Sachverhalt:
A.
Mit Eingabe vom 22. April 2013 gelangte X._ (Gesuchstellerin, Beschwerdeführerin) mit einem Gesuch um vorsorgliche Beweisführung gegenüber der Versicherung Y._ AG (Gesuchsgegnerin, Beschwerdegegnerin) an das Kreisgericht St. Gallen mit dem Begehren, es sei ein interdisziplinäres medizinisches Gutachten zu veranlassen. Mit Entscheid des Einzelrichters des Kreisgerichts St. Gallen vom 16. August 2013 wurde das Gesuch unter Kostenfolge zulasten der Gesuchstellerin abgewiesen.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob die Gesuchstellerin am 29. August 2013 Berufung beim Kantonsgericht St. Gallen und erneuerte ihr Rechtsbegehren. Mit Antwort vom 9. Oktober 2013 trug die Gesuchsgegnerin auf kostenfällige Abweisung der Berufung, soweit darauf einzutreten sei. Die Berufungsantwort der Gesuchsgegnerin wurde der Gesuchstellerin mit Schreiben vom 11. Oktober 2013 weitergeleitet, wobei ihr das Kantonsgericht gleichzeitig eine nicht erstreckbare 10-tägige Frist für eine allfällige Stellungnahme setzte.
Mit Entscheid vom 17. Oktober 2013 wies der Einzelrichter im Obligationenrecht des Kantonsgerichts St. Gallen das Gesuch um vorsorgliche Beweisführung und die Berufung gegen den Entscheid des Kreisgerichts St. Gallen vom 16. August 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Gesuchstellerin dem Bundesgericht, der Entscheid des Kantonsgericht St. Gallen vom 17. Oktober 2013 sei aufzuheben und es sei die Vorinstanz oder das Kreisgericht St. Gallen anzuweisen, ein Gutachten zu den medizinischen Dauerfolgen des Unfalls vom 6. Februar 2002 zu veranlassen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, nicht auf die Beschwerde einzutreten, eventuell sei diese abzuweisen. Die Vorinstanz hielt in ihrem Schreiben vom 27. November 2013 fest, dass der angefochtene Entscheid - wie die Beschwerdeführerin zutreffend rüge - vor Ablauf der 10-tägigen Frist zur Einreichung einer Replik ergangen sei. Dabei habe es sich um ein Versehen gehandelt. Im Übrigen hat die Vorinstanz auf eine Stellungnahme zur Beschwerde verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid einer oberen kantonalen Instanz, die auf ein Rechtsmittel hin kantonal letztinstanzlich in einer Zivilsache entschieden hat (Art. 75 i.V.m. <ref-law>), die Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin sind im kantonalen Verfahren nicht geschützt worden (<ref-law>), der massgebende Streitwert beträgt mehr als Fr. 30'000.-- (Art. 51 i.V.m. <ref-law>) und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>).
1.2. Der angefochtene Entscheid betrifft ein Gesuch um vorsorgliche Beweisführung, auf das die Bestimmungen über die vorsorglichen Massnahmen Anwendung finden (<ref-law>). Massnahmenentscheide gelten nur dann als Endentscheide im Sinne von <ref-law>, wenn sie in einem eigenständigen Verfahren ergehen. Selbstständig eröffnete Massnahmenentscheide, die vor oder während eines Hauptverfahrens erlassen werden und nur für die Dauer des Hauptverfahrens Bestand haben bzw. unter der Bedingung, dass ein Hauptverfahren eingeleitet wird, stellen Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 1.2 S. 79; <ref-ruling> E. 3.1 S. 86 f.).
Der vorliegend angefochtene Entscheid ist in einem Gesuchsverfahren betreffend vorsorgliche Beweisführung ergangen, das von der Einleitung eines ordentlichen Hauptverfahrens unabhängig und damit eigenständig ist. Mit dem angefochtenen Entscheid wurde das Gesuch abgewiesen und damit das Gesuchsverfahren zum Abschluss gebracht. Es handelt sich folglich um einen Endentscheid i.S. von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2 S. 79; <ref-ruling> E. 1.1 S. 46 f.). Dagegen ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig.
1.3. Beim angefochtenen Entscheid über vorsorgliche Massnahmen handelt es sich um einen Entscheid i.S. von <ref-law> (BGE <ref-ruling> E. 1.1 S. 46; <ref-ruling> E. 2 S. 639). Dagegen kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden.
Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 88; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444 f.; je mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres rechtlichen Gehörs (<ref-law>).
2.1. Sie bringt vor, die Vorinstanz habe ihr mit Schreiben vom 11. Oktober 2013 Gelegenheit gegeben, innert 10 Tagen zur Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin Stellung zu nehmen. Dieses Schreiben sei ihrem Rechtsvertreter erst am 18. Oktober 2013 zugestellt worden, womit die 10-tägige Frist am 19. Oktober 2013 zu laufen begonnen habe. Das angefochtene Urteil sei aber bereits mit Datum vom 17. Oktober 2013 ergangen - somit noch vor Beginn der zur Wahrung des rechtlichen Gehörs angesetzten Frist zur Stellungnahme. Damit habe die Vorinstanz ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
2.2. Nach Art. 29 Abs. 1 und 2 BV haben die Parteien eines Gerichtsverfahrens Anspruch auf rechtliches Gehör und auf ein faires Gerichtsverfahren, unter Beachtung des Grundsatzes der Waffengleichheit. Diese Garantien umfassen das Recht, von allen bei Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können, unabhängig davon, ob die Eingaben neue und/oder wesentliche Vorbringen enthalten. Die Wahrnehmung dieses Rechts setzt voraus, dass die fragliche Eingabe der Partei vor Erlass des Urteils zugestellt wird, damit sie entscheiden kann, ob sie sich dazu äussern will (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197 mit Hinweisen). Es ist Sache der Parteien zu beurteilen, ob eine Entgegnung erforderlich ist oder nicht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 485 f.; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197; <ref-ruling> E. 4.3-4.6 S. 102 ff.; je mit Hinweisen).
2.3. Es ist Aufgabe des Gerichts, in jedem Einzelfall ein effektives Replikrecht der Parteien zu gewährleisten. Hierzu kann es einen zweiten Schriftenwechsel anordnen oder den Parteien Frist für eine allfällige Stellungnahme ansetzen. Es kann Eingaben aber auch lediglich zur Kenntnisnahme zustellen, wenn von den Parteien erwartet werden kann, dass sie umgehend unaufgefordert Stellung nehmen oder eine Stellungnahme beantragen, was namentlich bei anwaltlich Vertretenen oder Rechtskundigen der Fall ist (<ref-ruling> E. 2.4 S. 487 mit Hinweisen).
2.4. Es ist unbestritten, dass der Beschwerdeführerin mit Schreiben vom 11. Oktober 2013 eine 10-tägige Frist zur Einreichung einer allfälligen Stellungnahme zur Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin angesetzt wurde. Offen gelassen werden kann, wann dieses Schreiben dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin genau zugestellt wurde und die 10-tägige Frist zu laufen begann. Denn am 17. Oktober 2013 als das angefochtene Urteil erging, war diese Frist auf jeden Fall noch nicht abgelaufen. Die Vorinstanz räumt denn in ihrem Schreiben an das Bundesgericht vom 27. November 2013 auch selber ein, dass der angefochtene Entscheid vor Ablauf der zehntägigen Frist ergangen ist, womit es sich um ein Versehen ihrerseits gehandelt habe.
Die Vorinstanz hat mit ihrem Vorgehen das Replikrecht der Beschwerdeführerin und damit den Anspruch auf rechtliches Gehör und auf ein faires Gerichtsverfahren verletzt. Eine Heilung dieser Verletzung des rechtlichen Gehörs kommt im bundesgerichtlichen Verfahren nicht in Betracht (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f.). Dies führt zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids, ohne dass die überdies geltend gemachten Rügen zu prüfen wären.
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung (unter Gewährung des rechtlichen Gehörs) an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (<ref-law> und <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Kantonsgerichts St. Gallen vom 17. Oktober 2013 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, Einzelrichter im Obligationenrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Reitze