Sachverhalt:
A. B._ (Jg. 1963) verlor seine Stelle im Zustelldienst des Unternehmens X._ und war anschliessend ab Juni 2003 arbeitslos. Am 31. März 2004 kam es zu einer Auffahrkollision, als er mit seinem Personenwagen vor einem Rotlicht wartete und die Lenkerin des nachfolgenden Fahrzeugs nicht mehr rechtzeitig abbremsen konnte. Der am nächsten Tag aufgesuchte damalige Hausarzt Dr. med. E._ diagnostizierte eine Distorsion der Halswirbelsäule und bescheinigte für die Zeit bis 21. April 2004 eine vollständige und danach für mindestens zwei Wochen noch eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) kam für die Heilbehandlung auf und richtete Taggelder aus. Am 2. Mai 2005 verfügte sie die Einstellung ihrer Leistungen auf das Ende des Monats hin, kam in der Folge jedoch darauf nochmals zurück und veranlasste eine Abklärung im medizinischen Institut Y._, welches am 7. Juli 2006 Bericht erstattete. Mit Verfügung vom 10. Januar 2007 stellte die SUVA ihre Leistungen wiederum auf das Ende des laufenden Monats hin ein, weil die geklagten Beschwerden organisch nicht hinreichend nachweisbar seien und überdies auch nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 31. März 2004 stünden. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 12. November 2007 fest.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies die hiegegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 20. März 2009 ab.
C. B._ erhebt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Begehren um Aufhebung des kantonalen Entscheids und Gewährung der gesetzlichen Leistungen, namentlich Heilungskosten und Taggelder über den 31. Januar 2006 hinaus, eventuell eine Invalidenrente entsprechend "des konkreten Invalidengehalts beim Unternehmen X._" und eine mindestens 15%ige Integritätsentschädigung.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Unter Berücksichtigung der Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es indessen grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind, und ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese nicht mehr aufgegriffen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht auch in unfallversicherungsrechtlichen Beschwerdeverfahren nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 196 ff.).
2. 2.1 Das kantonale Gericht hat die für die Beurteilung der streitigen Leistungsansprüche nach Gesetz und Rechtsprechung massgebenden Grundlagen, soweit hier von Bedeutung, zutreffend dargelegt, worauf verwiesen wird.
2.2 Unbestrittenermassen hat der Beschwerdeführer bei seinem Unfall vom 31. März 2004 eine Distorsion der Halswirbelsäule erlitten, worauf innert der Latenzzeit von maximal 72 Stunden (SVR 2009 UV Nr. 23 S. 105 [E. 5.2 S. 107]) das bei solchen Verletzungen oftmals beobachtete und daher als typisch bezeichnete Beschwerdebild zumindest teilweise aufgetreten ist. Das kantonale Gericht stellte nach eingehender Prüfung der medizinischen Unterlagen fest, dass - abgesehen von ohnehin nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit unfallkausalen degenerativen Prozessen - keine objektivierbaren Beschwerden vorliegen, welche mit dem versicherten Unfallereignis in einem ursprünglichen Zusammenhang stehen würden; allfällige Verschlimmerungen eines Vorzustandes würden erfahrungsgemäss längstens ein Jahr andauern, weshalb auch sie keine Leistungspflicht des Unfallversicherers begründen könnten. Die Vorinstanz prüfte daher die Adäquanz der noch geklagten Beschwerden, wobei sie in der - nicht bezweifelten - Diagnose einer somatoformen Schmerzstörung eine sekundäre Gesundheitsschädigung erblickte, welche es rechtfertige, bei der Adäquanzprüfung nach der Rechtsprechung zu psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall vorzugehen, wie sie in <ref-ruling> umschrieben worden ist. Den Einwand, der Fallabschluss sei zu früh erfolgt, verwarf sie mit der Begründung, dass auch von den im Gutachten des medizinischen Instituts Y._ in Betracht gezogenen Vorkehren keine namhafte Steigerung oder gar eine Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit zu erwarten gewesen wäre. Ausgehend von einem mittelschweren, im Grenzbereich zu den leichten Unfällen liegenden Ereignis erachtete sie von den - in ihrem Entscheid korrekt angeführten - für die Beantwortung der Adäquanzfrage massgebenden sieben Kriterien höchstens zwei, nämlich "körperliche Dauerschmerzen" sowie "Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit" knapp, jedenfalls aber nicht in besonders ausgeprägter Weise als erfüllt, womit die Adäquanz nicht als gegeben betrachtet werden könne.
3. 3.1 Die Vorbringen des Beschwerdeführers vermögen das Fehlen organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen, welche die im Januar 2007 noch angegebenen Beschwerden erklären könnten, nicht zu widerlegen. Diesbezüglich kann der Argumentation im vorinstanzlichen Entscheid und im Einspracheentscheid der SUVA vollumfänglich beigepflichtet werden. Darin, dass ärztlicherseits, namentlich in der Expertise des medizinischen Instituts Y._ vom 7. Juli 2006, von somatischen, neuropsychologischen und psychischen Befunden die Rede ist, welche ausdrücklich als unfallkausal klassifiziert werden, kann lediglich eine Bestätigung der natürlichen Kausalität erblickt werden, welche indessen weder von der Vorinstanz noch von der SUVA je in Abrede gestellt worden ist. Auf eine ausgewiesene Organizität kann daraus nicht geschlossen werden. Eine gesonderte Adäquanzprüfung ist damit aber unumgänglich.
3.2 Soweit in der Beschwerdeschrift der Zeitpunkt des Fallabschlusses als verfrüht gerügt wird, ist mit Vorinstanz und SUVA festzuhalten, dass Anfang 2007 weder ärztliche Behandlungen, von welchen noch eine namhafte Verbesserung des Gesundheitszustandes hätte erwartet werden können, noch Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung zur Diskussion standen. Einer Leistungseinstellung stand daher insoweit nichts entgegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 und E. 4 S. 113 ff.). Die erst nach Erlass der entsprechenden Verfügung vom 10. Januar 2007 schrittweise wieder aufgenommene und offenbar vom Haftpflichtversicherer der anlässlich des Auffahrunfalles vom 31. März 2004 fehlbaren Automobilistin mit einem externen Case Management durch die M._ AG unterstützte erwerbliche Betätigung beim Unternehmen X._ ändert daran nichts.
3.3 Inwiefern die vorinstanzliche Prüfung der Adäquanzfrage nach der für psychische Unfallfolgen geltenden Rechtsprechung (sog. Psycho-Praxis; <ref-ruling>) gerechtfertigt war, braucht nicht abschliessend geklärt zu werden, wenn - wie hier - selbst die Anwendung der bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der Halswirbelsäule sowie Schädel-Hirntraumen (sog. Schleudertrauma-Praxis; <ref-ruling>) einschliesslich der dort neu umschriebenen Adäquanzkriterien zu deren Verneinung und damit zum selben Ergebnis führt. Der Unterschied besteht darin, dass die Adäquanzkriterien nach der Psycho-Praxis unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft werden, während nach der Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (<ref-ruling> E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
3.3.1 Klarerweise nicht erfüllt sind die Kriterien "besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls" (<ref-ruling> E. 10.2.1 S. 127), "Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen" (<ref-ruling> E. 10.2.2 S. 127 f.), "ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert" (<ref-ruling> E. 10.2.5 S. 129) sowie "schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen" (<ref-ruling> E. 10.2.6 S. 129). Diesbezüglich können die vorinstanzlichen Überlegungen bei der Prüfung der Adäquanzkriterien nach der Psycho-Praxis gleichermassen auch für die entsprechenden Kriterien nach der Schleudertrauma-Praxis Geltung beanspruchen.
Was der Beschwerdeführer demgegenüber vorbringt, führt im Ergebnis nicht zu einer von der vorinstanzlichen Betrachtungsweise abweichenden Erkenntnis. Von einer besonderen Eindrücklichkeit oder gar dramatischen Begleitumständen kann jedenfalls nicht gesprochen werden, nur weil der Beschwerdeführer seine einjährige Tochter im Unfallwagen mitführte. Zutreffend mag zwar sein, dass das Kriterium "Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen" allenfalls als erfüllt qualifiziert werden könnte, wenn die Halswirbelsäule nach einem früheren Schleudertrauma bei einem neuerlichen Unfall ein weiteres Mal geschädigt wird (vgl. Urteil 8C_477/2008 vom 19. Dezember 2008, E. 6.1). Auch gilt es nach der Rechtsprechung zu beachten, dass die Distorsion einer bereits erheblich vorgeschädigten Wirbelsäule speziell geeignet ist, die nach einem Schleudertrauma typischen Symptome hervorzurufen, weshalb sie als Verletzung besonderer Art qualifiziert werden kann (Urteil 8C_785/2007 vom 11. Juni 2008 E. 4.4 mit Hinweis). Eine solche Vorschädigung ist beim Beschwerdeführer jedoch angesichts der unterschiedlichen ärztlichen Meinungsäusserungen nicht eindeutig erstellt. Kommt hinzu, dass die Bedeutung degenerativer Erscheinungen etwa im Gutachten des medizinischen Instituts Y._ vom 7. Juli 2006 als gering und das Ausmass solcher Beschwerden von Dr. med. G._ vom Zentrum Z._ am 14. September 2004 als leicht eingestuft werden. Von einer erheblichen Vorschädigung im Sinne der erwähnten Rechtsprechung kann unter diesen Umständen nicht gesprochen werden. Keine Rede kann sodann von ärztlicher Fehlbehandlung und einem mit erheblichen Komplikationen verbundenen Heilungsverlauf sein. Eine "fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung" (<ref-ruling> E. 10.2.3 S. 128) lag ebenfalls nicht vor. Auch diesbezüglich können die zutreffenden vorinstanzlichen Erwägungen im Rahmen der Adäquanzprüfung nach der Psycho-Praxis auf die nach der Schleudertrauma-Praxis vorzunehmende Prüfung übertragen werden.
3.3.2 Damit verbleiben lediglich die Kriterien "erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen" (<ref-ruling> E. 10.2.7 S. 129 f.) und "erhebliche Beschwerden" (<ref-ruling> E. 10.2.4 S. 128), bei welchen die Vorinstanz bei ihrer Adäquanzprüfung nach der Psycho-Praxis psychisch bedingte Beeinträchtigungen ausgeklammert hat, was bei der Adäquanzprüfung nach der Schleudertrauma-Praxis nicht angeht (E. 3.3 hievor, Ingress). Auch wenn indessen unter Mitberücksichtigung psychisch begründeter Aspekte diese beiden Kriterien als erfüllt betrachtet werden könnten, wäre die Adäquanz bei dem von der Vorinstanz - nicht wie in der Beschwerdeschrift fälschlicherweise behauptet als mittelschwer - sondern mit Recht als mittelschwer, aber im Grenzbereich zu den leichten Unfällen liegenden Ereignis zu verneinen.
3.4 Unbegründet ist schliesslich die beschwerdeführerische Forderung, wonach die SUVA, selbst wenn die psychischen Beschwerden nicht als (adäquat) unfallkausal gelten, zumindest "unter Berücksichtigung der Auswirkungen der somatischen/neuropsychologischen Beschwerden auf die Arbeitsfähigkeit" Leistungen zu erbringen habe. Es ist zwar einzuräumen, dass der kantonale Entscheid insoweit nicht ganz klar ist, als daraus nicht hervorgeht, ob die vorgenommene Adäquanzprüfung nur bezüglich der als sekundäre psychische Gesundheitsschädigung qualifizierten somatoformen Schmerzstörung gelten soll und wie gegebenenfalls bezüglich der Auswirkungen der nicht dazu zu zählenden Beschwerden zu verfahren wäre. Die Vorinstanz scheint auch diesbezüglich von der Anwendung der Psycho-Praxis ausgegangen zu sein, hält dies aber nirgends ausdrücklich fest. Diesem Aspekt braucht indessen nicht weiter nachgegangen zu werden. Da es sich - mit Ausnahme der ohnehin nicht natürlich unfallkausalen degenerativen Befunde - durchwegs um organisch nicht objektivierbare Klagen handelt, steht jedenfalls das Erfordernis einer gesonderten Adäquanzprüfung fest, welche - wie gesehen (E. 3.3 hievor) - selbst nach der Schleudertrauma-Praxis keinen Leistungsanspruch zu begründen vermag.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten vom Beschwerdeführer als unterliegender Partei zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. August 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl