Sachverhalt:
A. Die Bundesversammlung verabschiedete am 23. März 2007 das Bundesgesetz über die Verbesserung der steuerlichen Rahmenbedingungen für unternehmerische Tätigkeiten und Investitionen (Unternehmenssteuerreformgesetz II; BBl 2007 2321). Gegen das Gesetz wurde das Referendum ergriffen. Die eidgenössische Volksabstimmung fand am 24. Februar 2008 statt. Im Vorfeld der Abstimmung erhielten die Stimmberechtigten die Erläuterungen des Bundesrates zur Vorlage. Bundesrat Merz stellte sie an zahlreichen Auftritten dar. Die Stimmberechtigten nahmen das Unternehmenssteuerreformgesetz II bei einer Stimmbeteiligung von 38,62 % mit 938'744 Ja gegen 918'990 Nein an. Der Bundesrat erwahrte das Ergebnis der Volksabstimmung am 10. April 2008 (BBl 2008 2781). Das Unternehmenssteuerreformgesetz II ist im Wesentlichen auf den 1. Januar 2009, einzelne Teile schon auf den 1. Juli 2008, andere Teile auf den 1. Januar 2010 bzw. 1. Januar 2011 in Kraft gesetzt worden (AS 2008 2893).
B. Anfangs März 2011 wurde bekannt, dass zahlreiche Unternehmen von den Möglichkeiten der Unternehmenssteuerreform Gebrauch machen würden und dass dadurch beträchtliche Steuerausfälle entstünden. Anlässlich einer Fragestunde im Nationalrat (AB 2011 N 350 ff.) und einer Pressekonferenz vom 14. März 2011 bestätigte Bundesrätin Widmer-Schlumpf, dass die Steuerausfälle infolge des Unternehmenssteuerreformgesetzes II wesentlich höher ausfallen würden als bei der Ausarbeitung der Vorlage angenommen und in den Erläuterungen des Bundesrates zur Abstimmung ausgewiesen worden war. Sie räumte ein, dass die Erläuterungen im sog. Abstimmungsbüchlein in dieser Hinsicht nicht vollständig gewesen seien.
C. Am 10. April 2011 wandte sich X._ mit einer als "Stimmrechtsbeschwerde/u.o. verwaltungsrechtliche Klage" bezeichneten Eingabe ans Bundesgericht. Er stellt folgende Anträge:
"1. Die rückwirkende Wirkung der Änderung des Bundesgesetzes über die Verrechnungssteuer vom 13. Oktober (SR 642.21) - im Rahmen der Abstimmung zur Unternehmungs-Steuerreform II vom 24. Februar 2008 - Art. 5 Abs. 1bis sei aufzuheben.
2. Es sei durch das Bundesgericht und/oder Bundesanwaltschaft festzustellen, dass unter anderem Bunderat H.R. Merz/Bundeskanzlei und Unbekannt (aber erwähnt u.a. BR a.D. Pascal Couchepin, BR a.D. Kaspar Villiger sowie BR Michelle Calmy-Rey...) mehrfach Beweisunterlagen unterdrückten/vernichteten (u.a. eine Eingabe an das Bundesstrafgericht in Bellinzona).
3. Es sei die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren."
Der Beschwerdeführer bringt u.a. vor, die Erläuterungen des Bundesrates zur Volksabstimmung vom 24. Februar 2008 und die Ausführungen von Bundesrat Merz im Vorfeld der Abstimmung hätten die Stimmberechtigten hinsichtlich des Nutzens der Vorlage für die KMU und in Bezug auf die finanziellen Folgen der Unternehmenssteuerreform irregeführt. Dadurch sei die Abstimmungsfreiheit im Sinne von <ref-law> verletzt worden. Dies zeige sich darin, dass anstelle der prognostizierten Ausfälle für den Bundeshaushalt von 56 bzw. 30 Millionen Franken nun von Steuerausfällen im Umfang von 400-600 Millionen Franken die Rede sei. Der Beschwerdeführer ergänzte seine Eingabe am 15. Mai 2011.
D. Das Bundesgericht eröffnete mit dem Bundesrat am 12. Mai 2011 den Meinungsaustausch. In seiner Antwort vom 10. Juni 2011 verneinte der Bundesrat eine Rechtsprechungszuständigkeit des Bundesgerichts.
In einem weitern Schreiben vom 23. Juni 2011 hielt das Bundesgericht an seiner Auffassung fest, für einen nachträglichen Rechtsschutz in Abstimmungsfragen zuständig zu sein, und ersuchte den Bundesrat um erneute Stellungnahme.
Mit Entscheid vom 29. Juni 2011 trat der Bundesrat auf die ihm von den Kantonsregierungen Bern und Zürich überwiesenen Gesuchen um Überprüfung der Volksabstimmung nicht ein (vgl. die Urteile 1C_176/2011 und 1C_182/2011 vom 20. Dezember 2011). Er hielt fest, dass die Voraussetzungen für eine Revision oder Wiedererwägung seines Erwahrungsbeschlusses fehlten.
Schliesslich liess der Bundesrat dem Bundesgericht am 24. August 2011 eine ergänzende Stellungnahme zukommen. Er hielt an seiner Entscheidkompetenz fest und überliess es dem Bundesgericht, das Kompetenzentscheidverfahren vor den Eidgenössischen Räten einzuleiten.
E. Der Beschwerdeführer liess dem Bundesgericht am 16. August 2011 eine weitere Eingabe zukommen. In seiner Replik vom 30. September 2011 hält er an seinen Anträgen fest. Zudem stellte er ein Beweisbegehren. Schliesslich hat er sich am 19. Dezember 2011 erneut ans Bundesgericht gewandt.
F. Die vorliegende Beschwerdesache ist am 20. Dezember 2011 öffentlich beraten worden.

Erwägungen:
1. Mit dem Begehren Ziff. 2 ersucht der Beschwerdeführer das Bundesgericht um Feststellung der mehrfachen Unterdrückung und Vernichtung von Beweisunterlagen. Er legt nicht dar, in welchem Verfahren er diese Feststellung verlangt. Er zeigt in keiner Weise auf, worum es ihm mit diesem Antrag geht und auf welche Sachumstände er sein Begehren stützt. In diesem Punkt kann auf die Beschwerde von vornherein nicht eingetreten werden.
2. Der Beschwerdeführer verlangt mit seinem Antrag Ziff. 1 die Aufhebung von Art. 5 Abs. 1bis des Bundesgesetzes über die Verrechnungssteuer (SR 642.21). Dieser Antrag ist unzulässig. Bundesgesetze unterliegen keiner (direkten oder nachträglichen) Anfechtung bei einer Gerichtsbehörde (Art. 189 Abs. 4 und Art. 190 BV). Auf den Antrag kann nicht eingetreten werden.
3. Der Beschwerdeführer macht geltend, anlässlich der Volksabstimmung vom 24. Februar 2008 über das Unternehmenssteuerreformgesetz II sei die Abstimmungsfreiheit nach <ref-law> verletzt worden. Er bringt hierfür vor, dass die Erläuterungen des Bundesrates im Abstimmungsbüchlein und Äusserungen von Bundesrat Merz mit Blick auf die finanziellen Folgen der Vorlage unsachgemäss und unvollständig gewesen seien. Dadurch seien die Stimmberechtigten irregeführt worden.
Mit diesen Vorbringen stellt der Beschwerdeführer die Recht- und Ordnungsmässigkeit der Volksabstimmung vom 24. Februar 2008 in Frage. Er hat sich mit seinem Anliegen am 10. April 2011 direkt an das Bundesgericht gewandt, ohne vorher bei der Kantonsregierung Beschwerde zu erheben (vgl. Art. 77 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes über die politischen Rechte [BPR; SR 161.1]).
Es ist im Folgenden zu prüfen, in welchem Verfahren auf eine Volksabstimmung nach deren Erwahrung zurückgekommen werden kann, welche Verfahrensbestimmungen dabei zu befolgen sind und ob diese im vorliegenden Verfahren eingehalten worden sind.
4. 4.1 Die Justizreform mit der Neufassung von <ref-law>, dem Erlass des Bundesgerichtsgesetzes und der Revision des Bundesgesetzes über die politischen Rechte brachte im Bereich der eidgenössischen politischen Rechte eine fundamentale Änderung des Rechtsschutzes. Dieser wurde in letzter Instanz der obersten Justizbehörde übertragen. Auf Abstimmungsbeschwerde hin werden Streitigkeiten wegen Verletzung von eidgenössischen Bestimmungen über die politischen Rechte nunmehr durch das Bundesgericht beurteilt. <ref-law> und <ref-law> sehen in eidgenössischen Stimmrechtsangelegenheiten die Beschwerde gemäss <ref-law> vor (vgl. Urteil 1C_176/2011 vom 20. Dezember 2011 E. 3).
Rechts- und Rechtsmittelweg in eidgenössischen Stimmrechtsangelegenheiten richten sich in allgemeiner Weise nach dem Bundesgesetz über die politischen Rechte und dem Bundesgerichtsgesetz. Gemäss <ref-law> kann wegen Unregelmässigkeiten bei eidgenössischen Abstimmungen bei der Kantonsregierung Beschwerde (sog. Abstimmungsbeschwerde) geführt werden. Sie ist im Vorfeld der Abstimmung oder gleich danach innert dreier Tage seit Entdeckung einer Unregelmässigkeit zu erheben, gemäss <ref-law> spätestens am dritten Tag nach Veröffentlichung der kantonalen Ergebnisse im Amtsblatt. Der Entscheid der Kantonsregierung kann nach <ref-law> in Verbindung mit Art. 88 Abs. 1 lit. b und Art. 100 Abs. 3 lit. b BGG wegen Verletzung der politischen Rechte innert fünf Tagen beim Bundesgericht angefochten werden. Das Beschwerderecht steht nach <ref-law> jeder in der betreffenden Angelegenheit stimmberechtigten Person oder politischen Parteien zu (vgl. Urteil 1C_176/2011 vom 20. Dezember 2011 E. 4.1 und 4.2).
Direkt gestützt auf Art. 29 Abs. 1 und Art. 29a BV leitet sich ein Anspruch auf Überprüfung der Regularität einer Volksabstimmung ab, wenn im Nachhinein erhebliche Mängel bekannt werden und wenn Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, die im Zeitraum der Abstimmung nicht bekannt waren, die aus rechtlichen oder tatsächlichen Gründen nicht geltend gemacht werden konnten oder die mangels Veranlassung nicht geltend gemacht werden mussten (vgl. Urteil 1C_176/2011 vom 20. Dezember 2011 E. 4.3 und 4.5).
Soweit in diesem Sinne hernach erhebliche Tatsachen und Beweise zutage treten, die das Abstimmungsverfahren wegen gravierender Mängel als fragwürdig erscheinen lassen könnten, rechtfertigt es sich, die Verfahrensbestimmungen des Bundesgesetzes über die politischen Rechte analog anzuwenden (Urteil 1C_176/2011 vom 20. Dezember 2011 E. 4.6). Das bedeutet, dass das Verfahren grundsätzlich bei der Kantonsregierung einzuleiten ist (<ref-ruling>). Zudem ist erforderlich, dass neu entdeckte Tatsachen und Beweismittel im Sinne von <ref-law> unverzüglich geltend gemacht werden. Dabei ist das zeitliche Erfordernis mit Bezug auf Erkennbarkeit und Substantiierung eines Mangels sachgerecht anzuwenden (<ref-ruling> E. 3b und 4 S. 5; Urteil vom 26. Mai 1995 E. 2b, in: ZBl 97/1996 S. 233).
4.2 Es kann im vorliegenden Fall offen bleiben, wie es sich mit dem Umstand verhält, dass der Beschwerdeführer direkt das Bundesgericht angerufen hat. Ausschlaggebend sind im vorliegenden Fall die zeitlichen Verhältnisse. Anfangs März 2011 wurde bekannt, dass zahlreiche Unternehmen von den Möglichkeiten der Unternehmenssteuerreform Gebrauch machen würden und dass dadurch für den Bund beträchtliche Steuerausfälle entstünden. Anlässlich einer Fragestunde im Nationalrat (AB 2011 N 350 ff.) und einer Pressekonferenz vom 14. März 2011 bestätigte Bundesrätin Widmer-Schlumpf, dass die Steuerausfälle wesentlich höher ausfallen würden als bei der Ausarbeitung der Vorlage angenommen und in den Erläuterungen des Bundesrates zur Abstimmung ausgewiesen worden war. Darüber berichteten die Medien ausgiebig. Der Beschwerdeführer nimmt explizit darauf Bezug. Er erwähnt zudem die Vorkehren, die Nationalrätin Margret Kiener Nellen unternommen hat. Diese reichte am 17. März 2011 beim Regierungsrat des Kantons Bern Beschwerde ein (vgl. Urteil 1C_176/2011 vom 20. Dezember 2011). Zudem hat Nationalrat Daniel Jositsch am 16. März 2011 beim Regierungsrat des Kantons Zürich Beschwerde erhoben (vgl. Urteil 1C_182/2011 vom 20. Dezember 2011). Auch darüber war in der Presse berichtet worden.
Der Beschwerdeführer hat seine Beschwerde dem Bundesgericht am 10. April 2011 eingereicht. Vor dem dargelegten zeitlichen Hintergrund kann auch bei grosszügiger Anwendung der Fristerfordernisse nach dem Bundesgesetz über die politischen Rechte nicht gesagt werden, der Beschwerdeführer hätte seine Beschwerde unverzüglich erhoben. Von der Einhaltung der dreitägigen Frist gemäss <ref-law> ist die Beschwerde weit entfernt.
Bei dieser Sachlage erweist sich die vorliegende Beschwerde als verspätet. Es ist daher auch in diesem Punkte darauf nicht einzutreten. Für eine materielle Beurteilung der aufgeworfenen Fragen kann auf die Urteile 1C_176/2011 und 1C_182/2011 vom 20. Dezember 2011 verwiesen werden.
5. Auf die Beschwerde ist demnach nicht einzutreten. Es rechtfertigt sich, keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Damit wird das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Bundesrat und der Bundeskanzlei schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Dezember 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Steinmann