Sachverhalt:
A.
Am Strafgericht Basel-Stadt ist gegen X._, der sich unter anderem aufgrund von Sexualdelikten gegen Kinder seit November 1993 ununterbrochen im geschlossenen Vollzug befindet, ein Verfahren betreffend Verlängerung einer stationären Massnahme nach <ref-law> hängig. Die Parteien wurden auf den 1. Juli 2014 zur Hauptverhandlung vorgeladen.
Mit Eingabe vom 8. April 2014 gelangte X._ an die Verfahrensleitung des Strafgerichts Basel-Stadt. Er verwies auf ein seit Januar 2014 beim Amt für Justizvollzug hängiges Ausstandsbegehren gegen Y._ und Z._ als Vertreter des besagten Amtes und machte geltend, diese dürften an der Hauptverhandlung vom 1. Juli 2014 nicht teilnehmen.
Die erstinstanzliche Verfahrensleitung nahm das Schreiben des Beschwerdeführers als Begehren um Ausschluss von Vertretern des Strafvollzugs entgegen und wies dieses am 24. April 2014 ab. Auf die Beschwerde von X._ trat das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 2. Juni 2014 nicht ein.
B.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt sei aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Appellationsgericht sei zu verpflichten, seinen Rechtsvertreter als amtlichen Verteidiger für das kantonale Verfahren zu entschädigen. Zudem ersucht X._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 46 mit Hinweis).
1.1. Der angefochtene Nichteintretensentscheid schliesst das Verfahren gegen den Beschwerdeführer nicht ab. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid. Dass der Rechtsmittelentscheid auf Nichteintreten lautet, ändert an dieser Qualifikation nichts. Er beendet lediglich den Streit um die erstinstanzliche Zwischenverfügung, nicht aber das Hauptverfahren (<ref-ruling> E. 1.1 S. 381 f. mit Hinweis).
Gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren ist die Beschwerde nach <ref-law> zulässig. Gegen andere selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde gemäss <ref-law> nur zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Die selbstständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (<ref-ruling> E. 1 S. 115 mit Hinweis). Die Ausnahme ist restriktiv zu handhaben, zumal die Parteien keine Rechte verlieren, wenn sie einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> nicht selbstständig anfechten, da sie ihn mit dem Endentscheid anfechten können, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 292). Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von <ref-law> muss rechtlicher Natur sein. Das setzt voraus, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 6 S. 192; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382; je mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer, detailliert darzutun, dass die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 47; Urteil 6B_321/2014 vom 7. Juli 2014 E. 1.1; je mit Hinweisen).
1.2. Der Beschwerdeführer hält fest, der vorinstanzliche Entscheid sei ein selbstständig eröffneter Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>. Eine spätere Anfechtung sei nach <ref-law> nicht möglich, und ein nicht wieder gutzumachender Nachteil werde nicht vorausgesetzt.
In Bezug auf seine kantonale Beschwerde bringt der Beschwerdeführer vor, die Vorinstanz hätte auf diese eintreten müssen. Verfahrensgegenstand sei ein Ausstandsgesuch gegen zwei Vertreter des Amtes für Justizvollzug im Hinblick auf eine ursprünglich auf den 1. Juli 2014 und neu auf den 23. September 2014 angesetzte Hauptverhandlung betreffend Verlängerung einer Massnahme. Mit den Bestimmungen über den Ausstand solle verhindert werden, dass ein Gericht "eine Verhandlung durchführt, an der rechtzeitig abgelehnte Justizpersonen teilnehmen, ohne dass über deren Ausstand rechtskräftig entschieden ist". Müsse ein Gericht tagen, bevor ein Ausstandsgesuch behandelt werde, lähme dies "einen prozessökonomischen Gang des Verfahrens". Die vorinstanzlichen Erwägungen, wonach die erstinstanzliche Verfügung keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirke, seien unzutreffend, und die Vorinstanz hätte einen materiellen Entscheid fällen müssen (Beschwerde S. 3).
1.3.
1.3.1. Zwar hat der Beschwerdeführer die Rechtsnatur des angefochtenen Entscheids erkannt, bezeichnet er doch diesen selbst als Zwischenentscheid. Er unterliegt jedoch einem Irrtum, wenn er meint, das Strafgericht habe sein Ausstandsgesuch abgewiesen. In erster Linie setzt er sich zur eigenen Eingabe vom 8. April 2014 in Widerspruch. Mit dieser informierte er über ein beim Amt für Justizvollzug hängiges Ausstandsverfahren, während er unterstrich, beim Strafgericht kein entsprechendes Verfahren einleiten zu können. Bereits vor Vorinstanz verkannte der Beschwerdeführer den Regelungsgegenstand der erstinstanzlichen Verfügung, weshalb die Vorinstanz ihn zu Recht darauf hinwies, dass das Strafgericht nicht über ein Ausstandsbegehren, sondern einzig über einen Ausschluss von der Hauptverhandlung (abschlägig) entschieden hatte (vgl. Entscheid S. 4).
Die Verfahrensleitung des Strafgerichts hat mithin nicht darüber befunden, ob die Ausstandsvorschriften in Bezug auf die fraglichen Personen überhaupt zur Anwendung kommen und ein Ausstandsgrund im Sinne von <ref-law> vorliegt. Die Befangenheitsvorwürfe wurden mithin nicht beurteilt, weshalb <ref-law> nicht einschlägig ist. Im Hinblick auf das Hauptverfahren bleibt aus prozessökonomischen Gründen Folgendes zu bemerken. Über die Verlängerung einer stationären Massnahme gemäss <ref-law> befindet das Gericht in einem selbstständigen nachträglichen Verfahren im Sinne von <ref-law>. Die Bestimmungen der Strafprozessordnung finden Anwendung und regeln dieses Verfahren (Urteil 6B_721/2013 vom 22. Oktober 2013 E. 1.2; vgl. Urteil 1B_6/2012 vom 27. Januar 2012 E. 2.4; je mit Hinweisen). Die strafprozessualen Bestimmungen über den Ausstand konkretisieren im gerichtlichen Verfahren die Mindestanforderungen des Anspruchs auf ein verfassungsmässiges Gericht gemäss <ref-law>. Die Strafbehörden im Sinne von <ref-law> bestehen aus den Strafverfolgungsbehörden (Polizei, Staatsanwaltschaft, Übertretungsstrafbehörden; <ref-law>) und den Gerichten (Zwangsmassnahmengericht, erstinstanzliches Gericht, Beschwerdeinstanz, Berufungsgericht; <ref-law>). Die Ausstandsgründe gelten sinngemäss auch für Sachverständige (<ref-law>), Dolmetscher bzw. Übersetzer (<ref-law>) sowie die Mitglieder einer Kommission zur Beurteilung der Gemeingefährlichkeit (<ref-ruling> E. 5 S. 292 f.; vgl. Markus Boog, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2011, N. 1 vor Art. 56 - 60 sowie N. 10 ff. zu <ref-law>). Die hier im Hauptverfahren zur Diskussion stehende Verlängerung einer stationären therapeutischen Massnahme erfordert nach <ref-law> eine gerichtliche Überprüfung. Die durch das Strafgericht abzuklärenden Themenkomplexe haben zur Hauptsache Fragen der Behandlungsfähigkeit des Beschwerdeführers und der Wirksamkeit einer weiteren Therapieintervention im Hinblick auf eine allfällig fortbestehende Gefährlichkeit zum Inhalt. Zur Beantwortung dieser Fragen werden schwergewichtig etwa Therapieverlaufsberichte und (bereits vorhandene respektive zusätzliche) gutachterliche Expertisen heranzuziehen sein (vgl. Urteil 6B_850/2013 vom 24. April 2014 E. 2). Dem kantonalen Amt für Justizvollzug kommt diesbezüglich keine Entscheidbefugnis zu, sondern es ist antragstellende Vollzugsbehörde. Y._ und Z._ als deren Vertreter sind keine Funktionsträger im Sinne von <ref-law>.
1.3.2. Dass die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, hat der Beschwerdeführer im Detail darzutun. Er macht geltend, der vorinstanzliche Entscheid "lähmt [...] einen prozessökonomischen Gang des Verfahrens" und führe "zu unnötiger Rechtsunsicherheit" (Beschwerde S. 3). Damit legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern ihm durch den angefochtenen Entscheid ein Nachteil rechtlicher Natur drohen könnte, der sich im weiteren Verfahren nicht mehr oder nicht mehr vollständig beheben liesse. Solches ist auch nicht ersichtlich. Die Vorinstanz bemerkt, im Rahmen der erstinstanzlichen Hauptverhandlung sei offenbar die Befragung des Vertreters respektive der Vertreterin des antragstellenden Amtes für Justizvollzug vorgesehen. Es wäre am Beschwerdeführer gelegen aufzuzeigen, inwiefern ihm durch den verweigerten Ausschluss dieser Personen ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> droht. Dass die Voraussetzungen von <ref-law> ebenso wenig erfüllt sind, liegt auf der Hand.
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer wird ausgangsgemäss kostenpflichtig (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (<ref-law> e contrario). Seinen angespannten finanziellen Verhältnissen ist mit reduzierten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Der Gerichtsschreiber: Faga