Fatti:
A. Il 17 settembre 2003 la A._ SA ha convenuto davanti al Pretore di Lugano la B._ SA chiedendole il pagamento di fr. 107'012.30. Con le conclusioni l'attrice ha ridotto questa somma a fr. 29'159.10, ma ha chiesto che la convenuta fosse condannata a restituirle il banco completo e le insegne pubblicitarie dell'esercizio pubblico che gestiva a Lugano. La convenuta ha chiesto che la petizione fosse interamente respinta.
Il Pretore, con sentenza dell'8 agosto 2008, l'ha accolta parzialmente, condannando la convenuta soltanto a restituire banco e insegne.
B. Entrambe le parti sono insorte davanti al Tribunale di appello del Cantone Ticino: l'attrice, con l'appello principale, ha chiesto che la convenuta fosse condannata anche a versarle fr. 29'159.10, mentre la convenuta, in via adesiva, ha ribadito che la petizione andava respinta interamente.
L'autorità cantonale si è pronunciata con sentenza del 14 ottobre 2009, respingendo, nella misura in cui le ha reputate ammissibili, le appellazioni principale e adesiva.
C. Con atto datato 14 dicembre 2009 e intitolato "ricorso in materia civile (art. 72 ss. LTF) combinato (<ref-law>) con un ricorso in materia costituzionale (art. 113 ss. LTF)" la parte attrice chiede in via principale che la sentenza d'appello sia annullata e che la causa sia rinviata all'autorità cantonale per nuovo giudizio; in via subordinata che la sentenza sia riformata e che la convenuta, oltre a quanto stabilito dal Pretore, sia condannata a pagarle anche fr. 29'159.10 più gli interessi.
Con risposta del 4 febbraio 2010 la convenuta si è limitata a rinviare alle motivazioni delle due istanze cantonali e a proporre di dichiarare irricevibili, subordinatamente di respingere i ricorsi. L'autorità cantonale ha rinunciato a una presa di posizione.

Diritto:
1. Il Tribunale federale si pronuncia d'ufficio e con pieno potere d'esame sulla propria competenza e sull'ammissibilità del rimedio (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 pag. 216 con rinvii).
1.1 Il ricorso è presentato tempestivamente (<ref-law>) dalla parte parzialmente soccombente davanti all'autorità cantonale (<ref-law>) contro una decisione finale (<ref-law>) pronunciata dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa in materia civile (<ref-law>).
1.2 La causa ha carattere pecuniario. Il ricorso in materia civile è pertanto ammissibile soltanto se il valore litigioso raggiunge almeno fr. 30'000.-- (<ref-law>). Il valore è determinato dalle conclusioni rimaste controverse davanti all'autorità inferiore (<ref-law>). La ricorrente espone di non sapere con certezza se considerare soltanto la pretesa principale d'appello oppure se possa addizionare quella fatta valere in via adesiva dalla parte convenuta; dichiara pertanto, per prudenza, di agire sia con ricorso in materia civile, sia con ricorso sussidiario in materia costituzionale.
1.2.1 Il valore litigioso nel senso dell'<ref-law> è determinato da tutte le conclusioni ricevibili rimaste controverse davanti all'autorità cantonale (sentenza 5A_765/2008 del 29 giugno 2009 consid. 1.2.1 e rif.). Di conseguenza, qualora siano fatte valere domande in via principale e adesiva, i rispettivi valori vanno sommati, senza riguardo a quanto l'autorità cantonale ha aggiudicato, né al valore della pretesa della parte che agisce davanti al Tribunale federale (sentenza 5A_500/2009 del 19 novembre 2009 consid. 1). È fatto salvo il caso in cui con l'appello adesivo sia riproposta una domanda riconvenzionale; in questa ipotesi - non realizzata in concreto - trova applicazione l'<ref-law>.
1.2.2 Con l'appello principale l'attrice ha chiesto il pagamento di fr. 29'159.10; la convenuta, con l'appello adesivo, ha contestato di dovere restituire bancone e insegne per un valore che la sentenza impugnata ha valutato fr. 14'452.--. Il valore minimo di fr. 30'000.-- (<ref-law>) è pertanto raggiunto.
1.3 Ne viene l'ammissibilità del rimedio ordinario, con esclusione del ricorso sussidiario in materia costituzionale (<ref-law>).
2. Davanti alle istanze cantonali l'attrice ha sostenuto che la sua pretesa andasse accolta già per il fatto che non era stata contestata regolarmente dalla parte convenuta. La Corte ticinese ha costatato che l'attrice aveva indicato al punto 5 della petizione "il calcolo alla base della sua domanda creditoria" e che effettivamente la convenuta non aveva "esplicitamente contestato né il quantum rivendicato dall'attrice né il calcolo alla base dello stesso". Non ha tuttavia risolto la questione motivando come segue:
"Sia come sia, anche qualora si volesse ritenere insufficiente la contestazione generica espressa dalla convenuta nella propria risposta e nella duplica, va ricordato che non va confuso quello che è l'obbligo della controparte di contestare chiaramente i fatti, pena la loro ammissione (<ref-law>), con l'onere probatorio che compete a chi vuole dedurre il suo diritto da una circostanza di fatto da lui asserita (<ref-law>). In altre parole, il disposto di cui all'<ref-law>, secondo il quale solo i fatti contestati devono essere provati, non esonera la parte dal suo obbligo di dimostrare il ben fondato e l'ammontare delle proprie pretese (Cocchi/Trezzini, CPC-TI, Lugano 2000, n. 17 all'art. 184). Occorre quindi confrontarsi con le censure dell'appellante principale in merito alla dimostrazione della propria pretesa (consid. 3)."
Chinandosi su quest'ultimo aspetto la Corte cantonale ha stabilito che l'attrice non si è confrontata con l'argomentazione con la quale il Pretore gli aveva rimproverato di non avere dimostrato l'ammontare della sua pretesa. Su questo punto l'appello è di conseguenza stato giudicato irricevibile in forza dell'art. 309 cpv. 2 lett. f CPC.
3. La ricorrente sostiene che la Corte d'appello ha violato arbitrariamente gli art. 78 cpv. 1, 170 cpv. 2 e 184 cpv. 2 CPC.
3.1 L'<ref-law> prevede che l'attore con la petizione e il convenuto con la risposta devono addurre in una sola volta i fatti, le domande, le eccezioni e le motivazioni di diritto, fatta riserva di replica e duplica. L'<ref-law> stabilisce che i fatti non chiaramente contestati si presumono ammessi, salvo contrarie risultanze di causa. L'<ref-law> precisa che la prova è limitata ai fatti contestati, eccettuati i casi in cui i fatti devono essere accertati d'ufficio dal giudice e con riserva delle disposizioni concernenti la mancata comparsa personale o scritta di una parte.
3.2 La ricorrente spiega che queste norme non permettono di caricarle l'onere della prova: in assenza di contestazioni valide della parte convenuta esse impongono di considerare ammesso l'importo del suo credito. Precisa che il contrasto tra la regola secondo cui i fatti devono essere addotti negli scritti preliminari in forza dell'<ref-law> e la riserva che pone l'art. 170 cpv. 2 per le risultanze di causa contrarie ai fatti non contestati può essere risolto soltanto applicando quest'ultima riserva in via eccezionale, quando la realtà diversa risulti in modo inequivocabile, pena la lesione del principio attitatorio che regge la procedura civile ticinese. Nel suo caso, conclude la ricorrente, non vi sono circostanze eccezionali simili, né l'autorità cantonale se ne è prevalsa.
3.3 La lettera e il senso dell'<ref-law> sono di per sé evidenti: i fatti non contestati chiaramente valgono come ammessi, a meno che gli atti del processo non provino fatti contrari. La ricorrente afferma con ragione che questa norma va messa in relazione con l'<ref-law>, che limita l'assunzione delle prove ai fatti contestati. In altre parole, l'assenza di contestazione (o l'ammissione) comportano la presunzione di fatto accertato, che si sostituisce all'apprezzamento delle prove per mezzo del quale il giudice accerta normalmente i fatti. È questa una delle conseguenze riconosciute del principio attitatorio (Verhandlungsgrundsatz; <ref-ruling> consid. 4, in part. 4c; cfr. anche le sentenze 5P.325/2004 del 17 gennaio 2005, consid. 2.2.2, e 4C.90/2005 del 22 giugno 2005, consid. 2.1).
3.4 La tesi dell'autorità cantonale, secondo cui l'obbligo della parte convenuta di contestare i fatti addotti dalla parte attrice non va confuso con l'onere probatorio di colui che vuole dedurre il suo diritto da una circostanza di fatto da lui asserita - nel nostro caso ancora l'attrice - è pertanto errata nel suo principio: il fatto non contestato è ammesso, accertato, e non dev'essere più provato. Se la parte attrice dovesse sempre preoccuparsi di provare le proprie allegazioni, a prescindere dal contenuto delle contestazioni della parte convenuta, la presunzione istituita dall'<ref-law> rimarrebbe priva d'efficacia.
La seconda frase di questo disposto fa invero decadere la presunzione del fatto accertato se emergono "contrarie risultanze di causa". Per motivare il proprio giudizio l'autorità cantonale non ha tuttavia menzionato l'<ref-law>, né ha accertato fatti di quella natura, per cui non è necessario approfondirne la portata (contrariamente alla fattispecie oggetto della sentenza 4P.50/2003 del 10 luglio 2003, consid. 2.5, recensita in COCCHI/TREZZINI, Codice di procedura civile ticinese massimato e commentato - Appendice 2000/2004, n. 9 ad art. 170, e menzionata dalla ricorrente). È però certo che, qualunque essa sia, non può implicare il ripristino pieno dell'onere della parte attrice di provare i fatti sui quali fonda le proprie pretese, che sarebbe incompatibile con il sistema attitatorio.
3.5 Si osservi che anche in forza dell'art. 150 cpv. 1 del codice di diritto processuale svizzero, che entrerà in vigore il 1° gennaio 2011, il giudice dovrà considerare veri i fatti ammessi dalle parti, a meno che "sussistano notevoli dubbi" secondo l'art. 153 cpv. 2 (cfr. Messaggio del 28 giugno 2006 del Consiglio federale, FF 37/2006, n. 5.10.1 a pag. 6683, commento all'art. 148 del disegno di legge).
3.6 La Corte ticinese si è riferita anche all'<ref-law>. La norma non è tuttavia di rilievo in questo contesto. Essa definisce l'onere della prova nelle pretese fondate sul diritto federale, con riserva di disposizioni speciali, determina quale parte sopporta le conseguenze dell'assenza di prova di un fatto e diviene pertanto inefficace quando un fatto è accertato positivamente (<ref-ruling> consid. 5.4 pag. 602; <ref-ruling> consid. 2.6 pag. 24); poco importa se per mezzo dell'apprezzamento delle prove oppure della presunzione citata.
3.7 Nella sentenza 5P.205/1995 dell'11 luglio 1995 il Tribunale federale aveva giudicato sostenibile la prassi ticinese concernente l'<ref-law> qui in discussione. Ciò era però avvenuto senza approfondimento: il tema era stato affrontato succintamente dopo che il ricorso di diritto pubblico era stato ritenuto principalmente inammissibile per motivazione insufficiente (consid. 2) e che l'esame di merito dell'applicazione dell'<ref-law>, già di per sé abbondanziale, aveva portato a costatare (sotto il profilo dell'arbitrio) che la contestazione delle pretese litigiose era avvenuta correttamente (consid. 3).
Inoltre, come annotano con pertinenza COCCHI e TREZZINI, che recensiscono anche questa sentenza (Codice di procedura civile ticinese massimato e commentato, 2000, n. 16 ad art. 184), la motivazione considerava più che altro la preclusione che interviene in forza dell'<ref-law> quando la parte convenuta non introduce l'atto di risposta; essa non è in contraddizione con quanto esposto sopra, giacché l'<ref-law> menziona espressamente il caso dell'<ref-law> tra le eccezioni alla regola secondo cui l'assunzione delle prove è limitata ai fatti contestati.
3.8 La censura d'arbitrio è pertanto fondata: la sentenza impugnata poggia su di un'applicazione arbitraria degli art. 170 cpv. 2 e 184 cpv. 2 CPC. In particolare è insostenibile nella misura in cui esige dall'attrice la prova anche di fatti che, non essendo stati contestati dalla convenuta, sono presunti ammessi e accertati.
È opportuno precisare che dare i fatti per accertati non significa ancora ammettere la domanda. L'accoglimento di una pretesa presuppone che siano adempiuti i requisiti di fatto stabiliti dalla norma sulla quale essa si fonda. È questo il significato che potrebbe avere la regola enunciata dall'autorità cantonale per la quale l'<ref-law> non esonera le parti dall'obbligo di dimostrare il ben fondato (non l'ammontare) delle proprie pretese.
4. Per l'esito della causa diviene pertanto determinante stabilire se davanti al Pretore la convenuta avesse o no contestato i fatti - cifre e calcoli - posti a fondamento della pretesa litigiosa. L'attrice sostiene di no e ritiene che la questione sia retta dal diritto federale, per analogia con l'obbligo che l'<ref-law>, oppure un precetto di diritto federale non scritto, impongono alla parte attrice. A suo dire il convenuto deve specificare le proprie contestazioni in modo tale da permettergli se del caso di precisare e provare meglio la propria pretesa.
4.1 È giusto che il diritto federale stabilisce in quale misura debbano essere sostanziati i fatti posti a fondamento di una pretesa affinché possano essere sussunti nel diritto materiale (sulla questione si veda <ref-ruling> consid. 2b pag. 368 e rif.).
La ricorrente sbaglia invece laddove afferma che le medesime regole devono valere per la parte che contesta un'allegazione dell'altra. L'onere della contestazione si situa in effetti a cavallo del diritto di procedura cantonale e del diritto materiale federale. Di principio è il diritto cantonale che ne definisce le esigenze, ma lo può fare solo entro i limiti posti dall'<ref-law>, ovvero senza sovvertire le conseguenze dell'onere probatorio dedotte da questa norma. Chi contesta una pretesa deve pertanto motivare soltanto in modo tale da permettere all'altra parte di capire quali fatti sono contestati e di fornire quindi le prove delle quali porta l'onere. A dipendenza delle circostanze specifiche possono di conseguenza bastare anche contestazioni globali, ritenuto che esigenze più severe, analoghe a quelle che deve rispettare la parte cui incombe l'onere di provare, potrebbero tutt'al più giustificarsi in una situazione di bisogno, di Beweisnot (<ref-ruling> consid. 2, 115 II 1 consid. 4; cfr. anche le sentenze 5A_710/2009 del 22 febbraio 2010, consid. 2.3.1; 5P.391/2006 del 18 dicembre 2006, consid. 3.2, e 4P.255/2004 del 17 marzo 2005, consid. 4.2).
4.2 L'adempimento dell'onere di contestazione dipende quindi prioritariamente dal diritto cantonale. Il Tribunale federale si è chinato sulle disposizioni vigenti della procedura ticinese nella già citata sentenza 4P.50/2003 del 10 luglio 2003, consid. 2. In questo caso non può farlo, perché la Corte d'appello ha lasciato la questione indecisa. La sua sentenza va di conseguenza annullata e la causa le va rinviata affinché effettui tale esame: dovrà stabilire se le contestazioni della convenuta rispettano i requisiti posti dalla procedura civile ticinese - segnatamente dagli art. 78 e 170 CPC citati dalla ricorrente - interpretata alla luce della giurisprudenza federale riassunta sopra, e trarne le debite conseguenze quanto all'accertamento dei fatti litigiosi.
5. L'accoglimento del ricorso per i motivi che precedono rende superfluo l'esame delle altre censure proposte dalla ricorrente.
Gli oneri processuali seguono la regola ordinaria della soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF); poco importa che la convenuta abbia concluso per l'inammissibilità o la reiezione del gravame senza motivare autonomamente.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso sussidiario in materia costituzionale è inammissibile.
2. Il ricorso in materia civile è accolto: la sentenza impugnata è annullata e la causa è rinviata all'autorità cantonale per nuovo giudizio nel senso dei considerandi.
3. Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico dell'opponente, la quale rifonderà alla ricorrente fr. 2'500.-- per ripetibili della sede federale.
4. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.