Sachverhalt:
A.
In der Betreibung auf Grundpfandverwertung (Nr. xxxx, Betreibungsamt der Stadt Luzern) hiess das Bezirksgericht Luzern als untere kantonale Aufsichtsbehörde nach SchKG das von X._ als Schuldner und Eigentümer eingereichte Gesuch um Neuschätzung des Grundstückes (Art. 9 i.V.m. <ref-law>) am 30. Januar 2013 gut und ernannte den Sachverständigen.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 22. Februar 2013 betreibungsrechtliche Beschwerde, auf welche das Obergericht des Kantons Luzern als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs am 12. April 2013 infolge Verspätung nicht eintrat.
C.
X._ ist mit Eingabe vom 13. Mai 2013 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, auf die Beschwerde einzutreten.
Weiter ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege.
Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Entscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Die vorliegende Beschwerde ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze gegeben (<ref-law>). Der Beschwerdeführer, auf dessen Rechtsmittel infolge Verspätung nicht eingetreten wurde, ist zur Beschwerde in Zivilsachen legitimiert (<ref-law>). Die Beschwerde gegen den letztinstanzlichen Entscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG) ist grundsätzlich zulässig.
1.2. Der angefochtene Entscheid wurde vom Beschwerdeführer innert der siebentägigen (am 26. April 2013 endenden) postalischen Frist nicht abgeholt. Im konkreten Fall erübrigt sich, auf die Vorbringen des Beschwerdeführers einzugehen, mit welchen er die Beschwerdeerhebung am 13. Mai 2013 (Poststempel) bzw. die Rechtzeitigkeit begründet. Auf die Beschwerde kann - wie sich aus dem Folgenden ergibt - aus anderen Gründen nicht eingetreten werden.
1.3. Mit Beschwerde in Zivilsachen kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591). Das Bundesgericht ist an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Zulässig ist einzig die Rüge, dass eine Tatsachenfeststellung auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhe oder eine Tatsache offensichtlich unrichtig festgestellt worden sei (<ref-law>), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
2.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt der Nichteintretensentscheid der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde zufolge verspäteter Beschwerdeführung. Nach Auffassung der Vorinstanz hat die siebentägige postalische Frist zur Abholung des erstinstanzlichen Entscheides am 11. Februar 2013 geendet und ist die Beschwerde vom 22. Februar 2013 verspätet. Der Beschwerdeführer hält demgegenüber fest, er habe die Sendung an jenem Nachmittag zwar abholen wollen; allerdings sei die Poststelle geschlossen und die Abholung sei erst am 12. Februar 2013 möglich gewesen. Die Eingabe sei demnach rechtzeitig.
2.1. Entscheide der Aufsichtsbehörden werden durch eingeschriebene Postsendung (oder andere Empfangsbestätigung) zugestellt (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung gilt (auch im Schuldbetreibungs- und Konkursverfahren; <ref-ruling> E. 1 S. 493) eine eingeschriebene Sendung - unabhängig von der konkreten durch die Post gewährten Abholfrist - immer sieben Tage nach dem erfolglosen Zustellversuch als zugestellt (<ref-ruling> E. 2b S. 35; vgl. entsprechend <ref-law>; Urteil 5A_2/2010 vom 17. März 2010 E. 3.1). Die Voraussetzung zum Eintritt der Zustellfiktion, wonach der Beschwerdeführer (nach seinem Gesuch um Neuschätzung) mit der Zustellung eines Entscheides hatte rechnen müssen (vgl. <ref-ruling> E. 2a/aa S. 34), steht zu Recht nicht in Frage.
2.2. Gestützt auf die Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid begann die zehntägige Beschwerdefrist (<ref-law>) für die Weiterziehung des Entscheides der unteren Aufsichtsbehörde an die obere kantonale Instanz mit rechtswirksamer Eröffnung am 11. Februar 2013 (d.h. am siebten Tag nach erfolglosem Zustellversuch vom 4. Februar 2013 bzw. Hinterlegung der Abholungseinladung im Briefkasten) mit dem 12. Februar 2013 zu laufen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) und endigte am Donnerstag, den 21. Februar 2013. Mit der am 22. Februar 2013 der schweizerischen Post (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) übergebenen Eingabe hat der Beschwerdeführer die Beschwerdefrist nicht gewahrt, und die Beschwerde an die obere kantonale Aufsichtsbehörde erweist sich als verspätet.
2.3. Was der Beschwerdeführer gegen den Eintritt der Zustellfiktion am 11. Februar 2013 vorbringt, ist unbehelflich.
2.3.1. Aus der in den Akten liegenden Sendungsverfolgung der Post geht hervor, dass die Sendung der Erstinstanz am 4. Februar 2013 dem Empfänger zur Abholung auf der Poststelle (6000 Luzern 6 Zürichstrasse) gemeldet, am 5. Februar 2013 auf der Abholstelle bereit lag und - nach Nichtabholung innert sieben Tagen - am 12. Februar 2012 um 7.29 Uhr zur Rücksendung aufgegeben wurde. Aus dem blossen Umstand, dass es ihm nach Ablauf der Abholfrist noch möglich war, die Sendung (am 12. Februar 2013) auf der Poststelle in Empfang zu nehmen, kann der Beschwerdeführer nichts für sich ableiten (E. 2.1). Es besteht kein Anhaltspunkt, dass die siebentägige Abholfrist länger als bis zum 11. Februar 2013 angesetzt worden sei und damit ein Fehler im postalischen Vermerk der Abholfrist vorliege, der wegen besonderer Umstände tatsächlich nicht erkennbar war (vgl. Urteil 2D_37/2010 vom 23. November 2010 E. 3.4).
2.3.2. Sinngemäss weist der Beschwerdeführer darauf hin, dass das Ende der Abholfrist (11. Februar 2013) auf den Fasnachtsmontag und damit auf einen Feiertag gefallen sei. Nach der (in E. 2.1) erwähnten Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 2b S. 35) ist für die Zustellfiktion nicht ausschlaggebend, dass der letzte Tag der siebentägigen Abholfrist auf einen Feiertag fällt. Weitere Erörterungen hierzu erübrigen sich, da der Fasnachtsmontag weder nach Bundesrecht noch kantonalem Recht ein Feiertag ist (vgl. § 76 des GOG/LU vom 10. Mai 2010 mit Hinw. auf <ref-law>).
2.3.3. Der Beschwerdeführer behauptet, die Poststelle in Luzern sei am letzten Tag der siebentägigen Abholfrist - am Montag, den 11. Februar 2013 - wegen der Fasnacht am Nachmittag geschlossen gewesen. Die Beweislast für die Rechtzeitigkeit der Beschwerdeerhebung trägt der Rechtsuchende (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 16; GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. I, 1999, N. 30 zu Art. 32). Der Beschwerdeführer hat in seiner Eingabe vom 22. Februar 2013 an die Vorinstanz mit keinem Wort erwähnt, dass die Abholung innert der siebentägigen Frist nicht möglich gewesen sei. Er legt nicht dar, dass die Vorinstanz in der Eingabe enthaltene rechtserhebliche Vorbringen (Tatsachen und Beweismittel) betreffend die rechtzeitige Beschwerdeführung übergangen habe. Im bundesgerichtlichen Verfahren gelten die Ausführungen des Beschwerdeführers als neu und können nicht berücksichtigt werden, da nicht erst der angefochtene Entscheid zum Vorbringen Anlass gibt (<ref-law>).
2.4. Der Beschwerdeführer legt insgesamt nicht dar, inwiefern die obere kantonale Aufsichtsbehörde gegen die Regeln über die Rechtzeitigkeit der Beschwerdeführung oder andere Bestimmungen des Bundesrechts verstossen habe, wenn sie seine Beschwerde als verspätet erachtet hat und darauf nicht eingetreten ist.
3.
Der Beschwerde ist kein Erfolg beschieden. Es werden keine Gerichtskosten erhoben. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege des anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdeführers wird zufolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird zufolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante