Sachverhalt:
A. Der 1937 geborene Sprachwissenschafter Prof. Dr. phil. A._ war seit vielen Jahren teilzeitlich als Privatdozent an der Universität X._ tätig, wo er für das Fach Q._ allein zuständig war und in Form von Lehrauftragsentschädigungen entlöhnt wurde. Mit Beschluss vom 25. August 1995 sprach ihm der Schweizerische Nationalfonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung (SNF) für das Projekt "Y._" für die Dauer von 24 Monaten ab 1. Oktober 1995 einen Forschungsbeitrag von insgesamt Fr. 216'583.- zu. Davon wurden Fr. 160'000.- als "Salär" bzw. "persönlicher Beitrag an den Lebensunterhalt des Gesuchstellers" bezeichnet. Mit Beschlüssen vom 25. August 1997 und 24. August 1998 verlängerte der SNF seine Projektförderung um jeweils ein zusätzliches Jahr bis zum 30. September 1999, indem er A._ weitere Forschungsbeiträge von Fr. 101'055.- und Fr. 117'054.- zusprach, wovon Fr. 65'000.- bzw. Fr. 60'000.- als Beitrag an den Lebensunterhalt ausgeschieden waren. Für die seit jeher ausgeübte Tätigkeit als Lehrbeauftragter entrichtete die Universität X._ als Arbeitgeberin paritätische Sozialversicherungsbeiträge. Demgegenüber qualifizierte die Ausgleichskasse des Kantons Zürich A._ hinsichtlich seiner Forschungstätigkeit im Rahmen des genannten Nationalfonds-Projekts als Selbstständigerwerbenden und verpflichtete ihn u.a. mit Nachtragsverfügungen vom 10. Mai 2001 zur Bezahlung persönlicher Beiträge auf den für den Lebensunterhalt bestimmten Bezügen von Seiten des SNF für die Jahre 1996 bis 1999.
Während der Rechtshängigkeit der dagegen erhobenen Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich (d.h. pendente lite) kam die Ausgleichskasse auf ihre Verfügungen vom 10. Mai 2001 zurück und ersetzte diese durch neue Nachtragsverfügungen vom 6. Juni 2001, in welchen die Beitragsforderung gegenüber A._ gestützt auf eine Steuermeldung vom 31. Mai 2001 reduziert wurde.
B. Das Sozialversicherungsgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 18. August 2005 ab (recte: hiess es sie teilweise gut) und stellte fest, dass A._ aus selbstständiger Erwerbstätigkeit Beiträge in der am 6. Juni 2001 pendente lite verfügten Höhe schulde.
C. A._führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem sinngemässen Antrag auf Berücksichtigung abzugsfähiger Unkosten. Überdies beantragt er eine Parteientschädigung.
Ausgleichskasse, Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) und die als Mitinteressierte beigeladene Universität X._ verzichten auf eine Vernehmlassung zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
1.2 Da keine Versicherungsleistungen streitig sind, ist nur zu prüfen, ob der vorinstanzliche Entscheid Bundesrecht verletzt, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt worden ist (Art. 132 [in der hier anwendbaren, bis 30. Juni 2006 gültig gewesenen Fassung] in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
Ferner ist Art. 114 Abs. 1 OG zu beachten, wonach das Bundesgericht in Abgabestreitigkeiten an die Parteibegehren nicht gebunden ist, wenn es im Prozess um die Verletzung von Bundesrecht oder um die unrichtige oder unvollständige Feststellung des Sachverhalts geht.
2. Nach <ref-law> werden die Beiträge der erwerbstätigen Versicherten in Prozenten des Einkommens aus unselbstständiger und selbstständiger Erwerbstätigkeit festgesetzt. Nicht zum (beitragspflichtigen) Erwerbseinkommen gehören gemäss <ref-law> u.a. Stipendien und ähnliche Zuwendungen für den Besuch von Schulen und Kursen, die Aus- und Weiterbildung, das kulturelle Schaffen, die wissenschaftliche Forschung oder andere hervorragende Leistungen, wenn sie nicht auf einem Arbeitsverhältnis beruhen und der Geldgeber nicht über das Arbeitsergebnis verfügen kann.
Für eine Ausnahme vom Erwerbseinkommen müssen beide dieser letztgenannten (negativen) Tatbestandsmerkmale gegeben sein. Fehlt auch nur eines, drängt sich der Schluss auf, dass das Stipendium oder die ähnliche Zuwendung nicht mehr rein altruistischen Charakter habe, sondern im Hinblick auf ein bestehendes oder künftiges Arbeitsverhältnis ausgerichtet werde (EVGE 1964 S. 17 E. 2; ZAK 1989 S. 153 E. 4, 1988 S. 31 E. 3c; unveröffentlichtes Urteil H 140/99 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 3. Juli 2000, E. 5a in fine; Käser Hanspeter, Unterstellung und Beitragswesen in der obligatorischen AHV, 2. Aufl. 1996, Rz 3.101 in fine und 3.105).
3. Ausgleichskasse und Vorinstanz stützen ihre Qualifikation der dem Beschwerdeführer vom Schweizerischen Nationalfonds ausgerichteten Beiträge an den Lebensunterhalt als Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit auf die einschlägigen Verwaltungsweisungen des BSV:
In ihrer am 14. Juli 1988 erfolgten AHV-Mitteilung Nr. 158 zuhanden der Ausgleichskassen (Rz 363) führte die Aufsichtsbehörde aus, dass der Nationalfonds abgesehen von Publikationsbeiträgen und der Finanzierung von sog. Forschungsprofessuren die wissenschaftliche Forschung einerseits mit (in der Regel der Weiterbildung im Ausland dienenden) Stipendien an junge Forscher (bis zum Alter 35) und andererseits mit projektbezogenen Forschungsbeiträgen an Einzelforscher oder Forschergruppen fördert. Während die Stipendien beitragsrechtlich unter die hievor zitierte Verordnungsbestimmung von <ref-law> fallen, sind Forschungsbeiträge insoweit als Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit zu betrachten, als mit solchen Beiträgen - abgesehen von der Entlöhnung von Mitarbeitern des Forschers und der Anschaffung von Material und Einrichtungen - ausdrücklich auch der Lebensaufwand des Forschers mitfinanziert werden soll. Wie diese AHV-Mitteilung sieht auch die im hier relevanten Zeitraum gültig gewesene Fassung von Rz. 2012 (vgl. heute Rz. 2016-2018) der Wegleitung des BSV über die Beiträge der Selbstständigerwerbenden und Nichterwerbstätigen in der AHV, IV und EO (WSN) vor, dass Forscher, denen der Schweizerische Nationalfonds einen Beitrag an ihren Lebensunterhalt gewährt, als Selbstständigerwerbende gelten. Demgegenüber sind Stipendiatinnen und Stipendiaten des Nationalfonds als Studierende zu betrachten, ausser wenn der Beitrag primär für Forschungszwecke und nicht für die berufliche Weiterausbildung ausgerichtet wird.
4. 4.1 Die in den Verwaltungsweisungen des BSV (und in diversen Merkblättern) vorgenommene Differenzierung zwischen Zuwendungen des Nationalfonds, welche der beruflichen Weiterbildung dienen und solchen, die in erster Linie mit Blick auf die wissenschaftliche Forschung gewährt werden, ist verordnungswidrig. Nach dem klaren Wortlaut von <ref-law> (die französische und die italienische Sprachfassung stimmen insofern mit der deutschen überein) verbietet sich eine solche Unterscheidung, wird doch hinsichtlich der Ausnahme von der Beitragspflicht auf entsprechenden Zuwendungen gerade die "Aus- und Weiterbildung" mit der "wissenschaftlichen Forschung und anderen hervorragenden Leistungen" gleichgestellt (vgl. auch unveröffentlichtes Urteil H 140/99 vom 3. Juli 2000). Die Verordnungsbestimmung ihrerseits ist gesetzmässig. Sie stützt sich auf die (Vollzugs-)Kompetenz des Bundesrates (<ref-law>), den Begriff des Erwerbseinkommens im Sinne von <ref-law> zu definieren, auf die in <ref-law> erteilte Befugnis, nähere Vorschriften über den Kreis der Personen zu erlassen, die als Nichterwerbstätige gelten, sowie auf Art. 5 Abs. 5 zweiter Satz AHVG, wonach der Bundesrat Stipendien und ähnliche Leistungen vom Einbezug in den massgebenden Lohn (<ref-law>) ausnehmen kann.
4.2 Soweit in Rz. 2012 (heute Rz. 2016) WSN die erwähnte Differenzierung in SNF-Stipendien, die der beruflichen Weiterbildung dienen, und in solche, die primär für Forschungszwecke eingesetzt werden, unter Hinweis auf das in AHI 1994 S. 84 publizierte Urteil H 76/92 vom 30. November 1993 vorgenommen wird, gilt es Folgendes festzuhalten: In jenem Fall ging es nicht um den Anwendungsbereich von <ref-law>; vielmehr hatte das Eidgenössische Versicherungsgericht die Frage zu entscheiden, ob der damalige Beschwerdeführer, Bezüger eines Stipendiums des Schweizerischen Nationalfonds, als nichterwerbstätiger Student im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren sei (und damit bloss den Mindestbeitrag schulde) oder aber als Nichterwerbstätiger nach <ref-law> Beiträge aufgrund seiner sozialen Verhältnisse (sog. Renteneinkommen und Vermögen) zu entrichten habe. Weil das SNF-Stipendium im konkret geprüften Fall überwiegend für die berufliche Weiterausbildung des Bezügers ausgerichtet wurde, anerkannte das letztinstanzliche im Gegensatz zum kantonalen Gericht den Beschwerdeführer als nichterwerbstätigen Studenten im Sinne von <ref-law>. Implizit bestätigte das Eidgenössische Versicherungsgericht mit dem seinerzeitigen Urteil aber auch die Auffassung der damaligen Vorinstanz, wonach auf jeden Fall keine Erwerbstätigkeit (mithin kein Erwerbseinkommen) vorliegt und demzufolge unter der Voraussetzung, dass der Ausbildungszweck nicht überwiegt, die Zuwendungen des Nationalfonds im Rahmen der Ermittlung der Beiträge von nichterwerbstätigen Versicherten im Sinne von <ref-law> als Renteneinkommen gemäss <ref-law> Berücksichtigung finden.
4.3 Nach dem Gesagten stellen die den jeweils gesuchstellenden Forschern ausgerichteten Zuwendungen des Schweizerischen Nationalfonds, ob sie nun als Stipendien oder Forschungsbeiträge bezeichnet werden und darin ein persönlicher Beitrag an den Lebensunterhalt des Bezügers mitenthalten ist oder nicht, kein beitragspflichtiges Erwerbseinkommen dar. Denn weder beruhen diese Zuwendungen auf einem Arbeitsverhältnis zwischen dem Forscher und dem Nationalfonds noch kann Letzterer über das Forschungsergebnis verfügen, womit beide negativen Erfordernisse von <ref-law> erfüllt werden (vgl. E. 2 hievor in fine). Immerhin werden SNF-Beiträge an den Lebensunterhalt im Rahmen der Ermittlung der Sozialversicherungsbeiträge von Nichterwerbstätigen berücksichtigt, wenn eine versicherte Person neben der geförderten Forschungstätigkeit gänzlich auf eine Erwerbstätigkeit verzichtet (was eher selten der Fall sein dürfte und auch im hier zu beurteilenden Fall nicht zutrifft). Damit wird die in der nicht veröffentlichten Erw. 2 des Urteils H 102/92 vom 24. Februar 1994 (teilweise publiziert in SVR 1994 AHV Nr. 11 S. 25) vom Eidgenössischen Versicherungsgericht noch offen gelassene Frage nach der beitragsrechtlichen Qualifikation von SNF-Forschungsbeiträgen in einer Weise beantwortet, die sachgerecht erscheint: Die vom Nationalfonds gewährten persönlichen Beiträge an den Lebensunterhalt liegen im Falle qualifizierter Forscher normalerweise deutlich unter dem Erwerbseinkommen, welches die betreffenden Personen bei Ausübung einer anderweitigen Tätigkeit in ihrem Fachgebiet verdienen könnten. Der SNF-Beitrag bildet unter diesem Blickwinkel eher die Honorierung der (im öffentlichen Interesse liegenden) Bereitschaft des Wissenschafters, der Forschungstätigkeit zuliebe auf ein üblicherweise höheres Einkommen zu verzichten.
5. Im Hinblick auf die vorstehenden Erwägungen sind neben dem angefochtenen Entscheid des kantonalen Gerichts sowohl die während der Rechtshängigkeit des verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahrens vor erster Instanz erlassenen Rückkommensverfügungen der Ausgleichskasse vom 6. Juni 2001 als auch deren ursprüngliche Nachtragsverfügungen vom 10. Mai 2001 aufzuheben (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2b/bb S. 232, 113 V 237 E. 1a S. 238, 107 V 250, 103 V 107 E. 2 S. 109; SVR 2005 EL Nr. 3 S. 9 f. E. 3.1 und 3.2 am Anfang [P 7/02]; nicht veröffentlichtes Urteil I 653/03 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 20. April 2004 zum hier noch nicht anwendbaren, am 1. Januar 2003 in Kraft getretenen <ref-law>).
6. 6.1 Das Verfahren ist kostenpflichtig (Umkehrschluss aus Art. 134 OG [in der bis 30. Juni 2006 gültig gewesenen Fassung]). Ausgangsgemäss hat die Ausgleichskasse die Gerichtskosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG).
6.2 Der vor dem Bundesgericht nicht anwaltlich vertretene obsiegende Beschwerdeführer verlangt für das letztinstanzliche Verfahren eine angemessene Umtriebsentschädigung. Eine solche kann jedoch schon deshalb nicht zugesprochen werden, weil der im Zusammenhang mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde betriebene Arbeitsaufwand jedenfalls nicht den Rahmen dessen überschritt, was der Einzelne üblicher- und zumutbarerweise nebenbei zur Besorgung der persönlichen Angelegenheiten auf sich zu nehmen hat (<ref-ruling> E. 4b S. 207, 110 V 72 S. 82 und 132 E. 4d S. 134).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 18. August 2005 und die Nachtragsverfügungen der Ausgleichskasse des Kantons Zürich vom 10. Mai sowie 6. Juni 2001 für die Beitragsjahre 1996 bis 1999 werden aufgehoben. Es wird festgestellt, dass der Beschwerdeführer für die im genannten Zeitraum bezogenen Beiträge an den Lebensunterhalt nicht als Erwerbstätiger beitragspflichtig ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1100.- werden der Ausgleichskasse des Kantons Zürich auferlegt.
3. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 1100.- wird dem Beschwerdeführer zurückerstattet.
4. Eine Parteientschädigung für das Verfahren vor dem Bundesgericht wird nicht zugesprochen.
5. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wird über eine Parteientschädigung für das kantonale Verfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses zu befinden haben.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und der Universität X._ zugestellt.
Luzern, 2. Mai 2007
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: