Sachverhalt:
A.
Der nigerianische Staatsangehörige X._ (geb. 1969) reiste am 27. Juli 2004 unter Angabe einer falschen Identität in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Nach Ablehnung des Gesuchs galt er ab 9. Dezember 2004 als verschwunden. Am 8. Juni 2005 heiratete X._ in seiner Heimat die Schweizer Bürgerin A._. Am 29. Dezember 2005 reiste er im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein und erhielt eine letztmals bis zum 29. Dezember 2009 verlängerte Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau. Am 29. Dezember 2005 kam die Tochter B._ zur Welt, die ebenfalls das Schweizer Bürgerrecht besitzt. Die Ehegatten trennten sich im Januar 2008 bzw. September 2010 und das Bezirksgericht Luzern hob mit Urteil vom 1. März 2011 den gemeinsamen Haushalt auf unbestimmte Zeit auf.
X._ erwirkte diverse Verurteilungen wegen Betäubungsmitteldelikten (2004: sechs Wochen Gefängnis; 2007: sechs Monate Freiheitsstrafe; 2012: drei Jahre Freiheitsstrafe unbedingt). X._ leidet an einer HIV-Erkrankung, die sich im fortgeschrittenen Infektionsstadium befindet.
B.
Am 20. Juli 2011 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern das Gesuch von X._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies diesen aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern mit Entscheid vom 12. Juli 2012 ab. Die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies dieses mit Urteil vom 14. Februar 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 22. März 2013 beantragt X._, Ziff. 1 und 2 des angefochtenen Entscheides (betr. Bewilligungsverweigerung bzw. Wegweisung) des Verwaltungsgerichts seien aufzuheben und ihm sei die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern bzw. neu auszustellen. Eventualiter sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. In jedem Fall sei von einer Aus- oder Wegweisung abzusehen. Zudem beantragt er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Mit Verfügung vom 28. März 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Auf die Anordnung eines Schriftenwechsels wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1.
Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid auf dem Gebiet des Ausländerrechts, welcher grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG).
1.2. Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde unzulässig gegen Entscheide betreffend ausländerrechtliche Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Vorliegend beruft sich der Beschwerdeführer insbesondere auf Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG (SR 142.20), welcher bei Vorliegen wichtiger persönlicher Gründe grundsätzlich einen Anspruch auf Verlängerung des (abgeleiteten) Anwesenheitsrechts verleiht. Ob der Anspruch auf Verlängerung der Bewilligung im konkreten Fall zu bejahen ist, betrifft nicht die Eintretensfrage, sondern die materielle Behandlung der Eingabe (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179 mit Hinweisen). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit in Bezug auf die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung zulässig.
1.3. Soweit der Beschwerdeführer die Wegweisung beanstandet, gilt Folgendes: Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Wegweisungsentscheide. Im Eventualantrag des Beschwerdeführers betreffend Wegweisung ist daher sinngemäss eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG zu erblicken. Weil der Antrag den Anforderungen an die Begründung der Beschwerde (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) nicht genügt, ist darauf nicht einzutreten. Die vom Beschwerdeführer ebenfalls gerügte Ausweisung bildet sodann nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids, weshalb nicht näher darauf einzugehen ist.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht (inklusive Bundesverfassungsrecht), Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten geltend gemacht werden (Art. 95 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur beanstandet werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Die Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden, ist gleichzusetzen mit der Willkürrüge (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer erhebt hier keine rechtsgenüglichen Sachverhaltsrügen, so dass der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt für das Bundesgericht verbindlich ist.
2.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Tatsachen oder Beweismittel, welche sich auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, sich jedoch erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden sind, können von vornherein nicht durch das angefochtene Urteil veranlasst worden sein (vgl. Urteil 2C_94/2009 vom 16. Juni 2009 E. 2.2). Soweit sich der Beschwerdeführer auf ein solches Beweismittel beruft (Bestätigung in englischer Sprache von Dr. Chris Ibe, Lagos, vom 10. März 2013), handelt es sich um ein so genanntes "echtes Novum", welches im bundesgerichtlichen Verfahren in jedem Fall unzulässig ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 344).
3.
3.1. Die Vorinstanz ist im angefochtenen Entscheid zum Schluss gekommen, der Beschwerdeführer habe nach Auflösung der Familiengemeinschaft keinen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung. Es liege weder ein nachehelicher Härtefall nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG noch ein solcher aus wichtigen persönlichen (vorab familiären) Gründen nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG vor. In diesem Zusammenhang verneinte die Vorinstanz einen Aufenthaltsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Familienlebens), da weder in affektiver noch in wirtschaftlicher Hinsicht eine besonders enge Vater-Tochter-Beziehung vorhanden sei und sich der Beschwerdeführer auch nicht tadellos verhalten habe (vgl. angefochtener Entscheid E. 3). In Bezug auf die gesundheitlichen Probleme des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz festgestellt, eine angemessene Behandlung seiner Krankheit in Nigeria sei möglich, weshalb Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG auch in dieser Hinsicht keinen Anspruch auf Aufenthalt begründen könne (vgl. angefochtener Entscheid E. 4).
3.2. Der Beschwerdeführer räumt ein, dass aufgrund seiner Verurteilungen (vgl. auch Urteil des Bundesgerichts 6B_27/2013 vom 5. März 2013) die "wirtschaftliche Integration noch nicht ganz gelungen" sei; deshalb werde die vorinstanzliche Interessenabwägung in Bezug auf die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht bestritten, auch wenn damit das Recht auf Familie - insbesondere für seine Tochter - wesentlich beschnitten werde. Sodann stellt der Beschwerdeführer auch die Ausführungen der Vorinstanz über die Beziehung zu seiner Tochter (im Zusammenhang mit Art. 8 EMRK) nicht mehr in Frage. Hingegen rügt er eine Verletzung von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG; er ist der Auffassung, dass seine HIV-Erkrankung eine Rückkehr nach Nigeria unzumutbar mache, da es fraglich sei, ob er in seiner Heimat die nötigen Medikamente tatsächlich erhalten würde.
3.3. Unbestritten ist, dass der Beschwerdeführer an einer HIV-Erkrankung leidet, diese sich bereits im fortgeschrittenen Stadium befindet und er im Herbst 2008 einer stationären Behandlung bedurfte; seither wird er mit einer antiretroviralen Therapie (ART) behandelt. Gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz, welche vom Beschwerdeführer nicht beanstandet werden, hat sich der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers inzwischen aber verbessert und es ist zu keinen weiteren HIV-assoziierten Krankheiten mehr gekommen. Der Beschwerdeführer befindet sich somit nicht mehr in einer akuten Phase seiner Krankheit (vgl. angefochtener Entscheid E. 4c).
3.4. Schwere gesundheitliche Probleme können als wichtige persönliche Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG anerkannt werden, wenn sie so gravierend sind, dass eine Rückkehr ins Herkunftsland in medizinischer Hinsicht unhaltbar erscheint. Ob dies der Fall ist, hängt dabei im Wesentlichen von den Behandlungsmöglichkeiten im Herkunftsland ab (Urteile 2C_1051/2011 vom 29. Juni 2012 E. 3.2; 2C_316/2011 vom 17. Oktober 2011 E. 3.3). Soweit die medizinische Versorgung im Heimatland gewährleistet ist, kann sich der Ausländer regelmässig nicht darauf berufen, dass die Versorgung in der Schweiz einem höheren Standard entspricht (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 209; Urteil 2C_833/2011 vom 6. Juni 2012 E. 3.3.2 mit Hinweisen).
3.5. Mit Bezug auf die gesundheitliche Situation des Beschwerdeführers existieren nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (vgl. E. 2.1 hiervor) in Nigeria staatliche Programme zur Behandlung von AIDS-Patienten. Ebenfalls abgedeckt ist demnach der Zugang zur ART (vgl. auch Urteil 2C_932/2011 vom 7. Juni 2012 E. 5.3, wonach in Nigeria vom unentgeltlichen Zugang zu antiretroviralen Therapien ausgegangen werden darf). Dagegen führt der Beschwerdeführer bloss aus, es sei keineswegs sicher, ob er an einem solchen Programm teilnehmen könne, da diese lokal unterschiedlich ausgestaltet und "sicher nicht für alle erkrankten Personen zugänglich" seien. Er werde in Nigeria nicht die nötigen Mittel haben, um sich die wirksamen Medikamente kaufen zu können. Diese Vorbringen sind jedoch nicht geeignet, die tatsächlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts und die von ihm daraus gezogenen rechtlichen Schlussfolgerungen als bundesrechts- bzw. konventionswidrig erscheinen zu lassen. Ebenso wenig kann der Beschwerdeführer aus dem Schreiben eines angeblichen Arztes des St. Luke Hospitals in Port Harcourt zu seinen Gunsten ableiten: Dieses ist - abgesehen davon, dass dessen Authentizität nur schwer zu überprüfen ist - sehr allgemein gehalten und erscheint wenig glaubwürdig.
3.6. Der Beschwerdeführer, der sich damit auch bei Berücksichtigung des an sich unzulässigen Novums nicht in einer akut lebensbedrohlich wirkenden medizinischen Notlage befindet, hat deshalb das Fehlen einer allen Eventualitäten gerecht werdenden medizinischen Versorgung in seinem Heimatland in Kauf zu nehmen (vgl. Urteile 2C_833/2011 vom 6. Juni 2012 E. 3.3.2; 2C_416/2011 vom 28. Dezember 2011 E. 3.3). Dies gilt umso mehr, als er offenbar regelmässig während mehreren Monaten (letztmals im Frühling 2012) sein Heimatland besuchte und in dieser Zeit nicht auf eine medizinische Behandlung in der Schweiz angewiesen war.
3.7. Es sind ausserdem keine weiteren Umstände ersichtlich oder geltend gemacht worden, die im Rahmen der Gesamtwürdigung nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG zu einer anderen Beurteilung führen würden. Namentlich ist der Beschwerdeführer erst als Erwachsener in die Schweiz gelangt und hat seine prägenden Kinder- und Jugendjahre in seinem Heimatland, wo neben weiteren Verwandten auch ein Sohn von ihm lebt, verbracht. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung erweist sich damit als verhältnismässig.
4.
4.1. Der angefochtene Entscheid verletzt somit kein Bundes- oder Konventionsrecht. Die Beschwerde kann ohne Schriftenwechsel im Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden. Für alles Weitere wird ergänzend auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
4.2. Da dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung vor Bundesgericht infolge Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren nicht entsprochen werden kann (Art. 64 BGG), hat der unterliegende Beschwerdeführer grundsätzlich die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers wird indessen bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger