Sachverhalt:
A. Y._ (geb. 1997) ist der gemeinsame Sohn von X._ sowie der wenige Monate nach der Geburt verstorbenen Z._. Mit Entscheid vom 18. September 2002 wurde für Y._ eine Beistandschaft im Sinne von Art. 325 Abs. 1 und 3 ZGB errichtet. Dem Beistand wurde die Verwaltung des Kindesvermögens übertragen, einschliesslich der Erträge, sofern diese nicht dem Vater zur Verfügung zu stellen seien.
Am 23. November 2003 starb die Grossmutter von Y._, W._. Y._ ist einer der Erben.
Am 1. November 2007 reichte der Beistand von Y._ der Vormundschaftsbehörde A._ einen partiellen Erbteilungsvertrag ein und ersuchte um Zustimmung. Die Vormundschaftsbehörde genehmigte den Vertrag mit Beschluss vom 4. Mai 2009.
Gegen diesen Beschluss erhob X._ am 22. Mai 2009 Beschwerde an den Bezirksrat Bülach und beantragte, der vom Beistand vorgelegte Vertrag sei nicht zu genehmigen und die fällige Erbteilung sei "einer die Interessen des Erbberechtigten [...] wahrenden [...] Lösung zuzuführen". Nachdem der Bezirksrat die Vormundschaftsbehörde zur Vernehmlassung aufgefordert hatte, zog diese ihren Beschluss am 19. April 2010 in Wiedererwägung und hob ihn auf. Sie begründete dies damit, dass die Mitwirkung an der Erbteilung ohnehin nicht dem - nur mit Verwaltungshandlungen betrauten - Beistand obliege, sondern dem sorgerechtsberechtigten Vater; als Folge davon gebe es auch nichts zu genehmigen.
Am 10. Mai 2011 beanstandete X._ beim Bezirksrat, dass seine Beschwerde immer noch nicht behandelt worden sei. Daraufhin stellte der Bezirksrat X._ einen vom 6. Mai 2010 datierenden Beschluss zu, wonach der Bezirksrat das Beschwerdeverfahren unter Hinweis auf den Nichteintretensbeschluss der Vormundschaftsbehörde vom 19. April 2010 abschreibe.
B. Gegen diesen Bezirksratsbeschluss gelangte X._ am 26. September 2011 mit Rekurs an das Obergericht des Kantons Zürich und beantragte im Wesentlichen die Aufhebung des Beschlusses sowie die Rückweisung der Sache an den Bezirksrat Bülach zur materiellen Behandlung der Beschwerde und des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Obergericht nahm den Rekurs als Berufung (im Sinne von Art. 308 i.V.m. <ref-law>/CH) entgegen und wies diese mit Urteil vom 13. Oktober 2011 ab, soweit es darauf eintrat (Urteilsdispositivziffer 1). Gleichzeitig wies es die Verwaltungsbehörden an, durch geeignete Massnahmen sicherzustellen, dass die Interessen von Y._ bei der Erbteilung im Nachlass von W._ nicht verletzt werden (Urteilsdispositivziffer 2).
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 23. November 2011 gelangt X._ (nachfolgend: Beschwerdeführer) an das Bundesgericht . Er beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung zur materiellen Prüfung an den Bezirksrat Bülach, eventualiter an die Vorinstanz, wobei ihm vor der Vorinstanz die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren sei und die bis jetzt mit dem Fall befassten Gerichtspersonen zufolge Befangenheit in den Ausstand zu treten haben.
Des weiteren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege sowie um unentgeltliche Rechtsverbeiständung durch einen patentierten Anwalt für das Verfahren vor Bundesgericht.
Mitunterzeichnet hat die Beschwerdeschrift V._, U._ Consulting, welcher sich als "Bevollmächtigter für die Anhebung der Beschwerde" sowie "für die Einreichung des Gesuchs" (um unentgeltliche Rechtspflege) bezeichnet, selber aber über kein Rechtsanwaltspatent verfügt.
Mit Verfügung vom 28. November 2011 wies die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab. Mit Blick auf weitere prozessualen Anträge des Beschwerdeführers machte sie diesen darauf aufmerksam, dass die Beschwerde nach Ablauf der gesetzlichen (und damit nicht erstreckbaren) Frist nicht mehr ergänzt werden kann (<ref-law>) und die Akten jederzeit - nach gehöriger Voranmeldung bei der Kanzlei - beim Bundesgericht eingesehen werden können.
Mit Eingabe vom 29. Dezember 2011 wandte sich der Beschwerdeführer erneut an das Bundesgericht.
Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassung eingeholt.

Erwägungen:
1. Der Beschwerde in Zivilsachen unterliegen unter anderem Entscheide über die Entmündigung und die Errichtung einer Beirat- oder Beistandschaft (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 BGG). Dasselbe gilt für Entscheide, die im Rahmen einer bereits angeordneten vormundschaftlichen Massnahme ergehen (Urteil 5A_193/2009 vom 24. April 2009 E. 1.1). Die Beschwerde, die eine Zustimmung bzw. Nichtzustimmung der Vormundschaftsbehörde (gemäss <ref-law>) zu einem partiellen Erbteilungsvertrag zum Gegenstand hat, ist demnach grundsätzlich zulässig, zumal das Obergericht als letzte kantonale Instanz einen Endentscheid gefällt hat (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Ob es sich um eine vermögensrechtliche Streitigkeit handelt oder nicht, kann offen bleiben, da die Streitwertgrenze ohnehin überschritten wäre. Für eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt vorliegend kein Raum (<ref-law>).
2. Zur Beschwerde in Zivilsachen ist nur berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (<ref-law>).
Anfechtungsobjekt der vorliegenden Beschwerde ist ein Urteil, in welchem (soweit darauf einzutreten war) eine Berufung abgewiesen wurde, die sich gegen einen Beschluss des Bezirksrates Bülach vom 6. Mai 2010 richtete (s. oben Sachverhalt B), in welchem das vom Beschwerdeführer initiierte Beschwerdeverfahren abgeschrieben wurde, und zwar weil die Vormundschaftsbehörde A._ im Zuge einer Wiedererwägung auf ihren Genehmigungsentscheid zurückkam und auf das Ersuchen um Genehmigung des partiellen Erbteilungsvertrags - mangels Genehmigungsbedürftigkeit - nicht eintrat (s. oben Sachverhalt A).
Im erwähnten Beschwerdeverfahren an den Bezirksrat hatte der Beschwerdeführer beantragt, der vom Beistand eingereichte partielle Erbteilungsvertrag sei nicht zu genehmigen und die Erbteilung "einer die Interessen der Erbberechtigten [...] wahrenden [...] Lösung zuzuführen".
Konsequenz des Nichteintretensentscheids der Vormundschaftsbehörde A._ war, dass - wie vom Beschwerdeführer beantragt - auch keine Genehmigung erfolgte. Den daraus resultierenden Abschreibungsbeschluss des Bezirksrates bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich, indem es einerseits die dagegen erhobene Berufung (soweit darauf einzutreten war) abwies (Urteilsdispositivziffer 1), andererseits die Verwaltungsbehörden anwies, "durch geeignete Massnahmen sicherzustellen, dass die Interessen von Y._ bei der Erbteilung im Nachlass von W._ nicht verletzt werden" (Urteilsdispositivziffer 2).
Vor diesem Hintergrund hätte der Beschwerdeführer aufzeigen müssen, inwiefern noch ein aktuelles Rechtsschutzinteresse besteht. Dazu macht der Beschwerdeführer indes keinerlei Ausführungen und ein Rechtsschutzinteresse ist im Übrigen auch nicht ersichtlich. Auf die Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden.
3. 3.1 Des Weiteren beantragt der Beschwerdeführer eine öffentliche Urteilsberatung im Sinne von Art. 58 i.V.m. 59 BGG. Einem Beschwerdeführer kommt kein Anspruch auf eine öffentliche Urteilsberatung zu. Im Übrigen erfolgt eine öffentliche Urteilsberatung nur auf Anordnung der Abteilungspräsidentin, auf Antrag eines Richters oder wenn sich keine Einstimmigkeit ergibt; ist, wie vorliegend, keine dieser Voraussetzungen erfüllt, wird auf dem Weg der Aktenzirkulation entschieden (<ref-law>).
3.2 In Zivil- und Strafsachen sind vor Bundesgericht nur Anwälte zur Vertretung zugelassen, die nach dem Bundesgesetz vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) oder nach einem Staatsvertrag berechtigt sind, Parteien vor schweizerischen Gerichtsbehörden zu vertreten (<ref-law>).
Der Vertreter des Beschwerdeführers erfüllt diese Voraussetzung nicht, wie ihm bereits mit Urteil 5A_677/2008 vom 16. Oktober 2008 erläutert wurde. Da der Beschwerdeführer die Beschwerdeschrift allerdings ebenfalls unterzeichnet hat, kann diese vorliegend noch einmal als vom Beschwerdeführer selbst stammend entgegengenommen werden.
3.3 Eine Ergänzung der Beschwerde nach Ablauf der gesetzlichen und damit nicht erstreckbaren Beschwerdefrist ist ausgeschlossen (<ref-law>), zumal auch kein Fall von <ref-law> vorliegt. Die Eingabe vom 29. Dezember 2011 des Beschwerdeführers bleibt daher unbeachtlich.
4. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Wie den vorstehenden Ausführungen entnommen werden kann, konnte der Beschwerde von Beginn weg kein Erfolg beschieden sein, weshalb es an einer materiellen Voraussetzung für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (<ref-law>) und das Gesuch entsprechend abzuweisen ist.
Der Beschwerdeführer verlangt, dass im Falle der Abweisung der unentgeltlichen Rechtspflege der entsprechende Entscheid vorgängig, also vor dem Endurteil zu erlassen sei. Ein solcher Anspruch steht dem Beschwerdeführer nicht zu (BERNARD CORBOZ, in: Commentaire der la LTF, 2009, N. 67 zu <ref-law>), und es wurde ihm im Übrigen bereits mit Verfügung vom 28. November 2011 mitgeteilt, dass über sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege erst später entschieden werde.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege des Beschwerdeführers wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Vormundschaftsbehörde A._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Januar 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Schwander