A.- Der 1942 geborene K._ war seit dem 1. Mai 1995 bei der Firma Postauto X._ aushilfsweise als Chauffeur angestellt. Am 3. Dezember 1996 löste die Firma das Arbeitsverhältnis auf Ende Februar 1997 auf. Daraufhin sah sich der Versicherte seinerseits veranlasst, den Arbeitsvertrag am 4. Dezember 1996 mit sofortiger Wirkung zu beendigen.
Mit Verfügung vom 5. März 1997 stellte die Arbeitslosenkasse des Kantons Thurgau K._ wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit ab 6. Dezember 1996 für die Dauer von 45 Tagen in der Anspruchsberechtigung ein.
B.- Eine dagegen erhobene Beschwerde wies die Rekurskommission des Kantons Thurgau für die Arbeitslosenversicherung mit Entscheid vom 30. Oktober 1998 ab.
C.- K._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde und beantragt sinngemäss die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sowie der Verfügung vom 5. März 1997; eventuell sei der frühere Arbeitgeber zur Nachzahlung eines Monatslohnes zu verpflichten.
Während die Kasse auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, hat das Bundesamt für Wirtschaft und Arbeit (seit 1. Juli 1999 Staatssekretariat für Wirtschaft) auf eine Vernehmlassung verzichtet.
D.- Die kantonale Rekurskommission hat im Leitfall B. (C 189/99), in welchem am 29. Oktober 1999 das zur Publikation vorgesehene Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts erging, mit Vernehmlassung vom 24. August 1999 zum Umstand Stellung genommen, dass der Kommissionssekretär in zahlreichen Fällen nicht bei der Beschlussfassung mitgewirkt und den Kommissionsentscheid nicht mitunterzeichnet hat. Auf die Ausführungen der Rekurskommission wird in den nachstehenden Erwägungen eingegangen.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Im Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde hat das Eidgenössische Versicherungsgericht das Recht von Amtes wegen anzuwenden (Art. 114 Abs. 1 in fine in Verbindung mit Art. 132 OG). Im Rahmen dieser Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft es u.a., ob der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt (Art. 104 lit. a in Verbindung mit Art. 132 OG). Es kann eine Verwaltungsgerichtsbeschwerde aus andern als den vom Beschwerdeführer vorgetragenen Gründen gutheissen, hat sich also nicht auf die Prüfung der von jenem erhobenen Rügen zu beschränken (<ref-ruling> Erw. 1b, 122 V 36 Erw. 2b, 119 V 442 Erw. 1a, 349 Erw. 1a [in fine] und 28 Erw. 1b, 110 V 20 Erw. 1; Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2. Aufl. , Zürich 1998, S. 40 Rz 114 und 116). Im Sinne dieser Grundsätze prüft das Gericht nach konstanter Rechtsprechung namentlich von Amtes wegen, ob die Vorinstanz bundesrechtliche Verfahrensvorschriften verletzt hat, beispielsweise Vorschriften über die Zuständigkeit (<ref-ruling> Erw. 1, 107 V 248 Erw. 1b) oder die Gewährleistung des rechtlichen Gehörs (<ref-ruling> Erw. 2a, 107 V 248 Erw. 1b [in fine]; siehe auch <ref-ruling> Erw. 3). Wurden wesentliche Verfahrensvorschriften verletzt, hebt das Gericht - vorbehältlich einer allfälligen Heilung des Fehlers im letztinstanzlichen Verfahren etwa im Zusammenhang mit Gehörsverletzungen - den angefochtenen Entscheid auf (<ref-ruling> Erw. 1, 120 V 362 Erw. 2a und b; ebenso <ref-ruling> Erw. 3).
2.- a) Nach <ref-law> darf niemand seinem verfassungsmässigen Richter entzogen werden. Als "verfassungsmässiger Richter" gilt, wer in Übereinstimmung mit der durch Rechtssatz (Verfassung, Gesetz oder Verordnung des Bundes oder eines Kantons) bestimmten Gerichtsordnung tätig wird (Rhinow/Koller/Kiss, Öffentliches Prozessrecht und Justizverfassungsrecht des Bundes, Basel/Frankfurt am Main 1996, S. 33 Rz 142; Jörg Paul Müller, Grundrechte in der Schweiz, 3. Aufl. , Bern 1999, S. 569; Häfelin/Haller, Schweizerisches Bundesstaatsrecht, 4. Aufl. , Zürich 1998, S. 540 Rz 1656). Die genannte Verfassungsbestimmung verleiht den Prozessparteien insbesondere einen Anspruch auf richtige Besetzung des Gerichts (<ref-ruling> Erw. 2b, 91 I 399), was u.a. bedeutet, dass dieses in vollständiger Besetzung entscheiden muss (<ref-ruling> Erw. 2; Rhinow/Koller/Kiss, a.a.O., S. 34 Rz 144; Jörg Paul Müller, a.a.O., S. 569 f.). Aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK, welcher im sozialversicherungsrechtlichen Leistungs- und Beitragsprozess anwendbar ist (<ref-ruling> Erw. 2a, 121 V 110 Erw. 3a, 119 V 378 Erw. 4b/aa) und jedermann u.a. Anspruch darauf verleiht, dass seine Sache von einem auf Gesetz beruhenden Gericht gehört wird, ergeben sich im Zusammenhang mit dem Anspruch auf richtige Besetzung des Gerichts keine gegenüber <ref-law> erweiterten Garantien zu Gunsten der Verfahrensbeteiligten (Häfelin/Haller, a.a.O., S. 542 Rz 1660b [eingangs]).
b) Im Zusammenhang mit dem ebenfalls aus <ref-law> und zudem aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK abgeleiteten Anspruch der Parteien auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht hat die Rechtsprechung wiederholt erkannt, dass auch die Gerichtsschreiber den entsprechenden verfassungs- und konventionsrechtlichen Anforderungen genügen müssen, sofern sie Einfluss auf die Urteilsfindung haben können, was namentlich der Fall ist, wenn sie an der Entscheidung mit beratender Stimme mitwirken (<ref-ruling> Erw. 4c und 264 Erw. 5c/aa, 119 V 317 Erw. 4c, 119 Ia 84, 115 Ia 228 Erw. 7b; Rhinow/Koller/Kiss, a.a.O., S. 41 Rz 185). Sodann hat das Bundesgericht im nicht veröffentlichten Urteil Sch. vom 22. Januar 1999, 1P.8/1999, entschieden, dass die Garantie der richtigen und vollständigen Besetzung des Gerichts auch auf Gerichtsschreiber, welche Einfluss auf die Willensbildung des Spruchkörpers haben können, anwendbar ist (Erw. 2a und 3b).
c) Anzumerken ist, dass gemäss <ref-ruling> Erw. 3b die Möglichkeit, ein Urteil bei einer ordentlichen Rechtsmittelinstanz anzufechten, am allfälligen Mangel in der Besetzung der Richterbank nichts zu ändern vermag; die hievor angeführten, aus <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK fliessenden Ansprüche müssen im erstinstanzlichen Verfahren gewährleistet werden, eine Heilung im Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist nicht möglich (Rhinow/Koller/ Kiss, a.a.O., S. 40 Rz 179).
3.- a) Gemäss der Verordnung des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau über die Organisation und den Geschäftsgang der Rekurskommissionen vom 24. November 1993 (Thurgauer Rechtsbuch, 173. 31), welche u.a. auf die Rekurskommission für die Arbeitslosenversicherung anwendbar ist (§ 1 Ziff. 6), wählen die Kommissionen einen Sekretär (§ 4 Abs. 1 Ziff. 1), welcher in der Regel die Entscheide redigiert (§ 6 Abs. 1 und § 14 Abs. 1), an der Beschlussfassung mit beratender Stimme und dem Recht, Anträge zu stellen, mitwirkt (§ 12 Abs. 2) und die Entscheide der Kommission zusammen mit dem Vorsitzenden unterzeichnet (§ 15).
b) Die Vorinstanz bestreitet den aus dem angefochtenen Entscheid ersichtlichen Umstand nicht, dass der Sekretär vorliegend weder an der Beratung mitgewirkt noch den Entscheid mitunterzeichnet hat. In ihrer Stellungnahme vom 24. August 1999 führt sie aus, sie habe bis 1996 auf die Wahl eines Sekretärs überhaupt verzichtet. Seit 1997 habe zunächst eine Kommissionssekretärin, seit Oktober 1998 der Kommissionssekretär bei einem Teil der Fälle mit beratender Stimme mitgewirkt, die Urteilsredaktion besorgt und die Entscheide mitunterzeichnet. Die Kommission habe namentlich § 12 Abs. 2 und § 15 der Verordnung nicht als zwingende Vorschriften qualifiziert. Im Übrigen sei den Parteien aus der Nichtmitwirkung des Kommissionssekretärs kein Nachteil erwachsen; diesem stehe nur eine beratende Stimme und ein Antragsrecht zu, der "massgebliche Spruchkörper mit effektiver Stimmberechtigung (sei) somit in allen Fällen korrekt zusammengesetzt" gewesen.
c) Es mag durchaus zutreffen, dass die Vorinstanz, wie sie geltend macht, in guten Treuen die Geschäfte im von ihr dargelegten Sinn erledigt hat. Das ändert aber nichts daran, dass die von ihr auch vorliegend gewählte Verfahrensweise mit dem massgeblichen Verordnungsrecht nicht vereinbar ist. Die Beachtung desselben ist keineswegs in das Belieben der Rekurskommission gestellt. Vielmehr haben die Prozessparteien, wie unter Erwägung 2a hievor dargelegt, einen bundesrechtlich (<ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK) geschützten Anspruch darauf, dass die Gerichtsbehörde in der durch Verfassung, Gesetz oder Verordnung festgelegten Besetzung entscheidet. Nicht stichhaltig ist sodann der Einwand der Vorinstanz, den Parteien sei aus der Nichtmitwirkung des Kommissionssekretärs bei der Entscheidfindung kein Nachteil erwachsen. In Erwägung 2b hievor ist dargelegt, dass die Garantien von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK auf jene Gerichtsschreiber anwendbar sind, die Einfluss auf den Entscheid der Gerichtsbehörde haben können. Dies ist hinsichtlich des Kommissionssekretärs der Vorinstanz in ausgeprägtem Masse der Fall, steht ihm doch nicht nur die beratende Stimme, sondern ausdrücklich ein Antragsrecht zu. Indem die Vorinstanz ohne dessen Mitwirkung beraten und entschieden hat, hat sie gegen <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verstossen. Da die Möglichkeit der Heilung dieses Verfahrensfehlers nicht besteht (Erw. 2c hievor) und es sich um die Verletzung einer im Sinne der Rechtsprechung wesentlichen Vorschrift handelt, ist der angefochtene Entscheid aufzuheben (Erw. 1 hievor).
4.- Da der angefochtene Entscheid aus den dargelegten Gründen aufzuheben ist, kann offen bleiben, welche Rechtsfolgen sich aus dem Umstand ergäben, dass der Entscheid nicht vom Kommissionsschreiber mitunterzeichnet wurde.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I.Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid der Rekurskommission des Kantons Thurgau für die Arbeitslosenversicherung vom 30. Oktober 1998 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über die Beschwerde gegen die Verfügung der Arbeitslosenkasse Thurgau vom 5. März 1997 neu entscheide.
II.Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III. Dieses Urteil wird den Parteien, der Rekurskommission des Kantons Thurgau für die Arbeitslosenversicherung, dem Amt für Wirtschaft und Arbeit, Abteilung Rechtsdienst und Entscheide, Frauenfeld, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 15. März 2000
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: