Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Maloja fällte in einem Zivilprozess zwischen der X._ AG (Beschwerdegegnerin) als Klägerin und A._ (Beschwerdeführerin) als Beklagter am 13. November 2012 den Endentscheid. Darin verpflichtete es die Beschwerdeführerin in teilweiser Gutheissung der Klage, der Beschwerdegegnerin Fr. 284'976.10 nebst Zins von 5 % auf Fr. 83'572.50 seit dem 27. November 2010 sowie Fr. 6'132.10 nebst Zins zu 5 % seit dem 17. Dezember 2010 zu bezahlen.
Gegen diesen Entscheid erhoben die Beschwerdeführerin Berufung und die Beschwerdegegnerin Anschlussberufung beim Kantonsgericht von Graubünden.
Mit prozessleitender Verfügung vom 8. Mai 2013 wurden der Beschwerdeführerin die Berufungsantwort und die Anschlussberufung der Beschwerdegegnerin zugestellt und Gelegenheit eingeräumt, innert 30 Tagen seit Inempfangnahme der Verfügung eine Anschlussberufungsantwort einzureichen.
Am 7. Juni 2013 reichte die Beschwerdeführerin die Anschlussberufungsantwort ein und stellte den Antrag, einen zweiten Schriftenwechsel anzuordnen und ihr Frist für die Einreichung einer Replik auf die Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin anzusetzen.
Mit Verfügung vom 13. Juni 2013 wies der Vorsitzende der II. Zivilkammer des Kantonsgerichts den Verfahrensantrag auf Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels für das Berufungsverfahren ab (Ziff. 1). Ferner stellte er der Beschwerdegegnerin die Anschlussberufungsantwort zur Kenntnis zu und hielt fest, es sei auch für das Anschlussberufungsverfahren kein weiterer Schriftenwechsel vorgesehen (Ziff. 2). Eine mündliche Verhandlung sei weder für das Berufungs- noch für das Anschlussberufungsverfahren vorgesehen (Ziff. 3).
B.
Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, die Verfügung des Kantonsgerichts vom 14. (recte: 13.) Juni 2013 aufzuheben und das Kantonsgericht anzuweisen, einen zweiten Schriftenwechsel anzuordnen. Eventualiter sei eine Replik anlässlich eines mündlichen Parteivortrags zu gewähren.
Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz beantragen, die Beschwerde abzuweisen, sofern darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
2.
Angefochten ist ein Zwischenentscheid des Kantonsgerichts, mit dem die Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels für das Berufungsverfahren verweigert wurde.
Ist wie vorliegend ein oberes Gericht mit einem Rechtsmittelverfahren befasst und fällt es in diesem Rahmen einen Zwischenentscheid, so steht die Beschwerde an das Bundesgericht unter dem Gesichtspunkt der Letztinstanzlichkeit im Sinne von <ref-law> offen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 43; <ref-ruling> E. 2.2).
Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde gemäss <ref-law> - von der hier ausser Betracht fallenden alternativen Voraussetzung nach Abs. 1 lit. b abgesehen - nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Abs. 1 lit. a). Dabei muss es sich um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Entscheid in der Zukunft nicht mehr behoben werden kann (<ref-ruling> E. 1.1 S. 328; <ref-ruling> E. 3.1 S. 87 mit weiteren Hinweisen). Rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung reichen nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.1; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 170). Der Beschwerdeführer hat im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Voraussetzungen nach <ref-law> erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht eingetreten wird (vgl. <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 1.2 S. 429).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung bewirken Anordnungen betreffend die Beweisführung in aller Regel keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil, da es normalerweise möglich ist, mit einer Anfechtung des Endentscheids die zu Unrecht verweigerte Beweiserhebung zu erreichen (Urteile 5A_315/2012 vom 28. August 2012 E. 1.2.1; 4A_269/2011 vom 10. November 2011 E. 1.3; 4A_195/2010 vom 8. Juni 2010 E. 1.1.1). Entsprechendes gilt für prozessleitende Verfügungen im Rahmen des Schriftenwechsels, kann doch eine allfällige Verletzung des rechtlichen Gehörs durch Anfechtung des Endentscheids behoben werden (Urteil 2C_599/2007 vom 5. Dezember 2007 E. 2.2; vgl. auch Urteil 5D_72/2009 vom 9. Juli 2009 E. 1.2). Demnach ist mit der Ablehnung eines zweiten Schriftenwechsels kein nicht wieder gutzumachender Nachteil rechtlicher Natur verbunden.
Gründe der Verfahrensökonomie, die dafür sprechen könnten, eine allfällige Verletzung des Gehörsanspruchs der Beschwerdeführerin durch Verweigerung des Replikrechts (vgl. dazu <ref-ruling>) bereits im jetzigen Verfahrensstadium noch vor Ergehen des Endentscheids zu korrigieren, genügen für die Begründung eines Nachteils im Sinne von <ref-law> nicht. Ohnehin steht nach der angefochtenen Verfügung des Vorsitzenden, der bloss informativ festhält, eine mündliche Verhandlung sei nicht vorgesehen, noch nicht fest, dass das Kantonsgericht den Fall nicht doch an einer mündlichen Verhandlung beurteilen wird, anlässlich derer die Beschwerdeführerin replizieren könnte (vgl. <ref-law>).
Die Voraussetzung für die Anfechtung eines Zwischenentscheids nach <ref-law> ist nicht erfüllt. Die Beschwerde erweist sich demnach als unzulässig, und es ist nicht auf sie einzutreten.
3.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Oktober 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz