Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1956) leidet unter anderem an einem Panvertebralsyndrom sowie an arthrotischen Beschwerden der rechten Schulter, der Finger (beidseits), der Hüfte und des rechten Knies sowie an einer depressiven Symptomatik (Gutachten des Rheumatologen B._ vom 22. Juni 2009 und des Psychiaters Dr. C._ vom 17. März 2010). Die IV-Stelle des Kantons Zürich (nachfolgend: IV-Stelle) lehnte ihren Antrag auf eine Invalidenrente ab; der Invaliditätsgrad betrage nicht anspruchsbegründende 11 Prozent (Verfügung vom 3. Januar 2012).
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 21. August 2013).
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei ihr eine Invalidenrente zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zu weiteren medizinischen Abklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsverbeiständung).
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von <ref-law> erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
Dem vorinstanzlichen Sachgericht steht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zu. Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn die Vorinstanz diesen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder willkürlich ausser Acht lässt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211; zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 2.4 S. 5; Urteil 9C_1019/2012 vom 23. August 2013 E. 1.2.3).
2.
Das kantonale Gericht stellte auf das Gutachten des Rheumatologen Dr. B._ ab, wonach die Beschwerdeführerin in einer den Beeinträchtigungen der Wirbelsäule, Hände und Schultern angepassten Tätigkeit zu 70 Prozent arbeitsfähig ist, sowie auf die psychiatrische Expertise des Dr. C._, welche keine weitergehende funktionelle Einschränkung ausweist (Diagnosen: "Anpassungsstörung mit sonstigen näher bezeichneten vorwiegenden Symptomen" [ICD-10 Ziff. F43.28], wohl seit 2004, bei abhängiger Persönlichkeitsstruktur; aktuell sehr geringgradig ausgeprägte depressive Symptomatik [sozialer Rückzug, leichte Verwahrlosungstendenz] mit neurasthenischer Komponente [Müdigkeit, Kraftlosigkeit, Konzentrationsstörungen]). Ausgehend von einer Arbeitsunfähigkeit von 30 Prozent im erwerblichen Bereich, welche im Rahmen der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung (<ref-law> in Verbindung mit Abs. 2 und mit <ref-law>; <ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>) mit einem Anteil von 30 Prozent einzusetzen sei, und einer 15-prozentigen Einschränkung im - mit 70 Prozent zu gewichtenden - Haushalt ergebe sich gesamthaft ein Invaliditätsgrad von 11 Prozent, der nicht zu einer Invalidenrente berechtige (<ref-law>). Dies gelte im Übrigen selbst dann, wenn von einer vollständigen Erwerbstätigkeit im hypothetischen Gesundheitsfall ausgegangen werde; unter Annahme eines behinderungsbedingten Abzugs (<ref-ruling>) von 10 Prozent betrage der Invaliditätsgrad so 37 Prozent.
3.
Die Beschwerdeführerin bestreitet den Beweiswert des psychiatrischen Gutachtens zunächst unter dem Aspekt, dass der Sachverständige in der Person ihrer Tochter ein Familienmitglied als Übersetzerin für das Untersuchungsgespräch beigezogen hat.
3.1.
3.1.1. Die Vorinstanz erwog, Anhaltspunkte für eine mangelhafte sprachliche Verständigung lägen nicht vor. Der Beizug eines professionellen Übersetzers habe sich nicht aufgedrängt; in Person der Tochter der Versicherten sei eine hinreichend geeignete Übersetzerin bei der Untersuchung zugegen gewesen. Diese habe es dem Gutachter zudem ermöglicht, fremdanamnestische Angaben zu berücksichtigen. Wohl habe der Sachverständige "im Psychostatus auf eine gleich zu Beginn deutlich in Erscheinung getretene Passiv-aktiv-Polarisierung zwischen der Mutter und der wesentlich gepflegter wirkenden Tochter" hingewiesen und "darauf, dass eine Interaktion des Gutachters mit der Beschwerdeführerin bis auf gelegentliche kurze Blickkontakte kaum zustande gekommen sei". Entscheidend sei jedoch, dass der Gutachter solche Beobachtungen und deren Bedeutung transparent gemacht habe und dass die Expertise inhaltlich vollständig und schlüssig sei (E. 4.2 des angefochtenen Entscheids).
3.1.2. Die Beschwerdeführerin wendet unter Hinweis auf die Rechtsprechung und Leitlinien der psychiatrischen Begutachtung ein, die Tochter-Mutterbeziehung sei nicht neutral, die Tochter als - zudem dafür nicht ausgebildete - Dolmetscherin befangen (<ref-law>). Eine korrekte und sorgfältige Übersetzung sei unabdingbar. Nach Feststellung des Gutachters sei kaum eine direkte Interaktion zwischen diesem und der Beschwerdeführerin zustandegekommen. Die Doppelrolle der Tochter als Übersetzerin und fremdanamnestische Quelle verdeutliche die Problematik. Wenn sich die Vorinstanz dennoch auf das Gutachten stütze, stelle sie den Sachverhalt unvollständig und falsch fest.
3.2.
3.2.1. Nach der Rechtsprechung ist bei psychiatrischen Begutachtungen eine Übersetzungshilfe beizuziehen, sofern sprachliche Schwierigkeiten bestehen und das Untersuchungsgespräch nicht in der Muttersprache des Exploranden geführt werden kann (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 748/03 vom 3. März 2004 E. 2.1). Der Beizug zur Übersetzung setzt vertiefte Sprachkenntnisse, nicht aber ein (Dolmetscher-) Diplom voraus (Urteil I 77/07 vom 4. Januar 2008 E. 5; Alfred Bühler, Die Mitwirkung Dritter bei der medizinischen Begutachtung im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungsverfahren, in: Jusletter 3. September 2007 Rz. 33). Bedeutsam sind nicht nur die Sprachkompetenzen sowie die Unabhängigkeit und Unparteilichkeit der übersetzenden Person; auch Kenntnisse über kulturspezifische Besonderheiten, etwa des Krankheitsverständnisses, spielen eine Rolle (erwähntes Urteil I 77/07 E. 5.1.1 f. mit Hinweis auf Marina Sleptsova, Wenn die Vermittlung von Informationen auf eine Sprach-Barriere trifft - zur Zusammenarbeit mit Übersetzern, in: Therapeutische Umschau 10/2007 S. 576 f. und Jörg Jeger, Die Mitwirkung Dritter bei der Begutachtung aus der Sicht des medizinischen Gutachters, in: Jusletter 3. September 2007 Rz. 31 ff.). Deren Bewertung bleibt freilich in der ausschliesslichen Verantwortung des Gutachters.
3.2.2. Die Rechtsprechung hat die "Qualitätsleitlinien für psychiatrische Gutachten in der Eidgenössischen Invalidenversicherung" der Schweizerischen Gesellschaft für Psychiatrie und Psychotherapie (SGPP) vom Februar 2012 (zugänglich unter http://www.psychiatrie.ch) als anerkannten Standard für eine sachgerechte und rechtsgleiche (versicherungs-) psychiatrische Begutachtung bezeichnet (Urteile 8C_51/2012 vom 29. Januar 2013 E. 3.3.3.1 und 8C_945/2009 vom 23. September 2010 E. 5). Die Qualitätsleitlinien verstehen sich als Empfehlung, von welcher im begründeten Einzelfall abgewichen werden kann; dem Rechtsanwender sollen sie bei der Beurteilung der Gutachtensqualität nützlich sein (vgl. Präambel a.E.).
Das BSV hat die Leitlinien für alle zuhanden der Invalidenversicherung erstellten Gutachten als verbindlich erklärt. Die IV-Stellen (resp. deren Regionale Ärztliche Dienste) sind aufsichtsbehördlich angewiesen, die Leitlinien bei eigenen klinischen Untersuchungen und bei der Dossieranalyse und für Aktengutachten sowie bei externen psychiatrischen Administrativgutachten als Raster für die Qualitätssicherung einzusetzen (IV-Rundschreiben Nr. 313 vom 6. Juni 2012; vgl. zur Bedeutung von Verwaltungsweisungen <ref-ruling> E. 6.1 S. 591).
3.2.3. Zu den Themen des Dolmetschens sowie der Anwesenheit von Angehörigen besagen die Qualitätsleitlinien Folgendes: Zunächst wird vom psychiatrischen Gutachter verlangt, dass er im Rahmen der Befunddarstellung Angaben zur Muttersprache des Exploranden, zum aktiven und passiven Beherrschen der Landessprache und zur Notwendigkeit des Beizugs eines Dolmetschers macht, gegebenenfalls auch zu Interaktionen zwischen Übersetzer und versicherter Person resp. Gutachter (S. 8 Ziff. 4.2). Abgesehen vom Übersetzer sollen in der Regel keine Dritten anwesend sein, es sei denn, der Gutachter erachte dies als notwendig (dazu <ref-ruling>; Urteil I 42/06 vom 26. Juni 2007 E. 4.5 [SVR 2008 IV Nr. 18 S. 55]). Insbesondere die Anwesenheit Angehöriger kann verfälschend wirken. Erscheint es ausnahmsweise sinnvoll, zumindest einen Teil der Exploration in Anwesenheit bzw. unter Einbeziehung eines Angehörigen durchzuführen, muss aus dem Gutachten klar hervorgehen, welche Angaben vom Exploranden selber und welche vom Angehörigen stammen. Die Interaktion in diesem erweiterten Setting und mögliche Auffälligkeiten sind zu beschreiben und in die Beurteilung einzubeziehen (S. 12 Ziff. 3). Unter diesen Umständen zieht die Vorgabe, Verständigungsbarrieren möglichst zu beseitigen, " den niederschwelligen Einsatz von professionellen Dolmetschern bei fremdsprachigen Exploranden nach sich; Angehörige des Exploranden können damit nicht beauftragt werden " (S. 14). Das Verhältnis zwischen der Forderung der Qualitätsleitlinien nach einer "professionellen" Übersetzung und der oben (E. 3.2.1) zitierten Rechtsprechung (kein Diplom o.Ä. erforderlich) muss an dieser Stelle nicht geklärt werden.
3.2.4. Die Regel, dass das Gespräch zwischen psychiatrischem Sachverständigen und zu untersuchender Person nicht von einem Familienmitglied übersetzt werden soll, deckt sich mit der einhelligen medizinischen und juristischen Lehre. Danach eignen sich Angehörige (sinngemäss auch Freunde und Bekannte) nicht als Dolmetscher, weil sie infolge mangelnder Distanz zum Exploranden und (beiderseitigem) Zwang zu "familienrollenkonformem" Verhalten befangen sind (Versicherungsmedizinische Gutachten, Ein interdisziplinärer juristisch-medizinischer Leitfaden, Gabriela Riemer-Kafka [Hrsg.], 2. Aufl. 2012, S. 41; Karsten Toparkus, Typische Fehler in der Begutachtung - aus sozialrichterlicher Sicht, in: Der medizinische Sachverständige [MedSach] 2012 S. 233 f.; Peter Brückner, Begutachtung bei Migrationshintergrund - aus juristischer Sicht, in: MedSach 2010 S. 119; Stevens/Fabra/Merten, Anleitung für die Erstellung psychiatrischer Gutachten, in: MedSach 2009 S. 101; Susanne Fankhauser, Begutachtung von Migrantinnen und Migranten - Anforderungen aus sozialversicherungsrechtlicher Sicht, in: SZS 2005 S. 417 und 422; vgl. auch die Fallbeispiele bei Wolfgang Hausotter, "Beistände" bei Begutachtungen - aus Sicht des medizinischen Sachverständigen, in: MedSach 2007 S. 27 f.). Erwachsene Kinder lassen denn auch meist eine eindeutige Parteinahme für ihre Eltern erkennen (Wolfgang Hausotter, Begutachtungen bei Migrationshintergrund: Besondere Aspekte, in: MedSach 2010 S. 113). Sie bieten nicht Gewähr für eine neutrale, vollständige und wahrheitsgemässe Übersetzung, sondern werden den Angaben des zu begutachtenden Elternteils - oft unbewusst - eine eigene Färbung geben (Toparkus, a.a.O., S. 234). Der übersetzende Familienangehörige kann auf den Inhalt der Kommunikation verfälschend einwirken, indem er selektiv übersetzt oder dem zu Untersuchenden selbständig Hinweise gibt (Toparkus, a.a.O.), selbständig das Wort ergreift oder gar die Gesprächsführung für den Probanden zu übernehmen sucht (Hausotter, "Beistände" bei Begutachtungen, a.a.O., S. 28). Daraus kann sich eine Konfrontation zwischen Gutachter und übersetzendem Familienangehörigen ergeben, welche wiederum das erforderliche Vertrauensverhältnis zwischen Explorand und Gutachter behindert (Hausotter, a.a.O.). Befangenheit in der Untersuchungssituation kann auch auf Seiten des Exploranden bestehen, weil er sich dem Untersucher so präsentieren muss, wie er es auch in der Familie tut (Brückner, a.a.O., S. 119), oder weil er gehemmt ist, in Gegenwart von Angehörigen über psychische Leiden zu berichten (Ramazan Salman, Sprach- und Kulturvermittlung, in: Hegemann/Salman [Hrsg.], Transkulturelle Psychiatrie, Bonn 2001, S. 188).
Sodann gewährleisten Angehörige nicht die für die Begutachtung erforderliche sprachliche Übersetzungsqualität. Gerade für die psychiatrische Untersuchung ist eine wörtliche Übersetzung wichtig. Andernfalls kann es beispielsweise zu Problemen bei der Erfassung formaler Denkstörungen kommen. Selbst manche professionellen Dolmetscher neigen dazu, das Gespräch zu moderieren, Fragen zusammenzufassen und Antworten nach eigenem Gutdünken zu formulieren (Hausotter, Begutachtungen bei Migrationshintergrund, a.a.O., S. 112), als defizitär erlebte Antworten des Probanden zu glätten und allfällige psychopathologisch bedingte logische Inkonsistenzen zu beseitigen (Venzlaff/Foerster/Dressing, Psychiatrische Begutachtung, 5. Aufl., München 2009, S. 22). Dies gilt erst recht, wenn Angehörige übersetzen. In der Lehre werden professionelle Übersetzer auch deswegen als notwendig angesehen, weil sie (im besten Fall; relativierend Sleptsova, a.a.O., S. 577 f.) in der Lage sind, als "kulturelle Vermittler" dem Gutachter (allenfalls im Rahmen einer Nachbesprechung) nach Bedarf kulturspezifische Erläuterungen zu geben, etwa um die richtige Deutung einer übertreibenden Ausdrucksweise zu erleichtern (Hausotter, Begutachtungen bei Migrationshintergrund, a.a.O., S. 113; Brückner, a.a.O., S. 119; Jeger, a.a.O., Rz. 33 ff.; Fankhauser, a.a.O., S. 418; vgl. auch oben E. 3.2.1). Die Bedeutung einer Vermittlungsleistung, die über eine rein sprachliche Übersetzung hinausreicht, zeigt sich darin, dass es bei der - erforderlichen - wörtlichen Übersetzung zu Missverständnissen kommen kann, "wenn nicht auch die transkulturelle Übersetzung mitvollzogen wird" (Gerhard Ebner, Grundlagen transkultureller Begutachtung, in: Hegemann/Salman [Hrsg.], Transkulturelle Psychiatrie, Bonn 2001, S. 235; Fankhauser, a.a.O., S. 417).
3.3.
3.3.1. Nach dem Gesagten schliessen Rechtsprechung, Begutachtungsleitlinien und Lehre den Beizug Angehöriger zur Übersetzung des psychiatrischen Begutachtungsgesprächs prinzipiell aus. Das gilt freilich nicht absolut: So kann es bei einer mässig deutsch sprechenden Person sachgerecht sein, dass der Sachverständige zunächst versucht, die Untersuchung alleine durchzuführen, um sich ein (möglichst unverfälschtes) Bild von ihrem Verhalten zu machen, dann aber zur Klärung von unklaren Fragen Familienangehörige beizieht (Hausotter, Begutachtungen bei Migrationshintergrund, a.a.O., S. 113).
3.3.2. Damit stellt sich die beweisrechtliche Frage, wie es sich mit der Verwertbarkeit eines psychiatrischen Gutachtens verhält, das irregulär zustandegekommen ist, weil eine dem Exploranden angehörige Person dem Sachverständigen (für die Verständigung unabdingbare) Dolmetscherdienste geleistet hat.
Dieser Mangel unterscheidet sich von formalen oder inhaltlichen Fehlern, die im Gutachten offen zutage treten, so etwa inneren Widersprüchen (vgl. Brückner, a.a.O., S. 118). Wird mit dem Beizug eines ungeeigneten Übersetzers die Verständigungsbarriere höher gehalten als nötig, so lässt das in sich schlüssig erscheinende, an sich nachvollziehbar begründete Gutachten als solches nicht erkennen, ob der Mangel die Zuverlässigkeit der Beurteilung beeinträchtigt hat. Daher ist der Beweiswert der betreffenden Expertise regelmässig erheblich herabgesetzt, auch wenn die Expertise anhand der üblichen Beweiswertkriterien (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232) unauffällig erscheint.
3.3.3. Hingegen ist der Beweiswert dann nicht geschmälert, wenn den Umständen nach auszuschliessen ist, dass sich die Übersetzung durch Familienangehörige wesentlich auf die gutachtliche Beurteilung ausgewirkt hat. Die betreffenden Nachteile (vgl. im Einzelnen oben E. 3.2.4) können wegen anderer Kommunikationshindernisse, welche auch mit einer professionellen Übersetzung nicht überwindbar wären, in den Hintergrund treten, zumal wenn sich die Untersuchung ohnehin vermehrt auf nonverbale Elemente (z.B. Verhaltensbeobachtung: Mimik, Gestik, Tonfall) konzentrieren muss (vgl. erwähntes Urteil I 77/07 E. 5.1.1 mit Hinweis). Ebenfalls nicht tangiert ist der Beweiswert, wenn gesicherte anamnestische Gegebenheiten für verlässliche Schlussfolgerungen bürgen, so wenn ein geklagter hoher Leidensdruck mit dem Fehlen jeglicher Therapie oder mit dem Aktivitätenprofil der versicherten Person deutlich kontrastiert.
3.4.
3.4.1. Der psychiatrische Administrativgutachter berichtet, gleich zu Beginn der Untersuchung trete eine "passiv-aktiv-Polarisierung" zwischen Mutter und Tochter deutlich in Erscheinung. Eine direkte Interaktion zwischen ihm und der Versicherten sei, bis auf gelegentliche kurze Blickkontakte, kaum zustandegekommen; der Wegfall dieses "diagnostischen Instrumentes" relativiere die Aussagekraft der psychopathologischen Befunde (S. 6 der Expertise). Der Gutachter verlegt sich bei der Erhebung des Psychostatus denn auch weitgehend auf Verhaltensbeobachtung. In einer solchen Konstellation ist eine verlässliche psychopathologische Befunderhebung in Frage gestellt (vgl. das ähnliche Fallbeispiel bei Hausotter, "Beistände" bei Begutachtungen, a.a.O., S. 28; vgl. auch Urteil I 451/00 vom 30. Dezember 2003 E. 2.3.2, in: SVR 2004 IV Nr. 29 S. 90). Daran ändert das beim Gutachter erkennbare Problembewusstsein nichts. Problematisch ist des Weitern die gleichzeitige Befassung der Tochter als Übersetzerin und fremdanamnestische Quelle (vgl. S. 6 f.).
3.4.2. Der Beweiswert bleibt indes unbeschädigt, wenn eine differenzierte, auch verbal vermittelte Befunderhebung selbst miteinem geeigneten Dolmetscher stark behindert gewesen wäre (oben E. 3.3.3). Ein solcher Fall liegt hier vor: Der rheumatologische Administrativgutachter hatte festgehalten, für die Dolmetscherin eines professionellen Übersetzungsdienstes sei "die Versicherte im Gespräch kaum fokussierbar" gewesen. Zudem stellten die eigentümliche Wortwahl der funktionell analphabetischen Explorandin und deren eingeschränktes Sprachverständnis ein Kommunikationshindernis dar (Expertise vom 22. Juni 2009 S. 7). Unter diesen Umständen wirkt sich der Mangel nicht mehr entscheidend aus. Zusätzlich wird die Verlässlichkeit der psychiatrischen Begutachtung durch die anamnestischen Tatsachen gestützt, dass die Beschwerdeführerin keine psychiatrische Behandlung beansprucht und verordnete Medikamente nicht einnimmt (psychiatrisches Gutachten S. 6).
4.
Die Beschwerdeführerin macht überdies geltend, die Vorinstanz hätte das Administrativgutachten des Dr. C._ nicht verwerten dürfen, weil der psychiatrische Sachverständige eine Panikstörung der Beschwerdeführerin unerwähnt liess, obwohl diese selbst dem Rheumatologen Dr. B._ aufgefallen sei. Auch mit der in den medizinischen Unterlagen immer wieder erwähnten depressiven Problematik setze sich der Gutachter kaum auseinander.
Das kantonale Gericht erwog, die abweichende Stellungnahme des Internisten (Hausarztes) Dr. D._ vom 20. Dezember 2011decke sich im Wesentlichen mit dessen Bericht vom 5. Januar 2009; diesen habe der psychiatrische Gutachter berücksichtigt. Die Einschätzung des behandelnden Arztes, die Beschwerdeführerin sei auch in angepassten Tätigkeiten hälftig arbeitsunfähig, beziehe auch nicht versicherte psychosoziale Faktoren (Überlastung, Vereinsamung) mit ein. Die vorinstanzlichen Feststellungen, es lägen keine gutachtlich unberücksichtigten psychischen Beschwerden und keine über das attestierte Ausmass hinausreichende Arbeitsunfähigkeit vor, sind nicht offensichtlich unrichtig (vgl. oben E. 1). Die Feststellung des kantonalen Gerichts, wonach nicht versicherte Faktoren am Beschwerdebild beteiligt seien, ist ohne Weiteres mit den Akten vereinbar, was die "depressive Stimmung" angeht. Sie ist aber auch mit Bezug auf die Panikstörung vertretbar: Bei der Haushaltabklärung hat die Beschwerdeführerin selber angegeben, nach dem Wegzug von Ehemann und ältestem Sohn seien die Panikattacken erheblich seltener geworden (Abklärungsbericht Haushalt der IV-Stelle vom 31. Januar 2011).
5.
Es bleibt zu prüfen, ob die Bemessung des Invaliditätsgrades (<ref-law>) rechtens ist.
5.1. Das kantonale Gericht ging davon aus, es sei wenig wahrscheinlich, dass die Beschwerdeführerin im Beurteilungszeitpunkt als Gesunde vollzeitlich erwerbstätig gewesen wäre. Sie habe vor ihrer Anmeldung bei der Invalidenversicherung bis zu 30 Prozent gearbeitet und das Pensum auch nach dem Auszug des Ehemannes und (später) des Sohnes nicht erhöht. Es sei nicht zu beanstanden, dass die IV-Stelle ausgehend von der Feststellung im Haushaltabklärungsbericht ein hypothetisches Erwerbspensum von 30 Prozent zugrunde gelegt habe (E. 5 und 6 des angefochtenen Entscheids).
5.2. Die Frage, in welchem Ausmass die versicherte Person ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre, ist mit Rücksicht auf die gesamten Umstände, namentlich die persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnisse, zu beantworten (<ref-ruling> E. 2c S. 150 mit Hinweisen). Dabei handelt es sich zwangsläufig um eine hypothetische Beurteilung, die auch hypothetische Willensentscheidungen der versicherten Person berücksichtigen muss. Die Beurteilung hypothetischer Geschehensabläufe folgt einer Tatfrage, soweit sie auf Beweiswürdigung beruht. Die hier interessierende Festlegung beantwortet hingegen eine Rechtsfrage, wenn sie ausschliesslich - losgelöst vom konkreten Sachverhalt - aus der allgemeinen Lebenserfahrung abgeleitet wird (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 507; Urteil I 708/06 vom 23. November 2006 E. 3.1 und 3.2).
5.3. Die Beschwerdeführerin hält die Gewichtung der Bereiche Erwerb und Haushalt im Verhältnis 70 zu 30 Prozent für falsch. Auch die Haushaltabklärung leide an dem Mangel, ohne professionelle Übersetzung durchgeführt worden zu sein. Sie spreche kaum deutsch; nach Feststellung des Gutachters Dr. B._ bestehe zudem selbst in der Muttersprache ein eingeschränktes Sprachverständnis. Ihr Einwand, unter diesen Umständen liege nahe, dass sie die Frage nach dem Erwerbspensum im hypothetischen Gesundheitsfall falsch (das heisst auf die Situation mit gesundheitlicher Beeinträchtigung bezogen) verstanden habe, ist nachvollziehbar. Dies umso mehr, als in der Tat zweifelhaft erscheint, ob eine (Sozialhilfe beziehende) Versicherte als Gesunde weiterhin nur zu 30 Prozent erwerbstätig geblieben wäre, obwohl sie keine Kinder mehr zu betreuen hat und der im Ausland lebende ehemalige Ehemann offenbar keine Unterhaltsbeiträge bezahlt.
Die Rechtsfrage nach dem hypothetischen Umfang der Erwerbstätigkeit, wie er nach allgemeiner Lebenserfahrung zu erwarten wäre, kann indes offen bleiben. Selbst bei einem reinen Einkommensvergleich (<ref-law>) und gleichem Ansatz für Validen- und Invalideneinkommen (vgl. Beschwerdeschrift S. 11 Ziff. 5) resultierte kein rentenbegründender Invaliditätsgrad (37 Prozent; angefochtener Entscheid E. 9). Denn das kantonale Gericht hat sein Ermessen nicht rechtsfehlerhaft ausgeübt (zur Überprüfungsbefugnis <ref-ruling>), als es den behinderungsbedingten Abzug vom Invalideneinkommen (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481; <ref-ruling>) über 10 Prozent bestätigte. Damit wird der funktionellen Mehrfachbeeinträchtigung (arthrotische Beschwerden der rechten Schulter, der Finger, der Hüfte und des rechten Knies) Rechnung getragen. Es bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass in einer leidensangepassten Arbeit (vgl. Gutachten des Dr. B._, S. 12) - über die schon bei der Festlegung der Arbeitsunfähigkeit berücksichtigten Faktoren hinaus - wesentliche weitere lohnwirksame Erschwernisse anfallen würden.
6.
Der angefochtene Entscheid verletzt nach dem Gesagten im Ergebnis kein Bundesrecht.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Nach <ref-law> hat die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwältin Lotti Sigg Bonazzi wird als unentgeltliche Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin bestellt. Es wird ihr aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Mai 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub