Faits:
A. Le 8 juin 2010, G._ a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) d'une demande contre le Fonds de prévoyance Y._, par laquelle elle exigeait que lui soit remis un certificat d'assurance avec l'indication du capital retraite au 1er janvier 2010. Elle demandait que lui soit confirmé que le Fonds de prévoyance Y._ était une institution de prévoyance du deuxième pilier au regard de la loi et qu'on lui indique où se trouvait la somme de 708'068 fr. 05 transférée le 16 août 2002 par la Compagnie d'assurances V._ sur un compte de Z._.
Par arrêt du 20 décembre 2010, la juridiction cantonale a déclaré la demande irrecevable (ch. 1 du dispositif) et transmis la cause au Service de surveillance des fondations et des institutions de prévoyance comme objet de sa compétence (ch. 2 du dispositif).
B. Par lettre du 20 janvier 2011 (timbre postal), G._ interjette un recours contre ce jugement, dont elle demande l'annulation.
Le Fonds de prévoyance X._ (anciennement Fonds de prévoyance Y._) conclut à ce que le jugement entrepris soit confirmé. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Le jugement entrepris est un arrêt d'irrecevabilité, par lequel le Tribunal cantonal des assurances sociales a nié qu'il soit compétent pour connaître de la contestation relative à une violation du devoir d'informer de la part du Fonds de prévoyance X._ et transmis la cause au Service de surveillance des fondations et des institutions de prévoyance comme objet de sa compétence.
1.1 Selon l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, le recours doit indiquer, entre autres exigences, les conclusions, les motifs et les moyens de preuve, en exposant succinctement en quoi l'acte attaqué est contraire au droit.
Pour satisfaire à cette obligation de motiver, le recourant doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 60).
1.2 Dans son écriture du 20 janvier 2011 (timbre postal), la recourante n'a pas satisfait à l'obligation de motiver son recours, faute de prendre spécifiquement position sur le motif pour lequel le Tribunal cantonal des assurances sociales, considérant que le Service de surveillance des fondations et des institutions de prévoyance était seul compétent pour connaître de la contestation, a déclaré dans son arrêt du 20 décembre 2010 que la demande du 8 juin 2010 était irrecevable. On ne peut donc pas déduire de l'écriture de la recourante du 20 janvier 2011 en quoi les constatations des premiers juges seraient inexactes - au sens de l'<ref-law> -, ni en quoi le jugement entrepris serait contraire au droit. Partant, le recours ne répond manifestement pas aux exigences de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF et est dès lors irrecevable.
2. Il convient de relever que le recours, même s'il était recevable, aurait dû être rejeté.
2.1 L'art. 62 al. 1 phrase introductive LPP prescrit que l'autorité de surveillance s'assure que l'institution de prévoyance ainsi que l'institution qui sert à la prévoyance se conforment aux prescriptions légales. En particulier, selon l'art. 62 al. 1 let. e LPP, elle connaît des contestations relatives au droit de l'assuré d'être informé conformément aux art. 65a et 86b, al. 2; cette procédure est en principe gratuite pour les assurés.
Aux termes de l'<ref-law>, les assurés peuvent demander la remise des comptes annuels et du rapport annuel. L'institution de prévoyance doit en outre informer les assurés qui le demandent sur le rendement du capital, l'évolution du risque actuariel, les frais d'administration, les principes de calcul du capital de couverture, les provisions supplémentaires et le degré de couverture.
2.2 L'exercice du droit à l'information peut se faire par la voie judiciaire. L'art. 62 al. 1 let. e LPP ouvre la voie administrative devant l'autorité de surveillance lors de contestations relatives au droit de l'assuré d'être informé conformément aux art. 65a et 86b al. 2 LPP et l'<ref-law> ouvre la voie du recours devant le Tribunal administratif fédéral contre les décisions de l'autorité de surveillance (HANS MICHAEL RIEMER, Vorsorgeeinrichtungen (Art. 48-53e BVG, Art. 86b BVG, Art. 23 FZG, Art. 89bis Abs. 6 ZGB, Art. 10 lit. d Mitwirkungsgesetz), in RSAS 2005 p. 70; JÜRG BRÜHWILER, Obligatorische berufliche Vorsorge, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2ème éd., ch. 74; ISABELLE VETTER-SCHREIBER, BVG Kommentar, éd. 2009, n° 3 ad <ref-law>; KURT PÄRLI, in Commentaire LPP et LFLP, 2010, n° 11 ad <ref-law>).
2.3 A partir du moment où la recourante entendait dans sa demande du 8 juin 2010 exercer son droit à l'information conformément à l'<ref-law>, était ouverte la voie administrative devant l'autorité de surveillance selon l'art. 62 al. 1 let. e LPP. Le jugement entrepris, qui transmet la cause au Service de surveillance des fondations et des institutions de prévoyance comme objet de sa compétence, est ainsi conforme au droit fédéral (supra, consid. 2.2).
3. En application de l'art. 66 al. 1, 2ème phrase, LTF, il convient de renoncer à la perception des frais judiciaires, vu les circonstances.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 28 septembre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Wagner