Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1996, stand unter der alleinigen elterlichen Sorge seiner Mutter. Er zeigte gewisse Verhaltensauffälligkeiten, die ab Juli 1999 in Spitälern und anderen Institutionen abgeklärt wurden. Am 6. September 2006 ordnete die Vormundschaftsbehörde R._ (SZ) eine Beistandschaft als Kindesschutzmassnahme an. A._ war danach teils vorübergehend zwecks Abklärungen, teils auf Dauer in Heimen und Schulen oder bei Pflegefamilien untergebracht. Seine Mutter wechselte mehrfach ihren Wohnsitz.
A.b. Am 3. August 2011 übernahm die Vormundschaftsbehörde S._ (SG) die Beistandschaft für A._. Sie entzog dessen Mutter die Obhut und bestätigte dessen Fremdplatzierung. Zu seinem neuen Beistand B._ und zur Pflegefamilie C._ in T._, Gemeinde U._ (TG), wo er ab September 2011 seine freien Wochenenden und die Ferien verbrachte, konnte A._ in der Folge eine tragfähige und vertrauensvolle Beziehung aufbauen.
A.c. Auf Anordnung der Vormundschaftsbehörde S._ (SG) trat A._ im Dezember 2012 in das Kantonale Jugendheim D._, in V._ (SG), ein, um dort die obligatorische Schulzeit abzuschliessen und einen Beruf zu erlernen.
A.d. Im Oktober 2013 verlegte die Mutter von A._ ihren Wohnsitz von S._ (SG) nach W._ (SH), wo auch A._ am 21. November 2013 angemeldet wurde.
A.e. A._ schrieb am 19. Dezember 2013 an die für die Gemeinde S._ (SG) zuständige KESB X._, dass er weder die Wochenenden bei seiner Mutter verbringen noch Kontakt mit ihr haben wolle, sondern seine Lehre im D._ abschliessen und dort in der Wohngruppe bleiben wolle. Er brauche sicher bis Ende der Lehre weiterhin einen Beistand. Die KESB X._ teilte der KESB des Kantons Schaffhausen am 24. Januar 2014 mit, dass die Beistandschaft für A._ mit der Volljährigkeit von Gesetzes wegen aufgehoben werde, es aber sinnvoll sei, bis zur Beendigung der Lehre eine Erwachsenenschutzmassnahme anzuordnen. Dafür sei die KESB des Kantons Schaffhausen zuständig, da A._ seinen Wohnsitz seit Oktober 2013 in W._ (SH) habe.
B.
B.a. Am xx.xx.2014 wurde A._ volljährig. Auf diesen Zeitpunkt hin schloss die KESB X._ die Beistandschaft für A._ förmlich ab (Beschluss vom 18. Februar 2014).
B.b. Die KESB des Kantons Schaffhausen lud A._ am 7. Februar 2014 zu einer Besprechung seines Unterstützungsbedarfs ein. A._ bestätigte sein zuvor schon gegenüber der KESB X._ geäussertes Anliegen mit Schreiben vom 21. Februar 2014 und ergänzte, er wolle die Wochenenden im D._ oder bei seiner Pflegefamilie in T._ verbringen. Die KESB des Kantons Schaffhausen sagte den Besprechungstermin am 26. Februar 2014 wieder ab, weil sie sich als örtlich nicht zuständig erachtete. Sie teilte der KESB Y._ am 5. März 2014 mit, ihrer Ansicht nach habe A._ einen selbstständigen Wohnsitz in V._ (SG) begründet. Die KESB Y._ bestritt ihre Zuständigkeit, da der Aufenthalt im Jugendheim D._ zu Ausbildungszwecken keinen Wohnsitz in V._ (SG) begründe.
B.c. Mangels Einigung unterbreitete die KESB des Kantons Schaffhausen die Frage der Zuständigkeit am 19. März 2014 dem Obergericht als kantonaler Beschwerdeinstanz. Zur Stellungnahme eingeladen, beharrte die KESB Y._ auf ihrer Unzuständigkeit.
B.d. Am 26. Mai 2014 erliess die Gemeinde U._ (TG) eine Gefährdungsmeldung an die KESB des Kantons Schaffhausen, zumal A._ seine Lehre abgebrochen habe, auf sich allein gestellt sei und nur über eine Notunterkunft (keinen Wohnsitz) bei der Familie verfüge, bei der er für die Wochenenden platziert gewesen sei. Sie ersuchte dringend um Anordnung einer Beistandschaft. Die KESB des Kantons Schaffhausen leitete das Gesuch an die am Aufenthaltsort zuständige KESB Z._ weiter, die auf eine Erwachsenenschutzmassnahme verzichtete mit der Begründung, die Gemeinde U._ (TG) berate und unterstütze A._ im Rahmen der freiwilligen Sozialarbeit.
B.e. Mit Entscheid vom 21. Oktober 2014 stellte das Obergericht des Kantons Schaffhausen fest, dass die KESB des Kantons Schaffhausen zur Errichtung einer Beistandschaft für A._ nicht zuständig sei. Es überwies die Sache zur weiteren Prüfung an die für das im Februar 2014 eingeleitete Verfahren als zuständig erscheinende KESB Y._ und teilte den Entscheid zusätzlich der KESB Z._ mit.
C.
Mit Eingabe vom 24. November 2014 beantragen der Kanton St. Gallen (Beschwerdeführer) und die KESB Y._ (Beschwerdeführerin) dem Bundesgericht, es sei festzustellen, dass die Beschwerdeführerin für das im Februar 2014 eingeleitete erwachsenenschutzrechtliche Verfahren in Sachen A._ nicht zuständig ist, und es sei die für A._ per Februar 2014 zuständige Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde zu bestimmen. Unter "Prozessuales" beantragen die Beschwerdeführer eventualiter, dass die Beschwerde als Klage des Kantons St. Gallen gegen den Kanton Schaffhausen entgegenzunehmen sei (S. 5 Ziff. 6 der Beschwerdeschrift). Es sind die kantonalen Akten, hingegen weder von der KESB des Kantons Schaffhausen (Beschwerdegegnerin) noch vom Kanton Schaffhausen Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Streitigkeiten zwischen Kantonen über die Zuständigkeit ihrer Vormundschaftsbehörden zur Weiterführung einer Beistandschaft hat das Bundesgericht bisher auf Klage hin entschieden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 594 f.). Es stellt sich die Frage, ob das am 1. Januar 2013 in Kraft getretene Erwachsenenschutzrecht (<ref-law>; AS 2011 725, S. 767) daran etwas geändert hat. Sollte es eine Behörde zum Erlass einer Verfügung über die interkantonale Zuständigkeit von Erwachsenenschutzbehörden ermächtigen, dann ist die Klage unzulässig und gegen die Verfügung letztinstanzlich die Beschwerde an das Bundesgericht zulässig (<ref-law>).
2.
Eine Verfügungskompetenz der gerichtlichen Beschwerdeinstanz in Fragen der interkantonalen Zuständigkeit leiten die Beschwerdeführer aus <ref-law> ab. Streitig ist dessen Auslegung (E. 3), aber auch die Auslegung von <ref-law> (E. 4). Massgebend für jede Auslegung ist in erster Linie der Wortlaut der fraglichen Bestimmung. Ist der Text nicht ganz klar und sind verschiedene Interpretationen möglich, so muss nach der wahren Tragweite der Bestimmung gesucht werden, wobei alle Auslegungselemente zu berücksichtigen sind (Methodenpluralismus). Dabei kommt es namentlich auf die Entstehungsgeschichte, auf den Zweck der Norm, auf die ihr zugrunde liegenden Wertungen und auf den Sinnzusammenhang an, in dem die Norm steht. Die Gesetzesmaterialien sind zwar nicht unmittelbar entscheidend, dienen aber als Hilfsmittel, den Sinn der Norm zu erkennen. Nach der Rechtsprechung darf die Auslegung vom klaren Wortlaut eines Rechtssatzes nur dann abweichen, wenn triftige Gründe dafür bestehen, dass er nicht den wahren Sinn der Bestimmung wiedergibt. Solche triftigen Gründe können sich aus der Entstehungsgeschichte, aus dem Sinn und Zweck der Vorschrift und aus dem Zusammenhang mit anderen Gesetzesbestimmungen ergeben. Entscheidend ist danach nicht der vordergründig klare Wortlaut einer Norm, sondern der wahre Rechtssinn, welcher durch die anerkannten Regeln der Auslegung zu ermitteln ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 292).
3.
Die Auslegung von <ref-law> ergibt Folgendes:
3.1. Mit der Marginalie "Prüfung der Zuständigkeit" bestimmt <ref-law>, dass die Erwachsenenschutzbehörde ihre Zuständigkeit von Amtes wegen prüft (Abs. 1), und die Sache, soweit sie sich nicht für zuständig hält, unverzüglich der Behörde überweist, die sie als zuständig erachtet (Abs. 2). Zweifelt sie an ihrer Zuständigkeit, so pflegt sie einen Meinungsaustausch mit der Behörde, deren Zuständigkeit in Frage kommt (Abs. 3). Kann im Meinungsaustausch keine Einigung erzielt werden, so unterbreitet die zuerst befasste Behörde die Frage ihrer Zuständigkeit der gerichtlichen Beschwerdeinstanz (Abs. 4). Der Wortlaut für sich allein lässt nicht auf eine Kompetenz der gerichtlichen Beschwerdeinstanz schliessen, mit bindender Wirkung über die Zuständigkeit einer anderen Erwachsenenschutzbehörde als derjenigen, die sie angerufen hat, zu entscheiden. Denn die Erwachsenenschutzbehörde prüft "ihre Zuständigkeit" (Abs. 1: "sa compétence"; "la propria competenza") und unterbreitet "die Frage ihrer Zuständigkeit" (Abs. 4: "la question de sa compétence"; "la questione della propria competenza") der gerichtlichen Beschwerdeinstanz. Der Prüfungsgegenstand ändert im Verlaufe des Verfahrens nicht.
3.2. Die Entstehungsgeschichte der Bestimmung belegt freilich, dass nicht restlos klar war, was die Erwachsenenschutzbehörde der gerichtlichen Beschwerdeinstanz unterbreitet.
3.2.1. Der Bericht mit Vorentwurf (VE) für ein Bundesgesetz über das Verfahren vor den Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden vom Juni 2003 wollte, dass die gerichtliche Aufsichtsbehörde inner- und auch interkantonale Kompetenzkonflikte entscheidet (Art. 4 VE) und deren Entscheid mit der eidgenössischen Berufung angefochten werden kann (Art. 60 VE). Der nach damaligem Recht bestehende Weg der staatsrechtlichen Klage wurde zur Erledigung von interkantonalen Kompetenzkonflikten zwischen Erwachsenenschutzbehörden als langwierig, kompliziert und schwerfällig und insgesamt als unzweckmässig erachtet (S. 10 des Berichts zu Art. 4 VE). Der Bericht mit Vorentwurf sah eine Ergänzung des Bundesrechtspflegegesetzes (OG) betreffend Entscheide in Kompetenzstreitigkeiten vor. Danach war zulässiges Bundesrechtsmittel die Berufung und zur Berufung befugt die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde, welche ihre Zuständigkeit behauptet oder bestreitet und vor der letzten kantonalen Instanz unterlegen ist (S. 38 f. des Berichts zu Art. 60 VE). Im Vernehmlassungsverfahren wurde die Regelung betreffend inner- und interkantonale Kompetenzkonflikte als teilweise unklar bezeichnet und eine Ergänzung bzw. Überarbeitung angeregt (Zusammenstellung der Vernehmlassungen: Vorentwurf für ein Bundesgesetz über das Verfahren vor den Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden, Oktober 2004, S. 29 und S. 130 ff.).
3.2.2. Die Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches (Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht) vom 28. Juni 2006 hat auf das Verfahrensgesetz verzichtet, die darin enthaltenen wesentlichen Verfahrensgrundsätze jedoch für den Kindes- und Erwachsenenschutz im Sinn eines bundesrechtlich vereinheitlichten gesamtschweizerischen Standards im Zivilgesetzbuch verankern wollen (BBl 2006 7001 S. 7022 Ziff. 1.3.10). Wie im Vorentwurf sollten die inner- und interkantonalen Kompetenzkonflikte geregelt werden. Laut Botschaft bindet der Zuständigkeitsentscheid der angerufenen Beschwerdeinstanz grundsätzlich auch die Behörde des anderen Kantons, der unterliegende Kanton ist jedoch berechtigt, gegen diesen Entscheid beim Bundesgericht zivilrechtliche Beschwerde zu führen (BBl 2006 7001 S. 7076 f. zu Art. 444). Der Entwurf sah in Art. 444 Abs. 4 vor, dass die zuerst befasste Behörde "die Angelegenheit" ("l'affaire"; "la controversia") der gerichtlichen Beschwerdeinstanz unterbreitet, wenn im Meinungsaustausch keine Einigung erzielt werden kann (BBl 2006 7139 S. 7163).
3.2.3. Auf Antrag seiner Kommission beschloss der Ständerat den Wortlaut von Art. 444 Abs. 4 des Entwurfs dahin gehend zu ändern, dass die zuerst befasste Behörde "die Frage ihrer Zuständigkeit" ("la question de sa compétence") der gerichtlichen Beschwerdeinstanz unterbreitet. Für die Kommission erläuterte Ständerat Bonhôte die Präzisierung mit den Worten: "l'instance judiciaire de recours doit bien trancher la question de la compétence et non le fond en l'occurence" (AB 2007 S 840). Der Nationalrat stimmte dem Beschluss des Ständerates diskussionslos zu (AB 2008 N 1539). Beweggrund für die Präzisierung des Ständerats war indessen nicht so sehr die Sorge, dass die gerichtliche Beschwerdeinstanz über die Zuständigkeitsfrage hinaus gleich in der Sache entscheidet. Vielmehr ist es offenbar darum gegangen, dass die Beschwerdeinstanz des einen Kantons nur über die Nichtzuständigkeit der Behörde ihres eigenen Kantons verbindlich entscheiden, hingegen nicht einem anderen Kanton die Zuständigkeit vorschreiben kann (so mit Hinweis auf Prot. Komm. SR, 27./28.8.2007, S. 31 f.: Hermann Schmid, Erwachsenenschutz, Kommentar, 2010, N. 3 zu <ref-law>).
3.3. Als Zwischenergebnis kann festgehalten werden, dass zumindest die Meinungsbildung in der ständerätlichen Kommission für Rechtsfragen und anschliessend in den Räten den heutigen Wortlaut von <ref-law> als bewusst gewollt bestätigt. Dieser Wortlaut lässt für sich allein nicht auf eine Kompetenz der gerichtlichen Beschwerdeinstanz schliessen, mit bindender Wirkung über die Zuständigkeit einer anderen Erwachsenenschutzbehörde als derjenigen, die sie angerufen hat, zu entscheiden. Für die Regelung interkantonaler Kompetenzkonflikte bietet <ref-law> von daher gesehen keine eindeutige Gesetzesgrundlage.
3.4. Die Ansichten in der Lehre dazu sind freilich geteilt:
3.4.1. Eine Minderheit nimmt an, dass die Beschwerdeinstanz eines Kantons nur über die Nichtzuständigkeit der Behörde des eigenen Kantons verbindlich entscheiden kann ( SCHMID, a.a.O., N. 3, und DANIEL STECK, in: Andrea Büchler et al., FamKomm Erwachsenenschutz, 2013, N. 11, und in: Daniel Rosch et al., Erwachsenenschutzrecht, 2. Aufl. 2015, N. 10, je zu <ref-law>).
3.4.2. Nach der Mehrheitsmeinung entscheidet die zuerst angerufene gerichtliche Beschwerdeinstanz auch in Fragen der interkantonalen Zuständigkeit und ist der unterliegende Kanton berechtigt, den Entscheid mit der Beschwerde in Zivilsachen anzufechten. An diesem Grundsatz, der die Logik und Einfachheit für sich hat, ändert auch die ständerätliche Präzisierung des Wortlautes nichts (so FRANÇOIS BOHNET, Autorités et procédure en matière de protection de l'adulte, in: Olivier Guillod et al., Le nouveau droit de la protection de l'adulte, 2012, S. 78 N. 121 f., und AUER/MARTI, B asler Kommentar, 2014, N. 28 zu <ref-law>; gl.M. MEIER/LUKIC, Introduction au nouveau droit de la protection de l'adulte, 2011, N. 104 S. 48; PATRICK FASSBIND, Erwachsenenschutz, 2012, S. 107; HÄFELI, Grundriss zum Erwachsenenschutzrecht, 2013, N. 31.12 S. 277 f.; STEINAUER/FOUNTOULAKIS, Droit des personnes physiques et de la protection de l'adulte, 2014, N. 1085b S. 481; je mit Hinweisen, vorab auf die Botschaft).
3.4.3. Vereinzelt wird hervorgehoben, dass dem unterlegenen Kanton die Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht offensteht, die Klage nach <ref-law> hingegen nicht mehr zulässig ist ( KOKES [ Hrsg.], Praxisanleitung Erwachsenenschutzrecht, 2012, Rz. 189 S. 30; gl.M. WURZBURGER, Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 10, und SPÜHLER, Bundesgerichtsgesetz. Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, N. 15, je zu <ref-law>).
3.5. Das Bundesgericht hat sich mit der Frage noch nicht befasst. Entgegen vereinzelter Lehrmeinungen betrifft <ref-ruling> die Bestimmung der interkantonal zuständigen Vormundschaftsbehörde und damit einen altrechtlichen Fall. Das Bundesgericht hat darauf ausdrücklich hingewiesen und festgehalten, dass im zu beurteilenden Fall die neue Regelung über die Prüfung der Zuständigkeit gemäss <ref-law> nicht anwendbar ist, wonach laut Botschaft interkantonale Zuständigkeitskonflikte nicht mehr auf dem Klageweg dem Bundesgericht, sondern der kantonalen gerichtlichen Beschwerdeinstanz unterbreitet werden sollen, deren Entscheid wiederum mit Beschwerde in Zivilsachen vor Bundesgericht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 1.2 S. 595 mit Hinweis auf die Botschaft, BBl. 2006 7001 S. 7076 f. zu Art. 444). In der blossen Wiedergabe des Botschaftstextes liegt keine Stellungnahme zur vorliegenden Streitfrage. Klar Stellung genommen hat hingegen das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Im veröffentlichten Urteil vom 3. Dezember 2013 erklärte es die KESB Glarus für zuständig zur Fortführung von bereits angeordneten Kindesschutzmassnahmen und verpflichtete die KESB Glarus zur Übernahme der Beistandschaft (SOG 2013 Nr. 4 S. 18 ff.).
4.
Die Subsidiarität der Klage gegenüber der Beschwerde setzt gemäss <ref-law> voraus, dass eine Behörde ermächtigt ist, durch Verfügung zu entscheiden, und dass sich diese Ermächtigung aus einem anderen Bundesgesetz als dem BGG ergibt.
4.1. Aus dem Wortlaut von <ref-law> kann geschlossen werden, dass das Bundesgericht die in Abs. 1 genannten Kompetenzkonflikte und Streitigkeiten auf Klage als einzige Instanz beurteilt, ausser der Tatbestand gemäss Abs. 2 ist erfüllt. Dieser Ausschluss der Klage gemäss <ref-law> wurde erst im Ständerat auf Antrag der Kommission für Rechtsfragen diskussionslos in die Vorlage aufgenommen (AB 2003 S 913) und im Nationalrat diskussionslos verabschiedet (AB 2004 N 1615). Die Entstehungsgeschichte liegt insoweit im Dunkeln. Ohne Vorbild war die Regelung indessen nicht. Der Grundsatz der Subsidiarität der Klage galt bereits im Bundesrechtspflegegesetz von 1943 ( VON WERDT, in: Hansjörg Seiler/Nicolas von Werdt/Andreas Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 18 zu <ref-law>). In diesem Sinne beurteilte das Bundesgericht gemäss Art. 83 lit. b OG in der ursprünglichen Fassung eine Klage in staatsrechtlichen Streitigkeiten zwischen Kantonen nur, wenn eine Kantonsregierung seinen Entscheid anruft und nicht nach besonderen bundesgesetzlichen Vorschriften der Bundesrat zuständig ist (BS 3 531, S. 554), d.h. die Befugnis zur Entscheidung nicht durch eine ausdrückliche oder sich aus der Ordnung unmittelbar ergebende Vorschrift eines Bundesgesetzes dem Bundesrat übertragen ist ( BIRCHMEIER, Bundesrechtspflege, 1950, S. 301 Ziff. III/1). Praxisgemäss war in Streitigkeiten zwischen Vormundschaftsbehörden verschiedener Kantone die staatsrechtliche Klage gemäss Art. 83 lit. e OG ausgeschlossen, wenn der Vormundschaftsbehörde ein Beschwerderecht zukam (z.B. <ref-law> in der Fassung von 1907/12; AS 24 233, S. 331) und gegen den Beschwerdeentscheid das ordentliche zivilrechtliche Rechtsmittel zur Verfügung stand (<ref-ruling> E. 1 S. 44 ff.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 268).
4.2. Im Verhältnis zwischen Bundesbehörden und Kantonen sehen verschiedene Bundesgesetze im Sinne von <ref-law> vor, dass eine Bundesbehörde ermächtigt ist, gegenüber einem Kanton einen Kompetenzkonflikt oder eine Streitigkeit durch eine Verfügung verbindlich zu entscheiden, die der Kanton auf dem Beschwerdeweg anzufechten berechtigt ist (z.B. Art. 108 des Bundesgesetzes über die direkte Bundessteuer, DBG, SR 642.11, betreffend Feststellung des Veranlagungsortes; für weitere Beispiele mit Hinweisen auf die Rechtsprechung: WURZBURGER, a.a.O., N. 16 zu <ref-law>). Im Verhältnis zwischen Bundesbehörden und Kantonen ist die Klage insoweit nur einschränkend zuzulassen und der Beschwerdeweg vorzuziehen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 143). Als heikel erscheinen dagegen Verfügungskompetenzen im Verhältnis zwischen den Kantonen. Der Kanton kann gegenüber dem anderen Kanton nicht hoheitlich handeln. Abweichende bundesgesetzliche Regelungen im Sinne von <ref-law> sind im Verhältnis unter den Kantonen wenig sachgerecht und kaum vorstellbar ( KIENER, Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, in: Pierre Tschannen [Hrsg.], Neue Bundesrechtspflege, BTJP 2006, 2007, S. 222 f.; MOOR/POLTIER, Droit administratif, vol. II: Les actes administratifs et leur contrôle, 3. Aufl. 2011, S. 681). Denn in einem Bundesstaat ist es von zentraler Bedeutung, dass die Kantone als souveräne Gliedstaaten ihre Streitigkeiten untereinander direkt vor dem Bundesgericht als neutrale Instanz in einem Verfahren anhängig machen können, welches die Gleichberechtigung der Parteien sicherstellt. Dies entspricht denn auch der ratio legis von <ref-law> (Urteil 2E_3/2009 und 2E_4/2009 vom 11. Juli 2011 E. 2.1).
4.3. Mit Blick auf die rechtsstaatlichen Bedenken müssen an die Gesetzesgrundlage im Sinne von <ref-law> hohe Anforderungen gestellt werden, wenn es um das Verhältnis zwischen Kantonen geht. Anwendungsfälle sind selten und betreffen nicht die Einräumung eigentlicher Verfügungskompetenzen an einen Kanton für die Erledigung der in <ref-law> genannten Kompetenzkonflikte und Streitigkeiten mit einem anderen Kanton, sondern Anfechtungsverfahren ohne Vorliegen einer Verfügung. Wie erwähnt (E. 4.1), räumte <ref-law> des Vormundschaftsrechts von 1907/12 der Vormundschaftsbehörde der Heimat im Verhältnis zur Vormundschaftsbehörde am Wohnsitz ihres Angehörigen in einem anderen Kanton ein Beschwerderecht ein. Ein Beispiel für ein Anfechtungsverfahren findet sich im Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG, SR 851.1) einlässlich geregelt. Der Wohn- oder der Aufenthaltskanton, der vom Heimatkanton die Rückerstattung von Unterstützungskosten verlangt, zeigt diesem den Unterstützungsfall an (<ref-law>). Wenn ein Kanton den Anspruch auf Kostenersatz nicht anerkennt, muss er beim fordernden Kanton Einsprache erheben (<ref-law>). Anerkennt der fordernde Kanton die Einsprache nicht, so muss er sie unter Angabe der Gründe und ausdrücklicher Anrufung dieses Artikels abweisen (<ref-law>), und der Abweisungsbeschluss wird rechtskräftig, wenn der einsprechende Kanton nicht bei der zuständigen richterlichen Behörde des Kantons Beschwerde erhebt (<ref-law>). Das Verfahren kommt somit ohne hoheitliche Verfügung aus, doch hat die Anzeige im Sinne von <ref-law> insofern rechtsgestaltende Wirkung, als sie den Kanton, an den sie gerichtet ist, rechtskräftig zum Kostenersatz verpflichtet, wenn dieser nicht Einsprache erhebt und einen allfälligen Abweisungsbeschluss nicht mit Beschwerde bei der kantonalen Gerichtsbehörde und zuletzt beim Bundesgericht anficht (<ref-ruling> E. 2 S. 352 ff.).
4.4. Ein vergleichbares Anfechtungsverfahren, geschweige denn die Einräumung einer Verfügungskompetenz in interkantonalen Kompetenzkonflikten, wird mit <ref-law> nicht geschaffen. Wenn die Erwachsenenschutzbehörde ihre Zuständigkeit von Amtes wegen prüft und die Frage ihrer Zuständigkeit der gerichtlichen Beschwerdeinstanz unterbreitet, ist in deren Entscheid vom Gesetzeswortlaut her keine Verfügung über die Zuständigkeit einer anderen Erwachsenenschutzbehörde in einem anderen Kanton zu erblicken. Auch die Überweisung der Sache im Sinne von <ref-law> an die Erwachsenenschutzbehörde hat keinerlei rechtsgestaltende oder bindende Wirkung und überlässt es der Erwachsenenschutzbehörde, ob sie die Sache an die Hand nehmen oder an eine andere Behörde weiter überweisen will oder ob sie einen Meinungsaustausch mit der anderen Behörde über die Zuständigkeit durchführen und im Fall der Uneinigkeit die Frage ihrer Zuständigkeit der gerichtlichen Beschwerdeinstanz unterbreiten will ( BOHNET, a.a.O., S. 77 N. 119; AUER/MARTI, a.a.O., N. 17 zu <ref-law>). Aus den erwähnten rechtsstaatlichen Gründen bedürfte es einer klaren und eindeutigen Gesetzesgrundlage, wenn die gerichtliche Beschwerdeinstanz des einen Kantons die Zuständigkeit einer Erwachsenenschutzbehörde in einem anderen Kanton mit bindender Wirkung soll bestimmen dürfen. Daran fehlt es <ref-law>.
4.5. Abstriche von den Anforderungen an die Gesetzesgrundlage im Sinne von <ref-law> rechtfertigen die von der Lehre angeführten verfahrensökonomischen Überlegungen nicht, die für die Beschwerde in Zivilsachen und gegen die Klage in interkantonalen Zuständigkeitsstreitigkeiten sprechen sollen.
4.5.1. Eingewendet wird, die Ermittlung des Sachverhalts im Klageverfahren sei aufwändig und schwerfällig. Weshalb dies so sein sollte, ist nicht recht einzusehen. Das Bundesgericht hat im Fall einer Klage die genau gleichen Möglichkeiten zur Klärung des Sachverhalts, wie sie für eine verfügende Behörde bestehen (vgl. nur <ref-law> i.V.m. <ref-law>). Es kommt hinzu, dass in interkantonalen Zuständigkeitskonflikten die Tatsachengrundlage häufig unbestritten ist und über den Beizug der Akten hinaus oftmals keiner weiteren Beweiserhebung bedarf (z.B. <ref-ruling> E. 2 S. 596; <ref-ruling> E. 2.1 S. 421). Zu berücksichtigen ist auch, dass gemäss <ref-law> bereits eine gerichtliche Beschwerdeinstanz den für die Zuständigkeit massgebenden Sachverhalt abgeklärt hat.
4.5.2. Der Klageweg hat gegenüber dem Beschwerdeweg einen Vorteil, was die Beteiligung Dritter angeht. Ohne Änderung der heute geltenden Rechtsprechung sind Streitverkündung und Nebenintervention im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen vor Bundesgericht nicht zulässig (Urteil 4A_360/2012 vom 3. Dezember 2012 E. 1), im Klageverfahren hingegen ausdrücklich vorgesehen (Art. 15 f. BZP i.V.m. <ref-law>). Ein Interesse an einer Teilnahme könnte der vom Entscheid unmittelbar betroffene A._ haben, der an einem Verfahren gemäss <ref-law> nicht beteiligt ist ( AUER/MARTI, a.a.O., N. 29 zu <ref-law>; BOHNET, a.a.O., S. 78 f. N. 123). Soweit er ein eigenes rechtliches Interesse glaubhaft zu machen vermag, kann seine Intervention im Klageverfahren zwischen Kantonen gerichtlich zugelassen werden ( WURZBURGER, a.a.O., N. 8 zu <ref-law>).
4.5.3. Der Klageweg hat gegenüber dem Beschwerdeweg den weiteren Vorteil, dass die Rechtskraft des Urteils auf einen am kantonalen Verfahren gemäss <ref-law> nicht beteiligten Dritten - hier den Kanton Thurgau - ausgedehnt werden könnte. Immerhin steht aufgrund des Sachverhalts fest, dass A._ seit September 2011 eine vertrauensvolle und tragfähige Beziehung zu einer Pflegefamilie unterhält (Bst. A.b), bei der er sich nach Erreichen der Volljährigkeit weiterhin aufzuhalten gedachte (Bst. B.b) und zu der er nach Abbruch der Lehre auch sofort zurückgekehrt ist (Bst. B.d). Diese Pflegefamilie wohnt im Kanton Thurgau, so dass ein Wohnsitz von A._ daselbst und die Zuständigkeit der thurgauischen Erwachsenenschutzbehörden nicht ohne weiteres verneint werden können (vgl. D. STAEHELIN, Basler Kommentar, 2014, N. 16 und N. 19i zu <ref-law>). Ein Mehrparteienverfahren, das kantonal nicht bestanden hat, lässt sich auf dem Klageweg einfacher als auf dem Beschwerdeweg bewältigen, sei es, dass der klagende Kanton die Klagen häuft, oder sei es, dass das Gericht zum Streite einen Dritten beilädt, der Partei wird (<ref-law> i.V.m. <ref-law>; VON WERDT, a.a.O., N. 22 zu <ref-law>). Ohne Anpassung der Rechtsprechung wäre der Einbezug eines am Verfahren bisher nicht beteiligten Dritten erst vor Bundesgericht im Rahmen einer Beschwerde in Zivilsachen praktisch ausgeschlossen (vgl. Urteile 5A_372/2011 vom 4. Oktober 2011 E. 2.1.2 und 5A_809/2011 vom 15. März 2012 E. 2.3).
4.6. Die zugunsten des Beschwerdewegs angeführten Gründe der Verfahrensökonomie erweisen sich bei näherer Betrachtung als nicht ganz stichhaltig. Gegen den Klageweg wird mitunter auch die Gefahr eines dauerhaften negativen Kompetenzkonfliktes heraufbeschworen, zumal in einem Fall wie dem vorliegenden, wo drei Kantone die Zuständigkeit ihrer Erwachsenenschutzbehörden offenkundig aus finanziellen Gründen ablehnen. Abgesehen davon, dass diese Gefahr ungeachtet des zulässigen Rechtsweges bestehen kann, wird sie zum einen beseitigt werden, sobald ein Kanton Geldleistungen im Rahmen der Sozialhilfe erbringen muss und einem anderen Kanton weiterverrechnen will. Zum anderen besteht wie im bisherigen Vormundschaftsrecht die Pflicht aller Behörden, negative Kompetenzkonflikte möglichst zu vermeiden. Denn die Betreuungslücken, die für den Schutzbefohlenen während der allenfalls langwierigen "Suche" nach der zuständigen Behörde entstehen, müssen als Übel angesehen werden, das dem Schutzzweck des Erwachsenenschutzrechts widerspricht. Das Wohl der beistandsbedürftigen Person fordert vielmehr, dass die Wohnsitzregeln unformalistisch ausgelegt werden ( SCHNYDER/MURER, Berner Kommentar, 1984, N. 40 zu <ref-law>).
4.7. Insgesamt ist in <ref-law> keine bundesgesetzliche Ermächtigung im Sinne von <ref-law> zu erblicken, die es der gerichtlichen Beschwerdeinstanz eines Kantons gestattete, die Zuständigkeit der Erwachsenenschutzbehörde eines anderen Kantons mit bindender Wirkung zu bestimmen, und die dadurch die Klage in Streitigkeiten über die interkantonale Zuständigkeit von Erwachsenenschutzbehörden unzulässig machte. Den negativen Kompetenzkonflikt zwischen der Beschwerdeführerin und der Beschwerdegegnerin haben die jeweiligen Kantone auf dem Klageweg gemäss <ref-law> auszutragen. Die Beschwerde erweist sich als unzulässig.
5.
Im Eventualantrag verlangen die Beschwerdeführer, ihre Eingabe als Klage des Kantons St. Gallen gegen den Kanton Schaffhausen entgegenzunehmen.
5.1. Aus nachstehenden Gründen bleibt die Frage offen, ob Klage und Beschwerde in der gleichen Rechtsschrift eingereicht werden dürfen (so KARLEN, Das neue Bundesgerichtsgesetz, 2006, S. 64) oder in separaten Eingaben zu erheben sind (so WURZBURGER, a.a.O., N. 15 a.E., und SPÜHLER, a.a.O., N. 15, je zu <ref-law>).
5.2. Parteien des Klageverfahrens sind die Kantone. Deren prozessuale Vertretung obliegt in der Regel der Regierung bzw. dem Regierungsrat als oberster Exekutivbehörde, welche den Kanton von Verfassungs wegen nach aussen vertritt (Art. 71 Abs. 2 KV/SG, sGS 111.1; Art. 67 lit. a KV/SH, RB 101.000; <ref-ruling> E. 1.3 S. 141; WURZBURGER, a.a.O., N. 8 zu <ref-law>). Soweit es zulässig ist, dass eine nachgeordnete Behörde namens des Kantons handelt, hat sie ihre Vertretungsbefugnis explizit darzutun, sei es durch einen entsprechenden speziellen Ermächtigungsbeschluss der Kantonsregierung oder durch Angabe der sie zur Prozessführung namens des Kantons berechtigenden kantonalen Vorschriften (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 145). Daran fehlt es hier sowohl auf der Kläger- wie auf der Beklagtenseite. Denn es ist weder ersichtlich noch dargetan, inwiefern der Kläger allein durch den Vorsteher des Departementes des Innern und der Beklagte durch die kantonale KESB rechtsgültig vertreten werden können, ganz abgesehen davon, dass auf der Beklagtenseite der Kanton Schaffhausen in der Klageschrift förmlich nicht einmal als Partei bezeichnet wird. Ein Anspruch auf Ergänzung und Verbesserung dieses Mangels der Klagebegründung besteht nicht (<ref-law> i.V.m. Art. 42 Abs. 2 und 5 BGG; <ref-ruling> E. 2.4 S. 247 f.).
5.3. Aus den dargelegten Gründen ist auf die Klage nicht einzutreten.
6.
Auf die Beschwerde und auf die Klage kann nicht eingetreten werden. Gerichtskosten sind gemäss <ref-law> nicht zu erheben. Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet, da auch keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Klage wird nicht eingetreten.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen sowie dem Kanton Schaffhausen, vertreten durch den Regierungsrat (...), und der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Z._ (...) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Januar 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten