Sachverhalt:
A. Die 1972 geborene G._ war ab 1. Juni 2001 als kaufmännische Sachbearbeiterin in der Firma X._, tätig und dadurch obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Daneben arbeitete sie in einem geringen Pensum als Fitnesstrainerin. Am 10. Oktober 2001 wurde G._ während eines Ferienaufenthaltes auf Ibiza von zwei Bekannten aus Spass mit dem Liegestuhl, auf dem sie lag, auf rund einen Meter Höhe angehoben und in einen Swimmingpool geworfen. Mit Bagatellunfall-Meldung vom 11. Juli 2002 teilte sie dies der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) als zuständigem Unfallversicherer mit. Sie gab an, beim Ereignis vom 10. Oktober 2001 eine HWS-Distorsion erlitten zu haben und unter Kopf- und Nackenbeschwerden zu leiden. Die Allianz stellte ihre Leistungspflicht zunächst gänzlich in Frage. Nach verschiedenen Abklärungen (unter anderem Einholung eines multidisziplinären medizinischen Gutachtens der Klinik X._ vom 22. Dezember 2004 mit Ergänzung vom 24. Februar 2005) eröffnete sie G._ schliesslich mit Verfügung vom 28. Juli 2005, die Versicherungsleistungen würden per 1. Mai 2002 eingestellt; darüber hinaus bestehe mangels eines adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis und den anhaltenden Gesundheitsbeschwerden kein Leistungsanspruch. Auf die von der Versicherten erhobene Einsprache hin hielt die Allianz an der Verfügung fest (Einspracheentscheid vom 18. November 2005).
B. Beschwerdeweise beantragte G._, der Einspracheentscheid sei aufzuheben und die Allianz sei zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen unter Berücksichtigung des gesetzlichen Verzugszinses auszurichten. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern gelangte zum Ergebnis, der Unfallversicherer habe den adäquaten Kausalzusammenhang zu früh geprüft. Es hiess mit dieser Begründung die Beschwerde, soweit es darauf eintrat, insofern gut, als es den Einspracheentscheid vom 18. November 2005 aufhob und die Sache an die Allianz zurückwies, damit diese den adäquaten Kausalzusammenhang nach Abschluss der Heilbehandlung neu prüfe und gestützt darauf über ihre Leistungspflicht neu verfüge; je nach Ergebnis dieser Prüfung werde der Unfallversicherer auch darüber zu befinden haben, ob er die Frage des natürlichen Kausalzusammenhangs weiterhin offen lassen könne (Entscheid vom 20. August 2007).
C. Die Allianz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 18. November 2005 zu bestätigen.
G._ lässt auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingaben vom 21. April 2008 äussern sich die Parteien im Hinblick auf das Urteil <ref-ruling>.
Mit Schreiben vom 24. August 2008 lässt G._ nochmals Stellung nehmen.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid lautet im Dispositiv auf Rückweisung der Sache an den Unfallversicherer, damit dieser über seine Leistungspflicht im Sinne der Erwägungen neu verfüge. In den Erwägungen hat die Vorinstanz dem Versicherer verschiedene Vorgaben gemacht. Es stellt sich zunächst die - von den Parteien unterschiedlich beantwortete - Frage, ob der Entscheid vom Versicherer mit Beschwerde angefochten werden kann (vgl. BGG 133 V 477). Dies ist zu bejahen. Denn selbst wenn der angefochtene Entscheid nicht als End- oder Teilentscheid gemäss Art. 90 f. BGG zu betrachten wäre, sondern als selbstständig eröffneter Zwischenentscheid, trifft doch zu, dass die Vorinstanz durch ihre materiellrechtlichen Anordnungen die Verwaltung gezwungen hat, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Ein solcher Entscheid hat einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> zur Folge (<ref-ruling> Ziff. 5.2 S. 483). Damit ist die Beschwerde zulässig.
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdegegnerin aus dem Unfall vom 10. Oktober 2001 ab 1. Mai 2002 Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat. Die Allianz hat dies im Einspracheentscheid vom 18. November 2005 mit der Begründung verneint, die noch bestehenden gesundheitlichen Beschwerden seien nicht mit einem adäquat kausal auf den Unfall zurückzuführenden Gesundheitsschaden zu erklären. Das kantonale Gericht hat den Einspracheentscheid mit der Begründung, der adäquate Kausalzusammenhang sei zu früh geprüft worden, aufgehoben.
3. Die Bestimmungen und Grundsätze über den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung und den dafür nebst anderem erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden, insbesondere auch bei Vorliegen eines Schleudertraumas, einer äquivalenten Verletzung der HWS oder eines Schädel-Hirntraumas ohne organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge, sind im Einsprache- und im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die sog. Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (<ref-ruling> E. 9 und 10 S. 121 ff.).
4. 4.1 Die Allianz geht davon aus, es liege keine organisch objektiv ausgewiesene Folge des Unfalls vom 10. Oktober 2001 vor, welche die geklagten Beschwerden zu erklären vermöge. Das kantonale Gericht ist offensichtlich zum gleichen Ergebnis gelangt.
Diese Beurteilung ist nach Lage der medizinischen Akten richtig. Entgegen der von der Versicherten vertretenen Auffassung rechtfertigt das Gutachten der Klinik X._ vom 22. Dezember 2004 keine andere Betrachtungsweise. Die Aussage der Experten, wonach die subjektiven Beschwerden objektiviert werden konnten, bestätigt lediglich, dass die geklagte Symptomatik als reell angesehen wurde. Eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge ist damit nicht dargetan. Sämtliche bildgebenden Untersuchungen, auch die an der Klinik X._ durchgeführten, haben keinen solchen Gesundheitsschaden ergeben.
4.2 Fehlt es nach dem Gesagten an einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge, könnte der adäquate Kausalzusammenhang, anders als bei Gesundheitsschäden mit einem klaren unfallbedingten organischen Substrat in der Regel der Fall (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen), nicht ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Es bedarf vielmehr einer besonderen Adäquanzprüfung. Diese hat gemäss der insofern übereinstimmenden Auffassung von Parteien und Vorinstanz nach der Schleudertrauma-Praxis zu erfolgen.
4.3 Die Allianz hat diese Beurteilung im Einspracheentscheid vom 18. November 2005 vorgenommen und den adäquaten Kausalzusammenhang verneint.
Das kantonale Gericht hat erwogen, ob die geklagten Beschwerden adäquat kausale Unfallfolgen seien, dürfe rechtsprechungsgemäss erst nach Abschluss des normalen, unfallbedingten Heilungsprozesses geprüft werden. Im Gutachten der Klinik X._ vom 22. Dezember 2004 seien weitere physiotherapeutische Massnahmen vorgeschlagen worden. Der Versicherer hätte das Ergebnis dieser Massnahmen abwarten und in die Beurteilung einbeziehen müssen. Die Adäquanzprüfung sei daher zu früh erfolgt.
Nach Auffassung der Beschwerde führenden Allianz trifft diese Betrachtungsweise nicht zu.
Nach Auffassung der Beschwerde führenden Allianz trifft diese Betrachtungsweise nicht zu.
4.4 4.4.1 In <ref-ruling> hat sich das Bundesgericht auch kritisch mit dem verschiedentlich erhobenen Einwand auseinandergesetzt, mit der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhanges bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden müsse bis zur Beendigung des normalen, unfallbedingten Heilungsprozesses zugewartet werden. Es hat in Präzisierung der Rechtsprechung erkannt, dass nicht danach zu fragen ist, in welchem Zeitpunkt die Adäquanzprüfung vorzunehmen ist, sondern wann der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen hat. Dies hat gestützt auf <ref-law> in dem Zeitpunkt zu geschehen, in welchem von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind. Das Bundesgericht hat klargestellt, der Fallabschluss dürfe nicht mit der Begründung, der adäquate Kausalzusammenhang könne noch nicht geprüft werden, über diesen Zeitpunkt hinausgezögert werden (<ref-ruling> E. 3 und 4 S. 112 ff.).
Aus dem Gesagten erhellt, dass der von der Allianz auf den 1. Mai 2002 vorgenommene Fallabschluss nicht mit der Begründung der verfrühten Adäquanzprüfung für unrechtmässig erklärt werden kann. Massgeblich ist, ob von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung über den 30. April 2002 hinaus noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden konnte und ob allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen waren. Dies gilt es zu prüfen.
4.4.2 Wie aus dem Gutachten der Klinik X._ vom 22. Dezember 2004 hervorgeht, erfolgte eine Anmeldung bei der Invalidenversicherung erst im Mai 2003. Am 1. Mai 2002, dem Zeitpunkt der Leistungseinstellung, konnten somit noch keine Eingliederungsmassnahmen laufen.
4.4.3 Zu prüfen bleibt, ob von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden konnte. Was unter einer namhaften Besserung zu verstehen ist, bestimmt sich namentlich nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit unfallbedingt beeinträchtigt. Dabei muss die durch weitere Heilbehandlung zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen. Unbedeutende Verbesserungen genügen nicht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 115 mit Hinweisen).
Aus den Akten ergibt sich Folgendes: Nach dem Unfall vom 10. Oktober 2001 erfolgten verschiedene medizinische Abklärungen. Auch fanden einige Therapien insbesondere naturheilkundlicher Art statt. Die Versicherte wurde aber bis zu der offenbar im gegenseitigen Einverständnis mit dem Arbeitgeber erfolgten Beendigung des Anstellungsverhältnisses per 30. April 2002 von keinem Arzt arbeitsunfähig geschrieben. Sodann bezog sie unbestrittenermassen ab 1. Mai 2002 während zweier Monate Arbeitslosenentschädigung. Eine Arbeitsunfähigkeit (50%) wurde erstmals im Arztzeugnis des Dr. med. S._, Allgemeine Medizin FMH, vom 25. Juli 2002 bestätigt, und zwar rückwirkend auf den 1. Mai 2002. Das wirft gleich in zweifacher Hinsicht Fragen auf. Zum einen war die Versicherte erst ab 11. Juli 2002 bei Dr. med. S._ in Behandlung (Bericht des Arztes vom 19. September 2002). Zum anderen bezog sie wie erwähnt ab 1. Mai 2002 Arbeitslosenentschädigung, was Vermittlungsfähigkeit voraussetzt. Schon aufgrund dieser Widersprüche lässt sich aus der rückwirkenden Bestätigung einer Arbeitsunfähigkeit nicht herleiten, am 1. Mai 2002 habe von weiterer ärztlichen Behandlung noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes, soweit unfallbedingt beeinträchtigt, erwartet werden können. Entsprechendes ergibt sich auch nicht aus dem erst am 22. Dezember 2004 erstatteten Gutachten der Klinik X._ und den übrigen Akten.
4.4.4 Wenn die Allianz die vorübergehenden Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld) auf den 1. Mai 2002 eingestellt und den Fall abgeschlossen hat, ist dies nach dem Gesagten nicht zu beanstanden. Zu prüfen bleibt, ob ab diesem Zeitpunkt noch Unfallfolgen vorlagen, welche einen Anspruch auf weitere Leistungen der Unfallversicherung, insbesondere eine Invalidenrente, zu begründen vermögen. Die Allianz hat dies mit der Begründung, es fehle an der adäquaten Unfallkausalität der noch bestehenden Beschwerden, verneint. Dies gilt es nachfolgend zu prüfen.
4.5 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen (<ref-ruling> E. 6a S. 366 f.; <ref-ruling> E. 10.1 S. 126). Das Ereignis vom 10. Oktober 2001 ist aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufes (höchstens) als mittelschwerer Unfall im Grenzbereich zu den leichten Unfällen einzuordnen. Ein schwererer Unfall liegt entgegen der von der Versicherten vertretenen Auffassung nicht vor.
Von den weiteren, objektiv fassbaren und unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehenden oder als Folge davon erscheinenden Umständen, welche als massgebende Kriterien in die Gesamtwürdigung einzubeziehen sind (<ref-ruling> E. 6a S. 367), müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (<ref-ruling> E. 6b S. 367 f.). Daran hat sich mit <ref-ruling> (dortige E. 10.1 S. 126 f.) nichts geändert.
4.5.1 Die Allianz verneint sämtliche Kriterien in der bisherigen wie in der mit <ref-ruling> präzisierten Fassung. Demgegenüber erachtet die Versicherte mit Ausnahme der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, sämtliche unveränderten und präzisierten Kriterien für erfüllt. Dies gilt es zu prüfen.
4.5.2 Das (durch <ref-ruling> nicht geänderte) Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls ist klar zu verneinen. Dem Ereignis vom 10. Oktober 2001 mag eine gewisse Eindrücklichkeit zugebilligt werden. Als besonders ist diese aber nicht zu betrachten und es liegen auch keine besonders dramatischen Begleitumstände vor. Das Fallenlassen aufs Wasser und die dabei erfolgte Krafteinwirkung auf die Halswirbelsäule rechtfertigen keine andere Betrachtungsweise.
Entgegen der von der Versicherten vertretenen Auffassung reicht die Diagnose eines Schleudertraumas oder einer äquivalenten Verletzung der HWS nicht aus, um das (unveränderte) Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen als erfüllt zu betrachten (<ref-ruling> E. 10.2.2 S. 127). Gleiches gilt für den Umstand, dass aus solchen Verletzungen lang anhaltende Beschwerden resultieren können.
Das neu gefasste Kriterium der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung (bisher: ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung) ist ebenfalls nicht gegeben. Die ausgewiesenermassen durchgeführten Behandlungsmassnahmen, welche nebst zeitweiser Physiotherapie und Chiropraktik insbesondere naturheilkundlicher Art waren, genügen hiefür nicht.
Auch das (unveränderte) Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen ist zu verneinen. Die gesundheitliche Entwicklung nach dem Unfall unterscheidet sich nicht wesentlich von dem bei derartigen Verletzungen Üblichen. Besondere Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben (vgl. SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81, U 479/05, E. 8.5; 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008, E. 6.3.5 mit Hinweisen), liegen nicht vor. Dies gilt auch unter Berücksichtigung der zögerlichen Verfahrenserledigung durch die Allianz.
Dass das Kriterium der erheblichen Beschwerden (bisher: Dauerbeschwerden) gegeben ist, erscheint eher fraglich, zumal die Beschwerdegegnerin sich dadurch nicht gehindert sah, nach dem Unfall teils mehrmonatige Ferien im Ausland zu verbringen. Dies muss aber nicht endgültig beantwortet werden. Denn selbst wenn - ohne abschliessende Prüfung - dieses Kriterium und das verbleibende der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (bisher: Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit) bejaht würden, lägen sie jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter oder auffälliger Weise vor und wäre gesamthaft nicht von einer Häufung der adäquanzrelevanten Faktoren auszugehen.
4.6 Die Allianz hat somit ihre Leistungspflicht ab 1. Mai 2002 zulässigerweise mangels eines rechtserheblichen Zusammenhanges zwischen dem Unfall vom 10. Oktober 2001 und den noch bestandenen Beschwerden verneint. Dies führt zur Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides, womit es beim Einspracheentscheid vom 18. November 2005 bleibt.
Sämtliche Vorbringen der Beschwerdegegnerin führen zu keinem anderen Ergebnis. Namentlich liesse sich der streitige Leistungsanspruch nicht mit den geltend gemachten verzögerten Sachverhaltsabklärungen des Unfallversicherers begründen. Der rückwirkenden Einstellung der Leistungen steht auch der Vertrauensschutz nicht entgegen. Diesem Gesichtspunkt käme allenfalls Bedeutung zu, wenn es um die Frage der Rückerstattung von ab 1. Mai 2002 hinaus erbrachten Leistungen durch die Beschwerdegegnerin ginge (vgl. <ref-ruling> E. 6.8 S. 65; Urteil 8C_37/2008 vom 15. Mai 2008, E. 3.2). Solche Leistungen sind indessen nicht erfolgt. Die Heilbehandlung wurde vom obligatorischen Krankenversicherer übernommen und Taggeld richtete die Allianz nicht aus.
5. Die Gerichtskosten sind von der unterliegenden Beschwerdegegnerin zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 20. August 2007 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Juli 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung i. V. Hochuli