Sachverhalt:
A.
X._ kam 1998 von Sri Lanka in die Schweiz und wurde vorläufig aufgenommen. Gemäss der damals gezeigten Identitätskarte von Sri Lanka aus dem Jahr 1987 wurden ihr Vorname und ihr Geburtsdatum im Zentralen Migrationsinformationssystem (ZEMIS) mit "Y._" und "26. Juni 1969" registriert. Mit Gesuch vom 28. April 2011 beantragte X._, im ZEMIS sei ein anderer Vorname (Z._ statt Y._) und ein anderes Geburtsdatum (14. April 1967 statt 26. Juni 1969) einzutragen. Mit Verfügung vom 10. Mai 2011 wies das Bundesamt für Migration (BFM) ihr Gesuch ab.
B.
Gegen die Verfügung des BFM erhob X._ Beschwerde ans Bundesverwaltungsgericht. Am 22. Dezember 2011 reichte sie eine Identitätskarte von Sri Lanka vom 10. Oktober 2011 ein, welche die von ihr begehrten Änderungen des Vornamens und des Geburtsdatums enthält. Am 25. Juni 2012 reichte sie sodann einen neu ausgestellten Pass von Sri Lanka ein, in welchem ebenfalls die von ihr beantragten Änderungen enthalten sind. Am 20. November 2012 hiess das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde von X._ teilweise gut. Es wies das BFM an, im ZEMIS einen Vermerk anzubringen, dass der eingetragene Vorname und das Geburtsdatum der Beschwerdeführerin bestritten sind. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
Gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 20. November 2012 hat X._ am 4. Januar 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und das BFM anzuweisen, den Vornamen und das Geburtsdatum im ZEMIS wie ersucht zu ändern. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das BFM beantragt die Abweisung der Beschwerde. Mit Eingaben vom 21. März 2013 sowie vom 14. Mai 2013 hält die Beschwerdeführerin sinngemäss an ihrer Beschwerde fest.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2). Von der beschwerdeführenden Person kann die Feststellung des Sachverhalts wiederum nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-law>) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
3.
Die Beschwerdeführerin hat im Verfahren vor Bundesgericht Akten eingereicht und Tatsachen vorgebracht, die der Vorinstanz im Zeitpunkt ihres Entscheids nicht zur Verfügung standen. Bei diesen Akten und Vorbringen handelt es sich um neue Tatsachen und Beweismittel, zu denen nicht erst der Entscheid der Vorinstanz Anlass gegeben hat. Nach <ref-law> kann das Bundesgericht diese Akten und Vorbringen für seinen Entscheid nicht berücksichtigen.
4.
Gesuche um Berichtigung eines Eintrags im ZEMIS sind gestützt auf das Bundesgesetz über den Datenschutz vom 19. Juni 1992 (DSG; SR 235.1) zu beurteilen (Art. 19 Abs. 1 der ZEMIS-Verordnung vom 12. April 2006 [SR 142.513] i.V.m. Art. 6 Abs. 1 des Bundesgesetzes über das Informationssystem für den Ausländer- und den Asylbereich vom 20. Juni 2003 [BGIAA; SR 142.51]).
4.1. Wer Personendaten bearbeitet, hat sich über deren Richtigkeit zu vergewissern und alle angemessenen Massnahmen zu treffen, damit die Daten berichtigt oder vernichtet werden, die im Hinblick auf den Zweck ihrer Beschaffung oder Bearbeitung unrichtig oder unvollständig sind (Art. 5 Abs. 1 DSG). Jede betroffene Person kann verlangen, dass unrichtige Daten berichtigt werden (Art. 5 Abs. 2 DSG). Werden Personendaten von einem Organ des Bundes bearbeitet, konkretisiert Art. 25 DSG die Rechte von betroffenen Personen. Wer ein schutzwürdiges Interesse hat, kann vom verantwortlichen Bundesorgan verlangen, dass es das widerrechtliche Bearbeiten von Personendaten unterlässt (Art. 25 Abs. 1 lit. a DSG). Verlangt werden kann insbesondere die Berichtigung von unrichtigen Personendaten (Art. 25 Abs. 3 lit. a DSG).
4.2. Grundsätzlich hat die Bundesbehörde, welche Personendaten bearbeitet, die Richtigkeit der bearbeiteten Daten zu beweisen, wenn sie von einer betroffenen Person bestritten wird. Der betroffenen Person, welche ein Gesuch um Berichtigung von Personendaten stellt, obliegt hingegen der Beweis der Richtigkeit der verlangten Änderung (Urteil 1C_240/2012 vom 13. August 2012 E. 3.1). Kann weder die Richtigkeit noch die Unrichtigkeit von Personendaten bewiesen werden, so muss das Bundesorgan bei den Daten einen entsprechenden Vermerk anbringen (Art. 25 Abs. 2 DSG). Spricht mehr für die Richtigkeit der von einer betroffenen Person verlangten Änderung, sind die Personendaten zu berichtigen und mit einem derartigen Vermerk zu versehen (Urteil 1C_240/2012 E. 3.2).
5.
5.1. Die Vorinstanz stellte im angefochtenen Entscheid fest, mit der von der Beschwerdeführerin anlässlich ihrer Einreise in die Schweiz im Jahr 1998 vorgelegten Identitätskarte von 1987 und dem neu ausgestellten Pass aus dem Jahr 2012 lägen zwei formal korrekte Dokumente mit widersprüchlichen Angaben vor. Sie kam zum Schluss, weder die Richtigkeit des bestehenden Eintrags im ZEMIS noch der verlangten Änderung lasse sich beweisen. Es spreche auch nicht mehr für die Richtigkeit der von der Beschwerdeführerin beantragten Änderung als für die Richtigkeit des bestehenden Eintrags. Die Beschwerdeführerin kritisiert die von der Vorinstanz vorgenommene Beweiswürdigung.
5.2. Der Vorinstanz steht bei der Beweiswürdigung ein weiter Spielraum des Ermessens zu. Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn der angefochtene Entscheid auf einer schlechterdings unhaltbaren Beweiswürdigung beruht, d.h. wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen, oder wenn sie erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt. Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (vgl. E. 2 hiervor). Es genügt nicht, wenn sich der angefochtene Entscheid lediglich in der Begründung als unhaltbar erweist. Eine Aufhebung rechtfertigt sich erst, wenn er auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (<ref-ruling> E. 7.1 und 305 E. 4.3; <ref-ruling> E. 7; je mit Hinweisen).
5.3. Das BFM hat im vorinstanzlichen Verfahren ausgeführt, auf der von der Beschwerdeführerin am 22. Dezember 2011 eingereichten Identitätskarte vom 10. Oktober 2011 seien verschiedene Echtheitsmerkmale nicht vorhanden, unter anderem fehlten beide ultravioletten Stempel und insgesamt seien zwölf Fälschungsmerkmale entdeckt worden. Die Beschwerdeführerin bemängelt zwar, das BFM habe nicht näher erläutert, inwiefern die Identitätskarte Fälschungsmerkmale aufweise. Sie bestreitet aber nicht, dass die beiden ultravioletten Stempel fehlen, und eine Echtheitsbestätigung hat sie im vorinstanzlichen Verfahren nicht (wie angekündigt) eingereicht. Damit erscheint die von der Vorinstanz getroffene Annahme, die Identitätskarte vom 10. Oktober 2011 sei nicht authentisch, nicht als offensichtlich unhaltbar.
Nicht willkürlich ist sodann, dass die Vorinstanz die Beweiskraft des von der Beschwerdeführerin eingereichten, neu ausgestellten Passes relativierte, weil der Pass nicht über die Vertretung von Sri Lanka in der Schweiz ausgestellt worden ist und sich die Beschwerdeführerin im Passantrag auf die als nicht authentisch beurteilte Identitätskarte vom 10. Oktober 2011 gestützt hatte. Daran ändern auch die Einwände der Beschwerdeführerin nichts, es sei ihr nicht möglich gewesen, einen Pass über die Vertretung von Sri Lanka in der Schweiz ausstellen zu lassen, der Passantrag sei von verschiedenen Behörden in Sri Lanka mit einem Stempel versehen worden und einem Pass komme höhere Beweiskraft zu als einer Identitätskarte.
Ohne in Willkür zu verfallen durfte die Vorinstanz als Indiz für die Richtigkeit der Angaben in der Identitätskarte aus dem Jahr 1987 schliesslich berücksichtigen, dass die Beschwerdeführerin anlässlich ihrer Einreise in die Schweiz im Jahr 1998 nicht darauf hinwies, die vorgelegte Identitätskarte sei nicht korrekt, sowie dass sie sich erst 13 Jahre nach ihrer Einreise in die Schweiz für eine Berichtigung einsetzte.
5.4. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Aussage der Vorinstanz, wonach weder die Richtigkeit des bestehenden Eintrags im ZEMIS noch der verlangten Änderung sich beweisen lasse, willkürlich sein sollte. Das Gleiche gilt für den Schluss, dass auch nicht mehr für die Richtigkeit der von der Beschwerdeführerin beantragten Änderungen spreche als für die Richtigkeit des bestehenden Eintrags im ZEMIS. Soweit die Beschwerdeführerin eine willkürliche Beweiswürdigung durch die Vorinstanz überhaupt in genügender Weise rügt, vermag sie damit nicht durchzudringen.
6.
Die Vorinstanz hat kein Bundesrecht verletzt, indem sie gestützt auf Art. 25 DSG zum Schluss gekommen ist, die von der Beschwerdeführerin beantragten Änderungen des Eintrags im ZEMIS seien nicht vorzunehmen, es sei aber zu vermerken, dass der eingetragene Vorname und das Geburtsdatum der Beschwerdeführerin bestritten seien (vgl. E. 4 hiervor). Der Einwand der Beschwerdeführerin, der angefochtene Entscheid habe aufgrund der Praxis des Amtes für Migration und Zivilrecht Graubünden zur Folge, dass sie zu keiner Zeit eine Aufenthaltsbewilligung beantragen könne, ist im vorliegenden Verfahren unbehilflich.
7.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege inklusive unentgeltliche Verbeiständung ist gutzuheissen (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Jean-Pierre Menge wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Oktober 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle