Erwägungen:
1.
A._ ersuchte nach einem Aufenthalt zu Studienzwecken am 2. September 2013 in der Schweiz um Asyl. Das Bundesamt für Migration (BFM) entschied am 11. Dezember 2013 negativ und wies ihn weg. A._ gelangte hiergegen an das Bundesverwaltungsgericht, dessen Instruktionsrichterin am 1. April 2014 das mit seiner Eingabe verbundene Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abwies und ihm Frist bis zum 16. April 2014 setzte, um den Kostenvorschuss von Fr. 600.-- zu leisten, andernfalls auf seine Eingabe nicht eingetreten werde. In der Folge wandte der Beschwerdeführer sich mit einem Ausstandsgesuch gegen die Instruktionsrichterin an die Abteilung V des Bundesverwaltungsgerichts, welche das Begehren am 21. Mai 2014 abwies, soweit darauf einzutreten war. Sie überwies die Akten zur Weiterführung des Beschwerdeverfahrens an die bisherige Instruktionsrichterin. A._ ist mit mehreren Eingaben an das Bundesgericht gelangt (überschrieben mit "Beschwerdeschrift" bzw. "Berufungseinlegung"), worin er geltend macht, sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung sei zu Unrecht abgewiesen worden und alle an den verschiedenen Verfahren beteiligten Richter des Bundesverwaltungsgerichts seien befangen.
2.
Auf die vorliegenden Eingaben ist ohne Weiterungen durch den Präsidenten als Instruktionsrichter im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten: Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist ausgeschlossen gegen Entscheide auf dem Gebiet des Asyls ausserhalb eines Auslieferungsverfahrens (<ref-law> [SR 173.110]); dies gilt gestützt auf den Grundsatz der Einheit des Verfahrens auch für prozessuale Zwischenentscheide. Die verschiedenen Eingaben können auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden, da diese nur gegen kantonale Entscheide, indessen nicht gegen solche des Bundesverwaltungsgerichts offensteht (vgl. <ref-law>; vgl. zum Ganzen: PETER UEBERSAX, Le Tribunal fédéral et l'asile, in: Cesla Amarelle [Hrsg.], Le droit d'asile face aux réformes: Fondements et enjeux dans la pratique, 2013, S. 15 ff., dort S. 16; FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in: Corboz et al. [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 65a). Mit dem vorliegenden Prozessentscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
3.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit der Eingaben abzuweisen (vgl. <ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung V, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar