Sachverhalt:
A. Der 1980 geborene C._ war seit 10. Juli 2006 als temporärer Bauarbeiter/Reiniger bei der Firma Z._ AG tätig. Am 16. Juli 2006 verletzte er sich bei einem Sturz an der rechten Hand. Am 16. Januar 2007 meldete er sich bei der IV-Stelle Luzern zum Leistungsbezug an. Am 6. Mai 2007 stürzte er erneut auf die rechte Hand. Es entwickelte sich eine Scaphoidpseudarthrose, weshalb er am 22. Juni 2007 im Spital X._ operiert wurde (corticospongiöse Spanplastik nach Marti-Russe rechts, Herbert-Schraube); daselbst erfolgte am 9. Mai 2008 eine weitere Operation (gefäss-gestielte corticospongiöse Spanplastik vom Radius in Scaphoid [Mathoulin], Osteosynthese mit high compression Scaphoid-Schraube). Mit Verfügung vom 29. Oktober 2010 sprach die IV-Stelle dem Versicherten ab 1. Juli 2007 bis 30. November 2008 eine ganze Invalidenrente zu.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern in dem Sinne teilweise gut, als es die Verfügung dahin abänderte, dass ihm die IV-Stelle vom 1. Juli 2007 bis 30. April 2009 eine befristete ganze Invalidenrente auszurichten habe. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 28. Februar 2012).
C. Mit Beschwerde beantragt der Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen; die IV-Stelle sei zu verpflichten, weitere medizinische Abklärungen (interdisziplinäres MEDAS-Gutachten) anzuordnen; die Vorinstanz sei zu verpflichten, nach erfolgten Abklärungen und nach durchgeführten Eingliederungsmassnahmen den Rentenanspruch zu prüfen und auszurichten. Ferner verlangt er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Bei der Vorinstanz wurden die Akten eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Rechtsfragen sind die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG) und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die aufgrund medizinischer Untersuchungen gerichtlich festgestellte Arbeitsfähigkeit und die konkrete Beweiswürdigung sind Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397; nicht publ. E. 4.1 des Urteils <ref-ruling>, in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]; Urteil 8C_607/2011 vom 16. März 2012 E. 1).
2. Die streitige Verfügung vom 29. Oktober 2010 betraf nur die Rentenfrage. Soweit der Versicherte Eingliederungsmassnahmen beantragt, ist auf die Beschwerde mangels Anfechtungsgegenstandes nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2.1; Urteil 8C_533/2007 vom 9. Januar 2008 E. 2). Über den Rentenanspruch kann befunden werden, wenn er - wie hier - unabhängig von einer allfälligen Eingliederungsberechtigung mangels eines rentenbegründenden Invaliditätsgrades abzulehnen ist (Urteil 8C_696/2008 vom 3. Juni 2009 E. 12).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob der Versicherte ab 1. Mai 2009 bis zum Verfügungserlass am 29. Oktober 2010 (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 320) weiterhin einen Rentenanspruch hat. Der Vorinstanz ist beizupflichten, dass die am 1. Januar 2008 in Kraft getretenen und hier anwendbaren Normen der 5. IV-Revision keine substanziellen Änderungen hinsichtlich der Invaliditätsbemessung gebracht haben (<ref-ruling> und 343; Urteil 8C_607/2011 vom 16. März 2012 E. 2). Weiter hat sie die Grundlagen über die Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit (Art. 6 f. ATSG), die Invalidität (<ref-law>; <ref-law>), den Einkommensvergleich (<ref-law>), den Rentenanspruch (<ref-law>), die Rentenrevision (<ref-law>; <ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 132, 133 V 263 E. 6.1), den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (E. 1 hievor) sowie den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 9.5 S. 125) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4. 4.1 Die Vorinstanz hat in Würdigung der medizinischen Aktenlage mit einlässlicher Begründung richtig erkannt, dass in somatischer Hinsicht auf die Beurteilung des Dr. med. O._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie, Kreisarzt der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA), abzustellen sei, die er gestützt auf seine Abschlussuntersuchung vom 10. Dezember 2008 und die im Spital X._ am 6. Januar 2009 durchgeführte Navikulareserie des rechten Handgelenks erstattet habe; gestützt hierauf sei der Versicherte ab 1. Februar 2009 in einer angepassten Tätigkeit (sehr starke, auf das rechte Handgelenk wirkende Schläge und Vibrationen seien zu vermeiden, 5-10 kg könnten gehandhabt werden, ein Ganztageseinsatz sei möglich) zu 100 % arbeitsfähig. Psychischerseits sei dem Gutachten der Dres. med. F._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, sowie N._, Eidg. Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, Institutsleiter, Institut Q._, vom 4. Januar 2010 zu folgen; danach bestehe keine krankheitswertige psychische Störung mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit, weshalb der Versicherte in jeglicher Tätigkeit zu 100 % arbeitsfähig sei. Auf die Erwägungen der Vorinstanz wird verwiesen (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer erhebt keine Rügen, welche diese Sachverhaltsfeststellungen zu seinem Gesundheitszustand und seiner Arbeitsfähigkeit als offensichtlich unrichtig oder als Ergebnis willkürlicher Beweiswürdigung oder als rechtsfehlerhaft nach <ref-law> erscheinen lassen. Von weiteren medizinischen Abklärungen ist abzusehen, da hievon keine neuen Erkenntnisse zu erwarten sind (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.2 S. 69, 136 I 229 E. 5.3 S. 236; Urteil 8C_109/2012 vom 9. März 2012 E. 4.1). Festzuhalten ist insbesondere Folgendes:
4.2 Somatischerseits wendet der Versicherte ein, die Vorinstanz habe sich mit den von ihm bei ihr aufgelegten Berichten des Instituts für Anästhesie Schmerzsprechstunde, Spital X._, vom 6. und 29. September 2011 sowie des Dr. theol. U._, Ombudsstelle für Patienten und Angehörige, Spital X._, vom 16. Januar 2012 mit keinem Wort auseinandergesetzt, weshalb sie die Begründungspflicht verletzt habe. Diesem Einwand kann nicht gefolgt werden. Die Vorinstanz legte im angefochtenen Entscheid dar, aus diesen Unterlagen ergäben sich keine neuen Erkenntnisse und Befunde; zudem stammten diese Arztberichte aus der Zeit lange nach Verfügungserlass. Damit erfüllte sie die Anforderungen an die aus <ref-law> fliessende Begründungspflicht (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Selbst wenn dies nicht zuträfe, kann das Bundesgericht die entsprechenden Aktenstücke selber würdigen und beurteilen, ob die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung zu korrigieren ist (<ref-law>; 8C_528/2011 vom 7. März 2012 E. 7.2.2). Abgesehen davon, dass die Berichte des Spitals X._ vom 6. und 29. September 2011 lange nach der Verfügung vom 29. Oktober 2010 erstellt wurden, enthält der Erstgenannte keine Angaben zur Arbeitsfähigkeit; im Zweitgenannten wurde immerhin von einer anamnestisch aktuell gültigen 100%igen Arbeitsfähigkeit mit einer Trageinschränkung bis 15 kg gesprochen. Der nichtärztliche Bericht des Spitals X._-Bericht vom 16. Januar 2012 ist ohnehin nicht einschlägig. In diesem Lichte kann der Versicherte hieraus nichts zu seinen Gunsten ableiten (vgl. auch Urteil 8C_180/2011 vom 7. Dezember 2011 E. 6.2.3).
Nicht stichhaltig ist auch seine Berufung auf das Gutachten des Dr. med. H._, Leitender Arzt Orthopädie/Handchirurgie, Klinik Y._, vom 26. März 2009. Denn dieses betraf die Frage, ob hinsichtlich der Handgelenksverletzung rechts eine ärztliche Fehlbehandlung oder Sorgfaltspflichtverletzung vorlag (was verneint wurde), und enthielt keine Angaben zum Grad der Arbeitsfähigkeit; immerhin legte Dr. med. H._ aber dar, die fehlende Ausbildung des Versicherten blockiere ihn für viele Tätigkeiten, die er trotz der nachgewiesenen Handgelenkseinschränkung durchführen könnte.
Der Beschwerdeführer führt weiter die Akten-Stellungnahme des Dr. med. G._, Allgemeinmedizin FMH, Regionalärztlicher Dienst der IV-Stelle, vom 18. Mai 2010 ins Feld. Dieser legte dar, sie hätten sich bei der Befristung der Rente auf die Angaben der Handchirurgen des Spitals X._ gestützt; die vagen Äusserungen des Dr. med. O._ zur Arbeitsfähigkeit vom Dezember 2008 machten eine andere Beurteilung nicht nötig. Hierzu ist festzuhalten, dass Dr. med. G._ in der Akten-Stellungnahme vom 6. Januar 2010 unter Hinweis auf die Berichte der Chirurgen des Spitals X._ bereits ab September 2008 von einer 100%igen Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit, wie sie später auch Dr. med. O._ beschrieb, ausging. Die Berufung des Versicherten auf Dr. med. G._ ist somit unbehelflich.
Der Beschwerdeführer führt weiter die Akten-Stellungnahme des Dr. med. G._, Allgemeinmedizin FMH, Regionalärztlicher Dienst der IV-Stelle, vom 18. Mai 2010 ins Feld. Dieser legte dar, sie hätten sich bei der Befristung der Rente auf die Angaben der Handchirurgen des Spitals X._ gestützt; die vagen Äusserungen des Dr. med. O._ zur Arbeitsfähigkeit vom Dezember 2008 machten eine andere Beurteilung nicht nötig. Hierzu ist festzuhalten, dass Dr. med. G._ in der Akten-Stellungnahme vom 6. Januar 2010 unter Hinweis auf die Berichte der Chirurgen des Spitals X._ bereits ab September 2008 von einer 100%igen Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit, wie sie später auch Dr. med. O._ beschrieb, ausging. Die Berufung des Versicherten auf Dr. med. G._ ist somit unbehelflich.
4.3 4.3.1 Bezüglich des psychiatrischen Gutachtens des Instituts A._ vom 4. Januar 2010 wendet der Versicherte ein, die von der IV-Stelle beauftragten Gutachter seien von ihr finanziell abhängig und daran interessiert, möglichst viele IV-Aufträge zu erhalten. Hierzu ist festzuhalten, dass das Bundesgericht im Urteil <ref-ruling> vom 28. Juni 2011 entschied, die Beschaffung medizinischer Gutachten durch die IV-Stellen bei den MEDAS sowie deren Verwendung auch im Gerichtsverfahren sei verfassungs- und konventionskonform, wobei diverse verfahrensrechtliche Korrektive notwendig seien. Es kann offenbleiben, ob diese Korrektive auch auf nicht von den MEDAS erstellte Gutachten anwendbar sind. Denn nach altem Verfahrensstand eingeholte Gutachten verlieren ihren Beweiswert nicht, sofern das abschliessende Abstellen auf die vorhandenen Beweisgrundlagen vor Bundesrecht standhält (<ref-ruling> E. 6 S. 266; Urteil 8C_830/2011 vom 9. März 2012 E. 4.2.1); dies trifft hier zu.
4.3.2 Das Gutachten des Instituts A._ vom 4. Januar 2010 erfüllt die in den Leitlinien der Schweizerischen Gesellschaft für Versicherungspsychiatrie für die Begutachtung psychischer Störungen (vgl. Schweizerische Ärztezeitung 2004, S. 1048 ff., insbesondere S. 1051 Ziff. IV/8) und von der Rechtsprechung aufgestellten Anforderungen an ein Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; Urteil 8C_639/2011 vom 5. Januar 2012 E. 4.3.1).
4.3.3 Der Versicherte beruft sich auf die Berichte der Dres. med. R._, FMH Innere Medizin und Psychiatrie, vom 16. Juni 2008, 24. Januar 2010 und 7. Dezember 2012, W._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, SUVA-Kreisarzt, vom 26. Juni 2008 sowie K._, FMH Psychiatrie, Psychotherapie und Neurologie vom 6. Mai 2009. Die Dres. med. R._ und K._ hätten ein Aufmerksamkeits-Defizit-Hyperaktivitäts-Syndrom (ADHS) und eine Persönlichkeitsstörung diagnostiziert, was bei Dr. med. W._ auf Zustimmung gestossen sei.
Massgebend ist, ob und in welchem Ausmass eine Beeinträchtigung der Arbeits- bzw. Erwerbsfähigkeit - und zwar unabhängig von der Diagnose und grundsätzlich unbesehen der Ätiologie - ausgewiesen ist (<ref-ruling> E. 4c S. 298; Urteil 8C_180/2011 vom 7. Dezember 2011 E. 6.2.2). Dr. med. K._ machte am 6. Mai 2009 keine hinreichenden Angaben zur Arbeitsfähigkeit. Dr. med. W._ führte am 26. Juni 2008 aus, die Symptome einer Anpassungsstörung führten für sich allein genommen aufgrund der Ausprägung nicht zu einer wesentlichen Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Dr. med. R._ äusserte sich am 24. Januar 2010 zur Arbeitsfähigkeit und legte dar, in der zuletzt ausgeübten Tätigkeit sei der Versicherte zu 100 % arbeitsunfähig; Angaben zum Grad der Arbeits(un)fähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit machte er nicht. Im Schreiben an die Ehefrau des Versicherten vom 7. Februar 2012 gab er an, seines Erachtens sei der Versicherte wegen den erwähnten Störungen nicht arbeitsfähig. Diese Aussage überzeugt aus zwei Gründen nicht: zum einen bezog sie sich nicht nur auf die angegebenen psychischen Beschwerden, sondern auch auf die somatischen Handschmerzen rechts; zum anderen ist unklar, ob sich die pauschal attestierte Arbeitsunfähigkeit auf die angestammte oder auf jegliche Tätigkeit bezieht. In diesem Licht vermögen diese Arztberichte das Gutachten des Instituts A._ vom 4. Januar 2010 nicht zu entkräften.
4.3.4 Der Versicherte macht geltend, das Gutachten des Instituts A._ enthalte bezüglich der möglicherweise vorhandenen ADHS-Problematik keine spezifischen Abklärungen. Diese schwierige Diagnose könne nur von Fachleuten zuverlässig gestellt werden. Dr. med. K._ habe am 6. Mai 2009 gut begründet, weshalb er nicht alle Tests habe durchführen können. Im Gutachten des Instituts A._ heisse es lediglich, die ADHS-Diagnose sei aus der Beschreibung der ausserberuflichen Aktivitäten des Versicherten nicht nachvollziehbar. Es fehle aber jegliche Fremdanamnese zu diesen Aktivitäten.
Entscheidend ist im Rahmen einer psychiatrischen Begutachtung die klinische Untersuchung in Kenntnis der Anamnese (Urteil 8C_639/2011 E. 4.3.1 mit Hinweis). Eine Fremdanamnese und (schriftliche oder mündliche) Auskünfte des behandelnden Arztes bzw. Therapeuten sind häufig wünschenswert, aber nicht zwingend erforderlich (Urteil 8C_768/2011 vom 7. Februar 2012 E. 5.3.3). Das Institut A._ stützte sich bei seiner Begutachtung schlüssig und nachvollziehbar auf die Anamnese, die klinische Untersuchung und die Angaben des Versicherten. Es sind keine Gründe ersichtlich, die eine spezifische ADHS-Testung und eine Fremdanamnese nahe legen.
4.3.5 Die lange zurückliegenden psychiatrischen Berichte des Spitals X._ vom 21. August und 22. November 2001 sowie die nicht-psychiatrischen Berichte des Instituts für Anästhesie Schmerzsprechstunde, Spital X._, vom 6. und 29. September 2011 und des Dr. theol. U._, Ombudsstelle für Patienten und Angehörige, Spital X._, vom 16. Januar 2012 vermögen das Gutachten des Instituts A._ vom 4. Januar 2010 nicht in Zweifel zu ziehen. Gleiches gilt für das aufgrund einer notfallmässigen ambulanten Behandlung des Versicherten vom 11. Februar 2012 erstellte Kurzzeugnis des Dr. med. L._, medizinisches Zentrum M._, vom 14. Februar 2012.
5. Gegen den vorinstanzlichen Einkommensvergleich, der ab 1. Mai 2009 zur revisionsweisen Rentenaufhebung führt, bringt der Versicherte keine Einwendungen vor, weshalb es damit sein Bewenden hat (Urteil 8C_829/2011 vom 9. März 2012 E. 10).
6. Der unterliegende Versicherte trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihm wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht gewährt werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Mai 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Jancar