Sachverhalt:
A. Die Swiss Pilots Association (Beschwerdegegnerin) und die Swiss International Air Lines AG (Beschwerdeführerin) stehen sich in einem schiedsgerichtlichen Verfahren gegenüber. Das Schiedsgericht, bestehend aus drei Schiedsrichtern, hat in gleicher Besetzung am 15. Juli 2002 und am 17. Juni 2003 Urteile erlassen. Am 29. April 2005 reichte die Beschwerdegegnerin eine neue Klage ein. Die Parteien hatten vereinbart, dass dafür das Schiedsgericht in gleicher Besetzung zuständig sein sollte. Da aber der von der Beschwerdeführerin nominierte Schiedsrichter zurückgetreten war, hatte sie einen neuen Schiedsrichter zu benennen. Der von ihr ernannte Prof. X._ wird von der Beschwerdegegnerin als befangen abgelehnt.
A.a Die Beschwerdegegnerin begründete ihr Ausstandsbegehren vom 11. Juni 2005 schriftlich damit, dass ihr Anwalt den von der Gegenpartei nunmehr ernannten Schiedsrichter im Sommer 2002 nach Eröffnung des ersten Schiedsurteils telefonisch um Rat in Bezug auf einige Punkte in der Auseinandersetzung mit der Beschwerdeführerin gefragt habe. Der Schiedsrichter habe in der Folge um Zustellung von Rechtsschriften und der beiden zur Diskussion stehenden Gesamtarbeitsverträge (GAV) ersucht und die gewünschten Unterlagen auch erhalten. Er habe sich zu einzelnen Punkten am Telefon geäussert, danach aber trotz Nachfragen nichts mehr von sich hören lassen. Er habe darauf aber eine äusserst kritische Besprechung des ersten Schiedsurteils publiziert. Dass er quasi ins gegnerische Lager gewechselt habe, sei auch daraus ersichtlich, dass er Kontakt mit einem früheren Assistenten, der in der Zwischenzeit bei der Beschwerdeführerin tätig geworden sei, gepflegt habe. Er gebe auch zusammen mit dem Konsulenten des Anwaltsbüros, dem der Vertreter der Beschwerdeführerin angehöre, ein Periodikum heraus.
A.b Die Beschwerdeführerin liess sich am 15. August 2005 zum Ausstandsbegehren der Beschwerdegegnerin ebenfalls schriftlich vernehmen. Sie widersetzte sich dem Begehren unter anderem, indem sie sich auf eine Stellungnahme des von ihr vorgeschlagenen Schiedsrichters berief mit der Begründung, der damalige Kontakt zwischen dem Anwalt der Beschwerdegegnerin und dem Schiedsrichter sei aus dessen Sicht rein wissenschaftlicher Natur und keine Rechtsberatung gewesen; mit seinem früheren Assistenten, der im übrigen bereits nicht mehr für die Beklagte tätig sei, habe er einen einmaligen Kontakt gehabt, der mit der Auseinandersetzung zwischen den Parteien nichts zu tun gehabt habe, und die publizistische Zusammenarbeit mit dem nebenbei auch als Rechtskonsulent tätigen wissenschaftlichen Kollegen sei wissenschaftlicher Natur und begründe keine Verbindung zum Anwaltsbüro, in dem dieser Konsulent sei.
A.c Der Einzelrichter am Zivilgericht Basel-Stadt entschied am 30. August 2005, die Ernennung von Prof. X._ als Schiedsrichter im zwischen den Parteien hängigen Schiedsverfahren werde in Gutheissung des Begehrens aufgehoben. Der Einzelrichter gelangte zwar zum Schluss, die behaupteten Verbindungen zu einem früheren Assistenten entbehrten der Grundlage und auch die wissenschaftliche Zusammenarbeit bei der Herausgabe eines Periodikums mit einem Kollegen, der als Rechtskonsulent in der Anwaltsfirma des Vertreters der Beschwerdeführerin tätig sei, vermöge keine Befangenheit zu begründen. Der Einzelrichter liess sodann offen, ob der Schiedsrichter mit dem Ersuchen um Unterlagen gegenüber der Beschwerdegegnerin schon den Anschein erweckte, es bestehe das Vertrauensverhältnis einer Rechtsberatung. Als entscheidend erachtete er, dass die neue Klage nur formell ein neues Verfahren einleite, während es materiell eher um einen dritten Verfahrensschritt gehe. Da der nachmalige Schiedsrichter in einer Fachpublikation das erste Schiedsgerichtsurteil kommentiert hatte, betrachtete er ihn als befangen.
B. Mit Urteil vom 28. Dezember 2005 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt die Beschwerde gegen den Entscheid des Zivilgerichtspräsidenten vom 30. August 2005 ab. Das Appellationsgericht zitierte das Fazit, das der designierte Schiedsrichter in seiner Kommentierung des Urteils des Schiedsgerichts vom 15. Juli 2002 gezogen hatte und schloss, darin habe er dieses Urteil zwar mit wissenschaftlicher Korrektheit und professoraler Diplomatie, aber unmissverständlich als grob falsch bezeichnet. Wenn daher der Einzelrichter am Zivilgericht geschlossen habe, der designierte Schiedsrichter habe eindeutig und verbindlich Stellung bezogen, so sei dies nicht als willkürlich anzusehen. Da die Vereinbarung der Parteien vom 15. Juli 2003, deren Verletzung die Beschwerdegegnerin im neuen (dritten) Schiedsverfahren behaupte, der Beilegung der Differenzen der Parteien über die Schiedsgerichtsurteile vom 15. Juli 2002 und vom 17. Juni 2003 gedient habe, gelangte das Appellationsgericht zum Schluss, es seien wie in den beiden früheren Schiedsgerichtsurteilen die Wirkungen zweier Gesamtarbeitsverträge und der Anspruch auf Verhandlungen über einen einheitlichen GAV umstritten. Das werde noch bestätigt durch die Tatsache, dass sich die Parteien in der Vereinbarung vom 15. Juli 2003 für allfällige weitere Streitigkeiten auf das gleiche Schiedsgericht geeinigt hätten, welches die beiden früheren Urteile erlassen hatte. Da daraus ohne Willkür geschlossen werden könne, dass sich der designierte Schiedsrichter mindestens zu einzelnen Fragen, die auch im neuen Schiedsverfahren eine Rolle spielen, eindeutig und verbindlich festgelegt habe, könne dieser ohne Willkür aufgrund dieser Kommentierung als befangen befunden werden. Dazu kommt nach den Erwägungen des Appellationsgerichts, dass sich der designierte Schiedsrichter gegenüber der Beschwerdegegnerin (bzw. deren Anwalt) ambivalent verhalten und diese im Glauben gelassen habe, sie könne von ihm Beratung erwarten. Daraus folgt nach den Erwägungen des Appellationsgerichts die Gefahr der Befangenheit.
C. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 26. September 2006 beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 28. Dezember 2005 und das Urteil des Einzelrichters des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 30. August 2005 seien aufzuheben und es sei das Ausstands- bzw. Ablehnungsbegehren einschliesslich des Antrags, die Ernennung von Prof. X._ sei aufzuheben, abzuweisen (Ziffer 1). Eventualiter seien die angefochtenen Urteile aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an den Einzelrichter in Zivilsachen des Zivilgerichts Basel-Stadt, eventualiter an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, zurückzuweisen (Ziffer 2). Ausserdem stellt sie die Verfahrensanträge, das Verfahren sei mit der staatsrechtlichen Beschwerde vom 3. Oktober 2005 zu vereinigen und der vorliegenden Beschwerde sei superprovisorisch die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Sie rügt die Verletzung von Art. 18 Abs. 1 des Konkordats über die Schiedsgerichtsbarkeit vom 27. August 1969 (im Folgenden: KSG) in Verbindung mit Art. 22 Abs. 1 lit. b sowie Art. 23 lit. c OG.
D. Die Beschwerdegegnerin stellt in der Vernehmlassung die Anträge, die staatsrechtliche Beschwerde sei abzuweisen, und soweit sie das Urteil des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 30. August 2005 betreffe, sei kostenfällig darauf nicht einzutreten (Ziffer 1). Das Gesuch um Vereinigung mit der staatsrechtlichen Beschwerde vom 3. Oktober 2005 sei kostenfällig abzuweisen (Ziffer 2) und das Gesuch um aufschiebende Wirkung sei abzuweisen (Ziffer 3).
E. Mit Präsidialverfügung vom 18. Oktober 2006 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung gewährt.
F. Mit Urteil vom heutigen Tag wurde auf die staatsrechtliche Beschwerde gegen den Entscheid des Zivilgerichtspräsidenten vom 30. August 2005 nicht eingetreten. Das Gesuch um Vereinigung der Verfahren wird damit gegenstandslos.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde ist grundsätzlich kassatorischer Natur. Ausnahmen werden in der Praxis nur gemacht, soweit zur Herstellung des verfassungsmässigen Zustandes eine positive Anordnung erforderlich ist und die blosse Aufhebung des angefochtenen Entscheides nicht genügt (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 131 f. mit Verweisen). Diese Voraussetzungen liegen hier nicht vor. Soweit die Beschwerdeführerin in ihren Anträgen mehr verlangt als die Aufhebung des angefochtenen Entscheides, ist darauf nicht einzutreten.
2. Die staatsrechtliche Beschwerde ist grundsätzlich nur gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen zulässig (Art. 86 f. OG). Eine Mitanfechtung des unterinstanzlichen kantonalen Urteils ist nur zulässig, wo sie zur Wahrung des vollen Rechtsschutzes erforderlich ist. Dies ist der Fall, wenn entweder der letzten kantonalen Instanz nicht sämtliche vor Bundesgericht erhobenen Rügen unterbreitet werden konnten, oder wenn solche Rügen zwar von der letzten kantonalen Instanz zu beurteilen waren, jedoch mit einer engeren Prüfungsbefugnis als sie dem Bundesgericht zusteht (<ref-ruling> E. 1a/aa S. 493 f. mit Verweisen).
Die Beschwerdeführerin rügt die Verletzung von Art. 18 KSG sowie die Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie von Art. 9 BV. Die Anwendung von interkantonalem Konkordatsrecht prüft das Bundesgericht auf staatsrechtliche Beschwerde hin grundsätzlich mit freier Kognition (Art. 84 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. 6 S. 98; <ref-ruling> E. 3a S. 58; <ref-ruling> E. 3b S. 169). Soweit das Appellationsgericht den erstinstanzlichen Entscheid hier nur auf Willkür überprüft hat, kann er mitangefochten werden.
3. Nach Art. 18 Abs. 1 KSG können die Parteien die Schiedsrichter aus den im Bundesgesetz vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) genannten Gründen für die Ausschliessung und Ablehnung der Bundesrichter sowie aus den in einer von ihnen anerkannten Schiedsordnung oder in der Schiedsabrede vorgesehenen Gründen ablehnen.
3.1 Das Appellationsgericht hat die Ablehnung des designierten Schiedsrichters wegen des Ablehnungsgrundes von Art. 23 lit. c OG geschützt und sich ausserdem auf Art. 22 Abs. 1 lit. b OG berufen. Als Tatsache, die den designierten Schiedsrichter in Bezug auf den zu beurteilenden Fall im Sinne von Art. 23 lit. c OG als befangen erscheinen liess, führte das Gericht mit dem erstinstanzlichen Richter den Umstand an, dass der designierte Schiedsrichter das erste Schiedsurteil vom 15. Juli 2002 in einer Fachzeitschrift als grob falsch kritisiert hatte. Das Gericht gelangte in Übereinstimmung mit dem Zivilgerichtspräsidenten zum Schluss, dass es sich beim aktuellen Schiedsverfahren materiell um die gleiche Angelegenheit handelt, die schon in den beiden ersten Entscheiden zu beurteilen war. Es zog dabei in Betracht, dass die behauptete Verletzung der Vereinbarung der Parteien vom 15. Juli 2003, die Gegenstand des hängigen Verfahrens bildet, der Beilegung der Differenzen der Parteien über die beiden früheren Schiedsgerichtsurteile diente, dass nach wie vor die Wirkung zweier Gesamtarbeitsverträge und der Anspruch auf Verhandlung über einen einheitlichen GAV umstritten ist und dass sich die Parteien in der Vereinbarung vom 15. Juli 2003 für allfällige weitere Streitigkeiten auf das gleiche Schiedsgericht geeinigt haben.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanzen hätten Art. 18 KSG in Verbindung mit Art. 22 Abs. 1 lit. b und Art. 23 lit. c OG verletzt, indem sie zu Unrecht die Identität der sich in den früheren Schiedsverfahren stellenden Fragen mit den aktuellen bejaht hätten.
3.2 Die Beschwerdeführerin verkennt zunächst die Argumentation des Appellationsgerichts, wenn sie die Ansicht vertritt, dieses habe die Ablehnung des designierten Schiedsrichters auf Art. 22 Abs. 1 lit. b OG gestützt, der verhindern soll, dass ein Richter unterer Instanz nach seiner Wahl ins Bundesgericht am Rechtsmittelverfahren in derselben Sache mitwirkt (<ref-ruling> E. 3d S. 58), weshalb in einem prozessrechtlichen Sinne neben der Identität der Streitfragen eine solche der Parteien und der Verfahren verlangt wird (<ref-ruling> E. 2d S. 237). Das Appellationsgericht hat vielmehr im angefochtenen Urteil ausdrücklich geprüft, ob Umstände vorliegen, die im Sinne von Art. 23 OG den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Diese Norm gewährleistet wie schon Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK den Anspruch des Rechtssuchenden auf einen unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter, der ohne Einwirken sachfremder Umstände entscheiden soll. Einem Ablehnungsbegehren ist danach zu entsprechen, wenn bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (<ref-ruling> E. 3.4 S. 116 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 263, je mit Verweisen). Eine gewisse Besorgnis der Voreingenommenheit kann danach bei den Parteien immer dann entstehen, wenn eine Gerichtsperson in einem früheren Verfahren mit der konkreten Streitsache schon einmal befasst war. In einem solchen Fall der Vorbefassung ist massgebend, ob sich ein Richter durch seine Mitwirkung an früheren Entscheidungen in einzelnen Punkten bereits in einem Mass festgelegt hat, das das Verfahren nicht mehr als offen erscheinen lässt, was anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlicher Umstände zu beurteilen ist (<ref-ruling> E. 3.4 S. 116, 24 E. 1.2 S. 26; <ref-ruling> E. 3c S. 73, je mit Verweisen). Im vorliegenden Fall war der designierte Schiedsrichter mit der Auseinandersetzung der Parteien früher formell nie befasst. Er hat sich vielmehr öffentlich dazu geäussert.
3.3 Der Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit entsteht nicht schon dann, wenn sich ein Richter in einer bestimmten Sachfrage eine Meinung gebildet hat (<ref-ruling> E. 6a S. 163). Auch die Meinungsäusserung zu Rechtsfragen ausserhalb des Gerichts durch einen Richter erweckt bei objektiver Betrachtungsweise grundsätzlich noch nicht den Anschein der Voreingenommenheit für den Entscheid eines konkreten Streitfalls, selbst wenn sie für die Entscheidung erheblich ist (Regina Kiener, Richterliche Unabhängigkeit, Verfassungsrechtliche Anforderungen an Richter und Gerichte, Habil., Bern 2001, S. 194). Erscheinen öffentliche Aussagen zu hängigen Verfahren objektiv geboten, so darf und muss vorausgesetzt werden, dass der informierende Richter in der Lage ist, seine Beurteilung des Prozessstoffes im Laufe des Verfahrens entsprechend dem jeweils neuesten Stand ständig neu zu prüfen und bei Vorliegen neuer Tatsachen und Argumente auch zu revidieren (<ref-ruling> E. 2d S. 200). Anders lautende Anzeichen sind allerdings vorbehalten. Insofern können etwa konkrete Äusserungen Zweifel an der Unbefangenheit wecken, wenn sie über das Notwendige hinausgehen und mindestens indirekt auf eine bestimmte abschliessende Meinungsbildung schliessen lassen, weil ihnen z.B. die notwendige Distanz fehlt (<ref-ruling> E. 2d, e S. 201 f.). Der Anschein der Befangenheit kann bei einer öffentlichen Meinungsäusserung zu einer aktuellen Auseinandersetzung dann entstehen, wenn der Richter zu den sich stellenden Streitfragen derart Stellung bezieht, dass die Meinungsbildung im konkreten Fall nicht mehr offen erscheint oder eine "Betriebsblindheit" zu befürchten ist (<ref-ruling> E. 3.4 S. 116 f. mit Verweisen; Kiener, a.a.O.).
3.4 Der designierte Schiedsrichter war im vorliegenden Fall (im Unterschied zu den wiederum von den Parteien bezeichneten bisherigen Schiedsrichtern) nicht formell mit der konkreten Streitsache befasst. Er hat vielmehr von sich aus das erste Schiedsurteil besprochen. Die öffentliche Äusserung erfolgte dabei im Rahmen des Bereichs, mit dem sich der designierte Schiedsrichter auch sonst wissenschaftlich befasst, und zu einem Zeitpunkt, als er um seine Nomination als Schiedsrichter noch nicht wissen konnte. Die Tatsache allein, dass der designierte Schiedsrichter sich mit dem Urteil auseinandersetzte und damit ohne äussere Notwendigkeit ein persönliches (wissenschaftliches) Interesse an der Auseinandersetzung der Parteien bekundete, vermag insoweit bei objektiver Betrachtung nicht den Anschein der Voreingenommenheit zu wecken. Entscheidend erscheint vielmehr, ob er sich durch die Art seiner Besprechung in einer Weise festgelegt hat, die bei objektiver Betrachtungsweise befürchten lässt, dass er seine Meinung abschliessend gebildet hat und die im Streitfall konkret sich stellenden Fragen nicht mehr umfassend und offen beurteilen wird. Wie die kantonalen Instanzen zutreffend erwogen haben, erscheint in dieser Hinsicht als massgebend, wie eindeutig der designierte Schiedsrichter seine persönliche Beurteilung zur Auseinandersetzung unter den Parteien insgesamt und zu Fragen ausgedrückt hat, die im Rahmen des konkreten Verfahrens wiederum erheblich sein werden, an dem er als Richter mitwirken soll.
3.5 Das Appellationsgericht hat in Übereinstimmung mit dem Zivilgericht die Kommentierung des ersten Schiedsurteils durch den designierten Schiedsrichter als eindeutig und verbindlich qualifiziert. Es hat insbesondere erwogen, dass er zwar wissenschaftlich korrekt vorgegangen sei, namentlich die einzelnen Erwägungen des Schiedsgerichts und seine abweichende Meinung dazu detailliert dargestellt habe, dass er aber in einem abschliessenden Fazit die richterliche Leistung unmissverständlich als grob falsch qualifiziert habe, indem er ausführte: "Es ist zu hoffen, dass dieses Schiedsgerichtsurteil aufgrund der Besonderheiten des Falls Swiss International Air Lines ein singuläres Ereignis im kollektiven Arbeitsrecht der Schweiz bleibt. Jedenfalls würde die generelle Umdeutung aller Ausdehnungsklauseln in Exklusivklauseln die kollektivrechtliche Landschaft erheblich umgestalten. Und die strikte Handhabung des Gleichbehandlungsgrundsatzes auch im Falle von Unternehmenssanierungen und Strukturveränderungen könnte sich wohl sehr bald zu Lasten der Arbeitnehmer auswirken. Art. 333 OR ist diesbezüglich in bester Erinnerung. Denn nicht bei jeder Sanierung strömt der warme Geldregen des Bundes vom Himmel". Der designierte Schiedsrichter hat mit diesem Fazit zur Auslegung der im konkreten GAV enthaltenen Ausdehnungsklausel und zur Handhabung des Gleichbehandlungsgrundsatzes für den konkreten Fall deutlich zum Ausdruck gebracht, dass diese Fragen nach seiner Meinung gerade abweichend vom besprochenen Schiedsurteil zu entscheiden waren. Die kantonalen Instanzen haben diese öffentliche Stellungnahme zu Recht als so eindeutig qualifiziert, dass bei objektiver Betrachtungsweise zu befürchten ist, er habe sich seine Meinung zu diesen Fragen abschliessend gebildet. Die Rüge der Beschwerdeführerin, die kantonalen Instanzen hätten nicht belegt und sogar nicht einmal erwogen, dass der designierte Schiedsrichter einer Revidierung seiner Rechtsauffassung im Falle besserer Erkenntnisse nicht zugänglich sein solle, ist unbegründet.
3.6 Der Beschwerdeführerin kann nicht gefolgt werden, wenn sie die Ansicht vertritt, im hängigen (dritten) Schiedsverfahren seien unter den Parteien Fragen umstritten, die keinen Bezug zu den vom designierten Schiedsrichter (in eindeutiger Weise) kritisch besprochenen aufwiesen. Im ersten, vom designierten Schiedsrichter besprochenen Urteil vom 15. Juli 2002 hat das Schiedsgericht insbesondere unter Berufung auf das Gleichbehandlungsprinzip festgestellt, dass die Beschwerdeführerin den GAV der Parteien vom 1. November 2000 verletzt hat, soweit durch den mit den ehemaligen Swissair-Piloten abgeschlossenen neuen GAV die Rechtsstellung der Mitglieder der Beschwerdegegnerin beeinträchtigt werde. Die Mitglieder der Beschwerdegegnerin werden danach insbesondere durch das neu eingeführte Kriterium des Dienstalters für die Erstellung der sog. Senioritätsliste aufgrund der vorhandenen Altersstruktur benachteiligt, wobei als Benachteiligungen namentlich die Karrierechancen, die Löhne und die Entlassung bei Überbestand angeführt werden. Im zweiten Schiedsgerichtsurteil vom 17. Juni 2003 stellte das Schiedsgericht entsprechend fest, dass die im Februar/März 2003 beschlossenen Entlassungen von Piloten insoweit rechtswidrig seien, als sie ausschliesslich Piloten der Beschwerdegegnerin betreffen; der Beschwerdeführerin wurde untersagt, bei Überbestand mehr Angehörige der Klagpartei zu entlassen als jeweils dem Verhältnis der Zahl der Swiss Pilots zur Zahl der anderen bei der Beschwerdeführerin beschäftigten Piloten entspricht; diese Regelung sollte für die im Februar/März 2003 beschlossenen Abbaumassnahmen wie auch für künftige Entlassungen wegen Überbestandes bis spätestens 31.10.2005 gelten (Dispositiv-Ziffer 2). Ausserdem stellte das Schiedsgericht in diesem zweiten Urteil fest, dass der Bestand von zwei operation centers insoweit rechtswidrig ist, als er bei den Karrierebestimmungen (Beförderung, Umschulung, Typenwahl) den Wechsel vom ersten ins zweite Center und umgekehrt verbietet (Dispositiv-Ziffer 3). Im Ingress der Vereinbarung vom 15. Juli 2003 stellten die Parteien fest, dass sie sich seit Anfang 2002 in einem Arbeitskonflikt betreffend Seniorität, Entlassungen, Diskriminierungen etc. befinden. In Beilegung dieser Auseinandersetzung vereinbarten sie unter Berücksichtigung der Urteile des Schiedsgerichts vom 15. Juli 2002 und 17. Juni 2003 unter anderem in Ziffer 14 was folgt:
"Abgesehen von obgenannten Bestimmungen bleibt der GAV vom 01.11.00 vollumfänglich in Kraft. Beide Parteien verpflichten sich in sozialpartnerschaftlicher Art und Weise zur Zusammenarbeit.
Die Parteien verpflichten sich, Ende 2004 die Verhandlungen für den Abschluss eines neuen GAV per 01.11.05 unter Berücksichtigung der folgenden Punkte aufzunehmen:
- -:-
- Ein einheitlicher GAV für alle Piloten
- Eine gerechte Verteilung der Risiken und Chancen für alle bei Swiss angestellten Piloten
- Keine Diskriminierung "
Die Beschwerdegegnerin stellte mit Klage vom 29. April 2005 das Rechtsbegehren, es "sei festzustellen, dass die Beklagte Ziffer 14 der Vereinbarung vom 15.07.03 verletzt hat (Vertragsbruch). Ferner sei festzustellen, dass die Beklagte den geltenden GAV und die Vereinbarung vom 15.07.03 verletzt hat (Vertragsbruch), weil Airbus-Piloten aus dem Ex-Crossair-Segment nicht im Linienverkehr eingesetzt werden dürfen."
3.7 Der designierte Schiedsrichter hat in der publizierten Besprechung des ersten Schiedsspruchs vom 15. Juli 2002 insbesondere zur Handhabung des Gleichbehandlungsgrundsatzes in einer Weise Stellung bezogen, die bei objektiver Betrachtungsweise befürchten lässt, er habe sich seine Meinung dazu abschliessend gebildet. Die Frage der Gleichbehandlung aller Piloten, insbesondere der Mitglieder der Beschwerdegegnerin einerseits und der ehemaligen Swissair-Piloten anderseits, bildet Gegenstand von Ziffer 14 der Vereinbarung der Parteien vom 15. Juli 2003. Die Auslegung dieser Bestimmung wird nach dem Rechtsbegehren der Beschwerdegegnerin Gegenstand des (dritten) Schiedsgerichtsverfahrens sein. Die kantonalen Instanzen haben das Ablehnungsgesuch der Beschwerdegegnerin gestützt auf Art. 18 Abs. 1 KSG in Verbindung mit Art. 23 lit. c OG aufgrund der öffentlichen Meinungsäusserung des designierten Schiedsrichters zum ersten Urteil des Schiedsgerichts vom 15. Juli 2002 zu Recht gutgeheissen. Es kann daher offenbleiben, ob auch die Kontaktaufnahme des Anwalts der Beschwerdegegnerin mit dem designierten Schiedsrichter zum Zwecke einer Rechtsberatung und dessen Reaktion darauf den Anschein der Befangenheit begründen würde. Immerhin ist hier zu bemerken, dass der Beschwerdeführerin nicht gefolgt werden könnte, soweit sie die Vertretung in früheren oder anderen Verfahren gleichsetzen will mit Kontakten im Blick auf eine Rechtsberatung in einer hängigen Auseinandersetzung.
4. Die Beschwerde ist abzuweisen. Wie die Beschwerdeführerin selbst darlegt, kommt der Willkürrüge im Rahmen der Konkordatsbeschwerde keine selbständige Bedeutung zu. Es ist auf ihre Rüge insoweit nicht einzugehen. Die Kosten sind dem Ausgang des Verfahrens entsprechend zu verlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 5'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. November 2006
Im Namen der I. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: