Sachverhalt:
A.
Mit Eingabe vom 1. März 2015 erstattete A._ Strafanzeige gegen Bezirksrichter Bruno Derungs. Er wirft ihm unter anderem Körperverletzung, Unterlassung der Nothilfe sowie Amtsmissbrauch vor, dies im Zusammenhang mit einem vor dem Bezirksgericht Horgen hängigen Scheidungsverfahren.
Am 23. März 2015 überwies die Staatsanwaltschaft Limmattal-Albis die Anzeige an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss vom 30. April 2015 hat dessen III. Strafkammer der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung bzw. die Nichtanhandnahme eines Strafverfahrens gegen Bruno Derungs nicht erteilt.
B.
Mit Eingabe vom 25. Mai 2015 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt sinngemäss die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts.
Das Obergericht, die Oberstaatsanwaltschaft und die Staatsanwaltschaft haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272). Da der Beschwerdegegner nicht den obersten kantonalen Gerichtsbehörden angehört, gelangt der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f.).
1.2. Nach <ref-law> in Verbindung mit § 148 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG; LS 211.1) entscheidet das Obergericht über die Eröffnung oder Nichtanhandnahme einer Strafuntersuchung gegen Beamte im Sinn von <ref-law> wegen im Amt begangener Vergehen oder Verbrechen; dies unter Vorbehalt der (hier nicht gegebenen) Zuständigkeit des Kantonsrats (§ 38 Abs. 1 des Kantonsratsgesetzes vom 5. April 1981 [KRG; LS 171.1]). Unter den Beamtenbegriff nach § 148 GOG fallen auch Angestellte der Rechtspflege ( HAUSER/SCHWERI/LIEBER, GOG, Kommentar zum zürcherischen Gesetz über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess vom 10. Mai 2010, 2012, N. 3 zu § 148 GOG), weshalb für den Beschwerdegegner als Bezirksrichter das Ermächtigungserfordernis gilt.
1.3. Mit dem angefochtenen Entscheid hat es das Obergericht abgelehnt, die Staatsanwaltschaft zur Strafverfolgung der angezeigten Person u.a. wegen Körperverletzung, unterlassener Hilfeleistung und wegen Amtsmissbrauchs zu ermächtigen. Damit fehlt es an einer Prozessvoraussetzung für die Durchführung des Strafverfahrens, womit das Verfahren abgeschlossen ist. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist. Der Beschwerdeführer, der am kantonalen Verfahren beteiligt war und dessen Strafanzeige nicht mehr weiter behandelt werden kann, ist zu deren Erhebung berechtigt (<ref-law>).
1.4. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.5. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch <ref-law>; zudem <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein.
2.
2.1. Im Ermächtigungsverfahren dürfen - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.). Das Ermächtigungserfordernis dient namentlich dem Zweck, Behördenmitglieder und Beamte vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen. Ein Strafverfahren soll daher erst durchgeführt werden können, wenn das Obergericht vorher seine Zustimmung dazu erteilt hat. Gestützt darauf kann die Staatsanwaltschaft dann die Untersuchung eröffnen. Der förmliche Entscheid über die Eröffnung oder die Nichtanhandnahme obliegt Kraft ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung (Art. 309 und 310 StPO) in jedem Fall der Staatsanwaltschaft (<ref-ruling> E. 2.3 S. 277).
2.2. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist für die Erteilung der Ermächtigung ein Mindestmass an Hinweisen auf strafrechtlich relevantes Verhalten zu verlangen (Urteil 1C_524/2013 vom 2. Oktober 2013 E. 2). Dabei muss eine Kompetenzüberschreitung oder eine gemessen an den Amtspflichten missbräuchliche Vorgehensweise oder ein sonstiges Verhalten, das strafrechtliche Konsequenzen zu zeitigen vermag, in minimaler Weise glaubhaft erscheinen und genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen (vgl. statt vieler Urteil 1C_633/2013 vom 23. April 2014 E. 2.3 mit Hinweis). Der Entscheid über die Erteilung der Ermächtigung zur Strafuntersuchung ist demjenigen über die Anhandnahme eines Strafverfahrens bzw. über die Einstellung eines eröffneten Strafverfahrens vorangestellt. Es ist daher zwangsläufig, dass die Ermächtigung bereits bei einer geringeren Wahrscheinlichkeit einer strafrechtlichen Verantwortlichkeit erteilt werden muss, als sie für die Einstellung eines schon eröffneten Strafverfahrens erforderlich ist. Während also für die Anklageerhebung die Wahrscheinlichkeiten einer Verurteilung und eines Freispruchs zumindest vergleichbar zu sein haben, genügt bereits eine geringere Wahrscheinlichkeit für strafbares Verhalten, um die Ermächtigungserteilung auszulösen (Urteil 1C_633/2013 vom 23. April 2014 E. 3.4).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>). Er bringt vor, die Vorinstanz nehme keine inhaltliche Würdigung seiner Vorwürfe vor und behaupte stattdessen, dass nicht der geringste Hinweis auf ein strafbares Verhalten des Beschwerdegegners vorliege.
3.2. Das Recht, angehört zu werden, ist formeller Natur. Seine Verletzung führt in der Regel ungeachtet der materiellen Begründetheit der Beschwerde zu deren Gutheissung und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197 mit Hinweis). Eine behauptete Verletzung des verfassungsmässigen Gehöranspruchs betrifft eine bundesrechtliche Rechtsfrage, die mit freier Kognition zu prüfen ist. Aus <ref-law> leitet sich die Verpflichtung der Behörde ab, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen).
3.3.
3.3.1. Hintergrund der vorliegenden Beschwerde bildet ein vor dem Bezirksgerichts Horgen hängiges Scheidungsverfahren, das nach Auffassung des Beschwerdeführers zu Gesundheitsschäden bei seinem Sohn geführt habe und auch weiterhin führe. Die Bezirksrichter würden die gesundheitlichen Risiken ignorieren und untätig bleiben. In der Folge erhob der Beschwerdeführer mehrere Strafanzeigen gegen drei Richter des Bezirksgerichts Horgen, denen er insbesondere Unterlassung der Hilfeleistung, Verletzung der Fürsorgepflicht sowie Amtsmissbrauch vorwarf. Das Obergericht hat diese Anschuldigungen ausführlich geprüft und einlässlich begründet, weshalb keine Anhaltspunkte für strafrechtlich relevantes Verhalten ersichtlich seien und daher keine Ermächtigung für die Eröffnung einer Strafuntersuchung erteilt werden könne (Beschlüsse des Obergerichts TB130166 vom 16. Dezember 2013 [auf die dagegen erhobene Beschwerde ist das Bundesgericht mit Urteil 1C_26/2014 vom 3. Februar 2014 nicht eingetreten]; TB130229 vom 27. Februar 2014; TB140064 vom 24. Juni 2014).
3.3.2. Der angefochtene Entscheid enthält keine ausformulierte Begründung, sondern ist als sog. dass-Entscheid abgefasst. Darin wird festgehalten, dass dem Beschwerdeführer das Ermächtigungsverfahren schon "mehrfach erläutert" worden sei. Dabei verweist die Vorinstanz auf die früheren Verfahren. Diese Strafanzeigen hätten sich "allesamt als völlig haltlos" erwiesen. Nach Auffassung der Vorinstanz sei "nicht der geringste Hinweis auf ein strafbares Verhalten" des Beschwerdegegners zu erkennen. Vielmehr erwecke das Vorgehen des Beschwerdeführers den "Anschein des Rechtsmissbrauchs".
3.3.3. Grundsätzlich ist es nicht unzulässig, bei sich wiederholenden Streitpunkten, die sich auf die gleiche Sache beziehen, auf bereits frühere Entscheide zu verweisen. Allerdings müssen die Verhältnisse immer noch vergleichbar sein, muss aus dem Verweis mit genügender Klarheit hervorgehen, welche Argumente die Behörde weiterhin als massgeblich erachtet und müssen neue Argumente der Verfahrensbeteiligten angemessen berücksichtigt werden, so dass eine aktuelle Würdigung der wesentlichen Tat- und Rechtsfragen stattfinden kann (Urteil des Bundesgerichts 1B_281/2015 vom 15. September 2015 E. 4.3).
3.3.4. In der Strafanzeige vom 1. März 2015, die Gegenstand des angefochtenen Entscheids bildet, erneuert der Beschwerdeführer seine Vorwürfe. Bezirksrichter Derungs habe im Rahmen der Vorladung zur Hauptverhandlung betreffend Ehescheidung wiederum nicht angeordnet, dass der Sohn des Beschwerdeführers ärztlich behandelt werde. Deshalb kämen die Straftatbestände der Körperverletzung, der Beihilfe zur Körperverletzung, der unterlassenen Hilfeleistung und des Amtsmissbrauchs in Frage.
In Bezug auf die behauptete Unterlassung der Nothilfe (<ref-law>) hat das Obergericht mehrmals hervorgehoben und ausführlich begründet, dass keine Anhaltspunkte für das Bestehen einer unmittelbaren Lebensgefahr des Sohnes des Beschwerdeführers gegeben seien (TB130229 vom 27. Februar 2014 E. 3.3 S. 5 und TB130166 vom 16. Dezember 2013 E. 3.3 S. 6). An diesem Befund vermögen auch die Ausführungen in der vorliegenden Beschwerde nichts zu ändern, zumal der Beschwerdeführer darin keine neuen Tatsachen nennt, die auf strafrechtlich relevantes Verhalten hinweisen könnten. Gleiches gilt in Bezug auf den Vorwurf des Amtsmissbrauchs (<ref-law>), den der Beschwerdeführer namens seines Sohnes bereits in einer früheren Strafanzeige gegen den Beschwerdegegner erhoben hat (TB140064 vom 24. Juni 2014). Den Akten ist auch nicht zu entnehmen, inwiefern Anhaltspunkte für eine einfache Körperverletzung im Sinne von Art. 123 bzw. <ref-law> vorliegen sollen. Dass ein Arzt angeblich einen "Verdacht auf eine depressive Entwicklung" beim Sohn des Beschwerdeführers geäussert haben soll, sich jedoch in der Folge geweigert habe, diese Diagnose schriftlich zu bestätigen, genügt offensichtlich nicht. Da sich somit weder die Tat- noch die Rechtslage geändert hat, konnte die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid auf frühere Beschlüsse zur gleichen Sache verweisen, ohne das rechtliche Gehör zu verletzen.
3.3.5. Im Übrigen beanstandet der Beschwerdeführer den obergerichtlichen Beschluss ganz allgemein, indem er die bereits in den kantonalen Verfahren mehrfach geübte Kritik am bezirksgerichtlichen Verfahren bzw. an der Amtsführung von Bezirksrichter Derungs wiederholt. Dabei beschränkt er sich im Wesentlichen darauf, seine Sicht der Dinge vorzutragen, ohne im Einzelnen darzulegen, inwiefern der vorinstanzliche Entscheid im Ergebnis Recht im Sinne von <ref-law> verletzt haben soll. Diese appellatorische Kritik ist nicht zu hören.
4.
4.1. Nach dem Gesagten ergibt sich bezüglich der angezeigten Straftatbestände kein hinreichender Tatverdacht, der die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen den Beschwerdegegner rechtfertigen würde. Das Obergericht hat, indem es die Ermächtigung zur Strafverfolgung verweigert hat, kein Bundesrecht verletzt.
4.2. Bei diesem Ausgang ist die Beschwerde abzuweisen. Unter den gegebenen Umständen ist auf eine Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>), womit das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Misic