Sachverhalt:
A.
Mit Baugesuch vom 3. Oktober 2012 beantragte A._ die Erteilung einer Baubewilligung für den Neubau eines Mehrfamilienhauses auf Parzelle Nr. 513, Quartier Zinols, in Filisur. Dagegen erhob die Vereinigung Helvetia Nostra Einsprache. Der Gemeindevorstand von Filisur trat am 27. Dezember 2012 auf die Einsprache mangels Legitimation nicht ein und erteilte die Baubewilligung.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde der Helvetia Nostra wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden am 19. Februar 2013 ab. Es entschied, die Gemeinde sei zu Recht auf die Einsprache der Helvetia Nostra nicht eingetreten.
Im Übrigen ging es davon aus, dass Art. 75b BV erst auf Baubewilligungen anwendbar sei, die nach dem 1. Januar 2013 erteilt würden. Daraus ergebe sich, dass auch in Gemeinden wie Filisur, in denen die kritische Grenze von 20 % Zweitwohnungen überschritten sei, im Jahr 2012 noch Baubewilligungen für Zweitwohnungen nach bisherigem Recht erteilt werden durften.
C.
Dagegen erhob die Helvetia Nostra am 18. März 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Eventualiter sei die dem Projekt von A._ in Filisur erteilte Baubewilligung aufzuheben.
D.
Das Verfahren wurde bis zum Vorliegen eines Grundsatzentscheids des Bundesgerichts zur Frage der Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra und der Anwendbarkeit von Art. 75b BV und Art. 197 Ziff. 9 BV zurückgestellt.
Am 22. Mai 2013 fällte das Bundesgericht die ersten Leitentscheide: Es bejahte die Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra (<ref-ruling>) sowie die direkte Anwendbarkeit von Art. 75b BV und Art. 197 Ziff. 9 BV ab dem 11. März 2012 (<ref-ruling> und 263).
E.
Im Anschluss an diese Urteile wurde das Verfahren fortgesetzt und dem Beschwerdegegner, der Gemeinde und dem Verwaltungsgericht Gelegenheit zur Stellungnahme eingeräumt.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde sei in Bezug auf die Einsprache- und Beschwerdelegitimation der Helvetia Nostra gutzuheissen und die Sache sei zur materiellen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er teilt mit, dass er nicht beabsichtige, auf die Realisierung des Bauvorhabens zu verzichten, sondern vorhabe, es als Erstwohnung oder als bewirtschaftete Zweitwohnung zu realisieren. Er sei denn auch bereit, eine entsprechende Auflage in der Baubewilligung zu akzeptieren und werde im Rahmen des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens nach erfolgter Rückweisung entsprechende Anträge stellen.
Die Gemeinde und das Verwaltungsgericht haben sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Die Plafonierung des Zweitwohnungsbaus gemäss Art. 75b BV stellt eine Bundesaufgabe dar, die der Schonung der Natur und des heimatlichen Landschaftsbildes dient. Die nach Art. 12 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes vom 1. Juli 1966 über den Natur- und Heimatschutz (NHG; SR 451) beschwerdebefugten Organisationen im Bereich des Natur- und Heimatschutzes - zu denen auch die Helvetia Nostra gehört - können daher Baubewilligungen wegen Verletzung von Art. 75b BV und seiner Übergangs- und Ausführungsbestimmungen anfechten (<ref-ruling> E. 11 S. 276 ff.). Das Verwaltungsgericht Graubünden und die Gemeinde Filisur haben somit die Einsprachebefugnis der Beschwerdeführerin zu Unrecht verneint.
2.
Das Verwaltungsgericht ging überdies davon aus, dass die neuen Verfassungsbestimmungen nicht anwendbar seien auf Baubewilligungen, die zwischen dem 11. März 2012 und dem 31. Dezember 2012 erstinstanzlich erteilt wurden (Art. 197 Ziff. 9 Abs. 2 BV e contrario).
Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> (E. 9-11 S. 249 ff.) entschieden, dass Art. 75b Abs. 1 BV seit seinem Inkrafttreten am 11. März 2012 anwendbar ist. Zwar bedarf diese Bestimmung in weiten Teilen der Ausführung durch ein Bundesgesetz. Unmittelbar anwendbar ist sie jedoch insoweit, als sie (in Verbindung mit Art. 197 Ziff. 9 Abs. 2 BV) ein Baubewilligungsverbot für Zweitwohnungen in allen Gemeinden anordnet, in denen der 20 %-Zweitwohnungsanteil bereits erreicht oder überschritten ist. Dies hat zur Folge, dass Baubewilligungen für Zweitwohnungen, die zwischen dem 11. März und dem 31. Dezember 2012 in den betroffenen Gemeinden erteilt wurden, auf Beschwerde aufzuheben sind.
3.
Nach dem Gesagten steht fest, dass der angefochtene Entscheid aufzuheben ist. Fraglich ist, ob die Sache an das Verwaltungsgericht oder - unter Mitaufhebung des Einspracheentscheids und der Baubewilligung - an die erste Instanz, d.h. an die Gemeinde, zurückzuweisen ist (Art. 107 Abs. 2 BGG).
3.1. Für letztere Lösung spricht der Umstand, dass die Gemeinde zu Unrecht auf die Einsprache der Helvetia Nostra nicht eingetreten ist, sich also noch nicht mit deren Einwänden befasst hat.
Hinzu kommt, dass das Bauvorhaben in der ursprünglichen Form gegen Art. 75b BV verstösst und nicht bewilligt werden kann. Der Beschwerdegegner und die Gemeinde haben nie bestritten, dass es sich um ein Zweitwohnungsvorhaben handelte und dass in der Gemeinde Filisur bereits mehr als 20% Zweitwohnungen bestehen. Zwar möchte der Beschwerdegegner das geplante Bauvorhaben nunmehr mit Erstwohnungen oder bewirtschafteten Zweitwohnungen realisieren. Dies setzt jedoch Modifikationen des Baugesuchs voraus, zu denen der Helvetia Nostra im Einspracheverfahren das rechtliche Gehör gewährt werden muss.
3.2. Unter diesen Umständen erscheint es sinnvoll, in Gutheissung des Eventualantrags der Beschwerdeführerin den Einspracheentscheid und die Baubewilligung aufzuheben und die Sache an die Gemeinde zurückzuweisen.
Will der Beschwerdegegner an seinem Bauvorhaben festhalten, muss er das Baugesuch mit den nötigen Angaben ergänzen. Verzichtet er dagegen auf das Baugesuch, kann die Gemeinde einen Abschreibungsbeschluss erlassen und darin auch ihre Kosten neu verlegen.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens obsiegt die Beschwerdeführerin. Der private Beschwerdegegner wird daher kostenpflichtig, und zwar sowohl für das bundesgerichtliche Verfahren (Art. 66 und 68 BGG) als auch für das Verfahren vor Verwaltungsgericht (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).
Zwar hat er weder vor Verwaltungsgericht noch vor Bundesgericht die Abweisung der Beschwerde beantragt. Er hat jedoch durch die Einreichung des Baugesuchs das Verfahren veranlasst und ist deshalb im vorliegenden Verfahren notwendigerweise Gegenpartei bzw. Beschwerdegegner; als solcher trägt er grundsätzlich das Prozess- und Kostenrisiko (<ref-ruling> E. 3c S. 158). Im Übrigen hatte er schon im Einspracheverfahren Nichteintreten bzw. Abweisung der Einsprache beantragt.
Die Beschwerdeführerin war weder vor Bundesgericht noch vor Verwaltungsgericht anwaltlich vertreten, weshalb sie praxisgemäss keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung hat.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden, 5. Kammer, vom 19. Februar 2013, der Einspracheentscheid des Gemeindevorstands Filisur vom 27. Dezember 2012 sowie die Baubewilligung werden aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen an die Gemeinde Filisur zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- für das bundesgerichtliche Verfahren und Fr. 1'033.-- für das verwaltungsgerichtliche Verfahren werden dem Beschwerdegegner (A._) auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Filisur und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Oktober 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Gerber