Erwägungen:
1. Mit Beschluss vom 1. November 2007 ermächtigte die Aufsichtskommission über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Zürich (Aufsichtskommission) Rechtsanwalt lic. iur. Y._, gegenüber den zuständigen Behörden sein Berufsgeheimnis in Bezug auf X._ zu offenbaren, soweit dies erforderlich sei, um seine Honorarforderung gegen diesen durchzusetzen. Die von X._ hiergegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Kammer, mit Urteil vom 28. Februar 2008 kostenfällig ab.
2. X._ führt mit Eingabe vom 25. April 2008 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 28. Februar 2008 aufzuheben und dem vor der Vorinstanz gestellten Antrag zu entsprechen.
Die Aufsichtskommission verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Verwaltungsgericht beantragt unter Hinweis auf die Erwägungen seines Entscheides Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdegegner Y._ hat sich nicht vernehmen lassen.
3. Die klageweise Einforderung des Anwaltshonorars setzt eine Befreiung des Anwalts von seiner Schweigepflicht voraus. Verweigert der Mandant die Entbindung vom Anwaltsgeheimnis, kann sich der Anwalt, der sein Honorar auf dem Rechtsweg einzutreiben sucht, mit einem entsprechenden Begehren an die zuständige Aufsichtsbehörde wenden. Der Beschwerdeführer bringt vorliegend nichts vor, was einer Gutheissung des betreffenden Begehrens durch die Aufsichtsbehörde entgegenstehen könnte. Dass der Beschwerdegegner seine Honorarforderung - offenbar erfolglos - schon verschiedentlich auf dem Betreibungswege einzutreiben versucht hat und dabei nach Darstellung des Beschwerdeführers diesbezügliche Unterlagen mit den diversen Rechtsöffnungsbegehren bereits eingereicht haben soll, lässt sein Begehren um Entbindung vom Berufsgeheimnis nicht als hinfällig oder überflüssig erscheinen. Es kann hierfür auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Urteil verwiesen werden. Die dagegen erhobene Beschwerde ist als offensichtlich unbegründet im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen.
4. Bei diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dem gestellten Gesuch um unentgeltliche Prozessführung ist wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht zu entsprechen (<ref-law>). Auf die Zusprechung einer Parteientschädigung besteht kein Anspruch (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien sowie der Aufsichtskommission über die Anwältinnen und Anwälte im Kanton Zürich und dem Verwaltungsgericht im Kanton Zürich, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Hungerbühler Moser