Sachverhalt:
A. A.X._ wurde vom Bezirksgericht Oberegg mit Urteil vom 20. Juni 2007 der wiederholten Verletzung der Fürsorge- und Erziehungspflicht schuldig gesprochen, von den weiteren gegen ihn erhobenen Straftaten, angeblich begangen an seiner Stieftochter Y._, aber freigesprochen. Ausserdem wurde er zur Ausrichtung von Schadenersatz und Genugtuung an Y._ verpflichtet. A.X._ erhob gegen dieses Urteil Berufung beim Kantonsgericht Appenzell I.Rh.
Y._ stellte im Berufungsverfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Entscheid vom 7. Dezember 2007 wies das Kantonsgericht das Gesuch ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es begründete den Entscheid damit, dass Y._ minderjährig und ohne eigenes Einkommen sei und ihre unterstützungspflichtigen Eltern über ausreichende finanzielle Mittel verfügten, um ihr zu einer Rechtsverbeiständung zu verhelfen, soweit dies zur Wahrung ihrer Rechte notwendig sei. Gleichzeitig verurteilte das Kantonsgericht A.X._ und B.X._ als Eltern der Gesuchstellerin unter solidarischer Haftbarkeit, der Rechtsvertreterin von Y._ einen Vorschuss für das Berufungsverfahren in der Höhe von Fr. 3'000.-- zu leisten (Dispositiv-Ziffer 2).
Das Kantonsgericht stellte den Entscheid mit Gerichtsurkunde an Rechtsanwalt Werner Rechsteiner für A.X._ und mit Gerichtsurkunde an B.X._ zu.
B. A.X._ und B.X._ haben beim Bundesgericht gegen den Entscheid des Kantonsgerichts vom 7. Dezember 2007 je eine Beschwerde in Strafsachen eingereicht. Sie beantragen die Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids.
C. Y._ hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Kantonsgericht beantragt sinngemäss, auf die Beschwerden sei nicht einzutreten, eventuell seien sie abzuweisen.

Erwägungen:
1. Die Eingaben der Beschwerdeführer richten sich gegen denselben Entscheid. Die Beschwerdeführer stellen die gleichen Anträge und sind durch den selben Rechtsanwalt vertreten; im Übrigen decken sich ihre Begründungen über weite Strecken. Es rechtfertigt sich deshalb, die Verfahren 1B_2/2008 und 1B_3/2008 durch ein einziges Urteil zu erledigen.
2. Die Beschwerden richten sich gegen einen prozessualen Zwischenentscheid. Nach <ref-law> sind sie zulässig, wenn der angefochtene Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Dieser muss bei einer Beschwerde in Strafsachen (<ref-law>), wie nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur staatsrechtlichen Beschwerde, rechtlicher Natur sein, d.h. auch durch einen günstigen Endentscheid nicht gänzlich behoben werden können (<ref-ruling> E. 4 S. 140 f.; Urteile des Bundesgerichts 6B_23/2007 vom 2. April 2007 E. 1; 6B_149/2007 vom 17. Juli 2007 E. 1).
Bei der Auferlegung der Pflicht zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses wird die nicht wieder gutzumachende rechtliche Natur des Nachteils aufgrund des Entzugs der Verfügungsmacht über den Vermögensbestandteil bejaht (<ref-ruling> E. 2b S. 634; <ref-ruling> E. 2 S. 403; vgl. ferner <ref-ruling> E. 1b S. 214 betreffend die Anordnung der Hinterlegung eines Geldbetrags bis zum Entscheid in der Hauptsache). Dies muss auch bezüglich der Pflicht zur Leistung eines Kostenvorschusses für die Rechtsverbeiständung der Gegenpartei gelten.
Demnach ist das Interesse der beschwerdeführenden Parteien an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids ebenfalls rechtlicher Natur. Der Beschwerdeführer, der im Berufungsverfahren vor der Vorinstanz Parteistellung hat, ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Dies gilt ebenfalls für die Beschwerdeführerin, die am Berufungsverfahren zwar nicht teilnehmen konnte, durch den angefochtenen Entscheid aber ebenfalls verpflichtet wurde (vgl. <ref-law>).
Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerden ist somit einzutreten.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer erhebt die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>). Er macht geltend, es hätte ihm vor Erlass des angefochtenen Entscheids die Möglichkeit zur Stellungnahme eingeräumt werden müssen, damit er seine Parteistellung sowie die angebliche Beistandspflicht gegenüber der Beschwerdegegnerin hätte bestreiten können. Auch die Beschwerdeführerin erhebt die Rüge der Gehörsverletzung. Sie bringt vor, durch die Auferlegung der Kostenvorschusspflicht sei sie faktisch Partei des Verfahrens vor der Vorinstanz geworden. Es hätte ihr deshalb zumindest das Recht zur Stellungnahme eingeräumt werden müssen.
3.2 Gemäss ständiger Praxis des Bundesgerichts ist der Anspruch auf rechtliches Gehör formeller Natur. Die Verletzung des rechtlichen Gehörs führt ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst grundsätzlich zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Die gerügte Verletzung des rechtlichen Gehörs ist daher vorweg zu prüfen (zur Publikation bestimmtes Urteil des Bundesgerichts 1A.50/2007 vom 11. März 2008 E. 2.1; <ref-ruling> E. 2d/bb S. 24; <ref-ruling> E. 3 S. 118).
Die Beschwerdeführer berufen sich ausschliesslich auf die Verfassungsnorm von <ref-law> und machen nicht geltend, das kantonale Recht gewähre einen darüber hinausgehenden Anspruch auf rechtliches Gehör. Bei dieser Sachlage ist das angefochtene Urteil einzig vor dem Hintergrund von <ref-law> zu prüfen.
3.3 Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist Teil der allgemeinen Verfahrensgarantien, die in <ref-law> für Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen gewährleistet werden. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung besteht ein Anspruch auf rechtliches Gehör immer dann, wenn ein Hoheitsakt unmittelbar die Rechtsstellung eines Einzelnen berührt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 236; <ref-ruling> E. 5c S. 149 ff.). Es umfasst insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern (<ref-ruling> E. 2b S. 56; <ref-ruling> E. 2 S. 242).
Den Beschwerdeführern hätte dementsprechend vor Erlass des sie verpflichtenden Zwischenentscheids Gelegenheit geboten werden müssen, sich zur Frage des Umfangs ihrer Pflichten gegenüber der Beschwerdegegnerin zu äussern. Indem die Vorinstanz die Beschwerdeführer zur Leistung des Kostenvorschusses verpflichtete, ohne sie vorgängig zur Stellungnahme aufzufordern, hat sie den Anspruch der Beschwerdeführer auf rechtliches Gehör verletzt.
Dieser Mangel wiegt schwer. Zudem verfügt das Bundesgericht über eine eingeschränktere Kognition als das Kantonsgericht im strafprozessualen Berufungsverfahren (vgl. Art. 95, 106 und 107 BGG sowie Art. 143 des Gesetzes des Kantons Appenzell I.Rh. vom 27. April 1986 über die Strafprozessordnung [StPO]). Eine Heilung des Mangels im Rechtsmittelverfahren vor Bundesgericht ist deshalb ausgeschlossen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 72).
Die Beschwerden sind somit begründet. Die Prüfung der weiteren Rügen erübrigt sich.
4. Nach dem Gesagten sind die Beschwerden gutzuheissen und Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids aufzuheben. Bei diesem Verfahrensausgang werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>). Der geleistete Gerichtskostenvorschuss wird den Beschwerdeführern von der Bundesgerichtskasse zurückerstattet. Der Kanton Appenzell I.Rh. hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerden werden gutgeheissen und Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids vom 7. Dezember 2007 des Kantonsgerichts Appenzell Innerrhoden wird aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten auferlegt.
3. Der Kanton Appenzell Innerrhoden hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. April 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder