Sachverhalt:
A.
Der 1967 geborene A._ war vom 1. Juli 1987 bis zur arbeitgeberseitigen Kündigung per 30. September 2013 als Rollmaschinenführer bei der B._ AG angestellt. Im April 2013 meldete er sich unter Hinweis auf eine nicht näher beschriebene Krankheit bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zug holte Berichte der behandelnden Ärzte und ein polydisziplinäres (internistisch, psychiatrisch, rheumatologisch) Gutachten der Begutachtungsstelle C._, vom 27. Februar 2014 ein. Der psychiatrische Experte der Begutachtungsstelle C._ ergänzte seine Ausführungen mit Schreiben vom 21. August 2014. Zudem nahmen RAD-Ärzte Stellung. Mit Verfügung vom 9. Oktober 2014 verneinte die IV-Stelle einen Leistungsanspruch, da kein invalidisierender Gesundheitsschaden vorliege.
B.
Beschwerdeweise beantragte A._, in Aufhebung der Verfügung vom 9. Oktober 2014 sei ihm eine Dreiviertelsrente zuzusprechen; evtl. sei eine erneute psychiatrische Begutachtung zu veranlassen und auf dieser Grundlage neu über den Leistungsanspruch zu entscheiden. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug wies die Beschwerde mit Entscheid vom 19. März 2015 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und eine angemessene Rente zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung an die Vorinstanz, subeventuell an die Verwaltung zurückzuweisen.
Die IV-Stelle und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280; vgl. auch <ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.1 S. 137 f.).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Streitig ist der Anspruch auf eine Invalidenrente der Invalidenversicherung.
Im angefochtenen Entscheid sind die namentlich interessierenden Bestimmungen und Grundsätze zum Invaliditätsbegriff, zum nach dem Grad der Invalidität abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente, zur Bestimmung des Invaliditätsgrades mittels Einkommensvergleich, zur Aufgabe von Arzt und Ärztin bei der Invaliditätsbemessung sowie zur Beweiswürdigung, insbesondere bezüglich ärztlicher Berichte und Gutachten, zutreffend dargelegt. Richtig wiedergegeben ist auch die Rechtsprechung zur invalidisierenden Wirkung anhaltender somatoformer Schmerzstörungen und vergleichbarer psychosomatischer Leiden im Sinne der sog. Überwindbarkeitsrechtsprechung (<ref-ruling>; <ref-ruling>; vgl. auch <ref-ruling>). Darauf wird verwiesen.
Zu erwähnen bleibt, dass das Bundesgericht zwischenzeitlich zur invalidisierenden Wirkung somatoformer Schmerzstörungen und vergleichbarer psychosomatischer Leiden das Grundsatzurteil 9C_492/2014 vom 3. Juni 2015 (<ref-ruling>) erlassen hat.
3.
Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die Expertise der Begutachtungsstelle C._ vom 27. Februar 2014 erfülle grundsätzlich die Anforderungen an beweiswertige ärztliche Gutachten. Zu überzeugen vermöchten indessen nur die fachärztlichen Einschätzungen aus rheumatologischer und internistischer Sicht, nicht aber diejenige des Psychiaters der Begutachtungsstelle C._.
4.
Laut Gutachten der Begutachtungsstelle C._ vom 27. Februar 2014 ergaben die somatomedizinischen Abklärungen keinen Befund, welcher die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigt. Darauf ist gemäss dem vorinstanzlichen Entscheid abzustellen, was nicht bestritten wird.
5.
Streitig ist, ob ein invalidisierendes psychisches Leiden vorliegt.
5.1. Dr. med. D._ hat im psychiatrischen Teilgutachten der Begutachtungsstelle C._ vom 13. Februar 2014 gestützt auf die Diagnose einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung bei Verdacht auf passiv-aggressive Persönlichkeitsakzentuierung, Differentialdiagnose passiv-aggressive Persönlichkeitsstörung, eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % attestiert. Diese Einschätzung wurde im Hauptgutachten der Begutachtungsstelle C._ vom 27. Februar 2014 übernommen. Mit ergänzender Stellungnahme vom 21. August 2014 hielt der psychiatrische Experte der Begutachtungsstelle C._ an ihr fest.
5.2. Das kantonale Gericht ist in Anwendung der Überwindbarkeitspraxis zum Ergebnis gelangt, die diagnostizierte Schmerzstörung sei nicht invalidisierend. Die nach dieser Rechtsprechung massgeblichen Kriterien seien nicht in genügender Weise erfüllt, um auf ein mit zumutbarer Willensanstrengung nicht überwindbares Leiden zu schliessen. Namentlich fehle es an einer erheblichen psychischen Komorbidität.
Im Lichte der Überwindbarkeitsrechtsprechung spricht Einiges für die vorinstanzliche Beurteilung. Der Psychiater der Begutachtungsstelle C._ beurteilt die massgeblichen Kriterien einerseits für nicht erfüllt. Anderseits macht er dies davon abhängig, ob als psychische Komorbidität lediglich eine Persönlichkeitsakzentuierung oder aber eine Persönlichkeitsstörung vorliege. Letztere Diagnose kann er aber nicht verlässlich bestätigen (Teilgutachten vom 13. Februar 2014 mit Ergänzung vom 21. August 2014). Sie erscheint auch eher fraglich, zumal sie vom behandelnden Psychiater nicht gestellt wird. Dieser wiederum bestätigt ebenfalls eine Arbeitsunfähigkeit, begründet dies aber nebst der Schmerzstörung mit einer depressiven Störung, gegenwärtig mittelgradige Episode. Es liegen somit divergierende fachärztliche Einschätzungen vor. Die Frage der Komorbidität muss aber ohnehin nicht abschliessend beurteilt werden. Zu prüfen ist, wie es sich nach den überarbeiteten Grundsätzen gemäss <ref-ruling> verhält.
5.3.
5.3.1. Weiterhin kann eine Einschränkung der Leistungsfähigkeit nur anspruchserheblich sein, wenn sie Folge einer fachärztlich einwandfrei diagnostizierten Gesundheitsbeeinträchtigung ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 285 f.; zur Publikation vorgesehenes Urteil 8C_10/2015 vom 5. September 2015 E. 4.1) und keine Ausschlussgründe nach BGE <ref-ruling> vorliegen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 287 f.). Auch künftig wird der Rentenanspruch anhand von normativen Rahmenbedingungen beurteilt, und es braucht medizinische Evidenz, dass die Erwerbsunfähigkeit aus objektiver Sicht eingeschränkt ist. Indes hält das Bundesgericht an der Überwindbarkeitsvermutung nicht weiter fest (<ref-ruling> E. 3.5 S. 294 und E. 3.7.1 S. 295; Urteil 8C_10/2015 E. 4.1). Anstelle des bisherigen Regel/Ausnahme-Modells tritt ein strukturierter, normativer Prüfraster. In dessen Rahmen wird im Regelfall anhand von auf den funktionellen Schweregrad bezogenen Standardindikatoren das tatsächlich erreichbare Leistungsvermögen ergebnisoffen und symmetrisch beurteilt, indem gleichermassen den äusseren Belastungsfaktoren wie den vorhandenen Ressourcen Rechnung getragen wird (<ref-ruling> E. 3.6 S. 295 und E. 4 S. 296 ff.; Urteil 8C_10/2015 E. 4.1).
5.3.2. Zwar hatten die Ärztinnen und Ärzte bereits bis anhin ihre Stellungnahmen zur Arbeitsfähigkeit so substanziell wie möglich zu begründen, und es war für die ärztliche Plausibilitätsprüfung wichtig, in welchen Funktionen die versicherte Person eingeschränkt ist. Die diesbezüglichen Anforderungen hat das Bundesgericht aber nunmehr dahin gehend konkretisiert, dass aus den medizinischen Unterlagen genauer als bisher ersichtlich sein muss, welche funktionellen Ausfälle in Beruf und Alltag aus den versicherten Gesundheitsschäden resultieren. Diagnosestellung und - in der Folge - Invaliditätsbemessung haben somit stärker als bis anhin die entsprechenden Auswirkungen der diagnoserelevanten Befunde zu berücksichtigen. Medizinisch muss schlüssig begründet sein, inwiefern sich aus den funktionellen Ausfällen bei objektivierter Zumutbarkeitsbeurteilung anhand der Standardindikatoren eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit ergibt. Wo dies nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit dargetan werden kann, trägt weiterhin die materiell beweisbelastete versicherte Person die Folgen. Eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung und vergleichbare Leiden können somit eine Invalidität begründen, sofern funktionelle Auswirkungen der medizinisch festgestellten gesundheitlichen Anspruchsgrundlage im Einzelfall anhand der Standardindikatoren schlüssig und widerspruchsfrei mit zumindest überwiegender Wahrscheinlichkeit in einem anspruchserheblichen Ausmass nachgewiesen sind (<ref-ruling> E. 6 S. 308; Urteil 8C_10/2015 E. 4.2).
5.4. Im vorliegenden Fall gestatten die medizinischen Akten keine verlässliche Beurteilung, ob Ausschlussgründe vorliegen und - verneinendenfalls - ob die massgeblichen Indikatoren nach <ref-ruling> in genügender Weise erfüllt sind, um die Schmerzstörung als invalidisierend zu betrachten. Die Sache ist daher an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie - bei einem neu zu bestellenden Experten - ein den Anforderungen von <ref-ruling> genügendes psychiatrisches Gerichtsgutachten einhole und gestützt darauf neu entscheide.
6.
Dem Verfahrensausgang entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 11.1 S. 312).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, vom 19. März 2015 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. November 2015
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz