Erwägungen:
1. Die FINMA lehnte am 18. Februar 2011 ein Gesuch um Ausstand von A._, Leiter ihrer Abteilung Krankenversicherungsaufsicht, im (unter anderem) X._ betreffenden Aufsichtsverfahren ab; einer allfälligen Beschwerde entzog es die aufschiebende Wirkung. X._ focht diese Verfügung am 11. März 2011 beim Bundesverwaltungsgericht an, wobei er um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ersuchte. Dieses Gesuch wies der Instruktionsrichter des Bundesverwaltungsgerichts mit Zwischenverfügung vom 22. März 2011 ab.
Dagegen gelangte X._ am 28. März 2011 mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Mit superprovisorischer Verfügung vom 30. März 2011 wies der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung die FINMA an, bis zum Entscheid über das (für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte) Gesuch um aufschiebende Wirkung von den im Rahmen des Aufsichtsverfahrens geplanten Einvernahmen abzusehen oder diese ohne A._ durchzuführen. In einer weiteren, nach Anhörung der Verfahrensbeteiligten erlassenen Verfügung vom 15. April 2011 wurde die FINMA in Gutheissung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung bzw. vorsorgliche Massnahmen angewiesen, bis zum Abschluss des bundesgerichtlichen Verfahrens keine Einvernahmen unter Mitwirkung von A._ durchzuführen.
2. Mit Urteil vom 8. Juni 2011 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde gegen die den Ausstand von A._ verweigernde Verfügung der FINMA vom 18. Februar 2011 ab. Mit Verfügung vom 22. Juni 2011 wurden die Verfahrensbeteiligten eingeladen, sich zur Verfahrenserledigung und zur entsprechenden Kostenregelung zu äussern. Die FINMA beantragt Abschreibung des Verfahrens zufolge Gegenstandslosigkeit unter Kostenfolge zu Lasten des Beschwerdeführers, welchem keine Parteientschädigung auszurichten sei. Der Beschwerdeführer beantragt ebenfalls Abschreibung des Verfahrens, wobei die Kosten der FINMA aufzuerlegen seien und ihm eine Parteientschädigung zuzusprechen sei. Das Bundesverwaltungsgericht hat sich geäussert, ohne einen konkreten Antrag zu stellen.
3. Mit dem Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 8. Juni 2011 ist das dort anhängig gemachte Beschwerdeverfahren betreffend Ausstand abschlossen worden und jegliche für dieses Verfahren angeordnete vorsorgliche Massnahme dahingefallen. Damit ist die vorliegende Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts vom 22. März 2011 gegenstandslos geworden, und das bundesgerichtliche Verfahren ist mit Verfügung des Abteilungspräsidenten abzuschreiben (Art. 32 Abs. 1 und 2 BGG).
Für die Kostenregelung, wofür namentlich die Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes massgeblich ist (vgl. <ref-law> in Verb. mit <ref-law>), verweist der Beschwerdeführer darauf, dass er aufgrund der prozessleitenden Verfügung des Bundesgerichts vom 15. April 2011 faktisch materiell obsiegt habe, weshalb er Anspruch auf eine angemessen Entschädigung habe und ihm keine Kosten aufzuerlegen seien. Indessen lässt sich der Beschwerdeführer nicht ohne weiteres als mutmasslich obsiegende Partei betrachten: Angefochten war eine Zwischenverfügung über vorsorgliche Massnahmen. Mit der Beschwerde gegen solche Entscheide kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Der Beschwerdeschrift vom 28. März 2011 lassen sich bei näherer Betrachtung nicht leicht solche Rügen entnehmen, die spezifischer Geltendmachung und Begründung bedürften (vgl. <ref-law>). In Berücksichtigung aller Umstände rechtfertigt es sich, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG), dem Beschwerdeführer aber keine Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach verfügt der Präsident:
1. Das Verfahren 2C_275/2011 wird abgeschrieben.
2. Es werden keine Kosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3. Diese Verfügung wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juli 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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