Sachverhalt:
A. Mit Beschluss vom 19. Dezember 2006 erteilte die Bausektion der Stadt Zürich der Casino Zürich AG die baurechtliche Bewilligung für die Umnutzung bestehender Räume in der Liegenschaft "Alte Börse" am Bleicherweg 5 in Zürich in einen Casinobetrieb mit sogenannter B-Konzession (das heisst ein gegenüber einem Casino mit A-Konzession eingeschränktes und unterschiedliches Spielangebot). Gegen diese Baubewilligung erhoben unter anderen A._, die B._ GmbH, C._, D._ und E._ Rekurs bei der kantonalen Baurekurskommission I. Diese trat auf das Rechtsmittel mit Entscheid vom 16. November 2007 nicht ein, weil die Rekurrenten nicht legitimiert seien.
Die unterlegenen Rekurrenten gelangten mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und beantragten, den Rekursentscheid aufzuheben und auf den Rekurs einzutreten sowie den Bauentscheid der Stadt Zürich aufzuheben. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 2. Juli 2008 ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 15. September 2008 beantragen A._, die B._ GmbH, C._, D._ und E._, der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 2. Juli 2008 sei aufzuheben und die Sache sei zu weiteren Sachverhaltsabklärungen und zur Neubeurteilung an die Vorinstanzen zurückzuweisen. Sie rügen insbesondere eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>), eine unvollständige und willkürliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts sowie die unrichtige Anwendung von Art. 33 Abs. 3 lit. a RPG (SR 700) in Verbindung mit <ref-law>.
C. Das Verwaltungsgericht und die Bausektion der Stadt Zürich beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Casino Zürich AG stellt den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid, mit welchem den Beschwerdeführern die Legitimation zur Anfechtung einer baurechtlichen Bewilligung abgesprochen wurde. Das Urteil des Verwaltungsgerichts stützt sich auf öffentliches Recht (vgl. <ref-law>) und stellt einen kantonalen Endentscheid dar (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und machen u.a. geltend, das Verwaltungsgericht habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem es ihnen ihre Rechtsmittelbefugnis abgesprochen habe. Sie sind im bundesgerichtlichen Verfahren zur Rüge der formellen Rechtsverweigerung ungeachtet ihrer Legitimation in der Sache berechtigt (<ref-law>, vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 301; <ref-ruling> E. 3b S. 167). Der Streitgegenstand ist jedoch auf die Frage der Rechtsverweigerung beschränkt. Auf die rechtzeitig erhobene Beschwerde ist daher grundsätzlich einzutreten.
2. 2.1 Gemäss Art. 33 Abs. 3 lit. a RPG gewährleistet das kantonale Recht gegen Verfügungen betreffend die Raumplanung (z.B. Baubewilligungen gemäss Art. 22 RPG) die Legitimation mindestens im gleichen Umfang wie für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Ferner schreibt <ref-law> in Fortführung von Art. 98a des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) die Einheit des Verfahrens vor: Wer zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt ist, muss sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können (<ref-law>); die unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts muss grundsätzlich mindestens die Rügen nach den Art. 95-98 BGG prüfen können (<ref-law>). Aus diesen Bestimmungen ergibt sich, dass die kantonalen Behörden die Rechtsmittelbefugnis nicht enger fassen dürfen, als dies für die Beschwerde an das Bundesgericht vorgesehen ist (vgl. 1C_379/2008 vom 12. Januar 2009 E. 3.2 mit Hinweisen). Zur Beurteilung, ob das Verwaltungsgericht die Beschwerdeführer vom Rechtsmittel ausschliessen durfte, ist im vorliegenden Fall die Beschwerdeberechtigung nach den Grundsätzen von <ref-law> zu prüfen (Urteil des Bundesgerichts 1C_26/2009 vom 27. Februar 2009 E. 2.1 mit Hinweisen). Wären die Beschwerdeführer befugt, den Sachentscheid über das umstrittene Vorhaben am Bleicherweg 5 in Zürich beim Bundesgericht anzufechten, so müsste das Verwaltungsgericht auf ihr Rechtsmittel eintreten.
2.2 Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a); durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b); und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Die Voraussetzungen von <ref-law> hängen eng zusammen; insgesamt kann insoweit an die Grundsätze, die zur Legitimationspraxis bei der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach Art. 103 lit. a OG entwickelt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 51 f., 379 E. 4b S. 386 f.), angeknüpft werden. Diese Anforderungen sollen die Popularbeschwerde ausschliessen. Will ein Nachbar eine Baubewilligung anfechten, muss er glaubhaft darlegen, dass er namentlich in räumlicher Hinsicht eine besondere Beziehungsnähe zum Streitgegenstand aufweist und dass seine tatsächliche oder rechtliche Situation durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 252). Dies gilt insbesondere dann, wenn nicht ohne Weiteres ersichtlich ist, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 1.1 S. 251). Bei der Beurteilung der Beschwerdelegitimation ist eine Würdigung aller rechtlich erheblichen Sachverhaltselemente vorzunehmen. Eine besondere Betroffenheit wird vor allem in Fällen bejaht, in welchen von einer Anlage mit Sicherheit oder grosser Wahrscheinlichkeit Immissionen auf das Nachbargrundstück ausgehen (<ref-ruling> E. 2b S. 174; <ref-ruling> E. 4c S. 387) oder die Anlage einen besonderen Gefahrenherd darstellt und die Anwohner einem besonderen Risiko ausgesetzt werden (BGE <ref-ruling> E. 4d S. 388).
2.3 Die Beschwerdeführer berufen sich zur Begründung ihrer Legitimation auf die zu erwartenden künftigen Immissionen wegen des zusätzlichen Strassenverkehrs, der auf den Casinobetrieb zurückzuführen sei. Sie wohnen bzw. haben ihren Sitz alle in einer Entfernung von rund 250 m bis zu 1,7 km vom streitbetroffenen Bauvorhaben: C._ rund 250 m an der Stockerstrasse 48, E._ und die B._ GmbH rund 500 m am Bleicherweg 47, D._ rund 1,5 km an der Hügelstrasse 9 und A._ rund 1,7 km an der Rieterstrasse 69. Sie leiten ihre Legitimation zum Rekurs bzw. zur Beschwerde denn auch nicht aus der nahen räumlichen Beziehung zum streitbetroffenen Bauvorhaben ab, sondern aus der wegen des Casinobetriebs befürchteten Zunahme des Strassenverkehrs und den damit verbundenen Immissionen bei den betroffenen Strassenabschnitten.
2.4 Die Erfassung zukünftiger Immissionen ist nicht eine reine Rechtsfrage, sondern wesentlich eine Frage der Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts (<ref-ruling> E. 2 S. 157 mit Hinweis). Das Bundesgericht ist nach <ref-law> an die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung gebunden, soweit diese nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht. Die Beschwerdeführer beanstanden die vorinstanzlichen tatsächlichen Annahmen in verschiedener Hinsicht und werfen dem Verwaltungsgericht verschiedene Verfassungsverletzungen vor (insbesondere Art. 9 und 29 BV). Das Vorgehen des Verwaltungsgerichts steht jedoch mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung im Einklang und ist nicht zu beanstanden. Für eine genaue Quantifizierung der zusätzlichen Lärm- und Luftbelastungen, die sich aus dem zusätzlichen Verkehrsaufkommen durch das Spielcasino ergeben, ist praxisgemäss von Annahmen, Erfahrungswerten, Prognosen etc. auszugehen. Dabei sind künftige Entwicklungstendenzen zu berücksichtigen, erscheinen doch wenigstens diesbezügliche Angaben als einigermassen verlässlich. Das Bundesgericht übt nach ständiger Rechtsprechung bei der Überprüfung von Annahmen über künftige Verkehrsaufkommen - gehe es um Strassen- oder um Luftverkehr - grösste Zurückhaltung. Solche Prognosen, die für den Strassenverkehr in der Regel auf Modellberechnungen beruhen, sind zwangsläufig mit beträchtlichen Unsicherheiten verbunden. Die Verkehrsentwicklung hängt stark von den demographischen, wirtschafts- und verkehrspolitischen Rahmenbedingungen ab, so dass sich die Prognose für einen längeren Zeitraum je nach dem ihr zugrunde gelegten Szenario deutlich unterschiedlich gestalten kann. (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1E.17/1999 vom 25. April 2001 in: ZBl 103/2002 S. 375 E. 3a).
2.5 Das Verwaltungsgericht hat die zu erwartende Verkehrsentwicklung unter Berücksichtigung zahlreicher Faktoren eingehend geprüft. Dabei hat es die Situation anderer Spielcasinos als Vergleichsmassstab beigezogen und die von der Baurekurskommission herangezogenen Beurteilungsfaktoren sowie die Berechnungsweise für die Immissionsprognose als sachgerecht beurteilt. Es bezeichnete im Ergebnis die Prognose, nach welcher keine legitimationsbegründende Verkehrszunahme zu erwarten sei, als plausibel. Damit hat die Vorinstanz entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer nicht gegen die Legitimationsbestimmungen gemäss <ref-law> verstossen. Es ist aufgrund der Akten vielmehr davon auszugehen, dass die Beschwerdeführer, deren Liegenschaften sich nicht in unmittelbarer Nachbarschaft des geplanten Casinos befinden, keine deutlich wahrnehmbare zusätzliche Immissionsbelastung an den bereits vorbelasteten Strassenabschnitten zu befürchten haben. Eine eindeutige Zuordnung der Zu- und Wegfahrten einschliesslich des Parkplatzsuchverkehrs zum Casino lässt sich aufgrund der zentralen Lage in der Innenstadt kaum vornehmen. Die durch den Casinobetrieb zu erwartenden Immissionen werden sich auch in den kritischen Nachtstunden weitgehend mit den allgemeinen Strassenimmissionen in der Innenstadt vermischen und kaum mehr als eigenständige Belastung feststellbar sein. An dieser Beurteilung ändern auch die zahlreichen Rügen der Beschwerdeführer nichts, ohne dass auf jedes ihrer Argumente näher einzugehen wäre. Dem Verwaltungsgericht ist darin zuzustimmen, dass mit der von den Beschwerdeführern geforderten Auslegung der Legitimationsvorschriften die Schwelle zur Popularbeschwerde überschritten würde.
3. Es ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist. Die Gerichtskosten sind den unterliegenden Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>). Diese haben die Casino Zürich AG für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben die Casino Zürich AG für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Stadt Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, sowie dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Haag