Sachverhalt:
A. A._, B._, C._, D._, E._, F._ und G._ richteten zwischen dem 1. November 2006 und dem 28. Dezember 2006 mit Hinweis auf bereits erfolgte ähnliche Eingaben auf kantonaler Ebene je ein Schreiben mit dem Titel "Anspruch auf gesunde Luft" an den Bundesrat, die Bundesversammlung und das Bundesamt für Umwelt (BAFU). Sie machten geltend, dass die wiederholte Überschreitung der Immissionsgrenzwerte verschiedener Luftschadstoffe bei ihnen zu gesundheitlichen Beeinträchtigungen und teilweise zu einem daraus folgenden finanziellen Schaden führen würden. Sie verlangten, innert eines Jahres oder angemessener Frist seien auf Vollzugs- und allenfalls Gesetzgebungsebene die nötigen Massnahmen zu ergreifen, welche die Einhaltung der Immissionsgrenzwerte betreffend Feinstaub (PM10), Ozon (O3) sowie Stickoxiden (NOx) ermöglichten oder einen genügenden erheblichen Beitrag dazu leisteten, dass ihre Gesundheit und ihr Wohlbefinden gemäss dem durch das geltende Luftreinhalterecht gesetzten Standard geschützt werde. Zudem verlangten sie konkret folgende Massnahmen (wobei einzelne davon nicht von allen sieben Personen verlangt wurden):
1. Es sei bis spätestens Ende 2007 eine vollumfängliche Pflicht für Dieselpartikelfilter und De-NOx-Katalysatoren bei sämtlichen Dieselfahrzeugen festzulegen. Im Sinne einer kurzfristigen Übergangsmassnahme bis zur Einführung sei anzuordnen, dass bei Submissionen nur Unternehmen zu berücksichtigen seien, welche diese Pflichten bereits erfüllten. Diese Pflichten sollten auch für militärische Dieselfahrzeuge gelten.
2. Es sei Öffentlichkeitsarbeit zumindest im Ausmass der Bemühungen gegen das Rauchen zu betreiben, mit welcher auf die Gesundheits- und Klimaschädlichkeit von luftverschmutzenden Tätigkeiten und auf gesundheitsverträgliche Alternativen hingewiesen werde.
3. Es seien Deklarationen bezüglich der Gesundheits- und Klimaschädlichkeit bei Bezügen von Treib- und Brennstoffen, welche in Fahrzeugen und Maschinen mit Verbrennungsmotoren verwendet werden sollten, durchzusetzen bzw. es sei die Einhaltung der Vorschriften bezüglich der Verbrennung von Treibstoffen zu kontrollieren und durchzusetzen.
4. Es sei eine CO2-Abgabe in zwecktauglichem Umfang auf Treibstoffen einzuführen.
5. Es seien alternative Antriebsysteme, motorentechnische Massnahmen und eine Verringerung des Fahrzeuggewichts zu fördern.
6. Es seien Instrumente einzuführen, welche den durchschnittlichen Treibstoffverbrauch bei Neuwagen bis 2010 mindestens halbieren würden.
7. Es seien ein Strassenneubau- bzw. Strassenausbaustopp zu vollziehen und die Raumplanung an kurze Verkehrswege auszurichten.
8. Es seien die Grundlagen für Road Pricing einzuführen; vorrangig sei ein Road Pricing mit Mittelumverteilung zu Gunsten eines preiswerten öffentlichen Verkehrs anzustreben.
9. Es seien allgemeine und langfristige Temporeduktionen vorzunehmen und in Zeiten von Grenzwertüberschreitungen zusätzlich zu verschärfen.
10. Es sei den Kantonen und Gemeinden die Kompetenz einzuräumen, mittel- und langfristige Massnahmen zu treffen, welche die Einhaltung der Immissionsgrenzwerte betreffend Ozon, Feinstaub und Stickoxiden ermöglichten (längerfristige partielle Fahrverbote für den Privatverkehr als in Zeiten von Grenzwertüberschreitungen, stufenweise Fahrbeschränkungen mittels vorgängiger Einteilung von emittierenden Fahrzeugen in fünf Abgasklassen inkl. CO2-Ausstoss).
11. Die gesuchstellende Person sei unverzüglich unentgeltlich und periodisch mit tauglichen Schutzmasken gegen Feinstaub und Ozon, mit welchen man singen könne, in genügender Anzahl für sie und ihre Klienten auszurüsten. Falls dies nicht möglich sei, seien die Arbeitsräume mit einer Filteranlage auszurüsten.
12. Es seien unverzüglich die Mittel zur Verfügung zu stellen, die Wohnung der gesuchstellenden Person mit Luftfiltern gegen Ozon und Feinstaub auszurüsten.
Die Privatpersonen beantragten weiter je in ihrer Eingabe, ihnen sei Akteneinsicht zu gewähren, sie seien als Partei in das Verfahren miteinzubeziehen und es sei in Form einer anfechtbaren Verfügung mit Rechtsmittelbelehrung je einzeln bezüglich der gestellten Forderungen festzustellen, dass die Schweiz ihnen gegenüber verpflichtet sei, innert nützlicher Frist die entsprechenden Massnahmen zu treffen.
B. Mit Schreiben vom 15. März 2007 teilte das BAFU den genannten sieben Personen mit, es sei beauftragt worden, die an den Bundesrat und das BAFU gesandten Briefe zu beantworten. Der Bundesrat und das BAFU würden der Bekämpfung der zu hohen Schadstoffkonzentrationen in der Luft einen sehr hohen Stellenwert beimessen. Seit Mitte der 1980-er Jahre hätten Bund, Kantone und Gemeinden eine Vielzahl von Luftreinhalte-Massnahmen getroffen und vollzogen, wodurch der Schadstoffausstoss verringert worden sei und die Luftbelastung stark abgenommen habe. Im Rahmen des Luftreinhalte-Konzeptes des Bundes, der Massnahmenpläne der Kantone sowie der Genfer Konvention würden weitere Massnahmen zur Einhaltung der Immissionsgrenzwerte erarbeitet. Angesichts der Belastung der Luft durch Feinstaub und insbesondere Dieselruss habe der Bundesrat zudem einen Aktionsplan ausgearbeitet, welcher eine nachhaltige Reduktion des Dieselrusses zum Ziel habe. Dabei sei eine breite Palette von kurz- und mittelfristig umsetzbaren Massnahmen geprüft worden. Schliesslich habe der Bundesrat die zuständigen Departemente mit der Erarbeitung und Umsetzung von 14 entsprechenden Massnahmen beauftragt. Als Ergänzung dieses auf dauerhafte Massnahmen aufgebauten Aktionsplans hätten die Kantone ein Interventionskonzept Feinstaub mit temporären Massnahmen bei hohen Luftbelastungen beschlossen. Bezüglich der geforderten konkreten Massnahmen legte das BAFU einzeln die vom Bund bereits ergriffenen Massnahmen zur Reduktion der luftbelastenden Emissionen, die Absichten der Behörden und die begrenzten Möglichkeiten aufgrund der tatsächlichen und rechtlichen Situation dar. Die Schreiben des BAFU waren weder als Verfügung bezeichnet noch enthielten sie eine Rechtsmittelbelehrung.
C. Mit Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht vom 16. April 2007 stellten die genannten sieben Personen gemeinsam den Antrag, die Verfügungen des BAFU vom 15. März 2007 seien aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die bis zum 28. Dezember 2006 durch den Bund getroffenen Massnahmen zum Schutz der Gesundheit sowie des Privat- und Familienlebens der Beschwerdeführenden vor Immissionen durch Luftschadstoffe ungenügend seien bzw. das Unterlassen von geeigneten Massnahmen zu ihrem Schutz unrechtmässig sei. Es sei festzustellen, dass der Bund verpflichtet sei, mittels geeigneter Massnahmen vorzukehren, dass die Immissionsgrenzwerte betreffend Feinstaub, Ozon und Stickoxiden eingehalten würden bzw. dass ein Immissionsniveau erreicht werde, welches für die Beschwerdeführenden nicht gesundheitsschädigend oder lästig sei. Es seien innerhalb eines Jahres entsprechende Massnahmen anzuordnen.
Weiter stellten die Beschwerdführenden den Antrag, es sei festzustellen, dass der Bund im Rahmen seiner Zuständigkeit zur Umsetzung folgender Massnahmen verpflichtet sei:
1. Einführung einer vollumfänglichen Pflicht für Dieselpartikelfilter und De-NOx-Katalysatoren bei sämtlichen Dienstfahrzeugen.
2. Intensivierung der Öffentlichkeitsarbeit in dieser Hinsicht - zumindest im Ausmasse der Anstrengungen bezüglich des Rauchens.
3. Dafür zu sorgen, dass die Bezüger von Treibstoff an Tankstellen über die umweltschädigenden Folgen informiert und auf umweltfreundlichere Varianten aufmerksam gemacht würden.
4. Die Einführung von Instrumenten, welche den Treibstoffverbrauch bei Neuwagen bis 2010 mindestens halbieren, u.a. durch Förderung der Verringerung des Fahrzeuggewichts und der Einführung eines Bonus-Malus-Systems, welches sich ausschliesslich an der Schadstoffemission orientiere.
5. Die Gewährleistung eines Strassenneubau- und Strassenausbaustopps, welche in direktem oder indirektem Zusammenhang mit einer angestrebten Kapazitätserweiterung für den motorisierten Individualverkehr stehen.
6. Die Schaffung der rechtlichen Grundlagen dafür, dass in der Schweiz Strassenbenutzungsgebühren wie etwa das Road Pricing eingeführt werden können bzw. die Einführung dieser Institution in den Ballungszentren Basel, Bern, Genf, Lausanne, Lugano, Luzern, St. Gallen, Winterthur und Zürich.
7. Die Ausrüstung der Bevölkerung mit Schutzmasken oder Filteranlagen für Arbeits- und Wohnräume, wenn die Gesundheit oder das Privat- und Familienleben nicht auf andere Weise genügend geschützt werden kann bzw. die Schaffung der gesetzlichen Grundlagen hierfür.
Weiter verlangten die Beschwerdeführer Einsicht in die vollständigen amtlichen Akten und gegebenenfalls eine angemessene Frist zur Beschwerdeergänzung. Eventualiter seien die Gesuche zur Neubeurteilung an die Vorinstanz bzw. eine unabhängige Verwaltungsinstanz zu überweisen, welche sich materiell mit den Anliegen der Beschwerdeführer auseinandersetze.
Die Beschwerdeführer machten geltend, dass sie durch die wiederholte und zum Teil massive Überschreitung der Immissionsgrenzwerte an ihren Wohnorten gesundheitlich beeinträchtigt würden. Die bisher durch Bund und Kantone eingeleiteten bzw. die von der Vorinstanz aufgelisteten Massnahmen genügten nicht, um die Gesundheit und das Wohlbefinden der Beschwerdeführer zu schützen. Sie hätten in ihren Eingaben vergeblich den Erlass einer Feststellungsverfügung betreffend des geltend gemachten Schutzanspruchs gegenüber dem Staat beantragt und es sei ihnen zu Unrecht keine Parteistellung zugebilligt worden. Indem das BAFU den Beschwerdeführern die Akteneinsicht nicht gewährt habe und abgesehen von der Auflistung angeordneter oder beabsichtigter Massnahmen nicht auf ihre Eingaben eingegangen sei, habe sie ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
Am 16. Mai 2007 zog G._ ihre beim Bundesverwaltungsgericht hängige Beschwerde zurück.
D. Das Bundesverwaltungsgericht hiess die Beschwerde mit Urteil vom 30. Januar 2008 insofern wegen Rechtsverweigerung gut, als die Beschwerdeführer gerügt hatten, das BAFU hätte über seine Zuständigkeit und die Frage der Parteistellung mit Verfügung entscheiden müssen. Es verpflichtete jedoch das BAFU aus prozessökonomischen Gründen nicht, eine formelle Verfügung zu erlassen, sondern wies die Beschwerde im Übrigen ab, soweit darauf einzutreten war. Es kam zum Schluss, dass das BAFU sich mit den Gesuchen zu Recht inhaltlich nicht befasst habe und die Beschwerdeführenden keinen Anspruch auf eine wirksame Beschwerde nach Art. 13 EMRK geltend machen könnten.
E. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 5. März 2008 beantragen die sechs Beschwerdeführer des vorinstanzlichen Verfahrens, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 30. Januar 2008 sei aufzuheben. Zudem wiederholen sie im Wesentlichen die bereits vor Bundesverwaltungsgericht gestellten Anträge. In einem Eventualantrag verlangen sie überdies, die amtlichen Akten bzw. das Verfahren seien zur Neubeurteilung an die Vorinstanz oder an eine verwaltungsunabhängige Instanz im Sinne von Art. 13 EMRK zu überweisen, welche sich materiell mit den Anliegen der Beschwerdeführer auseinandersetze.
Die Beschwerdeführer leiten aus <ref-law> und Art. 8 EMRK einen Anspruch auf staatlichen Schutz vor übermässigen Schadstoffen in der Luft ab und berufen sich dabei auf die Immissionsgrenzwerte der Luftreinhalte-Verordnung des Bundes vom 16. Dezember 1985 (SR 814.318.142.1) sowie <ref-law> (SR 814.01).
F. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Das BAFU beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Mit Eingabe vom 7. Juli 2008 halten die Beschwerdeführer an ihren Anträgen und an ihrer Rechtsauffassung fest.

Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Urteil des Bundesverwaltungsgerichts handelt es sich um einen mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anfechtbaren Endentscheid (Art. 82, 86 Abs. 1 lit. a und <ref-law>). Eine Ausnahme gemäss <ref-law> liegt nicht vor.
1.2 Das Bundesverwaltungsgericht hatte im angefochtenen Entscheid zu beurteilen, ob die Beschwerdeführer Anspruch auf Erlass einer materiellen Verfügung durch das BAFU über die verlangten Massnahmen haben. Es hat dies verneint, weil das BAFU nicht zuständig sei, die beantragten Massnahmen mit Verfügung anzuordnen, und die Beschwerdeführer zudem mangels schutzwürdigen Interesses keine Parteistellung beanspruchen könnten. Die Vorinstanz habe sich mit den Gesuchen zu Recht inhaltlich nicht befasst. Nicht mehr umstritten ist, dass das BAFU über die Fragen der Zuständigkeit und der Parteistellung eine formelle Verfügung hätte erlassen müssen. Zum Beschwerdegegenstand im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren gehören somit lediglich die Frage der Zuständigkeit des BAFU, eine materielle Verfügung über die beantragten Massnahmen zu treffen, sowie die Parteistellung der Beschwerdeführer. Über die materielle Notwendigkeit der beantragten Massnahmen liegt noch kein anfechtbarer Entscheid vor.
1.3 Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren selbständigen Begründungen, die je für sich den Ausgang des Rechtsstreits besiegeln, so hat der Beschwerdeführer darzulegen, dass jede von ihnen Recht verletzt. Andernfalls kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 6 S. 120 f.).
Der umstrittene Teil des Entscheids der Vorinstanz beruht auf mehreren Begründungen. Zunächst prüfte das Bundesverwaltungsgericht, ob das BAFU für die Anordnung der verlangten Massnahmen zuständig sei und ob diese Gegenstand einer Verfügung im Sinne von <ref-law> bilden könnten. Es gelangte zum Schluss, das BAFU sei nicht zuständig, die verlangten Massnahmen mit Verfügung anzuordnen (E. 5 des angefochtenen Entscheids). Weiter verneinte es in E. 6 seines Entscheids die Parteistellung der Beschwerdeführer mangels eines schutzwürdigen Interesses an einem materiellen Entscheid. Schliesslich lehnte die Vorinstanz den von den Beschwerdeführern behaupteten Anspruch auf eine wirksame Beschwerde im Sinne von Art. 13 EMRK ab.
Die vorinstanzlichen Erwägungen enthalten zwei selbständige Begründungen für den Verzicht auf eine materielle Verfügung über die von den Beschwerdeführern beantragten Massnahmen. Die Beschwerdeführer kritisieren sehr ausführlich die vorinstanzliche Würdigung ihrer Parteistellung und des Anspruchs auf eine wirksame Beschwerde im Sinne von Art. 13 EMRK. Indessen enthält die Beschwerde keine den Begründungsanforderungen von <ref-law> entsprechende Auseinandersetzung mit den Erwägungen des Bundesverwaltungsgerichts zur Zuständigkeit des BAFU, die geforderten Massnahmen anzuordnen. Dass die Vorinstanzen allfällige Pflichten zur Weiterleitung der Gesuche an zuständige Behörden missachtet hätten, wird ebenfalls nicht geltend gemacht. Diese Art der Beschwerdeführung genügt den Erfordernissen gemäss <ref-law> nicht, weshalb auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann (vgl. LAURENT MERZ, Bundesgerichtsgesetz, Basler Kommentar, Rz. 73 zu <ref-law>). Auch die Rügen der Verweigerung der Akteneinsicht (<ref-law>), des Willkürverbots (<ref-law>) und des Anspruchs auf ein faires Verfahren (Art. 6 Ziff. 1 EMRK) erheben die Beschwerdeführer im Zusammenhang mit der Verteidigung ihrer Parteistellung bzw. ihres Anspruchs auf eine wirksame Beschwerde, ohne sich mit den Erwägungen der Vorinstanz zur Zuständigkeit des BAFU in der Sache auseinanderzusetzen. Somit kann auch auf diese Rügen nicht eingetreten werden, soweit sie im Übrigen überhaupt hinreichend substanziiert sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 246) und nicht auf blossen Vermutungen beruhen. Die Ansetzung einer Nachfrist zur Ergänzung der Beschwerde erübrigt sich (vgl. <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 247 f.).
2. Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>). Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Bundesamt für Umwelt sowie dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. März 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Haag