Sachverhalt:
A. A.a Die 1958 geborene P._ war seit 1. Februar 2001 bei der Firma L._ AG im Bereich der manuellen Bestückung von Maschinen, entgraten von Hand (leichte Handarbeit) vollzeitlich angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 31. Januar 2004 wurde sie Opfer einer Auffahrkollision, als ein nachfolgender Personenwagen ins Heck des Autos fuhr, in dem sie als Beifahrerin sass. Das Spital R._, wo sie gleichentags ambulant behandelt wurde, diagnostizierte ein Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS). Vom 8. Juni bis 13. Juli 2004 war die Versicherte in der Rehaklinik X._ hospitalisiert. Sie war weiterhin bei der SUVA obligatorisch unfallversichert, als am 22. Oktober 2004 in einer Autoeinstellhalle ein rückwärts fahrendes Fahrzeug in das Auto fuhr, in dem sie als Beifahrerin sass. Dieser Unfall verstärkte ihre Kopfschmerzen. Die SUVA erbrachte für beide Unfälle die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Zur weiteren Abklärung der Verhältnisse holte sie diverse Arztberichte ein. Mit Verfügung vom 19. August 2005 stellte sie die Leistungen mangels adäquater Kausalität zwischen den anhaltenden Beschwerden und den Unfällen auf den 31. August 2005 ein. Dagegen erhoben die Versicherte und ihr Krankenversicherer, die Progrès Versicherungen AG, Einsprache. Letztere zog sie am 21. September 2005 zurück. Die SUVA zog weitere Arztberichte und ein zu Handen der Invalidenversicherung (IV) erstelltes Gutachten des Instituts Y._ vom 10. November 2006 bei. Am 6. Februar 2007 gab sie eine neurologische Untersuchung der Versicherten in Auftrag, die am 1. März 2001 durchgeführt wurde (Bericht des Dr. med. E._, Spezialarzt FMH für Neurologie, vom 2. März 2007). Mit Entscheid vom 10. Mai 2007 wies die SUVA die Einsprache ab.
A.b Die IV-Stelle Bern verneinte mit Verfügung vom 13. Februar 2007 einen Rentenanspruch der Versicherten. Die dagegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 6. Februar 2008 ab. Diese Sache ist Gegenstand des beim Bundesgericht hängigen Verfahrens 8C_218/2008.
B. Die gegen den Einspracheentscheid der SUVA vom 10. Mai 2007 eingereichte Beschwerde wies das kantonale Gericht mit Entscheid vom 6. Februar 2008 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte die Aufhebung des kantonalen Entscheides und die Ausrichtung der gesetzlichen UVG-Leistungen auch nach dem 31. August 2005. Im Rahmen der Beschwerdebegründung verlangt sie, die Sache sei an die Vorinstanz bzw. die SUVA zurückzuweisen, damit sie die erforderliche medizinische Begutachtung durchführe und hernach neu befinde.
Die SUVA schliesst auf Beschwerdeabweisung, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; Urteil 8C_806/2008 vom 5. Januar 2009, E. 1.1).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat die Bestimmungen und Grundsätze über die Begriffe der Erwerbsunfähigkeit und der Invalidität (<ref-law>, <ref-law>), den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung im Allgemeinen (<ref-law>) sowie auf eine Invalidenrente (<ref-law>), den für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; <ref-ruling> E. 2 S. 111 f. mit Hinweisen) sowie die erforderliche Adäquanz des Kausalzusammenhangs bei Folgen eines Unfalls mit HWS-Schleudertrauma (<ref-ruling>) oder einer äquivalenten Verletzung (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle zutreffend dargelegt. Gleiches gilt zum invaliditätsbegründenden Charakter psychischer Gesundheitsschäden und der zu diesen gehörenden somatoformen Schmerzstörungen (<ref-ruling>, 130 V 352, 396) sowie der Fibromyalgie (<ref-ruling>, übersetzt in Praxis 2007 Nr. 38 S. 232) und zur Würdigung sowie zum Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232, 125 V 351 ff.). Darauf wird verwiesen.
2.2 Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht die Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (<ref-ruling> E. 9 und 10 S. 121 ff.). Die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze liess das Bundesgericht hingegen unverändert bestehen (<ref-ruling> E. 6.1 S. 116). Diese Rechtsprechung, zu der die Parteien letztinstanzlich Stellung nahmen, gelangt vorliegend zur Anwendung (Urteil 8C_57/2008 vom 16. Mai 2008 E. 4 mit Hinweisen).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob die SUVA ihre Leistungen für die Folgen der Unfälle vom 31. Januar und 22. Oktober 2004 zu Recht auf den 31. August 2005 eingestellt hat.
3.1 Das Spital R._ diagnostizierte ein HWS-Distorsionstrauma als Folge des Unfalls vom 31. Januar 2004. Der Röntgenbefund der HWS war unauffällig (Bericht vom 2. Februar 2004).
3.2 Am 23. Februar 2004 führte Dr. med. H._, Klinik I._, eine Magnetresonanztomografie (MRT) der HWS durch. Er gab folgende Beurteilung ab: Streckhaltung der HWS mit minimaler Kyphosierung zwischen C4 und C7. Minimalprotrusion in den Segmenten C4-C7 ohne Kompressionseffekt auf das Myelon. Im Übrigen reguläre Verhältnisse in Höhe des kraniozervikalen Übergangs. Kein Nachweis einer Pathologie der miterfassten Strukturen des Hirnstamms und des zervikalen Rückenmarks (Bericht vom 24. Februar 2004).
3.3 Die Rehaklinik X._ diagnostizierte im Austrittsbericht vom 12. Juli 2004 eine HWS-Distorsion als Folge des Unfalls vom 31. Januar 2004, ein zervikozephales Schmerzsyndrom und eine Anpassungsstörung (ICD-10: F43.2). Das zervikozephale Schmerzsyndrom sei am ehesten im Sinne eines myotendinotischen Syndroms zu interpretieren. Die vorgängigen externen radiologischen und kernspintomografischen Befunde hätten eine HWS-Streckhaltung mit minimaler Kyphosierung zwischen C4 und C7, Minimalprotrusionen in den Segmenten C4/C7 ohne Kompressionseffekt auf das Myelon bei ansonsten regulären Verhältnissen gezeigt. Die geklagten Beschwerden liessen sich jedoch nicht vollumfänglich durch die dokumentierbaren strukturellen Befunde erklären, sondern seien vor dem Hintergrund einer psychischen Problematik zu sehen. Die Versicherte sei am angestammten, behinderungsangepassten Arbeitsplatz (sitzend mit Möglichkeit zu Positionswechseln, Gewichte max. 1 kg) ab 14. Juli 2004 zu 50 % arbeitsfähig.
3.4 Der SUVA-Kreisarzt Dr. med. G._, FMH für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, beschrieb im Bericht vom 14. Juni 2005 bei der Versicherten eine Fibromyalgie, wobei alle Punkte sowohl cranial als auch distal, rechts als auch links als dolent angegeben würden, so dass sich nach seiner Einschätzung und nach Rücksprache mit Dr. med. N._, Allgemeine Medizin FMH, eine Untersuchung bei einem Rheumatologen erübrige. Die psychische Problematik verstärke das Beschwerdebild noch zusätzlich.
3.5 Der Hausarzt Dr. med. N._ diagnostizierte im Bericht zu Handen der IV vom 19. Oktober 2005 eine HWS-Distorsion, ein posttraumatisches Fibromyalgie-Syndrom (im Verlauf nach der Distorsion aufgetreten, einige Monate später), ein zervikocephales Schmerzsyndrom sowie eine Anpassungsstörung (ICD-10: F43.2).
3.6 Seit 24. August 2004 war die Versicherte bei der Psychiaterin Frau Dr. med. A._ in Behandlung, die im Bericht zu Handen der IV vom 26. Dezember 2005 folgende Diagnosen mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit stellte: Status post-distorsion cervicale suite à l'accident subi le 31.01.2004; Cephalées et syndrome douloureux; Fibromyalgie.
3.7 Im polydisziplinären (internistischen, orthopädischen und psychiatrischen) Gutachten des Instituts Y._ vom 10. November 2006 wurden keine Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit gestellt. Ohne Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit seien folgende Diagnosen: 1. Anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10: F45.4). 2. Chronisches zervikozephales Schmerzsyndrom ohne radikuläre Symptomatik (ICD-10: M53.0), dringender Verdacht auf Analgetika-induzierten Kopfschmerz (ICD-10: G44.4) sowie ein Status nach HWS-Distorsionstrauma (Unfall vom 31. Januar 2004; ICD-10: S13.4). 3. Beginnendes multilokuläres Schmerzsyndrom, weitestgehend ohne klinisches Korrelat (ICD-10: R52.1). Seit mindestens August 2004 sei die Versicherte in der angestammten oder in einer anderen körperlich leichten bis mittelschweren Tätigkeit zu 100 % arbeitsfähig.
3.8 Der Neurologe Dr. med. E._ führte im Bericht vom 2. März 2007 aus, die Versicherte habe am 31. Januar 2004 eine HWS-Distorsionsverletzung erlitten. Aktuell finde sich ein relativ leichtgradiges Zervikalsyndrom. Sonst sei der klassische neurologische Status normal, liefere insbesondere keine Anhaltspunkte für zervikal-radikuläre Reiz- oder Ausfallsymptome oder eine zervikale Myelopathie. Die Schmerzen an den Armen und Beinen seien nicht neurogenen Ursprungs. Er nehme tendinös-muskuläre Pathologien an. Bei der Untersuchung seien multiple Druckdolenzen tastbar, über den Nackenmuskeln auch mehrere Trigger-Punkte. Zudem seien psychogene Anteile in der Unterhaltung der Schmerzen von Bedeutung; er nehme eine depressive Entwicklung an. Er sehe keine Indikation für zusätzliche Untersuchungen. Die möglichen Therapien liefen schon.
3.9 Dr. med. M._, MD FMH, diagnostizierte im Bericht vom 22. Mai 2007 ein chronisches zervikobrachiales Schmerzsyndrom nach HWS-Schleudertrauma sowie Adipositas. Er könne sich nicht einverstanden erklären mit der selbstständigen Entwicklung einer Krankheit (Fibromyalgie) als Folge von inadäquater Verarbeitung der Schmerzen und psychosozialen Faktoren. Die unmittelbaren Beschwerden nach dem Unfall seien für ihn so typisch, dass er nicht verstehen könne, wie man dies verneinen könne. Die jetzigen Beschwerden und vor allem der objektive Gesamteindruck einer ausgesprochenen emotionellen Instabilität seien für ihn typische Folge eines zerebralen Geschehens.
3.10 Das Spital Z._, Klinik für Rheumatologie und Klinische Immunologie/Allergologie, diagnostizierte im Bericht vom 12. Dezember (recte: Februar) 2007 gestützt auf eine gleichentags erfolgte Behandlung der Versicherten ein Fibromyalgie-Syndrom (ICD-10: M79.0), Dyspepsie sowie Hyperlipidämie. Die initiale HWS-Distorsion dürfte einen Teilfaktor zur Entstehung des Schmerzgeschens darstellen; die Schmerzausbreitung sei jedoch nicht eine typische Unfallfolge, sondern ein Folge von weiteren traumatisierenden Lebensereignissen und gestörten Schmerzverarbeitungsprozessen. Die derzeitige Schmerzausbreitung werde daher für eine Krankheitsfolge gehalten. Am Arbeitsplatz seien Anpassungen des Stuhles und der Tätigkeit vorgenommen worden, so dass die Versicherte zu 50 % eine sitzende leichte Tätigkeit ausüben könne.
4. Die Vorinstanz hat erwogen, bei der Versicherten stünden somatoforme Beschwerden im Vordergrund. Die Versicherte sei in ihrer früheren und aktuellen Tätigkeit mit Bezug auf die unfallbedingten Beeinträchtigungen wieder voll arbeitsfähig, was einen Leistungsanspruch gegenüber der SUVA ausschliesse. In Anwendung der Schleudertrauma-Praxis sei die adäquate Kausalität zwischen den Unfällen vom 31. Januar und 22. Oktober 2004 sowie den geklagten Beschwerden zu verneinen. Die Leistungseinstellung auf den 31. August 2005 sei demnach zu Recht erfolgt.
5. Gestützt auf die medizinischen Akten kann als erstellt gelten, dass die Versicherte beim Unfall vom 31. Januar 2004 eine HWS-Distorsion erlitten hat, was unbestritten ist. Der Unfall vom 22. Oktober 2004 führte zu einer Verstärkung ihrer Kopfschmerzen.
Streitig und zu prüfen ist, ob im Zeitpunkt des Fallabschlusses am 31. August 2005 zusätzlich objektiv (hinreichend) nachweisbare organische Unfallfolgen bestanden, bei denen sich die adäquate und natürliche Kausalität weitgehend decken (<ref-ruling> E. 2.1 S. 112).
6. 6.1 Die Versicherte beruft sich auf den Bericht des Dr. med. M._ vom 22. Mai 2007 (E. 3.9 hievor) dar, worin dieser darlegte, die jetzigen Beschwerden und vor allem der objektive Gesamteindruck einer ausgesprochenen emotionellen Instabilität seien für ihn typische Folgen eines zerebralen Geschehens. Hieraus kann die Versicherte nichts zu ihren Gunsten ableiten. Denn auf Grund der Berichte des Spitals R._ vom 2. und 20. Februar 2004 erfolgte beim Unfall vom 31. Januar 2004 kein Kopfanprall; es wurde keine Kopf- bis Schädelverletzung und auch keine Bewusstlosigkeit nach dem Unfall festgestellt (E. 3.1 hievor; vgl. auch erwähntes Urteil 8C_744/2008 E. 8.2 mit Hinweisen). Weiter stellte Dr. med. H._ im Bericht vom 24. Februar 2004 keine Pathologie der Hirnstamm-Strukturen und des zervikalen Rückenmarks fest (E. 3.2 hievor). Nichts anderes ergibt sich unter Berücksichtigung des Unfalls vom 22. Oktober 2004. Von strukturellen hirnorganischen Veränderungen kann mithin nicht ausgegangen werden. Zudem bestehen auf Grund der Akten keine Anhaltspunkte für neurologische Ausfälle im Sinne eines messbaren Defektzustandes als Folge einer Schädigung des zentralen Nervensystems (vgl. E. 3.8 hievor: Bericht des Dr. med. E._ vom 2. März 2007). Eine neuropsychologische Begutachtung braucht demnach nicht durchgeführt zu werden (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 3 S. 157, 124 V 90 E. 4b S. 94; vgl. auch Urteil 8C_364/2008 vom 7. November 2008 E. 7.1.2). Soweit die Versicherte im Erhebungsblatt für die Abklärung von HWS-Fällen vom 20. April 2004 angab, sie habe den Kopf an der Kopfstütze angeschlagen, kann sie daraus nichts zu ihren Gunsten ableiten.
6.2 Die von Dr. med. H._ festgestellte Streckhaltung der HWS mit minimaler Kyphosierung (E. 3.2 hievor) und die von Dr. E._ beschriebenen multiplen Druckdolenzen und Triggerpunkte über der Nackenmuskulatur (E. 3.8 hievor) können nicht als klar ausgewiesenes organisches Substrat der Beschwerden qualifiziert werden. Gleiches gilt für Myogelosen (Muskelhartspann), Verspannungen der Muskulatur, Einschränkungen der HWS-Beweglichkeit sowie Nackenverspannungen (vgl. SVR 2008 UV Nr. 2 S. 3 E. 5.2 mit Hinweisen [U 328/06]; Urteile 8C_744/2008 vom 26. November 2008 E. 4 und U 484/06 vom 15. Mai 2008 E. 4.3.2, je mit Hinweisen). Soweit die Rehaklinik X._ ein myotendinotisches Syndrom (E. 3.3 hievor), Dr. med. N._ im Bericht vom 19. Oktober 2005 schmerzhafte Punkte (Tender-Points; vgl. E. 3.5 hievor), und Dr. med. E._ tendinös-muskuläre Pathologien beschrieben (E. 3.8 hievor), kann dies nicht überwiegend wahrscheinlich als Unfallfolge angesehen werden, da für Tendopathien verschiedene Ursachen - darunter namentlich chronische Überlastungen sowie Stoffwechsel- oder Durchblutungsstörungen - in Betracht fallen und Tendinosen grundsätzlich als degenerative Veränderungen an Sehnenursprüngen und Sehnenansätzen beschrieben werden (erwähntes Urteil 8C_744/2008 E. 4 mit Hinweisen).
6.3 Soweit das Zentrum B._ im Bericht vom 5. Januar 2005 auf Grund einer ambulanten Behandlung der Versicherten vom 3. Januar 2005 einen vom Rücken ausgehenden rechtsseitigen posterioren muskulo-skelettalen Thoraxschmerz diagnostizierte, wurde hiefür ebenfalls kein objektiv (hinreichend) nachweisbares organisches unfallbedingtes Korrelat beschrieben.
6.4 Dass die vom Spital Z._ am 12. Februar 2007 diagnostizierte Dyspepsie (Reizmagen) und Hyperlipidämie (E. 3.10 hievor) im Zeitpunkt des Fallabschlusses am 31. August 2005 bestanden hätten und unfallbedingt wären, wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich. Hievon abgesehen ist die Dyspepsie, die zeitweilig bei einem Drittel der Bevölkerung auftritt, eine Form der somatoformen autonomen Funktionsstörung und somit ein psychischer Gesundheitsschaden (ICD-10: F45.31; Pschyrembel, Klinisches Wörterbuch, 261. Aufl., Berlin 2007, S. 470).
6.5 Dr. med. H._ stellte im Rahmen der MRT der HWS vom 23. Februar 2004 eine Minimalprotrusion in den Segmenten C4-C7 ohne Kompressionseffekt auf das Myelon fest (E. 3.2 hievor). Die Rehaklinik X._ führte im Bericht vom 12. Juli aus, die geklagten Beschwerden liessen sich nicht vollumfänglich durch diese dokumentierbaren strukturellen Befunde erklären (E. 3.3 hievor). Im Gutachten des Instituts Y._ vom 10. November 2006 wurde unter anderem mit Hinweis auf den Röntgenbefund des Spitals R._ vom 31. Januar 2004 und den MRT-Befund des Dr. med. H._ vom 23. Februar 2004 ausgeführt, die vorliegenden Bilddokumente zeigten lediglich eine Streckhaltung der Wirbelkörper, ohne dass jedoch wesentliche degenerative oder posttraumatische Veränderungen zu finden wären. Dr. med. E._ stellte im Bericht vom 2. März 2007 abgesehen von einem leichtgradigen Zervikalsyndrom einen normalen neurologischen Status fest; es bestünden keine Anhaltspunkte für zervikal-radikuläre Reiz- oder Ausfallsymptome. Er sehe keine Indikation für zusätzliche Abklärungen (E. 3.8 hievor). Gestützt auf die Aktenlage können die Minimalprotrusion in den Segmenten C4-C7 nicht als klar ausgewiesene Unfallfolge qualifiziert werden, zumal Protrusionen nach medizinischer Lehrmeinung in der Regel Folge eines degenerativen Prozesses bilden (vgl. erwähntes Urteil U 484/06 E. 4.3.2; Alfred M. Debrunner, Orthopädie Orthopädische Chirurgie, Bern/Göttingen/Toronto/Seattle 2002, S. 879 oben). Gegenteiliges macht die Versicherte diesbezüglich denn auch in keiner Weise geltend.
6.6 Nach dem Gesagten sind für den Zeitpunkt des Fallabschlusses am 31. August 2005 keine objektiv (hinreichend) nachweisbaren organischen Unfallfolgen erstellt, weshalb eine spezifische Adäquanzprüfung vorzunehmen ist.
7. 7.1 Bei der von diversen Ärzten diagnostizierten Fibromyalgie (vgl. E. 3.4-3.6 und 3.10 hievor) - auf die sich die Versicherte beruft - handelt es sich nicht um einen organisch klar nachgewiesen Gesundheitsschaden (Urteil 8C_649/2007 vom 22. Februar 2008 E 4.3; vgl. auch <ref-ruling>).
Die Rechtsprechung hat die Fibromyalgie nicht als Teil des typischen Beschwerdebildes eines HWS-Traumas betrachtet, sondern ausgehend von Art und Pathogenese der Störung sowie unter Berücksichtigung der jeweiligen konkreten unfallfremden Faktoren als selbstständige sekundäre Gesundheitsschädigung qualifiziert. Die Adäquanzprüfung (hiezu siehe nachfolgend E. 9 ff.) hat bei solchen Schädigungen nicht nach den für ein Schleudertrauma oder eine schleudertraumaähnliche Verletzung geltenden Kriterien (<ref-ruling> ff.) zu erfolgen, sondern es ist grundsätzlich nach den in <ref-ruling> für Unfälle mit psychischen Folgeschäden aufgestellten Kriterien vorzugehen (vgl. RKUV 2001 Nr. U 412 S. 79 [U 96/00]; Urteil U 435/06 vom 19. Juni 2007 E. 5.1 mit Hinweisen). Zu einer hievon abweichenden Beurteilung besteht keine Veranlassung. Nach derzeitigem Wissensstand ist die Ätiologie einer Fibromyalgie unklar und sind die Ursachen mit grosser Wahrscheinlichkeit vielschichtig (vgl. erwähntes Urteil U 435/06 E. 5.2 mit Hinweisen), wie sich auch aus dem Bericht des Inselspitals Bern vom 12. Februar 2007 ergibt (siehe E. 3.10 hievor).
7.2 Die Versicherte macht geltend, die Unfallkausalität ihrer Beschwerden sei gestützt auf die Schleudertrauma-Praxis zu bejahen. Die Vorinstanz hat die Adäquanz gestützt auf diese Praxis verneint (E. 4 hievor).
7.2 Die Versicherte macht geltend, die Unfallkausalität ihrer Beschwerden sei gestützt auf die Schleudertrauma-Praxis zu bejahen. Die Vorinstanz hat die Adäquanz gestützt auf diese Praxis verneint (E. 4 hievor).
7.3 7.3.1 Ob im Zeitpunkt der Leistungseinstellung auf den 31. August 2005 die Fibromyalgieproblematik und/oder ein psychisches Leiden bestanden sowie bejahendenfalls im Vergleich zu den Folgen der erlittenen HWS-Distorsion sehr ausgeprägt waren, was die Adäquanzprüfung gemäss <ref-ruling> betreffend psychische Unfallfolgen nach sich zöge (vgl. E. 7.1 hievor; erwähntes Urteil U 435/06 E. 5.2; Urteil 8C_605/2007 vom 4. November 2008 E. 4.2 mit Hinweisen), kann im vorliegenden Zusammenhang dahingestellt bleiben. Denn auch bei Anwendung der von der Versicherten angerufenen Schleudertrauma-Praxis (<ref-ruling> ff.) - mithin in Berücksichtigung der physischen und psychischen Komponenten des Gesundheitsschadens - besteht keine adäquate Kausalität zwischen den Unfällen vom 31. Januar und 22. Oktober 2004 sowie den nach dem 31. August 2005 anhaltenden gesundheitlichen Beschwerden, wie die folgenden Erwägungen zeigen (vgl. auch erwähnte Urteile 8C_57/2008 E. 7 und 8C_649/2007 E. 4.3 f.).
7.3.2 Unter diesen Umständen braucht nicht geklärt zu werden, ob die natürliche Kausalität zwischen den Unfällen und den anhaltenden gesundheitlichen Beschwerden der Versicherten gegeben war (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c; erwähntes Urteil 8C_744/2008 E. 5).
8. Gestützt auf die medizinische Aktenlage kann nicht gesagt werden, dass im Zeitpunkt des Fallabschlusses auf den 31. August 2005 von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung mit überwiegender Wahrscheinlichkeit eine namhafte, ins Gewicht fallende Besserung des Gesundheitszustandes bzw. eine Steigerung der Arbeitsfähigkeit der Versicherten erwartet werden konnte. Gegenteiliges bringt diese letztinstanzlich denn auch nicht vor. Somit ist der Fallabschluss unter Einstellung von Heilbehandlung und Taggeldleistungen sowie gleichzeitiger Prüfung des Rentenanspruchs nicht zu beanstanden, zumal aus den Akten nicht hervorgeht und auch nicht geltend gemacht wird, dass damals IV-Eingliederungsmassnahmen gelaufen oder geplant gewesen seien (<ref-ruling> E. 4. S. 113 f.; Urteil 8C_126/2008 vom 11. November 2008 E. 5).
9. 9.1 Vorliegend rechtfertigt es sich, hinsichtlich der Unfälle vom 31. Januar und 22. Oktober 2004 eine gesamthafte Adäquanzbeurteilung vorzunehmen, da der zweite Unfall zu einer Verstärkung der Kopfschmerzen der Versicherten geführt hat (SVR 2007 UV Nr. 1 S. 1 E. 3.3.2 [U 39/04]; vgl. auch Urteil 8C_415/2007 vom 1. Juli 2008 E. 5 mit Hinweis).
9.2 Ausgehend vom augenfälligen Geschehensablauf (<ref-ruling> E. 10.1 S. 126; SVR 2008 UV Nr. 8. S. 26 E. 5.3.1 [U 2/07]) ist der Auffahrunfall auf der Autobahn vom 31. Januar 2004 als mittelschwer einzustufen, was unbestritten ist; von einem mittelschweren Unfall im Grenzbereich zu einem schweren Ereignis ist nicht auszugehen. Der Unfall in der Autoeinstellhalle vom 22. Oktober 2004 war unbestrittenermassen leicht. Für die Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges ist demnach erforderlich, dass ein einzelnes der durch die Rechtsprechung entwickelten Kriterien (<ref-ruling> E. 10.2 f. S. 127 ff.) besonders ausgeprägt vorliegt oder die Kriterien insgesamt in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sind (vgl. auch erwähntes Urteil 8C_364/2008 E. 9 mit Hinweis).
10.
10.1 Das Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit eines Unfalls ist objektiv zu beurteilen und nicht auf Grund des subjektiven Empfindens bzw. Angstgefühls der versicherten Person (<ref-ruling> E. 10.2.1 S. 127; RKUV 1999 Nr. U 335 S. 207 E. 3b/cc). Dieses Kriterium ist vorliegend hinsichtlich beider Unfälle unbestrittenermassen nicht erfüllt.
10.2 Die Diagnose einer HWS-Distorsion, die als Folge des Unfalls vom 31. Januar 2004 gestellt wurde, genügt für sich allein nicht zur Bejahung des Kriteriums der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzung. Es bedarf hiezu einer besonderen Schwere der für diese Verletzung typischen Beschwerden oder besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können. Diese können beispielsweise in einer beim Unfall eingenommenen besonderen Körperhaltung und den dadurch bewirkten Komplikationen bestehen. Auch erhebliche Verletzungen, welche sich die versicherte Person neben dem Schleudertrauma, der äquivalenten Verletzung der HWS oder dem Schädel-Hirntrauma beim Unfall zugezogen hat, können bedeutsam sein (<ref-ruling> E. 10.2.2 S. 127 f. mit Hinweisen).
Auf Grund der Akten und im Vergleich mit anderen Fällen sind die Voraussetzungen für die Bejahung dieses Kriteriums hier nicht erfüllt, selbst wenn die beiden Unfälle vom 31. Januar und 22. Oktober 2004 als natürliche Teilursache der diagnostizierten Fibromyalgie qualifiziert würden (vgl. erwähntes Urteil U 435/06 E. 5.2). Aus dem blossen Einwand, es liege eine Häufung der für das Schleudertrauma typischen Beschwerden vor, kann die Versicherte nichts zu ihren Gunsten ableiten.
10.3 Für das Kriterium der ärztlichen Behandlung entscheidwesentlich ist, ob nach dem Unfall eine fortgesetzt spezifische, die versicherte Person belastende ärztliche Behandlung bis zum Fallabschluss am 31. August 2005 notwendig war (<ref-ruling> E. 10.2.3 S. 128). Abklärungsmassnahmen und blosse ärztliche Kontrollen sind in diesem Rahmen nicht zu berücksichtigen (erwähntes Urteil 8C_57/2008 E. 9.3.3 mit Hinweis). Nach dem Unfall vom 31. Januar 2004 wurde die Versicherte ambulant im Spital R._ behandelt. Vom 8. Juni bis 13. Juli 2004 war sie in der Rehaklinik X._ hospitalisiert, wo medikamentöse Therapie, Physiotherapie und Applikation von Wärme durchgeführt wurden. Danach weilte sie vom 14. Juli bis 1. August 2004 in den Ferien in Kroatien. Im Weiteren bestand die Behandlung im Wesentlichen in ambulanter hausärztlicher Behandlung mit angeordneter medikamentöser Therapie, Physio- und Bewegungstherapie, Akupunkturbehandlung (ab 3. November 2004 während mehreren Wochen) und Kraniosakraltherapie (einmal pro Woche vom 16. Februar bis Ende Mai 2005). Seit 24. August 2004 war die Versicherte zudem einmal wöchentlich bei Frau Dr. med. A._ in psychotherapeutischer Behandlung.
Insgesamt war das Kriterium der ärztlichen Behandlung bis zum Zeitpunkt des Fallabschlusses auf den 31. August 2005 erfüllt, aber nicht besonders ausgeprägt.
10.4 Die Erheblichkeit von ohne wesentlichen Unterbruch bestehenden gesundheitlichen Beschwerden beurteilt sich nach den glaubhaften Schmerzen und nach der Beeinträchtigung, welche die Versicherte bis zum Fallabschluss (hier 31. August 2005) durch die Beschwerden im Lebensalltag erfährt (<ref-ruling> E. 10.2.4 S. 128). Auf dieses Kriterium beruft sich die Versicherte nicht. Es sind auch keine Gründe für dessen Bejahung ersichtlich, zumal sie in der Lage war, den Haushalt unter Mithilfe ihres Ehemannes und Sohnes zu erledigen und nach der Arbeit am Nachmittag regelmässig spazieren zu gehen (Berichte der Case Managerin Frau K._ vom 13. April 2005 und der Dres. med. G._ vom 14. Juni 2005 sowie A._ vom 26. Dezember 2005). Gemäss dem letztgenannten Bericht war die Versicherte im Milieu, in dem sie lebte, sprachlich und sozial sehr gut integriert. Vom 14. Juli bis 1. August 2004 und ab Mitte Juli 2005 während vier Wochen war sie in Kroatien in den Ferien (E. 10.3 hievor).
10.5 Das Kriterium der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert hat (<ref-ruling> E. 10.2.5 S. 129), ist unbestrittenermassen nicht erfüllt.
10.6 Zu prüfen ist das Kriterium des schwierigen Heilungsverlauf und der erheblichen Komplikationen (<ref-ruling> E. 10.2.6 S. 129). Diese beiden Teilaspekte müssen nicht kumulativ erfüllt sein (<ref-ruling> E. 7b S. 369). Die Versicherte macht geltend, der Heilungsverlauf sei schleppend, da sie an Kopf- und Nackenschmerzen, schneller Ermüdbarkeit sowie Konzentrations- und Gedächtnisstörungen leide. Der Heilungsverlauf sei daher schwierig.
Aus der ärztlichen Behandlung, den anhaltenden Beschwerden sowie der Arbeitsunfähigkeit - welche im Rahmen der spezifischen Adäquanzkriterien zu berücksichtigen sind - darf nicht auf einen schwierigen Heilungsverlauf und/oder erhebliche Komplikationen geschlossen werden. Es bedarf hiezu besonderer Gründe, welche die Genesung beeinträchtigt oder verzögert haben (SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81 E. 8.5 [U 479/05]). Solche Gründe liegen hier entgegen der Auffassung der Versicherten nicht vor. Die Einnahme vieler Medikamente und die Durchführung verschiedener Therapien genügen nicht zur Bejahung dieses Kriteriums. Gleiches gilt für den Umstand, dass trotz regelmässiger Therapien weder eine Beschwerdefreiheit noch eine (vollständige) Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit erreicht werden konnten (erwähntes Urteil 8C_415/2007 E. 7.6 mit Hinweis).
10.7 Zu prüfen ist schliesslich das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (vgl. <ref-ruling> E. 10.2.7 S. 129 f.). Nach dem Unfall vom 31. Januar 2004 war die Versicherte zunächst vollständig arbeitsunfähig. Die Rehaklinik X._ attestierte im Austrittsbericht vom 12. Juli 2004 ab 14. Juli 2004 eine 50%ige Arbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit bei der Firma L._ AG (E. 3.3 hievor). Dies bestreitet die Versicherte nicht. Im Umfang von 50 % arbeitete sie denn auch in der Folge ab 2. August 2004. Ab 4. April 2005 und auch im Zeitpunkt der Leistungseinstellung (31. August 2005) arbeitete sie grundsätzlich zu 60 %, wobei nach vier Stunden Arbeit starke Kopf- und Nackenschmerzen auftraten und sie sich für den Rest der Arbeitszeit "durchbeissen" musste (Berichte der Dres. med. N._ vom 30. April 2005 und G._ vom 14. Juni 2005 sowie der Case Managerin Frau K._ vom 13. April, 12. Mai und 17. August 2005). Demgegenüber wurde im Gutachten des Instituts Y._ vom 10. November 2006 davon ausgegangen, die Versicherte sei in der angestammten Tätigkeit seit August 2004 wieder voll arbeitsfähig gewesen (E. 3.7 hievor). Ob diese Beurteilung des Instituts Y._ zutrifft, braucht im vorliegenden Zusammenhang nicht abschliessend beurteilt zu werden. Denn selbst wenn ab 14. Juli 2004 bis zum Zeitpunkt des Fallabschlusses am 31. August 2005 von der dargelegten Arbeitsfähigkeit bzw. effektiven Arbeitstätigkeit der Versicherten von 50 % bzw. 60 % ausgegangen wird, ist das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen nicht besonders ausgeprägt erfüllt (vgl. auch erwähntes Urteil 8C_415/2007 E. 7.7.2.2 f.; Urteil 8C_33/2008 vom 20. August 2008 E. 8.7).
10.8 Nach dem Gesagten sind bis zum Fallabschluss am 31. August 2005 die zwei Kriterien der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen als gegeben zu betrachten, jedoch nicht in besonders ausgeprägter Weise (E. 10.3 und 10.7). Eine Gesamtwürdigung der Unfälle vom 31. Januar und 22. Oktober 2004 sowie der unfallbezogenen Kriterien ergibt, dass den Ereignissen für die über den 31. August 2005 hinaus anhaltende gesundheitliche Beeinträchtigung keine massgebende Bedeutung mehr zukommt, weshalb die adäquate Kausalität zu verneinen ist (vgl. auch erwähntes Urteil 8C_364/2008 E. 10.4 mit Hinweis). Da im Hinblick auf die Adäquanzfrage von weiteren medizinischen Abklärungen keine neuen Erkenntnisse zu erwarten sind, kann darauf in antizipierter Beweiswürdigung verzichtet werden (vgl. E. 6.1 hievor).
11. Die unterliegende Versicherte trägt die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. März 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar