Zuständigkeit, hat sich ergeben:
A.- Am 27. August 1998 unterzeichneten A._ sowie B._ einerseits und C._ sowie D._ "für die X._ AG" anderseits eine "Auftrags-Vereinbarung".
Danach beauftragte die als Kundin bezeichnete X._ GmbH "A._" als "Interims-Manager" und wählte B._ als "Unter-Auftragnehmer" aus. Gemäss Ziffer 8 der Vereinbarung sollte diese ausschliesslich dem schweizerischen materiellen Recht unterstehen und Zürich Gerichtsstand sein.
In der Folge wurde B._ für die in Y._ ansässige X._ GmbH tätig. Nachdem zunächst Honorar-Zahlungen erfolgt waren, wurden diese anfangs 1999 eingestellt.
B.- Am 13. Juli 1999 reichte der in Z._ wohnhafte A._ beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen die X._ GmbH ein mit dem Begehren, diese zur Zahlung von Fr. 182'400.-- nebst Zins zu verurteilen. Der Kläger verlangte damit die Zahlung des ausstehenden Honorars. Die Beklagte erhob die Einrede mangelnder örtlicher Zuständigkeit.
Mit Beschluss vom 28. Dezember 2000 trat das Bezirksgericht auf die Klage nicht ein, weil es sich als international unzuständig betrachtete.
Der Kläger rekurrierte an das Obergericht des Kantons Zürich, das mit Beschluss vom 1. Juni 2001 den Entscheid des Bezirksgerichts in Gutheissung des Rekurses aufhob und das Verfahren zur materiellen Behandlung der Klage an das Bezirksgericht zurückwies. Das Obergericht kam im Gegensatz zur ersten Instanz zum Ergebnis, dass die Beklagte beim Abschluss der Vereinbarung vom 27. August 1998 rechtswirksam durch C._ und D._ vertreten worden sei; diese hätten als Organe der Alleingesellschafterin der Beklagten, der X._ AG, und damit auch rechtsgültig für die Beklagte gehandelt, weshalb sie an die Gerichtsstandsvereinbarung zu Gunsten der Gerichte des Kantons Zürich gebunden sei.
C.- Mit Berufung beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und auf die Klage nicht einzutreten.
Der Kläger stellt die Anträge, die Berufung abzuweisen, soweit auf sie einzutreten sei, und den angefochtenen Beschluss zu bestätigen; eventuell diesen Beschluss aufzuheben und die Sache zur Ergänzung der Akten und zu neuer Entscheidung an die kantonale Instanz zurückzuweisen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Gegen kantonal letztinstanzliche selbstständige Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit ist wegen Verletzung bundesrechtlicher Vorschriften über die sachliche, die örtliche oder die internationale Zuständigkeit die Berufung zulässig (Art. 49 Abs. 1 OG). Im angefochtenen Beschluss wird die Zuständigkeit der Zürcher Gerichte aufgrund der Gerichtsstandsvereinbarung in Ziffer 8 des Vertrags vom 27. August 1998 bejaht. Mit der Berufung macht die Beklagte geltend, das Obergericht habe <ref-law> betreffend die Voraussetzungen einer Vereinbarung über die Zuständigkeit verletzt. Beim LugÜ (Übereinkommen über die gerichtliche Zuständigkeit und die Vollstreckung gerichtlicher Entscheidungen in Zivil- und Handelssachen vom 16. September 1988; SR 0.275. 11) handelt es sich um einen völkerrechtlichen Vertrag, der zum Bundesrecht im Sinne von <ref-law> gehört (<ref-ruling> E. 3b). Die Berufung ist grundsätzlich zulässig.
2.- Im Berufungsverfahren ist das Bundesgericht an die Feststellungen der letzten kantonalen Instanz gebunden. Ausnahmen von dieser Bindung bestehen insoweit, als das kantonale Sachgericht bundesrechtliche Beweisvorschriften verletzt hat oder ihm offensichtliche Versehen unterlaufen sind (Art. 63 Abs. 2 OG). Vorbehalten bleibt ferner die Vervollständigung des Sachverhalts, wenn er lückenhaft ist, weil Feststellungen über - im kantonalen Verfahren rechtzeitig und prozesskonform vorgebrachte - Tatsachenbehauptungen fehlen, deren Abklärung im Hinblick auf die Anwendung des Bundesrechts unerlässlich ist (Art. 64 OG). Die Partei, welche den Sachverhalt berichtigt oder ergänzt wissen will, hat im Einzelnen darzutun und mit Aktenhinweisen zu belegen, dass die Voraussetzungen solcher Ausnahmen gegeben sind (<ref-ruling> E. 2a S. 485 f. mit Hinweisen). Blosse Kritik an der Beweiswürdigung der Vorinstanz ist unzulässig (<ref-ruling> E. 2a mit Hinweisen). In der Berufungsschrift finden sich keine gehörig begründeten Sachverhaltsrügen im Sinne von Art. 63 Abs. 2 oder 64 OG. Soweit die Beklagte ihre Einwände auf eine tatsächliche Grundlage stützt, die von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, oder sie diese Feststellungen ergänzt, sind ihre Vorbringen nicht zu hören.
3.- Bei einer vermögensrechtlichen Streitigkeit, wie sie hier vorliegt, kann mit der Berufung nicht gerügt werden, die Vorinstanz habe ausländisches Recht falsch angewendet (Art. 43a Abs. 2 OG e contrario; <ref-ruling> E. 3a).
Die Beklagte rügt, die Vorinstanz habe verkannt, dass nach österreichischem Recht der Beschluss einer GmbH über die Bestellung eines Geschäftsführers eintragungspflichtig sei. Damit macht sie geltend, die Vorinstanz habe das österreichische Recht nicht richtig angewendet. Diese Rüge ist nach dem Gesagten unzulässig.
4.- Haben die Parteien, von denen mindestens eine ihren Wohnsitz in dem Hoheitsgebiet eines dem LugÜ angeschlossenen Staates hat, vereinbart, dass ein Gericht oder die Gerichte eines Vertragsstaates über eine bereits entstandene Rechtsstreitigkeit oder über eine künftige aus einem bestimmten Rechtsverhältnis entspringende Rechtsstreitigkeit entscheiden sollen, so sind dieses Gericht oder die Gerichte dieses Staates gemäss <ref-law> ausschliesslich zuständig.
a) Die Beklagte hat ihren Sitz in Österreich; für diesen Staat gilt das LugÜ seit dem 1. September 1996. Das Fürstentum Monaco, wo der Kläger seinen Sitz hat, ist dem LugÜ dagegen nicht beigetreten. Da jedoch im Vertrag vom 27. August 1998 ein Gerichtsstand in der Schweiz vereinbart worden ist, für deren Gebiet das LugÜ am 1. Januar 1992 in Kraft getreten ist, sind zwei Vertragsstaaten betroffen und das Abkommen ist ohne weiteres anwendbar (<ref-ruling> E. 3e).
b) Eine Gerichtsstandsvereinbarung im Sinne von <ref-law> muss schriftlich oder mündlich mit schriftlicher Bestätigung geschlossen werden (<ref-law>). Die Vorinstanz hat mit dem Bezirksgericht festgestellt, dass C._ und D._ beim Abschluss der Vereinbarung vom 27. August 1998 nicht für die Beklagte zeichnungsberechtigt gewesen sind, was sie dem Kläger mündlich erklärt und auch mit dem schriftlichen Vermerk festgehalten hätten, dass sie den Vertrag "für die X._ AG" unterzeichneten. Nach den Feststellungen des Bezirksgerichts, auf welche die Vorinstanz verweist, haben indessen die als Organe der Alleingesellschafterin für diese zeichnungsberechtigen C._ und D._ sowohl bei den mündlichen Vertragsverhandlungen wie auch bei der Vertragsunterzeichnung für die Beklagte gehandelt. Daraus folgt, dass die Formvorschrift von <ref-law> eingehalten worden ist, falls C._ und D._ die Beklagte beim Vertragsschluss gültig vertreten konnten (vgl.
Matthias Staehelin, Gerichtsstandsvereinbarungen im internationalen Handelsverkehr Europas: Form und Willenseinigung nach Art. 17 EuGVÜ/LugÜ, Basel 1994, S. 50).
c) Da die Zuständigkeit nach <ref-law> auf vertraglicher Vereinbarung beruht, erfasst sie grundsätzlich bloss die Vertragsparteien und deren Rechtsnachfolger (Gaudemet-Tallon, Les Conventions de Bruxelles et de Lugano,
2. Aufl. , Paris 1996, N. 138 ff. S. 97). Nicht von <ref-law> geregelt werden dagegen die Rechts- und Geschäftsfähigkeit der Vertragsparteien ebenso wie die Frage, welche Anforderungen an eine wirksame Vertretung zu stellen sind (Kropholler, Europäisches Zivilprozessrecht, 6. Aufl. , N. 26 zu Art. 17; Staehelin, a.a.O., S. 137; Laurent Killias, Die Gerichtsstandsvereinbarungen nach dem Lugano-Übereinkommen, Diss. Zürich 1993, S. 201; vgl. auch Geimer/Schütze, Europäisches Zivilverfahrensrecht, München 1997, N. 81 zu Art. 17). Ob die Personen, welche die Vereinbarung unterzeichnet haben, aufgrund ihrer gesellschaftsrechtlichen Stellung oder einer besonderen Ermächtigung die Beklagte durch ihre Unterschriften gültig verpflichten konnten, wird demnach nicht von <ref-law> geregelt, sondern richtet sich nach dem massgebenden nationalen Recht.
d) Gemäss <ref-law> (Bundesgesetz über das Internationale Privatrecht vom 18. Dezember 1987; SR 291) unterstehen Gesellschaften dem Recht des Staates, nach dessen Vorschriften sie organisiert sind, eventuell dem Recht des Staates, in dem sie tatsächlich verwaltet werden. Nach dem Gesellschaftsstatut richtet sich insbesondere die Rechts- und Handlungsfähigkeit (<ref-law>), die Organisation (lit. e) und die Vertretung der aufgrund der Gesellschaftsorganisation handelnden Personen (lit. i). Mit der Berufung wird zu Recht nicht bestritten, dass die Vorinstanz zutreffend österreichisches Recht als anwendbar erklärt und danach geprüft hat, ob die als Organe der Alleingesellschafterin der Beklagten handelnden Personen diese beim Abschluss der Gerichtsstandsvereinbarung gültig vertreten konnten.
e) Nach den vom Bundesgericht nicht überprüfbaren Erwägungen der Vorinstanz (oben E. 3) erfolgt die Bestellung eines Geschäftsführers einer nach österreichischem Recht organisierten GmbH ebenso wie der Abschluss eines Anstellungsvertrags gegenüber einem Geschäftsführer durch Gesellschafterbeschluss, wobei die Willensbildung bei 100%-iger Beherrschung durch eine Alleingesellschafterin mit der Willensbildung durch deren vertretungsberechtigte Organe zusammenfällt.
Die Rüge der Beklagten, mit der sie die Feststellung der Vorinstanz in Frage zieht, wonach der Vertragszweck der Vereinbarung vom 27. August 1998 unbestritten die Bestellung eines Geschäftsführers für sie gewesen sei, ist mangels gehörig vorgebrachter Versehensrüge nicht zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 2 und 3). Es kann daher offen bleiben, ob die von der Beklagten befürwortete abweichende Auslegung des Hauptvertrags für die Gültigkeit der Gerichtsstandsvereinbarung erheblich ist, und zwar für die im vorliegenden Verfahren allein zu beurteilende Anwendung und Auslegung schweizerischen Rechts.
5.- Aus diesen Gründen ist die Berufung abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann, und der angefochtene Entscheid zu bestätigen.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend ist die Gerichtsgebühr der Beklagten aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Diese hat den Kläger für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist, und der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich (I. Zivilkammer) vom 1. Juni 2001 wird bestätigt.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 7'000.-- wird der Beklagten auferlegt.
3.- Die Beklagte hat den Kläger für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 8'000.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich (I. Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 23. November 2001
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: