Sachverhalt:
A. Der 1954 geborene K._ erlitt am 29. Januar 2001 und am 27. Januar 2002 je einen Verkehrsunfall. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) anerkannte die Leistungspflicht. Mit Verfügung vom 23. Januar 2003 stellte die SUVA die Leistungen ab 29. Oktober 2002 (Heilbehandlung) und 18. November 2002 (Taggeld) ein. Mit einer weiteren Verfügung vom 1. April 2003 sprach die Anstalt K._ für die Folgen des Unfalles vom 29. Januar 2001 eine Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 20 % sowie eine Integritätsentschädigung von 10 % zu. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2003 fest.
B. K._ liess durch Rechtsanwalt W._ beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde einreichen und beantragen, der Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2003 sei aufzuheben und es seien ihm die gesetzlichen Leistungen auszurichten; im Weitern sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Nach Vernehmlassung der SUVA erliess der Präsident des Versicherungsgerichts am 3. August 2004 eine Verfügung, mit welcher er u.a. das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege in Form der Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes im gegenwärtigen Zeitpunkt zufolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde ablehnte (Dispositiv-Ziffer 2).
C. K._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 2 der Verfügung vom 3. August 2004 sei ihm für das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung zu gewähren. Im Weitern ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht.
Das kantonale Versicherungsgericht beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde.
D. Auf Ersuchen des Instruktionsrichters hat das kantonale Versicherungsgericht u.a. dazu Stellung genommen, dass die Verfügung vom 3. August 2004 einzig vom Gerichtsschreiber unterzeichnet ist.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.1 1.1.1 Nach <ref-law> bestimmt sich das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht unter Vorbehalt von Artikel 1 Absatz 3 des Verwaltungsverfahrensgesetzes vom 20. Dezember 1968 nach kantonalem Recht. Es hat den in lit. a-i aufgezählten Anforderungen zu genügen. <ref-law> hält fest, dass das Recht, sich verbeiständen zu lassen, gewährt sein muss. Wo die Verhältnisse es rechtfertigen, wird der Beschwerde führenden Partei ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bewilligt. Diese Vorschrift gilt laut <ref-law> und <ref-law> von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen auch im Bereich der Unfallversicherung.
1.1.2 Die Voraussetzungen für die Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung sind in der Regel erfüllt, wenn der Prozess nicht offensichtlich aussichtslos, die Partei bedürftig und die Vertretung durch einen Anwalt notwendig oder doch geboten ist (<ref-ruling> Erw. II.1b, 100 V 62 Erw. 3 in Verbindung mit SVR 2004 AHV Nr. 5 S. 17 Erw. 2.1; RKUV 1996 Nr. U 254 S. 209 Erw. 2, 1994 Nr. U 184 S. 78 Erw. 4a; vgl. auch <ref-ruling> Erw. 4a; ferner Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, S. 626 Rz 88 zu Art. 61).
Als aussichtslos sind Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn Gewinnaussichten und Verlustgefahren sich ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> Erw. 2.3.1, 128 I 236 Erw. 2.5.3 mit Hinweis; SVR 1996 UV Nr. 40 S. 123 Erw. 2).
1.1.3 Die angefochtene Verfügung vom 3. August 2003 lehnt das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Verbeiständung für das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht betreffend Leistungen der Unfallversicherung (Heilbehandlung, Taggeld, Rente) wegen Aussichtslosigkeit des Prozesses ab. In der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) gerügt, indem zur Begründung der Ablehnung des «Armenrechtsgesuchs» pauschal auf die Akten verwiesen werde. Eine sachgerechte Anfechtung des Entscheides sei somit nicht möglich (vgl. <ref-ruling> Erw. 1a).
1.2 Das Eidgenössische Versicherungsgericht beurteilt letztinstanzlich Verwaltungsgerichtsbeschwerden gegen Verfügungen im Sinne von <ref-law> auf dem Gebiete der Sozialversicherung (Art. 128 in Verbindung mit Art. 97 OG). Als Verfügungen gelten laut <ref-law> u.a. auch Zwischenverfügungen über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege nach Art. 45 Abs. 2 lit. h und <ref-law>. Solche Verwaltungsakte sind selbstständig anfechtbar, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>). Ferner ist zu beachten, dass gemäss Art. 129 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 101 lit. a OG die Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen Zwischenverfügungen nach <ref-law> nur zulässig ist, wenn sie auch gegen die Endverfügung offen steht (<ref-ruling> Erw. 2a, 124 V 85 Erw. 2 mit Hinweisen). Das ist in Streitigkeiten betreffend Leistungen der Unfallversicherung (Heilbehandlung, Taggeld, Invalidenrente) der Fall (Art. 62 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law>).
1.3 Nach der Rechtsprechung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts gehört der kantonale Entscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege zu den Zwischenverfügungen, die einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können. Er kann daher selbstständig mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde bei diesem Gericht angefochten werden (<ref-ruling> Erw. 1, 98 V 116 Erw. 1, 97 V 250 Erw. 1; SVR 2004 AHV Nr. 5 S. 17 Erw. 1.1, 1998 UV Nr. 11 S. 31 Erw. 4a).
Da auch die übrigen formellen Erfordernisse gegeben sind, ist auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen die Verfügung vom 3. August 2004 einzutreten.
2. Bevor auf die materiellen Vorbringen gegen die Verfügung vom 3. August 2004 einzugehen ist, stellt sich die Frage, ob dieses Erkenntnis den gesetzlichen Formerfordernissen genügt.
Die Verfügung vom 3. August 2004 ist einzig vom Gerichtsschreiber unterzeichnet. In seiner Stellungnahme vom 18. August 2005 lässt der Präsident erklären, der Entscheid sei von ihm erlassen und in seinem Auftrag vom Gerichtsschreiber unterzeichnet worden.
2.1 Nach Art. 61 erster Satz ATSG bestimmt sich das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht unter Vorbehalt von Artikel 1 Absatz 3 des Verwaltungsverfahrensgesetzes vom 20. Dezember 1968 (VwVG) nach kantonalem Recht. Es hat den in lit. a-i genannten Anforderungen zu genügen. Gemäss lit. h werden die Entscheide, versehen mit einer Begründung und einer Rechtsmittelbelehrung sowie mit den Namen der Mitglieder des Versicherungsgerichts, schriftlich eröffnet.
Laut <ref-law> finden auf das Verfahren letzter kantonaler Instanzen, die gestützt auf öffentliches Recht des Bundes nicht endgültig verfügen, lediglich u.a. die Art. 34-38 und 61 Abs. 2 und 3 über die Eröffnung von Verfügungen Anwendung.
2.2 Nach dem einschlägigen solothurnischen Recht wird für jeden Prozess, auch vor dem kantonalen Versicherungsgericht, ein Aktenheft und über jede Verhandlung ein Protokoll geführt, das u.a. die richterlichen Entscheidungen enthält. Die Verhandlungsprotokolle sind in ein zusammenhängendes Sitzungsprotokoll einzutragen, wobei eine Kopie dem Aktenheft beizugeben ist. Die Protokolle sind vom Vorsitzenden und vom Gerichtsschreiber zu unterzeichnen, Abschriften und Auszüge vom Gerichtsschreiber allein (vgl. § 1 Abs. 3 der Verordnung vom 22. September 1987 über das Verfahren vor dem Versicherungsgericht und ... [BGS 125.922], § 40 Abs. 1 lit. c und § 58 des Gesetzes vom 15. November 1970 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen [BGS 124.11], § 65 des Gesetzes vom 13. März 1977 über die Gerichtsorganisation [BGS 125.12] und §§ 62, 65 lit. e, 67 und 68 Abs. 2 der Zivilprozessordnung vom 11. September 1966 [BGS 221.1]).
In den kantonalen Verfahrensakten des vorliegenden Falles befinden sich kein Aktenheft und keine Kopie des Protokolles, welches die angefochtene Verfügung vom 3. August 2004 enthält. Diese Unterlagen waren auch nicht der Stellungnahme vom 18. August 2005 beigelegt. Die Verfügung vom 3. August 2004 hat daher als nicht vom Gerichtspräsidenten unterzeichnet zu gelten.
2.3 <ref-law> und Art. 61 Abs. 2 und 3 VwVG schreiben lediglich Schriftlichkeit vor, nicht aber, dass Verfügungen und Beschwerdeentscheide zu unterzeichnen sind.
2.3.1 In der Lehre ist umstritten, ob das Erfordernis der Schriftlichkeit eine Verpflichtung zur Unterzeichnung von Verwaltungsakten durch die verfügende Behörde enthalte und bejahendenfalls, welche Rechtsfolgen (Anfechtbarkeit, Nichtigkeit) an einen diesbezüglichen Mangel geknüpft sind (Max Imboden/René Rhinow, Schweizerische Verwaltungsrechtsprechung, Band I: Allgemeiner Teil, 6. Aufl., Nr. 84 B III; Pierre Moor, Droit administratif II: Les actes administratifs et leur contrôle, 2. Aufl., S. 297 und 319 Ziffern 2.2.8.1 und 2.3.2.4; Alfred Kölz/Isabelle Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2. Aufl., S. 126 Rz 348).
Gemäss <ref-ruling> Erw. 2a «sont nuls les actes administratifs qui ne respectent pas les dispositions relatives à la forme écrite, à la signature de l'acte ou à la mention de son auteur». Mit Bezug auf das dritte Erfordernis verneinte das Bundesgericht im konkreten Fall einen Eröffnungsfehler, weil «la loi fédérale sur la procédure administrative du 20 décembre 1968, applicable en l'espèce, ne contient aucune disposition imposant aux instances administratives de mentionner nommément les membres de l'autorité qui ont contribué à prendre une décision» (vgl. auch <ref-ruling> Erw. 1).
2.3.2 Zwischenverfügungen kantonaler Versicherungsgerichte über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege nach <ref-law> und <ref-law> können indessen nicht Verwaltungsakten gleichgestellt werden. Dagegen spricht schon, dass sie im verwaltungsgerichtlichen Verfahren durch eine gerichtliche Behörde erlassen werden, hinsichtlich welcher ein Anspruch auf Bekanntgabe der personellen Besetzung besteht (<ref-ruling>). Die Unterschrift des Einzelrichters oder - beim Kollegialgericht - des zur Unterzeichnung befugten Gerichtsmitgliedes bezeugt in authentischer Weise die tatsächliche Mitwirkung der rubrizierten Richterperson(en) am gefällten Entscheid.
2.3.3 Die für das Bundesgericht und das Eidgenössische Versicherungsgericht massgeblichen Erlasse, das Bundesgesetz vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) und das Bundesgesetz vom 4. Dezember 1947 über den Bundeszivilprozess (BZP; vgl. Art. 40 OG), sehen nicht ausdrücklich vor, dass die Entscheide vom Präsidenten oder einem stellvertretenden Mitrichter zu unterzeichnen wären (vgl. Art. 37 OG und <ref-law>). Nach ständiger Praxis werden jedoch die vollständigen Urteilsausfertigungen vom Präsidenten und vom Gerichtsschreiber unterzeichnet (Jean-François Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, Bern 1992, S. 318 N 2.1 zu Art. 37; René Rhinow/Heinrich Koller/Christina Kiss, Öffentliches Prozessrecht und Justizverfassungsrecht des Bundes, Basel 1996, S. 302 Rz 1591). In gleicher Weise sind Entscheide letzter kantonaler Instanzen im Sinne von <ref-law> wenigstens vom Gerichtspräsidenten oder vom Einzelrichter zu unterzeichnen. Dabei handelt es sich nach dem Gesagten nicht bloss um eine Ordnungsvorschrift. Die Unterschrift des Präsidenten oder des Einzelrichters stellt namentlich im Interesse der Rechtssicherheit ein Gültigkeitserfordernis dar. Mit der handschriftlichen Unterzeichnung des Erkenntnisses wird die formelle Richtigkeit der Ausfertigung und deren Übereinstimmung mit dem vom Gericht gefassten Entscheid bestätigt (Robert Hauser/Erhard Schweri, Kommentar zum zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetz [GVG], Zürich 2002, S. 517 Rz 1 und 2 zu § 156). Die Unterschrift muss bezeugen, dass der Erlass dem tatsächlichen Willen des Unterzeichnenden entspricht (nicht veröffentlichtes Urteil des Bundesgerichts vom 28. Juni 1990 in Sachen E. gegen H. [4P.25/1990]). Das Urteil ist die verbindliche Stellungnahme zu den Behauptungen und Begehren der Parteien in den Rechtsschriften (Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl., S. 321).
2.3.4 Zwischenverfügungen über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege nach <ref-law> und <ref-law> schliessen zwar das gerichtliche Verfahren nicht ab. Diesem formalen Aspekt kann indessen aufgrund der selbstständigen Anfechtbarkeit und des nicht wieder gutzumachenden Nachteils des Entscheides für die Frage der Unterschrift des Gerichtspräsidenten oder des nach kantonalem Recht zuständigen Einzelrichters von Bundesrechts wegen keine Bedeutung zukommen. Dies gilt zumindest, wenn die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege mit der Aussichtslosigkeit des Prozesses begründet wird. Hier wird vorab, wenn auch nicht endgültig, über die Sache entschieden. Es verhält sich insofern anders als im Urteil vom 10. Oktober 2003 in Sachen SPA gegen E. (2P.244/2003), wo das Bundesgericht im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde es unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbotes als zulässig erachtete, dass eine in Form einer Verfügung ergangene Anordnung einer Genfer Instruktionsrichterin (Aufforderung zur Erteilung einer bestimmten Auskunft unter Strafandrohung) in ihrem Auftrag durch die Gerichtsschreiberin unterzeichnet worden war. Der insoweit einschlägige Art. 46 Abs. 1 des Gesetzes vom 12. September 1985 über das Verwaltungsverfahren (LPA/GE) schrieb vor, dass «les décisions doivent être désignées comme telles, motivées et signées [...]».
2.3.5 Ob die fehlende Unterschrift des Gerichtspräsidenten oder des zuständigen Einzelrichters Nichtigkeit bedeutet oder bloss einen Anfechtungsgrund darstellt, kann offen bleiben. Jedenfalls vermag die Unterschrift des Gerichtsschreibers «dépourvu de tout pouvoir juridictionnel» (François Bohnet, Code de procédure civile neuchâteloise [CPCN], commenté, 2. Aufl., Basel 2005, S. 140 N 2 zu Art. 82) diesen Mangel nicht zu heilen.
2.4 Die angefochtene Verfügung vom 3. August 2004 ist somit aus formellen Gründen aufzuheben, ohne dass zur materiell streitigen Frage (Erw. 1.1.3) Stellung zu nehmen ist.
Das kantonale Gericht wird somit über den Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung für das hängige Beschwerdeverfahren nochmals zu entscheiden haben. Dabei steht es der Vorinstanz frei, entweder erneut einen Zwischenentscheid zu erlassen oder im Endentscheid darüber zu befinden.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer Anspruch auf eine unter anderem nach dem Vertretungsaufwand bemessene Parteientschädigung (Art. 159 in Verbindung mit Art. 135 OG, Art. 2 Abs. 1 des Tarifs über die Entschädigungen an die Gegenpartei für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht und Art. 160 OG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist somit gegenstandslos und zwar auch in Bezug auf den Antrag auf Befreiung von den Gerichtskosten (SVR 2004 AHV Nr. 5 S. 18 Erw. 4 mit Hinweis).

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird die Verfügung vom 3. August 2004 aufgehoben und es wird die Sache an das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen, damit es über den Anspruch des Beschwerdeführers auf unentgeltliche Verbeiständung für das hängige Verfahren im Sinne der Erwägungen neu entscheide.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Solothurn hat dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung (einschliesslich Mehrwertsteuer) von Fr. 500.- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 28. September 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der I. Kammer: Der Gerichtsschreiber: