Faits:
A. Originaire de Bosnie, K._ est arrivée comme réfugiée en Suisse avec son mari et ses trois fils (majeurs) en 1993. Dès le mois de juillet 1996, elle a travaillé comme nettoyeuse au service de la société X._ SA, à raison de deux heures par jour, cinq jours par semaine. Souffrant de cervico-brachialgies, elle a été mise en arrêt de travail à partir du 16 avril 2002 pour une durée indéterminée et n'a pas repris d'activité depuis lors.
Le 5 mai 2003, K._ a présenté une demande de prestations à l'assurance-invalidité. L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a recueilli différents rapports médicaux, dont ceux des médecins traitants, les docteurs U._ et C._, psychiatre. Tous deux ont diagnostiqué notamment un syndrome douloureux somatoforme et un trouble anxieux et dépressif mixte. L'administration a également soumis l'assurée à un examen auprès de son Service médical régional (SMR), dont le psychiatre a nié l'existence d'une pathologie psychiatrique chronique qui limiterait la capacité de travail de l'intéressée.
Par décision du 18 janvier 2005, l'office AI a rejeté la demande de K._, au motif qu'elle ne présentait pas d'atteinte à la santé justifiant une incapacité de travail. L'assurée s'étant opposée à cette décision en produisant de nouveaux avis médicaux des docteurs U._ et C._, l'office AI les a transmis au SMR pour appréciation, avant de rejeter l'opposition, par décision du 14 juillet 2005.
B. Saisi d'un recours de l'intéressée contre la décision sur opposition, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a chargé le docteur B._, psychiatre et psychothérapeute, d'une expertise. Dans son rapport du 2 février 2007, le médecin a diagnostiqué un état de stress post-traumatique, un épisode dépressif sévère sans symptômes psychotiques et un syndrome douloureux somatoforme persistant; il a conclu à une incapacité totale de travail depuis le mois d'avril 2002. Après avoir donné aux parties l'occasion de se déterminer sur les conclusions de l'expertise (observations de l'assurée du 19 février 2007, de l'office AI du 9 mars 2007 avec un avis du SMR du 27 février 2007), le Tribunal cantonal a admis le recours, le 11 juillet 2007, et reconnu à K._ le droit à une rente entière d'invalidité à partir du 1er avril 2003. Il a par ailleurs condamné l'office AI à verser à l'assurée une indemnité de dépens de 2000 fr. et mis les frais d'expertise de 2154 fr. 60 à sa charge.
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision sur opposition du 14 juillet 2005.
K._ conclut au rejet du recours sur le fond, mais s'en rapporte à justice en ce qui concerne la condamnation de l'office AI à la prise en charge des frais d'expertise. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales propose l'admission du recours.

Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
1.2 En ce qui concerne plus particulièrement l'évaluation de l'invalidité, les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'<ref-ruling> consid. 3 p. 397 ss (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398). Dans la mesure cependant où il en va de l'évaluation de l'exigibilité d'une activité professionnelle au regard de l'expérience générale de la vie, il s'agit d'une question de droit qui peut être examinée librement en instance fédérale; il en va ainsi des conclusions tirées de l'expérience médicale, comme par exemple, la présomption que les troubles somatoformes douloureux ou un autre syndrome semblable dont l'étiologie est incertaine et leurs effets peuvent être surmontés par un effort de volonté raisonnablement exigible (<ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 70 s. et les arrêts cités, 393 consid. 3.2 p. 398 s. et les arrêts cités).
1.3 Les modifications de la LAI du 6 octobre 2006 (5ème révision de la LAI), entrées en vigueur le 1er janvier 2008, n'ont pas à être prises en considération dans le présent litige, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment de la réalisation de l'état de fait dont les conséquences juridiques font l'objet de la décision (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 4 et les arrêts cités).
2. Sous réserve de la prise en charge des frais de l'expertise ordonnée par la juridiction cantonale (infra consid. 5), le litige porte sur le droit de l'intimée à une rente de l'assurance-invalidité. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence sur la notion d'invalidité et son évaluation ainsi que les principes jurisprudentiels relatifs aux troubles somatoformes douloureux et à la valeur probante des rapports médicaux. Il suffit donc d'y renvoyer.
3. Invoquant une appréciation arbitraire des preuves, le recourant reproche aux premiers juges d'avoir accordé pleine valeur probante à l'expertise du docteur B._ qu'il qualifie d'incohérente et contradictoire, ainsi que d'avoir omis "tous les autres éléments de preuves existant au dossier".
3.1 L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 4b p. 40, 118 Ia 28 consid. 1b p. 30) ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9, 127 I 38 consid. 2a p. 41).
3.2 Pour motiver le grief tiré de l'appréciation arbitraire des preuves, le recourant se limite dans une très large mesure à citer des passages de l'avis médical du SMR du 27 février 2007. Il est douteux que la reprise telle quelle d'une appréciation médicale, qui n'est pratiquement pas assortie d'explication propre au recourant, constitue une argumentation suffisamment précise pour démontrer dans quelle mesure les premiers juges auraient abusé de leur pouvoir d'appréciation dans l'administration des preuves et, plus particulièrement, qu'ils auraient tiré des constatations insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9).
Quoi qu'il en soit, les critiques du recourant à l'égard de la valeur probante du rapport d'expertise du docteur B._ ne sont pas pertinentes. Le fait que l'expert judiciaire a retenu d'autres diagnostics que les médecins du service médical du recourant ne constitue pas en soi un motif pour nier la force probante de ses conclusions ou pour qualifier celles-ci de contradictoires voire d'incohérentes. A l'instar de la juridiction cantonale, on constate que le rapport du 2 février 2007 remplit les exigences posées par la jurisprudence en matière de valeur probante (<ref-ruling> consid. 3a p. 352). En particulier, l'expert a évalué les données subjectives de l'intimée et les résultats de l'entretien pour retenir les diagnostics d'état de stress post-traumatique, d'épisode dépressif sévère et de syndrome douloureux somatoforme. Contrairement à ce que semble soutenir le recourant en citant les critiques de son service médical, le premier de ces trois diagnostics repose sur des événements qui se sont produits durant les conflits en Bosnie. A cet égard, l'expert a mentionné différents troubles que l'intimée a présentés depuis le début de la guerre (insomnies, cauchemars, sentiment de peurs). Si le diagnostic d'état de stress post-traumatique n'a formellement été posé qu'en avril 2002 (cf. rapport du docteur U._ du 26 avril 2002), les symptômes en étaient donc apparus bien avant.
Quant à l'argumentation du recourant sur l'appréciation des critères permettant d'admettre le caractère invalidant d'un syndrome douloureux somatoforme, elle doit être rejetée, faute de motivation (cf. <ref-law>). L'office AI se limite en effet à affirmer que l'intimée ne remplit pas les conditions posées par la jurisprudence en se référant une nouvelle fois aux avis de son service médical. Un tel allégué, qui vise à substituer sa propre appréciation à celle de l'expert judiciaire, est de nature purement appellatoire et partant irrecevable. On ajoutera que l'évaluation du critère de la perte d'intégration sociale n'a pas à être discutée plus avant, puisque la juridiction cantonale a retenu à juste titre au regard des conclusions du docteur B._ que l'intimée présentait une comorbidité psychiatrique d'une sévérité suffisante pour admettre le caractère non exigible de la réintégration dans le processus de travail.
Enfin, c'est à tort que le recourant soutient que les premiers juges auraient omis d'autres éléments de preuve au dossier que l'expertise du 2 février 2007, puisqu'ils ont expliqué de manière circonstanciée les raisons qui les ont conduits à s'écarter des avis médicaux du SMR. L'examen détaillé de l'ensemble des pièces médicales au dossier a amené la juridiction cantonale à retenir que tant la doctoresse C._ que le docteur U._ avaient déjà mis en évidence les diagnostics posés par l'expert B._ et que les conclusions des médecins du SMR n'emportaient pas la conviction au regard des avis médicaux exprimés au cours de la procédure.
3.3 Compte tenu de ce qui précède, la juridiction était en droit de se rallier aux conclusions de l'expert B._ et de constater, à sa suite, que l'intimée présentait une incapacité totale de travail depuis le mois d'avril 2002, sans que cette solution apparaisse insoutenable.
4. Reprochant ensuite à l'autorité cantonale de première instance une constatation manifestement inexacte des faits, le recourant lui fait grief d'avoir retenu que l'intimée aurait exercé une activité lucrative à plein temps sans atteinte à la santé, alors que l'assurée avait travaillé à temps partiel depuis le 25 juillet 1996. De même, la constatation selon laquelle l'intimée était totalement incapable d'exécuter des tâches ménagères serait manifestement erronée, parce qu'elle ne reposerait que sur les déclarations de l'assurée.
4.1 Le point de savoir à quel taux d'activité la personne assurée travaillerait sans atteinte à la santé est une question de fait, dans la mesure où il s'agit d'une appréciation concrète des circonstances et non pas de l'application de conséquences générales tirées exclusivement de l'expérience générale de la vie. Les constatations y relatives de la juridiction cantonale lient donc le Tribunal fédéral, pour autant qu'elles ne soient ni manifestement inexactes, ni ne reposent sur une violation du droit au sens de l'<ref-law> (art. 97 al. 1 et art. 105 al. 1 et 2 LTF; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 507; arrêts 9C_301/2007 du 18 septembre 2007 consid. 3.1 et I 693/06 du 20 décembre 2006, consid. 4.1).
4.2 Se fondant sur la situation financière du couple K._ et sur la circonstance que l'époux de l'intimée était invalide, la juridiction cantonale a constaté qu'il apparaissait probable que l'assurée aurait travaillé à 100% si elle n'avait pas subi d'atteinte à la santé. Quoi qu'en dise le recourant, une telle constatation n'est pas manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF puisqu'elle repose sur différents éléments du dossier. La juridiction cantonale a ainsi tenu compte des déclarations de l'intimée sur son taux d'occupation, lesquelles apparaissent convaincantes au regard du dossier médical. Au cours de la procédure administrative, celle-ci avait indiqué, d'une part, qu'elle exercerait une activité (employée de nettoyage) à 100% si elle était en bonne santé pour des besoins financiers et, d'autre part, qu'elle avait exercé une activité à temps partiel pour des raisons de santé (cf. questionnaire servant à déterminer le statut d'assuré du 8 septembre 2003). Sur ce point, il ressort de différents avis médicaux au dossier que l'intimée a été suivie sur le plan médical dès son arrivée en Suisse en 1993 et s'est plainte de douleurs diffuses à partir de 1995 (cf. rapports des docteurs S._ du 7 avril 2003, C._ du 22 mai 2003 et U._ du 10 juin 2003), ce qui tend à confirmer ses déclarations.
Dès lors que le statut de l'assurée n'a pas été établi de manière manifestement inexacte par les premiers juges, il n'est pas nécessaire d'examiner plus avant si leur constatation relative à l'étendue de l'empêchement dans les travaux ménagers est conforme au droit. On précisera toutefois qu'il n'est pas exclu de fonder une telle évaluation sur une appréciation médico-théorique - comme dans le cas particulier où la juridiction cantonale a repris les conclusions y relatives de l'expert B._ -, notamment en présence de troubles d'ordre psychique (VSI 2004 p. 137 consid. 5.3 [I 311/03]).
5. Reprochant au recourant de n'avoir pas mis en oeuvre une expertise psychiatrique, la juridiction cantonale a mis les frais de l'expertise qu'elle avait confiée au docteur B._ (2154 fr. 60) à la charge de l'office AI, "conformément à l'art. 89H al. 2 LPA".
5.1 Aux termes de l'<ref-law>, sous réserve de l'<ref-law>, la procédure devant le tribunal cantonal des assurances est réglée par le droit cantonal; elle doit satisfaire aux exigences énumérées sous les lettres a à i. Elle doit notamment être simple, rapide, en règle générale publique, ainsi que gratuite pour les parties; des émoluments de justice et les frais de procédure peuvent toutefois être mis à la charge de la partie qui agit de manière téméraire ou témoigne de légèreté (let. a). Cette disposition, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, a repris, sans changement par rapport à la situation antérieure, la règle de la gratuité de la procédure qui était auparavant énoncée dans les différentes lois d'assurances sociales (par exemple art. 108 aLAA). Par la suite, la modification de la LAI du 16 décembre 2005 (RO 2006 p. 2003), entrée en vigueur le 1er juillet 2006, a prévu une dérogation à l'<ref-law> en ce sens que la procédure de recours en matière de contestations portant sur l'octroi ou le refus de prestations de l'AI devant le tribunal cantonal des assurances est soumise à des frais de justice (<ref-law>). Cette dérogation n'était pas applicable en instance cantonale, dès lors que la cause a été introduite auprès de l'autorité cantonale de recours avant le 1er juillet 2006 (cf. let. c des dispositions transitoires relatives à la modification du 16 décembre 2005 de la LAI).
En l'espèce, les premiers juges ont mis en oeuvre une expertise psychiatrique en application du principe inquisitoire régissant la procédure cantonale, selon lequel ils établissent (d'office) avec la collaboration des parties les faits déterminants pour la solution du litige (art. 61 let. c LPGA). Dans ce cadre, les frais de l'expertise vont en principe à la charge de la caisse du tribunal, parce qu'ils font partie des frais de justice. Ils ne peuvent être mis à la charge de l'assureur social, conformément à l'<ref-law>, que s'il a, en tant que partie au procès, agi témérairement ou avec légèreté. La juridiction cantonale n'a cependant pas fondé sa décision sur ce motif, mais sur le droit de procédure cantonale, singulièrement sur l'art. 89H al. 2 de la loi genevoise sur la procédure administrative du 1er janvier 1986 (LPA/GE; RSG E 5 10; dans sa version en vigueur avant la modification du 23 février 2007).
5.2 Conformément à l'art 89H LPA/GE, la procédure devant le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales est gratuite. Toutefois, les débours et un émolument peuvent être mis à la charge de la partie qui agit de manière téméraire ou témoigne de légèreté (al. 1, 1ère phrase). Les débours sont avancés par le greffe. Toutefois, l'avance des frais de l'expertise peut être requise de la part de l'assureur lorsque l'état de son dossier rend une telle mesure indispensable (al. 2).
5.2.1 L'art. 89H al. 2 LPA/GE prévoit la possibilité pour le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales de requérir l'avance des frais de l'expertise de la part de l'assureur lorsqu'une telle mesure d'instruction doit être ordonnée en raison de l'état du dossier administratif.
Comme le fait valoir le recourant, qui invoque une application arbitraire de l'art. 89H al. 2 LPA/GE, on pourrait déduire de la lettre de la disposition qu'elle concerne uniquement l'avance des frais de l'expertise, mais n'a pas pour objet la répartition définitive de ceux-ci au terme du procès cantonal. Selon une telle interprétation, la décision de la juridiction cantonale de mettre les coûts de l'expertise à la charge du recourant apparaît insoutenable, parce que fondée sur une disposition légale qui ne prévoit pas une telle compétence.
5.2.2 On peut néanmoins se demander si une autre interprétation de l'art. 89H al. 2 LPA/GE ne serait pas admissible. On pourrait ainsi soutenir que si la disposition accorde à l'autorité cantonale judiciaire la faculté de prélever une avance de frais pour une expertise de la part de l'assureur, elle doit également lui conférer la compétence d'en mettre les coûts à la charge de celui-ci au terme du procès. A défaut, le prélèvement de l'avance de frais d'expertise serait dénué de sens, parce que les coûts en seraient de toute façon pris en charge par la caisse du tribunal.
Une telle interprétation, selon laquelle l'art. 89 al. 2 LPA/GE habiliterait le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales à mettre les frais d'expertise à la charge de l'assureur "lorsque l'état de son dossier rend une telle mesure indispensable", serait toutefois contraire au droit fédéral. Elle impliquerait en effet que le droit genevois de procédure prévoie une dérogation supplémentaire au principe de la gratuité de la procédure de l'<ref-law>, qui ne souffre d'exception que si une partie agit de manière téméraire ou témoigne de légèreté (exception du reste reprise à l'art. 89H al. 1 LPA/GE). Dans un arrêt de principe publié aux <ref-ruling>, le Tribunal fédéral a procédé à une analyse approfondie des travaux préparatoires de l'<ref-law> qui montre que le législateur a voulu maintenir sous le régime de la LPGA la règle de la gratuité, avec pour seule exception les cas de témérité ou de légèreté. En particulier, les termes "en règle générale" ("in der Regel") se rapportent exclusivement à la publicité des débats, mais non aux autres exigences de procédure énumérées à la lettre a de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2d/cc p. 201; <ref-ruling> consid. 5.3 p. 444). La règle de la gratuité et son exception exprimées par cette disposition ne laissent dès lors pas de place à une règle cantonale de procédure qui prévoirait d'autres dérogations au principe de la gratuité (cf. arrêt P 23/03 du 4 septembre 2003, SVR 2004 EL n° 2 p. 5).
Par conséquent, l'art. 89H al. 2 LPA/GE ne peut pas être interprété en ce sens que l'autorité cantonale de recours était en droit de mettre les frais de l'expertise médicale à la charge du recourant pour le motif mentionné par la disposition. Pour le surplus, ni les premiers juges, ni les parties ne prétendent que le recourant aurait fait preuve de témérité ou de légèreté au sens des <ref-law> et 89H al. 1 LPA/GE (sur ces notions, voir <ref-ruling> consid. 5a et les arrêts cités; VSI 1998 p. 192 [arrêt du 20 octobre 1997, H 150/97]; arrêt P 23/03 cité, consid. 3).
5.3 Au vu de ce qui précède, la décision de la juridiction cantonale de mettre les frais de l'expertise du docteur B._ à la charge du recourant (ch. 4 du dispositif de l'arrêt entrepris) est contraire au droit fédéral. Elle doit, partant, être annulée et le recours apparaît bien fondé sur ce point.
6. En instance fédérale, la procédure n'est pas gratuite (<ref-law>). Compte tenu de l'issue du litige, dans lequel le recourant n'obtient que très partiellement gain de cause, les frais judiciaires seront mis pour quatre cinquièmes à sa charge et pour un cinquième à la charge de l'intimée. Celle-ci a droit à une indemnité de dépens réduite.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis, en ce sens que le chiffre 4 du dispositif du jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 11 juillet 2007 est annulé. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 400 fr. à la charge du recourant et pour 100 fr. à la charge de l'intimée.
3. Le recourant versera à l'intimée la somme de 1500 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 avril 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless