Erwägungen:
1. Der türkische Staatsangehörige X._, geboren 1972, weilte von 1988 bis 1993 als (erfolgloser) Asylbewerber in der Schweiz. Nach zehn Jahren Landesabwesenheit reiste er im Oktober 2003 (im Alter von 31 Jahren) wiederum in die Schweiz ein. Am 30. Januar 2004 heiratete er eine Schweizer Bürgerin und erhielt gestützt auf Art. 7 ANAG die Aufenthaltsbewilligung. Die Ehe wurde am 11. April 2008 geschieden.
Am 10. April 2008 wies die Sicherheitsdirektion (Migrationsamt) des Kantons Zürich das am 11. Januar 2007 gestellte Gesuch von X._ um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ab; sie setzte ihm eine Frist zur Aufgabe der Erwerbstätigkeit und zum Verlassen des zürcherischen Kantonsgebiets (Wegweisung) an. Mit Beschluss vom 9. Juli 2008 wies der Regierungsrat des Kantons Zürich den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs ab und forderte die Sicherheitsdirektion zum Ansetzen einer neuen Ausreisefrist auf.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. August (Postaufgabe 12. August) 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht, den Beschluss des Regierungsrats aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung für die Schweiz zu erteilen. Innert hierfür angesetzter Frist hat der Beschwerdeführer den angefochtenen Beschluss nachgereicht. Weitere Instruktionsmassnahmen wurden nicht angeordnet, insbesondere wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.
2. 2.1 Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2), sowie betreffend die Wegweisung (Ziff. 4).
Der Beschwerdeführer hat, nachdem er von seiner Schweizer Ehefrau nach weniger als fünf Jahren Ehedauer geschieden worden ist (vgl. Art. 7 Abs. 1 Satz 2 ANAG), unter keinem Titel einen Bewilligungsanspruch. Ein solcher ergibt sich im Falle des Beschwerdeführers, der nach einem weit zurückliegenden Aufenthalt in der Schweiz erst gegen Ende 2003 wieder ins Land eingereist ist, auch nicht aus Art. 8 EMRK, soweit diese Konventionsnorm das Recht auf Achtung des Privatlebens einräumt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286 f.). Was das Fehlen eines Rechtsanspruchs auf Bewilligung betrifft, kann im Übrigen vollumfänglich auf E. 3 des angefochtenen Beschlusses verwiesen werden. Gestützt auf Art. 83 lit. c Ziff. 2 (und Ziff. 4) BGG erweist sich mithin die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als offensichtlich unzulässig (<ref-law>). Wollte der Beschwerdeführer übrigens geltend machen, es bestehe ein Bewilligungsanspruch und das ordentliche Rechtsmittel ans Bundesgericht sei zulässig, hätte er ohnehin zuvor einen Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich erwirken müssen (<ref-law> in Verbindung mit § 42 Abs. 2 bzw. Abs. 1 lit. h des Zürcher Gesetzes vom 24. Mai 1959 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen [Verwaltungsrechtspflegegesetz; VRG]), sodass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mangels Ausschöpfung des Instanzenzuges unzulässig wäre.
2.2 Die Beschwerde kann nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde behandelt werden, erhebt und begründet der Beschwerdeführer doch keine der bei diesem Rechtsmittel allein zulässigen Rügen (Art. 116 bzw. Art. 106 Abs. 2 und 42 Abs. 2 BGG). Ohnehin fehlte ihm mangels Rechtsanspruchs auf Aufenthaltsbewilligung weitgehend die Legitimation zur Verfassungsbeschwerde (Art. 115 lit. b; <ref-ruling>).
2.3 Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten.
2.4 Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (vgl. <ref-law>). Damit sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (<ref-law>).
2.5 Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

1. Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Sicherheitsdirektion und dem Regierungsrat des Kantons Zürich sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller