Faits:
A. Le 16 avril 2008, la Municipalité d'Eysins a délivré à la société B._ un permis de construire un bâtiment artisanal et administratif avec garage souterrain sur la parcelle n° 179 du cadastre communal et levé l'opposition formée contre ce projet par A._. Ce dernier a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la Cour de droit administratif et public ou le Tribunal cantonal). La cause a été enregistrée sous la cote AC.2008.0116.
Le 12 août 2008, la Municipalité d'Eysins a accordé à B._ un permis de construire un second bâtiment artisanal et administratif sur la même parcelle et levé l'opposition d'A._ à ce projet. L'intéressé a recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal. La cause a été enregistrée sous la référence AC.2008.0227.
Le 24 novembre 2008, A._ a retiré ses recours en exposant que les parties avaient trouvé un terrain d'entente et que chacune d'elles supportait ses propres frais et renonçait à des dépens.
Par décisions séparées du 28 novembre 2008, le juge instructeur de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal a rayé les causes du rôle, mis un émolument de 800 fr. à la charge de A._ et dit qu'il n'est pas alloué de dépens.
B. Par actes séparés du 16 janvier 2009, la Commune d'Eysins a formé un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ces décisions auprès du Tribunal fédéral. Elle lui demande de les réformer en ce sens que les dispositions du chiffre III du dispositif sont annulées et d'arrêter les dépens de première instance à la charge de l'intimé A._ en sa faveur.
Il n'a pas été demandé de réponses aux recours.

Considérant en droit:
1. Les recours sont dirigés contre deux décisions distinctes opposant les mêmes parties, dans des procédures portant sur un complexe de faits analogue et soulevant des questions juridiques identiques. Il convient de joindre les causes et de les trancher dans un seul et même arrêt (<ref-law>, applicable en vertu du renvoi de l'<ref-law>).
2. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 275).
2.1 La voie du recours en matière de droit public est ouverte, les décisions attaquées ayant été rendues dans une cause de droit public (<ref-law>), sans que l'une des exceptions de l'<ref-law> ne soit réalisée. Les recours ont été déposés dans le délai de trente jours (<ref-law>) contre des décisions finales rendues en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF), l'art. 50 de la loi vaudoise du 18 décembre 1989 sur la juridiction et la procédure administratives (LJPA), sous l'empire de laquelle le juge instructeur de la Cour de droit administratif et public a statué, excluant tout recours au Tribunal cantonal contre les décisions de ce magistrat rayant la cause du rôle en cas de retrait de recours et statuant sur les frais et dépens.
2.2 Selon l'art. 89 al. 2 let. c LTF, les communes et autres collectivités publiques ont qualité pour recourir lorsqu'elles invoquent la violation de garanties qui leur sont reconnues par la constitution cantonale ou la Constitution fédérale. Elles peuvent aussi agir, sur la base de cette disposition, en faisant valoir une atteinte à leur propre existence ou à leur territoire (cf. Message du Conseil fédéral du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 p. 4128). Dans certains cas, les communes peuvent également recourir en vertu de l'<ref-law> lorsqu'elles sont touchées de la même manière qu'un particulier ou lorsque leurs intérêts souverains dignes de protection sont en jeu (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 47; <ref-ruling> consid. 2.3.3.2 p. 58; <ref-ruling> consid. 2.4.2 p. 406). Il appartient toutefois à la collectivité concernée d'indiquer clairement, comme l'exige l'<ref-law>, sur quelle base elle entend fonder sa qualité pour agir, faute de quoi son recours sera déclaré irrecevable.
2.3 En l'espèce, la Commune d'Eysins n'apporte aucune précision quant à sa qualité pour recourir comme il lui appartenait de faire sous peine d'irrecevabilité. Elle ne prétend pas ni ne démontre que la légitimation active devrait lui être reconnue en application de l'<ref-law> parce qu'elle serait touchée comme une personne privée ou dans ses intérêts souverains dignes de protection par le refus de lui accorder des dépens. Elle a participé à la procédure cantonale de recours non pas en qualité de propriétaire ou de constructrice, mais en tant qu'autorité compétente pour délivrer le permis de construire et détentrice de la puissance publique, de sorte qu'elle n'est pas touchée de la même manière qu'un particulier, même si la contestation porte exclusivement sur la question des dépens (arrêt 2P.302/1993 du 8 juin 1995 consid. 2c). La recourante n'invoque pas davantage une atteinte à son autonomie qui lui permettrait de se prévaloir de l'art. 89 al. 2 let. c LTF. A supposer qu'elle l'eût fait, le recours aurait de toute manière dû être écarté. L'art. 55 LJPA fixe les principes de répartition des frais et dépens. L'application de ces principes, seule en cause ici, ressortit exclusivement à l'autorité cantonale de recours, soit en l'occurrence au juge instructeur (art. 52 LJPA), et la commune ne dispose d'aucun pouvoir de décision; elle n'a donc pas d'autonomie en la matière (arrêts 1P.654/1991 du 30 janvier 1992 consid. 2c et 1P.636/1988 du 23 mars 1988 consid. 2). Le fait que la contestation au fond porte sur un domaine relevant de l'autonomie communale n'y change rien. La recourante ne saurait enfin tirer sa qualité pour agir du fait qu'elle a participé à la procédure antérieure et que les décisions attaquées seraient erronées et lui causent un préjudice financier (cf. ATF 134 II 124 consid. 2.1 p. 128; <ref-ruling> consid. 2.3.3.2 p. 59 et les arrêts cités).
3. Les recours doivent par conséquent être écartés. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>). Les autres parties, qui n'ont pas été invitées à répondre, n'ont pas droit à des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 1C_20/2009 et 1C_21/2009 sont jointes.
2. Les recours sont irrecevables.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires ni alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au juge instructeur de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 30 janvier 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Parmelin