Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ und B._ sind die unverheirateten Eltern von D.A._ (geb. 2011). Schon vor der Geburt des Sohnes war die Beziehung der Eltern schwerwiegenden Belastungen ausgesetzt. Sie führten dazu, dass die damals zuständige Vormundschaftsbehörde in Winterthur bereits vor der Geburt eine Beistandschaft errichtete und später mehrmals die Obhut aufhob.
A.b. Am 15. Oktober 2013 wies die behandelnde Psychiaterin A.A._ zwangsweise in die Psychiatrische Klinik E._ in U._ ein. A.A._ setzte sich dagegen vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug zur Wehr. Das Verwaltungsgericht wies ihr Rechtsmittel am 28. Oktober 2013 ab. In der Folge ordnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Kantons Zug am 26. November 2013 auf Antrag der Psychiatrischen Klinik E._ eine weitere Rückbehaltung an. Am gleichen Tag entzog die Behörde gestützt auf <ref-law> den Eltern die Obhut und liess D.A._ im Kinderhaus F._ in V._ unterbringen.
B.
Gegen diesen Entscheid beschwerte sich A.A._ mit Schreiben vom 30. November 2013 bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde. Diese leitete die Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zug weiter. A.A._ beantragte in ihrer Beschwerde sinngemäss, den Entscheid der KESB aufzuheben und auf die Platzierung von D.A._ im Kinderheim zu verzichten. Mit Urteil vom 27. März 2014 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C.
C.a. Mit als Rekurs bezeichnetem Schreiben vom 2. Mai 2014 (Datum der Postaufgabe) gelangte A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sinngemäss verlangte sie, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihre Obhut über D.A._ wiederherzustellen.
Am 7. Mai 2014 (Datum der Postaufgabe) ergänzte die Beschwerdeführerin ihre Beschwerde und sandte dem Bundesgericht Kopien eines Mietvertrags und eines Protokolls der Standortsitzung vom 20. März 2014, an der die Eltern, die Beiständin, die Gruppenleiterin und die Sozialpädagogin teilgenommen hatten. Mit Begleitschreiben vom 14. Mai 2014 (Datum der Postaufgabe) folgte unter anderem ein ärztliches Zeugnis der Praxis G._ in W._ vom 12. Mai 2014. Am 23. Juni 2014 stellte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht überdies die Bestätigung der erfolgten Anmeldung zur Eheschliessung mit H._ (Ehevorbereitung) zu.
C.b. Am 14. Mai 2014 gelangte Rechtsanwalt Albert Rüttimann als Prozessvertreter von A.A._ mit zwei Schreiben an das Bundesgericht. Im einen verlangte er für die Beschwerdeführerin unter anderem die unentgeltliche Rechtspflege und die Bestellung eines Prozessbeistands. Im andern Schreiben ersuchte er das Bundesgericht darum, ihm die Frist zur Einreichung der Beschwerde zu erstrecken, damit er die Eingabe seiner Mandantin verbessern könne.
Am 16. Mai 2014 teilte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung dem Prozessvertreter mit, dass das Bundesgericht vorläufig davon absehe, einen Kostenvorschuss einzufordern. Eine Frist zur Nachbesserung der Beschwerde könne ihm das Bundesgericht jedoch nicht gewähren. Die Beschwerdefrist sei eine gesetzliche Frist (<ref-law>), die nicht erstreckt werden könne (<ref-law>).
Am 21. Mai 2014 teilte Rechtsanwalt Albert Rüttimann dem Bundesgericht mit, dass er die Beschwerde seiner Mandantin erst nach vollständiger Akteneinsicht verbessern könne. Er erneuerte sein Gesuch, die Vorinstanzen anzuweisen, ihm Einsicht in die Akten zu gewähren. Am 22. Mai 2014 wiederholte er den Antrag, der Beschwerdeführerin einen Prozessvertreter zu bestellen und diesem eine angemessene Frist zur Nachbesserung der Beschwerdebegründung anzusetzen.
Am 23. Mai 2014 wies der Abteilungspräsident das Gesuch um Fristerstreckung erneut ab. Zugleich wies er Rechtsanwalt Albert Rüttimann darauf hin, dass die Beschwerdefrist am 27. Mai 2014 ablaufe. In der Beilage stellte das Bundesgericht dem Anwalt die Akten zur Verfügung, die ihm das Verwaltungsgericht übermittelt hatte.
Am 27. Mai 2014 reichte Rechtsanwalt Albert Rüttimann im Namen der Beschwerdeführerin eine ergänzte Beschwerde ein. Darin verlangt er festzustellen, dass das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug vom 27. März 2014 ungültig (Ziff. 1.1), eventuell willkürlich (Ziff. 1.2) ist. Die Sache sei zur Verbesserung und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit der Beschwerdeführerin ein Prozessbeistand bestellt (Ziff. 2.1) und die Obhut über ihren Sohn D.A._ zugeteilt werde (Ziff. 2.2). Entsprechend sei die Unterbringung von D.A._ aufzuheben (Ziff. 2.3). Eventuell habe das Bundesgericht selbst zu entscheiden (Ziff. 3).
Das Bundesgericht hat am 1. Juli 2014 B._ (Vater), C._ (Beiständin), die KESB des Kantons Zug und das Verwaltungsgericht zur Vernehmlassung eingeladen. Die Beiständin liess sich nicht vernehmen. Die übrigen Vernehmlassungsteilnehmer beantragen dem Bundesgericht, die Beschwerde abzuweisen. B._ stellte zusätzlich ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Die Vernehmlassungen wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des Replikrechts zur Kenntnis gebracht. Davon machte sie am 4. August 2014 Gebrauch, wobei sie an ihrer früher geäusserten Auffassung festhielt. Die erneute Eingabe der Beschwerdeführerin wurde den erwähnten Behörden und Beteiligten zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin wehrt sich gegen den Endentscheid eines oberen Gerichts, das als letzte kantonale Instanz den Entscheid bestätigt, mit dem die KESB den Eltern die Obhut über ihren Sohn entzogen und das Kind in einem Heim untergebracht hat (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6, Art. 75 und 90 BGG). Die Angelegenheit ist nicht vermögensrechtlicher Natur. Auf die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ist einzutreten.
2.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Unter Vorbehalt der Verletzung verfassungsmässiger Rechte wendet das Bundesgericht das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft frei, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Soweit die Aufhebung der elterlichen Obhut in Frage steht, ist aber zu beachten, dass die kantonalen Gerichte eine Interessenabwägung vorzunehmen haben. Bei der Überprüfung solcher Entscheide auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung (Urteil 5A_701/2011 vom 12. März 2012 E. 4.2.1). Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 162; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 1 S. 99). Was schliesslich die Tatsachen angeht, die dem angefochtenen Entscheid zugrunde liegen, ist das Bundesgericht an die vorinstanzlichen Feststellungen gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts sei offensichtlich unrichtig oder beruhe aufeiner Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
3.
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gab (<ref-law>). Tatsachen oder Beweismittel, die nach dem angefochtenen Entscheid zutage getreten oder entstanden sind, können nicht durch das weitergezogene Urteil veranlasst worden sein. Solch echte Noven sind im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig (<ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Das ärztliche Zeugnis vom 12. Mai 2014 und die Dokumente betreffend die Eheschliessung der Beschwerdeführerin sind deshalb unbeachtlich. Im Übrigen wäre es an der Beschwerdeführerin darzutun, inwiefern die Voraussetzung gemäss <ref-law> erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3 S. 395). Mit Blick auf den (nicht datierten) Mietvertrag mit Mietbeginn am 1. Januar 2014 und das Standortprotokoll vom 20. März 2014 äussert sich die Beschwerdeführerin nicht dazu, inwieweit diese Beweismittel durch das vorinstanzliche Urteil veranlasst sind. Sie begründet auch nicht, weshalb sie diese Unterlagen nicht bereits der Vorinstanz einreichen oder diese über die anstehende Standortbestimmung informieren konnte.
4.
In formeller Hinsicht beklagt sich die Beschwerdeführerin darüber, dass die kantonalen Akten, die ihr das Bundesgericht zur Einsicht zugestellt habe, nicht vollständig gewesen seien. Das Verwaltungsgericht habe beim Bundesgericht nur die Verfahrensakten, nicht aber die medizinischen Akten und die Akten der KESB eingereicht. Daher habe sie, die Beschwerdeführerin, nicht genau überprüfen können, ob das Verwaltungsgericht den Sachverhalt vollständig und richtig festgestellt habe. Ihre Befürchtung, dass dadurch "allenfalls" das rechtliche Gehör verletzt worden sei, ist jedoch unbegründet. Wohl umfasst der Anspruch auf rechtliches Gehör das Recht, Einsicht in alle Akten zu nehmen, die geeignet sind, Grundlage des Entscheides zu bilden (<ref-ruling> E. 3 S. 494 f.). Verletzt ist dieses Recht freilich nur soweit, als die Behörde die Einsicht tatsächlich verweigert. Dies wiederum setzt voraus, dass der Rechtsunterworfene ein entsprechendes Begehren stellt. Im vorliegenden Fall sandte das Bundesgericht die Akten am Freitag, 23. Mai 2014, an die Beschwerdeführerin. Bis zum Ablauf der Beschwerdefrist am Dienstag, 27. Mai 2014, verblieben der Beschwerdeführerin zwei Werktage, um beim Verwaltungsgericht ein Gesuch um Einsicht zu stellen und die von ihr vermissten Akten gegebenenfalls (vor Ort) zu konsultieren. Gewiss war die verfügbare Zeit damit kurz bemessen. Dass sie sich mit ihrem Anliegen vergeblich an das Verwaltungsgericht gewandt hätte, behauptet die Beschwerdeführerin jedoch nicht. Ebenso wenig liefert sie eine Erklärung dafür, weshalb es ihr nicht zumutbar oder nicht möglich gewesen wäre, in der verbleibenden Zeit ein derartiges Gesuch zu stellen. Damit ist der Gehörsrüge der Boden entzogen.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin wirft dem Verwaltungsgericht vor zu übersehen, dass sie im kantonalen Verfahren gar nicht prozessfähig war. Der Entscheid über den Obhutsentzug wiege schwer. Sie sei sprachlich und juristisch mit dem Verfahren überfordert und ausserdem bis am 8. Januar 2014 fürsorgerisch untergebracht gewesen. Unter diesen Umständen hätte ihr gestützt auf <ref-law> ein Prozessbeistand bestellt werden müssen. In seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht verwahrt sich das Verwaltungsgericht gegen den Vorwurf. Die Beschwerdeführerin sei in der Lage gewesen, ihre Anliegen bzw. Anträge verständlich und schlüssig darzulegen. Angesichts dessen hätten keine Zweifel an ihrer Prozessfähigkeit bestanden und auch kein Prozessbeistand bestellt werden müssen. Ausserdem sei es der Beschwerdeführerin freigestanden, einen Rechtsvertreter beizuziehen, wie sie es nun im bundesgerichtlichen Verfahren auch getan habe. Im angefochtenen Entscheid finden sich keine Hinweise dafür, dass die Beschwerdeführerin den Einwand ihrer fehlenden Prozessfähigkeit schon vor dem Verwaltungsgericht vorgetragen hat und dieses darauf eingehen musste. Unter dem Blickwinkel des Gebots zum Handeln nach Treu und Glauben (<ref-law>), an das sich der Rechtsunterworfene auch im Verkehr mit Verwaltungs- und Justizbehörden zu halten hat, erscheint deshalb fraglich, ob die Beschwerdeführerin diese Rüge erstmals vor Bundesgericht vortragen kann. Die Frage kann jedoch offenbleiben. Das zeigen die nachfolgenden Erwägungen:
5.2. Soweit sich das Verwaltungsgericht in seiner Vernehmlassung einzig zur Vertretungsbeistandschaft nach <ref-law> äussert, ist daran zu erinnern, dass diese Erwachsenenschutzmassnahme im verfahrensrechtlichen Bereich durch <ref-law> verdrängt wird. Diese Vorschrift trägt der Erwachsenenschutzbehörde auf, wenn nötig die Vertretung der betroffenen Person anzuordnen und als Beistand jemanden zu bezeichnen, der in fürsorgerischen und rechtlichen Fragen erfahren ist. Die Bestimmungen über das Verfahren vor der Erwachsenenschutzbehörde sind im Kindesschutzverfahren sinngemäss anwendbar (<ref-law>). Was <ref-law> im Speziellen angeht, so findet diese Norm nicht nur im Verfahren vor der KESB, sondern auch im gerichtlichen Beschwerdeverfahren Anwendung (Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7082; s. auch Christoph Auer/Michèle Marti, in: Basler Kommentar, Erwachsenenschutz, 2012, N 2 zu <ref-law> mit Hinweisen). Dreht sich die Auseinandersetzung - wie hier - um den Entzug der Obhut (<ref-law>), so muss die Mutter, der die Behörde das Kind wegnimmt, als betroffene Person im Sinne von <ref-law> gelten.
Wie sich aus dem zitierten Wortlaut von <ref-law> ergibt, ist die Vertretung der betroffenen Person durch einen Verfahrensbeistand aber nur "wenn nötig" anzuordnen. Mit dieser unbestimmten Formulierung räumt das Gesetz der Behörde einen gewissen Ermessensspielraum ein. Grundsätzlich ist die Notwendigkeit einer Vertretung und damit der Anspruch auf Bestellung eines Verfahrensbeistands zu bejahen, wenn - kumulativ - die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind: Erstens ist vorausgesetzt, dass die betroffene Person nicht in der Lage ist, ihre Interessen selbständig wahrzunehmen. Und zweitens muss diese Person ausserstande sein, selbst eine Vertretung zu bestellen (Botschaft, a.a.O., S. 7081; Daniel Steck, in: Büchler/Häfeli/ Leuba/Stettler, Erwachsenenschutz, 2013, N 9 zu <ref-law>; HERMANN SCHMID, Erwachsenenschutz, N 2 zu <ref-law>). An die zuletzt erwähnte zweite Voraussetzung sind strenge Anforderungen zu stellen. Nicht in der Lage, selbst eine Vertretung zu bestellen, ist die betroffene Person immer dann, wenn sie hinsichtlich dieser Frage gar nicht urteilsfähig ist. In welcher geistigen Verfassung sich die betroffene Person im fraglichen Zeitpunkt befand, ist Tatfrage (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 13). Das gilt auch für die sprachlichen Kompetenzen und allfälligen Fachkenntnisse der betroffenen Person und für die weiteren Gegebenheiten, mit denen sie konfrontiert ist. Davon ist die Rechtsfrage zu unterscheiden, ob die betroffene Person unter den gegebenen Umständen in der Lage war, sich selbst um ihre Vertretung zu kümmern, mit Bezug auf diese Aufgabe also urteils- und damit handlungsfähig war (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 13).
5.3. Die Beschwerdeführerin bestreitet vor Bundesgericht lediglich ihre Fähigkeit, "ihre Sache selbst gehörig zu führen". Dass das Verwaltungsgericht in verfassungswidriger Weise Tatsachen übersehen hätte, aufgrund derer sie ausserstande war, selbst eine Vertretung zu bestellen, tut die Beschwerdeführerin jedoch nicht in einer Weise dar, die den Anforderungen des strengen Rügeprinzips genügt. So behauptet sie, während des Beschwerdeverfahrens vor dem Verwaltungsgericht zwangsweise in der psychiatrischen Klinik untergebracht gewesen zu sein. Inwiefern die Umstände dieses stationären Aufenthalts es ihr verunmöglicht hätten, sich für das kantonale Rechtsmittelverfahren selbst um eine Vertretung zu kümmern, vermag die Beschwerdeführerin aber nicht zu erklären. Auch Anzeichen für eine Urteilsunfähigkeit lassen sich keine ausmachen. Zwar ist im angefochtenen Entscheid davon die Rede, dass es der Beschwerdeführerin an Einsicht in ihre psychische Krankheit fehle. Allein daraus folgt jedoch nicht, dass die Beschwerdeführerin hinsichtlich der selbständigen Bestellung eines Prozessvertreters nicht als urteilsfähig gelten kann. Wie sich dem angefochtenen Entscheid im Übrigen entnehmen lässt, hat sich die Beschwerdeführerin mit pertinenten Argumenten gegen den Entzug der Obhut gewehrt. Im Ergebnis ist also weder dargetan noch ersichtlich, warum die Beschwerdeführerin nicht in der Lage gewesen wäre, für das Verfahren vor der KESB und dasjenige vor dem Verwaltungsgericht selbst eine Vertretung zu bestellen, wie sie dies für den Prozess vor Bundesgericht getan hat. Die Rüge, man habe ihr keinen Verfahrensbeistand bestellt, ist schon deshalb unbegründet, und Weiterungen zur Frage, ob die Beschwerdeführerin ihre Interessen im kantonalen Verfahren selbst wahrnehmen konnte, erübrigen sich.
6.
Nach alledem bleibt zu prüfen, was es in der Sache mit dem Vorwurf auf sich hat, der Entzug der Obhut über D.A._ und die Unterbringung des Kindes in einem Heim seien zu Unrecht erfolgt.
6.1. Nach <ref-law> hat die Vormundschaftsbehörde, wenn einer Gefährdung des Kindes nicht anders begegnet werden kann, dieses den Eltern oder, wenn es sich bei Dritten befindet, Letzteren wegzunehmen und in angemessener Weise unterzubringen. Die Beschwerdeführerin stellt sich auf den Standpunkt, die Voraussetzungen für die angeordneten Kindesschutzmassnahmen seien im Zeitpunkt, als das Verwaltungsgericht sein Urteil gefällt habe, nicht mehr erfüllt gewesen. Sie lebe jetzt mit ihrem Verlobten in der Schweiz und wolle ihn heiraten; auch die gemeinsame Wohnung stehe bereits in Aussicht. Die Gefahr einer Kindesentführung, die als Grund für den Obhutsentzug angeführt werde, bestehe deshalb nicht. Auch nehme sie ihre Medikamente regelmässig ein und folge einem geregelten Alltag. Von einer "Medikationsverweigerung" könne nicht die Rede sein, weshalb auch die medizinischen Gründe für einen Obhutsentzug nicht gegeben seien. Diese "geänderten Verhältnisse", die sich in ihrem Leben seit der Entlassung aus der fürsorgerischen Unterbringung am 8. Januar 2014 eingestellt hätten, berücksichtige das Verwaltungsgericht in seinem Entscheid vom 27. März 2014 "ungenügend".
6.2. Was die gesundheitliche Situation der Beschwerdeführerin angeht, trifft es nicht zu, dass das Verwaltungsgericht bei seiner Beurteilung der Frage, ob das Wohl von D.A._ gefährdet ist, die Entlassung der Beschwerdeführerin aus der fürsorgerischen Unterbringung ausser Acht lässt. So erwähnt das Verwaltungsgericht den Entscheid der KESB vom 7. Januar 2014, dem zufolge sich die Beschwerdeführerin nach ihrer Entlassung einer Nachbetreuung mit strenger Kontrolle insbesondere ihrer Medikation unterziehen müsse. Weiter führt es zur Begründung aus, dass bei der Diagnose einer bipolaren Störung nach einigen wenigen Monaten konsequenter Behandlung eine langfristige Stabilität bekanntermassen noch keineswegs erreicht sei und sich Rückfälle, allenfalls auch mit weiteren stationären Klinikaufenthalten oder gar Klinikeinweisungen, jedenfalls nicht ausschliessen liessen. Allein mit der Behauptung, diese Begründung sei nicht fachärztlich abgestützt, nicht überzeugend und darum willkürlich, vermag die Beschwerdeführerin die vorinstanzliche Beweiswürdigung nicht zu erschüttern. Denn dem Richter ist es nicht verwehrt, sich bei der Würdigung der konkreten Umstände auf die Lebenserfahrung abzustützen, um aus den Gesamtumständen des konkreten Falles oder den bewiesenen Indizien auf einen bestimmten Sachverhalt zu schliessen (vgl. <ref-ruling> E. 5d S. 456; <ref-ruling> E. 3a S. 243; Hans SCHMID/FLAVIO LARDELLI, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch, 4. Aufl. 2010, N 99 zu <ref-law>). Dass die Überlegungen der Vorinstanz nicht der Lebenserfahrung entsprächen, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend.
6.3. Unbehelflich ist auch der Einwand der Beschwerdeführerin, der angefochtene Entscheid trage ihren neuen familiären Verhältnissen nicht Rechnung. Inwiefern im kantonalen Beschwerdeverfahren neue Tatsachen und Beweismittel berücksichtigt werden können, bestimmt sich nach dem kantonalen Verfahrensrecht oder nach der als kantonales Recht anwendbaren Zivilprozessordnung (<ref-law>). Soweit allein die Anwendung des kantonalen Rechts in Frage steht, kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich des Willkürverbots geltend gemacht werden (s. <ref-ruling> E. 2.3 S. 231). Für diese Vorbringen gilt das Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2; E. 2). Dessen Anforderungen genügt die Beschwerdeführerin nicht. Weder tut sie dar, dass sie die fraglichen Umstände schon vor dem Verwaltungsgericht angerufen hat. Noch zeigt sie auf, inwiefern das Verwaltungsgericht das anwendbare Prozessrecht in verfassungswidriger Weise angewendet hat, soweit es mit diesen Vorbringen konfrontiert war.
6.4. Im Übrigen beschränkt sich die Beschwerdeführerin darauf, den Sachverhalt aus ihrer eigenen Sicht zu schildern, wenn sie beteuert, ihren Sohn täglich im Kinderhaus "F._" zu besuchen, und daraus folgert, dass ihre Beziehung zu D.A._ "nach wie vor sehr eng und intensiv" sei. Allein damit vermag sie dem Verwaltungsgericht nicht nachzuweisen, dass es den Sachverhalt hinsichtlich ihrer Erziehungsfähigkeit offensichtlich unrichtig (<ref-law>) festgestellt hat. Ebenso wenig taugen solch appellatorische Vorbringen dazu, die vorinstanzliche Interessenabwägung in Zweifel zu ziehen. Andere Gründe, weshalb der angefochtene Entscheid nicht vor Bundesrecht standhalte, trägt die Beschwerdeführerin nicht vor. Insbesondere stellt sie auch nicht in Abrede, dass die gesetzlichen Voraussetzungen für den Entzug der Obhut über D.A._ und für die Unterbringung des Kindes in einem Heim erfüllt waren, als die KESB am 26. November 2013 ihren Entscheid fällte (s. Sachverhalt Bst. A.b). Die Beschwerde erweist sich deshalb auch in der Sache als unbegründet.
7.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen. Die Beschwerdeführerin unterliegt. Sie hat deshalb grundsätzlich für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Zug ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>). B._ hat sich gegen den Entzug der Obhut und die Fremdplatzierung zu keinem Zeitpunkt gewehrt und auch nicht verlangt, dass die Obhut über D.A._ ihm allein zugeteilt werde. Dementsprechend tritt er im bundesgerichtlichen Verfahren nur als Verfahrensbeteiligter (<ref-law>) und nicht als Partei auf, weshalb er grundsätzlich keinen Anspruch auf Entschädigung hat (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 405). Angesichts der besonderen Umstände erscheint es aber billig und recht (s. Urteil 1C_273/2012 vom 7. November 2012 E. 8.3, nicht publ. in: <ref-ruling>), ihn ausnahmsweise wie eine Partei zu behandeln. Entsprechend seinem diesbezüglichen Antrag könnte ihm das Bundesgericht also eine Entschädigung zu Lasten der Beschwerdeführerin zusprechen. Indes erscheint von Anfang an unwahrscheinlich, dass B._ eine solche Entschädigung von der Beschwerdeführerin erhältlich machen kann. Nachdem er sich über seine Bedürftigkeit ausweist, ist sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege deshalb gutzuheissen und seinem Rechtsbeistand eine Entschädigung zuzusprechen. Auch das Armenrechtsgesuch der Beschwerdeführerin ist gutzuheissen. Die gesetzlichen Voraussetzungen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) sind erfüllt. Die Beschwerdeführerin und B._ werden der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben, wenn sie später dazu in der Lage sind (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
2.1. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwalt Albert Rüttimann als Rechtsbeistand beigegeben.
2.2. Das Gesuch von B._ um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird B._ Rechtsanwalt Niklaus Kunz als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, jedoch vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
4.1. Rechtsanwalt Albert Rüttimann wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
4.2. Rechtsanwalt Niklaus Kunz wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Zug, B._, C._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. November 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn