Sachverhalt:
A. T._, geboren 1960, arbeitete seit seiner Einreise in die Schweiz im Jahre 1986 auf dem Bau, zuletzt vom 1. April 2000 bis zum 28. Februar 2001 für die W._ AG (berufsvorsorgerechtlich angeschlossen an die BVG-Sammelstiftung X._, ab 2008 bei der Pensionskasse Y._), und vom 1. März 2001 bis 30. Juni 2003 bei der G._ AG (berufsvorsorgerechtlich angeschlossen an die Pensionskasse Z._). Ab 10. Mai 2001 war er wegen eines Rückenleidens arbeitsunfähig und ab 1. Mai 2002 bezog er eine Invalidenrente der Invalidenversicherung (Verfügungen vom 11. November 2005 und 20. Januar 2006).
B. Nachdem sowohl die BVG-Sammelstiftung X._ und die Pensionskasse Y._ als auch die Pensionskasse Z._ eine Leistungspflicht abgelehnt hatten, erhob T._ Klage beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt gegen die Pensionskasse Z._ mit folgenden Rechtsbegehren:
"1. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger für den Zeitraum 01. Mai 2002 bis 31. Dezember 2002 einen Betrag von Fr. 21'899.60 nebst Zins zu 5 % seit 01. September 2002 (mittlerer Verfall) zu bezahlen. Teilklage. Mehrforderung vorbehalten.
2. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger für den Zeitraum 01. Januar 2003 bis 30. November 2003 einen Betrag von Fr. 30'440.60 nebst Zins zu 5 % seit 15. Juni 2003 (mittlerer Verfall) zu bezahlen. Teilklage. Mehrforderung vorbehalten.
3. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger für den Zeitraum 01. Dezember 2003 bis 31. Dezember 2003 einen Betrag von Fr. 1'383.40 nebst Zins zu 5 % seit 15. Dezember 2003 (mittlerer Verfall) zu bezahlen. Teilklage. Mehrforderung vorbehalten.
4. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger für den Zeitraum 01. Januar 2004 bis 30. Juni 2005 einen Betrag von Fr. 37'358.50 nebst Zins zu 5 % seit 01. Oktober 2005 (mittlerer Verfall) zu bezahlen. Teilklage. Mehrforderung vorbehalten.
5. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger für den Zeitraum 01. Juli 2005 bis 30. April 2009 einen Betrag von Fr. 81'831.70 nebst Zins zu 5 % seit 01. Juni 2007 (mittlerer Verfall) zu bezahlen. Teilklage. Mehrforderung vorbehalten.
6. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger mit Wirkung ab 01. Mai 2009 eine monatliche Rente für sich von mindestens Fr. 1'482.45 und für die Tochter V._ eine Kinderrente von mindestens Fr. 296.50 zu bezahlen. Teilklage. Mehrforderung vorbehalten.
7. Es sei festzustellen, dass die Beklagte vorleistungspflichtig ist. Dementsprechend sei die Beklagte mittels vorsorglicher Verfügung gemäss § 7 SVGG anzuweisen, dem Kläger entsprechend den vorstehenden Rechtsbegehren Nr. 1 bis 5 angeführten Rechtsbegehren einen Betrag von Fr. 172'913.50 nebst den in den Rechtsbegehren Nr. 1 bis 5 angeführten Zinsen zu 5 % zu bezahlen.
8. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger innert einer vom Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt zu setzenden Frist [...] mitzuteilen, wie hoch die IV-Renten für den Kläger und wie hoch die Kinderrenten auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 82 % vom 01. April 2002 bis 30. November 2003 und auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 62 % vom 01. Dezember 2003 bis zum 30. April 2009 sind.
9. Es seien sämtliche Gerichts- und Anwaltskosten (auch die vorprozessualen Anwaltskosten) der Beklagten aufzuerlegen."
Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt verurteilte in Gutheissung der Klage mit Entscheid vom 31. August 2009 die Pensionskasse Z._ dazu, T._ "Fr. 49'586.25 zu bezahlen und ihm ab dem 28. Mai 2009 einen Verzugszins von 5 % auf den in der Zeit von Januar 2005 bis Ende April 2009 fällig gewordenen Rentenbetreffnissen in der Höhe von insgesamt Fr. 46'506.85 auszurichten". Mit Bezug auf die nach Klageeinreichung fällig gewordenen Rentenbetreffnisse werde die Pensionskasse Z._ dazu verpflichtet, T._ einen Verzugszins von 5 % ab deren Fälligkeit zu entrichten. Weiter verurteilte das kantonale Gericht die Pensionskasse Z._ dazu, T._ nach dem 1. September 2009 eine monatliche BVG-Rente von Fr. 769.85 sowie - bei entsprechendem Nachweis - eine Kinderrente auszurichten.
Weiter verurteilte das Gericht die Pensionskasse Z._, dem Kläger eine Parteientschädigung von Fr. 2'800.- (inkl. Auslagen) zuzüglich Mehrwertsteuer zu bezahlen.
C. Die Pensionskasse Z._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es sei das angefochtene Erkenntnis aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
T._ beantragt Abweisung der Beschwerde, während die Vorinstanz und das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichten.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit von Amtes wegen (<ref-law>).
1.1 Anfechtbar beim Bundesgericht sind Endentscheide, die das Verfahren ganz oder in Bezug auf unabhängig voneinander zu beurteilende Begehren oder auf einen Teil von Streitgenossen abschliessen (Art. 90 und 91 BGG). Selbstständig eröffnete Vor- oder Zwischenentscheide können demgegenüber nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 oder 93 BGG angefochten werden.
1.1.1 Der Beschwerdegegner hat in Ziff. 1-6 seiner vorinstanzlichen Klage Rentenzahlungen eingeklagt. Sodann hat er in Ziff. 7 beantragt, es sei festzustellen, dass die vorinstanzliche Beklagte bzw. letztinstanzliche Beschwerdeführerin vorleistungspflichtig sei (was er unter Hinweis auf Art. 26 Abs. 4 BVG begründete). Diese sei mittels vorsorglicher Verfügung anzuweisen, ihm einen Rentenbetrag von Fr. 172'913.50 nebst Zins zu bezahlen. Die Vorinstanz hat der Beklagten eine erstreckbare Frist gesetzt für die Einreichung einer Klageantwort und eine nicht erstreckbare Frist zur Stellungnahme bezüglich der Vorleistungspflicht. Die Beklagte hat am 8. Juli 2009 eine Fristverlängerung für die Einreichung der Klageantwort und die Abweisung des Antrags betreffend Vorleistungspflicht beantragt. Die Vorinstanz hat die Frist für die Einreichung einer Klageantwort verlängert, hinsichtlich der Frage der Vorleistungspflicht den Schriftenwechsel geschlossen und den Parteien mitgeteilt, dass darüber am 31. August 2009 beraten werde. Am 31. August 2009 hat sie den angefochtenen Entscheid erlassen, worin sie "in Gutheissung der Klage" die Beschwerdeführerin verurteilt hat, dem Beschwerdegegner "Rentenbetreffnisse" bzw. eine "BVG-Rente" zu bezahlen. Aus diesem Verfahrensablauf wie auch aus den Erwägungen im angefochtenen Entscheid geht klar hervor, dass die Vorinstanz trotz der missverständlichen Formulierung des Dispositivs nur über die Vorleistungspflicht der Beschwerdeführerin im Sinne von Art. 26 Abs. 4 BVG entschieden hat, was auch dem Verständnis beider Parteien entspricht. Der Hauptprozess, in welchem über die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin endgültig entschieden werden wird, ist damit vor der Vorinstanz nach wie vor hängig. Es fragt sich, ob der angefochtene Entscheid unter diesen Umständen als End- oder Teilendentscheid oder aber als Vor- oder Zwischenentscheid zu qualifizieren ist.
1.1.2 Vor- und Zwischenentscheide sind Entscheide, die das Verfahren nicht abschliessen (<ref-law> e contrario), sondern bloss eine formell- oder materiellrechtliche Frage im Hinblick auf die Verfahrenserledigung regeln, mithin einen Schritt auf dem Weg zum Endentscheid darstellen (Urteil 9C_740/2008 vom 30. Oktober 2008 E. 1; Uhlmann, Basler Kommentar zum BGG, Basel 2008, N 2 zu Art. 92). Für die verfahrensrechtliche Qualifizierung eines angefochtenen Erkenntnisses unter dem Gesichtspunkt der <ref-law> ist nicht dessen formelle Bezeichnung entscheidend, sondern sein materieller Inhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 33). Zwischenverfügungen sind akzessorisch zu einem Hauptverfahren; sie können nur vor oder während eines Hauptverfahrens erlassen werden und nur für die Dauer desselben Bestand haben bzw. unter der Bedingung, dass ein solches eingeleitet wird. Sie fallen mit dem Entscheid in der Hauptsache dahin (<ref-ruling> E. 2 S. 239; <ref-ruling> E. 3.1 S. 86, 134 II 349 E. 1.3 S. 351; HANSJÖRG Seiler, Kommentar VwVG, Zürich 2009, N 13 zu Art. 56 mit Hinweisen). Eine Anordnung, die der (wenn auch befristeten, vorläufigen oder vorübergehenden) Regelung eines Rechtsverhältnisses dient, aber nicht im Hinblick auf ein Hauptverfahren, sondern in einem selbstständigen Verfahren ergeht oder ergehen kann, ist demgegenüber ein Endentscheid (<ref-ruling> E. 3.1 S. 86, 134 II 349 E. 1.4 S. 351; Seiler, a.a.O., N 14 mit Hinweisen). Auch für die Abgrenzung zwischen Teil- und Zwischenentscheid ist massgebend, ob der Entscheid ein Begehren behandelt, das unabhängig von anderen beurteilt werden kann (<ref-law>), d.h. ebenfalls Gegenstand eines selbstständigen Verfahrens hätte bilden können und selbstständig der materiellen Rechtskraft zugänglich ist (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 144).
1.1.3 Der Entscheid über die Vorleistungspflicht eines Versicherers im Sinne von Art. 26 Abs. 4 BVG regelt dessen Leistungspflicht noch nicht endgültig. Wird nachträglich die endgültige Leistungspflicht der vorleistungspflichtigen Einrichtung bejaht, so ist die aufgrund der Vorleistungspflicht erbrachte Leistung an die endgültig zu erbringende anzurechnen. Insoweit könnte die Anordnung der Vorleistung als vorsorgliche Massnahme betrachtet werden (vgl. im Einzelnen nachfolgende E. 1.3). Entscheidend ist aber, dass diese Anordnung nicht zwingend im Zusammenhang mit einem Verfahren betreffend die endgültige Leistungspflicht ergehen muss, sondern auch losgelöst von einem solchen Verfahren getroffen werden kann (vgl. - noch unter der Regelung des OG - <ref-ruling> E. 3.2 S. 83 zur Vorleistungspflicht gemäss <ref-law>) und auch nicht mit diesem wegfällt: Wird zunächst die Vorleistungspflicht bejaht, nachträglich aber die endgültige Leistungspflicht verneint, entfällt damit die Vorleistungspflicht noch nicht, sondern sie bleibt weiter bestehen, bis die leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung feststeht (Art. 26 Abs. 4 Satz 2 BVG). Wenn ein entsprechender Regress aus irgendwelchen Gründen nicht ausgeübt werden kann, wird die Vorleistung faktisch zu einer definitiven Leistung. Der Entscheid betreffend die Anordnung der Vorleistung ist daher als Endentscheid zu qualifizieren und selbstständig anfechtbar (<ref-law>).
1.2 Die Beschwerde muss ein Rechtsbegehren enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), muss auch das Rechtsbegehren grundsätzlich reformatorisch gestellt werden; ein blosser Antrag auf Rückweisung ist nicht zulässig, ausser wenn das Bundesgericht ohnehin nicht reformatorisch entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383). Die Beschwerdeführerin stellt formal bloss einen Rückweisungsantrag. Aus der Beschwerdebegründung, die zur Interpretation des Rechtsbegehrens beigezogen werden kann, ergibt sich jedoch, dass sie anstrebt, dem Beschwerdegegner sei als Gegenleistung zur Vorleistung aufzutragen, die Klage gegen die Pensionskasse Y._ anhängig zu machen. Das Rechtsbegehren ist in diesem Sinne zu interpretieren.
1.3 Das Bundesgericht prüft grundsätzlich frei, ob der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt (<ref-law>). Hingegen kann mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>). Es fragt sich, ob der Entscheid über die Vorleistungspflicht eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> ist.
1.3.1 Auch ein Endentscheid (<ref-law>; vorne E. 1.1) kann ein Entscheid über vorsorgliche Massnahmen sein. Ausschlaggebend ist nicht das Verfahren, in welchem der Entscheid ergangen ist, sondern ob er eine Rechtsfrage endgültig, aufgrund einer vollständigen tatsächlichen und rechtlichen Beurteilung mit materieller Rechtskraftwirkung regelt, ohne den Entscheid in einem Hauptverfahren vorzubehalten (<ref-ruling> E. 1.1 S. 431; <ref-ruling> E. 5.1 S. 396, 589 E. 1 S. 590).
1.3.2 Wie vorne ausgeführt (E. 1.1.3), kann der Entscheid über die Vorleistungspflicht je nach den Umständen faktisch zur Folge haben, dass die vorleistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung ihre Leistungen definitiv erbringen muss. Zudem setzt die Vorleistungspflicht voraus, dass grundsätzlich ein Leistungsanspruch gegeben und lediglich ungewiss ist, welchen Versicherer eine Leistungspflicht trifft. Das Bestehen eines Leistungsanspruchs muss daher im Rahmen des Entscheids über die Vorleistungspflicht materiell geprüft werden (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 81 und E. 3.1 S. 82 sowie Urteil K 110/06 vom 30. Oktober 2007 E. 2.1 in Bezug auf die Vorleistungspflicht gemäss <ref-law>). Der Entscheid über die Vorleistungspflicht ist somit kein Entscheid über eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> (vgl. auch <ref-ruling>, wo das Eidgenössische Versicherungsgericht ohne weiteres auf eine Beschwerde betreffend Vorleistungspflicht nach <ref-law> eintrat, sowie Urteil K 65/05 vom 21. Juli 2005 E. 3.1, wonach die Vorleistungspflicht nach <ref-law> keine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> ist). Die Kognition des Bundesgerichts richtet sich nach <ref-law>.
2. Unbegründet ist die Rüge der Beschwerdeführerin, der angefochtene Entscheid sei in Verletzung ihres Gehörsanspruchs ergangen, indem das Gesuch vom 14. August 2009 um Erstreckung der zur Einreichung von Unterlagen angesetzten Frist abgewiesen worden sei. Zunächst besteht kein Anspruch auf Fristverlängerung. Weiter hat die Beschwerdeführerin die einverlangten Unterlagen der Vorinstanz eingereicht, welche sie bei ihrem Entscheid berücksichtigte.
3. Das Bundesgericht kann nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin bestreitet ihre Vorleistungspflicht weder im Grundsatz noch betragsmässig, so dass darauf nicht weiter einzugehen ist. Sie macht einzig geltend, als Gegenleistung zur ihrer Vorleistung müsse der Beschwerdegegner verpflichtet werden, die Klage gegen die Pensionskasse des früheren Arbeitgebers anhängig zu machen (E. 1.2). Nur dies ist zu prüfen.
3.1 Art. 26 Abs. 4 BVG, in der Fassung vom 3. Oktober 2003, in Kraft seit 1. Januar 2005, lautet wie folgt:
"Befindet sich der Versicherte beim Entstehen des Leistungsanspruchs nicht in der leistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung, so ist jene Vorsorgeeinrichtung vorleistungspflichtig, der er zuletzt angehört hat. Steht die leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung fest, so kann die vorleistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung auf diese Rückgriff nehmen."
Im französischen Wortlaut: "Si l'assuré n'est pas affilié à l'institution de prévoyance tenue de lui fournir des prestations au moment où est né le droit à la prestation, l'institution de prévoyance à laquelle il était affilié en dernier est tenue de verser la prestation préalable. Lorsque l'institution de prévoyance tenue de verser la prestation est connue, l'institution tenue de verser la prestation préalable peut répercuter la prétention sur elle."
In der italienischen Fassung: "Se, nel momento in cui è sorto il diritto alle prestazioni, l'assicurato non era affiliato all'istituto di previdenza tenuto a versargliele, l'ultimo istituto di previdenza al quale era affiliato da ultimo è tenuto ad anticipargliele. Se è stabilito quale sia l'istituto di previdenza tenuto a versare le prestazioni, l'istituto di previdenza tenuto ad anticiparle può esercitare il regresso su di esso."
3.2 Zur Frage, wie die vorleistungspflichtige Einrichtung ihren Rückgriff gegen die definitiv leistungspflichtige wahrnehmen kann, werden in der Lehre verschiedene Auffassungen vertreten: Ueli Kieser (Vorleistungspflichten der Pensionskassen nach BVG und ATSG - Fragen und einige Antworten, in: Schaffhauser/Stauffer [Hrsg.], Die 1. BVG-Revision, St. Gallen 2005, S. 101 ff., 133 f.) und Hans-Ulrich Stauffer (Berufliche Vorsorge, Zürich 2005, S. 290 Rz. 779) sind der Ansicht, die vorleistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung könne den Versicherten unter Berufung auf seine Schadenminderungspflicht auffordern, seine Ansprüche gegenüber der leistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung geltend zu machen, und bei dessen Nichttätigwerden ihre Leistungen einstellen. Nach Stauffer kann sich die vorleistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung die Ansprüche des Versicherten gegen die leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung auch abtreten lassen. Demgegenüber hat die Vorsorgeeinrichtung, welche Vorleistungen erbracht hat, gemäss Marc Hürzeler in diesem Umfang ein originäres Rückgriffsrecht, das sie selber gegen die leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung geltend machen kann (Hürzeler, Zum Rückgriffsrecht der gemäss Art. 26 Abs. 4 BVG vorleistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung im Invaliditätsfall, in: SZS 2006 S. 323 ff., 335 f. [im Folgenden: SZS 2006]; Ders., Intrasystemische Vorleistungspflichten in der beruflichen Vorsorge, in: Schaffhauser/Kieser [Hrsg.], Das prekäre Leistungsverhältnis im Sozialversicherungsrecht, St. Gallen 2008 [im Folgenden: Intrasystemische Leistungspflichten], S. 129 ff., 159; Ders., Invaliditätsproblematiken in der beruflichen Vorsorge, Diss. Basel 2005, Basel 2006 [im Folgenden: Invaliditätsproblematiken], Rz. 615 S. 267).
3.3 Der Wortlaut von Art. 26 Abs. 4 Satz 2 BVG könnte so verstanden werden, dass in einem zweistufigen Verfahren vorzugehen wäre: In einem ersten Schritt müsste festgestellt werden, welches die leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung ist. Erst wenn dies feststeht, könnte in einem zweiten Schritt die vorleistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung gegen die andere Rückgriff nehmen. Allerdings ergäbe sich auch bei dieser Betrachtungsweise nicht, dass der Versicherte verpflichtet wäre, selber Klage gegen die in Frage kommenden anderen Vorsorgeeinrichtungen zu erheben, um deren Leistungspflicht feststellen zu lassen. Die Entstehungsgeschichte (wiedergegeben bei Hürzeler, SZS 2006, S. 325 ff., sowie Kieser, a.a.O., S. 112 ff.) ergibt dazu keine eindeutige Antwort. Eine analoge Vorschrift wie <ref-law> (der für die intrasystemische Koordination zwischen verschiedenen Einrichtungen der beruflichen Vorsorge nicht anwendbar ist [vgl. <ref-law> sowie Kieser, ATSG-Kommentar, N 34 zu Art. 70]), besteht im BVG nicht.
3.4 Der im deutschen und italienischen Gesetzestext verwendete Ausdruck "Rückgriff" bzw. "regresso" bezeichnet in der juristischen Terminologie gemeinhin eine Situation, in welcher jemand, der an Stelle eines leistungspflichtigen Dritten einem Berechtigten eine Zahlung geleistet hat, gegen diesen Dritten vorgehen kann, um sich schadlos zu halten (vgl. z.B. Art. 50 Abs. 2, Art. 51 Abs. 1, Art. 55 Abs. 2, Art. 56 Abs. 2, Art. 58 Abs. 2, Art. 148 Abs. 2 OR; <ref-law>; Art. 56a BVG). Dieser Rückgriff kann als Subrogation bzw. Legalzession (Art. 149, 166 OR), aber auch als originäres Recht des Rückgriffsberechtigten ausgestaltet sein (vgl. dazu Walter Fellmann, Regress und Subrogation: Allgemeine Grundsätze, in: Alfred Koller [Hrsg.], Haftpflicht- und Versicherungsrechtstagung 1999, S. 1 ff., 12 ff.; Alexandra Rumo-Jungo, Haftpflicht und Sozialversicherung, Habil. Freiburg 1998, S. 396 ff.). Wo das Sozialversicherungsrecht einen Rückgriff oder Regress vorsieht, ist damit häufig eine Subrogation gemeint, so im Rahmen von <ref-law> (bzw. vorher aArt. 41-44 UVG, aArt. 48ter-48sexies AHVG, aArt. 52 IVG). Aber auch wo dies nicht der Fall ist, erhält der Regressberechtigte direkt gegen den Dritten einen Ausgleichsanspruch (<ref-ruling> E. 2a S. 48; vgl. zu aArt. 56a BVG <ref-ruling> E. 2.1 S. 280; zur Anwendung von <ref-law> auf Vorsorgeeinrichtungen nach der bis Ende 2004 geltenden Rechtslage siehe <ref-ruling> E. 2b S. 26; <ref-ruling> E. 2.3.2.2 S. 327), während der ursprüngliche Gläubiger im Umfang, in dem er befriedigt worden ist, gegen den Dritten keinen Anspruch mehr hat (<ref-law>, der auch im Falle der unechten Solidarität anwendbar ist, vgl. Urteil 4C.27/2003 vom 26. Mai 2003 E. 3.4).
3.5 Es gibt keine Anhaltspunkte dafür, dass der Begriff "Rückgriff" bzw. "regresso" in Art. 26 Abs. 4 BVG eine andere Bedeutung haben sollte als sonst überall in der Rechtsordnung. Die französische Fassung ("peut répercuter la prétention sur elle") unterscheidet sich zwar von dem üblicherweise in solchen Konstellationen verwendeten terminus technicus "recours", betont aber ebenfalls, dass es Sache der vorleistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung ist, gegen die andere vorzugehen. Dafür spricht auch die ratio legis, wonach die Position des Versicherten verbessert werden soll, welcher sich einer Mehrzahl von Vorsorgeeinrichtungen gegenübersieht, wobei nicht klar ist, welche dieser Einrichtungen eine Leistungspflicht trifft (Amtl. Bull. 2002 N 544, Votum Robbiani; Kieser, a.a.O., S. 116). Diesem Ziel entspricht, wenn der Versicherte sich nur an die vorleistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung halten muss und dieser die weitere Auseinandersetzung mit anderen potenziell leistungspflichtigen Einrichtungen überlassen kann (Hürzeler, SZS 2006, S. 331 und Invaliditätsproblematiken, Rz. 615 S. 267; Maurer/Scartazzini/Hürzeler, Bundessozialversicherungsrecht, 3. Aufl., Basel 2009, S. 616 Rz. 48 f.). Für die vorleistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung sind damit nebst gewissen Nachteilen auch Vorteile verbunden: Der Versicherte könnte im Bewusstsein, die Vorleistung ohnehin zu erhalten, den Prozess gegen die andere Vorsorgeeinrichtung zwar einleiten, aber nachlässig führen, was sich im Ergebnis möglicherweise zum Nachteil der vorleistungspflichtigen Einrichtung auswirkt. Es ist somit durchaus im Interesse der vorleistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung, wenn sie selber gegen die andere Einrichtung vorgehen kann. Der Gefahr widersprüchlicher Urteile, die sich aus der allenfalls unterschiedlichen örtlichen Zuständigkeit ergibt (Art. 73 Abs. 3 BVG), kann entgegengewirkt werden, indem im Verfahren gegen die eine Vorsorgeeinrichtung die anderen potenziell leistungspflichtigen Einrichtungen beigeladen werden, wodurch die Wirkung des Urteils auf die Beigeladenen erstreckt wird (<ref-ruling> E. 1.2 S. 502).
3.6 Zusammenfassend kann die Vorsorgeeinrichtung, welche Vorleistungen erbracht hat, unmittelbar von Gesetzes wegen in diesem Umfang einen Regressanspruch gegen die leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung geltend machen (ebenso Hürzeler, in: SZS 2006 S. 335 f., Intrasystemische Vorleistungspflichten, S. 159, Invaliditätsproblematiken, Rz. 615 S. 267). Anders als nach der Regelung, wie sie in aArt. 26 BVV 2 vorgesehen war, ist es somit nicht erforderlich, dass sich die vorleistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung die Ansprüche des Versicherten gegen die leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung abtreten lässt. Ebenso wenig besteht ein Grund, den Versicherten zu verpflichten, selber gegen die andere Einrichtung Klage zu erheben. Wenn die Vorinstanz die Vorleistungspflicht der Beschwerdeführerin bejaht hat, ist dies somit nicht zu beanstanden.
4. Die Beschwerdeführerin rügt schliesslich eine unhaltbare Parteikostenregelung durch die Vorinstanz, indem sie zu einer vollen Parteientschädigung an den Beschwerdegegner verurteilt worden sei, obwohl sich das Begehren auf Vorleistung erübrigt hätte und obwohl der Beschwerdegegner in quantitativer Hinsicht grossmehrheitlich unterlegen sei.
4.1 Die Parteientschädigung im Verfahren nach Art. 73 BVG richtet sich nach kantonalem Recht, das vom Bundesgericht einzig im Rahmen von <ref-law> überprüft wird, namentlich auf willkürliche Anwendung hin, was lediglich dann zutrifft, wenn der angefochtene Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist (Urteil 9C_911/2007 vom 23. Juni 2008 E. 2). Selbst unter der Annahme, dass eine rechtsgenügliche (<ref-law>) Beschwerdebegründung vorliegt, dringt die Rüge nicht durch.
4.2 Nachdem die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe vom 8. Juli 2009 um vollumfängliche Abweisung des Antrages betreffend Vorleistungspflicht ersucht hatte, wurde sie von der Vorinstanz mit Recht als unterliegende Partei betrachtet. Die Beschwerdeführerin hatte zwar vorgängig die Vorleistung angeboten, aber nur unter der Bedingung, dass der Beschwerdegegner eine Klage gegen die Pensionskasse Y._ einreicht, was nach dem Gesagten ungerechtfertigt war. Zwar wurde die Vorleistung nur in der Höhe von etwa einem Viertel des Verlangten zugesprochen, doch wäre in Anbetracht der Bedeutung der Sache die zugesprochene Parteientschädigung von Fr. 2'800.- selbst dann nicht unhaltbar, wenn ein bloss teilweises Obsiegen des Beschwerdegegners unterstellt würde, während umgekehrt die Vorsorgeeinrichtung auch bei einem (teilweisen) Obsiegen grundsätzlich keinen Anspruch auf Parteientschädigung hat (<ref-ruling>).
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Dem Prozessausgang entsprechend gehen die Gerichtskosten zu Lasten der Beschwerdeführerin (<ref-law>; <ref-ruling> E. 13 S. 472; <ref-ruling> E. 6b S. 111 f.). Der Beschwerdegegner hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen, Aufsicht Berufliche Vorsorge, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Januar 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Bollinger Hammerle