Erwägungen:
1.
1.1. Der türkische Staatsangehörige X._ (geb. 1975) reiste 1991 im Rahmen des Familiennachzugs zu seinen Eltern in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung. Eine Berufslehre schloss er nicht ab. Am 5. April 1993 heiratete er seine Landsfrau A._ (geb. 1974); mit ihr hat er den am 16. April 1994 geborenen Sohn B._. Die Ehe wurde im Juni 2003 geschieden. Seit dem Jahre 2000 wurde X._ etliche Male strafrechtlich verurteilt, darunter am 4. Mai 2010 vom Kantonsgericht Basel-Landschaft - zweitinstanzlich - zu einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren und sechs Monaten (davon zehn Monate unbedingt) wegen mehrfacher qualifizierter Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz sowie wegen Drohung. X._ bezog - mit Unterbrüchen - von der Sozialhilfe über Fr. 40'000.-- (Stand 31. März 2012). Gegen ihn liegen Betreibungen von ca. Fr. 25'000.-- und Verlustscheine von ca. Fr. 100'000.-- vor. Er lebt bei seiner Mutter, hat seit Kurzem eine Festanstellung als Recyclist und bezahlt monatlich Fr. 150.-- Schulden zurück.
1.2. Mehrere Versuche von X._, die Niederlassungsbewilligung zu erhalten, blieben erfolglos. Hingegen wurde er mehrfach fremdenpolizeilich verwarnt. Im Juni 2002 wurde ihm zudem die Ausweisung angedroht, und am 16. Februar 2010 wurde er von den Migrationsbehörden darauf hingewiesen, dass die Aufenthaltsbewilligung widerrufen werden könne, wenn er zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe verurteilt werde bzw. erheblich oder wiederholt gegen die öffentliche Sicherheit verstosse. Am 3. Juni 2011 verlängerte das Migrationsamt des Kantons Basel Stadt - nach Gewährung des rechtlichen Gehörs - die Aufenthaltsbewilligung von X._ nicht mehr und wies diesen aus der Schweiz weg. Sämtliche hiegegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartementes vom 2. Mai 2012, Urteil des Appellationsgerichts [als Verwaltungsgericht] vom 7. Mai 2013).
2.
Mit Eingabe vom 20. Juni 2013 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben, ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und von einer Wegweisung abzusehen.
Die kantonalen Akten sind eingeholt, ein Schriftenwechsel ist nicht durchgeführt worden. Die Beschwerde erweist sich - soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann - als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> mit summarischer Begründung zu erledigen:
3.
3.1. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Dass ein Rechtsanspruch auf Bewilligung besteht, muss mit der Beschwerde in vertretbarer Weise geltend gemacht bzw. substantiiert werden (Urteil 2C_821/2011 vom 22. Juni 2012 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 2C_459/2011 vom 26. April 2012 E. 1.1, nicht publiziert in <ref-ruling>; Urteil 2C_940/2012 vom 1. Oktober 2012 E. 2; generell zur Geltendmachung von sich aus der EMRK ergebenden Ansprüchen s. <ref-ruling> E. 2.5 S. 215 f.).
3.2. Der Beschwerdeführer befasst sich bloss äusserst rudimentär mit der Frage des Bestehens eines Rechtsanspruches. Richtigerweise leitet er aus seiner im Juni 2003 geschiedenen Ehe keinen solchen ab. Soweit er sich auf die über zwanzigjährige Anwesenheit und damit offenbar auf die Garantie auf Achtung des Privatlebens (Art. 8 EMRK) beruft, übersieht er, dass eine lange Anwesenheit und die damit verbundene normale Integration hierzu nicht genügen; erforderlich sind besonders intensive private Beziehungen beruflicher oder gesellschaftlicher Natur (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286; <ref-ruling> E. 2c S. 384 ff.; <ref-ruling> E. 3b S. 22). Über solche verfügt der Beschwerdeführer klarerweise nicht. Angesichts seiner Straftaten und Schulden kann im Gegenteil von einer "normalen Integration", wofür sich auch in den beigezogenen Akten keine Anhaltspunkte finden, nicht die Rede sein.
Der Sohn des Beschwerdeführers ist volljährig. Aus der Beziehung zwischen volljährigen Kindern und ihren Eltern, die als solche in den Schutzbereich von Art. 8 EMRK fällt, lässt sich regelmässig kein Anspruch auf Erteilung einer ausländerrechtlichen Bewilligung ableiten. Dies ist nur bei Vorliegen besonderer Umstände der Fall, wenn geradezu ein Abhängigkeitsverhältnis unter diesen Verwandten besteht (<ref-ruling> E. 2 S. 4 ff.; <ref-ruling> E. 1d und e S. 260 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 14), welches über die normalen affektiven Beziehungen hinausgeht (<ref-ruling> E. 3.4.2). Erforderlich dazu wäre eine eigentliche Pflege- und Betreuungsbedürftigkeit oder eine schwerwiegende Krankheit (Urteil 2C_760/2012 vom 16. August 2012 E. 2.2 mit Hinweisen). Derartige Verhältnisse liegen hier nicht vor, und ein Abhängigkeitsverhältnis im beschriebenen Sinne wird mit den Ausführungen in Ziff. B 4 der Beschwerdeschrift nicht aufgezeigt.
4.
Damit könnte die genannte Eingabe bloss noch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne von <ref-law> entgegengenommen werden, womit allein die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-law>). Taugliche Verfassungsrügen fehlen vorliegend (zur qualifizierten Begründungspflicht solcher Rügen vgl. <ref-law>). Im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann der Betroffene sodann keine Rügen mehr erheben, die Gegenstand des Entscheids über den Widerruf bzw. die Nichtverlängerung der Bewilligung gebildet haben oder hätten bilden müssen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 307). Soweit sich der Beschwerdeführer gegen seine Wegweisung wendet, ist diese die normale Folge der Nichtverlängerung einer ausländerrechtlichen Anwesenheitsbewilligung (vgl. Art. 64 Abs. 1 lit. c AuG). Vollzugshindernisse (vgl. Art. 83 AuG), welche der subsidiären Verfassungsbeschwerde - unter Vorbehalt der qualifizierten Rügepflicht - zugänglich sind (<ref-ruling> E. 3.3 S. 310), macht der Beschwerdeführer nicht geltend.
5.
Für allles Weitere kann auf die zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden (<ref-law>).
Bei diesem Ausgang trägt der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 65/66 BGG).
Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein