Sachverhalt:
A. A.a X._ (Beschwerdeführer) wurde am 15. April 1996 am Kantonsspital St. Gallen am linken Handgelenk operiert. Am 25. November 1997 gelangte er an das Justizdepartement des Kantons St. Gallen und reichte ein Schadenersatzbegehren gemäss kantonalem Verantwortlichkeitsgesetz (Gesetz über die Haftung der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten vom 7. Dezember 1959; sGS 161.1; VG) ein. Dieses Verfahren wurde vom Bezirksamt St. Gallen mit Verfügung vom 8. Dezember 1997 bis auf weiteres sistiert. Am 27. Oktober 2003 wandte sich der Beschwerdeführer erneut mit einem Schadenersatzbegehren an das Justizdepartement. Am 25. November 2003 wurde daraufhin der Vermittlungsvorstand anbegehrt und am 15. März 2004 die Klage beim Kreisgericht St. Gallen eingereicht.
A.b Das im Verfahren vor dem Kreisgericht St. Gallen gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege lehnte die Präsidentin der 2. Abteilung des Kreisgerichts St. Gallen mit Entscheid vom 2. Juni 2004 wegen Aussichtslosigkeit ab. Den vom Beschwerdeführer gegen diesen Entscheid erhobenen Rekurs wies die Präsidentin der III. Zivilkammer mit Entscheid vom 29. Dezember 2004 ab.
Der Beschwerdeführer bezahlte daraufhin die Einschreibgebühr, nicht aber die ihm in der Folge vom Kreisgericht St. Gallen auferlegte Sicherheitsleistung. Demzufolge trat das Kreisgericht St. Gallen mit Entscheid vom 28. April 2005 auf die Klage nicht ein.
A.c Am 17. November 2006 ersuchte der Beschwerdeführer das Vermittleramt St. Gallen um Durchführung eines Vermittlungsvorstands. Dabei verlangte der Beschwerdeführer, der Kanton St. Gallen sei zu verpflichten, ihm eine Genugtuung in der Höhe von mindestens Fr. 25'000.-- und Schadenersatz nach Ausgang des Beweisverfahrens, jedoch mindestens Fr. 35'000.--, beides nebst Zins, zu bezahlen. Nachdem keine Einigung zustande gekommen war, machte der Beschwerdeführer am 23. Juli 2007 die Klage beim Kreisgericht St. Gallen anhängig und stellte gleichzeitig das Begehren um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung für dieses Verfahren.
Mit Entscheid vom 9. November 2007 wies die Präsidentin der 3. Abteilung des Kreisgerichts St. Gallen das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ab. Gegen diesen Entscheid reichte der Beschwerdeführer beim Kantonsgericht Rekurs ein.
B. Die Präsidentin der III. Zivilkammer als Einzelrichterin des Kantonsgerichts St. Gallen wies den Rekurs mit Entscheid vom 13. Februar 2008 ab. Zur Begründung der Aussichtslosigkeit erwog das Gericht, der Anspruch sei nach Art. 4 Abs. 1 VG in seiner massgebenden Fassung vor Inkrafttreten des II. Nachtragsgesetzes vom 26. Mai 2000 (aVG) verwirkt. Da das vom Beschwerdeführer behauptete schädigende Ereignis mehr als zehn Jahre zurückliege, sei seine Klagemöglichkeit absolut verwirkt.
C. Gegen den Entscheid der Präsidentin der III. Zivilkammer als Einzelrichterin des Kantonsgerichts St. Gallen vom 13. Februar 2008 hat der Beschwerdeführer beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt, der Entscheid der Vorinstanz sei aufzuheben und dem Beschwerdeführer sei im Verfahren vor dem Kreisgericht St. Gallen die unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung zu gewähren. Ausserdem beantragt er die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung auch für das Verfahren vor Bundesgericht.
Die kantonalen Akten wurden beigezogen. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein in einem hängigen kantonalen Verfahren ergangener letztinstanzlicher Zwischenentscheid über die unentgeltliche Rechtspflege. Solche Entscheide bewirken in der Regel einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 131 mit Hinweis). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (Urteile des Bundesgerichts 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007, E. 1.2; 5A_85/2007 vom 17. April 2007, E. 1.2). Der Streitwert bestimmt sich dabei nach den Begehren, die vor der Instanz streitig sind, wo die Hauptsache hängig ist (<ref-law>). Im vorliegenden Fall betrifft die Hauptsache eine Angelegenheit medizinischer Staatshaftung (Art. 31 Abs. 1 lit. d des Reglements für das Bundesgericht, BGerR [173.110.131]), die in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht (<ref-law>). Der Streitwert beträgt über Fr. 30'000.--, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen zulässig ist (<ref-law>). Diese steht damit auch gegen den Zwischenentscheid über die unentgeltliche Rechtspflege offen. Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde (<ref-law>) ist daher unter Vorbehalt zulässiger Rügen (<ref-law>) und gehöriger Begründung (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) einzutreten.
2. 2.1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 mit Hinweisen). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2).
2.2 Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law> sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK vorbringt, kann darauf nicht eingetreten werden, da diese Rügen nicht näher begründet werden.
Auch die Rüge, die Vorinstanz habe Art. 4 VG willkürlich ausgelegt bzw. angewendet, wird nicht rechtsgenügend begründet. So wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz unter anderem vor, widersprüchlich entschieden zu haben, ohne dies jedoch unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids näher darzulegen.
3. 3.1 Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege mit der Begründung verweigert, seine Klage sei aussichtslos. Sie ist davon ausgegangen, dass nach der Rechtsprechung Prozessbegehren als aussichtslos anzusehen sind, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Sie hat dargelegt, dass ein Begehren dagegen nicht als aussichtslos gelte, wenn sich die Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend sei demnach, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfüge, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen oder davon absehen würde.
Der Beschwerdeführer beanstandet diese zutreffende Wiedergabe der Rechtsprechung zu <ref-law> zu Recht nicht. Er bringt hingegen vor, die Vorinstanz habe seine Klage zu Unrecht als von vornherein aussichtslos angesehen. Zu beurteilen ist demnach, ob die Vorinstanz unzutreffend angenommen hat, eine Partei mit den nötigen Mitteln hätte die Klage bei vernünftiger Überlegung nicht angestrengt.
3.2 Was der Beschwerdeführer gegen die rechtliche Beurteilung seiner Klage einwendet, überzeugt nicht. Die Vorinstanz hat mit ausführlicher Begründung dargelegt, dass es sich bei den in Art. 4 Abs. 1 aVG festgesetzten Fristen um Verwirkungsfristen handelt, die - anders als Verjährungsfristen - nicht unterbrochen werden können. Dabei hat sich die Vorinstanz auf die bisherige Rechtsprechung sowohl des Kantonsgerichts (Urteil vom 10. Mai 1984, GVP 1984 Nr. 2 E. 2) als auch des Kassationsgerichts (Urteil vom 23. Mai 1996, GVP 1996 Nr. 5) zu dieser Frage gestützt. Nach einem früher ergangenen Bundesgerichtsentscheid, auf den sich die Vorinstanz beruft, handelt es sich bei der Frist von Art. 4 aVG eher um eine Verjährungsfrist. Das Bundesgericht hat die Frage im konkreten Fall zwar offen gelassen, jedoch entscheidend darauf abgestellt, dass nach dem Verantwortlichkeitsgesetz des Kantons St. Gallen auf jeden Fall der unbenützte Ablauf der Frist materiell auf die Forderung einwirkt und eine Unterbrechung nicht möglich ist (Urteil des Bundesgerichts vom 10. Dezember 1982, GVP 1982 Nr. 3 E. 4c).
Der Beschwerdeführer hält dem angefochtenen Entscheid diesbezüglich lediglich entgegen, es stehe im Verantwortlichkeitsgesetz nirgends, dass Art. 4 aVG eine Verwirkung vorsehe; vielmehr handle es sich um eine Verjährungsfrist, die mehrfach unterbrochen worden sei. Angesichts der bestehenden kantonalen Praxis, wonach es sich bei den Fristen von Art. 4 Abs. 1 aVG um Verwirkungsfristen handelt, die nicht unterbrochen werden können, hat die Vorinstanz die Klage des Beschwerdeführers zutreffend für aussichtslos erklärt und ihm die unentgeltliche Rechtspflege ohne Verletzung von <ref-law> verweigert. Auch der sinngemäss geäusserte Einwand des Beschwerdeführers, die Höhe des Schadens stehe noch gar nicht fest, da er bei seinem Unfallversicherer erst letztes Jahr eine Rente beantragt habe, ist unbehelflich. Seine Auffassung, wonach ein Schadenersatzanspruch erst dann verjährt bzw. verwirkt sein könne, wenn die Höhe des Schadens feststehe, trifft nicht zu. Beginnt die absolute Frist nämlich mit dem Eintritt des schädigenden Ereignisses, so kann die Verjährung bzw. Verwirkung mit Ablauf dieser Frist auch dann eintreten, wenn der Geschädigte seinen Schaden noch gar nicht wahrgenommen hat (<ref-ruling> E. 2b S. 151 E. 3a S. 152; <ref-ruling> E. 2c S. 138).
4. Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit die Begründung den formellen Anforderungen überhaupt genügt. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend, wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Nach <ref-law> wird die unentgeltliche Rechtspflege auch im Verfahren vor Bundesgericht davon abhängig gemacht, dass das Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Die Vorinstanz hat klar und zutreffend dargestellt, aus welchen Gründen die Klage des Beschwerdeführers als aussichtslos zu erachten ist. Die Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege erschien von Anfang an als aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist daher abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Kantonsgericht St. Gallen, Präsidentin der III. Zivilkammer als Einzelrichterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. April 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Corboz Leemann