Sachverhalt:
A.
X._ betrieb Y._ mit Zahlungsbefehl Nr. sss des Betreibungsamtes Spreitenbach vom 15. April 2010 für eine ihm von seinem Vater, Rechtsanwalt Z._, zedierte Forderung von Fr. 155'000.-- nebst Zins zu 4 % seit 1. Februar 2001. Y._ erhob Rechtsvorschlag.
Am 4. April 2011 erteilte das Obergericht des Kantons Aargau X._ provisorische Rechtsöffnung. Die dagegen von Y._ erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 5A_326/2011 vom 6. September 2011 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
B.a. Am 26. Mai 2011 reichte Y._ (Klägerin, Beschwerdeführerin, Beschwerdegegnerin) beim Bezirksgericht Baden Klage ein mit folgenden Rechtsbegehren:
"1.
Die Frist für die Klage zur Aberkennung der vom Beklagten am 19.04.2012 beim Betreibungsamt Spreitenbach, Betreibung Nr. sss, in Betreibung gesetzten Forderung von Fr. 155'000.00 zuzüglich Zins ab 01.02.2001 in der Höhe von 4 % sei wiederherzustellen.
2. Es sei festzustellen, dass die vom Beklagten beim Betreibungsamte Spreitenbach, Betreibung Nr. sss, in Betreibung gesetzte Forderung von Fr. 155'000.00 zuzüglich Zins ab 01.02.2001 in der Höhe von 4 % nicht besteht.
Eventuell, falls die Frist zur Wiederherstellung der Frist für die Aberkennungsklage nicht wieder hergestellt würde, sei die Klage als Feststellungsklage gemäss Art. 85a SchKG entgegen zu nehmen und es sei die Betreibung Nr. sss des Betreibungsamtes Spreitenbach vorläufig einzustellen.
3. (....)
4. (....) "
Das Bezirksgericht trat am 21. August 2012 auf die Aberkennungsklage nicht ein (Dispositivziffer 1) und wies die negative Feststellungsklage ab (Dispositivziffer 2), unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Klägerin (Dispositivziffern 3 und 4).
B.b. Mit Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau beantragte die Klägerin, das Urteil des Bezirksgerichts sei aufzuheben, und die Aberkennungsklage sei gutzuheissen.
Das Obergericht schützte mit Urteil vom 11. Juni 2013 die Berufung teilweise (Obergerichtsdispositivziffer 1.1). Es hob die Dispositivziffern 2 bis 4 des Urteils des Bezirksgerichts auf und fasste sie in dem Sinne neu, dass in teilweiser Gutheissung der Feststellungsklage nach Art. 85a SchKG festgestellt wurde, die von X._ (Beklagter, Beschwerdeführer, Beschwerdegegner) beim Betreibungsamt Spreitenbach gegen die Klägerin in Betreibung gesetzte Forderung (gemäss Darlehensvertrag vom 1. Februar 2001) bestehe im Umfang von Fr. 60'625.30 zuzüglich 4 % Zins seit 1. Februar 2001 nicht (mehr). Im Umfang dieser Fr. 60'625.30 zuzüglich 4 % Zins seit 1. Februar 2001 werde die Betreibung aufgehoben (Neufassung Bezirksgerichtsdispositivziffer 2.1). Soweit mit der Feststellungsklage mehr oder anderes verlangt werde, werde sie abgewiesen (Neufassung Bezirksgerichtsdispositivziffer 2.2). Auch die Bezirksgerichtsdispositivziffern 3 und 4 (Kosten- und Entschädigungsfolgen) fasste das Obergericht neu (Obergerichtsdispositivziffer 1.1). Soweit mit der Berufung mehr oder anderes verlangt werde, wies das Obergericht sie ab (Obergerichtsdispositivziffer 1.2). Sodann entschied es über die obergerichtlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen (Obergerichtsdispositivziffern 2 und 3).
C.
Gegen diesen Entscheid reichten sowohl die Klägerin wie der Beklagte Beschwerde in Zivilsachen beim Bundesgericht ein.
C.a. Die Klägerin beantragt im Verfahren 4A_392/2013, das angefochtene Urteil sei aufzuheben, die Angelegenheit sei zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen, evtl. sei die Klage der Beschwerdeführerin gutzuheissen. Der Beklagte trägt auf Abweisung der Beschwerde an. Die Klägerin reichte unaufgefordert eine Replik ein, zu welcher der Beklagte nicht mehr inhaltlich Stellung nahm.
C.b. Der Beklagte beantragt im Verfahren 4A_390/2013, unter Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 2.1 des angefochtenen Urteils sei festzustellen, dass die in Betreibung gesetzte Forderung über Fr. 155'000.-- zuzüglich Zins ab 1. Februar 2001 in der Höhe von 4 % bestehe. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen, insbesondere zur Durchführung eines Beweisverfahrens. Die Klägerin stellt das Rechtsbegehren, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werde.
C.c. Das Obergericht verzichtete auf Vernehmlassungen. Der Beklagte stellte in beiden Beschwerdeverfahren ein Gesuch um Sicherstellung seiner Parteikosten, die mit Verfügungen vom 10. September 2013 (4A_390/2013) bzw. 21. November 2013 (4A_392/2013) abgewiesen wurden, das letztere, soweit es nicht gegenstandslos geworden war.

Erwägungen:
1.
Die beiden Beschwerden richten sich gegen das gleiche kantonale Urteil. Sie betreffen die Beurteilung einerseits der Hauptforderung und anderseits der Verrechnungsforderung. Es ist sachgerecht, sie zusammenzulegen und in einem Verfahren zu beurteilen.
2.
Das angefochtene Urteil ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG. Der Streitwert übersteigt die Grenze nach Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinlänglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - grundsätzlich auf die Beschwerden einzutreten.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht des Beschwerdeführers (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4 S. 400; <ref-ruling> E. 1.1 S. 105). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG). Wer die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 466 f.). Soweit eine Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile des Bundesgerichts 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
In die Beweiswürdigung des Sachgerichts greift das Bundesgericht nur ein, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Sachgericht offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 9). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3 S. 261). Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er im Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen).
Verfahren 4A_392/2013 - Darlehensforderung des Beklagten
3.
Bei dem vom Beschwerdegegner in Betreibung gesetzten Betrag von Fr. 155'000.-- handelt es sich um die Darlehenssumme gemäss dem Darlehensvertrag, den die Beschwerdeführerin und ihr Ehemann am 1. Februar 2001 unterschrieben haben. Daneben existiert ein weiterer, ebenfalls von beiden Eheleuten unterzeichneter Darlehensvertrag über Fr. 165'000.-- vom 1. Oktober 2002. Am 27. Februar 2004 unterzeichnete die Klägerin zudem eine Erklärung, in der sie ihren damaligen Rechtsvertreter ermächtigte, dem Vater des Beschwerdegegners den diesem aufgrund der "mit Vertrag vom 01.02.2001 beziehungsweise 11.06.2002 gewährten Darlehen" zustehenden Betrag aus von der A._ Versicherung allenfalls zu leistenden Haftpflichtzahlungen direkt auszubezahlen. Die gesamte Darlehensvaluta wird in dieser Erklärung auf Fr. 320'000.-- zuzüglich Zins beziffert.
3.1. Die Beschwerdeführerin bestritt namentlich, dass es zwischen ihr und dem Vater des Beklagten überhaupt zu einem gültigen Darlehensvertrag gekommen bzw. die Darlehensvaluta ausbezahlt worden sei. Vielmehr habe es sich beim Darlehen um die Verschleierung eines Erfolgshonorars gehandelt.
3.2. Während das Bezirksgericht annahm, die Tatsache der Darlehenshingabe ergebe sich klar aus der späteren Erklärung vom 27. Februar 2004 kam die Vorinstanz zum Schluss, eine Darlehenshingabe im Betrag von insgesamt Fr. 320'000.-- gemäss der Erklärung vom 27. Februar 2004 sei nicht nachgewiesen. Namentlich erachtete sie es als möglich, dass es sich beim Betrag von Fr. 165'000.-- gemäss Darlehensvertrag vom 1. Oktober 2002 lediglich um den um die Zinsen aufgerechneten Betrag von Fr. 155'000.-- gemäss Darlehensvertrag vom 1. Februar 2001 gehandelt habe. Sie erachtete es jedoch als erwiesen, dass der Vater des Beklagten der Klägerin bzw. ihrer Familie während Jahren immer wieder finanziell geholfen habe. Die Vorinstanz stützte sich dabei auf die als glaubwürdig qualifizierten Behauptungen des Beklagten, welche von der Klägerin nie mit der nötigen Eindeutigkeit bestritten worden seien. Damit sei bewiesen, dass Geld an die Klägerin geflossen sei, jedoch nicht wieviel. Die Vorinstanz nahm an, diese Geldflüsse seien dann im Darlehensvertrag vom 1. Februar 2001 "zusammengefasst" worden. Daher beinhalte dieser Vertrag auch eine Schuldanerkennung über Fr. 155'000.-- gemäss Art. 17 OR, die eine Umkehr der Beweislast bewirkt habe. Deshalb sei der Beklagte vom Beweis für die einzelnen Teildarlehen befreit. Vielmehr hätte die Klägerin zu beweisen, dass der Vater des Beklagten ihr tatsächlich einen tieferen Betrag übergeben habe.
4.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor. Die Begründung sei ungenügend bzw. widersprüchlich und unvollständig. Die Beschwerdeführerin geht im Einzelnen auf verschiedene Argumente der Vorinstanz ein, um darzulegen, dass sich daraus die von dieser gezogenen Schlüsse nicht widerspruchsfrei ergeben. Die widersprüchliche und lückenhafte Urteilsbegründung zeuge davon, dass die Vorinstanz die Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht mit der erforderlichen Sorgfalt und Ernsthaftigkeit geprüft habe.
4.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verlangt insbesondere, dass die Gerichte die rechtserheblichen Vorbringen der Parteien anhören und bei der Entscheidfindung berücksichtigen (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677 mit Hinweisen). Damit sich die Parteien ein Bild über die Erwägungen des Gerichts machen können, ist sein Entscheid zu begründen. Die Begründung muss kurz die Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinander setzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Es genügt, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188 mit Hinweisen).
4.2. Diese Anforderungen erfüllt der angefochtene Entscheid. Die Beschwerdeführerin war denn auch in der Lage, wie ihre Ausführungen zeigen, auf die verschiedenen Begründungen der Vorinstanz im Einzelnen einzugehen. Was sie unter dem Titel einer Verletzung der Begründungspflicht vorbringt, ist im Wesentlichen lediglich eine unzulässige appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid. Namentlich will sie darlegen, die Vorinstanz hätte nicht ohne weiteres davon ausgehen dürfen, dass die Beschwerdeführerin den Darlehensvertrag in Kenntnis dessen Inhalts unterzeichnet habe. Dies ist keine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern der Beweiswürdigung.
5.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe sich für den Nachweis der Zahlung einer Darlehensvaluta auf die "glaubwürdigen" Behauptungen des Beschwerdegegners gestützt. Glaubwürdige Behauptungen stellten aber keinen Beweis dar. Auch die Annahme der Vorinstanz, die Beschwerdeführerin hätte nicht mit genügender Eindeutigkeit bestritten, dass finanzielle Unterstützungen erfolgt seien, sei aktenwidrig und willkürlich. Falls die Vorinstanz trotz der klaren Äusserungen der Beschwerdeführerin im Schriftenwechsel dennoch Zweifel an ihren Bestreitungen gehabt habe, hätte sie ihr dazu das rechtliche Gehör gewähren müssen. Die Beschwerdeführerin rügt zudem, die von ihr eingereichten Beweise und Beweisofferten zur "Nichtzahlung" der Darlehensvaluta seien von der Vorinstanz ohne Angabe von Gründen vollständig ignoriert worden. Damit sei ihr Recht auf Beweisführung (Art. 152 Abs. 1 ZPO) und das rechtliche Gehör (Art. 29 BV, Art. 53 ZPO) verletzt worden. Sie bezieht sich dabei auf verschiedene behauptete Zahlungsvorgänge betreffend den Kauf zweier Liegenschaften und eines Autos, dem Rückkauf von Verlustscheinen, der Renovation eines Hauses und für das Schulgeld des Sohnes der Beschwerdeführerin.
5.1. Die Vorinstanz hielt es zwar nicht für glaubhaft, dass die Klägerin und deren Ehemann bei der gemeinsamen Unterzeichnung des Darlehensvertrags am 1. Februar 2001 diesen nicht verstehen oder dessen Inhalt nicht zur Kenntnis nehmen konnten. Sie erachtete eine Darlehensvaluta von Fr. 320'000.-- gemäss der von der Beschwerdeführerin unterzeichneten Erklärung vom 27. Februar 2004 aber nicht für erwiesen, sondern ging zu Gunsten der Klägerin davon aus, beim zweiten Darlehensvertrag über Fr. 165'000.-- handle es sich um eine Neuauflage des ersten Darlehensvertrags nebst in der Zwischenzeit aufgelaufener Zinsen. Das Auflaufen von Zinsen setzt aber voraus, dass die Darlehenssumme bereits ausbezahlt worden ist. Auch wenn die Vorinstanz dies nicht ausdrücklich erwähnt, hat sie die Vorbringen des Beklagten vor diesem Hintergrund als glaubhaft und die Gewährung des Darlehens in der behaupteten Darlehenshöhe für erwiesen erachtet. Sie stellte mithin keineswegs allein auf die Behauptungen des Beschwerdegegners ab.
5.2. Die Einwände der Beschwerdeführerin betreffend die Ausführungen der Vorinstanz zur Schuldanerkennung und zur Umkehr der Beweislast stossen ins Leere. Die Vorinstanz gelangte richtig besehen in Würdigung der gesamten Umstände zur Überzeugung, der Beweis für die Auszahlung des Darlehens sei gelungen.
5.3. Dass es im Ergebnis willkürlich wäre, davon auszugehen, dass ihr der Darlehensvertrag ausbezahlt wurde, zeigt die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich auf und ist nicht ersichtlich. Es findet sich, unabhängig von der Frage, wie eindeutig die finanziellen Unterstützungen bestritten wurden, keine glaubwürdige Erklärung, weshalb die Beschwerdeführerin und ihr Ehemann den zweiten, um die aufgelaufenen Zinsen erhöhten Darlehensvertrag unterzeichnet haben sollten, wenn kein Geld geflossen ist. Selbst wenn der Beschwerdeführerin der Nachweis gelänge, dass sie bestimmte Ausgaben aus eigenen Mitteln bestritt, folgt daraus weder zwingend, dass keine Unterstützungsleistungen geflossen sind, noch vermöchte es die Unterzeichnung der beiden Darlehensverträge zu erklären. Dass die Vorinstanz die Behauptung, die Darlehensverträge seien ungelesen unterzeichnet worden, als unglaubwürdig einstufte, lässt sich entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ohne Weiteres nachvollziehen. Die Darlehensverträge wurden im Gegensatz zur Erklärung vom 27. Februar 2004 von zwei Personen unterzeichnet und der erste Darlehensvertrag im zweiten neu aufgelegt. Damit bestand mehrfach die Gelegenheit, vom Inhalt Kenntnis zu nehmen. Die Vorinstanz verfällt daher nicht in Willkür, wenn sie in Würdigung beider Darlehensverträge die Auszahlung des Darlehens für erwiesen erachtete, ohne die von der Beschwerdeführerin beantragten weiteren Beweismittel abzunehmen. Die Rüge der Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV bzw. Art. 8 ZGB stösst damit ins Leere.
6.
Die Beschwerde der Klägerin erweist sich damit insgesamt als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Verfahren 4A_390/2013 - Verrechnungsforderung der Klägerin
7.
Die Beschwerdegegnerin erhob für den Betrag von Fr. 88'894.55 zuzüglich Verzugszins von 5 % seit 13. Mai 1997 die Verrechnungseinrede, weil die A._ Versicherung dem Vater des Beschwerdeführers zugunsten der Klägerin Leistungen von insgesamt Fr. 148'894.55 ausgerichtet, dieser ihr aber davon nur Fr. 60'000.-- ausgezahlt habe.
7.1. Das Obergericht erachtete die Verrechnungsforderung im Betrag von Fr. 60'625.30 als ausgewiesen.
7.1.1. Der Vater des Beschwerdeführers als damaliger Anwalt der Beschwerdegegnerin habe zu deren Gunsten von der A._ Versicherung einen Betrag von Fr. 120'625.30 erhalten. Betreffend die Auszahlung dieses Betrages seien drei Versionen einer Quittung vom 13. Mai 1997 (in Kopie) eingereicht worden. Es sei unstrittig und lasse sich aus allen drei Versionen entnehmen, dass Fr. 60'000.-- der Beschwerdegegnerin bzw. ihrem Ehemann ausbezahlt worden seien.
7.1.2. Den Beweis für die Auszahlung der weiteren Fr. 60'625.30 könne der Beschwerdeführer aber nicht erbringen. Für diesen Beweis berufe er sich auf die als Klageantwortbeilage 26 eingereichte Fassung der Quittung. Obwohl es sich dabei nicht um ein Original handle, habe das Bezirksgericht den Beweis dadurch als erbracht erachtet. Die Vorinstanz erkannte, die bloss in Kopie eingereichte Quittung gemäss Klageantwortbeilage 26 genüge nicht. Die Beschwerdegegnerin habe mit Klagebeilage 18 eine abweichende eigene Quittungs-Variante eingereicht, und es sei nicht unglaubwürdig, dass sie diese vom Vater des Beschwerdeführers erhalten habe. Zweifel wecke sodann der vom Beschwerdeführer geschilderte Ablauf der Auszahlung der beiden Beträge von Fr. 60'000.-- am 13. Mai 1997 bzw. Fr. 60'625.30 am 3. Juni. Entgegen dem Bezirksgericht könne auch nichts daraus abgeleitet werden, dass die Beschwerdegegnerin über zehn Jahre den Betrag von Fr. 60'625.30 nicht eingefordert habe.
7.2. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung seines Rechts auf Beweis geltend, weil die Vorinstanz ohne Begründung wesentliche Beweisanträge nicht berücksichtigt habe, namentlich die von ihm beantragte Einholung eines graphologischen Gutachtens zu Klageantwortbeilage 26. Er müsste indessen mit Aktenhinweisen darlegen, wo im Verfahren vor Obergericht er einen entsprechenden Beweisantrag gestellt hat (vgl. E. 2.2 hiervor). Ein solcher Hinweis fehlt. Darauf kann somit nicht eingetreten werden. Im Übrigen ist gerichtsnotorisch, dass graphologische Gutachten nur zu aussagekräftigen Ergebnissen führen, wenn sie sich auf Originaldokumente beziehen, nicht jedoch bei blossen Fotokopien.
7.3. Der Beschwerdeführer beruft sich auf die (Doppel-) Quittung gemäss Klageantwortbeilage 26. Mit dieser habe der Ehemann der Beschwerdegegnerin am 13. Mai 1997 den Erhalt von Fr. 60'000.-- und diese selbst am 3. Juni 1997 den Erhalt von Fr. 60'625.30 quittiert. Die Vorinstanz stellte wesentlich darauf ab, dass die Beschwerdegegnerin mit Klagebeilage 18 eine davon abweichende eigene Quittungskopie ins Recht legte, die eine einzige Zahlung von Fr. 60'000.-- betrifft. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe sich mit der Klagebeilage 18 und den damit zusammenhängenden widersprüchlichen Vorbringen der Beschwerdegegnerin nicht auseinandergesetzt und sei damit in Willkür verfallen. Er macht geltend, in ihrer Klage habe die Beschwerdegegnerin behauptet: "Die einzige Zahlung, die die Klägerin von Dr. Z._ erhalten hatte waren Fr. 60'000.-- am 13. Mai 1997"; zum Beweis dieser Behauptung habe sie sich auf Klagebeilage 18 gestützt. In der Replik habe sie dann ausgeführt, sie habe die Fr. 60'000.-- am 3. Juni 1997 erhalten. Würde es sich bei Klagebeilage 18 um die Quittung einer Zahlung von Fr. 60'000.-- am 3. Juni 1997 handeln, wäre das Dokument aber völlig unverständlich. Die Beschwerdegegnerin sei vom Bezirksgericht zu Klageantwortbeilage 26 einvernommen worden. Sie habe dazu ausgeführt, dass sie das Dokument gesehen habe, aber ohne Unterschrift ihres Ehemannes. Und auf die weitere Frage, ob demgemäss zwei Zahlungen quittiert worden seien, habe sie geantwortet, sie habe damals irgendetwas unterschrieben, der Text sei verdeckt gewesen. Der Beschwerdeführer rügt die Vorinstanz habe sich bei der Beweiswürdigung nirgends mit diesen Aussagen auseinandergesetzt.
7.3.1. Die als Klageantwortbeilage 26 bei den Akten liegende Version der Kopie einer Quittung enthält oben Rechts einen handschriftlichen Verweis auf den Verbleib des Originals, der auf der Klagebeilage 18 nicht vorhanden ist. Dann folgt ein maschinengeschriebener Teil. Gemäss diesem bestätigt der Ehemann der Beschwerdegegnerin, Fr. 60'000.-- akonto auf den von der "A._ Versicherung" geschuldeten Betrag von Total Fr. 120'625.30 erhalten zu haben. Es folgt der Ort und das Datum (L._, 13.05.97). Dieser Teil ist auf der Klagebeilage 18 identisch. Nach Ort und Datum folgt auf der Klageantwortbeilage 26 nach rechts gerückt folgender Abschnitt: "
"C._, handelnd für seine Ehefrau Y._ ...................................."
Auf der vorgezeichneten Linie befindet sich eine Unterschrift. Dieser Abschnitt fehlt in der Klagebeilage 18 und bleibt dort leer. Nach diesem divergierenden Abschnitt enthalten beide Versionen denselben handschriftlichen Zusatz, in dem das Guthaben der Beschwerdegegnerin per 13.05.97 auf Fr. 60'525.30 beziffert wird; zahlbar sofort nach Eingang. Darunter findet sich in beiden Versionen handschriftlich das Datum 13.05.97 und die Unterschrift des Vaters des Beschwerdeführers. Auf der Klagebeilage 18 folgt ein weiteres Mal (aber nicht identisch) handschriftlich das Datum 13.05.97 und die Unterschrift des Vaters des Beschwerdeführers. Diese Wiederholung von Datum und Unterschrift ist auf Klageantwortbeilage 26 nicht vorhanden. Wo auf Klagebeilage 18 ein zweites Mal das Datum und die Unterschrift des Vaters des Beschwerdeführers erscheint, ist in Klageantwortbeilage 26 handschriftlich vermerkt: "Quittiert Frau Y._ Fr. 60 625.30 (Fr. sechzigtausend/625.30) ". Darunter folgen das Datum " 3.06. 97" und die Unterschrift der Beschwerdegegnerin. Gemäss Klageantwortbeilage 26 bestätigt also der Ehemann der Beschwerdegegnerin am 13. Mai 1997 den Erhalt von Fr. 60'000.-- akonto auf Fr. 120'625.30 und die Beschwerdegegnerin selbst am 3. Juni 1997 den Erhalt des Restbetrages. Die Klagebeilage 18 enthält demgegenüber, obwohl auch sie von einer Bestätigung des Ehemannes der Beschwerdegegnerin spricht, weder eine Unterschrift der Klägerin noch ihres Ehemannes, sondern lediglich zwei Unterschriften des Vaters des Beschwerdeführers und keinen Hinweis darauf, ob und wann der nach Zahlung der Fr. 60'000.-- verbleibende Restbetrag tatsächlich ausbezahlt wurde.
7.3.2. Die Vorinstanz hielt zu Klagebeilage 18 fest, gegenüber dem vom Beschwerdeführer geäusserten Verdacht einer Verfälschung sei einzuwenden, dass "eine dermassen dilettantische Verfälschung" (doppeltes Datum und doppelte Unterschrift) doch verwundern würde. Im Übrigen setzte sie sich mit Klagebeilage 18 nicht auseinander. Mit Blick auf die Einvernahme der Beschwerdegegnerin erkannte sie, die Aussage sei nicht dahin zu verstehen, dass die Beschwerdegegnerin die Klageantwortbeilage als massgebliche Quittung gegen sich habe gelten lassen.
7.3.3. Der Gedankengang der Vorinstanz betreffend die Verfälschung ist nur unter der Prämisse schlüssig, die als "Verfälscher" in Betracht kommenden Personen seien weder besonders unbeholfen und unfähig, noch so gerissen, die Verfälschung bewusst dilettantisch zu gestalten, in der Hoffnung, dies werde in den Augen des Gerichts gegen eine Verfälschung sprechen. Auf diesen Aspekt braucht indessen nicht weiter eingegangen zu werden. Die Vorinstanz zitiert selbst die Feststellung des Bezirksgerichts, wonach die Beschwerdegegnerin anlässlich ihrer Befragung ausgesagt hat, sie habe die Version der Klageantwortbeilage 26 gesehen, aber ohne Unterschrift ihres Ehemannes. Sie habe damals irgendetwas unterschrieben, der Text sei verdeckt gewesen. Aus dem zweiten Teil der Aussage kann zwar ohne Willkür geschlossen werden, die Beschwerdegegnerin wolle die Quittung nicht gegen sich gelten lassen. Die Beschwerdegegnerin hat aber nicht behauptet, ihre eigene Unterschrift sei auf der Version, die sie gesehen hat, nicht vorhanden gewesen. Da nur die Version gemäss Klageantwortbeilage 26 eine Unterschrift der Beschwerdegegnerin aufweist, ist ausgeschlossen, dass es sich bei einer der anderen in den Akten liegenden Versionen um eine Kopie des Originals handelt. Damit ist die Annahme, diese vermöchten begründete Zweifel an der Echtheit der Klageantwortbeilage 26 zu erwecken, offensichtlich unhaltbar. Es kann sich höchstens die Frage stellen, ob es sich bei der Unterschrift des Ehemannes um eine Verfälschung handelt.
7.3.4. Die Eröffnung des Bankkontos der Beschwerdegegnerin datiert nach den Feststellungen der Vorinstanz vom 14. Mai 1997, also einen Tag nachdem die erste Teilzahlung erfolgt sein soll. In tatsächlicher Hinsicht steht lediglich fest, dass die Klägerin am 3. Juni 1997 bei der K._ Bank einen Betrag von Fr. 60'000.-- einzahlte. Die Vorinstanz erkannte, die Beschwerdegegnerin habe für die Zeit vom 14. Mai bis 31. Dezember 1997 zumindest glaubhaft gemacht, dass in jenem Jahr lediglich ein Betrag von Fr. 60'326.05, davon Fr. 60'000.00 am 3. Juni 1997, einbezahlt wurde. Für sich allein betrachtet mögen diese Umstände gegen eine Auszahlung am 13. Mai 1997 sprechen und nahelegen, das Original der Quittung sei vom Ehemann der Beschwerdegegnerin nicht unterzeichnet worden. Vor dem Hintergrund der Aussage der Beschwerdegegnerin und der von ihr eingereichten Version der Kopie der Quittung ist aber auch diese Annahme unhaltbar. In den in allen Versionen übereinstimmenden Textteilen ist von einer Bestätigung des Ehemannes über eine Auszahlung am 13. Mai 1997 über Fr. 60'000.-- die Rede und wird die Auszahlung des Restbetrags zu einem späteren Zeitpunkt in Aussicht gestellt. Die Klageantwortbeilage 26 entspricht diesem Geschehensablauf. Sie ist in sich logisch, und das Datum der behaupteten Restzahlung stimmt mit der tatsächlich erfolgten Einzahlung überein. Entscheidend ist aber, dass die Beschwerdegegnerin selbst in der Klagebeilage 18 eine Version der Quittung eingereicht hat, die ausschliesslich eine Zahlung vom 13. Mai 1997 betrifft und keinerlei Sinn ergeben würde, wenn nur eine einzige Zahlung am 3. Juni 1997 erfolgt wäre. Die Beschwerdegegnerin reichte aber nicht nur selbst ein Schriftstück ein, das als Zeitpunkt der Auszahlung den 13. Mai 1997 nennt. Sie ging ursprünglich selbst von einer Auszahlung an diesem Datum aus und verlangte in ihrer Verrechnungserklärung Verzugszins ab dem 13. Mai 1997 auf den um Fr. 60'000.-- reduzierten Gesamtbetrag. Vor diesem Hintergrund vermag sie auch bezüglich der Unterschrift ihres Ehemannes ohne Willkür keine begründeten Zweifel an der Echtheit der Klageantwortbeilage 26 aufkommen zu lassen.
7.3.5. Zudem bleibt unerklärlich, weshalb die Beschwerdegegnerin den nach ihrer Behauptung ausstehenden Betrag nicht früher eingefordert haben sollte. Der Verweis der Vorinstanz auf das Darlehen von Fr. 155'000.-- und die darin liegende Möglichkeit zur Verrechnung geht an der Sache vorbei. Es ist nicht nachvollziehbar, weshalb die Beschwerdegegnerin dieses Darlehen hätte aufnehmen sollen, solange sie vom Darlehensgeber einfach die Restzahlung verlangen konnte. Sollte sie dagegen die im Darlehen zusammengefassten Leistungen bereits vorher empfangen haben, ist nicht nachvollziehbar, weshalb sie, wenn trotz gegebener Verrechnungsmöglichkeit eine Teilzahlung erfolgte, mit einer Verrechnungserklärung für die Restforderung hätte rechnen sollen. Auch in der von der Beschwerdegegnerin eingereichten Version der Quittung ist festgehalten, die Restschuld sei sofort nach Eingang zahlbar, was keine Verrechnungsabsicht andeutet.
7.3.6. Indem die Vorinstanz die Widersprüche der Klagebeilage 18 zu den Aussagen der Beschwerdegegnerin selbst und zur Annahme einer einmaligen Auszahlung am 3. Juni 1997 nicht berücksichtigte, würdigte sie die vorhandenen Indizien willkürlich zu Ungunsten des Beschwerdeführers. Da es der Beschwerdegegnerin bei Würdigung der gesamten Beweismittel nicht gelingt, begründete Zweifel an der Echtheit der Klageantwortbeilage 26 aufkommen zu lassen, schadet es dem Beschwerdeführer nicht, dass er das Original der Quittung nicht beibringen konnte. Die Verrechnungsforderung der Klägerin ist demzufolge vollumfänglich abzuweisen.
7.4. Der Beschwerdeführer beantragte, unter Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 2.1 des Urteils des Obergerichts Aargau vom 11. Juni 2013 sei festzustellen, dass die von ihm beim Betreibungsamt Spreitenbach (Betreibung Nr. sss, Zahlungsbefehl vom 15. April 2010) gegen die Beschwerdegegnerin in Betreibung gesetzte Forderung (gemäss Darlehensvertrag vom 1. Februar 2001) über Fr. 155'000.-- zuzüglich Zins ab 1. Februar 2001 in der Höhe von 4 % besteht. Er formulierte also ein positives Feststellungsbegehren. Es besteht jedoch kein Rechtsschutzinteresse an einer positiven Feststellung des Bestehens der Forderung. Dem Beschwerdeführer ging es mit seinem Rechtsbegehren offensichtlich um Klarstellung, dass er lediglich die teilweise Zulassung der Verrechnung durch die Vorinstanz gemäss Dispositiv-Ziffer 1.1, Sub-Ziffer 2.1 anficht, jedoch nicht die weitergehende Abweisung der negativen Feststellungsklage gemäss Dispositiv-Ziffer 1.1, Sub-Ziffer 2.2. Nachdem die Verrechnung insgesamt nicht zugelassen wird, genügt es, die negative Feststellungsklage der Klägerin abzuweisen und die Sache zu neuer Entscheidung über die Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
8.
Damit obsiegt der Beklagte mit seinen Anträgen im Wesentlichen, während die Beschwerde der Klägerin unbegründet ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird diese kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 4A_390/2013 und 4A_392/2013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde der Klägerin (4A_392/2013) wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Beschwerde des Beklagten (4A_390/2013) wird teilweise gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 11. Juni 2013 wird aufgehoben und die negative Feststellungsklage der Klägerin gegen die vom Beklagten beim Betreibungsamt Spreitenbach (Betreibung Nr. sss) in Betreibung gesetzte Forderung (gemäss Darlehensvertrag vom 1. Februar 2001) über Fr. 155'000.-- zuzüglich Zins von 4 % ab 1. Februar 2001 wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden der Klägerin auferlegt.
5.
Die Klägerin hat den Beklagten für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 9'500.-- zu entschädigen.
6.
Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen zu neuer Entscheidung über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des erstinstanzlichen Verfahrens sowie der Berufung der Klägerin.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak