweit keine Beschwerde nach den Artikeln 72 - 89 zulässig ist (<ref-law>). Nachdem vorliegend die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig ist (Erwägung 2), und der angefochtene Entscheid des Einzelrichters des Sozialversicherungsgerichts innerkantonal ausser mit der Revision mit keinem Rechtsmittel angefochten werden kann (§ 29 GSVGer; Urteil 5C.94/1998 vom 15. Juni 1998 E. 2b), erweist sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde als zulässig. Dass der Einzelrichter des Sozialversicherungsgerichts die Anforderungen des BGG an die kantonalen Vorinstanzen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) insofern nicht erfüllt, als er nicht als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (vgl. Erwägung 2.2.2.2 vorne), hindert das Eintreten auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht, da die Frist für die kantonalen Ausführungsvorschriften (<ref-law>) noch läuft.
3.2 Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substantiiert darlegen, worin die Verletzung besteht (vgl. der zu Art. 90 OG ergangene <ref-ruling> E. 2.1 S. 31, 258 E. 1.3). Das Bundesgericht kann die Verletzung eines Grundrechtes nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann davon nur abweichen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und <ref-law>), was der Beschwerdeführer präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 5a).
3.3 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Die Begründung des angefochtenen Entscheids komme einer formellen und materiellen Rechtsverweigerung gleich, weil sie auf "zentrale Argumente" des Beschwerdeführers nicht eingehe.
Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) folgt unter anderem die grundsätzliche Pflicht der Behörden, ihren Entscheid zu begründen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass der Betroffene den Entscheid gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Die Begründung muss kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinander setzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 4.3 S. 540; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2b).
Diesen Anforderungen wird der angefochtene Entscheid gerecht, indem er nachvollziehbar darlegt, aus welchen Überlegungen die Vorinstanz zu ihrem Entscheid gelangte. Namentlich wird klar, dass sie Art. 28 der AVB zur Anwendung brachte und wie sie diese Bestimmung auslegte (E. 4). Der angefochtene Entscheid enthält auch Ausführungen zur Rechtsmittelbelehrung (E. 8). Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, insbesondere der Begründungspflicht, ist weder dargetan noch ersichtlich.
Soweit der Beschwerdeführer sich zur Begründung seiner Gehörsrüge gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz richtet, indem er ihr vorwirft, sich auf offensichtlich unzutreffende Angaben betreffend die massgebliche Zeit der Überentschädigungsberechnung zu beziehen, und eigene, vom angefochtenen Entscheid abweichende Zahlen betreffend Taggeldleistungen und "entgangenem Lohn" präsentiert, kann er nicht gehört werden. Er zeigt nicht auf, dass die gerügten Sachverhaltsfeststellungen unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts, namentlich des Willkürverbots, zustande gekommen wären (vgl. Erwägung 3.2 vorne).
Die Verfassungsbeschwerde erweist sich als unbegründet, soweit - mit Blick auf die kaum rechtsgenügliche Motivation - überhaupt darauf eingetreten werden kann.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin ist nicht anwaltlich vertreten, weshalb ihr keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. der zu Art. 159 Abs. 1 OG ergangene <ref-ruling> E. 5 S. 21).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juni 2007
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: