Sachverhalt:
A.
Die Gemeinde Blitzingen legte im Herbst 1993 einen Vorentwurf zur Gesamtrevision ihrer Nutzungsplanung und ihres Bau- und Zonenreglements öffentlich auf. Im November 1994 ersuchte sie den Staatsrat des Kantons Wallis um eine Vorprüfung. In Folge der Stellungnahmen der zuständigen kantonalen Dienststellen nahm die Gemeinde verschiedene Korrekturen vor und legte den Vorentwurf im Mai 2007 abermals dem Staatsrat vor. Da die kantonale Dienststelle für innere Angelegenheiten ihr daraufhin mitteilte, dass aus raumplanerischer Sicht weiterhin keine positive Vormeinung abgegeben werden könne, passte die Gemeinde ihren Vorentwurf ein weiteres Mal an. Mit Entscheid vom 22. April 2009 genehmigte der Staatsrat diesen im Rahmen des Vorprüfungsverfahrens unter der Auflage, dass die geplante Wohnzone W2A-LEB sowie die Zone für öffentliche Bauten und Anlagen im Gebiet "Bodmen" gestrichen und die Flächen der Landwirtschaftszone zugewiesen würden.
Die Gemeinde Blitzingen legte die Nutzungsplanung und das Bau- und Zonenreglement während 30 Tagen öffentlich auf. X._ erhob daraufhin Einsprache und machte geltend, eine Reihe von Parzellen seien in der Bauzone zu belassen. Am 26. Februar 2010 entschied die Gemeinde, einzelne Änderungen der Urversammlung zur Annahme zu empfehlen, im Übrigen die Einsprache jedoch abzuweisen. Die Urversammlung nahm die Nutzungsplanung und das Bau- und Zonenreglement am 25. März 2010 an. Eine dagegen von X._ erhobene Beschwerde wies der Staatsrat mit Entscheid vom 20. Juni 2012 ab. Am gleichen Tag homologierte er die Gesamtrevision der Nutzungsplanung und des Bau- und Zonenreglements. Die von X._ gegen den Entscheid des Staatsrats erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Kantonsgericht Wallis mit Urteil vom 12. April 2013 ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 14. Mai 2013 beantragt X._, es sei festzustellen, dass es sich bei den Parzellen Nrn. 1374, 257, 356, 246, 248, 260, 357, 364, 235, 354, 254, 236, 242, 244, 237, 238, 245, 2802, 2804, 247, 249, 252 und 253 um eine Auszonung und nicht um eine Nichteinzonung handelt. Weiter beantragt er, die genannten Parzellen seien vollständig der Bauzone zuzuweisen.
Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Staatsrat hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Gemeinde Blitzingen beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. In seiner Replik ändert der Beschwerdeführer seine Rechtsbegehren insofern, als er den Feststellungsantrag nur noch eventualiter stellt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. d und 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist Eigentümer von Parzellen, welche von der Revision der Nutzungsplanung betroffen sind. Er ist zur Anfechtung des Entscheids des Kantonsgerichts Wallis grundsätzlich legitimiert (<ref-law>).
1.2. Nicht einzutreten ist auf den Antrag, die Parzelle Nr. 257 sei in der Bauzone zu belassen. Bereits der Staatsrat wies den Beschwerdeführer darauf hin, dass die Parzelle bereits vollumfänglich der Wohnzone W2A-LEB zugewiesen worden sei. Vor dem Kantonsgericht stellte der Beschwerdeführer den Antrag deshalb nicht mehr; er nimmt ihn jedoch in seiner Beschwerde ans Bundesgericht wieder auf. In dieser Hinsicht fehlt es an einem schutzwürdigen Interesse (<ref-law>).
1.3. Verfahrensgegenstand bildet die Nutzungsplanung der Gemeinde Blitzingen vom 25. März 2010, nicht aber die Frage, ob diese eine materielle Enteignung bewirkt. Die beantragte Feststellung, die Revision sei als Auszonung und nicht als Nichteinzonung zu qualifizieren, geht über den Verfahrensgegenstand hinaus. Zudem ist der Antrag neu, auch wenn sich das Kantonsgericht in seinen Erwägungen mit der Frage auseinandergesetzt hat (<ref-law>).
Die Ausführungen in der Beschwerdeschrift beziehen sich zu einem grossen Teil auf Gesichtspunkte, die in einem allfälligen Enteignungsverfahren eine Rolle spielen können, nicht aber im Rahmen der Nutzungsplanung. Beispielsweise macht der Beschwerdeführer geltend, der Nutzungsplan von 1983 sei bundesrechtskonform gewesen, weshalb er infolge der Auszonung Anspruch auf Entschädigung habe. Dass sich die Einwohnerzahl in der Gemeinde in der Folge nicht wie damals angenommen entwickelt habe, sei nicht ihm anzulasten. Die Redimensionierung der Bauzone treffe zudem fast ausschliesslich ihn, weshalb auch unter dem Titel des Sonderopfers eine Entschädigung geschuldet sei. Auf diese Rügen ist mangels Relevanz im vorliegenden Verfahren nicht weiter einzugehen.
2.
2.1. Das Kantonsgericht Wallis führt aus, Grundvoraussetzung für die Ausscheidung einer Parzelle als Bauland sei gemäss Art. 15 RPG (SR 700) zunächst deren Eignung zur Überbauung. Daran fehle es, wenn die Sicherheit der Bewohner oder Bauten durch Erschütterungen, Hangrutsch oder Lawinen gefährdet erscheine. Die Parzellen des Beschwerdeführers, welche sich in der roten Lawinenzone befänden (Parzellen Nrn. 235, 236, 238, 242, 354, 357 sowie teilweise auch Parzellen Nrn. 237, 244 und 249), seien deshalb zur Überbauung nicht geeignet.
In Bezug auf die restlichen Parzellen bzw. Flächen legt das Kantonsgericht dar, diese lägen alle ausserhalb des Weilers Bodmen und könnten nicht als im weitgehend überbauten Gebiet liegend qualifiziert werden (Art. 15 lit. b RPG). Auch handle es sich nicht um Land, das voraussichtlich innert 15 Jahren benötigt oder erschlossen werde (Art. 15 lit. b RPG). Die frühere Bauzone sei klar überdimensioniert gewesen und auch mit dem revidierten Nutzungsplan verfüge die Gemeinde für die nächsten 15 Jahre offensichtlich über genügend Bauland. Weiter seien auch keine besonderen Umstände ersichtlich, die auf eine Einzonung der Grundstücke hätten schliessen lassen. Insbesondere habe der Beschwerdeführer nicht auf den eine grössere Bauzone vorsehenden ersten Vorentwurf der Gemeinde aus dem Jahr 1993 vertrauen können, da es sich dabei eben lediglich um einen Vorentwurf gehandelt habe. Zudem sei es auch bei einer gesamthaften Abwägung aller räumlich wesentlichen Interessen gerechtfertigt, die umstrittenen Parzellen nicht der Bauzone zuzuweisen.
2.2. Der Beschwerdeführer kritisiert diese Ausführungen insofern, als er geltend macht, er habe darauf vertrauen dürfen, dass die betroffenen Parzellen weiterhin zum Bauland gehören würden. Über die laufende Planung sei er nie aufgeklärt worden. Als er 1998 ein Baugesuch zur Erstellung eines Stalls für die Hobbytierhaltung ausserhalb der Bauzone einreichte, hätten ihm die Gemeinde und der Staatsrat im Rechtsmittelverfahren beschieden, dass ein solches Vorhaben ausserhalb der Bauzone nicht zonenkonform sei. Daraufhin habe er Parzellen innerhalb der Bauzone gekauft und mehrere Baugesuche für Einzäunungen eingereicht. Zudem sei ihm ein Anbau an sein Wohnhaus auf der Parzelle Nr. 289 bewilligt worden. Ein weiteres Projekt für die Errichtung eines Reiheneinfamilienhauses sei von der Gemeinde positiv beurteilt worden. Obwohl er dieses nicht realisiert habe, müsse von einer Abfolge besonderer Ereignisse ausgegangen werden, die bei ihm das berechtigte Vertrauen in den Weiterbestand der Bauzone geweckt habe. Schliesslich bestehe auf der Parzelle Nr. 289 eine Kanalisation und teilweise auch auf Parzelle Nr. 257 sowie auf Parzelle Nr. 260. Die weiteren Parzellen könnten unmittelbar daran angeschlossen werden.
2.3. Nach der Rechtsprechung kann der Vorgeschichte einer Nutzungsplanfestsetzung ein solches Gewicht zukommen, dass sich daraus die begründete Erwartung einer Einweisung von Land in eine Bauzone ergibt. Namentlich die Erschliessungsplanung oder durchgeführte Baulandumlegungen vermögen das Vertrauen zu wecken, davon erfasstes Land werde im neu zu erlassenden Zonenplan der Bauzone zugewiesen. Auch wenn keine konkreten Zusicherungen vorliegen, die nach dem Grundsatz von Treu und Glauben eine Pflicht zur Einzonung begründen, kann sich eine solche aus den der Nutzungsplanung vorangehenden besonderen Umständen herleiten.
Die Vorgeschichte und der Vertrauensschutz verleihen jedoch einem Grundeigentümer (gleich wie eine vollständige Erschliessung) keinen unbedingten Anspruch auf Zuteilung seiner Parzelle zu einer RPG-konformen Bauzone. Die bundesgerichtliche Rechtsprechung anerkennt, dass die Verwirklichung der Raumplanungsgrundsätze Vorrang vor der Beständigkeit eines altrechtlichen Plans hat. Wesentlich ist zunächst, ob die Vorgeschichte eine Abfolge von Ereignissen umfasst, die auf die Einzonung des Gebiets ausgerichtet war. Die Berufung auf Vertrauensschutzinteressen setzt weiter voraus, dass keine Kollision zum Interesse an der richtigen Durchsetzung des objektiven Rechts - hier einer RPG-konformen Nutzungsplanung - absehbar war (<ref-ruling> E. 6.1 und 6.2 S. 228 f.; Urteil 1C_285/2007 vom 22. Mai 2008 E. 7, in: ZBl 110/2009 S. 326; je mit Hinweisen).
2.4. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann aus dem Umstand, dass auf einer der umstrittenen Parzelle ein Reiheneinfamilienhaus bewilligt wurde, nicht auf einen Vertrauenstatbestand geschlossen werden. Die Bewilligung wurde unter Geltung des Zonenplans von 1983 erteilt und es kommt ihr nicht die Bedeutung einer Zusicherung zu, dass das betreffende Grundstück auch in Zukunft Bauland bleibe. Dasselbe gilt für die Einzäunungen, auf welche er sich beruft (Urteile 1A.129/2002 vom 9. April 2003 E. 3.4, in: URP 2003 S. 369; 1P.37/2003 vom 12. September 2003 E. 4.4.3 mit Hinweisen, in: ZBl 106/2005 S. 167).
Von vornherein nicht von Bedeutung sind der Anbau an das Wohnhaus auf der Parzelle Nr. 289 und die Erschliessungssituation auf den Parzellen Nrn. 257, 260 und 289, zumal diese Parzellen nach dem neuen Zonenplan (zumindest teilweise) in der Bauzone bleiben (vgl. zur Bedeutung der Erschliessung im Übrigen <ref-ruling> E. 3g S. 439f.; Urteil 1A.37/1999 vom 17. August 1999 E. 5b, in: Pra 2000 Nr. 8 S. 32; je mit Hinweisen).
Vor dem Hintergrund der Kritik des Beschwerdeführers kann deshalb nicht gesagt werden, die Vorinstanz habe Vertrauensgesichtspunkte ausser Acht gelassen.
3.
Aus den genannten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Einwohnergemeinde Blitzingen, dem Staatsrat des Kantons Wallis und dem Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Januar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold