A.- R._ a fait l'objet de deux procédures pénales, la première pour infraction à la loi fédérale sur les banques et les caisses d'épargne (LB; RS 952. 0), la seconde pour faux dans les titres, à raison de faits survenus alors qu'il était contrôleur et réviseur de la Banque V., dans le cadre de l'affaire dite "D.". Il a finalement été acquitté des divers chefs d'accusation retenus à son endroit, aux termes d'un jugement rendu le 26 juin 2000 par la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: la Cour d'appel ou la cour cantonale).
R._ a par ailleurs été révoqué de ses fonctions avec effet au 30 juin 1992, pour violations graves et répétées de ses obligations de contrôleur permanent, par décision du Conseil d'Etat valaisan du 28 mai 1997, confirmée par arrêt du Tribunal fédéral du 2 septembre 1998.
B.- Le 26 juillet 2000, R._ a déposé devant la Chambre pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais une requête en indemnisation fondée sur les art. 114 et 141 du Code de procédure pénale valaisan (CPP val.). L'indemnité demandée s'élevait à 3'640'956. 80 fr., avec intérêts à 5% dès le 1er juillet 1990, pour l'ensemble des préjudices liés aux procédures pénales ouvertes à son encontre et closes par son acquittement, à savoir:
1. perte de gain de 1992
au 1er juillet 2001 1'352'596. 50 fr.; 2. perte de gain de 2000
à 2008 846'404 fr.; 3. perte de cotisations
au 2e pilier 264'348. 60 fr.; 4. perte sur taux
hypothécaire 54'400 fr.; 5. perte d'épargne 200'000 fr.; 6. perte de prévoyance 480'000 fr.; 7. frais d'avocat 306'207. 70 fr.; 8. frais médicaux 2'000 fr.; 9. expertises pénales 10'000 fr.; 10. tort moral 125'000 fr.;
La Cour d'appel, à qui la demande a été transmise comme objet de sa compétence, a rejeté celle-ci par arrêt du 29 mars 2001, après avoir donné partiellement suite aux offres de preuves du requérant. Elle a retenu en substance que R._ avait donné lieu aux deux procédures pénales dirigées contre lui en violant à plusieurs titres ses devoirs de contrôleur et en réalisant tous les éléments objectifs du faux dans les titres réprimé à l'art. 251 aCP, infraction absorbée par celle de l'art. 46 al. 1 let. k LB, elle-même prescrite dès le 27 mars 1999, au stade de l'appel. Elle a considéré que les dommages invoqués sous les postes nos 1 à 6 découlaient directement de la révocation du requérant et non des deux procédures pénales. Elle a par ailleurs retenu que R._ n'était pas fondé à réclamer une indemnité pour ses frais d'avocat car la totalité des frais de défense des procédures pénales ordinaire et administrative avait été mise à la charge du fisc. Elle a rejeté la prétention exigée au titre des frais médicaux, vu l'absence de facture acquittée et de rapport médical quant à la nature et à la cause du dommage éventuellement subi. Elle a également refusé de rembourser le montant de 10'000 fr. correspondant au coût de deux expertises pénales privées, en tant qu'il s'agissait d'avis de droit extrajudiciaires versés d'office par le requérant.
Elle a enfin refusé toute indemnité à titre de réparation morale parce que la poursuite pénale avait été suscitée par le comportement du requérant et parce que les souffrances prétendument subies n'avaient pas atteint un degré suffisant pour justifier une indemnité.
C.- Agissant par la voie du recours de droit public, R._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer le dossier à la cour cantonale pour nouveau jugement dans le sens des considérants. Il voit une violation de son droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst.
dans le refus de la Cour d'appel de procéder à son audition et à celle de son épouse, comme moyen de preuves. Invoquant l'art. 9 Cst. , il reproche à l'autorité intimée d'avoir fait une interprétation arbitraire des art. 114 et 141 CPP val. , de l'art. 4 al. 3 de la Constitution valaisanne (Cst. val.), ainsi que de l'arrêt rendu par le Tribunal fédéral le 17 avril 2000, en considérant que son comportement ne s'était pas limité à la violation des obligations professionnelles, mais qu'il réunissait également les éléments objectifs du faux dans les titres et qu'il constituait une faute de procédure au sens large, justifiant de lui refuser toute indemnité pour le préjudice subi du fait des procédures pénales ouvertes à son encontre.
La Cour d'appel se réfère aux considérants de sa décision.
L'Etat du Valais n'a pas déposé d'observations.

Considérant en droit :
1.- Formé en temps utile contre une décision finale prise en dernière instance cantonale, le recours répond aux exigences des art. 86 al. 1 et 89 al. 1 OJ. Le recourant, dont la démarche tend à l'obtention d'une indemnité prévue par le droit cantonal, a qualité pour agir au sens de l'art. 88 OJ. Les autres conditions de recevabilité du recours sont par ailleurs réunies, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière sur le fond.
2.- Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant voit une atteinte injustifiée à son droit d'être entendu dans le refus non motivé de la Cour d'appel de procéder à son audition et à celle de son épouse. Il ne se plaint pas sur ce point de la violation du droit cantonal de procédure, de sorte que le mérite de son grief doit être examiné au regard des garanties minimales déduites directement de l'art. 29 al. 2 Cst. , dont le Tribunal fédéral examine librement si elles ont été observées (<ref-ruling> consid. 2a p. 16 et les arrêts cités).
a) Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit de faire administrer les moyens de preuves pour autant que celles-ci soient requises dans les formes prévues par le droit cantonal et qu'elles soient utiles à l'établissement des faits pertinents. Le juge peut ainsi renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsqu'il parvient à la conclusion qu'elles ne sont pas décisives pour la solution du litige ou qu'elles ne pourraient pas l'amener à modifier son opinion. Ce refus d'instruire ne viole le droit d'être entendu des parties que si l'appréciation anticipée de la pertinence du moyen de preuve offert à laquelle le juge a ainsi procédé est entachée d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 6c/cc in fine p. 135, 417 consid. 7b p. 430; <ref-ruling> consid. 4a p. 211, 241 consid. 2 p. 242 et les arrêts cités).
b) Selon le recourant, les mesures d'instruction requises devaient lui permettre de démontrer la gravité des troubles de santé occasionnés par les procédures pénales. La jurisprudence pose toutefois des exigences strictes quant à l'importance du dommage et sa relation de causalité avec la procédure pénale (<ref-ruling> consid. 2b p. 423; <ref-ruling> consid. 4b p. 218; <ref-ruling> consid. 2b in fine p. 203; <ref-ruling> consid. 5 p. 157; <ref-ruling> consid. 2c et d p. 47).
L'autorité intimée pouvait à juste titre admettre que seul un rapport médical, accompagné des factures correspondantes, était de nature à établir la réalité des troubles de santé allégués, ainsi que des frais médicaux consentis pour les soigner, et leur lien de causalité avec les procédures pénales ouvertes contre R._. Aussi, en l'absence de ces documents, elle n'a pas violé le droit d'être entendu du recourant en tenant l'audition de ce dernier et celle de son épouse pour inutiles et en refusant de donner suite à ces mesures d'instruction.
De ce point de vue, le recours est mal fondé.
3.- Quant au fond, R._ est d'avis que le refus de lui accorder une indemnité pour les préjudices subis en relation avec les deux procédures pénales ouvertes contre lui relèverait d'une application arbitraire des art. 114 et 141 CPP val. , de l'art. 4 al. 3 Cst. val. et de l'arrêt rendu par le Tribunal fédéral le 17 avril 2000.
a) Selon une jurisprudence constante, ni le droit constitutionnel fédéral, ni le droit conventionnel n'exigent de l'Etat qu'il indemnise les particuliers victimes d'une incarcération en soi licite, mais qui se révèle par la suite injustifiée (cf. <ref-ruling> consid. 6 p. 230; <ref-ruling> consid. 2d p. 182; <ref-ruling> consid. 3 p. 17; <ref-ruling> consid. 2b p. 128; SJ 1998 p. 333 consid. 4a p. 338; SJ 1995 p. 285 consid. 3b p. 288; RSDIE 1998 p. 486; JAAC 1997 n° 104 p. 944; Auer/Malinverni/Hottelier, Droit constitutionnel suisse, vol. II, Berne 2000, n° 339; Gérard Piquerez, Procédure pénale suisse, Zurich 2000, n° 4031, p. 850; arrêt de la CourEDH du 28 septembre 1995 dans la cause Masson et van Zon c. Pays-Bas, Série A, vol. 327 A, § 49). Il en va a fortiori de même s'agissant des autres préjudices subis en relation avec la procédure pénale close par un non-lieu ou un acquittement.
Il est en revanche loisible aux cantons d'instituer une telle garantie, dont le Tribunal fédéral examine alors la portée sous l'angle de l'arbitraire lorsqu'elle est contenue dans une norme de rang inférieur à la Constitution.
b) Selon l'art. 4 al. 3 Cst. val. , l'Etat est tenu d'indemniser équitablement toute personne victime d'une erreur judiciaire ou d'une arrestation illégale, la loi devant régler l'application de ce principe.
A teneur des art. 114 ch. 1 et 141 ch. 1 CPP val. , le tribunal qui a rendu le jugement définitif alloue une indemnité au prévenu qui est mis au bénéfice d'un non-lieu ou d'un acquittement pour la détention préventive et les autres préjudices subis. Une indemnité peut être refusée en tout ou partie au prévenu qui a entravé l'instruction par sa faute ou qui a, sans raison, entravé ou prolongé la procédure (art. 114 ch. 1, 2ème phrase CPP val.). Pour le surplus, les dispositions du code des obligations sont applicables par analogie (art. 114 ch. 1, 3ème phrase CPP val.)
Ces dispositions confèrent un pouvoir d'appréciation étendu au juge appelé à statuer sur l'allocation au prévenu acquitté ou au bénéfice d'un non-lieu d'une indemnité pour la détention préventive injustifiée et les autres préjudices subis du fait de la procédure pénale. Ce pouvoir est toutefois limité par les garanties constitutionnelles données au prévenu libéré des fins de la poursuite pénale (cf. arrêts du 14 mai 1969 parus à la RVJ 1969 p. 348 consid. 3c p. 354 et à la RVJ 1969 p. 358 consid. 4 p. 360/361). En particulier, le principe de la présomption d'innocence, consacré par les art. 6 § 2 CEDH et 32 al. 1 Cst. , interdit de prendre une décision défavorable au prévenu libéré en laissant entendre que celui-ci est coupable de l'infraction qui lui était reprochée (<ref-ruling> consid. 1a p. 310). En outre, le refus de toute indemnité n'est tenu pour compatible avec l'interdiction de l'arbitraire, consacrée à l'art. 9 Cst. , que si l'intéressé a provoqué l'ouverture de la procédure pénale dirigée contre lui ou s'il en a entravé le cours; à cet égard, dans le cas ordinaire d'un prévenu capable de discernement, seul un comportement fautif et contraire à une règle juridique, qui soit en relation de causalité avec les frais imputés, peut être déterminant (<ref-ruling> consid. 3b p. 155; <ref-ruling> consid. 1b p. 334 et la jurisprudence citée; Gérard Piquerez, Procédure pénale suisse, Zurich 2000, p. 677). Le juge doit se référer aux principes généraux de la responsabilité délictuelle (<ref-ruling> consid. 2c p. 168) et fonder son prononcé sur des faits incontestés ou déjà clairement établis (<ref-ruling> consid. 2a in fine p. 374). Il peut, sans violer l'art. 6 § 2 CEDH, constater, à l'appui de sa décision, que le comportement du prévenu constitue objectivement l'infraction qui lui était reprochée, alors que toutes les conditions de la punissabilité ne sont pas remplies (<ref-ruling> consid. 2d/bb p. 173/174); d'une façon générale, le juge peut prendre en considération toute règle de l'ordre juridique, y compris éventuellement une règle de droit pénal, pour déterminer si le comportement du prévenu est propre à justifier un refus de toute indemnité (<ref-ruling> consid. 2c p. 169).
Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral vérifie librement le respect du principe de la présomption d'innocence. Pour le surplus, en tant que le refus de l'indemnité met en cause l'art. 9 Cst. , cette disposition garantit seulement que les critères précités soient appliqués d'une façon exempte d'arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 2f p. 175); le prononcé attaqué n'est donc annulé que s'il viole gravement une règle ou un principe juridique clair et indiscuté, contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité, ou repose sur des constatations de fait manifestement erronées (<ref-ruling> consid. 3a p. 170 et la jurisprudence citée).
c) En l'espèce, la Cour d'appel a considéré que le recourant avait violé à plusieurs titres ses devoirs de contrôleur permanent de la Banque V., qu'il avait réalisé les éléments objectifs du faux dans les titres de la loi sur les banques et de l'ancien Code pénal, que son comportement illicite était à l'origine des deux procédures pénales, ce qui excluait toute indemnisation en application de l'art. 114 ch. 1, 2ème phrase CPP val. Elle a examiné ensuite la demande d'indemnité poste par poste, en exposant pour chacun d'eux les motifs pour lesquels elle les écartait; elle a ainsi considéré que les dommages matériels allégués par le requérant en relation avec la perte de son emploi ne découlaient pas des deux procédures pénales, mais de la décision prise le 28 mai 1997 par le Conseil d'Etat valaisan de le révoquer de ses fonctions, confirmée sur recours par le Tribunal fédéral.
Elle a par ailleurs retenu que R._ n'était pas fondé à réclamer une indemnité pour ses frais d'avocat, car la totalité des frais de défense des procédures pénales avait été mis à la charge du fisc. De même, elle a rejeté la prétention de 2'000 fr. exigée au titre de frais médicaux, vu l'absence de facture acquittée et de rapport médical quant à la nature et à la cause du dommage prétendument subi. Elle a également refusé de rembourser le montant de 10'000 fr. correspondant au coût de deux expertises pénales privées, en tant qu'il s'agissait d'avis de droit extrajudiciaires versés d'office au dossier par le requérant. Elle a enfin refusé toute indemnité à titre de réparation morale parce que la poursuite pénale avait été suscitée par le comportement du requérant et parce que les souffrances prétendument subies n'avaient pas atteint un degré suffisant pour justifier une indemnité à ce titre.
Selon la jurisprudence, lorsque la décision attaquée se fonde sur deux motivations indépendantes, alternatives ou subsidiaires, il appartient au recourant de démontrer que chacune d'entre elles viole ses droits constitutionnels; à défaut, le recours est insuffisamment motivé et, partant, irrecevable (<ref-ruling> consid. 5a p. 10; <ref-ruling> consid. 1b p. 95; <ref-ruling> consid. 2 p. 16; <ref-ruling> consid. 2b p. 28 et les arrêts cités; arrêt du 25 mai 1998 dans la cause X.
contre Président du Tribunal cantonal valaisan, reproduit à la RVJ 1999 p. 230 consid. 3a p. 231; cf. aussi Jean-François Poudret, La pluralité de motivations, condition de recevabilité des recours au Tribunal fédéral?, in: Le droit pénal et ses liens avec les autres branches du droit, Mélanges en l'honneur du Professeur Jean Gauthier, RDS 114/1996 p. 205 et les références citées). Or, si le recourant attaque l'argumentation principale ayant amené l'autorité intimée à écarter sa requête, il ne critique en revanche pas les motivations subsidiaires et plus détaillées invoquées pour dénier toute indemnité pour les différents postes du dommage allégué, sous réserve du tort moral. Le recours n'est donc recevable, au regard de l'art. 90 al. 1 let. b OJ, que dans la mesure où il porte sur ce dernier aspect de la décision attaquée.
La Cour d'appel a refusé d'octroyer à R._ une indemnité à titre de réparation morale parce qu'il avait adopté un comportement "pour le moins incorrect" à l'origine des procédures pénales. Le recourant tient cette appréciation pour arbitraire et contraire à l'arrêt rendu par le Tribunal fédéral le 17 avril 2000. Il était toutefois soutenable de lui refuser une indemnité pour ce motif, s'agissant de la procédure administrative, dans la mesure où la poursuite pénale a été abandonnée uniquement en raison de la prescription (cf. arrêt du 29 septembre 2000 dans la cause B. contre Etat de Genève, reproduit à la SJ 2001 I 118; voir aussi, Antoine Thélin, L'indemnisation du prévenu acquitté en droit vaudois, JdT 1995 III 102/103 et l'arrêt du 5 février 1992 dans la cause R. cité au ch. 13). A cet égard, l'arrêt du Tribunal fédéral du 17 avril 2000 n'est pas déterminant puisque celuici s'est borné à constater que les omissions reprochées au recourant relevaient exclusivement des dispositions pénales de la loi sur les banques, sans examiner si celles-ci avaient effectivement été transgressées.
Pour le surplus, il n'y a pas lieu d'examiner la pertinence de cette argumentation en relation avec la procédure pénale ordinaire car l'autorité intimée a également refusé toute indemnisation à titre de réparation morale au motif que le requérant n'avait pas établi à satisfaction de droit l'existence d'un dommage d'une certaine importance, étant donné la large publicité accordée au verdict d'acquittement dans les média.
Comme le Tribunal fédéral l'a relevé dans un arrêt non publié du 5 janvier 2000, dans la cause Me F. contre Tribunal cantonal valaisan, cité par le recourant, il n'est pas arbitraire d'interpréter le texte de l'<ref-law> val. en ce sens que l'octroi d'une indemnité fondée sur cette disposition est subordonné à une certaine gravité objective des opérations de l'instruction et à l'existence d'un préjudice important. Le recourant se borne sur ce point à faire état des souffrances psychologiques intenses subies du fait de la procédure pénale, sans chercher à étayer un tant soit peu ses affirmations, comme il lui appartenait de faire (cf. ATF <ref-ruling> consid. 4b). La procédure pénale a certes été relativement longue. R._ n'a cependant jamais été placé en détention préventive; de plus, il n'indique pas davantage les opérations d'instruction dont il aurait fait l'objet au cours de la procédure et qui auraient porté une atteinte à sa santé ou à ses intérêts personnels, excédant celle que tout citoyen impliqué dans une procédure pénale doit en principe supporter sans indemnité. Si la cause à laquelle le recourant était mêlée a reçu un très large écho dans les média, le verdict d'acquittement a également fait l'objet d'un communiqué de presse. Dans ces conditions, en l'absence d'éléments permettant d'établir l'existence d'un tort moral d'une certaine importance, l'autorité intimée pouvait sans arbitraire voir une compensation suffisante de ce poste du dommage dans la publicité faite à l'acquittement du recourant.
4.- Le recours doit par conséquent être rejeté, dans la mesure où il est recevable, aux frais du recourant, qui succombe (art. 156 al. 1 OJ). Il n'y a pas lieu à l'octroi de dépens (art. 159 al. 2 OJ).

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours dans la mesure où il est recevable;
2. Met à la charge du recourant un émolument judiciaire de 3'000 fr.;
3. Dit qu'il n'est pas alloué de dépens;
4. Communique le présent arrêt en copie aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais.
_
Lausanne, le 2 juillet 2001 PMN/vlc
Au nom de la Ie Cour de droit public
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président, Le Greffier,