Faits:
A.
A.a. T._ ressortissant suisse et français, est atteint depuis son enfance d'une rétinite pigmentaire qui entraîne un important handicap visuel; il souffre également d'un retard intellectuel et de troubles maniaco-dépressifs. Son état de santé ne lui permet pas d'exercer une activité lucrative. Durant toute son enfance et son adolescence, il a vécu auprès de ses parents, en France. Au mois de septembre 1991, il a adhéré à l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité facultative suisse auprès de laquelle il a cotisé du 1er janvier 1992 au 31 mars 2007.
Le 16 octobre 1991, l'intéressé a déposé une première demande de prestations de l'assurance-invalidité qui a été rejetée par décision du 24 juin 1992 de la Commission de l'assurance-invalidité pour les assurés à l'étranger. Celle-ci a considéré en bref que le droit à une rente ordinaire n'était pas ouvert, l'assuré ne pouvant se prévaloir de la durée de cotisation minimale d'un an lors de la survenance de l'invalidité; il ne pouvait pas non plus prétendre une rente extraordinaire, n'étant pas domicilié en Suisse. Une nouvelle demande présentée le 20 janvier 2000 a été refusée pour les mêmes motifs par l'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger (décision du 10 avril 2000).
A.b. Par lettre circulaire du 12 janvier 2006, la Caisse suisse de compensation a informé T._ du fait que l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité facultative suisse prendrait fin pour les personnes domiciliées dans un Etat membre de l'Union européenne au plus tard le 31 mars 2007. L'assuré a maintenu son affiliation jusqu'à cette date. Entre-temps, sa famille a entrepris des démarches pour lui trouver une institution adaptée à son handicap en Suisse, où vivaient son frère et sa soeur, F._. Dans ce cadre, l'intéressé a déposé, le 16 janvier 2008, une troisième demande de prestations de l'assurance-invalidité, qui a été rejetée pour les mêmes motifs que ceux retenus précédemment (décision du 30 septembre 2008).
Du 29 septembre au 5 octobre 2007, T._ a effectué un stage au Centre X._. Le 13 novembre 2007, le directeur de cette institution pour personnes aveugles et malvoyantes intellectuellement handicapées a écrit à F._ que son frère remplissait les conditions d'admission en internat et que l'institution s'engageait à l'accueillir pour le 1er janvier 2010 au plus tard.
A.c. Le 6 janvier 2010, l'assuré est entré au Centre X._; il est officiellement domicilié en Suisse depuis le 1er janvier 2010. Le 18 novembre 2009, il a introduit une nouvelle demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI). Par décision du 10 février 2011, l'office AI a nié le droit à une rente ordinaire de l'assurance-invalidité, l'intéressé ne pouvant se prévaloir d'une année de cotisation au moment de la survenance de l'invalidité, soit le 1er juin 1989, premier jour du mois suivant son 18ème anniversaire. L'assuré ne pouvait pas non plus prétendre une rente extraordinaire d'invalidité, motif pris qu'il ne comptait pas le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge, n'ayant été assujetti à l'assurance facultative que jusqu'au 31 mars 2007. L'office AI a précisé que l'assuré avait la possibilité de déposer une demande de prestations complémentaires.
Par décision du 29 mars 2011, l'intéressé s'est vu octroyer le droit à une allocation pour impotent de degré faible avec effet au 1er janvier 2010.
B.
L'assuré a recouru auprès du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, contre la décision du 10 février 2011 en tant qu'elle niait le droit à une rente extraordinaire d'invalidité. Par jugement du 7 mai 2013, la juridiction cantonale a admis le recours (chiffre I du dispositif), annulé la décision entreprise et renvoyé la cause à l'assurance-invalidité pour qu'elle alloue à l'assuré une rente extraordinaire d'invalidité à compter du 1er mai 2010 (chiffre II du dispositif).
C.
L'office AI (cause 9C_446/2013) et l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS; cause 9C_469/2013) interjettent séparément un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant à son annulation, ainsi qu'à la confirmation de la décision du 10 février 2011.
Invité à se prononcer sur les deux recours, T._ a conclu, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours interjeté par l'office AI, sans se déterminer dans la cause 9C_469/2013. De son côté, la juridiction cantonale a présenté des observations en date du 6 août 2013.

Considérant en droit:
1.
Les deux recours concernent des faits de même nature, portent sur des questions juridiques communes et sont dirigés contre le même jugement; il se justifie de joindre les causes et de les liquider dans un seul arrêt (cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 60).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 476 et les références).
2.2. Bien que le dispositif du jugement entrepris renvoie le dossier à l'office AI (ch. II du dispositif), il ne s'agit pas d'une décision incidente au sens de l'<ref-law> car la juridiction cantonale a statué définitivement sur les points contestés, le renvoi de la cause ne visant que le calcul de la prestation accordée. Dirigés contre un jugement final, les recours sont dès lors recevables (cf. <ref-law>; arrêt 9C_684/2007 du 27 septembre 2007 consid. 1.1, in SVR 2008 IV n° 39 p. 131).
2.3. D'après l'<ref-law>, ont notamment qualité pour interjeter un recours de droit public au Tribunal fédéral la Chancellerie fédérale, les départements fédéraux ou, pour autant que le droit fédéral le prévoie, les unités qui leur sont subordonnées, si l'acte attaqué est susceptible de violer la législation fédérale dans leur domaine d'attribution. En l'occurrence, l'OFAS peut se prévaloir de la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral contre les jugements rendus par les tribunaux cantonaux des assurances, que lui confère l'<ref-law> en corrélation avec l'<ref-law>.
3.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 140).
4.
4.1. Le litige porte sur le droit de l'intimé à une rente extraordinaire d'invalidité à partir du 1er mai 2010 tel que reconnu par la juridiction cantonale, étant précisé que l'intimé n'a pas contesté - que ce soit devant la juridiction cantonale ou devant la Cour de céans - le refus de l'office AI de lui octroyer une rente ordinaire de l'assurance-invalidité (cf. décision du 10 février 2011).
4.2. Du point de vue temporel, le droit applicable est déterminé par les règles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits, étant précisé que le juge n'a pas à prendre en considération les modifications du droit ou de l'état de fait postérieurs à la date déterminante de la décision litigieuse (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 27, 130 V 445 consid. 1.2.1 p. 446; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 4 et les arrêts cités).
4.3. Aux termes des <ref-law> et 42 al. 1 LAVS, tels que modifiés par la loi fédérale du 7 octobre 1994 sur la 10ème révision de la LAVS, entrée en vigueur depuis le 1er janvier 1997 (ci-après : 10ème révision de l'AVS), le droit à une rente extraordinaire d'invalidité est réservé aux ressortissants suisses qui ont leur domicile et leur résidence habituelle en Suisse et qui comptent le même nombre d'années d'assurance que les personnes de leur classe d'âge, mais n'ont pas droit à une rente ordinaire parce qu'ils n'ont pas été soumis à l'obligation de verser des cotisations pendant une année entière au moins. Dans leur version en vigueur jusqu'au 31 décembre 1996, les <ref-law> et 42 al. 1 LAVS prévoyaient l'octroi d'une rente extraordinaire d'invalidité aux ressortissants suisses domiciliés en Suisse qui ne pouvaient prétendre une rente ordinaire ou dont la rente ordinaire était inférieure à la rente extraordinaire.
4.4. L'<ref-law>, en liaison avec l'<ref-law>, dans sa teneur applicable au cas d'espèce, exige désormais que les personnes concernées aient "le même nombre d'années d'assurance que les personnes de leur classe d'âge". Cette exigence a été introduite lors de la 10ème révision de l'AVS, lorsque les rentes extraordinaires soumises aux limites de revenu ont été transférées dans le régime des prestations complémentaires (cf. Message du Conseil fédéral concernant la dixième révision de l'assurance-vieillesse et survivants, du 5 mars 1990, FF 1990 II 99). Le Tribunal fédéral a eu l'occasion de préciser qu'il ressortait des travaux préparatoires que l'exigence liée au nombre d'années d'assurance ne visait pas toutes les années d'assurance dès la naissance, mais seulement celles pour lesquelles la loi prévoyait une obligation générale de cotiser, telles qu'elles étaient en principe déterminantes pour le calcul d'une rente ordinaire. Il s'agissait donc des années d'assurance accomplies dès le 1er janvier suivant la date où la personne avait eu 20 ans révolus (cf. <ref-law> en corrélation avec l'<ref-law> ainsi que <ref-law> en corrélation avec les art. 29 al. 2, 29bis et 29ter LAVS; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 393).
Le Tribunal fédéral a également ajouté qu'en exigeant que les personnes concernées aient le même nombre d'années d'assurance que les personnes de leur classe d'âge, l'<ref-law> ne visait pas les requérants qui comptaient une lacune de cotisations du fait de leur non-assujettissement à l'assurance pendant une certaine période de leur vie depuis le 1er janvier suivant la date où ils avaient eu 20 ans révolus. Il visait des personnes qui, n'ayant pas encore atteint l'âge déterminant ou qui, tout en ayant été assujetties à l'assurance-invalidité suisse depuis cette limite d'âge, n'avaient pas, avant la survenance du risque, cotisé du tout ou pendant une année, faute d'y avoir été obligées. Pouvaient donc se voir allouer une rente extraordinaire d'invalidité exclusivement des personnes qui étaient encore susceptibles d'atteindre une durée d'assurance complète, en vue de l'octroi d'une rente de vieillesse de l'AVS, jusqu'au 31 décembre précédant l'âge terme (<ref-ruling> consid. 7.3.1 p. 402 et les références citées).
5.
5.1. La juridiction cantonale a retenu que bien que le texte légal ne le précise pas expressément l'exigence relative au nombre d'années d'assurance portait uniquement sur les années écoulées jusqu'à la date de la survenance de l'invalidité. Concernant un assuré invalide depuis la naissance ou l'enfance et compte tenu du décalage entre la naissance du droit à la rente le premier jour du mois suivant le 18ème anniversaire, d'une part, et l'obligation de cotiser dès le 1er janvier suivant la date où l'intéressé avait eu 20 ans révolus, d'autre part, cette condition était réputée remplie si l'intéressé avait été assuré dès le 1er janvier suivant son 20ème anniversaire. Une assurance facultative pour une personne résidant à l'étranger à compter du 1er janvier suivant l'accomplissement de ses 20 ans révolus suffisait à remplir cette exigence. Le fait que l'intimé avait, par la suite, cessé d'être assuré facultativement, cette éventualité ne lui étant plus ouverte à partir du 1er avril 2007, n'était pas déterminant puisque le cas d'assurance était survenu depuis longtemps. Ainsi, dès lors que l'assuré était désormais domicilié en Suisse, il pouvait prétendre une rente extraordinaire d'invalidité à l'expiration du délai de six mois à compter du dépôt de sa demande de prestations du 18 novembre 2009, soit en l'occurrence dès le 1er mai 2010.
5.2. Les recourants contestent ce point de vue. Selon eux, le moment déterminant pour examiner si la condition relative au nombre d'années d'assurance est remplie correspondrait au moment où la personne concernée peut présenter pour la première fois une demande de rente extraordinaire de l'assurance-invalidité, soit le moment où toutes les conditions donnant droit à cette prestation sont réunies. Concernant l'intimé, il s'agirait du 1er janvier 2010, date à laquelle celui-ci avait transféré son domicile et sa résidence habituelle en Suisse. Comme l'assuré ne comptait pas à ce moment-là le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge, n'ayant pu cotiser que jusqu'au 31 mars 2007, la décision du 10 février 2011 refusant cette prestation serait conforme au droit fédéral.
Dans son écriture, l'OFAS a précisé que s'agissant des rentes extraordinaires de l'assurance-invalidité, la survenance de l'événement assuré ne coïnciderait pas, comme pour les rentes ordinaires, avec la survenance de l'invalidité (laquelle pour les invalides de naissance correspondrait en règle générale au premier jour suivant l'accomplissement du 18ème anniversaire), mais avec le moment où toutes les conditions donnant droit à la rente extraordinaire sont réalisées en même temps.
6.
6.1. Est ainsi litigieux le moment auquel il convient de se placer pour examiner si la condition liée au nombre d'années d'assurance prévue par l'<ref-law> en liaison avec l'<ref-law> doit être remplie. Dans le cas d'espèce, il s'agit en particulier d'examiner si le fait que l'assuré était assuré dès le 1er janvier suivant son 20ème anniversaire suffisait à remplir cette condition comme l'a estimé la juridiction cantonale ou si l'exigence du même nombre d'années d'assurance devait être réalisée au moment où l'assuré remplissait pour la première fois toutes les conditions du droit à la prestation litigieuse, soit lors du transfert de son domicile et de sa résidence habituelle en Suisse au mois de janvier 2010, comme le soutiennent les recourants.
6.2. Selon la jurisprudence, les conditions d'assurance, dont font notamment partie l'exigence de la constitution d'un domicile en Suisse, la nationalité ou le nombre d'années d'assurance minimal requis et desquelles dépend la naissance du droit aux prestations, doivent en principe être remplies au moment de la survenance de l'invalidité (<ref-ruling> consid. 3d p. 113, 108 V 61 consid. 4b p. 64). Le Tribunal fédéral a toutefois eu l'occasion de rappeler que ce principe n'était pas absolu, l'absence au moment de la survenance du cas d'assurance d'une condition permettant l'ouverture du droit aux prestations ne pouvant pas empêcher, de manière générale et pour une durée illimitée, tout réexamen du cas (arrêt 9C_1042/2008 du 23 juillet 2009 consid. 3.3 et les références). A cet égard, la jurisprudence a notamment précisé que si un ressortissant étranger acquérait à un moment déterminé la nationalité suisse, l'examen de son droit à des prestations des assurances sociales suisses devait se faire, à compter de ce moment précis, selon les règles applicables aux ressortissants suisses (arrêt I 142/04 du 19 septembre 2006 consid. 6.3, in SVR 2007 IV no 20 p. 70). Il découle de ce qui précède que si au moment de la survenance de l'invalidité, l'assuré ne remplit pas l'une des conditions indispensables à l'octroi de la prestation sollicitée, le droit aux prestations pourra être réexaminé plus tard s'il remplit par la suite la condition qui faisait alors défaut, pour autant que cette condition puisse encore être réalisée; tel est notamment le cas de l'exigence liée au domicile.
6.3. Selon l'<ref-law>, l'invalidité est réputée survenue dès qu'elle est, par sa nature et sa gravité, propre à ouvrir droit aux prestations entrant en considération. Ce moment doit être déterminé objectivement, d'après l'état de santé; des facteurs externes fortuits n'ont pas d'importance. Il ne dépend en particulier ni de la date à laquelle une demande a été présentée, ni de celle à partir de laquelle une prestation a été requise, et ne coïncide pas non plus nécessairement avec le moment où l'assuré apprend, pour la première fois, que l'atteinte à la santé peut ouvrir droit à des prestations d'assurance (<ref-ruling> consid. 2b p. 9, 126 V 157 consid. 3a p. 160, 118 V 79 consid. 3a p. 82 et les références).
7.
7.1. En l'espèce, il n'est pas contesté, ni contestable que l'intimé - souffrant d'une maladie invalidante depuis la petite enfance - aurait pu percevoir une rente extraordinaire d'invalidité à compter du 1er jour suivant son 18ème anniversaire s'il avait été domicilié en Suisse à ce moment-là. C'est donc bien à cette date - abstraction faite de toute condition d'assurance - qu'est survenue l'invalidité au sens de l'<ref-law> (cf. arrêt I 780/02 du 1er mai 2003 consid. 4.3.3). Toutefois, dès lors que l'assuré - domicilié en France - ne remplissait pas au moment de la survenance de l'invalidité toutes les conditions du droit à la prestation litigieuse, le droit à celle-ci n'est pas né et c'est donc à juste titre que cette prestation lui a, à l'époque, été refusée (cf. <ref-ruling>).
7.2. Il apparaît cependant, comme l'a justement précisé la juridiction cantonale dans sa détermination du 6 août 2013, qu'à compter de l'entrée en vigueur, le 1er juin 2002, de l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681), l'absence de domicile en Suisse ne faisait plus obstacle à l'octroi d'une rente extraordinaire d'invalidité pour les ressortissants de l'Union européenne et les ressortissants suisses domiciliés dans un Etat membre de l'Union européenne (cf. <ref-ruling>). Encore fallait-il que la personne concernée fût soumise à cet accord et qu'elle remplît les conditions de l'<ref-law> (cf. chiffre 7018 de la Circulaire de l'OFAS sur la procédure pour la fixation des prestations dans l'AVS/AI [CIBIL; valable dès le 1er juin 2002]; MICHEL VALTERIO, Droit de l'assurance-vieillesse et survivants [AVS] et de l'assurance-invalidité [AI], 2011, n° 1137 p. 311 et n° 2253 p. 607).
7.3. En l'occurrence, les recourants ne contestent pas l'application, admise par les premiers juges, au cas d'espèce - que ce soit d'un point de vue temporel, matériel ou personnel (cf. jugement entrepris consid. 5b) - de l'ALCP et du règlement [CEE] n° 1408/71 du Conseil du 14 juin 1971 relatif à l'application des régimes de sécurité sociale aux travailleurs salariés, aux travailleurs non salariés et aux membres de leur famille qui se déplacent à l'intérieur de la Communauté [ci-après: règlement n° 1408/71] dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 mars 2012 auquel renvoie l'ALCP (cf. art. 1 al. 1 de l'annexe II à l'ALCP en relation avec les art. 8 et 15 ALCP). En particulier, les premiers juges ont à raison considéré que l'assuré avait la qualité de membre de la famille au sens de l'art. 1 let. f point ii du règlement no 1408/71, de sorte qu'il entrait dans le champ d'application personnel du règlement de coordination du moins pour ce qui est de la prétention en cause (cf. pour un cas similaire: <ref-ruling> consid. 5.2.4 p. 245).
7.3.1. Il ressort de l'art. 3 par. 1 du règlement no 1408/71 que les personnes, qui résident sur le territoire de l'un des Etats membres et auxquelles les dispositions du règlement sont applicables, sont soumises aux obligations et sont admises au bénéfice de la législation de tout Etat membre dans les mêmes conditions que les ressortissants de celui-ci, sous réserve de dispositions particulières contenues dans le présent règlement. Selon l'art. 10 par. 1 du règlement no 1408/71, les prestations en espèces d'invalidité, de vieillesse ou de survivants, les rentes d'accident du travail ou de maladie professionnelle et les allocations de décès acquises au titre de la législation d'un ou plusieurs Etats membres ne peuvent, à moins que le règlement n'en dispose autrement, subir aucune réduction, ni modification, ni suspension, ni suppression, ni confiscation du fait que le bénéficiaire réside sur le territoire d'un Etat membre autre que celui où se trouve l'institution débitrice. Les prestations qui entrent dans le champ d'application du règlement étaient donc à compter de l'entrée en vigueur de l'ALCP et du règlement no 1408/71 exportables - sauf exceptions - de la Suisse vers un Etat membre de l'Union européenne. Dans un arrêt récent (<ref-ruling>), le Tribunal fédéral a eu l'occasion de rappeler que hormis les cas qui concernaient les prestations dues exclusivement au travailleur migrant, les membres de la famille de celui-ci pouvaient également se prévaloir des principes d'égalité de traitement (art. 3 par. 1 du règlement no 1408/71) et d'exportation des prestations (art. 10 par. 1 du règlement no 1408/71) et ce, quelque soit la nature du droit invoqué (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 396 sur la notion de droits propres et de droits dérivés). On relèvera également que la Suisse n'a pas soustrait les rentes extraordinaires de l'AVS et de l'AI à l'obligation d'exporter en tant que "prestations spéciales à caractère non contributif" au sens de l'art. 10bis par. 1 du règlement no 1408/71 (cf. annexe II bis dudit règlement; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 148).
7.3.2. Il résulte de ce qui précède qu'à la suite de l'entrée en vigueur de l'ALCP, l'intimé aurait pu demander la révision de son droit à une rente extraordinaire de l'assurance-invalidité, son domicile français ne faisant alors plus obstacle à l'allocation et à l'exportation de cette prestation (cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 149). A cette date, la condition liée au nombre d'années d'assurance était également remplie, l'assuré ayant cotisé depuis le premier jour de son 20ème anniversaire jusqu'au 31 mars 2007 à l'assurance facultative. C'est donc à la date de l'entrée en vigueur de l'ALCP, soit au 1er juin 2002, qu'est né le droit à la prestation litigieuse, toutes les conditions constitutives du droit à cette prestation étant désormais réalisées, et non pas seulement au 1er janvier 2010 comme le soutiennent les recourants. Le fait que l'assuré n'a pas déposé de demande de révision à la suite de l'entrée en vigueur de l'ALCP n'est pas déterminant. On ne saurait, en effet, faire dépendre la naissance du droit à des prestations de l'éventuel dépôt d'une (nouvelle) demande de prestations. Le fait que l'intimé n'a par la suite pas pu continuer à être assuré à l'assurance facultative ne remet pas non plus en cause son droit à la prestation litigieuse.
7.4. Vu l'absence de demande déposée en temps utile, le droit au versement d'une rente extraordinaire ne peut remonter au 1er juin 2002. Les premiers juges ont retenu que le droit aux prestations litigieuses devait être reconnu à compter du 1er mai 2010, soit dès le premier jour du sixième mois après le dépôt de la demande de prestations du 18 novembre 2009 conformément aux art. 29 al. 1 et 3 LAI. En l'occurrence, il n'y a pas lieu d'examiner si la demande déposée par l'intimé dans le courant du mois de janvier 2008 - rejetée par décision du 30 septembre 2008 au motif que l'assuré n'était pas domicilié en Suisse en ce qui concerne la rente extraordinaire d'invalidité - aurait pu faire naître le droit au versement à des prestations pour une période antérieure au 1er mai 2010, l'assuré n'ayant pas recouru contre le jugement cantonal et n'ayant pris aucune conclusion dans ce sens. Le Tribunal fédéral est en effet lié par les conclusions des parties (cf. <ref-law>). Le droit à une rente extraordinaire d'invalidité doit dès lors être confirmé avec effet au 1er mai 2010.
7.5. Il résulte de ce qui précède que le jugement entrepris n'est pas critiquable dans son résultat et que le recours se révèle mal fondé.
8.
Vu l'issue du litige, les frais de justice doivent être mis à la charge de l'office AI qui succombe et qui, contrairement à l'OFAS, ne peut se prévaloir de l'<ref-law> (arrêt 8C_67/2007 du 25 septembre 2007 consid. 6).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Les causes 9C_446/2013 et 9C_469/2013 sont jointes.
2.
Les recours sont rejetés.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'office AI.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales.
Lucerne, le 21 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Reichen