Sachverhalt:
A. Die IV-Stelle des Kantons Schwyz lehnte am 27. Juli 2007 den Antrag der 1951 geborenen I._ auf Leistungen der Invalidenversicherung ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz bestätigte diese Verfügung mit Entscheid vom 14. November 2007. Am 26. Juni 2008 liess die Versicherte geltend machen, auf den Entscheid sei revisions- oder wiedererwägungsweise zurückzukommen; allenfalls sei das Begehren als Neuanmeldung infolge einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes zu betrachten. Die IV-Stelle holte beim Institut B._ ein interdisziplinäres Gutachten ein. Gestützt darauf ermittelte die IV-Stelle einen Invaliditätsgrad von 15 Prozent und verneinte den Leistungsanspruch abermals (Verfügung vom 2. Februar 2010).
Das kantonale Gericht hatte mit Entscheid vom 27. November 2008 ein von I._ eingereichtes Revisionsgesuch abgewiesen, soweit es darauf eingetreten war.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz wies die gegen die Verfügung vom 2. Februar 2010 eingereichte Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 22. Juni 2010).
C. I._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids, ab dem frühstmöglichen Zeitpunkt eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.

Erwägungen:
1. 1.1 Streitig ist, ob sich im Zeitraum zwischen der den Leistungsanspruch verneinenden Verfügung vom 27. Juli 2007 und der strittigen, auf eine Neuanmeldung der Versicherten folgenden Verfügung vom 2. Februar 2010 anspruchsbegründende Tatsachen wesentlich verändert haben (vgl. Art. 87 Abs. 4 in Verbindung mit Abs. 3 IVV).
1.2 Die Vorinstanz hat die für die Beurteilung des Leistungsanspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
1.3 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von <ref-law> erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling>).
2. 2.1 Das kantonale Gericht nahm gestützt auf das Gutachten des Instituts B._ vom 12. November 2009, wonach die Versicherte an verschiedenen körperlichen Gesundheitsschädigungen leide (chronisches thorakolumbospondylogenes und zervikospondylogenes Schmerzsyndrom, mediale Gonarthrose beidseits), hingegen keine psychopathologischen Funktionsstörungen objektivierbar seien, an, im Betrachtungszeitraum (oben E. 1.1) sei eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes eingetreten, ermittelte aber - wie schon die Verwaltung - mit Bezug auf den Anspruch auf eine Invalidenrente keine leistungserhebliche Änderung. Der Invaliditätsgrad betrage 15 Prozent.
2. 2.1 Das kantonale Gericht nahm gestützt auf das Gutachten des Instituts B._ vom 12. November 2009, wonach die Versicherte an verschiedenen körperlichen Gesundheitsschädigungen leide (chronisches thorakolumbospondylogenes und zervikospondylogenes Schmerzsyndrom, mediale Gonarthrose beidseits), hingegen keine psychopathologischen Funktionsstörungen objektivierbar seien, an, im Betrachtungszeitraum (oben E. 1.1) sei eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes eingetreten, ermittelte aber - wie schon die Verwaltung - mit Bezug auf den Anspruch auf eine Invalidenrente keine leistungserhebliche Änderung. Der Invaliditätsgrad betrage 15 Prozent.
2.2 2.2.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die medizinischen Feststellungen gingen diametral auseinander. Berichte verschiedener behandelnder Ärzte zeigten, dass die Beschwerdeführerin wegen psychischer und körperlicher Beschwerden vollständig arbeitsunfähig sei. Die diesbezüglichen Einwendungen verfangen indessen nicht: Die Rüge, die Vorinstanz habe die Diagnosen im Bericht des Spitals L._ vom 6. Juni 2008 nicht vollständig aufgegriffen, verkennt, dass die nicht näher behandelten Befunde hier entweder die Leistungsfähigkeit nicht erheblich einschränken (u.a. Tinnitus, hypertensive Herzkrankheit) oder aber sich im Wesentlichen mit den administrativgutachtlichen Feststellungen decken (organische Schädigung des Bewegungsapparats). Im Weiteren ist der Beschwerdeführerin zwar beizupflichten, dass der Bericht des Bezirksarztes vom 27. Mai 2008 deutlich abweichende Schlussfolgerungen enthält; Dr. A._ hebt darin aber gleichzeitig hervor, die psychiatrische Krankheit müsse in den Vordergrund gestellt werden. Gerade deswegen ist der Bericht des Allgemeinmediziners nicht geeignet, den Aussagewert des Gutachtens des Instituts B._ entscheidend zu erschüttern. Dementsprechend haben Verwaltung und kantonales Gericht entgegen der Auffassung der Versicherten den Untersuchungsgrundsatz nicht verletzt, indem sie den Bericht des Bezirksarztes nicht zum Anlass genommen haben, weitere Abklärungen zu veranlassen.
2.2.2 Unter den Gesichtspunkten der Schlüssigkeit und Nachvollziehbarkeit gutachtlicher Äusserungen (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 352) fällt freilich auf, dass die von den Gutachtern des Instituts B._ hervorgehobenen Inkonsistenzen im Verhalten der Beschwerdeführerin in dieser Form den anderen medizinischen Berichten nicht entnommen werden können (vgl. etwa die psychiatrische Beurteilung im Gutachten des Instituts für forensische Psychiatrie und Psychotherapie IFPP vom 15. Februar 2007); ausserdem erklären die Gutachter nicht, worin die "guten Ressourcen" liegen, mit deren Hilfe die Versicherte "die geklagten Befindlichkeitsstörungen" überwinden könne. Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen bezüglich des Gesundheitsschadens und der Abschätzung seiner funktionellen Folgen erscheinen gleichwohl insbesondere deswegen nicht als offensichtlich unrichtig, weil die "Mal-Compliance" hinsichtlich der Einnahme schmerzlindernder und antidepressiver Medikamente (vgl. dazu auch den Bericht des Spitals L._ vom 6. Juni 2008) einer objektiv-messbaren Grösse entspricht. Der Medikamentenspiegel kann in Ergänzung zu Anamnese und klinischem Befund wichtige Informationen über eine (behauptete) Schmerzmitteleinnahme und damit über die Glaubwürdigkeit der geklagten Beschwerden liefern (Urteil I 329/05 vom 10. Februar 2006 E. 4.2.2).
Insgesamt ergibt sich aus den Akten nichts, das geeignet wäre, den Beweiswert der gutachtlichen Einschätzung, auf welche die Vorinstanz abgestellt hat, in Zweifel zu ziehen. Die Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts über das aktuelle Leistungsvermögen ist nicht offensichtlich unrichtig und bindet das Bundesgericht (vgl. oben E. 1.3). Soweit die Beschwerdeführerin vorbringt, die im Gutachten namhaft gemachten Vorgaben an eine geeignete Verweisungstätigkeit (leichte, wechselbelastende Tätigkeiten ohne längerdauernde wirbelsäulenbelastende Zwangshaltung und ohne häufige Überkopfarbeiten, nicht in kniender oder hockender Haltung und nicht auf Leitern und Gerüsten; Ausschluss von "ausschliesslich gehenden und stehenden Tätigkeiten") führe zu einer Arbeitsunfähigkeit in allen Bereichen, liegt darin eine offenkundige Fehlinterpretation der Beschreibung zumutbarer Arbeiten im interdisziplinären Gutachten (S. 23). Sind die vorinstanzlichen Feststellungen massgebend, erlauben insoweit auch die in den Akten enthaltenen Hinweise auf eine Suizidalität (vgl. den Bericht des Psychiaters Dr. F._ vom 22. August 2008) keine Rückschlüsse auf den Schweregrad der psychischen Beeinträchtigung.
2.3 Am Gesagten ändern die Vorbringen der Beschwerdeführerin zu einer angeblichen wirtschaftlichen Abhängigkeit der Medizinischen Abklärungsstellen (MEDAS; <ref-law> und <ref-law>) - und insbesondere des Instituts B._ - nichts. Offen bleiben kann, wie es sich mit dem Argument der Beschwerdeführerin verhält, die Nichtbeachtung eines Abhängigkeitsverhältnisses des Instituts B._ zu den beauftragenden Instanzen und die im Einzelfall damit einhergehende Gleichsetzung des Begutachtungsinstituts mit einer gerichtlichen Abklärungsstelle verletze im Ergebnis den verfassungsmässigen Anspruch auf einen unabhängigen Richter (<ref-law>); eine Sichtung des medizinischen Dossiers zeigt nicht auf, inwiefern die gerügte besondere Interessenlage den Beweiswert des Gutachtens tatsächlich beeinträchtigt haben sollte. Der Umstand einer allfälligen wirtschaftlichen Abhängigkeit als solche lässt nach der Rechtsprechung nicht auf mangelnde Objektivität oder Voreingenommenheit der MEDAS-Ärzte schliessen (<ref-ruling> E. 6.2 S. 381; SVR 2008 IV Nr. 22 S. 69 E. 2.4, 9C_67/2007; vgl. auch Urteil 9C_304/2010 vom 12. Mai 2010 E. 2.2). Im Hinblick auf die grundsätzliche Beweistauglichkeit von Administrativgutachten der MEDAS unter den Aspekten der Unabhängigkeit sowie der Verfahrensfairness und Waffengleichheit hat das Bundesgericht zudem vor kurzem festgehalten, dass aus der formellen Parteieigenschaft der IV-Stelle im gerichtlichen Prozess bzw. aus deren Legitimation zur Erhebung von Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht gefolgert werden darf, die Beweiserhebungen der Verwaltung im vorausgehenden nichtstreitigen Verfahren seien Parteihandlungen (BGE 9C_400/2010 vom 9. September 2010 E. 4).
3. 3.1 Das kantonale Gericht stellte fest, dass die Beschwerdeführerin bei ihrer ehemaligen Arbeitgeberin (als Packerin) gegenüber der einschlägigen Tabellenlohnposition einen Minderverdienst von zwei Prozent erzielte. Da derselbe Gehaltsansatz als Invalideneinkommen beizuziehen war, ermittelte es - unter Berücksichtigung des bereits von der Verwaltung zugestandenen "leidensbedingten Abzugs" (dazu <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 481 und 126 V 75) von 15 Prozent - einen nicht rentenbegründenden Invaliditätsgrad von 15 Prozent. Die Parallelisierung der Vergleichseinkommen gemäss <ref-law> (<ref-ruling>) erfolgt indessen nach einer unlängst erfolgten Präzisierung der Rechtsprechung nur, wenn der (vom Gesundheitsschaden noch nicht beeinflusste) Verdienst um mindestens fünf Prozent vom branchenüblichen Tabellenlohn abwich (<ref-ruling> E. 6.1.2 S. 302). Im Ergebnis ändert dies aber nichts an der Richtigkeit der vorinstanzlichen Schlussfolgerungen.
3.2 Da keine Anhaltspunkte für eine rechtswidrige Bemessung des Invaliditätsgrades augenfällig sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; <ref-ruling> E. 4a S. 53), besteht der angefochtene Entscheid zu Recht.
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; <ref-law>) kann gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372); Aussichtslosigkeit ist insbesondere mit Bezug auf die Vorbringen zur grundsätzlichen Beweiswertigkeit der Gutachten des Instituts B._ nicht anzunehmen, zumal das erwähnte Urteil 9C_400/2010 erst nach Einreichung der Beschwerde vom 8. September 2010 ergangen ist. Es wird indessen auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Daniel Vonesch wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. Dezember 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub