Sachverhalt:
Mit Entscheid vom 15. Oktober 2012 wies das Appellationsgericht Basel-Stadt als Verwaltungsgericht den Rekurs des X._, wonach die Universität Basel zu verpflichten sei, für Lehraufträge, welche er von 1999 bis 2003 an deren Fakultät Y._ ausgeübt hatte, Lohn nachzuzahlen, ab. Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wies die I. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts, worunter Bundesrichter Ursprung, mit Urteil 8C_1006/2012 vom 10. April 2013 ab.
Mit Eingabe vom 16. Mai 2013 (Poststempel) ersucht X._ um revisionsweise Aufhebung des Urteils 8C_1006/2012 und um Wiederholung des entsprechenden Verfahrens. Weiter wird darum ersucht, Bundesrichter Ursprung habe bei der Behandlung des Revisionsbegehrens in den Ausstand zu treten.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Geltend gemacht werden die Revisionsgründe gemäss Art. 121 lit. a, c und d BGG.
2.
Nach <ref-law> kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts oder über den Ausstand verletzt worden sind.
Der Gesuchsteller bringt vor, Bundesrichter Ursprung hätte im Verfahren 8C_1006/2012 in den Ausstand treten müssen. Diese Rüge sei unter den gegebenen Umständen nicht als verspätet zu betrachten.
2.1.
2.1.1. Beschwerde führende Personen sind nach dem auch für die Privaten geltenden Grundsatz von Treu und Glauben und dem Verbot des Rechtsmissbrauchs (<ref-law>) verpflichtet, Ausstandsbegehren frühestmöglich zu stellen. Dies ist für das Verfahren vor dem Bundesgericht in <ref-law> so ausdrücklich festgehalten. Die am Gericht tätigen Personen können dem Staatskalender (oder auch der Internetseite des Bundesgerichts [www.bger.ch]) entnommen werden. Daraus ist auch ersichtlich, welcher Abteilung die Richterinnen und Richter ordentlicherweise zugeteilt sind. In Art. 29 ff. des Reglements für das Bundesgericht (BGerR) sind zudem die den einzelnen Abteilungen zugewiesenen Rechtsgebiete geregelt. Der juristisch ausgebildete Gesuchsteller (Prof. Dr. iur.) musste somit bereits bei Beschwerdeerhebung damit rechnen, dass seine Eingabe auch durch den der I. sozialrechtlichen Abteilung angehörenden Bundesrichter Ursprung behandelt werde (vgl. zum Ganzen: Urteil 8C_41/2013 vom 15. März 2013). Er hätte mithin allfällige Ausstandsbegehren umgehend einreichen müssen. Dazu bedurfte es entgegen seiner Auffassung keiner Anzeige, welche Mitglieder der I. sozialrechtlichen Abteilung dann auch tatsächlich am Verfahren beteiligt sein würden, und auch keines Schriftenwechsels.
2.1.2. Der Gesuchsteller beruft sich darauf, er habe die Beschwerde nach Lausanne gesendet statt nach Luzern, wo die beiden sozialrechtlichen Abteilungen des Bundesgerichts ansässig sind. Daher sei er davon überrascht worden, dass eine Abteilung in Luzern seinen Fall beurteilt habe.
Dieser Einwand ist unbehelflich. Zum einen war aus den zuvor genannten Quellen ersichtlich, dass die I. sozialrechtliche Abteilung zuständig sein werde. Zum anderen konnte der Gesuchsteller dies im damaligen Verfahren auch aus der Kostenvorschussverfügung vom 13. Dezember 2012 ersehen. Darin wurde die zuständige Abteilung unmissverständlich angegeben. Allerspätestens mit Erhalt dieser Verfügung war der Gesuchsteller daher in der Lage, ein Ausstandsbegehren gegen die ordentlichen Mitglieder der I. sozialrechtlichen Abteilung zu stellen (vgl. erwähntes Urteil 8F_41/2013 mit Hinweisen).
2.1.3. Der Gesuchsteller hat es unterlassen, innert nützlicher Frist ein Ausstandsbegehren zu stellen. Dieses klare Versäumnis kann nun nicht auf dem Revisionsweg behoben werden. Die Revision dient nicht dazu, Fehler und Unterlassungen der Prozessparteien nachträglich korrigieren zu können (Urteile 8F_16/2012 vom 27. März 2013 E. 1; 8F_20/2012 vom 25. Januar 2013 E. 1, je mit Hinweisen). Das Revisionsbegehren ist daher unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> abzuweisen.
2.2. Dem Ausstandsbegehren wäre aber auch bei rechtzeitiger Einreichung kein Erfolg beschieden gewesen. Es wird nämlich einzig damit begründet, das betreffende Mitglied des Bundesgerichts habe ausschliesslich an der Universität Basel Recht studiert und erscheine daher in einem diese betreffenden Rechtsstreit als befangen. Der Gesuchsteller beruft sich dabei auf <ref-law>, wonach Richter, Richterinnen, Gerichtsschreiber und Gerichtsschreiberinnen in den Ausstand zu treten haben "aus anderen Gründen, insbesondere wegen besonderer Freundschaft oder persönlicher Feindschaft mit einer Partei oder ihrem Vertreter beziehungsweise ihrer Vertreterin, befangen sein könnten". Alleine der Umstand, dass eine Richterperson ihr Rechtsstudium an einer bestimmten Universität absolviert hat, vermag indessen keine derartige Beziehungsnähe zu dieser zu begründen und lässt die Richterperson daher in einem Rechtsstreit, in welchem diese Universität Partei ist, nicht als befangen erscheinen. Entgegen der Auffassung des Gesuchstellers lassen auch der heutige berufliche Status als Mitglied des Bundesgerichts nicht darauf schliessen, Bundesrichter Ursprung empfinde "lebenslange Gefühle der Loyalität und der Dankbarkeit gegenüber der beklagten Uni Basel" und erscheine deswegen voreingenommen.
3.
Nach <ref-law> kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind.
Der Gesuchsteller erachtet diesen Revisionsgrund für erfüllt, da verschiedene seiner Beweisanträge nicht beurteilt worden seien, ohne dass dies im Urteil 8C_1006/2012 begründet worden wäre. Es gehe dabei um Anträge betreffend Einholung eines Sachverständigengutachtens, Zeugenbefragungen, Parteibefragung und "weitere Urkunden".
3.1. Das Gericht ist grundsätzlich nicht gehalten, sich zu sämtlichen Beweisanträgen der Parteien ausdrücklich und im einzelnen zu äussern oder für jedes Beweisangebot, dem es keine Folge leistet, einen förmlichen ablehnenden Entscheid zu fällen. Vielmehr kann es entsprechende Beweisanträge im Rahmen seiner Erwägungen auch konkludent (und aufgrund zulässiger antizipierter Beweiswürdigung) abweisen. Ein solches Vorgehen führt nicht zu einem Revisionsgrund im Sinne von <ref-law> (Urteil 1F_10/2007 vom 2. Oktober 2007 E. 4.3; vgl. auch Urteil 8F_5/2011 vom 20. Januar 2012 E. 3.1; ELISABETH ESCHER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 8 zu <ref-law>).
3.2. Das Einholen des Sachverständigengutachtens und ein Teil der Zeugenbefragungen und die Parteibefragung hätten gemäss Beschwerdebegründung dem Beweis "namentlich zur Frage der Gleichwertigkeit der von ihm [Gesuchsteller] geleisteten Arbeit gegenüber derjenigen von Frauen als Lehrbeauftragten" dienen sollen. Trotz des Begriffs "namentlich" wurden aber nebst der Gleichwertigkeit keine weiteren Themen genannt, auf welche sich die besagten Beweismittel hätten beziehen sollen. Zur Gleichwertigkeit wurde im Urteil 8C_1006/2012 E. 5.2.4 erwogen, von entsprechenden Beweismassnahmen sei abzusehen, da sie keine entscheidrelevanten neuen Erkenntnisse erwarten liessen.
Die weiteren Zeugenbefragungen wurden zu bereits mit Dokumenten belegten und nicht umstrittenen Beweisthemen beantragt. Der Verzicht auf diese Zeugenbefragungen musste im Urteil 8C_1006/2012 nicht weiter erwähnt werden. Gleiches gilt für zum Beweis offerierte "weitere Urkunden", welche im Übrigen nicht genau bezeichnet sind und vom Gesuchsteller überdies ohnehin bereits im kantonalen Verfahren hätten aufgelegt werden müssen (<ref-law>).
Sämtliche Beweisanträge wurden damit hinreichend beurteilt.
4.
Nach <ref-law> kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat.
4.1. Mit appellatorischen Vorbringen gegen die Beweiswürdigung und die tatsächlichen Erwägungen des vorinstanzlichen Entscheids kann kein Revisionsgrund im Sinne von <ref-law> begründet werden (erwähntes Urteil 1F_10/2007 E. 4.1). Ein Versehen liegt nur vor, wenn das Gericht eine Tatsache oder ein bestimmtes Aktenstück übersehen oder mit einem falschen Wortlaut wahrgenommen hat. Ausserdem kann der Revisionsgrund nur angerufen werden, wenn "erhebliche Tatsachen" unberücksichtigt geblieben sind, d.h. Tatsachen, die zugunsten des Gesuchstellers zu einer anderen Entscheidung geführt hätten, wenn sie berücksichtigt worden wären. Der Revisionsgrund ist nicht erfüllt, wenn das Gericht die fraglichen Aktenstellen und Vorbringen zwar berücksichtigt, aber nicht so gewürdigt und beurteilt hat, wie der Gesuchsteller es wünscht und im Beschwerdeverfahren beantragt hatte. Ebenso wenig besteht Anlass zur Aufhebung des Urteils, wenn das Bundesgericht Umstände, die sich aus den Akten ergaben, deshalb nicht ausdrücklich erwähnte, weil sie nicht entscheiderheblich waren (5F_1/2008 vom 16. Mai 2008 E. 2.1 mit Hinweisen; vgl. auch: <ref-ruling> E. 5b S. 538; <ref-ruling> E. 3 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 399 f.; erwähnte Urteile 8F_5/2011 E. 3.1; 1F_10/2007 E. 4.1, je mit Hinweisen; Urteil 5F_6/2011 vom 13. Juli 2011 E. 3.1; ESCHER, a.a.O., N. 9 zu <ref-law>).
4.2. Der Gesuchsteller macht geltend, zwei Schreiben aus den Jahren 2003 seien übersehen worden, welche ihrem Inhalt nach eine Anerkennung seines Klagebegehrens darstellten. Aus diesen Schreiben geht nun aber keineswegs hervor, dass die Universität Basel eine Ungleichbehandlung und einen deswegen bestehenden Lohnanspruch des Gesuchstellers anerkannt hätte. Die Schreiben waren denn auch in keiner Weise entscheidrelevant und brauchten daher im Urteil 8C_1006/2012 nicht besonders erwähnt zu werden. Gleiches gilt auch für die vom Gesuchsteller weiter erwähnten Ausführungen in der Rekursantwort der Universität Basel vom 6. Dezember 2012 zur Vergütung von Lehraufträgen nach aktuellem Recht.
Entgegen einem weiteren Vorbringen wurden eine Liste von Lehraufträgen und eine Tabelle, welche die Rekurskommission erstellt habe, nicht übersehen. Beides wurde in Urteil 8C_1006/2012 E. 5.2.2 f. berücksichtigt und gewürdigt.
Die weiteren Ausführungen des Gesuchstellers beschränken sich auf Interpretationen der erwähnten Dokumente, ferner auf Ausführungen dazu, dass das Bundesgericht in Fünferbesetzung entschieden hat, dass kein Schriftenwechsel durchgeführt wurde und dass die schriftliche Begründung des Urteils vom 10. April 2013 bereits am 18. April 2013 versandt wurde, und schliesslich auf appellatorische Kritik am Urteil. Auch damit ist kein Revisionsgrund im Sinne von <ref-law> dargetan. Das führt zur Abweisung des Revisionsgesuchs.
5.
Das Ausstandsbegehren für das Revisionsverfahren ist gegenstandslos, da Bundesrichter Ursprung nicht an diesem mitwirkt. Abgesehen davon ist es ebenfalls einzig mit dessen Rechtsstudium an der Universität Basel begründet, was wie dargelegt keinen Ausstandsgrund darstellt (E. 2.2 hievor).
6.
Entgegen den gestellten Anträgen zum Verfahren ist kein Schriftenwechsel durchzuführen (<ref-law>) und besteht kein Anlass für die Durchführung einer mündlichen Parteiverhandlung (<ref-law>).
7.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Gesuchsteller zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Juli 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz