Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft March führt gegen A._ ein Übertretungsstrafverfahren wegen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz. Mit Strafbefehl vom 16. März 2015 sprach die Staatsanwaltschaft March A._ der Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz schuldig, bestrafte ihn mit einer Busse von Fr. 600.--, verfügte den Einzug der diversen sichergestellten Gegenstände und auferlegte ihm die Verfahrenskosten. Dagegen erhob A._ am 24. April 2015 Einsprache und stellte gleichzeitig ein Ausstandsgesuch gegen "befangene Beamte in der March, wie beim Kanton", dabei auch gegen den im vorliegenden Strafverfahren fallführenden Staatsanwalt Peter Birchler. Die Staatsanwaltschaft March überwies das Ausstandsgesuch am 15. Mai 2015 an das Kantonsgericht Schwyz. Dieses wies mit Beschluss vom 27. Mai 2015 das Ausstandsgesuch ab, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, dass auf das Ausstandsgesuch nur einzutreten sei, soweit es sich gegen Staatsanwalt Birchler richte. Ein Ausstandsgesuch sei ohne Verzug zu stellen. Soweit sich A._ auf angebliche Ausstandsgründe gegen Staatsanwalt Birchler aus dem Jahre 2010 oder früher berufe, sei darauf nicht einzutreten. Im Übrigen enthalte die Eingabe vom 24. April 2015 nur pauschale Vorwürfe ohne hinreichenden konkreten Bezug. Damit liesse sich eine Befangenheit von Staatsanwalt Birchler offensichtlich nicht begründen, weshalb das Gesuch mangels Glaubhaftmachung abzuweisen sei.
2.
A._ führt mit Eingaben vom 29. Juni 2015 (Postaufgabe 1. Juli 2015) und 1. Juli 2015 (Postaufgabe 3. Juli 2015) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss des Kantonsgerichts Schwyz vom 27. Mai 2015. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Eine Beschwerde gegen einen Entscheid ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung beim Bundesgericht einzureichen (<ref-law>). Als gesetzliche Frist ist die Beschwerdefrist nicht erstreckbar (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat den angefochtenen Beschluss des Kantonsgerichts nach eigenen Angaben am 1. Juni 2015 erhalten. Die Beschwerdefrist lief somit am 1. Juli 2015 ab (vgl. <ref-law> und <ref-law>). Auf die am 3. Juli 2015 bei der Post aufgegebene Beschwerdeergänzung vom 1. Juli 2015 kann deshalb nicht eingetreten werden.
4.
Streitgegenstand ist vorliegend das mit dem angefochtenen Beschluss abgewiesene Ausstandsbegehren. Soweit der Beschwerdeführer Begehren stellt, die ausserhalb des Streitgegenstandes liegen (Antrag auf Wiederaufnahme des Falls SMU 210 216), kann darauf von vornherein nicht eingetreten werden.
5.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung des Kantonsgerichts, die zur Abweisung des Ausstandsgesuches führte, nicht rechtsgenüglich auseinander. Er vermag mit seinen Ausführungen nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Kantonsgerichts bzw. dessen Beschluss selbst rechts- oder verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
6.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bzw. amtliche Verbeiständung ist abzuweisen, da sich die Beschwerde als offensichtlich aussichtslos erweist (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage ist indessen zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juli 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli