Sachverhalt:
A.
Die 1954 geborene L._ leidet an diversen gesundheitlichen Beschwerden und lebt von ihrem Ehemann, welcher in einem nicht behinderungsangepassten Haus im Kanton Graubünden wohnt, getrennt in einer Mietwohnung im Kanton Basel-Stadt. Ihre Einkünfte bestehen insbesondere aus einer ganzen Rente und einem Assistenzbeitrag der Invalidenversicherung sowie aus einer Rente der Lebensversicherung. Ergänzungsleistungen lehnte das Amt für Sozialbeiträge Basel-Stadt unter anderem für die Zeit ab 1. Juni 2009 (Verfügung vom 11. November 2009) und 1. Januar 2010 (Verfügung vom 9. Februar 2010) ab. Die Sozialhilfe Basel-Stadt verneinte auf das von L._ im Dezember 2009 gestellte Gesuch hin einen Anspruch auf Unterstützungsleistungen unter Hinweis auf einen monatlichen Überschuss von Fr. 985.30 (Verfügung vom 21. Januar 2010). Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt des Kantons Basel-Stadt (WSU) ab (Entscheid vom 20. Januar 2011).
B.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt lehnte die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 21. September 2012).
C.
L._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, die Sozialhilfe Basel-Stadt sei zu verpflichten, den Anspruch auf Sozialhilfeleistungen unter Einbezug sämtlicher krankheits- und behinderungsbedingter Kosten, welche nicht durch Leistungen der Sozialversicherungen, Ergänzungsleistungen, kantonale Beihilfen oder Leistungen von Privatversicherungen gedeckt seien, neu zu berechnen. Ferner wird um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ersucht.
Das kantonale Gericht und das WSU schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
D.
Der Rechtsvertreter von L._ bestätigt auf Anfrage des Bundesgerichts, dass die Rechtsschutzversicherung keine Leistungen mehr erbringt.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Soweit sich der angefochtene Entscheid auf Quellen des kantonalen Rechts stützt, welche nicht in Art. 95 lit. c-e BGG genannt werden, beschränkt sich die Überprüfung durch das Bundesgericht demgegenüber thematisch auf die erhobenen und begründeten Rügen (<ref-law>) und inhaltlich auf die Frage, ob die Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Im Vordergrund steht dabei eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere des Willkürverbots nach <ref-law>. Was die Feststellung des Sachverhalts anbelangt, kann gemäss <ref-law> nur gerügt werden, diese sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2 S. 145 mit Hinweis).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.
2.1. Das kantonale Gericht legt mit Blick auf die subsidiäre Natur von Sozialhilfeleistungen dar, dass Personen, welche um Ausrichtung von Sozialhilfeleistungen ersuchen, der Sozialhilfe - im Rahmen der Meldepflicht - von Dritten erhältlich gemachte Beiträge an den Lebensunterhalt (z.B. Lohnzahlungen, Renten), Darlehen oder andere Drittmittel (z.B. Spenden, Schenkungen) angeben müssten, da diese in der Berechnung zu berücksichtigen seien. Die Mittel der Beschwerdeführerin rührten teilweise aus Darlehen her. Diese würden dementsprechend den Sozialhilfeleistungen vorgehen. Zum Zeitpunkt der Erstberechnung (gemäss Verfügung vom 21. Januar 2010) habe deshalb keine Bedürftigkeit und folglich kein Anspruch auf Sozialhilfeleistungen bestanden. Bei diesem Ergebnis könne die grundsätzliche Frage offen bleiben, ob die Sozialhilfe bei entsprechendem Nachweis ungedeckter Kosten im Rahmen des Verbleibs in der eigenen Wohnung zur Zahlung von krankheits- und behinderungsspezifischen Spezialaufwendungen verpflichtet sei, falls solche Kosten im Rahmen einer stationären, medizinisch ausgerichteten Wohnform durch die Krankenkasse, Ergänzungsleistungen und andere Beiträge finanziert würden. Immerhin gelte auch insoweit der Grundsatz der Subsidiarität. Die Sozialhilfe sei das letzte Auffangnetz.
2.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass sie "sowohl bei Einreichung des Antrages auf Sozialhilfe als auch bis heute" die von den Versicherungen nicht übernommenen krankheits- und behinderungsbedingten Kosten mittels privater Zuwendungen zu decken vermochte und vermag. Sie müsse aber hierfür immer wieder Gesuche an verschiedene Stiftungen stellen oder Verwandte und Bekannte um Hilfe bitten. Es sei für sie lebensnotwendig, dass sie von Dritten als sofortige Überbrückungshilfe finanzielle Unterstützung erhalte, wenn die Sozialhilfe sich weigere, die ungedeckten Kosten namentlich für medizinische Hilfsmittel und künstliche Ernährung zu finanzieren. Der in <ref-law> statuierte Grundsatz der Subsidiarität könne sich nur auf Leistungen Dritter beziehen, welche nicht unmittelbar notwendig seien, um die Existenz des Betroffenen zu sichern. Soweit die von Dritten erbrachten Leistungen ihrerseits eine "Nothilfe" im Sinne von <ref-law> darstellten, dürften diese nicht auf den Sozialhilfeanspruch der betroffenen Person angerechnet werden. Indem das kantonale Gericht die Zuwendungen der privaten Stiftungen, der Verwandten und Freunde der Beschwerdeführerin unbesehen ihres Grundes als der Sozialhilfe vorgehende Leistungen qualifiziere, verletze es <ref-law>, respektive den in dieser Bestimmung enthaltenen Begriff der Subsidiarität. Die Beschwerdeführerin sei dazu gezwungen, eine Bettelexistenz zu fristen. Verletzt sei auch Art. 8 EMRK, welcher jeder Person das Recht auf eine Wohnung garantiere. Indem die Vorinstanz einen Anspruch auf Sozialhilfe verneine, zwinge sie die Beschwerdeführerin zu einem Heimeintritt. Das Diskriminierungsverbot gemäss Art. 14 EMRK biete Schutz gegen soziale Ausgrenzungen. Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie werde diskriminiert, indem ihr als kranker Person lebensnotwendige Mittel versagt würden.
3.
3.1. Nach <ref-law> hat, wer in Not gerät und nicht in der Lage ist, für sich zu sorgen, Anspruch auf Hilfe und Betreuung und auf die Mittel, die für ein menschenwürdiges Dasein unerlässlich sind (vgl. dazu auch <ref-ruling> E. 2c S. 373 mit Hinweisen). Die in Not geratene Person hat demgemäss nur Anspruch auf entsprechende Leistungen des Staates, wenn sie sich ausserstande sieht - d.h. wenn es ihr rechtlich verwehrt oder faktisch unmöglich ist -, selber für sich zu sorgen. Keinen Anspruch hat somit, wer solche Leistungen beansprucht, obwohl er objektiv in der Lage wäre, sich aus eigener Kraft die für das Überleben erforderlichen Mittel selber zu verschaffen; denn solche Personen stehen nicht in jener Notsituation, auf die das Grundrecht auf Hilfe in Notlagen zugeschnitten ist. Bei ihnen fehlt es bereits an den Anspruchsvoraussetzungen, weshalb sich in solchen Fällen die Prüfung erübrigt, ob die Voraussetzungen für einen Eingriff in das Grundrecht erfüllt sind, namentlich, ob ein Eingriff in dessen Kerngehalt vorliegt, denn dies setzt einen rechtmässigen Anspruch voraus (<ref-ruling> E. 4.3 S. 75 f. mit diversen Hinweisen; Urteile [des Bundesgerichts] 8C_787/2011 vom 28. Februar 2012 E. 3 und 8C_156/2007 vom 11. April 2008 E. 6.3).
3.2.
3.2.1. Das WSU macht in seiner letztinstanzlich eingereichten Vernehmlassung zu Recht darauf aufmerksam, dass vom sozialhilferechtlichen Subsidiaritätsprinzip lediglich bedürftige Personen betroffen sind, die auf finanzielle Hilfe zur Deckung ihres Lebensbedarfs angewiesen sind. Für lebensnotwendige Mittel, die zum existenziellen Grundbedarf gehören, sind neben der Geltendmachung der sozialversicherungsrechtlichen Ansprüche namentlich auch die Möglichkeiten der Hilfe Dritter auszuschöpfen. Mit dem Grundsatz der Subsidiarität staatlicher Unterstützungsleistungen, welche das Sozialhilferecht prägt, wird zum Ausdruck gebracht, dass der Staat nur dann Mittel zur Sicherung des notwendigen Bedarfs leisten muss, wenn keine anderen Hilfsquellen ausreichend und rechtzeitig zur Verfügung stehen (vgl. auch § 3 und 5 des Sozialhilfegesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 29. Juni 2000 [SHG; SG 890.100]). Das Grundrecht auf Existenzsicherung entlastet die einzelne Person daher nicht davon, auch in schwierigen Lebenssituationen zunächst ihre Eigenkräfte zu mobilisieren. Die Beschwerdeführerin übersieht bei ihrer Argumentation, dass ihr dies im vorliegend massgebenden Zeitraum unstreitig gelungen ist, indem sie neben weiteren Unterstützungsleistungen Kostenübernahmen durch Stiftungen erreichen und Zuwendungen aus dem tragfähigen Netz ihrer persönlichen Beziehungen erhältlich machen konnte. Im Verfahren vor Bundesgericht weisen kantonales Gericht und WSU daher zutreffend darauf hin, dass sich die Beschwerdeführerin gar nicht in einer Notsituation im Sinne von <ref-law> befunden hat, da sie alle notwendigen medizinischen Hilfsmittel und Pflegeleistungen fortlaufend und rechtzeitig (auch) mit privaten Geldern finanzieren konnte. Weil die Voraussetzungen für den Anspruch auf Sozialhilfe und auf finanzielle Nothilfe gemäss <ref-law> gar nicht erfüllt waren, zielt ihre Rüge der Verletzung des verfassungsmässigen Rechts auf Hilfe in Notlagen ins Leere.
3.2.2. Die Beschwerdeführerin vermag auch mit ihren Einwendungen, durch den angefochtenen Gerichtsentscheid werde sie entgegen Art. 8 EMRK zum Heimeintritt gezwungen und im Sinne von Art. 14 EMRK diskriminiert, indem ihr als kranker Person lebensnotwendige Mittel versagt würden, nicht durchzudringen. Es ist mit den Vorinstanzen einig zu gehen, dass durch die vorrangige Leistungspflicht von Versicherungen und anderen Dritten ausserhalb der Sozialhilfe die Wahlfreiheit in der Lebensgestaltung gewisse Einschränkungen erfahren kann. Soweit die Möglichkeit besteht, in einer durch andere Leistungsträger finanzierten, stationären und medizinisch ausgerichteten Wohnform oder Einrichtung die notwendige Pflege zu erhalten, besteht deshalb unter dem Aspekt der Subsidiarität kein unbedingtes Recht auf Führung eines eigenen Haushaltes. Vorliegend verhielt es sich allerdings so, dass die Beschwerdeführerin ihre eigene Wohnung behalten konnte, weil die finanziellen Mittel zur Deckung der notwendigen Kosten ausreichten. Schliesslich ist auch eine krankheitsbedingte Diskriminierung zu verneinen, da ein Anspruch auf Sozialhilfe nicht infolge des Gesundheitszustandes, sondern wegen des aus der Bedürftigkeitsabklärung resultierenden Einkommensüberschusses verneint wurde. Die Beschwerdeführerin konnte die von der Sozialversicherung und privaten Versicherungsleistungen nicht gedeckten behinderungsbedingten Mehrkosten durch Drittmittel finanzieren. Deshalb kann ihr nicht beigepflichtet werden, soweit sie geltend macht, durch die Verneinung von Sozialhilfeansprüchen seien ihr die lebensnotwendigen Mittel versagt worden. Eine Konventionsverletzung liegt demgemäss ebenfalls nicht vor.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann entsprochen werden (<ref-law>). Es wird jedoch ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Daniel Altermatt wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Oktober 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz