Erwägungen:
1.
X._ stellte am 9. September 2013 ein Ausstandsgesuch gegen den Präsidenten der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Die II. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 21. Oktober 2013 auf das Ausstandsgesuch nicht ein. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass das Gesuch verschiedene Rügen enthalte, welche gegenüber Untersuchungsbehörden und Gerichten erhoben werden. Der Eingabe könne indessen nicht entnommen werden, in welchen Verfahren und aus welchen Gründen sich ein Ausstandsgrund im Sinne von <ref-law> ergeben sollte. Ein solcher sei im Übrigen auch nicht erkennbar.
2.
X._ führt mit Eingabe vom 3. November 2013 (Postaufgabe 4. November 2013) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der II. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Mit seiner Kritik an der Rechtsmittelbelehrung im angefochtenen Beschluss bzw. an der Beschwerdemöglichkeit an das Bundesgericht stellt der Beschwerdeführer sinngemäss ein Ausstandsbegehren gegen das Bundesgericht. Abgesehen davon, dass sich ein Ausstandsbegehren nicht gegen das Bundesgericht, sondern gegen bestimmte Mitglieder des Gerichts richten muss, behauptet der Beschwerdeführer keinen Ausstandsgrund im Sinne von <ref-law>. Im Übrigen kann einem Richter die Unabhängigkeit nicht abgesprochen werden, nur weil er bereits in früheren Verfahren gegen den Beschwerdeführer entschieden hatte (vgl. <ref-law>). Da die Ausführungen des Beschwerdeführers den Ausstand von vornherein nicht zu begründen vermögen, braucht kein Ausstandsverfahren nach <ref-law> durchgeführt zu werden. Auf das sinngemäss gestellte Ausstandsbegehren ist vielmehr nicht einzutreten.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
Der Beschwerdeführer, der sich mit der Begründung der II. Strafkammer überhaupt nicht auseinandersetzt, legt nicht dar, inwiefern die II. Strafkammer in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise auf das Ausstandsgesuch nicht eingetreten sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen) offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Die vorliegende Beschwerde erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der II. und III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli