Erwägungen:
1.
Am 2. April 2014 wies die Steuerverwaltung des Kantons Appenzell A.Rh. Einsprachen der A._ AG gegen die Veranlagungen zu den Staats- und Gemeindesteuern 2009 sowie gegen die Veranlagung zur direkten Bundessteuer 2009 ab. Beide Einspracheentscheide wurden von der Pflichtigen am 3. April 2014 in Empfang genommen. Diese erhob dagegen zwei Beschwerden an das Obergericht Appenzell A.Rh., welche sie je am Dienstag, 6. Mai 2014, zur Post gab. Mit zwei (rektifizierten) Entscheiden des Einzelrichters vom 20. Mai 2014 trat das Obergericht auf die Beschwerden nicht ein.
Die A._ AG hat am 3. Juli 2014 mit zwei separaten Rechtsschriften Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die beiden obergerichtlichen Urteile erhoben. Sie beantragt dem Bundesgericht, der jeweilige Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass sie die kantonale (n) Beschwerde (n) innert der gesetzlichen Frist eingereicht habe.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Es werden zwei Entscheide mit zwei Rechtsschriften angefochten. Das Bundesgericht hat zwei Verfahren eröffnet; eines betrifft die Staats- und Gemeindesteuern 2009, das andere die direkte Bundessteuer 2009. Es stehen sich je die gleichen Parteien gegenüber, zu prüfen sind dieselben Rechtsfragen. Es rechtfertigt sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerde in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; Urteile 2C_491/2014 und 2C_492/2014 vom 27. Mai 2014 E. 2.1 sowie 2C_157/2014 und 2C_158/2014 vom 6. März 2014 E. 1.6 mit Hinweisen).
2.2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Nicht unmittelbar gerügt werden kann die Verletzung von kantonalen Gesetzen oder Verordnungen (vgl. <ref-law>). Beruht der angefochtene Entscheid teilweise auf kantonalem Recht, kann diesbezüglich weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich die willkürliche Anwendung der einschlägigen Normen gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss <ref-law> spezifischer Geltendmachung und Begründung (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 227 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68; je mit Hinweisen).
2.3. Es ist unbestritten, dass die beiden Einspracheentscheide der Beschwerdeführerin am 3. April 2014 eröffnet wurden und die Beschwerdefrist von jeweilen 30 Tagen (Art. 55 des Gesetzes des Kantons Appenzell A.Rh. vom 9. September 2002 über die Verwaltungsrechtspflege [VRPG-AR] bzw. Art. 50 Abs. 1 StHG sowie <ref-law>) am Montag, 5. Mai 2014, ablief (Art. 5 Abs. 1 VRPG-AR). Die Beschwerdeführerin anerkennt auch ausdrücklich, dass die Friststillstandsregel von 7 lit. a VRPG (vom siebten Tage vor Ostern bis und mit dem siebten Tage nach Ostern) auch im Verfahren betreffend kantonale Steuern nicht zur Anwendung kommt (Art. 188 Abs. 5 des Steuergesetzes des Kantons Appenzell A.Rh. vom 21. Mai 2000 [StG-AR]).
Hingegen macht die Beschwerdeführerin Folgendes geltend: Sie habe die drei offiziellen Feiertage Karfreitag, Ostermontag sowie den 1. Mai, Tag der Arbeit, nicht als Arbeitstage mitgezählt; sie sei daher der Ansicht, dass sie die Frist von 30 Tagen mehr als eingehalten habe; sie empfinde es als absoluten Härtefall, wenn genau während der Osterzeit ein derart komplizierter Fall, an welchem die Steuerverwaltung rund fünf Monate gearbeitet habe, in so kurzer Zeit zu bewältigen sei; die Komplexität diese Falles zeige sich auch daran, dass die Steuerverwaltung im Jahr 2014 erst dabei sei, die Einschätzung für das Geschäftsjahr 2009 vorzunehmen; von den möglichen 30 Tagen der Einsprachefrist seien nicht einmal 20 Arbeitstage während der Osterzeit zur Verfügung gestanden. Die Beschwerdeführerin verkennt, dass für den Fristenlauf unerheblich ist, ob innerhalb der laufenden Beschwerdefrist auch Feiertage liegen, und dass diese grundsätzlich gleich wie Sonn- und Samstage mitzuzählen sind, es sei denn, der letzte Tag der Frist falle auf einen Samstag, Sonntag oder Feiertag (nebst Art. 5 Abs.1 VRPG-AR auch <ref-law> oder <ref-law>). Sie zeigt nicht auf, inwiefern das Obergericht mit seinen Nichteintretensentscheiden eine bundesrechtliche Norm missachtet, eine kantonalrechtliche Norm in verfassungswidriger Weise angewendet oder einen allgemein anerkannten Rechtsgrundsatz verletzt hätte.
2.4. Die Beschwerden enthalten offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>), sodass darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nicht einzutreten ist.
2.5. Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Die Verfahren 2C_635/2014 und 2C_636/2014 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- für beide Verfahren zusammen werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller