Faits:
A. Par décision du 9 février 2007, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a rejeté la demande de rente introduite par N._, au motif que l'assuré conservait une capacité de travail entière dans son activité d'informaticien.
B. Le prénommé a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui : Tribunal cantonal, Cour de assurances sociales), en concluant au versement d'une rente entière d'invalidité. Dans un premier temps, l'office AI a conclu au rejet du recours (lettre du 22 janvier 2008).
La juridiction cantonale a ordonné la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique qu'elle a confiée au docteur F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport du 17 avril 2009, l'expert a posé les diagnostics de dysthymie (F34.1) et de trouble dépressif majeur (F32.1), dont l'état actuel peut être qualifié de moyen. Selon le docteur F._, ces affections entraînent une incapacité de travail de 50 % au maximum sur le plan psychiatrique; l'expert propose de retenir la date du 1er janvier 2007 comme début de l'incapacité de travail, l'assuré ne présentant pas d'incapacité significative auparavant. A son avis, des mesures professionnelles n'ont guère de sens, mais une aide au placement pourrait être utile si l'assuré en faisait la demande.
Le SMR a jugé l'expertise convaincante (avis du 6 mai 2009). Par lettre du 19 mai 2009 adressée au Tribunal cantonal, l'office AI a proposé d'admettre le recours en ce sens qu'il reconnaissait à l'assuré le droit à une demi-rente dès le 1er janvier 2008. Ce dernier a maintenu ses conclusions tendant au versement d'une rente entière.
Par jugement du 5 février 2010, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours, et réformé la décision attaquée en ce sens que l'assuré a été mis au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 50 % à partir du 1er janvier 2008.
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut à la confirmation de sa décision du 9 février 2007, le dossier lui étant renvoyé pour nouvelle décision concernant la période postérieure au 9 février 2007.
L'intimé et l'Office fédéral des assurances sociales n'ont pas été invités à se déterminer.

Considérant en droit:
1. A l'appui de ses conclusions, l'office recourant rappelle que de jurisprudence constante, le juge des assurances sociales apprécie la légalité des décisions attaquées d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue. Les faits survenus postérieurement et ayant modifié cette situation doivent faire l'objet d'une nouvelle décision administrative (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 243, 121 V 362 consid. 1b p. 366; arrêt 9C_537/2009 du 1er mars 2010 consid. 3.2).
En l'espèce, le recourant reproche aux premiers juges d'avoir statué sur le droit de l'intimé à des prestations dès le 1er janvier 2008, soit à partir d'une date postérieure à celle de la décision litigieuse du 9 février 2007. Le procédé étant contraire au droit, il demande l'annulation du jugement du 5 février 2010 et la confirmation de sa décision du 9 février 2007.
2. D'après l'art. 89 al. 1 let. c LTF, a qualité pour former un recours en matière de droit public quiconque a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée. Dès lors que la juridiction cantonale de recours a accordé à l'assuré exactement ce que l'office AI a reconnu lui devoir dans ses propositions du 19 mai 2009, c'est-à-dire une demi-rente d'invalidité à compter du 1er janvier 2008, le recourant n'a plus d'intérêt digne de protection à contester la solution adoptée par le tribunal cantonal, même si cette autorité n'était pas liée par les conclusions des parties (art. 61 let. d LGPA; arrêt 9C_476/2009 du 7 décembre 2009 consid. 1.2). Le recours, irrecevable, sera dès lors liquidé selon la procédure simplifiée prévue par l'art. 108 al. 1 let. a LTF.
3. Par surabondance de droit, il se justifie d'apporter la précision suivante. Bien que le juge des assurances sociales apprécie en principe la légalité des décisions attaquées d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue, ainsi que le recourant l'a rappelé (cf. consid. 1 supra), les faits survenus postérieurement à la décision du 9 février 2007 doivent néanmoins être pris en considération car ils sont étroitement liés à l'objet du litige et sont de nature à influencer l'appréciation du juge au moment où la décision attaquée a été rendue (<ref-ruling> et les arrêts cités). En effet, dans son rapport d'expertise du 17 avril 2009, l'expert F._ (qui a examiné l'intimé les 27 mars et 3 avril 2009) a abordé la question de la capacité de travail de l'intimé aussi bien pour la période antérieure à la décision du 9 février 2007 que pour la période postérieure à celle-ci. L'office recourant a eu la possibilité de se prononcer sur les conclusions du docteur F._ en pleine connaissance de cause et son droit d'être entendu a été entièrement respecté. Il s'ensuit que la cause se trouvait en état d'être jugée au moment où les juges cantonaux ont statué, d'autant que l'office recourant, qui n'avait ni requis la mise en oeuvre d'investigations complémentaires ni remis en question l'appréciation du docteur F._ quant à l'étendue de la capacité résiduelle de travail de l'intimé dans sa profession (50 %), s'est fondé sur une expertise psychiatrique qui remplit toutes les conditions relatives à la force probante de tels documents, comme le SMR l'a admis.
4. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Président prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, à l'Office fédéral des assurances sociales et à la Caisse cantonale vaudoise de compensation AVS.
Lucerne, le 31 mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud