Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der chinesische Staatsangehörige A._, geb. ... 1962, reiste Ende 2002 in die Schweiz ein und stellte am 6. Januar 2003 ein Asylgesuch. Mit Verfügung vom 25. Juni 2003 trat das Bundesamt für Flüchtlinge auf das Gesuch nicht ein und ordnete mit sofortiger Wirksamkeit die Wegweisung an, deren Vollzug nach China es als zumutbar, technisch möglich und praktisch durchführbar erklärte. Das Bundesamt begründete das Nichteintreten auf das Asylgesuch damit, dass A._ keine Reisepapiere oder andere der Identifikation dienende Dokumente abgegeben habe, ohne glaubhaft gemacht zu haben, dass er dazu aus entschuldbaren Gründen nicht in der Lage sei; zudem lägen keine Hinweise auf eine Verfolgung vor, die sich nicht als offensichtlich haltlos erweisen würden (Nichteintretensentscheid gemäss <ref-law>). Die Schweizerische Asylrekurskommission trat auf die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde mit Urteil vom 25. August 2003 nicht ein.
Am 10. Juni 2004 wurde A._ dem Migrationsdienst des Kantons Bern zugeführt, welcher ihn in Ausschaffungshaft nahm. Nach mündlicher Verhandlung hiess der Haftrichter 5 des Haftgerichts III Bern-Mittelland den Antrag auf Überprüfung der Rechtmässigkeit und Angemessenheit der Haft gut und bestätigte die Ausschaffungshaft (schriftliche Ausfertigung des mit Begründung versehenen Entscheids vom 17. August 2004).
Am 20. August 2004 gingen beim Haftgericht zwei in chinesischer Sprache verfasste Schreiben von A._ ein, worin dieser einerseits seinen Gesundheitszustand in der Haft schilderte und andererseits eine neue Überprüfung des Asylbegehrens durch das Bundesgericht beantragte und um Entlassung aus der Haft ersuchte. Das Haftgericht veranlasste von Amtes wegen eine Übersetzung der Eingaben in die deutsche Sprache. Am 25./27. August 2004 übermittelte das Haftgericht dem Bundesgericht die Eingaben (je Original und Übersetzung) sowie seine Akten (Eingang beim Bundesgericht 30. August 2004); es beantragt Abweisung der Beschwerde.
Gestützt auf die Übermittlung ist ein Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde eröffnet worden. Es wird kein Schriftenwechsel durchgeführt. Das Urteil ergeht im vereinfachten Verfahren (Art. 36a OG).
Gestützt auf die Übermittlung ist ein Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde eröffnet worden. Es wird kein Schriftenwechsel durchgeführt. Das Urteil ergeht im vereinfachten Verfahren (Art. 36a OG).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren aus der Schweiz weggewiesen worden, und die gegen ihn gestützt auf Art. 13b ANAG angeordnete Ausschaffungshaft dient der Sicherstellung des Wegweisungsvollzugs. Sie genügt im vorliegenden Fall sämtlichen gesetzlichen Anforderungen. Insbesondere liegt der Haftgrund von Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG vor, nachdem der Beschwerdeführer auch nach rechtskräftiger Abweisung des Asylbegehrens eine Rückkehr in sein Land klar ablehnt, untergetaucht ist (zum Haftgrund der Untertauchensgefahr gemäss der ursprünglichen Fassung von Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG s. <ref-ruling> E. 2 S. 151 f.; <ref-ruling> E. 3b/aa S. 375; ferner <ref-ruling> E. 4.2 S. 147 mit Hinweisen) und im Übrigen seiner Mitwirkungspflicht bei der Beschaffung von Ausweisungspapieren im Sinne von Art. 13f lit. c ANAG nicht nachgekommen ist. Zudem ist der Haftgrund von Art. 13b Abs. 1 lit. d ANAG erfüllt, da das Bundesamt für Flüchtlinge auf das Asylgesuch gestützt auf <ref-law> nicht eingetreten ist. Soweit der Beschwerdeführer eine Beurteilung der asylrechtlichen Aspekte (Asylgewährung, Wegweisung) beantragt, ist das Bundesgericht hiefür nicht zuständig (Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 und Ziff. 4 OG bzw. Art. 105 Abs. 1 lit. a und c AsylG), und zwar auch nicht vorfrageweise im Haftprüfungsverfahren (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 61 f.). Was die Ausführungen über den Gesundheitszustand betrifft, sind diese nicht geeignet, die Hafterstehungsfähigkeit des Beschwerdeführers und damit die Verhältnismässigkeit der Haft (vgl. Art. 13c Abs. 3 Satz 1 ANAG) in Frage zu stellen; jedenfalls kann dem Beschwerdeführer auch während der Dauer der Haft die erforderliche medizinische Betreuung gewährt werden, worauf die zuständige Behörde zu achten hat.
Die in jeder Hinsicht offensichtlich unbegründete Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist, soweit darauf einzutreten ist, abzuweisen; dies ergänzend unter Hinweis auf die (auch unter Berücksichtigung der für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen, vollständig erscheinenden Sachverhaltsfeststellungen des Haftgerichts [vgl. Art. 105 Abs. 2 OG]) zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid (vgl. Art. 36a Abs. 3 OG).
2.2 Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes. Angesichts der klaren Sach- und Rechtslage erscheinen seine Rechtsbegehren aussichtslos, und die Beigabe eines Rechtsanwalts, worum ohnehin bloss im Hinblick auf die vor Bundesgericht unzulässigen Vorbringen betreffend Asyl ersucht wird, ist nicht erforderlich (vgl. Art. 152 Abs. 1 und 2 OG). Indessen rechtfertigt es sich in Fällen der vorliegenden Art, von der Erhebung einer Gerichtsgebühr abzusehen (Art. 154 und 153a Abs. 1 OG), sodass das Gesuch, soweit es die Kostenbefreiung betrifft, gegenstandslos wird; hinsichtlich des Begehrens um Beigabe eines Rechtsanwalts ist es abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird, soweit es nicht gegenstandslos ist, abgewiesen.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird, soweit es nicht gegenstandslos ist, abgewiesen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern und dem Haftgericht III Bern-Mittelland sowie dem Bundesamt für Flüchtlinge schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2004
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: