Sachverhalt:
A. S._ (Jg. 1974) war seit April 2000 als Eisenleger-Hilfsarbeiter in der Armierungen M._ AG angestellt, als er am 14. Oktober 2004 anlässlich einer Auffahrkollision unter anderem eine Distorsion der Halswirbelsäule erlitt. Wegen nach einem Sturz aufgetretener Rücken- und Hüftbeschwerden war er seiner Arbeit schon seit dem 10. März 2003 nicht mehr nachgegangen und trotz ärztlich bescheinigter Arbeitsfähigkeit hatte er der wiederholten Aufforderung, wieder am Arbeitsplatz zu erscheinen, keine Folge geleistet, weshalb ihm die Firma die Stelle Ende November 2004 fristlos kündigte. Nach einem vom 12. April bis 3. Mai 2005 dauernden Aufenthalt in der Rehaklinik X._ stellte die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA), welche nach dem Auffahrunfall vom 14. Oktober 2004 für die Heilbehandlung aufgekommen war und Taggelder ausgerichtet hatte, ihre Leistungen am 15. Juni 2005 verfügungsweise auf den 1. Juli 2005 hin ein, weil keine Unfallfolgen mehr vorlägen, auf dem allgemeinen zumutbaren Arbeitsmarkt eine Arbeitsfähigkeit von 100 % bestehe und allfällige psychische Beschwerden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang mit dem versicherten Unfallereignis stehen würden. Auf Einsprache hin hob die SUVA diese Verfügung am 23. Dezember 2005 wieder auf und veranlasste eine zusätzliche neurologische sowie eine psychiatrische Untersuchung in der Rehaklinik X._. Mit Verfügung vom 21. Juni 2006 eröffnete sie S._ erneut, dass die noch geklagten Beschwerden organisch nicht hinreichend nachweisbar und deren - nach der bei psychischen Unfallfolgen massgebenden Methode zu prüfende - Adäquanz zu verneinen seien, weshalb die Leistungen auf den 30. Juni 2006 hin eingestellt würden. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 17. Januar 2007 fest.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 27. August 2008 ab.
C. Beschwerdeweise lässt S._ beantragen, die SUVA sei - unter Aufhebung des kantonalen Entscheids - zu verpflichten, ihm über den 30. Juni 2006 hinaus Taggelder auf der Grundlage einer 50%igen Arbeitsunfähigkeit auszurichten und für Heilungskosten aufzukommen. Auf die darüber hinaus im Sinne von Eventualbegehren gestellten Rückweisungsanträge wird, soweit erforderlich, in den Erwägungen eingegangen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (<ref-law>) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Zu prüfen ist, ob die SUVA auf Grund des Auffahrunfalles vom 14. Oktober 2004 über den 30. Juni 2006 hinaus Leistungen zu erbringen hat.
Bezüglich des Begriffs des für einen Leistungsanspruch vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen versichertem Unfallereignis und in der Folge aufgetretenen Gesundheitsschäden (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) kann mit der Vorinstanz auf die zutreffenden Ausführungen im Einspracheentscheid vom 17. Januar 2007 verwiesen werden. Der dazu kumulativ erforderliche adäquate Kausalzusammenhang (<ref-ruling> E. 3.2 S. 181 mit Hinweis) ist im kantonalen Entscheid korrekt umschrieben worden.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer beanstandet zunächst den Zeitpunkt der verfügten Leistungseinstellung. Nach der Rechtsprechung ergibt sich die Antwort auf die Frage, wann der Unfallversicherer einen Fall abzuschliessen und den Anspruch auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung zu prüfen hat, aus <ref-law> (<ref-ruling> E. 3.2 S. 113 und E. 4 S. 113 ff.). Laut Abs. 1 Satz 1 dieser Norm entsteht der Rentenanspruch, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitzustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind. Mit dem Rentenbeginn fallen nach <ref-law> die Heilbehandlung und die Taggeldleistungen dahin. Der Unfallversicherer hat demnach - sofern allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind - die Heilbehandlung und das Taggeld nur solange zu gewähren, als von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden kann. Trifft dies nicht mehr zu, ist der Fall unter Einstellung der Heilbehandlung und des Taggeldes mit gleichzeitiger Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung abzuschliessen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 113 f.; zum Begriff "namhafte Besserung des Gesundheitszustandes" vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 115).
3.2 Bereits im Zeitpunkt der am 15. Juni 2005 verfügten erstmaligen Leistungseinstellung auf den 1. Juli 2005 hin stand keine ärztliche Behandlung mehr zur Diskussion, von welcher eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes hätte erwartet werden können. Die auf Einsprache hin erfolgte Aufhebung der Verfügung vom 15. Juni 2005 ist einzig mit der von der SUVA als noch notwendig erachteten genaueren medizinischen Abklärung zu erklären. Auch die deshalb in der Rehaklinik X._ durchgeführten zusätzlichen Untersuchungen durch den Neurologen Dr. med. Z._ und den Psychiater Dr. med. K._ ergaben keine Hinweise auf allenfalls noch zweckmässige medizinische Massnahmen. Spätestens nach Vornahme dieser weiteren Abklärungen stand daher einem Fallabschluss mit Einstellung der bisher gewährten Leistungen und Prüfung eines allfälligen Anspruchs auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung nichts mehr entgegen. Daran ändert nichts, dass im Rahmen der erneuten Beurteilung in der Rehaklinik X._ sowohl Dr. med. Z._ als auch Dr. med. K._ einem raschen Fallabschluss eher skeptisch gegenüberstanden, bezogen sich deren Bedenken doch in erster Linie auf allenfalls zu befürchtende finanzielle Engpässe, welche den Erfolg der bisherigen Integrationsbemühungen in Frage stellen könnten. Fallen indessen keine medizinischen Vorkehren mehr in Betracht, hat der Unfallversicherer auch im Hinblick auf eine mögliche Vermeidung oder Minderung vorübergehender oder anhaltender Schwierigkeiten ökonomischer Art auf Grund von <ref-law> keine Leistungen mehr auszurichten. Gegen die auf Ende Juni 2006 hin verfügte Leistungseinstellung ist demnach in zeitlicher Hinsicht nichts einzuwenden.
4. Ebenso wenig spricht das Fehlen einer inter-/polydisziplinären Begutachtung gegen die Zulässigkeit der zur Diskussion stehenden Leistungseinstellung. Die SUVA hat ihre Leistungen mangels adäquaten Kausalzusammenhanges zwischen den noch geklagten Beschwerden und dem Auffahrunfall vom 14. Oktober 2004 eingestellt. Die in der Beschwerdeschrift - eventualiter - beantragte Durchführung einer polydisziplinären Abklärung erübrigt sich angesichts dieser Begründung der verfügten Leistungseinstellung. Eine inter-/polydisziplinäre Abklärung nach <ref-ruling> E. 9.3 ff. S. 124 ff. ist angezeigt, wenn sich bei der Klärung des natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen versichertem Unfallereignis und geklagten Beschwerden Schwierigkeiten ergeben, so namentlich in Fällen länger und ohne deutliche Besserungstendenz bestehender Beschwerden einerseits und kurz nach dem Unfall vorliegender Anhaltspunkte für einen problematischen Heilungsverlauf andererseits (<ref-ruling> E. 9.3 S. 124). Daraus kann der Beschwerdeführer jedoch nichts ableiten, das seine Argumentation und namentlich seine Forderung nach weiteren medizinischen Abklärungen stützen würde, geht es doch hier gar nicht mehr um die Frage nach der natürlichen Kausalität des Verkehrsunfalles vom 14. Oktober 2004 für die noch geklagten Beschwerden. Zwar stellen sich auch im Rahmen der Adäquanzprüfung verschiedentlich Fragen, zu deren Beantwortung ärztliche Auskünfte nützliche Dienste leisten können und oftmals unabdingbar sind. Zu denken ist dabei etwa an die Einschätzung der trotz gesundheitlicher Schädigung verbliebenen zumutbaren Arbeitsfähigkeit sowie an die Art und Notwendigkeit medizinischer Massnahmen. Eines inter-/polydisziplinären Gutachtens bedarf es für die Klärung solcher bei der Prüfung einzelner Adäquanzkriterien zuweilen auftauchender Problemkreise indessen nicht, wenn - wie hier - Berichte von Ärzten verschiedener in Betracht fallender Fachrichtungen vorliegen, welche eine schlüssige Gesamtbeurteilung zulassen.
5. 5.1 Angesichts der in medizinischer Hinsicht gut dokumentierten Aktenlage ist der Vorinstanz darin beizupflichten, dass sich zusätzliche Abklärungen erübrigen, zumal von solchen - in antizipierter Beweiswürdigung (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 94, 122 V 157 E. 1d S. 162) - keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären, welche sich auf die Beurteilung der streitigen Leistungsansprüche auswirken könnten. Nach eingehender Auseinandersetzung mit den vorhandenen ärztlichen Berichten ist das kantonale Gericht insbesondere gestützt auf den Austrittsbericht der Rehaklinik X._ vom 31. Mai 2005 und die beiden zusätzlich eingeholten Teilgutachten des Neurologen Dr. med. Z._ vom 24. März 2006 sowie des Psychiaters Dr. med. K._ vom 9. März 2006 mit überzeugender Begründung zum Schluss gelangt, dass im Zeitpunkt, auf welchen hin die SUVA ihre Leistungen einstellte (30. Juni 2006), mit überwiegender Wahrscheinlichkeit keine Unfallfolgen somatischer Art mehr vorlagen. Tatsächlich ergeben sich aus den Akten keine Anhaltspunkte für organisch nachweisbare Schäden im Sinne struktureller Veränderungen. Auch sind die Symptome, die zu dem nach Schleudertraumen oder äquivalenten Verletzungen oftmals beobachteten und daher als typisch bezeichneten bunten Beschwerdebild gehören, bloss teilweise aufgetreten. Mangels somatischer Befunde, welche sich nicht ausschliesslich mit der psychischen Entwicklung und der daraus resultierenden Konstitution erklären lassen, haben sich SUVA und Vorinstanz bei der Adäquanzprüfung zu Recht an die in <ref-ruling> umschriebene Methode gehalten. Dass sie dabei keines der massgebenden Kriterien als erfüllt betrachteten, wird in der Beschwerdeschrift nicht weiter beanstandet.
5.2 Mit dem Einwand, Dr. med. G._ habe im Austrittsbericht der Rehaklinik X._ vom 31. Mai 2005 ausdrücklich hervorgehoben, dass sich die bescheinigte 50%ige Arbeitsunfähigkeit für mittelschwere Tätigkeiten primär auf organisch bedingte Beschwerden beziehe, hat sich schon das kantonale Gericht auseinandergesetzt und erkannt, dass angesichts der von den verschiedenen involvierten Fachärzten der Rehaklinik erhobenen Befunde unklar sei, welche organisch erklärbaren Beschwerden damit gemeint sein sollen. Wie es sich diesbezüglich verhält, kann dahingestellt bleiben. Ebenso wenig bedürfen die weiteren in der Beschwerdeschrift gegen die Adäquanzprüfung nach <ref-ruling> erhobenen Einwände näherer Erörterungen, würde doch - wie sich aus nachstehender Erwägung ergibt - selbst eine Adäquanzprüfung nach <ref-ruling> zu keinem für den Beschwerdeführer günstigeren Ergebnis führen.
5.3 Das kantonale Gericht hat den Auffahrunfall vom 14. Oktober 2004 als mittelschweres, im Grenzbereich zu den leichten Fällen liegendes Ereignis betrachtet. Diese Einstufung steht mit der Rechtsprechung in Einklang (SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81 E. 7.2; RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236 E. 5.1.2) und kann auch im Rahmen einer Adäquanzprüfung nach <ref-ruling> Geltung beanspruchen.
5.3.1 Unbestrittenermassen nicht erfüllt wären die Kriterien "besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls" (<ref-ruling> E. 10.2.1 S. 127) sowie "ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert" (<ref-ruling> E. 10.2.5 S. 129). Ebenso wenig könnte, entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers, von "schwierigem Heilungsverlauf und erheblichen Komplikationen" (<ref-ruling> E. 10.2.6 S. 129) gesprochen werden, zumal eine Behandlungsbedürftigkeit während zwei bis drei Jahren nach einem Schleudertrauma der Halswirbelsäule als durchaus üblich zu betrachten ist (RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236 E. 5.2.4 in fine; Urteil 8C_402/2007 vom 23. April 2008, E. 5.2.3).
5.3.2 Kaum ersichtlich wäre, inwiefern das Kriterium "Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen" (<ref-ruling> E. 10.2.2 S. 127 f.) erfüllt sein sollte. Die Diagnose einer Distorsion der Halswirbelsäule allein genügt nach der Rechtsprechung jedenfalls nicht zur Bejahung dieses Kriteriums. Zwar soll gemäss ersten Diagnosen nach dem Unfallereignis nebst der Halswirbelsäule auch die - schon vorgeschädigte - Lendenwirbelsäule von der Aufprallwirkung betroffen worden sein. Zudem war von einem Verdacht auf eine Commotio cerebri oder eine milde traumatische Hirnschädigung die Rede. Angesichts des doch raschen Heilungsverlaufs könnte indessen kaum gesagt werden, dass es sich dabei um schwere Verletzungen gehandelt hätte. Ebenso wenig liesse die angebliche, mit einem Blick in den Rückspiegel verbundene leichte Kopfdrehung nach rechts kurz vor dem Aufprall auf eine besondere Art der erlittenen Halswirbelsäulenverletzung schliessen. Abgesehen davon, dass ein Blick in den Rückspiegel nicht zwangsläufig auch eine Kopfdrehung bedingt, will der Beschwerdeführer in der Folge auf den bevorstehenden Aufprall gefasst gewesen sein und deshalb mit beiden Händen das Lenkrad fest umklammert gehalten haben. Dass er unter diesen Umständen auch noch im Zeitpunkt des eigentlichen Aufpralls in den Rückspiegel schaute und deshalb den Kopf leicht nach rechts gedreht hielt, erscheint doch als eher unwahrscheinlich. Das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen, das insbesondere die erfahrungsgemässe Eignung betrifft, eine intensive, dem typischen Beschwerdebild nach Schleudertraumen entsprechende Symptomatik zu bewirken, könnte daher, wenn überhaupt, so jedenfalls nicht in ausgeprägtem Masse als erfüllt gelten.
5.3.3 Was die "fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung" (<ref-ruling> E. 10.2.3 S. 128) anbelangt, ist festzuhalten, dass die sporadischen Konsultationen und Verlaufskontrollen beim Hausarzt Dr. med. P._ und die auf dessen Veranlassung vereinzelt durchgeführten spezialärztlichen Abklärungen nicht als kontinuierliche, mit einer gewissen Planmässigkeit auf eine Verbesserung des Gesundheitszustandes ausgerichtete ärztliche Behandlung zu qualifizieren sind. Dasselbe gilt für den der Sachverhaltsabklärung dienenden Aufenthalt in der Rehaklinik X._. Ebenso wenig lassen sich ambulante physiotherapeutische Massnahmen als belastend im Sinne der Rechtsprechung bezeichnen. Auch waren die getroffenen Vorkehren nicht mit der durch das hier zur Diskussion stehende Kriterium anvisierten, erheblichen zusätzlichen Beeinträchtigung der Lebensqualität verbunden. Das Kriterium "fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung" könnte demnach nicht als erfüllt gelten.
5.3.4 Ebenso wenig wäre von einer "erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen" (<ref-ruling> E. 10.2.7 S. 129 f.) auszugehen. Zwar ist der Beschwerdeführer nicht nur vor, sondern auch nach dem Auffahrunfall vom 14. Oktober 2004 über längere Zeit hinweg keiner Arbeitstätigkeit mehr nachgegangen - auch nicht zu Zeiten, für welche ihm ärztlicherseits zumindest eine Teilarbeitsfähigkeit attestiert worden war. Ins Gewicht fällt aber, dass er abgesehen von der Teilnahme an einem offenbar von der Arbeitslosenversicherung in die Wege geleiteten Integrationsprogramm keinerlei Anstrengungen zur Überwindung seiner Arbeitsunfähigkeit unternommen hat. Daher könnte auch dieses Kriterium nicht als erfüllt gelten.
5.3.5 Inwieweit "erhebliche Beschwerden" (<ref-ruling> E. 10.2.4 S. 128) vorliegen, könnte dahingestellt bleiben. Auch wenn in diesem Punkt der Auffassung des Beschwerdeführers gefolgt werden könnte, wären von den sieben relevanten Kriterien höchstens zwei erfüllt (E. 4.3.2 und E. 4.3.5), zumindest eines davon jedenfalls nicht in ausgeprägter Weise (E. 4.3.2). Zur Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen allfällig noch vorhandenen Beschwerden und dem versicherten Unfallereignis genügt dies bei einem mittelschweren, eher im Grenzbereich zu den leichten Unfällen liegenden Ereignis jedoch auch nach <ref-ruling> nicht.
6. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten vom Beschwerdeführer als unterliegender Partei zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. März 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl