Sachverhalt:
A.
A._ (Vater) und B._ (Mutter) sind die Eltern der Kinder C._ (geb. 1995) und D._ (geb. 1998). Mit Scheidungsurteil vom 10. November 1999 wurden die Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt.
B.
B.a. Mit Schreiben vom 24. Januar 2010 gelangte der Vater an die Vormundschaftsbehörde Gommiswald-Ernetschwil-Rieden. Er beklagte sich über das nicht oder nur sehr schlecht funktionierende Besuchsrecht und äusserte den Wunsch, dass das Amt die Angelegenheit an die Hand nehme, damit die Besuche mit seinen Kindern wieder stattfänden. Nachdem die ganze Familie angehört worden war, entschied die Vormundschaftsbehörde am 6. Dezember 2010, dass keine weiteren Bemühungen zur Kontaktaufnahme zwischen Vater und Kindern in die Wege geleitet würden und auf die Anordnung vormundschaftlicher Massnahmen verzichtet werde. In Bezug auf das Auskunftsrecht wies sie den Vater darauf hin, dass er gemäss <ref-law> das Recht habe, bei Drittpersonen (Lehrern/Ärzten usw.) Auskünfte über den Zustand und die Entwicklung der Kinder einzuholen, und zwar in gleicher Weise wie die Inhaberin der elterlichen Sorge.
B.b. Gegen diesen Beschluss der Vormundschaftsbehörde erhob der Vater am 17. Dezember 2010 Beschwerde beim Departement des Innern des Kantons St. Gallen, welches die Beschwerde mit Entscheid vom 8. August 2011 abwies.
B.c. Der Vater zog den Entscheid des Departements mit Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen weiter. Das Kantonsgericht hob den angefochtenen Entscheid am 7. Januar 2012 wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs auf und wies die Angelegenheit in Bezug auf das Informations- und Auskunftsrecht zur neuen Beurteilung an das Departement zurück.
B.d. Das Departement übermittelte am 20. März 2012 das Begehren des Vaters um Information und Auskunft nach <ref-law> an die Vormundschaftsbehörde See-Linth mit dem Auftrag Abklärungen zu treffen, weshalb der Informations- und Auskunftsanspruch des Vaters bis anhin scheinbar nicht habe umgesetzt werden können.
B.e. Am 8. August 2012 verfügte die Vormundschaftsbehörde nach Anhörung der Parteien, dass auf ergänzende Anordnungen zum Recht auf Information und Auskunft betreffend C._ und D._ verzichtet werde. Sie begründete ihren Beschluss im Wesentlichen damit, dass die Mutter den Vater zukünftig über wesentliche Belange der Kinder, insbesondere über Schule/Ausbildung und grössere medizinische Eingriffe, unaufgefordert informieren werde. Mit dem ihm am 4. Mai 2012 ausgestellten Legitimationspapier könne sich der Vater die notwendigen Informationen bei den betreuenden Drittpersonen selber beschaffen. Zusätzliche Massnahmen zur Durchsetzung der Minimalinformation zu medizinischen Eingriffen, gesundheitlichen, schulischen und ausbildungsmässigen Ereignissen seien daher ungeeignet.
B.f. Gegen diese Verfügung erhob der Vater mit Eingabe vom 27. August 2012 Beschwerde beim Departement. Er beantragte, die Verfügung der Vormundschaftsbehörde sei aufzuheben und diese sei anzuweisen, kindsbezogene Informationen im Sinne seiner Ausführungen sicherzustellen; unter Kosten- und Entschädigungsfolge.
B.g. Mit Inkrafttreten des neuen Kindes- und Erwachsenenschutzrechts am 1. Januar 2013 wurde das Verfahren zuständigkeitshalber vom Departement an die Verwaltungsrekurskommission überwiesen. Diese wies am 11. Juli 2013 die Beschwerde des Vaters ab, soweit es auf diese eintrat. Entsprechend wurden die amtlichen Kosten dem Vater auferlegt.
C.
C.a. Gegen den Entscheid der Verwaltungsrekurskommission reichte der Vater am 9. August 2013 beim Kantonsgericht St. Gallen Beschwerde ein. Er beantragte einerseits die Richtigstellung der Fakten im obengenannten Entscheid und andererseits die Sicherstellung der kindsbezogenen Informationen und damit die Aufhebung des Entscheids der Verwaltungsrekurskommission vom 11. Juli 2013.
C.b. Die Mutter äusserte sich unter Verweisung auf ihr Schreiben vom 16. März 2013 nicht zur Beschwerde des Vaters. Danach habe sie sich entschieden, auf Briefe des Vaters oder seines Rechtsanwalts nicht mehr zu antworten.
C.c. Das Kantonsgericht hiess die Beschwerde des Vaters am 11. März 2014 insofern gut, als es Ziffer 1 des Entscheids der Verwaltungsrekurskommission aufhob und die Mutter ausdrücklich verpflichtete, den Vater über besondere Ereignisse im Leben von D._ zu informieren, namentlich im Zusammenhang mit der Schule, der Berufswahl, medizinischen Ereignissen und speziellen Veranstaltungen. Dabei ermahnte es den Vater jedoch im Sinne der Erwägungen, alles zu unterlassen, was die Erziehungsaufgabe der Mutter erschwere. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit auf sie einzutreten war. Das Kantonsgericht auferlegte die Entscheidgebühr von Fr. 2'000.-- zu drei Vierteln dem Vater und zu einem Viertel der Mutter.
D.
Der Vater (Beschwerdeführer) gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 11. April 2014 an das Bundesgericht. Er beantragt, den Kostenentscheid des Kantonsgerichts aufzuheben. Die Entscheidgebühr von Fr. 2'000.-- sei zu drei Vierteln auf die Staatskasse zu nehmen und zu einem Viertel von der Mutter (Beschwerdegegnerin) zu bezahlen. Eventualiter sei die Entscheidgebühr von Fr. 2'000.-- der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Subeventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an das Kantonsgericht zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über das Informations- und Auskunftsrecht des nicht sorgeberechtigten Elternteils nach <ref-law>, mithin eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, 75 Abs. 1 und 90 BGG). Damit erweist sich die vorliegende, einzig gegen den Kostenentscheid gerichtete Beschwerde als grundsätzlich zulässig (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 48). Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.2. In rechtlicher Hinsicht sind alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig und das Bundesgericht wendet in diesem Bereich das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), was heisst, dass es behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) mit freier Kognition prüft. Für Verfassungsverletzungen (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht) gilt allerdings das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.
Das Kantonsgericht hat die Prozesskosten von Fr. 2'000.-- den Parteien gemäss <ref-law> nach Massgabe ihres Obsiegens und Unterliegens auferlegt. Es hat erwogen, der Beschwerdeführer sei mit seinem Rechtsbegehren insoweit durchgedrungen, als es die Beschwerdegegnerin verpflichtet habe, ihn in Bezug auf seine Tochter zu informieren. Dabei berücksichtigte es jedoch, dass eine eigentliche "Sicherstellung der kindsbezogenen Informationen" mangels weitergehender Konkretisierung der Anträge nicht angeordnet wurde und die Beschwerdegegnerin teilweise bzw. am Schluss vollumfänglich das grundsätzliche Informationsrecht des Beschwerdeführers bereits anerkannt hatte. Auch sei der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit der Informationspflicht der Beschwerdegegnerin zu ermahnen, alles zu unterlassen was die Erziehungsarbeit der Beschwerdegegnerin erschwert, und könne auf sein Rechtsbegehren, die Fakten im Entscheid der Verwaltungsrekurskommission richtigzustellen, nicht eingetreten werden. Diesen Umständen hat das Kantonsgericht dadurch Rechnung getragen, dass es die Gerichtskosten zu drei Vierteln dem Beschwerdeführer und zu einem Viertel der Beschwerdegegnerin auferlegt hat.
3.
Der Beschwerdeführer erblickt darin eine Verletzung von <ref-law>. Zur Begründung macht er im Wesentlichen geltend, er habe sich im vorinstanzlichen Verfahren durchgesetzt und sei keineswegs zu drei Vierteln unterlegen. Verdeutlicht werde dies durch das Dispositiv des angefochtenen Entscheids. Die "Fakten" habe die Vorinstanz im Sinne des Beschwerdeführers richtiggestellt und es sei deshalb Ziffer 1 seines als Laie gestellten Antrags nicht nur inhaltlich, sondern auch im Dispositiv mit Aufhebung des Entscheids der Verwaltungsrekurskommission entsprochen worden. Der untergeordnete Aspekt der "Sicherstellung" des gutgeheissenen, die Hauptsache darstellenden, Anspruchs auf Auskunft und Information begründe kein Unterliegen im Umfang von drei Vierteln, zumal eine Ermahnung der Beschwerdegegnerin zur Sicherstellung der Informationspflicht ohne weiteres möglich gewesen wäre. Den Umstand der (späten) Klageanerkennung zugunsten der Beschwerdegegnerin zu werten, sei rechtsverletzend. Vielmehr gelte gemäss <ref-law> als unterliegend, wer die Klage anerkenne. Darüber hinaus sei in einer Gesamtsicht zu konstatieren, dass der Kostenentscheid der Vorinstanz offensichtlich unbillig sei. Nach Jahren des Prozessierens als Laie habe er endlich den gutheissenden Entscheid erhalten, dass sein Recht gemäss <ref-law> in Bezug auf beide Kinder von der Beschwerdegegnerin lange Zeit verletzt worden sei und sie erst unter dem Druck des von ihm eingeleiteten Verfahrens nachgegeben habe. Unter diesen Umständen den Beschwerdeführer trotzdem zu drei Vierteln als unterliegende Partei zu bezeichnen und ihn damit kostenpflichtig zu machen, erweise sich in stossender Weise als ungerecht.
4.
4.1. Die Vorinstanz hat infolge des Verweises in <ref-law> i.V.m. Art. 11 lit. b des St. Gallischen Einführungsgesetzes vom 24. April 2012 zur Bundesgesetzgebung über Kindes- und Erwachsenenschutz (sGS 912.5) <ref-law> als ergänzendes (kantonales) Recht angewendet (vgl. Urteile 5A_877/2013 vom 10. Februar 2014 E. 2.2, in: SZZP 2014 S. 255; 5A_379/2014 vom 4. Juli 2014 E. 1). Ob der angefochtene Entscheid kantonales Recht verletzt, prüft das Bundesgericht nur auf Willkür hin (<ref-law>; vgl. zum Begriff: <ref-ruling> E. 4.2 S. 560) und nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (s. vorne E. 1.2). Gemäss <ref-law> hat grundsätzlich die unterliegende Partei für die Prozesskosten aufzukommen. Obsiegt keine Partei vollständig, sind die Prozesskosten nach dem Ausgang des Verfahrens zu verteilen (<ref-law>). Bei nicht vermögensrechtlichen Streitigkeiten hat die urteilende Instanz das Ausmass des Obsiegens nach Ermessen festzulegen ( ADRIAN URWYLER, in: Schweizerische Zivilprozessordnung, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2011, N. 5 zu <ref-law>; DENIS TAPPY, in: Code de procédure civile commenté, 2011, N. 34 zu <ref-law>; HANS SCHMID, in: ZPO, Oberhammer/Domej/Haas [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 2 zu <ref-law>; vgl. auch Urteil 5D_229/2011 vom 16. April 2012 E. 3.2).
4.2. Soweit in den Vorbringen des Beschwerdeführers eine formell ausreichende Willkürrüge erblickt werden kann, erweist sie sich als unbegründet. Es erscheint sachlich vertretbar und jedenfalls nicht willkürlich, beim Kostenentscheid zu berücksichtigen, dass es gemäss Rechtsbegehren des Beschwerdeführers im vorinstanzlichen Verfahren einzig noch um die Frage der "Sicherstellung der kindsbezogenen Informationen" ging und eine eigentliche Sicherstellung letztlich nicht erfolgt ist. Ebenso durfte das Kantonsgericht willkürfrei zu Gunsten der Beschwerdegegnerin in die Waagschale legen, dass sie das Informationsrecht des Beschwerdeführers bereits teilweise bzw. am Schluss vollumfänglich anerkannt hatte. Der Einwand des Beschwerdeführers, dass gemäss <ref-law> als unterliegend gelte, wer die Klage anerkenne, ist unbehelflich, betrifft er doch die Frage der Kostenverteilung im Verfahren vor der Verwaltungsrekurskommission. Diese aber hat das Kantonsgericht aufgrund des fehlenden Antrags nicht überprüft, was der Beschwerdeführer nicht rügt und nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens ist. Dass es willkürlich gewesen sein soll, dass das Kantonsgericht die Verteilung der Kosten auch mit der notwendig gewordenen Ermahnung begründet hat, wird vom Beschwerdeführer zu Recht nicht behauptet. An der Sache vorbei gehen schliesslich seine Ausführungen zur inzwischen eingetretenen Volljährigkeit des Sohnes. Das Kantonsgericht hat zwar das Informationsbegehren des Beschwerdeführers in Bezug auf seinen Sohn aus diesem Grund nicht mehr behandelt. Aus dem angefochtenen Entscheid geht jedoch nicht hervor, dass es dem Umstand der erst im Laufe des Verfahrens eingetretenen Volljährigkeit des Sohnes bei seinem Kostenentscheid eine Bedeutung beigemessen hat. Vorliegend erscheint es nach dem Gesagten nicht unbillig, dass das Kantonsgericht den Beschwerdeführer zu drei Vierteln an den Kosten beteiligt hat. Damit trägt er den Hauptteil, nicht aber die Gesamtheit der Kosten. Wenn auch eine Halbierung der Kosten vorstellbar gewesen wäre, kann der Vorinstanz keine willkürliche Anwendung von <ref-law> vorgeworfen werden. Im Übrigen ist nicht ersichtlich, weshalb der Kanton die Kosten mittragen sollte, sind doch die gesetzlichen Voraussetzungen dafür weder dargelegt noch belegt (vgl. <ref-law>).
5.
Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Gegenpartei ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. August 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Buss