Sachverhalt:
A. Die X._ Transporte GmbH ist seit dem 1. Juni 2005 mit einem Stammkapital von Fr. 20'000.-- im Handelsregister des Kantons Zürich eingetragen. Sie bezweckt den Transport von und den Handel mit Waren aller Art.
B. Mit acht separaten Verfügungen vom 27. Juli 2007 verpflichtete die Oberzolldirektion (im Folgenden auch: OZD) die X._ Transporte GmbH, für die ausstehende leistungsabhängige Schwerverkehrsabgabe der acht auf die Gesellschaft eingetragenen Lastwagen Sicherheit zu leisten. Den Gesamtbetrag der zu hinterlegenden Summe setzte die Oberzolldirektion auf insgesamt Fr. 136'500.-- fest. Zur Begründung erwog sie, in Anbetracht dessen, dass sich der Betrag der fünf offen stehenden Rechnungen bei der X._ Transporte GmbH auf Fr. 76'709.80 belaufe, die Firma bei der Bezahlung mit vier Rechnungen (Fr. 54'843.60) in Verzug sei und die Betreibung habe eingeleitet werden müssen, erscheine die Abgabe für die genannten Lastwagen als gefährdet. Für jeden dieser acht Lastwagen verlangte die Oberzolldirektion daher Sicherheit für drei Monate sowie zusätzlich einen Achtel der "ausstehenden Abgabe" von Fr. 76'709.60. Die der Berechnung zugrunde liegende Fahrleistung ermittelte die OZD nach Massgabe der durch den entsprechenden Lastwagen in der Vergangenheit je zurückgelegten Fahrstrecke und rundete die entsprechenden Sicherstellungsverfügungen jeweils auf die nächsten Fr. 100.-- auf. Gleichzeitig verarrestierte die OZD jeden Lastwagen und verfügte, der Arrest falle dahin, sobald die entsprechende Sicherheit geleistet werde.
C. Die gegen diese Verfügungen erhobenen Beschwerden der X._ Transport GmbH vereinigte das Bundesverwaltungsgericht zu einem einzigen Verfahren und hiess sie mit Urteil vom 19. November 2007 teilweise gut. Es hob die Sicherstellungsverfügungen vom 27. Juli 2007 auf, legte den "sichergestellte(n) Betrag auf gesamthaft Fr. 114'244.50" fest und wies die "Sache zu neuem Entscheid betreffend Verarrestierung an die Vorinstanz" zurück.
D. Mit Eingabe vom 20. Dezember 2007 führt die Oberzolldirektion beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 19. November 2007 aufzuheben und den "bei der Beschwerdegegnerin sichergestellte(n) Betrag (...) auf insgesamt Fr. 136'500.-- festzusetzen".
Die X._ Transporte GmbH beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid stützt sich auf öffentliches Recht des Bundes und fällt unter keinen der Ausschlussgründe gemäss <ref-law>. Er schliesst das Verfahren nicht ab, sondern weist die Sache zur Neuregelung eines Teilpunktes (Bestimmung des Umfanges der zu verarrestierenden Gegenstände) an die Oberzolldirektion zurück. Nach der Rechtsprechung zu <ref-law> kann auch ein derartiger Rückweisungsentscheid von der betroffenen Verwaltungsbehörde mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483 f. mit Hinweisen). Die zur Beschwerde berechtigte Behörde ist vorliegend die Oberzolldirektion (vgl. Urteil 2C_355/2007 vom 19. November 2007, E. 1.4). Soweit diese in ihrer Beschwerde (S. 5) das Rechtsschutzinteresse der Beschwerdegegnerin bestreitet, ist ihr entgegenzuhalten, dass sich die Frage der Einhaltung dieser prozessualen Eintretensvoraussetzung jedenfalls im vorliegenden Verfahren nicht mehr stellt, indem nicht die Abgabepflichtige, sondern die OZD als Rechtsmittelklägerin auftritt.
1.2 Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind.
1.3 Das Bundesgericht legt sodann seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 105 Abs. 2 bzw. <ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Der Hinweis der Oberzolldirektion, die Beschwerdegegnerin figuriere in einer vom Handelsregisteramt des Kantons Zürich am 30. November 2007 publizierten Liste von Firmen, welche über keine verwertbaren Aktiven mehr verfügten, kann daher nicht berücksichtigt werden, was aber insoweit ohne Belang bleibt, als die OZD bereits im vorinstanzlichen Verfahren ein entsprechendes, vom 31. Oktober 2007 datiertes Dokument eingereicht hat.
2. 2.1 Die leistungsabhängige Schwerverkehrsabgabe wird seit dem 1. Januar 2001 auf den im In- und Ausland immatrikulierten (in- und ausländischen) schweren Motorfahrzeugen und Anhängern für den Güter- oder den Personentransport erhoben (Art. 3 des Bundesgesetzes vom 19. Dezember 1997 über eine leistungsabhängige Schwerverkehrsabgabe [Schwerverkehrsabgabegesetz, SVAG; SR 641.81]). Abgabepflichtig ist der Halter, bei ausländischen Fahrzeugen zusätzlich der Fahrzeugführer (Art. 5 Abs. 1 SVAG). Der Bundesrat kann weitere Personen als solidarisch haftbar erklären (Art. 5 Abs. 2 SVAG). Er regelt den Vollzug der Schwerverkehrsabgabe (Art. 10 Abs. 1 SVAG) und kann Vorauszahlungen, Sicherheitsleistungen, Sicherungsmassnahmen und vereinfachte Verfahren vorsehen (Art. 14 Abs. 1 SVAG).
2.2 Nach Art. 48 Abs. 1 der Verordnung vom 6. März 2000 über eine leistungsabhängige Schwerverkehrsabgabe (Schwerverkehrsabgabeverordnung, SVAV; SR 641.811) kann die Oberzolldirektion die zu leistende Schwerverkehrsabgabe sowie damit zusammenhängende Zinsen und Kosten - "auch solche, die weder rechtskräftig festgesetzt noch fällig sind" (vgl. Einschub in Satz 1) - sicherstellen lassen, wenn deren Bezahlung als gefährdet erscheint (lit. a), oder wenn die abgabepflichtige Person mit der Zahlung der Abgabe in Verzug ist (lit. b).
Es genügt, dass eine der beiden genannten Voraussetzungen erfüllt ist (vgl. Urteil 2A.561/2006 vom 22. Juni 2007, E. 2.1). Davon geht an sich auch die Vorinstanz aus (angefochtenes Urteil E. 2), doch will sie den zweiten Sicherstellungsgrund des Zahlungsverzuges - wie schon die früher zuständige Rekurskommission (vgl. VPB 70/14 S. 268/269) - aus Gründen der Verhältnismässigkeit, d.h. im Hinblick auf die dem Staat zustehenden Inkassoinstrumente, nur bei Vorliegen einer "weitergehenden", tatsächlichen Gefährdung gelten lassen, wobei sich die Beurteilung des Gefährdungscharakters eines Zahlungsverzuges nach den konkreten Umständen richte und im Einzelfall zu prüfen sei (angefochtener Entscheid E. 2.1.3).
Dieser Auffassung ist insoweit beizupflichten, als nicht jeder Zahlungsverzug bereits per se den Erlass einer Sicherstellungsverfügung zu rechtfertigen vermag. Anders verhält es sich jedoch, wenn dieses Zahlungsverhalten des Schuldners auf ernsthafte Liquiditätsprobleme schliessen lässt, aufgrund derer die Eintreibung der Abgaben gefährdet sein könnte. Die Möglichkeit, fällige Forderungen auf dem ordentlichen Vollstreckungsweg einzutreiben, steht der Geltendmachung des spezialgesetzlichen Sicherstellungsanspruches für die Schwerverkehrsabgabe nicht entgegen. Die Behörde hat sich jedoch bei ihrem Vorgehen in jedem Fall an die Schranken des Verhältnismässigkeitsgebots zu halten: Der Sicherstellungsbetrag darf nicht so hoch sein, dass der Weiterbestand des Betriebes unnötig gefährdet wird; andererseits ist die Erfüllung der Abgabepflicht nicht zuletzt auch deshalb zu sichern, um Wettbewerbsverzerrungen zugunsten säumiger Unternehmen zu verhindern.
2.3 Die Sicherstellungsverfügung gilt zugleich als Arrestbefehl im Sinne von <ref-law> (Art. 48 Abs. 2 SVAV). Die Oberzolldirektion verarrestierte vorliegend alle acht Lastwagen der Beschwerdegegnerin, was von der Vorinstanz aufgehoben wurde, weil der Wert derselben weit über dem gesamthaft sicherzustellenden Betrag liege. Dieser Punkt wird, wie aus der Beschwerdebegründung (S. 3 oben) hervorgeht, vor Bundesgericht nicht angefochten. Zwar beantragt die OZD in ihrem Rechtsbegehren (Ziff. 1) die vollumfängliche Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts, doch fehlt es mit Bezug auf die aufgehobene Verarrestierung der Lastwagen an der erforderlichen Begründung, weshalb insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten ist (vgl. E. 1.2). Die Oberzolldirektion wird hierüber so oder anders eine neue Anordnung erlassen müssen.
3. 3.1 Die Beschwerdegegnerin steckte offensichtlich schon im Zeitpunkt der erlassenen Sicherstellungsverfügungen in wirtschaftlichen Schwierigkeiten. Dies durfte zulässigerweise aus dem Umstand geschlossen werden, dass sie sich mit fälligen Abgaben in beträchtlicher Höhe (Fr. 54'843.60) in Verzug befand und hiefür, nach vorangegangenen Mahnungen, die Betreibung eingeleitet werden musste; insgesamt waren im Zeitpunkt der Sicherstellungsverfügung fünf Rechnungen im Betrag von Fr. 76'709.80 offen. Die Beschwerdegegnerin war offensichtlich nicht in der Lage, ihren Verpflichtungen pünktlich nachzukommen. Damit waren die Voraussetzungen für eine Sicherstellung grundsätzlich gegeben (vgl. vorne E. 2.2), und es konnte sich nur darum handeln, für welchen Betrag diese Massnahme angeordnet werden durfte.
3.2 Die Vorinstanz erachtete es vorab als zulässig und im Rahmen des der Oberzolldirektion einzuräumenden Ermessens liegend, eine Sicherheitsleistung in der Höhe der durchschnittlichen bisherigen Fahrleistung von drei Monaten pro Fahrzeug zu verlangen, was einem Betrag von Fr. 59'400.90 entsprach. Zusätzlich liess das Bundesverwaltungsgericht die Sicherstellung für den bereits in Verzug gesetzten Betrag von Fr. 54'843.60 zu (vgl. S. 10 des angefochtenen Urteils), insgesamt somit für - nicht aufgerundete - Fr. 114'244.50 (vgl. Ziff. 1 des Urteilsdispositivs).
Als bundesrechtswidrig erachtete die Vorinstanz jedoch die in den Verfügungen der OZD vorgenommene Erhöhung um den Betrag der offenen, aber noch nicht in Verzug gesetzten Forderungen von Fr. 21'866.20 (was dem Total der offenen Rechnungen von Fr. 76'709.80 abzüglich des in Verzug gesetzten Betrages von Fr. 54'843.60 entspricht). Das Bundesverwaltungsgericht erwog, die Aufstockung der Sicherheitsleistung um den erwähnten Betrag sei nicht nur mit dem Verhältnismässigkeitsgrundsatz "kaum vereinbar", sondern auch insofern "bundesrechtswidrig", als für diesen Abgabebetrag weder der Gefährdungstatbestand gemäss Art. 48 Abs. 1 lit. a SVAV noch der Verzugstatbestand gemäss Art. 48 Abs. 1 lit. b SVAV gegeben sei (vgl. S. 10/11 des angefochtenen Entscheides). Einzig hiegegen richtet sich die Beschwerde (vgl. S. 3 oben der Beschwerdeschrift).
3.3 Der Beschwerdeführerin steht aufgrund der in Art. 48 SVAV getroffenen, durch die gesetzliche Ermächtigungsnorm von Art. 14 SVAG gedeckten Regelung bei der Bestimmung des Umfanges der Sicherheitsleistung ein Ermessensspielraum zu. Das Bundesverwaltungsgericht kann die Angemessenheit der bei ihm angefochtenen Verfügungen zwar grundsätzlich überprüfen (vgl. <ref-law>); es übt aber diese Befugnis, in Fortführung der Praxis der Rekurskommissionen, bloss zurückhaltend aus und interveniert nur, wenn der Sicherstellungsbetrag offensichtlich übersetzt ist (vgl. S. 5 des angefochtenen Urteils).
Gegen diese Betrachtungsweise lässt sich grundsätzlich nichts einwenden.
Gegen diese Betrachtungsweise lässt sich grundsätzlich nichts einwenden.
3.4 3.4.1 Der angefochtene Entscheid erweist sich aber in folgenden Punkten als widersprüchlich: Das Bundesverwaltungsgericht erachtet den Sicherstellungsgrund von Art. 48 Abs. 1 lit. a SVAV (Gefährdung der Abgabeforderung) als nicht gegeben (E. 3.1, S. 8/9 des angefochtenen Urteils), lässt aber dennoch die Sicherstellung von drei mutmasslichen, noch nicht in Rechnung gestellten und daher auch noch nicht fälligen Monatsabgaben zu, für die der Sicherstellungsgrund von Art. 48 Abs. 1 lit. b SVAV (Verzug mit der Zahlung der Abgabe) zum vornherein nicht gegeben sein kann und damit nur der Gefährdungstatbestand in Frage kommt. Für den bereits in Rechnung gestellten Betrag von Fr. 21'866.20, wofür die Zahlungsfrist noch nicht abgelaufen war, will das Bundesverwaltungsgericht die Sicherstellung aber nicht zulassen. Diese Auffassung verletzt Bundesrecht.
3.4.2 Im Zeitpunkt des Erlasses der Sicherstellungsverfügungen (am 27. Juli 2007) hatten die Lastwagen der Beschwerdegegnerin die im Mai, Juni und Juli 2007 abgabepflichtigen Kilometer bereits fast vollständig zurückgelegt; die entsprechende Abgabeforderung war damit im Kern bereits entstanden, doch war sie weder festgesetzt noch fällig. Die Sicherstellung an sich bereits entstandener, aber noch nicht fälliger Forderungen ist durch den Wortlaut von Art. 48 Abs. 1 SVAV aber klarerweise gedeckt; der Betrag der verlangten Sicherheitsleistung war - zumal der Gefährdungstatbestand als erfüllt gelten musste (vgl. E. 3.1) - daher von der Oberzolldirektion bloss noch glaubhaft zu machen.
Die OZD hat die in den erwähnten drei Monaten mutmasslich entstandene Abgabeforderung aufgrund der bisherigen Fahrleistungen der Lastwagen geschätzt, was nicht zu beanstanden ist. Zusätzlich verlangte sie die Sicherstellung der offenen Rechnungen im Betrag von Fr. 76'709.80 (davon bereits in Verzug gesetzt Fr. 54'843.60). Damit erweist sich der gesamthaft verlangte sicherzustellende Betrag von Fr. 136'500.-- nicht als übersetzt: Wenn die Abgabegefährdung für die noch nicht fälligen drei Monatsraten (Mai, Juni und Juli) zu bejahen ist, so ist nicht nachzuvollziehen, weshalb dies bei der bereits in Rechnung gestellten, aber noch nicht in Verzug gesetzten Tranche von Fr. 21'866.20 nicht der Fall sein soll. Aus welchen Gründen die Sicherstellung des gesamten im massgebenden Zeitpunkt (hier: 27. Juli 2007) mutmasslich offenen Betrages unverhältnismässig sein soll, ist nicht einzusehen. Für eine Reduktion des sicherzustellenden Betrages aus Gründen der Verhältnismässigkeit bestand vorliegend jedenfalls kein Anlass.
4. Dies führt zur Gutheissung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides, soweit er die sicherzustellende Summe auf Fr. 114'244.50 reduziert.
Die Sache ist zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen (<ref-law>).
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 19. November 2007 wird aufgehoben, soweit es die sicherzustellende Summe auf Fr. 114'244.50 reduziert.
2. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Mai 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein