Sachverhalt:
A. E._ wohnt im Kanton Zug und ist bei der SWICA Krankenversicherung AG (nachfolgend auch: SWICA) obligatorisch krankenpflegeversichert und freiwillig spitalzusatzversichert mit einer Deckung "allgemeine Abteilung ganze Schweiz". Gegen Ende ihrer Schwangerschaft verbrachte sie die Neujahrstage 2008 ferienhalber ausserkantonal in der Gemeinde X._. Ungefähr zehn Tage vor dem errechneten Geburtstermin kam es in der Nacht zum 2. Januar 2008 zum vorzeitigen Blasensprung, worauf sich die Versicherte ins Spital X._ begab und dort um 14.17 Uhr das Kind gebar. Das Spital ersuchte den Kantonsärztlichen Dienst des Medizinalamtes des Kantons Zug um Kostengutsprache für eine ausserkantonale Notfallbehandlung, was dieser ablehnte. Die SWICA übernahm zunächst die gesamten Kosten und forderte den Kanton auf, ihr den gesetzlich vorgesehenen Anteil zu vergüten. Mit Verfügung vom 10. April 2008 und Einspracheentscheid vom 8. Januar 2009 lehnte der Kantonsärztliche Dienst die Beteiligung des Kantons an den Kosten der ausserkantonalen Spitalbehandlung ab.
B. Die von der SWICA dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit Entscheid vom 16. April 2009 ab.
C. Die SWICA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten; sie beantragt Aufhebung des kantonalen Entscheides und Verpflichtung des Kantons Zug (zit.) zur Bezahlung der Differenzkosten für die Geburt im Spital X._ als Notfall.
Vorinstanz und Medizinalamt des Kantons Zug schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Am Verfahren ist nicht der von der Vorinstanz im Rubrum als Beschwerde führende Partei bezeichnete Verein SWICA Gesundheitsorganisation beteiligt, sondern die Adressatin der Verfügung und unterlegene Einsprecherin SWICA Krankenversicherung AG, eine in der Rechtsform einer Aktiengesellschaft organisierte Krankenversicherung mit Sitz und Domizil in Winterthur. Sie bezweckt gemäss Eintrag im Handelsregister "als Krankenkasse den Betrieb der sozialen Krankenversicherung (...) und weiter den Betrieb einer Kranken- und Unfallversicherung mit den Versicherungszweigen Unfall und Krankheit (Zusatzversicherungen nach dem Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag [VVG])". Der Verein SWICA Gesundheitsorganisation (mit gleichem Sitz und Domizil) verfolgt einen anderen Zweck im Umfeld der Kranken- und Unfallversicherung, welchen er insbesondere "durch das Halten der Aktien der SWICA Krankenversicherung und anderer Krankenkassen gemäss <ref-law>" wahrnimmt.
1.2 Der Umstand der fehlerhaften Parteibezeichnung ist bisher nicht thematisiert worden: Die SWICA Krankenversicherung AG hat den kantonalen Entscheid aus rein materiellen Gründen angefochten. Da das Verwaltungsgericht effektiv das streitige Rechtsverhältnis zwischen diesem Krankenversicherer und dem Kantonsärztlichen Dienst beurteilt hat und dies ganz offensichtlich auch beabsichtigte, schadet die im vorinstanzlichen Verfahren fehlerhafte Parteibezeichnung nicht.
2. 2.1 Nach <ref-law> übernimmt die obligatorische Krankenpflegeversicherung bei Mutterschaft neben den Kosten für die gleichen Leistungen wie bei Krankheit die Kosten der besonderen Leistungen bei Mutterschaft (Abs. 1), die neben anderem die Entbindung in einem Spital sowie die Geburtshilfe durch Ärzte und Ärztinnen oder Hebammen (Abs. 2 lit. b) und die Pflege und den Aufenthalt des gesunden Neugeborenen, solange es sich mit der Mutter im Spital aufhält (Abs. 2 lit. c), umfasst.
2.2 Die Kostenübernahme bei stationärer Behandlung im Rahmen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung ist in <ref-law> geregelt. Vorliegend ist die Norm noch anwendbar in der Formulierung vor Inkrafttreten der Neufassung gemäss Ziff. I des Bundesgesetzes vom 21. Dezember 2007 (Spitalfinanzierung) auf den 1. Januar 2009 (AS 2008 2049 2057; BBl 2004 5551): Danach können die Versicherten unter den zugelassenen Leistungserbringern, die für die Behandlung ihrer Krankheit geeignet sind, frei wählen. Der Versicherer muss die Kosten höchstens nach dem Tarif übernehmen, der im Wohnkanton der versicherten Person gilt (Abs. 1 dritter Satz). Beanspruchen Versicherte aus medizinischen Gründen einen anderen Leistungserbringer, so richtet sich die Kostenübernahme nach dem Tarif, der für diesen Leistungserbringer gilt (Abs. 2). Medizinische Gründe liegen bei einem Notfall vor oder wenn die erforderlichen Leistungen im Wohnkanton oder in einem auf der Spitalliste des Wohnkantons nach Artikel 39 Absatz 1 Buchstabe e KVG aufgeführten ausserkantonalen Spital nicht angeboten werden (Abs. 2 lit. b). Beansprucht die versicherte Person aus medizinischen Gründen die Dienste eines ausserhalb ihres Wohnkantons befindlichen öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitals, so übernimmt der Wohnkanton die Differenz zwischen den in Rechnung gestellten Kosten und den Tarifen des betreffenden Spitals für Einwohner und Einwohnerinnen des Kantons (Abs. 3 erster Satz; Ausgleichs- oder Differenzzahlungspflicht: <ref-ruling>, 123 V 290 und 310).
3. 3.1 Partei im Streit um die Differenzzahlung nach <ref-law> (Hinweis auf geändertes Recht in E. 2.2) sind neben dem Wohnkanton als Pflichtigem in erster Linie die Versicherten als Schuldner der Vergütung der vom Spital erbrachten Leistungen. Parteistellung kommt auch dem Versicherer zu, wenn dieser gemäss Tarifvertrag oder anderweitiger Vereinbarung mit dem Spital die gesamte Vergütung schuldet oder dem Spital die Rechnung bezahlt hat (GEBHARD EUGSTER, Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2. Aufl. 2007, S. 727 Rz. 973 [mit Hinweisen zur Beschwerdelegitimation von Zusatzversicherern und Verweis in Fn. 1512 auf die Urteile des Eidgenössischen Versicherungsgerichts RKUV 2006 Nr. KV 369 S. 232 [K 81/05]; <ref-ruling> E. 2.3 S. 219; SVR 2005 KV Nr. 29 S. 103 [K 39/04]; siehe neu auch <ref-law> in der Fassung gemäss Ziff. I des Bundesgesetzes vom 21. Dezember 2007 [Spitalfinanzierung], in Kraft seit 1. Januar 2009 [AS 2008 2049 2057; BBl 2004 5551]).
3.2 Die SWICA Krankenversicherung AG ist Grund- und Zusatzversicherer der am vorliegenden Verfahren nicht beteiligten E._. Sie begründet ihre Beschwerdelegitimation mit der Tatsache, dass sie, falls der Kanton seinen Kostenbeitrag nicht leistet, aus der Zusatzversicherung für eine Leistung aufzukommen hätte, welche grundsätzlich vom Kanton zu übernehmen ist. Der Abschluss einer Zusatzversicherung für die Behandlung in der ganzen Schweiz dürfe nicht dazu führen, dass die Kantonsärzte die medizinische Indikation bei der ausserkantonalen Hospitalisierung extensiv ablehnten. Trotz einer solchen müsse der Kanton sich an den Kosten, die durch eine notfallmässige Spitalbehandlung entstanden sind, im gesetzlichen Rahmen beteiligen. Indem sie als Versicherer die erwähnten Kosten übernommen habe, sei sie in die Rechte der versicherten Person eingetreten.
3.3 Auch wenn hier die gleiche juristische Person Grund- und Zusatzversicherer ist, kann sich der Streit nur um Ansprüche im Bereich der Grundversicherung drehen. Die SWICA kann nur als Durchführungsorgan der obligatorischen Krankenpflegeversicherung Partei im vorliegenden Verfahren in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vor der II. sozialrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts sein. Fragen zur Leistungspflicht aus der Zusatzversicherung sind in diesem Rahmen nicht zu erörtern. Die SWICA hat im Sinne einer Vorleistung (Art. 22 Abs. 2 lit. b und 70 f. ATSG) offenbar zunächst die gesamten in Rechnung gestellten Kosten übernommen und sich damit faktisch den Ausgleichsanspruch gegenüber dem Kanton von der Versicherten abtreten lassen (vgl. dazu E. 3.1 erster Satz), was ihr als Sozialversicherer allenfalls den Anspruch auf Nachzahlung verschafft.
4. Umstritten ist, ob der Wohnkanton sich an den Kosten der ausserkantonalen Spitalgeburt zu beteiligen hat. Nach der Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 3.2 S. 125 f.) hat die Revision des Krankenversicherungsrechts an der altrechtlichen Konzeption der grundsätzlich freien Wahl des Spitals bei allenfalls masslich beschränkter Versicherungsdeckung nichts geändert. Neu ist im Wesentlichen einzig, dass der ganze Wohnkanton als räumlicher Bereich mit voller Kostenübernahme durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung gilt und dieser unter Umständen die Kosten einer ausserkantonalen stationären Behandlung mitzutragen hat (oben E. 2.2). Die Neuerungen bieten indessen nicht Anlass, den Begriff der medizinischen Gründe grundsätzlich anders zu interpretieren als im Rahmen des früheren Art. 19bis Abs. 5 KUVG. Daran ändert die Zielsetzung des <ref-law> (Lastenausgleich zwischen Kantonen mit unterschiedlichen Spitalversorgungsgraden sowie verstärkte Koordination zwischen den Kantonen im Bereich der Spitalplanung [<ref-ruling> E. 3b/aa-cc S. 297 f., siehe auch Urteil 9C_548/2008 vom 27. April 2009, E. 3]) nichts.
5. Da die erforderlichen medizinischen Leistungen im Wohnkanton angeboten werden, stellt sich hier nur die Frage nach dem Vorliegen medizinischer Gründe im Sinne von <ref-law> (Notfall). Nach Aussage des Dr. med. T._, Spezialarzt FMH für Gynäkologie und Geburtshilfe, X._, (Bericht vom 21. Januar 2008) hat hier ein solcher vorgelegen. Die Versicherte hat sich vor den Winterferien am Wohnort durch ihre Frauenärztin untersuchen und sich das Einverständnis zur Abreise geben lassen. Der unreife Vaginalbefund habe zumindest nicht auf eine unmittelbar bevorstehende Geburt hingewiesen. In der 38 4/7 Schwangerschaftswoche trat sie am 2. Januar 2008 frühmorgens um 5.40 Uhr in X._ mit vorzeitigem Blasensprung und unregelmässigen Kontraktionen bei Abgang von reichlich Fruchtwasser ins Spital ein, wo das Kind um 14.17 Uhr zur Welt kam. Aus ärztlicher Sicht habe der Patientin die Verlegung zur Geburt in den Wohnkanton nicht zugemutet werden können. Zudem könne bei Zweitgebärenden grundsätzlich auch eine rasche Eröffnung des Muttermundes nicht ausgeschlossen werden. Die Durchführung einer Tokolyse (Wehenhemmung) zur Zurückverlegung der Patientin aus versicherungstechnischen Gründen in den Wohnkanton sei keine Indikation für diese Behandlung. Auch wenn es sich um eine Termingeburt gehandelt habe, könne eine Schwangere grundsätzlich während der gesamten Schwangerschaft mit einer Geburt rechnen.
6. Kanton und Vorinstanz wenden gegen die Kostenbeteiligung des Kantons ein, die Schwangere habe durch die Abreise in die Ferien die ausserkantonale Geburt in Kauf genommen, wenn nicht sogar provoziert oder gesucht, weshalb kein "echter" Notfall vorliege (E. 7.2 des angefochtenen Entscheides). Die Vorinstanz erwägt sodann:
"(E. 7.3) Selbst wenn von einem echten Notfall im Sinne des Gesetzes auszugehen wäre, wäre eine Differenzzahlungspflicht des Kantons Zug im Lichte der höchstrichterlichen Praxis nicht zu bejahen. (...) Es ist nämlich zu beachten, dass auch ein Notfalleingriff als Folge eines medizinisch nicht indizierten ausserkantonalen Untersuchs die Differenzzahlungspflicht des Wohnkantons nicht auslöst, nimmt ein Versicherter, der sich freiwillig in ausserkantonale medizinische Behandlung begibt, doch implizit auch die damit verbundenen Risiken für Komplikationen und für allfällig sofort notwendige Hilfeleistungen in Kauf. Hinsichtlich Geburtshilfe hielt das Bundesgericht sinngemäss fest, wer sich in zeitlicher Nähe zum Geburtstermin oder im Zeitraum, in welchem auch eine Frühgeburt wahrscheinlicher werde, ausser Landes befinde, müsse sich des Kostenrisikos einer Auslandgeburt bewusst sein und die entsprechenden Zusatzkosten selber bezahlen. Obgleich der genannte Entscheid im Zusammenhang mit einer Geburt im Ausland (<ref-law>) getroffen wurde, ist mit dem kantonalen Medizinalamt und der Vereinigung der Kantonsärzte davon auszugehen, dass sich die vom Bundesgericht hiermit statuierte Regelung auch auf interkantonale Fälle im Anwendungsbereich von <ref-law> übertragen lässt. Somit muss sich eine Hochschwangere in zeitlicher Nähe zum Geburtstermin bzw. im Zeitraum, in welchem wie vorliegend sogar eine Termingeburt absehbar ist, für den Fall eines ausserkantonalen Aufenthalts des entsprechenden Kostenrisikos bewusst sein und eine entsprechende geburtsbedingte Hospitalisation vermag die Differenzzahlungspflicht des Wohnkantons nicht zu begründen. Dies gilt auf jeden Fall bei einem ausserkantonalen Ferienaufenthalt in unmittelbar zeitlicher Nähe zum Geburtstermin. Andernfalls könnte sich eine Hochschwangere wirklich durch ausserkantonale gynäkologische Kontrollen bzw. durch den ausserkantonalen Aufenthalt in einem Zeitpunkt, da die Geburt absehbar wird, in Umgehung von Art. 41 Abs. 2 und 3 KVG die freie Spitalwahl erwirken, was dem Telos der zitierten Bestimmungen völlig zuwiderliefe und die Spitalplanung klar untergraben würde. Jedenfalls kann es nicht angehen, das versicherbare finanzielle Risiko der freien Spitalwahl - über den Umweg eines selbst herbeigeführten "Notfalls" - einfach prämienfrei dem Steuerzahler zu überbinden. Die zitierte Regelung stellt denn auch keine Diskriminierung von Schwangeren dar. Im Gegenteil bedeutete anders zu entscheiden bzw. Hochschwangeren die freie Spitalwahl zu gewähren eine ungerechtfertigte Bevorzugung hochschwangerer Frauen gegenüber Versicherten mit medizinischen Problemen, die eine stationäre Behandlung verlangen."
7. Eine solche Würdigung der Sach- und Rechtslage weckt im Lichte der ständigen Rechtsprechung zur verfassungskonformen Auslegung sozialversicherungsrechtlicher Normen (zuletzt BGE 9C_463/2008 vom 30. April 2009, veröffentlicht in SVR 2009 IV Nr. 41 S. 119) erhebliche Bedenken. Weitere Erörterungen hiezu erübrigen sich indes aus den nachstehenden Gründen.
8. Wie die Vorinstanz an sich zutreffend darlegt, sagen Gesetz und Verordnung nicht, was unter einem Notfall im Sinne von Art. 41 Abs. 2 zweiter Satz KVG zu verstehen ist. Nach der Rechtsprechung (Ur- teil K 81/05 vom 13. April 2006, E. 5 mit Hinweisen) ist dieser Tatbestand im stationären Fall gegeben, wenn medizinische Hilfe unaufschiebbar und für die notwendige Spitalbehandlung eine Rückkehr in den Wohnkanton nicht möglich oder nicht angemessen ist (RKUV 2002 Nr. KV 231 S. 475 [K 128/01]; EUGSTER, a.a.O., S. 724 Rz. 964). Diese Umschreibung differenziert nicht danach, unter welchen Umständen die Notfallsituation eintritt resp. worauf der notfallmässig behandlungsbedürftige Gesundheitsschaden zurückzuführen ist. Ebenfalls kommt es für die Kostenübernahme durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung grundsätzlich nicht auf die Ursachen der gesundheitlichen Beeinträchtigung an. Die Art und Weise der Entstehung des Gesundheitsschadens ist lediglich für die Abgrenzung der Zuständigkeit der Krankenversicherung gegenüber der Unfallversicherung und allenfalls der Militärversicherung oder der Invalidenversicherung von Bedeutung (RKUV 1999 Nr. KV 91 S. 459 E. 2a und b, 1997 Nr. 987 S. 289). Soweit die Vorinstanz einen Notfall verneint, verletzt sie diese Grundsätze und verkennt sie den Bericht des Dr. med. T._ vom 21. Januar 2008 in qualifizierter Weise (<ref-law>), kann doch diesem Schreiben nichts anderes entnommen werden, als dass wegen der aufgetretenen Komplikationen Geburtshilfe vor Ort in spitalmässigem Rahmen ohne Verzug medizinisch geboten war.
9. Dass hier die medizinische Hilfe unaufschiebbar und für die notwendige Spitalbehandlung eine Rückkehr in den Wohnkanton nicht möglich war, spricht somit für die Beteiligung des Kantons Zug an den Kosten der stationären Geburt in X._, selbst wenn es sich hier um einen Ferienaufenthalt gehandelt hat und der prognostizierte Geburtszeitpunkt nur noch (aber immerhin) 10 Tage später angesetzt war.
Entgegen der vorinstanzlichen Auffassung ist ein Notfall bei einer ausserkantonalen Spitalgeburt gegeben, wenn im konkreten Fall erstellt ist, dass die Schwangere sich nicht dazu oder zu einer mit der Schwangerschaft in Verbindung stehenden Behandlung dorthin begeben hat und während ihres ausserkantonalen Aufenthaltes in der Weise vom einsetzenden Geburtsvorgang überrascht wird, dass ein Rücktransport medizinisch unverantwortlich wäre. Denkbar sind Ausnahmefälle, in denen eine rechtzeitige Rückkehr noch möglich und zumutbar wäre, die Schwangere aber bewusst entscheidet, von der Heimreise abzusehen. Falls die Absicht zum Verbleiben am Aufenthaltsort sich jedoch erst entwickelt, wenn die Rückkehr gar keine Alternative mehr bildet, liegt ein Notfall vor. Dass die Versicherte allenfalls den Eintritt einer ausserkantonalen Geburt in Kauf nehmen wollte, wovon nach der allgemeinen Lebenserfahrung nicht auszugehen ist, kann im Prinzip schon deshalb nicht ausschlaggebend sein, weil nach der unwidersprochenen Aussage des Gynäkologen in X._ eine Schwangere auch bei einer Termingeburt grundsätzlich während der gesamten verbleibenden Schwangerschaft mit einer Geburt rechnen muss. Von einem selbst herbeigeführten Notfall kann schon deswegen nicht die Rede sein, weil sich die Versicherte vor dem Aufenthalt in X._ einer gynäkologischen Untersuchung unterzog, deren Befunde nicht auf eine unmittelbar bevorstehende Geburt hinwiesen.
10. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdegegner kostenpflichtig (<ref-law>). Obsiegende Behörden und mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisationen haben grundsätzlich keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>). Zu den mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauten Organisationen gehören auch die Krankenversicherer.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, vom 16. April 2009 und der Einspracheentscheid des Medizinalamtes Zug, Kantonsärztlicher Dienst, vom 8. Januar 2009 werden aufgehoben.
2. Es wird festgestellt, dass die Beschwerdeführerin gegenüber dem Beschwerdegegner Anspruch auf Nachzahlung der aus Anlass der Niederkunft der Versicherten E._ dem ausserkantonalen Spital gegenüber erbrachten Vorleistung hat.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. September 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Schmutz