Faits:
A.
Saisie par A.X._ d'une plainte dirigée contre le médecin psychiatre chargé par une juridiction civile d'expertiser l'épouse dans le cadre d'une procédure matrimoniale opposant les conjoints X._, la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients et patientes de l'Etat de Fribourg (ci-après: la Commission de surveillance), par décision du 29 mai 2012, a retenu que le plaignant n'avait pas la qualité de partie dans le contexte d'une procédure de dénonciation au sens de la législation cantonale sur la santé, au motif qu'il n'était pas le patient du professionnel de la santé mis en cause, et a informé ce dernier qu'aucune suite ne serait donnée à sa dénonciation. La IIIe Cour administrative du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal) a confirmé cette décision par arrêt du 3 mai 2013.
Par arrêt du 22 août 2013, le Tribunal fédéral a rejeté dans la mesure de sa recevabilité un recours formé par A.X._ contre cet arrêt cantonal. Après avoir relevé le caractère prolixe, en partie exorbitant au litige sous examen et parfois décousu du recours, le Tribunal fédéral a considéré en particulier que les juges cantonaux n'avaient pas versé dans l'arbitraire en interprétant le droit cantonal comme conférant la qualité de partie au seul patient médical, en refusant d'assimiler la situation du recourant à celle d'un patient, puis en déniant à celui-ci la qualité de partie dans le cadre de la dénonciation du médecin psychiatre mandaté pour expertiser l'épouse de A.X._.
B.
Par lettre du 11 septembre 2013 contenant plusieurs "requêtes", A.X._ déclare "revenir sur l'arrêt" du Tribunal fédéral du 22 août 2013, dont il demande l'annulation. Il n'a pas été ordonné d'échange des écritures.

Considérant en droit:
1.
Selon l'<ref-law>, les arrêts du Tribunal fédéral entrent en force dès leur prononcé. Cela signifie qu'il n'existe pas de voie de recours ou d'opposition à leur encontre. Seule est envisageable une demande de révision, aux conditions des art. 121 et 123 LTF (arrêt 1F_25/2013 du 14 août 2013 consid. 1).
1.1. En vertu de l'<ref-law>, la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée si les dispositions concernant la composition du tribunal ou la récusation n'ont pas été observées (let. a), si le tribunal a accordé à une partie soit plus ou, sans que la loi ne le permette, autre chose que ce qu'elle a demandé, soit moins que ce que la partie adverse a reconnu devoir (let. b), si le tribunal n'a pas statué sur certaines conclusions (let. c) ou, si, par inadvertance, le tribunal n'a pas pris en considération des faits pertinents qui ressortent du dossier (let. d). Aux termes de l'<ref-law>, la révision peut en outre être demandée, dans les affaires civiles et les affaires de droit public, si le requérant découvre après coup des faits pertinents ou des moyens de preuve concluants qu'il n'avait pas pu invoquer dans la procédure précédente, à l'exclusion des faits ou moyens de preuve postérieurs à l'arrêt. Selon l'<ref-law>, la demande de révision doit être déposée devant le Tribunal fédéral, notamment, pour violation des dispositions sur la récusation, dans les 30 jours qui suivent la découverte du motif de récusation (let. a); pour violation d'autres règles de procédure, dans les 30 jours qui suivent la notification de l'expédition complète de l'arrêt (let. b [...]).
1.2. Dans sa lettre du 11 septembre 2013, envoyée au Tribunal fédéral à moins de trente jours dès la notification de son arrêt du 22 août 2013, le requérant critique ledit arrêt sous plusieurs angles, dont la recevabilité et, le cas échéant, la pertinence au fond seront examinées ci-après.
2.
Dans un argument de forme, le requérant demande "la récusation des juges et magistrats impliqués dans les décisions concernées".
En tant que le requérant réitérerait ses conclusions visant la récusation de différents membres des autorités cantonales concernées, que la Cour de céans avait déclaré irrecevables du fait qu'elles avaient été prises pour la première fois dans ses observations du 16 août 2013 et qu'elles échappaient de plus à l'objet du litige (arrêt 2C_537/2013 du 22 août 2013 consid. 1.4), il ne motive pas en quoi cette décision fonderait un motif de révision. Ce grief est partant irrecevable (cf. <ref-law>).
En tant que le requérant, qui cite notamment l'<ref-law>, estime que le Tribunal fédéral, dans sa composition ayant rendu l'arrêt du 22 août 2013, n'aurait pas observé les règles en matière de récusation, au sens de l'<ref-law>, il omet de dûment motiver sa demande de récusation et d'en rendre vraisemblables les motifs (cf. <ref-law>; arrêt 2C_171/2007 du 19 octobre 2007 consid. 4.2.2), si bien que sa requête de révision est manifestement irrecevable également sur ce point (cf. <ref-law>). Il sera par ailleurs rappelé que la participation à une procédure antérieure devant le Tribunal fédéral ne constitue pas à elle seule un motif de récusation (<ref-law>; cf. arrêt 2F_2/2007 du 25 avril 2007 consid. 3), et que rien ne s'oppose en principe à ce que les juges et greffier à l'origine de l'arrêt contesté connaissent dans la même composition d'une demande de révision relative audit arrêt (cf. arrêt 2F_20/2012 du 25 septembre 2012 consid. 1.2.2).
Il s'ensuit que l'argument du requérant tiré du prétendu devoir de récusation des magistrats cantonaux ou fédéraux est irrecevable et ne saurait en l'occurrence fonder un quelconque motif de révision.
3.
Le requérant reproche au Tribunal fédéral de ne pas être entré en matière sur ses griefs découlant de la loi fédérale du 19 juin 1992 sur la protection des données (LPD; RS 235.1); le constat de violation des prescriptions de cette loi aurait selon lui conduit à l'admission de la qualité de partie de l'intéressé. Déclarant agir à titre personnel, de même qu'en représentation de ses enfants sur lesquels il dit exercer l'autorité parentale conjointe (<ref-law>), le requérant demande entre autres au Tribunal fédéral, qu'il considère comme "l'organe fédéral responsable" au sens de l'<ref-law>, de constater le caractère illicite du traitement de données personnelles et de rectifier les données personnelles prétendument erronées, voire trompeuses figurant dans le rapport de l'expert psychiatre.
Dans son arrêt 2C_537/2013 précité, la Cour de céans a déclaré irrecevables les griefs que l'intéressé avait développés sur le terrain de ses droits de la personnalité et de la protection des données du patient, au motif que ceux-ci ne faisaient pas l'objet du litige portant sur la seule reconnaissance de la qualité de partie de A.X._ à la procédure de dénonciation devant la Commission de surveillance (consid. 1.5 et 3.1). Or, au titre de cette argumentation, le requérant ne fait valoir aucune irrégularité selon l'<ref-law>, et ne prétend pas avoir découvert de nouveaux moyens de preuve (<ref-law>), se contentant de réaffirmer la violation au fond de la LPD, dont le Tribunal fédéral n'a cependant pas eu à connaître dans l'arrêt litigieux. Sur ce point aussi, la demande de révision du 11 septembre 2013 doit donc être déclarée irrecevable.
Que le requérant agisse à titre purement personnel ou, comme il l'affirme, - semble-t-il pour la première fois dans sa demande de révision -, aussi pour ses enfants (ces derniers n'étant d'ailleurs pas mentionnés en tant que parties devant les instances cantonales) ne change rien à cette conclusion.
Par surabondance de moyens, il sera encore relevé que le champ de la LPD régit le traitement de données effectué par des organes fédéraux (cf. <ref-law>), auxquels ni les juridictions fribourgeoises ni la Commission de surveillance ne sauraient être assimilées (cf. <ref-ruling> consid. 2c et d p. 155 s.), que la LPD ne trouve en tout état pas application aux procédures pendantes civiles, dans le cadre desquelles l'expertise psychiatrique en cause avait été ordonnée (cf. art. 2 al. 2 let. c LPD), et que n'étant pas responsable du prétendu traitement des données dont s'est plaint le requérant, le Tribunal fédéral ne constitue pas ici un "organe fédéral" au sens de l'<ref-law>.
4.
Le requérant reproche encore au Tribunal fédéral de l'avoir retenu responsable pour le retard pris dans la comptabilisation du paiement de l'avance de frais au niveau de l'autorité cantonale, qui aurait en réalité été imputable à la Poste suisse.
A nouveau, l'intéressé ne rattache cependant son grief à aucun motif de révision concret. Dans la mesure où il estimerait que la Cour de céans n'aurait pas pris en considération cet élément par inadvertance, au sens de l'art. 121 let. d LTF, le requérant ne démontre pas en quoi ce fait serait pertinent, c'est-à-dire dans quelle mesure il serait susceptible d'entraîner une décision différente de celle qui a été prise et plus favorable au requérant (cf. arrêts 2F_12/2013 du 25 juillet 2013 consid. 5.2; 1F_6/2013 du 5 juin 2013 consid. 3.1), de sorte que la recevabilité de ce grief se pose (cf. <ref-law>). Quoi qu'il en soit, il devrait être écarté au fond. En effet, dans l'arrêt 2C_537/2013 précité, la Cour de céans avait abordé le paiement de l'avance de frais cantonale dans le cadre de son grief relatif à la violation du devoir de célérité (consid. 3.4.2). Procédant à l'examen des nombreux actes d'instruction et de procédure, dont le délai requis pour contrôler l'entrée de l'avance de frais ne constituait qu'un élément parmi d'autres, elle avait retenu que la durée de la première phase de la procédure de recours devant le Tribunal cantonal était presque entièrement imputable au recourant et que l'on ne pouvait, globalement, reprocher aux précédents juges de ne pas avoir statué dans un délai raisonnable (arrêt précité, consid. 3.4.2). Il en découle qu'en tant qu'il y eût existé une quelconque inadvertance et que celle-ci fût ressortie du dossier, elle se serait avérée non pertinente pour l'issue du grief portant sur le devoir de diligence et ne constituerait partant aucun motif de révision au sens de l'art. 121 let. d LTF.
5.
Finalement, le requérant est d'avis que le Tribunal fédéral ne pouvait pas, dans l'arrêt 2C_537/2013, d'une part, décider d'entrer en matière sur son recours jugé prolixe et à la limite de l'inintelligible, sans renvoyer le mémoire à son auteur pour qu'il remédie aux irrégularités constatées (cf. <ref-law>), et, d'autre part, tenir compte desdites irrégularités au moment de calculer les frais à mettre à la charge du recourant succombant (cf. arrêt 2C_537/2013 précité, consid. 5). A.X._ demande partant que les avances lui soient remboursées dans les meilleurs délais et qu'aucun frais ne soit mis à sa charge.
Dès lors que le requérant se borne, une fois de plus, à discuter la décision du Tribunal fédéral sans démontrer en quoi celle-ci aurait été adoptée en méconnaissance de l'un des motifs de révision limitativement évoqués aux <ref-law>, qui plus est dans un domaine (frais judiciaires) où le Tribunal fédéral dispose d'une large marge d'appréciation, y compris pour tenir compte de la façon de procéder des parties ( BERNARD CORBOZ, ad <ref-law>, in Commentaire de la LTF, 2009, p. 480 n. 19), son grief doit être déclaré irrecevable.
Il sera au demeurant ajouté, contrairement à ce que prétend le requérant, que le caractère prolixe et difficilement compréhensible par endroits ne s'était pas confiné au mémoire de recours initial de septante-quatre pages, mais résultait aussi des observations de vingt pages que l'intéressé avait rédigées le 16 août 2013, alors même que le Tribunal cantonal et la Commission de surveillance avaient renoncé à formuler une réponse (cf. arrêt 2C_537/2013 précité, consid. 1.3).
6.
Au vu des considérations qui précèdent, la demande de révision est rejetée, dans la faible mesure de sa recevabilité. Les frais du présent arrêt sont mis à la charge du requérant qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
La demande de révision est rejetée dans la mesure où elle est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du requérant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au requérant, à la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients et patientes du canton de Fribourg, au Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg, IIIe Cour administrative, ainsi qu'au Tribunal fédéral suisse, IIe Cour de droit public.
Lausanne, le 4 octobre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Chatton