Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 7. April 2005 schied das Amtsgericht A._ (D) die Ehe von X._ (Ehemann) und Y._ (Ehefrau), beide deutsche Staatsangehörige und damals in A._ wohnhaft. Über die vermögensrechtlichen Scheidungsfolgen gaben die Ehegatten eine Vereinbarung zu Protokoll, die ihnen vorgelesen und nach dem Verlesen genehmigt wurde. Der Ehemann verpflichtet sich darin unter anderem zu Unterhaltszahlungen an die beiden gemeinsamen Kinder. Betreffend "Ehegattenunterhalt" wurde vereinbart, was folgt:
Der Antragsteller verpflichtet sich, an die Antragsgegnerin ab Rechtskraft der Ehescheidung monatlichen Unterhalt von EURO 7.500,00 zu bezahlen, fällig jeweils am 1. eines Monats im voraus. Der Unterhalt reduziert sich auf monatlich EURO 1.750,00 ab dem 1. des Monats, der auf die Beendigung der Berufstätigkeit des Antragstellers wegen Ruhestands bei der Firma F._ folgt. [...]
Die Antragsgegnerin kann anrechnungsfrei eigene Einkünfte erzielen. Die Parteien sind sich einig, dass sie einer Erwerbspflicht nicht unterliegt.
Der Unterhaltsbeitrag von EURO 7.500,00 ist unabänderlich. Der Unterhaltsbeitrag von EURO 1.750,00 erhöht sich entsprechend dem Preisindex für die Lebenshaltung aller privaten Haushalte. [...]
Darüber hinaus ist eine Abänderung des Unterhaltsbeitrages ausgeschlossen.
X._ bezahlte den Ehegattenunterhalt bis Ende März 2007 vereinbarungsgemäss und ab April 2007 noch im monatlichen Betrag von EURO 1'500.--. Ab Februar 2008 stellte er seine Zahlungen ein. X._ lebt heute in der Schweiz und ist seit Januar 2008 Geschäftsführer einer Firma in G._. Seine frühere Berufstätigkeit bei der Firma F._ hatte er per Ende November 2006 in gegenseitigem Einvernehmen beendet.
B. B.a Am 18. April 2008 leitete Y._ die Betreibung für die ausstehenden Zahlungen des Ehegattenunterhalts ein im Betrag von Fr. 132'585.75 (= EURO 82'500.--). Auf den Zahlungsbefehl vom 23. April 2008 hin erhob X._ am 24. April 2008 Rechtsvorschlag.
B.b Am 28. April 2008 erhob X._ beim Amtsgericht A._ (D) eine Vollstreckungsabwehrklage gemäss § 767 DZPO. Er beantragte, die Zwangsvollstreckung der Unterhaltsbeiträge ab April 2007 aus dem Vergleich vom 7. April 2005 für unzulässig zu erklären, hilfsweise gegen Sicherheitsleistung einzustellen.
B.c Am 9. Juni 2008 stellte Y._ das Gesuch, vorfrageweise die Vollstreckbarkeit des Urteils des Amtsgerichts A._ (D) vom 7. April 2005 betreffend Ehegattenunterhalt festzustellen und in der Betreibung Nr. xxxxxxx des Betreibungsamtes B._ über Fr. 132'585.75 nebst Verzugszins von Fr. 5'742.20 bis April 2008 die definitive Rechtsöffnung zu erteilen. X._ beantragte, formell das Rechtsöffnungsverfahren bis zum rechtskräftigen Entscheid, eventuell bis zum Entscheid des Amtsgerichts über die Vollstreckungsabwehrklage zu sistieren und materiell das Gesuch abzuweisen. Das Bezirksgerichtspräsidium P._ erklärte das Urteil vom 7. April 2005 als vollstreckbar und erteilte für den Betrag von Fr. 132'585.75 die definitive Rechtsöffnung (Entscheid vom 27. Juni 2008). Die von X._ dagegen erhobene Rechtsöffnungsbeschwerde wies das Kantonsgericht von Graubünden ab (Urteil vom 1. September 2008).
C. Dem Bundesgericht beantragt X._ (hiernach: Beschwerdeführer), in der Sache das Gesuch vom 9. Juni 2008 um Vollstreckbarerklärung und Erteilung der definitiven Rechtsöffnung abzuweisen und seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das Kantonsgericht hat zum Gesuch um aufschiebende Wirkung keine Bemerkungen angebracht. Y._ (fortan: Beschwerdegegnerin) hat in ihrer Vernehmlassung betreffend Gewährung der aufschiebenden Wirkung den Antrag gestellt, auf die Beschwerde und auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht einzutreten, das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen, eventuell nur zu gewähren für den einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von EURO 1'500.-- übersteigenden Anteil der vom Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin geschuldeten monatlichen Unterhaltsbeiträge. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt (Verfügung vom 24. November 2008). Der Beschwerdeführer hat sich mit Schreiben vom 26. November 2008 zur Rechtzeitigkeit seiner Beschwerde geäussert und einen Beleg eingereicht. Mit Gesuch vom 10./ 11. Dezember 2008 verlangt die Beschwerdegegnerin, der Beschwerde wiedererwägungsweise die aufschiebende Wirkung zu entziehen mit der Begründung, gemäss beigelegtem Urteil vom 3. Dezember 2008 habe das Amtsgericht A._ (D) die Vollstreckungsabwehrklage des Beschwerdeführers abgewiesen. In der Sache sind die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil betreffend definitive Rechtsöffnung unterliegt der Beschwerde gemäss <ref-law> (<ref-ruling> Nr. 48). Gemäss <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Ausgeschlossen sind dabei echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst nach dem Entscheid der Vorinstanz eingetreten sind, so dass sämtliche von beiden Parteien neu eingereichten Beweisurkunden, die nach dem angefochtenen Urteil erstellt wurden und danach eingetretene Tatsachen betreffen, unzulässig sind (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 343 f.; <ref-ruling> E. 5.1.3 S. 103). Die Beschwerde ist rechtzeitig (<ref-law>). Es kann darauf grundsätzlich eingetreten werden. Weitere formelle Einzelfragen sind im Sachzusammenhang zu erörtern.
2. Da sich der Wohnsitz des Beschwerdeführers in der Schweiz befindet und die Beschwerdegegnerin ihren Wohnsitz in Deutschland hat, liegt ein internationales Verhältnis vor. Die Frage nach der Anerkennung und Vollstreckbarkeit, die hier antragsgemäss im Verfahren der Rechtsöffnung zu prüfen ist (<ref-ruling> E. 2 S. 396 ff.; <ref-ruling> E. 3a S. 387 f.), haben die kantonalen Gerichte nach dem Übereinkommen über die Anerkennung und Vollstreckung von Unterhaltsentscheidungen beurteilt, abgeschlossen in Den Haag am 2. Oktober 1973 (SR 0.211.213.02), das für die Schweiz am 1. August 1976 und für Deutschland am 1. April 1987 in Kraft getreten ist (im Folgenden: Übereinkommen von 1973).
3. Der Beschwerdeführer erhebt die Einrede der Litispendenz. Er macht geltend, mit der Einreichung der Vollstreckungsabwehrklage gemäss § 767 DZPO sei zwischen den gleichen Parteien über denselben Gegenstand ein Zivilprozess anhängig, so dass das Vollstreckungsverfahren in der Schweiz ausgesetzt werden müsse (S. 8 f. Bst. A der Beschwerdeschrift).
3.1 Gemäss Art. 5 des Übereinkommens von 1973 darf die Anerkennung oder Vollstreckung der Entscheidung jedoch versagt werden, "wenn ein denselben Gegenstand betreffendes Verfahren zwischen denselben Parteien vor einer Behörde des Vollstreckungsstaates anhängig und als erstes eingeleitet worden ist" (Ziff. 3). Der Beschwerdeführer beruft sich vorab auf Art. 9 des Bundesgesetzes über das Internationale Privatrecht (IPRG; SR 291), der gemäss Art. 13 des Übereinkommens von 1973 subsidiär anwendbar sei, sofern das Übereinkommen nicht etwas anderes bestimme. Nach <ref-law> setzt das schweizerische Gericht das Verfahren aus, wenn eine Klage über denselben Gegenstand zwischen denselben Parteien zuerst im Ausland hängig gemacht worden ist und zu erwarten ist, dass das ausländische Gericht in angemessener Frist eine Entscheidung fällt, die in der Schweiz anerkennbar ist (Abs. 1). Zur Feststellung, wann eine Klage in der Schweiz hängig gemacht worden ist, ist der Zeitpunkt der ersten, für die Klageeinleitung notwendigen Verfahrenshandlung massgebend. Als solche genügt die Einleitung des Sühneverfahrens (Abs. 2). Das schweizerische Gericht weist die Klage zurück, sobald ihm eine ausländische Entscheidung vorgelegt wird, die in der Schweiz anerkannt werden kann (Abs. 3).
3.2 Mit Vollstreckungsabwehrklage oder Vollstreckungsgegenklage nach § 767 DZPO werden rechtsvernichtende oder rechtshemmende Einwendungen gegen den festgestellten Anspruch geltend gemacht. Einwendungen gegenüber Unterhaltsregelungen im Rahmen der Ehescheidung sind Erfüllung, Erlass, Aufrechnung, Abänderung durch Vergleich, Wegfall des Geschiedenenunterhalts durch Wiederverheiratung, Tod des Berechtigten und ähnliche Tatbestände (statt vieler: Rosenberg/Schwab/Gottwald, Zivilprozessrecht, 16.A. München 2004, § 157 N. 16 f. S. 1102 f.).
Im Verhältnis zur Unterhaltsregelung, deren Vollstreckbarkeit zu beurteilen ist, liegt kein gleicher "Gegenstand" vor. Der Tatbestand der Vollstreckungsabwehrklage - hier: die angebliche Herabsetzung oder Aufhebung der Unterhaltsbeitragspflicht durch Vereinbarung - betrifft einen nachträglich eingetretenen neuen Sachverhalt, ähnlich wie bei den Abänderungsklagen, so dass Klageidentität zu verneinen ist (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 270; <ref-ruling> E. I/1b S. 272).
Hingegen kann im Verhältnis zum Gesuch um definitive Rechtsöffnung von demselben "Gegenstand" insofern gesprochen werden, als der Betriebene einwenden kann, dass die Schuld seit Erlass des Urteils getilgt oder gestundet worden ist, oder die Verjährung anruft (vgl. <ref-law>). Wie bei der Vollstreckungsabwehrklage geht es um irgendwelche Gründe (<ref-ruling> E. 3b S. 503, z.B. Tilgung), die nachträglich neu eingetreten sind (<ref-ruling> E. 5b/cc S. 219, z.B. Verjährung) und die Vollstreckung ausschliessen.
3.3 Mit Bezug auf die Vollstreckungsabwehrklage und das Gesuch um definitive Rechtsöffnung könnte sich somit die Frage stellen, welches Verfahren zuerst anhängig gemacht worden ist. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Gesuch um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung datiere vom 9. Juni 2008 (Bst. B/c), so dass die von ihm in Deutschland am 28. April 2008 eingereichte Klage (Bst. B/b hiervor) zuerst hängig gemacht worden sei und das Verfahren in der Schweiz hätte ausgesetzt werden müssen.
Nach <ref-law> gilt unbesehen der Ausgestaltung des kantonalen Verfahrens der Zeitpunkt der ersten, für die Klageeinleitung notwendigen Verfahrenshandlung als massgebend zur Feststellung, wann eine Klage in der Schweiz hängig gemacht worden ist, wobei insbesondere die Einleitung des obligatorischen Sühneverfahrens genügt (vgl. zum Begriff: <ref-ruling> E. 6c S. 426; <ref-ruling> E. 4.3.3 S. 406). Soll das Gesuch um definitive Rechtsöffnung - wie der Beschwerdeführer das verlangt - als "Klage" betrachtet werden, begründet nicht der Tag, an dem das Gesuch eingereicht wird, die Hängigkeit, sondern die erste, für die Gesuchserhebung notwendige Verfahrenshandlung, d.h. das Betreibungsbegehren (<ref-law>) bzw. die nach dessen Empfang erfolgte Zustellung des Zahlungsbefehls (<ref-law>), auf den der Schuldner binnen zehn Tagen Rechtsvorschlag erheben kann (<ref-law>) und dessen Beseitigung der Gläubiger innert gesetzlicher Frist verlangen muss (<ref-law>), will er die Betreibung erfolgreich fortsetzen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 46 f.). Zwischen Betreibungsbegehren bzw. Zustellung des Zahlungsbefehls und Gesuch um Rechtsöffnung besteht in dem Sinne ein Zusammenhang, dass der Gläubiger innert einer Frist nach Einreichung des Betreibungsbegehrens und der Mitteilung des Zahlungsbefehls ein allfälliges Gesuch um Rechtsöffnung stellen muss, um die Verwirkung der Betreibung oder sonstige Rechtsnachteile zu vermeiden (vgl. BGE 74 II 14 E. 1 S. 16 f.). Grundlage der Schuldbetreibung ist denn auch der Zahlungsbefehl, dessen Erlass und Zustellung - nach Empfang des Betreibungsbegehrens - die erste vollstreckungsrechtliche Massnahme bildet (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 10 f.).
Unangefochten steht hier fest, dass das Betreibungsbegehren am 18. April 2008 gestellt und der Zahlungsbefehl dem Beschwerdeführer am 24. April 2008 zugestellt worden ist, die Vollstreckungsabwehrklage gemäss § 767 DZPO aber erst am 28. April 2008 in Deutschland und damit nach Hängigkeit des Verfahrens in der Schweiz eingereicht wurde. Die Voraussetzungen für eine Sistierung des Verfahrens nach <ref-law> sind deshalb nicht erfüllt. Die Beschwerde muss in diesem Punkt abgewiesen werden. Bei diesem Ergebnis ist nicht näher zu erörtern, inwiefern - wie der Beschwerdeführer behauptet - ein Gesuch um Rechtsöffnung vom Begriff der Klage im Sinne von <ref-law> erfasst wird (vgl. Berti, Basler Kommentar, 2007, N. 11 zu <ref-law>, und insbesondere Schwander, Einführung in das internationale Privatrecht, Bd. 1, 3.A. St. Gallen/Lachen 2000, S. 306 f. bei/in Anm. 28).
4. Der Beschwerdeführer wendet gegen die Vollstreckbarerklärung ein, die Unterhaltsregelung gemäss dem amtsgerichtlichen Urteil sei mit Rücksicht auf die hängige Vollstreckungsabwehrklage gemäss § 767 DZPO nicht vollstreckbar. Seine Klage habe als ordentliches Rechtsmittel im Sinne des Übereinkommens von 1973 zu gelten (S. 9 f. Bst. B der Beschwerdeschrift).
4.1 Gemäss Art. 4 Abs. 1 des Übereinkommens von 1973 ist die in einem Vertragsstaat ergangene Entscheidung in einem anderen Vertragsstaat anzuerkennen oder für vollstreckbar zu erklären/zu vollstrecken, "wenn gegen sie im Ursprungsstaat kein ordentliches Rechtsmittel mehr zulässig ist" (Ziff. 2), d.h. wenn sie Rechtskraft erlangt hat. Der Begriff "ordentliches Rechtsmittel" ist in einem technischen Sinn, d.h. als Rechtsbehelf zu verstehen, der den Eintritt der Rechtskraft des angefochtenen Urteils hemmt. Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers gehört dazu nicht jeder Rechtsbehelf, der ein Urteil oder dessen Wirkungen nachträglich zu beseitigen geeignet ist. Vorausgesetzt ist ein Rechtsmittel mit Suspensiveffekt (vgl. STAUDINGER/KROPHOLLER, Kommentar zum Bürgerlichen Gesetzbuch, Berlin 2003, N. 160 f. im Anhang III zu Art. 18 EGBGB; Schwander/Füllemann, in: Internationales Privat- und Verfahrensrecht, Band 2, Erlass Nr. 91, Stand: Februar 2007, N. 23 der Erläuterungen des Übereinkommens von 1973).
4.2 Das Übereinkommen von 1973 ist gemäss Art. 1 nicht nur auf Entscheidungen über Unterhaltspflichten anwendbar (Abs. 1), sondern auch auf Vergleiche (Abs. 2), d.h. auf die Vereinbarung, die zwischen den Parteien vor einer zuständigen Behörde geschlossen wird, um eine Unterhaltsverpflichtung festzulegen, die nicht mehr bestritten wird (vgl. Botschaft des Bundesrates an die Bundesversammlung betreffend das Haager Übereinkommen über die Unterhaltspflichten, BBl 1975 II 1395 S. 1407). Für diese Vergleiche enthält Art. 21 des Übereinkommens von 1973 eine Sonderreglung, wonach die im Ursprungsstaat vollstreckbaren Vergleiche unter denselben Voraussetzungen wie Entscheidungen anzuerkennen und für vollstreckbar zu erklären/zu vollstrecken sind, soweit diese Voraussetzungen auf sie anwendbar sind. Nicht anwendbar ist auf Vergleiche hier die Vollstreckungsvoraussetzung der Rechtskraft, da nach dem massgebenden Recht des Ursprungsstaats (Deutschland) der vor einem Gericht geschlossene Vergleich zwar Vollstreckungstitel ist, aber keine der Rechtskraft ähnliche Wirkung hat, und Mängel des Vergleichs grundsätzlich im bisherigen Rechtsstreit und nicht auf dem Rechtsmittelweg zu beheben sind (vgl. Rosenberg/Schwab/ Gottwald, a.a.O., § 129 N. 26 und N. 27 S. 894 f. sowie N. 48-55 S. 899 f.).
4.3 Die Beschwerdegegnerin hat eine Bestätigung des Amtsgerichts A._ (D) vom 16. Juni 2008 eingereicht, dass es sich bei der zu Protokoll gegebenen Unterhaltsvereinbarung um einen gerichtlich genehmigten Vergleich handelt, der die Parteien rechtlich bindet und einen Vollstreckungstitel darstellt, aus dem unmittelbar die Zwangsvollstreckung betrieben werden kann (Beilage IV/7 im bezirksgerichtlichen Verfahren; vgl. E. 3g S. 13 des angefochtenen Urteils). Die Beschwerdegegnerin hat damit nicht nur ihrer Dokumentationspflicht (Art. 17 Abs. 1 Ziff. 2 des Übereinkommens von 1973) genügt, sondern auch belegt, dass die Entscheidung nach dem hier massgebenden deutschen Recht vollstreckbar ist. Diese Vollstreckbarkeit nach dem Recht des Ursprungsstaates aber genügt (E. 4.2 soeben). Auf die Frage, ob die Vollstreckungsabwehrklage gemäss § 767 DZPO einem ordentlichen Rechtsmittel im Sinne von Art. 4 Abs. 1 Ziff. 2 des Übereinkommens von 1973 gleichzustellen ist, kommt nichts an, abgesehen davon, dass sie die Vollstreckung aus dem Vergleich erst mit der Vollstreckbarkeit des klagegutheissenden Urteils unzulässig machte (vgl. STEIN-JONAS/ MÜNZBERG, Kommentar zur Zivilprozessordnung, 22.A. Tübingen 2002, N. 50 f. zu § 767 DZPO). Von einer Gutheissung seiner Vollstreckungsabwehrklage aber ist der Beschwerdeführer noch weit entfernt. Er hat auch nicht belegt, dass einstweilige oder vorsorgliche Massnahmen angeordnet worden wären, weshalb die Vollstreckung der Unterhaltsansprüche auf Grund des Vergleichs weiterhin zulässig ist (vgl. <ref-ruling> Nr. 45, betreffend vorsorgliche Massnahmen im Abänderungsprozess). Die Beschwerde gegen die Vollstreckbarerklärung des Vergleichs über Unterhaltsleistungen erweist sich in diesem Punkt als unbegründet.
5. Der Beschwerdeführer wendet ein, die Vollstreckbarerklärung verletze den Ordre public, zumal die Unterhaltsregelung nicht abänderbar sein solle und seine heutige Leistungskraft übersteige (S. 10 ff. Bst. C der Beschwerdeschrift).
5.1 Gemäss Art. 5 des Übereinkommens von 1973 darf die Anerkennung oder Vollstreckung der Entscheidung versagt werden, "wenn die Anerkennung oder Vollstreckung mit der öffentlichen Ordnung des Vollstreckungsstaates offensichtlich unvereinbar ist" (Ziff. 1). Der Vorbehalt der öffentlichen Ordnung greift nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung dann Platz, wenn das einheimische Rechtsgefühl durch die Anerkennung und Vollstreckung eines ausländischen Urteils in unerträglicher Weise verletzt würde. Ein Urteil kann dabei sowohl wegen seines materiellen Inhalts wie wegen des Verfahrens, in welchem es zustande kam, gegen die öffentliche Ordnung der Schweiz verstossen. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts sind der Anwendung der Ordre-public-Klausel mit Bezug auf die Vollstreckung ausländischer Urteile engere Grenzen gezogen als im Gebiet der direkten Gesetzesanwendung. Es kommt hinzu, dass das Übereinkommen den Gebrauch des Vorbehalts einschränkt, indem es bestimmt, die Vollstreckung sei zu verweigern, wenn die Entscheidung mit der öffentlichen Ordnung "offensichtlich unvereinbar" ist (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 397 f.; <ref-ruling> E. 6a S. 256 f., zum gleichlautenden Art. 2 Ziff. 5 des Übereinkommens über die Anerkennung und Vollstreckung von Entscheidungen auf dem Gebiet der Unterhaltspflicht gegenüber Kindern, abgeschlossen in Den Haag am 15. April 1958 und für die Schweiz in Kraft getreten am 17. Januar 1965, SR 0.211.221.432).
5.2 Eine offensichtliche Unvereinbarkeit der Unterhaltsregelung und deren Vollstreckung mit dem Ordre public vermag der Beschwerdeführer nicht darzutun. Dass die Parteien in ihrer Vereinbarung eine Abänderung des Unterhaltsbeitrags ausgeschlossen haben, verletzt das einheimische Rechtsgefühl in keiner Weise, gestattet doch <ref-law> den Ehegatten ausdrücklich, in der Vereinbarung die Änderung der darin festgesetzten Rente ganz oder teilweise auszuschliessen. Es kann zwar als zulässig erscheinen, auf eine solche Vereinbarung die sog. "clausula rebus sic stantibus" (<ref-law>) oder das Verbot übermässiger Bindung (<ref-law>) anzuwenden, eine blosse Veränderung der Leistungsfähigkeit jedoch vermag die Vereinbarung in der Regel nicht zu durchbrechen (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 98 f.).
Zur öffentlichen Ordnung gehört, dass bei der Festsetzung der Unterhaltsrente die finanzielle Leistungskraft des Unterhaltsschuldners beachtet werden muss (vgl. <ref-ruling> E. 3 und 5 S. 3 ff.), wie das hier unangefochten der Fall gewesen ist. Eine später eintretende Verminderung der Leistungskraft ist hingegen vorab in der Zwangsvollstreckung zu berücksichtigen, die das Existenzminimum des Unterhaltsschuldners sichert, wie das hier auch geschehen wird, wobei sich der Schuldner einen Eingriff in sein Existenzminimum gefallen lassen muss, wenn er von Familienmitgliedern für Unterhaltsforderungen aus dem letzten Jahr vor der Zustellung des Zahlungsbefehls betrieben wird (vgl. <ref-ruling> Nr. 52; <ref-ruling> E. 3.2 S. 583).
Der Einwand schliesslich, die Beschwerdegegnerin verhalte sich mit ihrer Zwangsvollstreckung aus dem Vergleich vertrags- und damit "ordre public"-widrig, weil sie mit einer Herabsetzung oder Aufhebung des Unterhaltsbeitrags einverstanden gewesen sei, scheitert bereits daran, dass der Beschwerdeführer die angebliche Vereinbarung mit der Beschwerdegegnerin, den im Scheidungsverfahren festgelegten Unterhaltsbeitrag herabzusetzen oder aufzuheben, nicht nachgewiesen hat.
5.3 Insgesamt vermag der Beschwerdeführer aus dem Vorbehalt der öffentlichen Ordnung gemäss Art. 5 Ziff. 1 des Übereinkommens von 1973 nichts zu eigenen Gunsten und damit gegen die Vollstreckbarerklärung der Unterhaltsvereinbarung abzuleiten.
6. Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung wiedererwägungsweise zu entziehen, wird damit gegenstandslos. Es wäre im Übrigen abzuweisen gewesen, zumal die aufschiebende Wirkung zur Aufrechterhaltung des bestehenden Zustandes während des bundesgerichtlichen Verfahrens als gerechtfertigt beurteilt wurde und nicht wegen der Hängigkeit der Vollstreckungsabwehrklage des Beschwerdeführers (vgl. E. 3 hiervor). Das klageabweisende Urteil des Amtsgerichts A._, das die Beschwerdegegnerin nachgereicht hat, ist offenbar auch noch nicht rechtskräftig.
7. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat hingegen keine Parteientschädigung zu bezahlen, da in der Sache keine Vernehmlassung eingeholt wurde und da die Beschwerdegegnerin mit ihrem Antrag, das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen, unterlegen ist und mit dem gegenstandslos gewordenen Wiedererwägungsgesuch unterlegen wäre.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, Kantonsgerichtsausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Dezember 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli von Roten