Faits:
A. Par décision du 20 mars 2009, l'Autorité fédérale de surveillance en matière de révision (ci-après: l'Autorité fédérale de surveillance) a accordé à X._, né en ****, l'agrément en qualité de réviseur. Le prénommé est président du conseil d'administration et directeur de la société Y._ SA, à Genève, qui a également été agréée en cette qualité en 2009, et qui exerçait la fonction d'organe de révision de la Fondation patronale de prévoyance en faveur du personnel de la Société anonyme Z._ (ci-après: la Fondation patronale).
Le 13 mars 2009, l'Autorité de surveillance des fondations et des institutions de prévoyance du canton de Genève (ci-après: l'Autorité cantonale de surveillance) a informé la Fondation patronale que, dès l'exercice 2008, elle devait nommer un nouvel organe de contrôle disposant de l'agrément en qualité d'expert-réviseur, Y._ SA n'étant pas inscrite à ce titre dans le registre des entreprises agréées par l'Autorité fédérale de surveillance.
Le 4 février 2010, Y._ SA a adressé à l'Autorité cantonale de surveillance le rapport de révision relatif à l'exercice 2008 de la Fondation patronale, daté du 12 juin 2009 et signé par X._ en qualité de réviseur responsable. A la suite de ce courrier, l'Autorité cantonale de surveillance est intervenue à nouveau auprès de la Fondation patronale, en date du 15 février 2010, pour l'inviter à lui remettre un nouveau rapport établi par un organe de révision agréé comme expert-réviseur.
Informée de ces faits, l'Autorité fédérale de surveillance, par décision du 15 février 2011, a prononcé, pour la durée d'un an, le retrait de l'agrément de X._ en qualité de réviseur et sa radiation du registre des réviseurs, au motif que la violation des dispositions légales régissant la profession de l'intéressé ne permettait plus de considérer que celui-ci jouissait d'une réputation irréprochable.
B. Saisi d'un recours à l'encontre de cette décision, le Tribunal administratif fédéral l'a rejeté, par arrêt du 24 octobre 2012. Il a retenu, en substance, que X._ n'avait pas respecté les normes légales régissant l'exercice de sa profession, que ce manquement était incompatible avec la garantie d'une activité de révision irréprochable, qu'il avait violé l'art. 40 al. 1 let. a de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur l'agrément et la surveillance des réviseurs (LSR; RS 221.302) prévoyant des sanctions pénales et que la mesure contestée ne violait ni la garantie constitutionnelle de la liberté économique ni le principe de la proportionnalité.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre d'accorder l'effet suspensif au recours, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 24 octobre 2012. Il se plaint d'une interprétation insoutenable de la notion de réputation irréprochable au sens des art. 4 et 5 LSR et soutient que le retrait de l'agrément qui lui a été notifié heurte le principe de proportionnalité.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à prendre position sur le recours. L'Autorité fédérale de surveillance conclut à son rejet.
Par ordonnance du 10 janvier 2013, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 43; <ref-ruling> consid. 1 p. 103).
1.1 L'arrêt attaqué est fondé sur la LSR et son ordonnance d'application du 22 août 2007 (ordonnance sur la surveillance de la révision, OSRev; RS 221.302.3). Ces textes régissent l'agrément et la surveillance des professionnels fournissant leurs prestations dans le domaine de la révision; ils relèvent donc du droit public au sens de l'<ref-law>.
Selon l'art. 83 let. t LTF, le recours en matière de droit public n'est pas recevable contre les décisions sur le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, notamment en matière de scolarité obligatoire, de formation ultérieure ou d'exercice d'une profession. Cette disposition vise non seulement le résultat d'examens au sens étroit, mais encore toutes les évaluations de capacités qui reposent sur une appréciation des aptitudes intellectuelles ou physiques du candidat (<ref-ruling> consid. 1 p. 231; <ref-ruling> consid. 1.1.1 p. 63; arrêt 2C_120/2010 du 16 décembre 2010 consid. 1.1.1 non publié aux <ref-ruling>). En l'occurrence, l'arrêt entrepris confirme le retrait de l'agrément du recourant en qualité de réviseur, pour le motif que celui-ci ne jouit plus d'une réputation irréprochable au sens de l'<ref-law>. Ce jugement ne repose donc pas sur une évaluation des capacités du recourant, de sorte que la clause d'exclusion de l'art. 83 let. t LTF ne trouve pas application (cf. arrêts 2C_927/2011 du 8 mai 2012 consid. 1.1; 2C_655/2009 du 23 mars 2010 consid. 1).
1.2 Au surplus, déposé en temps utile (cf. <ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (cf. <ref-law>) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (cf. <ref-law>), le présent recours, dirigé contre une décision du Tribunal administratif fédéral (cf. <ref-law>), est en principe recevable.
2. Saisi d'un recours en matière de droit public, Le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergeant de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 288). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (ATF <ref-ruling> consid. 3 p. 104; <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322).
3. 3.1 Entrée en vigueur le 1er septembre 2007, la LSR règle l'agrément et la surveillance des personnes qui fournissent des prestations en matière de révision; elle vise à garantir une exécution régulière et la qualité des prestations en matière de révision (art. 1 al. 1 et 2 LSR). Les personnes physiques peuvent requérir de l'Autorité fédérale de surveillance deux types d'agréments, à savoir celui d'expert-réviseur (<ref-law>) et celui de réviseur (<ref-law>). Elles doivent satisfaire à un certain nombre d'exigences sur le plan de la formation et de la pratique professionnelle et, dans les deux cas, jouir d'une réputation irréprochable (art. 4 al. 1 et art. 5 al. 1 let. a LSR). L'<ref-law> précise qu'aucune circonstance personnelle ne doit indiquer que le requérant à l'agrément n'offre pas toutes les garanties d'une activité de révision irréprochable. Selon l'alinéa 2 de cette disposition, sont notamment à prendre en considération les condamnations pénales dont l'inscription au casier judiciaire central n'a pas été éliminée (let. a dans sa teneur en vigueur jusqu'au 30 novembre 2012) et l'existence d'actes de défauts de biens (let. b). D'après l'<ref-law>, lorsqu'un réviseur ou un expert-réviseur ne remplit plus les conditions d'agrément visées aux art. 4 à 6 LSR, l'Autorité fédérale de surveillance peut le lui retirer pour une durée déterminée ou indéterminée.
3.2 La réputation irréprochable est une notion juridique indéterminée qui doit être interprétée au regard des tâches spécifiques de l'organe de révision et à la lumière des dispositions correspondantes figurant dans la législation sur la surveillance des marchés financiers, ainsi que selon la jurisprudence développée à ce propos (cf. arrêts 2C_927/2011 précité consid. 3.2.1; 2C_505/2010 du 7 avril 2011 consid. 4.2 et 2C_834/2010 du 11 mars 2011 consid. 3.2). Son examen doit prendre en compte non seulement les qualités spécifiques à la profession de réviseur, telles que l'intégrité, la droiture, la probité, la diligence, le comportement correct en affaires, le respect de l'ordre juridique et l'observation du principe de la bonne foi (cf. arrêt 2C_834/2010 précité consid. 3.2), mais également certaines facettes de la personnalité dignes de susciter le respect, la considération, l'estime et la confiance.
3.2 La réputation irréprochable est une notion juridique indéterminée qui doit être interprétée au regard des tâches spécifiques de l'organe de révision et à la lumière des dispositions correspondantes figurant dans la législation sur la surveillance des marchés financiers, ainsi que selon la jurisprudence développée à ce propos (cf. arrêts 2C_927/2011 précité consid. 3.2.1; 2C_505/2010 du 7 avril 2011 consid. 4.2 et 2C_834/2010 du 11 mars 2011 consid. 3.2). Son examen doit prendre en compte non seulement les qualités spécifiques à la profession de réviseur, telles que l'intégrité, la droiture, la probité, la diligence, le comportement correct en affaires, le respect de l'ordre juridique et l'observation du principe de la bonne foi (cf. arrêt 2C_834/2010 précité consid. 3.2), mais également certaines facettes de la personnalité dignes de susciter le respect, la considération, l'estime et la confiance.
3.3 3.3.1 Aux termes de son art. 5 al. 2, la loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle, vieillesse, survivants et invalidité (LPP; RS 831.40) s'applique aux institutions de prévoyance enregistrées au sens de l'art. 48.
En vertu de l'<ref-law> dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2011, l'institution de prévoyance devait désigner un organe de contrôle qui vérifie chaque année la gestion, les comptes et les placements. Chargé de fixer les conditions auxquelles devait satisfaire cet organe (ancien <ref-law>), le Conseil fédéral a prescrit l'obligation pour l'organe de révision de disposer de l'agrément en tant qu'expert-réviseur au sens de la LSR (art. 33 al. 1, en vigueur du 1er janvier 2008 au 31 décembre 2011, de l'ordonnance du 18 avril 1984 sur la prévoyance professionnelle, vieillesse, survivants et invalidité [OPP2; RS 831.441.1]).
L'<ref-law> soumet les fondations de prévoyance en faveur du personnel dont l'activité s'étend au domaine de la prévoyance vieillesse, survivants et invalidité - indépendamment de leur enregistrement au sens de l'<ref-law> - aux dispositions de la LPP qui sont citées aux chiffres 1 à 23. Selon l'<ref-ruling>, une application par analogie de l'<ref-law> aux fonds patronaux de bienfaisance n'est pas envisageable de manière globale, mais bien pour certaines des dispositions énumérées (consid. 4.5 p. 354 s.). Tel est le cas notamment des règles sur l'agrément et les tâches des organes de contrôle, auxquelles le chiffre 7 de l'<ref-law> renvoie; le Tribunal fédéral a toutefois expressément laissée ouverte la question de l'étendue matérielle de la surveillance et du contrôle de ce genre d'institutions (consid. 4.6 p. 355). Au regard de cette jurisprudence, il n'est donc pas certain que l'ancien art. 33 al. 1 OPP2 s'appliquait aux fonds patronaux de bienfaisance.
3.3.2 En l'occurrence, le nom et le but de la Fondation patronale peuvent donner à penser qu'il s'agit d'un fonds patronal de bienfaisance, auquel l'ancien art. 33 al. 1 OPP2 n'était pas nécessairement applicable, comme cela vient d'être dit. L'autorité précédente a toutefois retenu que ladite fondation était inscrite au registre de la prévoyance professionnelle du canton de Genève (arrêt attaqué, consid. 3.2) et le recourant ne conteste nullement cette constatation de fait qui lie le Tribunal de céans (cf. consid. 2 ci-dessus). Il y a ainsi lieu d'admettre qu'en tant qu'institution enregistrée, la Fondation patronale était soumise à la LPP et qu'en vertu de l'ancien art. 33 al. 1 OPP2, le rapport de révision de ses comptes pour l'exercice 2008 devait être établi par un expert-réviseur. Or, le recourant, qui a signé ce rapport le 12 juin 2009 en qualité de réviseur responsable, n'avait reçu l'agrément qu'en tant que réviseur. L'Autorité fédérale de surveillance en a déduit qu'en ne respectant pas les normes de la LPP et de ses dispositions d'application, le recourant avait violé son devoir de diligence en tant que réviseur et n'offrait plus la garantie d'une réputation irréprochable.
4. A l'encontre de cette appréciation, le recourant fait valoir qu'il avait agi avec la conviction erronée que la Fondation patronale, compte tenu de ses caractéristiques, n'était pas soumise à l'obligation de faire réviser ses comptes par un expert-réviseur, qu'il s'agissait d'un manquement unique n'ayant entraîné aucun préjudice, que le nouvel organe de révision désigné était parvenu aux mêmes conclusions que lui, que son erreur était sans commune mesure avec une condamnation pénale ou la délivrance d'un acte de défaut de biens et que la sanction prononcée à son encontre violait le principe de proportionnalité et portait atteinte à sa liberté économique.
4.1 Le recourant relève que l'activité de la Fondation patronale ne s'étend pas au domaine de la prévoyance obligatoire, que celle-ci ne compte plus d'assurés, qu'elle ne concerne plus qu'une personne et que la gestion de son patrimoine est confiée à une banque privée de Genève de premier ordre. Il en déduit que, pour ce type de fondation, le respect des exigences légales en matière de révision n'impose pas le recours à des personnes physiques ou morales au bénéfice de compétences particulières.
Comme l'autorité précédente l'a retenu pertinemment, la Fondation patronale était tenue, en vertu de l'<ref-law>, de se soumettre aux dispositions légales relatives à l'organe de révision, dès lors qu'elle était inscrite au registre de la prévoyance professionnelle du canton de Genève. L'art. 33 al. 1 OPP2 dans sa teneur en vigueur en 2008 était clair et ne laissait aucune place à l'interprétation, de sorte que le recourant ne saurait se prévaloir d'une erreur de droit ou d'une erreur d'appréciation. L'argumentation du recourant est d'autant moins convaincante que Y._ SA avait été informée par l'envoi d'une copie du courrier adressé le 13 mars 2009 à la Fondation patronale par l'Autorité cantonale de surveillance, de l'obligation de nommer, dès l'exercice 2008, un organe de contrôle disposant de l'agrément en qualité d'expert-réviseur. Au demeurant, il n'appartenait pas au recourant de décider que cet agrément n'était pas nécessaire pour une institution du type de la Fondation patronale.
4.2 Le fait que l'organe de révision agréé ayant succédé à Y._ SA soit parvenu aux mêmes conclusions que le recourant, au terme de son rapport pour l'exercice 2008, n'est pas décisif. En effet, le rapport de révision lui-même est établi sur la base de modèles standardisés et ne permet pas de juger du travail effectué au préalable. En outre, si le manquement reproché au recourant est unique, on peut se demander si cette circonstance n'est pas due à l'intervention de l'Autorité cantonale de surveillance. En effet, le recourant n'hésite pas, dans son argumentation, à remettre implicitement en cause la nécessité de la révision des comptes des fondations de prévoyance enregistrées par un expert-réviseur.
4.3 Lorsqu'il soutient que le manquement qui lui est reproché est sans commune mesure avec une condamnation pénale, le recourant omet de prendre en considération la disposition de l'<ref-law>, selon laquelle quiconque fournit une prestation en matière de révision sans l'agrément requis est puni d'une peine privative de liberté de trois ans au plus ou d'une peine pécuniaire et celle de l'<ref-law> prévoyant une amende de 100'000 fr. au plus en cas de simple négligence. Selon la doctrine, l'<ref-law> ne vise pas uniquement les cas de révision sans agrément aucun, mais également ceux dans lesquels la personne concernée bénéficie bien d'un agrément, mais pas de celui prescrit par la loi pour effectuer une tâche déterminée; il en va ainsi notamment lorsque des réviseurs exercent des fonctions réservées à des experts-réviseurs (RASHID BAHAR, in Basler Kommentar, Revisionsrecht, 2011, no 5 ad <ref-law>).
En l'espèce, le dossier ne contient pas d'indications quant à l'existence éventuelle d'une procédure pénale. Selon la jurisprudence, l'absence d'une condamnation pénale inscrite au casier judiciaire n'empêche pas de considérer que la violation de l'<ref-law> conduit à une appréciation négative de la réputation d'un réviseur (cf. arrêt 2C_505/2010 précité consid. 4.4). Un comportement passible des sanctions de l'<ref-law> exclut donc la reconnaissance d'une réputation irréprochable.
4.4 Le recourant soutient également que l'arrêt attaqué ne respecte pas le principe de proportionnalité ancré à l'art. 36 al. 3 Cst. en ce sens que l'erreur commise ne justifie pas la mesure ordonnée par l'Autorité fédérale de surveillance, qui entraînerait pour lui des conséquences financières extrêmement sévères et porterait atteinte à sa liberté économique.
Pour être conforme au principe de la proportionnalité énoncé à l'art. 36 al. 3 Cst., une restriction d'un droit fondamental, en l'espèce la liberté économique, doit être apte à atteindre le but visé, ce qui ne peut être obtenu par une mesure moins incisive; il faut en outre qu'il existe un rapport raisonnable entre les effets de la mesure sur la situation de la personne visée et le résultat escompté du point de vue de l'intérêt public (<ref-ruling> consid. 3.6 p. 175 s.; <ref-ruling> consid. 4.4.4 p. 205). L'arrêt entrepris expose de manière détaillée et convaincante, à son considérant 5, les motifs pour lesquels la mesure prononcée par l'Autorité fédérale de surveillance ne s'avère pas disproportionnée et ne représente pas une restriction inadmissible de la liberté économique du recourant. On peut ainsi s'y référer. Le recourant n'articule d'ailleurs aucun moyen susceptible de remettre en cause l'argumentation du Tribunal administratif fédéral. Il se contente d'alléguer, sans en fournir la moindre preuve, le risque de conséquences financières très sérieuses. Pourtant, pendant la période d'une année où l'agrément lui est retiré, le recourant conserve la faculté de fournir certaines prestations de révision, soit celles qui ne sont pas réservées par la loi aux experts-réviseurs ou aux réviseurs. En outre, il peut librement poursuivre toutes les activités liées au but social de Y._ SA, soit la tenue de comptabilités, les expertises, les évaluations d'entreprises, la gestion et l'administration de sociétés, l'exercice de tous mandats fiduciaires et le traitement électronique de la fiscalité. Pour le surplus, le retrait de l'agrément de réviseur pour une période inférieure à un an n'est guère concevable, dès lors que la révision des comptes est annuelle et qu'un avertissement n'est prévu par la LSR que pour les personnes travaillant pour le compte d'une entreprise de révision soumise à la surveillance de l'Etat (<ref-law>).
Le grief tiré de la violation du principe de la proportionnalité et de la liberté économique est ainsi mal fondé.
5. Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (cf. art. 65 et 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (cf. <ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Autorité fédérale de surveillance en matière de révision et au Tribunal administratif fédéral, Cour II.
Lausanne, le 29 mai 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Vianin