Faits:
A.
A.a. Y._, dit ..., est né à Marseille (France) en 1927. X._ est né à Yokohama (Japon) en 1960.
A.b. Y._ et X._ se sont rencontrés au Japon en 1982. Y._ dirigeait à cette époque un ballet à A._. Le 15 novembre 1982, X._ a rejoint Y._ à A._ pour travailler à son service comme assistant personnel. Depuis cette date, ils ont toujours vécu dans le même appartement, d'abord à A._, puis à B._ dès 1987. X._ a participé en qualité de comédien jusqu'en 1992 à plusieurs productions réalisées par Y._.
A.c. Dans une lettre adressée le 13 novembre 2007 à la Justice de paix de B._ (ci-après: Justice de paix), Me C._, avocate à D._, a exposé que Y._ l'avait consultée et lui avait fait part de son désir d'adopter X._, conformément à l'<ref-law>. A l'appui de cette demande, elle a produit une lettre dactylographiée datée du 1 er novembre 2007 et signée de la main de Y._ dont la teneur atteste de sa volonté d'adopter X._.
Faute de compétence, la Justice de paix a retourné son courrier à Me C._, qui l'a transmis en date du 22 novembre 2007 à l'autorité compétente, à savoir la Direction de l'état civil (ci-après: Direction).
A.d. Y._ est décédé ce même 22 novembre 2007.
A.e. Par décision du 12 juin 2008, le Département de l'Intérieur, auquel a ensuite succédé le Département de l'économie et du sport (ci-après: Département), a déclaré irrecevable la requête d'adoption déposée par Me C._ au nom de feu Y._, faute pour cette dernière d'avoir établi disposer des pouvoirs de représentation nécessaires par le biais d'une procuration écrite.
B.
B.a. Le 16 juillet 2008, X._ a recouru contre cette décision devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: Cour cantonale).
B.b. Par arrêt du 27 mars 2009, la Cour cantonale a admis le recours, annulé la décision du Département et retourné le dossier à ce dernier pour qu'il statue sur la requête d'adoption de feu Y._.
B.c. A la suite de cet arrêt, la Direction a repris l'instruction de la requête d'adoption de feu Y._ et a procédé à l'audition de plusieurs personnes de l'entourage de l'intéressé.
C.
C.a. Par décision du 22 mars 2011, le Département a rejeté la requête d'adoption déposée par feu Y._, estimant que ce dernier n'avait pas la capacité de discernement au moment de la signature de la requête d'adoption et que le lien unissant X._ à feu Y._ ne pouvait être qualifié de filial.
C.b. Le 6 mai 2011, X._ a recouru contre cette décision devant la Cour cantonale.
C.c. Par décision du 8 janvier 2013, la Cour cantonale a - après avoir tenu audience et entendu neuf témoins ainsi que le recourant - admis que feu Y._ était capable de discernement lorsqu'il avait mandaté Me C._ pour entamer la procédure d'adoption, mais a toutefois rejeté le recours, considérant que l'existence d'une relation filiale entre celui-là et le recourant n'avait pas été démontrée et que l'adoption avait été motivée uniquement par le souci du défunt de protéger financièrement le recourant.
D.
Par acte du 13 février 2013, X._ exerce un "recours de droit public" au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que "X._ est reconnu comme étant le fils adoptif de feu Y._, dit ..."et subsidiairement au renvoi de la cause à la Cour de droit administratif et public du canton de Vaud pour nouvelle décision dans le sens des considérants. A l'appui de son recours, le recourant invoque "la violation arbitraire" des art. 9 et 29 Cst., 11 Cst. vaudoise et 266 al. 1 ch. 3 CC.
Invités à se déterminer, le Département n'a pas répondu et la Cour cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) confirmant le rejet d'une demande d'adoption. Il s'agit d'une décision rendue en matière civile au sens de l'<ref-law>, de sorte que la voie du recours en matière civile est ouverte. Interjeté en temps utile (<ref-law>), par une partie qui a succombé dans ses conclusions devant l'instance précédente (<ref-law>), contre une décision rendue par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (<ref-law>), le présent recours est en principe recevable.
1.2. Le recourant a intitulé son écriture "recours de droit public". Cela étant, l'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies, ce qui est le cas en l'espèce (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 382 et les arrêts cités).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il ne connaît cependant de la violation des droits fondamentaux ou du droit cantonal que si ce grief a été soulevé et motivé (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2). Si le recourant se plaint de la violation de tels droits, il doit ainsi satisfaire au principe d'allégation ( Rügeprinzip, principio dell'allegazione ), en indiquant précisément quelle disposition constitutionnelle ou légale a été violée et en démontrant, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
2.2. Il convient d'emblée de constater que le recourant n'a ni allégué ni démontré que l'art. 11 Cst.-VD invoqué à l'appui de son grief de violation de l'interdiction de l'arbitraire aurait une portée plus large que l'art. 9 Cst., de sorte que ce grief sera, cas échéant, examiné exclusivement à l'aune de cette dernière disposition (<ref-ruling> consid. 2a p. 16; arrêts 2C_932/2010 du 24 mai 2011 consid. 2.2; 5A_547/2012 du 14 mars 2013 consid. 2.1).
3.
La Cour cantonale a procédé à un examen en deux temps. Elle a d'abord examiné la question de la capacité de discernement de feu Y._. A l'inverse de l'autorité de première instance qui avait considéré que ce dernier ne disposait pas de la capacité de discernement au moment de la signature de la requête d'adoption, la cour cantonale a retenu que feu Y._ était en tout cas capable de discernement lorsqu'il avait mandaté Me C._ pour entamer la procédure d'adoption. Dans un deuxième temps, elle a examiné s'il existait un juste motif à l'adoption au sens de l'<ref-law>. Elle a sur ce point considéré qu'il n'était pas établi que le recourant entretenait une relation filiale avec l'intéressé et que la demande d'adoption était fondée sur des motifs d'ordre affectif, le seul témoignage de E._ n'étant à cet égard pas suffisant. Selon elle, seule l'inquiétude de ce qui allait advenir du recourant une fois qu'il ne serait plus là et la volonté de le protéger financièrement avaient motivé la demande d'adoption de feu Y._ et de tels motifs ne pouvaient, au regard de la jurisprudence restrictive en la matière, justifier l'adoption d'une personne majeure. Elle a par conséquent dénié l'existence de justes motifs et confirmé le refus de prononcer l'adoption.
4.
Seule est encore litigieuse en l'espèce la question de l'existence d'un juste motif à l'adoption d'un majeur au sens de l'<ref-law>.
4.1. Aux termes de l'<ref-law>, en l'absence de descendants, une personne majeure peut être adoptée lorsqu'il y a d'autres justes motifs et qu'elle a vécu pendant au moins cinq ans en communauté domestique avec les parents adoptifs.
Les quatre conditions nécessaires à l'application de l'<ref-law> sont par conséquent: la majorité du futur adopté, l'absence de descendants encore vivants pour le ou les futur (s) adoptant (s) (Philippe Meier/Martin Stettler, Droit civil suisse, Droit de la filiation, 4ème éd., 2009, n° 315 p. 161), l'existence d'une communauté domestique entre le majeur et le ou les futur (s) parent (s) adoptif (s) durant cinq ans au moins, ainsi que la présence d'autres justes motifs à l'adoption.
La notion d' "autres justes motifs" doit être comprise comme l'existence d'autres éléments que ceux prévus aux chiffres 1 et 2 de l'<ref-law> démontrant qu'une relation affective particulièrement forte lie le majeur à la personne désireuse de l'adopter. Les chiffres 1 à 3 de l'<ref-law> présupposent tous trois une relation particulièrement solide et étroite liant l'adoptant à l'adopté, ainsi que l'existence d'une aide et attention en principe quotidienne relevant de la solidarité familiale, de sorte que les "autres justes motifs" du chiffre 3 sont dans leur nature comparables aux circonstances justifiant l'adoption d'un majeur au sens des chiffres 1 et 2 ( MONIKA PFAFFINGER, in: Kurzkommentar ZGB, 2012, n°5 ad <ref-law>; CYRIL HEGNAUER, Grundriss des Kindesrechts, 5 e éd., Berne 1999, p. 92 ch.11.35; Cyril Hegnauer, Mündigenadoption: Hausgemeinschaft, wichtige Gründe (Art. 266 Abs. 1 Ziff. 3 ZGB) in: Zeitschrift für Vormundschaftswesen, ZVW 5/2009 p. 350 ss). Les liens affectifs unissant le ou les adoptant (s) et l'adopté doivent en effet être suffisamment étroits pour que leur relation puisse être assimilée à une filiation naturelle (<ref-ruling> consid. 2b). La relation liant les protagonistes doit être perçue et vécue par eux comme une relation de nature filiale ( YVO BIDERBOST, in: Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 2 e édition 2012, n° 4 ad <ref-law>). Le fait que les parents adoptifs aient assuré directement et personnellement une assistance importante et des soins à l'adopté ou inversément peut en particulier parler en faveur de l'existence d'un tel lien ( PETER BREITSCHMID, in: Basler Kommentar, 4 e éd. 2010, n° 12 ad <ref-law>). Une relation personnelle étroite n'est à elle seule pas suffisante (arrêt 5A_803/2008 du 5 mars 2009 consid. 5.2, publié in: FamPra.ch 2009 p. 493). Des motivations purement successorales, fiscales ou relevant du droit d'établissement ne constituent pas un juste motif à l'adoption d'un majeur ( CYRIL HEGNAUER, in: Berner Kommentar, 4 e éd. 1984, n° 20 ad <ref-law>).
4.2. Le recourant reproche pour l'essentiel à l'autorité cantonale d'avoir apprécié arbitrairement ou de ne pas avoir pris en compte un certain nombre d'éléments qui, cumulés, démontrent selon lui que sa relation avec feu Y._ était de nature filiale et constituait de ce fait un juste motif à l'adoption au sens de l'<ref-law>. Il lui fait ainsi notamment grief de ne pas avoir tenu compte du contenu de la requête d'adoption du 1 er novembre 2007 qui reflète les motifs ayant conduit feu Y._ à souhaiter cette adoption - alors qu'elle a parallèlement admis qu'il était capable de discernement - et d'avoir par conséquent retenu arbitrairement que ses motivations réelles relevaient uniquement d'une volonté de protéger financièrement et fiscalement le recourant. La Cour n'aurait en outre à tort pas tenu compte du projet de pacte successoral établi au mois de juillet 2007 qui indiquait à son chiffre deux: "Y._ rappelle préalablement qu'une procédure est actuellement en cours pour lui permettre d'adopter X._" ainsi que la mention récurrente de "à mon futur fils adoptif X._". Il reproche à la Cour de ne pas avoir tenu compte de plusieurs témoignages et notamment d'avoir écarté celui de E._, ami de longue date du défunt, sans pour autant expliquer pourquoi elle le jugeait "insuffisant". Elle aurait également fait abstraction du fait que les intéressés ont vécu sous le même toit durant vingt-cinq ans, remplissant ainsi la condition d'une communauté domestique d'au moins cinq ans de l'<ref-law> et également passé sous silence les soins prodigués par le recourant à feu Y._ et le fait que ce dernier l'ait désigné en qualité de délégué thérapeutique. Enfin, l'autorité cantonale aurait fait fi du contenu du testament de feu Y._ dans lequel il exprimait notamment son souhait que ses cendres soient confiées au recourant et enterrées dans un lieu connu de lui seul.
4.3. En l'espèce, seule la présence d'autres justes motifs à l'adoption au sens de l'<ref-law> est encore litigieuse devant le Tribunal de céans, le fait que le recourant soit majeur, l'absence de descendants encore vivants de l'adoptant, ainsi que l'existence d'une communauté domestique entre le recourant et Y._ durant cinq ans au moins n'ayant pas été remis en cause et la pleine capacité de discernement de Y._ au moment de sa prise de décision s'agissant de l'adoption du recourant n'étant plus contestée.
Si des motivations purement successorales ou fiscales ne constituent effectivement pas un juste motif à l'adoption d'un majeur, aucun élément au dossier ne permettait toutefois à l'autorité cantonale de déduire que l'adoption souhaitée par feu Y._ l'était uniquement par souci de mettre financièrement le recourant à l'abri de tout besoin. Le contenu de la lettre de motivation produite à l'appui de la requête d'adoption est explicite et ne laisse pas de place au doute quant à l'existence d'un lien de nature filiale entre les intéressés, notamment du fait de l'utilisation d'expressions telles que: "X._ fait partie de ma famille", "c'est lui qui m'est le plus proche", "l'affection que je lui porte comme l'affection qu'il me porte ressort (sic) de l'amour filial", "X._ est le fils que je n'ai pas eu"etc.
Retenir que la volonté d'introduire une procédure d'adoption était guidée uniquement par des motifs financiers revient par conséquent à considérer que le futur adoptant aurait sciemment tenté d'induire les autorités en erreur en utilisant les termes appropriés pour donner l'illusion de l'existence d'un lien filial, ce qui n'est pas soutenable en l'absence, comme en l'espèce, de preuves tangibles en ce sens. Bien que le futur adoptant n'ait pas rédigé personnellement cette lettre de motivation, il l'a toutefois signée et force est de constater que plusieurs autres éléments du dossier permettent de conclure à l'existence d'un tel lien. L'autorité cantonale a retenu qu'une partie des témoins considéraient la relation entre les deux hommes comme strictement professionnelle, que d'autres estimaient que des liens amicaux et affectifs s'étaient noués entre eux mais que seul E._ avait parlé d'une relation filiale. Il y a toutefois lieu de relever que ce dernier était ami depuis cinquante ans avec feu Y._, qu'ils se voyaient régulièrement, ont passé des vacances ensemble et qu'il a été associé à plusieurs projets, dont en particulier la rédaction de deux livres autobiographiques de l'artiste. Il est en outre, à l'exception du recourant, la seule personne à être restée presque en permanence au côté de feu Y._ durant l'hospitalisation ayant précédé sa mort et le médecin traitant de feu Y._ a également attesté de cette amitié en expliquant que " [E._] avait une relation très forte et intime avec lui. Il passait ses soirées ensemble (sic). Il se connaissait très bien avec ... (sic)." Il se révèle donc avoir été un ami particulièrement proche de celui-ci, ce qui donne une importance particulière à ses déclarations et rend la thèse selon laquelle il aurait pu recueillir des confidences que le défunt n'aurait pas faites à d'autres personnes parfaitement plausible. Les déclarations de E._ qui font notamment état du fait que feu Y._ aidait professionnellement le recourant "comme un père aiderait son fils", qu'il lui avait fait part plusieurs années auparavant déjà de sa volonté de l'adopter ou du moins du fait que cette question le taraudait, qu'il lui avait même déclaré au sujet du recourant qu' "il [ était] lentement devenu [son] fils",et que la veille de sa mort son dernier souci avait été de s'assurer que le recourant était effectivement devenu son fils, à savoir que l'adoption avait été finalisée, reflètent très clairement la nature filiale du lien unissant les deux intéressés. Compte tenu de l'amitié étroite qui liait le défunt à E._, l'autorité cantonale ne pouvait écarter son témoignage au motif qu'il était le seul à qualifier cette relation de filiale. En outre, bien que la plupart des autres témoins aient laissé entendre que l'adoption aurait été motivée par des raisons économiques, ils l'ont expliquée en ce sens que feu Y._ se souciait de ce qu'il allait advenir du recourant une fois qu'il ne serait plus là. L'inquiétude exprimée par le défunt quant à l'avenir y compris économique du recourant n'exclut en rien l'existence d'un lien de nature filiale les unissant, au contraire.
Comme le souligne à juste titre le recourant, l'autorité cantonale a fait abstraction de plusieurs autres éléments qui mettent en exergue la confiance que le défunt avait en la personne du recourant et le fait que la relation qui les liait était particulièrement étroite et ne peut en aucun cas être qualifiée de purement professionnelle. A cet égard, le fait que feu Y._ ait désigné le recourant en qualité de délégué thérapeutique, qu'il lui ait fait don d'un bien immobilier, qu'il l'ait désigné comme président de l'Association F._ alors que lui-même en était le vice-président, qu'il ait souhaité qu'il soit membre du conseil de la Fondation Y._, qu'il ait fait préparer dès 2007 un pacte successoral dans lequel il déclarait léguer - tout comme dans son testament du 27 novembre 2007 - divers biens au recourant qu'il désignait alors déjà comme "[son] futur fils adoptif", que les photos figurant au dossier montrent feu Y._ notamment à l'occasion de réceptions officielles et de voyages à l'étranger avec le recourant à ses côtés et, enfin, le fait qu'il ait souhaité que ses cendres soient confiées à ce dernier pour être enterrées dans un endroit d'abord connu de lui seul, à l'exclusion de toute autre personne, sont autant d'éléments qui parlent en faveur de l'existence d'une relation particulière liant les intéressés, qui doit, compte tenu des circonstances, être qualifiée de filiale.
Par ailleurs, contrairement à ce qu'a retenu l'autorité cantonale, on ne peut déduire que le fait que feu Y._ ait attendu d'être mourant pour engager la procédure d'adoption renforcerait la thèse d'une motivation purement financière à l'adoption. E._ a, à cet égard, relevé que feu Y._ craignait "de se retrouver dans des pages dites « people » d'une certaine presse" - ce qui paraît parfaitement plausible compte tenu de sa notoriété - et autant son témoignage que celui de Me C._ mettent en évidence le fait qu'il envisageait cette procédure depuis des mois, voire des années, de sorte qu'il ne s'agissait en aucun cas d'une décision prise dans l'urgence durant les jours précédant sa mort. Le fait de vouloir régler à la veille de sa mort des affaires dont il parlait depuis longtemps, mais qu'il avait jusqu'alors remises à plus tard, ne paraît de surcroît en aucun cas inhabituel.
En définitive, il y a lieu de constater, compte tenu de la durée de leur vie commune, de la solidarité qui existait entre les deux protagonistes ainsi que de l'aide, du dévouement et du soutien mutuel qui apparaissent à l'examen de l'ensemble des éléments qui précèdent que le lien unissant le recourant à feu Y._ était assimilable à une filiation naturelle, de sorte qu'il faut admettre l'existence d'autres justes motifs à l'adoption au sens de l'<ref-law>.
5.
Vu ce qui précède, le recours doit être admis et l'adoption prononcée. La décision est communiquée à la Direction de l'état civil du canton de Vaud conformément à l'art. 43 al. 2 OEC. Le canton de Vaud n'a pas à supporter de frais (<ref-law>), mais doit verser au recourant une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et la décision attaquée est réformée en ce sens que l'adoption de X._ par feu Y._ est prononcée.
2.
La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Une indemnité de 5'000 fr., à verser au recourant à titre de dépens, est mise à la charge du canton de Vaud.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et à la Direction de l'état civil, Service de la population.
Lausanne, le 13 juin 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Hildbrand