Sachverhalt:
A. Mit zwei Entscheiden vom 5./14. Februar 2008 wies der Richter in Schuldbetreibung und Konkurs am Bezirksgericht Z._ die Rechtsöffnungsbegehren ab, die X._ in den von ihm gegen die Einwohnergemeinde E._ eingeleiteten Betreibungen Nrn. ... eingereicht hatte. Den Betreibungen liegen Sozialhilfeansprüche für die Monate November bzw. Dezember 2007 zugrunde.
Gegen beide Entscheide erhob X._ beim Kantonsgericht Wallis Nichtigkeitsklage. Die jeweiligen Rechtsbegehren enthielten unter der Ziff. 1.4 Folgendes: "Aufgrund der Bedürftigkeit des Nichtigkeitsklägers werden keine Kosten zu seinen Lasten erhoben" .
B. Durch Schreiben des Präsidenten des kantonsgerichtlichen Kassationshofes in Zivilsachen vom 6. März 2008 wurde X._ mitgeteilt, dass aus der erwähnten Stelle der Nichtigkeitsklagen geschlossen werde, er ersuche um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, und dass über dieses Begehren vorab entschieden werde.
Am 11. April 2008 wies der Präsident der Kassationsbehörde das Armenrechtsgesuch ab.
C. Mit Eingabe vom 9. Mai 2008 erhebt X._ "Beschwerde" und verlangt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheids vom 11. April 2008. Unter Hinweis auf seine Bedürftigkeit stellt er auch für das bundesgerichtliche Verfahren den Antrag, es seien ihm keine Kosten aufzuerlegen.
Durch Präsidialverfügung vom 14. Mai 2008 ist dem Beschwerdeführer mitgeteilt worden, es werde mit Rücksicht auf sein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege von der Einforderung eines Kostenvorschusses abgesehen.
Der Präsident der kantonalen Kassationsbehörde hat sich in seiner Eingabe vom 27. Mai 2008 zur Beschwerde geäussert, ohne ausdrücklich einen Antrag zu stellen.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein selbständig eröffneter letztinstanzlicher Zwischenentscheid (<ref-law>) über die unentgeltliche Rechtspflege in einem Rechtsöffnungsverfahren. Er kann einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken (dazu <ref-ruling> E. 1.1 S. 131 mit Hinweisen), so dass auch aus der Sicht von <ref-law> auf die Beschwerde einzutreten ist.
Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007, E. 1.2). Diese ist vorliegend eine Zivilsache vermögensrechtlicher Natur, die unter den gegebenen Umständen mit Beschwerde in Zivilsachen anfechtbar ist, sofern der Streitwert mindestens 30'000 Franken beträgt (<ref-law>). Letzteres trifft hier nicht zu. Da kein Ausnahmefall nach <ref-law> dargetan ist, der Beschwerdeführer namentlich selbst nicht etwa geltend macht, es gehe um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>), ist die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (<ref-law>).
2. 2.1 Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Nach der gemäss <ref-law> auch für dieses Verfahren geltenden Bestimmung von <ref-law> prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist. Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 6 S. 397). Bei der Willkürrüge (<ref-law>) ist in der erwähnten Form aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen bzw. eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll (<ref-ruling> E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls in einem Berufungsverfahren zulässig ist, wird nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
2.2 Nach <ref-law> legt das Bundesgericht (auch im Falle der subsidiären Verfassungsbeschwerde) seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann diese Sachverhaltsfeststellung nur dann berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>), d.h. gegen verfassungsmässige Rechte, namentlich gegen das Willkürverbot (<ref-law>) verstösst. Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Instanz, die den dargelegten Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten.
3. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe kein Gesuch um unentgeltlichen Rechtsbeistand gestellt, sondern in seinen Nichtigkeitsklagen (Ziff. 1.4 der Rechtsbegehren) an das Kantonsgericht unter Hinweis auf seine Bedürftigkeit lediglich beantragt, es sei von der Erhebung von Kosten abzusehen. Indessen legt er nicht dar, dass der vorinstanzliche Richter gegen verfassungsrechtliche Bestimmungen, insbesondere etwa gegen das Willkürverbot verstossen hätte, indem er das in den Nichtigkeitsklagen gestellte Begehren als Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege behandelte. Der Beschwerdeführer bringt übrigens nicht vor, dass er dem Schreiben des Präsidenten des Kassationshofes in Zivilsachen vom 6. März 2008, wonach Ziff. 1.4 der Rechtsbegehren als Armenrechtsgesuch ausgelegt werde, widersprochen hätte. Seine Ausführungen zur Möglichkeit, einer an sich kostenpflichtigen Verfahrenspartei die Kosten zu erlassen, stossen unter den dargelegten Umständen ins Leere.
4. 4.1 Unter Berufung auf das Walliser Gesetz über den gerichtlichen und administrativen Rechtsbeistand (GGAR) hält der Präsident der Kassationsbehörde fest, dass Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand jedermann habe, dessen Einkommen und Vermögen es ihm nach Deckung der Kosten für seinen Unterhalt und den seiner Familie nicht erlauben, die für die Verteidigung seines Falls notwendigen Kosten zu garantieren, vorzuschiessen oder zu übernehmen (Art. 2 Abs. 1 GGAR), wobei in zivilrechtlichen Angelegenheiten der Fall für die betreffende Person nicht zum Voraus ohne jede Aussicht auf Erfolg sein dürfe (Art. 2 Abs. 2 Satz 1 GGAR); aussichtslos seien Begehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer seien als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden könnten. Gegenstand der beiden in Frage stehenden Betreibungen des Beschwerdeführers seien nach den Rechtsöffnungsentscheiden die Sozialhilfebeiträge für die Monate November und Dezember 2007 von je Fr. 886.--, die auf rechtskräftigen, definitive Rechtsöffnungstitel darstellenden Unterstützungsentscheiden der Einwohnergemeinde E._ und auf zwei Urteilen des Kantonsgerichts beruhten. In den Rechtsöffnungsentscheiden werde ferner erklärt, dass mit der sich aus den hinterlegten Bankbelegen ergebenden direkten Bezahlung der Mietzinse (an den Vermieter) die Tilgung der strittigen Beiträge nachgewiesen sei.
Den Einwänden des Beschwerdeführers, der ihm zustehende Sozialhilfebeitrag könne nicht durch Bezahlung des Mietzinses an den Vermieter geleistet werden, es sei keine Mietzinsverpflichtung des Gläubigers der Sozialhilfe dargetan und die im Unterstützungsentscheid angerechnete Miete liege tiefer als die angeblich direkt bezahlte, hält der vorinstanzliche Richter entgegen, über die Höhe des Sozialhilfeanspruchs sei nicht im Betreibungsverfahren zu befinden; soweit der Beschwerdeführer den hinterlegten Belegen die Eigenschaft von Urkunden im Sinne von <ref-law> abspreche und dem Rechtsöffnungsrichter eine Verletzung dieser Bestimmung vorwerfe, sei die Kognition auf Willkür beschränkt und eine solche nicht dargetan; gemäss Unterstützungsentscheid sei im Sozialhilfebeitrag von monatlich Fr. 886.-- ein Mietzins von Fr. 1'800.-- berücksichtigt und jener folglich auch mit der Bezahlung einer höheren Miete direkt an den Vermieter geleistet; eine solche direkte Bezahlung an den Vermieter sei gemäss den heranzuziehenden SKOS-Richtlinien in begründeten Fällen zulässig, was hier zutreffe, lebe doch der Beschwerdeführer gemäss seinen Ausführungen nach wie vor in der Wohnung, die er wegen Mietzinsrückstands hätte verlassen müssen.
In Würdigung der von ihm festgehaltenen Gegebenheiten hält der Präsident der Kassationsbehörde die Nichtigkeitsklagen für aussichtslos, so dass das Gesuch um unentgeltlichen Rechtsbeistand ohne Prüfung der Bedürftigkeit des Beschwerdeführers abzuweisen sei.
4.2 Soweit der Beschwerdeführer beanstandet, dass das Schreiben des Kassationshofes in Zivilsachen vom 6. März 2008 keinerlei Aufforderung zur Präzisierung oder zur Nachreichung eines ordentlichen Gesuchs oder zu einer Korrektur mit Fristansetzung enthalten habe, stossen seine Vorbringen ins Leere: Ergänzungen hätten einzig dann von Bedeutung sein können, wenn die Vorinstanz das Armenrecht wegen fehlender Bedürftigkeit verweigert hätte.
Sodann macht der Beschwerdeführer geltend, der Präsident der Kassationsbehörde habe "willkürlich aufgrund falscher Tatsachen und trotz fehlender gesetzlichen Unterlagen und Zuständigkeit" entschieden. Dem Sinn nach rügt er damit, das herangezogene kantonale Recht sei willkürlich angewendet worden. Inwiefern der vorinstanzliche Richter in willkürlicher Weise von falschen Tatsachen ausgegangen sein soll, ist aufgrund des in der Beschwerde Vorgebrachten nicht auszumachen. Die Ausführungen zu den Voraussetzungen und Modalitäten der Sozialhilfe, zum Mietverhältnis und zum Umgang des Beschwerdeführers mit den Sozialhilfebeiträgen sind sodann ebenso wenig wie die weiteren Erklärungen geeignet, darzutun, dass die Annahmen des Präsidenten der Kassationsbehörde, die in Betreibung gesetzten Forderungen seien durch direkte Bezahlung von Mietzinsen an den Vermieter getilgt worden und die Betreibungsschuldnerin habe diese Tilgung mit den eingereichten Schriftstücken im Sinne von <ref-law> nachgewiesen, willkürlich wären. Soweit auf die Ausführungen in den Nichtigkeitsklagen verwiesen wird, sind die Vorbringen von vornherein unbeachtlich, da die Begründung der Beschwerde in der Rechtsschrift selbst enthalten sein muss (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287; <ref-ruling> E. 2.3 S. 387 f. mit Hinweis).
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Sie erschien unter den dargelegten Umständen von vornherein als aussichtslos, so dass die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ausser Betracht fällt (vgl. <ref-law>). Ausgangsgemäss sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Kantonsgericht Wallis (Präsident der Kassationsbehörde) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. August 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel