Sachverhalt:
A.
Der 1980 geborene, zuletzt als Chauffeur/Lagermitarbeiter tätig gewesene S._ meldete sich im November 2009 unter Hinweis auf Rückenbeschwerden aufgrund eines Morbus Bechterew bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Aargau holte, nebst weiteren Abklärungen, ein interdisziplinäres medizinisches Gutachten (Fachrichtungen Innere Medizin, Rheumatologie, Psychiatrie) des Instituts X._ vom 29. August 2011 ein. Mit Verfügungen vom 28. Dezember 2011 sprach sie dem Versicherten rückwirkend vom 1. Juni bis 31. August 2010 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze und ab 1. September 2010 bei einem Invaliditätsgrad von noch 50 % eine halbe Invalidenrente (jeweils nebst Kinderrenten) zu.
B.
Die von S._ hiegegen erhobene Beschwerde auf Zusprechung einer ganzen Rente auch ab 1. September 2009 (recte: 2010) wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 14. November 2012 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, die Verwaltungsverfügung vom 28. Dezember 2011 und der vorinstanzliche Entscheid seien aufzuheben, soweit der Anspruch auf eine ganze Invalidenrente verneint werde, und es seien die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen, insbesondere eine ganze Rente über den 1. September 2010 hinaus; eventuell sei das Gutachten des Instituts X._ vom 29. August 2011 aus dem Recht zu weisen; subeventuell sei die Verwaltung im Rahmen einer Rückweisung zu verpflichten, eine neue psychiatrische Begutachtung in Auftrag zu geben.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Beantragt werden die gesetzlichen Leistungen, insbesondere eine Rente. Die Beschwerdebegründung äussert sich indessen nur zur Rente und nicht zu einem allfälligen Anspruch auf andere Leistungen. Auf anderweitige Leistungen braucht daher ungeachtet der Antragsformulierung nicht weiter eingegangen werden.
3.
Gemäss dem angefochtenen Entscheid hat der Beschwerdeführer ab 1. Juni 2010 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente. Das ist unbestritten und gibt keinen Anlass zu Weiterungen. Umstritten ist, ob dieser Anspruch zu Recht ab 1. September 2010 auf eine halbe Invalidenrente herabgesetzt wurde.
Das beurteilt sich, zumal die erst danach im Rahmen der 6. IV-Revision am 1. Januar 2012 in Kraft getretenen Änderungen noch nicht anwendbar sind, nach den im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegten, hier sinngemäss anwendbaren Regeln der Rentenrevision nach <ref-law>. Entscheidend ist demnach, ob eine wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen eingetreten ist, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Rentenanspruch zu beeinflussen (<ref-law> und dazu ergangene Rechtsprechung).
Richtig wiedergegeben sind im vorinstanzlichen Entscheid auch die Bestimmungen und Grundsätze zu den Begriffen Invalidität und Erwerbsunfähigkeit, namentlich auch im Hinblick auf Schmerzstörungen, zum nach dem Invaliditätsgrad abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente, zum Beginn des Rentenanspruchs und zur Beweiswürdigung, insbesondere mit Blick auf ärztliche Berichte und Gutachten. Darauf wird verwiesen.
4.
Das kantonale Gericht hat bezüglich Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit auf das Gutachten des Instituts X._ vom 29. August 2011 abgestellt. Darin werden folgende Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit gestellt: 1. seronegative Spondylarthropathie, ED 2008 (ICD-10: M45), aktuell in partieller Remission, bei u.a. ausgeprägter Schmerzverarbeitungsstörung; 2. chronische Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren (ICD-10: F45.42); 3. Angst und Depression gemischt (ICD-10: F41.2). Als Diagnose ohne Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit werden narzisstische Persönlichkeitszüge (ICD-10: F61.1) erwähnt.
Die Vorinstanz hat gestützt auf die Expertise des Instituts X._ erwogen, der Versicherte sei aus rheumatologischer Sicht in einer angepassten Tätigkeit zu 50 % arbeitsfähig. Der psychische Gesundheitszustand habe sich insofern geändert, dass zunächst eine Anpassungsstörung bestanden habe, welche dann durch eine Schmerzverarbeitungsstörung abgelöst worden sei. Aufgrund der Anpassungsstörung habe vom 12. April bis 9. Mai 2010 eine volle Arbeitsunfähigkeit bestanden. Ausserhalb dieses Zeitraums habe die psychische Problematik die Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit aber nie höhergradig eingeschränkt als von rheumatologischer Seite attestiert. Das gelte namentlich auch unter Berücksichtigung der Schmerzverarbeitungsstörung. Diese sei unter Berücksichtigung der Rechtsprechung zur invalidisierenden Wirkung somatoformer Schmerzstörungen als mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar zu betrachten.
Der Beschwerdeführer ist ebenfalls der Auffassung, aus rheumatologischer Sicht bestehe eine hälftige Arbeitsfähigkeit. Seine Einwände betreffen die Entwicklung von Gesundheitszustand und Arbeitsunfähigkeit aus psychiatrischer Sicht.
4.1. Geltend gemacht wird zunächst, die bundesgerichtliche Rechtsprechung zur somatoformen Schmerzstörung verstosse gemäss dem "Rechtsgutachten zur Rechtslage betreffend Zusprache von IV-Renten in Fällen andauernder somatoformer Schmerzstörungen und ähnlicher Krankheiten unter Berücksichtigung der Rechtsprechung des Bundesgerichts bis Herbst 2012 und der Bundesgesetzgebung im Rahmen der 5. und 6. IV-Revision" von Prof. Jörg Paul Müller und Matthias Kradolfer vom 20. November 2012 gegen Art. 6 Ziff. 1 und Art. 14 EMRK.
Der Einwand ist unbegründet. Das Bundesgericht hat sich im jüngst ergangenen, zur Publikation vorgesehenen Grundsatzurteil 8C_972/2012 vom 31. Oktober 2013 E. 3 ff., insbesondere E. 8.2 in fine, mit dieser Frage befasst. Es hat, unter Berücksichtigung auch des Rechtsgutachtens Müller/Kradolfer vom 20. November 2012, e ntschieden, dass die von der Rechtsprechung erarbeiteten und in der Gesetzgebung aufgenommenen Grundsätze zur invalidisierenden Wirkung somatoformer Schmerzstörungen die EMRK nicht verletzen. Es besteht keine Veranlassung, davon abzuweichen.
4.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, das Gutachten des Instituts X._ stelle keine verlässliche Grundlage zur Beurteilung von Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit aus psychiatrischer Sicht dar. Es sei aus dem Recht zu weisen.
4.2.1. Begründet wird dieses Vorbringen zunächst damit, das Gutachten des Instituts X._ weise einen formellen Mangel auf. Zwar seien die rheumatologischen und psychiatrischen Teilgutachten vom 8. Juli resp. 9. August 2011 durch die jeweils begutachtenden Fachärzte unterschrieben worden. Das Hauptgutachten (vom 29. August 2011) mit der fachübergreifenden Würdigung weise aber nur die Unterschrift des begutachtenden Internisten auf.
Aus dem Gutachten des Instituts X._ vom 29. August 2011 geht hervor, dass die Konklusion der Expertise am 11. August 2011 im Rahmen einer interdisziplinären Konsensbesprechung mit den medizinischen Experten aus dem internistischen, rheumatologischen und psychiatrischen Fachbereich erarbeitet wurde. Es besteht kein Anlass, daran zu zweifeln. Der Umstand, dass dies nurmehr durch die Unterschrift des Internisten, welcher zugleich Ärztlicher Leiter Begutachtung des Instituts X._ ist, bestätigt wurde, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Damit kann auch offen bleiben, ob sich andernfalls überhaupt ein formeller Mangel des Gutachtens ergäbe.
4.2.2. Geltend gemacht werden sodann inhaltliche Mängel des Gutachtens des Instituts X._. Die Restarbeitsfähigkeit sei deswegen, und zwar nicht nur in psychiatrischer Sicht, sondern in Kombination mit der - für sich betrachtet unbestrittenen - Restarbeitsfähigkeit aus rheumatologischer Sicht, erneut durch eine vom Bundesgericht anzuordnende psychiatrische Begutachtung zu beurteilen.
Das kantonale Gericht hat gestützt auf eine einlässliche Beweiswürdigung erkannt, dass das Gutachten des Instituts X._ die sich stellenden medizinischen Fragen zu Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit nicht nur aus somatomedizinischer, sondern auch aus psychiatrischer Sicht und in der interdisziplinären Beurteilung verlässlich beantwortet. Es hat dabei auch dargelegt, weshalb es sich durch die Aussagen der behandelnden Psychiaterin nicht zu einer abweichenden Auffassung veranlasst sieht.
Diese Sachverhaltsfeststellung ist nicht offensichtlich unrichtig oder in anderer Weise rechtswidrig. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung ist sie erst recht nicht willkürlich. Daran vermögen die Einwände des Versicherten nichts zu ändern. Dass er die Aussagen der psychiatrischen Expertin und der behandelnden Psychiaterin teilweise anders deutet und gewichtet, stellt die vorinstanzliche Beweiswürdigung nicht in Frage. Sodann weisen die Arztberichte auch keine relevanten Widersprüche auf und ist von ergänzenden ärztlichen Stellungnahmen oder zusätzlicher medizinischer Abklärung kein entscheidrelevanter neuer Aufschluss zu erwarten. Das gilt gleichermassen hinsichtlich der interdisziplinären Beurteilung der noch gegebenen Arbeitsfähigkeit.
4.3. Für den Fall, dass das Bundesgericht trotz der erhobenen Einwände am Gutachten des Instituts X._ und an der Rechtsprechung zu den somatoformen Schmerzstörungen festhalte, macht der Beschwerdeführer geltend, die nach letzterer geltenden Kriterien seien in hinreichender Weise erfüllt, um die bestehende Schmerzverarbeitungsstörung als invalidisierend zu betrachten.
4.3.1. Nach der Rechtsprechung besteht eine Vermutung, dass die somatoforme Schmerzstörung oder ihre Folgen mit einer zumutbaren Willensanstrengung überwindbar sind. Bestimmte Umstände, welche die Schmerzbewältigung intensiv und konstant behindern, können den Wiedereinstieg in den Arbeitsprozess unzumutbar machen, weil die versicherte Person alsdann nicht über die für den Umgang mit den Schmerzen notwendigen Ressourcen verfügt. Ob ein solcher Ausnahmefall vorliegt, entscheidet sich im Einzelfall anhand verschiedener Kriterien. Im Vordergrund steht die Feststellung einer psychischen Komorbidität von erheblicher Schwere, Ausprägung und Dauer. Massgebend sein können auch weitere Faktoren, so: chronische körperliche Begleiterkrankungen; ein mehrjähriger, chronifizierter Krankheitsverlauf mit unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne länger dauernde Rückbildung; ein sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens; ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr beeinflussbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn; "Flucht in die Krankheit"); das Scheitern einer konsequent durchgeführten ambulanten oder stationären Behandlung (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) trotz kooperativer Haltung der versicherten Person. Je mehr dieser Kriterien zutreffen und je ausgeprägter sich die entsprechenden Befunde darstellen, desto eher sind - ausnahmsweise - die Voraussetzungen für eine zumutbare Willensanstrengung zu verneinen (<ref-ruling>; <ref-ruling>; zur Anwendbarkeit dieser Grundsätze bei der Diagnose ICD-10: F45.41: <ref-ruling> E. 4 S. 67 ff.; Urteile 8C_98/2013 vom 4. Juli 2013 E. 3.3.1 mit Hinweis und 9C_322/2011 vom 29. August 2011 E. 4.1; vgl. auch <ref-law>).
Bei der bundesgerichtlichen Beurteilung, ob die Vorinstanz eine invalidisierende Schmerzstörung zu Recht verneint hat, gilt kognitionsrechtlich Folgendes: Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt zunächst, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (oder ein damit vergleichbarer syndromaler Zustand) vorliegt, und bejahendenfalls sodann, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 66 mit Hinweis).
4.3.2. Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, von den massgeblichen Kriterien seien lediglich zwei (chronische körperliche Begleiterkrankungen; mehrjähriger, chronifizierter Krankheitsverlauf) und möglicherweise noch ein drittes (verfestigter, therapeutisch nicht mehr beeinflussbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung) gegeben. Das genüge nicht, um die Schmerzstörung als - mit zumutbarer Willensanstrengung - nicht überwindbar zu betrachten, zumal es am Hauptkriterium der erheblichen psychischen Komorbidität fehle.
4.3.3. Der Beschwerdeführer wendet namentlich ein, das kantonale Gericht habe die erhebliche psychische Komorbidität und den sozialen Rückzug in allen Belangen des Lebens zu Unrecht verneint.
Die Vorinstanz hat erwogen, die aus psychiatrischer Sicht nebst der Schmerzstörung und den narzisstischen Persönlichkeitszügen erwähnte "Angst und Depression gemischt" stelle keine selbstständige Diagnose dar, welche eine psychische Komorbidität von erheblicher Schwere, Ausprägung und Dauer im Sinne der Schmerzstörungspraxis zu begründen vermöge. Diese Beurteilung ist rechtmässig (vgl. Urteil 9C_636/2007 vom 28. Juli 2008 E. 3.3.2). Die Präjudizien und die juristische Literatur, welche der Beschwerdeführer zur Stützung seiner gegenteiligen Auffassung erwähnt, enthalten keine Aussagen, welche dies auch nur ansatzweise in Frage zu stellen vermöchten. Der Hinweis des Versicherten auf die narzisstische Komponente und daraus allenfalls folgende Coping-Schwierigkeiten rechtfertigt ebenfalls nicht den Schluss auf eine erhebliche psychische Komorbidität. Damit fehlt es am zentralen Qualifizierungsmerkmal (vgl. hiezu Urteile I 100/06 vom 5. Juli 2006 E. 3.2 und I 767/03 vom 9. August 2004 E. 3.3.2) dafür, ob (ausnahmsweise) eine invalidisierende Arbeitsunfähigkeit gegeben ist.
Festzuhalten ist sodann, dass der Beschwerdeführer mit seiner Ehefrau und den gemeinsamen zwei Kindern im Vorschul- resp. Primarschulalter zusammenlebt. Darüber hinaus pflegt er unbestrittenermassen Kontakte zu einem Kollegen und seinen zwei Schwestern, und er geht auch draussen spazieren. Von einem sozialen Rückzug in allen Belangen des Lebens kann bei diesen Verhältnissen keine Rede sein.
Die übrigen Kriterien sind jedenfalls nicht in genügender Weise erfüllt, um dennoch den Schluss auf eine invalidisierende Arbeitsunfähigkeit zu gestatten. Das geht im Übrigen auch aus der Beurteilung der Gutachter des Instituts X._ hervor, wonach die psychische Problematik von der aus somatischen Gründen bestätigten Arbeitsunfähigkeit miterfasst wird und zu keiner zusätzlichen Beeinträchtigung des Leistungsvermögens führt. Was der Versicherte vorbringt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Es trifft namentlich auch nicht zu, dass generell bereits ein einzelnes erfülltes Kriterium genügen soll, um die Schmerzstörung als unüberwindbar zu betrachten.
5.
5.1. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz zu Recht erkannt, dass infolge einer Verbesserung des psychischen Gesundheitszustandes nunmehr eine 50 %ige Arbeitsfähigkeit in angepassten Tätigkeiten vorgelegen hat. Zur Bestimmung des sich daraus ergebenden Invaliditätsgrades hat sie einen Einkommensvergleich vorgenommen. Sie hat dazu im Wesentlichen erwogen, massgeblich seien die Verhältnisse im Jahr 2010. Das ohne Gesundheitsschaden mutmasslich erzielte Einkommen (Valideneinkommen) sei, ausgehend von den Angaben des früheren Arbeitgebers, auf Fr. 59'932.10 festzusetzen. Das trotz gesundheitsbedingter Beeinträchtigung zumutbarerweise noch erzielbare Einkommen (Invalideneinkommen) sei anhand von Tabellenlöhnen gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) zu bestimmen. Auszugehen sei vom Totalwert der Löhne von Männern für Tätigkeiten auf dem Anforderungsniveau 4 gemäss Tabelle TA1 der LSE 2010. Die Anpassung an die betriebsübliche Arbeitszeit führe zu einem Invalideneinkommen von Fr. 28'275.-. Davon sei ein leidensbedingter Abzug von 10 % vorzunehmen. Die Gegenüberstellung des resultierenden Invalideneinkommens von Fr. 25'447.50 mit dem Valideneinkommen ergebe eine Erwerbseinbusse von Fr. 34'484.60, entsprechend einem Invaliditätsgrad von (gerundet) 58 %. Damit bestehe ab 1. September 2010 nurmehr Anspruch auf eine halbe Invalidenrente.
5.2. Der Beschwerdeführer beanstandet einzig die Höhe des leidensbedingten Abzuges. Dieser sei auf mindestens 20 % festzusetzen. Das führe zu einem Invaliditätsgrad, welcher einen Anspruch auf eine Dreiviertelsrente begründe.
5.2.1. Praxisgemäss kann von dem anhand von LSE-Tabellenlöhnen ermittelten Invalideneinkommen unter bestimmten Voraussetzungen ein leidensbedingter Abzug vorgenommen werden. Dieser soll persönlichen und beruflichen Umständen (leidensbedingte Einschränkung, Alter, Dienstjahre, Nationalität/Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad) Rechnung tragen, welche negative Auswirkungen auf die Lohnhöhe der gesundheitlich beeinträchtigten Person haben können. Der Einfluss sämtlicher Merkmale auf das Invalideneinkommen ist nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen, wobei der Abzug auf höchstens 25 % zu begrenzen ist (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481; <ref-ruling>; vgl. auch: <ref-ruling> E. 5.2 S. 301 mit Hinweisen).
Ob ein (behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter) Abzug vom hypothetischen Invalideneinkommen vorzunehmen sei, ist eine Rechtsfrage. Demgegenüber stellt die Höhe des Abzuges eine typische Ermessensfrage dar, deren Beantwortung letztinstanzlicher Korrektur nur dort zugänglich ist, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, d.h. bei Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung (vgl. <ref-ruling>E. 5.1 S. 72 f. mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.3 in fine S. 399).
5.2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, beim Abzug seien der reduzierte Beschäftigungsgrad, welcher besonders bei Männern den erzielbaren Lohn senke, und der erforderliche Wechsel in ein neues Tätigkeitsgebiet zu berücksichtigen. Diesen Faktoren hat das kantonale Gericht indessen Rechnung getragen, indem es als abzugsrelevante Faktoren sowohl den behinderungsbedingt herabgesetzten Beschäftigungsgrad als auch die leidensbedingten Einschränkungen, welche eine angepasste Tätigkeit erfordern, berücksichtigte. Der Beschwerdeführer macht überdies geltend, es seien krankheitsbedingte Absenzen vom Arbeitsplatz möglich. Solche Absenzen können aber als in der ärztlich festgelegten Teilarbeitsunfähigkeit mitberücksichtigt gelten. Die Festsetzung des Abzuges auf gesamthaft 10 % durch das kantonale Gericht stellt keine qualifiziert falsche Ermessensausübung dar, zumal keine anderen Faktoren, welche gegebenenfalls einen Abzug zu rechtfertigen vermöchten, zur Diskussion stehen. Die vom Versicherten hiezu angeführten Präjudizien rechtfertigen keine andere Betrachtungsweise. Die Beschwerde ist somit auch diesbezüglich unbegründet.
5.3. Der im angefochtenen Entscheid vorgenommene Einkommensvergleich ist ansonsten nicht umstritten und gibt keinen Anlass zu weiteren Bemerkungen. Es bleibt demnach dabei, dass die ganze Invalidenrente zu Recht auf eine halbe herabgesetzt wurde. Die Beschwerde ist abzuweisen.
6.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. November 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz