Sachverhalt:
A. Die Abwasserreinigungsanlage (ARA) Kiesen besteht seit 1977. Sie wird vom Gemeindeverband ARA Region Unteres Kiesental (im Folgenden: Gemeindeverband) betrieben. In der Anlage wird das Abwasser aus dem Einzugsgebiet gereinigt. Seit den neunziger Jahren wurden dort auch Speiseöl- und Speisefettabfälle aus der Speisefettindustrie sowie ab dem Jahr 2000 zusätzlich Flotatschlämme (Schlachtabfälle) aus Schlachthäusern, teilweise von Betrieben ausserhalb des Einzugsgebiets, verwertet. Diese Abfälle werden nach Bedarf bei der Vergärung von Klärschlämmen aus der Abwasserreinigung beigegeben. Bei der sog. Co-Vergärung entsteht Biogas, das zur Stromerzeugung in Blockheizkraftwerken genutzt wird. 1998 erhielt der Gemeindeverband die Baubewilligung zur Errichtung eines Blockheizkraftwerks, zwei Silos à 50 m3 Fettverwertung und eines Silos à 50 m3 Trübwasserstapel. 2002 wurde der Neubau eines weiteren Blockheizkraftwerks und eines Warmwasserspeichers bewilligt. Die bewilligten Anlagen für die Vergärung und Stromerzeugung sind gebaut und in Betrieb.
B. Auf Klagen aus der Nachbarschaft über Geruchs- und Verkehrsprobleme im Zusammenhang mit dem Betrieb der Kläranlage traf die Einwohnergemeinde Kiesen am 3. September 2003 eine Verfügung zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands. Dabei ordnete sie an, dass die besonders geruchsintensiven Flotate aus Schlachthäusern nur noch in kleineren Mengen und von Schlachthäusern aus dem Einzugsgebiet der ARA angenommen werden dürften. Zusätzlich wurde die Verwertung von fetthaltigen Abfällen auf insgesamt 1000 Tonnen pro Jahr begrenzt.
In der Folge reichte der Gemeindeverband beim Regierungsstatthalteramt Konolfingen drei Baugesuche ein; gegen alle drei Bauvorhaben gingen zahlreiche Einsprachen von Nachbarn und Bewohnern von Kiesen ein.
- Das erste Gesuch betraf die Sanierung und Erneuerung der Abwasserstrasse (Biologie) der Kläranlage. Der Regierungsstatthalter bewilligte das Baugesuch am 8. Juli 2004; dieser Entscheid ist rechtskräftig.
- Mit dem zweiten Gesuch strebte der Gemeindeverband die Annahme von 1600 Tonnen Flotaten aus Schlachthäusern in der Kläranlage an; das entsprechende Begehren wurde jedoch am 8. Oktober 2004 zurückgezogen.
- Das dritte Gesuch bezweckte eine Verwertung von Speiseöl- und Speisefettabfällen im Umfang von 2000 Tonnen pro Jahr. Dabei geht es um eine Erhöhung der zuvor zugelassenen Menge um 1000 Tonnen pro Jahr; bauliche Massnahmen sind nicht geplant. Der Regierungsstatthalter erteilte hierfür am 20. Dezember 2004 die Gesamtbewilligung.
C. X._, Ehepaar Z._ sowie Y._, die mit ihren Einsprachen unterlegen waren, fochten die Bewilligung vom 20. Dezember 2004 mit gemeinsamer Beschwerde bei der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern (im Folgenden: BVE) an. Die BVE hiess die Beschwerde am 11. August 2005 gut, soweit sie darauf eintrat. Die Behörde bejahte die Zonenkonformität des Bauvorhabens. Sie erwog indes, die erforderliche Umweltverträglichkeitsprüfung sei nicht für die ganze Kläranlage durchgeführt worden, sondern lediglich isoliert für das betreffende Vorhaben. Ebenso wenig sei geprüft worden, ob die Gesamtanlage sanierungsbedürftig sei. An diesem Mangel ändere der Umstand nichts, dass die Sanierung der Abwasserstrasse bereits bewilligt sei und ausgeführt werde. Demzufolge hob die BVE die Bewilligung vom 20. Dezember 2004 auf und wies die Angelegenheit an den Regierungsstatthalter zurück.
Der Gemeindeverband zog den Entscheid der BVE an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern weiter. Das Gericht hiess seine Beschwerde mit Urteil vom 29. Mai 2006 teilweise gut. Es hob den Entscheid der BVE auf und schützte die Bewilligung des Regierungsstatthalters vom 20. Dezember 2004 unter Ergänzung bzw. Änderung von zwei Auflagen. Das Verwaltungsgericht stellte in Übereinstimmung mit dem vorinstanzlichen Entscheid fest, dass eine Gesamtbetrachtung und -beurteilung der Umweltverträglichkeit der Anlage als Ganzes nicht stattgefunden habe. Mit Blick auf die vorhandenen Daten erübrige sich allerdings eine Rückweisung an den Regierungsstatthalter. Ferner verneinte das Verwaltungsgericht eine Pflicht zur Sanierung der gesamten Kläranlage.
D. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts haben X._ sowie Y._ beim Bundesgericht am 5. Juli 2006 Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und dem Bauvorhaben sei der Bauabschlag zu erteilen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Fortführung des Verfahrens an den Regierungsstatthalter zurückzuweisen.
Der Gemeindeverband als Beschwerdegegner ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Einwohnergemeinde Kiesen und das Verwaltungsgericht sprechen sich für die Abweisung der Beschwerde aus; die BVE befürwortet die Gutheissung. Der Regierungsstatthalter verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) äussert sich mit Schreiben vom 4. November 2006 zur Beschwerde, ohne einen Antrag zu stellen. Immerhin hält es Massnahmen zur Verringerung der Geruchsimmissionen beim Betanken der Fettsilos mit den angelieferten Speiseölen und -fetten für prüfenswert. Es bemängelt, dass entsprechende Schutzvorkehren nicht genauer untersucht worden seien. Die Parteien und die Einwohnergemeinde Kiesen haben zur Vernehmlassung des BAFU Stellung genommen und an ihren Begehren festgehalten.
E. Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung hat der Beschwerde mit Verfügung vom 13. September 2006 aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 sind die Bundesgesetze vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG) und über das Bundesverwaltungsgericht (VGG) in Kraft getreten. Da das angefochtene Urteil vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren in Anwendung von <ref-law> noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG).
1.1 Im Streit liegt ein kantonal letztinstanzlicher Beschwerdeentscheid über eine Baubewilligung für die teilweise Nutzungsänderung einer Baute innerhalb der Bauzone. Solche Baubewilligungen sind grundsätzlich nur mit staatsrechtlicher Beschwerde anfechtbar (vgl. Art. 34 Abs. 1 und 3 des Bundesgesetzes vom 22. Juni 1979 über die Raumplanung [RPG; SR 700] in der übergangsrechtlich ebenfalls noch anwendbaren, bisherigen Fassung). Stützt sich die Bewilligung allerdings - wie hier - auch auf eidgenössisches Umweltschutzrecht, ist insoweit die erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde zulässig (<ref-ruling> E. 1a/aa S. 361). Keine der in Art. 99-101 OG erwähnten Ausnahmen kommt vorliegend zum Zug (vgl. <ref-ruling> E. 1a/cc S. 161 f.).
1.2 Im Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde sind auch Anordnungen zu prüfen, die auf unselbstständigem kantonalem Ausführungsrecht zum Bundesrecht beruhen oder in Anwendung übrigen kantonalen Rechts ergangen sind, das einen hinreichend engen Sachzusammenhang mit der zu beurteilenden Frage des Bundesverwaltungsrechts aufweist. Soweit dem angefochtenen Urteil selbstständiges kantonales Recht ohne den genannten Sachzusammenhang zum Bundesrecht zugrunde liegt, steht die staatsrechtliche Beschwerde zur Verfügung (<ref-ruling> E. 1b/aa S. 49; <ref-ruling> E. 1.2 S. 262 f., je mit Hinweisen).
Beiläufig beanstanden die Beschwerdeführer, dass das Verwaltungsgericht keine Überprüfung der Zonenkonformität des Bauvorhabens vorgenommen hat. Das kantonale Gericht hat erwogen, auf die entsprechende Rüge der damaligen Beschwerdegegner könne nicht eingetreten werden, weil diese den Entscheid der BVE nicht angefochten hätten. Bei der Regelung der Zonenkonformität von Bauten innerhalb der Bauzone handelt es sich um selbstständiges kantonales bzw. kommunales Recht; insofern ist nur die staatsrechtliche Beschwerde gegeben (<ref-ruling> E. 1b S. 158; Urteil 1A.65/2005 vom 20. Dezember 2005, E. 7.1 nicht publ. in <ref-ruling>). Eine staatsrechtliche Beschwerde haben die Beschwerdeführer nicht erhoben. Im Hinblick auf die Frage, ob das Verwaltungsgericht zu Recht auf den Punkt der Zonenkonformität nicht eingetreten ist, besteht auch kein Anlass, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde in eine staatsrechtliche Beschwerde umzudeuten. In dieser Hinsicht haben die Beschwerdeführer keine Verfassungsrügen geltend gemacht. Deshalb ist auf die Vorbringen im Zusammenhang mit der angeblich mangelnden Zonenkonformität nicht einzutreten.
Ferner wenden sich die Beschwerdeführer gegen die Kostenverlegung im angefochtenen Entscheid. Bei der Anfechtung eines sich materiell auf Bundesverwaltungsrecht stützenden kantonalen Entscheids kann im gleichen Verfahren - kraft Sachzusammenhangs - mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde auch der auf kantonalem Verfahrensrecht beruhende Kostenspruch auf seine Bundesrechtskonformität hin überprüft werden; es braucht in diesem Punkt nicht gesondert staatsrechtliche Beschwerde erhoben zu werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 303 mit Hinweis). Dies ändert aber nichts daran, dass sich die Kognition des Bundesgerichts bezüglich des selbstständigen kantonalen Verfahrensrechts nach den Grundsätzen richtet, die für das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde gelten (BGE <ref-ruling> E. 1.5 S. 264 f. mit Hinweisen).
1.3 Es ist unbestritten, dass die Beschwerdeführer im Gebiet wohnen, in dem der vom Betrieb der Kläranlage ausgehende Lärm und die unangenehmen Gerüche wahrzunehmen sind. Sie haben daher ein schutzwürdiges Interesse im Sinne von Art. 103 lit. a OG an der Aufhebung der Baubewilligung bzw. einer allfälligen Sanierung der Anlage.
1.4 Der Beschwerdegegner wirft die Frage auf, ob die Prüfung einer Sanierungspflicht bezüglich der gesamten Kläranlage den Streitgegenstand sprenge. Diese Frage ist zu verneinen. Wie das Verwaltungsgericht festgestellt hat, ist eine Gesamtbetrachtung und -beurteilung der Umweltverträglichkeit der Anlage als Ganzes im erstinstanzlichen Bewilligungsverfahren zu Unrecht unterblieben. Es ist folglich nicht zu beanstanden, dass die BVE und das Verwaltungsgericht die Frage der allfälligen Sanierungspflicht für die gesamte Kläranlage in ihre Würdigung einbezogen haben.
1.5 Im Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde prüft das Bundesgericht, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt hat (Art. 104 lit. a OG). Dabei ist es an die Feststellungen des Sachverhalts durch eine richterliche Vorinstanz gebunden, sofern diese nicht offensichtlich unrichtig oder unvollständig sind oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen getroffen worden sind (Art. 105 Abs. 2 OG).
2. 2.1 Das Verwaltungsgericht hielt eine Rückweisung des Verfahrens zur Vervollständigung der bereits erfolgten Umweltverträglichkeitsprüfung (UVP) für unverhältnismässig. Es nahm aufgrund der vorhandenen Daten der einzelnen Anlageteile und der entsprechenden Fachbeurteilungen selbst eine entsprechende Gesamtbeurteilung vor. Dass im angefochtenen Urteil keine Ergänzung der UVP für nötig befunden worden ist, erachten die Beschwerdeführer als bundesrechtswidrig. Das Verwaltungsgericht habe zu wenig berücksichtigt, dass sie unter penetranten Geruchs- und Lärmimmissionen der Kläranlage in ihrem bisherigen Zustand zu leiden hätten.
2.2 Die Beteiligten gehen zu Recht davon aus, dass das hier umstrittene Bauvorhaben der UVP-Pflicht im Sinne von Art. 9 des Bundesgesetzes vom 7. Oktober 1983 über den Umweltschutz (USG; SR 814.01) unterliegt (vgl. Art. 1 und Anhang Nr. 40.7 der Verordnung vom 19. Oktober 1988 über die Umweltverträglichkeitsprüfung [UVPV; SR 814.011]). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kann jedoch ausnahmsweise auf eine nachträgliche UVP im förmlichen Sinne verzichtet werden, wenn die vorgenommenen Sachverhaltsabklärungen materiell genügen, um die Vereinbarkeit des Vorhabens mit den Umweltschutzvorschriften beurteilen zu können (<ref-ruling> E. 3a S. 469; Urteile 1E.8/2002 vom 4. November 2002, E. 2.3, publ. in: URP 2003 S. 655; 1A.136/2004 vom 5. November 2004, E. 2.5, publ. in: URP 2005 S. 1). Immerhin ist eine derartige Ausnahmesituation nicht leichthin anzunehmen. Gerade in Fällen wie dem vorliegenden, bei denen ein Bauvorhaben in verschiedene Teilschritte und Bewilligungsverfahren aufgeteilt wird, besteht die Gefahr, dass die Gesamtauswirkungen möglicherweise zumindest zum Teil ungeprüft bleiben (vgl. <ref-ruling> E. 26b S. 347). Auch bei einem nachträglichen Verzicht auf eine formelle UVP bzw. auf die Vervollständigung einer mangelhaften UVP muss Gewähr geboten sein, dass der Massstab einer im Ergebnis umfassenden und korrekten Ermittlung des umweltrechtlich relevanten Sachverhalts durch Fachpersonen (Ingenieure und Naturwissenschafter) keinesfalls unterschritten wird.
2.3 Der Beschwerdegegner, d.h. der Trägerverband der Abwasserreinigungsanlage, hatte in Reaktion auf die ihm gegenüber getroffene Wiederherstellungsverfügung vom 3. September 2003 parallel drei Baugesuche eingereicht. Diese betrafen unterschiedliche Anliegen. Einerseits sollte der Teilbereich der Abwasserstrasse saniert werden; anderseits wurde mittels nachträglicher Baugesuche die Erlaubnis für die Verwertung einer markant höheren Menge an Flotaten (Schlachtabfällen) und Speisefettabfällen angestrebt. Die Kapazitäten für die Vergärung derartiger Abfallmengen waren baulich bereits geschaffen worden; die baulichen Massnahmen hatten sich auf eine rechtskräftige Baubewilligung gestützt. Die Rechtmässigkeit jener Bewilligung war im Nachhinein nicht in Zweifel zu ziehen. Mit den beiden nachträglichen Baugesuchen ging es vielmehr um eine teilweise Nutzungsänderung, um die geschaffenen Kapazitäten auch ausschöpfen zu können. Bezüglich Flotaten und Fettverwertung wurden zwei getrennte Gesuche gestellt, namentlich weil nur beim ersteren eine Biofilteranlage zur Reinigung der Abluft vorgesehen war. Umweltverträglichkeitsberichte sind zudem bloss für die Projekte Flotate und Fettverwertung erstellt worden, indessen nicht im Hinblick auf die Sanierung der Abwasserstrasse. Immerhin sind alle drei Baugesuche erstinstanzlich je für sich im koordinierten Verfahren behandelt worden.
2.4 Zu Recht hat das Verwaltungsgericht die mangelhafte Koordination der Verfahren untereinander gerügt. Die UVP, die für das hier betroffene Baugesuch bezüglich Fettverwertung erfolgt ist, erweist sich als mangelhaft, weil sie auf diese Fragestellung beschränkt war, statt sich mit der Umweltbelastung der gesamten Kläranlage zu befassen. Wenn das Verwaltungsgericht die vorhandenen Abklärungen dennoch materiell für genügend erachtete, konnte es sich für seine Gesamtbeurteilung auf eine Mehrzahl von Fachberichten stützen, die punktuell Angaben zur Umweltverträglichkeit der gesamten Kläranlage liefern. Für jedes der drei Bauvorhaben liegen Fachberichte der zuständigen Amtsstellen vor, die sich mit Umweltschutzfragen auseinander setzen. Hier interessieren besonders die Fachberichte zum Immissionsschutz, die von der unter anderem für Luftreinhaltung und betrieblichen Lärmschutz zuständigen Stelle des kantonalen Amts für Berner Wirtschaft (beco) verfasst worden sind. Die Berichte dieser Stelle zu den drei Bauprojekten nehmen aufeinander Bezug. Zusätzlich hat sich diese Fachstelle im vorliegenden Beschwerdeverfahren vor der BVE am 1. Februar 2005 vernehmen lassen. Es wird im Folgenden zu prüfen sein, ob sich gestützt darauf der Schluss rechtfertigt, das Verwaltungsgericht habe zu Recht von einer nachträglichen, vollständigen UVP abgesehen. Ein solcher Schluss wäre dann nicht zulässig, wenn weiterer Abklärungsbedarf besteht.
2.5 Die Beschwerdeführer kritisieren, dass die Klagen von Anwohnern über Geruchs- und Lärmimmissionen aus dem Betrieb der gesamten Kläranlage weder im Fachbericht Immissionsschutz des beco vom 2. April 2004 zum Gesuch betreffend Speisefettabfälle noch in der darauf gestützten Gesamtbeurteilung der kantonalen Koordinationsstelle für Umweltschutz (KUS) vom 11. Mai 2004 erwähnt worden sind.
Dieser Vorwurf scheint zwar vordergründig zuzutreffen. Die Beschwerdeführer blenden aber aus, dass die Geruchsklagen bereits im Fachbericht Immissionsschutz des beco vom 4. Februar 2004 zum Gesuch betreffend Sanierung Abwasserstrasse in differenzierter Weise angesprochen worden sind. Wie diese Fachstelle in ihrer Vernehmlassung vom 1. Februar 2005 näher erläuterte, hatte sie in ihrem Bericht vom 2. April 2004 vor dem ihr bekannten Hintergrund Auflagen aus Sicht der Lufthygiene aufgestellt, um übermässige Geruchsimmissionen zu vermeiden. Im Rahmen der Vernehmlassung vom 1. Februar 2005 machte die Fachstelle auch Ausführungen zur Geruchsproblematik der Kläranlage als Ganzes und insbesondere zur Behandlung von Klärschlamm mit oder ohne Fettabfälle.
Weiter befasste sich der erwähnte Fachbericht vom 2. April 2004 mit der Lärmschutzproblematik und verwies dabei auf den diesbezüglich eingehenden Bericht vom 4. Februar 2004. In der Gesamtbeurteilung der KUS vom 11. Mai 2004 ist im Übrigen auch die Stellungnahme des kantonalen Tiefbauamtes aufgeführt, welches das Vorhaben aus Sicht des Strassenlärms für unproblematisch erachtet hat.
Das BAFU pflichtet in seiner Vernehmlassung dem Verwaltungsgericht bei, dass die vorhandenen Angaben zu den Gesamtauswirkungen der Kläranlage genügen. Eine Ergänzung der UVP im Zusammenhang mit den von den Beschwerdeführern angesprochenen Geruchs- und Lärmklagen zum Betrieb der Gesamtanlage erweist sich folglich nicht als notwendig.
3. Hingegen wendet das BAFU ein, in einem Einzelaspekt seien die bisherigen Abklärungen ungenügend. Eine genauere Untersuchung sei geboten im Hinblick auf allfällige Massnahmen zur Verringerung der Geruchsemissionen beim Betanken der Fettsilos mit den angelieferten Speiseölen und -fetten. Insofern kommen nach Auffassung des BAFU Biofilter oder Bio-Abluftwäscher in Betracht.
3.1 Nach <ref-law> sind Emissionen im Rahmen der Vorsorge unabhängig von der bestehenden Umweltbelastung so weit zu begrenzen, als dies technisch und betrieblich möglich und wirtschaftlich tragbar ist. Wenn feststeht oder zu erwarten ist, dass die Einwirkungen unter Berücksichtigung der bestehenden Umweltbelastung schädlich oder lästig werden, sind die Emissionsbegrenzungen zu verschärfen (<ref-law>). Solche Begrenzungen werden gemäss <ref-law> durch Verordnungen oder, soweit diese nichts vorsehen, durch unmittelbar auf das Umweltschutzgesetz abgestützte Verfügungen vorgeschrieben. Schutzmassnahmen nach <ref-law> sind nicht erst zu ergreifen, wenn die Umweltbelastung schädlich oder lästig wird, sondern es müssen gestützt auf das Vorsorgeprinzip die unnötigen Emissionen vermieden werden (<ref-ruling> E. 2b S. 368; <ref-ruling> E. 4b S. 522).
3.2 Diese Grundsätze sind allerdings nicht so zu verstehen, dass jeder im strengen Sinne unnötige Lärm völlig untersagt werden müsste. Es gibt keinen Anspruch auf absolute Ruhe; vielmehr sind geringfügige, nicht erhebliche Störungen hinzunehmen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4c/bb S. 307, 366 E. 2b S. 368). Ebenso wenig besteht ein Recht darauf, dass eine Anlage absolut geruchsfrei funktionieren müsste; auch insofern ist eine geringfügige Belästigung der Umgebung zumutbar (vgl. Urteile 1A.214/2005 vom 31. Januar 2006, E. 6.3.1; 1A.65/2005, E. 5.3, nicht publ. in <ref-ruling>). Das Vorsorgeprinzip hat nach der Konzeption des Umweltschutzgesetzes emissionsbegrenzenden und nicht -eliminierenden Charakter (<ref-ruling> E. 4c S. 406 mit Hinweis).
In der bisherigen Rechtsprechung wurde diesbezüglich der Satz verwendet, das Vorsorgeprinzip finde in umweltrechtlichen Bagatellfällen keine Anwendung (vgl. <ref-ruling> E. 8b S. 233 mit Hinweis). Eine solche Aussage greift indessen zu kurz. Daraus könnte abgeleitet werden, bei niedrigen Emissionswerten müssten Massnahmen der Vorsorge von vornherein weder geprüft noch ergriffen werden (vgl. Alain Griffel, Die Grundprinzipien des schweizerischen Umweltrechts, Zürich 2001, Rz. 87; Beatrice Wagner Pfeifer, Umweltrecht I, 2. Aufl., Zürich 2002, S. 36). Richtig besehen muss das Verhältnismässigkeitsprinzip als Verfassungsgrundsatz (<ref-law>) auch bei niedrigen Emissionswerten zur Anwendung gelangen. Es hat aber dort zur Folge, dass sich besondere Anordnungen im Sinne der Vorsorge in der Regel nicht rechtfertigen (so André Schrade/Theo Loretan, in: Kommentar USG, 2. Aufl. 1998, Rz. 35 zu <ref-law>).
In diesem Sinne ist zu präzisieren: Sofern sich geringfügige Emissionen mit kleinem Aufwand erheblich verringern lassen, so dürfte es grundsätzlich verhältnismässig sein, entsprechende Massnahmen zu verlangen. Wenn sich eine Reduktion bei derartigen Emissionen hingegen als unverhältnismässig oder sogar als unmöglich erweist, so ist dahingehend zu entscheiden, dass solche Immissionen von den Betroffenen hinzunehmen sind. Gestützt auf eine solche Interessenabwägung ist auch die generell-abstrakte Festlegung eines unteren Schwellenwerts denkbar, bei dem - vorbehältlich neuer Erkenntnisse - keine zusätzlichen Massnahmen mehr gefordert werden können (vgl. z.B. Art. 4 i.V.m. Anhang 1 der Verordnung vom 23. Dezember 1999 über den Schutz vor nichtionisierender Strahlung [NISV; SR 814.710] und dazu <ref-ruling> E. 4c S. 407 f.).
3.3 Die vom BAFU angesprochenen geruchsbekämpfenden Massnahmen beziehen sich hier hauptsächlich auf die Verdrängungsluft, die beim Befüllen der Silos ungefiltert entweicht. Kurzzeitige Geruchsemissionen können auch bei allfälligen Betriebsstörungen (Leckagen) auftreten; im Übrigen erfolgt die Fettverwertung in einem geschlossenen System. Nach den verbindlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts sind die entsprechenden Geruchsbelästigungen geringfügig. Diese Würdigung bezieht sich auf das Geruchspotential von Speiseölen und -fetten - in der hier interessierenden Form als Abfälle - an sich wie auch auf die begrenzte Zeitdauer einzelner Immissionen. Der Beschwerdegegner hat im bundesgerichtlichen Verfahren erläutert, dass das Betanken im Schnitt einmal pro Arbeitstag erfolgt und jeweils rund eine halbe Stunde dauert. Wie bereits aus dem Umweltverträglichkeitsbericht im Zusammenhang mit dem Baugesuch für die Erhöhung der Fettverwertung folgt, beträgt die Anliefermenge pro Lastwagentransport jeweils 8 bzw. 16 Tonnen.
3.4 Bei dieser Sachlage ist zu prüfen, ob es verhältnismässig ist, die vom BAFU zur Diskussion gestellten Biofilter bzw. Bio-Abluftwäscher zur Auflage der Baubewilligung zu machen. Bei den angeführten Massnahmen handelt es sich um Anlagen zur biologischen Abluftreinigung. Beim Biofilter wird die Abluft - nach einer Vorbehandlung, insbesondere nach einer Vorbefeuchtung - durch eine Filterschicht aus organischem Material geleitet. Beim sog. Biowäscher werden die Geruchsstoffe in einer Waschflüssigkeit absorbiert und anschliessend durch Mikroorganismen abgebaut (vgl. Brockhaus, Enzyklopädie in 30 Bänden, 21. Aufl. 2006, Band 4, Stichworte "Biofilter" und "Biowäscher"). Der Einbau einer Biofilteranlage war beim zurückgezogenen Projekt bezüglich der Flotate aus Schlachthäusern vorgesehen gewesen. Im Vergleich dazu müsste eine Abluftreinigungsanlage für die Fettverwertung nicht dieselbe Behandlungskapazität aufweisen; namentlich bestehen bei der hier umstrittenen Fettverwertung weniger Emissionsquellen. Dennoch geht es um eine technisch anspruchsvolle Anlage mit erheblichen Investitionskosten. Es ist offensichtlich, dass die Forderung nach einer Abluftreinigungsanlage im vorliegenden Zusammenhang in keinem angemessenen Verhältnis zur Geringfügigkeit der Geruchsimmissionen steht. Entgegen der Auffassung des BAFU ist es nicht zu beanstanden, wenn das Verwaltungsgericht im Sinne einer antizipierten Beweiswürdigung auf eine genauere Untersuchung zum Einsatz von Biofiltern oder Biowäschern verzichtet hat.
4. 4.1 In einer weiteren Rüge bestreiten die Beschwerdeführer die Umweltverträglichkeit der Gesamtanlage wie auch des konkreten Bauvorhabens. Die Kläranlage sei vielmehr in ihrem bisherigen Zustand namentlich aufgrund der Geruchsemissionen des Betriebs wie auch wegen des Verkehrslärms der betrieblichen Lastwagen-Transporte sanierungsbedürftig. Die Bewilligung des Vorhabens, mit der die bestehende Gesamtanlage wesentlich geändert werde, verstosse ohne gleichzeitige Anordnung einer Sanierung dieser Anlage gegen <ref-law>.
4.2 Nach dem angefochtenen Entscheid ist die bestehende Gesamtanlage nicht sanierungsbedürftig. Mit Abschluss der Sanierung der Abwasserstrasse (Biologie), die am 8. Juli 2004 bewilligt wurde, gelte die Kläranlage gemäss dem kantonalen Sachplan Siedlungsentwässerung als saniert. Ausserdem stellte das Gericht bei seiner Würdigung - mit besonderem Bezug auf die Lufthygiene - auf die im Umweltverträglichkeitsbericht wiedergegebene Messung der Geruchsemissionen der Gesamtanlage im Ist-Zustand ab. Danach hatte der entsprechende Wert weniger als 100 Geruchseinheiten pro m3 (GE/m3) betragen. Ferner berücksichtigte das Gericht die Auskunft der Standortgemeinde, dass vor dem Jahr 2003 keine Reklamationen über Geruchsbelästigungen eingegangen seien. Das Gericht nahm an, selbst wenn nach der Wiederherstellungsverfügung vom 3. September 2003 weiterhin kleinere Mengen von Flotaten aus Schlachthäusern im Einzugsgebiet der Kläranlage behandelt werden dürften, seien keine übermässigen Geruchsemissionen der Gesamtanlage zu befürchten. Das BAFU schliesst sich dieser Beurteilung in seinem Schreiben vom 4. November 2006 im Wesentlichen an. Es ortet bei der Gesamtanlage, mit Ausnahme der bereits bei E. 3 behandelten Geruchsemissionen, keinen umweltrechtlichen Handlungsbedarf.
4.3 Bei den umstrittenen Geruchsemissionen müsste - wenn überhaupt - eine Begrenzung im Einzelfall angeordnet werden. Insofern stellte das Verwaltungsgericht im angefochtenen Urteil einen Vergleich mit der in seinem Urteil vom 14. Juni 2005 behandelten Emissionsbegrenzung für eine andernorts gelegene Entsorgungsanlage von tierischen Abfällen an. Dort war ein Grenzwert von 300 GE/m3 festgelegt worden (BVR 2006 S. 335 E. 6.1; vgl. dazu Urteil des Bundesgerichts 1A.214/2005, E. 5). Im Umweltverträglichkeitsbericht zu dem hier zurückgezogenen Gesuch für die Verwertung von Flotatschlämmen aus Schlachthäusern wird der bei E. 4.2 genannte Messwert unter Bezugnahme auf den Expertenbericht von M. Hangartner (Grundlagen zur Beurteilung von Geruchsproblemen, Expertenbericht des Instituts für Hygiene und Arbeitsphysiologie der ETH Zürich, Hrsg. BUWAL [heute: BAFU], Schriftenreihe Umweltschutz Nr. 115, Bern 1989, S. 30) wie folgt erläutert: Bei einer Geruchskonzentration unter 100 GE/m3 seien die Geruchsemissionen in der Umgebung nicht wahrnehmbar. Bei einer Konzentration von 100-300 GE/m3 sei die Wahrnehmung dann nicht negativ, wenn das Belästigungspotenzial des Geruchs klein sei und ein genügender Abstand zum Wohngebiet von über 300 Metern eingehalten werde.
Mit der Bedeutung des Werts von 100 GE/m3 setzen sich die Beschwerdeführer nicht auseinander. Die Beschwerdeführer stellen auch nicht in Zweifel, dass seit der Wiederherstellungsverfügung vom 3. September 2003 lediglich geringe Mengen an Flotatschlämmen aus Schlachthäusern in die Kläranlage gelangen; das vorliegende Bauvorhaben bringt insofern keine Veränderung. Zwar hat die Standortgemeinde im bundesgerichtlichen Verfahren eingeräumt, dass bei ihr sehr selten Geruchsklagen von Anwohnern eingehen. Auch vor diesem Hintergrund lässt sich aber annehmen, dass der bestehende Anlagenbetrieb im Allgemeinen keine nennenswerten Geruchsimmissionen in der Umgebung verursacht. Wesentlich ist, dass die Gesamtanlage dem heutigen Stand der Technik und den einschlägigen Vorschriften entspricht. Es wird weder von den Beschwerdeführern dargetan noch ist ersichtlich, inwiefern dies hier nicht der Fall sein sollte.
Dass die geplante Erhöhung der Fettverwertung vorliegend ohne Einbau einer Abluftreinigungsanlage umweltverträglich ist, wurde bereits bei E. 3 dargelegt. Insgesamt steht zu erwarten, dass die Gesamtanlage auch nach der Verwirklichung des geplanten Vorhabens in aller Regel für die Wohnbevölkerung in der Umgebung keine rechtsrelevante Geruchsbelästigung mit sich bringt. Punktuelle und kurzzeitige Ausnahmen gebieten keine weitergehenden umweltschutzrechtlichen Massnahmen in dieser Hinsicht.
4.4 Was den Lärm der betrieblichen Lastwagentransporte betrifft, wird von den Beschwerdeführern nicht einmal ansatzweise aufgezeigt, inwiefern sie dadurch konkret gestört werden. Es kann offenbleiben, ob die Beschwerdeschrift in diesem Punkt den Anforderungen von Art. 108 Abs. 2 OG entspricht (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.3 S. 452 mit Hinweisen). Die entsprechende Rüge vermöchte ohnehin nicht durchzudringen. Nach den Feststellungen des Verwaltungsgerichts bewirkt die zusätzliche Verwertung von Speisefettabfällen eine Verkehrszunahme um einen Lastwagentransport bzw. zwei Vorbeifahrten pro Arbeitstag. Dem Umweltverträglichkeitsbericht und den bei E. 2.5 erwähnten Ausführungen der Fachstelle Immissionsschutz des beco ist zu entnehmen, dass für den Kläranlagen-Betrieb insgesamt weniger als 600 Lastwagentransporte pro Jahr benötigt werden. Bei derartigen Zahlenwerten, zu denen sich die Beschwerdeschrift wiederum nicht äussert, brauchte das Verwaltungsgericht keine diesbezüglichen Lärmvorkehren zu fordern.
4.5 Zusammengefasst lässt sich dem Verwaltungsgericht keine Verletzung von Bundesrecht vorwerfen, wenn es die Umweltverträglichkeit der umstrittenen Erhöhung bei der Speiseöl- bzw. Speisefettverwertung bejaht und einen Sanierungsbedarf der Gesamtanlage verneint hat. Die vom Gericht zusätzlich verlangten Auflagen beziehen sich nicht auf die von den Beschwerdeführern kritisierten Gerüche und Betriebstransporte, sondern auf die gewässerschutzrechtliche Koordination der Bewilligungen vom 8. Juli und vom 20. Dezember 2004; dieses Anliegen ist unbestritten. Wie das kantonale Gericht in seiner Vernehmlassung ausgeführt hat, genügt es auch zur Wahrung der betroffenen öffentlichen Interessen, dass die zuständigen kantonalen und kommunalen Instanzen die Einhaltung der Bewilligungsauflagen bzw. der umweltschutzrechtlichen Vorschriften überwachen. Die Einrichtung eines zusätzlichen Monitoring-Systems im Hinblick auf Geruchsimmissionen, wie von der Standortgemeinde vorgeschlagen, kann sich zwar als vertrauensbildende Massnahme für die offenbar sensibilisierte Anwohnerschaft eignen, ist aber umweltrechtlich nicht geboten.
5. 5.1 Das Verwaltungsgericht hat die Verfahrenskosten sowohl für das Verfahren vor der BVE wie auch für das verwaltungsgerichtliche Verfahren den Parteien je hälftig auferlegt. Zudem hat es die Parteien verpflichtet, sich gegenseitig je die Hälfte der Parteikosten für beide Instanzen zu ersetzen. Dabei sind die vom Gericht festgesetzten Parteikosten der Beschwerdeführer niedriger als diejenigen des Beschwerdegegners. Die Beschwerdeführer bemängeln die Regelung über den gegenseitigen Parteikostenersatz sinngemäss als willkürlich. Nach ihrer Meinung hätten die Parteikosten bei richtiger Anwendung von Art. 108 Abs. 3 des bernischen Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG/BE; BSG 155.21) wettgeschlagen werden müssen.
5.2 Nach Art. 108 Abs. 3 VRPG/BE hat die unterliegende Partei der Gegenpartei die Parteikosten zu ersetzen, sofern nicht deren prozessuales Verhalten oder die besonderen Umstände eine andere Teilung oder die Wettschlagung gebieten oder die Auflage der Parteikosten an das Gemeinwesen als gerechtfertigt erscheint. Die Beschwerdeführer erblicken einen besonderen Umstand darin, dass die beiden ersatzpflichtigen Beträge nahe beieinander lägen. Es ist den Beschwerdeführern zuzugeben, dass in einem solchen Fall die Wettschlagung der Parteikosten in Betracht gezogen werden kann (Thomas Merkli/Arthur Aeschlimann/Ruth Herzog, Kommentar zum Gesetz vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Bern, Bern 1997, N. 14 zu Art. 108 VRPG/BE). Wenn das Verwaltungsgericht jedoch statt der pauschalen Lösung über die Wettschlagung den genauen Parteikostenausgleich gewählt hat, so erscheint dies ebenfalls als vertretbar. Jedenfalls kann die kritisierte Kostenregelung nicht als willkürlich im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.2 S. 177; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f., je mit Hinweisen) bezeichnet werden.
6. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 und Abs. 7 OG). Sie haben den Beschwerdegegner angemessen zu entschädigen (Art. 159 Abs. 2 und Abs. 5 OG). Die Einwohnergemeinde Kiesen hat zu Recht keine Parteientschädigung verlangt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren, unter solidarischer Haftbarkeit, gesamthaft mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Kiesen, dem Regierungsstatthalter von Konolfingen, der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, sowie dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Mai 2007
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: