Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 4. November 2009 forderte das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich von B._ als Neffen der am 10. April 2009 verstorbenen Rita Tüler und Erbenvertreter die Bezahlung von Fr. 11'450.- aus dem Nachlass seiner Tante für rechtmässig ausgerichtete Pflegekostenzuschüsse. Mit Einspracheentscheid vom 30. März 2010 bestätigte das Amt die Rückerstattungspflicht in der verfügten Höhe.
B. Die Beschwerde, mit welcher B._ den Verzicht auf die Rückerstattung von Fr. 11'450.- beantragte und eine Forderung in der Höhe von Fr. 5'184.- gegen das städtische Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV geltend machte, wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 5. August 2011 ab.
C. B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 5. August 2011 sei aufzuheben und den Anträgen in der vorinstanzlichen Beschwerde stattzugeben.
Amt, kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen lassen sich nicht vernehmen.

Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer erneuert die vor Vorinstanz gestellten Rechtsbegehren, Verzicht auf die Rückerstattung von Fr. 11'450.- und Verpflichtung des Beschwerdegegners zur Bezahlung von Fr. 5'184.-. Das zweite Begehren liegt ausserhalb des Anfechtungsgegenstandes und es ist darauf somit nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1a S. 414).
2. Der im Grundsatz unbestrittene Anspruch des Beschwerdegegners auf Rückerstattung von an die verstorbene Tante des Beschwerdeführers (rechtmässig) ausgerichteten Pflegekostenzuschüssen gestützt auf kantonales Recht richtet sich gegen deren Nachlass. Es ist indessen zulässig, einen von allenfalls mehreren Erben ins Recht zu fassen (<ref-law>; <ref-ruling>). Der Beschwerdeführer und Neffe der Verstorbenen ist nach unbestrittener vorinstanzlicher Feststellung Erbe des Nachlasses. Die aufgrund der Akten nicht auszuschliessende Existenz weiterer Erbberechtigter ändert somit nichts daran, dass die nur ihm eröffneten Verfügung und - Anfechtungsgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens bildender - Einspracheentscheid rechtswirksam sind.
3. Die Vorinstanz hat die Akten dahingehend gewürdigt, es sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer die Leistungen für seine verstorbene Tante unentgeltlich erbracht habe. Er habe nicht glaubhaft machen können, dass seine Forderungen zu Recht bestünden, weshalb diese bei der Ermittlung des - vom Beschwerdegegner auf Fr. 11'450.- festgesetzten - Nettonachlasses nach § 19 des zürcherischen Gesetzes vom 7. Februar 1971 über die Zusatzleistungen zur eidgenössischen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (ZLG; OS 44, 5 und LS 831.3) nicht zu berücksichtigen seien.
4. Die vorinstanzliche Verneinung jeglicher Forderung an den Nachlass ist bei den gegebenen Verhältnissen willkürlich. Aus den umfangreichen Akten ergibt sich mit aller Klarheit, dass der Beschwerdeführer entsprechend der Generalvollmacht vom 18. Mai 1999, "alle Arten von Rechtsgeschäften und Rechtshandlungen vorzunehmen", ausser jenen, die wegen ihrer höchstpersönlichen Natur die Mitwirkung der Vollmachtgeberin erheischen, während mehr als zehn Jahren die Interessen seiner finanziell nicht gut gestellten Tante in allen Belangen in umfassender Weise wahrgenommen hatte. Beispielhaft erwähnt seien die Organisation des Heimeintritts, die Einreichung des Gesuchs um Zusatzleistungen und der notwendigen Unterlagen, das Ausfüllen der Steuererklärungen, schriftlicher und mündlicher Verkehr mit den Behörden, Post, Krankenkasse und Bank. Damit entstand zwingend ein in der Summe hoher, jedenfalls nicht unbedeutender Arbeitsaufwand, woran nichts ändert, dass der Beschwerdeführer die investierten Arbeitsstunden nicht im Einzelnen auflistete. Ebenfalls enthielt die Generalvollmacht eine Klausel, worin die Vollmachtgeberin sich "zum Ersatz der entstehenden Kosten sowie zu angemessener Entschädigung für Mühewaltung" verpflichtete. Der Umstand allein, dass der Beschwerdeführer zu Lebzeiten seiner Tante keinen Geldbetrag von deren Konto an sich überwies, was er nachvollziehbar mit dem Hinweis auf deren prekäre finanzielle Verhältnisse sowie seine Erbberechtigung begründet, lässt nicht den Schluss zu, er habe auf ein Entgelt für seine Arbeit verzichtet. Wenn die Vorinstanz in diesem Zusammenhang auf die verwandtschaftliche Beziehung Neffe-Tante hinweist, berücksichtigt sie auf der anderen Seite nicht, dass der Beschwerdeführer Erbe war, gemäss einer Vereinbarung vom 25. Juni 1997 bei Vorversterben seiner Mutter sogar Alleinerbe sein sollte, weshalb er erst aufgrund der Rückforderung des Beschwerdegegners Anlass hatte, seine zu Lebzeiten seiner Tante entstandenen Forderungen gegenüber deren Nachlass geltend zu machen, wie er sinngemäss vorbringt.
5. Die Vorinstanz wird die Höhe der Forderung des Beschwerdeführers an den Nachlass, unter vorfrageweiser Prüfung der Verjährung, masslich festzulegen haben.
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdegegner die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 5. August 2011 aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen über die streitige Rückerstattung neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Dezember 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler