Sachverhalt:
A.
X._, geboren am xx.xx.1942, wurde am 10. Juli 2013 von Dr. med. A._ zwangsweise in die Psychiatrische Klinik Y._ eingewiesen.
B.
B.a. Gegen diese Einweisung beschwerte sich X._ mit Schreiben vom 17. Juli 2013 beim Verwaltungsgericht des Kantons Zug. Sie führte aus, zu Unrecht eingewiesen worden zu sein, und verlangte ihre sofortige Entlassung.
B.b. Am 24. Juli 2013 wurde X._ von der fürsorgerechtlichen Kammer des Verwaltungsgerichts in der Psychiatrischen Klinik Y._ persönlich befragt. An dieser Befragung nahm als gerichtlicher Sachverständiger Dr. med. B._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, teil, der im Anschluss an die Befragung sein Gutachten mündlich erstattete. Die Beschwerdeführerin liess durch ihren ebenfalls anwesenden Rechtsvertreter an ihrem Antrag auf sofortige Entlassung festhalten und ersuchte überdies um Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung. Anschliessend unterbrach die fürsorgerechtliche Kammer die Verhandlung für die Beratung und Urteilsfällung. Der Urteilsspruch - die Abweisung der Beschwerde - wurde den Parteien mündlich eröffnet und kurz begründet.
C.
Am 20. August 2013 verfügte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Zug die fürsorgerische Unterbringung von X._ in der Psychiatrischen Klinik Y._. Auch dagegen hat X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zug erhoben. Auf X._s ausdrücklichen Antrag hin sistierte das Verwaltungsgericht dieses Beschwerdeverfahren zzz bis zur rechtskräftigen Erledigung des vorliegenden Prozesses.
D.
Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 24. Juli 2013 (Bst. B.b ) erhebt X._ (Beschwerdeführerin) mit Eingabe vom 16. September 2013 Beschwerde in Zivilsachen. Sie beantragt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und sie aus der Psychiatrischen Klinik Y._ zu entlassen. Ferner verlangt sie für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'399.45 (inkl. MWSt). Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 476).
2.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid der fürsorgerechtlichen Kammer des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug. Diese Behörde erfüllt die Anforderungen an ein unabhängiges, mit umfassender Prüfungsbefugnis ausgestattetes oberes kantonales Gericht, das als Rechtsmittelinstanz entscheidet (<ref-law>; zu den Voraussetzungen <ref-ruling> E. 3.3 S. 97 und E. 4.1 S. 97 ff.). Der angefochtene Entscheid ist ein Endentscheid (<ref-law>). Daran ändert nichts, dass die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Zug am 20. August 2013 die fürsorgerische Unterbringung der Beschwerdeführerin verfügte. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ist dieser spätere Entscheid keine "Verlängerung" der hier streitigen Einweisung. Die ärztliche Unterbringung im Sinne von <ref-law> ist eine selbständige Massnahme, auf die nicht zwingend eine entsprechende Anordnung der Erwachsenenschutzbehörde folgt. Entsprechend fällt sie spätestens nach Ablauf der festgelegten Dauer dahin, sofern nicht ein vollstreckbarer Unterbringungsentscheid der Erwachsenenschutzbehörde vorliegt (<ref-law>). Angesichts dieser Rechtslage ist nicht ersichtlich, warum das Verfahren zzz betreffend die Beschwerde gegen den Entscheid der Erwachsenenschutzbehörde vom 20. August 2013 bis zum bundesgerichtlichen Urteil in der vorliegenden Streitsache hätte ruhen müssen (s. Sachverhalt Bst. C).
3.
3.1. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in Zivilsachen nur berechtigt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat. Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde voraus, das auch im Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 157). Am Erfordernis des praktischen Interesses fehlt es insbesondere dann, wenn der Rechtsstreit gegenstandslos geworden ist. Liegt das praktische Interesse im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung vor, fällt es aber nachträglich weg, ist der Rechtsstreit gemäss <ref-law> (SR 273) in Verbindung mit <ref-law> als erledigt abzuschreiben. Ist das schutzwürdige Interesse hingegen schon bei Einreichung der Beschwerde nicht gegeben, tritt das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 500 mit Hinweisen).
3.2. Im konkreten Fall hat die Erwachsenenschutzbehörde am 20. August 2013 die fürsorgerische Unterbringung der Beschwerdeführerin verfügt. Gegen den Rechtsmittelentscheid über die ärztliche Einweisung, die Dr. med. A._ am 10. Juli 2013 angeordnet hatte, erhob die Beschwerdeführerin - unter Ausnutzung der Gerichtsferien (Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG) - am 16. September 2013 Beschwerde an das Bundesgericht. Zu diesem Zeitpunkt lag nicht nur die erwähnte Anordnung der Erwachsenenschutzbehörde bereits fast einen Monat zurück. Auch die gesetzliche Höchstdauer der hier streitigen ärztlichen Unterbringung, die gemäss <ref-law> sechs Wochen beträgt, war am 16. September 2013 abgelaufen. Mit anderen Worten war die ärztliche Unterbringung vom 10. Juli 2013 als selbständige Massnahme im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung an das Bundesgericht bereits dahingefallen bzw. durch die Anordnung der Erwachsenenschutzbehörde vom 20. August 2013 ersetzt worden (vgl. E. 2). Das bedeutet nichts anderes, als dass der Streit um die ärztliche Einweisung schon gegenstandslos war, als die Beschwerdeführerin ihre Beschwerde in Zivilsachen einreichte. Unter diesen Umständen hat die Beschwerdeführerin kein aktuelles und praktisches Interesse mehr daran, den vorinstanzlichen Entscheid, der die ärztliche Einweisung bestätigt, vor Bundesgericht anzufechten. Nachdem die maximale Dauer der ärztlichen Unterbringung abgelaufen ist, könnte das Bundesgericht die Beschwerdeführerin auch im Falle einer Gutheissung des Rechtsmittels nicht mehr aus der ärztlichen Unterbringung entlassen. Was die ärztliche Einweisung anbelangt, ist die Beschwerdeführerin für eine Feststellung der Widerrechtlichkeit der angeordneten Massnahme auf die Verantwortlichkeitsklage nach <ref-law> zu verweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 500 f.). Schliesslich besteht auch kein Grund, ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses zu verzichten. Die Voraussetzungen hierfür (s. BGE 2C_899/2008 vom 18. Juni 2009 E. 1.2.2; Urteil 8C_760/2008 vom 30. April 2009 E. 4.1) sind nicht erfüllt. Insbesondere ist trotz der verhältnismässig kurzen Höchstdauer von sechs Wochen (<ref-law>) auch nicht von vornherein auszuschliessen, dass das Bundesgericht eine neuerliche ärztliche Unterbringung der Beschwerdeführerin rechtzeitig überprüfen könnte.
3.3. Nach dem Gesagten kann das Bundesgericht auf die Beschwerde mangels eines schützenswerten Interesses (<ref-law>) nicht eintreten. Damit braucht sich das Bundesgericht auch nicht mehr zum weiteren Antrag zu äussern, es sei der Beschwerdeführerin für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen (Sachverhalt Bst. D). Denn dieses Begehren stellt die Beschwerdeführerin ausdrücklich nur für den - nun nicht eingetretenen - Fall, dass ihre Beschwerde gutgeheissen wird.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Kanton Zug ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Psychiatrischen Klinik Y._, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Zug und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn