Sachverhalt:
A.
A._ ist einziger Verwaltungsrat der B._ AG. Diese reichte am 8. Oktober 2012 unter anderem gegen die C._ Pensionskasse (PK) und deren Geschäftsführer D._ Strafklage ein. Gegenstand der Strafklage bildete eine angebliche Veruntreuung von Geldmitteln der B._ AG im Betrag von Fr. 368'000.-- durch einen in der Zwischenzeit verstorbenen Mitarbeiter; das Geld soll an die C._ PK überwiesen und von dieser nicht retourniert worden sein. Der zuständige Staatsanwalt Jules Wetter verfügte am 6. Dezember 2012 die Nichtanhandnahme der Strafklage. Die dagegen erhobene Beschwerde wurde mit in Rechtskraft erwachsenem Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 20. Februar 2013 abgewiesen. Derzeit ist ein Verfahren vor dem Handelsgericht des Kantons St. Gallen zwischen der B._ AG als Klägerin und der C._ PK als Beklagter hängig. Der Betrag der dort streitigen Forderung von rund Fr. 368'000.-- wurde gemäss Vereinbarung vom 12. Dezember 2012 auf einem gemeinsamen Sperrkonto sichergestellt.
B.
Im September 2013 betrieb die B._ AG E._, Mitglied des Stiftungsrats der C._ PK, und im Oktober 2013 D._ je persönlich für einen Betrag von Fr. 368'000.--. Als Forderungsgrund wurde in den Betreibungsbegehren "Rückerstattung des gestohlenen Geldes" angegeben. Am 29. November 2013 reichten E._ und D._ Strafanzeige gegen A._ wegen Ehrverletzungsdelikten ein. Zuständiger Staatsanwalt in diesem Strafverfahren ist wiederum Jules Wetter. Dieser lud A._ auf den 16. Dezember 2013 zu einer Einvernahme vor, welche jedoch wegen Auslandabwesenheit von A._ nicht durchgeführt werden konnte. Mit Eingabe vom 24. Januar 2014 stellte dieser ein Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Jules Wetter. Dieser erklärte sich als nicht befangen. Mit Entscheid vom 12. Februar 2014 wies die Anklagekammer das Kantons St. Gallen das Ausstandsgesuch ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 30. April 2014 beantragt A._, der Entscheid der Anklagekammer sei aufzuheben, und Staatsanwalt Jules Wetter sei zu verpflichten, in den Ausstand zu treten. Der Erste Staatsanwalt des Kantons St. Gallen beantragt die Beschwerdeabweisung. Die Anklagekammer verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Obergericht, die Staatsanwaltschaft und Staatsanwalt Jules Wetter haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Die Anklagekammer hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. In der Begründung seines Ausstandsbegehrens führt der Beschwerdeführer aus, der Beschwerdegegner habe sich mit E-Mail vom 7. Januar 2014 bei seinem Rechtsvertreter erkundigt, ob eine gütliche aussergerichtliche Regelung der Angelegenheit angestrebt worden sei, und habe angemerkt, es sei für ihn "schon etwas befremdend", dass man es überhaupt so weit habe kommen lassen. Zudem habe sich der Beschwerdegegner am 20. Januar 2014 bei einem Telefonat mit seinem Rechtsvertreter dahin gehend geäussert, dass er den auf dem Betreibungsbegehren angegebenen Forderungsgrund "Rückerstattung des gestohlenen Geldes" als "bedenklich" erachte. Aufgrund dieser Aussagen und seiner Befassung mit dem früheren Strafverfahren betreffend Veruntreuung sei der Beschwerdegegner vorbefasst und befangen.
2.2. Nach <ref-law> tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person (wozu auch die Staatsanwälte zählen [<ref-law>]) unter anderem dann in den Ausstand, wenn sie in der Sache ein persönliches Interesse hat (lit. a), in einer anderen Stellung in der gleichen Sache tätig war (lit. b) oder aus anderen Gründen befangen sein könnte (lit. f).
<ref-law> konkretisiert die Verfassungsbestimmung von <ref-law> (für nicht richterliche Behörden) und von <ref-law> (für richterliche Behörden) sowie von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Der Unbefangenheit und Objektivität von Strafverfolgungsbehörden kann zwar eine ähnliche Bedeutung zukommen wie der richterlichen Unabhängigkeit und Unparteilichkeit. Die Grundsätze von <ref-law> dürfen jedoch nicht unbesehen auf nicht richterliche Behörden übertragen werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 ff. S. 144 ff.). Die Gerichte und die Strafverfolgungsbehörden nehmen unterschiedliche gesetzliche Funktionen wahr; zu beachten ist insbesondere, dass die Staatsanwaltschaften im Vorverfahren vom Grundsatz "in dubio pro duriore" auszugehen, d.h. im Zweifel Anklage zu erheben haben.
Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, die Vorinstanz habe die Ausstandsgründe von Art. 56 lit. a (nachfolgend E. 2.3), lit. b (nachfolgend E. 2.4) und lit. f StPO (nachfolgend E. 2.5) zu Unrecht als nicht erfüllt erachtet.
2.3. Aus <ref-law> folgt, dass die in einer Strafbehörde tätige Person weder in eigener Sache ermitteln noch entscheiden darf. Erfasst werden sämtliche direkten oder indirekten Interessen, seien sie tatsächlicher, etwa finanzieller, oder ideeller Natur. Soweit nur eine indirekte bzw. mittelbare Betroffenheit vorliegt, muss die Person jedenfalls so intensiv tangiert sein, dass eine ernsthafte Gefahr der Unsachlichkeit besteht. Erforderlich ist eine spürbare persönliche Beziehungsnähe zum Streitgegenstand (vgl. Andreas J. Keller, in: Donatsch/Hansjakob/Lieber [Hrsg], Kommentar zur StPO, 2010, Art. 56 N. 13 f.).
Nach Auffassung des Beschwerdeführers liegt das persönliche Interesse des Beschwerdegegners darin, die eigene frühere Nichtanhandnahmeverfügung "verteidigen" zu müssen. Dies begründet jedoch von vorneherein keine spü rbare persönliche und nicht bloss berufliche Beziehungsnähe zum Streitgegenstand des laufenden Strafverfahrens. Die Vorinstanz hat den Ausstandsgrund von <ref-law> zu Recht verneint.
2.4. Der Ausstandsgrund der Vorbefassung gemäss <ref-law> setzt voraus, dass die in der Strafbehörde tätige Person bereits in einem früheren Stadium des Verfahrens in einer anderen Stellung mit der gleichen Strafsache befasst war. Massgeblich für die Annahme einer ausstandsbegründenden Vorbefassung ist, ob die beiden Behörden, in denen jemand in der gleichen Sache gewirkt hat, in aufeinanderfolgenden und organisatorisch getrennten Funktionen der Rechtsprechung gehandelt haben. Eine gleiche Sache ist anzunehmen bei Identität der betroffenen Parteien, des Verfahrens und der zur Beantwortung stehenden (Rechts-) Fragen (vgl. Keller, a.a.O., Art. 56 N. 15 ff.).
Der Beschwerdegegner war bzw. ist in beiden Strafverfahren in derselben Stellung als Staatsanwalt tätig. Dass bei umfangreichen Sachverhalten verschiedene Strafanzeigen zwischen teilweise denselben Parteien eingereicht und durch denselben Staatsanwalt bearbeitet werden, kann und darf vorkommen. Zudem handelt es sich bei den Verfahren gegen die verschiedenen Mitbeschuldigten weder um die gleichen Personen, noch um ein und dasselbe Verfahren, sodass auch nicht von einer "gleichen Sache" gesprochen werden kann. Die Voraussetzungen von <ref-law> sind nicht erfüllt.
2.5.
2.5.1. Die Bestimmung von <ref-law> erfasst im Sinne einer Auffangklausel die Befangenheit aus anderen als den in lit. a - e explizit aufgeführten Gründen. Entscheidendes Kriterium ist, ob das Verfahren in Bezug auf den konkreten Sachverhalt und die konkret zu entscheidenden Rechtsfragen als offen und nicht vorbestimmt erscheint. Befangenheit nach <ref-law> besteht, wenn bei objektiver Betrachtungsweise Umstände vorliegen, die geeignet sind, Zweifel an der Unparteilichkeit zu wecken.
Misstrauen in die Unvoreingenommenheit eines Staatsanwalts kann sich namentlich aus Äusserungen ergeben, welche die gebotene Distanz zur Sache vermissen lassen. Dies schliesst es jedoch bspw. nicht aus, die Verhandlungsführung der Parteien kritisch zu würdigen. Auch bloss ungeschickte Äusserungen, verbale Entgleisungen oder Ungehaltenheiten genügen in der Regel nicht, um den Anschein der Befangenheit zu begründen.
Im Rahmen einer Strafuntersuchung ist es zulässig, dass sich der zuständige Staatsanwalt bereits vor Abschluss des Verfahrens in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht äussert und dabei die persönliche, aufgrund des jeweiligen Verfahrensstands vorläufig gebildete Meinung offenlegt. Es darf vorausgesetzt werden, dass der Staatsanwalt in der Lage ist, seine Beurteilung des Prozessstoffes bei fortschreitendem Verfahren ständig neu zu überprüfen und allenfalls zu revidieren. Unter diesen Umständen vermag eine auf den aktuellen Stand abgestützte vorläufige Beurteilung und Bewertung keine Vorverurteilung zu begründen. Der Anschein der Befangenheit entsteht hingegen, wenn sich der Staatsanwalt vor Abschluss der Voruntersuchung bereits definitiv darauf festlegt, dass der beschuldigten Person ein strafbares Verhalten zur Last zu legen ist (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 145; vgl. zum Ganzen auch Markus Boog, Basler Kommentar StPO, 2011, Art. 56 N. 38 ff.).
2.5.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Äusserungen des Beschwerdegegners erweckten den Eindruck, dieser habe sich bereits darauf festgelegt, dass ein strafbares Verhalten vorliege. Der Beschwerdeführer selbst betont indes ausdrücklich, die Qualifizierung seines Vorgehens als "bedenklich" bzw. "befremdlich" stelle ein reines Werturteil und keine rechtliche Einschätzung dar; die Äusserungen des Beschwerdegegners enthielten keinerlei Hinweise auf materielle Straftaten, sprich auf konkrete Tatbestandsmerkmale.
Letzterem ist zuzustimmen. Handelt es sich jedoch nicht um eine rechtliche Würdigung bzw. weisen die (im Übrigen noch vor der ersten Einvernahme des Beschwerdeführers gemachten) Äusserungen des Beschwerdegegners keinen direkten Bezug zu einem strafbaren Verhalten des Beschwerdeführers auf, so liegt darin auch keine unzulässige Vorverurteilung begründet. Der Umstand, dass der Beschwerdegegner die Vorgehensweise des Beschwerdeführers als bedenklich einstuft bzw. als befremdlich empfindet, bedeutet nicht, dass er die (respektive einen der) Ehrverletzungstatbestände als erfüllt betrachtet. Es kann folglich nicht gesagt werden, der Beschwerdegegner habe sich mit seinen Äusserungen in einem Mass festgelegt, welches das Verfahren nicht mehr als offen erscheinen lasse. Die Wertungen als solche genügen nicht, um den Anschein der Befangenheit zu begründen.
2.5.3. Die vom Beschwerdeführer in seiner Beschwerdebegründung angeführten Bundesgerichtsentscheide 134 I 238 und 137 I 227 sind nicht einschlägig. Die beiden Entscheide betreffen die Frage der richterlichen Unabhängigkeit gemäss <ref-law>. Konkret hatte sich das Bundesgericht mit der Handhabung des sog. Referentensystems bei Kollegialgerichten zu befassen und zu beurteilen, ob der referierende Oberrichter seine vorläufige Prozesseinschätzung (Gutheissung oder Abweisung des Rechtsmittels) der beschwerdeführenden Partei mitteilen darf, damit diese ihr Rechtsmittel allenfalls kostengünstig zurückziehen kann. Aufgrund der verschiedenen Rollen der Gerichte und der Staatsanwaltschaften und der unterschiedlichen Fragestellung kann der Beschwerdeführer aus den beiden Entscheiden nichts zu seinen Gunsten ableiten.
2.5.4. Entgegen den Ausführungen in der Beschwerde vermittelte der Beschwerdegegner mit seinen Äusserungen objektiv betrachtet auch nicht den Eindruck, er wolle den Standpunkt des Beschwerdeführers gar nicht hören. Vielmehr lud er diesen ausdrücklich zu einer Einvernahme vor, um ihn zur Sache zu befragen (vgl. auch Sachverhalt lit. B.).
2.5.5. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers beinhaltet die Frage des Beschwerdegegners in der E-Mail vom 7. Januar 2014 an seinen Rechtsvertreter, ob dieser bereits mit der Gegenpartei Kontakt aufgenommen habe, um die Angelegenheit aussergerichtlich einvernehmlich zu regeln, keine unzulässige Druckausübung. Bei den zu beurteilenden Ehrverletzungstatbeständen handelt es sich um Antragsdelikte, die mittels Vergleichs erledigt werden könnten. Mit seinem Hinweis auf diese Möglichkeit überliess es der Beschwerdegegner den Parteien, ob sie in aussergerichtliche Vergleichsverhandlungen treten wollten oder nicht.
2.5.6. Schliesslich ist die Beschwerde auch insoweit unbegründet, als der Beschwerdeführer den Beschwerdegegner deshalb als befangen erachtet, weil ihm dieser mitgeteilt habe, Ziel der Einvernahme sei es, die Sache so rasch wie möglich abzuschliessen. Das Bestreben, das Verfahren voranzutreiben und möglichst rasch zu erledigen, steht in Einklang mit dem in <ref-law> verankerten Beschleunigungsgebot, wonach die Strafbehörden die Strafverfahren unverzüglich an die Hand zu nehmen und sie ohne unbegründete Verzögerung zum Abschluss zu bringen haben.
3.
Zusammenfassend hat die Vorinstanz zu Recht geschlossen, es liege kein Ausstandsgrund gemäss <ref-law> vor. Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. August 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner