Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1923) ist Eigentümerin zahlreicher Grundstücke. Am 1. März 2006 unterzeichnete sie zugunsten ihres Sohnes Y._ eine Generalvollmacht und überliess diesem die Verwaltung ihres Vermögens; dem Wortlaut der Vollmacht zufolge sollte diese auch mit dem Verlust der Handlungsfähigkeit oder dem Konkurs der Vollmachtgeberin nicht erlöschen. Am 6. April 2006 erlitt X._ einen schweren Hirnschlag. Auf Antrag ihres Sohnes A._ und nachdem der Hausarzt von X._ gegenüber dem Vormundschaftssekretariat Z._ bestätigt hatte, dass sie nicht in der Lage sei, ihre Geschäfte selbständig zu erledigen, errichtete der Gemeinderat von Z._ am 11. Januar 2007 eine Vertretungs- und Verwaltungsbeistandschaft nach Art. 392 Ziff. 1 und 393 Ziff. 2 ZGB und ernannte B._, Amtsvormundschaft C._, als Beistand.
B. B.a Auf die von Y._ dagegen erhobene Verwaltungsbeschwerde trat das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern mit Entscheid vom 1. April 2008 mangels Beschwerdelegitimation nicht ein. Indessen nahm es die Rechtsschrift als Beschwerde von X._ entgegen und wies sie ab.
B.b Das Obergericht des Kantons Luzern trat mit Entscheid vom 23. Juni 2008 auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde von Y._ nicht ein und wies die ebenfalls im Namen von X._ geführte Beschwerde ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 4. September 2008 verlangt Y._ (Beschwerdeführer) für sich persönlich und im Namen von X._ (Beschwerdeführerin), es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und auf eine Beistandschaft vollständig zu verzichten, eventuell sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurück zu weisen.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.
D. Die Beschwerdeführerin hat am 24. September 2008 aufforderungsgemäss ein persönlich unterzeichnetes Exemplar der Beschwerde eingereicht.

Erwägungen:
1. 1.1 Als Entscheid auf dem Gebiet der Beistandschaft unterliegt das angefochtene Urteil der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>).
1.2 Das Recht zur Beschwerde in Zivilsachen beurteilt sich ausschliesslich nach <ref-law> und nicht nach <ref-law> (für die staatsrechtliche Beschwerde: <ref-ruling> E. 3b S. 280; <ref-ruling> E. 1 S. 44; für die Beschwerde in Zivilsachen: Urteil 5A_443/2008, vom 14. Oktober 2008 E. 2.2; Urteil 5A_493/2007 vom 20. August 2008 E. 2). Zur Beschwerde in Zivilsachen ist damit allein berechtigt, wer vor Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (<ref-law>) und über ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides verfügt (<ref-law>). Soweit sich der Beschwerdeführer gegen die Errichtung der Beistandschaft wendet, vertritt er nicht persönliche Interessen, sondern jene der Beschwerdeführerin, weshalb ihm insoweit das zur Beschwerde legitimierende rechtlich geschützte Interesse fehlt. Anders verhält sich, wenn er sich dagegen wehren will, dass ihm durch die kantonalen Instanzen die Legitimation zur Beschwerde nach <ref-law> gegen die Errichtung der Beistandschaft aberkannt worden sei. Diesbezüglich mangelt seine Eingabe indessen an einer rechtsgenügenden Begründung (<ref-law>; E. 2 hiernach), zumal er sich weder mit <ref-law> noch mit Bestimmungen des kantonalen Rechts auseinandersetzt. Auf die Eingabe des Beschwerdeführers ist nicht einzutreten.
1.3 Nachdem die Beschwerdeführerin ihre Beschwerde durch Leistung einer Unterschrift nachgebessert hat (<ref-law>), ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägungen auf die sonst frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>), ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (<ref-law>). Das bedeutet, dass in der Beschwerdeschrift auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, inwiefern der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt. Die Gesetzesartikel brauchen allerdings nicht ausdrücklich genannt zu werden, falls aus den Vorbringen hervorgeht, gegen welche Regeln des Bundesrechts die Vorinstanz verstossen haben soll (<ref-ruling> E. 3 S. 749; <ref-ruling> E. 1.4). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht (mehr) vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Allerdings wendet es das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Im Anwendungsbereich dieser Bestimmung ist die Praxis zum Rügeprinzip gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b aOG (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 120) weiterzuführen (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2.2 Sodann legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die Voraussetzungen für eine Sachverhaltsrüge nach <ref-law> und für eine Berichtigung des Sachverhalts von Amtes wegen nach <ref-law> stimmen im Wesentlichen überein. Soweit es um die Frage geht, ob der Sachverhalt willkürlich oder unter verfassungswidriger Verletzung einer kantonalen Verfahrensregel ermittelt worden ist, sind strenge Anforderungen an die Begründungspflicht der Beschwerde gerechtfertigt. Entsprechende Beanstandungen sind vergleichbar mit den in <ref-law> genannten Rügen. Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift nach den erwähnten gesetzlichen Erfordernissen darzulegen, inwiefern diese Feststellungen willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sind. Andernfalls können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von <ref-law>, die dem Richter geradezu in die Augen springen (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
3. 3.1 Die Vorinstanz begründet die Anordnung der vormundschaftlichen Massnahmen damit, dass die Kommunikationsfähigkeit der Beschwerdeführerin gegenüber Dritten aktuell nicht gegeben und es im Übrigen unangefochten sei, dass sie den bevollmächtigten Beschwerdeführer weder zu überwachen noch gegen sein Vorkehren einzuschreiten vermöge.
3. 3.1 Die Vorinstanz begründet die Anordnung der vormundschaftlichen Massnahmen damit, dass die Kommunikationsfähigkeit der Beschwerdeführerin gegenüber Dritten aktuell nicht gegeben und es im Übrigen unangefochten sei, dass sie den bevollmächtigten Beschwerdeführer weder zu überwachen noch gegen sein Vorkehren einzuschreiten vermöge.
3.2 3.2.1 Vorab behauptet die Beschwerdeführerin, sie habe sich von ihrem Schlaganfall insoweit erholt, als sie alles verstehe, was man ihr kommuniziere, und auch regelmässig Tagezeitungen lese. Eingeschränkt sei sie immer noch bei ihrer eigenen Kommunikation, doch verbessere sich diese laufend. Gegenüber dem Beschwerdeführer drücke sie sich sehr viel und klar aus. Sie ergreife auch oft selber die Initiative, um ihren Willen bzw. ihre Interessen klar und deutlich und nötigenfalls mit Nachdruck durchzusetzen.
3.2.2 Soweit die Beschwerdeführerin mit diesen Ausführungen geltend machen will, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt, weil sie in der Lage sei, den Beschwerdeführer zu überwachen und gegebenenfalls gegen seine Vorkehren einzuschreiten, begnügt sie sich mit der Behauptung eines von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalts, ohne im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leiden. Die Anforderungen an die Rügepflicht (E. 2.2) sind nicht erfüllt, weshalb insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
3.2.2 Soweit die Beschwerdeführerin mit diesen Ausführungen geltend machen will, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt, weil sie in der Lage sei, den Beschwerdeführer zu überwachen und gegebenenfalls gegen seine Vorkehren einzuschreiten, begnügt sie sich mit der Behauptung eines von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalts, ohne im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leiden. Die Anforderungen an die Rügepflicht (E. 2.2) sind nicht erfüllt, weshalb insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
3.3 3.3.1 Sodann macht die Beschwerdeführerin geltend, die Errichtung einer Beistandschaft gemäss Art. 392 und 393 ZGB setze voraus, dass die betroffene Person nicht in der Lage sei, selbst zu handeln bzw. das Vermögen selbst zu verwalten, und keinen Vertreter zu bezeichnen vermöge. Mit der Generalvollmacht vom 1. März 2006 habe sie einen Vertreter bezeichnet. Nach dem ausdrücklichen Wortlaut der Vollmacht erlösche diese mit dem Verlust ihrer Handlungsfähigkeit nicht, weshalb sie unter Berücksichtigung von <ref-ruling> weiter gelte. Die Vorinstanz negiere diese bundesgerichtliche Praxis, indem sie die Notwendigkeit einer Beistandschaft einzig davon abhängig mache, ob die vermeintlich zu verbeiständende Person einen gewillkürten Vertreter zu kontrollieren vermag.
3.3.2 Die Beschwerdeführerin irrt. Wo die Interessenwahrung wie hier nach den Feststellungen der Vorinstanz ausschliesslich bei einer bevollmächtigten Person liegt, ist eine vormundschaftliche Hilfe nur dann entbehrlich, wenn die hilfsbedürftige Vollmachtgeberin jederzeit in der Lage ist, die von ihr eingesetzte Person wenigstens grundsätzlich zu kontrollieren und zu überwachen und nötigenfalls auch zu ersetzen (dazu: <ref-ruling> E. 4.2 S. 388 f. mit zahlreichen Hinweisen). Wie die Vorinstanz in tatsächlicher Hinsicht (vgl. E. 3.2.2) bemerkt, ist eine derartige Überwachungsmöglichkeit bei der Beschwerdeführerin nicht gewährleistet. Ungenügend wäre auch eine - zwar mögliche - Kontrolle durch die Vormundschaftsbehörde, wäre doch letztere darauf angewiesen, von allfälligen Missbräuchen oder von einer Gefährdung der Interessen der Beschwerdeführerin zuerst Kenntnis zu erhalten. Selbst wenn die Vormundschaftsbehörde von Zeit zu Zeit von sich aus Abklärungen träfe, wäre dies unzureichend (vgl. Schnyder/Murer, Berner Kommentar, 3. Aufl. 1984, N. 169 zu <ref-law> sowie N. 61 zu <ref-law>).
In Anbetracht der von der Vorinstanz festgestellten tatsächlichen Gegebenheiten sind die Voraussetzungen für die Anordnung einer kombinierten Beistandschaft im Sinne von Art. 392 Ziff. 1 (Vertretungsbeistandschaft) und <ref-law> (Verwaltungsbeistandschaft) erfüllt. Es obliegt der Vormundschaftsbehörde, die Aufgaben des Beistandes festzulegen. Insbesondere ist die von der Beschwerdeführerin erteilte Vollmacht zu überprüfen (und gegebenenfalls abzuändern oder aufzuheben) und das Mandatsverhältnis zu überwachen (vgl. Urteil 5A_67/2008 vom 22. Mai 2008 E. 6, nicht publ. in: <ref-ruling>).
4. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Da keine Vernehmlassungen eingeholt worden sind, werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde des Y._ wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde der X._ wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- wird den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, als Beschwerdeinstanz nach EGZGB, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Zbinden