Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1963 geborene J._ meldete sich im Dezember 2003 unter Hinweis auf ein psychisches Leiden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen sprach ihm die IV-Stelle Bern mit Verfügung vom 14. Februar 2005 eine ganze Invalidenrente ab 1. Januar 2004 zu. Im Januar 2007 ersuchte J._ um Hilflosenentschädigung. Die IV-Stelle klärte die Verhältnisse vor Ort ab und liess den Versicherten im Zentrum X._ psychiatrisch begutachten. Zudem wurde er im Zeitraum vom 29. Juni bis 8. September 2010 an insgesamt vierzehn Tagen überwacht. Am 8. Juni 2011 wurde J._ von Prof. Dr. med. F._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) untersucht. Nachdem die IV-Stelle im Juli 2011 die Rentenzahlungen sistiert hatte, hob sie nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren mit Verfügung vom 12. Dezember 2011 die ganze Rente rückwirkend ab 1. Juni 2010 auf.
Die Beschwerde des J._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 3. Mai 2012 ab.
A.b. Mit Urteil 9C_492/2012 vom 25. September 2012 hob das Bundesgericht den Entscheid vom 3. Mai 2012 auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide.
B.
Mit Entscheid vom 19. September 2013 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Beschwerde des Versicherten teilweise gut. Es hob die Verfügung vom 12. Dezember 2011, soweit sie die Zeit ab 9. Juni 2011 betrifft, auf und wies die Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
J._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 19. September 2013 sei aufzuheben und die Sache sei an das kantonale Gericht zurückzuweisen mit der Verpflichtung, ein gerichtliches Gutachten einzuholen und sodann über den Leistungsanspruch neu zu entscheiden. Ferner lässt er um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. J._ lässt am 10. Dezember 2013 eine weitere Eingabe einreichen.

Erwägungen:
1.
1.1. Soweit mit dem Entscheid vom 19. September 2013 die Rückweisung der Sache an die IV-Stelle angeordnet wurde, ist er als Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne des BGG zu qualifizieren (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f.) und kann unter den Voraussetzungen des <ref-law> angefochten werden. Danach ist die Beschwerde insbesondere dann zulässig, wenn der Vor- oder Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann.
Ein im Sinne von <ref-law> nicht wieder gutzumachender Nachteil ist rechtlicher Natur und auch mit einem für die Beschwerde führende Partei günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig behebbar (<ref-ruling> E. 2.1 S. 647 mit Hinweisen). Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu ergänzender oder weiterer Abklärung und neuer Entscheidung bewirkt in der Regel keinen im Sinne von <ref-law> nicht wieder gutzumachenden Nachteil (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 483 f). Anders verhält es sich hingegen, wenn in der Rückweisung an sich bereits eine bundesrechtswidrige Rechtsverweigerung liegt (Urteil 9C_1014/2008 vom 14. April 2009 E. 1.1).
1.2. Die Vorinstanz wurde vom Bundesgericht mit Urteil 9C_492/2012 vom 25. September 2012 E. 5.3.2 verhalten, die Ärzte des Zentrums X._ und des Instituts Y._ mit dem Ergebnis der Beweissicherung vor Ort vom 20. September 2010 samt Videoaufnahmen über die Observation vom 29. Juni bis 8. September 2010 zu konfrontieren. Sollten die Ärzte des Zentrums X._ und des Instituts Y._ dennoch an ihrer Auffassung festhalten, wäre die Einholung eines gerichtlichen psychiatrischen Gutachtens unerlässlich, das die Observationsergebnisse mitzuberücksichtigen hätte.
Daran und an die entsprechenden rechtlichen Erwägungen ist sie gebunden, ansonsten eine Rechtsverweigerung vorliegt, welche ohne Weiteres zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides führt (<ref-ruling> E. 2 S. 241 f.; RKUV 1999 Nr. U 331 126, U 305/97 E. 2; Urteil 9C_1014/2008 vom 14. April 2009 E. 2; MEYER/DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 18 zu <ref-law>). Die sich dabei stellenden Fragen hat das kantonale Gericht in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht zu beurteilen (vgl. Art. 56 Abs. 1 und <ref-law>; <ref-law>).
1.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, die angeordnete Rückweisung verletze Bundesrecht, weil sich die Vorinstanz damit über Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils 9C_492/2012 vom 25. September 2012 hinwegsetze. Danach sei zur Klärung der medizinischen Situation resp. der Arbeitsfähigkeit ein gerichtliches Gutachten erforderlich. Auf die Beschwerde, auch soweit sie die Rückweisung betrifft, ist daher einzutreten.
1.4. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz den Sachverhalt bis zum 8. Juni 2011 genügend abgeklärt hat und ob es zulässig war, in Bezug auf den anschliessenden Zeitraum die weitere Abklärung an die Verwaltung zu delegieren.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.2. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat (E. 2.1). Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen), die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei überprüfen kann (<ref-law>).
2.3. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf (<ref-ruling> E. 8.1 S. 153; Botschaft des Bundesrates vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4338; MARKUS SCHOTT, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 9 f. zu <ref-law>). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (Urteil 9C_570/2007 vom 5. März 2008 E. 4.2). Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteile 9C_851/2012 vom 5. März 2013 E. 2.3.2; 8C_5/2010 vom 24. März 2010 E. 1.2).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat die Stellungnahmen des Zentrums X._ resp. des Dr. med. K._ vom 15. Januar 2013 und des Instituts Y._ resp. des Dr. med. A._ vom 5. Februar 2013 zu den Ergebnissen der Observation und zum Bericht des RAD-Arztes Dr. med. F._ vom 13. Juli 2011 eingeholt. Dazu hat sie erwogen, divergierende Einschätzungen zu jener des RAD-Arztes liessen sich bereits durch unterschiedliche Beurteilungszeiträume erklären. Die Dres. med. K._ und A._ hätten nicht grundsätzlich an ihren Auffassungen festgehalten, sondern angesichts des schubförmigen Verlaufs der Krankheit des Versicherten die Möglichkeit einer vorübergehenden Remission mit vollständiger Wiedererlangung der Arbeitsfähigkeit eingeräumt. Somit stehe die Einschätzung des RAD-Arztes, wonach seit Beginn der Observation im Juni 2010 volle Arbeitsfähigkeit bestand, mindestens bis zum Zeitpunkt der RAD-ärztlichen Untersuchung am 8. Juni 2011 ausser Zweifel.
3.2.
3.2.1. Diese Beweiswürdigung ist nicht offensichtlich unrichtig (E. 2.3) : So hielt Dr. med. K._ insbesondere fest, der Versicherte habe "in der Tat (...) während der Aufzeichnungen 06/2010-09/2010 vollständig symptomfrei" gewirkt; zwischen den "depressiven Episoden" komme es offensichtlich zu einer deutlichen Besserung der Symptomatik; in diesen Phasen sei nicht ausgeschlossen, dass er auch einer Arbeit nachgehen könne. Dr. med. A._ verwies darauf, dass die Behandlung beim Institut Y._ nach mehrjährigem Unterbruch erst am 15. September 2011 wieder aufgenommen worden sei, die Observation aber eine "période de stabilité" im sehr wahrscheinlich zyklischen Verlauf der Krankheit erkennen lasse.
3.2.2. Damit kann für die Zeit von Juni 2010 bis 8. Juni 2011, entgegen der Meinung des Beschwerdeführers, nicht gesagt werden, die Dres. med. K._ und A._ hätten an ihrer Auffassung festgehalten. Daran ändert nichts, dass beide auf der jeweiligen Diagnose eines rezidivierenden resp. zyklisch verlaufenden Leidens beharrten, da in jedem Fall dessen Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit massgebend ist (Art. 8 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>). Zudem ist auch bei schubförmig verlaufenden Krankheiten eine Verbesserung der Erwerbsfähigkeit in der Regel zu berücksichtigen, wenn sie mehr als drei Monate anhält (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 147; Urteil 8C_308/2013 vom 8. November 2013 E. 3.2.2). Die vorinstanzliche Beweiswürdigung in Bezug auf den hier interessierenden Zeitraum beruht somit auch nicht auf einer Rechtsverletzung, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich bleibt (E. 2.1). Das kantonale Gericht hat diesbezüglich zu Recht auf weitere Abklärungen verzichtet.
3.3.
3.3.1. Mit Blick auf den Zeitabschnitt nach der am 8. Juni 2011 erfolgten RAD-ärztlichen Untersuchung bis zum Erlass der angefochtenen Verfügung (der den vorinstanzlichen Prüfungszeitraum begrenzt, vgl. SVR 2009 IV Nr. 57 S. 177, 9C_149/2009 E. 4.4; Urteil 9C_235/2009 vom 30. April 2009 E. 3.3), mithin bis zum 12. Dezember 2012, hat das kantonale Gericht festgestellt, es sei nicht ausgeschlossen, dass es zu einem (erneuten) Schub einer psychiatrischen Erkrankung mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit gekommen sein könnte. Es könne weder gestützt auf die Berichte der behandelnden Ärzte (Dres. med. K._ und A._) noch auf die Einschätzungen der RAD-Ärzte (Dres. med. F._ und D._) eine abschliessende Beurteilung vorgenommen werden.
3.3.2. Dem ist beizupflichten (E. 2.1). Etwas anderes gilt hingegen in Bezug auf die vorinstanzliche Auffassung, wonach die vom Bundesgericht genannte Bedingung für die Unerlässlichkeit eines gerichtlichen psychiatrischen Gutachtens (vgl. E. 1.2) nicht erfüllt sei. Dr. med. K._ verwies auf die stationäre Behandlung vom 8. August bis 6. September 2011 infolge eines Suizidversuchs und auf die Arbeitsfähigkeitsschätzung des "aktuell", d.h. ambulant, behandelnden Psychiaters. Dr. med. A._ bekräftigte aufgrund der "observations sur plusieurs mois", der Patient bleibe weiterhin vollständig arbeitsunfähig. Für den Zeitraum nach der RAD-Begutachtung resp. ab 8. August 2011 hielten damit beide behandelnden Ärzte klar an ihren früheren Diagnosen und Arbeitsfähigkeitsschätzungen fest, ohne die grundsätzlich eingeräumte Möglichkeit einer vorübergehenden Remission mit vollständiger Wiedererlangung der Arbeitsfähigkeit (E. 3.1) auch nur andeutungsweise in Betracht zu ziehen. Dass ihre Einschätzungen jenen der RAD-Ärzte nach wie vor diametral widersprechen, steht ausser Frage.
Bei der gegebenen Aktenlage ist zumindest zweifelhaft, ob in der Tat mit dem kantonalen Gericht ein "insgesamt vollständig ungeklärter" Sachverhalt anzunehmen ist, was grundsätzlich eine weitere Abklärung durch die Verwaltung zuliesse (<ref-ruling> E. 4.4.1.4 S. 264). Das kann indessen offenbleiben: Gemäss den verbindlichen Anordnungen in E. 5.3.2 des Urteils 9C_492/2012 vom 25. September 2012 war unter den konkreten Umständen ein gerichtliches (Ober-) Gutachten unabdingbar. Diesbezüglich ist die Beschwerde begründet; die Vorinstanz wird die entsprechende Sachverhaltsabklärung zu treffen und anschliessend erneut über den Rentenanspruch ab Juni 2011 zu befinden haben.
4.
Die Gerichtskosten sind den Parteien entsprechend dem Ausgang des Verfahrens aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat für das bundesgerichtliche Verfahren Anspruch auf eine (reduzierte) Parteientschädigung (<ref-law>).
Soweit dadurch nicht gegenstandslos geworden, kann dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135, 128 I 225 E. 2.5.3 S. 235). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 19. September 2013, soweit er nicht den Rentenanspruch bis 31. Mai 2011 betrifft, aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Daniel Gehrig wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden zu je Fr. 400.- dem Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin auferlegt. Der Anteil des Beschwerdeführers wird vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Die Beschwerdegegnerin hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
5.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'400.- ausgerichtet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Mai 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann