Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Baden verurteilte X._ am 10. August 2010 wegen versuchter vorsätzlicher Tötung und mehrfacher Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Freiheitsstrafe von 4 1⁄2 Jahren sowie einer Busse von Fr. 300.--. Es ordnete eine Massnahme für junge Erwachsene nach <ref-law> an und schob den Vollzug der Freiheitsstrafe zugunsten der Massnahme auf.
Das Obergericht des Kantons Aargau wies die Berufung von X._ am 16. Juni 2011 ab. Seine Beschwerde blieb auch vor Bundesgericht ohne Erfolg (6B_572/2011 vom 20. Dezember 2011).
B.
Auf Empfehlung des Departements Volkswirtschaft und Inneres, Amt für Justizvollzug, beantragte die Staatsanwaltschaft Baden dem Bezirksgericht Baden am 7. März 2013, die stationäre Massnahme für junge Erwachsene (<ref-law>) aufzuheben und eine stationäre therapeutische Massnahme zur Behandlung von psychischen Störungen (<ref-law>) anzuordnen.
Das Bezirksgericht Baden wandelte am 21. Mai 2013 die Massnahme für junge Erwachsene in eine Massnahme nach <ref-law> um.
Dagegen erhob X._ am 30. Mai 2013 Berufung. Ferner ersuchte er am 12. Juli 2013 um Bewilligung des vorzeitigen Massnahmenantritts, welche ihm am 16. September 2013 vom Obergericht des Kantons Aargau gewährt wurde.
Das Obergericht hiess die Berufung von X._ am 21. November 2013 teilweise gut und ordnete die Weiterführung der Massnahme für junge Erwachsene gemäss <ref-law> an.
C.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, das angefochtene Urteil und die Massnahme für junge Erwachsene nach <ref-law> seien aufzuheben, und eine stationäre therapeutische Massnahme zur Behandlung von psychischen Störungen gemäss <ref-law> sei anzuordnen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Auf das Gesuch, X._ superprovisorisch in Sicherheitshaft zu versetzen, trat das Bundesgericht am 17. Januar 2014 mangels Zuständigkeit nicht ein.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den massgeblichen Sachverhalt, insbesondere die Kernaussagen der Risikobeurteilung der Psychiatrischen Dienste Aargau AG (nachfolgend PDAG) vom 20. Februar 2012 und des Gutachtens von Dr. med. A._ vom 13. Februar 2013, offensichtlich unrichtig festgestellt und <ref-law> verletzt. Es ergäben sich entgegen den vorinstanzlichen Ausführungen klare Hinweise, dass das Massnahmeziel wesentlich besser mit einer Massnahme nach <ref-law> erreicht werden könne.
1.1. Die Vorinstanz erwägt, der Massnahmenvollzug des Beschwerdegegners sei bisher nicht reibungslos verlaufen. Er sei bezüglich seines Drogen- und Alkoholkonsums mehrfach rückfällig geworden, aus der Massnahmeneinrichtung geflüchtet und habe mehrmals zur Krisenintervention infolge Selbst- und Fremdgefährdung in die psychiatrische Klinik Königsfelden eingewiesen werden müssen. Die Risikobeurteilung der PDAG und das psychiatrische Gutachten von Dr. med. A._ stimmten überein, dass das Massnahmeziel der Resozialisierung noch nicht erreicht worden sei und sich die Weiterführung der Massnahme aufdränge. Jedoch ergebe sich weder aus der Risikoeinschätzung noch dem Gutachten, dass sich mit einer Massnahme gemäss <ref-law> der Gefahr weiterer mit dem Zustand des Beschwerdegegners zusammenhängender Taten offensichtlich besser begegnen lasse. Während in der Risikobeurteilung festgestellt worden sei, mit der Massnahme für junge Erwachsene sei der richtige Weg eingeschlagen worden und sie bedürfe keiner groben Modifikation, würden im Gutachten vier verschiedene diskutable Wege aufgezeigt, ohne einen zu favorisieren. Einzig bezüglich der Verlegung in eine betreute Wohngemeinschaft werde ausgeführt, diese Variante entspräche der Bedürfnislage des Beschwerdegegners möglicherweise am besten. Ein solches Wohn- und Arbeitsexternat sei jedoch kaum mehr auf der Basis von <ref-law> durchführbar. Die Vorinstanz gelangt zum Schluss, dass die Voraussetzungen zur Umwandlung der Massnahme für junge Erwachsene gemäss <ref-law> in eine solche nach <ref-law> nicht vorliegen (Urteil S. 9 f. Ziff. 2.3.4).
1.2. Die Massnahme nach Art. 59 bis 61 StGB wird gemäss <ref-law> aufgehoben, wenn deren Durch- oder Fortführung als aussichtslos erscheint (lit. a), die Höchstdauer nach den Artikeln 60 und 61 erreicht wurde und die Voraussetzungen für die bedingte Entlassung nicht eingetreten sind (lit. b) oder eine geeignete Einrichtung nicht oder nicht mehr existiert (lit. c). Ist der mit der Massnahme verbundene Freiheitsentzug kürzer als die aufgeschobene Freiheitsstrafe, so wird die Reststrafe vollzogen (<ref-law>). Anstelle des Strafvollzugs kann das Gericht eine andere Massnahme anordnen, wenn zu erwarten ist, dadurch lasse sich der Gefahr weiterer mit dem Zustand des Täters in Zusammenhang stehender Verbrechen und Vergehen begegnen (<ref-law>). Das Gericht kann ferner eine stationäre therapeutische Massnahme vor oder während ihres Vollzugs aufheben und an deren Stelle eine andere stationäre therapeutische Massnahme anordnen, wenn zu erwarten ist, mit der neuen Massnahme lasse sich der Gefahr weiterer mit dem Zustand des Täters in Zusammenhang stehender Verbrechen und Vergehen offensichtlich besser begegnen (<ref-law>).
1.3. Die verschiedenen Massnahmen nach <ref-law> stehen in einem systematischen Zusammenhang und sind wechselseitig austauschbar. Damit wird dem Bedürfnis nach Flexibilität im Massnahmenrecht Rechnung getragen. Das Gericht kann deshalb im Einzelfall auf den ursprünglichen Entscheid zurückkommen und - anstelle des Strafvollzugs - eine als aussichtslos erscheinende stationäre Massnahme durch eine voraussichtlich geeignete therapeutische Behandlung ersetzen (<ref-law>) oder von einer weniger aussichtsreichen zu einer besser geeigneten stationären Massnahme wechseln (<ref-law>; siehe Urteil 6B_81/2011 vom 16. Mai 2011 E. 3.2).
1.4. Die Beschwerdeführerin stützt ihren Antrag auf Umwandlung der Massnahme für junge Erwachsene gemäss <ref-law> in eine stationäre therapeutische Massnahme im Sinne von <ref-law> auf <ref-law>. Der Wechsel muss offensichtlich besser im Interesse der Deliktsprävention sein ( MARIANNE HEER, in: Basler Kommentar, Strafrecht I, 3. Aufl. 2013, N. 39 zu <ref-law>).
1.5. Der Gutachter Dr. med. A._ führt aus, angesichts der nach wie vor bestehenden emotionalen Instabilität und Impulsivität der Persönlichkeitsstruktur des Beschwerdegegners und der diversen Reifungsdefizite bestehe noch immer ein Behandlungsbedarf, sowohl in psychologisch-pädagogischer Hinsicht wie auch bezüglich berufsbildnerischer Massnahmen. Eine Fortsetzung der Resozialisierungsmassnahmen sei sowohl auf der Basis von Art. 59 oder auch <ref-law> vorstellbar. Es kämen mehrere Einrichtungen infrage, wobei eine Umwandlung der Massnahme nicht in jedem Fall unumgänglich sei. Im Massnahmenzentrum Arxhof würden die Entwicklungsbedürfnisse des Beschwerdegegners klar in den Vordergrund gestellt, während in einer Massnahmenvollzugseinrichtung der Sicherheitsaspekt Priorität habe. Zudem sei die Versetzung in ein Massnahmenzentrum mit geschlossenem Bereich möglich, wofür die Massnahme umgewandelt werden müsste. Die letzte Variante, welche eventuell der Bedürfnislage des Beschwerdegegners am meisten entspräche, wäre eine Verlegung in eine betreute Wohngemeinschaft, beispielsweise das Gärtnerhaus in Meisterschwanden. Ein solches Wohn- und Arbeitsexternat sei seines Erachtens kaum mehr auf der Basis von <ref-law> durchführbar (Gutachten S. 44 f.).
1.6. Die Vorinstanz verfällt nicht in Willkür, wenn sie das Gutachten von Dr. med. A._ dahin gehend interpretiert, dass dieser nicht der Ansicht ist, die stationäre therapeutische Massnahme gemäss <ref-law> sei offensichtlich besser geeignet, um der Gefahr weiterer mit dem Zustand des Beschwerdegegners in Zusammenhang stehender Verbrechen und Vergehen zu begegnen, als eine Massnahme für junge Erwachsene nach <ref-law>. Sie verkennt nicht, dass die Verlegung in eine betreute Wohngemeinschaft den Bedürfnissen des Beschwerdegegners möglicherweise am besten entspräche, dies nach Dafürhalten des Gutachters jedoch kaum auf der Basis von <ref-law> durchführbar wäre. Dabei handelt es sich jedoch um eine Vollzugsfrage. Die vorinstanzliche Auffassung, weder der Risikobeurteilung des PDAG noch dem Gutachten sei zu entnehmen, dass eine Massnahme nach <ref-law> offensichtlich besser geeignet sei, ist nicht willkürlich.
1.7. Die Beschwerdeführerin begründet ihre Beschwerde weitgehend damit, dass die Massnahme für junge Erwachsene am 18. Januar 2014 mutmasslich die Höchstdauer erreiche (resp. erreicht habe) und der Beschwerdegegner ohne schützendes soziales Umfeld, insbesondere ohne Arbeits- bzw. Ausbildungsstelle in Freiheit entlassen werden müsste. Diese Situation erhöhe gemäss Gutachter das Rückfallrisiko erheblich.
Die Vorinstanz führt zu Recht aus, der Umstand, dass das Massnahmeziel bis zum Zeitablauf der Massnahme für junge Erwachsene möglicherweise nicht erreicht werden könne, lasse eine Massnahme nach <ref-law> nicht als offensichtlich besser geeignet erscheinen (Urteil S. 10 Ziff. 2.3.5). Nach Ablauf der Höchstdauer von vier Jahren (<ref-law>) wird die Vollzugsbehörde zu prüfen haben, ob der Beschwerdegegner das Massnahmeziel erreicht hat und bedingt entlassen werden kann (vgl. <ref-law>). Gelangt sie zur gegenteiligen Auffassung, hat sie die Massnahme für junge Erwachsene gemäss <ref-law> aufzuheben (<ref-law>). Die Massnahme gilt als gescheitert (siehe Marianne Heer, a.a.O., N. 22 f. zu <ref-law>). Erweist sich der Beschwerdegegner zu diesem Zeitpunkt immer noch als massnahmebedürftig und massnahmefähig kann die Vollzugsbehörde dem Gericht beantragen, eine andere Massnahme anzuordnen (<ref-law>). Dieses hat zu prüfen, ob die Voraussetzungen für eine andere therapeutische Massnahme erfüllt sind (zum Ganzen Marianne Heer, a.a.O., N. 39 ff. zu <ref-law>).
Der Einwand der Beschwerdeführerin geht fehl, nach Ablauf der Höchstdauer der Massnahme für junge Erwachsene könne keine stationäre therapeutische Massnahme im Sinne von <ref-law> angeordnet werden, da keine Reststrafe mehr zu vollziehen sein werde. Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung kann eine stationäre therapeutische Massnahme nach <ref-law> in klaren Ausnahmefällen und unter strenger Berücksichtigung des Verhältnismässigkeitsgebots auch nach vollständiger Verbüssung der Strafe angeordnet werden (Urteil 6B_705/2013 vom 10. Dezember 2013 E. 4.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 4.1; siehe zum alten Recht Urteil 6P.110/2005 vom 20. Dezember 2005 E. 4.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.3.2 und Urteil 6S.265/2003 vom 21. November 2003 E. 4).
1.8. Dem Gutachten lässt sich entnehmen, dass der Aufenthalt in einem Wohn- und Arbeitsexternat wie dem Gärtnerhaus in Meisterschwanden für den Beschwerdegegner möglicherweise am besten geeignet sei. Die konkrete Anstaltsauswahl im Einzelfall fällt in die Zuständigkeit der Vollzugsbehörden und nicht in diejenige der Gerichte. Die zuständige Behörde des Justizvollzugs des Kantons wird deshalb zu entscheiden haben, ob der Beschwerdegegner die Massnahme für junge Erwachsene gemäss <ref-law> im Gärtnerhaus in Meisterschwanden absolvieren kann.
2.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. Abs. 4 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen, da dem Beschwerdegegner keine Kosten der Rechtsvertretung erwachsen sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Februar 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Andres