Erwägungen:
1. X._ (geb. 1971) stammt aus der Demokratischen Republik Kongo. Er ersuchte zweimal erfolglos in der Schweiz um Asyl. Das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau nahm ihn am 29. Juni 2011 in Ausschaffungshaft, welche seither regelmässig verlängert wurde. Am 13. Juni 2012 genehmigte das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau eine weitere Verlängerung bis zum 22. September 2012. X._ beantragt vor Bundesgericht, den entsprechenden Entscheid aufzuheben; er sei umgehend aus der Haft zu entlassen. Als "vorläufige Massnahme" sei der Vollzug der Ausschaffung für die Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens auszusetzen.
2. Die Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen mit summarischer Begründung im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden:
2.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden (Urteile des Bundesverwaltungsgerichts vom 4. April 2011 und 18. Mai 2011 [Revisionsentscheid]). Er hat wiederholt erklärt, nicht freiwillig in seine Heimat zurückzukehren, und sich am 19. Oktober 2011 geweigert, den für ihn gebuchten unbegleiteten Rückflug nach Y._ anzutreten, worauf er für einen Sonderflug angemeldet werden musste (vgl. zu den Indizien der Untertauchensgefahr: <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 148). Zwar befindet er sich nunmehr bereits seit rund einem Jahr in Ausschaffungshaft, doch kann diese über sechs Monate hinaus bis zu 18 Monaten verlängert werden, wenn die betroffene Person - wie hier - nicht mit den Behörden kooperiert (Art. 79 Abs. 2 AuG; zur Haftverlängerung: <ref-ruling> E. 4.1.2 u. 4.1.3). Der Sonderflug in die Demokratische Republik Kongo ist für den Sommer 2012 geplant und damit weiterhin absehbar.
2.2 Was der Beschwerdeführer hiergegen einwendet, überzeugt nicht: Soweit er geltend macht, das Amt für Migration und Integration habe zu Unrecht keinen weiteren Versuch unternommen, ihn freiwillig zurückfliegen zu lassen, verkennt er, dass er sich diesbezüglich selber widersprüchlich verhält, wenn er einerseits erklärt, gegebenenfalls freiwillig zurückkehren zu wollen, andererseits aber den entsprechenden Rückflug am 19. Oktober 2011 verweigert und bei der Einvernahme im Februar 2012 sowie bei der Gewährung des rechtlichen Gehörs im Juni 2012 seine ablehnende Haltung grundsätzlich bestätigt hat. Das Gesuch, den Vollzug seiner Ausschaffung zu sistieren, da der geplante Sonderflug in den nächsten Tagen oder Wochen erfolgen solle, unterstreicht die Fragwürdigkeit seiner Bereitschaft, in seinen Heimat zurückzukehren. Mit den Ausführungen der Vorinstanz, auf die im Übrigen verwiesen werden kann (vgl. Art. 109 Abs. 3 BGG), ist dem Beschwerdeführer in Erinnerung zu rufen, dass es ihm freisteht, eine Freiwilligkeitserklärung zu unterzeichnen, was er bisher abgelehnt hat, oder anderweitig seine Ausreisebereitschaft unter Beweis zu stellen, womit das Amt für Migration und Integration erneut einen unbegleiteten Rückflug für ihn organisieren und seine freiwillige Ausreise in die Demokratische Republik Kongo kontrollieren könnte, was seine Festhaltung beenden würde. Entgegen seiner Kritik liegt wegen seines Verhaltens weder ein Verstoss gegen das Beschleunigungs- noch gegen das Verhältnismässigkeitsgebot oder Art. 79 Abs. 2 AuG vor. Mit dem vorliegenden Urteil in der Sache selber wird das Gesuch um Erlass einer vorsorglichen Massnahme gegenstandslos.
3. Da die Eingabe von vornherein keinerlei ernsthaften Erfolgsaussichten hatte, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG). Es rechtfertigt sich indessen, für das Verfahren keine Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 2. Satz BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. 2.1 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2 Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juli 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar