Erwägungen:
1. Mit Verfügung vom 26. Februar wies die Erlassabteilung des Finanzdepartements des Kantons Solothurn das Gesuch von X._ und Y._ um Erlass der Staatssteuer 2003 ab. Das Gesuch der Steuerpflichtigen um Erlass der direkten Bundessteuer 2003 wurde zuständigkeitshalber an die Eidgenössische Erlasskommission überwiesen.
Mit Urteil vom 30. Juni 2008 wies das Steuergericht des Kantons Solothurn den Rekurs betreffend die Staatssteuer ab. Hinsichtlich der direkten Bundessteuer verwies es auf die Zuständigkeit der Eidgenössischen Erlasskommission und wies die Beschwerde ab.
Mit Verfassungsbeschwerde beantragt X._, es seien ihm die Staatssteuer (Fr. 11'962.25) und die direkte Bundessteuer (Fr. 6'239.50) zu erlassen.
2. Die Beschwerde ist offensichtlich unzulässig und mit kurzer Angabe des Unzulässigkeitsgrundes im Verfahren nach <ref-law> zu erledigen:
2.1 Gegen Entscheide über die Stundung oder den Erlass von Abgaben ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen (<ref-law>). In Betracht fällt einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Diese setzt voraus, dass der Beschwerdeführer durch den angefochtenen Entscheid in rechtlich geschützten Interessen betroffen ist (<ref-law>). Da die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nur zur Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte offen steht (vgl. <ref-law>), kann der Entscheid, mit dem ein Steuererlass verweigert worden ist, im Wesentlichen nur wegen Verletzung des verfassungsmässigen Verbots von Willkür (<ref-law>) angefochten werden. Dieses verschafft indessen für sich allein kein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 6). Zur Willkürbeschwerde ist daher nur legitimiert, wer sich auf eine gesetzliche Norm berufen kann, die ihm im Bereich seiner betroffenen und angeblich verletzten Interessen einen Rechtsanspruch einräumt.
Wie das Bundesgericht wiederholt erkannt hat (Urteile 2D_135/2008 vom 26. Februar 2008 und 2D_83/2008 vom 8. August 2008), besteht ein solcher Anspruch auf Steuererlass im Kanton Solothurn nicht. Gemäss § 182 Abs. 1 StG/SO können die geschuldeten Beträge ganz oder teilweise erlassen werden, wenn "der Steuerpflichtige durch besondere Verhältnisse wie Naturereignisse, Todesfall, Unglück, Krankheit, Arbeitslosigkeit, geschäftliche Rückschläge (...) in seiner Zahlungsfähigkeit stark beeinträchtigt" ist oder die "Bezahlung der Steuer, eines Zinses oder einer Busse zur grossen Härte würde". Das sind nur allgemeine Umschreibungen, die auf das Ermessen der Behörde verweisen. Auch die Steuerverordnung Nr. 11 vom 13. Mai 1986 über Zahlungserleichterungen, Erlass und Abschreibungen enthält nur die "Allgemeinen Grundsätze", welche für die Behörde wegleitend sein sollen, wie z.B. die Zukunftsaussichten oder die Zumutbarkeit von Einschränkungen in der Lebenshaltung. Weder aus § 182 Abs. 1 StG/SO noch aus der Steuerverordnung Nr. 11 ergibt sich genau, unter welchen Voraussetzungen dem Betroffenen der beantragte Vorteil zu gewähren ist (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 94 f.). Ein justiziabler Anspruch auf Steuererlass besteht im Kanton Solothurn daher nicht.
2.2 Hinsichtlich der Höhe des in Frage stehenden Betrages für die direkte Bundessteuer hat das Verwaltungsgericht die Zuständigkeit der Eidgenössischen Erlasskommission bejaht. Inwiefern dies verfassungsmässige Rechte verletzen soll (<ref-law>), wird in der Beschwerde nicht dargelegt. Der Beschwerde fehlt insoweit die erforderliche Begründung (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>), weshalb darauf nicht einzutreten ist.
3. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonalen Steuergericht Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Wyssmann