Sachverhalt:
A. Im Rahmen des Scheidungsverfahrens zwischen Z._ (geb. 1935) und Y._ (geb. 1969) ordnete die Instruktionsrichterin des Amtsgerichts Luzern-Stadt, II Abteilung, am 27. Juni 2003 auf Ersuchen des Ehemannes gestützt auf <ref-law> vorsorgliche Massnahmen an. Sie stellte die Zwillinge der Parteien, X._ und W._ (geb. 1995) unter die Obhut der Gesuchsgegnerin (Ziff. 1), räumte dem Gesuchsteller ein grosszügiges Besuchsrecht ein (Ziff. 2), regelte die Unterhaltspflicht des Gesuchstellers gegenüber der Gesuchsgegnerin und den Kindern (Ziff. 3), verpflichtete ihn dazu, der Gesuchsgegnerin einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 3'000.-- zu bezahlen (Ziff. 4) und wies alle weiter gehenden Anträge ab (Ziff. 5).
B. In teilweiser Gutheissung eines Rekurses des Gesuchstellers änderte das Obergericht des Kantons Luzern am 18. November 2003 die Ziffern 2 und 3 des erstinstanzlichen Entscheides ab (Ziff. 1).
Demnach wird der Gesuchsteller berechtigt, die Kinder bei deren Aufenthalt in der Schweiz in den "langen Wochen" von Mittwochmittag nach der Schule bis Donnerstagmorgen vor Schulbeginn, in den "kurzen Wochen" von Mittwochmittag nach der Schule bis Donnerstagmorgen vor Schulbeginn und von Freitagmittag nach der Schule bis Sonntagmorgen nach dem Frühstück auf eigene Kosten zu besuchen, ferner die Kinder während der Hälfte der Schulferien auf eigene Kosten zu sich zu nehmen. Für den Fall des Aufenthaltes der Kinder in Spanien wird der Gesuchsteller berechtigt, sie während acht Wochen in den Sommerschulferien sowie jährlich alternierend während der Weihnachts- und Osterferien, beginnend frühestens an Ostern 2004, auf eigene Kosten zu sich auf Besuch zu nehmen und sie unter einmonatiger Vorabsprache mit der Gesuchsgegnerin an sechs Wochenenden auf eigene Kosten in Spanien zu besuchen.
Der Gesuchsteller wird alsdann verpflichtet, der Gesuchsgegnerin ab dem 1. Januar 2004 folgende monatliche und vorauszahlbare, jeweils am Monatsersten fällige und ab Verfall je zu 5% verzinsliche Unterhaltsbeiträge zu bezahlen: Für die Kinder die Kinderrente aus 1. und 2. Säule; für die Gesuchsgegnerin persönlich Fr. 1'800.-- bei einem Aufenthalt in der Schweiz, bzw. Fr. 1'200.-- bis Ende 2004, danach Fr. 1'600.-- bei einem Aufenthalt der Gesuchsgegnerin in Spanien.
Im Übrigen wurde der erstinstanzliche Entscheid bestätigt (Ziff. 3 recte 2).
C. Der Gesuchsteller führt rechtzeitig staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 und 29 Abs. 2 BV sowie Art. 6 EMRK im Wesentlichen mit den Anträgen, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern vom 18. November 2003 aufzuheben und der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen. Mit Bezug auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung schliesst die Gesuchsgegnerin auf Abweisung. In der Sache ist keine Vernehmlassung eingeholt worden.
D. Mit Verfügung vom 3. Februar 2004 hat der Präsident der II. Zivilabteilung des Bundesgerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer richtet sich in seiner Begründung der staatsrechtlichen Beschwerde ausschliesslich gegen die Zuteilung der Obhut an die Beschwerdegegnerin und bezeichnet diesbezüglich den Entscheid als gegen das rechtliche Gehör bzw. gegen das Willkürverbot verstossend. Überdies verlangt er folgerichtig auch die Aufhebung der Besuchs- und Unterhaltsregelung bezüglich der Kinder, welche allenfalls bei Gutheissung der Beschwerde neu zu fassen wäre. Soweit er allerdings in seinem Antrag die Unterhaltsregelung betreffend die Gesuchsgegnerin sowie Ziff 3 (recte 2) des obergerichtlichen Entscheides aufgehoben haben will, setzt er sich in seiner Begründung mit diesen Punkten des Entscheides überhaupt nicht auseinander. Insofern ist daher auf die staatsrechtliche Beschwerde von vornherein nicht einzutreten (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; <ref-ruling> E. d S. 201; <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 1c S. 282, mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 7a S. 312). Das gilt auch mit Bezug auf die Rüge der Verletzung von Art. 6 EMRK, zumal der Beschwerdeführer nicht rechtsgenügend darlegt, inwiefern diese Bestimmung verletzt worden sein könnte.
2. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, es sei auf sein Argument nicht eingegangen, wonach bei einer Zuweisung der Obhut an ihn die seit der Trennung im Jahr 2001 praktizierte gemeinsame Erziehung der Kinder gewährleistet werden könne.
2.1 Das rechtliche Gehör als persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, sorgfältig und ernsthaft prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die grundsätzliche Pflicht der Behörden, ihren Entscheid zu begründen. Aufgrund dieses allgemeinen verfassungsrechtlichen Anspruchs lassen sich allerdings keine generellen Regeln aufstellen, denen eine Begründung zu genügen hätte. Die Begründung eines Entscheides muss so abgefasst sein, dass der Betroffene ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Dies ist nur dann möglich, wenn sowohl er wie auch die Rechtsmittelinstanz sich über die Tragweite des Entscheides ein Bild machen können. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde leiten liess und auf welche sich ihr Entscheid stützt. Dabei muss sich das Gericht freilich nicht ausdrücklich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand der Parteien auseinandersetzen. Es genügt, wenn es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränkt (<ref-ruling> E. 2b S. 109; <ref-ruling> E. 3a S. 112; <ref-ruling> E. 2b).
2.2 Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich, dass die Beschwerdegegnerin sich gegen eine gemeinsame elterliche Obhut wendet mit der Begründung, diese habe sich nicht bewährt. Dass das Obergericht angesichts der Bedenken der Beschwerdegegnerin gegenüber dem bisher praktizierten Modell nicht näher auf diese Möglichkeit eingegangen ist, sondern eine Zuteilung der Obhut an einen Elternteil nach den allgemeinen Kriterien geprüft hat, lässt sich unter dem Gesichtswinkel der Begründungspflicht nicht beanstanden, ist doch eine Aufteilung der elterlichen Obhut in analoger Anwendung von <ref-law> nur zulässig, wenn beide Eltern damit einverstanden sind. Das Obergericht war auch im Lichte von <ref-law> nicht verpflichtet, im Urteil näher auf das Argument des Beschwerdeführers einzugehen, zumal es, im Gesamtzusammenhang betrachtet, nicht von Bedeutung gewesen ist. Wie nachfolgend aufzuzeigen sein wird, hat das Obergericht gegenüber der Erziehungsfähigkeit des Beschwerdeführers Vorbehalte angebracht, die eine Zuweisung der Obhut an ihn ausschliessen.
3. 3.1 Nach <ref-law> trifft das Gericht für die Dauer des Scheidungsverfahrens vorsorgliche Massnahmen, soweit solche nötig sind. Das gilt auch für die Kinderbelange (Sutter/Freiburghaus, Kommentar zum neuen Scheidungsrecht, 1999, N. 11 zu <ref-law>). Diesbezüglich kommen als vorsorgliche Massnahmen in erster Linie die Zuteilung der Obhut, eine Regelung des persönlichen Verkehrs und des Kinderunterhalts in Frage. Massgebende Richtschnur ist dabei das Kindeswohl. Für die Zuteilung der Obhut von Bedeutung ist die Erziehungsfähigkeit des Elternteils, dessen Bereitschaft, das Kind auf Dauer in eigener Obhut zu haben, es unmittelbar zu betreuen und zu pflegen. Es ist danach zu fragen, wo das Kind die für seine körperliche und seelisch-geistige Entwicklung nötige Hinwendung und Wärme am ehesten finden kann und wo die Bereitschaft grösser ist, dem Kind den Kontakt zum andern Elternteil zu ermöglichen (<ref-ruling> E. 4 S. 208 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 354 f.). Schliesslich gilt es, den Wunsch des Kindes zu berücksichtigen, wenn es sich aufgrund des Alters und der Entwicklung des Kindes um einen gefestigten Entschluss handelt und der Wunsch eine enge Gefühlsbeziehung zu einem Elternteil zum Ausdruck bringt (<ref-ruling> E. 3b S. 402 f.).
3.2 Dabei gilt es allerdings zu beachten, dass die Bestimmung des Obhutsberechtigten im Massnahmenverfahren nur vorläufigen Charakter hat und das endgültige Urteil des Sachrichters über die Kinderzuteilung nicht vorwegnehmen darf. Das Bundesgericht hat für die Regelung im Rahmen vorsorglicher Massnahmen den Grundsatz aufgestellt, dass derjenige Elternteil den Vorzug verdient, der in der Lage ist, die Kinder - ohne dass diese gefährdet werden - weitgehend persönlich und in der bisherigen Umgebung zu betreuen (<ref-ruling> E. 3 S. 224).
4. Das Obergericht ist aufgrund einer Würdigung der gesamten Umstände zum Schluss gelangt, dass die beiden Kinder für die Dauer des Scheidungsverfahrens unter die Obhut der Beschwerdegegnerin zu stellen sind. Der Beschwerdeführer erachtet diese Regelung in verschiedener Hinsicht als willkürlich. Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt sodann nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE <ref-ruling> E. 4a S. 5 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2b S. 56).
Verfügt das Gericht - wie bei der Frage der Zuteilung der Obhut - über Ermessen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3 S. 355 mit Bezug auf die Frage der Zuteilung der elterlichen Gewalt), greift das Bundesgericht nur ein, wenn das Gericht seinen Ermessensspielraum missbraucht oder überschritten hat. Das trifft zu, wenn ein Entscheid auf einer unhaltbaren Würdigung der Umstände beruht, mit den Gesetzen der Billigkeit nicht zu vereinbaren ist, ferner wenn er entscheidenden tatsächlichen Gesichtspunkten nicht Rechnung trägt, dafür aber Momente berücksichtigt, die unerheblich sind und offensichtlich keine oder doch keine massgebliche Rolle hätten spielen dürfen (<ref-ruling> E. 2c mit Hinweisen).
4.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht habe der zur Frage der Zuteilung der elterlichen Obhut im Rahmen vorsorglicher Massnahmen entwickelten Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 3 S. 224) nicht Rechnung getragen und damit <ref-law> willkürlich angewendet. Nach dieser Rechtsprechung stehe bei der Zuteilung der Obhut das Kriterium der Stabilität bezüglich der bisherigen Lebensumstände im Vordergrund. Dieses Kriterium werde indes nicht beachtet. In diesem Zusammenhang sei zu berücksichtigen, dass die Kinder bis anhin infolge der paritätischen Betreuungsaufteilung immer gleich viele Tage beim Vater und bei der Mutter verbracht hätten. Nun beabsichtige die Beschwerdegegnerin, mit den Kindern nach Spanien zu ziehen, weshalb sie ihren Vater von diesem Zeitpunkt an unter dem Jahr kaum noch, nur im Sommer für einige Wochen und an Weihnachten oder Ostern zu sehen bekämen. Das Kriterium der Stabilität der bisherigen Verhältnisse sei im vorliegenden Fall besonders wichtig, zumal er (der Beschwerdeführer) mit zunehmendem Alter der Betreuung der Söhne mit grosser Wahrscheinlichkeit immer weniger nachkommen könne. Umso wichtiger sei daher, dass die Kinder vorläufig einen möglichst nahen und guten Kontakt zum Vater haben, damit weiterhin eine solide Basis für den zukünftigen, aufgrund der räumlichen Distanz erschwerten Kontakt geschaffen werden könne.
Das Obergericht hat aus verschiedenen, seiner Ansicht nach guten Gründen eine von der Rechtsprechung abweichende Lösung gewählt. Damit erweist sich die Abweichung von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung von vornherein nicht als willkürlich (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 7c S. 83). Soweit der Beschwerdeführer die Gründe, welche das Obergericht zu einer abweichenden Auffassung bewogen haben, überhaupt als willkürlich rügt, ist an entsprechender Stelle darauf einzugehen.
4.2 Der Beschwerdeführer beanstandet ferner, das Obergericht gehe zwar unter Hinweis auf Rechtsprechung und Literatur davon aus, dass es zu Gunsten des die Obhut innehabenden Elternteils spreche, wenn er den Kontakt des Kindes zum andern nicht negativ beeinflusse, sondern fördere und sich damit über Bindungstoleranz ausweise. Die Beschwerdegegnerin beabsichtige für den Fall der Zuweisung der Obhut- bzw. des Sorgerechts an sie die Schweiz zusammen mit den Kindern zu verlassen und sich in Spanien niederzulassen. Damit nehme sie in Kauf, dass die Kinder ohne ihren Vater aufwachsen, zumal ein Kontakt wie er im bisherigen Umfeld bei einer paritätischen Betreuung durch beide Eltern möglich gewesen sei, nicht mehr gepflegt werden könne. Das praxisübliche Besuchsrecht vermöge den bisher möglichen Kontakt in keiner Weise aufzuwiegen. Das Obergericht habe verkannt, dass die Beschwerdegegnerin den Kontakt der Kinder zum Vater mit der geplanten Abreise geradezu untergrabe, während er den Kontakt beider Elternteile zu den Kindern als Hauptziel seiner Anträge verfolge. Der Entscheid sei daher auch diesbezüglich willkürlich.
Bei den 1995 geborenen Söhnen, die ihre Eltern auch nach der Trennung als ihre Eltern wahrnehmen, rechtfertigt sich ein umfangreicheres Besuchsrecht als beim Kleinkind, bei dem der persönliche Verkehr lediglich eine hinreichende Realitätskontrolle ermöglichen soll (Felder/ Hausheer, Drittüberwachtes Besuchsrecht: Die Sicht der Kinderpsychiatrie, in: ZBJV 129 (1993), S. 701). Das Obergericht hat dem Beschwerdeführer ein grosszügiges Besuchsrecht eingeräumt und hat damit den genannten Grundsätzen und insbesondere auch dem Umstand Rechnung getragen, dass die Söhne dereinst mit ihrer Mutter in Spanien leben. Die Beschwerdegegnerin hat sich diesem Recht nicht widersetzt, und der Beschwerdeführer macht auch nicht rechtsgenügend geltend, dass das eingeräumte Besuchsrecht willkürlich festgesetzt worden sei. Es kann daher nicht gesagt werden, die Beschwerdegegnerin verunmögliche den Kontakt des Beschwerdeführers mit seinen Söhnen, und das Obergericht habe dies übersehen. Zwar haben nach <ref-law> Vater und Mutter alles zu unterlassen, was das Verhältnis des Kindes zum andern Elternteil beeinträchtigt. Doch kann daraus nicht die Pflicht des Obhutsberechtigten abgeleitet werden, den Wohnort nicht zu wechseln (Schwenzer, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2002, N. 3 zu <ref-law>). Schliesslich kann es auch nicht darauf ankommen, dass der Beschwerdeführer als Folge des Wohnortswechsels gewisse Nachteile bei der Ausübung seines Besuchsrechts in Kauf zu nehmen hat (<ref-ruling> E. 4b S. 235). Damit aber ist dem Willkürvorwurf die Grundlage entzogen.
4.3 Der Beschwerdeführer macht sodann geltend, das Obergericht habe in willkürlicher Weise nicht beachtet, dass die Beschwerdegegnerin im Fall der Zuweisung der elterlichen Sorge an den Vater in Luzern bleiben und dort ihre Ausbildung aufnehmen würde, wobei auch ihr Freund diesfalls wieder nach Luzern käme. Wenn ein Verbleib in der Schweiz dem Kindeswohl am ehesten entspreche und auch für die Beschwerdegegnerin eine Option darstelle, widerspreche es Recht und Billigkeit, wenn eine Zuteilung der Obhut gerade dies verhindere.
Die vom Beschwerdeführer vorgetragenen tatsächlichen Vorbringen ergeben sich nicht aus dem angefochtenen Entscheid. Sie sind daher neu und unzulässig (<ref-ruling> E. 4b S. 212). Insoweit ist daher auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht einzutreten (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG). Im Übrigen hat das Obergericht mit Bezug auf die Erziehungsfähigkeit des Beschwerdeführers nicht unwesentliche Vorbehalte angebracht. Zu dessen Nachteil hat es namentlich den Altersunterschied zwischen ihm und seinen Söhnen von 60 Jahren sowie die Gefahr erwähnt, dass sich der Beschwerdeführer auf die Kinder fixiere. Sind aber mit Bezug auf die Erziehungsfähigkeit des Beschwerdeführers Vorbehalte anzubringen, kommt es nicht auf die vom Beschwerdeführer vorgetragenen Sachverhaltselemente an, womit auch nichts für deren Berücksichtigung im Urteil gesprochen hat. Von Willkür kann daher keine Rede sein.
4.4 Der Beschwerdeführer rügt alsdann eine Widersprüchlichkeit in der Begründung des angefochtenen Entscheids. Einzig mit Bezug auf die Betreuungsaufgaben und -fähigkeiten betone das Obergericht, er sei für seine Söhne dann besonders wichtig, wenn diese zwischen dem 14. und dem 21. Lebensjahr ständen, zu einem Zeitpunkt also, in dem er zwischen 74 und 81 Jahre alt sei. Es stelle damit bei ihm (dem Beschwerdeführer) die Betreuungsaufgaben und -fähigkeiten - auch in der Pubertät der Kinder - stark in den Vordergrund, während diese bei einer Betreuung durch die Beschwerdegegnerin mit zunehmendem Alter der Kinder als weniger wichtig betrachtet würden.
Mit diesen Ausführungen versucht der Beschwerdeführer unter Hinweis auf einzelne Stellen des obergerichtlichen Urteils eine willkürliche Begründung herauszulesen. Das Obergericht hat freilich nicht allein mit Bezug auf die Betreuungsaufgaben und -fähigkeiten des Beschwerdeführers Vorbehalte angebracht, sondern im Gegenteil betont, im erheblichen Altersunterschied zwischen dem Beschwerdeführer und den Kindern liege ein objektiver Gesichtspunkt, der sich bei der Beantwortung der Frage nach der künftigen Erziehungsfähigkeit tendenziell zu Ungunsten des Beschwerdeführers auswirke. Die Argumentation des Beschwerdeführers geht am angefochtenen Entscheid vorbei und ist damit auch nicht geeignet, einen Widerspruch in der Begründung aufzuzeigen.
4.5 Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, der angefochtene Entscheid gehe rein hypothetisch und damit in willkürlicher Weise davon aus, dass er in rund sechs Jahren eventuell nicht mehr in der Lage sein werde, die im Zusammenhang mit der Obhut über seine Söhne verbundenen Anforderungen zu erfüllen; das Obergericht verfalle in Spekulationen, obwohl heute diesbezüglich keine Anzeichen bestünden, da er kerngesund sei.
Der Beschwerdeführer hat selbst eingeräumt, dass mit zunehmendem Alter seine Kräfte nachlassen werden. Dass das Obergericht angesichts dieser Aussage, aber auch aufgrund des vorgerückten Alters des Beschwerdeführers und der Gefahr einer Fixierung auf die Kinder Vorbehalte mit Bezug auf die Erziehungsfähigkeit angebracht hat, ist unter dem Gesichtspunkt der Willkür nicht zu beanstanden. Es durfte aufgrund der Lebenserfahrung ohne Willkür bezweifeln, dass der Beschwerdeführer dereinst noch in der Lage sei, seine Pflichten gegenüber den Söhnen zu erfüllen, und gestützt auf diese Würdigung ohne Willkür die Obhut über die Söhne bereits für die Dauer des Scheidungsverfahrens der Gesuchsgegnerin übertragen.
4.6 Der Beschwerdeführer erörtert, das Obergericht verweise auf die Aussage eines Sohnes, wonach die Mutter mehr mit ihm unternehme, weil sie jünger sei. Das Obergericht würdige diese Aussage willkürlich. Es übersehe nämlich, dass er die Kinder praktisch nur an vollen Schultagen zu hüten habe, an dreieinhalb Schultagen, die nicht nur mit Hausaufgaben, sondern auch mit regelmässigen Besuchen bei der Logopädin, dem regelmässigen wöchentlichen Besuch der Spanisch-Schule und dem Schwimmunterricht belastet seien. Er könne damit aus zeitlichen Gründen weniger unternehmen, dies im Gegensatz zur Beschwerdegegnerin, welche die Kinder am schul- und aufgabenfreien Mittwochnachmittag und am Wochenende sowie während des Löwenanteils der Schulferien betreue. Zudem verkenne das Obergericht, dass auch er viel mit den Kindern unternehme.
Der Beschwerdeführer legt nicht substanziiert durch konkreten Verweis auf die genauen Aktenstellen dar, dass er all dies bereits im kantonalen Verfahren den Regeln des kantonalen Prozessrechts entsprechend dargelegt hat. Seine Vorbringen sind daher neu und unzulässig (<ref-ruling> E. 4b S. 212), weshalb insoweit auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht einzutreten ist. Im Übrigen ist die als willkürlich beanstandete Würdigung der Aussage des Sohnes nur ein Element in der Argumentationskette des Obergerichts; diese aber erweist sich insgesamt betrachtet nicht als willkürlich.
4.7 Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht erwähne im Zusammenhang mit der Erziehungsfähigkeit und dem Alter, er lege Wert auf die Feststellung, dass die Entwicklung der beiden Kinder in der Schweiz besser gewährleistet resp. in Spanien aufgrund des dortigen Schulsystems, der ärztlichen Versorgung und namentlich der Drogengefahr im Vergleich zur Schweiz gefährdeter sei. Das Obergericht führe weiter aus, diese Auffassung sei dem Kindeswohl nicht dienlich, da er mit der damit verbundenen Geringschätzung auf die spanische Herkunft und Identität der Kinder ziele. Daraus leite das Obergericht bei ihm (dem Beschwerdeführer) die Gefahr der Fixierung und indirekt eine eingeschränkte Erziehungsfähigkeit ab. Er habe indes durch Statistiken etc., Ausführungen und Beilagen zum Gesuch um Eheschutzmassnahmen belegt, dass Alkohol- und Drogenkonsum in der Region, wo die Kinder alsdann aufwachsen sollen, ein weit grösseres Problem darstellten als in der Schweiz. Zudem habe er nicht generell das spanische Schulsystem herabgewürdigt, sondern einzig die Qualität der Schule, die die Kinder in Spanien besuchen sollen, bemängelt. Dabei habe er sich auf eigene Erfahrungen und auf Bemerkungen der Kinder und von Lehrern berufen. Schliesslich habe er sich auch nicht gegen die medizinische Versorgung in Spanien geäussert. Auch habe er die Qualität der myofunktionellen Therapie nicht in Frage gestellt, sondern einfach auf die geographische Schwierigkeit hingewiesen, dass die in Spanien durchzuführende Therapie einen kaum zu bewältigenden zeitlichen Aufwand bedeuten würde und die bereits fortgeschrittene Therapie in der Schweiz nicht weitergeführt werden könne. Indem das Obergericht einfach in willkürlicher Weise davon abgesehen habe, die Vorbringen zu überprüfen, und sie als persönliche Probleme des Beschwerdeführers bewerte, stelle es den Sachverhalt willkürlich fest.
Der Beschwerdeführer legt nicht durch konkreten Aktenverweis dar, welche konkreten Beweisanträge er in diesem Zusammenhang den Regeln des kantonalen Prozessrechts entsprechend gestellt hat, sondern lässt es mit einem vagen Hinweis auf Statistiken, Ausführungen und persönlichen Meinungen bewenden. Zudem erörtert er nicht rechtsgenügend, dass er die nunmehr vorgebrachten Sachverhaltselemente bereits im kantonalen Verfahren dem massgebenden Prozessrecht entsprechend vorgetragen hat. Die Vorbringen sind daher insgesamt als neu und unzulässig zu betrachten (<ref-ruling> E. 4b S. 212). Auch insofern ist auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht einzutreten. Im Übrigen vermag auch die in diesem Punkt vorgetragene Kritik des Beschwerdeführers den angefochtenen Entscheid nicht als im Ergebnis willkürlich erscheinen zu lassen.
4.8 Soweit der Beschwerdeführer schliesslich dem Obergericht vorwirft, es habe im Hinblick auf die Zuteilung der Obhut kein Gutachten eingeholt und deshalb den Sachverhalt willkürlich festgestellt, ist dieses Vorbringen nicht geeignet, Willkür darzulegen. Im Rahmen der vorsorglichen Massnahmen hat das Gericht zwar die Zuweisung der Obhut mit aller Sorgfalt zu prüfen und nach Möglichkeit eine Abklärung der massgeblichen Verhältnisse vorzunehmen, insbesondere die Parteien zu befragen und alle verfügbaren Akten zu berücksichtigen. Das bedeutet hingegen nicht, dass es bereits in diesem Verfahrensstadium ein kinderpsychiatrisches Gutachten einzuholen habe (Bühler/ Spühler, Berner Kommentar, N. 208 zu aArt. 145 ZGB). Das Obergericht hat die Parteien sowie die Kinder ausführlich angehört und seinen Entscheid gestützt auf dieses Beweisverfahren getroffen. Was daran willkürlich sein sollte, bleibt unerfindlich.
5. Nach dem Gesagten ist die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Er hat überdies die Beschwerdegegnerin für die Einreichung ihrer Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für die Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2004
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: