Sachverhalt:
A. Der 1972 geborene S._ war seit 11. Juni 1990 bei der Firma M._ als Bauarbeiter tätig und in dieser Eigenschaft bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Nachdem er sich am 29. Januar 2003 auf der Baustelle bei einem Sturz aus vier Metern Höhe eine nicht dislozierte Nasenbeinfraktur, eine nicht dislozierte Skaphoidfraktur rechts sowie eine Radiusköpfchenfraktur links zugezogen hatte, wurde er ab 12. Januar 2004 wieder zu 100% arbeitsfähig geschrieben. Am 11. Juni 2005 erlitt S._ einen Auffahrunfall, wobei der Hausarzt Dr. med. B._ im Arztzeugnis vom 1. Juli 2005 eine HWS-Distorsion diagnostizierte, und am 26. September 2005 klemmte sich der Versicherte auf der Baustelle beim Abladen von Material die linke Hand ein. Mit Verfügung vom 21. Juni 2006 stellte die SUVA die aus den Unfällen vom 29. Januar 2003 sowie vom 11. Juni und 26. September 2005 erbrachten Leistungen auf den 30. Juni 2006 ein, da zwischen den noch geklagten Beschwerden und den Unfallereignissen kein natürlicher und/oder adäquater Kausalzusammenhang bestehe. An ihrem Standpunkt hielt sie mit Einspracheentscheid vom 22. November 2006 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 21. Januar 2008 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, die Sache sei zur Neubeurteilung seines Anspruchs an die SUVA zurückzuweisen. Zudem lässt er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen.
Während die SUVA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Verfügung vom 26. Juni 2008 hat das Bundesgericht, I. sozialrechtliche Abteilung, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung) zufolge Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels abgewiesen und den Beschwerdeführer mit Verfügung vom 2. Juli 2008 aufgefordert, bis 18. August 2008 einen Kostenvorschuss von Fr. 750.- einzuzahlen, was innert der angesetzten Nachfrist geschehen ist.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen über den Anspruch auf Leistungen der Unfallversicherung im Allgemeinen (Art. 6 Abs. 1 UVG [in Verbindung mit Art. 4 ATSG]) und die einzelnen Leistungsarten im Besonderen (Art. 10 Abs. 1 UVG [zweckmässige Heilbehandlung], Art. 16 Abs. 1 UVG [Taggeld], Art. 18 Abs. 1 UVG [Invalidenrente], Art. 24 Abs. 1 UVG [Integritätsentschädigung]) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht der Unfallversicherung vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; <ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) sowie zur im Weiteren erforderlichen Adäquanz des Kausalzusammenhangs im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 181 mit Hinweisen) sowie bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (<ref-ruling>) und nach der für nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen verbundenen Schleudertraumen (<ref-ruling>), äquivalenten Verletzungen der HWS (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) und Schädel-Hirntraumen (<ref-ruling>) geltenden sog. Schleudertrauma-Praxis im Besonderen. Richtig sind schliesslich die Ausführungen zu dem im Sozialversicherungsrecht geltenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) sowie zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis). Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat nach umfassender Würdigung der medizinischen Aktenlage, insbesondere gestützt auf den Bericht des SUVA-Kreisarztes Dr. med. K._ vom 29. März 2006, welcher wiederum auf den Austrittsbericht der Klinik R._ vom 1. Dezember 2005 verweist, sowie gestützt auf den Bericht des Hausarztes Dr. med. B._ vom 17. März 2007, soweit er sich auf den Gesundheitszustand vor Erlass des Einspracheentscheides bezieht, aufgezeigt, dass die drei Unfallereignisse vom 29. Januar 2003, 11. Juni und 26. September 2005 in somatischer Hinsicht keine Folgen mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit hinterlassen. In Anwendung der Rechtsprechung zu den psychischen Unfallfolgen hat die Vorinstanz sodann erkannt, dass die adäquate Kausalität zwischen diesen Unfällen und allfälligen psychischen Beschwerden zu verneinen ist.
3.2 Dagegen bringt der Beschwerdeführer nichts vor, was zu einem vom angefochtenen Entscheid abweichenden Ergebnis führen könnte. Mit den bereits im vorinstanzlichen Verfahren erhobenen Einwendungen, insbesondere bezüglich der Einstufung des Arbeitsunfalls vom 29. Januar 2003 als mittelschwer oder schwer sowie der daraus resultierenden Folgen für die Adäquanzbeurteilung psychischer Beschwerden, hat sich das kantonale Gericht einlässlich auseinandergesetzt. Auf die zutreffenden Erwägungen des angefochtenen Entscheids, welchen das Bundesgericht nichts beizufügen hat, kann verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG). Soweit der Versicherte sodann geltend macht, es hätten für eine umfassende Beurteilung der medizinischen Situation die Ergebnisse der von der IV-Stelle Bern in Auftrag gegebenen MEDAS-Abklärung abgewartet und berücksichtigt werden müssen, ist festzustellen, dass dieser Gutachtensauftrag am 8. Mai 2007 und somit über fünf Monate nach dem für die Beurteilung des Sachverhalts massgebenden Zeitpunkt des Einspracheentscheids erteilt wurde und dass in Anbetracht der umfassenden und schlüssigen Aktenlage für den massgebenden Zeitpunkt in antizipierter Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 3 S. 157, 124 V 90 E. 4b S. 94) von ergänzenden Beweisvorkehren abgesehen werden konnte. Gestützt auf die oben erwähnten Berichte, welche die von der Rechtsprechung entwickelten Anforderungen an beweiskräftige medizinische Unterlagen erfüllen, ist die Vorinstanz zu Recht vom Fehlen somatischer Unfallfolgen mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit ausgegangen. Die Frage nach dem Vorhandensein psychischer Unfallfolgen, welche die Arbeitsfähigkeit einschränken, hat das kantonale Gericht offen gelassen, da - wie es ebenfalls überzeugend aufgezeigt hat - der für eine Leistungspflicht des Unfallversicherers rechtsprechungsgemäss (<ref-ruling>) vorausgesetzte Kausalzusammenhang mit den einzelnen Unfallereignissen zu verneinen wäre. Der Vollständigkeit halber kann erwähnt werden, dass sich aus dem Gutachten der MEDAS vom 15. Oktober 2007 nichts zugunsten des Beschwerdeführers ableiten lässt, ergab doch die polydisziplinäre Abklärung keine Diagnose mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit.
4. Da die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den vorinstanzlichen Entscheid erledigt.
5. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Oktober 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch