Sachverhalt:
A.
Der 1963 geborene A._ war als Mechaniker/Monteur der B._ AG obligatorisch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) versichert, als er am 26. Juni 2013 verunfallte. Beim Sturz auf die Kante der Ladefläche eines Lastwagens zog er sich gemäss Bericht des erstbehandelnden Spitals unter anderem eine diskret dislozierte Rippenfraktur rechts (später als Rippenserienfraktur 6-8 diagnostizert) mit angrenzender kleiner Lungenkontusion zu. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Ab dem 21. August 2013 konnte der Versicherte seine Arbeit wieder halbtags aufnehmen. Nachdem die Schmerzen trotz radiologisch bestätigter Konsolidierung der Frakturen im Verlaufe des September 2013 weiterhin anhielten, erfolgte bei Verdacht auf eine zervikale Pathologie am 21. Februar 2014 eine Magnetresonanz-Untersuchung der Halswirbelsäule. Dr. med. C._, Facharzt für Orthopädie und Unfallchirurgie, nahm am 25. März 2014 eine kreisärztliche Untersuchung vor. Gestützt auf dessen Einschätzung, wonach bezüglich der Rippenfrakturen und der Lungenkontusion keine Behandlungsbedürftigkeit mehr bestehe und die Beschwerden der Halswirbelsäule (HWS) unfallfremd seien, stellte die SUVA ihre Leistungen mit Verfügung vom 5. Juni 2014 auf den 25. März 2014 ein. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 28. August 2014 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 1. Juli 2015 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides seien ihm über den 25. März 2014 hinaus Versicherungsleistungen (Taggeld bei einer vollen Arbeitsunfähigkeit, eventuell eine 100%ige Invalidenrente nebst einer angemessenen Integritätsentschädigung) zu gewähren.
Es wird kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall vom 26. Juni 2013 über den 25. März 2014 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht. Einig sind sich die Parteien darin, dass die Rippenserienfraktur und die leichte Lungenkontusion abgeheilt sind. Umstritten ist einzig der Kausalzusammenhang zwischen der zervikalen Diskushernie und dem versicherten Unfall.
2.1. Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt, worauf verwiesen wird.
2.2. Wie das kantonale Gericht bereits festhielt, entspricht es einer medizinischen Erfahrungstatsache im Bereich des Unfallversicherungsrechts, dass praktisch alle Diskushernien bei Vorliegen degenerativer Bandscheibenveränderungen entstehen und ein Unfallereignis nur ausnahmsweise, unter besonderen Voraussetzungen, als eigentliche Ursache in Betracht fällt. Als weitgehend unfallbedingt kann eine Diskushernie betrachtet werden, wenn das Unfallereignis von besonderer Schwere und geeignet war, eine Schädigung der Bandscheibe herbeizuführen, und die Symptome der Diskushernie (vertebrales oder radikuläres Syndrom) unverzüglich und mit sofortiger Arbeitsunfähigkeit auftreten (statt vieler: SVR 2009 UV Nr. 1 S. 1; RKUV 2000 Nr. U 379 S. 192, U 138/99 E. 2a).
3.
3.1. Gemäss kantonalem Gericht ist auf die Erkenntnisse des SUVA-Kreisarztes in seinem Untersuchungsbericht vom 25. März 2014 abzustellen. Nachdem der Versicherte beim Unfallereignis im Bereich der Halswirbelsäule keine strukturellen objektivierbaren Läsionen erlitten habe, seien die nunmehr geltend gemachten Beschwerden an der Halswirbelsäule unfallfremd. Das Gleiche gelte für die Beschwerden an der rechten Schulter. Aufgrund der beim versicherten Unfall erlittenen Verletzungen sei der Beschwerdeführer ab dem 25. März 2014 wieder voll arbeitsfähig. Die Berichte der Neurologin Dr. med. D._ vom 3. und 19. März 2014 seien nicht geeignet, Zweifel an der Einschätzung des Kreisarztes hervorzurufen.
3.2. Der Beschwerdeführer beruft sich insbesondere auf zwei vorinstanzlich eingereichte Aktenstücke, in denen sich seine behandelnden Ärzte zur Kausalitätsbeurteilung durch die SUVA äussern. Das kantonale Gericht habe sich damit nicht auseinandergesetzt und den massgeblichen Sachverhalt unrichtig und unvollständig festgestellt. Wenn es den Ausführungen dieser Ärzte nicht habe folgen wollen, hätte es den Kausalzusammenhang zwischen seinen Beschwerden an der Halswirbelsäule und dem Unfall vom 26. Juni 2013 zumindest mittels eines medizinischen Gutachtens abklären müssen.
4.
Vorerst ist zu prüfen, ob die vom Beschwerdeführer sinngemäss geltend gemachte Verletzung seines rechtlichen Gehörs durch die Vorinstanz zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides führt.
4.1. Der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst unter anderem das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Akts zur Sache äussern zu können. Er verlangt von der Behörde, dass sie seine Vorbringen tatsächlich hört, ernsthaft prüft und in ihrer Entscheidfindung angemessen berücksichtigt. Dies gilt für alle form- und fristgerechten Äusserungen, Eingaben und Anträge, die zur Klärung der konkreten Streitfrage geeignet und erforderlich erscheinen (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 3c).
4.2. Im angefochtenen Entscheid werden die mit der Replik vom 16. März 2015 eingereichten Beilagen mit medizinischen Ausführungen zur Kausalitätsfrage weder erwähnt noch gewürdigt. Darin könnte eine Gehörsverletzung (Art. 29 Abs. 2 BV) vorliegen. Diese führte jedoch zu keiner formellrechtlich begründeten Rückweisung der Streitsache an die Vorinstanz: Nach der Rechtsprechung kann eine nicht besonders schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs ausnahmsweise als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Beschwerdeinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt als auch die Rechtslage frei überprüfen kann. Unter dieser Voraussetzung ist darüber hinaus - im Sinne einer Heilung des Mangels - selbst bei einer schwerwiegenden Verletzung des Gehörs - wovon hier nicht ausgegangen werden kann - von einer Rückweisung der Sache an die Verwaltung abzusehen, wenn und soweit die Rückweisung zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem (der Anhörung gleichgestellten) Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (<ref-ruling> E. 2.3.2; <ref-ruling> E. 4.2.2.2; je mit Hinweisen).
Da das Bundesgericht im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung nicht an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden ist (E. 1.2), und damit die vom Beschwerdeführer angeführten Aktenstücke in seinen Erwägungen berücksichtigen kann, ist eine eventuelle Gehörsverletzung durch das kantonale Gericht als geheilt zu betrachten.
5.
5.1. Entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers hat das kantonale Gericht gestützt auf die sorgfältige Würdigung der im angefochtenen Entscheid dargelegten medizinischen Akten nachvollziehbar aufgezeigt, weshalb es zur Erkenntnis gelangte, dass die geltend gemachten HWS- und Schulterbeschwerden nicht auf den versicherten Unfall zurückzuführen sind. Die Vorinstanz erwog hierbei zutreffend, im Bericht über ein MRI der HWS vom 21. Februar 2014 seien keine Hinweise auf eine Diskushernie gefunden worden. Das Ereignis vom 26. Juni 2013 könne nicht als besonders schwer bezeichnet werden. Namentlich lasse der Bericht über die Hospitalisierung am Tag des Unfalls nicht darauf schliessen, dass der Beschwerdeführer bereits damals unter den rechtsprechungsgemäss (E. 2.2 hievor) erforderlichen akuten Symptomen gelitten hätte. Zu Recht führt die Vorinstanz aus, dass eine unfallbedingte Diskushernie - und damit notwendigerweise ein vertebrales oder radikuläres Syndrom (E. 2.2) - nicht unbemerkt geblieben wäre. Dies gilt selbst dann, wenn die Rippenserienfraktur im Vordergrund gestanden hatte. Umso mehr hätten entsprechende Symptome in der Zeit, als der erste Schmerzschub aufgrund der Frakturen abgeklungen war, bemerkt werden müssen. Solches ergibt sich aus den Akten aber nicht. Gemäss Zeugnis des Dr. med. E._, Facharzt FMH für Allgemeine Innere Medizin, vom 18. Juli 2014 waren bei Nachkontrollen im September 2013 keine neurologischen Ausfälle vorhanden. Laut Bericht desselben Arztes vom 25. Februar 2014 fiel erst im Verlaufe des Dezembers 2013 - mithin sechs Monate nach dem Unfall - eine Atrophie des rechten Deltoidmuskels auf. Eine Sensibilitätsstörung wurde sogar erst auf Anfrage hin angegeben. Damit fehlt es mit der Vorinstanz an Symptomen einer unfallbedingten Diskushernie, die - wie dargelegt - unverzüglich auftreten und so heftig sind, dass sie eine sofortige Arbeitsunfähigkeit bewirken (E. 2.2).
5.2. An dieser Einschätzung vermögen auch die mit der vorinstanzlichen Replik aufgelegten weiteren ärztlichen Schreiben nichts zu ändern.
5.2.1. Dr. med. E._ führt in seinem Schreiben vom 21. Januar 2015 keine neuen medizinischen Argumente für eine unfallursächliche Diskushernie an. Im Gegenteil ist seinen Ausführungen zu entnehmen, dass sich der diesbezügliche Gesundheitszustand beim Versicherten über Monate schleichend verschlechterte. Dies spricht wiederum gegen "unverzüglich auftretende Symptome (vertebrales oder radikuläres Syndrom) mit sofortiger (durch die Diskushernie bedingte) Arbeitsunfähigkeit". Ein Kausalzusammenhang wird demgemäss von diesem Arzt vor allem aufgrund der unzulässigen und daher nicht zu beachtenden Beweisregel "post hoc ergo propter hoc" (vgl. etwa Urteil 8C_354/2015 vom 13. Oktober 2015 E. 7.2 mit Hinweis) bejaht.
5.2.2. In seiner Stellungnahme vom 6. März 2015 zur Vernehmlassung der SUVA im vorinstanzlichen Verfahren führt der behandelnde Neurologe, Dr. med. F._, aus, eine degenerative Problematik der HWS sei angesichts des Alters des Versicherten und wegen der fehlenden Vorbeschwerden unwahrscheinlich, aber nicht unmöglich. Eine schwere Deltoideusparese, wie sie sich beim Beschwerdeführer gezeigt habe, sei seines Erachtens aber nicht durch eine langsame Entwicklung einer degenerativen Diskushernie zu erklären. Er empfiehlt eine gutachterliche Abklärung der Kausalitätsfrage.
Auch diese Vorbringen vermögen die kreisärztliche Kausalitätsbeurteilung nicht in Zweifel zu ziehen. Entgegen der weiteren Darstellung dieses Arztes traten die Beschwerden beim Versicherten gerade nicht in - enger - zeitlicher Folge zum Trauma auf. Dass gemäss Dr. med. F._ "im Moment kein Grund zur Annahme einer anderen Ätiologie als einer traumatischen" besteht genügt nicht, um die Leistungspflicht der Unfallversicherung zu begründen.
5.3. Nach dem Gesagten wurde ein Leistungsanspruch über den 25. März 2014 hinaus mangels Unfallkausalität der noch bestandenen Beschwerden zu Recht verneint.
6.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. November 2015
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Schüpfer