Sachverhalt:
A.
Der am 25. Januar 1947 geborene R._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und wohnt in Kosovo. Mit Antrag vom 28. Februar 2012 (eingegangen am 29. März 2012) meldete er sich bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) zum Bezug einer "Altersrente für Personen mit Wohnsitz ausserhalb der Schweiz" an. Mit Verfügung vom 30. Juli 2012 teilte ihm die SAK mit, er hätte grundsätzlich einen Anspruch auf eine ordentliche Altersrente als einmalige Abfindung in der Höhe von Fr. 17'598.-, da aber das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde, müsse sein Antrag dennoch abgewiesen werden. Am 18. Oktober 2012 reichte R._ der SAK ein Bankformular mit seiner Kontonummer für die Überweisung von Rentenansprüchen ein. Mit Einspracheentscheid vom 21. Januar 2013 erachtete die SAK dies als Einsprache gegen die Verfügung vom 30. Juli 2012 mit dem sinngemässen Antrag auf Überweisung der einmaligen Abfindung von Fr. 17'598.- und hielt an ihrer abweisenden Verfügung fest.
B.
Am 11. Februar 2013 teilte R._ der SAK mit, er habe sich entschieden, seine Einsprache zurückzuziehen und um Auszahlung des genannten Geldbetrages von Fr. 17'598.- zu bitten. Dieses Schreiben leitete die SAK als Beschwerde zuständigkeitshalber an das Bundesverwaltungsgericht weiter, welches die Beschwerde in dem Sinne guthiess, dass es den Einspracheentscheid vom 21. Januar 2013 aufhob und die Sache an die SAK zurückwies, damit sie die Prüfung des Rentenbegehrens fortsetze und anschliessend unter Anwendung des noch in Kraft stehenden Sozialversicherungsabkommens in der Sache neu verfüge (Entscheid vom 5. Juni 2013).
C.
Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 5. Juni 2013 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 21. Januar 2013 zu bestätigen.
R._, das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV), und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist - wozu auch Unvollständigkeit gehört (Urteil 9C_395/2009 vom 16. März 2010 E. 2.4) - oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Gemäss <ref-law>, in der bis Ende 2011 gültigen Fassung, haben Schweizer Bürger, Ausländer und Staatenlose Anspruch auf Alters- und Hinterlassenenrenten (Abs. 1). Ausländer sowie ihre Hinterlassenen ohne Schweizer Bürgerrecht sind nur rentenberechtigt, solange sie ihren Wohnsitz und gewöhnlichen Aufenthalt (<ref-law>) in der Schweiz haben. Dieses Erfordernis ist von jeder Person, für die eine Rente ausgerichtet wird, einzeln zu erfüllen. Vorbehalten bleiben die besonderen bundesrechtlichen Vorschriften über die Rechtsstellung der Flüchtlinge und der Staatenlosen sowie abweichende zwischenstaatliche Vereinbarungen, insbesondere mit Staaten, deren Gesetzgebung den Schweizer Bürgern und ihren Hinterlassenen Vorteile bietet, die denjenigen dieses Gesetzes ungefähr gleichwertig sind (Abs. 2). Den Ausländern, die ihren Wohnsitz im Ausland haben und mit deren Heimatstaat keine zwischenstaatliche Vereinbarung besteht, sowie ihren Hinterlassenen können die gemäss den Artikeln 5, 6, 8, 10 oder 13 bezahlten Beiträge rückvergütet werden. Der Bundesrat regelt die Einzelheiten, insbesondere das Ausmass der Rückvergütung (Abs. 3).
Bei Personen, die mehrere sich ablösende Staatsangehörigkeiten besessen haben, ist für die Rentenberechtigung die Staatsangehörigkeit während des Rentenbezugs massgebend. Diese Regelung ist in Art. 18 Abs. 2 bis AHVG eingefügt worden, der am 1. Januar 2012 in Kraft getreten ist (AS 2011 4745).
3.
Wie das Bundesgericht in <ref-ruling> entschieden hat, ist das Abkommen vom 8. Juni 1962 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der ehemaligen (Sozialistischen) Föderativen Volksrepublik Jugoslawien über Sozialversicherung (kurz: Sozialversicherungsabkommen; SR 0.831.109.818.1) ab 1. April 2010 nicht weiter auf kosovarische Staatsangehörige anzuwenden. Dem Urteil lag der Fall eines 1977 geborenen kosovarischen Staatsangehörigen mit Wohnsitz in Kosovo zu Grunde, dessen Gesuch auf Rückvergütung der AHV-Beiträge das Bundesverwaltungsgericht unter Hinweis auf die Weiteranwendung des Sozialversicherungsabkommens abgewiesen hatte.
Die bundesgerichtliche Rechtsprechung lässt sich ohne weiteres auf den hier zu beurteilenden Fall übertragen:
3.1. Der Beschwerdegegner hat in seiner Anmeldung für eine Altersrente auf die Frage nach den "Staatsangehörigkeit (en) " ausschliesslich "Kosovo" angegeben. Seine kosovarische Staatsangehörigkeit geht zudem aus der der Anmeldung zur Altersrente beigelegten Geburtsurkunde hervor. Eine Doppelbürgerschaft macht der Beschwerdegegner nicht geltend. Abgesehen davon hat das Bundesgericht einen Automatismus oder den Grundsatz, dass Personen aus dem Kosovo neben der Staatsangehörigkeit des Kosovos auch die serbische Staatsangehörigkeit besitzen, wie es im Entscheid C-4828/2010 des Bundesverwaltungsgerichts vom 7. März 2011 vertreten wird, verworfen (<ref-ruling> E. 12.2 S. 285).
3.2. Was die zeitliche Geltung des Sozialversicherungsabkommens im Verhältnis zu Kosovo bis zum 31. März 2010 betrifft, so hielt das BSV in seinen Mitteilungen an die AHV-Ausgleichskassen und EL-Durchführungsstellen Nr. 265 vom 28. Januar 2010 fest, dass es auf bestehenden AHV-Leistungen einen Besitzstand gebe, während für die Zusprache von neuen AHV-Leistungen die Rechtsgrundlagen wie für Angehörige von Staaten, mit welchen die Schweiz kein Sozialversicherungsabkommen hat, gelten würden. Massgebend für die Zusprache einer Altersrente sei dabei der Eintritt des Versicherungsfalles, also das Erreichen des Rentenalters (Geburtstag). Das Bundesgericht hat diese Handhabung, die mit dem auf den 1. Januar 2012 eingeführten Art. 18 Abs. 2 bis AHVG (vgl. E. 3) eine definitive Klärung erfahren hat, mit Urteil 9C_53/2013 vom 6. August 2013 E. 3.3 bestätigt.

Der Beschwerdegegner erreichte am 25. Januar 2012 das ordentliche Rentenalter von 65 Jahren (<ref-law>), mithin in einem Zeitpunkt, in welchem das fragliche Sozialversicherungsabkommen im Verhältnis zu Kosovo nicht mehr anwendbar war. Demnach verfügt er über keinen Anspruch auf eine Altersrente und auch nicht auf eine - ehemals mögliche - Abfindung (vgl. Art. 7 lit. a des Sozialversicherungsabkommens). Die Rückvergütung der Beiträge ist vorbehalten. Der Anspruch verjährt mit dem Ablauf von fünf Jahren seit dem Versicherungsfall (Art. 7 der Verordnung über die Rückvergütung der von Ausländern an die Alters- und Hinterlassenenversicherung bezahlten Beiträge; RV-AHV; SR 831.131.12), wobei es sich entgegen dem Wortlaut um eine Verwirkungsfrist handelt (Urteil 9C_847/2008 vom 21. August 2009 E. 1 mit weiteren Hinweisen). Anzufügen ist die Möglichkeit, dass die Schweiz dereinst ein neues Sozialversicherungsabkommen mit Kosovo abschliesst.
4.
Bei dieser Sach- und Rechtslage erweist sich die Beschwerde der SAK als begründet. Entsprechend gehen die Gerichtskosten zu Lasten des Beschwerdegegners (<ref-law>).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 5. Juni 2013 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Ausgleichskasse SAK vom 21. Januar 2013 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Oktober 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Helfenstein