Fatti:
A.
A._, cittadino dominicano, è giunto in Svizzera nel luglio del 2001 per ricongiungersi con la moglie, connazionale e cittadina elvetica per naturalizzazione, con la quale si è sposato nel proprio Paese di origine nel 1998. A tale scopo, egli è stato posto a beneficio di un permesso di dimora annuale, rinnovato un'ultima volta fino al 27 luglio 2011. Dall'unione tra i coniugi sono nati i figli B._ e C._, anch'essi di nazionalità elvetica.
Da anni senza attività lucrativa, la famiglia di A._ si è mantenuta grazie alle indennità di disoccupazione, agli assegni di prima infanzia e a quelli familiari integrativi, come pure all'assistenza pubblica. Dal febbraio 2010, la stessa dipende infatti dall'aiuto sociale ed ha accumulato un debito nei confronti dello Stato che, nell'agosto 2012, ammontava a fr. 129'671.--.
Durante il suo soggiorno in Svizzera, A._ ha inoltre interessato le autorità amministrative e penali nei seguenti termini:
- decreto d'accusa del 5 dicembre 2005: riconosciuto colpevole di complicità in infrazione aggravata (inizio luglio 2003) e di contravvenzione (marzo 2003-aprile 2004) alla LF del 3 ottobre 1951 sugli stupefacenti e sulle sostanze psicotrope (LStup; RS 812.121) e condannato alla pena detentiva di 90 giorni, sospesa condizionalmente per un periodo di prova di due anni;
- 18 ottobre 2006: 1° ammonimento da parte delle autorità competenti in materia di stranieri;
- sentenza della Pretura penale del 20 luglio 2010: riconosciuto colpevole di violenza o minaccia contro le autorità e i funzionari (20 aprile 2009) e condannato alla pena pecuniaria di 30 aliquote giornaliere da fr. 50.--, sospesa condizionalmente con un periodo di prova di due anni, e alla multa di fr. 500.--;
- 6 settembre 2010: 2° ammonimento da parte delle autorità competenti in materia di stranieri;
- decreto d'accusa dell'11 ottobre 2010: riconosciuto colpevole di guida in stato di inattitudine ed elusione dei provvedimenti per accertare l'incapacità alla guida (20 giugno 2011) e condannato - a valere quale pena totalmente aggiuntiva a quella di cui alla sentenza del 20 luglio 2010 - alla pena pecuniaria di 45 aliquote giornaliere da fr. 50.--, sospesa condizionalmente con un periodo di prova di tre anni, e alla multa di fr. 1'200.--;
- decreto d'accusa del 31 maggio 2011: riconosciuto colpevole di violenza o minaccia contro le autorità o i funzionari (30 maggio 2011) e condannato alla pena pecuniaria di 60 aliquote giornaliere da fr. 50.--, sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 3 anni, e alla multa di fr. 500.--; in questa occasione, il beneficio della sospensione condizionale concesso con i decreti d'accusa del 20 luglio 2010 e dell'11 ottobre 2010 non è stato revocato, ma è stato pronunciato un formale ammonimento.
- 8 luglio 2011: 3° ammonimento da parte delle autorità competenti in materia di stranieri;
- sentenza della Corte delle assise correzionali di Bellinzona del 15 dicembre 2011: riconosciuto colpevole di infrazione aggravata alla LStup (2009-21 giugno 2011) e contravvenzione alla stessa (15 dicembre 2008-21 giugno 2011) e condannato alla pena detentiva di 20 mesi, sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 4 anni (pena unica comprensiva di quelle di cui ai decreti d'accusa del 20 luglio 2010 e dell'11 ottobre 2010);
B.
Con decisione del 13 febbraio 2012 - richiamati segnatamente gli ammonimenti indirizzatigli, la sentenza della Corte delle assise correzionali del 15 dicembre 2011 e l'ammontare delle prestazioni assistenziali percepite - la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha respinto l'istanza con la quale A._ chiedeva il rinnovo del suo permesso di dimora, fissandogli un termine per lasciare la Svizzera.
Su ricorso, detta decisione è stata confermata sia dal Consiglio di Stato, il 29 agosto 2012, che dal Tribunale cantonale amministrativo, pronunciatosi in merito con sentenza del 10 giugno 2013.
C.
Il 31 luglio 2013, A._ ha inoltrato dinanzi al Tribunale federale un ricorso in materia di diritto pubblico per mezzo del quale postula: in via principale, l'annullamento della decisione del Tribunale cantonale amministrativo, di quelle del Consiglio di Stato e della Sezione della popolazione, nonché la proroga dell'autorizzazione richiesta; in via subordinata, l'annullamento della decisione del Tribunale cantonale amministrativo e il rinvio a quest'ultimo dell'incarto per nuovo giudizio.
In corso di procedura, il Tribunale cantonale amministrativo si è riconfermato nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza. Ad essa hanno fatto rinvio anche la Sezione della popolazione e l'Ufficio federale della migrazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio di questa Corte.

Diritto:
1.
1.1. Giusta l'art. 83 lett. c n. 2 LTF, il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile contro le decisioni in materia di diritto degli stranieri concernenti permessi o autorizzazioni al cui ottenimento né il diritto federale né il diritto internazionale conferiscono un diritto (<ref-ruling> consid. 2.2 seg. pag. 189 seg.).
L'insorgente è nella fattispecie dell'avviso di avere un diritto al rinnovo del suo permesso di dimora in Svizzera sulla base dell'art. 42 cpv. 1 LStr, secondo cui i coniugi stranieri di cittadini svizzeri hanno diritto al rilascio e alla proroga del permesso di dimora se coabitano con loro, nonché sulla base dell'art. 8 CEDU, che tutela il rispetto della vita privata e familiare. Non risultando questa conclusione d'acchito insostenibile, occorre pertanto ammettere che egli disponga pure di un diritto, conformemente a quanto richiesto dall'art. 83 lett. c cifra 2 LTF, a presentare ricorso in materia di diritto pubblico. In che misura le condizioni per il rinnovo del permesso siano davvero date è infatti questione di merito, che come tale dev'essere trattata (sentenze 2C_304/2009 del 9 dicembre 2009 consid. 1.1, non pubblicato in <ref-ruling>; 2C_173/2011 del 24 giugno 2011 consid. 1.1).
1.2. Diretto contro una decisione finale di un tribunale cantonale superiore (art. 86 cpv. 1 lett. d e cpv. 2, <ref-law>), il ricorso è stato presentato tempestivamente (art. 46 cpv. 1 lett. b in relazione con l'<ref-law>) dal destinatario della pronuncia contestata. Confermando la stessa il diniego del rinnovo del permesso richiesto, dato è anche l'interesse a ricorrere (<ref-law>). Per quanto precede, l'impugnativa è di massima ammissibile quale ricorso ordinario ex art. 82 segg. LTF.
1.3. In ragione dell'effetto devolutivo dei ricorsi già interposti, con tale impugnativa l'insorgente è però legittimato solo a formulare conclusioni riguardanti l'annullamento rispettivamente la riforma della sentenza del Tribunale amministrativo (<ref-ruling> consid. 1.4 pag. 144).
2.
2.1. Con il rimedio del ricorso in materia di diritto pubblico può tra l'altro venir censurata la violazione del diritto federale (<ref-law>), nozione che comprende i diritti costituzionali dei cittadini (<ref-ruling> consid. 3.1 pag. 447 seg.).
Rispettate le condizioni che prescrive l'<ref-law>, il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>). Esigenze più severe valgono tuttavia in relazione alla denuncia della violazione di diritti fondamentali. Il Tribunale federale esamina infatti simili censure solo se l'insorgente le ha sollevate in modo preciso (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 246).
2.2. Per quanto riguarda i fatti, il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>). Esso può scostarsene solo se è stato eseguito in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario, profilo sotto il quale viene esaminato anche l'apprezzamento delle prove addotte (<ref-ruling> consid. 4.2 pag. 560; sentenza 2C_959/2010 del 24 maggio 2011 consid. 2.2).
Dato che il ricorrente non li mette validamente in discussione - attraverso una motivazione conforme all'<ref-law>, che ne dimostri l'arbitrarietà -, i fatti che emergono dal giudizio impugnato vincolano il Tribunale federale anche nel caso concreto (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 246; 133 Il 249 consid. 1.2.2 pag. 252).
3.
3.1. Secondo l'art. 42 cpv.1 LStr, i coniugi stranieri e i figli stranieri, non coniugati e minori di 18 anni, di cittadini svizzeri hanno diritto al rilascio o alla proroga del permesso di dimora se coabitano con loro. A norma dell'art. 51 cpv. 1 lett. b LStr, i diritti conferiti dall'art. 42 LStr si estinguono tuttavia se sussistono motivi di revoca giusta l'art. 63 LStr.
Questo è tra l'altro il caso: quando lo straniero è stato condannato a una pena detentiva di lunga durata o a una misura penale ai sensi dell'art. 64 o 61 del codice penale (art. 63 cpv. 1 lett. a in relazione con l'art. 62 lett. b LStr); quando lo straniero ha violato gravemente o espone a pericolo l'ordine e la sicurezza pubblici in Svizzera o all'estero o costituisce una minaccia per la sicurezza interna o esterna della Svizzera (art. 63 cpv. 1 lett. b LStr); quando lo straniero o una persona a suo carico dipendono dall'aiuto sociale in maniera durevole e considerevole (art. 63 cpv. 1 lett. c LStr).
3.2. Anche il rifiuto del riconoscimento di un'autorizzazione di soggiorno si giustifica però solo quando è proporzionato.
3.2.1. Nell'esercizio del loro potere discrezionale, le autorità competenti tengono conto degli interessi pubblici e della situazione personale dello straniero, considerando la gravità di quanto gli viene rimproverato, la durata del suo soggiorno in Svizzera, il suo grado d'integrazione e il pregiudizio che l'interessato e la sua famiglia subirebbero se la misura in discussione venisse confermata (<ref-law>; art. 96 LStr; sentenze 2C_934/2011 del 25 luglio 2012 consid. 5.1 e 2C_972/2011 dell'8 maggio 2012 consid. 2.3).
In questo contesto, il primo criterio per valutare la gravità della colpa è costituito dalla condanna inflitta (sentenze 2C_323/2012 del 6 settembre 2012 consid. 3.4 e 2C_432/2011 del 13 ottobre 2011 consid. 3.1).
3.2.2. Nel caso il provvedimento preso abbia ripercussioni sulla vita privata e familiare giusta l'art. 8 CEDU, un analogo esame della proporzionalità va svolto inoltre nell'ottica di questa norma (<ref-ruling> consid. 4.3 pag. 381 seg.; sentenza della Corte europea dei diritti dell'uomo in re Trabelsi contro Germania del 13 ottobre 2011, n. 41548/06, § 53 segg.).
4.
Tenuto conto della pena privativa della libertà pronunciata nei suoi confronti il 15 dicembre 2011, il ricorrente a ragione non mette in discussione la sussistenza di un motivo di revoca ai sensi dell'art. 63 cpv. 1 lett. a in relazione con l'art. 62 lett. b LStr. Secondo giurisprudenza, una pena detentiva è infatti considerata di lunga durata se è stata pronunciata per più di un anno, a prescindere dal fatto che la pena comminata sia stata sospesa in tutto o in parte oppure che la stessa vada o sia stata espiata (<ref-ruling> consid. 4.2 pag. 379 segg.).
In base agli accertamenti di fatto che emergono al riguardo dal giudizio impugnato, che non vengono validamente contestati e che vincolano pertanto anche il Tribunale federale (<ref-law>), condivisa dev'essere nel contempo la conclusione della Corte cantonale secondo cui dato è parallelamente anche il motivo di revoca previsto dall'art. 63 cpv. 1 lett. c LStr (sentenza 2C_268/2011 del 22 luglio 2011 consid. 6.2 con ulteriori rinvii).
5.
Contrariamente a quanto sostenuto nell'impugnativa, con riferimento sia all'art. 96 LStr che all'art. 8 CEDU, il provvedimento preso dalla Sezione della popolazione non viola però neppure il principio della proporzionalità.
5.1. Riferendosi in particolare ai fatti alla base della sentenza del 15 dicembre 2011 - ovvero la vendita di 390 g di cocaina e il consumo di almeno 80 g della stessa sostanza -, ma ricordando pertinentemente anche i comportamenti già sanzionati in passato, tra cui rientrano la complicità in infrazione aggravata alla LStup e la reiterata violenza esercitata contro le autorità e i funzionari (precedente consid. A), il Tribunale amministrativo ha a giusta ragione rilevato che il ricorrente si è reso colpevole di azioni delittuose gravi.
In effetti:
5.1.1. La protezione della collettività da attività dell'entità di quella per cui l'insorgente è stato punito nel dicembre 2011, che ha preso fine solo grazie al suo arresto, costituisce infatti un interesse pubblico alla cui tutela la giurisprudenza accorda particolare importanza (sentenze 2C_38/2012 del 1° giugno 2012 consid. 4.2.1; 2C_932/2010 del 24 maggio 2011 consid. 4.1 e 2C_908/2010 del 7 aprile 2011 consid. 4.2).
5.1.2. L'ingente quantitativo di cocaina venduta a terzi era d'altra parte tale da mettere in pericolo la salute di molte persone, ciò che egli non poteva ignorare e che, insieme al compimento di altri reati, ha del resto portato ad infliggergli una pena che sorpassa chiaramente anche il limite di un anno a partire dal quale una pena privativa della libertà è considerata come di lunga durata ai sensi dell'art. 62 lett. b LStr (<ref-ruling> consid. 4.2 pag. 381; sentenza 2C_897/2011 del 13 maggio 2012 consid. 4.1 seg.).
5.1.3. Nemmeno i diversi reati commessi usando violenza o minaccia contro agenti della polizia, possono infine essere banalizzati, poiché - oltre a dimostrare disprezzo per la pubblica autorità - ledono anch'essi un bene giuridico importante, quale l'integrità fisica delle persone (sentenze 2C_816/2012 del 6 marzo 2013 consid. 5.3 e 2C_454/2009 del 19 ottobre 2009 consid. 5.1).
5.2. Riferendosi agli art. 96 LStr e 8 CEDU e partendo da tale corretta valutazione della colpa, la Corte cantonale ha nel seguito pure lecitamente considerato che l'interesse al diniego del rinnovo del permesso di dimora dell'insorgente sia preponderante rispetto all'interesse fatto valere a sostegno di una sua permanenza in Svizzera.
5.2.1. Il ricorrente, trentanovenne al momento della pronuncia del giudizio impugnato, vive stabilmente in Svizzera dal luglio del 2001; procedendo ad una ponderazione degli interessi in gioco, alla durata del suo soggiorno occorre pertanto dare effettivamente un certo rilievo.
Tale aspetto deve tuttavia essere relativizzato in considerazione dei molteplici reati da lui perpetrati e, in particolare, della grave violazione della legge federale sugli stupefacenti e sulle sostanze psicotrope di cui si è reso colpevole nelle circostanze già descritte (precedente consid. 5.1). Un simile reato - come del resto quello di violenza o minaccia contro le autorità o i funzionari, compiuto più volte - comporta in effetti un interesse rilevante all'allontanamento di chi lo commette, anche nel caso tale persona sia uno straniero che da tempo soggiorna in Svizzera (sentenza 2C_845/2012 del 13 febbraio 2013 consid. 3.3).
L'istanza precedente ha nel contempo a buon diritto sottolineato che egli ha vissuto fino a 27 anni nella Repubblica dominicana, Paese di cui conosce lingua e cultura, dove ha avuto modo di recarsi anche dopo il suo trasferimento in Svizzera e nel quale risiedono sia il figlio di primo letto, sia altri parenti (sentenza 2C_934/2011 del 25 luglio 2012 consid. 5.2.2).
5.2.2. Come sottolineato dal Tribunale amministrativo, oltre che dai reati di cui si è reso colpevole, che neppure la vicinanza dei suoi familiari e la nascita dei figli lo ha distolto dal compiere, l'integrazione del ricorrente dev'essere poi ulteriormente relativizzata in considerazione: delle procedure esecutive aperte a suo carico al momento del giudizio della Corte cantonale, dei 7 attestati di carenza beni da lui fin lì accumulati, così come - e soprattutto - dal fatto che, oramai da tempo, egli riesce a far fronte ai bisogni della sua famiglia solo facendo capo all'assistenza sociale, in relazione alla quale ha accumulato un debito con lo Stato di entità considerevole (precedente consid. A; sentenze 2C_323/2012 del 6 settembre 2012 consid. 6.1.2 e 2C_38/2012 del 1° giugno 2012 consid. 5.1).
5.3. Anche se la situazione appare sotto questo profilo meno evidente, una diversa valutazione degli interessi in discussione non si impone d'altra parte neanche in considerazione dei rapporti intrattenuti con i familiari che vivono nel nostro Paese.
5.3.1. L'insorgente risiede in Ticino con la moglie - cittadina svizzera di origine dominicana, sposata nel 1998 - e con i loro due figli. Come già osservato, occorre tuttavia sottolineare che la vicinanza della coniuge e la nascita dei figli non gli ha impedito di delinquere, mettendo così da solo in pericolo quell'unità coniugale e familiare alla quale egli oggi si richiama (sentenza 2C_934/2011 del 25 luglio 2012 consid. 5.2.4).
Come rettamente ricordato dalla Corte cantonale, il mancato rinnovo del suo permesso di dimora non può inoltre cogliere di sorpresa né lui né la sua coniuge siccome - a causa del comportamento che ha tenuto - l'autorità competente in materia di stranieri lo ha già ammonito per ben tre volte: prospettandogli a chiare lettere l'espulsione o il rimpatrio rispettivamente la revoca del permesso di soggiorno.
5.3.2. Per quanto riguarda i figli, essi sono entrambi cittadini elvetici e - proprio per questo motivo - hanno quindi un interesse manifesto a poter vivere e formarsi in Svizzera accanto ai genitori, nonostante abbiano ancora un'età nella quale un trasferimento nel Paese di origine del padre potrebbe essere in via di principio immaginabile.
Ciò nondimeno, occorre osservare che al loro chiaro interesse a crescere in Svizzera con madre e padre devono essere contrapposti sia i diversi reati di cui si è reso colpevole quest'ultimo - commessi in anni recenti e che conducono a doverlo considerare ancora oggi, segnatamente a causa del pericolo di recidiva, una concreta minaccia dell'ordine e della sicurezza pubblici -, sia la sua dipendenza continuativa e rilevante dall'aiuto sociale (in merito a questo ultimo aspetto, cfr. la già citata sentenza 2C_268/2011 del 22 luglio 2011 consid. 6.2.3).
5.3.3. Benché il ricorrente vi si richiami solo in modo generico, disattendendo su questo punto all'accresciuto obbligo di motivazione previsto dall'<ref-law> (precedente consid. 2.1; sentenza 2C_443/2011 del 24 novembre 2011 consid. 3), va infine abbondanzialmente osservato che la decisione di non rinnovare il suo permesso di dimora non può essere considerata lesiva dell'art. 8 CEDU neppure alla luce della sentenza del 16 aprile 2013 dalla Corte europea dei diritti dell'uomo nella causa Udeh contro Svizzera (giudizio n. 12020/09).
Occorre in effetti rilevare che detta sentenza non costituisce un giudizio di principio ma un semplice caso di applicazione e inoltre che, nella misura in cui si fonda in modo preponderante su fatti posteriori alla pronuncia da parte del Tribunale federale, la sua portata non può che essere fortemente relativizzata (sentenze 2C_774/2013 del 31 ottobre 2013 consid. 5.4; 2C_365/2013 del 30 agosto 2013 consid. 2.4; 2C_339/2013 del 18 luglio 2013 consid. 2.9 e 2C_139/2013 dell'11 giugno 2013 consid. 7.5).
A prescindere da ciò, il caso richiamato si distingue poi da quello in esame almeno per due motivi. Da un lato, per il fatto che il ricorrente non ha compiuto reati solo in modo isolato ma è stato oggetto - tra il 2005 e il 2011 - di ben 5 condanne ed ha quindi fornito la prova più che concreta, tenuto anche conto degli ammonimenti invano indirizzatigli, del suo potenziale criminale. Dall'altro, per il fatto che, siccome il nucleo familiare è intatto e la moglie è anch'essa originaria della Repubblica dominicana - dove ha vissuto per 13 anni e dove ancora risiede un suo ulteriore figlio - un trasferimento dell'intera famiglia in quel Paese non può essere nella fattispecie per nulla escluso.
5.3.4. Con la Corte cantonale occorre comunque ancora sottolineare che la misura presa non riguarda né la moglie né i figli, i quali hanno evidentemente la facoltà di continuare a vivere in Svizzera e quindi di mantenere i rapporti con il marito e con il padre via telefono, in forma scritta e nell'ambito di visite reciproche.
Dal giudizio impugnato, risulta infatti che nei suoi confronti è stato finora deciso unicamente il non rinnovo del permesso di dimora, cioè un provvedimento che di per sé non esclude soggiorni del ricorrente nel nostro Paese per far visita alla famiglia (sentenza 2C_642/2009 del 25 marzo 2010 consid. 4.3.3 con ulteriori rinvii).
6.
Per quanto ammissibile, il ricorso è pertanto respinto. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza (<ref-law>). Non si assegnano ripetibili ad autorità vincenti (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 1'500.-- sono poste a carico del ricorrente.
3.
Comunicazione al ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché all'Ufficio federale della migrazione.