Fatti:
A.
G._, nata nel 1962, da ultimo attiva in qualità di cameriera e ausiliaria di pulizie, il 24 settembre 2002 ha presentato una domanda di prestazioni AI indicando quali cause invalidanti "emicrania - depressione". Con decisione 1° giugno 2006, confermata il 5 settembre 2008 in seguito all'opposizione della Cassa pensione GastroSocial, l'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI), ritenendo l'intressata salariata al 100%, le ha riconosciuto il diritto a una mezza rendita dal 1° agosto 2002.
Nell'ambito di una procedura di revisione avviata d'ufficio nel marzo 2009 l'UAI ha soppresso il diritto alla mezza rendita dal 1° settembre 2011 e tolto l'effetto sospensivo a un eventuale ricorso (decisione del 14 luglio 2011, preavvisata il 10 maggio precedente). Stabilita una ripartizione a metà fra attività salariata e attività casalinga, l'amministrazione ha accertato un tasso invariato di incapacità lavorativa del 50% (in qualsiasi attività) nonché una limitazione del 25% nello svolgimento delle mansioni domestiche. Applicando il metodo misto di valutazione dell'invalidità, l'UAI ha determinato un grado d'invalidità nullo in ambito salariato e del 12.5% (0.50 x 25) in ambito domestico, corrispondente al tasso d'invalidità complessivo.
B.
G._ si è aggravata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino al quale ha chiesto di annullare la decisione amministrativa. Esperiti i propri accertamenti, la Corte cantonale ha respinto il ricorso pur concedendo all'assicurata l'assistenza giudiziaria e il gratuito patrocinio (pronuncia del 29 novembre 2012). In estrema sintesi, i giudici cantonali hanno stabilito che anche ritenendo, nell'ipotesi maggiormente favorevole per l'assicurata, una ripartizione 85%-15% fra attività salariata e domestica, il grado complessivo d'invalidità si attesterebbe al 39%, insufficiente al mantenimento di una rendita anche solo parziale.
C.
L'interessata ha presentato ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale al quale, in accoglimento del gravame, chiede in via principale di annullare il giudizio cantonale e la decisione 14 luglio 2011 dell'UAI e in via subordinata di riformare i querelati provvedimenti nel senso che le sia riconosciuto un quarto di rendita.

Diritto:
1.
Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, così come stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Il diritto federale ai sensi dell'<ref-law> include i diritti costituzionali. Per contro la violazione del diritto cantonale - ad eccezione delle lettere c e d che però non sono di rilievo nella fattispecie - non costituisce motivo di ricorso. Tuttavia è possibile fare valere che l'errata applicazione del diritto cantonale costituisce una violazione del diritto federale - in particolare perché arbitraria ai sensi dell'<ref-law> - o di una disposizione direttamente applicabile del diritto internazionale. Per quanto concerne invece l'accertamento dei fatti determinanti ad opera dell'autorità di ricorso cantonale, esso può essere censurato unicamente se è avvenuto in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario (<ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62), oppure in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (<ref-law>).
2.
2.1. Il giudizio impugnato espone correttamente le norme e la prassi in materia, rammentando in particolare la nozione d'invalidità, i presupposti e gli effetti della revisione di una rendita in seguito a una modifica del diritto (<ref-law>; art. 88a e 88bis cpv. 2 lett. b OAI) come pure i differenti metodi di valutazione dell'invalidità (metodo ordinario del raffronto dei redditi [cfr. <ref-ruling> consid. 3.4 pag. 348 seg.], metodo specifico [cfr. <ref-ruling> consid. 3.3.1 pag. 99 seg.] e metodo misto [cfr. <ref-ruling> consid. 3.3 pag. 395 seg.]) nonché i presupposti per l'applicazione dell'uno o dell'altro metodo. A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione. Giova nondimeno ricordare che l'esame del metodo di valutazione applicabile va effettuato tanto al momento iniziale del diritto alla rendita quanto a quello della sua revisione. Costituiscono in particolare motivo di revisione una modifica considerevole dello stato di salute oppure la modifica delle conseguenze sulla capacità di guadagno di uno stato di salute rimasto di per sé invariato (<ref-ruling> consid. 3.5 pag. 349 con riferimenti) come pure delle circostanze (ipotetiche) stesse che hanno determinato la scelta del metodo di valutazione dell'invalidità (<ref-ruling> consid. 3b pag. 199).
2.2. La questione di sapere se e in quale misura, senza danno alla salute, la persona assicurata avrebbe esercitato un'attività lucrativa dipende dall'insieme delle circostanze personali, familiari, sociali, finanziarie e professionali del caso di specie (<ref-ruling> consid. 3.3 pag. 395 seg.; <ref-ruling> consid. 2c pag. 150 con riferimenti). Ai fini di questa valutazione si deve ugualmente tenere conto della volontà ipotetica della persona interessata, la quale, ove non altrimenti desumibile, dovrà dedursi, in quanto fatto interno, da indizi esterni stabiliti secondo il grado della verosimiglianza preponderante richiesto nel diritto delle assicurazioni sociali (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni I 693/06 del 20 dicembre 2006 consid. 4.1). Il tema costituisce una questione di fatto a condizione che le sue conclusioni non siano esclusivamente tratte dall'esperienza generale della vita (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni I 708/06 del 23 novembre 2006 consid. 3.1 e 3.2). Le constatazioni dell'autorità giudiziaria cantonale vincolano di conseguenza il Tribunale federale nella misura in cui non si rivelino manifestamente inesatte o contrarie al diritto ai sensi dell'<ref-law>, in particolare al divieto dell'arbitrio.
2.3. Per giurisprudenza invalsa, l'arbitrio non si realizza già qualora la soluzione proposta con il ricorso possa apparire sostenibile o addirittura preferibile a quella contestata; il Tribunale federale annulla la pronunzia criticata solo se il giudice del merito ha emanato un giudizio che appare - e ciò non solo nella motivazione bensì anche nell'esito - manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale, gravemente lesivo di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso oppure in contraddizione urtante con il sentimento della giustizia e dell'equità (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 211 con rinvii). Per quanto concerne più in particolare l'apprezzamento delle prove e l'accertamento dei fatti, il giudice incorre nell'arbitrio se misconosce manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, se omette senza valida ragione di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 9).
3.
3.1. Preliminarmente, la ricorrente, come già in sede cantonale, eccepisce la nullità o comunque l'annullabilità della decisione di soppressione della rendita per il fatto che essa sarebbe stata adottata da persone prive dei necessari poteri. Il provvedimento sarebbe infatti stato firmato per l'UAI dal Capo gruppo e dalla Segretaria-ispettrice in assenza di una valida delega prevista da una legge formale.
3.2. La Corte cantonale, dopo avere analizzato le norme e i regolamenti relativi all'organizzazione dell'UAI, ha concluso invece per l'esistenza di una valida delega di competenza in favore del Capo gruppo come pure della Segretaria-ispettrice. I giudici di prime cure hanno infatti constatato che per l'art. 4 cpv. 2 lett. m della legge cantonale di applicazione della legge federale sull'assicurazione invalidità del 21 giugno 1993 (LALAI; RL/TI 6.4.7.2) il Capo ufficio, che dirige l'UAI (art. 4 cpv. 1 LALAI), può delegare compiti ai suoi collaboratori. In virtù di questa delega il Regolamento per l'UAI del 22 dicembre 1995, in vigore dal 1° gennaio 1996, come pure il Regolamento del diritto di firma con l'allegato 1, in vigore dal 2010, attribuiscono il diritto di firma di una decisione dopo revisione al Capo gruppo e all'addetto agli assicurati. I giudici cantonali hanno pure accertato che tutti questi atti sono stati regolarmente approvati dall'Ufficio federale delle assicurazioni sociali (UFAS) nella sua qualità di autorità di vigilanza.
3.3. Da parte sua, la ricorrente ribadisce in primo luogo che l'art. 4 cpv. 2 lett. m LALAI sarebbe formulato in maniera troppo generica e vaga per fondare una valida delega di competenza per una decisione di tale importanza quale è la soppressione di una rendita AI. In questo modo lamenta una violazione del principio di legalità.
3.3.1. Il principio di legalità costituisce, analogamente al principio della proporzionalità (<ref-law>), un principio costituzionale, ma non anche un diritto costituzionale. Esso è ancorato all'<ref-law> e stabilisce che il diritto è fondamento e limite dell'attività dello Stato. Ciò significa in particolare che un atto statale deve fondarsi su una base legale sufficientemente precisa che sia stata emanata da un organo competente. Il principio di legalità intende in particolare garantire una chiara definizione dei compiti dello Stato e al tempo stesso tenere conto delle esigenze, dal profilo dello stato di diritto, della prevedibilità dell'azione statale. Detto principio deve ispirare l'intero agire amministrativo, compreso quello in materia di prestazioni (<ref-ruling> consid. 3.1 pag. 5 con riferimenti). Il rispetto del principio di legalità nell'ambito di una delega di competenza legislativa è dedotto dal principio della separazione dei poteri e va normalmente invocato in relazione ad esso (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 162; cfr. pure sentenza 2C_118/2011 del 21 novembre 2011 consid. 4.1). Il principio della separazione dei poteri è garantito, almeno implicitamente, da tutte le costituzioni cantonali e costituisce un diritto costituzionale di cui può prevalersi ogni cittadino (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 326; <ref-ruling> consid. 3.1 pag. 5 con riferimenti). Esso vieta a un organo dello Stato di interferire nelle competenze di un altro organo. In particolare, vieta al potere esecutivo di emanare delle regole di diritto, a meno che ciò non avvenga nell'ambito di una valida delega legislativa (<ref-ruling> consid. 1a pag. 309). Una delega adempie queste condizioni se una norma costituzionale non la vieta, se è prevista da una legge formale, se è limitata a una materia determinata e se la legge stessa enuncia nelle sue grandi linee le regole fondamentali (<ref-ruling> consid. 3b pag. 247 seg.; <ref-ruling> consid. 4 pag. 335).
3.3.2. Come per il principio della proporzionalità, vale la massima che, trattandosi dell'applicazione del diritto cantonale, il Tribunale federale può controllarne solo sotto il profilo ristretto dell'arbitrio la conformità al principio di legalità nell'ambito di un ricorso in materia di diritto pubblico (<ref-ruling> consid. 4.1 pag. 156 seg. con riferimenti; inoltre sentenza 2C_741/2009 del 26 aprile 2010 consid. 3.1). Lo stesso vale se, trattandosi dell'interpretazione del diritto cantonale di rango non costituzionale, il Tribunale federale deve esaminarne la conformità al diritto costituzionale - peraltro nemmeno invocato esplicitamente nella presente fattispecie - della separazione dei poteri (v. <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 326; <ref-ruling> consid. 3.1 pag. 5 con riferimenti).
3.3.3. Giusta l'<ref-law> i Cantoni istituiscono il loro ufficio AI sotto forma di istituto cantonale di diritto pubblico dotato di personalità giuridica. Gli atti legislativi cantonali o le convenzioni intercantonali disciplinano in particolare l'organizzazione interna degli uffici AI. Tali atti devono essere approvati dalla Confederazione (<ref-law> in relazione con l'<ref-law>). Inoltre, per l'<ref-law> gli uffici AI si organizzano in modo da garantire che i compiti elencati nell'art. 57 siano eseguiti con professionalità ed efficienza nel rispetto delle prescrizioni legali e delle istruzioni della Confederazione.
3.3.4. Di regola le norme cantonali di applicazione in materia di AI regolano unicamente nelle grandi linee l'organizzazione dell'ufficio AI. Per il resto, essa è demandata all'ufficio stesso il quale in quest'ambito gode di un ampio margine di autonomia ( Urs Müller, Das Verwaltungsverfahren in der Invalidenversicherung, 2010, pag. 71 n. 380 e 382; Helen Monioudis, Die Organisation ausgewählter Sozialversicherungszweige und die rechtliche Stellung der Sozialversicherungsträger, 2003, pag. 103). La Confederazione, tramite l'UFAS, influisce sulla sua organizzazione solo, ma pur sempre, con i suoi mezzi di sorveglianza, tra i quali è in particolare da annoverare il controllo annuo (audit; <ref-law>). L'UFAS stabilisce in particolare criteri per garantire l'efficacia, la qualità e l'uniformità dell'adempimento dei compiti di cui agli art. 57 e 59 cpv. 2bis e controlla il rispetto di questi criteri (<ref-law>). La gestione dell'ufficio AI spetta al suo capo e non al Cantone ( Müller, op. cit., pag. 72 n. 386). Il capo dell'ufficio AI rappresenta dunque l'ufficio AI di fronte ai terzi e cura i rapporti diretti con gli uffici federali e gli assicurati (<ref-law> in relazione con l'<ref-law>).
3.3.5. Per raggiungere gli obiettivi fissati dal diritto federale, il capo di un ufficio AI deve disporre delle risorse necessarie in termini finanziari e di personale. A ciò deve aggiungersi una adeguata organizzazione dei processi lavorativi e decisionali dell'ufficio AI, con la conseguente necessità di ripartire, delegare, coordinare e controllare l'esecuzione dei compiti ( Monioudis, op. cit., pag. 113 seg.). Come ha accertato il Tribunale cantonale con riferimento alla presa di posizione 16 marzo 2012 dell'UFAS, ogni ufficio AI ha scelto, a livello di regolamento, per quel che concerne l'organizzazione interna e il diritto di firma delle soluzioni differenti, a seconda anche della grandezza dell'ufficio stesso. Più grande e complessa è la struttura dell'ufficio, più le decisioni vengono prese a livelli gerarchici meno elevati. Spesso, hanno ricordato i giudici cantonali con riferimento alla determinazione dell'UFAS, i regolamenti interni prevedono che le decisioni siano firmate da due persone, dal collaboratore che si è occupato dell'incarto e da un superiore. Questa doppia firma ha uno scopo di controllo. Ora, se il direttore di un ufficio con oltre 100 impiegati, quale è l'UAI, dovesse firmare tutte le decisioni emesse, il controllo di qualità non potrebbe essere garantito, essendo impensabile che una persona possa conoscere il contenuto di tutti gli incarti trattati dall'ufficio e firmare con conoscenza di causa ogni decisione.
3.3.6. Nel Cantone Ticino, il Gran Consiglio ha emanato la LALAI, approvata dall'autorità federale il 10 settembre 1993. Al suo Titolo I la legge cantonale di applicazione definisce nelle sue grandi linee in particolare l'organizzazione (Capitolo I: costituzione, statuto e sede dell'UAI [art. 1], compiti [art. 2] e autorità di vigilanza [art. 3]) e le competenze dell'UAI (Capitolo II). Con riferimento a queste ultime, l'art. 4 LALAI stabilisce che:
1) L'Ufficio AI è diretto da un Capo ufficio.
2) In particolare egli:
a) riceve, controlla e registra le richieste;
b) riceve le comunicazioni di assicurati, autorità e terzi relative al diritto alle prestazioni;
c) trasmette immediatamente alla cassa di compensazione competente le comunicazioni riguardanti il diritto alle indennità giornaliere, alle rendite e agli assegni per grandi invalidi in corso;
d) notifica le comunicazioni e le decisioni come pure la relativa corrispondenza;
e) controlla l'esecuzione dei provvedimenti d'integrazione ordinati;
f) coopera alla salvaguardia del posto di lavoro tramite provvedimenti di inserimento sociale;
g) fornisce informazioni;
h) conserva gli incarti AI;
i) prende posizione in caso di ricorso e interpone i ricorsi di diritto amministrativo;
l) rappresenta l'Ufficio AI verso terzi;
m) può delegare compiti ai suoi collaboratori;
n) disciplina la formazione dei collaboratori e degli apprendisti.
Per quanto accertato in maniera vincolante dalla Corte cantonale, il Capo dell'UAI ha emesso, in virtù segnatamente degli <ref-law> e 4 LALAI, il Regolamento per l'Ufficio AI del Cantone Ticino, in vigore dal 1° gennaio 1996. Il quale stabilisce in particolare che il Capo Ufficio è competente per l'organizzazione dell'UAI e più specificatamente - tra l'altro - per la definizione del diritto di firma all'interno dell'UAI (art. 5 cpv. 1 lett. a) e può inoltre delegare compiti ai suoi collaboratori (art. 5 cpv. 1 lett. b). Per l'art. 4 cpv. 3, le competenze decisionali e la determinazione del diritto di firma sono contenute in una direttiva separata che è parte integrante dello stesso regolamento. Il Capo ufficio, inoltre, sottomette per approvazione all'UFAS l'organigramma dell'UAI (art. 7 lett. a) e determina, in collaborazione con l'UFAS, le direttive interne per definire quali decisioni possono essere prese ai diversi livelli gerarchici (art. 8 cpv. 2). A ciò si aggiunge il Regolamento del diritto di firma con l'allegato 1, in vigore dal 2010 (al 21 settembre 2011), in virtù del quale la decisione dopo revisione dev'essere firmata dal Capogruppo e dall'addetto agli assicurati.
3.3.7. Fatte queste premesse, la decisione del Tribunale cantonale delle assicurazioni di ammettere l'esistenza di una valida delega di competenza all'art. 4 cpv. 2 lett. m LALAI per l'emissione della decisione querelata e in particolare per il riconoscimento del diritto di firma del Capo gruppo e della Segretaria-ispettrice - che pure era una persona incaricata di trattare la pratica di revisione della rendita - regge senz'altro a un esame sotto il profilo ristretto dell'arbitrio. Anche se presa separatamente la lett. m dell'art. 4 cpv. 2 LALAI può forse anche apparire vaga e generica, si può quanto meno sostenere che la facoltà di delega si riferisca ai compiti enunciati nelle grandi linee nella stessa norma, tra i quali spiccano la notifica delle comunicazioni e delle decisioni (lett. d) e la rappresentanza dell'UAI verso terzi (lett. l). In tali condizioni, i giudici cantonali potevano, senza arbitrio, ritenere che l'atto legislativo formale di delega costituisse, in conformità al principio di legalità, una base legale sufficiente per la decisione querelata.
3.3.8. Il richiamo alla <ref-ruling> per sostenere la tesi contraria non è stringente. In quella occasione il Tribunale federale delle assicurazioni, pronunciandosi in materia di assicurazione contro la disoccupazione, aveva sì stabilito che la delega di alcuni compiti del servizio cantonale agli uffici regionali di collocamento (come la verifica dell'idoneità al collocamento secondo l'<ref-law> o la privazione del diritto alle prestazioni giusta l'<ref-law>) presuppone l'esistenza di un atto legislativo formale di delega promulgato in conformità alle disposizioni cantonali sulla pubblicazione e che una delega di competenza fondata unicamente su una direttiva interna dell'amministrazione non è sufficiente e comporta la nullità della decisione amministrativa. Tuttavia la presente fattispecie si differenzia da quella richiamata dalla ricorrente già solo per il fatto che mentre in quest'ultima mancava un atto legislativo formale che indicasse anche solo lontanamente i singoli compiti delegati, in quella qui in esame essi sono - sostenibilmente - desumibili dalla norma stessa (formale) di delega.
3.4. A ciò si aggiunge la considerazione che i regolamenti disciplinanti il diritto di firma, oltre a comunque poggiare su un atto legislativo formale di delega, trattano essenzialmente questioni relative all'organizzazione interna dell'amministrazione. Di conseguenza, la circostanza che questi atti interni all'amministrazione non siano stati promulgati secondo le disposizioni sulla pubblicazione degli atti normativi, come lamenta la ricorrente, non è (qualificatamente) censurabile e non modifica l'esito della valutazione intorno alla validità della decisione dell'UAI. Del resto, in altro contesto, la giurisprudenza ha già avuto di affermare che se affida l'esecuzione dei suoi compiti ai propri servizi amministrativi, lo Stato ha di massima la facoltà di regolamentare la materia per mezzo di un'ordinanza legislativa o addirittura di un'ordinanza amministrativa (<ref-ruling> consid. 4.4.3 pag. 201).
3.5. Non soccorre all'insorgente il richiamo alla legge sull'organizzazione del Governo e dell'Amministrazione (LOGA) del 21 marzo 1997 (RS 172.010). Quand'anche essa fosse per ipotesi applicabile, l'invocazione dell'<ref-law> si rivelerebbe comunque infondata non fosse altro poiché nella fattispecie non si è trattato di delegare competenze decisionali a unità al di sotto dell'UAI, ma semplicemente di definire le competenze e il diritto di firma dei collaboratori all'interno dello stesso ufficio, a nome del quale è stata emessa la decisione del 14 luglio 2011 (cfr. anche art. 13 cpv. 2 seconda frase dell'ordinanza sull'organizzazione del Governo e dell'Amministrazione [OLOGA] del 25 novembre 1998; RS 172.010.1; Thomas Sägesser, Regierungs- und Verwaltungsorganisationsgesetz, Handkommentar zum RVOG, 2007, n. 10 all'art. 47). La ricorrente sembra inoltre ignorare che la stessa LOGA attribuisce ai direttori dei gruppi e degli uffici il compito di regolare il diritto di firma nel loro settore di competenza, compresa quindi anche la delega della firma di decisioni impugnabili (cfr. art. 49 cpv. 2 e 3 LOGA; Sägesser, op. cit., n. 13 e 14 all'art. 49).
3.6. L'insorgente poi neppure spiega perché l'accertamento dei primi giudici che hanno dichiarato inapplicabili la legge cantonale concernente le competenze organizzative del Consiglio di Stato e dei suoi dipartimenti del 25 giugno 1928 (RL/TI 2.4.1.6) nonché il regolamento del Consiglio di Stato sulle deleghe di competenze decisionali del 24 agosto 1994 (RL/TI 2.4.1.8) - per il motivo che gli uffici AI, quali istituti cantonali di diritto pubblico dotati di personalità giuridica, sono separati dall'amministrazione cantonale (cfr. al riguardo Müller, op. cit., pag. 71; Monioudis, op. cit., pag. 112) - sarebbe arbitrario. Di conseguenza non occorre nemmeno approfondire il tema.
3.7. Quanto alla censura, infine, secondo cui il regolamento (interno) per il diritto di firma dell'UAI sarebbe comunque stato adottato da un funzionario dirigente diverso dal capoufficio AI - e più precisamente dal direttore dell'istituto cantonale delle assicurazioni sociali -, essa è inammisibile poiché è stata sollevata per la prima volta in sede federale (<ref-law>) nonostante potesse essere fatta valere già in procedura cantonale, quanto meno dopo che l'UAI aveva trasmesso alla precedente istanza la documentazione in causa. Ma anche a prescindere da questa considerazione, l'eccezione risulterebbe pure infondata poiché non tiene conto dell'accertamento - che neppure la ricorrente qualifica d'arbitrario - dei primi giudici i quali, con riferimento alle prese di posizione 21 maggio 2012 e 11 settembre 2012 della responsabile dell'UAI - che per giunta hanno trovato conferma nella risposta 14 agosto 2012 dell'UFAS -, hanno constatato che la direttiva concernente il diritto di firma, nella versione precedente a quella del 22 settembre 2011, era in sostanza comunque stata elaborata dalla capoufficio.
4.
4.1. Manifestamente infondata si rivela poi l'eccezione di violazione del diritto di essere sentito per il motivo che la ricorrente non sarebbe stata informata della procedura di revisione in corso e della possibilità che il suo diritto alla rendita potesse essere soppresso. L'eccezione si scontra con l'accertamento tutt'altro che arbitrario della Corte cantonale oltre che con le carte processuali. Da esse risulta infatti chiaramente che l'assicurata è stata espressamente e personalmente - facendo quindi astrazione della precedente informativa avvenuta il 17 marzo 2009 nei confronti del suo medico dott. I._ - informata della procedura di revisione in corso al più tardi il 16 ottobre 2009 come pure in seguito, in particolare il 9 giugno 2010, quando le è stato trasmesso in copia lo scritto indirizzato alle assistenti sociali per l'esperimento dell'inchiesta a domicilio. Quanto all'eccezione secondo cui non sarebbe stata informata che l'indagine economica fosse contestuale a tale procedura, essa rasenta la temerarietà. Non solo infatti, come hanno accertato in conformità agli atti i primi giudici, tale circostanza risulta chiaramente dallo stesso scritto del 9 giugno 2010. Ma anche il rapporto d'inchiesta economica per le persone che si occupano dell'economia domestica del 7 dicembre 2010 indica chiaramente che "Trattasi di revisione". Riguardo alla sottaciuta possibilità di soppressione della rendita, è sufficiente il rilievo che tale rischio è per sua natura insito a ogni procedura di revisione e che anche una persona priva di conoscenze giuridiche deve essere consapevole di questa eventualità.
4.2. Similmente l'insorgente non può validamente invocare una violazione dell'obbligo di informazione per il fatto che l'UAI non l'avrebbe resa edotta della possibilità di farsi patrocinare nella procedura amministrativa di accertamento (art. 27 in relazione con l'<ref-law>). Secondo la giurisprudenza non esiste un obbligo generale per le autorità di attirare l'attenzione degli assicurati sulla possibilità di farsi rappresentare da un avvocato (cfr. per analogia sentenza 9C_246/2009 del 14 luglio 2009 consid. 4.1). Inoltre, come hanno più che sostenibilmente accertato i giudici di prime cure, nulla permetteva di pensare che, trattandosi di circostanze afferenti alla sua persona, l'interessata non fosse in grado di affrontare da sola le domande postele (cfr. SVR 2007 EL n. 7 pag. 15, P 44/06, consid. 5.3.3). Con riferimento alla procedura d'inchiesta domestica, infine, si ricorda che la presenza del patrocinatore in questa fase non è comunque necessaria se è altrimenti data successivamente, nell'ambito della procedura di preavviso, la possibilità di prendere visione e posizione sulle conclusioni del rapporto di accertamento (cfr. sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni I 42/03 del 13 dicembre 2004 consid. 2.3.2).
5.
5.1. Per quanto concerne la ripartizione tra attività salariata - sullo sfondo di un tasso di incapacità lavorativa del 50% rimasto sostanzialmente invariato e incontestato - e domestica, il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha concluso per un rapporto 85%-15% sulla base delle seguenti constatazioni. In occasione della prima procedura di assegnazione della rendita, l'assicurata aveva affermato (il 9 gennaio 2006) che senza il danno alla salute avrebbe lavorato al 100% anche dopo la nascita del figlio K._ (avvenuta nel 2004). Il 5 novembre 2009 (nel corso della procedura di revisione) ella ha invece dichiarato che se avesse goduto di buona salute avrebbe sicuramente lavorato tra l'80% e il 100%, possibilmente 32 ore settimanali (pari a un tasso di occupazione dell'80%) e 40 ore durante la chiusura delle scuole. A ciò si aggiunge che in occasione dell'inchiesta domestica del 2 dicembre 2010, alla domanda rivoltale se senza il danno alla salute eserciterebbe un'attività lucrativa, l'interessata avrebbe risposto affermativamente, precisando che con la scolarizzazione obbligatoria del figlio lavorerebbe nella misura del 50%.
Ora, la conclusione per cui (a partire dal 2009) la ricorrente - cui non poteva sfuggire l'importanza delle proprie dichiarazioni, soprattutto in considerazione dell'esperienza fatta in occasione della procedura di assegnazione della rendita - non avrebbe più inteso lavorare al 100%, risulta da un apprezzamento delle prove che non può dirsi né arbitrario né contrario al diritto. Quanto meno sostenibilmente (e senza sfavorire l'interessata) i giudici cantonali potevano fissare all'85% la percentuale media complessiva, in considerazione del fatto che l'assicurata avrebbe lavorato nove mesi all'80% e tre mesi al 100%. La circostanza che la Corte cantonale abbia tenuto conto di "soli" tre mesi al 100% non rende manifestamente inesatto il suo accertamento. Da un lato perché i tre mesi non si riferiscono alle sole vacanze scolasticheestive che neppure in Ticino durano (più) così a lungo. Dall'altro perché anche lavorando "solo" all'85% - e per giunta spesso anche il fine settimana, come ha evidenziato l'insorgente stessa - lei avrebbe avuto comunque ancora diritto alle vacanze o al tempo libero necessario che avrebbe potuto trascorrere insieme al proprio figlio proprio durante le altre chiusure scolastiche.
5.2. Regge inoltre alle critiche ricorsuali anche il calcolo dell'invalidità operato dalla Corte cantonale in conformità alla giurisprudenza federale (cfr. per casi analoghi: <ref-ruling> consid. 7.1 pag. 350 seg. nonché la sentenza 9C_896/2012 del 31 gennaio 2013 consid. 5 con riferimenti). Per l'ambito lucrativo il grado d'invalidità ammonta infatti al 41.17647% ([85 - 50] : 85 x 100), mentre il tasso d'invalidità complessivo si attesta correttamente - dopo arrotondamento per eccesso (<ref-ruling>) - al 39% ([0.85 x 41.17647] + [0.15 x 25]).
5.3. Senza arbitrio infine i giudici cantonali - che si sono fondati sulle dichiarazioni della ricorrente stessa - potevano procedere a un apprezzamento anticipato delle prove e rinunciare all'interrogatorio di quest'ultima (cfr. <ref-ruling> consid. 3 pag. 157).
6.
Ne discende che il ricorso dev'essere respinto e che la pronuncia cantonale dev'essere confermata. In considerazione delle particolari circostanze del caso, della situazione economica della ricorrente come pure del fatto che le sue conclusioni non risultavano a priori prive di probabilità di successo, l'istanza tendente alla concessione dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio va accolta (<ref-law>). La ricorrente viene però resa attenta che qualora fosse più tardi in grado di pagare, sarà tenuta a risarcire la cassa del Tribunale (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria è accolta. L'avvocato Mario Branda viene incaricato del gratuito patrocinio della ricorrente.
3.
Non si prelevano spese giudiziarie.
4.
La cassa del Tribunale verserà al patrocinatore della ricorrente un'indennità di fr. 2800.-.
5.
Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.