Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer erhebt beim Bundesgericht einen "Rekurs" im Zusammenhang mit dem kantonalen "Verfahren Nr. U 09 2 / BWE". Er reicht einen Rekursentscheid der Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell A.Rh. vom 14. Dezember 2009 betreffend eine Einstellungsverfügung des Verhöramtes vom 19. November 2009 (U 09 2) ein. Da es um eine Strafsache geht, ist der "Rekurs" als Beschwerde gemäss <ref-law> entgegenzunehmen.
Im angefochtenen Entscheid wurde auf den kantonalen Rekurs zur Hauptsache nicht eingetreten, weil er verspätet war. In der Eingabe vor Bundesgericht bezieht sich der Beschwerdeführer mit keinem Wort auf die Frage, ob der kantonale Rekurs verspätet war oder nicht. Auf dem angefochtenen Entscheid selber hat er immerhin den Hinweis angebracht, er habe den Termin verpasst, weil er sofort einen Brief nach Bern geschickt habe. Mit dieser lapidaren Bemerkung kann indessen nicht dargelegt werden, dass und inwieweit der angefochtene Entscheid gegen das schweizerische Recht im Sinne von <ref-law> verstossen könnte. Die Beschwerde genügt insoweit den Begründungsanforderungen vom Art. 42 Abs. 2 bzw. <ref-law> nicht.
Nachdem die Beschwerde in Bezug auf die Hauptbegründung der Vorinstanz nicht durchdringt, kann sich das Bundesgericht mit der Eventualbegründung nicht befassen.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2. Ausnahmsweise kann auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden.

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und der Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell A.Rh. schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Dezember 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn