Sachverhalt:
A. Die Baukommission der Stadt Solothurn bewilligte der Stiftung Discherheim am 11. Juli 2006 den Umbau der Liegenschaft, in der sich das ehemalige Restaurant Adler befindet; das betreffende Grundstück (GB Solothurn Nr. 386) liegt in der sog. Vorstadt, die zur Altstadtzone gehört.
Der Umbau bezweckt zum einen, in den Räumlichkeiten der Gastwirtschaft eine sog. Gassenküche mit 55 Sitzplätzen einzurichten. Ziel ist es, an Randständige zwei Mahlzeiten pro Tag gegen Entgelt abzugeben. Geplant sind Öffnungszeiten von 10.00 Uhr bis 19.30 Uhr; der Betrieb ist öffentlich. Zum andern ist vorgesehen, in den Räumlichkeiten im hinteren bzw. westlichen Gebäudeteil, mit separatem Eingang, von 15.45 Uhr bis 19.30 Uhr eine sog. Anlaufstelle zu betreiben. Die Anlaufstelle richtet sich an suchtkranke Menschen; der Betrieb ist nicht öffentlich. In der Anlaufstelle sind Aufenthalts-, Injektions- und Inhalationsraum, Krankenzimmer, Kleiderbörse und sanitäre Anlagen untergebracht. Zum Angebot gehört die Abgabe sauberen Spritzenmaterials und von Kondomen sowie niederschwellige Beratung im psychosozialen und medizinischen Bereich.
Gegen das Baugesuch hatten A._, Eigentümer mehrerer angrenzender Liegenschaften, und weitere Personen aus der näheren und weiteren Umgebung sowie ein Verein, der Anliegen der Vorstadt vertritt, Einsprache erhoben. Im Rahmen der Baubewilligung vom 11. Juli 2006 hiess die kommunale Baubehörde die vorgebrachten Einsprachepunkte teilweise gut, indem sie das Bauvorhaben nur unter Bedingungen und Auflagen bewilligte. Die Betreiber wurden verpflichtet, flankierende Massnahmen zu ergreifen (runder Tisch mit Anwohnern, regelmässige Kontrollgänge in der Umgebung, Reinigen der Umgebung, Verhindern von Ansammlungen der Benützer, bauliche Sicherheitsmassnahmen usw.). Im Übrigen wies die Behörde die Einsprachen ab, insbesondere auch insoweit sich diese gegen die Bewilligungsfähigkeit des Vorhabens gerichtet hatten.
B. A._ und die Mitbeteiligten reichten gegen die kommunale Baubewilligung Beschwerde beim Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn ein. Dieses wies die Beschwerde am 15. März 2007 ab, soweit es darauf eintrat. Die Beschwerdeführer zogen diesen Entscheid erfolglos an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn weiter; es wies ihr Rechtsmittel mit Urteil vom 9. Juli 2007 ab.
C. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts führen A._ und die weiteren im Rubrum genannten Personen mit einer gemeinsamen Eingabe vom 10. September 2007 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Ablehnung des umstrittenen Baugesuchs. Eventualiter seien die Auflagen der Baubewilligung in zwei Punkten zu ergänzen. Diesfalls sei die Bauherrschaft einerseits zu verpflichten, die Kontrollgänge durch einen privaten Sicherheitsdienst ausführen zu lassen. Anderseits sei sie zu verhalten, bauliche Massnahmen zur Verbesserung des Sicherheitsgefühls nicht nur am Umbaugrundstück, sondern auch an benachbarten Liegenschaften zu treffen. Mit Schreiben vom 17. September 2007 hat sich die Beschwerdeführerin O._ AG, nachträglich zurückgezogen.
Die Stiftung Discherheim stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde. Die Baukommission der Stadt Solothurn, das kantonale Bau- und Justizdepartement sowie das Verwaltungsgericht ersuchen um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Diese Eingaben wurden den Beschwerdeführern am 24. Oktober 2007 zur Kenntnisnahme zugestellt. Sie haben sich in der Folge nicht mehr dazu vernehmen lassen.
D. Mit Verfügung vom 11. Oktober 2007 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch der Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid ist nach dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) ergangen. Die vorliegende Beschwerde ist danach zu behandeln (<ref-law>).
1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid über eine baurechtliche Streitigkeit, die mit einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 1.2 S. 251, 409 E. 1.1 S. 411). Dabei handelt es sich um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>.
1.2 Die Beschwerdeführer sind Adressaten des angefochtenen Urteils und, soweit unmittelbare Nachbarn, vom umstrittenen Bauvorhaben mehr als die Allgemeinheit betroffen (<ref-law>). Zumindest ein grosser Teil der Beschwerdeführer verfügt über die erforderliche Bezugsnähe und ist zweifellos zur Beschwerdeführung berechtigt. Es muss daher nicht näher geprüft werden, ob dies auch für einzelne Beschwerdeführer aus der weiteren Umgebung und für den beschwerdeführenden Verein zutrifft, der Anliegen des Quartiers vertritt (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 475).
1.3 Der angefochtene Entscheid stützt sich zur Hauptsache auf kantonales bzw. kommunales Planungs- und Baurecht. Insofern kommt als Beschwerdegrund im Wesentlichen die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht, insbesondere von verfassungsmässigen Rechten der Bundesverfassung, in Frage (<ref-law>). Die Anwendung des kantonalen bzw. kommunalen Rechts als solches bildet nicht Beschwerdegrund. Überprüft werden kann insoweit nur, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung sonst wie gegen übergeordnetes Recht verstossen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.). Die Zulässigkeit von Sachverhaltsrügen richtet sich nach Art. 97 und Art. 99 BGG; darauf ist im entsprechenden Sachzusammenhang einzugehen.
1.4 Grundsätzlich wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
Hingegen gilt der Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. <ref-law>). Im Anwendungsbereich von <ref-law> ist die Praxis zum Rügeprinzip gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) weiterzuführen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287).
2. Das Verwaltungsgericht hat die Zonenkonformität des Bauvorhabens bejaht. Dabei legte es zunächst die anwendbaren Rechtsgrundlagen von Stadt und Kanton Solothurn dar und nahm gestützt darauf eine Einordnung des Bauprojekts vor.
2.1 Das vom Umbau betroffene Grundstück liegt in der Altstadtzone. Gemäss § 27 des kommunalen Bau- und Zonenreglements (BZR) sind in der Altstadtzone öffentliche Bauten, Geschäfts- und Wohnbauten und nichtstörende Gewerbe- und Dienstleistungsbetriebe zulässig. Das Verwaltungsgericht erwog, bei der Altstadtzone handle es sich um eine Kernzone im Sinne von § 31 des kantonalen Planungs- und Baugesetzes vom 3. Dezember 1978 (PBG/SO; BGS 711.1). Die Vorstadt, in der sich die Liegenschaft befindet, sei ein Teil des historischen Zentrums der Stadt Solothurn. Nach § 31 Abs. 1 PBG/SO umfassen Kernzonen Ortsteile, die als Zentren bereits bestehen oder neu gebildet werden sollen (§ 31 Abs. 1 PBG/SO). Es sind dort öffentliche Bauten, Geschäfts- und Wohnbauten und nichtstörende Gewerbe- und Dienstleistungsbetriebe zulässig (§ 31 Abs. 2 PBG/SO). § 31 Abs. 3 PBG/SO ermöglicht den Erlass besonderer Vorschriften für Kernzonen, namentlich zur Sicherung einer angemessenen Durchmischung der Nutzungen. Derartige Vorschriften wurden gemäss den Ausführungen des Verwaltungsgerichts nicht erlassen.
2.2 Ob die mit dem Bauvorhaben bezweckte Nutzung in der Altstadt- bzw. Kernzone zonenkonform ist, beurteilt sich nach der Praxis des Verwaltungsgerichts aufgrund einer funktionalen Betrachtungsweise. Abzustellen sei auf eine abstrakte Immissionsbeurteilung bzw. auf durchschnittliche objektivierte Bedingungen. Es sei zu prüfen, ob das Bauvorhaben zu einer Kategorie von Gewerben gehöre, die aufgrund der allgemeinen Erfahrung stören. Eine Nutzung sei in einer Kernzone auszuschliessen, wenn sie typischerweise Belästigungen zur Folge habe, die über das hinausgehen, was mit einer gemischten Nutzung verträglich ist. Es müsse auch eine Verträglichkeit mit dem Wohnen gegeben sein.
2.3 Was die materiellen Immissionen betrifft, beschränkte sich das Verwaltungsgericht auf Lärmimmissionen. Es hielt fest, es gelte in der Altstadtzone die Lärmempfindlichkeitsstufe III. Insofern erweise sich das Bauvorhaben als unproblematisch. Dies wird von den Beschwerdeführern nicht bestritten.
2.4 Aufgrund der Einwände der Beschwerdeführer befasste sich das Verwaltungsgericht eingehend mit der Frage der ideellen Immissionen.
Gassenküche und Anlaufstelle werden, je für sich getrennt, bereits bisher im Stadtzentrum betrieben. Die Gassenküche befindet sich auf der gegenüber liegenden, linksufrigen Flussseite in der Nähe des Rathauses und die Anlaufstelle ca. 580 Meter südlich vom geplanten Standort in der Vorstadt. Nach den Feststellungen des Verwaltungsgerichts haben sich in den letzten Jahren weder bei der Gassenküche noch bei der Anlaufstelle Gruppen von Kunden gebildet, die sich in der nahen Umgebung aufhalten würden. Auch Drogenhändler würden nicht in der Nähe der Anlaufstelle wirken. Die behördlichen Anstrengungen hätten dazu geführt, dass die offene Drogenszene zumindest in der Vorstadt zum Verschwinden gebracht worden sei. Ausserdem werde die Anlaufstelle von der Heroin-Abgabestelle in einem anderen Quartier konkurrenziert. Bisher seien im Rahmen der Gassenküche täglich ca. 40 Mittagessen an Randständige der Alkoholiker- und Drogenszene abgegeben worden. In der Anlaufstelle würden Spritzen an ca. 20 Personen pro Tag ausgehändigt. Die Betriebszeiten am neuen Standort würden bei der Gassenküche eine Ausweitung bedeuten, nicht aber bei der Anlaufstelle. Die Anlaufstelle rechne weiterhin mit dem Besuch von 20 Personen pro Tag. Dem angefochtenen Entscheid lässt sich entnehmen, dass das Verwaltungsgericht das Ausmass ideeller Immissionen des Betriebs von Gassenküche und Anlaufstelle unter einem Dach am neuen Standort für die Umgebung nicht höher einstufte als für die beiden bisherigen, örtlich getrennten Institutionen.
Ausserdem äusserte sich das Verwaltungsgericht zum Charakter der Umgebung; die streitbetroffene Liegenschaft befindet sich an der Ecke Berntorstrasse/Adlergasse. Dieses Gebiet bewertete das Verwaltungsgericht als städtisch geprägt. Im Erdgeschoss finde sich in der Regel eine gewerbliche Nutzung, in den Obergeschossen habe es null bis zwei, selten vier Wohnungen. Das Verwaltungsgericht wies darauf hin, dass an der Berntorstrasse verschiedene Restaurants betrieben werden. Es gebe Gewerbebetriebe für Bodenbeläge, Musikalien und Antiquitäten, ein Kino und ein grösseres Rotlicht-Etablissement. An der Adlergasse habe es Restaurants, Clublokale und Garagen. Die Berntorstrasse sei stark befahren. Es handle sich nicht um eine bevorzugte Wohnlage; das Umfeld sei nicht für Familien mit Kindern geeignet. Es beständen auch keine Wohnschutzvorschriften. Vielmehr gebe es bereits heute die üblichen Konflikte zwischen den Lärmimmissionen der Restaurants und dem Wohnen. Nach Auffassung des Verwaltungsgerichts belastet der Betrieb der Gassenküche die Umgebung am neuen Standort nicht mehr, als was dort von Restaurants, Bars und Etablissements des Rotlichtmilieus geduldet werde. Die kleine Zahl von Kunden der Anlaufstelle werde in der Umgebung nicht besonders auffallen. Dass sich bei einer Realisierung des Vorhabens zukünftig keine Gruppen von Kunden im näheren Umkreis aufhalten würden, nahm das Verwaltungsgericht schliesslich auch deshalb an, weil es die Umgebung als diesbezüglich "unwirtlich" betrachtete.
Unter Berücksichtigung der von der kommunalen Behörde verfügten Bedingungen und Auflagen erachtete das Verwaltungsgericht das Bauvorhaben im Hinblick auf dessen ideelle Immissionen als zonenkonform.
3. 3.1 Die Beschwerdeführer halten dem Verwaltungsgericht zunächst vor, seine Sachverhaltsfeststellung zu den ideellen Immissionen des Bauprojekts sei willkürlich; sie stehe in klarem Widerspruch zur tatsächlichen Situation. Ebenso beanstanden sie eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör im Zusammenhang mit der Sachverhaltsermittlung. Damit wehren sie sich dagegen, dass das Verwaltungsgericht ein von ihnen beantragtes Gutachten zu den Auswirkungen des Projekts auf die Immobilienpreise in der Nachbarschaft nicht eingeholt hat.
3.2 Nach <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Soweit es um die Frage geht, ob der Sachverhalt willkürlich oder unter verfassungswidriger Verletzung einer kantonalen Verfahrensvorschrift ermittelt worden ist, gelten ebenfalls strenge Anforderungen an die Begründung der Beschwerde; diese sind mit der Rügepflicht nach <ref-law> vergleichbar (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
3.3 Mit dem Willkürvorwurf versuchen die Beschwerdeführer die Prognose des Verwaltungsgerichts zu entkräften, wonach keine übermässigen Belästigungen der Nachbarschaft durch Kunden der fraglichen Institutionen zu erwarten seien. Es kann offenbleiben, inwiefern die Beschwerdeführer dabei im Einzelnen der Rügepflicht genügen bzw. sogar unzulässige Noven vorbringen. Die Willkürrüge erweist sich ohnehin als unbegründet, wie im Folgenden aufzuzeigen ist (vgl. zum Begriff der willkürlichen Tatsachenfeststellung <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; <ref-ruling> E. 2a S. 41).
3.4 Ideelle Immissionen sind Einwirkungen, die das seelische Empfinden verletzen bzw. unangenehme psychische Eindrücke erwecken. Wenn ein Betrieb zur Folge hat, dass die Umgebung unsicher, unästhetisch oder sonst wie unerfreulich wirkt, so kann dies die Attraktivität einer Gegend für Geschäfte und Wohnungen beeinträchtigen. Dabei liegt es im Wesen des Immissionsrechts, dass es nicht anders geregelt werden kann, als mit dem weiten Begriff der übermässigen Einwirkung. In jedem konkreten Fall muss festgestellt werden, was anhand der gegebenen Umstände als übermässige Einwirkung anzusehen ist (vgl. <ref-ruling> E. 5c/bb S. 146 f.; unveröffentlichtes Urteil 1P.160/2004 vom 27. Januar 2005, E. 4.1).
3.4.1 Als ideelle Immissionen befürchten die Beschwerdeführer Belästigungen durch Kunden von Anlaufstelle und Gassenküche. Nach ihrer Meinung zieht das Projekt Ansammlungen von betrunkenen Randständigen sowie regelmässigen Handel und Konsum von Drogen in der näheren Umgebung nach sich. Ob solche Begleiterscheinungen von Institutionen der vorliegenden Art wirksam bekämpft bzw. auf ein erträgliches Ausmass gesenkt werden können, hängt im Wesentlichen vom Durchsetzungsvermögen der Betreiber dieser Institutionen und der Polizei ab. Nichts anderes ergibt sich aus dem von den Beschwerdeführern genannten <ref-ruling> (vgl. E. 6b S. 419). Wenn sich das Vorliegen entsprechender Vorkehren - wie hier - willkürfrei bejahen lässt (vgl. dazu E. 3.4.3-3.4.4, hiernach), kommt der Eignung einer Umgebung für die Bildung einer Alkoholiker- oder Drogenszene im Freien keine entscheidende Bedeutung zu.
3.4.2 Im Hinblick auf diese Umgebung genügt es daher vorliegend, den generellen Charakter der Gegend zu ermitteln. Die Würdigung des Verwaltungsgerichts, es handle sich um eine städtisch geprägte Zentrumslage, stellen die Beschwerdeführer nicht infrage. Das Verwaltungsgericht meint, die Vorstadt scheide im heutigen Zeitpunkt wegen ihrer Unwirtlichkeit als Anziehungspunkt für Randständige aus. Ob dies zutrifft, mag dahingestellt bleiben. Jedenfalls ist auch aufgrund der Vorbringen der Beschwerdeführer nicht anzunehmen, dass sich das städtische Erscheinungsbild der Vorstadt in Zukunft grundlegend ändern wird. Deshalb müssen die Auswirkungen der von den Beschwerdeführern erwähnten, bevorstehenden Entlastung der Vorstadt vom Durchgangsverkehr nicht näher erörtert werden.
3.4.3 Nach dem Verwaltungsgericht gibt der Betrieb der heutigen Anlaufstelle und der heutigen Gassenküche zu keinen nennenswerten Klagen aus der Nachbarschaft Anlass, was die Beschwerdeführer nicht bestreiten. Dies scheint auf Anstrengungen der Behörden und der Polizei zurückzuführen sein; in der Vergangenheit gab es demgegenüber in der Vorstadt eine offene Drogenszene, die in Zusammenhang mit dem nahegelegenen Standort der heutigen Anlaufstelle stand. Die Ausführungen der Beschwerdeführer zur angeblich besonderen Lage der heutigen Anlaufstelle sind somit nicht stichhaltig. Weiter ist es nicht unhaltbar, wenn das Verwaltungsgericht angenommen hat, die Kundenzahl beim geplanten Betrieb der beiden Institutionen unter einem Dach werde im Vergleich zur heutigen Situation nicht erheblich ansteigen. Bereits das kantonale Departement hatte in seinem Rechtsmittelentscheid festgehalten, dass der Kundenkreis der beiden Institutionen weitgehend deckungsgleich ist. Mit diesem Argument setzen sich die Beschwerdeführer nicht auseinander.
3.4.4 Vor diesem Hintergrund durfte das Verwaltungsgericht davon ausgehen, dass die Betreiber der Institutionen und die Polizei auch am neuen Standort der Gefahr von Belästigungen der Nachbarschaft genügend entgegenwirken werden. Dies ist umso weniger zu beanstanden, als entsprechende Auflagen ausdrücklich in die Baubewilligung aufgenommen worden sind. Im Übrigen bekräftigt die Stadt Solothurn in der Vernehmlassung an das Bundesgericht, dass sie unzulässige Auswirkungen des vorgesehenen Projekts auf die Nachbarschaft polizeilich bekämpfen wird. Das Verwaltungsgericht war nicht gehalten, seine Annahmen von der Vorbedingung abhängig zu machen, dass an keinem Standort in der Stadt mehr regelmässige Ansammlungen von Alkoholikern oder Drogensüchtigen im Freien bestehen. Folglich erweist sich die Feststellung des Verwaltungsgerichts zum Ausmass der ideellen Immissionen nicht als offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law>.
3.5 Im Rahmen der Gehörsrüge beanstanden die Beschwerdeführer zum einen, das Verwaltungsgericht habe die Notwendigkeit eines Gutachtens zur mutmasslichen Wertverminderung ihrer Liegenschaften verkannt. Zum andern kritisieren sie, dass die Ablehnung des Beweisantrags im angefochtenen Entscheid nicht begründet worden ist.
3.5.1 Der in <ref-law> gewährleistete Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 236 mit Hinweis). Die Begründungspflicht und der Anspruch auf Begründung sind nicht bereits dadurch verletzt, dass sich die urteilende Behörde nicht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 277; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445, je mit Hinweisen). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 3 S. 157; <ref-ruling> E. 2.1 S. 429; <ref-ruling> E. 4a S. 211, je mit Hinweisen).
3.5.2 Fehl gehen die Beschwerdeführer mit dem Vorwurf mangelhafter Entscheidbegründung. Das Verwaltungsgericht hat in der Vernehmlassung dargelegt, dass sein Präsident den Beschwerdeführern die Begründung für die Abweisung des Beweisantrags an der Augenscheinsverhandlung mündlich erläutert hatte; er habe damals ausgeführt, das Gutachten vermöge nichts Entscheidrelevantes beizutragen. Diese Sachdarstellung haben die Beschwerdeführer nicht bestritten. Da das kantonale Gericht die Entwicklung der Immobilienpreise in der Nachbarschaft infolge des Bauvorhabens nicht für wesentlich erachtete, beging es keine Gehörsverletzung, wenn es im angefochtenen Entscheid nicht näher auf diesen Punkt einging.
3.5.3 Das Verwaltungsgericht ist mit seiner antizipierten Beweiswürdigung zum fraglichen Gutachten auch nicht in Willkür verfallen. Es hat bei seinen tatsächlichen Feststellungen nicht ausgeschlossen, dass die Verkäuflichkeit bzw. Vermietbarkeit von benachbarten Liegenschaften nach der Realisierung des Projekts erschwert sein kann. Wie bereits dargelegt, hat es das Vorliegen ideeller Immissionen bejaht, ist aber in haltbarer Weise von einer für das Quartier zumutbaren Intensität ausgegangen (vgl. E. 3.4, hiervor). Darüber hinaus war das Verwaltungsgericht nicht gehalten, eine Prognose über die Entwicklung von Immobilienpreisen im Quartier beizuziehen. Es hilft den Beschwerdeführern nicht weiter, wenn sie sich diesbezüglich auf einen Aufsatz von Bernhard Waldmann berufen (Der Schutz vor ideellen Immissionen in Wohngebieten - eine kritische Würdigung, in: Baurecht 2005 S. 156 ff., 161); der Autor verlangt keine entsprechenden Abklärungen.
3.6 Zusammengefasst dringen die gegen die Sachverhaltsfeststellung erhobenen Rügen nicht durch.
4. Mit Blick auf die Rechtsanwendung bestreiten die Beschwerdeführer die Zonenkonformität des Vorhabens. Sie halten die Auslegung des Verwaltungsgerichts zu § 31 Abs. 2 PBG/SO und § 27 BZR für willkürlich. Dadurch habe das Verwaltungsgericht zugleich Art. 22 Abs. 2 lit. a des Bundesgesetzes vom 22. Juni 1979 über die Raumplanung (RPG; SR 700) verletzt. Ausserdem erblicken die Beschwerdeführer in der Erteilung der Bewilligung eine Verletzung ihrer Eigentumsgarantie.
4.1 Nach Art. 22 Abs. 2 lit. a RPG darf eine Baubewilligung nur erteilt werden, wenn die Baute oder Anlage dem Zweck der Nutzungszone entspricht. Dies ist der Fall, wenn sie jener Nutzung dient, für welche die Zone bestimmt ist (EJPD/BRP, Erläuterungen RPG, N. 29 zu Art. 22 RPG). Die Einwände der Beschwerdeführer betreffen die in § 31 Abs. 2 PBG/SO und § 27 BZR verankerte Bedingung, dass bloss "nichtstörende" Gewerbe- und Dienstleistungsbetriebe zonenkonform sind. Die Beschwerdeführer stossen sich daran, dass das Verwaltungsgericht diese Voraussetzung als gegeben betrachtet hat.
4.2 Ideelle Immissionen sind vom Bundesgesetz vom 7. Oktober 1983 über den Umweltschutz (USG; SR 814.01) und seinen Ausführungsbestimmungen nicht erfasst. Es ist grundsätzlich Sache des kantonalen Bau- und Planungsrechts zu bestimmen, welche Bauten oder Anlagen zonenkonform und welche ideellen Einwirkungen dabei zulässig sind. So können etwa störende Bauten und Betriebe, die mit dem Charakter einer Wohnzone unvereinbar sind, durch kommunales oder kantonales Recht untersagt werden, auch wenn die Lärmimmissionen, zu denen sie führen, bundesrechtliche Schranken nicht überschreiten (vgl. <ref-ruling> E. 1b S. 115; unveröffentlichtes Urteil 1A.120/2005 vom 31. Mai 2006, E. 8.1). Für die Beurteilung des konkreten Bauvorhabens im Lichte der anwendbaren kantonalen bzw. kommunalen Norm spielt es daher keine massgebliche Rolle, dass die Liegenschaft und ihre Umgebung mit Blick auf die Lärmimmissionen der Empfindlichkeitsstufe III zugeordnet und insoweit mässig störende Betriebe zugelassen sind (vgl. Art. 43 Abs. 1 lit. c der eidgenössischen Lärmschutzverordnung vom 15. Dezember 1986 [LSV; SR 814.41]).
4.3 Die Anwendung von kantonalem und kommunalem Gesetzesrecht prüft das Bundesgericht an sich nur auf Willkür hin (vgl. zum Begriff der willkürlichen Rechtsanwendung <ref-ruling> E. 3.1 S. 153; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f.). Im Hinblick auf die Verletzung von eidgenössischem oder kantonalem Verfassungsrecht steht dem Bundesgericht hingegen die freie Kognition zu. Die angerufene Eigentumsgarantie (<ref-law>) kann unter den Voraussetzungen von <ref-law> eingeschränkt werden. Danach ist verlangt, dass der Eingriff in ein Grundrecht auf einer gesetzlichen Grundlage beruht, im öffentlichen Interesse erfolgt und verhältnismässig ist. Ausführungen zur Frage der Beschränkung der Kognition des Bundesgerichts bei der Auslegung der umstrittenen gesetzlichen Grundlagen erübrigen sich, weil der angefochtene Entscheid insofern einer freien Prüfung standhält. Ohnehin prüft das Bundesgericht frei, ob ein Grundrechtseingriff im öffentlichen Interesse liegt und verhältnismässig ist (<ref-ruling> E. 6.1 S. 434 mit Hinweisen). Freilich auferlegt sich das Bundesgericht auch im Rahmen einer freien Überprüfung Zurückhaltung, soweit die Beurteilung von besonderen örtlichen Verhältnissen oder von planerischen Gesichtspunkten abhängt, welche die kantonalen Behörden besser kennen und überblicken (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 416; <ref-ruling> E. 3c S. 172, je mit Hinweisen).
4.4 Eine verfassungskonforme Auslegung gebietet bei Normen mit Bezug auf ideelle Immissionen namentlich, den Charakter der fraglichen Umgebung zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 5c/bb S. 148). Die Qualifizierung ideeller Immissionen als stark störend bedingt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ein erhebliches Konfliktpotential zwischen den sich entgegenstehenden Nutzungen, insbesondere zu Wohnnutzungen (Urteile des Bundesgerichts 1P.771/2001 vom 5. Mai 2003, E. 9.2, erwähnt in: ZBl 105/2004 S. 111; 1P.160/2004 vom 27. Januar 2005, E. 4.2). Umgekehrt lässt sich nicht sagen, dass eine Einstufung als "nichtstörend" das Fehlen jeglichen Konfliktpotentials voraussetzt. Vielmehr ist eine Gesamtschau unter Einbezug des geplanten Vorhabens und der bestehenden Umgebung anzustellen.
4.4 Eine verfassungskonforme Auslegung gebietet bei Normen mit Bezug auf ideelle Immissionen namentlich, den Charakter der fraglichen Umgebung zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 5c/bb S. 148). Die Qualifizierung ideeller Immissionen als stark störend bedingt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ein erhebliches Konfliktpotential zwischen den sich entgegenstehenden Nutzungen, insbesondere zu Wohnnutzungen (Urteile des Bundesgerichts 1P.771/2001 vom 5. Mai 2003, E. 9.2, erwähnt in: ZBl 105/2004 S. 111; 1P.160/2004 vom 27. Januar 2005, E. 4.2). Umgekehrt lässt sich nicht sagen, dass eine Einstufung als "nichtstörend" das Fehlen jeglichen Konfliktpotentials voraussetzt. Vielmehr ist eine Gesamtschau unter Einbezug des geplanten Vorhabens und der bestehenden Umgebung anzustellen.
4.5 4.5.1 Beim Begriff "nichtstörend" handelt es sich um einen unbestimmten Gesetzesbegriff. Unbestimmte Gesetzesbegriffe gewinnen ihren Inhalt aus dem Sinn und Zweck der Vorschrift sowie aus der Stellung im Gesetz und im Rechtssystem; sie bedürfen also der Auslegung. Das Verwaltungsgericht hat den fraglichen Begriff, bezogen auf Kernzonen im Sinne von § 31 PBG/SO und § 27 BZR, grosszügig ausgelegt. Es genügt, dass ein Betrieb mit einer gemischten Nutzung (inkl. Wohnen) verträglich ist (vgl. E. 2.2, hiervor). Diese Auslegung ist nicht zu beanstanden. Derartige Zonen erfüllen Zentrumsfunktionen; diesem Zweck dient die Zulassung von Gewerbe- und Dienstleistungsbetrieben, die über die Bedarfsdeckung für die Wohnbevölkerung des Quartiers hinausgehen. Sinn und Zweck der umstrittenen Nutzung entspricht der vorgegebenen Zentrumsfunktion der Kernzone. Anlaufstelle und Gassenküche müssen für die Zielgruppen gut und leicht erreichbar sein, damit das Benützungskonzept verwirklicht werden kann.
4.5.2 Weiter hat das Verwaltungsgericht seiner Beurteilung das konkrete Vorhaben zugrunde gelegt. Da es die damit verbundenen immateriellen Immissionen in haltbarer Weise als nicht übermässig einstufte (vgl. E. 3.4, hiervor), durfte es die Verträglichkeit des geplanten Projekts mit der gemischten Nutzung in der Kernzone bejahen. Es war - entgegen der Meinung der Beschwerdeführer - nicht gehalten, bei der gebotenen abstrakten bzw. typisierten Betrachtungsweise von einem Betrieb ohne flankierende Massnahmen auszugehen. Ebenso wenig gereicht es dem Verwaltungsgericht zum Vorwurf, wenn es die bestehenden Nutzungen in der Umgebung zu Vergleichszwecken in seine Überlegungen einbezogen hat; diese Vorgehensweise ist vielmehr mit der bei E. 4.4, hiervor angeführten bundesgerichtlichen Rechtsprechung vereinbar.
4.5.3 Die Vorbelastung der Vorstadt mit ideellen Immissionen würdigen die Beschwerdeführer entgegengesetzt zum Verwaltungsgericht. In einer Eventualbegründung machen sie geltend, die ideellen Immissionen des Projekts würden das Mass des Zulässigen wenn nicht für sich allein, so doch im Zusammenspiel mit dieser Vorbelastung sprengen. Dabei beanspruchen die Beschwerdeführer eine analoge Anwendung der Grundsätze zur Beurteilung der Auswirkungen eines Bauvorhabens auf die Luftqualität in vorbelasteten Gebieten. Sinngemäss verlangen die Beschwerdeführer eine Verweigerung der Baubewilligung wegen einer übermässigen Gesamtbelastung an ideellen Immissionen. Selbst im Rahmen der Rechtsprechung zur Luftreinhaltung gilt jedoch der Grundsatz, dass ein zonenkonformes Bauprojekt, von dem für sich allein bloss durchschnittliche Emissionen ausgehen, grundsätzlich nicht unter Hinweis auf eine übermässige Gesamtbelastung der Luft abgelehnt werden kann (<ref-ruling> E. 4c/bb S. 281; <ref-ruling> E. 3f S. 189, je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführer zeigen auch nicht auf, gestützt auf welche Rechtsgrundlage die solothurnischen Behörden verpflichtet wären, bei ideellen Immissionen einen Plan zu erstellen, der mit dem Massnahmenplan im Sinne von <ref-law> (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.1 S. 114, 470 E. 4.1 S. 478) vergleichbar wäre. Den Beschwerdeführern könnte nicht beigepflichtet werden, sofern sie mit diesen Vorbringen sinngemäss die vorgängige Durchführung eines Nutzungsplanverfahrens fordern sollten.
4.5.4 Insgesamt durfte das Verwaltungsgericht die Zonenkonformität des Bauvorhabens bejahen.
4.6 Die öffentlichen Interessen an der Realisierung des geplanten Projekts gehen den entgegen stehenden privaten Interessen der Nachbarn vor. Die Anlaufstelle dient einerseits gesundheitspolizeilichen Interessen, namentlich der Aids-Prophylaxe im Zusammenhang mit der Abgabe von Spritzen und Kondomen. Anderseits wird im Rahmen von Anlaufstelle und Gassenküche Fürsorge gewährt, um die Verelendung von Randständigen und insbesondere von Suchtkranken zu verhindern. Im Hinblick auf diese öffentlichen Interessen bietet der Betrieb der beiden Institutionen unter einem Dach, mit der angebotenen Tagesstruktur, Vorteile im Vergleich zur heutigen Situation.
Berechtigten Sicherheitsbedürfnissen der Anwohner und der naheliegenden Gewerbetreibenden wurde mit den Bedingungen und Auflagen in der Baubewilligung aus heutiger Sicht genügend Rechnung getragen. Eine dieser Auflagen betrifft die polizeilichen Kontrollen in der Umgebung. Den Beschwerdeführern ist nicht zu folgen, wenn sie diesbezüglich von einem unverbindlichen Ersuchen der Baubehörde an die Polizei ausgehen. Was die im Eventualantrag verlangten, zusätzlichen Auflagen zu den bereits verfügten betrifft, hat das kantonale Departement in seinem Rechtsmittelentscheid festgehalten, dass solche erst im Nachhinein auf begründete Beschwerden von Anwohnern hin zu ergreifen sind. Ein derart gestuftes Vorgehen erscheint als verhältnismässig. Es ist daher auch nicht zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht sich nicht im Einzelnen mit den Begehren der Beschwerdeführer um zusätzliche Auflagen bzw. deren Präzisierung befasst hat.
4.7 Demzufolge verletzt die Erteilung der Baubewilligung die Eigentumsgarantie der Beschwerdeführer nicht.
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>); sie haften dafür solidarisch (<ref-law>). Die private Beschwerdegegnerin hat im bundesgerichtlichen Verfahren keinen aussenstehenden Anwalt beigezogen. Deshalb ist ihr keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. BGE <ref-ruling> E. 4 S. 446). Eine Entschädigung an die Stadt Solothurn fällt ausser Betracht (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Baukommission der Stadt Solothurn, dem Bau- und Justizdepartement sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Januar 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kessler Coendet