Sachverhalt:
A. X._ stammt aus Nigeria und wurde am 2. Juli 1963 geboren. Er reiste am 6. November 1995 unter Umgehung der Grenzkontrolle in die Schweiz ein, stellte unter falschem Namen vergeblich ein Asylgesuch und verliess die Schweiz. Am 2. Mai 1999 gelangte er wiederum illegal in die Schweiz, verheiratete sich am folgenden Tag mit der um 19 Jahre älteren Schweizerbürgerin Y._, die er ein halbes Jahr vorher in Mailand kennengelernt hatte, und erhielt daraufhin eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau.
Am 24. Juni 2002 ersuchte X._ um erleichterte Einbürgerung. Die Eheleute unterzeichneten am 14. März 2005 eine gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten und stabilen ehelichen Gemeinschaft zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Sie nahmen unterschriftlich davon Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens die Trennung oder Scheidung beantragt werde oder die eheliche Gemeinschaft nicht mehr bestehe, und dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung gemäss Art. 41 BüG führen könne. Am 7. Dezember 2005 wurde X._ erleichtert eingebürgert. Nebst dem Schweizer Bürgerrecht erwarb er die Bürgerrechte des Kantons Zürich und der Stadt Zürich sowie des Kantons Basel-Stadt und der Stadt Basel.
Am 16. Februar 2006 stellte X._ beim Bezirksgericht Zürich ein Eheschutzbegehren. Der zuständige Einzelrichter hielt in seiner Verfügung vom 16. Mai 2006 fest, dass die Parteien ab Ende Juli 2006 und weiterhin auf unbestimmte Zeit getrennt leben, und ordnete die Gütertrennung an. Die Ehe wurde schliesslich am 30. Oktober 2009 rechtskräftig geschieden.
B. Das Bundesamt für Migration eröffnete am 26. August 2008 gegen X._ ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung gemäss Art. 41 BüG. Mit Verfügung vom 30. November 2010 erklärte das Bundesamt die am 7. Dezember 2005 erfolgte erleichterte Einbürgerung von X._ für nichtig.
Gegen diese Verfügung erhob X._ am 3. Januar 2011 Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Bundesverwaltungsgericht wies mit Zwischenverfügung vom 28. Januar 2011 das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege samt Verbeiständung ab und forderte den Beschwerdeführer zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.-- auf. Zur Begründung führte das Gericht zusammenfassend aus, dass die Beschwerde aufgrund der derzeitigen Aktenlage als aussichtslos zu bezeichnen sei.
X._ führte dagegen beim Bundesgericht Beschwerde. Mit Urteil vom 17. März 2011 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 BGG mangels hinreichender Begründung nicht ein (Verfahren 1C_85/2011).
C. In der Folge setzte das Bundesverwaltungsgericht X._ am 11. April 2011 eine neue Frist zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.--. Dieser wurde innert der gesetzten Frist geleistet.
Nach Abschluss eines weitern Verfahrens vor Bundesverwaltungsgericht betreffend Ausstand (Zwischenverfügung vom 21. November 2011, Verfahren C-5128/2011) ersuchte X._ erneut um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Er begründete das neue Ersuchen wiederum mit seiner prekären finanziellen Lage. Mit Zwischenverfügung vom 12. April 2012 wies die Instruktionsrichterin des Bundesverwaltungsgerichts das erneute Gesuch ab. Zur Begründung führte sie aus, die aktuelle Eingabe von X._ vermöge an der Einschätzung der Aussichtslosigkeit der Begehren in der Hauptsache nichts zu ändern.
X._ focht diesen Entscheid beim Bundesgericht an. Dieses wies die Beschwerde am 31. Oktober 2012 ab, soweit darauf einzutreten war (Verfahren 1C_243/2012).
D. Mit Entscheid vom 18. Januar 2013 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde von X._ in der Sache selbst ab. Es führte im Wesentlichen aus, die konkreten Umstände begründeten ohne weiteres eine tatsächliche Vermutung, dass im massgebenden Zeitraum (gemeinsame Erklärung und erleichterte Einbürgerung) keine stabile, auf die Zukunft gerichtete eheliche Gemeinschaft bestanden hatte. Es sei dem Beschwerdeführer nicht gelungen, die gegen ihn sprechende tatsächliche Vermutung überzeugend in Frage zu stellen.
E. Gegen dieses Urteil hat X._ beim Bundesgericht am 27. Februar 2013 Beschwerde erhoben. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts, eventualiter die Rückweisung der Sache an dieses. Er weist in seiner Beschwerde im Wesentlichen darauf hin, dass er keine eheliche Spannungen im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung bzw. der Einbürgerung wahrgenommen habe und daher keine Täuschungsabsichten hatte und dass seine Ehe trotz des Altersunterschieds auf einem ausgewogenen Verhältnis der Eheleute gründete. Er verweist auf eine Reihe von bundesgerichtlichen Präjudizien. Im Übrigen ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Bundesamt für Migration und das Bundesverwaltungsgericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts betrifft eine auf Art. 41 BüG gestützte Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung nach Art. 27 Abs. 1 BüG. Es kann mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss Art. 83 lit. b BGG erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2 Mit dem Eventualbegehren ersucht der Beschwerdeführer um Rückweisung der Sache zwecks Beizug der ärztlichen Berichte zur Hospitalisierung seiner damaligen Ehefrau vom Frühjahr 2006. Gerügt sei damit auch eine unvollständige Erhebung des Sachverhalts im Sinne von Art. 97 BGG.
Nach Art. 97 Abs. 1 BGG kann die Feststellung des Sachverhalts gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass die Sachverhaltsfeststellung des Bundesverwaltungsgerichts offensichtlich unrichtig oder unvollständig sei. Er setzt sich mit den tatsächlichen Erwägungen der Vorinstanz (vgl. insbes. E. 7.1) nicht auseinander. Insbesondere begründet er nicht, weshalb vor dem Hintergrund der tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Urteil die ärztlichen Berichte über seine damalige Ehefrau beigezogen werden müssten.
Die Rüge der unrichtigen Sachverhaltsfeststellung ist daher abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
1.3 Der Beschwerdeführer verweist auf seine mit den Beschwerdeverfahren 1C_85/2011 und 1C_243/2012 angewachsenen anwaltlichen Kosten, für deren Erhalt er nach wie vor kämpfe. Er stellt indes keine entsprechenden Anträge, weshalb darauf nicht näher einzugehen ist.
1.4 Unter den vorstehend genannten Voraussetzungen kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
2. Die Rechtsprechung hat die Voraussetzungen für den erleichterten Erwerb des Schweizer Bürgerrechts und für die Nichtigerklärung eines solchen Erwerbs sowie die beweisrechtlichen Anforderungen für den Nachweis einer Erschleichung des Bürgerrechts in allgemeiner Weise umschrieben (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2 und 3 S. 164 mit Hinweisen). Das Bundesverwaltungsgericht ist zutreffend von diesen Umschreibungen ausgegangen.
Gemäss Art. 27 Abs. 1 BüG kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einer Schweizer Bürgerin ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit der Schweizer Bürgerin lebt. Das Bundesgericht geht davon aus, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von Art. 27 BüG nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern das Vorliegen einer tatsächlichen Lebensgemeinschaft voraussetzt. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist (<ref-ruling> E. 2.3.1). Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern (<ref-ruling> E. 2 S. 164; <ref-ruling> E. 2 S. 484).
Nach Art. 41 Abs. 1 und Abs. 1bis BüG (in der Fassung vom 25. September 2009, in Kraft seit 1. März 2011 [AS 2010 347]) bzw. nach Art. 41 Abs. 1 BüG (in der ursprünglichen Fassung [AS 1952 1087]) kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 2 S. 165; <ref-ruling> E. 3.1 S. 115).
In verfahrensrechtlicher Hinsicht richtet sich die erleichterte Einbürgerung nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021). Danach gilt der Untersuchungsgrundsatz, wonach die Behörde den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen hat (Art. 12 VwVG). Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.). Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig (<ref-ruling> E. 3 S. 165; <ref-ruling> E. 3.2 S. 486).
Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehrung der Beweislast (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 486). Der Betroffene muss nicht den Beweis des Gegenteils erbringen. Vielmehr genügt der Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerung. Dem Gesagten zufolge liegt die Beweislast dafür, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von Art. 27 BüG im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung nicht oder nicht mehr bestanden hat, bei der Verwaltung. Es genügt deshalb, dass der Betroffene einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit der Schweizer Ehepartnerin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und dass er diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder der Betroffene kann darlegen, aus welchem Grund er die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als er die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit der Schweizer Ehepartnerin auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (<ref-ruling> E. 3 S. 166; Urteile 1C_167/2010 vom 21. Juni 2010 E. 3; 5A.22/2006 vom 13. Juli 2006 E. 2.3; 5A.18/2006 vom 28. Juni 2006 E. 2.3).
3. Das Bundesverwaltungsgericht ist aufgrund der Aussagen der ehemaligen Ehefrau davon ausgegangen, dass Schwierigkeiten in der Ehe bereits aufgetreten seien, als der Beschwerdeführer im Jahre 2004 mit seiner Informatikausbildung begonnen und jeweils bis in die frühen Morgenstunden am PC im Schlafzimmer gearbeitet habe. Diese Störungen der Nachtruhe hätten die eheliche Krise, die etwa im Herbst 2005 begonnen habe, ausgelöst. Demgegenüber macht der Beschwerdeführer geltend, er habe die ehelichen Spannungen nicht wahrgenommen, weil er zu sehr durch seine damalige Arbeit absorbiert gewesen sei. Es könne ihm daher keine Täuschungsabsicht angelastet werden. Dabei übersieht er, dass für den Tatbestand des Erschleichens der erleichterten Einbürgerung nicht etwa Arglist im strafrechtlichen Sinne erforderlich ist. Eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von Art. 27 BüG verlangt nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern das Vorliegen einer tatsächlichen, von einem gemeinsamen Willen getragenen und auf die Zukunft ausgerichteten Lebensgemeinschaft. Der Einwand des Beschwerdeführers erweist sich vor diesem Hintergrund als unbehelflich.
Im angefochtenen Urteil wird dargelegt, dass die konkreten Umstände ohne weiteres die tatsächliche Vermutung dafür begründen, dass im massgeblichen Zeitraum des Einbürgerungsverfahrens, insbesondere im Zeitpunkt der Einbürgerung am 7. Dezember 2005 keine stabile, auf die Zukunft ausgerichtete Gemeinschaft mehr bestanden habe. Die Vorinstanz verwies hierfür auf die Korrelation zwischen Asylverfahren, Aufnahme einer Beziehung und Vermählung, Einleitung eines Eheschutzverfahrens drei Wochen nach dem Einbürgerungsentscheid und Nichtwiederaufnahme der ehelichen Gemeinschaft (E. 7.2). Der Beschwerdeführer zieht diese Gegebenheiten nicht in Frage. Er setzt sich auch mit den Aussagen seiner ehemaligen Gattin nicht auseinander, wonach die eheliche Krise schon im Herbst 2005 begonnen habe und sie selber psychische Probleme und ein starkes Bedürfnis hatte, wieder allein zu sein. Das Bundesverwaltungsgericht folgerte daraus, dass der Zerrüttungsprozess schon einige Zeit vor der gemeinsamen Erklärung und der Einbürgerung einsetzte.
Der Beschwerdeführer vermag nichts vorzubringen, was die tatsächliche Vermutung in Frage stellen könnte. Insbesondere fehlt es an einer Begründung, weshalb die Ehe so kurze Zeit nach der Einbürgerung scheiterte und weshalb nach Einleitung eines Eheschutzverfahrens eine erneute Aufnahme der Gemeinschaft nicht mehr möglich war. Es sind keine ausserordentliche Ereignisse ersichtlich, die zum raschen und definitiven Scheitern der Ehe führten. Insbesondere kann die nächtliche Arbeit des Beschwerdeführers am PC zu nächtlicher Stunde nicht als solches betrachtet werden. Der Verweis auf bundesgerichtliche Präjudizien ändert an der Beurteilung im vorliegenden Fall nichts. Es liegen keine besondere Ereignisse vor wie etwa ein Schlaganfall eines der Ehegatten (vgl. Urteil 1C_322/2009 vom 29. Oktober 2009), ein ehebrecherisches Verhältnis eines Ehegatten (vgl. Urteil 1C_496/2010 vom 18. Januar 2011) oder eine bloss vorübergehende Trennung (vgl. Urteile 1C_27/2011 vom 21. März 2011 und 1C_228/2011 vom 6. Dezember 2011).
Schliesslich wies das Bundesverwaltungsgericht darauf hin, der Umstand, dass der Beschwerdeführer als nigerianischer Staatsangehöriger im Falle der Aberkennung der schweizerischen Staatsbürgerschaft an seinem heutigen Wohnort in Irland aufenthaltsrechtliche Schwierigkeiten haben könnte, spreche im vorliegenden Fall nicht gegen die Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung. Mit dieser Konsequenz müsse auch im Falle drohender Staatenlosigkeit gerechnet werden (vgl. Urteil 1C_390/2011 vom 22. August 2012 E. 7). Der Beschwerdeführer setzt sich damit nicht näher auseinander.
Gesamthaft vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, dass das Bundesverwaltungsgericht mit dem angefochtenen Urteil gegen Bundesrecht verstossen würde. Seine Beschwerde erweist sich als unbegründet.
4. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und unentgeltliche Verbeiständung im Sinne von Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG. Nach diesen Bestimmungen kann die unentgeltliche Prozessführung gewährt werden, soweit die Partei nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Die vorstehenden Erwägungen zeigen, dass die Beschwerde von vornherein als aussichtslos zu betrachten ist. Damit entfällt die Grundlage für die Gutheissung des Gesuchs. Daran vermag auch der Hinweis auf Art. 41 BGG nichts zu ändern. Demnach ist das Gesuch abzuweisen. Es rechtfertigt sich indes, auf Gerichtskosten zu verzichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. April 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Steinmann