Sachverhalt:
A. Die 1944 geborene, zuletzt als kaufmännische Angestellte tätig gewesene S._ war als Bezügerin von Arbeitslosenentschädigung bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 13. September 2003 in einen Verkehrsunfall verwickelt wurde. Vor einem Kreisel fuhr ein Fiat Punto von hinten auf den Mercedes 560 SEL, in welchem sie als Beifahrerin vorne sass, auf. Die Polizei wurde nicht beigezogen. Der wegen auftretender Beschwerden am 16. September 2003 aufgesuchte Hausarzt diagnostizierte eine HWS-Distorsion und bestätigte eine volle Arbeitsunfähigkeit ab dem Unfallzeitpunkt. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt eröffnete sie S._ mit Verfügung vom 19. April 2004 die Einstellung der Leistungen auf den 30. April 2004. Zugleich verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum versicherten Ereignis. Daran hielt die SUVA auf Einsprache der Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 30. Juli 2004).
B. S._ erhob Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern sistierte das Verfahren bis zum Vorliegen des von der Invalidenversicherung in Auftrag gegebenen MEDAS-Gutachtens. Dieses wurde am 6. Juni 2006 erstattet, wobei die medizinischen Experten auch die ihnen unterbreiteten Fragen zur unfallversicherungsrechtlichen Streitsache beantworteten. Mit Entscheid vom 14. Dezember 2006 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C. S._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei die Sache an die SUVA zurückzuweisen mit der Auflage, über den 30. April 2004 hinaus Taggeld bei einer Arbeitsunfähigkeit von mindestens 25 % auszurichten sowie Heilbehandlung zu gewähren; eventuell sei eine Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von mindestens 35 % auszurichten.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist indessen vorher ergangen, weshalb sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG) richtet (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. Streitig ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Verkehrsunfall vom 13. September 2003 über den 30. April 2004 hinaus.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im Einspracheentscheid vom 30. Juli 2004 und im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Es betrifft dies nebst den massgeblichen gesetzlichen Bestimmungen namentlich die Grundsätze über den für einen Leistungsanspruch vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 181 mit Hinweisen) sowie bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (<ref-ruling>) und bei nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen verbundenen HWS-Schleudertraumen (<ref-ruling>), äquivalenten Verletzungen der HWS (RKUV 2000 Nr. U 395 S. 316 E. 3, U 160/98; SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) und Schädel-Hirntraumen (<ref-ruling>) im Besonderen. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat zunächst gestützt auf das MEDAS-Gutachten vom 6. Juni 2006 erkannt, es liege nebst weiteren gesundheitlichen Beschwerden eine in Angst und Depression gemischt bestehende psychische Problematik vor, welche nicht als natürlich kausale Unfallfolge zu betrachten sei. Diese Beurteilung wird zu Recht von keiner Seite in Frage gestellt.
3.2 Die Vorinstanz hat weiter erwogen, es hätten keine organischen Unfallfolgen im Sinne einer natürlich unfallkausalen bleibenden oder langdauernden strukturellen Schädigung der HWS nachgewiesen werden können. Auch eine richtunggebende Verschlimmerung des ausgeprägten degenerativen Vorzustandes liege nicht vor.
Diese Beurteilung ist nach Lage der medizinischen Akten richtig. Soweit die Versicherte unter Hinweis auf die teilweise als somatisch beschriebenen Beschwerden eine abweichende Auffassung vertreten lässt, kann ihr nicht gefolgt werden. Dass Beschwerden als physisch imponieren, genügt nicht für den Nachweis einer unfallbedingten organischen Ursache. Eine solche haben die medizinischen Abklärungen nicht ergeben und ist auch von weiteren fachärztlichen Untersuchungen nicht zu erwarten.
Festzuhalten bleibt, dass der fehlende Nachweis einer unfallkausalen organischen Ursache nicht ausschliesst, dass dem Unfall für die geklagten körperlichen Beschwerden doch zumindest eine teilursächliche Bedeutung zukommt (zum Genügen einer Teilursächlichkeit für die Leistungspflicht des Unfallversicherers: <ref-ruling> E. 2b S. 45 mit Hinweis, 121 V 326 E. 2 S. 329 mit Hinweisen). Soweit an einer Stelle im angefochtenen Entscheid etwas anderes gesagt wird, trifft dies nicht zu.
3.3 Ob die persistierenden Beschwerden - soweit von der ohnehin unfallfremden psychischen Problematik getrennt zu betrachten (E. 3.1) - als zumindest teilweise natürlich unfallkausal zu beurteilen sind, wird von den Verfahrensbeteiligten kontrovers beantwortet und wäre grundsätzlich zu prüfen. Darauf wie auch auf weitere Beweisvorkehren zur Frage des natürlichen Kausalzusammenhangs kann indessen praxisgemäss verzichtet werden, wenn ohnehin der adäquate Kausalzusammenhang zu verneinen ist (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c; ferner aus jüngerer Zeit: Urteile U 17/07 vom 30. Oktober 2007, E. 3 Ingress, U 606/06 vom 23. Oktober 2007, E. 4, und U 299/05 vom 28. Mai 2007, E. 5.2).
Es ist daher der adäquate Kausalzusammenhang zu prüfen. Dabei gilt sowohl bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (<ref-ruling>) wie bei der Schleudertrauma-Praxis zugrunde liegenden Verletzungen (<ref-ruling>, 369; SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67), dass die Adäquanz in der Regel bei leichten Unfällen ohne weiteres verneint und bei schweren Unfällen bejaht werden kann, während im dazwischen liegenden Bereich der mittelschweren Unfälle zusätzliche Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen sind (<ref-ruling> E. 6a S. 366 f., 369 E. 4b S. 383, 115 V 133 E. 6 S. 139 f.). Rechtsprechungsgemäss ist sodann die Adäquanz - als Ausnahme zur Regel - unter bestimmten Umständen auch bei leichten Unfällen zu prüfen (RKUV 2003 Nr. U 489 S. 357 E. 4.2, U 193/01, 1998 Nr. U 297 S. 243 E. 3b, U 16/97).
Die Unfallschwere beurteilt sich nach dem augenfälligen Geschehensablauf (<ref-ruling> E. 7a S. 368, 369 E. 5a S. 384, 115 V 133 E. 6 S. 139; vgl. auch Urteil U 2, 3 und 4/07 vom 19. November 2007, E. 5.1). Auffahrkollisionen auf ein (stehendes) Fahrzeug werden dabei regelmässig in die Kategorie der mittelschweren Ereignisse im Grenzbereich zu den leichten Unfällen eingereiht (RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236 E. 5.1.2 mit Hinweisen, U 380/04). Der vorliegende Geschehensablauf weist indessen einige Besonderheiten auf, welche auf einen nur leichten Unfall schliessen lassen. Das hintere Auto prallte nicht mit einer im fliessenden Verkehr üblichen Geschwindigkeit auf das vordere auf. Vielmehr befanden sich die unfallbeteiligten Fahrzeuge vor der Einfahrt in einen Kreisel in einer Kolonne, in welcher sie abwechselnd standen und sich bis zum nächsten Halt wieder in Bewegung setzten (Stop-and-Go-Verkehr). Die Geschwindigkeiten waren dabei entsprechend niedrig. Dies zeigt sich auch an den ausgesprochen geringen Schäden, welche die beiden Fahrzeuge bei der Auffahrkollision erlitten. Am Mercedes, in welchem die Versicherte sass, konnte nur eine leichte Beschädigung des hinteren Stossfängers festgestellt werden. Der Fiat des Unfallgegners musste im Frontbereich repariert werden, wobei sich die Kosten unter Fr. 1000.- hielten. Keiner der Unfallbeteiligten hielt es zudem für nötig, die Polizei beizuziehen oder ärztliche Betreuung am Unfallort zu beanspruchen. Auch konnten offenbar beide Wagen die Fahrt nach dem Unfall aus eigener Kraft fortsetzen.
Es liegt somit ein leichter Unfall vor. Die Voraussetzungen für die ausnahmsweise Adäquanzprüfung auch bei einem leichten Unfall sind nicht gegeben. Der adäquate Kausalzusammenhang zwischen der Auffahrkollision vom 13. September 2003 und den persistierenden Beschwerden ist daher ohne weiteres zu verneinen. Soweit in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde eine abweichende Auffassung vertreten wird, kann ihr nicht gefolgt werden. Namentlich trifft auch nicht zu, dass die biomechanische Kurzbeurteilung vom 20. November 2003 eine durch die Kollision bedingte Geschwindigkeitsänderung (delta-v) des Mercedes von 10 - 15 km/h ergeben habe. In der Kurzbeurteilung wird vielmehr von einem delta-v-Wert unterhalb dieses Geschwindigkeitsbereichs ausgegangen. Wie es sich bei der von der Versicherten behaupteten Geschwindigkeitsänderung verhielte, kann offen bleiben.
Ist der adäquate Kausalzusammenhang nach dem Gesagten aufgrund der Unfallschwere und ohne besondere Prüfung zu verneinen, erübrigen sich Weiterungen zu der von der Versicherten aufgeworfenen Frage des Zeitpunktes der Adäquanzbeurteilung.
3.4 Die Vorinstanz hat somit eine weitere Leistungspflicht der SUVA zu Recht verneint.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Januar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz