Sachverhalt:
A. Der 1963 geborene Y._ war als Lagermitarbeiter der Firma T._ AG bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als er am 9. Januar 1996 von einem Stapler fiel und sich am Ellbogen verletzte. Der Versicherte konnte seine angestammte Tätigkeit offenbar im Februar 1996 wieder aufnehmen. Er war weiterhin über seine Arbeitgeberin bei der SUVA gegen die Folgen von Unfällen versichert, als er sich am 23. Juni 2000 beim Anziehen eines "Rolli-Gummis" erneut am Ellbogen verletzte. Die Behandlung konnte am 20. Juli 2000 abgeschlossen werden.
Am 24. Juli 2001 liess der Versicherte der SUVA einen Rückfall bezüglich der beiden Ereignisse von 1996 und 2000 melden. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht und erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Insbesondere wurde am 14. Dezember 2001 in der Orthopädischen Klinik B._ eine operative mediale Seitenbandrekonstruktion am rechten Ellbogen durchgeführt. Mit Verfügung vom 2. August 2005 und Einspracheentscheid vom 20. Oktober 2005 stellte die SUVA ihre Leistungen per 31. August 2005 ein, da die darüber hinaus bestehenden Beschwerden in erster Linie psychisch begründet seien und nicht adäquat kausal durch die Ereignisse verursacht worden seien.
B. Die von Y._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 27. November 2007 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt Y._, die SUVA sei unter Aufhebung des Einsprache- und kantonalen Gerichtsentscheides zu verpflichten, über den 31. August 2005 hinaus Leistungen zu erbringen.
Während die SUVA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Schreiben vom 20. Februar 2008 reicht Y._ ein Gutachten des Dr. med. U._ vom 8. Februar 2008 zu den Akten und beantragt, die SUVA sei zur Erstattung der Gutachtenskosten in der Höhe von Fr. 9'960.- zu verpflichten.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Mit Schreiben vom 20. Februar 2008 reicht Y._ ein Gutachten des Dr. med. U._ vom 8. Februar 2008 zu den Akten und beantragt, die SUVA sei zur Erstattung der Gutachtenskosten in der Höhe von Fr. 9'960.- zu verpflichten. Die vom Bundesgericht bis anhin offen gelassene Frage, ob im Beschwerdeverfahren um Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung neue Beweismittel eingereicht werden dürfen (vgl. etwa Urteile 8C_260/2007 vom 31. Oktober 2007, E. 2; 8C_619/2007 vom 29. Januar 2008, E. 3.2.6 und 8C_806/2007 vom 7. August 2008, E. 3), braucht auch vorliegend nicht beantwortet zu werden: Selbst wenn man von der grundsätzlichen Zulässigkeit neuer Beweismittel ausgehen würde, so ist doch an der Rechtsprechung des Bundesgerichts zu Art. 132 OG festzuhalten (Urteil 9C_40/2007 vom 31. Juli 2007, E. 3.1), gemäss der nach Ablauf der Beschwerdefrist oder nach Abschluss eines zweiten Schriftenwechsels neue erhebliche Tatsachen oder schlüssige Beweismittel nur noch vorgebracht werden dürfen, wenn diese eine Revision im Sinne von Art. 137 lit. b OG (heute: <ref-law>) zu rechtfertigen vermöchten (<ref-ruling>; Urteil I 600/00 vom 10. Dezember 2001, E. 1b). Dies trifft vorliegend nicht zu, womit das Gutachten des Dr. med. U._ vom 8. Februar 2008 ein unzulässiges Beweismittel darstellt. Damit entfällt auch eine Entschädigungspflicht der Beschwerdegegnerin für die Kosten der Begutachtung.
3. Die Zusprechung von Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung setzt grundsätzlich das Vorliegen eines Berufsunfalles, eines Nichtberufsunfalles oder einer Berufskrankheit voraus (<ref-law>). Der Unfallversicherer haftet jedoch für einen Gesundheitsschaden nur insoweit, als dieser nicht nur in einem natürlichen, sondern auch in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum versicherten Ereignis steht (<ref-ruling> E. 3 S. 181). Dabei spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (<ref-ruling> E. 2 S. 111 f.; <ref-ruling> E. 5b/bb S. 103). Bei psychischen Unfallfolgen ist demgegenüber zur Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind gegebenenfalls weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen (<ref-ruling> E. 6c/aa S. 140).
4. Streitig und zu prüfen ist, welche vom Versicherten über den 31. August 2005 hinaus anhaltend geklagten Beschwerden adäquat kausal durch die Unfallereignisse vom 9. Januar 1996 und/oder vom 23. Juni 2000 verursacht wurden.
5. 5.1 Vorinstanz und Verwaltung gingen davon aus, dass zwischen den Unfallereignissen und der humero-radialen Arthrose am rechten Ellbogen, nicht aber zwischen den Ereignissen und der humero-ulnaren Arthrose ein Kausalzusammenhang besteht. Auch unter Berücksichtigung dieses Krankheitsbildes sei ein Ganztageseinsatz selbst bei einer manuellen Tätigkeit zumutbar. Die weitergehenden Einschränkungen seien auf eine somatoforme Schmerzstörung zurückzuführen; die Schmerzstörung sei indessen nicht adäquat kausal durch die Unfallereignisse verursacht.
Der Beschwerdeführer macht seinerseits geltend, nicht nur die humero-radiale, sondern auch die humero-ulnare Arthrose sei durch die beiden Ereignisse verursacht. Bereits durch diese Arthrosen sei er wesentlich in seiner Arbeitsfähigkeit eingeschränkt. Die weitergehenden Einschränkungen seien zudem nicht durch eine somatofrome Schmerzstörung, sondern durch ein unfallkausales Complex Regional Pain Syndrom Typ II (CRPS II) verursacht.
5.2 Eine somatoforme Schmerzstörung (ICD-10: F45.4) wurde beim Beschwerdeführer durch den SUVA-Arzt Dr. med W._, (FMH Psychiatrie und Psychotherapie), in seiner Beurteilung vom 28. Oktober 2004 diagnostiziert. Gemäss den Klassifikationskriterien der Weltgesundheitsorganisation (WHO) darf diese Diagnose nur gestellt werden, wenn der schwere und belastende Schmerz nicht adäquat durch den Nachweis eines physiologischen Prozesses oder einer körperlichen Störung erklärt werden kann (vgl. Dilling/Freyberger [Hrsg.]), Taschenführer zur ICD-10-Klassifikation psychischer Störungen, 3. Aufl. Bern 2006, S. 185). Dr. med. W._ stützt sich bei seiner Diagnosenstellung denn auch auf die Annahme, dass die somatischen Befunde die geklagten Beschwerden nicht ausreichend zu erklären vermögen und dass insbesondere der Verdacht auf ein CRPS II nicht bestätigt wurde. Daraus ist zu folgern, dass das Vorliegen einer somatoformen Schmerzstörung beim Beschwerdeführer nur dann überwiegend wahrscheinlich erscheint, wenn diese Annahme zutrifft und er nicht an einem CRPS II litt.
5.3 Beim Beschwerdeführer wurde ein CRPS II erstmals von Dr. med. U._ (Chirurgie FMH, speziell Handchirurgie), in seinem Bericht vom 21. März 2003 diagnostiziert. Die Schmerzabteilung der Rehaklinik führte in der Diagnoseliste ihres Berichtes vom 22. Mai 2003 einen Verdacht auf ein Quadrantensyndrom bei CRPS II auf. Am 26. Januar 2004 führten die Ärzte der Rehakliniik aus, dass die anamnestischen und klinischen Befunde unverändert für ein neuropathisches Schmerzsyndrom mit sympathisch vermittelter Ausweitung auf den rechten oberen Quadranten nach neuropathischem Schmerzsyndrom (CRPS II) sprechen würden. Aus den Akten ist nicht ersichtlich, dass zwischen dem 26. Januar und dem 28. Oktober 2004 weitere Untersuchungen stattfanden, welche dazu dienten, den Verdacht auf ein CRPS II zu bestätigen oder zu widerlegen. Die Ausführungen des Dr. med. W._ in seinem Bericht vom 28. Oktober 2004, wonach der Verdacht auf ein CRPS II nicht habe bestätigt werden können, entbehren somit einer aktenmässigen Grundlage.
5.4 Entgegen den Ausführungen der Vorinstanz kann aus dem Umstand, dass der Beschwerdeführer sich nicht nur über ein eng auf den Ellbogen bezogenes Schmerzsyndrom beklagt, nicht ohne weitere Abklärungen geschlossen werden, er leide nicht an einem CRPS. In der Literatur wurde jedenfalls für den einen Subtypus des CRPS, der sympathischen Reflexdystrophie, eine Tendenz zur Generalisierung der Symptome, die die gesamte distale Extremität betreffen und sich auf den betroffenen Körperquadranten bzw. selten sogar auf die kontralaterale Extremität ausbreiten können, beschrieben (Mumenthaler/Stöhr/Müller-Vahl, Läsionen peripherer Nerven und radikuläre Syndrome, 8. Aufl. Stuttgart 2003, S. 60). Aufgrund der Akten ist weder mit dem notwendigen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt, dass der Beschwerdeführer an einem CRPS litt, noch dass der Verdacht auf ein solches Leiden unbegründet war. Insbesondere fehlt bis anhin eine neurologische Stellungnahme zur Wahrscheinlichkeit, dass die Beschwerden des Versicherten durch ein neuropathisches Schmerzsyndrom verursacht sind. Da die Diagnose der somatoformen Schmerzstörung von der Annahme ausgeht, dass kein CRPS vorlag, erscheint auch eine psychiatrische Störung solange nicht überwiegend wahrscheinlich, bis die Möglichkeit eines CRPS mit dem notwendigen Beweisgrad ausgeschlossen werden kann. Der Sachverhalt erweist sich als zu wenig abgeklärt. Die Beschwerde ist somit in dem Sinne gutzuheissen, dass Einsprache- und kantonaler Gerichtsentscheid aufzuheben sind und die Sache an die Versicherung zurückzuweisen ist, damit diese mit einer umfassenden neurologischen Begutachtung kläre, ob der Beschwerdeführer tatsächlich an einem unfallkausalen neuropathischen Schmerzsyndrom litt bzw. leidet. Anschliessend wird sie über ihre Leistungspflicht neu zu entscheiden haben.
6. Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5). Diese hat dem Beschwerdeführer überdies eine Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 27. November 2007 und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) vom 20. Oktober 2005 werden aufgehoben. Es wird die Sache an die SUVA zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Leistungsanspruch des Beschwerdeführers ab 31. August 2005 neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2500.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. September 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Holzer