Sachverhalt:
A. Die 1976 geborene B._ war seit März 1998 als Schwesternhilfe im Spital X._ tätig und in dieser Eigenschaft bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Gemäss Schadenmeldung UVG vom 10. März 2000 kugelte sich B._ am 6. März 2000 das rechte Schultergelenk aus, als ihr beim Anfassen einer schweren Bücherschachtel diese aus der Hand glitt und sie dabei schnell nachfasste. Noch in derselben Nacht begab sich die Versicherte in ambulante Behandlung ins Spital X._, wo eine Subluxation des Humeruskopfes festgestellt und eine chronisch instabile Schulter rechts, DD: willkürliche Schulterluxation rechts, diagnostiziert wurde. Aufgrund der vorderen Schulterinstabilität rechts und der allgemeinen Laxität wurde am 4. Mai 2000 ein erster operativer Eingriff durchgeführt. Es folgten zur Behebung der persistierenden Beschwerden diverse ambulante und stationäre Behandlungen mit weiteren operativen Eingriffen. Die Zürich erbrachte die gesetzlichen Versicherungsleistungen (Behandlungskosten, Taggelder).
Mit Verfügung vom 23. November 2007 schloss die Zürich den Fall per 1. Januar 2008 ab, sprach B._ eine Integritätsentschädigung aufgrund einer Integritätseinbusse von 25% zu und verneinte einen Rentenanspruch. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 9. Juni 2008 fest.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 22. Oktober 2009 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt B._ beantragen, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids seien ihr ab 1. Januar 2008 weiterhin die gesetzlichen Leistungen (Taggelder, Heilungskosten etc.) nach Massgabe einer unfallbedingten Arbeitsfähigkeit von 100% zzgl. eines Verzugszinses zu 5% auszurichten, eventualiter sei die Sache zur Erstellung eines polydisziplinären Gutachtens, zur weiteren Abklärung und zum Neuentscheid an die Zürich zurückzuweisen, subeventualiter seien ihr die gesetzlichen Leistungen nach Massgabe einer unfallbedingten Erwerbsunfähigkeit von mindestens 50% und einem unfallbedingten Integritätsschaden von mindestens 40% zzgl. eines Verzugszinses zu 5% auszurichten, und es sei die Zürich zu verpflichten, ihr die entstandenen Gutachterkosten des Instituts Y._ im Betrag von Fr. 7000.- zu erstatten. Mit Eingabe vom 21. Dezember 2009 lässt B._ zudem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen.
Die Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 252). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen zum Unfallbegriff (<ref-law>) sowie zur Leistungspflicht der Unfallversicherung bei Unfällen (<ref-law>) und bei unfallähnlichen Körperschädigungen (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>), diesbezüglich insbesondere die zuletzt in <ref-ruling> bestätigte Rechtsprechung, wonach bei unfallähnlichen Körperschädigungen am Erfordernis des äusseren Faktors festzuhalten ist, zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Richtig sind auch die Ausführungen zu dem im Sozialversicherungsrecht massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) sowie zur Beweismaxime der "Aussage der ersten Stunde", die eine im Rahmen der freien Beweiswürdigung (<ref-law>) zu berücksichtigende Entscheidungshilfe darstellt (<ref-ruling> E. 2a S. 47; RKUV 2004 Nr. U 524 S. 546 [U 236/03]).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdegegnerin für die Folgen der am 6. März 2000 erlittenen Schulterverletzung der Versicherten leistungspflichtig ist.
3.1 Die Zürich erbrachte aus dem Ereignis vom 6. März 2000 Heilbehandlung und richtete Taggelder aus. Mit Verfügung vom 23. November 2007 stellte sie ihre Leistungen per 1. Januar 2008 ein, sprach der Beschwerdeführerin eine Integritätsentschädigung zu und verneinte den Anspruch auf eine Invalidenrente mit der Begründung, die Versicherte sei in einer angepassten Tätigkeit zu 100% arbeitsfähig und könne ein rentenausschliessendes Einkommen erzielen. Diesen Standpunkt bestätigte sie im Einspracheentscheid vom 9. Juni 2008 und führte ergänzend aus, die natürliche Kausalität der Schulterverletzung, welche mit einer Integritätsentschädigung abgegolten worden sei, werde nicht bestritten. Bezüglich der psychischen Problematik sei die adäquate Kausalität mit dem sehr leichten Ereignis, bei welchem es sich grundsätzlich nicht einmal um ein Unfallereignis, sondern um eine unfallähnliche Körperschädigung handle, zu verneinen.
3.2 Das kantonale Gericht stellte in einlässlicher Würdigung der Aktenlage fest, dass das Vorkommnis vom 6. März 2000 mangels Vorliegens eines ungewöhnlichen äusseren Faktors den Unfallbegriff nicht erfülle und dass es sich bei der erlittenen Verletzung nicht um eine unfallähnliche Körperschädigung gemäss <ref-law> handle. Es bestätigte daher die ex nunc et pro futuro verfügte Leistungseinstellung der Beschwerdegegnerin.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin rügt zunächst eine unzulässige Ausdehnung des Prozessgegenstandes, da anstelle der bisher zur Diskussion gestandenen Kausalitätsfragen nun plötzlich geprüft worden sei, ob überhaupt ein Unfall oder eine unfallähnliche Körperschädigung vorgelegen habe. Indem die Beschwerdegegnerin während rund sieben Jahren Unfalltaggelder sowie Heilungskosten und schliesslich eine Integritätsentschädigung ausgerichtet habe, habe sie sodann zumindest konkludent das Vorliegen eines Unfalles bzw. einer unfallähnlichen Körperschädigung anerkannt, weshalb die Einstellung der Leistungen - so die Beschwerdeführerin - auch dem Gedanken des Vertrauensschutzes zuwiderlaufe.
4.2 Streitgegenstand ist die Leistungspflicht der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Ereignis vom 6. März 2000 über den 1. Januar 2008 hinaus. Dazu gehört selbstverständlich auch die Frage, ob überhaupt ein Unfall oder eine unfallähnliche Körperschädigung vorliegt, weshalb beim Bestreiten eines leistungsbegründenden Ereignisses nicht von einer Ausweitung des Prozessgegenstandes gesprochen werden kann. Da sodann die Leistungseinstellung vorliegend ex nunc et pro futuro verfügt worden ist, keine Rückforderung bereits ausgerichteter Leistungen zur Diskussion steht und es nicht um Dauerleistungen geht, ist die Leistungseinstellung ohne Berufung auf einen Wiedererwägungs- oder Revisionsgrund möglich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 384; vgl. auch Urteil 8C_444/2009 vom 11. Januar 2010 E. 5.1). Vorbehalten bleiben rechtsprechungsgemäss lediglich Fälle, in denen der Vertrauensschutz einem sofortigen Leistungsstopp entgegensteht (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 384 mit Hinweis). Unabhängig von der Frage, ob allein die längerdauernde Ausrichtung kurzfristiger Leistungen wie Taggelder theoretisch überhaupt geeignet wäre, eine Vertrauensbasis für die weitere Ausrichtung von Leistungen zu begründen, ist Voraussetzung für eine Berufung auf den Vertrauensschutz allemal, dass die betroffene Person sich berechtigterweise auf die Vertrauensgrundlage verlassen durfte und gestützt darauf nachteilige Dispositionen getroffen hat, die sie nicht mehr rückgängig machen kann (<ref-ruling> E. 6 S. 636 ff.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 170; <ref-ruling> E. 3a S. 36; Häfelin/Müller, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5. Auflage 2006, S. 130 ff.). Der von der Beschwerdeführerin diesbezüglich geltend gemacht Umstand, die bisherigen Taggeldleistungen hätten ihrem Lebensunterhalt gedient und sie über die lange Leistungsdauer in eine materielle Abhängigkeit hineinmanövriert, vermag diese Voraussetzung klarerweise nicht zu erfüllen.
5. Nach Gesagtem ist unabhängig von der bisherigen Leistungsausrichtung zu prüfen, ob das Ereignis vom 6. März 2000 einen Unfall im Rechtssinne darstellt oder eine unfallähnliche Körperschädigung im Sinne von <ref-law> bewirkt hat.
5. Nach Gesagtem ist unabhängig von der bisherigen Leistungsausrichtung zu prüfen, ob das Ereignis vom 6. März 2000 einen Unfall im Rechtssinne darstellt oder eine unfallähnliche Körperschädigung im Sinne von <ref-law> bewirkt hat.
5.1 5.1.1 Was zunächst die Frage des Vorliegens eines Unfalles anbelangt, hat das kantonale Gericht in eingehender Würdigung der Aktenlage aufgezeigt, dass die Angaben zum Ereignis vom 6. März 2000 nicht einheitlich sind, und überzeugend dargelegt, dass im Sinne der Beweismaxime der Aussage der ersten Stunde auf die Beschreibung gemäss Unfallhergang vom 10. März 2000 abzustellen ist, welche einerseits denjenigen Schilderungen nicht entgegensteht, die von einer falschen oder schlechten Bewegung sprechen, und andrerseits jener Version entspricht, die dem Verfahren bis zum Erlass des Einspracheentscheids vom 9. Juni 2008 ohne Einwendungen der Beschwerdeführerin zu Grunde lag. Dieses Vorgehen ist entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht zu beanstanden. Insbesondere vermag auch eine Befragung der Versicherten zum rund zehn Jahre zurückliegenden Ereignis keine grössere Wahrscheinlichkeit für einen andern Hergang zu bringen, konnte sie sich doch bereits anlässlich der Befragung vom 23. September 2004 weder an das Gewicht der Kiste noch an den genauen Bewegungsablauf erinnern, weshalb sich eine solche erübrigt. Auszugehen ist daher mit der Vorinstanz davon, dass der Beschwerdeführerin beim Versuch, eine schwere Bücherkiste hochzuheben, diese aus der Hand glitt und sie nachfasste.
5.1.2 Der geschilderte Vorgang erfüllt den Unfallbegriff nicht, da es - wie das kantonale Gericht zutreffend dargelegt hat - rechtsprechungsgemäss an einem ungewöhnlichen äusseren Faktor fehlt. Weder war der natürliche Ablauf der Körperbewegung durch etwas Programmwidriges oder Sinnfälliges wie Ausgleiten, Stolpern o.Ä. beeinträchtigt, noch fehlen Anhaltspunkte für eine ausserordentliche Überanstrengung. Schliesslich erwähnt die Vorinstanz zu Recht, dass die Beschwerdeführerin gemäss Akten bereits einmal im Alter zwischen 12 und 16 Jahren eine Erstluxation der rechten Schulter erlitten hatte und dass die erstbehandelnden Ärzte des Spitals W._ am 7. März 2000 eine chronisch instabile Schulter rechts diagnostiziert hatten. Diesbezüglich ist daher auch auf die Rechtsprechung zu verweisen, wonach in Abgrenzung zur Krankheit der äussere Faktor beim Unfall als exogenes Element so ungewöhnlich sein muss, dass eine endogene Verursachung ausser Betracht fällt (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 76 f.). Im Übrigen kann auf die einlässlichen und überzeugenden Erwägungen des kantonalen Gerichts verwiesen werden, welche auch die Rechtsprechung des Bundesgerichts aufzeigen.
5.2 Was sodann das Vorliegen einer unfallähnlichen Körperschädigung anbelangt, ist die Vorinstanz zu Recht zum Schluss gekommen, dass es sich bei der am 7. März 2000 im Spital X._ festgestellten Subluxation des Humeruskopfes und diagnostizierten chronisch instabilen Schulter rechts (Differentialdiagnose: willkürliche Schulterluxation rechts) nicht um eine der in <ref-law> abschliessend aufgezählten unfallähnlichen Körperschädigungen handelt. Die in <ref-law> erwähnten Verrenkungen von Gelenken erfassen rechtsprechungsgemäss nur eigentliche Gelenksverrenkungen (Luxationen), nicht aber unvollständige Verrenkungen (Subluxationen) oder Torsionen (Verdrehungen) und Distorsionen (Verstauchungen; vgl. Urteil 8C_1000/2008 vom 27. Februar 2009 E. 2.3 mit Hinweisen). Die als Differentialdiagnose erwähnte willkürliche Schulterluxation schliesslich wäre auf eine Erkrankung oder Degeneration zurückzuführen, worauf auch die diagnostizierte instabile Schulter schliessen lässt. Auf einen krankhaften oder degenerativen Zustand hin deutet denn auch die Aussage der Beschwerdeführerin, wonach es in ihrer gesamten Gesundheitsanamnese immer wieder zu Luxationen gekommen sei. Selbst eine Luxation wäre indessen nicht unter eine unfallähnliche Körperschädigung gemäss <ref-law> zu subsumieren, sofern sie auf eine Erkrankung oder Degeneration zurückzuführen ist.
5.3 Zusammenfassend ist das kantonale Gericht korrekt zum Schluss gekommen, dass das Ereignis vom 6. März 2000 weder einen Unfall darstellt noch eine unfallähnliche Körperschädigung bewirkt hat, weshalb die Leistungspflicht des Unfallversicherers über den 1. Januar 2008 hinaus zu Recht verneint wurde.
6. Schliesslich beantragt die Beschwerdeführerin die Übernahme der Kosten für das von ihr in Auftrag gegebene Gutachten des Instituts Y._ vom 4. Juni 2008 in der Höhe von Fr. 7000.-.
Nach der Rechtsprechung sind unter dem Titel Parteientschädigung auch die Kosten privat eingeholter Gutachten zu vergüten, soweit dies für die Entscheidfindung unerlässlich war (<ref-ruling>). Da das von der Beschwerdeführerin beigebrachte Gutachten des Instituts Y._ für die Beurteilung nicht erforderlich, sondern eine solche auch aufgrund der vorhandenen Unterlagen ohne weiteres möglich war, ist dem Antrag nicht stattzugeben.
7. Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Rémy Wyssmann wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Mai 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch