In Erwägung,
dass das Zivilgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 6. Oktober 2014 die Klage der B._ AG (Beschwerdegegnerin) gegen A._ (Beschwerdeführer) über Fr. 22'897.15 zuzüglich Zins guthiess;
dass der Beschwerdeführer gegen diesen Entscheid beim Appellationsgericht Basel-Stadt Berufung erhob und auf die ihm zugestellte Kostenvorschussverfügung am 20. Februar 2015 hin ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege stellte;
dass das Appellationsgericht dieses Gesuch mit Verfügung vom 25. Februar 2015 wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abwies und dem Beschwerdeführer eine nicht erstreckbare Nachfrist bis zum 16. März 2015 zur Leistung des Kostenvorschusses ansetzte;
dass das Bundesgericht auf die vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Verfassungsbeschwerde mit Urteil 4D_18/2015 vom 28. April 2015 nicht eintrat;
dass der Beschwerdeführer ausserdem am 13. März 2015 beim Appellationsgericht sinngemäss ein Gesuch um Wiedererwägung einreichte, mit dem er "noch einmal die unentgeltliche Rechtspflege" beantragte;
dass das Appellationsgericht mit Entscheid vom 21. Mai 2015 wegen Nichtbezahlung des Kostenvorschusses in Anwendung von <ref-law> auf die Berufung nicht eintrat;
dass der Beschwerdeführer diesen Entscheid beim Bundesgericht anfocht und sinngemäss um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersuchte;
dass die Beschwerde in Zivilsachen angesichts des massgebenden Streitwertes von weniger als Fr. 30'000.-- (<ref-law>) nicht zulässig ist, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers vom 27. Juli 2015 als subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG zu behandeln ist;
dass mit einer solchen Beschwerde ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden kann (<ref-law>);
dass in einer Beschwerde an das Bundesgericht unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheides dargelegt werden muss, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei verletzt worden sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 89), wobei eine allfällige Verletzung von Grundrechten vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn eine solche Rüge in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>);
dass sich der Beschwerdeführer nicht hinreichend mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Appellationsgerichts auseinandersetzt und insbesondere nicht aufzeigt, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzt haben soll, wenn sie befand, der Beschwerdeführer habe mit seiner Eingabe vom 13. März 2015 keine relevanten neuen Umstände geltend gemacht, wonach sich der ursprüngliche Entscheid über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege als nicht mehr richtig erweisen würde, und es müsse folglich bei der Abweisung seines Antrages auf Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege gemäss der Verfügung vom 25. Februar 2015 sein Bewenden haben;
dass die Begründung der Beschwerde damit den erwähnten Anforderungen offensichtlich nicht genügt;
dass überdies die in der Beschwerde gestellten Anträge um "Erlass aller Schulden" und Zusprechung von Schadenersatz neu und daher bereits aus diesem Grund unzulässig sind (vgl. <ref-law>);
dass auf die Beschwerde deshalb im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG nicht einzutreten ist;
dass unter den gegebenen Umständen ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten ist (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG), womit das Gesuch um Befreiung von diesen Kosten gegenstandslos wird;
dass das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren bereits wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen ist (siehe Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG);

erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz