Sachverhalt:
A. X._ (Mutter) und Z._ (Vater) sind die unverheirateten Eltern eines Sohnes (geb. 2002).
Mit Beschluss vom 14. Mai 2007 gewährte die Vormundschaftsbehörde A._ dem Vater jeweils am Mittwochnachmittag ein unbegleitetes Besuchsrecht (zuvor war dieses Besuchsrecht bei zehn Gelegenheiten begleitet durchgeführt worden). Die von X._ dagegen erhobenen Beschwerden blieben ohne Erfolg.
B. Am 25. Februar 2010 gelangte Z._ an die Vormundschaftsbehörde A._ und verlangte, sein Besuchsrecht sei zusätzlich zum Mittwochnachmittag auch auf jedes zweite Wochenende (Freitag, 18.00 Uhr bis Sonntag, 17.00 Uhr) auszudehnen und ihm sei ein Ferienrecht für die ersten vier Wochen der Sommerferien sowie für eine Woche der Herbstferien zu gewähren.
Mit Vernehmlassung vom 10. Februar 2011 widersetzte sich X._ den Anträgen des Kindsvaters.
Mit Beschluss vom 21. Februar 2011 dehnte die Vormundschaftsbehörde das Besuchsrecht von Z._ (zusätzlich zum Mittwochnachmittag) auf jedes zweite Wochenende (Samstag, 10.00 Uhr bis Sonntag, 18.00 Uhr) aus. Zudem räumte es ihm ein Ferienrecht ein (zwei Wochen Sommerferien und eine Woche Herbstferien).
C. Eine von X._ dagegen gerichtete Beschwerde wies das Kantonale Vormundschaftsamt Basel-Landschaft am 17. Mai 2011 ab.
D. Dagegen erhob X._ am 30. Mai 2011 Beschwerde an das Kantonsgericht Basel-Landschaft und verlangte, der Entscheid des Kantonalen Vormundschaftsamts und der Beschluss der Vormundschaftsbehörde seien aufzuheben. Zudem beantragte sie, dem Kindsvater sei mittels Präsidialverfügung zu verbieten, zusammen mit dem gemeinsamen Sohn die Schweiz zu verlassen. Gestützt auf diesen Antrag beschloss die Vormundschaftsbehörde am 20. Juni 2011, es werde Z._ nicht gestattet, im Jahr 2011 während der Ferien mit dem Sohn im Ausland zu übernachten; Tagesausflüge in das grenznahe Ausland (z.B. Europapark) seien jedoch gestattet.
Mit Verfügung vom 28. Juni 2011 wies das Kantonsgericht den erwähnten Antrag von X._ auf Erlass einer Präsidialverfügung ab. Sodann wies es mit Urteil vom 14. Dezember 2011 die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
E. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde vom 10. Februar 2012 sinngemäss, das Urteil des Kantonsgerichts vom 14. Dezember 2011 sei aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Bundesgericht hat die Vorakten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid des Kantonsgerichts, das als oberes Gericht kantonal letztinstanzlich auf Rechtsmittel hin über die Regelung des persönlichen Verkehrs gemäss Art. 273 ZGB geurteilt hat (Art. 90 und Art. 75 BGG). Es liegt eine Zivilsache in einer nicht vermögensrechtlichen Angelegenheit vor (Art. 72 Abs. 1 und Art. 74 BGG). Die von der Beschwerdeführerin nicht näher bezeichnete Eingabe ist damit als Beschwerde in Zivilsachen entgegen zu nehmen.
1.2 Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (Art. 107 Abs. 2 BGG), darf sich die Beschwerdeführerin grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 317). Ausnahmsweise genügt ein blosser Rückweisungsantrag, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 490) oder Rügen gegen das formelle Zustandekommen des angefochtenen Urteils erhoben werden (zur Besetzung des Gerichts vgl. Urteil 5A_429/2011 vom 9. August 2011 E. 1; zum rechtlichen Gehör vgl. Urteil 5A_791/2010 vom 23. März 2011 E. 1.2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
Da sich die Beschwerdeführerin hauptsächlich gegen die Besetzung des Gerichts richtet, eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör einwendet und die Sachverhaltsfeststellung als unvollständig erachtet, genügt ihr Rückweisungsantrag.
2. 2.1 Die Beschwerde ist zu begründen (Art. 42 Abs. 2 BGG). Es ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sein sollen. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht, da das Bundesgericht nicht gehalten ist, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 584; <ref-ruling> E. 3.3 S. 60).
Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und gehörig begründet wird (Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeführerin muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde und substanziiert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur ausdrücklich vorgebrachte, klar und detailliert erhobene sowie, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 310 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig und damit willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234 mit Hinweisen). Das Vorliegen dieser Voraussetzungen hat die Beschwerdeführerin genau darzulegen. Auf rein appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung oder Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356).
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Kantonsrichter seien "als befangen zu betrachten" und hätten in den Ausstand treten müssen.
3.2 Den Vorwurf der Befangenheit begründet die Beschwerdeführerin nicht weiter. Insbesondere ist damit nicht nachvollziehbar, aus welchen Umständen sie diesen Vorwurf ableitet. Darauf ist nicht einzutreten (vgl. E. 2.1 oben).
3.2 Den Vorwurf der Befangenheit begründet die Beschwerdeführerin nicht weiter. Insbesondere ist damit nicht nachvollziehbar, aus welchen Umständen sie diesen Vorwurf ableitet. Darauf ist nicht einzutreten (vgl. E. 2.1 oben).
3.3 3.3.1 Die Beschwerdeführerin rügt weiter sinngemäss, das Kantonsgericht habe den Fall "knapp abgefertigt" und die Entscheide der Vorinstanzen "durchgewunken", ohne sich im angefochtenen Urteil einlässlich mit ihren Vorbringen auseinanderzusetzen.
3.3.2 Das rechtliche Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV verlangt, dass die Behörde die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtslage betroffenen Person auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen).
3.3.3 Es kann offen gelassen werden, ob die Beschwerdeführerin den Einwand der Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör überhaupt rechtsgenüglich vorbringt (vgl. E. 2.1 oben). Das Kantonsgericht hat seinen Entscheid ausführlich begründet und zu den Einwänden der Beschwerdeführerin Stellung genommen, soweit diese sachbezogen erfolgten und nicht allgemeine Ausführungen und Kritik betrafen. Die Rüge erweist sich demnach als unbegründet.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin wirft dem Kantonsgericht weiter vor, es habe keine Kindsanhörung durchgeführt.
4.2 Das Kantonsgericht hat im angefochtenen Entscheid auf beinahe zwei Seiten ausführlich begründet, warum es vorliegend auf eine Anhörung des neunjährigen Kindes verzichtet hat.
Es hat darauf verwiesen, dass es mit Verfügung vom 2. Dezember 2011 die Kindsanhörung auf den 8. Dezember 2011 um 17 Uhr angeordnet habe. Daraufhin habe die Beschwerdeführerin mit Schreiben vom 5. Dezember 2011 geantwortet, sie erachte diesen Termin als ungeeignet, da sich ihr Sohn nach der Schule kurz erholen müsse und anschliessend Hausaufgaben mache. Mit Schreiben vom 6. Dezember 2011 habe es sodann die Beschwerdeführerin darauf hingewiesen, dass am ursprünglich festgesetzten Termin für die Kindsanhörung festgehalten werde. Zum Termin sei die Beschwerdeführerin mit ihrem Sohn dann aber nicht erschienen.
Das Verhalten der Beschwerdeführerin reihe sich ohne Weiteres in ihre bisherige Vorgehensweise ein, das Verfahren immer wieder mit Fristerstreckungen und verzögernden Vernehmlassungen zu verlängern. So habe sie beispielsweise vor der Vormundschaftsbehörde ihre Vernehmlassung erst knapp ein Jahr nach der erstmaligen Aufforderung eingereicht. In Anbetracht dieser Umstände erscheine es als wahrscheinlich, dass die Beschwerdeführerin auch weitere Termine für die Anhörung ihres Sohnes nicht eingehalten hätte. Es sei aber angesichts des Alters des Kindes für die Durchführung der Anhörung zwingend auf die Kooperation der Beschwerdeführerin angewiesen, weshalb diese es in der Hand hätte, auch insoweit das Verfahren in die Länge zu ziehen. Es liege jedoch weder im Interesse des Kindes noch des Kindsvaters, das Verfahren weiter hinauszuschieben.
Es rechtfertige sich deshalb vorliegend, auf die Anhörung des Kindes zu verzichten, zumal von der Anhörung ohnehin kein entscheidender Einfluss auf den Ausgang des Verfahrens zu erwarten gewesen wäre, da die bisherige Besuchsrechtsausübung (Mittwochnachmittag) zu keinen Reklamationen geführt habe, der Kindsvater das Besuchsrecht seit vier Jahren ohne Beanstandungen ausführe, die Fachperson für Familien- und Kinderbetreuung, welche die ersten Besuche begleitet habe, den Kindsvater als freundlichen und umsorgenden Vater bezeichne und sich das Verhältnis zwischen Vater und Sohn sehr gut entwickelt habe.
4.3 Die Beschwerdeführerin begnügt sich in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht mit dem Hinweis, es sei "unüblich", dass der Termin für die Anhörung "über den Kopf der Mutter einfach so" festgelegt und kein Ausweichtermin vorgeschlagen werde. Der Termin sei deshalb nachzuholen.
Mit dieser Begründung, die jegliche Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid vermissen lässt, genügt die Beschwerdeführerin den erwähnten Anforderungen an die Beschwerdebegründung nicht (vgl. E. 2 oben). Darauf ist ebenfalls nicht einzutreten.
5. 5.1 Schliesslich bringt die Beschwerdeführerin vor, das Kantonsgericht habe einer möglichen Gefahr, dass der Kindsvater den Sohn in sein Ursprungsland entführen könnte, zu wenig Beachtung geschenkt. Das Kantonsgericht habe zudem ihren Vorwurf, das von der Wohnung des Kindsvaters eine Asbestgefahr ausgehe, nicht abgeklärt. Unbeachtet geblieben sei sodann auch, dass die Dachwohnung des Kindsvaters über keine Feuerleiter oder -treppe verfüge und so bei einem "Feuerausbruch keine Chance auf Überleben" bestehe.
5.2 Ob eine Entführungsgefahr besteht, ist eine auf Beweiswürdigung beruhende Tatfrage (Urteil 5A_830/2010 vom 30. März 2011 E. 4.2). Dasselbe gilt für Feststellungen über die Wohnverhältnisse des Vaters.
5.3 Was die Wohnverhältnisse angeht, hat sich das Kantonsgericht im angefochtenen Entscheid den Feststellungen der Vorinstanzen - insbesondere gestützt auf den Augenschein der Vormundschaftsbehörde in der Wohnung des Kindsvaters - angeschlossen und sinngemäss darauf verwiesen (zur Zulässigkeit solcher Verweise vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 34). Es kam zum Schluss, dass die Wohngelegenheit des Kindsvaters zu keinen Beanstandungen Anlass gebe.
Zur Entführungsgefahr hat das Kantonsgericht dargelegt, weder habe die Beschwerdeführerin Gründe für eine solche konkrete Gefahr vorgebracht, noch seien solche ersichtlich. Der Kindsvater habe seine türkische Staatsangehörigkeit aufgegeben und sei nunmehr Schweizer Bürger. Zudem verfüge er in der Schweiz über eine feste Arbeitsstelle und sei Eigentümer mehrerer Grundstücke. Sein Lebensmittelpunkt befinde sich eindeutig in der Schweiz.
5.4 Die Beschwerdeführerin begnügt sich damit, der Beweiswürdigung des Kantonsgerichts ihre eigene entgegenzusetzen, ohne sich auch nur ansatzweise mit der ausführlichen Entscheidbegründung des Kantonsgerichts auseinanderzusetzen und ohne entsprechende Rügen zu erheben. Auf solche appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (vgl. E. 2.2 oben).
6. Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin wird kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig (Art. 66 und 68 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, zeigen doch die vorstehenden Erwägungen auf, dass ihre Beschwerde von Beginn weg keinen Erfolg haben konnte (Art. 64 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Vormundschaftsbehörde A._ und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. April 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Bettler