Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Der türkische Staatsangehörige A._, geb. 1963, heiratete im Januar 1989 die in Zürich wohnhafte Landsmännin B._. Im September 1989 reiste er in die Schweiz ein, wo ihm in der Folge die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau erteilt wurde. Im Januar 1991 wurde die gemeinsame Tochter C._ geboren. Mit Urteil des Kreisgerichts St. Gallen vom 6. Oktober 1993 wurde die Ehe A._-B._ rechtskräftig geschieden, worauf die Fremdenpolizei des Kantons Zürich A._ den weiteren Aufenthalt im Kanton verweigerte. Aufgrund der Heirat mit einer Schweizerin wurde A._ am 20. Februar 1995 von den thurgauischen Behörden eine Aufenthaltsbewilligung erteilt. Im Dezember 1997 zog A._ ohne seine Ehefrau in den Kanton Zürich, wo er erneut in den Genuss einer Aufenthaltsbewilligung "zum Verbleib bei der Ehefrau" gelangte. Die Ehe wurde am 4. März 2004 rechtskräftig geschieden.
A. Der türkische Staatsangehörige A._, geb. 1963, heiratete im Januar 1989 die in Zürich wohnhafte Landsmännin B._. Im September 1989 reiste er in die Schweiz ein, wo ihm in der Folge die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau erteilt wurde. Im Januar 1991 wurde die gemeinsame Tochter C._ geboren. Mit Urteil des Kreisgerichts St. Gallen vom 6. Oktober 1993 wurde die Ehe A._-B._ rechtskräftig geschieden, worauf die Fremdenpolizei des Kantons Zürich A._ den weiteren Aufenthalt im Kanton verweigerte. Aufgrund der Heirat mit einer Schweizerin wurde A._ am 20. Februar 1995 von den thurgauischen Behörden eine Aufenthaltsbewilligung erteilt. Im Dezember 1997 zog A._ ohne seine Ehefrau in den Kanton Zürich, wo er erneut in den Genuss einer Aufenthaltsbewilligung "zum Verbleib bei der Ehefrau" gelangte. Die Ehe wurde am 4. März 2004 rechtskräftig geschieden.
B. Mit Verfügung vom 16. Februar 2001 wies die Direktion für Soziales und Sicherheit (Migrationsamt) das Gesuch von A._ vom 18. November 1999 um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung bzw. um Erteilung der Niederlassungsbewilligung ab mit der Begründung, mit der Auflösung der ehelichen Gemeinschaft sei der Zulassungsgrund weggefallen. Dagegen rekurrierte A._ erfolglos an den Regierungsrat des Kantons Zürich (Beschluss vom 8. September 2004).
Mit Entscheid vom 2. März 2005 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (2. Kammer) eine dagegen eingereichte Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung gab das Gericht an, der Beschwerdeführer berufe sich auf eine (vormals) nur noch formell bestehende bzw. aufrechterhaltene Ehe, was rechtsmissbräuchlich sei. Auch könne er aus der Beziehung zu seiner Tochter aus früherer Ehe (geb. 1991), welche über eine blosse Aufenthaltsbewilligung verfüge, nichts zu seinen Gunsten ableiten.
Mit Entscheid vom 2. März 2005 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (2. Kammer) eine dagegen eingereichte Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung gab das Gericht an, der Beschwerdeführer berufe sich auf eine (vormals) nur noch formell bestehende bzw. aufrechterhaltene Ehe, was rechtsmissbräuchlich sei. Auch könne er aus der Beziehung zu seiner Tochter aus früherer Ehe (geb. 1991), welche über eine blosse Aufenthaltsbewilligung verfüge, nichts zu seinen Gunsten ableiten.
C. Mit Eingabe vom 2. Mai 2005 erhebt A._ beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit den Anträgen, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Im Weiteren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für das Verfahren vor Bundesgericht.
Im Weiteren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für das Verfahren vor Bundesgericht.
D. Dem vom Beschwerdeführer gestellten Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlichrechtlichen Abteilung vom 6. Juni 2005 entsprochen.
Das Verwaltungsgericht (2. Abteilung) und die Staatskanzlei (im Auftrag des Regierungsrates) des Kantons Zürich verzichten auf das Stellen eines Antrages. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG schliesst die Verwaltungsgerichtsbeschwerde auf dem Gebiete der Fremdenpolizei aus gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen, auf die das Bundesrecht keinen Anspruch einräumt. Gemäss Art. 4 des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142.20) entscheiden die zuständigen Behörden, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Es besteht damit grundsätzlich kein Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn, der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts (einschliesslich Bundesverfassungsrecht) oder eines Staatsvertrages berufen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 148; <ref-ruling> E. 1a S. 164, je mit Hinweisen).
1.2 Die Ehe des Beschwerdeführers mit seiner Schweizer Ehefrau wurde am 4. März 2004 rechtskräftig geschieden. Er hat deshalb keinen Anspruch mehr auf eine Aufenthaltsbewilligung nach Art. 7 Abs. 1 erster Satz ANAG. Im Verfahren vor Bundesgericht beruft sich der Beschwerdeführer nicht mehr auf diese Ehe, weshalb vorliegend unerheblich ist, ob sich daraus - wie das Verwaltungsgericht im angefochtenen Entscheid annahm - für ihn im Grundsatz ein Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung (Art. 7 Abs. 1 zweiter Satz ANAG) und damit - a maiore minus - auch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ergeben könnte (vgl. <ref-ruling> E. 1.1.4/1.1.5 S. 149 f. mit Hinweisen).
1.3 Der Beschwerdeführer will demgegenüber - wie bereits im Verfahren vor Verwaltungsgericht - einen Anspruch auf die streitige Aufenthaltsbewilligung aus der Beziehung zu seiner in der Schweiz anwesenden, aus früherer Ehe stammenden Tochter ableiten. Im angefochtenen Urteil wurde dies unter Hinweis darauf verneint, dass die Tochter nur über eine Aufenthaltsbewilligung bzw. über kein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfüge und der Beschwerdeführer insoweit keinen Anspruch aus dem in Art. 8 EMRK bzw. in <ref-law> verankerten Recht auf Achtung des Familien- und Privatlebens geltend machen könne. Was der Beschwerdeführer hiegegen in rechtlicher Hinsicht vorbringt, ist nicht stichhaltig: Die von ihm in der Beschwerdeschrift gemachten Ausführungen lassen - entgegen seiner Auffassung - nicht darauf schliessen, bei seiner Tochter als aufenthaltsberechtigter Ausländerin (bzw. bei deren Mutter) lägen über eine normale Integration hinausgehende private Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. vertiefte soziale Beziehungen zum ausserfamiliären bzw. ausserhäuslichen Bereich vor, welche Voraussetzung für ein sich (ausnahmsweise) aus dem Recht auf Achtung des Privatlebens ergebendes gefestigtes Anwesenheitsrecht wären (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286 f.; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 384 f., je mit Hinweisen). Auch beim Beschwerdeführer selber werden keine derartigen besonderen Verhältnisse dargetan, welche eine Berufung auf das erwähnte Grundrecht - sei es allein oder im kombinierten Schutzbereich mit dem Recht auf Achtung des Familienlebens (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.2.2 und 3.3 S. 287 ff.) - zuliessen. Damit wäre auf die vorliegende Verwaltungsgerichtsbeschwerde ohne weiteres mangels eines Rechtsanspruches im Sinne von Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG auf die anbegehrte Aufenthaltsbewilligung nicht einzutreten.
1.3 Der Beschwerdeführer will demgegenüber - wie bereits im Verfahren vor Verwaltungsgericht - einen Anspruch auf die streitige Aufenthaltsbewilligung aus der Beziehung zu seiner in der Schweiz anwesenden, aus früherer Ehe stammenden Tochter ableiten. Im angefochtenen Urteil wurde dies unter Hinweis darauf verneint, dass die Tochter nur über eine Aufenthaltsbewilligung bzw. über kein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfüge und der Beschwerdeführer insoweit keinen Anspruch aus dem in Art. 8 EMRK bzw. in <ref-law> verankerten Recht auf Achtung des Familien- und Privatlebens geltend machen könne. Was der Beschwerdeführer hiegegen in rechtlicher Hinsicht vorbringt, ist nicht stichhaltig: Die von ihm in der Beschwerdeschrift gemachten Ausführungen lassen - entgegen seiner Auffassung - nicht darauf schliessen, bei seiner Tochter als aufenthaltsberechtigter Ausländerin (bzw. bei deren Mutter) lägen über eine normale Integration hinausgehende private Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. vertiefte soziale Beziehungen zum ausserfamiliären bzw. ausserhäuslichen Bereich vor, welche Voraussetzung für ein sich (ausnahmsweise) aus dem Recht auf Achtung des Privatlebens ergebendes gefestigtes Anwesenheitsrecht wären (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286 f.; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 384 f., je mit Hinweisen). Auch beim Beschwerdeführer selber werden keine derartigen besonderen Verhältnisse dargetan, welche eine Berufung auf das erwähnte Grundrecht - sei es allein oder im kombinierten Schutzbereich mit dem Recht auf Achtung des Familienlebens (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.2.2 und 3.3 S. 287 ff.) - zuliessen. Damit wäre auf die vorliegende Verwaltungsgerichtsbeschwerde ohne weiteres mangels eines Rechtsanspruches im Sinne von Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG auf die anbegehrte Aufenthaltsbewilligung nicht einzutreten.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer bringt in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde - und damit erstmals im Rahmen des fremdenpolizeilichen Verfahrens - vor, seine Tochter C._ habe "im Januar 2005", d.h. noch vor Fällung des angefochtenen Urteils des Verwaltungsgerichts vom 2. März 2005, das Schweizer Bürgerrecht erhalten. Damit verfüge sie nunmehr über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht. Da der Beschwerdeführer die Beziehung zu seiner Tochter regelmässig pflege, was nach einer Rückkehr ins Heimatland praktisch nicht mehr möglich sein würde, seien die Voraussetzungen für die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 8 EMRK erfüllt. Die Vorinstanz sei demgemäss von einem offensichtlich unrichtigen Sachverhalt ausgegangen.
Das Verwaltungsgericht hält dem in seiner Vernehmlassung entgegen, die erwähnte Tatsache sei nicht aktenkundig gewesen und es habe kein Anlass dazu bestanden, den diesbezüglichen Sachverhalt von Amtes wegen abzuklären.
2.2 Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der bei ihm eingereichten Rechtsmittel von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 389 mit Hinweisen). Für die Eintretensfrage, d.h. für die Frage, ob ein Anspruch im Sinne von Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG vorliegt, hat dies an sich zur Folge, dass das Bundesgericht grundsätzlich auf die im Zeitpunkt seines Entscheides bestehende Rechts- und Sachlage abstellt (<ref-ruling> E. 1.1.3 S. 149; <ref-ruling> E. 1b S. 63 mit Hinweisen). Bei der Prüfung der materiellen Rechtmässigkeit eines fremdenpolizeilichen Entscheides sind für das Bundesgericht hingegen in der Regel die tatsächlichen Verhältnisse massgebend, wie sie zum Zeitpunkt des Entscheids der richterlichen Vorinstanz herrschten (BGE <ref-ruling> E. 1b S. 63 mit Hinweisen); dies ergibt sich aus dem Grundsatz von Art. 105 Abs. 2 OG, wonach das Bundesgericht an deren Sachverhaltsfeststellung gebunden ist, sofern diese nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen erfolgt ist. Insofern wird die Möglichkeit, vor Bundesgericht neue Tatsachen und Beweismittel einzureichen, weitgehend eingeschränkt; zulässig sind diesfalls nur solche neuen Tatsachen und Beweismittel, welche die Vorinstanz von Amtes wegen hätte berücksichtigen müssen und deren Nichtbeachtung eine Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen darstellt (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 150 mit Hinweisen).
Es stellt sich somit die Frage, ob der Umstand der erfolgten Einbürgerung der Tochter - in der vorliegenden Konstellation ein tatsächliches, unechtes Novum darstellend - für die Frage der Zulässigkeit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom Bundesgericht zu berücksichtigen ist, obwohl es sich dabei um ein zugleich für die materielle Beurteilung des Falles relevantes Sachverhaltselement handelt, wofür gemäss Art. 105 Abs. 2 OG die Bindung an die diesbezüglichen Tatsachenfeststellungen im Urteil der kantonalen Gerichtsbehörde gilt. Die Abhängigkeit der Eintretensfrage von materiellrechtlichen und damit auch tatsächlichen Gesichtspunkten ist Folge der Ausgestaltung der Bestimmung von Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG, welche das Rechtsmittel der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nur bei Vorliegen eines (grundsätzlichen) Rechtsanspruches auf die anbegehrte fremdenpolizeiliche Bewilligung (materiellrechtliche Vorfrage) zulässt (prozessuale Rechtsfolge).
2.3 Bringt man Art. 105 Abs. 2 OG zur Anwendung, ergibt sich Folgendes: Die Feststellung des Verwaltungsgerichts, die Tochter des Beschwerdeführers verfüge nur über eine Aufenthaltsbewilligung, kann aufgrund der im kantonalen Verfahren gegebenen Akten- und Beweislage nicht als offensichtlich falsch im Sinne von Art. 105 Abs. 2 OG bezeichnet werden. Diese tatsächliche Annahme war vielmehr zunächst unbestritten und richtig; sie wurde erst durch eine weder dem Gericht noch den Parteien bekannte, kurz vor Urteilsfällung eingetretene Änderung der Sachlage überholt und damit falsch.
Die Nichtberücksichtigung der geänderten tatsächlichen Verhältnisse beruht auch nicht darauf, dass das Verwaltungsgericht bei der Feststellung des Sachverhaltes wesentliche Verfahrensvorschriften verletzt hätte. Es durfte sich in diesem Punkt auf die unbestrittene und an sich auch richtige Darstellung im angefochtenen Regierungsratsentscheid verlassen. Für die Feststellung des Sachverhalts gilt im Verwaltungsverfahren zwar grundsätzlich die Untersuchungsmaxime. Diese wird jedoch relativiert durch die Mitwirkungspflicht der Parteien (vgl. <ref-law>), welche namentlich insoweit greift, als eine Partei das Verfahren durch eigenes Begehren eingeleitet hat oder darin eigene Rechte geltend macht. Die Mitwirkungspflicht gilt vorab gerade für solche Tatsachen, welche eine Partei besser kennt als die Behörden und welche diese ohne ihre Mitwirkung gar nicht oder nicht mit vernünftigem Aufwand erheben können (vgl. <ref-ruling> E. 4c/cc S. 394; <ref-ruling> E. 2b S. 365). Es hätte aufgrund der Mitwirkungspflicht dem Beschwerdeführer obgelegen, das Gericht auf die bevorstehende bzw. stattgefundene Naturalisierung seiner Tochter hinzuweisen.
Dem Verwaltungsgericht kann schliesslich nach dem Gesagten auch nicht vorgeworfen werden, der im angefochtenen Entscheid festgestellte Sachverhalt sei unvollständig. Mit der Feststellung, die Tochter verfüge nur über eine Aufenthaltsbewilligung, war der Sachverhalt, was den fremdenpolizeilichen Status der Tochter anbelangt, ausreichend ermittelt.
Bleibt die Tatsache der erfolgten Einbürgerung der Tochter aufgrund der Bindung an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt (Art. 105 Abs. 2 OG) für die Beurteilung der Eintretensfrage somit unbeachtlich, kann auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde, weil ein Rechtsanspruch nach Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> zum Vornherein entfällt, nicht eingetreten werden.
2.4 Wäre die geltend gemachte Änderung des fremdenpolizeilichen Status der Tochter entgegen den obigen Ausführungen für die Beurteilung der Zulässigkeit der vorliegenden Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu berücksichtigen, so wäre auf das Rechtsmittel an sich einzutreten, doch stünde einer abschliessenden materiellen Beurteilung entgegen, dass es seitens der kantonalen Behörden an den erforderlichen tatsächlichen Feststellungen zu den übrigen Voraussetzungen für die Anerkennung eines Anwesenheitsanspruches zur erleichterten Kontaktmöglichkeit mit der Tochter fehlt, insbesondere was die Klaglosigkeit des bisherigen Verhaltens des Beschwerdeführers sowie Art und Intensität der Beziehung zu seiner Tochter anbelangt. Es kann nicht Sache des Bundesgerichts sein, anstelle der kantonalen Behörden den diesbezüglich massgebenden Sachverhalt selber zu erheben und erstinstanzlich hierüber zu befinden. Das Verfahren wäre zum neuen Entscheid auf veränderter Grundlage an die zuständige kantonale Behörde zurückzuweisen.
2.5 Das Rechtsmittel der eidgenössischen Verwaltungsgerichtsbeschwerde kann nicht dazu dienen, von der Vorinstanz - wegen unterlassener Geltendmachung - zulässigerweise nicht berücksichtigte Sachverhaltsänderungen dem Bundesgericht zur Beurteilung zu unterbreiten. Dies muss auch gelten für anspruchsbegründende Tatsachen, von denen zugleich die Zulässigkeit des Rechtsmittels abhängt. Vom Beschwerdeführer hätte erwartet werden dürfen, dass er das Verwaltungsgericht über die bevorstehende Statusänderung seiner Tochter informieren würde, zumal er aufgrund der behaupteten engen Beziehung zu seiner Tochter über deren hängiges Einbürgerungsverfahren im Bilde sein musste und bei Abfassung der Beschwerdeeingabe vom 18. Oktober 2004 an das Verwaltungsgericht durch eine mit der massgebenden Rechtslage anscheinend vertraute Person unterstützt wurde. Nachdem er es unterlassen hat, die geltend gemachte Änderung des Sachverhalts in geeigneter Weise in das kantonale Verfahren einzubringen, bleibt ihm nur die Möglichkeit, mit einem neuen Gesuch an die zuständige kantonale Behörde zu gelangen.
Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist daher mangels eines Rechtsanspruches auf die anbegehrte Aufenthaltsbewilligung nach Massgabe der tatsächlichen Verhältnisse, wie sie dem angefochtenen Urteil zugrunde lagen, nicht einzutreten.
Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist daher mangels eines Rechtsanspruches auf die anbegehrte Aufenthaltsbewilligung nach Massgabe der tatsächlichen Verhältnisse, wie sie dem angefochtenen Urteil zugrunde lagen, nicht einzutreten.
3. Der Beschwerdeführer hat für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Da er nicht über genügende eigene Mittel verfügt und seine Rechtsbegehren - mit Blick auf die sich stellenden prozessualen Rechtsfragen - nicht zum Vornherein der Erfolgsaussicht entbehrten, ist dem Gesuch zu entsprechen (Art. 152 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen:
2.1 Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2 Rechtsanwalt Werner Greiner wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand bestellt und aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
2.2 Rechtsanwalt Werner Greiner wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand bestellt und aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Regierungsrat (Staatskanzlei) und dem Verwaltungsgericht (2. Kammer) des Kantons Zürich sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. August 2005
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: