Sachverhalt:
A.
Am 7. November 2013 führte X._, vertreten durch Rechtsanwalt A._, Beschwerde gegen zwei Verfügungen des Betreibungsamts Thal-Gäu vom 23. Oktober 2013 (betreffend Herabsetzung des Mietzinses und pfändbare Quote). Er verlangte deren Aufhebung und die Festsetzung der pfändbaren Quote auf Fr. 580.-- pro Monat. Später änderte er dieses Begehren ab und verlangte die Feststellung, dass keine pfändbare Quote bestehe. Zudem ersuchte er darum, ihm Rechtsanwalt A._ als unentgeltlichen Rechtsvertreter beizuordnen.
Mit Urteil vom 10. Februar 2014 hiess die Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn die Beschwerde teilweise gut und hob die Verfügung vom 23. Oktober 2013 betreffend Mietzinsherabsetzung auf (Ziff. 1). Im Übrigen trat die Behörde auf die Beschwerde nicht ein (Ziff. 2). Sie erhob keine Kosten (Ziff. 3) und wies das Gesuch um Einsetzung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands ab (Ziff. 4). Die Aufsichtsbehörde sprach keine Parteientschädigung (Ziff. 5). Das Betreibungsamt wurde angewiesen, die Lohnpfändung umgehend zu revidieren und das Ergebnis der Aufsichtsbehörde mitzuteilen (Ziff. 6).
B.
Am 20. Februar 2014 hat X._ (Beschwerdeführer), nunmehr ohne anwaltliche Vertretung, Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt, ihm sei für das Verfahren vor der Aufsichtsbehörde die unentgeltliche Verbeiständung zu bewilligen. Die Angelegenheit sei zur Festlegung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsvertreters an die Aufsichtsbehörde zurückzuweisen. Zudem ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
Am 26. Februar 2014 hat der Beschwerdeführer seine Beschwerde ergänzt. Er ficht damit zusätzlich Ziff. 2 des Urteils vom 10. Februar 2013 an und verlangt, bei der Existenzminimumsberechnung auch die Steuern und die Amortisation eines Kredits zu berücksichtigen.
Die Aufsichtsbehörde beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Am 27. März 2014 hat der Beschwerdeführer mitgeteilt, er habe sich mit der Aufsichtsbehörde über diejenigen Punkte geeinigt, die Gegenstand der Beschwerdeergänzung bilden.

Erwägungen:
1.
Soweit der Beschwerdeführer die Weigerung der Aufsichtsbehörde anficht, ihm einen unentgeltlichen Rechtsbeistand zu bestellen, ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig und kann auf sie eingetreten werden (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c, Art. 75, Art. 76, Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG). Auf die Beschwerdeergänzung braucht nicht eingegangen zu werden, nachdem der Beschwerdeführer diese mit seiner Mitteilung vom 27. März 2014 sinngemäss zurückgezogen hat.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer hat vor der Vorinstanz teilweise obsiegt. Nach Art. 62 Abs. 2 der Gebührenverordnung vom 23. September 1996 zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs (GebV SchKG; SR 281.35) durfte ihm jedoch keine Parteientschädigung zugesprochen werden. Dies hindert aber nicht, ihm bei gegebenen Voraussetzungen die unentgeltliche Verbeiständung zu bewilligen (Urteil 5A_336/2011 vom 8. August 2011 E. 2.5.1, in: ZBl 114/2013 S. 344).
2.2. Unter Vorbehalt von <ref-law> untersteht das betreibungsrechtliche Beschwerdeverfahren vor den kantonalen Aufsichtsbehörden dem kantonalen Recht (<ref-law>). Das gilt auch für den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (Urteile 5A_336/2011 vom 8. August 2011 E. 2.2, in: ZBl 114/2013 S. 344; 5A_660/2013 vom 19. März 2014 E. 4.1). Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass sich aus dem solothurnischen Recht ein Armenrechtsanspruch ergibt, der über die in <ref-law> verankerte Minimalgarantie hinausgeht. Dieser Mindeststandard ist deshalb massgebend. Danach hat eine Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand, soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist. Dies ist der Fall, wenn die Interessen der Partei in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, welche die Beiziehung eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Droht das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der betroffenen Person einzugreifen, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten, sonst nur dann, wenn zur relativen Schwere des Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Gesuchsteller auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre (BGE130 I 180 E. 2.2 S. 182 mit Hinweisen; Urteil 5A_447/2007 vom 13. Dezember 2007 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand wird insbesondere nicht dadurch ausgeschlossen, dass das kantonale Beschwerdeverfahren gemäss <ref-law> dem Untersuchungsgrundsatz untersteht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 183 f.; Urteil 5A_336/2011 vom 8. August 2011 E. 2.5.2, in: ZBl 114/2013 S. 344).
2.3. Die Vorinstanz hat die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers bejaht. Dass seine Beschwerde nicht aussichtslos war, ergibt sich aus dem Ausgang des kantonalen Verfahrens. Entgegen der Beurteilung der Aufsichtsbehörde war der Beizug eines Rechtsanwalts aufgrund der soeben genannten Kriterien geboten. Der Beschwerdeführer hatte zwei am gleichen Tag, aber getrennt erlassene, inhaltlich zusammenhängende Verfügungen anzufechten. Einerseits ging es um die Festlegung seines Existenzminimums und die Pfändung seines darüber hinausgehendes Einkommens, andererseits um die zukünftige Senkung der ihm im Existenzminimum anzurechnenden Wohnkosten. Angefochten hat er eine Vielzahl von Einzelpunkten (Bestimmung des massgeblichen Lohns unter Berücksichtigung von Teilzeitarbeit und der separaten Ferien- und Feiertagsentschädigung, Berücksichtigung der per 29. November 2013 erfolgten Kündigung, insbesondere Anrechnung eines Betrags für die Stellensuche, Berücksichtigung von Spesen, Steuern, Wohnkosten und von Kreditamortisationen für angebliche Kompetenzstücke). Es stellten sich somit zahlreiche Tatfragen, wie auch die umfangreichen, vom Beschwerdeführer eingereichten Dokumente belegen. Die rechtliche Beurteilung der angeführten Punkte und ihres Zusammenspiels ist für einen Rechtsunkundigen nicht einfach. So sah sich denn auch das Betreibungsamt zu einer mehrere Seiten umfassenden Vernehmlassung veranlasst, in der es selber in gewissen Punkten die Anpassung seiner eigenen Verfügungen beantragte. Die Pfändung auf das Existenzminimum stellt schliesslich einen erheblichen Eingriff in die Stellung des Schuldners dar.
Die Beschwerde ist folglich gutzuheissen und die Angelegenheit an die Aufsichtsbehörde zur Bestimmung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsvertreters zurückzuweisen.
3.
Gerichtskosten werden keine erhoben (<ref-law>). Der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführer hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>). Unter diesen Umständen erweist sich das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren als gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und Dispositiv-Ziff. 4 des Urteils der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn vom 10. Februar 2014 aufgehoben.
1.2. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwalt A._ als unentgeltlicher Rechtsvertreter im Beschwerdeverfahren vor der Aufsichtsbehörde beigeordnet.
1.3. Zur Bestimmung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsvertreters wird die Angelegenheit an die Aufsichtsbehörde zurückgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. April 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg