Sachverhalt:
A.
Der Sicherheitsfonds BVG stellte im Jahr 1996 gesetzliche Vorsorgeleistungen von 62,5 Mio. Fr. für die Destinatäre der Sammelstiftung X._ in Liquidation und von 10,1 Mio. Fr. für diejenigen der Sammelstiftung Y._ in Liquidation sicher. Beide Sammelstiftungen waren gemäss Verfügungen des Bundesamtes für Sozialversicherungen (BSV) vom 16. Januar 1996 aufgehoben worden.
B.
Am 20. April 2000 gelangte der Sicherheitsfonds mit zwei "Schadenersatzbegehren nach Verantwortlichkeitsgesetz" an das Eidgenössische Finanzdepartement (EFD) mit der Begründung, das BSV habe seine Aufsichtspflichten verletzt.
Mit Schreiben vom 10. Mai 2000 schlug das EFD dem Sicherheitsfonds vor, seine Eingaben zurückzuziehen und den im BVG festgelegten Rechtsweg zu beschreiten. Die Schadenersatzbegehren würden sich formell zwar auf das Bundesgesetz über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördenmitglieder und Beamten (Verantwortlichkeitsgesetz) stützen, materiell liege ihnen aber Art. 56a BVG zu Grunde. Richtigerweise sei daher nach dem im BVG vorgesehenen Verfahren betreffend Streitigkeiten und Verantwortlichkeitsansprüche vorzugehen, weshalb auf die Schadenersatzbegehren nicht eingetreten werden könne.
C.
Am 25. Juli 2000 reichte der Sicherheitsfonds beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern zwei Klagen ein, mit welchen er von der Schweizerischen Eidgenossenschaft die Beträge von 62,5 und 10,1 Mio. Fr., zuzüglich Zins, forderte.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, trat auf die beiden Klagen nicht ein (Entscheide vom 8. Juli 2002). Wenn die Aufsicht durch eine Bundesbehörde wahrgenommen werde, sei das Verantwortlichkeitsgesetz anwendbar. Die Zuständigkeit des kantonalen BVG-Gerichts stehe nur zur Verfügung, wenn sich der Regressanspruch gegen die verantwortlichen Organe richte.
D.
Mit Schreiben vom 12. August 2002 teilte das EFD dem Sicherheitsfonds u.a. mit, es könne sich im Ergebnis der Auffassung des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern anschliessen. In der Folge verzichtete der Sicherheitsfonds auf die Anfechtung der Entscheide vom 8. Juli 2002.
Mit Zwischenverfügung vom 27. September 2002 sistierte das EFD die Verfahren betreffend die Schadenersatzbegehren vom 20. April 2000 und wies das Gesuch des Sicherheitsfonds um volle Akteneinsicht beim BSV ab.
E.
Am 1. April 2010 beantragte der Sicherheitsfonds die Wiederaufnahme des Verfahrens beim EFD und die Bestätigung von dessen Zuständigkeit.
Mit Verfügung vom 19. April 2011 trat das EFD auf die Schadenersatzbegehren des Sicherheitsfonds vom 20. April 2000 nicht ein.
F.
Dagegen erhob der Sicherheitsfonds am 31. Mai 2011 Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht und beantragte, die Verfügung vom 19. April 2011 sei aufzuheben und es sei das EFD anzuweisen, auf das Schadenersatzbegehren einzutreten. Eventualiter sei über die weitere Behandlung des Schadenersatzbegehrens ein Meinungsaustausch mit dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern durchzuführen. Gegebenenfalls sei das Verfahren anschliessend an dieses zu überweisen.
Das Bundesverwaltungsgericht hiess die Beschwerde gestützt auf den Vertrauensgrundsatz gut und hob die Verfügung vom 19. April 2011 auf. Gleichzeitig wies es die Sache an das EFD zurück, damit es auf die zwei Schadenersatzbegehren des Sicherheitsfonds vom 20. April 2000 eintrete und diese materiell prüfe (Entscheid vom 20. September 2012).
G.
Die Schweizerische Eidgenossenschaft reicht am 26. Oktober 2012 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ein und stellt Antrag auf Aufhebung des Entscheids vom 20. September 2012. Auf die Beschwerde des Sicherheitsfonds vom 31. Mai 2011 gegen die Verfügung des EFD vom 19. April 2011 sei nicht einzutreten.
Der Sicherheitsfonds schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Die Schweizerische Eidgenossenschaft gelangt mit einer weiteren Eingabe vom 4. Februar 2013 an das Bundesgericht.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 20. September 2012 wurde nicht über ein Rechtsverhältnis endgültig entschieden, sondern nur über einen Schritt auf dem Weg zum Endentscheid. Er stellt einen - selbstständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid über die Zuständigkeit nach <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 4.1.3 S. 481). Die dagegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig (<ref-ruling> E. 1 S. 126).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden, weshalb es die Beschwerde auch aus anderen als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder abweisen kann (<ref-ruling> E. 1.1 S. 104; <ref-ruling> E. 1.3 S. 50 mit Hinweisen).
2.
2.1. Materiellrechtlicher Streitgegenstand bildet der Rückgriffsanspruch des Sicherheitsfonds gestützt auf das BVG. Es fragt sich deshalb, ob die Zuständigkeit zur Behandlung der Beschwerde bei der II. sozialrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts liegt (Art. 35 lit. e des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht [BGerR; SR 173.110.131]), obwohl die Beschwerde - im Sinne des vorinstanzlichen Rechtsspruches - bei der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung einging (Art. 30 Abs. 1 lit. c Ziff. 1 BGerR).
2.2. Für die Zuteilung eines Geschäfts an eine Abteilung ist die Rechtsfrage massgeblich, auf der das Schwergewicht der Entscheidung liegt, wobei von der reglementarischen Geschäftsverteilung im Einzelfall aufgrund der Natur des Geschäfts und seiner Konnexität mit anderen Geschäften abgewichen werden kann. Vorausgesetzt wird eine Einigung der Präsidenten und Präsidentinnen der betroffenen Abteilungen (Art. 36 Abs. 1 und 2 BGerR). Im Rahmen des vorliegenden Verfahrens erfolgte ein Meinungsaustausch zwischen der II. öffentlich-rechtlichen und der II. sozialrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts, welcher ergab, dass hier nicht ein Staatshaftungs-, sondern ein BVG-Verfahren im Vordergrund steht (vgl. E. 5 nachfolgend). In der Folge hat die II. sozialrechtliche Abteilung den bei der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung anhängig gemachten Fall zuständigkeitshalber übernommen, was den Parteien mit Schreiben vom 18. Februar 2013 mitgeteilt wurde.
3.
3.1. Es ist unbestritten, dass sowohl die Sammelstiftung X._ als auch Sammelstiftung Y._-Sammelstiftung der Aufsicht des Bundes unterstanden (vgl. Art. 61 Abs. 2 BVG in der bis zum Inkrafttreten der Strukturreform am 1. Januar 2012 geltenden Fassung).
3.2. Gemäss Art. 3 Abs. 1 des Verantwortlichkeitsgesetztes (VG; SR 170.32) haftet der Bund für den Schaden, den ein Beamter in Ausübung seiner amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich zufügt, ohne Rücksicht auf das Verschulden des Beamten. Bei Tatbeständen, welche unter die Haftpflichtbestimmungen anderer Erlasse fallen, richtet sich die Haftung des Bundes nach jenen besonderen Bestimmungen (Abs. 2). Derartige besondere Entschädigungsregelungen sind ausschliesslich und abschliessend. Sie verdrängen in ihrem Anwendungsbereich die betreffende allgemeine Regelung des Verantwortlichkeitsgesetzes. Dieses kommt auch nicht ergänzend zur Anwendung; es kann demnach nicht als Auffangregelung angerufen werden, wenn eine Spezialhaftungsordnung für bestimmte Schäden keinen oder keinen vollständigen Ersatz vorsieht. Das Verantwortlichkeitsgesetz steht im Verhältnis zu den besonderen Entschädigungsregelungen auf dem Boden der sogenannten exklusiven Gesetzeskonkurrenz und ist zu ihnen in diesem Sinne subsidiär (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 86/01 vom 17. Juli 2003 E. 4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
Das Schadenersatzbegehren ist vorab dem EFD einzureichen (Art. 20 Abs. 2 VG).
3.3.
3.3.1. Nach Art. 52 BVG - in der hier massgebenden Fassung vor der 1. BVG-Revision, die am 1. Januar 2005 in Kraft getreten ist - sind alle mit der Verwaltung, Geschäftsführung oder Kontrolle der Vorsorgeeinrichtung betrauten Personen für den Schaden verantwortlich, den sie ihr absichtlich oder fahrlässig zufügen.
3.3.2. Nach Art. 56 Abs. 1 lit. b BVG stellt der Sicherheitsfonds die gesetzlichen Leistungen von zahlungsunfähig gewordenen oder im Falle von vergessenen Guthaben liquidierter Vorsorgeeinrichtungen sicher. Nach der ursprünglichen, bis 31. Dezember 1996 in Kraft gewesenen Fassung von Art. 56 Abs. 1 lit. b Satz 2 BVG (AS 1983 797) regelte der Bundesrat die Voraussetzungen für die Leistungen des Sicherheitsfonds und das Rückgriffsrecht auf Organe zahlungsunfähiger Vorsorgeeinrichtungen. Gestützt darauf hatte der Bundesrat die Verordnung vom 7. Mai 1986 über die Verwaltung des Sicherheitsfonds BVG erlassen (aSFV 2 [AS 1986 867]; in Kraft bis 30. Juni 1998, AS 1998 1662). Nach deren Art. 11 hat der Sicherheitsfonds gegenüber den Personen, die für die Zahlungsunfähigkeit der Vorsorgeeinrichtung ein Verschulden trifft, ein Rückgriffsrecht im Umfang der sichergestellten Leistungen. Am 1. Januar 1997 trat Art. 56a Abs. 1 BVG (in der bis 31. Dezember 2004 gültig gewesenen Fassung) in Kraft (AS 1996 3067), wonach der Sicherheitsfonds gegenüber Personen, die für die Zahlungsunfähigkeit der Vorsorgeeinrichtung oder des Versichertenkollektivs ein Verschulden trifft, ein Rückgriffsrecht im Umfang der sichergestellten Leistungen hat.
Nach dieser Regelung subrogiert der Sicherheitsfonds nicht in die Ansprüche, die der Vorsorgeeinrichtung nach Art. 52 BVG zustehen, sondern hat einen eigenen Anspruch, der sich im Unterschied zur Haftung nach Art. 52 BVG nicht nur gegen Organe der Stiftung richtet, sondern auch gegen andere Personen, die an der Zahlungsunfähigkeit der Stiftung ein Verschulden trifft, und zwar gemäss Art. 11 aSFV 2 über den Wortlaut des Gesetzes hinaus auch bereits in der ursprünglichen Fassung (<ref-ruling> E. 2.2 S. 375).
3.3.3. Gemäss Art. 73 Abs. 1 BVG bezeichnet jeder Kanton ein Gericht, das als letzte kantonale Instanz über Streitigkeiten zwischen Vorsorgeeinrichtungen, Arbeitgebern und Anspruchsberechtigten entscheidet. Dieses Gericht entscheidet auch über Verantwortlichkeitsansprüche nach Art. 52 BVG und über den Rückgriff nach Art. 56a Abs. 1 BVG (Art. 73 Abs. 1 Satz 2 BVG in der bis 31. Dezember 2004 geltenden Fassung, seither Art. 73 Abs. 1 lit. c und d BVG). Das Berufsvorsorgegericht ist für die Beurteilung von Rückgriffsklagen des Sicherheitsfonds zuständig, auch wenn sich der Sachverhalt vor dem 1. Januar 1997 verwirklicht hat (<ref-ruling> E. 3.1 Abs. 2 S. 377 mit weiteren Hinweisen).
4.
Gemäss Urteil 2A.35/1997 vom 28. Januar 1998, in: SZS 1999 S. 380 - in welchem Fall eine Vorsorgeeinrichtung gegenüber dem Kanton Schwyz Schadenersatz geltend gemacht hatte, weil das kantonale Amt für berufliche Vorsorge und Stiftungsaufsicht seine Aufsichtspflicht verletzt habe - richtet sich die Haftung eines Kantons für hoheitliches Handeln nach kantonalem Recht, sofern keine spezialgesetzliche Haftungsbestimmung des Bundesrechts greift (E. 1c). Art. 52 BVG bildet keine solche Spezialgesetzgebung. Danach sind - im Verhältnis zur Vorsorgeeinrichtung - nur die mit der Verwaltung, Geschäftsführung und Prüfung der Vorsorgeeinrichtung betrauten Personen haftbar, nicht aber der Kanton für Fehler der kantonalen BVG-Aufsichtsbehörde. Daran ändert nichts, wenn diese ihre in Art. 62 BVG umschriebenen Aufsichtspflichten verletzt haben sollte. Die Verletzung einer bundesrechtlich vorgeschriebenen Pflicht führt allenfalls dazu, dass die Handlungen der staatlichen Bediensteten widerrechtlich sind, ist aber nicht selber Grundlage für die Haftung des Gemeinwesens (E. 1d des genannten Urteils). Damit war (auch) der prozessuale Weg durch das kantonale Staatshaftungsrecht bestimmt.
Demgegenüber bildet Art. 56a Abs. 1 BVG, wie das Eidg. Versicherungsgericht in <ref-ruling> erwogen hat, die rechtliche Grundlage sowohl für die Verantwortlichkeit der nicht von der Haftung gemäss Art. 52 BVG erfassten Personen, die an der Zahlungsunfähigkeit der Vorsorgeeinrichtung ein Verschulden trifft, wie auch für das Rückgriffsrecht des Sicherheitsfonds auf eben diesen Personenkreis (<ref-ruling> E. 2 S. 280 ff.). Dabei zählen die Kantone als Träger der Berufsvorsorgeaufsicht zu den (juristischen) Personen gemäss Art. 56a Abs. 1 BVG, welche für den infolge Zahlungsunfähigkeit der Vorsorgeeinrichtung entstandenen Schaden verantwortlich sein können und auf die der Sicherheitsfonds gegebenenfalls Regress nehmen kann. Entsprechend war der Sicherheitsfonds ermächtigt, seine Rückgriffsansprüche im Spezialverfahren nach Art. 73 Abs. 2 BVG geltend zu machen (<ref-ruling> E. 3 S. 282 f.).
5.
5.1. Für Rückgriffsansprüche des Sicherheitsfonds gegen den Bund aus mangelhafter Aufsichtstätigkeit wurde die Frage nach der materiellen Rechtsgrundlage und dem anwendbaren Verfahren bisher nicht beurteilt. Nachdem in concreto gleich wie in <ref-ruling> der Sicherheitsfonds - und nicht wie im Urteil 2A.35/1997 eine Vorsorgeeinrichtung - Haftungsansprüche geltend macht, liegt auf der Hand, dass primär Art. 56a Abs. 1 BVG resp. Art. 11 aSFV 2 materiellrechtliche Grundlage ist. Voraussetzung ist, dass (auch) der Bund zu den Personen gemäss den zitierten Gesetzesbestimmungen zählt (vgl. E. 3.3.2). Ist dies zu bejahen, geht die berufsvorsorgerechtliche Haftungsbestimmung als lex specialis dem Verantwortlichkeitsgesetz vor (vgl. E. 3.2).
5.2. Es sind keine triftigen Gründe ersichtlich, zwischen Bund und Kanton eine Unterscheidung zu treffen. Indem die auf Verordnungsebene geregelten Rückgriffsvoraussetzungen auf den 1. Januar 1997 unverändert Eingang ins Gesetz gefunden haben ( KRISTIN M. LÜÖND, Der Sicherheitsfonds BVG, 2004, S. 105 Ziff. 5.12.1; vgl. auch E. 3.3.2), hat der Gesetzgeber die bundesrätliche Umsetzung der Delegationsbestimmung ausdrücklich gutgeheissen und es als sachgerecht erachtet, diese auf Gesetzesstufe zu verankern (BBl 1996 I 575 unten zu Art. 56bis E-BVG). Mit anderen Worten hat das Rückgriffsrecht des Sicherheitsfonds im Rahmen der BVG-Revision vom 21. Juni 1996 lediglich eine redaktionelle Neufassung erfahren (SVR 2006 BVG Nr. 34 S. 131, B 10/05 E. 8.2.3.4 in fine). Die in <ref-ruling> vorgenommene Auslegung des Personenbegriffs gemäss Art. 56a BVG lässt sich deshalb ohne weiteres auf die vorliegende Sachverhaltskonstellation transponieren:
Nicht nur der Kanton, sondern auch der Bund hat eine Rechtspersönlichkeit; mithin ist Letzterer ebenfalls eine juristische Person des öffentlich Rechts und gilt - dem Wortlaut nach - als Person (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 282). Insoweit im Rahmen der parlamentarischen Beratung von Art. 56a BVG (im Entwurf noch Art. 56 bis ) ausdrücklich das allfällige prozessuale Vorgehen gegen eine Aufsichtsbehörde erwähnt wurde (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 282 f.), erfolgte keine Differenzierung zwischen kantonaler Aufsichtsbehörde und der Aufsicht durch den Bund. Wohl spielt das diesbezüglich in die Waagschale geworfene Argument, mit dem Spezialverfahren nach Art. 73 Abs. 2 BVG werde vermieden, dass der Sicherheitsfonds jeweils nach unterschiedlichen kantonalen Verfahren klagen müsste (AB 1996 S 210), hinsichtlich des Bundes eine untergeordnete Rolle. Indes ist von der Sache her nicht einsichtig, weshalb der Sicherheitsfonds, will er - gestützt auf Art. 56a BVG oder Art. 11 aSFV 2 - gegen den Bund in dessen Funktion als Aufsichtsbehörde Rückgriff nehmen, nicht die gleichen verfahrensmässigen Erleichterungen soll in Anspruch nehmen können, wie wenn er gegen einen Kanton klagt (einfaches, rasches und in der Regel kostenloses Verfahren; der Richter stellt den Sachverhalt von Amtes wegen fest [Art. 73 Abs. 2 BVG]). Schliesslich fällt beim Vollzug des Berufsvorsorgeobligatoriums die Aufsicht nicht nur den Kantonen, sondern von Bundesrechts wegen - in vom Bundesrat festgelegten Fällen - auch dem Bund zu (Art. 61 Abs. 1 und 2 BVG in der hier anwendbaren Fassung; vgl. E. 3). Nimmt dieser seine in Art. 62 BVG (in der bis Inkrafttreten der Strukturreform am 1. Januar 2012 geltenden Fassung) umschriebenen Aufgaben nicht gehörig wahr und verursacht er dadurch schuldhaft die Zahlungsunfähigkeit der Vorsorgeeinrichtung mit, muss der Sicherheitsfonds die Möglichkeit haben, im Umfang der von ihm sichergestellten Leistungen gegen den Bund als Träger der Aufsichtsbehörde klageweise vorzugehen. Würde er in dieser Situation auf den Weg der Staatshaftung verwiesen, erübrigte sich ein regressweises Vorgehen nach Art. 56a BVG resp. Art. 11 aSFV 2, womit beide Regelungen ihres Sinngehaltes beraubt wären (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 283).
5.3. Nach dem Gesagten geht die berufsvorsorgerechtliche Haftungsbestimmung als lex specialis dem Verantwortlichkeitsgesetz vor. Dies bedeutet, dass das BVG-Gericht des Kantons Bern, d.h. die sozialversicherungsrechtliche Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, zuständig ist, über die gestützt auf Art. 56a BVG resp. Art. 11 aSFV 2 geltend gemachten Ansprüche des Sicherheitsfonds zu befinden (E. 3.3.3; Art. 87 lit. c des kantonalen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 23. Mai 1989 [VRPG; BSG 155.21] und Art. 54 Abs. 1 lit. a des kantonalen Gesetzes über die Organisation der Gerichtsbehörden und der Staatsanwaltschaft vom 11. Juni 2009 [GSOG; BSG 161.1]). Dass die Nichteintretensentscheide des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 8. Juli 2002 unangefochten geblieben sind, führt zu keinem anderen Ergebnis. Denn die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> zur fehlenden Rechtskraft des ersten Nichteintretensentscheides bei negativem Kompetenzkonflikt zweier kantonaler Versicherungsgerichte gilt auch im Bereich der beruflichen Vorsorge (SVR 2012 BVG Nr. 34 S. 133, 9C_41/2012 E. 2.3). Dabei ist nicht relevant, dass hier nicht zwei kantonale Versicherungsgerichte, sondern das EFD und ein kantonales Versicherungsgericht die eigene sachliche Zuständigkeit verneinen. Von untergeordneter Bedeutung ist auch das Schreiben des EFD vom 10. Mai 2000, da diesem nicht Verfügungsqualität zukommt (vgl. allgemein dazu HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. Aufl. 2010, S. 193 ff.).
6.
Das Verfahren ist grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Auf Grund der besonderen Umstände (negativer Kompetenzkonflikt) ist ausnahmsweise auf eine Kostenerhebung zu verzichten (<ref-law>; Urteil 8C_769/2008 vom 18. März 2009 E. 5.1 [in <ref-ruling> nicht veröffentlicht]). Der obsiegenden Eidgenossenschaft steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 20. September 2012 wird aufgehoben. Die Sache wird dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, überwiesen, damit es über die Schadenersatzklagen des Sicherheitsfonds vom 25. Juli 2000 materiell befinde.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. März 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann