Sachverhalt:
A.
Z._ (Geschädigte) erlitt am 28. April 1998 einen Auffahrunfall. Die Lenkerin, die den Unfall verursachte, war bei der X._ Versicherung AG (Beklagte; Beschwerdeführerin) versichert. Die Geschädigte wurde in der Folge krank geschrieben. Sie war im Unfallzeitpunkt als Primarschullehrerin mit einem Pensum von 80 % tätig, sie hatte jedoch bereits vor dem Unfall die Arbeitsstelle auf Ende August 1998 gekündigt, da sie geplant hatte, an einer anderen Schule als Lehrerin mit einem Pensum von 50 % zu arbeiten und daneben ein vierjähriges Psychologiestudium zu absolvieren.
B.
Mit Klage vom 17. Dezember 2010 gelangte die Eidgenössische Invalidenversicherung (IV; Klägerin; Beschwerdegegnerin) an das Handelsgericht des Kantons Zürich und verlangte von der Beklagten Fr. 302'945.-- nebst Zins. Sie machte geltend, die Geschädigte habe beim Unfall ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS-Trauma) erlitten. Deswegen habe sich die angestrebte Ausbildung zur Psychologin um vier Jahre verschoben und die Geschädigte nicht bereits ab Juli 2002 als Psychologin tätig sein können. Der dadurch entstandene Erwerbsschaden sei von der Klägerin im Rahmen der Gewährung von beruflichen Massnahmen durch Taggeldleistungen in der Höhe von Fr. 302'945.-- in der Zeitspanne vom 1. Juli 2002 bis zum 30. Juni 2006 gedeckt worden. Dafür habe die Beklagte als Haftpflichtversicherung die Klägerin schadlos zu halten. Am 8. April 2013 verpflichtete das Handelsgericht die Beklagte, der Klägerin Fr. 194'560.-- nebst Zins zu bezahlen. Im Mehrbetrag wies es die Klage ab.
C.
Die Beklagte führt Beschwerde an das Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Handelsgerichts aufzuheben und die Klage abzuweisen. Ihrem Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gab das Bundesgericht am 17. Juni 2013 statt, da die Gegenpartei keine Einwände erhoben hatte. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, während das Handelsgericht auf Vernehmlassung verzichtet. Obwohl das Bundesgericht keinen weiteren Schriftenwechsel angeordnet hat, haben die Parteien eine Beschwerdereplik beziehungsweise eine Beschwerdeduplik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdegegnerin macht Ansprüche der Geschädigten gegen die Haftpflichtversicherung der Unfallverursacherin geltend, die zufolge der von ihr erbrachten Leistungen auf sie übergegangen sein sollen. Nach den für den zu beurteilenden Fall noch massgebenden aArt. 52 IVG und aArt. 48ter AHVG gingen die Ansprüche des Geschädigten gegenüber einem Haftpflichtigen im Zeitpunkt des Schadenereignisses bis auf die Höhe der gesetzlichen Leistungen auf die Sozialversicherung über (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 175).
2.
Nach den Feststellungen der Vorinstanz blieb unbestritten, dass die Geschädigte am Tag nach dem Unfall an Kopfschmerzen litt. Sie suchte an diesem Tag ihren Hausarzt auf. Ein Bericht über diese Untersuchung liegt nicht vor. Die Vorinstanz erkannte, die Geschädigte habe im Unfallprotokoll vom 29. April 1998 angegeben, dass sie nach dem Unfall unter starken Kopfschmerzen und Nackenproblemen gelitten und deshalb den Arzt aufgesucht habe. Dieser zeitnahen Schilderung schenkte die Vorinstanz Glauben. Der Hausarzt hatte in seinem Zeugnis vom 4. Juni 1998 zwar lediglich festgehalten, die Geschädigte habe am Tag der Erstkonsultation an Kopfweh gelitten. Gestützt auf die Tatsache, dass er ein minimales HWS-Trauma diagnostiziert und die Abgabe einer Halskrause und eines entzündungshemmenden Schmerzmittels verordnet hatte, schloss die Vorinstanz aber, neben den Kopfschmerzen seien auch Nackenschmerzen vorhanden gewesen. Mit Blick auf den Umstand, dass die in der Folge von der Geschädigten aufgesuchten Ärzte allesamt davon ausgegangen seien, die Geschädigte habe aufgrund des Unfallgeschehens ein HWS-Distorsionstrauma erlitten, erachtete die Vorinstanz dieses für erwiesen und den natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang für gegeben. An dieser Einschätzung änderte auch das polidisziplinäre Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle der Eidgenössischen Invalidenversicherung (MEDAS), auf das sich auch die Beschwerdeführerin massgeblich stützt und dem die Vorinstanz volle Beweiskraft zumass, nichts. Auch in diesem Gutachten beschreibe der Psychiater, dass die Geschädigte zu Beginn, d.h. im Anschluss an das Unfallgeschehen an somatisch tatsächlich vorhandenen Beschwerden gelitten habe. Die vom Orthopäden diagnostizierten persistierenden Kopf- und Nackenschmerzen bestätigten ebenfalls das Vorliegen eines HWS-Distorsionstraumas, wobei im Zeitpunkt der MEDAS-Begutachtung keine objektivierbaren pathologische Befunde mehr auszumachen gewesen seien, sondern eine rein psychogene Problematik diagnostiziert worden sei (Neurasthenie mit anhaltender somatoformer Schmerzstörung sowie eine leichte depressive Episode mit dissoziativen Phänomenen). Dass das MEDAS-Gutachten eine Kausalisierung der Beschwerden als eine durch den Unfall ausgelöste Symptomatik, das heisst die individuelle Attribution der Beschwerden zum Unfallgeschehen durch die Geschädigte, beschreibe und festhalte, dass die zu Beginn der Symptomatik wahrscheinlich vorhandenen Beschwerden durch psychische Komponenten weiter fortgesetzt und unterhalten würden, bedeute nicht, dass das Gutachten die Kausalität verneine. Dieses gehe vielmehr davon aus, der Unfall sei wahrscheinlicher Reaktivator einer psychosomatischen Problematik gewesen. Es erachte damit sowohl den natürlichen Kausalzusammenhang als auch die konstitutionelle Prädisposition als gegeben. Nachdem die Gutachter insbesondere die im Anschluss an das Unfallgeschehen aufgetretenen somatischen Beschwerden als überwiegend kausal bezeichneten, werde nicht überzeugend genug dargetan, dass die im Jahr 2002 vorliegende Störung nicht Symptom der anlässlich des Unfalls erlittenen Verletzungen sei. Die Gutachter führten nicht aus, dass die psychogenen Beschwerden ein vom HWS-Distorsionstrauma vollständig zu trennendes eigenständiges Leiden darstellten. Es genüge, dass das Unfallgeschehen Teilursache der in den Jahren 2002-2006 bestehenden psychogenen Störung sei.
3.
Die Beschwerdeführerin bestreitet vor Bundesgericht wie bereits im kantonalen Verfahren, dass die Beschwerdegegnerin "gesetzliche Leistungen" erbracht habe sowie deren Kongruenz mit den geltend gemachten Ansprüchen. Soweit die Beschwerdegegnerin überhaupt gerechtfertigte Leistungen erbracht habe, seien diese aus dem der Invalidenversicherung immanenten Zweckgedanken der finalen Versicherung erfolgt. Mit Bezug auf den Unfall bestreitet die Beschwerdeführerin, dass die Geschädigte ein HWS-Trauma erlitten habe, sowie den natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den geltend gemachten Beschwerden. Sie ist zudem der Auffassung, der Geschädigten sei kein haftpflichtrechtlich relevanter Schaden entstanden.
4.
Ein natürlicher Kausalzusammenhang ist gegeben, wenn das schadensstiftende Verhalten eine notwendige Bedingung (conditio sine qua non) für den eingetretenen Schaden ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 718; <ref-ruling> E. 2d S. 184 mit Hinweisen), d.h. das fragliche Verhalten nicht weggedacht werden kann, ohne dass auch der eingetretene Erfolg entfiele bzw. nicht als in gleicher Weise bzw. zur gleichen Zeit als eingetreten gedacht werden könnte. Entsprechend dieser Umschreibung ist für die Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs nicht erforderlich, dass ein Unfall die alleinige oder unmittelbare Ursache gesundheitlicher Störungen ist; es genügt, dass das schädigende Ereignis zusammen mit anderen Bedingungen die körperliche oder geistige Integrität der versicherten Person beeinträchtigt hat, der Unfall mit andern Worten nicht weggedacht werden kann, ohne dass auch die eingetretene gesundheitliche Störung entfiele (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen). Soweit der Kausalzusammenhang nicht mit wissenschaftlicher Genauigkeit nachgewiesen werden kann, genügt, dass er als überwiegend wahrscheinlich erscheint (<ref-ruling> E. 1b S. 272 f.; <ref-ruling> E. 2b/aa S. 275 f.; je mit Hinweisen). Dies ist zu verneinen, wenn nach den besonderen Umständen des Falles neben den behaupteten weitere Ursachen ebenso ernst in Frage kommen oder sogar näher liegen (<ref-ruling> E. 1b S. 273; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.3 S. 325).
4.1. Die Feststellung hinsichtlich des tatsächlichen Bestands des Schadens sowie des Kausalzusammenhangs zwischen dem schädigenden Verhalten und dem Schaden betrifft den Sachverhalt (Art. 105 BGG) und beruht auf Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2d und E. 2e S. 25 f., 180 E. 2d S. 184; je mit Hinweisen).
4.1.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG).
4.1.2. Willkür im Sinne von Art. 9 BV liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er im Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 318 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; je mit Hinweisen). Zudem steht dem Sachgericht im Bereich der Beweiswürdigung ein erheblicher Ermessensspielraum zu. Die Beweiswürdigung ist daher nur willkürlich, wenn das Sachgericht sein Ermessen missbraucht, indem es zum Beispiel offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht oder erhebliche Beweise übersieht (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234 mit Hinweisen).
4.1.3. Wer die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, kann sich demnach nicht damit begnügen, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Vielmehr hat er klar und substanziiert aufzuzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 466 f.).
4.1.4. Soweit die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile des Bundesgerichts 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Neue Vorbringen sind nur zulässig, soweit erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129 mit Hinweisen), was wiederum näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 226; <ref-ruling> E. 3 S. 395)
4.2. Vor diesem Hintergrund erweist sich die Beschwerde über weite Strecken als nicht hinreichend begründet.
4.2.1. Die Beschwerdeführerin bestreitet, dass die Geschädigte ein HWS-Trauma erlitten habe und dass ein natürlicher Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den geltend gemachten Beschwerden besteht. Sie macht geltend, nur der Hausarzt der Geschädigten habe diese in den ersten Tagen nach dem Unfall untersucht. Somit sei nur er in der Lage, über deren Beschwerden in den Tagen nach dem Unfall Auskunft zu geben. Alle anderen Ärzte hätten die Geschädigte Monate oder Jahre nach dem Unfall untersucht. Sie müssten die Beurteilung, es hätten Beschwerden bestanden, die auf ein Trauma der Halswirbelsäule schliessen liessen, auf die Aussagen der Geschädigten selbst gestützt haben, die subjektiv den Unfall als Erklärung für ihre Beschwerden gesehen habe. Zudem habe der Rheumatologe, der die Geschädigte einen Monat nach dem Unfallereignis ein erstes Mal untersucht habe, ein HWS-Distorsionstrauma angenommen, ohne dass er entsprechende Erstbeschwerden in unmittelbarer zeitlicher Nähe zum Unfallereignis selbst festgestellt habe. Es müsse davon ausgegangen werden, die weiteren behandelnden Ärzte hätten die Diagnose als gegeben ihren Untersuchungen zugrunde gelegt. Dass die Geschädigte an Nackenbeschwerden gelitten habe, könne nicht als erwiesen erachtet werden, zumal der Hausarzt nichts Entsprechendes festgestellt habe. Für die Darstellung der Vorinstanz, dass sowohl Medikamente als auch Halskrause zur Linderung von Nackenschmerzen eingesetzt worden seien, finde sich in den Akten keinerlei Hinweis. Auch weitere Beschwerden, wie sie bei einem Trauma der Halswirbelsäule üblich seien, finde man in den Arztberichten, die zeitnah zum Unfallereignis erstellt worden seien, nicht. Aus der Diagnose HWS-Trauma des Hausarztes könne per se nicht auf Nackenbeschwerden geschlossen werden, da sich dazu kein Vermerk in den Akten finde. Der Arzt habe lediglich ein minimales HWS-Trauma mit absolut uneingeschränkter HWS-Beweglichkeit festgestellt. Aufgrund dieser Diagnose könne kein HWS-Trauma in dem Sinne angenommen werden, dass ein ausgeprägtes, üblicherweise ein Schleudertrauma charakterisierendes Beschwerdebild vorgelegen habe. Einzig die Geschädigte mache in ihrer Unfallmeldung Nackenschmerzen geltend, die sie dann gegenüber den Ärzten nicht mehr angegeben habe, ansonsten dies ja ohne Weiteres in den medizinischen Akten vermerkt worden wäre. Die Geschädigte habe da wohl bereits ihren Versicherungsfall vor Augen gehabt, habe sie doch unter Ziff. 18 der Unfallmeldung angegeben, keine Verletzungen aus dem Unfallereignis erlitten zu haben. Ihre Angaben müssten daher stark relativiert werden; insbesondere vor dem Hintergrund des Arztberichtes ihres Hausarztes erscheine ihr Aussageverhalten nicht als kohärent und sei daher stark zu relativieren. Die Gutachter hielten fest, der Unfall sei wahrscheinlicher Reaktivator einer bereits zwischen 1992 und 1995 beschriebenen Problematik. Die Gutachter schrieben bewusst nicht, dass sie den Unfall überwiegend wahrscheinlich als Reaktivator sähen.
4.2.2. Mit ihren Ausführungen trägt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht ihre eigene Interpretation der Beweismittel vor. Sie behauptet, die Vorinstanz liege mit ihrer Beurteilung (schlichtweg) falsch und aus der Diagnose HWS-Trauma könne nicht per se auf Nackenbeschwerden geschlossen werden. Die Beschwerdeführerin will die Angaben der Geschädigten "stark relativieren", und sie macht geltend, die Vorinstanz gehe fehl, wenn sie das HWS-Trauma als erwiesen erachte. Diese Beispiele zeigen, dass die Beschwerdeführerin mit ihrer Argumentation nicht Willkür in der Beweiswürdigung aufzeigt, sondern einfach ein von demjenigen der Vorinstanz abweichendes Beweisergebnis begründen will. Das Bundesgericht ist aber keine letzte Appellationsinstanz, die von den Parteien mit vollkommenen Rechtsmitteln angerufen werden könnte (vgl. Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4342 Ziff. 4.1.4.5 zu Art. 97 E-BGG). Es geht nicht an, in einer Beschwerde in Zivilsachen appellatorische Kritik an der Beweiswürdigung des kantonalen Gerichts zu üben und Ergänzungen bezüglich der tatsächlichen Feststellungen vorzunehmen, als ob dem Bundesgericht im Beschwerdeverfahren die freie Prüfung aller Tatfragen zukäme. Auf derartige appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; je mit Hinweisen). Eine unzulässige appellatorische Kritik wird auch dadurch, dass der angefochtene Entscheid an deren Ende als willkürlich bezeichnet wird, nicht zu einer hinreichenden Begründung. Vielmehr wäre aufzuzeigen gewesen, dass die gewürdigten Gegebenheiten unter keinen Umständen die von der Vorinstanz gezogenen Schlüsse zulassen oder dass die Vorinstanz massgebende prozesskonform behauptete Tatsachen nicht in Betracht gezogen hat, deren Berücksichtigung zwingend zu einem anderen Ergebnis führt. Diesen Anforderungen genügt die Beschwerdebegründung nicht.
4.2.3. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, es fehle an einer hinreichenden Erstuntersuchung, die den Schluss auf ein Schleudertrauma zuliesse, ist zu beachten, dass es keine Rolle spielt, ob es sich bei den Beschwerden der Geschädigten um ein HWS-Trauma klassischer Ausprägung handelt. Massgebend ist vielmehr, ob tatsächlich eine Beeinträchtigung besteht und ob diese (zumindest auch) durch den Unfall hervorgerufen wurde. Nur wenn eine ernsthafte Möglichkeit besteht, dass sich die Beschwerden auch ohne Unfall in gleicher Weise manifestiert hätten, ist der Nachweis des natürlichen Kausalzusammenhangs gescheitert. Auch die Vorinstanz geht davon aus, das HWS-Trauma habe nur im Zusammenspiel mit vorbestehenden Problemen zur anhaltenden gesundheitlichen Beeinträchtigung der Geschädigten geführt.
4.2.4. Die Beschwerdeführerin anerkennt selbst, dass die Gutachter den Unfall als wahrscheinlichen Reaktivator bereits vorbestehender psychosomatischer Probleme betrachten. Wenn die Vorinstanz vor diesem Hintergrund unter Berücksichtigung weiterer ärztlicher Einschätzungen zum Schluss gelangt, der Unfall sei zumindest eine Teilursache der aufgetretenen Beschwerden, ist das nicht offensichtlich unhaltbar, auch wenn im Gutachten selbst nicht von einer überwiegenden Wahrscheinlichkeit die Rede ist. Das Gutachten bildet zumindest ein Indiz für das Bestehen des Kausalzusammenhangs. Dieses sieht die Vorinstanz durch andere Indizien bestärkt und hält das Bestehen des Kausalzusammenhangs gestützt auf eine Gesamtwürdigung der Umstände für überwiegend wahrscheinlich. Von Willkür kann selbst dann keine Rede sein, wenn die Indizien auch einer anderen Interpretation zugänglich sein sollten, wie die Beschwerdeführerin darzulegen sucht. Damit ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die natürliche Kausalität als gegeben erachtete.
5.
Ein Ereignis gilt als adäquate Ursache eines Erfolgs, wenn es nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und der allgemeinen Lebenserfahrung an sich geeignet ist, einen Erfolg von der Art des eingetretenen herbeizuführen, der Eintritt des Erfolgs also durch das Ereignis als allgemein begünstigt erscheint. Rechtspolitischer Zweck der Adäquanz bildet die Begrenzung der Haftung; es soll aufgrund sämtlicher Umstände im Einzelfall (Art. 4 ZGB) entschieden werden, ob eine Schädigung billigerweise noch dem Haftpflichtigen zugerechnet werden kann (<ref-ruling> E. 3a S. 112 mit Hinweisen). Dabei genügt haftpflichtrechtlich, dass der Schädiger eine Ursache gesetzt hat, die nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge geeignet war den Schaden herbeizuführen und ohne die es nicht zum Schaden gekommen wäre, während Mitursachen wie etwa die konstitutionelle Prädisposition der geschädigten Person den adäquaten Kausalzusammenhang in der Regel weder zu unterbrechen noch auszuschliessen vermögen (<ref-ruling> E. 3c S. 114 f.; <ref-ruling> E. 1b S. 89 f.).
5.1. Ob zwischen der Ursache und dem Schadenseintritt ein adäquater Kausalzusammenhang besteht, ist eine Wertungsgesichtspunkten unterliegende Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 2.2 S. 718 mit Hinweisen), die das Bundesgericht an sich frei prüft (Art. 106 BGG). Da nach Art. 42 Abs. 2 BGG in der Beschwerdeschrift aber in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt, verlangt das Bundesgericht auch insoweit, dass aus der Beschwerde hervorgeht, gegen welche Regeln des Bundesrechts die Vorinstanz verstossen haben soll. Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Urteils eingegangen und dargetan wird, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegen soll (<ref-ruling> E. 2.1 S. 246; <ref-ruling> E. 3.3 S. 60). Blosse Verweise auf die Ausführungen vor der Vorinstanz genügen nicht und sind unbeachtlich, da in der Rechtsschrift selbst darzulegen ist, inwiefern das angefochtene Urteil Recht verletzt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f. mit Hinweisen).
5.2. Zum adäquaten Kausalzusammenhang verweist die Beschwerdeführerin zunächst auf ihre Ausführungen im kantonalen Verfahren. Der blosse Verweis genügt wie dargelegt den Begründungsanforderungen nicht. Zudem fehlt jegliche Auseinandersetzung mit der Argumentation der Vorinstanz. Die Beschwerdeführerin beruft sich auf das durchschnittliche Delta-V, das sie mit rund 10 km/h angibt, sowie die konkrete Unfallsituation, und sie behauptet, der Unfall habe sich im Harmlosigkeitsbereich abgespielt. Die Vorinstanz hat indessen nur die Delta-V Mittelwerte von 10.5 km/h bzw. 11.5 km/h festgehalten und keine Feststellungen zur konkreten Unfallsituation getroffen. Insoweit liegt eine unzulässige Erweiterung des Sachverhalts vor. Die Beschwerdeführerin hätte im Einzelnen darlegen müssen, was sie diesbezüglich im kantonalen Verfahren geltend gemacht hat, und diese Behauptung mit einem Aktenhinweis unterlegen müssen. Allein gestützt auf die von der Vorinstanz festgestellten Delta-V Mittelwerte kann der adäquate Kausalzusammenhang nicht ausgeschlossen werden. Das Bundesgericht lehnt es ab, fixe Adäquanz-Grenzwerte einzuführen bzw. eine Bagatell- oder "Harmlosigkeitsgrenze" festzulegen (vgl. <ref-ruling> E. 8.3 S. 121). War der Unfall aber generell geeignet, einen Erfolg von der Art des eingetretenen herbeizuführen, ist die Adäquanz gegeben, auch wenn die Unfallfolgen im konkreten Fall nur unter der Mitwirkung der konstitutionellen Prädisposition eintreten.
6.
Die Vorinstanz hat den Anspruch der Geschädigten mit Blick auf deren konstitutionelle Prädisposition um 20 % gekürzt.
6.1. Art. 44 Abs. 1 OR gibt dem Gericht die Möglichkeit, dem Anteil der Prädisposition an der Kausalität Rechnung zu tragen, wenn es unbillig erschiene, den Schädiger zum Ersatz des gesamten Schadens zu verpflichten. Aus dieser Norm folgt jedoch nicht, dass der Schadenersatzanspruch eines vorbelasteten Geschädigten in jedem Falle schematisch entsprechend dem Anteil des Konstitutionsmangels reduziert werden müsste. Vielmehr ist vom Grundsatz auszugehen, dass der Haftpflichtige auch dann für die Schädigung voll verantwortlich bleibt, wenn ein krankhafter Vorzustand den Eintritt des Schadens begünstigt oder dessen Ausmass vergrössert hat, sofern die Vermögenseinbusse ohne den Unfall voraussichtlich überhaupt nicht eingetreten wäre (<ref-ruling> E. 4 S. 14 mit Hinweisen).
Art. 44 OR billigt dem Richter einen breiten Ermessensspielraum hinsichtlich der Reduktion des Schadenersatzes zu (<ref-ruling> E. 4.2 S. 15 mit Hinweis). Derartige Ermessensentscheide überprüft das Bundesgericht zwar grundsätzlich frei. Es übt aber Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die zwingend hätten beachtet werden müssen. Ausserdem greift das Bundesgericht in Ermessensentscheide ein, falls sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2 S. 123 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15).
6.2. Die Beschwerdeführerin hält die Kürzung von 20 % für zu gering. Nach den Feststellungen der Vorinstanz kann indessen nicht gesagt werden, die vorbestehende Gesundheitsschädigung hätte sich auch ohne Unfallgeschehen zu einem späteren Zeitpunkt unzweifelhaft ohnehin ausgewirkt. Die Beschwerdeführerin stellt dies zwar in Abrede, es gelingt ihr aber auch insoweit nicht, Willkür in der Beweiswürdigung aufzuzeigen. Inwiefern die Vorinstanz unter dieser Voraussetzung ihr Ermessen missbraucht hätte, zeigt die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich auf. Die blosse Behauptung, das Verschulden der Schädigerin sei nicht übermässig, reicht dazu nicht aus. Da ungewiss ist, ob sich die Vorbelastung ohne Unfall auf die geplante Umorientierung beziehungsweise im neuen Beruf überhaupt ausgewirkt hätte, hat die Vorinstanz mit der Kürzung um 20 % ihr Ermessen nicht überschritten.
7.
Die Beschwerdeführerin bestreitet das Vorliegen eines haftpflichtrechtlich relevanten Schadens beziehungsweise die Kongruenz der von der Beschwerdegegnerin erbrachten Leistungen mit dem Argument, die Geschädigte habe bereits vor den Unfall eine Umschulung in Aussicht genommen.
7.1. Schaden ist nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts die ungewollte Verminderung des Reinvermögens. Er entspricht der Differenz zwischen dem gegenwärtigen Vermögensstand und dem Stand, den das Vermögen ohne das schädigende Ereignis hätte (<ref-ruling> E. 8.1 S. 205, 321 E. 2.2.1 S. 323 f., 564 E. 6.2 S. 576; je mit Hinweisen). Soweit zur Ermittlung des Vermögensstandes ohne schädigendes Ereignis auf Hypothesen abgestellt werden muss, ist vom gewöhnlichen Lauf der Dinge auszugehen unter Berücksichtigung sämtlicher konkreter Umstände (<ref-ruling> E. I.3 S. 90 mit Hinweis).
7.2. Der von der Beschwerdegegnerin geltend gemachte Schaden liegt darin, dass infolge des Unfalls die Umschulung erst verspätet erfolgen konnte. Zwar trifft zu, dass die Geschädigte auch ohne Unfall eine Einkommenseinbusse erlitten hätte, da sie für die Umschulung eine Pensumreduktion in Kauf nahm. Diese wäre ohne Unfall aber 1998 und in den darauffolgenden Jahren aufgetreten bis zum Abschluss der Ausbildung, während die Geschädigte im Zeitpunkt, für den die Beschwerdegegnerin Leistungen erbrachte, ohne Unfall bei erfolgreicher Umorientierung auf dem neuen Tätigkeitsgebiet hätte arbeiten können. Sollte die Geschädigte, wie die Beschwerdeführerin behauptet, für die Zeit vor 2002 im Umfang ihres im Unfallzeitpunkt erzielten Einkommens entschädigt worden sein, läge wohl in der Tat eine Überentschädigung vor, denn während der Ausbildung hätte sich das Einkommen wegen der beabsichtigten Reduktion der Arbeitstätigkeit von 80 % auf 50 % geschmälert. Im angefochtenen Entscheid fehlen indessen Feststellungen zu den von der Geschädigten vor dem Jahre 2002 erhaltenen Leistungen und die Beschwerdeführerin zeigt nicht mit Aktenhinweis auf, dass sie bereits im kantonalen Verfahren entsprechende Behauptungen prozesskonform aufgestellt hätte. Es ist daher nicht am Bundesgericht, diesbezügliche Feststellungen zu treffen, auch wenn gewisse Zahlungen der Unfallversicherung von der Beschwerdegegnerin anerkannt werden. Da die Sozialversicherungen nicht zu Gunsten des Schädigers eingerichtet wurden (vgl. schon BGE 54 II 464 E. 5 S. 468), sind zudem nur Leistungen Dritter anzurechnen, die ereignisbezogen, sachlich, zeitlich und personell kongruent sind (<ref-ruling> E. 4.2 S. 491; Urteil des Bundesgerichts 4A_481/2009 vom 26. Januar 2010 E. 4.2.1 und 4.2.6; je mit Hinweis). Die Zahlungen der Unfallversicherung sollten aber nicht den hier strittigen Zeitraum abdecken, so dass es insoweit an der zeitlichen Kongruenz fehlt.
7.3. Die Leistungen der Beschwerdegegnerin wurden nach ihren Ausführungen für den Zeitraum erbracht, in dem die Geschädigte ohne Unfall bereits auf dem neuen Arbeitsgebiet hätte tätig sein können und für den Schadenersatz beansprucht wird, weil die Tätigkeit zufolge Verzögerung der Umschulung noch nicht ausgeübt werden konnte. Inwiefern es insoweit an der Kongruenz der Leistungen fehlen soll, wird aus den Ausführungen der Beschwerdeführerin nicht klar.
7.4. Mit Bezug auf die Höhe des Schadens ist entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht davon auszugehen, die Geschädigte hätte sich ohne Unfall nur zu 50 % betätigt. Die Reduktion von 80 % auf 50 % erfolgte nach den Feststellungen der Vorinstanz unstrittig einzig und allein im Hinblick auf die ins Auge gefasste Weiterbildung zur Psychologin. Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz für die Schadenshöhe berücksichtigte, was die Geschädigte bei erfolgreicher Umschulung bei einem 80 % Pensum auf dem neuen Tätigkeitsgebiet konkret hätte erwirtschaften können. Sofern am Arbeitsort überdurchschnittliche Löhne erzielt werden, ist dies zu berücksichtigten, wenn davon auszugehen ist, die Geschädigte hätte ohne Unfall eine entsprechende Stelle antreten können. Auch die Höhe des Zuschlages betrifft die tatsächlichen Verhältnisse. Es gelingt der Beschwerdeführerin wiederum nicht, Willkür in der Beweiswürdigung aufzuzeigen.
8.
Die Beschwerdeführerin behauptet, die Geschädigte sei gemäss Gutachten im massgebenden Zeitraum im Lehrerberuf zu 50 % und in angepasster Tätigkeit zu 100 % erwerbstätig (recte wohl arbeitsfähig) gewesen und hätte neben dem Studium eine 50 % Stelle annehmen können.
8.1. Eine Arbeitsfähigkeit von 100 % in angepasster Tätigkeit wird im angefochtenen Entscheid nicht festgestellt. Das Gutachten, auf das sich die Beschwerdeführerin bezieht, verweist für die Arbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit auf die Ausführungen zur Tätigkeit als Primarschullehrerin, wonach somatisch keine Einschränkung bestehe, aber aufgrund der psychosomatischen und psychischen Problematik die Arbeitsfähigkeit zu 50 % eingeschränkt sei. Die Gutachter vertreten zwar die Auffassung, der Geschädigten sei eine Willensanstrengung zur zumindest partiellen Überwindung ihres Leidens zuzumuten. Sie attestieren aber keine aktuelle Arbeitsfähigkeit von 100 % in angepasster Tätigkeit. Sie weisen auf die Stressintoleranz der Geschädigten hin und erachten mit Blick darauf stressbelastete Tätigkeiten als ungeeignet. Die Beschwerdeführerin gibt dem Gutachten ihre eigne Interpretation und zieht gestützt darauf von der Vorinstanz abweichende Schlüsse. Damit missachtet sie die Bindung des Bundesgerichts an das von der Vorinstanz festgestellte Beweisergebnis (Art. 105 BGG).
8.2. Da sich das Gutachten nicht dazu äussert, inwiefern sich die mit dem Studium verbundene Belastung auf die verbleibende Arbeitsfähigkeit auswirkt, lässt sich aus der attestierten Arbeitsfähigkeit von 50 % als Lehrerin nicht zwingend ableiten, die Geschädigte hätte neben der Ausbildung einer Erwerbstätigkeit nachgehen können. Auch die Tatsache, dass die Geschädigte selbst ursprünglich eine berufsbegleitende Weiterbildung geplant hatte, genügt dazu nicht, zumal vor dem Unfall keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit festgestellt ist und die Geschädigte zu 80 % als Lehrerin arbeitete, während ihr vom Gutachten im hier interessierenden Zeitpunkt in diesem Beruf nur noch eine Arbeitsfähigkeit von 50 % bescheinigt wird. In diesem Zusammenhang setzt sich die Beschwerdeführerin über die Feststellung der Vorinstanz hinweg, die Hochschule für Psychologie habe in Bezug auf das Arbeitspensum während des Hauptpraktikums sowie hinsichtlich des Abgabetermins für die Diplomarbeit auf die reduzierte Leistungsfähigkeit der Geschädigten Rücksicht nehmen müssen. Inwiefern es willkürlich sein soll, aus dieser Tatsache und der im Gutachten festgestellten Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit, zu schliessen, die Geschädigte sei aufgrund der konkreten Belastung der Weiterbildung nicht in der Lage gewesen, daneben noch einer Erwerbstätigkeit nachzugehen, zeigt die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich auf. Damit kommt der von der Beschwerdeführerin erhobenen Rüge, die Vorinstanz habe bezüglich der Möglichkeit, einer Nebenbeschäftigung nachzugehen, überhöhte Substanziierungsanforderungen gestellt, keine Bedeutung zu.
9.
Die Beschwerdeführerin behauptet, die Beschwerdegegnerin habe keine gesetzlichen oder zumindest überhöhte Leistungen erbracht. Insoweit bestehe kein Regressrecht.
9.1. Die Vorinstanz hat aufgrund von Vorbringen der Beschwerdeführerin geprüft, ob die Verfügung der IV in Wiedererwägung gezogen werden könnte. Sie hat keine genügenden Anhaltspunkte für eine Revision oder Wiedererwägung erkannt. Darauf geht die Beschwerdeführerin weder hinreichend ein, noch legt sie dar, weshalb dieser Aspekt nicht massgebend sein sollte. Damit fehlt es an der nach Art. 42 Abs. 2 BGG gebotenen Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid. Das blosse Festhalten an im kantonalen Verfahren eingenommenen Standpunkten genügt nicht. Dies gilt auch, soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, die IV-Leistungen wären auf einem Einkommen von 50 % zu berechnen gewesen, denn auch dies betrifft die Frage, ob sich die Beschwerdeführerin darauf berufen kann, die Beschwerdegegnerin habe zu Unrecht Leistungen erbracht.
9.2. Aber auch davon abgesehen erweist sich die Beschwerde insoweit als unbegründet. Das Rückgriffsrecht für die IV wurde vom Gesetzgeber eingeführt, da Haftungsnormen zum Ziel haben, denjenigen für einen Schaden einstehen zu lassen, der ihn einem anderen zufügt, und es nicht sinnvoll wäre, die haftpflichtigen Personen durch Leistungen von Sozialversicherern zu entlasten. Das im Gesetz umschriebene Rückgriffsrecht führt dazu, dass die Haftpflichtansprüche des Versicherten höchstens in dem Umfang auf den Sozialversicherer übergehen, als er Leistungen erbringt. Der Haftpflichtige wird nicht entlastet, hat seine Leistung teilweise aber dem Sozialversicherer statt dem Geschädigten zu erbringen. Dem Geschädigten verbleibt die Differenz zwischen den Leistungen der IV und seinem gesamten Schaden (<ref-ruling> E. 3 S. 225; Botschaft vom 7. Juli 1976 über die neunte Revision der Alters- und Hinterlassenenversicherung, BBl 1976 III 33 f. Ziff. 433.2). Zu einer vom Gesetzgeber nicht gewollten Entlastung des Haftpflichtigen würde es aber führen, wenn der Schädiger einwenden könnte, die IV hätte zu hohe Leistungen erbracht, und die IV diese vom Geschädigten nicht zurückfordern könnte. Die Beschwerdegegnerin hat nicht freiwillig von der Geschädigten selbst zu tragende Leistungen erbracht, für die kein Regressrecht besteht (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 und 2 S. 399). Das Verfahren zwischen der Geschädigten und der IV diente vielmehr der Festsetzung der zu erbringenden gesetzlichen Leistungen. Dass Leistungen allenfalls zu Unrecht erfolgt sein könnten, rechtfertigt keine Entlastung des Haftpflichtigen.
10.
Die Beschwerde ist insgesamt abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Oktober 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak