Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. G._ weilte vom 11. bis zum 19. April 2000 zur Behandlung eines gynäkologischen Leidens auf der allgemeinen Abteilung der Klinik X._ in Y._. Das Spital, bei dem es sich um eine auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführte, nicht öffentlich subventionierte Institution mit privater Trägerschaft handelt, und die operierenden Ärzte stellten G._ insgesamt Kosten in Höhe von Fr. 7'760.40 in Rechnung. Die Assura Kranken- und Unfallversicherung, bei welcher G._ obligatorisch krankenpflegeversichert war, erklärte sich mit Verfügung vom 6. März 2001 bereit, sich an diesen Kosten in Ermangelung eines Tarifs (vertragsloser Zustand) im Umfang einer mit dem Inselspital (Frauenklinik) Bern vereinbarten Fallpauschale von Fr. 2'117.- zu beteiligen. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 10. Mai 2001 fest.
A. G._ weilte vom 11. bis zum 19. April 2000 zur Behandlung eines gynäkologischen Leidens auf der allgemeinen Abteilung der Klinik X._ in Y._. Das Spital, bei dem es sich um eine auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführte, nicht öffentlich subventionierte Institution mit privater Trägerschaft handelt, und die operierenden Ärzte stellten G._ insgesamt Kosten in Höhe von Fr. 7'760.40 in Rechnung. Die Assura Kranken- und Unfallversicherung, bei welcher G._ obligatorisch krankenpflegeversichert war, erklärte sich mit Verfügung vom 6. März 2001 bereit, sich an diesen Kosten in Ermangelung eines Tarifs (vertragsloser Zustand) im Umfang einer mit dem Inselspital (Frauenklinik) Bern vereinbarten Fallpauschale von Fr. 2'117.- zu beteiligen. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 10. Mai 2001 fest.
B. Die von G._ gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 14. November 2001 ab.
B. Die von G._ gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 14. November 2001 ab.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt G._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und die Verpflichtung der Assura zur Bezahlung eines Betrages von Fr. 5'643.40.
Die Assura schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung, Kranken- und Unfallversicherung (seit 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit; nachfolgend: Bundesamt) stellt den Antrag, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei in dem Sinne gutzuheissen, dass der vorinstanzliche Entscheid aufgehoben und die Sache an den Krankenversicherer zurückgewiesen wird, damit dieser zu seinen Lasten G._ in einem Schiedsgerichtsverfahren vertritt.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 in Kraft getreten. Mit ihm sind zahlreiche Bestimmungen im Bereich der sozialen Krankenversicherung geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> Erw. 1), sind die neuen Bestimmungen hier nicht anwendbar (<ref-ruling> Erw. 1.2).
1. Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 in Kraft getreten. Mit ihm sind zahlreiche Bestimmungen im Bereich der sozialen Krankenversicherung geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> Erw. 1), sind die neuen Bestimmungen hier nicht anwendbar (<ref-ruling> Erw. 1.2).
2. 2.1 Gemäss Art. 129 Abs. 1 lit. b OG ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde unzulässig gegen Verfügungen über Tarife. Nach der Rechtsprechung ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde allerdings nur unzulässig gegen Verfügungen, welche den Erlass oder die Genehmigung eines Tarifs als Ganzes zum Gegenstand haben oder wenn unmittelbar einzelne Tarifbestimmungen als solche angefochten werden. Entscheidend dafür ist, dass die Gesichtspunkte, welche der Strukturierung eines Tarifs zu Grunde liegen, als nicht oder schwer justiziabel betrachtet werden. Hingegen steht die Verwaltungsgerichtsbeschwerde offen gegen Verfügungen, welche in Anwendung eines Tarifs im Einzelfall ergangen sind; dabei kann das Gericht zwar nicht den Tarif als Ganzes mit all seinen Positionen und in ihrem gegenseitigen Verhältnis auf die Gesetzmässigkeit hin überprüfen, wohl aber kann es die konkret angewandte Tarifposition ausser Acht lassen, wenn sie sich als gesetzwidrig erweist (<ref-ruling> Erw. 1, 125 V 104 Erw. 3b mit Hinweisen).
2.2 Im vorliegenden Verfahren geht es nicht um eine Tarifstreitigkeit im Sinne von Art. 129 Abs. 1 lit. b OG, sondern um die Anwendung eines Tarifes im Einzelfall. Es ist umstritten, ob die Assura in Ermangelung eines Vertrags mit den Privatspitälern im Kanton Bern und eines durch den Regierungsrat festgesetzten Tarifs den Tarif der Frauenklinik des Berner Inselspitals als Referenztarif für die Bemessung der zu vergütenden Leistungen anwenden durfte. Unter diesem Gesichtspunkt ist auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde einzutreten.
2.2 Im vorliegenden Verfahren geht es nicht um eine Tarifstreitigkeit im Sinne von Art. 129 Abs. 1 lit. b OG, sondern um die Anwendung eines Tarifes im Einzelfall. Es ist umstritten, ob die Assura in Ermangelung eines Vertrags mit den Privatspitälern im Kanton Bern und eines durch den Regierungsrat festgesetzten Tarifs den Tarif der Frauenklinik des Berner Inselspitals als Referenztarif für die Bemessung der zu vergütenden Leistungen anwenden durfte. Unter diesem Gesichtspunkt ist auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde einzutreten.
3. Im Beschwerdeverfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen ist die Überprüfungsbefugnis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nicht auf die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens beschränkt, sondern sie erstreckt sich auch auf die Angemessenheit der angefochtenen Verfügung; das Gericht ist dabei nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden und kann über die Begehren der Parteien zu deren Gunsten oder Ungunsten hinausgehen (Art. 132 OG).
3. Im Beschwerdeverfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen ist die Überprüfungsbefugnis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nicht auf die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens beschränkt, sondern sie erstreckt sich auch auf die Angemessenheit der angefochtenen Verfügung; das Gericht ist dabei nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden und kann über die Begehren der Parteien zu deren Gunsten oder Ungunsten hinausgehen (Art. 132 OG).
4. Gemäss <ref-law> übernimmt die obligatorische Krankenpflegeversicherung die Kosten für die Leistungen, die der Diagnose oder Behandlung einer Krankheit und ihrer Folgen dienen (Abs. 1). Diese Leistungen umfassen u.a. die Untersuchungen, Behandlungen und Pflegemassnahmen, die ambulant, stationär oder teilstationär durchgeführt werden (Abs. 2 lit. a) sowie den Aufenthalt in der allgemeinen Abteilung eines Spitals (Abs. 2 lit. e).
Nach <ref-law> können die Versicherten unter den zugelassenen Leistungserbringern, die für die Behandlung ihrer Krankheit geeignet sind, frei wählen.
Die Vergütung der Leistungen nach <ref-law> erfolgt nach Tarifen oder Preisen (<ref-law>). Diese werden in Verträgen zwischen Versicherern und Leistungserbringern vereinbart oder in den vom Gesetz bestimmten Fällen von der zuständigen Behörde festgesetzt (Art. 43 Abs. 4 erster Satz KVG). Leitschnur für die Tarifgestaltung ist eine qualitativ hochstehende und zweckmässige gesundheitliche Versorgung zu möglichst günstigen Kosten (<ref-law>). Der Tarifvertrag bedarf der Genehmigung durch die zuständige Kantonsregierung oder, wenn er in der ganzen Schweiz gelten soll, durch den Bundesrat (Art. 46 Abs. 4 erster Satz KVG).
Bei stationärer Behandlung muss der Versicherer die Kosten höchstens nach dem Tarif übernehmen, der im Wohnkanton der versicherten Person gilt. Beanspruchen Versicherte aus medizinischen Gründen einen anderen Leistungserbringer, so richtet sich die Kostenübernahme nach Art. 41 Abs. 2 und 3 KVG.
Bei stationärer Behandlung muss der Versicherer die Kosten höchstens nach dem Tarif übernehmen, der im Wohnkanton der versicherten Person gilt. Beanspruchen Versicherte aus medizinischen Gründen einen anderen Leistungserbringer, so richtet sich die Kostenübernahme nach Art. 41 Abs. 2 und 3 KVG.
5. 5.1 Als Spital gelten Anstalten oder deren Abteilungen, die der stationären Behandlung akuter Krankheiten oder der stationären Durchführung von Massnahmen der medizinischen Rehabilitation dienen (Art. 39 Abs. 1 Ingress KVG). Ihre Zulassung als Leistungserbringer und damit zur Tätigkeit zulasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (Art. 35 Abs. 1 und Abs. 2 lit. h KVG) setzt u.a. voraus, dass sie der von einem oder mehreren Kantonen gemeinsam aufgestellten Planung für eine bedarfsgerechte Spitalversorgung entsprechen und auf der nach Leistungsaufträgen in Kategorien gegliederten Spitalliste des Kantons aufgeführt sind, wobei private Trägerschaften angemessen in die Planung einzubeziehen sind (Art. 39 Abs. 1 lit. d und e KVG).
5.2 Für Tarifverträge mit Spitälern im Sinne von <ref-law> hat das Gesetz in <ref-law> eine Spezialregelung getroffen. Danach vereinbaren die Vertragsparteien Pauschalen für die Vergütung der stationären Behandlung einschliesslich Aufenthalt. Diese decken für Kantonseinwohner und -einwohnerinnen bei öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitälern höchstens 50 Prozent der anrechenbaren Kosten je Patient oder Patientin oder je Versichertengruppe in der allgemeinen Abteilung (Abs. 1 erster und zweiter Satz). Die Vertragsparteien können vereinbaren, dass besondere diagnostische oder therapeutische Leistungen nicht in der Pauschale enthalten sind, sondern getrennt in Rechnung gestellt werden. Die durch die Vergütung nicht gedeckten "anrechenbaren Kosten (...)" sowie nicht anrechenbaren Betriebskostenanteile aus Überkapazität, Investitionskosten sowie Kosten für Lehre und Forschung (Abs. 1 vierter Satz) gehen zulasten der öffentlichen Hand oder des subventionierenden Gemeinwesens (Botschaft vom 6. November 1991 über die Revision der Krankenversicherung, BBl 1992 I 93 ff., 127, 169 und 183 f.; Eugster, Krankenversicherungsrecht, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, S. 157 ff. Rz 303 ff.). Mit den Vergütungen nach Art. 49 Abs. 1 - 3 KVG sind alle Ansprüche des Spitals für die allgemeine Abteilung abgegolten (<ref-law>).
5.3 Kommt zwischen den Leistungserbringern und Versicherern kein Vertrag zustande oder wird ein Tarifvertrag gekündigt, ohne dass die Parteien sich auf die Vertragserneuerung einigen können, herrscht mithin ein vertragsloser Zustand, so setzt die Kantonsregierung nach Anhörung der Beteiligten den Tarif fest (<ref-law>) oder sie kann den bestehenden Vertrag um ein Jahr verlängern und, wenn innerhalb dieser Frist kein Vertrag zustande kommt, nach Anhörung der Beteiligten den Tarif selber festsetzen (<ref-law>). Beim Entscheid darüber, welchen Weg die Kantonsregierung beschreiten will, verfügt sie über ein Auswahlermessen; ihr Ermessensspielraum ist nach herrschender Praxis weit. Dabei hat sie zu beachten, dass die Bestimmung, wonach sie bei der Genehmigung von Tarifverträgen zu prüfen hat, ob diese mit dem Gesetz und dem Gebot der Wirtschaftlichkeit und Billigkeit im Einklang stehen (<ref-law>), auch bei der Tariffestsetzung im vertragslosen Zustand gilt (RKUV 2001 Nr. KV 177 S. 357 Erw. 1.1.2 mit Hinweisen).
5.3 Kommt zwischen den Leistungserbringern und Versicherern kein Vertrag zustande oder wird ein Tarifvertrag gekündigt, ohne dass die Parteien sich auf die Vertragserneuerung einigen können, herrscht mithin ein vertragsloser Zustand, so setzt die Kantonsregierung nach Anhörung der Beteiligten den Tarif fest (<ref-law>) oder sie kann den bestehenden Vertrag um ein Jahr verlängern und, wenn innerhalb dieser Frist kein Vertrag zustande kommt, nach Anhörung der Beteiligten den Tarif selber festsetzen (<ref-law>). Beim Entscheid darüber, welchen Weg die Kantonsregierung beschreiten will, verfügt sie über ein Auswahlermessen; ihr Ermessensspielraum ist nach herrschender Praxis weit. Dabei hat sie zu beachten, dass die Bestimmung, wonach sie bei der Genehmigung von Tarifverträgen zu prüfen hat, ob diese mit dem Gesetz und dem Gebot der Wirtschaftlichkeit und Billigkeit im Einklang stehen (<ref-law>), auch bei der Tariffestsetzung im vertragslosen Zustand gilt (RKUV 2001 Nr. KV 177 S. 357 Erw. 1.1.2 mit Hinweisen).
6. Gemäss <ref-law> müssen sich die Leistungserbringer an die vertraglich oder behördlich festgelegten Tarife und Preise halten und dürfen für Leistungen nach diesem Gesetz keine weiter gehenden Vergütungen berechnen (Tarifschutz). Der Tarifschutz in weit gefasster Definition umfasst die Pflicht der Leistungserbringer und der Versicherer zur Einhaltung der massgebenden Tarife und Preise sowohl im gegenseitigen als auch im Verhältnis zum Versicherten. Er findet seinen besonderen Sinn im System des Tiers garant, wo die Versicherten selber Schuldner der Vergütungen sind (Botschaft, a.a.O., BBl 1992 I 175). Im Rahmen der Tätigkeit für die soziale Krankenversicherung ist es den Leistungserbringern nicht gestattet, mit den Versicherten über die vertraglichen oder behördlichen Tarife hinaus gehende Leistungen zu vereinbaren. Der Tarifschutz ist schliesslich auch im vertragslosen Zustand zu respektieren (Eugster, a.a.O., S. 171 f. Rz 321 mit Hinweisen zu dem schon unter dem alten Recht des KUVG geltenden Grundsatz; einschränkend Rz 325 zu den sog. "Privatpatientenverhältnissen"). An den Tarifschutz müssen sich alle Leistungserbringer halten. Er gilt für alle Ärzte (angestellte oder externe Belegärzte), welche in der allgemeinen Abteilung eines Spitals (das die Zulassungsvoraussetzungen von <ref-law> erfüllt und vom Kanton auf seine Spitalliste gesetzt wurde) praktizieren, weshalb sie keine Zusatzhonorare fordern dürfen; dies unabhängig davon, ob es sich um ein öffentliches Spital oder um eine Privatklinik handelt (RKUV 2004 Nr. KV 285 S. 238 und KV 287 S. 298; für den Bereich der stationären Spitalbehandlung auf der Halbprivat- und Privatabteilung vgl. auch <ref-ruling> Erw. 2.2; für den Bereich der teilstationären Spitalbehandlung: RKUV 2005 Nr. KV 314 S. 15 f. Erw. 7.3 und 8.2.2; vgl. auch Conti, Die Pflichten des Patienten im Behandlungsvertrag, Bern 2000, S. 70 f.; derselbe, Zusatzhonorar des Arztes und KVG, in: AJP 10/2001 S. 1152; Poledna / Berger, Öffentliches Gesundheitsrecht, Bern 2002, S. 281 f. Rz 514; Longchamp, Conditions et étendue du droit aux prestations de l'assurance-maladie sociale, Diss. Lausanne, Bern 2004 S. 342 f. mit Hinweisen).
6. Gemäss <ref-law> müssen sich die Leistungserbringer an die vertraglich oder behördlich festgelegten Tarife und Preise halten und dürfen für Leistungen nach diesem Gesetz keine weiter gehenden Vergütungen berechnen (Tarifschutz). Der Tarifschutz in weit gefasster Definition umfasst die Pflicht der Leistungserbringer und der Versicherer zur Einhaltung der massgebenden Tarife und Preise sowohl im gegenseitigen als auch im Verhältnis zum Versicherten. Er findet seinen besonderen Sinn im System des Tiers garant, wo die Versicherten selber Schuldner der Vergütungen sind (Botschaft, a.a.O., BBl 1992 I 175). Im Rahmen der Tätigkeit für die soziale Krankenversicherung ist es den Leistungserbringern nicht gestattet, mit den Versicherten über die vertraglichen oder behördlichen Tarife hinaus gehende Leistungen zu vereinbaren. Der Tarifschutz ist schliesslich auch im vertragslosen Zustand zu respektieren (Eugster, a.a.O., S. 171 f. Rz 321 mit Hinweisen zu dem schon unter dem alten Recht des KUVG geltenden Grundsatz; einschränkend Rz 325 zu den sog. "Privatpatientenverhältnissen"). An den Tarifschutz müssen sich alle Leistungserbringer halten. Er gilt für alle Ärzte (angestellte oder externe Belegärzte), welche in der allgemeinen Abteilung eines Spitals (das die Zulassungsvoraussetzungen von <ref-law> erfüllt und vom Kanton auf seine Spitalliste gesetzt wurde) praktizieren, weshalb sie keine Zusatzhonorare fordern dürfen; dies unabhängig davon, ob es sich um ein öffentliches Spital oder um eine Privatklinik handelt (RKUV 2004 Nr. KV 285 S. 238 und KV 287 S. 298; für den Bereich der stationären Spitalbehandlung auf der Halbprivat- und Privatabteilung vgl. auch <ref-ruling> Erw. 2.2; für den Bereich der teilstationären Spitalbehandlung: RKUV 2005 Nr. KV 314 S. 15 f. Erw. 7.3 und 8.2.2; vgl. auch Conti, Die Pflichten des Patienten im Behandlungsvertrag, Bern 2000, S. 70 f.; derselbe, Zusatzhonorar des Arztes und KVG, in: AJP 10/2001 S. 1152; Poledna / Berger, Öffentliches Gesundheitsrecht, Bern 2002, S. 281 f. Rz 514; Longchamp, Conditions et étendue du droit aux prestations de l'assurance-maladie sociale, Diss. Lausanne, Bern 2004 S. 342 f. mit Hinweisen).
7. Die Assura erbrachte an die vom Spital X._ und den operierenden Ärzten in Rechnung gestellten Kosten in Höhe von insgesamt Fr. 7'760.40 entsprechend einer in der Verfügung und im Einspracheentscheid nicht näher spezifizierten Fallpreispauschale der Frauenklinik des Berner Inselspitals einen Beitrag von Fr. 2'117.-. Damit wäre anscheinend der Aufenthalt und die Behandlung der Beschwerdeführerin in dem erwähnten Spital als öffentlicher Klinik abgegolten gewesen. Streitig sind die über die genannte Pauschale hinaus vom Spital X._ als auf der Spitalliste des Kantons Bern figurierender nicht öffentlich subventionierter Institution mit privater Trägerschaft (und den operierenden Ärzten) in Rechnung gestellten Mehrkosten. Zu prüfen ist, welche Kostenübernahme durch die Assura die Versicherte aus der obligatorischen Krankenversicherung beanspruchen kann. Sie bestreitet den von der Assura angewendeten Tarif, der nicht gesetzeskonform sei. Diese vertritt die Auffassung, sie habe die gestützt auf den massgebenden Tarif geschuldete Fallpauschale erbracht.
7. Die Assura erbrachte an die vom Spital X._ und den operierenden Ärzten in Rechnung gestellten Kosten in Höhe von insgesamt Fr. 7'760.40 entsprechend einer in der Verfügung und im Einspracheentscheid nicht näher spezifizierten Fallpreispauschale der Frauenklinik des Berner Inselspitals einen Beitrag von Fr. 2'117.-. Damit wäre anscheinend der Aufenthalt und die Behandlung der Beschwerdeführerin in dem erwähnten Spital als öffentlicher Klinik abgegolten gewesen. Streitig sind die über die genannte Pauschale hinaus vom Spital X._ als auf der Spitalliste des Kantons Bern figurierender nicht öffentlich subventionierter Institution mit privater Trägerschaft (und den operierenden Ärzten) in Rechnung gestellten Mehrkosten. Zu prüfen ist, welche Kostenübernahme durch die Assura die Versicherte aus der obligatorischen Krankenversicherung beanspruchen kann. Sie bestreitet den von der Assura angewendeten Tarif, der nicht gesetzeskonform sei. Diese vertritt die Auffassung, sie habe die gestützt auf den massgebenden Tarif geschuldete Fallpauschale erbracht.
8. Die Vorinstanz hat das Vorgehen der Assura mit der Argumentation geschützt, dass nach der Rechtsprechung des kantonalen Verwaltungsgerichts angesichts des Fehlens eines Tarifvertrages zwischen den Privatspitälern im Kanton Bern und den Versicherern der für die öffentlichen kantonalen und regionalen Spitäler geltende Tarif anwendbar sei. Das kantonale Gericht habe sich dabei auf den Entscheid des Eidgenössischen Versicherungsgerichtes (richtig: des Bundesrates) vom 23. Juni 1999 in Sachen Privatklinik Lanixa (RKUV 1999 Nr. KV 83 S. 345 f. Erw. 6) gestützt, in welchem ausgeführt worden sei, im Sinne einer provisorischen Massnahme sei es angebracht, für den Fall des tariflosen Zustandes den für öffentliche Spitäler geltenden Tarif auch für Privatspitäler als anwendbar zu erklären, auch wenn nicht zu übersehen sei, dass ein solcher Tarif die den Privatspitälern entstehenden Kosten angesichts des Fehlens von öffentlichen Subventionen wohl nicht zu decken vermöge. Es bestehe kein Anlass, im Falle der Beschwerdeführerin von dieser mittlerweile gefestigten Rechtsprechung des kantonalen Verwaltungsgerichts abzuweichen. Auch besage die Tarifschutzbestimmung von <ref-law> lediglich, dass sich die Leistungserbringer an die vertraglich oder behördlich festgesetzten Tarife halten müssten. Weil im Kanton Bern vorläufig kein anwendbarer Tarifvertrag zwischen den Krankenversicherern und den Privatspitälern bestehe, könne aus <ref-law> nichts hier Relevantes abgeleitet werden. Insbesondere könne angesichts des Fehlens eines Tarifs nicht darüber befunden werden, welchen Betrag das Spital X._ der Versicherten für die stationäre Behandlung in Rechnung stellen dürfe. Es sei einzig zu prüfen, zu welchen Leistungen an die versicherte Person im System des Tiers garant gemäss <ref-law> der Versicherer im tariflosen Zustand zu verhalten ist. Die Leistungen des Krankenversicherers müssten die vom Privatspital in Rechnung gestellten Kosten nicht zwingend decken.
8. Die Vorinstanz hat das Vorgehen der Assura mit der Argumentation geschützt, dass nach der Rechtsprechung des kantonalen Verwaltungsgerichts angesichts des Fehlens eines Tarifvertrages zwischen den Privatspitälern im Kanton Bern und den Versicherern der für die öffentlichen kantonalen und regionalen Spitäler geltende Tarif anwendbar sei. Das kantonale Gericht habe sich dabei auf den Entscheid des Eidgenössischen Versicherungsgerichtes (richtig: des Bundesrates) vom 23. Juni 1999 in Sachen Privatklinik Lanixa (RKUV 1999 Nr. KV 83 S. 345 f. Erw. 6) gestützt, in welchem ausgeführt worden sei, im Sinne einer provisorischen Massnahme sei es angebracht, für den Fall des tariflosen Zustandes den für öffentliche Spitäler geltenden Tarif auch für Privatspitäler als anwendbar zu erklären, auch wenn nicht zu übersehen sei, dass ein solcher Tarif die den Privatspitälern entstehenden Kosten angesichts des Fehlens von öffentlichen Subventionen wohl nicht zu decken vermöge. Es bestehe kein Anlass, im Falle der Beschwerdeführerin von dieser mittlerweile gefestigten Rechtsprechung des kantonalen Verwaltungsgerichts abzuweichen. Auch besage die Tarifschutzbestimmung von <ref-law> lediglich, dass sich die Leistungserbringer an die vertraglich oder behördlich festgesetzten Tarife halten müssten. Weil im Kanton Bern vorläufig kein anwendbarer Tarifvertrag zwischen den Krankenversicherern und den Privatspitälern bestehe, könne aus <ref-law> nichts hier Relevantes abgeleitet werden. Insbesondere könne angesichts des Fehlens eines Tarifs nicht darüber befunden werden, welchen Betrag das Spital X._ der Versicherten für die stationäre Behandlung in Rechnung stellen dürfe. Es sei einzig zu prüfen, zu welchen Leistungen an die versicherte Person im System des Tiers garant gemäss <ref-law> der Versicherer im tariflosen Zustand zu verhalten ist. Die Leistungen des Krankenversicherers müssten die vom Privatspital in Rechnung gestellten Kosten nicht zwingend decken.
9. Die Ausführungen im vorinstanzlichen Entscheid sowie der dabei gezogene Schluss, die Leistungen der Assura müssten die vom Spital X._ (und den operierenden Ärzten) in Rechnung gestellten Kosten nicht zwingend decken, erweisen sich angesichts der dargestellten gesetzlichen Regelung (vgl. Erw. 4 - 6 hiervor) als bundesrechtswidrig, soweit damit in Kauf genommen wird, dass der Beschwerdeführerin ungedeckte Kosten erwachsen. Beim Spital X._ handelt es sich laut Anhang II der kantonalen Einführungsverordnung zum KVG um einen zur Tätigkeit zulasten der sozialen Krankenversicherung unter anderem mit einem Leistungsauftrag für Gynäkologie und Chirurgie auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführten Leistungserbringer (<ref-law>), welcher im Wahlrecht der Beschwerdeführerin stand. Wie das Eidgenössische Versicherungsgericht vor kurzem in einem gleich gelagerten Berner Fall entschieden hat, gilt unter den genannten Voraussetzungen der Tarifschutz (zur Publikation in der Amtlichen Sammlung vorgesehenes Urteil S. vom 17. Mai 2005, K 134/01, Erw. 9.1). Deshalb dürfen der Versicherten aus der Behandlung (inkl. Operation), der Pflege und dem Aufenthalt in der allgemeinen Abteilung des Spitals X._ (mit Ausnahme der Kostenbeteilung nach <ref-law>) keine von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung ungedeckte Kosten erwachsen. Die von der Assura im Einspracheentscheid vom 10. Mai 2001 ohne nähere Begründung vertretene Rechtsauffassung, die obligatorische Krankenpflegeversicherung decke lediglich den Aufenthalt in der allgemeinen Abteilung eines öffentlichen Spitals im Wohnkanton ab, nicht aber den Aufenthalt in einer Privatklinik, ist gesetzeswidrig.
9. Die Ausführungen im vorinstanzlichen Entscheid sowie der dabei gezogene Schluss, die Leistungen der Assura müssten die vom Spital X._ (und den operierenden Ärzten) in Rechnung gestellten Kosten nicht zwingend decken, erweisen sich angesichts der dargestellten gesetzlichen Regelung (vgl. Erw. 4 - 6 hiervor) als bundesrechtswidrig, soweit damit in Kauf genommen wird, dass der Beschwerdeführerin ungedeckte Kosten erwachsen. Beim Spital X._ handelt es sich laut Anhang II der kantonalen Einführungsverordnung zum KVG um einen zur Tätigkeit zulasten der sozialen Krankenversicherung unter anderem mit einem Leistungsauftrag für Gynäkologie und Chirurgie auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführten Leistungserbringer (<ref-law>), welcher im Wahlrecht der Beschwerdeführerin stand. Wie das Eidgenössische Versicherungsgericht vor kurzem in einem gleich gelagerten Berner Fall entschieden hat, gilt unter den genannten Voraussetzungen der Tarifschutz (zur Publikation in der Amtlichen Sammlung vorgesehenes Urteil S. vom 17. Mai 2005, K 134/01, Erw. 9.1). Deshalb dürfen der Versicherten aus der Behandlung (inkl. Operation), der Pflege und dem Aufenthalt in der allgemeinen Abteilung des Spitals X._ (mit Ausnahme der Kostenbeteilung nach <ref-law>) keine von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung ungedeckte Kosten erwachsen. Die von der Assura im Einspracheentscheid vom 10. Mai 2001 ohne nähere Begründung vertretene Rechtsauffassung, die obligatorische Krankenpflegeversicherung decke lediglich den Aufenthalt in der allgemeinen Abteilung eines öffentlichen Spitals im Wohnkanton ab, nicht aber den Aufenthalt in einer Privatklinik, ist gesetzeswidrig.
10. 10.1 Wie das Eidgenössische Versicherungsgericht in dem bereits erwähnten Urteil S. vom 17. Mai 2005, K 134/01, Erw. 9.2 und 9.3 ausgeführt hat, darf, wenn die Leistungserbringer, die Versicherer und die staatlichen Organe die ihnen vom Gesetz zugeordneten Aufgaben nicht wahrnehmen, dies nicht dazu führen, dass die Versicherten den ihnen vom Gesetz garantierten Tarifschutz verlieren und die dort verankerten Ansprüche gegenüber Leistungserbringern und Krankenversicherern nicht durchsetzen können. In den Akten des betreffenden Verfahrens, in welchem die Assura ebenfalls Partei war, war in Form eines Auszugs aus einem Verhandlungsprotokoll über das Verhandlungsergebnis der Tarifvertragsparteien auf kantonaler Verbandsebene vom 4. April 2000 dokumentiert, dass sie bis zu einer Änderung der geltenden bundesrechtlichen Regelung über die Spitalfinanzierung (vgl. Erw. 5.2 hiervor) keine KVG-konforme Tarifvereinbarung abschliessen wollten. Angesichts dieser Situation wäre die Assura, die als zur Durchführung der sozialen Krankenversicherung zugelassene Versicherungseinrichtung insbesondere auch zur Einhaltung der gesetzlichen Vorschriften verpflichtet ist (Art. 13 Abs. 2 Bst. b KVG), gehalten gewesen, direkt den Abschluss einer Tarifvereinbarung anzustreben oder aber zu versuchen, auf die Festsetzung eines Behördentarifs hin zu drängen, um so eine gesetzeskonforme Lage im Tarifbereich zu schaffen.
10.2 Nach dem Entscheid K. des Bundesrates vom 17. Februar 1999 in Sachen Tariffestsetzung im vertragslosen Zustand (RKUV 1999 Nr. KV 70 S. 169 ff. Erw. II.3.2) geht nämlich im Rahmen des Systems der Tarifgestaltung in der obligatorischen Krankenversicherung die Vertragsfreiheit nicht so weit, dass es den Tarifpartnern freisteht, ob sie überhaupt und mit wem sie Verträge schliessen wollen. Vielmehr setzt Artikel 41 Absatz 1 KVG voraus, dass zwischen allen zugelassenen Leistungserbringern und allen zur Durchführung der obligatorischen Krankenpflegeversicherung befugten Einrichtungen Tarife vorhanden sind. Die Tarifpartner sind folglich zumindest dazu verpflichtet, nach Kräften auf das Zustandekommen von Tarifverträgen mit allen nach den Bestimmungen des KVG zugelassenen Leistungserbringern bzw. Krankenversicherern hinzuwirken. Sonst steht als letzter Ausweg nach dem Scheitern der Verhandlungen der Weg zur hoheitlichen Tariffestsetzung offen (a.a.O., Erw. II.3.2 Abs. 3 S. 175). In <ref-ruling> Erw. 2b/bb geht auch das Eidgenössische Versicherungsgericht von einer Tarifverhandlungspflicht der Krankenversicherer aus. Diese ist somit das Korrelat zum Versicherungsobligatorium und zum Tarifschutz. Wie den Beschwerdeakten zu entnehmen ist, war es der Assura bewusst, dass die Tarifvertragsparteien und die Kantonsregierung auf Grund des Bundes- und des kantonalen Rechts verpflichtet waren, tätig zu werden, es aber vorliegend unterlassen haben. Die Assura hat offenbar auch nie erwogen, ihre Versicherte zumindest im Tarifstreit gegenüber dem Spital X._ vor Schiedsgericht zu vertreten (<ref-law>).
10.3 Wie darum das Bundesamt in der Vernehmlassung zu Recht anmerkt, ist es eine unbefriedigende Situation, dass es für die Privatspitäler mit allgemeiner Abteilung, die auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführt sind, an einem behördlich festgesetzten oder genehmigten Tarif fehlt, und es darf dies nicht dazu führen, dass die Versicherten selbst für Leistungen, die aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zu vergüten sind, aufzukommen oder diese über Zusatzversicherungen abzudecken haben. Im Übrigen haben die Assura und die Vorinstanz den von ihnen herangezogenen Entscheid des Bundesrates vom 23. Juni 1999 in Sachen Privatklinik Lanixa (RKUV 1999 Nr. KV 83 S. 345 f.) falsch interpretiert. Er betraf eine Tarifstreitigkeit, an der das Spital, die Krankenversicherer und die Kantonsregierung beteiligt waren, und die vom Bundesrat entschiedene vorübergehende Lösung konnte nicht zur Folge haben, dass die in der allgemeinen Abteilung dieser Klinik behandelten KVG-Versicherten über keinen Tarifschutz mehr verfügten; dies weil der festgesetzte (Referenz-)Tarif für die Klinik verbindlich war und sie nicht den Versicherten darüber hinausgehende Rechnungen stellen durfte. Der Bundesrat ist dabei davon ausgegangen, dass eine - wie auch im Kanton Bern - integrale Spitalliste unabhängig von einer zusätzlichen Versicherungsdeckung den Zugang der KVG-Versicherten zu allen auf der Spitalliste aufgeführten Spitälern öffnet, und dieser nur durch den Inhalt des Leistungsauftrages und die Geeignetheit des Leistungserbringers für die Behandlung begrenzt ist.
10.4 Die Assura relativierte im Einspracheentscheid und in der vorinstanzlichen Beschwerdeantwort die Stellung des Spitals X._ als zugelassener Leistungserbringer verschiedentlich damit, dass sie einschränkend darauf hinwies, diese Klinik sei "grundsätzlich" auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführt. Zwar ist nicht ersichtlich, was eine solche Differenzierung bezwecken soll, jedoch ist festzustellen, dass das Gesetz keinen Interpretationsspielraum lässt. Ein Spital ist - ob als öffentliche oder als öffentlich subventionierte private oder als private Institution ohne Subventionen - entweder auf der Spitalliste aufgeführt, oder nicht. Nach dem Gesagten (vgl. oben Erw. 4 - 6, 9 und 10.1 - 10.3) ist es nicht zulässig, bei einer Privatklinik wie dem Spital X._, bei dem es sich um einen zur Tätigkeit zu Lasten der sozialen Krankenversicherung und mit einem Leistungsauftrag unter anderem für Gynäkologie und Geburtshilfe auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführten Leistungserbringer mit allgemeiner Abteilung handelt, zu argumentieren, sie befinde sich nur "grundsätzlich" auf der Spitalliste, um wie die Assura daraus zu folgern, dass damit eine Reihe gesetzlicher Verpflichtungen der Leistungserbringer, der Versicherer und der staatlichen Organen ausser Kraft treten, mit der Folge, dass die Versicherten den gesetzlich garantierten Versicherungsschutz zu einem grossen Teil verlieren.
10.4 Die Assura relativierte im Einspracheentscheid und in der vorinstanzlichen Beschwerdeantwort die Stellung des Spitals X._ als zugelassener Leistungserbringer verschiedentlich damit, dass sie einschränkend darauf hinwies, diese Klinik sei "grundsätzlich" auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführt. Zwar ist nicht ersichtlich, was eine solche Differenzierung bezwecken soll, jedoch ist festzustellen, dass das Gesetz keinen Interpretationsspielraum lässt. Ein Spital ist - ob als öffentliche oder als öffentlich subventionierte private oder als private Institution ohne Subventionen - entweder auf der Spitalliste aufgeführt, oder nicht. Nach dem Gesagten (vgl. oben Erw. 4 - 6, 9 und 10.1 - 10.3) ist es nicht zulässig, bei einer Privatklinik wie dem Spital X._, bei dem es sich um einen zur Tätigkeit zu Lasten der sozialen Krankenversicherung und mit einem Leistungsauftrag unter anderem für Gynäkologie und Geburtshilfe auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführten Leistungserbringer mit allgemeiner Abteilung handelt, zu argumentieren, sie befinde sich nur "grundsätzlich" auf der Spitalliste, um wie die Assura daraus zu folgern, dass damit eine Reihe gesetzlicher Verpflichtungen der Leistungserbringer, der Versicherer und der staatlichen Organen ausser Kraft treten, mit der Folge, dass die Versicherten den gesetzlich garantierten Versicherungsschutz zu einem grossen Teil verlieren.
11. Damit steht die Frage noch offen, in welcher Höhe die vom Spital X._ (und den operierenden Ärzten) gegenüber der Beschwerdeführerin erbrachten Leistungen von der sozialen Krankenversicherung zu vergüten sind. Da der Tarifschutz greift, dürfen der Versicherten aus der Behandlung (inkl. Operation), der Pflege und dem Aufenthalt in der allgemeinen Abteilung mit Ausnahme der Kostenbeteilung nach <ref-law> keine von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung ungedeckte Kosten erwachsen. Der kantonale Entscheid, nach dem der Beschwerdeführerin durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung ungedeckte Kosten von über Fr. 5'600.- verbleiben würden (vgl. oben Erw. 7), ist bundesrechtswidrig und darum aufzuheben.
11. Damit steht die Frage noch offen, in welcher Höhe die vom Spital X._ (und den operierenden Ärzten) gegenüber der Beschwerdeführerin erbrachten Leistungen von der sozialen Krankenversicherung zu vergüten sind. Da der Tarifschutz greift, dürfen der Versicherten aus der Behandlung (inkl. Operation), der Pflege und dem Aufenthalt in der allgemeinen Abteilung mit Ausnahme der Kostenbeteilung nach <ref-law> keine von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung ungedeckte Kosten erwachsen. Der kantonale Entscheid, nach dem der Beschwerdeführerin durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung ungedeckte Kosten von über Fr. 5'600.- verbleiben würden (vgl. oben Erw. 7), ist bundesrechtswidrig und darum aufzuheben.
12. Dem Antrag der Beschwerdeführerin, die Assura zur Übernahme der Kosten so zu verpflichten, wie sie vom Spital X._ und den operierenden Ärzten in Rechnung gestellt wurden, ist deshalb nicht zu folgen, weil die Vergütung der Leistungen nach Tarifen oder Preisen zu erfolgen hat (<ref-law>), die in Verträgen zwischen Versicherern und Leistungserbringern vereinbart oder in den vom Gesetz bestimmten Fällen von der zuständigen Behörde festgesetzt werden (Art. 43 Abs. 4 erster Satz KVG). Das Erfordernis einer KVG-konformen Tarifierung der in Rechnung gestellten Leistungen ist indes bei den umstrittenen Rechnungen des Spitals X._ (und der operierenden Ärzte) nicht erfüllt.
12. Dem Antrag der Beschwerdeführerin, die Assura zur Übernahme der Kosten so zu verpflichten, wie sie vom Spital X._ und den operierenden Ärzten in Rechnung gestellt wurden, ist deshalb nicht zu folgen, weil die Vergütung der Leistungen nach Tarifen oder Preisen zu erfolgen hat (<ref-law>), die in Verträgen zwischen Versicherern und Leistungserbringern vereinbart oder in den vom Gesetz bestimmten Fällen von der zuständigen Behörde festgesetzt werden (Art. 43 Abs. 4 erster Satz KVG). Das Erfordernis einer KVG-konformen Tarifierung der in Rechnung gestellten Leistungen ist indes bei den umstrittenen Rechnungen des Spitals X._ (und der operierenden Ärzte) nicht erfüllt.
13. 13.1 Gemäss RKUV 2004 Nr. KV 281 S. 208 kann der zulasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung fallende Sockelbeitrag beim Aufenthalt krankenversicherter Personen in der Halbprivat- und Privatabteilung eines Spitals bei Fehlen eines tarifvertraglichen oder -behördlichen Tarifs nach einem vom Krankenversicherer, im Bestreitungsfalle vom zuständigen kantonalen Versicherungsgericht und letztinstanzlich vom Eidgenössischen Versicherungsgericht festzusetzenden Referenztarif bemessen werden. Im betreffenden Streitfall ging es um den Anspruch bei einem Aufenthalt in einer Privatklinik, die ohne Leistungsauftrag im Rahmen der Grundversorgung auf der Spitalliste des Standortkantons figurierte und über keine allgemeine Abteilung verfügt. Um nicht faktisch die Spitalplanung zu umgehen und die mit Spitallisten bezweckte Beschränkung der zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung in bestimmten Leistungsbereichen tätigen stationären Leistungserbringer zu vereiteln, wurde als Referenztarif nicht der Tarif für den Aufenthalt in der allgemeinen Abteilung eines Privatspitals mit Leistungsauftrag im Rahmen der Grundversorgung genommen, sondern ein Durchschnitt der Tarife öffentlicher Spitäler, was einen erheblich tieferen Sockelbeitrag des Versicherers und damit für den Versicherten höhere ungedeckte Kosten zur Folge hatte.
13.2 Dementgegen handelt es sich beim Spital X._ um einen zur Tätigkeit zu Lasten der sozialen Krankenversicherung mit einem Leistungsauftrag für Gynäkologie und Chirurgie auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführten Leistungserbringer mit allgemeiner Abteilung. Entsprechend ist bei Fehlen eines vertraglich oder behördlich festgelegten Tarifs als Referenztarif der Tarif eines vergleichbaren Privatspitals beizuziehen. Hier besteht nicht die Gefahr einer Umgehung der Spitalplanung, weil das Spital X._ Bestandteil dieser Planung ist.
13.3 Soweit ersichtlich, herrschte im Jahr 2000 bei den mit dem Spital X._ vergleichbaren Privatspitälern im Kanton Bern eine analoge Tarifsituation, weshalb das Eidgenössische Versicherungsgericht keinen Referenztarif bestimmen kann. Dazu ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie wird nach Beiladung des Spitals X._ einen Referenztarif ermitteln. Dabei wird zu berücksichtigen sein, dass die operierenden Ärzte Dres. med. Dietz und Bendel, Spezialärzte FMH für Gynäkologie und Geburtshilfe, der Beschwerdeführerin bereits Rechnungen über Fr. 1'288.50 und Fr. 318.- direkt gestellt haben. Da das Spital X._ - und nicht die dort praktizierenden Belegärzte - bei der Durchführung der sozialen Krankenversicherung als Leistungserbringer auftritt und zulasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung tätig ist (Art. 35 Abs. 1 und Abs. 2 lit. h in Verbindung mit Art. 39 Abs. 1 und Art. 49 Abs. 1, 2 und 4 KVG), sind die genannten Ärzte von der Vorinstanz nicht beizuladen, denn das Spital X._ wird sich mit diesen direkt über den jeweiligen Anteil an dem von der Vorinstanz festgesetzten Vergütungsanspruch zu einigen haben. Sollte ein geeigneter Tarif im Jahr 2000 nicht bestanden haben, wäre eine auf den konkreten Streitfall zugeschnittene Lösung zu treffen, welche sowohl den Anforderungen des Tarifrechts (vgl. oben Erw. 5.2) wie des Tarifschutzes (vgl. oben Erw. 6) zu genügen haben wird. Dabei könnten allenfalls Pauschaltarife eines öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitals beigezogen werden, wobei zu berücksichtigen wäre, dass diese für Kantonseinwohner und -einwohnerinnen bei solchen Spitälern höchstens 50Prozent der anrechenbaren Kosten je Patient oder Patientin oder je Versichertengruppe in der allgemeinen Abteilung decken (Art. 49 Abs.1 und 2 KVG; <ref-ruling> f. Erw.5.3.2 und 5.3.4; zu den Unterschieden zwischen den Tarifen des privaten und des öffentlichen Spitalsektors: RKUV 1999 Nr. KV 65 S.72 f.; zur Festsetzung des Tarifs für Aufenthalt und Behandlung in einem Privatspital: RKUV 2003 Nr. KV 246 S. 141 f. und KV 247 S.159 f.). Allenfalls wäre zu prüfen, ob nicht ausgehend von dem vom Regierungsrat des Kantons Bern am 26. Januar 2005 in Anwendung von <ref-law> genehmigten und per 1. Januar 2005 in Kraft getretenen Vertrag vom 20. November 2004 zwischen santésuisse Bern und dem Verband der Privatspitäler des Kantons Bern betreffend die Behandlung von stationären Patienten der allgemeinen Abteilung in den Privatspitälern des Kantons Bern für das Jahr 2000 eine KVG-konforme Regelung getroffen werden kann. Zwar hat ein Krankenversicherer gestützt auf <ref-law> beim Bundesrat gegen den Beschluss der Kantonsregierung Beschwerde erhoben. Dies hindert jedoch nicht daran, vorliegend in Anlehnung an die frühestens ab 2005 in Kraft tretende Tarifvereinbarung eine dem konkreten Einzelfall im Jahre 2000 angemessene Lösung zu suchen, da damit ein späterer Entscheid des Bundesrates über die Tarifbeschwerde nicht präjudiziert werden könnte.
13.3 Soweit ersichtlich, herrschte im Jahr 2000 bei den mit dem Spital X._ vergleichbaren Privatspitälern im Kanton Bern eine analoge Tarifsituation, weshalb das Eidgenössische Versicherungsgericht keinen Referenztarif bestimmen kann. Dazu ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie wird nach Beiladung des Spitals X._ einen Referenztarif ermitteln. Dabei wird zu berücksichtigen sein, dass die operierenden Ärzte Dres. med. Dietz und Bendel, Spezialärzte FMH für Gynäkologie und Geburtshilfe, der Beschwerdeführerin bereits Rechnungen über Fr. 1'288.50 und Fr. 318.- direkt gestellt haben. Da das Spital X._ - und nicht die dort praktizierenden Belegärzte - bei der Durchführung der sozialen Krankenversicherung als Leistungserbringer auftritt und zulasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung tätig ist (Art. 35 Abs. 1 und Abs. 2 lit. h in Verbindung mit Art. 39 Abs. 1 und Art. 49 Abs. 1, 2 und 4 KVG), sind die genannten Ärzte von der Vorinstanz nicht beizuladen, denn das Spital X._ wird sich mit diesen direkt über den jeweiligen Anteil an dem von der Vorinstanz festgesetzten Vergütungsanspruch zu einigen haben. Sollte ein geeigneter Tarif im Jahr 2000 nicht bestanden haben, wäre eine auf den konkreten Streitfall zugeschnittene Lösung zu treffen, welche sowohl den Anforderungen des Tarifrechts (vgl. oben Erw. 5.2) wie des Tarifschutzes (vgl. oben Erw. 6) zu genügen haben wird. Dabei könnten allenfalls Pauschaltarife eines öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitals beigezogen werden, wobei zu berücksichtigen wäre, dass diese für Kantonseinwohner und -einwohnerinnen bei solchen Spitälern höchstens 50Prozent der anrechenbaren Kosten je Patient oder Patientin oder je Versichertengruppe in der allgemeinen Abteilung decken (Art. 49 Abs.1 und 2 KVG; <ref-ruling> f. Erw.5.3.2 und 5.3.4; zu den Unterschieden zwischen den Tarifen des privaten und des öffentlichen Spitalsektors: RKUV 1999 Nr. KV 65 S.72 f.; zur Festsetzung des Tarifs für Aufenthalt und Behandlung in einem Privatspital: RKUV 2003 Nr. KV 246 S. 141 f. und KV 247 S.159 f.). Allenfalls wäre zu prüfen, ob nicht ausgehend von dem vom Regierungsrat des Kantons Bern am 26. Januar 2005 in Anwendung von <ref-law> genehmigten und per 1. Januar 2005 in Kraft getretenen Vertrag vom 20. November 2004 zwischen santésuisse Bern und dem Verband der Privatspitäler des Kantons Bern betreffend die Behandlung von stationären Patienten der allgemeinen Abteilung in den Privatspitälern des Kantons Bern für das Jahr 2000 eine KVG-konforme Regelung getroffen werden kann. Zwar hat ein Krankenversicherer gestützt auf <ref-law> beim Bundesrat gegen den Beschluss der Kantonsregierung Beschwerde erhoben. Dies hindert jedoch nicht daran, vorliegend in Anlehnung an die frühestens ab 2005 in Kraft tretende Tarifvereinbarung eine dem konkreten Einzelfall im Jahre 2000 angemessene Lösung zu suchen, da damit ein späterer Entscheid des Bundesrates über die Tarifbeschwerde nicht präjudiziert werden könnte.
14. Das Verfahren ist kostenfrei, da es um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen geht (Art. 134 OG).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 14. November 2001 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 14. November 2001 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zugestellt.
Luzern, 6. Juni 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: