Sachverhalt:
A.
Die Generalversammlung der X._ Bank (Schweiz) AG in Liquidation, Zürich, (Klägerin, Beschwerdeführerin 1) beschloss am 19. Juli 2012 ihre Liquidation und bestellte die Z._ AG, A._, (Beklagte, Beschwerdegegnerin) als Liquidatorin.
Die bisherigen Organe der Gesellschaft wurden mit der Eintragung der Liquidation am 31. Juli 2012 im Handelsregister gelöscht; gleichzeitig wurde Y._, B._, (Beschwerdeführer 2) als Verwaltungsrat mit Einzelunterschrift eingetragen.
Mit Verfügung vom 8. Oktober 2012 eröffnete die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (FINMA) gestützt auf <ref-law> den Konkurs über die sich in freiwilliger Liquidation befindliche Gesellschaft, dies mit Wirkung ab 9. Oktober 2012, 08.00 Uhr. Als Konkursliquidatorin setzte sie die Z._ AG ein. Die verfügte Konkursliquidation wurde am 17. Oktober 2012 im Handelsregister eingetragen und die Zeichnungsberechtigung von Y._ gelöscht.
Die FINMA stellte in ihrer Verfügung vom 8. Oktober 2012 unter Hinweis auf <ref-law> fest, dass die Konkurseröffnung sofort vollstreckbar sei.
Die Verfügung der FINMA vom 8. Oktober 2012 wurde der Klägerin über ihren Rechtsvertreter Dr. Langhard "vorab per Fax" eröffnet und ging dort um 11.37 Uhr ein. Die Klägerin focht diese Verfügung in der Folge beim Bundesverwaltungsgericht an; der Beschwerde wurde jedoch keine aufschiebende Wirkung erteilt.
B.
B.a. Am 9. Oktober 2012 leitete die X._ Bank (Schweiz) AG in Liquidation gestützt auf eine von Verwaltungsrat Y._ am 8. Oktober 2012 unterzeichnete Vollmacht beim Friedensrichteramt der Kreise 11 und 12 der Stadt Zürich das Schlichtungsverfahren ein. Die entsprechende Eingabe wurde 18 Minuten vor Wirksamkeit der Konkurseröffnung zur Post gegeben. Gemäss dem Protokoll des Friedensrichters über die Schlichtungsverhandlung vom 8. November 2012 widersetzte sich die beklagte Z._ AG der Klage, wogegen die Vertreter der Klägerin sich vorbehielten, die Klage beim Handelsgericht des Kantons Zürich einzureichen. Im Protokoll des Friedensrichters wird zudem Folgendes vermerkt:
"Die Klage wird aufgrund der Sachlage und mangels Zuständigkeit bei der Schlichtungsstelle zurück gezogen und gemäss <ref-law> neu beim Handelsgericht Zürich durch die Klägerin eingereicht".
B.b. Am 10. Dezember 2012 wurde der Post namens der X._ Bank (Schweiz) AG in Liquidation eine Klageschrift zuhanden des Handelsgerichts des Kantons Zürich übergeben. Beigelegt wurden zwei gleichlautende Anwaltsvollmachten in Sachen "Z._ AG betreffend Forderung" vom 8. Oktober 2012 bzw. vom 30. November 2012 zugunsten des Rechtsvertreters der Klägerin; beide wurden namens der Klägerin von Y._ unterzeichnet.
In der Klageschrift wird der Z._ AG vorgeworfen, sie habe zu ihren Gunsten eigenmächtig Bezüge von Fr. 648'000.-- veranlasst, obwohl nur ein Honorar zwischen Fr. 180'000.-- und Fr. 197'000.-- vereinbart gewesen sei. Mit der Klage würden die "rechtswidrig bezogenen Vorschüsse" zurückverlangt.
B.c. Mit Verfügung vom 12. Dezember 2012 setzte das Handelsgericht der Klägerin Frist zur Zahlung eines Kostenvorschusses an. Zudem thematisierte es insbesondere die Vertretung der Klägerin im handelsgerichtlichen Verfahren und warf die Frage auf, ob der für die Klägerin handelnde Rechtsanwalt rechtsgültig bevollmächtigt sei. Aufgrund der gesetzlichen Vorgaben scheine es Sache der FINMA zu sein, "darüber zu entscheiden, ob der eingeleitete Prozess geführt werden soll oder nicht". In der Folge wurde Rechtsanwalt Langhard und Y._ Nachfrist bis zum 31. Januar 2013 angesetzt, um eine Prozessvollmacht der FINMA beizubringen, der die Verfügung ebenfalls zugestellt wurde; ansonsten werde angenommen, die Klage sei von ihnen ohne gültige Vollmacht eingereicht worden.
Am 8. Januar 2013 richtete die FINMA ein Schreiben an Rechtsanwalt Langhard, von dem sie dem Handelsgericht eine Kopie zukommen liess. Sie hielt darin fest, dass die Klageeinleitung ohne Wissen und ohne Einwilligung der FINMA erfolgt sei. Nach der verfügten Konkurseröffnung sei der Verwaltungsrat Y._ nicht mehr zur Vertretung der Klägerin befugt. Bezüglich der in der Klageschrift vom 10. Dezember 2012 erhobenen Forderung gegenüber der Beklagten werde "aufgrund des vorhandenen Interessenkonflikts" die FINMA die Prüfung übernehmen. Nach Einholung der Stellungnahmen werde die FINMA darüber entscheiden, "ob die Konkursmasse den Anspruch selber weiterverfolgt oder ob er an die Gläubiger abgetreten oder anderweitig verwertet werden wird". Ihr Schreiben schloss die FINMA wie folgt ab:
"Der guten Ordnung halber halten wir fest, dass die von Ihnen am 10. Dezember 2012 beim Handelsgericht Zürich namens der Konkursmasse der X._ Bank (Schweiz) AG eingereichte Klage ohne rechtsgültige Vollmacht der Konkursmasse erfolgte und die FINMA die vollmachtlose Vertretung nicht nachträglich genehmigt."
B.d. Mit Verfügung vom 9. Januar 2013 gab das Handelsgericht Rechtsanwalt Langhard und Y._ auf, sich binnen der ihnen mit Verfügung vom 12. Dezember 2012 angesetzten Frist auch zum Schreiben der FINMA vom 8. Januar 2013 zu äussern.
Mit Eingaben vom 30. Januar 2013 wurden dem Handelsgericht unter anderem Stellungnahmen zu den Verfügungen vom 12. Dezember 2012 und 9. Januar 2013 eingereicht. In der Folge leistete die Muttergesellschaft X._ Finance a.s. mit Sitz in C._ namens der Klägerin den gerichtlich festgelegten Kostenvorschuss.
B.e. Mit Beschluss vom 15. Februar 2013 trat das Handelsgericht des Kantons Zürich mangels rechtsgültiger Vertretung der Klägerin auf die Klage nicht ein (Dispositiv-Ziffer 1). Es setzte die Gerichtsgebühr auf Fr. 12'000.-- fest (Dispositiv-Ziffer 2) und auferlegte sie dem Verwaltungsrat Y._, wobei es die Kosten aus dem namens der Klägerin geleisteten Vorschuss bezog und ihr den Rückgriff auf Y._ gewährte (Dispositiv-Ziffer 3).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt Rechtsanwalt Langhard im Namen der X._ Bank (Schweiz) AG in Liquidation, es sei die Z._ AG - sinngemäss unter Aufhebung des Beschlusses des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 15. Februar 2013 - zur Zahlung von Fr. 583'200.--, eventualiter Fr. 410'400.--, jeweils zuzüglich Zins, zu verpflichten. Subeventualiter sei der angefochtene Beschluss aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Y._ beantragt, es sei "die Auferlegung der Kosten auf den Beschwerdeführer aufzuheben"; eventualiter "sei das der Beklagten und Beschwerdegegnerin [recte: Klägerin und Beschwerdeführerin] von der Vorinstanz eingeräumte Rückgriffsrecht auf den Beschwerdeführer für die Gerichtskosten (Dispositiv Ziffer 3) aufzuheben [...]".
Die Beschwerdegegnerin beantragt im Wesentlichen, es sei die Beschwerde abzuweisen. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Mit Eingabe vom 18. Oktober 2013 teilten die Beschwerdeführer dem Bundesgericht mit, auf eine Replik zu verzichten.
D.
Mit Verfügung vom 8. Juli 2013 wies das Bundesgericht das Gesuch der Beschwerdegegnerin um Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung ab.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 133 mit Hinweisen).
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 und Abs. 2 lit. b sowie <ref-law>). Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen. Neben der Beschwerdeführerin 1 hat auch der Beschwerdeführer 2 am Verfahren teilgenommen und es wurden ihm die Gerichtskosten des vorinstanzlichen Verfahrens auferlegt, weshalb auch er durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (<ref-law>). Obwohl sich seine Beschwerde lediglich gegen die Auferlegung der Gerichtskosten richtet, ist die nach <ref-law> massgebende Streitwertgrenze erreicht (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 48). Die Prozessführungsbefugnis der Beschwerdeführerin 1 bzw. ihre Vertretung bildet Gegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens und ist daher nicht als Eintretensfrage, sondern in der Sache zu prüfen (Urteil 4A_87/2013 vom 22. Januar 2014 E. 1.6 mit Hinweisen).
Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) - auf die Beschwerde in Zivilsachen einzutreten. Die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist demnach unzulässig (<ref-law>).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht des Beschwerdeführers (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4 S. 400; <ref-ruling> E. 1.1). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Macht der Beschwerdeführer beispielsweise eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; er hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5 S. 5; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 sowie <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 400; <ref-ruling> E. 3 S. 749). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 387 f.; je mit Hinweisen).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substantiiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss <ref-law> gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden. Ausserdem hat der Beschwerdeführer mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen genannt hat (Urteile 4A_627/2012 vom 9. April 2013 E. 3.2; 4A_614/2011 vom 20. März 2012 E. 1.2; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f., 393 E. 7.1 S. 398, 462 E. 2.4 S. 466 f.).
1.4. Die Beschwerdeführer weichen in ihrer Beschwerdeschrift in zahlreichen Punkten von den tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid ab oder erweitern diese, ohne eine zulässige Sachverhaltsrüge zu erheben. Sie unterbreiten dem Bundesgericht unter dem Titel "Befangenheit der FINMA" losgelöst von den Erwägungen im angefochtenen Beschluss einen Sachverhalt, der sich diesem nicht entnehmen lässt und stützen sich in unzulässiger Weise auf neue Vorbringen, indem sie sich im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren etwa erstmals darauf berufen, verschiedene namentlich erwähnte Funktionäre der FINMA hätten aufgrund eines Interessenkonflikts in den Ausstand treten müssen, weshalb das Schreiben der FINMA vom 8. Januar 2013 nicht rechtswirksam sei.
Auch unter der Überschrift "Zur Notwendigkeit der Prozessführung durch Verwaltungsrat Dr. Y._" bringen die Beschwerdeführer unter Verweis auf Rechtsschriften in Verfahren vor dem Handelsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesverwaltungsgericht neue Tatsachenbehauptungen zur finanziellen Lage der Beschwerdeführerin 1 vor. Dabei ist nicht ersichtlich, inwiefern erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gegeben hätte (vgl. <ref-law>).
Die entsprechenden Ausführungen haben vor Bundesgericht ebenso unbeachtlich zu bleiben wie die nunmehr im Beschwerdeverfahren erhobenen Vorbringen zu bestimmten Einzelheiten der Anwaltsvollmacht vom 8. Oktober 2012, die sich nicht aus dem vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt ergeben.
2.
Die Beschwerdeführerin 1 rügt in erster Linie eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>).
2.1. Sie habe mit der Klageschrift geltend gemacht, dass <ref-law> als Generalklausel zu verstehen sei, weshalb hinsichtlich des Weiterbestehens der Vertretungsbefugnis in jedem Fall die konkreten Umstände beachtet werden müssten. Diese seien plädiert worden, "nämlich die Besonderheit des Konkursgrundes, die Besonderheit, dass keine Gläubiger zu Schaden kommen, die Ausnahmesituation der Befangenheit sowohl der Liquidatorin als auch der FINMA als Aufsichtsbehörde im vorliegenden Streitpunkt, schliesslich das vom Verwaltungsrat ebenfalls zu wahrende Interesse des Aktionariates, welches der FINMA bereits unmissverständlich kommuniziert wurde". Auf diese Argumente sei die Vorinstanz nicht eingegangen, sondern habe sich mit der apodiktischen Feststellung begnügt, dass mit der Konkurseröffnung die Vertretungsbefugnis des Verwaltungsrats erlösche, woran auch eine Meinungsverschiedenheit zwischen der FINMA und der Beschwerdeführerin 1 nichts ändere. Auf diese Weise dürfe man ihre Behauptungen "nicht zur Seite schieben".
2.2. Damit wird keine Gehörsverletzung aufgezeigt. Abgesehen davon, dass in der Beschwerde nicht mit Aktenhinweisen aufgezeigt wird, welches konkrete Vorbringen von der Vorinstanz übergangen worden wäre, verlangt die aus dem verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör fliessende Begründungspflicht nicht, dass sich das Gericht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Es genügt, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 4.2 S. 355; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; je mit Hinweisen). Inwiefern ihr die vorinstanzliche Begründung verunmöglicht hätte, den angefochtenen Entscheid sachgerecht anzufechten, zeigt die Beschwerdeführerin 1 nicht auf.
Ebenso wenig erhebt sie mit der nicht weiter begründeten Behauptung, die Vorinstanz habe den Sachverhalt unrichtig festgestellt, eine hinreichende Sachverhaltsrüge.
3.
Die Beschwerdeführerin 1 wirft der Vorinstanz zudem eine Verletzung von <ref-law> vor.
3.1. Mit der Konkurseröffnung wird dem Schuldner die Befugnis entzogen, über sein dem Konkursbeschlag unterliegendes Vermögen zu verfügen (<ref-law>). Frei verfügen kann er nur noch über das, was nicht zur Konkursmasse gehört. Die Verwaltungs- und Verfügungsbefugnisse gehen insoweit auf die Konkursmasse über, die sie durch die Konkursverwaltung ausübt. Mit dem Kokurs verliert der Gemeinschuldner auch das Recht zur Prozessführung in Verfahren über das Konkursvermögen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 93). Trotz materieller Berechtigung (<ref-ruling> E. 2.4 S. 435) fehlt ihm die Prozessführungsbefugnis; an seiner Stelle muss die Konkursmasse, vertreten durch die Konkursverwaltung, im Prozess handeln (vgl. Urteil 4A_87/2013 vom 22. Januar 2014 E. 1.3 mit Hinweisen). Ihr kommt im Rahmen des für die Liquidation gebildeten Sondervermögens die Prozessführungsbefugnis zu; die Konkursverwaltung vertritt die Masse vor Gericht (<ref-law>).
Den Organen der konkursiten Aktiengesellschaft fehlt nach <ref-law> die Befugnis zur Vertretung der Gesellschaft; sie behalten die Vertretungsbefugnis nur insoweit, als - immer im Hinblick auf die Liquidation - eine Vertretung durch sie noch notwendig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3b S. 42; Urteil 4A_87/2013 vom 22. Januar 2014 E. 1.3 mit Hinweisen).
3.2. Ein allfälliger Anspruch gegenüber der von der Beschwerdeführerin 1 eingesetzten Liquidatorin auf Rückerstattung angeblich überhöhter Honorare gehört nach <ref-law> zur Konkursmasse, die zur gemeinsamen Befriedigung der Gläubiger dient. Seit der Konkurseröffnung vom 9. Oktober 2012 konnte nur noch die Konkursmasse darüber verfügen. Nicht die Beschwerdeführerin 1 als Gemeinschuldnerin, sondern einzig die Masse war seither befugt, einen entsprechenden Forderungsprozess anzustrengen. Mangels Prozessführungsbefugnis fehlte es in dem namens der Beschwerdeführerin 1 angehobenen Forderungsprozess vor dem Handelsgericht des Kantons Zürich an einer Prozessvoraussetzung (<ref-law> [SR 272]).
Die Vorinstanz hat zutreffend erwogen, dass es ab dem Zeitpunkt der Konkurseröffnung vom 9. Oktober 2012 einzig Sache der FINMA war, für die Konkursmasse darüber zu entscheiden, ob und wie der Anspruch der Beschwerdeführerin 1 gegenüber der Beschwerdegegnerin zu verfolgen ist, zumal auf der Hand liegt, dass Letztere als Konkursliquidatorin nicht selbst darüber entscheiden konnte, ob eine Forderung gegen sie geltend gemacht werden soll. Aus diesem Grund hat die FINMA in Anwendung von Art. 12 Abs. 1 der Verordnung der Eidgenössischen Finanzmarktaufsicht über die Insolvenz von Banken und Effektenhändlern (Bankeninsolvenzverordnung-FINMA, BIV-FINMA; SR 952.05) denn auch angekündigt, selbst darüber zu befinden, ob die Konkursmasse den Anspruch geltend machen oder ob er an die Gläubiger abgetreten bzw. anderweitig verwertet wird. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin 1 kann der erwähnte Interessenkonflikt nicht dazu führen, dass sie als Gemeinschuldnerin auch nach Konkurseröffnung die Verfügungs- und Prozessführungsbefugnis über einen Anspruch behalten würde, der zur Konkursmasse gehört.
Entsprechend war es ihrem Verwaltungsrat Y._ nach Eröffnung des Konkurses verwehrt, gestützt auf <ref-law> für die konkursite Gesellschaft eine Klage zur Durchsetzung dieses zur Masse gehörenden Ersatzanspruchs einzureichen bzw. einreichen zu lassen. Konnte die Beschwerdeführerin 1 über den zur Masse gehörenden Ersatzanspruch gegenüber der Beschwerdegegnerin nicht mehr verfügen und fehlte ihr diesbezüglich die Prozessführungsbefugnis, konnte ihr Organ auch keinen Vertreter bestellen, um für die konkursite Gesellschaft eine entsprechende Klage einzureichen. Die fehlende Prozessführungsbefugnis der konkursiten Beschwerdeführerin 1 hinsichtlich des Klageanspruchs konnte durch die Ausstellung einer Prozessvollmacht selbst dann nicht überwunden werden, wenn diese am Tag vor der Konkurseröffnung ausgestellt wurde (zum Erlöschen von Vollmachten, die sich auf Vermögen der Masse beziehen, mit der Konkurseröffnung vgl. Roger Zäch, Berner Kommentar, 1990, N. 37 zu <ref-law>; Rolf Watter, in: Basler Kommentar, 5. Aufl. 2011, N. 6 zu <ref-law>; Heiner Wohlfart/Caroline B. Meyer, in: Basler Kommentar, 2. Aufl. 2010, N. 17 zu <ref-law>).
Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer 2 und dem von ihm bevollmächtigten Rechtsvertreter daher im vorinstanzlichen Klageverfahren zu Recht die Befugnis abgesprochen, Prozesshandlungen für die konkursite Beschwerdeführerin 1 vorzunehmen und dabei zutreffend erwogen, dass weder der behauptete Interessenkonflikt noch ein bei einem Funktionär der FINMA allenfalls vorliegender Ausstandsgrund die mit der Konkurseröffnung äusserst eingeschränkte Vertretungsbefugnis der Gesellschaftsorgane wieder aufleben lassen würde. Soweit sich die Ausführungen in der Beschwerde überhaupt auf die Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid stützen lassen, vermag die Beschwerdeführerin 1 keine Bundesrechtsverletzung darzutun. Insbesondere ergeben sich aus dem vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt keine Hinweise, die für eine implizite Genehmigung der fraglichen Prozesshandlungen durch die Konkursmasse bzw. deren Vertreterin sprechen würden; im Gegenteil geht aus dem angefochtenen Entscheid hervor, dass die FINMA dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführer mit Schreiben vom 8. Januar 2013 ausdrücklich mitteilte, die erfolgten Prozesshandlungen nicht nachträglich zu genehmigen. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführer ändert der blosse Umstand, dass die Beschwerdegegnerin und die FINMA die Wirksamkeit der Prozessvertretung bis zu diesem Zeitpunkt angeblich nicht in Frage gestellt hätten, nichts an der fehlenden Prozessvoraussetzung. Mangels rechtsgültiger Vertretung der Beschwerdeführerin 1 im vorinstanzlichen Verfahren konnte durch die Einreichung der Klage vom 10. Dezember 2012 auch keine auf <ref-law> gestützte Rechtshängigkeit begründet werden (vgl. DOMINIK INFANGER, in: Basler Kommentar, 2. Aufl. 2013, N. 14 f. zu <ref-law>).
Die Vorinstanz ist auf die Klage daher zu Recht nicht eingetreten (<ref-law> e contrario ).
4.
Der Beschwerdeführer 2 wirft der Vorinstanz hinsichtlich der Kostenauflage eine Missachtung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) und eine Verletzung von <ref-law> vor.
4.1. Er stellt nicht in Frage, dass ihm gestützt auf <ref-law> Kosten auferlegt werden können, obwohl er im vorinstanzlichen Verfahren nicht Partei gewesen ist. Vielmehr bringt er vor, es wäre ihm Gelegenheit zur Stellungnahme einzuräumen gewesen, bevor ihm nach dieser Bestimmung Kosten auferlegt wurden. Dieses Recht habe ihm die Vorinstanz verweigert.
Der Beschwerdeführer 2 bestätigt in der Beschwerdeschrift an anderer Stelle selbst, als Organ und Vertreter der Beschwerdeführerin 1 am Verfahren teilgenommen zu haben. Die Frage der Vertretung im Prozess wurde von der Vorinstanz mit Verfügung vom 12. Dezember 2012 eigens thematisiert. Seinem Rechtsvertreter und ihm selber setzte die Vorinstanz Frist an, um eine Prozessvollmacht der FINMA beizubringen, verbunden mit der Androhung, bei Säumnis werde angenommen, dass die Klage von ihnen ohne gültige Vollmacht eingereicht worden sei. Mit Verfügung vom 9. Januar 2013 gab die Vorinstanz ihnen zudem auf, sich zum Schreiben der FINMA vom 8. Januar 2013 zu äussern, nach dem die Klage ohne gültige Vollmacht der Konkursmasse erfolgt sei und die FINMA die vollmachtlose Stellvertretung nicht nachträglich genehmige. Darauf geht der Beschwerdeführer 2 jedoch mit keinem Wort ein; er zeigt nicht auf, inwiefern es ihm verunmöglicht worden wäre, seinen Standpunkt hinsichtlich der Kostenfolgen in das Verfahren einzubringen. Angesichts der erwähnten gerichtlichen Aufforderung zur Stellungnahme hinsichtlich der vollmachtlosen Vertretung macht er auch zu Recht nicht etwa geltend, die erfolgte Kostenauflage nach <ref-law> stelle eine überraschende Rechtsanwendung dar, mit der er vernünftigerweise nicht hätte rechnen müssen (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 39; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 22; <ref-ruling> E. 3c S. 52).
Die Rüge der Gehörsverletzung ist unbegründet.
4.2. Nach <ref-law> werden die Gerichtskosten mit den geleisteten Vorschüssen der Parteien "verrechnet", wobei ein Fehlbetrag von der kostenpflichtigen Person nachgefordert wird. Der Beschwerdeführer 2 stellt zu Recht nicht in Frage, dass die Vorinstanz nach dieser Bestimmung die ihm gemäss <ref-law> auferlegten Kosten aus den geleisteten Vorschüssen beziehen und damit die Kostenforderung des Staates tilgen konnte (vgl. DENIS TAPPY, in: Code de procédure civile commenté, François Bohnet und andere [Hrsg.], 2011, N. 5 zu <ref-law>). Er stellt sich einzig auf den Standpunkt, es bestehe für die Gewährung eines Regressrechts der Beschwerdeführerin 1 auf ihn keine Rechtsgrundlage; <ref-law> sehe lediglich vor, dass die kostenpflichtige Partei der anderen Partei die geleisteten Vorschüsse zu ersetzen habe.
4.2.1. Der Beschwerdeführer 2 vertritt mit dieser Rüge, mit der er die eventualiter beantragte Aufhebung des vorinstanzlich angeordneten Rückgriffsrechts anstrebt, einen Rechtsstandpunkt, der aus objektiver Sicht den Interessen der Beschwerdeführerin 1, die durch das Rückgriffsrecht begünstigt ist, widerspricht. Die Vertretung beider Beschwerdeführer durch denselben Rechtsvertreter erscheint insoweit als fragwürdig (vgl. Art. 12 lit. c des Bundesgesetzes über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte [Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61]). Es braucht allerdings nicht vertieft zu werden, ob der Beschwerdeführer 2, der auch vor Bundesgericht unter Berufung auf seine angebliche Vertretungsbefugnis als Organ gleichzeitig für die Beschwerdeführerin 1 handelt, hinsichtlich dieses Eventualvorbringens zu einem Nebenpunkt des angefochtenen Entscheids von seinem Rechtsvertreter als gültig vertreten zu betrachten und die Rüge wirksam erhoben worden ist, da sich diese ohnehin als unbegründet erweist.
4.2.2. Bezog die Vorinstanz die auferlegten Gerichtskosten nach <ref-law> zulässigerweise aus den geleisteten Vorschüssen und tilgte sie damit die Kostenforderung des Staates gegenüber dem Beschwerdeführer 2, konnte sie der Beschwerdeführerin 1, in deren Namen der Vorschuss geleistet wurde, gestützt auf <ref-law> auch den Rückgriff auf den Beschwerdeführer 2 gewähren. Während Abs. 1 Satz 2 von <ref-law> ausdrücklich die Nachforderung eines Fehlbetrags von der kostenpflichtigen Person vorsieht, erwähnt Abs. 2 der Bestimmung zwar lediglich den Rückgriff auf die kostenpflichtige Partei. Die Bestimmung über die Liquidation der Prozesskosten bezweckt allerdings einzig eine Verlagerung des Inkassorisikos vom Staat auf die vorschusspflichtige Partei (vgl. Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], BBl 2006 7299 Ziff. 5.8.2 zu Art. 109 E-ZPO), ändert jedoch nichts an der im Entscheid festgelegten Kostenpflicht, weshalb der Vorschuss leistenden Partei der Rückgriff auch gegen einen kostenpflichtigen Dritten offenstehen muss und sie nach dem Zweck der Bestimmung nicht etwa dadurch benachteiligt werden soll, dass anstatt der Gegenpartei ausnahmsweise ein Dritter kostenpflichtig wird (a.M. MARTIN H. STERCHI, in: Berner Kommentar, 2012, N. 5 zu <ref-law> unter Berufung auf den Gesetzeswortlaut). Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht ist ein Rückgriff der Vorschuss leistenden Partei gegenüber einer nach <ref-law> kostenpflichtigen Drittperson nach <ref-law> nicht ausgeschlossen.
4.2.3. Unverständlich ist sodann der gegen einen Rückgriff erhobene Einwand, der Beschwerdeführerin 1 seien gemäss dem Dispositiv des angefochtenen Beschlusses gar keine Gerichtskosten auferlegt worden, regelt der Ersatzanspruch gemäss <ref-law> doch gerade den Fall, dass von einer Partei geleistete Vorschüsse zur Deckung der Gerichtskosten verwendet werden, obwohl sie selbst nicht kostenpflichtig ist. Ebenso wenig kann es für den Rückgriff der Beschwerdeführerin 1, in deren Namen der Kostenvorschuss geleistet wurde, darauf ankommen, dass die entsprechenden Gelder wirtschaftlich aus dem Vermögen einer Drittperson - vorliegend der Muttergesellschaft - stammen, zumal der Rückgriff nach <ref-law> einzig das Verhältnis zwischen der Verfahrenspartei, die Vorschüsse geleistet hat, und der kostenpflichtigen Person betrifft. Wie auch in der Beschwerde anerkannt wird, handelt es sich um eine ausserhalb des Prozesses liegende Frage, ob und bei wem sich die Muttergesellschaft gegebenenfalls schadlos halten kann.
Der Vorinstanz ist auch in dieser Hinsicht keine Bundesrechtsverletzung vorzuwerfen.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend werden die Beschwerdeführer unter solidarischer Haftbarkeit kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 sowie Art. 68 Abs. 2 und 4 BGG). Im internen Verhältnis sind die Verfahrenskosten vom Beschwerdeführer 2 zu tragen, der als nicht zeichnungsberechtigtes Organ das Beschwerdeverfahren veranlasst hat (Art. 66 Abs. 3 und 5 sowie <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'500.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt und sind im internen Verhältnis vom Beschwerdeführer 2 zu tragen.
4.
Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftung mit Fr. 9'500.-- zu entschädigen. Im internen Verhältnis ist die Parteientschädigung vom Beschwerdeführer 2 zu tragen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Leemann