Versicherungsvertrag (Zusatzversicherung), hat sich ergeben:
A.- Der 1962 geborene B.H._ ist seit dem 1. Juli 1996 bei der X._ Kranken- und Unfallversicherung in den Kategorien Basis (obligatorische Grundversicherung), Complementa Plus (erweiterte besondere Pflegeleistungen) und Optima Plus (Privatabteilung) versichert. Wegen zunehmend aufgetretenen Rückenschmerzen unterzog er sich im Oktober 1997 einer Rückenoperation und verbrachte danach mehr als drei Wochen in einer Privatklinik in Schinznach Bad. In der Folge leistete die X._ an die dort entstandenen Kosten von Fr. 16'463. 90 einen Beitrag von Fr. 5'522.-- unter Abzug einer Kostenbeteiligung des Versicherten von Fr. 323. 90. Zur Begründung machte die X._ geltend, beim Aufenthalt von B.H._ in Schinznach Bad habe es sich um eine Rehabilitation gehandelt, deren Kosten gemäss den Versicherungsbedingungen unter gewissen Einschränkungen nur aus der Grundversicherung bezahlt würden; aus den Zusatzversicherungen schulde sie keine solchen Leistungen.
B.- Nach einem erfolglos gebliebenen Briefwechsel verklagte B.H._ die X._ auf Bezahlung eines Differenzbetrages von Fr. 10'941. 90 nebst Zins von 5 % seit dem
1. Januar 1998. Dies mit der Begründung, der Aufenthalt nach der Operation sei nicht als Rehabilitation, sondern als eine Anschlussbehandlung zu betrachten, weil nach der komplizierten Diskushernieoperation noch Lähmungserscheinungen bestanden hätten, die nur mit täglicher, stationärer Therapie hätten behoben werden können. Der Chirurg hätte ihn auch in der Akutklinik Aarau behalten können, habe ihn aber nach Schinznach Bad verlegt, weil dort die Behandlungsmöglichkeiten deutlich besser gewesen seien. Die Beklagte beruft sich auf dessen Bericht, in dem klar von einer Rehabilitation die Rede sei. Nach der Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Klage im geforderten Betrag gut, sprach dem Kläger den Verzugszins aber erst ab dem 16. April 1998 zu.
C.- Die Beklagte beantragt dem Bundesgericht mit Berufung die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Streitsache zur Vervollständigung des Sachverhaltes an die Vorinstanz.
Eine Berufungsantwort ist nicht eingeholt worden.
Das Versicherungsgericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.
D.- Das Bundesgericht ist mit Urteil vom heutigen Tag auf die vom Beklagten gleichzeitig gegen den angefochtenen Entscheid erhobene staatsrechtliche Beschwerde nicht eingetreten.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Kantonal letztinstanzliche Urteile über Versicherungsansprüche, die über das von Art. 24 bis 34 des Bundesgesetzes über die Krankenversicherung vom 18. März 1994 (KVG, SR 832. 10; vgl. dazu auch Art. 33 bis 37 KVV, SR 832. 102) abgedeckte Krankenkassenobligatorium hinausgehen und dem Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag vom 2. April 1908 (VVG; SR 221. 229.1) unterstehen (Art. 12 Abs. 2 und 3 KVG), gelten als Zivilsachen und sind daher mit Berufung an das Bundesgericht weiterzuziehen (<ref-ruling> E. 2b S. 232, 124 III 44 E. 1a/aa und 2a, bestätigt im zur Publikation bestimmten Urteil des Bundesgerichts vom 8. Juni 2000 i.S. D.
und auch in der nicht publizierten E. 1a von <ref-ruling>). Wohl wird in <ref-ruling> E. 2 a.E. S. 464 ausgeführt, an <ref-ruling> könne nicht festgehalten werden, soweit in einem analogen Fall auf Eintreten erkannt wurde.
Jedoch ist in <ref-ruling> nur insofern von <ref-ruling> abgewichen worden, als entschieden wurde, die bundesrechtliche Zuständigkeitsregel von Art. 47 Abs. 1 des Bundesgesetzes betreffend die Aufsicht über die privaten Versicherungseinrichtungen vom 23. Juni 1978 (VAG; SR 961. 01) schreibe nicht vor, welchem kantonalen Richter (Zivilrichter oder Versicherungsgericht) Streitigkeiten aus Versicherungsverträgen im Sinne von <ref-law> unterbreitet werden müssten; insoweit dürfe in die kantonale Zuständigkeitsordnung nicht eingegriffen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 463 f.). Am Instanzenzug an das Bundesgericht selbst ist demnach an der von <ref-ruling> begründeten Praxis nichts geändert worden.
Somit ist auf die Berufung einzutreten, die auch unter dem Blickwinkel von Art. 46 und 48 Abs. 1 OG zulässig ist.
Dass auf die Berufung grundsätzlich eingetreten werden kann, ergibt sich weiter auch aus der E. 2 des Urteils vom heutigen Tag zur konnexen staatsrechtlichen Beschwerde.
2.- Die Beklagte macht vorab geltend, das Versicherungsgericht habe Art. 47 Abs. 2 VAG verletzt, weil es den Sachverhalt nicht so eingehend abgeklärt habe, wie die Untersuchungsmaxime verlange. Danach sei der Richter verpflichtet, den Sachverhalt weiter abzuklären, wenn noch Unsicherheiten und Unklarheiten bestünden. Auch müsse der Richter nach der genannten Bestimmung Beweise frei würdigen; insbesondere habe er widersprüchliche medizinische Berichte umfassend zu würdigen und das Beweisverfahren erst nach eingehender Prüfung abzuschliessen.
a) Wohl gebietet die sich aus Bundesrecht ergebende Untersuchungsmaxime dem Richter, den Sachverhalt mit denjenigen Mitteln abzuklären, die geeignet sind, mit vertretbarem Aufwand zu einem hinreichend sicheren Beweisergebnis zu gelangen; die Parteien werden dadurch jedoch von der Mitwirkung bei der Erhebung der Beweise und der Erstellung des Sachverhalts nicht entbunden, und der Untersuchungsgrundsatz ändert auch nichts an der Zulässigkeit einer antizipierten Beweiswürdigung und -begrenzung (zum Bundesprivatrecht <ref-ruling> E. 4a S. 238 f., 118 II 93, 109 II 291 E. 1 f. S. 292 bis 294, 107 II 233 E. 2c S. 236; vgl. zum Sozialversicherungsrecht und zu Art. 12 f. VwVG <ref-ruling> E. 3 S. 329, 122 V 157 E. 1, 119 V 208 E. 3b S. 211).
Da das Versicherungsgericht verschiedenste ärztliche Atteste, die alle mehr oder weniger eindeutig in Richtung postoperative Behandlung weisen (vgl. E. 4 des Urteils zur staatsrechtlichen Beschwerde), entsprechend gewürdigt hat, verlangt die Beklagte im Ergebnis erfolglos, der Richter müsse so lange weitere Beweise abnehmen, bis ein nicht mehr im erwähnten Sinne eindeutiges oder gar ein anderes Beweisergebnis vorliegt. Weiter kann im vorliegenden Fall von widersprüchlichen medizinischen Attesten keine Rede sein; die Beklagte will bloss weniger deutlich für eine Nachbehandlung sprechende Atteste anders gewürdigt und klar gegen ihren Standpunkt sprechende übergangen wissen. Ihre Hoffnung, weitere Abklärungen könnten die weniger deutlichen Atteste weiter relativieren und gar ihre gegenteilige Auffassung bestätigen, läuft auf die Forderung nach einem unbeschränkten Beweisverfahren hinaus, wofür Bundesrecht und insbesondere die von ihm statuierte Untersuchungsmaxime keine Handhabe bieten.
b) Die Beklagte begründet ihren Aufhebungs- und Rückweisungsantrag damit, der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt bedürfe der Ergänzung nach Art. 64 Abs. 1 OG. Sie erklärt freilich indirekt selbst, weshalb dafür kein Grund besteht: Die genannte Vorschrift erlaubt eine Rückweisung nur, wenn auf Grund des lückenhaft festgestellten Sachverhalts Bundesrecht nicht angewendet werden kann (Poudret/ Sandoz-Monod, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, Bd. II, Bern 1990, N 2.1 und 2.1.3 zu Art. 64 OG; P. Münch, in: Handbücher für die Anwaltspraxis, Bd. I: Prozessieren vor Bundesgericht, Rz 4.67 S. 144). Konnte das Versicherungsgericht beweismässig positiv feststellen, dass der Klinikaufenthalt des Klägers vorwiegend der postoperativen Behandlung diente, konnte es das (Versicherungsvertrags-) Recht des Bundes aber anwenden und entscheiden.
c) Einleitend hält die Beklagte zwar selber fest, dass das Bundesgericht im Berufungsverfahren an die tatsächlichen Feststellungen der letzten kantonalen Instanz gebunden ist, wenn sie nicht offensichtlich auf Versehen beruhen, unter Verletzung bundesrechtlicher Beweisvorschriften zustande gekommen (Art. 63 Abs. 2 OG) oder zu ergänzen sind (Art. 64 OG). Da sie in der Folge aber nur den Sachverhalt aus ihrer Sicht schildert und die etwas weniger deutlich für die vorinstanzliche Beweiswürdigung sprechenden ärztlichen Atteste anders als vom angefochtenen Entscheid gewürdigt wissen will (vgl. im Einzelnen E. 4 des Urteils zur staatsrechtlichen Beschwerde), übt sie bloss unzulässige Kritik an der Beweiswürdigung der Vorinstanz, auf die nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 3c S. 223; <ref-ruling> E. 2b S. 99).
Jedenfalls verlangt die Beklagte nicht im Sinn der eingangs geschilderten Ausnahmen, der Sachverhalt sei zu berichtigen (Art. 55 Abs. 1 lit. d OG) oder zu ergänzen. Sie unterlässt auch die dafür erforderlichen Aktenhinweise, denen zu entnehmen wäre, dass sie entsprechende Sachbehauptungen bereits im kantonalen Verfahren prozesskonform aufgestellt hat, diese von der Vorinstanz aber zu Unrecht für unerheblich gehalten oder übersehen worden sind (Art. 55 Abs. 1 lit. c OG; <ref-ruling> E. 5c/aa S. 357; <ref-ruling> E. 2a S. 486 mit Hinweisen).
Soweit die Beklagte als Verletzung ihres Beweisführungsanspruches sinngemäss geltend macht, es hätten weitere Beweise abgenommen werden müssen, verkennt sie, dass <ref-law> nicht verletzt ist, wenn der Richter das Beweisverfahren abschliesst in der Meinung, weitere Beweise vermöchten am Beweisergebnis, das hier sogar auf verschiedensten Beweisen beruht, nichts mehr zu ändern (<ref-ruling> E. 3c S. 223 mit Hinw. und E. 2a hiervor).
3.- Bleibt die Berufung somit erfolglos, wird die unterliegende Beklagte kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG); eine Parteientschädigung schuldet sie jedoch nicht, weil keine Berufungsantwort eingeholt worden ist und dem Kläger somit auch keine Kosten entstanden sind (Art. 159 Abs. 2 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Versicherungsgerichts (2. Kammer) des Kantons Aargau vom 26. April 2000 wird bestätigt.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird der Beklagten auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht (2. Kammer) des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 11. August 2000
Im Namen der II. Zivilabteilung des
SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: