Sachverhalt:
A. A.a Mit Urteil vom 8. Oktober 2007 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug die Beschwerden von X._ betreffend die gegen ihn verfügte fürsorgerische Freiheitsentziehung und die Anordnung von Zwangsmassnahmen ab, erhob dabei keine Kosten und sprach keine Parteientschädigung zu. Der Entscheid über das Gesuch von X._ (Gesuchsteller und Beschwerdeführer) um unentgeltliche Verbeiständung wurde in ein separates Verfahren verwiesen.
A.b Nach Einsicht in die Eingaben des Rechtsvertreters und die angeforderten Unterlagen des Gesuchstellers wies die Vorsitzende der fürsorgerechtlichen Kammer des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug, Verwaltungsrichterin Y._, das Gesuch mit Verfügung vom 16. Oktober 2007 ab und hielt zur Begründung dafür, der Gesuchsteller habe seine Bedürftigkeit nicht nachgewiesen, obwohl er dazu verpflichtet gewesen wäre. Daher erübrige sich die Prüfung der Voraussetzungen für die Gewährung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes.
B. Gegen diese Verfügung beschwerte sich der Gesuchsteller beim Verwaltungsgericht und stellte insbesondere den Antrag, Verwaltungsrichterin Y._, sei für das Beschwerdeverfahren in den Ausstand zu bestellen und durch ein anderes Mitglied des Verwaltungsgerichts zu ersetzen. Mit Beschluss vom 18. Dezember 2007 wies die für das Beschwerdeverfahren zuständige fürsorgerechtliche Kammer des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug das Ausstandsgesuch ab.
C. Der Gesuchsteller gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen, den Beschluss des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug vom 18. Dezember 2007 aufzuheben, Verwaltungsrichterin Y._ im Beschwerdeverfahren der Vorinstanz in den Ausstand zu bestellen und durch ein anderes Mitglied zu ersetzen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat sich im Anschluss an die Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts erneut vernehmen lassen.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher (<ref-law>) Beschluss betreffend den Ausstand eines Gerichtsmitglieds. Dabei handelt es sich im einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinn von <ref-law>, gegen den die Beschwerde ergriffen werden kann. Der Rechtsweg des Zwischenentscheides folgt jenem der Hauptsache. Im vorliegenden Fall betrifft die Hauptsache die Gewährung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes im Rahmen eines Verfahrens betreffend fürsorgerische Freiheitsentziehung; gegen entsprechende Entscheide, die ihrerseits als Zwischenentscheide gelten (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007, E. 1.2), ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben (Urteil 5A_368/2007 vom 18. September 2007, E. 1.2); damit ist sie auch gegen den vorliegend angefochtenen letztinstanzlichen Beschluss über den Ausstand zulässig.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, Bundesrecht und kantonales Recht untersagten einem Richter, im gleichen Verfahren in erster und zweiter Instanz zu urteilen. Die Vorsitzende der fürsorgerechtlichen Kammer habe in erster Instanz über das Gesuch um einen unentgeltlichen Rechtsbeistand entschieden und sei nun im Begriffe im Beschwerdeverfahren über den gleichen Streitgegenstand als Mitglied der fürsorgerechtlichen Kammer mitzuentscheiden. Er rügt in diesem Zusammenhang eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts (§ 41 Abs. 1 Ziff. 5 des Gerichtsorganisationsgesetzes des Kantons Zug, GOG); ferner beruft er sich auf <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
2.2 Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass ihm das kantonale Recht einen über <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hinausgehenden Schutz verleiht. Die Beschwerde ist somit allein im Lichte der Verfassungs- und der Konventionsnorm zu behandeln (<ref-ruling> E. 3.3 S. 116). In dieser Hinsicht erweist sie sich als begründet:
3. 3.1 Nach der in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK enthaltenen Garantie des verfassungsmässigen Richters hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Liegen bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vor, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, so ist die Garantie verletzt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 25; <ref-ruling> E. 3a S. 73, je mit Hinweisen). Eine gewisse Besorgnis der Voreingenommenheit und damit Misstrauen in das Gericht kann bei den Parteien immer dann entstehen, wenn einzelne Gerichtspersonen in einem früheren Verfahren mit der konkreten Streitsache schon einmal befasst waren. In einem solchen Fall so genannter Vorbefassung stellt sich die Frage, ob sich ein Richter durch seine Mitwirkung an früheren Entscheidungen in einzelnen Punkten bereits in einem Mass festgelegt hat, die ihn nicht mehr als unvoreingenommen und dementsprechend das Verfahren als nicht mehr offen erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 26; <ref-ruling> E. 3d S. 57; Urteil des EGMR vom 22. April 1994 i.S. Saraiva de Carvalho gegen Portugal, Série A, Nr. 286-B, Ziff. 38; <ref-ruling> E. 3.4 S. 116). Ob eine unzulässige, den Verfahrensausgang vorwegnehmende Vorbefassung eines Richters vorliegt, kann nicht generell gesagt werden; es ist vielmehr in jedem Einzelfall - anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3d S. 59) - zu untersuchen, ob die konkret zu entscheidende Rechtsfrage trotz Vorbefassung als noch offen erscheint (BGE <ref-ruling> E. 3c S. 73; <ref-ruling> E. 3d S. 57).
3. 3.1 Nach der in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK enthaltenen Garantie des verfassungsmässigen Richters hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Liegen bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vor, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, so ist die Garantie verletzt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 25; <ref-ruling> E. 3a S. 73, je mit Hinweisen). Eine gewisse Besorgnis der Voreingenommenheit und damit Misstrauen in das Gericht kann bei den Parteien immer dann entstehen, wenn einzelne Gerichtspersonen in einem früheren Verfahren mit der konkreten Streitsache schon einmal befasst waren. In einem solchen Fall so genannter Vorbefassung stellt sich die Frage, ob sich ein Richter durch seine Mitwirkung an früheren Entscheidungen in einzelnen Punkten bereits in einem Mass festgelegt hat, die ihn nicht mehr als unvoreingenommen und dementsprechend das Verfahren als nicht mehr offen erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 26; <ref-ruling> E. 3d S. 57; Urteil des EGMR vom 22. April 1994 i.S. Saraiva de Carvalho gegen Portugal, Série A, Nr. 286-B, Ziff. 38; <ref-ruling> E. 3.4 S. 116). Ob eine unzulässige, den Verfahrensausgang vorwegnehmende Vorbefassung eines Richters vorliegt, kann nicht generell gesagt werden; es ist vielmehr in jedem Einzelfall - anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3d S. 59) - zu untersuchen, ob die konkret zu entscheidende Rechtsfrage trotz Vorbefassung als noch offen erscheint (BGE <ref-ruling> E. 3c S. 73; <ref-ruling> E. 3d S. 57).
3.2 3.2.1 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung lässt sich mit der Verfassungs- und Konventionsgarantie eines unvoreingenommenen Richters nicht vereinbaren, dass ein erstinstanzlich tätig gewesener Richter auch als Richter oder Ersatzrichter am Rechtsmittelverfahren in derselben Sache mitwirkt (BGE <ref-ruling> E. 3c S. 58).
3.2.2 Nach dem massgebenden kantonalen Recht beurteilt das Verwaltungsgericht als einzige kantonale Instanz Beschwerden gegen fürsorgerische Freiheitsentziehungen (§ 79a des Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 1. April 1976, VRG). Innerhalb des Gerichts ist für diese Beschwerden gemäss § 7bis der Geschäftsordnung des Verwaltungsgerichts vom 14. Januar 1977 (GO) die fürsorgerechtliche Kammer zuständig. Die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und des unentgeltlichen Rechtsbeistandes gemäss § 27 VRG obliegt dem oder der Kammervorsitzenden. Bei Beschwerden gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege bzw. des unentgeltlichen Rechtsbeistandes liegt der Entscheid bei der in der Hauptsache zuständigen (fürsorgerechtlichen) Kammer (§ 9 Abs. 3 GO). Laut der kantonalen Ordnung hat die über das Gesuch um einen unentgeltlichen Rechtsbeistand entscheidende Präsidentin der fürsorgerechtlichen Kammer auch im Beschwerdeverfahren gegen ihren Entscheid mitzuwirken. Das lässt sich mit der in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankerten Garantie des unvoreingenommenen Richters nicht vereinbaren, zumal sich im Beschwerdeverfahren die gleichen Sach- und Rechtsfragen stellen wie bei der Beurteilung des Gesuchs durch die Kammerpräsidentin. Anhand des konkreten Falls beurteilt geht es hier wie dort um die Frage, ob der Beschwerdeführer seine Bedürftigkeit nachgewiesen hat bzw. ob die weiteren Voraussetzungen für die Gewährung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands (Nichtaussichtslosigkeit des Verfahrens, Notwendigkeit der amtlichen Verbeiständung) erfüllt sind.
3.3 In Gutheissung der Beschwerde ist der angefochtene Beschluss aufzuheben und die Sache an die fürsorgerechtliche Kammer des Verwaltungsgerichts zurückzuweisen, damit sie in einer Bundesverfassung und Konvention respektierenden Zusammensetzung über die Beschwerde gegen die Verweigerung des unentgeltlichen Rechtsbeistands befindet.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Zug hat indes den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen. Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Beschluss des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, vom 18. Dezember 2007 aufgehoben. Die Sache wird im Sinn der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Der Kanton Zug hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. März 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Zbinden