Faits:
A. A.a En mai 2004, une enquête pénale a été ouverte en Espagne pour faits de dopage ("Opération Puerto"). Elle a abouti, deux ans plus tard, à l'arrestation du Dr Fuentes et d'autres personnes. Il leur était reproché d'avoir violé la législation espagnole sur la santé publique.
Le 29 août 2007, l'Union Cycliste Internationale (UCI), qui s'était portée partie civile dans la procédure pénale aux côtés de l'Agence Mondiale Antidopage (AMA), a demandé à la Fédération espagnole de cyclisme, la Real Federación Española de Ciclismo (RFEC), de mettre en oeuvre une procédure disciplinaire contre Alejandro Valverde Belmonte, coureur cycliste professionnel de nationalité espagnole. Elle se fondait, pour justifier sa requête, sur le fait que, dans le cadre de l'Opération Puerto, les enquêteurs avaient saisi, le 6 mai 2006, dans le laboratoire du Dr Fuentes, une poche contenant du sang supposé appartenir à ce coureur cycliste (ci-après: la poche n° 18).
Le 7 septembre 2007, le Comité Nacional de Competición y Disciplina Deportiva (CNCDD), autorité compétente pour les affaires de dopage au sein de la RFEC, a décidé de ne pas ouvrir de procédure disciplinaire à l'encontre d'Alejandro Valverde Belmonte. Le même jour, le président de la RFEC a pris une décision identique à celle du CNCDD.
A.b A la même époque, les autorités italiennes menaient, elles aussi, des opérations antidopage. Le 21 juillet 2008, lors du passage du Tour de France en Italie, Alejandro Valverde Belmonte a fourni un échantillon sanguin à l'occasion d'un contrôle effectué sur plusieurs coureurs cyclistes par le Comitato Olimpico Nazionale Italiano (CONI).
Le 30 janvier 2009, des membres de la police judiciaire italienne, dûment autorisés par le juge d'instruction espagnol, ont prélevé des échantillons de la poche n° 18 dans un laboratoire de Barcelone. L'analyse a permis d'établir une correspondance entre ces échantillons et celui qui avait été prélevé le 21 juillet 2008 sur le coureur cycliste espagnol.
Par décision du 11 mai 2009, le Tribunale Nazionale Antidoping du CONI a interdit à Alejandro Valverde Belmonte, reconnu coupable de violation des normes antidopage italiennes (NSA), de participer, pour une durée de deux ans, à des compétitions organisées par le CONI ou d'autres fédérations sportives nationales sur le territoire italien.
Statuant par sentence du 16 mars 2010, sur appel du coureur cycliste, le Tribunal Arbitral du Sport (TAS) a confirmé la décision de suspension.
Par arrêt du 29 octobre 2010, le Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure où il était recevable, le recours en matière civile formé par Alejandro Valverde Belmonte contre cette sentence arbitrale (cause 4A_234/2010).
B. En octobre 2007, l'AMA et l'UCI ont chacune déposé un appel auprès du TAS contre les décisions prises le 7 septembre 2007 par le CNCDD et le président de la RFEC. Sur le fond, elles ont toutes deux conclu, en dernier lieu, à ce qu'Alejandro Valverde Belmonte soit suspendu pour une durée de deux ans et à ce que tous les résultats obtenus par lui depuis le 4 mai 2004 soient annulés.
Le coureur cycliste a conclu à l'irrecevabilité des appels et la RFEC à leur rejet.
Une Formation arbitrale, composée de Me Otto L.O. de Witt Wijnen (président), avocat à Bergambacht (Pay-Bas), du Prof. Richard H. McLaren (arbitre désigné par les appelants), avocat à London (Canada), et du Dr Miguel Angel Fernández Ballesteros (arbitre désigné par les intimés), Professeur à Madrid (Espagne), a été constituée le 28 janvier 2008 (ci-après: la Formation).
Le 10 juillet 2008, la Formation a rendu une sentence préliminaire (preliminary award) dans laquelle elle a notamment admis la compétence du TAS et la recevabilité des deux appels.
Après avoir instruit la cause au fond, la Formation a rendu, le 31 mai 2010, à la majorité de ses membres, une sentence arbitrale par laquelle, admettant partiellement les appels, elle a reconnu Alejandro Valverde Belmonte coupable de violation de l'art. 15.2 du règlement antidopage de l'UCI (version 2004) et l'a suspendu pour une période de deux ans à compter du 1er janvier 2010. Elle a, en outre, rejeté les requêtes de l'UCI et de l'AMA tendant à l'annulation des résultats obtenus en compétition par le coureur cycliste espagnol avant le 1er janvier 2010.
Les motifs énoncés au soutien de cette sentence arbitrale seront indiqués plus loin dans la mesure utile à l'examen des griefs formulés à l'encontre de celle-ci.
C. Le 29 juin 2010, Alejandro Valverde Belmonte a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation de la sentence du 31 mai 2010 et de faire constater que le TAS n'était pas compétent pour statuer sur le fond.
Dans leurs réponses respectives des 18 et 21 octobre 2010, l'AMA, l'UCI et le TAS ont tous conclu au rejet du recours. La RFEC n'a pas déposé de réponse dans le délai qui lui avait été imparti à cette fin.
Par lettre du 22 novembre 2010, le recourant a renouvelé la requête procédurale, formulée dans son mémoire de recours, tendant à ce que le Tribunal fédéral ordonne au TAS de produire toute la correspondance écrite ou électronique échangée avec l'arbitre Fernández Ballesteros.
D. Le 29 juin 2010, le recourant a déposé auprès du TAS une requête d'interprétation ou de correction de la sentence du 31 mai 2010. Par décision du 9 juillet 2010, le Président suppléant de la Chambre d'appel du TAS a refusé d'entrer en matière sur cette demande.
Le recourant a également interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre ladite décision en date du 28 juillet 2010 (cause 4A_420/2010). Il a requis la jonction de cette cause avec la cause 4A_386/2010. Cette requête a été rejetée par ordonnance présidentielle du 4 octobre 2010, à l'instar de la requête du TAS des 17 et 20 septembre 2010 tendant à ce que la cause 4A_420/2010 soit suspendue jusqu'à droit connu dans la procédure 4A_386/2010.

Considérant en droit:
1. D'après l'<ref-law>, le Tribunal fédéral rédige son arrêt dans une langue officielle, en règle générale dans la langue de la décision attaquée. Lorsque cette décision est rédigée dans une autre langue (ici l'anglais), le Tribunal fédéral utilise la langue officielle choisie par les parties. Devant le TAS, celles-ci ont utilisé l'anglais. Dans le mémoire qu'il a adressé au Tribunal fédéral, le recourant a employé le français. Conformément à sa pratique, le Tribunal fédéral adoptera la langue du recours et rendra, par conséquent, son arrêt en français.
2. Dans le domaine de l'arbitrage international, le recours en matière civile est recevable contre les décisions de tribunaux arbitraux aux conditions prévues par les art. 190 à 192 LDIP (<ref-law>).
Le siège du TAS se trouve à Lausanne. L'une des parties au moins n'avait pas son domicile en Suisse au moment déterminant. Les dispositions du chapitre 12 de la LDIP sont donc applicables (<ref-law>).
La sentence attaquée revêt un caractère final et peut donc être attaquée pour l'ensemble des motifs prévus à l'<ref-law>. Les griefs soulevés par le recourant figurent dans la liste exhaustive de ces motifs-là.
Point n'est besoin d'examiner ici la question - controversée - de savoir si le recours en matière civile est soumis à la condition d'une valeur litigieuse minimale lorsqu'il a pour objet une sentence arbitrale internationale. A supposer que ce soit le cas, cette condition serait, en effet, remplie dès lors que le recourant allègue, sans être contredit par les intimés, que la suspension prononcée à son encontre lui cause un préjudice de 30'000 fr. au minimum.
Le recourant est directement touché par la sentence attaquée, car celle-ci lui interdit de participer à quelque compétition sportive que ce soit pour une durée de deux ans et annule les résultats qu'il a obtenus depuis le 1er janvier 2010. Il a ainsi un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que cette sentence n'ait pas été rendue en violation des garanties découlant de l'<ref-law>, ce qui lui confère la qualité pour recourir (<ref-law>).
Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme prévue par la loi (<ref-law>), le recours est recevable.
3. 3.1 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par le Tribunal arbitral (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter d'office les constatations des arbitres, même si les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit (cf. l'<ref-law> qui exclut l'application de l'<ref-law>). En revanche, comme c'était déjà le cas sous l'empire de la loi fédérale d'organisation judiciaire (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.2; <ref-ruling> consid. 2a et les arrêts cités), le Tribunal fédéral conserve la faculté de revoir l'état de fait à la base de la sentence attaquée si l'un des griefs mentionnés à l'<ref-law> est soulevé à l'encontre dudit état de fait ou que des faits ou des moyens de preuve nouveaux sont exceptionnellement pris en considération dans le cadre de la procédure du recours en matière civile (cf. <ref-law>).
3.2 A titre liminaire, le recourant indique qu'il complétera l'état de fait, dans la mesure utile, au moyen des preuves présentées durant l'arbitrage, celles-ci faisant partie du dossier de la cause. Il ajoute que ce procédé a été avalisé par le Tribunal fédéral dans une jurisprudence récente (arrêt 4A_600/2008 du 20 février 2009 consid. 3).
Cet avis ne saurait être partagé. Le recourant le fonde sur une unique opinion doctrinale qui n'est autre que celle de son propre conseil (SÉBASTIEN BESSON, Le recours contre la sentence arbitrale internationale selon la nouvelle LTF [aspects procéduraux], in Bulletin de l'Association Suisse de l'Arbitrage [ASA] 2007 p. 2 ss, 27 n° 59) et sur un précédent dont il donne une interprétation par trop extensive. L'arrêt qu'il cite avait, en effet, ceci de particulier que le prononcé attaqué se bornait à constater le retrait irrévocable d'une déclaration d'appel en raison du défaut de paiement de la provision requise par le TAS. Il était donc nécessaire, dans ce cas d'espèce, que le Tribunal fédéral examinât la manière dont s'était déroulée la procédure conduite par le TAS, telle qu'elle ressortait du dossier de l'arbitrage, pour statuer sur les griefs dirigés contre ce prononcé-là.
Il convient de s'en tenir aux principes susmentionnés. La mission du Tribunal fédéral, lorsqu'il est saisi d'un recours en matière civile visant une sentence arbitrale internationale, ne consiste pas à refaire le procès, à l'instar d'une juridiction d'appel, mais uniquement à examiner si les griefs recevables formulés à l'encontre de ladite sentence sont fondés ou non. Permettre aux parties d'alléguer d'autres faits que ceux qui ont été constatés par le tribunal arbitral, en dehors des cas exceptionnels réservés par la jurisprudence, ne serait plus compatible avec une telle mission, ces faits fussent-ils établis par les éléments de preuve figurant dans le dossier de l'arbitrage (arrêt 4A_234/2010 du 29 octobre 2010 consid. 2.2).
4. 4.1 Dans un premier moyen, qui a trait à la composition de la Formation, le recourant expose que, à un certain stade de la procédure et avant le prononcé de la sentence attaquée, l'arbitre Fernández Ballesteros a démissionné et n'a plus été en mesure de participer aux délibérations relatives à ladite sentence. Selon lui, l'absence de signature des coarbitres, les informations parues dans la presse espagnole et les réponses ambiguës du TAS démontreraient l'existence d'un dysfonctionnement important dans le processus de délibération.
A l'appui de ses dires, le recourant a produit un article publié le 2 juin 2010 dans l'édition électronique du journal espagnol El País, où il est fait état de la démission de l'arbitre précité (pce n° 25), ainsi que la correspondance échangée à ce sujet par le mandataire espagnol du recourant et le TAS (pces nos 27 à 30). Invoquant son droit d'être entendu, il requiert que le Tribunal fédéral ordonne au greffe du TAS et à la Formation de produire tout document "relatif à la démission de l'arbitre Ballesteros et/ou à la délibération de la sentence attaquée", en particulier les courriers écrits ou électroniques auxquels il est fait référence dans la réponse du TAS et dans le "Statement" dudit arbitre du 15 octobre 2010 annexé à celle-ci, puis qu'il lui accorde un délai approprié pour compléter sa motivation après réception de ces pièces (recours, n. 81, 83 à 86, 101 et 152; lettre du 22 novembre 2010).
Sous l'angle juridique, le recourant expose que, selon la jurisprudence fédérale, le droit à la composition correcte du tribunal est violé si, malgré la démission, même injustifiée, d'un arbitre, les autres membres du tribunal poursuivent la procédure sans qu'une convention les y autorise (<ref-ruling>). Tel serait le cas en l'espèce, puisque le Code de l'arbitrage en matière de sport (ci-après: le Code) ne prévoit pas la possibilité pour deux arbitres de continuer la procédure en cas de démission du troisième arbitre. Cette situation se distinguerait, au demeurant, de celle, non visée par l'<ref-law>, dans laquelle l'arbitre refuse de collaborer ou fait de l'obstruction, notamment en s'abstenant sans raison valable de participer aux délibérations du tribunal arbitral (<ref-ruling> consid. 3b/aa). Dès lors, à suivre le recourant, il y aurait matière à annulation de la sentence litigieuse sur la base de l'<ref-law> ou, alternativement, en application de l'art. 190 al. 2 let. d ou e LDIP.
Sous l'angle juridique, le recourant expose que, selon la jurisprudence fédérale, le droit à la composition correcte du tribunal est violé si, malgré la démission, même injustifiée, d'un arbitre, les autres membres du tribunal poursuivent la procédure sans qu'une convention les y autorise (<ref-ruling>). Tel serait le cas en l'espèce, puisque le Code de l'arbitrage en matière de sport (ci-après: le Code) ne prévoit pas la possibilité pour deux arbitres de continuer la procédure en cas de démission du troisième arbitre. Cette situation se distinguerait, au demeurant, de celle, non visée par l'<ref-law>, dans laquelle l'arbitre refuse de collaborer ou fait de l'obstruction, notamment en s'abstenant sans raison valable de participer aux délibérations du tribunal arbitral (<ref-ruling> consid. 3b/aa). Dès lors, à suivre le recourant, il y aurait matière à annulation de la sentence litigieuse sur la base de l'<ref-law> ou, alternativement, en application de l'art. 190 al. 2 let. d ou e LDIP.
4.2 4.2.1 Dans sa réponse, l'AMA expose que la démission d'un arbitre en cours de procédure est un problème connu auquel la doctrine la plus autorisée et plusieurs règlements en matière d'arbitrage international préconisent de remédier en admettant que les arbitres restants statuent seuls, à tout le moins lorsque la démission intervient au stade des délibérations. Selon elle, l'art. R59 du Code ne fait pas obstacle à l'adoption d'une telle solution par le TAS.
L'AMA souligne, par ailleurs, que la démission de l'arbitre Fernández Ballesteros n'est pas établie. Elle ajoute que, même dans l'hypothèse inverse, la démission de cet arbitre n'aurait de toute façon pas été donnée conformément aux règles du droit suisse, car le juge ordinaire n'a pas été requis de la ratifier.
Pour le surplus, rien n'indiquerait, selon cette intimée, que l'arbitre en question n'aurait pas participé aux délibérations de la Formation ou qu'il n'aurait pas été invité à le faire. Il s'ensuit que la sentence attaquée a été rendue par un tribunal arbitral régulièrement composé, de l'avis de cette partie.
4.2.2 L'UCI allègue, de son côté, qu'elle n'a pas été informée d'une éventuelle démission de l'arbitre Fernández Ballesteros. Elle conteste, en outre, qu'un article de presse puisse avoir une quelconque force probante à cet égard, tout en se réservant la possibilité de compléter son argumentation si d'autres éléments devenaient disponibles.
4.2.3 Pour sa part, le TAS résume, dans sa réponse (n. 8 à 11), les circonstances relatives à la prétendue démission de l'arbitre espagnol. Il expose, à ce propos, que les délibérations de la Formation se sont terminées le 25 mai 2010 avec la circulation du projet final de la sentence en vue d'une dernière relecture; que, le 28 mai 2010, l'arbitre Fernández Ballesteros a offert au Secrétaire général du TAS de démissionner de la Formation; que cette proposition a été refusée; que son auteur n'a pas cherché ensuite à envoyer une lettre de démission formelle à qui de droit (Président de la Chambre d'appel du TAS, suppléant du Président, Secrétaire général du TAS); que la sentence finale, rendue à la majorité, a été notifiée aux parties le 31 mai 2010; qu'en date du 2 juin 2010, un article publié par le journal espagnol El País a révélé, sans autres précisions, que l'arbitre Fernández Ballesteros aurait informé son entourage de sa démission de la Formation; que cet article est resté sans suite et qu'aucun autre média n'a évoqué la question de l'éventuelle démission de cet arbitre; enfin, que, dans un échange de courriers ayant eu lieu au mois de juin 2010, le TAS a confirmé au conseil espagnol du recourant qu'il n'y avait pas eu de lettre formelle de démission de cet arbitre.
A la réponse du TAS était annexé un document intitulé "STATEMENT", rédigé en anglais et signé par le Professeur Fernández Ballesteros, le 15 octobre 2010, dans lequel ce dernier confirme qu'il a offert sans succès sa démission de la Formation au Secrétaire général du TAS, qu'il n'a pas contesté la décision de celui-ci et qu'il considère que la sentence attaquée ne devrait pas être annulée du chef d'une prétendue composition irrégulière de la Formation (annexe n° 4).
En droit, le TAS conteste que la sentence du 31 mai 2010 ait été rendue par une Formation irrégulièrement composée, étant donné qu'il n'y a pas eu de démission formelle de l'arbitre Fernández Ballesteros, les allégations du recourant ne se fondant que sur des rumeurs colportées par un seul journal espagnol. Il ajoute que le fait que ladite sentence n'a été signée que par le Président de la Formation est sans pertinence, car cette possibilité, prévue expressément par l'art. R59 al. 1 du Code, est assez souvent utilisée, en particulier lorsque la décision est rendue à la majorité.
Quant à la requête procédurale du recourant, le TAS, tout en admettant qu'il n'aurait a priori pas de raison particulière de s'y opposer, estime néanmoins qu'elle se fonde sur des indices qui ne sont pas suffisamment solides. De plus, comme l'arbitre Fernández Ballesteros a déjà lui-même donné sa version des faits, il lui paraît disproportionné d'ordonner une enquête approfondie, laquelle reviendrait de surcroît à percer le secret des délibérations de la Formation, qui doit normalement être garanti dans une procédure d'arbitrage conduite par le TAS.
Quant à la requête procédurale du recourant, le TAS, tout en admettant qu'il n'aurait a priori pas de raison particulière de s'y opposer, estime néanmoins qu'elle se fonde sur des indices qui ne sont pas suffisamment solides. De plus, comme l'arbitre Fernández Ballesteros a déjà lui-même donné sa version des faits, il lui paraît disproportionné d'ordonner une enquête approfondie, laquelle reviendrait de surcroît à percer le secret des délibérations de la Formation, qui doit normalement être garanti dans une procédure d'arbitrage conduite par le TAS.
4.3 4.3.1 Dans l'arrêt publié aux <ref-ruling>, le Tribunal fédéral a examiné le problème de la démission d'un arbitre sans justes motifs. Il a jugé que, en pareille hypothèse, la procédure ne saurait se poursuivre, sans l'accord des parties, en l'absence du démissionnaire et avant qu'un nouvel arbitre ait été désigné. Par conséquent, si les autres membres du tribunal arbitral décident, en dépit de la démission de leur collègue, de poursuivre la procédure sans y avoir été préalablement autorisés par les parties, le tribunal arbitral n'est plus régulièrement constitué (consid. 6c).
Ultérieurement, le Tribunal fédéral a toutefois précisé qu'il convenait de bien distinguer de cette situation celle où l'arbitre désigné par une partie ne renonce pas formellement à assumer ses fonctions mais refuse de collaborer ou fait de l'obstruction, notamment en s'abstenant de participer sans raison valable aux délibérations du tribunal arbitral. Dans cette seconde hypothèse, il est communément admis que le tribunal arbitral continue d'être constitué régulièrement et que l'arbitre récalcitrant ne peut pas bloquer le collège d'arbitres lorsque celui-ci décide, à la majorité de ses membres, de poursuivre la procédure et de rendre une sentence, le cas échéant par voie de circulation (<ref-ruling> consid. 3b/aa p. 238).
La problématique dite du "tribunal arbitral tronqué" a fait couler beaucoup d'encre (Antonio Rigozzi, L'arbitrage international en matière de sport, 2005, n° 1001). Une partie de la doctrine, très critique à l'égard du premier des deux arrêts susmentionnés, considère que le tribunal arbitral peut valablement délibérer sans la participation de l'arbitre qui, ayant démissionné sans justes motifs, a été sommé de reprendre sa mission par l'autorité compétente (cf., parmi d'autres, Berger/Kellerhals, International and Domestic Arbitration in Switzerland, 2e éd. 2010, nos 869 et 870). D'autres auteurs - l'opinion dominante, selon Poudret/Besson (Comparative law of international arbitration, 2e éd. 2007, n° 738 p. 657) - tiennent, en revanche, pour inéluctable le remplacement de l'arbitre démissionnaire, à moins que les parties ne soient convenues du contraire ou ne soient soumises à un règlement permettant de s'en passer (cf., notamment, Kaufmann-Kohler/Rigozzi, Arbitrage international, 2e éd. 2010, n° 413c).
4.3.2 En l'espèce, il n'est pas nécessaire d'examiner plus avant cette question délicate. Force est, en effet, de constater que la prétendue démission de l'arbitre Fernández Ballesteros n'est pas établie. Aussi bien, il ressort du "STATEMENT" précité que l'intéressé a certes offert sa démission, mais que celle-ci lui a été refusée et qu'il ne s'est pas opposé à ce refus. Il faut en déduire que l'arbitre en question faisait toujours partie de la Formation lorsque la sentence attaquée a été rendue, de sorte qu'il n'y a pas matière à appliquer la jurisprudence controversée de l'<ref-ruling> in casu, ladite sentence n'émanant pas d'un tribunal arbitral "tronqué". Pour le surplus, rien ne permet d'affirmer que l'arbitre en question n'ait pas été mis en mesure de participer régulièrement aux délibérations de la Formation. La simple affirmation contraire du recourant, fondée sur une coupure de presse isolée, n'y change rien. Il en va de même de sa remarque selon laquelle l'absence de signature des coarbitres au pied de la sentence serait très inhabituelle dans la pratique du TAS: d'une part, l'art. R59 al. 1 du Code dispose que la signature du Président de la Formation suffit; d'autre part, le Secrétaire général du TAS, qui est le mieux placé pour constater la chose, indique qu'il s'agit là d'une "possibilité qui, dans la pratique, se produit relativement souvent..." (réponse, n. 15).
Il n'y a pas lieu d'ordonner les mesures d'instruction requises par le recourant. La Cour de céans considère comme suffisantes les explications fournies sur le point litigieux par l'arbitre lui-même dans son "STATEMENT" du 15 octobre 2010. Dans sa lettre du 22 novembre 2010, le conseil du recourant ne fournit d'ailleurs pas de justification particulière à sa requête de production de pièces et il n'argue pas de fausses les affirmations de l'arbitre espagnol.
Cela étant, le moyen fondé sur l'<ref-law> sera rejeté, tout comme les moyens alternatifs, d'ailleurs non motivés, tirés de l'art. 190 al. 2 let. d ou e LDIP.
5.1 5.1.1 Invoquant l'<ref-law>, le recourant reproche ensuite au TAS d'avoir outrepassé ses pouvoirs en statuant "au-delà de l'objet de la première décision portée en appel devant lui". La motivation de son grief peut être résumée comme il suit.
La procédure d'appel, couverte par la convention d'arbitrage, est limitée, ratione materiae, par l'objet de la décision dont est appel. Elle est, en effet, une voie de recours et la mission du TAS, dans ce cadre-là, consiste uniquement à contrôler les décisions des associations dans certains cas, non pas à se substituer aux organes de ces associations.
En l'espèce, la décision portée devant le TAS était celle du CNCDD de ne pas donner suite à la requête de l'UCI tendant à l'ouverture d'une procédure disciplinaire à l'encontre du recourant. Or, le TAS au lieu de se contenter de vérifier si cette décision était justifiée ou non, est entré en matière sur le fond et a sanctionné le cycliste espagnol, statuant ainsi au-delà de sa compétence.
De surcroît, la décision du CNCDD, qui ne comprenait pas les indications prescrites par les art. 242 et 243 du Règlement antidopage de l'UCI, version 2004 (ci-après: le Règlement UCI), n'était pas couverte par la convention d'arbitrage, soit l'art. 280 du Règlement UCI, ce qui constitue un motif supplémentaire d'incompétence.
Il convient d'observer, enfin, que le recourant a d'emblée soulevé l'exception d'incompétence, conformément à l'<ref-law>, et que la sentence préliminaire du 10 juillet 2008 ne tranchait pas la question de compétence présentement litigieuse, si bien que le recourant n'avait aucune raison de l'attaquer.
5.1.2 Contrairement au recourant, l'AMA soutient, dans sa réponse, que la sentence préliminaire précitée a scellé ladite question. Elle considère, en outre, que l'intéressé commet un abus de droit en revenant sur celle-ci, du moment qu'il a expressément accepté, dans sa réponse du 31 juillet 2009, i.e. postérieurement au prononcé de la sentence préliminaire, que le TAS statue sur le fond.
Pour l'AMA, la compétence du TAS n'est, de toute façon, pas sujette à caution. Elle résulte, d'une manière générale, du Règlement UCI et, sur le point controversé, de l'art. R57 du Code qui permet au TAS de substituer sa décision à celle prise en première instance.
Par surabondance, l'AMA relève que le recourant n'a jamais prétendu qu'il n'y aurait pas de décision au sens de l'art. 242 du Règlement UCI, partant qu'il ne saurait avancer aujourd'hui un argument qu'il aurait dû présenter au plus tard lorsque le TAS avait statué sur sa compétence.
5.1.3 A l'instar de l'AMA, l'UCI soutient, elle aussi, que le grief d'incompétence soulevé par le recourant est irrecevable pour cause de forclusion. Selon elle, le TAS aurait admis sa compétence sans aucune restriction dans sa sentence préliminaire, ce qu'il aurait d'ailleurs confirmé au n. 5.9 de sa sentence finale.
A titre subsidiaire, l'UCI souligne qu'il ne peut y avoir de doute quant à la compétence du TAS pour connaître du fond du litige. Pour étayer cette affirmation, elle se réfère, en particulier, à l'art. 289 du Règlement UCI dont elle déduit le pouvoir du TAS de juger les affaires de novo.
5.1.4 Le TAS ne s'est pas déterminé sur le point litigieux dans sa réponse.
5.2 Saisi du grief d'incompétence, le Tribunal fédéral examine librement les questions de droit, y compris les questions préalables, qui déterminent la compétence ou l'incompétence du tribunal arbitral (<ref-ruling> consid. 5 p. 141 et les arrêts cités).
Le recours pour le motif prévu à l'<ref-law> est ouvert lorsque le tribunal arbitral a statué sur des prétentions qu'il n'avait pas la compétence d'examiner, soit qu'il n'existât point de convention d'arbitrage, soit que celle-ci fût restreinte à certaines questions ne comprenant pas les prétentions en cause (extra potestatem) (<ref-ruling> consid. 3 in fine p. 642). Un tribunal arbitral n'est en effet compétent, entre autres conditions, que si le litige entre dans les prévisions de la convention d'arbitrage et que lui-même n'excède pas les limites que lui assignent la requête d'arbitrage et, le cas échéant, l'acte de mission (arrêt 4A_210/2008 du 29 octobre 2008 consid. 3.1 et les références).
Aux termes de l'<ref-law>, l'exception d'incompétence doit être soulevée préalablement à toute défense au fond. Il s'agit là d'un cas d'application du principe de la bonne foi, ancré à l'<ref-law>, qui régit l'ensemble des domaines du droit, y compris la procédure civile. Enoncée différemment, la règle posée à l'<ref-law> implique que le tribunal arbitral devant lequel le défendeur procède au fond sans faire de réserve est compétent de ce seul fait. Dès lors, celui qui entre en matière sans réserve sur le fond dans une procédure arbitrale contradictoire portant sur une cause arbitrable reconnaît, par cet acte concluant, la compétence du tribunal arbitral et perd définitivement le droit d'exciper de l'incompétence dudit tribunal. Toutefois, le défendeur peut se déterminer à titre éventuel sur le fond, pour le cas où l'exception d'incompétence ne serait pas admise, sans que pareil comportement vaille acceptation tacite de la compétence du tribunal arbitral (ATF <ref-ruling> consid. 2c/aa p. 57 s. et les références).
Si une partie entend contester une décision incidente du tribunal arbitral sur sa propre compétence, elle doit attaquer cette décision par un recours immédiat, au sens de l'<ref-law>, sous peine de forclusion (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 75; <ref-ruling> consid. 6d p. 502 et les références).
5.3 Appliqués au cas particulier, ces principes jurisprudentiels commandent de faire les remarques suivantes.
5.3.1 Il est constant que, lorsque l'AMA et l'UCI ont interjeté appel auprès du TAS en octobre 2007 contre les décisions du CNCDD et du président de la RFEC, le recourant a d'emblée contesté la compétence du TAS, en conformité avec les <ref-law> et R55 du Code. Il ne saurait donc encourir de forclusion du chef du comportement adopté par lui in limine litis.
5.3.2 Le 10 juillet 2008, la Formation a rendu une sentence préliminaire portant, entre autres points, sur sa propre compétence. Le recourant n'a pas attaqué cette sentence. Dès lors, à supposer que la question de compétence qu'il soulève dans le présent recours ait déjà été tranchée à l'époque par la Formation, il serait déchu du droit de la soumettre à l'examen du Tribunal fédéral. Pour vérifier si cette supposition correspond ou non à la réalité, il convient d'interpréter la sentence préliminaire.
Certes, comme le relève l'AMA, le chiffre 1 du dispositif de cette sentence énonce ce qui suit: "The CAS has jurisdiction". L'UCI a sans doute aussi raison lorsqu'elle souligne que cette phrase ne contient aucune limitation. Elle a tort, en revanche, quand elle soutient que les motifs de ladite sentence ne contiendraient rien qui puisse donner à penser "qu'une quelconque partie de la compétence serait encore à discuter" (réponse, n. 28). En effet, il faut admettre, avec le recourant, que la sentence préliminaire du 10 juillet 2008 a tranché uniquement la compétence du TAS au regard des art. 9 et 10 du Règlement UCI, qui règlent le problème de la compétence de l'UCI en cas de violations du règlement antidopage ne concernant pas un prélèvement d'échantillon. Il s'est agi, plus particulièrement, pour la Formation d'interpréter le terme discovered utilisé dans la version anglaise de chacune de ces deux dispositions. Ainsi, la sentence préliminaire ne tranchait en aucun cas la question de savoir si le TAS était compétent, non seulement pour annuler les décisions du CNCDD et du président de la RFEC et leur renvoyer la cause pour nouvelles décisions, mais encore pour se prononcer lui-même sur le fond. La remarque faite par la Formation au n. 5.9 de sa sentence finale, qui va apparemment en sens contraire, n'infirme en rien cette conclusion, car, si tel n'était pas le cas, on ne comprendrait pas pourquoi la Formation a consacré plusieurs paragraphes de cette sentence à la démonstration de son pouvoir décisionnel (The Issues to be Decided: The Scope of Review; n. 7) et au problème de la double instance (The question of the two instances; n. 8).
D'où il suit que le recourant ne peut se voir opposer le fait de n'avoir pas recouru contre la sentence préliminaire, laquelle ne traitait le problème de la compétence qu'in parte qua.
5.3.3 De même l'intéressé n'est-il pas forclos, quoi qu'en dise l'AMA, pour avoir conclu, dans son mémoire de réponse du 31 juillet 2009, à ce qu'il soit déclaré innocent, si une décision était prononcée sur le fond (ch. 4: "If a decision is announced on the merits of the case, to declare Alejandro Valverde innocent."). En effet, ladite conclusion n'avait qu'un caractère subsidiaire par rapport à la conclusion principale visant à faire constater l'irrecevabilité des appels de l'UCI et de l'AMA, conclusion à l'appui de laquelle le recourant alléguait, entre autres motifs, que la compétence du TAS s'épuisait dans une éventuelle injonction faite à la RFEC de commencer une procédure disciplinaire (mémoire de réponse, p. 17).
5.3.4 En l'espèce, il n'est pas contesté que le TAS est l'autorité d'appel compétente selon le Règlement UCI. Le recourant ne remet pas davantage en cause sa soumission à la juridiction du TAS selon le mécanisme de la clause arbitrale par référence (cf. <ref-ruling> consid. 4.3.2.3).
A teneur de l'art. 280 let. a du Règlement UCI, il peut être fait appel des "décisions de l'instance d'audition de la fédération nationale en vertu de l'art. 242". Le recourant soutient que la décision du CNCDD ne contenait pas les indications prescrites par cette dernière disposition et par l'art. 243 du Règlement UCI. Pour lui, la décision en question n'était ainsi pas couverte par une convention d'arbitrage (en l'occurrence, l'art. 280 du Règlement UCI), ce qui constitue un motif supplémentaire d'incompétence du TAS. C'est le lieu d'observer, avec l'UCI (réponse, n. 42) et l'AMA (réponse, n. 37), que l'intimé n'a pas fait valoir pareil argument avant le prononcé de la sentence préliminaire sur la compétence. La Formation a du reste relevé dans cette décision incidente que, si sa compétence était donnée sur la base des art. 9 et 10 du Règlement UCI, elle le serait aussi d'après le chapitre XI du même règlement où figure l'art. 280 précité (n. 6.2). Par conséquent, le recourant n'est plus recevable à dénoncer la prétendue violation de cette dernière disposition. Il ne précise pas, de surcroît, pourquoi la décision, au sens de l'art. 280 let. a du Règlement UCI, devrait également contenir les indications prescrites par l'art. 243 du Règlement UCI, que la première de ces deux dispositions ne mentionne pas, pas plus qu'il n'expose quelles sont les exigences de forme posées par l'art. 242 du Règlement UCI ni en quoi la décision du CNCDD les méconnaîtrait. Il y a là une seconde cause d'irrecevabilité de cette branche du moyen considéré.
La jurisprudence préconise de ne pas admettre trop facilement qu'une convention d'arbitrage a été conclue, si ce point est contesté. Cependant, une fois le principe de l'arbitrage acquis, elle fait preuve de souplesse quant à l'étendue du litige couvert par la convention d'arbitrage, même si cette interprétation large, conforme aux principes d'utilité et d'économie de la procédure, ne saurait impliquer une présomption en faveur de la compétence des arbitres (arrêt 4A_562/2009 du 27 janvier 2010 consid. 2.1 et les références). En l'espèce, il est vrai que la décision du CNCDD de ne pas ouvrir une procédure disciplinaire à l'encontre du recourant constituait une décision de non-entrée en matière, à l'instar de la décision identique prise le même jour par le président de la RFEC. Cela n'interdisait cependant nullement au TAS, s'il estimait cette décision injustifiée, de statuer lui-même sur le fond et d'infliger une sanction disciplinaire au coureur cycliste espagnol pour violation des règles antidopage. Semblable compétence découlait de l'art. R57 al. 1 du Code (sur ce point, cf. Rigozzi, op. cit., nos 1079 ss). Cette disposition énonce que "la Formation revoit les faits et le droit avec plein pouvoir d'examen" et qu'elle peut "soit rendre une nouvelle décision se substituant à la décision attaquée, soit annuler cette dernière et renvoyer la cause à l'autorité qui a statué en dernier". Le TAS a opté pour la première de ces deux solutions. On ne discerne pas à quel titre il pourrait se le voir reprocher. Contrairement à ce que soutient le recourant, une telle solution n'est pas du tout incompatible avec la nature de la procédure d'appel. C'est bien plutôt l'une des caractéristiques de ce moyen de droit que d'être une voie de réforme permettant à l'instance supérieure de prononcer elle-même sur le fond. La solution choisie par le TAS ne va pas non plus à l'encontre de la mission de cette juridiction arbitrale, quoi qu'en dise le recourant: elle est propre à favoriser une liquidation rapide des litiges et peut constituer le moyen adéquat de remédier au refus catégorique d'une association sportive nationale d'ouvrir une procédure disciplinaire contre un athlète ressortissant du pays où elle a son siège.
Cela étant, le moyen tiré de l'incompétence du TAS sera rejeté en tant qu'il est recevable.
6. 6.1 Le grief ultérieur est intitulé "Manque d'indépendance et d'impartialité du TAS (<ref-law>), ou violation du droit d'être entendu ou de l'ordre public (Art. 190 al. 2 let. d et e LDIP)".
Le recourant précise que ce grief multiforme est le pendant, du point de vue de la constitution du tribunal arbitral, du grief précédent. Il reproche, en substance, au TAS d'avoir méconnu les garanties découlant de l'art. 7 ch. 2 let. d.i de la Convention contre le dopage conclue à Strasbourg le 16 novembre 1989 (entrée en vigueur pour la Suisse le 1er janvier 1993; RS 0.812.122.1), des art. 225 ss du Règlement UCI et de l'art. 8 du Code mondial antidopage (CMA), en tant qu'elles visent à assurer l'indépendance et l'impartialité de l'autorité d'appel ainsi que le droit de l'athlète d'être entendu, lesquelles garanties font partie, selon lui, de l'ordre public procédural. Soutenant qu'il n'y a pas eu de première instance en l'espèce, le recourant reproche au TAS d'avoir voulu assumer les fonctions d'organe d'instruction, d'organe disciplinaire et d'organe d'appel dans une seule et même procédure. Il ajoute, en citant une décision récente (sentence du TAS du 25 juin 2010 dans la cause TAS 2010/A/2031), que le pouvoir d'examen que l'art. R57 du Code confère au TAS ne permet nullement à ce dernier de guérir le vice de procédure.
6.2 Comme les intimées le soulignent à juste titre dans leurs réponses respectives, la recevabilité du grief en question est des plus douteuses. Force est, en effet, de constater avec elles que le recourant fait valoir simultanément trois moyens qu'il présente pêle-mêle, sans indiquer en quoi chacune des garanties qu'il invoque serait violée par la sentence attaquée. Quoi qu'il en soit, les critiques qu'il formule en bloc tombent à faux.
Ainsi, lorsqu'il se fonde sur la susdite convention internationale, le recourant ignore le fait qu'elle s'adresse uniquement aux Etats signataires et que la disposition citée par lui se borne à encourager les organisations sportives de ces Etats "à clarifier et à harmoniser leurs droits, obligations et devoirs respectifs, en particulier en harmonisant [...] leurs procédures disciplinaires, en appliquant les principes internationalement reconnus de la justice naturelle et en garantissant le respect des droits fondamentaux des sportifs sur lesquels pèse un soupçon", l'un de ces principes voulant que l'organe d'instruction soit distinct de l'organe disciplinaire. Il appert de cet énoncé que la disposition conventionnelle invoquée par le recourant ne contient qu'une simple recommandation faite aux Etats signataires et qu'il ne s'agit donc pas d'une norme self executing qui aurait un effet contraignant pour une juridiction arbitrale privée, tel le TAS.
De même, le recourant ne précise pas en quoi les dispositions du Règlement UCI et du CMA, qu'il se contente d'énoncer sans en citer le contenu, imposeraient à toute instance chargée de sanctionner une violation des règles antidopage l'obligation de séparer les fonctions d'organe d'instruction et d'organe disciplinaire.
On ne voit pas, au demeurant, pourquoi le TAS, fort du large pouvoir que lui confère l'art. R57 al. 1 du Code, ne pourrait pas instruire lui-même l'affaire sur laquelle il doit statuer en appel, lorsque l'autorité de première instance a refusé d'ouvrir une procédure disciplinaire. A cet égard, le précédent cité par le recourant ne lui est d'aucun secours, car il a trait à une affaire dans laquelle la Formation avait choisi la seconde option prévue par cette disposition, à savoir le renvoi de la cause à l'autorité ayant statué en dernier.
Enfin, l'exigence d'une double instance ou d'un double degré de juridiction ne relève pas de l'ordre public procédural au sens de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP, contrairement à ce qui semble être l'avis du recourant. Il suffit de rappeler, à ce sujet et à titre d'exemple, qu'avant que l'<ref-law> ne formule pareille exigence, avec certaines exceptions du reste, aucune règle de droit privé fédéral n'imposait le principe du double degré de juridiction, qui n'était d'ailleurs pas commun à toutes les lois de procédure civile cantonales (cf. arrêt 4P.152/2002 du 16 octobre 2002 consid. 2.2).
7. 7.1 Le recourant se plaint ensuite de la violation de son droit d'être entendu (art. 190 al. 2 let. d LDIP). Il fait grief à la Formation d'avoir statué sans attendre le résultat de deux commissions rogatoires qu'elle avait délivrées pour établir un fait pertinent et sans justifier au moins sa décision de renoncer à cette preuve.
7.2 De jurisprudence constante, le droit d'être entendu en procédure contradictoire, consacré par les art. 182 al. 3 et 190 al. 2 let. d LDIP, est violé lorsque, par inadvertance ou malentendu, le tribunal arbitral ne prend pas en considération des preuves et offres de preuve présentées par l'une des parties et importantes pour la décision à rendre. Il incombe à la partie soi-disant lésée de démontrer, dans son recours dirigé contre la sentence, que le tribunal arbitral n'a pas examiné certains des éléments de preuve qu'elle avait régulièrement avancés à l'appui de ses conclusions et, d'autre part, que ces éléments étaient de nature à influer sur le sort du litige (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 248).
En l'espèce, comme cela ressort de l'ordonnance du TAS du 22 décembre 2009, les commissions rogatoires susmentionnées ont été mises en oeuvre sur requête de l'UCI et non du recourant. Dès lors, seule l'UCI pourrait se plaindre de ce que la Formation a rendu sa sentence sans avoir administré ce moyen de preuve. Le recourant ne saurait déplorer une violation de son droit à la preuve au seul motif qu'une preuve offerte par son adverse partie n'a pas été administrée. Il serait d'autant plus malvenu de le faire qu'il s'était opposé, à l'époque, à l'exécution de ces commissions rogatoires (mémoire de réponse du 31 juillet 2009, p. 52), ainsi que le relève l'UCI.
Par conséquent, le moyen pris de la violation du droit d'être entendu ne peut qu'être rejeté.
8. 8.1 Se plaignant d'une violation de l'ordre public, au sens de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP, le recourant soutient, par ailleurs, qu'il existerait, en l'espèce, une contradiction claire entre le dispositif de la sentence et les motifs de celle-ci. Il expose, à ce propos, que le dispositif de la sentence rejette les requêtes de l'UCI et de l'AMA tendant à le disqualifier pour les résultats sportifs obtenus avant le 1er janvier 2010, ce qui signifierait implicitement que ces requêtes seraient admises pour ceux qu'il a obtenus après cette date. Or, poursuit le recourant, les considérants de la sentence indiquent, sans ambiguïté, que lesdites requêtes sont entièrement rejetées, la sentence précisant, de manière explicite, qu'aucune raison ne justifie une disqualification pour les résultats "jusqu'à ce jour". Il y aurait là une contradiction irréductible et inadmissible du point de vue de l'ordre public, de l'avis du recourant.
8.2 Dans leurs réponses, les intimées et le TAS dénient l'existence de la contradiction alléguée par le recourant. L'UCI et l'AMA contestent, de surcroît, qu'une telle contradiction, fût-elle avérée, ressortisse à l'ordre public.
8.2 Dans leurs réponses, les intimées et le TAS dénient l'existence de la contradiction alléguée par le recourant. L'UCI et l'AMA contestent, de surcroît, qu'une telle contradiction, fût-elle avérée, ressortisse à l'ordre public.
8.3 8.3.1 Dans l'arrêt 4A_464/2009 du 15 février 2010, le Tribunal fédéral, revenant sur la jurisprudence qu'invoque le recourant (arrêts 4P.198/1998 du 17 février 1999 consid. 4a et 4P.99/2000 du 10 novembre 2000 consid. 3b/aa), a jugé, sur le vu d'arrêts plus récents, tels que le précédent publié aux <ref-ruling> consid. 2.2.1, que le moyen pris de l'incohérence intrinsèque des considérants d'une sentence n'entre pas dans la définition de l'ordre public matériel (consid. 5.1). Auparavant, il avait déjà exclu du champ d'application de cette définition une sentence arbitrale dont le dispositif comportait une incohérence interne (<ref-ruling> consid. 6b). La jurisprudence actuelle est fondée sur la prémisse que, du point de vue qualitatif, il n'est guère justifiable de considérer une sentence affectée de pareil vice avec plus de sévérité qu'une sentence reposant sur des constatations de fait insoutenables ou sur l'application arbitraire d'une règle de droit, sentence qui, elle, n'entre pas dans les prévisions de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP.
Le recourant objecte que cette jurisprudence ne vise pas les cas, telle la présente espèce, où il existe une contradiction évidente, non pas entre les différents motifs de la sentence ou entre les différents chefs du dispositif de celle-ci, mais entre le dispositif et les motifs censés le justifier. Toutefois, sa démonstration s'arrête là. Il est impossible de savoir, à la lecture du mémoire de recours, quelle raison déterminante commanderait de faire la distinction préconisée par le recourant. Qu'une contradiction insoluble entache la prémisse (motifs) ou la conclusion (dispositif) d'un syllogisme judiciaire n'apparaît, en effet, pas moins grave, à première vue, que celle qui vicie le raisonnement déductif permettant d'aboutir à celle-ci en partant de celle-là. Du moins le recourant n'explique-t-il pas pourquoi il n'y aurait pas de commune mesure entre ces différents types d'incohérence. Celle dont il se plaint donne d'ailleurs lieu, en règle générale, à une demande d'interprétation ou de rectification plutôt qu'à un recours proprement dit (cf., par ex., l'art. 334 al. 1 du Code de procédure civile du 19 décembre 2008 [CPC; RS 272] et l'<ref-law>).
Le grief examiné est, dès lors, irrecevable. Ne l'eût-il point été qu'il aurait dû être rejeté pour les motifs indiqués ci-après.
8.3.2 Sur le fond, la Cour de céans fait siennes les explications fournies tant par le TAS que par les intimées au sujet de la contradiction supposée exister entre le dispositif de la sentence attaquée et les motifs de celle-ci.
Les points controversés du dispositif de la sentence énoncent ce qui suit:
"3. Alejandro Valverde is suspended for a period of two years, starting on 1 January 2010.
4. The requests of the UCI and WADA for disqualification of the competitive results obtained by Mr Valverde before 1 January 2010 are denied."
Le recourant leur oppose le passage suivant des motifs de la sentence (n. 19.14):
"There is no evidence that any of the results obtained by Mr Valverde since 6 May 2006 until now was through doping infraction. Thus, the Appelants' Request to annul those results should be denied."
Il sied de bien distinguer la question de la durée de la suspension du coureur cycliste espagnol de celle de l'annulation des résultats des compétitions auxquelles l'intéressé a pris part à compter du 6 mai 2006, autrement dit de sa disqualification pour la période postérieure à cette date.
S'agissant du premier élément, la sentence précise clairement, sous le n. 19.12, que le début de la période de suspension, au sens de l'art. 275 du Règlement UCI, doit être fixé au 1er janvier 2010. A ce considérant fait écho le ch. 3 du dispositif de la sentence.
Les deux paragraphes suivants de la sentence (n. 19.13 et 19.14) concernent le second des deux éléments précités. La Formation y traite la question de la disqualification du recourant et, plus précisément, de la date à partir de laquelle les résultats obtenus en compétition par ce dernier doivent être annulés. Elle se demande si les résultats du coureur cycliste espagnol postérieurs au 6 mai 2006 - date de la découverte de la poche n° 18 - doivent être annulés ou non. A son avis, tel n'est pas le cas, étant donné qu'il n'est pas établi que les résultats obtenus par le recourant depuis cette date aient été acquis par la violation de règles antidopage. C'est la raison pour laquelle la Formation rejette la requête des intimées, qui visait à l'annulation de tous les résultats obtenus par le recourant depuis le 4 mai 2004. Ce rejet est énoncé sous ch. 4 du dispositif de la sentence.
Les termes "until now", figurant sous le n. 19.14 de la sentence ne sauraient, de toute évidence, être interprétés, comme le voudrait le recourant, en ce sens que les résultats obtenus depuis le 1er janvier 2010 jusqu'au prononcé de la sentence (31 mai 2010) ne tomberaient pas sous le coup de la disqualification. Il va de soi que, lorsqu'un athlète est suspendu avec effet rétroactif, les résultats qu'il a obtenus depuis le moment où la suspension a pris effet jusqu'à celui où elle a été prononcée ne peuvent pas être maintenus. C'est ce que la Formation a exposé dans le corps de sa sentence et qu'elle a traduit, au ch. 4 du dispositif de celle-ci, en renonçant à disqualifier le recourant pour les résultats obtenus avant le 1er janvier 2010, c'est-à-dire, a contrario, en disqualifiant le coureur cycliste espagnol pour les résultats acquis en compétition après cette date.
Ainsi, quoi qu'en dise le recourant, le dispositif de la sentence attaquée ne contredit en rien les motifs de ce prononcé.
9.1 Dans un dernier moyen, fondé sur la violation de l'ordre public (art. 190 al. 2 let. e LDIP), le recourant reproche à la Formation d'avoir violé le principe ne bis in idem ou le principe de la res iudicata. Selon lui, le TAS a rendu, le 16 mars 2010, une sentence dans une cause portant sur les mêmes faits et sur la même infraction que ceux qui caractérisent la présente affaire. Avoir méconnu l'existence de ce précédent reviendrait aussi, de l'avis du recourant, à ne pas s'être avisé d'un motif d'inarbitrabilité faisant échec à la compétence de la Formation et lui interdisant de se prononcer derechef sur une question déjà tranchée dans une sentence antérieure revêtue de l'autorité de la chose jugée. Considérée sous cet angle, la sentence attaquée devrait être annulée en vertu de l'<ref-law> (incompétence du tribunal arbitral).
A l'appui de cet ultime grief, le recourant soutient avoir été puni deux fois pour la même infraction; il précise, à cet égard, en s'appuyant sur un avis de droit, qu'une peine de suspension s'apparente à une sanction pénale et justifie pleinement l'application du principe ne bis in idem. Que la première sanction ait été limitée géographiquement au territoire italien n'y changerait rien, à le suivre, car la suspension qu'il s'est vu infliger en second lieu, sur le plan mondial, englobe nécessairement ce territoire-là. Aussi le recourant est-il d'avis que, pour respecter le principe de l'autorité de la chose jugée, le TAS aurait dû renoncer à le sanctionner derechef ou, à tout le moins, reporter le point de départ de la sanction au 11 mai 2009 en tant qu'elle s'applique au territoire italien, soit à la date à laquelle la suspension de deux ans dont il a écopé pour ce territoire a pris effet.
A l'appui de cet ultime grief, le recourant soutient avoir été puni deux fois pour la même infraction; il précise, à cet égard, en s'appuyant sur un avis de droit, qu'une peine de suspension s'apparente à une sanction pénale et justifie pleinement l'application du principe ne bis in idem. Que la première sanction ait été limitée géographiquement au territoire italien n'y changerait rien, à le suivre, car la suspension qu'il s'est vu infliger en second lieu, sur le plan mondial, englobe nécessairement ce territoire-là. Aussi le recourant est-il d'avis que, pour respecter le principe de l'autorité de la chose jugée, le TAS aurait dû renoncer à le sanctionner derechef ou, à tout le moins, reporter le point de départ de la sanction au 11 mai 2009 en tant qu'elle s'applique au territoire italien, soit à la date à laquelle la suspension de deux ans dont il a écopé pour ce territoire a pris effet.
9.2 9.2.1 Dans sa réponse, l'UCI commence par mettre en doute la neutralité de l'avis de droit produit par le recourant. Elle fait valoir, à ce propos, que l'auteur de cette expertise privée a cosigné, avec le conseil du recourant, un avis de droit qui a été versé par ce dernier au dossier de l'affaire ayant abouti au prononcé de la sentence arbitrale du 16 mars 2010 (TAS 2009/A/1879), puis à l'arrêt du Tribunal fédéral du 29 octobre 2010 (cause 4A_234/2010).
L'intimée s'emploie ensuite à démontrer que les conditions d'application de l'exception ne bis in idem ne seraient pas réunies en l'espèce. Selon elle, en effet, dans la sentence rendue le 16 mars 2010 à l'encontre du recourant et dans la sentence formant l'objet du présent recours, le TAS n'aurait pas appliqué les mêmes règles puisque celle-là se fondait sur les normes antidopage italiennes (NSA) et celle-ci sur le Règlement UCI. De plus, l'inibizione, dont il est question dans la première sentence en date, ne constituerait pas une sanction disciplinaire, mais une mesure de prévention pouvant s'ajouter à une telle sanction lorsque l'athlète convaincu de dopage est licencié auprès d'une fédération nationale.
9.2.2 De son côté, l'AMA, après avoir rappelé les conditions d'application du principe ne bis in idem, souligne que, à la différence de l'inibizione, qui est une "mesure de droit public italien" pouvant être prise à l'encontre de tout individu, la suspension est une sanction disciplinaire, prise par une fédération sportive internationale à l'encontre d'un licencié, c'est-à-dire une sanction de nature privée. A ses yeux, les deux décisions successives n'avaient ni le même objet ni le même but: l'une constituait "une mesure d'intérêt public de portée nationale prise en Italie par une autorité publique"; l'autre, une sanction privée infligée par une fédération sportive internationale à l'un de ses affiliés; la première visait l'exclusion territoriale de participer à des compétitions; la seconde, l'interdiction de pratiquer un sport professionnel. Dès lors, il n'y avait pas matière à appliquer le susdit principe.
9.2.3 Le TAS a renoncé, pour sa part, à se déterminer sur les arguments du recourant, au motif que la question controversée a été examinée en détail dans la sentence attaquée.
9.2.3 Le TAS a renoncé, pour sa part, à se déterminer sur les arguments du recourant, au motif que la question controversée a été examinée en détail dans la sentence attaquée.
9.3 9.3.1 Un tribunal arbitral viole l'ordre public procédural, au sens de l'art. 190 al. 2 let. e LTF, s'il statue sans tenir compte de l'autorité de la chose jugée d'une décision antérieure ou s'il s'écarte, dans sa sentence finale, de l'opinion qu'il a émise dans une sentence préjudicielle tranchant une question préalable de fond (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 348 et les arrêts cités).
La jurisprudence qualifie le principe ne bis in idem de corollaire (arrêt 2P.35/2007 du 10 septembre 2007 consid. 6) ou d'aspect négatif (arrêt 6B_961/2008 du 10 mars 2009 consid. 1.2) de l'autorité de la chose jugée. En droit pénal, ce principe interdit de poursuivre deux fois la même personne pour le même fait délictueux (dernier arrêt cité, ibid.). Il est consacré tant par le droit international (art. 14 al. 7 du Pacte international relatif aux droits civils et politiques [Pacte ONU II], RS 0.103.2; art. 4 ch. 1 du Protocole n° 7 à la CEDH [ci-après: le Protocole], RS 0.101.07) que par le droit suisse (<ref-ruling> consid. 5.2), qui l'a codifié récemment (art. 11 du Code de procédure pénale suisse [CPP] du 5 octobre 2007, RS 312.0). L'importance et la généralisation du "droit à ne pas être jugé ou puni deux fois" (titre de l'art. 4 ch. 1 du Protocole) ou de l'"interdiction de la double poursuite" (titre de l'<ref-law>) sont telles qu'il convient d'inclure le principe ne bis in idem dans la notion de l'ordre public au sens de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP (pour la définition de cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 2.2). Dire si ce principe relève de l'ordre public procédural ou de l'ordre public matériel est une question plus délicate, qu'il n'est cependant pas nécessaire de trancher ici.
Que la violation du principe ne bis in idem puisse tomber sous le coup de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP est une chose. Que le droit disciplinaire sportif soit également soumis à ce principe, propre au droit pénal, en est une autre, qui ne va pas de soi (sur cette question, cf. CHRISTOPH LÜER, Dopingstrafen im Sport und der Grundsatz "Ne bis in idem", 2006, passim). Force est toutefois de constater que le TAS lui-même a jugé qu'il convenait d'appliquer ce principe en l'espèce, à tout le moins par analogie, eu égard à la sévérité de la sanction disciplinaire imposée au recourant (sentence, n. 18.5). Point n'est, dès lors, besoin d'approfondir ici la question de l'applicabilité dudit principe, propre au droit pénal, au droit disciplinaire sportif. Il suffira de vérifier l'application qui en a été faite in concreto par la Formation.
9.3.2 Se fondant sur un ouvrage de doctrine relatif au droit judiciaire suisse (GÉRARD PIQUEREZ, Traité de procédure pénale suisse, 2e éd. 2006, n° 1541), la Formation rappelle que, pour être efficacement invoquée, l'exception de chose jugée suppose l'existence d'une triple identité d'objet, de parties et de fait (dans le même sens, voir l'arrêt 2P.35/2007, précité, ibid.). Pour elle, les deux dernières identités sont clairement réalisées en l'espèce puisque le recourant a été mis en cause dans les deux procédures disciplinaires parallèles ayant abouti aux sentences rendues les 16 mars et 31 mai 2010 par le TAS (sentence, n. 18.12). Tel ne serait pas le cas, en revanche, de la première. En effet, l'objet de la procédure disciplinaire ouverte en Italie était de protéger le bon déroulement des compétitions sportives se déroulant sur sol italien, tandis que la seconde procédure disciplinaire visait à sanctionner l'athlète pour avoir adopté un comportement contraire aux règles du sport qu'il pratique à titre professionnel, ce qui justifiait une extension mondiale de la sanction prononcée contre lui. Ainsi, de l'avis des arbitres majoritaires, faute d'une identité d'objet, le principe ne bis in idem ne trouvait pas à s'appliquer in casu. Quoi qu'il en soit, l'importance d'une suspension sanctionnant au niveau mondial la violation d'une règle antidopage l'emporterait, selon eux, sur le fait qu'une suspension plus limitée territorialement avait été prononcée auparavant à l'encontre de la même personne (sentence, n. 18.13 à 18.16).
L'application du principe ne bis in idem suppose que les biens protégés soient identiques (identité d'objet). Aussi l'interdiction de la double poursuite ne fait-elle pas obstacle à l'introduction de poursuites contre la même personne, lorsque le même comportement peut avoir des conséquences non seulement pénales, mais également civiles, administratives ou disciplinaires (MICHEL HOTTELIER, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2010, n° 8 ad <ref-law>). En l'espèce, comme la Formation le souligne dans la sentence attaquée, suivie en cela par l'UCI et l'AMA, et comme une autre Formation l'avait déjà mis en évidence de manière plus détaillée dans la sentence du 16 mars 2010 (cf., notamment, les n. 62, 73, 90 et 182), l'inibizione est une mesure d'ordre essentiellement préventif, applicable à tout individu (athlète ou non, affilié à la fédération italienne ou non), qui vise principalement à faire en sorte que le déroulement des compétitions sportives sur le territoire de l'Italie ne soit pas faussé par la participation de personnes convaincues de violation des règles antidopage et qui déploie des effets limités au territoire de ce pays. En cela, elle se distingue de la suspension qui a été infligée au coureur cycliste espagnol dans la sentence du 31 mai 2010, cette mesure-ci revêtant avant tout un caractère répressif en tant qu'elle a pour objet de sanctionner, avec effet sur le plan mondial, un sportif professionnel affilié à une fédération sportive. Dans son mémoire, le recourant ne démontre pas que la Formation se serait trompée en refusant d'admettre que les deux mesures prises à son encontre seraient de même nature. Il se contente d'affirmer la chose, en soutenant que "le fondement normatif de ces deux procédures est identique", étant donné que les règlements antidopage édictés par le CONI et par l'UCI incorporeraient tous deux le mécanisme et la réglementation du CMA (recours, n. 143). Pareille affirmation ne saurait toutefois remplacer la démonstration motivée de son contenu.
Dans ces conditions, la Formation n'a pas violé le principe ne bis in idem, faute d'une identité d'objet entre les deux mesures prises à l'encontre du recourant. Le reproche qui lui est fait d'avoir rendu une sentence incompatible avec l'ordre public ou qu'elle n'avait pas la compétence de rendre tombe, dès lors, à faux.
10. Le présent recours doit ainsi être rejeté. Succombant, son auteur paiera les frais judiciaires (<ref-law>); il versera, en outre, des dépens à l'AMA et à l'UCI (art. 68 al. 1 et 2 LTF). La RFEC, qui n'a pas déposé de réponse, n'a pas droit à une indemnité.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'Agence Mondiale Antidopage (AMA) une indemnité de 5'000 fr. à titre de dépens. Il versera la même indemnité à l'Union Cycliste Internationale (UCI) au même titre.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal Arbitral du Sport (TAS).
Lausanne, le 3 janvier 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo