Faits :
A.
C._, née en 1904, habitait à Lausanne dans un appartement de cinq pièces dont elle était propriétaire. Elle avait confié la gestion de sa fortune, s'élevant à plusieurs millions de francs français, à une société financière basée à Paris, au sein de laquelle B._ travaillait en qualité d'assistante de gestion. Par testament authentique du 3 novembre 1998 établi par le notaire D._, C._ a institué héritière de tous ses biens B._ ou, à défaut, la fille de celle-ci, sous réserve de certains legs.
En 1998, C._ a engagé la mère de A._ en qualité de gouvernante. Le fils remplaçait sa mère lorsque celle-ci était en congé.
Les relations entre C._ et B._ se sont dégradées en 2001 à la suite de divergences au sujet d'un virement demandé par la première nommée. Le 30 octobre 2001, C._ a téléphoné au notaire D._ afin de modifier ses dispositions de dernière volonté; elle souhaitait que les deux enfants de sa gouvernante deviennent ses héritiers à la place de B._. Lors d'une conversation téléphonique, le notaire D._ a trouvé C._ confuse et tourmentée, mais lucide. Lorsqu'il s'est rendu chez elle, C._ n'a pas pu lui dire pourquoi elle lui avait demandé de se déplacer; elle était très incohérente. Le notaire D._ a alors décidé de ne pas instrumenter la modification des dernières volontés de C._.
B._ a abordé le Juge de paix de Lausanne pour lui faire part de son inquiétude au sujet de C._. Le 21 février 2002, le juge l'a informée qu'une enquête de voisinage avait été effectuée et que C._ était bien portante, bien qu'elle souffrît d'une grave surdité.
Par testament authentique du 19 août 2002, C._ a révoqué toutes dispositions testamentaires prises antérieurement; sous réserve de certains legs, elle a institué héritiers de tous ses biens, d'une part, A._ pour son appartement et la moitié de sa fortune mobilière et, d'autre part, une amie proche pour l'autre moitié de la fortune mobilière. L'acte a été instrumenté par la notaire E._, à laquelle deux certificats médicaux attestant la capacité de discernement de la testatrice avaient été présentés.
C._ est décédée à Lausanne trois mois plus tard dans sa nonante-neuvième année.
B._ a fait opposition au testament du 19 août 2002 et à la délivrance d'un certificat d'héritier. Le 6 février 2004, agissant par le ministère d'un avocat, elle a ouvert action contre les deux héritiers devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois en concluant à l'annulation du testament du 19 août 2002 et à l'homologation du testament du 3 novembre 1998. Elle a fait défaut à l'audience préliminaire, puis n'a pas donné suite à l'invitation à déposer sa liste de témoins. Par jugement contumacial du 27 novembre 2006, la Cour civile a rejeté la demande et condamné B._ à verser 7'050 fr. à A._ à titre de dépens et le même montant à l'autre héritière. B._ a demandé le relief, mais a de nouveau fait défaut à l'audience; par prononcé du 19 juillet 2007, il a été constaté que la demande de relief était caduque et que le jugement du 27 novembre 2006 restait en vigueur.
Par la suite, B._ a fait part à son conseil de sa stupéfaction de ne pas avoir été informée du cours de la procédure et des audiences fixées. L'associé de son conseil lui a alors expliqué que celui-ci souffrait depuis de nombreux mois d'une importante dépression, motif pour lequel il avait négligé la plupart des courriers qui lui étaient adressés.
B.
Le 5 mars 2009, A._ a ouvert action contre B._ en paiement de 100'000 fr. avec intérêts devant le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne. D'une part, il demandait réparation du dommage résultant de la perte des loyers liée à la non-location de l'appartement depuis le décès de C._ jusqu'au 1er novembre 2008, date à laquelle il en avait pris possession à la suite du partage avec sa cohéritière; d'autre part, il réclamait remboursement des frais d'avocat engagés dans le cadre de la procédure en annulation du testament du 19 août 2002.
B._ a conclu au rejet de l'action et, reconventionnellement, à ce que A._ soit condamné à lui payer 28'547 fr.50 plus intérêts pour des frais d'avocat.
Par jugement du 2 juillet 2013, le Tribunal civil a rejeté tant la demande principale que la demande reconventionnelle.
A._ a interjeté appel en reprenant ses conclusions en paiement de 100'000 fr. Par arrêt du 21 mai 2014, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel et confirmé le rejet de l'action de A._. En particulier, elle a jugé que la demande en remboursement des frais d'avocat n'était pas fondée, car B._ avait usé de la possibilité légale d'ouvrir action en annulation d'un testament, sans qu'un abus de droit ne puisse lui être reproché de ce fait et sans qu'on puisse la rendre civilement responsable des longueurs de la procédure dues à la maladie de son mandataire.
Parallèlement à cette procédure civile en Suisse, A._ a dénoncé B._ en France auprès du Procureur de la République. Il lui reproche d'avoir usé de stratagème et manipulé C._ en abusant de sa fragilité pour se faire instituer héritière en 1998.
C.
A._ interjette un recours en matière civile contre l'arrêt du 21 mai 2014. Il conclut à ce que B._ soit condamnée à lui payer le montant de 55'105 fr.55 avec intérêt à 5% dès le 5 mars 2009, montant correspondant à des frais d'avocat engagés en relation avec la procédure en annulation de testament; il renonce à demander des dommages-intérêts pour perte de loyers.
B._ propose le rejet du recours.
Par la suite, les deux parties ont chacune déposé de leur propre chef un second mémoire.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (<ref-law>). La présente cause atteint la valeur litigieuse de 30'000 fr. ouvrant le recours en matière civile dans les affaires pécuniaires ne relevant ni du droit du travail, ni du droit du bail à loyer (<ref-law>). Au surplus, le recours est exercé par la partie qui a succombé dans ses conclusions en paiement et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>). Déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. b et art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prévues par la loi (<ref-law>), le recours est en principe recevable, l'examen des griefs particuliers étant réservé.
1.2. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cependant, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, à respecter sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), il n'examine en principe que les questions juridiques qui sont soulevées devant lui; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2 p. 88 s.; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 584; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 389; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). Dès lors qu'une question est discutée, le Tribunal fédéral n'est limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 2 p. 89; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 336; <ref-ruling> consid. 4 p. 317 s.; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400).
Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>; ATF <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
1.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). L'exception prévue à l'<ref-law> ne permet pas aux parties de rediscuter dans leurs mémoires les faits de la cause comme si elles plaidaient devant un juge d'appel. La partie recourante qui, sur la base de l'<ref-law>, entend faire rectifier ou compléter un état de fait doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une telle modification seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 187), au même titre que la partie qui invoque une violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.).
2.
Se fondant sur l'<ref-law>, le recourant demande le remboursement de frais d'avocat liés à la procédure en annulation de testament, engagée le 6 février 2004 par l'intimée contre le recourant et sa cohéritière. Cette procédure s'est terminée par le jugement par défaut du 27 novembre 2006 rejetant la demande de l'intimée et allouant des dépens au recourant et à sa cohéritière, jugement qui n'a pas été remis en cause à la suite de la demande de relief, déclarée caduque. Selon le recourant, l'action était d'emblée vouée à l'échec et c'est l'aveuglement provoqué par la cupidité qui a conduit l'intimée à engager une procédure qu'aucun plaideur raisonnable n'aurait songé à introduire. Arguant de la passivité de l'intimée une fois la procédure ouverte, il en déduit par ailleurs que l'action n'avait pas pour objectif d'obtenir gain de cause, mais de lui nuire et que, dans l'hypothèse la plus favorable pour l'intimée, le désintérêt manifeste de celle-ci à l'égard de la procédure engagée par son conseil était constitutif d'une grave négligence. Le caractère illicite et abusif de l'action intentée par l'intimée serait ainsi manifeste.
2.1. Dans la mesure où le droit de procédure civile détermine les dépens auxquels le plaideur victorieux peut prétendre, ce droit est seul applicable. Il ne laisse aucune place à une action fondée sur le droit civil fédéral, séparée ou ultérieure, tendant au remboursement des frais par la partie adverse; les actions en dommages-intérêts accordées par le droit de la responsabilité civile ne sont pas disponibles pour éluder les règles spécifiques du droit de procédure civile et procurer au plaideur victorieux, en dépit de ces règles, une réparation que le législateur compétent a exclue. Une telle action est donc possible uniquement pour les frais d'avocat engagés avant l'ouverture du procès civil, lorsque la consultation de l'avocat était nécessaire et adéquate et que les frais ne sont pas couverts ni présumés couverts par les dépens. Cependant, le plaideur victorieux bénéficie d'un régime plus favorable lorsqu'il s'est heurté à un comportement procédural illicite de la partie adverse, c'est-à-dire lorsque, dans le procès, celle-ci a adopté une position téméraire qu'elle savait ou devait savoir indéfendable. Un tel comportement engendre l'obligation de réparer le dommage sur la base de l'<ref-law>. Il existe alors un concours entre l'action accordée par cette disposition de droit matériel fédéral et celle régie, le cas échéant, par le droit de procédure (<ref-ruling> consid. 4.2 et 4.4 p. 192 ss; <ref-ruling> consid. 3 p. 395 ss; Hugo Casanova, Die Haftung der Parteien für prozessuales Verhalten, 1982, p. 105 ss).
En l'occurrence, il s'agit donc principalement de déterminer si l'intimée a ouvert action en annulation du testament du 19 août 2002 en sachant ou devant savoir que l'action était manifestement vouée à l'échec, c'est-à-dire concrètement si elle savait ou devait savoir que, le 19 août 2002, C._ avait la capacité de discernement nécessaire pour disposer de ses biens par testament. Le recourant supporte le fardeau de la preuve sur ce point (<ref-law>).
2.2. Comme déjà relevé, le Tribunal fédéral peut, à titre exceptionnel, rectifier ou compléter les faits s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte (cf. consid. 1.3 supra). Encore faut-il que la correction soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
Le recourant reproche à la cour cantonale de ne pas avoir constaté divers faits qui révéleraient la cupidité de l'intimée et jetteraient un doute sérieux sur sa bonne foi. Or, la prétendue cupidité de l'intimée est un élément dénué de pertinence pour juger de la capacité de discernement de C._ en août 2002 et de la connaissance à ce sujet de la demanderesse à l'action en annulation du testament.
Le recourant fait également grief à l'autorité précédente de ne pas avoir constaté plusieurs faits qui démontreraient que les motifs de C._ pour exclure l'intimée de sa succession n'avaient rien à voir avec une quelconque pression exercée par des tiers. Ces faits ressortiraient des déclarations de la cohéritière ayant également bénéficié du testament contesté, qui sont intervenues dans le cadre de la procédure initiée en 2009 par le recourant devant le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne. A cet égard, on ne discerne pas comment il pourrait être déduit de ce témoignage livré en 2009 que l'intimée devait en connaître le contenu en 2004, au moment d'ouvrir action devant la Cour civile du Tribunal cantonal. Au demeurant, l'absence de pression à l'égard de C._ n'implique pas nécessairement que la testatrice avait la capacité de discernement.
Les prétendues lacunes relevées par le recourant portent ainsi sur des faits qui ne sont pas susceptibles d'influer sur le sort de la cause. Le grief se révèle mal fondé pour ce motif déjà.
2.3. Le recourant reproche ensuite à l'autorité cantonale d'avoir violé l'<ref-law>. La question est celle de savoir si l'intimée a eu un comportement procédural illicite ou contraire aux moeurs.
2.3.1. Il s'agit en premier lieu de déterminer si l'intimée a introduit une action dont elle savait d'emblée qu'elle était irrémédiablement vouée à l'échec. Comme déjà souligné, cela supposerait que l'intimée, au moment d'ouvrir action, était certaine que C._ avait, en date du 19 août 2002, la capacité de discernement et, partant, la capacité de tester. Or, aucune constatation de fait allant dans ce sens ne figure dans l'arrêt attaqué. La question se trouve ainsi scellée (<ref-law>).
Il convient de se demander ensuite si l'intimée aurait dû savoir que son action était manifestement vouée à l'échec. Le point doit être examiné sur la base des éléments dont l'intimée avait connaissance au moment où elle a agi. Les faits survenus postérieurement au dépôt de l'action sont sans pertinence; les faits survenus antérieurement, mais dont l'intimée n'avait pas connaissance - plus précisément dont il n'est pas démontré qu'elle avait connaissance - sont également sans pertinence.
Au moment où elle a ouvert action, l'intimée savait certes que C._ était bien portante au début 2002, que la notaire E._ avait estimé le 19 août 2002 que C._ avait la capacité de discernement et que deux certificats médicaux avaient attesté cette capacité. Mais l'intéressée savait également que, neuf mois plus tôt, le notaire D._ avait rencontré C._ et l'avait trouvée très incohérente, ce qui l'avait amené à renoncer alors à instrumenter un nouveau testament. Au vu de ce dernier élément, on ne saurait retenir que tout doute au sujet de la capacité de tester de C._ le 19 août 2002 était inconcevable, d'autant moins en l'absence de précision sur les certificats médicaux soumis à la notaire E._ et les conditions de leur établissement. Que les chances de l'intimée de démontrer l'incapacité de discernement de C._ et d'obtenir gain de cause puissent paraître très incertaines à ce stade de la procédure ne suffit évidemment pas pour qualifier l'action judiciaire d'illicite ou de contraire aux moeurs.
2.3.2. Le recourant voit également un comportement procédural illicite de la part de l'intimée qui, en contestant le dernier testament devant la justice, n'aurait pas eu pour objectif d'obtenir gain de cause, mais de lui nuire.
Savoir quelle était l'intention de l'intimée est une question de fait. Or, l'autorité précédente n'a pas constaté que l'intimée avait agi dans le seul but de nuire au recourant. Le grief est irrecevable.
2.3.3. Le recourant se prévaut enfin d'un désintérêt manifeste de l'intimée pour la procédure engagée par son conseil, ce qui serait constitutif d'une grave négligence.
Certes, on peut admettre que l'intimée a trop fait confiance à son avocat et ne s'est pas rendu compte qu'il ne remplissait pas son mandat. On ne voit toutefois pas en quoi cette négligence de l'intimée dans la poursuite de ses intérêts devrait conduire à qualifier la procédure judiciaire qu'elle avait ouverte d'illicite ou de contraire aux moeurs. Au demeurant, le recourant n'explique pas en quoi l'attitude reprochée à l'intimée lui aurait spécifiquement causé des frais d'avocat.
2.4. En conclusion, le recourant n'ayant pas démontré un comportement procédural illicite ou contraire aux moeurs de la part de l'intimée, c'est à bon droit que la cour cantonale a confirmé le rejet de son action en dommages-intérêts fondée sur l'<ref-law>.
3.
Sur le vu de ce qui précède, le recours sera rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Le recourant prendra à sa charge les frais judiciaires (<ref-law>) et versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 3'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 2 février 2015
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Godat Zimmermann