Sachverhalt:
A. Im Rahmen einer tätlichen Auseinandersetzung stach X._ am 22. Mai 2005 in S._ dem Geschädigten A._ mit einem Küchenmesser in die linke Brust. Weitere Stiche versetzte er ihm am linken Ohr, am Kopf und im hinteren Halsbereich. Die Verletzungen waren nicht lebensgefährlich.
B. Das Obergericht des Kantons Thurgau sprach X._ mit Urteil vom 29. September 2009 zweitinstanzlich schuldig der versuchten eventualvorsätzlichen Tötung sowie der mehrfachen einfachen Körperverletzung. Es verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 4 1⁄2 Jahren unter Anrechnung der ausgestandenen Untersuchungshaft von 27 Tagen. Zudem hielt es fest, dass X._ dem Geschädigten A._ schadenersatzpflichtig ist. Zur Feststellung des Schadenumfangs wurde der Geschädigte auf den Zivilweg verwiesen. X._ wurde weiter verpflichtet, dem Geschädigten Fr. 4'000.-- Genugtuung zuzüglich Zins zu 5% seit dem 22. Mai 2005 zu bezahlen.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt sinngemäss, das Urteil des Obergerichts des Kantons Thurgau sei aufzuheben, und er sei wegen versuchten eventualvorsätzlichen Totschlags sowie wegen mehrfacher einfacher Körperverletzung schuldig zu erklären. Eventualiter sei der vorinstanzliche Schuldpunkt zu bestätigen, und er sei mit einer Freiheitsstrafe von höchstens 20 Monaten zu verurteilen. Der Vollzug der Freiheitsstrafe sei bei einer Probezeit von zwei Jahren aufzuschieben. Zudem sei der Antrag auf Ausrichtung einer Genugtuung abzuweisen, eventualiter auf den Zivilweg zu verweisen. Subeventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz oder an das Bezirksgericht Kreuzlingen zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht er um Erteilung der aufschiebenden Wirkung betreffend die Verpflichtung zur Leistung einer Genugtuung sowie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
D. A._, das Obergericht des Kantons Thurgau und die Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau beantragen in ihren Vernehmlassungen, die Beschwerde sei abzuweisen. A._ ersucht zudem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.

Erwägungen:
1. Am 30. Januar 2008 wurde zur Frage der Schuldfähigkeit im Sinne von <ref-law> ein Gutachten zuhanden des kantonalen Untersuchungsrichteramts erstattet. Es wurde von Dr. med. D._, leitender Arzt der psychiatrischen Klinik K._, verfasst. Das Gutachten schliesst zum Zeitpunkt der Tat eine verminderte Schuldfähigkeit des Beschwerdeführers aus (vorinstanzliche Akten pag. 519 ff.).
1.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, der Gutachter sei allein zum Vorliegen einer psychischen Störung befragt worden. Weitere Gründe, die zu einer Einschränkung der Schuldfähigkeit führen könnten, seien nicht untersucht worden. Der von der Vorinstanz gezogene Schluss, das Gutachten sei vollständig und verneine unter Berücksichtigung sämtlicher relevanter Umstände jegliche Einschränkung der Schuldfähigkeit, sei willkürlich. Weiter leide er entgegen der Auffassung des Gutachters unter einer Persönlichkeitsstörung (Beschwerde S. 5 ff.).
1.2 Das Vorbringen des Beschwerdeführers stellt eine Kritik am Inhalt eines fachärztlichen Gutachtens dar. Ob ein Gericht die im psychiatrischen Gutachten enthaltenen Erörterungen für überzeugend hält oder nicht und ob es dementsprechend den Schlussfolgerungen des Experten folgen oder ein Ergänzungsgutachten beziehungsweise eine Oberexpertise einholen soll, ist eine Frage der Beweiswürdigung, die mit Beschwerde in Strafsachen wegen Verletzung des Willkürverbots aufgeworfen werden kann. Dasselbe gilt für die Frage, ob ein psychiatrisches Gutachten in sich schlüssig ist (<ref-ruling> E. 2a S. 238, 97 E. 2b S. 99 f.; je mit Hinweisen; Urteil 6S.870/1998 vom 6. Mai 1999 E. 4 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>). Eine entsprechende Kritik muss als Verletzung des Willkürverbots substanziiert dargelegt werden.
Das Gericht darf in Fachfragen nicht ohne triftige Gründe von Gutachten abweichen und muss Abweichungen begründen. Das Abstellen auf nicht schlüssige Expertisen kann gegen das Willkürverbot und gegen Verfahrensrechte der Parteien verstossen, so wenn gewichtige, zuverlässig begründete Tatsachen oder Indizien die Überzeugungskraft des Gutachtens ernstlich erschüttern (<ref-ruling> E. 4.4.1 S. 269 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 4 S. 57 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 86 mit Hinweisen).
1.3 Die Vorinstanz führt im Einzelnen aus, das Gutachten sei schlüssig und überzeugend. Es attestiere dem Beschwerdeführer eine akzentuierte Persönlichkeit mit emotional instabilen und impulsiven Zügen, die in ihrem Sozialverhalten gewisse Defizite aufweise. Der Beschwerdeführer sei laut Gutachten in der Lage gewesen, das Unrecht seiner Tat einzusehen. Auch könne nicht von einer rechtsrelevanten Verminderung seiner Bestimmungsfähigkeit ausgegangen werden.
Die Vorinstanz erwägt weiter, die Expertise habe festgehalten, dass die Kriterien einer Persönlichkeitsstörung nur knapp oder gar nicht erfüllt seien. Damit habe der Gutachter in wissenschaftlich korrekter Weise zum Ausdruck gebracht, dass die Diagnose einer Persönlichkeitsstörung schwierig zu stellen sei. Mit Bezug auf die volle Schuldfähigkeit zum Tatzeitpunkt hätten für den Gutachter keine Zweifel bestanden. Es treffe nicht zu, dass der Gutachter zur Frage, ob eine sonstige Einschränkung der Einsichtsfähigkeit im Zeitpunkt der Tat gegeben sei, keine Ausführungen gemacht habe. Er sei aufgefordert worden, zur Schuldfähigkeit im Sinne von Art. 19 Abs. 1 und 2 StGB Stellung zu nehmen. Hätten unabhängig von einer psychischen Störung sonstige Einschränkungen bestanden, hätte Dr. med. D._ als erfahrener Gerichtsexperte darauf hingewiesen (angefochtener Entscheid S. 21 ff.).
1.4 Der Beschwerdeführer macht geltend, der Gutachter habe insbesondere die Erregung, den Affekt oder sonstige Gründe, die zu einer Einschränkung der Schuldfähigkeit führen könnten, nicht untersucht. Diese Rüge vermag keine Mängel des Gutachtens substanziiert aufzuzeigen und dessen Überzeugungskraft in Frage zu stellen. Das Gutachten hat sich mit dem Geisteszustand des Beschwerdeführers zum Tatzeitpunkt auseinandergesetzt. Es hält fest, es bestünden keine deutlichen Hinweise, wonach der psychische Zustand des Beschwerdeführers in einem extremen Ausmass alteriert gewesen wäre, dass von einer psychiatrisch relevanten Störung gesprochen werden müsste. Es schliesst unter anderem eine akute Belastungsreaktion aus und geht von einer persönlichkeitstypischen aggressiven Erregung aus (vorinstanzliche Akten pag. 529). Die an den Gutachter gestellten Fragen stehen unter dem Titel "Zur Frage nach einer psychischen Störung" sowie "Zur Frage der Schuldfähigkeit (Art. 19 Abs. 1 und 2 StGB)". Die in Ziffer 2 gestellten Fragen lauten "War die beschuldigte Person zur Zeit der Tat(en) wegen dieser psychischen Störung nicht fähig zur Einsicht in das Unrecht der Tat(en) oder zum Handeln gemäss dieser Einsicht (<ref-law>)?" sowie "War die beschuldigte Person zur Zeit der Tat(en) wegen dieser psychischen Störung nur teilweise fähig zur Einsicht in das Unrecht der Tat(en) oder zum Handeln gemäss dieser Einsicht (<ref-law>)?". Nach den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz ist anzunehmen, dass Dr. med. D._ andere Einschränkungen der Schuldfähigkeit, sofern solche vorgelegen hätten, aufgezeigt hätte. Der in den zitierten Fragen enthaltene Hinweis auf eine mögliche psychische Störung engte die Fragestellung nach einer allfälligen Schuldunfähigkeit respektive einer verminderten Schuldfähigkeit im Sinne von <ref-law> demnach nicht ein. Die Expertise attestiert dem Beschwerdeführer ausdrücklich eine intakte Einsichts- und (in grundsätzlicher Hinsicht) Bestimmungsfähigkeit. Deshalb kann die Vorinstanz ausschliessen, dass die Fragen einzig im Hinblick auf eine mögliche psychische Störung beantwortet wurden, und sie darf deshalb dem Beschwerdeführer eine volle Schuldfähigkeit zurechnen, ohne in Willkür zu verfallen.
Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, er leide entgegen der Auffassung des Gutachters unter einer Persönlichkeitsstörung im Sinne der Internationalen Klassifikation der Krankheiten und verwandter Gesundheitsprobleme (ICD-10), vermag er keine triftigen Gründe aufzuzeigen, weshalb das Gutachten in dieser Frage nicht als schlüssig zu werten und deshalb davon abzuweichen wäre. Das Gutachten hält fest, der Beschwerdeführer erfülle die Kriterien einer Persönlichkeitsstörung (wenn überhaupt) nur marginal, weshalb eher eine akzentuierte Persönlichkeit mit emotional instabilen und impulsiven Zügen vorliege. Die Vorinstanz hält zutreffend fest, der Gutachter lege dar, dass die Diagnose einer Persönlichkeitsstörung schwierig zu stellen sei. Der Gutachter zweifelt nicht nur, ob das Kriterium betreffend den Krankheitsbeginn erfüllt ist. Vielmehr legt die Expertise auch dar, dass sämtliche Kriterien einer Persönlichkeitsstörung höchstens nur sehr knapp erfüllt sind und das Verhalten des Beschwerdeführers mit dem impulsiven Typus nur am Rande übereinstimmt (vorinstanzliche Akten pag. 528 f.). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist das Gutachten in diesem Punkt frei von Widersprüchen und deshalb bündig.
In appellatorischer Kritik erschöpft sich die Rüge des Beschwerdeführers, wonach der Gutachter über zu wenig Informationen verfügt habe, um eine sichere Beurteilung vornehmen zu können. Auch finden die vom Beschwerdeführer erwähnten sprachlichen Verständigungsschwierigkeiten - welche nicht mit einer schwachen Beherrschung der deutschen Sprache gleichzusetzen sind - in den Schilderungen von Dr. med. D._ keine Stütze. Dieser hält explizit fest, das Gesagte sei inhaltlich jederzeit verständlich gewesen (vorinstanzliche Akten pag. 523). Unzutreffend sind die Ausführungen des Beschwerdeführers, das Gutachten bezeichne die Informationslage als zu knapp und die sprachlichen Kenntnisse als ungenügend.
Schliesslich ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers die Schlussfolgerung in der Expertise, wonach die Beeinträchtigung der Selbststeuerungsfähigkeit nicht wesentlich von ähnlich gelagerten Tätern in entsprechenden Situationen abgewichen sei, nicht zu beanstanden. Dr. med. D._ hält fest, eine persönlichkeitstypische aggressive Erregung dürfte eine Rolle gespielt haben, wobei die momentane Verfassung nicht wesentlich von derjenigen vergleichbarer Täter in ähnlichen Situationen abgewichen sei (vorinstanzliche Akten pag. 529). Damit legt er nachvollziehbar dar, dass die Intensität der aggressiven Verstimmung aus ärztlicher Sicht ein für die Fragestellung relevantes Mass nicht erreichte und somit nicht in hohem Masse in den Bereich des Abnormen fiel.
1.5 Die Vorinstanz darf ohne Willkür das Gutachten von Dr. med. D._ als schlüssig werten und auf dessen Schlussfolgerungen abstellen. Mit anderen Worten darf die Vorinstanz ohne Willkür triftige Gründe für ein Abweichen von diesen Schlussfolgerungen verneinen.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer beanstandet ferner die Strafzumessung. Er bringt vor, die Vorinstanz billige ihm im Gegensatz zur ersten Instanz eine leicht verminderte Zurechnungsfähigkeit zu. Dennoch habe die Vorinstanz in Verletzung der Begründungspflicht das erstinstanzliche Strafmass bestätigt. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law> sowie von Art. 47 und <ref-law> (Beschwerde S. 15 ff.).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer beanstandet ferner die Strafzumessung. Er bringt vor, die Vorinstanz billige ihm im Gegensatz zur ersten Instanz eine leicht verminderte Zurechnungsfähigkeit zu. Dennoch habe die Vorinstanz in Verletzung der Begründungspflicht das erstinstanzliche Strafmass bestätigt. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law> sowie von Art. 47 und <ref-law> (Beschwerde S. 15 ff.).
2.2 2.2.1 Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die vorgebrachten Rügen. Es ist aber weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140 mit Hinweis).
2.2.2 Der Beschwerdeführer hat die hier zu beurteilenden Straftaten vor Inkrafttreten des neuen Allgemeinen Teils des Strafgesetzbuches am 1. Januar 2007 begangen. Das neue Recht ist auf die vor diesem Zeitpunkt begangenen Taten anzuwenden, falls es milder ist (<ref-law>).
Die Vorinstanz wendet das neue Recht an, ohne diese Frage ausdrücklich zu prüfen. Ob das neue im Vergleich zum alten Gesetz milder ist, beurteilt sich aufgrund eines konkreten Vergleichs der Strafe. Der Richter hat zu prüfen, nach welchem der beiden Rechte der Täter besser wegkommt (<ref-ruling> E. 6.2.1 S. 87 f. mit Hinweisen). Freiheitsentziehende Strafen des früheren Rechts (Gefängnis oder Zuchthaus) und des neuen Rechts (Freiheitsstrafe) sind gleichwertig, soweit sie unbedingt ausgesprochen werden (a.a.O., E. 7.2.1 S. 89 f. mit Hinweisen). Spricht die Vorinstanz eine Freiheitsstrafe von 4 1⁄2 Jahren und somit eine unbedingte Strafe aus, ist das neue Recht nicht milder. In diesem Fall ist das alte Recht anwendbar (<ref-law>; vgl. auch E. 2.4).
2.2.3 Nach Art. 63 aStGB bemisst der Richter die Strafe nach dem Verschulden des Täters zu; er berücksichtigt die Beweggründe, das Vorleben und die persönlichen Verhältnisse des Schuldigen. Diese Bestimmung entspricht weitgehend der neuen Regelung in <ref-law>, und die früher geltenden Strafzumessungsgrundsätze wurden in <ref-law> beibehalten (<ref-ruling> E. 2.1 S. 19). Gemäss <ref-law> misst das Gericht die Strafe nach dem Verschulden des Täters zu. Es berücksichtigt das Vorleben, die persönlichen Verhältnisse sowie die Wirkung der Strafe auf das Leben des Täters. Die Bewertung des Verschuldens wird in <ref-law> dahingehend präzisiert, dass dieses nach der Schwere der Verletzung oder Gefährdung des betroffenen Rechtsguts, nach der Verwerflichkeit des Handelns, den Beweggründen und Zielen des Täters sowie danach bestimmt wird, wie weit der Täter nach den inneren und äusseren Umständen in der Lage war, die Gefährdung oder Verletzung zu vermeiden.
Es liegt im Ermessen des Sachgerichts, in welchem Umfang es die verschiedenen Strafzumessungsfaktoren berücksichtigt. Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur in die Strafzumessung ein, wenn die Vorinstanz den gesetzlichen Strafrahmen über- oder unterschritten hat, wenn sie von rechtlich nicht massgebenden Kriterien ausgegangen ist oder wesentliche Gesichtspunkte ausser Acht gelassen bzw. in Überschreitung oder Missbrauch ihres Ermessens falsch gewichtet hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 19 f. mit Hinweisen).
2.2.4 Ist die Strafe aufgrund der Mehrheit der Delikte nach aArt. 68 Ziff. 1 Abs. 1 StGB festzusetzen, muss der Richter in einem ersten Schritt gedanklich die Einsatzstrafe für das schwerste Delikt festlegen, indem er alle diesbezüglichen straferhöhenden und strafmindernden Umstände einbezieht. In einem zweiten Schritt hat er die Strafe zu erhöhen, um die weiteren Delikte zu sanktionieren. Auch dort muss er den jeweiligen Umständen Rechnung tragen (<ref-ruling> E. 2b S. 104; Urteil 6B_297/2009 vom 14. August 2009 E. 3.3.1; je mit Hinweis; Urteil 6S.378/2002 vom 11. Februar 2003 E. 3.2).
2.3 Die Vorinstanz verweist vollumfänglich auf die Erwägungen des Bezirksgerichts Kreuzlingen zur Strafzumessung (angefochtenes Urteil S. 23 f. und erstinstanzlicher Entscheid S. 34 ff.). Diese genügen den Begründungsanforderungen nicht. Nach <ref-law> hat der Richter die für die Zumessung der Strafe erheblichen Umstände und deren Gewichtung festzuhalten. Diese Bestimmung entspricht der Rechtsprechung des Bundesgerichts zum alten Recht, wonach der Richter die Überlegungen, die er bei der Bemessung der Strafe vorgenommen hat, in den Grundzügen wiedergeben muss, so dass die Strafzumessung nachvollziehbar ist. Besonders hohe Anforderungen an die Begründung der Strafzumessung werden unter anderem gestellt, wenn die ausgesprochene Strafe ungewöhnlich hoch oder auffallend milde ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 20 mit Hinweisen).
Aus dem angefochtenen respektive erstinstanzlichen Entscheid ergibt sich nicht, gestützt auf welche Umstände das erkennende Gericht die Strafe bemessen und wie es die einzelnen Umstände gewichtet hat. Die erste Instanz stuft das Verschulden des Beschwerdeführers als schwer ein. Dazu verweist sie auf das Vorleben des Beschwerdeführers, auf einen Betreibungsregisterauszug, sein aktuelles Bruttoeinkommen, seine Vorstrafenlosigkeit sowie auf seinen getrübten Leumund. Diese Täterkomponenten wertet sie nicht. Sie berücksichtigt die Deliktsmehrheit strafschärfend respektive straferhöhend sowie den unvollendeten Tötungsversuch in Anwendung von <ref-law> strafmildernd (angefochtenes Urteil S. 23 f. und erstinstanzlicher Entscheid S. 34 ff.). Die Vorinstanz ergänzt oder präzisiert die erstinstanzliche Strafzumessung nicht. Die Tatkomponenten bleiben gänzlich unerwähnt, und eine Subsumtion findet nicht statt. Die Vorinstanz setzt sich beispielsweise mit dem Ausmass des verschuldeten Erfolges, der Art und Weise der Tatausführung, der Willensrichtung und dem Tatmotiv nicht ansatzweise auseinander. Mithin finden sich im angefochtenen Entscheid keinerlei Erwägungen zu den wesentlichen schuldrelevanten Komponenten. Aus dem angefochtenen Urteil ergibt sich somit nicht, wie die Schwere des Verschuldens als zentrales Kriterium bei der Bemessung der Strafe festgelegt wird. Nicht nachvollziehbar ist weiter, dass das Verschulden des Beschwerdeführers als schwer eingeschätzt, die Strafe hingegen im unteren Viertel des Strafrahmens festgesetzt wird. Hier liegt eine offensichtliche Diskrepanz zwischen dem Strafmass und der Begründung vor. Die ausgesprochene Freiheitsstrafe ist deshalb nicht plausibel.
Wohl kann das Bundesgericht ein angefochtenes Urteil auch bestätigen, wenn dieses in Bezug auf die Erwägungen zum Strafmass einzelne Unklarheiten und Unvollkommenheiten enthält, solange sich die Strafe unter Beachtung aller relevanten Faktoren offensichtlich im Rahmen des dem Sachgericht zustehenden Ermessens hält (Urteil 6B_341/2007 vom 17. März 2008 E. 8.4, nicht publ. in: <ref-ruling>). Die vorinstanzliche Strafzumessung weist hingegen nicht blosse Unklarheiten auf. Damit ist nicht gesagt, die ausgesprochene Strafe sei zu hoch ausgefallen. Vielmehr sind die Erwägungen der Vorinstanz nicht nachvollziehbar, und die Freiheitsstrafe von 4 1⁄2 Jahren ist im Ergebnis nicht überprüfbar.
2.4 Die vorinstanzliche Strafzumessung lässt massgebende Gesichtspunkte ausser Acht und genügt den Begründungsanforderungen nicht. Die Vorinstanz wird die Strafzumessung unter Berücksichtigung der wesentlichen Strafzumessungsfaktoren neu vorzunehmen und nachvollziehbar darzulegen haben, weshalb sie eine bestimmte Strafe ausspricht. Bei der erneuten Strafzumessung wird sie eine gleiche oder tiefere, aber keine höhere als die bisher ausgesprochene 4 1⁄2-jährige Freiheitsstrafe ausfällen dürfen. Nach ständiger Rechtsprechung folgt aus der Bindung an die Parteibegehren ein Verbot der reformatio in peius nach bundesgerichtlichen Rückweisungsentscheiden (<ref-ruling> E. 6 S. 96 f. mit Hinweisen). Für den Fall, dass die Vorinstanz das Strafmass reduziert, hat sie sich zum anwendbaren Recht zu äussern (E. 2.2.2 hievor).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer bringt schliesslich vor, die A._ zugesprochene Genugtuung von Fr. 4'000.-- gehe weit über das vernünftige Mass hinaus. Ein viertägiger Spitalaufenthalt, die komplikationslose Heilung und die Arbeitsunfähigkeit während 29 Tagen führten nicht zur Zusprechung einer Genugtuung. Länger dauernde psychische Beeinträchtigungen oder Störungen seien nicht nachgewiesen. Bei Berücksichtigung unter anderem der leichten Verletzungen und dem "höchstens mittelschweren und nicht sehr eindrücklichen Ereignis" komme eine Genugtuung von maximal Fr. 1'000.-- in Frage (Beschwerde S. 16 f.).
3.2 Die Höhe der Genugtuung wird unter anderem durch das Verschulden des Schädigers beeinflusst. Nach dem Ausgeführten wird die Vorinstanz das Verschulden des Beschwerdeführers neu zu beurteilen und die Strafe neu festzulegen haben. Dies hat zur Folge, dass die Vorinstanz auch über die Höhe der Genugtuung erneut zu entscheiden hat. Da der obsiegende Beschwerdeführer im neuen Verfahren keine Verschlechterung seiner Rechtsstellung erfahren darf (E. 2.4 hievor), wird die Vorinstanz die Genugtuungssumme auf höchstens Fr. 4'000.-- nebst Zins festsetzen dürfen. Aus verfahrensökonomischen Gründen ist die Rüge des Beschwerdeführers betreffend die Genugtuungshöhe dennoch zu behandeln.
Gemäss <ref-law> kann das Gericht bei Körperverletzung der verletzten Person unter Würdigung der besonderen Umstände eine angemessene Geldsumme als Genugtuung zusprechen.
Die Bemessung der Genugtuung richtet sich vor allem nach der Art und Schwere der Verletzung, der Intensität und Dauer der Auswirkungen auf die Persönlichkeit sowie dem Grad des Verschuldens des Schädigers. Die Genugtuung bezweckt den Ausgleich für erlittene Unbill, indem das Wohlbefinden anderweitig gesteigert oder die Beeinträchtigung erträglicher gemacht wird (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 119 mit Hinweisen). Die Festlegung der Höhe beruht auf der Würdigung sämtlicher Umstände und richterlichem Ermessen (<ref-law>). Das Bundesgericht überprüft zwar als Rechtsfrage frei, ob das kantonale Gericht sein Ermessen richtig ausgeübt hat. Es auferlegt sich jedoch nach konstanter Praxis Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn das Sachgericht grundlos von den in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Bemessungsgrundsätzen abweicht, oder wenn Tatsachen berücksichtigt worden sind, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle spielen oder umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen worden sind, die in den Entscheid hätten einbezogen werden müssen. Ausserdem greift das Bundesgericht in Ermessensentscheide ein, wenn sich diese als offensichtlich unbillig bzw. als in stossender Weise ungerecht erweisen (Urteil 4A_373/2007 vom 8. Januar 2008 E. 3.2 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.3 Die Vorinstanz erörtert, der Geschädigte habe eine Stichwunde sowie verschiedene Schnittwunden am Hals, Ohr und Arm erlitten. Er habe während des Angriffs erhebliche Angst ausgestanden und einige Schmerzen ertragen müssen. Eine bleibende körperliche Schädigung habe er nicht erlitten. Die Arbeitsunfähigkeit habe bis am 19. Juni 2005 gedauert, und das Opfer habe sich während vier Tage im Spital aufhalten müssen. Eine gewisse psychische Beeinträchtigung während einer beschränkten Zeit erscheine glaubhaft. Nachvollziehbar sei, dass das Opfer unter posttraumatischen Störungen gelitten habe. Nicht belegt sei, dass die psychische Integrität des Opfers auch aktuell noch durch die Tat tangiert sei. Zu berücksichtigen sei, dass der Beschwerdeführer nicht mit direktem Tötungsvorsatz, sondern lediglich eventualvorsätzlich gehandelt habe (angefochtenes Urteil S. 26 ff.).
3.4 In der Lehre wird dafür eingetreten, dass Opfer eines Tötungsversuchs, welche folgenlos verheilende, nicht lebensgefährliche Verletzungen erleiden, für ihren damit verbundenen Gefühlsschaden Genugtuungsbeträge von Fr. 20'000.-- bis Fr. 40'000.-- zugesprochen erhalten sollten (Beatrice Gurzeler, Beitrag zur Bemessung der Genugtuung, 2005, S. 344). Der Betrag von Fr. 4'000.-- geht nicht über den Rahmen des der Vorinstanz bei der Bemessung der Genugtuung zukommenden Ermessensspielraums hinaus. Dies dürfte selbst für den Fall gelten, dass die Vorinstanz das Verschulden des Beschwerdeführers als nicht schwer einschätzen sollte. Der Beschwerdeführer vermag aus den von ihm zitierten Bundesgerichtsentscheiden, die einen Verkehrs- respektive Flugunfall betreffen, nichts zu seinen Gunsten abzuleiten. Die Vorinstanz zeigt die wesentlichen Bemessungsgrundsätze auf und wertet diese in vertretbarer Weise. Sie berücksichtigt unter anderem zutreffend, dass der Geschädigte, der Opfer eines versuchten Tötungsdelikts wurde und dem mehrere Stich- respektive Schnittwunden zugefügt wurden, grosse Angst auszustehen hatte und wegen der Tat an posttraumatischen Störungen litt.
4. Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Strafzumessung anficht. Im Übrigen ist sie abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Der Beschwerdeführer und der Beschwerdegegner werden im Umfang ihres Unterliegens kostenpflichtig (<ref-law>). Sie ersuchen beide um unentgeltliche Rechtspflege. Soweit sie obsiegen, werden ihre Gesuche gegenstandslos. Im Übrigen ist das Gesuch des Beschwerdeführers abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (<ref-law> e contrario). Das Gesuch des Beschwerdegegners ist weder begründet noch belegt, weshalb es ebenfalls abzuweisen ist. Die Gerichtskosten sind zur Hälfte dem Beschwerdeführer und zu einem Viertel dem Beschwerdegegner aufzuerlegen, wobei den angespannten finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers mit reduzierten Gerichtskosten Rechnung zu tragen ist (<ref-law>). Dem Kanton Thurgau sind keine Verfahrenskosten aufzuerlegen (<ref-law>).
Der Kanton Thurgau und der Beschwerdegegner haben als teilweise unterliegende Parteien dem Beschwerdeführer eine reduzierte Parteientschädigung von je einem Viertel der auf Fr. 3'000.-- bestimmten Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdegegner hat gegenüber dem Beschwerdeführer Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung. Diese ist unter Berücksichtigung seines Aufwandes auf Fr. 200.-- zu bemessen und mit dem Anspruch des Beschwerdeführers gegen den Beschwerdegegner zu verrechnen.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 29. September 2009 aufgehoben und die Sache im Sinne der Erwägungen zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. 2.1 Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
2.2 Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3. Die Gerichtskosten werden im Umfang von Fr. 800.-- dem Beschwerdeführer und im Umfang von Fr. 1'000.-- dem Beschwerdegegner auferlegt.
4. 4.1 Der Kanton Thurgau hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Jürg Schlatter, für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 750.-- zu entschädigen.
4.2 Der Beschwerdegegner hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Jürg Schlatter, für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 550.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. April 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Faga