Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1961 geborene W._ meldete sich unter Verweis auf diverse Bewegungseinschränkungen infolge einer Gangstörung mit massiven Rückenbeschwerden sowie Stuhl- und Harninkontinenz am 8. Juli 2002 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach erwerblichen und medizinischen Abklärungen verneinte die IV-Stelle Bern mit Verfügung vom 27. Januar 2003 den Anspruch auf Leistungen der Invalidenversicherung. Auf Einsprache hin hob sie diese Verfügung aufgrund eines ergänzenden psychiatrischen Gutachtens der Dr. med. C._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 17. Juli 2003, bei dem eine Somatisierungsstörung diagnostiziert wurde, wieder auf (Einspracheentscheid vom 13. November 2003). In der Folge sprach die IV-Stelle der Versicherten mit Verfügung vom 8. Januar 2004 rückwirkend ab dem 1. August 2002 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze Rente zu. Zusätzlich zur ganzen Invalidenrente wurden im Laufe der Zeit verschiedene Hilfsmittel, unter anderem ein Rollstuhl und ein Badelift gewährt. Mit Mitteilung vom 13. März 2007 bestätigte die IV-Stelle die Weiterausrichtung der bisherigen ganzen Invalidenrente. Ein Anspruch auf eine Hilflosenentschädigung wurde dagegen verneint (Verfügung vom 11. Mai 2007).
A.b. Im Rahmen eines im Oktober 2010 von Amtes wegen eingeleiteten Revisionsverfahrens liess die IV-Stelle die Versicherte durch ihren Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) untersuchen (Untersuchungsbericht vom 5. August 2011) und veranlasste bei Dr. med. I._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, eine Begutachtung (Expertise vom 20. April 2012). Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob sie mit Verfügung vom 7. Dezember 2012 die bisherige ganze Rente per 31. Januar 2013 auf. Am 10. Dezember 2012 erteilte sie Kostengutsprache für ein vom 3. Dezember 2012 bis 27. Januar 2013 dauerndes Belastungstraining im Alters- und Pflegeheim X._, welches ab dem 28. Januar 2013 in der Eingliederungsstätte für Behinderte Y._ fortgesetzt wurde. Am 11. Dezember 2012 verfügte die IV-Stelle die Weiterausrichtung der ganzen Rente ab dem 1. Februar 2013 längstens bis zum 31. Januar 2015, dies im Falle der Durchführung von Wiedereingliederungsmassnahmen.
B.
Die gegen die Verfügung vom 7. Dezember 2012 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 2. Mai 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die Versicherte beantragen, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei die bisherige Rente weiterhin zu gewähren. Eventualiter sei zur Klärung der Frage der gesundheitlichen Einschränkungen ein gerichtliches Gutachten einzuholen.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Rüge hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> und <ref-law>).
1.3. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit bzw. deren Veränderung in einem bestimmten Zeitraum handelt es sich grundsätzlich um eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Ebenso stellt die konkrete Beweiswürdigung eine Tatfrage dar. Dagegen sind die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG) und der Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten Rechtsfragen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz die Aufhebung der seit 1. August 2002 ausgerichteten ganzen Invalidenrente per 31. Januar 2013 zu Recht bestätigt hat. Mangels Anfechtungsgegenstand nicht weiter einzugehen ist auf die von Seiten der Beschwerdeführerin erhobenen Einwände gegen die am 11. Dezember 2012 verfügte Weiterausrichtung der ganzen Rente ab 1. Februar 2013 längstens bis 31. Januar 2015 im Falle der Durchführung von Wiedereingliederungsmassnahmen.
2.1. Die Beschwerdegegnerin stützt ihre Renteneinstellung einzig auf lit. a Abs. 1 SchlB IVG, gültig seit 1. Januar 2012, ab. Danach werden Renten, die bei pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage (nachfolgend: Unklare Beschwerden) gesprochen wurden, innerhalb von drei Jahren nach Inkrafttreten dieser Änderung überprüft. Sind die Voraussetzungen nach <ref-law> nicht erfüllt, so wird die Rente herabgesetzt oder aufgehoben, auch wenn die Voraussetzungen von <ref-law> nicht erfüllt sind. Abs. 4 der Bestimmung präzisiert, dass Abs. 1 keine Anwendung findet auf Personen, die im Zeitpunkt des Inkrafttretens der Änderung das 55. Altersjahr zurückgelegt haben oder im Zeitpunkt, in dem die Überprüfung eingeleitet wird, seit mehr als 15 Jahren eine Rente der Invalidenversicherung beziehen.
2.2. Mit der Vorinstanz steht aufgrund der medizinischen Aktenlage fest, dass der strittigen Invalidenrente kein nachweisbarer organischer Befund zugrunde gelegen hatte. Die Gehschwierigkeiten waren nicht objektivierbar, insbesondere bestanden hiefür weder orthopädische noch rheumatologische noch neurologische Ursachen. Die mit Verfügung vom 8. Januar 2004 erfolgte Zusprache einer ganzen Invalidenrente erging aufgrund des Gutachtens der Psychiaterin Dr. med. C._ vom 17. Juli 2003, wonach die Beschwerdeführerin an einer Somatisierungsstörung litt. Dieses Beschwerdebild gehört unbestrittenermassen zu den hievor genannten unklaren Beschwerden (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 68 mit Hinweisen; zur Publikation vorgesehenes Urteil 8C_972/2012 vom 31. Oktober 2003 E. 2.2). Mit der Vorinstanz sind daher die Voraussetzungen für eine Rentenüberprüfung nach Massgabe der SchlB IVG grundsätzlich gegeben. Entgegen der Beschwerdeführerin bedarf es mithin keiner Veränderung des Gesundheitszustandes bzw. eines Revisionsgrundes.
3.
3.1. Die Versicherte bringt hiegegen im Wesentlichen vor, die Rentenaufhebung aufgrund der 6. IV-Revision bei unklaren Beschwerden verstosse gegen verfassungsmässige Rechte sowie gegen das Fairnessgebot und das Diskriminierungsverbot nach Art. 6 und 14 EMRK. Insbesondere übt sie in grundsätzlicher Hinsicht Kritik an der mit <ref-ruling> begründeten Rechtsprechung. Dazu bezieht sie sich auf das von Prof. Dr. iur. M._ und Dr. iur. K._ verfasstes Rechtsgutachten vom 20. November 2012.
3.2. Das Bundesgericht setzte sich im Urteil 9C_776/2010 vom 20. Dezember 2011 E. 2.3 und 2.4 in: SVR 2012 IV Nr. 32 S. 127; vgl. ferner die Urteile 8C_167/2012 vom 15. Juni 2012 E. 6.2 in fine, 9C_936/2011 vom 21. März 2012 E. 2.2, 9C_736/2011 vom 7. Februar 2012 E. 2.2 und 8C_420/2011 vom 26. September 2011 E. 2.4) eingehend mit der unter Verweis auf einen diskriminierenden Krankheitsbegriff sowie eine mangelnde wissenschaftliche Abstützung an <ref-ruling> und 131 V 49 geübten Kritik auseinander; mit Blick auf die rechtliche Natur des Kriterienkatalogs besteht kein Anlass für eine Änderung der gefestigten Rechtsprechung (vgl. auch <ref-ruling>; <ref-ruling>). Im zur Publikation vorgesehenen Urteil 8C_972/2012 vom 31. Oktober 2013 äusserte sich das Bundesgericht nochmals eingehend zur Frage der Benachteiligung von Personen mit psychosomatischen Krankheitsbildern gegenüber solchen mit (rein) körperlichen Leiden durch die nach <ref-ruling> geforderte Zumutbarkeitsprüfung. Es hat zusammenfassend erkannt, dass sich die unklaren Beschwerden hinsichtlich ihrer invalidisierenden Folgen von anderen (psychischen) Leiden durch die mangelnde Objektivierbarkeit unterscheiden. Dabei handelt es sich um ein sachliches Kriterium, das überprüft werden kann. Die hinreichende Objektivierbarkeit der gesundheitlichen Beeinträchtigung wird für Ansprüche auf Sozialversicherungsleistungen seit jeher vorausgesetzt und hat im Rahmen der 5. IV-Revision auch Eingang in die Gesetzgebung gefunden (<ref-law>; E. 5.6 in fine und 5.7). Von einer unbegründeten Schlechterstellung bzw. einer Diskriminierung der betroffenen Versicherten in verfassungsmässigem Sinne bzw. nach Massgabe der EMRK kann in Bestätigung der Vorinstanz daher nicht gesprochen werden. Unter Verweis auf diese jüngste Rechtsprechung erübrigen sich Weiterungen hierzu.
4.
Das Bundesgericht hat im genannten Grundsatzurteil (Urteil 8C_972/2012 vom 31. Oktober 2013 E. 9.4 und 10) allerdings ausdrücklich betont, dass die Anwendung dieser Vorschriften eine fachgerechte und umfassende Begutachtung der betroffenen Person voraussetzt. Für die Herabsetzung oder Aufhebung der Rente gestützt auf die SchlB IVG müssen rechtsprechungsgemäss drei Voraussetzungen erfüllt sein. Vorerst muss die seinerzeitige Rentenzusprache ausschliesslich aufgrund der Diagnose eines pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildes ohne nachweisbare organische Grundlage erfolgt sein. Weiter ist erforderlich, dass auch im Revisionszeitpunkt ausschliesslich ein unklares Beschwerdebild vorliegt. Schliesslich ist zu prüfen, ob die "Foerster-Kriterien" als erfüllt zu betrachten sind und eine Validitätseinbusse auf diese Weise - trotz des hinsichtlich der invalidisierenden Folgen nicht objektivierbaren Beschwerdebildes - nachweisbar ist. Zudem hat das Bundesgericht festgehalten, dass, da es sich bei den erwähnten Punkten, von deren Beantwortung der Bestand laufender Renten abhängt, in erster Linie um solche medizinischer Art handelt, an die entsprechenden Abklärungen besonders hohe Anforderungen zu stellen sind. Namentlich muss verlangt werden, dass die Untersuchungen im Zeitpunkt der Revision aktuell sind und sich mit der massgeblichen Fragestellung auseinandersetzen. Soweit die versicherte Person sich - auch mit Bezug auf die Chancen, welche die Wiedereingliederungsmassnahmen bieten - der Beurteilung durch die Verwaltung und deren Regionalen Ärztlichen Dienst nicht anschliessen kann, dürfte sich in der Regel eine neue, polydisziplinäre Begutachtung als unumgänglich erweisen.
5.
5.1. Die Vorinstanz ist im angefochtenen Entscheid nach umfassender Wiedergabe der medizinischen Aktenlage zum Schluss gelangt, dass aufgrund des psychiatrischen Gutachtens des Dr. med. I._ vom 20. April 2012 kein psychischer Gesundheitsschaden mit Auswirkungen auf die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit, jedoch sonstige somatoforme Störungen bestehen würden. In somatischer Hinsicht sei auf die Berichte des RAD vom 8. August 2011, 4. Mai und 9. Oktober 2012 abzustellen und eine volle Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit erstellt. Der Sachverhalt sei genügend abgeklärt. Bereits früher habe kein somatisches Korrelat der Gangstörung gefunden werden können. Dass in der Zwischenzeit eine derartige Grundlage entstanden sein könnte, sei nicht überwiegend wahrscheinlich. Es fänden sich in den Akten keine Anhaltspunkte dafür. Bei dieser klaren Sachlage genüge eine Untersuchung und Beurteilung durch eine Allgemeinmedizinerin des RAD.
5.2. Die Beschwerdeführerin rügt unter anderem eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes. Sie macht insbesondere geltend, die Vorinstanz wie auch die Beschwerdegegnerin stützten sich zur Beurteilung des komplexen somatischen Geschehens einzig auf die Beurteilung und Untersuchung der RAD-Ärztin Dr. med. U._, Fachärztin für Allgemeinmedizin, ab. Diese sei nicht befugt, über die Ursachen des gestörten Gangbildes und der Spasmen, welche die Fortbewegung/Beweglichkeit und damit auch die Eingliederungsfähigkeit massiv einschränkten, zu urteilen. Der Verweis der RAD-Ärztin auf veraltete neurologische Untersuchungen sei nicht geeignet, die rechtsprechungsgemäss verlangte valide somatische Befunderhebung zu erbringen. Sodann sei der Sachverhalt in Bezug auf die Frage der Überwindbarkeit der sogenannten Schmerzstörung nicht in gefordertem Ausmass untersucht worden.
5.3. Zwar steht mit der Vorinstanz fest, dass die Ursachen des gestörten Gangbildes im ursprünglichen Verfahren abgeklärt wurden und dabei keine objektivierbaren Ursachen festgestellt werden konnten. Die neurologischen Untersuchungen zeitigten keine pathologisch ätiologisch nachweisbaren Beschwerdebilder. Dasselbe gilt für die möglichen Folgen der am 14. Oktober 1999 durchgeführten Lumbalpunktion, welche nach Auffassung der Versicherten Ursache für ihre Gehschwierigkeiten sein sollen. Allerdings gilt festzustellen, dass die letzten diesbezüglichen fachärztlichen, insbesondere neurologischen Untersuchungen, aus dem Jahre 2003 stammen und mithin lange zurückliegen. Die aktuellen somatischen Untersuchungen wurden zudem ausschliesslich von der RAD-Ärztin Dr. med. U._, einer Allgemeinmedizinerin, durchgeführt, welche überdies im Untersuchungsbericht vom 5. August 2011 selbst festhielt, die Untersuchung sei nur rudimentär möglich. Sodann hat Dr. med. I._ in seinem psychiatrischen Gutachten vom 20. April 2012, dem die Vorinstanz zu Recht vollen Beweiswert zuerkannte, entspricht es doch den rechtsprechungsgemässen Voraussetzungen (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 353), Zweifel an der somatischen Beurteilung bzw. der somatischen Aktenlage geäussert. Die psychiatrischen Untersuchungen ergaben keine Diagnosen mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit. Zudem hat auch der behandelnde Arzt Dr. med. H._, Ärztlicher Direktor des Spitals Z._, im Schreiben vom 2. Oktober 2012 zuhanden der Beschwerdeführerin zur RAD-Untersuchung festgehalten, die Frage, ob das gestörte Gangbild ohne neurologische Grundlage sei, bleibe offen. Mit Blick auf diese Ausgangslage kann im vorliegenden Fall nicht von einer entsprechend der neuesten bundesgerichtlichen Rechtsprechung im Rahmen der Revision nach den SchlB IVG erforderlichen, umfassenden aktuellen und fachgerechten Begutachtung (vgl. E. 4 hievor) ausgegangen werden. Damit hat die Vorinstanz, indem sie bei diesen Gegebenheiten von einer zusätzlichen fachärztlichen Abklärung absah, den Untersuchungsgrundsatz und mithin Bundesrecht verletzt.
5.4. Unter diesen Umständen ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die massgeblichen medizinischen Abklärungen im Rahmen eines polydisziplinären Gutachtens nachhole. In diesem Zusammenhang wird auch zu prüfen sein, ob die Beschwerdeführerin eine selbstständige Erwerbstätigkeit ausübt oder eine solche nicht zumindest öffentlich anbietet.
6.
Die Rückweisung der Sache an den Versicherungsträger oder an das vorinstanzliche Gericht zu erneuter Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 7.1 S. 271 mit Hinweisen). Demgemäss sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin zu überbinden. Ferner hat sie der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 2. Mai 2013 und die Verfügung vom 7. Dezember 2012 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse Swissmem und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Januar 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Weber Peter