Art. 4 aBV (Submission), hat sich ergeben:
A.- Der Verein Z._ schrieb im Juni 1998 im Rahmen der Sanierung seines Krankenheims in Langnau unter anderem die Sanierungsarbeiten für die Aufzüge aus (Auftrag 261). Von zehn Firmen, die ein Leistungsverzeichnis erhalten hatten, gingen drei Offerten ein. Gemäss Eröffnungsprotokoll vom 4. Juli 1998 betrug das Angebot der X._ Fr. 507'693. 50, jenes der Y._ Fr. 238'545. 75; das dritte Angebot war das höchste und schied aus.
Auf Grund der sehr grossen Preisdifferenz beauftragte die Bauherrschaft zunächst die Fachinspektorat für Aufzüge AG, Schaffhausen (im Folgenden: Gutachterfirma), die beiden Angebote zu vergleichen und zu beurteilen. Die Gutachterfirma stellte in ihrem Bericht vom 15. September 1998 fest, der Lieferumfang und die Preise seien nicht vergleichbar. Der Leistungsumfang der Offerte X._ sei wesentlich grösser; er entspreche nach dem Umbau der Situation "neuwertig", während jener der Offerte Y._ zum Stand "momentan updated" führen würde. Um Vergleichbarkeit zu erhalten, müsse mit beiden Anbietern der Leistungsumfang detailliert durchgesprochen und definiert werden; zumindest aber müsse die Offerte Y._ bezüglich des Leistungsumfangs erweitert und klarer umschrieben werden. Unter dem Aspekt, dass nach dem Umbau die Anlagen neuwertig seien und somit in den nächsten 20-25 Jahren keine wesentlichen Kosten entstehen sollten, sei der Sanierungsumfang gemäss Offerte X._ richtig. Gestützt auf diesen Expertenbericht verlangte die Bauherrschaft von der Y._, ihr Angebot entsprechend dem erweiterten Leistungsumfang, d.h. jenem der Offerte X._, zu überarbeiten. Die Y._ reichte daraufhin ein neues Angebot ein, das sich auf Fr. 353'599. 50 belief. Am 11. November 1998 erteilte die Baukommission des Vereins Z._ dem neuen Angebot der Y._ den Zuschlag. Eine gegen diese Verfügung erhobene Einsprache der X._ wies sie am 25. Januar 1999 ab.
B.- Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies mit Urteil vom 3. Mai 1999 eine gegen den Einspracheentscheid gerichtete Beschwerde der X._ ab.
C.-Die X._ hat staatsrechtliche Beschwerde erhoben mit den Rechtsbegehren, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Rechtswidrigkeit des Vergabeentscheids vom 11. November 1998 festzustellen. Sie rügt eine Verletzung des Willkürverbots, des Rechtsgleichheitsgebots sowie des Grundsatzes von Treu und Glauben (Art. 4 aBV, Art. 10 und 11 der bernischen Kantonsverfassung).
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, der Verein Z._ sowie die Y._ beantragen, die Beschwerde abzuweisen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Das angefochtene Urteil des bernischen Verwaltungsgerichts ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (vgl. Art. 21c Abs. 1 zweiter Satz der hier noch anwendbaren bernischen Submissionsverordnung vom 23. Dezember 1980; SubV) und bundesrechtlich nur mit staatsrechtlicher
Beschwerde anfechtbar (Art. 84, 86 und 87 OG).
b) Zur staatsrechtlichen Beschwerde ist nach ständiger Rechtsprechung zu Art. 88 OG legitimiert, wer durch den angefochtenen Hoheitsakt in eigenen rechtlich geschützten Interessen betroffen ist und an dessen Aufhebung ein aktuelles und praktisches Interesse hat. Das aus Art. 4 aBV abgeleitete und in Art. 11 Abs. 1 der Berner Kantonsverfassung vom 6. Juni 1993 ausdrücklich garantierte allgemeine Willkürverbot, auf das sich die Beschwerdeführerin beruft, verschafft für sich allein keine solche geschützte Rechtsstellung (<ref-ruling> ff.; vgl. auch <ref-law> und dazu <ref-ruling>). Die Legitimation kann sich aber unter Umständen aus dem Bundesgesetz vom 6. Oktober 1995 über den Binnenmarkt (Binnenmarktgesetz, BGBM; SR 943. 02; in Kraft teils ab 1. Juli 1996, teils ab 1. Juli 1998) oder aus der Interkantonalen Vereinbarung vom 25. November 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen (IVöB; SR 172. 056.4) ergeben. Die Beschwerdeführerin geht indessen stillschweigend davon aus, dass diese Erlasse auf das vorliegende Submissionsverfahren noch nicht anwendbar seien. Das trifft jedenfalls für die Interkantonale Vereinbarung zu, denn diese trat für den Kanton Bern erst am 1. Juli 1998 in Kraft (AS 1998 1560; vgl. Art. 22 Abs. 1 IVöB), somit nach der Ausschreibung der umstrittenen Arbeiten. Eine Verletzung des Binnenmarktgesetzes wird von der Beschwerdeführerin nicht gerügt; ob ihr allenfalls dieses Gesetz eine rechtlich geschützte Position im Sinn von Art. 88 OG verschaffen würde (vgl. <ref-ruling> E. 2d S. 410 f.), braucht nicht abschliessend geprüft zu werden, zumal sich die Beschwerde in der Sache ohnehin als unbegründet erweist (unten E. 2d und 2e). Soweit die Beschwerdeführerin die Verletzung von Parteirechten rügt, die den eigentlichen Verfahrensablauf betreffen und deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt, war sie hierzu bereits nach der früheren Praxis legitimiert (siehe im Einzelnen <ref-ruling> E. 3c und 4 S. 428 ff.). Eine solche Rüge kann darin gesehen werden, dass die Beschwerdeführerin - wenigstens sinngemäss - geltend macht, sie hätte ebenfalls Gelegenheit erhalten müssen, ein neues Angebot einzureichen.
c) Die staatsrechtliche Beschwerde ist grundsätzlich rein kassatorischer Natur, das heisst, mit ihr kann in der Regel nur die Aufhebung des angefochtenen Entscheids verlangt werden (<ref-ruling> E. 1b S. 107, mit Hinweisen). Abweichend von diesem Grundsatz bestimmt <ref-law>, dass das Bundesgericht, wenn sich eine staatsrechtliche Beschwerde im Bereich des öffentlichen Beschaffungswesens als begründet erweist und mit der Anbieterin bereits ein Vertrag abgeschlossen worden ist, feststellt, inwiefern die angefochtene Verfügung Bundesrecht verletzt (vgl. auch Art. 18 Abs. 2 IVöB und <ref-ruling> E. 5a S. 96 f., mit Hinweisen; eine analoge Regelung gilt gemäss Art. 21d SubV im kantonalen Rechtsmittelverfahren). Der entsprechende Feststellungsantrag der Beschwerdeführerin erscheint somit zulässig.
d) Die staatsrechtliche Beschwerde muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; dazu grundlegend <ref-ruling> E. 2 S. 3 f.). Bei einer Willkürbeschwerde insbesondere darf sich die Beschwerdeführerin nicht damit begnügen, den angefochtenen Entscheid einfach als willkürlich zu bezeichnen; sie hat vielmehr anhand der angefochtenen Begründung im Einzelnen darzulegen, inwiefern der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in offensichtlichem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1b S. 495, mit Hinweisen). Diesen Anforderungen genügt die vorliegende Beschwerde in weiten Teilen nicht (unten E. 2c).
2.-Der ausschreibende Verein Z._ hatte nach Offertöffnung der Beschwerdegegnerin den Leistungsumfang der Offerte der Beschwerdeführerin bekannt gegeben und ihr ermöglicht, auf dieser Grundlage ein neues Angebot einzureichen. Umstritten ist einzig dieses Vorgehen, auf das sich sämtliche Rügen in der staatsrechtlichen Beschwerde beziehen.
a) Das Verwaltungsgericht stellt im angefochtenen Urteil fest, die Position 261 (Aufzüge) sei teilweise unvollständig und teilweise ungenau ausgeschrieben worden, was von der Gutachterfirma bestätigt worden sei. Die betreffenden Mängel seien für die Beschwerdeführerin erkennbar gewesen, weil sie die Anlage seinerzeit erbaut habe. An sich wäre wegen dieser Mängel eine Neuausschreibung - zumindest unter den drei Anbieterinnen - richtig gewesen. Der Beschwerdeführerin sei jedoch dadurch, dass der präzisierte Leistungsumfang "in einem abgekürzten Verfahren" direkt der Beschwerdegegnerin mitgeteilt und nur diese zu neuer Offertstellung eingeladen worden sei, kein Nachteil erwachsen: Die Beschwerdeführerin, die über die betreffenden Zusatzinformationen verfügt habe, weil es sich um den von ihr selber offerierten Leistungsinhalt gehandelt habe, hätte nämlich bei einer Wiederholung der Submission erneut ihr Angebot eingereicht, so dass das "abgekürzte Verfahren" zum gleichen Ergebnis geführt habe wie eine Neuausschreibung. Mit dem vom Ausschreiber gewählten Vorgehen seien die beiden Angebote in Anwendung von Art. 11 Abs. 2 SubV vergleichbar gemacht worden. Zur Herstellung der Vergleichbarkeit sei es aber erforderlich gewesen, den Leistungsumfang der Offerte der Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin bekannt zu geben. Der Vertraulichkeitsgrundsatz sei dadurch nicht verletzt worden, zumal keine Hinweise bestünden, dass die Konkurrentin in den Besitz der Offerte der Beschwerdeführerin gelangt sein könnte.
b) Die Beschwerdeführerin weist zunächst darauf hin, das Verwaltungsgericht habe entschieden, ohne ihre fristgerecht eingereichten Zusatzfragen zu beantworten. Sie will dies anscheinend als Ergänzung des Sachverhalts verstanden wissen und rügt in diesem Zusammenhang jedenfalls keine Verletzung von verfassungsmässigen Rechten. Darauf ist deshalb nicht weiter einzugehen.
In der Sache erhebt die Beschwerdeführerin die gleichen Rügen wie im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht: Es sei unzulässig und verletze namentlich den Gleichbehandlungsgrundsatz, dass ausschliesslich der Beschwerdegegnerin die Gelegenheit geboten worden sei, ihr Angebot zu verändern. Es sei ferner unzulässig und verstosse gegen den Grundsatz von Treu und Glauben sowie das Gebot der Fairness im Vergabeverfahren, dass der von ihr offerierte Leistungsbeschrieb ohne ihre Zustimmung der Konkurrentin mitgeteilt worden sei. Das Verwaltungsgericht, das den Verstoss gegen den Gleichbehandlungsgrundsatz nicht verneine, aber rechtfertige, verkenne offensichtlich den Begriff der "Herstellung der Vergleichbarkeit" gemäss Art. 11 Abs. 2 SubV und habe diese Bestimmung willkürlich ausgelegt und angewandt. Auch die Annahme des Verwaltungsgerichts, durch das vom Ausschreiber befolgte Verfahren sei ihr, der Beschwerdeführerin, kein Nachteil erwachsen, sei sachlich völlig unbegründet und unhaltbar. Sie habe vielmehr Nachteile erlitten, indem ihr offerierter Leistungsbeschrieb der Konkurrenz zur Verfügung gestellt worden sei und indem sie selber nicht die Gelegenheit erhalten habe, ihren Leistungsbeschrieb und das Preisangebot neu zu überdenken und neu einzureichen.
c) Das Verwaltungsgericht führt im angefochtenen Urteil aus, der Vorwurf der Beschwerdeführerin, der Ausschreiber habe nur die Beschwerdegegnerin neu offerieren lassen und deshalb den Grundsatz der Gleichbehandlung der Submissionsteilnehmer verletzt, scheine auf den ersten Blick berechtigt; bei näherer Betrachtung sei die Rüge indessen unbegründet (Urteil, S. 4 Ziff. 2). Entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin hat das Verwaltungsgericht somit einen Verstoss gegen den Gleichbehandlungsgrundsatz verneint. Andernfalls hätte es nämlich die Beschwerde gutheissen und die Rechtswidrigkeit der Zuschlagsverfügung feststellen müssen (vgl. Art. 21d SubV). Das Verwaltungsgericht legt anschliessend im Einzelnen dar, weshalb bei der gegebenen Sachlage weder der Gleichheits- noch der Vertraulichkeitsgrundsatz verletzt sei. Damit setzt sich die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenügend auseinander: sie rügt wohl eine "willkürliche Anwendung" der genannten Grundsätze und erklärt, wie diese ihrer Auffassung nach zu verstehen seien; sie zeigt aber nicht auf, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgerichts willkürlich sein soll (zum Willkürbegriff vgl. auch <ref-ruling> E. 2a S. 168; <ref-ruling> E. 5b S. 134, je mit Hinweisen). Es kann offen bleiben, ob die Beschwerde deshalb den Substantiierungsanforderungen gemäss Art. 90 Abs. 1 OG überhaupt genügt, da die Rügen ohnehin nicht durchzudringen vermögen.
d) Gemäss Art. 11 Abs. 2 SubV hat die geschäftsführende Stelle die Angebote fachlich und rechnerisch zu prüfen und einander vergleichbar zu machen. Offensichtliche Fehler sind zu berichtigen. Vorliegend zeigte die Offertöffnung, dass das Angebot der Beschwerdegegnerin um 53 % tiefer war als jenes der Beschwerdeführerin. Wie die Prüfung durch die Gutachterfirma ergab, bestanden auf Grund der mangelhaften Ausschreibung erhebliche Unterschiede bezüglich des offerierten Leistungsumfangs, weshalb die beiden Angebote insofern nicht vergleichbar waren. In dieser Situation hätte richtigerweise eine neue Ausschreibung auf verbesserter Grundlage durchgeführt werden sollen, wie das Verwaltungsgericht zutreffend erkannt hat; nicht nachvollziehbar ist dagegen die Auffassung der Beschwerdeführerin, die Offerten seien spätestens mit der Expertise der Gutachterfirma vergleichbar gewesen, und der Ausschreiber hätte sich für eine der beiden Offerten entscheiden müssen. Wenn stattdessen nur die Beschwerdegegnerin aufgefordert wurde, eine neue Offerte mit einem dem Angebot der Beschwerdeführerin entsprechenden Leistungsumfang einzureichen, so ist dies unter den konkreten Umständen nicht zu beanstanden: Dieses Vorgehen diente dazu, die beiden Offerten vergleichbar zu machen, wie das Verwaltungsgericht willkürfrei aus Art. 11 Abs. 2 SubV ableiten durfte. Eine unzulässige Abgebotsrunde kann darin nicht erblickt werden, denn es wurde nicht über den Preis der Offerte Y._ verhandelt. Diese sollte lediglich dem Leistungsumfang der Offerte der Beschwerdeführerin angepasst werden, weshalb es auch nicht gegen das Gleichbehandlungsgebot verstiess, ausschliesslich die Beschwerdegegnerin gezielt neu offerieren zu lassen. Der Einwand der Beschwerdeführerin, sie hätte ihr Preisangebot ebenfalls neu überdenken können, überzeugt schon deshalb nicht, weil ihre Offerte immer noch um mehr als 40 % teurer war als die erweiterte Offerte der Beschwerdegegnerin bei annähernd gleichwertigem Leistungsumfang.
e) Schliesslich liegt entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin auch keine Verletzung des Vertraulichkeitsgrundsatzes vor, weil der Leistungsumfang ihrer Offerte der Konkurrentin bekannt gegeben worden sei. Zwar ist aus den Parteivorbringen und den übrigen Akten nicht klar ersichtlich, welche Informationen und Unterlagen der Beschwerdegegnerin übermittelt wurden. Nach den Feststellungen des Verwaltungsgerichts, die von der Beschwerdeführerin nicht bestritten werden, bestehen aber keine Hinweise dafür, dass deren Offerte und damit gleichzeitig - was entscheidend ist - der Offertbetrag sowie die Preiskalkulation in den Besitz der Beschwerdegegnerin gelangt sein könnten (im Gegensatz zu Art. 32 Abs. 3 der neuen, hier noch nicht anwendbaren bernischen Submissionsverordnung vom 29. April 1998 sah Art. 11 SubV nicht vor, dass die Anbietenden Einsicht in das Öffnungsprotokoll nehmen können). Der Leistungsbeschrieb hingegen, um den es sich hier einzig gehandelt haben dürfte, gehört normalerweise zu den Ausschreibungsunterlagen und steht damit allen Submittenten ohnehin zur Verfügung. Wenn dies vorliegend auch nicht der Fall war und die Beschwerdeführerin, weil sie als Erstellerin der betreffenden Anlagen die Mängel der Ausschreibung erkannte, den Leistungsumfang von sich aus ergänzen und berichtigen konnte, so bedeutet das nicht, dass dieser bzw. die entsprechenden Unterlagen deshalb zu ihrem Geschäftsgeheimnis gehörten; solches behauptet sie übrigens auch zu Recht nicht. Es ging bei den von ihr offerierten Leistungen nicht um eine technisch wertvolle Unternehmervariante mit einem Lösungsvorschlag für die in der Ausschreibung gestellte Aufgabe. Vielmehr ging es im Wesentlichen schlicht um die Frage, ob die Anlagen auf den Stand "neuwertig" gebracht oder bloss revidiert ("momentan updated") werden sollten. Nachdem sich der Ausschreiber für die umfassendere Sanierung gemäss Vorschlag bzw. Angebot der Beschwerdeführerin entschieden hatte, war aber die Bekanntgabe des entsprechenden Leistungsumfangs an die Beschwerdegegnerin erforderlich, um die Angebote vergleichbar zu machen.
3.- Nach dem Gesagten ist die Beschwerde unbegründet und deshalb abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Kosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Die Beschwerdegegnerin und der Verein Z._ als Ausschreiber waren im bundesgerichtlichen Verfahren nicht anwaltlich vertreten und haben deshalb nach bundesgerichtlicher Praxis keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000. -- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.-Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verein Z._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 23. Juni 2000
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: