Sachverhalt:
A. Am 16. November 2007 erliess die Eidgenössische Bankenkommission (EBK; heute: Eidgenössische Finanzmarktaufsicht) mit superprovisorischer Verfügung eine vorsorgliche Massnahme (Einsetzung eines Untersuchungsbeauftragten) gegen X._ und seine Einzelfirma Y._, Zug, sowie seine Gesellschaft Z._ AG, Zug. Mit Verfügung vom 24. Januar 2008 stellte die EBK Verstösse gegen das Bankengesetz und das Börsengesetz fest und eröffnete über die Y._ sowie die Z._ AG den Konkurs. Diese Verfügung erwuchs in Rechtskraft. Das gegen X._ eröffnete Verwaltungsstrafverfahren wegen Verdachts auf Widerhandlung gegen das Anlagefonds- und Börsengesetzes sowie gegen das Bankengesetz wurde mit Entscheiden vom 21. September 2009 bzw. 27. April 2010 des Eidgenössischen Finanzdepartements (EFD) eingestellt. Mit Schreiben vom 31. März 2011 an das EFD verlangte X._ vom Bund Schadenersatz in der Höhe von Fr. 20'400'000.-- und Genugtuung in der Höhe von Fr. 300'000.--, da die Verfügungen zu Unrecht ergangen seien und ihn wirtschaftlich ruiniert hätten. Gegen den abweisenden Bescheid des EFD erhob X._ am 26. September 2011 Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht und beantragte die unentgeltliche Rechtspflege sowie einen unentgeltlichen Rechtsbeistand.
B. Mit Zwischenverfügung vom 14. November 2011 gewährte das Bundesverwaltungsgericht X._ die unentgeltliche Rechtspflege, wies das Gesuch aber bezüglich der unentgeltlichen Verbeiständung ab. Zur Begründung wurde ausgeführt, zwar sei der Beschwerdeführer als bedürftig und die Beschwerde "nicht als völlig aussichtslos, jedoch auch nicht als sehr aussichtsreich" zu betrachten. Aufgrund des Untersuchungsgrundsatzes sei es zur Wahrung der Rechte des Beschwerdeführers weder für die Abklärung des Sachverhalts noch für die Klärung der Rechtsfragen erforderlich, einen Anwalt beizuziehen. Mit Stellungnahme vom 15. Januar 2012 wiederholte der Beschwerdeführer sein Gesuch um Gewährung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands, da sein Fall zu komplex sei, als dass er ihn ohne Beistand führen könne. Mit Verfügung vom 24. Januar 2012 wies das Bundesverwaltungsgericht das Gesuch um Gewährung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands erneut ab und führte dazu aus, dass die Begründung in seiner Zwischenverfügung vom 14. November 2011 auch unter Berücksichtigung der neu vorgebrachten Argumente zutreffend sei.
C. X._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem sinngemässen Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben, soweit die unentgeltliche Verbeiständung verweigert worden sei, und das Bundesverwaltungsgericht sei zu verpflichten, dem gestellten Gesuch auch diesbezüglich zu entsprechen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und das EFD schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Der selbständig eröffnete Entscheid, mit dem im Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht ein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung abgewiesen wurde, stellt praxisgemäss einen Zwischenentscheid dar, welcher geeignet ist, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu verursachen, und daher sofort gesondert angefochten werden kann (<ref-law>; Urteile 8C_172/2010 vom 29. März 2010 E. 1; 2C_143/2008 vom 10. März 2008 E. 2; je mit Hinweisen). Auf die Beschwerde ist einzutreten, zumal auch die übrigen Voraussetzungen hiefür erfüllt sind.
2. Streitig und zu prüfen ist, ob das Bundesverwaltungsgericht dem Beschwerdeführer für das vorinstanzliche Verfahren einen unentgeltlichen Anwalt zu bestellen hat. Dies bedingt - nebst den vom Bundesverwaltungsgericht bejahten und damit hier nicht weiter zu prüfenden Voraussetzungen der prozessualen Bedürftigkeit und der Nichtaussichtslosigkeit der Beschwerdebegehren -, dass ein Anwalt zur Wahrung seiner Interessen notwendig ist (<ref-law> [SR 172.021]; vgl. auch <ref-law>).
Nach der Rechtsprechung trifft dies zu, wenn die Interessen der gesuchstellenden Partei in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Droht das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der betroffenen Person einzugreifen, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten, sonst nur dann, wenn zur relativen Schwere des Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Gesuchsteller auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre (<ref-ruling> E. 2.2 S. 182 mit Hinweisen; MARCEL MAILLARD, in: Waldmann/Weissenberger [Hrsg.], Praxiskommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2009, N. 38 zu <ref-law>; MARTIN KAYSER, in: Auer/Müller/Schindler [Hrsg.], Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2008, N. 29 ff. zu <ref-law>).
3. Das Bundesverwaltungsgericht hat erwogen, dass es zur Wahrung der Rechte des Beschwerdeführers weder für die Abklärung des Sachverhalts noch für die Klärung der Rechtsfragen erforderlich sei, einen Anwalt beizuziehen, auch wenn die Interessen des Beschwerdeführers "nicht unerheblich betroffen" seien. Die Vorinstanz hat zudem auf den Untersuchungsgrundsatz verwiesen, wonach das Bundesverwaltungsgericht die erforderlichen Abklärungen von sich aus veranlasse (vgl. Zwischenverfügung vom 14. November 2011 S. 3). Im angefochtenen Entscheid wird im Wesentlichen bloss die Begründung der oben erwähnten Zwischenverfügung wiederholt.
Diese Betrachtungsweise überzeugt nicht: Die Frage, ob das Hauptverfahren besonders stark oder bloss - wie die Vorinstanz ausführt - "nicht unerheblich" in die Rechtsposition des Beschwerdeführers eingreift, kann zwar offen gelassen werden. Auf jeden Fall kommen hier aber zur relativen Schwere des Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzu, denen der Beschwerdeführer auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre. So geht es etwa um die Frage, ob die einjährige Verwirkungsfrist gemäss Art. 20 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördemitglieder und Beamten (Verantwortlichkeitsgesetz, VG; SR 170.32) abgelaufen ist oder nicht. Das Bundesverwaltungsgericht wird zu entscheiden haben, ob dem Beschwerdeführer - gemäss Argumentation des EFD - die haftungsbegründenden Tatsachen bereits mit Erhalt der Verfügung der EBK vom 28. Januar 2008 bekannt gemacht wurden oder ob - wie der Beschwerdeführer vorbringt - die Einstellungsverfügung des EFD vom 27. April 2010 für den Beginn der Verwirkungsfrist relevant ist. Weiter geht es um die Tragweite von Art. 12 VG (Rechtsmässigkeit formell rechtskräftiger Entscheide im Verantwortlichkeitsverfahren). Entgegen den vorinstanzlichen Erwägungen sind diese Rechtsfragen nicht als einfach zu betrachten. Insbesondere vermag die von der Vorinstanz ins Feld geführte Untersuchungsmaxime für sich alleine eine anwaltliche Vertretung nicht ohne Weiteres als unnötig erscheinen zu lassen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 183); sie rechtfertigt es bloss, an die Voraussetzungen, unter denen eine Verbeiständung durch einen Rechtsanwalt sachlich geboten ist, einen strengen Massstab anzulegen (<ref-ruling> E. 4b S. 36; MOSER/BEUSCH/KNEUBÜHLER, Prozessieren vor dem Bundesverwaltungsgericht, 2008, Rz. 4.120).
Selbst unter Anwendung eines strengen Massstabs erscheinen die vorliegenden Rechtsfragen insgesamt aber als recht komplex und der Sachverhalt als unübersichtlich. Zudem ist die Fähigkeit des Beschwerdeführers, sich im Verfahren zurechtzufinden, aufgrund des erlittenen finanziellen Verlusts bzw. der geltend gemachten "verlorenen Reputation" eingeschränkt. Bei dieser Ausgangslage erscheint eine anwaltliche Verbeiständung für das vorinstanzliche Verfahren erforderlich. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdeführer der deutschen Sprache mächtig ist (Urteil 8C_172/2010 vom 29. März 2010 E. 4).
Demnach sind sämtliche Voraussetzungen für die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands im Prozess vor dem Bundesverwaltungsgericht erfüllt. Dementsprechend ist die Beschwerde gutzuheissen.
4. Gerichtskosten sind keine zu erheben (<ref-law>). Der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführer hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 24. Januar 2012 wird aufgehoben. Es wird festgestellt, dass der Beschwerdeführer im Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung hat.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Eidgenössischen Finanzdepartement und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. April 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger