A.- Par contrat de travail du 25 avril 1991, la société X._ a engagé B._ en qualité de directeur.
En mai 1999, le président du conseil d'administration de la société X._ a écrit à B._ pour l'informer qu'un audit avait été commandé en raison des dysfonctionnements constatés à la direction et dans les services de l'entreprise. Quelques mois plus tard, les consultants sont arrivés à la conclusion que B._ n'avait pas le profil pour occuper le poste de directeur; le président du conseil d'administration l'a fait savoir à B._ en juin 2000.
Dès la mi-juin 2000, le directeur était en congé pour cause de maladie; il a repris son emploi à mi-temps en juillet et à 75% à la mi-août 2000.
Lors d'une séance tenue le 8 septembre 2000, le Conseil d'administration de la société X._ a informé B._ qu'il avait décidé de rompre le contrat de travail le liant à l'entreprise. L'alternative suivante lui était présentée: soit démissionner, son salaire étant garanti pendant six mois et des mesures d'accompagnement lui étant proposées, soit attendre la notification du congé, qui interviendrait dès son rétablissement complet, le délai de résiliation étant de six mois et des mesures d'accompagnement étant également envisagées. A la même occasion, le Conseil d'administration a relevé B._ de ses fonctions de directeur dès le 30 septembre 2000 et l'a enjoint à remettre les clés de son bureau au président le 29 septembre 2000. Par ailleurs, il a décidé de mettre au concours le poste de directeur en faisant paraître des annonces dans divers journaux.
B.- Le 20 septembre 2000, B._ a introduit contre la société X._ une requête de mesures préliminaires et provisoires comprenant les conclusions suivantes:
- "Ordonner à la requise, respectivement à son Conseil d'administration,
de cesser, avec effet immédiat, de porter atteinte
aux intérêts personnels du requérant;
- Interdire à la requise, respectivement à son Conseil d'administration,
de prendre ou exécuter à l'encontre du requérant
des mesures de boycott ou de mise à pied, telles que:
. incitation à la démission; . mises au concours publiques du poste de travail occupé
par le requérant; . retrait des clés du bureau, etc. ".
Par décision du 22 septembre 2000, le Président 3 de l'arrondissement judiciaire I Courtelary-Moutier-La Neuveville a interdit à la société X._, à titre préliminaire et jusqu'à droit connu sur les conclusions provisoires, d'inciter B._ à démissionner, de mettre au concours publiquement son poste de travail et de lui faire déposer les clés de son bureau, les conclusions préliminaires étant rejetées pour le surplus.
Par décision du 10 octobre 2000, le même juge a annulé les interdictions prononcées dans la décision de mesures préliminaires, rejeté la requête de mesures provisoires et mis à la charge de B._ les frais judiciaires ainsi que les dépens de la société X._.
Le 23 octobre 2000, B._ a interjeté un appel dont les conclusions tendaient à ce qu'il soit interdit à la société X._ de prendre ou d'exécuter à son encontre des mesures de mise à l'écart telles que la mise au concours de son poste, l'éloignement de son lieu de travail ou le retrait des clés de son bureau.
Le même jour, le Conseil d'administration de la société X._ a fait diffuser dans l'entreprise une information au personnel intitulée "Rupture du contrat du directeur".
Le lendemain, un communiqué identique a été transmis à divers médias. Le 25 octobre 2000, le Conseil d'administration a fait paraître dans deux journaux une annonce mettant au concours le poste de directeur de la société X._.
Par ordonnance du 26 octobre 2000, le Président de la IIème Chambre civile de la Cour d'appel du canton de Berne a refusé d'accorder l'effet suspensif requis par l'appelant.
Dans une lettre du 3 novembre 2000, B._ a demandé à la Cour d'appel de constater que le litige avait perdu son objet à la suite de l'exécution par la société X._ des mesures dont il requérait l'interdiction; il concluait à ce que les frais et dépens soient mis à la charge de l'intimée.
Par ordonnance de liquidation du 8 février 2001, la IIème Chambre civile a constaté que la procédure était devenue sans objet et a rayé l'affaire du rôle. Elle a condamné B._ à payer les frais de première instance par 1000 fr. et les frais de deuxième instance par 500 fr.; elle l'a également condamné à verser à la société X._ une indemnité de dépens de 4566 fr.20 pour la première instance et de 1832 fr.85 pour la deuxième instance.
C.- B._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'ordonnance de liquidation dans la mesure où il a été condamné au paiement des frais et dépens, ainsi qu'au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision sur ce point. A titre éventuel, il demande que les frais des deux instances cantonales et ses propres dépens soient mis à la charge de l'intimée.
La société X._ propose le rejet du recours dans la mesure où il est recevable.
Pour sa part, la cour cantonale se réfère aux considérants de sa décision.

Considérant en droit :
1.- Le Tribunal fédéral examine d'office et avec une pleine cognition la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 83, 207 consid. 1; <ref-ruling> consid. 1 p. 275; <ref-ruling> consid. 1a p. 254, 412 consid. 1a p. 414).
a) De jurisprudence constante, le recours de droit public a, sauf exceptions non réalisées en l'espèce, une fonction purement cassatoire; le recourant ne peut ainsi conclure qu'à l'annulation, totale ou partielle, de la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1b p. 107; <ref-ruling> consid. 1 p. 232; <ref-ruling> consid. 5 p. 96). Dans la mesure où elles tendent simplement au renvoi de la cause à l'autorité précédente, les conclusions principales du recourant sont toutefois admissibles, car cette mesure est inhérente à l'annulation de la décision. En revanche, en cas d'admission du recours, il n'y aurait pas lieu d'entrer en matière sur les conclusions éventuelles, par lesquelles le recourant prétend voir le Tribunal fédéral se substituer à la cour cantonale pour trancher la question des frais et dépens.
b) Aux termes de l'art. 86 al. 1 OJ, le recours de droit public n'est recevable qu'à l'encontre des décisions prises en dernière instance cantonale. En d'autres termes, les griefs soulevés devant le Tribunal fédéral ne doivent plus pouvoir faire l'objet d'un recours ordinaire ou extraordinaire de droit cantonal (<ref-ruling> consid. 1a; <ref-ruling> consid. 2b).
En droit bernois, la voie de l'appel n'est pas ouverte contre l'ordonnance sur les frais rendue par la Cour d'appel à la suite d'un litige devenu sans objet (cf. art. 206 al. 2 du code de procédure civile du canton de Berne [ci-après: Cpcb]; Leuch/Marbach/Kellerhals/Sterchi, Die Zivilprozessordnung für den Kanton Bern, 5e éd., n. 6 ad art. 206 Cpcb). En revanche, une telle décision peut faire l'objet d'un pourvoi en nullité (art. 359 Cpcb; Leuch/Marbach/Kellerhals/Sterchi, op. cit. , n. 6 ad art. 206 et n. 1a ad art. 359 Cpcb). En l'espèce, le recourant se plaint d'une appréciation arbitraire des preuves, de l'application arbitraire du droit cantonal, de la violation de la force dérogatoire du droit fédéral et de la violation du principe de la proportionnalité.
Aucun de ces griefs ne correspond à l'une des causes de nullité énumérées à l'art. 359 Cpcb, de sorte que le recours est recevable sous cet angle.
2.- a) Pour se prononcer sur les frais et dépens de la procédure devenue sans objet, la cour cantonale a procédé à un examen sommaire des chances de succès qu'auraient eues les parties si la procédure avait abouti à un jugement. Elle s'est demandé ainsi si le recourant avait rendu vraisemblable, d'une part, que les mesures dont il réclamait l'interdiction portaient une atteinte illicite, imminente ou actuelle, à sa personnalité et, d'autre part, que cette atteinte risquait de lui causer un préjudice difficilement réparable.
Faisant siens, pour l'essentiel, les considérants de la décision de première instance sur mesures provisoires, la Cour d'appel observe que si la mise au concours publique du poste et l'obligation de remettre les clés du bureau à très court terme constituent des atteintes à la personnalité du recourant, elles ne revêtent pas un caractère illicite, l'intérêt privé de l'intimée à bénéficier d'une situation claire par rapport à la marche de ses affaires s'avérant prépondérant.
Les juges cantonaux ajoutent que la mise en oeuvre du droit d'être occupé pendant le délai de congé est très difficilement réalisable et qu'une interdiction de chercher immédiatement à repourvoir un poste de cadre supérieur en cas de résiliation du contrat du titulaire peut mettre en péril l'entreprise concernée. En conséquence, la IIème Chambre civile estime que le recourant aurait succombé si la procédure d'appel avait été menée à son terme et qu'il se justifie de mettre à sa charge les frais et dépens des deux instances.
b) Dans un premier moyen, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir retenu arbitrairement que la procédure était devenue sans objet le 26 octobre 2000, date du refus de l'effet suspensif, et non à partir du 23 octobre 2000, date à laquelle l'intimée a commencé à exécuter les mesures dont le recourant demandait l'interdiction. Or, poursuit le recourant, la décision sur mesures provisoires du 10 octobre 2000 n'était pas encore entrée en force de chose jugée en date du 23 octobre 2000. Ainsi, la cour cantonale aurait dû constater que l'intimée avait rendu le litige sans objet en ne respectant pas les interdictions imposées par la décision sur mesures préliminaires du 22 septembre 2000. Par conséquent, il serait arbitraire de n'avoir pas mis les frais de la procédure et les dépens du recourant à la charge de l'intimée.
Selon le recourant, la Cour d'appel a, en outre, apprécié les preuves de manière insoutenable en constatant que le directeur de l'entreprise cherchait à obtenir des mesures provisoires pendant le délai de congé, alors qu'en réalité son contrat de travail n'était pas résilié à l'époque. Ce faisant, les juges cantonaux auraient également gravement méconnu l'<ref-law>, instituant la nullité d'une résiliation signifiée pendant une incapacité de travail totale ou partielle qui résulte d'une maladie. Fondée sur une prémisse inexacte, la pesée d'intérêts à laquelle la cour cantonale s'est livrée serait entachée d'arbitraire et ne respecterait pas le principe de la proportionnalité consacré à l'art. 5 al. 2Cst.
3.- a) L'interdiction de l'arbitraire, déduite de l'art. 4 aCst. , est expressément consacrée à l'art. 9 Cst.
Selon la jurisprudence rendue sous l'ancien droit et toujours valable (<ref-ruling> consid. 3a p. 170), une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution pourrait se défendre, voire même être préférable. Le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction évidente avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Par ailleurs, il ne suffit pas que la motivation critiquée soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3a p. 170; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 3a p. 15, 129 consid. 5b p. 134; <ref-ruling> consid. 5 p. 250; <ref-ruling> consid. 2b).
L'ordonnance attaquée a été rendue en application de l'art. 206 al. 1 Cpcb. Selon cette disposition, le tribunal qui constate que le litige est devenu sans objet, déclare l'affaire liquidée et, après avoir entendu les parties, mais sans autre débat, statue sur les frais mis à la charge de chaque partie et en fixe le montant. Pour ce faire, le juge déterminera quelle partie aurait dû supporter les frais au regard des art. 58 ss Cpcb si la procédure n'avait pas perdu son objet; en règle générale, il s'agira de la partie qui aurait succombé au fond. Le juge se fondera sur la situation existant lors de la survenance du motif rendant le procès sans objet (Leuch/Marbach/Kellerhals/Sterchi, op. cit. , n. 5 ad art. 206 Cpcb). Le droit de procédure fédéral connaît une règle similaire à l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'art. 40 OJ. Selon la jurisprudence, le Tribunal fédéral doit commencer par déterminer l'issue probable du litige.
S'il n'est pas en mesure de le faire sur le vu du dossier, il appliquera alors les principes généraux du droit de procédure; ceux-ci commandent de mettre les frais et dépens à la charge de la partie qui a provoqué la procédure devenue sans objet ou chez laquelle résident les motifs ayant mis fin au litige (<ref-ruling> consid. 4a p. 494).
b) En l'espèce, il n'apparaît pas déterminant que la cour cantonale ait fixé au 26 octobre plutôt qu'au 23 octobre 2000 le moment auquel la procédure a perdu son objet. En effet, la décision sur mesures provisoires du 10 octobre 2000 était immédiatement exécutoire (cf. art. 397 al. 1 Cpcb) et, en matière sommaire, l'appel n'est pas assorti d'un effet suspensif automatique (cf. art. 336a al. 1 Cpcb). Dès lors, contrairement à ce qu'il semble prétendre, le recourant ne pouvait pas, le 23 octobre 2000, invoquer la décision sur mesures préliminaires du 22 septembre 2000 pour obtenir une abstention de la part de l'intimée.
Au demeurant, il est vrai que le procès est devenu sans objet à la suite des dispositions prises par l'intimée dès le 23 octobre 2000. Cette situation ne dispensait toutefois pas la IIème Chambre civile d'examiner les chances de succès de l'appel si elle estimait être en mesure de le faire.
En tout cas, il n'y avait aucun arbitraire à procéder de la sorte. Le premier grief ne peut qu'être rejeté.
c) Les mesures provisionnelles requises par le recourant étaient fondées sur l'<ref-law>. Conformément à cette disposition, il appartient au requérant de rendre vraisemblable qu'il est l'objet d'une atteinte illicite à sa personnalité, que cette atteinte est imminente ou actuelle et qu'elle risque de lui causer un préjudice difficilement réparable.
Vu le caractère absolu des droits de la personnalité, toute atteinte est en principe illicite (cf. <ref-law>; Andreas Bucher, Personnes physiques et protection de la personnalité, 4e éd., n. 623, p. 145; Pierre Tercier, Le nouveau droit de la personnalité, n. 591, p. 85). Mais le requis peut se prévaloir de l'un des motifs justificatifs prévus à l'<ref-law>, en particulier d'un intérêt privé prépondérant (cf. <ref-ruling> consid. 4a). Le juge procédera alors à une pesée des intérêts en présence; il examinera si le but poursuivi par le requis et les moyens mis en oeuvre à cette fin sont dignes de protection (<ref-ruling> consid. 4a et les références).
Les dispositions que l'appelant voulait interdire à l'intimée consistaient en la mise au concours de son poste de directeur, sa mise à l'écart de son lieu de travail et le retrait des clés de son bureau. En appel, le recourant ne mentionnait plus l'incitation à la démission. Au moment où la procédure est devenue sans objet, le contrat de travail du recourant n'avait pas été résilié. En effet, aucun élément du dossier ne laisse supposer que le directeur avait alors reçu son congé. Au contraire, le compte-rendu de la séance du 8 septembre 2000 indique clairement que la notification de la résiliation interviendra une fois le recourant rétabli. Or, en octobre 2000, le directeur travaillait toujours à temps partiel pour cause de maladie. C'est donc manifestement à tort que la cour cantonale s'est référée à un éventuel droit d'être occupé "pendant le délai de congé" et, deux lignes plus loin, à la "résiliation du contrat de travail du titulaire".
Il reste donc à examiner si, partant de cette constatation erronée, la Cour d'appel est parvenue à un résultat arbitraire.
Les mesures que le recourant entendait prévenir constituaient indéniablement des atteintes aux droits de la personnalité du travailleur, que l'employeur doit du reste protéger et respecter en vertu de l'<ref-law>. Voir son poste mis au concours sans que le contrat de travail n'ait été résilié apparaît comme un désaveu public; de même, les mesures de mise à l'écart, telles l'éloignement du lieu de travail et la restitution des clés du bureau, sont contraires au droit du travailleur d'exercer l'activité pour laquelle il a été engagé ("droit d'être occupé"; Brunner/Bühler/Waeber, Commentaire du contrat de travail, 2e éd., p. 100; Rehbinder, Berner Kommentar, n. 11 ad <ref-law>). Dans le même ordre d'idées, le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de qualifier d'atteinte non négligeable aux droits de la personnalité le sort réservé à un chef de succursale qui s'était vu privé publiquement des attributs de sa fonction (notamment retrait du droit de signature sur les comptes bancaires et de sa carte de crédit) sans que le contrat de travail n'ait été résilié (arrêt non publié du 12 décembre 1996, reproduit par Gabriel Aubert, Jurisprudence sur la résiliation du contrat de travail, in Journée 1997 de droit du travail et de la sécurité sociale, p. 123 ss, n. 10). Il convient de souligner néanmoins que le droit à la protection de la personnalité du travailleur n'est pas absolu (Streiff/von Kaenel, Leitfaden zum Arbeitsvertragsrecht, 5e éd., p. 202). En particulier, le droit d'être occupé trouve sa limite dans un intérêt prépondérant contraire de l'employeur, comme celui d'éloigner un travailleur incompétent (Rehbinder, op. cit. , n. 11 ad <ref-law>).
Reprenant à son compte la pesée d'intérêts opérée par le juge de première instance, la Cour d'appel est parvenue à la conclusion que l'intérêt de l'employeur à mettre rapidement au concours le poste de directeur et à écarter le titulaire était supérieur à l'intérêt contraire du recourant.
Cette pondération résiste-t-elle au grief d'arbitraire, étant rappelé que le contrat de travail n'avait en réalité pas été résilié?
Il résulte des faits relatés dans la décision du 10 octobre 2000 que, selon l'audit commandé par le conseil d'administration, les qualités du recourant ne correspondaient pas à celles exigées pour le poste de directeur et un nouveau directeur devait être désigné. Avant la mise en route de l'audit, le conseil d'administration avait du reste déjà constaté des dysfonctionnements au sein de la direction, en particulier un manque de communication, de transparence et de collaboration entre la direction et les chefs de service.
L'intimée pouvait donc faire valoir la nécessité de remplacer, le plus rapidement possible, un directeur jugé incompétent.
S'agissant d'une entreprise qui occupe tout de même 160 personnes, cet intérêt-là est important. Au surplus, l'employeur pouvait invoquer un intérêt certain à ne pas maintenir le recourant dans sa fonction de directeur, vu le risque évident de conflits préjudiciables à la marche de l'entreprise que cette situation risquait de créer. Les mesures mises en cause par le recourant répondaient dès lors à des intérêts dignes de protection de l'intimée.
Dans les circonstances de l'espèce, il n'apparaît en tout cas pas insoutenable d'admettre que ces intérêts l'emportent sur ceux du recourant, même non licencié, à ne pas voir son poste mis au concours et à continuer à occuper l'emploi pour lequel il avait été engagé. En déniant un caractère illicite aux atteintes que le recourant voulait empêcher, la cour cantonale n'a pas abouti à un résultat arbitraire et pouvait ainsi partir de l'idée que l'appel était voué à l'échec. Le second moyen soulevé par le recourant se révèle également mal fondé.
4.- Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais de la procédure (art. 156 al. 1 OJ) et versera à l'intimée une indemnité à titre de dépens (art. 159 al. 1 OJ).

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours dans la mesure où il est recevable;
2. Met un émolument judiciaire de 2000 fr. à la charge du recourant;
3. Dit que le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2000 fr. à titre de dépens;
4. Communique le présent arrêt en copie aux mandataires des parties et à la IIème Chambre civile de la Cour d'appel du canton de Berne.
_
Lausanne, le 13 juillet 2001 ECH
Au nom de la Ie Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président,
La Greffière,