Sachverhalt:
A.
A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) ist spezialisierter Anästhesie-Arzt. Er behandelte B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) auf Überweisung von Dr. D._ (an die sich die Klägerin nach Konsum von Geflügel wegen schluckabhängiger Schmerzen im Kehlkopf im Juni zur Behandlung begeben hatte) am 8., 9. und 11. August 2003 schmerztherapeutisch in der Klinik C._ (Nebenintervenientin). Bei der letzten Behandlung vom 11. August 2003 trat ein Atemstillstand (Apnoe) auf und die Klägerin wurde in komatösem Zustand ins Kantonsspital Basel verlegt. Sie leidet heute an einer schweren hirnorganischen Beeinträchtigung mit Störung des Sprachverständnisses, des Gedächtnisses und der Merkfähigkeit sowie an motorischen Beeinträchtigungen.
B.
B.a. Mit Teilklage vom 17. August 2005 gelangte die Klägerin an das Bezirksgericht Rheinfelden mit folgenden Begehren:
"Der Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin Fr. 204'476.-- nebst 5% Zins seit 11.08.03 (mittlerer Verfall) zu bezahlen unter Vorbehalt der Nachklage für den zukünftigen Schaden und die Genugtuung. (...) "
Es handelt sich dabei um den von der Klägerin in der Zeit vom 12. August 2003 bis 31. März 2005 erlittenen Haushalt- und Pflegeschaden sowie die Aufwendungen für Franchisen und Selbstbehalte.
B.b. Mit Urteil vom 23. Januar 2013 hiess das Bezirksgericht Rheinfelden die Teilklage teilweise gut und verpflichtete den Beklagten, der Klägerin Fr. 190'972.10 nebst 5 % Zins seit 11. August 2003 zu bezahlen. Das Bezirksgericht lehnte zunächst die vom Beklagten beantragte Oberexpertise ab und gelangte gestützt auf die gerichtlich eingeholten Teil-Gutachten zum Schluss, dass die Klägerin am 11. August 2003 anlässlich der Behandlung durch den Beklagten einen Atemstillstand erlitten hatte, der zu einer Sauerstoff-Unterversorgung des Gehirns führte (Hypoxie) und die Ursache des heutigen Zustands der Klägerin bilde. Der Beklagte hatte der Klinik C._ den Streit mit der Begründung verkündet, er sei am 11. August 2003 in einem Angestelltenverhältnis zu dieser Stiftung gestanden und werde im Fall, dass er haftbar gemacht werden sollte, auf seine Arbeitgeberin Regress nehmen.
B.c. Das Obergericht des Kantons Aargau fasste mit Entscheid vom 21. August 2014 in teilweiser Gutheissung der Berufung des Beklagten Ziffer 1 des erstinstanzlichen Urteils neu und verpflichtete den Beklagten in teilweiser Gutheissung der Klage, der Klägerin Fr. 184'384.20 nebst 5 % Zins seit 11. August 2003 zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Berufung ab. Das Gericht verwarf zunächst die prozessualen Einwendungen des Beklagten gegen das erstinstanzliche Urteil, bejahte die Passivlegitimation des Beklagten, bejahte auch ein Vertragsverhältnis zwischen den Parteien und verwarf die Verjährungseinrede. Das Obergericht bejahte sodann aufgrund der Gutachten die natürliche Kausalität zwischen dem schmerztherapeutischen Eingriff vom 11. August 2003 und dem Gesundheitszustand der Klägerin, verneinte eine Unterbrechung dieses Kausalzusammenhangs, bejahte sodann die Sorgfaltspflichtverletzung und hielt die erforderliche Aufklärung nicht für erwiesen. Es sprach daher - nach Korrektur eines Rechenfehlers - die eingeklagten drei Schadenspositionen zu.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 12. November 2014 stellt der Beklagte die Anträge, das angefochtene Urteil vom 21. August 2014 (zugestellt am 13. Oktober 2014) sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen, eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe <ref-law> verletzt, indem sie keine Berufungsverhandlung durchgeführt habe. Zudem hätte die Vorinstanz seinem Antrag auf ein polydisziplinäres Obergutachten gestützt auf <ref-law> und die Grundsätze der Waffengleichheit, des Fairnessgebotes und des Gleichheitsgebotes entsprechen müssen. Weiter sei sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden, weil einer der Gutachter zwar den Ehemann der Klägerin, aber nicht den Beklagten angehört habe. Ausserdem rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe seine Verjährungseinrede zu Unrecht abgewiesen, da er als von der Nebenintervenientin angestellter Arzt keinen Vertrag mit der Klägerin geschlossen habe und die ausservertraglichen Ansprüche verjährt seien. Er hält sodann an seiner Bestreitung des natürlichen Kausalzusammenhangs fest; vielmehr seien mitursächlich eine posteriore Leukenzephalopathie und eine Mikroembolisierung als Auswirkung der konstitutionellen Prädisposition. Schliesslich äussert sich der Beschwerdeführer zu Adäquanz und Pflichtverletzung und beanstandet die Verlegung der Prozesskosten.
D.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen.
Die Nebenintervenientin beantragt in der Vernehmlassung, die Beschwerde sei abzuweisen.
Das Obergericht verzichtet auf Vernehmlassung.
E.
Mit Verfügung vom 24. Februar 2015 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde betrifft eine Zivilsache (<ref-law>), richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz die Klage teilweise gutgeheissen hat (<ref-law>), sie ist vom Beklagten eingereicht worden, der mit seinen Anträgen im Wesentlichen unterlegen ist (<ref-law>), und der erforderliche Streitwert ist offensichtlich überschritten (<ref-law>). Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde ist - unter Vorbehalt hinreichender Begründung (<ref-law>) - einzutreten.
2.
Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts und damit die Beweiswürdigung nur gerügt werden, wenn die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann.
2.1. Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356).
Die Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich (<ref-law>), wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen).
Soweit die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129 mit Hinweisen), was in der Beschwerde ebenfalls näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3 S. 395).
2.2. Der Beschwerdeführer sucht den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt in mehreren Punkten zu ergänzen oder aus seiner Sicht anders darzustellen, ohne zulässige Rügen vorzubringen oder den Begründungsanforderungen zu genügen. Insoweit ist er nicht zu hören.
3.
Nach <ref-law> kann die Rechtsmittelinstanz eine Berufungsverhandlung durchführen oder aufgrund der Akten entscheiden.
3.1. Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, im Rahmen einer Parteibefragung hätte er darlegen können, dass ein Behandlungsvertrag nicht zwischen ihm selbst und der Beschwerdegegnerin, sondern zwischen der Nebenintervenientin und der Beschwerdegegnerin zustande gekommen sei. Er vertritt die Ansicht, nach den damaligen Anstellungsbedingungen sei er Arbeitnehmer der Nebenintervenientin gewesen und habe daher mit seinem Verhalten gegenüber der Beschwerdegegnerin nur als deren Hilfsperson gehandelt; nur die Nebenintervenientin sei vertraglich gegenüber der Beschwerdegegnerin verpflichtet worden. Er leitet daraus ab, dass er der Beschwerdegegnerin höchstens ausservertraglich hafte und daher deren Forderungen verjährt seien.
3.2. Die Vorinstanz hat ihr Ermessen nicht überschritten, wenn sie keine Berufungsverhandlung anordnete. Es ist nicht ersichtlich und wird in der Beschwerde auch nicht dargelegt, weshalb dem Beschwerdeführer nicht möglich gewesen sein sollte, seinen rechtlichen Standpunkt in den Rechtsschriften verständlich darzustellen. Soweit die internen Arbeitsbedingungen zwischen der Nebenintervenientin und dem Beschwerdeführer für die Frage wesentlich waren, mit wem die Beschwerdegegnerin einen Behandlungsvertrag abschloss, war dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer ohne weiteres möglich und zumutbar, sämtliche Belege einzureichen und die Beweismittel in seinen Rechtsschriften zu nennen. Er macht jedoch nicht geltend, es seien gehörig beantragte Beweise nicht abgenommen worden, sondern verweist auf die von ihm in erster Instanz eingereichten Unterlagen wie den Arbeitsvertrag, den Lohnausweis, die Lohnabrechnung und die gemäss den vertraglichen Regelungen vollzogenen Abrechnungen. Inwiefern von einer zusätzlichen Parteibefragung in einer mündlichen Verhandlung eine Klärung der Sach- oder Rechtslage zu erwarten gewesen wäre, die in den Rechtsschriften und Beweisanträgen nicht in zumutbarer Weise hätte vorgebracht werden können, ist nicht erkennbar.
3.3. Im Übrigen hat die Vorinstanz die interne Abmachung zwischen der Nebenintervenientin und dem Beschwerdeführer für die Frage nicht als erheblich angesehen, ob zwischen den Parteien des vorliegenden Verfahrens ein Behandlungsvertrag zustande gekommen ist. Sie ist zutreffend davon ausgegangen, dass für die Frage des Konsenses für das Zustandekommen ebenso wie für den Inhalt des Vertrages in erster Linie die tatsächlich übereinstimmenden Willensäusserungen der Parteien massgebend sind, welche durch subjektive Auslegung zu ermitteln sind und an die das Bundesgericht nach <ref-law> grundsätzlich gebunden ist (<ref-law>). Wenn eine tatsächliche Willensübereinstimmung unbewiesen bleibt, sind zur Ermittlung des mutmasslichen Parteiwillens die Erklärungen der Parteien aufgrund des Vertrauensprinzips so auszulegen, wie sie nach ihrem Wortlaut und Zusammenhang sowie den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten; diese Auslegung kann vom Bundesgericht als Rechtsfrage überprüft werden. Auch bei der objektivierten Auslegung von Willenserklärungen ist das Bundesgericht allerdings an die Feststellungen des kantonalen Gerichts über die äusseren Umstände sowie das Wissen und Wollen der Beteiligten gebunden (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 666 f.; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 67; <ref-ruling> E. 4 S. 27 f.; je mit Hinweisen).
3.4. Die Vorinstanz hat im vorliegenden Fall erkannt, dass die Beschwerdegegnerin nach Treu und Glauben aufgrund der Umstände schliessen durfte und musste, dass der Behandlungsvertrag mit dem Beschwerdeführer zustande kam. Die Vorinstanz konnte dabei willkürfrei berücksichtigen, dass Privatspitäler wie die als private Stiftung verfasste Nebenintervenientin häufig Belegärzten die Möglichkeit bieten, unter Benutzung ihrer Infrastruktur selbständig tätig zu sein. Aufgrund dieser notorischen Tatsache konnte die Vorinstanz rechtsfehlerfrei schliessen, dass die Beschwerdegegnerin nach Treu und Glauben davon ausgehen konnte, dass sie mit dem Beschwerdeführer einen Vertrag zur schmerztherapeutischen Behandlung abschloss. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers hat ihm die Vorinstanz nicht als Sorgfaltswidrigkeit vorgehalten, dass er die Beschwerdegegnerin über seine angebliche Anstellung als Spitalarzt nicht aufgeklärt habe - sie hat nur festgestellt, dass der Beschwerdeführer nichts unternahm, um das vertrauenstheoretische Verständnis seines sinngemäss geäusserten Willens, einen Behandlungsvertrag mit der Beschwerdegegnerin abzuschliessen, zu widerlegen bzw. aus seiner Sicht richtig zu stellen.
3.5. Die Vorinstanz hat weder <ref-law> verletzt, wenn sie keine Berufungsverhandlung zur Frage des Zustandekommens eines Behandlungsvertrages zwischen den Parteien durchführte, noch hat sie den Vertrauensgrundsatz verletzt, wenn sie erkannte, dass die Beschwerdegegnerin nach Treu und Glauben annehmen durfte, der Beschwerdeführer schliesse mit ihr einen Behandlungsvertrag über die umstrittene Schmerztherapie. Da die Vorinstanz somit einen Vertrag zwischen den Parteien bundesrechtskonform bejahte, konnte sie auch die Einrede der Verjährung verwerfen, was der Beschwerdeführer für diesen Fall nicht in Frage stellt.
4.
Als Verletzung seines rechtlichen Gehörs rügt der Beschwerdeführer, das Gutachten "Spital F._" sei in Verletzung seiner Mitwirkungsrechte, namentlich § 206 des Zivilrechtspflegegesetzes des Kantons Aargau vom 18. Dezember 1984 (ZPO/AG), erstellt worden.
4.1. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zu erweitern sucht, indem er insbesondere vorbringt, das Gutachten Anästhesie beruhe fast ausschliesslich auf den Aussagen des Ehemannes der Beschwerdegegnerin und der Beantwortung angeblicher Suggestivfragen, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen, dass er vor Vorinstanz entsprechende Rügen erhoben hätte (oben E. 2.1). Es ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer entsprechende Rügen vor der Vorinstanz gegen das von der ersten Instanz eingeholte Gutachten nicht erhoben hat. Das Vorbringen hat als neu zu gelten und ist unzulässig (<ref-law>).
4.2. Im Übrigen hat die Vorinstanz zur vom Beschwerdeführer gerügten Verletzung von <ref-law>/AG ausgeführt, dass Beweiserhebungen grundsätzlich durch das Gericht getroffen werden und der Gutachter selber grundsätzlich nicht befugt sei, Beweise zu erheben, sondern selber ein Beweismittel schaffe, zu dem die Parteien Stellung nehmen könnten. Selbst wenn man aber die im Zusammenhang mit der Erstellung des Gutachtens erfolgte Untersuchung der Beschwerdegegnerin als Beweiserhebung durch den Gutachter qualifizieren wollte, so liege unter dem Gesichtspunkt des Persönlichkeitsschutzes in der Natur der Sache, dass zur medizinischen Begutachtung einer Partei - jedenfalls gegen deren Willen - keine Drittpersonen zugelassen seien. Inwiefern die Vorinstanz damit § 205 Abs. 1 der hier noch anwendbaren kantonalen ZPO willkürlich angewandt haben könnte, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Auf die Rüge ist nicht einzugehen.
5.
Die Vorinstanz hat aufgrund der von der ersten Instanz beim Spital F._ eingeholten gerichtlichen Gutachten - welche in vier Teilgutachten eingereicht wurden - geschlossen, dass die gesundheitliche Schädigung der Beschwerdegegnerin auf den Atemstillstand nach der Behandlung durch den Beschwerdeführer vom 11. August 2003 zurückzuführen ist. Sie hat die Schlussfolgerung der Gerichtsgutachten durch die privaten Gutachten des Beschwerdeführers nicht als widerlegt angesehen und die Anordnung eines Obergutachtens bzw. eines polydisziplinären Gutachtens statt der eingeholten Teilgutachten nicht als erforderlich angesehen. Sie hat die Widerrechtlichkeit des Verhaltens des Beschwerdeführers bejaht, weil dieser die Beschwerdegegnerin nach abgeschlossenem Eingriff (Stellatum-Blockade) auf dem Behandlungstisch liegen liess und sich Schreibarbeiten zuwandte und ausserdem seine ärztliche Aufklärungspflicht verletzt habe, indem er insbesondere nicht in einem Gespräch vor der Behandlung sich über die Situation der Beschwerdegegnerin informiert und diese über die Risiken der Behandlung aufgeklärt habe. Die Vorinstanz hat daher den eingeklagten Schaden, den die Beschwerdegegnerin aufgrund ihrer Gesundheitsschädigung erlitten hat, zugesprochen.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt namentlich als Verletzung von <ref-law>/AG (der auf das erstinstanzliche Verfahren noch anwendbar war und wonach mehrere Gutachter ein Gutachten gemeinsam zu erstatten hätten), dass die Vorinstanz die Anordnung eines polydisziplinären Gutachtens abgewiesen hat. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil zunächst dargelegt, dass der Beschwerdeführer gegen das Vorgehen der Einholung von Teilgutachten nicht opponiert und sogar selbst eine Aufteilung der Gutachterfragen nach Teilgebieten vorgenommen hatte. Die Vorinstanz hat sodann anerkannt, dass in der prozessleitenden Verfügung der ersten Instanz von der Einholung eines polydisziplinären Gutachtens die Rede war und sie hat die Begutachtung, die tatsächlich stattgefunden hat, mangels Konsilium der Gutachter nicht als polydisziplinär qualifiziert. Sie hat jedoch die Aussagen in den vier Teilgutachten als dermassen übereinstimmend erachtet, dass von einer polydisziplinären Beurteilung keine klareren Antworten zu erwarten wären und sie hat nicht erkannt, wieso <ref-law>/AG ausschliessen sollte, mehrere Einzelgutachten zu unterschiedlichen Fachbereichen einzuholen.
Inwiefern die Vorinstanz <ref-law>/AG willkürlich ausgelegt oder angewandt haben könnte, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Im Übrigen hat die Vorinstanz entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers die Gutachten gerade nicht als mangelhaft, sondern als schlüssig erachtet. Inwiefern sie in Willkür verfallen sein könnte, wenn sie von einer polydisziplinären Beurteilung keine zusätzlichen Erkenntnisse erwartete, ist der Beschwerde wiederum nicht zu entnehmen. Die blosse gegenteilige Behauptung und andere Interpretation der vier Gutachten aus Sicht des Beschwerdeführers vermag Willkür jedenfalls nicht auszuweisen.
5.2. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe mit der Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem durch seine Behandlung verursachten Atemstillstand und der Gesundheitsschädigung der Beschwerdegegnerin die Beweise fehlerhaft bzw. willkürlich gewürdigt. Er legt seiner Kritik an der Würdigung der Beweise durch die Vorinstanz insbesondere eine Stellungnahme seines Privatgutachters Prof. E._ zu den Ausführungen im angefochtenen Urteil zugrunde und kritisiert aus seiner Sicht die Schlüsse der Vorinstanz.
5.2.1. Ein natürlicher Kausalzusammenhang liegt vor, wenn das schadensstiftende Verhalten eine notwendige Bedingung (conditio sine qua non) für den eingetretenen Schaden ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 718; <ref-ruling> E. 2d S. 184 mit Hinweisen), d.h. das fragliche Verhalten nicht weggedacht werden kann, ohne dass auch der eingetretene Erfolg entfiele bzw. nicht in gleicher Weise oder zur gleichen Zeit als eingetreten gedacht werden könnte. Entsprechend dieser Umschreibung ist für die Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs nicht erforderlich, dass ein Ereignis die alleinige oder unmittelbare Ursache gesundheitlicher Störungen ist; es genügt, dass das schädigende Ereignis zusammen mit anderen Bedingungen die körperliche oder geistige Integrität der geschädigten Person beeinträchtigt hat, das pflichtwidrige Verhalten mit anderen Worten nicht weggedacht werden kann, ohne dass auch die eingetretene gesundheitliche Störung entfiele (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen). Die Feststellung zum tatsächlichen Bestand des Schadens sowie dem Kausalzusammenhang zwischen dem schädigenden Verhalten und dem Schaden betrifft den Sachverhalt (<ref-law>) und beruht auf Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2d und 2e S. 25 f., 180 E. 2d S. 184; je mit Hinweisen).
5.2.2. Soweit der Beschwerdeführer bei seiner Kritik an der Beweiswürdigung der Vorinstanz davon auszugehen scheint, dass die Kausalität schon entfalle, wenn neben dem Atemstillstand aufgrund seiner Behandlung vom 11. August 2003 noch weitere Ursachen für die Gesundheitsschädigung der Beschwerdegegnerin in Betracht fallen, geht er von einer falschen Rechtsauffassung aus. Es genügt wie erwähnt, dass der Atemstillstand aufgrund der Schmerztherapie vom 11. August 2003 nicht weggedacht werden kann, ohne dass auch der Erfolg in gleicher Weise oder zur gleichen Zeit eingetreten wäre. Soweit daher die Kritik des Beschwerdeführers darauf aufbaut, dass andere Mitursachen beständen, welche die Folgen seiner Behandlung als Ursache für die Gesundheitsschädigung als untergeordnet erscheinen liessen, geht seine Kritik an der Sache vorbei. Insbesondere ist weder dargetan noch erkennbar, inwiefern willkürlich sein könnte, andere mögliche Ursachen nicht als derart überwiegend zu erachten, dass sie geradezu kausalitätsunterbrechend wirkten.
5.2.3. Im Übrigen erschöpfen sich die Vorbringen in der Beschwerde weitgehend in abweichender Würdigung oder in Hypothesen, mit denen Willkür in der Beweiswürdigung nicht zu begründen ist. Soweit sich der Beschwerdeführer dabei nicht ohnehin auf Umstände beruft, die im angefochtenen Urteil nicht festgestellt sind und er den massgebenden Sachverhalt ohne Beachtung der strengen Rügepflicht und des Novenverbots (oben E. 2.1) erweitert, verkennt er, dass es nicht Aufgabe des Bundesgerichts ist, die Beweise neu zu würdigen und die von der ersten Instanz eingeholten Gutachten neu zu interpretieren. Es wäre ihm oblegen, nachzuweisen, dass die von der Vorinstanz vorgenommene Interpretation schlechterdings nicht vertretbar ist. Dies vermag er mit der Behauptung einer angeblich falschen oder unpräzisen Wortwahl so wenig wie mit der Behauptung eines möglichen abweichenden Verlaufs bzw. einer möglicherweise anderen unmittelbaren Ursache ("Mikroembolisierung", "posteriore Leukenzephalopatie" oder "Medi-Cocktail", für welch letztere die Vorinstanz keine Anhaltspunkte gesehen hat und die der Beschwerdeführer im - unterlassenen - Gespräch vor der Behandlung hätte klären müssen). Er verkennt damit wiederum die rechtlich relevanten Kriterien, wonach namentlich eine überwiegende Wahrscheinlichkeit genügt, welche durch bloss mögliche andere Ursachen nicht ausgeschlossen wird und auch eine konstitutionelle Prädisposition die Haftung für Fehlverhalten nicht ausschliesst.
5.3. Die - appellatorischen - Vorbringen in der Beschwerde vermögen weder Willkür in der Würdigung der von der ersten Instanz eingeholten Gutachten auszuweisen noch aufzuzeigen, inwiefern willkürlich sein sollte, auf die Einholung weiterer Gutachten zu verzichten.
6.
Soweit der Beschwerdeführer schliesslich unter dem Titel der Adäquanz wiederum beanstandet, dass die Vorinstanz der konstitutionellen Prädisposition der Beschwerdegegnerin kein haftungsausschliessendes Gewicht beigemessen hat, beschränkt sich die Begründung in der Beschwerde auf eine Kritik an der Würdigung der Beweise durch die Vorinstanz. Soweit der Beschwerdeführer die von der Vorinstanz festgestellte Pflichtverletzung kritisiert und namentlich beanstandet, die an die ärztliche Abklärung und Aufklärung im Vorfeld eines Eingriffs gestellten Anforderungen würden "nicht der aktuellen Rechtsprechung" entsprechen, kann seiner nicht belegten Behauptung nicht gefolgt werden. Im Übrigen erschöpfen sich auch die Ausführungen unter diesem Titel wiederum in einer Bestreitung des von den Vorinstanzen in eingehender Würdigung der Beweise festgestellten Kausalzusammenhangs. Die Kritik des Beschwerdeführers an der Würdigung der Beweise durch die Vorinstanz vermag wie erwähnt keine Willkür auszuweisen - auch insoweit nicht, als er abschliessend versucht, "mit Nachdruck darauf hinzuweisen, dass die Vorinstanz in Würdigung der Beweislage niemals hätte von einer Hypoxie ausgehen dürfen".
7.
Da der Beschwerdeführer im Übrigen die Berechnung des Schadens und namentlich auch den Beginn der Zinspflicht nicht kritisiert, besteht kein Anlass zu entsprechender Prüfung. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit im angefochtenen Urteil die Klage im Wesentlichen geschützt wird.
8.
Soweit der Beschwerdeführer schliesslich die Verteilung der Kosten durch die Vorinstanz rügt, verkennt er, dass der von ihm selbst erwähnte Ermessensspielraum der Vorinstanz nicht ausschliesst, dass sie das teilweise Unterliegen der Beschwerdegegnerin im Umfang von insgesamt weniger als 10 % mit der Begründung rechtsfehlerfrei ausser Acht lassen konnte, dass der übersetzte Klagebetrag auf einen blossen Rechenfehler zurückzuführen war.
9.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Diesem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen und der Beschwerdegegnerin deren Parteikosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu ersetzen (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).
Die Beschwerdegegnerin hat um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das Verfahren vor Bundesgericht ersucht. Die Voraussetzungen dafür sind erfüllt, namentlich kann aufgrund der eingereichten Unterlagen auch die Voraussetzung der Bedürftigkeit bejaht werden. Für den Fall der Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung ist daher Rechtsanwalt Dr. Rolf Thür, Zürich, aus der Gerichtskasse ein Honorar auszurichten.
Die anwaltlich vertretene Nebenintervenientin hat sich zu den sie betreffenden Fragen vernehmen lassen. Ihr ist eine reduzierte Parteientschädigung zu Lasten des Beschwerdeführers zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden dem Beschwerdefü hrer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
Für den Fall der Uneinbringlichkeit wird Rechtsanwalt Dr. Rolf Thür, Zürich, aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 7'000.-- ausgerichtet, unter Vorbehalt der Rückforderung.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Nebenintervenientin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. April 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier