Faits:
A. Le 13 février 2008, le Juge d'instruction du Valais central B._ (ci-après: le juge d'instruction) a ordonné une enquête préliminaire concernant A._, pour des menaces qu'il aurait proférées à l'encontre du personnel de l'administration communale de Montana et des infractions à la loi fédérale du 20 juin 1997 sur les armes, les accessoires d'armes et les munitions (LArm; RS 514.54). L'intéressé a été interpellé le jour même. Par décision du 14 mars 2008, le juge d'instruction a ouvert une instruction d'office pour les infractions précitées (cause P1 08 253). Le 25 février 2008, A._ a déposé une plainte et dénonciation pénale à l'encontre des personnes qui seraient responsables des blessures qu'il a subies lors de son interpellation. Cette affaire est instruite par l'Office du Juge d'instruction cantonal (cause P3 08 7).
B. Par courrier du 14 avril 2008, A._ a demandé la récusation du juge d'instruction B._ dans la cause P1 08 253. Il faisait valoir que ce magistrat devrait être entendu dans la cause P3 08 7 sur les circonstances de l'interpellation du 13 février 2008. Il alléguait également que le juge B._ était intervenu dans une autre affaire qui l'impliquait et qui aurait fait naître chez le magistrat précité un certain ressentiment à son égard. Il a confirmé sa demande de récusation par écriture du 25 avril 2008 adressée à la Présidente du Tribunal cantonal du canton du Valais, en reprenant uniquement le premier motif de récusation exposé ci-dessus. Il invoquait l'art. 33 ch. 1 let. b du Code de procédure pénale du canton du Valais du 22 février 1962 (CPP/VS; RS/VS 312.0), relatif à la récusation obligatoire du juge ayant agi précédemment à un autre titre dans l'affaire en cause. Il se prévalait en outre implicitement de l'art. 34 let. c CPP/VS, qui prévoit une récusation facultative s'il existe "des circonstances de nature à faire suspecter l'impartialité" du magistrat.
Par jugement du 30 mai 2008, la Présidente du Tribunal cantonal a rejeté la requête de récusation. Elle a considéré que l'<ref-law>/VS ne trouvait pas application, l'audition éventuelle du juge B._ étant requise dans le cadre d'une procédure distincte de celle qu'il conduit. Pour le surplus, le fait que le magistrat en cause ait ordonné l'interpellation du 13 février 2008 ne permettait pas de le suspecter de partialité.
C. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler ce jugement et de confier la cause P1 08 253 à un autre magistrat. Il se plaint d'une violation de l'art. 34 let. b et c CPP/VS et invoque les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH relatifs à l'indépendance et à l'impartialité des magistrats. La Présidente du Tribunal cantonal et le Juge d'instruction du Valais central ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Selon l'<ref-law>, le Tribunal fédéral connaît des recours contre les décisions rendues en matière pénale. Accusé dans la procédure pénale litigieuse, le recourant a la qualité pour agir au sens de l'<ref-law>. Conformément à l'<ref-law>, une décision préjudicielle ou incidente qui est notifiée séparément et qui porte sur une demande de récusation peut immédiatement faire l'objet d'un recours. Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision prise en dernière instance cantonale, le recours est recevable au regard des art. 42, 80 et 100 al. 1 LTF.
2. Dans la première partie de son écriture, le recourant conteste des faits retenus par l'autorité intimée et présente son propre exposé des événements. Il perd cependant de vue que le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). Tel n'étant pas le cas en l'espèce, il n'y a pas lieu de s'écarter des faits retenus dans la décision attaquée.
Le recourant se plaint en outre d'une violation d'une disposition cantonale de procédure, à savoir l'art. 34 let. b et c CPP/VS. Or, sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, la violation du droit cantonal ou communal ne constitue pas un motif de recours. Elle peut en revanche être constitutive d'une violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law>, telle que l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Dans la mesure où le recourant ne soulève pas un tel grief, ce qu'il lui appartenait de faire en proposant une démonstration de l'arbitraire répondant aux exigences de motivation susmentionnées, ce moyen est irrecevable.
3. Invoquant divers éléments susceptibles selon lui de remettre en doute l'impartialité du juge d'instruction B._, le recourant demande sa récusation.
3.1 La garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH ? qui ont, de ce point de vue, la même portée ? permet, indépendamment du droit de procédure cantonal, de demander la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité; elle vise à éviter que des circonstances extérieures à l'affaire puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective est établie, car une disposition interne de la part du juge ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules des circonstances objectivement constatées doivent être prises en compte, les impressions purement individuelles des parties au procès n'étant pas décisives (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 240, 20 consid. 4.2 p. 21; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 3 et 6.2 p. 6; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 25 et les arrêts cités).
En principe, le fait qu'une partie s'en prenne à un juge n'a pas, d'un point de vue objectif, pour effet de faire naître une apparence de prévention du magistrat en cause envers l'auteur de l'atteinte. Si des attaques violentes peuvent certes trahir une inimitié de celui-ci à l'endroit du magistrat visé, cela ne permet pas de présumer qu'un tel sentiment soit réciproque. Il convient en effet d'éviter que les justiciables puissent influencer la composition du tribunal en s'en prenant au juge dont ils récusent la participation. Il peut toutefois en aller différemment si le magistrat atteint dans sa personnalité réagit en déposant une plainte pénale assortie de conclusions civiles en réparation du tort moral, le conflit prenant alors une tournure plus personnelle (<ref-ruling> consid. 4.3.2 p. 22).
Enfin, d'éventuelles erreurs de procédure ou d'appréciation commises par un juge ne suffisent pas à fonder objectivement un soupçon de prévention. Seules des fautes particulièrement graves et répétées pourraient avoir cette conséquence; même si elles paraissent contestables, des mesures inhérentes à l'exercice normal de la charge du juge ne permettent pas de suspecter celui-ci de partialité (<ref-ruling> consid. 3a p. 138; <ref-ruling> consid. 2 p. 408 ss; <ref-ruling> consid. 3b/aa p. 264).
3.2 En l'espèce, le recourant allègue que le juge d'instruction visé par la demande de récusation devrait être entendu dans le cadre de la procédure P3 08 7. Blessé au cours de l'interpellation ordonnée par ce magistrat, le recourant souhaite lui poser des questions à ce sujet, si bien que le juge ne pourrait plus instruire sereinement à charge et à décharge l'affaire P1 08 253. Cela étant, un juge d'instruction est en principe habitué à voir ses décisions remises en cause par les parties et il est présumé capable de prendre le recul nécessaire à cet égard. Ainsi, le fait qu'un prévenu se plaigne des conditions de son interpellation n'est pas de nature à l'empêcher de poursuivre l'instruction de la cause sans parti pris. De plus, la simple éventualité que le juge en question puisse être entendu comme témoin dans le cadre d'une autre affaire ne suffit pas à faire naître des doutes quant à son impartialité. A ce stade de la cause P1 08 253, des conséquences personnelles pour le juge d'instruction en raison de la plainte et de conclusions civiles du recourant relèvent au demeurant de la pure hypothèse, de sorte qu'elles ne suscitent aucunement des soupçons de prévention de ce magistrat à l'égard de l'intéressé.
Le recourant formule en outre certaines critiques quant à "l'attitude du juge". Il estime que celui-ci aurait dû classer l'affaire P1 08 253, à tout le moins en ce qui concerne les menaces. Il soupçonne le juge d'instruction de maintenir cette cause ouverte pour faire pression sur lui dans le cadre d'éventuelles tractations en vue d'un "arrangement à l'amiable" dans la procédure P3 08 7. Il s'agit toutefois de vagues suppositions du recourant, qui ne propose aucun élément concret pour étayer ses soupçons. Pour le surplus, on ne distingue pas de fautes particulièrement lourdes et répétées susceptibles de remettre en cause la partialité du magistrat instructeur au sens de la jurisprudence précitée. Dans ces conditions, la garantie du juge impartial a été respectée, de sorte que c'est à bon droit que l'autorité intimée a rejeté la demande de récusation présentée par le recourant.
4. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Juge d'instruction du Valais central et à la Présidente du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 30 octobre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener