Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours constitutionnel subsidiaire est exclu (<ref-law>), car les griefs soulevés par la recourante dans son recours en matière de droit public - le droit à des prestations de l'AI d'une part, et l'assujettissement à l'AVS/AI en qualité de personne sans activité lucrative d'autre part - peuvent être examinés sans restriction (<ref-law>).
1.2 Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments du recourant ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>).
2. Il est incontesté en l'espèce que la recourante s'est constitué un domicile civil en Suisse au sens de l'<ref-law>, lequel prévoit que le domicile des personnes sous tutelle est au siège de l'autorité tutélaire. Une autre solution ne saurait être déduite de l'application du droit international privé. Cela ne ressort pas du dossier et n'a pas non plus été invoqué par les parties (pour le domicile et la résidence habituelle, cf. l'art. 20 al. 1 let. a et b LDIP et, en cas de tutelle, cf. l'<ref-law> en relation avec la Convention de la Haye du 5 octobre 1961 concernant la compétence des autorités et la loi applicable en matière de protection des mineurs applicable par analogie aux personnes majeures en vertu de l'<ref-law>; RS 291). Dès lors, la question de droit à résoudre par le Tribunal fédéral (art. 106 al. 1 en relation avec l'<ref-law>) est celle de savoir si le renvoi aux art. 23 à 26 du code civil prévu par l'<ref-law> - contrairement à la solution retenue dans l'<ref-ruling> sous l'empire de l'ancien <ref-law> en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002 - englobe également la notion de domicile dérivé au sens de l'<ref-law>.
3. 3.1 A la question de savoir si la recourante avait un domicile en Suisse, le Tribunal fédéral, dans son arrêt du 18 juin 2004 (I 270/03) publié partiellement aux <ref-ruling>, a considéré ce qui suit:
«3.1 Selon l'<ref-law> en liaison avec l'<ref-law>, dans leur version en vigueur jusqu'au 31 décembre 1996, les ressortissants suisses avaient droit, à certaines conditions, à une rente extraordinaire, pour autant qu'ils fussent domiciliés en Suisse. La même exigence était valable pour les assurés invalides désirant bénéficier d'une allocation pour impotent (<ref-law>, dans sa teneur applicable jusqu'au 31 décembre 1996).
3.2 Dans l'arrêt <ref-ruling>, le Tribunal fédéral des assurances a jugé qu'une personne avait son domicile en Suisse au sens des <ref-law> en liaison avec l'<ref-law>, et 42 al. 1 LAI, si elle avait effectivement en Suisse le centre de ses intérêts; tel étant le cas lorsque les aspects suisses prédominaient, c'est-à-dire lorsque, du point de vue des assurances sociales, le centre de tous ses intérêts se trouvait en Suisse (<ref-ruling> consid. 3b). Ces exigences n'étaient pas réalisées lorsque les parents domiciliés durablement et sans interruption à l'étranger avaient choisi la Suisse comme lieu de séjour de l'intéressé uniquement à cause de l'invalidité de celui-ci (<ref-ruling> s. consid. 3c).
Au considérant 2a non publié de l'arrêt <ref-ruling>, le Tribunal fédéral des assurances a précisé que selon la jurisprudence constante, le domicile en Suisse au sens de l'<ref-law> supposait non seulement le domicile selon les règles du droit civil, mais également la résidence effective en Suisse. Le Tribunal n'a toutefois pas pris position de manière définitive au sujet de cette dernière notion. Au considérant 4 du même arrêt, il a considéré qu'en plus du domicile civil, la résidence effective en Suisse et la volonté de conserver cette résidence étaient déterminantes. En outre, le centre de tous les intérêts devait demeurer en Suisse (<ref-ruling> consid. 4a). Dans un obiter dictum au sujet de l'<ref-law>, le Tribunal s'est référé à cette jurisprudence dans l'arrêt <ref-ruling> qui concernait l'assurance-chômage.
L'exigence, en plus du domicile civil, de la résidence effective en Suisse a été rappelée à diverses reprises par le Tribunal fédéral des assurances (<ref-ruling> consid. 1b; arrêt non publié B. du 26 février 1999, I 110/98).
3.3 Les <ref-law> et 42 al. 1 LAI ont été modifiés dans le cadre de la 10ème révision de l'AVS, en ce sens qu'ils posent explicitement l'exigence, entres autres conditions, du domicile et de la résidence habituelle en Suisse. Les rentes extraordinaires soumises aux limites de revenu ayant été remplacées par des prestations complémentaires, l'<ref-law> règle désormais uniquement le droit à la rente extraordinaire sans limites de revenu (Message du Conseil fédéral concernant la 10ème révision de l'assurance-vieillesse et survivants du 5 mars 1990 [FF 1990 II 99]).
La référence au domicile et à la résidence habituelle, figurant aux <ref-law> et 42 al. 1 LAI, est l'expression de la nouvelle conception du domicile dans la LAVS et la LAI, selon l'<ref-law>, en vigueur du 1er janvier 1997 au 31 décembre 2002. La référence à cette double condition permet dans le même temps de réglementer dans la loi la pratique suivie en matière de prestations non exportables (FF 1990 II 88).
La référence au domicile et à la résidence habituelle en Suisse a également été introduite à l'<ref-law> (dans sa teneur en vigueur depuis le 1er janvier 1998) remplaçant la référence au seul domicile en Suisse. Le Tribunal fédéral des assurances a considéré que cette nouvelle formulation avait simplement pour but d'adapter le texte légal à la jurisprudence qui exigeait déjà non seulement le domicile au sens du droit civil mais également l'accomplissement des critères correspondant à la définition de la résidence habituelle (arrêt T. du 26 juillet 2001, P 23/00).
4. 4.1 Le domicile au sens du Code civil est déterminant pour le droit à la rente extraordinaire et le droit à l'allocation pour impotent (<ref-law> et 81 LAI, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002).
Le domicile de toute personne est au lieu où elle réside avec l'intention de s'y établir (<ref-law>). C'est le domicile volontaire, librement choisi par la personne indépendante (DANIEL STAEHELIN, BaslerKommentar zum Schweizerischen Privatrecht, ZGB I, n. 2 ad <ref-law>; DESCHENAUX/STEINAUER, Personnes physiques et tutelle, 4ème éd., Berne 2001, p. 112 s.).
Sous la note marginale « domicile légal », l'<ref-law> dispose que le domicile des personnes sous tutelle est au siège de l'autorité tutélaire. On parle à cet égard de « domicile légal dérivé » car ce domicile est défini par rapport à celui d'autres personnes (EUGEN BUCHER, Berner Kommentar zum schweizerischen Privatrecht, n. 1 ad <ref-law>; Deschenaux/Steinauer, op. cit., p. 118).
Enfin, aux termes de l'<ref-law>, le séjour dans une localité en vue d'y fréquenter les écoles, ou le fait d'être placé dans un établissement d'éducation, un hospice, un hôpital, une maison de détention, ne constituent pas le domicile.
4.2 L'intention de se constituer un domicile volontaire suppose que l'intéressé soit capable de discernement au sens de l'<ref-law>. Cette exigence ne doit toutefois pas être appréciée de manière trop sévère (<ref-ruling> consid. 2c; EUGEN BUCHER, op. cit., n. 24 ad art. 17/18 CC, n. 28 ad <ref-law>; DANIEL STAEHELIN, op. cit., n. 9 ad <ref-law>).
En revanche, l'intention de s'établir n'exige pas que l'intéressé ait l'exercice des droits civils. En principe, une personne sous tutelle peut donc, avec l'autorisation de son représentant légal, se constituer un domicile volontaire au sens de l'<ref-law>. La portée de ce principe est toutefois restreinte en pratique : dans la mesure où le domicile des personnes sous tutelle est au siège de l'autorité tutélaire (<ref-law>), ce n'est que dans l'éventualité où il s'établit ailleurs qu'au siège de l'autorité tutélaire que l'intéressé peut se constituer un domicile volontaire (EUGEN BUCHER, op. cit., n. 25 ad art. 17/18 CC, n. 108 ad <ref-law>; ANDREAS BUCHER, Der abhängige Wohnsitz nicht selbständiger Personen [Art. 25 ZGB], Revue du droit de tutelle 1977 p. 56). C'est pourquoi, tant qu'elle demeure au lieu du domicile dérivé ou dans les environs (soit dans un lieu ressortissant à la compétence territoriale de l'autorité tutélaire), la personne sous tutelle ne se constitue pas un domicile volontaire au sens de l'<ref-law>.
Quant au séjour dans un établissement au sens de l'<ref-law>, il ne constitue pas un domicile. Certes, cette disposition ne contient qu'une présomption qui peut être renversée lorsqu'une personne entre de son plein gré dans un établissement afin d'y faire le centre de son existence (<ref-ruling> consid. 2b; RCC 1984 p. 563 consid. 2a; Eugen Bucher, op. cit., n. 3 ad <ref-law>; DANIEL STAEHELIN, op. cit., n. 7 ad <ref-law> et n. 6 ad <ref-law>; DESCHENAUX/STEINAUER, op. cit., p. 116). Dans ce cas, le séjour dans l'établissement ne sert pas un but spécifique (éducation, soins, traitement ou exécution d'une peine) et la constitution d'un domicile volontaire peut être admise. La personne placée dans un établissement en vue d'y bénéficier de soins et mise ensuite sous tutelle ne peut toutefois se créer un domicile volontaire tant qu'elle demeure au lieu du domicile dérivé ou dans un lieu ressortissant à la compétence territoriale de l'autorité tutélaire.
5. 5.1 Lorsqu'une disposition en matière d'assurances sociales renvoie à une notion de droit civil, celle-ci devient partie intégrante du droit des assurances sociales (MAURER, Schweizerisches Sozialversicherungsrecht, T. I p. 234). Le cas échéant, une telle notion peut cependant avoir un sens différent du droit civil (FRANZ HEIDELBERGER, Die Stellung des Unmündigen im Zivilrecht und Sozialversicherungsrecht- Probleme der Koordination, th. Berne, Zurich 1991, p. 72). C'est pourquoi il appartient à l'administration et, en cas de recours, au juge d'interpréter la notion de droit civil reprise dans le droit des assurances sociales. Ce faisant, ils doivent se fonder sur la portée et le but de la norme contenant un renvoi à la notion de droit civil, afin de trancher le point de savoir si la notion reprise a la même signification ou non qu'en droit civil (EUGEN BUCHER, op. cit., n. 21 ad Vorbemerkungen vor Art. 22-26 CC, n. 4 et 44 ad <ref-law>; DANIEL STAEHELIN, op. cit., n. 3 ad <ref-law>; MAURER, op. cit., note de bas de page 519 p. 235).
5.2 Selon la jurisprudence constante rendue par le Tribunal fédéral des assurances avant l'entrée en vigueur des dispositions modifiées par la 10ème révision de l'AVS, l'expression « domicilié en Suisse » au sens des <ref-law>, 39 al. 1 et 42 al. 1 LAI impliquait que l'assuré ait eu dans ce pays non seulement son domicile d'après les critères du droit civil mais aussi sa résidence effective, avec la volonté de la conserver et de maintenir le centre de toutes ses relations en Suisse (<ref-ruling> consid. 4, 105 V 168 consid. 3b; ATFA 1966 p. 23, et les références). Comme l'exigence relative à la « résidence effective » a été codifiée sous les termes de « résidence habituelle » par la 10ème révision (cf. ch. 3.2 et 3.3), on doit considérer que la notion de domicile au sens de l'<ref-law>, en relation avec les <ref-law>, 39 al. 1 et 42 al. 1 LAI, correspond à la notion de domicile au sens strict (« domicile d'après les critères du droit civil ») définie par la jurisprudence relative à l'ancien droit. Or, dans un arrêt <ref-ruling>, le Tribunal fédéral des assurances a jugé qu'en ce qui concerne le droit à la rente extraordinaire (<ref-law>), la notion de domicile (au sens strict) est celle des art. 23 et suivants CC, ce qui renvoie non seulement au domicile volontaire mais également au domicile dérivé (in casu : le domicile dérivé de la femme mariée, selon l'ancien <ref-law>). Il a considéré qu'il n'y avait pas de motif particulier propre au droit des assurances sociales de s'écarter de la notion spécifique du domicile au sens des <ref-law> en ce qui concerne le droit à la rente extraordinaire (<ref-ruling> consid. 3a et 9 consid. 3b in fine et 4).
Quant au droit à l'allocation pour impotent selon l'<ref-law>, le Tribunal a jugé qu'il fallait s'en tenir à la même notion de domicile qu'en matière de rente extraordinaire (arrêts non publiés D. L. du 22 août 1991, I 294/90, et W. du 1er décembre 1987, I 288/87).
6. 6.1 L'<ref-law> a été modifié avec effet au 1er janvier 2001 par le ch. 1 de l'annexe à la modification de la LAVS du 23 juin 2000 (RO 2000 2682) en ce sens que la clause d'assurance a été supprimée. Selon l'art. 6 al. 1 aLAI, en effet, une personne ne pouvait prétendre des prestations de l'assurance-invalidité que si elle était assurée lors de la survenance de l'invalidité.
La suppression de la clause d'assurance n'a toutefois pas entraîné de changement important dans le système de l'assurance-invalidité. En effet, en ce qui concerne les ressortissants suisses, la portée de la clause d'assurance avait déjà été fortement réduite avec la 10ème révision de l'AVS, puisque les intéressés assurés dans un Etat ayant conclu une convention de sécurité sociale avec la Suisse étaient désormais assimilés aux ressortissants de cet Etat quant à la réalisation de la clause d'assurance. Cette clause n'était donc opposable qu'aux ressortissants suisses qui étaient assurés dans un Etat avec lequel la Suisse n'avait pas conclu de convention de sécurité sociale. Aussi fallait-il supprimer la clause d'assurance pour ceux d'entre eux qui avaient payé des cotisations en Suisse auparavant. Par ailleurs, cette suppression n'ouvrait pas de droits supplémentaires en faveur des ressortissants de pays non contractants en raison de l'interdiction d'exportation des rentes, ni en faveur d'un ressortissant d'un Etat avec lequel la Suisse avait conclu une convention dite de type A, devenu invalide après être rentré dans son pays d'origine. Quant aux ressortissants des Etats avec lesquels la Suisse avait conclu une convention dite de type B, ils pouvaient désormais, grâce à la suppression de la clause d'assurance, prétendre une rente de l'assurance-invalidité suisse même s'ils vivaient dans un Etat tiers lors de la survenance de l'invalidité (Message du Conseil Fédéral concernant une modification de la loi fédérale sur l'assurance-vieillesse et survivants [révision de l'assurance facultative] du 28 avril 1999, FF 1999 4617 s.; cf. ALESSANDRA PRINZ, Suppression de la clause d'assurance pour les rentes ordinaires de l'AI : conséquences dans le domaine des conventions internationales, in : Sécurité sociale 1/2001 p. 42 s.).
6.2 Cela étant, il n'était pas dans l'intention du législateur, par la suppression de la clause d'assurance, d'étendre à d'autres personnes le cercle des bénéficiaires de prestations de l'assurance-invalidité. En particulier, il n'apparaît pas que les conditions d'octroi de la rente extraordinaire d'invalidité et de l'allocation pour impotents dussent être ainsi modifiées.
Aussi, dans la mesure où le maintien des principes jurisprudentiels exposés au consid. 5.2 pourrait aboutir à un tel résultat, il y a lieu d'adapter cette jurisprudence à la situation juridique nouvelle découlant de la suppression de la clause d'assurance. Certes, la condition relative au même nombre d'années d'assurance que les personnes de la classe d'âge des intéressés (<ref-law>) permet d'éviter, dans bien des cas, que l'octroi d'une rente extraordinaire soit détournée de son but. Une telle restriction n'existe toutefois pas en ce qui concerne l'allocation pour impotent. Aussi, étant donné la portée et le but de l'art. 95 aLAVS en liaison avec les <ref-law>, 42 al. 1 LAVS et 42 al. 1 LAI, faut-il considérer que la notion de « domicile au sens du Code civil » est celle du domicile de l'<ref-law>, soit celle du domicile volontaire, à l'exclusion du domicile dérivé des personnes sous tutelle selon l'<ref-law>. »
4. Il y a lieu de se demander si l'on peut maintenir ces considérations également sous l'angle de l'<ref-law>, ce que soutiennent les parties intimées mais que conteste la recourante.
Sous le titre «Domicile et résidence habituelle», l'<ref-law>, applicable à l'AVS et à l'AI en vertu du renvoi de l'<ref-law> et LAI, prévoit que le domicile d'une personne est déterminé selon les art. 23 à 26 du Code civil (al. 1); une personne est réputée avoir sa résidence habituelle au lieu où elle séjourne un certain temps même si la durée de ce séjour est d'emblée limitée (al. 2).
4.1 D'après la jurisprudence, la loi s'interprète en premier lieu selon sa lettre. Il n'y a lieu de déroger au sens littéral d'un texte clair par voie d'interprétation que lorsque des raisons objectives permettent de penser que ce texte ne restitue pas le sens véritable de la disposition en cause. Si le texte n'est pas absolument clair, si plusieurs interprétations de celui-ci sont possibles, il convient de rechercher quelle est la véritable portée de la norme, en la dégageant de tous les éléments à considérer, soit notamment des travaux préparatoires, du but de la règle, de son esprit, ainsi que des valeurs sur lesquelles elle repose ou encore de sa relation avec d'autres dispositions légales. Le Tribunal fédéral ne privilégie aucune méthode d'interprétation, mais s'inspire d'un pluralisme pragmatique pour rechercher le sens véritable de la norme; en particulier, il ne se fonde sur la compréhension littérale du texte que s'il en découle sans ambiguïté une solution matériellement juste (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 193; <ref-ruling> consid. 7.2 p. 5; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 499).
4.2 Selon son texte clair, l'<ref-law> ne renvoie pas seulement à la notion de domicile au sens du code civil (comme le faisait l'art. 95a aLAVS en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002) mais expressément aux art. 23 à 26 CC. Interprété selon son sens littéral, l'<ref-law> inclut dès lors la notion de domicile dérivé au sens de l'<ref-law>. Il convient d'examiner s'il existe des raisons objectives permettant de penser que l'<ref-law> ne restitue pas le sens véritable de la norme en cause.
4.3 Selon une jurisprudence constante résumée et analysée dans l'arrêt I 270/03 (cf. consid. 3.1 ci-dessus), la notion de domicile comme condition nécessaire à l'octroi de prestations de l'assurance sociale suisse a toujours été interprétée de manière restrictive, excluant la notion de domicile dérivé au sens de l'<ref-law>. Les travaux préparatoires n'offrent aucune indication sur une éventuelle volonté du législateur de changer cette conception. Dans la mesure où les chambres fédérales ont adopté l'<ref-law> sans discussions, on peut donc penser que le législateur entendait maintenir la notion de domicile développée sous l'ancien droit (cf. l'<ref-law>), à savoir le domicile volontaire au sens de l'<ref-law>, à l'exclusion du domicile dérivé selon l'<ref-law>.
4.4 Cette pratique découle en outre du système de la loi. La législation en matière d'assurance sociale rattache l'assujettissement à un système d'assurance sociale ainsi que le droit d'obtenir, à certaines conditions, des prestations en vertu d'un tel système à la notion de domicile. Celle-ci, comme la notion d'activité lucrative, a dès lors une importance cruciale en matière de droit des assurances sociales, raison pour laquelle la LPGA lui a consacré une disposition spécifique (cf. UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2009, n° 2 ad <ref-law>). Selon le système de la loi, une personne n'a par conséquent pas déjà droit à des prestations d'assurance sociale du seul fait qu'elle séjourne en Suisse, notamment dans le but de s'y faire soigner. Cela ne vaut d'ailleurs pas seulement en Suisse mais dans tous les pays, ainsi que dans les rapports internationaux. En particulier, le droit des ressortissants turcs à une allocation pour impotent ou à une rente extraordinaire selon le droit suisse est soumis à l'exigence d'un domicile en Suisse (cf. art. 3, 8 et 11 de la Convention de sécurité sociale du 1er mai 1969 entre la Suisse et la République de Turquie; RS 0.831.109.763.1). En principe, la mise sous tutelle ne crée pas un domicile au siège de l'autorité tutélaire mais c'est l'inverse qui découle de la loi. L'<ref-law> prévoit en effet que le for tutélaire est celui du domicile du mineur ou de l'interdit. Le domicile au for de l'autorité tutélaire selon l'<ref-law> n'a une portée propre que si le pupille reste au lieu où il avait son domicile au moment de la mise sous tutelle, sous réserve d'un changement de domicile au sens de l'<ref-law> (DANIEL STAEHELIN, Basler Kommentar, 2002, n° 13 s. ad <ref-law>). Le domicile dérivé au siège de l'autorité tutélaire ne fonde dès lors pas un domicile s'il n'en existait pas déjà un avant la mise sous tutelle. Lorsque le pupille ne dispose pas d'un domicile en Suisse au moment de sa mise sous tutelle, ce sont, en dérogation à l'<ref-law>, les autorités de l'Etat dans lequel le pupille a sa résidence habituelle qui sont compétentes pour prononcer une telle mesure (cf. <ref-law> en liason avec l'art. 1 de la Convention de la Haye du 5 octobre 1961 concernant la compétence des autorités et la loi applicable en matière de protection des mineurs; RS 0.211.231.01). Or, si l'on interprétait l'<ref-law> selon son sens littéral, cela aurait pour conséquence que, dans les cas où le pupille n'a pas de domicile en Suisse au moment de sa mise sous tutelle, c'est le lieu de sa résidence habituelle qui fonderait son domicile dérivé selon l'<ref-law>. En d'autres termes, un ressortissant étranger s'établissant en Suisse aux seules fins de s'y faire soigner, sans s'être constitué préalablement un domicile, pourrait demander sa mise sous tutelle aux fins de prétendre à des prestations de l'assurance sociale. Ce résultat n'a précisément pas été voulu par le législateur puisqu'il découle du système ainsi que du sens et du but des lois d'assurance sociale, dont fait partie la LPGA, que le droit d'être assujetti ou de percevoir des prestations des différentes lois d'assurance sociale suppose le rattachement à la notion de domicile et non pas seulement au lieu de séjour ou de résidence. Au demeurant, si l'on devait admettre que le domicile dérivé était également visé par l'<ref-law>, on contredirait également le sens et le but du système de l'assurance sociale sous l'angle du droit international privé, lequel se borne à désigner des règles de conflit de lois et non pas à fixer les conditions d'accès à des prestations de droit matériel qui n'existent pas en droit interne.
4.5 Si la lettre de l'<ref-law> inclut la notion de domicile dérivé au sens de l'<ref-law>, il ressort cependant du but et de la systématique de cette disposition que la volonté du législateur ne consiste pas à permettre à des ressortissants étrangers venus séjourner en Suisse aux fins d'une prise en charge spécialisée de prétendre aux prestations de l'AVS ou de l'AI parce que leur état a nécessité la mise en place d'une tutelle. Il découle ainsi de l'interprétation de l'<ref-law> que la notion de domicile selon les art. 23 à 26 CC n'inclut pas celle du domicile dérivé des personnes sous tutelle selon l'<ref-law>.
5. En l'espèce, la recourante a sa résidence habituelle en Suisse depuis le 9 décembre 1983, date à laquelle elle est entrée dans l'Institut X._ situé sur la commune de Y._. Elle y séjourne du reste encore actuellement où elle a apparemment le centre des ses intérêts. Au vu de ces circonstances, il y a lieu d'examiner si, depuis la décision de l'OAI du 18 juillet 2001 par laquelle sa demande de prestations avait été refusée faute pour elle de disposer un domicile en Suisse, la recourante a pu se créer un domicile volontaire au sens de l'<ref-law> en Suisse.
5.1 Le domicile d'une personne est au lieu où elle se trouve avec l'intention de s'y établir (<ref-law>). Cela suppose une résidence, soit un séjour d'une certaine durée en un endroit déterminé, et une volonté, soit une intention de se fixer en cet endroit. Selon la jurisprudence, ce dernier élément n'est pas purement subjectif; il doit au contraire ressortir des circonstances extérieures et objectives (<ref-ruling> consid. 1 p. 238 et les arrêts cités). Selon l'<ref-law>, le séjour dans une localité en vue d'y fréquenter les écoles, ou le fait d'être placé dans un établissement d'éducation, un hospice, un hôpital, une maison de détention, ne constituent pas le domicile. Ces dispositions légales distinguent le lieu de séjour du domicile. Le lieu de séjour est celui où une personne se trouve pour un motif déterminé et limité, qui n'implique pas l'intention d'y fixer le centre de son existence (JACQUES-MICHEL GROSSEN, Les personnes physiques, Traité de droit civil suisse, II, 2, p. 72). Le lieu de séjour devient le domicile, dès qu'il existe entre ce lieu et la personne qui y réside un lien fixe, étroit, fondé sur l'intention de s'y établir (TUOR/SCHNYDER, Das Schweizerische Zivilgesetzbuch, 10e éd., p. 78).
5.2 Pour savoir si une personne réside à un endroit avec l'intention de s'y établir, ce qui importe n'est pas la volonté interne de cette personne mais les circonstances, reconnaissables pour des tiers, qui permettent de déduire qu'elle a cette intention (<ref-ruling> consid. 2 p. 7-8; <ref-ruling> consid. 3 p. 3). Selon la doctrine et la pratique, l'<ref-law> n'exclut pas la création d'un domicile au lieu de séjour. Il pose uniquement la présomption réfragable que le séjour dans une localité en vue d'y faire des études ou dans l'un des établissements mentionnés par cette disposition n'entraîne pas le transfert à cet endroit du centre des intérêts. Lors du placement dans un établissement, on devra donc exclure régulièrement la création d'un domicile à cet endroit, l'installation dans l'établissement relevant de la volonté de tiers et non de celle de l'intéressé (ATF 71 I 158 concernant un séjour de 33 ans dans un établissement). En revanche, il n'en va pas de même lorsque l'intéressé majeur et capable de discernement à cet égard décide de son plein gré de séjourner dans un établissement qu'il choisit librement (STAEHELIN, Basler Kommentar, n° 6 ad art. 26). Tel est par exemple le cas d'une personne atteinte de sclérose en plaques s'installant de son propre chef et pour une période indéterminée dans un établissement afin de bénéficier d'assistance et de soins (<ref-ruling>).
5.3 En l'espèce, s'il ne fait pas de doutes que la première des deux conditions cumulatives de l'<ref-law>, soit le séjour d'une certaine durée dans un établissement est réalisée dans le cas de la recourante, il n'est pas possible d'être aussi affirmatif au sujet de la seconde condition sur la base des constatations de fait des premiers juges, lesquelles sont incomplètes sur ce point. Il convient dès lors de leur renvoyer la cause afin qu'ils déterminent si, à partir de la décision de refus de prestations de l'OAI du 18 juillet 2001, la recourante avait l'intention de résider en Suisse.
6. En conclusion, le recours doit être partiellement admis dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. La recourante n'obtient que partiellement gain de cause. En conséquence, elle devra supporter une partie des frais (<ref-law>) et se verra allouer une indemnité de dépens réduite (<ref-law>), à verser à son mandataire (<ref-law>).
La recourante a demandé à bénéficier de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci lui est accordée. Son attention est attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public est partiellement admis. Le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 26 octobre 2007 est annulé et la cause lui est renvoyée afin qu'il se prononce et rende un nouveau jugement dans le sens des considérants.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. La demande d'assistance judiciaire est admise. Me Jean-Luis Duc est désigné comme avocat d'office.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour moitié à la charge de la recourante, pour un quart à la charge de l'OAI et pour un quart à la charge de la CCVD. La caisse du tribunal supportera provisoirement, au titre des frais de justice couverts par l'assistance judiciaire, un montant de 250 fr. en faveur de la recourante.
5. Une indemnité de 1'500 fr., à verser à Maître Jean-Louis Duc à titre de dépens réduits, est mise conjointement à la charge de l'OAI et de la CCVD.
6. Une indemnité de 1'500 fr., supportée par la caisse du Tribunal, est allouée à Maître Jean-Louis Duc à titre d'honoraires non couverts par l'indemnité de dépens allouée sous chiffre 5 ci-dessus.
7. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 10 juin 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Fretz