wird festgestellt und in Erwägung gezogen:
1.-a) Der Beschwerdeführer ist Präsident des Vereins gegen Tierfabriken (VgT). Im Vereinsorgan "VgT-Nachrichten" Nr. 5/1997 kritisierten er und ein weiterer Autor das Fischen mit lebenden Köderfischen. Dabei wurden Illustrationen aus der Zeitschrift "Petri Heil" abgedruckt. Die Beschwerdegegnerin stellte daraufhin Rechnung über Fr. 9'933. 80 für die unautorisierte Verwendung dieser Bilder.
b) Am 30. Januar 1998 belangte die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer auf Fr. 9'933. 80 nebst Zins. Die Bezirksgerichtliche Kommission Münchwilen überwies die Streitsache am 2./18. Juni 1998 zuständigkeitshalber an das Obergericht des Kantons Thurgau. Gegen diesen Überweisungsbeschluss rekurrierte der Beschwerdeführer erfolglos beim Obergericht des Kantons Thurgau. Auf eine staatsrechtliche Beschwerde trat das Bundesgericht am 12. Februar 1999 nicht ein. Eine gegen diesen Entscheid bei der Europäischen Kommission für Menschenrechte eingelegte Beschwerde ist noch hängig.
c) Mit Urteil vom 6. Juli 1999 hiess das Obergericht die Klage teilweise gut und verpflichtete den Beschwerdeführer zur Zahlung von Fr. 2'165.-- nebst Zins. Es hielt dafür, die vom Beschwerdeführer verwendeten Abbildungen stellten urheberrechtlich geschützte Werke dar. Deren unautorisierte Verwendung sei widerrechtlich und berechtige die Beschwerdegegnerin zu Schadenersatz. Für die vier Illustrationen sprach das Obergericht ein Honorar von Fr. 1'300.-- samt Zuschlägen von Fr. 800.-- sowie Bearbeitungs- und Auswahlkosten von Fr. 65.--, insgesamt Fr. 2'165.-- zu.
d) Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht mit staatsrechtlicher Beschwerde, das Urteil des Obergerichts des Kantons Thurgau aufzuheben. Er rügt verschiedene Verletzungen seines konventions- und bundesverfassungsrechtlichen Anspruchs auf rechtliches Gehör und des Willkürverbotes.
2.-a) Weil die staatsrechtliche Beschwerde nicht das vorangegangene kantonale Verfahren weiterführt, sondern als ausserordentliches Rechtsmittel ein selbständiges staatsgerichtliches Verfahren eröffnet, das der Kontrolle kantonaler Hoheitsakte unter dem spezifischen Aspekt ihrer Verfassungsmässigkeit dient, prüft das Bundesgericht darin nur klar und detailliert erhobene Rügen. Zu deren tatsächlichen und rechtlichen Substanziierung hat der Beschwerdeführer gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG nicht nur die als unwahr ausgegebenen Tatsachenfeststellungen zu nennen, sondern im Einzelnen darzutun, worin der dem kantonalen Gericht vorgeworfene qualifizierte Rechtsfehler liege. Eine bloss appellatorische Kritik, als ob dem Bundesgericht die allseits freie Sach- und Rechtsprüfung zukäme, genügt diesen Anforderungen nicht; der Beschwerdeführer hat sich mit dem angefochtenen Entscheid vielmehr im Verfassungsbezug auseinanderzusetzen (vgl. <ref-ruling> E. 1c).
b) Der aus Art. 4 aBV abgeleitete Anspruch auf rechtliches Gehör gibt dem Betroffenen als persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht das Recht, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheides zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 2c und 2d; <ref-ruling> E. 1c, je mit Hinweisen). Dem Mitwirkungsrecht entspricht die Pflicht der Behörde, die Argumente und Verfahrensanträge der Partei entgegenzunehmen und zu prüfen sowie die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen, es sei denn, diese beträfen eine nicht erhebliche Tatsache oder seien offensichtlich untauglich, über die streitige Tatsache Beweis zu erbringen (<ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 2c und 2d; <ref-ruling> E. 1c, je mit Hinweisen; vgl. auch Koller, Der Gehörsanspruch im erstinstanzlichen Zivilprozess, ZSR 105 [1986] S. 229 f., 231). Aus dem Gehörsanspruch folgt sodann die Pflicht der urteilenden Behörde zur Begründung ihres Entscheids. Dabei muss sie sich nicht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegen. Vielmehr kann sie sich auf die entscheidwesentlichen Punkte beschränken, dergestalt, dass der Betroffene sich über die Tragweite des Entscheides Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache anfechten kann (<ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 4).
c) Ein Verstoss gegen das aus Art. 4 aBV abgeleitete Willkürverbot liegt nach der Rechtsprechung nicht bereits dann vor, wenn eine andere als die vom kantonalen Gericht gewählte Lösung ebenfalls vertretbar oder gar vorzuziehen ist. Das Bundesgericht schreitet erst ein, wenn der angefochtene Entscheid nicht nur unrichtig, sondern schlechthin unhaltbar ist, insbesondere wenn er eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt (<ref-ruling> E. 5b; <ref-ruling> E. 2a). Erforderlich ist zudem, dass der Entscheid im Ergebnis verfassungswidrig ist, die dazu gegebene Begründung ist nicht allein ausschlaggebend (BGE <ref-ruling> E. 2a). Nach der Rechtsprechung verfällt eine Behörde in Willkür, wenn sie ihrem Entscheid Tatsachenfeststellungen zugrunde legt, die mit den Akten in klarem Widerspruch stehen. Im Bereich der Beweiswürdigung besitzt das Sachgericht allerdings einen weiten Ermessensspielraum. Verfassungswidrig ist daher eine Beweiswürdigung bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder sonstwie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkürlich ist insbesondere eine Beweiswürdigung, welche einseitig einzelne Beweise berücksichtigt oder Sachvorbringen als unbewiesen annimmt, obgleich sie aufgrund des Verhaltens der Gegenpartei offensichtlich als zugestanden zu gelten hätten (<ref-ruling> E. 1b). Dagegen reicht nicht bereits aus, dass die vom Sachgericht gezogenen Schlüsse mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei nicht übereinstimmen oder die Verfassungsinstanz bei freier Prüfung möglicherweise nicht zu überzeugen vermöchten.
3.-a) Der Beschwerdeführer rügt als Verletzung von Art. 6 EMRK und § 148 Abs. 2 ZPO/TG, das angefochtene Urteil sei antragswidrig nicht öffentlich verkündet, sondern lediglich - und erst ein halbes Jahr nach Urteilsfällung - am 24. Dezember 1999 in schriftlicher Form eröffnet worden. Die Rüge ist unbegründet. Die öffentliche Verkündung nach Art. 6 Abs. 1 Satz 2 EMRK setzt nach der Praxis des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte nicht voraus, dass das Urteilsdispositiv mündlich eröffnet werden muss. Vielmehr reicht aus, dass die Entscheidungen lediglich den Verfahrensbeteiligten schriftlich zugestellt werden und der Öffentlichkeit z.B. durch Einsicht bei Gericht oder der Möglichkeit, Kopien der Entscheidung anzufordern, zugänglich sind (Frowein/Peukert, EMRK-Kommentar, N. 119 zu Art. 6 EMRK). Nichts anderes ergibt sich aus der Prozessordnung.
§ 148 Abs. 2 ZPO/TG ist über die Form der Urteilseröffnung nichts zu entnehmen. Nach § 107 Abs. 1 ZPO/TG sind die Erkenntnisse mündlich oder schriftlich zu eröffnen. Ein prozessualer Zwang zu mündlicher Urteilsverkündung besteht somit nicht. Im Licht von Art. 6 EMRK nicht zu beanstanden ist schliesslich eine Frist von knapp sechs Monaten zwischen Hauptverhandlung und Zustellung des schriftlich begründeten Urteils (vgl. Frowein/Peukert, a.a.O., N. 153 f.).
b) Als Verletzung des Verbots willkürlicher Beweiswürdigung rügt der Beschwerdeführer die obergerichtliche Feststellung, es sei unklar, ob auf den Illustrationen lebende oder tote Köderfische dargestellt würden. Zur Begründung verweist er auf Ausführungen im Verfahren vor Obergericht, verkennt aber damit, dass behauptete Verfassungsverletzungen nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG in der Beschwerdeschrift selbst zu substanziieren sind (Peter Münch, in:
Geiser/Münch [Hrsg. ], Prozessieren vor Bundesgericht,
2. Aufl. , Rz 2.57 mit Hinweisen). Auf die Willkürrüge ist damit ebensowenig einzutreten wie auf den Vorhalt, das Obergericht habe die aus Art. 4 aBV fliessende Begründungspflicht verletzt.
c) Als weitere Verletzung der Begründungspflicht rügt der Beschwerdeführer, das Obergericht sei im angefochtenen Urteil auf seine Ausführungen nicht eingegangen, wonach das Fischen mit lebenden Köderfischen eine extreme Tierquälerei darstelle. Die Rüge ist unbegründet. Das Obergericht hat eingehend dargelegt, weshalb das Fischen mit lebenden Fischködern nicht bzw. nicht generell rechtswidrig ist. Mit Blick auf die streitbetroffenen Illustrationen erachtete es das Tierquälerei-Verbot als jedenfalls nicht verletzt, zumal nach seiner Auffassung unklar blieb, ob darauf lebende Fische dargestellt würden. Auf die weiteren Ausführungen des Beschwerdeführers zur angeblich tierquälerischen Fangmethode mit lebenden Köderfischen brauchte das Obergericht damit nicht mehr näher einzugehen. Im Kern beanstandet der Beschwerdeführer denn auch die im angefochtenen Urteil vertretene Rechtsauffassung. Diese ist infolge Berufungsfähigkeit der Streitsache im vorliegenden Verfahren allerdings nicht zu überprüfen (Art. 84 Abs. 2 OG). Der vom Beschwerdeführer erhobene Vorwurf willkürlicher Anwendung von Bundesrecht beinhaltet dabei a fortiori denjenigen seiner Verletzung und ist vom Beschwerdeverfahren ebenfalls ausgeschlossen (Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, N. 1.6.3 und 2.2 zu Art. 43 OG).
d) Der Beschwerdeführer behauptet - wie schon vor Obergericht - eine Verletzung seiner Presse- und Meinungsäusserungsfreiheit.
Auf die Ausführungen des Obergerichts im angefochtenen Urteil geht er jedoch nicht ein. Damit genügt er den Begründungsanforderungen an eine Verfassungsbeschwerde nicht (E. 2a hievor). Auf die Rüge ist nicht einzutreten.
4.- Nach Auffassung des Beschwerdeführers hat das Obergericht verschiedene kantonale Prozessvorschriften willkürlich angewendet. So sei der Erstrichter prozesswidrig auf die Klage eingetreten. Zudem stütze sich die angefochtene Prozessüberweisung an das Obergericht nicht auf eine gesetzliche Grundlage.
a) Nach Darstellung des Beschwerdeführers beantragte die Beschwerdegegnerin nach eingeleiteter Betreibung dem Bezirksgericht Münchwilen am 30. Januar 1998 provisorische Rechtsöffnung für Fr. 9'933.-- nebst Zins. Zuvor sei die Beschwerdegegnerin vom Vizepräsidenten des Bezirksgerichts am 16. Januar 1998 auf die Unzulänglichkeit ihrer Eingabe vom 5. Januar 1998 aufmerksam gemacht und aufgefordert worden, innert 20 Tagen eine den Anforderungen gemäss § 138 Abs. 2 ZPO/TG genügende Klageschrift einzureichen. Dieser Aufforderung sei sie nicht nachgekommen. Sie habe statt einer Klageschrift ein Rechtöffnungsbegehren eingereicht. Trotzdem hätten der Instruktionsrichter und danach das Obergericht das Verfahren fortgesetzt. Das Obergericht habe der Beschwerdegegnerin am 16. Oktober 1999 erneut eine Frist zur Klageverbesserung angesetzt, statt auf die Klage nicht einzutreten.
Die daraufhin am 6. November 1998 eingereichte Rechtsschrift sei verspätet und damit unbeachtlich.
Ob der Vorhalt nicht bereits am Novenverbot scheitert, kann offenbleiben. Eine willkürliche Anwendung kantonaler Prozessvorschriften ist jedenfalls nicht auszumachen.
Wohl wird in der Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 30. Januar 1998 um provisorische Rechtsöffnung nachgesucht. Ein eigentlicher Rechtsöffnungstitel wurde jedoch nicht präsentiert, sondern mit Verurkundung einer Rechnung und mit dem Hinweis auf die unautorisierte Verwendung von Bildern durch den Beschwerdeführer bloss die Hintergründe der Forderung genannt. Zudem hatte die Beschwerdegegnerin einen Vermittlungsvorstand veranlasst, was für im Summarium durchzuführende Rechtsöffnungsverfahren nicht erforderlich gewesen wäre (§ 43 Abs. 1 Ziff. 2 ZPO/TG i.V.m. § 175 Ziff. 3 ZPO).
Es stand ihr überdies frei, die Beseitigung des Rechtsvorschlages auf dem ordentlichen Prozessweg zu verlangen (Art. 79 Abs. 1 SchKG). Die Anhandnahme des Begehrens vom 30. Januar 1998 als Forderungsklage im ordentlichen Verfahren erweist sich keineswegs als willkürlich oder konventionswidrig.
Von Verfassungs wegen nicht zu beanstanden ist auch, dass das Obergericht die Beschwerdegegnerin zur Nachbesserung der beim Bezirksgericht Münchwilen eingereichten Klageschrift aufforderte. § 138 Abs. 4 ZPO/TG verbietet nicht, eine fristgerecht verbessert eingereichte, jedoch den Anforderungen gemäss § 138 Abs. 2 ZPO noch immer nicht genügende Klageschrift zur abermaligen Verbesserung an den Kläger zu retournieren.
b) Die Rekurskommission des Obergerichts schützte den Entscheid der bezirksgerichtlichen Kommission Münchwilen, mit welchem die Streitsache zuständigkeitshalber an das Obergericht überwiesen worden war. Zur Begründung führte sie aus, die Thurgauer Prozessordnung kenne zwar das Institut der Prozessüberweisung nicht. Ein solches Überweisungsverfahren finde allerdings nur statt, wenn ein Gericht den Prozess wegen örtlicher Unzuständigkeit nicht an die Hand nehme, nicht aber, wenn - wie vorliegend - einzig die Weisung beim sachlich unzuständigen Gericht eingereicht worden sei.
Diesfalls müssten gemäss einer obergerichtlichen Weisung vom 31. März 1942 die Rechtsvorkehren einer Partei an die zuständige Stelle weitergeleitet werden.
Diese Auffassung ist von Verfassungs wegen nicht zu beanstanden. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann sich die Überweisung oder Weiterleitung der Streitsache an das sachlich unstreitig zuständige Obergericht auf die von ihm zitierte Weisung abstützen. Dass die Prozessordnung eine derartige Überweisung ausschliessen würde, ist weder ersichtlich noch dargetan. Die Verweise auf die Zürcherische Prozessordnung und -praxis sind dabei unbehelflich. Willkür kann nicht darin liegen, dass das sachlich zuständige Gericht die bei einer zwar unzuständigen Behörde, im Übrigen aber prozesskonform eingereichten Klage materiell entscheidet.
Eine Verfassungsverletzung wäre allenfalls damit zu begründen, dass der Beschwerdeführer als Folge der prozesswidrigen Klageeinleitung mit zusätzlichen Kosten belastet worden wäre. Solche oder andere Nachteile sind aber nicht behauptet.
Dass der Beschwerdeführer im Rekursverfahren gegen den Überweisungsentscheid unterlegen ist und mit Prozesskosten belastet wurde, liegt in der erfolglosen Einlegung eines Rechtsmittels begründet, nicht aber in der Überweisung der Streitsache an die zuständige Instanz.
5.-Der Beschwerdeführer rügt die Schadensermittlung durch das Obergericht als willkürlich. Dieses habe zu Unrecht den von der Schweizerischen Arbeitsgemeinschaft der Bild-Agenturen (SAB) für Kunden- und Mitgliederzeitschriften empfohlenen Tarif für Bildhonorare angewendet, statt denjenigen für Tages- und Wochenzeitschriften. Der angefochtene Schluss beruhe zudem auf willkürlichen Feststellungen.
a) Die Frage nach Entstehung und Ausmass eines Schadens ist tatsächlicher Natur und der Willkürprüfung im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde zugänglich. Eine Frage der Rechtsanwendung ist hingegen, ob die kantonale Vorinstanz vom richtigen Schadensbegriff ausgegangen ist und auf zulässige Berechnungsgrundsätze abgestellt hat (<ref-ruling> E. 3a; Messmer/Imboden, Die eidgenössischen Rechtsmittel in Zivilsachen, Ziff. 98 S. 135). Soweit der Beschwerdeführer die Schadensbestimmung des Obergerichts nach dem für Kunden- und Mitgliederzeitschriften geltenden Verbandstarif kritisiert, rügt er die im angefochtenen Urteil verwendete Methode der Schadensberechnung. Damit ist er im vorliegenden Verfahren nicht zu hören (vgl. E. 3c hievor).
b) Das Obergericht begründet seinen Schluss, beim Vereinsorgan "VgT-Nachrichten" handle es sich um eine Kunden- oder Mitgliederzeitschrift und nicht um eine Tages- oder Wochenzeitung damit, dass die "VgT-Nachrichten" nicht am Kiosk erhältlich seien, sondern unter den Mitgliedern und Gönnern des VgT gestreut würden, dass sie sich als Mitteilungsorgan des Vereins präsentierten, und dass sie zweimonatlich erschienen. Diese Feststellungen gibt der Beschwerdeführer nicht als willkürlich aus. Er zieht aus ihnen lediglich einen von der obergerichtlichen Auffassung abweichenden Schluss und will einen anderen Tarif - denjenigen für Zeitungen - auf die Schadensberechnung angewendet wissen.
Wie dargelegt, beschlägt diese Schlussfolgerung Bundesrecht und ist im vorliegenden Verfahren nicht zu überprüfen.
Inwieweit das Obergericht bei der Tatsachenfeststellung das rechtliche Gehör verletzt oder sonstwie Verfassungsrechte des Beschwerdeführers verletzt haben sollte, wird in der Beschwerde nicht substanziiert. Entsprechend ist auf diesen Vorhalt nicht weiter einzutreten.
6.- a) Das Obergericht hat das Verschulden des Beschwerdeführers als weitere Haftungsvoraussetzung bejaht.
Es hielt dafür, der Beschwerdeführer hätte sich um die Rechte an den Abbildungen bemühen oder die beanstandeten Fangmethoden selber illustrieren können. Nach Auffassung des Beschwerdeführers hat das Obergericht ein Verschulden bejaht, ohne prozesskonform vorgetragene Umstände zu würdigen. Damit sei es in Willkür verfallen und habe seinen Gehörsanspruch verletzt. Allerdings legt der Beschwerdeführer nicht dar, welche Beweise unberücksichtigt geblieben sein sollen. Ebensowenig substanziiert er den Willkürvorwurf (vgl. E. 2a hievor).
Ob das Obergericht gestützt auf die relevierten Umstände zu Recht ein Verschulden des Beschwerdeführers bejaht hat, ist - da Rechtsfrage - nicht im vorliegenden Verfahren zu prüfen. Eine Verfassungsverletzung scheidet jedenfalls aus.
b) Schliesslich rügt der Beschwerdeführer die vom Obergericht gesprochene Pateientschädigung von Fr. 2'100.-- als nicht vertretbar. Nach seiner Auffassung hat das Obergericht den Anwaltstarif willkürlich angewendet.
Gemäss § 2 Abs. 1 Anwaltstarif (AT) beträgt die Grundgebühr für die Führung eines ordentlichen Prozesses bei einem Streitwert von Fr. 8'000.-- bis Fr. 15'000.-- Fr. 2'000.-- bis Fr. 3'000.--. Nach § 2 Abs. 2 AT bemisst sich die Gebühr innerhalb des tarifarischen Rahmens nach dem notwendigen Zeitaufwand sowie nach der Bedeutung und der Schwierigkeit der Sache. Zuschläge zwischen 10 bis 40 % werden für zusätzliche Verhandlungen oder an deren Stelle angeordnete Schriftsätze gewährt (§ 3 lit. a AT). Dem Verfahren lag ein Streitwert von Fr. 9'933. 80 zugrunde. Mit Ausnahme der vor dem unzuständigen Bezirksgericht eingeholten Klageantwort hatte der Beschwerdeführer keine zusätzlichen Schriftsätze zu verfassen oder - zusätzlich zur Hauptverhandlung vor Obergericht - weiteren Verhandlungen beizuwohnen.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers bot die Streitsache auch keine besonderen Rechtsprobleme. Wenn das Obergericht deshalb - unter Berücksichtigung des vor Bezirksgericht Münchwilen zusätzlich entstandenen Aufwandes - die Entschädigung auf Fr. 2'100.-- festsetzte, ist ihm jedenfalls keine Willkür vorzuwerfen.
7.- Die staatsrechtliche Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Da keine Vernehmlassung eingeholt wurde, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.-Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 15. März 2000
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: