Sachverhalt:
A. X._ zog im Jahre 1989 von A._ (Einwohnergemeinde B._), wo sie über ein Chalet verfügt , in eine Wohnung nach Monaco. Sie ist Schweizerin. Im Jahre 2002 heiratete sie Y._. Die beiden lebten in der Folge in Monaco.
Am 8. Januar 2008 meldete sich X._ in der Gemeinde B._ an.
B. Mit Eingabe vom 18. Januar 2008 reichte X._ beim Gerichtskreis D._ gegen Y._ Klage auf Scheidung der Ehe ein.
Y._ klagte im Februar 2008 in Monaco seinerseits auf Scheidung der Ehe, worauf der Präsident der Ersten Instanz des Fürstentums Monaco ihn am 20. Februar 2008 ermächtigte, die eheliche Wohnung allein zu bewohnen.
Der Präsident des Gerichtskreises D._ entschied mit Urteil vom 16. März 2009, die von X._ erhobene Scheidungsklage vom 18. Januar 2008 werde mangels örtlicher Zuständigkeit zurückgewiesen.
Diesen Entscheid hat das Obergericht (Appellationshof, 1. Zivilkammer) des Kantons Bern am 28. August 2009 bestätigt.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 2. Oktober 2009 verlangt X._, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben.
Durch Präsidialverfügung vom 23. November 2009 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
In seiner (unaufgefordert eingereichten) Beschwerdeantwort vom 29. Januar 2010 schliesst Y._ (Beschwerdegegner) auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss <ref-law> ist gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit die Beschwerde zulässig. Verneint die kantonale Instanz - wie hier - ihre Zuständigkeit, handelt es sich jedoch um einen Endentscheid, der aufgrund von <ref-law> mit Beschwerde anfechtbar ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 156 mit Hinweisen).
1.2 Der angefochtene Entscheid ist in einem Scheidungsverfahren ergangen und betrifft den Gerichtsstand für die Beurteilung eines Scheidungsanspruchs; es geht mithin um eine Zivilsache nicht vermögensrechtlicher Natur. Aus dieser Sicht steht die Beschwerde in Zivilsachen deshalb ohne Weiteres offen (<ref-law>). Entschieden hat die letzte kantonale Instanz (<ref-law>), und die rechtzeitig eingereichte Beschwerde (<ref-law>) wurde von der durch den Entscheid beschwerten Prozesspartei eingereicht (Art. 76 Abs. 1 lit. a und b BGG). Die Voraussetzungen für das Eintreten auf die Beschwerde sind somit auch unter diesen Gesichtspunkten erfüllt.
1.3 Mit Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>).
1.3.1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist deshalb weder durch die in der Beschwerdeschrift erhobenen Argumente noch durch die vorinstanzliche Begründung eingeschränkt; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem geltend gemachten Grund gutheissen, eine Beschwerde aber auch mit einer von der vorinstanzlichen Argumentation abweichenden Begründung abweisen. Angesichts der in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG festgelegten allgemeinen Begründungspflicht prüft das Bundesgericht allerdings grundsätzlich nur die erhobenen Rügen. Es ist auf jeden Fall nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Rechtsfragen zu untersuchen, soweit solche nicht (mehr) vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 749 mit Hinweisen; Urteil 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008, E. 2.3).
1.3.2 Unter das Bundesrecht im Sinne von <ref-law> fallen auch verfassungsmässige Rechte des Bundes (<ref-ruling> E. 3.1 S. 447; <ref-ruling> E. 1 S. 203). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 6 S. 397; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2. 2.1 Im Falle internationaler Verflechtung beurteilt sich die örtliche Zuständigkeit für die Ehescheidung nach <ref-law>. Nach der vom Obergericht herangezogenen Bestimmung von <ref-law> sind die schweizerischen Gerichte am Wohnsitz des Klägers zuständig, wenn dieser sich seit einem Jahr in der Schweiz aufhält oder wenn er Schweizer Bürger ist.
2.2 Strittig ist hier, ob die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt der Klageerhebung ihren Wohnsitz in der Schweiz, nämlich in A._ (Gemeinde B._), gehabt habe.
2.2.1 Im Sinne des IPRG hat eine natürliche Person ihren Wohnsitz in dem Staat, in dem sie sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält (<ref-law>). Diese Umschreibung deckt sich wörtlich mit derjenigen in <ref-law>. Gemäss Art. 20 Abs. 2 letzter Satz IPRG sind die Bestimmungen des Zivilgesetzbuches über Wohnsitz und Aufenthalt freilich nicht anwendbar; unbeachtlich sind im Geltungsbereich des IPRG somit namentlich die <ref-law>, die verschiedene Fälle fiktiven Wohnsitzes vorsehen. Im internationalen Privatrecht dient der Wohnsitz als Anknüpfungsbegriff zur Ermittlung der Rechtsordnung bzw. des Gerichtsortes, mit denen eine Person und deren Rechtsverhältnisse den engsten Zusammenhang haben. Dieser Umstand schliesst nicht aus, dass bei der Auslegung von <ref-law> auf die Praxis zu <ref-law> zurückgegriffen wird (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 65 mit Hinweisen).
2.2.2 Wo eine Person ihren Wohnsitz hat, beurteilt sich nach den objektiven Umständen. Entscheidend ist mit anderen Worten, ob die Person den Ort, an dem sie weilt, in einer für Dritte erkennbaren Weise zum Mittelpunkt ihrer Lebensinteressen gemacht hat oder zu machen beabsichtigt. Dieser Mittelpunkt ist regelmässig dort zu suchen, wo die familiären Interessen und Bindungen am stärksten lokalisiert sind. Verlässt ein Gatte den ehelichen Wohnsitz, darf nicht leichthin angenommen werden, er habe am neuen Aufenthaltsort einen neuen, eigenen Wohnsitz begründet; es muss sich ein entsprechender Wille deutlich manifestiert haben. Besonders im internationalen Verhältnis gilt es zu verhindern, dass einer missbräuchlichen Wohnsitzverlegung - beispielsweise in den Heimatstaat - zur Begründung eines günstigen Gerichtsstandes Vorschub geleistet wird (<ref-ruling> E. 2a S. 64 mit Hinweis auf die Botschaft des Bundesrates vom 10. November 1982 zum IPRG [BBl 1983 I S. 357] und E. 2b/bb S. 65 mit weiteren Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1 S. 238). Entscheidend ist nicht der innere Wille der betreffenden Person, sondern worauf die erkennbaren Umstände schliessen lassen, ist doch nicht nur für die Person selbst, sondern vor allem auch für Drittpersonen und Behörden von Bedeutung, wo sich deren Wohnsitz befinde. Es ist daher auf die Kriterien abzustellen, die für Dritte erkennbar sind. Feststellungen zu den Umständen, die auf eine bestimmte Absicht der betreffenden Person schliessen lassen und zu denen etwa deren Verhalten gehört, sind tatsächlicher Natur. Ob aus den festgestellten Gegebenheiten objektiv die Absicht dauernden Verbleibens im Sinne von <ref-law> hervorgehe, ist dagegen eine Frage rechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 2a S. 8; <ref-ruling> E. 3 S. 3 f.).
Für die Beurteilung der örtlichen Zuständigkeit sind hier - anders als bei den Prozessvoraussetzungen sonst üblich - nicht die Verhältnisse bei der Fällung des Sachurteils massgebend, sondern diejenigen im Zeitpunkt der Anhängigmachung der Klage: Die Parteien sollen nicht durch eine Wohnsitzverlegung auf die Beurteilung der Zuständigkeit Einfluss nehmen können (<ref-ruling> E. 5 S. 13 f.).
3. In Würdigung der von ihm festgehaltenen tatsächlichen Gegebenheiten gelangte das Obergericht zum Schluss, die Beschwerdeführerin habe nicht in einer für Dritte erkennbaren Weise A._ zum Mittelpunkt ihrer Lebensinteressen gemacht und dies auch nicht beabsichtigt; eine Wohnsitznahme in der Schweiz sei für den Zeitpunkt der Klageeinleitung deshalb zu verneinen. Die Vorinstanz führt im Einzelnen aus, die Anmeldung der Beschwerdeführerin in der Gemeinde B._ (A._) im Januar 2008 stelle lediglich ein Indiz für das Vorliegen eines Lebensmittelpunktes in der Schweiz dar. Die Versicherung bei einer schweizerischen Krankenkasse lasse keinen Rückschluss auf die Absicht dauernden Verbleibens in der Schweiz zu. Ebenso wenig spreche umgekehrt eine ausländische Zusatzversicherung gegen einen Lebensmittelpunkt in der Schweiz. Ob schweizerische Bankverbindungen der Beschwerdeführerin bestünden oder nicht, sei für die zu beurteilende Frage ohne Belang. Die Tatsache, dass die von ihr angesprochenen Flüge von Nizza aus und wieder zurück nach Nizza stattgefunden hätten, spreche klar gegen das Vorliegen eines Lebensmittelpunktes in der Schweiz. Flüge von der Schweiz aus oder hierher seien weder behauptet noch belegt worden. Sodann sprächen die eingereichten Stromrechnungen und die Tatsache, dass das Büro der Beschwerdeführerin sich in Monaco befinde, weder für noch gegen einen Wohnsitz in der Schweiz, könnten Termine doch auch telefonisch vereinbart werden. Zwar hätten der Sohn der Beschwerdeführerin und dessen Kinder sich zumindest zeitweise in H._ und damit in der Nähe von A._ aufgehalten, doch habe die Beschwerdeführerin ausser I._ in A._ keine Freunde. In Monaco zähle sie demgegenüber mit J._ und den Eheleuten K._ mindestens drei Freunde. Auch die Tatsache, dass alle drei Personenwagen in Monaco eingelöst seien, spreche eher dafür, dass der Lebensmittelpunkt dort liege. Das gelte ebenfalls für die Tatsache, dass die Beschwerdeführerin nach wie vor über ein Boot in Monaco verfüge, das sie regelmässig bewohne, dass im Jahre 2008 der grösste Teil ihrer Kleider sich auf jenem Boot befunden habe und dass sie noch immer eine gültige "carte de séjour" besitze .
4. Vorab beanstandet die Beschwerdeführerin verschiedene tatsächliche Feststellungen der Vorinstanz.
4.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die kantonale Instanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen). Es reicht nicht, der Beweiswürdigung der kantonalen Instanz in appellatorischer Form die eigene Sicht der Dinge entgegenzuhalten. Auf Vorbringen, die den dargelegten Anforderungen nicht genügen, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3 S. 351).
Sodann dürfen neue Tatsachen und Beweismittel gemäss <ref-law> nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Beweismitteln erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3 S. 395).
4.2 Was sich aus der Ehegeschichte für die Zuständigkeit des von ihr angerufenen schweizerischen Richters ableiten lassen soll, legt die Beschwerdeführerin nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Die betreffenden Darlegungen sind deshalb von vornherein unbeachtlich. Nicht einzutreten ist auf die Vorbringen der Beschwerdeführerin ebenfalls insofern, als diese sich darauf beschränkt, das im kantonalen Verfahren Ausgeführte wörtlich zu wiederholen, ohne sich mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen. Soweit das Vorgetragene sich mit den tatsächlichen Ausführungen des Obergerichts befasst, ist Folgendes festzuhalten:
4.2.1 Der vorinstanzlichen Feststellung, das ihr in A._ zur Verfügung stehende Chalet gehöre nicht ihr, hält die Beschwerdeführerin entgegen, das Chalet stehe zwar im Alleineigentum der L._ S.A., doch sei sie einzige Aktionärin und bis im August 1998 auch Geschäftsführerin gewesen. Dieses Vorbringen ist neu und stützt sich zudem auf ein vom 2. Oktober 2009 datiertes neues Schriftstück. Inwiefern die Voraussetzungen für eine Berücksichtigung dieser Noven im Sinne von <ref-law> erfüllt sein sollen, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Der Einwand ist deshalb unbeachtlich.
4.2.2 Zur Illustration ihres Standpunktes, sie habe in A._ einen Wohnsitz begründet, hatte die Beschwerdeführerin auf die im Chalet durchgeführte Küchenrenovation hingewiesen. Die Vorinstanz hält dazu fest, dass wohlhabende Feriengäste regelmässig Renovationen und Umbauten an ihren Ferienhäusern vorzunehmen pflegten und bei dem unbestrittenermassen in den Sechzigerjahren gebauten Chalet L._ zudem eine Küchenrenovation ohnehin angebracht gewesen sein dürfte.
Die Beschwerdeführerin bringt nichts vor, was die Annahmen der Vorinstanz als willkürlich erscheinen liesse. Unter Berufung auf eine Rechnung der M._ AG weist sie darauf hin, dass die Küche letztmals 1996 renoviert worden sei, ohne zu erklären, dass sie letzteres schon im kantonalen Verfahren geltend gemacht hätte. Sodann legt sie auch nicht dar, was für Geräte im Jahre 2008 neu eingebaut worden sein sollen, die sie als für ein Chalet mit blossem Ferienzweck als überflüssig empfinde.
4.2.3 Das Obergericht erklärt, der Umstand, dass die Beschwerdeführerin in A._ über zwei Telefon-, einen Fax- und einen Breitband-Internetanschluss verfüge, spreche weder für noch gegen eine Absicht dauernden Verbleibens am erwähnten Ort. Unerheblich sei ebenfalls, ob ein Telefonbucheintrag und eine Anschrift am Briefkasten mit dem Namen der Beschwerdeführerin vorhanden seien. Derartige Einträge und Anschriften seien auch bei Ferienhäusern zu finden und die Beschwerdeführerin bringe denn auch nicht vor, dass diese in ihrem Fall erst seit ihrer Anmeldung in der Gemeinde B._ im Januar 2008 bestünden. Der von der Beschwerdeführerin erhobene Einwand, entsprechende Installationen und Einträge seien in Monaco nicht vorhanden, lässt die vorinstanzlichen Annahmen und Feststellungen nicht als willkürlich erscheinen.
4.2.4 Was den Stromverbrauch für das Chalet betrifft, räumt das Obergericht ein, die Rechnungen für die Zeit von Oktober 2007 bis März 2009 fielen eher hoch aus. Indessen hält es fest, dass in A._ auch unbewohnte Ferienchalets viel Strom konsumieren könnten, zumal gewisse Installationen wie Alarmanlagen oder Swimming Pools oft ständig mit Elektrizität versorgt würden. Ausserdem weist die Vorinstanz darauf hin, dass keine Rechnungen aus der Zeit vor der geltend gemachten Wohnsitznahme eingereicht worden seien und ein Vergleich des Stromverbrauchs mit einem gewöhnlichen Ferienaufenthalt demnach nicht möglich sei. Mit diesem Argument setzt sich die Beschwerdeführerin in keiner Weise auseinander, so dass die gegen die vorinstanzlichen Feststellungen zum Stromverbrauch erhobene Rüge einer rechtsgenügenden Begründung entbehrt.
4.2.5 Den ins Recht gelegten Rechnungen der "Landi"-Filiale in A._ entnimmt das Obergericht, dass die Beschwerdeführerin mit Ausnahme der Monate April bis Juli und September bis Dezember 2008 mehrmals pro Monat rasch zu konsumierende Lebensmittel eingekauft habe und auch im April, Juli und September 2008 an einzelnen Tagen in A._ habe gewesen sein müssen. Die Vorinstanz geht davon aus, dass die Beschwerdeführerin im Jahre 2008 ab Januar bis zum 10. April sowie an einzelnen Tagen in den Monaten Juli, August und September 2008 insgesamt rund viereinhalb Monate in A._ verweilt habe. Diese Feststellung bezeichnet die Beschwerdeführerin als falsch: Wie aus der Rechnung des Monats Oktober 2008 hervorgehe, habe sie auch Ende jenes Monats während mehr als einer Woche regelmässig Produkte bei "Landi" eingekauft, die einen raschen Verzehr, mithin ihre persönliche Anwesenheit, verlangt hätten; somit zeigten allein schon die "Landi"-Rechnungen, dass sie sich 2008 mindestens rund fünf Monate lang in A._ aufgehalten habe. Hinzu komme, dass sie bei ihren Einkäufen auch andere Geschäfte berücksichtigt habe, da die "Landi" nicht das gesamte von ihr benötigte Sortiment abzudecken vermöge. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, sie habe auch Quittungen von den von ihr erwähnten anderen Geschäften ("Coop" und "Migros") eingereicht, die von der Vorinstanz übergangen worden wären. Ob eine Aufenthaltsdauer, die einen halben Monat länger ist als vom Obergericht angenommen, etwas am Ergebnis zu ändern vermag, ist im Übrigen eine Frage rechtlicher Natur (dazu E. 5.1).
4.2.6 Zu dem von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Bekanntenkreis in A._ hält das Obergericht fest, es werde in keiner Weise belegt, dass es sich bei N._, O._, P._, Q._, R._, S._ und T._ um Freunde von ihr handle; das Bestehen einer Freundschaft zu diesen Personen werde vom Beschwerdegegner bestritten. Welche Personen sodann mit "U._ Familie" gemeint seien, werde von der Beschwerdeführerin nicht erklärt. Dem Schreiben der Skilehrer V._ und W._ vom 28. Februar 2009 sei zu entnehmen, dass die beiden zu Parties bei der Beschwerdeführerin eingeladen gewesen seien und dort deren Freunde hätten treffen dürfen; dass sie selbst mit der Beschwerdeführerin befreundet wären, werde im Schreiben indessen nicht festgehalten. Letzteres gelte auch für das ins Recht gelegte Schreiben von Z._ vom 27. Oktober 2008, der während der Abwesenheit der Beschwerdeführerin zum Chalet L._ schaue. Eine freundschaftliche Beziehung bestehe dagegen mit I._, die in ihrem Schreiben vom 26. Oktober 2008 bestätigt habe, dass sie seit mehr als zwanzig Jahren in A._ lebe. Sodann hält die Vorinstanz fest, die Beschwerdeführerin verneine zwar in allgemeiner Form, in Monaco Freunde zu haben, bestreite aber nicht ausdrücklich, dass der vom Beschwerdegegner als gemeinsamer Freund bezeichnete J._, Freund von I._, in Monaco wohne und sie mit den ebenfalls in Monaco wohnenden Eheleuten K._ befreundet sei; somit habe die Beschwerdeführerin in Monaco mindestens drei Freunde.
Die Beschwerdeführerin hält es für willkürlich zu verlangen, dass sich Freunde in einem Schreiben als solche bezeichnen. Sodann reicht sie zum Nachweis weiterer Freundschaften in A._ ausdrückliche Erklärungen verschiedener Personen ein. Entgegen ihrer Auffassung sind die Voraussetzungen des Tatbestandes von <ref-law> indessen nicht erfüllt: Das Obergericht hält fest, die Beschwerdeführerin habe im Appellationsverfahren zusätzlich zu Z._, den sie schon vor erster Instanz angeführt habe, neu weitere Personen als ihre Freunde genannt; nach den Feststellungen im erstinstanzlichen Entscheid seien ihr damals nur gerade zwei Freunde in A._ eingefallen. Unter den angeführten Umständen kann nicht gesagt werden, dass erst der angefochtene Entscheid Anlass zur Nennung von Personen als Freunde gegeben hätte. Die im vorliegenden Verfahren zusätzlich eingereichten Erklärungen sind deshalb unbeachtlich.
Mit der obergerichtlichen Feststellung, sie habe nicht ausdrücklich bestritten, dass J._, der Freund ihrer Freundin I._, in Monaco wohne und sie mit dem Ehepaar K._ befreundet sei, setzt sich die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenügend auseinander. Die blosse Bestreitung, sie kenne in Monaco kein Ehepaar K._, vermag die vorinstanzliche Annahme nicht als willkürlich erscheinen zu lassen. Inwiefern das Obergericht an die Beweise des Bestehens von Freundschaften bezüglich der Personen in A._ strengere Anforderungen gestellt haben soll als bezüglich der Personen in Monaco, ist aufgrund der Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht dargetan. Die Annahme, die Beschwerdeführerin habe in A._ weniger Freunde als in Monaco ist nach dem Ausgeführten nicht vollkommen unhaltbar.
4.2.7 Das Obergericht hält fest, AA._, die für die Beschwerdeführerin als Beraterin in ihrem Büro in Monte Carlo tätig sei, habe angegeben, die Beschwerdeführerin wohne in A._. Indessen bezeichnet es die Glaubwürdigkeit dieser Zeugin als fraglich, da diese als Angestellte der Beschwerdeführerin in einem Abhängigkeitsverhältnis zu ihr stehe. AB._ habe seinerseits zu Protokoll gegeben, dass er von Oktober 2004 bis Mai 2008 für die Beschwerdeführerin in Monaco gearbeitet habe.
Die Beschwerdeführerin wendet ein, AA._ sei im Mandatsverhältnis für sie tätig gewesen und habe mithin zu ihr nicht in einem Abhängigkeitsverhältnis gestanden; die Aussagen von AA._ seien daher entgegen der Auffassung der Vorinstanz als glaubwürdig einzustufen. Anzuzweifeln sei hingegen die Glaubwürdigkeit von AB._, hätten doch dessen Antworten einstudiert und bestens vorbereitet gewirkt.
Diese Vorbringen zur Glaubwürdigkeit der genannten Zeugen sind rein appellatorischer Natur und deshalb nicht geeignet, die Beurteilung der Aussagen durch das Obergericht als willkürlich erscheinen zu lassen. Abgesehen davon, legt die Beschwerdeführerin nicht dar, inwiefern eine andere Würdigung zu einem anderen Ergebnis in der Sache geführt hätte, zumal die Vorinstanz erklärt, das Büro in Monaco spreche weder für noch gegen eine Absicht der Beschwerdeführerin, dauernd in der Schweiz zu bleiben.
4.2.8 Nach den Feststellungen des Obergerichts sind alle drei der Beschwerdeführerin gehörenden Automobile (zwei Toyota Landcruiser und ein BMW X5) in Monaco immatrikuliert. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die beiden in ihrem Eigentum stehenden Toyotas seien auf den Namen des Beschwerdegegners eingelöst; die Vorinstanz habe dieses Vorbringen und den Antrag, vom Beschwerdegegner die entsprechenden Fahrzeugausweise einzuverlangen, übergangen.
Das Obergericht hat offensichtlich dafür gehalten, dass unerheblich sei, auf wessen Namen die beiden Toyota-Geländewagen der Beschwerdeführerin registriert seien, so dass dem Beweisantrag die Grundlage entzogen sei. Im Übrigen anerkennt die Beschwerdeführerin ausdrücklich, dass auch ihr drittes Fahrzeug - auf ihren Namen - in Monaco immatrikuliert ist. Sie wendet allerdings ein, die Registrierung des BMW X5 in der Schweiz sei im Gang, doch fehle noch ein dazu erforderliches Dokument. Eine entsprechende Feststellung ist im angefochtenen Entscheid nicht vorhanden. Zwar erklärt die Beschwerdeführerin, den angeführten Umstand der Vorinstanz mitgeteilt zu haben, doch legt sie nicht dar, an welcher Stelle dies geschehen sein soll. Das Vorbringen ist deshalb unbeachtlich.
4.2.9 Gestützt auf Buchungsbestätigungen, die von der Beschwerdeführerin eingereicht worden waren, hat das Obergericht festgehalten, diese habe im Jahre 2008 ihre Flugreisen stets von Nizza, d.h. von einem in der Nähe von Monaco gelegenen Flughafen, aus unternommen und sei jeweils auch wieder dorthin zurückgeflogen.
Vorab wendet die Beschwerdeführerin ein, die vom Obergericht erwähnten Belege habe sie eingereicht, um darzutun, wie leicht der Beschwerdegegner sich gefälschte, von ihm produzierte Schriftstücke habe beschaffen können, und eines der angeblich bestätigten Flugdaten (Reise von Nizza nach London) sei zudem auf das Datum der erstinstanzlichen Hauptverhandlung gefallen; der Zweck der Einreichung der Belege sei sowohl der Gegenpartei als auch dem Gerichtspräsidenten bekannt gewesen. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, schon die Vorinstanz auf das Zusammenfallen des angeblichen Flugdatums und der erstinstanzlichen Hauptverhandlung hingewiesen zu haben. Sodann ist zu bemerken, dass es nicht Sache des Richters sein kann, Schriftstücke, die zum Nachweis einer bestimmten Tatsache eingereicht wurden, von Amtes wegen dahin zu prüfen, ob sich aus ihnen allenfalls sonst für die betreffende Partei sprechende Umstände ergeben.
Den Flug von Nizza nach Barcelona und zurück begründet die Beschwerdeführerin damit, die Reise sei mit einem Arztbesuch in Nizza verbunden worden, wohin sie von A._ aus mit dem Auto geführt worden sei, und es wäre teurer zu stehen gekommen, von Barcelona aus etwa nach Genf, einem vom Ausgangspunkt abweichenden Ort, zu fliegen und das Fahrzeug leer nach A._ zurückfahren zu lassen. Abgesehen davon, dass die Beschwerdeführerin den Kostenunterschied nicht näher belegt, macht sie nicht geltend, diesen Punkt schon im vorinstanzlichen Verfahren erörtert zu haben. Unter Berufung auf verschiedene Bestätigungen von Ende 2008 und anfangs 2009 bringt sie schliesslich vor, sie habe die Flugreisen jeweils von Schweizer Flughäfen (Genf und Zürich) aus angetreten. Es handelt sich hierbei um ein unzulässiges neues Vorbringen.
4.2.10 Das Obergericht hält fest, die Beschwerdeführerin stehe in Verbindung mit den schweizerischen Banken BA._ und BB._, habe aber auch bei der Bank BC._, d.h. bei einem internationalen Bankinstitut, ein Konto. Dass sie noch Verbindungen zu zahlreichen anderen Banken habe, wie es vom Beschwerdegegner bezüglich der Bank BD._ geltend gemacht worden sei, sei eine blosse Vermutung.
Die Rüge der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe übersehen, dass das Konto bei der Bank BC._ nicht auf ihren Namen laute, stösst von vornherein ins Leere: Das Obergericht hält die Bankverbindungen ohnehin nicht für schlüssig, da auch viele Ausländer, die nicht in der Schweiz wohnten, hier Bankkonten hätten.
4.2.11 Angaben der Beschwerdeführerin entnimmt das Obergericht, dass sich der grösste Teil ihrer Kleidung, nicht nur die Reservekleider, im Jahre 2008 auf dem Boot in Monte Carlo befunden hätten. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies. Was sie zur Begründung anführt, erschöpft sich letztlich jedoch darin, in appellatorischer Form auszuführen, weshalb Kleider von ihr sich in Monaco befunden hätten. Das Vorgebrachte ist indessen nicht geeignet, die tatsächliche Annahme der Vorinstanz als willkürlich erscheinen zu lassen.
4.2.12 Das Obergericht erklärt, die Aussagen beider Parteien seien mit Vorsicht zu würdigen. Auf Seiten der Beschwerdeführerin erwecke deren Verurteilung vom 9. Oktober 2007 durch das Tribunal Correctionnel von Monaco wegen Veruntreuung und Urkundenfälschung, die am 19. Mai 2008 von der Cour d'Appel Correctionnelle bestätigt worden sei, Zweifel an ihrer Glaubwürdigkeit. Die von ihm unbestrittenermassen gefälschten Flugbuchungen liessen andererseits aber auch Zweifel an der Glaubwürdigkeit des Beschwerdegegners aufkommen. Das von der Beschwerdeführerin gegen diese Würdigung Vorgebrachte, mit dem in appellatorischer Form die eigene Verurteilung - durch neue und unbelegte Ausführungen - verharmlost und das (prozessuale) Verhalten des Beschwerdegegners zusätzlich kritisiert werden soll, vermag die Einschätzung des Obergerichts nicht als willkürlich erscheinen zu lassen.
4.2.13 Die Beschwerdeführerin beanstandet, das Obergericht habe der monegassischen "carte de séjour" in willkürlicher Weise eine Bedeutung beigemessen, die ihr nicht zukomme. Für deren Erwerb und die damit einhergehende "résidence" genüge der Nachweis einer Wohnung in Monaco und ausreichender finanzieller Mittel. Diese Voraussetzungen seien demnach nicht mit denjenigen des Wohnsitzes im Sinne des Schweizerischen Zivilgesetzbuches zu vergleichen; ein tatsächlicher Aufenthalt sei nicht erforderlich. Der Besitz der "carte de séjour" sei für sie insofern von Bedeutung, als ein permanenter Anlegeplatz im Hafen von Monaco nur für Schiffe mit monegassischer Flagge gewährt werde und die Anmeldung eines Schiffes in Monaco nur Inhabern der "carte de séjour" möglich sei. Diese Vorbringen sind insofern unbehelflich, als das Obergericht diesem Ausweis keineswegs die Bedeutung des Nachweises eines Wohnsitzes im Sinne des schweizerischen Rechts beimisst, sondern dessen Besitz lediglich als ein Indiz unter anderen (das für einen Lebensmittelpunkt in Monaco spreche) gewürdigt hat.
4.3 Unter dem Titel "Beweiswürdigung" macht die Beschwerdeführerin ferner geltend, das Obergericht habe von ihr eingereichte Unterlagen und Vorbringen übergangen und in keiner Art und Weise berücksichtigt und gestellte Beweisanträge seien weder gutgeheissen noch abgewiesen worden, wodurch Verfahrensvorschriften verletzt worden seien. Die Beweiswürdigung sei im Übrigen oberflächlich und die Vorinstanz berufe sich auf Tatsachen, die gerichtsnotorisch seien, ohne eine einzelfallbezogene Beweiswürdigung vorzunehmen. Sollte die Beschwerdeführerin mit diesen allgemeinen Vorbringen Rügen erheben wollen, die über das oben zu den einzelnen Punkten Dargelegte hinausgehen sollten, wäre auf sie mangels Substantiierung nicht einzutreten.
5. In rechtlicher Hinsicht rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung der Bestimmungen von Art. 59 lit. b und Art. 20 Abs. 2 IPRG. Die Voraussetzungen und Anforderungen, von denen das Obergericht das Bestehen eines Wohnsitzes in der Schweiz abhängig gemacht habe, führten dazu, dass der in <ref-law> zum Ausdruck kommende Gedanke des Schutzes von Auslandschweizern nicht zum Tragen kommen könne und das Ziel der erwähnten Bestimmung faktisch verunmöglicht werde.
5.1 Indem das Obergericht in Würdigung der gesamten von ihm festgehaltenen und für das Bundesgericht verbindlichen tatsächlichen Gegebenheiten zum Schluss gelangte, die Beschwerdeführerin habe im Zeitpunkt der Anhängigmachung der Scheidungsklage in A._ (Gemeinde B._) keinen Wohnsitz gehabt, so dass kein schweizerischer Gerichtsstand gegeben sei, hat es entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin auch dann kein Bundesrecht verletzt, wenn mit dieser bezüglich A._ von einer Aufenthaltsdauer für das Jahr 2008 von rund fünf Monaten ausgegangen wird. Der von der Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit den Fernmeldeanschlüssen und der Briefkastenleerung im Chalet in A._ angebrachte Hinweis auf das bundesgerichtliche Urteil 7B.132/2002 vom 4. Oktober 2002 ist unbehelflich: In jenem Fall war nicht allein gestützt auf die erwähnten Umstände, sondern aufgrund einer Gesamtwürdigung auch weiterer Tatsachen (widerspruchslose Entgegennahme von Zahlungsbefehlen am fraglichen Ort u.a.) auf das Vorhandensein eines Wohnsitzes geschlossen worden (E. 2.1 des angerufenen Urteils). Unabhängig davon, ob es sich beim Kontakt mit dem Sohn und dessen Kindern, die sich nach den Feststellungen im angefochtenen Entscheid zumindest teilweise in H._ aufhalten, um die einzige familiäre Beziehung handelt, ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz ihn im Vergleich zu den übrigen Umständen nicht stärker gewichtet hat. Ebenso wenig liegt eine Rechtsverletzung in der obergerichtlichen Auffassung, die Tatsache, dass die Beschwerdeführerin im Mai 2008 die Rückenoperation in Nizza habe durchführen lassen und sich zur anschliessenden Rekonvaleszenz in Monaco aufgehalten habe, spreche weder für noch gegen die Absicht eines dauernden Verbleibens in der Schweiz und die entsprechende Zeit könne ihr nicht als Aufenthaltsdauer in der Schweiz angerechnet werden. Das Gleiche gilt für die Feststellungen, das Bestehen eines Büros in Monaco und die Verbindungen zu Banken in der Schweiz seien für die Frage des Wohnsitzes keine einschlägigen Indizien. Schliesslich durfte das Obergericht die Tatsache, dass alle drei Fahrzeuge der Beschwerdeführerin in Monaco immatrikuliert sind, ohne Verletzung von Bundesrecht als Indiz qualifizieren, das eher gegen eine Absicht des dauernden Verbleibens in der Schweiz spreche.
5.2 Die Beschwerdeführerin verweist auf Art. 20 Abs. 2 (zweiter Satz) IPRG, wonach der Ort des gewöhnlichen Aufenthalts an die Stelle des Wohnsitzes trete, falls eine Person nirgends einen solchen hat. Das Vorliegen eines Wohnsitzes in Monaco sei schon deshalb zu verneinen, weil sie dort keinen Wohnraum habe. Mithin müsse auf den gewöhnlichen Aufenthalt (A._) abgestellt werden, so dass das angerufene Gericht (Gerichtskreis D._) jedenfalls aus diesem Grund zuständig sei.
Dieser neuen rechtlichen Argumentation fehlt die erforderliche tatsächliche Grundlage, ist doch im angefochtenen Entscheid nirgends festgestellt, dass die Beschwerdeführerin in Monaco keinen Wohnraum habe. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, sie habe letzteres schon im kantonalen Verfahren vorgebracht und das Obergericht habe das Vorbringen (in Missachtung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör) übergangen. Abgesehen davon, ist nicht dargetan, dass im Zeitpunkt der Anhängigmachung der Klage A._ für die Beschwerdeführerin der Ort des gewöhnlichen Aufenthalts war. Im Übrigen geht die Beschwerdeführerin fehl in der Annahme, eine allfällige Bejahung des gewöhnlichen Aufenthalts in der Schweiz würde ohne Weiteres ermöglichen, eine Scheidungsklage hier anzuheben (vgl. <ref-law>). Eine subsidiäre direkte Zuständigkeit am Ort des gewöhnlichen Aufenthalts wird nur in Ausnahmefällen, von denen hier keiner vorliegt, begründet (dazu Catherine Westenberg, Basler Kommentar, 2. Auflage, N. 20 zu <ref-law>).
5.3 Liegt in der obergerichtlichen Auffassung, die Beschwerdeführerin habe im Zeitpunkt der Klageeinleitung in der Schweiz keinen Wohnsitz im Sinne von Art. 59 lit. b in Verbindung mit <ref-law> begründet gehabt, nach dem Gesagten keine Verletzung von Bundesrecht, stossen deren Vorbringen zu den Beweggründen der geltend gemachten Wohnsitznahme in A._ ins Leere. Es stellt sich demnach auch nicht die Frage, ob eine solche allenfalls als missbräuchlich zu betrachten wäre.
6. Die Beschwerde ist nach dem Ausgeführten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Diese ist ausserdem zu verpflichten, den Beschwerdegegner für seine Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin wird verpflichtet, den Beschwerdegegner für seine Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (Appellationshof, 1. Zivilkammer) des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. März 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel