Faits:
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A. A._, citoyen hollandais domicilié à Monaco et propriétaire d'un immeuble à Gstaad, est le père de deux filles, nées respectivement en 1994 et en 1996. Elles sont issues d'une liaison avec une ressortissante espagnole, née à Genève et domiciliée à Z._ (Espagne).
Le 21 août 1998, la mère des enfants a déposé plainte auprès de la police de son quartier en dénonçant le fait que le père les avait enlevés, ce qui a donné lieu à une procédure pénale confiée à la Juge d'instruction B._, en fonction à Z._. Le 2 mai 2000, celle-ci a émis un mandat d'arrêt international à l'encontre du père.
Le 21 septembre 2000, A._ a été arrêté à la frontière de Bardonnex, Genève, et placé en détention extraditionnelle jusqu'au 8 décembre 2000, date de sa libération par la Chambre d'accusation du Tribunal fédéral, moyennant le dépôt d'une caution de 1 million frs. et un contrôle de présence. A._ a néanmoins quitté la Suisse et s'est rendu à Monaco, où ses deux filles sont scolarisées.
A._ a recouru contre l'ordonnance d'écrou de la Juge d'instruction de Z._, rendue le 25 septembre 2000, devant la Cour d'appel de Malaga, qui a rejeté le recours le 20 avril 2001.
Par arrêt du 2 avril 2001, le Tribunal fédéral a écarté un recours de droit administratif contre la décision d'extradition de A._ à l'Espagne, prise le 10 janvier 2001 par l'Office fédéral de la justice.
Le 26 juin 2001, A._ a requis du Conseil général du pouvoir judiciaire espagnol une procédure disciplinaire contre deux juges du Tribunal de Z._, dont B._. Le 18 décembre 2001, la procédure a été classée sans suite, décision communiquée à B._ le 5 mars 2002.
Le 26 juin 2001, A._ a requis du Conseil général du pouvoir judiciaire espagnol une procédure disciplinaire contre deux juges du Tribunal de Z._, dont B._. Le 18 décembre 2001, la procédure a été classée sans suite, décision communiquée à B._ le 5 mars 2002.
B. Le 9 juillet 2001, A._ a ouvert action devant le Tribunal de première instance de Genève contre B._ en paiement de 15'800 fr. à titre d'indemnité pour les 79 jours de détention extraditionnelle subis, à raison de 200 fr. par jour. Il a reproché, en substance, à la juge espagnole d'avoir décerné contre lui un mandat d'arrêt international en violation de la loi. B._ a contesté sa légitimation passive et soulevé des exceptions d'incompétence ratione loci et materiae. Elle a invoqué le bénéfice de l'immunité de juridiction. Par jugement du 7 novembre 2002, le tribunal s'est déclaré compétent, à raison de la matière, pour connaître de l'action susmentionnée.
Saisie d'un appel de B._, la Cour de justice a annulé le jugement entrepris et déclaré irrecevable l'action introduite par A._, par arrêt du 16 mai 2003. Elle a retenu principalement que la Convention de Lugano du 16 septembre 1988 concernant la compétence judiciaire et l'exécution des décisions en matière civile et commerciale (CL; RS 0.275.11) ne s'appliquait pas aux actions en responsabilité ouvertes contre un magistrat ou un fonctionnaire, qui relèvent du droit public, ce qui est le cas à Genève. Il en allait de même en Espagne, selon les art. 411 et 412 de la loi espagnole d'organisation judiciaire. Le droit public obéissant avant tout au principe de la territorialité, les tribunaux genevois ne sauraient se prononcer sur d'éventuels manquements imputables au juge d'instruction de Z._. La règle de renvoi de l'art. 133 de la loi fédérale du 18 décembre 1987 sur le droit international privé (LDIP; RS 291) à la loi du pays où s'est produit de manière prévisible le dommage causé par l'acte illicite (Suisse, Genève) n'entrait pas en ligne de compte au profit du droit espagnol, à teneur de l'art. 413 ch. 1 de la loi d'organisation judiciaire de ce pays. Enfin, comme la procédure pénale était encore pendante, l'action en responsabilité était de toute manière prématurée.
Saisie d'un appel de B._, la Cour de justice a annulé le jugement entrepris et déclaré irrecevable l'action introduite par A._, par arrêt du 16 mai 2003. Elle a retenu principalement que la Convention de Lugano du 16 septembre 1988 concernant la compétence judiciaire et l'exécution des décisions en matière civile et commerciale (CL; RS 0.275.11) ne s'appliquait pas aux actions en responsabilité ouvertes contre un magistrat ou un fonctionnaire, qui relèvent du droit public, ce qui est le cas à Genève. Il en allait de même en Espagne, selon les art. 411 et 412 de la loi espagnole d'organisation judiciaire. Le droit public obéissant avant tout au principe de la territorialité, les tribunaux genevois ne sauraient se prononcer sur d'éventuels manquements imputables au juge d'instruction de Z._. La règle de renvoi de l'art. 133 de la loi fédérale du 18 décembre 1987 sur le droit international privé (LDIP; RS 291) à la loi du pays où s'est produit de manière prévisible le dommage causé par l'acte illicite (Suisse, Genève) n'entrait pas en ligne de compte au profit du droit espagnol, à teneur de l'art. 413 ch. 1 de la loi d'organisation judiciaire de ce pays. Enfin, comme la procédure pénale était encore pendante, l'action en responsabilité était de toute manière prématurée.
C. Agissant par la voie du recours de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt susmentionné avec suite de frais et dépens. Invoquant l'art. 30 al. 1 Cst., il reproche à la cour cantonale la non-application de l'<ref-law>, constitutive d'un déni de justice. Cette règle prescrirait l'application du droit suisse, singulièrement de l'<ref-law> conduisant à retenir les principes régissant la responsabilité civile pour les interventions des agents publics, ce qui serait aussi le cas en Espagne, et dans de nombreux autres pays européens. Le principe de la territorialité utilisé par la cour cantonale accorderait une immunité de juridiction absolue au juge d'instruction étranger devant les tribunaux genevois. De plus, la Cour de justice aurait arbitrairement méconnu l'art. 27 de la loi genevoise d'organisation judiciaire, consacrant la plénitude de juridiction du Tribunal de première instance.
L'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet, avec suite de frais et dépens.
La Cour de justice se réfère aux considérants de son arrêt.

Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 339; <ref-ruling> consid. 1 p. 227 et les arrêts cités).
En raison du principe de la subsidiarité absolue du recours de droit public, ce moyen n'est recevable que si la prétendue violation ne peut pas être soumise par une action ou par un autre moyen de droit quelconque au Tribunal fédéral (art. 84 al. 2 OJ).
Dans le cas présent, le recourant se plaint d'une atteinte à l'art. 30 al. 1 Cst. garantissant l'accès à un tribunal compétent à raison de la matière et du lieu (Jean-François Aubert/Pascal Mahon, Petit commentaire de la Constitution fédérale de la Confédération suisse du 18 avril 1999, Zurich 2003, n. 5 ad art. 30, p. 280) pour juger de l'action en responsabilité civile qu'il a introduite contre l'intimée, juge d'instruction espagnole auprès du Tribunal de Z._.
Le recourant invoque la violation des <ref-law> et 5 ch. 3 CL, ainsi que l'interprétation erronée de l'<ref-law>, concerné par le renvoi de l'<ref-law>. Il fait également valoir une application arbitraire de l'art. 27 de la loi d'organisation judiciaire genevoise consacrant le principe de la plénitude de juridiction du Tribunal de première instance. A cet égard, il sied de relever que l'application de cette disposition cantonale suppose que les tribunaux suisses soient compétents pour connaître de la demande.
En réalité, le recourant reproche à la cour cantonale la violation de diverses normes de droit fédéral sur la compétence, grief qui peut donner lieu à un recours en réforme en vertu de l'art. 43 al. 1 OJ (cf. <ref-ruling> consid. 1c; <ref-ruling> consid. 2a in fine p. 386 et les arrêts cités). Comme ces moyens peuvent tous être évoqués dans le cadre du recours en réforme, que le recourant a par ailleurs déposé parallèlement au présent recours de droit public, celui-ci doit être déclaré irrecevable à teneur de l'art. 84 al. 2 OJ mentionné ci-dessus.
En réalité, le recourant reproche à la cour cantonale la violation de diverses normes de droit fédéral sur la compétence, grief qui peut donner lieu à un recours en réforme en vertu de l'art. 43 al. 1 OJ (cf. <ref-ruling> consid. 1c; <ref-ruling> consid. 2a in fine p. 386 et les arrêts cités). Comme ces moyens peuvent tous être évoqués dans le cadre du recours en réforme, que le recourant a par ailleurs déposé parallèlement au présent recours de droit public, celui-ci doit être déclaré irrecevable à teneur de l'art. 84 al. 2 OJ mentionné ci-dessus.
2. Vu l'issue du litige, un émolument sera mis à la charge du recourant qui succombe (art. 156 al. 1 OJ). Celui-ci devra également payer une indemnité à titre de dépens en faveur de l'intimée (art. 159 al. 2 OJ).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de droit public est irrecevable.
1. Le recours de droit public est irrecevable.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 21 novembre 2003
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière: