Erwägungen:
1. Der tunesische Staatsangehörige X._, geboren 1976, kam Ende 2001 erstmals in die Schweiz. Nach Abweisung seines Asylgesuchs reiste er wieder aus. Nachdem er am 7. April 2004 erneut in die Schweiz eingereist war, heiratete er am 12. Mai 2004 eine Schweizer Bürgerin, geboren 1956, woraufhin er eine Aufenthaltsbewilligung für den Kanton Schaffhausen erhielt. Im Dezember 2005 ersuchte die Ehefrau um Eheschutzmassnahmen; am 10. April 2006 hob das Kantonsgericht Schaffhausen den gemeinsamen Haushalt der Eheleute auf. Wie zuvor angekündigt, reichte die Ehefrau im April 2008 die Scheidungsklage ein.
Am 27. August 2007 lehnte das Ausländeramt des Kantons Schaffhausen die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ bzw. dessen Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung ab. Der gegen diese Verfügung erhobene Rekurs an den Regierungsrat blieb erfolglos. Am 23. Mai 2008 wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen die am 22. Dezember 2007 gegen den regierungsrätlichen Rekursentscheid vom 27. November 2007 erhobene Beschwerde ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 26. Juni (Postaufgabe 27. Juni) 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht im Wesentlichen, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG [SR 173.110]) haben die Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Es muss in den Grundzügen der vor Bundesgericht eingereichten Rechtsschrift zu entnehmen sein, in welchen Punkten und weshalb der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid beanstandet; der Verweis auf frühere Rechtsschriften genügt in der Regel nicht.
2.2 Das Obergericht hielt fest, der Beschwerdeführer berufe sich rechtsmissbräuchlich auf Art. 7 ANAG. Es kam zum Schluss, dass der Ehewille der Ehefrau seit einiger Zeit definitiv erloschen, mithin die Führung einer Lebensgemeinschaft mit dem Beschwerdeführer nicht mehr zu erwarten sei; die Ehe bestehe nur noch formell. Es beschrieb dabei konkret die Entwicklung der tatsächlichen Verhältnisse seit Dezember 2005 (E. 2b S. 5/6 des angefochtenen Entscheids). Insbesondere befasste es sich im Einzelnen mit den Vorbringen des Beschwerdeführers in dessen Beschwerdeschrift vom 22. Dezember 2007 (S. 6 des angefochtenen Entscheids); jedenfalls in einem solchen Fall genügt der pauschale Hinweis auf diese kantonale Rechtsschrift nicht. Nun begnügt sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht damit, die Erwägungen des Obergerichts, die er nicht wiedergibt, als "zweifelsohne" willkürlich zu bezeichnen und die vorgenommene Interessenabwägung zu kritisieren, wobei er sich zur Begründung darauf beschränkt, auf die Beschwerdeschrift vom 22. Dezember 2007 zu verweisen. Soweit es um die Anwendung von Art. 7 ANAG geht, fehlt es mithin offensichtlich an einer hinreichenden Beschwerdebegründung (<ref-law>).
Erst recht gilt dies hinsichtlich der Frage, ob dem Beschwerdeführer die Bewilligung unabhängig vom Anspruchstatbestand von Art. 7 ANAG, im Bereich von Art. 4 ANAG (E. 3 des angefochtenen Entscheids), verweigert werden durfte: Diesbezüglich wäre die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mangels Bewilligungsanspruchs unzulässig (<ref-law>) und wäre - höchstens - die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 113 und 116 BGG) gegeben. Der Beschwerdeführer nennt zwar das Willkürverbot, legt aber nicht dar, inwiefern dieses Grundrecht verletzt worden sein könnte (vgl. Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Ohnehin wäre er im Zusammenhang mit einer Bewilligung, auf die kein Rechtsanspruch besteht, mit der Willkürrüge nicht zu hören (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 197 ff.).
2.3 Auf die Beschwerde ist nach dem Gesagten im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.4 Soweit mit dem Begehren um Verzicht auf einen Kostenvorschuss auch ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt werden sollte, wäre diesem wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht zu entsprechen (<ref-law>).
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Ausländeramt, dem Regierungsrat und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juni 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller