Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen Sozialfürsorgebetruges. Am 16. April 2013 führte die Staatsanwaltschaft bei der Beschuldigten eine Hausdurchsuchung durch. Am 18. April 2013 ersuchte die erbetene Verteidigerin der Beschuldigten bei der Staatsanwaltschaft um Bestellung als amtliche Verteidigerin. Die Staatsanwaltschaft leitete das Gesuch weiter an die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich (Büro für amtliche Mandate), welche das Begehren mit Verfügung vom 26. April 2013 abwies. Eine von der Beschuldigten dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, mit Beschluss vom 22. Juli 2013 ab.
B.
Gegen den Beschluss des Obergerichtes gelangte die Beschuldigte mit Beschwerde vom 23. August 2013 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Einsetzung ihrer Rechtsvertreterin als amtliche Verteidigerin.
Die Staatsanwaltschaft (vertreten durch Oberstaatsanwaltschaft) und das Obergericht verzichteten am 30. August bzw. 3. September (Posteingang: 10. September) 2013 je auf Stellungnahmen.

Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen von Art. 78 ff. BGG sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
Das Obergericht begründet seinen Entscheid wie folgt: Angesichts der Betrugsvorwürfe gegen die Beschwerdeführerin liege zwar kein Bagatellfall vor. Die Strafsache stelle jedoch keine besonderen Schwierigkeiten tatsächlicher oder rechtlicher Natur. Die Beschuldigte, ihr Ehemann, und ihr Kind seien (ab 1. Mai 2011) von der Sozialfürsorge der Stadt Zürich unterstützt worden. Es bestehe der Verdacht, dass die Beschuldigte gegenüber den Sozialen Diensten falsche Angaben gemacht habe. Sie habe nicht bei ihrem Ehemann gewohnt, sondern beim Vater ihres Kindes. Diese Beziehung habe die Intensität eines stabilen Konkubinats gehabt, weshalb eine "eheliche Unterstützungspflicht" bestehe. In Kenntnis dieser Unterstützungspflicht des Konkubinatspartners wären der Beschuldigten keine Fürsorgeleistungen ausbezahlt worden. Zudem bestünden Anhaltspunkte, wonach die Beschuldigte und ihr Ehemann Vermögenswerte nicht deklariert hätten, um höhere Fürsorgeleistungen zu erwirken. Der Deliktsbetrag betrage Fr. 48'735.55. Zwar bestreite die Beschwerdeführerin diese Vorwürfe. Es würden ihr jedoch "klar umgrenzte Sachverhaltskomplexe" vorgeworfen, welche "einfach zu erfassen" seien. Auch einer in finanziellen Belangen nicht versierten beschuldigten Person sei es "ohne Weiteres zumutbar", ohne anwaltliche Verbeiständung am Strafverfahren teilzunehmen. Daran ändere auch der Umstand nichts, dass die Beschwerdeführerin erst seit ca. zwei Jahren in der Schweiz lebe. Da sie "Schweizer Bürgerin" sei, dürfte sie mit den Grundzügen des hiesigen Rechtssystems vertraut sein. Überdies entspreche das ihr vorgeworfene Verhalten "auch in anderen Ländern nicht der Vorstellung eines moralisch korrekten Verhaltens". Der Einwand, die Beschwerdeführerin sei der deutschen Sprache nicht mächtig, führe zu keiner anderen Einschätzung, da für eine ausreichende Übersetzung der wesentlichen Verfahrensvorgänge gesorgt sei. Die Gefahr, dass sich im Laufe des Verfahrens "Weiterungen" ergeben könnten, bestehe nicht. Ebenso wenig seien hier besondere Schwierigkeiten rechtlicher Natur erkennbar.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt, das Strafverfahren stelle sie vor diverse Schwierigkeiten, denen sie ohne anwaltliche Unterstützung nicht gewachsen sei. Auch sei sie finanziell bedürftig. Die Verweigerung der amtlichen Verteidigung verletze insbesondere Art. 132 StPO.
4.
4.1. Gemäss Art. 132 Abs. 1 lit. a StPO ordnet die Verfahrensleitung eine amtliche Verteidigung an, wenn bei notwendiger Verteidigung nach Art. 130 StPO die beschuldigte Person trotz Aufforderung der Verfahrensleitung keine Wahlverteidigung bestimmt oder der Wahlverteidigung das Mandat entzogen wurde oder sie es niedergelegt hat und die beschuldigte Person nicht innert Frist eine neue Wahlverteidigung bestimmt. Ein Fall notwendiger Verteidigung liegt insbesondere vor, wenn der beschuldigten Person eine Freiheitsstrafe von mehr als einem Jahr oder eine freiheitsentziehende Massnahme droht (Art. 130 lit. b StPO).
4.2. Nach Art. 132 Abs. 1 lit. b StPO ordnet die Verfahrensleitung über die Fälle der notwendigen Verteidigung hinaus dann eine amtliche Verteidigung an, wenn die beschuldigte Person nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und die Verteidigung zur Wahrung ihrer Interessen geboten ist (vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1 S. 118 f.). Zur Wahrung der Interessen der beschuldigten Person ist die Verteidigung namentlich geboten, wenn es sich nicht um einen Bagatellfall handelt und der Straffall in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, denen die beschuldigte Person allein nicht gewachsen wäre (Art. 132 Abs. 2 StPO). Ein Bagatellfall liegt jedenfalls dann nicht mehr vor, wenn eine Freiheitsstrafe von mehr als 4 Monaten, eine Geldstrafe von mehr als 120 Tagessätzen oder gemeinnützige Arbeit von mehr als 480 Stunden zu erwarten ist (Art. 132 Abs. 3 StPO).
4.3. Mit den gesetzlichen Bestimmungen von Art. 132 StPO wurde die bisherige bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Art. 29 Abs. 3 BV und Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK kodifiziert (<ref-ruling> E. 4.3 S. 119; Urteile 1B_170/2013 vom 30. Mai 2013 E. 4.3; 1B_448/2012 vom 17. Oktober 2012 E. 2.2; je mit Hinweisen). Wie sich aus dem Gesetzeswortlaut ("jedenfalls dann nicht") ergibt, sind die Nicht-Bagatellfälle (welche in der Bundesgerichtspraxis auch als "relativ schwer" bezeichnet werden) nicht auf die in Art. 132 Abs. 3 StPO beispielhaft genannten Fälle beschränkt (Urteil 1B_170/2013 vom 30. Mai 2013 E. 4.3). Bei der Prüfung, ob eine amtliche Verteidigung sachlich geboten ist, sind die konkreten Umstände des Einzelfalls zu berücksichtigen. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kommt es bei der Frage, welche Sanktion der beschuldigten Person droht, nicht auf die abstrakte Strafobergrenze an, sondern auf die konkrete Sanktion, mit der die beschuldigte Person im Falle einer Anklageerhebung und Verurteilung zu rechnen hat (<ref-ruling> E. 2c S. 188; <ref-ruling> E. 2b S. 45 f. mit Hinweisen). Eine bedürftige Partei hat Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, wenn ihre Interessen in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen (<ref-ruling> E. 2.5.2 S. 233; <ref-ruling> E. 2c/bb S. 51; 275 E. 3a S. 276; <ref-ruling> E. 2a S. 44 f.; je mit Hinweisen). Falls das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der betroffenen Person eingreift, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten. Droht zwar ein erheblicher, nicht aber ein besonders schwerer Eingriff, müssen zur relativen Schwere des Eingriffs besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen die betroffene Person - auf sich allein gestellt - nicht gewachsen wäre. Als besondere Schwierigkeiten, die eine Verbeiständung rechtfertigen können, fallen auch in der betroffenen Person liegende Gründe in Betracht, insbesondere deren Unfähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden (<ref-ruling> E. 2.5.2 S. 233; <ref-ruling> E. 2c/bb S. 51 f.; 275 E. 3a S. 276; je mit Hinweisen; Urteile 1B_257/2013 vom 28. Oktober 2013 E. 2.1; 1B_448/2012 E. 2.3). Auch familiäre Interessenkonflikte, Sprachschwierigkeiten, mangelnde Schulbildung oder die Konfrontation mit anwaltlich vertretenen Gegenparteien bzw. Mitbeschuldigten können tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten begründen, welche, insgesamt betrachtet, für die sachliche Notwendigkeit einer amtlichen Verteidigung sprechen (<ref-ruling> E. 6.3-6.4 S. 38 f. mit Hinweisen; Urteile 1B_170/2013 vom 30. Mai 2013 E. 4.5; 1B_195/2012 vom 7. Mai 2012 E. 2.4). Bei offensichtlichen Bagatelldelikten, bei denen nur eine Busse oder eine geringfügige Freiheitsstrafe in Frage kommt, hat die Bundesgerichtspraxis einen bundesrechtlichen bzw. verfassungsmässigen Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung verneint (<ref-ruling> E. 2.5.2 S. 233; <ref-ruling> E. 2c/bb S. 51; <ref-ruling> E. 2a S. 45; je mit Hinweisen).
4.4. Gemäss Art. 146 Abs. 1 StGB wird einfacher Betrug mit Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren Jahren oder Geldstrafe bestraft. Nach den Darlegungen der Vorinstanz betrage der mutmassliche Deliktsbetrag Fr. 48'735.55.
4.5. Im vorliegenden Fall wird weder ein Bagatelldelikt (im Sinne von Art. 132 Abs. 2-3 StPO) untersucht, noch droht der Beschuldigten eine besonders schwere Sanktion im Sinne der dargelegten Rechtsprechung. Insbesondere werfen ihr die kantonalen Instanzen keinen gewerbsmässigen Betrug (Art. 146 Abs. 2 StGB) vor. Damit ein gesetzlicher Anspruch auf amtliche Verteidigung besteht, müssen daher zur relativen Schwere des vorliegenden Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen die Beschuldigte - auf sich allein gestellt - nicht gewachsen wäre (Art. 132 Abs. 2 StPO). Die kantonalen Instanzen bestreiten nicht, dass die Beschwerdeführerin erst seit knapp zwei Jahren in der Schweiz lebt und fast kein Deutsch spricht. Sie legt dar, dass sie in der Türkei aufgewachsen sei, dort lediglich die Grundschule besucht und keine Berufsausbildung erhalten habe. Entgegen den unzutreffenden Erwägungen der Vorinstanz besitze sie im Übrigen auch kein Schweizer Bürgerrecht, sondern lediglich eine Aufenthaltsbewilligung B. Hinzu kommt, dass im vorliegenden Fall nicht nur der inkriminierte Sachverhalt streitig ist, sondern auch dessen strafrechtliche Subsumtion als Betrug. Entgegen der Ansicht der kantonalen Instanzen erscheint die rechtliche Abgrenzung zwischen arglistiger Täuschung und (allenfalls strafloser) einfacher Lüge bzw. Falschdeklaration gerade bei Fällen von mutmasslichem Sozialfürsorgebetrug nicht ohne Weiteres problemlos (vgl. zur amtl. Publikation bestimmtes Urteil des Bundesgerichtes 6B_750/ 2012 vom 12. November 2013 E. 2). Gemäss den Erwägungen der Vorinstanz beruht der Betrugsvorwurf hier auf der (zivilrechtlichen) Argumentation, die Beschuldigte habe Anspruch auf familienrechtliche Unterstützung (durch den Vater ihres Kindes) gehabt, was sie gegenüber der Sozialfürsorgebehörde verschwiegen habe. In diesem Zusammenhang dürften sich diverse Beweiserhebungen (etwa zur Abklärung der tatsächlichen Lebensverhältnisse der Beschuldigten) aufdrängen. Auch das Argument, der untersuchte Betrugsfall sei "derzeit" noch nicht komplex, vermag hier nicht zu überzeugen. Der Beschwerdeführerin ist darin beizupflichten, dass eine wirksame Wahrung der Verteidigungsrechte (jedenfalls in untersuchten Betrugsfällen wie dem vorliegenden) regelmässig voraussetzt, dass schon im Anfangsstadium des Strafprozesses eine ausreichende juristische Verbeiständung gewährleistet ist (vgl. Urteil des Bundesgerichtes 1B_195/ 2012 vom 7. Mai 2012 E. 2.3). Dies gilt umso mehr, wenn - wie hier - Zwangsmassnahmen gegen die beschuldigte Person verfügt wurden. In Nachachtung des Beschleunigungsgebotes in Strafsachen (Art. 5 Abs. 1 StPO) und der Prozessökonomie ist denn auch vorausschauend möglichst zu vermeiden, dass Teile des Vorverfahrens allenfalls wiederholt werden müssten, weil die beschuldigte Person nicht ausreichend verteidigt war.
4.6. Bei Würdigung sämtlicher Umstände stellt die vorliegende Strafuntersuchung tatsächliche und rechtliche Anforderungen, denen die Beschuldigte, auf sich alleine gestellt, nicht gewachsen wäre. Auch ihre finanzielle Bedürftigkeit (im Sinne Art. 132 Abs. 1 lit. b StPO) wird von ihr nachvollziehbar dargetan und von den kantonalen Instanzen nicht bestritten. Damit verletzt die Ablehnung der amtlichen Verteidigung Art. 132 StPO bzw. Art. 29 Abs. 3 BV.
5.
D ie Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Das Bundesgericht entscheidet bei der vorliegenden Sachlage reformatorisch (vgl. Art. 107 Abs. 2 BGG) und setzt die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin (rückwirkend auf den Mandatsantritt) als amtliche Verteidigerin ein.
Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Zürich hat der Beschwerdeführerin für das kantonale Beschwerdeverfahren und für das Verfahren vor dem Bundesgericht antragsgemäss eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 und 5 BGG). Der betreffende Honoraranspruch wird der amtlichen Verteidigerin persönlich zugesprochen (vgl. Art. 64 Abs. 2 Satz 2 BGG). Damit wird das (subsidiär gestellte) Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Beschluss vom 22. Juli 2013 des Obergerichts des Kantons Zürich, III. Strafkammer, wird aufgehoben, und Rechtsanwältin Ayse Sezer Cansev wird für das kantonale Strafverfahren (rückwirkend auf 17. April 2013) als amtliche Verteidigerin der Beschwerdeführerin bestellt.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat (für das kantonale Beschwerdeverfahren und das Verfahren vor Bundesgericht) eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 2'000.-- (pauschal, inkl. MWST) an Rechtsanwältin Ayse Sezer Cansev zu entrichten.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl sowie der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht, III. Strafkammer, des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. November 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster