Sachverhalt:
A.
A._ war nebenberuflich mit einem Teilpensum als Lehrbeauftragter im Berufsbildungszentrum B._ tätig. Als am 3. September 2008 sein Lehrerstuhl während des Unterrichts im Klassenzimmer brach, stiess er seinen Angaben zufolge mit dem linken Knie gegen eine Schublade und verletzte sich überdies am rechten Handgelenk. In der Folge kam zunächst die Sanitas Krankenversicherung für die Heilbehandlung auf, während die Zürich Versicherungs-Gesellschaft AG (nachstehend: Zürich) Taggelder aus einer privaten Kollektiv-Krankentaggeldversicherung erbrachte. Am 30. September 2009 wurde eine Arthroskopie am linken Knie durchgeführt und am 5. Mai 2010 erhielt A._ linksseitig eine Knieprothese. Die Bildungsdirektion des Kantons X._ meldete der AXA Winterthur (heute: AXA-Versicherungen AG; nachstehend: AXA) als zuständigem Unfallversicherer - nachdem dieser schon am 29. Oktober 2010 eine Unfallmeldung zugegangen war - am 2. November 2010 einen Rückfall zum Unfall vom 3. September 2008, worauf sich diese rückwirkend zur Leistungserbringung bis zur Knieprothesenversorgung am 5. Mai 2010 bereit erklärte. Mit der Begründung, zwölf Wochen nach der Arthroskopie, spätestens jedoch im Zeitpunkt des Knieprotheseneinsatzes am 5. Mai 2010 sei der status quo sine wieder erreicht gewesen, schloss sie den Fall wie mit Schreiben vom 18. März 2011 angekündigt am 20. Mai 2011 verfügungsweise per 4. Mai 2010 unter Einstellung ihrer Leistungen (Heilbehandlung und Taggelder) ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 16. Mai 2012 fest, wobei sie zur Begründung neu vorbrachte, mangels natürlicher Unfallkausalität wäre sie gar nie leistungspflichtig gewesen.
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die hiegegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 14. November 2013 ab.
C.
A._ lässt beschwerdeweise beantragen, ihm seien - unter Aufhebung des kantonalen Entscheids - die gesetzlichen Leistungen weiterhin auch über den 4. Mai 2010 hinaus zu erbringen, insbesondere seien Taggelder auszurichten und es sei für die Heilbehandlung aufzukommen, wobei der Taggeldansatz anders zu berechnen sei; nach Erlangung des medizinischen Endzustandes seien ihm eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung zu gewähren. Zudem verlangt er die Übernahme von Gutachterkosten in Höhe von Fr. 2'750.- durch die AXA für eine von ihm im kantonalen Beschwerdeverfahren in Auftrag gegebene Expertise beim Orthopäden Dr. med. C._. Im Sinne eines Eventualantrages schlägt er die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zwecks Einholung eines neutralen orthopädischen Gutachtens unter Beizug eines Biomechanikers und anschliessender neuer Entscheidung vor, dies mit der Anweisung, nach Studium seiner im vorinstanzlichen Verfahren eingereichten Replik vom 28. August 2013 (recte: 2012) samt damit beigebrachtem Gutachten des Dr. med. C._ vom 22. August 2012 und der Duplik der AXA vom 21. September 2012 neu zu entscheiden.
Die AXA schliesst auf Beschwerdeabweisung, während das kantonale Gericht und das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichten.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Es hat seinem Urteil hingegen den Sachverhalt zugrunde zu legen, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), wenn es ausschliesslich um Sachleistungen (wie etwa Heilbehandlung) dieser Versicherungen geht. Diesfalls kann es eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. <ref-law>) - Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Stehen sowohl Geld- als auch Sachleistungen gleichzeitig zur Diskussion, unterliegen die beiden Streitpunkten gemeinsamen Sachumstände der uneingeschränkten Überprüfungsbefugnis, während für die einzig nicht Geldleistungen betreffenden Aspekte die eingeschränkte bundesgerichtliche Kognition gilt, diese also nur in den Schranken von Art. 97 Abs. 1 und <ref-law> überprüfbar sind (SVR 2011 UV Nr. 1 S. 1 E. 4.4 S. 3 [= Urteil 8C_584/2009 vom 2. Juli 2010]; Rudolf Ursprung / Petra Fleischanderl, Die Kognition des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nach dem neuen Bundesgesetz über das Bundesgericht [BGG], in: Festschrift 100 Jahre Aargauischer Anwaltsverband, Zürich 2005, S. 430).
Im Übrigen wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft indessen - unter Beachtung der Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren laut <ref-law> nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt.
Die letztinstanzlich als zusätzliche Beweismittel eingereichten Atteste des Hausarztes Dr. med. F._ vom 30. Dezember 2013 und des Dr. med. E._ von der Wirbelsäulen- und Schmerz-Clinic D._ vom 18. November 2013 müssen daher unbeachtet bleiben. Dasselbe gilt für die neu beigebrachte Taggeldabrechnung der Zürich vom 18. November 2009.
2.
Die für die Beurteilung der Streitsache massgebenden gesetzlichen Bestimmungen und die hiezu von der Rechtsprechung weiter konkretisierten Grundlagen hat das kantonale Gericht zutreffend dargelegt, worauf verwiesen wird. Es betrifft dies namentlich die nach einem versicherten Unfallereignis von der obligatorischen Unfallversicherung allenfalls zu gewährenden Leistungen wie Heilbehandlung (<ref-law>), Taggelder (Art. 16 f. UVG) und Invalidenrente (<ref-law>). Richtig sind auch die Ausführungen über den für einen Leistungsanspruch unabdingbar erforderlichen natürlichen und (kumulativ verlangten) adäquaten Kausalzusammenhang zwischen eingetretenem Gesundheitsschaden und vorangegangenem Unfallereignis (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 mit Hinweisen). Das Gleiche gilt für den Beweiswert ärztlicher Unterlagen im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 3a S. 352) sowie versicherungsinterner und -externer Fachärzte im Besonderen (vgl. <ref-ruling> E. 3b/bb, 3b/dd und 3b/ee S. 353 f.).
3.
3.1. In Bestätigung des Einspracheentscheids der AXA vom 16. Mai 2012 ist auch die Vorinstanz aufgrund der medizinischen Aktenlage davon ausgegangen, dass mit Sicherheit bereits vor dem Ereignis vom 3. September 2008 eine deutliche Varusgonarthrose bestanden habe und der damalige Unfallmechanismus mit blossem Anschlagen (Kontusion) des linken Knies aus biomechanischer Sicht nicht geeignet gewesen sei, den schliesslich diagnostizierten Meniskusriss auszulösen; weil Letzterer nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad überwiegender Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 9.5 S. 125) auf den Unfall vom 3. September 2008 zurückzuführen sei, habe mangels rechtsgenüglich erstellter natürlicher Unfallkausalität nie eine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin bestanden.
3.2. Dem widerspricht der Beschwerdeführer unter Hinweis auf die ärztlichen Unterlagen und die erstellten Röntgenbilder, woraus hervorgehe, dass der Unfall vom 3. September 2008 eine richtunggebende Gesundheitsverschlechterung bewirkt habe, welche am 5. Mai 2010 zum Einsatz der Knieprothese links führte; weil klar ein organisch nachweisbarer Schaden vorliege, müsse nebst der natürlichen Unfallkausalität auch deren Adäquanz bejaht werden. Die nachfolgende 4-Etagen-Venenthrombose links mit klinisch hochgradigem Verdacht auf eine Lungenarterienembolie will er ebenfalls mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf die unfallbedingte Knieoperation vom 5. Mai 2010 zurückführen, weshalb der Unfallversicherer auch für diese Folgekosten aufkommen müsse.
4.
Das kantonale Gericht hat seine Erkenntnis nach eingehender Würdigung der ihr zur Verfügung stehenden ärztlichen Stellungnahmen gestützt auf die aktuell vorhanden gewesene medizinische Dokumentation begründet.
4.1.
4.1.1. Gegen die natürliche Unfallkausalität des festgestellten linksseitigen Meniskusrisses spricht an sich schon der Umstand, dass der Beschwerdeführer nach dem Ereignis vom 3. September 2008 erst mit erheblicher Verzögerung im folgenden Jahr seinen Hausarzt Dr. med. F._ aufgesucht hat und dass bei der Beschwerdegegnerin, soweit aktenkundig, auch keine vor dem 29. Oktober 2010 datierende Unfallmeldung eingegangen ist. Laut einer Auskunft des Dr. med. F._ vom 9. März 2012 ist es am 19. Juni 2009 zwar zu von seiner Stellvertreterin Frau Dr. med. G._ veranlassten Röntgenaufnahmen gekommen, doch erfolgte eine genauere Untersuchung des linken Knies erst am 27. August 2009; vorher sei der Beschwerdeführer nie wegen des linken Knies in seiner Sprechstunde gewesen. Damit ist immerhin von einer äusserst langen Latenzzeit seit dem Ereignis vom 3. September 2008 bis zur erstmaligen Beanspruchung ärztlicher Behandlung auszugehen, welche allein schon einen natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Vorfall von Anfang September 2008 und den späteren Kniebeschwerden als äusserst fraglich erscheinen lässt.
4.1.2. Auch inhaltlich lassen die von der Vorinstanz wie schon von der Beschwerdegegnerin berücksichtigten fachärztlichen Stellungnahmen kaum auf einen rechtserheblichen Zusammenhang zwischen dem als eher bagatellär einzustufenden Sturz mit Anschlagen des Knies und dem nachfolgenden Beschwerdebild schliessen. Die Berichte des Dr. med. F._ und des Orthopäden Dr. med. H._ von der Arthrose-Clinic I._ führen jedenfalls nicht zu anderen Schlüssen. So bestätigen etwa Dr. med. F._ zuhanden der zuständigen IV-Stelle am 15. November 2010 und auch Dr. med. H._ in seinen Stellungnahmen vom 9. September 2009 und 18. März 2010 eine vorbestehende varusbetonte Gonarthrose. Vor allem aber weisen sie darauf hin, dass am - vom geltend gemachten Unfallgeschehen am 3. September 2008 unbestrittenermassen nicht betroffenen - rechten Knie ähnliche, wenn auch weniger ausgeprägte Verhältnisse festzustellen seien wie am linken Knie. Dies kann immerhin als deutlicher Hinweis auf die Möglichkeit einer nicht mit einem Unfallereignis zusammenhängenden Schädigung des linken Knies gewertet werden. Bezüglich Unfallkausalität führt Dr. med. H._ am 16. Mai 2011 zwar aus, die aufgetretene Venenthrombose mit konsekutiver Embolie sei in Zusammenhang mit der zuvor erfolgten Knieoperation zu sehen und demnach auf das Unfallereignis im September 2008 zurückzuführen. Diese Aussage gilt nach Ansicht des Dr. med. J._ indessen nur unter dem Vorbehalt, dass die Knieverletzung und die darauf erforderlich gewordene Prothesenversorgung ebenfalls mit dem geltend gemachten Unfallereignis in Zusammenhang stehen. Gerade dies wird vom Experten aber nicht abschliessend beantwortet.
4.1.3. Von einer vorbestandenen Varusgonarthrose sprechen auch die von der Beschwerdegegnerin beauftragten Dres. med. K._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie, und L._, Spezialarzt FMH Chirurgie - beides sie beratende Ärzte. Dr. med. K._ nimmt gemäss Bericht vom 9. März 2011 an, der Unfall vom 3. September 2008 habe mit überwiegender Wahrscheinlichkeit zu einer vorübergehenden Verschlimmerung des Zustandes geführt, doch sei der status quo sine rund 12 Wochen nach der am 30. September 2009 durchgeführten Arthroskopie, spätestens aber anlässlich der Knieprothesenoperation vom 5. Mai 2010, wieder erreicht gewesen. Dr. med. L._ hält in seinem Bericht vom 7. Februar 2012 fest, nachträglich sei kaum mehr beurteilbar, ob die Meniskusruptur arthrose- oder unfallbedingt sei; er erachte die Meniskusruptur am linken Kniegelenk nur möglicherweise als natürlich unfallkausal. Auch in seiner Stellungnahme vom 27. März 2012 hält er daran fest, dass die Unfallkausalität der Meniskusruptur links lediglich mit dem Beweisgrad der Möglichkeit zu beurteilen sei. Betont wird dabei, dass die im Juni und im September 2009 angefertigten Röntgen- und MRI-Bilder massive arthrotische Veränderungen im medialen Kniegelenkkompartiment zeigten, die wesentlich älter als ein Jahr sein müssten, weil solche Veränderungen nicht innerhalb eines Jahres nach einer Meniskusverletzung auftreten könnten.
4.2. Dass das kantonale Gericht bei dieser medizinischen Ausgangslage zum Schluss gelangt ist, die natürliche Unfallkausalität der zur Diskussion stehenden Meniskusruptur links könne zumindest nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 9.5 S. 125) als erstellt gelten, ist zwar nachvollziehbar, vermag indessen trotz der umfangreichen, auch fachärztlichen Beurteilungen nicht vollends zu überzeugen. Angesichts der aufschlussreichen Meinungsäusserungen der involvierten Ärzte drängen sich zusätzliche Abklärungen nicht auf, sind von solchen doch keine zusätzlichen Erkenntnisse zu erwarten, welche sich noch auf das Ergebnis der Anspruchsprüfung auswirken könnten. Von den im bundesgerichtlichen Verfahren beantragten Erhebungen medizinischer Art unter Beizug eines Biomechanikers jedenfalls kann deshalb - in antizipierter Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 4b S. 94, 122 V 157 E. 1d S. 162) - ohne weiteres abgesehen werden.
4.3. Mit seiner Replik vom 28. August 2012 hat der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren indessen eine Expertise des Dr. med. C._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates FMH, vom 22. August 2012 beigebracht, welcher - laut Ausführungen in der Beschwerdeschrift - nicht bereit sein soll, sich den in E. 4.1 hievor erwähnten ärztlichen Betrachtungsweisen anzuschliessen. Damit hat sich die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid vom 14. November 2013 mit keinem Wort auseinandergesetzt; dies, obschon sie die Replik mit dem Gutachten des Dr. med. C._ entgegengenommen und der Beschwerdegegnerin unter Fristansetzung zur Stellungnahme unterbreitet hatte, worauf diese mit Duplik vom 21. September 2012 reagierte. Unabhängig von der Notwendigkeit des Beizugs zusätzlicher ärztlicher Expertisen hätte sich die Vorinstanz dazu zumindest äussern müssen, zumal in dem bei ihr hängigen Verfahren ausdrücklich auch Antrag auf Überbindung der Kosten dieses neu beigebrachten Dokumentes an die Beschwerdegegnerin gestellt worden war. Auch dieses Begehren ist im kantonalen Entscheid unbeurteilt geblieben. Stillschweigend übergehen hätte das kantonale Gericht all diese Umstände jedenfalls nicht dürfen. Zumindest wäre zu erwarten gewesen, dass es - wenn auch nur kurz - angibt, dass es diesen aus welchen - sei es formellen, sei es materiellen - Gründen keine entscheidrelevante Bedeutung beizumessen bereit ist. Weil es dies unterlassen hat, ist eine Rückweisung der Sache an die Vorinstanz unumgänglich, damit sich diese zu der als neues Beweismittel eingereichten Expertise des Dr. med. C._ vom 22. August 2014, zu welcher die Parteien ihre Argumente im Rahmen des zweiten Schriftenwechsels vor Vorinstanz vorbringen konnten, äussert und namentlich auch über die Tragung der gutachterlichen Kosten entscheidet. Unabhängig davon, ob es bei der Verneinung der natürlichen Unfallkausalität bleibt oder nicht, wird es dabei aufgrund der Vorbringen des Beschwerdeführers auch zur Frage Stellung zu nehmen haben, ob und inwiefern die Beschwerdegegnerin für im Rahmen der Heilbehandlung zugezogene Schädigungen aufzukommen hat.
5.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5). Überdies schuldet sie dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 14. November 2013 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Juni 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Krähenbühl