Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 12. Februar 2014 sprach das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich A._ unter Berücksichtigung von Mietkosten von jährlich Fr. 7'200.- mit Wirkung ab 1. Januar 2014 monatliche Zusatzleistungen von Fr. 1'194.- zu. Dagegen liess die Versicherte am 4. März 2014 (mit Begründung vom 16. April 2014) Einsprache erheben und beantragen, es seien die Kosten für die Einlagerung ihrer Möbel als anrechenbare Ausgabe zu berücksichtigen. Zudem sei die Verfügung so zu ergänzen, dass in nachvollziehbarer Weise begründet werde, welche Krankenkassenprämien sie zu bezahlen habe und welche das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich direkt überweise. Des Weitern liess A._ um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes in der Person von Rechtsanwalt Pierre Heusser ersuchen.
Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich legte der Versicherten die Sach- und Rechtslage zu ihren Fragen bezüglich Krankenkassenprämien am 30. April 2014 dar. Mit Entscheid vom 11. Juni 2014 hiess es die Einsprache in dem Sinne gut, als es die zusätzlichen Ausgaben für die Einlagerung des Hausrats längstens bis zum 31. Oktober 2014 als Ausgaben anerkannte (Dispositiv-Ziffer 1). Das Gesuch um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes wies es ab (Dispositiv-Ziffer 3).
B.
A._ liess hiegegen Beschwerde erheben und beantragen, Dispositiv-Ziffer 3 des angefochtenen Entscheides sei aufzuheben und das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich sei zu verpflichten, den unterzeichnenden Rechtsanwalt als unentgeltlichen Rechtsvertreter für das Einspracheverfahren einzusetzen und mit Fr. 2'441.30 zu entschädigen. Sie ersuchte um Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung für das kantonale Verfahren, wobei Rechtsanwalt Pierre Heusser als unentgeltlicher Rechtsbeistand einzusetzen sei. Des Weitern beantragte sie die Durchführung einer öffentlichen Gerichtsverhandlung. Mit Entscheid vom 29. Oktober 2014 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 1), wobei es auf eine öffentliche Verhandlung verzichtete. Der Versicherten wurde für das kantonale Verfahren die unentgeltliche Verbeiständung gewährt (Dispositiv-Ziffer 3).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, Dispositiv-Ziffer 1 des kantonalen Entscheides sei aufzuheben. Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich sei anzuweisen, ihr den unterzeichnenden Rechtsanwalt als unentgeltlichen Rechtsvertreter für das Einspracheverfahren beizugeben und ihm für das Einspracheverfahren eine angemessene Entschädigung auszurichten. Eventualiter sei das Verfahren zur Durchführung einer öffentlichen Gerichtsverhandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weitern ersucht A._ auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung).
Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Im angefochtenen vorinstanzlichen Entscheid war allein der Anspruch der Beschwerdeführerin auf unentgeltliche Verbeiständung im Verwaltungsverfahren streitig. Es handelt sich dabei um einen Endentscheid, da die im Rahmen des Einspracheverfahrens noch umstrittenen materiellen Fragen (Anerkennung der Möbellagerungskosten; Tragung der Krankenkassenprämien) bereits im Einspracheentscheid vom 11. Juni 2014 sowie im Schreiben vom 30. April 2014 definitiv entschieden worden sind und nicht mehr Verfahrensgegenstand bildeten (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.2 S. 602 f.; vgl. auch SVR 2015 Nr. 18 S. 53, 8C_557/2014 E. 2). Auf die Beschwerde ist damit ohne weiteres einzutreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3.
3.1. Wo die Verhältnisse es erfordern, wird der gesuchstellenden Person ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bewilligt (<ref-law>; <ref-law>). Die hier einzig streitige Frage nach der sachlichen Erforderlichkeit der anwaltlichen Verbeiständung als Voraussetzung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungsverfahren ist eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (Urteile 9C_167/2015 vom 9. September 2015 E. 2.2; 9C_316/2014 vom 17. Juni 2014 E. 1.1).
3.2. Die Notwendigkeit anwaltlicher Vertretung im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungsverfahren ist namentlich mit Blick darauf, dass der Untersuchungsgrundsatz gilt (<ref-law>), nur in Ausnahmefällen zu bejahen. Es müssen sich schwierige Fragen rechtlicher oder tatsächlicher Natur stellen. Zu berücksichtigen sind die Umstände des Einzelfalles sowie die Besonderheiten des jeweiligen Verfahrens. Neben der Komplexität der Rechtsfragen und der Unübersichtlichkeit des Sachverhalts fallen auch in der Person des Versicherten liegende Gründe in Betracht, wie etwa die Fähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden. Schliesslich muss eine gehörige Interessenwahrung durch Dritte (Verbandsvertreter, Fürsorgestellen oder andere Fach- und Vertrauensleute sozialer Institutionen) ausser Betracht fallen (<ref-ruling> E. 4.1 in fine S. 201; <ref-ruling> E. 4b S. 35; SVR 2015 IV Nr. 18 S. 53, 8C_557/2014 E. 4.2 mit Hinweisen; Urteile 9C_167/2015 vom 9. September 2015 E. 2.1; 9C_52/2015 vom 3. Juli 2015 E. 4.1).
3.3. Könnte der Einsprecher im Falle des Unterliegens die unentgeltliche Verbeiständung beanspruchen, hat er bei Obsiegen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-ruling> E. 3.3 S. 119; <ref-ruling> E. 4.1 S. 201; <ref-ruling>).
4.
4.1. Es steht fest und ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin im Mai 2013 ihre Wohnung in B._ aufgab, vorübergehend für einen monatlichen Mietzins von Fr. 600.- ein möbliertes Zimmer in der Stadt C._ bewohnte und ihre Möbel für die Zeit der Suche nach einer eigenen Wohnung für Fr. 453.60 pro Monat einlagerte. Anders als die für sie im Jahr 2013 zuständig gewesene Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Gemeinde B._ lehnte es das ab dem Jahr 2014 neu zuständige Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich ab, im Rahmen der EL-Berechnung neben dem Mietzinsabzug (Fr. 600.- pro Monat) auch die Kosten für die Einlagerung der Möbel (Fr. 453.60 pro Monat) zu berücksichtigen (Verfügung vom 12. Februar 2014). Im Einspracheverfahren war damit im Wesentlichen streitig, ob die monatlichen Lagerkosten im Rahmen der EL-Berechnung als Ausgaben anzuerkennen sind. Des Weitern ersuchte die Beschwerdeführerin in ihrer Einsprache um Klärung der Frage nach der Tragung der Krankenkassenprämien.
4.2. Die Vorinstanz erwog, die fehlende Anerkennung der monatlichen Lagerkosten stelle keinen besonders starken Eingriff in die Rechtsstellung der Beschwerdeführerin dar. Zudem sei die Frage weder tatsächlich noch rechtlich anspruchsvoll. Sie sei zwar gesetzlich nicht geregelt, doch die dazu ergangene Rechtsprechung erschöpfe sich im Wesentlichen im Urteil P 72/03 vom 2. März 2005 und sei weder schwer nachvollziehbar noch auf den vorliegenden Sachverhalt schwierig anzuwenden. Weiter hätten auch keine in der Person der Beschwerdeführerin liegenden Umstände wie etwa ihr geistig-psychischer Zustand im Einspracheverfahren die anwaltliche Vertretung erfordert. Zu keinem anderen Ergebnis führe ihr Antrag auf Ergänzung der Verfügung betreffend die Krankenkassenprämien, mit welchem sie um Erläuterung der Sach- und Rechtslage und nicht um Änderung des verfügungsweise festgelegten Anspruchs auf Zusatzleistungen ersucht habe. Diesbezüglich sei die Situation zwar schwer durchschaubar gewesen, doch habe die Beschwerdeführerin ihre Interessen auch hier adäquat wahrnehmen können. Insgesamt sei die Beschwerdeführerin angesichts des sachverhaltlich und rechtlich relativ einfach gelagerten Verwaltungsverfahrens grundsätzlich in der Lage gewesen, ohne Rechtsvertretung Einsprache zu erheben bzw. sich mit dem Beizug von Fach- und Vertrauensleuten sozialer Institutionen oder unentgeltlicher Rechtsberatungen zu behelfen. Angesichts ihrer (sich nach Auffassung der Vorinstanz insbesondere aus Briefen und Mails ergebenden) Gewandtheit in administrativen Angelegenheiten rechtfertige sich hieran kein Zweifel.
4.3. Aus der Verfügung der Beschwerdegegnerin vom 12. Februar 2014 und der dazugehörenden Berechnung des EL-Anspruches ergab sich nicht, weshalb der für die Beschwerdeführerin mit Fr. 453.60 (bei einem Mietzins von Fr. 600.-) bedeutende Ausgabeposten für die Einlagerung der Möbel mit dem Übergang der Zuständigkeit von der Gemeinde B._ an die Stadt C._ per 1. Januar 2014 wegfiel. Die Beschwerdeführerin hatte keinerlei Hinweise, weshalb die neu zuständige EL-Durchführungsstelle den Abzug nicht (mehr) berücksichtigen wollte. Anders als die Vorinstanz darlegt, war die Rechtsprechung offenbar selbst für das neu zuständige Amt nicht derart einfach und klar anwendbar. Es stellte sich die für die Beschwerdeführerin nicht ohne weiteres erkennbare Frage, ob die EL-Durchführungsstelle allenfalls aufgrund des Zeitablaufs nicht mehr von einer einen Abzug rechtfertigenden vorübergehenden Einlagerung von Möbeln ausging (Urteil P 72/03 vom 2. März 2005 E. 4.3) und nun eine Einstellung auf unbestimmte Zeit annahm, die keinen Abzug gerechtfertigt hätte (Urteil P 16/03 vom 3. November 2004 E. 3.4). Daneben bestand auch hinsichtlich der Krankenkasse eine "schwer durchschaubare Situation", wie nicht nur die Vorinstanz anerkannte, sondern bereits zuvor die Beschwerdegegnerin: In ihrem dreiseitigen Schreiben vom 30. April 2014 erklärte sie der nunmehr anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin die Sach- und Rechtslage "so gut als möglich", bedauerte die entstandenen "Komplikationen" und wies auf die Schwierigkeiten in der Umsetzung der Bestimmung des Art. 21a ELG sowie ihren Kampf "mit den Tücken dieses Systems" hin. Bereits zuvor, am 3. April 2014, hatte die Versicherte der Durchführungsstelle die "Nachzahlungs-Abrechnungen" der Krankenkasse für Januar bis März 2014 und die Prämienrechnung für den Monat April 2014, welche sie nicht bezahlen könne, eingesandt und ihr Unverständnis darüber erklärt, dass die Durchführungsstelle neu anstelle des bisherigen Betrages für die Krankenkasse von Fr. 392.- nur noch Fr. 132.- pro Monat übernehme. Darauf hatte die Durchführungsstelle in einem kurzen, entsprechend dem Wunsch der Versicherten an den neu mandatierten Rechtsvertreter gerichteten Schreiben vom 15. April 2014 erklärt, dass sie für die Grundversicherung lediglich eine (in den Zusatzleistungen enthaltene) Durchschnittsprämie vergüte und die Versicherte die zugestellten Rechnungen direkt begleichen müsse, womit indessen - wie sich im Einspracheverfahren zeigte (v.a. Schreiben vom 30. April 2014) - noch nicht alle Unklarheiten beseitigt waren. Unter diesen Umständen kann, entgegen dem angefochtenen Entscheid, nicht von einem sachverhaltlich und rechtlich einfach gelagerten Verwaltungsverfahren die Rede sein.
4.4. Nicht beigepflichtet werden kann der Vorinstanz auch insoweit, als sie die Auffassung vertritt, die Beschwerdeführerin sei aufgrund des im Einspracheverfahren aktuell gewesenen geistig-psychischen Zustandes in der Lage gewesen, ihre Interessen selber zu wahren, weshalb sich eine anwaltliche Verbeiständung auch insofern nicht aufgedrängt habe. Denn bereits aus dem mit der Einsprache eingereichten Arztbericht der Dr. med. D._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, Psychiatrische Dienste E._, vom 28. Februar 2014, ergab sich klar, dass die Beschwerdeführerin seit Langem psychisch stark angeschlagen sowie in Bezug auf Alltagsfertigkeiten psychosozial schwer beeinträchtigt war. Entgegen dem angefochtenen Entscheid beweisen auch die Mails der Versicherten vom 17. Februar und 16. April 2014 sowie ihr Schreiben vom 3. April 2014 nicht das Gegenteil, handelt es sich doch dabei um kurze Anfragen (betreffend den Zeitpunkt der Überweisung der Ergänzungsleistungen und betreffend die Krankenkasse), die sich mit den Anforderungen, ein Einspracheverfahren alleine zu führen, nicht vergleichen lassen. Anders als die Vorinstanz anzunehmen scheint, lässt sich auch nichts aus dem Umstand ableiten, dass die Beschwerdeführerin die antipsychotische Medikation gemäss dem Bericht der Dr. med. D._ vom 30. Juni 2014 erst im Frühsommer 2014 wieder aufgenommen hat, ergibt sich doch daraus lediglich eine weitere Verschlechterung ihres psychischen Gesundheitszustandes, ohne dass daraus geschlossen werden könnte, die Beschwerdeführerin sei zur Zeit des Einspracheverfahrens aufgrund ihrer psychischen Verfassung in ihren Fähigkeiten, sich im Verfahren zurechtzufinden, nicht eingeschränkt gewesen. Nichts anderes ergibt sich auch aus dem Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Bezirks E._ vom 20. Februar 2014, in welchem lediglich Hinweise dafür verneint werden, dass bei der Beschwerdeführerin "eine Hilfsbedürftigkeit in einem Ausmass vorhanden wäre, dass gegen ihren Willen eine Massnahme des Erwachsenenschutzrechtes angeordnet werden müsste". Bei dieser Sachlage erübrigt es sich, auf die von der Beschwerdeführerin im letztinstanzlichen Verfahren zum (weiteren) Beweis ihres schlechten psychischen Gesundheitszustandes eingereichten Unterlagen, soweit novenrechtlich überhaupt zulässig (<ref-law>), näher einzugehen.
4.5. Ob etwa soziale Einrichtungen die notwendige fachkundige Unterstützung hätten anbieten können, wie die Vorinstanz ohne weiteres annahm, ist fraglich. Jedenfalls wäre es unter den gegebenen Umständen Sache der Beschwerdegegnerin gewesen, die Beschwerdeführerin auf die grundsätzliche Subsidiarität anwaltlicher Vertretung gegenüber der Interessenwahrung durch andere fachkundige Dritte aufmerksam zu machen und solche zu benennen (<ref-law>; Urteil 9C_878/2012 vom 26. November 2012 E. 3.6.2), was sie nach Lage der Akten nicht getan hat. Eine Interessenwahrung durch die ehemalige Beiständin F._ von der Fachstelle Erwachsenenschutz des Bezirks E._ fiel schon deshalb ausser Betracht, weil die entsprechende Massnahme mit dem Entscheid der KESB vom 20. Februar 2014, mithin wenige Tage nach Erhalt der Verfügung, aufgehoben worden war.
4.6. Die Würdigung der gesamten Umstände, insbesondere der sich stellenden Fragen und der Fähigkeit der Versicherten, sich im Verfahren zurechtzufinden, ergibt damit, dass die sachliche Gebotenheit einer anwaltlichen Vertretung im Einspracheverfahren zu bejahen ist. Da die übrigen Voraussetzungen (Bedürftigkeit, fehlende Aussichtslosigkeit) ausgewiesen sind, hätte die Beschwerdeführerin im Falle des Unterliegens die unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren beanspruchen können. Da sie obsiegte, hat sie Anspruch auf eine Parteientschädigung (vgl. E. 3.3 hiervor).
5.
Mit der Gutheissung des Hauptantrages erübrigt sich die Prüfung des Eventualantrages auf Rückweisung an die Vorinstanz zwecks Durchführung einer öffentlichen Gerichtsverhandlung.
6.
Entsprechend dem Ausgang des Prozesses hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Überdies hat sie der obsiegenden Beschwerdeführerin für das letztinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. Oktober 2014 und der Einspracheentscheid des Amtes für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich vom 11. Juni 2014, soweit er den Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Einspracheverfahren betrifft, werden aufgehoben. Die Beschwerdegegnerin hat der Beschwerdeführerin für das Einspracheverfahren eine Parteientschädigung zuzusprechen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. November 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann