Faits:
A. X._, né en 1957, et dame X._, née en 1978, se sont mariés à Genève le 4 décembre 2003. Un enfant est issu de cette union, A._, né le 1er octobre 2004. Le mari est aussi le père d'un fils né d'une précédente union, B._, âgé de 14 ans, pour lequel il verse une contribution d'entretien d'un montant de 300 fr. par mois.
Par requête du 29 juin 2007, l'épouse a requis des mesures protectrices de l'union conjugale. Les conjoints se sont séparés à la mi-août 2007.
Par jugement du 13 mars 2008, le Tribunal de première instance du canton de Genève a autorisé les parties à vivre séparées (ch. 1); attribué la garde de l'enfant à la mère (ch. 2); fait interdiction à celle-ci de fréquenter sa chorale et son église en compagnie de son fils (ch. 3); réservé au père un droit de visite s'exerçant un week-end sur deux, du vendredi à la sortie de la crèche au dimanche soir, le mercredi et à raison de trois semaines pendant les vacances d'été, puis, dès septembre 2008, un week-end sur deux, du vendredi soir au lundi matin, le mercredi ainsi que, une semaine sur deux, du mercredi matin au vendredi matin, et durant la moitié des vacances scolaires (ch. 4); ordonné, avec effet immédiat et nonobstant appel, l'instauration d'une curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles (ch. 5); condamné le mari à contribuer à l'entretien de sa famille à hauteur de 700 fr. par mois (ch. 6); enfin, prononcé la séparation de biens des parties (ch. 7).
B. Par arrêt du 20 juin 2008, la Cour de justice du canton de Genève, statuant sur l'appel de chacun des époux, a annulé les chiffres 3 et 4 du dispositif du jugement de première instance. Elle a réservé au père un droit de visite s'exerçant un week-end sur deux, du vendredi à la sortie de la crèche au dimanche soir, le mercredi et à raison de trois semaines pendant les vacances d'été, dont deux consécutives au maximum, puis, dès la rentrée scolaire 2008, une semaine sur deux, du vendredi soir à la sortie de l'école au lundi matin, le mercredi et durant la moitié des vacances scolaires.
Le jugement de première instance a été confirmé pour le surplus et complété en ce sens que la jouissance exclusive du domicile conjugal est attribuée à l'épouse, étant précisé que la contribution d'entretien en faveur de la famille est due à partir du 1er août 2007.
C. Le mari exerce un recours en matière civile contre cet arrêt, dont il demande l'annulation. Il conclut à ce que la garde de l'enfant lui soit attribuée, un droit de visite usuel étant réservé à l'épouse et celle-ci étant condamnée à payer mensuellement une contribution à l'entretien de la famille d'un montant de 500 fr.
Pour le cas où l'attribution de la garde à la mère serait confirmée, il requiert un droit de visite s'exerçant, jusqu'à la rentrée scolaire de 2008, un week-end sur deux, du vendredi à la sortie de la crèche au dimanche soir, le mercredi et à raison de trois semaines durant les vacances d'été, dont deux consécutives au maximum, puis, dès la rentrée scolaire 2008, une semaine sur deux, du vendredi soir à la sortie de l'école au lundi matin, le mercredi ainsi que, une semaine sur deux, du mercredi matin au vendredi matin, et durant la moitié des vacances scolaires. Il demande en outre que l'intimée soit déboutée de toutes ses conclusions.
Subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
L'intimée n'a pas été invitée à répondre.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et avec une pleine cognition la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 117 et les arrêts cités).
1.1 La décision de mesures protectrices de l'union conjugale est une décision en matière civile au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2 p. 395). Elle est finale selon l'<ref-law>, car elle tranche définitivement, dans une procédure séparée, des questions qui ne pourront plus être revues avec l'éventuelle décision sur le divorce et ses effets accessoires (<ref-ruling> consid. 4 p. 395). En tant que les questions soumises au Tribunal fédéral - la garde de l'enfant et le droit de visite - ne sont pas de nature pécuniaire, le recours est ouvert indépendamment de la valeur litigieuse (cf. arrêts 5A_702/2007 du 28 avril 2008 consid. 1.1; 5D_41/2007 du 27 novembre 2007 consid. 2.3). Il en va de même, par attraction, s'agissant de la contribution d'entretien (arrêt 5C.20/2006 du 4 avril 2006 consid. 1.1 et l'auteur cité). En outre, il est dirigé contre une décision prise par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>). Le recourant a qualité pour recourir, puisqu'il a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de l'arrêt attaqué (<ref-law>). Enfin, le recours a été interjeté dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2 Comme la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles (<ref-ruling> consid. 5.1 in fine p. 397, 585 consid. 3.3 p. 587 et la jurisprudence citée), seule peut être invoquée la violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Lorsque le recourant soulève l'interdiction de l'arbitraire prévue par l'art. 9 Cst., le Tribunal fédéral examine si la décision querellée applique le droit civil matériel de façon insoutenable ou repose sur des constatations de fait manifestement inexactes (FF 2001 p. 4000 ss, 4135). Il ne connaît de la violation de droits fondamentaux - notion qui englobe les droits constitutionnels en général (<ref-ruling> consid. 2 p. 640) - que si un tel moyen est invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>), les exigences de motivation de l'acte de recours correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (<ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 254).
Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision est manifestement insoutenable (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 400); les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2 p. 591 et les arrêts cités). Il ne suffit pas qu'une solution différente apparaisse concevable, voire préférable; la décision attaquée n'est, de surcroît, annulée, que si elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 211 et les arrêts cités).
Quant à l'appréciation des preuves et la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 4b p. 40; <ref-ruling> consid. 9 p. 399 et les arrêts cités). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2. 2.1 Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir établi les faits de façon manifestement inexacte et en violation du droit concernant l'attribution de la garde de l'enfant. L'autorité précédente aurait en effet perdu de vue qu'il s'occupait quotidiennement de son fils jusqu'à la séparation des parties, en août 2007. De plus, contrairement à ce que retient l'arrêt attaqué, l'enfant passerait régulièrement des nuits chez lui depuis décembre 2007. La Cour de justice aurait par ailleurs méconnu l'attitude restrictive adoptée par l'intimée s'agissant des relations personnelles entre lui et son fils. Enfin, il serait arbitraire d'admettre que l'intimée n'est pas membre du «Gospel Center» et qu'elle n'adhère pas aux propos et idéaux excessifs de l'église «Tchouva».
2.2 Il ne résulte pas des faits retenus par l'autorité cantonale que le recourant ne se serait pas occupé régulièrement de son fils durant la vie commune; le grief formulé à ce sujet apparaît donc vain. Quant à la constatation relative au nombre de nuits passées par l'enfant chez son père depuis la séparation des parties, elle ne saurait être qualifiée d'insoutenable: en effet, selon les propres dires du recourant, ce n'est qu'à partir de décembre 2007 que son fils a dormi chez lui, et ce à raison d'une, puis de deux nuits par quinzaine, plus quelques-unes à l'occasion de Noël et de Pâques ainsi que pendant les vacances; au demeurant, la constatation incriminée n'est pas déterminante, dès lors qu'il n'est pas contesté que, sous réserve de l'exercice du droit de visite, l'enfant est demeuré avec sa mère depuis août 2007. L'autorité cantonale ne saurait en outre se voir reprocher d'avoir omis de constater l'attitude de la mère visant à contrecarrer les relations personnelles entre le père et le fils, puisqu'il n'est pas contesté qu'en dépit du conflit qui oppose les parents, l'intervention de la représentante du Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) et de la curatrice a permis de mettre en place un droit de visite qui, désormais, fonctionne. La critique relative à l'implication de l'intimée dans une chorale et un groupe religieux n'apparaît pas non plus fondée. La Cour de justice a considéré sur ce point qu'au regard de tous les éléments et, en particulier, du rapport du SPMi, il n'était pas vraisemblable que l'enfant encoure un danger de ce fait. Or, le recourant ne démontre pas le contraire. Il se contente essentiellement d'opposer sa propre opinion à celle des juges précédents, méconnaissant qu'il n'appartient pas au Tribunal fédéral de procéder une nouvelle fois à l'appréciation des preuves administrées, mais au recourant d'établir en quoi celle opérée par l'autorité cantonale serait manifestement insoutenable (cf. notamment arrêt 5A_344/2008 du 28 juillet 2008 consid. 5.1).
Par conséquent, il n'y a pas lieu de s'écarter des faits constatés dans l'arrêt attaqué.
3. Se plaignant de la violation de l'<ref-law>, le recourant reproche à la Cour de justice d'avoir confié l'enfant à la mère au motif que celle-ci en avait eu la garde depuis la séparation des parties, sans tenir compte d'autres éléments importants.
3.1 En vertu de l'<ref-law>, relatif à l'organisation de la vie séparée, lorsque les époux ont des enfants mineurs, le juge ordonne les mesures nécessaires, d'après les dispositions sur les effets de la filiation (cf. <ref-law>); il peut notamment confier l'autorité parentale à un seul des parents (<ref-law>) ou, à plus forte raison, lui attribuer la garde des enfants. Les principes posés par la jurisprudence et la doctrine en matière de divorce sont applicables par analogie (BRÄM, Commentaire zurichois, n. 89 et 101 ad <ref-law>).
Le principe fondamental en ce domaine est l'intérêt de l'enfant, celui des parents étant relégué à l'arrière-plan. Au nombre des critères essentiels entrent en ligne de compte les relations entre les parents et l'enfant, les capacités éducatives respectives des père et mère, leur aptitude à prendre soin de l'enfant personnellement et à s'en occuper ainsi qu'à favoriser les contacts avec l'autre parent; il faut choisir la solution qui, au regard des données de l'espèce, est la mieux à même d'assurer à l'enfant la stabilité des relations nécessaires à un développement harmonieux des points de vue affectif, psychique, moral et intellectuel. Si le juge ne peut se contenter d'attribuer l'enfant au parent qui en a eu la garde pendant la procédure, ce critère jouit d'un poids particulier lorsque les capacités d'éducation et de soin des parents sont similaires (<ref-ruling> consid. 3 p. 354/355; <ref-ruling> consid. 4a p. 209 et 317 consid. 2 p. 319; <ref-ruling> consid. 5 p. 203/204; <ref-ruling> consid. 3 p. 382/383; arrêts 5C.212/2005 du 25 janvier 2006 consid. 4.2, in FamPra.ch 2006 p. 753 et 5C.238/2005 du 2 novembre 2005 consid. 2.1, in FamPra.ch 2006 p. 193).
3.2 Se fondant sur le rapport du SPMi, la cour cantonale a considéré que les parties présentaient des compétences parentales comparables et complémentaires. La continuité dans la prise en charge de l'enfant avait surtout été assurée par la mère, dont les fréquentations religieuses n'apparaissaient pas nuire à celui-ci. Ni le pédiatre, ni le personnel de la crèche n'avait émis d'inquiétudes quant à la prise en charge de l'enfant au quotidien. Le père semblait être également un parent tout à fait adéquat. Il était cependant clairement avéré que le conflit parental était destructeur et susceptible d'avoir des conséquences négatives sur l'évolution de l'enfant. Du fait de son emploi à 100%, la mère bénéficiait d'une moindre flexibilité que son mari, qui avait une occupation fixe à 50% et composait le reste du temps, mais elle s'était organisée pour que son fils soit pris en charge de manière adéquate durant son travail. Dans la mesure où l'enfant était resté avec sa mère depuis la séparation des parties, séparation qui l'avait affecté au point qu'il avait alors connu, selon la directrice de la crèche, des difficultés d'intégration, il convenait d'attribuer la garde à la mère. En effet, un déménagement représenterait un changement de cadre de vie trop important pour lui vu son âge et, surtout, son besoin de stabilité.
3.3 Sur le vu des constatations de l'arrêt attaqué, la mère a démontré qu'elle parvient à assumer la prise en charge de l'enfant dont elle a la garde depuis plus d'un an, et qui est encore en bas âge. Le domicile conjugal lui a en outre été attribué, ce qui, du point de vue de la stabilité de l'enfant quant à son environnement, plaide en sa faveur. L'affirmation du recourant selon laquelle l'intimée ne serait pas disposée à favoriser les contacts entre lui et son fils n'apparaît pas déterminante puisque, comme il a été relevé ci-dessus, le droit de visite se déroule à présent de manière satisfaisante. Concernant les fréquentations religieuses de la mère, l'autorité cantonale a retenu, sans que le recourant ne démontre d'arbitraire sur ce point, qu'il n'apparaissait pas vraisemblable que l'enfant encoure un danger de ce fait, celui-ci étant au demeurant régulièrement suivi par un pédiatre et le personnel de la crèche n'ayant pas exprimé d'inquiétudes à son sujet. Quant à l'affirmation selon laquelle l'enfant serait séparé de son demi-frère et de sa famille paternelle, auxquels il est très attaché, elle n'est pas décisive dans la mesure où l'enfant pourra les voir régulièrement lors de l'exercice du droit de visite, le fils aîné du recourant, âgé de 14 ans, ne vivant du reste apparemment pas avec celui-ci. Enfin, il importe peu que le père dispose d'horaires de travail plus flexibles que la mère, dès lors qu'il n'en demeure pas moins qu'en plus de l'exercice d'une activité professionnelle à 50%, il passe le reste du temps à composer, que l'intimée s'est organisée pour que son fils soit pris en charge de manière adéquate lorsqu'elle travaille et que, les capacités éducatives des parties étant jugées équivalentes, le critère de la stabilité commande d'éviter à l'enfant une modification de son cadre de vie.
Il n'est donc pas établi que l'autorité cantonale a versé dans l'arbitraire en confirmant la décision de confier la garde de l'enfant à la mère.
4. Le recourant soutient en outre que la Cour de justice a arbitrairement appliqué l'<ref-law> en réduisant, dès la rentrée scolaire 2008, le droit de visite fixé par le Tribunal de première instance.
4.1 En vertu de cette disposition - dans sa version en vigueur depuis le 1er janvier 2000 (RO 1999 1136, 1142; cf. FF 1991 I 160 ss) -, le père ou la mère qui ne détient pas l'autorité parentale ou la garde ainsi que l'enfant mineur ont réciproquement le droit d'entretenir les relations personnelles indiquées par les circonstances. Autrefois considéré comme un droit naturel des parents, le droit aux relations personnelles est désormais conçu à la fois comme un droit et un devoir de ceux-ci (cf. <ref-law>), mais aussi comme un droit de la personnalité de l'enfant; il doit servir en premier lieu l'intérêt de celui-ci (<ref-ruling> consid. 5 p. 212 et les références citées). Pour fixer le droit aux relations personnelles, le juge fait usage de son pouvoir d'appréciation (<ref-law>). Le Tribunal fédéral s'impose dès lors une certaine retenue en la matière; il n'intervient que si la décision a été prise sur la base de circonstances qui ne jouent aucun rôle selon l'esprit de la loi, ou si des aspects essentiels ont été ignorés (<ref-ruling> consid. 4a p. 235 et l'arrêt cité; HEGNAUER, Commentaire bernois, n. 61 ad <ref-law>).
4.2 Tel n'est pas le cas en l'espèce. L'autorité cantonale a en effet accordé au recourant un large droit de visite, à savoir, en plus de la moitié des vacances scolaires, un week-end sur deux du vendredi soir au lundi matin et tous les mercredis. L'argument pris du fait qu'une semaine sur deux, le recourant ne voit son fils que le mercredi n'est pas déterminant, la réglementation prévue par le Tribunal de première instance, qui incluait de surcroît, tous les quinze jours, deux jours du mercredi matin au vendredi matin, ayant été considérée à juste titre par la Cour de justice comme équivalant en fait à une garde alternée, laquelle présuppose en tous les cas l'accord des deux parents et ne peut être imposée à l'un d'eux contre sa volonté (arrêts 5P.103/2004 du 7 juillet 2004 consid. 2.4.3.1, non publié in SJ 2005 I 30; 5C.42/2001 du 18 mai 2001 consid. 3, in SJ 2001 I p. 407 et FamPra.ch 2001 p. 823). Dans ces conditions, le grief se révèle mal fondé, sans qu'il faille l'examiner plus avant.
5. Vu ce qui précède, le présent recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable, aux frais de son auteur (<ref-law>), sans qu'il soit besoin d'examiner la question de la contribution d'entretien. Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à répondre.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 30 octobre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Mairot