Fatti:
A. C._ nata nel 1961 e già titolare di un salone da parrucchiera, il 21 ottobre 2008 ha presentato una domanda di prestazioni AI lamentando le conseguenze invalidanti di un infortunio occorsole il 31 luglio 2007.
L'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) ha esperito gli accertamenti del caso e ha affidato in particolare al Servizio X._ il compito di svolgere una perizia pluridisciplinare (psichiatrica a cura del dott. J._, reumatologica a cura del dott. B._ e neurologica a cura del dott. K._). Posta la diagnosi (con influenza sulla capacità lavorativa) di sindrome mista ansioso-depressiva (ICD-10 F41.2), sindrome somatoforme da dolore persistente (ICD-10 F45.4) e sindrome dolorosa residua multifattoriale a livello del bacino, degli arti inferiori e della colonna vertebrale (con/su pregressa frattura dell'anello pelvico con frattura dei rami ischio e ileo-pubico a destra, frattura dell'osso sacro a destra ed apertura dell'articolazione sacroiliaca sinistra [31 luglio 2007], pregresso avvitamento sacroiliaco destro [9 agosto 2007], ipercaptazione a livello delle due articolazioni sacroiliache distali della sinfisi pubica e possibili irritazione della radice S2 a destra), i periti del Servizio X._ hanno nel loro referto del 10 gennaio 2011 valutato globalmente l'assicurata inabile al lavoro in maniera completa nella sua attività abituale di parrucchiera dal 31 luglio 2007, ma comunque abile al 55% dal 1° agosto 2008 (un anno dopo l'infortunio) in attività sostitutive leggere rispettose di alcuni limiti funzionali. Su questa base l'UAI ha attribuito all'interessata una rendita intera limitatamente al periodo 1° luglio - 31 ottobre 2008, dal 1° novembre 2008 (tre mesi dopo l'accertato miglioramento dello stato di salute) il grado d'invalidità essendo "solo" del 37% (decisione del 6 gennaio 2012 preavvisata il 20 settembre 2011).
B. C._ patrocinata dallo Studio B.C. Consulenze/Rappresentanze, ha deferito la decisione al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino al quale ha sostanzialmente chiesto, in via principale, il riconoscimento di una rendita intera dal 1° luglio 2008 e, in via subordinata, l'allestimento di una perizia medica pluridisciplinare, rispettivamente, il rinvio della causa all'amministrazione per ulteriori accertamenti e nuova decisione.
Per pronuncia del 24 luglio 2012 la Corte cantonale ha respinto il ricorso e confermato integralmente la decisione amministrativa.
C. C._, ora patrocinata dall'avv. Probst, si è aggravata al Tribunale federale al quale postula, in via principale, di annullare il giudizio cantonale e di riconscerle almeno una mezza rendita dal 1° novembre 2008. In via subordinata chiede di retrocedere l'incarto all'UAI per nuovi accertamenti medici ed economici e per nuova decisione. In ogni caso chiede di essere ammessa al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi.
Non sono state chieste osservazioni al gravame.

Diritto:
1. 1.1 Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto conformemente agli art. 95 e 96 LTF. Il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può scostarsi da questo accertamento solo qualora esso sia avvenuto in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario (<ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62), oppure in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> (<ref-law>). Salvo i casi in cui tale inesattezza sia lampante (cfr. <ref-ruling> consid. 6.2 pag. 288 in fine), la parte ricorrente che intende contestare i fatti accertati dall'autorità inferiore deve spiegare, in maniera circostanziata, per quale motivo ritiene che le condizioni di una delle eccezioni previste dall'<ref-law> sarebbero realizzate; in caso contrario non si può tener conto di uno stato di fatto diverso da quello posto a fondamento della decisione impugnata (cfr. <ref-ruling> consid. 1.4.3 pag. 254 con riferimento).
1.2 Nell'ambito dell'accertamento dei fatti e della valutazione delle prove il giudice di merito dispone di un ampio potere di apprezzamento. Per censurare un asserito accertamento arbitrario dei fatti o un'asserita valutazione arbitraria delle prove non è sufficiente che il ricorrente critichi semplicemente la decisione impugnata o che contrapponga a quest'ultima un proprio accertamento o una propria valutazione, per quanto essi siano sostenibili o addirittura preferibili. Egli deve dimostrare per quale motivo l'accertamento dei fatti o la valutazione delle prove da lui criticati sarebbero manifestamente insostenibili o in chiaro contrasto con la situazione di fatto, si fonderebbero su una svista manifesta o contraddirebbero in modo urtante il sentimento di giustizia e di equità (<ref-ruling> consid. 2a pag. 168; <ref-ruling> consid. 3a pag. 15; <ref-ruling> consid. 5a pag. 316; <ref-ruling> consid. 2b pag. 139 e riferimenti).
2. Dinanzi al Tribunale federale, nuovi fatti e nuovi mezzi di prova possono essere addotti soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore (<ref-law>). La memoria ricorsuale deve esporre le ragioni per cui la condizione di cui all'<ref-law> sarebbe adempiuta (<ref-ruling> consid. 3 pag. 395). Un fatto è segnatamente nuovo se non è stato allegato davanti all'autorità precedente (Bernard Corboz, Commentaire de la LTF, 2009, n. 13 all'art. 99). Ora, come si avrà modo di vedere anche in seguito, il ricorso in esame contiene tutta una lunga serie di nuove allegazioni ed eccezioni di fatto che non sono state addotte in sede giudiziaria cantonale dal precedente patrocinatore. Per il resto, l'atto ricorsuale non espone i motivi per cui il giudizio cantonale avrebbe dato adito all'allegazione di tali nuovi fatti. Ne discende che le nuove allegazioni (ed eccezioni) di fatto sollevate con il ricorso federale non possono essere prese in considerazione.
3. Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, l'autorità cantonale di ricorso ha già esposto le norme disciplinanti la materia, rammentando in particolare i presupposti e l'estensione del diritto alla rendita (<ref-law>), il metodo ordinario di confronto dei redditi per la determinazione del grado d'invalidità di assicurati esercitanti un'attività lucrativa (<ref-law>), i compiti del medico ai fini di tale valutazione e il valore probatorio generalmente riconosciuto ai referti medici fatti allestire da un tribunale o dall'amministrazione conformemente alle regole di procedura applicabili (<ref-ruling> consid. 4 pag. 261, 351 consid. 3b/ee pag. 353; cfr. pure <ref-ruling>; <ref-ruling>). A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione, non senza tuttavia ribadire che le condizioni (<ref-law>) e gli effetti temporali (<ref-law>; v. <ref-ruling>) della riduzione o soppressione di una rendita in caso di prima assegnazione retroattiva decrescente o temporanea si valutano in analogia all'ipotesi di revisione (<ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 2d pag. 417 ; SVR 2006 IV n. 13 [I 628/01] consid. 5). Pertanto, una riduzione o soppressione può essere adottata quando le circostanze di fatto (di natura valetudinaria e/o economica) rilevanti per il diritto alla rendita si sono modificate in maniera considerevole (cfr. <ref-ruling> consid. 3.5 pag. 349 con riferimenti).
4. 4.1 Nella misura in cui contesta la valutazione dell'incapacità lavorativa operata dal primo giudice (per il periodo successivo al 31 luglio 2008), l'insorgente censura un giudizio su una questione di fatto che, in quanto tale, vincola per principio questo Tribunale (<ref-ruling> consid. 3.2 pag. 398 seg.). Rappresenta ugualmente una questione di fatto la problematica a sapere se la (in)capacità lavorativa si sia modificata in maniera determinante in un dato periodo (sentenze 9C_413/2008 del 14 novembre 2008 consid. 1.3, 9C_270/2008 del 12 agosto 2008 consid. 2.2 e I 865/06 del 12 ottobre 2007 consid. 4 con riferimenti).
4.2 A ben vedere, le censure ricorsuali si esauriscono in gran parte, come già sopra accennato, in una inammissibile esposizione di (eccezioni di) fatti nuovi (così ad esempio in relazione alla contestazione dei limiti funzionali rilevati dal Servizio Y._ dell'UAI nel rapporto d'esame clinico del 12 ottobre 2009) o di fatti che comunque non trovano riscontro nella pronuncia impugnata. Contrariamente a quanto addotto nel ricorso, la Corte cantonale si è ad esempio fondata per il suo giudizio essenzialmente sul parere del Servizio X._ e non sulle annotazioni precedenti del Servizio Y._. Né risulta da alcuna parte che le conclusioni del Servizio X._ - al quale il servizio dell'UAI aveva deciso il 1° settembre 2010 di affidare l'incarico di chiarire la situazione medica proprio per la persistente incertezza intorno alla residua capacità lavorativa dell'assicurata - sarebbero state influenzate dalla valutazione del Servizio Y._, il quale il 12 ottobre 2009 aveva stimato al 40% la limitazione di rendimento della ricorrente. Sempre inammissibilmente per la prima volta in sede federale l'insorgente sostiene poi che i periti del Servizio X._ - i quali invece hanno concluso per una abilità lavorativa globale del 55% - avrebbero dovuto cumulare i singoli tassi di incapacità rilevati in ambito psichiatrico (20%) e in ambito reumatologico e ortopedico (40-50%; sulla competenza, prettamente medica, di esprimersi sulla cumulabilità o meno delle varie limitazioni e sulle esigue possibilità di correzione da parte del giudice delle assicurazioni sociali cfr. in ogni caso RDAT I-2002 n. 72 pag. 485 consid. 2b [I 338/01]).
4.3 Ma anche a prescindere da queste molte riserve legate all'ammissibilità delle censure sollevate, la conclusione della Corte cantonale che ha confermato l'operato dell'amministrazione in merito al miglioramento (dal 1° agosto 2008) della capacità lavorativa residua in attività sostitutive leggere non lede alcuna norma di diritto federale né risulta da un accertamento manifestamente errato o incompleto dei fatti o da un apprezzamento arbitrario delle prove. Non è così in particolare (qualificatamente) censurabile il fatto che il tasso di abilità lavorativa residua del 55% scaturisca dalla media delle limitazioni massime riscontrate in ambito reumatologico (40-50%). È sufficiente al riguardo il rilievo che per consolidata giurisprudenza se un rapporto medico quantifica il grado della (in)capacità lavorativa entro due limiti di valore è corretto di norma fondarsi sul valore medio per evitare delle disparità di trattamento risultanti da questo genere di valutazione (consid. 4.2 non pubblicato in <ref-ruling> ma in SVR 2011 IV n. 69 pag. 207 [9C_280/2010]). Quanto al rimprovero mosso all'istanza precedente di avere commesso un palese abuso del potere di apprezzamento per avere dato per scontata l'esistenza di professioni (segnatamente di impiegata in un call center) esigibili dal profilo medico nelle quali, alternando in particolare la posizione (seduta ed eretta), potere mettere a frutto la capacità lavorativa residua, l'assicurata sembra dimenticare che tale valutazione non soltanto è stata sostenuta dal perito reumatologo (dott. B._) incaricato dal Servizio X._, ma si fonda anche sulle conclusioni tratte dai consulenti in integrazione professionale - meglio di chiunque altro in grado di emettere una simile valutazione (v. RtiD II-2008 pag. 274 [9C_13/2007] consid. 4.3) - sulla scorta degli accertamenti medici in atti. Consulenti (S._ e L._) i quali, oltre a ciò, hanno pure proposto quale possibile attività sostitutiva quella di operaia generica, ad esempio presso una ditta farmaceutica. Anche per questa ragione, la valutazione del primo giudice appare quantomeno sostenibile, ritenuto che le professioni (leggere e ripetitive, poco qualificate) indicate sono esercitabili senza necessariamente mettere in atto particolari misure di reintegrazione professionale (cfr. per analogia sentenze 9C_673/2009 del 14 aprile 2010 consid. 6.2, 9C_753/2008 del 26 ottobre 2009 consid. 3.5 e U 463/00 del 28 ottobre 2003 consid. 3.3).
4.4 La decisione del giudice cantonale di attribuire pieno valore probatorio alle conclusioni della perizia del Servizio X._ risulta infine anche sostenibile perché meglio tiene conto della differenza, a livello probatorio, tra mandato di cura e mandato peritale (cfr., tra le tante, sentenza 9C_151/2011 del 27 gennaio 2012 consid. 5.1 con riferimenti). Alla ricorrente va d'altronde ricordato che il solo fatto che uno o più medici curanti (in casu: il dott. O._ che peraltro nemmeno è specialista delle disciplline mediche in esame) esprimano un'opinione contraddittoria non è sufficiente a rimettere in discussione una perizia ordinata dal giudice o dall'amministrazione e a imporre nuovi accertamenti (cfr. ad esempio sentenza 9C_482/2008 del 18 maggio 2008 consid. 3.3 con riferimenti). Per il resto, neppure può dirsi arbitrario l'apprezzamento del Tribunale cantonale delle assicurazioni per non avere ravvisato nei rapporti 6 ottobre 2011 della clinica Z._ (dott.ssa S._) e 15 novembre 2011 del dott. A._ - che peraltro nemmeno si esprimono sull'entità invalidante dei disturbi - elementi nuovi (rispetto a quelli già rilevati in sede Servizio X._) suscettibili di stravolgere il giudizio. Anche qui è sufficiente il rilievo che sia i disturbi urinari analizzati dalla dott.ssa S._ sia i dolori evidenziati dal dott. A._ sono stati presi in considerazione dai periti del Servizio X._. Per quanto precede, l'istanza giudiziaria cantonale poteva pertanto senza arbitrio procedere a un apprezzamento anticipato delle prove e rinunciare ai complementi istruttori chiesti dalla ricorrente (<ref-ruling> consid. 3 pag. 157).
5. La ricorrente censura quindi per la prima volta in sede federale, e dunque una volta di più in maniera inammissibile (<ref-law>), anche gli accertamenti relativi ai redditi di riferimento. Ciò vale per la contestazione del reddito senza invalidità di fr. 42'598.- ritenuto - sulla base del reddito aziendale tassato nei tre anni precedenti l'insorgenza del danno alla salute - dall'UAI e confermato dal primo giudice, per la contestata riduzione dell'8% per attività leggere - ritenuta troppo esigua dalla ricorrente - del reddito base da invalida per tenere conto delle particolarità personali e professionali del caso (<ref-ruling>), per l'accertamento stesso del reddito base da invalida (calcolato sulla base dei dati salariali elaborati dall'Ufficio federale di statisica per attività semplici e ripetitive), e infine per la contestata mancata verifica, da parte delle istanze precedenti, di un eventuale gap salariale tra il reddito percepito da valida e la media dei guadagni conseguibili in Svizzera nel settore specifico dei titolari di un salone di parrucchiere.
6. Ne discende che il ricorso dev'essere respinto nei limiti della sua ammissibilità e che la pronuncia cantonale dev'essere confermata. In considerazione delle particolari circostanze del caso, della situazione economica della ricorrente (al beneficio di prestazioni assistenziali) come pure del fatto che le sue conclusioni non risultavano a priori prive di probabilità di successo, l'istanza tendente alla concessione dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio va accolta (<ref-law>). La ricorrente viene però resa attenta che qualora fosse più tardi in grado di pagare, sarà tenuta a risarcire la cassa del Tribunale (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Alla ricorrente viene concessa l'assistenza giudiziaria.
3. Non si prelevano spese giudiziarie.
4. L'Avvocato Marco Probst, Lugano, viene designato patrocinatore della ricorrente per la procedura innanzi al Tribunale federale. La Cassa del Tribunale gli verserà un'indennità di fr. 2800.-.
5. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.