Sachverhalt:
A.
Der 1994 geborene, seit 27. Februar 2010 erzieherisch verbeiständete L._, Bürger von A._/BE und B._/ZH, lebte bis Oktober 2010 bei seiner in X._/SO wohnhaften Mutter. Ab Februar 2010 besuchte er die solothurnische Tagesschule C._, deren Unterricht er jedoch krankheitsbedingt und auf Grund psychischer Probleme vermehrt fern blieb. Am 17. Oktober 2010 erfolgte der Wechsel in das Schul- und Jugendheim Y._/BE (nachfolgend: Schulheim Y._) mit dem Ziel, Ende Juli 2012 die Schule zu beenden und anschliessend allenfalls eine berufliche Ausbildung zu absolvieren. Am 6. Oktober 2010 verfügte der Sozialdienst Z._/SO, eine Kostengutsprache für den Aufenthalt von Fr. 345.- pro Tag sowie monatlichen Nebenkosten im Betrag von Fr. 328.-; die Aufenthaltsdauer wurde vorläufig bis 31. Juli 2012 befristet. Mit Unterstützungsanzeige vom 18. Oktober 2010/ 11. Februar 2011 forderte der Kanton Solothurn den Kanton Zürich als zuständigen Heimatkanton zur Rückerstattung der Schul- und Heimkosten auf, wogegen dieser vorsorglich Einsprache erhob. Nachdem die beiden Kantone sich in der Folge namentlich zur Frage ausgetauscht hatten, ob eine dauerhafte Fremdplatzierung vorliege und L._ damit einen eigenen Unterstützungswohnsitz begründet habe, hiess das Departement des Innern des Kantons Solothurn die Einsprache insoweit teilweise gut, als es die Schulkosten in Höhe von Fr. 90.- pro Tag vom (Weiter-) Verrechnungsbetrag abzog; in den übrigen Punkten wurde die Einsprache abgewiesen (Verfügung vom 10. September 2012).
B.
Die dagegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 28. November 2012 ab.
C.
Der Kanton Zürich, vertreten durch das Kantonale Sozialamt, führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei festzustellen, dass der Kanton Zürich für die Leistungen des Kantons Solothurn keinen Kostenersatz zu leisten habe. Eventualiter sei lediglich Kostenersatz im Umfang der nicht durch Elternbeiträge gedeckten Verpflegungsbeiträge und allfälliger Nebenkosten zuzusprechen.
Die Vorinstanz und der Kanton Solothurn, Letzterer vertreten durch das Departement des Innern, schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
D.
Vor dem Hintergrund der vorgesehenen Urteilserledigung wurde beiden Kantonen das rechtliche Gehör gewährt. Sie liessen sich dazu mit Eingaben vom 12. Juni 2013 (Kanton Zürich) und 24. Juni 2013 (Kanton Solothurn) vernehmen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit von Amtes wegen (<ref-law>). Es untersucht deshalb grundsätzlich von Amtes wegen, ob und inwiefern auf eine Beschwerde eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 1 S. 43). Immerhin ist die Beschwerde gemäss <ref-law> hinreichend zu begründen. Der Beschwerdeführer hat darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen gegeben sind. Soweit diese nicht ohne weiteres ersichtlich sind, ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, anhand der Akten oder weiterer, noch beizuziehender Unterlagen nachzuforschen, ob und inwiefern der Beschwerdeführer zur Beschwerde zuzulassen ist (<ref-ruling> E. 2 S. 403 f. mit Hinweisen).
1.2. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Gestützt auf <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Der Beschwerdeführer rügt eine unrichtige Anwendung des Bundesgesetzes vom 24. Juni 1977 über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG; SR 851.1). Das Zuständigkeitsgesetz ist öffentliches Recht des Bundes im Sinne von Art. 82 lit. a und Art. 95 lit. a BGG. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu keinen Ausschlussgrund (vgl. <ref-law>).
1.3. Ein Kanton kann gegenüber dem andern Kanton nicht hoheitlich handeln. Die Anzeige im Sinne von <ref-law>, wonach der Wohn- oder Aufenthaltskanton, der vom Heimatkanton die Rückerstattung von Unterstützungskosten verlangt, diesem den Unterstützungsfall binnen 60 Tagen anzeigt (Unterstützungsanzeige), stellt denn auch keine hoheitliche Verfügung dar; gleichwohl kommt ihr rechtsgestaltende Wirkung zu, indem sie den Kanton, an den sie gerichtet ist, rechtskräftig zum Kostenersatz verpflichtet, wenn dieser nicht mit einer Einsprache nach <ref-law> form- und fristgerecht dagegen reagiert (<ref-ruling> E. 2.3 S. 353 f. mit Hinweis). Der Kanton Zürich hat am vorinstanzlichen Verfahren als Partei teilgenommen und wurde als Adressat des angefochtenen Entscheids verpflichtet, finanzielle Leistungen zu erbringen. Er ist daher auch unter der Herrschaft des BGG zur Beschwerde ans Bundesgericht legitimiert (<ref-ruling> E. 2.3 S. 354 mit Hinweisen).
1.4. Wenn ein Kanton als Gemeinwesen gestützt auf <ref-law> als Rechtsmittelträger handeln will, obliegt seine prozessuale Vertretung in der Regel dem Regierungsrat als oberster Exekutivbehörde, welche den Kanton von Verfassungs wegen nach aussen vertritt (vgl. auch Art. 71 Abs. 1 lit. c der Verfassung des Kantons Zürich vom 27. Februar 2005 [KV; LS 101]). Will eine nachgeordnete Behörde namens des Kantons Beschwerde führen, hat sie ihre Vertretungsbefugnis explizit darzutun, sei es durch einen entsprechenden speziellen Ermächtigungsbeschluss der Kantonsregierung oder durch Angabe der sie zur Prozessführung namens des Kantons berechtigenden kantonalen Vorschriften (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 16; <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 48; vgl. auch Urteil [des Bundesgerichts] 2C_805/2008 vom 3. Februar 2009 E. 2.2.1). Die Sicherheitsdirektion durfte auf Grund der bisherigen bundesgerichtlichen Praxis davon ausgehen, dass sie in Fragen der Sozialhilfe als zur prozessualen Vertretung des Kantons berechtigt angesehen wird (so ausdrücklich <ref-ruling> E. 2.4 S. 354 mit Hinweis).
1.5. Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde ist deshalb einzutreten (<ref-law>).
2.
Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 140).
3.
Bedürftige werden von ihrem Wohnkanton unterstützt (Art. 115 erster Satz BV). Der Bund regelt die Ausnahmen und Zuständigkeiten (Art. 115 zweiter Satz BV). Dabei kann er insbesondere den Rückgriff auf einen früheren Wohnkanton oder den Heimatkanton regeln (so noch ausdrücklich Art. 48 Abs. 2 aBV; Urteil [des Bundesgerichts] 2A.134/2006 vom 29. Juni 2006 E. 2.1).
3.1. Das Zuständigkeitsgesetz präzisiert in dem durch die Verfassung vorgegebenen Rahmen, welcher Kanton für die Fürsorge zuständig ist, und es regelt den Ersatz von Unterstützungskosten unter den Kantonen (vgl. Art. 1 Abs. 1 und 2 ZUG). Danach obliegt die Unterstützung eines Schweizer Bürgers grundsätzlich dem Wohnkanton (<ref-law>). Der Wohnkanton unterliegt gegenüber dem Aufenthaltskanton einer gewissen Ersatzpflicht (vgl. <ref-law>). Bei bestimmten Ausnahmetatbeständen besteht eine Ersatzpflicht des Heimatkantons gegenüber dem Wohnkanton. So erstattet der Heimatkanton insbesondere dem Wohnkanton die Kosten der Unterstützung, wenn die unterstützte Person noch nicht zwei Jahre lang ununterbrochen in einem anderen Kanton Wohnsitz hat (<ref-law>). Ist der Unterstützte Bürger mehrerer Kantone, so gilt als Heimatkanton der Kanton, dessen Bürgerrecht der Unterstützte oder seine Vorfahren zuletzt erworben haben (<ref-law>). Die Begriffe des Aufenthalts-, Wohn- und Heimatkantons sind solche des Bundesrechts (Urteil [des Bundesgerichts] 2A.134/2006 vom 29. Juni 2006 E. 2.1 mit Hinweis).
3.2.
3.2.1. Die unterstützungsbedürftige Person hat ihren Wohnsitz im Sinne des ZUG (Unterstützungswohnsitz), welcher nicht zwingend identisch ist mit dem zivilrechtlichen Wohnsitz (Urteil [des Bundesgerichts] 2A.134/2006 vom 29. Juni 2006 E. 4.1 mit Hinweis), in dem Kanton, in dem sie sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält. Dieser Kanton wird als Wohnkanton bezeichnet (<ref-law>). Wer aus dem Kanton wegzieht, verliert nach <ref-law> den bisherigen Unterstützungswohnsitz. Ändert eine bedürftige Person den Wohnkanton, wechselt zwar die Zuständigkeit des Gemeinwesens, das die Hilfe leistet, indessen gemäss <ref-law> während der ersten zwei Jahre der Wohnsitzdauer nicht desjenigen, das die Kosten dafür ersetzt. Von einer Aufhebung der Ersatzpflicht des Heimatkantons hat der Gesetzgeber, trotz Kritik einiger Kantone, im Rahmen der Revision des ZUG ausdrücklich abgesehen. Damit sollte nicht zuletzt der überdurchschnittlichen Fluktuation potentieller Fürsorgeklienten innerhalb der ersten beiden Jahre Rechnung getragen werden (Botschaft vom 22. November 1989 zur Änderung des Bundesgesetzes über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [BBl 1990 I 49 Ziff. 222.22]; <ref-ruling> E. 7.2 S. 359; vgl. nunmehr aber zu den geänderten, auf den 8. April 2017 in Kraft tretenden Bestimmungen des ZUG, nach welchen die Rückerstattungspflicht des Heimatkantons abgeschafft wird: Bericht der Kommission für soziale Sicherheit und Gesundheit des Ständerates vom 19. Juni 2012 [BBl 2012 7741], Stellungnahme des Bundesrates vom 15. August 2012 [BBl 2012 7869]; Verabschiedung der Gesetzesänderung durch das Parlament am 14. Dezember 2012 [BBl 2012 9645]; zum Ganzen: Merkblatt der Schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe [SKOS] zur Abschaffung der Rückerstattungspflicht des Heimatkantons [Revision des Zuständigkeitsgesetzes] vom 10. April 2013; abrufbar unter: www.skos.ch/de unter: THEMEN).
3.2.2. Für minderjährige Kinder gelangt bezüglich des Unterstützungswohnsitzes die folgende Spezialregelung gemäss <ref-law> zur Anwendung: Das minderjährige Kind teilt, unabhängig von seinem Aufenthaltsort, den Unterstützungswohnsitz der Eltern oder jenes Elternteils, unter dessen elterlicher Sorge es steht (Abs. 1). Wenn die Eltern keinen gemeinsamen zivilrechtlichen Wohnsitz haben, teilt es den Unterstützungswohnsitz jenes Elternteils, bei dem es wohnt (Abs. 2). Es hat demgegenüber einen eigenen Unterstützungswohnsitz am letzten Unterstützungswohnsitz nach den Absätzen 1 und 2, wenn es dauernd nicht bei den Eltern oder einem Elternteil wohnt (Abs. 3 lit. c). Letzteres ist der Fall bei Unmündigen, welche unter elterlicher Sorge stehen, wirtschaftlich unselbstständig sind und dauerhaft nicht bei den Eltern oder einem Elternteil leben. Erfasst werden durch diese Bestimmung freiwillige und behördliche Fremdplatzierungen ohne Entzug der elterlichen Gewalt (Werner Thomet, Kommentar zum Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [ZUG], 2. Aufl. 1994, N. 125 zu <ref-law>). Als eigener Unterstützungswohnsitz des minderjährigen Kindes gemäss Art. 7 Abs. 3 lit. c in Verbindung mit Abs. 1 und 2 ZUG gilt der Ort, an dem es unmittelbar vor der Fremdplatzierung gemeinsam mit den Eltern oder einem Elternteil gelebt bzw. Wohnsitz gehabt hat (Thomet, a.a.O., N. 127 und 131 zu <ref-law>). Der derart definierte Unterstützungswohnsitz bleibt künftig für die gesamte Dauer der Fremdplatzierung der gleiche, auch wenn die Eltern oder der sorgeberechtigte Elternteil den Wohnsitz wechseln (Thomet, a.a.O., N. 127). Im Falle von Fremdplatzierung hängt der Unterstützungswohnsitz nicht vom Entzug der elterlichen Sorge ab (Thomet, a.a.O., N. 130). Ziel der damaligen, auf 1. Juli 1992 in Kraft getretenen Gesetzesrevision war es, jeder unmündigen Person rasch und eindeutig einen Unterstützungswohnsitz zuweisen zu können, der bei dauernd Fremdplatzierten im Interesse der Standortgemeinden von Heimen und anderen sozialpädagogischen Einrichtungen möglichst nicht am Aufenthaltsort sein sollte (vgl. Thomet, a.a.O., N. 127 ff.). Ein eigener Unterstützungswohnsitz am Aufenthaltsort soll nur bestehen, wenn kein "letzter gemeinsamer Wohnsitz" mit den Eltern oder einem Elternteil vorhanden ist (Thomet, a.a.O., N. 132 und 135 zu <ref-law>). Für die Regelung der Kostenersatzpflicht nach Massgabe der Art. 14 und 16 ZUG gilt sodann der Grundsatz, dass, falls ein unmündiges Kind einen eigenen Unterstützungswohnsitz erhält, ihm die bisherige Wohnsitzdauer angerechnet wird, wenn es den Wohnkanton nicht verlässt (<ref-law>).
4.
Nicht bestritten wird, dass L._ vom 1. Juli 1999 bis zum Beginn seiner Schulzeit im bernischen Schulheim Y._ Mitte Oktober 2010 seinen von der sorgeberechtigten Mutter abgeleiteten Unterstützungswohnsitz gemäss <ref-law> in X._ im Kanton Solothurn hatte. Hingegen ist zu prüfen, welche Auswirkungen der Eintritt in das Schulheim Y._ auf die Unterstützungspflicht zeitigt. Vorinstanz und Beschwerdegegner gehen davon aus, dass L._ ab Mitte Oktober 2010 ausserkantonal dauerhaft fremdplatziert war und daher einen eigenständigen Unterstützungswohnsitz nach <ref-law> begründet hat, woraus nach Massgabe von Art. 16 in Verbindung mit <ref-law> (e contrario) eine Ersatzpflicht zulasten des Beschwerdeführers als Heimatkanton gefolgert wird. Der Kanton Zürich verneint demgegenüber eine auf Dauer angelegte Fremdplatzierung mit dem Ergebnis, dass weiterhin ein abgeleiteter Unterstützungswohnsitz gemäss <ref-law> und mithin kein Anspruch auf Kostenerstattung durch den Heimatkanton im Sinne von <ref-law> bestehe.
4.1. Nach der dargelegten gesetzlichen Konzeption teilt das minderjährige Kind grundsätzlich, unabhängig von seinem Aufenthaltsort, den Unterstützungswohnsitz der Eltern oder jenes Elternteils, unter dessen elterlicher Sorge es steht (<ref-law>). Dieser befindet sich in casu im Kanton Solothurn. Da der Aufenthalt in einem Heim oder in einer ähnlichen Anstalt gemäss <ref-law> keinen Unterstützungswohnsitz begründet (vgl. auch Thomet, a.a.O., N. 112 zu Art. 5 und N. 117 zu <ref-law>) - und der Wohnsitz Unmündiger sich ohnehin in jedem Fall nach <ref-law> bestimmt -, steht eine Kostenpflicht des Kantons Bern als ab Oktober 2010 tatsächlichem Aufenthaltskanton von L._ von vornherein nicht zur Diskussion. Etwas anderes wird denn auch von keiner Seite geltend gemacht. Ist das minderjährige Kind fremdplatziert (im Sinne eines dauernd nicht bei den Eltern oder einem Elternteil Wohnens), begründet es gemäss <ref-law> indessen einen eigenen Unterstützungswohnsitz, der sich nach dem Wortlaut der Bestimmung am letzten Unterstützungswohnsitz orientiert, den das minderjährige Kind u.a. mit den Eltern oder dem sorgeberechtigten Elternteil geteilt hat. L._ hat vor dem Eintritt in das Schulheim Y._ am 17. Oktober 2010 jahrelang mit seiner sorgeberechtigten Mutter in der Gemeinde X._/SO gelebt, sodass sich auch dieser im Kanton Solothurn befindet. Die Folge der Fremdplatzierung eines unmündigen Kindes wurde in <ref-law> explizit geregelt und entspricht gerade nicht der in <ref-law> vorgesehenen allgemeinen Lösung, wonach der Wegzug aus dem Wohnkanton zwingend den Verlust des bisherigen Unterstützungswohnsitzes nach sich zieht.
4.2.
4.2.1. Zusammenfassend hat L._ vor seinem Eintritt in das Schulheim Y._ gemäss <ref-law> den Unterstützungswohnsitz seiner sorgeberechtigten Mutter in X._/SO geteilt. Während seines Aufenthalts im Schulheim begründete er entweder - auf Grund einer dauerhaften Fremdplatzierung nach <ref-law> - einen eigenen Unterstützungswohnsitz oder er teilte, sofern eine dauerhafte Fremdplatzierung zu verneinen ist, weiterhin den Unterstützungswohnsitz seiner Mutter. Infolge des Verweises in <ref-law> auf Abs. 1 und 2 der Norm verbleibt der Unterstützungswohnsitz bei dieser Sachlage aber so oder anders im Kanton Solothurn. Da L._ den Unterstützungswohnsitz, welcher nach der Begrifflichkeit des ZUG als Wohnkanton gilt (vgl. <ref-law>), somit auch bei Annahme eines eigenständig begründeten Unterstützungswohnsitzes nicht verlässt, wird ihm die bisherige, d.h. vor Eintritt in das Schulheim Y._, im Kanton Solothurn absolvierte Wohnsitzdauer angerechnet (<ref-law>). Für eine Ersatzpflicht des Beschwerdeführers in seiner Funktion als Heimatkanton nach <ref-law> bleibt vor diesem Hintergrund entgegen der Betrachtungsweise von Vorinstanz und Beschwerdegegner kein Raum, hatte L._ doch nicht während weniger als zwei Jahren Wohnsitz in einem anderen Kanton.
4.2.2. Soweit sich aus den Urteilen 8C_829/2007 vom 5. August 2008 (E. 4.2) und 2A.134/2006 vom 29. Juni 2006 (E. 4.4) in Bezug auf die Interpretation von <ref-law> ein gegenteiliger Schluss ergibt, kann daran nicht festgehalten werden. Der Umstand, dass das in den damaligen Fällen unterstützte unmündige Kind - wie auch L._ im vorliegenden Fall - den bisherigen Wohnkanton mit der (allfälligen) dauerhaften Fremdplatzierung tatsächlich verlassen hat, ändert nichts an der Tatsache, dass sich der nach ZUG relevante eigene Unterstützungswohnsitz gemäss Art. 7 Abs. 3 lit. c in Verbindung mit Abs. 1 und 2 ZUG weiterhin am letzten von den Eltern bzw. vom sorgeberechtigten Elternteil abgeleiteten Ort befindet (so auch das erwähnte Urteil 2A.134/2006 vom 29. Juni 2006 E. 4.4.1). Da es den Wohnkanton - im Sinne des Unterstützungswohnsitzes - mithin nicht verlässt, ist ihm die bisherige Wohnsitzdauer gemäss <ref-law> anzurechnen und kommt eine Ersatzpflicht des Heimatkantons nach <ref-law> nicht zum Tragen. Dass <ref-law> bei dieser Sichtweise obsolet wäre, wie in E. 4.2 des Urteils 8C_829/2007 vom 5. August 2008 vermerkt, trifft nicht zu. Vielmehr ist die Bestimmung in den in Art. 7 Abs. 3 lit. a, b und d ZUG erwähnten übrigen Konstellationen der Begründung eines eigenen Unterstützungswohnsitzes durch das minderjährige Kind (am Sitz der Kindesschutzbehörde, unter deren Vormundschaft es steht, am Ort nach <ref-law>, wenn es erwerbstätig und in der Lage ist, für seinen Lebensunterhalt selbst aufzukommen, oder an seinem Aufenthaltsort in den übrigen Fällen) durchaus e contrario beachtlich, sofern die betroffene unmündige Person den bisherigen Wohnkanton effektiv verlässt (vgl. dazu auch Thomet, a.a.O., N. 117 ff. zu Art. 7 und N. 138 zu <ref-law>). Ebenfalls kein stichhaltiges Argument stellt ferner der Hinweis auf <ref-law> dar, wonach eine Person, welche aus dem Wohnsitzkanton wegzieht, ihren Unterstützungswohnsitz verliert. Der in <ref-law> enthaltene Verweis auf Abs. 1 und 2 der Bestimmung betont gerade die Nähe zum bisherigen Unterstützungswohnsitz und durchbricht damit den allgemeinen Beendigungsgrund bewusst (siehe E. 4.1 hievor). <ref-law> gilt nicht für unmündige Kinder, die gemäss Art. 7 Abs. 1 und 2 ZUG keinen eigenen Wohnsitz haben, wenn zwar sie persönlich, nicht aber die Eltern oder der sorgeberechtigte Elternteil, deren oder dessen Wohnsitz sie teilen, aus dem Kanton wegziehen. Verlassen demgegenüber die Eltern den Wohnkanton (und verlieren dadurch den bisherigen Unterstützungswohnsitz) und verbleibt das minderjährige Kind im Rahmen einer dauerhaften Fremdplatzierung am bisherigen Ort, begründet es gemäss Art. 7 Abs. 3 lit. c in Verbindung mit Abs. 1 und 2 ZUG einen eigenen Unterstützungswohnsitz im bisherigen Kanton (vgl. Thomet, a.a.O., N. 145 zu <ref-law>).
4.3. Nach dem Gesagten wird der Beschwerdeführer in seiner Funktion als Heimatkanton nicht ersatzpflichtig im Sinne von <ref-law>. Die Frage nach der Dauerhaftigkeit der Fremdplatzierung von L._ braucht daher nicht abschliessend beantwortet zu werden. Ebenfalls offengelassen werden kann in Anbetracht dieses Ergebnisses, ob überhaupt Unterstützung in Form einer Geldleistung eines Gemeinwesens an einen Bedürftigen gemäss <ref-law> vorliegt (neben Schulungskosten und Elternbeiträgen), welche der Weiterverrechnung nach <ref-law> untersteht.
5.
Das Verfahren ist grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Da die neue Rechtsprechung im vorliegenden Fall erstmals zur Anwendung gelangt und der Beschwerdegegner mit Blick auf die bisherige Praxis verfügt hatte, ist entgegen dem Ausgang des Prozesses auf eine Kostenauflage zu verzichten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3b S. 61; <ref-ruling> E. 3 S. 415 mit Hinweis). Der Kanton Zürich hat als in seinem amtlichen Wirkungskreis tätig gewordenes Gemeinwesen keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 28. November 2012 und die Verfügung des Kantons Solothurn vom 10. September 2012 werden aufgehoben.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, L._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Juli 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Fleischanderl