Sachverhalt:
A. Der minderjährige brasilianische Staatsangehörige X._ (geboren 1997) reiste am 26. Oktober 2006 ohne Visum in Begleitung seiner Grossmutter und seiner Cousine in die Schweiz ein. Gemäss eigenen Angaben wuchs er in Brasilien bei seiner Grossmutter auf, da sich seine Eltern nicht um ihn gekümmert hätten. Nach einem Verwandtenbesuch in Paris kehrte X._ mit seiner Grossmutter und Cousine am 8. Januar 2007 in die Schweiz zurück und wurde bei seinem Onkel Y._ (geb. 1979), einem Bruder seiner Mutter, untergebracht. Dieser ist ebenfalls brasilianischer Staatsangehöriger und verfügt über eine Aufenthaltsbewilligung, da er mit dem Schweizer Bürger Z._ (geb. 1958) in einer gleichgeschlechtlichen Partnerschaft lebt. Am 11. Januar 2007 stellte Y._ ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung für X._ zum Verbleib bei ihm als Onkel; anschliessend liess er sich die Obhut für X._ durch ein brasilianisches Gericht übertragen. Mit Verfügung vom 11. Dezember 2008 wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich das Gesuch ab und setzte X._ eine Frist bis zum 31. Januar 2009 zum Verlassen der Schweiz.
Dagegen liessen X._, Y._ und Z._ mit Eingabe vom 16. Januar 2009 Rekurs an den Regierungsrat des Kantons Zürich erheben. Mit Beschluss vom 28. Oktober 2009 wies der Regierungsrat den Rekurs ab. Eine hiergegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, mit Urteil vom 27. Januar 2010 ab.
B. Mit Eingabe vom 9. März 2010 erheben X._, Y._ und Z._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 27. Januar 2010 sei aufzuheben und die Sicherheitsdirektion einzuladen, dem Beschwerdeführer 1 die Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleib bei den Beschwerdeführern 2 und 3 zu erteilen. Gerügt wird im Wesentlichen die Verletzung von Art. 8 EMRK und <ref-law> (Verletzung des Familienlebens) sowie der Kinderrechtskonvention.
C. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde, währenddem sich der Regierungsrat und die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich nicht geäussert haben.
D. Mit Verfügung vom 12. März 2010 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 Nach <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts über Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
1.2 Am 1. Januar 2008 ist das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) in Kraft getreten. Nach Art. 126 AuG bleibt das alte Recht (Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer [ANAG; BS 1 121]) anwendbar auf Gesuche, die vor dem Inkrafttreten des neuen Gesetzes eingereicht worden sind. Das Verfahren richtet sich jedoch nach dem neuen Recht. Im vorliegenden Verfahren ist in materiell-rechtlicher Hinsicht auf das alte Recht abzustellen, da das Bewilligungsgesuch noch vor dem 1. Januar 2008 eingereicht wurde. Aber auch verfahrensrechtlich bleibt das alte Recht noch insoweit massgeblich, als sich die prozessuale Frage, ob ein Anspruch auf eine Bewilligung besteht, nach dem materiellen Recht richtet. Für die anspruchsabhängige Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gemäss <ref-law> ist mithin anhand des alten Rechts zu prüfen, ob ein Anspruch auf Bewilligung besteht (<ref-ruling> E. 1.2 S. 145 mit Hinweis).
2. 2.1 Die Beschwerdeführer haben unstreitig keinen Bewilligungsanspruch gestützt auf das ANAG. Sodann verschafft ihnen auch die Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (Begrenzungsverordnung, BVO; AS 1986 1791) keine Rechtsansprüche (<ref-ruling> E. 2.2 S. 284; <ref-ruling> E. 1 S. 188; je mit Hinweisen). Mithin kann sich das Bundesgericht insbesondere nicht dazu äussern, ob ein Härtefall im Sinne von Art. 13 lit. f BVO vorliegt (vgl. auch <ref-law>).
2.2 Die Beschwerdeführer berufen sich auf den Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK bzw. <ref-law>.
2.2.1 Art. 8 EMRK (bzw. <ref-law>) garantiert zwar kein Recht auf Aufenthalt in einem bestimmten Staat. Es kann aber das in Art. 8 EMRK geschützte Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens verletzen, wenn einem Ausländer, dessen Familienangehörige hier weilen, die Anwesenheit untersagt und damit das Familienleben vereitelt wird. Der sich hier aufhaltende Familienangehörige muss nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung seinerseits über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügen, was praxisgemäss der Fall ist, wenn er das Schweizer Bürgerrecht besitzt, ihm die Niederlassungsbewilligung gewährt wurde oder er über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt, die ihrerseits auf einem gefestigten Rechtsanspruch beruht (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 285 f. mit Hinweisen).
2.2.2 Hier besitzt jedoch der Onkel von X._, der Beschwerdeführer 2, weder das Schweizer Bürgerrecht noch eine Niederlassungsbewilligung. Ebenso wenig beruht seine Aufenthaltsbewilligung auf einem gefestigten Rechtsanspruch: Er lebt zwar mit seinem Partner (Beschwerdeführer 3) - gemäss eigenen Angaben seit 2003 - in einer festen Beziehung, will diese aber bewusst nicht im Sinne von Art. 3 ff. des Bundesgesetzes vom 18. Juni 2004 über die eingetragene Partnerschaft gleichgeschlechtlicher Paare (Partnerschaftsgesetz, PartG; SR 211.231) beim zuständigen Zivilstandsamt eintragen lassen. Der Verzicht wird damit begründet, dass eine allfällige spätere Einzeladoption des Beschwerdeführers 1 durch den Beschwerdeführer 2 aufgrund der Bestimmung von <ref-law> mit einer Eintragung der Partnerschaft ausgeschlossen würde (vgl. Beschwerdeschrift S. 15). Die Beschwerdeführer bringen zudem vor, sie hätten sich gemäss dem - per 1. Januar 2010 aufgehobenen - Gesetz [des Kantons Zürich] vom 21. Januar 2002 über die Registrierung gleichgeschlechtlicher Paare (OS 57, 332) registrieren lassen. Die Vorinstanz hat jedoch zu Recht ausgeführt, dass mit dem Inkrafttreten des (eidgenössischen) Partnerschaftsgesetzes die nach kantonalem Recht registrierten Partnerschaften per 1. Januar 2010 von Amtes wegen gelöscht worden sind (vgl. Gesetz [des Kantons Zürich] vom 9. Juli 2007 über die Anpassung des kantonalen Rechts an das Partnerschaftsgesetz des Bundes [OS 62, 432]). Für die Eintretensfrage ist nach ständiger Praxis (statt vieler: <ref-ruling> E. 2 S. 13) in Bezug auf den in Art. 8 EMRK garantierten Schutz des Familienlebens auf den heutigen Zeitpunkt abzustellen, d.h. die Beschwerdeführer 2 und 3 führen eine gleichgeschlechtliche Partnerschaft, die weder in einem kantonalen noch im eidgenössischen Register als "eingetragene Partnerschaft" registriert ist. Als geschützte Familienbeziehungen kommen für das Aufenthaltsrecht grundsätzlich jedoch nur rechtlich anerkannte Beziehungen wie Ehe oder eingetragene Partnerschaft in Frage (Urteil 2C_756/2009 vom 15. Dezember 2009 E. 2.3.2; vgl. dazu auch Art. 52 AuG). Daran vermag der Umstand, dass die drei Beschwerdeführer "von Schulen, Behörden, Familie und Freunden als Familie wahrgenommen werden" nichts zu ändern. Ebenso wenig begründet das Vorbringen, die Beziehung zwischen den Beschwerdeführern habe "zudem durch die vielen Jahre eine Intensität erlangt, die mit einer eingetragenen Partnerschaft ohne weiteres verglichen werden" könne, einen gefestigten Rechtsanspruch. Die Berufung des Beschwerdeführers 2 auf Art. 8 EMRK scheitert damit bereits an dessen fehlendem gefestigten Anwesenheitsrecht.
Bei diesem Ergebnis braucht damit nicht näher untersucht zu werden, ob sich der Beschwerdeführer 2 als Onkel des Beschwerdeführers 1 überhaupt auf das Familienleben im Sinne von Art. 8 EMRK berufen kann, da er nicht zur sogenannten Kernfamilie (Ehepartner und minderjährige Kinder) gezählt werden kann (vgl. zu den Voraussetzungen: <ref-ruling> E. 3.1 S. 148). Der Schluss der Vorinstanz, es liege hier kein besonderes, vom Alter unabhängiges Abhängigkeitsverhältnis vor, hat jedenfalls einiges für sich.
2.2.3 Im Gegensatz zum Beschwerdeführer 2 verfügt der Beschwerdeführer 3, welcher zusammen mit den Beschwerdeführern 1 und 2 in der Schweiz im selben Haushalt wohnt, als Schweizer Bürger grundsätzlich über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht. Daraus lässt sich aber nichts zugunsten der Beschwerdeführer ableiten, da der Beschwerdeführer 3 offensichtlich weder zur Kernfamilie gehört noch sonst verwandtschaftliche Bande zum Beschwerdeführer 1 hat. Sodann ist auch nicht ersichtlich, dass zwischen ihm und dem Beschwerdeführer 1 ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis (namentlich Betreuungs- oder Pflegebedürfnisse bei körperlichen oder geistigen Behinderungen und schwerwiegende Krankheiten) bestehen würde. Der Umstand, dass seine Beziehung zum Beschwerdeführer 1 offenbar gut ist und er diesen mitbetreut, begründet für sich allein noch kein solches Verhältnis (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 14; <ref-ruling> E. 1d und e S. 261 f.; <ref-ruling> E. 2c und d S. 5 f.).
2.2.4 Nichts anderes ergibt sich im Übrigen für die Beschwerdeführer in Bezug auf das Privat- und Familienleben aus <ref-law> (<ref-ruling> E. 7 S. 394).
3. 3.1 Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wegen des Ausschlussgrundes des <ref-law> nicht eingetreten werden.
3.2 Damit bleibt noch zu prüfen, ob die Eingabe allenfalls als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) an die Hand genommen werden muss. Da den Beschwerdeführern kein Rechtsanspruch auf die anbegehrte Bewilligung zusteht, sind sie durch deren Verweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen und damit grundsätzlich nicht legitimiert, den Bewilligungsentscheid in materieller Hinsicht mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde anzufechten (<ref-ruling> E. 6 S. 197 ff.). Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst wären die Beschwerdeführer berechtigt, die Verletzung von Parteirechten zu rügen, deren Verletzung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft (<ref-ruling> E. 6.2. S. 198 f.; sogenannte "Star-Praxis"). Solche Verletzungen werden aber nicht rechtsgenüglich gerügt, so dass auf die Beschwerde auch aus diesem Blickwinkel nicht eingetreten werden kann.
3.3 Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den unterliegenden Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Es ist keine Parteientschädigung geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Sicherheitsdirektion und dem Regierungsrat des Kantons Zürich, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Oktober 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Winiger