Sachverhalt:
A.
Das Obergericht des Kantons Zürich verurteilte A.X._ zweitinstanzlich wegen Mordes zu einer Freiheitsstrafe von 13 1⁄2 Jahren. Vom Vorwurf der versuchten vorsätzlichen Tötung sprach es ihn frei. Es stellte die Rechtskraft des Urteils des Bezirksgerichts Zürich betreffend Genugtuungsforderungen und Verfügungen über die beschlagnahmten Gegenstände fest.
Dem Urteil liegt folgender Sachverhalt zugrunde:
A.X._ holte am 10. Mai 2010 seine Tochter B.X._ beim Polizeiposten ab, wo sie wegen eines geringfügigen Ladendiebstahls festgehalten wurde. In der Familienwohnung kam es zu einer Auseinandersetzung, bei der B.X._ ihren Vater beleidigte. Obwohl er sie gebeten hatte, wieder bei ihnen zu leben, packte sie ihre Sachen und wollte die Wohnung verlassen. Auch auf die nochmalige Bitte ihres Vaters zu bleiben, reagierte sie nicht. Vielmehr suchte sie weiter ihre Sachen zusammen und begab sich dazu ins Elternschlafzimmer. Als sie sich bückte oder hinkniete, schlug A.X._ mit grosser Wucht ein Beil gegen den Kopf seiner Tochter, wodurch diese nach vorne auf den Boden fiel. Daraufhin wirkte er weitere Male mit der Axt auf ihren Kopf ein. A.X._ schlug mit der Schneide und dem Nacken des Beils auf die auf dem Bauch liegende, stark blutende B.X._ ein. Insgesamt führte er mindestens 19 Beilhiebe aus. B.X._ verstarb an diesen Schlägen.
B.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich erhebt Beschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben, und die Sache sei zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
A.X._ führt seinerseits Beschwerde in Strafsachen (Verfahren 6B_305/2013).

Erwägungen:
1.
Die zwei Beschwerden richten sich zwar gegen denselben Entscheid, betreffen aber unterschiedliche, voneinander unabhängige Rechtsfragen. Es rechtfertigt sich nicht, die Verfahren zu vereinigen.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz wende kantonales Recht, nämlich § 11 Abs. 2 und § 13 Abs. 1 der Strafprozessordnung des Kantons Zürich vom 4. Mai 1919 (aStPO/ZH), willkürlich an. Die Vorinstanz erachte die Aussagen des Beschwerdegegners an der ersten staatsanwaltschaftlichen Einvernahme als nicht verwertbar, da er nicht anwaltlich verbeiständet gewesen sei, obwohl ein Fall einer notwendigen Verteidigung vorgelegen habe. Indessen sei diese Befragung dringlich gewesen und habe bereits acht Stunden nach der Verhaftung stattgefunden. Nachdem der Beschwerdegegner über seine Rechte belehrt worden sei, habe er erklärt, er "benötige keinen Anwalt". Er sei somit bereit gewesen, ohne Verteidiger auszusagen. Die Bestellung einer amtlichen Verteidigung und die Untersuchungshaft seien noch am selben Tag beantragt und dem Beschwerdegegner sei gleichentags eine amtliche Verteidigung beigegeben worden. Gemäss herrschender Auffassung sei eine staatsanwaltschaftliche Einvernahme auch zulässig, bevor eine Verteidigung beigezogen bzw. bestellt worden sei, sofern die beschuldigte Person über ihre Rechte nach § 11 Abs. 1 aStPO/ZH belehrt worden sei. Alleine wegen des Begriffs "unverzüglich" in § 13 Abs. 1 aStPO/ZH, könne diese Bestimmung nicht derart interpretiert werden, dass eine notwendige Verteidigung schon zu Beginn der ersten protokollarischen Aussagen bestellt sein müsse. Eine solche Auslegung gehe über den Wortlaut der Norm hinaus.
Die Beschwerdeführerin weist darauf hin, die Vorinstanz gehe von einer schweren Verminderung der Schuldfähigkeit des Beschwerdegegners aus. Grundlage dieser Annahme bilde das forensisch-psychiatrische Gutachten. Danach liege eine schwergradig verminderte Schuldfähigkeit vor, wenn sich das Gericht an den gegenüber dem Sachverständigen gemachten Angaben des Beschwerdegegners zur Tat orientiere. Beziehe man gemäss Gutachten aber die Aussagen des Beschwerdegegners an der Einvernahme vom 11. Mai 2010 mit ein, liessen die entsprechenden Schilderungen auf komplexere Handlungsabläufe und ein initial intaktes Hemmungsvermögen schliessen. Insofern sei die Schuldfähigkeit als höchstens mittelgradig eingeschränkt einzuschätzen.
2.2. Die Vorinstanz erwägt, nachdem der Beschwerdegegner der Polizei am 10. Mai 2010 um 20.36 Uhr telefonisch mitgeteilt habe, er habe seine Tochter umgebracht, sei er verhaftet worden. Die Polizei habe in der Familienwohnung das Opfer samt mutmasslicher Tatwaffe gefunden. Gemäss Protokoll der Einvernahme vom 11. Mai 2010 von 04.14-06.51 Uhr sei dem Beschwerdegegner zu Beginn mitgeteilt worden, dass gegen ihn eine Strafuntersuchung wegen vorsätzlicher Tötung eröffnet worden sei. Damit habe bereits vor der Befragung festgestanden, dass ein Fall einer notwendigen Verteidigung vorliege. Im Lichte der neuesten kantonalen Rechtsprechung hätte daher auch die erste untersuchungsrichterliche Befragung zur Sache in Anwesenheit eines Verteidigers stattfinden müssen. Mithin seien die den Beschwerdegegner belastenden Aussagen an dieser Befragung nicht verwertbar (Urteil S. 11-14 E. 2.4.1 f.).
2.3. Am 1. Januar 2011 ist die Schweizerische Strafprozessordnung vom 5. Oktober 2007 (StPO; SR 312.0) in Kraft getreten. Gemäss Art. 448 StPO werden Verfahren, die bei Inkrafttreten der StPO hängig sind, grundsätzlich nach neuem Recht fortgeführt (Abs. 1). Verfahrenshandlungen, die vorher angeordnet oder durchgeführt worden sind, behalten ihre Gültigkeit (Abs. 2). Dieser Grundsatz gilt auch für die Verwertbarkeit und für die Folgen der Ungültigkeit altrechtlich erhobener Beweise (Urteil 6B_684/2012 vom 15. Mai 2013 E. 2.3 mit Hinweisen). Die von der Beschwerdeführerin aufgeworfene Frage nach der Verwertbarkeit der Aussagen des Beschwerdegegners an der Einvernahme vom 11. Mai 2010 richtet sich somit nach dem damals geltenden kantonalen Prozessrecht.
2.4.
2.4.1. Grundsätzlich kann weder aus der BV noch der EMRK ein Anspruch auf obligatorische Verbeiständung abgeleitet werden (<ref-ruling> E. 3.1. f. mit Hinweisen; Urteil 6B_261/2011 vom 4. Oktober 2011). Dass einem Beschuldigten die notwendige Verteidigung erst in der zweiten untersuchungsrichterlichen Einvernahme beigegeben wird, stellt nach der Rechtsprechung keine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK bzw. Art. 29 Abs. 1 BV dar (Urteil 6B_742/2012 vom 10. Mai 2013 E. 1.4 mit Hinweis). Ein allfälliger Anspruch kann sich indes gestützt auf kantonales Recht ergeben.
Das Bundesgericht überprüft die Auslegung und Anwendung kantonalen Rechts - von hier nicht relevanten Ausnahmen abgesehen - nur unter dem beschränkten Gesichtswinkel der Willkür (vgl. Art. 95 BGG; <ref-ruling> E. 2). Nach seiner ständigen Praxis liegt Willkür vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.3 mit Hinweis).
2.4.2. Gemäss § 11 Abs. 2 aStPO/ZH muss der Angeschuldigte durch einen Verteidiger verbeiständet sein, u.a. wenn gegen ihn eine Freiheitsstrafe von mehr als einem Jahr oder eine freiheitsentziehende Massnahme im Sinne des Strafgesetzbuches beantragt ist oder in Aussicht steht (Ziff. 3) oder sich die Untersuchung auf Straftaten bezieht, deren Beurteilung dem Geschworenengericht (vgl. § 56 Ziff. 1 vorsätzliche Tötung, Ziff. 2 Mord und Ziff. 3 Totschlag des Gerichtsverfassungsgesetzes des Kantons Zürich vom 13. Juni 1976) oder erstinstanzlich dem Obergericht (§ 198a aStPO/ZH) zusteht (Ziff. 4). Kann notwendige Verteidigung eintreten, hat der Untersuchungsbeamte den Angeschuldigten nach § 13 Abs. 1 aStPO/ZH unverzüglich zu einer Erklärung darüber zu veranlassen, ob er selber einen Verteidiger wählen oder sich einen solchen von Amtes wegen bestellen lassen will. Gemäss § 17 Abs. 2 Satz 1 und 2 aStPO/ZH hat der Untersuchungsbeamte dem Verteidiger Gelegenheit zu geben, an den Einvernahmen des Angeschuldigten teilzunehmen, wenn dieser es verlangt und der Zweck der Untersuchung dadurch nicht gefährdet wird. Im Kanton zugelassene Rechtsanwälte sind zur Einvernahme stets zuzulassen, sobald der Angeschuldigte vor dem Untersuchungsbeamten erstmals einlässlich ausgesagt hat oder sich seit 14 Tagen in Haft befindet.
Nach der Rechtsprechung der Zürcher Gerichte sind belastende Aussagen, die ein Angeschuldigter in Abwesenheit eines Verteidigers gemacht hat, obgleich in jenem Zeitpunkt ein Fall von notwendiger Verteidigung bestand, nicht verwertbar. Dies gilt auch, wenn ihm diese nachträglich vorgehalten werden und er dazu Stellung nehmen kann. An der Unverwertbarkeit ändert nichts, dass der Beschuldigte zu Beginn der Einvernahme auf sein Aussageverweigerungsrecht sowie das Recht auf Beizug eines Verteidigers hingewiesen worden ist und er im Wissen darum bereit war, auszusagen (Entscheide des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 23. März 2012, AC110014, E. III. 2.3 S. 6 ff. und vom 19. April 2012, AC110008/9, E. V. 3.3 f. S. 51 f.; des Obergerichts des Kantons Zürich vom 30. Oktober 2009 E. 2.2.2 in: ZR 109/2010 Nr. 18 S. 81 f.).
2.5. Die Rüge erweist sich als unbegründet. Unbestritten ist, dass ein Fall notwendiger Verteidigung vorliegt. Weiter ist nicht streitig, dass dies angesichts der eigenen Belastung des Beschwerdegegners anlässlich des Telefongesprächs mit der Polizei und der Funde in der Wohnung bereits ab der Verhaftung, mithin bereits vor der Einvernahme am 11. Mai 2010, klar war. Dass und inwiefern diese Befragung dringlich war, ist weder ersichtlich noch hinreichend substanziiert. Die Vorinstanz wendet das kantonale Prozessrecht nicht willkürlich an, wenn sie die den Beschwerdegegner belastenden Aussagen an dieser Einvernahme entsprechend der kantonalen Praxis als nicht verwertbar erachtet, weil er nicht anwaltlich verbeiständet war. Dass er nach der Belehrung über seine Rechte gemäss § 11 Abs. 1 aStPO/ZH erklärte, er benötige keinen Anwalt, und in der Folge ohne Verteidiger aussagte, hat nach der kantonalen Rechtsprechung keinen Einfluss auf die Unverwertbarkeit. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin zur Auslegung des Begriffs "unverzüglich" in § 13 Abs. 1 Satz 1 aStPO/ZH sind unbehelflich, weil es gemäss kantonaler Praxis für die Frage der Verwertbarkeit nicht auf den Zeitpunkt ankommt, in welchem dem Angeschuldigten ein Verteidiger tatsächlich zur Seite steht. Vielmehr kommt es auf den Zeitpunkt an, in dem ein Fall einer notwendigen Verteidigung eingetreten ist, d.h. wenn voraussichtlich anzunehmen ist, dass eine der in § 11 Abs. 2 aStPO/ZH genannten Konstellationen vorliegt bzw. eintreten wird. Ergebnisse von Untersuchungshandlungen, die nach diesem Zeitpunkt stattgefunden haben, ohne dass der Angeschuldigte verteidigt war, sind unverwertbar. Dies gilt auch, wenn die Untersuchungsbehörde und das Gericht beförderlich vorgegangen sind, wie es vorliegend der Fall war (Beschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 23. März 2012, AC110014, E. III. 2.3a S. 7 f.).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin macht eventualiter geltend, entgegen der willkürlichen Erwägungen der Vorinstanz könnten die Aussagen einer beschuldigten Person grundsätzlich auch rechtmässig erlangt werden. Eine Interessenabwägung im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sei nicht nur zur Aufklärung einer Straftat an sich anwendbar, sondern auch zur Ermittlung der Sachverhalte, sofern sie tatbestandsrelevant seien oder sich massgeblich auf das Strafmass auswirkten.
3.2. Die Vorinstanz erwägt, eine Güterabwägung sei nur vorzunehmen, wenn ein rechtswidrig erlangter Beweis im Grundsatz auch rechtmässig hätte beschafft werden können. Nachdem der Beschwerdegegner in der fraglichen Einvernahme hätte verteidigt sein müssen und er in den späteren Befragungen, die in Anwesenheit des Verteidigers erfolgt seien, die ersten Aussagen nicht bestätigt habe, seien diese nicht verwertbar. Überdies führe auch eine Interessenabwägung nicht zur Verwertung. Vorliegend gehe es nicht darum, ob ein Täter für das Tötungsdelikt überführt werden könne. Die Täterschaft stehe fest. Die betreffenden Aussagen berührten einzig den Ablauf der Tat. Diesem eingeschränkten Erkenntnisgewinn stehe der Anspruch des Beschwerdegegners auf ein faires Verfahren gegenüber, der höher zu gewichten sei. Somit bleibe es dabei, dass dessen Aussagen an der Einvernahme vom 11. Mai 2010 nicht zu seinen Lasten verwertbar seien (Urteil S. 15 f. E. 2.4.4).
3.3. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Verwertung rechtswidrig erlangter Beweismittel verfassungsrechtlich nicht in jedem Fall ausgeschlossen. Massgebend sind die Schwere des Delikts und die Frage, ob das Beweismittel an sich zulässig und auch auf gesetzmässigem Weg zu erlangen gewesen wäre. Es bedarf einer Güterabwägung zwischen dem öffentlichen Interesse an der Wahrheitsfindung und dem privaten Interesse der angeklagten Person, dass der fragliche Beweis unterbleibt. Beim Verwertungsverbot bleibt es namentlich, wenn bei der streitigen Untersuchungsmassnahme ein Rechtsgut verletzt wurde, das im konkreten Fall den Vorrang vor dem Interesse an der Durchsetzung des Strafrechts verdient. Es ist sowohl den tangierten Freiheitsrechten als auch dem Grundsatz des fairen Verfahrens Rechnung zu tragen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.4 mit Hinweisen).
Die ältere Rechtsprechung hat ein rechtswidrig erhobenes Beweismittel nur für unverwertbar erklärt, wenn es an sich unzulässig bzw. auf gesetzmässigem Weg nicht erreichbar war. Im Zusammenhang mit einem privat und heimlich aufgenommenen Telefongespräch erkannte das Bundesgericht, das Beweismittel sei nicht von vornherein für unverwertbar zu erklären, da es auch auf legalem Weg hätte erlangt werden können. Für deren Verwendung im Strafverfahren verlangte es zusätzlich eine Interessenabwägung. Der Umstand allein, dass der rechtswidrig beschaffte Beweis nicht an sich verboten ist, genügt damit nach der seitherigen Praxis nicht mehr, um dessen Verwertbarkeit zuzulassen (<ref-ruling> E. 4.1.1 f. mit Hinweisen).
3.4. Der Beschwerdegegner bestätigte in den Befragungen, die im Beisein des Verteidigers stattfanden, seine ersten Aussagen an der Einvernahme vom 11. Mai 2010, die ohne diesen erfolgten, nicht vollumfänglich. Gleichwohl ist der Beschwerdeführerin beizupflichten, dass es sich bei den Aussagen einer beschuldigten Person um ein an sich zulässiges Beweismittel handelt. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz können sodann in Abwägung der entgegenstehenden Interessen auch unrechtmässig erlangte Beweise zu Lasten einer beschuldigten Person verwendet werden. Bei dem zu beurteilenden Tötungsdelikt handelt es sich unzweifelhaft um eine schwere Straftat. Trotzdem verdienen der Grundsatz des fairen Verfahrens und das private Interesse des Beschwerdegegners, dass der fragliche Beweis unterbleibt, vorliegend den Vorrang vor dem Interesse an der Wahrheitsfindung sowie der Durchsetzung des Strafrechts. Zum einen würde andernfalls das bei der Beschaffung verletzte Recht auf notwendige Verteidigung unterlaufen. Zum anderen ist zu berücksichtigen, dass es nicht um die Überführung des in Bezug auf die Tötung geständigen Täters, sondern lediglich um den genauen Ablauf der Tat und den Umfang der Verminderung der Schuldfähigkeit des Beschwerdegegners geht (Urteil S. 16 E. 1.2, S. 28 ff. E. 3, S. 37 E. 4.3.3 und S. 50 f. E. 1.4.2.3 ff.). Die Beschwerde erweist sich auch in diesem Punkt als unbegründet.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Es sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung zuzusprechen, da ihm im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. August 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Pasquini