Sachverhalt:
A. Der 1967 geborene B._ ist Elektromonteur (Abschluss 1988) und seit 1996 als Grenzwächter mit eidgenössischem Fachausweis tätig. Er leidet unter anderem an einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung resp. Fibromyalgie und an einer Reihe von begleitenden funktionellen Störungen (Bericht des Prof. Dr. K._, Chefarzt der Klinik für Psychiatrie und Psychosomatik am Spital X._, vom 31. August 2009 und 1. Dezember 2010). Ab September 2003 war B._ in der Einsatzzentrale des Grenzwachtkorps tätig. Aufgrund einer betriebsärztlichen Abklärung wurde er im Sommer 2008 aus medizinischen Gründen als untauglich sowohl für die angestammte Tätigkeit als Grenzwächter wie auch für Arbeiten in der Einsatzzentrale eingestuft (Schreiben des Medical Service vom 25. Juli 2008). In der Folgezeit wurde er mit Rücksicht auf die gesundheitlichen Einschränkungen im Sinne eines Arbeitsversuchs provisorisch in Bürofunktionen bei der Oberzolldirektion und beim Kommando des Grenzwachtkorps eingesetzt. Die Invalidenversicherung gewährte Beratung und Unterstützung bei der Erhaltung des Arbeitsplatzes (Mitteilung der IV-Stelle des Kantons Basel-Landschaft vom 20. Mai 2009) und erteilte Kostengutsprache für Arbeitstrainings von Mai bis Juli sowie Oktober bis Dezember 2009 (Mitteilungen vom 10. Juli und 6. Oktober 2009). Die beruflichen Massnahmen der Invalidenversicherung wurden auf Ende 2009 abgeschlossen mit der Feststellung, B._ könne seine Arbeit (Operator bei der Oberzolldirektion in Bern) ab Januar 2010 mit einem Pensum von 60 Prozent fortführen; damit sei sein Leistungsvermögen ausgeschöpft (Abschlussbericht berufliche Massnahmen vom 19. November 2009; Mitteilung vom 9. Dezember 2009).
Die IV-Stelle liess B._ beim Institut Y._ einer Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) der Invalidenversicherung, interdisziplinär begutachten. Die Sachverständigen diagnostizierten nebst einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung und verschiedener begleitender Leiden eine Beeinträchtigung beider Schultergelenke. Sie schlossen, in leichten und mittelschweren Tätigkeiten bestehe eine vollständige Arbeitsfähigkeit (Expertise vom 7. Juni 2010). Die IV-Stelle stellte darauf ab; mit Verfügung vom 19. Oktober 2010 hielt sie fest, bei einem Invaliditätsgrad von 0 Prozent bestehe kein Anspruch auf eine Invalidenrente.
B. Das Kantonsgericht des Kantons Basel-Landschaft wies die gegen die Verfügung vom 19. Oktober 2010 eingereichte Beschwerde ab (Entscheid vom 27. Oktober 2011).
C. B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, ihm mindestens eine Viertelsrente auszurichten.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherung verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2 Dabei gilt im Hinblick auf die Beurteilung, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung - oder ein vergleichbarer ätiologisch-pathogenetisch unklarer syndromaler Zustand (<ref-ruling> E. 3.2 S. 399) - mit invalidisierender Wirkung vorliegt, Folgendes: Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt zunächst, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung vorliegt, und bejahendenfalls, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 66).
1.3 Die in <ref-ruling> definierten Anforderungen an die Einholung von MEDAS-Gutachten durch die Invalidenversicherung gelten grundsätzlich auch in laufenden Verfahren (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 369). Das Institut Y._ wurde bereits vor diesem (am 28. Juni 2011 ergangenen) Urteil als Gutachterstelle eingesetzt; die Mitwirkungsrechte der versicherten Person nach neuer Rechtsprechung (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2.6 S. 256 und E. 3.4.2.9 S. 258) konnten demnach noch nicht zum Tragen kommen. Dieser Umstand führt indes nicht zwangsläufig zu einer neuen Begutachtung. Es wäre nicht verhältnismässig, wenn nach den alten Regeln eingeholte Gutachten ungeachtet ihrer jeweiligen Überzeugungskraft den Beweiswert einbüssten (<ref-ruling> E. 6 Ingress S. 266).
1.4 Allerdings ist dem Umstand, dass ein nach altem Standard in Auftrag gegebenes Gutachten eine massgebende Entscheidungsgrundlage bildet, unter Umständen bei der Beweiswürdigung Rechnung zu tragen (Urteile 9C_942/2011 vom 6. Juli 2012 E. 5.2 und 9C_776/2010 vom 20. Dezember 2011 E. 3.3). In dieser speziellen Übergangssituation lässt sich die beweisrechtliche Situation der versicherten Person mit derjenigen bei versicherungsinternen medizinischen Entscheidungsgrundlagen vergleichen (dazu <ref-ruling> E. 4 S. 467). In solchen Fällen genügen schon relativ geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der ärztlichen Feststellungen, um eine (neue) Begutachtung anzuordnen.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer leidet unter anderem an einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung oder Fibromyalgie. Hinsichtlich dieser Beschwerdenbilder besteht die Vermutung, sie seien mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar, das heisst mit der Ausübung einer leidensangepassten Tätigkeit vereinbar; sie können denn auch nur unter spezifischen Voraussetzungen Rentenleistungen auslösen (<ref-ruling>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 353). Das kantonale Gericht hat diese Rechtsprechung angewandt und befunden, aus rechtlicher Sicht bestünden keine hinreichenden Gründe anzunehmen, die psychischen Ressourcen erlaubten es dem relativ jungen Versicherten nicht, trotz seiner Schmerzen eine leichte bis mittelschwere Tätigkeit weiterhin vollumfänglich auszuüben. Dabei stützte sich die Vorinstanz namentlich auf die Schlussfolgerungen im Gutachten der MEDAS vom 7. Juni 2010.
2.2 Hinsichtlich der einzelnen Kriterien, deren Anwendung einer Rechtsfrage entspricht (oben E. 1.2), ergibt sich Folgendes:
2.2.1 Die ausgewiesenen Diagnosen dokumentieren zunächst keine psychische Komorbidität von erheblicher Schwere, Ausprägung und Dauer. Auch die im Bericht des Prof. K._ vom 1. Dezember 2010 angegebenen multiplen funktionellen Beschwerden, die allgemeine Hyperalgesie und das Reizdarmsyndrom stellen sich nicht als selbständige somatoforme (psychogene) Beschwerden dar. Die "ausgeprägte auffällige Persönlichkeitsstruktur mit starker Leistungsorientierung, zwanghaftem Hang zu Perfektionismus, Überhilfsbereitschaft, Überwachsamkeit und mangelnder Abgrenzungsfähigkeit im Sinne des Typ-A-Verhaltens (ICD-10 Z73.1)" ist als solche keine Persönlichkeitsstörung und fällt damit ebenfalls nicht als psychische Komorbidität in Betracht.
Im Übrigen berichtete Prof. K._, die verschiedenen körperlichen (somatoformen) Symptome verhinderten - über einen in der Persönlichkeit des Beschwerdeführers angelegten Verdrängungsmechanismus - eine erhebliche Depression. Diesem Umstand ist indes im Zusammenhang mit dem Kriterium des sog. primären Krankheitsgewinns Rechnung zu tragen (E. 2.2.5).
2.2.2 Hinsichtlich des Kriteriums der chronischen körperlichen Begleiterkrankungen halten die MEDAS-Gutachter fest, ein schweres obstruktives Schlafapnoesyndrom sei gut eingestellt, so dass diesbezüglich keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit attestiert werden könne (Gutachten S. 22 Ziff. 6.2). In der Tat hat eine diesbezügliche Therapie gegriffen (vgl. Bericht des Prof. Dr. S._ vom 26. Mai 2009). Mit Blick auf das Folgende kann offen bleiben, ob die abweichende Feststellung des Prof. K._, eine nachhaltige Besserung sei ausgeblieben, als Indiz dafür zu verstehen ist, dass die dem Beschwerdeführer zur Verfügung stehenden Ressourcen durch diese körperliche Einschränkung vermindert sein könnten.
2.2.3 Das medizinische Dossier weist einen mehrjährigen, chronifizierten Krankheitsverlauf mit unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne länger dauernde Rückbildung aus.
2.2.4 Was das Kriterium des sozialen Rückzugs angeht, so führt der psychiatrische Teilgutachter der MEDAS aus, ein solcher bestehe zwar; jedoch unterhalte der Versicherte innerfamiliär gute Beziehungen, leite eine Fibromyalgie-Selbsthilfegruppe und es seien ihm Ferienreisen möglich (S. 13 Ziff. 4.1.7). So oder anders ist ein sozialer Rückzug stets im Verhältnis zur geltend gemachten Arbeitsunfähigkeit zu beurteilen. Das Kriterium zielt auf die Frage ab, ob die Aktivitätenniveaus im erwerblichen und im aussererwerblichen Bereich miteinander vereinbar sind. Im Falle des zu 60 Prozent erwerbstätigen Versicherten kann - hinsichtlich der auf dem Prüfstand befindlichen 40 Prozent - nicht allein ein totaler sozialer Rückzug eine Arbeitsunfähigkeit in diesem Umfang erhärten.
2.2.5 Ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr beeinflussbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn) liegt in ausgeprägtem Mass vor. Gemäss dem Bericht des Prof. K._ vom 1. Dezember 2010 verdrängt der Versicherte psychische Probleme und Belastungen; er lasse damit keine Depressionen aufkommen und wirke vordergründig gesünder. Die verdrängten psychischen Probleme verstärkten aber die körperlichen Symptome. Falle diese Verdrängung weg, wäre mit dem Auftreten einer schweren Depression zu rechnen. Gegen diese ausführlich mit krankheitsgeschichtlichen Daten begründeten Ausführungen vermag die schlichte Aussage der MEDAS nicht durchzudringen, Hinweise auf bewusste Konflikte seien nicht vorhanden, ein primärer Krankheitsgewinn sei somit nicht erwiesen (Gutachten S. 13 Ziff. 4.1.5).
2.2.6 Hinsichtlich der Frage, ob eine konsequent durchgeführte ambulante oder stationäre Behandlung (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) trotz kooperativer Haltung der versicherten Person gescheitert sei, erwog die Vorinstanz, die Möglichkeiten der Schmerzbehandlung seien nicht ausgeschöpft. Aus dem Dossier ergibt sich indes, dass die Einschränkung des Beschwerdeführers nicht nur schmerz-, sondern namentlich auch erschöpfungsbedingt ist. Diesbezüglich sind keine ungenutzten Behandlungspotentiale aktenkundig. Ausserdem wird seit Längerem eine "konsequent und intensiv durchgeführte" Psychotherapie in Anspruch genommen und bekämpft der Beschwerdeführer auch die körperlichen Beschwerden in verschiedener Form (Bericht des Prof. K._ vom 1. Dezember 2010).
2.3 Aus dem Gesagten folgt, dass mehrere der einschlägigen Kriterien deutlich erfüllt sind. Hinzu kommt Folgendes:
2.3.1 Aus Stellungnahmen des Arbeitgebers ergibt sich, dass die fachärztlich beschriebene eingeschränkte Belastungstoleranz allein auf den gesundheitlichen Zustand - und nicht auch auf unversicherte Faktoren - zurückzuführen ist. Zwei Schreiben der Eidg. Zollverwaltung (an die IV-Stelle vom 24. Februar 2010 sowie an das kantonale Gericht vom 15. November 2010) ist zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer klar willens ist, sein Leistungsvermögen erwerblich zu verwerten. Die Oberzolldirektion berichtete, während zweier Arbeitsversuche an verschiedenen Stellen habe sich gezeigt, dass von dem "sehr engagierten und motivierten Mitarbeiter" eine Leistung von maximal 60 Prozent erwartet werden könne; mit diesem Beschäftigungsgrad sei sein persönliches Limit erreicht. Mit Bezug auf die beiden je dreimonatigen Arbeitstrainings hielt der Eingliederungsverantwortliche der IV-Stelle seinerseits fest, nach Abschluss der arbeitsplatzerhaltenden Massnahmen könne der Versicherte die aktuelle Arbeit in einem Umfang von 60 Prozent weiterführen; es dürfte kaum möglich sein, eine andere Stelle mit höherem Verdienst zu finden (Abschlussbericht berufliche Massnahmen vom 19. November 2009).
2.3.2 Diese Erkenntnisse sind bei der Festlegung der Arbeitsfähigkeit mit zu berücksichtigen. Es verhält sich insofern ähnlich wie mit Bezug auf die Ergebnisse leistungsorientierter beruflicher Abklärungen, welchen nicht jegliche Aussagekraft für die Beurteilung der Restarbeitsfähigkeit abgesprochen werden darf. Steht eine medizinische Einschätzung der Leistungsfähigkeit in offensichtlicher und erheblicher Diskrepanz zu einer Leistung, wie sie während einer ausführlichen beruflichen Abklärung bei einwandfreiem Arbeitsverhalten/-einsatz des Versicherten effektiv realisiert und gemäss Einschätzung der Berufsfachleute objektiv realisierbar ist, vermag dies ernsthafte Zweifel an den ärztlichen Annahmen zu begründen und ist das Einholen einer klärenden medizinischen Stellungnahme grundsätzlich unabdingbar (Urteil 9C_833/2007 vom 4. Juli 2008 E. 3.3.2).
2.4 Die MEDAS-Gutachter hielten fest, der Versicherte schöpfe seine Leistungsfähigkeit nicht aus, weil er aufgrund einer ausgeprägten Krankheitsüberzeugung davon ausgehe, "sich vollständig gesund fühlen zu müssen und zu keiner Zeit Schmerzen verspüren zu dürfen, um einer beruflichen Erwerbstätigkeit nachgehen zu können" (Gutachten S. 14 Ziff. 4.1.8 und S. 22 Ziff. 6.4). Diese Auffassung steht im Widerspruch zu den über eine längere Zeit hinweg gesammelten berufspraktischen Erkenntnissen (oben E. 2.3); das Gutachten selber löst den Widerspruch auch nicht auf. Gegen den Beweiswert der gutachterlichen Schlussfolgerungen (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling>) spricht sodann, dass der (ausschlaggebenden) psychiatrischen Beurteilung die unzutreffende Prämisse zugrundeliegt, "lediglich aufgrund einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung ohne deutliche psychiatrische Komorbidität" könne "keine Arbeitsunfähigkeit attestiert werden" (Gutachten S. 14 Ziff. 4.1.7; vgl. auch vorinstanzliches Urteil E. 6.2.1.2 S. 10 unten). Die Anwendung der praxisgemäss massgebenden weiteren Kriterien im konkreten Fall (E. 2.1 und 2.2) ergibt ein Gesamtbild, das mit den übereinstimmenden Folgerungen des Prof. K._ und den eindeutigen Ergebnissen der berufspraktischen Erprobung kongruent ist. Insgesamt ergibt sich, dass der Beschwerdeführer nach medizinischen und rechtlichen Massstäben im massgeblichen Prüfungszeitraum (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220) nicht in der Lage ist, den funktionellen Auswirkungen seiner Gesundheitsbeeinträchtigung über das tatsächlich ausgeübte 60 Prozent-Pensum hinaus zu steuern.
2.5 Die Aktenlage erlaubt es, bezüglich der zumutbaren Arbeitsfähigkeit, welche auf 60 Prozent festzulegen ist, einen reformatorischen Entscheid zu erlassen; denn eine erneute Begutachtung ist nicht erforderlich, zumal die Ausführungen des Prof. K._ (vgl. <ref-ruling> E. 4.5 S. 470) faktenorientiert sind. Die Sache ist an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit sie auf dieser Grundlage unter Gewährung des rechtlichen Gehörs (Art. 42 ATSG) einen Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG) durchführe und anschliessend über den Rentenanspruch neu verfüge.
3. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Dem obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer steht eine Parteientschädigung zu.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 27. Oktober 2011 sowie die Verfügung vom 19. Oktober 2010 werden aufgehoben. Die Sache wird an die IV-Stelle zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Kantonsgericht Basel-Landschaft zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. September 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub