Sachverhalt:
A.
A._ und C._ sind die geschiedenen Eltern von D._ (geb. 1997). Im Rahmen der Scheidung im Jahr 2008 wurde ihnen die elterliche Sorge entzogen und D._ wurde ein Vormund bestellt. Das Kind blieb in verschiedenen Institutionen untergebracht, bis der Vormund D._ vorübergehend beim Kindsvater platzierte. Die Vormundschaftsbehörde Rheinfelden nahm mit Verfügung vom 12. November 2012 hiervon Kenntnis. Zudem sollte D._ neu die in der Nähe gelegene Schule G._ besuchen.
B.
B.a. Die Kindsmutter führte hiergegen Beschwerde an das Bezirksamt Rheinfelden. Sie verlangte die Aufhebung der Verfügung vom 12. November 2012. Die Tochter sei sofort und ohne Anhörung des Kindsvaters oder der Vorinstanz in einer geeigneten Institution zu platzieren (z.B. Notfallplätze Kanton Aargau). Sodann sei die Vormundschaftsbehörde Rheinfelden anzuweisen, den bisherigen Vormund H._ von seinem Amt zu entheben und einen Vormund zu bestellen, welcher nicht bei derselben Behörde angestellt sei. Weiter sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Der Tochter sei eine Kindesvertreterin zuzuweisen.
B.b. Mit vorsorglicher Verfügung vom 12. Dezember 2012 wies das Bezirksamt den Antrag auf sofortige Notfallplatzierung ab. D._ bleibe vorläufig bis zum Abschluss des Beschwerdeverfahrens beim Kindsvater platziert mit Besuch der Schule G._.
C.
C.a. Mit dem Inkrafttreten des neuen Kindesschutzrechts per 1. Januar 2013 ging die Zuständigkeit für das Beschwerdeverfahren auf die Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz des Obergerichts des Kantons Aargau (nachfolgend Obergericht) über.
C.b. Mit Präsidialverfügung vom 21. Januar 2013 gewährte das Obergericht A._ die unentgeltliche Rechtspflege. Fürsprecherin F._ bestellte es zur Kindesvertreterin von D._ in diesem Beschwerdeverfahren.
C.c. Am 23. Januar 2013 ernannte das Familiengericht Rheinfelden (als ab dem 1. Januar 2013 zuständige Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde) E._ zur neuen Vormundin von D._.
C.d. Mit Eingabe vom selben Tag änderte A._ ihre Rechtsbegehren wie folgt: Die Verfügung vom 12. November 2012 sei aufzuheben. Die Tochter sei sofort und ohne weitere Anhörung des Kindsvaters oder der Vorinstanz in einer geeigneten Institution zu platzieren (z.B. Notfallplätze Kanton Aargau). Im Sinne einer vorsorglichen Massnahme sei der Kontakt zwischen ihr und der Tochter, geplant und unterstützt durch die Beiständin, wieder aufzunehmen.
C.e. Der Kindsvater verlangte mit Stellungnahme vom 24. Januar 2013 die Abweisung der Beschwerde.
C.f. Die Kindesvertreterin beantragte, D._ sei vorläufig beim Vater zu belassen. Dieser sei anzuweisen, die ärztliche Therapie von D._ bei Frau Dr. I._ fortzuführen und der Vormundin regelmässig Bericht zu erstatten. Es sei festzuhalten, dass ihm bezüglich der medikamentösen Therapie von D._ keine Entscheidungsbefugnisse zukämen. Die behandelnde Ärztin sei entsprechend zu informieren. Im Übrigen sei die Beschwerde abzuweisen.
C.g. Der Kindsvater teilte am 20. März 2013 mit, dass er die Anträge der Kindesvertreterin unterstütze, hielt aber an seinen Begehren fest.
D.
D.a. Das Obergericht holte mehrere Berichte über den Stand von D._ ein. Am 28. März 2013 erstattete die Vormundin des Kindes einen Zustandsbericht. Die Kindsmutter nahm am 2. April 2013 Stellung zum Bericht; sie hielt an ihren Anträgen fest.
D.b. Am 21. Mai 2013 erstattete der Kinder- und Jugendpsychiatrische Dienst Basel-Land (KJP) einen Bericht über die Platzierung von D._ beim Vater mit Besuch der Schule G._ sowie über ihre Beziehung zur Mutter. Berichterstatterin Dr. med. K._ empfahl, dass D._ - ihrem Wunsch entsprechend - vorläufig beim Kindsvater wohnen bleiben und weiterhin die Schule G._ besuchen könne.
D.c. Die Vormundin und die Kindesvertreterin schlossen sich mit Stellungnahmen vom 6. Juni resp. 13. Juni 2013 den Schlussfolgerungen im Bericht an.
D.d. Mit Eingabe vom 21. Juni 2013 änderte die Kindsmutter ihre Rechtsbegehren erneut. Sie verlangte, die Verfügung vom 12. November 2012 sei aufzuheben. Als vorsorgliche Massnahme sei der Kontakt zwischen ihr und der Tochter, geplant und unterstützt durch die Vormundin, im Umfang von einem Gespräch pro Monat in den Räumen der Vormundin umgehend wieder aufzunehmen. Die Vormundschaftsbehörde Rheinfelden sei aufzufordern, einen neuen Vormund zu bestellen, welcher nicht bei der Amtsvormundschaft Rheinfelden angestellt sei; eventualiter sei dieser direkt durch die Beschwerdeinstanz einzusetzen. Der Staat habe die Verfahrenskosten zu tragen und ihr sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
D.e. Mit Entscheid vom 22. August 2013 schrieb das Obergericht den Antrag auf sofortige Umplatzierung des Kindes infolge Rückzugs ab (Ziff. 1). Sodann schrieb es infolge Gegenstandslosigkeit auch den Antrag auf Auswechslung des Vomundes H._ ab (Ziff. 2). Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 3.1 des Urteils). Ergänzend zum erstinstanzlichen Urteil verband es die vormundschaftliche Platzierung beim Kindsvater mit Besuch der Schule G._ mit der Auflage der Weiterführung der psychotherapeutischen Begleitung bei Dr. med. I._; das Obergericht wies den Vater darauf hin, dass ihm keine Elternrechte und somit auch keine Entscheidungskompetenz betreffend die medikamentösen Behandlungen von D._ zukämen (Ziff. 3.2). Die Kosten des Verfahrens (Entscheidgebühr, Kosten für den ärztlichen Bericht und die Vertretung des Kindes) auferlegte das Obergericht A._, nahm diese aufgrund der unentgeltlichen Rechtspflege indes vorerst auf die Gerichtskasse und wies A._ auf ihre Nachleistungspflicht hin. Die Entschädigung für die Kindesvertreterin wurde auf Fr. 1'000.-- festgesetzt (Ziff. 4.1 bis 4.3). Weiter setzte es das der unentgeltlichen Rechtsvertreterin für ihre Aufwendungen geschuldete Honorar auf Fr. 1'300.-- (inkl. Auslagen und MWSt) fest, welches ihr von der Obergerichtskasse zu bezahlen sei (Ziff. 5). Dem Kindsvater sprach das Obergericht keine Parteientschädigung zu (Ziff. 6).
E.
E.a. Gegen diesen Entscheid führt A._ (Beschwerdeführerin) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Sie beantragt, der Entscheid vom 22. August 2013 sei bezüglich der Ziffern 3.1, 3.2, 4.1, 4.2, 4.3 und 5 aufzuheben. Ebenso sei die Verfügung vom 12. November 2012 des Gemeinderats Rheinfelden aufzuheben. Sie beantragt auch vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege.
E.b. Das Bundesgericht hat die Akten, in der Hauptsache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Am 24. Oktober 2013 liess die Beschwerdeführerin eine aktuelle Verfügung der Sozialhilfe der Gemeinde Rheinfelden nachreichen.
F.
In derselben Rechtsschrift wie die Beschwerdeführerin ficht auch ihre Rechtsanwältin den obergerichtlichen Entscheid an in Bezug auf das ihr als unentgeltliche Rechtsvertreterin zugesprochene Honorar. Diese Angelegenheit ist getrennt zu beurteilen (vgl. separates Verfahren 5A_945/2013). Unabhängig davon erhob zudem die Kindesvertreterin gegen die ihr zugesprochene Entschädigung Beschwerde an das Bundesgericht (vgl. Verfahren 5A_701/2013).

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 331 mit Hinweisen).
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG), mit welchem die durch den Vormund eines Kindes veranlasste vorübergehende Unterbringung dieses Kindes bestätigt wurde. In der Sache geht es damit um eine Massnahme des Kindesschutzrechts im weitesten Sinne, mithin um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) ohne Vermögenswert. Die Beschwerdeführerin ist als Kindsmutter gemäss <ref-law> berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig.
1.2. Soweit sich die Beschwerdeführerin gegen das ihrer unentgeltlichen Rechtsvertreterin zugesprochene Honorar wendet, ist die Beschwerde demgegenüber unzulässig. Bei der unentgeltlichen Verbeiständung handelt es sich um ein öffentlich-rechtliches Verhältnis zwischen dem Staat und dem Rechtsanwalt (<ref-ruling> E. 5.1.4 S. 205). Die amtlich verbeiständete Partei hat kein schützenswertes Interesse (<ref-law>) an der Erhöhung der Entschädigung ihres amtlichen Anwalts. Dadurch würde einzig der Betrag erhöht, den sie gegebenenfalls dem Gemeinwesen zurückzuzahlen hätte, sofern nach dem massgebenden kantonalen Recht ein Nachforderungsanspruch des Staates besteht und die Partei nachträglich zu hinreichenden finanziellen Mitteln gelangt. Es obliegt vielmehr dem amtlichen Anwalt, in eigenem Namen gegen eine seines Erachtens zu tief ausgefallene Entschädigung Beschwerde zu führen (Urteil 5A_166/2012 vom 5. April 2012 E. 5.2 mit Hinweisen).
1.3. Angefochten werden können nur auf Rechtsmittel hin ergehende, kantonal letztinstanzliche Urteile (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin auch die Verfügung des Gemeinderats Rheinfelden vom 12. November 2012 anfechten möchte, kann darauf nicht eingetreten werden.
1.4. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Unter Vorbehalt des Bereichs der verfassungsmässigen Rechte wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es kann die Beschwerde daher auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (zu den Voraussetzungen der Motivsubstitution <ref-ruling> E. 4 S. 252 mit Hinweis).
2.
Die Beschwerdeführerin bestreitet grundsätzlich, dass die vorliegend getroffene Massnahme (vorübergehende Unterbringung eines Kindes beim nicht sorgerechtsberechtigten Kindsvater) nach Schweizerischem Recht zulässig sei. Diese Massnahme sei im Kindesschutzrecht nicht vorgesehen. Die Obhutszuteilung an einen Vater, dem die elterliche Sorge entzogen wurde, sei gesetzeswidrig und willkürlich. Sie führt aus, der Entzug der elterlichen Sorge durch den Scheidungsrichter sei ein schwerer Eingriff in das Recht auf Achtung des Familienlebens gewesen, den sie und der Kindsvater aber hingenommen hätten. Die Tochter habe in spezialisierten Institutionen gelebt, während sie beide ein gleichwertiges Besuchsrecht gehabt hätten. Nun habe der Vormund erneut in das Familienleben eingegriffen, indem er Vater und Tochter zusammengeführt habe. Damit habe er das vorher bestehende Gleichgewicht gebrochen und dem Vater Zusatzrechte eingeräumt. Seither bestehe zwischen Mutter und Tochter faktisch kein Kontakt mehr. Einem Vormund stehe die Kompetenz nicht zu, eine solche Platzierung zu veranlassen.
2.1. Der angefochtene Entscheid erging am 15. Mai 2013. Daher kommen die am 1. Januar 2013 in Kraft getretenen neuen Bestimmungen des Kindesschutzrechts zur Anwendung (<ref-law> i.V.m. Art. 14 Abs. 1, Art. 14a SchlT ZGB; vgl. Bundesgesetz vom 19. Dezember 2008 zum Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht, AS 2011 725). Die materiellen Voraussetzungen für den Entzug der elterlichen Obhut und für die Unterbringung Minderjähriger richten sich nach <ref-law> (vgl. Botschaft zum Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht, BBl 2006 7001 ff., S. 7102). In diesem Artikel wurde im Rahmen der Gesetzesrevision lediglich die Terminologie geändert (Kindesschutzbehörde anstatt Vormundschaftsbehörde). Es ist an die bisherige Rechtsprechung anzuknüpfen (vgl. auch Urteil 5A_463/2013 vom 26. September 2013 E. 6.1).
Da die Anordnung des Vormundes indes ins Jahr 2012 zurückgeht, ist auch auf das zu diesem Zeitpunkt geltende Recht einzugehen.
2.2. Sowohl im geltenden als auch im alten Recht ist verankert, dass einem Kind, welches nicht unter elterlicher Sorge steht, von der Vormundschafts- resp. heute der Kindesschutzbehörde ein Vormund zu ernennen ist; dies gilt namentlich für den Fall, dass Vater und Mutter die elterliche Sorge entzogen wurde (Art. 311 Abs. 2 und Art. 368 Abs. 1 aZGB; neu Art. 311 Abs. 2 und Art. 327a ZGB). Zur Kompetenz des Vormundes eines Kindes sah Art. 405 aZGB sodann vor, dass dieser das für dessen Unterhalt und Erziehung Angemessene anzuordnen habe (Abs. 1). Zu diesem Zwecke standen ihm die gleichen Rechte zu wie den Eltern, unter Vorbehalt der Mitwirkung der vormundschaftlichen Behörden (Abs. 2, wobei die Unterbringung und Einschulung eines Kindes sich nicht in der Liste der Fälle fand, in welchen eine Zustimmung der Vormundschaftsbehörde vonnöten war; vgl. Art. 421 aZGB). Als Inhaber des Obhutsrechts hatte der Vormund gestützt auf Art. 405 i.V.m. Art. 301 und Art. 302 aZGB über den Aufenthalt des Mündels zu entscheiden (Kurt Affolter, in: Basler Kommentar zum ZBG, 4. Aufl. 2010, N 55 zu <ref-law>).
Im neuen Kindesschutzrecht statuiert <ref-law>, dass dem Vormund die gleichen Rechte zustehen wie den Eltern. Damit ist der Vormund als Inhaber der rechtlichen Obhut grundsätzlich befugt, über den Aufenthalt des Minderjährigen zu befinden, was in der aktuellsten Literatur bestätigt wird (Marco Zingaro, in: FamKommentar, Erwachsenenschutz, Bern 2013, N 5 zu <ref-law>; im selben Sinne auch Kurt Affolter, Das Ende der Beistandschaft und die Vermögenssorge, in: ZKE/RMA 2013 S. 379, 390). Gleichermassen hat sich der Vormund um die Erziehun g des Kindes zu kümmern (Estelle de Luze, Les punitions corporelles dans l'éducation des enfants, état des lieux et perspectives pour la Suisse, in: ZKE/RMA 2012 S. 224, 226). Nur für den Fall einer Unterbringung des Kindes in einer geschlossenen Einrichtung oder einer psychiatrischen Klinik gelten andere Kompetenzvorschriften (<ref-law>, sinngemässe Anwendung der Bestimmungen des Erwachsenenschutzes über die fürsorgerische Unterbringung; vgl. auch <ref-law>), was indes vorliegend nicht zur D iskussion steht. Ansonsten bedarf lediglich der Abschluss eines Dauervertrages über die Unterbringung eines Kindes der Zustimmung durch die Kindesschutzbehörde (Art. 327c Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).
Damit durfte der Vormund grundsätzlich über den Aufenthalts- und den Schulort von D._ entscheiden.
2.3. Es bleibt zu prüfen, ob der Vormund ein Kind bei dessen Vater platzieren darf, nachdem diesem und der Mutter per Scheidungsurteil die elterliche Sorge entzogen worden war.
Dabei ist vorauszuschicken, dass eine solche Platzierung nicht mit einer Rückübertragung der Obhut gleichzusetzen wäre. Wie vorstehend dargelegt, kommt die rechtliche Obhut dem Vormund zu. Diese verbleibt beim Vormund, unabhängig davon, wo das Kind untergebracht wird. Spiegelbildlich dazu bliebe rechtlich - auch im Falle einer zeitweisen Unterbringung des Kindes bei Vater oder Mutter - beiden Elternteilen gleichermassen sowohl die elterliche Sorge als auch die Obhut entzogen.
In einem ähnlichen Fall wie dem Vorliegenden (Vater und Mutter wurde per Scheidungsurteil die elterliche Sorge entzogen; der eingesetzte Vormund platzierte die Kinder später bei der weiterhin nicht sorgerechtsberechtigten Mutter; der Vater erhob Nichtigkeitsbeschwerde), hatte das Bundesgericht zu prüfen, ob die Anordnung des Vormundes eine Abänderung der Kindesschutzmassnahme des Scheidungsrichters darstelle, welche mithin nicht mehr in der Kompetenz des Vormundes gelegen hätte. Im betreffenden <ref-ruling> hielt das Bundesgericht fest, dass der Vormund - auch wenn beiden Eltern durch das Scheidungsurteil die elterliche Gewalt entzogen wurde - die Kinder einem der Elternteile zur Pflege und Erziehung überlassen darf. Eine solche Platzierung gleichzeitig mit dem Entzug des Sorgerechts dürfe nur auf Zusehen erfolgen und wenn das Kindeswohl gewährleistet sei. Indessen möge es vorkommen, dass sich die Verhältnisse bei den Eltern nachträglich in einer Weise geändert hätten, dass der Unterbringung beim Vater oder bei der Mutter in einem Zeitpunkt, wo sich die Frage der Platzierung aus nicht in der Person der Eltern liegenden Gründen neu stelle, aus der Sicht des Kindeswohls keine schwerwiegenden Hindernisse entgegen stünden (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 21 mit weiteren Hinweisen). Massgebend ist demnach das Kindeswohl.
2.4. Die Vorinstanz hielt fest, dass es sich um eine vorläufige Platzierung beim Vater mit Besuch der Schule G._ handle. Angesichts der Beruhigung und Stabilisierung von D._, welche die Schule G._ beschreibe, sei die Massnahme (vorerst) zu bestätigen. Im Falle einer längerfristigen Platzierung beim Kindsvater dürfe die Wiederaufnahme des Kontaktes zur Kindsmutter nicht ausser Acht bleiben, was von der Vormundin zu regeln sei. Im Übrigen sei der Kindsvater nicht befugt, über den Aufenthaltsort oder die schulische Ausbildung von D._ zu bestimmen. Diese Entscheidungen seien allein der Vormundin vorbehalten; der Vater könne beispielsweise auch nicht einseitig einen Umzug mit D._ vornehmen. Ihr Urteil verband die Vorinstanz mit der Auflage, dass D._ die psychotherapeutische Begleitung bei Dr. med. I._ weiterführe, und es wurde darauf hingewiesen, dass dem Kindsvater keine Elternrechte und somit auch keine Entscheidungskompetenz betreffend die medikamentösen Behandlungen von D._ zukommen (Urteilsdispositiv Ziff. 3.2). Die Vorinstanz hat damit richtigerweise darauf hingewiesen, dass die rechtliche Obhut für D._ bei der Vormundin verbleibt (vgl. vorstehende Erwägung). Gleichzeitig traf die Vorinstanz die Begleitmassnahmen, welche sie für das Wohl von D._ für notwendig erachtete.
Die Kindsmutter selbst lässt in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht ausführen, dass aus den von der Vorinstanz eingeholten Berichten klar hervorgehe, dass ein erneutes unmittelbares Herausreissen der Tochter D._ für diese wohl eine Katastrophe bedeuten würde. Deshalb habe sie als Mutter reagiert und ihren Antrag auf sofortige neue Platzierung zurückgezogen. Ihr sei bewusst, dass eine jetzige Entfernung aus dem Umfeld des Vaters der Entwicklung der Tochter schaden würde. Sie hält sogar fest, dass die "angeordnete Massnahme sich aktuell zu Gunsten des Wohls von D._ auswirkt". Vor diesen Hintergrund darf davon ausgegangen werden, dass der Aufenthalt von D._ beim Vater zur Zeit ihrem Wohl entspricht. Damit ist die vom Vormund getroffene und von den Vorinstanzen bestätigte Massnahme nicht zu beanstanden.
3.
Die Beschwerdeführerin sieht sodann ihr rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt, weil ihr nicht bekannt gegeben worden sei, welche Akten der Gutachterin zugestellt worden seien. Sie habe ein Anrecht zu wissen, welche Akten und Dokumente die Gutachterin zur Verfügung gehabt habe; diese seien detailliert aufzuführen.
Dem angefochtenen Entscheid ist zu entnehmen, der Berichterstatterin hätten die gesamten vormundschaftlichen Akten zur Verfügung gestanden, worauf eingangs des Berichtes auch zutreffend Bezug genommen worden sei. Der Beschwerdeführerin war somit bekannt, dass der Berichterstatterin die gesamten Akten zur Verfügung standen. Inwiefern es hätte von Bedeutung sein können, dass ihr eine Auflistung jedes einzelnen Dokumentes zugestellt worden wäre, führt die Beschwerdeführerin nicht aus. Damit bleibt die Rüge unsubstanziiert; hierauf ist nicht einzutreten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.
Angesichts der Umstände des konkreten Falles werden für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten erhoben (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann indes nicht entsprochen werden. Wie aus den vorstehenden Erwägungen hervor geht, konnte die Beschwerde der Beschwerdeführerin von Beginn weg keinen Erfolg haben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, den beiden Verfahrensbeteiligten, der Vormundin des Kindes sowie dem Bezirksgericht Rheinfelden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Dezember 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann