Sachverhalt:
A. Z._ schloss im August 2005 mit der X._ AG, Vertreterin der Marken BMW und MINI, zwei Verträge über ein Automobil der Marke und des Typs MINI "Cooper S" mit Sonderausstattung (Felgen, Spoilerpaket, Auspuffanlage). Auf Vorschlag von Z._ wurde einerseits vereinbart, dass er das Fahrzeug bis zum 30. November 2005 für Fr. 3'000.-- und 3'000 Kilometer sowie Fr. 1.-- je zusätzlich gefahrenen Kilometer miete; andererseits sollte Z._ am erwähnten Tag durch Bezahlung von Fr. 34'100.-- einen Kaufvertrag über das Fahrzeug erfüllen.
Der MINI Cooper S wurde am 26. August 2005 in Verkehr gesetzt und am gleichen Tag Z._ übergeben. Dieser schloss ohne Wissen und Einverständnis der X._ AG am 2. September 2005 mit der Y._ AG einen Vertrag, wonach er den MINI Cooper S zum Preis von 31'000.-- gegen ein Automobil der Marke "Chrysler" im Wert von Fr. 16'000.-- eintauschte und Fr. 15'000.-- in bar ausbezahlt erhielt.
Als die X._ AG erfuhr, dass die Y._ AG den MINI Cooper S für den Preis von Fr. 33'800.-- zum Verkauf anbot, holte sie das Fahrzeug mit dem Schlüssel, den sie behalten hatte, zurück. Die Untersuchungsrichterin des Bezirksamtes A._ verfügte am 9. September 2005 die Beschlagnahme des MINI Cooper S, worauf das Fahrzeug auf dem Areal der X._ AG sichergestellt wurde.
B. Mit Eingabe vom 19. Dezember 2005 erhob die X._ AG beim Gerichtskreis B._ Klage gegen die Y._ AG und Z._ und beantragte, die beiden zu verpflichten, ihr den MINI Cooper S herauszugeben; allenfalls sei festzustellen, dass sie dessen Eigentümerin sei, und seien die beiden Beklagten anzuhalten, der Freigabe des beschlagnahmten Fahrzeugs zu ihren Gunsten zuzustimmen. Ausserdem seien die beiden Beklagten zu verpflichten, ihr einen gerichtlich festzusetzenden Schadenersatz zu zahlen.
Die Y._ AG und Z._ schlossen auf Abweisung der Klage, und die Y._ AG erhob zudem Widerklage mit dem Antrag, es sei festzustellen, dass sie Eigentümerin des strittigen Fahrzeugs sei, und die X._ AG zu verpflichten, dessen Freigabe zu ihren Gunsten zuzustimmen.
Im Verlaufe des Verfahrens einigten sich die X._ AG und die Y._ AG, den MINI Cooper S zu verkaufen, was in der Folge zu einem Preis von Fr. 34'000.-- geschah. Der Erlös wurde beim Gerichtskreis B._ hinterlegt.
Über Z._ wurde im September 2006 der Konkurs eröffnet. Das Konkursamt C._ teilte am 2. Mai 2007 mit, dass dieser im summarischen Verfahren durchgeführt werde und im Kollokationsplan die Forderung der X._ AG mit Fr. 35'866.60 (pro memoria) kolloziert worden sei; die Gläubiger hätten auf die Weiterführung des Passivprozesses durch die Konkursmasse verzichtet, so dass die gegen Z._ gerichtete Forderung als anerkannt gelte. Mit Verfügung des Gerichtspräsidenten 2 des Gerichtskreises B._ vom 25. Mai 2007 wurde das Verfahren zwischen der X._ AG und Z._ hierauf abgeschrieben.
Anlässlich der Fortsetzungsverhandlung vom 5. Juli 2007 beantragte die X._ AG, es sei festzustellen, dass der hinterlegte Betrag von Fr. 34'000.-- ihr zustehe und für sie freizugeben sei. Ausserdem sei die Y._ AG zu verpflichten, ihr Fr. 7'178.75 Schadenersatz zu zahlen. Die Y._ AG schloss auf Abweisung der Klage und verlangte, es sei festzustellen, dass der hinterlegte Betrag ihr zustehe und auszuzahlen sei, und die X._ AG sei zu verpflichten, ihr unter Anrechnung von Fr. 34'000.-- den Betrag von Fr. 33'800.-- nebst Zins zu 5 % seit 9. September 2005 zu zahlen.
Mit Urteil vom 11. Juli 2007 hiess der Gerichtspräsident 2 des Gerichtskreises B._ die Klage in den Hauptpunkten (Zusprechung und Freigabe von Fr. 34'000.--) gut; ferner wurde die Y._ AG verpflichtet, der X._ AG den Betrag von Fr. 100.-- nebst Zins zu 5 % seit 1. Dezember 2005 und Zins zu 5 % seit 1. Dezember 2005 auf dem Betrag von Fr. 34'000.-- zu zahlen; im weitergehenden Umfang wurden die Klage und ausserdem auch die Widerklage abgewiesen.
Gegen diesen Entscheid erhob die Y._ AG Appellation und die X._ AG hierauf Anschlussappellation. Das Obergericht (Appellationshof, 2. Zivilkammer) des Kantons Bern wies mit Urteil vom 29. Januar 2008 die Klage ab, ordnete an, dass der hinterlegte Betrag der Y._ AG ausbezahlt werde, und verpflichtete die X._ AG, dieser unter Anrechnung von Fr. 34'000.-- den Betrag von Fr. 33'800.-- nebst Zins zu 5 % seit 9. September 2005 zu zahlen.
C. Mit Eingabe vom 14. März 2008 erhebt die X._ AG Beschwerde in Zivilsachen und beantragt, es sei festzustellen, dass der beim Gerichtskreis B._ hinterlegte Betrag ihr zustehe, dieser zu ihren Gunsten freizugeben, die Y._ AG zu verpflichten, ihr Fr. 100.-- nebst Zins zu 5 % seit 1. Dezember 2005 sowie Zins zu 5 % seit 1. Dezember 2005 auf dem Betrag von Fr. 34'000.-- zu zahlen, und die Widerklage abzuweisen; allenfalls sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Y._ AG (im Folgenden: Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde verzichtet, und das für die Konkursmasse Z._ handelnde Konkursamt C._ hat unter Hinweis auf die im Konkursverfahren getroffenen Anordnungen und auf die Anerkennung der Klage durch die Konkursmasse erklärt, weitere Ausführungen erübrigten sich.

Erwägungen:
1. Die Klage auf Herausgabe des MINI Cooper S bzw. auf den inzwischen an dessen Stelle getretenen Verkaufserlös beruht auf <ref-law>, wonach der Eigentümer einer Sache das Recht hat, diese von jedem, der sie ihm vorenthält, herauszuverlangen. Gleichzeitig beruft sich die Beschwerdeführerin darauf, dass die Beschwerdegegnerin nicht Eigentümerin des Fahrzeugs geworden sei. Von Bedeutung sind in diesem Zusammenhang Art. 714 Abs. 2 und <ref-law>. <ref-law> bestimmt, dass derjenige, der in gutem Glauben eine bewegliche Sache zu Eigentum übertragen erhält, auch dann deren Eigentümer wird, wenn der Veräusserer zur Eigentumsübertragung nicht befugt war, vorausgesetzt, er ist nach den Besitzesregeln im Besitze der Sache geschützt. Nach <ref-law> ist derjenige, der eine bewegliche Sache in gutem Glauben zu Eigentum übertragen erhält, in seinem Erwerbe auch dann zu schützen, wenn die Sache dem Veräusserer ohne jede Ermächtigung zur Übertragung anvertraut worden war.
2. Wo das Gesetz eine Rechtswirkung an den guten Glauben einer Person geknüpft hat, ist dessen Dasein zu vermuten (<ref-law>); wer bei der Aufmerksamkeit, wie sie nach den Umständen von ihm verlangt werden darf, nicht gutgläubig sein konnte, ist nicht berechtigt, sich auf den guten Glauben zu berufen (<ref-law>).
Für den Erwerber einer Sache besteht keine allgemeine Pflicht, sich nach dem Vorliegen der Verfügungsmacht des Veräusserers zu erkundigen; nur wenn konkrete Verdachtsgründe gegeben sind, hat er die näheren Umstände abzuklären. Dieser Grundsatz gilt allerdings nur beschränkt für Geschäftszweige, in denen erfahrungsgemäss häufig Waren angeboten werden, die zweifelhafter Herkunft sind und denen Rechtsmängel anhaften, wie es beim Handel mit Gebrauchtwaren der Fall ist. Auch wenn damit keine generelle Erkundigungspflicht statuiert wird, ergibt sich in diesen Fällen eine Pflicht zur Abklärung der Verfügungsberechtigung des Veräusserers nicht erst bei konkretem Verdacht eines Rechtsmangels, sondern bereits, wenn aufgrund der Umstände Anlass zu Misstrauen besteht (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 422; <ref-ruling> E. 2a/aa S. 3; <ref-ruling> E. 2b S. 399 f., mit Hinweisen).
3. 3.1 Der Gerichtspräsident des Gerichtskreises B._, der nicht von einer Bösgläubigkeit der Beschwerdegegnerin ausgegangen war, hatte dafür gehalten, diese habe beim Abschluss des Vertrags mit Z._ nicht die nach den Umständen gebotene Sorgfalt aufgewendet. Er hatte hervorgehoben, dass die Beschwerdegegnerin, die in ihrer Garage Reparatur- und Restaurationsarbeiten ausführe und daneben mit Occasionsfahrzeugen handle, als professionelle Automobilhändlerin zu betrachten sei. Es sei davon auszugehen, dass sie über eine wesentliche Geschäftserfahrung verfüge und um die allgemeinen Gefahren des unrechtmässigen Anbietens von Miet- und Leasingfahrzeugen auf dem Markt wisse. So hätte allein die Tatsache, dass ein neues Fahrzeug bereits eine Woche nach seiner ersten Inverkehrsetzung mit einem entsprechend tiefen Kilometerstand vom - privaten - Ersterwerber zum Verkauf angeboten werde, bei der Beschwerdegegnerin Misstrauen erwecken müssen. Die Erklärung von Z._, er sei den ganzen Tag auf der Strasse, der MINI sei für ihn zu klein, erscheine als Begründung für den raschen Wiederverkauf nicht als plausibel, erwerbe doch der durchschnittliche Käufer eines Neuwagens dieses Preissegments das Fahrzeug gewöhnlich erst nach Testfahrten und reiflicher Überlegung. Zumindest hätte sich für die Beschwerdegegnerin die Frage aufdrängen müssen, weshalb Z._ den MINI einem Dritten verkaufe, statt ihn dem Markenvertreter zurückzubringen und gegen ein seinen Ansprüchen angemessenes Fahrzeug einzutauschen. Unüblich sei auch, dass eine Privatperson ein Auto der in Frage stehenden Art an eine Garage verkaufe, die Occasionshandel betreibe. Ferner hatte der erstinstanzliche Richter ausgeführt, die Beschwerdegegnerin habe gewusst, dass das Fahrzeug von der Beschwerdeführerin stamme, zumal P.Y._ Z._ zu deren Garage geführt habe, als dieser den MINI Cooper S gekauft habe; es wäre ihr ohne weiteres zuzumuten gewesen, vor Abschluss des Vertrags mit Z._ bei der Beschwerdeführerin sachdienliche Erkundigungen einzuholen; im Hinblick auf die Festlegung des Preises für den Weiterverkauf wäre es für sie zudem naheliegend gewesen, sich den Vertrag über den ursprünglichen Kauf vorlegen zu lassen. Den Einwand der Beschwerdegegnerin, sie habe den Fahrzeugausweis eingesehen und festgestellt, dass kein Eintrag des "Code 178" vorhanden gewesen sei (vgl. Art. 80 Abs. 4 der Verkehrszulassungsverordnung [VZV; SR 741.51], wonach ein Halter, der sein Fahrzeug least bzw. häufig oder dauernd Dritten überlässt, eintragen lassen kann, dass ein Halterwechsel seiner Zustimmung bedürfe), hatte der erstinstanzliche Richter als unbehelflich bezeichnet, sei doch der Eintrag nicht obligatorisch. Ebenso wenig zu helfen vermöge der Beschwerdegegnerin, dass sie mit Z._ seit 2004 mehrere andere Kaufgeschäfte abgewickelt habe, zumal davon auszugehen sei, dass es sich damals nicht um Neuwagen gehandelt habe.
3.2 Demgegenüber erklärt das Obergericht, das in tatsächlicher Hinsicht im Wesentlichen auf die Feststellungen der ersten Instanz verweist, die gegebenen Umstände hätten auch in ihrer Gesamtheit nicht gereicht, Misstrauen bezüglich der Eigentümerstellung von Z._ zu wecken, und die Beschwerdegegnerin habe die gebotene Sorgfalt walten lassen. Die Beschwerdegegnerin habe folgern dürfen, der MINI sei unzweifelhafter Herkunft gewesen, weil die Beschwerdeführerin Z._ das Auto ausgehändigt gehabt habe. Zudem habe sie mit Z._ bereits vorher mehrere Autokäufe ohne Schwierigkeiten getätigt. Es habe sie deshalb nicht erstaunen müssen, wenn Z._ den MINI nach nur kurzer Zeit bei ihr habe eintauschen wollen, zumal er das Auto bereits ausgiebig gefahren gehabt und als zu klein empfunden habe. Ferner betont die Vorinstanz, die Beschwerdegegnerin habe den Fahrzeugausweis überprüft und gesehen, dass ein "Code 178" nicht eingetragen sei. Dass die Beschwerdegegnerin (nur) zwei Originalschlüssel zum strittigen Wagen ausgehändigt erhalten habe, liege im Bereich des Üblichen; das Vorhandensein von drei Schlüsseln sei eher als speziell zu betrachten. Schliesslich hält das Obergericht auch die Preisgestaltung für unverdächtig.
4. Der rechtlichen Würdigung der tatsächlichen Gegebenheiten durch das Obergericht ist nicht beizupflichten: Angesichts der mehr oder weniger auffälligen Umstände, die den Abschluss des Vertrags mit Z._ begleiteten, vermochte die Beschwerdegegnerin mit den von ihr getroffenen Vorkehren den im Occasionshandel geltenden erhöhten Anforderungen an die Aufmerksamkeit nicht zu genügen. Mit Recht macht die Beschwerdeführerin geltend, das von der Vorinstanz hauptsächlich hervorgehobene Fehlen eines - freiwilligen - Eintrags des "Code 178" im Fahrzeugausweis habe die Beschwerdegegnerin ebenso wenig von weiteren Massnahmen befreit wie die übrigen Gegebenheiten. Die Verdachtsmomente waren so zahlreich und gewichtig, dass sie die Beschwerdegegnerin hätten veranlassen müssen, zusätzliche Abklärungen zu treffen. Neben den von der ersten Instanz festgehaltenen und ebenfalls vom Obergericht erkannten Auffälligkeiten ist auch die Tatsache zu erwähnen, dass der mit der Beschwerdegegnerin abgeschlossene Vertrag Z._ einen Barbetrag von immerhin Fr. 15'000.--, d.h. von rund der Hälfte des Werts des veräusserten MINI, einbrachte. Zusätzliche Vorkehren waren der Beschwerdegegnerin im Übrigen ohne weiteres zuzumuten, hätte sich doch mit einem Anruf bei der ihr bekannten Beschwerdeführerin oder mit einer Aufforderung an Z._, den mit dieser abgeschlossenen Vertrag vorzulegen, auf einfache Weise Klarheit schaffen lassen.
Entgegen der Auffassung des Obergerichts ist somit davon auszugehen, dass die Beschwerdegegnerin beim Abschluss des Vertrags über den MINI die unter den gegebenen Umständen gebotene Sorgfalt nicht hat walten lassen. Die Beschwerdegegnerin kann sich demnach nicht darauf berufen, das Fahrzeug gutgläubig zu Eigentum erworben zu haben, so dass der an dessen Stelle getretene Erlös nicht ihr zusteht. In Gutheissung von Beschwerde und Klage ist daher festzustellen, dass dieser zu Gunsten der Beschwerdeführerin freizugeben ist, und die Widerklage ist abzuweisen.
5. Die Beschwerdeführerin macht unter Hinweis auf die Differenz zwischen dem mit Z._ vereinbarten, unbezahlt gebliebenen Kaufpreis von Fr. 34'100.-- und dem ihr zuzusprechenden Erlös von Fr. 34'000.-- gegenüber der Beschwerdegegnerin einen Schaden von Fr. 100.-- und einen entsprechenden Zins seit 1. Dezember 2005 geltend. Diesen Anspruch bestreitet die Beschwerdegegnerin einzig mit dem nach dem Gesagten ins Leere stossenden Vorbringen, die Beschwerde sei abzuweisen. Dem auch bezüglich des Betrags von Fr. 34'000.-- geltend gemachten Zinsanspruch hält die Beschwerdegegnerin nichts entgegen, so dass den Anträgen der Beschwerdeführerin auch hinsichtlich der Schadenersatz- und Zinsforderungen vollumfänglich stattzugeben ist.
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Diese ist ausserdem zu verpflichten, die Beschwerdeführerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (<ref-law>).
7. Bezüglich der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens ist die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurückzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. 1.1 In Gutheissung von Beschwerde und Klage wird festgestellt, dass der beim Gerichtskreis B._ hinterlegte Betrag von Fr. 34'000.-- der Beschwerdeführerin zusteht und zu deren Gunsten freizugeben ist.
1.2 Die Beschwerdegegnerin Nr. 1 (Y._ AG) wird verpflichtet, der Beschwerdeführerin den Betrag von Fr. 100.-- nebst Zins zu 5 % seit 1. Dezember 2005 sowie 5 % Zins seit 1. Dezember 2005 auf dem Betrag von Fr. 34'000.-- zu zahlen.
1.3 Die Widerklage der Beschwerdegegnerin Nr. 1 wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdegegnerin Nr. 1 auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin Nr. 1 wird verpflichtet, die Beschwerdeführerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Bezüglich der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens wird die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht (Appellationshof, 2. Zivilkammer) des Kantons Bern zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (Appellationshof, 2. Zivilkammer) des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel