Sachverhalt:
A.
Die 1965 geborene A._ absolvierte eine kaufmännische Ausbildung und mehrere Weiterbildungen. Sie war zuletzt vom 8. September 2008 bis 6. August 2009 (letzter Arbeitstag: 19. März 2009) bei der B._ AG als Interim-Buchhalterin angestellt.
Im Juni 2009 meldete sich A._ unter Hinweis auf ein Burnout bzw. eine Erschöpfungsdepression bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärung der medizinischen und erwerblichen Verhältnisse erteilte die IV-Stelle des Kantons Zürich am 21. Mai 2010 Kostengutsprache für ein Belastbarkeitstraining bei der C._ vom 1. Juni bis 31. August 2010 und am 1. September 2010 für ein Aufbautraining bei der C._ vom 1. September 2010 bis 25. Februar 2011. Aufgrund nicht erreichter Zwischenziele beendete die IV-Stelle die Integrationsmassnahme (Abbruch am 24. Dezember 2010) vorzeitig (Mitteilung vom 20. Januar 2011).
Die Verwaltung veranlasste weitere medizinische Abklärungen. Zudem nahm sie ein von der Schweizerischen Mobiliar Lebensversicherungs-Gesellschaft AG, bei welcher die Versicherte im Rahmen der privaten Vorsorge gegen die Folgen einer Erwerbsunfähigkeit versichert war, in Auftrag gegebenes Gutachten des Dr. med. D._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, Klinik E._, vom 22. Juni 2011 zu den Akten. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle den Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 28. Februar 2013).
B.
Beschwerdeweise liess die Versicherte beantragen, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben, und es seien ihr die gesetzlichen Leistungen, insbesondere eine ganze Rente, zuzusprechen; der Eintritt des rentenauslösenden Gesundheitsschadens sei auf den 31. Mai 2007 festzusetzen. Mit Entscheid vom 26. Februar 2014 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. Es seien ihr die gesetzlichen Leistungen, insbesondere eine angemessene Rente, zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache zur weiteren Sachverhaltsfeststellung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weitern ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) für das letztinstanzliche Verfahren und um Bewilligung eines zweiten Schriftenwechsels.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin verlangt die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels.
1.2. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) mit Antrag, Begründung und Angabe der Beweismittel (<ref-law>) einzureichen. Ein zweiter Schriftenwechsel findet in der Regel nicht statt (vgl. <ref-law>). Es besteht auch vorliegend kein Anlass, einen solchen anzuordnen, da die Beschwerdeführerin in der Lage war, sich substanziiert mit dem angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen, und ein zweiter Schriftenwechsel nicht dazu dienen kann, in der Beschwerdeschrift Versäumtes nachzuholen (Urteil 9C_603/2013 vom 24. März 2014 E. 1.2; 9C_88/2011 vom 15. Februar 2012 E. 2). Daran vermag auch die Vernehmlassung vom 20. Mai 2014 nichts zu ändern, begnügte sich doch die Beschwerdegegnerin damit, unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid die Beschwerdeabweisung zu beantragen. Im Übrigen stand es der Beschwerdeführerin frei, freiwillige Bemerkungen zur Vernehmlassung, die ihr am 26. Mai 2014 zugesandt worden war, anzubringen.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.2. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat. Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> eine Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.), die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei überprüfen kann.
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
3.
Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine Invalidenrente und in diesem Zusammenhang die Frage, ob die Vorinstanz einen invalidisierenden Gesundheitsschaden zu Recht verneint hat.
4.
4.1. Die Vorinstanz gelangte zum Ergebnis, dass die Beschwerdeführerin aus invalidenversicherungsrechtlicher Sicht in ihrer Arbeitsfähigkeit nicht eingeschränkt sei und die IV-Stelle einen Rentenanspruch demnach zu Recht verneint habe. Es ergebe sich weder aus den Akten noch habe die Beschwerdeführerin vorgetragen, dass die depressive Erkrankung je in schwerer Ausprägung vorgelegen habe. Dr. med. D._ habe die Diagnose einer rezidivierenden depressiven Störung nicht stellen können. Zu einem ähnlichen Schluss seien die Ärzte des Sanatoriums F._ gelangt, welche unter Fortführung der Therapie mit einer weiteren Zustandsverbesserung gerechnet und die Wiederherstellung der vollen Arbeitsfähigkeit für möglich erachtet hätten. Die unterschiedliche Einschätzung der Arbeitsfähigkeit durch Dr. med. G._ und Dr. med. H._ beruhe darauf, dass es sich um behandelnde Spezialärzte (Psychiatrie und Psychotherapie FMH) handle, die, ebenso wie allgemeinpraktizierende Hausärzte, im Zweifel eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagen würden. Im Übrigen hätten sie nicht darzulegen vermocht, weshalb bei der Beschwerdeführerin nach wie vor eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bestehe, obwohl die ursprünglich belastende Arbeitssituation in dem von ihr wenig geliebten Beruf gänzlich weggefallen sei. Für die Müdigkeit und das gesteigerte Schlafbedürfnis fehlten einschlägige Diagnosen mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit. Gemäss den Ärzten des Sanatoriums F._ (Bericht vom 26. November 2009) und dem Hausarzt Dr. med. I._ (Bericht vom 11. August 2009) beeinträchtige die Hypothyreose die Arbeitsfähigkeit nicht. Zu der von Dr. med. H._ diagnostizierten Neurasthenie sei festzuhalten, dass nach der Rechtsprechung die Müdigkeit, wie sie im Rahmen einer Neurasthenie auftrete, in aller Regel durch eine zumutbare Willensanstrengung überwindbar sei und nur unter besonderen Umständen eine Invalidität im Rechtssinn zu begründen vermöge. Solche Umstände ergäben sich weder aus den Akten noch habe die Beschwerdeführerin sie darzulegen vermocht. Es fehle insbesondere am Hauptmerkmal der Komorbidität, da gemäss ICD-10 F48.0 eine Neurasthenie eine depressive Erkrankung oder eine Angststörung ausschliesse. Keine invalidisierende Wirkung habe schliesslich auch die von Dr. med. D._ angeführte Z-Diagnose.
4.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, das kantonale Gericht sei bei der Frage, ob ein dauerhaftes, invalidisierendes Leiden vorliege, in unzulässiger Weise von den Berichten der behandelnden und der RAD-Mediziner, vom Privatgutachten der Mobiliar und von der Einschätzung der professionellen Berufsberater abgewichen. Es habe wichtige Sachverhaltsabklärungen unterlassen. Insbesondere habe es die aktuellen medizinischen Unterlagen betreffend die somatischen Einschränkungen nicht eingeholt. Auf ihr Vorbringen, wonach sich die entsprechenden Unterlagen nicht in den IV-Akten befänden, sei die Vorinstanz nicht eingegangen.
5.
5.1. Bei der Versicherten wurde wiederholt eine rezidivierende depressive Störung ICD-10 F33.1, mittelgradige Episode, diagnostiziert (Berichte der Klinik K._ vom 26. August 2009, des Sanatoriums F._ vom 26. November 2009, des Dr. med. H._ vom 16. Februar 2010 und 5. September 2011 [auch Neurasthenie], und der Dr. med. G._ vom 3. September 2012 [rezidivierende depressive Episode F33.1 und F33.2 ohne je vollständige Remission seit 2007]). Anlässlich der Begutachtung vom 16. Juni 2011 stellte Dr. med. D._ eine "zweite" depressive "Episode" mit somatischen Symptomen, gegenwärtig im leichten Ausmass (ICD-10 F32.01 [daneben eine intermittierende Akzentuierung der ängstlichen Persönlichkeitszüge, ICD-10 Z73.1]) fest (wobei er deren Ausbruch anhand der Akten ebenfalls auf März 2009 festlegte und eine vollständige Arbeitsunfähigkeit seit 22. März 2009 bestätigte; Gutachten vom 22. Juni 2011).
Aus den Akten ergibt sich der folgende Krankheitsverlauf: Die Ärzte des Sanatoriums F._, wo die Beschwerdeführerin vom 23. Juni bis 23. September 2009 in teilstationär-psychiatrischer Behandlung stand, rechneten ursprünglich mit einer Zustandsverbesserung und der Wiedererlangung einer vollen Arbeitsfähigkeit (Bericht vom 26. November 2009). Die erwartete positive Entwicklung setzte indessen anschliessend nicht ein. Vielmehr zeigte sich gerade auch im Rahmen der im Jahr 2010 durchgeführten, am 24. Dezember 2010 vorzeitig abgebrochenen Integrationsmassnahmen der Invalidenversicherung, dass das Ziel der Erlangung einer Arbeitsfähigkeit von 50 % "in den nächsten Monaten" nicht vorstellbar sei (Abschlussbericht Integrationsmassnahmen der C._ vom 29. Dezember 2010). Am 31. März 2011 berichteten der Psychiater Dr. med. H._ und die Psychotherapeutin L._, dass die therapeutischen Massnahmen erschöpft seien und trotz aller therapeutischer Bemühungen eine Verschlechterung des Zustandes eingetreten sei. Im Juni 2011 prognostizierte der Gutachter Dr. med. D._, ausgehend von einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit seit März 2009 und einer solchen von 20 % ab sofort, dass mit einer Intensivierung der körperlichen Aktivitäten ab September 2011 eine Arbeitsfähigkeit von 50 % und ab Januar 2012 eine solche von 100 % erreicht werden könne (Gutachten vom 22. Juni 2011). An dieser Prognose äusserte Dr. med. H._ Zweifel (sie sei "sehr optimistisch" bzw. "etwas realitätsfremd"), was er damit begründete, dass die Versicherte seit Monaten körperlich sehr viel unternehme (Schwimmen, Wandern, Reittherapie, Kraft- und Ausdauertraining) und sich ihr Programm kaum weiter ausbauen lasse (Bericht vom 5. September 2011). Ebenso hielt die Psychiaterin Dr. med. G._ (bei welcher die Versicherte ab Dezember 2011 in Behandlung stand) fest, dass sich die gesundheitliche Situation und die Erwerbsfähigkeit seit der Begutachtung nicht wie damals vorausgesagt entwickelt hätten: Es liege ein mehrjähriger Krankheitsverlauf vor mit zunehmenden Einschränkungen in allen Bereichen des Lebens, und trotz konsequent durchgeführter ambulanter und stationärer Behandlung sei das Ergebnis (unveränderte Störung seit mehreren Jahren) bis jetzt unbefriedigend, indem für den ersten Arbeitsmarkt nach wie vor eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bestehe (Bericht vom 3. September 2012).
5.2. Die medizinischen Unterlagen vermitteln kein klares Bild des Gesundheitszustandes und der Arbeitsfähigkeit der Versicherten. Sie dokumentieren einen langwierigen Krankheitsverlauf, während welchem neben der im Zentrum stehenden depressiven Erkrankung weitere gesundheitliche Einschränkungen (auch somatischer Art) auftraten. Immer wieder unterzog sich die Versicherte aufwändigen Behandlungen, welche indessen offensichtlich nicht die erwartete Besserung ihres Gesundheitszustandes und die Wiedererlangung der Arbeitsfähigkeit brachten, was sich auch im Rahmen des (wegen nicht erreichter Zwischenziele vorzeitig abgebrochenen) Aufbautrainings bei der C._ zeigte (Bericht der C._ vom 29. Dezember 2010). In seinem Gutachten vom 22. Juni 2011 machte Dr. med. D._ die von ihm prognostizierte Arbeitsfähigkeit (50 % ab 1. September 2011, 100 % ab 1. Januar 2012) davon abhängig, dass die Versicherte neben den etablierten therapeutischen Massnahmen ein gezieltes Körperaufbauprogramm beginne. Da seine Ausführungen vermuten lassen, dass er keine Kenntnis davon hatte, dass die Versicherte bereits damals ein Kraft- und Ausdauertraining besuchte (Bericht des Dr. med. H._ vom 5. September 2011), sind an seiner gutachterlichen Einschätzung Zweifel angebracht. Hinzu kommt, dass sich (auch) seine Prognose in der Folge nicht verwirklicht zu haben scheint (Bericht der Dr. med. G._ vom 3. September 2012). Die Feststellung des Gesundheitszustandes und der Arbeitsfähigkeit der Versicherten wird des Weitern dadurch erschwert, dass zwischen dem letzten Arztbericht (Bericht der Dr. med. G._ vom 3. September 2012) und dem Verfügungserlass (28. Februar 2013) ein knappes halbes Jahr liegt und der vorletzte Arztbericht (Bericht des Dr. med. H._ vom 5. September 2011) gar eineinhalb Jahre vor Verfügungserlass datiert. Diese Lücken im rechtserheblichen medizinischen Sachverhalt lassen die von der IV-Stelle veranlasste Abklärung der gesundheitlichen Verhältnisse und der Arbeitsfähigkeit als unzureichend erscheinen. Es rechtfertigt sich daher, die Sache an die Verwaltung zurückzuweisen, damit diese ein aktuelles und umfassendes medizinisches Gutachten in Auftrag gebe und anschliessend über den Rentenanspruch der Versicherten befinde.
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen und der Beschwerdeführerin eine Parteient-schädigung zu bezahlen (<ref-law>, <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 26. Februar 2014 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 28. Februar 2013 werden aufgehoben. Die Sache wird an die IV-Stelle des Kantons Zürich zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversiche-rungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. März 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann