Sachverhalt:
A. X._ trat im Juli 2000 eine Stelle als Sekretärin/Administratorin bei der Direktion für Entwicklung und Zusammenarbeit (im Folgenden: Direktion) an, die ihr auf Ende der Probezeit per 31. Dezember 2000 gekündigt wurde. Während des von X._ angestrengten Beschwerdeverfahrens vor der Eidgenössischen Personalrekurskommission schloss sie mit dem Departement für auswärtige Angelegenheiten einen gerichtlichen Vergleich, wodurch das Arbeitsverhältnis einvernehmlich per 31. März 2001 beendet wurde; das Beschwerdeverfahren wurde abgeschrieben.
B. Am 8. Oktober 2007 richtete X._ eine am 30. November 2007 ergänzte bzw. geänderte Schadenersatzforderung wegen Folgen des in den Jahren 2000 und 2001 (während des Arbeitsverhältnisses) in der Direktion begangenen Mobbings sowie dessen finanziellen Spätfolgen bis Juni 2007 ("gesetzliches Pensionierungsalter") in Höhe von Fr. 230'000.-- an das Eidgenössische Personalamt. Das Gesuch wurde vom dafür zuständigen Eidgenössischen Finanzdepartement am 29. Mai 2008 abgewiesen.
Ein neues Schadenersatz- bzw. Genugtuungsbegehren reichte X._ am 3. August 2008 ein, welches vom Eidgenössischen Finanzdepartement am 19. Dezember 2008 ebenfalls abgewiesen wurde, soweit es darauf eintrat.
Gegen die Verfügungen vom 29. Mai 2008 und vom 19. Dezember 2008 gelangte X._ ans Bundesverwaltungsgericht, welches ihre Beschwerde am 16. Dezember 2009 abwies, soweit darauf einzutreten war.
C. Mit "Beschwerde und Einsprache" vom 15. Januar 2010 stellt X._ neben dem Antrag, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 16. Dezember 2009 aufzuheben, zahlreiche (37) Rechtsbegehren; auf diese ist - soweit erforderlich - bei der Behandlung der einzelnen Rügen näher einzugehen.
Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Das Eidgenössische Finanzdepartement stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. 1.1 Die nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereichten Ergänzungen vom 25. und 28. Februar 2010 zur Beschwerde sind - soweit es sich dabei nicht um Bemerkungen zu Eingaben der Verfahrensbeteiligten handelt - verspätet, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
1.2 Der gestützt auf das Bundesgesetz vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördemitglieder und Beamten [VG; SR 170.32] ergangene Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts auf dem Gebiet der Staatshaftung unterliegt der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht (Art. 85 Abs. 1 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG). Die Beschwerdeführerin ist als unterlegene Gesuchstellerin zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Auf ihre Eingabe ist grundsätzlich einzutreten.
1.3 Soweit sich die Beschwerde gegen die erstinstanzlichen Verfügungen des Eidgenössischen Finanzdepartementes richtet, ist darauf nicht einzutreten, weil diese - falls nicht bereits rechtskräftig - durch den angefochtenen Entscheid ersetzt worden sind (Devolutivwirkung); in diesem Umfang gelten sie inhaltlich als mitangefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1).
1.4 Gemäss <ref-law> muss ein Rechtsmittel unter anderem die Begehren und deren Begründung mit Angabe der Beweismittel enthalten, wobei nach <ref-law> in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Vorbringen müssen sachbezogen sein, damit aus der Beschwerdeschrift ersichtlich ist, in welchen Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird. Dies setzt voraus, dass sich eine Beschwerde führende Partei wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Andernfalls ist auf das Rechtsmittel nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2.1).
Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2).
Diesen Begründungsanforderungen vermag die Eingabe der Beschwerdeführerin, wie nachstehend näher dargelegt wird, in weiten Teilen nicht zu genügen. Sie legt insbesondere nicht dar, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzen soll. Dass sie keine juristischen Kenntnisse hat, entbindet sie nicht von der Begründungspflicht (<ref-law>).
1.5 Soweit die Beschwerdeführerin auf ihre Eingaben an die Vorinstanzen verweist, ist darauf nicht näher einzugehen, da die Begründung in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein muss (<ref-ruling> E. 3.1).
1.6 Die Beschwerdeführerin macht die Befangenheit der Sachbearbeiterin des Eidgenössischen Finanzdepartementes (Z._) geltend. Sie legt indessen nicht dar und es ist auch aus den Akten nicht ersichtlich, dass und inwiefern in dieser Hinsicht eine Rechtsverletzung durch den angefochtenen Entscheid vorliegen würde, weshalb darauf mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist.
2. Soweit die Beschwerdeführerin die Sachverhaltsdarstellung im angefochtenen Urteil hinsichtlich ihrer Rechtsbegehren beanstandet (Beschwerde S. 24 ff.), legt sie nicht dar und ist auch nicht ersichtlich, inwiefern diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung beruht; zudem ist nicht dargetan, inwiefern die Behebung dieses allfälligen Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnte (<ref-law>). Dies namentlich auch deshalb, weil die Ergänzung vom 30. November 2007, die sich in den Akten befindet, im angefochtenen Urteil erwähnt wird. Der von der Beschwerdeführerin angeführte <ref-law> ist im Verfahren vor Bundesgericht zudem nicht anwendbar.
Die Rüge, die Vorinstanz habe den Sachverhalt in Erwägung 4.1 völlig falsch widergegeben, ist unbegründet. Die Vorinstanz hat vielmehr die von der Beschwerdeführerin mit Schadenersatzbegehren vom 3. August 2008 u.a. beanstandete Stellungnahme der ehemaligen Arbeitgeberin (vgl. angefochtenes Urteil Sachverhalt lit. E und Erwägung 10) richtig dargestellt und diese auch beurteilt (siehe unten E. 4.7).
3. 3.1 Die Vorinstanz ist auf die Beschwerde, soweit sie sich gegen die Verfügung des Eidgenössischen Finanzdepartementes vom 29. Mai 2008 richtete, nicht eingetreten, da diese mangels rechtzeitiger Anfechtung in Rechtskraft erwachsen sei; die Eingabe vom 21. Juni 2008 sei mangels eines Anfechtungswillens der Beschwerdeführerin nicht als Beschwerde gegen diese Verfügung entgegenzunehmen.
3.2 Die Beschwerdeführerin beantragt zwar, die Verfügung vom 29. Mai 2008 aufzuheben (Rechtsbegehren 1.14); sie habe immer den Willen gehabt, die Verfügungen des Finanzdepartementes aufzuheben (Rechtsbegehren 1.27).
Die Vorinstanz hat indessen festgestellt, dass die Beschwerdeführerin kein Rechtsbegehren auf Aufhebung oder Änderung der Verfügung vom 29. Mai 2008 gestellt habe. Sie habe lediglich die Sachverhaltsdarstellung dieser Verfügung kritisiert; ein unmissverständlicher Wille, als Beschwerdeführerin aufzutreten und eine Änderung der Rechtslage anzustreben, gehe daraus nicht hervor (angefochtenes Urteil E. 2.1).
Was die Beschwerdeführerin in der vorliegenden Beschwerde vorbringt, lässt diese Feststellungen und deren Würdigung nicht als Rechtsverletzungen erscheinen. In der Rechtsmittelbelehrung der Verfügung vom 19. Dezember 2008 ist die Beschwerdeführerin auf die Anforderungen an eine Beschwerdeschrift hingewiesen worden. Der Einwand, sie habe als Laie nicht gewusst, dass ein Rechtsbegehren zu stellen sei, ist daher unbehelflich. Sie vermag aber auch namentlich nicht zu belegen, dass ihre in einem Schreiben vom 12. Juli 2008 bestätigte E-Mail-Nachricht, nach welcher sie die Verfügung nicht anfechten werde, nicht ihren wirklichen Willen zum Ausdruck gebracht hat. In ihrem Schadenersatzbegehren vom 3. August 2008 hat sie den fehlenden Anfechtungswillen ausdrücklich wiederholt (S. 6 oben). Insbesondere legt die Beschwerdeführerin aber nicht dar, inwiefern das Nichteintreten der Vorinstanz auf ihre Beschwerde, soweit sich diese gegen die Verfügung vom 29. Mai 2008 richtete, Recht verletzen soll. Es kann auf die entsprechenden Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden. Unter diesen Umständen hatte sich die Vorinstanz nicht mit den Umständen nach der Anstellung der Beschwerdeführerin bei der früheren Arbeitgeberin auseinanderzusetzen. Im Übrigen bildeten die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Umstände seit Ende der in Frage stehenden Anstellung durchaus Gegenstand der Verfügung vom 29. Mai 2008 (E. I.1, III.5, insb. III.7). Die gegenteilige Auffassung der Beschwerdeführerin entbehrt somit jeder Grundlage im angefochtenen Entscheid.
4. 4.1 Nach Art. 3 Abs. 1 VG haftet der Bund unabhängig von einem Verschulden für den Schaden, den seine Organe und seine Beamten Dritten in Ausübung ihrer amtlichen Tätigkeit widerrechtlich zufügen. Widerrechtlich ist eine Schadenszufügung dann, wenn die Rechtsordnung verletzt wurde, indem Organe oder Beamte Gebote missachtet bzw. gegen Verbote verstossen haben; allerdings müssen die verletzten Verhaltensnormen gerade dem Schutz vor solchen Schädigungen dienen. Die Rechtsprechung bejaht eine Widerrechtlichkeit des Verhaltens überdies dann, wenn Beamte gegen einen allgemeinen Rechtsgrundsatz verstossen oder das ihnen gesetzlich eingeräumte Ermessen - im Sinne eines qualifizierten Ermessensfehlers - überschreiten oder missbrauchen (<ref-ruling> E. 3.1).
Liegt eine Verletzung absoluter Rechte (insb. Leben, Gesundheit, Eigentum) ohne Rechtfertigungsgrund vor, so ergibt sich die Rechtswidrigkeit der schädigenden Handlung grundsätzlich direkt aus diesem Erfolg, ohne dass es zusätzlich eines verpönten Verhaltens im dargestellten Sinne bedürfte. Eine blosse Vermögensschädigung ohne gleichzeitigen Eingriff in ein absolutes Recht ist demgegenüber nur widerrechtlich, wenn sie auf der Verletzung einer Amtspflicht beruht, die dem Schutz vor solchen Schädigungen dient. Dabei stellt allerdings nicht jede noch so geringfügige Amtspflichtverletzung eine haftungsbegründende Widerrechtlichkeit dar; vielmehr ist erforderlich, dass eine für die Ausübung der amtlichen Funktion wesentliche Pflicht betroffen ist. Weiter reicht nicht aus, dass sich die schädigende Handlung im Nachhinein als gesetzwidrig erweist: Haftungsbegründend ist lediglich eine unentschuldbare Fehlleistung, die einem pflichtbewussten Beamten nicht unterlaufen wäre. Die Amtspflichten sollen vor Schädigungen durch fehlerhafte Rechtsakte bewahren, nicht aber die Normen des anzuwendenden materiellen Rechts selber schützen (<ref-ruling> E. 3.3).
4.2 Nach Art. 6 Abs. 2 VG hat Anspruch auf eine Geldsumme als Genugtuung, wer in seiner Persönlichkeit widerrechtlich verletzt wird, sofern ein Verschulden des Beamten vorliegt, die Schwere der Verletzung es rechtfertigt und diese nicht anders wiedergutgemacht worden ist.
4.3 Die Vorinstanz hat erkannt, die Rügen, eine Arbeitsbestätigung sei falsch datiert und es seien schlechte Referenzauskünfte erteilt worden, was zum geltend gemachten Schaden geführt habe, hätten im Rahmen einer Beschwerde gegen die rechtskräftige Verfügung vom 29. Mai 2008 angebracht werden können, weshalb das Eidgenössische Finanzdepartement darauf zu Recht nicht eingetreten sei. Dies gelte auch für Rügen, die sich auf die interne Aktennotiz vom 7. Februar 2001 stützten, da sie davon bereits im März 2008 erfahren habe; auch diese hätten mit einer Beschwerde gegen jenen Entscheid vorgebracht werden müssen. Auch die Richtigkeit und Vollständigkeit der Sachverhaltsdarstellung und Einwände bezüglich Nachvollziehbarkeit der Begründung der Verfügung vom 29. Mai 2009 habe das Eidgenössische Finanzdepartement zu Recht nicht überprüft.
Was die Beschwerdeführerin dazu vorbringt, ist in keiner Weise geeignet, diese Begründung als Rechtsverletzung erscheinen zu lassen.
4.4 Soweit die Beschwerdeführerin vorbringt, dass sie kein Verschulden an der Auflösung des Arbeitsverhältnisses bei der Direktion gehabt habe und von Mobbing durch ihren Vorgesetzten betroffen gewesen sei (Rechtsbegehren 1.30), ist darauf nicht einzutreten, da diese Frage zufolge des abgeschlossenen gerichtlichen Vergleichs von der Vorinstanz nicht zu überprüfen war (vgl. angefochtenes Urteil E. 8.1f.).
4.5 Was das Nichteingreifen von zwei Behördemitglieder des Eidgenössischen Departementes für auswärtige Angelegenheiten als damalige Aufsichtsbehörde über die ehemalige Arbeitgeberin der Beschwerdeführerin betrifft, hat die Vorinstanz erkannt, es fehle in dieser Hinsicht an einer widerrechtlichen Unterlassung, weshalb sowohl das Schadenersatz- als auch das Genugtuungsbegehren unbegründet seien.
Die Beschwerdeführerin nennt weder eine in ihrem Fall anwendbare Schutzbestimmung, noch bringt sie sonst etwas vor, was diese Begründung als Rechtsverletzung erscheinen liesse.
Der in diesem Zusammenhang erhobene Vorwurf der falschen Sachverhaltsdarstellung ist, soweit verständlich, unbegründet, ergibt sich diese doch ohne weiteres aus ihrer Beschwerde an die Vorinstanz (S. 8 f.).
4.6 Die Vorinstanz hat befunden, der Vorwurf, die Verfügung vom 29. Mai 2008 sei namentlich durch Nennung ihres Jahrgangs und ausführlicher Darstellung ihrer finanziellen Verhältnisse diskriminierend und persönlichkeitsverletzend, stelle keine schwere Verletzung der Persönlichkeit der Beschwerdeführerin dar, weshalb kein Anspruch auf Genugtuung bestehe. Einen Schaden mache sie nicht geltend (angefochtenes Urteil E. 9).
Was die Beschwerdeführerin dagegen einwendet, ist keine sachbezogene Auseinandersetzung mit den Erwägungen der Vorinstanz. Eine Rechtsverletzung ist weder dargetan, noch ersichtlich; es kann deshalb auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden.
4.7 In Bezug auf die Stellungnahme der früheren Arbeitgeberin vom 7. März 2008 zum Schadenersatzbegehren der Beschwerdeführerin ist die Vorinstanz zum Schluss gelangt, die darin enthaltene Kritik an der Beschwerdeführerin sei objektiv nicht geeignet, eine schwere Persönlichkeitsverletzung zu bewirken, weshalb auch insoweit keine Genugtuung geschuldet sei. Einen Schaden mache die Beschwerdeführerin auch hier nicht geltend (angefochtenes Urteil E. 10).
Auch in diesem Zusammenhang erschöpft sich die Kritik der Beschwerdeführerin am angefochtenen Urteil in der eigenen Darstellung der Sicht der Dinge, ohne dass sie aufzeigen würde, worin im Einzelnen eine Rechtsverletzung liegt; eine solche ist denn auch nicht zu erkennen. Die Vorinstanz hat vielmehr dargelegt, dass die beanstandeten Darstellungen keine Beschimpfungen oder ehrverletzende Äusserungen enthalten, die eine schwere Persönlichkeitsverletzung bewirken könnten; eine Rechtsverletzung kann darin nicht erblickt werden. Es kann deshalb auf diese Ausführungen verwiesen werden.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin beantragt "im Nachhinein" die unentgeltliche Rechtspflege für das vorinstanzliche Verfahren. Da diese Frage nicht Gegenstand des Verfahrens vor der Vorinstanz und damit auch nicht des angefochtenen Entscheides bildete, ist darauf nicht einzutreten. Das in jenem Verfahren Versäumte kann nicht im bundesgerichtlichen Verfahren nachgeholt werden.
5.2 Die Beschwerdeführerin erachtet die ihr von der Vorinstanz auferlegten Verfahrenskosten als zu hoch und nicht dem Verfahrensaufwand angemessen. Da sie indessen nicht darlegt, inwiefern darin eine Rechtsverletzung liegen soll, ist darauf mangels genügender Begründung nicht einzutreten. Die auferlegten Verfahrenskosten halten sich im Übrigen in dem durch das Reglement vom 21. Februar 2008 über die Kosten und Entschädigungen vor dem Bundesverwaltungsgericht vorgegebenen Rahmen (Art. 4).
6. Die Beschwerde ist aus diesen Gründen abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Da sich die Rechtsbegehren als von vornherein aussichtslos erwiesen, kann dem Begehren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung nicht entsprochen werden (<ref-law>). Bei diesem Ausgang hat die Beschwerdeführerin die Kosten des Verfahrens vor Bundesgericht zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Mai 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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