Sachverhalt:
A. X._ (22. November 1986) wurde am 16. März 2013 durch seinen Vater, Dr. med. Y._, im Rahmen fürsorgerischer Unterbringung in die Privatklinik für Psychiatrie und Psychotherapie A._ AG (nachfolgend Klinik) eingewiesen. Zuvor hatte er mit seiner Familie zusammen an der Adresse B._strasse xx, in C._ gewohnt. Am 21. März 2013 ersuchte X._ beim Einzelgericht des Bezirksgerichts C._ um Entlassung aus der Klinik. Das angerufene Gericht beauftragte Dr. med. D._ mit einem psychiatrischen Gutachten. Anlässlich der Hauptverhandlung vom 4. April 2013 wurde X._ angehört und der Gutachter erstattete seinen Bericht. Mit Urteil vom 5. April 2013 wies das Einzelgericht des Bezirksgerichts Winterthur die Beschwerde ab.
B. Mit Urteil vom 25. April 2013 wies das Obergericht des Kantons Zürich als zweite die fürsorgerische Unterbringung beurteilende Gerichtsinstanz die gegen den erstinstanzlichen Entscheid erhobene Beschwerde von X._ ab.
C. X._ hat am 8. Mai 2013 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen das obergerichtliche Urteil Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er ersucht um Aufhebung des angefochtenen Entscheids und um Entlassung aus der Klinik.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten, soweit der Beschwerdeführer von den kantonalen Behörden eine Entschädigung von Fr. 40'000.-- fordert. Zur Geltendmachung dieses Anspruchs hat er eine Verantwortlichkeitsklage gegen den Kanton anzustrengen (Art. 454 Abs. 1 und 3 ZGB).
1.1 Zu beurteilen ist die ärztliche Einweisung des Beschwerdeführers in eine psychiatrische Klinik (<ref-law>). Nach <ref-law> darf eine Person, die an einer psychischen Störung oder an geistiger Behinderung leidet oder schwer verwahrlost ist, in einer geeigneten Einrichtung untergebracht werden, wenn die nötige Behandlung oder Betreuung nicht anders erfolgen kann. Die Belastung und der Schutz von Angehörigen und Dritten sind zu berücksichtigen (Absatz 2). Die betroffene Person wird entlassen, sobald die Voraussetzungen für die Unterbringung nicht mehr erfüllt sind (Absatz 3).
1.2 Die Massnahme gelangt zur Anwendung, wenn eine Person der persönlichen Fürsorge oder Pflege bedarf (GEISER/ETZENSBERGER, Basler Kommentar, Erwachsenenschutz, 2012, N. 6 vor Art. 426-439 ZGB). Erste gesetzliche Voraussetzung für eine Anordnung der Massnahme ist einer der drei abschliessend genannten (GEISER/ETZENSBERGER, a.a.O., N. 12 zu <ref-law>; CHRISTOF BERNHART, Handbuch der fürsorgerischen Unterbringung, 2011, S. 108 Rz. 262) Schwächezustände: psychische Störung, geistige Behinderung oder schwere Verwahrlosung. Erforderlich ist sodann eine sich aus dem Schwächezustand ergebende Notwendigkeit der Behandlung bzw. Betreuung ("nötige Behandlung oder Betreuung"; "l'assistance ou le traitement nécessaires" "le cure o l'assistenza necessarie"). Weitere Voraussetzung bildet, dass der Person die nötige Behandlung oder Betreuung nicht auf andere Weise als durch eine Einweisung bzw. Zurückbehaltung in eine Anstalt gewährt werden kann. Gesetzlich verlangt ist schliesslich eine geeignete Einrichtung.
1.3 Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, haben insbesondere die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art zu enthalten (<ref-law>). Mit Bezug auf Entscheide betreffend fürsorgerische Unterbringung bedeutet dies, dass im angefochtenen Urteil die berücksichtigten Tatsachen aufzuführen sind, aufgrund welcher das Gericht auf einen der Schwächezustände gemäss <ref-law> geschlossen hat.
Bezüglich des Fürsorgebedarfs hat der Entscheid in tatsächlicher Hinsicht die durch Gutachten ermittelte konkrete Gefahr für die Gesundheit oder das Leben der betroffenen Person bzw. von Dritten zu nennen, die besteht, wenn die Behandlung der psychischen Störung bzw. die Betreuung unterbleibt (zum Erfordernis der konkreten Gefahr: Urteile 5A_312/2007 vom 10. Juli 2007 E. 2.3; 5A_288/2011 vom 19. Mai 2011 E. 5.3). Anhand dieser tatsächlichen Angaben ist in rechtlicher Hinsicht zu beurteilen und im Urteil auszuführen, ob und wenn ja warum eine Behandlung einer festgestellten geistigen Störung bzw. eine Betreuung "nötig" ist.
Ferner sind die Tatsachen anzugeben, aufgrund derer das Gericht zum (rechtlichen) Schluss gelangt, die Einweisung oder Zurückbehaltung in der Anstalt sei verhältnismässig. In diesem Zusammenhang gilt es auszuführen, aus welchen tatsächlichen Gründen eine ambulante Behandlung oder die erforderliche Betreuung ausserhalb einer Einrichtung nach Ansicht der Beschwerdeinstanz nicht infrage kommen (z.B. fehlende Krankheits- und Behandlungseinsicht; Unmöglichkeit der Betreuung durch Familienangehörigen; andere Gründe).
Schliesslich sind gegebenenfalls die Tatsachen aufzuführen, aufgrund derer das Gericht die vorgeschlagene Einrichtung als geeignet erachtet (Rechtsfrage).
2. 2.1 Nach Auffassung des gerichtlich bestellten Sachverständigen, dessen Ausführungen vom Obergericht berücksichtigt worden sind, leidet der Beschwerdeführer an einer paranoiden Schizophrenie. Dabei handelt es sich um eine psychische Störung. Soweit der Beschwerdeführer behauptet, er sei kerngesund, richtet er sich gegen anderslautende tatsächliche Feststellungen der Vorinstanz zum Gesundheitszustand (<ref-ruling>; Urteil 5A_803/2012 vom 20. Dezember 2012 E. 4), ohne aber aufzuzeigen, inwiefern diese Feststellungen willkürlich sein oder sonst wie gegen Bundesrecht verstossen sollen (<ref-law>). Damit ist ein Schwächezustand von <ref-law> zu Recht bejaht worden.
2. 2.1 Nach Auffassung des gerichtlich bestellten Sachverständigen, dessen Ausführungen vom Obergericht berücksichtigt worden sind, leidet der Beschwerdeführer an einer paranoiden Schizophrenie. Dabei handelt es sich um eine psychische Störung. Soweit der Beschwerdeführer behauptet, er sei kerngesund, richtet er sich gegen anderslautende tatsächliche Feststellungen der Vorinstanz zum Gesundheitszustand (<ref-ruling>; Urteil 5A_803/2012 vom 20. Dezember 2012 E. 4), ohne aber aufzuzeigen, inwiefern diese Feststellungen willkürlich sein oder sonst wie gegen Bundesrecht verstossen sollen (<ref-law>). Damit ist ein Schwächezustand von <ref-law> zu Recht bejaht worden.
2.2 Was den sich aus dem Schwächezustand ergebenden Bedarf nach Fürsorge anbelangt, so ergibt sich aus den vom Obergericht berücksichtigten Ausführungen des Gutachters, dass der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers zurzeit nicht stabilisiert ist. Der Beschwerdeführer bedarf nach Auffassung des Sachverständigen einer medizinische Behandlung. Hingewiesen wird zudem darauf, dass bei unterbliebener Behandlung mit einer Verschlimmerung der psychischen Erkrankung zu rechnen ist. Zudem wird der Beschwerdeführer als krankheits- und behandlungsuneinsichtig beschrieben. Laut Gutachter fällt eine Rückkehr des Beschwerdeführers in sein Elternhaus ausser Betracht und dürfte es ihm zum heutigen Zeitpunkt in seinem Gesundheitszustand schwerfallen, eine Wohnung zu finden. Der Beschwerdeführer beschränkt sich auch hier auf die Bestreitung der durch Gutachten ermittelten und vom Obergericht berücksichtigten Tatsachen, ohne aber Willkür oder eine andere Verletzung von Bundesrecht darzutun (<ref-law>). Soweit er sich gegen das Gutachten richtet, bringt er nichts vor, was dieses als nicht schlüssig oder unvollständig ausweisen würde. Unter den gegebenen tatsächlichen Umständen ist die Vorinstanz zu Recht davon ausgegangen, der Beschwerdeführer bedürfe der Behandlung seiner psychischen Störung.
2.3 Da der Beschwerdeführer krankheits- und behandlungsuneinsichtig ist, muss laut Gutachten damit gerechnet werden, dass er die ihm verschriebenen Medikamente nicht selbständig einnehmen bzw. die erforderliche ambulante psychiatrische Behandlung nicht beginnen wird. Da er für seine Familie untragbar geworden ist, besteht keine Gewähr für die Aufnahme einer ambulanten psychiatrischen Behandlung. Unter diesen Umständen ist die Einweisung bzw. die weitere Zurückbehaltung in der Klinik verhältnismässig und mit <ref-law> zu vereinbaren.
2.4 Die Klinik gilt überdies laut dem angefochtenen Entscheid als geeignete Einrichtung, was vom Beschwerdeführer denn auch nicht substanziiert infrage gestellt wird.
3. Zusammenfassend erweist sich die Einweisung des Beschwerdeführers als bundesrechtskonform. Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf eingetreten kann. Den Umständen des konkreten Falles entsprechend werden keine Kosten erhoben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Dr. Y._, der Psychiatrischen Klinik A._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Mai 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden