Sachverhalt:
A.
Am 11. Januar 2013 ordnete das Landgerichtspräsidium Uri im Streit zwischen X._ und Y._ Eheschutzmassnahmen an. Der begründete Entscheid wurde am 30. Januar 2013 versandt. Der Rechtsvertreter von X._ nahm die Urteilsurkunde am 31. Januar 2013 in Empfang. Am 8. März 2013 reichte X._ Berufung ein und stellte zugleich ein Gesuch um Wiederherstellung der Berufungsfrist. Mit Entscheid vom 25. April 2013 wies das Obergericht des Kantons Uri das Gesuch um Wiederherstellung ab und trat auf die Berufung wegen Nichteinhaltung der Berufungsfrist nicht ein.
B.
Mit Beschwerde vom 27. Mai 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die Wiederherstellung der Berufungsfrist, eventuell sei die Sache zum Neuentscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerde beigelegt wurde ein ärztliches Zeugnis über die Arbeitsunfähigkeit des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin für die Zeit vom 19. November 2012 bis 31. März 2013. Am 4. Oktober 2013 reichte auch die Beschwerdeführerin ein Arbeitsunfähigkeits-Zeugnis ein.
Das Obergericht des Kantons Uri hat mit Schreiben vom 3. Oktober 2013 unter Hinweis auf seinen Entscheid vom 25. April 2013 auf eine Vernehmlassung verzichtet. Y._ (Beschwerdegegner) konnte die Beschwerde mangels gültiger Adresse nicht zugestellt werden.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin wehrt sich binnen Frist gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75, 90 und 100 BGG) über die Anordnung von Eheschutzmassnahmen (Art. 172 ff. ZGB). Eheschutzentscheide unterstehen Art. 98 BGG (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (s. dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Es gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen prüft. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es daher nicht aus, wenn der Beschwerdeführer die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat.
2.
Es ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin mit ihrer Eingabe vom 8. März 2013 die zehntägige Frist für die Berufung gegen den Eheschutzentscheid vom 11. Januar 2013 (Art. 314 Abs. 1 ZPO) verpasst hat. Der begründete Entscheid wurde ihr am 31. Januar 2013 zugestellt. Die Frist begann also am 1. Februar 2013 zu laufen und endete am 11. Februar 2013. Zu prüfen bleibt, ob die Beschwerdeführerin einen Anspruch auf Wiederherstellung der Berufungsfrist hat.
2.1. Nach Art. 148 Abs. 1 ZPO kann das Gericht auf Gesuch einer säumigen Partei eine Nachfrist gewähren oder zu einem Termin erneut vorladen, wenn die Partei glaubhaft macht, dass sie kein oder ein nur leichtes Verschulden an der Säumnis trifft. Art. 148 Abs. 1 ZPO ist damit weniger streng als Art. 50 Abs. 1 BGG, Art. 13 Abs. 1 BZP und Art. 33 Abs. 4 SchKG, die für die Wiederherstellung einer Frist ein unverschuldetes Hindernis verlangen (vgl. zur diesbezüglichen Praxis zuletzt die Urteile 6B_318/2012 vom 21. Januar 2013 E. 1.3 und 8C_294/2013 vom 18. Juni 2013 E. 3; je mit Hinweisen). Diese gegenüber der säumigen Partei grosszügigere Lösung der ZPO ist vom Gesetzgeber gewollt (Dominik Gasser/Brigitte Rickli, Schweizerische Zivilprozessordnung, Kurzkommentar, 2010, N. 2 zu Art. 148 ZPO). Ihr ist auch dann Rechnung zu tragen, wenn das Bundesgericht die korrekte Anwendung von Art. 148 Abs. 1 ZPO - wie hier (E. 1) - bloss auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte hin überprüft.
2.2. Nach Auffassung der Vorinstanz erfüllt die Beschwerdeführerin die Voraussetzung für eine Wiederherstellung der Berufungsfrist nicht. Die Wiederherstellung setze voraus, dass die Partei bzw. deren Vertreter durch den Unfall oder die Krankheit effektiv davon abgehalten wird, innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen oder bei fehlender Substitutionsvollmacht die Klientin sogleich zu veranlassen, selbst aktiv zu handeln oder einen anderen Anwalt aufzusuchen. Im vorliegenden Fall habe sich der Anwalt der Beschwerdeführerin zwar in der fraglichen Zeit vom 1. bis 11. Februar 2013 täglich einer Strahlentherapie unterziehen müssen. Gleichzeitig ergebe sich aus dem ärztlichen Zeugnis des Kantonsspitals Uri aber, dass der Anwalt vom 19. November 2012 bis zum 7. März 2013 praktisch ununterbrochen zu 100 Prozent arbeitsunfähig gewesen sei. Der Zeitpunkt der Erkrankung liege damit weit vor dem Beginn des Fristenlaufs für die Berufung. Der zu Beginn der ärztlich bescheinigten Arbeitsunfähigkeit 70-jährige Rechtsvertreter hätte angesichts seiner schweren Erkrankung Vorkehren treffen müssen für den Fall, dass während seiner krankheitsbedingten Abwesenheit für seine Klienten nachteilige Entscheide ergingen, gegen die allenfalls Rechtsmittel zu ergreifen waren. Dies gelte insbesondere für die Bestrahlungstherapie vom Februar, für die der Terminplan am 14. Januar 2013 vorgelegen habe. Es sei nicht belegt, dass der Gesundheitszustand des Anwalts der Beschwerdeführerin derart schlecht gewesen sei, dass er keinen Dritten hätte mandatieren oder die Beschwerdeführerin auf die Notwendigkeit der Fristeinhaltung nicht hätte aufmerksam machen können. Die geltend gemachten Versuche, einen Stellvertreter zu finden, seien nicht belegt.
2.3. Der Anwalt der Beschwerdeführerin macht Willkür geltend. Er hält dafür, dass ihn die gesundheitlichen Komplikationen im Anschluss an die Therapie von Anfang Februar 2013 aufgrund früherer Erfahrungen unerwartet getroffen hätten. In der fraglichen Zeit sei er ausser Stande gewesen, eine Berufungsschrift abzufassen oder einen Substituten zu instruieren. Letzteres sei auch der psychisch angeschlagenen Beschwerdeführerin nicht zuzumuten gewesen. Angesichts der Komplexität des Falls, in dem ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege hängig war, und der kurzen Frist sei es auch sonst nicht möglich gewesen, den Fall abzutreten. Dies habe ihm auch Kollege A._ anlässlich eines im Spital erfolgten Besuchs bestätigt.
2.4. Unbestritten ist, dass sich die Beschwerdeführerin das Verschulden ihres Rechtsvertreters anrechnen lassen muss (<ref-ruling> E. 2 S. 87 mit Hinweisen). Die schweizerische ZPO hat daran nichts geändert. Zu entscheiden ist, ob die Vorinstanz in Willkür verfallen ist, wenn sie dem Anwalt der Beschwerdeführerin nicht nur ein leichtes Verschulden am Fristversäumnis vorwirft.
Aufgrund des Sachverhalts musste der Anwalt der Beschwerdeführerin damit rechnen, dass ihm der begründete Entscheid des Landgerichtspräsidiums Uri Anfang Februar 2013 zugestellt wird und damit die zehntägige Berufungsfrist zu laufen beginnt (vgl. Urteil 5D_166/2012, 5D_190/2012 vom 7. Februar 2013 E. 4.1). Dass ihr Anwalt seit dem 14. Januar 2013 auch den Plan für die in diesen Zeitraum fallende Strahlentherapie gekannt hat, stellt die Beschwerdeführerin nicht in Abrede. Aufgrund früherer Erfahrungen hoffte der Anwalt der Beschwerdeführerin darauf, trotz Strahlentherapie zumindest einen Teil der anfallenden Arbeiten erledigen zu können. Diesbezügliche Garantien oder Versprechen aber gab es nicht, wie das ärztliche Zeugnis zeigt, das den Anwalt bereits im Vorfeld zu 100 Prozent arbeitsunfähig schrieb. Trotzdem hat der Anwalt der Beschwerdeführerin keinerlei Vorkehren getroffen, das Mandat zurückzugeben oder sich für den Fortgang des Verfahrens substituieren zu lassen. Letzteres tat er erst, als es dafür zu spät war. Bei allem Verständnis für die schwierige und belastende Situation des Anwalts kann man der Vorinstanz keine Willkür vorwerfen, wenn sie im wenig vorausschauenden Verhalten des Anwalts nicht nur ein leichtes Verschulden erblickt. Dies gilt umso mehr, als es im konkreten Fall um einen Eheschutzentscheid ging. Ein solcher ergeht im summarischen Verfahren, sodass die Berufungsfrist nur zehn Tage beträgt (Art. 314 Abs. 1 ZPO). Gerade in einem solchen, vom Gesetzgeber für dringend eingestuften Verfahren darf man vom Rechtsvertreter besondere Vorsicht verlangen.
3.
Auch die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin erweisen sich als unbegründet. So geht der Vorwurf des verweigerten rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 1 BV) ins Leere. Es oblag der Beschwerdeführerin und ihrem Rechtsvertreter, unaufgefordert alle Sachumstände darzutun, die das Säumnis als unverschuldet oder nur leicht verschuldet auswiesen. Auch von einer Verletzung der gerichtlichen Fragepflicht (Art. 56 ZPO) kann unter diesen Umständen keine Rede sein. Gleiches gilt für den Vorwurf des überspitzten Formalismus. Ebenso wenig kann der Obergerichtspräsident als befangen bezeichnet werden, weil er dem Anwalt der Beschwerdeführerin in einem früheren (Straf-) Verfahren mit Misstrauen begegnet ist und deshalb in den Ausstand treten musste (s. Urteil 1B_221/2007 vom 16. Januar 2008 E. 4.1 und 4.2).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der nicht erreichbare Beschwerdegegner (s. Sachverhalt Bst. B) hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Uri, Zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn