Sachverhalt:
A. Die am 28. April 1995 zwischen X._ (Ehemann) und Z._ (Ehefrau) vor dem Zivilstandsamt A._ geschlossene Ehe wurde mit Urteil des Amtsgerichts München vom 11. März 2004 geschieden. Die elterliche Sorge über die drei gemeinsamen Kinder S._ (geb. xxxx 1995), T._ (geb. xxxx 1997) und U._ (geb. xxxx 1999) verblieb den Eltern gemeinsam.
Z._ ist ausserdem Mutter des aus einer früheren Beziehung hervorgegangenen Sohnes V._ (geb. 1992).
B. B.a Mit Klage vom 6. Januar 2006 beantragte Z._ beim Amtsgericht Luzern-Land u.a. die Unterstellung der drei Kinder S._, T._ und U._ unter ihre alleinige Sorge und die Verpflichtung von X._ zur Leistung von Kinderunterhaltsbeiträgen. Mit Widerklage vom 4. Juli 2006 beantragte X._ die Übertragung der Obhut über die gemeinsamen Kinder an sich selbst.
Das Amtsgericht genehmigte mit Urteil vom 6. September 2007 eine von den Parteien am 17. Mai / 3. Juli 2007 abgeschlossene Vereinbarung. Demgemäss erhielt X._ das Recht, die drei Kinder jedes zweite Wochenende von Freitag bis Sonntag zu sich zu nehmen. Zudem wurde festgelegt, dass die Kinder das Internat B._ (Deutschland) besuchen bzw. besuchen werden und X._ für sämtliche Schulkosten aufzukommen habe. Bis zum Eintritt der beiden jüngeren Kinder ins Internat und ab einem allfälligen Austritt eines Kindes aus dem Internat habe X._ für jedes Kind einen Unterhaltsbeitrag von EUR 350.--, zuzüglich Kinderzulagen, zu bezahlen.
B.b Mit Klage vom 25./26. Februar 2008 beantragte X._ beim Amtsgericht Luzern-Land, die elterliche Sorge über die drei Kinder an ihn allein zu übertragen. Mit Widerklage vom 4. März 2008 verlangte Z._ die Übertragung der elterlichen Sorge über die drei Kinder an sie allein.
Mit Urteil vom 17. September 2009 genehmigte das Amtsgericht Luzern-Land eine Vereinbarung der Parteien. Demgemäss wurden die Kinder unter der Obhut der Mutter belassen, das Besuchs- und Ferienrecht neu geregelt, die Parteien u.a. angewiesen, die Kinder bis zum Abschluss ihrer Ausbildung im Internat B._ zu belassen und X._ verpflichtet, die ungedeckten Kosten der medizinischen, zahn- und augenärztlichen Versorgung der Kinder zu tragen. Soweit keine Neuregelung getroffen wurde, sollten die Bestimmungen des Scheidungsurteils und des Urteils des Amtsgerichts Luzern-Land vom 6. September 2007 unverändert weitergelten.
C. C.a Mit Klage vom 10. Februar 2010 verlangte Z._ beim Bezirksgericht Aarau, die elterliche Sorge über die drei Kinder ihr allein zu übertragen, das Besuchs- und Ferienrecht von X._ zu regeln und ihn für den Fall, dass ein Kind aus dem Internat austreten sollte, zu verpflichten, für das Kind einen angemessenen Unterhaltsbeitrag zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen. Mit Klageantwort vom 31. März 2010 verlangte X._, auf die Klage nicht einzutreten und sie eventuell abzuweisen. Für den Fall der Abweisung der Hauptklage erhob er Widerklage mit den Anträgen, die elterliche Sorge über die drei Kinder auf ihn allein zu übertragen. Zudem sei das Besuchsrecht zu regeln und es sei darauf zu verzichten, Z._ zur Zahlung von Kinderunterhaltsbeiträgen zu verpflichten.
Die drei Kinder S._, T._ und U._ wurden in der Hauptverhandlung angehört.
Am 13. September 2010 präzisierte Z._ ihre Anträge. Sie verlangte insbesondere, X._ zu verpflichten, ihr monatlich im Voraus Kinderunterhaltsbeiträge in der Höhe von Fr. 4'500.-- pro Kind (zuzüglich Kinderzulagen) zu bezahlen, und zwar ab 13. September 2010 bis zur Mündigkeit der Kinder oder ihrer vorherigen Aufnahme einer vollen Erwerbstätigkeit oder längstens bis zum Abschluss ihrer Erstausbildung.
Mit Entscheid vom 4. Januar 2012 unterstellte das Bezirksgericht Aarau (mit Wirkung ab Vollstreckbarkeit des Entscheids) die drei Kinder der elterlichen Sorge von Z._. Es regelte das Besuchs- und Ferienrecht von X._ und verpflichtete ihn, Z._ an den Unterhalt der Kinder mit Wirkung ab Vollstreckbarkeit des vorliegenden Entscheids bis zur Mündigkeit bzw. bis zum vorzeitigen Eintritt in die volle Erwerbstätigkeit pro Monat folgende Unterhaltsbeiträge (zuzüglich Kinder- und Ausbildungszulagen) zu zahlen: für S._ Fr. 1'078.--; für T._ Fr. 835.-- bis Juli 2013 und danach Fr. 1'078.--; für U._ Fr. 835.-- bis Januar 2015 und danach Fr. 1'078.--. Vorbehalten wurden die Anrechnung des Arbeitserwerbs oder anderer eigener Mittel der Kinder und eine länger dauernde Ausbildung.
C.b Mit Berufung vom 9. Februar 2012 verlangte X._ die Abweisung der Klage und eventualiter widerklageweise, die elterliche Sorge für die gemeinsamen Kinder ihm zu übertragen, das Besuchsrecht von Z._ zu regeln und darauf zu verzichten, Z._ zur Zahlung von Kinderunterhaltsbeiträgen zu verpflichten. Z._ widersetzte sich der Berufung und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege. Am 22. November 2012 stellte X._ das Gesuch, Z._ superprovisorisch aufzufordern, Unterlagen über den Aufenthalt des Kindes T._ im C._-College (England) und die Bezahlung des entsprechenden Schulgeldes zu edieren sowie eine Bestätigung vorzulegen, dass er T._ jederzeit im College besuchen dürfe.
Mit Entscheid vom 27. November 2012 wies das Obergericht des Kantons Aargau die Berufung ab, soweit es darauf eintrat. Auf das Gesuch um Erlass superprovisorischer Massnahmen trat das Obergericht nicht ein. Es gewährte Z._ die unentgeltliche Verbeiständung und schrieb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Übrigen als gegenstandslos ab.
D. Am 10. Januar 2013 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts vom 27. November 2012 aufzuheben und die Abänderungsklage vom 10. Februar 2010 abzuweisen. Allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 In der Hauptsache betrifft das angefochtene Urteil die Zuteilung der elterlichen Sorge und damit zusammenhängend den Kindesunterhalt. Folglich geht es um eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 ZGB) ohne Vermögenswert (<ref-ruling> E. 2 S. 494 ff.). Die Beschwerde in Zivilsachen ist insoweit grundsätzlich zulässig. Auf die Verweigerung der superprovisorischen Anordnung geht der Beschwerdeführer nicht ausdrücklich ein, so dass davon auszugehen ist, sie sei nicht mitangefochten.
Hingegen macht der Beschwerdeführer geltend, Z._ (Beschwerdegegnerin) sei zu Unrecht die unentgeltliche Rechtspflege gewährt worden. Das obergerichtliche Verfahren unterstand der schweizerischen Zivilprozessordnung (Art. 405 Abs. 1 ZPO [SR 272]). Dem Beschwerdeführer kam vor der Vorinstanz für die Frage der unentgeltlichen Rechtspflege der Beschwerdegegnerin keine Parteistellung zu (Art. 119 Abs. 3 ZPO; ALFRED BÜHLER, Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 115 ff. zu Art. 119 ZPO). Dies ist Ausdruck des fehlenden schutzwürdigen Interesses, sich in das Verhältnis zwischen der Beschwerdegegnerin und ihrem Rechtsvertreter zum Staat einzumischen, das durch die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gestaltet wird. Demgemäss räumt die ZPO der Gegenpartei der um unentgeltliche Rechtspflege ersuchenden Partei grundsätzlich auch kein Rechtsmittel gegen den entsprechenden Entscheid ein (Art. 121 ZPO). Die Beschwerdeberechtigung vor Bundesgericht (Art. 76 BGG) kann nicht weitergefasst sein. Der Beschwerdeführer behauptet nicht, es liege ein Ausnahmefall vor, insbesondere, dass durch die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sein Anspruch auf Prozesskostensicherheit vereitelt worden sei (vgl. BÜHLER, a.a.O., N. 120 zu Art. 119 ZPO, N. 8 zu Art. 121 ZPO). Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
1.2 Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG; vgl. für Ausnahmen Abs. 2 dieser Norm) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 1.3 S. 584 mit Hinweisen).
1.3 Für das Bundesgericht ist der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt grundsätzlich verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG). Seine Feststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen, muss in der Beschwerde substantiiert begründet werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356). Dabei ist zu beachten, dass bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG) gilt und demnach anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung willkürlich sein soll. Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten (<ref-ruling> E. 1.4.2 und 1.4.3 S. 254 f.). Auf solche rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE <ref-ruling> E. 5.1 S. 356 mit Hinweis). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht schliesslich nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. Umstritten ist zunächst die Zuteilung der elterlichen Sorge.
2.1 Das Obergericht hat festgehalten, dass die Parteien seit ihrer Scheidung im Jahre 2004 praktisch permanent über Erziehung und Ausbildung der drei gemeinsamen Kinder streiten. Sie hätten diesen Streit bis heute weitgehend und sehr heftig vor Gerichten ausgetragen. Zwar sei es in den beiden Prozessen vor Amtsgericht Luzern-Land zu Vergleichen gekommen. Jedoch hätten die Parteien jeweils nach wenigen Monaten bereits wieder u.a. auf Alleinzuteilung der elterlichen Sorge geklagt. Die getroffenen Vereinbarungen beruhten deshalb bloss auf einer formalen, nicht aber einer inneren Übereinstimmung der Parteien. Der Konflikt drehe sich in erster Linie um die Frage, ob die Kinder im Haushalt eines Elternteils oder im Internat aufwachsen sollten. Seien die Eltern nicht fähig, sich in derart grundsätzlichen Fragen ohne Inanspruchnahme der Justiz nachhaltig zu verständigen, seien sie auch nicht in der Lage, die elterliche Sorge gemeinsam auszuüben. Das Kindeswohl werde durch die fortdauernden richterlichen Abklärungen und Befragungen ernstlich gefährdet. Die in den Urteilen des Amtsgerichts Luzern-Land vorgesehene Internatsausbildung in B._ sei am Widerstand der Kinder gescheitert, die ihren Schulausschluss provoziert hätten, um zur Beschwerdegegnerin zurückzukehren. Dass der Sohn T._ inzwischen ein anderes Internat in England besuche, ändere nichts an der Zerstrittenheit der Parteien.
Hinsichtlich der Zuteilung an einen Elternteil hat das Obergericht erwogen, die Beschwerdegegnerin habe bereits vor dem Urteil des Amtsgerichts Luzern-Land vom 6. September 2007 die Obhut über die drei Kinder innegehabt. Sie sei seit der Geburt der Kinder hauptverantwortlich für deren Erziehung, Pflege und Betreuung. Abgesehen von den Aufenthalten im Internat B._, wo sich im Übrigen auch V._, der nichteheliche Sohn der Beschwerdegegnerin, zeitweise aufgehalten habe, und im Internat D._ sowie der beim Beschwerdeführer verbrachten Besuchswochenenden hätten die drei Kinder zusammen mit ihrem Halbbruder V._ im Haushalt der Beschwerdegegnerin gelebt. Ab dem Schuljahr 2010/2011 seien die drei Kinder am Wohnort der Beschwerdegegnerin in E._ eingeschult worden. In den erstellten Gutachten werde die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin bejaht. Sie sei die wichtigste Ansprechperson der Kinder und ihre Zuwendung für diese sehr wichtig. Der Beschwerdeführer beanstande zwar, dass die Beschwerdegegnerin wegen ihrer vollen Erwerbstätigkeit keine Zeit für die persönliche Betreuung der Kinder habe. Seine Behauptung, er habe mehr Zeit zur Verfügung, um sich um die Kinder zu kümmern, bleibe jedoch vage, wie auch seine Angaben über Art, Dauer und Ort seiner Berufstätigkeit. Der Beschwerdeführer stelle zudem gar nicht in Abrede, dass er die Kinder wieder in einem Internat unterbringen wolle. Soweit er der Beschwerdegegnerin ungenügende schulische Förderung vorwerfe, so seien aus den Zeugnissen einzig bei T._ teilweise ungenügende Leistungen ersichtlich. Allerdings habe dieser bereits das Internat B._ wegen Nichtbestehens der Probezeit verlassen müssen, so dass seine schulischen Defizite offensichtlich nicht (allein) der Beschwerdegegnerin anzulasten seien. In der Befragung vor Bezirksgericht hätten alle drei Kinder deutlich zum Ausdruck gebracht, dass sie zusammen mit ihren Brüdern und ihrem Halbbruder V._ bei ihrer Mutter leben möchten, wo sie sich daheim fühlten. Es gebe keine Anhaltspunkte, dass sie diesbezüglich nicht urteilsfähig seien oder ihre Aussagen keinem gefestigten Entschluss entsprängen. Vielmehr stimmten ihre Angaben mit denjenigen überein, die sie im November 2006 gegenüber dem vom Amtsgericht Luzern-Land beigezogenen Gutachter gemacht hätten.
Somit seien die Kinder zu Recht der alleinigen Sorge der Beschwerdegegnerin unterstellt worden.
2.2 Gemäss Art. 134 Abs. 1 ZGB ist die Zuteilung der elterlichen Sorge neu zu regeln, wenn dies wegen wesentlicher Veränderung der Verhältnisse zum Wohl des Kindes geboten ist. Nach konstanter Rechtsprechung des Bundesgerichts kommt eine Änderung des Sorgerechts nur in Betracht, wenn die Beibehaltung der geltenden Regelung das Wohl des Kindes ernsthaft zu gefährden droht. Die Veränderung der Verhältnisse muss somit die Änderung der Sorgerechtsregelung zwingend gebieten, weil die aktuelle Regelung dem Kind mehr schadet als eine Änderung derselben und der damit verbundene Verlust an Kontinuität in der Erziehung und den Lebensumständen (Urteile 5C.63/2005 vom 1. Juni 2005 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A_616/2007 vom 23. April 2008 E. 7.1; 5A_483/2011 vom 31. Oktober 2011 E. 3.2, in: FamPra.ch 2012 S. 206; 5A_105/2012 vom 9. März 2012 E. 2.3; je mit Hinweisen). Insbesondere im Falle gemeinsamer elterlicher Sorge ist eine Änderung nur gerechtfertigt, wenn die Grundbedingungen für eine gemeinsame Verantwortung der Eltern nicht mehr gegeben sind, so dass das Kindeswohl die Übertragung der elterlichen Sorge an einen Elternteil gebietet. Dies trifft unter anderem zu, wenn Kooperationswille und Kooperationsfähigkeit der Eltern nicht mehr bestehen (Urteile 5A_616/2007 vom 23. April 2008 E. 7.1; 5A_170/2009 vom 10. Juni 2009 E. 3.1; 5A_645/2008 vom 27. August 2009 E. 4.1, in: FamPra.ch 2009 S. 1076 und Pra 2010 Nr. 71 S. 515; je mit Hinweisen).
Ob eine wesentliche Veränderung im dargelegten Sinn vorliegt, ist aufgrund sämtlicher Umstände des konkreten Einzelfalles zu beurteilen. Bei der Beurteilung steht den kantonalen Behörden, welche die Parteien und die Verhältnisse besser kennen als das Bundesgericht, ein erhebliches Ermessen zu. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn einschlägige Kriterien grundlos ausser Betracht geblieben oder offenkundig falsch gewichtet worden sind, oder wenn die Zuteilung auf Überlegungen abgestützt worden ist, die unter dem Gesichtswinkel des Kindeswohls bedeutungslos sind oder gegen die dargelegten bundesgerichtlichen Grundsätze verstossen. Diese Kognitionsbeschränkung gilt auch mit Bezug auf die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge (Urteil 5A_170/2009 vom 10. Juni 2009 E. 3.1 mit Hinweisen).
2.3 Der Beschwerdeführer bestreitet, dass veränderte Verhältnisse im Sinne von Art. 134 ZGB vorliegen.
Willkürlich sei zunächst die Feststellung, dass es den Eltern an der Fähigkeit fehle, sich in grundsätzlichen Betreuungs- und Erziehungsfragen ohne Inanspruchnahme der Justiz zu verständigen. Dabei sucht der Beschwerdeführer die Ursache der verschiedenen Abänderungsverfahren alleine bei der Beschwerdegegnerin (auch dann, als er selber ein solches Verfahren anhängig machte) und führt aus, dass er sich ihre Zustimmung zu den Vergleichen jeweils mit der Zusage finanzieller Vorteile erkaufen musste und sie sich trotzdem nie an die Vergleiche gehalten habe. Diese Sachverhaltsbehauptungen finden im angefochtenen Urteil keine Stütze und eine rechtsgenügliche Willkürrüge ist damit nicht erhoben (oben E. 1.3). Auf die appellatorischen und deshalb unzulässigen Behauptungen ist nicht einzutreten. Auch aus der Tatsache, dass die vorangegangenen Abänderungsverfahren jeweils mit Vergleich abgeschlossen werden konnten, kann der Beschwerdeführer nichts zu Gunsten der Kooperationsfähigkeit der Parteien ableiten. Das Obergericht hat ja gerade darauf hingewiesen, dass eine Verständigung immer nur unter Inanspruchnahme der Justiz möglich war, und es hat diesen Zustand als unhaltbar beurteilt. Dies ist nicht zu beanstanden, denn durch die wiederholte Anrufung der Justiz mit dem Zweck, die gemeinsame elterliche Sorge aufheben zu lassen, kann die Unfähigkeit der Eltern zur Kooperation als hinreichend belegt gelten (vgl. Urteil 5A_645/2008 vom 27. August 2009 E. 4.1, in: FamPra.ch 2009 S. 1076 und Pra 2010 Nr. 71 S. 515). Der Beschwerdeführer wendet ein, die klagende Partei werde durch das angefochtene Urteil ungebührend bevorteilt, weil sie durch die Tatsache der Klageeinleitung die Begründung für die Abänderung gleich selber schaffe. Er entfernt sich damit aber von der vorinstanzlichen Begründung: Das Obergericht hat den Nachweis für die fehlende innere Übereinstimmung der Parteien und ihren bloss formalen Konsens nicht allein in der Anhebung des vorliegenden Abänderungsverfahrens durch die Beschwerdegegnerin gesehen, sondern im ganzen Verhalten der Parteien seit der Scheidung.
Der Beschwerdeführer wiederholt ausserdem den schon vor Obergericht erhobenen Einwand, dass kein Abänderungsgrund vorliege, weil in den Vergleichen eine Regelung für den Fall getroffen worden sei, dass die Kinder das Internat B._ nicht mehr besuchten. Da das Kindeswohl durch die neuen - insoweit im Vergleich abgedeckten - schulischen Verhältnisse nicht gefährdet werde, liege kein Abänderungsgrund vor. Dieses Argument zielt am angefochtenen Entscheid vorbei. Die Vorinstanz hat die Gefährdung des Kindeswohls nicht im Besuch der einen oder anderen Schule (bzw. im einen oder andern Aufenthaltsort) gesehen hat, sondern in der ständigen Verwicklung der Kinder in immer neue gerichtliche Verfahren. Der Beschwerdeführer übergeht die obergerichtliche Erwägung, dass gerade die Bestimmung des Ausbildungs- und Aufenthaltsortes zu unüberbrückbaren Differenzen zwischen den Parteien führe. Die Vorinstanzen haben ihr Ermessen nicht überschritten, wenn sie darin einen Beleg für die fehlende Kooperationsfähigkeit der Eltern gesehen haben. Auch wenn im Vergleich Regelungen enthalten sind für den Fall, dass die Kinder nicht im Internat leben (wobei sich die Ersatzregelung im Übrigen primär auf den Unterhalt bezieht; dazu unten E. 3), so sind diese - soweit den Aufenthalt der Kinder betreffend - genauso strittig und genauso wenig tragfähig wie die übrigen Regelungen über den Aufenthalt der Kinder. Dies zeigt sich nicht nur am von der Vorinstanz geschilderten Versuch des Beschwerdeführers, bereits die Einschulung von U._ im Internat B._ gerichtlich zu erzwingen. Es zeigt sich auch daran, dass sich der Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren nicht auf eine Klageantwort beschränkt hat, sondern eine Widerklage erhoben hat mit dem Antrag, die Kinder ihm zuzuteilen, und zwar in der - von der Vorinstanz festgestellten und unwidersprochen bleibenden Absicht - die Kinder wiederum in ein Internat zu verbringen. Der Beschwerdeführer hat damit also bis vor Obergericht gezeigt, dass er selber letztlich nicht gewillt war, die von ihm nunmehr angerufene, im Vergleich angeblich enthaltene Ersatzlösung (Leben der Kinder bei der Beschwerdegegnerin) zu akzeptieren.
Der Schluss der Vorinstanz, dass den Eltern die für die Ausübung der gemeinsamen elterlichen Sorge erforderliche Kooperationsbereitschaft fehle, ist folglich nicht zu beanstanden.
Der Beschwerdeführer behauptet weiter, dass V._ seit September 2012 nicht mehr im gemeinsamen Haushalt mit der Beschwerdegegnerin lebe, sondern - wie T._ - im Internat in C._ in England. Daraus leitet er ab, dass der Gesichtspunkt des Zusammenlebens der Kinder bei der Beschwerdegegnerin keine Rolle spielen könne. Sollte die Behauptung, dass V._ ausgezogen ist, nicht ohnehin neu und aus diesem Grunde unzulässig sein (Art. 99 Abs. 1 BGG), so legt der Beschwerdeführer jedenfalls nicht dar, inwiefern sie rechtzeitig in das kantonale Verfahren eingeführt und vom Gericht übergangen worden sei und es damit den Sachverhalt willkürlich festgestellt habe (Art. 97 Abs. 1 BGG). Darauf ist nicht einzutreten. Dass T._ im Internat in England lebt und nicht mehr bei der Beschwerdegegnerin, hat die Vorinstanz berücksichtigt. Dies ändere aber - so die Vorinstanz - nichts daran, dass die Zerstrittenheit der Parteien die Zuweisung der Entscheidbefugnis an einen Elternteil erforderlich mache. Mit anderen Worten hat dieser Gesichtspunkt keinen Einfluss auf das Vorliegen eines Abänderungsgrundes und den Entzug der gemeinsamen elterlichen Sorge. Dieser Gesichtspunkt kann einzig eine Rolle spielen bei der Frage, welchem Elternteil die elterliche Sorge zuzuteilen ist. Der Beschwerdeführer erhebt jedoch keine Einwände gegen die Zuteilung der elterlichen Sorge an die Beschwerdegegnerin. Er selber hält vor Bundesgericht nicht mehr daran fest, die elterliche Sorge sei ihm zuzuteilen.
Zusammenfassend hat die Vorinstanz demnach ihren Ermessensspielraum nicht überschritten, wenn sie die gemeinsame elterliche Sorge aufgehoben und diese der Beschwerdegegnerin allein zugeteilt hat. Die Beschwerde ist in diesem Punkt abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
3. Umstritten ist sodann die Pflicht des Beschwerdeführers zur Zahlung von Kinderunterhaltsbeiträgen.
3.1 Das Obergericht hat auf die mit Urteil des Amtsgerichts Luzern-Land vom 6. September 2007 genehmigte Vereinbarung vom 17. Mai / 3. Juli 2007 verwiesen. Danach sollten alle drei Kinder das Internat B._ besuchen, wo sich S._ seit Sommer 2006 aufhielt und in das T._ im Herbst 2007 und U._ im Jahre 2009 eintreten sollten. Der Beschwerdeführer verpflichtete sich, sämtliche Kosten der Internatsausbildung zu zahlen sowie für die Zeit bis zum Eintritt ins Internat bzw. für den Fall eines Austritts aus dem Internat pro Kind einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von EUR 350.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen zu bezahlen. Im Urteil des Amtsgerichts Luzern-Land vom 17. September 2009 wurde diese Regelung bestätigt und durch die richterliche Weisung ergänzt, dass die Kinder weiterhin bis zum Abschluss ihrer Ausbildung das Internat B._ besuchen sollten. Nach den Feststellungen des Obergerichts ist unbestritten geblieben, dass die Internatskosten in B._ monatlich rund EUR 2'000.-- pro Kind betragen haben.
Die Unterhaltsverpflichtung habe damit auf der Annahme beruht, dass die drei Kinder die Internatsausbildung in B._ absolvieren würden und der Beschwerdeführer dafür pro Kind monatlich rund EUR 2'000.-- aufwenden müsse. Da die Kinder in den Haushalt der Beschwerdegegnerin zurückgekehrt seien, hätten sich die Verhältnisse anders als geplant entwickelt. Der Beschwerdeführer sei dadurch von Ausbildungskosten entlastet und die Beschwerdegegnerin durch zusätzliche Unterhaltskosten belastet worden. Es sei deshalb nicht zu beanstanden, wenn das Bezirksgericht die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers den heutigen Lebensverhältnissen der Kinder angepasst habe. Soweit er geltend mache, nicht er, sondern sein Vater habe die Internatskosten durch freiwillige Zuwendungen getragen, so sei dem entgegenzuhalten, dass das Amtsgericht Luzern-Land nicht seinen Vater, sondern ihn persönlich zur Tragung der Internatskosten verpflichtet habe. Durch die von der Vorinstanz festgelegten Unterhaltsbeiträge werde er finanziell sogar entlastet. Da sich seine finanziellen Verhältnisse seit 2004 nach eigenen Angaben nicht wesentlich verändert hätten, stehe der Anpassung der Unterhaltsbeiträge auch insoweit nichts entgegen.
3.2 Die Voraussetzungen für die Abänderung von Kinderunterhaltsbeiträgen, die in einem Scheidungsurteil festgesetzt wurden, richten sich nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses (Art. 134 Abs. 2 ZGB), d.h. nach Art. 286 Abs. 2 ZGB. Eine Neufestsetzung gemäss Art. 286 Abs. 2 ZGB setzt voraus, dass sich der relevante Sachverhalt nachträglich erheblich und dauerhaft verändert hat. Eine Abänderungsklage bezweckt nicht die Korrektur eines fehlerhaften rechtskräftigen Urteils, sondern die Anpassung eines rechtskräftigen Urteils - ob fehlerhaft oder nicht - an veränderte Verhältnisse (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 606; Urteil 5A_506/2011 vom 4. Januar 2012 E. 3.1, in: FamPra.ch 2012 S. 486). Soweit die Veränderungen im Scheidungsurteil bereits berücksichtigt sind (vgl. Art. 286 Abs. 1 ZGB), kommt keine Anpassung in Betracht (<ref-ruling> E. 5b S. 310 f.; <ref-ruling> E. 2.7.4 S. 199).
Liegt eine erhebliche und dauerhafte nachträgliche Sachverhaltsänderung vor, führt dies nicht automatisch zu einer Neufestsetzung des Unterhaltsbeitrags. Es kommt nur dann zu einer Neufestsetzung, wenn ansonsten mit Blick auf das ursprüngliche Scheidungsurteil ein unzumutbares Ungleichgewicht zwischen den involvierten Personen entstehen könnte. Zur Beurteilung dieser Voraussetzung gilt es, die Interessen von Vater, Mutter und Kind bzw. Kindern gegeneinander abzuwägen (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 606; Urteil 5A_506/2011 vom 4. Januar 2012 E. 4.1, in: FamPra.ch 2012 S. 486).
3.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, in den Urteilen des Amtsgerichts Luzern-Land vom 6. September 2007 und vom 17. September 2009 sei der Fall bereits berücksichtigt worden, dass die drei Kinder kein Internat mehr besuchten, sondern zuhause lebten. Für diesen Fall sei ein Unterhaltsbeitrag von EUR 350.-- pro Kind, zuzüglich Kinderzulagen, vorgesehen worden. Zudem sei das Abänderungsgericht an die Feststellungen der rechtskräftigen Urteile, die abgeändert werden sollen, gebunden. Aus ihnen ergebe sich, dass dem Beschwerdeführer die Übernahme der Internatskosten nur möglich war, weil sein Vater bereit gewesen sei, diese Kosten zu tragen. Seine eigenen schlechten Verhältnisse seien bei der Festlegung eines Unterhaltsbeitrags von EUR 350.-- pro Kind berücksichtigt worden. Somit bestehe kein Raum für eine Anpassung der Unterhaltsbeiträge.
3.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, in den Urteilen des Amtsgerichts Luzern-Land vom 6. September 2007 und vom 17. September 2009 sei der Fall bereits berücksichtigt worden, dass die drei Kinder kein Internat mehr besuchten, sondern zuhause lebten. Für diesen Fall sei ein Unterhaltsbeitrag von EUR 350.-- pro Kind, zuzüglich Kinderzulagen, vorgesehen worden. Zudem sei das Abänderungsgericht an die Feststellungen der rechtskräftigen Urteile, die abgeändert werden sollen, gebunden. Aus ihnen ergebe sich, dass dem Beschwerdeführer die Übernahme der Internatskosten nur möglich war, weil sein Vater bereit gewesen sei, diese Kosten zu tragen. Seine eigenen schlechten Verhältnisse seien bei der Festlegung eines Unterhaltsbeitrags von EUR 350.-- pro Kind berücksichtigt worden. Somit bestehe kein Raum für eine Anpassung der Unterhaltsbeiträge.
3.4 3.4.1 Es trifft zu, dass der mit Urteil des Amtsgerichts Luzern-Land vom 6. September 2007 genehmigte Vergleich eine Kindesunterhaltsregelung für den Fall vorsieht, dass ein Kind aus dem Internat austreten sollte (Ziff. 1.3 des genannten Urteils [Klagebeilage 3]). Diese Regelung wurde im mit Urteil des Amtsgerichts Luzern-Land vom 17. September 2009 genehmigten Vergleich bestätigt (Ziff. 1.7 des genannten Urteils [Klagebeilage 4]). Auf welcher Basis und vor welchem Hintergrund die entsprechende Regelung zustande kam, ergibt sich weder aus dem angefochtenen Urteil noch aus den beiden Urteilen des Amtsgerichts. Insbesondere lässt sich daraus nicht entnehmen, aufgrund welcher Umstände diese Regelung als angemessen beurteilt wurde (vgl. jeweils E. 2 der Urteile des Amtsgerichts). Auffallend ist die Diskrepanz dieser Ersatzregelung zur Unterhaltsregelung für die Zeit, in der die Kinder das Internat besuchen. Der Beschwerdeführer verpflichtete sich, sämtliche Kosten des Internatsbesuchs (Ziff. 1.2 des Urteils vom 6. September 2007 i.V.m. Ziff. 1.7 des Urteils vom 17. September 2009) und im Übrigen auch die Arztkosten der Kinder (Ziff. 1.5 des Urteils vom 17. September 2009) zu übernehmen. Die Höhe der Internatskosten von monatlich rund EUR 2'000.-- pro Kind bestreitet er nicht. Soweit er geltend macht, sein Vater habe die Internatskosten getragen und er habe den Vergleichen nur im Wissen um diese Finanzierung zustimmen können, so ergibt sich aus den genannten Urteilen nicht, dass dies Grundlage der Vergleichslösungen war. Der Hinweis des Beschwerdeführers auf vereinzelte Aktenstücke ändert daran nichts. Selbst wenn sein Vater diese Zahlungen tatsächlich übernommen haben sollte, so sagt dies noch nichts über die dem Vergleich zugrunde liegende Situation aus. Wie das Obergericht zu Recht ausgeführt hat, ist der Beschwerdeführer persönlich zu entsprechenden Zahlungen verpflichtet worden. Mangels entsprechender Vorbehalte muss davon ausgegangen werden, dass die Unterhaltspflichten auf seine persönlichen Verhältnisse abgestimmt wurden und seiner Leistungsfähigkeit entsprechen. Es ist mangels anderweitiger Hinweise nicht davon auszugehen, dass die Parteien eine faktisch nicht durchsetzbare Lösung vereinbaren wollten und das Gericht eine solche genehmigt hat, d.h. eine Lösung, deren Erfüllung alleine vom Willen eines am Vergleich nicht beteiligten Dritten (Vater des Beschwerdeführers) abhängt.
Zu den Hintergründen des ausserordentlich tiefen Unterhaltsbeitrags für die Zeit, in der die Kinder nicht im Internat leben, ist zudem Folgendes zu beachten: Im Verfahren 5A_116/2012 (betreffend Rechtsöffnung für Kinderunterhaltsbeiträge) hat sich der Beschwerdeführer darauf berufen, dem tiefen Unterhaltsbeitrag wohne ein abschreckendes bzw. pönales Moment inne. Im Zusammenhang mit der damals umstrittenen Verrechnungsklausel (ebenfalls in Ziff. 1.3 des Urteils vom 6. September 2007) liess der Beschwerdeführer nämlich ausführen, dass finanzieller Druck auf die Beschwerdegegnerin ausgeübt werden und sie daran gehindert werden sollte, die Kinder eigenmächtig aus finanziellen Gründen zurückzuholen. Falls die Beschwerdegegnerin die Kinder doch zurückholen würde, sollte sie wegen der Anrechnung für lange Zeit keine Unterhaltsbeiträge erhalten, da die Internatskosten massiv höher seien als die vereinbarten Unterhaltsbeiträge (Urteil 5A_116/2012 vom 25. Mai 2012 E. 3.2.2). Entsprechendes wird auch in der vorliegenden Beschwerde angedeutet. Sollte dies tatsächlich Zweck der Regelung gewesen sein, so liegt auf der Hand, dass die Unterhaltsbeiträge massiv tiefer ausfallen mussten als die Internatskosten, um diesen Druck zu erzeugen. Das Bundesgericht hat damals den Standpunkt des Beschwerdeführers hinsichtlich der geltend gemachten Verrechnung unter Willkürgesichtspunkten nicht geteilt. Wie auch immer es sich damit bei freier Kognition verhalten würde, so ist doch anzumerken, dass die Instrumentalisierung des Kindesunterhalts zur Erzwingung gewisser Verhaltensweisen eines Elternteils sachfremd wäre. Eine Kindesunterhaltsregelung, mit der solche Zwecke verfolgt würden, hätte weder einen Bezug zu den Bedürfnissen der Kinder bzw. zum Kindeswohl noch zur Leistungsfähigkeit des Unterhaltsschuldners. Sollte dies aber tatsächlich Hintergrund der Regelung gewesen sein, so entfiele nach Umteilung der elterlichen Sorge erst recht jeglicher Anlass, den Interessen des Beschwerdeführers auf diese Weise zum Durchbruch zu verhelfen.
Insgesamt mag jedoch dahingestellt bleiben, wie es sich mit den den Vergleichen zugrunde liegenden Umständen genau verhält. Die damals von den Parteien vereinbarte Unterhaltsregelung für die Zeit, in der die Kinder bei der Beschwerdegegnerin leben, steht jedenfalls vor dem Hintergrund, dass die Parteien die elterliche Sorge gemeinsam ausüben. Zudem kommt ihr nach dem Zweck des Vergleichs einzig subsidiäre und zeitlich beschränkte Bedeutung zu, da die Kinder in erster Linie im Internat aufwachsen sollten. Die Vorinstanz hat folglich zu Recht nicht auf diese Regelung abgestellt, sondern auch den Kindesunterhalt neu bestimmt.
3.4.2 Bei der Neufestsetzung der Kinderunterhaltsbeiträge sind die einzelnen Parameter der Unterhaltsbemessung zu aktualisieren, wobei unter Umständen sogar unverändert gebliebene Parameter angepasst werden dürfen. Insbesondere dürfen Parameter korrigiert werden, die infolge unrichtiger Sachverhaltsfeststellung von Beginn weg falsch waren (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 606; Urteil 5A_506/2011 vom 4. Januar 2012 E. 5 und 6.2, teilweise publ. in: FamPra.ch 2012 S. 486). Wie bereits gesagt, ergibt sich aus den Urteilen des Amtsgerichts Luzern-Land nicht, welche tatsächlichen Umstände das Gericht bewogen haben, die vereinbarten Kinderunterhaltsbeiträge als angemessen zu beurteilen. Ein Vergleich der Parameter ist deshalb nicht möglich. Dies schadet vorliegend allerdings nicht.
Vorauszuschicken ist, dass der Beschwerdeführer keine Einwände gegen die Bestimmung des aktualisierten Bedarfs der Kinder durch das Obergericht erhebt. Seine Kritik richtet sich einzig gegen die Bestimmung seiner Leistungsfähigkeit. Diese lasse nur eine monatliche Zahlung von EUR 350.-- pro Kind zu und diesbezüglich habe sich seit den Urteilen des Amtsgerichts Luzern-Land auch nichts geändert.
Dazu ist Folgendes zu bemerken: Sofern bereits die Verpflichtung des Beschwerdeführers in den beiden Vergleichen zur Übernahme der Internats- und Arztkosten der Kinder seine Leistungsfähigkeit widerspiegelt haben sollte (sei es basierend auf seinem tatsächlichen oder seinem hypothetischen Einkommen; vgl. soeben E. 3.4.1), so hat ihm das Obergericht zu Recht vorgehalten, dass er durch die nunmehr vorgenommene Neufestsetzung der Unterhaltsbeiträge finanziell sogar entlastet werde. Es fällt in diesem Zusammenhang denn auch auf, dass der Beschwerdeführer in seiner Widerklage darauf verzichtet hat, von der Beschwerdegegnerin Kindesunterhalt zu verlangen. Er scheint also davon auszugehen, dass er den finanziellen Bedarf seiner Kinder selber decken könnte, wenn ihm die elterliche Sorge zugeteilt würde. Selbst wenn jedoch die Vergleiche tatsächlich auf der Grundlage beruhen sollten, dass er monatlich bloss EUR 350.-- pro Kind hätte leisten können, ist die Anpassung nicht zu beanstanden. Diesbezüglich kann auf die folgende Erwägung des Bezirksgerichts verwiesen werden, die das Obergericht wiedergegeben und im Ergebnis bestätigt hat: Danach seien die wirtschaftlichen Verhältnisse des Beschwerdeführers undurchsichtig, er habe aber derart erhebliche Mittel zur Verfügung, dass er in einer geräumigen Villa an repräsentativer Lage in A._ (Kanton Luzern) leben und einen auskömmlichen Lebensstil pflegen könne; sein Unternehmen habe er seit Beginn seiner Selbständigkeit im Jahre 2000 nicht als Haupteinnahmequelle für die Finanzierung seines Lebensunterhalts bzw. seiner Familie geführt, sondern in erheblichem Umfang von Vermögen oder Erbvorbezügen gelebt; in unterhaltsrechtlicher Sicht könne jedoch von ihm erwartet werden, ein seiner Ausbildung und Erfahrung entsprechendes Einkommen (sei es als Selbständigerwerbender oder Angestellter) zu erzielen; es grenze schliesslich an Rechtsmissbrauch, wenn er sich auf den Zuwendungen seines Vaters ausruhe, um angemessenen Unterhaltspflichten zu entgehen. Insoweit haben ihm die Vorinstanzen demnach ein hypothetisches Einkommen angerechnet. Dieses wurde auf der Basis der vom Beschwerdeführer selbst zugestandenen Lohnangaben aus dem Jahre 1996 berechnet (Jahreseinkommen von Fr. 84'000.--). Dieses Vorgehen ist nicht zu beanstanden. Zunächst darf dem Beschwerdeführer ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden, auch wenn den zuvor abgeschlossenen Vergleichen in Verkennung der tatsächlichen Situation kein solches zugrunde gelegen haben sollte. Der Beschwerdeführer legt zudem nicht dar, wieso es ihm heute weder möglich noch zumutbar sein sollte, wiederum ein Einkommen in der Höhe zu erzielen, wie er es bereits 1996 erzielt hatte. Sein Vorwurf, es sei willkürlich, auf seine Einkommensverhältnisse im Jahre 1996 abzustellen, zielt an der Sache vorbei. Die damaligen Einkommensverhältnisse wurden bloss als Ausgangspunkt genommen, um seine heutige Leistungsfähigkeit zu bestimmen. Die Beschwerde ist folglich auch in diesem Punkt abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie die vorstehenden Ausführungen belegen, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist kein zu entschädigender Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. April 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg