Sachverhalt:
A. F._, geboren am 7. August 1959 (Beschwerdeführerin) erlitt am 11. Juli 2002 einen Unfall. Als sie in dem von der Genossenschaft X._ (Beschwerdegegnerin) geführten Y._-markt ein an einer Ausstellungswand angebrachtes Badezimmermöbel prüfte, kippte das Ausstellungsregal um und traf die Beschwerdeführerin am Kopf, an der rechten Schulter und am rechten Arm. Sie wurde in die Notfallstation des Universitätsspitals Z._ gebracht, wo eine Hirnerschütterung und Prellung des rechten Ellbogens diagnostiziert wurde. Nachdem die Commotio-Überwachung keine Auffälligkeiten ergeben hatte, wurde die Beschwerdeführerin am folgenden Tag in gutem Allgemeinzustand nach Hause entlassen. Einige Wochen später nach ihrer Rückkehr aus den Ferien an der Dalmatinischen Küste suchte sie wegen zunehmender panikartiger Symptome einen Psychiater auf und liess die noch vorhandenen somatischen Beschwerden bei ihrem Hausarzt behandeln. Vom 11. bis zum 29. Oktober 2004 sowie vom 21. Februar bis zum 13. Mai 2005 war sie in der Klinik R._ hospitalisiert.
B. Am 16. März 2009 erhob die Beschwerdeführerin vor dem Zivilgericht Basel-Stadt Klage, mit welcher sie von der Beschwerdegegnerin zuletzt Fr. 1'900'965.95 Schadenersatz und Genugtuung forderte. Die Beschwerdegegnerin bestritt den Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem geltend gemachten Schaden. Das Zivilgericht wies die Klage mit Entscheid vom 18. November 2010 (versandt am 4. Februar 2011) kostenfällig ab, erkannte jedoch, die Gerichtskosten gingen zufolge des der Beschwerdeführerin bewilligten Kostenerlasses zu Lasten des Staates. Die Parteientschädigungen wurden wettgeschlagen, und der Vertreter der Beschwerdeführerin wurde aus der Gerichtskasse entschädigt. Dem Zivilgericht lagen zur Frage, ob die Beschwerdeführerin an unfallbedingten Beschwerden leide, zwei Gutachten vor, das eine vorprozessual von der Beschwerdegegnerin in Auftrag gegeben, wurde am 8. Juli 2004 vom Zentrum S._ verfasst, das andere, vom Gericht angeordnet, am 12. Februar 2010 von Dr. med. G._.
B.a Nach dem S._ Gutachten ist das Krankheitsbild diagnostisch schwierig einzuordnen. In Frage kommt eine posttraumatischen Belastungsstörung ICD-10 F 43.1, wofür jedoch das Ausmass der phobischen Symptomatik ungewöhnlich sei, so dass differenzialdiagnostisch auch eine posttraumatische Anpassungsstörung mit längerer depressiver Reaktion ICD-10 F 43.21 angenommen werden könne, bei welcher sich eine Chronifizierung in Form einer Agoraphobie eingestellt habe. Eine schlüssige Diagnose werde erschwert, weil das Krankheitsbild auch durch den Abusus von Benzodiazepinen, nicht steroidalen Antirheumatika, Risperidon und Sertralin ICD-10 F 19.25 mitgeprägt werde. Für toxikomane Tendenzen spreche auch der exzessive Nikotinkonsum. Das Gutachten nahm schliesslich mit mindestens überwiegender Wahrscheinlichkeit an, die psychischen Beschwerden seien Folgen des Unfalls. Es sei nicht anzunehmen, dass aus irgend einem anderen Grunde zur gleichen Zeit eine ähnliche Symptomatik aufgetreten wäre. In Beantwortung der Frage nach allfälligen Vorzuständen erwähnte das Gutachten die akzentuierten Persönlichkeitszüge der Beschwerdeführerin mit narzisstischen, histrionischen und zwanghaften Anteilen, welche eine gewisse Verstärkung der psychischen Symptomatik hätten bewirken können, die jedoch quantitativ kaum ins Gewicht falle. Das Ergänzungsgutachten vom 8. April 2005 nahm für den Begutachtungszeitpunkt eine 0%ige Arbeitsfähigkeit an, wobei jedoch eine posttraumatische Anpassungsstörung mit depressiver Reaktion ICD-10 F 43.21 bei akzentuierten histrionischen Persönlichkeitszügen weit weniger im Vordergrund gestanden habe als eine Polytoxikomanie mit ständigem Gebrauch der genannten Substanzen. Das Ausmass der psychogenen Unfallverarbeitung werde sich erst nach erfolgreicher Entzugsbehandlung genauer festlegen lassen. Erst dann könne gesagt werden, ob eine posttraumatische Belastungsstörung, eine posttraumatische Anpassungsstörung bei akzentuierten histrionischen Persönlichkeitszügen oder gar eine histrionische Persönlichkeitsstörung vorliege.
B.b Im Gerichtsgutachten G._ wird im Rahmen der Diagnosestellung angeführt, einzig gesichertes Faktum sei ein seit 2002 bestehender Medikamentenabusus, gegenwärtig am ehesten in Form eines Benzodiazepin-Abhängigkeitssyndroms (ständiger Substanzgebrauch ICD-10 F 13.25), als dessen auslösendes und aufrecht erhaltendes Moment die Beschwerdeführerin eine nunmehr chronifizierte, als Agoraphobie mit Panikstörung ICD-10 F 40.01 zu bezeichnende Angststörung anführe. Ferner bestehe ein schädlicher Gebrauch von Nikotin (3 Pakete Zigaretten pro Tag). Nach einer allfälligen Restsymptomatik könne erst bei gesicherter Benzodiazepinabstinenz Ausschau gehalten werden. Das Unfallereignis als solches passe in keiner Weise zur Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung. Der Gutachter hielt die differentialdiagnostischen Überlegungen des S._ Gutachtens für korrekt, insbesondere betreffend Erschwerung einer schlüssigen Diagnosestellung durch die Polytoxikomanie. Er zeigte sich aber erstaunt darüber, dass dennoch eine posttraumatische Belastungsstörung diagnostiziert worden sei. Dr. G._ verneinte einen Kausalzusammenhang zwischen Beschwerden und Unfallereignis und beantwortete die Frage, ob die geklagten Gesundheitsstörungen auch ohne den Unfall zum gleichen Zeitpunkt oder später aufgetreten wären mit "vermutungsweise ja".
C. Die Beschwerdeführerin erhob Berufung beim Appellationsgericht Basel-Stadt, im Wesentlichen mit dem Antrag auf Gutheissung der Klage. Gleichzeitig stellte sie ein Begehren um unentgeltliche Rechtspflege, welches das Appellationsgericht am 11. April 2011 abwies. Es erachtete die Berufung einerseits als aussichtslos. Andererseits habe die Beschwerdeführerin ihre Mittellosigkeit im zweitinstanzlichen Verfahren nicht bewiesen, sondern bloss auf das erstinstanzliche Verfahren verwiesen. Dies genüge den Anforderungen von <ref-law> offensichtlich nicht, da es bei der Mittellosigkeit auf die Verhältnisse im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung ankomme. Das Appellationsgericht setzte der Beschwerdeführerin eine Frist zur Leistung des Kostenvorschusses von Fr. 65'000.-- unter der Androhung des Nichteintretens bei Säumnis.
D. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen im Wesentlichen, ihr die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren zu gewähren. Auch für das Verfahren vor Bundesgericht sucht sie um unentgeltliche Prozessführung nach. Mit Verfügung vom 14. Juni 2011 gab das Bundesgericht ihrem Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung statt. Vernehmlassungen wurden nur bezüglich dieses Gesuchs eingeholt.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>), mit dem die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wurde. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; BGE 129 I E. 1.1 S. 131). Auch mit Blick auf den Streitwert steht die Beschwerde in Zivilsachen offen.
2. Nach <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Unabhängig davon besteht ein solcher Anspruch aufgrund von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.1 S. 133), der in gleicher Weise voraussetzt, dass der Gesuchsteller bedürftig und sein Rechtsbegehren nicht aussichtslos ist. Wer diese Bedingungen erfüllt hat ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand, soweit dies zur Wahrung der Rechte notwendig ist (<ref-law>). Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Praxis zu <ref-law>, die auch mit Bezug auf <ref-law> ihre Geltung beibehält (Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7302, Ziff. 5.8.4 zu Art. 115 E-ZPO) Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde (<ref-ruling> E. 5 S. 616; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.).
3. Die Beschwerdeführerin hält auch vor Bundesgericht den Vorwurf der Befangenheit gegenüber dem gerichtlichen Gutachter aufrecht.
3.1 Nach <ref-law> gelten für sachverständige Personen die gleichen Ausstandsgründe wie für Gerichtspersonen (<ref-law>). Damit wird der verfassungsmässige Anspruch auf ein unparteiisches Gericht (<ref-law>) konkretisiert, weshalb die zu dieser Bestimmung ergangene Rechtsprechung weiterhin Geltung hat (Botschaft zur ZPO, BBl 2006 7272 Ziff. 5.2.3 zu Art. 45 E-ZPO). Da sich die Voraussetzungen für die Annahme von Befangenheit nicht verändert haben, kommt der Tatsache, dass die erste Instanz noch das kantonale Zivilprozessrecht zur Anwendung brachte (Art. 404 f. ZPO), keine Bedeutung zu. Auf die Frage des anzuwendenden Rechts braucht insoweit nicht eingegangen zu werden. Befangenheit ist anzunehmen, wenn Umstände vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit zu erwecken. Bei der Befangenheit handelt es sich allerdings um einen inneren Zustand, der nur schwer bewiesen werden kann. Für die Ablehnung braucht daher nicht nachgewiesen zu werden, dass die sachverständige Person tatsächlich befangen ist. Vielmehr genügt, wenn Umstände vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Bei der Beurteilung des Anscheins der Befangenheit und der Gewichtung solcher Umstände kann jedoch nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abgestellt werden. Das Misstrauen muss vielmehr in objektiver Weise als begründet erscheinen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 210 mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit werden angenommen, wenn Gegebenheiten dargetan sind, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters bzw. Gutachters zu erwecken. Diese können namentlich in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Person begründet sein (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 240).
3.2 Die Vorinstanz kam in eingehender Auseinandersetzung mit der Berufung zum Ergebnis, die Ausführungen, mit welchen das Zivilgericht den Einwand der Befangenheit des Experten verworfen habe, seien schlüssig. Anhaltspunkte für eine Antipathie des Gerichtsexperten gegenüber der Beschwerdeführerin lägen nicht vor. Dass der Gutachter einen Zahnarzt angerufen habe, der im Hause, in welchem die Beschwerdeführerin wohne, praktiziere, sei darauf zurückzuführen gewesen, dass der Experte die Telefonnummer der Beschwerdeführerin habe erhältlich machen bzw. diese veranlassen wollen, sich bei ihm telefonisch zu melden, damit das Verfahren, wie es die Beschwerdeführerin gewünscht hatte, vorangebracht werden konnte. Auch der Vorwurf, der Experte habe die Beschwerdeführerin mit Fragen über ihr Sexualleben "gequält", sei haltlos. Es sei notorisch, dass derartige Fragen im Rahmen einer psychiatrischen Begutachtung normal und kein Hinweis auf eine Befangenheit seien. Damit fehle auch der Behauptung der Beschwerdeführerin, der Experte habe kein Vertrauensverhältnis zur Beschwerdeführerin aufbauen können, die Grundlage, wobei fraglich sei, ob eine Expertisierung ein derartiges Vertrauensverhältnis voraussetze. Unter diesen Umständen habe sich das erstinstanzliche Gericht keinen persönlichen Eindruck vom Experten verschaffen müssen, womit dem Antrag der Beschwerdeführerin, das Zivilgericht hätte den Gutachter in die Hauptverhandlung laden sollen, wohl die Grundlage entzogen sei. Dagegen entstehe der Eindruck, die Beschwerdeführerin wolle mit dem von ihr beanstandeten Empfang in der Privatwohnung des Gerichtsgutachters, der angeblich Pyjamahosen getragen haben soll, diesem Unregelmässigkeiten unterstellen, zumal ursprünglich nicht von Pyjama- sondern von Schlabberhosen die Rede gewesen sei.
3.3 Inwiefern die Vorinstanz mit diesen Ausführungen die Aussichten, mit der Rüge der Verletzung von <ref-law> durchzudringen, zu Unrecht als gering eingestuft hat, legt die Beschwerdeführerin nicht hinreichend dar. Indem sie anführt, es wäre "zumindest indiziert gewesen", einen persönlichen Eindruck vom Gutachter zu gewinnen, zeigt sie keinerlei Rechtsverletzung, namentlich keine Verletzung ihres Gehörsanspruchs auf, und eine solche ist auch nicht ersichtlich:
3.3.1 In dem von der Beschwerdeführerin herangezogenen <ref-ruling> E. 3b hatte sich der Gutachter zu den Auswirkungen einer Knieverletzung auf die Arbeitsfähigkeit des Probanden auszusprechen. Das Bundesgericht erachtete es als fraglich, ob in diesem Zusammenhang Ausführungen zur schwierigen Jugendzeit gerechtfertigt seien. Darüber hinaus erwog es, einzig aus den unzutreffenden, allenfalls auch nur missverständlichen Äusserungen hinsichtlich der Gründe, welche zu einem einmaligen verspäteten Erscheinen zur Begutachtung geführt hätten, habe der Gutachter dem Versicherten die Glaubwürdigkeit bezüglich der Angaben zu dem für die Beurteilung wesentlichen Sachverhalt nicht absprechen dürfen. Nach einer einmaligen Untersuchung habe der Gutachter, der in der Expertise dem Versicherten wiederholt Unzuverlässigkeit bzw. mangelnde Glaubwürdigkeit angelastet habe, nicht zu derart schwerwiegenden Vorwürfen gelangen und diese zu einer entscheidenden Grundlage der Beurteilung machen dürfen. Aus diesen Gründen nahm das Gericht an, das Gutachten erwecke den Anschein der Befangenheit des Experten.
3.3.2 Im zu beurteilenden Fall stützte der Gutachter seine Einschätzung der Glaubwürdigkeit der Beschwerdeführerin keineswegs auf einen einzigen Vorfall. Zudem kommt den Angaben der Beschwerdeführerin, da es um die Frage des Vorliegens einer posttraumatischen Belastungsstörung geht, im Hinblick auf die Diagnose ein hoher Stellenwert zu, weshalb deren Zuverlässigkeit von vorrangiger Bedeutung ist. Im Gegensatz zum zitierten Entscheid, wo die mehrfache Betonung der Wahrheitswidrigkeit der für die Verspätung genannten Gründe den Anschein der Voreingenommenheit zu erwecken vermochte, ist nicht ersichtlich, aus welchen Umständen die Beschwerdeführerin ableitet, der Gutachter sei wegen der Schwierigkeiten, sie zum ersten Termin aufzubieten, derart ungehalten gewesen, dass eine objektive Beurteilung nicht mehr zu erwarten gewesen wäre. Was die Fragen zum Sexualleben anbelangt, räumt die Beschwerdeführerin nunmehr selbst ein, solche seien im Rahmen einer psychiatrischen Untersuchung üblich. Wenn sich die Beschwerdeführerin anlässlich der ersten Sitzung weigerte, über sexuelle Dinge zu sprechen, weist abermaliges Nachfragen des Experten anlässlich späterer Sitzungen nicht auf dessen Voreingenommenheit hin.
3.4 Soweit die Beschwerdeführerin behauptet, der Experte habe kein Vertrauensverhältnis zu ihr aufbauen können, ist ihr entgegen zu halten, dass sie nicht darlegt und aus dem angefochtenen Entscheid nicht hervorgeht, dass sie die im erstinstanzlichen Urteil wiedergegebene Darstellung des Experten in Abrede gestellt hätte, wonach sie diesen anlässlich der letzten Untersuchung und anschliessend mehrfach telefonisch um Übernahme ihrer ambulanten Behandlung ersucht habe, was der Experte wegen Inkompatibilität mit seiner gutachterlichen Funktion abgelehnt habe. Dieses Verhalten der Beschwerdeführerin belegt mit hinreichender Deutlichkeit, dass von einem fehlenden Vertrauensverhältnis nicht die Rede sein kann. Dass der Gerichtsgutachter die Beschwerdeführerin allenfalls informell gekleidet in seiner Privatwohnung empfangen hat, lässt damit weder den Schluss zu, dem Gutachter sei es nicht gelungen, das Vertrauen der Beschwerdeführerin zu gewinnen, noch stellt es dessen Glaubwürdigkeit in Frage.
4. Wie jedes Beweismittel unterliegen auch Gutachten der freien richterlichen Beweiswürdigung. In Sachfragen weicht der Richter aber nur aus triftigen Gründen von einer gerichtlichen Expertise ab. Die Beweiswürdigung und die Beantwortung der sich stellenden Rechtsfragen ist Aufgabe des Richters. Dieser hat zu prüfen, ob sich auf Grund der übrigen Beweismittel und der Vorbringen der Parteien ernsthafte Einwände gegen die Schlüssigkeit der gutachterlichen Darlegungen aufdrängen. Erscheint ihm die Schlüssigkeit eines Gutachtens in wesentlichen Punkten zweifelhaft, hat er nötigenfalls ergänzende Beweise zur Klärung dieser Zweifel zu erheben (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 391 mit Hinweisen). Dies ist namentlich der Fall, wenn gewichtige, zuverlässig begründete Tatsachen oder Indizien die Überzeugungskraft des Gutachtens ernstlich erschüttern (<ref-ruling> E. 5.4.2 S. 346; <ref-ruling> E. 4 S. 57 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 86). Gutachten, die von einer Partei in Auftrag gegeben wurden, kommt im Übrigen nach der im erstinstanzlichen Verfahren noch anwendbaren Zivilprozessordnung des Kantons Basel-Stadt grundsätzlich gleich wie nunmehr unter der Geltung der ZPO nicht die Qualität von Beweismitteln zu (vgl. <ref-law>), sondern von blossen Parteivorbringen (STAEHELIN/SUTTER, Zivilprozessrecht, 1992, S. 171, § 14 Rz. 70; Botschaft zur ZPO, BBl 2006 7325, Ziff. 5.10.3 zu Art. 180-185 E-ZPO; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.6 S. 88 f. mit Hinweisen).
4.1 Die Vorinstanz wies mehrfach auf das erstinstanzliche Urteil hin, in welchem das Gutachten S._, das den natürlichen Kausalzusammenhang annahm, aufgrund der darin aufscheinenden Relativierungen nicht als klar betrachtet wurde. Das Zivilgericht hatte festgehalten, der Gutachter relativiere die Feststellung, dass sich keine relevanten Störungen der frühkindlichen und kindlichen Entwicklung eruieren liessen, indem er festhalte, dass sich die Beschwerdeführerin bei Fragen nach der inneren Lebensgeschichte und nach affektiven Inhalten abwehrend verhalten und sich mit vagen Angaben begnügt habe. Das Gutachten S._ bezeichne auch das Ausmass der phobischen Symptomatik als für die diagnostizierte posttraumatische Belastungsstörung ungewöhnlich, und es führe an, zur Zeit der Begutachtung habe eine Unfallfehlverarbeitung im Sinne einer posttraumatischen Belastungsstörung weit weniger im Vordergrund gestanden als eine Polytoxikomanie mit ständigem Substanzgebrauch; erst nach erfolgreicher Entzugsbehandlung der Beschwerdeführerin wäre es möglich, das Ausmass der psychogenen Unfallverarbeitung genauer festzulegen und könne gesagt werden, ob eine posttraumatische Belastungsstörung oder eine Anpassungsstörung bei akzentuierten histrionischen Persönlichkeitszügen oder gar einer histrionischen Persönlichkeitsstörung vorliege. Im Gegensatz dazu äussere sich das von Dr. G._ erstellte gerichtliche Gutachten in den wesentlichen Punkten klar, indem es bei der Beschwerdeführerin einen seit 2002 bestehenden Medikamentenabusus und schädlichen Nikotingebrauch feststellt. Dieser Gutachter habe die Diagnose einer auf das Unfallereignis bezogenen posttraumatischen Belastungsstörung nicht nachzuvollziehen vermocht. Er schildere aus seiner Sicht mögliche Erklärungen der Symptomatik der Beschwerdeführerin. Auf die Frage, ob denkbar sei, dass die angeblich nach dem Unfall erstmals aufgetretenen Gesundheitsstörungen (insbesondere Panikattacken und andere psychische Störungen) auch ohne dieses Ereignis aus anderen Gründen zum gleichen Zeitpunkt oder später eingetreten wären, antwortete der Gerichtsgutachter: "Ich kann diese Frage nur vermutungsweise mit ja beantworten, weil mir aus verschiedenen Gründen (unverbindliche und ausweichende Angaben der Explorandin und ihr [zu] nahestehende Hauptauskunftspersonen, Aktenlage diesbezüglich unergiebig) zu wenig verlässliche Informationen zur Vorgeschichte zur Verfügung stehen".
4.2 Die Beschwerdeführerin rügt, diese Antwort zeige unmissverständlich auf, dass es dem Gerichtsgutachter nicht gelungen sei, die essenzielle Frage zur Beurteilung der Kausalität zwischen dem Unfallereignis und den aktuellen Beschwerden schlüssig zu beantworten. Die Beschwerdeführerin ist der Meinung, die von der Vorinstanz angeführte unsichere Informationslage lege allenfalls die Einholung eines Obergutachtens nahe, zumal das Gutachten des S._ die Unfallkausalität ausdrücklich bejaht habe. Der Umstand, dass das Gerichtsgutachten zu einem anderen Schluss gekommen sei, habe nicht per se die Aussichtslosigkeit der Berufung zur Folge, sondern gestalte die "Gretchenfrage" allenfalls wieder offen.
4.3 Die Beschwerdeführerin verkennt, dass eine schlüssige Antwort auch dahin lauten kann, eine Frage lasse sich mangels hinreichender Beurteilungsgrundlage nicht beantworten. Der Gutachter legte im Übrigen dar, dass die bestehenden Unsicherheiten bereits die primäre Frage, ob die geklagten Beschwerden auf das Unfallereignis zurückzuführen seien, nicht mit hinreichender Klarheit zu beantworten erlaubten. Gerade weil auch das S._-Gutachten dieselben Schwierigkeiten einer Diagnosestellung hervorhob, nämlich die Überlagerung durch die Suchtproblematik, und dennoch eine Diagnose stellte, durfte die Vorinstanz im Rahmen der Prüfung der Prozessaussichten annehmen, die Einholung eines Gerichtsgutachtens sei angezeigt gewesen, um die Unstimmigkeiten des Privatgutachtens auszuräumen. Die Vorinstanz durfte davon ausgehen, dass sich die Unsicherheiten, welche in beiden Gutachten verzeichnet wurden, aus dem Verhalten der Beschwerdeführerin selbst ergaben und kaum durch ein weiteres Gutachten ausgeräumt werden könnten. Sodann verkennt die Beschwerdeführerin mit ihren Einwänden gegen die von der Vorinstanz bestätigte Schlüssigkeit des Gerichtsgutachtens, dass es nicht primäre Aufgabe des Gerichtsgutachters war, selbst eine Diagnose bezüglich des Gesundheitszustandes der Beschwerdeführerin zu stellen. Vielmehr ging es darum, den Befund einer auf den Unfall zurückzuführenden posttraumatischen Belastungsstörung gemäss Privatgutachten zu überprüfen. Dass sich die gestellte Diagnose angesichts der bestehenden Suchtproblematik nicht mit hinreichender Sicherheit bestätigen liess, kann mit den Erläuterungen im S._-Gutachten besser in Übereinstimmung gebracht werden als die darin trotz allen Unklarheiten gestellte Diagnose. Indem sich die Vorinstanz der eingehenden Begründung des erstinstanzlichen Gerichts anschloss und ihrerseits davon ausging, die Schlüsse des Gerichtsgutachtens würden sich kaum erschüttern lassen, hat sie insoweit die Prozessaussichten zutreffend eingeschätzt. Unter diesen Umständen erweist sich die Annahme, ein Obergutachten würde mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nicht angeordnet werden, als haltbare vorläufige Einschätzung der Prozessaussichten in dieser Hinsicht. Auch insoweit ist keine Rechtsverletzung auszumachen.
4.4 Die Beschwerdeführerin wendet schliesslich ein, die Vorinstanz stelle lediglich fest, das Gerichtsgutachten sei nachvollziehbar und schlüssig, liefere hierzu aber keine Begründung. Diese Rüge ist mutwillig. Die Vorinstanz hat die Ausführungen des erstinstanzlichen Gerichts in den entscheidenden Passagen ausführlich wiedergegeben und einleuchtend aufgezeigt, dass die im S._-Gutachten gestellte Diagnose angesichts der auch dort geschilderten Unsicherheiten nicht zu überzeugen vermag. Daran ändert der von der Beschwerdeführerin ins Feld geführte Umstand, dass das S._-Gutachten von der Beschwerdegegnerin in Auftrag gegeben wurde, nichts.
5. 5.1 Die Vorinstanz hob hervor, als mögliche Ursachen der psychischen Beeinträchtigungen der Beschwerdeführerin kämen nebst den im Gutachten aufgeführten zahlreiche andere in Frage, weshalb das Unfallereignis nicht als überwiegend wahrscheinliche Ursache anzusehen sei. Überdies habe das Zivilgericht wohl zulässigerweise ergänzt, die Beschwerdeführerin habe mit ihrem Verhalten sowohl die Begutachtung durch das S._ wie auch durch Dr. G._ erschwert und insbesondere die Klärung der Frage, ob ihre psychische Beeinträchtigung auch ohne Unfallereignis eingetreten wäre, verhindert. Vor diesem Hintergrund erachtete die Vorinstanz die Verlustgefahren der Berufung insgesamt als deutlich höher als die Gewinnaussichten.
5.2 Die Beschwerdeführerin hält dem entgegen, bei dieser Argumentation werde sie zusätzlich für die Unfallfolgen abgestraft, indem ihr die im Unfall gründende Persönlichkeitsstörung und als Folge daraus ihre teilweisen Probleme, Vertrauen aufzubauen und Fragen präzise zu beantworten, vorgehalten werde. Aus welchen Umständen die Vorinstanz hätte ableiten müssen, das Verhalten der Beschwerdeführerin gegenüber den Sachverständigen rühre vom Unfall her, legt sie nicht dar. Sie lässt ausser Acht, dass für derartige Auswirkungen des Unfalls keinerlei Anhaltspunkte bestehen. Indem die Vorinstanz die lückenhafte Beweislage angesichts der Beweislast der Beschwerdeführerin mit Bezug auf den Kausalzusammenhang im Sinne fehlender Gewinnaussichten würdigte, beging sie keinerlei Bundesrechts- oder Verfassungsverletzung.
6. Da die Vorinstanz die unentgeltliche Prozessführung mit Blick auf die Prozessaussichten verweigern durfte, ist die Beschwerde abzuweisen, ohne dass auf die Frage der Bedürftigkeit eingegangen werden muss. Die Beschwerdeführerin vermochte gegen die Auffassung der Vorinstanz bzw. die Schlüssigkeit des Gerichtsgutachtens keine namhaften Einwände vorzutragen. Demnach erscheint die Beschwerde als von vornherein aussichtslos. Dem Begehren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht kann daher nicht entsprochen werden (<ref-law>). Demgemäss wird die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin wurde nur bezüglich der Gewährung der aufschiebenden Wirkung, gegen die sie keine Einwände erhoben hat, zur Vernehmlassung eingeladen. Ihr ist kein entschädigungswürdiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Begehren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 4'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Der Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. August 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak