Sachverhalt:
Mit Entscheid vom 28. März 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, welches S._ in einer Beschwerde betreffend Leistungen der Invalidenversicherung gestellt hat, mangels Bedürftigkeit der Gesuchstellerin ab; zugleich verlangte es von der Beschwerdeführerin die Bezahlung eines Gerichtskostenvorschusses von Fr. 800.-, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde.
S._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 28. März 2008 sei aufzuheben und es sei die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Verfahren zu bewilligen. Weiter wird darum ersucht, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen und es sei die unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren zu gewähren.
Die vorinstanzlichen Akten wurden beigezogen. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1. Gegen den angefochtenen Zwischenentscheid ist die Beschwerde an das Bundesgericht zulässig, zumal die Vorinstanz nicht nur die unentgeltliche Rechtspflege verweigert, sondern zugleich auch die Anhandnahme des Rechtsmittels von der Bezahlung eines Kostenvorschusses durch die gesuchstellende Partei abhängig gemacht hat (<ref-law>; Urteil 9C_881/2007 vom 22. Februar 2008, E. 1 mit Hinweisen). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt.
2. Zu prüfen ist im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen (<ref-law>) und aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde, ob der angefochtene Entscheid vor Bundesrecht standhält. Eine Verletzung von Grundrechten, kantonalem oder interkantonalem Recht wird weder gerügt noch begründet (<ref-law>).
3. Die Gesetzesbestimmung (<ref-law>) und die Rechtsprechung zum Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen Verfahren sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Dies betrifft insbesondere auch die Anspruchsvoraussetzung der prozessualen Bedürftigkeit. Darauf wird verwiesen.
4. Streitig und zu prüfen ist aufgrund des vorinstanzlichen Entscheides und der Vorbringen in der Beschwerde, ob das kantonale Gericht bei der Prüfung der Bedürftigkeit den sog. Notgroschen zu tief angesetzt hat.
4.1 Das kantonale Gericht hat den als Notgroschen zu betrachtenden Anteil des ausgewiesenen, in Kontoguthaben bestehenden Vermögens von gesamthaft Fr. 18'580.05 auf Fr. 10'000.- festgesetzt. Damit stehe der Differenzbetrag von Fr. 8580.05 für die Deckung der gegebenenfalls anfallenden Prozesskosten zur Verfügung.
4.2 Bei der Bestimmung des Notgroschens, welcher der gesuchstellenden Person belassen werden soll, sind die gesamten persönlichen und finanziellen Verhältnisse zu berücksichtigen. Gesichtspunkte, welche die Lebenssituation als besonders schwierig erscheinen lassen, können einen höheren Betrag rechtfertigen. Anderseits lässt eine einigermassen gesichert erscheinende Ausgangslage zu, die erforderliche Reserve für aussergewöhnliche Ausgaben niedriger anzusetzen.
Das kantonale Gericht hat zutreffend erwogen, dass es sich bei der Gesuchstellerin und ihrem Ehemann um ein mit 38 und 39 Jahren noch recht junges Paar handelt, welches durch den Mann über ein stabiles Berufseinkommen verfügt. Dieses genügt mit monatlich netto rund Fr. 5800.- zur Deckung des in etwa gleicher Höhe anzusetzenden zivilprozessualen Notbedarfs. Das vorhandene Vermögen muss somit zur Deckung der gewöhnlichen Lebenshaltungskosten nicht angezehrt werden. Zudem besteht, wie die Vorinstanz anführt, ein Vorsorgeschutz im Rahmen der zweiten Säule. Mit dem kantonalen Gericht ist in Anbetracht dieser Gesichtspunkte die ökonomische und soziale Situation der Gesuchstellerin nicht als so prekär zu betrachten, dass der ihr zu belassende Notgroschen in der Höhe der Kontoguthaben anzusetzen wäre. Dies gilt erst recht, wenn berücksichtigt wird, dass die Beschwerdeführerin und ihr Ehemann über zwei Autos verfügen. Von diesen, mit Wechselnummer betriebenen Fahrzeugen könnte höchstens eines Kompetenzcharakter aufweisen, indem es gegebenenfalls vom Ehemann für den Arbeitsweg benötigt wird. Dabei ist noch offen, ob dieser Weg nicht auch mit dem öffentlichen Verkehr zurückgelegt werden könnte. Jedenfalls ist der Beschwerdeführerin und ihrem Ehemann zumutbar, zumindest das noch höherwertige der beiden Autos zu veräussern, womit das verfügbare Vermögen noch ansteigt.
4.3 Die Vorbringen in der Beschwerde rechtfertigen keine andere Betrachtungsweise. Der allgemeine Hinweis auf bei einer vierköpfigen Familie zu erwartende Kosten für ärztliche Behandlungen und dergleichen genügt hiefür ebenso wenig wie die aufgelegte Abrechnung des Krankenversicherers über Selbstbehalte von insgesamt knapp Fr. 90.-. Und eine kantonale Praxis, wonach bei vergleichbaren Verhältnissen höhere Notgroschen angerechnet würden, ist nicht belegt. An konkret zu erwartenden Unkosten ist sodann lediglich eine zahnärztliche Schätzung ausgewiesen, wonach eine empfohlene Behandlung gut Fr. 1100.- kosten werde. Dies gestattet nicht, den angefochtenen Entscheid als rechtsfehlerhaft zu betrachten. Soweit geltend gemacht wird, die Beschwerdeführerin habe bei einem Unterliegen im kantonalen Verfahren Prozesskosten von rund Fr. 5000.- zu tragen, gilt dasselbe.
5. Das Gesuch, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen, ist mit dem vorliegenden Urteil hinfällig.
6. Die gegebenen Umstände rechtfertigen, ausnahmsweise keine Gerichtskosten zu erheben. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das letztinstanzliche Verfahren ist mangels Bedürftigkeit, welche aus den bereits erwähnten Gründen zu verneinen ist, abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der IV-Stelle Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. Juni 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz