Sachverhalt:
A. Der Strafgerichtspräsident Basel-Stadt erklärte X._ mit Urteil vom 10. Januar 2006 der fahrlässigen schweren Körperverletzung schuldig und verurteilte ihn zu einer Busse von Fr. 500.--, bedingt löschbar nach Ablauf einer Probezeit von 1 Jahr. Die Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen des Geschädigten hiess er gemäss Art. 9 Abs. 3 OHG dem Grundsatze nach gut und verwies ihn für die Bestimmung der Höhe seines Anspruchs auf den Zivilweg.
Eine gegen diesen Entscheid vom Beurteilten erhobene Appellation wies der Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt am 25. Mai 2007 als unbegründet ab und bestätigte das erstinstanzliche Urteil.
B. X._ führt Beschwerde ans Bundesgericht, mit der er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben, und er sei von der Anklage der fahrlässigen schweren Körperverletzung freizusprechen. Ferner schliesst er für den Fall der Gutheissung seiner Beschwerde auf Umverteilung der kantonalen Verfahrenskosten und Befreiung von der Auferlegung jeglicher Kosten.
C. Vernehmlassungen wurden nicht eingeholt.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen von einer letzten kantonalen Instanz (Art. 80 Abs. 1 BGG) gefällten Endentscheid (Art. 90 BGG) in Strafsachen (Art. 78 Abs. 1 BGG). Sie ist von der beschuldigen Person (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 BGG) unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) erhoben und hinreichend begründet worden.
Die Beschwerde an das Bundesgericht kann wegen Rechtsverletzungen im Sinne der Art. 95 und 96 BGG geführt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist weder an die in der Beschwerde vorgetragene Begründung der Rechtsbegehren noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es darf indessen nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (Art. 107 Abs. 1 BGG). Neue Begehren sind unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Verletzung von schweizerischem Recht im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens von entscheidender Bedeutung sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; vgl. auch Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2 Am 1. Januar 2007 sind der revidierte Allgemeine Teil des Strafgesetzbuches (erstes Buch) und die revidierten Bestimmungen über die Einführung und Anwendung des Gesetzes (drittes Buch) vom 13. Dezember 2002 in Kraft getreten. Die zu beurteilende strafbare Handlung ist noch unter der Geltung des früheren Rechts erfolgt. Gemäss Art. 2 Abs. 2 StGB gelangt bei dieser Konstellation das neue Recht zur Anwendung, wenn es für den Beschwerdeführer das mildere ist.
Im zu beurteilenden Fall erachtet die Vorinstanz Art. 125 aStGB im Rahmen der Strafzumessung als das mildere Recht und wendet demzufolge das alte Recht an (angefochtenes Urteil S. 6). Hiegegen erhebt der Beschwerdeführer zu Recht keine Einwendungen.
2. Die kantonalen Instanzen stellen folgenden Sachverhalt fest:
Der Beschwerdeführer fuhr am 2. April 2004, um 09.35 Uhr mit seinem Personenwagen in Basel von der Lindenhofstrasse her im rechten von zwei Fahrstreifen durch die Nauenstrasse in Richtung der Kreuzung Münchensteinerstrasse, welche er geradeaus überqueren wollte. Zu jener Zeit herrschte stockender Kolonnenverkehr. Vor ihm fuhr auf der Kreuzung der Geschädigte A._, geb. 1929, auf seinem Herrenfahrrad in die gleiche Richtung, nachdem er von der Lichtsignalanlage Grünlicht erhalten hatte.
Nachdem die vor ihm fahrenden Fahrzeuge den Geschädigten überholt hatten, setzte der Beschwerdeführer seinerseits dazu an, den betagten Fahrradfahrer im Bereich des Kreuzungsgebiets zu überholen, wobei er seine Geschwindigkeit auf 20 - 30 km/h reduzierte. Obwohl er die unsichere Fahrweise des Geschädigten, der bei seiner Fahrt schwankte, bemerkt hatte, passierte er ihn nach wenigen Metern Fahrt mit einem ungenügenden seitlichen Abstand von 10 - 15 cm zwischen seinem rechten Aussenspiegel und dem Lenker des Velos. Als der Radfahrer einen kleinen Schwenker nach links machte, kam es zur Kollision zwischen dem Personenwagen des Beschwerdeführers und dem Radfahrer. Der Geschädigte kam dadurch zu Fall und zog sich multiple Verletzungen mit bleibenden Folgen zu. Der Wagen des Beschwerdeführers kam im Bereich der Tramschienen mit nach hinten geklapptem seitlichen Rückspiegel zum Stillstand (angefochtenes Urteil S. 2 f.; erstinstanzliches Urteil S. 1 f. [Anklageschrift]).
3. 3.1 Die Vorinstanz nimmt in rechtlicher Hinsicht an, der Beschwerdeführer habe beim Überholen des Radfahrers einen ungenügenden seitlichen Abstand eingehalten. Der Beschwerdeführer, der nach seinen Angaben das Schwanken des Fahrradfahrers über längere Zeit beobachtet habe, habe den Geschädigten so nahe überholt, dass dieser bei einem zusätzlichen Schwenker nach links, mit welchem angesichts seiner unsicheren Fahrweise zu rechnen gewesen sei, in sein Auto habe kippen können. Der Beschwerdeführer hätte zum Überholen weiter auf die linke Fahrspur ausweichen bzw. vollständig auf diese Spur wechseln müssen oder, wenn ein sicheres Überholen nicht möglich war, hinter dem Velofahrer bleiben müssen (angefochtenes Urteil S. 4 f.).
3.2 Der Beschwerdeführer beanstandet, dass die Vorinstanz seine Geschwindigkeit bei der Beurteilung des pflichtgemässen seitlichen Abstandes nicht miteinbezogen habe (Beschwerde S. 5). Weiter macht er geltend, der seitliche Abstand zum Fahrradfahrer sei genügend gross gewesen. Soweit die Vorinstanz sich für ihre Annahme auf die Zeugenaussage des nachfolgenden Autolenkers stütze, verfalle sie in Willkür, da sie die Aussagen dieses Zeugen in allen anderen Punkten für unverlässlich halte. Ausserdem sei dieser wegen seiner Position links auf dem Fahrersitz gar nicht in der Lage gewesen, den seitlichen Abstand des vor ihm fahrenden Autos zum überholten Fahrradfahrer zu erkennen (Beschwerde S. 5 f.). Es sei jedenfalls nicht erwiesen, dass die geringe Distanz zwischen Fahrrad und Auto auf sein Überholmanöver zurückzuführen sei, da der Geschädigte durch sein Schwanken auf dem Velo den Abstand zum Auto verringert habe (Beschwerde S. 6 f.). Schliesslich habe er nicht sorgfaltswidrig gehandelt. Er habe die notwendige Rücksicht bewiesen, habe namentlich in den Rückspiegel geschaut und abgewartet, bis der linke Fahrstreifen frei geworden sei, um einen genügenden Abstand wahren zu können, und habe daher überholen dürfen. Er sei nicht verpflichtet gewesen, unvorhersehbare Ereignisse wie einen plötzlichen Schwenker oder den Verlust des Gleichgewichts des Velofahrers vorherzusehen (Beschwerde S. 8 f.). Die schwere Körperverletzung könne ihm daher mangels Sorgfaltspflichtverletzung nicht zugerechnet werden. Im Übrigen sei der Taterfolg nicht vermeidbar gewesen, da er mit hoher Wahrscheinlichkeit auch bei pflichtgemässem Verhalten eingetreten wäre (Beschwerde S. 9 f.).
4. 4.1 Fahrlässig begeht der Täter ein Verbrechen oder Vergehen, wenn die Tat darauf zurückzuführen ist, dass er die Folge seines Verhaltens aus pflichtwidriger Unvorsichtigkeit nicht bedacht oder darauf nicht Rücksicht genommen hat (Art. 18 Abs. 3 Satz 1 aStGB; vgl. Art. 12 Abs. 3 StGB). Ein Schuldspruch wegen fahrlässiger schwerer Körperverletzung setzt somit voraus, dass der Täter den Erfolg durch Verletzung einer Sorgfaltspflicht verursacht hat. Sorgfaltswidrig ist die Handlungsweise, wenn der Täter zum Zeitpunkt der Tat aufgrund der Umstände sowie seiner Kenntnisse und Fähigkeiten die damit bewirkte Gefährdung der Rechtsgüter des Opfers hätte erkennen können und müssen und wenn er zugleich die Grenzen des erlaubten Risikos überschritten hat (Art. 18 Abs. 3 Satz 2 StGB). Wo besondere, der Unfallverhütung und der Sicherheit dienende Normen ein bestimmtes Verhalten gebieten, richtet sich das Mass der im Einzelfall zu beachtenden Sorgfalt in erster Linie nach diesen Vorschriften (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 2a, mit Hinweisen).
Erkennbar bzw. voraussehbar ist die Gefahr des Erfolgseintritts für den Täter, wenn sein Verhalten geeignet ist, nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und den Erfahrungen des Lebens einen Erfolg wie den eingetretenen herbeizuführen oder jedenfalls zu begünstigen. Dabei müssen die zum Erfolg führenden Geschehensabläufe für den konkreten Täter mindestens in ihren wesentlichen Zügen voraussehbar sein. Die Vorhersehbarkeit der zu beurteilenden Ursache für den Erfolg ist nur zu verneinen, wenn ganz aussergewöhnliche Umstände, wie das Mitverschulden eines Dritten oder Material- oder Konstruktionsfehler, als Mitursache hinzutreten, mit denen schlechthin nicht gerechnet werden musste und die derart schwer wiegen, dass sie als wahrscheinlichste und unmittelbarste Ursache des Erfolgs erscheinen und so alle anderen mitverursachenden Faktoren - namentlich das Verhalten des Angeschuldigten - in den Hintergrund drängen (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2a und 62 E. 2d, je mit Hinweisen).
Für die Zurechnung des Erfolgs ist im Weiteren seine Vermeidbarkeit erforderlich. Der Erfolg ist vermeidbar, wenn er nach einem hypothetischen Kausalverlauf bei pflichtgemässem Verhalten des Täters ausgeblieben wäre. Für die Zurechnung genügt es, wenn das Verhalten des Täters mindestens mit einem hohen Grad der Wahrscheinlichkeit oder mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit die Ursache des Erfolges bildete (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 2a, je mit Hinweisen).
4.2 Nach der Bestimmung von Art. 34 Abs. 4 SVG ist gegenüber allen Strassenbenützern ein ausreichender Abstand zu wahren, namentlich beim Kreuzen und Überholen sowie beim Neben- und Hintereinanderfahren. Diese Abstandsregel richtet sich sowohl an motorlose Fahrzeuge als auch an Motorfahrzeuge und gilt auch gegenüber Fussgängern (Urteil des Kassationshofs 6S.366/2004 vom 16.02.2005 E. 2.3 mit Hinweisen). Nach Art. 35 Abs. 3 SVG muss, wer überholt, auf die übrigen Strassenbenützer, namentlich auf jene, die er überholen will, besonders Rücksicht nehmen.
Ob der seitliche Abstand beim Überholen angemessen ist, hängt nach der Rechtsprechung neben der Geschwindigkeit, mit der überholt wird, und anderen Umständen - wie den Strassen- oder Sichtverhältnissen - wesentlich von der Art des zu überholenden Strassenbenützers und seinem erkennbaren oder voraussehbaren Verhalten ab. Je geringer der seitliche Abstand bemessen wird, desto näher liegt die Gefahr eines Zusammenstosses oder Unfalles. Dies gilt sowohl für das Überholen eines Radfahrers wie auch für dasjenige eines Motorfahrzeuges. Velofahrer sind, wenn sie mit zu knapp bemessenen seitlichem Abstand überholt werden, in besonderem Masse der Gefahr ausgesetzt, in der Fahrsicherheit beeinträchtigt zu werden, ins Schwanken zu geraten und zu stürzen. Dabei ist besondere Vorsicht geboten, wenn ein - namentlich wegen Angetrunkenheit - sichtbar schwankender Velofahrer überholt wird (<ref-ruling> E. 4). Der Überholende hat daher den Sicherheitsabstand so weit zu bemessen, dass er dem Radfahrer ausreichenden Raum belässt, die Fahrt fortzusetzen, ohne sich oder andere zu gefährden. Wie gross der Mindestabstand sein muss, lässt sich nicht ein für allemal ziffernmässig festlegen (<ref-ruling> E. 3 mit Hinweisen). In der Literatur wird beim Überholen von Zweiradfahrzeugen generell ein seitlicher Abstand von mehr als einem Meter verlangt (René Schaffhauser, Grundriss des schweizerischen Strassenverkehrsrechts, Band I, 2. Auflage Bern 2002, N 733; vgl. auch Peter Hentschel, Strassenverkehrsrecht, 39. Aufl., München 2007, § 5 StVO N 55 [bei Radfahrern 1,5 - 2 Meter]).
5. Die Anklageschrift geht von der Darstellung des Beschwerdeführers aus, wonach er seine Geschwindigkeit beim Überholmanöver auf 20 - 30 km/h reduzierte habe (angefochtenes Urteil S. 2). Im Untersuchungsverfahren gab er auf die Frage, mit welcher Geschwindigkeit er den Geschädigten überholt habe, an, er wisse es nicht genau, "vielleicht etwa 20 - 30 km/h; es könnten auch 10 - 20 km/h gewesen sein" (Untersuchungsakten act. 79). Die Vorinstanz nimmt nicht explizit Stellung zu der beim Überholmanöver gefahrenen Geschwindigkeit des Beschwerdeführers. Doch geht sie mit der Anklageschrift von einer Geschwindigkeit im Bereich der in der Anklageschrift genannten 20 - 30 km/h aus. Dass sie die Geschwindigkeit des Beschwerdeführers bei der Beurteilung der Angemessenheit des Abstandes nicht berücksichtigt hätte, lässt sich somit nicht sagen.
In Bezug auf die Feststellung des tatsächlichen seitlichen Abstands zwischen den beiden Fahrzeugen stellen die kantonalen Instanzen zunächst auf die Aussagen des als Zeugen befragten Fahrzeuglenkers ab, der beim Unfall dem Beschwerdeführer nachfolgte. Nach dessen Angaben hatte der Abstand zwischen der Lenkstange des Velos und dem rechten Aussenspiegel des Personenwagens rund 15 cm betragen (angefochtenes Urteil S. 2 [Anklageschrift]; erstinstanzliches Urteil S. 4; Untersuchungsakten act. 56). Auf einen ungenügenden Abstand schliessen die kantonalen Instanzen zum anderen auch aus dem Umstand, dass nach der Kollision der rechte Rückspiegel am Wagen des Beschwerdeführers zurückgeklappt war. Der Schluss, der seitliche Abstand des Autos zum Velofahrer sei nur gering gewesen, weil der Geschädigte nach einem kleinen Schwenker mit dem Rückspiegel kollidiert und infolgedessen gestürzt sei, ist nicht unhaltbar.
Welcher genaue Abstand der konkreten Verkehrssituation angemessen gewesen wäre, kann hier offen bleiben. Mit Sicherheit war der effektiv eingehaltene seitliche Abstand zwischen dem rechten Aussenspiegel des Personenwagens und dem Lenker des Velos zu gering. Dies gilt umso mehr, als der Beschwerdeführer die unsichere Fahrweise des damals 75-jährigen Radfahrers bemerkt hatte und er daher zu erhöhter Vorsicht verpflichtet war. Damit werden die Sorgfaltsanforderungen im Zusammenhang mit üblichen Fahrmanövern entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers (Beschwerde S. 8) nicht in einem Masse erhöht, dass sie im Einzelfall nicht mehr erfüllt werden können (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3c/bb, S. 44). Die Annahme der Vorinstanz, der Beschwerdeführer habe seine Sorgfaltspflichten verletzt, ist daher nicht zu beanstanden.
Schliesslich bejaht die Vorinstanz zu Recht auch die Vermeidbarkeit des Erfolgs. Der Einwand des Beschwerdeführers, der Geschädigte wäre auch zu Fall gekommen, wenn er einen ausreichenden Abstand eingehalten hätte (Beschwerde S. 9 f.), erweist sich schon deshalb als haltlos, weil der Radfahrer wegen der Kollision mit dem Rückspiegel des Autos gestürzt ist. Anhaltspunkte dafür, dass seine schwankende Fahrweise auch bei rechtmässigem Verhalten des Beschwerdeführers zum Sturz geführt hätte, sind nicht ersichtlich. Die im sorgfaltswidrigen Verhalten des Beschwerdeführers begründete Gefahr hat sich hier mit an Sicherheit grenzender oder mindestens mit einem hohen Grad der Wahrscheinlichkeit im Verletzungserfolg verwirklicht.
Das angefochtene Urteil verletzt somit kein Bundesrecht. Die Beschwerde erweist sich daher als unbegründet.
6. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang trägt der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Boog