Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Beklagter 1, Beschwerdeführer 1) war zur Zeit der streitgegenständlichen Geschäfte der einzige Verwaltungsrat der D._ AG, deren Zweck der Handel mit Rohstoffprodukten sowie die Erbringung damit zusammenhängender Dienstleistungen war. Für die Geschäftsführung war C._ (Beklagter 2, Beschwerdeführer 2) zuständig. Unterstützt wurde er von seinem Berater E._ (Beklagter 3), der über langjährige Erfahrung auf dem Gebiet von Erdölprodukten und über Beziehungen in die ehemalige Sowjetunion verfügte.
A.b. Am 7. Juni 2005 schloss die D._ AG als Käuferin mit der F._ Ltd., Astrakhan/Russland, als Verkäuferin einen Kaufvertrag über die Lieferung von insgesamt 144'000 Tonnen Dieselöl zu einem Preis von USD 400.-- pro Tonne ab. Dieser Vertrag wurde von beiden Seiten nicht erfüllt.
A.c. Auf Empfehlung von Herrn G._, dem Geschäftsführer der F._ Ltd., wandte sich die D._ AG in der Folge direkt an den Öllieferanten der F._ Ltd., die H._ Ltd., Astrakhan/Russland. Am 21. Juli 2005 schloss die D._ AG als Käuferin mit der H._ Ltd. als Verkäuferin einen Vertrag zur Lieferung von zunächst 60'000 Tonnen Dieselöl in der Periode Juli, August, September 2005 zu einem im Voraus zu leistenden Kaufpreis von USD 400.-- pro Tonne ab.
A.d. Mit Vertrag vom 11. August 2005 verpflichtete sich die D._ AG zum Verkauf von 20'000 Tonnen Dieselöl zum Preis von rund USD 550.-- (total USD 11'080'000.--) an die I._.
A.e. Am 23. August 2005 schloss die B._, Guernsey, (Klägerin, Beschwerdegegnerin) als Investorin mit der D._ AG ein "Co-Operation Agreement" ab, mit dem sie sich verpflichtete, gegen eine Gewinnbeteiligung von 50 % der D._ AG auf Abruf Geld zur Finanzierung von Öllieferungen der H._ Ltd. gemäss dem von der D._ AG mit der H._ Ltd. am 21. Juli 2005 geschlossenen Kaufvertrag zur Verfügung zu stellen. Die Klägerin überwies der D._ AG insgesamt rund USD 4 Mio. Die D._ AG leitete diesen Betrag als Vorauszahlung für zwei Lieferungen von insgesamt 10'000 Tonnen Dieselöl an die H._ Ltd. weiter, die das Öl jedoch nicht lieferte.
A.f. Am 20. September 2005 schloss die D._ AG einen weiteren Vertrag mit der F._ Ltd. über die Lieferung von 10'500 Tonnen Dieselöl ab. Ein Betrag von USD 200'000.-- war im Voraus zu bezahlen. Dieser Betrag, den sich die D._ AG zuvor über ein Darlehen bei der Firma J._ beschafft hatte, wurde am 20./22. September 2005 der F._ Ltd. als Vorauszahlung überwiesen. Die Lieferung des Öls blieb wiederum aus.
A.g. Mit Verfügung vom 1. April 2008 wurde die D._ AG gemäss <ref-law> aufgelöst und ihre Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs angeordnet. Im Konkursverfahren wurde die Klägerin mit einer Forderung von Fr. 4'443'175.-- im 3. Rang zugelassen. Mit Abtretungsurkunde vom 2. März 2009 trat ihr das Konkursamt Zug als Konkursverwaltung im Sinn von <ref-law> die Verantwortlichkeitsansprüche gegen die Beklagten ab. Am 29. Juli 2009 wurde die D._ AG in Liquidation im Handelsregister des Kantons Zug gelöscht.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 25. März 2010 erhob die Klägerin beim Kantonsgericht Zug Verantwortlichkeitsklage gegen die Beklagten 1, 2 und 3. Sie verlangte, diese seien unter solidarischer Haftung zu verpflichten, ihr USD 200'000.-- zuzüglich Zins zu bezahlen.
Mit Urteil vom 10. Mai 2012 verpflichtete das Kantonsgericht Zug die Beklagten 1 und 2, der Klägerin insgesamt USD 200'000.-- nebst Zins zu bezahlen, wobei es die Ersatzpflicht des Beklagten 1 auf USD 100'000.-- nebst Zins und diejenige des Beklagten 2 auf USD 200'000.-- nebst Zins festsetzte. Die Klage gegen den Beklagten 3 wies das Kantonsgericht ab (Ziff. 1). Die Kosten auferlegte es zu einem Drittel dem Beklagten 1 und zu zwei Dritteln dem Beklagten 2 (Ziff. 2) und verpflichtete diese zur Leistung einer Parteientschädigung von Fr. 10'542.--, beziehungsweise Fr. 21'084.20 (Ziff. 3).
B.b. Gegen dieses Urteil reichten die Beklagten 1 und 2 Berufung beim Obergericht des Kantons Zug ein. Sie beantragten im Wesentlichen, die Klage abzuweisen. Die Klägerin schloss auf Abweisung der Berufungen und erhob Anschlussberufung, mit der sie die Beschränkung der Ersatzpflicht des Beklagten 1 auf USD 100'000.-- anfocht.
Mit Urteil vom 12. November 2013 wies das Obergericht des Kantons Zug die Berufungen der Beklagten 1 und 2 ab. In Gutheissung der Anschlussberufung hob es Ziffer 1 Abs. 1 des Urteils des Kantonsgerichts auf und verpflichtete die Beklagten 1 und 2 solidarisch, der Klägerin insgesamt USD 200'000.-- nebst Zins zu bezahlen. Im Übrigen bestätigte es das Urteil des Kantonsgerichts. Die Entscheidgebühr für beide Berufungen im Betrag von Fr. 12'000.-- auferlegte es zu einem Drittel dem Beklagten 1 und zu zwei Dritteln dem Beklagten 2. Die Entscheidgebühr für die Anschlussberufung im Betrag von Fr. 4'000.-- auferlegte es dem Beklagten 1. Die Beklagten 1 und 2 wurden ausserdem verpflichtet, die Klägerin mit je Fr. 6'794.40 für das Berufungsverfahren zu entschädigen.
C.
Die Beklagten 1 und 2 haben je eine Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben.
C.a. Der Beklagte 1 (Verfahren 4A_4/2014) beantragt dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Klage abzuweisen; eventualiter sei die Sache an das Obergericht zurückzuweisen zwecks Durchführung eines Beweisverfahrens; alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge.
C.b. Der Beklagte 2 (Verfahren 4A_626/2013) verlangt ebenfalls Aufhebung des angefochtenen Urteils und Abweisung der Klage. Eventualiter sei die Sache an das Obergericht des Kantons Zug und von diesem an das Kantonsgericht Zug zur Durchführung eines Beweisverfahrens zurückzuweisen. Subeventualiter, für den Fall dass die Beschwerde in der Sache abgewiesen wird, seien die Kosten der beiden vorinstanzlichen Verfahren je hälftig dem Beklagten 2 und dem Beklagten 1 (A._) aufzuerlegen und es seien beide zu verpflichten, die Entschädigungen an die Beschwerdegegnerin für beide vorinstanzlichen Verfahren je hälftig zu übernehmen; alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge zu Lasten der Beschwerdegegnerin.
C.c. Den in beiden Beschwerden gestellten Gesuchen um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gab das Bundesgericht am 5. März 2014 statt.
C.d. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung beider Beschwerden, soweit darauf einzutreten sei. Auch die Vorinstanz stellt den Antrag, beide Beschwerden kostenfällig abzuweisen. Der Beschwerdeführer 2 beantragt die Gutheissung der Beschwerde des Beschwerdeführers 1. Dieser hat sich zur Beschwerde des Beschwerdeführers 2 nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Die beiden Beschwerden richten sich gegen das gleiche kantonale Urteil. Es ist sachgerecht, sie zusammenzulegen und in einem Entscheid zu beurteilen.
2.
Das angefochtene Urteil ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG. Der Streitwert übersteigt die Grenze nach <ref-law>. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinlänglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) - grundsätzlich auf die Beschwerden einzutreten.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht des Beschwerdeführers (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4 S. 400; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 466 f.). Soweit die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.
Die Beschwerdeführer erheben Aktenwidrigkeitsrügen, auch bezüglich der Frage, welche Punkte zwischen den Parteien strittig waren.
3.1. Die Vorinstanz erwog, nicht strittig sei, dass die D._ AG durch den Vertrag mit der F._ Ltd. vom 20. September 2005 und die erfolgte Zahlung von USD 200'000.-- ohne Gegenleistung einen Schaden von USD 200'000.-- erlitten habe. Die Klägerin mache als Abtretungsgläubigerin diesen Schaden geltend. Ebenfalls unbestritten sei, dass die Beklagten 1 und 2 als Verwaltungsrat bzw. Geschäftsführer der D._ AG grundsätzlich der Verantwortlichkeit nach <ref-law> unterliegen. Zwischen den Parteien bestünden hauptsächlich Differenzen darüber, ob der geltend gemachte Schaden von den Beklagten pflichtwidrig verursacht worden sei, d.h. ob ihnen eine Sorgfaltspflichtverletzung vorzuwerfen sei, die kausal zum eingeklagten Schaden geführt habe.
3.1.1. Die Beschwerdeführer machen geltend, der D._ AG sei durch die Überweisung des Betrages von USD 200'000.-- an die F._ Ltd. gar kein Schaden entstanden. Diese Tatsache sei auch stets bestritten worden; die gegenteilige Feststellung sei aktenwidrig.
3.1.2. Die Vorinstanz führte dazu in ihrer Vernehmlassung zu den Beschwerden aus, auf diesen Einwand sei nicht einzutreten, da das Vorliegen eines Schadens im Berufungsverfahren vor Obergericht gar nicht gerügt worden sei.
3.1.3. Die Beschwerdeführer berufen sich in der Tat nur auf ihre erstinstanzlichen Rechtsschriften und äussern sich nicht zu ihren Vorbringen vor Obergericht. Nachdem bereits das Kantonsgericht festgestellt hatte, ein Schaden sei der Gesellschaft entstanden, dessen Höhe von USD 200'000.-- von den Beklagten nicht bestritten worden sei, hätten die Beschwerdeführer Anlass gehabt, diesen Punkt bereits im Berufungsverfahren geltend zu machen. Letztinstanzlichkeit gemäss <ref-law> bedeutet, dass der kantonale Instanzenzug für die Rügen, die dem Bundesgericht vorgetragen werden, ausgeschöpft sein muss (<ref-ruling> E. 1.3 S. 527 mit Hinweisen). Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, bei der Vorinstanz nicht vorgebrachte Einwände erstmals zu prüfen. Darauf ist somit nicht weiter einzugehen.
3.2. In Bezug auf den Kaufvertrag vom 20. September 2005 zwischen der D._ AG und der F._ Ltd. macht der Beschwerdeführer 2 dagegen zu Recht eine Aktenwidrigkeit geltend. Die Vorinstanz hielt fest, Gegenstand des Vertrags sei "die Lieferung von 10'500 Tonnen Dieselöl zu einem Preis von USD 200'000.--" gewesen. Gemäss Appendix 3 zu diesem Vertrag war eine Vorauszahlung von USD 200'000.-- zu leisten. Gemäss Appendix 2 wurde demgegenüber festgehalten, der Preis pro Tonne sei USD 400.-- und der "preliminary value" des Vertrages sei USD 4'200'000.-- für 10'500 Tonnen. Zur Bezahlung des Betrages von USD 4 Mio. wird im Vertrag nichts Ausdrückliches gesagt. Zu prüfen bleibt, ob die Aktenwidrigkeit einen Einfluss auf die Frage hat, ob den Beschwerdeführern eine Pflichtverletzung vorzuwerfen ist, wie der Beschwerdeführer 2 behauptet.
4.
Die Vorinstanz nahm an, die Beschwerdeführer hätten durch die ungesicherte Vorauszahlung über USD 200'000.-- an die F._ Ltd. am 20./22. September 2005 ihre Pflichten als Verwaltungsrat bzw. Geschäftsführer schuldhaft verletzt und dadurch der D._ AG einen Schaden in eben diesem Betrag verursacht. Gleichzeitig verneinte sie, dass die Haftung wegen einer Einwilligung der Beschwerdegegnerin zu diesem Geschäft entfalle.
4.1. Im Hinblick auf die vorgeworfene Sorgfaltspflichtverletzung prüfte die Vorinstanz vorerst den Entscheidfindungsprozess.
4.1.1. Sie stellte fest, dass die Beklagten 1 und 2 vor den Vertragsabschlüssen im Sommer 2005 weder die F._ Ltd. noch die H._ Ltd. kannten. Die Umstände beim Abschluss des Vertrags vom 20. September 2005 hätten sich für die Beklagten dergestalt präsentiert, dass nach dem gescheiterten Vertrag mit der F._ Ltd. vom 7. Juni 2005 und der ausstehenden Lieferung von 10'000 Tonnen durch die H._ Ltd. gemäss Vertrag vom 21. Juli 2005 trotz Bezahlung von rund USD 4 Mio. die D._ AG alles habe daran setzen wollen, diesen Vertrag zu retten. Die Beschwerdeführer seien zweifellos unter einem gewissen Druck gestanden, weil sich die D._ AG vertraglich bereits zum Weiterverkauf des Öls an die I._, verpflichtet hatte, der Kaufpreis mit einem Darlehen der Klägerin finanziert worden war und für diesen immensen Betrag keine Gegenleistung und auch keine Sicherheiten vorhanden waren. In dieser Situation habe offenbar Herr G._ von der F._ Ltd. Hilfe angeboten und versprochen, für die Lieferung des bereits bezahlten Öls zu sorgen. Hierfür habe er USD 200'000.-- verlangt für die Verschiffungskosten und die Abwicklung der Formalitäten und zudem versprochen, zusätzlich 500 Tonnen Öl zu liefern.
4.1.2. Die Vorinstanz erkannte, auch wenn der Beschwerdeführer 2 mehrmals in Aserbeidschan gewesen sei und sich die Seriosität von F._ Ltd. habe bestätigen lassen, sei unerklärlich, weshalb die Beklagten dem Angebot von Herrn G._ vertraut hätten. Nachdem die F._ Ltd. den ersten Vertrag vom 7. Juni 2005 nicht habe erfüllen können, sei höchste Vorsicht geboten gewesen. Die Beklagten vermöchten nicht zu erklären, weshalb die F._ Ltd. nur wenige Monate, nachdem sie den ersten Vertrag nicht habe erfüllen können, auf einmal in der Lage hätte sein sollen, die vereinbarte Menge zu liefern, zumal auch die H._ Ltd., die offenbar der Lieferant ("Ölträger") der F._ Ltd. gewesen sei, ihren Vertrag - den die D._ AG notabene auf Empfehlung von Herrn G._ abgeschlossen habe - trotz Vorauszahlung nicht erfüllt habe. Es sei auch nicht ersichtlich, welches Interesse die F._ Ltd. bzw. Herr G._ hätte haben können, den Vertrag anstelle von H._ Ltd. zu erfüllen. Gemäss Aussagen des Beschwerdeführers 2 sei der Betrag von USD 200'000.-- für die Abwicklung der Formalitäten und die Zahlung der Verschiffungskosten bestimmt gewesen. Darüber hinaus sei im Vertrag vom 20. September 2005 aber eine zusätzliche Lieferung von 500 Tonnen Öl versprochen worden, die bei einem Preis von USD 400.-- pro Tonne praktisch geschenkt gewesen wären.
4.1.3. Unter diesen Umständen hätten "erhebliche Verdachtsmomente" bestanden, welche die Beschwerdeführer hätten veranlassen sollen, das "Rettungsangebot" von Herrn G._ mit höchster Aufmerksamkeit zu prüfen. Allein schon der Umstand, dass mit der F._ Ltd. keine Sicherheiten ausgehandelt werden konnten, werfe kein gutes Licht auf diese und hätte bei einem kritischen Vertragspartner Skepsis hervorrufen müssen. Dabei spiele es keine Rolle, dass die Beschwerdeführer zu jenem Zeitpunkt noch keine Kenntnis von den betrügerischen Handlungen der Gegenseite gehabt hätten. Der Einwand des Beklagten 2, wonach im Zeitpunkt der Zahlung der USD 200'000.-- für sie keineswegs festgestanden hätte, dass die H._ Ltd. nicht liefern würde, vermöge nicht zu überzeugen. Den Beschwerdeführern sei somit vorzuwerfen, dass sie trotz vorhandener Alarmzeichen das Risiko nicht bewusst eingeschätzt hätten. Daran ändere auch nichts, dass die Beschwerdegegnerin vor ihren Investitionen ebenfalls Abklärungen über die Firmen in Astrakhan vorgenommen habe, denn die D._ AG habe das Geschäft in eigener Verantwortung abgewickelt und die Beschwerdegegnerin wäre nur am Gewinn beteiligt gewesen.
4.1.4. Den Beschwerdeführern sei vor diesem Hintergrund vorzuwerfen, dass sie die Vorauszahlung ohne Sicherheiten, namentlich ohne Erstellung eines Dokumentenakkreditivs, getätigt hätten, zumal im ersten Vertrag mit der F._ Ltd. vom 7. Juni 2005 noch ein Dokumentenakkreditiv vorgesehen gewesen sei. Sollte die Ausstellung eines Dokumentenakkreditivs in Russland tatsächlich nicht möglich gewesen sein - wie die Beschwerdeführer behauptet hätten -, hätte zur Sicherheit allenfalls auch vereinbart werden können, erst nach erfolgter Lieferung zu bezahlen und im Gegenzug selbst eine Sicherstellung für die geschuldeten USD 200'000.-- anzubieten. Sollte aber tatsächlich keine Sicherstellung verhandelbar gewesen sein, hätten die Beschwerdeführer als sorgfältige Geschäftsleute unter den gegebenen Umständen von der Zahlung absehen müssen.
4.2. Die Vorinstanz erkannte, der Entschluss, eine ungesicherte Vorauszahlung zu leisten, sei nicht in einem einwandfreien, sorgfältigen Entscheidfindungsprozess zustande gekommen. Ohne Sicherstellung habe die Leistung nicht im Interesse der Gesellschaft gelegen. Diese Einschätzung decke sich mit zwei neuen Urteilen des Bundesgerichts 4A_97/2013 vom 28. August 2013 und 5A_15/2013 vom 11. Juli 2013, in denen eine Sorgfaltspflichtverletzung durch Gewährung von ungesicherten Darlehen geprüft worden sei. Da die Vorinstanz eine Sorgfaltspflichtverletzung der Beschwerdeführer bejahte, kam sie zum Schluss, es könne offen bleiben, ob diese - wie das Kantonsgericht angenommen habe - auch deshalb <ref-law> verletzt hätten, weil sie gegen die F._ Ltd. keine zivilrechtlichen Schritte zur Rückerstattung der USD 200'000.-- eingeleitet hätten.
5.
Gemäss <ref-law> sind die Mitglieder des Verwaltungsrats und alle mit der Geschäftsführung befassten Personen sowohl der Gesellschaft als auch den einzelnen Aktionären und Gesellschaftsgläubigern für den Schaden verantwortlich, den sie durch absichtliche oder fahrlässige Verletzung ihrer Pflichten verursacht haben (Abs. 1). Die Voraussetzungen einer Haftung aus aktienrechtlicher Verantwortlichkeit sind demnach das Vorliegen eines Schadens, einer Pflichtverletzung, des natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen Schaden und Pflichtverletzung sowie eines Verschuldens (<ref-ruling> E. 4.1 S. 349, 564 E. 4.2 S. 572).
5.1. Nach <ref-law> müssen die Mitglieder des Verwaltungsrats sowie Dritte, die mit der Geschäftsführung befasst sind, ihre Aufgaben mit aller Sorgfalt erfüllen und die Interessen der Gesellschaft in guten Treuen wahren. Die gesetzlich normierte Treuepflicht verlangt, dass die Mitglieder des Verwaltungsrats ihr Verhalten am Gesellschaftsinteresse ausrichten. Für die Sorgfalt, die der Verwaltungsrat bei der Führung der Geschäfte der Gesellschaft aufzuwenden hat, gilt ein objektiver Massstab. Die Verwaltungsräte sind zu aller Sorgfalt verpflichtet und nicht nur zur Vorsicht, die sie in eigenen Geschäften anzuwenden pflegen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 26; <ref-ruling> E. 3a S. 56). Das Verhalten eines Verwaltungsratsmitglieds wird deshalb mit demjenigen verglichen, das billigerweise von einer abstrakt vorgestellten, ordnungsgemäss handelnden Person in einer vergleichbaren Situation erwartet werden kann. Die Sorgfalt richtet sich nach dem Recht, Wissensstand und den Massstäben im Zeitpunkt der fraglichen Handlung oder Unterlassung. Bei der Beurteilung von Sorgfaltspflichtverletzungen hat mithin eine ex ante Betrachtung stattzufinden. Das Bundesgericht anerkennt mit der herrschenden Lehre, dass die Gerichte sich bei der nachträglichen Beurteilung von Geschäftsentscheiden Zurückhaltung aufzuerlegen haben, die in einem einwandfreien, auf einer angemessenen Informationsbasis beruhenden und von Interessenkonflikten freien Entscheidprozess zustande gekommen sind (<ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen).
5.2. Ob eine Sorgfaltspflichtverletzung besteht, ist eine Rechtsfrage, die vom Bundesgericht frei überprüft werden kann. Der Sachverhalt, aufgrund dessen die Beurteilung erfolgt, unterliegt demgegenüber nur einer Willkürkognition (vgl. E. 2.2 hiervor). Die Beschwerdegegnerin ist beweispflichtig für die tatbeständlichen Grundlagen, aus denen sie ihren Vorwurf der Sorgfaltspflichtverletzung ableitet.
6.
Zunächst ist zu prüfen, ob ein einwandfreier, auf einer angemessenen Informationsbasis beruhender und von Interessenkonflikten freier Entscheidprozesses vorlag.
6.1. Die von der Vorinstanz herangezogenen Urteile 4A_97/2013 und 4A_15/2013, in denen eine Sorgfaltspflichtverletzung durch Gewährung von ungesicherten Darlehen bejaht wurde, sind mit dem zu beurteilenden Fall namentlich in Bezug auf die Kriterien des Entscheidfindungsprozesses nicht vergleichbar.
6.1.1. Da keine gültigen Verwaltungsratsbeschlüsse gefasst worden waren, war die Entscheidfindung im Fall 4A_97/2013 bereits in formeller Hinsicht ungenügend. Das Bundesgericht führte dazu aus, in einem solchen Fall rechtfertige es sich nicht, bei der Prüfung der Sorgfaltspflichtverletzung besondere Zurückhaltung zu üben und lediglich zu prüfen, ob die Entscheide noch im Rahmen des Vertretbaren liegen. Denn durch die eigenmächtige Fällung der Entscheide habe keine Beratung von Chancen und Risiken der streitbetroffenen Investitionen im Verwaltungsratsgremium stattfinden können. Die Praxis belege aber, dass formal korrektes Vorgehen eine disziplinierende Wirkung habe, was sich positiv auf die materielle Qualität des Entscheids auswirke. Zudem wurde auch das Bestehen einer genügenden Informationsbasis verneint, denn im Zeitpunkt der Darlehensgewährung wussten die Verantwortlichen aufgrund von Hinweisen aus ihrer eigenen Geschäftsführung vom schlechten Ruf der Verantwortlichen der Darlehensnehmerin als "Gauner und mehrfache Konkursiten" und es habe daher Anlass zu vertieften Abklärungen bestanden (zit. Urteil 4A_97/2013 E. 5.2 und 5.3).
6.1.2. Im anderen Fall war deshalb keine Zurückhaltung bei der Überprüfung des Geschäftsentscheids angebracht (vgl. E. 5.1 hiervor), weil zwischen der Darlehensnehmerin und der Darlehensgeberin ein Interessenkonflikt bestand (vgl. zit. Urteil 4A_15/2013 E. 7.3.2).
6.2. Vorliegend bestand weder ein Interessenkonflikt, noch kam der Entscheid formal nicht korrekt zustande. Der (implizite) Vorwurf an die Beschwerdeführer ist vielmehr, dass sie die Vorauszahlung auf einer ungenügenden Informationsbasis tätigten. Auch diesbezüglich ist die Situation aber nicht mit der im zitierten Urteil 4A_97/2013 E. 5.3 angenommenen mangelhaften Abklärung vergleichbar. Dort besassen die Verantwortlichen von vertrauenswürdiger Seite (eigene Geschäftsleitung) über die Gegenpartei tatsächliche Informationen ("Gauner und mehrfache Konkursiten"), die sie ignorierten. Die Beschwerdeführer verfügten dagegen nicht über solche Kenntnisse; nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz erfuhren sie erst im Nachhinein, dass es sich bei den massgebenden Personen der F._ Ltd. und der H._ Ltd. um Betrüger handelte.
6.3. Fraglich kann nur sein, ob die Beschwerdeführer über mehr Informationen hätten verfügen können bzw. zusätzliche Abklärungen hätten tätigen müssen (vgl. Urteil des Bundesgerichts 4A_467/2010 vom 5. Januar 2011 E. 3.3).
6.3.1. Die Vorinstanz stellte in tatsächlicher Hinsicht fest, der Beschwerdeführer 2 sei mehrmals in Aserbeidschan gewesen und habe sich die Seriosität von F._ Ltd. bestätigen lassen. Auch die Beschwerdegegnerin selbst tätigte nach den Feststellungen im angefochtenen Urteil vor ihrer Investition über USD 4 Mio. Abklärungen über "die Firmen in Astrakhan". Entgegen der Vorinstanz ist letzteres nicht irrelevant. Es ist vielmehr ein Indiz dafür, dass es nicht ohne Weiteres möglich war, die mangelnde Seriosität der Unternehmen zu erkennen.
6.3.2. Es ist zu bedenken, dass das Geschäft insgesamt und damit auch die damalige Informationsbeschaffung nicht aufgrund des heutigen Wissensstandes beurteilt und die Informationsbeschaffung in Aserbeidschan nicht mit einer solchen in der Schweiz verglichen werden darf. Welche Abklärungen ein sorgfältiger Geschäftsmann tätigen konnte und musste, kann vom Gericht nicht abstrakt beurteilt werden. Dass die Beschwerdeführer keine weiteren Abklärungen vorgenommen haben, kann ihnen nur zum Vorwurf gereichen, wenn zumutbare Abklärungsmöglichkeiten bestanden und die aus derartigen Abklärungen zu erwartenden Erkenntnisse für die Frage, ob eine ungesicherte Vorauszahlung zu leisten ist, relevant sind. Es ist aber nicht ersichtlich und wird weder von der Vorinstanz noch der Beschwerdegegnerin ausgeführt, welche zusätzlichen Abklärungen die Beschwerdeführer vor Abschluss des Vertrages vom 20. September 2005 bzw. der Vorauszahlung über USD 200'000.-- noch hätten tätigen müssen und können, um weitere Erkenntnisse zu gewinnen. Die Vorinstanz ging somit zu Unrecht von einem mangelhaften Entscheidfindungsprozess aus und prüfte demzufolge das strittige Geschäft rechtsfehlerhaft nicht mit der erforderlichen gerichtlichen Zurückhaltung (vgl. E. 5.1 hiervor).
7.
Damit bleibt zu prüfen, ob die Vorauszahlung über USD 200'000.-- ohne Sicherheiten auf der Informationsbasis der Beschwerdeführer ein nicht mehr vertretbarer Geschäftsentscheid war.
7.1. Die Vorinstanz nahm wie erwähnt an, selbst wenn die Ausstellung eines Dokumentenakkreditivs in Russland tatsächlich nicht möglich gewesen sei, hätte zur Sicherung allenfalls auch vereinbart werden können, erst nach erfolgter Lieferung zu bezahlen und im Gegenzug selbst eine Sicherstellung für die geschuldeten USD 200'000.-- anzubieten. Die Beschwerdeführer hätten es aber unterlassen, sich konsequent um eine Sicherstellung zu bemühen. Sollte jedoch tatsächlich keine Sicherstellung verhandelbar gewesen sein, hätten sie von der Zahlung absehen müssen. Letztlich liess sie daher offen, ob eine Sicherstellung möglich gewesen wäre.
7.2. Diese Spekulationen über mögliche Sicherungsmassnahmen überzeugen nicht. Da es sich um Betrüger handelte, kann ohne weiteres davon ausgegangen werden, dass eine Sicherstellung nicht verhandelbar war, denn das Ziel des ganzen Manövers war ja - wie nun im Nachhinein bekannt ist - an die Zahlung ohne Sicherheit zu gelangen. Alles andere hätte aus der Sicht der Betrüger keinen Sinn gemacht. Entscheidend ist daher, ob mit der Vorinstanz und der Beschwerdegegnerin gesagt werden kann, in diesem Fall und angesichts der Verdachtsmomente wäre ein vertretbarer Geschäftsentscheid nur das Unterlassen einer weiteren Zahlung gewesen.
7.3. Die Vertretbarkeit hängt immer auch davon ab, welche Chancen mit einem Geschäft verknüpft waren. Auch deswegen kann das streitgegenständliche Kaufgeschäft entgegen der Vorinstanz von vornherein nicht mit den bereits erwähnten Urteilen 4A_97/2013 und 4A_15/2013 betreffend die Gewährung ungesicherter Darlehen verglichen werden. Die Realisierung des Verkaufs an I._ hing davon ab, dass die D._ AG sich das Öl beschaffen konnte. Angesichts der Preisdifferenz von USD 150.-- pro Tonne hätte aus den von der F._ Ltd. zu liefernden 10'500 Tonnen ein Gewinn von über USD 1,5 Mio. resultiert, und bei Nicht-Lieferung bzw. verspäteter Lieferung drohten der D._ AG Sanktionen aus dem Kaufvertrag mit I._. Im Hinblick darauf wäre die Vorauszahlung nur dann nicht mehr vertretbar gewesen, wenn die Verdachtsmomente gegen Herrn G._ von der F._ Ltd. schon derart stark gewesen wären, dass die Beschwerdeführer in diesem Moment mit einem Verlust des Betrages und gleichzeitig einer Nicht-Realisierung des Gewinns geradezu rechnen mussten, beziehungsweise dass sie bereits in diesem Zeitpunkt hätten erkennen müssen, dass es sich bei ihm um einen Betrüger handelt.
7.4. Aus den von der Vorinstanz genannten Verdachtsmomenten ergibt sich dies nicht.
7.4.1. Insbesondere mussten die Beschwerdeführer noch nicht Verdacht schöpfen, weil die F._ Ltd. den ersten Vertrag vom 7. Juni 2005 nicht erfüllt hatte. Immerhin lagen zwischen diesem und dem neuen Vertrag über drei Monate und ist aufgrund der vorinstanzlichen Feststellungen nicht bekannt, wie schnell sich die Verhältnisse im Ölmarkt ändern, sodass ein zuvor nicht lieferbereiter Verkäufer wenige Monate später lieferfähig ist. In diesem Zusammenhang ist auch zu beachten, dass die H._ Ltd. als Lieferant der F._ Ltd. ausgegeben wurde, und das Öl (gemäss dem gefälschten Ölpass) scheinbar vorhanden war.
7.4.2. Dass mit der F._ Ltd. keine Sicherheiten ausgehandelt werden konnten und dies "hätte (...) Skepsis hervorrufen müssen", mag zutreffen. Nachdem zuvor die viel grössere Vorauszahlung über USD 4 Mio. ohne Sicherheit getätigt worden war, konnte die Skepsis aber nicht derart sein, dass ein Verzicht auf den "Rettungsversuch" als geboten erschien. Auf die vom Beschwerdeführer 2 in diesem Zusammenhang geltend gemachte Verletzung der Verhandlungsmaxime (<ref-law>) bzw. des Rechts auf Beweis (<ref-law> und <ref-law>) durch die Vorinstanz, weil sie von ihm angebotene Beweise zur Üblichkeit von Vorauszahlungen ohne Sicherstellung im Ölgeschäft mit Russland nicht abnahm, braucht daher nicht weiter eingegangen zu werden.
7.4.3. Die Vorinstanz stützte sich sodann auf den Inhalt des Vertrages vom 20. September 2005 und sah einen Widerspruch darin, dass der Betrag von USD 200'000.-- nach den Aussagen des Beschwerdeführers 2 für die Abwicklung der Formalitäten und die Verschiffungskosten bestimmt war, gleichzeitig aber 500 Tonnen zusätzliches Öl zum Preis von USD 400.-- pro Tonne, also Öl im Wert von USD 200'000.-- geliefert werden sollte, sodass letzteres "praktisch geschenkt" gewesen wäre. Die Beschwerdegegnerin bezeichnete ein Geschäft mit einem solchen Inhalt als geradezu "absurd". Vertragsgegenstand waren aber 10'500 Tonnen zu einem Gesamtpreis von USD 4'200'000.--. Die zusätzlichen 500 Tonnen waren nach dem Vertrag somit nicht geschenkt, sondern zum vereinbarten Tonnenpreis berechnet worden. Unklar bleibt immerhin, was damit gemeint war, die Zahlung sei für die Abwicklung der Formalitäten und der Verschiffungskosten "bestimmt" gewesen und schliesslich äussert sich der Vertrag auch nicht dazu, auf welche Weise die F._ Ltd. die Vorausbezahlung von USD 4 Mio. mit der H._ Ltd. regeln werde. Der Vertrag war somit nicht sorgfältig abgefasst und das Geschäft beruhte weitgehend darauf, dass die Beschwerdeführer darauf vertrauten, Herr G._ von der F._ Ltd. werde ihnen helfen, die Vorauszahlung an H._ Ltd. zu retten. Zutreffend ist auch die Feststellung der Vorinstanz, dass nicht ersichtlich sei, welches (eigene) Interesse Herr G._ bzw. die F._ Ltd. hätte haben können, den Vertrag anstelle der H._ Ltd. zu erfüllen. Indessen genügt dies nicht, um den Beschwerdeführern vorzuwerfen, sie hätten bereits in diesem Zeitpunkt mit einem Verlust der Vorauszahlung von USD 200'000.-- und gleichzeitig einer Nicht-Realisierung des Gewinns rechnen müssen, beziehungsweise sie hätten bereits in diesem Zeitpunkt erkennen müssen, dass es sich um Betrüger handelte. Das Geschäft erscheint nur sinnlos, wenn man davon ausgeht, die bereits geleistete Zahlung werde nicht auf den Preis für das letztlich von der H._ Ltd. zu liefernde Öl angerechnet, wenn das Geschäft unter Zwischenschaltung der F._ Ltd. abgewickelt wird. Davon mussten die Beschwerdeführer aber nicht ausgehen. Aus der damaligen Sicht der Beschwerdeführer, die nicht wussten, dass es sich um einen Betrug handelte, musste auch die H._ Ltd. daran interessiert sein, durch die Abwicklung über die F._ Ltd. über die höhere Liefermenge zusätzliche Liquidität in Form der Vorauszahlung erhältlich zu machen, um die Verschiffung des Öls zu ermöglichen und von ihren Verbindlichkeiten gegenüber der D._ AG befreit zu werden. Denn nur um ein derartiges Geschäft konnte es gehen, wenn damit die Vorauszahlung an die H._ Ltd. gerettet werden sollte. Auch ist zu bedenken, dass den Beschwerdeführern, wenn kein Betrug vorgelegen hätte und das Geschäft tatsächlich durch die Vorauszahlung hätte gerettet werden können, im späteren Konkurs allenfalls umgekehrt eine Sorgfaltspflichtverletzung vorgeworfen worden wäre, wenn sie die Vorauszahlung zur Rettung des Geschäfts mangels Sicherstellung nicht geleistet hätten.
8.
Eine Sorgfaltspflichtverletzung ist somit zu verneinen. Demzufolge muss auf die weiteren Haftungsvoraussetzungen des Verschuldens und des adäquaten Kausalzusammenhangs nicht weiter eingegangen werden. Die vom Kantonsgericht zusätzlich bejahte Sorgfaltspflichtverletzung wegen nicht unternommener zivilrechtlicher Schritte gegen die F._ Ltd. ist ebenfalls nicht zu prüfen, nachdem die Vorinstanz die Frage offen liess und die Beschwerdegegnerin dazu nichts ausführt. Die Beschwerden erweisen sich im Wesentlichen als begründet. Die Klage der Beschwerdegegnerin gegen die Beschwerdeführer ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 4A_4/2014 und 4A_626/2013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zug, I. Zivilabteilung, vom 12. November 2013 wird aufgehoben und die Klage wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit je Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
5.
Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen zu neuer Entscheidung über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des erstinstanzlichen Verfahrens sowie des Berufungsverfahrens.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, I. Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. April 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak