Erwägungen:
1. Der 1967 geborene südafrikanische Staatsangehörige X._ reiste Ende 1989 in die Schweiz ein und erhielt eine Studienbewilligung. 1999 schloss er das römisch-katholische Theologiestudium mit Diplom ab. Er ist Vater einer im Februar 1997 geborenen ausserehelichen Tochter mit Schweizer Bürgerrecht, die mit ihrer Mutter zusammenlebt. Er ging nur zeitweise einer Erwerbstätigkeit nach (weitgehend Teilzeitstellen), war mehrmals arbeitslos, bezog Sozialhilfe im Ausmass von bisher rund Fr. 66'000.--. Er machte in erheblichem Ausmass Schulden (Betreibungen in der Höhe von rund Fr. 75'000.--). Zudem erwirkte er zahlreiche (wenn auch geringfügige) Strafen. Es bestehen Alkoholprobleme.
Nachdem am 4. Dezember 2007 ausländerrechtliche Massnahmen in Aussicht gestellt worden waren, wurde die Aufenthaltsbewilligung von X._ mit Verfügung vom 2. Dezember 2010 nicht verlängert bzw. die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung aus humanitären Gründen verweigert; gleichzeitig wurde seine Wegweisung angeordnet. Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde an den Regierungsrat des Kantons Schwyz blieb erfolglos (Beschluss vom 29. November 2011). Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz wies die gegen den regierungsrätlichen Beschluss erhobene Beschwerde am 8. März 2012 ab; dabei setzte es die Ausreisefrist neu auf Ende Juni 2012 an.
Mit Eingabe an das Bundesgericht vom 24. April 2012 erklärt X._, dass er gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts Beschwerde erhebe; er stellt in Aussicht, eine ausführliche Begründung "baldmöglichst" einzureichen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gemäss <ref-law> (s. auch <ref-law>) ist die Beschwerde gegen einen Entscheid innert 30 Tagen nach Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen. Rechtsschriften haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Die Begründung hat sachbezogen zu sein; sie muss zumindest rudimentär auf die für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen Bezug nehmen. Steht die Zulässigkeit des Rechtsmittels nicht ohne Weiteres fest, beschlägt die Begründungspflicht auch die Eintretensvoraussetzungen (vgl. BGE (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 48; <ref-ruling> E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356, 400 E. 2 S. 404). Eine den geschilderten gesetzlichen Begründungsanforderungen genügende Rechtsschrift muss dem Bundesgericht noch innert der Beschwerdefrist von 30 Tagen vorgelegt werden, die vom siebenten Tag vor Ostern bis und mit dem siebten Tag nach Ostern stillsteht (<ref-law>).
2.2 Der Beschwerdeführer stellt eine ausführliche Begründung in Aussicht. Da die Beschwerdefrist abgelaufen ist, wäre eine entsprechende nachträgliche Eingabe nicht zu berücksichtigen. Die Rechtsschrift vom 24. April 2012 ihrerseits genügt den Anforderungen von <ref-law> offensichtlich nicht: Der Beschwerdeführer erklärt darin, er sei mit 22 Jahren allein in die Schweiz gekommen und habe somit praktisch sein ganzes Leben als Erwachsener in der Schweiz verbracht; Südafrika habe er in diesen 23 Jahren fünf Mal besucht; er habe eine 15-jährige Tochter; sein Lebensmittelpunkt sei hier in der Schweiz; Südafrika, seine alte Heimat, sei für ihn heute fremdes, unbekanntes Land. Mit diesen Ausführungen wird insbesondere nicht aufgezeigt, inwiefern sich bei der gegebenen Sachlage - namentlich angesichts der vom Beschwerdeführer nicht diskutierten E. 3 des angefochtenen Entscheids - ein Rechtsanspruch auf Bewilligungsverlängerung aus Art. 8 EMRK ableiten liesse; ein entsprechender gesetzlicher oder sonstige staatsvertragliche Ansprüche sind nicht erkennbar. Mangels Anspruchs auf eine ausländerrechtliche Bewilligung ist die Eingabe als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig (<ref-law>). Als subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> kann sie nicht entgegengenommen werden, nennt der Beschwerdeführer doch kein verfassungsmässiges Recht, das durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sei (vgl. Art. 116 in Verbindung mit <ref-law>).
2.3 Auf die einer hinreichenden Begründung entbehrende bzw. offensichtlich unzulässige Beschwerde (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG) ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.4 Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. April 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller