Fatti:
A. In data 13 settembre 1997 D._, nato l'11 agosto 1942, all'epoca dei fatti alle dipendenze dell'Hotel X._ in qualità di cameriere, e in quanto tale assicurato d'obbligo contro gli infortuni presso la SWICA Assicurazioni SA, è rimasto vittima di un incidente della circolazione, a seguito del quale ha in particolare riportato un "colpo di frusta" cervicale.
Dopo avere assunto il caso e aver versato le prestazioni di legge, la SWICA, mediante decisione del 7 dicembre 2005, ha comunicato la chiusura del medesimo e ha riconosciuto all'assicurato una rendita complementare di invalidità, sulla base di un grado di inabilità lavorativa del 70%, nonché una indennità per menomazione dell'integrità del 45% con effetto dal 1° agosto 2001.
Nell'ambito di una procedura di revisione, la SWICA ha soppresso, per provvedimento del 21 luglio 2009, il diritto alla rendita con effetto dal 1° luglio precedente, ritenendo che l'assicurato aveva recuperato la piena capacità lavorativa a partire da tale data. Con decisione su opposizione del 13 aprile 2011 l'assicuratore infortuni ha confermato la propria posizione.
B. Patrocinato dall'avv. Sergio Sciuchetti, D._ si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, il quale, statuendo per giudice unico, ha accolto il ricorso, annullando la decisione del 13 aprile 2011 e ripristinando, dal 1° luglio 2009, il diritto alla rendita complementare di invalidità. Nel contempo ha pure fatto obbligo all'assicuratore infortuni di versare all'insorgente fr. 1'800.- a titolo di ripetibili (pronuncia dell'8 settembre 2011). Sopprimendo la rendita spettante all'assicurato, ha concluso il giudice cantonale, la resistente avrebbe violato l'<ref-law>, giusta il quale la prestazione stessa non può più essere riveduta dal mese in cui gli uomini compiono 65 anni.
C. Patrocinata dall'avv. Bruno Notari, la SWICA ha presentato un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, al quale, protestate spese e ripetibili, chiede di annullare il giudizio cantonale e di rinviare gli atti alla precedente istanza perché abbia ad istruire la pratica ed a pronunciarsi nuovamente sul gravame interposto dall'assicurato avverso la decisione del 13 aprile 2011. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi.
Sempre assistito dall'avv. Sciuchetti, l'assicurato, protestate spese e ripetibili, propone la reiezione del gravame. Non sono state chieste osservazioni all'Ufficio federale della sanità pubblica.

Diritto:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto (<ref-law>; cfr. tuttavia l'eccezione del cpv. 2) e non è pertanto vincolato né agli argomenti sollevati nel ricorso né ai motivi addotti dall'autorità precedente.
2. Giusta l'<ref-law>, se il grado d'invalidità del beneficiario della rendita subisce una notevole modificazione, per il futuro la rendita è aumentata o ridotta proporzionalmente o soppressa, d'ufficio o su richiesta. A norma dell'<ref-law>, in deroga all'<ref-law>, la rendita non può più essere riveduta dal mese in cui gli uomini compiono 65 anni e le donne 62 (su quest'ultimo aspetto, irrilevante nella fattispecie, vedi <ref-ruling>).
3. Unico oggetto del contendere è la questione di sapere se l'assicuratore infortuni ricorrente abbia o meno violato la disposizione dell'<ref-law>.
4. La legge è da interpretare in primo luogo procedendo dalla sua lettera. Ora, come giustamente rilevato dall'assicuratore ricorrente, mentre il testo italiano dell'<ref-law> sancisce che la rendita non può più essere riveduta "dal" mese in cui gli uomini compiono 65 anni, le versioni tedesca e francese della norma parlano chiaramente di "nach dem Monat", rispettivamente "après le mois". La disposizione deve essere quindi intesa nel senso che la rendita spettante ad una persona assicurata di sesso maschile non può più essere riveduta a partire dal mese seguente il compimento dei 65 anni, determinante al riguardo essendo incontestatamente il momento dell'introduzione della procedura di revisione - introduzione che necessariamente deve essere stata comunicata al beneficiario della prestazione - e non già quello della resa della rispettiva decisione, che può avvenire ulteriormente (<ref-ruling> consid. 2 pag. 31; Maurer, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, Berna 1985, pag. 393; Ghélew/Ramelet/Ritter, Commentaire de la loi sur l'assurance-accidents, pag. 116). Nulla in senso contrario emerge comunque dai lavori preparatori, segnatamente dal Messaggio 18 agosto 1976 del Consiglio federale sull'assicurazione contro gli infortuni (FF 1976 III 210). Anzi, ci si deve basare sulla fine del mese anche per il fatto che il diritto a una rendita di vecchiaia AVS giusta l'<ref-law>, che sostituisce il reddito decrescente o cessante dell'attività lucrativa, nasce il giorno successivo, venendo meno quindi la possibilità di comparare i redditi in materia di rendite d'invalidità dell'assicurazione contro gli infortuni.
In concreto l'assicurato ha compiuto i 65 anni in data 11 agosto 2007. Ora, risulta dagli atti di causa che la SWICA, mediante scritto del 29 agosto 2007, lo ha sufficientemente informato che la rendita in suo favore sarebbe stata soggetta a revisione in concomitanza con l'assegnazione della rendita AVS (spettantegli a decorrere dal 1° settembre 2007; <ref-law>). Ne segue, che l'insorgente, avendo agito in tempo utile entro i limiti temporali posti dall'<ref-law>, contrariamente al parere della Corte cantonale, non è incorsa in una violazione della disposizione in oggetto.
5. Alla luce delle suesposte considerazioni, il ricorso merita di essere accolto, mentre la pronuncia impugnata deve essere annullata, gli atti essendo rinviati alla precedente istanza affinché esamini se fossero o meno adempiuti in concreto i presupposti materiali per sopprimere la rendita a partire dal 1° luglio 2009, ai sensi dell'<ref-law>.
6. Le spese seguono la soccombenza e sono poste a carico dell'opponente (<ref-law>). L'assicuratore ricorrente non ha per contro diritto al rimborso di spese ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è accolto nel senso che, annullato il giudizio del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino dell'8 settembre 2011, la causa è rinviata all'istanza di primo grado perché proceda a un complemento istruttorio conformemente ai considerandi e renda un nuovo giudizio.
2. Le spese giudiziarie di fr. 750.- sono poste a carico dell'opponente.
3. Non si assegnano ripetibili.
4. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale della sanità pubblica.