Fatti:
A.
Con sentenza del 3 settembre 2012 il Pretore del distretto di Lugano ha accolto limitatamente a fr. 1'100.-- la petizione con cui A._ ha chiesto di condannare la B._ a pagargli fr. 420'491.60. Il giudice di primo grado non ha però prelevato tasse e spese, perché aveva in precedenza posto l'attore al beneficio dell'assistenza giudiziaria, ma lo ha condannato a versare alla convenuta fr. 25'000.-- a titolo di ripetibili.
B.
Con appello 5 ottobre 2012 l'attore ha domandato la riforma del giudizio di primo grado nel senso di accogliere integralmente la sua petizione e ha chiesto di essere posto al beneficio del gratuito patrocinio anche per la procedura di seconda istanza. Con decisione 18 febbraio 2013 la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha respinto la domanda di ammissione al gratuito patrocinio, perché la situazione finanziaria dell'attore e di sua moglie è rimasta nebulosa.
C.
Con ricorso in materia civile del 28 marzo 2013 A._ postula l'annullamento della decisione della Corte cantonale e in via principale la sua modifica nel senso di essere posto al beneficio del gratuito patrocinio pure per la procedura di appello; in via subordinata chiede il rinvio della causa all'autorità inferiore per nuova decisione. Domanda anche la concessione dell'assistenza giudiziaria con il gratuito patrocinio nella procedura innanzi al Tribunale federale.
Non è stato ordinato uno scambio di scritti.

Diritto:
1.
La decisione che rifiuta la concessione del gratuito patrocinio è una decisione incidentale atta a causare un danno irreparabile nel senso dell'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1). La via di impugnazione di decisioni incidentali segue essenzialmente quella della causa di fondo (<ref-ruling> consid. 1.4), che in concreto concerne un'azione creditoria tendente al pagamento di oltre fr. 400'000.--, accolta per una parte infinitesimale dal Pretore e il cui giudizio in appello è suscettivo di un ricorso in materia civile. Poiché la decisione impugnata è stata emanata nel quadro della procedura di appello innanzi al Tribunale supremo del Cantone Ticino sussiste un'eccezione al principio della doppia istanza (<ref-ruling> consid. 2.2). Il tempestivo (<ref-law>) ricorso in materia civile è quindi in linea di principio ammissibile.
2.
Giusta l'<ref-law> ha diritto al gratuito patrocinio chiunque sia sprovvisto dei mezzi necessari (lett. a) e la cui domanda non appaia priva di probabilità di successo (lett. b). Le condizioni poste dall'<ref-law> corrispondono a quelle della garanzia minima dell'<ref-law> (sentenza 5A_565/2011 del 14 febbraio 2012 consid. 2.3, in Rivista ticinese di diritto (RtiD) 2012 II pag. 865). Alla parte istante incombe l'onere di indicare e dimostrare in modo completo - per quanto possibile - la propria situazione economica, in particolare l'entità delle proprie entrate, della propria sostanza e delle proprie spese (<ref-ruling> consid. 5.1, con rinvii). Determinante è la situazione finanziaria nel momento dell'inoltro della domanda (sentenza 5A_124/2012 del 28 marzo 2012 consid. 3.3). L'assistenza giudiziaria è sussidiaria rispetto all'obbligo di assistenza fra coniugi (<ref-ruling> consid. 3; ancora confermata in sentenza 4A_148/2013 del 20 giugno 2013 consid. 4.3).
2.1. La Corte cantonale ha ritenuto che dalla documentazione prodotta dall'attore non è possibile accertare la reale situazione finanziaria di quest'ultimo e di sua moglie. Nel fascicolo di prima istanza vi è un attestato di carenza beni di fr. 142'556.05 del 2009, l'attore risulta percepire una rendita mensile AVS di fr. 1951.-- e la moglie (nata nel 1965) ha cessato, in base alle dichiarazioni del fiduciario che si occupa della contabilità dei coniugi, nel luglio 2012 la sua attività lavorativa, rimunerata da ultimo in fr. 5416.70 mensili lordi, presso una ditta ticinese per la quale lavorava anche il marito con uno stipendio mensile di fr. 1'197.--. Il saldo dei conti bancari della coppia ammontava alla fine del 2011 a fr. 12'037.48 e la moglie versava mensilmente fr. 380.-- per interessi di un mutuo ipotecario di fr. 110'000.-- acceso su un immobile a X._. Il 20 novembre 2012, dopo aver ricevuto la comunicazione che i coniugi si erano trasferiti a Tenerife, la Presidente della II Camera civile del Tribunale di appello ha chiesto all'istante di completare la documentazione per quello che concerne i costi e i redditi in Spagna, ma ha unicamente ricevuto quale risposta che il loro domicilio rimaneva in Ticino dove pagavano la cassa malati e una dichiarazione della fiduciaria in cui era indicato che essi vivono diversi mesi all'anno nelle Isole Canarie, dove la vita sarebbe meno cara.
2.2. Il ricorrente afferma che il sussistere dei requisiti per l'ammissione al gratuito patrocinio era stato riconosciuto dal giudice di primo grado il 20 novembre 2009 e che la sua indigenza non può più essere sormontata, atteso che egli ha superato i 70 anni. Ricorda gli attestati di carenza beni per complessivi fr. 142'566.-- e asserisce che la sua domanda di gratuito patrocinio è stata respinta, perché ha omesso di dettagliare le spese del suo soggiorno a Tenerife. Lamenta un accertamento arbitrario dei fatti, perché non vi è nessuna prova agli atti che dimostri che la sua situazione finanziaria sia migliorata e perché la Corte cantonale non avrebbe considerato che la moglie "ha perso dal giugno 2012 ogni sua capacità di guadagno". La Corte cantonale avrebbe pure arbitrariamente omesso di considerare gli scritti in cui la fiduciaria dichiarava che la situazione economica dei coniugi non è migliorata dal 2007 e che non risulta che essi abbiano un'"altra entrata oltre a quella dichiarata nei certificati d'imposta". Il ricorrente ritiene inoltre che i Giudici d'appello avrebbero confuso la nozione di "sprovvisto dei mezzi necessari" utilizzata dall'<ref-law> con l'indigenza assoluta e sostiene che in ogni caso i costi della causa, visto l'elevato valore di lite, supererebbero fr. 50'000.--, importo che egli non potrebbe mai assumersi con il contributo della moglie. Richiedendo prove di dettaglio sui costi, l'autorità cantonale sarebbe pure incorsa in un formalismo eccessivo.
2.3. Nella fattispecie occorre innanzi tutto osservare che il fatto che il Pretore abbia ritenuto il ricorrente indigente ai sensi dell'<ref-law> nel 2009 è del tutto irrilevante, atteso che giusta l'<ref-law> la domanda di assistenza giudiziaria va riproposta in sede di ricorso. Non bisogna inoltre scordare che una procedura di appello è in linea di principio meno dispendiosa della procedura di primo grado e che un riesame della situazione si giustifica a maggior ragione in concreto anche perché in base alle stesse indicazioni del ricorrente la sua situazione è mutata: lui e la moglie hanno cessato le loro attività lucrative in Ticino e si sono - almeno parzialmente - trasferiti all'estero.
A giusta ragione il ricorrente non contesta che l'obbligo di assistenza fra coniugi prevale sull'obbligo dello Stato di concedere l'assistenza giudiziaria e che per questo motivo la situazione finanziaria della moglie è pure determinante, né afferma di aver illustrato i costi sopportati dai coniugi per mantenere due alloggi (uno in Svizzera e l'altro in Spagna) e per finanziare le relative trasferte. Egli pare però dimenticare l'esiguità dell'unico redditto della coppia che emerge dalle sue allegazioni. Atteso che dai documenti prodotti risultava solo ancora una rendita AVS di fr. 1951.-- mensili, la richiesta dell'autorità inferiore di indicare e provare le spese sopportate per i due alloggi e lo sostentamento nei due paesi non solo non costituisce un formalismo eccessivo (v. sulla nozione di formalismo eccessivo <ref-ruling> consid. 2.1), ma appariva indispensabile. Tali dati avrebbero infatti permesso alla Corte cantonale di verificare se il ricorrente ha indicato in modo completo le sue entrate e il suo patrimonio. Ignorando invece le domande dell'interpello, questi non ha soddisfatto il suo obbligo di mostrare la sua situazione economica, le citate dichiarazioni della fiduciaria essendo a tal fine insufficienti, e ha impedito un simile controllo. La reiezione della domanda di gratuito patrocinio non viola pertanto il diritto federale.
3.
Da quanto precede discende che il ricorso si appalesa manifestamente infondato e come tale va respinto. Anche la domanda di assistenza giudiziaria con cui è pure chiesto il gratuito patrocinio per la procedura innanzi al Tribunale federale dev'essere respinta, perché il ricorso si rivelava fin dall'inizio privo di possibilità di esito favorevole (art. 64 cpv. 1 e 2 LTF). Le spese giudiziarie seguono pertanto la soccombenza, mentre non si giustifica assegnare ripetibili all'opponente, che non essendo stata invitata a determinarsi sul ricorso, non è incorsa in spese per la presente procedura.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria del ricorrente è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 1'500.-- sono poste a carico del ricorrente.
4.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.