Sachverhalt:
A.
A.C._ und B.C._ führen vor dem Bezirksgericht Horgen einen Scheidungsprozess. In diesem beantragte A.C._ am 10. April 2014 den Ausstand von Bruno Derungs, des Vizepräsidenten des Bezirksgerichts Horgen. Das Bezirksgericht wies das Ausstandsbegehren am 25. Juni 2014 ab.
B.
B.a. A.C._ wandte sich in der Folge an das Obergericht des Kantons Zürich mit den folgenden Rechtsbegehren:
"1. Meinem Ausstandsbegehren gegen Richter Derungs zu entsprechen.
2. Festzustellen, in wie vielen Fällen Richter Derungs bei Sorgerechtsstreitigkeiten zugunsten der Mutter oder des Vaters geurteilt hat und ob sich daraus eine klare Tendenz im Sinne einer Nichtgleichbehandlung ergibt.
3. Das Verfahren vor einem anderen Gericht weiter verhandeln zu lassen.
4. Ein Disziplinarverfahren gegen Richter Derungs einzuleiten.
5. Ein Disziplinarverfahren gegen Richter Nadig einzuleiten.
6. Zu prüfen, ob nach dem Inkrafttreten des neuen Gesetzes über die elterliche Sorge nunmehr die Klage der Gegenpartei abzuweisen ist."
B.b. Mit Urteil vom 23. Juli 2014 trat das Obergericht auf den Antrag, ein Disziplinarverfahren zu eröffnen, mangels Zuständigkeit nicht ein. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
C.a. A.C._ (Beschwerdeführer) wendet sich mit Beschwerde vom 24. August 2014 an das Bundesgericht. Er stellt die folgenden Anträge:
"1. Meine Anträge an das Zürcher Obergericht zu prüfen.
2. Zu prüfen wie die bisher an dem Verfahren beteiligten Richter in Bezug auf das Sorgerecht geurteilt haben.
3. Festzustellen wie die prozentuale Verteilung der Urteile aller Schweizer Richter im Bezug auf das Sorgerecht in vergleichbaren Fällen in den letzten 10 Jahren war.
4. Festzustellen ob die Tendenz, dass Schweizer Richter mit erheblicher Mehrheit im Streitfall für das Sorgerecht der Mütter entscheiden, mit der Schweizer Verfassung und dem darin begründeten Prinzip der Gleichberechtigung in Konflikt steht.
5. Festzustellen, ob durch das grundsätzliche menschenrechtswidrige Verhalten erheblicher Teile der Schweizer Richterschaft Schäden bei Betroffenen verursacht wurden.
6. Richter Derungs wegen Befangenheit abzulehnen und gegebenenfalls durch ein psychologisches Gutachten zu kären ob und in wieweit Richter Derungs durch das bisherige Verfahren befangen gemacht wurde.
7. Ein Gutachten zu erstellen, das klärt, ob die Nähe der vier Richter am kleinen Gericht Horgen zueinander überhaupt Unbefangenheit zulässt.
8. Das Verfahren an ein anderes Gericht zu verweisen."
C.b. Mit Verfügung vom 9. September 2014 hat das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers, den Kostenvorschuss für das bundesgerichtliche Verfahren in Raten zahlen zu können, abgewiesen und ihn darauf aufmerksam gemacht, dass ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gehörig begründet und bezüglich der behaupteten Bedürftigkeit belegt sein muss. In der Folge hat der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- bezahlt und am 18. September 2014 ein Armenrechtsgesuch samt zugehöriger Belege eingereicht. Im Übrigen hat das Bundesgericht die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 476).
1.2. Angefochten ist ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid über den Ausstand. Dagegen ist die Beschwerde zulässig, ohne dass ein nicht wieder gutzumachender Nachteil darzutun wäre (Art. 92 Abs. 1 BGG). Die Vorinstanz hat als letzte kantonale Instanz entschieden (Art. 75 BGG). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen; er ist durch den Entscheid der Vorinstanz besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 76 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen erfolgte rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
Im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren sind neue Begehren unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG). Als neu haben im vorliegenden Fall die Begehren 2-5 zu gelten (s. Sachverhalt Bst. B.a). Im vorinstanzlichen Verfahren verlangte der Beschwerdeführer Abklärungen in Bezug auf die behauptete Befangenheit von Bruno Derungs. Vor Bundesgericht verlangt der Beschwerdeführer Abklärungen und Feststellungen, die sämtliche am Verfahren beteiligten Richter betreffen (Ziff. 2), ja sogar die ganze "Schweizer Richterschaft" (Ziff. 3-5). Eine solche Ausweitung des Prozessstoffes ist nicht zulässig. Vor Bundesgericht neu und damit unzulässig sind auch die Begehren, mit denen der Beschwerdeführer verlangt, betreffend die Befangenheit von Bezirksgerichtsvizepräsident Derungs bzw. die Befangenheit aller vier Richter "am kleinen Gericht Horgen" ein Gutachten zu erstellen (Ziff. 6 und 7).
3.
3.1. Die Beschwerde in Zivilsachen ist zu begründen. Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Rein appellatorische Kritik ohne Bezug zum angefochtenen Entscheid genügt nicht. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Das setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG erfüllt. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und der Willkür in der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Diese Vorwürfe prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (Rügeprinzip; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.; je mit Hinweisen).
3.2. Die Eingabe des Beschwerdeführers genügt den in E. 3.1 erwähnten Begründungsanforderungen nicht. Der Beschwerdeführer setzt sich auch nicht ansatzweise mit den Gründen auseinander, die die Vorinstanzen dazu veranlasst haben, einen Ausstandsgrund von Bruno Derungs zu verneinen und auch den übrigen Rechtsbegehren nicht stattzugeben. Stattdessen begnügt er sich damit, zusammenhanglos Teile der Prozessgeschichte zu rekapitulieren, seine Vorbehalte gegenüber dem Bezirksgericht Horgen im Allgemeinen und gegenüber Bruno Derungs im Besonderen zu wiederholen und seiner Kritik an der Praxis der Gerichte in Sachen der elterlichen Sorge Luft zu verschaffen. Darauf kann nicht eingetreten werden.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er muss daher für die Gerichtskosten aufkommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Bruno Derungs ist nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden. Ihm ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. November 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn