Sachverhalt:
A.
Der Verein X._ ist nach den vorinstanzlichen Feststellungen eine gemeinnützige Organisation, die sich dem Tierschutz widmet. Die Y._ AG ist Herausgeberin verschiedener Printmedien. Der Verein X._ gab bei der Y._ AG Inserate in Auftrag, die in verschiedenen Zeitschriften erschienen. Für Inserate in der Zeitschrift "A._" wurden Fr. 16'679.50 (davon Fr. 1'235.50 für Mehrwertsteuer), für Inserate in der Zeitschrift "B._" Fr. 7'560.-- (davon Fr. 560.-- für Mehrwertsteuer) in Rechnung gestellt. Der Verein X._ beglich zunächst beide Rechnungen vorbehaltlos. Später forderte er aber die für die Mehrwertsteuer verrechneten Beträge von Fr. 1'235.50 und Fr. 560.-- zurück. Er begründete dies damit, ihm sei erst nachträglich bekannt geworden, dass er von der Bezahlung der Mehrwertsteuer befreit sei. Die Y._ AG lehnte die Rückerstattung der Beträge ab.
B.
Am 6. April 2012 klagte der Verein X._ vor dem Bezirksgericht Zürich, Einzelgericht, gegen die Y._ AG auf Zahlung von Fr. 1'795.50 nebst Zins. Mit Urteil vom 12. September 2012 wies das Bezirksgericht die Klage ab. Die vom Verein X._ dagegen erhobene kantonale Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich am 18. Juni 2013 in Bestätigung des bezirksgerichtlichen Urteils ab.
C.
Der Verein X._ (Beschwerdeführer) verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, eventuell mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Klage sei vollumfänglich gutzuheissen. Eventualiter sei "2.1. im Dispositiv festzustellen, dass das rechtliche Gehör verletzt worden ist" und "2.2. die Sache zur Gewährung des rechtlichen Gehörs und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen."
Die Y._ AG (Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
1.2. Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Vorliegend erreicht indessen der Streitwert (Fr. 1'795.50) die Grenze von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) nicht. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>).
2.
2.1. Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> ist restriktiv auszulegen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 495). Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4; <ref-ruling> E. 1.2 S. 117). Die Voraussetzung von <ref-law> ist hingegen erfüllt, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 210; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4). Die Frage muss von allgemeiner Tragweite sein (<ref-ruling> E. 1.2). Eine neue Rechtsfrage kann vom Bundesgericht beurteilt werden, wenn dessen Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann, namentlich, wenn von unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4). Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, hat der Beschwerdeführer in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-law>), ansonsten die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig ist (<ref-ruling> E. 2.2.2.1).
2.2. Die Vorinstanz nahm wie bereits die Erstinstanz an, die Beschwerdegegnerin sei berechtigt gewesen, die nach <ref-law> (SR 641.20) von der Mehrwertsteuer ausgenommene Leistung an den Beschwerdeführer gemäss <ref-law> durch offenen Ausweis freiwillig zu versteuern. Sie erwog, ein Interesse an einer solchen freiwilligen Versteuerung könne einerseits hinsichtlich des Abzugs der Vorsteuer bestehen, andererseits aber - entgegen dem Beschwerdeführer - auch aus Gründen der administrativen Erleichterung. So könne es etwa im Inserategeschäft im Interesse administrativer Vereinfachungen wünschenswert sein, wenn der Leistungserbringer nicht unterscheiden müsse, ob ein Endabnehmer mehrwertsteuerpflichtig sei oder nicht. Dem mehrwertsteuerbefreiten Endabnehmer stehe es frei, die Leistungen nur in Anspruch zu nehmen, wenn der Leistungserbringer auf eine freiwillige Versteuerung verzichte und die Mehrwertsteuer folglich auch nicht auf ihn überwälze. Sodann widmete sich die Vorinstanz dem Argument des Beschwerdeführers, wonach sich aus den AGB der Beschwerdegegnerin nicht ergebe, dass die Mehrwertsteuer vom Kunden bezahlt werden müsse. Sie befand, da sich der Beschwerdeführer in der Begründung nicht mit den Ausführungen der Erstinstanz auseinandersetze und da seine neuen Vorbringen nicht zu hören seien, bleibe es bei der Auffassung der Erstinstanz, "dass und weshalb die Vereinbarung über die Überwälzung der Mehrwertsteuer auf den [Beschwerdeführer] gültig zustande gekommen" sei.
2.3. Der Beschwerdeführer umschreibt die seiner Meinung nach vorliegend im Sinne von <ref-law> zu klärende Rechtsfrage wie folgt:
"Muss es sich ein nicht mehrwertsteuerpflichtiger Rechtsunterworfener, der eine gemäss Art. 21 MWST[G] von der Steuer befreite Leistung in Anspruch nimmt [...], unter dem Aspekt der Eigentumsgarantie nach Art. 26 i.V.m. 36 BV und des Willkürverbotes gemäss <ref-law> gefallen lassen, dass es im freien Belieben des von ihr beauftragten Leistungserbringers [...] liegt, gestützt auf <ref-law> für die freiwillige Bezahlung der MWST zu optieren und die freiwillig bezahlte MWST sodann dem steuerbefreiten Endverbraucher [...] zu überbinden und diesen damit entgegen Sinn und Zweck von <ref-law> von dieser vom Gesetzgeber vorgesehen fiskalischen Entlastung auszuschliessen?
Oder kürzer formuliert:
Darf ein Leistungserbringer einem von der MWST befreiten Endverbraucher die MWST für eine gemäss <ref-law> von der Steuer befreite Leistung überbinden, wenn er die MWST gestützt auf <ref-law> freiwillig bezahlt?"
Der Beschwerdeführer misst demnach nicht der Vertragsauslegung im konkreten Fall grundsätzliche Bedeutung zu, sondern scheint zur Diskussion stellen zu wollen, ob eine Vereinbarung, wonach die freiwillig bezahlte Mehrwertsteuer dem Endabnehmer überbunden wird, in der vorliegenden Konstellation zulässig ist. Er argumentiert, diese Rechtsfrage sei vom Bundesgericht bis heute noch nicht entschieden worden und bedürfe der höchstrichterlichen Klärung, weil der Entscheid für die Praxis wegleitend sein könne, "insbesondere auch mit Bezug auf das faktische Tageszeitungsmonopol des mächtigen Y._-Verlags in vielen Regionen der Schweiz".
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen nicht das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im oben umschriebenen Sinn aufzuzeigen: Die Erhebung der Mehrwertsteuer erfolgt nach <ref-law> nach dem Grundsatz der Überwälzbarkeit. Dieser Grundsatz verlangt, das Mehrwertsteuerrecht so auszugestalten, dass die Überwälzung der Steuer nicht erschwert, sondern erleichtert wird. Dabei handelt es sich lediglich um eine Leitlinie für Gesetzgeber und Verwaltung, aus der weder die Verwaltung noch die Steuerpflichtigen irgendwelche Rechte ableiten können (Urteil 2A.320/2002 vom 2. Juni 2003 E. 5.2.1 mit Hinweis). Ob die Steuer vom Steuerpflichtigen auf die Preise und damit auf die Kunden überwälzt werden kann, entscheidet der Markt (<ref-ruling> E. 8 S. 395). Die Überwälzung der Steuer richtet sich nach privatrechtlichen Vereinbarungen (<ref-law>). Inwiefern es ungewiss oder umstritten sein soll, ob eine vertragliche Überwälzung der Steuer auch bei Ausübung der Option gemäss <ref-law> für die Versteuerung einer nach <ref-law> von der Steuer ausgenommenen Leistung zulässig ist, tut der Beschwerdeführer nicht dar. Er zitiert keinen einzigen Entscheid oder eine Literaturstelle, wo diese Frage - de lege lata oder in rechtspolitischer Hinsicht - diskutiert würde oder gar der von ihm eingenommene Standpunkt Unterstützung fände. Vielmehr beschränkt er sich darauf, unter wörtlicher Wiedergabe seiner eigenen Ausführungen im kantonalen Verfahren einzelne Argumente ins Feld zu führen, die aus seiner Sicht dafür sprechen würden, die Überwälzung in Fällen wie dem Vorliegenden zu verbieten. Damit gelingt es ihm nicht aufzuzeigen, dass in diesem Punkt nach geltendem Recht eine Rechtsunsicherheit vorliegt, die der dringenden Klärung durch das Bundesgericht bedürfte. Daran vermag auch seine unbelegte Behauptung nichts zu ändern, es handle sich vorliegend um ein Pilotverfahren, bis zu dessen Erledigung "die Beklagten" für andere Klagen eine Verjährungsverzichtserklärung abgegeben hätten. Das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> ist somit nicht dargetan, weshalb es an den Eintretensvoraussetzungen für die Beschwerde in Zivilsachen fehlt.
3.
Damit erweist sich die eventualiter erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde als zulässig (<ref-law>). Mit dieser kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Verfassungsbeschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von verfassungsmässigen Rechten liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Standpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 und E. 2.2). Macht der Beschwerdeführer eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Er hat vielmehr im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3 S. 352).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law>, mithin auf einer Verletzung von verfassungsmässigen Rechten, beruht (<ref-law>).
4.
4.1. Die Beschwerdeschrift, die mit Bezug auf die einzelnen Rügen nicht zwischen der Beschwerde in Zivilsachen und der eventualiter erhobenen Verfassungsbeschwerde unterscheidet, wird den Begründungsanforderungen einer Verfassungsbeschwerde über weite Strecken nicht gerecht. Statt darin einzelne Verfassungsbestimmungen konkret und substanziiert als verletzt zu rügen, stellt der Beschwerdeführer zunächst die Sach- und Rechtslage insgesamt aus eigener Sicht dar und kommt sodann zum Schluss, die Mehrwertsteuer habe ihm vorliegend nicht verrechnet werden können, wobei er die abweichende Auffassung und Begründung der Vorinstanz als qualifiziert falsch, nicht haltbar und willkürlich bezeichnet. Darauf kann im Rahmen der Verfassungsbeschwerde nicht eingetreten werden, zumal der Beschwerdeführer von den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen abweicht und diese erweitert, ohne sie in hinreichender Form als verfassungswidrig zu rügen. Davon, dass die vorinstanzliche Rechtsauffassung bezüglich der Überwälzbarkeit der Steuer die Eigentumsgarantie nach <ref-law> verletzt, wie der Beschwerdeführer ohne Begründung in den Raum stellt, kann keine Rede sein, nachdem die Vorinstanz befand, der Beschwerdeführer habe sich vertraglich zur Übernahme der Mehrwertsteuer verpflichtet.
Konkret rügt der Beschwerdeführer sodann einzelne Verletzungen seines Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>, <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Die diesbezüglichen Ausführungen geben zu den folgenden Bemerkungen Anlass:
4.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe sich nicht mit seinem Argument auseinandergesetzt, Sinn und Zweck der Option nach <ref-law> sei "einzig und allein, dem Unternehmen die Möglichkeit zur freiwilligen Versteuerung zu geben, wenn dies wegen dem Vorsteuerabzug unternehmensintern wirtschaftlicher ist". Damit bezieht er sich auf seine Behauptung im kantonalen Verfahren, vorliegend sei mangels Vorsteuer kein Vorsteuerabzug möglich. Die Vorinstanz setzte sich mit dem entsprechenden Argument ausdrücklich auseinander und hielt die Behauptung des Beschwerdeführers, es habe vorliegend keine abziehbare Vorsteuer gegeben, für unerheblich, da die mehrwertsteuerpflichtige Beschwerdegegnerin entgegen der Annahme des Beschwerdeführers auch aus Gründen der administrativen Erleichterungein Interesse daran haben könne, freiwillig Mehrwertsteuer zu bezahlen, die sie alsdann dem nicht mehrwertsteuerpflichtigen Endabnehmer belasten könne (vgl. dazu bereits Erwägung 2.2). Dass die Vorinstanz der Rechtsauffassung des Beschwerdeführers nicht folgte, stellt keine Gehörsverletzung dar.
4.3. Sodann wendet sich der Beschwerdeführer gegen die auf die AGB der Beschwerdegegnerin gestützte Auffassung der beiden kantonalen Instanzen, die Überwälzung der Mehrwertsteuer auf ihn sei gültig vereinbart worden. Er moniert, die Vorinstanz habe "die strittige Bedeutung der AGB willkürlich nicht beurteilt mit der haltlosen Begründung, [er] habe in diesem Zusammenhang seine Argumente in der Berufungsbegründung [recte: Beschwerdebegründung] nicht explizit vorgebracht, sondern auf die Klageschrift vor erster Instanz verwiesen". Letzteres beanstandet der Beschwerdeführer als unzutreffend, unter Hinweis auf die Ziffern 9 und 10 der kantonalen Beschwerde, in denen er sich folgendermassen geäussert habe:
"Der MWST-Abzug für gemeinnützige Organisationen ist neu und in der Insertionsbranche noch kaum bekannt. So haben nach Aufklärung über das neue MWST-Gesetz praktisch alle anderen Medien (29), wo der Kläger diese Werbekampagne in Auftrag gab, anstandslos auf die Verrechnung der MWST verzichtet bzw. diese zurückbezahlt, siehe in den Beilagen 1-29. (...)
Unter diesen Umständen kann in den AGB der Beklagten nicht von einem qualifizierten Schweigen bezüglich MWST-befreiter Organisationen ausgegangen werden."
Die Kritik verfehlt ihr Ziel: Die Vorinstanz nahm im angefochtenen Urteil explizit Bezug auf die wiedergegebene Ausführung sowie die erwähnten Beilagen und befand, dabei handle es sich um unzulässige Noven. Inwiefern diese Feststellung willkürlich oder in anderer Hinsicht verfassungswidrig sein soll, tut der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Es bleibt im Übrigen bei der vorinstanzlichen Feststellung, wonach sich der Beschwerdeführer im kantonalen Beschwerdeverfahren mit einem pauschalen Hinweis auf seine Ausführungen vor der Erstinstanz begnügte. Wenn die Vorinstanz darauf nicht eintrat, ist dies jedenfalls unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten nicht zu beanstanden (vgl. zur kantonalen Berufung <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 375).
5.
5.1. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei dieser Sachlage erweisen sich auch die in der Beschwerde "für den Fall der Abweisung" des Antrags auf Aufhebung des angefochtenen Urteils erhobenen Feststellungs- und Rückweisungsbegehren (Ziffern 2.1 und 2.2) ohne Weiteres als unbegründet, soweit darauf überhaupt einzutreten ist.
5.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der durch zwei kollektivunterschriftsberechtigte Rechtskonsulenten ihres Rechtsdienstes vertretenen Beschwerdegegnerin ist praxisgemäss keine Parteientschädigung zuzusprechen (vgl. <ref-ruling> E. 4; Urteil 4A_678/2011 vom 2. Mai 2012 E. 4, nicht publ. in: <ref-ruling>, mit weiteren Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wir d den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Oktober 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz