A.- Mit Verfügung vom 27. Juli 2000 lehnte die IV-Stelle Bern das Gesuch des T._ um eine Rente der Invalidenversicherung mit der Begründung ab, die Abklärungen hätten ergeben, dass keine Invalidität im Sinne des Gesetzes gegeben sei.
B.- Die von T._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 15. Dezember 2000 ab.
C.- T._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit den Rechtsbegehren, es sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und es seien ihm "angemessene Eingliederungsmassnahmen, eventuell eine angemessene Rente" zuzusprechen. Auf die Begründung wird, soweit erforderlich, in den Erwägungen eingegangen.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde.
Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Die Vorinstanz, welche die zur Beurteilung der Sache erforderlichen Rechtsgrundlagen zutreffend dargetan hat, bestätigt die rentenablehnende Verfügung vom 27. Juli 2000 zusammengefasst mit folgender Begründung: Es lasse sich nicht beanstanden, dass die IV-Stelle gestützt auf die gutachterlichen Ausführungen des Psychiaters Dr. med.
H._ und des Rheumatologen Dr. med. R._ die Auffassung vertrete, der Versicherte sei für eine angepasste Arbeit unter den von Dr. med. R._ formulierten Einschränkungen auf dem ihm offen stehenden Arbeitsmarkt nicht eingeschränkt und voll vermittelbar, sodass zufolge fehlender Invalidität kein Anspruch auf Leistungen der Invalidenversicherung bestehe. Aufgrund der bescheidenen objektivierbaren Befunde sei nämlich nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt, dass eine zeitlich und leistungsmässig uneingeschränkte Arbeit in der angestammten Branche - beispielsweise als Hilfsmechaniker in einem metallverarbeitenden Betrieb - nicht mehr zumutbar sei. Abgesehen davon habe selbst die Annahme einer ganzen oder teilweisen Arbeitsunfähigkeit aus psychiatrischen Gründen nicht ohne weiteres das Vorliegen einer Invalidität zur Folge, wenn, wie im konkreten Fall, der psychische Gesundheitsschaden aus fachärztlicher Sicht nicht als chronifiziert und unlösbar fixiert zu beurteilen sei.
2.- a) Gemäss Dr. med. R._, auf dessen Beurteilung IV-Stelle und kantonales Gericht abgestellt haben, ist aus rheumatologischer Sicht Rückenschwerarbeit (dynamisch [z.B. Arbeit als Bauarbeiter] oder statisch [überlanges Verharren in derselben Körperhaltung]) gesundheitsbedingt nicht mehr zumutbar. Ebenfalls sind Arbeiten mit einer erheblichen statischen und/oder dynamischen Belastung der Halswirbelsäule ungünstig. Daneben bestünden aus somatischer Sicht keine weiteren Einschränkungen, weder zeitlich noch leistungsmässig. Insbesondere wäre der Versicherte auch in seinem früheren Tätigkeitsbereich als Mechaniker arbeitsfähig (Gutachten vom Dezember 1999 mit ergänzendem Bericht vom 13. Juni 2000). Indessen erscheint fraglich, ob sich die erwähnten Einschränkungen in den körperlichen Funktionen aufgrund des Rückenleidens (u.a. Osteochondrosen Th6-10, medio-laterale Diskushernie Th6/7 sowie degenerative Veränderungen an der HWS) nicht bei Ausübung der angestammten Tätigkeit als Mechaniker negativ und leistungsmindernd auswirken, wie in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu Recht vorgebracht wird. Gemäss Bericht der Rehabilitationsklinik X._, Abteilung berufliche Eingliederung, vom 9. Dezember 1998 umfassten die Arbeiten an der zuletzt innegehabten Stelle in der Fabrik Y._ Bohren sowie Drehen von Gewinden, Statoren und Rotoren. Dabei handelte es sich um vorwiegend stehende Arbeit. Da gemäss Dr. med. R._ Tätigkeiten, welche u.a. ein überlanges Verharren in derselben Körperhaltung erfordern, nicht zumutbar sind, ist eine gesundheitlich bedingte wesentliche Einschränkung der Arbeitsfähigkeit als Mechaniker nicht auszuschliessen. In diesem Zusammenhang bleibt auch unklar, inwiefern sich die HWS-Beschwerden beim Bohren und Drehen auswirken, zumal nicht bekannt ist, welcher Kraftaufwand bei solchen Verrichtungen notwendig ist.
b) Der Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung kann daher entgegen Vorinstanz und Verwaltung mangels einer schlüssigen ärztlichen Stellungnahme zur Arbeitsunfähigkeit (<ref-ruling> Erw. 1 in fine) nicht ohne weitere Abklärungen verneint werden. Wenn und soweit das kantonale Gericht zur Stützung seines gegenteiligen Standpunktes auf den Bericht der Rehabilitationsklinik X._ vom 7. Dezember 1998 verweist, in welchem aus somatischer Sicht eine volle Wiederaufnahme der bisherigen Tätigkeit als Hilfsmechaniker als möglich erachtet worden sei, bezieht sich die betreffende Aussage ausdrücklich auf rein unfallbedingte Schädigungen. Bei den Osteochondrosen im thorakalen Bereich und der als Zufallsbefund interpretierten Diskushernie Th6/7 sowie den minimen degenerativen Veränderungen an der HWS trifft dies indessen nicht zu.
Auch wenn diese Befunde als geringfügig bezeichnet werden können, ändert dies nichts daran, dass nach Auffassung der Rehabilitationsklinik eine komplexe psychosomatische Problematik besteht.
c) Nach dem Gesagten besteht aufgrund der Akten Abklärungsbedarf in Bezug auf die Frage, inwiefern die Arbeitsfähigkeit als Mechaniker eingeschränkt ist und allgemein, welche Tätigkeiten, allenfalls nach beruflichen Eingliederungsmassnahmen, in Berücksichtigung der gesundheitlichen Beeinträchtigungen noch zumutbar sind. Die IV-Stelle, welche die diesbezüglich notwendigen Erhebungen vorzunehmen hat, wird im Besonderen ein weiteres psychiatrisches Gutachten einholen, welches auch die in diesem Verfahren eingereichten Arztberichte zu berücksichtigen hat. In diesem Zusammenhang ist an das der Verwaltung bekannte, zur Publikation in BGE 127 V bestimmte Urteil B. vom 5. Oktober 2001 (I 724/99) hinzuweisen, wo sich das Eidgenössische Versicherungsgericht ausführlich zur Bedeutung der Behandelbarkeit einer psychischen Störung sowie der psychosozialen und soziokulturellen Faktoren für die Invalidität geäussert hat.
3.- Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG).
Dem Prozessausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG in Verbindung mit Art. 135 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I.Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne
gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts
des Kantons Bern vom 15. Dezember 2000 und die
Verfügung vom 27. Juli 2000 aufgehoben werden und die
Sache an die IV-Stelle Bern zurückgewiesen wird, damit
sie nach weiteren Abklärungen im Sinne der Erwägungen
über den Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung,
allenfalls berufliche Eingliederungsmassnahmen,
neu verfüge.
II.Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III. Die IV-Stelle Bern hat dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich
Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
IV.Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hat über eine Parteientschädigung für das kantonale Verfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses
zu befinden.
V.Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht
des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche
Abteilung, der Ausgleichskasse des Schweizerischen
Gewerbes und dem Bundesamt für Sozialversicherung
zugestellt.
Luzern, 21. Januar 2002
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der III. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: