Faits:
A. T._ était domicilié à Genève jusqu'au 12 janvier 2009, date à partir de laquelle il a résidé dans le canton de Y._, où il était inscrit au Centre Z._ comme étudiant régulier pour l'année 2010-2011. Il était affilié à Philos Assurance maladie SA (ci-après: Philos) et bénéficiait de l'assurance obligatoire des soins médicaux, pharmaceutiques et hospitaliers, assortie d'une franchise annuelle de 2'500 fr. et avec un choix limité de fournisseurs de prestations (appelée SanaTel). La prime mensuelle brute s'élevait à 191 fr.
S'étant à nouveau établi à Genève le 30 mars 2011, T._ a été informé par le Service de l'assurance-maladie du canton de Genève (SAM) qu'il devait obligatoirement s'assurer à l'assurance obligatoire des soins à la suite de son installation à Genève et invité à comparer les primes selon une liste annexée, puis à demander son affiliation auprès de l'assureur-maladie de son choix (courrier du 8 avril 2011). L'assuré lui ayant fait part de son changement d'adresse, Philos a émis un nouveau certificat d'assurance pour l'année 2011. Elle lui a indiqué que son changement de domicile entraînait le passage au tarif correspondant au nouveau domicile, de sorte que sa prime mensuelle brute était désormais de 295 fr. 50 dès le 1er avril 2011.
Par courrier du 13 avril 2011, complété le 28 avril suivant, l'assuré a résilié son assurance SanaTel pour le 30 juin 2011, tout en requérant le maintien du montant de l'ancienne prime jusqu'à cette date. Le 18 mai 2011, Philos lui a répondu prendre acte de sa démission, mais avec effet au 31 décembre 2011, dès lors qu'il n'était pas autorisé à changer d'assureur-maladie plus tôt, l'adaptation légale de la prime due à son changement de domicile ne lui octroyant aucun droit de résiliation (extraordinaire). Le 14 juin 2011, Philos a rendu une décision par laquelle elle a refusé d'accepter la résiliation de l'assurance obligatoire des soins de l'intéressé au 30 juin 2011 et maintenu la prime mensuelle selon les tarifs admis à Genève à partir du 1er avril 2011. Saisie d'une opposition de T._, elle l'a écartée par décision du 27 octobre 2011.
B. L'assuré a déféré la décision sur opposition à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, qui l'a débouté par jugement du 10 octobre 2012.
C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. En substance, il conclut à ce qu'il puisse choisir librement son assureur-maladie dès le moment où il a été domicilié à Genève et à ce que Philos soit condamnée au paiement de 324 fr. 60. Il prend également diverses conclusions en constatation d'ordre général, telles qu'une "inégalité de traitement entre les assurés suisses et le recourant", l'absence de traitement de sa cause "avec équité et impartialité" et "une prise de domicile cantonale".

Considérant en droit:
1. La voie du recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est ouverte en l'espèce. Il convient toutefois de souligner que le recours a un caractère prolixe et confus, de sorte qu'il aurait pu être renvoyé à son auteur en application de l'art. 42 al. 6 LTF. Le Tribunal fédéral y a renoncé, tout en limitant son examen aux critiques compréhensibles et répondant aux exigences en matière de motivation posées par les art. 42 al. 2 LTF et 106 al. 2 LTF (en ce qui concerne les griefs tirés d'une violation de droits fondamentaux).
2. Des conclusions uniquement constatatoires sont en principe irrecevables, faute d'intérêt digne de protection au recours, lorsque le recourant peut obtenir en sa faveur un jugement condamnatoire ou formateur; en ce sens, le droit d'obtenir un jugement en constatation de droit est subsidiaire (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 122; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 21; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 290; <ref-ruling> consid. 1b p. 24).
En l'occurrence, les conclusions par lesquelles le recourant demande notamment que le Tribunal fédéral constate le caractère cantonal de la "prise de domicile" doivent être déclarées irrecevables, vu leur nature constatatoire. Seules sont recevables les conclusions qui portent sur les rapports juridiques qui étaient soumis à l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 2.1). La conclusion tendant à l'annulation de l'arrêt attaqué englobe par ailleurs les conclusions constatatoires relatives à l'inégalité de traitement et aux autres violations de droit invoquées, de sorte que celles-ci sont irrecevables car elles n'ont qu'un caractère préparatoire (cf. arrêt 2C_255/2011 du 23 mars 2011 consid. 4.1).
3. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral, qui applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération (cf. <ref-ruling> consid. 1.5 p. 68).
4. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était en droit de refuser la résiliation par le recourant des rapports d'assurance-maladie obligatoire avec effet au 30 juin 2011. Le jugement entrepris expose de manière complète les règles légales (dans leur teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2011, applicables en l'espèce) et la jurisprudence relatives à l'obligation de s'assurer des personnes domiciliées en Suisse, le choix de l'assureur et le changement de celui-ci, la fixation des primes, les assurances impliquant un choix limité des fournisseurs de prestations, ainsi qu'à l'obligation de renseignements et de conseils de l'assureur social. Il suffit d'y renvoyer.
5. Constatant que le recourant, domicilié en Suisse, avait résidé dans le canton de Y._ du 12 janvier 2009 au 29 mars 2011, puis à Genève dès le 30 mars 2011, la juridiction cantonale a retenu que le transfert de la résidence d'un canton à l'autre justifiait l'application des tarifs en vigueur au nouveau lieu de résidence et que l'adaptation en conséquence de la prime d'assurance du recourant était conforme au droit. Le recourant ne pouvait par ailleurs pas se prévaloir des termes de résiliation des al. 1 à 3 de l'art. 7 LAMal, dès lors qu'il n'en réalisait pas les conditions. Au bénéfice d'une forme particulière d'assurance obligatoire des soins impliquant tant un choix limité de fournisseurs de prestations qu'une assurance avec franchise à option, le recourant ne pouvait changer d'assurance que pour la fin d'une année civile (cf. art. 94 al. 2 et 100 al. 3 OAMal), en dérogation à l'art. 7 al. 1 LAMal. Au demeurant, sa résiliation notifiée à l'assureur en avril 2011 était de toute façon tardive, le préavis de trois mois pour la fin du mois de juin 2011 n'ayant pas été respecté. L'augmentation de la prime d'assurance du recourant ne correspondait par ailleurs pas à une augmentation justifiant l'application du délai de résiliation extraordinaire de l'art. 7 al. 2 LAMal. Celui-ci s'appliquait seulement à une modification du montant de la prime fixé par l'assureur dans le tarif soumis à l'approbation de l'OFAS (aujourd'hui, de l'Office fédéral de la santé publique [OFSP]), et non à une modification due uniquement au changement du lieu de résidence de l'assuré, conformément à la jurisprudence (cf. arrêt K 118/98 du 25 février 1999, in RAMA 1999 n° KV 71 p. 188). En outre, comme l'intimée pratiquait l'assurance-maladie obligatoire tant à Y._ qu'à Genève, le cas d'espèce ne correspondait pas à celui visé par l'art. 7 al. 3 LAMal, où l'assuré est obligé de changer d'assureur en raison d'un transfert de résidence hors du rayon d'activité territorial de la caisse-maladie qui l'assurait jusqu'alors.
Selon les premiers juges, le recourant ne pouvait pas non plus se prévaloir d'une violation par l'intimée de son devoir de renseignement, ni du principe de la protection de la bonne foi, dès lors que l'avis du SAM du 8 avril 2011, dont le contenu était erroné, ne constituait pas une décision qui aurait lié la caisse-maladie. Enfin, le recourant, qui comparait sa situation à d'autres situations dissemblables, n'avait pas été victime d'une inégalité de traitement. Quant au tort moral réclamé par le recourant, il sortait du cadre de l'objet du litige, à défaut de décision de l'assureur-maladie sur ce point.
6. 6.1 Sous couvert de violations du droit à un procès équitable (art. 29 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH) et du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), le recourant s'en prend en réalité à l'établissement des faits effectué par les premiers juges, qu'il considère incomplet et (manifestement) inexact. Dès lors qu'il invoque des faits qui ne sont pas pertinents pour l'issue du litige - ainsi, les détails sur ses activités à Y._ ou le fait qu'il a demandé des informations à sa caisse-maladie sur son mode de financement - ou qui confirment ceux retenus par la juridiction cantonale et qu'il ne conteste pas, ses critiques ne sont pas pertinentes (cf. art. 97 al. 1 LTF). En particulier, le recourant ne remet pas en cause le fait qu'il a transféré son lieu de résidence de Y._ à Genève, où il s'est domicilié le 30 mars 2011.
6.2 Dans une deuxième série de griefs, dans laquelle il invoque tour à tour la violation de l'interdiction de l'arbitraire et une violation des art. 23 ss CC en relation avec les art. 3 al. 1 LAMal, 61 LAMal et 13 LPGA, le recourant prétend qu'au moment de quitter Y._ et de se constituer un nouveau domicile à Genève, il n'avait plus de domicile en Suisse, sa "domiciliation" en Suisse ayant été interrompue, de sorte qu'il disposait du "libre-choix de l'assurance en cas de prise de domicile effective en Suisse", à l'instar d'une personne étrangère venant s'installer à Genève. L'interprétation pour le moins individualisée que fait le recourant des notions de résidence et de domicile pour en tirer la possibilité de changer d'assureur hors des délais et du terme de résiliation retenu par l'intimée (31 décembre 2011) et confirmé par la juridiction cantonale ne peut pas être suivie. Comme l'ont retenu à juste titre les premiers juges, en procédant à une appréciation des preuves et une application du droit dénuées d'arbitraire, le recourant est manifestement resté domicilié en Suisse lorsqu'il a quitté Y._ pour s'installer à Genève, si bien qu'il n'a pas cessé d'être soumis à l'obligation de s'assurer en Suisse, qui s'applique à toute personne domiciliée dans ce pays (sous réserve des exceptions prévues par la loi [cf. art. 3 al. 2 LAMal]). Quoi qu'il en dise à ce sujet, il ne peut rien tirer en sa faveur de la "cessation d'une couverture d'assurance cantonale".
6.3 C'est en vain, ensuite, que le recourant critique l'application à sa situation de la jurisprudence du Tribunal fédéral, selon laquelle le changement d'assureur dans le délai de résiliation extraordinaire prévu par l'art. 7 al. 2 LAMal vaut en cas de modification du montant des primes fixé par l'assureur dans le tarif soumis à l'approbation de l'autorité compétente, mais non pas lorsque la modification de la prime à payer résulte d'un changement du lieu de résidence de l'assuré (augmentation de la prime ensuite du changement de résidence, arrêt K 118/98 déjà cité) ou d'une modification réglementaire imposée à l'assureur (diminution de la réduction des primes dans l'assurance avec franchise à option, sans modification du barème des primes, <ref-ruling>, également publié in RAMA 1999 n° KV 59 p. 26).
Contrairement à ce que soutient le recourant, les art. 93 à 95 OAMal (Assurance avec franchise à option) et 99 à 101 OAMal (Assurances impliquant un choix limité des fournisseurs de prestations) s'appliquent en effet à la forme d'assurance qu'il a choisie auprès de l'intimée, puisqu'il s'agit d'un modèle d'assurance combinant ces deux formes particulières d'assurance (au sens de l'art. 62 al. 1 et 2 let. a LAMal), pour lesquelles le changement d'assureur est possible en principe seulement pour la fin d'une année civile (art. 94 al. 2 OAMal et 100 al. 3 OAMal). Le seul fait que l'assurance en cause associe la franchise à option au choix limité des fournisseurs de prestations ne constitue pas un motif de s'écarter de la jurisprudence relative au changement d'assureur dans le cadre d'une assurance avec franchise à option rappelée ci-avant. Les principes dégagés par le Tribunal fédéral à ce sujet se fondent sur la définition de la prime d'assurance, dont la réduction offerte par l'assureur en contrepartie d'une participation plus élevée de l'assuré implique des calculs de prime adaptés répondant à des années civiles complètes (<ref-ruling> consid. 2c in fine p. 338), et restent valables lorsque la forme particulière de l'assurance avec franchise à option est combinée à l'autre forme particulière qu'est l'assurance impliquant un choix limité des fournisseurs de prestations.
6.4 Le recourant invoque encore une violation de l'art. 41 al. 4, première phrase, LAMal, selon lequel l'assuré peut, en accord avec l'assureur, limiter son choix aux fournisseurs de prestations que l'assureur désigne en fonction de leurs prestations plus avantageuses. Il soutient qu'il a donné son accord pour l'assurance impliquant un choix limité des fournisseurs de prestations uniquement pour le canton de Y._, mais pas à Genève.
Cette argumentation tombe à faux. Le recourant a en effet adhéré à l'assurance impliquant un choix limité des fournisseurs de prestations (au sens de l'art. 62 al. 1 LAMal), pratiquée par l'intimée au moment où il s'est affiliée auprès d'elle. Une telle forme particulière d'assurance peut être choisie par "tous les assurés qui résident dans la région où l'assureur pratique une assurance impliquant un choix limité de fournisseurs de prestations" (cf. art. 100 al. 1 OAMal en relation avec l'art. 62 al. 3 LAMal). Une adhésion à cette forme particulière d'assurance vaut dès lors aussi longtemps que l'assuré réside dans la région où son assureur la pratique, à moins qu'il ne passe à une autre forme d'assurance ou ne change d'assureur pour la fin d'une année civile et moyennant un préavis donné dans les délais fixés à l'art. 7 al. 1 et 2 LAMal (sous réserve de l'art. 7 al. 2, 3 ou 4 LAMal; cf. art. 100 al. 3 OAMal). Comme l'intimée pratique l'assurance impliquant un choix limité des fournisseurs de prestations également dans le canton de Genève, l'adhésion du recourant à cette forme d'assurance n'a pas cessé du seul fait du changement de résidence.
6.5 En ce qui concerne, enfin, les griefs que le recourant tire d'une violation de l'art. 7 al. 2 LAMal, de l'art. 5 PA et de l'art. 8 al. 1 Cst., ils ne sont pas davantage fondés.
L'art. 7 al. 2, deuxième phrase, LAMal prévoit certes l'obligation de l'assureur d'annoncer à chaque assuré les nouvelles primes approuvées par l'OFSP au moins deux mois à l'avance et de signaler à l'assuré qu'il a le droit de changer d'assureur. On ne saurait toutefois reprocher à l'intimée, comme le fait en vain le recourant, de ne pas lui avoir annoncé "les nouvelles primes 2011 sur le territoire genevois suite à l'approbation de l'OFSP en 2010", puisqu'il ne résidait pas à Genève au début de l'année 2011, à l'entrée en vigueur d'éventuelles nouvelles primes dans le canton de Genève.
Il n'y a pas lieu, ensuite, d'examiner les allégations du recourant quant au caractère de décision (au sens de l'art. 5 PA) que revêtiraient les avis du SAM, dès lors qu'il n'en tire aucune conséquence quant aux rapports juridiques litigieux, singulièrement la date à laquelle la résiliation des rapports d'assurance a pris effet.
Quant à une prétendue inégalité de traitement dont le recourant serait victime par rapport aux personnes "en Suisse" qui ont "librement choisi la prime genevoise en 2011", elle n'est pas établie en l'espèce (sur l'égalité de traitement, cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 5; <ref-ruling> consid. 5.4.1 p. 369). A l'instar des premiers juges, on constate qu'en assimilant sa situation à celle de personnes venant de l'étranger ou à des personnes qui résidaient à Genève au début de l'année 2011, le recourant compare des circonstances qui ne sont pas semblables. Le premier groupe de comparaison n'était pas soumis obligatoirement à l'assurance des soins obligatoire, de sorte que les dispositions légales sur le changement d'assureur ne lui étaient pas applicables, à la différence du recourant. Le second n'a pas changé de lieu de résidence au cours de l'année civile 2011, au contraire du recourant, dont la prime d'assurance a précisément été adaptée en fonction de ce changement.
Pour le reste, les autres motifs et conclusions du recourant - notamment ceux relatifs à la condamnation de l'intimée au paiement de 324 fr. 60 et aux violations des art. 10 al. 2 Cst., 14, 17 et 18 CEDH - sont irrecevables, faute de répondre aux exigences de motivation prévues par l'art. 42 al. 2 (en relation avec l'art. 106 al. 2 LTF).
7. Il résulte de ce qui précède que dans la mesure où il est recevable, le recours est en tout point mal fondé. Vu l'issue de la procédure, le recourant supportera les frais de justice y afférents (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 23 mai 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless