Faits:
A.
A.a. X._ exploite une entreprise de taxi dans la région lausannoise. En 1977, il a été mis au bénéfice d'une autorisation A pour taxis de place, qui lui confère le droit et implique l'obligation de stationner sur les emplacements du domaine public concerné.
A.b. Le 20 août 2008, l'Association de communes de la région lausannoise pour la réglementation du service des taxis (ci-après: l'Association) -, qui avait auparavant fondé un monopole de service public portant sur l'exploitation d'un central d'appel des taxis de place (ci-après: les taxis A) -, a désigné la société Taxi Services Sàrl (ci-après: la Société concessionnaire) comme titulaire de la concession du central d'appel des taxis A, pour une durée initiale de cinq ans à partir du 1 er janvier 2009. Le Comité de direction de l'Association en a informé tous les titulaires d'autorisations A par circulaire du 17 septembre 2008, en soulignant leur obligation de s'abonner au central d'appel A à peine de non-renouvellement ou de retrait, suivi de la réattribution de leur autorisation A à partir du 1 er janvier 2009. Le 30 septembre 2008, la Société concessionnaire a fait parvenir à tous les titulaires d'autorisations A un contrat d'abonnement au central d'appel; un rappel a été adressé en octobre 2008 aux intéressés n'ayant pas signé ce contrat.
A.c. Un certain nombre de titulaires d'une autorisation A, dont X._, n'ayant pas encore signé le contrat d'abonnement, la Commission administrative du Service intercommunal de taxis de l'arrondissement de Lausanne (ci-après: la Commission administrative) a été saisie de la procédure de retrait desdites autorisations A. Après avoir imparti aux exploitants de taxis concernés un ultime délai pour signer le contrat, la Commission administrative leur a retiré, y compris à X._, respectivement a refusé de renouveler leur autorisation A à compter du 1 er janvier 2009, par décisions des 28 novembre et 1 er décembre 2008. Ceux-ci ont recouru contre ces décisions devant le Comité de direction, en requérant l'octroi de l'effet suspensif. Par décisions incidentes du 9 janvier 2009, le Président du Comité de direction a retiré, respectivement refusé l'effet suspensif accordé à titre de mesure préprovisionnelle aux recours. Par arrêt du 26 juin 2009, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a admis les recours formés contre les décisions incidentes et a maintenu l'effet suspensif. Le 21 août 2009, le Comité de direction a rejeté les recours formés par les exploitants concernés et confirmé les décisions des 28 novembre et 1 er décembre 2008. Les intéressés, dont X._, ont recouru contre cette dernière décision auprès du Tribunal cantonal. X._ a toutefois retiré son recours par une lettre manuscrite du 1er juin 2010, dont le Tribunal cantonal a pris acte le lendemain; toujours le 1 er juin 2010, X._ a informé l'Association au sujet de son retrait dans les termes suivants: "Suite à notre entretien téléphonique de ce jour, par la présente, je vous confirme que je me suis retiré du recours Y._ et consorts. Je vous remercie d'en prendre note et attends votre confirmation pour la suite (...) "
B.
Par courrier adressé à X._ le 10 juin 2010, la Commission administrative a relevé que le retrait de son recours rendait exécutoire la décision du 24 [recte: 28] novembre 2008, et l'a invité à restituer son autorisation A ainsi que la carte de son véhicule. Par courrier du 15 juin 2010, la Société concessionnaire a, à son tour, informé X._ qu'il ne pouvait s'affilier au central d'appel, dès lors qu'il ne bénéficiait plus d'une autorisation A. X._ a formé recours contre la "décision" du 10 juin 2010 auprès du Tribunal cantonal, avant de retirer celui-ci le 30 juin 2010. Il a dans l'intervalle déposé un recours contre les "décisions" des 10 et 15 juin 2010 devant le Comité de direction, concluant à ce que l'ordre de restitution de son autorisation A, respectivement le refus de son affiliation au central d'appel soient annulés, de sorte qu'il demeurerait titulaire de l'autorisation A et serait abonné au central d'appel. Le Comité de direction a rejeté son recours, dans la mesure de sa recevabilité, par décision du 23 février 2012 et a imparti un délai de 30 jours à X._ pour restituer l'autorisation A, au motif qu'à la suite du retrait de son recours du 1 er juin 2010 devant le Tribunal cantonal, la décision de la Commission administrative du 28 novembre 2008 était devenue exécutoire et l'autorisation A caduque à partir du 1 er janvier 2009; il incombait le cas échéant à l'intéressé de déposer une nouvelle demande d'autorisation A, qui serait intégrée à la liste d'attente régissant les candidatures.
X._ a contesté la décision du 23 février 2012 devant le Tribunal cantonal, qui a admis son recours et réformé ladite décision "en ce sens que l'autorisation A en faveur de X._ est en l'état réputée maintenue, à charge de Taxi Services Sàrl de se prononcer sur sa demande d'affiliation au central d'appel".
C.
Le Comité de direction forme, pour le compte de l'Association, un recours en matière de droit public à l'encontre de l'arrêt du Tribunal cantonal du 23 avril 2013. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à la réforme de l'arrêt en ce sens que l'autorisation A de X._ n'est pas réputée maintenue, que son recours est rejeté et que la décision du 23 février 2012 est confirmée. Il requiert subsidiairement l'annulation de l'arrêt du 23 avril 2013 et le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants.
X._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. Le Tribunal cantonal se réfère à l'arrêt attaqué et renonce à former des observations. Dans ses observations des 1 er juillet et 14 août 2013, la Commission administrative conclut à l'admission du recours. Tout en s'en remettant à justice sur les conclusions prises dans le recours, la Société concessionnaire appuie la position de l'autorité recourante. L'Association recourante s'est encore déterminée le 20 septembre 2013.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office (<ref-law>) et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 369).
1.1. En vertu de l'<ref-law>, le recours devant le Tribunal fédéral est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (cf., pour cette notion, <ref-ruling> consid. 1.2 p. 148; <ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 110). En revanche, les décisions préjudicielles et incidentes, lorsqu'elles ne concernent pas la compétence ou une demande de récusation (cf. <ref-law>), ne peuvent faire l'objet d'un recours que si elles peuvent causer un préjudice irréparable, ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (cf. art. 93 al. 1 let. a et b LTF).
1.1.1. L'arrêt querellé annule la décision du Comité de direction du 23 février 2012, constate que l'autorisation A en faveur de l'intimé est réputée maintenue et invite la Société concessionnaire à se prononcer sur la demande d'affiliation de l'intimé au central d'appel que celle-ci gère.
1.1.2. En ce qu'elle prévoit le maintien de l'autorisation A, en faisant droit à la conclusion prise par X._ devant le Tribunal cantonal tendant à ce qu'il soit "reconnu titulaire d'une carte de taxis - autorisation A", avec les privilèges y attachés, la décision met fin à la procédure de retrait. Sous cet angle, elle est donc de nature finale, au sens de l'<ref-law>.
1.1.3. S'agissant de l'invitation adressée à la Société concessionnaire de "se prononcer" sur la demande d'abonnement de l'intimé au central d'appel, elle s'apparente prima facie à une décision de renvoi de nature incidente (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 791) par laquelle l'autorité de recours cantonale transmet la cause à la Société concessionnaire pour que celle-ci rende une "décision" au sujet de l'affiliation au central. Selon la jurisprudence, une décision de renvoi est néanmoins considérée comme finale si l'autorité à laquelle la cause est renvoyée ne dispose d'aucune marge de manoeuvre (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 148; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 143; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 127). En l'espèce, tel est le cas à la lecture de la motivation de l'arrêt entrepris. Le Tribunal cantonal a en effet déduit de l'art. 4 al. 2 du Règlement du 18 mai 2006 sur le central d'appel des taxis A (RCAp), aux termes duquel la Société concessionnaire "est tenu[e] d'admettre tous les exploitants de taxis A à titre d'abonnés", qu'en tant que l'intimé demeurait au bénéfice d'une autorisation A, la Société concessionnaire devait entrer en matière sur sa demande d'affiliation et ne pouvait en principe la lui refuser. Cet avis est corroboré par l'obligation correspondante des exploitants de taxis A de s'abonner au central d'appel et par la conséquence du retrait de l'autorisation d'exploitation en cas de défaut d'abonnement ou de résiliation de ce dernier, prévues à l'art. 6 RCAp. Il s'ensuit qu'en invitant la Société concessionnaire à se prononcer sur la demande d'abonnement de l'intimé, l'arrêt attaqué ne lui laisse aucune marge de manoeuvre quant à l'issue de la procédure, de sorte que sous l'angle de cette injonction, il s'agit aussi d'une décision finale.
En vertu de l'<ref-law>, le recours au Tribunal fédéral est partant ouvert.
1.2. L'arrêt entrepris a de plus été rendu en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>; cf. arrêt 2C_116, 117 et 118/2011 du 29 août 2011 consid. 2.1) ne tombant pas sous le coup des exceptions de l'<ref-law>. La voie du recours en matière de droit public est donc en principe ouverte.
1.3. Encore faut-il que l'Association dispose de la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law> et que son Comité de direction soit habilité à la représenter.
1.3.1. L'art. 89 al. 2 let. c LTF donne la qualité pour recourir aux communes et aux autres collectivités de droit public qui invoquent la violation de garanties que leur confère la Constitution fédérale ou cantonale (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 149). Peut être assimilée à une commune une association intercommunale, en tant que collectivité de droit public dotée de la personnalité juridique (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 206). Le recours est recevable dès lors que la commune ou une autre collectivité de droit public invoque la violation d'une garantie constitutionnelle qui lui est reconnue en relation avec son autonomie (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 149; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 304); savoir si pareille atteinte est réalisée en l'espèce ressortit en revanche au fond (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 268; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 45).
1.3.2. Le présent recours a été déposé par l'Association de communes de la région lausannoise pour la réglementation du service des taxis, qui regroupe les communes à l'origine de la création du Service intercommunal de taxis de l'arrondissement de Lausanne (cf. arrêt 2C_116, 117 et 118/2011 précité, let. A) et qui a pour but de mettre sur pied une réglementation du service des taxis sur le territoire des communes associées, d'appliquer cette réglementation et d'en contrôler le respect. L'existence de l'Association est reconnue par les art. 107a al. 2 let. c et 112 ss de la loi vaudoise sur les communes du 28 février 1956 (LC/VD; RS/VD 175.11; cf. Horber-Papazian/Jacot-Descombes, La collaboration intercommunale en Suisse, in: L'avenir juridique des communes [Tanquerel/Bellanger (éd.) ], 2007, p. 105 ss, 111 s.). Les statuts de l'Association ont été approuvés par le Conseil d'Etat vaudois le 13 août 2003 (arrêt 2C_116, 117 et 118/2011 du 29 août 2011 let. B), de sorte que celle-ci jouit de la personnalité morale de droit public, au sens de l'art. 113 al. 3 LC/VD, et est ainsi en droit de se prévaloir de son autonomie (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 206; David Hofmann, La qualité de l'Etat pour recourir au Tribunal fédéral, in: Actualités juridiques de droit public 2011 [Hofmann/Waelti (éd.) ], 2011, p. 13 ss, 31). Les dispositions relatives aux communes lui sont de plus applicables par analogie (cf. art. 114 LC/VD). En outre, le Comité de direction est habilité à représenter l'Association envers les tiers (art. 122 al. 2 LC/VD; cf. arrêt 2C_971/2012 du 28 juin 2013 consid. 2.3 a contrario). Il s'ensuit qu'au regard de l'<ref-law>, la qualité pour recourir de l'Association, agissant par son Comité de direction, est soumise aux mêmes exigences que celles valant pour les communes (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 et 2.3 p. 206 s.).
1.3.3. Selon l'art. 50 al. 1 Cst., l'autonomie communale est garantie dans les limites fixées par le droit cantonal. Une commune (ou, en l'occurrence, une association de communes) bénéficie de la protection de son autonomie dans les domaines que le droit cantonal ne règle pas de façon exhaustive, mais qu'il laisse en tout ou partie dans la sphère (inter-) communale, conférant par là aux autorités municipales une liberté de décision relativement importante. L'existence et l'étendue de l'autonomie communale dans une matière concrète sont déterminées essentiellement par la constitution et la législation cantonales (cf. ATF <ref-ruling> consid. 1.2 p. 45; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 131).
Le Comité de direction a indiqué à juste titre qu'en droit cantonal vaudois, les communes et, par conséquent aussi l'Association dans les limites de ses compétences relatives à la réglementation des taxis, jouissent d'une autonomie entre autres dans les domaines de la gestion du domaine public et de la sauvegarde de l'ordre public (cf. art. 139 de la Constitution du canton de Vaud du 14 avril 2003 [Cst./VD; RS/VD 101.01]; art. 2 LC/VD). Plus particulièrement, l'art. 8 al. 1 de la loi vaudoise du 25 novembre 1974 sur la circulation routière (LVCR/VD; RS/VD 741.01) confie la réglementation du service des taxis aux communes. L'Association, qui a été créée aux fins précises de réglementer le service des taxis, a d'ailleurs fait usage de ses compétences en adoptant le RCAp. Celui-ci gouverne de façon détaillée, notamment, l'instauration d'un monopole de service public portant sur l'exploitation du central d'appel des taxis autorisés à faire un usage accru du domaine public, la désignation d'un concessionnaire, le fonctionnement du central, ainsi que l'obligation des exploitants d'une autorisation A d'y adhérer et de s'acquitter d'une contribution d'abonnement périodique. L'Association dispose ainsi d'une autonomie importante dans le domaine faisant l'objet du présent litige et doit se voir reconnaître la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral, étant rappelé que le point de savoir si cette autonomie a ou non été violée relève du fond et non de la recevabilité (consid. 1.3.1).
1.4. Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>). Il est partant recevable.
1.5. Les pièces et faits nouveaux sont irrecevables (cf. <ref-law>). En tant que, pour la première fois dans la procédure, l'intimé a intégré à sa réponse du 1 er juillet 2013 une correspondance du 6 novembre 2012 adressée aux chauffeurs de taxi A, il s'agit d'un élément de fait nouveau irrecevable.
2.
Lorsqu'elle est reconnue autonome dans un domaine spécifique, une commune, respectivement une association de communes peut dénoncer tant les excès de compétence d'une autorité cantonale de contrôle ou de recours que la violation par celle-ci des règles du droit fédéral, cantonal ou communal qui régissent la matière (cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 93; <ref-ruling> consid. 2b p. 9; arrêt 1C_447/2012 du 5 août 2013 consid. 2.2). Le Tribunal fédéral examine librement l'interprétation du droit constitutionnel, dans les limites des griefs invoqués et motivés conformément à l'<ref-law>; en revanche, il vérifie l'application de règles de rang inférieur à la constitution cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire (art. 9 Cst.; ATF <ref-ruling> consid. 2b p. 9; cf. aussi <ref-ruling> consid. 2.5 p. 314). Dans ce cas, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - même préférable - paraît possible (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 133).
3.
Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu (<ref-ruling> consid. 3 p. 191), la recourante se plaint d'un déni de justice, au motif que le Tribunal cantonal ne se serait pas prononcé sur divers griefs soulevés devant lui.
3.1. Il y a déni de justice formel lorsqu'une autorité n'applique pas ou applique d'une façon incorrecte une règle de procédure, de sorte qu'elle ferme l'accès à la justice au particulier qui, normalement, y aurait droit. L'autorité qui se refuse à statuer, ou ne le fait que partiellement, viole l'art. 29 al. 1 Cst. (arrêts 2C_601/2010 du 21 décembre 2010 consid. 2, RDAF 2011 II 163; 2P.157/2006 du 8 mars 2007 consid. 3).
3.2. Les critiques de la recourante ne relèvent pas du déni de justice formel. L'accès à la justice de la recourante n'a en effet pas été fermé, dès lors qu'elle a pu saisir le Tribunal cantonal et a obtenu une décision de sa part. En réalité, le grief soulevé a trait au droit d'être entendu, plus particulièrement au droit à une décision motivée (cf., pour cette notion, <ref-ruling> consid. 5.1 p. 237), garanti à l'art. 29 al. 2 Cst. Etant donné que la recourante n'a invoqué aucune violation de ce droit constitutionnel, pas plus que l'art. 29 al. 2 Cst., son recours ne satisfait pas aux exigences de motivation accrue découlant de l'<ref-law> et doit partant être déclaré irrecevable sur ce point.
4.
Invoquant son autonomie, la recourante reproche au Tribunal cantonal d'avoir, en sa qualité d'autorité cantonale de recours, outrepassé sa compétence en lui imposant l'existence d'une autorisation d'exploiter A qu'elle avait pourtant refusé de délivrer. Tout au plus le Tribunal cantonal aurait-il pu renvoyer le dossier à l'instance intercommunale précédente afin qu'elle statue sur l'existence d'une autorisation et examine les conditions posées à sa délivrance.
4.1. Il a été vu que l'Association dispose d'une large autonomie s'agissant de réglementer et surveiller le service des taxis sur le territoire de ses communes membres (consid. 1.3.3 supra). Constituent notamment une violation de l'autonomie au sens étroit l'intervention en dehors de ses compétences d'une autorité cantonale dans un domaine qui est reconnu à la commune (cf. Auer/Malinverni/Hottelier, Droit constitutionnel suisse, vol. I, 3e éd., 2013, n. 313 p. 99; <ref-ruling> consid. 4 p. 370; <ref-ruling> consid. 3d p. 70), de même que la décision, rendue par une autorité cantonale agissant dans le cadre de ses compétences, qui enfreindrait les exigences matérielles ou les règles de procédure explicitement contenues ou déduites de la Constitution en faveur des communes (cf. Markus Dill, Die staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung der Gemeindeautonomie, 1996, p. 106). En revanche, une commune ou une association intercommunale n'est pas atteinte dans son autonomie du seul fait qu'une autorité judiciaire annule une de ses décisions et lui impose la délivrance d'une autorisation relevant de sa compétence.
4.2. En l'occurrence, la recourante ne parvient à établir ni un outrepassement de compétences par le Tribunal cantonal, ni une méconnaissance de quelconques garanties constitutionnelles existant en sa faveur sur le terrain du règlement du service de taxis. Ne remettant pas en cause le système même de délivrance pour autorisations A instauré par l'Association, les juges cantonaux se sont en effet contentés de déduire du comportement concret des autorités intercommunales vis-à-vis de l'intimé que celles-ci l'auraient par erreur, de facto, mis au bénéfice d'une telle autorisation. En cela, la cause sous examen n'est donc pas assimilable à la jurisprudence 2P.39/2002 du 28 octobre 2002 que cite la recourante, et dans laquelle la juridiction vaudoise concernée avait, malgré un état de fait incomplet, imposé aux communes intéressées, au mépris de leur grande liberté de choix et après avoir remis en cause la constitutionnalité même du système d'attribution des autorisations, un nouveau système plus permissif d'attribution (cf. arrêt 2P.39/2002 précité, consid. 3).
4.3. En conséquence, on ne peut dire que le seul fait que le Tribunal cantonal ait donné tort à la recourante en considérant que l'autorisation A de l'intimé était maintenue suffirait à admettre une violation de l'autonomie de l'Association. Cela étant, il convient encore d'examiner si, en parvenant à ce résultat, les précédents juges ont violé le droit, ce que prétend aussi la recourante et ce qui serait également susceptible de violer l'autonomie de la recourante (cf. consid. 5 infra).
5.
5.1. Dans l'arrêt querellé, le Tribunal cantonal a retenu que le retrait du recours cantonal auquel avait procédé X._ le 1er juin 2010 (et dont l'autorité avait pris acte le 2 juin 2010) équivalait à un désistement d'instance, entraînant l'entrée en force de chose jugée de la décision de la Commission administrative du 28 novembre 2008 et l'effet exécutoire du retrait de l'autorisation A de l'intéressé. La position de l'Association, qui prétendait que, par le jeu de l'effet suspensif, X._ devait être maintenu dans son statut, a en revanche été considérée comme erronée. Partant, ce dernier ne pouvait continuer de bénéficier d'une telle autorisation postérieurement au 2 juin 2010. Les juges cantonaux ont toutefois considéré que, de facto, l'intéressé avait, du fait de l'erreur des autorités quant au maintien d'un effet suspensif passé le 2 juin 2010, bénéficié d'une telle autorisation A. Or, comme X._ avait clairement manifesté son intention de se soumettre dorénavant aux conditions posées au maintien de l'autorisation A, seuls des motifs purement chicaniers et vindicatifs justifiaient que les autorités s'en tiennent à une application stricte des conséquences du retrait du recours de l'intimé. S'agissant du droit et du devoir des exploitants d'une autorisation A de s'abonner au central d'appel, le Tribunal cantonal a jugé qu'il incombait à la Société concessionnaire d'entrer en matière sur la demande d'abonnement au central d'appel.
5.2. Invoquant l'établissement arbitraire des faits ainsi qu'une application arbitraire du droit cantonal, la recourante estime, en substance, que le Tribunal cantonal ne pouvait de bonne foi retenir qu'une autorisation A avait été accordée pour la période au-delà du 2 juin 2010. A aucun moment, une décision de maintien, de prolongation ou de restitution de l'autorisation A n'avait en effet été rendue en faveur de l'intimé et ce dernier ne s'était pas prévalu du principe de la confiance, dont les conditions n'étaient en tout état de cause pas réunies.
5.2.1. A moins que les faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>), le Tribunal fédéral est lié par les faits retenus par l'autorité précédente (cf. <ref-law>). Il n'y a arbitraire dans l'établissement des faits ou l'appréciation des preuves que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560).
Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. Il ne suffit pas que la motivation de la décision critiquée soit insoutenable; encore faut-il que celle-ci se révèle arbitraire dans son résultat (cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 319; <ref-ruling> consid 2.4 p. 5).
5.2.2. La position du Tribunal cantonal selon laquelle l'intimé ne pouvait ni par le jeu de l'effet suspensif, ni par celui de mesures provisionnelles, bénéficier d'une autorisation A passé le 2 juin 2010 ne prête en l'espèce pas le flanc à la critique et n'est du reste pas contestée. En effet, le retrait par l'intéressé de son recours pendant devant le Tribunal cantonal, dont ce dernier avait pris acte le 2 juin 2010, a mis fin à la procédure et a rendu définitive et exécutoire (cf. art. 58 al. 1 let. a de la loi vaudoise du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative [LPA/VD; RS/VD 173.36]) la décision de retrait de l'autorisation A. Les recours cantonaux que l'intimé a diligentés contre les deux courriers de la Commission administrative du 10 juin 2010, respectivement de la Société concessionnaire du 15 juin 2010, n'étaient de la sorte pas en mesure, même à leur reconnaître un effet suspensif selon le droit cantonal, à replacer X._ - ni provisoirement au gré de la procédure en cours, ni au fond - dans la situation dans laquelle il s'était trouvé avant de retirer son recours cantonal, et encore moins avant le retrait de l'autorisation A du 28 novembre 2008. Il aurait fallu pour cela que l'intimé obtienne - ce qui n'a pas été le cas en l'espèce - des mesures provisionnelles formatrices qui auraient temporairement maintenu son autorisation A (cf., à ce propos, MOOR/ POLTIER, Droit administratif, vol. II, 3e éd., 2011, p. 307 s. ch. 2.2.6.8).
5.3. Il reste à examiner si les juges cantonaux pouvaient, sans verser dans l'arbitraire, admettre que l'intimé se prévale, à un autre titre et malgré le retrait de son recours, d'un droit au maintien de son autorisation A.
5.3.1. A juste titre, la recourante affirme qu'en procédure administrative vaudoise, la possibilité d'une décision implicite ou par actes concluants, dont l'intimé eût pu déduire un droit au maintien de l'autorisation A, se heurterait aux règles applicables au contenu des décisions, en vertu des art. 41 ss LPA/VD. En effet, l'art. 42 LPA/VD énonce des exigences formelles strictes que doit remplir toute décision cantonale et l'art. 44 LPA/VD, relatif à la notification, requiert que la notification intervienne en principe par écrit et moyennant pli recommandé ou acte judiciaire (cf. BENOÎT BOVAY, La loi vaudoise du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative, in RDAF 2009 I 161 ss, p. 177). Or, à aucun moment l'intimé ne s'est-il vu notifier une décision lui confirmant le maintien de son autorisation A ou n'a-t-il prétendu bénéficier d'une procédure dérogatoire.
5.3.2. Comme l'a relevé la recourante, l'intimé ne pouvait par ailleurs pas se prévaloir du principe de la confiance découlant de l'art. 9 Cst., dans la mesure où les autorités intercommunales ne lui avaient à aucun moment garanti que l'autorisation A en sa faveur serait maintenue au-delà du litige en cours (cf., à ce titre, <ref-ruling> consid. 6.1 p. 637).
Il résulte au contraire des faits établis que les autorités intercommunales se sont sans jamais fléchir, durant toute la procédure de recours concernant les "décisions" des 10 et 15 juin 2010, opposées à la délivrance ou à la prolongation d'une autorisation A au profit de l'intimé. De plus, si l'intimé avait continué à s'acquitter de l'émolument lié à l'autorisation A après le retrait de son recours, ses paiements intervenaient non pas par avance comme pour les conducteurs de taxi A, mais postnumerando, à l'instar d'une indemnité due pour occupation illicite d'un immeuble (comp. <ref-ruling> consid. 3 p. 411; arrêt 4C.103/2006 du 3 juillet 2006 consid. 4.1, SJ 2007 I 1), de sorte qu'il ne pouvait déduire de cette seule circonstance un accord tacite de la part des autorités de maintenir (indéfiniment) son autorisation A.
5.3.3. En revanche, il n'apparaît pas que la précédente instance ait établi les faits ou apprécié les preuves de façon arbitraire en retenant que, lors du retrait du recours cantonal le 1 er juin 2010, l'intimé avait en réalité non pas voulu acquiescer à la déchéance de son autorisation A, mais avait cru retirer son opposition à l'abonnement au central d'appel dans le but de se soumettre à l'ensemble des règles gouvernant l'adhésion au service de taxis A.
Contrairement à ce qu'expose la recourante, ces considérations pouvaient trouver un certain appui, d'une part, dans la manière dont l'intimé avait informé l'Association de son retrait ("[j']attends votre confirmation pour la suite"), laissant penser qu'il s'attendait à faire à nouveau partie de plein droit des conducteurs de taxis A, ainsi que, d'autre part, dans la circonstance que la contestation de la décision de retrait découlait uniquement du refus par l'intimé de s'affilier au central d'appel, tandis qu'il réalisait l'ensemble des autres critères en vue de conserver son autorisation A. S'ajoute à cela que l'intimé avait procédé au retrait du recours cantonal au moyen d'une lettre manuscrite et sans le concours de son avocat. S'il résulte bien du recours du 23 juin 2010, que le conseil de l'intimé avait adressé au Comité de direction et mentionné par l'Association, que X._ avait retiré son recours cantonal "contre l'avis de son conseil" (par. 3), ledit acte de recours cantonal se référait également à l'erreur essentielle de l'intéressé, en ce que ce dernier aurait été "convaincu de pouvoir réintégrer le central sans problème" (recours du 23 juin 2010, par. 3). Que tant le Comité de direction que la Commission administrative avaient, dans la circulaire du 17 septembre 2008, ainsi que dans leurs divers rappels, rendu les entreprises de taxis A attentives aux conséquences qu'une non-affiliation au central entraînerait quant à leurs autorisations A, affaiblit assurément la motivation de l'arrêt attaqué, mais ne suffit pas encore à la faire paraître insoutenable.
Quant à l'appréciation litigieuse des faits par le Tribunal cantonal, elle ne débouche pas sur un résultat choquant. D'une part, elle revient à protéger un chauffeur de taxi A ayant bénéficié d'une autorisation A depuis plus de trente-cinq ans des rigueurs formelles de sa méprise; d'autre part, elle n'impose pas une charge disproportionnée à la collectivité recourante, laquelle, bien qu'elle n'y eût pas été contrainte d'un point de vue procédural (consid. 5.2.2 supra), avait provisoirement toléré que l'intimé conservât le statut de chauffeur A durant l'intégralité de la procédure de recours cantonale.
Il convient de rappeler qu'il ne suffit pas qu'une autre solution soit concevable, voire préférable, pour que le Tribunal fédéral annule un arrêt cantonal pour cause d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5 et les arrêts cités).
6.
La recourante se plaint en outre d'une application arbitraire de l'art. 3 LPA/VD. Elle estime en substance qu'en admettant la conclusion de X._ tendant à faire constater, pour la première fois devant le Tribunal cantonal, qu'il était reconnu titulaire d'une autorisation A, les précédents juges auraient sans droit élargi l'objet du litige circonscrit par les conclusions prises en première instance cantonale. Par ailleurs, le Tribunal cantonal aurait violé le principe, ancré à l'art. 3 al. 3 LPA/VD, en vertu duquel une décision constatatoire ne pouvait être rendue que si la voie de la décision formatrice était fermée; il lui aurait au contraire fallu renvoyer la cause à l'autorité inférieure afin que celle-ci délivre une autorisation A, pour autant que les autres conditions fussent réunies.
6.1. L'art. 3 LPA/VD prévoit ce qui suit:
al. 1: Est une décision toute mesure prise par une autorité dans un cas d'espèce, en application du droit public, et ayant pour objet: de créer, de modifier ou d'annuler des droits et obligations (let. a); de constater l'existence, l'inexistence ou l'étendue de droits et obligations (let. b); de rejeter ou de déclarer irrecevables des demandes tendant à créer, modifier, annuler ou constater des droits et obligations (let. c).
al. 2 Sont également des décisions les décisions incidentes, les décisions sur réclamation ou sur recours, les décisions en matière d'interprétation ou de révision.
al. 3: Une décision au sens de l'al. 1, let. b ne peut être rendue que si une décision au sens des let. a ou c ne peut pas l'être.
6.2. En tant qu'elle prétend déduire de l'art. 3 LPA/VD l'adage "ne eat iudex ultra petita partium", selon lequel le juge ne peut dépasser le cadre fixé par les conclusions des parties (cf. arrêts 2C_682/2012 du 7 février 2013 consid. 1.3; 2C_1016/2011 du 3 mai 2012 consid. 5.1, non publié in <ref-ruling>), la recourante n'expose pas à satisfaction de droit (<ref-law>) quels éléments de cette disposition procédurale, le cas échéant telle qu'interprétée par la jurisprudence constante cantonale, consacreraient cet adage. Ce grief est partant irrecevable.
Au demeurant, l'on ne perçoit pas en quoi les conclusions prises devant le Tribunal cantonal s'écarteraient fondamentalement, de manière à élargir l'objet du litige, de celles auparavant formées dans le recours du 23 juin 2010 devant le Comité de direction. Tandis que les premières tendaient à faire annuler la décision du Comité de direction du 23 février 2012, ordonner l'affiliation de l'intimé au central d'appel et reconnaître la titularité d'une autorisation A, les secondes requéraient l'annulation des "décisions" des 10 et 15 juin 2010 ordonnant la restitution de l'autorisation A, respectivement refusant l'affiliation au central d'appel, de sorte que l'intéressé demeurerait titulaire de l'autorisation A et serait abonné au central d'appel.
6.3. S'agissant de l'allégation de violation de l'art. 3 al. 3 LPA/VD, le chiffre II du dispositif de l'arrêt attaqué, en particulier les termes "réputée maintenue", est certes formulé d'une manière susceptible de prêter à confusion. Malgré cette formulation, on comprend néanmoins des motifs de l'arrêt attaqué qu'en réformant la décision du 23 février 2012 rendue par le Comité de direction, le Tribunal cantonal a rendu un arrêt non pas constatatoire mais formateur, dont la conséquence devait être - dès lors que le Tribunal cantonal avait considéré les autres conditions d'affiliation comme étant remplies - le maintien de l'autorisation A et l'ordre donné à la Société concessionnaire d'affilier X._ au central d'appel. Examiné sous l'angle restreint de l'arbitraire, ce grief doit partant être écarté.
7.
7.1. Les considérations qui précèdent conduisent au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité.
7.2. L'Association recourante, qui succombe, versera des dépens à l'intimé (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Il y a également lieu de condamner, solidairement, la Société concessionnaire et le Service intercommunal des taxis de l'arrondissement de Lausanne, Commission administrative, à lui verser des dépens. Bien qu'elle ne soit que participante à la procédure (cf. <ref-law>), la Société concessionnaire n'en est en effet pas moins directement concernée par la décision prise quant à l'affiliation de l'intimé au central d'appel; en outre, elle s'est comportée comme une partie à part entière, en appuyant la position défendue par l'Association recourante (cf. arrêt 2C_116/2011 du 29 août 2011 consid. 12.2). Quant au Service intercommunal précité, sa Commission administrative se trouve à l'origine du retrait de l'autorisation A de l'intimé ainsi que du courrier litigieux du 10 juin 2010 lui réclamant le dépôt de ladite autorisation; elle a de plus expressément conclu à l'admission du recours dans ses observations des 1 er juillet 2013 et 14 août 2013.
7.3. Les frais judiciaires seront mis à la charge de l'Association, qui succombe et défend un intérêt patrimonial en lien avec l'abonnement de l'intimé au central d'appel, dont le refus initial avait déclenché la procédure de retrait de l'autorisation A (art. 66 al. 1 et al. 4 in fine LTF; cf. arrêt 2C_116/2011 du 29 août 2011 consid. 12.3). Pour les mêmes motifs que ceux énoncés au sujet de l'indemnité de dépens (cf. consid. 7.2), la Société concessionnaire et le Service intercommunal des taxis de l'arrondissement de Lausanne, Commission administrative, seront solidairement redevables des frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis solidairement à la charge de l'Association de communes de la région lausannoise pour la réglementation du service des taxis, du Service intercommunal des taxis de l'arrondissement de Lausanne, et de Taxi Services Sàrl.
3.
L'Association de communes de la région lausannoise pour la réglementation du service des taxis, le Service intercommunal des taxis de l'arrondissement de Lausanne et Taxi Services Sàrl, débiteurs solidaires, verseront, à titre de dépens, une indemnité de 2'500 fr. à l'intimé.
4.
Le présent arrêt est communiqué à l'Association de communes de la région lausannoise pour la réglementation du service des taxis, Comité de direction, aux mandataires de l'intimé, du Service intercommunal des taxis de l'arrondissement de Lausanne, Commission administrative, et de Taxi Services Sàrl, ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 25 novembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Chatton