Sachverhalt:
A.
A.a. Die A._ AG mit Sitz in Burgdorf (BE) bezweckt den Betrieb eines Logistikunternehmens. Die Gesellschaft wurde per 15. Mai 2006 ins Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragen. Sie wird zu 100 % durch die B._ AG gehalten, deren Alleinaktionär X._ ist. Dieser hält zudem rund 70 % der Anteile der börsenkotierten C._ Holding AG, welche ihrerseits zu 100 % die C._ AG hält. Die C._-Gruppe ist Entwicklerin und Herstellerin von kundenspezifischen Injektions-Pens und Pen-Nadeln für Diabetes-, Wachstumshormon- und Infertilitätstherapien sowie für weitere Indikationen.
A.b. Anlässlich einer Kontrolle am 28. Oktober 2009 betreffend die Steuerperioden vom 2. Quartal 2006 bis zum 2. Quartal 2009 stellte die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV) fest, das Hauptaktivum in der Bilanz der A._ AG, ein Flugzeug mit dem Kennzeichen xxxx, sei mittels zinsloser Darlehen der B._ AG erworben und anschliessend der D._ AG ins Aircraft-Management übergeben worden. Die D._ AG habe neben Flugleistungen für Drittkunden (sog. gewerbsmässige Operationen) auch Flüge für die A._ AG (sog. private Operationen) erbracht. Für die Flüge von Drittkunden habe die D._ AG sämtliche operationellen Kosten getragen und der A._ AG eine nach Flugminuten ausgewiesene Mietentschädigung bezahlt; für ihre eigenen Flüge seien der A._ AG die Aufwendungen der D._ AG sowie angefallene Drittkosten (weiter-) verrechnet worden. Da das Flugzeug auch für "private Operationen" genutzt geworden sei, habe auf dem Umfang der entsprechenden Aufwendungen kein Anspruch auf Vorsteuerabzug bestanden. Infolge eines Nachlassverfahrens über die D._ AG habe die A._ AG den Aircraft-Management-Vertrag im Dezember 2008 aufgelöst, das Flugzeug von der D._ AG abgezogen und es dem Verein E._ ins Aircraft-Management übergeben.
A.c. Mit Verfügung vom 31. Mai 2012 auferlegte die ESTV der A._ AG für die Steuerperioden vom 2. Quartal 2006 bis zum 4. Quartal 2009 (Zeitraum vom 1. April 2006 bis zum 31. Dezember 2009) Mehrwertsteuern im Betrag von Fr. 343'470.-- zuzüglich die gesetzlichen Verzugszinsen (Ziff. 1 des Verfügungsdispositivs). Die (unter Vorbehalt geleistete) Zahlung von Fr. 60'000.-- wurde an die Steuerschuld angerechnet (Ziff. 2 des Verfügungsdispositivs). Zur Begründung führte die ESTV an, es liege eine gemischte Verwendung des Flugzeugs vor, was zu einer Kürzung des Vorsteuerabzugs führen müsse. Die A._ AG habe nicht nachgewiesen, dass die Leistungsempfänger die Flüge für geschäftsmässig begründete Zwecke verwendet hätten; bei den privaten Operationen fehle es an einem Leistungsaustausch. Dies gelte insbesondere auch für die Flüge der C._ AG respektive die C._ Holding AG.
B.
Die A._ AG focht die Ziff. 1 und 2 der Verfügung der ESTV vom 31. Mai 2012 beim Bundesverwaltungsgericht an. Dieses hiess die Beschwerde mit Urteil vom 14. Juni 2013 "im Sinne der Erwägungen" gut und hob die Ziff. 1 und 2 der angefochtenen Verfügung auf.
Das Bundesverwaltungsgericht erwog zunächst, die gewählte Rechtsgestaltung stelle keine Steuerumgehung dar. Das quantitative Verhältnis zwischen Umsätzen aus Flügen mit privatem Charakter und solchen mit geschäftlichem Charakter zeige, dass die A._ AG - entgegen den Vorbringen der ESTV - zur aktiven Teilnahme am Wirtschaftsleben gegründet worden sei bzw. geführt werde. Weder im Vertragsverhältnis mit der D._ AG noch in jenem mit dem Verein E._ habe der A._ AG ein ausschliessliches oder vorrangiges Benutzungsrecht des Flugzeugs zugestanden. Der Umstand, dass das Flugzeug auch durch den (indirekten) Alleinaktionär der A._ AG mitbenutzt worden sei, lasse nicht auf eine missbräuchliche Rechtsgestaltung schliessen. Demzufolge sei auch das Halten des Flugzeugs mit Bezug auf die Umsätze der A._ AG aus den Flügen für X._ und allenfalls ihm nahestehende Personen nicht als teilweise Steuerumgehung zu qualifizieren. Diese Umsätze seien grundsätzlich bei der A._ AG steuerbare (bzw. steuerbefreite), unbestrittenermassen gegen Entgelt erbrachte Leistungen, welche nicht zu einer Vorsteuerabzugskürzung führen würden. Eine separate Beurteilung der Umsätze aus Flügen privater Natur und solchen geschäftlicher Natur sei nur angezeigt, wenn eine Steuerumgehung vorliege; diesfalls wäre in Bezug auf die Umsätze aus Flügen privater Natur eine (teilweise) Steuerumgehung anzunehmen.
Weiter erwog das Bundesverwaltungsgericht, die von der B._ AG gewährten Darlehen würden - entgegen der Ansicht der ESTV - keine Spenden im Sinn von Art. 38 Abs. 8 aMWSTG darstellen. Die Finanzierung einer Gesellschaft führe nicht zur verhältnismässigen Kürzung des Vorsteuerabzugs, sofern sie dazu diene, der Gesellschaft die Ausübung einer mehrwertgenerierenden Tätigkeit nach den Gesetzen des Marktes zu ermöglichen. Die A._ AG habe sich im relevanten Zeitraum von 2006 bis 2010 noch in der wirtschaftlichen Aufbauphase verbunden, während der Verluste nicht unüblich seien. Sie könne glaubhaft darlegen, dass sie zumindest bis zur Reorganisation des Aircraft-Managements im Jahr 2009 das Ziel verfolgte, mittels Durchführung von Drittflügen eine mehrwertgenerierende Tätigkeit auszuüben. Dafür spreche insbesondere der relativ hohe Anteil an Drittflügen und der in den Anfangsjahren erzielte positive Cash Flow. Auch die nunmehr geäusserte Absicht der A._ AG, ihr Flugzeug zu veräussern und sich aufzulösen, deute eher darauf hin, dass sie im Zeitpunkt der Gründung wirtschaftlich erfolgreich habe sein wollen. Demgemäss liege keine Spende im Sinn von Art. 38 Abs. 8 aMWSTG vor, so dass diesbezüglich keine Vorsteuerabzugskürzung vorgenommen werden dürfe.
C.
Die ESTV erhebt am 16. August 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit dem Antrag, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid über die Vorsteuerkürzungen und Nutzungsänderungen an das Bundesverwaltungsgericht, eventuell an sie selbst - die ESTV - zurückzuweisen.
In der Beschwerdeschrift macht die ESTV geltend, das Bundesverwaltungsgericht habe die Beschwerde "im Sinne der Erwägungen" gutgeheissen, wodurch die Erwägungen des Urteils zum Streitgegenstand würden. Sie - die ESTV - akzeptiere zwar die Auffassung (nicht aber die Schlussfolgerungen) des Bundesverwaltungsgerichts, wonach die A._ AG nicht "in erster Linie" oder "hauptsächlich" dem wirtschaftlich Berechtigten zu rein privaten Zwecken dienen sollte und auch nicht gedient habe. Deswegen könne der vorliegende Fall wohl nicht grundsätzlich als Steuerumgehungsfall im Sinn der jüngsten bundesgerichtlichen Rechtsprechung in sog. Flugzeugfällen behandelt werden. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts werde insofern angefochten, als aufgrund der fehlenden Steuerumgehung die privaten Flüge des (indirekt) wirtschaftlich Berechtigten sowie die Flüge der ihm nahestehenden B._ AG nicht zu einer Kürzung des Vorsteuerabzugs führen würden, obwohl der Nachweis der Verwendung für geschäftliche Zwecke nicht erbracht worden sei. Zudem hätte eine Vorsteuerabzugskürzung infolge der spendenartigen Finanzierung der A._ AG gestützt auf Art. 38 Abs. 8 aMWSTG erfolgen müssen. Schliesslich könne der vorliegende Fall auch nicht als "Normalfall" im Sinn des Urteils 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.9 bezeichnetet werden; das Bundesgericht habe diesen Begriff bisher noch nicht definieren müssen.
D.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Die A._ AG beantragt in ihrer Beschwerdeantwort vom 11. Oktober 2013 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Eventuell sei festzustellen, dass die von der ESTV gewählte Methode zur Kürzung des Vorsteuerabzugs vorliegend nicht anwendbar sei, und die Sache an die ESTV zurückzuweisen, damit sie gestützt auf Weisungen des Bundesgerichts neue Berechnungen aufgrund einer sachgerechten Methode vornehme und eine neue Verfügung erlasse.
Die ESTV hält mit Replik vom 11. November 2013 an ihren Anträgen fest.
Die A._ AG hat am 25. November 2013 auf Schlussbemerkungen verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>) und wurde vom Bundesverwaltungsgericht als einer zulässigen Vorinstanz erlassen (<ref-law>). Eine sachliche Ausnahme gemäss <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig.
1.2. Die ESTV ist als Verwaltungseinheit der zentralen Bundesverwaltung dem Eidgenössischen Finanzdepartement (EFD) unterstellt (Ziff. B.5.1.5 des Anhangs 1 zur Regierungs- und Verwaltungsorganisationsverordnung vom 25. November 1998 [RVOV; SR 172.010.1]. Soweit das Bundesrecht es vorsieht, sind die den Departementen untergeordneten Dienststellen zur Beschwerde berechtigt, wenn der angefochtene Akt die Bundesgesetzgebung in ihrem Aufgabenbereich verletzen kann (<ref-law>). Gemäss Art. 141 der Mehrwertsteuerverordnung vom 27. November 2009 (MWSTV; SR 641.201) ist die ESTV im Sinn von Artikel 89 Abs. 2 lit. a BGG zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt. Gleiches sieht Art. 4 Abs. 1 der Organisationsverordnung vom 17. Februar 2010 für das Eidgenössische Finanzdepartement (OV-EFD; SR 172.215.1) in Verbindung mit Art. 12 und Art. 13 OV-EFD vor. Die Legitimation der ESTV ist damit gegeben.
1.3. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
3.
Streitgegenstand ist die Frage, ob die Vorinstanz die Steuernachforderung gegenüber der Beschwerdegegnerin zu Recht aufgehoben hat.
Die Beschwerdeführerin trägt vor, die Erwägungen des angefochtenen Urteils würden durch die Formulierung des Dispositivs Teil des Streitgegenstands. Die Wendung "im Sinn der Erwägungen gutgeheissen" wird vorwiegend in den beiden folgenden Konstellationen verwendet:
Fall 1: Ein angefochtener Entscheid wird aufgehoben und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen (kassatorisches Urteil). Obwohl der Ausgang des neuen Verfahrens grundsätzlich offen ist, kann die Beschwerdeinstanz verbindliche Anweisungen geben, welche Grundsätze die Vorinstanz bei der (neuerlichen) Entscheidfindung zu beachten hat. Durch den Verweis auf die Erwägungen im Dispositiv des Beschwerdeentscheids wird angezeigt, dass diese an der Rechtskraft teilhaben sollen.
Fall 2: Ein angefochtener Entscheid wird aufgehoben. Die Beschwerdeinstanz bejaht grundsätzlich den geltend gemachten Anspruch, kann oder will jedoch über dessen Art und Höhe nicht selbst entscheiden. Sie weist die Angelegenheit an die Vorinstanz zurück, damit diese einen neuen Entscheid "im Sinne der Erwägungen" fälle. Auch in dieser Konstellation verbleibt der unteren Instanz noch ein gewisser Entscheidungsspielraum, weshalb der neue Entscheid wiederum anfechtbar ist.
Im hier zu beurteilenden Fall liegt keine der beschriebenen Konstellationen vor. Die Vorinstanz hat die Sache nicht an die Erstinstanz zurückgewiesen, sondern deren Steuernachforderung ersatzlos aufgehoben. Die Rechtsprechung, wonach die Erwägungen an der Rechtskraft des Dispositivs infolge Verweises teilnehmen, betrifft die Konstellation, in der die Vorinstanz einen neuen Entscheid fällen muss (vgl. Urteile 9C_58/2012 vom 8. Juni 2012 E. 4.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>; 9C_837/2011 vom 29. Juni 2012 E. 5.2). Weil dies hier nicht zutrifft, führt die Wendung "im Sinne der Erwägungen" nicht dazu, dass die Erwägungen des vorinstanzlichen Urteils selbständig anfechtbar wären. Die Formulierung kann im Sinn einer teilweisen Motivsubstitution verstanden werden. Es gilt der Grundsatz, dass nur das Dispositiv, nicht aber die Begründung eines Entscheids anfechtbar ist (<ref-ruling> E. 1a S. 237 mit Hinweis).
4.
4.1. Am 1. Januar 2010 ist das Bundesgesetz vom 12. Juni 2009 über die Mehrwertsteuer (MWSTG; SR 641.20) in Kraft getreten. Der vorliegend zu beurteilende Sachverhalt erstreckt sich vom 1. April 2006 bis zum 31. Dezember 2009; er fällt somit in die Zeit vor dem Inkrafttreten des MWSTG. Gemäss <ref-law> bleiben die bisherigen gesetzlichen Bestimmungen sowie die gestützt darauf erlassenen Vorschriften grundsätzlich weiterhin auf alle während ihrer Geltungsdauer eingetretenen Tatsachen und entstandenen Rechtsverhältnisse anwendbar. Das vorliegende Verfahren untersteht deshalb in materieller Hinsicht dem Mehrwertsteuergesetz vom 2. September 1999 (aMWSTG; AS 2000 1300) sowie der dazugehörigen Verordnung vom 29. März 2000 (MWSTGV; AS 2000 1347).
4.2. Das Verfahren vor der ESTV wurde im Oktober 2009 eröffnet, indem diese bei der (heutigen) Beschwerdegegnerin eine Kontrolle durchführte. Gemäss <ref-law> ist das neue Verfahrensrecht (vorbehältlich der Regeln über die Bezugsverjährung nach <ref-law>) auf sämtliche im Zeitpunkt des Inkrafttretens hängigen Verfahren anwendbar. In diesem Zeitpunkt (am 1. Januar 2010) war das Verfahren bereits vor der ersten Instanz hängig, so dass in verfahrensrechtlicher Hinsicht das neue Recht anwendbar ist.
5.
5.1. Der Mehrwertsteuer unterliegen die im Inland gegen Entgelt erbrachten Lieferungen von Gegenständen und Dienstleistungen (Art. 5 Bst. a und b aMWSTG). Als Dienstleistung gilt jede Leistung, die keine Lieferung eines Gegenstands ist (Art. 7 Abs. 1 aMWSTG). Die Steuer wird vom Entgelt berechnet (Art. 33 Abs. 1 aMWSTG). Zum Entgelt gehört alles, was der Empfänger oder an seiner Stelle ein Dritter für die Lieferung oder Dienstleistung aufwendet einschliesslich Spenden, die unmittelbar den einzelnen Umsätzen des Empfängers als Gegenleistung zugeordnet werden können. Die Gegenleistung erfasst auch den Ersatz aller Kosten, selbst wenn diese gesondert in Rechnung gestellt werden (Art. 33 Abs. 2 aMWSTG).
5.2. Eine steuerbare Leistung im Sinn von Art. 5 Bst. a und b aMWSTG setzt einen Leistungsaustausch voraus; fehlt es daran, ist die Aktivität mehrwertsteuerlich irrelevant und fällt nicht in den Geltungsbereich der Mehrwertsteuer (<ref-ruling> E. 4.3 mit Hinweisen). Ein Leistungsaustausch ist anzunehmen, soweit zwischen der (Haupt-) Leistung (Lieferung oder Dienstleistung im Sinn von Art. 5 aMWSTG) und der Gegenleistung (Entgelt im Sinn von Art. 33 aMWSTG) ein Konnex besteht (Urteil 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.4); verlangt wird eine "innere wirtschaftliche Verknüpfung" (<ref-ruling> E. 3.2 S. 241; <ref-ruling> E. 4.1 S. 357). Nach der neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung (geändert mit Urteil 2A.264/2006 vom 3. September 2008 E. 3.3) ist ein Leistungsaustausch auch unter nahestehenden Personen möglich. Dies ergibt sich aus dem Begriff des Leistungsaustauschs bei Lieferungen und Dienstleistungen im Sinn der Art. 5 ff. aMWSTG, welche diesbezüglich keine Ausnahme oder abweichende Behandlung vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 241; Urteile 2C_146/2010 vom 15. August 2012 E. 4.1.2; 2C_732/2010 vom 28. Juni 2012 E. 3 und 4.2; 2C_129/2012 vom 15. Juni 2012 E. 4.1; 2C_836/2009 vom 15. Mai 2012 E. 5.1; 2C_476/2010 vom 19. März 2012 E. 2.1). Deswegen ist der Leistungsaustausch zwischen einer juristischen Person und ihrem Beteiligten mit Bezug auf das Steuerobjekt im Grundsatz nicht anders zu behandeln als der Leistungsaustausch zwischen einer juristischen Person und einem unabhängigen Dritten (Urteil 2C_146/2010 vom 15. August 2012 E. 4.1.2).
5.3. Art. 38 aMWSTG regelt die Grundsätze zum Vorsteuerabzug. Verwendet die steuerpflichtige Person Gegenstände oder Dienstleistungen für einen geschäftlich begründeten Zweck, so kann sie in ihrer Steuerabrechnung die in Art. 38 Abs. 1 lit. a-c aMWSTG genannten Steuern als Vorsteuern abziehen. Zum Vorsteuerabzug berechtigen - neben anderen - gemäss Art. 38 Abs. 2 lit. a und b aMWSTG steuerbare Lieferungen und Dienstleistungen. Als "verwendet" im Sinn von Art. 38 Abs. 1 und 2 aMWSTG gilt ein (vor) steuerbelasteter Eingangsumsatz, der in steuerbare Ausgangsumsätze der steuerpflichtigen Person fliesst, mithin für einen geschäftlich begründeten Zweck eingesetzt wird. Fehlt es an diesem Zweck, liegt hinsichtlich der Eingangsleistung Eigenverbrauch durch die steuerpflichtige Person vor (Urteil 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.6 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 8.2 S. 364; DANIEL RIEDO, Vom Wesen der Mehrwertsteuer als allgemeine Verbrauchsteuer und von den entsprechenden Wirkungen auf das schweizerische Recht, 1999, S. 158 f.).
Gemäss Art. 38 Abs. 8 erster Satz aMWSTG ist der Vorsteuerabzug verhältnismässig zu kürzen, soweit die steuerpflichtige Person Spenden erhält, die nicht einzelnen Umsätzen des Empfängers als Gegenleistung zugeordnet werden können.
6.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Art. 1 Abs. 2, Art. 9 Abs. 1 und 3, Art. 38 Abs. 1, 2, 4 und 8, Art. 41 und Art. 42 aMWSTG.
6.1. Die Beschwerdeführerin räumt ein, es liege in Bezug auf die Wahl der Rechtsform der Beschwerdegegnerin keine Steuerumgehung im Sinn der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (<ref-ruling>; Urteile 2C_146/2010 vom 15. August 2012; 2C_732/2010 vom 28. Juni 2012) vor. Jedoch müsse auf privaten Flügen, welche 5 % der Gesamtnutzung (in Flugminuten oder Umsätzen) übersteigen würden, trotz mehrwertsteuerlichen Leistungsaustauschs zwischen der steuerpflichtigen Person und ihrem wirtschaftlich Berechtigten eine Kürzung des Vorsteuerabzugs erfolgen. Dies gebiete die ratio legis von Art. 38 Abs. 1, 2 und 4 aMWSTG. In solchen Fällen müsste auch der Einzelunternehmer eine Vorsteuerabzugskürzung infolge Eigenverbrauchs gemäss Art. 9 Abs. 1 aMWSTG hinnehmen. Angesichts der wirtschaftlichen Identität der beteiligten Personen sei es nicht sachgerecht, deren Unabhängigkeit zu betonen. Folge man dem angefochtenen Urteil, führe eine private und nicht nachgewiesene geschäftliche Verwendung der Leistungen im Umfang von 5 % bis mutmasslich 50 % im vorliegenden Fall zu einer vollständigen Steuerentlastung. Es sei offen, welche steuerrechtlichen Konsequenzen derartige Fälle (nicht überwiegende Privatnutzung, Anerkennung der Struktur der steuerpflichtigen Person in Bezug auf Drittumsätze und auf nachgewiesene Verwendung zu geschäftlichen steuerbaren Zwecken durch die nahestehende Person) nach sich ziehen würden. Die Vorinstanz habe die Kürzung des Vorsteuerabzugs zu Unrecht ausgeschlossen.
6.2. Wie die Vorinstanz korrekt dargelegt hat, spielt die private Verwendung der (Flug) Leistungen nur auf der Ebene der Steuerumgehung im Sinn einer missbräuchlichen Rechtsgestaltung eine Rolle: Die überwiegende oder fast ausschliessliche Nutzung eines Gegenstands bzw. einer Dienstleistung durch die wirtschaftlich berechtigte Person kann ein Indiz für eine missbräuchliche Wahl der Rechtsform sein (Durchlaufgesellschaft, Umwegstruktur), wenn damit versucht wird, Steuern zu sparen (<ref-ruling> E. 4.3.3). Für die Annahme einer Steuerumgehung müssen ausserdem die von der Rechtsprechung entwickelten Kriterien (vgl. Urteil 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.8) erfüllt sein. Wird nun - wie hier - eine Steuerumgehung verneint, stellt die "private" Verwendung von Leistungen der steuerpflichtigen Gesellschaft durch die wirtschaftlich berechtigte Person keinen Umgehungstatbestand dar. Es bleibt lediglich zu prüfen, ob hinsichtlich aller Umsätze ein Leistungsaustausch vorliegt bzw. ob die Leistungen die betriebliche Sphäre verlassen (vgl. E. 6.3 hiernach). Ist dies der Fall, wird die Frage, ob teilweise Eigenverbrauch vorliegt (gemischte Verwendung, vgl. Art. 41 Abs. 1 aMWSTG), hinfällig.
Im vorinstanzlichen Verfahren räumte die (heutige) Beschwerdeführerin sinngemäss ein, der Vorsteuerabzug sei hinsichtlich der Flüge für die C._ AG bzw. die C._ Holding AG zulässig. Demgemäss ist im vorliegenden Verfahren die Frage streitig, ob die Vorinstanz den Vorsteuerabzug zu Recht (auch) auf jenen Anschaffungs- und Betriebskosten zugelassen hat, welche den Flügen von X._ und der B._ AG zuzuordnen sind. Schliesslich ist das Vorbringen zu prüfen, es sei in Anwendung von Art. 38 Abs. 8 aMWSTG eine verhältnismässige Kürzung des Vorsteuerabzugs vorzunehmen.
Nachdem die Beschwerdeführerin selbst einräumt, es liege keine Steuerumgehung vor, ist auf das Vorbringen, wonach der vorliegende Fall nicht als "Normalfall" im Sinn des Urteils 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.9 bezeichnet werden könne, nicht einzugehen.
6.3.
6.3.1. Der Auffassung, wonach trotz Vorliegens eines Leistungsaustauschs eine Kürzung des Vorsteuerabzugs vorzunehmen sei, kann nicht gefolgt werden. Die Beschwerdeführerin übersieht, dass die Art der Verwendung der Leistung auf Seiten des Empfängers irrelevant ist. Sofern ein Leistungsaustausch vorliegt, spielt es keine Rolle, ob die Leistung zu privaten oder anderen Zwecken bezogen wird. Nicht der Empfänger der Leistung, sondern die steuerpflichtige Person muss einen geschäftlich begründeten Zweck verfolgen. Das Bundesgericht hat das Argument der "privaten Verwendung" im von der Beschwerdeführerin erwähnten Sinn explizit verworfen, indem es erwog, es spiele keine Rolle, zu welchem Zweck der Leistungsbezüger die Leistung verwende, relevant sei lediglich, ob die leistende Unternehmung nach den Gesamtumständen erkennbar um der Gegenleistung willen leiste (vgl. Urteil 2C_146/2010 vom 15. August 2012 E. 4.1.3 mit Hinweisen). Rechtsprechungsgemäss ist im Verhältnis zwischen der Gesellschaft und der nahestehenden Person zu prüfen, ob es sich bei der fraglichen Leistung um eine Innenleistung zur betrieblichen oder unternehmerischen Leistungserstellung handelt oder ob die Leistung bereits das Endprodukt darstellt, welches den betrieblichen Bereich verlässt (Urteil 2C_836/2009 vom 15. Mai 2012 E. 5.2). Ist Letzteres der Fall, ist der nahestehende bzw. wirtschaftlich berechtigte Leistungsempfänger wie ein Drittkunde zu behandeln. Deswegen spielt es keine Rolle, welchen Anteil diese Leistungen gemessen am Gesamtumsatz ausmachen; diese Frage ist nur auf der Ebene der Steuerumgehung relevant (vgl. E. 6.2).
6.3.2. Nachdem nicht mehr strittig ist, dass hinsichtlich der Flugzeugnutzung ein Leistungsaustausch zwischen der Beschwerdegegnerin und X._ bzw. der B._ AG zu bejahen ist, steht die private Verwendung der Leistungen der Berechtigung zum Vorsteuerabzug nicht entgegen. Daran vermag auch der Einwand, der Einzelunternehmer hätte im analogen Fall infolge Eigenverbrauchs gemäss Art. 9 Abs. 1 aMWSTG eine Kürzung des Vorsteuerabzugs zu akzeptieren, nichts zu ändern. Rechtsprechungsgemäss ist es den steuerpflichtigen Personen freigestellt, ihre Verhältnisse so zu gestalten, dass möglichst niedrige Steuern anfallen. Gegen eine solche Steuerplanung ist nichts einzuwenden, solange erlaubte Mittel eingesetzt werden (Urteil 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.7 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin erklärt ausdrücklich, es liege keine Steuerumgehung vor in dem Sinn, dass die Beschwerdegegnerin einzig deswegen gegründet worden sei, um den Bedürfnissen von X._ bzw. dessen B._ AG zu dienen. Die unternehmerische Struktur ist daher zu akzeptieren (vgl. Urteil 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.9).
6.3.3. Zudem hat die Vorinstanz (für das Bundesgericht verbindlich) festgestellt, dass die Nutzung durch unabhängige Dritte in allen relevanten Geschäftsjahren die Nutzung durch X._, die B._ AG und die C._ AG bzw. die C._ Holding AG in zeitlicher Hinsicht deutlich übersteigt. Die Tatsache, dass die Umsätze ab Ende 2008 eingebrochen sind, vermag die Behauptung, die Beschwerdegegnerin habe nicht (mehr) erfolgreich am Markt auftreten wollen, nicht zu stützen. Eine Nutzungsänderung (vgl. dazu BÜHLER/ LOOSLI/LÜTHI, Die Mehrwertsteuer. Eine praxisorientierte Darstellung mit zahlreichen Beispielen, 2001, S. 34 f.), wie sie die Beschwerdeführerin sinngemäss geltend macht, ist nicht dargetan.
6.4. Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich, dass der Vorsteuerabzug auf den Eingangsumsätzen der Beschwerdegegnerin, welche in Leistungen an X._ und die B._ AG geflossen sind, zulässig sind. Es handelt sich dabei gerade nicht um "private", sondern um geschäftlich verwendete Umsätze; die private Verwendung der Leistungen durch die - wenn auch nahestehenden - Kunden ist unerheblich (vgl. auch <ref-ruling> E. 3.3 S. 242).
6.5. Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, unabhängig von einer allfälligen Kürzung des Vorsteuerabzugs aus den genannten Gründen müsse infolge der spendenartigen Finanzierung der Beschwerdegegnerin gestützt auf Art. 38 Abs. 8 aMWSTG eine Kürzung des Vorsteuerabzugs geprüft und ein sachgerechter Kürzungsschlüssel gefunden werden. Die Beschwerdegegnerin sei weder in der Ära D._ noch in der Ära E._ kostendeckend tätig gewesen; schon per 31. März 2007 sei der Alleinaktionär gezwungen gewesen, auf einem Teil seiner zinslosen Darlehen den Rangrücktritt zu erklären. Die Aufwendungen der Beschwerdegegnerin hätten nicht nur der Erzielung von Drittumsätzen gedient, sondern seien auch für private und nicht nachgewiesene geschäftliche Zwecke verwendet worden. Den Beiträgen des Gesellschafters würden somit keine Aufwendungen gegenüber stehen, die in steuerbare oder steuerbefreite Umsätze münden würden. Deswegen seien sie als Spenden zu qualifizieren.
Diese Argumentation läuft schon deshalb ins Leere, weil die Entgelte aus den Flugleistungen an X._ und die B._ AG wie dargelegt (vgl. E. 6.3.1) Drittumsätze darstellen. Aber auch davon abgesehen sind die Darlehen nicht als Spenden zu qualifizieren: Eine ausschliessliche Eigenfinanzierung ist nicht per se missbräuchlich; vielmehr sind die am Gesellschaftsverhältnis Beteiligten hinsichtlich der Vertragsgestaltung frei. In Bezug auf die Finanzierung einer Gesellschaft kann auf die Grundsätze verwiesen werden, welche auch für die Wahl der Rechtsform gelten (vgl. E. 6.3.2). Grundsätzlich ist es somit zulässig, dass eine Gesellschaft durch Darlehensgelder ihres Alleinaktionärs finanziert wird.
Rechtsprechungsgemäss führt die Tatsache, dass Einlagen und Darlehen für die Anschaffung von steuerbelasteten Gütern oder Dienstleistungen verwendet werden, nicht zur Kürzung des Vorsteuerabzugs. Eine solche hängt im Grundsatz einzig davon ab, ob die Eingangsleistungen für einen geschäftlich begründeten Zweck verwendet werden oder nicht (<ref-ruling> E. 7.1 S. 363). Demgemäss führen Finanzierungsvorgänge wie der vorliegende in der Regel nicht dazu, dass der Vorsteuerabzug gekürzt werden müsste (Urteil 2C_229/2008 vom 13. Oktober 2008 E. 5.4 mit Verweis auf <ref-ruling> E. 10 S. 370). Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin kommt es auch nicht darauf an, ob die Gesellschaft unter Berücksichtigung betriebswirtschaftlicher Grundsätze eine angemessene Rentabilität erzielt (<ref-ruling> E. 9.2 S. 368). Eine Qualifizierung des Darlehens als Spende ist zu verneinen, so dass eine Kürzung des Vorsteuerabzugs gestützt auf Art. 38 Abs. 8 aMWSTG ausser Betracht fällt.
7.
Zusammenfassend ergibt sich, dass für eine Kürzung des Vorsteuerabzugs auf den hier noch streitigen Leistungen keine Rechtsgrundlage besteht. Das vorinstanzliche Urteil ist zu bestätigen, und die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen.
Da die Eidgenossenschaft in dieser Angelegenheit in ihrer Vermögenssituation betroffen ist, wird die beschwerdeführende Eidgenössische Steuerverwaltung kostenpflichtig (<ref-law>); auch hat sie die Beschwerdegegnerin angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 8'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner