Fatti:
A. In data 13 marzo 2003 M._, nato nel 1968, domiciliato in Italia, al momento dei fatti alle dipendenze della D._ SA in qualità di operaio e, in quanto tale, assicurato d'obbligo contro gli infortuni presso l'Istituto nazionale svizzero di assicurazione contro gli infortuni (INSAI), è rimasto vittima di un incidente della circolazione. I medici del servizio di pronto soccorso dell'Azienda sanitaria locale di O._, che lo hanno visitato il giorno stesso dell'incidente, hanno diagnosticato una cervicalgia posttraumatica e una contusione al polso sinistro. Il caso è stato assunto dall'INSAI, che ha corrisposto all'interessato le prestazioni di legge.
Alla luce delle risultanze specialistiche, e, in particolare, del parere della propria Divisione medica di Lucerna, con decisione del 19 maggio 2006 l'INSAI ha dichiarato estinto il diritto dell'assicurato a indennità giornaliere dal 2 maggio 2006, rispettivamente a ulteriori cure mediche dal 30 giugno 2006, non essendo state accertate lesioni organiche oggettivabili imputabili all'infortunio giustificanti l'erogazione di ulteriori prestazioni. Gli organi dell'assicurazione hanno sostanzialmente confermato la propria posizione il 26 giugno 2006 anche in seguito all'opposizione dell'assicurato.
B. Patrocinato dai Sindacati Indipendenti Ticinesi (SIT), M._ si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino chiedendo segnatamente l'annullamento della decisione su opposizione, l'accertamento che i disturbi di cui soffriva dopo il 2 maggio 2006 costituivano ancora una conseguenza naturale e adeguata dell'infortunio, nonché il riconoscimento di un'indennità per menomazione dell'integrità.
Per pronuncia del 17 gennaio 2007 la Corte cantonale ha respinto il gravame e confermato la valutazione dell'INSAI.
C. Assistito dall'avv. Athos Mecca, l'assicurato interpone in sede federale un "ricorso di diritto amministrativo" con il quale chiede, in via principale, l'annullamento della pronuncia cantonale e della decisione su opposizione con conseguente riconoscimento delle prestazioni di indennità giornaliera oltre il 2 maggio 2006, nonché delle prestazioni di cura medica oltre il 30 giugno 2006, protestando spese e ripetibili. In via subordinata, postula il rinvio degli atti all'istanza precedente per nuovo giudizio.
L'INSAI propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale della sanità pubblica ha rinunciato a determinarsi.

Diritto:
1. 1.1 Presentato da una parte che ha partecipato al procedimento dinanzi all'autorità inferiore, direttamente toccata dalla decisione e avente un interesse degno di protezione al suo annullamento o alla sua modifica (<ref-law>), il ricorso in materia di diritto pubblico (<ref-law>), tempestivo (<ref-law>) e diretto contro una decisione finale (<ref-law>), resa in una causa di diritto pubblico (<ref-law>) da un'autorità cantonale di ultima istanza (art. 86 cpv. 1 lett. d LTF), è di massima ammissibile.
1.2 Il ricorso può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto (<ref-law>). Esso né è vincolato dagli argomenti sollevati nel ricorso né dai motivi addotti dall'autorità inferiore; può quindi accogliere un ricorso per motivi diversi da quelli invocati dalla parte ricorrente e respingerlo adottando un'argomentazione differente da quella ritenuta nel giudizio impugnato. Secondo l'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, il ricorso dev'essere motivato in modo sufficiente. Il Tribunale federale esamina in linea di principio solo le censure sollevate; esso non è tenuto a vagliare, come lo farebbe un'autorità di prima istanza, tutte le questioni giuridiche che si pongono, se quest'ultime non sono presentate nella sede federale (<ref-ruling> consid. 1.4.1 pag. 254; sentenza 1B_222/2007 del 29 novembre 2007, consid. 1.3).
1.3 L'accertamento dei fatti può venir censurato solo entro limiti ristretti, ovvero se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (art. 97 cpv. 1 e 105 cpv. 1 e 2 LTF). Se, tuttavia, il ricorso è diretto contro una decisione d'assegnazione o rifiuto di prestazioni pecuniarie dell'assicurazione militare o dell'assicurazione contro gli infortuni - come nel caso concreto per quanto concerne le indennità giornaliere, non però per quanto riguarda le prestazioni di cura (Hansjörg Seiler/Nicolas von Werdt/Andreas Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Berna 2007, no. 28 all'art. 97) - può essere censurato qualsiasi accertamento inesatto o incompleto dei fatti giuridicamente rilevanti (<ref-law>); il Tribunale federale in tal caso non è vincolato dall'accertamento dei fatti operato dall'autorità inferiore (<ref-law>).
2. Oggetto del contendere è il diritto dell'insorgente a indennità giornaliere dell'assicurazione contro gli infortuni dopo il 2 maggio 2006 come pure a cura medica dopo il 30 giugno 2006, rispettivamente l'esistenza di un nesso di causalità fra l'incidente della circolazione del 13 marzo 2003 e i tremori al braccio sinistro di cui l'interessato soffre da allora.
3. 3.1 Nei considerandi del querelato giudizio, cui si rinvia, il primo giudice ha già correttamente ed esaustivamente indicato le disposizioni applicabili per stabilire il diritto all'erogazione di prestazioni da parte dell'assicurazione contro gli infortuni (segnatamente: art. 10 e 16 LAINF, <ref-law>; quo all'applicabilità in casu dell'ordinamento svizzero anche in seguito all'entrata in vigore, il 1° giugno 2002, dell'Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone [ALC], cfr. ad es. la sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni U 76/03 del 15 aprile 2004, consid. 1.3, già citata dall'istanza inferiore).
3.2 In proposito va ribadito che il diritto a prestazioni a dipendenza di un infortunio presuppone in primo luogo l'esistenza di un nesso di causalità naturale fra l'evento infortunistico e il danno alla salute. Questo presupposto è da considerarsi adempiuto qualora sia lecito ammettere che, senza l'evento infortunistico, il danno alla salute non si sarebbe potuto verificare del tutto o comunque non nel modo in cui si è prodotto. Non occorre, viceversa, che l'infortunio sia stato la sola o immediata causa del danno alla salute; è sufficiente che l'evento, se del caso unitamente ad altri fattori, abbia comunque provocato un danno all'integrità corporale o psichica dell'assicurato, vale a dire che l'evento appaia come una condizione sine qua non del danno. È questione di fatto lo stabilire se tra evento infortunistico e danno alla salute esista un nesso di causalità naturale; su detta questione amministrazione e giudice, fondandosi essenzialmente su indicazioni di natura medica, si determinano secondo il principio della probabilità preponderante applicabile generalmente nell'ambito dell'apprezza-mento delle prove in materia di assicurazioni sociali. Ne discende che ove l'esistenza di un nesso di causalità tra infortunio e danno sembri possibile, ma non possa essere reputata probabile nel caso di specie, il diritto a prestazioni derivato dall'infortunio assicurato dev'essere negato (<ref-ruling> consid. 3.1 pag. 181, 402 consid. 4.3.1 pag. 406; <ref-ruling> consid. 1 pag. 337; <ref-ruling> consid. 1b pag. 289 e sentenze ivi citate).
3.3 In materia di lesioni al rachide cervicale conseguenti a infortunio del tipo "colpo di frusta" senza prova di deficit funzionale, l'esistenza di un rapporto di causalità naturale tra l'infortunio e l'incapacità di lavoro o di guadagno deve essere ammessa, di principio, in presenza del quadro clinico tipico riconosciuto in tale ambito, caratterizzato da disturbi multipli, quali diffusi mal di testa, vertigini, disturbi della concentrazione e della memoria, nausee, affaticabilità, disturbi della vista, irritabilità, labilità affettiva, depressione ecc. Occorre tuttavia che l'esistenza di un tale trauma cervicale come pure le sue conseguenze siano debitamente attestate da indicazioni mediche attendibili (DTF <ref-ruling> consid. 2b/aa pag. 340). Ciò significa che non basta dimostrare la presenza di un trauma cervicale per ricondurre a quest'ultimo tutta una serie di disturbi, peraltro rientranti nel quadro tipico di una simile lesione, senza avere precedentemente accertato se i singoli disturbi siano o meno conseguenza del trauma cervicale oppure eventualmente di una patologia preesistente (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni U 194/05 del 25 ottobre 2006, consid. 2.3; cfr. pure la recente sentenza U 394/06 del 19 febbraio 2008, consid. 9, non ancora pubblicata nella Raccolta ufficiale, con la quale il Tribunale federale ha posto delle esigenze accresciute per la prova di una lesione in relazione di causalità naturale con l'infortunio giustificante l'applicazione della prassi relativa ai "colpi di frusta").
3.4 Giova infine soggiungere che l'obbligo, per gli assicuratori infortuni, di concedere delle prestazioni presuppone, oltre al nesso causale naturale, anche un rapporto di causalità adeguato tra l'infortunio e il danno che ne deriva. Un evento è da ritenere causa adeguata di un determinato effetto quando secondo il corso ordinario delle cose e l'esperienza della vita il fatto assicurato è idoneo a provocare un effetto come quello che si è prodotto, sicché il suo verificarsi appaia in linea generale propiziato dall'evento in questione (<ref-ruling> consid. 3.2 pag. 181, 402 consid. 2.2 pag. 405; <ref-ruling> consid. 5a pag. 461 e sentenze ivi citate).
4. Come già ricordato a più riprese dalla giurisprudenza, se uno stato patologico preesistente è aggravato oppure si manifesta in seguito a un infortunio, l'obbligo dell'assicurazione contro gli infortuni di corrispondere le prestazioni decade se l'evento non costituisce più la causa naturale (e adeguata) del danno, ossia se quest'ultimo è da ricondurre soltanto ed esclusivamente a fattori extrainfortunistici. Ciò si verifica in particolare con il ripristino dello stato di salute esistente immediatamente prima dell'infortunio (status quo ante) oppure con il raggiungimento di quello stato che, prima o poi, secondo l'evoluzione ordinaria, sarebbe intervenuto anche senza l'infortunio (status quo sine; cfr. RAMI 1994 no. U 206 pag. 329; 1992 no. U 142 pag. 75 consid. 4b e riferimenti). L'estinzione del nesso di causalità deve essere stabilita con il grado della verosimiglianza preponderante richiesto in materia di assicurazioni sociali. Per contro, la semplice possibilità che l'evento non esplichi più effetto causale non è sufficiente. Trattandosi nel caso di specie della soppressione del diritto a prestazioni, l'onere della prova non incombe all'assicurato, bensì all'assicuratore (RAMI 2000 no. U 363 pag. 46 consid. 2; 1994 no. U 206 pag. 329; 1992 no. U 142 pag. 76 consid. 4b).
5. 5.1 Nell'evenienza concreta, non è contestato che l'insorgente sia rimasto vittima, in data 13 marzo 2003, di un trauma da accelerazione della colonna cervicale (colpo di frusta). È pacifico pure che al momento determinante della decisione su opposizione in lite (<ref-ruling> consid. 1.2 pag. 4), egli soffrisse praticamente soltanto di fastidiosi tremori al braccio sinistro.
5.2 Nell'impugnata pronunzia, il giudice di prime cure ha stabilito che, malgrado l'insorgente avesse subito un trauma da accelerazione della colonna cervicale, il caso non poteva essere risolto in applicazione della giurisprudenza specifica in materia, in quanto l'interessato ne aveva manifestato i disturbi tipici in misura molto limitata e discontinua. Non essendo i tremori al braccio sinistro oggettivabili, il giudice ha quindi negato l'esistenza del necessario nesso di causalità naturale con l'incidente.
L'insorgente sostiene invece che tale conclusione sarebbe frutto di un accertamento errato della fattispecie, l'autorità giudiziaria cantonale avendo disatteso la reale portata della perizia specialistica allestita il 9 dicembre 2004 dalla Clinica X._.
5.3 Dopo attento esame dell'incarto, questa Corte non ritiene di poter condividere la valutazione espressa dall'autorità giudiziaria cantonale. Sulla base della documentazione agli atti, non può infatti essere negata l'esistenza di un rapporto causale naturale fra i tremori lamentati al braccio sinistro e l'incidente della circolazione in esame per il motivo che l'insorgente avrebbe manifestato il quadro tipico dei sintomi ricollegabili a un trauma cervicale del tipo "colpo di frusta" solo per breve durata e senza la necessaria intensità. I disturbi neurologici al braccio sussistono realmente e sono stati definiti di natura parzialmente invalidante dai medici intervenuti. Secondo il rapporto peritale della Clinica X._, verosimilmente esiste un nesso di causalità naturale tra questi disturbi e l'evento traumatico del 13 marzo 2003, nesso che il medico di fiducia dell'INSAI riconosce però solo possibile nel suo parere del 3 aprile 2006, poi posto a fondamento della decisione di soppressione delle prestazioni dall'ente assicuratore (senza comunque essere stato sottoposto in precedenza agli specialisti della clinica X._ per presa di posizione). Al fine di chiarire questa divergenza di opinioni, si impone, a mente del Tribunale federale, l'allestimento di una perizia giudiziaria. In parziale accoglimento del ricorso gli atti sono a tale scopo ritornati all'istanza inferiore, la cui pronuncia del 17 gennaio 2007 è pertanto annullata.
6. Essendo in concreto, per l'assicuratore intimato, il rinvio assimilabile alla perdita del processo, le spese giudiziarie sono poste a suo carico (<ref-law>). Vincente in lite, il ricorrente, patrocinato da un legale, ha diritto a ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è parzialmente accolto nel senso che, annullato il giudizio del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 17 gennaio 2007, la causa è rinviata all'istanza di primo grado perché proceda a un complemento istruttorio conformemente ai considerandi e renda un nuovo giudizio. Per il resto il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 500.- sono poste a carico dell'assicuratore opponente.
3. L'assicuratore opponente verserà al ricorrente la somma di fr. 2500.- a titolo di indennità di parte per la procedura federale.
4. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale della sanità pubblica.