Fatti:
A.
Con petizione 21 marzo 2013 A._ ha adito la Pretura di Locarno-Campagna, chiedendo la condanna di B._SA al pagamento di fr. 21'500.--, oltre accessori, quale rimunerazione per aver tenuto la contabilità della convenuta negli anni 2010-2011. Dopo che quest'ultima ha postulato il versamento di una cauzione per le spese ripetibili giusta l'<ref-law>, l'attore ha chiesto di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria. Il Pretore aggiunto ha respinto quest'ultima domanda, con decisione del 9 settembre 2013, perché non ha ritenuto l'istante indigente. Il giudice di prime cure ha considerato che l'attore dispone di un'eccedenza mensile di circa fr. 1'000.-- (entrate mensili di fr. 3'857.-- da cui ha dedotto un fabbisogno di fr. 2'800.--).
Con decisione 7 ottobre 2013 il Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello ticinese ha respinto il reclamo presentato dall'attore contro la predetta decisione, ritenendo che il Pretore aggiunto non ha accertato in modo manifestamente inesatto il reddito dell'attore.
B.
A._ insorge dinnanzi al Tribunale federale con ricorso sussidiario in materia costituzionale del 6 novembre 2013. Invocando una violazione dell'<ref-law>, postula l'annullamento della decisione della Corte cantonale e di essere posto al beneficio del gratuito patrocinio nella causa che lo oppone alla B._SA innanzi alla Pretura di Locarno-Campagna. Il ricorrente chiede pure l'assistenza giudiziaria per la procedura innanzi al Tribunale federale.
Non è stato ordinato uno scambio di scritti.

Diritto:
1.
La decisione che rifiuta la concessione del gratuito patrocinio è una decisione incidentale atta a causare un danno irreparabile ai sensi dell'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1). La via di impugnazione di decisioni incidentali segue essenzialmente quella della causa di fondo (<ref-ruling> consid. 1.4), che in concreto concerne una causa civile (<ref-law>) volta ad ottenere il pagamento di fr. 21'500.--. Atteso che valore litigioso è inferiore alla soglia di fr. 30'000.-- prevista dall'<ref-law> per il ricorso in materia civile, la decisione emanata su ricorso dall'ultima istanza cantonale può solo essere impugnata con un ricorso sussidiario in materia costituzionale (<ref-law>).
2.
Giusta l'<ref-law> con un ricorso sussidiario in materia costituzionale può unicamente essere censurata la violazione dei diritti costituzionali. Il Tribunale federale esamina la violazione di questi diritti soltanto se il ricorrente ha sollevato e motivato in maniera puntuale tale censura (<ref-law> a cui rinvia l'<ref-law>). Ciò significa che il ricorrente, pena l'inammissibilità del gravame, deve spiegare in modo chiaro e dettagliato, alla luce dei considerandi della sentenza impugnata in che modo sarebbero stati violati i suoi diritti costituzionali (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 1.2, con rinvii). Critiche appellatorie non sono ammesse (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2).
Il ricorrente che si prevale di un apprezzamento arbitrario delle prove deve dimostrare che la sentenza impugnata ha ignorato il senso e la portata di un mezzo di prova preciso, ha omesso senza ragioni valide di tenere conto di una prova importante suscettibile di modificare l'esito della lite, oppure ha ammesso o negato un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (<ref-ruling> consid. 4.1.2 pag. 62; <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62; <ref-ruling> consid. 2.1).
3.
Giusta l'<ref-law> ha diritto al gratuito patrocinio chiunque sia sprovvisto dei mezzi necessari (lett. a) e la cui domanda non appaia priva di possibilità di successo (lett. b). Le condizioni poste dall'<ref-law> corrispondono a quelle della garanzia costituzionale minima sancita dall'<ref-law> (sentenze 4A_168/2013 del 28 agosto 2013 consid. 2; 5A_565/2011 del 14 febbraio 2012 consid. 2.3, in Rivista ticinese di diritto (RtiD) 2012 II pag. 865). Al richiedente incombe l'onere di indicare e dimostrare nel modo più completo e trasparente possibile la propria situazione economica, in particolare l'entità delle proprie entrate, della propria sostanza e delle proprie spese (<ref-ruling> consid. 5.1, con rinvii). Determinante è la situazione finanziaria nel momento dell'inoltro della domanda (sentenze 4A_168/2013 del 28 agosto 2013 consid. 2; 5A_124/2012 del 28 marzo 2012 consid. 3.3).
3.1. L'ultima istanza cantonale ha ritenuto che, contrariamente a quanto sostenuto nel reclamo, il Pretore non ha escluso l'indigenza dell'istante a causa di un accertamento manifestamente errato del reddito di quest'ultimo. Essa ha confermato che l'unico documento attendibile prodotto dall'attore, concernente il ricavo conseguito con la sua attività di contabile indipendente, è la notifica di tassazione del 23 maggio 2013 per il 2011, da cui risulta un reddito imponibile di fr. 36'000.--, ovvero fr. 3'000.-- mensili. A tale importo ha aggiunto la rendita vecchiaia di fr. 857.-- che egli percepisce dal mese di maggio 2013. L'autorità inferiore ha ritenuto che la richiesta di beneficiare anticipatamente di tale rendita non dimostra che l'attore abbia diminuito la sua attività lavorativa e che l'asserito diritto, addotto unicamente in sede di reclamo, a ricevere prestazioni complementari, oltre a non essere stato dimostrato, costituisce un inammissibile novum.
3.2. Il ricorrente afferma che, come già il Pretore, anche il Presidente della Corte di appello ha omesso, senza alcuna valida ragione o " richiesta di chiarimento a completamento dei dati reddituali ", di considerare quanto da egli indicato nel formulario per l'ammissione all'assistenza giudiziaria, e cioè che il suo reddito da attività indipendente nel 2013 ammonta a soli fr. 500.-- mensili. Sostiene che quindi in tale anno le sue entrate sono ben inferiori a quelle conseguite nel 2011, poiché oltre all'appena menzionato importo, egli dispone solo della rendita AVS di fr. 857.-- e delle prestazioni complementari di fr. 1'309.--.
Nella fattispecie giova innanzi tutto rilevare che il ricorrente si limita a riproporre un importo concernente prestazioni complementari, senza minimamente contestare la motivazione dell'autorità inferiore secondo cui il sussistere del diritto a ricevere tali asserite prestazioni costituiva un fatto nuovo che non poteva essere considerato. Il ricorrente non attacca poi la sentenza impugnata quando questa indica che spetta alla parte che chiede l'assistenza giudiziaria dimostrare spontaneamente anche la propria situazione reddituale e pur ritenendo che i suoi introiti siano stati accertati in modo errato e contrario all'<ref-law>, nemmeno afferma di aver prodotto innanzi al Pretore un qualsiasi documento a sostegno della pretesa diminuzione a fr. 500.-- delle entrate percepite con la sua attività di contabile indipendente. Così stando le cose, il ricorso non soddisfa le esigenze di motivazione poste dall'<ref-law> a un ricorso sussidiario in materia costituzionale.
4.
Da quanto precede discende che il ricorso si rivela inammissibile per la sua carente motivazione. La domanda di assistenza giudiziaria per la procedura federale dev'essere respinta, essendo il ricorso fin dall'inizio privo di possibilità di esito favorevole (<ref-law>). Le spese giudiziarie seguono quindi la soccombenza (<ref-law>), mentre non si giustifica assegnare ripetibili all'opponente 1, che, non essendo stata invitata a esprimersi sul ricorso, non è incorsa in spese per la presente procedura.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è inammissibile.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria del ricorrente è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 300.-- sono poste a carico del ricorrente.
4.
Comunicazione alle parti e al Presidente della III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.