Sachverhalt:
Im Jahr 2006 wurde ein erstes Begehren der 1958 geborenen S._ um Zusprechung einer Rente der Invalidenversicherung mangels eines genügenden Invaliditätsgrades abgewiesen. Auf eine zweite Anmeldung wurde im Jahr 2007 nicht eingetreten. Im April 2009 meldete sich S._ erneut zum Rentenbezug an. Die IV-Stelle Basel-Stadt verneinte mit Verfügung vom 8. Februar 2011 erneut einen Rentenanspruch mit der Begründung, der - mittels der gemischten Methode bestimmte - Invaliditätsgrad betrage lediglich 25 %.
Die von der Versicherten hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt, nach Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, mit Entscheid vom 20. Juni 2011 ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ihr mit Wirkung ab 1. Februar 2007 eine halbe Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur Durchführung weiterer Abklärungen an die Verwaltung zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz können nur berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>).
2. Die Verwaltung hat die Invalidität nach der gemischten Methode (Art. 28a Abs. 3 in Verbindung mit Abs. 2 IVG sowie mit <ref-law>; <ref-ruling>; jüngst bestätigt in: BGE 9C_790/2010 vom 8. Juli 2011) bestimmt. Sie ging dabei davon aus, die Versicherte wäre im Gesundheitsfall zu 67 % erwerblich und zu 33 % im Aufgabenbereich Haushalt tätig. Sie setzte die gesundheitsbedingte Einschränkung im Erwerbsbereich (mittels Einkommensvergleich, ausgehend von einer 50 %igen Restarbeitsfähigkeit in angepassten Tätigkeiten) auf 27.02 % resp. gewichtet nach dem Anteil an der Gesamttätigkeit auf 18.10 % und im Aufgabenbereich auf 21 % resp. gewichtet auf 6.93 % fest. Daraus resultiert ein Invaliditätsgrad von (gerundet) 25 % (18.10 % + 6.93 %). Der für einen Rentenanspruch mindestens erforderliche Invaliditätsgrad von 40 % (<ref-law>) wurde damit nicht erreicht.
Das kantonale Gericht hat dies in allen Punkten bestätigt. Es hat nur die Frage, ob bei der Ermittlung der Beeinträchtigung im erwerblichen Tätigkeitsbereich ein leidensbedingter Abzug vorzunehmen sei, offen gelassen mit der Begründung, selbst wenn der nach der Rechtsprechung (<ref-ruling>) höchstmögliche Abzug von 25 % angerechnet werde, führe dies nicht zu einem rentenbegründenden Invaliditätsgrad.
3. Letztinstanzlich ist nurmehr umstritten, ob der Invaliditätsgrad nach der gemischten Methode zu bestimmen ist. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies und macht geltend, sie wäre ohne invalidisierenden Gesundheitsschaden voll erwerbstätig, weshalb die Invalidität nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs zu ermitteln sei.
3.1 Die auf eine Würdigung konkreter Umstände gestützte Festsetzung des hypothetischen Umfanges der Erwerbstätigkeit ist eine Tatfrage, welche für das Bundesgericht verbindlich ist, ausser wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung beruht. Eine Rechtsfrage liegt hingegen vor, wenn die Vorinstanz ihre diesbezügliche Folgerung ausschliesslich auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt hat (<ref-ruling> E. 3.2 S. 507; aus jüngster Zeit: SVR 2011 IV Nr. 44 S. 131, 8C_319/2010 E. 5.2; Urteil 9C_447/2011 vom 21. Juli 2011 E. 3.2; je mit Hinweisen).
3.2 Letzteres trifft hier nicht zu. Das kantonale Gericht stützt sich auf konkrete Anhaltspunkte, welche sich aus dem Abklärungsbericht Haushalt vom 21. Januar 2010 und den übrigen Akten ergeben.
Was in der Beschwerde vorgetragen wird, lässt die vorinstanzliche Beurteilung weder als offensichtlich unrichtig noch als in anderer Weise bundesrechtswidrig erscheinen. Das kantonale Gericht hat entgegen der Auffassung der Versicherten namentlich auch den finanziellen Verhältnissen in nicht zu beanstandender und auch nicht gegen den Untersuchungsgrundsatz verstossender Weise Rechnung getragen. Die Beschwerdeführerin macht sodann und hauptsächlich geltend, die Sozialhilfebehörde, von welcher sie mit ihrer Familie wirtschaftliche Sozialhilfe bezieht, würde von ihr im Gesundheitsfall die Ausübung einer vollen Erwerbstätigkeit verlangen. Die Vorinstanz hat diesen Einwand zu Recht verworfen. Abgesehen davon, dass die von der Versicherten postulierte Annahme rein hypothetisch ist, macht die Sozialhilfebehörde die aktuelle Ausrichtung der Sozialhilfe, ob nun grundsätzlich oder masslich, nicht einmal von der erwerblichen Verwertung der gegebenen Restarbeitsfähigkeit von 50 % abhängig. Das ergibt sich aus den aufgelegten Sozialhilfeverfügungen und rechtfertigt erst recht nicht den Schluss, die Behörde würde im Gesundheitsfall ein volles Erwerbspensum von der Versicherten erwarten.
3.3 Die Invaliditätsbemessung durch Verwaltung und Vorinstanz wird im Übrigen nicht beanstandet und gibt keinen Anlass zu weiteren Bemerkungen.
4. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen.
5. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) für das letztinstanzliche Verfahren ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht stattzugeben (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. November 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz