Sachverhalt:
A. Die 1962 geborene H._ war (nach einer Arbeitsvermittlung durch die IV-Stelle des Kantons Zürich) vom 1. Juni 2003 bis 31. Januar 2006 als Betriebsassistentin bei der Firma X._ AG angestellt und während dieser Zeit bei der BVG-Sammelstiftung Swiss Life (nachfolgend: Sammelstiftung) berufsvorsorgeversichert. Seit Februar 2006 bezieht sie eine ganze Invalidenrente.
Unter Bezugnahme auf die ihr zugestellte Erwerbsunfähigkeitsmeldung vom 16. Januar 2006 teilte die Sammelstiftung H._ am 27. Februar 2006 mit, dass sie eine Anzeigepflichtverletzung geltend mache und vom Vertrag zurücktrete. Mit Schreiben vom 3. September 2006 präzisierte die Sammlstiftung, dass sie die Versicherung wieder in Kraft setze, wegen der Anzeigepflichtverletzung allerdings nur im obligatorischen Teil gemäss BVG. Rückwirkend ab 1. Juli 2006 richtete die Sammelstiftung H._ eine Invalidenrente gemäss BVG von 100 % (zuzüglich Kinderinvalidenrente) aus (Schreiben vom 29. Oktober 2007).
B. Beschwerdeweise liess H._ beantragen, die Sammelstiftung sei zu verpflichten, ihr aus dem Vorsorgeverhältnis spätestens ab 1. Juli 2006 eine Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 100 % gemäss den reglementarischen Bestimmungen auszurichten und auf den Invalidenleistungen einen Verzugszins von 5 % spätestens ab dem Zeitpunkt der Klageeinreichung zu bezahlen. Mit Entscheid vom 31. Mai 2012 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage ab.
C. H._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen. Sie beantragt die Aufhebung des kantonalen Entscheides und erneuert das vor Vorinstanz gestellte Rechtsbegehren.
Die Sammelstiftung schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2. Mit Bezug auf den hier einzig streitigen Rentenanspruch aus dem weitergehenden Bereich der beruflichen Vorsorge hat das kantonale Gericht unter Hinweis auf die Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 3.1 S. 512) zutreffend dargelegt, dass sich die Verletzung der Anzeigepflicht und deren Folgen nach den statutarischen und den reglementarischen Bestimmungen der Vorsorgeeinrichtung und bei Fehlen entsprechender Normen - wie hier der Fall - analogieweise nach <ref-law> beurteilen. Darauf kann verwiesen werden.
3. 3.1 Es steht fest und ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin gegenüber der Beschwerdegegnerin anlässlich der Anmeldung am 31. Mai 2003 eine regelmässige Medikamenteneinnahe verneinte und aussagte, sie sei in den vergangenen fünf Jahren wegen Rückenproblemen für mehr als drei Wochen arbeitsunfähig gewesen. Im Rahmen der erweiterten Gesundheitsprüfung durch die Beschwerdegegnerin (am 21. Juli 2003 unterzeichnet) gab sie des Weitern an, dass sie im Jahr 1999 eine Operation wegen Krampfadern hatte und im Jahr 2000 die Gebärmutter entfernen liess. Die Beschwerdegegnerin nahm sie daraufhin unter Vorbehalt der genannten Beschwerden in die überobligatorische Versicherung auf (Schreiben vom 3. August 2004).
3.2 Das kantonale Gericht erwog, die Versicherte habe anlässlich der Gesundheitsprüfung durch die Beschwerdegegnerin keine psychischen Beschwerden angegeben und die Einnahme von Antidepressiva nicht erwähnt. Es gelangte zum Ergebnis, dass die Versicherte damit ihre Anzeigepflicht verletzt habe und die Sammelstiftung aus diesem Grunde zu Recht vom überobligatorischen Teil des Vertrages zurückgetreten sei. Es stützte sich hierfür auf den Bericht des Dr. med. S._, Facharzt FMH Allgemeine Medizin, an die IV-Stelle vom 16. November 2002, wonach die Versicherte an einer chronisch depressiven Persönlichkeit, einem chronischen Zervikalsyndrom, Spannungskopfschmerz sowie einer Periarthritis humeroscapularis leide und seit 17. September 2002 vollständig arbeitsunfähig sei, wobei ihr eine behinderungsangepasste Tätigkeit ganztags zumutbar sei. Des Weitern stellte es auf die an die Sammelstiftung gerichtete Mitteilung des Dr. med. S._ vom 5. Februar 2006 ab, gemäss welcher die Versicherte in den letzten fünf Jahren vor dem 1. Juni 2003 an gesundheitlichen Problemen gelitten habe, welche zu einer Arbeitsunfähigkeit von mehr als drei Wochen geführt hätten, nämlich an rheumatologischen Beschwerden und einer depressiven Verstimmung; sie habe regelmässig Analgetika und Antidepressiva eingenommen. Das kantonale Gericht hielt fest, es bestehe kein Anlass, an diesen Angaben zu zweifeln, zumal sie mit den Eintragungen in der Krankengeschichte übereinstimmen würden.
3.3 Wie die Fragen der Sammelstiftung anlässlich der Anmeldung vom 31. Mai 2003 und anlässlich der erweiterten Gesundheitsprüfung vom 21. Juli 2003 sowie die Antworten der Versicherten genau lauteten, lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen. Die vorinstanzlichen tatbeständlichen Feststellungen sind insoweit unvollständig. Das Bundesgericht kann den diesbezüglichen, entscheidwesentlichen Sachverhalt indessen ergänzen (<ref-law>).
3.3.1 Die hier interessierende erste Frage in der Anmeldung (verkürzt wiedergegeben in der erweiterten Gesundheitsprüfung) lautete: "Hatten Sie in den letzten 5 Jahren vor Versicherungsbeginn gesundheitliche Störungen, die zu einer Arbeitsunfähigkeit von mehr als 3 Wochen führten, oder haben Sie gegenwärtig gesundheitliche Störungen? Wenn ja, welche?". Die Versicherte beantwortete sie mit "ja" und wies auf ihre Rückenprobleme hin.
Diese Antwort ist, insbesondere auch mit Blick darauf, dass rechtsprechungsgemäss (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 518 mit Hinweis auf E. 3.3.3 S. 514) der "subjektive Verständnishorizont" massgebend ist, nicht zu beanstanden. Aus den Akten ergibt sich, dass die Versicherte im Zeitpunkt der Anmeldung nicht unter psychischen Problemen litt und im massgebenden Zeitraum nie wegen psychischer Beschwerden arbeitsunfähig war, weil diese sich stets nur begleitend manifestierten. Daran vermag nichts zu ändern, dass Dr. med. S._ die Frage der Beschwerdegegnerin, ob die Versicherte in den letzten fünf Jahren vor dem 1. Juni 2003 gesundheitliche Störungen hatte, die zu einer Arbeitsunfähigkeit von mehr als drei Wochen führten, bejahte und neben den rheumatologischen Beschwerden auch die depressive Stimmung erwähnte (Angaben vom 5. Februar 2006). Denn diese Antwort des Dr. med. S._ ist ungenau, steht sie doch nicht einmal mit seinen eigenen, echtzeitlichen Akten im Einklang. Zwar sprach Dr. med. S._ in seinem Bericht an die IV-Stelle vom 16. November 2002 von einer chronisch depressiven Persönlichkeit, beurteilte aber gleichzeitig im Formular "Arbeitsbelastbarkeit" sämtliche psychischen Funktionen als uneingeschränkt und empfahl eine Umschulung auf eine körperlich leichte Tätigkeit. Hinzu kommt, dass Dr. med. S._ in seinem dem Bericht vom 5. Februar 2006 beiliegenden Schreiben vom 6. Februar 2006 die vollständige Arbeitsunfähigkeit ausdrücklich mit den rheumatologischen Beschwerden begründete, welche "wahrscheinlich durch eine allgemeine depressive Verstimmung überlagert" seien. Insbesondere auch mit Blick darauf, dass es sich hierbei um eine blosse Vermutung handelte, kann der Versicherten jedenfalls nicht vorgeworfen werden, dass sie sich allein aus körperlichen Gründen für teilweise arbeitsunfähig hielt. Selbst für den Mediziner war offenbar lange nicht erkennbar, dass das Krankheitsbild zunehmend nicht mehr nur aus einer physischen, sondern auch aus einer psychischen Komponente bestand. Dies gilt umso mehr, als eine fachärztliche Behandlung wegen psychischer Beschwerden erst im Oktober/November 2005 anlässlich des stationären Rehabilitationsaufenthaltes in der Reha-Klinik X._ eingeleitet wurde (vgl. zur Entwicklung des psychischen Gesundheitszustandes: gutachterlicher Bericht des Dr. med. A._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 13. Februar 2007).
3.3.2 Was die Medikamenteneinnahme anbelangt, wurde die Versicherte anlässlich der Anmeldung (die erweiterte Gesundheitsprüfung enthält dazu nichts) gefragt: ̈Nehmen Sie regelmässig Medikamente zu sich? Wenn ja, welche?". Die Versicherte verneinte die Frage.
Der Vorwurf, die Versicherte hätte die psychopharmakologische Behandlung oder wenigstens die über Jahre eingenommenen Medikamente angeben müssen, ist nicht gerechtfertigt. Als Beweis für das Bestehen depressiver Probleme verwies die Vorinstanz auf die Einträge in der Krankengeschichte vom 11. Juni 1999, 29. Mai und 17. November 2000 sowie 6. Mai 2002 und als Beweis für die Einnahme von Ponstan, Seropram und Lexotanil pauschal auf die Krankengeschichte act. 39/1-4. Dabei scheint sie zu übersehen, dass die Versicherte nach der gegenwärtigen regelmässigen Medikamenteneinnahme gefragt wurde ("Nehmen Sie regelmässig Medikamente ein?"). Ende Mai 2003, als die Versicherte den Fragebogen ausfüllte, lag die letzte Konsultation bei Dr. med. S._ bereits zweieinhalb Monate zurück und es wurden ihr damals - am 14. März 2003 - keine Medikamente abgegeben. Medikamentenverschreibungen lassen sich hingegen den Einträgen vom 24. Februar (vermutlich Ponstan und ein Rheumamedikament) und 16. Januar 2003 (Ponstan, Dormicum und Seropram) entnehmen; eine Regelmässigkeit ergibt sich aber auch daraus nicht. Selbst ein Blick zurück auf das Jahr 2002 vermittelt nur den Eindruck, dass sporadisch Antidepressiva, Schlaf- und Schmerzmittel verschrieben wurden. Entgegen der Vorinstanz lässt sich aus den Einträgen des Dr. med. S._ in der Krankengeschichte der Versicherten somit weder eine damals aktuelle (d.h. nicht weit zurückliegende) noch eine regelmässige (d.h. nicht bloss sporadische) Medikamenteneinnahme herauslesen. Die in grösseren zeitlichen Abständen und vor mehreren Monaten verschriebenen Medikamente durfte die Versicherte in guten Treuen nicht erwähnen.
3.4 Kann der Versicherten nach dem Gesagten nicht vorgeworfen werden, sie habe psychische Probleme und die Einnahme von Medikamenten verschwiegen, ist eine Anzeigepflichtverletzung zu verneinen. Bei dieser Sachlage ist die Beschwerdegegnerin zu Unrecht vom überobligatorischen Teil des Vertrages zurückgetreten und kann die Beschwerdeführerin (neben den Leistungen aus dem obligatorischen Bereich) auch Leistungen aus dem weitergehenden Bereich der beruflichen Vorsorge beanspruchen. Sie hat demnach mit Wirkung ab 1. Juli 2006 zusätzlich zu den Invalidenleistungen aus der obligatorischen beruflichen Vorsorge Anspruch auf Leistungen aus der weitergehenden Vorsorge (zuzüglich Verzugszins ab Klageeinreichung).
4. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Des Weitern hat sie der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. In Aufhebung des Entscheides des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 31. Mai 2012 wird die Klage gutgeheissen. Die Beschwerdeführerin hat ab 1. Juli 2006 Anspruch auf Invalidenleistungen aus der weitergehenden beruflichen Vorsorge der Beschwerdegegnerin, zuzüglich Zins zu 5 % ab Klageeinreichung.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. April 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann