Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Zirkular-Erledigungsbeschluss vom 16. April 2009 des Obergerichts des Kantons Zürich,

in Erwägung,
dass der Beschwerdeführer mit (sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Verfassungsbeschwerde abweisender) Verfügung vom 3. Juni 2009 samt Nachfristansetzung gemäss <ref-law> unter Androhung des Nichteintretens bei Säumnis aufgefordert worden ist, den (ihm mit Verfügung vom 15. Mai 2009 auferlegten, jedoch nicht eingegangenen) Kostenvorschuss von Fr. 300.-- innerhalb einer nicht erstreckbaren Nachfrist von 10 Tagen seit der am 5. Juni 2009 erfolgten Zustellung dem Bundesgericht in bar zu zahlen oder zu Gunsten der Bundesgerichtskasse (Postkonto 10-674-3) entweder an einem Schalter der Schweizerischen Post zu übergeben oder (bei Erteilung eines Zahlungsauftrags an die Post oder an eine Bank) einem in der Schweiz befindlichen Post- bzw. Bankkonto der Beschwerde führenden Partei oder ihres Vertreters zu belasten (<ref-law>) und ausserdem (bei Erteilung eines Zahlungsauftrags) der Bundesgerichtskasse innerhalb von 10 Tagen seit Ablauf der nicht erstreckbaren Nachfrist eine Bestätigung der Postfinance bzw. der Bank einzureichen, wonach der Vorschussbetrag fristgerecht dem Post- bzw. Bankkonto belastet worden ist,
dass der Beschwerdeführer innerhalb der Nachfrist ein (sinngemässes) Gesuch um Wiedererwägung der Verfügung vom 3. Juni 2009 eingereicht hat, das jedoch abzuweisen ist, weil der Beschwerdeführer nichts vorbringt, was die Richtigkeit dieser Verfügung, auf die verwiesen werden kann, in Frage zu stellen vermöchte,
dass festzustellen bleibt, dass der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss auch innerhalb der Nachfrist weder bei der Bundesgerichtskasse in bar geleistet noch zu deren Gunsten an einem Postschalter übergeben und auch nicht den (für den Fall eines Zahlungsauftrags) ihm obliegenden Nachweis der rechtzeitigen Vorschussleistung durch Belastungsbestätigung erbracht hat, weshalb androhungsgemäss gestützt auf <ref-law> im Verfahren nach <ref-law> i.V.m. <ref-law> auf die Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten ist und der Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),

erkennt die Präsidentin:
1. Das Wiedererwägungsgesuch wird abgewiesen.
2. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann