Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. A.a Die Kantone Obwalden und Nidwalden schlossen am 16. Dezember 1996 ein Abkommen betreffend die Behandlung von Engelberger Patientinnen und Patienten auf der Allgemeinen Abteilung im (in Stans liegenden) Kantonsspital Nidwalden, welches mit Nachtrag vom 3. Februar 2004 in "Spitalabkommen über die Behandlung von Engelberger Patientinnen und Patienten im Kantonsspital Nidwalden" umbenannt wurde (nachfolgend: Spitalabkommen). Dieses regelt die Aufnahme, die Kosten und die Rechnungsstellung für die stationäre Behandlung von Patientinnen und Patienten mit zivilrechtlichem Wohnsitz in Engelberg auf der Allgemeinen Abteilung des Kantonsspitals Nidwalden (Art. 1 Abs. 1 Spitalabkommen). Es gilt nur für Patientinnen und Patienten, die lediglich gemäss der obligatorischen Krankenpflegeversicherung nach KVG versichert sind (Art. 1 Abs. 2 Spitalabkommen). Für die Aufnahme von Patientinnen und Patienten aus Engelberg muss beim Gesundheitsdepartement des Kantons Obwalden keine Kostengutsprache eingeholt werden (Art. 2 Abs. 1 Spitalabkommen); die Patientinnen und Patienten aus Engelberg werden bezüglich der Aufnahmepriorität den Nidwaldner Patientinnen und Patienten gleichgestellt (Art. 2 Abs. 2 Spitalabkommen). Die Tagespauschale betrug anfänglich Fr. 670.- und beläuft sich heute auf 56 % der jeweils geltenden Tagestaxe für ausserkantonale Patientinnen und Patienten (Art. 4 Abs. 2 Spitalabkommen). Die Rechnungen werden vom Kantonsspital direkt an die Garanten gemäss KVG gerichtet (vgl. Art. 6 Spitalabkommen). In der Obwaldner Spitalliste wird das Kantonsspital Nidwalden als Grundversorgung für Engelberger Patientinnen und Patienten aufgeführt.
A.b Anfänglich wendete das Kantonsspital Nidwalden das Spitalabkommen auf alle Engelberger Patienten an, auch auf diejenigen, die über eine Zusatzversicherung für den ausserkantonalen Spitalaufenthalt verfügten. Mit anderen Worten brachte es auch für diese die günstigere Tagespauschale gemäss Spitalabkommen zur Anwendung. Zudem vergütete der Kanton Obwalden die Differenz zum Obwaldner Spitaltarif.
A.c Im Januar 2003 überprüfte das Kantonsspital Nidwalden diese Praxis und wendete fortan das Spitalabkommen sowie die darin vorgesehene günstigere Pauschale nur noch auf die über keine Zusatzversicherung verfügenden Engelberger Patienten an. Bei den zusatzversicherten Patienten wurde nun der höhere Tarif für ausserkantonale Patienten in Rechnung gestellt und es erfolgte keine Differenzzahlung seitens des Kantons Obwalden mehr. Dementsprechend stellte das Kantonspital den Krankenversicherern (Zusatzversicherungen) nachträglich Rechnung für die Jahre 2001 und 2002.
A.d Nachdem sich die Krankenkasse CONCORDIA geweigert hatte, diese Nachzahlung zu leisten, verfügte das Kantonsspital am 12. Mai 2003 entsprechende Nachzahlungen im Betrag von insgesamt Fr. 385'535.65. Einen von der CONCORDIA erhobenen Rekurs wies der Spitalrat des Kantonsspitals am 22. September 2003 ab. Auf die von der CONCORDIA hiegegen eingereichte Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden als Versicherungsgericht nicht ein und verwies die Parteien auf das Verfahren nach <ref-law>; zudem stellte es von Amtes wegen fest, dass die Verfügungen des Kantonsspitals vom 12. Mai 2003 sowie der Rekursentscheid des Spitalrats vom 22. September 2003 nichtig seien (Entscheid vom 4. Oktober 2004). Zur Begründung wurde ausgeführt, es gehe um eine Streitigkeit zwischen Versicherer und Leistungserbringer, die sich auf das KVG stütze, da das Spitalabkommen, dessen Anwendung umstritten sei, eine Spezifizierung von <ref-law> darstelle und somit den obligatorischen Teil der ausserkantonalen Hospitalisation betreffe. Auch eine Leistungspflicht der CONCORDIA für zusatzversicherte Engelberger Patienten richte sich nicht ausschliesslich nach den entsprechenden Zusatzversicherungen, sondern es sei dafür das Spitalabkommen einzubeziehen und zu prüfen, ob in Anwendung dieses Abkommens eine Leistungspflicht der CONCORDIA im Sinne eines obligatorischen Teils der ausserkantonalen Hospitalisation auch für die über eine Spitalzusatzversicherung verfügenden Patienten entfalle.
A.d Nachdem sich die Krankenkasse CONCORDIA geweigert hatte, diese Nachzahlung zu leisten, verfügte das Kantonsspital am 12. Mai 2003 entsprechende Nachzahlungen im Betrag von insgesamt Fr. 385'535.65. Einen von der CONCORDIA erhobenen Rekurs wies der Spitalrat des Kantonsspitals am 22. September 2003 ab. Auf die von der CONCORDIA hiegegen eingereichte Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden als Versicherungsgericht nicht ein und verwies die Parteien auf das Verfahren nach <ref-law>; zudem stellte es von Amtes wegen fest, dass die Verfügungen des Kantonsspitals vom 12. Mai 2003 sowie der Rekursentscheid des Spitalrats vom 22. September 2003 nichtig seien (Entscheid vom 4. Oktober 2004). Zur Begründung wurde ausgeführt, es gehe um eine Streitigkeit zwischen Versicherer und Leistungserbringer, die sich auf das KVG stütze, da das Spitalabkommen, dessen Anwendung umstritten sei, eine Spezifizierung von <ref-law> darstelle und somit den obligatorischen Teil der ausserkantonalen Hospitalisation betreffe. Auch eine Leistungspflicht der CONCORDIA für zusatzversicherte Engelberger Patienten richte sich nicht ausschliesslich nach den entsprechenden Zusatzversicherungen, sondern es sei dafür das Spitalabkommen einzubeziehen und zu prüfen, ob in Anwendung dieses Abkommens eine Leistungspflicht der CONCORDIA im Sinne eines obligatorischen Teils der ausserkantonalen Hospitalisation auch für die über eine Spitalzusatzversicherung verfügenden Patienten entfalle.
B. Am 9. Dezember 2005 erhob das Kantonsspital Nidwalden beim Schiedsgericht nach <ref-law> des Kantons Nidwalden Klage gegen die CONCORDIA mit dem Rechtsbegehren, die Anwendung des Spitalabkommens ausschliesslich für lediglich grundversicherte Patientinnen und Patienten mit Wohnsitz in Engelberg sei zu bestätigen und die CONCORDIA sei zu verpflichten, alle seit 2001 offenen Rechnungen zuzüglich Zins von 5 % zu bezahlen.
Mit Entscheid vom 24. Januar 2007 hiess das Schiedsgericht die Klage, soweit es darauf eintrat, teilweise gut und stellte fest, dass das Spitalabkommen lediglich für grundversicherte Patientinnen und Patienten mit Wohnsitz in Engelberg Anwendung finde.
Mit Entscheid vom 24. Januar 2007 hiess das Schiedsgericht die Klage, soweit es darauf eintrat, teilweise gut und stellte fest, dass das Spitalabkommen lediglich für grundversicherte Patientinnen und Patienten mit Wohnsitz in Engelberg Anwendung finde.
C. Die CONCORDIA erhebt Verwaltungsgerichtsbeschwerde (recte: Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten) mit dem Rechtsbegehren, es sei der Entscheid des Schiedsgerichts aufzuheben und die Klage des Kantonsspitals Nidwalden abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Das Kantonsspital Nidwalden beantragt sinngemäss die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der heutige Beschwerdegegner hat in seiner Klage vor der Vorinstanz ein Feststellungs- und ein Leistungsbegehren gestellt. Die Vorinstanz ist auf das Feststellungsbegehren eingetreten und hat es gutgeheissen. Auf das Leistungsbegehren ist sie - wie aus E. 7.2 und 7.3 des angefochtenen Entscheids hervorgeht - nicht eingetreten. Die Beschwerdeführerin beantragt, den vorinstanzlichen Entscheid aufzuheben und die Klage abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdebegründung, auf welche zur Interpretation des Rechtsbegehrens abzustellen ist, lässt sich entnehmen, dass in erster Linie gerügt wird, die Vorinstanz hätte auf das Leistungsbegehren eintreten und dieses in der Sache abweisen sollen. Eventuell, wenn auf das Leistungsbegehren nicht eingetreten werde, sei auch auf das Feststellungsbegehren nicht einzutreten. Subeventuell sei das Feststellungsbegehren abzuweisen.
1. Der heutige Beschwerdegegner hat in seiner Klage vor der Vorinstanz ein Feststellungs- und ein Leistungsbegehren gestellt. Die Vorinstanz ist auf das Feststellungsbegehren eingetreten und hat es gutgeheissen. Auf das Leistungsbegehren ist sie - wie aus E. 7.2 und 7.3 des angefochtenen Entscheids hervorgeht - nicht eingetreten. Die Beschwerdeführerin beantragt, den vorinstanzlichen Entscheid aufzuheben und die Klage abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdebegründung, auf welche zur Interpretation des Rechtsbegehrens abzustellen ist, lässt sich entnehmen, dass in erster Linie gerügt wird, die Vorinstanz hätte auf das Leistungsbegehren eintreten und dieses in der Sache abweisen sollen. Eventuell, wenn auf das Leistungsbegehren nicht eingetreten werde, sei auch auf das Feststellungsbegehren nicht einzutreten. Subeventuell sei das Feststellungsbegehren abzuweisen.
2. Es ist somit im Folgenden zunächst zu prüfen, ob die Vorinstanz auf das Leistungsbegehren hätte eintreten sollen.
2.1 Grundsätzlich würde folgende gesetzliche Regelung gelten: Wenn sich Obwaldner ohne medizinischen Grund im Sinne von <ref-law> im Kantonsspital Nidwalden behandeln lassen, stellt das Spital Kosten nach dem Nidwaldner Tarif für ausserkantonale Patienten in Rechnung. Davon übernimmt der KVG-Versicherer einen Anteil nach dem Obwaldner Tarif für innerkantonale Patienten (<ref-law>). Die Differenz muss der Patient selber oder sein allfälliger Zusatzversicherer bezahlen.
2.2 Das Spitalabkommen modifiziert nun für die davon betroffenen Einwohner von Engelberg diese Rechtslage wie folgt: Das Kantonsspital Nidwalden stellt Rechnung nach dem tieferen Tarif gemäss Abkommen (im Folgenden: Engelberger Tarif). Davon übernimmt der KVG-Versicherer den Anteil gemäss Obwaldner Tarif. Der Kanton Obwalden übernimmt die Differenz zwischen diesem und dem in Rechnung gestellten Engelberger Tarif. Die betreffenden Engelberger Patienten müssen daher nichts bezahlen und werden so gestellt, wie sie dies bei einer Behandlung im Kantonsspital Obwalden in Sarnen wären.
2.3 Umstritten ist, ob das Spitalabkommen nur für diejenigen Engelberger gilt, die lediglich eine Grundversicherung (und keine Zusatzversicherung) haben (welche Auffassung der Beschwerdegegner vertritt), oder auch für die zusatzversicherten Engelberger (auf welchen Standpunkt sich die Beschwerdeführerin stellt).
Folgt man dem Beschwerdegegner, so gilt für die zusatzversicherten Engelberger die in E. 2.1 dargestellte Rechtslage: Das Kantonsspital Nidwalden stellt Rechnung nach dem Tarif für ausserkantonale Patienten und der Kanton Obwalden bezahlt den Engelberger Patienten nichts (unter Vorbehalt der Fälle gemäss <ref-law>). Die Differenz zwischen der KVG-Leistung und dem in Rechnung gestellten Betrag bezahlt der Zusatzversicherer.
Folgt man der Auffassung der Beschwerdeführerin, gilt auch für die zusatzversicherten Engelberger die in E. 2.2 wiedergegebene Rechtslage: Die Engelberger Patienten bzw. ihre Zusatzversicherer müssen nichts bezahlen.
In beiden Fällen hat aber der KVG-Grundversicherer für die Behandlung die Kosten gemäss Obwaldner Tarif zu tragen. Daraus ergibt sich, dass es sich bei den umstrittenen Nachzahlungen nur um Leistungen aus Zusatzversicherungen handelt. Es geht somit nicht um einen Streit um Leistungen nach KVG, weshalb das Schiedsgericht nach <ref-law> nicht zuständig ist. Wohl ist der Umfang der Leistungspflicht des Zusatzversicherers abhängig von der richtigen Auslegung und Anwendung des Spitalabkommens, welches eine KVG-rechtliche Bedeutung hat (hinten E. 3.1). Dies führt aber - entgegen der Auffassung des Versicherungsgerichts des Kantons Nidwalden in seinem Entscheid vom 4. Oktober 2004 - nicht dazu, dass es sich beim Streit um die Leistungspflicht des Zusatzversicherers um eine solche nach <ref-law> handelt; denn der Umfang der Leistungspflicht des Zusatzversicherers hängt regelmässig davon ab, in welchem Umfang Leistungen aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (OKP) zu erbringen sind, was jedoch nicht zur Folge haben kann, dass Streitigkeiten über die Zusatzversicherung im Verfahren nach <ref-law> zu beurteilen wären (vgl. <ref-law>). Anders verhält es sich nur, wenn es im Streit um Zusatzversicherungsleistungen in Wirklichkeit um die Tragweite des Tarifschutzes (<ref-law>) geht, dessen Durchsetzung dem Schiedsgericht nach <ref-law> obliegt (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 354 ff.). Das ist hier aber nicht der Fall. Die Vorinstanz ist daher mit Recht mangels Zuständigkeit auf das Leistungsbegehren nicht eingetreten. Dass sie zusätzlich auch noch ausgeführt hat, das Begehren sei zu wenig substantiiert, schadet nichts und ändert am richtigen Ergebnis nichts. Ebenso wenig ist massgebend, dass die Vorinstanz zunächst in E. 1.3 in genereller Weise ihre Zuständigkeit bejaht hat, ohne dort bereits zwischen Feststellungs- und Leistungsbegehren zu unterscheiden.
2.4 Demgegenüber hat das Versicherungsgericht des Kantons Nidwalden im Entscheid vom 4. Oktober 2004 wohl zu Unrecht seine Zuständigkeit verneint. Denn das Rechtsverhältnis zwischen dem öffentlich-rechtlichen Kantonsspital Nidwalden (Art. 2 des nidwaldnischen Gesetzes vom 24. Mai 2000 über das Kantonsspital [Spitalgesetz; NG 714.1]) und seinen Patienten ist weder zivil- noch sozialversicherungsrechtlicher Natur, sondern richtet sich nach nidwaldnischem Verwaltungsrecht (Art. 29 Abs. 1 Spitalgesetz), was namentlich auch hinsichtlich der Spitaltaxen gilt (vgl. Verordnung vom 18. Dezember 1967 über die Aufnahmebedingungen und Taxen des Kantonsspitals [Spitaltaxverordnung; NG 714.121]). Dementsprechend erfolgt die Durchsetzung des Taxanspruchs des Spitals gegenüber seinen Patienten (bzw. gegenüber den Zusatzversicherern, soweit diese direktzahlungspflichtig sind) nach nidwaldnischem Verwaltungsverfahrensrecht (Art. 31 Spitalgesetz). Da indessen ein Nichteintretensentscheid nicht materiell rechtskräftig werden kann, hindert das Kantonsspital Nidwalden nichts daran, den Rückerstattungsanspruch allenfalls erneut in dem dafür nach nidwaldnischem Recht vorgesehenen Verfahren geltend zu machen.
2.4 Demgegenüber hat das Versicherungsgericht des Kantons Nidwalden im Entscheid vom 4. Oktober 2004 wohl zu Unrecht seine Zuständigkeit verneint. Denn das Rechtsverhältnis zwischen dem öffentlich-rechtlichen Kantonsspital Nidwalden (Art. 2 des nidwaldnischen Gesetzes vom 24. Mai 2000 über das Kantonsspital [Spitalgesetz; NG 714.1]) und seinen Patienten ist weder zivil- noch sozialversicherungsrechtlicher Natur, sondern richtet sich nach nidwaldnischem Verwaltungsrecht (Art. 29 Abs. 1 Spitalgesetz), was namentlich auch hinsichtlich der Spitaltaxen gilt (vgl. Verordnung vom 18. Dezember 1967 über die Aufnahmebedingungen und Taxen des Kantonsspitals [Spitaltaxverordnung; NG 714.121]). Dementsprechend erfolgt die Durchsetzung des Taxanspruchs des Spitals gegenüber seinen Patienten (bzw. gegenüber den Zusatzversicherern, soweit diese direktzahlungspflichtig sind) nach nidwaldnischem Verwaltungsverfahrensrecht (Art. 31 Spitalgesetz). Da indessen ein Nichteintretensentscheid nicht materiell rechtskräftig werden kann, hindert das Kantonsspital Nidwalden nichts daran, den Rückerstattungsanspruch allenfalls erneut in dem dafür nach nidwaldnischem Recht vorgesehenen Verfahren geltend zu machen.
3. Zu prüfen ist weiter, ob die Vorinstanz zu Recht auf das Feststellungsbegehren eingetreten ist.
3.1 Die Funktion des Spitalabkommens besteht darin, für die unter seinen Anwendungsbereich fallenden Engelberger Patienten das Kantonsspital Nidwalden partiell einem Obwaldner Spital gleichzusetzen und damit den dortigen Aufenthalt dem Geltungsbereich von <ref-law> zu unterstellen. Die umstrittene Frage nach dem Anwendungsbereich des Abkommens berührt damit den KVG-rechtlichen Aspekt, nach welchem Absatz von <ref-law> sich die Vergütung richtet. Für den Versicherer selber ist dies nur im Rahmen der Zusatzversicherung von Bedeutung (vorne E. 2). Für die Versicherten und die beteiligten Kantone und Leistungserbringer ist dies aber in Bezug auf die Anwendung des KVG entscheidend. Hinzu kommt, dass die Beschwerdeführerin selber die Vereinbarkeit des Spitalabkommens (in der Auslegung des Beschwerdegegners) mit dem KVG zur Diskussion stellt. Da die Frage nach dem Anwendungsbereich des Abkommens somit (auch) die Tragweite des KVG beschlägt, ist das Schiedsgericht im Sinne von <ref-law> für deren Beurteilung zuständig (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 313 ff.). Dass darüber auch vorfrageweise in einem anderen Verfahren (gemäss vorstehender E. 2.4) befunden werden könnte, ändert an der schiedsgerichtlichen Zuständigkeit nichts.
3.2 Ein Feststellungsentscheid ist - auch im Verfahren nach <ref-law> - zulässig, wenn ein schützenswertes rechtliches oder tatsächliches Interesse an der Feststellung besteht und ein rechtsgestaltendes Begehren nicht in zumutbarer Weise möglich ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 21, 121 V 311 E. 4 S. 317 ff.). Ein Feststellungsentscheid dient nicht dazu, eine abstrakte Rechtsfrage zu beantworten; es muss sich um individuelle und konkrete Rechte und Pflichten handeln (<ref-ruling> E. 2.5 S. 392). Indessen ist eine Feststellung zulässig bei komplizierten Verhältnissen, wo die Abwicklung des Leistungsanspruchs mit hohem Aufwand verbunden wäre, namentlich wenn eine grosse Zahl von Rechtsverhältnissen berührt und die Rechtsfrage wegen besonderer Verhältnisse neuartig ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 260 f., 129 V 289 E. 2.2 S. 290 f., 112 V 81 E. 2a S. 84; AHI 2001 S. 218 E. 2a).
Diese Voraussetzungen sind hier gegeben. Die streitige Rechtsfrage ist neu; ihre Beantwortung beeinflusst eine grosse Zahl von Rechtsverhältnissen und ist von erheblicher wirtschaftlicher Bedeutung. Zudem war ein Leistungsbegehren nicht zumutbarerweise möglich, nachdem einerseits das Versicherungsgericht des Kantons Nidwalden mit Entscheid vom 4. Oktober 2004 die vom Beschwerdegegner erlassenen Leistungsverfügungen für nichtig erklärt und andererseits das Schiedsgericht des Kantons Nidwalden mit Recht (vorne E. 2) die bei ihm angehobene Leistungsklage als unzulässig betrachtet hat (Entscheid vom 24. Januar 2007). Der Feststellungsentscheid ist damit der zweckmässige Weg, um die Streitfrage innert nützlicher Frist verbindlich zu beantworten.
Diese Voraussetzungen sind hier gegeben. Die streitige Rechtsfrage ist neu; ihre Beantwortung beeinflusst eine grosse Zahl von Rechtsverhältnissen und ist von erheblicher wirtschaftlicher Bedeutung. Zudem war ein Leistungsbegehren nicht zumutbarerweise möglich, nachdem einerseits das Versicherungsgericht des Kantons Nidwalden mit Entscheid vom 4. Oktober 2004 die vom Beschwerdegegner erlassenen Leistungsverfügungen für nichtig erklärt und andererseits das Schiedsgericht des Kantons Nidwalden mit Recht (vorne E. 2) die bei ihm angehobene Leistungsklage als unzulässig betrachtet hat (Entscheid vom 24. Januar 2007). Der Feststellungsentscheid ist damit der zweckmässige Weg, um die Streitfrage innert nützlicher Frist verbindlich zu beantworten.
4. Zu prüfen ist demnach die materielle Streitfrage.
4.1 Die Beschwerdeführerin bestreitet letztinstanzlich nicht, dass das Spitalabkommen nach seinem klaren Wortlaut ausschliesslich auf die lediglich grundversicherten Patienten anwendbar ist. Diese sind damit in zweierlei Hinsicht gegenüber zusatzversicherten Patienten bevorzugt: Einerseits verlangt das Kantonsspital Nidwalden von ihnen tiefere Tarife als von anderen ausserkantonalen Patienten; andererseits bezahlt ihnen der Kanton Obwalden die Differenz zwischen dem Engelberger und dem Obwaldner Tarif. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin steht diese Regelung im Widerspruch zu <ref-law> sowie Art. 13 Abs. 2 lit. a und <ref-law>.
4.2 Eine Diskriminierung im Sinne von <ref-law> liegt klarerweise nicht vor: Die beanstandete Regelung benachteiligt weder direkt noch indirekt einen Personenkreis anhand der in dieser Bestimmung genannten Kriterien.
4.3 Zu prüfen bleibt die Vereinbarkeit mit dem allgemeinen Rechtsgleichheitsgebot (<ref-law>).
4.3.1 Das Gebot der rechtsgleichen Behandlung (<ref-law>) ist verletzt, wenn ein Erlass hinsichtlich einer entscheidwesentlichen Tatsache rechtliche Unterscheidungen trifft, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder wenn er Unterscheidungen unterlässt, die sich aufgrund der Verhältnisse aufdrängen. Die Rechtsgleichheit ist verletzt, wenn Gleiches nicht nach Massgabe seiner Gleichheit gleich oder Ungleiches nicht nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird. Die Frage, ob für eine rechtliche Unterscheidung ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen ersichtlich ist, kann zu verschiedenen Zeiten unterschiedlich beantwortet werden, je nach den herrschenden Anschauungen und Zeitverhältnissen. Dem Gesetzgeber bleibt im Rahmen dieser Grundsätze und des Willkürverbots ein weiter Spielraum der Gestaltung, den das Bundesgericht nicht durch eigene Gestaltungsvorstellungen schmälert (<ref-ruling> E. 4.1 S. 162; <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 114; <ref-ruling> E. 3.6 S. 70).
4.3.2 Das Spitalabkommen bezweckt, den Einwohnern von Engelberg zu ermöglichen, anstelle des kantonseigenen Spitals in Sarnen das geografisch näher gelegene Kantonsspital Nidwalden in Stans zu vergleichbaren Konditionen wie ein kantonseigenes Spital benützen zu können, d.h. namentlich ohne Zusatzkosten bezahlen zu müssen. Darin ist ohne weiteres ein sachlich haltbares Ziel zu erblicken, räumt doch das Abkommen damit den Engelbergern die den übrigen Obwaldnern ebenso zustehende Möglichkeit ein, sich im am nächsten gelegenen Spital behandeln zu lassen. Gleichzeitig wird diese Leistung indessen beschränkt auf diejenigen Engelberger, die darauf angewiesen sind, weil sie keine Zusatzversicherung haben. Wer über eine entsprechende Zusatzversicherung verfügt, ist für die durch die ausserkantonale Hospitalisation anfallenden Mehrkosten abgedeckt und riskiert nicht, beim Aufenthalt im Kantonsspital Nidwalden erhebliche Zusatzkosten (abgesehen von allfälligen Franchisen) bezahlen zu müssen. Auch das ist eine sachlich haltbare Überlegung: Einerseits wird dadurch der vom Staat zu leistende Aufwand beschränkt, andererseits kommen die staatlichen Mittel denjenigen Personen zugute, welche aufgrund ihrer versicherungsmässigen Situation am ehesten darauf angewiesen sind.
4.3.3 Es trifft zu, dass damit die bloss obligatorisch Versicherten auf Staatskosten eine Leistung erhalten, welche die Zusatzversicherten mit den entsprechenden Prämien aus eigenen Mitteln bezahlen. Eine verfassungswidrige Ungleichbehandlung kann darin aber nicht erblickt werden. Es wäre eine Überspannung des Rechtsgleichheitsgebots, wenn dieses dahingehend interpretiert würde, dass die staatlichen Mittel allen Einwohnern zu genau gleichen Teilen zukommen müssen. Es gibt viele Leistungen, welche vom Staat erbracht oder subventioniert werden und nur einem bestimmten Teil der Bevölkerung zugutekommen, während andere Teile der Bevölkerung ähnliche Leistungen aus eigenen Mitteln bezahlen. Verfassungsrechtlich verlangt werden willkürfreie, sachlich haltbare Gründe für die Ungleichbehandlung; wie in E. 4.3.2 dargetan, liegen solche hier vor. Unzutreffend ist namentlich die Auffassung der Beschwerdeführerin, soziale Gründe für eine Ungleichbehandlung könnten nur im konkreten Einzelfall höher gewichtet werden als das Gleichbehandlungsgebot. Es ist zulässig, bestimmte Vorteile pauschal bestimmten Gruppen zukommen zu lassen, auch wenn die Beweggründe, welche zur Schaffung dieser Leistungen geführt haben, nicht in jedem Einzelfall erfüllt sein mögen. So beruht die Einführung vieler sozialversicherungsrechtlicher Leistungen auf sozialpolitischen Überlegungen, während deren Ausrichtung zu einem grossen Teil unabhängig von einer konkreten Bedürftigkeit im Einzelfall erfolgt. Die Beschwerdeführerin schliesst aus <ref-ruling> und 123 V 290, dass eine unterschiedliche Behandlung von Grund- und Zusatzversicherten nicht zulässig sei. In diesen Urteilen hat das Eidgenössische Versicherungsgericht aufgrund einer Gesetzesauslegung erkannt, dass die im KVG vorgesehenen Leistungen gleichermassen den Grund- und den Zusatzversicherten zustehen, weil die Zusatzversicherten zugleich auch obligatorisch grundversichert sind. Soweit es dabei auf <ref-law> Bezug nahm (<ref-ruling> E. 5 S. 429), hat es bloss gesagt, dass die Bestimmungen des KVG in rechtsgleicher Weise auf alle Adressaten gleichermassen Anwendung finden. Dass ausserhalb der im KVG selber enthaltenen Leistungen eine Ungleichbehandlung von Grund- und Zusatzversicherten verfassungsrechtlich unzulässig wäre, ergibt sich aus diesen Entscheiden aber nicht.
4.3.4 Nicht gefolgt werden kann sodann dem Einwand der Beschwerdeführerin, das Spitalabkommen verstosse gegen <ref-law>: Diese Bestimmung schreibt für die soziale Krankenversicherung den Grundsatz der Gleichbehandlung der Versicherten vor. Vorliegend geht es jedoch nicht um Leistungen der sozialen Krankenversicherung, sondern einerseits um Spitaltarife und kantonale Differenzzahlungen, andererseits um Leistungen aus Zusatzversicherung.
4.3.5 Ebenso ins Leere stösst schliesslich die Kritik, die Tarifgrundsätze des <ref-law> würden verletzt; denn das Spitalabkommen enthält - wie die Beschwerdeführerin selber feststellt - keinen OKP-Tarif im Sinne von <ref-law>, sondern regelt als interkantonales Abkommen die ausserhalb der Grundversicherung zu vergütenden Kosten.
4.3.5 Ebenso ins Leere stösst schliesslich die Kritik, die Tarifgrundsätze des <ref-law> würden verletzt; denn das Spitalabkommen enthält - wie die Beschwerdeführerin selber feststellt - keinen OKP-Tarif im Sinne von <ref-law>, sondern regelt als interkantonales Abkommen die ausserhalb der Grundversicherung zu vergütenden Kosten.
5. Die Beschwerde ist somit unbegründet. Die Beschwerdeführerin trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation (Art. 2 und 3 Spitalgesetz) keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden, Schiedsgericht nach <ref-law>, und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 19. Oktober 2007
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
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