Sachverhalt:
A. Der 1953 geborene W._ war als Polier in der Firma B._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 15. Oktober 2003 innerorts einen Verkehrsunfall erlitt. Ein abbiegender BMW 328 prallte frontal in die linke vordere Ecke des Mazda 626, in dem der Versicherte als Beifahrer sass. W._ wurde notfallmässig ins Spital U._ überführt. Dort wurden eine traumatische Milzruptur und eine Rippenserienfraktur mit Hämatopneumothorax links diagnostiziert und eine Rissquetschwunde frontal links am Kopf festgestellt. Es wurden eine apikale und basale Thoraxdrainage links sowie eine mediane Laparotomie mit Revision des Abdomens und Splenorhaphie vorgenommen. Am 4. November 2003 konnte W._ das Spital wieder verlassen (Spitalbericht vom 10. November 2003). Es folgten nebst ambulanter Behandlung Rehabilitationsaufenthalte in der Klinik D._ (vom 4. bis 29. November 2003) und in der Klinik E._ (vom 7. Juli bis 18. August 2004). Die SUVA gewährte Heilbehandlung. Zudem richtete sie Taggeld aus, welches sie mit rechtskräftiger Verfügung vom 21. November 2003 wegen Nichttragens der Sicherheitsgurten um 10 % kürzte. Nach verschiedenen Abklärungen eröffnete die SUVA dem Versicherten mit Verfügung vom 8. März 2007, die Leistungen würden auf den 31. Juli 2007 eingestellt und es bestehe kein Anspruch auf eine Invalidenrente, da die bestehenden Beschwerden organisch nicht hinreichend nachweisbar, sondern vielmehr psychischer Natur seien und es am rechtserheblichen Kausalzusammenhang zum Unfall vom 15. Oktober 2003 fehle. Mit Verfügung vom 9. März 2007 sprach der Versicherer W._ für den bestehenden Tinnitus eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage eines Integritätsschadens von 5 % zu. Der Versicherte erhob Einsprache gegen die Verfügung vom 8. März 2007. Die SUVA hielt an der Verfügung fest (Einspracheentscheid vom 23. Oktober 2007).
B. Die von W._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid UV.2007.00515 vom 2. März 2009 ab.
In einem separaten Verfahren betreffend Leistungsansprüche des W._ aus der Invalidenversicherung hob das Sozialversicherungsgericht eine Verfügung der IV-Stelle auf und wies die Sache zur ergänzenden Abklärung und zur neuen Verfügung an die Verwaltung zurück (Entscheid IV.2008.00419 vom 2. März 2009).
C. W._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid betreffend Unfallversicherung und die Verfügung der SUVA vom 8. März 2007 (resp. der an die Stelle der Verfügung getretene Einspracheentscheid vom 23. Oktober 2007) seien aufzuheben, der Unfallversicherer sei zu verpflichten, weiterhin, auch ab 1. April 2007, die gesetzlich geschuldeten Leistungen zu erbringen, zuzüglich Verzugszins zu 5 %, und die Sache sei an die SUVA zurückzuweisen, damit diese die notwendigen Sachverhaltsabklärungen durchführe und danach über den Rentenanspruch neu entscheide.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 21. Juli 2009 äussert sich W._ nochmals.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Das Bundesgericht kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die SUVA hat den Fall unter Zusprechung einer Integritätsentschädigung für den Tinnitus auf den 31. März 2007 abgeschlossen. Streitig und zu prüfen ist, ob über diesen Zeitpunkt hinaus ein Anspruch auf Leistungen besteht.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im Einspracheentscheid vom 23. Oktober 2007, auf den die Vorinstanz verweist, zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich auch die Grundsätze über die für einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen kausalen Zusammenhänge.
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt. (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 181). Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (sog. Psycho-Praxis; <ref-ruling>), während bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (sog. Schleudertrauma-Praxis; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
3. Das kantonale Gericht hat erkannt, die über den 31. März 2007 hinaus bestandenen Beschwerden seien, abgesehen vom Tinnitus, nicht unfallkausal und begründeten daher keinen Leistungsanspruch. Diese - umstrittene - Beurteilung ist vorab zu prüfen.
Eine andere, vom Beschwerdeführer ebenfalls aufgeworfene Frage ist, ob der - unstreitig unfallkausale - Tinnitus zu weiteren Leistungen (konkret einer Invalidenrente) nebst der zugesprochenen Integritätsentschädigung führen soll. Darauf wird später einzugehen sein.
4. Die Vorinstanz hat die Unfallkausalität mit der Begründung verneint, die noch bestehenden Beschwerden seien nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge zu erklären. Der adäquate Kausalzusammenhang sei demnach besonders zu prüfen. Dies habe, mangels einer Verletzung, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis zu rechtfertigen vermöge, nach der Psycho-Praxis zu erfolgen. Im Ergebnis sei die Adäquanz zu verneinen.
Demgegenüber macht der Versicherte geltend, für die bestehenden Schwindelbeschwerden bestehe ein unfallbedingtes organisches Korrelat. Ein solches würde sich bei ergänzender medizinischer Abklärung auch für die Beschwerden im HWS-Bereich ergeben. Insoweit könne der adäquate Kausalzusammenhang somit ohne besondere Prüfung bejaht werden. Sollte dennoch davon ausgegangen werden, die HWS-Beschwerden liessen sich organisch nicht objektiv nachweisen, wäre von deren natürlichen Unfallkausalität auszugehen und der adäquate Kausalzusammenhang nach der Schleudertrauma-Praxis zu prüfen und zu bejahen. Weiter bestünden organisch nicht nachweisbare Beschwerden in Form einer Magen-Darm-Problematik und eines psychischen Leidens. Diesbezüglich sei der natürliche Kausalzusammenhang wie auch - gestützt auf eine Prüfung nach der Psycho-Praxis - der adäquate Kausalzusammenhang zum Unfall vom 15. Oktober 2003 zu bejahen.
4.1 Hinsichtlich der geltend gemachten unfallbedingten Organizität von Beschwerden gilt Folgendes:
4.1.1 Dass Schwindelbeschwerden mit einem unfallbedingten organischen Korrelat vorliegen, wird durch die medizinischen Akten nicht gestützt. Mit dem hauptsächlich geltend gemachten Umstand, dass ein unfallbedingter Tinnitus besteht, ist noch nicht dargetan, dass bestehende Schwindelbeschwerden mit einer organischen Unfallfolge zu erklären sind. Auch die Aussagen des ORL-Facharztes, auf welche der Beschwerdeführer verweist, lassen den Schluss auf eine solche Unfallfolge nicht zu.
4.1.2 Sodann kann gestützt auf die Akten zuverlässig ausgeschlossen werden, dass im HWS-Bereich eine organisch nachweisbare Folge des Unfalls vom 15. Oktober 2003 besteht. Abgesehen davon, dass erst eineinhalb Jahre nach dem Unfall erstmals eine HWS-Beteiligung erwähnt wurde (hausärztlicher Bericht vom 18. April 2005), haben auch die Untersuchungen der HWS mittels bildgebenden Verfahren keine Anhaltspunkte für eine unfallbedingte Schädigung ergeben (Austrittsbericht Klinik E._ vom 10. August 2004; MRT-Befund vom 16. Juni 2004).
4.2 Liegt keine organisch objektivierbare Unfallfolge vor, schliesst das zwar die natürliche Unfallkausalität der bestehenden Beschwerden nicht aus. Anders als bei einem klaren unfallbedingten organischen Korrelat kann der adäquate Kausalzusammenhang aber nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden (E. 2 hievor). Ergibt sich hiebei, dass es an der Adäquanz fehlt, erübrigen sich auch Weiterungen zur natürlichen Kausalität (vgl. SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c [U 183/93]; Urteil 8C_42/2007 vom 14. April 2008 E. 2 mit Hinweisen).
Das kantonale Gericht hat den adäquaten Kausalzusammenhang nach der Psycho-Praxis geprüft und verneint. Der Versicherte wendet zunächst ein, die HWS-Beschwerden seien mit einer beim Unfall vom 15. Oktober 2003 erlittenen HWS-Distorsion zu erklären. Die Adäquanz in Bezug auf diese Beschwerden sei daher nach der Schleudertrauma-Praxis zu beurteilen.
4.3 Wie bereits ausgeführt, wurde eine HWS-Distorsion erstmals im Bericht des Hausarztes vom 18. April 2005 erwähnt, mithin eineinhalb Jahre nach dem Unfall vom 15. Oktober 2003 (E. 4.1.2 hievor). In den weiteren Arztberichten, den übrigen Akten - etwa der Polizei - und den Aussagen des Versicherten aus der Zeit davor finden sich keine Hinweise dafür, dass die HWS beim Unfall vom 15. Oktober 2003 (ob nun im Sinne eines Schleudertraumas oder eines äquivalenten Unfallmechanismus) betroffen worden wäre. Dies lässt die durch den Hausarzt gestellte Diagnose einer HWS-Distorsion bereits als fraglich erscheinen. Zu beachten ist sodann, dass rechtsprechungsmäss binnen 24 bis höchstens 72 Stunden nach dem Unfall Beschwerden in der Hals-/Nackenregion oder an der HWS auftreten müssen, um gegebenenfalls den Schluss auf ein natürlich unfallkausales Schleudertrauma - oder einen äquivalenten Verletzungsmechanismus - zu gestatten (SVR 2008 UV Nr. 2 S. 3, U 328/06 E. 8.1, und 2007 UV Nr. 23 S. 75, U 215/05 E. 5; RKUV 2000 Nr. U 359 S. 29, U 264/97). Anhaltspunkte dafür, dass es im vorliegenden Fall innerhalb dieser Latenzzeit zu solchen Beschwerden gekommen ist, finden sich weder in den medizinischen Akten noch in den verschiedenen Protokollen über Besprechungen mit dem Versicherten. Erst im hausärztlichen Bericht vom 5. März 2004, mithin geraume Zeit nach dem Unfall, wird ein zervikospondylogenes Syndrom erwähnt. Bei dieser Sachlage verbietet es sich, auf ein beim Unfall erlittenes Schleudertrauma resp. eine äquivalente Verletzung als Erklärung für die bestehenden Beschwerden zu schliessen. Daran ändert nichts, wenn im Verlauf auch Schwindel, welcher zum schleudertraumatypischen Beschwerdebild zählt (<ref-ruling> E. 4b S. 360), aufgetreten ist. Es ist somit nicht zu beanstanden, wenn das kantonale Gericht die Adäquanz der geklagten Beschwerden ausschliesslich nach der Psycho-Praxis (<ref-ruling>) geprüft hat.
4.4 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen, wobei zwischen banalen bzw. leichten Unfällen einerseits, schweren Unfällen anderseits und schliesslich dem dazwischen liegenden mittleren Bereich unterschieden wird. Während der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel bei schweren Unfällen ohne weiteres bejaht und bei leichten Unfällen verneint werden kann, lässt sich die Frage der Adäquanz bei Unfällen aus dem mittleren Bereich nicht aufgrund des Unfallgeschehens allein schlüssig beantworten. Es sind weitere, objektiv fassbare Umstände, welche unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehen oder als direkte bzw. indirekte Folgen davon erscheinen, in eine Gesamtwürdigung einzubeziehen. Je nachdem, wo im mittleren Bereich der Unfall einzuordnen ist und abhängig davon, ob einzelne dieser Kriterien in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sind, genügt zur Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs ein Kriterium oder müssen mehrere herangezogen werden (<ref-ruling> E. 6 S. 138 ff.). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften, nicht jedoch Folgen des Unfalls oder Begleitumstände, die nicht direkt dem Unfallgeschehen zugeordnet werden können (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07 E. 5.3.1).
4.4.1 Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 15. Oktober 2003 dem mittleren Bereich und dort nicht den schwereren Unfällen zugerechnet. Der Versicherte macht geltend, es liege ein schwerer Unfall im mittleren Bereich vor.
4.4.2 Es spricht jeweils Einiges für beide Betrachtungsweisen: Auf der einen Seite ist zu vermerken, dass in der Regel nur Unfälle in der vom Beschwerdeführer postulierten Unfallschwere eingestuft werden (vgl. etwa RKUV 2005 Nr. U 555 S. 322, U 458/04 E. 3.4.1, und Nr. U 548 S. 228, U 306/04 E. 3.2.2; Urteil 8C_609/2007 vom 22. August 2008 E. 4.1.3, je mit Hinweisen), welche auf den ersten Blick für deutlich höhere Krafteinwirkungen sprechen, als die hier gegebene, fast frontale Kollision zweier Personenwagen, welche gemäss Unfallanalyse vom 18. März 2004 mit recht geringer Geschwindigkeit (jeweils unter 30 km/h) fuhren. Auf der anderen Seite gilt zwar, dass die beim Unfall erlittenen Verletzungen ein eigenes Kriterium bilden und daher bei der Beurteilung der Unfallschwere grundsätzlich ausser acht zu lassen sind (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/7 E. 5.3.1). Immerhin können die erlittenen Verletzungen aber Rückschlüsse auf die Kräfte, die sich beim Unfall entwickelt haben, gestatten (Urteil 8C_77/2009 vom 4. Juni 2009 E. 4.1.2). Die im vorliegenden Fall aufgetretenen Verletzungen sprechen dafür, dass der Versicherte, welcher keinen Sicherheitsgurt trug, mit einiger Wucht und entsprechenden Krafteinwirkungen gegen das Armaturenbrett, allenfalls die Frontscheibe, prallte. Abschliessend muss aber nicht beantwortet werden, ob nun die Auffassung des Versicherten oder die der Vorinstanz zutrifft. Denn wie die folgenden Erwägungen zeigen, ist die Adäquanz auch dann zu verneinen, wenn bei der Einstufung der Unfallschwere dem Beschwerdeführer gefolgt wird.
4.5 Bei einem Unfall, der zu den schwereren Fällen im mittleren Bereich zählt oder sogar als Grenzfall zu einem schweren Unfall zu zählen ist, genügt für die Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs, wenn eines der weiteren massgeblichen Kriterien (gemäss <ref-ruling> E. 6c/aa S. 140: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen, insbesondere ihre erfahrungsgemässe Eignung, psychische Fehlentwicklungen auszulösen; ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung; körperliche Dauerschmerzen; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit), nicht notwendigerweise in besonders ausgeprägter Weise, erfüllt ist (<ref-ruling> E. 6c/bb S. 140 f.).
Das kantonale Gericht hat sämtliche Kriterien verneint, der Versicherte erachtet deren sechs als erfüllt. Nicht geltend gemacht wird, nach Lage der Akten zu Recht, das Kriterium der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert. Bezüglich der anderen Kriterien ergibt sich Folgendes:
4.5.1 Besonders dramatische Begleitumstände oder eine besondere Eindrücklichkeit des Unfalls liegen nicht vor. Zu urteilen ist hiebei objektiv und nicht auf Grund des subjektiven Empfindens bzw. Angstgefühls des Versicherten (aus jüngster Zeit: Urteil 8C_249/2009 vom 3. August 2009 E. 8.2 mit Hinweisen). Dem Verkehrsunfall vom 15. Oktober 2003 ist zwar eine gewisse Eindrücklichkeit nicht abzusprechen. Als besonders ist diese aber nicht zu betrachten. Der Schrecken, den der Versicherte erlitten hat, hielt sich im Rahmen des bei Unfällen Üblichen. Entgegen der in der Beschwerde erlittenen Auffassung gestatten die Verletzungen, die der Beschwerdeführer erlitten hat, nicht, das Kriterium zu bejahen. Diesem Gesichtspunkt ist beim Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen Rechnung zu tragen.
4.5.2 Von einer ungewöhnlich lange dauernden, kontinuierlichen und mit einer gewissen Planmässigkeit auf die Verbesserung des Gesundheitszustandes gerichteten ärztlichen Behandlung des somatischen Leidens (vgl. Urteil 8C_249/2009 vom 3. August 2009 E. 8.4 mit Hinweisen), kann nach Lage der Akten nicht gesprochen werden. Das Kriterium der ärztlichen Behandlung ist daher nicht erfüllt. Sollte, wie geltend gemacht wird, wegen des Tinnitus eine Arbeitsunfähigkeit vorliegen, wäre dies nicht hier, sondern beim entsprechenden Kriterium zu berücksichtigen. Sodann kann die geltend gemachte psychotherapeutische Behandlung nicht berücksichtigt werden, da die Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte zu prüfen sind (E. 2 hievor).
4.5.3 Körperliche Dauerschmerzen liegen nicht vor. Die organisch nicht objektiv als Unfallfolge ausgewiesenen Beschwerden in Magen-Darm und am Nacken können hiebei nicht berücksichtigt werden. Der Tinnitus genügt nicht zur Bejahung des Kriteriums.
4.5.4 Ein schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen sind ebenfalls nicht gegeben. Eine Chronifizierung von Beschwerden genügt nicht zur Bejahung des Kriteriums. Es bedürfte besonderer Umstände, welche den Heilungsprozess verzögert haben (Urteil 8C_29/2009 vom 1. Mai 2009 E. 4.2 mit Hinweisen). Dafür bestehen hier keine Anhaltspunkte. Soweit eine psychische Komponente geltend gemacht wird, hat es mit dem Hinweis auf das zum Kriterium der ärztlichen Behandlung Gesagte sein Bewenden.
4.5.5 Nicht gegeben ist auch das Kriterium des Grades und der Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit. Soweit die Arbeitsunfähigkeit beeinträchtigt war, lag dies schon bald nach dem Unfall nicht in den körperlich ausgewiesenen Unfallfolgen, sondern in den übrigen Symptomen, insbesondere der Magen-Darm-Problematik, begründet. Und dass der Tinnitus die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigt hätte, kann aufgrund der Akten verlässlich ausgeschlossen werden (vgl. auch E. 5 hienach).
4.5.6 Damit bleibt das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen. Die Schädigungen, welche sich der Versicherte beim Unfall vom 15. Oktober 2003 namentlich an Thorax/Lunge, Milz und Rippen zugezogen hat, sind zwar gewiss nicht als gering einzuschätzen. Sie sind aber nicht besonderer Art. Die Verletzungen können auch nicht als so schwer eingestuft werden, dass dies alleine für die Bejahung der Adäquanz genügen würde. Eine besondere Eignung dieser Verletzungen, eine psychische Fehlentwicklung auszulösen, ist nicht ersichtlich, zumal schon bald nach dem Unfall und dem gleichentags erfolgten Eingriff von einer Heilung ausgegangen werden konnte. Das Kriterium lässt sich daher nicht als erfüllt betrachten. Das gilt auch unter Berücksichtigung des Umstandes, dass vergleichsweise wichtige Körperorgane mitbetroffen wurden.
4.5.7 Zusammenfassend hat das kantonale Gericht den rechtserheblichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 15. Oktober 2003 und den noch bestehenden Beschwerden (mit Ausnahme des Tinnitus), und damit eine Leistungspflicht der SUVA hiefür, zu Recht verneint.
5. Zu prüfen bleibt, ob aufgrund des anerkanntermassen unfallkausalen Tinnitus Anspruch auf weitere Leistungen nebst der zugesprochenen Integritätsentschädigung besteht.
In der Beschwerde wird dies mit der Begründung bejaht, der Tinnitus bewirke Schlafstörungen, welche wiederum die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigten. Dem kann nicht gefolgt werden. Aus den Akten ergibt sich, dass in erster Linie die - nicht unfallkausale - Magen-Darm-Problematik Beschwerden verursacht und zu Schlafstörungen führt. Das zeigen verschiedene Aussagen des Versicherten. Es wurde auch in keinem Arztbericht dem Tinnitus oder daraus folgenden Schlafstörungen ein Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit zugeschrieben. Besonders zu erwähnen ist hiezu der Austrittsbericht der Klinik E._ vom 10. August 2004. Darin wird der Tinnitus zwar diagnostiziert. Als arbeitsrelevante Problembereiche werden aber ausschliesslich Schmerzen im Abdomen und an der HWS sowie die allgemeine Dekonditionierung bezeichnet. Ein relevanter Einfluss des Tinnitus oder daraus folgender Schlafstörungen auf die Arbeitsfähigkeit ergibt sich entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung auch nicht aus dem Bericht vom 21. Juni 2006 über die am 14. Juni 2006 erfolgte neurotologische Untersuchung. Soweit darin von Arbeiten mit erhöhter Absturzgefahr bzw. auf ungesicherten Gerüsten oder an schnell rotierenden Maschinen abgeraten wird, lässt sich dies zwanglos eher mit dem zeitweise auftretenden Schwindel als mit dem Tinnitus begründen. Diese Beurteilung wird durch die Aussage in einem zweiten - ebenfalls vom 21. Juni 2006 datierenden - Bericht über dieselbe Untersuchung gestützt, wonach ein Arbeitsversuch als Polier wegen "Trümmelgefühl" habe abgebrochen werden müssen.
Beim Tinnitus bleibt es somit bei der zugesprochenen Integritätsentschädigung.
6. Festzuhalten bleibt, dass von den beantragten medizinischen Abklärungen, ob nun im Sinne einer polydisziplinären Begutachtung, mit Blick auf eine organisch nachweisbare Unfallfolge im HWS-Bereich oder in Bezug auf Auswirkungen des Tinnitus auf die Arbeitsfähigkeit, abzusehen ist, da sie keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen. Die relevanten Fragen können aufgrund der vorhandenen Akten verlässlich beantwortet werden. Es muss auch nicht weiter auf die umstrittene Frage eingegangen werden, ob überhaupt ein natürlich unfallkausales psychisches Leiden mit Krankheitswert besteht. Schon deshalb ist auf die vom Beschwerdeführer hiezu neu aufgelegten Arztberichte nicht weiter einzugehen. Diese wären im Übrigen als neue Beweismittel ohnehin als unzulässig zu betrachten (<ref-ruling>).
7. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. September 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz