Sachverhalt:
A. Das Obergericht des Kantons Thurgau befand X._ am 15. November 2007 in Bestätigung des Urteils des Bezirksgerichts Kreuzlingen vom 13. Juni 2007 des Betrugsversuchs und der Irreführung der Rechtspflege für schuldig und verurteilte ihn zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von acht Monaten.
Das Bundesgericht hiess die von X._ gegen dieses Urteil erhobene Beschwerde mit Urteil 6B_4/2008 vom 13. Juni 2008 (teilweise publiziert in <ref-ruling>) teilweise gut und wies die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurück.
Dieses sprach X._ mit Urteil vom 9. Juni 2009 des Betrugsversuchs, der versuchten arglistigen Vermögensschädigung und der Irreführung der Rechtspflege schuldig und verurteilte ihn zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von sechs Monaten.
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 9. Juni 2009 sei aufzuheben, und er sei freizusprechen.
Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht des Kantons Thurgau wie auch die V._ Versicherungsgesellschaft beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne.

Erwägungen:
1. Der Verurteilung des Beschwerdeführers liegt folgender Sachverhalt zugrunde:
Der Beschwerdeführer erstattete am 17. Juli 2005 um 02.00 Uhr Anzeige bei der Polizei, sein Auto sei entwendet worden. Eine Woche später meldete er den Schaden der Beschwerdegegnerin 1, bei welcher er eine Vollkaskoversicherung abgeschlossen hatte. Die Beschwerdegegnerin 1 tätigte weitere Abklärungen, indem sie bezüglich der beiden vom Beschwerdeführer bei der Polizei respektive bei ihr abgegebenen Fahrzeugschlüssel ein Gutachten einholte (vgl. das Prüfprotokoll des kriminaltechnischen Prüflabors P._ GmbH vom 19./27. Oktober 2005, vorinstanzliche Akten, act. 25 f.). Gestützt auf die Ergebnisse des Gutachtens, wonach einer der beiden Schlüssel nicht zum als gestohlen gemeldeten Wagen passe, erstattete die Beschwerdegegnerin 1 am 21. Dezember 2005 Anzeige bei der Polizei gegen den Beschwerdeführer wegen Verdachts auf (versuchten) Versicherungsbetrug.
Die Vorinstanz erachtet es insoweit als erstellt, dass der Beschwerdeführer den Diebstahl seines Fahrzeugs inszenierte. Er habe das Auto verschwinden lassen und dieses (sowie die sich angeblich darin befindlichen Effekten) anschliessend als gestohlen gemeldet, um von der Versicherung eine Entschädigung ausgerichtet zu erhalten respektive um sich der Bezahlung der geschuldeten Leasingraten zu entledigen.
2. 2.1 Das Bundesgericht wies mit Urteil 6B_4/2008 vom 13. Juni 2008 die vom Beschwerdeführer gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 15. November 2007 geführte Beschwerde ab, soweit dieser eine willkürliche Anwendung des kantonalen Prozessrechts (E. 3) und eine Verletzung der Unschuldsvermutung bzw. des Grundsatzes "in dubio pro reo" (E. 4) rügte. Es hielt insbesondere fest, die Folgerung der Vorinstanz, es bestünden keine vernünftigen Zweifel daran, dass der Beschwerdeführer den Diebstahl des geleasten Fahrzeugs vorgetäuscht habe, sei haltbar (E. 4.3). Allerdings mangle es an der für die Bejahung des subjektiven Tatbestands des Betrugs notwendigen Stoffgleichheit. Der Sachverhalt sei folglich nicht unter den Tatbestand des Betrugs, sondern - wenn schon - unter jenen der arglistigen Vermögensschädigung gemäss <ref-law> zu subsumieren. Voraussetzung für einen diesbezüglichen Schuldspruch sei jedoch das Vorliegen eines gültigen Strafantrags (E. 5.4). Hingegen erwog das Bundesgericht, der Beschwerdeführer sei zutreffend des Betrugsversuchs für schuldig befunden worden, soweit er der Versicherungsgesellschaft sich angeblich im entwendeten Leasingfahrzeug befindliche Effekten fälschlicherweise als gestohlen gemeldet habe, denn da diese Versicherungsleistungen ihm persönlich ausgerichtet worden wären, sei der Grundsatz der Stoffgleichheit gewahrt (E. 5.5). Schliesslich trat das Bundesgericht auf die Beschwerde gegen die Verurteilung wegen Irreführung der Rechtspflege mangels hinreichend substanziierter Begründung nicht ein (E. 6).
2.2 Im Falle eines bundesgerichtlichen Rückweisungsentscheids hat die mit der Neubeurteilung befasste kantonale Instanz die rechtliche Beurteilung, mit der die Zurückweisung begründet wird, ihrer Entscheidung zugrunde zu legen. Diese Beurteilung bindet auch das Bundesgericht, falls ihm die Sache erneut unterbreitet wird. Aufgrund dieser Bindungswirkung ist es den erneut mit der Sache befassten Gerichten wie den Parteien verwehrt, der Überprüfung einen anderen als den bisherigen Sachverhalt zu unterstellen oder die Sache unter rechtlichen Gesichtspunkten zu prüfen, die im Rückweisungsentscheid ausdrücklich abgelehnt oder überhaupt nicht in Erwägung gezogen worden sind (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 4a; vgl. auch Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4346 Ziff. 4.1.4.5 zu Art. 101 am Ende).
2.3 Aus den Erwägungen im bundesgerichtlichen Urteil 6B_4/2008 vom 13. Juni 2008 ergibt sich, dass die Vorinstanz bei ihrer Neubeurteilung zu klären hatte, ob gestützt auf den willkürfrei erstellten Sachverhalt eine Verurteilung wegen arglistiger Vermögensschädigung in Betracht kommt. Nicht mehr zu überprüfen waren die Schuldsprüche wegen versuchten Betrugs (betreffend die Effekte) und wegen Irreführung der Rechtspflege.
Aufgrund der Bindungswirkung des bundesgerichtlichen Rückweisungsentscheids ist die Vorinstanz daher zu Recht nicht auf die Beschwerde eingegangen, soweit der Beschwerdeführer eine willkürliche Beweiswürdigung geltend machte und sich gegen die Verurteilungen wegen Betrugsversuchs und wegen Irreführung der Rechtspflege wendete (vgl. angefochtenes Urteil S. 5). Dementsprechend kann auch im bundesgerichtlichen Verfahren auf diese erneut vorgebrachten Rügen nicht eingetreten werden (vgl. Beschwerde S. 2 - 5 und S. 7 f.). Vom Bundesgericht zu überprüfen ist einzig, ob der Schuldspruch wegen versuchter arglistiger Vermögensschädigung Bundesrecht verletzt.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines gültigen Strafantrags. Vorliegend hätten zwei Personen, nämlich N._ und K._, im Namen der Beschwerdegegnerin 1 am 19. Dezember 2005 die Vollmacht an den Rechtsvertreter B._ unterzeichnet, welcher in der Folge am 21. Dezember 2005 namens der Beschwerdegegnerin 1 bei der Polizei Strafanzeige gegen ihn wegen Verdachts auf (versuchten) Versicherungsbetrug erstattet habe. Sowohl N._ als auch K._ seien im Handelsregister als kollektiv Zeichnungsberechtigte eingetragen; Ersterer seit dem 30. April 2001, Letzterer hingegen erst seit dem 9. Januar 2006. Damit "kranke die Vollmacht im Bestand", weil ein Unterzeichner im Zeitpunkt der Unterzeichnung noch gar nicht zeichnungsberechtigt gewesen sei. Des Weiteren sei die an B._ erteilte Vollmacht auf die Erstattung einer Strafanzeige beschränkt und gerade nicht auf die Einreichung eines Strafantrags gerichtet. Ein Strafantrag sei nie gestellt und dementsprechend vom Bezirksamt auch nicht protokolliert worden. Mangels gültigen Strafantrags und damit infolge Fehlens einer Prozessvoraussetzung könne gegen ihn keine Verurteilung wegen arglistiger Vermögensschädigung erfolgen (Beschwerde S. 6 f.).
3.2 Die Vorinstanz erwägt, die Beschwerdegegnerin 1 habe mit dem Eingang des Gutachtens des Kriminaltechnischen Prüflabors vom 2. November 2005 Kenntnis von der Tat erhalten. Mit der am 21. Dezember 2005 von ihrem Rechtsvertreter erstatteten Strafanzeige sei die dreimonatige Strafantragsfrist eingehalten. Mit ihrem Vorgehen habe die Beschwerdegegnerin 1 unmissverständlich ihren unbedingten Willen zum Ausdruck gebracht, dass gegen den Beschwerdeführer eine Strafuntersuchung zu eröffnen sei. Es fänden sich keine Hinweise darauf, dass die Beschwerdegegnerin 1 die Strafuntersuchung auf den Tatbestand des Versicherungsbetrugs habe beschränken und andere Delikte von der Untersuchung habe ausnehmen wollen. Damit sei bezüglich des Tatbestands der arglistigen Vermögensschädigung von einem gültigen und rechtzeitig gestellten Strafantrag auszugehen (angefochtenes Urteil S. 7 f.).
3.3 Gemäss <ref-law> wird, auf Antrag, mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft, wer jemanden ohne Bereicherungsabsicht durch Vorspiegelung oder Unterdrückung von Tatsachen arglistig irreführt oder ihn in einem Irrtum arglistig bestärkt und so den Irrenden zu einem Verhalten bestimmt, wodurch dieser sich selbst oder einen andern am Vermögen schädigt.
Ist eine Tat nur auf Antrag strafbar, so kann jede Person, die durch sie verletzt worden ist, die Bestrafung des Täters beantragen (<ref-law>). Das Antragsrecht erlischt nach Ablauf von drei Monaten, wobei die Frist mit dem Tag beginnt, an welchem der antragsberechtigten Person der Täter bekannt wird (<ref-law>).
Ist eine Tat nur auf Antrag strafbar, so kann jede Person, die durch sie verletzt worden ist, die Bestrafung des Täters beantragen (<ref-law>). Das Antragsrecht erlischt nach Ablauf von drei Monaten, wobei die Frist mit dem Tag beginnt, an welchem der antragsberechtigten Person der Täter bekannt wird (<ref-law>).
3.4 3.4.1 Bei juristischen Personen sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung all jene Personen berechtigt, wegen eines Deliktes gegen das Vermögen Strafantrag zu stellen, die ausdrücklich oder stillschweigend damit beauftragt sind, die infrage stehenden Interessen der juristischen Person zu wahren bzw. den betreffenden Vermögenswert zu verwalten. Demzufolge wird bei der Prüfung der Legitimation zur Stellung eines Strafantrages nicht einzig auf die Zeichnungsberechtigung gemäss Handelsregistereintrag abgestellt (a.M. CHRISTOF RIEDO, Der Strafantrag, Diss. 2004, S. 316 Fn. 1380). Massgebend ist, dass der Strafantrag dem Willen der Gesellschaftsorgane nicht widerspricht und von diesen genehmigt werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 1b). Zur Stellung eines Strafantrags bedarf es keiner besonderen Ermächtigung im Sinne von <ref-law>, wenn der Strafantrag lediglich darauf abzielt, den öffentlichen Ankläger in die Lage zu versetzen, das Strafverfahren einzuleiten (Urteil des Bundesgerichts 6B_762/2008 vom 8. Januar 2009 E. 3.5).
3.4.2 Der Beschwerdeführer weist an sich zutreffend darauf hin, dass K._ zum relevanten Zeitpunkt im Gegensatz zu N._ noch nicht im Handelsregister eingetragen gewesen ist. Entscheidend ist jedoch, dass er als Leiter der Fachstelle zur Bekämpfung von Versicherungsmissbrauch bei der Beschwerdegegnerin 1 kraft seiner Funktion mit der Wahrung vermögensrechtlicher Interessen betraut ist. Gleiches trifft auf N._ vom Rechtsdienst der Schadensabteilung zu. Dementsprechend sind die beiden Personen zur Stellung des Antrags befugt, soweit es um den Schutz des Geschäftsvermögens geht und der Strafantrag nicht gegen den Willen der Gesellschaftsorgane gestellt wird. Diese Voraussetzungen sind vorliegend erfüllt.
3.4.2 Der Beschwerdeführer weist an sich zutreffend darauf hin, dass K._ zum relevanten Zeitpunkt im Gegensatz zu N._ noch nicht im Handelsregister eingetragen gewesen ist. Entscheidend ist jedoch, dass er als Leiter der Fachstelle zur Bekämpfung von Versicherungsmissbrauch bei der Beschwerdegegnerin 1 kraft seiner Funktion mit der Wahrung vermögensrechtlicher Interessen betraut ist. Gleiches trifft auf N._ vom Rechtsdienst der Schadensabteilung zu. Dementsprechend sind die beiden Personen zur Stellung des Antrags befugt, soweit es um den Schutz des Geschäftsvermögens geht und der Strafantrag nicht gegen den Willen der Gesellschaftsorgane gestellt wird. Diese Voraussetzungen sind vorliegend erfüllt.
3.5 3.5.1 Eine Strafanzeige gilt als gültiger Strafantrag, wenn der Anzeigeerstatter seinen bedingungslosen Willen zur Strafverfolgung des Täters so erklärt, dass das Strafverfahren ohne weitere Willenserklärung weiterläuft. Die rechtliche Würdigung des zur Anzeige gebrachten Sachverhalts obliegt den Strafbehörden (<ref-ruling> E. 3.1; BGE 115 IV I E. 2a). Oftmals ergibt sich damit der auf die Strafverfolgung gerichtete Wille schon aus der blossen Strafanzeige, denn wer sich an eine Behörde wendet und diese über eine begangene Straftat in Kenntnis setzt, wird üblicherweise auch wollen, dass die angezeigte Person strafrechtlich belangt wird (vgl. Christof Riedo, Der Strafantrag, Diss. 2004, S. 399).
3.5.2 Wer gegen eine Person wegen eines bestimmten, ausreichend konkret beschriebenen Sachverhalts Strafanzeige wegen Betrugs erstattet, bringt damit seinen Willen zum Ausdruck, dass der Beschuldigte wegen dieses Sachverhalts bestraft werden soll. Ergibt sich in der Folge, dass der zur Anzeige gebrachte Sachverhalt nicht als Betrug, sondern als arglistige Vermögensschädigung qualifiziert werden könnte, so ist die Strafanzeige wegen Betrugs als Strafantrag wegen arglistiger Vermögensschädigung zu betrachten, es sei denn, dass sich aus den konkreten Umständen etwas anderes ergebe (vgl. Urteil 6S.677/2001 vom 16. März 2001 E. 6b/aa, in: sic! 10/2002 S. 697). Wie die Vorinstanz zutreffend erwägt, finden sich vorliegend keinerlei Anhaltspunkte, dass die Beschwerdegegnerin 1 die Strafuntersuchung auf den Tatbestand des (versuchten) Versicherungsbetrugs beschränken wollte. Die Würdigung im angefochtenen Urteil, die Beschwerdegegnerin 1 habe ihren unbedingten Willen zum Ausdruck gebracht, der Beschwerdeführer sei strafrechtlich zur Verantwortung zu ziehen, ist nicht zu beanstanden.
Der Schluss der Vorinstanz, es liege ein gültiger Strafantrag vor, verletzt daher zusammenfassend kein Bundesrecht. Dass der Tatbestand der arglistigen Vermögensschädigung sowohl objektiv als auch subjektiv erfüllt ist, wird vom Beschwerdeführer zu Recht nicht bestritten.
4. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dieser hat die Beschwerdegegnerin 1 angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin 1 für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 300.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Februar 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Stohner