Sachverhalt:
A. Der 1959 geborene R._ war seit 1994 Krankenpfleger im Alters- und Pflegeheim X._ und damit bei der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend Allianz) obligatorisch unfallversichert. Am 28. Juni 2002 stürzte er während der Arbeit auf einer Treppe. Am 1. Juli 2002 begab er sich zu Dr. med. G._, Spezialarzt FMH Innere Medizin, in Behandlung, der im Zeugnis vom 18. September 2002 eine Handgelenksdistorsion rechts und ein lumbospondylogenes Syndrom links diagnostizierte. Die Allianz erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Vom 9. Dezember 2002 bis 4. Januar 2003 war der Versicherte in der Klinik Y._ hospitalisiert. Zur Abklärung der Verhältnisse holte die Allianz diverse Arztberichte sowie ein polydisziplinäres Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) vom 17. Februar 2005 ein, an welchem die Dres. med. J._, Rheumatologie FMH, Chefarzt, T._, Allgemeine Medizin FMH, MEDAS-Gutachter, M._, Facharzt FMH für Rheumatologie und Innere Medizin, sowie A._, Spezialarzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, beteiligt waren. Zudem liess die MEDAS bei Dr. med. I._, Facharzt FMH für Radiologie, Klinik S._, eine Magnetresonanztomographie (MRT)-Untersuchung der Lendenwirbelsäule (LWS) des Versicherten vom 6. Oktober 2004 durchführen. Mit Verfügung vom 25. Februar 2005 stellte die Allianz die Versicherungsleistungen auf den 1. Juli 2003 ein. Dagegen erhob der Versicherte Einsprache. Mit Berichten vom 28. November/5. Dezember 2005 beantwortete die MEDAS die von der Allianz gestellten Zusatzfragen. Mit Entscheid vom 4. April 2006 wies diese die Einsprache ab, da der Status quo ante/sine am 1. Juli 2003 erreicht und damit die natürliche Kausalität weggefallen sei.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit Entscheid vom 10. Oktober 2006 ab.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt der Versicherte die Aufhebung des kantonalen Entscheides; es sei festzustellen, dass mindestens 50 % der Leistungsreduktion direkte Unfallfolgen seien; ab 1. Juli 2003 sei ihm eine Unfallrente bei einer Erwerbsunfähigkeit von mindestens 50 % sowie eine Integritätsentschädigung von mindestens 20 % zuzusprechen; eventuell sei ein interdisziplinäres Obergutachten einzuholen.
Die Allianz schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Mit Eingabe vom 3. Mai 2007 reicht der Versicherte einen Auszug aus dem medizinischen Lehrbuch von K. Feyl/C. Lehner/R. Langer, Pathologie in Frage und Antwort, 1. Aufl., München/Jena, ein und macht geltend, der Muskelschwund an seinem linken Unterschenkel sei nicht Folge einer Inaktivitätsatrophie, sondern einer Funktionsstörung. Mit Stellungnahme vom 11. Mai 2007 erneuert die Allianz ihren Antrag auf Beschwerdeabweisung.

Erwägungen:
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat die Bestimmungen über den Unfallbegriff (<ref-law>) und den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung im Allgemeinen (<ref-law>) und die Grundsätze zu dem für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; <ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen), zur vorausgesetzten Adäquanz des Kausalzusammenhangs im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 181 mit Hinweis) und bei psychischen Unfallfolgen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 183, 115 V 133 ff.) sowie zum Wegfall des ursächlichen Zusammenhangs und damit des Leistungsanspruchs der versicherten Person bei Erreichen des Status quo sine vel ante und zu den sich dabei stellenden Beweisfragen (RKUV 2000 Nr. U 363 S. 45, 1994 Nr. U 206 S. 328; Urteil des Bundesgerichts U 290/06 vom 11. Juni 2007, E. 3.3) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt zum erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 2.1 S. 153 mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
2.2 Zu ergänzen ist, dass die Beweislastregel, wonach der Unfallversicherer und nicht der Versicherte die Beweislast für das überwiegend wahrscheinliche Dahinfallen der natürlichen Unfallkausalität trägt, erst Platz greift, wenn es sich als unmöglich erweist, im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law>) und der Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die überwiegende Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (<ref-ruling> E. 3b in fine S. 264 mit Hinweisen). Der Unfallversicherer muss jedoch nicht den Beweis für unfallfremde Ursachen erbringen. Welche Ursachen ein nach wie vor geklagtes Leiden hat, ist unerheblich. Entscheidend ist allein, ob die unfallbedingten Ursachen eines Gesundheitsschadens ihre kausale Bedeutung verloren haben, also dahingefallen sind. Ebenso wenig geht es darum, vom Unfallversicherer den negativen Beweis zu verlangen, dass kein Gesundheitsschaden mehr vorliege oder dass die versicherte Person nun bei voller Gesundheit sei (Urteil U 241/06 vom 26. Juli 2007, E. 2.2.2).
Wird eine Diskushernie durch den Unfall lediglich ausgelöst, nicht aber verursacht, übernimmt die Unfallversicherung den durch das Unfallereignis ausgelösten Beschwerdeschub, spätere Rezidive dagegen nur, wenn eindeutige Brückensymptome gegeben sind (RKUV 2000 Nr. U 379 S. 192). Nach unfallmedizinischer Erfahrungstatsache kann eine richtunggebende, mithin dauernde, unfallbedingte Verschlimmerung einer vorbestandenen, degenerativen Erkrankung der Wirbelsäule nur als nachgewiesen gelten, wenn ein plötzliches Zusammensinken der Wirbel sowie das Auftreten und Verschlimmern von Verletzungen nach einem Trauma radioskopisch erstellt sind (RKUV 2000 Nr. U 363 S. 45). Die Dauer, während der eine vorbestehende Wirbelsäulenerkrankung durch einen Unfall - bei Fehlen unfallbedingter Wirbelkörperfrakturen oder struktureller Läsionen an der Wirbelsäule - im Sinne einer vorübergehenden Verschlimmerung beeinflusst wird, beträgt nach unfallmedizinischer Erfahrung sechs bis neun Monate, längstens jedoch ein Jahr (erwähntes Urteil U 241/06, E. 2.2.3).
3. 3.1 Die MEDAS stellte im Gutachten vom 17. Februar 2005 folgende Diagnosen mit wesentlicher Einschränkung der zumutbaren Arbeitsfähigkeit: chronisches therapierefraktäres lumbospondylogenes Schmerzsyndrom links; Status nach Treppensturz mit axialer LWS-Stauchung, Gesässkontusion sowie Handgelenksdistorsion rechts im Juni 2002; Fehlstatik mit Hohl-/Rundrücken und tiefer thorakolumbaler Übergangskyphose sowie leichter rechtskonvexer Torsionsskoliose; lumbosakraler Übergangswirbel; Chondrosen und moderate Spondylarthrosen L2/3, L4/5 und L5/S1; diskrete nicht-neurokompressive Diskushernie L2/3 (MR 10/2004); Status nach medialer kleiner Diskushernie L4/5 und ausgeprägter Diskushernie L5/S1 (MR 8/2002); Anpassungsprobleme im Rahmen schwieriger Lebensumstände. Weiter wurde ausgeführt, vorbestehend seien Segmentdegegenerationen der untersten LWS-Abschnitte mässigen Ausmasses, die Fehlstatik sowie die lumbosakrale Übergangsanomalie. Klinisch-rheumatologisch seien die geklagten Sensibilitätsstörungen und die Kraftverminderung im linken Bein nicht objektivierbar; sie müssten, auch unter Berücksichtigung der Befunde der am 6. Oktober 2004 LWS-MRI-Untersuchung, bei fehlenden Hinweisen auf eine Neurokompression als pseudoradikulär interpretiert werden; die leichte Unterschenkelatrophie links sei, wie bereits aktenkundig, am ehesten als inaktivitätsbedingt zu beurteilen. Insgesamt ergäben sich aus neuro-rheumatologischer Sicht keine Anhaltspunkte dafür, dass noch irgendwelche Sturzfolgen vorlägen. Der Unfall vom 28. Juni 2002 habe zu einer vorübergehenden Verschlimmerung der vor allem degenerativen LWS-Veränderungen geführt. Ein Jahr nach dem Unfall, das heisst per Ende Juni 2003, sei der Status quo sine aus somatischer Sicht wieder erreicht worden.
3.2 Das kantonale Gericht hat in Würdigung des MEDAS-Gutachtens vom 17. Februar 2005, der ergänzenden MEDAS-Berichte vom 28. November/5. Dezember 2005 sowie der übrigen medizinischen Akten mit einlässlicher und zutreffender Begründung, auf die verwiesen wird, dargelegt, dass die Unfallkausalität der aufgrund des Unfalls vom 28. Juni 2002 gemeldeten organischen Beschwerden im Zeitpunkt der Leistungseinstellung der Allianz auf den 1. Juli 2003 nicht mehr überwiegend wahrscheinlich war. Abgesehen davon, dass gemäss dem MEDAS-Gutachten beim Versicherten kein psychisches Leiden mit Krankheitswert vorlag, hat die Vorinstanz zudem richtig erkannt, dass die adäquate Kausalität zwischen dem Unfall und allfälligen psychischen Beschwerden zu verneinen wäre. Gestützt hierauf hat sie die Leistungseinstellung auf den 1. Juli 2003 zu Recht bestätigt.
4. Der Versicherte macht geltend, die Akten seien widersprüchlich betreffend die Frage, ob die Rückenprobleme/Unterschenkelschwund unfallkausal seien. Zur Klärung verlangt er die Durchführung einer neurologischen/neurochirurgischen Begutachtung.
4.1 Er bringt zum einen vor, P._ von der Allianz habe im Schreiben an ihn vom 16. Juli 2003 eine solche Abklärung als notwendig erachtet. Hiezu ist festzuhalten, dass P._ nicht Arzt ist, sondern bei der Allianz als Fachspezialist für den Fall zuständig war. Bei der Auftragserteilung an die MEDAS vom 27. August 2003 verlangte er eine somatisch/psychiatrische Abklärung. Im Übrigen stellte er es der MEDAS frei, Spezialärzte aus anderen Fachgebieten beizuziehen. Daher blieb es - abgesehen von der angeforderten psychiatrischen Untersuchung - grundsätzlich der MEDAS überlassen, über Art und Umfang der aufgrund der konkreten Fragestellung erforderlichen Untersuchungen zu befinden. Aufgabe des Versicherers und allenfalls des Sozialversicherungsgerichts ist es alsdann, das Gutachten bei der Beweiswürdigung unter anderem darauf zu prüfen, ob es für die streitigen Belange umfassend ist und auf allseitigen Untersuchungen beruht (E. 4.5 hienach; <ref-ruling> E. 3a S. 352; Urteile I 718/04 vom 27. März 2006, E. 4.1, und U 343/02 vom 10. September 2003, E. 2.2).
4.1 Er bringt zum einen vor, P._ von der Allianz habe im Schreiben an ihn vom 16. Juli 2003 eine solche Abklärung als notwendig erachtet. Hiezu ist festzuhalten, dass P._ nicht Arzt ist, sondern bei der Allianz als Fachspezialist für den Fall zuständig war. Bei der Auftragserteilung an die MEDAS vom 27. August 2003 verlangte er eine somatisch/psychiatrische Abklärung. Im Übrigen stellte er es der MEDAS frei, Spezialärzte aus anderen Fachgebieten beizuziehen. Daher blieb es - abgesehen von der angeforderten psychiatrischen Untersuchung - grundsätzlich der MEDAS überlassen, über Art und Umfang der aufgrund der konkreten Fragestellung erforderlichen Untersuchungen zu befinden. Aufgabe des Versicherers und allenfalls des Sozialversicherungsgerichts ist es alsdann, das Gutachten bei der Beweiswürdigung unter anderem darauf zu prüfen, ob es für die streitigen Belange umfassend ist und auf allseitigen Untersuchungen beruht (E. 4.5 hienach; <ref-ruling> E. 3a S. 352; Urteile I 718/04 vom 27. März 2006, E. 4.1, und U 343/02 vom 10. September 2003, E. 2.2).
4.2 4.2.1 Zur Begründung einer neurologischen/neurochirurgischen Begutachtung beruft sich der Versicherte weiter auf den Bericht des Neurochirurgen Dr. med. O._ vom 31. Oktober 2002, worin dieser ausführte, es scheine ihm merkwürdig, dass beim Bandscheibenschaden des Versicherten mit sensomotorischen Ausfällen das Gutachten nicht von einem Facharzt für Neurochirurgie durchgeführt werde; eine baldige Operation sei angezeigt. Zudem führt der Versicherte den Bericht der Dres. med. E._, Oberärztin Rheumatologie, und B._, Abteilungsärztin, Klinik Y._, vom 15. Januar 2003, ins Feld, worin, aus neurologischer und rheumatologischer Sicht aufgrund der geringen und nicht klar segmental zuordnerbaren neurologischen Beschwerden von einer Operation abgeraten und empfohlen wird, eine Zweitvorstellung bei einem Neurochirurgen einzuholen.
Die Allianz zog in der Folge einen Bericht des Dr. med. K._, Leitender Arzt Neurochirurgie, Spital Z._, vom 27. März 2003 bei, worin dieser darlegte, das MRI vom 22. August 2002 zeige einen anulären Riss L5/S1 mit medianer Protrusion sowie einen kleineren Riss L4/L5 mit medianem Bulging. Der Spinalkanal sei normal weit und komme nirgends zu einer radikulären Einklemmung. Ferner bestünden mehrere Wirbelkörper-Hämangiome. Eine Operation sei seines Erachtens nicht indiziert, da die kernspintomographisch am 22. August 2002 nachgewiesenen Diskusprotrusionen diskret seien und nirgends eine signifikante Neurokompression vorliege. Aufgrund der neurologischen Funktionsstörungen L5 und S1 links müsste gegebenenfalls zur Objektivierung einer organischen Komponente eine Elektromyographie (EMG) durchgeführt werden. Man könne theoretisch diskutieren, dass der Sturz zu den anulären Rissbildungen geführt habe und dass diese Rissbildungen, speziell L5/S1 median gegen hinten, sich im Bereich des Anulusansatzes fortsetzten, so dass es auch da zu einer Endplattenschädigung gekommen sei. Über anuläre Risse könnten chemische Mediatoren aus dem Bandscheibeninhalt Nervenwurzelreizungen verursachen. Solange kein funktionelles offenes LWS-MRI vorläge, könne nicht gesagt werden, ob eventuell eine der Protrusionen unter Belastung zunehme. Prognostisch können aufgrund der anulären Rissbildungen belastungsabhängige Schmerzen während Jahren persistieren, auch könne eine echte neurochirurgisch relevante Diskushernie einmal entstehen. Anderseits gebe es mehrere Berichte über Diskusprotrusionen und anuläre Rissbildungen, die inzidentell mittels MRI miterfasst würden bei beschwerdefreien oder beschwerdearmen, voll einsatzfähigen Menschen. Generell dürfte beim Versicherten ein nicht zu vernachlässigendes psycho-soziales Problem vorliegen.
4.2.2 Aus diesen Berichten kann der Versicherte nichts zu seinen Gunsten ableiten. Der Neurochirurg Dr. med. K._ legte im der MEDAS zur Verfügung gestandenen Bericht 27. März 2003 zwar dar, es könne theoretisch diskutiert werden, dass der Sturz des Versicherten vom 28. Juni 2002 zu den anulären Rissbildungen geführt habe; vom erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit eines solchen Geschehens sprach er hingegen nicht.
Demgegenüber holte die MEDAS im Rahmen ihrer Begutachtung beim Radiologen Dr. med. I._ eine Magnetresonanztomographie (MRT) der LWS des Versicherten vom 6. Oktober 2004 ein. Dieser stellte unter anderem die von Dr. med. K._ am 27. März 2003 beschriebene Rissbildung im Anulus fibrosus in den Bereichen L4/5 und L5/S1 fest. Dr. med. I._ kam jedoch aufgrund seiner Untersuchung zum Schluss, dass Hinweise auf eine traumatische Läsion fehlten; zur Zeit sei keine offensichtliche Neurokompression nachweisbar. Weiter ist zu berücksichtigen, dass der Neurologe Dr. med. W._ im der MEDAS ebenfalls bekannten Bericht vom 27. August 2003 aufgrund einer EMG-Untersuchung feststellte, weder klinisch noch elektrodiagnostisch ergäben sich Anhaltspunkte für eine akute Läsion der motorischen Radices L4 und L5 beidseits sowie S1 links, womit auch die leichte Atrophie der linksseitigen Unterschenkelmuskulatur mit grösster Wahrscheinlichkeit einer Inaktivitätsatrophie entspreche. In diesem Lichte sind keine Gründe ersichtlich, vom Ergebnis der MEDAS-Begutachtung abzuweichen.
Dem auf ein medizinisches Lehrbuch gestützten Einwand des Versicherten, die leichte Unterschenkelatrophie links sei keine Inaktivitätsatrophie, sondern Folge einer Innervations-Störung, kann aufgrund der Aktenlage nicht gefolgt werden. Aber selbst wenn diese leichte Unterschenkelatrophie entgegen der Auffassung der MEDAS eine (mittelbare) Unfallfolge (vgl. RKUV 2003 Nr. U 487 S. 337 E. 5.2.2, U 38/01; Urteil U 522/06 vom 12. Oktober 2007, E. 5.1) wäre, resultierte aufgrund des MEDAS-Gutachtens allein hieraus weder eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit noch eine Behandlungsbedürftigkeit noch ein Integritätsschaden. Vielmehr führt allein das seit 1. Juli 2003 nicht mehr auf den Unfall zurückzuführende lumbospondylogene Syndrom zu einer relevanten gesundheitlichen Störung.
4.3 Der Beschwerdeführer beruft sich schliesslich auf den Bericht des Dr. med. M._, Chirurgie FMH (Vertrauensarzt der Allianz), vom 18. November 2002, wonach die Diskushernien durch den Unfall nicht entstanden, sondern nur symptomatisch geworden seien; nur falls eine konservative Behandlung nicht zum gewünschten Erfolg führe, sei eine Operation zu Lasten der Unfallversicherung durchzuführen. Der Versicherte macht geltend, es sei erstaunlich, dass Dr. med. M._ seine Meinung im Bericht vom 30. April 2003 nach nur gerade fünf Monaten völlig geändert habe und vom Erreichen des Status quo ante ausgegangen sei. Entgegen der Ansicht des Versicherten besteht zwischen diesen beiden Berichten kein Widerspruch, der Zweifel am Resultat der MEDAS-Begutachtung aufkommen lassen könnte.
4.4 Insgesamt erfüllt das MEDAS-Gutachten vom 17. Februar 2005 zusammen mit den ergänzenden MEDAS-Berichten vom 28. November/5.Dezember 2005 die praxisgemässen Anforderungen an eine beweiskräftige medizinische Beurteilungsgrundlage (<ref-ruling> E. 3a S. 352; SVR 2007 UV Nr. S. 111 E. 4.2, U 571/06). Eine weitere ärztliche Abklärung ist nicht durchzuführen, da hievon keine neuen Erkenntnisse zu erwarten sind (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 3 S. 157, 124 V 90 E. 4b S. 94; SVR 2005 MV Nr. 1 S. 1 E. 2.3, M 1/02). Sämtliche Einwendungen des Versicherten vermögen hieran nichts zu ändern.
5. Das Verfahren ist kostenfrei (Art. 134 OG in der bis Ende 2006 gültig gewesenen Fassung; E. 1 hievor). Als Organisation mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben hat die obsiegende Allianz keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 135 in Verbindung mit Art. 159 Abs. 2 Teilsatz 2 OG; <ref-ruling> E. 4a S. 150).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Januar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar