Sachverhalt:
A.
Der 1938 geborene A._ ist als Geschäftsleiter und Coach bei der B._ GmbH tätig und dadurch bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Gemäss Schadenmeldung vom 22. Mai/3. Juni 2013 stürzte er am 14. April 2013 und fiel auf die rechte Gesässseite. Der Neurochirurg PD Dr. med. C._, welcher A._ bereits davor behandelt hatte, hielt in seinem undatierten Arztzeugnis fest, dieser habe ihn am 7. Mai 2013 wegen eines am 14. April 2013 erlittenen Sturzes auf die rechte Seite mit nachfolgender Lumboischialgie konsultiert. Die AXA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Am 24. Mai 2013 nahmen die Neurochirurgen PD Dr. med. C._ und Dr. med. D._ einen Eingriff an der unteren Wirbelsäule vor. Die AXA zog Berichte der behandelnden Ärzte bei. Zudem äusserte sich ihr beratender Arzt Dr. med. E._ in der Stellungnahme vom 5. Juli 2013. Am 29. August 2013 verfügte die AXA die Einstellung ihrer Leistungen per 22. Mai 2013. Der status quo sine sei vor der Operation vom 24. Mai 2013 erreicht gewesen. Diese stehe daher nicht mehr im Zusammenhang mit dem Ereignis vom 14. April 2013. Daran hielt die AXA auf die vom Versicherten erhobene Einsprache hin fest (Entscheid vom 20. Januar 2014).
B.
A._ reichte hiegegen Beschwerde ein. Die AXA legte im Beschwerdeverfahren die fachärztliche Beurteilung des Dr. med. F._ vom 24. April 2014 auf. Mit Entscheid vom 29. Mai 2015 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die AXA zu verpflichten, die unfallmässig entstandenen Behandlungskosten und Taggelder aus dem Unfall vom 14. April 2013 zu entrichten. Eventuell sei der Unfallversicherer anzuweisen, eine fachmedizinische Abklärung unter Einbezug des <ref-law> in Auftrag zu geben.
Es wird kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung für Folgen des Ereignisses vom 14. April 2013. Dabei geht es gemäss Beschwerdebegründung um den Leistungsanspruch über den 22. Mai 2013 hinaus.
Das kantonale Gericht hat die massgeblichen Bestimmungen und Grundsätze, namentlich auch zum für einen Leistungsanspruch nebst anderem vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden, zum Hinfallen dieses Zusammenhangs bei Erreichen des status quo sine vel ante und zum zu beachtenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.
Der Beschwerdeführer rügt in grundsätzlicher Hinsicht, das kantonale Gericht habe das Vorliegen eines Unfalls verneint. Das trifft nicht zu. Sowohl die Vorinstanz als auch der Versicherer gehen beim Ereignis vom 14. April 2013 von einem Unfall aus. Sie bejahen auch einen daraus resultierenden - wenn auch befristeten - Leistungsanspruch.
4.
Das kantonale Gericht hat erkannt, dass im unteren Bereich der Wirbelsäule des Versicherten von einem massiven Vorzustand auszugehen ist. Das wird zu Recht nicht bestritten. Gemäss den Berichten der behandelnden Neurochirurgen PD Dr. med. C._ und Dr. med. D._ vom Mai 2013 leidet der Beschwerdeführer seit mehreren Jahren unter den Folgen einer Mehretagenpathologie der Lendenwirbelsäule mit Status nach dekompressiver Spondylodese LW4 bis LW5 im Oktober 2009, Status nach dekompressiver Verlängerungsspondylodese LW4 bis LW5 im Juli 2011 und Status nach mehrfachen periradikulären Infiltrationen bei S1 und L5/S1.
5.
5.1. Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, die gesundheitlichen Beschwerden nach dem 22. Mai 2013 seien nicht mehr natürlich unfallkausal. Daher liege entgegen der Auffassung des Versicherten auch kein Anwendungsfall von <ref-law> vor. Angesichts dessen, dass über keine Unfallfolgen wie Frakturen, Hämatome oder Ödeme berichtet worden sei und der Beschwerdeführer mehr als drei Wochen nach dem Unfall erstmals einen Arzt aufgesucht habe, sei die Beurteilung des Dr. med. F._, wonach keine traumatisch bedingte Diskushernie vorgelegen habe, im Sinne der hiefür geltenden Erfahrungsgrundsätze nachvollziehbar. Sodann könne auch der Beurteilung des Dr. med. F._, dass die stenosierende hypertrophe Spondylarthrose L5/S1 ebenfalls keiner Traumafolge entspreche, ohne Weiteres gefolgt werden. Dr. med. F._ führe daher zu Recht aus, dass keine Strukturveränderungen dokumentiert seien, welche die Kriterien einer traumatischen Läsion erfüllten. Aufgrund der Ausführungen des Dr. med. F._ könne der Unfall vom 14. April 2013 sogar als blosse Gelegenheits- oder Zufallsursache betrachtet werden.
5.2. Das kantonale Gericht hat insbesondere auf die fachärztliche Beurteilung des Dr. med. F._ vom 24. April 2014 abgestellt. Dessen Ausführungen lassen sich Anhaltspunkte dafür entnehmen, dass auch ohne den Unfall Beschwerden aufgetreten wären. Der Facharzt hält zudem namentlich fest, der Unfall habe eine vorübergehende, nicht richtunggebende Verschlimmerung des massiven Vorzustandes ausgelöst und der status quo sine sei spätestens vier Wochen danach erreicht gewesen.
Dr. med. F._ hat sich als beratender Arzt der Beschwerdegegnerin geäussert. Als solcher ist er, was den Beweiswert seiner ärztlichen Beurteilung angeht, einem versicherungsinternen Arzt gleichzusetzen (Urteile 8C_400/2013 vom 31. Juli 2013 E. 5.1 und 8C_160/2012 vom 13. Juni 2012 E. 3.2.1 mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung kommt auch den Berichten und Gutachten versicherungsinterner Ärzte Beweiswert zu, sofern sie als schlüssig erscheinen, nachvollziehbar begründet sowie in sich widerspruchsfrei sind und keine Indizien gegen ihre Zuverlässigkeit bestehen (<ref-ruling> E. 3b/ee S. 353 f.). Soll ein Versicherungsfall jedoch ohne Einholung eines externen Gutachtens entschieden werden, so sind an die Beweiswürdigung strenge Anforderungen zu stellen. Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen, so sind ergänzende Abklärungen vorzunehmen (<ref-ruling> E. 4.4 S. 470 mit Hinweis).
5.3. Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, der Unfall habe zu einer bildgebend nachgewiesenen Gewebeschwellung geführt resp. diese verschlimmert. Sodann sei es jedenfalls leichter, eine vorgeschädigte Wirbelsäule zu schädigen als eine gesunde. Das hätten Dr. med. F._ und das kantonale Gericht verkannt. Der Unfall habe zu einer vorübergehenden Verschlimmerung des Vorzustandes an der Wirbelsäule geführt. Damit liege entgegen der vorinstanzlichen Beurteilung ein klassischer Anwendungsfall von <ref-law> vor.
5.4. <ref-law> regelt die Frage, ob die Leistungen des obligatorischen Unfallversicherers zu kürzen sind, wenn der eingetretene Schaden nur teilweise Folge eines Unfalles ist, mithin nebst diesem weitere Schadensursachen bestehen. Von einer Kürzung ausgenommen sind Pflegeleistungen, Kostenvergütungen, Taggeldern und Hilflosenentschädigungen (<ref-law>). Gekürzt werden Invalidenrenten, Integritätsentschädigungen und Hinterlassenenleistungen, wobei Gesundheitsschädigungen vor dem Unfall, die zu keiner Verminderung der Erwerbsfähigkeit geführt haben, nicht berücksichtigt werden (<ref-law>).
<ref-law> setzt indessen stets voraus, dass noch ein Leistungsanspruch besteht. Das bedingt nebst anderem, dass die noch bestehende Gesundheitsschädigung zumindest teilweise unfallkausal ist. Fehlt es hieran - etwa bei Erreichen des status quo sine vel ante -, stellt sich mangels eines noch bestehenden Leistungsanspruchs die Frage einer Kürzungsmöglichkeit von vornherein nicht. Das hat die Vorinstanz zutreffend erkannt. Soweit der Beschwerdeführer mehr aus <ref-law> ableiten will, wird dies durch das Gesetz nicht gestützt.
5.5. Der Versicherte macht nicht geltend, der Unfall habe die bereits bestandenen Schädigungen richtunggebend verschlimmert. Er geht vielmehr selber ausdrücklich von einer bloss vorübergehenden Verschlimmerung aus. Das ist nach Lage der medizinischen Akten, einschliesslich der Berichte der behandelnden Ärzte, zweifellos richtig. Sinngemäss wird in der Beschwerde aber vorgebracht, der status quo sine sei am 22. Mai 2013 und auch im Zeitpunkt der Operation vom 24. Mai 2013 noch nicht wieder erreicht gewesen.
Dr. med. F._ hat in der fachärztlichen Beurteilung vom 24. April 2014 einlässlich und überzeugend dargelegt, weshalb die durch den Unfall vom 13. April 2013 eingetretene Verschlimmerung der vorbestandenen Gesundheitsschäden längstens vier Wochen dauerte, der status quo sine am 13. Mai 2013 wieder erreicht war und auch der Eingriff vom 24. Mai 2013 nicht mit Folgen dieses Ereignisses zu erklären ist. Den übrigen medizinischen Akten lassen sich keine Anhaltspunkte entnehmen, welche für eine länger dauernde Verschlimmerung sprechen und damit die Einschätzung des Dr. med. F._ in Frage stellen könnten. Gegen eine schwerere unfallbedingte Schädigung spricht namentlich auch der Umstand, dass der Versicherte erst gut drei Wochen nach dem Sturz einen Arzt aufgesucht hat. Sodann lassen sich länger dauernde Beschwerden auch mit dem massiven Vorzustand an der Wirbelsäule eines nicht mehr jungen Versicherten bei bereits mehreren erfolgten Eingriffen erklären. PD Dr. med. C._ hält im undatierten Arztzeugnis über die am 7. Mai 2013 erfolgte Konsultation und im Bericht vom 26. Juni 2013 denn auch fest, die Beschwerden könnten als Rückfall gewertet werden, da der Versicherte seit Jahren unter den Folgen der Mehretagenpathologie der Lendenwirbelsäule leide. Die Gewebeschwellung, auf welche sich der Versicherte beruft, rechtfertigt kein anderes Ergebnis. Keinem der Arztberichte lassen sich Hinweise dafür entnehmen, dass sie durch den Unfall verursacht oder auch nur verschlimmert wurde. Gegen einen solchen Einfluss des Unfalls spricht im Übrigen auch der bereits erwähnte Umstand, dass der Versicherte erst mehrere Wochen danach einen Arzt aufgesucht hat.
Nach dem Gesagten wurde ein Leistungsanspruch über den 22. Mai 2013 hinaus mangels Unfallkausalität der noch bestandenen Beschwerden zu Recht verneint. Damit ist auch <ref-law> von vornherein nicht anwendbar. Die Beschwerde ist abzuweisen.
6.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Oktober 2015
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz