Sachverhalt:
A.
A.a. X._ (geb. 1986) war arbeitslos; sie lebt nach wie vor bei ihren Eltern. Nachdem die Betroffene mehrmals Anlass zu Polizeieinsätzen wegen Streitereien innerhalb der Familie gegeben hatte und sie am 19. Mai 2013 gegen ihre Mutter tätlich geworden war, ordnete der Amtsarzt an diesem Tag ihre fürsorgerische Unterbringung gestützt auf Art. 426 Abs. 1 ZGB an. Gemäss Austrittsbericht der Psychiatrischen Dienste A._ vom 27. Juni 2013, wo die Betroffene vom 19. Mai 2013 bis 26. Juni 2013 untergebracht war, leidet sie unter einer Anpassungsstörung mit vorwiegender Störung des Sozialverhaltens (ICD-10 F43.24).
A.b. Mit Entscheid vom 25. Juli 2013 ordnete das Familiengericht Y._ gestützt auf Art. 394 Abs. 1 i.V.m. Art. 395 Abs. 1 und 2 ZGB über die Betroffene eine Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung an und ernannte ihr eine Beiständin. Dieser wurde aufgetragen, stets für eine geeignete Wohnsituation bzw. Unterkunft besorgt zu sein und die Betroffene in allen in diesem Zusammenhang erforderlichen Handlungen umfassend zu vertreten, ferner stets für das gesundheitliche Wohl sowie die hinreichende medizinische Betreuung der Betroffenen besorgt zu sein und sie in allen dafür notwendigen Vorkehren zu vertreten, die Betroffene bei der Erledigung der administrativen Angelegenheiten zu vertreten, insbesondere im Verkehr mit Behörden, Ämtern, Banken, Post, Sozialversicherungen, sonstigen Institutionen und Privatpersonen, schliesslich die Betroffene bei der Erledigung der finanziellen Angelegenheiten zu vertreten, insbesondere ihr gesamtes Einkommen und Vermögen zu verwalten.
B.
In teilweiser Gutheissung der Berufung der Betroffenen änderte das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 17. April 2014 den erstinstanzlichen Entscheid teilweise ab. Es errichtete eine Vertretungsbeistandschaft im Sinn von Art. 394 Abs. 1 ZGB und nahm, soweit hier relevant, die Vertretung bei der Erledigung der finanziellen Angelegenheiten sowie die Einkommens- und Vermögensverwaltung vom Aufgabenbereich der Beiständin aus. Ferner sprach es dem unentgeltlichen Rechtsbeistand der Betroffenen eine Entschädigung von Fr. 1'728.-- aus der Obergerichtskasse zu.
C.
Die Betroffene (Beschwerdeführerin) hat am 28. Mai 2014 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen den Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 17. April 2014 Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt, den angefochtenen Entscheid und die Vertretungsbeistandschaft vollumfänglich aufzuheben. Eventuell sei auf eine Beistandschaft zu verzichten und einer Drittperson gemäss Art. 392 Abs. 2 ZGB den Auftrag zu erteilen, die Betroffene bei der Wohnungssuche zu unterstützen. Subeventuell sei die Mutter der Beschwerdeführerin als Begleitbeiständin zu ernennen mit der Aufgabe, stets für eine geeignete Wohnsituation bzw. Unterkunft zu sorgen und die Beschwerdeführerin in allen in diesem Zusammenhang erforderlichen Handlungen zu unterstützen, wobei unter einer geeigneten Unterkunft eine solche zu verstehen sei, in welcher die Beschwerdeführerin allein leben kann. Subsubeventuell sei der Entscheid aufzuheben, und die Angelegenheit zur Sachverhaltsergänzung und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner sei dem Parteivertreter der Beschwerdeführerin in Abänderung des vorinstanzlichen Entscheids eine Entschädigung von Fr. 2'628.-- zuzusprechen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der letztinstanzliche Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau als Rechtsmittelinstanz (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG, Art. 90 BGG). Er betrifft den Kindes- und Erwachsenenschutz (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) und damit eine Zivilsache nicht vermögensrechtlicher Natur. Die Beschwerdeführerin ist im Lichte von Art. 76 BGG legitimiert. Auf die fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) erhobene Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Soweit die Beschwerdeführerin um eine Erhöhung des Honorars ihres amtlichen Rechtsbeistands ersucht, ist sie zur Beschwerde nicht legitimiert, zumal nicht geltend gemacht wird bzw. nicht ersichtlich ist, über welches schützenswerte Interesse sie verfügt (Urteil 5A_451/2011 vom 25. Juli 2011 E. 1.2 mit zahlreichen Hinweisen).
2.
Strittig ist vorliegend, ob die von den kantonalen Instanzen angeordnete Vertretungsbeistandschaft im Sinn von Art. 394 Abs. 1 ZGB Bestand hält.
2.1. Die Erwachsenenschutzbehörde ordnet eine Massnahme an, wenn die Unterstützung der hilfsbedürftigen Person durch die Familie, andere nahestehende Personen oder private oder öffentliche Dienste nicht ausreicht oder von vornherein als ungenügend erscheint (Art. 389 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB), bei Urteilsunfähigkeit der hilfsbedürftigen Person keine oder keine ausreichende eigene Vorsorge getroffen worden ist und die Massnahmen von Gesetzes wegen nicht genügen (Art. 389 Abs. 1 Ziff. 2 ZGB). Jede behördliche Massnahme muss erforderlich und geeignet sein (Art. 389 Abs. 2 ZGB).
2.2. Die Erwachsenenschutzbehörde errichtet eine Beistandschaft, wenn eine volljährige Person wegen einer geistigen Behinderung, einer psychischen Störung oder eines ähnlichen in der Person liegenden Schwächezustandes ihre Angelegenheiten nur teilweise oder gar nicht besorgen kann (Art. 390 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB).
3.
Das Obergericht verweist auf die Erwägungen des Familiengerichts, die namentlich auf den Ausführungen des Austrittsberichts der Psychiatrischen Dienste A._ vom 27. Juni 2013, aber auch auf einer persönlichen Befragung der Beschwerdeführerin gründen. Danach leidet die Beschwerdeführerin unter einer Anpassungsstörung mit vorwiegender Störung des Sozialverhaltens (ICD-10 F43.24). Sie lebt im Alter von 27 Jahren nicht freiwillig bei ihren Eltern im Keller, sondern ist aufgrund ihrer Krankheit und der daraus resultierenden Arbeitslosigkeit dazu gezwungen. Es ist - so die erste Instanz - ihr erklärter Wunsch, eine Arbeitsstelle zu finden und eine eigene Wohnung zu beziehen. Die sich häufenden Konfrontationen in der Familie, die teilweise in Tätlichkeiten und Polizeieinsätzen geendet haben, machen - so die erste Instanz weiter - deutlich, dass die Beschwerdeführerin und ihre Eltern nicht in der Lage sind, selbst etwas an dieser seit 2 1/2 Jahren dauernden Situation zu ändern. Diese Umstände belasten und überfordern die Eltern, die ihre Tochter nicht in der notwendigen Art unterstützen können, auch wenn sie dies gerne täten.
Das Obergericht stimmte diesen Erwägungen zu und erwog des weiteren, aufgrund der Akten sei erstellt, dass die Beschwerdeführerin an einer psychischen Erkrankung leide, die sie mit ihrer Situation überfordere und eine relevante Hilfsbereitschaft verursache. Die Beschwerdeführerin bestreite dies nicht, finde indes, sie könne dieses Problem zusammen mit ihrer Mutter selbstständig meistern. Die Mutter sei dazu nicht in der Lage. Der Umstand, dass die Beschwerdeführerin unter dem Druck des Erwachsenenschutzverfahrens eine Gesprächstherapie aufgenommen habe, genüge nicht. Allein dies biete noch keine Gewähr für eine Verbesserung der Situation, zumal naheliege, dass die Beschwerdeführerin ohne fachkundige Unterstützung und Überwachung die Therapie wieder abbreche und in alte Muster verfalle.
4.
Die Beschwerdeführerin bestreitet zunächst das Vorliegen einer psychischen Störung im Sinn von Art. 390 Abs. 1 ZGB. Sie macht geltend, der Austrittsbericht der Psychiatrischen Dienste A._ vom 27. Juni 2013 gehe zwar von einer Anpassungsstörung mit vorwiegender Störung des Sozialverhaltens (ICD-10 F43.24) aus. Dabei handle es sich um einen knappen Bericht, der keine Erläuterung enthalte und nicht nachvollziehbar sei. So werde sie darin anlässlich des Eintritts als Patientin mit einem guten Allgemein- und Ernährungszustand, als wache und allseits orientierte Person beschrieben, deren Aufmerksamkeit, Konzentration und Gedächtnis beim Eintrittgespräch unauffällig gewesen seien. Im formalen Denken sei sie logisch und kohärent gewesen.
Es trifft zu, dass die Beschwerdeführerin im erwähnten Bericht bei ihrem Eintritt in die Psychiatrischen Dienste A._ im beschriebenen Sinn qualifiziert worden ist. Das lässt indes nicht darauf schliessen, die ärztliche Diagnose einer Anpassungsstörung mit vorwiegender Störung des Sozialverhaltens (ICD-10 F42.24) sei falsch bzw. der Bericht sei widersprüchlich. Diesem lässt sich entnehmen, dass die Beschwerdeführerin während rund eines Monats in stationärer Behandlung war und während dieser Zeit ärztlich begutachtet worden ist. Auch wenn der Bericht kurz ausgefallen sein mag, besteht kein Anlass, an der Diagnose der Fachperson zu zweifeln. Von Bedeutung ist in diesem Zusammenhang ausserdem, dass die Beschwerdeführerin persönlich angehört worden ist und die zuständigen Fachrichter des Familiengerichts die Akten bzw. die Vorgeschichte der Beschwerdeführerin kennen. Die Schlussfolgerung, es liege eine psychische Störung und damit ein Schwächezustand im Sinn von Art. 390 Abs. 1 ZGB vor, ist nicht zu beanstanden.
5.
Die Beschwerdeführerin bestreitet sodann den Zusammenhang zwischen dem Schwächezustand und der angeblichen Unmöglichkeit, ihre Angelegenheiten zu besorgen.
Das mit Fachrichtern besetzte Familiengericht kommt aufgrund des Berichts der Psychiatrischen Dienste A._ vom 27. Juni 2013 und der Anhörung der Beschwerdeführerin zum Schluss, sie könne ihre Angelegenheiten (beispielsweise Weiterbildung, Arbeit, Wohnen) aufgrund ihrer psychischen Störung nicht oder nur teilweise erledigen. Die Beschwerdeführerin setzt dem nichts Substanzielles entgegen. Das Urteil 5C.55/2001 E. 3c, auf das sie verweist, ist in diesem Zusammenhang nicht einschlägig, zumal es sich nicht ausdrücklich zu der hier strittigen Frage äussert.
6.
Die Beschwerdeführerin beanstandet sodann die Ausführungen des Obergerichts zu den verschiedenen Aufgabenbereichen der Beiständin als bundesrechtswidrig.
6.1. Mit Bezug auf die Vertretung im Bereich Gesundheit macht sie geltend, sie werde derzeit fachkundig durch Dr. B._ unterstützt und erhalte damit ausreichende Hilfe von privater Seite. Ihre psychische Verfassung habe sich gebessert und es habe seit dem 23. Mai 2013 keinen Polizeieinsatz mehr gegeben. Die Einsetzung einer Vertretungsbeiständin sei nicht geeignet und nicht notwendig. Überdies treffe die Feststellung des Obergerichts nicht zu, sie habe die Gesprächstherapie nur unter dem Druck des Erwachsenenschutzverfahrens aufgenommen. Vielmehr ergebe sich aus dem Bericht des Psychiatrischen Dienstes A._ vom 27. Juni 2013, dass sie für eine weiterführende Gesprächstherapie angemeldet worden sei. Die besagte Therapie habe sie aufgenommen.
Es trifft zu, dass die Beschwerdeführerin eine Gesprächstherapie angetreten hat. Ob sie dies allein unter dem Druck des anstehenden Verfahrens getan hat, lässt sich wohl entgegen der Auffassung des Obergerichts nicht verbindlich feststellen. Nach Angaben des behandelnden Arztes der Psychiatrischen Dienste A._ soll dies freiwillig geschehen sein. Tatsache ist indes, dass die Behandlung erst angelaufen ist und erst drei Sitzungen stattgefunden haben. Zudem ist ungewiss, ob diese Behandlung anspricht. Das Obergericht fürchtet zudem, die Beschwerdeführerin werde ohne fachkundige auswärtige Hilfe eines Beistandes die Therapie abbrechen und wieder in alte Muster verfallen. Die Beschwerdeführerin bringt nichts vor, was diese Ausführungen als bundesrechtswidrig erscheinen liesse. Im Lichte der tatsächlichen Gegebenheiten erscheint die Berücksichtigung des Aufgabenbereichs der Vertretung in gesundheitlichen Belangen gerechtfertigt.
6.2. Mit Bezug auf die Betreuung bei der Wohnungssuche macht die Beschwerdeführerin geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt unrichtig festgestellt. Die Beschreibung der Wohnung in ihrem Elternhaus als Keller sei unzutreffend. Gemäss Vollzugsbericht der Kantonspolizei betreffend fürsorgerische Unterbringung sei das Zimmer gross genug und biete Platz für alle nötigen Möbel. Zudem verfüge es über ein Fenster im Lichtschacht. Das Zimmer sei ausgebaut worden, und vor dem Zimmer befinde sich eine Dusche. Es sei daher willkürlich von einem Keller zu sprechen. Sodann sei der Schwächezustand nicht kausal dafür, dass sie nicht in der Lage sei, ihre Angelegenheiten zu besorgen. Vom Obergericht werde nicht bestritten, dass sie nach einer Wohnung ausserhalb des Elternhauses gesucht habe. Doch habe es ihre Bemühungen nicht gewürdigt. Zudem könne ihrer Mutter gestützt auf Art. 392 Abs. 2 ZGB der Auftrag erteilt werden, sie bei der Wohnungssuche zu unterstützen.
Die Beschwerdeführerin zeigt nicht auf, inwiefern die Korrektur der angeblich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung sich auf den angefochtenen Entscheid auswirken könnte (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Darauf ist nicht einzutreten. Mit Bezug auf die Kausalität zwischen dem Schwächzustand und der Hilfsbedürftigkeit bei der Wohnungssuche kann auf bereits Gesagtes verwiesen werden (E. 4). Bezüglich der Hilfsbedürftigkeit hat das Obergericht insbesondere berücksichtigt, dass die Beschwerdeführerin bei ihrer bisherigen Suche nach einer Wohnung nur Absagen erhalten hat. Unter diesen Umständen ist eine Vertretung für den Bereich der Wohnungssuche von Bundesrechts wegen nicht zu beanstanden, auch wenn die Beschwerdeführerin ihren Angaben zufolge sich ernsthaft um eine Wohnung bemüht hat. Das Obergericht hat schliesslich ausführlich begründet, dass die Beschwerdeführerin bei ihrer Suche nicht auf die kompetente Hilfe ihrer Mutter zählen kann. Die Beschwerdeführerin bringt nichts vor, was diese Feststellung als willkürlich bzw. sonst wie bundesrechtswidrig erscheinen liesse (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Mit einem Auftrag gemäss Art. 392 Abs. 2 ZGB lässt sich dem Fürsorgebedarf nicht sachgerecht begegnen (zu Art. 392 Abs. 2 ZGB siehe namentlich E. 8).
6.3. Zum Bereich Arbeitssuche macht die Beschwerdeführerin geltend, das Obergericht habe trotz ordnungsgemässen Vorbringens im Schreiben vom 31. März 2014 nicht berücksichtigt, dass sie per 11. April 2014 eine Stelle als Aushilfsverkäuferin bei C._ mit einem Stundenlohn von Fr. 19.-- brutto angetreten habe.
Das Obergericht hat in der Tat die besagte Anstellung nicht in seine Erwägungen einbezogen, wobei die konkreten Umstände dieser Unterlassung nicht geklärt sind. Die Vorinstanz hat aber in Betracht gezogen, dass die Beschwerdeführerin ihre frühere Anstellung bei der D._ unfreiwillig beendet hat und ein Arbeitsverhältnis bei der E._ wegen Mobbing kündigte. Die erste von der Psychiatrischen Dienste A._ aus initiierte Anstellung verlief laut Obergericht auch nicht problemlos. Aufgrund der Erfahrungen durfte das Obergericht durchaus davon ausgehen, die Beschwerdeführerin sei vorerst im Bereich Arbeit durch eine Beiständin zu unterstützen. Auch wenn sie nunmehr eine Arbeitsstelle gefunden hat, gilt es dafür zu sorgen, dass sich die schlechten Erfahrungen der Beschwerdeführerin nicht wiederholen. Insoweit erweist sich ein externer Ansprechpartner durchaus als sinnvoll. Eine Verletzung von Bundesrecht ist nicht ersichtlich.
6.4. Die Beschwerdeführerin kritisiert auch die Berücksichtigung des Aufgabenbereichs "administrative Angelegenheiten": Sie macht geltend, wie dargelegt und belegt, verfüge sie nunmehr über eine Anstellung und damit - entgegen der Auffassung des Obergerichts - über ein Einkommen. Fehl gehe das Argument, sie und ihre Eltern könnten die sozialversicherungsrechtlichen Ansprüche nicht überblicken. Auch hier lege das Obergericht nicht dar, dass ein Schwächezustand vorliege, der ihr die Erledigung der administrativen Belange verunmögliche. Die Unmöglichkeit, die sozialversicherungsrechtlichen Ansprüche zu überblicken, stelle daher keinen Grund für eine Vertretungsbeistandschaft dar, genüge doch hiefür ein Auftrag an eine Drittperson gestützt auf Art. 392 Abs. 2 ZGB. Überdies habe sie persönlich eine Stelle gesucht und sich um eine Wohnung bemüht. Eine Vertretungsbeistandschaft sei nicht gerechtfertigt.
Das Obergericht erachtet die Beistandschaft mit Bezug auf diesen Aufgabenbereich für gerechtfertigt, da die Ansprüche der Beschwerdeführerin auf sozialversicherungsrechtliche Leistungen zu klären seien. Dies erfordere eine Person mit dem nötigen Fachwissen und Durchsetzungsvermögen, was auf eine Berufsbeiständin zutreffe. Mit Bezug auf die Ausführungen zur Kausalität kann auf Erwägung 4 verwiesen werden. Das Obergericht hat zudem festgestellt, dass die Beschwerdeführerin aufgrund ihres Schwächezustandes der Hilfe in mehreren und verschiedensten Bereichen bedarf. Dass die Beschwerdeführerin zwischenzeitlich eine Stelle angetreten hat, schliesst Sozialversicherungsansprüche nicht grundsätzlich aus. Eine Bundesrechtsverletzung ist nicht ersichtlich (zur Frage des Auftrages gemäss Art. 392 Abs. 2 ZGB: siehe E. 8).
7.
Das Obergericht hat die Begleitbeistandschaft im Sinn von Art. 393 ZGB als ungenügend erachtet und sich daher für eine Vertretungsbeistandschaft im Sinn von Art. 394 Abs. 1 ZGB entschieden. Die Beschwerdeführerin erachtet eine Begleitbeistandschaft (Art. 393 ZGB) durch die Mutter als ausreichend. Sie stelle ihr bereits jetzt eine Wohnung im Keller zur Verfügung. Zudem habe die Beschwerdeführerin eine Gesprächstherapie angefangen und eine Arbeitsstelle gefunden. Sodann sei kein Polizeieinsatz mehr notwendig gewesen. Die Mutter könne daher nicht als überfordert angesehen werden.
Das Obergericht hat sachlich begründet, dass die Mutter der Beschwerdeführerin die anstehenden Aufgaben nicht übernehmen kann. Die Beschwerdeführerin setzt sich nicht rechtsgenügend mit den überzeugenden Erwägungen des Obergerichts auseinander. Auf die insoweit ungenügend begründete Beschwerde ist nicht einzutreten (Art. 42 Abs. 2 BGG; zu den Anforderungen an die Begründung der Beschwerde: <ref-ruling> E. 2 S. 89).
8.
Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich allgemein beanstandet, ein Auftrag im Sinn von Art. 392 Abs. 2 ZGB an eine Drittperson bzw. ihre Mutter hätte genügt, kann ihr nicht beigepflichtet werden: Der Auftrag gemäss Art. 392 Abs. 2 ZGB ist zu erteilen, wenn die Beistandschaft offensichtlich unverhältnismässig ist. Art. 392 Abs. 2 ZGB ist restriktiv anzuwenden. Er kann nicht dazu dienen, eine an sich erforderliche Beistandschaft zu umgehen (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht], BBl 2006 7044/7045 zu Art. 392; siehe im Weiteren namentlich: MEIER/LUKIC, Introduction au nouveau droit de la protection de l'adulte, 2011, Rz. 430). Im vorliegenden Fall hat sich herausgestellt, dass die Beschwerdeführerin in mehreren Bereichen auf externe Hilfe angewiesen ist. Bei dieser Ausgangslage aber ist eine Beistandschaft nicht offensichtlich unverhältnismässig und kann nicht auf den Auftrag im Sinn von Art. 392 Abs. 2 ZGB ausgewichen werden.
9.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
10.
Wie die bisherigen Ausführungen zeigen, hat sich die vorliegende Beschwerde als von Anfang an aussichtslos erwiesen. Fehlt es somit an einer der kumulativen Voraussetzungen (nicht aussichtslose Beschwerde), muss das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Bezirksgericht Y._, Abteilung Familiengericht, und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden