Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 9. Mai 1956) reiste im Jahre 1999 zusammen mit ihrem 1990 geborenen Sohn B._ aus Montenegro in die Schweiz ein zu ihrem hier niedergelassenen Ehemann, mit dem sie bereits seit 1978 verheiratet war. Sie erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei ihrem Ehemann, während der Sohn B._ in die Niederlassungsbewilligung des Vaters einbezogen wurde. Die Ehe wurde am 27. August 2001 geschieden, wobei B._ unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt wurde. Deren Aufenthaltsbewilligung wurde zum Verbleib beim niedergelassenen minderjährigen Kind verlängert, zuletzt bis zum 18. Mai 2012.
A.b. Seit dem 7. Dezember 2001 wurde A._ von der Sozialhilfe unterstützt, bis Juli 2012 mit insgesamt Fr. 237'515.80. Mit Verfügung vom 29. Juli 2009 wurde sie deshalb ausländerrechtlich verwarnt.
A.c. Mit Verfügung vom 21. August 2012 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich ein Gesuch von A._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und setzte ihr Frist zum Verlassen der Schweiz.
B.
Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel wurden abgewiesen (Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 24. Juni 2013; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. Dezember 2013).
C.
A._ erhebt mit Eingabe vom 24. Februar 2014 "Beschwerde" an das Bundesgericht mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts, mithin die Wegweisungsverfügung sei aufzuheben und es sei ihr die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventuell sei die Vorinstanz anzuhalten, über die Aufenthaltsbewilligung zu entscheiden.
Mit Verfügung des präsidierenden Mitglieds der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 27. Februar 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und das Bundesamt für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde, die Sicherheitsdirektion verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG). Eine falsche Bezeichnung des Rechtsmittels schadet nicht, sofern die Voraussetzungen des zutreffenden Rechtsmittels erfüllt sind. Die Beschwerdeführerin hat "Beschwerde" eingereicht; sie geht davon aus, dass es sich um eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde handelt, da die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 und 4 unzulässig sei. Nach diesen Bestimmungen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt, sowie betreffend die Wegweisung. Ein gesetzlicher Anspruch auf die beantragte Aufenthaltsbewilligung besteht offensichtlich nicht, insbesondere auch nicht nach Art. 50 AuG, da das eheliche Zusammenleben mit dem Ehemann in der Schweiz weniger als drei Jahre gedauert hat und auch keine wichtigen Gründe nach Art. 50 Abs. 1 lit. b bzw. Abs. 2 AuG geltend gemacht werden. Die Beschwerdeführerin beruft sich allerdings auf einen Aufenthaltsanspruch gemäss Art. 8 EMRK, was - sofern in vertretbarer Weise geltend gemacht - zur Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen würde (<ref-ruling> E. 1.1 S. 332; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3. S. 500 f.). Da sie sich aber in der Sache einzig auf verfassungsmässige Rechte (Art. 12 und 13 BV, Art. 8 EMRK, Art. 17 UNO-Pakt II) beruft, deren Verletzung in gleicher Weise im Rahmen einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wie einer Verfassungsbeschwerde gerügt werden kann (Art. 95 lit. a und Art. 116 BGG), und da die Begründungs- bzw. Rügeanforderungen diesbezüglich in beiden Rechtsmitteln dieselben sind (Art. 106 Abs. 2 und Art. 117 BGG), kann offen bleiben, welches das zutreffende Rechtsmittel ist.
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde, es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 bzw. 116 BGG (Art. 105 bzw. 118 BGG; <ref-ruling> E. 10.1 S. 445; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5 S. 401). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG). Solche Rügen sind klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen. Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 3.8 S. 144; <ref-ruling> E 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60; Urteil 2C_814/2013 vom 3. März 2014 E. 1.6.2). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde darzutun ist (Art. 99 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 1.6 S. 378; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 128 f.; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 226).
3.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung der Privatsphäre (Art. 13 BV, Art. 8 EMRK, Art. 17 Uno-Pakt II).
3.1. Die Vorinstanz geht davon aus, dass sich die Beschwerdeführerin aufgrund ihres Zusammenlebens mit ihrer Familie (zwei volljährige Söhne, Ehefrau des älteren Sohnes sowie Enkelkind) und namentlich aufgrund ihrer emotional besonders engen Verbindung zu ihrem jüngeren Sohn B._ auf den Schutz des Privatlebens gemäss Art. 8 EMRK berufen könne. Doch sei der Eingriff in das Privatleben gestützt auf Art. 62 lit. e AuG aufgrund der dauerhaften und erheblichen Fürsorgeabhängigkeit gerechtfertigt.
3.2. Ob sich die Beschwerdeführerin wirklich auf den Schutzbereich des Privat- und Familienlebens berufen kann, ist für den Ausgang des Verfahrens unerheblich, sofern sich zeigt, dass die Voraussetzungen für eine Einschränkung dieses Anspruchs erfüllt sind.
3.3. Nach Art. 62 lit. e AuG kann die zuständige Behörde die Bewilligung widerrufen (bzw. verweigern), wenn die ausländische Person oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist. Dieser Widerrufs- bzw. Verweigerungsgrund kann auch Einschränkungen eines aus Art. 8 EMRK abgeleiteten Aufenthaltsrechts rechtfertigen (Urteil des EGMR Hasanbasic g. Schweiz vom 11. Juni 2013 [Nr. 52166/09] § 59; <ref-ruling> E. 4.2 S. 341 f.; Urteile 2C_674/2013 vom 23. Januar 2014 E. 4.3; 2C_508/2009 vom 20. Mai 2010 E. 4.2).
3.4. Beim Widerruf bzw. der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung eines Ausländers wegen Bedürftigkeit geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche und damit künftige Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu vermeiden. Nach der Rechtsprechung ist für die Bejahung dieses Widerrufsgrundes eine konkrete Gefahr der Sozialhilfeabhängigkeit erforderlich. Ob eine solche vorliegt, ist allerdings kaum je mit Sicherheit feststellbar. Es muss daher auf die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung beim Ausländer abgestellt werden. Die Gefahr einer Sozialhilfeabhängigkeit fällt in Betracht, wenn eine Person bisher hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt sorgen wird (<ref-ruling> E. 3c S. 8; Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.1; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.3; 2C_358/2011 vom 28. November 2011 E. 3.3; je mit Hinweisen).
3.5. Die Vorinstanz hat festgestellt und erwogen, die Beschwerdeführerin habe von Dezember 2001 bis April 2009 Fr. 170'421.-- an Sozialhilfe bezogen, was am 29. Juli 2009 zu einer migrationsrechtlichen Verwarnung geführt habe. Trotzdem hätten sich ihre Sozialhilfebezüge bis zum Juli 2012 auf insgesamt Fr. 236'515.80 erhöht. Die behauptete, seit kurzem ausgeübte Teilzeiterwerbstätigkeit sei unbelegt und unglaubhaft. Zwar habe die Beschwerdeführerin ab November 2012 keine Sozialhilfe mehr bezogen, da sie jetzt bei ihrem Sohn und ihrer Schwiegertochter wohne, welche für ihren Lebensunterhalt aufkämen. Dieser Verzicht sei aber während des hängigen Rekursverfahrens und damit offenkundig unter dem Druck der drohenden Wegweisung erfolgt. Dafür spreche auch, dass die Dreizimmerwohnung, in der die Beschwerdeführerin mit Söhnen, Schwiegertochter und Enkel lebe, überbelegt sei und in Zukunft eine teurere Wohnung notwendig werde. Sohn und Schwiegertochter würden gemeinsam Fr. 5'900.-- pro Monat verdienen und seien längerfristig nicht in der Lage, für sämtliche Auslagen der Beschwerdeführerin aufzukommen. Die von ihnen unterzeichnete Zahlungsverpflichtung entfalte nur eine beschränkte rechtliche Wirkung. Zudem wäre die Beschwerdeführerin in der Lage gewesen, nach der Scheidung eine Erwerbstätigkeit auszuüben, doch habe sie sich nicht ernsthaft um eine Beschäftigung bemüht. Es bestehe damit die ernsthafte Gefahr, dass sie in Zukunft erneut auf Unterstützungsleistungen der öffentlichen Hand angewiesen sein werde. Die Beschwerdeführerin sei erst im Alter von 43 Jahren in die Schweiz eingereist und habe den grössten Teil ihres Lebens in Montenegro verbracht, wo auch zwei Brüder und eine Schwester lebten; sie reise einmal jährlich nach Montenegro und sei mit den Gebräuchen der Heimat nach wie vor vertraut. Demgegenüber sei sie in der Schweiz weder beruflich noch sozial integriert und kenne ausser ihren nächsten Verwandten niemanden. Eine Rückkehr nach Montenegro sei ihr daher zumutbar.
3.6. Die Beschwerdeführerin macht geltend, eine Gefahr, dass sie erneut materielle Hilfe werde beziehen müssen, bestehe nicht. Dies ist - anders als etwa das Fehlen einer bisherigen Erwerbstätigkeit oder das Fehlen eines ernsthaften Bemühens um eine solche - eine frei überprüfbare Rechtsfrage; es ist aber aufgrund des durch die Vorinstanz - grundsätzlich verbindlich (vorne E. 2) - festgestellten Sachverhalts zu beantworten, ob der Tatbestand von Art. 62 lit. e Aug erfüllt ist. Die Einwände der Beschwerdeführerin sind nicht geeignet, diese Feststellungen (vorne E. 3.5) in Frage zu stellen: Die in diesem Zusammenhang vorgelegten Erklärungen von Personen, welche sich bereit erklären, für jegliche inskünftig anfallenden finanziellen Verpflichtungen der Beschwerdeführerin zu bürgen, erfüllen offensichtlich die Formvorschriften einer Bürgschaft (Art. 493 OR) nicht und sind deshalb rechtlich nicht durchsetzbar. Das Vorbringen, sie habe sich durchaus um Arbeit bemüht, substantiiert die Beschwerdeführerin nicht. Insgesamt sind die von der Vorinstanz getroffenen Sachverhaltsfeststellungen nicht offensichtlich unrichtig und daher für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 bzw. 118 BGG, vorne E. 2).
3.7. Auf dieser sachverhaltlichen Grundlage erweist sich der angefochtene Entscheid auch in rechtlicher Hinsicht als zutreffend:
3.7.1. Vorab vermag das Argument, die Beschwerdeführerin habe seit November 2012 den Tatbeweis erbracht, dass sie auf Sozialhilfe verzichtet habe, die vorinstanzliche Würdigung nicht in Frage zu stellen, dies sei unter dem Eindruck der drohenden Wegweisung erfolgt.
3.7.2. Sodann erfüllen die während rund 11 Jahren aufgelaufenen Sozialhilfekosten von fast 240'000 Franken sogar die Voraussetzungen eines dauerhaften und erheblichen Angewiesenseins auf Sozialhilfe im Sinne von Art. 63 lit. c AuG (vgl. Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5.2) und umso mehr die weniger strengen (zit. Urteil 2C_1228/2012 E. 2.2) Voraussetzungen von Art. 62 lit. e AuG.
3.7.3. Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie sei unfreiwillig in die Situation gekommen, weil sie nach der Scheidung ein minderjähriges Kind habe betreuen müssen. Nur die Situation als alleinerziehende Mutter habe sie zum Bezug von Sozialhilfe gezwungen. Indessen war der jüngste Sohn bei der Scheidung bereits elf Jahre alt.
Im bereits genannten Urteil 2C_1228/2012 (E. 5.3 und 5.4) hat das Bundesgericht ausländerrechtlich die sozialversicherungs- und sozialhilferechtliche Betrachtungsweise beigezogen und erwogen, auch einer alleinerziehenden Mutter könne etwa nach dem 3. Altersjahr des Kindes grundsätzlich eine Erwerbstätigkeit zugemutet werden. Gleichzeitig hat das Bundesgericht ausgeführt, entscheidwesentlich im Rahmen von Art. 62 lit. e AuG könne darüber hinaus auch sein, mit welchen Fremdbetreuungskosten der alleinerziehende Elternteil zu rechnen habe, wenn die Migrationsbehörden von ihm verlangten, sich zwecks Nichtwiderruf bzw. zwecks Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von der Sozialhilfeabhängigkeit zu lösen. Massgebend ist jedenfalls die konkrete Situation (Erwerbs- bzw. Betreuungsmöglichkeiten) des Alleinerziehenden, und für die Auslegung von Art. 62 lit. e AuG ist nicht die scheidungsrechtliche Praxis anzuwenden, welche nach einer lebensprägenden Ehe bei einer Mutter, die sich bisher dem Haushalt und der Kindererziehung gewidmet hat, als Richtlinie die Neu-Aufnahme einer Erwerbstätigkeit erst nach dem 10. Altersjahr des jüngsten Kindes als zumutbar erachtet (<ref-ruling> E. 3.2 S. 102; <ref-ruling> E. 4.2.2.2 S. 109; <ref-ruling> E. 3c S. 6).
Nach dem Gesagten wäre der Beschwerdeführerin angesichts des Alters ihres Kindes (11 Jahre) zumindest eine Teilzeitbeschäftigung zumutbar gewesen. Sie hat sich aber nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz auch nach längerer Zeit nicht ernsthaft um Aufnahme einer Arbeit bemüht, selbst dann nicht, als sie im Juli 2009 deswegen verwarnt wurde und der Sohn bereits volljährig war. Die Argumentation, sie habe nur wegen der Erziehungspflichten nicht gearbeitet, kann daher nicht überzeugen.
3.7.4. Die Beschwerdeführerin bringt sodann vor, wenn sie ausgewiesen werde, wäre sie nicht mehr in der Lage, die bezogene materielle Hilfe zurückzubezahlen, während diese Möglichkeit immer noch bestehe, wenn sie in der Schweiz bleibe. Nachdem aber die Gefahr einer künftigen Sozialhilfeabhängigkeit besteht (vorne E. 3.5 und 3.6), bestehen keine ernsthaften Aussichten, dass sie die aufgelaufenen Sozialhilfebeiträge jemals zurückbezahlen könnte, auch wenn sie in der Schweiz verbliebe.
3.7.5. Gegen die Zumutbarkeit der Rückreise nach Montenegro bringt die Beschwerdeführerin hauptsächlich vor, ihre dort lebenden Verwandten seien nicht in der Lage, sie zu unterstützen. Das ist indessen auch nicht erforderlich: Als erwachsene und gesundheitlich gemäss Feststellung der Vorinstanz nicht in der Erwerbsfähigkeit eingeschränkte Frau kann sie für sich selber sorgen, wie alle anderen gesunden Erwachsenen, die in Montenegro leben. Soweit die in der Schweiz lebenden Familienangehörigen die Beschwerdeführerin hier finanziell unterstützen, ist dies zudem auch möglich, wenn sie in Montenegro lebt.
3.7.6. Unter diesen Umständen überwiegt das öffentliche Interesse an einer Vermeidung einer finanziellen Belastung der öffentlichen Hand das Interesse der Beschwerdeführerin am Zusammenleben mit ihren erwachsenen Familienmitgliedern und ihrem Enkel, zumal die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung nicht mit einer Einreisesperre gleichzusetzen ist und besuchsweise Kontakte nach wie vor möglich bleiben.
4.
Zu Unrecht beruft sich die Beschwerdeführerin sodann auf Art. 12 BV: Aus dieser Bestimmung ergibt sich ein Anspruch auf Nothilfe, und zwar selbst für Personen, die sich ohne Bewilligung in der Schweiz aufhalten (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 3.1). Umgekehrt lassen sich aber daraus, dass jemand Sozialhilfe bezogen hat, keine Rechtsansprüche auf Aufenthalt ableiten.
5.
Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet. Die Beschwerdeführerin trägt die Kosten des Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, I. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Oktober 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein