Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 16. April 2010 lehnte die IV-Stelle Basel-Landschaft u.a. gestützt auf das rheumatologisch-psychiatrisch-internistisch/allgemeinmedizinische Gutachten der X._, vom 21. Juli 2008 (mit ergänzenden Stellungnahmen vom 8. Dezember 2008 und 21. August 2009) den von S._ geltend gemachten Anspruch auf eine Invalidenrente mangels leistungsbegründenden Invaliditätsgrades ab.
B.
Den in Abweisung der hiegegen erhobenen Beschwerde getroffenen Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 13. Januar 2011 hob das Bundesgericht auf und wies die Sache an dieses zurück, damit es, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, neu entscheide (Urteil 8C_238/2011 vom 20. September 2011 Dispositiv-Ziffer 1 in Verbindung mit E. 3.2.2). Die Vorinstanz holte daraufhin - nach Anhörung der Parteien - das rheumatologisch-psychiatrisch-allgemeinmedizinische Gutachten der A._, vom 30. August 2012 ein, zu dem die IV-Stelle den Bericht des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 18. September 2012 ablieferte. Nach Beizug der ergänzenden psychiatrischen Stellungnahme der A._ vom 21. Dezember 2012 sprach das kantonale Gericht der Versicherten in Gutheissung der Beschwerde ab 1. Oktober 2006 eine ganze Invalidenrente gestützt auf einen nach der gemischten Methode ermittelten Invaliditätsgrad von 78 % zu (Entscheid vom 23. Mai 2013).
C.
Die IV-Stelle Basel-Landschaft führt Beschwerde und beantragt, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei festzustellen, dass kein Anspruch auf Invalidenrente bestehe; eventualiter seien weitere medizinische Abklärungen vorzunehmen.
S._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen und ferner um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt, die Beschwerde sei gutzuheissen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist auf Grund der Vorbringen in der Beschwerde an das Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (Art. 95 lit. a BGG), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen).
2.
2.1. Der Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung setzt u.a. voraus, dass die versicherte Person zu mindestens 40 % invalid ist (Art. 28 IVG). Invalidität ist gemäss Art. 8 Abs. 1 ATSG die voraussichtlich bleibende oder längere Zeit dauernde ganze oder teilweise Erwerbsunfähigkeit.
2.2. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 61 lit. c ATSG Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.).
2.3. Streitig ist der Anspruch auf Invalidenrente der Beschwerdegegnerin. Zu prüfen ist zunächst, ob die Vorinstanz ohne Verletzung von Bundesrecht von einer 80%igen Arbeitsunfähigkeit in einer den körperlichen Beeinträchtigungen angepassten Tätigkeit ausgehen durfte.
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat zutreffend ausgeführt, dass im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungs- und Verwaltungsgerichtsbeschwerdeverfahren der Grundsatz der freien Beweiswürdigung gilt. Obgleich daher keine Bindung an förmliche Beweisregeln besteht, hat die Praxis mit Bezug auf bestimmte Formen medizinischer Berichte und Gutachten Richtlinien für die Beweiswürdigung aufgestellt (<ref-ruling> E. 3 S. 352). Dazu gehört, dass von einem Gerichtsgutachten, das alle Anforderungen hinsichtlich der Beurteilungsgrundlagen und der Begründung erfüllt und das deshalb als schlüssig und somit als beweiswertig einzustufen ist, nur abgewichen werden darf, wenn zwingende Gründe dies rechtfertigen (<ref-ruling> E. 3b/aa S. 352 f.). Davon ausgehend hat die Vorinstanz erwogen, hinsichtlich des psychischen Gesundheitszustands sei auf die in allen Teilen beweiskräftige, in das Hauptgutachten der A._ vom 30. August 2012 übernommene Teilexpertise des Dr. med. M._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, Zertifizierter medizinischer Gutachter SIM, vom 24. Juli 2012 abzustellen. Der Sachverständige lege überzeugend dar, dass die zu diagnostizierende, seit der stationären Behandlung von Oktober 2005 bestehende Dysthymie (ICD-10 F34.1) mit rezidivierender, gegenwärtig vollständig remittierter depressiver Störung (ICD-10 F.33.5), eine Arbeitsunfähigkeit von 80 % für jegliche Tätigkeit begründe. Davon sei sowohl für den Erwerbs- wie auch den Aufgabenbereich (Haushalt) auszugehen.
3.2. Wie die IV-Stelle richtig vorbringt, ist die Dysthymie nach der im gebräuchlichen Klassifikationssystem ICD-10 enthaltenen Umschreibung eine chronische depressive Verstimmung, die weder schwer noch hinsichtlich einzelner Episoden anhaltend genug ist, um die Kriterien einer schweren, mittelgradigen oder leichten rezidivierenden depressiven Störung zu erfüllen. Findet sich im Psychostatus nur eine Dysthymie, so kann dies rechtsprechungsgemäss wohl eine Einbusse an Leistungsfähigkeit mit sich bringen, kommt aber für sich allein betrachtet nicht einem Gesundheitsschaden im Sinne des Gesetzes gleich (Urteil I 649/06 vom 13. März 2007 E. 3.3.1 mit Hinweisen, publ. in: SVR 2008 IV Nr. 8 S. 23). Diese Schlussfolgerung, die sich auf medizinische Empirie abstützt und damit eine Rechtsfrage darstellt, ist freilich nicht absolut zu setzen; eine dysthyme Störung kann die Arbeitsfähigkeit im Einzelfall erheblich beeinträchtigen, wenn sie zusammen mit anderen Befunden - wie etwa einer ernsthaften Persönlichkeitsstörung - auftritt (Urteil I 649/06 a.a.O.).
3.3.
3.3.1. Die Beschwerdegegnerin litt spätestens seit Oktober 2005 unstreitig an einer Dysthymie ohne mitwirkende Persönlichkeitsstörung. Dr. med. M._ (Teilexpertise vom 24. Juli 2012) begründete die seither anzunehmende Arbeitsunfähigkeit von 80 % vor allem mit dem Umstand, dass diese chronische affektive Erkrankung Grundlage für die anamnestisch ausgewiesene, die Arbeitsfähigkeit wesentlich beeinträchtigende depressive Episode bildete. Diese Konstellation, die als "double depression" bezeichnet werde, sei notorisch schwer zu behandeln, eine vollständige Remission der Symptomatik könne in den meisten Fällen nicht erreicht werden, so dass zu den typischen Verläufen solche gehörten, wo die anhaltende affektive Störung (Dysthymie) fortbestehe, die depressive Episode jedoch durch eine konsequente psychiatrisch-psychotherapeutische Behandlung zur Remission gebracht werden könne. Gegenwärtig seien bei der Explorandin keine typisch depressiven Symptome festzustellen, sodass die anamnestisch vorhanden gewesene depressive Episode als vollständig remittiert anzusehen sei. An der Schwere und der Chronizität der Problematik gemessen entspreche die gegenwärtige Behandlung nicht den aktuellen Leitlinien, es dränge sich angesichts fehlender Erfolge der ambulanten Therapie mit aufgrund der Laborwerte nachweisbar subklinisch liegender Einnahme der verordneten Antidepressiva ein Settingwechsel, mithin eine stationäre Behandlung in einer auf affektiv Erkrankte spezialisierten Einrichtung auf.
In Ergänzung zur Teilexpertise führte Dr. med. M._ in der Stellungnahme vom 21. Dezember 2012 zu den Ausführungen des RAD vom 18. September 2012 u.a. aus, der Schweregrad der Störung im aktuellen Querschnitt sei im Bereich der leichten bis mittelschweren Symptomatik zu sehen. Die emotionale Belastbarkeit sei stark beeinträchtigt, sodass es jederzeit zu einer Verschlechterung der affektiven Gesundheit kommen könne. Diese prospektive Überlegung sei für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit von einer weitaus grösseren Bedeutung als die Feststellung des aktuellen Querschnitts.
3.3.2. Die IV-Stelle macht zu Recht geltend, dass die Teilexpertise des Dr. med. M._ vom 24. Juli 2012 und dessen Ergänzungen vom 21. Dezember 2012 in sich widersprüchlich sind und daher nicht zu überzeugen vermögen. Dr. med. M._ führte aus, dass vom Zeitpunkt der gutachterlichen Untersuchung bei der X._ im Jahre 2008, deren Befunde mit den von ihm erhobenen in allen wesentlichen Punkten übereinstimmten, bis zur aktuellen Exploration vom 16. März 2012 von einer unter dem klinisch relevanten Bereich liegenden Einnahme der verschriebenen Antidepressiva und von einer ungenügend ausgeschöpften psychiatrisch-psychotherapeutischen Betreuung auszugehen war. Daraus ist zu schliessen, dass sich die auf dem Boden der chronischen Dysthymie zu interpretierende, allenfalls rezidivierend aufgetretene depressive Symptomatik in diesem Zeitraum jeweils mehr oder weniger spontan zurückgebildet hatte. Fraglich ist in diesem Zusammenhang überhaupt, ob eine die Arbeitsfähigkeit einschränkende depressive Episode bestanden hatte, zumal laut weiteren Ausführungen des Dr. med. M._ ausdrücklich in Übereinstimmung mit den Ergebnissen der X._ (vgl. u.a. deren Stellungnahme vom 21. August 2009) die Angaben des behandelnden Dr. med. J._, Psychiatrie/Psychotherapie, vom 15. Januar 2009, der eine schwergradige Depression diagnostizierte, nicht schlüssig waren und zum anderen keine psychiatrischen oder anderweitigen medizinischen Auskünfte vorlagen, die den seitherigen psychischen Krankheitsverlauf dokumentierten. Unter diesen Umständen ist wenig plausibel, dass Dr. med. M._, wenn auch nur für ein Jahr nach Einleitung der von ihm empfohlenen Behandlung, für die Zukunft - und zudem weiterhin in erheblicher Abweichung von der Einschätzung der Experten der X._ - eine Arbeitsunfähigkeit von 80 % annahm.
3.3.3. Zusammengefasst ist mit der IV-Stelle festzuhalten, dass die Beschwerdegegnerin an einer seit Jahren bestehenden Dysthymie litt, die jedoch aufgrund der psychiatrisch-objektiven Befunde weder von einer rezidivierenden noch von einer gar anhaltenden depressiven Störung begleitet wurde, die therapeutisch nicht zur vollständigen Remission hätten gebracht werden können. Findet sich mithin im Psychostatus der Beschwerdegegnerin im Wesentlichen allein eine Dysthymie, ist ein invalidenversicherungsrechtlich relevanter psychischer Gesundheitsschaden aus rechtlicher Sicht zu verneinen (vgl. E. 3.2 hievor).
3.4. Die Vorinstanz hat die Frage, inwieweit die Versicherte auch aus medizinisch-somatischer Sicht in der Arbeitsfähigkeit beeinträchtigt war, nicht näher geprüft, weshalb das Bundesgericht diesbezüglich von Amtes wegen Feststellungen tatsächlicher Natur treffen kann (Art. 105 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 1 BGG). Laut dem von der IV-Stelle insoweit nicht beanstandeten und im Übrigen hinsichtlich der Befunde und dem darauf basierenden Zumutbarkeitsprofil mit dem Gutachten der X._ vom 21. Juli 2008 übereinstimmenden Gerichtsexpertise der A._ vom 30. August 2012 vermochte die Beschwerdegegnerin körperlich leichte Tätigkeiten, die repetitives Heben, Stossen oder Ziehen von Lasten über 5 kg, Verrichtungen in gebückter, kniender oder kauernder Stellung, das wiederholte Steigen auf Stufen oder Leitern, ausschliessliches Gehen und Stehen sowie Verrichtungen über Kopf nicht erforderten, nur noch im Umfang von 70 % eines Vollzeitpensums auszuführen. Die Abweichung vom Gutachten der X._, wonach in einer dem genannten Anforderungsprofil entsprechenden Arbeitstätigkeit keine wesentliche Einschränkung anzunehmen war, begründeten die medizinischen Sachverständigen der A._ mit dem Umstand, dass sich zwischenzeitlich sowohl klinisch wie radiologisch nachweisbar nunmehr auch im Bereich der linken Schulter gegenüber rechts sowie im Bereich der unteren Extremitäten zunehmende Überlastungsbeschwerden und frühdegenerative Auffälligkeiten (Hüftgelenke) zeigten, deren Auswirkungen selbst in einer angepassten Arbeitstätigkeit nunmehr eine um 30 % reduzierte Leistungsfähigkeit rechtfertigten (vgl. auch rheumatologische Teilexpertise vom 19. März 2012).
4.
Zu prüfen ist schliesslich der für den Erwerbsbereich (70 %) nach Art. 16 ATSG (vgl. Art. 28a Abs. 1 IVG), für den Aufgabenbereich (30 %) nach Art. 28a Abs. 2 IVG zu bestimmende Invaliditätsgrad (Art. 28a Abs. 3 IVG).
4.1. Rechtsprechungsgemäss kann das Gericht den Sachverhalt nur bis zum Zeitpunkt bei Erlass der angefochtenen Verwaltungsverfügung (hier vom 16. April 2010) überprüfen (vgl. <ref-ruling> E. 1b S. 366 mit Hinweisen). Aufgrund der Akten sowie des in E. 3.4 hievor Gesagten kann davon ausgegangen werden, dass die allein aus somatischer Sicht relevante Arbeitsunfähigkeit im Jahre 2010 eingetreten war, auch wenn sich die Gutachter der A._ zu dieser Frage nicht explizit äusserten. Die Invaliditätsbemessung ist daher bezogen auf das Jahr 2010 vorzunehmen.
4.2.
4.2.1. Die Vorinstanz hat das Valideneinkommen unbestritten bezogen auf das Jahr 2006 auf Fr. 43'425.- festgelegt. Angepasst an die Nominallohnentwicklung bis 2010 (2006: 116.6 Punkte; 2010: 124.5 Punkte; vgl. Lohnentwicklung 2010, Bundesamt für Statistik [BFS], Neuchâtel 2011, Tabelle T1.93, Total, S. 22) resultiert ein Betrag von Fr. 46'367.-.
4.2.2. Zur Bestimmung des Invalidenlohnes ist, was ebenfalls unbestritten ist, auf statistische Durchschnittswerte zurückzugreifen, wie sie das BFS in regelmässigen Abständen ermittelt. Gemäss der im Statistischen Jahrbuch der Schweiz 2012, BFS [Hrsg.], Zürich 2012, publizierten Tabelle T 3.4.1.1.7, S. 111 verdienten Frauen auf Basis einer 40-Stunden-Woche im Bereich des Anforderungsniveaus 4, Total, Fr. 4'230.- monatlich; angepasst an die betriebsübliche wöchentliche Arbeitszeit von 41,6 Stunden (Statistisches Jahrbuch, a.a.0., Tabelle T 3.3.1.1, S. 102) und die verminderte Arbeitsfähigkeit von 70 % sowie hochgerechnet auf ein Jahr ergibt sich ein Betrag von Fr. 36'953.-. Darauf kann ein Abzug gemäss <ref-ruling> von 15 % gewährt werden, weil die Beschwerdegegnerin selbst in Erwerbstätigkeiten, die dem von den Gutachtern der A._ angegebenen Arbeitsplatzprofil angepasst waren, nurmehr eingeschränkt arbeitsfähig war und sie daher ihre Arbeitskraft auf dem allgemeinen (ausgeglichenen) Arbeitsmarkt nur noch eingeschränkt zu verwerten vermochte (Fr. 31'410.-; vgl. dazu <ref-ruling> E. 7b S. 82).
4.2.3. Aus der Gegenüberstellung der Vergleichseinkommen gemäss Art. 16 ATSG resultiert für den Erwerbsbereich ein Invaliditätsgrad von 32,26 %, bzw. gewichtet im Sinne von Art. 28a Abs. 3 IVG mit dem Faktor 0,7 von 22,58 %.
4.3. Zur Bestimmung des Invaliditätsgrades im Aufgabenbereich kann entgegen der Auffassung der Vorinstanz, wie die IV-Stelle zu Recht geltend macht, auf den Abklärungsbericht Haushalt vom 20. September 2006 abgestellt werden, haben sich doch - abgesehen von der aus somatischer Sicht eingeschränkten Arbeitsfähigkeit gemäss Gutachten der A._ - die Verhältnisse bis zum Jahr 2010 unbestritten nicht verändert. Es ist anzunehmen, dass die Beschwerdegegnerin die unter den Positionen "Wohnungspflege" (Abstauben/Staubsaugen/Bodenpflege/Fenster putzen/Bad- und WC-Reinigung) sowie "Wäsche und Kleiderpflege" (Waschen/Aufhängen/Abnehmen/Bügeln/ Flicken) genannten Arbeiten verglichen mit dem Anforderungsprofil gemäss Gutachten der A._ zum Teil nicht mehr auszuführen vermochte, weshalb diesbezüglich abweichend vom Abklärungsbericht Haushalt von einer Einschränkung von je 50 % auszugehen ist. Damit ist für den Aufgabenbereich Haushalt insgesamt ein Invaliditätsgrad von 33.7 %, bzw. gewichtet im Sinne von Art. 28a Abs. 3 IVG mit dem Faktor 0,3 von 10,1 % zu ermitteln.
4.4. Zusammengefasst ist aufgrund der gemäss Art. 28a Abs. 3 IVG anzuwendenden gemischten Methode (vgl. <ref-ruling>) festzuhalten, dass der Invaliditätsgrad im Zeitpunkt der streitigen Verfügung vom 16. April 2010 unter der den Anspruch auf eine Invalidenrente liegenden Erheblichkeitsschwelle von 40 % lag. Anhaltspunkte dafür, dass die verminderte Leistungsfähigkeit im erwerblichen Bereich oder im Aufgabenbereich infolge Beanspruchung im jeweils anderen Tätigkeitsfeld zu berücksichtigen ist, liegen nicht vor (vgl. dazu <ref-ruling>). Die Beschwerde ist daher gutzuheissen.
5.
Dem Gesuch der Beschwerdegegnerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist stattzugeben, da neben den anderen Voraussetzungen auch die Bedürftigkeit ausgewiesen ist (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerdegegnerin wird indessen darauf hingewiesen, dass sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 23. Mai 2013 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle Basel-Landschaft vom 16. April 2010 wird bestätigt.
2.
Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Dr. Aeberli wird als unentgeltlicher Rechtsanwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. März 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Grunder