Sachverhalt:
A. A. X._ (Beschwerdeführerin), geboren am 29. Juli 1994, wurde am 20. Juli 1995 operiert, weil sie mit einem Herzfehler zur Welt gekommen war. Im Nachgang dieser Herzoperation im Spital Y._ unter der Leitung des Ärzteteams von Prof. Dr. D._ kam es nach dem Entfernen der Kanülen der Herz-Lungen-Maschine (HLM) aus der oberen Hohlvene und dem Vernähen zu Komplikationen: Es wurde bemerkt, dass die Beschwerdeführerin im Bereich des Kopfes und der oberen Extremitäten sich etwas bläulich verfärbte. Der zentrale Venendruck (ZVD) zeigte Werte über 20 mmHg (Millimeter Quecksilbersäule). Es war zu einer Einengung in dieser oberen Hohlvene im Bereich der vernähten Kanülierungsstelle gekommen, zu einer sogenannten Cavastenose, was die zerebrale Durchblutung beeinträchtigen und die Entstehung eines Hirnödems begünstigen kann. Die Beschwerdeführerin wurde nochmals an die HLM angeschlossen und danach wurde die Kanülierungsstelle neu vernäht. In der Folge wurde die Beschwerdeführerin auf die Intensivstation des Spitals verlegt. Dort verringerten sich nach ein paar Stunden zum einen die Pumpleistungen ihres Herzens (low cardiac output syndrom, LCOPS) und zum anderen wurde ein Hirnödem festgestellt. Es wurden therapeutische Massnahmen ergriffen. Die Beschwerdeführerin ist seither in Folge einer Hirnschädigung schwer behindert und pflegebedürftig. Sie ist der Auffassung, dass die Hirnschädigung auf Sorgfaltspflichtverletzungen seitens der Ärzte der Beschwerdegegnerin zurückzuführen ist.
B. Die Beschwerdeführerin erhob am 25. November 2002 beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Klage gegen das Spital Y._ (Beschwerdegegnerin). Sie stellte das Rechtsbegehren, diese sei zu verpflichten, ihr Fr. 30'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 20. Juli 1995 als Teilgenugtuung zu bezahlen.
Gestützt auf verschiedene Sachverständigengutachten und -aussagen wies das Verwaltungsgericht am 9. November 2010 die Klage ab. Es entschied, den verantwortlichen Medizinalpersonen der Beschwerdegegnerin könne keine Sorgfaltspflichtverletzung vorgeworfen bzw. nachgewiesen werden. Für die präoperative Phase verneinte es zudem den Kausalzusammenhang zwischen angeblich pflichtwidrig unterlassenen Massnahmen und dem eingetretenen Schaden. Schliesslich verneinte es auch eine Verletzung der Aufklärungspflicht seitens der Beschwerdegegnerin.
C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, es sei das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Klage gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, und (recte wohl: um) die beanstandeten Beweisverfahren durchzuführen und in der Sache selbst zu entscheiden. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegenstand des angefochtenen Entscheids ist ein Teilgenugtuungsanspruch wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital nach dem kantonalen öffentlichen Haftungsrecht. Da solche Entscheide in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, kann dagegen nach <ref-law> Beschwerde in Zivilsachen erhoben werden (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1 S. 465).
1.2 Das Verwaltungsgericht fällte den angefochtenen Entscheid als kantonalrechtlich einzige Instanz (<ref-law>). Der Umstand, dass das Verwaltungsgericht die Anforderungen des BGG an die kantonalen Vorinstanzen (<ref-law>) insofern nicht erfüllt, als es nicht als Rechtsmittelinstanz entschied, hindert das Eintreten auf die Beschwerde nicht, da der angefochtene Entscheid am 16. November 2010 eröffnet worden ist (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
1.3 Auch die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in Zivilsachen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Unter Vorbehalt zulässiger Beschwerdegründe (<ref-law>) und einer rechtsgenügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) ist somit auf die Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Ferner hat die Begründung in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen; blosse Verweise auf kantonale Akten sind unbeachtlich (vgl. <ref-ruling> E. 1d).
Die Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
Macht der Beschwerdeführer eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; er hat vielmehr im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E.4.3 S. 522; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1. S. 399).
Wie in den nachfolgenden Erwägungen aufzuzeigen ist, genügt die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen grösstenteils nicht.
2.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Feststellung des Sachverhalts nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht. "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich". Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>; (<ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 1.2.2), was in der Beschwerde darzutun ist (<ref-ruling> E. 2.2.2). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, kann sich nicht damit begnügen, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Vielmehr hat er klar und substanziiert aufzuzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen. Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4; Urteile 4A_385/2010 vom 12. Januar 2011, E. 1.4, nicht publ. in: BGE 137 III XX; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
Wird Willkür in der Ermittlung des Sachverhalts geltend gemacht, ist zu beachten, dass dem Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zusteht. Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn das Sachgericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4b). Inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht haben soll, ist in der Beschwerde im Einzelnen detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.3). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem die freie Prüfung aller Tat- und Rechtsfragen zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2b).
Diesen Anforderungen genügt die vorliegende Beschwerde ebenfalls in weiten Teilen nicht, indem sie die vorinstanzliche Beweiswürdigung der Vorinstanz in rein appellatorischer Weise kritisiert. Überdies stellt die Beschwerdeführerin ihren rechtlichen Vorbringen eine ausführliche eigene Sachverhaltsdarstellung voran. Sie weicht darin - wie auch in ihrer weiteren Beschwerdebegründung - in zahlreichen Punkten von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab oder erweitert diese, ohne dazu substanziiert Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung gemäss Art. 105 Abs. 2 und <ref-law> geltend zu machen. Ihre Vorbringen haben insoweit unbeachtet zu bleiben.
3. Das Verwaltungsgericht stützte seinen Entscheid auf das im Zeitpunkt der angeblich haftungsbegründenden Ereignisse geltende kantonale Haftungsrecht, konkret auf Art. 48 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Bern vom 5. November 1992 über das öffentliche Dienstrecht (altes Personalgesetz, aPG/BE; GS 1993, S. 64 ff., in Kraft bis 30. Juni 2005). Dieses wurde aufgrund des fakultativen Vorbehalts gemäss <ref-law> zugunsten des kantonalen öffentlichen Rechts erlassen; die Bestimmungen des Obligationenrechts kommen als ergänzendes kantonales öffentliches Recht zur Anwendung (Art. 51 aPG/BE; Roland Brehm, Berner Kommentar, 3. Aufl. 2006, N. 17 zu <ref-law>). Nach Art. 48 Abs. 1 aPG haften öffentliche Organisationen des kantonalen Rechts und private Organisationen oder Personen, die unmittelbar mit kantonalen öffentlichen Aufgaben betraut sind, für den Schaden, den ihre Organe oder Angestellten Dritten in Erfüllung ihrer Aufgabe widerrechtlich zugefügt haben. Die Anwendbarkeit dieser Haftungsnorm ist unbestritten.
Das Bundesgericht prüft die Anwendung des kantonalen Rechts durch die kantonale Behörde lediglich auf Willkür (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.3 S. 521 f.). Das gilt gemäss ständiger Praxis auch für Arzthaftungsprozesse nach kantonalem öffentlichen Recht, in denen Schadenersatz- oder Genugtuungsforderungen wegen fehlerhafter Behandlung in öffentlichen Spitälern streitig sind (BGE <ref-ruling> E. 4.4.1; Urteil 4A_48/2010 vom 9. Juli 2010 E. 3). Auch soweit die Beschwerdeführerin eine rechtsfehlerhafte Beurteilung der Widerrechtlichkeit rügt bzw. geltend macht, eine Verletzung der die Widerrechtlichkeit begründenden Sorgfaltspflicht (vgl. dazu unten E. 6.2) sei rechtsfehlerhaft verneint worden, rügt sie daher nicht die Verletzung von Bundeszivilrecht, sondern die von kantonalem Recht und die Kognition des Bundesgerichts ist auf Willkür beschränkt.
Im Rahmen der Willkürkognition kann das Bundesgericht nur eingreifen, wenn der Entscheid des Verwaltungsgerichts offensichtlich unhaltbar ist, namentlich eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE <ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.1 S. 18; 110 Ia E. 2a S. 3 f.).
4. Die Vorinstanz verneinte ein sorgfaltswidriges, die Widerrechtlichkeit begründendes Verhalten der Beschwerdegegnerin. Sie stützte sich dabei ausser auf die Krankengeschichte und weitere medizinische Unterlagen auf fünf, zwischen 1998 und 2009 erstellte Gutachten sowie auf Auskünfte von Sachverständigen, u.a. von Prof. Dr. E._ und von Prof. Dr. F._ (im Folgenden: FMH-Gutachter).
Die Beschwerdeführerin machte im vorinstanzlichen Verfahren geltend, die FMH-Gutachter seien befangen. Es könne deshalb nicht auf deren Ausführungen abgestellt werden und es sei ein internationales Expertengremium zu beauftragen, um alle medizinischen Fragen des vorliegenden Falles in einem Gutachten umfassend und erschöpfend darzulegen. Die Vorinstanz hielt das Ablehnungsbegehren als verspätet gestellt, weshalb der Ablehnungsanspruch verwirkt sei. Überdies verwarf sie das Ablehnungsbegehren mit einlässlichen Erwägungen als unbegründet. Zusammenfassend erkannte sie keine Hinweise darauf, dass die Sachverständigen aufgrund einer früheren beruflichen Zusammenarbeit mit Prof. Dr. D._ befangen sein könnten. Die frühere Tätigkeit im gleichen Team am Spital W._, der fachliche Austausch und gemeinsame wissenschaftliche Publikationen in den 1990er Jahren liessen diesen Schluss nicht zu. Es könne aus diesen früheren beruflichen und wissenschaftlichen Kontakten nicht auf eine besonders ausgeprägte, die Unabhängigkeit der Sachverständigen gefährdende Freundschaft geschlossen werden.
Die Beschwerdeführerin hält im Wesentlichen bloss an ihrer Auffassung fest, die Experten seien befangen, ohne sich rechtsgenüglich mit der gegenteiligen Begründung der Vorinstanz, auf die im Übrigen verwiesen werden kann, auseinanderzusetzen und darzulegen, inwiefern die Vorinstanz damit Bundesrecht verletzt haben soll. Damit genügt sie den Begründungsanforderungen im vorliegenden Beschwerdeverfahren nicht, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann. Ebenso wenig genügt sie den Begründungsanforderungen, soweit sie im Weiteren geltend macht, die Experten hätten zu verschiedenen entscheidenden Fragen mehrmals Stellung genommen und jeweils relativierende, die Beschwerdegegnerin schonende Antworten gegeben oder Sachverhaltshypothesen aufgestellt, die mit dem konkreten Sachverhalt nicht das Geringste zu tun hätten. Sie substanziiert diese allgemein gehaltenen Behauptungen in der Beschwerdeschrift nicht hinreichend anhand von im angefochtenen Entscheid getroffenen tatsächlichen Feststellungen, sodass auf eine Befangenheit der Gutachter geschlossen werden könnte (vgl. dazu <ref-ruling> E. 7.1 S. 109 f.; <ref-ruling> E. 3f/bb S. 81; <ref-ruling> E. 4b; <ref-ruling> E. 3a/b). Es kann damit offen bleiben, ob die Vorinstanz den Ablehnungsanspruch überdies zu Recht als verwirkt betrachtete.
Bei dieser Sachlage erweist sich auch die weitere, allein mit der angeblichen Befangenheit der FMH-Gutachter motivierte Rüge als unbegründet, wonach die Vorinstanz den Anspruch auf rechtliches Gehör der Beschwerdeführerin (<ref-law>) verletzt habe, indem sie ihrem Antrag, ein neues, umfassendes medizinisches Gutachten erstellen zu lassen, nicht stattgegeben habe.
5. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz vor, zu Unrecht eine schwere Verletzung der Dokumentationspflicht seitens der Beschwerdegegnerin verneint zu haben, die zu einer Umkehr der Beweislast hätte führen müssen. Sie hatte im kantonalen Verfahren beanstandet, dass in den medizinischen Unterlagen einschliesslich der Krankengeschichte eine grosse Anzahl von Tipp-ex-Korrekturen, sonstigen Korrekturen, Streichungen und anderen Manipulationen festzustellen sei. Diese Korrekturen könnten nicht als Korrekturen versehentlicher Einträge ignoriert werden, zumal gewisse Einträge von mehreren Personen und während einer sehr langen Dauer (mehrere Tage) vorgenommen worden seien. Ferner bemängelte die Beschwerdeführerin, dass zahlreiche medizinische Befunde und Vorgänge zu Unrecht nicht protokolliert worden seien.
5.1 Zu den Korrekturen und geltend gemachten Manipulationen hielt die Vorinstanz fest, den bemängelten Tipp-ex-Korrekturen auf den Verlaufskurven-Blättern komme nach den FMH-Gutachtern keine medizinische Relevanz zu. Die Gutachter hätten die Vermutung verworfen, dass Akten nachträglich, systematisch und im Hinblick auf die Erzielung eines bestimmten Ergebnisses korrigiert worden seien. Es fehlten konkrete Anhaltspunkte, dass die Akten im Sinn einer tatsachenwidrigen Darstellung des Verlaufs manipuliert werden sollten. Die Klägerin stelle in diesem Zusammenhang lediglich nicht weiter belegte Vermutungen auf und der Vorwurf der Aktenmanipulation sei nicht erhärtet.
Die Beschwerdeführerin lässt eine substanziiert begründete Rüge vermissen, in der sie darlegen würde, inwiefern die Vorinstanz mit dieser Beweiswürdigung in Willkür verfallen sein soll. Sie bezweifelt, dass die Korrekturen auf den Verlaufsblättern nicht von medizinischer Relevanz sein sollen, und qualifiziert die angeblich von der Beschwerdegegnerin für die Korrekturen auf den Aufzeichnungsblättern der Intensivstation angeführte Begründung, es seien Werte in falsche Kolonnen eingetragen bzw. versehentlich falsche Dosierungen und Werte eingetragen worden, pauschal als schlechte Ausrede. Damit legt sie in appellatorischer Weise bloss ihre eigene Sicht der Dinge dar, wobei sie den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt in unzulässiger Weise ergänzt. Sie unterlässt es weitgehend, anhand von konkreten Anhaltspunkten für Aktenmanipulationen aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz in Willkür verfallen sein soll, indem sie der Meinung der FMH-Gutachter folgte und verneinte, dass über blosse Vermutungen hinausgehende und damit für einen Beweis hinreichende Anhaltspunkte für Aktenmanipulationen vorlägen. Auf ihre Ausführungen in diesem Punkt kann nicht eingetreten werden. Als konkretes und "krassestes Beispiel" für ein korrigiertes und damit mutmasslich manipuliertes Blatt führt sie bloss eine als Beilage zur Beschwerde eingereichte Stelle aus der Krankengeschichte an, welche die Pflegeplanung der Beschwerdeführerin mit Einträgen vom "30. August" bis "10. Oktober" betrifft. Dieses bezieht sich indessen auf eine Zeit, zu der die Schädigung der Beschwerdeführerin schon längst eingetreten war. Es ist damit ausgeschlossen, dass es Aufzeichnungen betrifft, die im vorliegenden Zusammenhang medizinisch relevant sein könnten.
5.2 Was die geltend gemachten Dokumentationslücken angeht, hielt die Vorinstanz dafür, diese spielten für den Ausgang des Verfahrens keine Rolle oder hätten sich nicht erhärtet. Dagegen erhebt die Beschwerdeführerin keine Rüge, in der sie sich mit den entsprechenden Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzt und darlegt, welche Rechte die Vorinstanz damit verletzt haben soll, sondern behauptet bloss pauschal, es sei über verschiedene entscheidende und sehr wichtige Punkte nichts festgehalten worden. Darauf kann nicht eingetreten werden (Erwägung 2.1 vorne).
6. 6.1 Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz vor, willkürlich und unter Verletzung der Beweislastregeln sowie der Verletzung des rechtlichen Gehörs ein sorgfaltswidriges, die Widerrechtlichkeit begründendes Verhalten der Beschwerdegegnerin verneint zu haben.
6.2 Ein sorgfaltswidriges oder widerrechtliches Verhalten eines Arztes kann namentlich darin liegen, dass bei der ärztlichen Behandlung in einem Spital gegen die objektiv gebotene Sorgfalt der ärztlichen Kunst verstossen wird (<ref-ruling> E. 4d/ee; <ref-ruling> E. 4a S. 414, 115 Ib 175 E. 2a S. 180). Die Anforderungen an die ärztliche Sorgfaltspflicht lassen sich nicht ein für allemal festlegen; sie richten sich vielmehr nach den Umständen des Einzelfalles, namentlich nach der Art des Eingriffs oder der Behandlung, den damit verbundenen Risiken, dem Ermessensspielraum, den Mitteln und der Zeit, die dem Arzt im einzelnen Fall zur Verfügung stehen, sowie nach dessen Ausbildung und Leistungsfähigkeit. Allgemein lässt sich immerhin sagen, dass seine Haftung sich nicht auf grobe Verstösse gegen Regeln der ärztlichen Kunst beschränkt. Der Arzt hat Kranke stets fachgerecht zu behandeln, zum Schutze ihres Lebens oder ihrer Gesundheit insbesondere die nach den Umständen gebotene und zumutbare Sorgfalt zu beachten, grundsätzlich folglich für jede Pflichtverletzung einzustehen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 124.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 11; <ref-ruling> E. 4 S. 413, 115 Ib 175 E. 2b S. 180 ff. je mit Hinweisen).
Der Begriff der Pflichtverletzung darf aber nicht so verstanden werden, dass darunter jede Massnahme oder Unterlassung fällt, welche bei nachträglicher Betrachtung den Schaden bewirkt oder vermieden hätte. Eine Pflichtverletzung ist nur dort gegeben, wo eine Diagnose, eine Therapie oder ein sonstiges ärztliches Vorgehen nach dem allgemeinen fachlichen Wissensstand nicht mehr als vertretbar erscheint und damit ausserhalb der objektivierten ärztlichen Kunst steht (BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 12; <ref-ruling> E. 4 S. 413; Urteil 4A_48/2010 vom 9. Juli 2010 E. 6.1).
6.3 Die Vorinstanz verneinte die Sorgfaltswidrigkeit bzw. die Widerrechtlichkeit der medizinischen Handlungen nach einer umfassenden Würdigung der vorhandenen Beweise, so insbesondere der bereits erwähnten medizinischen Gutachten und Sachverständigenaussagen. Sie äusserte sich dabei gesondert zur präoperativen, zur intraoperativen und zur postoperativen Phase.
6.4 Was die präoperative Phase anbelangt, hielt es die Vorinstanz für nicht erstellt, dass der Verzicht auf eine Herzkatheteruntersuchung vor der Operation pflichtwidrig sei. Sie erwog dazu, die Gutachter Prof. G._ und Prof. H._ der Klinik Q._ (im Folgenden: Gutachter aus Q._) hätten zwar zunächst ausgeführt, eine solche Untersuchung wäre im vorliegenden Fall wichtig gewesen, um das postoperative Management zu planen. Im Ergänzungsgutachten hätten sie dann aber präzisiert, dass die Untersuchung empfehlenswert, in der klinischen Praxis aber nicht zwingend notwendig sei. Weiter verneinte die Vorinstanz einen Kausalzusammenhang zwischen der angeblich pflichtwidrig unterlassenen Abklärung und der Schädigung der Beschwerdeführerin.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz in nicht leicht nachvollziehbaren Ausführungen - in denen sie die Frage der Pflichtverletzung und der Kausalität miteinander vermischt - vor, eine Pflichtverletzung willkürlich verneint zu haben, indem sie die Unterlassung einer Massnahme, die von den Experten als empfehlenswert bezeichnet wurde, nicht als Pflichtverletzung qualifiziert habe. Wie es sich damit verhält, kann vorliegend offen bleiben.
Die Beschwerdeführerin erhebt jedenfalls keine rechtsgenügend begründete Willkürrüge gegen die Beurteilung der Vorinstanz, soweit sie den tatsächlichen Kausalzusammenhang zwischen Unterlassung und der Schädigung als nicht gegeben erachtete. Die Vorinstanz hielt insoweit fest, die Gutachter aus Q._ hätten die Frage der Relevanz der unterlassenen Herzkatheteruntersuchung für die Schädigung gerade auch mit Blick auf das postoperative Management klar verneint. Wenn die Beschwerdeführerin dem, ohne gegen diese Feststellung eine Aktenwidrigkeitsrüge mit präzisen Aktenhinweisen zu erheben, entgegenhält, die Experten hätten unbestrittenermassen darauf verwiesen, dass die Ergebnisse einer solchen Untersuchung es den Ärzten erleichtert hätte, eine Komplikation nach ihrem Eintritt besser zu beherrschen, weshalb deren Unterlassung zumindest eine Teilkausalität begründe, kann sie nicht gehört werden. Sie übt damit, wie auch mit ihrem weiteren Argument, diese Untersuchung würde nicht empfohlen, wenn sie völlig sinnlos wäre, nur appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil, ohne rechtsgenüglich darzutun, weshalb der gestützt auf die darin festgehaltenen Ausführungen der Gutachter gezogene Schluss der Vorinstanz willkürlich sein soll.
Die Beschwerdeführerin bringt sodann vor, es sei im vorinstanzlichen Verfahren nicht geklärt worden, ob und in welchem Masse die Ergebnisse einer solchen Herzkatheteruntersuchung das Verhalten des Operationsteams beeinflusst hätte. Insoweit unterlässt sie es darzulegen, welche Rechte der Beschwerdeführerin die Vorinstanz damit verletzt haben soll und inwiefern. Es erübrigt sich damit, weiter darauf einzugehen.
6.5 Hinsichtlich der intraoperativen, d.h. der herzchirurgischen Phase, hielt die Vorinstanz fest, es sei unbestritten, dass die Operation am Herz der Beschwerdeführerin richtig durchgeführt wurde. Nach der Entfernung der Kanülen von der HLM aus der oberen Hohlvene kam es allerdings zu Komplikationen. Die Ärzte bemerkten eine bläuliche Verfärbung am Kopf sowie an den oberen Extremitäten des Kindes und der ZVD zeigte Werte von über 20 mmHG. Es wurde eine Cavastenose festgestellt. Die Beschwerdeführerin wurde daraufhin nochmals an die HLM angeschlossen, die Kanülierungsstelle der oberen Hohlvene eröffnet und anschliessend neu vernäht. In der Folge sanken die ZVD-Werte und es konnte eine Besserung der Hautfarbe festgestellt werden.
6.5.1 Im vorinstanzlichen Verfahren war umstritten, ob die aufgetretene Stenose mit visueller Kontrolle früher hätte erkannt werden können und müssen, sodass die gebotenen medizinischen Massnahmen früher eingeleitet worden wären. Die Vorinstanz hielt es aufgrund des Beweisverfahrens nicht für erstellt, dass die schwere Cavastenose beim Zuziehen der sog. Tabakbeutelnaht an der Kanülierungsstelle oder im Anschluss daran visuell erkennbar gewesen sei. Die Folgen der Beweislosigkeit in diesem Punkt habe die Beschwerdeführerin zu tragen und eine Verletzung der ärztlichen Sorgfaltspflicht sei deshalb insoweit zu verneinen. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz in diesem Zusammenhang verschiedene Rechtsverletzungen vor.
6.5.1.1 Die Vorinstanz erwog, die Sachverständigen hätten bestätigt und die Beschwerdeführerin anerkenne, dass selbst erhebliche Stenosen von aussen nicht immer bzw. nicht zwingend sichtbar seien. Es könnten auch bei normaler äusserer Dimension der Vene Einengungen des Lumens (Lichtung des Hohlorgans), das heisst Gewebevorwölbungen nach innen, eintreten, die von aussen nicht visuell erkennbar seien. Sähen die Ärzte die Stenose nicht, lasse dies deshalb nicht ohne Weiteres auf einen Kunstfehler schliessen.
Die Beschwerdeführerin trägt vor, keiner der Experten habe gesagt, dass im konkreten Fall beim Zuziehen der oberen Hohlvene nach der Operation eine Vorwölbung nach innen erfolgt sei. Diese Möglichkeit stelle eine blosse Hypothese dar. Indem die Vorinstanz gestützt auf eine solche geschlossen habe, es sei der Beschwerdeführerin nicht gelungen, zu beweisen, dass die Beschwerdegegnerin die Stenose hätte bemerken müssen, habe sie eine aktenwidrige und willkürliche Tatsachenfeststellung getroffen.
Dem kann nicht gefolgt werden. Wenn die hypothetische Möglichkeit besteht, dass eine nicht erkennbare Vorwölbung nach innen erfolgt ist, die zur Stenose geführt hat, folgt daraus, dass eine Stenose für die Ärzte (wegen dieser Möglichkeit) nicht zwingend erkennbar gewesen ist und dass demnach aus dem Umstand, dass vorliegend die Cavastenose nicht erkannt wurde, nicht auf eine bewiesene Sorgfaltspflichtverletzung geschlossen werden kann. Eines Nachweises seitens der Beschwerdegegnerin, dass tatsächlich eine Vorwölbung gegen innen bestanden hat, bedarf es dazu nicht. Der Willkürvorwurf der Beschwerdeführerin geht fehl.
6.5.1.2 Die Beschwerdeführerin bezeichnet es weiter in nur schwer nachvollziehbaren Ausführungen als aktenwidrig und willkürlich, wenn die Vorinstanz festhalte, die Sachverständigen hätten bestätigt, dass selbst erhebliche Stenosen von aussen nicht immer sichtbar seien und dass die Ärzte in einem solchen Fall keine Möglichkeit hätten, die Einengung visuell zu erkennen. So hätten das die Experten nicht gesagt. Eine solche Schlussfolgerung schliesse kategorisch jede Erkennbarkeit aus.
Auf diese, auf einer isolierten Betrachtung von zwei Sätzen aus der vorinstanzlichen Begründung beruhenden Kritik, kann schon deshalb nicht eingetreten werden, weil die Beschwerdeführerin in ihrer Rüge keinerlei Hinweise auf die Aktenstellen anbringt, aus denen sich die angebliche Aktenwidrigkeit ergeben soll. Ausserdem vermag die Beschwerdeführerin mit ihren Ausführungen von vornherein nicht aufzuzeigen, inwiefern die entscheidwesentliche Feststellung der Vorinstanz willkürlich sein soll, wonach der Chirurg die schwere Stenose, wie die Beschwerdeführerin anerkenne, nicht zwingend hätte sehen können oder müssen bzw. dass auch eine hochgradige Einengung infolge einer Gewebevorwölbung nach innen in das Lumen eines Gefässes nicht zwangsläufig erkennbar sei. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, was die Korrektur der angeblich aktenwidrigen Urteilsstelle an dieser Feststellung und damit am Ergebnis des Entscheids ändern könnte.
Ins Leere stösst in diesem Zusammenhang die Rüge, die Vorinstanz habe willkürlich festgestellt, es habe (vorliegend) keine Möglichkeit bestanden, die Stenose zu erkennen. Eine solche Feststellung lässt sich dem angefochtenen Urteil nicht entnehmen. Vielmehr führte die Vorinstanz aus, in einem Fall, in dem die Einengung von aussen nicht sichtbar sei, hätten die Ärzte keine Möglichkeit, diese visuell zu erkennen.
6.5.1.3 Die Beschwerdeführerin rügt sodann, die Vorinstanz habe das Willkürverbot und <ref-law> verletzt, indem sie festgestellt habe, dass möglicherweise eine nach innen gewölbte und von aussen nicht sichtbare Stenose vorgelegen habe und daher eine Sorgfaltspflichtverletzung wegen Nichterkennens der Stenose unbewiesen geblieben sei. Sie vertrete damit den Standpunkt, dass die Beschwerdeführerin nicht nur das Vorhandensein, sondern zusätzlich noch die Erkennbarkeit der Stenose nachzuweisen habe und auch für die haftungsaufhebende Tatsache beweispflichtig sei, dass kein die Erkennbarkeit der Stenose beeinträchtigender Umstand vorgelegen habe. Damit habe sie die Regel verletzt, dass derjenige das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen hat, der aus ihr Rechte ableitet.
Die Beweislast für das Vorliegen eines Behandlungsfehlers und der damit ursächlich zusammenhängenden Schädigung obliegt dem Geschädigten, der Haftungsansprüche geltend macht (<ref-ruling> E. 3.1 S. 124 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 414). Es liegt demnach an der Beschwerdeführerin, alle Sachumstände nachzuweisen, aus denen auf einen Verstoss gegen die medizinische Sorgfaltspflicht und damit auf die Widerrechtlichkeit im Sinne von Art. 48 aPG/BE geschlossen werden kann. Demgegenüber liegt die Beweislast für rechtshindernde Tatsachen bei der Partei, welche die Entstehung des Anspruchs bestreitet (vgl. <ref-ruling> E. 2a/aa S. 273). Die Trennung in rechtserzeugende und rechtshindernde bzw. rechtsaufhebende Tatsachen ist allgemein nicht immer einfach und - wie die damit eng verquickte Beweislastverteilung - unter Berücksichtigung von Gesichtspunkten der Billigkeit und Angemessenheit vorzunehmen. Als Entscheidhilfe kann im Einzelfall dienen, was nach Gesetz oder allgemeiner Lebenserfahrung die Regel und was die Ausnahme ist, konkret, ob eine Stenose regelmässig visuell erkennbar ist oder nicht. Nur wenn die Erkennbarkeit die Regel und die Nichterkennbarkeit die Ausnahme wäre, könnte bei blossem Nichterkennen von einer bewiesenen Sorgfaltspflichtverletzung ausgegangen werden und der Beschwerdegegnerin die Beweislast für eine ausnahmsweise Nichterkennbarkeit auferlegt werden (vgl. zum Ganzen: <ref-ruling> E. 5.1; Urteil 4C.137/2006 vom 17. Januar 2008 E. 3.3.1, je mit Hinweisen). Im angefochtenen Urteil finden sich indessen keine tatsächlichen Feststellungen, aus denen unter dem Gesichtswinkel der Willkür abgeleitet werden müsste, dass die Erkennbarkeit einer Stenose der Art, wie sie vorliegend auftrat, nach der allgemeinen medizinischen Berufserfahrung die Regel und die Nichterkennbarkeit die Ausnahme darstellen würde. Dies gilt selbst dann, wenn die Experten die Gewebevorwölbung nach innen als einzigen Grund für eine Nichterkennbarkeit angeführt haben mögen, wie die Beschwerdeführerin geltend macht. Bei dieser Sachlage ist der Vorinstanz keine willkürliche Beweislastverteilung vorzuwerfen, wenn sie der Beschwerdeführerin die Beweislast für die Erkennbarkeit der Stenose als rechtsbegründende Tatsache auferlegte. Die Rüge ist unbegründet.
6.5.1.4 Fehl geht auch die Rüge der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe den Begriff der Sorgfaltspflicht verkannt bzw. den Sorgfaltsmassstab zu Unrecht auf das zwingend Erkennbare reduziert. Die Vorinstanz zitierte die FMH-Gutachter, dass der Chirurg die Stenose nicht zwingend hätte sehen können oder müssen und führte aus, die Beschwerdeführerin anerkenne, dass eine Stenose nicht zwingend bzw. zwangsläufig gesehen werden müsse. Aus dem Kontext ihrer Erwägungen geht hervor, dass sie damit nicht die Auffassung vertrat, als anzulegender Sorgfaltsmassstab dürfe nur das zwingend Erkennbare verlangt werden. Vielmehr drückte sie damit aus, dass aus dem Umstand, dass der Chirurg die Stenose nicht erkannt habe, nicht ohne Weiteres auf eine Sorgfaltspflichtverletzung geschlossen werden dürfe, sondern diese von der Geschädigten zu beweisen sei (vgl. die vorstehende Erwägung 5.5.1.3).
Entgegen der weiteren Behauptung der Beschwerdeführerin ist dem angefochtenen Urteil auch nicht zu entnehmen, dass die Vorinstanz den Begriff der objektiven Sorgfaltspflicht mit dem Verschuldensbegriff verwechselt und von der Beschwerdeführerin den Nachweis des Verschuldens des Arztes verlangt hätte. So hat die Vorinstanz festgehalten, dass vorliegend eine Kausalhaftung in Frage stehe, bei der ein Verschulden nicht vorausgesetzt sei. Wenn sie in ihren Erwägungen vereinzelt den Ausdruck "Fehler" verwendete, so meinte sie damit offensichtlich einen ärztlichen Kunstfehler oder medizinischen Behandlungsfehler, der eine Sorgfaltspflichtverletzung bzw. die Widerrechtlichkeit begründet (vgl. Erwägung 5.2 vorne). Die entsprechende Kritik ist damit unbegründet.
Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich vorträgt, was der Operateur bei pflichtgemässer Sorgfalt noch hätte tun müssen, um die Cavastenose zu erkennen, stellt sie neue tatsächliche Behauptungen auf, die nicht zu hören sind (Erwägung 2.2).
6.5.2 Ein weiterer Streitpunkt im kantonalen Verfahren betraf die Frage, ob die Ärzte die Stenose wegen Fehlern bei der Überwachung des ZVD zu spät erkannt und die gebotenen medizinischen Massnahmen deshalb nicht rechtzeitig ergriffen haben. Die Vorinstanz verneinte dies. Sie bejahte dabei zunächst gestützt auf die Darlegungen der FMH-Gutachter, dass der ZVD während des ersten Einsatzes der HLM durchaus überwacht wurde. Aus dem Umstand, dass sich in den entsprechenden Rubriken des ECC-Formulars keine Werte, sondern nur Schrägstriche fänden, lasse sich nach den von der Beschwerdeführerin nicht in Frage gestellten Erklärungen der Sachverständigen nicht auf eine fehlende Kontrolle schliessen, sondern bloss darauf, dass keine Messwerte erhoben werden konnten. Sodann verwarf die Vorinstanz die Argumentation der Beschwerdeführerin, nach der die Stenose bei gehöriger Sorgfalt aufgrund der nach dem Zuziehen der Tabakbeutelnaht festgestellten ZVD-Werte von über 20 mmHG viel früher hätte entdeckt und behandelt werden müssen, und stellte fest, dass das Erkennen und Beseitigen der Cavastenose nach eingetretener Komplikation regelhaft erfolgt sei, wobei sie sich auf die Äusserungen der FMH-Gutachter und der Gutachter aus Q._ abstützen konnte. Diese hätten insbesondere ausgeführt, bei einer äusserlich nicht erkennbaren Einengung der oberen Hohlvene sei die entsprechende Diagnose schwer zu stellen und nicht zwingend rechtzeitig möglich.
6.5.2.1 Die Vorinstanz liess angesichts der von den Gutachtern verneinten Verletzung der Regeln der ärztlichen Kunst die Fragen offen, ob der ZVD oberhalb der Kanülierungsstelle (kranial) oder unterhalb derselben (kaudal) gemessen worden sei bzw. ob, wie die Beschwerdeführerin vorbringe, bei einer Operation wie der vorliegenden der ZVD sinnvollerweise immer kranial gemessen werde und eine kaudale Messung keine brauchbaren Ergebnisse liefern würde. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, indem sie diese Fragen offen gelassen habe. Sie zeigt indessen nicht in nachvollziehbarer Weise auf, weshalb der Abklärung der Frage, an welcher Stelle der ZVD gemessen wurde, entscheiderhebliche Bedeutung zukommen soll, sodass es offensichtlich unhaltbar wäre, die Frage offen zu lassen. Auf diese Rüge ist daher nicht einzutreten.
6.5.2.2 Weiter beanstandet die Beschwerdeführerin, dass die Hohlvenenstenose bereits beim Anstieg der ZVD-Werte und nicht erst bei der Blauverfärbung des Kindes hätte diagnostiziert werden müssen. Die Vorinstanz habe insoweit willkürlich einen Kunstfehler verneint. Ferner rügt sie den vorinstanzlichen Schluss als willkürlich, dass die ZVD-Werte überwacht worden seien.
Was die Beschwerdeführerin zur Begründung dieser Rügen vorbringt, ist allerdings rein appellatorischer Natur und daher nicht zu hören. Dabei ist zu beachten, dass die Vorinstanz in den angesprochenen Fragen den Schlussfolgerungen der Gutachter mit nachvollziehbarer Begründung gefolgt ist. Zwar kann das Abstellen auf nicht schlüssige Gutachten gegen das Willkürverbot verstossen (<ref-ruling> E. 2 S. 86). In Fachfragen darf der Richter aber nicht ohne triftige Gründe von Gutachten abweichen. Ein Abweichen ist zulässig, wenn die Glaubwürdigkeit des Gutachtens durch die Umstände ernsthaft erschüttert ist (<ref-ruling> E. 4.4.1; <ref-ruling> E. 5.4.2 S. 345 f.). Die Beschwerdeführerin legt indessen nicht einmal im Ansatz dar, inwiefern Umstände vorliegen sollen oder die Gutachten in einer Weise unschlüssig wären, dass es entgegen der Auffassung der Vorinstanz als offensichtlich unhaltbar erschiene, auf die darin gezogenen Schlussfolgerungen abzustellen.
6.6 Die Vorinstanz verneinte schliesslich auch eine Verletzung der Regeln der ärztlichen Kunst in der postoperativen Phase, der Betreuung in der Intensivstation (IPS).
6.6.1 Die Vorinstanz erwog, die Befähigung der Medizinalpersonen, welche die Beschwerdeführerin auf der Intensivstation überwacht und betreut haben, sei haftungsrechtlich nicht zu beanstanden. Diesen Schluss stützte sie namentlich auf die Bestätigung der FMH-Gutachter, dass die Abteilung für pädiatrische Intensivbehandlung der Beschwerdegegnerin im Jahr 1995 als vollwertige Intensivstation mit den entsprechenden Standards anerkannt gewesen sei und in den Unterlagen keine Hinweise ersichtlich seien, dass das postoperative Betreuungspersonal der Beschwerdeführerin in medizinischer Hinsicht unzureichend qualifiziert war. Die Beschwerdeführerin bestreite namentlich, dass sich der verantwortliche Arzt, Abteilungsleiter PD Dr. I._, persönlich um sie gekümmert habe oder telefonisch konsultiert wurde. Damit vermöge sie jedoch nicht aufzuzeigen, inwiefern dem Spital im Zusammenhang mit der Organisation und postoperativen Überwachung und Betreuung ein rechtserheblicher (mithin für die Schädigung der Beschwerdeführerin kausaler) Fehler angelastet werden müsste.
Die Beschwerdeführerin erhebt verschiedene Sachverhaltsrügen gegen diesen Punkt des angefochtenen Entscheids. So hält sie dafür, angesichts der von der Beschwerdegegnerin selbst zugegebenen Komplexität der Überwachung habe die Vorinstanz die Beweislast dafür, dass die Patientin sorgfältig überwacht und von einem Oberarzt behandelt/kontrolliert wurde, zu Unrecht nicht der Beschwerdegegnerin auferlegt. Ferner kritisiert sie den Entscheid der Vorinstanz als willkürlich, soweit diese als bewiesen betrachtet habe, dass sie in der Intensivstation fachlich bestens betreut und behandelt worden sei, zumal es kein Beweismittel dafür gebe, dass Dr. I._ physisch anwesend gewesen sei oder telefonisch kontaktiert worden wäre. Die Nichteinvernahme von Zeugen dazu verletze den Anspruch auf rechtliches Gehör.
Auf diese Rügen ist nicht einzutreten. Denn die Beschwerdeführerin legt - von der weitgehend appellatorischen Natur der Kritik abgesehen - nicht, jedenfalls nicht rechtsgenügend, dar, inwieweit die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnte (Erwägung 2.2). Dabei ist zu beachten, dass ein Fehlverhalten im Zusammenhang mit der Organisation der postoperativen Betreuung und Überwachung nur dann eine Haftung des Spitals zu begründen vermag, wenn dieses für die Schädigung eines Patienten kausal ist. Dazu ist regelmässig erforderlich, dass der organisatorische Mangel dazu geführt hat, dass zur Verhinderung einer Verschlimmerung des Gesundheitszustands gebotene konkrete Abklärungen oder Massnahmen unterlassen wurden oder eine bestimmte fehlerhafte Behandlung erfolgte. Solches zeigt die Beschwerdeführerin indessen nicht auf. Soweit sie bloss allgemein gehalten vorbringt, in der Krankengeschichte stehe "Normale Überwachung" geschrieben, obwohl sich der Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin in der fraglichen Nacht dramatisch verschlechtert habe, oder die Beschwerdegegnerin habe nicht dargelegt, welche Weisungen Dr. I._ gegeben habe, um die fachgerechte Pflege und Betreuung zu gewährleisten, genügt die Beschwerdeführerin ihrer Begründungspflicht nicht. Davon abgesehen, beruft sie sich dabei auf Sachverhaltselemente, die in den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen keine Stütze finden (Erwägung 2.2).
6.6.2 Die Vorinstanz verneinte eine Verletzung der Regeln der ärztlichen Kunst durch Nichterheben von bestimmten Messwerten, wobei sie den FMH-Gutachtern folgte und davon ausging, anderslautende Schlüsse der Gutachter von Q._ beruhten auf aktenwidrigen Annahmen. Gegen diese Beurteilung erhebt die Beschwerdeführerin bloss allgemein gehaltene Kritik, ohne eine rechtsgenüglich begründete Rüge einer Rechtsverletzung zu formulieren. Darauf ist nicht einzutreten.
6.6.3 Was die Behandlung des LCOPS und des Hirnödems anbelangt, hielt die Vorinstanz unwidersprochen fest, dass die Beschwerdegegnerin grundsätzlich die richtigen Massnahmen traf, u.a. insbesondere eine Kreislaufunterstützung zur Aufrechterhaltung eines adäquaten zerebralen Perfusionsdrucks mit Adrenalin und eine Peritonealdialyse (Bauchfelldialyse als Variante der künstlichen Blutwäsche) zur Senkung des Fiebers und zur Negativbilanzierung, die dazu dient, die Ausfuhr von Flüssigkeit tiefer zu halten als die Einfuhr durch Infusionen. Ferner kam die Vorinstanz nach eingehender Würdigung der verschiedenen Gutachtensaussagen zum Schluss, dass keine Sorgfaltspflichtverletzungen begangen wurden, indem diese beiden Massnahmen nicht früher ergriffen wurden.
Die Beschwerdeführerin kritisiert die vorinstanzliche Schlussfolgerung, die Beschwerdeführerin sei auf der Intensivstation zeitgerecht und adäquat behandelt worden, als willkürlich und aktenwidrig. Zur Begründung beschränkt sie sich indessen zunächst darauf, den Ablauf der Behandlung, wie er von den Gutachtern festgestellt worden sei, und die verschiedenen Äusserungen der Gutachter über allfällige dabei begangene Kunstfehler darzustellen, wobei sie nach Belieben von den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen abweicht und diese erweitert (Erwägung 2.2 vorne). Konkret beanstandet die Beschwerdeführerin den Schluss der Vorinstanz, dass auf das Gutachten aus Q._ nicht abgestellt werden könne, weil es auf unzutreffenden sachverhaltlichen Grundlagen beruhe und zudem widersprüchlich sei. Dazu bringt sie indessen einzig vor, die Vorinstanz werfe den Gutachtern aus Q._ in aktenwidriger Weise vor, sie hätten sich unterschiedlich zum Zeitpunkt der Abgabe von Adrenalin geäussert. Allein damit setzt sie sich indessen nicht rechtsgenüglich mit der eingehenden Begründung der Vorinstanz für die Nichtberücksichtigung von diesen Gutachten auseinander und legt nicht hinreichend dar, weshalb die Vorinstanz damit in Willkür verfallen sein soll. Es erübrigt sich damit, auf die erwähnte Aktenwidrigkeitsrüge einzugehen.
Sodann stellt die Beschwerdeführerin in der Beschwerde verschiedene widersprüchliche Antworten der zwei FMH-Gutachter auf die Befragung des Instruktionsrichters darüber dar, ab wann Adrenalin hätte abgegeben und die Dialyse angelegt werden müssen. Ihrer Ansicht nach geht aus diesen hervor, dass Prof. E._ versucht habe, die Antworten von Prof. F._ zu relativieren und Verwirrung zu stiften. Nach klarer Auffassung von Prof. F._ hätte viel früher dialysiert werden sollen, als es effektiv getan wurde, weshalb (so sinngemäss) die Vorinstanz eine zeitgerechte Behandlung hätte verneinen müssen. Auch damit übt die Beschwerdeführerin gestützt auf isoliert betrachtete Aktenstellen rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid, auf die nicht einzutreten ist. Der Vorinstanz ist nicht entgangen, dass die FMH-Gutachter zum gebotenen Zeitpunkt der interessierenden Massnahmen unterschiedliche Angaben gemacht hatten. Sie kam indessen unter eingehender Würdigung dieser Angaben und weiterer Aussagen der Gutachter zum Schluss, die Ärzte der Beschwerdegegnerin hätten - jedenfalls wenn nicht in eine unzulässige retrospektive Betrachtungsweise verfallen werde (vgl. dazu BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 12; <ref-ruling> E. 4 S. 413) - ihren vorliegend bestehenden Beurteilungsspielraum bei der Gewichtung der für den Entscheid über die Einleitung der Massnahmen massgeblichen Perimeter nicht überschritten. Der Entscheid der Ärzte über den Zeitpunkt der Massnahmen sei vertretbar gewesen und begründe daher keine Sorgfaltspflichtverletzung. Mit dieser nachvollziehbaren Begründung setzt sich die Beschwerdeführerin in keiner Weise auseinander und legt nicht dar, inwiefern der darauf gestützte Entscheid offensichtlich unhaltbar sein soll.
7. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. April 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin:
Klett Hotz