Sachverhalt:
A. A._ (Beklagter und Beschwerdegegner) lebt im von der Betagtenzentren X._ AG (Klägerin und Beschwerdeführerin) betriebenen Altersheim Y._. Die Klägerin ist eine gemeinnützige Aktiengesellschaft, die zu 100 % im Eigentum der Einwohnergemeinde X._ steht und in Erfüllung öffentlicher Aufgaben die stationäre Altersbetreuung im Auftrag der Gemeinde X._ bezweckt und wahrnimmt. Gemäss Bewohnervertrag vom 23. Juni 2010 zog der Beklagte am 29. März 2010 im Haus Z._ des Betagtenzentrums ein und belegte dort zunächst das Zimmer 283. Später wechselte er ins Zimmer 242. Ein Anspruch auf ein bestimmtes Zimmer besteht gemäss Bewohnervertrag nicht. Dieser ist auf unbestimmte Zeit geschlossen. Er kann beidseitig unter Einhaltung einer Frist von einem Monat auf das Ende eines Monats schriftlich gekündigt werden. Am 21. Oktober 2010 kündigte die Klägerin den Vertrag per 30. November 2010. Der Beklagte focht diese Kündigung bei der Schlichtungsbehörde für Miete und Pacht an, welche mit Entscheid vom 15. Juli 2011 mangels Zuständigkeit nicht auf die Anfechtung eintrat, da der Vertrag keinen Mietvertrag im Sinne von <ref-law> darstelle. Mit Entscheid vom 22. Dezember 2010 hatte der Gemeinderat von X._ als Vormundschaftsbehörde für den Beklagten eine Vertretungs- und Verwaltungsbeistandschaft nach Art. 392 Ziff. 1 und 393 Ziff. 2 ZGB angeordnet und einen Amtsvormund ernannt, dem insbesondere die Aufgabe übertragen wurde, für den Beklagten eine geeignete Wohnform zu suchen.
B. Am 12. August 2011 ersuchte die Klägerin das Bezirksgericht Hochdorf um die Ausweisung des Beklagten im Rahmen der Gewährung von Rechtsschutz in klaren Fällen nach <ref-law>. Der Einzelrichter des Bezirksgerichts erachtete die Sach- und Rechtslage als liquid und verpflichtete den Beklagten, binnen 10 Tagen seit Rechtskraft des Entscheides das Zimmer zu räumen und zu verlassen. Sollte er dieser Anordnung keine Folge leisten, könne die Klägerin die polizeiliche Vollstreckung verlangen. Das Obergericht des Kantons Luzern, dem die Berufung des Beklagten vom Bundesverwaltungsgericht zuständigkeitshalber überwiesen worden war, trat dagegen auf das Ausweisungsgesuch nicht ein, da es einerseits sachlich nicht zuständig sei und andererseits die Gewährung von Rechtsschutz in klaren Fällen aus anderen Gründen ohnehin nicht möglich wäre.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Klägerin dem Bundesgericht im Wesentlichen, dem Beklagten zu befehlen, das von ihm bewohnte Zimmer zu verlassen, und sie zu ermächtigen, bei Nichtbeachtung dieser Anweisung das Zimmer durch die Polizei räumen zu lassen. Das Obergericht schliesst auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, während der Beschwerdegegner sich nicht hat vernehmen lassen. Obwohl kein weiterer Schriftenwechsel angeordnet wurde, hat die Beschwerdeführerin eine Replik eingereicht, die dem Beschwerdegegner zugestellt wurde.

Erwägungen:
1. Der Streitwert beträgt bei monatlichen Kosten von Fr. 4'000.-- (ohne Zuschläge) nach dem angefochtenen Entscheid über Fr. 15'000.--.
1.1 Diese Angabe ist wenig hilfreich, da die Streitwertgrenze für die Beschwerde in Zivilsachen nur bei arbeits- und mietrechtlichen Fällen bei diesem Betrag liegt (<ref-law>) und keine der bisher mit dem Fall befassten kantonalen Instanzen die Vereinbarung als Mietvertrag qualifiziert hat. Dass der Beschwerdegegner auch im Ausweisungsverfahren behauptet hätte, es liege ein Mietverhältnis vor, ist nicht festgestellt.
1.2 Unbehelflich ist der Verweis der Beschwerdeführerin auf <ref-law>, wonach als Wert wiederkehrender Nutzungen oder Leistungen von ungewisser oder unbeschränkter Dauer der zwanzigfache Betrag der einjährigen Nutzung gilt. Diese Bestimmung käme, zieht man die mietrechtlichen Regeln zur Bestimmung des Streitwerts analog heran, nur zur Anwendung, wenn der Bestand des Bewohnervertrages an sich umstritten wäre. Ist die Gültigkeit der Kündigung strittig, bestimmt sich der Streitwert grundsätzlich nach der Summe, die für diejenige Dauer geschuldet ist, während welcher der Vertrag unter der Annahme, dass die Kündigung zu Recht angefochten wurde, zwingend weiter bestehen würde, bevor eine neue Kündigung ausgesprochen werden könnte (vgl. für die Miete <ref-ruling> E. 1 S. 149; <ref-ruling> E. 1 S. 386; Urteil des Bundesgerichts 4A_516/2007 vom 6. März 2008 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Ist, wie hier, die Zulässigkeit der Ausweisung umstritten, ist auf den durch die Verzögerung mutmasslich entstehenden Schaden (Urteil des Bundesgerichts 4A_107/2007 vom 22. Juni 2007 E. 2.3, nicht publ. in: <ref-ruling>) bzw. auf die in der betreffenden Zeit hypothetisch anfallenden Kosten für die Benutzung abzustellen (Urteile des Bundesgerichts 5A_295/2010 vom 30. Juli 2010 E. 1.2; 4A_72/2007 vom 22. August 2007 E. 2.2).
1.3 Die Frage, ob die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.-- nach <ref-law> analog auf den zu beurteilenden Fall anzuwenden ist, wovon die Vorinstanz implizit ausgeht, kann offen bleiben, da der für eine Beschwerde in Zivilsachen notwendige Streitwert jedenfalls erreicht wird. Bereits das Verfahren für Rechtsschutz in klaren Fällen dauert nunmehr schon über ein Jahr. Der generell für eine Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) wird aber mit Blick auf die Höhe des monatlich geschuldeten Betrages von Fr. 4'000.-- bereits ab einer Verzögerung von 8 Monaten übertroffen. Sollte die Beschwerdeführerin mit ihrer Beschwerde nicht durchdringen, müsste sie, um die Ausweisung zu erreichen, beim sachlich zuständigen Gericht ein neues Verfahren anstrengen. Vor diesem Hintergrund ist der für eine Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert als gegeben zu erachten.
2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft aber unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4 S. 400 mit Hinweis). Nach <ref-law> legt es seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2). Dies missachtet die Beschwerdeführerin, indem sie, ohne eine hinreichend begründete Sachverhaltsrüge zu erheben (<ref-law>), dem Bundesgericht Sachverhaltselemente unterbreitet, die im angefochtenen Entscheid nicht festgestellt sind. Diese können nicht berücksichtigt werden.
3. Die Vorinstanz hielt fest, der Beschwerdegegner verlange in allgemeiner Form eine "Überprüfung der Situation", was an sich keine ausreichende Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid darstelle. Immerhin lasse sich seiner Eingabe entnehmen, dass er die gegen ihn verfügte Ausweisung aus dem Altersheim nicht gegen sich gelten lassen wolle, also deren Aufhebung beantrage. Unabhängig davon, ob die Berufung nach zivilprozessualen Grundsätzen hinreichend begründet sei, prüfe das Gericht seine sachliche Zuständigkeit als Prozessvoraussetzung von Amtes wegen. Fraglich sei insbesondere, ob überhaupt eine zivilrechtliche Streitigkeit vorliege.
3.1 Die Vorinstanz setzte sich eingehend mit der Frage auseinander, ob die Beziehungen zwischen dem Beschwerdegegner und der Beschwerdeführerin dem öffentlichen Recht unterstehen oder dem Privatrecht. Sie würdigte dabei die konkreten Umstände, nämlich:
- dass es nach § 69 Abs. 1 des Sozialhilfegesetztes (SHG) vom 24. Oktober 1989 (SRL 892) zu den Aufgaben der Gemeinden gehöre, für ein angemessenes Angebot für die Unterkunft, Betreuung und Pflege betagter Personen zu sorgen,
- dass die Beschwerdeführerin im Rahmen der Bestimmungen ihrer Statuten gemeinnützigen Charakter habe und neben der Sicherung und Erhaltung der eigenen Betriebe keine Gewinnabsichten verfolge,
- dass die Beschwerdeführerin zu 100 % im Eigentum der Einwohnergemeinde X._ steht.
Hinsichtlich Ausgestaltung des Bewohnervertrages berücksichtigte die Vorinstanz:
- dass kein Recht auf ein bestimmtes Zimmer gewährt wird,
- dass kein Verhandlungsspielraum bezüglich des zu bezahlen- den Entgelts besteht, da die Taxordnung vom Verwaltungsrat der Beschwerdeführerin in Kraft gesetzt und jährlich angepasst werde.
In Würdigung der Umstände gelangte die Vorinstanz zum Schluss, mit der Aufnahme ins Heim entstehe ein öffentlichrechtliches Verhältnis zwischen den Parteien durch einen verwaltungsrechtlichen Vertrag. Dessen Beurteilung falle nicht in die Zuständigkeit der Zivilgerichte.
3.2 In Rahmen von Zusatzbegründungen erkannte die Vorinstanz, dem Ausweisungsbegehren wäre auch kein Erfolg beschieden, wenn ein privatrechtliches Rechtsverhältnis angenommen würde:
3.2.1 Der Vollzug der Ausweisung setze voraus, dass eine geeignete Wohnform für den Beschwerdegegner gefunden würde, wozu von der Vormundschaftsbehörde ein Beistand bestellt worden sei. Dass der Beschwerdeführer alters- und krankheitsbedingt auf eine 24-stündige Betreuung angewiesen ist, sei unbestritten geblieben. Die im speziellen Fall notwendige Zusammenarbeit mit der Vormundschaftsbehörde schliesse den Rechtsschutz in klaren Fällen aus, da das Vormundschaftsrecht materiell öffentliches Recht darstelle und im Bereich des Vormundschaftsrechts die Offizialmaxime gelte.
3.2.2 Zudem werde das Befehlsverfahren in der kantonalen Praxis als unzulässig abgelehnt, wenn die Vollstreckung von vornherein ausgeschlossen werden könne, was hier der Fall sei.
3.2.3 Überdies sei es mit der Pflicht des Staates, mit einer angemessenen Gesundheitsversorgung dafür zu sorgen, dass kranke Menschen behandelt und gepflegt werden könnten, nicht zu vereinbaren, den offensichtlich kranken, auf Hilfe angewiesenen Beschwerdegegner aus seinem Zimmer im Heim wegzuweisen, zumal die Schutzpflicht gegenüber Pflegebedürftigen, die sich in Heimen, Spitälern und Kliniken in staatlicher Obhut befinden, besonders gross sei.
3.3 Damit stützt die Vorinstanz ihren Entscheid auf vier eigenständige Begründungen: Sie erachtet sich erstens für unzuständig, weil keine zivilrechtliche Streitigkeit vorliegt. Sie hält zweitens dafür, Rechtsschutz in klaren Fällen könne mit Blick auf die Natur des Vormundschaftsrechts und die darin geltende Offizialmaxime nicht gewährt werden (<ref-law>). Sie ist drittens der Auffassung, Rechtsschutz in klaren Fällen sei nicht zu gewähren, wenn die Vollstreckung von vornherein ausgeschlossen sei, und sie hält viertens dafür, es widerspreche der staatlichen Schutzpflicht gegenüber Pflegebedürftigen, die sich in Heimen in staatlicher Obhut befinden, den Beschwerdegegner auszuweisen.
3.4 Auf die beiden ersten Argumentationslinien geht die Beschwerdeführerin in der Beschwerde im Einzelnen ein.
3.4.1 Sie versucht zunächst aufzuzeigen, dass der Vertrag zwischen ihr und den Heimbewohnern zivilrechtlicher Natur ist. Sie leitet dies daraus ab, dass das Gesetz bezüglich der Ausgestaltung des Verhältnisses zu den Bewohnern keine Vorschriften enthalte, sowie aus ihrer eigenen dem Privatrecht unterstellten Rechtspersönlichkeit. Sie weist darauf hin, die von ihr erbrachten Leistungen setzten sich aus privatrechtlichen Verträgen (Auftrag, Miete, Kauf- und Werkvertrag) zusammen. Sie ist der Ansicht, das zwischen ihr und der Gemeinde bestehende öffentlichrechtliche Verhältnis sei vom privatrechtlichen Verhältnis zwischen ihr und den Bewohnern zu unterscheiden. Sie beruft sich auf einen Bundesgerichtsentscheid (<ref-ruling>) betreffend einen Vertrag über Dienstleistungen für die Abfallentsorgung und auf einen Entscheid des Verwaltungsgerichts Schwyz, der die öffentlichrechtliche Natur eines Heimvertrages verneint hatte.
3.4.2 Mit Bezug auf die Anwendung der Offizialmaxime im Vormundschaftsrecht weist die Beschwerdeführerin sodann (wohl zu Recht) darauf hin, die Offizialmaxime betreffe die vormundschaftlichen Massnahmen und sage über das Verfahren, das in gewöhnlichen Prozessen (wie der Ausweisung) gegen eine von vormundschaftlichen Massnahmen betroffene Person zur Anwendung gelangt, nichts aus.
3.5 Mit den weiteren Argumentationslinien setzt sich die Beschwerdeführerin dagegen in der Beschwerde nicht direkt auseinander. Die Replik ist insoweit unbeachtlich, da diese nicht dazu dienen kann, in der Beschwerde Versäumtes nachzuholen.
3.5.1 Nach <ref-law> ist in der Begründung der Anträge in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Zwar wendet das Bundesgericht nach <ref-law> das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (zu den Ausnahmen vgl. <ref-law>); soweit jedoch ein Entscheid auf mehreren selbständigen alternativen Begründungen beruht, ist für jede einzelne darzutun, weshalb sie Recht verletzt; denn soweit nicht beanstandete Begründungen das angefochtene Urteil selbständig stützen, fehlt das Rechtsschutzinteresse an der Beurteilung der gehörig begründeten Rügen (<ref-ruling> E. 6.3 S. 120 f.; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2 S. 560; je mit Hinweisen).
3.5.2 Bereits mit Blick auf die fehlende Auseinandersetzung mit sämtlichen Begründungen erweist sich die Beschwerde als ungenügend. Daran ändert sich nichts, wenn man zu Gunsten der Beschwerdeführerin annimmt, sie habe sich mit dem Hinweis auf ihre privatrechtliche Natur implizit gegen die Begründung gewandt, die sich auf die Schutzpflichten gegenüber Personen, die sich in staatlicher Obhut befinden, abstützt. Denn es fehlen immer noch Ausführungen entweder zur Frage, ob Rechtsschutz in klaren Fällen gewährt werden kann, wenn die Vollstreckung ausgeschlossen ist, oder aber zur Frage, ob die Prämisse, dass eine Vollstreckung ausgeschlossen wäre, zutrifft.
4. Selbst wenn man die Beschwerdebegründung hinsichtlich der Zusatzbegründungen als genügend erachten wollte, würde dies der Beschwerdeführerin nichts nützen.
4.1 Der im Summarverfahren nach <ref-law> erteilte Rechtsschutz in klaren Fällen setzt voraus, dass der Sachverhalt unbestritten oder sofort beweisbar und die Rechtslage klar ist (Art. 257 Abs. 1 lit. a und b ZPO). Fehlt eine dieser beiden Voraussetzungen, ist auf das Gesuch um Gewährung dieses Rechtsschutzes nicht einzutreten (<ref-law>). Die Rechtslage ist klar, wenn sich die Rechtsfolge bei der Anwendung des Gesetzes unter Berücksichtigung der Lehre und Rechtsprechung ohne Weiteres ergibt und damit die Rechtsanwendung zu einem eindeutigen Ergebnis führt (<ref-ruling> E. 2.1.2 S. 126; vgl. auch Botschaft vom 28. Juni 2006 zur ZPO, BBl 2006 7352 Ziff. 5.18 zu Art. 253 E-ZPO).
4.2 Um aufzuzeigen, dass der angefochtene Entscheid im Ergebnis Recht verletzt, genügt es vor diesem Hintergrund nicht, auf die rechtliche Natur des Vertrages hinzuweisen. Die Beschwerdeführerin müsste vielmehr aufzeigen, dass sich diese bei der Anwendung des Gesetzes unter Berücksichtigung der Lehre und Rechtsprechung ohne Weiteres ergibt. Auch in diesem Punkt genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen nicht. Sie wäre aber auch materiell zum Scheitern verurteilt:
4.2.1 Die Abgrenzung bundesprivatrechtlicher Streitigkeiten von öffentlichrechtlichen ist in der Praxis kasuistisch geprägt. Es sind dafür verschiedene Theorien entwickelt worden, deren grundsätzliche Abgrenzungskriterien sich nicht ausschliessen und die im Einzelfall herangezogen werden, soweit sie sich am besten zur Lösung der konkreten Fragestellung eignen. Bei der Anwendung dieser theoretischen Kriterien ist dem Umstand Rechnung zu tragen, dass der Unterscheidung zwischen privatem und öffentlichem Recht ganz verschiedene Funktionen zukommen, je nach den Regelungsbedürfnissen und den Rechtsfolgen, die im Einzelfall in Frage stehen (<ref-ruling> E. 2a S. 253 mit Hinweisen).
4.2.2 Die Regelung von verwaltungsrechtlichen Rechten und Pflichten durch einen verwaltungsrechtlichen Vertrag ist zulässig, wenn ein Rechtssatz entweder diese Handlungsform vorsieht oder dafür Raum lässt oder sofern sie vom Gesetz nicht ausdrücklich ausgeschlossen wird. Eine ausdrückliche gesetzliche Ermächtigung ist entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht erforderlich (<ref-ruling> E. 4.1 und 4.2 S. 146 ff. mit Hinweisen).
4.2.3 Für die Abgrenzung sind die konkreten Umstände des zu beurteilenden Falles massgebend. Angesichts des im Gesetz enthaltenen Leistungsauftrags und der Tatsache, dass die Aktien der Beschwerdeführerin zu 100 % von der Einwohnergemeinde gehalten werden, kann nicht ohne Weiteres auf eine privatrechtliche Natur des Vertrages zwischen dem Beschwerdegegner und der Beschwerdeführerin geschlossen werden. Dass Leistungen erbracht werden, die sich Normen des Obligationenrechts zuordnen lassen, lässt entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht zwingend auf ein zivilrechtliches Verhältnis schliessen.
4.3 Rechtsschutz in klaren Fällen könnte nur gewährt werden, wenn auch die Frage, ob eine zivilrechtliche Streitigkeit zu beurteilen ist, rechtlich liquid wäre. Dies wäre beispielweise der Fall, wenn für das von der Beschwerdeführerin betriebene Heim oder ein vergleichbares im gleichen Kanton bereits einschlägige Präjudizien bestünden. Entsprechendes zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf. Das angeführte ausserkantonale Urteil vermag wegen möglicher Differenzen der kantonalen Rechte nicht zu genügen. Damit ist unabhängig davon, wie der Vertrag zwischen dem Beschwerdegegner und der Beschwerdeführerin letztlich zu qualifizieren ist, mangels Liquidität im Ergebnis nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz den Rechtsschutz in klaren Fällen verweigert hat und auf die Klage nicht eingetreten ist.
5. Soweit angesichts der mangelhaften Begründung überhaupt auf die Beschwerde eingetreten werden kann, ist sie abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig, zumal die Angelegenheit unabhängig von der Qualifikation des Vertrages und des Verhältnisses der Beschwerdeführerin zum Gemeinwesen das Vermögensinteresse betrifft, so dass <ref-law> nicht zur Anwendung kommt. Da der Beschwerdegegner sich nicht hat vernehmen lassen, steht ihm keine Parteientschädigung zu.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. August 2012
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak