Faits:
A. Depuis le 1er janvier 1994, X._ loue une arcade au rez-de-chaussée de l'immeuble sis boulevard ..., à Genève. Les locaux sont destinés à l'usage d'un bar, que X._ exploite sous l'enseigne «A._». En dernier lieu, le loyer s'élevait à 1'388 fr. par mois.
Les locaux ont été loués avec des sanitaires, qui se trouvaient dans l'immeuble. En juin 1998, X._ a été averti de l'installation provisoire de sanitaires dans la courette extérieure en raison de travaux de transformation des caves.
«A._» dispose également d'une cheminée. Un incendie s'était produit dans cette installation en décembre 1993. En juillet 1995, un maître ramoneur a conseillé à X._ de ramoner la cheminée quatre fois par an, même si la loi n'impose qu'un nettoyage annuel. Entre 2000 et 2003, deux ou trois ramonages ont été effectués par année. Le ramoneur a procédé au nettoyage de la cheminée le 26 février 2004. Le lendemain, le service d'incendie et secours a dû intervenir à «A._» à la suite d'un gros feu de cheminée.
A la même époque, la régie a informé le locataire que Y._ SA était la nouvelle bailleresse.
Par courrier du 22 avril 2004, X._ a demandé à la régie quelles mesures allaient être enfin prises afin de remettre en état la cheminée; il a précisé que le froid régnait dans le bar en raison de l'absence de cheminée comme source de chauffage et que son chiffre d'affaires avait baissé pour cette raison.
Par lettre du 4 février 2005, le conseil de X._ a fait savoir au mandataire de la bailleresse que les locaux loués ne disposaient toujours pas de chauffage, que la cheminée n'avait pas été réparée, que l'évier était hors d'usage à cause d'une défectuosité de la pompe et que les sanitaires extérieurs étaient inutilisables en raison du gel; il mettait Y._ SA en demeure d'entreprendre immédiatement les travaux nécessaires, faute de quoi le loyer serait consigné, et réservait une demande de réduction du loyer.
Le 22 mars 2005, le locataire a imparti à la bailleresse un délai de trente jours pour remédier aux défauts; il a requis en outre le versement d'une indemnité journalière de 150 fr. à titre de dommages-intérêts.
Comme les travaux réclamés n'avaient pas été exécutés, X._ a informé la bailleresse, le 22 avril 2005, de son intention de consigner le loyer, mesure qu'il a mise à exécution une semaine plus tard.
B. Le 26 mai 2005, X._ a déposé, devant la Commission de conciliation en matière de baux et loyers du canton de Genève, une requête contre Y._ SA tendant à:
- la validation de la consignation;
- l'exécution de travaux, soit l'installation d'un chauffage, la réparation de la cheminée et de la pompe de l'évier ainsi que l'installation de sanitaires à l'intérieur des locaux;
- la réduction du loyer de 40 % à partir du 1er février 2005;
- l'allocation de 150 fr. par jour à titre de dommages-intérêts du 1er novembre 2004 au 30 mars 2005.
Le 30 juin 2005, la bailleresse a fait nettoyer et réparer l'écoulement de l'évier; elle a également fait nettoyer la pompe, bloquée par des graisses. Quelques mois plus tard, elle a informé le locataire qu'elle n'entendait pas réparer la cheminée, tout en chargeant une entreprise d'évaluer le coût de la réparation, à bien plaire et sans reconnaissance de droit. Selon le devis établi alors, ce coût est de près de 13'000 fr.
A la suite de l'échec de la conciliation, la cause a été portée devant le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève. Lors d'un transport sur place, ce tribunal a constaté, d'une part, que des toilettes provisoires, semblables aux sanitaires utilisés sur les chantiers, avaient été installées dans une courette, à l'extérieur de l'établissement et, d'autre part, que le local abritant les anciens sanitaires, dans l'immeuble, avait été transformé et mis à disposition du concierge, bien que les installations y fussent encore présentes. Il ressort en outre d'un constat d'huissier judiciaire du 25 janvier 2007 que le lavabo et la cuvette des toilettes se trouvant dans une cabine à l'extérieur présentaient des traces d'eau gelée et que la chasse d'eau ne fonctionnait que difficilement à cause du gel.
Par jugement du 22 janvier 2008, le tribunal a validé la consignation de loyer opérée par X._ (chiffre 1 du dispositif) et réduit le loyer de 15 % pour chaque exercice annuel allant du 1er novembre au 30 avril, jusqu'à la remise en état de la cheminée (chiffre 2 du dispositif).
Statuant le 9 mars 2009 sur appel de X._ et appel incident de Y._ SA, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève a annulé le chiffre 2 du dispositif du jugement de première instance, puis a condamné Y._ SA à «procéder à ses frais et dans les règles de l'art à la réparation de la cheminée et à remettre à X._ les sanitaires se trouvant dans l'immeuble»; par ailleurs, elle a «réduit de 15 % le loyer du 1er octobre au 30 avril de chaque année, dès le 1er octobre 2004, jusqu'à remise en état de la cheminée» et «réduit le loyer de 15 % supplémentaires dès le 4 février 2005 jusqu'à délivrance des sanitaires dans l'immeuble». Comme en première instance, le locataire a été débouté de sa conclusion tendant au paiement de dommages-intérêts.
C. X._ interjette un recours en matière civile et demande l'annulation partielle de l'arrêt cantonal. A titre principal, il conclut à ce que Y._ SA soit condamnée, en plus, à réparer «l'installation de chauffage» et la pompe de l'évier, à ce que la réduction de loyer soit fixée globalement à 40 % dès le 1er octobre 2004 jusqu'à l'élimination totale des défauts et, enfin, à ce que Y._ SA lui verse la somme de 150 fr. par jour à titre de dommages-intérêts pour la période allant du 1er novembre 2004 au 30 mars 2005. Le locataire conclut subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Y._ SA propose le rejet du recours.
Pour sa part, la Chambre d'appel se réfère aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit:
1. 1.1 Devant l'autorité précédente, les conclusions encore litigieuses (cf. art. 51 al. 1 let. a et art. 52 LTF) portaient sur une réduction supplémentaire du loyer de 25 % dès le 1er février 2005 (soit déjà plus de 16'000 fr. en février 2009), sur les travaux de réparation de la cheminée (représentant un coût de près de 13'000 fr.) et sur les dommages-intérêts (soit plus de 20'000 fr.). La recevabilité du recours en matière civile suppose notamment une valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. dans les affaires relevant du droit du bail à loyer (<ref-law>). Ce seuil est largement atteint en l'espèce de sorte que le recours est recevable ratione valoris.
Au surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>) rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Le recourant n'a pas obtenu entièrement gain de cause devant la Chambre d'appel (<ref-law>). Enfin, le recours a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur la violation d'un droit de rang constitutionnel ou sur une question afférente au droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante (<ref-law>). Pour le reste, il applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue dans la décision déférée; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.1 et l'arrêt cité). Cependant, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.1).
1.3 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.3) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2. Le recourant reproche tout d'abord à la cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law> - relatif à la remise en état de la chose affectée d'un défaut - en ne faisant pas droit à sa demande légitime d'installer un chauffage dans les locaux loués après la mise hors service de la cheminée. D'une manière peu compréhensible, le recourant élève la même critique sous l'angle d'une appréciation arbitraire des preuves.
2.1 Aux termes de l'<ref-law>, le bailleur est tenu de délivrer la chose dans un état approprié à l'usage pour lequel elle a été louée et de l'entretenir dans cet état. Lorsque la chose est affectée d'un défaut entravant ou restreignant l'usage pour lequel elle a été louée, le locataire peut notamment exiger du bailleur la remise en état de la chose, à condition que le défaut ne lui soit pas imputable et qu'il ne soit pas tenu non plus de le réparer à ses frais (<ref-law>). Faute de définition légale, la notion de défaut doit être rapprochée de l'état approprié à l'usage pour lequel la chose a été louée, au sens de l'<ref-law>; elle suppose la comparaison entre l'état réel de la chose et l'état convenu. Il y a ainsi défaut lorsque la chose ne présente pas une qualité que le bailleur avait promise ou sur laquelle le locataire pouvait légitimement compter en se référant à l'état approprié à l'usage convenu (ATF [135 III xxx] 4A_43/2009 du 1er avril 2009 consid. 3.2). Le défaut de la chose louée est une notion relative; son existence dépendra des circonstances du cas particulier. Il convient de prendre en compte notamment la destination de l'objet loué, l'âge et le type de la construction, le montant du loyer (arrêt 4C.387/2004 du 17 mars 2005 consid. 2.1 et les références; arrêt 4C.97/2003 du 28 octobre 2003 consid. 3.1; arrêt 4C.527/1996 du 29 mai 1997 consid. 3a, in SJ 1997 p. 661).
2.2 Les parties ont convenu de la location d'un bar comportant une cheminée comme unique source de chauffage. Ce point est admis par le recourant. A partir de là, l'absence d'une installation de chauffage supplémentaire ne saurait constituer en l'espèce un défaut, notion dont le caractère relatif a été rappelé plus haut. En d'autres termes, la remise dans l'état approprié à l'usage convenu suppose certes la réparation de la cheminée, laquelle doit pouvoir assurer sa fonction de chauffage, mais non l'adjonction d'un dispositif qui n'était pas prévu lors de la conclusion du bail. La cour cantonale n'a dès lors pas violé le droit fédéral en refusant d'accéder à la demande du locataire tendant à «l'installation» d'un chauffage supplémentaire ou à la «réparation» d'une «installation de chauffage» autre que la cheminée.
3. Selon l'arrêt attaqué, il ressort des pièces déposées que l'intimée a fait procéder aux travaux de réparation et de nettoyage de l'écoulement de l'évier, ainsi qu'au nettoyage de la pompe. La cour cantonale en a déduit que le locataire n'avait pas établi un défaut en rapport avec la pompe de l'évier. Pour le recourant, cette conclusion repose sur une appréciation arbitraire des preuves. Il invoque à cet égard sa lettre à la régie du 25 août 2006, dans laquelle il se plaint du fait que la pompe ne fonctionne plus. Il se réfère également au rapport de l'entreprise d'installations sanitaires du 5 septembre 2006, qui confirmerait que le défaut affectant la pompe de l'évier tiendrait plus à l'installation provisoire de la tuyauterie qu'au prétendu problème de graisses obstruant l'écoulement.
3.1 En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, l'autorité verse dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1b).
3.2 Le 4 février 2005, le locataire s'est plaint auprès de la bailleresse, pour la première fois, du fait que la pompe de l'évier ne fonctionnait pas. Se fondant sur une facture de l'entreprise Eaux Secours du 1er juillet 2005, les juges genevois ont retenu que la pompe était bloquée par la graisse et que son nettoyage, en date du 30 juin 2005, avait permis qu'elle fonctionne à nouveau. Ils en ont déduit que la pompe n'était plus affectée d'un défaut.
Les deux pièces invoquées par le recourant ne sont pas propres à démontrer que cette déduction repose sur une appréciation insoutenable des preuves ou, plus précisément, à établir que la pompe de l'évier est entachée d'un défaut lié au caractère provisoire ou inhabituel de la tuyauterie, et non pas aux graisses obstruant l'écoulement. En effet, la prétendue nature «provisoire» de l'installation ne ressort que des propres allégations du locataire, dans sa lettre du 25 août 2006. Quant au rapport du 5 septembre 2006, il comprend une description du circuit de l'écoulement, sans aucune appréciation sur son caractère habituel ou non; en revanche, il est noté dans ledit document que l'écoulement depuis l'évier, à la charge du locataire, n'est pas entretenu et, de ce fait, très sale et obstrué.
Il s'ensuit que le grief tiré d'une violation de l'art. 9 Cst. est mal fondé.
4. Dans un troisième moyen, le recourant se plaint d'une violation de l'<ref-law>. Selon lui, la cour cantonale aurait dû réduire le loyer de plus de 15 % en raison de la mise hors service de la cheminée, et pas uniquement pendant la période hivernale dès lors que cet équipement constitue également un argument commercial. Par ailleurs, le recourant critique la réduction de loyer de 15 % admise par la Chambre d'appel en raison des sanitaires placés à l'extérieur; cette diminution ne tiendrait pas suffisamment compte de l'impraticabilité des sanitaires durant la période froide. Enfin, le locataire est d'avis que la cour cantonale aurait dû prendre en considération l'absence d'installation de chauffage et le fait qu'il est confronté de manière régulière à des problèmes d'obstruction de l'évier. Il réclame une réduction globale du loyer de 40 %.
4.1 La réduction de loyer que le locataire peut exiger en application de l'<ref-law> doit être proportionnelle au défaut; elle se détermine par rapport à la valeur de l'objet sans défaut. En principe, il convient de procéder selon la méthode dite relative ou proportionnelle, telle qu'elle est pratiquée dans le contrat de vente: la valeur objective de la chose avec défaut est comparée à sa valeur objective sans défaut, le loyer étant ensuite réduit dans la même proportion. Cependant, le calcul proportionnel n'est pas toujours aisé, notamment lorsque le défaut est de moyenne importance. Il est alors admis qu'une appréciation en équité, par référence à l'expérience générale de la vie, au bon sens et à la casuistique, n'est pas contraire au droit fédéral. Chaque fois qu'une autorité cantonale procède en équité (<ref-law>), le Tribunal fédéral ne substitue pas sa propre appréciation à celle de l'instance inférieure; il n'intervient que si celle-ci a abusé de son pouvoir d'appréciation, c'est-à-dire si elle a retenu des critères inappropriés, si la décision rendue aboutit à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 507/508 et les arrêts cités).
4.2 Au préalable, il convient de rappeler que l'absence d'un chauffage en plus de la cheminée n'est pas un défaut dans le cas particulier et que la pompe de l'évier n'est pas défectueuse selon les constatations non arbitraires de la cour cantonale. Il ne saurait dès lors être question de prendre en compte l'absence d'une installation de chauffage supplémentaire, ni un prétendu dysfonctionnement de la pompe pour fixer la mesure de la réduction de loyer à laquelle le recourant peut prétendre.
La cour cantonale a réduit le loyer de 15 % en raison de l'absence de cheminée et a limité cette mesure aux sept mois les plus froids de l'année, soit du début octobre à la fin avril. Elle s'est référée à sa jurisprudence fixant des diminutions de loyer entre 5 % et 30 % en cas de chauffage insuffisant; elle a tenu compte en outre du fait que le bar du recourant se trouvait privé non seulement de son unique source de chauffage, mais également d'un argument commercial.
Un défaut lié au chauffage des locaux loués ne peut donner lieu à une réduction de loyer que pendant les périodes de chauffage (DAVID LACHAT, Le bail à loyer, 2008, p. 259, note de pied 90). Par ailleurs, il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que la cheminée était allumée entre mai et septembre pour le simple agrément ou pour cuire des aliments, étant rappelé à cet égard que les locaux loués étaient affectés à l'usage d'un bar et non d'un restaurant. La cour cantonale n'a dès lors pas violé le droit fédéral en limitant à la période froide de l'année la réduction de loyer pour absence de cheminée.
Des réductions de loyer de 2,5 % et 5 % ont été prononcées en cas de non-fonctionnement d'une cheminée d'agrément (exemples cités in: LACHAT, op. cit., p. 259; MARTIN ZÜST, Kasuistik zur Mietzinsherabsetzung bei Mängel, in mp 2004, p. 75). Dès lors que la cheminée sert également au chauffage du bar, la diminution de loyer doit nécessairement être plus importante en l'espèce. Des températures insuffisantes dans des locaux d'habitation ont entraîné des réductions de loyer oscillant entre 5 % et 20 % (exemples cités in: LACHAT, op. cit., p. 259; ROGER WEBER, in Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 4e éd., n° 7 ad <ref-law>; ZÜST, op. cit., p. 71/72; PETER HIGI, Zürcher Kommentar, n° 17 ad <ref-law>). La réduction de 15 % opérée par la cour cantonale sur le loyer du bar entre dans cet ordre de grandeur. Aucun élément de l'arrêt attaqué ne permet au surplus de considérer ce taux de réduction comme inéquitable. Force est ainsi de conclure que la Chambre d'appel n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation sur ce point.
Pour tenir compte du défaut lié à la présence des sanitaires à l'extérieur, inutilisables lorsqu'il gèle, la cour cantonale a réduit le loyer également de 15 %, mais pendant toute l'année. Là également, les circonstances du cas ne laissent pas apparaître l'appréciation de la Chambre d'appel comme inéquitable. Il convient d'ajouter à ce propos que la réduction globale prononcée par la cour cantonale s'élève à 30 %, alors que le recourant réclame une diminution de loyer de 40 % au total, mais en prenant en considération deux prétendus défauts supplémentaires. C'est dire que la différence d'appréciation est en définitive peu importante, ce qui confirme que les juges genevois n'ont pas abusé de leur pouvoir en fixant la mesure de la réduction de loyer dans le cas particulier.
Dans les conclusions de son recours, le locataire demande une réduction du loyer à partir du 1er octobre 2004, sans distinction selon le défaut en cause. Lorsqu'il développe ses arguments, le recourant reconnaît toutefois expressément que la diminution de loyer liée aux sanitaires défectueux prend effet au 4 février 2005, comme la cour cantonale l'a jugé. Ce point est dès lors acquis.
En conclusion, le moyen fondé sur une violation de l'<ref-law> doit être écarté.
5. 5.1 Dans un dernier grief, le recourant se plaint d'une appréciation arbitraire des preuves en ce qui concerne l'établissement du dommage dont il réclame réparation. A son avis, les juges genevois ont, de manière insoutenable, mis en doute l'accroissement des frais d'électricité du bar, alors que celui-ci est chauffé au moyen de radiateurs électriques d'appoint depuis le 27 février 2004, date du sinistre dans la cheminée.
5.2 Selon l'<ref-law>, le locataire qui subit un dommage en raison du défaut dispose d'une créance en dommages-intérêts envers le bailleur si celui-ci ne prouve qu'aucune faute ne lui est imputable. Sur cette base, le recourant réclame à l'intimée un montant de 150 fr. par jour du 1er novembre 2004 au 30 mars 2005; ce montant correspondrait aux frais d'électricité supplémentaires provoqués par des chauffages d'appoint.
La cour cantonale a rejeté cette prétention, jugeant que le seul document produit - une facture du 19 décembre 2006 des Services industriels de Genève - ne permettait pas de démontrer l'accroissement allégué des frais d'électricité.
Le recourant ne conteste pas avoir la charge de la preuve de son dommage (<ref-law>). La seule pièce qu'il a déposée pour établir son préjudice est une facture de consommation électrique pour la période du 24 février 2003 au 18 décembre 2006; selon ce document, le locataire doit un solde total de 5'278 fr.72 après le versement des acomptes ayant fait l'objet de 22 factures intermédiaires entre le 25 avril 2003 et le 24 octobre 2006. Le solde dû a été calculé pour chacune des 22 périodes de facturation intermédiaire. Il s'élève en moyenne à 236 fr. par période avant la mise hors fonction de la cheminée, le 27 février 2004, et à 234 fr. par période par la suite; pour la saison de chauffage 2004-2005 à laquelle le recourant se réfère, le solde dû moyen est également de 234 fr. par période. Sur la base de ces chiffres, la Chambre d'appel ne saurait se voir reprocher d'avoir apprécié arbitrairement les preuves, tant il est manifeste que la pièce produite par le recourant n'est pas à même de démontrer un accroissement de la consommation d'électricité du bar après le 27 février 2004. Le grief se révèle dès lors mal fondé.
6. Sur le vu de ce qui précède, le recours sera rejeté.
En conséquence, le recourant prendra à sa charge les frais judiciaires (<ref-law>) et versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 4'000 fr., à payer à titre de dépens à l'intimée, est mise à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève.
Lausanne, le 8 juillet 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Godat Zimmermann