Faits:
A.
A.a. X._ est un établissement de droit public autonome doté de la personnalité morale. Il a pour but d'assurer la mise en oeuvre de la planification hospitalière et de coordonner les activités des hôpitaux et des instituts médicaux-techniques qui le composent, notamment les hôpitaux de A._ et B._ ainsi que les Institutions C._. L'hôpital de B._ offre des prestations en pédopsychiatrie par le biais du Service D._, anciennement Centre E._. Le Dr Y._ occupe le poste de médecin chef de clinique auprès de ce service. L'hôpital de A._ forme avec les Institutions C._, site de F._, le centre hospitalier de A._ dont le Dr V._ est le directeur et chef du département de psychiatrie.
A.b. U._, né le 8 août 1994, fils de T._, a été hospitalisé auprès du service de pédiatrie de l'hôpital de A._ du 23 mars 2009 au 2 avril 2009, puis en raison d'idées suicidaires et de tensions dans ses relations avec sa mère, il a été transféré au Service D._, où il a séjourné jusqu'au 20 juillet 2009. Cette hospitalisation a été émaillée de plusieurs problèmes, principalement liés à l'opposition de la mère aux différents traitements proposés par les soignants, en particulier le Dr Y._. T._ a également tenu le Service D._ pour responsable du tentamen de son fils survenu le 16 juin 2009. Après un court séjour à l'hôpital psychiatrique de la fondation de G._, U._ a été transféré à l'hôpital psychiatrique de F._, où il a séjourné jusqu'au 21 octobre 2009. Entre novembre 2009 et mars 2010, il a été hospitalisé à quatre reprises dans ce même hôpital. Dans le même temps, il a été placé auprès de la Fondation Q._, à Sion, dès le 17 janvier 2010.
Durant ces hospitalisations, T._ a fait montre d'une défiance marquée à l'endroit des Institutions C._ et du Service D._. Dès septembre 2009, elle a publié sur internet un historique concernant le cas de son fils en décrivant de manière très critique les méthodes thérapeutiques des services en cause, le refus des soignants de l'informer sur le diagnostic et les traitements médicamenteux de son fils ainsi que le sentiment de kidnapping de son enfant par les institutions. Bien qu'anonymisé, le récit reprend les initiales des noms des soignants et du patient de sorte qu'il est aisé de les identifier.
A.c. Le 8 septembre 2010, le Juge du district de Sion a rejeté la requête formée par T._ et son fils tendant à la remise par X._ du dossier médical de l'adolescent mais a donné acte de ce que X._ ne s'opposait pas à ce que U._ puisse consulter son dossier médical en présence d'un professionnel de la santé de X._.
A.d. Par courriel du 24 février 2011, S._, journaliste auprès du quotidien I._, appartenant à Z._ SA, a pris contact avec le Dr V._ et lui a indiqué qu'il avait été approché par une mère dont le fils avait été admis au Service D._ puis à l'Hôpital de F._, qu'il avait mené une enquête pour trouver d'autres témoignages confortant les affirmations de cette personne et que, sans que les personnes interrogées n'aient pu se concerter, plusieurs mères interrogées et dont les enfants ont également été suivis par le Service D._ ont vivement critiqué ce service et, en particulier, le Dr Y._. Les plaintes des mères ont été résumées comme suit:
"Toutes les mamans interrogées sont des femmes séparées de leurs maris [sic] ou du père génétique de leurs enfants. Lorsque ceux-ci sont entrés au Centre E._, votre collaborateur, le Dr Y._, a fortement mis en accusation l'éducation donnée à leurs fils ou filles. On m'a parlé de séances systématiquement filmées alors que les mères ne le souhaitaient pas. On m'a aussi décrit une attitude hautaine, des violences verbales, tendant à dénigrer l'ado qui tentait de s'en sortir. On m'a encore évoqué des violences physiques ou des menaces. Dans un cas, la posologie d'un médicament prescrit au Centre E._, la Sertaline, indique qu'il est déconseillé au moins de 18 ans "car il peut augmenter le risque de suicide". C'est ce qui s'est passé pour un ado de 14 ans. Durant, [sic] mes interviews, j'ai également été frappé par la séparation faite entre la famille et l'adolescent. Selon les mères interrogées, il y aurait même la volonté de dresser leurs enfants [sic] contre elles. On m'a encore signalé que le Dr Y._ n'était pas inscrit à la FMH."
Désirant rédiger un article sur le sujet, le journaliste a sollicité un entretien avec le Dr V._. Les deux hommes se sont rencontrés le 26 février 2011. Lors de cet entretien, le journaliste a fait des allusions explicites au cas de l'adolescent U._ et a admis qu'il était dûment renseigné sur ce dossier. Le 1 er mars 2011, S._ a fait parvenir une synthèse de l'entretien au Dr V._ qui a pu y apporter des modifications. Le document final a la teneur suivante (les modifications apportées par le Dr V._ sont entre parenthèses et précédées du sigle "→") :
"Voici la synthèse de notre rdv de samedi. Cette itw peut paraître en plusieurs blocs. J'ai demandé aux diverses mères si elles acceptaient que vous jetiez un oeil sur leurs propos. Elles m'ont demandé de ne pas le faire. Mais leurs interviews contiennent ce que j'ai vous ai dit:
Plaintes globales sur l'attitude de M. Y._ (jeux de pouvoir, insulte devant témoins).
Entretiens filmés sans leur accord.
Prescription de Sertaline pour déboucher sur une tentative de suicide.
Non accès au dossier médical.
Manque d'informations.
Sentiments d'être coupés de leur enfant.
Depuis notre rencontre j'ai vérifié une seconde fois toutes les affirmations. Je vous confirme que dans aucun des cas il n'y a eu une demande de séparation par une autorité quelconque.
(→je vous précise que nous avons parlé de mesures de protection et non de demande de séparation...)
Durant notre enquête, toutes les mères interrogées disent avoir très mal vécu d'être coupée [sic] de leurs enfants [sic]. Elles ne peuvent que vivre douloureusement ce genre d'épreuve. La séparation peut être requise par la justice civile pour la protection même de l'enfant. C'est parfois le patient lui-même qui peut nous la demander. Dans ces cas, notre préoccupation est vraiment cette protection, celle de l'enfant qui est notre patient. C'est un sujet délicat et il y a des façons subjectives de vivre ces événements. On peut se sentir agressé alors que c'est la personne elle-même qui adopte une attitude agressive. Nous sommes dans des situations et la violence est plutôt vécue du côté des soignants. Il faut comprendre le contexte qui est subtil. Nous exerçons un métier où il faut gérer de drôles de choses (Ces trois dernières phrases ont été biffées par le Dr. V.) (→je pense que les autres citations n'ont pas trait à la question et je vous propose donc de les supprimer).
En dehors du père et de la mère, pourquoi ne consultez-vous pas les autres membres de la famille lorsqu'un ado est en crise?
Nous avons pris la systémique comme modèle de thérapie. Elle est de nature, justement, à favoriser les liens avec toute la famille, même si cela est parfois difficile. Ces mesures permettent de soulager la souffrance. Notre travail se fait dans un souci de rapprochement des familles, à l'exception des situations qui requièrent des mesures de protection particulières.
Pourquoi n'y a-t-il pas un accès au dossier médical de leur enfant?
C'est la loi fédérale qui exige que nous respections la confidentialité des données du patient. Le dossier est mis à disposition des proches uniquement avec l'autorisation du patient et sous les conditions précisées par la loi. Il peut être physiquement consultable en la présence d'un autre médecin. Il y a des dangers pour le patient qui ne sont pas anodins. Déjà pour un adulte, quand il a accès à son dossier, cela peut être difficile à vivre. Imaginez pour un enfant.
Pourquoi prescrire de la Sertaline, antidépresseur déconseillé aux personnes de moins de 18 ans?
J'ai encore lu récemment que c'est un médicament qui provoque une grande polémique aux États-Unis. C'est un médicament autorisé que nous utilisons avec prudence et qui donne de bons résultats.
Un de vos collaborateurs, le Dr Y._, est mis en cause dans son attitude envers les mères des patients.
J'ai une entière confiance dans ce collaborateur. Si quelqu'un prétend qu'il a mal agi, je ne peux qu'encourager cette personne à le signaler aux autorités ou aux organes de surveillance. Il y a le ressenti de ces personnes, que je comprends très bien, mais ces impressions correspondent-elles à la réalité? Il faut faire très attention à ce qu'on ouvre, par rapport aux enfants, notamment, c'est un sujet délicat. Nous avons aussi des témoignages de parents qui nous remercient du travail effectué par le Dr Y._ qui voit des centaines d'enfants par année.
Pourquoi n'est-il pas inscrit à la FMH?
Les médecins n'ont pas l'obligation d'être affiliés à la FMH. C'est une non-information.
Pourquoi ces séances avec plus de dix personnes face aux parents? Cela a des allures de tribunal?
Ce sont des entretiens de réseau qui réunissent tous les intervenants autour d'un dossier. Cela permet de clarifier et de coordonner les informations. Vous pourriez aussi très mal réagir si on ne vous autorisait pas l'accès à ces séances et que vous attendiez derrière une porte que l'on vous donne des réponses."
B.
B.a. Par requête de mesures provisionnelles urgentes du 2 mars 2011, X._ a conclu à ce qu'il soit fait interdiction au Journal I._ par Z._ SA de publier quelque article que ce soit faisant une allusion directe ou indirecte, même en termes dissimulés, au cas de U._ et à X._. Au titre de mesures provisionnelles et au fond, X._ a pris des conclusions quasi-identiques. Par décision de mesures préprovisionnelles du même jour, le Juge du district de Sion a fait droit à la requête.
Le 7 mars 2011, X._ a complété sa demande et modifié ses conclusions au titre de mesures provisionnelles et au fond en ce sens qu'il soit fait interdiction, sous la menace des peines prévues à l'art. 292 CP, au Journal I._, ou à tout autre journal par Z._ SA, de publier quelque article que ce soit faisant une allusion directe ou indirecte, même en termes dissimulés, au cas U._, au Centre E._/Service D._ et au Dr Y._ dans le sens des propos résultant des e-mails du journaliste S._ au Dr V._ du 24 février et du 1er mars 2011. À la suite de la détermination de l'intimée du 16 mars 2011, le Dr Y._ a déclaré se joindre à la requête et aux conclusions de la requête par courrier du 22 mars 2011.
Par décision du 4 avril 2011, le Juge du district de Sion a admis la requête de mesures provisionnelles de X._ et du Dr Y._ dans le sens des conclusions prises le 7 mars 2011 et leur a imparti un délai de trente jours pour ouvrir action contre Z._ SA.
Le 20 avril 2011, X._ et le Dr Y._ ont ouvert action au fond.
B.b. Statuant sur appel de Z._ SA, la Chambre civile du Tribunal cantonal du canton du Valais a, par arrêt du 31 août 2011, déclaré irrecevable la requête de mesures provisionnelles formée par le Dr Y._ et a rejeté celle de X._.
C.
Le 15 septembre 2011, X._ et le Dr Y._ exercent un recours en matière civile contre cet arrêt auprès du Tribunal fédéral concluant à son annulation et à ce que la mesure ordonnée le 4 avril 2011 par le Juge du district de Sion soit maintenue jusqu'à droit connu sur l'action au fond. Préalablement, ils demandent l'octroi de l'effet suspensif. À l'appui de leurs conclusions, ils se plaignent d'une violation des art. 10, 29 et 30 Cst., d'une application arbitraire des art. 64 et 266 CPC, 28 ss CC et 328 CO, ainsi que d'arbitraire dans l'appréciation des faits.
Suite à la détermination de l'intimée, qui a conclu au rejet de la requête d'effet suspensif, l'effet suspensif a été attribué au recours par ordonnance du 6 octobre 2011.
L'intimée conclut au rejet du recours dans ses observations du 20 janvier 2012. La cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours a été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme prévue par la loi (art. 42 LTF), contre une décision rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) dans une affaire non pécuniaire (<ref-ruling> consid. 1a; arrêt 5A_75/2008 du 28 juillet 2008 consid. 1) par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 LTF); il est ainsi recevable au regard de ces dispositions. Les recourants ont tous deux succombé devant la juridiction précédente; le Dr Y._ n'a cependant un intérêt digne de protection au recours qu'en tant qu'il s'en prend à l'irrecevabilité de sa requête (art. 76 al. 1 LTF).
1.2. L'arrêt attaqué constitue une décision incidente de nature à causer un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, de sorte que le recours est ouvert de ce chef (arrêts 5A_526/2009 du 5 octobre 2009, consid. 1 publié in: SJ 2011 I, p. 65; 5A_706/2010 du 20 juin 2011 consid. 1.2; 5A_832/2008 du 16 février 2009 consid. 1.1; cf. en général: <ref-ruling> consid. 3.1 et les références citées).
2.
2.1. En tant que la décision entreprise porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF, les recourants ne peuvent dénoncer que la violation des droits constitutionnels (arrêts 5A_526/2009 consid. 2; 5A_706/2010 consid. 1.3; 5A_832/2008 consid. 2, précités). Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.4). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi manifestement insoutenable (<ref-ruling> consid. 3 et les références citées). L'arbitraire prohibé par l'art. 9 Cst. ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable, voire préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de cette décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 4.4.1).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels par l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 4.1). Les faits et moyens de preuve nouveaux sont prohibés, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
3.
En substance, la cour cantonale a jugé que la requête du Dr Y._ était irrecevable dès lors, qu'une fois la litispendance de l'action au fond valablement créée le 2 mars 2011, il ne lui était possible d'intervenir dans le procès intenté par X._ qu'aux conditions des art. 73 à 83 CPC. Elle a ensuite considéré que X._, qui avait agi exclusivement en son nom et pour son propre compte, n'était pas habilité à agir en protection des droits de la personnalité de U._ et du Dr Y._, faute d'une disposition légale qui l'y autoriserait. Enfin, la cour cantonale a jugé que, dans la mesure où le journaliste avait mené, avec sérieux, une enquête en vue d'établir la vérité, rien ne permettait de penser que l'information que l'intimée s'apprêtait à publier portait sur des faits erronés. Elle a ainsi jugé que les craintes d'une atteinte illicite à la personnalité de X._ étaient infondées. Elle a ajouté que le fait que le Dr V._ ne s'était pas opposé, jusqu'au dépôt de la requête, à la publication d'un article permettait, à lui seul, de sérieusement douter de la vraisemblance de la gravité du préjudice allégué par X._.
4.
Dans un premier grief, les recourants s'en prennent à l'arrêt cantonal en tant qu'il a été jugé que le Dr Y._ n'était pas devenu partie à la procédure en déclarant se joindre à la requête de X._ et aux conclusions qu'elle contenait. Ils se plaignent d'un déni de justice et de formalisme excessif.
4.1.
4.1.1. Selon la jurisprudence, commet un déni de justice formel et viole par conséquent l'art. 29 al. 1 Cst. l'autorité qui ne statue pas ou n'entre pas en matière sur un recours ou un grief qui lui est soumis dans les formes et délais légaux, alors qu'elle était compétente pour le faire (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.3). Le formalisme excessif est un aspect particulier du déni de justice prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst. Il est réalisé lorsque la stricte application des règles de procédure ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi, complique de manière insoutenable la réalisation du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5; <ref-ruling> consid. 5.4.1; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 2a/bb).
4.1.2. En vertu de l'art. 52 CPC, quiconque participe à la procédure doit se conformer aux règles de la bonne foi. En particulier, le principe de la bonne foi et l'interdiction de l'arbitraire s'opposent à ce que des griefs d'ordre formel qui auraient pu être soulevés à un stade antérieur soient invoqués plus tard, une fois l'issue défavorable connue (<ref-ruling> consid. 4.3.1; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 4.3). Cela vaut également pour un grief tiré de l'irrégularité d'une jonction de causes (<ref-ruling> consid. 2.2).
4.2. La cour cantonale a considéré que dans la mesure où X._ avait pris des conclusions au fond, en sus de conclusions sur mesures provisionnelles, la litispendance au fond avait valablement été créée. Elle en a déduit que le Dr Y._ ne pouvait plus devenir partie à la procédure en déclarant se joindre à la requête de X._ et aux conclusions qu'elle contenait, l'intervention d'un tiers dans le procès n'étant possible qu'aux conditions des art. 73 à 83 CPC. Elle a ainsi déclaré sa requête irrecevable.
4.3. En l'espèce, les recourants veulent agir conjointement en justice à la manière de consorts simples au sens de l'art. 71 CPC. Aussi, contrairement à ce qu'a retenu la cour cantonale, la question n'était pas de savoir si le Dr Y._ pouvait ou non intervenir au procès, à titre principal ou à titre accessoire au sens des art. 73 ss CPC, mais celle de savoir s'il pouvait "se joindre" comme consort à la requête formée par X._, éventuellement, si son courrier suffisait formellement à cette fin, ce qui n'a pas posé problème ni à la partie adverse ni au premier juge. Peu importait à cet égard que l'action au fond soit pendante ou non; il suffisait que la requête de mesures provisionnelles le soit pour qu'un autre requérant puisse former une requête ayant le même objet et solliciter la jonction de sa cause avec celle introduite précédemment. Il s'ensuit que la cour cantonale a procédé à une application arbitraire des règles de procédure civile et, dans la mesure où elle refuse pour un motif non pertinent de traiter la requête du Dr Y._, elle commet un déni de justice.
De plus, l'intimée ne s'est pas opposée devant le premier juge à l'intervention du Dr Y._ et à la jonction de sa cause avec celle de X._; dans son courrier du 31 mars 2011, elle s'étonne du nouvel échange d'écritures ordonné mais ne conteste nullement que le Dr Y._ se joigne à la procédure. Partant, elle n'était plus habilitée, sans contrevenir aux règles de la bonne foi (art. 52 CPC), à contester en appel la jonction admise par le premier juge dans sa décision du 4 avril 2011. La cour cantonale ne pouvait dès lors, sauf à tomber dans l'arbitraire, se saisir de son grief pour revenir sur cette question.
4.4. En conséquence, il y a lieu d'admettre le recours en tant qu'il est formé par le Dr Y._ et de renvoyer la cause à la cour cantonale pour qu'elle entre en matière sur sa requête conjointe.
5.
X._ se plaint ensuite de ce que la cour cantonale lui a dénié la faculté d'agir dans l'intérêt de U._ et du Dr Y._.
5.1. La qualité pour agir (ou légitimation active) est une question de droit matériel (<ref-ruling> consid. 1a; <ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 3). Elle appartient au titulaire du droit litigieux; dans certains cas, un tiers - qui est étranger au rapport de droit en cause - peut cependant agir, parallèlement au titulaire, en son propre nom comme partie, soit en vertu d'une disposition expresse de la loi, soit en vertu de la jurisprudence (<ref-ruling> consid. 3; Hohl, Procédure civile, Tome I, 2001, n. 437 ss).
Dans le cadre d'une action défensive tendant à la protection de la personnalité, la légitimation active appartient à celui qui est titulaire du droit de la personnalité auquel il prétend qu'une atteinte a été portée. En raison du lien indissoluble existant entre les droits de la personnalité et leur titulaire, seuls peuvent agir les sujets qui sont personnellement et directement visés par l'atteinte, à l'exclusion de tiers (<ref-ruling> consid. 3; arrêt 5A_328/2008 du 26 novembre 2008 consid. 7.2; TERCIER, Le nouveau droit de la personnalité, 1984, n. 799 ss; MEILI, Basler Kommentar, 2010, n° 32 ad art. 28 CC). Aussi, en dehors des cas où la loi ou une règle de comportement leur accorde expressément un droit propre, les personnes qui ne sont lésées qu'indirectement ou par contrecoup n'ont pas qualité pour agir ( DESCHENAUX/STEINAUER, Personnes physiques et tutelle, 2001, n. 573).
5.2. S'agissant des conclusions prises dans l'intérêt du Dr Y._, le recourant fait valoir une application arbitraire de l'art. 328 CO ainsi qu'une violation des art. 29 et 30 Cst, en tant que ce dernier serait privé d'accès au juge.
5.2.1. Selon l'art. 328 al. 1 CO, l'employeur protège et respecte, dans les rapports de travail, la personnalité du travailleur. Il répond du comportement des employés qu'il charge de l'accomplissement de cette obligation (art. 101 al. 1 CO). L'employeur doit non seulement respecter la personnalité du travailleur, mais il doit encore la protéger, c'est-à-dire prendre des mesures adéquates si elle fait l'objet d'atteintes de la part de membres du personnel ou de tiers (<ref-ruling> consid. 5.1; Rehbinder, Berner Kommentar, n. 4 ad art. 328 CO; PORTMANN, Basler Kommentar, 2011, n. 7 ad art. 328 CO).
5.2.2. La cour cantonale a constaté que X._ avait agi en son nom et pour son propre compte mais aussi en vue de protéger les droits de la personnalité du Dr Y._. Elle a considéré que ni la législation cantonale, ni les règles sur le contrat de travail ne l'autorisaient à procéder de la sorte. La juridiction a également relevé qu'il n'avait pas été allégué que le Dr Y._ aurait donné son consentement pour une action en justice et que X._ n'avait pas établi se trouver dans un état de nécessité tel qu'il eût dû agir sans pouvoir obtenir ce consentement.
5.2.3. Le recourant fait valoir que l'art. 328 CO impose à l'employeur la prise de mesures de précaution pour empêcher une atteinte à la personnalité de son employé qui interviendrait dans le cadre des rapports de travail et que, faisant référence à l'<ref-ruling>, X._ pourrait devoir répondre des atteintes subies par le Dr Y._. À cet égard, il allègue qu'il y avait urgence à agir afin d'éviter une campagne de presse contre ce dernier. S'agissant du consentement de l'intéressé, il invoque l'état de nécessité et précise que l'action en justice a été ratifiée par courrier du 22 mars 2011.
5.2.4. En l'espèce, le recourant a exclusivement agi en son propre nom de sorte qu'il importe peu de savoir si le Dr Y._ a consenti à l'ouverture d'action ou si X._ se trouvait dans un état de nécessité ne permettant pas de le recueillir. En effet, ces cas de figure ne peuvent être pris en compte que dans l'hypothèse où l'action est intentée au nom de celui qui est personnellement et directement menacé d'une atteinte.
Il ne demeure dès lors plus qu'à examiner si l'art. 328 CO habilitait X._ à agir en justice pour protéger les droits de la personnalité de son employé. Selon la doctrine et la jurisprudence, seul celui qui subit ou a subi directement l'atteinte peut agir en protection de la personnalité (cf. consid. 5.1.2). L'art. 328 CO ne constitue en outre pas une disposition légale expresse dérogeant à ce principe. Si l'employeur doit certes veiller à la protection de la personnalité de ses employés, voire cas échéant prendre des mesures pour atteindre ce but, il n'est pas autorisé à intenter une action défensive en lieu et place de la personne directement concernée; c'est à cette dernière, et à elle seule, de décider si elle entend agir en protection. Enfin, on ne voit pas en quoi, X._ pourrait être amené à répondre à l'égard de son employé du préjudice causé par l'article de presse litigieux; la personne dont émane l'atteinte n'est pas son auxiliaire au sens de l'art. 101 al. 1 CO comme c'était le cas dans la jurisprudence invoquée. Il suit de là que X._ ne pouvait agir en protection de la personnalité du Dr Y._.
5.3. Quant à la défense de la personnalité de U._, X._ se plaint d'une application arbitraire des art. 28 ss CC et 266 CPC, en relation avec l'art. 52 al. 2 CO et l'art. 16 de la loi cantonale valaisanne sur la santé du 14 février 2008 (RSV 800.1) ainsi que d'une violation des droits de procédure de l'enfant garantis aux art. 29 et 30 Cst.
5.3.1. La cour cantonale a considéré que X._ - qui a ouvert action en son nom et pour son propre compte mais également dans l'intérêt de U._ - n'était pas habilité à agir en protection des droits de la personnalité de celui-ci dès lors qu'il s'agissait de droits strictement personnels. Elle a précisé, d'une part, que ni la législation cantonale, ni les règles sur le contrat de mandat ne l'y autorisaient et que, d'autre part, il n'avait pas été établi que U._ aurait consenti à l'acte ni que X._ se trouvait dans un état de nécessité.
5.3.2. Le recourant avance qu'il avait le devoir d'agir, dans l'urgence, pour protéger U._ contre le risque que des faits en relation avec sa situation médicale et personnelle ne soient diffusés dans la presse. Il fonde cette obligation sur la relation de mandat qui unit un patient et son médecin et qui s'étend également à une période allant au-delà de la durée stricte d'une hospitalisation. Cette obligation serait d'autant plus grande que l'enfant a refusé à sa mère tout accès à son dossier, qu'il se trouve en institution et qu'il est dépourvu de toute protection face à l'imminence d'une médiatisation de son cas médical. À cet égard, il précise, se référant à l'<ref-ruling>, qu'il y a lieu de permettre à une personne d'agir en protection de la personnalité d'un tiers en cas de nécessité ou de légitime défense. Il fonde également le devoir d'agir de X._ sur l'art. 16 de la loi cantonale valaisanne sur la santé.
5.3.3. Comme en ce qui concerne le Dr Y._, il est établi que X._ n'a pas agi au nom de U._ de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner si celui-là se trouvait dans un état de nécessité justifiant une intervention sans le consentement de celui-ci. En tant que X._ a agi en son propre nom, ni les règles du mandat ni l'art. 16 al. 1 de la loi cantonale valaisanne sur la santé - qui prévoit que le professionnel de la santé veille au respect de la dignité humaine et des droits individuels des patients - ne constituent des dispositions légales expresses l'habilitant à ester en justice pour protéger la personnalité d'un patient. En effet, seul celui qui subit ou a subi directement l'atteinte peut agir en protection de la personnalité (cf. consid. 5.1.2). Enfin, la jurisprudence citée par le recourant ne lui est d'aucune aide; si elle reconnaît aux parents de la personne à interdire, qui auraient envers elle une obligation d'entretien en vertu de l'art. 328 CC, le droit de requérir l'interdiction, c'est qu'ils ont un intérêt à solliciter la protection que la loi est censée leur assurer en évitant de les exposer au danger de devoir subvenir aux besoins d'un membre de leur famille après que ce dernier eut dilapidé sa fortune (<ref-ruling> consid. 3). Or, en l'espèce, on ne voit pas quel intérêt pourrait être invoqué par X._, si ce n'est celui d'agir en protection de sa propre personnalité, intérêt que lui a d'ailleurs reconnu la cour cantonale.
5.4. Sur le vu de ce qui précède, X._ n'était pas plus habilité à agir dans l'intérêt de U._ que dans celui du Dr Y._. Mal fondé, le recours doit donc être rejeté sur ce point.
6.
Le recourant prétend encore qu'en lui déniant la faculté d'agir en protection des intérêts du Dr Y._ et de U._, la décision attaquée violerait la dignité et liberté personnelle de ces derniers, protégée par l'art. 10 Cst. ainsi que leurs droits de procédure garantis aux art. 29 et 30 Cst.
En tant qu'il a été constaté que la décision entreprise était sur ce point conforme aux principes et dispositions sus-évoqués (cf. consid. 5supra), ces critiques, pour autant qu'elles satisfassent aux exigences de motivation (cf. supra consid. 2.1), n'ont pas de portée propre et tombent à faux.
7.
Enfin, X._ se plaint de ce que la cour cantonale a jugé qu'une atteinte à sa considération de nature à lui causer un préjudice particulièrement grave n'avait pas été rendue vraisemblable.
7.1. Aux termes de l'art. 261 al. 1 CPC, celui qui rend vraisemblable qu'il est l'objet d'une atteinte ou risque de l'être, et que cette atteinte risque de lui causer un préjudice difficilement réparable, peut requérir des mesures provisionnelles. Le tribunal peut ordonner toute mesure propre à prévenir ou à faire cesser le préjudice, notamment faire interdire l'atteinte ou faire cesser un état de fait illicite (art. 262 let. a et b CPC). Toutefois, conformément à l'art. 266 CPC - dont les conditions sont reprises de l'art. 28c al. 3 aCC (Message du Conseil fédéral du 28 juin 2006 relatif au code de procédure civile [CPC], FF 2006 p. 6964) -, le tribunal ne peut ordonner de mesures provisionnelles contre un média à caractère périodique que si l'atteinte est imminente et propre à causer un préjudice particulièrement grave, si elle n'est manifestement pas justifiée et si la mesure ne paraît pas disproportionnée; ces trois conditions sont cumulatives (<ref-ruling> consid. 4c).
Selon le Message du Conseil fédéral, l'art. 28c al. 3 aCC - dont les conditions sont reprises à l'art. 266 CPC -, subordonne à des conditions qualifiées l'adoption d'une décision ordonnant à titre provisionnel la prévention ou la cessation d'une atteinte, afin d'éviter que le juge civil ne puisse indirectement exercer une forme de censure (Message du Conseil fédéral du 5 mai 1982 concernant la révision du code civil [Protection de la personnalité: art. 28 CC et 49 CO], FF 1982 II 690). Sans consacrer de véritable privilège en faveur des médias, cette règle invite le juge, en procédant à la pesée des intérêts en présence, à tenir compte du rôle important qui leur est reconnu dans une société libérale (FF 1982 II 691). Selon la jurisprudence et la doctrine, les conditions d'octroi de mesures provisionnelles à l'encontre des médias à caractère périodique doivent être appliquées avec une particulière réserve, puisque le but de la directive contenue à l'art. 28c al. 3 aCC est de prévenir la "censure judiciaire" (arrêt 5A_706/2010 du 20 juin 2011 consid. 4.2.1; BUGNON, Les mesures provisionnelles de protection de la personnalité, in: Mélanges Tercier, 1993, p. 40 in fine; CHERPILLOD, Information et protection des intérêts personnels: les publications des médias, in: RDS 1999 II p. 186 s.; JEANDIN, Commentaire romand, 2010, n° 18 ad art. 28c CC; MEILI, op. cit., n° 6 ad art. 28c CC; PEDRAZZINI/OBERHOLZER, Grundriss des Personenrechts, 1993, p. 173 s.; RIEBEN, La protection de la personnalité contre les atteintes par voie de presse au regard des dispositions du Code civil et de la Loi contre la concurrence déloyale, in: SJ 2007 II, p. 224; Tercier, op. cit., n° 1145 ss).
Le Tribunal fédéral a précisé que le degré ordinaire de la preuve en matière de mesures provisoires - la vraisemblance - ne semble pas suffire; que l'atteinte au droit de fond ne soit manifestement pas justifiée signifie que le requérant doit apporter au juge une quasi-certitude; de même, un dommage particulièrement grave ne saurait résulter que d'une preuve plus stricte que l'apparence (arrêt 5A_706/2010 du 20 juin 2011 consid. 4.2.1; consid. 5, non publié aux <ref-ruling>).
7.2. Aux termes de l'art. 28 CC, celui qui subit une atteinte illicite à sa personnalité peut agir en justice pour sa protection contre toute personne qui y participe (al. 1). Une atteinte est illicite, à moins qu'elle ne soit justifiée par le consentement de la victime, par un intérêt prépondérant privé ou public, ou par la loi (al. 2). La garantie de l'art. 28 CC peut être invoquée autant par les personnes physiques que par les personnes morales (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 4).
7.2.1. Selon la jurisprudence, la mission d'information de la presse ne constitue pas un motif absolu de justification; il est indispensable dans chaque cas de procéder à une pesée entre l'intérêt de la personne concernée à la protection de sa personnalité et celui de la presse à informer le public (<ref-ruling> consid. 3.1 et 5.2; <ref-ruling> consid. 3.1) L'atteinte à la personnalité ne sera justifiée que dans la mesure où il existe un intérêt public à l'information (<ref-ruling> consid. 3.1; cf. également arrêt de la Cour européenne des droits de l'homme Mosley Max Rufus contre Royaume-Uni du 10 mai 2011, n° 114). Un tel intérêt a notamment été reconnu en ce qui concerne la manière dont respectivement un médecin-chef d'un établissement hospitalier public exerce sa profession (<ref-ruling> consid. 6.1) et les patients d'un home médicalisé sont pris en charge (arrêt 5C.31/2002 du 15 mai 2002 consid. 3b/cc).
7.2.2. La presse peut atteindre quelqu'un dans sa personnalité de deux manières: d'une part en relatant des faits, d'autre part en les appréciant (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 4b et les références cités).
7.2.2.1. La diffusion de faits vrais n'est inadmissible que si les faits en question font partie de la sphère secrète ou privée ou si la personne concernée est rabaissée de manière inadmissible parce que la forme de la description est inutilement blessante. La publication de faits inexacts est illicite en elle-même; ce n'est que dans des cas exceptionnels très rares et particuliers que la diffusion de faits faux est justifiée par un intérêt suffisant. Mais chaque inexactitude, imprécision, raccourci ou généralisation ne fait pas à elle seule d'un compte-rendu une fausseté dans son ensemble. Un article de presse inexact dans ce sens n'est globalement faux et ne viole les droits de la personnalité que s'il ne correspond pas à la réalité sur des points essentiels et montre la personne concernée sous un angle si erroné ou en présente une image si faussée qu'elle s'en trouve rabaissée de manière sensible dans la considération de ses semblables (<ref-ruling> consid. 2.2, 529 consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 4b/aa et les arrêts cités; arrêt 5A_60/2008 du 26 juin 2008 consid. 2.3.1).
Lorsque la presse relate qu'une personne est soupçonnée d'avoir commis un acte délictueux ou que d'aucuns supposent qu'elle pourrait avoir commis un tel acte, seule est admissible une formulation qui fasse comprendre avec suffisamment de clarté, pour un lecteur moyen, qu'il s'agit en l'état d'un simple soupçon ou d'une simple supposition (ATF <ref-ruling> consid. 4b/aa et les références citées, RIEBEN, op. cit., p. 212).
7.2.2.2. Les opinions, commentaires et jugements de valeur sont admissibles pour autant qu'ils apparaissent soutenables en fonction de l'état de fait auquel ils se réfèrent. Ils ne peuvent être soumis à la preuve de la vérité. Dans la mesure où ils constituent dans le même temps aussi des affirmations de fait, par exemple les jugements de valeur mixtes, le noyau de fait de l'opinion est soumis aux mêmes principes que les affirmations de fait. En outre, les jugements de valeur et les opinions personnelles, même lorsqu'ils reposent sur des faits vrais, peuvent constituer une atteinte à l'honneur lorsqu'ils consacrent, en raison de leur forme, un rabaissement inutile. Puisque la publication d'un jugement de valeur bénéficie de la liberté d'expression, il faut cependant faire preuve d'une certaine retenue lorsque le public était en mesure de reconnaître les faits sur lesquels le jugement se fondait. Une opinion caustique doit être acceptée. Un jugement de valeur n'est attentatoire à l'honneur que lorsqu'il rompt le cadre de ce qui est admis et laisse entendre un état de fait qui ne correspond pas à la réalité ou conteste à la personne concernée tout honneur d'être humain ou personnel (ATF <ref-ruling> consid. 4b/bb et les références citées; arrêt 5A_60/2008 du 26 juin 2008 consid. 2.3.2).
7.3. Reconnaissant que les accusations rapportées dans l'article à paraître peuvent porter une atteinte directe à la considération du recourant, en tant qu'elles mettent en cause la qualité des soins et le comportement de ses employés, la cour cantonale a admis l'existence d'une atteinte à la personnalité. Elle a cependant considéré que celle-ci devait être relativisée dès lors que le recourant répondait à une mission d'intérêt public et que les attentes des patients et de leur famille admis dans les structures de soins entraînaient un intérêt public éminent à une information dans ce domaine. La juridiction a en outre retenu que le journaliste avait mené son enquête avec sérieux en vue d'établir la vérité, notamment en confrontant les dires de sa première source par l'interrogatoire d'autres parents et en accordant un entretien au Dr V._. Elle en a déduit que rien ne permettait de penser que l'information que l'intimée s'apprêtait à publier portait sur des faits erronés de sorte que les craintes d'une atteinte illicite à la personnalité de X._ étaient infondées. Elle a ajouté que le fait que le Dr V._ ne s'était pas opposé, jusqu'au dépôt de la requête, à la publication d'un article, accordant même une interview au journaliste ainsi qu'apportant des corrections et précisions à la synthèse de leur discussion, permettait de sérieusement douter de la vraisemblance de la gravité du préjudice allégué par X._.
7.4. X._ se plaint d'arbitraire en tant que la cour cantonale a jugé qu'il n'avait pas rendu vraisemblable que la publication de l'article en cause était de nature à lui causer un préjudice particulièrement grave. Il fait tout d'abord valoir que la source première du journaliste est sujette à caution dès lors qu'elle s'est vu refuser l'accès au dossier médical de son fils par la justice et qu'elle tente, par sa manière d'agir, un règlement par voie de presse. Quant aux autres sources, le recourant indique qu'elles n'ont donné que des affirmations d'ordre général et qu'il ne lui a pas été possible de les identifier. Il en déduit que, sauf à tomber dans l'arbitraire, la cour cantonale ne pouvait en conclure que l'enquête du journaliste avait été menée avec sérieux. À cet égard, il précise que les faits rapportés apparaissent d'emblée, de par leur énormité, peu vraisemblables, ajoutant que, dans la mesure où il ne connaît pas les auteurs des accusations, il lui est impossible d'apporter des contre-preuves. Le recourant prétend ensuite que l'on ne saurait déduire du fait que le Dr V._ a répondu aux questions du journaliste qu'il aurait de quelque manière que ce soit consenti à la publication de l'article en cause puisque, à aucun moment, il n'a pas pu prendre précisément connaissance des accusations portées. Invoquant l'arbitraire dans l'application des art. 28 ss CC et 266 CPC ainsi qu'une violation de l'art. 10 Cst., il avance que l'arrêt entrepris est également arbitraire dans son résultat dès lors que la publication d'accusations - laissant entendre que D._ confie des enfants et adolescents atteints psychiquement à un médecin qui critique systématiquement l'éducation parentale, filme les séances sans l'accord des participants, adopte une attitude hautaine, pratique la violence verbale et physique ainsi que les menaces - lui causera un préjudice extrêmement grave en raison des réactions qu'il sollicitera dans le public. Il précise encore que l'atteinte, d'une gravité extrême, n'est pas justifiée par un intérêt public à l'information car les faits relatés sont non documentés et erronés, les sources du journaliste n'étant pas crédibles ou invérifiables. Enfin, le recourant invoque que l'interdiction requise est proportionnée dès lors qu'elle a une portée limitée et que les accusations rapportées sont invraisemblables.
7.5. En tant que la cour cantonale a nié la vraisemblance d'une atteinte particulièrement grave pour le motif que le journaliste a mené son enquête avec sérieux, qu'il ne publierait pas des faits erronés susceptibles de ternir l'image du recourant et que le Dr V._ ne s'était pas opposé à la publication de l'article jusqu'au dépôt de la requête - au lieu de se concentrer sur l'intensité de l'atteinte à la considération, à la confiance et à l'image du recourant -, elle a en réalité examiné si l'atteinte était justifiée et si la pesée des intérêts penchait en faveur de l'intimée. La question de la gravité de l'atteinte peut cependant demeurer indécise dès lors que, au vu des motifs retenus par la cour cantonale, les autres conditions cumulatives de l'art. 266 CPC (cf. supra consid. 7.1) ne sont pas réalisées.
En effet, c'est à juste titre que la cour cantonale a reconnu l'intérêt du public à être informé des activités exercées dans un établissement hospitalier public (cf. consid. 7.2.1 supra). Aussi, X._ doit tolérer, dans une certaine mesure, un contrôle du public, direct ou indirect, sur la manière dont les patients sont pris en charge dans ses différents centres de soins. L'atteinte que causerait au recourant la parution de l'article en cause n'est donc pas dénuée de justification.
Par ailleurs, en tant que l'article dont l'interdiction est requise rapporte des accusations formées par des mères d'enfants soignés par les services de X._, celles-ci ne sont pas présentées comme véridiques. En effet, l'article en cause vise à informer le public de ces accusations sans toutefois les présenter comme exactes ou inexactes. Le journaliste a toutefois pris soin de confronter sa source première avec d'autres témoignages, qui concordent; on ne saurait dès lors prétendre, comme le recourant, que ces accusations paraissent d'emblée invraisemblables et ce quand bien même celui-ci n'a pas pu connaître l'identité de tous leurs auteurs. En outre, le journaliste a offert l'occasion aux services en cause de prendre position en accordant un entretien au Dr V._, lequel a nuancé les propos rapportés, donné des éclaircissements sur les méthodes thérapeutiques adoptées et réitéré sa confiance au médecin mis en cause. La parution simultanée des témoignages de certaines mères et de l'interview accordée au Dr V._ démontre par conséquent clairement que la véracité des faits en cause n'a pas été formellement établie. Une telle présentation permet au lecteur moyen de comprendre, d'une part, que les reproches rapportés reposent sur les dires de certaines mères dont les enfants ont été pris en charge par le Service D._ et, d'autre part, que ces critiques sont pour l'essentiel réfutées par les services hospitaliers mis en cause. Dans ces circonstances, il appert que l'atteinte n'est pas manifestement injustifiée et qu'une mesure interdisant la publication serait disproportionnée.
Il s'ensuit que c'est sans arbitraire que la cour cantonale a considéré que les conditions de l'art. 266 CPC en vue d'interdire la publication de l'article litigieux n'étaient pas remplies. Quant au grief de violation de l'art. 10 Cst., il n'a pas de portée propre. Le recours doit donc être rejeté.
8.
Sur le vu de ce qui précède, le recours de Y._ doit être admis, l'arrêt attaqué annulé en tant qu'il a déclaré la requête de mesures provisionnelles formée par lui irrecevable et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Le recours de X._ doit en revanche être rejeté. Les frais judiciaires sont arrêtés à 3'000 fr. Ils sont pour 2'000 fr. mis à la charge de X._ qui succombe entièrement - dès lors qu'il n'était pas habilité à se plaindre de l'irrecevabilité de la requête déposée par Y._ (cf. consid. 5.2 supra) - et pour 1'000 fr. à la charge de l'intimée qui succombe dans ses conclusions en tant que le recours est formé par Y._ (art. 66 al. 1 LTF). Au titre d'indemnités de dépens, X._ versera à l'intimée une somme de 2'000 fr. et celle-ci à Y._ un montant de 1'000 fr. (art. 68 al. 1 et 4 LTF). Il appartiendra à l'autorité cantonale de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (art. 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours de Y._ est admis, l'arrêt attaqué annulé en tant qu'il a déclaré la requête de mesures provisionnelles formée par lui irrecevable et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Le recours de X._ est rejeté.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont pour 2'000 fr. mis à la charge de X._ et pour 1'000 fr. à la charge de l'intimée.
4.
Une indemnité de 2'000 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge de X._.
5.
Une indemnité de 1'000 fr., à payer à Y._ à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 23 février 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
Le Greffier: Richard