Faits:
A. X._ SA est une société active dans le domaine de la recherche et la sélection d'artistes et de personnel artistique; A._ est son administrateur unique. En 1996, elle a introduit Y._ dans la sélection du personnel de l'émission Z._ de la télévision suisse-romande, émission dirigée par le journaliste B._. Y._ fut retenu pour prendre part à l'émission en qualité de figurant régulier; il y exercerait l'activité de barman et serait chargé d'accueillir les invités de l'émission et de leur offrir des boissons.
L'émission, produite chaque jour du lundi au vendredi, était suspendue de mi-juin à mi-septembre et pendant les fêtes de fin d'année. Y._ participait régulièrement. Un salaire lui était versé par X._ SA en fonction de son temps de présence; celle-ci facturait un montant fixe pour chaque participation, majoré d'une « commission d'agence », à la succursale genevoise de la Société suisse de radiodiffusion et télévision. Y._ ne percevait aucun salaire dans les périodes où l'émission était suspendue. Il n'était annoncé à aucune caisse de compensation et les déductions sociales n'étaient donc pas opérées.
Y._, Français domicilié en France, ne bénéficiait pas de l'autorisation nécessaire à l'exercice d'une activité lucrative en Suisse. Au mois d'août 2002, se désignant en qualité d'employeuse, X._ SA a adressé une demande d'autorisation à l'office cantonal de la population. Contresignée par Y._, cette demande mentionnait un salaire brut, variable, de 3'000 fr. par mois.
Des dissensions se sont élevées entre Y._ et divers membres de l'équipe produisant l'émission. En raison de son absence injustifiée le 21 juin 2002, B._ a décidé son exclusion durant une semaine. A l'issue de l'émission du 2 octobre 2002, B._ lui a signifié son exclusion définitive et immédiate. X._ SA a alors recruté un autre figurant pour le remplacer.
Sans succès, le 11 octobre 2002, Y._ s'est adressé à cette société et à la télévision suisse-romande pour réclamer 120'000 euros à titre de réparation du préjudice subi.
B. Le 3 février 2003, Y._ a ouvert action contre A._, B._, X._ SA et la Société suisse de radiodiffusion et télévision (ci après: Télévision SSR) devant la juridiction des prud'hommes du canton de Genève. Ses demandes, par la suite jointes, tendaient au paiement de 174'000 fr. à titre d'indemnités diverses. En cours d'instance, le demandeur s'est désisté de l'action intentée contre B._ et, contre les autres défendeurs, il a réduit ses conclusions à 88'807 fr.20 en capital, y compris 32'400 fr. à titre d'arriéré de salaire, et il a réclamé des intérêts au taux de 5% par an dès le 3 octobre 2002. Ces défendeurs ont conclu au rejet des actions dirigées contre eux.
Après audition de plusieurs témoins, le Tribunal de prud'hommes s'est prononcé le 29 avril 2005. Il a partiellement accueilli l'action intentée contre X._ SA et il a condamné cette défenderesse à payer 9'000 fr. à titre de salaire brut, soumis aux déductions sociales, et 10'000 fr. à titre d'indemnité nette. Ces sommes portaient intérêts selon les conclusions nouvelles du demandeur. La défenderesse s'était liée à celui-ci par un contrat de travail et, le 2 octobre 2002, ce contrat avait été résilié abruptement et sans juste motif. Le demandeur avait donc droit au salaire des mois d'octobre, novembre et décembre 2002, à raison de 3'000 fr. par mois, et à une indemnité évaluée à 10'000 fr. Les deux autres défendeurs n'avaient contracté aucune obligation contractuelle envers lui et ils n'avaient donc pas qualité pour défendre; en conséquence, les actions intentées contre eux étaient rejetées.
X._ SA ayant appelé du jugement pour réclamer le rejet complet de l'action la concernant, le demandeur a usé de l'appel incident. Outre les prétentions déjà reconnues par le tribunal, par 19'000 fr. en principal, il revendiquait 45'000 fr. de salaire impayé pendant les années 1997 à 2001. Ses conclusions étaient dirigées contre Télévision SSR et X._ SA; A._ n'était plus en cause.
Statuant le 31 mai 2006, la Cour d'appel a confirmé le jugement.
C. Agissant par la voie du recours en réforme, X._ SA requiert le Tribunal fédéral de modifier l'arrêt de la Cour d'appel en ce sens que l'action intentée contre elle soit rejetée. Elle conteste s'être liée au demandeur par un contrat de travail et elle soutient qu'un pareil contrat a été conclu entre le demandeur et Télévision SSR exclusivement.
Le demandeur conclut au rejet du recours. Exerçant le recours joint, il a présenté des conclusions identiques à celles déjà prises en appel.
Télévision SSR n'a été invitée à répondre ni au recours principal ni au recours joint. X._ SA n'a pas été invitée à répondre au recours joint.
D. Le demandeur a sollicité l'assistance judiciaire. Par une décision incidente du 7 novembre 2006, le Tribunal fédéral a accueilli sa demande pour la réponse au recours principal et il a désigné Me Joanna Bürgisser en qualité d'avocate d'office; il a rejeté la demande pour le surplus.
Par lettre du 30 novembre 2006, ce conseil a annoncé le retrait du recours joint.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le retrait du recours joint met fin à la cause en ce qui concerne ce recours.
2. Le recours principal est formé par une partie qui a succombé dans des conclusions concernant sa propre situation juridique. Il est dirigé contre un jugement final rendu en dernière instance cantonale par un tribunal suprême (art. 48 al. 1 OJ), dans une contestation civile dont la valeur litigieuse dépasse le seuil de 8'000 fr. (art. 46 OJ). Déposé en temps utile (art. 54 al. 1 OJ) et dans les formes requises (art. 55 OJ), il est en principe recevable.
Le recours en réforme peut être exercé pour violation du droit fédéral, à l'exclusion des droits constitutionnels et du droit cantonal (art. 43 al. 1 OJ; <ref-ruling> consid. 2c et les arrêts cités). Sous réserve d'exceptions qui ne sont pas réalisées dans la présente affaire, le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 63 al. 2 et 64 OJ; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 106, 136 consid. 1.4 p. 140).
Le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'argumentation des parties (art. 63 al. 1 OJ) et il apprécie librement la portée juridique des faits (art. 43 al. 4, 63 al. 3 OJ); néanmoins, d'ordinaire, il se prononce seulement sur les questions juridiques que la partie recourante soulève conformément aux exigences de l'art. 55 al. 1 let. c OJ concernant la motivation du recours (<ref-ruling> consid. 1 p. 200; <ref-ruling> consid. 2 p. 94).
3. Il est constant que le demandeur a exercé l'activité de figurant, dans l'émission Z._, en exécution d'un contrat de travail; le litige a pour objet de déterminer, surtout, qui était son cocontractant.
La Cour d'appel retient l'existence d'un rapport triangulaire de location de services, sans lien contractuel entre le demandeur et Télévision SSR, avec un contrat de location de services entre celle-ci et X._ SA et un contrat de travail entre cette dernière et le demandeur. A l'égard de ce dernier et pour le compte de Télévision SSR, B._ exerçait le pouvoir de direction qui appartient normalement à l'employeur et qui, dans un rapport de location de services, est délégué au locataire. La position de bailleresse de services et d'employeuse de X._ SA ressortait du fait que celle-ci payait le salaire dû au figurant et se faisait rémunérer la prestation par Télévision SSR; cette position était confirmée par les indications fournies dans la demande d'autorisation adressée à l'office cantonal de la population. En licenciant le demandeur à l'issue de l'émission du 2 octobre 2002, B._ a pris une mesure qui excédait le pouvoir de direction délégué au locataire de services; X._ SA l'a cependant ratifiée de manière tacite, de sorte qu'elle doit assumer les suites pécuniaires de ce licenciement abrupt et injustifié.
Cette appréciation mérite l'adhésion du Tribunal fédéral et elle sera donc confirmée. X._ SA a durablement accepté que le demandeur travaille au service de Télévision SSR moyennant un salaire qu'elle payait elle-même; de ce fait déjà, le contrat de travail doit être tenu pour conclu selon l'<ref-law>. X._ SA insiste inutilement sur l'ampleur des prérogatives exercées par B._ dans l'emploi du demandeur car la délégation du pouvoir de direction, de l'employeur au locataire de services, est un élément classique et caractéristique de la location de services (Luc Thévenoz, Le travail intérimaire, thèse de Genève, Lausanne 1987, p. 99 ch. 235; même auteur, FJS n° 772, p. 10/11; Roman Heiz, Das Arbeitsverhältnis im Konzern, thèse, St. Gall 2004, p. 57). Que le locataire excède ce pouvoir en congédiant abruptement le travailleur, ainsi que B._ l'a fait, ne change rien à la situation préexistante; sa déclaration reste sans effet si l'employeur ne la ratifie pas. De toute évidence, le directeur de l'émission ne se préoccupait guère du statut juridique du demandeur et, dans cette situation, son attitude ne dénote pas la volonté d'exercer des droits d'employeur. Enfin, conformément à l'opinion de la Cour d'appel, on ne comprend pas pourquoi Télévision SSR aurait rétribué les services du demandeur par l'intermédiaire de X._ SA et pendant toute la durée des rapports de travail, à un tarif forfaitaire majoré d'une commission, si cette partie-ci s'était réellement et simplement bornée à lui indiquer l'occasion d'engager elle-même un figurant.
L'inobservation des exigences relatives à la forme et au contenu du contrat de travail dans un rapport de location de services, exigences énoncées à l'art. 19 al. 1 et 2 de la loi fédérale sur le service de l'emploi et la location de services (LSE; RS 823.11) et invoquées à l'appui du recours principal, n'a que les effets prévus par l'art. 19 al. 3 LSE; en l'occurrence, elle n'influence pas les obligations assumées par X._ SA.
Les développements consacrés à la relation de cette partie-ci avec Télévision SSR, en particulier pour dénier l'existence d'un contrat de location de services, ne sont pas non plus pertinents. Un rapport de location de services peut subsister longtemps (Heiz, ibid.) et on ne discerne pas en quoi Télévision SSR commet un abus de droit en opposant ce rapport aux prétentions que le demandeur élève contre elle. La convention collective qu'elle a souscrite pour son personnel a été prétendument éludée mais cette affirmation ne suffit pas à démontrer l'abus, déjà parce que les parties ne se sont pas prévalues de cette convention dans les instances cantonales et que la Cour d'appel n'en a donc pas constaté l'existence ni la teneur.
Ainsi, c'est effectivement avec X._ SA, exclusivement, que le demandeur s'est lié par un contrat de travail. Le recours principal est mal fondé dans la mesure où son auteur argue d'un lien contractuel entre le demandeur et Télévision SSR.
4. Les parties n'ont pas convenu à l'avance, même approximativement, d'une date à laquelle l'activité du demandeur devrait prendre fin. Au contraire, selon les constatations de la Cour d'appel, le demandeur était averti de ce que son emploi était précaire parce que la poursuite de l'émission dépendait de son succès auprès des téléspectateurs et qu'elle pourrait être interrompue à tout moment.
Conclu pour une durée indéterminée, le contrat de travail était donc susceptible d'une résiliation ordinaire avec observation d'un délai de congé, selon l'<ref-law>, ou d'une résiliation immédiate pour de justes motifs, selon l'<ref-law>.
Une résiliation immédiate a été décidée et communiquée le 2 octobre 2002 par le directeur de l'émission télévisée, en raison des dissensions existant entre le demandeur et divers membres de l'équipe de production. Informée de cette mesure, X._ SA n'a pas tenté d'infléchir la volonté du directeur; même après que le demandeur lui eut annoncé des prétentions pécuniaires, elle n'a pas proposé de rechercher pour lui une autre mission et elle n'a pas non plus résilié elle-même le contrat de travail. Elle a seulement entrepris de trouver un autre figurant pour remplacer le demandeur. Envers celui-ci, elle ne saurait avoir voulu se trouver indéfiniment en demeure selon l'<ref-law>. Dans ces conditions et au regard du principe de la confiance qui autorise, le cas échéant, à considérer qu'une partie a manifesté sa volonté de manière tacite (<ref-ruling> consid. 5a p. 59; <ref-ruling> consid. 5c p. 527), les précédents juges retiennent à bon droit que l'employeuse a ratifié le licenciement abrupt. Par ailleurs, aucun fait grave, propre à constituer un juste motif de résiliation immédiate, n'a été constaté.
En cas de résiliation immédiate et injustifiée du contrat, le travailleur peut réclamer ce qu'il aurait gagné si les rapports de travail avaient pris fin à l'expiration du délai de congé (<ref-law>); le juge peut en outre lui allouer une indemnité dont il fixe librement le montant, en tenant compte de toutes les circonstances; cette indemnité peut atteindre six mois de salaire au plus (<ref-law>). En application de ces dispositions, la Cour d'appel a retenu les montants de 9'000 et 10'000 fr. Leur évaluation est incontestée. Le recours principal échoue donc à mettre en évidence une violation du droit fédéral, ce qui entraîne son rejet.
5. La procédure du recours en réforme n'est pas gratuite car le montant de la demande, qui détermine la valeur litigieuse selon l'<ref-law>, était supérieur au plafond de 30'000 fr. prévu par cette disposition (<ref-ruling> consid. 4; <ref-ruling> consid. 5b p. 41). A titre de partie qui succombe, X._ SA doit donc acquitter l'émolument judiciaire et les dépens auxquels le demandeur peut prétendre (art. 156 al. 1 et 159 al. 2 OJ). Il ne sera pas alloué de dépens à la défenderesse qui n'a pas eu à répondre aux recours.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours principal est rejeté.
2. Le recours joint est rayé du rôle.
3. X._ SA acquittera un émolument judiciaire de 2'000 fr.
4. X._ SA acquittera une indemnité de 2'500 fr. à verser au demandeur à titre de dépens.
5. La caisse du Tribunal fédéral versera à Me Bürgisser, à titre d'honoraires, une indemnité de 2'500 fr. au cas où les dépens se révéleraient irrécouvrables.
6. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 12 décembre 2006
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: