Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Im Eheschutzverfahren zwischen Z._ (Ehefrau) und Y._ (Ehemann) stellte der Amtsgerichtspräsident des Richteramtes Solothurn-Lebern mit Urteil vom 14. Mai 2003 die drei Kinder der Parteien unter die Obhut des Vaters und verpflichtete die Mutter, für die Kinder einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von je Fr. 200.-- zu leisten.
A. Im Eheschutzverfahren zwischen Z._ (Ehefrau) und Y._ (Ehemann) stellte der Amtsgerichtspräsident des Richteramtes Solothurn-Lebern mit Urteil vom 14. Mai 2003 die drei Kinder der Parteien unter die Obhut des Vaters und verpflichtete die Mutter, für die Kinder einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von je Fr. 200.-- zu leisten.
B. Dagegen erhob Y._ Rekurs beim Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, welchen dieses mit Urteil vom 12. September 2003 unter anderem in Bezug auf die Kinderalimente teilweise guthiess. Es legte die von Z._ zu leistenden monatlichen Unterhaltsbeiträge wie folgt fest: Von 1. Mai 2002 bis 31. Dezember 2002 Fr. 350.-- je Kind; ab 1. Januar 2003 Fr. 460.-- je Kind.
B. Dagegen erhob Y._ Rekurs beim Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, welchen dieses mit Urteil vom 12. September 2003 unter anderem in Bezug auf die Kinderalimente teilweise guthiess. Es legte die von Z._ zu leistenden monatlichen Unterhaltsbeiträge wie folgt fest: Von 1. Mai 2002 bis 31. Dezember 2002 Fr. 350.-- je Kind; ab 1. Januar 2003 Fr. 460.-- je Kind.
C. Z._ erhebt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, das obergerichtliche Urteil vom 12. September 2003 sei aufzuheben. Zudem stellt sie ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Y._ beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Weiter stellt er ebenfalls ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Obergericht schliesst in seiner Stellungnahme auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Entscheide oberer kantonaler Instanzen im Eheschutzverfahren gelten nicht als Endentscheide im Sinne von Art. 48 Abs. 1 OG und sind daher nicht mit Berufung anfechtbar. Damit ist in einem solchen Fall einzig die staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte gegeben (Art. 84 Abs. 1 lit. a OG; <ref-ruling> E. 2 S. 476 ff.). Die vorliegende Beschwerde erweist sich in dieser Hinsicht als zulässig.
1. Entscheide oberer kantonaler Instanzen im Eheschutzverfahren gelten nicht als Endentscheide im Sinne von Art. 48 Abs. 1 OG und sind daher nicht mit Berufung anfechtbar. Damit ist in einem solchen Fall einzig die staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte gegeben (Art. 84 Abs. 1 lit. a OG; <ref-ruling> E. 2 S. 476 ff.). Die vorliegende Beschwerde erweist sich in dieser Hinsicht als zulässig.
2. Die Beschwerdeführerin macht zunächst eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss § 303 i.V.m. <ref-law>/SO sowie <ref-law> geltend: Nach ihrer Stellungnahme zum Rekurs des Beschwerdegegners im obergerichtlichen Verfahren habe dieser nachträglich noch weitere Beweismittel eingereicht. Das Obergericht habe daraufhin das Urteil gefällt, ohne ihr die Gelegenheit zu geben, sich zu diesen neuen Beweismitteln zu äussern.
2.1 Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur (<ref-ruling> E. 2b S. 138; <ref-ruling> E. 2d/bb S. 24). Eine Verletzung führt ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst zur Aufhebung des angefochtenen Urteils. Aus diesem Grund ist diese Rüge vorab zu behandeln.
Der Umfang des Anspruchs auf rechtliches Gehör bestimmt sich in erster Linie nach kantonalem Verfahrensrecht, dessen Auslegung und Anwendung im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde nur unter dem Gesichtspunkt des Willkürverbotes geprüft wird. Überdies greifen die unmittelbar aus <ref-law> fliessenden Minimalgarantien Platz; ob diese verletzt sind, beurteilt das Bundesgericht mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 2c S. 138; <ref-ruling> E. 3a S. 51).
2.2 Gemäss § 303 der Zivilprozessordnung des Kantons Solothurn vom 11. September 1966 können im Rekursverfahren neue Behauptungen und Beweismittel vorgebracht werden und es findet <ref-law>/SO Anwendung, welcher wie folgt lautet:
§ 143 (Nachträgliche Anbringungen)
1Jede Partei kann bis zu den Parteivorträgen an der Hauptverhandlung neue Behauptungen und Beweismittel vorbringen.
2Die Partei hat die wegen der nachträglichen Anbringen entstandenen Mehrkosten zu tragen, sofern sie ein Verschulden trifft.
3Der Gegenpartei ist in allen Fällen Gelegenheit einzuräumen, zu nachträglich vorgebrachten Behauptungen oder Beweismitteln Stellung zu nehmen.
Aus Absatz 3 dieser Bestimmung lässt sich ohne weiteres ableiten, dass - in Nachachtung des Anspruchs auf rechtliches Gehör - eine Partei immer das Recht hat, sich zu neuen Vorbringen ihrer Gegenpartei vernehmen zu lassen (Peter Bont, Appellation, Nichtigkeitsbeschwerde und Rekurs im Solothurnischen Zivilprozess, Diss. Basel 1980, S. 88).
2.3 Im vorliegenden Fall hat das Obergericht dieses der Beschwerdeführerin zustehende Recht auf Stellungnahme offensichtlich verletzt, indem es ihr keine Gelegenheit einräumte, sich zu der nachträglichen Eingabe des Beschwerdegegners zu äussern. Zudem ist zu beachten, dass das Obergericht diese Eingabe als rechtserheblich angesehen und sich in seinem Entscheid darauf gestützt hat. Insbesondere hat es die beigelegte Lohnabrechnung vom August 2003 der Berechnung des Einkommens des Beschwerdegegners zu Grunde gelegt.
2.4 Das Obergericht bringt in seiner Vernehmlassung vor, da die Eingabe vom 3. September 2003 der Beschwerdeführerin zugestellt worden sei, habe sie auch Kenntnis von der Einreichung der Gehaltsabrechnung per August 2003 gehabt. Sie hätte jederzeit in diese Urkunde Einsicht nehmen und allfällige Gegenbemerkungen anbringen können. Von Amtes wegen erfolge keine Zustellung von Belegen (<ref-law>/SO e contrario).
Dieser Einwand geht insbesondere angesichts der zeitlichen Verhältnisse im vorliegenden Fall fehl: Die nachträgliche Eingabe vom 3. September 2003 des Beschwerdegegners ging am 5. September 2003 (Freitag) beim Obergericht ein. Ein Doppel davon wurde der Beschwerdeführerin zugestellt; aus den Akten ist nicht ersichtlich, wann dies erfolgte. Jedenfalls kann davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdeführerin die neue Eingabe frühestens am darauf folgenden Montag (8. September 2003) zur Kenntnis nehmen konnte. Am 12. September 2003 hat das Obergericht bereits sein Urteil gefällt. Die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin hätte folglich innert bloss 1 - 2 Tagen Rücksprache mit ihrer Klientin halten, Einsicht in die der Eingabe beigelegte Lohnabrechnung (welche gemäss den obergerichtlichen Angaben nicht weitergeleitet wurde) nehmen sowie anschliessend ihre Vernehmlassung ausarbeiten müssen, damit diese überhaupt rechtzeitig vor der Urteilsfällung beim Obergericht eingegangen wäre. Das Obergericht hat die Beschwerdeführerin weder darauf aufmerksam gemacht, dass der Entscheid innert wenigen Tagen erfolge, noch ihr eine Frist zur Stellungnahme angesetzt. Für die Beschwerdeführerin hat dementsprechend auch keinerlei Veranlassung für ein derart eiliges Vorgehen bestanden.
2.5 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das Obergericht in willkürlicher Weise das Recht der Beschwerdeführerin auf Stellungnahme gemäss kantonaler Zivilprozessordnung verletzt hat. Damit kann offen bleiben, ob ebenfalls die Minimalgarantien nach <ref-law> verletzt wurden.
2.5 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das Obergericht in willkürlicher Weise das Recht der Beschwerdeführerin auf Stellungnahme gemäss kantonaler Zivilprozessordnung verletzt hat. Damit kann offen bleiben, ob ebenfalls die Minimalgarantien nach <ref-law> verletzt wurden.
3. Dementsprechend ist die staatsrechtliche Beschwerde gutzuheissen und das angefochtene Urteil aufzuheben. Auf eine Prüfung der übrigen von der Beschwerdeführerin vorgebrachten Rügen kann bei einem solchen Ergebnis verzichtet werden. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdegegner grundsätzlich kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG). Damit wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.
3. Dementsprechend ist die staatsrechtliche Beschwerde gutzuheissen und das angefochtene Urteil aufzuheben. Auf eine Prüfung der übrigen von der Beschwerdeführerin vorgebrachten Rügen kann bei einem solchen Ergebnis verzichtet werden. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdegegner grundsätzlich kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG). Damit wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.
4. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege des Beschwerdegegners ist infolge fehlender Bedürftigkeit abzuweisen: Aus den Akten wird ersichtlich, dass der Beschwerdegegner über ein Einkommen von Fr. 5'567.-- (netto) zuzüglich Kinderzulagen von Fr. 510.-- verfügt. Dazu kommen noch die Unterhaltsbeiträge für die Kinder, deren Höhe zwar noch strittig ist, insgesamt jedoch mindestens Fr. 600.-- betragen werden. Zudem ist zu beachten, dass sich die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren nicht nach kantonalem Recht bestimmen, sondern nach Art. 152 OG; nicht zu gewähren ist daher ein genereller Zuschlag zu den Grundbeträgen. Auch weitere Positionen in der Bedarfsrechnung des Beschwerdegegners erscheinen als fraglich bzw. überhöht, so dass dieser nicht als bedürftig angesehen werden kann.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn, Zivilkammer, vom 12. September 2003 aufgehoben.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn, Zivilkammer, vom 12. September 2003 aufgehoben.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege des Beschwerdegegners wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege des Beschwerdegegners wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdegegner auferlegt.
4. Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Januar 2004
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: