Sachverhalt:
A.
Die 1966 geborene P._ meldete sich im Dezember 2004 bei der lichtensteinischen und im Februar 2005 bei der schweizerischen Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Beschluss vom 27. Oktober 2009 sprach ihr die lichtensteinische Invalidenversicherung eine ganze Invalidenrente ab 1. September 2004 zu (Invaliditätsgrad von 88 %). Hingegen verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens einen Rentenanspruch mit der Begründung, die Versicherte sei in einer leidensadaptierten Tätigkeit soweit arbeitsfähig, dass weder im Erwerbs- noch im Haushaltsbereich eine Einschränkung resultiere (Verfügung vom 22. Juli 2010).
B.
Mit Beschwerde beantragte P._ eine ganze Invalidenrente ab 15. September 2003, eventuell ab Datum nach richterlichem Ermessen; die IV-Stelle ersuchte um Abweisung des Rechtsmittels. In Gutheissung der Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Verfügung vom 22. Juli 2010 auf und wies die Sache zur Festsetzung von Höhe und Beginn der Rente auf Basis einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit an die Verwaltung zurück (Entscheid vom 29. Oktober 2012).
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der Entscheid vom 29. Oktober 2012 sei aufzuheben und die Verfügung vom 22. Juli 2010 zu bestätigen. Ferner ersucht sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
P._ lässt sich nicht vernehmen. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid handelt es sich in der Terminologie des BGG um einen Zwischenentscheid. Er kann daher nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> selbstständig angefochten werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f.). Lit. a dieser Bestimmung lässt die selbstständige Anfechtung eines Zwischenentscheids zu, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Nach der Rechtsprechung ist diese Voraussetzung seitens des Versicherers erfüllt, wenn der Rückweisungsentscheid eines kantonalen Gerichts verbindliche Vorgaben zu den Grundlagen der Anspruchsbeurteilung enthält (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.; Urteil I 126/07 vom 6. August 2007 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in SVR 2008 IV Nr. 31 S. 100; Urteil 8C_274/2012 vom 4. Dezember 2012 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Diese Konstellation liegt hier vor (E. 2). Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
Die Vorinstanz hat dem Gutachten des Dr. med. K._, Facharzt für Psychiatrie und Neurologie sowie Psychotherapeut, vom 8. Oktober 2009 Beweiskraft beigemessen. Gestützt darauf hat sie festgestellt, mit der chronifizierten Depression liege eine selbstständige, vom Schmerzsyndrom losgelöste psychische Komorbidität vor, welche die Arbeitsfähigkeit der Versicherten seit September 2003 vollumfänglich einschränke. Damit hat sie - bei einem Erwerbsstatus von 80 % (vgl. <ref-law>) - implizite den Anspruch auf eine ganze Invalidenrente bejaht (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>), auch wenn sie deren Höhe und Beginn nicht festgelegt hat.
3.
3.1.
3.1.1. Somatoforme Schmerzstörungen und ähnliche aetiologisch-pathogenetisch unerklärliche syndromale Leidenszustände vermögen in der Regel keine lang dauernde, zu einer Invalidität im Sinne von <ref-law> führende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit zu bewirken (<ref-ruling> E. 3 S. 280 ff.; <ref-ruling> E. 2.2.2 und 2.2.3 S. 353 f.; <ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>). Die - nur in Ausnahmefällen anzunehmende - Unzumutbarkeit eines Wiedereinstiegs in den Arbeitsprozess setzt das Vorliegen einer mitwirkenden, psychisch ausgewiesenen Komorbidität von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer oder aber das Vorhandensein anderer qualifizierter, mit gewisser Intensität und Konstanz erfüllter Kriterien voraus wie chronische körperliche Begleiterkrankungen und mehrjähriger Krankheitsverlauf bei unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerfristige Remission, ein ausgewiesener sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens, ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr angehbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn) oder schliesslich unbefriedigende Behandlungsergebnisse trotz konsequent durchgeführter Behandlungsbemühungen (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) und gescheiterte Rehabilitationsmassnahmen bei vorhandener Motivation und Eigenanstrengung der versicherten Person voraus (BGE <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 354 f.). Je mehr dieser Kriterien zutreffen und je ausgeprägter sich die entsprechenden Befunde darstellen, desto eher sind die Voraussetzungen für eine zumutbare Willensanstrengung zu verneinen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 67 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 50 f. mit Hinweisen).
3.1.2. Auch wenn eine invalidisierende Wirkung einer mittelschweren depressiven Störung nicht von vornherein auszuschliessen ist, bedingt deren Annahme jedenfalls, dass es sich dabei nicht bloss um die Begleiterscheinung einer Schmerzkrankheit handelt (vgl. in Bezug auf mittelgradige depressive Episoden Urteil 9C_736/2011 vom 7. Februar 2012 E. 4.2.2.1 mit Hinweisen), sondern um ein selbstständiges, vom psychogenen Schmerzsyndrom losgelöstes depressives Leiden (Urteil 9C_869/2011 vom 18. April 2012 E. 4.5; SVR 2008 IV Nr. 1 S. 1, I 176/06 E. 5.2). Fehlt es daran, ist nach der Rechtsprechung in der Regel keine invalidisierende Wirkung des Gesundheitsschadens anzunehmen (<ref-ruling>; <ref-ruling>).
3.2.
3.2.1. Bei der Beurteilung der Arbeits (un) fähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, die von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Aufgabe des Arztes oder der Ärztin ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
3.2.2. Im Rahmen der freien Beweiswürdigung (<ref-law> [SR 830.1]; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen) darf sich die Verwaltung - und im Streitfall das Gericht - weder über die (den beweisrechtlichen Anforderungen genügenden) medizinischen Tatsachenfeststellungen hinwegsetzen noch sich die ärztlichen Einschätzungen und Schlussfolgerungen zur (Rest-) Arbeitsfähigkeit unbesehen ihrer konkreten sozialversicherungsrechtlichen Relevanz und Tragweite zu eigen machen. Die rechtsanwendenden Behörden haben diesfalls mit besonderer Sorgfalt zu prüfen, ob die ärztliche Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit auch invaliditätsfremde Gesichtspunkte (insbesondere psychosoziale und soziokulturelle Belastungsfaktoren) mitberücksichtigt, die vom invaliditätsrechtlichen Standpunkt aus unbeachtlich sind (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.2.5 S. 355 f.; <ref-ruling> E. 5a S. 299; SVR 2012 IV Nr. 22 S. 95, 8C_302/2011 E. 2.5.1). Wo psychosoziale Einflüsse das Bild prägen, ist bei der Annahme einer rentenbegründenden Invalidität Zurückhaltung geboten (vgl. BGE <ref-ruling> E. 5a S. 299; Urteile 9C_2010/2012 vom 9. Juli 2012 E. 3.3.2; 9C_1041/2010 vom 30. März 2011 E. 5.1).
3.3. Die Vorinstanz hat die Frage nach der Arbeitsfähigkeit aus somatischer Sicht offengelassen. Im Gutachten der Klinik X._ vom 25. August 2008 wurden mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit ein chronisches myofasziales generalisiertes Schmerzsyndrom sowie ein chronisches zervikothorakospondylogenes Syndrom diagnostiziert und für angepasste Tätigkeiten eine ganztägige Arbeitszeit mit zusätzlichen Pausen von 1,5 bis 2 Stunden pro Tag für zumutbar gehalten. Davon ist in somatischer Hinsicht auszugehen: Dass diesbezüglich das Gutachten der Klinik X._ den bundesrechtlichen Anforderungen an die Beweiskraft (E. 3.2.1) nicht genügen oder sich der Gesundheitszustand resp. die Arbeitsfähigkeit seit der Begutachtung verschlechtert haben sollte, ist nicht ersichtlich und wurde resp. wird nicht geltend gemacht.
3.4.
3.4.1. Mit Blick auf die psychiatrischen Aspekte hat die Vorinstanz festgestellt, ein langjähriger, chronifizierter Krankheitsverlauf mit weitgehend unveränderter Symptomatik ohne länger dauernde Rückbildung lasse sich mit Bezug auf die Schmerzproblematik nicht in Abrede stellen. Demgegenüber sei ein sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens nicht ersichtlich. Laut Dr. med. K._ sei die depressive Störung nicht verbesserbar; das Vorliegen eines gefestigten, nicht mehr angehbaren innerseelischen Verlaufs und damit eine selbstständige psychische Erkrankung lasse sich nicht verneinen. Die Verhaltensauffälligkeiten seien nicht auf Aggravation, sondern auf eine Persönlichkeitsstörung zurückzuführen. Die fachärztliche Bestätigung einer chronifizierten Depression mit schlechter Prognose stelle nicht eine blosse (reaktive) Begleiterscheinung des Schmerzgeschehens dar, vielmehr sei von einer selbstständigen, vom Schmerzsyndrom losgelösten psychischen Komorbidität auszugehen.
3.4.2. Soweit die Vorinstanz aus einem gefestigten, therapeutisch nicht mehr angehbaren Krankheitsverlauf resp. aus der fachärztlichen Diagnose einer chronifizierten Depression resp. "rezidivierenden depressiven Störung (F33 nach ICD-10) " den Schluss zieht, es bestehe nebst dem syndromalen Schmerzleiden (E. 3.3) eine davon losgelöste, selbstständige psychische Komorbidität, kann ihr nicht beigepflichtet werden. Solches lässt sich nicht aus der allgemeinen Lebenserfahrung ableiten und steht auch nicht im Einklang mit der Aktenlage. Bereits im Bericht des Hausarztes vom 10. Januar 2005 wurde die im November 2003 eingetretene Verschlechterung des Gesundheitszustandes auf Depressionen und "chronisch rezidivierende multifaktorielle Probleme von Seiten des Bewegungsapparates" zurückgeführt. In den weiteren medizinischen Unterlagen wurde neben der Stimmungslage immer auch die Schmerzproblematik thematisiert, was teilweise in die Diagnosen Fibromyalgie oder somatoforme Schmerzstörung mündete. Selbst Dr. med. K._ verwies auf die Verbindung der depressiven Erkrankung mit den körperlichen (Schmerz-) Symptomen. Von einer eigenständigen psychischen Komorbidität kann unter diesen Umständen nicht gesprochen werden, zumal dies auch Dr. med. K._ nicht (nachvollziehbar) darlegte.
3.4.3. Im Bericht der Klinik Y._ vom 19. April 2006 wurde die bisherige Diagnose einer rezidivierenden Depression revidiert und neu, nach rund zweimonatiger stationärer Behandlung der Versicherten, eine Dysthymie diagnostiziert. Diese Diagnose wurde vom behandelnden Psychiater (Berichte vom 25. Mai 2006 und 30. April 2007) und von Dr. med. F._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, bestätigt (Gutachten vom 18. Januar 2007 und 10. Juli 2008). Der Experte Dr. med. K._ vertrat indessen die Auffassung, beim Leiden der Beschwerdeführerin handle es sich seit 2003 nicht lediglich um eine Dysthymie, sondern um mindestens eine leichte depressive Störung. Dies begründete er im Wesentlichen mit den Angaben der Versicherten, ihres Ehemannes und des behandelnden Psychiaters, während er sich mit den Befunden und Erkenntnissen der Klinik Y._ und des Dr. med. F._ nicht näher auseinandersetzte. Die Frage, ob Dr. med. K._ seine Diagnose überzeugend begründete, kann indessen offenbleiben.
Auch wenn von einer rezidivierenden depressiven Störung auszugehen ist, hat sie letztlich unter versicherungsrechtlichen Aspekten keinen invalidisierenden Charakter (Urteile 9C_521/2012 vom 17. Januar 2013 E. 4.3; 9C_210/2012 vom 9. Juli 2012 E. 4.2 mit Hinweisen) : Einerseits steht sie im Zusammenhang mit dem Schmerzleiden (E. 3.4.2), und Episoden schweren Ausmasses (vgl. SVR 2012 IV Nr. 56 S. 200, 9C_302/2012 E. 4.3.2; SVR 2011 IV Nr. 57 S. 171, 8C_958/2010 E. 6.2.2.2) wurden einzig von Dr. med. K._ erkannt, allerdings lediglich in retrospektiver Beurteilung nicht konkret genannter Symptome. Anderseits scheint die depressive Beeinträchtigung weitgehend auf sozialen Problemen und somit grundsätzlich invaliditätsfremden Faktoren zu beruhen: So stellten die Ärzte der Klinik Y._ einen chronischen Paarkonflikt als "Grundkonflikt" fest, bei dessen Zuspitzung die ängstlich-depressiven Symptome der Versicherten exazerbierten. Zusätzlich verwiesen sie auf Erziehungsprobleme mit dem Sohn und das mittlerweile fehlende eigene Einkommen der Versicherten. Dr. med. F._ sah "erheblichen Einfluss" auf die Entstehung und den Erhalt der geklagten Symptome in ehelichen Problemen, Erziehungsproblemen, der Mehrfachbelastung als Hausfrau, Mutter und Arbeiterin sowie in der fehlenden Möglichkeit, den gelernten Beruf adäquat umzusetzen. Der behandelnde Psychiater nannte den einen Rentenanspruch verneinenden Vorbescheid der IV-Stelle und damit verbundene Existenzängste als Ursache für eine "Krise". Anlässlich der somatischen Begutachtung in der Klinik X._ wurde eine "ausgeprägte Fixierung auf eine Rentenzusprache" festgestellt. Dr. med. K._ hielt zwar - ohne nähere Begründung - die Depression für die Ursache des Ehekonflikts; indessen vertrat auch er die Auffassung, dass die angespannte Ehesituation eine "Akzentuierung der Symptomatik" bewirke, was den Krankheitsverlauf negativ beeinflusse. Unter diesen Umständen ist nicht ersichtlich und wurde namentlich im Gutachten des Dr. med. K._ nicht nachvollziehbar dargelegt (vgl. E. 3.2.2), weshalb trotz Ausklammerung der genannten Gegebenheiten eine vollständige, seit September 2003 andauernde Arbeitsunfähigkeit resultieren sollte. Für eine solche Annahme genügen auch ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr angehbarer innerseelischer Verlauf einer Konfliktbewältigung und gescheiterte Behandlungsbemühungen wie im konkreten Fall nicht, zumal erhebliche körperliche Begleiterkrankungen und ein sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens (E. 3.1.1) ausgeschlossen sind (E. 3.3 und 3.4.1).
3.5. Nach dem Gesagten bleibt es bei der unter somatischen Aspekten festgelegten Restarbeitsfähigkeit in angepassten Tätigkeiten (E. 3.3). Bei Berücksichtigung des Pausenbedarfs von täglich 1,5 bis 2 Stunden sind der Versicherten somit durchschnittlich 32,95 Arbeitsstunden pro Woche zumutbar, was einem Pensum von knapp 80 % entspricht. Angesichts des Erwerbsstatus in dieser Höhe (E. 2) und der weiteren Invaliditätsbemessungsfaktoren (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law>) ist ein rentenbegründender Invaliditätsgrad (<ref-law>) auszuschliessen. Die Beschwerde ist begründet.
4.
Mit dem Urteil in der Sache wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 29. Oktober 2012 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 22. Juli 2010 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Juni 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Dormann