Erwägungen:
1. X._ reichte am 4. April 2008 beim Bundesgericht eine Klage gegen die Schweizerische Eidgenossenschaft ein, womit sie Schadenersatz und Genugtuung wegen widerrechtlichen Verhaltens von Organen des Bundes im Zusammenhang mit einem Strafverfahren (namentlich Nichteintretensurteil 6S.296/2001 vom 3. Mai 2001 des Kassationshofs des Bundesgerichts) geltend machen will. Die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts wies das für das Klageverfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mit Verfügung vom 22. April 2008 ab. Gestützt darauf wurde der Klägerin Frist bis zum 15. Mai 2008 angesetzt, um einen Kostenvorschuss von Fr. 4'000.-- zu bezahlen. Am 5. Mai 2008 wies das Gericht ein Gesuch um Revision der Verfügung vom 22. April 2008 ab. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung teilte der Klägerin sodann am 7. Mai 2008 mit, dass selbst eine allfällige Verfahrenssistierung die Kostenvorschusspflicht nach feststehender Praxis nicht berühren würde; sie bleibe daher zur Bezahlung des Kostenvorschusses verpflichtet, und die Notwendigkeit weiterer verfahrensrechtlicher Anordnungen werde erst nach Zahlungseingang geprüft. Mit einer weiteren Rechtsschrift vom 15. Mai 2008 stellte die Klägerin Gesuche um Ausstand, um Verzicht auf Erhebung des Kostenvorschusses und von Gerichtskosten, um unentgeltliche Rechtspflege (Rechtsbeistand) bzw. um Wiedererwägung/Revision der Verfügung vom 22. April 2008, um Sistierung der pendenten Klage, eventuell um Fristerstreckung für die Leistung des Kostenvorschusses. Mit Verfügung vom 29. Mai 2008 wies das Bundesgericht das Ausstandsbegehren ab, soweit es darauf eintrat; ebenso wies es das Wiedererwägungs- bzw. Revisionsgesuch und das Gesuch um Verzicht auf die Erhebung von Kosten und eines Kostenvorschusses ab; über das Sistierungsgesuch wurde - vorläufig - nicht entschieden. Schliesslich wurde in Aussicht gestellt, dass weitere verfahrensleitende Anordnungen mit separaten Verfügungen getroffen würden. Hinsichtlich des Gesuchs um Erstreckung der Zahlungsfrist wurde erwähnt, dass hierfür der Abteilungspräsident zuständig sei, der das Begehren als solches um Nachfristansetzung im Sinne von Art. 62 Abs. 3 Satz 2 und 3 BGG prüfen werde, wobei die Zahlungsfrist auch bei Bedürftigkeit einer Partei nur begrenzt erstreckt werden könne. Mit Schreiben vom 9. Juni 2008 setzte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Klägerin, wie in der Verfügung vom 29. Mai 2008 angekündigt, eine Nachfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses auf den 27. Juni 2008 an, versehen mit dem Hinweis, dass auf die Klage nicht eingetreten würde, wenn der Vorschuss nicht innert dieser nicht erstreckbaren Nachfrist geleistet werde.
Am 25. Juni 2008 zahlte die Klägerin bei der Post einen Betrag von Fr. 100.-- zugunsten der Bundesgerichtskasse ein. Am 27. Juni 2008 gelangte sie mit einer als Sistierungsgesuch, Gesuch um Ratenzahlung und Ausstandsbegehren bezeichneten Rechtsschrift ans Bundesgericht. Es wird die Befangenheit von Bundesrichter Merkli geltend gemacht; weiter wird verlangt, der Kostenvorschussbetrag sei herabzusetzen, da ein Vorschuss nur im Hinblick auf das Sistierungsbegehren verlangt werden dürfe, und es seien diesbezüglich Ratenzahlungen zu bewilligen; sodann wird um Kostenerlass ersucht.
2. 2.1 Gemäss <ref-law> hat die Partei, die das Bundesgericht anruft, einen Kostenvorschuss in der Höhe der mutmasslichen Gerichtskosten zu leisten. Der Instruktionsrichter (bzw. der Abteilungspräsident, vgl. <ref-law>) setzt zur Leistung des Kostenvorschusses eine angemessene Frist; läuft diese unbenutzt ab, so setzt er der Partei eine Nachfrist; wird der Kostenvorschuss auch innert der Nachfrist nicht geleistet, so tritt das Bundesgericht auf die Eingabe nicht ein (<ref-law>). Zum Nichteintreten kommt es auch dann, wenn der Kostenvorschuss innert der Nachfrist nur teilweise geleistet wird; anders verhält es sich (zumindest nach Abweisung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege allerdings nur ausnahmsweise) dann, wenn rechtzeitig (d.h. innert erstreckter Zahlungsfrist) - mit tauglicher Begründung - um weiteren Zahlungsaufschub ersucht wird.
2.2 Die Klägerin hat den für das Klageverfahren verlangten Kostenvorschuss von Fr. 4'000.-- innert Nachfrist nicht geleistet, sondern bloss einen Betrag von Fr. 100.-- bezahlt. Es ist zu prüfen, ob die Eingabe vom 27. Juni 2008 taugliche Gründe nennt, die diese Säumnis rechtfertigen würden.
Das Bundesgericht hat am 22. April 2008 zunächst das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgelehnt. Das diesbezüglich gestellte Revisions-/bzw. Wiedererwägungsgesuch wies es am 5. Mai 2008 ab, und der Abteilungspräsident machte am 7. Mai 2008 darauf aufmerksam, dass selbst eine allfällige Verfahrenssistierung die Kostenvorschusspflicht für das Klageverfahren nicht berühren würde, was das Bundesgericht in der Verfügung vom 29. Mai 2008 (E. 2.4) nochmals bekräftigte. In dieser letztgenannten Verfügung befasste es sich umfassend mit der Ausstandsproblematik in Staatshaftungsverfahren (unter Berücksichtigung von Art. 1 Abs. 1 lit. b VG und <ref-law> sowie, was die vorgängige Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege betrifft, unter Hinweis auf <ref-ruling>), und dies sowohl in materieller als auch in prozessualer (Besetzung des Spruchkörpers, Rechtzeitigkeit von Ausstandsbegehren) Hinsicht. Das Bundesgericht hat auch erläutert, dass es keineswegs - und insbesondere nicht in den spärlichen Klagefällen - steter Praxis entspreche, dass Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege erst mit dem Urteil in der Hauptsache behandelt würden, weshalb sich Äusserungen zu <ref-law> erübrigten.
Alles, was die Klägerin in ihrer letzten Eingabe vorbringt, läuft letztlich darauf hinaus, das Bundesgericht zur nochmaligen Überprüfung seiner Erwägungen in den bisher ergangenen Verfügungen anzuhalten. Dabei fällt wiederum auf, dass der Rechtsvertreter der Klägerin nach wie vor (vgl. schon den Hinweis in E. 2.1.2 der Verfügung vom 29. Mai 2008) nicht bereit zu sein scheint, diese Erwägungen vollständig und genau zur Kenntnis zu nehmen. Soweit überhaupt neu erscheinende Gesichtspunkte erwähnt werden, sind diese offensichtlich irrelevant: Unerfindlich ist, wie die Klägerin aus dem Urteil 1B_242/2007 vom 28. April 2008 (neue) Schlussfolgerungen für die Beurteilung der Ausstandsfrage im Zusammenhang mit abgewiesenen Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege ableiten will, nachdem sich der für jenes Urteil entscheidenden Erwägung 2.6 zu dieser Problematik nichts entnehmen lässt, vielmehr diesbezüglich in Erwägung 2.3 am Ende vorbehaltlos auf <ref-ruling> verwiesen wird. Ebenso unerfindlich ist, auch im Lichte der Ausführungen in der Verfügung vom 29. Mai 2008 (E. 2.1.1 und 2.1.2 je am Ende), inwiefern <ref-law> den Beizug von Bundesrichter Aemisegger untersagt hätte. Schliesslich ist der Hinweis der Klägerin, sie habe nur ein Sistierungsgesuch gestellt, was bei der Höhe des Vorschusses hätte berücksichtigt werden müssen, unbehelflich. Einerseits wurde ihr bereits früher erläutert, dass über eine Sistierung erst nach Eingang des Kostenvorschusses (der für das Klageverfahren erhoben wird) entschieden würde; vor Bundesgericht kann denn auch nicht einfach ein "Sistierungsverfahren" eröffnet werden; Voraussetzung für eine Sistierung ist ein hängiges Klage- oder Beschwerdeverfahren. Andererseits ist ihre heutige Darstellung schon angesichts der ausdrücklichen Klageanträge in der Rechtsschrift vom 4. April 2008 und besonders der Formulierung des dortigen Sistierungsantrags Ziff. 5 nicht nachvollziehbar.
Die Rechtsschrift vom 27. Juni 2008 erscheint als Ausdruck von Unbelehrbarkeit und grenzt an Rechtsmissbrauch. Es musste der rechtskundig vertretenen Klägerin angesichts der bisherigen Verfahrensschritte und namentlich von E. 2.5 der Verfügung vom 29. Mai 2008 bewusst sein, dass sich - ungeachtet ihrer allfälligen Bedürftigkeit - auf diese Weise weder ein Verzicht auf die Kostenvorschusspflicht oder die Herabsetzung der Vorschusssumme noch auch nur ein - weiterer - Zahlungsaufschub herbeiführen lässt.
2.3 Der Kostenvorschuss ist innert der vom Abteilungspräsidenten angesetzten Nachfrist nur zu einem geringen Teil bezahlt worden. Zu dieser Nachfristansetzung war er nach Erledigung des Ausstandsbegehrens mit Verfügung vom 29. Mai 2008 ermächtigt; dass sich mit den neuen Ausführungen in der Rechtsschrift vom 27. Juni 2008 kein neues Ausstandsbegehren begründen lässt und sie kein Zurückkommen auf den Ausstandsentscheid erlauben, ist vorstehend dargelegt worden. Taugliche Gründe für die Säumnis sind nicht vorgetragen worden, sodass androhungsgemäss gestützt auf <ref-law> auf die Klage nicht einzutreten ist. Das Sistierungsgesuch wird damit gegenstandslos.
2.4 Da das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen worden ist, sind die Gerichtskosten (<ref-law>) der unterliegenden Klägerin aufzuerlegen (<ref-law>). Bei der Berechnung der Gerichtsgebühr ist dabei einerseits der finanziellen Lage der Klägerin, andererseits der unverhältnismässigen, unnötigen Aufwand verursachenden Art der Prozessführung des Anwalts der Klägerin Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Ausstandsbegehren vom 27. Juni 2008 wird nicht eingetreten.
2. Auf die Klage wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Klägerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. August 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller