Faits:
A. L._ a travaillé notamment en qualité de nettoyeuse. Souffrant des suites d'une hernie ombilicale, elle s'est annoncée à l'assurance-invalidité le 16 juin 2009.
Par décision du 24 novembre 2009, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a refusé de prendre en charge des mesures d'ordre professionnel en faveur de l'assurée.
B. L._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en concluant principalement au renvoi de la cause à l'administration, subsidiairement à la prise en charge de mesures professionnelles.
La juridiction cantonale a confié un mandat d'expertise psychiatrique au docteur B._ (ordonnance du 2 décembre 2010). Ce spécialiste en psychiatrie a déposé son rapport le 23 mai 2011 ainsi qu'une écriture complémentaire le 28 février 2012. L'assurée a dès lors conclu principalement à l'annulation de la décision du 24 novembre 2009 et à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité.
Par jugement du 7 mai 2012, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours que l'assurée avait formé contre la décision du 24 novembre 2009 (ch. 2 du dispositif), confirmé celle-ci (ch. 3) et dit que la recourante avait droit à une demi-rente d'invalidité depuis le 1er avril 2011 (ch. 4).
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. D'une part, il conclut à son annulation dans la mesure où le droit de l'intimée à une demi-rente d'invalidité est reconnu à partir du 1er avril 2011; d'autre part, l'office AI conclut à ce que la cause lui soit renvoyée pour examen du droit aux prestations en raison de l'aggravation de l'état de santé alléguée à compter du mois d'avril 2010.
L'intimée conclut au rejet du recours, avec suite de frais et dépens. A titre subsidiaire, pour le cas où le recours serait admis, elle conclut à ce que les frais et dépens soient mis à la charge de la République et canton de Genève.
L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit:
1. Les premiers juges ont considéré que l'intimée ne présentait pas d'invalidité au jour où la décision du 24 novembre 2009 avait été rendue, si bien qu'ils ont rejeté le recours dont ils étaient saisis.
Le jugement du 7 mai 2012 n'a pas été attaqué dans la mesure où il confirme la légalité de la décision du 24 novembre 2009. Celle-ci est dès lors passée en force.
2. 2.1 A l'issue de l'instruction qu'elle a menée, la juridiction cantonale a constaté que la capacité de travail de l'intimée s'élevait à 50 % dans toute activité à partir du 1er avril 2010. Pour ce faire, elle s'est fondée en particulier sur le rapport d'expertise judiciaire du docteur B._ du 23 mai 2011, complété le 28 février 2012. L'évaluation de l'invalidité a abouti à la fixation d'un taux d'invalidité de 52 %.
En étendant la procédure au-delà de l'objet de la contestation déterminé par la décision du 24 novembre 2009, les premiers juges ont ainsi reconnu le droit de l'intimée à une demi-rente d'invalidité depuis le 1er avril 2011.
2.2 L'office recourant fait grief à la juridiction cantonale d'avoir violé le droit fédéral en procédant à l'extension de la procédure au-delà de l'objet de la contestation déterminé par la décision du 24 novembre 2009.
En premier lieu, il soutient que l'incapacité de travail retenue par le docteur B._ à compter du mois d'avril 2010 découlait d'un état dépressif, si bien que cette incapacité n'avait pas la même origine que celle que l'intimée avait présentée entre mars 2008 et avril 2009, laquelle était motivée par des douleurs liées aux séquelles d'une intervention pour une hernie ombilicale. Dès lors, en l'absence d'un état de fait commun, les conditions cumulatives autorisant l'élargissement d'un procès au-delà de l'objet de la contestation n'étaient pas remplies.
En second lieu, le recourant reproche aux premiers juges d'avoir omis de l'informer qu'il entendait statuer sur la question du droit de l'intimée aux prestations jusqu'à la date du jugement et, partant, de ne pas l'avoir invité à se prononcer sur cet état de choses. Le recourant précise qu'il a seulement été appelé à s'exprimer sur le droit éventuel à une rente limitée dans le temps dès le 1er mars 2009, mais en aucun cas sur la période postérieure à la décision du 24 novembre 2009 (cf. ordonnance du 16 avril 2012).
2.3 De son côté, l'intimée estime que les conditions présidant à l'extension de la procédure sont réalisées et que le jugement attaqué n'est pas critiquable. A cet égard, elle soutient que l'ensemble de la procédure a porté non seulement sur les atteintes à la santé de type somatique, mais également sur l'état de santé psychique. Elle ajoute que le recourant s'est prononcé sur la problématique psychique, qui a fait l'objet de nombreuses investigations au cours de la procédure juridictionnelle.
3. 3.1 De jurisprudence constante, le juge des assurances sociales apprécie la légalité des décisions attaquées d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue. Les faits survenus postérieurement et ayant modifié cette situation doivent faire l'objet d'une nouvelle décision administrative (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 243, 121 V 362 consid. 1b p. 366). Pour des motifs d'économie de procédure, la procédure juridictionnelle administrative peut être étendue à une question en état d'être jugée qui excède l'objet de la contestation, c'est-à-dire le rapport juridique visé par la décision, lorsque cette question est si étroitement liée à l'objet initial du litige que l'on peut parler d'un état de fait commun, et à la condition que l'administration se soit exprimée à son sujet dans un acte de procédure au moins (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 503, <ref-ruling> consid. 2a p. 36 et les références; ULRICH MEYER/ISABEL VON ZWEHL, L'objet du litige en procédure de droit administratif fédéral, Mélanges Pierre Moor, 2005, p. 446).
3.2 Le second grief de l'office recourant est bien fondé. En effet, la juridiction cantonale ne l'a pas informé de son intention de statuer sur la question du droit à la rente à partir du 1er avril 2011 et ne l'a, partant, pas invité à se déterminer spécifiquement sur cette question. On ne saurait par ailleurs déduire des écritures du recourant qu'il aurait tacitement acquiescé à une extension de la procédure.
Dès lors que le droit de l'office recourant d'être entendu n'a pas été respecté dans le cadre de l'extension de la procédure, le jugement attaqué du 7 mai 2012 doit être annulé dans la mesure où il porte sur le droit de l'intimée à des prestations de l'assurance-invalidité à compter du 1er avril 2011 (ch. 4 du dispositif). L'admission du recours pour ce seul motif rend ainsi superflu l'examen du grief relatif à la présence d'un état de fait commun.
4. Il est pris acte du fait que l'office recourant entend procéder à l'examen du droit de l'intimée aux prestations en raison de l'aggravation de l'état de santé alléguée à compter du mois d'avril 2010.
5. L'intimée succombe dès lors qu'elle a conclu au rejet du recours en exposant les raisons pour lesquelles le jugement attaqué devait, à ses yeux, être intégralement confirmé. Elle doit ainsi être condamnée aux frais (<ref-law>), nonobstant le précédent genevois (arrêt 9C_598/2011 du 19 avril 2012) qu'elle invoque et qui portait - ainsi qu'elle l'admet - sur un cas bien différent du sien. Pour le même motif, l'intimée n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le ch. 4 du dispositif du jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 7 mai 2012, est annulé; le ch. 2 du dispositif dudit jugement est réformé en ce sens que le recours formé contre la décision du 24 novembre 2009 est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, afin qu'elle statue sur les frais de l'instance cantonale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 janvier 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Berthoud