Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1928 geborene Altersrentnerin R._ ersuchte nach einer am 30. März 2000 vorgenommenen Hirntumor-Operation die Alters- und Hinterlassenenversicherung um Gewährung einer Hilflosenentschädigung, was von der Ausgleichskasse Schweizerischer Transportunternehmungen mit Verfügung vom 20. Februar 2001 abgelehnt wurde, da nicht mindestens eine mittelschwere Hilflosigkeit vorliege.
A. Die 1928 geborene Altersrentnerin R._ ersuchte nach einer am 30. März 2000 vorgenommenen Hirntumor-Operation die Alters- und Hinterlassenenversicherung um Gewährung einer Hilflosenentschädigung, was von der Ausgleichskasse Schweizerischer Transportunternehmungen mit Verfügung vom 20. Februar 2001 abgelehnt wurde, da nicht mindestens eine mittelschwere Hilflosigkeit vorliege.
B. Das Kantonale Versicherungsgericht des Wallis erachtete demgegenüber eine Hilflosigkeit mittelschweren Grades als ausgewiesen. Mit Entscheid vom 16. August 2001 wies es deshalb die Sache in Gutheissung der gegen die ablehnende Verfügung vom 20. Februar 2001 erhobenen Beschwerde an die Verwaltung zurück, damit diese die der Versicherten zustehende Hilflosenentschädigung betraglich festsetze.
B. Das Kantonale Versicherungsgericht des Wallis erachtete demgegenüber eine Hilflosigkeit mittelschweren Grades als ausgewiesen. Mit Entscheid vom 16. August 2001 wies es deshalb die Sache in Gutheissung der gegen die ablehnende Verfügung vom 20. Februar 2001 erhobenen Beschwerde an die Verwaltung zurück, damit diese die der Versicherten zustehende Hilflosenentschädigung betraglich festsetze.
C. Die Ausgleichskasse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Begehren um Aufhebung des kantonalen Entscheids und Bestätigung ihrer Verfügung vom 20. Februar 2001.
R._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Das kantonale Gericht hat den Begriff der Hilflosigkeit (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) und die Voraussetzungen für die Gewährung einer Hilflosenentschädigung durch die Alters- und Hinterlassenenversicherung (<ref-law>) zutreffend dargelegt, worauf verwiesen wird. Richtig sind auch die Ausführungen über die für die Bemessung der Hilflosenentschädigung massgebenden Hilflosigkeitsgrade und die für deren Bestimmung Grundlage bildenden sechs alltäglichen Lebensverrichtungen (<ref-law> und <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law>). Dasselbe gilt hinsichtlich der nach der Rechtsprechung bei der Feststellung der Schwere der Hilflosigkeit zu beachtenden Grundsätze (BGE 121 V 90 f. Erw. 3 mit Hinweisen) und der bei der Prüfung des Kriteriums der dauernden persönlichen Überwachungsbedürftigkeit bedeutsamen Aspekte (<ref-ruling> Erw.1b mit Hinweis; ZAK 1986 S. 486 Erw. 1a mit Hinweis).
1. Das kantonale Gericht hat den Begriff der Hilflosigkeit (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) und die Voraussetzungen für die Gewährung einer Hilflosenentschädigung durch die Alters- und Hinterlassenenversicherung (<ref-law>) zutreffend dargelegt, worauf verwiesen wird. Richtig sind auch die Ausführungen über die für die Bemessung der Hilflosenentschädigung massgebenden Hilflosigkeitsgrade und die für deren Bestimmung Grundlage bildenden sechs alltäglichen Lebensverrichtungen (<ref-law> und <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law>). Dasselbe gilt hinsichtlich der nach der Rechtsprechung bei der Feststellung der Schwere der Hilflosigkeit zu beachtenden Grundsätze (BGE 121 V 90 f. Erw. 3 mit Hinweisen) und der bei der Prüfung des Kriteriums der dauernden persönlichen Überwachungsbedürftigkeit bedeutsamen Aspekte (<ref-ruling> Erw.1b mit Hinweis; ZAK 1986 S. 486 Erw. 1a mit Hinweis).
2. Von keiner Seite in Frage gestellt wird, dass die Beschwerdegegnerin in den drei Lebensverrichtungen "An-/Auskleiden", "Körperpflege" sowie "Fortbewe-gung/Kontaktaufnahme" regelmässig in erheblicher Weise auf fremde Hilfe angewiesen ist. Keine Dritthilfe benötigt sie demgegenüber in den Bereichen "Essen", "Aufstehen/Absitzen/Abliegen" und "Notdurftverrichtung".
Streitig und zu prüfen ist, ob sie überdies der dauernden persönlichen Überwachung bedarf, wie dies in dem laut <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law> sinngemäss anwendbaren <ref-law> für die Annahme einer mittelschweren Hilflosigkeit vorausgesetzt wird.
2.1 Die geltend gemachte Überwachungsbedürftigkeit wird nach Ansicht des kantonalen Gerichts durch die Stellungnahmen des Dr. med. Y._, hinreichend belegt. Dieser Arzt bestätigte in dem im vorinstanzlichen Verfahren von der heutigen Beschwerdegegnerin beigebrachten Bericht vom 21. März 2001 zwar, dass die Versicherte nicht alleine bleiben könne und einer ständigen Überwachung bedürfe. Präzisere Angaben zur Begründung dieser Einschätzung finden sich in diesem Attest allerdings nicht. Erst in seinem ausführlicheren Bericht vom 2. Mai 2001 hielt Dr. med. Y._ fest, eine ständige persönliche Überwachung sei wegen Schwindelanfällen und der damit verbundenen Sturz- und Verletzungsgefahr erforderlich; auch komme es zu Vergesslichkeit, Gedächtnislücken und Phasen, in welchen die Versicherte die Orientierung verliere; die einfachsten Bedürfnisse wie Bekleidung, Ernährung und Notdurftverrichtung könnten nur mit Hilfe ihres Gatten befriedigt werden; nach der am 30. März 2000 durchgeführten Operation könnten auch epileptische Anfälle auftreten.
2.2 Dagegen wendet die Beschwerde führende Ausgleichskasse zu Recht ein, der Möglichkeit hinzufallen, werde bereits durch die Hilfe, deretwegen die Hilfsbedürftigkeit in der Lebensverrichtung "Fortbewegung/Kontaktpflege" anerkannt wurde, Rechnung getragen. Dasselbe hat auch für die von Dr. med. Y._ befürchteten Orientierungsschwierigkeiten zu gelten. Wie im angefochtenen kantonalen Entscheid zutreffend festgehalten wird, kann sich die persönliche Überwachung im Sinne von <ref-law> nämlich nicht auf die alltäglichen Lebensverrichtungen beziehen, die bei der Bemessung des Hilflosigkeitsgrades gesondert in Betracht zu ziehen sind (<ref-ruling> Erw. 1b; ZAK 1986 S. 486 Erw. 1a, je mit Hinweisen). Aus diesem Grunde lässt sich die Notwendigkeit dauernder persönlicher Überwachung auch nicht mit dem in der Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin vom 22. Oktober 2001 enthaltenen Hinweis auf die Überwachungsbedürftigkeit bezüglich "täglicher Notdürftigkeiten, wie Körperpflege etc." begründen.
2.3 Anlässlich der Prüfung der konkreten Verhältnisse an Ort und Stelle vom 21. Juli 2000 konnte die Abklärungsperson der IV-Stelle festhalten, dass die Versicherte in der Lage war, ohne Hilfe in den Wohnraum zu kommen und sich dort hinzusetzen; auch sei sie bis anhin trotz der bestehenden Gefahr nie tatsächlich gestürzt; ihre Medikamente könne sie selber verwalten. Diese Angaben wurden am 26. Januar 2001 im Rahmen einer zweiten Überprüfung bei der Versicherten zu Hause bestätigt. Auch epileptische Anfälle sind nicht aktenkundig.
Daraus muss geschlossen werden, dass bei der Beschwerdegegnerin zwar eine gewisse Überwachungsbedürftigkeit besteht, diese aber, entgegen der Auffassung der Vorinstanz, nicht ein Ausmass erreicht, das den Anforderungen gemäss <ref-law> zu genügen vermöchte. Dass die Versicherte nicht mehr in der Lage wäre, völlig alleine zu leben, bedeutet noch nicht, dass die persönliche Überwachungsbedürftigkeit eine Intensität erreicht, welche es rechtfertigen liesse, die Voraussetzungen für die Annahme einer mittelschweren Hilflosigkeit im Sinne der erwähnten einschlägigen Verordnungsbestimmung als erfüllt zu betrachten.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Kantonalen Versicherungsgerichts des Wallis vom 16. August 2001 aufgehoben.
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Kantonalen Versicherungsgerichts des Wallis vom 16. August 2001 aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonalen Versicherungsgericht des Wallis, der Kantonalen IV-Stelle Wallis und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 13. November 2002
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer: Der Gerichtsschreiber: