Sachverhalt:
A. A.a X._ erlitt am 30. Juli 1995 einen Schulterdurchschuss. Mit Urteil vom 24. September 1996 befand das Obergericht des Kantons Thurgau den Straftäter der versuchten vorsätzlichen Tötung und weiterer Delikte für schuldig und bestrafte ihn mit vier Jahren Zuchthaus. Zudem verpflichtete es den Straftäter, X._ eine Genugtuung von Fr. 8'000.-- sowie Schadenersatz von Fr. 8'687.10, je nebst Zins zu bezahlen.
A.b Am 28. Juli 1997 stellte X._ beim Bezirksgericht Frauenfeld das Begehren, es sei ihm eine opferhilferechtliche Entschädigung von maximal Fr. 100'000.-- sowie eine opferhilferechtliche Genugtuung von Fr. 20'000.-- zu entrichten. Das Bezirksgericht sistierte das Verfahren bis zur Erledigung der sozialversicherungsrechtlichen Ansprüche des Gesuchstellers. Mit Urteil vom 25. Mai/28. Juni 2007 wies es das Gesuch um Entschädigung mit der Begründung ab, dem Gesuchsteller sei bei Verwertung seiner Restarbeitsfähigkeit weder ein Erwerbs- noch ein Haushaltsschaden entstanden. Das Gesuch um Genugtuung wies es mit Rücksicht auf die ausbezahlte sozialversicherungsrechtliche Integritätsentschädigung ab.
A.c X._ erhob gegen das Urteil des Bezirksgerichts Berufung mit dem Antrag, es sei ihm eine Entschädigung von Fr. 100'000.-- sowie eine Genugtuung von Fr. 20'000.-- zu entrichten, je zuzüglich 5 % Zins ab dem 1. Januar 2007. Gleichzeitig stellte er den Antrag, es sei ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten betreffend Beeinträchtigung in Erwerb und Haushalt sowie eine berufsberaterische Abklärung in Auftrag zu geben und A._ sowie B._ als Zeugen sowie ihn als Berufungskläger persönlich zu befragen. Mit Urteil vom 18. Dezember 2007 schützte das Obergericht des Kantons Thurgau das Urteil des Bezirksgerichts und wies das Gesuch des Beschwerdeführers ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragte X._ beim Bundesgericht, in teilweiser Aufhebung des Urteils des Obergerichts sei sein Gesuch um Entrichtung einer Entschädigung von Fr. 100'000.--, zuzüglich 5 % Zins ab dem 1. Januar 2007, gutzuheissen. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Angelegenheit zur Neubeurteilung bzw. zur Berechnung der Entschädigung nach OHG an die erste Instanz, eventuell die Vorinstanz, zurückzuweisen.
C. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht beantragt ebenfalls Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Justiz als beschwerdeberechtigte Bundesbehörde verzichtet auf Stellungnahme.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil des Obergerichts betrifft die Abweisung eines Gesuchs um Leistungen aufgrund des Bundesgesetzes vom 4. Oktober 1991 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (Opferhilfegesetz, OHG; SR 312.5), d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinn von <ref-law>. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist damit zulässig.
2. 2.1 Streitig ist vorliegend einzig, ob und in welchem Umfang dem Beschwerdeführer ein Erwerbs- und Rentenschaden erwachsen ist. Der Beschwerdeführer behauptet, er könne nicht mehr als zwei Stunden pro Tag arbeiten und sei deshalb auf dem Arbeitsmarkt nicht mehr vermittelbar. Er habe diesbezüglich die Einholung eines polydisziplinären Gutachtens beantragt. Die Verweigerung der Beweisabnahme verstosse gegen <ref-law>. Aus dem auch im Opferhilferecht geltenden wirtschaftlichen Schadensbegriff folge, dass eine bei Teilinvalidität theoretisch verbleibende Erwerbsfähigkeit unberücksichtigt bleiben müsse, wenn sie wirtschaftlich nicht mehr nutzbar sei. Im Übrigen sei die Annahme des Obergerichts aktenwidrig, dass er gegenüber dem Aargauischen Versicherungsgericht eingeräumt habe, bei einer Arbeitsfähigkeit von 50 % ein jährliches Einkommen von Fr. 16'683.-- erzielen zu können. Er habe angegeben, ein Jahreseinkommen von Fr. 12'512.-- unter Abzug der Sozialversicherungsbeiträge erzielen zu können, wobei dies nur bei einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt zutreffe. Der Gesamtschaden (Erwerbs- und Rentenschaden) belaufe sich auf Fr. 186'588.70. Weiter beanstandet der Beschwerdeführer Einzelheiten bei der Berechnung des hypothetischen Erwerbseinkommens.
2.2 Gemäss <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Abs. 2).
2.3 Der Beschwerdeführer stellte das Gesuch um opferhilferechtliche Entschädigung am 28. Juli 1997 und damit vor dem Inkrafttreten der Änderung vom 20. Juni 1997 des OHG am 1. Januar 1998. Das Obergericht ging demzufolge zutreffend davon aus, dass das Gesuch nach der Fassung des OHG vom 4. Oktober 1991 in Verbindung mit den bis zum 31. Dezember 1997 geltenden Vorschriften des ELG, welche zur Berechnung der Opferhilfeentschädigung massgeblich sind, zu beurteilen ist (Art. 12 Abs. 4 der Verordnung über die Hilfe an Opfer von Straftaten [Opferhilfeverordnung, OHV; Fassung vom 26. November 1997, AS 1997 II 2824]).
2.4 Nach <ref-law> (Fassung vom 4. Oktober 1991; AS 1992 III 2465) hat das Opfer Anspruch auf eine Entschädigung für den durch die Straftat erlittenen Schaden, wenn sein voraussichtliches Einkommen nach der Straftat das Dreifache des Grenzbetrages nach den Artikeln 2-4 des Bundesgesetzes vom 19. März 1965 über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (ELG) nicht übersteigt.
Der ELG-Grenzbetrag richtet sich nach der Verordnung 97 vom 16. September 1996 über die Anpassungen bei den Ergänzungsleistungen zur AHV/IV (AS 1996 II 2766). Danach beträgt der Grenzbetrag für Alleinstehende höchstens Fr. 17'090.-- und für Ehepaare höchstens Fr. 25'635.--, wobei diese Beträge für das seit 1997 hängige Opferhilfeverfahren der seither aufgelaufenen Teuerung entsprechend zu erhöhen sind (<ref-ruling> nicht publ. E. 2.3).
Bei der Einkommensberechnung sind nach Art. 3 Abs. 1 lit. f ELG (Fassung vom 4. Oktober 1985, AS 1986 I 699) Einkünfte und Vermögenswerte, auf die verzichtet wurde, als Einkommen anzurechnen. Diese Bestimmung ist praxisgemäss auch auf die Ermittlung des anrechenbaren Einkommens von Teilinvaliden anwendbar, die von einer Verwertung der verbleibenden Erwerbsfähigkeit absehen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 661). Allerdings ist das dem Geschädigten anrechenbare Erwerbseinkommen infolge der Regelung von Art. 3 Abs. 2 ELG (Fassung vom 4. Oktober 1985), welche hier ebenfalls zur Anwendung gelangt, bloss zu zwei Dritteln zu berücksichtigen.
Die Ermittlung des anrechenbaren Einkommens bei Teilinvalidität (Art. 3 Abs. 1 lit. f ELG) wird durch Art. 14a ELV (Fassung vom 7. Dezember 1987; AS 1987 II 1797) näher bestimmt. Danach wird Invaliden als Erwerbseinkommen grundsätzlich der Betrag angerechnet, den sie im massgebenden Zeitabschnitt tatsächlich verdient haben (Abs. 1). Nach Abs. 2 ist Invaliden unter 60 Jahren als Erwerbseinkommen jedoch mindestens anzurechnen der um einen Drittel erhöhte Betrag der Einkommensgrenze für Alleinstehende bei einem Invaliditätsgrad von 40 bis 49 Prozent (lit. a), der Betrag dieser Einkommensgrenze bei einem Invaliditätsgrad von 50 bis 59 Prozent (lit. b) und zwei Drittel dieses Betrages bei einem Invaliditätsgrad von 60 bis 66 2/3 Prozent (lit. c). Art. 14a ELV geht von der Vermutung aus, dass es dem Teilinvaliden möglich und zumutbar ist, im Rahmen seines von der Invalidenversicherung festgestellten verbliebenen Leistungsvermögens die in Abs. 2 der genannten Vorschrift festgelegten Grenzbeträge zu erzielen. Der Betroffene kann die Vermutung widerlegen, indem er Umstände geltend macht, welche bei der Bemessung der Invalidität ohne Bedeutung waren, ihm jedoch verunmöglichen, seine theoretische Restarbeitsfähigkeit wirtschaftlich zu nutzen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 662).
Bei der Prüfung der Frage, ob dem Teilinvaliden die Ausübung einer Tätigkeit möglich und zumutbar ist, sind sämtliche Umstände zu berücksichtigen, welche die Realisierung eines Einkommens verhindern oder erschweren, wie Alter, mangelnde Ausbildung oder Sprachkenntnisse, aber auch persönliche Umstände, die es dem Leistungsansprecher verunmöglichen, seine verbliebene Erwerbsfähigkeit in zumutbarer Weise auszunützen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 662).
2.5 Wie sich aus dem angefochtenen Urteil ergibt, hat das Obergericht die dargelegten Grundsätze bei der Ermittlung des opferhilferechtlichen Entschädigungsanspruchs beachtet. Gemäss den Feststellungen im angefochtenen Urteil erhält der Beschwerdeführer UVG-, IV- und BVG-Renten von jährlich insgesamt Fr. 38'345.--. Das Obergericht geht gestützt auf den rechtsgültigen Entscheid der Eidgenössischen IV-Stelle von einem Invaliditätsgrad von 59 % aus. Demzufolge rechnet es dem Beschwerdeführer den ELG-Grenzbetrag von Fr. 17'090.-- für Alleinstehende als hypothetisches Resterwerbseinkommen an (Art. 14a lit. b ELV, Fassung vom 7. Dezember 1987), wobei es den Betrag nur zu zwei Dritteln, d.h. Fr. 11'393.-- berücksichtigt (Art. 3 Abs. 2 ELG, Fassung vom 4. Oktober 1985).
Die in Art. 14a ELV enthaltene Vermutung, dass der Beschwerdeführer ein Erwerbseinkommen in der Höhe des ELG-Grenzbetrages von Fr. 17'090.-- erzielen könnte, vermag dieser nicht zu widerlegen. In Anbetracht dessen, dass der Beschwerdeführer sich lediglich viermal schriftlich um eine Anstellung bewarb (vgl. Urteil, S. 7) und im Zeitpunkt der Schussverletzung erst vierundzwanzig Jahre alt war, kann entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht davon ausgegangen werden, dass seine Restarbeitsfähigkeit wirtschaftlich nicht nutzbar gewesen wäre.
Das Obergericht geht folgerichtig von einem Jahreseinkommen von Fr. 49'738.-- (Fr. 38'345.-- plus Fr. 11'393.--) aus. Dieses liegt damit knapp unterhalb des dreifachen Grenzbetrages von Fr. 17'090.--, d.h. knapp unterhalb Fr. 51'270.--. Das Obergericht hat damit die Anspruchsberechtigung des Beschwerdeführers auf eine opferhilferechtliche Entschädigung in bundesrechtskonformer Anwendung von <ref-law> (Fassung vom 4. Oktober 1991) bejahen dürfen. In Anbetracht dessen sind die Vorbringen des Beschwerdeführers, das Obergericht habe die Teuerungsanpassung des ELG-Grenzbetrages sowie gewisse Einkommensabzüge nicht berücksichtigt, unerheblich.
2.6 Bei der Schadensberechnung stellt das Obergericht nicht auf das hypothetische Resterwerbseinkommen nach Art. 14a ELV (Fassung vom 7. Dezember 1987), sondern auf die Feststellungen im Urteil vom 11. August 2004 des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau ab, wonach der Beschwerdeführer effektiv Fr. 22'044.-- jährlich zu erzielen vermöge. Die Einholung eines polydisziplinären Gutachtens, wie es der Beschwerdeführer beantragte, erachtet das Obergericht als überflüssig, da die Restarbeitsfähigkeit in einem langwierigen Verfahren der SUVA ermittelt worden sei. Unter Zugrundelegung des mutmasslichen Resterwerbseinkommens von Fr. 22'044.-- zusammen mit den Rentenleistungen erwachse dem Beschwerdeführer kein Erwerbs- und Rentenschaden, weshalb der Entschädigungsanspruch entfalle. Dies gelte auch, wenn auf das Zugeständnis des Beschwerdeführers abgestellt werde, ein jährliches Einkommen von Fr. 16'683.-- erzielen zu können.
In Anbetracht dessen, dass der Beschwerdeführer die Vermutung, ein hypothetisches Resterwerbseinkommen in der Höhe des ELG-Grenzwerts von Fr. 17'090.-- erzielen zu können (Art. 14a ELV, Fassung vom 7. Dezember 1987), nicht umzustossen vermag, ist unerheblich, ob die Feststellung des Obergerichts, der Beschwerdeführer sei in der Lage, ein Resterwerbseinkommen von Fr. 22'044.-- resp. von Fr. 16'683.-- zu erzielen, zutrifft oder nicht. Unter Zugrundelegung eines hypothetischen Resterwerbseinkommens von Fr. 22'044.-- resp. Fr. 16'683.-- erwächst dem Beschwerdeführer nach den unbestrittenen Feststellungen im angefochtenen Urteil kein Erwerbs- und Rentenschaden. Dies gilt demzufolge auch für ein mutmassliches Einkommen von Fr. 17'090.--. Eine Verletzung von Bundesrecht ist dabei nicht ersichtlich. Die Prüfung der Rüge der Verletzung von Art. 9 und <ref-law> im Zusammenhang mit den diesbezüglichen Sachverhaltsfeststellungen des Obergerichts erübrigt sich.
3. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist demzufolge abzuweisen. Das Verfahren betreffend der opferhilferechtlichen Entschädigung ist kostenlos (<ref-law>). Die Kostenlosigkeit betrifft auch das Rechtsmittelverfahren (<ref-ruling> E. 4b S. 219). Die Zusprechung einer Parteientschädigung fällt ausser Betracht (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder