Faits:
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A. Entre le 5 décembre 1996 et le 12 janvier 1999, le Service des contraventions du canton de Genève (ci-après: le Service cantonal) a infligé à X._, née le 22 octobre 1931, dix-sept amendes d'ordre, d'un montant total de 4420 fr., pour diverses infractions à la LCR et à la LSEE.
X._ n'a pas payé ces amendes, dont le prononcé est entré en force. Le 3 juin 1999, le Procureur général du canton de Genève a sommé X._ de régler ce montant dans un délai de dix jours, en se réservant la possibilité de convertir ces amendes en arrêts, selon l'<ref-law>. Dans le délai imparti, X._ a demandé un étalement du paiement, que le Procureur général a accepté. En 1999, X._ a payé à trois reprises le montant mensuel convenu de 200 fr.
Le 13 janvier 2000, le Procureur général a converti le montant de 4420 fr. en quatre-vingt-dix jours d'arrêts. Cette décision indique la voie de l'opposition ordinaire, de l'opposition hors délai et de l'opposition extraordinaire à présenter au Tribunal de police (<ref-law> gen.).
Le 18 janvier 2000, X._ s'est adressée au Tribunal de police. Sans indiquer expressément former une opposition, elle a fait valoir que les trois versements effectués en 1999 n'avaient pas été déduits du montant pris en compte pour effectuer la conversion en arrêts, d'une part, et que, d'autre part, elle se trouvait depuis le mois d'octobre 2000 dans une clinique pour y recevoir un traitement de radiothérapie et de transfusions. Ces circonstances expliquaient son incapacité à se conformer aux termes de l'arrangement convenu en juin 1999. Elle a offert de régler le solde à payer dans le délai d'un mois.
Ne tenant pas cette écriture comme une opposition au sens de l'<ref-law> gen., le Tribunal de police l'a retournée au Ministère public.
Le 2 mars 2001, X._ a été écrouée pour l'exécution de la décision du 13 janvier 2000.
Le 14 mars 2001, X._ est intervenue auprès du Procureur général, par l'entremise de son mandataire, en demandant son élargissement immédiat. Elle a allégué avoir, le 18 janvier 2000, fait opposition à la décision du 13 janvier 2000. En tant que de besoin, elle a déclaré confirmer son opposition. Sans se déterminer sur ces moyens, le Procureur général a ordonné la relaxe de X._, eu égard à son âge et son état de santé, le 15 mars 2001.
Par jugement du 13 juillet 2001, le Tribunal de police du canton de Genève a considéré que l'écriture du 18 janvier 2000 ne pouvait être tenue pour une opposition à la décision du 13 janvier 2000; il a déclaré irrecevable celle formée le 14 mars 2001.
Par jugement du 13 juillet 2001, le Tribunal de police du canton de Genève a considéré que l'écriture du 18 janvier 2000 ne pouvait être tenue pour une opposition à la décision du 13 janvier 2000; il a déclaré irrecevable celle formée le 14 mars 2001.
B. Agissant par la voie du recours de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement du 13 juillet 2001. Elle invoque les art. 5, 9, 29, 30, 31 et 32 Cst., les art. 5, 6 et 13 CEDH, ainsi que l'art. 2 du 7ème Protocole à cette Convention. Elle requiert en outre l'assistance judiciaire.
Le Tribunal de police se réfère au jugement attaqué. Le Procureur général conclut au rejet du recours.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. La recourante reproche au Tribunal de police un formalisme excessif pour n'avoir pas considéré son écriture du 18 janvier 2000 comme une opposition à la décision du 13 janvier 2000.
1.1 Une application stricte des règles de procédure constitue un formalisme excessif, soit un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst., lorsqu'elle ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi et empêche ou complique de manière insoutenable l'application du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux (<ref-ruling> consid. 2a/bb p. 34; <ref-ruling> consid. 3a p. 170; <ref-ruling> consid. 2b/aa p. 179, et les arrêts cités). Le Tribunal fédéral examine librement si l'on se trouve en présence d'une telle situation (<ref-ruling> consid. 2a/bb p. 34; <ref-ruling> consid. 3a p. 170; <ref-ruling> consid. 5a p. 130, et les arrêts cités); il n'examine cependant que sous l'angle restreint de l'arbitraire l'interprétation et l'application du droit cantonal déterminant (<ref-ruling> consid. 1 p. 87; <ref-ruling> consid. 1 p. 290).
1.2 Aux termes de l'<ref-law>, si le condamné n'a ni payé ni racheté l'amende, celle-ci sera convertie en arrêts par le juge (al. 1), qui pourra, dans le jugement ou par une décision ultérieure, exclure la conversion lorsque le condamné lui aura apporté la preuve qu'il est, sans sa faute, dans l'impossibilité de payer l'amende (al. 2); un jour d'arrêts sera compté pour 30 francs d'amende, la durée de ces arrêts ne pouvant toutefois dépasser trois mois (al. 3). A Genève, c'est le Procureur général qui prononce la conversion des amendes en arrêts (art. 375 al. 1 et 2 CPP gen.). Sa décision, sommairement motivée, est notifiée à la personne concernée; elle mentionne la voie de l'opposition, la forme et l'autorité judiciaire compétente; elle précise qu'elle deviendra exécutoire faute d'opposition (art. 375 al. 3 et 4 CPP gen.). Celle-ci doit être présentée au Tribunal de police dans un délai de quatorze jours dès la notification de la décision de conversion, par une déclaration écrite et non motivée (<ref-law> gen.).
1.3 L'écriture du 13 janvier 2000 n'est pas désignée expressément comme une opposition; la recourante n'utilise pas davantage à cet égard le verbe s'opposer ou toute autre locution de même sens. Il restait à examiner, comme le Tribunal de police l'a indiqué lui-même, si du sens de cette écriture il fallait en déduire qu'elle équivalait à une opposition. Le Tribunal de police a répondu par la négative. Le premier point évoqué par la recourante, portant sur le fait que le Procureur général avait omis de déduire les versements effectués en 1999 était sans pertinence, le délai maximal de trois mois fixé à l'<ref-law> étant dépassé de toute manière. Pour le surplus, le Tribunal de police a estimé qu'en offrant de s'acquitter intégralement du solde du montant dû, la recourante avait implicitement renoncé à faire opposition à la décision du 13 janvier 2000. En interprétant de la sorte le deuxième point de la lettre du 18 janvier 2000, le Tribunal de police a donné à celle-ci une portée qu'elle ne pouvait lui prêter. En attirant l'attention de l'autorité sur sa situation personnelle difficile, sa santé déficiente et son hospitalisation dès le mois d'octobre 2000, la recourante a fait usage - certes de manière implicite - de son droit de prouver d'avoir été empêchée sans sa faute de payer les amendes conformément aux accords passés avec le Service cantonal, comme l'<ref-law> lui permettait de le faire. En outre, en sollicitant la patience de l'autorité, la recourante lui a demandé de surseoir à l'exécution, démarche qu'il fallait comprendre, dans les termes d'une septuagénaire malade, isolée, sans défenseur et peu rompue aux subtilités de la langue, spécialement juridique, comme la volonté manifeste de ne pas accepter la décision de conversion. Au demeurant, il était paradoxal de la part de la recourante de ne pas contester la conversion, tout en se déclarant prête à payer le solde des amendes. Si l'autorité éprouvait quelque doute à cet égard, elle aurait dû interpeller la recourante pour dissiper toute équivoque quant à ses intentions véritables. Le Tribunal de police ne pouvait simplement prendre acte du courrier du 18 janvier 2000 et le retourner au Ministère public, comme il l'a fait, ceci d'autant moins que l'opposition n'a pas à être motivée et que la recourante était exposée, en cas de défaut d'opposition, à une peine privative de liberté de quatre-vingt-dix jours. En procédant comme il l'a fait, le Tribunal de police a fait preuve de formalisme excessif.
1.3 L'écriture du 13 janvier 2000 n'est pas désignée expressément comme une opposition; la recourante n'utilise pas davantage à cet égard le verbe s'opposer ou toute autre locution de même sens. Il restait à examiner, comme le Tribunal de police l'a indiqué lui-même, si du sens de cette écriture il fallait en déduire qu'elle équivalait à une opposition. Le Tribunal de police a répondu par la négative. Le premier point évoqué par la recourante, portant sur le fait que le Procureur général avait omis de déduire les versements effectués en 1999 était sans pertinence, le délai maximal de trois mois fixé à l'<ref-law> étant dépassé de toute manière. Pour le surplus, le Tribunal de police a estimé qu'en offrant de s'acquitter intégralement du solde du montant dû, la recourante avait implicitement renoncé à faire opposition à la décision du 13 janvier 2000. En interprétant de la sorte le deuxième point de la lettre du 18 janvier 2000, le Tribunal de police a donné à celle-ci une portée qu'elle ne pouvait lui prêter. En attirant l'attention de l'autorité sur sa situation personnelle difficile, sa santé déficiente et son hospitalisation dès le mois d'octobre 2000, la recourante a fait usage - certes de manière implicite - de son droit de prouver d'avoir été empêchée sans sa faute de payer les amendes conformément aux accords passés avec le Service cantonal, comme l'<ref-law> lui permettait de le faire. En outre, en sollicitant la patience de l'autorité, la recourante lui a demandé de surseoir à l'exécution, démarche qu'il fallait comprendre, dans les termes d'une septuagénaire malade, isolée, sans défenseur et peu rompue aux subtilités de la langue, spécialement juridique, comme la volonté manifeste de ne pas accepter la décision de conversion. Au demeurant, il était paradoxal de la part de la recourante de ne pas contester la conversion, tout en se déclarant prête à payer le solde des amendes. Si l'autorité éprouvait quelque doute à cet égard, elle aurait dû interpeller la recourante pour dissiper toute équivoque quant à ses intentions véritables. Le Tribunal de police ne pouvait simplement prendre acte du courrier du 18 janvier 2000 et le retourner au Ministère public, comme il l'a fait, ceci d'autant moins que l'opposition n'a pas à être motivée et que la recourante était exposée, en cas de défaut d'opposition, à une peine privative de liberté de quatre-vingt-dix jours. En procédant comme il l'a fait, le Tribunal de police a fait preuve de formalisme excessif.
2. Le recours doit être admis pour ce motif et la décision attaquée annulée sans qu'il soit nécessaire, pour le surplus, d'examiner les autres griefs soulevés par la recourante. Il convient de statuer sans frais (art. 156 OJ) et de mettre à la charge de l'Etat de Genève une indemnité de 2500 fr. en faveur de la recourante, à titre de dépens (art. 159 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de droit public est admis et le jugement rendu le 13 juillet 2001 par le Tribunal de police de la République et canton de Genève est annulé.
1. Le recours de droit public est admis et le jugement rendu le 13 juillet 2001 par le Tribunal de police de la République et canton de Genève est annulé.
2. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
2. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
3. Une indemnité de 2500 fr., à payer à X._ à titre de dépens, est mise à la charge de l'Etat de Genève.
3. Une indemnité de 2500 fr., à payer à X._ à titre de dépens, est mise à la charge de l'Etat de Genève.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie au mandataire de la recourante, au Procureur général et au Tribunal de police de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 18 avril 2002
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier e.r.: