Sachverhalt:
A. In der vom Kanton Solothurn (im Folgenden: Beschwerdegegner) gegen X._ (im Folgenden: Beschwerdeführer) eingeleiteten Betreibung Nr. 1 des Betreibungsamtes A._ erteilte der Einzelrichter im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Zürich mit Verfügung vom 15. August 2007 definitive Rechtsöffnung für Fr. 8'348.05 nebst Zinsen und Kosten. Dagegen erhob der Beschwerdeführer, vertreten durch die Treuhand Y._, beim Obergericht des Kantons Zürich (III. Zivilkammer) Nichtigkeitsbeschwerde mit den Anträgen, der Beschwerdeführer sei "für das Jahr 2002 nur durch einen Kanton zu besteuern" und "die Aufteilung der Steuerrechnung 2002 den Kantonen Solothurn und Zürich zu überlassen". Mit Beschluss vom 19. Oktober 2007 wurde die Nichtigkeitsbeschwerde abgewiesen, soweit auf sie einzutreten war.
B. Der Beschwerdeführer, vertreten durch die Treuhand Y._, hat mit Eingabe vom 24. November 2007 die Sache an das Bundesgericht weitergezogen. Er beantragt im Wesentlichen, der obergerichtliche Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Besteuerung nur durch einen Kanton erfolgen könne.
Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdegegner beantragt, auf die Beschwerde in Zivilsachen sei nicht einzutreten und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 mit Hinweis).
1.1 Gemäss <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen auch Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen. Beim vorliegenden Entscheid über die definitive Rechtsöffnung handelt es sich um einen solchen Entscheid (<ref-ruling> E. 1). In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens 30'000 Franken beträgt (<ref-law>), es sei denn, dass ein vorliegend nicht gegebener Ausnahmegrund nach <ref-law> besteht. Da die Streitwertgrenze offensichtlich nicht erreicht wird, ist nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> zulässig.
1.2 Im vorliegenden Fall stellt sich vorab die Frage, ob ein Treuhandbüro den Beschwerdeführer vor Bundesgericht gültig vertreten kann. Nach <ref-law> können in Zivil- und Strafsachen Parteien vor Bundesgericht nur von Anwälten und Anwältinnen vertreten werden, die nach dem Anwaltsgesetz oder einem Staatsvertrag berechtigt sind, Personen vor schweizerischen Gerichtsbehörden zu vertreten. Es ist deshalb zu prüfen, in welchen Fällen im Anwendungsbereich der subsidiären Verfassungsbeschwerde eine Zivil- oder Strafsache vorliegt.
In der Botschaft des Bundesrates vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege war dieses Rechtsmittel noch nicht vorgesehen. Auf Vorschlag des Vorstehers des EJPD wurde eine Arbeitsgruppe gebildet, die anregte, die drei ordentlichen Beschwerden (Beschwerde in Zivilsachen, die Beschwerde in Strafsachen sowie die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten) durch eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu ergänzen. Diese soll dort zur Verfügung stehen, wo die ordentlichen Einheitsbeschwerden nach dem 3. Kapitel (Art. 72 - 89 BGG) ausgeschlossen sind (Fälle unterhalb der Streitwertgrenze bzw. im Ausschlussbereich). Diese Erweiterung des Rechtsmittelsystems wurde von beiden Räten ohne Änderungen akzeptiert (AB N vom 5. Oktober 2004 S. 1614 f. und AB S vom 8. März 2005 S. 139). In <ref-law> wird als Grundsatz festgehalten, dass dieser Rechtsmittelweg offen steht, soweit keine Beschwerde nach Art. 72 - 89 BGG zulässig ist. Das heisst, dass die subsidiäre Verfassungsbeschwerde die Einheitsbeschwerde ersetzt, wenn eine für die jeweilige Einheitsbeschwerde aufgestellte Voraussetzung nicht gegeben ist. Daraus folgt, dass die subsidiäre Verfassungsbeschwerde auch ein Rechtsmittel "in Zivilsachen" im Sinne von <ref-law> ist, wenn sie an Stelle der Beschwerde in Zivilsachen erhoben werden muss. Mit dem Begriff "subsidiäre Verfassungsbeschwerde" werden lediglich die zulässigen Rügen thematisiert, nämlich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gemäss <ref-law>. Dies bedeutet, dass das Anwaltsmonopol im Anwendungsbereich der subsidiären Verfassungsbeschwerde gleich weit reicht wie bei der Einheitsbeschwerde: In Zivil- und Strafsachen ist es gegeben, in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht.
1.3 Gemäss <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden in Zivilsachen. Nach <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen auch Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen (lit. a) und öffentlich-rechtliche Entscheide, die in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht stehen (lit. b). Es ist daher zu prüfen, ob <ref-law> nur die Zivilsachen gemäss <ref-law> umfasst oder vielmehr verfahrensrechtlich in dem Sinn zu verstehen ist, dass für sämtliche Materien, die der Beschwerde in Zivilsachen unterliegen, das Anwaltsmonopol gemäss <ref-law> gilt. Das Bundesgericht hat sich in einem Registerstreit für Marken, welcher den vorausgesetzten Streitwert erreichte und der gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 2 BGG der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt, dafür entschieden, dass das Anwaltsmonopol für sämtliche Beschwerden in Zivilsachen, also auch für diejenigen nach <ref-law> gilt (Urteil des Bundesgerichts vom 18. Juli 2007 [4A_161/2007], E. 3). An dieser Auffassung ist nach erneuter Prüfung auch für die Schuldbetreibungs- und Konkurssachen festzuhalten.
1.4 Der Bundesrat sah in seinem Entwurf eine umfassende Geltung des Anwaltsmonopols vor (Art. 37 Abs. 1 E-BGG; vgl. auch Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001, BBl 2001 4293). Absicht des Bundesrats war, mit dem Anwaltsmonopol den Zugang zum Bundesgericht zu erschweren. Der Nationalrat lehnte in der Herbstsession 2004 diese Ausweitung des Anwaltsmonopols auf die öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Bestreben deutlich ab, an der damals geltenden Rechtslage nichts zu ändern: Zivil- und Strafsachen sollten vom Anwaltsmonpol erfasst und öffentlichrechtliche Angelegenheiten nicht erfasst sein (AB N 2004 1589 ff.). Die Frage, ob das Anwaltsmonopol auch auf SchKG-Belange ausgedehnt werden solle, bildete nicht Gegenstand der Diskussionen in den beiden Räten. Dagegen wurde wiederholt auf den bisherigen Art. 29 aOG (gelegentlich fälschlicherweise als Art. 27 aOG bezeichnet) verwiesen. Auch der Ständerat, der vorher der Ansicht des Bundesrats gefolgt war, schwenkte auf die Meinung des Nationalrats um und stimmte für die Beibehaltung des Status quo (AB S 2005 122 ff.).
1.5 Nach Art. 29 aOG fiel das betreibungsrechtliche Beschwerdeverfahren nicht unter die Zivilsachen; der Rechtsweg wurde durch Art. 19 aSchKG und Art. 76 ff. aOG abgedeckt. Aber Art. 29 aOG wurde stets verfahrensrechtlich in dem Sinn verstanden, dass auf die Art des vor Bundesgericht einzureichenden Rechtsmittels abgestellt wurde: Zivilsachen im Sinne dieser Bestimmung waren der direkte Prozess, die Berufung, die zivilrechtliche Nichtigkeitsbeschwerde sowie die Revision und Erläuterung gegen diesbezügliche Entscheide (W. Birchmeier, Bundesrechtspflege, S. 31; Jean-François Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, N. 3.1 zu Art. 29 aOG, S. 161). Das Gleiche gilt nach dem Gesagten für <ref-law>. Da nach neuem Recht sämtliche SchKG-Angelegenheiten nach <ref-law> generell der Beschwerde in Zivilsachen zugewiesen werden, gilt für sie auch das Anwaltsmonopol gemäss <ref-law>.
1.6 Ist die Vertretung nicht zugelassen, so ist gemäss <ref-law> der Partei eine angemessene Frist zur Behebung des Mangels anzusetzen, mit der Androhung, dass die Rechtsschrift sonst unbeachtet bleibt. Eine Nachbesserungsfrist ist vorliegendenfalls jedoch nicht zu gewähren, da die Eingabe gegen den Rechtsöffungsentscheid den Begründungsanforderungen für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht genügt (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 639/640) und darauf ohnehin nicht eingetreten werden kann (nachfolgend E. 2).
2. 2.1 Das Obergericht führt - zusammengefasst - aus, der Beschwerdeführer habe an der Rechtsöffnungsverhandlung nicht hinreichend belegt, für das Jahr 2002 habe eine Doppelbesteuerung vorgelegen. Aus dem Verhandlungsprotokoll des Bezirksgerichts gehe hervor, dass der Beschwerdeführer Folgendes vorgebracht habe: Weil er sich damals wegen seiner Scheidung in einem Tief befunden habe, habe er weder in Solothurn noch in Zürich eine Steuererklärung eingereicht und sei dann trotz gehöriger Abmeldung an beiden Orten eingeschätzt worden. Ausserdem habe er auf ein Schreiben vom 3. August 2007 verwiesen, in welchem das kantonale Steueramt Zürich bestätige, dass er "für das Steuerjahr 2002 (1.1.2002 bis 31.12.2002) mit einem steuerbaren Einkommen von Fr. 250'000.- veranlagt" worden sei. Andererseits habe aber dem Audienzrichter die vom solothurnischen Steueramt am 4. Januar 2005 eröffnete definitive Veranlagung für die Steuerperiode 2002 vorgelegen, aus welcher hervorgehe, dass im Kanton Solothurn nur für einen Teil (Fr. 74'335.-) des (auf Fr. 189'667.- geschätzten) Reineinkommens des Beschwerdeführers Steuern erhoben worden seien. Die angefochtene Verfügung erweise sich somit zumindest im Ergebnis als richtig, was zur Abweisung der Nichtigkeitsbeschwerde führe.
2.2 Der Beschwerdeführer macht in der Hauptsache geltend, er sei sowohl im Kanton Solothurn als auch im Kanton Zürich zu 100 % besteuert worden.
2.2.1 Gemäss <ref-law> sowie Art. 6 lit. c des Konkordats über die Gewährung der gegenseitigen Rechtshilfe zur Vollstreckung öffentlich-rechtlicher Ansprüche vom 28. Oktober 1971 (AS 1972 153 ff.; das Konkordat ist nicht mehr in der SR [a281.22] enthalten, AS 2005 1241 f.) steht dem betriebenen Schuldner im Rechtsöffnungsverfahren unter anderem die Einrede zu, die ausserkantonale Behörde, die den als Rechtsöffnungstitel vorgelegten Entscheid erlassen hat, sei zu dessen Erlass nicht zuständig gewesen. In der Bestreitung der Zuständigkeit nach Massgabe des Konkordates liegt zugleich eine Bestreitung der Steuerhoheit nach den aus <ref-law> folgenden Regeln des interkantonalen Steuerrechts (<ref-ruling> E. 2b S. 215). Die Doppelbesteuerungseinrede ist im Rechtsöffnungsverfahren allerdings nur zulässig, wenn der Steueranspruch von einem anderen Kanton stammt als von demjenigen, in dem die Betreibung erfolgt, und ferner, dass es sich um die Bestreitung der Steuerhoheit des betreibenden Gemeinwesens überhaupt handelt und nicht bloss um den Einwand, dieses habe bei der Erhebung der Steuer dem Umfang nach die durch das Doppelbesteuerungsverbot gesetzten Schranken überschritten. Sodann darf der Betriebene die Zuständigkeit des Gemeinwesens, von dem der Steueranspruch stammt, in keiner Form anerkannt, d.h. sich auf das Veranlagungsverfahren nicht eingelassen haben (a.a.O., E. 2c, S. 215 f.).
2.2.2 Nach der Aktenlage wurde der Beschwerdeführer vom Kanton Zürich für das Steuerjahr 2002 mit einem steuerbaren Einkommen von Fr. 250'000.- veranlagt und im Kanton Solothurn für das selbe Jahr mit einem (auf Basis eines satzbestimmenden Einkommens von Fr. 189'667.- ermittelten) steuerbaren Einkommen von Fr. 74'335.-. Die Steuer beträgt Fr. 8'348.05.
Wird dem Beschwerdeführer, der zwar weder die einschlägige Verfassungsnorm noch die einschlägige Konkordatsbestimmung erwähnt, zugutegehalten, sinngemäss deren Verletzung gerügt zu haben, bleibt unklar, ob er die Steuerhoheit des Kantons Solothurn überhaupt oder nur dem Umfang nach bestreitet. Zwar beansprucht er auf der einen Seite, nur durch einen Kanton besteuert zu werden, doch verlangt er zum andern, "die Aufteilung der Steuerrechnung der Kantone Solothurn und Zürich ... genau zu definieren". Insoweit ist fraglich, ob die Einrede überhaupt zulässig ist.
Aber selbst wenn von der Zulässigkeit der Einrede auszugehen und damit die (materielle) Frage zu prüfen wäre, ob die Steuerbehörden des Kantons Solothurn, dessen Steuerveranlagung in Betreibung gesetzt wurde, zur Veranlagung des Beschwerdeführers zuständig waren, hülfe dies dem Beschwerdeführer nicht: In der Beschwerde wird lediglich ausgeführt, der Beschwerdeführer habe sich in B._ ordnungsgemäss abgemeldet und in Zürich fristgemäss angemeldet, ohne dass irgendwelche Ausführungen gemacht werden, wo er im fraglichen Zeitpunkt seinen (steuerlichen) Wohnsitz, d.h. den Mittelpunkt seiner Lebensinteressen hatte. Abgesehen davon, dass die polizeiliche Ab- und Anmeldung lediglich Indizien sind, finden sich auch diesbezüglich keine näheren Angaben.
Unter diesen Umständen kann auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht eingetreten werden.
3. Nach dem Ausgeführten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden, und der Beschwerdeführer wird damit kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung an den Kanton Solothurn entfällt, da er in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt hat (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. April 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett