Faits:
A. A.a Par jugement du 20 février 2007, considérant que les conditions de la garantie légale des vices cachés étaient réunies, le Tribunal de Grande instance de Melun (France) a, entre autres, ordonné la résolution de la vente d'un cheval au prix de 135'000 euros intervenue entre Y._, en qualité de venderesse, et X._, en qualité d'acheteuse, condamné Y._ à payer à X._ le montant de 135'000 euros avec intérêts de droit à compter du 19 janvier 2004, ordonné la capitalisation des intérêts, débouté les parties d'autres conclusions, ordonné l'exécution provisoire du jugement, et condamné Y._ à payer à X._ 2'500 euros sur le fondement de l'art. 700 du Nouveau code de procédure civile, avec suite de dépens.
A.b En exécution du jugement précité, Y._ a versé 146'662 euros 62 à X._ en mai 2007.
A.c Par arrêt du 20 mai 2009, statuant par défaut sur l'appel de la venderesse et considérant que l'acheteuse avait introduit tardivement son action en garantie selon le Code rural applicable à ce type de vente, la Cour d'appel de Paris a rendu le dispositif suivant:
"Infirme le jugement [du 20 février 2007], (...),
Statuant à nouveau sur les chefs infirmés,
Déclare Mme X._ irrecevable en sa demande,
Condamne Mme X._ à payer à la société Y._ la somme de 13'109, 39 euros outre intérêts au taux légal calculés sur la somme de 4'206, 94 euros à compter du 20 avril 2006 et sur le surplus à compter du 21 avril 2008,
Ordonne la capitalisation des intérêts dans les conditions fixées par l'article 1154 du code civil,
Déboute la société Y._ de sa demande de dommages et intérêts,
Dit n'y avoir lieu à statuer sur la demande de restitution des sommes versées en exécution du jugement,
Condamne Mme X._ à payer à la société Y._ 2'500 euros sur le fondement de l'art. 700 du code de procédure civile,
(...)".
Dans les considérants de son arrêt, la Cour d'appel a notamment retenu que "la société Y._ réclam[ait] le remboursement de la somme de 146'662 euros 62 versée en exécution du jugement assorti de l'exécution provisoire mais qu'il n'y a[vait] pas lieu de statuer sur cette demande, le présent arrêt constituant le titre ouvrant droit à restitution étant rappelé que les sommes restituées ne port[aient] intérêt au taux légal qu'à compter de la notification, valant mise en demeure, de l'arrêt infirmatif".
A.d Par arrêt du 12 janvier 2011, la Cour d'appel de Paris a déclaré irrecevable pour tardiveté l'opposition formée par X._ à l'encontre de l'arrêt précité rendu par défaut et a condamné cette dernière à payer à Y._ le montant de 2'000 euros en application de l'art. 700 du Code de procédure civile.
B. B.a Le 8 avril 2011, Y._ a fait notifier par l'Office des poursuites de Genève à X._ un commandement de payer poursuite n°xxx, portant sur les montants suivants, auquel celle-ci a formé opposition:
1. 192'453 fr. avec intérêts à 5% dès le 16 février 2011, représentant la contre-valeur de 146'662 euros au cours moyen de 1,3122, en vertu du jugement du Tribunal de Grande instance de Melun du 20 février 2007,
2. 5'365 fr. 60 avec intérêts à 5% dès le 16 février 2011, représentant la contre-valeur de 4'088,94 euros au cours moyen de 1,3122 du 15 février 2011, intérêts sur ce capital du 17 juin 2009 au 15 février 2011,
3. 5'905 fr. avec intérêts à 5% dès le 16 février 2011, contre-valeur de 4'500 euros au cours moyen de 1,3122 du 15 février 2011, frais de justice de l'<ref-law> selon arrêts de la Cour d'appel de Paris du 20 mai 2009 et du 12 janvier 2011,
4. 3'136 fr. 20, avec intérêts à 5% dès le 16 février 2011, contre-valeur de 2'390 euros, au cours moyen de 1,3122 du 15 février 2011, état de frais de l'avoué Z._.
B.b Le 16 mai 2011, X._ s'est pourvue en cassation contre l'arrêt d'irrecevabilité du 12 janvier 2011 rendu sur opposition par la Cour d'appel de Paris.
B.c Le 1er juin 2011, Y._ a saisi le Tribunal de première instance de Genève d'une requête, concluant à titre incident à ce que soient déclarés exécutoires en Suisse les arrêts de la Cour d'appel de Paris des 20 mai 2009 et 12 janvier 2011, et, cela fait, à ce que soit prononcée la mainlevée définitive de l'opposition formée au commandement de payer, poursuite n°xxx, avec suite de frais. Déposant spontanément une réponse, X._ a conclu au rejet de la requête.
Par jugement du 25 octobre 2011, le tribunal a reconnu et déclaré exécutoire les arrêts de la Cour d'appel de Paris des 20 mai 2009 et 12 janvier 2011 et prononcé la mainlevée définitive de l'opposition formée par X._ au commandement de payer seulement pour le poste 3 (5'905 fr. avec intérêts à 5% dès le 16 février 2011), sous déduction de 3'049 fr. 25 versés le 29 septembre 2011. En substance, il a considéré que l'arrêt du 20 mai 2009 ne comportait pas de clause condamnatoire en remboursement de 146'662 euros, de sorte qu'il ne constituait pas un titre de mainlevée au sens de l'<ref-law>, et, pour autant qu'on puisse le comprendre, que la poursuivante n'était au bénéfice d'aucun titre de mainlevée pour les frais de conseils du poste 4 du commandement de payer.
B.d Y._ a recouru contre ce jugement. La société a conclu à ce que la cour cantonale reconnaisse et déclare exécutoire en Suisse les deux arrêts précités de la Cour d'appel de Paris et à ce que soit prononcée la mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer poursuite n°xxx, sous imputation de 3'049 fr. 25 sur le poste 3. Par arrêt du 12 janvier 2012, la Cour de justice du canton de Genève a partiellement admis ce recours et a prononcé la mainlevée définitive de l'opposition formée par X._ au commandement de payer pour le poste 1, soit la créance en remboursement du montant versé à titre d'exécution provisoire, à concurrence de 177'147 fr. (135'000 euros x 1,3122) plus intérêts à 5% dès le 16 février 2011, en sus du poste 3 déjà admis en première instance, sous déduction de 3'049 fr. 25.
C. Par acte du 16 février 2012, X._ forme un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire contre cet arrêt. Dans l'un comme dans l'autre, elle conclut à ce que ce dernier soit réformé, en ce sens que la mainlevée définitive de l'opposition formée par elle au commandement de payer soit refusée pour le poste 1 et prononcée pour le poste 3 uniquement, sous déduction d'un montant de 3'049 fr. 25 déjà versé le 29 septembre 2011. En substance, elle se plaint de la violation de l'<ref-law>, en soutenant que l'arrêt du 20 mai 2009 n'est pas définitif et ne contient aucune clause la condamnant au remboursement du montant de 146'662,62 euros, et de l'<ref-law>, en soutenant que, même si on admettait que cet arrêt constituait un titre de mainlevée définitive, il serait choquant que la société puisse encaisser le prix de vente alors qu'elle ne lui a pas livré le cheval.
Des observations n'ont pas été requises.

Considérant en droit:
1. Le recours est déposé en temps utile (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.2), ayant pour objet la mainlevée définitive de l'opposition à un commandement de payer (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1), rendue par une juridiction cantonale de dernière instance ayant statué sur recours (<ref-law>); la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (<ref-law>). Le recours en matière civile est donc en principe recevable, de sorte que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. 2.1 La décision statuant sur la mainlevée définitive, et de manière incidente sur l'exequatur d'une décision étrangère, n'est pas assimilée à des mesures provisionnelles (ATF <ref-ruling> consid. 1.5). Le recours en matière civile peut donc être formé contre elle pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris des droits constitutionnels. Il permet également de faire valoir que la décision attaquée n'a pas appliqué le droit étranger désigné par le droit international privé suisse (<ref-law>). La contestation étant de nature pécuniaire, il n'est en revanche pas possible de se plaindre d'une mauvaise application du droit étranger (<ref-law> a contrario); sur ce point, la décision ne peut être attaquée que pour violation de l'art. 9 Cst., soit pour application arbitraire du droit étranger (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4, au sujet du contrôle du droit de l'Etat d'origine applicable en vertu de la CL 1988; <ref-ruling> consid. 3.1; arrêt 5A_477/2011 du 10 octobre 2011 consid. 2.1). La décision entreprise ne sera donc annulée pour ce motif que si elle est manifestement insoutenable, viole une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou encore heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (entre autres <ref-ruling> consid. 3.1).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4). Compte tenu de l'exigence de motivation de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 2.2.1). Par exception à la règle selon laquelle il examine le droit d'office, il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que si le grief correspondant a été invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
2.2 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été établis de façon manifestement inexacte - soit de manière arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.1; <ref-ruling> consid. 1.2.2) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>) et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF).
3. L'autorité cantonale a retenu que l'arrêt du 20 mai 2009 rendu par défaut par la Cour d'appel de Paris constituait la cause du remboursement du paiement fait par l'intimée en exécution anticipée du jugement de première instance, à l'exclusion de l'arrêt du 12 janvier 2011 par lequel cette même cour a déclaré irrecevable l'opposition formée par la recourante à l'encontre de sa première décision. En outre, elle a manifestement admis qu'il était possible de faire valoir dans une seule et même poursuite l'exécution de la créance en remboursement découlant de l'arrêt du 20 mai 2009, ainsi que celle, en paiement des frais de justice, découlant de l'arrêt du 12 janvier 2011. S'agissant de la question incidente de la reconnaissance et de l'exécution de ces décisions étrangères, elle a retenu qu'il y avait lieu d'appliquer la Convention concernant la compétence judiciaire et l'exécution des décisions en matière civile et commerciale du 16 septembre 1988 (CL 1988, anciennement RS 0.275.11) à l'arrêt du 20 mai 2009, mais la Convention concernant la compétence judiciaire, la reconnaissance et l'exécution des décisions en matière civile et commerciale du 30 octobre 2007 (CL 2007, RS 0.275.12) à celui du 12 janvier 2011. Cela étant, elle a néanmoins jugé qu'elle n'avait pas à statuer sur la requête de la poursuivie tendant à ce qu'elle sursît à statuer sur la requête de mainlevée jusqu'à droit connu sur le fond du litige pendant devant la Cour de cassation française, étant donné que le recours dont elle était saisie ne portait pas sur la reconnaissance et la déclaration exécutoire des jugements français; les décisions du Tribunal de première instance de Genève étaient donc, selon elle, devenues définitives sur ces points. Enfin, l'autorité cantonale a examiné si les décisions étrangères présentées constituaient des titres de mainlevée uniquement à la lumière de l'<ref-law> et de la jurisprudence suisse y relative - en particulier les <ref-ruling> et 135 III 319 -, à l'exclusion du droit transnational. C'est ainsi qu'elle a constaté que l'arrêt du 20 mai 2009 ne comportait aucune clause condamnatoire portant sur le montant de 146'662 euros 62. Néanmoins, elle a relevé que le dispositif de cet arrêt prévoyait clairement que le jugement déféré était infirmé, notamment en ce que celui-ci condamnait la venderesse à verser à l'acheteuse 135'000 euros avec intérêts de droit à compter du 19 janvier 2004, et qu'il n'y avait pas à statuer sur la demande de restitution des sommes versées en exécution du jugement précédent. Cette dernière disposition, claire en elle-même, était encore explicitée dans le corps de la décision, en ce sens que l'arrêt constituait en lui-même le titre ouvrant droit à restitution du montant versé en raison de l'exécution provisoire. Selon la cour, puisque l'arrêt de l'autorité supérieure française annulait la décision de la première instance qui avait prononcé la condamnation exécutoire nonobstant appel, l'exécution de cette condamnation se trouvait privée de cause et fondait l'obligation de restituer le montant versé dès lors indûment. Il en allait ainsi de la créance en poursuite sous le poste 1 du commandement de payer, en tant qu'elle était constituée du montant en capital dont la quotité avait été arrêtée à 135'000 euros par le Tribunal de Grande instance de Melun. En revanche, ni le montant ni la date de départ des intérêts dus ne résultaient clairement de cette décision. Par conséquent, retenant un taux de change de 1.3122, l'autorité cantonale a prononcé la mainlevée définitive de l'opposition pour les postes 1 à concurrence de 177'147 fr. plus intérêts à 5% dès le 16 février 2011 et 3 à concurrence de 5'905 fr. sous déduction de 3'049 fr. 25.
4. La recourante ne conteste ni que l'intimée puisse faire valoir dans une seule et même poursuite des créances découlant de jugements distincts, ni que la CL 1988 s'applique à l'exécution de l'arrêt français du 20 mai 2009. Par contre, elle se plaint de la violation de l'<ref-law>, en reprochant à la cour cantonale d'avoir accordé la mainlevée définitive sur la base de l'arrêt de la Cour d'appel de Paris du 20 mai 2009; selon elle, ce dernier n'est pas définitif, mais seulement exécutoire, étant donné que "l'instance pendante par-devant la Cour de Cassation n'est pas périmée en tant qu['elle] a la possibilité de procéder à des actes significatifs d'exécution pour que la Cour de Cassation se saisisse à nouveau du dossier dans un délai de deux ans". Toujours sur la base de l'<ref-law>, elle reproche aussi à l'autorité cantonale d'avoir considéré que l'arrêt de la Cour d'appel de Paris du 20 mai 2009 constitue un titre de mainlevée alors que son dispositif ne contient aucune clause la condamnant à rembourser un quelconque montant en faveur de l'intimée et qu'il ne porte pas sur sa qualité de débitrice mais uniquement sur la "légitimité du contrat de vente". Enfin, se plaignant de la violation de l'<ref-law>, elle soutient que l'intimée "prétend néanmoins encaisser le prix du cheval qu'elle n'a pas livré et se refuse de [lui] remettre"; pour autant qu'on parvienne à la comprendre, la recourante entend ainsi faire valoir un moyen de défense tiré du droit matériel, à savoir l'exécution trait pour trait.
5. Il y a lieu d'examiner tout d'abord dans quelle version, celle de 1988 ou celle de 2007, la CL s'applique à la déclaration d'exécution de la décision française du 20 mai 2009.
5.1 Selon l'art. 63 par. 1 CL 2007, qui consacre le principe de la non-rétroactivité, la reconnaissance et l'exécution d'une décision est réglée selon la convention révisée, lorsque, au moment où l'action judiciaire à l'origine de cette décision a été intentée - soit que la litispendance a été créée -, cette convention était en vigueur tant dans l'Etat d'origine que dans l'Etat requis (TANJA DOMEJ, in Lugano-Übereinkommen (LugÜ), 2ème éd., 2011, n°10 ad art. 63 CL 2007; JAN KROPHOLLER/JAN VON HEIN, Kommentar zu EuGVO, Lugano-Übereinkommen 2007, EuVTVO, EuMVVO und EuGFVO, 9ème éd., 2011, n°2a et 4 ad art. 66 EuGVO; CHRISTIAN OETIKER/THOMAS WEIBEL, in Basler Kommentar, LugÜ, 2011, n°7 ad art. 63 CL 2007). L'art. 63 par. 2 let. a CL 2007 étend encore le champ d'application temporel de la convention révisée à des cas où l'action a été intentée antérieurement à ce moment. Ainsi, selon cette norme, la convention révisée s'applique également à la procédure de reconnaissance et d'exécution si la décision à exécuter a été rendue après l'entrée en vigueur de la convention révisée et que l'action judiciaire ayant donné lieu à cette décision a été intentée avant l'entrée en vigueur de la CL 2007 mais après celle de 1988 dans l'Etat d'origine et dans l'Etat requis. En revanche, la reconnaissance et l'exécution de décisions qui ont été rendues dans l'Etat d'origine avant l'entrée en vigueur de la convention révisée, mais après celle de la CL 1988 tant dans l'Etat d'origine et l'Etat requis, ont lieu selon les règles de la CL 1988 (arrêt 5A_611/2010 du 8 novembre 2011 consid. 2.1; DOMEJ, n°10 s. ad art. 63 CL 2007 et les références; KROPHOLLER/VON HEIN, op. cit., n°4 s. ad art. 66 EuGVO).
Une décision a été "rendue" au sens de l'art. 63 par. 2 CL 2007, lorsque, selon le droit national de l'Etat d'origine, elle produit ses effets pour l'extérieur (au sujet de l'art. 54 CL 1988, cf. <ref-ruling> consid. 1; DOMEJ, op. cit., n°12 ad art. 63 CL 2007; KROPHOLLER/VON HEIN, op. cit., n°4 ad art. 66 EuGVO).
5.2 En l'espèce, la CL 1988 est entrée en vigueur le 1er janvier 1992 pour la France et pour la Suisse. Quant à la CL 2007, elle est entrée en vigueur le 1er janvier 2010 pour l'Union européenne et le 1er janvier 2011 pour la Suisse. Pour retenir que la CL 1988 s'appliquait à l'exequatur de l'arrêt français rendu le 20 mai 2009, l'autorité cantonale a manifestement considéré que, malgré l'opposition formée par la recourante à l'encontre de cet arrêt, opposition déclarée irrecevable par décision du 12 janvier 2011, celui-ci produisait déjà ses effets dès cette date. Cette argumentation repose sur l'interprétation, par l'autorité cantonale, de la nature et des effets de l'opposition en droit français, en tant que voie de rétractation ouverte au défaillant (cf. art. 571 ss Code de procédure civile français). La recourante ne soulève aucune critique qui en démontrerait le caractère arbitraire. Partant, il n'y a pas lieu de revoir cette interprétation du droit étranger. Il s'ensuit que la CL 1988 est applicable à la déclaration d'exécution de la décision française du 20 mai 2009 (cf. supra consid. 2.1 2ème par.).
6. Il faut ensuite examiner à quelles conditions matérielles l'exequatur peut être prononcé (infra consid. 6.1), en particulier si on est en présence d'une décision exécutoire (infra consid. 6.2 et 6.3).
6.1 Le créancier au bénéfice d'une décision étrangère portant condamnation à payer une somme d'argent ou à constituer des sûretés (<ref-law>) rendue dans un Etat lié à la Suisse par la CL 1988 dispose de deux possibilités pour en obtenir l'exécution. La première consiste à introduire une procédure d'exequatur indépendante et unilatérale selon les art. 31 ss CL 1988, devant le juge de la mainlevée (art. 32 CL 1988), qui déclarera exécutoire en Suisse le jugement étranger dans une procédure non contradictoire, sans entendre préalablement le débiteur (art. 34 CL 1988). Après avoir obtenu l'exequatur dans cette procédure indépendante et unilatérale, le créancier demandera l'exécution proprement dite de la décision, par la voie de la poursuite. La seconde possibilité consiste à introduire une poursuite (réquisition de poursuite, commandement de payer) et, en cas d'opposition du débiteur, à requérir la mainlevée de l'opposition, procédure au cours de laquelle le juge de la mainlevée se prononcera à titre incident sur le caractère exécutoire de la décision étrangère (décision d'exequatur prononcée à titre incident; <ref-law>); s'il la déclare exécutoire, ce magistrat lèvera alors l'opposition au commandement de payer (<ref-ruling> consid. 1.3.2; <ref-ruling> consid. 3.2 et 3.3; arrêts 5A_162/2009 du 15 mai 2009 consid. 6.1; 5A_79/2008 du 6 août 2008 consid. 4.1, publié in AJP 2009 p. 660).
Dans l'un et l'autre cas, le juge de la mainlevée examine si la décision étrangère doit être déclarée exécutoire parce qu'elle remplit les conditions de la CL 1988. En effet, même si la déclaration d'exécution est prononcée à titre incident dans une procédure de mainlevée soumise formellement aux règles de la LP, il n'en demeure pas moins que les conditions matérielles de cette déclaration, notamment l'existence d'une décision (art. 25 CL 1988) et son caractère exécutoire (art. 31 al. 1 CL 1988; cf. infra consid. 6.2), doivent être les mêmes que dans une procédure d'exequatur indépendante (DANIEL STAEHELIN, in Kommentar zum Lugano-Übereinkommen (LugÜ), 2008, n°15 ad art. 34 CL 1988; WALTER A. STOFFEL, Das Verfahren zur Anerkennung handelsrechtlicher Entscheide nach dem Lugano-Übereinkommen, in RSDA 3/1993 p. 107 ss [115]; cf. aussi, arrêt 5P.253/2001 du 13 septembre 2001 consid. 2b). C'est pourquoi, le juge de la mainlevée qui a déclaré exécutoire à titre incident une décision étrangère n'a plus à examiner, ensuite, si les conditions posées à l'<ref-law> sont remplies. Des règles de procédure suisses ne sont applicables que si elles ne portent pas atteinte à l'effet utile de la convention. Dans l'<ref-ruling> consid. 3a, le Tribunal fédéral avait certes déclaré que, lorsque l'exequatur d'un jugement étranger portant condamnation pécuniaire est requis dans la procédure de mainlevée définitive de l'opposition, "les dispositions de la Convention de Lugano relatives à l'exécution (art. 31 ss) ne sont pas applicables", mais il statuait alors sur recours de droit public et a donc seulement estimé que cette thèse de l'autorité cantonale n'était pas arbitraire (art. 9 Cst.; cf. dans ce sens, IVO SCHWANDER, in PJA 2009 p. 655 [660]).
En conséquence, seule la mise en ?uvre de l'exécution proprement dite de la décision dans l'Etat requis, qui fait suite à la déclaration constatant la force exécutoire de celle-ci, relève du droit national de cet Etat, à savoir, en droit suisse, de la LP (cf. ANDREAS BUCHER, in Commentaire romand, Loi sur le droit international privé, Convention de Lugano, 2011, n°6 ad art. 38 CL 2007 et les références; DANIEL STAEHELIN/LUKAS BOPP, in Lugano-Übereinkommen (LugÜ), 2ème éd., 2011, n°4 et 6 ad art. 38 CL 2007).
Invité à statuer sur l'exequatur à titre incident, le juge de la mainlevée le fait dans les motifs de son jugement; il n'a pas à se prononcer sur cette question dans le dispositif de celui-ci, même si le poursuivant a pris des conclusions formelles à ce sujet (en général, cf. <ref-ruling> consid. 3.2; FABIENNE HOHL, Procédure civile, tome I, 2001, n°209; en lien avec la CL, cf. STAEHELIN, op. cit., n°14 ad art. 34 CL 1988).
6.2 La déclaration d'exécution de l'art. 31 CL 1998 ne peut avoir pour objet qu'une décision qui est exécutoire.
6.2.1 La notion de décision découle de l'art. 25 CL 1988. Il s'agit d'un acte émanant d'un organe juridictionnel appartenant à un Etat contractant et statuant de sa propre autonomie sur des points litigieux entre les parties (CJCE 02.06.1994, C-414/92, Solo Kleinmotoren, Rec. 1994 I 2237 n° 17, RSDIE 1995 p. 341). Elle doit être interprétée de façon autonome (FRIDOLIN WALTHER, in Kommentar zum Lugano-Übereinkommen (LugÜ), 2008, n°14 ad art. 25 CL 1988 et les références).
6.2.2 Pour que l'exequatur soit prononcé, et par suite la mainlevée définitive, il suffit que la décision soit exécutoire dans l'Etat d'origine (art. 31 CL 1988: "qui y sont exécutoires"); elle n'a pas besoin d'être définitive (arrêts 5P.435/2006 du 23 mars 2007 consid. 5 et les références; 5P.253/2001 du 13 septembre 2001 consid. 2b; cf. aussi DIETER A. HOFMANN/OLIVER M. KUNZ, in Basler Kommentar, LugÜ, 2011, n°130 ss ad. art. 38 CL 2007 et les références; BERNARD DUTOIT, Guide pratique de la compétence des tribunaux et de l'exécution des jugements en Europe [FJS], 2007, n°264 et les références).
6.2.3 Le caractère exécutoire de la décision se détermine selon les règles de l'Etat d'origine (<ref-ruling> consid. 3.1.3; <ref-ruling> consid. 2a; arrêt 5P.435/2006 du 23 mars 2007 consid. 5; cf. aussi HOFMANN/KUNZ, op. cit., n°116 ad. art. 38 CL 2007 et les références; KROPHOLLER/VON HEIN, op. cit., n°7 ad art. 38 EuGVO). Il peut découler directement de la loi de cet Etat, de la décision elle-même ou d'une attestation postérieure au jugement (<ref-ruling> consid. 3.1.3; <ref-ruling> consid. 4a).
Le juge suisse de l'exequatur peut devoir interpréter et concrétiser le dispositif de la décision étrangère afin que celle-ci produise les mêmes effets qu'un titre exécutoire rendu par une juridiction suisse (BUCHER, op. cit. n°6 ad art. 42 CL 2007; HOFMANN/KUNZ, op. cit. n°162 s. ad art. 38 CL 2007; KROPHOLLER/VON HEIN, op. cit., n°12 ad art. 38 EuGVO; STAEHELIN, op. cit., n°23 ad art. 31 CL 1988). En revanche, il ne peut pas modifier le contenu de la décision. L'effet utile de la CL impose que tout manque de clarté ou dérogation à des conceptions nationales ne conduise pas le juge à refuser l'exequatur (HOFMANN/KUNZ, op. cit. n°153 ad art. 38 CL 2007). Ce n'est que si, même en l'interprétant, il ne parvient pas à concrétiser suffisamment la décision pour que celle-ci puisse être exécutée que le juge de la mainlevée doit le refuser (HOFMANN/KUNZ, op. cit. n°152 et 179 s. ad art. 38 CL 2007; KROPHOLLER/VON HEIN, op. cit., n°13 et 16 ad art. 38 EuGVO; MATHIAS PLUTSCHOW, in Lugano-Übereinkommen (LugÜ) zum internationalen Zivilverfahrensrecht (DIKE), 2011, n°41 ad art. 38 CL 2007).
6.3 En l'espèce, le dispositif de la décision du 20 mai 2009 dit qu'il n'y a pas lieu de statuer sur la demande de restitution de la somme versée en exécution du jugement de première instance. Dans ses motifs, et alors que l'intimée avait pris des conclusions en remboursement de cette somme, la Cour d'appel de Paris a toutefois précisé que sa décision constituait le titre ouvrant droit à restitution. Au vu de ces éléments, l'autorité cantonale a retenu que cette décision n'était pas constatatoire mais emportait concrètement condamnation de la recourante à restituer à l'intimée les sommes versées en exécution du jugement de première instance; cette interprétation revient à admettre, en substance, qu'en droit français, l'obligation de rembourser des sommes versées en vertu d'une décision de première instance assortie de l'exécution provisoire résulte de plein droit de la réforme de cette décision en appel.
Dans son argumentation, la recourante ne s'en prend tout d'abord pas à cette interprétation du droit étranger; a fortiori, elle n'en démontre pas le caractère arbitraire (cf. supra consid. 2.1 2ème par.). Ensuite, elle admet que la décision française est exécutoire, se bornant à prétendre que celle-ci n'est pas définitive. Enfin, s'agissant de l'exception de droit matériel de l'<ref-law>, non seulement la recourante fonde son grief sur le droit suisse alors que le contrat est soumis au droit français, mais elle perd aussi de vue que la procédure en cause tend à faire exécuter la prétention telle que fixée dans la décision française, et non dans le contrat. Or, l'exécution de cet arrêt n'est pas soumise à la condition que le cheval soit livré; la recourante ne peut donc pas se prévaloir de cette exception pour refuser de restituer le montant dû à l'intimée.
Au vu de ce qui précède, les griefs de la recourante doivent être écartés, pour autant que recevables, et le recours rejeté par substitution des motifs qui précèdent.
7. En conclusion, le recours constitutionnel subsidiaire doit être déclaré irrecevable et le recours en matière civile rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, aux frais de son auteur (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens, l'intimée n'ayant pas été invitée à répondre au recours.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière civile est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
3. Les frais de justice, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 12 juillet 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Achtari