Faits:
A. Par jugement du 30 septembre 2008, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de La Broye et du Nord vaudois a condamné X._, pour contrainte sexuelle et tentative de viol, à 15 mois de privation de liberté avec sursis pendant 2 ans, cette peine étant complémentaire à une autre de 60 jours-amende prononcée le 9 avril 2008. Il l'a par ailleurs astreint à verser à Y._ une somme de 10'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral.
Saisie d'un recours du condamné, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois l'a partiellement admis, en ce sens qu'elle a réduit à 5000 fr. le montant de l'indemnité pour tort moral allouée à la victime. Pour le surplus, le jugement attaqué a été maintenu.
B. Cet arrêt retient, en résumé, ce qui suit.
B.a Dès le 3 avril 2006, Y._, née en 1987, a travaillé comme stagiaire puis comme employée auprès d'une imprimerie, où elle a été affectée à l'atelier dirigé par l'accusé, qu'elle ne connaissait pas jusqu'alors. Dès l'automne de la même année, elle s'est signalée par son absentéisme, manifestant par ailleurs un état dépressif. Vers la mi-décembre, elle a cessé de se rendre à l'atelier, sur la base de l'avis de son médecin et de certificats médicaux qu'il lui a délivrés. Elle a finalement été licenciée pour le 16 janvier 2007. Son médecin, qui la suivait depuis l'hiver 2005-2006, a posé le diagnostic d'état dépressif moyen à léger et lui a prescrit un traitement antidépresseur.
B.b Vers la mi-mai 2006, alors qu'elle se trouvait à la buvette d'un club de football que l'accusé tenait avec un compatriote, Y._ s'est rendue dans la réserve afin de téléphoner à sa mère à l'abri du bruit de la salle. Sur ces entrefaites, l'accusé, tout en vérifiant que personne ne pouvait les voir depuis la salle, s'est approché d'elle et a tenté de la prendre par la taille. Elle est toutefois parvenue à le repousser.
Quelque temps plus tard, durant le mois de juin 2006, l'accusé, prétextant devoir lui montrer quelque chose, a demandé à Y._ de le suivre dans la réserve de l'établissement. Une fois à l'intérieur du local, l'accusé, profitant de l'isolement, de sa force physique et de son ascendant psychologique, a maintenu la jeune femme en face de lui en la prenant par la taille et a glissé son autre main dans le pantalon de celle-ci, sous le slip, pour atteindre son sexe. Y._ a alors saisi le poignet de l'accusé, en comprimant son entrejambe pour entraver les agissements de ce dernier, et lui a dit d'arrêter. L'accusé lui a répondu qu'elle devait se laisser faire et qu'il ne comprenait pas pourquoi elle ne voulait pas qu'il aille plus loin, ajoutant qu'il l'aimait. En tirant sur la main de celui-ci, la victime est parvenue à la lui faire retirer. Sur quoi, l'accusé a entendu un bruit venant de l'extérieur du local, dont il est alors ressorti.
B.c Dans le courant du mois d'août ou de septembre 2006, après 17 heures, alors qu'ils étaient seuls à leur lieu de travail, l'accusé a demandé à Y._ si elle voulait un "petit plaisir". Celle-ci a refusé ses avances. Elle s'est ensuite rendue aux toilettes pour se laver les mains. L'accusé l'a alors suivie, a attendu qu'elle ressorte et s'est placé dans l'encadrement. Profitant à nouveau de l'isolement, de sa force physique et de son ascendant psychologique, il lui a saisi les deux poignets et l'a attirée dans les toilettes, en lui déclarant qu'il savait qu'elle en avait envie. La victime s'est agrippée aux montants de la porte et lui a dit qu'elle n'entendait pas entretenir une relation sexuelle avec lui et voulait rentrer chez elle, mais l'accusé a insisté. A bout de force, elle a fini par lâcher prise. Elle s'est ainsi retrouvée avec l'accusé à l'intérieur des toilettes. Ce dernier a alors verrouillé la porte, avant de plaquer la victime contre un lavabo et de se placer devant elle. Avec les deux mains, il a ensuite détaché le pantalon de la victime et l'a saisi ainsi que le slip pour les baisser à la hauteur des genoux. Après s'être reculé de quelques centimètres pour défaire et baisser son propre pantalon, il a pris son pénis en érection de la main droite pour tenter de pénétrer la victime, qui a serré les jambes pour l'empêcher de parvenir à ses fins. Il s'est dès lors mis à frotter son sexe sur le haut des jambes et le pubis de la victime, pour tenter à nouveau de la pénétrer. Au bout d'une dizaine de minutes, il a éjaculé sur les cuisses de la victime, avant de se diriger vers les toilettes pour finir son éjaculation. Il a alors dit à la victime d'attendre un moment avant de quitter les lieux, pour éviter d'éveiller des soupçons, lui intimant en outre de ne parler à personne de ce qui venait de se passer.
B.d Après les événements, la victime a évité de se retrouver seule avec l'accusé. Quelque temps plus tard, elle s'est confiée à une amie, qui lui a conseillé de se rendre à la police. Elle a cependant attendu plusieurs mois avant d'effectuer cette démarche. Le lendemain du dépôt de sa plainte, elle a rapporté les comportements de l'accusé à son médecin, auquel elle avait par ailleurs fait part, à la fin de l'année 2006, de ses difficultés professionnelles.
Le médecin a estimé que les déclarations de la victime étaient crédibles, relevant que ces dernières ne contenaient pas de contradictions et que le discours de celle-ci n'apparaissait pas comme construit.
A la suite de la révélation des abus qu'elle avait subis, la victime a vu son état dépressif s'améliorer et a pu interrompre son traitement antidépresseur en été 2007.
Selon une ancienne collègue de travail de la victime, cette dernière se montrait volontiers trop familière avec autrui. Par ailleurs, de l'avis unanime des personnes la connaissant bien, la victime a une personnalité assez fragile et des difficultés relationnelles, ayant notamment de la peine à maintenir assez de distance avec autrui.
C. En substance, la cour cantonale a considéré que l'appréciation des preuves ayant conduit les premiers juges à accorder crédit aux déclarations de la victime ne pouvait être qualifiée d'arbitraire. Elle a estimé que la peine infligée à l'accusé était justifiée au vu de la culpabilité de ce dernier. Elle a en revanche réduit de moitié le montant de l'indemnité pour tort moral alloué à la victime, jugeant excessif celui qui avait été octroyé en première instance.
D. X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral, pour violation du principe in dubio pro reo. Il conclut à son acquittement et, par voie de conséquence, à la suppression de l'indemnité pour tort moral allouée à la victime. Subsidiairement, il demande l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
Des déterminations n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1. Le recourant invoque une violation du principe in dubio pro reo découlant de la présomption d'innocence. En bref, il soutient que, sauf appréciation arbitraire des éléments de preuve qui leur étaient soumis, les juges cantonaux auraient dû éprouver des doutes quant à sa culpabilité, lesquels auraient donc dû lui profiter.
1.1 Tel qu'il est soulevé, le grief revient à invoquer une violation du principe in dubio comme règle de l'appréciation des preuves, donc, en définitive, à se plaindre de ce que cette appréciation serait arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 40 ss; <ref-ruling> consid. 2a p. 87/88; <ref-ruling> consid. 2c-e p. 36 ss). Cette notion, de jurisprudence constante, n'est pas synonyme de discutable, ni même de critiquable. Pour être qualifiée d'arbitraire, une appréciation doit se révéler manifestement insoutenable, et cela non seulement dans sa motivation mais dans son résultat (<ref-ruling> consid. 5.4 p. 148; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités). Le Tribunal fédéral, qui n'administre pas lui-même les preuves, ne saurait en effet en revoir librement l'appréciation et substituer la sienne, supposée différente, à celle du juge du fait. Il ne peut s'écarter de la solution retenue que s'il est amené à constater qu'elle s'avère absolument inadmissible. Il ne peut au demeurant entrer en matière sur l'arbitraire allégué que si ce dernier est démontré dans le recours conformément aux exigences de motivation de l'art. 106 al. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287).
1.2 Le recourant fait valoir que les fiches de timbrage de la victime et des autres employés de l'imprimerie montrent que, durant la période litigieuse, soit celle du 14 août au 26 septembre 2006, lui-même et la victime ne se trouvaient pas seuls dans les locaux de l'entreprise après 17 heures, mais qu'au moins 18 autres personnes y étaient encore présentes. C'est dès lors arbitrairement qu'il aurait été retenu que la victime était alors seule avec lui dans les locaux.
1.2.1 En instance cantonale, les fiches de timbrage de la victime ont été considérées comme des pièces nouvelles et, partant, irrecevables. Le recourant n'est dès lors pas habilité à s'en prévaloir.
1.2.2 S'agissant des fiches de timbrage des autres employés, l'arrêt attaqué admet qu'il en résulte que ces derniers quittaient en général l'imprimerie entre 17 heures et 18 heures. Il considère toutefois qu'il n'était pas pour autant arbitraire de retenir que, le soir en question, le recourant et la victime se trouvaient seuls dans les locaux de l'entreprise. A l'appui, il observe que les faits litigieux se sont déroulés "après 17 heures" et que cela implique une fourchette assez large d'heures possibles, qu'il y a en outre lieu de tenir compte des absences et des vacances de certains employés et que les propos du recourant, qui a demandé à la victime de ne pas quitter immédiatement les toilettes pour éviter d'éveiller des soupçons, indiquent que celui-ci n'excluait lui-même pas que quelqu'un ait encore pu se trouver dans l'entreprise.
Cette argumentation apparaît contradictoire, dans la mesure où l'arrêt attaqué semble retenir tout à la fois qu'il n'était pas arbitraire d'admettre que les protagonistes étaient seuls dans les locaux au moment des faits et que des employés étaient néanmoins présents comme en attestent leurs fiches de timbrage et les propos du recourant tendant à démontrer qu'il n'excluait pas que d'autres personnes aient pu se trouver dans les locaux. Toutefois, même si, comme le soutient le recourant, des employés se trouvaient dans les locaux, cela n'emporte pas la conclusion qu'il en tire, à savoir que l'un d'eux "aurait forcément remarqué quelque chose". Rien ne vient à l'appui de cette assertion. Il s'ensuit qu'il n'est pas établi que, sauf arbitraire, la présence d'employés dans les locaux aurait dû conduire à nier que les faits litigieux se sont produits.
1.3 Le recourant allègue qu'il était insoutenable de ne pas voir un indice d'absence de crédibilité des déclarations de la victime dans le fait qu'elle n'a parlé des faits à son médecin qu'après avoir déposé plainte pénale, alors qu'elle était suivie par ce dernier depuis une année à raison de son état dépressif.
Comme l'a observé la cour cantonale, ce comportement de la victime peut apparaître inhabituel, mais n'est pas surprenant au point de faire naître un doute sérieux quant à la crédibilité des déclarations de celle-ci. Il n'est pas extraordinaire qu'une personne n'en vienne à parler qu'après un certain temps, fût-ce à son médecin qui la suit à raison d'un état dépressif, d'un fait qui l'a particulièrement affectée, voire qu'elle ne le fasse qu'après avoir pris la décision de dénoncer ce fait. Il n'était en tout cas pas arbitraire, au sens défini par la jurisprudence, de considérer qu'un tel comportement ne suffisait pas à fonder un doute sérieux quant à la véracité des déclarations de la victime.
1.4 Le recourant soutient qu'il était arbitraire de tenir compte de l'appréciation du médecin de la victime quant à la crédibilité du récit de cette dernière.
Contrairement à ce que laisse entendre le recourant, la victime, même si elle ne l'a fait qu'après le dépôt de sa plainte, s'est finalement confiée à son médecin au sujet des faits litigieux. Au reste, fondée sur le constat d'un récit exempt de contradictions et n'apparaissant pas comme construit, l'appréciation de ce médecin pouvait, sans arbitraire, être considérée comme un indice corroboratif supplémentaire.
1.5 Le recourant se prévaut d'une déclaration de la victime, selon laquelle elle aurait cessé de se rendre à la buvette parce qu'il n'y allait plus. Il n'indique toutefois pas ce qui lui permet d'affirmer que cette déclaration serait parfaitement incompréhensible au regard des faits dénoncés par la victime. A plus forte raison ne démontre-t-il pas en quoi cette déclaration devrait faire sérieusement douter de l'ensemble des déclarations de la victime. Sur ce point, le recours, qui ne repose que sur une insinuation floue, est manifestement irrecevable au regard des exigences de l'art. 106 al. 2 LTF.
1.6 Les juges cantonaux ont relevé que, dans la présente affaire, comme dans d'autres similaires, il n'est pas rare qu'il n'existe que peu, voire pas, d'éléments matériels et qu'il s'agit dès lors largement de trancher entre deux versions contradictoires. Examinant ces versions dans le cas concret, ils se sont dits convaincus par celle de la victime. Ils ont indiqué avoir acquis cette conviction sur la base de divers éléments, notamment des mensonges du recourant au cours de l'enquête et de la grivoiserie qu'il a manifestée, de la personnalité fragile de la victime, du fait que l'état dépressif de cette dernière s'est aggravé après les faits et amélioré depuis qu'elle les a dénoncés et, à titre corroboratif, de l'appréciation de la crédibilité des déclarations de la victime par son médecin.
Sur le vu de ces considérations, on ne saurait dire que les juges cantonaux auraient forgé arbitrairement leur conviction, notamment que leur appréciation de la personnalité, de l'attitude et des déclarations respectives des protagonistes serait manifestement insoutenable, et non seulement discutable ou même critiquable.
2. Le grief et, partant, le recours doit ainsi être rejeté dans la mesure où il est recevable, frais à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimée, qui n'a pas été amenée à se déterminer sur le recours.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de cassation pénale.
Lausanne, le 4 août 2009
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Favre Angéloz