(Disziplinarverfahren), hat sich ergeben:
A.- Y._ wandte sich am 20. März 2001 telefonisch an Rechtsanwalt X._, nachdem ihr Ehemann zwei Tage zuvor aus der ehelichen Wohnung ausgezogen war. Sie wünschte, von Rechtsanwalt X._ persönlich betreut zu werden. Am 23. März 2000 fand im Hinblick auf ein Eheschutzverfahren eine erste Besprechung statt, anlässlich der auch die Anwaltsvollmacht unterzeichnet wurde. Dabei erklärte Rechtsanwalt X._ Y._ unter anderem, er könne auf Grund der Kostenstruktur seines Anwaltsbüros keine Prozessvertretungen in unentgeltlicher Rechtspflege übernehmen; in ihrem Fall würden die Anwaltskosten von ihrem Ehemann übernommen.
Nach einer zweiten Besprechung am 14. April 2000 mit beiden Parteien verlangte Rechtsanwalt X._ vom Ehemann von Y._ die Bezahlung eines Anwaltskostenvorschusses von Fr. 3'225.-- einschliesslich Mehrwertsteuer.
Nachdem dieser Zahlungsaufforderung keine Folge geleistet worden war, verlangte Rechtsanwalt X._ von Y._ selber am 8. Mai 2000 einen Kostenvorschuss, diesmal in der Höhe von Fr. 3'762. 50 einschliesslich Mehrwertsteuer.
Im gleichen Schreiben bestätigte Rechtsanwalt X._ "der guten Ordnung halber", dass er nicht in der Lage sei, so genannte unentgeltliche Prozessführungen zu übernehmen; ausserdem teilte er seiner Klientin mit, ihr Dossier werde vorläufig von seinem Mitarbeiter, Fürsprecher Z._, bearbeitet. Am 10. Mai 2000 erklärte ihr X._, er könne weitere Kopien erst nach Eingang des Kostenvorschusses erstellen, und empfahl ihr, einen anderen Anwalt zu beauftragen, wenn sie mit der Mandatsführung durch Fürsprecher Z._ nicht einverstanden sein sollte.
Nachdem Y._ in der Folge den Rechtsanwalt gewechselt hatte, reichte sie gegen Fürsprecher X._ am 27. Juni 2000 eine Disziplinarbeschwerde ein. Sie beanstandete dessen Weigerung, die Vertretung in unentgeltlicher Prozessführung zu übernehmen, sowie das Erheben eines Anwaltskostenvorschusses trotz offensichtlicher Mittellosigkeit und machte geltend, die Honorarforderung von Fr. 1'972. 50 sei übermässig.
B.- Die Anwaltskammer des Kantons Bern beurteilte die Erklärung von Fürsprecher X._, wonach er keine Prozessvertretungen in unentgeltlicher Prozessführung übernehme, als Verstoss gegen die Standeswürde (Art. 8 des Fürsprecher-Gesetzes des Kantons Bern vom 6. Februar 1984) und disziplinierte ihn mit Entscheid vom 28. Juni 2001 mit einer Busse von Fr. 600.--. Einen Verstoss gegen die in Art. 12 des Fürsprecher-Gesetzes vorgesehene Pflicht zur amtlichen Prozessvertretung verneinte sie, da Rechtsanwalt X._ nicht vom Richter zum amtlichen Anwalt ernannt worden sei.
Auch eine Verletzung des Anwaltstarifs wurde verneint.
C.- Gegen den am 18. Juli 2001 bzw. 23. Juli 2001 eröffneten Entscheid hat X._ mit Eingabe vom 14. September 2001 staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von <ref-law> (Wirtschaftsfreiheit), <ref-law> (Garantie der richtigen Besetzung des Gerichts) sowie wegen Willkür (<ref-law>) erhoben. Er stellt den Antrag, den Entscheid der Anwaltskammer vom 28. Juni 2001 aufzuheben. Ausserdem stellt er das Gesuch um aufschiebende Wirkung.
D.- Am 19. September 2001 hat die Anwaltskammer mitgeteilt, dass ihr bei der Bekanntgabe der Zusammensetzung im vorliegenden Fall ein Versehen unterlaufen sei, das von Amtes wegen zu berichtigen sei. Sie reicht diesbezüglich eine Berichtigungsverfügung vom 19. September 2001 ein.
Nachdem Y._ am 27. September 2001 dem Bundesgericht mitgeteilt hatte, dass sie gegen die Erteilung der aufschiebenden Wirkung keine Einwände habe, hat der Abteilungspräsident der Beschwerde mit Verfügung vom 16. Oktober 2001 die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Y._ beantragt mit Vernehmlassung vom 19. Oktober 2001, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen. Die Anwaltskammer verzichtet unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Nach Art. 26a Abs. 1 lit. b des Fürsprecher-Gesetzes unterliegen lediglich Disziplinarbussen von mindestens Fr. 1'000.-- der Beschwerde ans Verwaltungsgericht.
Da vorliegend eine Busse von Fr. 600.-- in Frage steht, liegt ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid vor.
b) Der Beschwerdeführer rügt eine "Verletzung der Garantie der richtigen Besetzung des Gerichts (<ref-law>)", weil am Entscheid auch Fürsprecherin A._ mitgewirkt habe, die vorgängig in den Ausstand getreten sei.
Nachdem sich aus der Berichtigungsverfügung vom 19. September 2001 ergibt, dass Fürsprecherin A._ am Entscheid nicht mitgewirkt hat, ist dieser Rüge die Grundlage entzogen.
2.- a) Die im Kanton Bern niedergelassenen Fürsprecher unterstehen nach Art. 29 lit. b des Fürsprecher-Gesetzes der Disziplinaraufsicht der Anwaltskammer. Nach Art. 34 Abs. 1 des Fürsprecher-Gesetzes kann der Fürsprecher, der seine Berufspflichten verletzt hat, disziplinarisch mit einer Busse bis zu Fr. 10'000.-- bestraft werden. Die Berufspflichten der Fürsprecher sind zur Hauptsache in den Art. 8 ff.
des Fürsprecher-Gesetzes geregelt. Nach der Generalklausel in Art. 8 des Fürsprecher-Gesetzes (mit dem Randtitel "Standeswürdiges Verhalten"), welche die Anwaltskammer durch das Verhalten des Beschwerdeführers als verletzt erachtet hat, hat der Fürsprecher der Achtung und der Vertrauenswürdigkeit gerecht zu werden, die sein Beruf voraussetzt (Abs. 1). Er hat die allgemein anerkannten Regeln seines Berufsstandes und des kollegialen Verhaltens zu befolgen (Abs. 2).
Das Bundesgericht prüft die Anwendung der kantonalen Vorschriften betreffend die anwaltlichen Berufspflichten nur auf Willkür hin, wenn - wie hier - kein besonders schwerer Eingriff in Frage steht (<ref-ruling> E. 4b S. 423, mit Hinweis). Frei prüft es, ob das willkürfrei ausgelegte kantonale Recht mit der angerufenen Wirtschaftsfreiheit vereinbar ist (<ref-ruling> E. 5 S. 425).
Willkürlich ist ein Entscheid lediglich, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem und offensichtlichem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwider läuft. Willkür liegt dagegen nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre (<ref-ruling> E. 4a S. 5; <ref-ruling> E. 3 S. 15, 129 E. 5b S. 134). Es genügt zudem nicht, dass bloss die Begründung des angefochtenen Entscheids unhaltbar ist.
Dessen Aufhebung rechtfertigt sich nur, wenn er auch im Ergebnis verfassungswidrig ist. Trotz einer unhaltbaren Begründung kann demnach von der Aufhebung eines Entscheids abgesehen werden, wenn sich dessen Ergebnis mit einer substituierten Begründung ohne weiteres rechtfertigen lässt (<ref-ruling> E. 3d S. 226; <ref-ruling> E. 5b S. 134).
b) Es gehört zu den Berufs- und Standespflichten eines Rechtsanwaltes, bei Bedarf Mandate mit unentgeltlicher Rechtspflege zu übernehmen und mit gleicher Sorgfalt wie andere Aufträge zu besorgen. Das ergibt sich unmittelbar aus Art. 12 Abs. 1 und 3 des Fürsprecher-Gesetzes, aber auch - ungeschrieben - aus dem Anwaltsmonopol (vgl. Art. 83 ff.
ZPO/BE, Art. 49 ff. StrV/BE, Art. 15 Abs. 4 VRPG/BE). Es handelt sich bei der Pflicht zur amtlichen Prozessvertretung um das Korrelat zu den besonderen Erleichterungen und Befugnissen, die Anwälten im Verfahren vor Behörden zustehen (z.B. dem Recht auf unbeaufsichtigten persönlichen Verkehr mit einem inhaftierten Mandanten, auf Anwesenheit bei Befragungen des Beschuldigten, auf Herausgabe von Akten usw. ; vgl. <ref-ruling> E. 6b S. 104). Durch die Pflicht zur Mandatsübernahme bei amtlicher Vertretung und unentgeltlicher Rechtspflege wird die Wirtschaftsfreiheit sowie die Vertragsfreiheit für Anwälte eingeschränkt. Eine solche Einschränkung ist für Anwälte zulässig, sofern sie auf einer genügenden gesetzlichen Grundlage beruht, im öffentlichen Interesse liegt und verhältnismässig ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3b und 4a S. 422; <ref-ruling> E. 3a S. 313; <ref-ruling> E. 2 S. 318, je mit Hinweis). Die Pflicht zur Übernahme von amtlichen Mandaten und Prozessvertretungen in unentgeltlicher Rechtspflege ist durch den Rechtsgewährungsanspruch des Bürgers (Art. 5 Abs. 1, Art. 29 sowie Art. 30 BV) sowie durch das öffentliche Interesse daran, dass der Justizbetrieb funktionsfähig sein muss, gerechtfertigt. Eine solche Verpflichtung ist auch verhältnismässig, kann sich doch die Vertretung durch einen Rechtsanwalt zur Wahrung der Rechte des Bürgers bei komplexeren Verhältnissen als erforderlich und geeignet erweisen (vgl. <ref-law>).
c) Eine Verpflichtung zur amtlichen Prozessvertretung besteht nach Art. 12 Abs. 2 des Fürsprecher-Gesetzes nicht, falls im Einzelfall stichhaltige Gründe nachgewiesen sind, die dagegen sprechen. Aufgrund dieses Vorbehalts und nach dem Verhältnismässigkeitsgrundsatz (<ref-law>) ist die Verpflichtung zur Mandatsübernahme im Einzelfall auch unter Wahrung berechtigter, überwiegender Interessen des betroffenen Rechtsanwalts zu handhaben. So ist von einem Mandatszwang abzusehen, wenn die Übernahme mit anderen Verpflichtungen kollidiert (unabhängige bzw. unbefangene Mandatsführung) oder wenn eine objektive Verhinderung (etwa Krankheit, Überlastung) vorliegt (vgl. Martin Sterchi, Kommentar zum bernischen Fürsprecher-Gesetz, Bern 1992, N 3 zu Art. 12). Ein Rechtsanwalt kann die Führung von amtlichen Mandaten und Vertretungen in unentgeltlicher Rechtspflege jedoch nicht generell mit der Begründung ablehnen, er werde hiefür zufolge der bei amtlichen Vertretungen vorgesehenen Honorarreduktion ungenügend honoriert. Die staatlichen Tarifordnungen nehmen - namentlich zur Gewährleistung der Interessenwahrung in wirtschaftlich weniger interessanten Fällen - bewusst in Kauf, dass nicht alle Mandate gleich lohnend sind, und schaffen einen Ausgleich, indem für die (namentlich wirtschaftlich) bedeutenderen Fälle relativ höhere Honoraransätze festgesetzt werden. Diese grundsätzliche Ordnung des Tarifwesens, welche die Interessen der Rechtsanwälte durchaus wahrt, indem ihnen für die bedeutenderen Fälle erhöhte Honorare zugestanden werden, hat der Rechtsanwalt hinzunehmen. Er kann sich der dadurch gerechtfertigten Honorarreduktion in den Fällen der unentgeltlichen Prozessführung nicht widersetzen, indem er sich von vornherein generell weigert, solche Mandate zu übernehmen. Die im Tarif vorgesehene Honorarreduktion kann demnach von vornherein kein stichhaltiger Grund im Sinne von Art. 12 Abs. 2 des Fürsprecher-Gesetzes sein, um eine amtliche Vertretung bzw.
eine Prozessführung mit unentgeltlicher Rechtspflege abzulehnen.
d) Im vorliegenden Fall ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer seiner Mandantin gegenüber bei der ersten Besprechung am 23. März 2000 sinngemäss erklärt hat, er nehme zufolge der hohen Kostenstruktur seiner Kanzlei grundsätzlich keine Mandate in unentgeltlicher Prozessführung an.
Er hat ihr dies in seinem Schreiben vom 8. Mai 2000 "der guten Ordnung halber" ausdrücklich bestätigt. Bei der Klientin, die in jenem Zeitpunkt nicht in der Lage war, den von ihr verlangten Honorarvorschuss von Fr. 3'762. 50 aus eigenen Mitteln zu bezahlen, musste unter diesen Umständen der Eindruck entstehen, nun als Kundin unerwünscht zu sein. Das ist ihr denn auch bedeutet worden, als ihr der Beschwerdeführer am 10. Mai 2000 einen Anwaltswechsel nahe gelegt und erklärt hat, weitere Fotokopien würden erst nach Eingang des Kostenvorschusses erstellt. Indem der Beschwerdeführer Y._ zu verstehen gegeben hat, dass er grundsätzlich nicht gewillt sei, eine Interessenwahrung in den Fällen der amtlichen Prozessvertretung und der unentgeltlichen Prozessführung zu einem reduzierten Honorar zu übernehmen, und indem er ihr nach der Nicht-Bezahlung des Anwaltskostenvorschusses auch manifestierte, dass er an einer weiteren Vertretung nicht interessiert sei, hat er ein Verhalten an den Tag gelegt, das jedenfalls ohne Willkür als standeswidrig im Sinne von Art. 8 des Fürsprecher-Gesetzes bezeichnet werden kann. Wenn sich ein Rechtsanwalt generell bzw. ohne Vorliegen eines nach Art. 12 Abs. 2 des Fürsprecher-Gesetzes anerkannten Grundes weigert, eine ihm gesetzlich auferlegte wesentliche Berufspflicht zu erfüllen, und das Interesse an der Weiterführung des Mandats verliert, wenn der verlangte Kostenvorschuss nicht sofort erhältlich ist, verhält er sich nicht standeswürdig. Vielmehr hätte es in dieser Situation zu seinen Berufspflichten gehört, eine provisio ad litem oder gegebenenfalls die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung zu verlangen; wenn er ohne Bezahlung eines Kostenvorschusses in der Sache nicht tätig werden wollte, hätte er diesbezüglich beim Gericht ein separates Gesuch einreichen müssen, was er jedoch unterlassen hat. Diese Manifestation der fehlenden Bereitschaft, die Berufs- und Standespflichten einzuhalten, ist geeignet, die Achtung und Vertrauenswürdigkeit des Standes zu beeinträchtigen; das vermag eine Disziplinierung ohne Willkür zu rechtfertigen (vgl.
Sterchi, a.a.O., N 3 zu Art. 8 des Fürsprecher-Gesetzes).
Eine andere Betrachtungsweise würde sich nur aufdrängen, wenn die unentgeltliche Rechtspflege ausserhalb des Strafrechts nicht wie im Kanton Bern üblich erst zusammen mit ersten prozessualen Schritten beantragt würde, und zudem sichergestellt wäre, dass bedürftige Rechtsuchende in allen zivil- und öffentlichrechtlichen Angelegenheiten bereits vorprozessual eine amtliche Verbeiständung erlangen könnten, indem ihnen beispielsweise eine zentrale Instanz auf entsprechendes Begehren hin einen Anwalt zuordnen würde. Dass es sich im Kanton Bern so verhalte und eine derartige Organisation bestehe, macht der Beschwerdeführer jedoch nicht geltend. Es kann daher für den Kanton Bern nicht davon ausgegangen werden, dass gerichtsorganisatorische Bestimmungen bedürftigen Personen den Zugang zum Recht lückenlos gewährleisten, wie es z.B. für den Kanton Waadt zutrifft, so dass Anwälte solche Rechtsuchende ohne Verletzung der Standespflichten generell zurück- bzw. an den zuständigen Dienst verweisen dürften.
e) Was der Beschwerdeführer weiter vorbringt, dringt nicht durch.
aa) Der Beschwerdeführer bestreitet zu Recht nicht, dass die Wirtschaftsfreiheit des Rechtsanwalts eingeschränkt werden kann (vgl. oben E. 2b). Er macht geltend, bei der gerichtlichen Beiordnung eines amtlichen Rechtsbeistands könne erwartet werden, dass der Staat Mandate als unentgeltlicher Rechtsbeistand sinnvoll zuteile. Er werde zum Beispiel die Bedürfnisse des Gesuchstellers, die Erfahrung und die verfügbare Zeit des Anwalts sowie dessen Interesse am Mandat in Betracht ziehen und daher in der Regel davon absehen, einem Anwalt ein Mandat aufzuzwingen, das andere Anwälte gerne freiwillig übernähmen. Die im Rahmen der Mandatserteilung durch den Beschwerdeführer vorgenommene Orientierung, dass seine Kanzlei aus wirtschaftlichen Gründen keine unentgeltlichen Prozessführungen übernehme, bedeute nichts anderes als die Weitergabe einer für den potentiellen Klienten relevanten Information. Es sei nicht einzusehen, weshalb eine solche, erst noch anlässlich der ersten Kontaktnahme erteilte Information die Verletzung einer Berufspflicht darstellen solle. Dieser Sachverhalt sei strikte abzugrenzen von einem solchen, bei dem sich das Bedürfnis nach Beantragung der unentgeltlichen Prozessführung erst im Verlaufe der Mandatsführung ergebe. In solchen Fällen habe er aus Loyalität und im Interesse seiner Klienten stets Gesuche um unentgeltliche Prozessführung eingereicht und die Mandate weiter geführt.
Diese Vorbringen sind unbehelflich. Auch wenn erwiesen ist, dass der Beschwerdeführer Mandate mit unentgeltlicher Prozessführung geführt bzw. weiter geführt hat, bleibt seine Erklärung, wonach er generell keine solchen Mandate (mehr) übernehme, standeswidrig, weil er sich damit aus nicht akzeptablen Gründen einer wesentlichen, mit dem Anwaltsmonopol zusammenhängenden Pflicht widersetzt (soeben E. 2d). Gewiss muss ein Anwalt einen Klienten, der ihn direkt aufsucht und unentgeltlich prozessieren will, im Einzelfall ablehnen können, wenn er sich auf einen stichhaltigen Grund im Sinne von Art. 12 Abs. 2 des FürsprecherGesetzes berufen kann. Es kann ihm auch keine Verletzung der Standesregeln vorgeworfen werden, wenn er nicht mehr als eine Durchschnittszahl von Mandaten in unentgeltlicher Prozessführung übernimmt, oder wenn er derartige Mandate ablehnt, weil er im interessierenden Rechtsgebiet überhaupt nicht praktiziert. Eine generelle Ablehnung zum Voraus aber durfte die Anwaltskammer als mit den Berufspflichten unvereinbar betrachten. Zudem bleibt es dabei, dass der Beschwerdeführer vorliegend weder eine provisio ad litem verlangt noch die unentgeltliche Prozessführung beantragt hat, wie es die Interessen der von ihm angenommenen Klientin erforderten.
bb) Die Auffassung der Anwaltskammer, dass die Äusserung, wonach die Kostenstruktur seiner Kanzlei grundsätzlich die Übernahme unentgeltlicher Prozessführungen nicht zulasse, standeswidrig bzw. mit den Berufspflichten des Anwalts nicht vereinbar sei, ist aus sich heraus verständlich und nachvollziehbar; sie bedurfte keiner weiteren Erörterung. Die Rüge der Verletzung der Begründungspflicht ist daher nicht stichhaltig.
cc) Die Anwaltskammer hat die grundlegenden Berufspflichten des Fürsprechers gemäss der Generalklausel von Art. 8 des Fürsprecher-Gesetzes nicht willkürlich ausgelegt.
Wie das Bundesgericht wiederholt erkannt hat, lassen sich grundlegende Berufs- und Standespflichten der Rechtsanwälte, mit denen ihre Wirtschaftsfreiheit bzw. ihre Vertragsfreiheit und Privatautonomie im öffentlichen Interesse einschränkt wird, auch durch eine Generalklausel begründen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2b/aa S. 319). Die gesetzlich ausdrücklich vorgesehene Pflicht zur Übernahme amtlicher Mandate und Vertretungen in unentgeltlicher Prozessführung stellt für einen Rechtsanwalt keinen schweren Eingriff dar, zumal sie bei Vorliegen stichhaltiger Gründe nicht besteht.
Die Anwaltskammer hat das Grundrecht der Wirtschaftsfreiheit des Beschwerdeführers auch nicht übersehen, wie dieser rügt.
Vielmehr hat sie in korrekter Interessenabwägung erkannt, dass die Vertragsfreiheit der Rechtsanwälte in dem dargestellten Sinne eingeschränkt ist (vgl. oben E. 2c und d).
dd) Die Pflicht zur Mandatsführung mit unentgeltlicher Rechtspflege lässt sich auch nicht mit einer rein wirtschaftlichen Betrachtungsweise beseitigen (vgl. oben E. 2c), wie der Beschwerdeführer meint. Insgesamt ist eine Verletzung der Grundrechte des Beschwerdeführers damit nicht dargetan.
3.- Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG), wobei dem Umstand, dass die Anwaltskammer die auf den ersten Blick begründeten Einwände betreffend ihre rechtmässige Besetzung erst im Verfahren vor dem Bundesgericht entkräftet hat, mit einer Reduktion der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen ist. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren im Weiteren zu entschädigen (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Der Beschwerdeführer hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien sowie der Anwaltskammer des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 20. Dezember 2001
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: