Erwägungen:
1. Für die kantonalen Steuern der Jahre 1997 und 1998 wurden die Ehegatten A._ und B.X._ mit einem steuerbaren Einkommen von 311'800 bzw. 321'200 Franken veranlagt (Verfügungen der Steuerverwaltung Basel-Stadt vom 16. September 2004). In der Folge erhoben A._ und B.X._ erfolglos die Verjährungseinrede: Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt verneinte kantonal letztinstanzlich den Verjährungseintritt (Urteil vom 27. Juni 2007, zugestellt am 11. Dezember 2007).
2. Mit Eingaben vom 8. und 21. Januar 2008 haben A._ und B.X._ beim Bundesgericht "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde" eingereicht. Sie beantragen sinngemäss, den Appellationsgerichtsentscheid sowie die Veranlagungsverfügungen aufzuheben und festzustellen, dass sie für die Jahre 1997 und 1998 keine Steuern schulden. Weil der angefochtene Entscheid unter keine der Ausnahmebestimmungen von Art. 83 BGG fällt, steht vorliegend die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen, und die Eingabe der Beschwerdeführer ist als solche entgegenzunehmen. Allerdings ist die Beschwerde offensichtlich unbegründet und kann im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG (mit summarischer Begründung und unter Verzicht auf Einholung von Akten und Vernehmlassungen) abgewiesen werden.
3. 3.1 Am 1. Januar 2001 ist das neue basel-städtische Steuergesetz vom 12. April 2000 (StG/BS) in Kraft getreten, welches für die Veranlagung eine relative Verjährungsfrist von fünf Jahren vorsieht (vgl. § 148 Abs. 1 lit. a StG/BS). Vorliegend geht es jedoch um Steuern der Jahre 1997 und 1998, auf welche materiell unbestrittenermassen das alte basel-städtische Steuergesetz vom 22. Dezember 1949 (aStG/BS) Anwendung findet. Zum materiellen Recht zählt auch das Institut der Verjährung, wobei dies - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer - nicht nur für die Bezugsverjährung, sondern (ungeachtet der systematischen Einordnung im Gesetz) auch für die Veranlagungs- und eine allfällige Einleitungsverjährung gilt (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 3). Zwar fehlt es im alten basel-städtischen Steuergesetz an einer expliziten Regelung der Veranlagungsverjährung; nach den Erwägungen der Vorinstanz galt insoweit jedoch praxisgemäss eine relative Verjährungsfrist von zehn Jahren. Nach altem Recht sind die Veranlagungsverfügungen vom 16. September 2004 mithin vor Verjährungseintritt ergangen. Soweit die Beschwerdeführer diesbezüglich geltend machen, richtigerweise betrage die Frist für die relative Veranlagungsverjährung fünf und nicht zehn Jahre, vermögen ihre Vorbringen den gesetzlichen Begründungsanforderungen (vgl. Art. 42 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 201) nicht zu genügen, weshalb nicht näher darauf einzugehen ist. Gleiches gilt für die Rüge, "wegen unverhältnismässiger Verfahrensverschleppung" durch die Steuerbehörden müsse richtigerweise auf die Erhebung von Verzugszinsen verzichtet werden.
3.2 Obschon die Vorinstanz den materiellrechtlichen Charakter der Verjährungsregelung nicht verkannt hat, schloss sie - in Anlehnung an die bundesgerichtliche Rechtsprechung zur Verjährung im Bereich der Nachsteuern (vgl. Urteil 2P.92/2001 vom 10. Dezember 2001, E. 2e u. 2f sowie Urteil 2P.432/1996 vom 22. Mai 1997, in: RDAF 1998 II 179, E. 7a) - nicht gänzlich aus, dass vorliegend bereits das neue Recht zur Anwendung komme. Für diesen Fall hielt sie fest, die fünfjährige Verjährungsfrist gemäss § 148 Abs. 1 lit. a StG/BS beginne (ausser in jenen Fällen, in denen dies zu einer Verlängerung der Verjährungsfrist über die altrechtliche Dauer von zehn Jahren hinaus führen würde) mit Inkrafttreten des neuen Rechts am 1. Januar 2001 zu laufen, ohne dass die zu diesem Zeitpunkt bereits abgelaufene Zeitspanne zu berücksichtigen sei. Weil bei entsprechender Auslegung des Übergangsrechts die Veranlagungsverfügungen vom 16. September 2004 auch nach dem neuen Recht vor Verjährungseintritt ergingen, konnte das Appellationsgericht - ohne Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV; vgl. <ref-ruling> E. 5a S. 70) - offen lassen, nach welchem Gesetz die von den Beschwerdeführern erhobene Verjährungseinrede zu beurteilen ist; seiner Ansicht nach waren die Veranlagungsverfügungen so oder anders rechtzeitig ergangen.
4. Die Beschwerdeführer verkennen sodann, dass der Verjährungseintritt für die kantonalen Steuern und für die direkte Bundessteuer getrennt, je aufgrund der konkret anwendbaren Bestimmungen zu beurteilen ist. Bereits deshalb liegt hier keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 236; <ref-ruling> E. 2.2 S. 504 f.) vor, wenn die Vorinstanz auf den Einwand der Beschwerdeführer nicht ausdrücklich eingegangen ist, die Veranlagungsverfahren betreffend die direkte Bundessteuer seien wegen Verjährungseintritt "als erledigt abgeschrieben worden". Soweit schliesslich das Legalitätsprinzip im Abgaberecht (vgl. Art. 127 Abs. 1 BV) angerufen wird, gehen die Vorbringen der Beschwerdeführer an der Sache vorbei: Es ist offensichtlich, dass die streitigen Veranlagungen auf eine genügende gesetzliche Grundlage gestützt sind. Der vorliegende Rechtsstreit betrifft allein die Frage, ob die Forderungen allenfalls durch Verjährungseintritt untergegangen sind bzw. in ihrer Durchsetzbarkeit gehemmt werden.
5. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. Art. 65 f. BGG). Parteientschädigung ist keine auszurichten (vgl. Art. 68 BGG). Das gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung wird mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache hinfällig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter Solidarhaft auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern sowie der Steuerverwaltung und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Januar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Häberli