Sachverhalt:
A.
X._, geboren 1987, ist kosovarischer Staatsangehöriger. Anfang 1993 reiste er im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein und erhielt in der Folge eine Niederlassungsbewilligung.
Nach zwei Jugendstrafen in den Jahren 2001 (einfache Körperverletzung) und 2004 (Entwendung eines Personenwagens zum Gebrauch) wurde X._ am 28. Juni 2006 durch das Bezirksgericht Horgen wegen Erpressung und gewerbsmässiger Erpressung zu einer Einschliessung von vier Wochen verurteilt. Am 13. September 2006 verhängte die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis gegen ihn wegen Verkehrsregelverletzung eine Busse von Fr. 300.--. Am 14. Dezember 2006 verurteilte ihn die Staatsanwaltschaft Zürich/Sihl wegen mehrfacher grober Verkehrsregelverletzung, Fahrens in fahrunfähigem Zustand, einfacher Verletzung der Verkehrsregeln und fahrlässiger Körperverletzung zu einer unbedingten Gefängnisstrafe von 90 Tagen sowie zu einer Busse von Fr. 1'000.--.
Aufgrund dieser Verurteilungen verwarnte das Migrationsamt des Kantons Zürich (nachfolgend: Migrationsamt) X._ am 13. Februar 2007, indem es ihm "schwerer wiegende fremdenpolizeiliche Massnahmen" in Aussicht stellte für den Fall, dass er erneut gerichtlich bestraft werden oder sein Verhalten zu anderen berechtigten Klagen Anlass geben sollte.
Am 7. September 2010 verurteilte das Obergericht des Kantons Zürich (nachfolgend: Obergericht) X._ wegen mehrfacher einfacher Körperverletzung, Raufhandels, versuchter schwerer Körperverletzung und Tätlichkeiten (begangen am 15. April 2007, am 11. November 2007 und am 4. Mai 2008) zu einer Freiheitsstrafe von vier Jahren sowie zu einer Busse von Fr. 500.--. Eine bezogen auf den Tatbestand der versuchten schweren Körperverletzung erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 6B_954/2010 vom 10. März 2011 ab. Am 5. April 2011 trat X._ den Strafvollzug an.
B.
Am 20. Februar 2012 widerrief das Migrationsamt die Niederlassungsbewilligung von X._ und ordnete dessen Wegweisung aus der Schweiz auf den Zeitpunkt der Entlassung aus dem Strafvollzug an. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (nachfolgend: Sicherheitsdirektion) am 12. April 2013 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (nachfolgend: Verwaltungsgericht) bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 23. Juli 2013.
C.
X._ erhebt am 13. September 2013 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und von einer Wegweisung aus der Schweiz abzusehen; eventualiter sei ihm eine angemessene Ausreisefrist anzusetzen. X._ ersucht zudem um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung.
Mit Präsidialverfügung vom 19. September 2013 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der letztinstanzliche, verfahrensabschliessende Entscheid eines kantonalen Gerichts auf dem Gebiet des öffentlichen Rechts, welcher grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG, Art. 90 BGG, Art. 82 lit. a BGG). Gegen Entscheide über den Widerruf einer Niederlassungsbewilligung ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, weil grundsätzlich ein Anspruch auf das Fortbestehen dieser Bewilligung gegeben ist (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4). Ob der Anspruch im konkreten Fall zu bejahen ist, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 287). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig.
1.2. Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Er ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Änderung oder Aufhebung. Er ist gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerdeführung legitimiert.
1.3. Auf die Beschwerde ist somit einzutreten, soweit damit der Widerruf der Niederlassungsbewilligung angefochten wird.
1.4. Gegen den kantonalen Wegweisungsentscheid ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG) und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG) steht nur offen, soweit sich die betroffene Person auf besondere verfassungsmässige Rechte berufen kann, die ihr unmittelbar ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinn von Art. 115 lit. b BGG verschaffen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 310). Es kann offen bleiben, ob sich der Beschwerdeführer in zulässiger Weise (vgl. Art. 117 BGG in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG) auf ein solches Recht beruft, weil das Vorbringen bezüglich Blutrache im Rahmen der Zumutbarkeit geprüft wird und ohnehin unbehelflich ist (vgl. E. 3.2 am Ende und E. 3.3.3).
2.
Der Beschwerdeführer legt einen Therapiebericht der Psychiatrischen Dienste Graubünden vom 9. September 2013 vor. Dieses Beweismittel ist nach dem angefochtenen Urteil entstanden. Als echtes Novum ist es daher im vorliegenden Verfahren unbeachtlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 344). Das Gleiche gilt für den Vollzugsauftrag des (kantonalen) Amts für Justizvollzug vom 30. September 2013, welchen das Migrationsamt dem Bundesgericht am 31. Oktober 2013 eingereicht hat.
3.
Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet, weshalb sie im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG abzuweisen ist.
3.1. Es ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer durch die Verurteilung zu einer vierjährigen Freiheitsstrafe einen Widerrufsgrund im Sinn von Art. 63 Abs. 2 AuG (SR 142.20) in Verbindung mit Art. 62 lit. b AuG gesetzt hat (vgl. zum Erfordernis der "längerfristigen Freiheitsstrafe" im Sinn von Art. 62 lit. b AuG vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 379 ff.).
3.2. Die Sachverhaltsrügen des Beschwerdeführers sind unbegründet. Entgegen seinem Vorbringen war die Vorinstanz nicht verpflichtet, einen Verlaufsbericht zur deliktsorientierten Psychotherapie, welche er im Strafvollzug absolviert, anzufordern. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, ist die Rückfallgefahr bei ausländischen Personen, welche sich nicht auf das FZA (SR 0.142.112.681) berufen können, von untergeordneter Bedeutung (Urteile 2C_522/2013 vom 23. Dezember 2013 E. 3.3; 2C_331/2010 vom 16. September 2010 E. 3.3; 2C_218/2010 vom 27. Juli 2010 E. 3.3.1; vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 185; <ref-ruling> E. 2c S. 110). Die Legalprognose wird zwar auch in Fällen von Drittstaatsangehörigen im Rahmen der Interessenabwägung mitberücksichtigt, ist aber nicht allein ausschlaggebend (vgl. Urteil 2C_296/2011 vom 25. August 2011 E. 3.3).
Sodann besteht im ausländerrechtlichen Verfahren kein Raum dafür, die Beurteilung des Strafgerichts hinsichtlich des Verschuldens zu relativieren (Urteile 2C_522/2013 vom 23. Dezember 2013 E. 3.3; 2C_480/2013 vom 24. Oktober 2013 E. 4.5.1). Wenn der Beschwerdeführer in seiner Jugend Opfer von sexuellem Missbrauch geworden war (was nicht aktenkundig ist), so war es an ihm, diese Tatsache im verfahrensauslösenden Strafverfahren vorzubringen. Der Beschwerdeführer war in jenem Zeitpunkt erwachsen, so dass er den Gutachter, der ihn damals untersuchte, über die erlittene Gewalt hätte informieren können. Im Strafurteil wird ein früherer sexueller Missbrauch des Beschwerdeführers nicht erwähnt. Weder die Migrationsbehörden noch die Verwaltungsgerichte sind befugt, ihren Erwägungen hinsichtlich des Verschuldens einen Sachverhalt zugrunde zu legen, der nicht auch dem Strafurteil zugrunde liegt. Deswegen durfte die Vorinstanz auf die Einholung eines psychiatrischen Gutachtens verzichten (vgl. auch Urteil 2C_733/2012 vom 24. Januar 2013 E. 3.2).
Auch die Rügen, wonach die Vorinstanz die Führungsberichte der Vollzugsanstalt und ein Schreiben des Bruders des Beschwerdeführers betreffend Blutrache willkürlich gewürdigt habe, sind unbegründet. Es kann dafür auf die zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz verwiesen werden.
3.3. Es bleibt zu prüfen, ob die Massnahme verhältnismässig ist. Dabei sind namentlich die Schwere des Verschuldens, der Grad der Integration sowie die dem Betroffenen drohenden Nachteile zu berücksichtigen (BGE <ref-ruling> E. 4.3 ff. S. 381 ff.; vgl. auch Art. 96 Abs. 1 AuG). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts sind umso strengere Anforderungen an eine fremdenpolizeiliche Massnahme zu stellen, je länger eine ausländische Person in der Schweiz anwesend war. Die Niederlassungsbewilligung eines Ausländers, der sich schon seit langer Zeit hier aufhält, soll nur mit besonderer Zurückhaltung widerrufen werden; allerdings ist dies bei wiederholter bzw. schwerer Straffälligkeit selbst dann nicht ausgeschlossen, wenn er hier geboren ist und sein ganzes bisheriges Leben im Land verbracht hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 33 f.; <ref-ruling> E. 4.3 S. 381; Urteil 2C_740/2013 vom 10. Januar 2014 E. 3.2).
Die Notwendigkeit einer Interessenabwägung ergibt sich auch aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK, auf den sich der im Alter von 5 Jahren eingereiste und und hier aufgewachsene Beschwerdeführer berufen kann (Anspruch auf Schutz des Privatlebens, vgl. Urteil des EGMR Shala gegen Schweiz vom 15. November 2012 [Nr. 52873/09] § 39). Dieser Anspruch gilt indessen nicht absolut. Gemäss Art. 8 Ziff. 2 EMRK ist ein Eingriff in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut statthaft, soweit er gesetzlich vorgesehen und in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale oder öffentliche Sicherheit, für das wirtschaftliche Wohl des Landes, zur Aufrechterhaltung der Ordnung, zur Verhütung von Straftaten, zum Schutz der Gesundheit oder der Moral oder zum Schutz der Rechte und Freiheiten anderer notwendig ist.
Die Vorinstanz, auf deren Ausführungen auch hier ergänzend verwiesen werden kann, hat die auf dem Spiel stehenden Interessen ausführlich dargelegt und gegeneinander abgewogen:
3.3.1. Ausgangspunkt und Massstab für die Schwere des Verschuldens und die fremdenpolizeiliche Interessenabwägung ist die vom Strafgericht verhängte Strafe (<ref-ruling> E. 3.1 S. 216). Der Beschwerdeführer ist zu einer vierjährigen Freiheitsstrafe verurteilt worden. Das Obergericht ging in seinem Urteil vom 7. September 2010 (wie zuvor schon das Bezirksgericht) von einem schweren Verschulden aus. In Bezug auf die versuchte schwere Körperverletzung hielt es gestützt auf das Gutachten von Dr. med. W. Tur vom 3. November 2008 fest, der Beschwerdeführer habe eine hohe Gewaltbereitschaft und neige zu übermässiger Gewaltanwendung; seine Taten würden eine sehr geringe Frustrationstoleranz und eine hohe Impulsivität offenbaren. Der Beschwerdeführer hatte dem Geschädigten ohne Vorwarnung mit der Faust ins Gesicht geschlagen, worauf dieser zu Boden fiel. Daraufhin hatte der Beschwerdeführer aus vollem Anlauf und mit Wucht gegen den Kopf des reglos am Boden liegenden Geschädigten eingetreten. Dieser war in der Folge während sechs Wochen zu 100 % und danach noch einige Wochen zu 50 % arbeitsunfähig gewesen.
Es ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz dem Beschwerdeführer eine menschenverachtende Grundhaltung attestiert, zumal dieser in kurzen Abständen, einmal sogar in derselben Nacht, mehrere Gewalttaten begangen hatte. In Anlehnung an die Strafurteile des Obergerichts und des Bundesgerichts ist die Vorinstanz zu Recht auch in migrationsrechtlicher Hinsicht von einem schweren Verschulden ausgegangen.
3.3.2. Aus dem Urteil des EGMR Emre gegen Schweiz vom 22. Mai 2008 (Nr. 42034/04) kann der Beschwerdeführer kaum etwas für sich ableiten. Zwar ist auch er Angehöriger der "faktischen Zweitgeneration" und delinquierte zunächst als Jugendlicher, dann als junger Erwachsener. Im Gegensatz zum Fall Emre wurde beim Beschwerdeführer keine psychische Störung diagnostiziert (eine solche wurde sogar vom Gutachter im Strafverfahren ausdrücklich verneint). Die Schwere seiner Delikte nahm kontinuierlich zu, bis er schliesslich zu einer Freiheitsstrafe von vier Jahren verurteilt wurde, während das Strafmass im Fall Emre bedeutend niedriger war.
3.3.3. Im Übrigen deutet nichts darauf hin, was die Rückkehr des Beschwerdeführers in den Kosovo als unzumutbar erscheinen liesse. Zwar hat er den grössten Teil seines Lebens in der Schweiz verbracht, ist jedoch hier beruflich nicht etabliert. Der Beschwerdeführer ist jung, ledig und kinderlos; zwei Brüder leben ebenfalls im Kosovo. Das Vorbringen, er - der Beschwerdeführer - wäre im Fall einer Rückkehr der Blutrache ausgesetzt, erscheint damit als reine Schutzbehauptung. Der Beschwerdeführer spricht die albanische Sprache, so dass eine Eingliederung in seinem Herkunftsland ohne grössere Probleme möglich sein dürfte.
3.3.4. Schliesslich ist auch das Vorbringen des Beschwerdeführers, eine ausländerrechtliche Verwarnung würde sein zukünftiges Wohlverhalten garantieren, unbehelflich. Die Verwarnung vom 13. Februar 2007 vermochte ihn jedenfalls nicht von der Begehung jener Straftaten abzuhalten, welche zur Verurteilung von vier Jahren Freiheitsstrafe und damit zum Widerruf der Niederlassungsbewilligung geführt haben.
3.4. Nach dem Gesagten überwiegt das sicherheitspolitische Interesse an der Wegweisung des Beschwerdeführers dessen private Interessen am Verbleib in der Schweiz deutlich. Das angefochtene Urteil erweist sich somit als verhältnismässig.
4.
Die Beschwerde ist - samt Eventualantrag (bezüglich dessen auf die zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz verwiesen wird) - als unbegründet abzuweisen. Da sie von vornherein aussichtslos war, ist auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG e contrario). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers kann im Rahmen der Kostenauflage nach Art. 66 Abs. 1 BGG Rechnung getragen werden. Ausgangsgemäss sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Januar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner