Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 19. November 2007 (I 961/06) wies das Bundesgericht die von C._ erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen den Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 11. September 2006 ab, mit welcher dieser die Zusprechung einer ganzen, eventuell einer halben Invalidenrente mit Wirkung ab Oktober 2003 beantragt hatte. Damit blieb es bei der (durch Einspracheentscheid vom 26. August 2005 bestätigten) Verfügung vom 3. Mai 2005, mit welcher die IV-Stelle des Kantons Zürich im Wesentlichen gestützt auf das interdisziplinäre Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle X._ vom 13. Dezember 2004 dem Versicherten aufgrund eines Invaliditätsgrades von 50 Prozent mit Wirkung ab Oktober 2003 eine halbe Invalidenrente zugesprochen hatte.
B. C._ (nachstehend: Gesuchsteller oder Versicherter) lässt am 25. März 2008 unter Hinweis auf das von der IV-Stelle in Auftrag gegebene psychiatrische Gutachten des Dr. R._ vom 4. November 2007 um Revision des letztinstanzlichen Urteils ersuchen und beantragen, gestützt auf das neue Beweismittel sei ihm mit Wirkung ab August 2005, eventuell ab Oktober 2003 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zur ergänzenden Abklärung an die Verwaltung oder die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem sei nach Vorlage der vollständigen IV-Akten ein zweiter Schriftenwechsel durchzuführen. Überdies lässt er um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung des Gesuchs, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichtet.
C. Die I. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mit Verfügung vom 24. Juni 2008 abgewiesen und vom Gesuchsteller am 30. Juni 2008 einen Kostenvorschuss verlangt, den er innert Frist bezahlt hat.
D. Am 18. August 2008 lässt C._ eine ergänzende Stellungnahme einreichen.

Erwägungen:
1. Das Revisionsverfahren ist nach dem am 1. Januar 2007 erfolgten (AS 2006 S. 1205, 1243) Inkrafttreten des Bundesgesetzes über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (Bundesgerichtsgesetz [BGG]; SR 173.110) eingeleitet worden, weshalb es sich nach diesem Gesetz richtet (<ref-law>; in <ref-ruling> nicht publizierte E. 1 des Urteils 6F_1/2007 vom 9. Mai 2007; Urteil 8F_1/2007 vom 9. Oktober 2007).
2. Der Gesuchsteller beantragt die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels. Im unter der Überschrift "Schriftenwechsel" stehenden <ref-law> fehlt eine eigene Regelung zum zweiten Schriftenwechsel im Revisionsverfahren, so dass die für die Beschwerden geschaffenen Verfahrensvorschriften zur Anwendung kommen, soweit sie diesem ausserordentlichen Rechtsmittel gerecht werden (Elisabeth Escher, Revision, Erläuterung und Berichtigung, in: Niggli/ Übersax/Wiprächtiger [Hrsg.], Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008, N. 1 zu Art. 127). Nach <ref-law> findet in der Regel kein weiterer Schriftenwechsel statt (vgl. auch alt Art. 143 Abs. 3 OG, wonach im Revisionsverfahren ein weiterer Schriftenwechsel nur ausnahmsweise stattzufinden hatte). Vorliegend besteht dazu kein Anlass. Die Sache ist spruchreif. Auf die Einholung einer Replik ist zu verzichten, zumal sie auch aus Gründen des rechtlichen Gehörs nicht als geboten erscheint.
3. 3.1 Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>; vgl. Art. 38 OG). Eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zugrundeliegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der im Gesetz abschliessend aufgeführten Revisionsgründe (<ref-law>; vgl. Art. 136 ff. OG) vorliegt. Ein solcher Revisionsgrund ist ausdrücklich geltend zu machen, wobei es nicht genügt, das Vorliegen eines solchen zu behaupten. Der geltend gemachte Revisionsgrund ist im Revisionsgesuch unter Angabe der Beweismittel darzulegen, wobei dargetan werden muss, weshalb er gegeben und inwiefern gestützt darauf das Dispositiv des früheren Urteils abzuändern sein soll (Urteil 2A.526/2001 vom 29. April 2002, E. 3.1). An dieser in Anwendung des OG ergangenen Rechtsprechung ist auch unter der Herrschaft des BGG festzuhalten (Urteil 8F_3/2007 vom 16. August 2007).
3.2 Der Gesuchsteller ruft den Revisionsgrund von <ref-law> an. Danach kann die Revision in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten verlangt werden, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid - mithin dem Urteil, um dessen Revision ersucht wird - entstanden sind. Als in diesem Sinne neu gelten Tatsachen, welche sich bis zum Zeitpunkt, da im Hauptverfahren noch tatsächliche Vorbringen prozessual zulässig waren, verwirklicht haben, jedoch der um Revision ersuchenden Person trotz hinreichender Sorgfalt nicht bekannt waren; es handelt sich somit um unechte Noven; die Geltendmachung echter Noven, also von Tatsachen, die sich erst nach Ausfällung des Urteils, das revidiert werden soll, zugetragen haben, ist ausgeschlossen (Seiler/von Werth/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, Rz. 75 zu Art. 123). Die zu dem mit dem ersten Satzteil von <ref-law> praktisch gleich lautenden, per Ende 2006 aufgehobenen Art. 137 lit. b OG ergangene Rechtsprechung behält auch unter der Herrschaft des BGG ihre Gültigkeit (Urteil 9F_4/2007 vom 23. August 2007 E. 2 mit Hinweis). Laut dieser Gerichtspraxis sind Tatsachen erheblich, die geeignet sind, die tatbeständliche Grundlage des angefochtenen Urteils zu verändern und bei zutreffender rechtlicher Würdigung zu einem andern Ergebnis zu führen (<ref-ruling> E. 5 S. 204 f. mit Hinweis; Urteile 8F_4/2007 vom 14. Juli 2008 und 9F_4/2007 vom 23. August 2007).
4. 4.1 Im Urteil vom 19. November 2007 ist das Bundesgericht zum Schluss gelangt, das kantonale Gericht habe für die Beurteilung des Anspruchs auf eine Invalidenrente zu Recht massgebend auf das Gutachten der Abklärungsstelle X._ vom 13. Dezember 2004 abgestellt, welches gestützt auf eine internistische Untersuchung und ein rheumatologisches, neurologisches und psychiatrisches Konsilium die Arbeitsfähigkeit mit Bezug auf leichte Tätigkeiten auf 50 Prozent festgelegt habe, und es hat das Erkenntnis gemäss kantonalem Entscheid vom 11. September 2006, der Versicherte habe Anspruch auf eine halbe Invalidenrente auch unter Berücksichtigung der beschwerdeführerischen Einwendungen als bundesrechtskonform betrachtet. In zeitlicher Hinsicht war die damalige Überprüfungsbefugnis begrenzt durch den Einspracheentscheid der IV-Stelle vom 26. August 2005 (<ref-ruling> E. 1.2 S. 4, 167 E. 1 S. 169 und 354 E. 1 S. 356, je mit Hinweis).
4.2 Als Revisionsgründe werden im Gesuch vom 25. März 2008 die im psychiatrischen Gutachten des Dr. R._ vom 4. November 2007 erwähnten neuen Diagnosen einer Panikstörung (ICD-10 F41.0) und einer narzisstischen Persönlichkeitsstörung (ICD-10 F60.8) genannt, welche spätestens ab August 2005 zu einer 100 prozentigen Erwerbsunfähigkeit geführt hätten. Dieses neue Beweismittel sei bei der Rechtsvertreterin des Versicherten am 5. Dezember 2007 eingegangen. Laut Dr. R._ habe sich der Gesundheitszustand trotz psychiatrischer Behandlung seit der Begutachtung durch die Abklärungsstelle X._ im Jahre 2004 stetig verschlechtert. Diese neuen Tatsachen hätten sich vor dem Einspracheentscheid der IV-Stelle vom 26. August 2005 verwirklicht und zusammen mit den bereits bekannt gewesenen Diagnosen spätestens ab August 2005 zu einer vollen Arbeitsunfähigkeit geführt.
5. Dr. R._ hat den Versicherten am 29. Oktober 2007 untersucht. Über die gesundheitliche Entwicklung seit Erstellung des Gutachtens der Abklärungsstelle X._ vom 13. Dezember 2004 konnte er daher aus eigener Wahrnehmung keine Feststellungen treffen. Bezüglich der Arbeitsunfähigkeit hält der Psychiater im Gutachten vom 4. November 2007 fest, er schliesse sich der Beurteilung des behandelnden Psychiaters an, dass der Patient seit mindestens August 2005 voll arbeitsunfähig sei. Zur Arbeitsfähigkeit ab dem Jahre 2002 konnte er sich mangels psychiatrischer Beurteilungen aus jener Zeit nicht äussern. Aus dem in der Anamnese erwähnten Bericht von Frau Dr. J._ vom 29. Juni 2006 ergibt sich, dass der Versicherte seit dem 22. Februar 2006 in ihrer Praxis psychotherapeutisch behandelt wurde. Zur Arbeitsfähigkeit hielt die Fachärztin für Psychiatrie fest, der vorhergehende Therapeut, Dr. H._, habe den Patienten vom 18. August 2005 bis 28. Januar 2006 zu 100 Prozent arbeitsunfähig geschrieben. Ihrer Ansicht nach sei er seither und bis auf Weiteres aus medizinisch-psychiatrischen Gründen voll arbeitsunfähig und sozialpraktisch auf dem Arbeitsmarkt kaum vermittelbar. Dieser Arztbericht vom 29. Juni 2006 lag dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich bei der Beurteilung, welche zum Entscheid vom 11. September 2006 führte und Gegenstand des bundesgerichtlichen Urteils vom 19. November 2007 bildete, vor. Das kantonale Gericht hielt dazu fest, obschon sich Frau Dr. J._ auf den Zeitraum ab 18. August 2005 beziehe, habe sie den Versicherten erst nach Erlass des Einspracheentscheids vom 26. August 2005 am 22. Februar 2006 zum ersten Mal gesehen und untersucht, weshalb sich gestützt auf ihren Bericht für den massgebenden Beurteilungszeitraum keine von den Gutachten der Abklärungsstelle X._ abweichende Festsetzung der zumutbaren Restarbeitsfähigkeit rechtfertigen lasse. Die Annahme einer vollen Arbeitsunfähigkeit ab August 2005 stellt daher keine neue Tatsache dar. Da Dr. R._ lediglich auf frühere Arztberichte verweist, um die höhere Arbeitsunfähigkeit zu begründen, ohne für jenen Zeitraum eine Beurteilung aus eigener Feststellung vornehmen zu können, stellt sein Gutachten auch keinen Beweis für eine Tatsache dar, die zwar im früheren Verfahren bekannt war, aber zum Nachteil der gesuchstellenden Person unbewiesen geblieben ist. Die Kenntnis des neu erstellten Gutachtens hätte das Bundesgericht deshalb im Rahmen der ihm zustehenden Prüfungsbefugnis (vgl. E. 1.2 des Urteils I 961/06) nicht veranlassen können, die sozialversicherungsgerichtlichen Feststellungen zur Arbeitsfähigkeit zu beanstanden. Dieses ist auch nicht geeignet, die tatbeständlichen Grundlagen des angefochtenen Urteils vom 19. November 2007 bezüglich der Bemessung des Invaliditätsgrades zu verändern und bei zutreffender rechtlicher Würdigung hinsichtlich der Frage, ob ein leidensbedingter Abzug vom Invalideneinkommen zuzulassen ist, zu einem anderen Ergebnis zu führen. Soweit der Gesuchsteller diesbezüglich eine abweichende Beurteilung verlangt, ist er mit dieser Rüge im Revisionsverfahren nicht zu hören. Dem im Revisionsgesuch gestellten Eventualbegehren, wonach die Sache an die IV-Stelle oder das kantonale Gericht zurückzuweisen sei, um weitere Abklärungen durchzuführen, kann im bundesgerichtlichen Revisionsverfahren nicht Folge gegeben werden. Es ist Sache des Versicherten dafür besorgt zu sein, dass notwendige Abklärungen von der dafür zuständigen Instanz getätigt werden. Ob das Gutachten des Dr. R._ vom 4. November 2007 Anlass zu einer Revision nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> gibt, bildet nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens und braucht daher nicht geprüft zu werden.
6. Die Gerichtskosten werden dem Gesuchsteller als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Ausgleichskasse der Schweizer Maschinenindustrie und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. September 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer