Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 3. Juli 2012 setzte die IV-Stelle des Kantons Zürich Rechtsanwältin S._ mit Wirkung ab 22. Oktober 2010 bis zum Erlass der materiellen Verwaltungsverfügung als unentgeltliche Rechtsbeiständin von G._ im invalidenversicherungsrechtlichen Verwaltungsverfahren ein. Die Höhe der Entschädigung legte sie unter Berücksichtigung eines Aufwandes von 6,5 Stunden à Fr. 200.-, zuzüglich Kleinspesenpauschale von 3 % und 8 % MWST, auf Fr. 1'446.10 fest.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 12. März 2013 teilweise gut und verpflichtete die IV-Stelle, S._ eine Entschädigung von Fr. 3'044.70 zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 1). Eine Prozessentschädigung vor kantonaler Instanz sprach es ihr nicht zu (Dispositiv-Ziffer 3).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt S._, Dispositiv-Ziffer 3 des kantonalen Entscheides sei auf-zuheben. Die Vorinstanz sei zu verpflichten, ihr eine angemessene, ungekürzte Prozessentschädigung für das Verfahren vor Sozialversicherungsgericht zuzusprechen. Bei der Bemessung der Prozessentschädigung sei vom gerichtsüblichen Stundenansatz von Fr. 200.- auszugehen; die Prozessentschädigung solle dem Aufwand angemessen sein und der Streitwert sei bei der Bemessung nicht zu berücksichtigen.
Vorinstanz, IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Strittig und zu prüfen ist der Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Parteientschädigung im vorinstanzlichen Verfahren. Gegenstand dieses Verfahrens war die Höhe der der Beschwerdeführerin in ihrer Eigenschaft als unentgeltliche Rechtsbeiständin im Verwaltungsverfahren der Invalidenversicherung auszurichtenden Entschädigung.
2.
Die Vorinstanz begründete die Verweigerung der Prozessentschädigung im kantonalen Verfahren damit, nach der Rechtsprechung habe eine in eigener Sache prozessierende Partei grundsätzlich keinen Anspruch auf Parteienschädigung. Besondere Umstände, welche ein Abweichen von dieser Regel rechtfertigten, seien hier nicht gegeben (vorinstanzliche E. 5.2).
3.
Die Verweigerung einer Prozessentschädigung unter den vorliegend gegebenen Umständen verstösst gegen das Willkürverbot (Art. 9 BV). Wie sich die Beschwerdeführerin mit Recht darauf beruft, hat das Bundesgericht bereits mit Urteil 9C_334/2012 vom 30. Juli 2012, in welchem ebenfalls das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Vorinstanz war, entschieden, dass zwar nach der Rechtsprechung eine in eigener Sache prozessierende Partei grundsätzlich keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung habe. Macht allerdings der um sein Honorar streitende unentgeltliche Rechtsvertreter den Anspruch auf eine Entschädigung für die Erfüllung einer Aufgabe geltend, die er im Rahmen eines öffentlich-rechtlichen Auftragsverhältnisses wahrnimmt, steht ihm sowohl im bundesgerichtlichen als auch im kantonalen Beschwerdeverfahren, im Rahmen des erforderlichen Aufwandes und des Obsiegens, eine Parteientschädigung zu. Würde die Beschwerdeführerin für ihren Aufwand im Rechtsmittelverfahren, das zur Erlangung der ihr von der Vorinstanz zugesprochenen Erhöhung des Honorars notwendig war, überhaupt nicht entschädigt, würde nämlich das ihr für die Tätigkeit als unentgeltliche Rechtsanwältin unbestrittenermassen zustehende Honorar faktisch geschmälert (a.a.O., E. 3).
4.
Die Rüge ist darum begründet und damit die Beschwerde gutzuheissen. Dispositiv-Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids ist aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie wird der vor ihr obsiegenden Beschwerdeführerin eine angemessene Prozessentschädigung zusprechen. Für deren Bemessung wird sie vom gerichtsüblichen Stundenansatz ausgehen und sie nach dem angemessenen Aufwand (ohne Berücksichtigung eines Streitwertes) festlegen.
5.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Zürich hat der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 4 S. 342).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Dispositiv-Ziffer 3 des Entscheides des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 12. März 2013 wird aufgehoben. Die Sache wird an das Sozialversicherungsgericht zurückgewiesen, damit es über den Anspruch auf Parteienschädigung im Sinne der Erwägungen neu entscheide.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Juli 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Schmutz