Sachverhalt:
A. Der 1959 geborene M._ verletzte sich am 2. Juli 2002 bei der Arbeit am rechten Vorderarm und an der rechten Hand. Mit Einspracheentscheid vom 12. September 2005 sprach ihm die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) aufgrund einer Erwerbsunfähigkeit von 32 % ab 4. Dezember 2004 eine Invalidenrente der Unfallversicherung sowie eine Integritätsentschädigung zu, was das Bundesgericht mit Urteil U 470/06 vom 27. April 2007 letztinstanzlich bestätigte. Dagegen verneinte die IV-Stelle Luzern, bei welcher sich M._ im Juni 2003 zum Leistungsbezug angemeldet hatte, mit Verfügung vom 4. Dezember 2005 den Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung, woran sie mit Einspracheentscheid vom 11. Januar 2007 festhielt.
B. Die Beschwerde des M._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 10. April 2008 ab, soweit es darauf eintrat.
C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 10. April 2008 sei aufzuheben und ihm im Sinne der Erwägungen eine Rente basierend auf einem höheren Erwerbsunfähigkeitsgrad zuzusprechen, eventualiter die Sache im Sinne der Erwägungen zu weiteren Abklärungen zurückzuweisen, unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung.
IV-Stelle und kantonales Gericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Der mit offensichtlicher Unrichtigkeit des vorinstanzlichen Entscheids begründete Antrag in der Beschwerde auf Wiedererwägung des Urteils U 460/07 vom 27. April 2007 gestützt auf Art. 121 lit. b und d BGG ist unzulässig und darauf nicht einzutreten.
2. 2.1 Das kantonale Gericht hat festgestellt, der Versicherte sei seit dem Arbeitsunfall vom 2. Juli 2002 zu 100 % arbeitsunfähig gewesen. Ab 24. März 2003 habe noch eine Arbeitsunfähigkeit von 60 % bestanden. Daraus hat die Vorinstanz richtig gefolgert, dass Leistungsbeginn frühestens der 1. Juli 2003 (<ref-law>) und demzufolge die Invaliditätsbemessung durch Einkommensvergleich (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) auf diesen Zeitpunkt vorzunehmen ist (<ref-ruling>). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers konnte aufgrund von <ref-law> der Anspruch auf eine Rente nicht vor dem 2. Juli 2003 nach Ablauf eines Jahres seit dem Unfall entstehen.
2.2 Im Weitern hat die Vorinstanz festgestellt, unter Berücksichtigung der Unfallfolgen (Vorderarm- und Handverletzung rechts) sowie des Rückenleidens sei die Ausübung einer leidensangepassten Tätigkeit im Rahmen eines 80 %-Pensums zumutbar. Die Leistungseinschränkung von 20 % bestehe wegen des Reizsyndroms des Rückens. Ein psychischer Gesundheitsschaden mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit sei aufgrund der Akten nicht anzunehmen.
Die durch das Rückenleiden bedingte Arbeitsunfähigkeit von 20 % ist nicht bestritten. Sodann vermag der Beschwerdeführer nicht darzutun, inwiefern die Vorinstanz offensichtlich unrichtig einen psychischen Gesundheitsschaden mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit verneint hat und der Verzicht auf diesbezügliche Abklärungen auf einer nicht pflichtgemässen (antizipierten) Beweiswürdigung beruht (Urteil 9C_561/2007 vom 11. März 2008 E. 5.2.1).
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat die - zu 80 % zumutbaren - leidensangepassten Tätigkeiten entsprechend dem regionalärztlichen Dienst und dem Fachdienst berufliche Eingliederung der IV-Stelle (Protokoll-Eintragungen vom 12. September und 18. Oktober 2005) wie folgt umschrieben: «Leichte, körperlich wechselbelastende Tätigkeit. Keine Zwangshaltungen, keine Über-Kopf-Arbeiten. Keine Kälte-/Nässeeinwirkungen. Keine Vibrationen-, Rüttel- oder Schüttelbewegungen auf das Achsenskelett. Kein regelmässiges Heben von Lasten über 10 kg, keine Arbeiten auf Unebenheiten, Leitern und mit Gleichgewicht und Sturz-, Stolpergefahr verbunden. Die rechte Hand ist nur noch als Hilfshand einsetzbar (bei ursprünglicher Rechtshändigkeit)».
Zu den erwerblichen Auswirkungen der gesundheitlich bedingt beeinträchtigten Arbeitsfähigkeit hat die Vorinstanz festgestellt, auf dem für die Invaliditätsbemessung massgebenden ausgeglichenen Arbeitsmarkt bestünden durchaus Stellen für bloss noch einarmig einsetzbare Arbeitnehmer. Zu denken sei etwa an einfache Überwachungs-, Prüf- und Kontrolltätigkeiten sowie an die Bedienung und Überwachung von (halb-)automatischen Maschinen oder Produktionseinheiten, die kei-nen Einsatz von rechtem Arm und rechter Hand voraussetzten. Davon ausgehend bestimmte die Vorinstanz das Invalideneinkommen auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2002 des Bundesamtes für Statistik (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 476 und <ref-ruling>). Dabei nahm sie wie schon die IV-Stelle einen Abzug vom Tabellenlohn nach <ref-ruling> von 5 % vor, da der Versicherte auch in einer Hilfsarbeitertätigkeit eingeschränkt (leichte angepasste Tätigkeit) und daher auf dem Arbeitsmarkt in Konkurrenz mit gesundheitlich nicht beeinträchtigten Personen benachteiligt sei, was mit einer Lohneinbusse einhergehe; die leidensbedingte Einschränkung sei bereits durch das 80 %-Pensum berücksichtigt. Der Einkommensvergleich ergab einen nicht anspruchsbegründenden Invaliditätsgrad von 31 % ([[Fr. 64'025.- - Fr. 43'873.10]/Fr. 64'025.-] x 100 %; <ref-law> in den bis 31. Dezember 2007 jeweils gültig gewesenen Fassungen).
3.2 Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz konkretisiere nicht genügend, wie eine noch zumutbare leidensangepasste Tätigkeit aussehen soll. Seine rechte Gebrauchshand sei weitgehend nicht mehr einsetzbar. Die beispielhaft aufgezählten Verweisungstätigkeiten bestünden auch für Einarmige nicht mehr, da solche Abläufe in der heutigen Wirtschaft von Computern und automatischen Maschinen übernommen seien. Es stelle eine willkürliche Beweiswürdigung oder eine offensichtlich unrichte Sachverhaltsfeststellung dar, dass diese wesentlich veränderte Sachlage bei der Umschreibung des ausgeglichenen Arbeitsmarktes und der darin vorhandenen Arbeitsmöglichkeiten noch nicht Niederschlag gefunden habe. Es bestehe in diesem Sinne mindestens schon eine Arbeitsunfähigkeit von 60 %, welche unter Berücksichtigung des in einem solchen Fall sicher vorzunehmenden maximalen Leidens- resp. Teilzeitabzugs von 25 % eine entsprechend höhere Erwerbsunfähigkeit ergebe.
3.2.1 Das trotz der gesundheitlichen Beeinträchtigung zumutbarerweise erzielbare Einkommen ist bezogen auf einen ausgeglichenen Arbeitsmarkt zu ermitteln. Ein solcher Arbeitsmarkt ist gekennzeichnet durch ein gewisses Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage nach Arbeitskräften und weist einen Fächer verschiedenster Tätigkeiten auf und zwar sowohl bezüglich der dafür verlangten beruflichen und intellektuellen Voraussetzungen wie auch hinsichtlich des körperlichen Einsatzes (<ref-ruling> E. 4b S. 276; ZAK 1991 S. 321 E. 3b). Bei der Bestimmung des im Einzelfall in Betracht fallenden, dem gesundheitlichen Anforderungsprofil entsprechenden Arbeitsmarktes ist nicht von realitätsfremden Einsatzmöglichkeiten auszugehen. Es können nur Vorkehren verlangt werden, die unter Berücksichtigung der gesamten objektiven und subjektiven Gegebenheiten zumutbar sind (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 97/00 vom 29. August 2002 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Anderseits sind an die Konkretisierung von Arbeitsgelegenheiten und Verdienstaussichten keine übermässigen Anforderungen zu stellen (Urteil 9C_121/2008 vom 4. August 2008 E. 5.1).
3.2.2 Es ist eine Tatsache, dass Computer und automatische Maschinen überall in der Arbeitswelt zum Einsatz gelangen. Das Eidg. Versicherungsgericht hatte schon in ZAK 1991 S. 321 E. 3b in fine festgestellt, dass in Industrie und Gewerbe Arbeiten, welche physische Kraft verlangen, seit langem und in ständig zunehmendem Masse durch Maschinen verrichtet werden. Deren Anwendungsgebiet reicht vom Einsatz in der Produktion bis zur Überwachung, Prüfung und Kontrolle von Arbeitsabläufen oder die Überwachung von Anlagen und Gebäuden. Dies bedeutet indessen nicht, dass es - auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt - nicht genügend realistische Betätigungsmöglichkeiten gibt für Personen, welche funktionell als Einarmige zu betrachten sind und überdies nur noch leichte Arbeit verrichten können. Längst nicht alle im Arbeitsprozess im weitesten Sinne notwendigen Aufgaben und Funktionen im Rahmen der Überwachung, Kontrolle und Prüfung werden durch Computer und automatische Maschinen ausgeführt. Abgesehen davon müssen solche Geräte bedient und ihr Einsatz ebenfalls überwacht und kontrolliert werden. Der Beschwerdeführer nennt denn auch keine konkrete Tätigkeit oder gar Erwerbszweige, welche es aufgrund der zunehmenden Automatisierung der Arbeitsabläufe auf dem Arbeitsmarkt praktisch nicht mehr geben solle. Die Gerichtspraxis ist bisher regelmässig bei Versicherten, welche ihre dominante Hand gesundheitlich bedingt nur sehr eingeschränkt als unbelastete Zudienhand beispielsweise einsetzen konnten, von einem hinreichend grossen Arbeitsmarkt mit realistischen Betätigungsmöglichkeiten ausgegangen (vgl. Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts U 521/06 vom 10. Dezember 2007, U 303/06 vom 22. November 2006, I 797/05 vom 29. August 2006 und I 685/05 vom 16. Mai 2006; vgl. auch Urteil 9C_830/2007 vom 29. Juli 2008). Es besteht kein Anlass für eine andere Betrachtungsweise.
Es verletzt daher Bundesrecht nicht, dass das kantonale Gericht das Invalideneinkommen auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2002 des Bundesamtes für Statistik ermittelt hat, ausgehend vom durchschnittlichen monatlichen Bruttolohn («Total») von Männern in einfachen und repetitiven Tätigkeiten (Anforderungsniveau des Arbeitsplatzes 4) des privaten Sektors (RKUV 2001 Nr. U 439 S. 347 [U 240/99]).
3.3 Es fragt sich indessen, ob das kantonale Gericht mit einem Abzug vom Tabellenlohn nach <ref-ruling> von 5 % sein Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung vorliegt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 399; vgl. auch <ref-ruling> E. 6 S. 81), indem es das Handleiden bei der Festsetzung der Höhe des Abzugs vom Tabellenlohn nicht berücksichtigt hat.
Mit dem Abzug vom Tabellenlohn soll der Tatsache Rechnung getragen werden, dass persönliche und berufliche Merkmale, wie Art und Ausmass der Behinderung, Lebensalter, Dienstjahre, Nationalität oder Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad (vgl. LSE 94 S. 51) Auswirkungen auf die Lohnhöhe haben können (<ref-ruling> E. 3b/aa S. 323) und je nach Ausprägung die versicherte Person deswegen die verbliebene Arbeitsfähigkeit auch auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichem Erfolg verwerten kann (<ref-ruling> E. 5b/aa in fine S. 80). Der Abzug ist unter Würdigung der Umstände im Einzelfall nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen. Er darf 25 % nicht übersteigen (<ref-ruling> E. 5b/bb-cc S. 80; Urteil 9C_469/2008 vom 20. August 2008 E. 5.1).
3.3.1 Gemäss dem auf Handchirurgie spezialisierten Dr. med. E._ besteht eine erhebliche Koordinationsstörung zwischen Daumen und Langfingern der rechten Hand. Die Feinmotorik sei dadurch massiv gestört. Aufgrund der hohen Schmerzempfindlichkeit in der Hohlhand könne die rechte Hand auch nicht als einfache Zudienhand eingesetzt werden. Schieben von nicht allzu schweren Gegenständen könne lediglich mit dem Handrücken seitlich durchgeführt werden. Die distale Vorderarmhälfte sei aufgrund der hohen Schmerzhaftigkeit ebenfalls nicht brauchbar (Gutachten vom 20. Februar 2006). Der regionalärztliche Dienst der IV-Stelle bezeichnete diese Umschreibung der funktionellen Beeinträchtigungen der rechten Hand als plausibel und erheblich (Protokoll-Eintragung vom 20. Dezember 2006). Dr. med. O._, Chefarzt Wirbelsäulenchirurgie und Orthopädie des Zentrums X._, sprach in seinem Bericht vom 26. April 2005 von einer komplexen Handverletzung rechts, bezüglich welcher berufliche Massnahmen angezeigt sein könnten. SUVA-Kreisarzt Dr. med. B._ schliesslich bezeichnete bei der Schätzung des Integritätsschadens vom 13. April 2004 die Funktion der rechten Hand in allen Fingern als deutlich eingeschränkt, was sich insbesondere bei den Greiffunktionen bemerkbar mache. Ebenfalls bestünden Einschränkungen im Handgelenk sowie Sensibilitätsveränderungen (vgl. Urteil U 470/06 vom 27. April 2007 E. 4). Die SUVA setzte den Abzug vom Tabellenlohn aufgrund der unfallbedingt eingeschränkten Einsetzbarkeit der rechten Hand als Hilfshand für leichte Arbeiten sowie Verlangsamung bei feinmanuellen Arbeiten auf 25 % fest (Einspracheentscheid vom 12. September 2005).
Zusätzlich zu den durch das Rückenleiden bedingten funktionellen Einschränkungen (u.a. keine Arbeiten in Zwangshaltung und über Kopf, keine Kälte-/Nässeeinwirkungen, auf Unebenheiten und Leitern mit Sturz- oder Stolpergefahr; E. 3.1) ist die Leistungsfähigkeit somit auch bei Tätigkeiten beeinträchtigt, bei denen häufig die Hände gebraucht werden, insbesondere Fingerfertigkeit und/oder Handkraft für Greiffunktionen erforderlich sind, was sich lohnmässig zu Ungunsten des Beschwerdeführers auswirken kann. Einfache und repetitive Tätigkeiten im Sinne der einschlägigen LSE-Tabellen sind in der Regel manueller Art.
3.3.2 Faktische Einhändigkeit oder wo die dominante Hand praktisch nur noch als Zudienhand eingesetzt werden kann, stellten nach der Gerichtspraxis vor <ref-ruling> Tatbestände einer erheblich erschwerten Verwertbarkeit der Arbeitsfähigkeit auch auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt dar. Im Urteil U 99/95 vom 11. August 1997 wurde dem mit einer Herabsetzung des Tabellenlohnes im Umfang von 50 % Rechnung getragen. Im Urteil U 106/89 vom 13. August 1990 wurde die vorinstanzliche Festsetzung des Invalideneinkommens auf 20 % des Valideneinkommens bei einer medizinisch-theoretischen Arbeitsfähigkeit von 50 % bis 75 % bestätigt. Seit <ref-ruling> hat die Praxis bei Versicherten, welche ihre dominante Hand gesundheitlich bedingt nur sehr eingeschränkt, z.B. als unbelastete Zudienhand, einsetzen können, regelmässig einen Abzug von 20 % oder sogar 25 % vorgenommen resp. als angemessen bezeichnet (vgl. Urteil U 521/06 vom 10. Dezember 2007 sowie Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts I 685/05 vom 16. Mai 2006, I 479/03 vom 19. November 2003, U 247/00 vom 28. Oktober 2002 und U 40/02 vom 18. Juli 2002).
3.3.3 Dass das Eidg. Versicherungsgericht somit im Rahmen der Ermessensprüfung (Art. 132 lit. a aOG) in vergleichbaren Fällen einen Abzug von 20 % bis 25 % zugestand, heisst zwar noch nicht, dass die Vorinstanz ihr Ermessen rechtsfehlerhaft ausübte, wenn sie weniger als 20 % annahm, zumal das Gericht in den Urteilen I 348/04 vom 19. November 2004 und U 122/05 vom 30. August 2005 10 % bis 15 % als angemessen bezeichnet hatte. Aber es kann im Lichte der Praxis und der aktenmässig ausgewiesenen zusätzlichen Einschränkungen hier nicht bei einem (minimalen) Abzug von 5 % sein Bewenden haben, welcher den konkreten Verhältnissen schlechterdings nicht Rechnung trägt. Vielmehr ist der Tabellenlohn um 20 % zu kürzen, was nach der vorinstanzlichen Invaliditätsbemessung, welche im Übrigen zu keinen Weiterungen Anlass gibt, einen Invaliditätsgrad von 42 % (zum Runden <ref-ruling>) ergibt. Der Beschwerdeführer hat somit ab 1. Juli 2003 Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung. Insoweit ist die Beschwerde begründet.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>). Die Verwaltung hat dem Versicherten überdies eine Parteientschädigung nach Massgabe seines Obsiegens zu bezahlen (<ref-law>). Insoweit ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos. Dem Begehren kann im Übrigen entsprochen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Der Beschwerdeführer wird indessen ausdrücklich darauf hingewiesen, dass er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde werden der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 10. April 2008 und der Einspracheentscheid der IV-Stelle Luzern vom 11. Januar 2007 aufgehoben und es wird festgestellt, dass der Beschwerdeführer ab 1. Juli 2003 Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung hat.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden je zur Hälfte der IV-Stelle Luzern und dem Beschwerdeführer auferlegt. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege werden die auf den Beschwerdeführer entfallenden Kosten einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
3. Die IV-Stelle Luzern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1250.- zu entschädigen.
4. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird Rechtsanwalt Bernhard Zollinger, Zürich, für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse mit Fr. 1250.- entschädigt.
5. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hat die Kosten und die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren neu zu verlegen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. September 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler