<ref-law> (Einstellungsentscheid), hat sich ergeben:
A.- Mit Entscheid vom 19. Februar 2001 stellte das Amtsstatthalteramt Luzern-Stadt die Strafuntersuchung gegen A._, C._ und B._ wegen Verdachts der Urkundenfälschung etc. ein. Die als Privatklägerin am Verfahren beteiligte Firma X._ reichte am 23. März 2001 gegen diesen Entscheid Rekurs ein.
Am 30. März 2001 ersuchte die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern die Privatklägerin, bis am 10. April 2001 einen Gerichtskostenvorschuss von Fr. 500.-- zu bezahlen.
Diese Aufforderung verband sie mit der Androhung, bei nicht fristgerechter Bezahlung des Kostenvorschusses werde es gehalten, wie wenn das Rechtsmittel nicht eingereicht worden wäre.
Am 27. April 2001 stellte die Staatsanwaltschaft fest, nach Angaben der Kantonalen Gerichtskasse sei der Kostenvorschuss nicht bezahlt worden. Mit Entscheid vom 4. Mai 2001 trat daraufhin die Kriminal- und Anklagekommission des Obergerichts des Kantons Luzern auf den Rekurs der Privatklägerin nicht ein.
B.- Die Firma X._ hat gegen den Entscheid des Obergerichts am 23. Mai 2001 eine staatsrechtliche Beschwerde eingereicht. Sie beantragt, der Entscheid vom 4. Mai 2001 sei aufzuheben und das Obergericht sei anzuweisen, auf ihren Rekurs vom 23. März 2001 einzutreten. Die Beschwerdeführerin rügt einen Verstoss gegen <ref-law>. Es treffe nicht zu, dass sie den geforderten Kostenvorschuss nicht geleistet habe. Der Vorschuss sei mit Valutadatum vom 4. April 2001 und damit fristgerecht an die Kantonale Gerichtskasse überwiesen worden, doch habe diese den Betrag einem falschen Dossier zugeordnet.
C.- Das Obergericht des Kantons Luzern hat die Ausführungen der Beschwerdeführerin in seiner Vernehmlassung vom 6. Juni 2001 bestätigt. Die übrigen Verfahrensbeteiligten haben auf eine Stellungnahme verzichtet.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde ist, von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen abgesehen, rein kassatorischer Natur. Soweit die Beschwerdeführerin mehr verlangt als die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 1c S. 216 f.; <ref-ruling> E. 8c S. 395, je mit Hinweis).
2.- Gemäss <ref-law> hat jede Person Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür behandelt zu werden.
Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2a S. 41, mit Hinweisen).
3.- Der angefochtene Nichteintretensentscheid wird einzig mit der Nichtbezahlung des Gerichtskostenvorschusses innerhalb der angesetzten Frist begründet. Diese Annahme ist aufgrund der Akten offensichtlich unzutreffend. Die Gerichtskasse des Kantons Luzern hat am 21. Mai 2001 schriftlich bestätigt, dass der von der Beschwerdeführerin verlangte Gerichtskostenvorschuss von Fr. 500.-- am 5. April 2001 bei ihr eingegangen, anschliessend jedoch auf ein falsches Konto verbucht worden sei. Das Obergericht des Kantons Luzern hat diesen Sachverhalt in seiner Vernehmlassung ausdrücklich anerkannt. Damit ist ohne weiteres erstellt, dass die Beschwerdeführerin den Gerichtskostenvorschuss fristgerecht und vollumfänglich bezahlt hat. Das Obergericht ist in seinem Nichteintretensentscheid den gegenteiligen Angaben der Staatsanwaltschaft gefolgt; damit hat es den Sachverhalt in offenkundigem Widerspruch zu den tatsächlichen Gegebenheiten festgestellt und ist dadurch in Willkür verfallen.
Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben.
4.- Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 156 OG). Der Kanton Luzern hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 159 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern vom 4. Mai 2001 wird aufgehoben.
2.- Es werden keine Kosten erhoben.
3.- Der Kanton Luzern hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien, dem Amtsstatthalteramt Luzern-Stadt, der Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern und dem Obergericht des Kantons Luzern, Kriminal- und Anklagekommission, schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 19. Juli 2001
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: