Faits:
A.
A.a. A._ et la société B._ Sàrl ont requis le 19 septembre 2012 une licence pour ouvrir à Lausanne une discothèque à l'enseigne " C._ ", située dans le quartier historique de la Cité, établissement qui était exploité jusqu'au 31 août 2012 à l'enseigne " D._ ". Les intéressés sont par ailleurs au bénéfice d'une licence pour le restaurant " E._ ", séparé de la discothèque par une terrasse.
A.b. Par décision du 19 octobre 2012, la Municipalité de Lausanne (ci-après: la Municipalité) a subordonné l'octroi de la licence requise à plusieurs conditions, notamment:
de fixer, en application des art. 77 RPGA et 9 RME, l'horaire de la discothèque exploitée à l'enseigne " C._ " par B._ SARL (exploitant) et par M. A._ (exerçant) de la manière suivante:
du dimanche au mercredi de 17h00 à 01h00
le jeudi de 17h00 à 02h00
les vendredis et samedis de 17h00 à 03h00,
et d'exclure toute possibilité de prolongation de l'horaire au sens de l'art. 6 RME.
Le 2 novembre 2012, la Police cantonale du commerce, rattachée au Service de la promotion économique et du commerce (ci-après: Le Service cantonal) a délivré aux intéressés une licence pour l'exploitation de la discothèque " C._ ", qui reprend les horaires d'ouverture tels qu'ils résultent de la décision du 19 octobre 2012 de la Municipalité, sans prolongation possible.
A.c. Le 21 novembre 2012, A._ et B._ Sàrl ont recouru contre la décision de la Municipalité du 19 octobre 2012 et celle du Service cantonal du 2 novembre 2012 auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal (ci-après: le Tribunal cantonal). Ils ont conclu en particulier à la réforme des décisions attaquées en ce sens que l'horaire d'ouverture soit fixé à 04h00 chaque jour, avec possibilité de fermeture à 05h00 moyennant le paiement d'une taxe.
Lors de l'inspection locale mise en oeuvre au cours de l'instruction par le Tribunal cantonal, les représentants de la Municipalité ont indiqué vouloir appliquer les mêmes horaires d'ouverture que ceux qui étaient imposés à la discothèque « C._ », sans prolongation possible, à tous les établissements de nuit des secteurs à habitat prépondérant de la ville lors de chaque changement nécessitant la délivrance d'une nouvelle licence, en particulier lors d'un changement de titulaire.
B.
Par arrêt du 26 août 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de A._ et de B._ Sàrl et confirmé la décision de la Municipalité du 19 octobre 2012 et celle du Service cantonal du 2 novembre 2012.
C.
Contre l'arrêt du 26 août 2006, A._ et B._ Sàrl forment un recours en matière de droit public devant le Tribunal fédéral. Ils concluent principalement, sous suite de frais et dépens, à la réforme de la décision du 19 octobre 2012 en ce sens que les horaires d'ouverture de la discothèque " C._ " soient fixés à 03h00 chaque jour, avec possibilité de fermeture à 05h00, ladite décision étant maintenue pour le surplus et la licence délivrée par le Service cantonal étant modifiée en conséquence. Subsidiairement, ils concluent à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale et communale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Ils concluent dans les deux cas à l'allocation de dépens de première instance.
La Municipalité de Lausanne conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Le Service cantonal conclut au rejet du recours. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de l'arrêt attaqué.

Considérant en droit:
1.
1.1. La décision attaquée porte sur les horaires d'ouverture d'une discothèque en application d'une disposition réglementaire de la commune de Lausanne. Il s'agit par conséquent d'une cause de droit public au sens de l'<ref-law>. Formé contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le présent recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public au sens des <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Les recourants étaient parties à la procédure devant le Tribunal cantonal, ils sont directement touchés par la décision attaquée, qui revient à subordonner la licence d'exploitation de la discothèque à des heures d'ouverture contestées, de sorte qu'ils ont un intérêt digne de protection à son annulation ou sa modification (<ref-law>).
1.2. Au surplus, déposé en temps utile (cf. <ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (cf. <ref-law>), le présent recours est en principe recevable, sous réserve des conclusions visant la décision de la Municipalité du 19 octobre 2012; en effet, au regard de l'effet dévolutif du recours au Tribunal cantonal, seul le prononcé de ce dernier est susceptible de faire l'objet du recours au Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 543; arrêt 2C_41/2013 du 16 mai 2013 consid. 1.1).
2.
Le Tribunal fédéral applique le droit fédéral d'office (<ref-law>). Sous réserve de cas non réalisés en l'espèce (art. 95 let. c et d LTF), le Tribunal fédéral ne revoit pas le droit cantonal (ni a fortiori le droit communal) en tant que tel, à moins que son application ne se révèle contraire au droit fédéral, qui comprend le droit constitutionnel (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'examine toutefois pas cette question d'office, mais uniquement si le grief est soulevé et dûment motivé par le recourant (<ref-law>). Celui-ci doit énoncer le droit ou principe constitutionnel violé et exposer de manière claire et circonstanciée en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 2.2. p. 246).
3.
3.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus par l'<ref-law>. Il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). S'il entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> sont réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergeant de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. Les faits et les critiques invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 3 p. 104). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
3.2. Les recourants perdent de vue ces règles. Ils consacrent ainsi près de la moitié de leur mémoire de recours à une partie « Faits » qui contient, mêlée à des arguments juridiques, une présentation de leur propre version des événements sous la forme d'allégués, parfois accompagnés d'offres de preuve, et font également référence à des faits non constatés dans l'arrêt attaqué dans leur partie « Droit », sans indiquer ni a fortiori démontrer en quoi cet acte serait manifestement inexact ou arbitraire. Partant, la Cour de céans se fondera exclusivement sur les faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt attaqué et sans prendre en considération les pièces nouvelles produites par les recourants.
4.
Les recourants se plaignent en premier lieu d'une violation de la liberté économique garantie aux art. 27 Cst. et 26 de la Constitution vaudoise.
4.1. Ils ne soutiennent pas que la disposition constitutionnelle cantonale aurait une portée plus large que celle de l'art. 27 Cst., de sorte que les griefs soulevés seront exclusivement examinés à la lumière des principes déduits de l'art. 27 Cst.
4.2. Invocable tant par les personnes physiques que morales, la liberté économique protège toute activité économique privée, exercée à titre professionnel et tendant à la production d'un gain ou d'un revenu (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 172; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 135; arrêt 4C_2/2013 du 10 juillet 2013 consid. 3.1). Elle comprend notamment le libre choix de la profession, le libre accès à une activité économique lucrative privée et son libre exercice (art. 27 al. 2 Cst.). En tant qu'elle subordonne la licence d'exploitation de la discothèque des recourants au respect d'heures d'ouverture, la mesure litigieuse porte atteinte à leur liberté économique garantie par l'art. 27 Cst. (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 172 ; arrêt 2C_1017/2011 du 8 mai 2012 consid. 5.1). Il faut donc examiner si la restriction en cause remplit les conditions de l'art. 36 Cst., étant rappelé que le Tribunal fédéral s'impose une certaine retenue lorsqu'il s'agit d'apprécier des circonstances locales dont les autorités cantonales ont une meilleure connaissance que lui (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 182 ; arrêt 2C_1017/2011 du 8 mai 2012 consid. 5.1).
4.3. Les recourants soutiennent d'abord que la décision du Tribunal cantonal viole la liberté économique en tant qu'elle impose à la discothèque " C._ " de fermer plus tôt que les autres établissements concurrents. Dans la mesure où les recourants se plaignent ici d'une inégalité de traitement, ce grief sera traité en relation avec celui que les recourants tirent de l'art. 8 Cst. (cf. infra consid. 8).
4.4. Les recourants contestent ensuite l'appréciation du Tribunal cantonal, pour qui la mesure prise par la Municipalité ne représente pas une atteinte grave à la liberté économique.
En l'espèce, on ne peut reprocher au Tribunal cantonal d'avoir considéré que l'institution d'horaires de fermeture à 01h00 (du dimanche au mercredi), 02h00 (jeudi) et 03h00 (les vendredis et samedis) ne constituait pas une atteinte grave à la liberté économique des recourants. En effet, la discothèque peut ouvrir et ces horaires ne peuvent être assimilés à un ordre de fermeture matériel, comme le soutiennent les recourants, d'autant moins que l'heure de police ordinaire est de 04h00 selon l'art. 5 al. 1 du règlement sur les établissements et les manifestations du 17 août 2011 (ci-après : RME) et que cette heure de police ordinaire a été ramenée à 03h00 suite à une modification de cette disposition adoptée par la Municipalité le 21 mars 2013. L'arrêt attaqué retient par ailleurs qu'une autre discothèque située dans le quartier de la Cité a des horaires d'exploitation identiques à ceux de " C._ " sans rencontrer les difficultés économiques que les recourants redoutent. Le grief doit donc être rejeté sur ce point. Dès lors que la réduction des horaires contestée ne porte pas une atteinte grave à la liberté économique des recourants, le Tribunal fédéral n'examinera l'interprétation et l'application du droit cantonal que sous l'angle de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2b p. 329; arrêt 2C_378/2008 du 20 février 2009 consid. 3.1).
4.5. Les recourants contestent également que la décision de la Municipalité du 19 octobre 2012 repose sur une base légale valable, comme l'a retenu l'arrêt attaqué. Cette mesure représenterait un changement d'affectation au sens du droit de l'aménagement du territoire, fondé sur l'art. 77 du Plan général d'affectation de la ville de Lausanne et son règlement du 26 juin 2006 (ci-après: RPGA). Or, cette disposition ne saurait constituer une base légale valable qui autoriserait la Municipalité à procéder à un tel changement.
4.5.1. L'art. 77 RPGA prévoit que, lorsque les établissements publics et ceux qui y sont assimilés sont susceptibles de provoquer des inconvénients appréciables dans les secteurs où l'habitat est prépondérant, la Municipalité peut imposer des restrictions d'usage ou les interdire. Cette disposition relève du domaine de l'aménagement du territoire et des constructions, mais elle n'exclut pas l'adoption de mesures de police en vue de protéger l'ordre et la tranquillité publics. Or, le présent litige s'inscrit dans le contexte de la police des établissements publics, domaine régi en premier lieu par le règlement municipal lausannois sur les établissements et les manifestations du 17 août 2011 (ci-après : RME). La décision du 19 octobre 2012 de la Municipalité se fonde d'ailleurs également sur l'art. 9 RME.
4.5.2. Le RME a été adopté par la Municipalité en vertu de la délégation du Conseil communal de Lausanne (cf. art. 117 du règlement général de police de la commune de Lausanne du 27 novembre 2001). La compétence des communes vaudoises en matière d'horaires d'exploitation des établissements publics découle de l'art. 22 al. 1 de la loi vaudoise du 26 mars 2002 sur les auberges et les débits de boissons (LADB; RSV 935.1), qui précise que le règlement communal « peut opérer une distinction entre les différents types d'établissements et les différentes zones ou quartiers de la commune. Il peut aussi fixer des conditions particulières visant à protéger les riverains des nuisances excessives ».
4.5.3. L'art. 9 RME traite des restrictions d'horaire et des refus de prolongations d'horaire. Il prévoit, en substance, que la direction [en charge de la police du commerce] peut imposer des horaires plus restreints que ceux qui sont définis pour les établissements publics ou refuser des prolongations d'horaire notamment lorsque ces établissements sont susceptibles de provoquer des inconvénients appréciables dans les secteurs où l'habitat est prépondérant (cf. art. 9 alinéa 1 let. a RME). Concernant en particulier les établissements de nuit tels que les discothèques, l'art. 9 RME confère ainsi la compétence à la direction en charge de la police du commerce d'imposer une heure de fermeture avancée par rapport à l'heure de police ordinaire de 04h00 (actuellement de 03h00) qui leur est applicable (cf. art. 5 al. 1 RME).
4.5.4. Il découle de ce qui précède que l'art. 22 LADB constitue une clause de délégation qui permet aux communes de prendre des mesures pour protéger les riverains. Cette disposition constitue une base légale suffisante pour justifier une limitation réglementaire des horaires d'ouverture des établissements publics. L'art. 9 RME est également une base légale suffisante pour conférer à la police du commerce compétence de restreindre les horaires ordinaires de police pour tenir compte des conditions locales; à cet égard, la fixation d'heures de fermeture à 01h00 du dimanche au mercredi, à 02h00 le jeudi et à 03h00 les vendredi et samedi dans un quartier à habitat prépondérant ne procède pas d'un abus du pouvoir d'appréciation de cette autorité, d'autant moins que l'heure de police ordinaire est désormais fixée à 03h00; cf. consid. 4.4 ci-dessus). L'on ne voit donc pas en quoi il serait arbitraire de considérer que la mesure litigieuse ne reposerait pas sur une base légale suffisante dans le droit cantonal, d'autant moins qu'elle ne constitue pas une atteinte grave à la liberté économique (cf. ci-dessus consid. 4.4). On ne voit pas davantage en quoi l'art. 77 RPGA l'exclurait. Le grief des recourants est donc également rejeté sur ce point.
4.6. Les recourants contestent que la décision de la Municipalité du 19 octobre 2012 réponde à un intérêt public, comme l'a retenu le Tribunal cantonal. Elle représenterait au contraire selon eux une mesure de politique économique proscrite.
Le Tribunal fédéral examine librement si une mesure qui porte atteinte à la liberté économique répond à un intérêt public (cf. <ref-ruling> consid. 2b p. 329; arrêt 2C_378/2008 du 20 février 2009 consid. 3.1). Sous l'angle de l'intérêt public, sont autorisées les mesures de police ou de politique sociale, de même que les mesures dictées par la réalisation d'autres intérêts publics, à l'exclusion notamment des mesures de politique économique (<ref-ruling> consid. 3.6 p. 175; arrêt 2C_1017/2011 du 8 mai 2012 consid. 5.3). De jurisprudence constante, les cantons, respectivement les communes, sont autorisés à prendre des mesures en matière d'heures de fermeture dans un but de tranquillité publique, le législateur cantonal ou communal jouissant à cet égard d'un large pouvoir d'appréciation (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 284; arrêt 2C_378/2008 du 20 février 2009 consid. 3.2 et les références citées).
En l'espèce, force est de constater que la mesure de limitation des horaires d'ouverture de l'établissement " C._ " répond à un intérêt public, les prescriptions concernant la fermeture nocturne ou dominicale des commerces constituant des mesures de police propres à assurer la tranquillité publique et à garantir à la population des plages de repos. Le Tribunal cantonal a en outre retenu, sans que cela ne soit sérieusement contesté par les recourants, que le quartier de la Cité où est située la discothèque " C._ " est principalement vouée à l'habitation, quand bien même il comprend des établissements publics, des bureaux et des commerces. Il ressort en outre de l'arrêt attaqué que des interventions de police liées aux établissements publics ont eu lieu dans ce quartier, certaines en lien avec la discothèque " C._ ", qui ont abouti au constat de dépassement du volume sonore ou de la capacité d'accueil autorisés.
4.7. Au vu de ce qui précède, le grief de violation de la liberté économique doit être rejeté.
5.
Les recourants invoquent ensuite une violation de la garantie de la propriété (art. 26 Cst. et art. 25 de la Constitution vaudoise) en tant que la mesure consacrerait une violation du droit à la protection de la situation acquise. Ils invoquent à cet égard deux arrêts du Tribunal fédéral (<ref-ruling> et l'arrêt " 1P.192/193 " [recte: arrêt 1P.193/2000 du 6 septembre 2000], qui traitent de la protection de la situation acquise en droit public des constructions), ainsi que l'art. 80 de la loi vaudoise sur l'aménagement du territoire et les constructions (LATC; RSV 700.11). Dans une argumentation confuse à la limite de la recevabilité (<ref-law>), il semble que les recourants reprochent à la mesure litigieuse d'avoir péjoré les conditions d'exploitation de l'établissement exploité à l'enseigne " C._ " alors qu'en 1999, la zone dans laquelle il est situé aurait été classée avec un degré de sensibilité au bruit correspondant à des activités moyennement gênantes. Ils ajoutent que le quartier de la Cité serait un quartier sans problème particulier et que " C._ " ne générerait aucune nuisance concrète, de sorte qu'il ne pourrait se voir imposer une limitation de ses horaires d'ouverture sans violation de la garantie de la propriété, faute d'intérêt public.
5.1. Les recourants se fondent sur des faits non constatés dans l'arrêt attaqué, qui ne peuvent être pris en considération par le Tribunal fédéral (<ref-law>). Le Tribunal cantonal retient au contraire que la police a dû intervenir à une trentaine de reprises dans le quartier où est située la discothèque des recourants, dont treize fois en lien avec la discothèque " C._ " et le " E._ " entre le 5 octobre 2012 et le 5 février 2013, et que cette discothèque a encore fait l'objet d'interventions de la police en mai et en juin 2013.
5.2. Le Tribunal fédéral admet que la protection des droits acquis peut découler aussi bien de la garantie de la propriété que du principe de la bonne foi, selon que sont en cause, dans les relations juridiques considérées, la réglementation de droits réels ou des rapports de confiance entre l'administré et l'Etat (<ref-ruling> consid. 10a p. 125).
5.3. En l'espèce, la décision attaquée relève du régime d'autorisation des établissements publics. Or, la délivrance d'une autorisation de police ne bénéficie pas d'une protection de la situation acquise (cf. THIERRY TANQUEREL, Manuel de droit administratif, 2011, p. 257 n° 761); il en va a fortiori de même lorsqu'il s'agit non pas de la modification d'une licence d'exploitation existante, mais d'une nouvelle licence d'exploitation accordée à un nouvel exploitant, pour laquelle l'autorité doit examiner ou réexaminer toutes les conditions d'exploitation.
Le grief lié à une atteinte à la situation acquise, qu'il découle du droit de la propriété ou de la protection de la bonne foi, est en conséquence infondé et doit être rejeté.
6.
Les recourants allèguent que l'arrêt attaqué consacre une application arbitraire de l'art. 77 RPGA. Ils soutiennent, d'une part, que l'application de cette disposition à la discothèque " C._ " créerait une distorsion de concurrence par rapport aux autres établissements de nuit de la commune et que, d'autre part, le classement par la Municipalité des quartiers réputés être à habitat prépondérant ne reposerait sur aucun critère objectif, ces derniers n'étant pas plus peuplés que les autres, à l'exception des quartiers du Flon et de Saint-Pierre. Le classement du quartier de la Cité comme zone à habitat prépondérant heurterait le sentiment de la justice, l'établissement exploité par les recourants étant pour ce motif privé des horaires d'ouverture habituels accordés aux établissements de nuit.
6.1. Une décision est arbitraire lorsqu'elle contredit clairement la situation de fait, lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Ainsi, pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; il faut encore que cette décision soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51 et les arrêts cités). S'agissant de l'application du droit cantonal, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité de dernière instance cantonale que si la décision attaquée apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 61).
6.2. Comme déjà mentionné, (cf. supra consid. 4.5.1), l'art. 77 RPGA permet à la commune de restreindre l'exploitation des établissements publics dans certains secteurs. Il en découle que les autorités communales sont fondées à diviser la commune en différentes zones pour concentrer les activités nocturnes dans certains secteurs et elles jouissent d'un très large pouvoir d'appréciation à cet égard (cf. arrêt 2C_378/2008 du 20 février 2009 spécialement consid. 3.3.3 concernant la règlementation de la commune de Coire en matière d'heures d'ouverture des établissements publics, qui prévoyait des heures de fermeture différentes selon les quartiers de la ville). La Municipalité peut donc sans arbitraire limiter l'activité nocturne principale à certains quartiers de la commune. Il ressort de l'arrêt attaqué que les quartiers du Flon et de Saint-Pierre sont ceux où l'activité nocturne est la plus dense, sans que les recourants ne démontrent que cette appréciation serait insoutenable, pas plus qu'ils ne démontrent en quoi il serait arbitraire de considérer que le quartier de la Cité est un secteur à habitat prépondérant, l'arrêt attaqué retenant au contraire que de nombreux logements existent à proximité immédiate de la discothèque des recourants, que dix logements sont situés dans le bâtiment même où se trouve cet établissement public et que le quartier de la Cité comptait plus de 800 habitants au 5 février 2013. Le grief tiré d'une application arbitraire de l'art. 77 RPGA est donc infondé et doit être rejeté.
7.
Les recourants invoquent aussi une violation du principe de primauté du droit fédéral (art. 49 Cst.). Ils soutiennent que depuis l'entrée en vigueur de la loi fédérale sur la protection de l'environnement (LPE; RS 814.01), les règlements de police relatifs aux heures d'ouverture d'établissements publics n'auraient plus de portée propre, mais représenteraient de simples règles d'exécution du droit fédéral. La discothèque « C._ » respectant les dispositions de la LPE, la mesure litigieuse aurait créé de nouvelles exigences de prévention du bruit en violation de la LPE, ce qui constituerait la violation constitutionnelle susmentionnée.
7.1. Contrairement à ce que pensent les recourants, avec l'entrée en vigueur de la législation fédérale sur la protection de l'environnement, le droit cantonal relatif à la protection contre les immissions a certes perdu son caractère autonome lorsque son contenu matériel correspond au droit fédéral ou va moins loin que celui-ci, mais il l'a conservé là où le droit cantonal complète les normes fédérales ou les renforce. Les dispositions fédérales sur la protection contre le bruit n'excluent ainsi pas l'application de prescriptions cantonales (ou communales) destinées à protéger le repos nocturne ou dominical ou d'autres valeurs dites de police (arrêts 2C_1017/2011 du 8 mai 2012 consid. 4.4; 2C_378/2008 du 20 février 2009 consid. 3.2).
7.2. Le grief tiré de la violation du principe de primauté de droit fédéral est donc infondé.
8.
Les recourants font finalement valoir que la mesure constitue une violation du principe de l'égalité de traitement (art. 8 Cst.) par rapport aux autres établissements de nuit de la commune, qui peuvent presque tous fermer leurs portes quotidiennement à 05h00, et que la limitation imposée à la discothèque « C._ » serait d'autant plus injustifiée que l'établissement se situe dans un quartier moins densément habité et moins animé que d'autres. La mesure constituerait également une violation de la liberté économique à cet égard (art. 27 Cst.).
8.1. Une décision viole le principe de l'égalité de traitement consacré à l'art. 8 al. 1 Cst. lorsqu'elle établit des distinctions juridiques qui ne se justifient par aucun motif raisonnable au regard de la situation de fait à réglementer ou qu'elle omet de faire des distinctions qui s'imposent au vu des circonstances, c'est-à-dire lorsque ce qui est semblable n'est pas traité de manière identique et ce qui est dissemblable ne l'est pas de manière différente (<ref-ruling> consid.4.4 p. 68; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 304; <ref-ruling> consid. 9.1 p. 42 et la jurisprudence citée). Les situations comparées ne doivent pas nécessairement être identiques en tous points, mais leur similitude doit être établie en ce qui concerne les éléments de fait pertinents pour la décision à prendre (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 125; <ref-ruling> consid. 2b/aa p. 4; <ref-ruling> consid. 6a p. 7 et la jurisprudence citée).
8.2. En affirmant que presque tous les autres établissements de nuit peuvent quotidiennement fermer à 05h00 et que le quartier serait moins habité et moins animé que d'autres, les recourants évoquent des faits qui ne sont pas constatés par l'arrêt attaqué, de sorte que le Tribunal fédéral ne peut en tenir compte.
8.3. Sur le principe, le fait d'opérer des distinctions dans les horaires de fermeture des établissements publics selon leur localisation est admissible (cf. consid. 6.2 ci-dessus). A cet égard, l'arrêt attaqué retient que la Municipalité souhaite interdire l'ouverture de nouveaux établissements publics et restreindre les horaires d'exploitation des établissements existants dans les secteurs à habitat prépondérant de la ville; le quartier de la Cité, où est située la discothèque " C._ ", ainsi que trois autres secteurs de la ville ont été qualifiés de secteurs à habitat prépondérant à cet effet.
Il ressort de l'arrêt attaqué que des horaires identiques à ceux imposés à la discothèque des recourants ont vocation à s'appliquer à toutes les discothèques situées dans des secteurs à habitat prépondérant, mais seulement en cas de changement nécessitant la délivrance d'une nouvelle licence, en particulier lors d'un changement de titulaire. Cette mesure a déjà été appliquée à plusieurs établissements situés dans un des quatre secteurs à habitat prépondérant et a même été imposée à un établissement de nuit situé dans un quartier ne se trouvant pas dans l'un de ces secteurs, mais qui constitue néanmoins une zone d'habitation selon la Municipalité. Des horaires identiques à ceux de " C._ " s'appliquent en particulier au " F._ ", situé dans le quartier de la Cité, depuis que cet établissement, auparavant un pub, a demandé l'autorisation de devenir une discothèque; en revanche, le " G._ ", une autre discothèque du quartier de la Cité, peut encore obtenir une prolongation d'horaire jusqu'à 05h00 les vendredi et samedi, faute de changement dans les circonstances requérant la sollicitation d'une nouvelle licence d'exploitation.
8.4. Il ressort de ce qui précède que si des horaires identiques à ceux imposés à C._ s'appliquent déjà à d'autres établissements de nuit, qu'ils soient situés à la Cité, dans d'autres secteurs réputés être à habitat prépondérant voire même dans d'autres zones d'habitation de la ville de Lausanne, certains établissements de nuit bénéficient encore de l'ancien système d'horaires avec prolongations possibles, puisque la Municipalité attend, pour imposer ces nouveaux horaires, qu'un établissement de nuit requière une nouvelle licence d'exploitation. Dans la mesure où ce système distingue entre les établissements au bénéfice d'une ancienne autorisation et les établissements au bénéfice d'une nouvelle autorisation, il envisage différemment deux situations distinctes, ce qui exclut une inégalité de traitement. Cependant, il n'est admissible que dans la mesure où la différence de traitement n'est que transitoire. En effet, passé un certain temps, la distinction entre nouveaux et anciens établissements s'estompe, de sorte que le maintien de la situation privilégiée des anciens établissements ne saurait se justifier à long terme, ce d'autant qu'il n'y a pas de protection de la situation acquise en lien avec une autorisation de police (cf. supra consid. 5.4). En l'espèce, selon les faits retenus, le changement imposé à la recourante en lien avec l'octroi d'une nouvelle licence a déjà été appliqué à d'autres établissements dans la même situation. En outre, la recourante ne peut pas encore être assimilée à un ancien établissement, de sorte qu'elle ne peut en l'état se plaindre d'une différence de traitement par rapport au " G._ ". Le grief de violation de l'égalité de traitement est donc rejeté.
9.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Compte tenu de l'issue, les frais judiciaires seront mis à la charge des recourants solidairement entre eux (art. 66 al. 1 et 5 LTF).
9.1. La commune demande l'allocation de dépens par exception à la règle de l'<ref-law> et en application de l'art. 55 al. 3 de la loi vaudoise sur la procédure administrative (LPA; RSV 173.36), au motif qu'il serait illogique que la municipalité puisse recourir aux services d'un avocat en procédure cantonale et pas en procédure fédérale.
La Municipalité perd de vue que la question des dépens relève de la seule législation de procédure applicable à la cause (<ref-ruling> consid. 7 p. 119; <ref-ruling> consid. 1 p. 13), soit en l'espèce de l'<ref-law>. Il ressort du texte de cette disposition que le refus d'octroyer des dépens à une collectivité publique telle qu'une commune est une règle générale et qu'il n'est possible d'y déroger qu'exceptionnellement, lorsque la partie adverse a procédé de manière téméraire, abusive ou quérulente ( BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2009, n° 30 ad <ref-law>). Tel n'est toutefois pas le cas en l'espèce, en dépit des critiques que l'on peut formuler à l'encontre du contenu du recours. En outre, la pratique qui prévalait sous l'empire de la loi fédérale d'organisation judiciaire du 16 décembre 1943 (OJ), selon laquelle le Tribunal fédéral allouait des dépens aux collectivités publiques dans la mesure où elles ne disposaient pas en raison de leur taille d'une infrastructure administrative et juridique suffisante pour procéder sans l'assistance d'un avocat - ce qui n'est au demeurant pas le cas d'une commune comme Lausanne - , a été abandonnée dans le cadre du recours en matière de droit public (<ref-ruling> consid. 7 p. 119 et les arrêts cités).
Au vu de ce qui précède, la requête de la Municipalité doit donc être rejetée. Il ne sera pas alloué de dépens, conformément à l'<ref-law>.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge des recourants, solidairement entre eux.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des recourants et de la Municipalité de Lausanne, au Département de l'économie du canton de Vaud et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 18 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Vuadens