Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) ist der Vater von B._, geboren 1999. B._ steht unter der alleinigen elterlichen Sorge ihrer Mutter und wird beim Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst (KJPD) des Kantons Solothurn medizinisch behandelt. Mit der Behandlung ist der Beschwerdeführer nicht einverstanden. Er gelangte mit seinen Anliegen an die betreuende Psychotherapeutin, die zuständigen leitenden Ärzte und an die Chefärztin des Departements Kinder- und Jugendpsychiatrie.
B.
B.a. Auf Gefährdungsmeldung des KJPD vom 3. März 2014 hin eröffnete die KESB Region Solothurn ein Verfahren zur Prüfung von Kindesschutzmassnahmen. Sie beauftragte den Sozialdienst mit der Abklärung und teilte die Anordnung dem Beschwerdeführer und der Kindsmutter mit (Verfügungen vom 16./17. April 2014).
B.b. Mit Schreiben vom 18. April 2014 erstattete der Beschwerdeführer der KESB ebenfalls eine Gefährdungsmeldung. Er ersuchte gleichzeitig um unentgeltliche Rechtspflege. Die KESB, namentlich das Behördenmitglied C._, und der Beschwerdeführer blieben in Kontakt (Telefonanrufe, E-Mails und Briefe). Der Beschwerdeführer verlangte wiederholt vollumfängliche Akteneinsicht.
B.c. Der Abklärungsbericht vom 26. Juni 2014 ergab, dass keine Kindesschutzmassnahmen erforderlich sind. Die KESB stellte den Bericht dem Beschwerdeführer zu und ersuchte ihn um Mitteilung, ob er an seiner Gefährdungsmeldung festhalte, und bejahendenfalls um eine schriftliche Schilderung, worin er die Gefährdung sehe. Daraufhin werde geprüft, wie abgeklärt werden könne, ob eine Gefährdung gegeben sei, die mittels Kindesschutzmassnahmen behoben werden könne (Schreiben vom 30. Juli 2014).
B.d. Ein erster Zusatz des Beschwerdeführers zu seiner Gefährdungsmeldung datiert vom 31. Juli 2014.
B.e. Mit Entscheid vom 14. August 2014 wies die KESB das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ab, soweit darauf einzutreten war. Es verfügte, dass Kopien sämtlicher Akten an den Beschwerdeführer gingen.
C.
Der Beschwerdeführer gelangte dagegen am 4. September 2014 an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit den Begehren, es sei sein Gesuch im richtigen Zusammenhang mit seiner Meldung vom 18. April 2014 zu behandeln, er stelle zusätzlich ein Gesuch um unentgeltlichen Rechtsbeistand im Verfahren der KESB im Zusammenhang mit der Verfügung vom 17. April 2014, er stelle ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung im Verfahren vor Verwaltungsgericht und er wolle fortan postwendend eine Kopie der neuesten Akten vom KJPD erhalten. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung ab und auferlegte dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten von Fr. 200.-- (Urteil vom 9. Oktober 2014, Verfahren VWBES.2014.378).
D.
Mit Eingabe vom 11. November 2014 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, das verwaltungsgerichtliche Urteil in sämtlichen Punkten aufzuheben, dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung stattzugeben, dem Gesuch um umgehende Akteneinsicht zu entsprechen und allfällige Kosten auf die KESB zu überwälzen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung. Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
E.
Die medizinische Behandlung seiner Tochter durch den KJPD betreffend erhob der Beschwerdeführer mit Brief vom 22. April 2014 eine Beschwerde, die als Beschwerde wegen Verletzung von Patienten- und Angehörigenrechten entgegengenommen und an die Solothurner Spitäler AG zur Behandlung überwiesen wurde. Die Solothurner Spitäler AG verweigerte dem Beschwerdeführer das Informations- und Anhörungsrecht zur medizinischen Behandlung seiner Tochter bis auf Weiteres (Verfügung vom 25. August 2014). Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht ab (Urteil vom 15. Oktober 2014, VWBES.2014.377). Die Abweisung der Beschwerde ist Gegenstand des Beschwerdeverfahrens 5A_889/2014 vor Bundesgericht.

Erwägungen:
1.
Gesuch um Akteneinsicht
1.1. Auf die Anträge, wonach dem Beschwerdeführer jeweils Kopien der neuesten Akten des KJPD zugestellt werden sollen, ist das Verwaltungsgericht nicht eingetreten, da es sich dabei um ein neues Begehren handelt, über das die KESB im angefochtenen Entscheid nicht entschieden hat (E. II/1.4 S. 4 des angefochtenen Urteils).
1.2. In tatsächlicher Hinsicht steht fest, dass die KESB verfügt hat, dass Kopien sämtlicher Akten an den Beschwerdeführer gehen (Bst. B.e oben). Für die Gewährung von Einsicht in die Akten des KJPD ist nicht die KESB zuständig, sondern der KJPD bzw. auf Beschwerde wegen Verletzung von Patienten- und Angehörigenrechten hin die Solothurner Spitäler AG. Ist die KESB nicht zuständig, bedeutet es keine Rechtsverweigerung (<ref-ruling> E. 3 S. 246), dass sie über das Begehren um Einsicht in die Akten des KJPD nicht entschieden hat. Das gleichlautende Begehren durfte das Verwaltungsgericht wiederum für unzulässig erklären, zumal mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde gemäss § 68 Abs. 3 des Gesetzes über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen (Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRG; BGS 124.11) keine neuen Begehren vorgebracht werden dürfen. Neu aber ist ein Begehren, über das die KESB als Vorinstanz nicht entschieden hat und nach dem Gesagten nicht entscheiden musste (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 448). Unter diesen Umständen erweist sich auch das vor Bundesgericht wiederholte Begehren als unzulässig (<ref-ruling> E. 8.3 S. 530).
1.3. Inwiefern der KJPD dem Beschwerdeführer auf dessen Ersuchen hin Auskunft zu erteilen hat, ist Gegenstand des Verfahrens 5A_889/2014 (Bst. E oben).
2.
Unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung vor der KESB
2.1. Unter den allgemeinen Voraussetzungen besteht ein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung auch im Kindesschutzverfahren (Urteil 5P.11/1994 vom 25. Februar 1994 E. 1b, in: ZVW 49/1994 S. 163). Diese Voraussetzungen umschreibt das kantonale Recht gleich wie die Bundesverfassung (E. II/2.3 S. 5 des angefochtenen Urteils), so dass der erhobene Anspruch direkt gestützt auf die bundesgerichtliche Praxis zu <ref-law> geprüft werden kann, und zwar in rechtlicher Hinsicht frei, beschränkt auf Willkür hingegen, soweit tatsächliche Feststellungen der kantonalen Instanz beanstandet werden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 14).
2.2. Gemäss § 149 Abs. 1 des Gesetzes über die Einführung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches (EG ZGB; BGS 211.1) ist das Verfahren vor der Kindesschutzbehörde grundsätzlich kostenfrei. Es stellt sich deshalb lediglich die Frage, ob die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands zur Wahrung der Rechte notwendig ist (§ 145 Abs. 1 EG ZGB i.V.m. § 39ter und § 76 Abs. 1 VRG). Nach der bundesgerichtlichen Verfassungsrechtsprechung besteht ein Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, wenn die Interessen der Partei in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Droht das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der betroffenen Person einzugreifen, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten, sonst nur dann, wenn zur relativen Schwere des Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Gesuchsteller auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre (<ref-ruling> E. 2.2 S. 182).
2.3. Die KESB hat einen schweren Eingriff in die Rechtsstellung des Beschwerdeführers verneint, weil die Kindsmutter alleinige Inhaberin der elterlichen Sorge sei und dem Beschwerdeführer weder die Obhut noch die elterliche Sorge entzogen werden könne und weil die Tochter des Beschwerdeführers in Bezug auf den persönlichen Verkehr mit dem Beschwerdeführer urteilsfähig sei. Das Verwaltungsgericht hat die Sicht der KESB übernommen (E. II/2.4 S. 5 des angefochtenen Urteils), was der Beschwerdeführer als eine skandalöse, zynische und väterfeindliche Einstellung rügt. Die gewählten Formulierungen verärgern den Beschwerdeführer und mögen für einen Laien auch als missverständlich erscheinen. Ungeachtet dessen geht es in der Sache um Folgendes:
2.3.1. Gemäss <ref-law> haben Eltern, denen die elterliche Sorge oder Obhut nicht zusteht, und das minderjährige Kind gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr. Dieser Anspruch kann gestützt auf <ref-law> verweigert oder entzogen werden, wenn das Wohl des Kindes durch den persönlichen Verkehr gefährdet wird, wenn ihn der betreffende Elternteil pflichtwidrig ausgeübt hat, wenn sich dieser nicht ernsthaft um das Kind gekümmert hat oder wenn andere wichtige Gründe vorliegen.
2.3.2. Verweigert das Kind den persönlichen Verkehr vollständig oder teilweise, stellt sich die Frage, inwiefern sein Wille unter dem Blickwinkel von <ref-law> beachtlich ist. Bei der Berücksichtigung des Willens des Kindes ist zunächst dessen Alter bzw. dessen Fähigkeit zu autonomer Willensbildung, welche ungefähr ab dem 12. Altersjahr anzunehmen ist, sodann aber auch das Aussageverhalten und namentlich die Konstanz des geäusserten Willens zentral. Einem konstant und nachdrücklich geäusserten Willen darf nach der Rechtsprechung jedenfalls bei älteren Kindern im Grundsatz Rechnung getragen werden (vgl. die Zusammenfassung und Verdeutlichung der Rechtsprechung im Urteil 5A_719/2013 vom 17. Oktober 2014 E. 4.4 und E. 4.5).
2.3.3. Auf diese Grundsätze haben die kantonalen Instanzen hinweisen wollen. Die Tochter des Beschwerdeführers ist rund fünfzehn Jahre alt und urteilsfähig, was heute auch vom Beschwerdeführer nicht mehr in Abrede gestellt wird. Den Akten hat die KESB entnommen, dass die Tochter und der Beschwerdeführer bezüglich des persönlichen Verkehrs eine Vereinbarung geschlossen haben (E. 2.2 S. 2 des Entscheids vom 14. August 2014). Dass die KESB diese Vereinbarung und damit auch den Willen der Tochter hat berücksichtigen wollen, erscheint angesichts deren Alters und Fähigkeit zur Willensbildung nicht als bundesrechtswidrig. Unter diesen Umständen aber verletzt auch die Annahme kein Bundesrecht, allfällige Massnahmen im Kindesschutzverfahren betreffend den persönlichen Verkehr mit seiner Tochter vermöchten den Beschwerdeführer in seiner Rechtsposition nicht besonders stark zu beeinträchtigen.
2.4. Der Beschwerdeführer behauptet verfahrensrechtliche Schwierigkeiten, die zur Wahrung seiner Rechte die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes notwendig machten.
2.4.1. Das Verwaltungsgericht hat erwähnt, der Beschwerdeführer gehe fehl in der Annahme, es würden bei der KESB zwei verschiedene Verfahren geführt, eines aufgrund der Meldung des KJPD, die als Gefährdung insbesondere den Loyalitätskonflikt des Kindes im Verhältnis zum Beschwerdeführer nenne, und eines aufgrund dessen eigener Meldung, die die Gefährdung des Kindes in der Behandlung und Betreuung durch den KJPD ausmache (E. II/2.2 S. 4 des angefochtenen Urteils). Dieser Vorwurf der Fehlannahme erzürnt den Beschwerdeführer offenkundig, der sich durch die Angaben der KESB in die Irre geführt sieht. Zu Unrecht. Es gibt ein Kind, eine KESB und ein Kindesschutzverfahren, das durch die Gefährdungsmeldung des KJPD ausgelöst wurde und aufgrund der Gefährdungsmeldung des Beschwerdeführers weitergeführt wird. Das Schreiben der KESB vom 30. Juli 2014 (Bst. B.c oben) kann diesbezüglich keinerlei Zweifel aufkommen lassen. Gegenteiliges ergibt sich auch aus der Aktennotiz der KESB vom 22. Mai 2014 und der E-Mail vom 31. Juli 2014 nicht. Das Behördenmitglied C._ sichert darin dem Beschwerdeführer pflichtgemäss zu, dass auch seine Gefährdungsmeldung vom 18. April 2014 geprüft werde. Von zwei verschiedenen Verfahren ist darin keine Rede. Die Verfahrensfürsorge, die die KESB und insbesondere das Behördenmitglied C._ dem Beschwerdeführer angedeihen lassen, ist umfassend und vorbildlich.
2.4.2. Der Beschwerdeführer erblickt die Notwendigkeit anwaltlicher Hilfestellung weiter in der schlampigen (d.h. nicht stattgehabten) Behandlung seiner Gefährdungsmeldung vom 18. April 2014, zumal die KESB Ende Juli die Möglichkeit offen lasse, seiner Gefährdungsmeldung nicht nachzugehen. Weitere Beispiele seien die lange Zeit nicht gewährte Akteneinsicht und die Kollusion zwischen der KESB und dem KJPD. Aufgrund der Akten ist indessen nicht ersichtlich, dass die KESB das Verfahren nicht mit der notwendigen Gewissenhaftigkeit und Beschleunigung vorangetrieben hätte. Auf die mündlichen und schriftlichen Vorbringen und Anträge des Beschwerdeführers ist innert nützlicher Frist geantwortet worden. Der KJPD war genauso wie der Beschwerdeführer in das Verfahren einzubeziehen, zumal beide selbstständig eine Gefährdungsmeldung erstattet haben. Die gerügte "Kollusion" besteht aus neutraler Sicht schlicht in gegenseitiger Information. Nach dem Vorliegen des Abklärungsberichts mit einem klaren Ergebnis hat auch begründeter Anlass bestanden, den Beschwerdeführer nochmals anzufragen, ob er an seiner Gefährdungsmeldung festhalte und worin er die Gefährdung sehe (Bst. B.c oben). Zwar ist es nachvollziehbar, dass der Beschwerdeführer ein mehrmonatiges Verfahren subjektiv als (zu) lang empfindet. Eine besondere Dringlichkeit in der Behandlung seiner Gefährdungsmeldung hat jedoch objektiv nicht bestanden. Es ist aktenkundig, dass seine urteilsfähige Tochter und deren Mutter als alleinige Sorgerechtsinhaberin nach umfassender Aufklärung durch die behandelnden Ärzte des KJPD in die medizinische Behandlung eingewilligt haben. Gegen den erklärten Willen der Betroffenen vermag der Beschwerdeführer mit oder ohne Anwalt nur schwer gegen die medizinische Behandlung durch den KJPD aufzukommen.
2.4.3. Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, die Behauptung des Verwaltungsgerichts, die angebliche Gefährdung des Kindeswohls von Seiten des KJPD werde abgeklärt, sei falsch, zumal bis heute keine Verfügung mit einem solchen Abklärungsauftrag existiere. Die Gefährdungsmeldung des KJPD dagegen sei favorisiert worden mit der Folge einer Entfremdung zwischen ihm und seiner Tochter. Der Vorwurf ist unberechtigt. Die Gefährdungsmeldung des KJPD ist mehr als ein Monat vor der Gefährdungsmeldung des Beschwerdeführers eingegangen, und der Abklärungsauftrag ebenfalls vor Eingang der Gefährdungsmeldung des Beschwerdeführers erteilt worden (Bst. B.a oben). In der zeitlichen Abfolge liegt es deshalb begründet, dass mit der Abklärung der vom KJPD gemeldeten Gefährdung zuerst begonnen wurde. Auch die Feststellung des Verwaltungsgerichts, es werde abgeklärt, ob das Wohl des Kindes durch den KJPD gefährdet sei (E. II/2.2 S. 5 des angefochtenen Urteils), ist nicht aktenwidrig. Das Verfahren ist am Laufen. Die KESB hat einen Auftrag zur Abklärung der vom Beschwerdeführer gemeldeten Gefährdung zwar noch nicht erteilt, doch stehen das Behördenmitglied C._ und der Beschwerdeführer auch nach dem Entscheid der KESB über die unentgeltliche Rechtspflege weiterhin in Kontakt (E. I/8 S. 3 des angefochtenen Urteils). Es kann aufgrund der Akten ergänzt werden (<ref-law>), dass eine Besprechung stattgefunden hat, an der das Behördenmitglied C._ das beabsichtigte Vorgehen in vier Schritten dargelegt hat, und dass der Beschwerdeführer dazu am 8. September 2014 weitere Eingaben verfasst hat. Das Verfahren ist im Gang und wird stetig weitergeführt.
2.4.4. Unberechtigt ist der Einwand des Beschwerdeführers, es bestehe im Sinne von Waffengleichheit ein Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung, weil die Verfahren behördenseits von ausgebildeten Juristen geführt würden, denen er als Laie gegenüberstehe. Zum einen ist die KESB von Gesetzes wegen eine Fachbehörde (Art. 440 Abs. 1 und 3 ZGB), deren Mitglieder nicht allesamt über eine juristische Ausbildung verfügen. Vielmehr ist in § 132 EG ZGB vorgesehen, dass in jeder Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde die Berufsdisziplinen Jurisprudenz und Soziale Arbeit vertreten sein müssen (Abs. 4) und weitere Berufsdisziplinen wie Medizin, insbesondere Psychiatrie und Psychologie, Pädagogik oder Betriebswirtschaft nach Möglichkeit in einer der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden vertreten sein sollen (Abs. 5). Zum anderen kann der Grundsatz der Waffengleichheit die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands gebieten, wenn die Gegenpartei durch einen Rechtsanwalt vertreten ist. In einem nicht streitigen Verfahren wie dem vorliegenden hingegen, wo eine Gegenpartei fehlt und der Beschwerdeführer der Entscheidbehörde gegenübersteht, die eine gleiche und gerechte Behandlung eines jeden Rechtsuchenden gewährleistet, kommt der Grundsatz nicht zum Tragen (<ref-ruling> E. 2 S. 7; Urteil 5P.417/1997 vom 20. Januar 1998 E. 3c).
2.5. Insgesamt ist die Notwendigkeit einer Rechtsverbeiständung weder durch einen besonderen Eingriff in die Rechtsstellung belegt, den der Beschwerdeführer befürchten müsste, noch aufgrund von Schwierigkeiten ausgewiesen, die der Beschwerdeführer selber zu bewältigen als ausserstande erschiene. Es verletzt deshalb kein Bundesrecht, dass das Verwaltungsgericht die Bestellung eines unentgeltlichen Beistands zur Rechtswahrung im vorliegenden Kindesschutzverfahren als nicht notwendig erachtet hat. Dabei versteht es sich von selbst, dass der Beschwerdeführer ein erneutes Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung stellen darf, sollten die Voraussetzungen dafür im weiteren Verlauf des Kindesschutzverfahrens eintreten (Urteile 5A_430/2010 vom 13. August 2010 E. 2.4 und 5A_843/2009 vom 23. Februar 2010 E. 3).
3.
Unentgeltliche Rechtspflege vor dem Verwaltungsgericht
3.1. Das Verwaltungsgericht hat dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege im Beschwerdeverfahren wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde verweigert (E. II/3 S. 5 f. des angefochtenen Urteils).
3.2. Gemäss § 76 VRG kann eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel für die Prozessführung verfügt, verlangen, dass ihr die unentgeltliche Rechtspflege gewährt wird, wenn der Prozess nicht als aussichtslos oder mutwillig erscheint, und dass ihr ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellt wird, wenn dies zur Wahrung der Rechte notwendig ist. Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege setzt damit kumulativ Bedürftigkeit des Gesuchstellers und Nichtaussichtslosigkeit der Beschwerde sowie für den Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung zusätzlich deren sachliche Notwendigkeit voraus (<ref-ruling> E. 2b/bb S. 147; <ref-ruling> E. 2.5 S. 232). Fehlt es an den Erfolgsaussichten der Beschwerde, wie es das Verwaltungsgericht angenommen hat, kann weder eine Befreiung von Vorschussleistungen und Gerichtskosten bewilligt noch ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellt werden (§ 76 Abs. 4 VRG i.V.m. <ref-law>).
3.3. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Verfassungsrechtsprechung, auf die das Verwaltungsgericht abgestellt hat, Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer summarischen Prüfung nach den Verhältnissen zur Zeit, zu der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird (<ref-ruling> E. 5 S. 616; <ref-ruling> E. 2.2 S. 476).
3.4. Mit Bezug auf die Erfolgsaussichten ist nicht das subjektive Empfinden des Beschwerdeführers massgebend, sondern eine objektive Betrachtungsweise. Was den persönlichen Verkehr angeht, kann auf Gesagtes verwiesen werden. Der Wille der urteilsfähigen Tochter darf im Grundsatz beachtet werden (E. 2.3 oben), so dass der Beschwerdeführer mit Begehren, die der Vereinbarung mit der Tochter über den persönlichen Verkehr und deren Willenserklärungen stracks zuwiderlaufen, wenig Aussicht auf Erfolg haben konnte. Ist schon das Verfahren in der Sache wenig aussichtsreich, gilt dasselbe erst recht für eine Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung in diesem Verfahren und im Rechtsmittelverfahren.
3.5. Aus den dargelegten Gründen verletzt die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung im Verwaltungsgerichtsbeschwerdeverfahren kein Bundesrecht.
4.
Die Beschwerde muss abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird damit kostenpflichtig, nicht hingegen entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 3 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden. Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im kantonalen Verfahren (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; betreffend Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren: <ref-ruling> E. 1.2 S. 397). Die vorstehenden Erwägungen, wonach die Rügen des Beschwerdeführers offensichtlich unbegründet sind, verdeutlichen, dass die gestellten Rechtsbegehren von Beginn an keinen Erfolg haben konnten. Mit Rücksicht auf die finanziellen Verhältnisse auf Seiten des Beschwerdeführers wird auf die Erhebung von Gerichtskosten ausnahmsweise verzichtet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten