Erwägungen:
1. 1.1 Das Amt für Migration des Kantons Basel-Landschaft lehnte die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung der 1973 geborenen thailändischen Staatsangehörigen X._ ab; zugleich ordnete es deren Wegweisung an. Eine gegen diese Verfügung vom 18. Januar 2010 erhobene Beschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft am 6. Juli 2010 ab.
1.2 X._ liess am 19. Juli 2010 durch eine Rechtsanwältin Beschwerde beim Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, einreichen und gleichzeitig um Ansetzung einer Frist zur Einreichung einer Beschwerdebegründung ersuchen. Mit Verfügung vom 21. Juli 2010 gewährte das Kantonsgericht eine Frist zur Einreichung der ergänzenden Beschwerdebegründung bis 20. August 2010; die Verfügung enthielt den Hinweis, dass eine allfällige Fristerstreckung peremptorisch erfolgen würde. Am 10. August 2010 teilte die bisherige Anwältin dem Kantonsgericht mit, dass sie X._ ab sofort nicht mehr vertrete, woraufhin das Kantonsgericht mit direkt an Letztere adressierter Verfügung festhielt, dass die Frist bis 20. August 2010 zur Einreichung der Beschwerdebegründung (gleich wie diejenige zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'750.--) bestehen bleibe.
Am 19. August 2010 bevollmächtigte X._ Rechtsanwalt B._, F._, wobei Substitutionsvollmacht an lic.iur. A._ erteilte wurde. Mit Schreiben vom 19. August 2010, das "per Dr. B._, Advokat" von lic.iur. A._ unterzeichnet war, wurde dem Kantonsgericht am 19. August 2010 mitgeteilt, dass es "aufgrund kurzfristiger Mandatierung und infolge Arbeitsüberlastung und anderer nicht aufschiebbarer Fristen ... nicht möglich (sei), die Beschwerdebegründung vollständig innert der angesetzten Frist auszuarbeiten"; es wurde daher darum ersucht, die Frist angemessen zu erstrecken. Mit einem direkt an Dr. B._ adressierten Schreiben vom 23. August 2010 wurde die Frist für die einzureichende Beschwerdebegründung bis 20. September 2010 erstreckt, mit dem Zusatz: "Diese Fristerstreckung erfolgt peremptorisch." Mit einem wiederum "per Dr. B._, Advokat" unterzeichneten Schreiben vom 20. September 2010 ersuchte lic.iur. A._ unter Bezugnahme auf die peremptorische Natur der Fristerstreckungsverfügung vom 23. August 2010 darum, die entsprechende Frist "nachperemptorisch" zu erstrecken, dies mit der Begründung, dass die Klientin die ihr zur Verfügung stehenden Akten dem Vertreter erst vor Kurzem habe zukommen lassen.
Mit Urteil der Präsidentin der Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht vom 22. September 2010 trat das Kantonsgericht Basel-Landschaft auf die Beschwerde nicht ein, weil die Beschwerdebegründung auch innert der peremptorisch erstreckten Frist nicht eingereicht worden sei, ohne dass ein Grund zur Wiederherstellung der Frist gegeben sei.
1.3 Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. Oktober 2010 beantragen X._ sowie Y._ dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts sowie der Beschwerdeentscheid des Regierungsrats und die Verfügung des Amtes für Migration vom 18. Januar 2010 seien aufzuheben.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (<ref-law>). Der Beschwerdeführer, der sich darum zur Beschwerde legitimiert glaubt, weil er als Lebenspartner und Verlobter der Beschwerdeführerin, die allerdings nach wie vor mit einem anderen Mann verheiratet ist, vom angefochtenen Entscheid stärker als jedermann betroffen sei, hat am Verfahren vor dem Appellationsgericht nicht teilgenommen, ohne dass erkennbar ist, dass er - zu Unrecht - von einer Teilnahme abgehalten worden wäre. Er ist schon darum zur vorliegenden Beschwerde nicht legitimiert.
2. 2.1 Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (<ref-law>). Der Beschwerdeführer, der sich darum zur Beschwerde legitimiert glaubt, weil er als Lebenspartner und Verlobter der Beschwerdeführerin, die allerdings nach wie vor mit einem anderen Mann verheiratet ist, vom angefochtenen Entscheid stärker als jedermann betroffen sei, hat am Verfahren vor dem Appellationsgericht nicht teilgenommen, ohne dass erkennbar ist, dass er - zu Unrecht - von einer Teilnahme abgehalten worden wäre. Er ist schon darum zur vorliegenden Beschwerde nicht legitimiert.
2.2 2.2.1 Gemäss <ref-law> haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Abs. 1). Dabei ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Abs. 2); es muss sich dabei um schweizerisches Recht handeln (<ref-law>). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids, die für dessen Ergebnis ausschlaggebend sind, auseinandersetzen. Wird ein Nichteintretensentscheid angefochten, hat sich die Beschwerdebegründung auf den von der Vorinstanz herangezogenen Nichteintretensgrund zu beziehen. Beruht der (Nichteintretens-)Entscheid wie vorliegend auf kantonalem (Verfahrens-)Recht, fällt praktisch nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte in Betracht (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351; <ref-ruling> E. 1.2 S. 382 f.), welche spezifischer Begründung bedarf (<ref-law>); namentlich genügt appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht.
2.2.2 Die Beschwerdeführerin nennt verschiedene verfassungsmässige Rechte, die durch den Nichteintretensentscheid verletzt würden (Art. 9, 14, 29 Abs. 2, 29 und 30 BV sowie Art. 6 und 13 EMRK). Zusammengefasst macht sie dazu geltend, dass sie einerseits keine (ausreichende) Kenntnis von der Frist- bzw. Nachfristansetzung und den angedrohten Säumnisfolgen hatte und ihre Rechtsvertretung andererseits äusserst mangelhaft gewesen sei, was die Vorinstanz hätte erkennen müssen. Mit ihren weitschweifigen, appellatorischen Ausführungen legt sie jedoch die Verletzung der von ihr genannten Grundrechte nicht in einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Weise dar:
Zunächst ist festzuhalten, dass sich die Beschwerdeführerin nicht mit den von der Vorinstanz zur Begründung des Nichteintretensentscheids herangezogenen einschlägigen kantonalrechtlichen Normen über Fristansetzung, Fristverlängerung und Fristwiederherstellung (§§ 5 Abs. 3 und 23 des Gesetzes vom 16. Dezember 1993 über die Verfassungs- und Verwaltungsprozessordnung [VPO BL] sowie § 5 Abs. 3 und 5 des Verwaltungsverfahrensgesetzes Basel-Landschaft vom 13. Juni 1988 [VwVG BL]) befasst. Unerheblich ist sodann an sich der Umstand, dass die Beschwerdeführerin selber nicht Kenntnis von den verschiedenen Fristansetzungen gehabt haben will, stand ihr doch in jeder für das Verfahren vor dem Appellationsgericht massgeblichen Phase ein von ihr bevollmächtigter Jurist bei. Es bleibt damit ihre Behauptung, dass es an einer wirksamen und gültigen Rechtsvertretung gefehlt habe und ihr die Fehlhandlungen von lic.iur A._ nicht zugerechnet werden könnten. Diesbezüglich geht sie zwar auf den Umstand ein, dass es sich bei lic. iur. A._ nicht um einen Advokaten, sondern um einen gestützt auf eine Substitutionsvollmacht für den mandatierten Advokaten handelnden Volontär handle; die Frage, ob das kantonale Prozess- oder Anwaltsrecht die Substitution des Advokaten durch einen Volontär in gerichtlichen Verfahren untersage oder bloss unter bestimmten (und welchen) einschränkenden Bedingungen erlaube, wird in der Beschwerdeschrift nicht behandelt. Die Schlussfolgerung der Beschwerdeführerin, dass "das Mandatsverhältnis faktisch als ein Nichtmandat zu qualifizieren war", beruht somit einzig auf der unsorgfältigen Handlungsweise des Volontärs. Damit lässt sich jedoch die Nichtzurechenbarkeit der rechtsvertreterischen Handlungen grundsätzlich nicht begründen (vgl. Urteil 2C_645/2008 vom 24. Juni 2008 E. 2.3).
2.3 Da die Beschwerde offensichtlich keine hinreichende Begründung enthält (<ref-law>), ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten.
2.4 Mit diesem instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.5 Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz und Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. November 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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