Sachverhalt:
A.
Am 5. Oktober 2012 liess die Gemeinde Ingenbohl ein Baugesuch zur provisorischen Erstellung eines Wanderweges im Gebiet Kilchmatt/ Hetschgen in Brunnen über die Parzellen KTN 2087 und 2196 mit Anschluss an die Parzelle KTN 1501 und den Blumenweg publizieren. Gegen das Vorhaben erhoben die Eigentümer des Grundstücks KTN 1501, E._ und F._, und die Eigentümer der nördlich daran anschliessenden Grundstücke KTN 1500 und 1499, A._ und B._ sowie C._, Einsprache. Die Liegenschaften der Einsprechenden sind mit Reiheneinfamilienhäusern überbaut und durch den Blumenweg erschlossen, der über ihre Privatgrundstücke führt und auf KTN 1501 endet. Mit Beschluss Nr. 1969 vom 19. November 2012 erteilte der Gemeinderat Ingenbohl die Baubewilligung und wies die Einsprachen ab, soweit er darauf eintrat.
Hiergegen beschwerten sich die Einsprecher beim Regierungsrat des Kantons Schwyz, der die Beschwerden an das Verwaltungsgericht überwies. Dieses nahm die Beschwerden als Sprungbeschwerden entgegen. Mit Entscheid vom 17. April 2013 hiess es die Beschwerde von E._ und F._ insofern gut, als es die Baubewilligung unter der Suspensivbedingung bestätigte, dass der Anschluss des Fussweges an der südöstlichen Parzellenecke (Grenzpunkt KTN 2196/1501/1760) zu erfolgen habe. Die Beschwerde von A._ und B._ sowie C._ wies es ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Eingabe vom 27. Mai 2013 führen A._ und B._ sowie C._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragen, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Baubewilligung zu verweigern.
Der Gemeinderat von Ingenbohl beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Die Erben des D._, Eigentümer der südlich an die Parzelle KTN 1501 angrenzenden Grundstücke, schliessen sich dem Antrag des Gemeinderates ohne weitere Ausführungen an. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz beantragt die Abweisung der Beschwerde.
In ihrer Replik haben die Beschwerdeführer an ihren Anträgen festgehalten.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) über eine Baubewilligung, mithin eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (<ref-law>). Ein Ausschlussgrund im Sinne von <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Als Grundeigentümer von Liegenschaften in unmittelbarer Nachbarschaft der Parzellen, auf denen der Wanderweg erstellt werden soll, sind sie vom Wegprojekt in schutzwürdigen eigenen Interessen betroffen (<ref-law>), zumal der Wanderweg seine Fortsetzung im Blumenweg findet, der vor ihren Häusern und auf ihren Grundstücken verläuft und bisher nicht als öffentlicher Fussweg beansprucht wurde. Die Verweigerung der Bauerlaubnis für den Wanderweg wäre für sie mit einem praktischen Nutzen verbunden (vgl. zur Beschwerdebefugnis von Nachbareigentümern in Bausachen <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 252 f.) . Auf die Beschwerde ist daher grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Im Streit liegt die Baubewilligung für die provisorische Erstellung des Wanderweges (Wegverlauf, -breite, -bett und -belag). Umstritten war vor der Vorinstanz insbesondere noch der Anschluss an die Liegenschaft KTN 1501. Bezogen auf den Streitgegenstand machen die Beschwerdeführenden indessen keine Rechtsverletzungen geltend. Sie behaupten zwar, die Widmung des Blumenweges zum Gemeingebrauch ohne ihre Zustimmung sei willkürlich, doch ist eine derartige Widmung nicht Gegenstand der Baueingabe und -bewilligung, weshalb der Willkürvorwurf ins Leere stösst und auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten ist.
2.2. Richtig besehen betreffen die Einwände der Beschwerdeführer nicht die Raumplanungs- und Baurechtskonformität des Vorhabens, sondern die Befugnis der Gemeinde zur Verwirklichung des Wanderwegprojekts. Diesbezüglich bringen sie vor, die Gemeinde sei nur mit schriftlicher Zustimmung der Grundeigentümer berechtigt, über deren Parzellen einen öffentlichen Fussweg in Form eines Wanderwegs zu führen (§ 3 Abs. 2 der Verordnung über die öffentlichen Wege mit privater Unterhaltspflicht vom 26. Februar 1958 [WegrodelV; SRSZ 443.110]). Da sie dem Wegprojekt nicht zugestimmt hätten, könne das Vorhaben nicht verwirklicht werden, weshalb dafür auch keine Bauerlaubnis erteilt werden dürfe. Die Befugnis der Gemeinde zur Ausführung des Vorhabens sei vorfrageweise zu prüfen. Da die bereits ergangenen Rechtsakte über das Bestehen eines öffentlichen Fusswegrechts im betreffenden Gebiet wegen der fehlenden schriftlichen Zustimmung der Grundeigentümer an einem schweren Mangel litten, seien sie nichtig. Die Nichtigkeitsfolge betreffe insbesondere den Vermerk eines Fusswegs über ihre Grundstücke im Wegrodel (Nr. 7, Kreis II). Da die schriftliche Zustimmung der Grundeigentümer unabdingbar sei, müsse die Baubewilligung verweigert werden.
2.3. Die Vorinstanz hat ausgeführt, § 3 WegrodelV betreffe nur die Verwirklichung neuer Wegprojekte. Der vorliegend zur Diskussion stehende öffentliche Fussweg sei nicht neu und falle nicht darunter. Er basiere auf einem vorbestehenden öffentlichen Fusswegrecht, das anlässlich der Bereinigung des Verzeichnisses über die öffentlichen Wege bei der Einführung des eidgenössischen Grundbuchs in das Verzeichnis der öffentlichen Wege mit privater Unterhaltspflicht (Wegrodel) der Gemeinde Ingenbohl aufgenommen worden sei. Das hierfür anwendbare Verfahren sei in den § 5 ff. WegrodelV geregelt und eingehalten worden. Insbesondere sei die zweimalige öffentliche Auflage des bereinigten Verzeichnisses verbunden mit der Aufforderung, allfällige Einsprachen innert Frist bei Rechtsverlust im Unterlassungsfall anzumelden, ordnungsgemäss (im Jahre 1984) erfolgt. Die damaligen Eigentümer der Grundstücke der Beschwerdeführer hätten keine Einsprache erhoben. Der Zustimmung der Beschwerdeführer zum Wegprojekt bedürfe es deshalb nicht. Schliesslich sei der Wegrodel (mit dem Fussweg Nr. 7, Kreis II) am 3. Juli 1991 vom Kantonsgericht genehmigt worden. Von Nichtigkeit könne daher keine Rede sein. Zudem habe das Verwaltungsgericht anlässlich der Verlegung des öffentlichen Fusswegrechts im Bereich von KTN 1502, 2087 und 2196 die neue Linienführung als rechtens befunden (Urteil vom 21. September 2011) und festgehalten, dass der weitere Wegverlauf über den Blumenweg erfolge. Dem rechtskräftigen Urteil sei eine öffentliche Auflage vorangegangen, und die betroffenen Grundeigentümer hätten ihre Rechte wahren können.
3.
3.1. Die Nichtigkeit ist die schärfste Rechtsfolge der Fehlerhaftigkeit eines Rechtsaktes. Einer nichtigen Verfügung geht jede Verbindlichkeit und Rechtswirksamkeit ab. Die Nichtigkeit ist jederzeit und von allen staatlichen Instanzen zu beachten. Nach der Rechtsprechung ist eine Verfügung mit Blick auf diese strengen Rechtsfolgen nur ausnahmsweise nichtig, wenn der ihr anhaftende Mangel besonders schwer und offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar ist und die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird. Als Nichtigkeitsgrund kommen hauptsächlich funktionelle und sachliche Unzuständigkeit einer Behörde sowie schwerwiegende Verfahrensfehler in Frage (<ref-ruling> E. 11.2 S. 260; <ref-ruling> E. 3.1 S. 27 mit Hinweisen).
3.2. Hier fällt die Annahme von Nichtigkeit klarerweise ausser Betracht. Funtionelle bzw. sachliche Unzuständigkeit der mit der Angelegenheit befassten Behörden wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich. Gravierende materielle Fehlerhaftigkeit ist ebenfalls nicht erkennbar. Im Gegenteil: Das Verständnis der massgebenden Bestimmungen der Wegrodelverordnung durch die Vorinstanz kann sich auf die von der Rechtsprechung anerkannten Auslegungskriterien stützen (dazu statt vieler: <ref-ruling> E. 1.5.4 S. 74) und ist nachvollziehbar. Es ist denkbar, dass das Auslegungsergebnis auch einer weitergehenden Überprüfung durch das Bundesgericht standhalten würde als der sehr beschränkten unter dem Blickwinkel der Nichtigkeit. In der Tat leuchtet nicht recht ein, weshalb die Überführung vorbestehender Wegdienstbarkeiten ins eidgenössische Grundbuch von der Zustimmung der heutigen Grundeigentümer abhängen sollte. Unter diesen Umständen verbietet sich die Annahme, die Aufnahme des Fussweges Nr. 7, Kreis II, ins Wegrodel der Gemeinde Ingenbohl sei geradezu nichtig bzw. die Erteilung der umstrittenen Bauerlaubnis dürfe notwendigerweise nur mit Zustimmung der beschwerdeführenden Grundeigentümer erfolgen.
Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Bei diesem Ergebnis werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig. Sie haben die Gerichtskosten unter Solidarhaft zu tragen (<ref-law>). Parteikosten sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Erbengemeinschaft D._, dem Gemeinderat Ingenbohl bzw. Gemeinde Ingenbohl und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Oktober 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle