Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Nachdem X._ wegen des Verdachts auf versuchte vorsätzliche Tötung ihrer Mutter am 17. Februar 2005 in Untersuchungshaft gekommen war, wurde sie nach rund 20 Monaten am 1. November 2006 aus dem vorzeitigen Strafantritt wieder entlassen.
Das Obergericht des Kantons Zürich bestrafte X._ am 29. Juni 2007 unter anderem wegen versuchten Mordes zu einer Freiheitsstrafe von 12 Jahren, unter Anrechnung von 622 Tagen erstandener Haft. Das Strafurteil wurde letztinstanzlich durch das Bundesgericht mit Urteil 6B_825/2008 vom 9. April 2009 bestätigt.
Mit Verfügung vom 1. September 2009 lud der Sonderdienst des Amts für Justizvollzug X._ auf den 12. Oktober 2009 zum Strafvollzug vor. Am 7. Oktober 2009 stellte sie den Antrag, der Strafantrittstermin sei auf unbestimmte Zeit zu verschieben, eventuell sei ein Gutachten über ihre Hafterstehungsfähigkeit einzuholen. Das Amt für Justizvollzug wies die Begehren am 26. November 2009 ab und legte den Strafvollzugstermin auf den 13. Januar 2010 fest. Dagegen erhob X._ Rekurs, welches Rechtsmittel von der Direktion der Justiz und des Innern am 9. Februar 2010 abgewiesen wurde. Am 14. März 2010 reichte X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde gegen den Rekursentscheid ein. Das Gericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 10. Juni 2010 ab, soweit darauf eingetreten wurde. Es lud X._ auf den 7. Juli 2010 in den Strafvollzug vor.
X._ wendet sich mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht und beantragt, der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 10. Juni 2010 sei aufzuheben. Die darin abgelehnten Anträge, ein neues psychiatrisches Gutachten in Auftrag zu geben, ebenso ein neues medizinisches Gutachten, um die Hafterstehungsfähigkeit abzuklären, seien gutzuheissen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. X._ sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
2. In Bezug auf die Verletzung des rechtlichen Gehörs ist in Anwendung von <ref-law> auf die Ausführungen der Vorinstanz zu verweisen (vgl. angefochtenen Entscheid S. 3-8 E. 2). Die Beschwerdeführerin wirft in diesem Zusammenhang ihrem damaligen Verteidiger vor, sich pflichtwidrig verhalten zu haben (Beschwerde S. 1, 3). Damit lässt sich indessen nicht darlegen, dass die Ausführungen der Vorinstanz zur Frage des rechtlichen Gehörs gegen das schweizerische Recht im Sinne von <ref-law> verstossen könnten. Die Beschwerde genügt in diesem Punkt den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. <ref-law> nicht.
3. In Bezug auf die Hafterstehungsfähigkeit ist in Anwendung von <ref-law> ebenfalls auf die Ausführungen der Vorinstanz zu verweisen (vgl. angefochtenen Entscheid S. 8-11 E. 3). Unter anderem stellt sie fest, aus einem Gutachten vom 26. Oktober 2005, welches bereits davon ausgegangen sei, die Beschwerdeführerin leide an verschiedenen somatischen Störungen mit Krankheitswert, gehe nicht hervor, dass sie hafterstehungsunfähig sei. Sie habe sich denn auch vom 17. Februar 2005 bis 1. November 2006 in Haft befunden. Inwieweit sich der Gesundheitszustand seither verschlechtert haben könnte, gehe weder aus der Beschwerdebegründung noch aus den Akten hervor. Insbesondere gehe aus der Medikamenten-, Allergie- und Unverträglichkeitsliste der Beschwerdeführerin nicht hervor, weshalb sich ihr Gesundheitszustand seit der letzten Begutachtung derart erheblich verschlechtert haben sollte, dass der Strafvollzug ihre Gesundheit wahrscheinlich gefährden würde. Der Arzt der Anstalt Hindelbank sei denn auch nach Prüfung der Eingaben der Beschwerdeführerin zum Schluss gekommen, dass ihrer Aufnahme aus medizinischer Sicht nichts im Wege stehe.
Im vorliegenden Verfahren kann es nur um die Frage gehen, ob sich in Bezug auf die Hafterstehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin seit 2006 etwas geändert hat. Soweit sie sich in weiten Teilen der Beschwerde nicht mit dieser Frage befasst, sondern zum Beispiel geltend macht, die Fristen für den Strafantritt seien nicht ausreichend, wenn man noch einen Nachmieter für die Wohnung suchen müsse (Beschwerde S. 1/2), oder gegenüber der Anstalt Hindelbank den Vorwurf erhebt, Fehldiagnosen und Fehlbehandlungen seien dort die Regel und es habe nicht einmal ein Ultraschallgerät (Beschwerde S. 3), oder in Bezug auf das Polizeigefängnis Zürich behauptet, die Wolldecken würden nur zwei- bis dreimal pro Jahr gereinigt (Beschwerde S. 4), ist darauf nicht einzutreten.
Sachgerecht wird in der Beschwerde einzig ausgeführt, kürzlich sei im Lungenzentrum der Klinik Hirslanden nach diversen Tests festgestellt worden, dass die Beschwerdeführerin nun zwischenzeitlich auch noch an Asthma leide (Beschwerde S. 3 unten). Aber erneut beschränkt sie sich auf Vorwürfe, diesmal gegen die Ärzte der Klinik Hirslanden, mit denen sich das Bundesgericht nicht befassen kann. Demgegenüber ist der Beschwerde nicht zu entnehmen und auch nicht ersichtlich, dass die neu aufgetretene Krankheit zu einer Hafterstehungsunfähigkeit führen könnte.
Wie einem der Beschwerde beigelegten Strafantrittsbefehl vom 1. Juli 2010 zu entnehmen ist, wurde die Beschwerdeführerin neu auf den 13. Juli 2010 ins Gefängnis Dielsdorf vorgeladen, weil in Hindelbank zurzeit kein Platz zur Verfügung stehe. In diesem Zusammenhang bemängelt sie, dass sich Dielsdorf nicht für Inhaftierte mit intensiverer medizinischer Betreuung eigne, da zum Beispiel zahnärztliche Behandlungen nicht gewährleistet seien (Beschwerde S. 2). Es ist indessen nicht ersichtlich, dass und inwieweit die Beschwerdeführerin für die Übergangszeit, bis ein Platz in Hindelbank frei wird, nicht auch in Dielsdorf hinreichend medizinisch versorgt werden könnte.
4. Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.
Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage der Beschwerdeführerin ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn