Sachverhalt:
A. A.a Der tunesische Staatsangehörige G._ reiste 2005 in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch, worauf er der Einwohnergemeinde X._ zugeteilt wurde. Am 2. Februar 2007 wurde er als Flüchtling anerkannt. Anfangs 2007 reisten seine älteste Tochter und am 22. August 2007 seine Ehefrau sowie die vier weiteren Kinder in die Schweiz (Gemeinde X._) ein. Am 11. Februar 2008 folgte die Anerkennung seiner Frau und drei seiner fünf Kinder als Flüchtlinge. Die beiden anderen, bereits volljährigen Kinder erhielten den Status als vorläufig aufgenommene Asylsuchende. Per 1. Oktober 2007 bezog die siebenköpfige Familie eine Siebenzimmerwohnung in der Einwohnergemeinde Y._, für welche bei einem monatlichen Mietzins von Fr. 2'010.- vor Mietbeginn eine Kaution von Fr. 4'000.- zu leisten war. Letztere wurde von S._, welche in der Gemeinde X._ für die Betreuung der Asylsuchenden zuständig und mit Z._, Gemeinderatsmitglied von X._, verheiratet ist, vorschussweise sichergestellt.
A.b Mit Beschwerde vom 22. Juli 2008 gelangte die Gemeinde Y._ gegen die Gemeinde X._ wegen Verstosses gegen das Abschiebeverbot an das Departement des Innern des Kantons Solothurn (nachfolgend: Kanton oder Beschwerdegegner). Dieser verfügte am 4. Dezember 2008 in teilweiser Gutheissung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten war, unter anderem:
"[...]
6.2 Es wird festgestellt, dass die Einwohnergemeinde X._ im Falle von L._, O._, I._, N._, M._ und J._ gegen das Abschiebeverbot verstossen hat.
6.3 Die Einwohnergemeinde X._ wird verpflichtet, der Einwohner- gemeinde Y._ einen Betrag von Fr. 8'625.- zu entrichten.
6.4 Der Betrag von Fr. 8'625.- unterliegt nicht dem Lastenausgleich.
6.5 Im Übrigen wir die Beschwerde abgewiesen.
6.6 Die Verfahrenskosten in der Höhe von Fr. 1'200.- werden der Ein- wohnergemeinde X._ auferlegt.
6.7 Es werden keine Parteientschädigungen ausgerichtet."
B. Hiegegen erhoben beide Einwohnergemeinden Beschwerde. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde von der Gemeinde Y._ stellte das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 4. November 2009 unter der Dispositivziff. 2 fest, dass die Gemeinde X._ in Abänderung von Ziff. 6.2 der angefochtenen Verfügung des Kantons vom 4. Dezember 2008 "bei sämtlichen sieben Mitgliedern der Familie G._ [...] gegen das Abschiebeverbot" verstossen habe. Weiter bestätigte das kantonale Gericht unter der Dispositivziff. 3 die Ziff. 6.3-6.7 der angefochtenen Verfügung; im Übrigen wies es die Beschwerden beider Einwohnergemeinden ab, soweit es darauf eintrat (Dispositivziff. 4). Sodann auferlegte es die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- je zur Hälfte den beiden Gemeinden (Dispositivziff. 5) und schlug deren Parteikosten wett (Dispositivziff. 6).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die Gemeinde X._ beantragen, "es seien die Ziff. 2-6 des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 4. November 2009 (VWBES.2008.412) aufzuheben, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Kantons Solothurn."
Während Vorinstanz und Beschwerdegegner auf Abweisung der Beschwerde schliessen, soweit darauf einzutreten sei, beantragt die Gemeinde Y._ Nichteintreten, eventualiter Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 96; <ref-ruling> E. 1 S. 140). Die Beschwerdeführerin hat ihre Eingabe hinreichend zu begründen und in diesem Rahmen nötigenfalls auch darzulegen, dass und inwiefern sie die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen erfüllt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 251; Urteil 8C_1025/2009 vom 19. August 2010 E. 1).
2. 2.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss Art. 83 BGG fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG).
2. 2.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss Art. 83 BGG fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG).
2.2 2.2.1 Gemeinden und andere öffentlich-rechtliche Körperschaften sind nach Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wenn sie die Verletzung von Garantien rügen, die ihnen die Kantons- oder Bundesverfassung gewährt. Für das Eintreten ist allein entscheidend, dass die Beschwerde führenden Gemeinden durch einen Akt in ihrer Eigenschaft als Trägerinnen hoheitlicher Gewalt berührt sind und eine Verletzung der Autonomie geltend machen. Ob die beanspruchte Autonomie tatsächlich besteht, ist hingegen keine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung. Dasselbe gilt für die Frage, ob die Autonomie im konkreten Fall tatsächlich verletzt worden ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 45 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 412; Urteile 8C_650/2009 vom 21. Januar 2010 E. 1.2.1 und 5C_2/2009 vom 5. November 2009 E. 3.1 mit Hinweisen).
2.2.2 Die Beschwerdeführerin stellt sich auf den Standpunkt, "weder der Gemeinderat noch die Sozialkommission [von X._ hätten] sich je mit der Familie G._ befasst". Diese Organe seien "an keiner Wegzugsveranlassung im Sinne des Sozialgesetzes beteiligt" gewesen. Vielmehr habe sich "Frau S._ [...] - wie von der Beschwerdeführerin vor den Vorinstanzen geltend gemacht - tatsächlich in privater Initiative [...] für die Familie G._ eingesetzt." Die Gemeinde X._ rügt nicht die Verletzung der Gemeindeautonomie (Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG), sondern beruft sich sinngemäss auf die allgemeine Legitimationsklausel von Art. 89 Abs. 1 BGG, wonach zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt ist, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist und überdies ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat.
2.2.2 Die Beschwerdeführerin stellt sich auf den Standpunkt, "weder der Gemeinderat noch die Sozialkommission [von X._ hätten] sich je mit der Familie G._ befasst". Diese Organe seien "an keiner Wegzugsveranlassung im Sinne des Sozialgesetzes beteiligt" gewesen. Vielmehr habe sich "Frau S._ [...] - wie von der Beschwerdeführerin vor den Vorinstanzen geltend gemacht - tatsächlich in privater Initiative [...] für die Familie G._ eingesetzt." Die Gemeinde X._ rügt nicht die Verletzung der Gemeindeautonomie (Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG), sondern beruft sich sinngemäss auf die allgemeine Legitimationsklausel von Art. 89 Abs. 1 BGG, wonach zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt ist, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist und überdies ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat.
2.3 2.3.1 Nach der Rechtsprechung kann sich ein Gemeinwesen auf das allgemeine Beschwerderecht von Art. 89 Abs. 1 BGG berufen, wenn es durch den angefochtenen Hoheitsakt gleich oder ähnlich wie ein Privater betroffen oder qualifiziert in schutzwürdigen eigenen hoheitlichen Interessen berührt ist (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 15; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 47; je mit Hinweisen; Urteil 2C_712/2008 vom 24. Dezember 2008 E. 1.3.2 mit Hinweisen). Allerdings sind Gemeinwesen gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG nur restriktiv zur Beschwerdeführung zuzulassen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 47; Urteil 1C_503/2009 vom 14. Januar 2010 E. 2.1).
2.3.2 Das blosse allgemeine Interesse an einer richtigen Anwendung des objektiven Bundesrechts begründet nach ständiger Praxis keine Beschwerdelegitimation des Gemeinwesens (<ref-ruling> E. 2d S. 375; <ref-ruling> E. 2c S. 383; mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 15). Zur Legitimation genügt also nicht, dass ein Gemeinwesen in einem Bereich, in welchem es zur Rechtsanwendung zuständig ist, eine bestimmte Rechtsauffassung vertritt, die in Widerspruch steht zu derjenigen einer anderen zuständigen bzw. übergeordneten Behörde oder Instanz (<ref-ruling> E. 1e/bb S. 418 mit Hinweis). Zur Begründung des allgemeinen Beschwerderechts genügt auch nicht jedes beliebige, mit der Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe direkt oder indirekt verbundene finanzielle Interesse des Gemeinwesens (BGE <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 47 mit zahlreichen Hinweisen; vgl. auch in <ref-ruling> nicht publ. E. 3.3.5 des Urteils 8C_212/2009 vom 15. April 2010).
2.3.2 Das blosse allgemeine Interesse an einer richtigen Anwendung des objektiven Bundesrechts begründet nach ständiger Praxis keine Beschwerdelegitimation des Gemeinwesens (<ref-ruling> E. 2d S. 375; <ref-ruling> E. 2c S. 383; mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 15). Zur Legitimation genügt also nicht, dass ein Gemeinwesen in einem Bereich, in welchem es zur Rechtsanwendung zuständig ist, eine bestimmte Rechtsauffassung vertritt, die in Widerspruch steht zu derjenigen einer anderen zuständigen bzw. übergeordneten Behörde oder Instanz (<ref-ruling> E. 1e/bb S. 418 mit Hinweis). Zur Begründung des allgemeinen Beschwerderechts genügt auch nicht jedes beliebige, mit der Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe direkt oder indirekt verbundene finanzielle Interesse des Gemeinwesens (BGE <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 47 mit zahlreichen Hinweisen; vgl. auch in <ref-ruling> nicht publ. E. 3.3.5 des Urteils 8C_212/2009 vom 15. April 2010).
2.4 2.4.1 Das kantonale Gericht hat in Auslegung von § 167 Abs. 1 des Sozialgesetzes des Kantons Solothurn vom 31. Januar 2007 (nachfolgend: SG/SO; BGS [bereinigte Gesetzessammlung des Kantons Solothurn] 831.1) festgestellt, dass diese Bestimmung ein umfassendes und bedingungsloses Verbot für aktive und passive Veranlassungen zum Wohnortswechsel (oder dessen Behinderung) umschreibe. Generell sei die materielle Hilfeleistung beim Umzug des Bedürftigen in eine andere Gemeinde des Kantons als unerlaubte Abschiebung zu qualifizieren, während die blosse Auskunftserteilung an eine Ansprechperson oder die nicht materielle Unterstützung auf Anfrage eines Wegzugswilligen nicht als Hilfeleistung im genannten Sinne gelte. Die Vorinstanz erkannte, dass S._ als Funktionsträgerin der Gemeinde X._ die rechtzeitige Mietkautionsleistung von Fr. 4'000.- für die neue Wohnung in der Gemeinde Y._ sichergestellt habe. Die Beschwerdeführerin könne die Erfüllung des Rechtsmissbrauchstatbestandes von § 167 SG/SO nicht mit dem Hinweis darauf bestreiten, S._ habe als Privatperson gehandelt. Die Mietkautionsleistung der Gemeindefunktionärin müsse nach Treu und Glauben der Gemeinde zugerechnet werden. Diese habe somit gegen das Abschiebeverbot von § 167 Abs. 1 SG/SO verstossen. Der vom Beschwerdegegner gestützt auf § 167 Abs. 2 SG/SO zu Lasten der Gemeinde X._ auferlegte Betrag von Fr. 8'625.- sei angesichts der für die Betreuung der ganzen Flüchtlingsfamilie anfallenden Vollkosten als moderat zu bezeichnen.
2.4.2 Die im Rahmen von § 167 Abs. 2 SG/SO erfolgte Kostenbemessung rügt die Gemeinde X._ nicht. Sie beanstandet nebst einer fehlerhaften Anwendung des kantonalen Rechts insbesondere eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung. "Die Leistung der Kaution durch Frau S._" hätten die Vorinstanzen zu Unrecht als Massnahme im Sinne von § 167 Abs. 1 SG/SO qualifiziert. Die Beschwerdeführerin bestreitet somit nicht den Sachverhalt an sich, nämlich die Mietkautionsleistung durch S._, sondern einzig die rechtliche Qualifikation dieser Handlung. Entgegen der Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts habe S._ als Privatperson und nicht in ihrer - grundsätzlich unbestrittenen, gleichzeitig ausgeübten - Funktion als in der Gemeinde zuständige Betreuerin von Asylsuchenden gehandelt. Insgesamt legt die Gemeinde X._ nicht dar, weshalb sie durch den angefochtenen Hoheitsakt qualifiziert in schutzwürdigen eigenen hoheitlichen Interessen (E. 2.3.1 hievor) berührt sei, zumal sie ja selber geltend macht, das Verhalten der Asylantenbetreuerin sei nicht der Beschwerdeführerin anzulasten, weil S._ nicht als Funktionsträgerin, sondern als Privatperson die Mietkaution geleistet habe. Der Beschwerde ist letztlich nicht zuverlässig zu entnehmen, ob die Gemeinde X._ den Standpunkt vertritt, die hier zur Debatte stehende Mietkautionsleistung hätte - trotz amtlicher Funktion der die Zahlung leistenden Asylantenbetreuerin - nicht als materielle Hilfeleistung im Sinne von § 167 Abs. 1 SG/SO qualifiziert werden dürfen, oder ob die Beschwerdeführerin grundsätzlich die Tatbestandsmässigkeit des Handelns von S._ als Verletzung des Abschiebeverbots anerkennt und einzig geltend macht, die von ihr eingesetzte Asylantenbetreuerin habe die Mietkaution in Verletzung der ihr obliegenden amtlichen Pflichten geleistet. Würde Letzteres zutreffen, ist es der Gemeinde X._ anheimgestellt, gegebenenfalls zu prüfen, ob und inwieweit ihr Schadenersatzansprüche direkt gegen die angeblich allein verantwortliche S._ zustehen. Ein allgemeines Beschwerderecht (Art. 89 Abs. 1 BGG) im Sinne eines qualifizierten Berührtseins in schutzwürdigen eigenen hoheitlichen Interessen (E. 2.3.1 hievor) der Beschwerdeführerin ist jedenfalls nicht ohne weiteres erkennbar. Wie es sich damit verhält, kann letztlich offenbleiben. Hat die Gemeinde X._ gemäss vorinstanzlich bestätigter Verfügung vom 4. Dezember 2008 für die Betreuungs- und Sozialadministrationskosten von Fr. 8'625.- aufzukommen, kann sie zumindest ein eigenes finanzielles Interesse an der Aufhebung oder Abänderung der Verfügung geltend machen. Zudem erweist sich die im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde - auch im Falle des Eintretens - ohnehin als unbegründet.
3. 3.1 Ist grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten, bleibt vorweg zu prüfen, inwieweit die von der Beschwerdeführerin erhobenen Rügen zulässig sind.
3.1.1 Im Verfahren vor Bundesgericht dürfen gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Werden Tatsachen etwa erst durch den vorinstanzlichen Entscheid rechtswesentlich, so sind die im letztinstanzlichen Verfahren neu dazu eingereichten Belege als zulässige Noven im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG zu qualifizieren (NICOLAS VON WERDT, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 6 zu Art. 99 BGG). Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne weiteres hätten vorgebracht werden können (Urteil 8C_128 /2010 vom 26. August 2010 E. 2.1 mit Hinweis auf Urteil 9C_920/2008 vom 16. April 2009 E. 2.3, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 BVG Nr. 30 S. 109).
3.1.2 Im Zusammenhang mit der Beanstandung der angeblich unrichtigen vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung rügt die Beschwerdeführerin, das kantonale Gericht habe bundesrechtswidrig auf die Einvernahme der S._ als Zeugin verzichtet. Darauf ist schon deshalb nicht einzutreten, weil die entsprechende Zeugeneinvernahme im bisherigen Verfahren nie beantragt worden war. Soweit die Gemeinde X._ erstmals vor Bundesgericht neue Unterlagen einreicht, woraus hervorgehen soll, dass Sozialhilfe beziehende anerkannte Flüchtlinge mit Aufenthaltsbewilligung einen Rechtsanspruch auf freie Wahl der Gemeinde innerhalb des Kantons Solothurn hätten, handelt es sich um unzulässige Noven (Art. 99 Abs. 1 BGG). Es wird nicht dargelegt und ist nicht ersichtlich, weshalb diese Vorbringen nicht bereits vor Erlass des angefochtenen Entscheids hätten geltend gemacht werden können.
3.2 Entgegen der Beschwerdeführerin hat das kantonale Gericht in tatsächlicher Hinsicht für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG) festgestellt, dass S._ als zuständige Betreuerin von Asylsuchenden der Gemeinde X._ zu Gunsten der in dieser Gemeinde Sozialleistungen beziehenden Flüchtlingsfamilie für die rechtzeitige Mietkautionsleistung der neuen Wohnung in der Gemeinde Y._ gesorgt hat. Diese Sachverhaltsfeststellung ist weder offensichtlich unrichtig noch sonstwie bundesrechtswidrig. Daran ändert nichts, auch wenn die Gemeinde X._ gestützt auf die Angaben der für sie tätigen Asylantenbetreuerin geltend macht, Letztere habe die Mietkaution nicht zu Lasten des Gemeindehaushaltes, sondern "im Auftrag einer nicht genannt sein wollenden Drittperson" geleistet.
3.2 Entgegen der Beschwerdeführerin hat das kantonale Gericht in tatsächlicher Hinsicht für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG) festgestellt, dass S._ als zuständige Betreuerin von Asylsuchenden der Gemeinde X._ zu Gunsten der in dieser Gemeinde Sozialleistungen beziehenden Flüchtlingsfamilie für die rechtzeitige Mietkautionsleistung der neuen Wohnung in der Gemeinde Y._ gesorgt hat. Diese Sachverhaltsfeststellung ist weder offensichtlich unrichtig noch sonstwie bundesrechtswidrig. Daran ändert nichts, auch wenn die Gemeinde X._ gestützt auf die Angaben der für sie tätigen Asylantenbetreuerin geltend macht, Letztere habe die Mietkaution nicht zu Lasten des Gemeindehaushaltes, sondern "im Auftrag einer nicht genannt sein wollenden Drittperson" geleistet.
3.3 3.3.1 Die Rüge der willkürlichen Auslegung des kantonalen Rechts ist zulässig (Art. 95 lit. a BGG). Willkürlich ist eine Auslegung oder Anwendung des Gesetzes jedoch nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Wegen Willkür ist ein Entscheid überdies nur aufzuheben, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133, 133 I 149 E. 3.1 S. 153, je mit Hinweisen). Erforderlich ist sodann, dass die Willkürrüge in einer den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügenden Weise substanziiert wird. Dabei wird die Praxis zum Rügeprinzip gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) weitergeführt (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; Urteil 8C_251/2010 vom 29. Juni 2010 E. 1.3). Es obliegt der Beschwerdeführerin namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 262, 129 I 113 E. 2.1 S. 120, je mit Hinweisen).
3.3.2 Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern die von Verwaltung und Vorinstanz in Anwendung des kantonalen Rechts bejahte Erfüllung des Tatbestandes im Sinne von § 167 Abs. 1 SG/SO nicht nur in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufe, sondern auch im Ergebnis unhaltbar sei. Soweit die Gemeinde X._ eine Verletzung des Willkürverbots von Art. 9 BV rügt, ist die Beschwerde unbegründet. Die Beschwerdeführerin setzt sich nicht in in der geforderten Weise (vgl. E. 3.3.1 hievor) mit dem angefochtenen Entscheid auseinander, soweit die Vorinstanz darlegte, dass der Wortlaut von § 167 SG/SO vom alten kantonalen Recht übernommen worden ist. Auch im Übrigen ergeben sich keine substanziierten Anhaltspunkte dafür, dass das kantonale Gericht verfassungsmässige Rechte der Gemeinde X._ verletzt hätte.
4. Damit ist die Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, als unbegründet abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Gemeinde X._, welche in Verfolgung von Vermögensinteressen gehandelt hat, die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Y._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. November 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Hochuli