A.- Nach seiner krankheitsbedingten Arbeitsaufgabe als Maurer war der 1947 geborene C._ als Arbeitsloser bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen Unfälle versichert. Am 4. Juni 1998 stürzte er in seiner Wohnung auf einer Treppe und zog sich dabei eine commotio cerebri sowie eine Kontusion der Hals- und Lendenwirbelsäule zu; am 4. und 5. Juni 1998 war C._ im Spital zur - unauffällig verlaufenen - Commotio-Überwachung hospitalisiert.
Nachdem diverse Arztberichte eingeholt und ein Aufenthalt in der Rehabilitationsklinik veranlasst worden war (Austrittsbericht vom 16. März 1999 mit psychosomatischem Konsilium vom 9. Februar 1999, orthopädischem Konsilium vom 5. Februar 1999 und neuropsychologischem Bericht vom 3. Februar 1999), stellte die SUVA mit Verfügung vom 6. April 1999 die Taggeldleistungen mit Wirkung ab dem 4. März 1999 ein. Dagegen liess C._ Einsprache erheben. Unter Berücksichtigung neu erstellter Röntgenbilder bestätigte die SUVA mit Einspracheentscheid vom 24. August 1998 die Verfügung, da nach dem 3. März 1999 keine unfallbedingte Arbeitsunfähigkeit mehr bestanden habe.
Mit Verfügung vom 22. November 1999 lehnte die SUVA wegen mangelnden Kausalzusammenhangs auch die Ausrichtung weiterer Versicherungsleistungen ab, woran sie mit Einspracheentscheid vom 15. März 2000 festhielt.
Gemäss Beschluss der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 19. März 2001 erhält C._ mit Wirkung ab März 1997 eine ganze Rente der Invalidenversicherung.
B.- Die gegen die Einspracheentscheide vom 24. August 1999 und 15. März 2000 erhobenen Beschwerden wurden vom Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 27. Februar 2001 abgewiesen.
C.- C._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Antrag, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und der Einspracheentscheide seien ihm Taggelder, Invalidenrente und Integritätsentschädigung der Unfallversicherung auszurichten. Weiter verlangt er insoweit eine angemessene Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren, als sich die SUVA dem Antrag seiner vorinstanzlichen Beschwerde auf Prüfung der Rentenfrage und der Frage der Integritätsentschädigung unterzogen habe.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Die Vorinstanz hat die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang (<ref-ruling> Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, 117 V 376 Erw. 3a mit Hinweisen) zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) zutreffend dargelegt. Dasselbe gilt für die Qualifikation des natürlichen Kausalzusammenhanges als Tatfrage, der nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachzuweisen ist (<ref-ruling> Erw. 1 mit Hinweis). Darauf kann verwiesen werden.
2.- Streitig ist, ob ein natürlicher Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 4. Juni 1998 und dem geltend gemachten Gesundheitsschaden, der die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit beeinträchtige, vorliegt.
a) Das kantonale Gericht hat das Vorliegen der natürlichen Kausalität verneint, weil keine somatischen Unfallfolgen vorlägen und die Schmerzproblematik des Versicherten auf unfallfremden psychischen Gründen basiere. Der Beschwerdeführer bejaht demgegenüber den Kausalzusammenhang und rügt, dass der Sachverhalt ungenügend abgeklärt worden sei, wobei insbesondere eine psychiatrische Begutachtung fehle.
b) Die SUVA hat bis zum 3. März 1999 Taggeldleistungen erbracht; will sie ihre Leistungen einstellen, hat sie - als beweisbelastete Partei - nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit darzulegen, dass kein Kausalzusammenhang zwischen Unfall und Gesundheitsschaden mehr besteht (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 328 f. Erw. 3b).
c) Der SUVA-Kreisarzt Dr. med. F._ war am 17. Dezember 1998 der Auffassung, dass ein zeitlich befristeter posttraumatischer Beschwerdeschub angenommen werden müsse, wobei der status quo sine nach Abschluss der stationären Behandlung in der Rehabilitationsklinik erreicht sein werde. Im Austrittsbericht der Rehabilitationsklinik vom 16. März 1999 halten Frau Prof. Dr. med. J._ und Dr. med. R._ denn auch fest, dass keine Unfallkausalität mehr bestehen "dürfte" und aus unfallkausaler Sicht keine Arbeitsunfähigkeit mehr bestehe.
Der Austrittsbericht der Rehabilitationsklinik vom 16. März 1999 ist umfassend, beruht auf allseitigen Untersuchungen (vgl. auch die ergänzenden Abklärungen im psychosomatischen Konsilium vom 9. Februar 1999, im orthopädischen Konsilium vom 5. Februar 1999 sowie im neuropsychologischen Bericht vom 3. Februar 1999), berücksichtigt die geklagten Beschwerden, ist in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden und leuchtet in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation ein; die Schlussfolgerungen sind zudem begründet (<ref-ruling> Erw. 3a). Es besteht daher kein Anlass, diesem Bericht nicht vollen Beweiswert zuzuerkennen. Schliesslich wird damit auch die Annahme des SUVA-Kreisarztes vom 17. Dezember 1998 bestätigt.
Entgegen den Vorbringen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde sind die Abklärungen in der Rehabilitationsklinik korrekt vorgenommen worden. Ein neues Gutachten ist nicht notwendig; insbesondere ist auch die psychiatrische Seite durch das psychosomatische Konsilium vom 9. Februar 1999 und den neuropsychologischen Bericht vom 3. Februar 1999 genügend berücksichtigt worden. Es ist auch nicht ersichtlich, inwieweit durch die Verwendung des Konjunktivs im Austrittsbericht der Rehabilitationsklinik von Mutmassungen gesprochen werden sollte, wird doch klar festgehalten, dass beim Versicherten aus unfallkausaler Sicht keine Arbeitsunfähigkeit vorliege. Damit hat die SUVA die leistungsaufhebende Tatsache der fehlenden Kausalität rechtsgenügend nachgewiesen und die Taggeldleistungen per 3. März 1999 zu Recht eingestellt. Dasselbe gilt wegen des fehlenden Kausalzusammenhangs für die Ablehnung des Invalidenrenten- und Integritätsentschädigungsanspruches im Einspracheentscheid vom 15. März 2000.
d) Da die Taggelder berechtigterweise eingestellt worden sind, ist nicht ersichtlich, inwieweit die SUVA ihre Leistungspflicht auf die Invalidenversicherung abgewälzt haben sollte.
e) Die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers betreffen die Adäquanz, die - mangels Vorliegens eines natürlichen Kausalzusammenhanges - nicht zu beurteilen ist.
3.- Der Beschwerdeführer verlangt eine anteilsmässige Parteientschädigung für das kantonale Verfahren, da die SUVA sich seinem Eventualantrag auf Prüfung der Rentenfrage und der Frage der Integritätsentschädigung unterzogen habe.
Die SUVA hat die Voraussetzungen für die Gewährung der Invalidenrente und der Integritätsentschädigung von Amtes wegen zu prüfen, und es ist nicht ersichtlich, inwiefern in vorliegender Sache eine Rechtsverweigerung oder -verzögerung vorliegen sollte, so dass weder von einem Unterziehen der SUVA noch von einem Obsiegen des Beschwerdeführers gesprochen werden kann. Zudem ist die zweite Verfügung der SUVA vom 22. November 1999 auf das Gesuch des Versicherten vom 18. November 1999 hin erlassen worden - nicht gestützt auf die Beschwerde vom 25. November 1999. Damit besteht kein teilweiser Anspruch auf Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I.Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
II.Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III.Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht
des Kantons Zürich und dem Bundesamt für
Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 6. August 2001
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: