Sachverhalt:
A.
A.a. A._ war vom Herbst 2008 bis zum Sommer 2009 an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich (ETHZ) im Bachelor-Studiengang "Elektrotechnik und Informationstechnologie" eingeschrieben. Danach wechselte er an die Eidgenössische Technische Hochschule Lausanne (ETHL) in den Bachelor-Studiengang "Sciences et technologies du vivant". Den Prüfungsblock im Sommer 2010 bestand er nicht; auch die Wiederholung der Grundstufenprüfung im Sommer 2011 bestand er nicht, nachdem er die Prüfung "Physik II" abgebrochen hatte (sog. "échec définitif").
A.b. Am 5. August 2011 versuchte A._ sich für den Studiengang "Chimie et Génie chimique" anzumelden. Am 14. September 2011 verweigerte die ETHL den Wechsel in einen anderen Studiengang aufgrund des definitiven Nichtbestehens der Prüfungen im Sommer 2011. A._ erhob am 12. Oktober 2011 gegen diesen Entscheid sowie gegen die Verfügung, mit der das definitive Nichtbestehen der Prüfung festgehalten worden war, Beschwerde bei der ETH-Beschwerdekommission. Diese wies die Angelegenheit am 10. November 2011 zur eingehenderen Begründung des nicht gewährten Sektionswechsels an die ETHL zurück.
A.c. Die ETHL verfügte am 21. November 2011, dass A._ nicht zum Sektionswechsel zugelassen wird und führte zur Begründung aus, nach den einschlägigen Vorschriften sei es nicht erlaubt, ein zweites Mal einen Sektionswechsel vorzunehmen. Auch ein ausnahmsweiser Sektionswechsel komme nicht in Frage, weil sich die Prüfungsfächer des neuen Studiengangs nicht mehrheitlich von denjenigen des alten Studiengangs unterschieden, was aber Voraussetzung sei.
B.
B.a. Gegen diesen Entscheid erhob A._ am 26. Dezember 2011 Beschwerde bei der ETH-Beschwerdekommission und beantragte die Aufhebung des Entscheides der ETHL. In der Folge wurde dieses Verfahren bis zum Entscheid über das ebenfalls angefochtene definitive Nichtbestehen der Prüfung sistiert. Das Bundesverwaltungsgericht wies jene Beschwerde mit Urteil A-3137/2012 vom 14. Januar 2013 ab; das Bundesgericht trat mit Urteil 2C_188/2013 vom 24. Februar 2013 auf eine dagegen erhobene Beschwerde nicht ein.
B.b. Mit Urteil vom 27. August 2013 wies die ETH-Beschwerdekommission die Beschwerde von A._ gegen den verweigerten Sektionswechsel ab, soweit sie darauf eintrat.
C.
Am 4. Oktober 2013 erhob A._ beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde gegen das Urteil der ETH-Beschwerdekommission und beantragte dessen Aufhebung, die Bewilligung des ausserordentlichen Sektionswechsels sowie die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht. Das Bundesverwaltungsgericht gewährte ihm am 29. Oktober 2013 die unentgeltliche Rechtspflege, wies aber in der Sache die Beschwerde mit Urteil vom 2. April 2014 ab.
D.
A._ erhebt mit Eingabe vom 20. Mai 2014 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Urteils sei ihm der ausserordentliche Sektionswechsel zu bewilligen. Zudem beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesverwaltungsgericht und das Eidgenössische Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung verzichten auf Vernehmlassung. Die ETHL beantragt Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG), da es nicht um das Ergebnis einer Prüfung geht, wogegen die Beschwerde ausgeschlossen wäre (Art. 83 lit. t BGG). Der Beschwerdeführer ist legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Das Bundesgericht prüft frei und von Amtes wegen die richtige Anwendung des Bundesrechts (Art. 95 lit. a und Art. 106 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law> bzw. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314 mit Hinweisen), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung oder der Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356.). Neue Tatsachen oder neue Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
3.
Der Beschwerdeführer bestreitet den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt nicht. Er macht jedoch geltend, die Vorinstanz habe zu Unrecht nicht berücksichtigt, dass er seit dem Jahre 2009 bis ins Jahre 2010 nachweislich krank gewesen sei, obwohl er dies vorgebracht habe. Die Vorinstanz habe dadurch seinen Anspruch auf rechtliches Gehör missachtet. Es wird im Zusammenhang mit der rechtlichen Beurteilung zu prüfen sein, ob dieser behauptete Sachverhalt überhaupt rechtserheblich sein kann (hinten E. 4.6.4).
4.
4.1. Die Vorinstanzen haben die Verweigerung des Wechsels mit Art. 9 Abs. 3 der Verordnung vom 8. Mai 1995 über die Zulassung zur Eidgenössischen Technischen Hochschule Lausanne (Zulassungsverordnung ETHL; SR 414.110.422.3) begründet. Art. 9 trägt das Marginale "Wechsel der Sektion oder der ETH" und lautet wie folgt:
1 Der Übertritt von einer Sektion der ETHL in ein höheres Semester einer anderen Sektion ist nur zu Beginn eines Semesters möglich. Der Vizepräsident bzw. Vizepräsidentin für akademische Angelegenheiten kann einen solchen Studienrichtungswechsel nach Anhören der Vorsteher bzw. der Vorsteherinnen der beiden betroffenen Sektionen bewilligen.
2 Wer an der ETHZ die Voraussetzungen für den Übertritt in ein höheres Semester erfüllt, kann auch an der ETHL ins entsprechende höhere Semester eintreten.
3 Wer an einer Sektion eine Prüfung zweimal nicht bestanden hat, wird grundsätzlich vom Studium an den ETH ausgeschlossen. Der Vizepräsident bzw. Vizepräsidentin für akademische Angelegenheiten kann den Übertritt in eine andere Abteilung ausnahmsweise bewilligen, wenn sich die Prüfungsfächer der bisher besuchten Sektion mehrheitlich von jenen der neuen Sektion unterscheiden.
4 Der Übertritt in eine andere Abteilung nach Abbruch der Prüfungen oder Nichtbestehen ist nur einmal möglich. Der Vizepräsident bzw. Vizepräsidentin für akademische Angelegenheiten entscheidet nach Anhörung der beiden betroffenen Abteilungsvorstehenden, in welchem Semester der oder die Studierende das Studium fortsetzen, oder von vorne an beginnen, darf.
4.2. Die Beschwerdekommission hatte erwogen, es lägen keine Ausnahmegründe im Sinne von Art. 9 Abs. 3 der Zulassungsverordnung vor. Zudem wäre auch die zweite Voraussetzung, dass sich die Prüfungsfächer der beiden Sektionen mehrheitlich unterscheiden, nicht erfüllt, da sich diese Voraussetzung nur auf die Fächer der Grundstufe beziehe, nicht auf diejenigen des ganzen Bachelor-Studiums. Das Bundesverwaltungsgericht erachtete es als fraglich, ob Art. 9 Abs. 3 der Verordnung auf den Beschwerdeführer überhaupt anwendbar sei, liess die Frage jedoch offen, da die Voraussetzungen dafür nicht erfüllt seien: Es lägen nämlich keine Ausnahmegründe vor; bei diesem Ergebnis könne offen bleiben, ob die Beschwerdekommission die zweite Voraussetzung zutreffend bloss auf die Fächer der Grundstufe bezogen habe (E. 5.3 - E. 5.6 des angefochtenen Entscheides).
4.3. Das Bachelorstudium an der ETHL besteht aus der zweisemestrigen Grundstufe, die mit der Grundstufenprüfung endet, und der daran anschliessenden Bachelorstufe (Art. 6-8 der Verordnung der ETH Lausanne über das Bachelor- und das Masterstudium [Ausbildungsverordnung ETHL; SR 414.132.3]). Nach dem Wortlaut von Art. 9 Abs. 3 der Zulassungsverordnung (vorne E. 4.1) gilt der dort vorgesehene Ausschluss vom weiteren Studium an der ETHL nach zweimaligem Nichtbestehen der Prüfung generell, mit der Folge, dass nach zweimaligem Scheitern in der Grundstufenprüfung einer Sektion auch ein neues Grundstufenstudium in einer anderen Sektion grundsätzlich nicht zulässig ist. Das ergibt sich auch aus dem französischen und italienischen Wortlaut des Verordnungstextes:
"Les personnes qui ont échoué deux fois à un examen dans une section sont en principe exclues des EPF. L'autorisation de changer de section peut être exceptionnellement accordée par le vice-président pour les affaires académiques si les branches d'examen de la section fréquentée jusque-là sont en majorité différentes de celles de la nouvelle section."
"Coloro che non hanno superato due volte un esame in una sezione sono in linea di principio esclusi dai PF. L'autorizzazione a passare a un'altra sezione può essere concessa in via eccezionale dal vicepresidente per gli affari accademici se la maggior parte delle discipline d'esame della sezione frequentata fino a quel momento è diversa dalle discipline della nuova sezione."
Die systematische Auslegung lässt daran allerdings Zweifel aufkommen: Die Zulassungsverordnung regelt im 1. Kapitel, 1.-3. Abschnitt, die Zulassung zum Bachelor-Studium, d.h. die Zulassung ins erste Semester. Der 4. Abschnitt (Art. 9-11) trägt den Titel "Zulassung zu einem höheren Semester des Bachelor- oder Masterstudiums". Das könnte darauf schliessen lassen, dass der ganze Abschnitt, und damit auch der ganze Art. 9, nicht die Zulassung zur Grundstufe (erstes Semester) betrifft, sondern nur den Wechsel in ein höheres Semester. Dies hätte allerdings zur Folge, dass Studierende beliebig oft nach einem zweimaligen Nichtbestehen der Grundstufenprüfung ein Grundstufenstudium in einer anderen Sektion in Angriff nehmen könnten, was kaum der vernünftige Sinn der Bestimmung sein kann. Dies spricht dafür, dass trotz der systematischen Stellung von Art. 9 dessen Abs. 3 auch den Wechsel in ein anderes Grundstufenstudium betrifft. Der Beschwerdeführer beruft sich denn auch selber auf Art. 9 Abs. 3 der Zulassungsverordnung.
4.4. Der Beschwerdeführer hat im Studiengang "Sciences et technologies du vivant" die Prüfung "Physik II" zweimal nicht bestanden und wird deshalb gemäss Art. 9 Abs. 3 Satz 1 grundsätzlich vom Studium an den ETH ausgeschlossen. Umstritten ist, ob ihm eine Ausnahme im Sinne von Satz 2 dieser Bestimmung zu bewilligen ist.
4.5. Der Beschwerdeführer kritisiert, entgegen der Auffassung der Beschwerdekommission beziehe sich das Erfordernis der mehrheitlich unterschiedlichen Fächer in Abs. 9 Abs. 3 Satz 2 nicht nur auf die Fächer der Grundstufe, sondern auf diejenigen des gesamten Bachelor-Studiums. Diese Frage kann offen bleiben, wenn ohnehin kein Ausnahmegrund vorliegt, da diese beiden Voraussetzungen kumulativ erfüllt sein müssen, damit der Wechsel bewilligt werden kann.
4.6. Umstritten ist das Vorliegen eines Ausnahmegrundes.
4.6.1. Die Vorinstanz hat mit Recht erwogen, dass eine Ausnahmebestimmung nicht so gehandhabt werden darf, dass sie den in der Norm enthaltenen Grundsatz in sein Gegenteil verkehrt, also mithin ein besonderer Ausnahmegrund vorliegen müsste, um den Sektionswechsel zu bewilligen.
4.6.2. Im Urteil A-3137/2012 vom 14. Januar 2013 hatte die Vorinstanz erwogen, der Beschwerdeführer sei über die Folgen einer Prüfungsteilnahme ausdrücklich informiert worden; insbesondere sei er darauf aufmerksam gemacht worden, dass das eingereichte Arztzeugnis keine Auswirkungen mehr auf den im Winter absolvierten Prüfungsteil haben könnte, so dass die ungenügenden Ergebnisse jener Prüfung mit jenen des Sommers kompensiert werden müssten. Er könne jedenfalls nicht belegen, dass er falsch informiert worden sei; es gebe daher keinen Grund, auf die nicht rechtzeitig angefochtenen Prüfungsergebnisse 2009/2010 zurückzukommen.
Im hier angefochtenen Urteil hat die Vorinstanz erwogen, sie sei an die rechtskräftigen Feststellungen in ihrem Urteil A-3137/2012 vom 14. Januar 2013 gebunden. Es stehe damit fest, dass kein Fehlverhalten der ETHL vorliege, so dass dieses auch keinen Ausnahmegrund darstellen könne. Zudem habe der Beschwerdeführer bereits die maximal zulässige Studiendauer für die Grundstufe von zwei Jahren ausgeschöpft; ein Grund für eine Verlängerung werde nicht vorgebracht.
4.6.3. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht seinen schlechten Gesundheitszustand im Zeitraum vor und während der Prüfungen vom Sommer 2010 nicht berücksichtigt. Trotz seiner schlechten gesundheitlichen Verfassung habe er sich dazu verleiten lassen, die Prüfung im Sommer 2010 zu schreiben, weil er aufgrund von Auskünften der ETH irrtümlich gemeint habe, ein Semesterunterbruch bzw. eine Dispensation von der Prüfung sei nicht möglich. Die Frage, ob dies einen Härtefall im Sinne von Art. 9 Abs. 3 der Zulassungsverordnung zu begründen vermöge, sei eine andere als diejenige, ob der ETHL in diesem Zusammenhang ein Fehlverhalten vorzuwerfen sei, das in Bezug auf das Bestehen der Prüfung vertrauensschutzbegründend sein könnte. Die Vorinstanz habe sich daher zu Unrecht an ihr Urteil vom 14. Januar 2013 gebunden gefühlt, in welchem sie das endgültige Nichtbestehen der Prüfung bestätigt habe.
4.6.4. Dem Beschwerdeführer ist zuzustimmen, dass die mit dem Urteil vom 14. Januar 2013 (bzw. mit dem Nichteintretensentscheid des Bundesgerichts vom 24. Februar 2013) rechtskräftig beurteilte Frage, ob die Prüfung definitiv nicht bestanden sei, eine andere Frage ist als diejenige, ob Gründe für eine ausnahmsweise Bewilligung im Sinne von Art. 9 Abs. 3 der Zulassungsverordnung vorliegen. Indessen bringt der Beschwerdeführer auch im vorliegenden Verfahren in der Sache nichts vor, was im Ergebnis zu einer anderen Beurteilung führen könnte: Aufgrund der Feststellungen im rechtskräftigen Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 14. Januar 2013 hatte er keine berechtigten Gründe, um über die Konsequenzen seiner Prüfungsteilnahme im Unklaren zu sein. Entscheidend für die Vorinstanz war nicht der Gesundheitszustand (wobei im Übrigen das vorgelegte Arztzeugnis vom 5. Mai 2010 kaum rechtsgenüglich die gesundheitliche Unmöglichkeit der Prüfungsteilnahme belegt), sondern der Umstand, dass der Beschwerdeführer trotzdem in Kenntnis der Umstände an der Prüfung teilnahm. Das wird dadurch bestätigt, dass er das Nichtbestehen rund ein Jahr lang nicht in Frage stellte und erst im Herbst 2011 auf das ärztliche Zeugnis vom Mai 2010 zurückkam, nachdem er auch den zweiten Prüfungsversuch nicht bestanden hatte. Dies lässt den Schluss zu, dass erst das zweite Nichtbestehen den Beschwerdeführer veranlasst hat, auch den ersten Misserfolg wieder in Zweifel zu ziehen. Dies als Ausnahmegrund zu akzeptieren, würde darauf hinauslaufen, dass jeder Misserfolg später wieder in Frage gestellt werden könnte, was nicht angehen kann.
4.7. Insgesamt hat die Vorinstanz mit Recht das Vorliegen eines Ausnahmegrundes im Sinne von Art. 9 Abs. 3 der Zulassungsverordnung verneint. Damit entfällt die Möglichkeit einer ausnahmsweisen Bewilligung. Eine Auseinandersetzung mit den übrigen Vorbringen des Beschwerdeführers erübrigt sich daher.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Da sie von vornherein aussichtslos war, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer trägt die Kosten des Verfahrens (<ref-law>), wobei seiner finanziellen Lage bei der Bemessung der Höhe Rechnung getragen wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, und dem Eidgenössischen Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. November 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein