Sachverhalt:
A.a Der 1962 geborene S._ war als Hilfsarbeiter tätig und über den Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er sich am 13. Juli 1983 bei einem Motorradunfall eine schwere Verletzung am linken Knie zuzog. Die SUVA sprach ihm für die verbleibende Beeinträchtigung mit Verfügung vom 4. März 1985 und rechtskräftigem Einspracheentscheid vom 21. Juli 1986 ab 1. Dezember 1984 eine Invalidenrente gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 15 % sowie eine Integritätsentschädigung aufgrund einer Integritätseinbusse von 20 % zu.
A.a Der 1962 geborene S._ war als Hilfsarbeiter tätig und über den Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er sich am 13. Juli 1983 bei einem Motorradunfall eine schwere Verletzung am linken Knie zuzog. Die SUVA sprach ihm für die verbleibende Beeinträchtigung mit Verfügung vom 4. März 1985 und rechtskräftigem Einspracheentscheid vom 21. Juli 1986 ab 1. Dezember 1984 eine Invalidenrente gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 15 % sowie eine Integritätsentschädigung aufgrund einer Integritätseinbusse von 20 % zu.
A.b Mit Unfallmeldung vom 15. Juni 2005 teilte die Firma X._, ein bezüglich Unfallversicherung der SUVA unterstellter Betrieb, dem Versicherer mit, S._, der seit 1. Mai 2005 in einem 80%-Pensum als technischer Leiter bei ihr arbeite, sei am 3. Juni 2005 auf einer Baustelle ausgerutscht. Gemäss Arztberichten erlitt S._ dabei namentlich eine Distorsion am linken Knie und am linken Fuss. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Am 19. Januar 2007 teilte sie dem Versicherten mit, es handle sich um einen Rückfall zum Unfall von 1983. Weitere strukturelle traumatische Läsionen aus dem Ereignis vom 3. Mai 2005 seien nicht nachgewiesen. Da von weiteren Massnahmen keine wesentliche Besserung der Beschwerden mehr erwartet werden könne, würden die Leistungen auf den 30. April 2006 (recte offensichtlich: 2007) eingestellt. Mit Verfügung vom 3. Februar 2007 sprach die SUVA S._ für die seit dem Unfall von 1983 eingetretene Verschlimmerung des Gesundheitsschadens am linken Knie eine zusätzliche Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 15 % zu. Eine Erhöhung der bezogenen Invalidenrente lehnte der Versicherer mit der Begründung ab, die Restfolgen des Unfalls vom 3. Juni 2005 hätten keine zusätzliche Erwerbseinschränkung bewirkt. S._ erhob gegen die Mitteilung vom 19. Januar 2007 und die Verfügung vom 3. Februar 2007 je Einsprache, welche die SUVA mit Entscheid vom 3. April 2008 abwies.
B. Die von S._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 30. November 2009 ab, soweit es darauf eintrat.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids seien über den 30. April 2007 hinaus Heilbehandlung und Taggeld, eine höhere Invalidenrente von mindestens 70 % sowie eine um mindestens 30 % höhere Integritätsentschädigung zuzusprechen. Weiter wird um unentgeltliche Rechtspflege ersucht.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingabe vom 12. Juli 2010 lässt S._ das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zurückziehen.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Vorinstanz ist auf die kantonale Beschwerde insofern nicht eingetreten, als darin "die Aufhebung der SUVA-Verfügung vom 19. Januar 2007" beantragt wurde. Zur Begründung führte das kantonale Gericht aus, dabei habe es sich lediglich um ein Schreiben und nicht um eine einsprachefähige Verfügung des Versicherers gehandelt.
Der Beschwerdeführer beantragt vorliegend die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids, äussert sich aber nicht zur Nichteintretensfrage. Insofern kann daher auf die letztinstanzliche Beschwerde mangels Begründung nicht eingetreten werden. Dies schadet dem Versicherten aber unter den gegebenen Umständen nichts. Denn die am 19. Januar 2007 mitgeteilte Einstellung der vorübergehenden Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld) auf den 30. April 2007 wurde in der Verfügung vom 3. Februar 2007 bestätigt, indem geprüft wurde, ob aufgrund von Folgen des Unfalls von 2005 die laufende Invalidenrente aus dem früheren Unfall von 1983 ab 1. Mai 2007 zu erhöhen und eine zusätzliche Integritätsentschädigung auszurichten sei. Im Einspracheentscheid vom 3. April 2008 wurden dann auch die Einwände gegen die Einstellung der vorübergehenden Leistungen behandelt. Den Einspracheentscheid überprüfte dann in allen Teilen das kantonale Gericht und dessen Entscheid bildet, bis auf den demnach nicht weiter relevanten Gesichtspunkt der Mitteilung vom 19. Januar 2007, den Streitgegenstand im vorliegenden Verfahren.
3. Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall/Rückfall vom 3. Juni 2005 Anspruch auf Heilbehandlung und Taggeld über den 30. April 2007 hinaus sowie auf eine Erhöhung der für den früheren Unfall vom 13. Juli 1983 zugesprochenen Invalidenrente und Integritätsentschädigung besteht.
Die Bestimmungen über den Anspruch auf die geltend gemachten Leistungsansprüche aus der obligatorischen Unfallversicherung im Grund- und im Rückfall sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die zu beachtenden kausal- und beweisrechtlichen Grundsätze. Darauf wird verwiesen.
4. Umstritten ist vorab, ob der Unfall von 2005 zu strukturellen Läsionen geführt hat, welche für die nach dem 30. April 2007 noch bestandene Beeinträchtigung mitverantwortlich ist. SUVA und Vorinstanz haben dies verneint. Die persistierende Beeinträchtigung sei, als Folge im Sinne einer unmittelbaren Schädigung und einer seither eingetretenen spontanen posttraumatischen Verschlimmerung, auf den ersten Unfall von 1983 zurückzuführen. Der Versicherte ist anderer Meinung.
Welche dieser Auffassungen zutrifft, muss indessen nicht abschliessend beurteilt werden, wenn sich im Folgenden ergibt, dass die tatsächlich noch bestehende unfallbedingte Beeinträchtigung verlässlich festgestellt und in die Prüfung der Leistungsansprüche einbezogen wurde. Diesfalls erübrigt sich, nach den Folgen des einen oder des anderen Unfalles zu differenzieren, ist doch die SUVA bei beiden Unfällen zuständiger Versicherer.
5. In der Beschwerde wird wie schon vorinstanzlich geltend gemacht, der Versicherer hätte den Fall nicht auf den 30. April 2007 abschliessen dürfen und habe daher über diesen Zeitpunkt hinaus Heilbehandlung zu gewähren sowie Taggeld auszurichten.
5.1 Der Unfallversicherer hat einen Fall (unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und mit Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV) abgeschlossen sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 113 ff.).
Eingliederungsmassnahmen der IV stehen im vorliegenden Fall nicht zur Diskussion. Die Rechtmässigkeit des Fallabschlusses beurteilt sich demzufolge danach, ob von weiterer ärztlicher Behandlung eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden konnte. Das kantonale Gericht hat dies verneint. Der Beschwerdeführer vertritt die gegenteilige Auffassung. Er beruft sich hiebei auf einen im Bericht der Klinik A._ vom 5. Februar 2007 erwähnten operativen Eingriff. Daraus gehe hervor, dass der medizinische Endzustand noch nicht eingetreten gewesen sei.
5.2 Die Frage, ob eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden kann, beurteilt sich namentlich nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit unfallbedingt beeinträchtigt. Dabei verdeutlicht die Verwendung des Begriffes "namhaft" durch den Gesetzgeber, dass die durch weitere Heilbehandlung zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen muss. Unbedeutende Verbesserungen genügen nicht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 115 mit Hinweisen). Sodann gilt, dass der Gesundheitszustand der versicherten Person prognostisch und nicht auf Grund retrospektiver Feststellungen zu beurteilen ist (RKUV 2005 Nr. U 557 S. 388, U 244/04 E. 3.1 mit Hinweisen). Dabei gibt weder die blosse Möglichkeit eines positiven Resultates einer weiteren ärztlichen Behandlung noch ein von weiteren Heilmassnahmen, wie zum Beispiel einer Badekur, zu erwartender, nur unbedeutender therapeutischer Fortschritt Anspruch auf deren Durchführung (Urteil U 244/04 vom 20. Mai 2005, in: RKUV 2005 Nr. U 557 S. 388 nicht veröffentlichte E. 2 mit Hinweisen).
Der Bericht der Klinik A._ vom 5. Februar 2007 vermag bei genauer Betrachtung die Auffassung des Beschwerdeführers nicht zu stützen. Die Klinikärzte äusserten sich gestützt auf die am 25. Januar 2007 durchgeführte Untersuchung vielmehr dahingehend, seit der letzten Konsultation (offenbar vom 7. November 2006, über welche die Klinik am 20. November 2006 berichtet hatte) sei keine Besserung der Beschwerden eingetreten. Es seien nunmehr sämtliche konservativen orthopädischen Therapieoptionen bezüglich des linken Knies ausgeschöpft. Ein operativer Eingriff (Implantation einer Knietotalprothese) wurde sodann ausdrücklich nur als Möglichkeit diskutiert, wobei die Klinikärzte auch Argumente gegen die baldige Durchführung eines solchen Eingriffs anführten und die Erfolgschancen relativierten. Zudem findet sich keine Aussage, was sich mit der Operation - die dann nicht stattgefunden hat - bezüglich Arbeitsfähigkeit hätte ergeben sollen. Im Lichte der dargelegten Grundsätze kann daher aus dem Klinikbericht vom 5. Februar 2007 nicht hergeleitet werden, eine Fortsetzung der ärztlichen Behandlung hätte eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwarten lassen. Entsprechendes ergibt sich auch nicht aus den übrigen medizinischen Akten. Der Fallabschluss und damit die Einstellung der vorübergehenden Leistungen erfolgten somit zu Recht.
6. Bezüglich Rentenanspruch ergibt sich Folgendes:
6. Bezüglich Rentenanspruch ergibt sich Folgendes:
6.1 6.1.1 Das kantonale Gericht hat festgestellt, am linken Kniegelenk bestünden eine Bewegungseinschränkung in Flexionsrichtung, eine Belastungsintoleranz, belastungsabhängige Schmerzen, eine Veränderung der Kniegelenkskonturen mit den typischen Zeichen für eine femorotibiale und retropatelläre Arthrose mit Gelenksspaltver-schmälerung, Bewegungsschmerzen und einer Druckdolenz. Bild-gebend seien massive Knorpelveränderungen nachgewiesen. Auch lägen benachbarte Muskelatrophien sowie reizlose Weichteil- und Narbenverhältnisse vor und die Bandstabilität sei in allen Richtungen leicht gelockert. Beim linken oberen Sprunggelenk (OSG) seien eine Druckdolenz, eine leichte Bewegungseinschränkung mit Spitzfuss-komponente von 10° und belastungsabhängig verstärkte Bewegungs-schmerzen bei erhaltener Gelenksstabilität vorhanden. Die Vorinstanz hat weiter erwogen, der Versicherte könne den Beruf eines Bauarbeiters nicht mehr ausüben. In einer leidensangepassten Tätigkeit sei aber eine volle Arbeitsfähigkeit gegeben.
6.1.2 Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Würdigung der medizinischen Akten. Das kantonale Gericht hat einlässlich und überzeugend dargelegt, wie es zu den genannten Folgerungen gelangt ist.
Was hiegegen vorgebracht wird, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Hervorzuheben ist, dass die Vorinstanz entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht nur die Stellungnahmen von SUVA-Ärzten, und hiebei namentlich die Untersuchungsberichte des Kreisarztes Dr. med. B._, Facharzt für Chirurgie FMH, sondern auch die Berichte der Klinik A._ in ihre Beurteilung einbezogen hat. Die Aussagen der Klinikärzte wurden zudem von Kreisarzt Dr. med. B._, Facharzt für Chirurgie FMH, mitberücksichtigt, der auch die entsprechenden orthopädischen Abklärungen an der Klinik veranlasst hatte. Aus dem Einwand, SUVA-Arzt Dr. med. D._, Facharzt FMH für Chirurgie, habe lediglich gestützt auf die Akten Stellung genommen, ergibt sich ebenfalls nichts, was den vorinstanzlichen Entscheid in Frage stellen könnte. Das kantonale Gericht hat zum einen erwogen, dass hauptsächlich auf die kreisärztlichen Untersuchungsberichte des Dr. med. B._ abzustellen sei, und es hat zum anderen erkannt, dass dessen Aussagen im Wesentlichen mit denjenigen des Dr. med. D._ übereinstimmten. Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten richtig. Die Vorinstanz hat zudem entgegen den Vorbringen des Versicherten dem Umstand Rechnung getragen, dass sich Dr. med. D._ lediglich gestützt auf die Akten geäussert hat. Nicht zu beanstanden ist im weiteren die vorinstanzliche Erkenntnis, wonach sich aus den Berichten der Klinik A._ nichts ergibt, was ein Abweichen von der vorstehenden Umschreibung von Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit rechtfertigen könnte. Widersprüche in den übrigen Akten, welche dies zu begründen vermöchten, liegen ebenfalls nicht vor. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung hat die Vorinstanz auch die Verwendung eines Gehstocks durch den Versicherten in nicht zu beanstandender Weise gewürdigt. Mit dem kantonalen Gericht ist überdies die Notwendigkeit weiterer medizinischer Abklärungen zu verneinen. Die unfallbedingte Beeinträchtigung des Gesundheitszustandes und die sich daraus ergebende Beeinträchtigung in der Arbeitsfähigkeit lassen sich gestützt auf die vorhandenen fachärztlichen Berichte zuverlässig beurteilen. Von einer Beweisergänzung ist kein entscheidrelevanter neuer Aufschluss zu erwarten.
6.2 Gemäss Einsprache- und vorinstanzlichem Entscheid sind die erwerblichen Auswirkungen der beschriebenen unfallbedingten Beeinträchtigung in Anwendung von <ref-law> mittels Einkommensvergleich festzulegen, wobei die Verhältnisse im Jahr 2007 (Beginn einer allfälligen Rentenerhöhung [1. Mai 2007]) den massgeblichen Vergleichszeitpunkt bilden. Das ist zu Recht nicht umstritten.
6.2.1
6.2.1.1 SUVA und kantonales Gericht haben erkannt, bei der Bestimmung des im Jahr 2007 ohne unfallbedingte Beeinträchtigung mutmasslich erzielten Einkommens (Valideneinkommen) sei zwar in der Regel an den zuletzt erzielten Verdienst anzuknüpfen. Hier sei aber ein Ausnahmefall im Sinne von <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 224 gegeben, welcher ein Abweichen von diesem Grundsatz rechtfertige. Begründet wird dies damit, dass am ........ über die Firma X._ der Konkurs eröffnet und am 4. September 2006 mangels Aktiven eingestellt wurde.
Diese Beurteilung ist richtig. Es ist evident, dass das Anstellungsverhältnis bei der konkursiten Firma X._ nicht hätte weitergeführt werden können. In der Beschwerde wird denn auch nichts vorgebracht, was eine andere Betrachtungsweise rechtfertigen könnte.
Es ergeben sich aber auch weitere Anhaltspunkte aus den Akten, welche ein Abstellen auf den bei der Firma X._ erzielten Lohn fraglich erscheinen lassen. So sticht ins Auge, dass dieser Lohn die bis dahin erzielten Berufseinkünfte des Versicherten, wie sie sich aus den Akten ergeben, bei weitem überstieg. Dabei ist schwer einsehbar, welcher Art die Qualifikationen des Beschwerdeführers gewesen sein sollen, die einen so hohen Lohn gerechtfertigt hätten. Näherer Betrachtung bedürften sodann die Umstände der Anstellung bei der Firma X._. Alleine der Gesichtspunkt, dass sich der Unfall vom 3. Juni 2005 nur gut einen Monat nach dem geltend gemachten Beginn des Arbeitsverhältnisses ereignete, mag noch keine Zweifel begründen. Gleiches gilt für den Umstand, dass die Firma X._ am 20. Februar 2006 angab, den Arbeitsvertrag mit dem Versicherten per 31. Januar 2006 gekündigt zu haben. Auffallend ist aber, dass der Versicherte die Firma X._ gleich danach und kurz vor der im ........ erfolgten Konkurseröffnung im ........ übernahm und ab diesem Zeitpunkt als deren einziger Gesellschafter und Geschäftsführer fungierte. Das ergibt sich aus dem bei den vorinstanzlichen Akten liegenden Auszug aus dem Handelsregister vom ........ und dem SHAB vom ......... Dies wirft mit Blick auf die Umstände des Anstellungsverhältnisses Fragen auf, zumal die Firma X._ in der Folge im Mai und am 7. sowie 27. Juni 2006 gegenüber der SUVA Angaben zu Lohn und Tätigkeitsprofil des Versicherten machte, ohne erkennbar anzuzeigen, dass dieser die Firma mittlerweile übernommen hatte. Abschliessend müssen diese Gesichtspunkte aber nicht beurteilt werden, da bei der hier vorzunehmenden Invaliditätsbemessung schon nach dem zuvor Gesagten nicht auf den geltend gemachten Lohn bei der Firma X._ abzustellen ist.
6.2.1.2 Das kantonale Gericht hat im Weiteren, den Einspracheentscheid bestätigend, erwogen, das Valideneinkommen sei anhand des Landesmantelvertrags für das Schweizerische Bauhauptgewerbe 2006-2008 (LMV 2006) festzusetzen, zumal der darin genannte Lohn von Fr. 4'971.- im Rahmen des gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE; konkret Ausgabe LSE 2006, Tabelle TA1, S. 25) im Baugewerbe auf dem Anforderungsniveau 4 (einfache und repetitive Tätigkeiten) erzielbaren Lohnes liege und überdies angesichts der Angaben in den Auszügen aus dem individuellen Konto (IK) des Versicherten zu dessen Gunsten ausfalle. Das Valideneinkommen für das Jahr 2007 betrage demnach Fr. 64'623.- (Fr. 4'971.- x 13).
In der Beschwerde wird eingewendet, der Versicherte sei Bauführer und nicht einfacher Bauarbeiter gewesen. Bei Anwendung der LSE sei daher von einem statistischen Monatslohn von Fr. 6'202.- pro Monat für Tätigkeiten im Baugewerbe auf dem Anforderungsniveau 1 und 2 gemäss LSE 2006, Tabelle TA1, S. 25, auszugehen. Daraus resultiere ein Valideneinkommen von Fr. 74'424.-.
Der Versicherte hat keine Berufslehre absolviert. Er war zunächst über Jahre hinweg an vielen verschiedenen Stellen namentlich als Fischverkäufer, als Hilfsarbeiter und als Hilfskoch tätig und erhielt dafür niedrige Löhne ausbezahlt. Im Jahr 1991 nahm er eine selbstständige Erwerbstätigkeit im Bereich Altpneuentsorgung und Kleintransporte auf. Die Angaben, welche hiezu - namentlich aus dem IK - erhältlich gemacht werden konnten, sprechen nicht dafür, dass die dabei erzielten Einkünfte das von Versicherer und Vorinstanz angenommene Valideneinkommen erreichten oder überstiegen. Das gilt erst recht nicht in Bezug auf das vom Versicherten gestützt auf die LSE geltend gemachte Valideneinkommen oder gar hinsichtlich des noch höheren Verdienstes, welcher bei der Firma X._ erzielt worden sein soll. Vor diesem Hintergrund rechtfertigt sich jedenfalls nicht, das Valideneinkommen über dem von der Vorinstanz angenommenen Betrag anzusetzen.
Anzufügen bleibt, dass eine deutlich höhere berufliche Qualifikation des Versicherten, wie sie geltend gemacht wird, zweifellos nicht nur beim Validen-, sondern auch beim nachfolgend zu prüfenden Invalideneinkommen berücksichtigt werden müsste.
6.2.2 Die SUVA hat das Invalideneinkommen für das Jahr 2007 gestützt auf Angaben aus ihrer Dokumentation über die Arbeitsplätze (DAP) auf Fr. 55'214.- festgesetzt. Das kantonale Gericht hat dies bestätigt. Die ausgewählten Arbeitsplätze entsprächen der festgestellten unfallbedingten Beeinträchtigung und der Versicherer sei auch im Übrigen entsprechend der Rechtsprechung zur Festsetzung des Invalideneinkommens mittels DAP-Löhnen (<ref-ruling>) vorgegangen.
Diese Beurteilung ist richtig. Zu erwähnen ist dabei - mit Blick auf das zuvor Gesagte (E. 6.2.1 in fine) - namentlich, dass die SUVA Arbeitsplatzprofile mit geringem Anforderungsniveau ausgewählt hat. Das wirkt sich, aufgrund des daraus resultierenden niedrigen Invalideneinkommens, zugunsten des Versicherten aus.
Was in der Beschwerde vorgebracht wird, führt zu keinem anderen Ergebnis. Dass die unfallbedingte Einschränkung der Arbeitsfähigkeit der Ausübung der entsprechenden Tätigkeiten entgegensteht, trifft nicht zu, wie das kantonale Gericht überzeugend begründet hat. Geltend gemacht wird sodann, man könne "nicht einfach von einem LSE-Lohnbetrag ausgehen". Vielmehr sei, unter anderem wegen der erforderlichen Teilzeitarbeit, ein leidensbedingter Abzug vorzunehmen. Dabei wird übersehen, dass das Invalideneinkommen nicht mittels LSE-Löhnen, sondern anhand der DAP bestimmt wurde. Rechtsprechungsgemäss sind hiebei keine leidensbedingten Abzüge zulässig (<ref-ruling> E. E. 4.2.3 S. 482). Was im Besonderen den Einwand betreffend Teilzeitarbeit betrifft, ist überdies festzustellen, dass die unfallbedingte Beeinträchtigung einer Vollzeitarbeit nicht entgegensteht (E. 6.1 hievor).
6.2.3 Nach dem Gesagten bleibt es bei einem Invalideneinkommen von Fr. 55'214.-. Die Gegenüberstellung mit dem von der Vorinstanz festgestellten Valideneinkommen von Fr. 64'623.- ergibt eine Verdiensteinbusse von Fr. 9'409.-, was einem Invaliditätsgrad von 14.56 resp. gerundet 15 % entspricht. Damit besteht kein Anspruch auf Erhöhung der seit Dezember 1984 bezogenen Invalidenrente.
Anzumerken bleibt, dass das Valideneinkommen wie erwähnt nach dem LMV 2006 festgesetzt wurde (E. 6.2.1.1 hievor). Damit stellt sich grundsätzlich die Frage einer teuerungsbedingten Erhöhung aufs Vergleichsjahr 2007. Darauf braucht aber nicht weiter eingegangen zu werden, da sich jedenfalls kein Valideneinkommen ergäbe, welches eine Erhöhung der Invalidenrente zu begründen vermöchte.
7. Zu prüfen bleibt die Integritätsentschädigung.
Nach dem ersten Unfall von 1983 wurde eine solche Entschädigung aufgrund einer Integritätseinbusse von 20 % ausgerichtet. Die Beschwerdegegnerin ist im hier streitigen Einspracheentscheid vom 3. April 2008 zum Ergebnis gelangt, zwischenzeitlich seien an OSG und Unterschenkel degenerative Veränderungen und eine OSG-Arthrose eingetreten, welche in Anwendung von SUVA-Tabelle 5 "Integritätsschaden bei Arthrosen" im Rahmen von 15 % einzuschätzen seien. Dies rechtfertige eine entsprechende weitere Integritätsentschädigung. Der Versicherer stützte sich dabei namentlich auf die am 30. Oktober 2006 durch Kreisarzt Dr. med. B._ vorgenommene Beurteilung des Integritätsschadens.
Das kantonale Gericht hat in einlässlicher und überzeugender Würdigung der kreisärztlichen Beurteilung und weiterer medizinischen Akten überzeugend begründet, weshalb kein höherer Integritätsschaden vorliegt und der Einsprachentscheid daher zu bestätigen ist.
Sämtliche Einwände des Versicherten rechtfertigen kein anderes Ergebnis. Der medizinische Sachverhalt ist hinreichend abgeklärt. Dem Umstand, dass zu gegebener Zeit allenfalls eine Endoprothese am Kniegelenk erforderlich sein wird, haben Versicherer und Vorinstanz in einer Weise Rechnung getragen, welche in allen Teilen rechtmässig ist und insbesondere auch den in SUVA-Tabelle 5 festgelegten Regeln entspricht. Sodann trifft nicht zu, dass das Bein unbrauchbar ist. Dieses kann nachgewiesenermassen mit bestimmten Einschränkungen eingesetzt werden. Daran ändert nichts, wenn der Versicherte, wie er geltend macht, einen Gehstock verwendet. Die Beschwerde ist somit auch diesbezüglich unbegründet.
8. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Juli 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz