Erwägungen:
1.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt stellte mit Verfügung vom 3. März 2014 fest, dass der Rekurs von A._ gegen den Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements des Kantons Basel-Stadt vom 20. Dezember 2013 mangels rechtzeitiger Leistung des Kostenvorschusses dahingefallen ist.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 11. April 2014 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Verfügung des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 3. März 2014. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen nicht aufzuzeigen, inwiefern die Feststellung des Appellationsgerichts, der Rekurs sei mangels rechtzeitiger Leistung des Kostenvorschusses dahingefallen, rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege nicht gewährt werden kann (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage ist indessen zu verzichten (<ref-law>).
Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. April 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli