Sachverhalt:
A.
In der von der X._ AG beim Betreibungsamt des Kantons Basel-Stadt gestützt auf einen Verlustschein vom 1. Februar 2002 angehobenen Betreibung Nr. xxx über den Betrag von Fr. 4'403.15 zuzüglich Fr. 396.85 erhob Y._ Rechtsvorschlag mit der Begründung, es sei nicht zu neuem Vermögen gekommen. Das Zivilgericht Basel-Stadt lud daraufhin die Parteien am 2. August 2013 auf den 2. September 2013 zu einer mündlichen Verhandlung ein, an welcher nur Y._ teilnahm. Die X._ AG reichte am 29. August 2013 eine schriftliche Stellungnahme ein.
B.
Mit Entscheid vom 2. September 2013 stellte das Zivilgericht fest, dass Y._ in der Betreibung Nr. xxx nicht zu neuem Vermögen gekommen sei und bewilligte den Rechtsvorschlag. Auf Ersuchen der X._ AG begründete das Zivilgericht seinen Entscheid.
C.
Die X._ AG ist mit Verfassungsbeschwerde vom 4. Oktober 2013 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des zivilgerichtlichen Urteils und die Feststellung, dass Y._ (Beschwerdegegner) in der angehobenen Betreibung zu neuem Vermögen gekommen und der Rechtsvorschlag in diesem Umfang zu beseitigen sei.
Der Beschwerdegegner verlangt sinngemäss die Abweisung der Beschwerde. Das Zivilgericht Basel-Stadt schliesst auf Gutheissung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Gestützt auf <ref-law> ergangene Entscheide gelten als Endentscheide in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 90 BGG). Sie sind anfechtbar, unabhängig davon, ob der Streitwert der Beschwerde in Zivilsachen erreicht oder - wie hier - darunter liegt und nur die Verfassungsbeschwerde zulässig ist, wenn die Verletzung des Anspruchs des rechtlichen Gehörs geltend gemacht wird (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 Abs. 1 und 2 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 526 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 45; zuletzt: Urteil 5D_112/2013 vom 15. August 2013 E. 1). Dies ist vorliegend der Fall, womit die Beschwerde gegeben ist.
2.
Die Beschwerdeführerin macht in zweifacher Hinsicht die Verletzung ihres rechtlichen Gehörs geltend. Ihre Eingabe vom 29. August 2013 an das Zivilgericht sei nicht gewürdigt worden. Zudem sei das angefochtene Urteil ungenügend begründet worden.
2.1. Der Grundsatz des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des Betroffenen tatsächlich hört, sorgfältig und ernsthaft prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Mit andern Worten, den Eingaben der Prozessparteien ist von der Behörde Beachtung zu schenken. Daraus folgt zudem die Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Sie darf sich dabei auf die wesentlichen Gesichtspunkte und Leitlinien beschränken und braucht sich nicht mit jedem sachverhaltlichen oder rechtlichen Einwand auseinanderzusetzen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass der Betroffene den Entscheid sachgerecht anfechten kann (<ref-ruling> E. 5.1 S. 237; <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445).
2.2. Das Zivilgericht räumt in seiner Beschwerdeantwort ein, dass die Eingabe der Beschwerdeführerin vom 29. August 2013 am darauf folgenden Tag, einem Freitag, in sein Postfach gelegt worden sei. Die Parteien seien auf Montag, den 2. September 2013 zur mündlichen Verhandlung geladen worden. Damit hätte die genannte Eingabe bei der Fällung des nunmehr angefochtenen Entscheides vom [recte] 2. September 2013 berücksichtigt werden müssen. In diesem Sinne bestätigt das Zivilgericht, im konkreten Fall eine Gehörsverletzung begangen zu haben.
2.3. Die Schilderung des Verfahrensablaufs entspricht den Vorbringen der Beschwerdeführerin, welche insbesondere betont, dass sie ihre Eingabe dem Zivilgericht vorgängig der mündlichen Verhandlung hat zukommen lassen. Da erst der angefochtene Entscheid zu diesen Ausführungen Anlass gab, sind sie zu berücksichtigen (<ref-law>).
3.
Die Beschwerdeführerin rügt nach dem Dargelegten zu Recht die Verletzung ihres rechtlichen Gehörs infolge Nichtberücksichtigung der Eingabe vom 29. August 2013 durch das Zivilgericht. Bei diesem Ergebnis erübrigt sich die Prüfung der weiteren Rügen, insbesondere die geltend gemachte Verletzung der Begründungspflicht. Dies führt zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides, nicht aber zur Gutheissung der Beschwerde, soweit die Aufhebung des Rechtsvorschlags mangels neuen Vermögens verlangt wird. Erst die Prüfung der Parteivorbringen wird es dem Zivilgericht erlauben, den massgeblichen Sachverhalt festzustellen, den Antrag der Beschwerdeführerin zu beurteilen und einen rechtsgenüglich begründeten Entscheid zu fällen.
4.
Die Beschwerde ist gutzuheissen. Ungeachtet des Verfahrensausgangs werden keine Kosten erhoben (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat die festgestellte Verfassungsverletzung nicht zu vertreten. Der Kanton Basel-Stadt ist nicht in seinen wirtschaftlichen Interessen berührt (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist vom Kanton Basel-Stadt für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 2. September 2013 wird aufgehoben und die Sache wird zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Dezember 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante