Sachverhalt:
A.
A.a. Im Konkurs über C.A._ erstellte das Konkursamt Hottingen-Zürich am 10. November 2011 den Kollokationsplan. A.A._ wurde mit einer Forderung von Fr. 420'000.-- in der 3. Klasse kolloziert. Die Stiftung B._ wurde mit einer grundpfandgesicherten Forderung von insgesamt Fr. 600'000.-- kolloziert.
A.b. Am 30. November 2011 reichte A.A._ beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen die Stiftung B._ ein und beantragte, deren Forderung im Kollokationsverfahren abzuweisen und das Pfandrecht im Lastenverzeichnis zu streichen. Im Verlaufe des Verfahrens verlangte die Stiftung B._, A.A._ sei zur Leistung einer Sicherheit für die Parteientschädigung zu verpflichten. Mit Verfügung vom 10. Dezember 2013 setzte das Bezirksgericht die Kaution auf Fr. 38'100.-- fest. Da A.A._ innert angesetzter Frist keine Zahlung vornahm, setzte ihr das Bezirksgericht eine Nachfrist an. Daraufhin ersuchte A.A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Nachdem A.A._ erfolglos zur Einreichung bestimmter Unterlagen aufgefordert worden war, wies das Bezirksgericht das Gesuch ab und setzte eine Nachfrist von zehn Tagen zur Sicherstellung der Parteientschädigung. Am 23. Juni 2014 ersuchte A.A._ um Wiederherstellung der Frist zur Einreichung der Unterlagen. Das Bezirksgericht trat mit Verfügung vom 24. September 2014 auf das Gesuch (wegen Verspätung) nicht ein.
B.
Das Obergericht des Kantons Zürich trat auf die gegen die bezirksgerichtliche Verfügung erhobene Beschwerde mit Beschluss vom 24. November 2014 ebenfalls nicht ein. Es setzte A.A._ eine nicht erstreckbare Nachfrist von zehn Tagen für die Leistung der Kaution und wies auf die Säumnisfolgen hin.
C.
Mit Eingabe vom 3. Dezember 2014 ist A.A._ an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt sinngemäss, den obergerichtlichen Beschluss aufzuheben und ihrem Gesuch um Wiederherstellung der Frist stattzugeben. Sie stellt für das Verfahren vor Bundesgericht ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Die Stiftung B._ hat sich nicht vernehmen lassen. Mit Präsidialverfügung vom 23. Dezember 2014 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Es sind die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid in einem Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, womit ein nicht wieder gutzumachender Nachteil drohen kann (<ref-law>). In der Hauptsache geht es um eine Kollokationsklage, konkret eine Wegweisungsklage nach <ref-law>, betreffend eine Forderung nach Bundeszivilrecht, die der Beschwerde in Zivilsachen zugänglich ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 547). Der erforderliche Streitwert ist gegeben (<ref-law>; <ref-ruling>, nicht publ. E.1.2; <ref-ruling> E. 1 S. 547). Die Eingabe der Beschwerdeführerin ist daher als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich grundsätzlich von Amtes wegen und mit freier Kognition an (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (<ref-law>), wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin mit ihrer Schilderung der Vorgeschichte und des Verhaltens der Beklagten im Hauptverfahren den Sachverhalt zu ergänzen versucht, ist darauf nicht einzugehen. Neue Tatsachen und Beweismittel sind nicht zulässig (<ref-law>). Die erneute Eingabe der Beschwerdeführerin an das Bezirksgericht vom 1. Dezember 2014 wird daher nicht berücksichtigt.
2.
Anlass zur Beschwerde gibt die Anfechtbarkeit einer prozessleitenden Verfügung. Hingegen ist das Gesuch um Wiederherstellung der Frist für die Einreichung von Unterlagen zur Beurteilung der unentgeltlichen Rechtspflege als solches nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
2.1. Gemäss <ref-law> leitet das Gericht den Prozess und erlässt die notwendigen prozessleitenden Verfügungen zur zügigen Vorbereitung und Durchführung des Verfahrens. Derartige Verfügungen beziehen sich nicht auf den Streitgegenstand an sich und äussern sich nicht zur Begründetheit der Klage. Sie können nur in den vom Gesetz vorgesehenen Fällen oder bei Drohung eines nicht leicht wiedergutzumachenden Nachteils mit Beschwerde an die obere Instanz weitergezogen werden (<ref-law>). Demgegenüber wird mit einem Zwischenentscheid (<ref-law>) eine formelle oder materielle Vorfrage vorab beantwortet, von welcher der weitere Verfahrensablauf abhängt. Er schliesst das Verfahren nicht ab, sondern stellt nur einen Schritt auf dem Weg zum Endentscheid dar (vgl. Staehelin/Staehelin/Grolimund, Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2013, § 23 Rz. 4 f.).
2.2. Eine Partei ist säumig, wenn sie eine Prozesshandlung nicht fristgerecht vornimmt oder zu einem Termin nicht erscheint (<ref-law>). Die säumige Partei kann das Gericht um eine Nachfrist oder um eine erneute Vorladung ersuchen, wenn sie glaubhaft macht, dass sie kein oder nur ein leichtes Verschulden trifft (<ref-law>). Das Gericht gibt der Gegenpartei Gelegenheit zur Stellungnahme und entscheidet endgültig (<ref-law>). Im vorliegenden Fall ist die Erstinstanz auf das Gesuch um Wiederherstellung zur Einreichung von Unterlagen zwecks Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht eingetreten. Darin - d.h. im Nichteintreten auf das Wiederherstellungsgesuch - erblickte die Vorinstanz eine prozessleitende Verfügung, der kein nicht leicht wiedergutmachender Nachteil zukommt (<ref-law>). Damit sei die Beschwerde nicht gegeben.
2.3. Die Beschwerdeführerin besteht auf einem nicht leicht wiedergutzumachenden Nachteil. Da ihr die Wiederherstellung der Frist verweigert worden sei, drohe ihr hinsichtlich der Klage vor Bezirksgericht die Säumnis, denn sie sei mittellos und werde daher die geforderte Sicherstellung der Parteientschädigung nicht leisten können. Hier vermengt die Beschwerdeführerin den Prozessausgang in der Hauptsache mit dem Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Wie bereits die Vorinstanz festgehalten hat, ist die Beschwerde nur zulässig, sofern infolge Verweigerung der Fristwiederherstellung ein definitiver Verlust der Klage oder eines Angriffsmittels droht. Dabei konnte sie sich auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 1 und 6 S. 479 ff.) und die Lehre ( HOFFMANN-NOWOTNY, in: Oberhammer [Hrsg.], Kurzkommentar ZPO, 2. Aufl. 2014, N. 5 zu Art. 149; STAEHELIN, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 2. Aufl. 2013, N. 4 zu Art. 149) zur Auslegung von <ref-law> stützen. Auch weitere Autoren teilen zumindest grundsätzlich diese Auffassung (Gasser/Rickli, Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO]: Kurzkommentar, 2. Aufl. 2014, N. 2 zu Art. 149; FREI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 11 zu Art. 149; kritisch allerdings TAPPY, in: Code de procédure civile commenté, 2011, N. 12 zu Art. 149, und relativierend GOZZI, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 10 ff. zu Art. 149). Da es vorliegend gerade nicht um die Wiederherstellung der Frist für die Klage oder für ein Rechtsmittel geht, droht der Beschwerdeführerin kein definitiver Rechtsverlust. Damit droht ihr auch kein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil im Sinne des Gesetzes, der sie zur Beschwerde an die Vorinstanz berechtigt hätte.
3.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Infolge Gewährung der aufschiebenden Wirkung für das bundesgerichtliche Verfahren wird der Beschwerdeführerin eine einzige Frist von zehn Tagen zur Leistung der Sicherheit für die Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 38'100.-- zu Handen des Bezirksgerichts angesetzt, beginnend mit dem Eingang des Urteils bei der Zustelladresse in der Schweiz, andernfalls auf die Klage der Beschwerdeführerin nicht einzutreten ist. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Anträge abzuweisen (<ref-law>). Ausgangsgemäss trägt die Beschwerdeführerin die Verfahrenskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Der Beschwerdeführerin wird unter Hinweis auf die Säumnisfolgen eine einzige Frist von zehn Tagen ab Zustellung des vorliegenden Urteils an ihre Zustelladresse in der Schweiz angesetzt, um für die Parteientschädigung an die Gegenpartei im erstinstanzlichen Verfahren einen Vorschuss in der Höhe von Fr. 38'100.-- zu leisten.
2.2. Der Vorschuss ist zu leisten (gemäss Beschluss PE140007-O/U des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 24. November 2014, Dispositiv-Ziffer 2) an:
Bezirksgericht Zürich, Postfach, 8026 Zürich,
Konto-Nr. 1112-0095.007
Zürcher Kantonalbank, Bahnhofstrasse 9, 8010 Zürich,
IBAN-Nr. CH26 0070 0111 2000 9500 7,
SWIFT/BIC-Code: ZKBKCHZZ80A, Clearing-Nr. 700
Die Frist für eine Zahlung an das Gericht ist eingehalten, wenn der Betrag spätestens am letzten Tag der Frist beim Gericht bezahlt wird, zugunsten des Gerichts der Schweizerischen Post übergeben oder einem Post- oder Bankkonto in der Schweiz belastet worden ist (<ref-law>).
Der Vorschuss für die Parteientschädigung kann auch durch Garantie einer in der Schweiz niedergelassenen Bank oder eines zum Geschäftsbetrieb in der Schweiz zugelassenen Versicherungsunternehmens geleistet werden.
2.3. Bei Säumnis wird das Bezirksgericht auf die Klage nicht eintreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. April 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante