Faits:
A.
Le 20 octobre 2009, le Conseil communal de la commune de X._ a adopté la révision générale de son plan d'aménagement local (PAL), à savoir de son plan directeur, de son plan d'affectation des zones et de son règlement communal d'urbanisme. Cette révision a notamment pour objet l'extension de la zone d'activités et de la zone résidentielle à faible densité, ce qui entraînerait une perte en surface d'assolement de plus de trois hectares (entre 19'395 et 19'600 m2 en faveur de la zone d'activités sur des terres agricoles de valeur A et B2 et 17'600 m2 en faveur de la zone résidentielle à faible densité sur des terres agricoles de valeur A).
Par décision du 18 mai 2011, la Direction de l'aménagement, de l'environnement et des constructions du canton de Fribourg (DAEC) a approuvé la révision générale du PAL. Cette décision a été communiquée le même jour à l'Office fédéral du développement territorial (ci-après: l'Office fédéral). Celui-ci a recouru contre la décision du 18 mai 2011 auprès de la IIe Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 9 novembre 2012, le Tribunal cantonal a admis partiellement le recours. Il a annulé la décision du 18 mai 2011 de la DAEC en tant qu'elle concerne la zone résidentielle et l'a confirmée pour le reste. Il a renvoyé la cause à la commune de X._ afin qu'elle "puisse corriger la révision générale de son PAL, en ce sens qu'une part raisonnable des surfaces d'assolement faisant l'objet de l'extension prévue soit mise en zone à bâtir sous la forme de zone résidentielle à moyenne densité". La commune a indiqué qu'elle se soumettait aux considérants du Tribunal cantonal pour l'extension de la zone résidentielle.
B.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, l'Office fédéral demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 9 novembre 2012, de ne pas approuver la révision générale du PAL et d'annuler la décision du Conseil communal de X._ du 20 octobre 2009. Il conclut subsidiairement au renvoi de l'affaire à l'instance compétente afin qu'elle réduise le dimensionnement des zones à bâtir concernées.
Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer. La commune de X._ et la DAEC concluent au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. L'Office fédéral a répliqué.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis.
1.1. L'Office fédéral a la qualité pour recourir (<ref-law> en relation avec l'art. 48 al. 4 de l'ordonnance du 28 juin 2000 sur l'aménagement du territoire [OAT; RS 700.1]).
1.2. Dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire (<ref-law>), le recours en matière de droit public selon les <ref-law> est en principe ouvert.
1.3. La recevabilité du recours en matière de droit public suppose encore que celui-ci soit dirigé contre une décision finale, à savoir une décision mettant fin à la procédure (<ref-law>). Il est également recevable contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (<ref-law>). Les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément sont susceptibles de recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. a et b LTF).
En l'espèce, le Tribunal cantonal a confirmé le PAL révisé s'agissant de l'extension de la zone d'activité et l'a annulé en tant qu'il concerne la zone résidentielle. Il a renvoyé le dossier à la commune afin qu'elle "puisse corriger la révision générale de son PAL, en ce sens qu'une part raisonnable des surfaces d'assolement faisant l'objet de l'extension prévue soit mise en zone à bâtir sous la forme de zone résidentielle à moyenne densité". L'objet du litige porte sur une seule décision d'approbation d'une planification communale. Ainsi, même si la partie de l'arrêt attaqué qui renvoie le dossier à la commune peut être considérée comme une décision incidente, l'arrêt attaqué doit être assimilé à une décision finale tant l'objet de la décision dans ce qu'elle a d'incident est secondaire par rapport à l'essentiel de la décision contestée et tant la marge de manoeuvre laissée à la commune est ténue.
1.4. Les autres conditions de recevabilité sont remplies, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2.
L'Office fédéral soutient que la planification de l'extension de la zone d'activité et de la zone résidentielle n'a pas été examinée à la lumière de l'art. 15 LAT. Il reproche au Tribunal cantonal de ne pas avoir pris en compte de manière adéquate la consommation des surfaces d'assolement dans sa pesée des intérêts en présence (art. 1 al. 1 1ère phrase, al. 2 let. a et d ainsi que art. 3 al. 2 let. a LAT et <ref-law>). Il fait grief à l'instance précédente d'avoir uniquement examiné la conformité du dimensionnement des zones à bâtir au plan directeur cantonal et seulement justifié les intérêts prépondérants pour la mise en zone par la prétendue compatibilité avec les prescriptions de dimensionnement figurant dans le plan directeur cantonal.
2.1. En vertu de l'art. 15 LAT, les zones à bâtir comprennent les terrains propres à la construction qui sont déjà largement bâtis (let. a) ou qui seront probablement nécessaires à la construction dans les quinze ans à venir et seront équipés dans ce laps de temps (let. b).
La création d'une zone à bâtir par le biais d'un plan d'aménagement local est en principe admissible si les buts et les principes de l'aménagement du territoire sont respectés. Parmi les buts et les principes de l'aménagement du territoire figurent l'utilisation mesurée du sol (art. 1 al. 1 LAT), la protection des bases naturelles de la vie, telles que le sol, l'air, l'eau, la forêt et le paysage (art. 1 al. 2 let. a LAT), la garantie des sources d'approvisionnement suffisantes dans le pays (art. 1 al. 2 let. d LAT), ainsi que la préservation du paysage en veillant à réserver à l'agriculture suffisamment de bonnes terres cultivables (art. 3 al. 2 let. a LAT). Les cantons veillent en particulier à ce que les surfaces d'assolement soient classées en zones agricoles; ils indiquent dans leur plan directeur les mesures nécessaires à cet effet (<ref-law>). Les cantons s'assurent que leur part de la surface totale minimale d'assolement soit garantie de façon durable. Si cette part ne peut être garantie hors des zones à bâtir, ils prévoient des zones réservées (art. 27 LAT) pour des territoires non équipés sis dans des zones à bâtir (<ref-law>).
Pour déterminer le besoin en terrain à bâtir, le Tribunal fédéral a admis l'utilisation de la méthode des tendances ( Trendmethode ). Cette méthode compare l'utilisation des terrains à bâtir pratiquée pendant les dix à quinze années précédentes, avec les réserves existantes, en admettant par extrapolation et avec des facteurs de pondération et de correction que le développement pour les quinze prochaines années se déroulera de la même façon (arrêt 1C_35/2011 du 29 août 2011 consid. 2.5; <ref-ruling> consid. 6.2). La jurisprudence a reconnu un intérêt public aux mesures propres à limiter les zones à bâtir surdimensionnées ou à réduire leur étendue (<ref-ruling> consid. 4b p. 307 et les références).
La mesure de planification doit en outre être fondée sur une pesée des intérêts en présence objectivement justifiable (<ref-law>). Les éléments à prendre en compte dans la détermination du besoin en terrains à bâtir sont les suivants: réserve en terrains disponibles dans les zones à bâtir actuelles, utilisation passée et future des terrains à bâtir, développement démographique, développement économique, état et développement du réseau de transports publics, possibilités financières et techniques de la commune en matière d'équipement notamment ( FLÜCKIGER/GRODECKI, in: Commentaire de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire, 2010, ad art. 15 LAT p. 43 et les références citées). Il y a encore lieu de tenir compte du développement supra-communal, régional, voire supra-régional (<ref-ruling> consid. 3b/aa p. 341 s.; arrêt 1C_119/2007 du 13 novembre 2008 consid. 3.2.3, in ZBl 2009 I 315).
2.2. Les autorités en charge de l'aménagement du territoire bénéficient d'une importante liberté d'appréciation dans l'accomplissement de leurs tâches (art. 2 al. 3 LAT) et notamment dans leurs tâches de planification. Cette liberté d'appréciation n'est toutefois pas totale. L'autorité de planification doit en effet se conformer aux buts et aux principes d'aménagement du territoire tels qu'ils résultent de la Constitution (art. 75 Cst.) et de la loi (art. 1er et 3 LAT).
Le Tribunal fédéral s'impose une certaine retenue lorsqu'il s'agit de trancher de pures questions d'appréciation ou de tenir compte de circonstances locales, mieux connues des autorités cantonales; le Tribunal fédéral n'est pas l'autorité suprême de planification et doit respecter le pouvoir de détermination des autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 415 s.; <ref-ruling> consid. 3a p. 366 et la jurisprudence citée).
2.3. En l'espèce, il n'est pas contesté que le PAL révisé est conforme au plan directeur cantonal approuvé par le Conseil fédéral le 24 septembre 2004 et qu'il a dès lors force obligatoire pour les autorités et les tribunaux (art. 9 al. 1 LAT). Le recourant soutient cependant à juste titre que le respect du plan directeur cantonal contenant des prescriptions sur le dimensionnement de la zone à bâtir ne dispense pas nécessairement les autorités de procéder à un examen concret de la situation, afin de vérifier que les exigences du droit fédéral concernant le dimensionnement de la zone à bâtir soient respectées. Cela est d'autant plus vrai en l'espèce que le Conseil fédéral avait approuvé les fiches relatives aux zones à bâtir du plan directeur cantonal comme "coordination en cours".
2.3.1. Le Tribunal cantonal a exposé de manière complète le droit et la jurisprudence relatifs à la révision des plans d'affectation. Il a indiqué utiliser la méthode des tendances. Plus particulièrement, s'agissant de l'extension de la zone d'activité, l'instance précédente a jugé que la zone d'activité de la commune de X._ devait être qualifiée d'"autres zones d'activités" au sens de la fiche 4 du plan directeur cantonal, ce qui impliquait que le total des surfaces non construites hormis les propriétés destinées à l'extension des entreprises existantes ne pouvait dépasser le tiers de la surface effectivement construite: une réserve de 21'000 m2 (un tiers de la zone d'activité actuelle de 63'000 m2) était donc fondée à l'aune du plan directeur cantonal, ce d'autant plus qu'une partie des terrains nouvellement classés en zone d'activité était d'ores et déjà destinée à l'agrandissement d'une entreprise existante. L'instance précédente a ensuite annoncé procéder à une pesée des intérêts en présence. Pour ce faire, elle a relevé que le contingent en terres d'assolement du canton de Fribourg était respecté pour l'heure et qu'une diminution des surfaces d'assolement ne devait pas obligatoirement être compensée de lege lata, à teneur de l'<ref-law>. Elle a ajouté que "dans la mesure où le dimensionnement de la zone d'activité a été défini conformément au plan directeur cantonal, où les besoins en zone à bâtir de la commune sont établis et où il est incontesté que les zones à disposition de la commune sont presque exclusivement des surfaces agricoles de valeur A, la pesée des intérêts en présence parle logiquement en faveur de l'extension prévue et n'avait pas à être motivée plus en avant par la commune".
Ce faisant, le Tribunal cantonal n'a pas réellement procédé à une pesée des intérêts en présence. En effet, l'évolution du développement économique dans cette commune ces quinze dernières années ne ressort pas de l'arrêt attaqué. On ne connaît pas l'évolution de l'occupation de la surface de la zone d'activité à ce jour (63'000 m2), si ce n'est qu'une entreprise déjà implantée aurait un projet d'extension. L'instance précédente ne donne de surcroît aucune indication sur la situation supra-communale et régionale. Le Tribunal cantonal s'est en réalité borné à renvoyer au plan directeur en prenant en considération l'augmentation maximale de la surface autorisée par le plan directeur cantonal. Or, la règle du tiers contenue dans le plan directeur cantonal ne peut être comprise que comme limite maximale et ne peut remplacer l'examen différencié des besoins et intérêts en présence, ce d'autant moins que le canton de Fribourg dispose d'importantes réserves de zones à bâtir et que des surfaces d'assolement sont touchées. L'examen opéré par les instances précédentes n'est ainsi pas suffisant pour permettre de fonder une extension de la zone d'activité de 19'395 m2.
2.3.2. S'agissant de l'extension de la zone résidentielle, le Tribunal cantonal a retenu que la commune de X._ avait connu un développement de 61'257 m2 de sa zone résidentielle durant les quinze dernières années. A l'instar de la commune et de la DAEC, il a appliqué à ce chiffre le facteur 1.4 prévu par le plan directeur cantonal pour les communes bénéficiant d'une bonne desserte en transport public: le besoin pour la commune en surface de zone à bâtir pour l'habitat ainsi obtenu est de près de 85'760 m2. La cour cantonale a précisé que, comme le prévoit la fiche 2 du plan directeur cantonal - intitulée "Concept d'urbanisation et critères pour le dimensionnement de la zone à bâtir" -, le résultat obtenu par application d'un facteur de multiplication ne donne qu'un ordre de grandeur vers lequel le dimensionnement de la zone à bâtir doit s'orienter. Elle a ainsi jugé qu'un faible "surdimensionnement" de 2'887 m2 n'était pas excessif, au regard du développement économique connu de la commune ces dernières années et de l'évolution démographique probable dans les années à venir. En définitive, le Tribunal cantonal a estimé que les réserves prévues par le PAL révisé de 88'647 m2 n'apparaissaient pas disproportionnées.
Cependant, une telle augmentation de la zone à bâtir doit être justifiée par des motifs particuliers, surtout lorsqu'elle touche des surfaces d'assolement. Or, les motifs avancés par la cour cantonale ne sont pas suffisants pour justifier un tel besoin en zones à bâtir. En effet, la pesée des intérêts en présence opérée par les instances précédentes n'est pas assez précise. L'approche supra-communale, voire régionale, n'a pas été prise en compte, contrairement à ce qu'exige la jurisprudence précitée (supra consid. 2.1: <ref-ruling> consid. 3b/aa p. 341 s.; arrêt 1C_119/2007 du 13 novembre 2008 consid. 3.2.3, in ZBl 2009 I 315). En outre, le canton de Fribourg dispose d'importantes réserves de zones à bâtir, puisqu'il est le canton suisse disposant de la deuxième plus grande part de zones à bâtir non encore construites (cf. Statistique suisse des zones à bâtir 2012, fig. 22 p. 26). Il est dès lors probable que les communes avoisinantes disposent encore de zones à bâtir dépassant le besoin calculé selon la méthode des tendances, ce qui nécessite d'autant plus un examen concret supra-communal pour le village non-urbain de X._, situé à 5 km de A._ et à 17 km de B._. La densification exigée par le Tribunal cantonal ne change rien à cette problématique.
2.4. Par conséquent, faute de pesée des intérêts complète et concrète, la révision du PAL est contraire au droit fédéral.
3.
Il s'ensuit que le recours est admis et l'arrêt attaqué annulé. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour qu'il procède à une pesée concrète et complète des intérêts en présence, en prenant en compte notamment la situation des communes avoisinantes. Il lui appartiendra alors de rendre un nouveau jugement.
Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires, la commune de X._ ayant agi dans l'exercice de ses attributions officielles sans que son intérêt patrimonial soit en cause (<ref-law>). L'Office fédéral n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.
3.
Le présent arrêt est communiqué à l'Office fédéral du développement territorial, à la Commune de X._, à la Direction de l'aménagement, de l'environnement et des constructions, et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, IIe Cour administrative.
Lausanne, le 9 août 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Tornay Schaller