Sachverhalt:
A. Der 1970 geborene G._ war über die Arbeitslosenkasse bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfall versichert, als am 23. Oktober 1997 innerorts ein nachfolgender Opel Senator ins Heck des von ihm gelenkten und für einen Abbiegevorgang angehaltenen Ford Fiesta prallte. Der Ford wurde dadurch weggeschleudert und kam auf dem Trottoir der Gegenfahrbahn zum Stillstand. G._ suchte gleichentags das Spital X._ auf, wo eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und eine Kontusion der Lendenwirbelsäule (LWS) diagnostiziert wurde. In der Folge wurde auch ein mildes Schädel-Hirntrauma geltend gemacht. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 29. Juli 1998 eröffnete sie dem Versicherten, ab 8. Dezember 1997 werde das Taggeld wegen nurmehr geringfügiger Arbeitsunfähigkeit eingestellt. Auf den 19. Januar 1998 werde der Fall abgeschlossen, da wieder eine volle Arbeitsfähigkeit bestehe und keine behandlungsbedürftigen Unfallfolgen mehr vorlägen. Die SUVA verneinte überdies mit der Begründung, es fehle an einer unfallbedingten Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit und der Integrität, einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 24. September 1998 fest. Die von G._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 27. Juli 2005 ab. Das Eidgenössische Versicherungsgericht (seit 1. Januar 2007: I. und II. sozialrechtliche Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts) hob diesen Entscheid mit Urteil U 355/05 vom 3. August 2007 auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit diese eine öffentliche Verhandlung durchführe und danach einen neuen Entscheid fälle. Das kantonale Gericht setzte hierauf wiederholt eine Verhandlung an, welche jeweils wegen Krankheit des Versicherten verschoben wurde. Mit Verfügung vom 3. Dezember 2008 beraumte das Gericht eine öffentliche Verhandlung auf den 19. Januar 2009 an. Es hielt fest, G._ sei das Erscheinen freigestellt; die Verhandlung werde auch ohne seine Teilnahme durchgeführt. Auf eine hiegegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 8C_41/2009 vom 16. Januar 2009 nicht ein. Am 19. Januar 2009 fand die Verhandlung vor dem kantonalen Gericht statt. Der Rechtsvertreter des Versicherten nahm daran teil. G._ und die SUVA blieben der Verhandlung fern.
B. Mit Entscheid vom 12. Februar 2009 wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde erneut ab.
C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids seien ab 8. Dezember 1997 die gesetzlichen Leistungen (nebst Verzugszins) nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von 100 % und eines Integritätsschadens von mindestens 43.5 % zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung und zum neuen Entscheid an die Vorinstanz resp. die SUVA zurückzuweisen, wobei für die Zeit der noch vorzunehmenden Abklärungen Taggeld auszurichten sei. Weiter sei die SUVA zu verpflichten, die Kosten der von G._ veranlassten Abklärungen zu übernehmen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Das Bundesgericht kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Der Beschwerdeführer beanstandet zunächst, die Vorinstanz habe seinen durch Art. 6 Ziff. 1 EMRK gewährleisteten Anspruch auf eine öffentliche Verhandlung verletzt, indem sie diese ohne seine Teilnahme durchgeführt habe. Diese Rüge ist aufgrund ihrer formellen Natur vorab zu prüfen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 92 mit Hinweis).
2.1 Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person ein Recht darauf, dass über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen oder über eine gegen sie erhobene strafrechtliche Anklage von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht in einem fairen Verfahren, öffentlich und innerhalb angemessener Frist verhandelt wird (Satz 1).
Leistungsstreitigkeiten sämtlicher bundesrechtlicher Sozialversicherungszweige fallen unter den Begriff "zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen" im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK (<ref-ruling> E. 4b S. 378 ff. mit Hinweisen auf die Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte; vgl. auch <ref-ruling> E. 3 S. 5 ff. und seitherige Rechtsprechung).
2.2 Das kantonale Gericht hat eine öffentliche Verhandlung durchgeführt und insoweit Art. 6 Ziff. 1 EMRK Rechnung getragen. Fest steht auch, dass der Rechtsvertreter des Versicherten an der Verhandlung teilgenommen hat. Umstritten ist, ob der Umstand, dass die Verhandlung ohne persönliche Teilnahme und Anhörung des Beschwerdeführers stattfand, Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt.
2.2.1 In Prozessen über zivilrechtliche Ansprüche gewährleistet Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht generell, jedoch dann einen Anspruch auf persönliches Erscheinen oder persönliche Anhörung vor Gericht, wenn dies für die Entscheidung der Sache von unmittelbarer Bedeutung ist (<ref-ruling> E. 1b S. 493 mit Hinweis; vgl. auch: FROWEIN/PEUKERT, EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, N 163 zu Art. 6 EMRK; MARK VILLIGER, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention [EMRK], 2. Aufl. 1999, N 473 zu Art. 6 EMRK; WOLFGANG ROTH, Der Anspruch auf öffentliche Verhandlung nach Art. 6 Abs. 1 EMRK im verwaltungsgerichtlichen Rechtsmittelverfahren, in: EuGRZ 1998 S. 495 ff., 497; JEAN-MAURICE FRÉSARD, L'applicabilité de l'art. 6 § 1 CEDH au contentieux de l'assurance sociale et ses conséquences sous l'angle du principe de la publicité des débats [En relation avec l'arrêt Schuler-Zgraggen c. Suisse], in: Schweizerische Versicherungszeitschrift, 1994, S. 191 ff., 194 und 196). Als Beispiele hiefür wurden von der Europäischen Kommission für Menschenrechte etwa Fälle genannt, bei denen der persönliche Eindruck des Gerichts von der Partei und Informationen über ihre Lebensweise für die zu treffende Entscheidung erheblich sein können. In Frage kommen insbesondere familienrechtliche Streitigkeiten. Ganz wesentlich z.B. ist der persönliche Eindruck im Entmündigungsverfahren, bei gerichtlichen Entscheidungen über die Entziehung bzw. Zuteilung der elterlichen Gewalt sowie über die Regelung des Personensorgerechts und des Besuchsrechts bezüglich minderjähriger Kinder von getrennt lebenden Eltern. Auch in Haftungsprozessen, bei denen die persönliche Verantwortlichkeit einer Partei entscheidend ist, kann ähnlich wie im Strafprozess eine kontradiktorische Verhandlung unter Anhörung der betreffenden Partei geboten sein (FROWEIN/PEUKERT, a.a.O., N 163 zu Art. 6 EMRK).
2.2.2 Das kantonale Gericht hatte zu beurteilen, ob die SUVA einen weiteren Leistungsanspruch aus dem Unfall vom 23. Oktober 1997 zu Recht verneint hat. Dabei war der erforderliche Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch bestehenden Beschwerden umstritten. Hiezu konnte sich der Rechtsvertreter des Versicherten nicht nur in den eingereichten Rechtsschriften, sondern auch an der Verhandlung, an welcher er teilgenommen hat, äussern. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern es für die Beurteilung der Streitsache auf das persönliche Erscheinen oder die mündliche Anhörung des Versicherten an der Verhandlung angekommen wäre. Daran vermögen die Vorbringen in der Beschwerde nichts zu ändern.
Der Versicherte macht zunächst geltend, er habe Anspruch darauf, dass seine Sache in einem öffentlichen Prozess gehört werde und dass er an einer mündlichen Verhandlung die Beweggründe des Unfallversicherers für dessen ablehnendes Verhalten erfahren könne. Indessen nahm sein Rechtsvertreter an der Verhandlung teil und konnte entsprechende Mitwirkungsrechte ausüben. Die persönliche Anwesenheit oder Anhörung des Beschwerdeführers war hiezu nicht erforderlich. Aus dem in der Beschwerde erwähnten Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts I 623/04 vom 18. Februar 2005 ergibt sich nichts anderes. Abgesehen davon nahm die SUVA an der Verhandlung vom 19. Januar 2008 gar nicht teil. Dies hatte sie vorgängig angekündigt und bezüglich der Begründung ihrer Auffassung zum Rechtsstreit auf ihre schriftlich erfolgten Äusserungen verwiesen.
Vorgebracht wird weiter, der Versicherte hätte an der Verhandlung Fragen betreffend das Tragen eines Halskragens, Heilungsverlauf, Therapien, Zeitpunkt des Auftretens erster Beschwerdesymptome und dgl. beantworten können. Dabei geht es nicht um einen - gegebenenfalls entscheidrelevanten - persönlichen Eindruck, den das Gericht hätte gewinnen können. Solche Fragen hätten vielmehr Teil einer Parteibefragung bilden können, wie sie der Beschwerdeführer auch beantragt hatte. Das kantonale Gericht hat indessen in der Vorladungsverfügung vom 3. Dezember 2008 ausdrücklich festgehalten, dass es eine Parteibefragung - wie auch die anderen beantragten Beweismassnahmen - für unnötig erachte. Diese Beurteilung beruht, wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, auf einer einlässlich begründeten, überzeugenden antizipierten Beweiswürdigung. Dies verstösst nicht gegen Art. 6 Ziff. 1 EMRK (vgl. FROWEIN/PEUKERT, a.a.O., N 165 zu Art. 6 EMRK).
3. In materiellrechtlicher Hinsicht ist umstritten, ob die SUVA zu Recht einen Anspruch auf Taggeld und Heilbehandlung über den 8. Dezember 1997 resp. 19. Januar 1998 hinaus sowie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung verneint hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das betrifft nebst den massgeblichen gesetzlichen Bestimmungen namentlich auch die Grundsätze über die für einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen kausalen Zusammenhänge.
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt. Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (sog. Psycho-Praxis), während bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (sog. Schleudertrauma-Praxis; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen). Die Kriterien nach der mit <ref-ruling> begründeten Schleudertrauma-Praxis wurden mit <ref-ruling> teilweise präzisiert.
Wie das kantonale Gericht ebenfalls richtig erkannt hat, stellt das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses des streitigen Einspracheentscheides eingetretenen Sachverhalt ab (<ref-ruling> E. 2.1 S. 243; <ref-ruling> E. 1.2 S. 446, je mit Hinweis).
4. In der Beschwerde wird geltend gemacht, die SUVA sei bereits bei der Einstellung des Taggelds im Dezember 1997 davon ausgegangen, es lägen keine erheblichen organischen Unfallfolgen mehr vor. Dazu ist festzuhalten, dass die Einstellung des Taggeldes auf den 8. Dezember 1997 gemäss Verfügung der SUVA vom 29. Juli 1998 ausdrücklich mit der Begründung erfolgte, die Arbeitsfähigkeit habe ab diesem Zeitpunkt wieder 75 % betragen. Damit habe gemäss Art. 5 Abs. 4 UVAL kein Anspruch auf Taggeld mehr bestanden. Diese Beurteilung wird durch die medizinischen Akten aus der damaligen Zeit gestützt und vom Beschwerdeführer auch nicht begründet in Frage gestellt. Der eigentliche Fallabschluss (mit Einstellung auch der Heilbehandlung sowie der Prüfung - und Verneinung - des Anspruchs auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung), auf den der Versicherte offensichtlich Bezug nimmt, erfolgte erst auf den 19. Januar 1998. Die Verneinung jeglichen Leistungsanspruchs ab diesem Zeitpunkt hat das kantonale Gericht mit der Begründung, es fehle am erforderlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch bestehenden Beschwerden bestätigt. Das gilt es zu prüfen.
5. Die Frage des Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall vom 23. Oktober 1997 und noch bestehenden Beschwerden bildete bereits Gegenstand des Urteils des Bundesgerichts 1A.230/2006 vom 5. Juni 2007. Darin wurde, bei bejahter natürlicher Unfallkausalität, in Anwendung der sozialversicherungsrechtlichen Grundsätze der adäquate Kausalzusammenhang nach der Psycho-Praxis geprüft und verneint. Das kantonale Gericht hat im hier angefochtenen Entscheid erwogen, das besagte Urteil sei für das vorliegende Verfahren nicht bindend. Denn das Bundesgericht habe dort einen opferhilferechtlichen Entschädigungsvorschuss nach <ref-law> zu beurteilen gehabt und die Kausalitätsfrage demnach nur summarisch prüfen müssen. Das ist unbestritten und bedarf keiner näheren Betrachtung, da die Unfallkausalität auch bei unabhängig vom Urteil 1A.230/2006 erfolgender Beurteilung zu verneinen ist, wie die folgenden Erwägungen zeigen.
6. Die Vorinstanz hat zunächst erwogen, die über den Zeitpunkt des erfolgten Fallabschlusses hinaus noch bestandenen Beschwerden seien nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalls vom 23. Oktober 1997 erklärbar. Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen und überzeugenden Würdigung der medizinischen Akten. Hervorzuheben ist, dass sämtliche mit bildgebenden Verfahren durchgeführten Untersuchungen keine Hinweise für eine unfallbedingte Schädigung ergeben haben.
Soweit der Versicherer unter Berufung auf die von der Vorinstanz eingeholte Expertise der Rehaklinik Y._ vom 23. Juli 2004 und auf das von ihm veranlasste Gutachten des Neurologen Dr. med. M._ vom 29. September 2003 eine abweichende Auffassung vertritt, kann ihm nicht gefolgt werden. Mit dem durch Dr. med. M._ bestätigten Tinnitus ist eine organische Unfallfolge nicht ausgewiesen. Sodann stützen die Aussagen in der Expertise der Rehaklinik Y._eher die vorinstanzliche Beurteilung. Die Klinikärzte führen aus, unmittelbar nach dem Unfall hätten organische Beschwerden vorgelegen. Jedoch hätten verifizierbare Schädigungen weder auf konventionellen Bildern noch mit den verschiedenen MRI-Untersuchungen festgestellt werden können.
7. Liegt keine organisch objektivierbare Unfallfolge vor, schliesst das zwar die natürliche Unfallkausalität der bestehenden Beschwerden nicht aus. Anders als bei einem klaren unfallbedingten organischen Korrelat kann der adäquate Kausalzusammenhang aber nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden (E. 3 hievor). Ergibt sich hiebei, dass es an der Adäquanz fehlt, erübrigen sich auch Weiterungen zur natürlichen Kausalität (vgl. SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c [U 183/93]; Urteil 8C_42/2007 vom 14. April 2008 E. 2 mit Hinweisen).
Die Vorinstanz hat die adäquate Unfallkausalität der persistierenden Beschwerden geprüft und verneint.
8. Der Beschwerdeführer wendet zunächst ein, der adäquate Kausalzusammenhang hätte nicht vor dem Abschluss des normalen, unfallbedingten Heilungsprozesses geprüft werden dürfen.
8.1 Das Bundesgericht hat sich in <ref-ruling> mit der Frage des Zeitpunktes des Fallabschlusses und des in diesem Zusammenhang verschiedentlich erhobenen Einwandes der verfrühten Adäquanzprüfung wie folgt auseinandergesetzt: Zu fragen ist nicht danach, in welchem Zeitpunkt die Prüfung vorgenommen werden darf, sondern wann der Unfallversicherer einen Fall abzuschliessen hat (<ref-ruling> E. 3.2 S. 113). Gemäss <ref-law> und der dazu ergangenen Rechtsprechung hat der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung von Heilbehandlung und Taggeld sowie Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV) abgeschlossen sind (E. 4.1 S. 112 mit Hinweisen). Ob eine namhafte Besserung noch möglich ist, bestimmt sich insbesondere nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit diese unfallbedingt beeinträchtigt ist. Dabei verdeutlicht die Verwendung des Begriffes "namhaft" durch den Gesetzgeber, dass die durch weitere Heilbehandlung zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen muss. Unbedeutende Verbesserungen genügen nicht (E. 4.3 S. 115).
8.2 Eingliederungsmassnahmen der IV stehen im vorliegenden Fall nicht zur Diskussion. Sodann kann aufgrund der medizinischen Akten zuverlässig gesagt werden, dass eine Fortsetzung der ärztlichen Behandlung über den Fallabschluss hinaus keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwarten liess. Insbesondere bestand wieder eine volle Arbeitsfähigkeit und wurde von ärztlicher Seite lediglich noch symptombekämpfende Medikation empfohlen.
Was in der Beschwerde vorgebracht wird, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Der Versicherte macht geltend, in dem von ihm veranlassten Gutachten des Neurologen Dr. med. M._ vom 9. April 1999 sei die Auffassung vertreten worden, von einer intensiven Therapie in einer spezialisierten Klinik sei eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes und eine Erhöhung der Arbeitsfähigkeit zu erwarten. In der Folge habe tatsächlich ein stationärer Aufenthalt in der Rehaklinik Z._ stattgefunden und seien umfangreiche ambulante Therapien angewandt worden. Zu beachten ist indessen zunächst, dass die besagten ärztlichen Stellungnahmen und Therapien nach dem Erlass des Einspracheentscheides vom 24. September 1998, welcher die gerichtliche Prüfung grundsätzlich zeitlich begrenzt (vgl. E. 3 hievor) erfolgt sind. Abgesehen davon gilt, dass die Frage einer zu erwartenden gesundheitlichen Besserung nur prognostisch und nicht aufgrund retrospektiver Feststellungen zu beurteilen ist (RKUV 2005 Nr. U 557 S. 388, U 244/04 E. 3.1 mit Hinweisen; Urteil 8C_95/2009 vom 4. Juni 2009 E. 2 mit Hinweis). Aufgrund der hier vorhandenen echtzeitlichen Arztberichte und der darin enthaltenen Prognosen kann verlässlich gesagt werden, dass eine weitere ärztliche Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwarten liess. Diese Beurteilung wird durch die erst einige Zeit nach dem Fallabschluss erstellten ärztlichen Aussagen, auf welche sich der Beschwerdeführer beruft, nicht in Frage gestellt. Es wird im Übrigen weder geltend gemacht noch ist ersichtlich, dass die durchgeführten Therapien zu einer namhaften gesundheitlichen Besserung geführt hätten. Der Fallabschluss erfolgte somit rechtens.
9. Bei der Adäquanzbeurteilung ging das Bundesgericht im Urteil 1A.230/2006 nach der Psycho-Praxis vor. Nach Auffassung des Versicherten ist die Schleudertrauma-Rechtsprechung anzuwenden. Die Vorinstanz hat erwogen, es liege keine Verletzung vor, welche ein Vorgehen nach der Schleudertrauma-Praxis rechtfertigen könnte; die Adäquanz wäre aber ohnehin auch bei deren Anwendung zu verneinen.
Welche der Auffassungen über die anwendbare Methode der Adäquanzbeurteilung zutrifft, muss nicht abschliessend beantwortet werden, wenn der adäquate Kausalzusammenhang mit der Vorinstanz auch nach der Schleudertrauma-Praxis, die in der Regel (vgl. aus jüngster Zeit Urteil 8C_70/2009 vom 31. Juli 2009 E. 3.2 Ingress mit Hinweis) und jedenfalls hier für die versicherte Person günstiger ist als die Psycho-Praxis, zu verneinen ist. Das gilt es zu prüfen.
9.1 Ausgangspunkt der Adäquanzbeurteilung bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (<ref-ruling> E. 10.1 S. 126; E. 2 hievor). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.2 und 5.3.1 [U 2, 3 und 4/07]; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1).
9.1.1 Rechtsprechungsgemäss werden Auffahrkollisionen auf ein (haltendes) Fahrzeug in der Regel als mittelschwere Unfälle im Grenzbereich zu den leichten Unfällen betrachtet (RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236, U 380/04 E. 5.1.2 mit Hinweisen; aus jüngster Zeit: Urteil 8C_154/2009 vom 5. Juni 2009 E. 5.1). Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 23. Oktober 1997 dennoch eher im mittleren als im unteren Bereich der mittelschweren Unfälle eingestuft. Es begründet dies mit der Heftigkeit des Aufpralls des nachfolgenden Fahrzeuges. Das ist nicht zu beanstanden. Jedenfalls liegt entgegen der Auffassung des Versicherten kein Unfall im Grenzbereich zu den schweren Unfällen vor. Als Unfälle mit diesem Schweregrad werden regelmässig nur Ereignisse qualifiziert, die mit markant höheren Krafteinwirkungen verbunden sind (vgl. RKUV 2005 Nr. U 555 S. 322, U 458/04 E. 3.4.1, und Nr. U 548 S. 228, U 306/04 E. 3.2.2; Urteil 8C_609/2007 vom 22. August 2008 E. 4.1.3, je mit Hinweisen).
9.1.2 Die Vorbringen des Beschwerdeführers, wie etwa die Hinweise auf Bauart und unfallbedingte Beschädigungen des von ihm gefahrenen Autos, führen zu keiner anderen Betrachtungsweise. Diese Gesichtspunkte wie auch das vom Versicherten eingeholte verkehrsphysische/biomechanische Gutachten gestatten den Schluss auf einen Grenzfall zu den schweren Unfällen nicht. Zu keinem anderen Ergebnis führt der Einwand, gemäss dem besagten Gutachten sei die kollisionsbedingte Geschwindigkeitsveränderung beim Unfall vom 23. Oktober 1997 mindestens gleich hoch gewesen, wie beim Unfall, den das Bundesgericht im Urteil 8C_633/2007 vom 7. Mai 2008 beurteilt und als Grenzfall zu den schweren Unfällen eingestuft habe. Der vorliegende Sachverhalt differiert erheblich vom dort beurteilten, bei welchem - nebst weiteren erschwerenden Umständen - zum Heckaufprall ein heftiger Frontzusammenstoss mit einem anderen Fahrzeug hinzukam. Auch dem vom Beschwerdeführer weiter erwähnten Urteil 8C_257/2008 vom 4. September 2008 lag ein Unfallhergang zugrunde, welcher sich deutlich von dem vorliegenden unterscheidet. Diese Präjudizien vermögen daher die vom Versicherten postulierte Unfallschwere ebenfalls nicht zu stützen.
9.2 Von den weiteren massgeblichen Kriterien müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (<ref-ruling> E. 10.1 S. 126 f.; <ref-ruling> E. 6 S. 367 f.). Als massgebliche Kriterien galten gemäss <ref-ruling> E. 6a S. 367 (vgl. auch <ref-ruling> E. 4b S. 383): besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung; Dauerbeschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit. Diese Kriterien wurden mit <ref-ruling> teilweise präzisiert und lauten nun wie folgt: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (<ref-ruling> E. 10.3 S. 130).
Gemäss dem angefochtenen Entscheid ist keines der adäquanzrelevanten Kriterien gegeben. Demgegenüber vertritt der Beschwerdeführer die Auffassung, sämtliche Kriterien seien erfüllt. Dabei vermengt er teilweise Kriterien in der früheren Fassung mit solchen gemäss der präzisierten Rechtsprechung. Darauf wird nachfolgend eingegangen. Dabei ist vorab festzustellen, dass die vorhandenen umfangreichen Akten gestatten, die Kriterien verlässlich zu prüfen. Weitere Beweismassnahmen, wie etwa eine Befragung des Beschwerdeführers oder von Zeugen, versprechen keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss und sind daher nicht erforderlich. Im Einzelnen ergibt sich Folgendes:
9.2.1 Das Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls ist entgegen der Beschwerde klar nicht erfüllt. Der erlittene Schrecken hielt sich im Rahmen des bei Verkehrsunfällen Üblichen. Der geltend gemachte Umstand, dass das Fahrzeug des Versicherten auf das Trottoir der Gegenfahrbahn geschleudert wurde und es dabei zu einer Frontalkollision mit einem entgegenkommenden Fahrzeug hätte kommen können, ändert hieran nichts. Der vorliegende Sachverhalt unterscheidet sich auch deutlich von demjenigen, den das Bundesgericht in dem vom Beschwerdeführer erwähnten Urteil 8C_257/2008 vom 4. September 2008 zu beurteilen hatte.
9.2.2 Das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen ist ebenfalls nicht gegeben. Namentlich traten die schleudertraumatypischen Beschwerden entgegen der vom Versicherten vertretenen Auffassung nicht in einer derart schweren Weise auf, dass dies die Bejahung des Kriteriums gestatten würde (vgl. <ref-ruling> E. 10.2.2 S. 128). Auch der aufgetretene Tinnitus führt zu keinem anderen Ergebnis.
9.2.3 Bezüglich des Kriteriums der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, ist vorab zu betonen, dass es dabei entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht darum gehen kann, ob die SUVA und allenfalls auch die IV unterlassen hat, den Versicherten aktiv zu reintegrieren. Eine ärztliche Fehlbehandlung im Sinne des Kriteriums liegt auch sonst nicht vor. Dass der Versicherte medizinisch zu wenig versorgt wurde und dies die Unfallfolgen erheblich verschlimmerte, wird durch die Akten nicht gestützt. Eine Fehlbehandlung, welche die Bejahung des Kriteriums gestatten würde, kann auch darin nicht gesehen werden, dass dem Beschwerdeführer das Tragen eines Halskragens verordnet wurde (SVR 2009 UV Nr. 41 S. 142, 8C_1020/2008 E. 5.6.). Das Kriterium ist daher nicht erfüllt.
9.2.4 Zur Bejahung des Kriteriums des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblichen Komplikationen genügt die Durchführung verschiedener Therapien ebenso wenig wie deren fehlender Erfolg. Es bedürfte besonderer Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben (vgl. SVR 2009 UV Nr. 41 S. 142, 8C_1020/2008 E. 5.7). Solche Gründe bestehen hier nach Lage der Akten nicht und könnten auch in den vom Versicherten aufgeführten Gesichtspunkten nicht gesehen werden.
9.2.5 Das frühere Kriterium der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung wurde mit <ref-ruling> präzisiert. Die ursprüngliche Fassung, zu welcher sich der Beschwerdeführer äussert, ist nicht mehr massgebend. Das kantonale Gericht hat denn auch die neue Fassung angewendet. Entscheidend ist nunmehr, ob nach dem Unfall fortgesetzt spezifische, die versicherte Person belastende ärztliche Behandlung bis zum Fallabschluss notwendig war (<ref-ruling> E. 10.2.3 S. 128). Davon kann hier keine Rede sein. Die vom Versicherten erwähnten Therapien fanden erst nach dem Fallabschluss statt und waren überdies von teils erheblichen zeitlichen Unterbrüchen begleitet. Es wäre auch fraglich, ob die Behandlungen als belastend im Sinne des Kriteriums zu betrachten wären. Dieses ist daher nicht erfüllt. Im Übrigen wäre das Kriterium auch in der früheren Fassung schon aufgrund der zeitlichen Unterbrüche bei der Behandlung nicht gegeben (vgl. RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236, U 380/04 E. 5.2.4).
9.2.6 Damit bleiben die beiden Kriterien der erheblichen Beschwerden (früher: Dauerbeschwerden) und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen; (früher: Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit). Um den adäquaten Kausalzusammenhang bejahen zu können, müsste mindestens eines dieser Kriterien in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Dass dies zutrifft, kann aufgrund der Akten sowohl für die Kriterien in der früheren wie in der neuen, massgeblichen Fassung zuverlässig ausgeschlossen werden. Auch der Beschwerdeführer macht nichts anderes geltend. Damit kann offenbleiben, ob die beiden Kriterien überhaupt in der einfachen Form erfüllt wären. Denn auch bejahendenfalls würde dies nicht genügen, um den adäquaten Kausalzusammenhang bejahen zu können.
9.3 SUVA und Vorinstanz haben einen weiteren Leistungsanspruch somit zu Recht verneint.
10. Zu prüfen bleibt, ob die SUVA die Kosten der vom Versicherten veranlassten (verkehrsphysischen/biomechanischen und medizinischen) Gutachten zu übernehmen hat. Das kantonale Gericht hat dies richtigerweise verneint. Diese Abklärungen haben keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss gebracht und es kann nicht gesagt werden, der Unfallversicherer habe seine Abklärungspflichten und damit den Untersuchungsgrundsatz verletzt (vgl. RKUV 2005 Nr. U 547 S. 221, U 85/04 E. 2.1 und 2004 Nr. U 503 S. 186, U 282/00 E. 5.1, je mit Hinweisen). Die Einwände des Beschwerdeführers führen zu keinem anderen Ergebnis. Namentlich lässt sich auch aus dem Umstand, dass die Vorinstanz selber medizinische Gutachten eingeholt hat, unter den gegebenen Umständen nicht herleiten, die vom Versicherten veranlassten Abklärungen seien für die Entscheidfindung erforderlich gewesen. Der angefochtene Entscheid ist also auch diesbezüglich rechtens.
11. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. September 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz