Faits:
A. A.a X._, née le 25 mars 1986, a été engagée comme apprentie par la société Y._ SA, de siège à Genève. Le contrat d'apprentissage d'employée de commerce a été conclu pour la période allant du 25 août 2003 au 24 août 2006, puis prolongé jusqu'au 30 juin 2007, après l'échec de l'apprentie aux examens finaux de juin 2006. La prolongation du contrat, qui a fait l'objet d'un avenant signé le 7 juillet 2006, était soumise à la condition, discutée oralement, que l'employée s'engage à faire preuve de plus d'assiduité à l'école et au travail.
A.b X._ a été absente pour maladie du 13 octobre 2006 au 1er janvier 2007. Trois certificats médicaux attestant de son incapacité totale de travailler et un certificat de reprise de travail ont été délivrés par le Dr A._ les 13 et 19 octobre 2006, 1er novembre 2006 et 19 janvier 2007.
A.c Le 16 octobre 2006, l'employeur a adressé à l'apprentie un courrier, qui contenait des griefs à son encontre, notamment quant à ses absences, tant aux cours qu'au travail, et à la qualité de son travail. Il était expressément précisé que ce courrier constituait un avertissement.
Après une rencontre infructueuse organisée le 23 novembre 2006 par l'Office pour l'orientation, la formation professionnelle et continue (OFPC) entre le commissaire d'apprentissage, un médecin et une infirmière du Service de santé jeunesse, un conseiller en formation, un représentant de l'employeur et X._, celle-ci a, le 4 décembre 2006, été licenciée immédiatement pour justes motifs, avec effet dès le 31 décembre 2006. Pour l'employeur, l'apprentie n'a pas respecté les conditions posées lors de la prolongation du contrat d'apprentissage.
Parmi les motifs avancés à l'appui du licenciement figuraient la dégradation de la qualité du travail de l'apprentie, son comportement au bureau, une absence injustifiée au travail le 6 octobre 2006, des erreurs de classement, des frais non reportés à la facturation, un envoi de documents non conforme à un client, des arrivées tardives presque quotidiennes et, enfin, un comportement inadéquat envers un cadre de la société le 12 octobre 2006.
B. B.a Le 12 avril 2007, X._ a assigné Y._ SA en paiement de 18'195 fr., plus intérêts moratoires à 5% l'an dès le 1er janvier 2007, soit 9'000 fr. bruts à titre de salaire jusqu'à la fin de la formation, 897 fr. bruts à titre d'indemnité pour vacances non prises en nature, 750 fr. bruts à titre de treizième salaire, 1'548 fr. nets à titre de participation aux frais d'assurance maladie et 6'000 fr. nets à titre d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié.
La Caisse Z._ est intervenue au procès pour faire valoir la subrogation à concurrence des indemnités versées par elle à la demanderesse de janvier à juin 2007, représentant la somme de 6'192 fr.70, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2007.
Le 13 novembre 2007, le Tribunal des prud'hommes a débouté la demanderesse de toutes ses conclusions et débouté les parties de toute autre conclusion.
B.b Par arrêt du 24 avril 2008, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes a, à la forme, déclaré recevable l'appel interjeté par la demanderesse. Au fond, le jugement entrepris a été confirmé et les parties ont été déboutées de toute autre conclusion.
L'autorité cantonale a retenu que les conditions expresses posées à la prolongation exceptionnelle du contrat d'apprentissage n'ont pas été réalisées, compte tenu de la perte de motivation constatée chez l'apprentie antérieurement à l'arrêt de travail du 13 octobre 2006. Pour conclure à une telle perte de motivation, les juges ont pris appui sur la baisse de qualité du travail de l'employée et sur les lacunes apparues dans son comportement, référence faite aux pièces de la procédure. La juridiction cantonale a ensuite observé que la confiance de l'employeur quant à la motivation de l'apprentie a été définitivement ébranlée par le second avis médical obtenu du médecin du Service de santé jeunesse et par le fait que les certificats médicaux de durée indéterminée ont été transmis sans autre précision. Selon la cour cantonale, l'annonce de l'absence de l'employée pour cause de maladie n'est pas le principal motif de résiliation des rapports de travail, mais l'élément supplémentaire qui a définitivement détruit la confiance que l'employeur pouvait encore conserver en son apprentie. Le défaut de réaction positive de l'employée après l'envoi de l'avertissement du 16 octobre 2006 a été mise en exergue par les juges genevois, qui ont en outre relevé que ni la courte durée du contrat qui restait en jeu ni l'âge de l'apprentie ne plaidaient en faveur d'un licenciement abusif.
C. Contre ce prononcé, la demanderesse exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle demande, à la forme, de déclarer recevable le recours. Quant au fond, elle requiert l'annulation de l'arrêt entrepris, la condamnation de la défenderesse à lui verser les montants de 10'647 fr. bruts et de 7'548 fr. nets, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er janvier 2007, sous suite de frais et dépens, et le déboutement de la défenderesse de toutes autres ou contraires conclusions.
La défenderesse conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité, à la confirmation de l'arrêt entrepris, au déboutement de la demanderesse de toute autre conclusion et à la condamnation de celle-ci au paiement des frais et dépens de la procédure. A titre subsidiaire, elle demande de limiter sa condamnation au paiement du salaire brut jusqu'à l'échéance fixée au 30 juin 2007, soit à 9'000 fr. (1'500 x 6), de débouter la demanderesse de toute autre prétention et d'obtenir l'allocation d'une indemnité à titre de dépens.
L'intervenante n'a pas d'observation complémentaire à apporter. La Cour d'appel se réfère, quant à elle, à son arrêt du 24 avril 2008, dans les termes duquel elle persiste.

Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions (<ref-law>) et dirigé contre un jugement final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 francs (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.1). Il ne peut pas entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>).
2. La recourante conteste l'existence de justes motifs permettant son licenciement au sens des art. 346 al. 2 et 337 CO. Elle soutient que la cour cantonale a établi de manière arbitraire (art. 9 Cst) les faits sur lesquels elle s'est fondée pour trancher cette question.
2.1 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
La notion de « manifestement inexacte » correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2.2, 384 consid. 4.2.2). D'après la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.1).
Dans la mesure où l'arbitraire est invoqué en relation avec l'établissement des faits, il convient de rappeler que le juge dispose d'un large pouvoir lorsqu'il apprécie les preuves (<ref-ruling> consid. 4b). La partie recourante doit ainsi expliquer dans quelle mesure le juge a abusé de son pouvoir d'appréciation et, plus particulièrement, s'il a omis, sans aucune raison sérieuse, de prendre en compte un élément de preuve propre à modifier la décision attaquée, s'il s'est manifestement trompé sur son sens et sa portée ou encore si, en se fondant sur les éléments recueillis, il en a tiré des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1).
2.2 Il est constant que la recourante a été dans l'incapacité de travailler pour cause de maladie du 13 octobre 2006 au 1er janvier 2007, ce qui est attesté par des certificats médicaux. La maladie - même si l'apprentie s'est refusée à dire en quoi elle consistait - n'est en principe pas un juste motif pour un licenciement immédiat, dès lors qu'elle échappe à la volonté de l'intéressée. La cour cantonale ne prétend pas le contraire, puisqu'elle a retenu que le motif principal du licenciement n'était pas l'absence pour cause de maladie. Pour les juges genevois, le licenciement a été motivé par le fait que la qualité du travail de l'apprentie avait baissé peu après la reconduction du contrat et que des lacunes sont apparues dans son comportement, permettant de conclure à une perte de motivation.
Savoir pour quels motifs le congé a été donné est une question de fait (<ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 4.1). Dès lors qu'il n'est pas contesté que le motif qui a fondé le licenciement est la perte de motivation de l'apprentie - et non la maladie -, il n'y a pas lieu de revenir sur cette question (<ref-law>).
En lien avec le motif de la résiliation, la recourante invoque l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits. Elle prétend que les faits qui ont motivé le congé ont été établis de façon manifestement inexacte (<ref-law>). Il convient donc d'examiner si les faits incriminés sont ou non avérés.
Dans l'arrêt entrepris, la cour cantonale affirme qu'il ressort des pièces de la procédure que la qualité du travail de l'employée avait manifestement baissé et que des lacunes sont apparues dans son comportement, ce qui permettait de conclure à une perte de motivation. Elle ne cite cependant pas les pièces sur lesquelles elle fonde ces affirmations. L'intimée s'est efforcée de pallier cette carence, à la page 6 de ses observations, en se référant aux rapports de formation, à ses propres lettres et aux témoignages B._ et C._. Or, les rapports de formation ne font pas apparaître une baisse de qualité du travail, un comportement inadéquat ou une perte de motivation; ils commencent au contraire chacun par un commentaire positif, tel que « Après 6 mois d'apprentissage, le bilan reste très positif !! X._ est ponctuelle et agréable au quotidien. Sa collaboration est très satisfaisante et la qualité des travaux est très bonne (...) », «X._ s'est reprise en main ces derniers mois (...) », « Très bon bilan pour cet avant dernier semestre (...) ». On ne trouve pas non plus, dans les dépositions des deux témoins, l'affirmation des manquements reprochés. On y trouve au contraire des éléments positifs, comme le fait que la recourante était motivée à poursuivre sa formation ou qu'elle a pris soin de contacter les différents intervenants proposés par l'employeur, notamment dans le but d'organiser la réunion du 23 novembre 2006. Quant aux lettres de l'employeur, elles ne sauraient constituer une preuve d'un comportement critiquable de la recourante, puisque ces lettres constituent des allégations écrites d'une des parties au litige. En réalité, l'examen des pièces citées par l'intimée ne permet en rien de déduire une baisse de qualité du travail, un comportement inadéquat ou une perte de motivation de l'employée. En retenant ces faits pour établis, sans qu'ils ne trouvent aucun appui dans les pièces du dossier, la cour cantonale a dressé arbitrairement l'état de fait dont elle a déduit l'existence de justes motifs de résiliation, ce qui est déterminant pour le sort du litige. En cela, l'arbitraire dans le résultat est pleinement réalisé.
3. Aux termes de l'<ref-law>, lorsque l'employeur résilie immédiatement le contrat sans justes motifs, le travailleur a droit à ce qu'il aurait gagné, si les rapports de travail avaient pris fin à l'échéance du délai de congé ou à la cessation du contrat conclu pour une durée déterminée. La créance en dommages-intérêts qui découle de cette disposition comprend non seulement le salaire, mais aussi le droit aux vacances, remplacé par des prestations en argent, et la compensation des autres avantages résultant du contrat de travail (<ref-ruling> consid. 3b). Selon la jurisprudence, le droit aux vacances n'est toutefois pas absolu. S'il est admis pour tous les travailleurs renvoyés abruptement alors que le contrat aurait normalement pu prendre fin dans un délai relativement bref, estimé à deux ou trois mois, il n'en va pas de même lorsque le travailleur est indemnisé pour une longue période au cours de laquelle il ne travaille pas; dans ce dernier cas, l'indemnité reçue inclut le droit aux vacances (<ref-ruling> consid. 3b, confirmé in: <ref-ruling> consid. 4a/bb; arrêt 4C.250/1996 du 21 octobre 1996, reproduit in: SJ 1997 p. 149).
Dans le cas d'espèce, la recourante peut prétendre à ce qu'elle aurait gagné si les rapports de travail avaient pris fin à la cessation du contrat de durée déterminée, soit au 30 juin 2007. Son salaire mensuel étant de 1'500 fr., elle a droit, à titre de salaire, à la somme brute de 9'000 fr. (6 x 1'500). S'agissant de l'octroi d'un treizième salaire, ni le contrat d'apprentissage ni son avenant n'en font mention. Seul le décompte salaire du mois de décembre 2006 indique qu'un tel salaire a été versé pour l'année 2006 à concurrence de 1'320 francs. Dès lors que l'intitulé du décompte relatif au 13ème mois est couplé avec le terme « sortie » et que l'on ignore si un treizième salaire a également été octroyé durant les deux premières années d'apprentissage, il n'y a pas lieu d'admettre que les parties étaient convenues du versement d'un treizième salaire pour l'ensemble de la relation contractuelle. La part proportionnelle d'un éventuelle treizième salaire n'a donc pas à être ajoutée à la somme due à titre de salaire.
La recourante réclame également la somme de 1'548 fr. (6 x 258) à titre de « participation assurance maladie ». Comme l'avenant au contrat de formation prévoit le « remboursement de la prime maladie à 50% », il convient de considérer cet élément comme un élément du salaire entrant dans le cadre de l'indemnité octroyée à la recourante. Dans la mesure où il découle du décompte de salaire de décembre 2006 que la quotité de cette prise en charge, soumise aux cotisations sociales, est bien de 258 fr. - ce qui n'est pas contesté -, les 1'548 fr. réclamés s'ajoutent aux 9'000 fr. susmentionnés.
L'indemnité réclamée pour les vacances non prises concerne la période litigieuse de janvier à juin 2007. Elle porte donc sur une période à qualifier de longue au sens de la jurisprudence précitée. Au cours de cette période, la recourante a affirmé n'avoir réalisé aucun gain intermédiaire. Il ressort par ailleurs des faits que son nouveau contrat, signé en mars 2007, a débuté en août de la même année. Dans ces circonstances, il n'est pas justifié d'allouer à la recourante une indemnité pour les vacances non prises, cette indemnité étant comprise dans celle octroyée à titre de salaire.
Cela étant, l'intimée doit payer à la recourante la somme brute de 10'548 fr. (9'000 + 1'548), avec intérêts au taux de 5% l'an dès le 1er janvier 2007, le dies a quo des intérêts dus n'ayant fait l'objet d'aucune discussion.
4. L'intervenante n'a pas déposé de recours. Invitée à se prononcer dans la présente procédure, elle n'a pas formulé d'observation. Aux termes de l'art. 29 al. 2 de la loi sur l'assurance-chômage (LACI; RS 837.0), la caisse de chômage se subroge à l'assuré dans tous ses droits jusqu'à concurrence de l'indemnité journalière versée; sauf exceptions, elle ne peut renoncer à faire valoir ses droits. En l'espèce, l'intervenante a conclu dans la procédure cantonale au paiement d'un montant de 6'192 fr.70, avec intérêts dès le 1er juillet 2007, correspondant aux indemnités versées à la recourante du 1er janvier au 30 juin 2007. A titre de simplification et pour éviter une action récursoire contre la recourante, il convient d'accorder à l'intervenante le capital qu'elle a précédemment réclamé. Le montant de 6'192 fr.70, avec intérêts, sera par ailleurs déduit de la créance de la recourante.
5. 5.1 L'<ref-law> prévoit qu'en cas de licenciement immédiat injustifié, le juge peut allouer au travailleur une indemnité dont il fixe librement le montant, en tenant compte de toutes les circonstances. Parmi celles-ci figurent notamment la situation sociale et économique des deux parties, la gravité de l'atteinte à la personnalité de la partie congédiée, l'intensité et la durée des relations de travail antérieures au congé, la manière dont celui-ci a été donné, ainsi que la faute concomitante du travailleur; aucun de ces facteurs n'est décisif en lui-même (<ref-ruling> consid. 3c). L'indemnité, qui ne peut dépasser le montant correspondant à six mois de salaire du travailleur, a une double finalité, punitive et réparatrice (<ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 3c). Selon la jurisprudence, le versement d'une telle indemnité constitue la règle (<ref-ruling> consid. 3c; <ref-ruling> consid. 3e; <ref-ruling> consid. 5a), mais suppose un comportement fautif de l'employeur ou en tout cas des circonstances qui lui sont imputables (cf. ATF <ref-ruling> consid. 5a in fine).
Qu'il s'agisse du principe ou de la quotité de cette indemnité, le juge possède un large pouvoir d'appréciation (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3c).
5.2 En l'espèce, il peut être fait grief à l'intimée de n'avoir pas pris en considération la maladie dont a été victime la recourante et de lui avoir reproché de ce fait un manque de motivation dans le suivi de sa formation, puisqu'aucune violation des obligations contractuelles antérieures à la maladie n'a été établie à satisfaction. Il apparaît même à l'entière décharge de la recourante que celle-ci a, durant sa maladie, manifesté sa volonté de continuer les efforts entrepris pour réussir son apprentissage. Les conditions exceptionnelles qui justifieraient un refus de l'indemnité instaurée par l'<ref-law> ne sont pas réalisées.
Pour fixer la somme qu'il y a lieu d'accorder à la recourante, il faut considérer que celle-ci a travaillé plus de trois ans comme apprentie auprès de l'intimée et qu'elle se trouvait, au moment de la résiliation, à six mois de la prochaine session d'examen et du terme contractuel. Il convient également de prendre en compte l'absence de faute concomitante de l'apprentie et les conséquences provoquées par la résiliation immédiate, qui a contraint la recourante à chercher un nouveau maître d'apprentissage et à repousser d'une année la fin de sa formation. Tout bien pesé, il paraît équitable d'allouer à la recourante 3'000 fr., somme correspondant à deux mois de salaire. Ce montant portera intérêts à 5% l'an dès le 1er janvier 2007, lendemain du jour pour lequel le congé a été donné.
6. Compte tenu de l'issue du recours, il convient de mettre les frais judiciaires, calculés par application de l'art. 65 al. 4 let. c LTF, à la charge de l'intimée et de la condamner à verser à la recourante une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
L'intervenante, qui n'est pas représentée par un avocat, n'est pas prise en considération dans la répartition des frais et dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que l'intimée doit à la recourante:
- la somme de 10'548 fr., avec intérêts au taux de 5% l'an dès le 1er janvier 2007, sous déduction des charges sociales et légales, ainsi que du montant de 6'192 fr.70, avec intérêts au taux de 5% l'an dès le 1er juillet 2007, à verser directement à l'intervenante;
- la somme de 3'000 fr., avec intérêts au taux de 5% l'an dès le 1er janvier 2007.
2. L'intimée est condamnée à payer à l'intervenante la somme de 6'192 fr.70, avec intérêts au taux de 5% l'an dès le 1er juillet 2007.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4. Une indemnité de 2'500 fr., à payer à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, à la Caisse Z._ et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 23 juillet 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Corboz Crittin