Faits:
A. En 2005, X._ a commencé des études auprès de la Haute Ecole d'ingénieurs et de gestion du canton de Vaud. A fin mai 2006, il a subi un échec définitif.
Le 3 septembre 2006, il a été admis comme étudiant à l'Ecole d'ingénieurs et d'architectes de Fribourg (ci-après: l'Ecole).
B. Le 2 octobre 2007, l'Ecole a signifié à X._ son échec définitif et son exmatriculation, sur la base des notes obtenues.
Le 22 octobre 2007, X._ a déposé une réclamation contre cette décision, en demandant qu'il ne lui soit pas tenu rigueur de la tardiveté de sa démarche due à la négligence d'un précédent mandataire.
Par décision du 6 novembre 2007, la Direction de l'Ecole est entrée en matière sur la réclamation, sans discuter la tardiveté de cet acte, et a confirmé l'échec définitif.
Statuant le 9 avril 2008 sur recours de X._, la Direction de l'économie et de l'emploi du canton de Fribourg (ci-après: la DEE) a refusé d'entrer en matière, constatant que la réclamation de l'intéressé avait été déposée tardivement, que la restitution du délai n'avait pas été demandée et qu'il ne paraissait exister aucun motif justifiant une telle restitution.
Par arrêt du 17 décembre 2009, le Tribunal cantonal fribourgeois, Ie Cour administrative, (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours déposé par X._ et confirmé la décision de la DEE du 9 avril 2008. Les juges cantonaux ont considéré en substance que le délai de réclamation à l'encontre de la décision du 2 octobre 2007 n'avait pas été observé et qu'il n'existait pas de circonstances exceptionnelles qui auraient permis de le restituer. Partant, en entrant en matière malgré la tardiveté de la réclamation, la Direction de l'Ecole avait violé les règles impératives de procédure prévues dans le droit cantonal, de sorte que c'était à juste titre que la DEE avait refusé d'entrer en matière. L'éventuelle violation du droit d'être entendu du recourant, qui n'avait pas eu l'occasion de s'exprimer devant la DEE sur la tardiveté de sa réclamation, était au surplus guérie par la procédure devant le Tribunal cantonal.
C. Contre l'arrêt du 17 décembre 2009, X._ a formé un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut au fond, principalement, à l'admission du recours et à la réforme de l'arrêt attaqué dans le sens où il est autorisé à se présenter aux épreuves de "repêchage" de la filière suivie de 2006 à 2007 ainsi que, le cas échéant, à répéter sa première année en filière "Télécommunications" auprès de l'Ecole. Subsidiairement, il demande l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il requiert également l'octroi de l'effet suspensif, l'assistance judiciaire et un délai supplémentaire pour compléter son recours.
Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours, en renvoyant pour l'essentiel à l'arrêt entrepris. La DEE propose de rejeter le recours dans la mesure de sa recevabilité. L'Ecole a présenté ses observations tardivement.
D. Par ordonnance du 9 février 2010, le Président de la IIe Cour de droit public, considérant la demande d'effet suspensif comme une requête de mesures provisionnelles, l'a rejetée.
E. Par courrier du 22 février 2010, le recourant a spontanément remis au Tribunal fédéral une pièce qu'il avait citée dans son recours, tout en précisant celui-ci.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 331).
1.1 Selon l'art. 83 let. t LTF, le recours en matière de droit public n'est pas ouvert à l'encontre des décisions sur le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, notamment en matière de scolarité obligatoire, de formation ultérieure ou d'exercice d'une profession. Le motif d'irrecevabilité contenu dans cette disposition dépend en principe de la matière et non du grief soulevé (voir notamment arrêts 2C_762/2009 du 11 février 2010 consid. 1.1 et 2C_408/2009 du 29 juin 2009 consid. 2). Selon la jurisprudence, les décisions d'exmatriculation d'une université ou d'une haute école tombent sous le coup de l'art. 83 let. t LTF à condition qu'elle soient directement en lien avec une évaluation des capacités de l'étudiant évincé (cf. arrêts 2C_408/2009 du 29 juin 2009 consid. 2 et 2D_151/2008 du 25 mai 2009 consid. 1.1).
En l'espèce, le litige a pour origine une décision d'exclusion définitive du recourant en raison de ses mauvais résultats. La matière tombe donc sous le coup de l'art. 83 let. t LTF, de sorte que la voie du recours en matière de droit public est fermée, peu importe que les griefs concernent le caractère tardif de la réclamation et ses conséquences procédurales.
Comme une désignation erronée d'un recours n'a pas à être opposée au recourant, si l'acte remplit les conditions d'une autre voie de droit qui serait ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 399), il convient de se demander si le présent recours, intitulé faussement recours en matière de droit public, ne serait pas recevable en tant que recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>).
1.2 Interjeté contre une décision finale (art. 117 et 90 LTF) émanant d'une autorité judiciaire cantonale supérieure (art. 113, 114 ainsi que 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le présent recours a été déposé en temps utile (art. 117, 100 al. 1 et 46 al. 1 let. c LTF) et dans les formes requises (<ref-law>), par le destinataire de l'arrêt attaqué, qui a un intérêt juridique à son annulation ou à sa modification (<ref-law>). Le recourant n'invoque en outre que des violations de droits constitutionnels (<ref-law>). Partant, le recours, envisagé comme un recours constitutionnel subsidiaire, est en principe recevable.
1.3 Les observations de l'Ecole ne seront pas prises en considération, car elles ont été déposées passé le délai imparti à cet effet (art. 117, 102 al. 1 et 48 al. 1 LTF).
2. Le recourant a demandé un délai supplémentaire pour compléter son recours.
Comme il a fourni au Tribunal fédéral des observations spontanées en février 2010, sa requête est devenue sans objet. Au demeurant, elle n'est pas conforme à la procédure devant le Tribunal fédéral, qui ne prévoit cette possibilité qu'à titre exceptionnel en matière d'entraide pénale internationale (<ref-law>).
Par ailleurs, il ne sera pas tenu compte de l'écriture spontanée, dès lors qu'il n'est possible de compléter son mémoire passé le délai de recours que dans le cadre d'un échange ultérieur d'écritures au sens de l'<ref-law>, qui n'a pas été ordonné en l'espèce.
3. Le recourant conteste tout d'abord les faits retenus dans l'arrêt attaqué, en invoquant une appréciation arbitraire des preuves et en produisant une pièce nouvelle.
3.1 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), soit arbitrairement. Lorsque, le grief d'arbitraire est soulevé, il appartient au recourant d'expliquer clairement en quoi consiste l'arbitraire (cf. art. 117 et 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 265 s.; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 133). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 117 et 99 al. 1 LTF).
3.2 Le recourant conteste le caractère tardif de la réclamation. L'arrêt attaqué retient que l'étudiant disposait, en vertu de l'art. 59 de la loi fribourgeoise du 2 octobre 2001 sur la Haute Ecole fribourgeoise de technique et de gestion (LHEF-TG; RS/FR 428.4), d'un délai de 5 jours pour former une réclamation écrite à l'encontre de la décision du 2 octobre 2007 prononçant son échec définitif et son exmatriculation. Le recourant ne se plaignant pas d'une application arbitraire de l'art. 59 LHEF-TG, ce délai ne peut être remis en cause.
Il ressort des constations cantonales que, dans sa réclamation du 22 octobre 2007, le recourant a demandé qu'il ne lui soit pas tenu rigueur de la tardiveté de sa démarche due à la négligence d'un précédent mandataire. Les juges cantonaux ont aussi relevé que le recourant avait admis, dans un courrier du 22 avril 2008, avoir reçu la décision du 2 octobre 2007 le 5 octobre 2007. Le recourant ne conteste nullement le contenu de ces documents, qui figurent au dossier. Sur la base de ces pièces, il n'est à l'évidence pas arbitraire de retenir le caractère tardif de la réclamation. La position du recourant, qui conteste pour la première fois devant le Tribunal fédéral, la tardiveté de la réclamation, alors qu'il l'a lui-même admise dans deux documents, confine du reste à la témérité.
Quant à la pièce produite dans ce contexte par le recourant, elle est irrecevable à double titre. D'une part, elle a été remise tardivement à la Cour de céans (cf. supra, consid. 2). D'autre part, cette pièce aurait parfaitement pu être produite devant le Tribunal cantonal, dès lors que la recevabilité de la réclamation était déjà litigieuse à ce stade de la procédure. Il s'agit donc manifestement d'une pièce nouvelle au sens de l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>.
3.3 Le recourant soutient ensuite que le délai de réclamation aurait de toute manière été prolongé par le Directeur adjoint de l'Ecole, fait dont le Tribunal cantonal n'aurait arbitrairement pas tenu compte.
Il ne peut y avoir arbitraire dans l'établissement des faits que si le juge a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; cf. aussi arrêt 4A_9/2009 du 7 avril 2009 consid. 2.1, non publié in <ref-ruling>). En l'espèce, l'art. 29 du code fribourgeois du 23 mai 1991 de procédure et de juridiction administrative (CPJA; RS/FR 150.1) prévoit qu'un délai fixé par la loi ne peut être prolongé. On ne peut reprocher au Tribunal cantonal de ne pas s'être interrogé sur l'existence d'une éventuelle prolongation du délai, dès lors que cet élément, fût-il établi, n'était de toute manière pas de nature à modifier la question du respect du délai légal dans lequel la réclamation devait être formulée.
Les critiques concernant l'arbitraire dans l'établissement des faits doivent donc être rejetées, dans la mesure de leur recevabilité.
4. Le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu. Il reproche au Tribunal cantonal de ne pas avoir motivé son refus d'entendre des témoins à propos des circonstances de la notification de la décision d'exmatriculation et de la prolongation du délai pour former réclamation. Il lui fait également grief de ne pas s'être suffisamment prononcé sur ses arguments, en particulier s'agissant de la violation du principe de la confiance.
4.1 Pour respecter le droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), le juge a le devoir de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et exercer son droit de recours à bon escient. Pour satisfaire à ces exigences, le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (<ref-ruling> consid. 3.3.1 p. 677; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 88 et la jurisprudence citée).
4.2 En l'espèce, le Tribunal cantonal n'a pas donné suite à la requête d'audition de témoins du recourant destinée à préciser les circonstances ayant entouré la demande de restitution de délai. Contrairement à ce que soutient le recourant, on comprend, à la lecture de l'arrêt attaqué, que le Tribunal cantonal n'a pas entendu de témoins car, selon la procédure cantonale, il appartient à celui qui demande une restitution de délai d'indiquer, dans sa requête, le motif invoqué (cf. art. 31 al. 2 CPJA). Or, le seul motif allégué par le recourant était l'inaction de son premier avocat, soit un fait qui, même avéré, ne permettait pas de fonder une restitution de délai. Une telle motivation remplit manifestement les conditions découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. et justifie le fait de ne pas entendre les témoins proposés.
Quant aux divers arguments dont les juges n'auraient pas tenu compte, en particulier en relation avec le principe de la confiance, il appartenait au recourant de les développer devant la Cour de céans, en expliquant en quoi il s'agissait d'éléments pertinents pour l'issue du litige et pourquoi l'absence de motivation sur ces points l'aurait empêché de comprendre et d'attaquer l'arrêt cantonal (cf. <ref-law>, par renvoi de l'<ref-law>). La motivation présentée ne satisfait pas à ces exigences, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner davantage la question.
Le grief lié à la violation du droit d'être entendu est donc infondé, dans la mesure où il est recevable. Partant, les développements du recourant sur les conséquences d'une telle violation sur la présente procédure sont dénués de pertinence.
5. A titre subsidiaire, le recourant invoque le principe de la bonne foi et de la confiance, ainsi que l'interdiction de l'arbitraire.
5.1 Le recourant commence par formuler des critiques contre la décision de la DEE du 9 avril 20008, perdant de vue qu'il n'appartient pas au Tribunal fédéral de revoir la décision de la première instance, mais uniquement celle émanant de l'autorité judiciaire supérieure, soit en l'occurrence l'arrêt du Tribunal cantonal du 17 décembre 2009. Les griefs dirigés directement contre la décision de la DEE du 9 avril 2008 sont donc irrecevables.
5.2 Le recourant invoque ensuite que, puisqu'il avait obtenu du Directeur adjoint de l'Ecole la prolongation du délai pour former sa réclamation, le principe de la confiance imposait aux autorités de tenir le dépassement de ce délai pour guéri.
Selon la jurisprudence, un renseignement ou une décision erronés de l'administration peuvent obliger celle-ci à consentir à un administré un avantage contraire à la réglementation en vigueur, à condition, entre autres, que l'autorité soit intervenue dans une situation concrète à l'égard de personnes déterminées et que l'administré se soit fondé sur les assurances ou le comportement dont il se prévaut pour prendre des dispositions auxquelles il ne saurait renoncer sans subir de préjudice (entre autres, <ref-ruling> consid. 6.1 p. 637; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 170).
Il convient tout d'abord de souligner qu'il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que le recourant aurait reçu du Directeur adjoint de l'Ecole des indications selon lesquelles le délai pour former réclamation serait prolongé. Au demeurant, on ne voit pas que cette information aurait pu inciter le recourant à prendre des dispositions particulières sur lesquelles il ne pourrait renoncer sans subir de préjudice. En effet, il ressort des déclarations du recourant lui-même, dans son courrier du 22 avril 2008 au Tribunal cantonal déjà évoqué (cf. supra, consid. 3.2), que ce serait le 19 octobre 2007 au plus tôt que les supposées assurances du Directeur adjoint de l'Ecole auraient été formulées. Le recourant ayant admis, dans ce même document, avoir reçu la décision d'exmatriculation le 5 octobre 2007, le délai pour former une réclamation à l'encontre de ladite décision était déjà arrivé à expiration au moment où les prétendues informations ont été données. On ne se trouve donc pas dans une situation où, fort des assurances reçues, un administré aurait laissé passer un délai péremptoire (cf. arrêt 1C_152/2008 du 17 juin 2008 consid. 2.1 et 2.2 et la jurisprudence citée). Le principe de la confiance n'est donc pas applicable.
Le recourant soutient également que sa confiance aurait été déçue en raison des mesures superprovisionnelles accordées sur le plan cantonal par la juge chargée de l'instruction et de la durée de la procédure. On ne voit toutefois pas en quoi le recourant pourrait tirer de l'octroi de mesures superprovisoires des assurances quant à l'issue de la procédure; il en va de même du fait que le Tribunal cantonal ait attendu plusieurs mois avant de statuer. Le recourant ne le démontre du reste nullement, en violation de l'<ref-law> (cf. <ref-law>).
Quant à l'arbitraire, également invoqué dans ce contexte, le recourant n'indique pas davantage en quoi il consisterait, ce qui ne correspond pas non plus aux exigences de motivation (<ref-ruling> consid. 3.1 in fine p. 266).
En conclusion, le recours, envisagé comme un recours constitutionnel subsidiaire, ne peut qu'être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
6. Compte tenu de l'absence de chances de succès du recours, la demande d'assistance judiciaire doit également être rejetée (art. 64 LTF). Par conséquent, les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant (<ref-law>). Il ne sera pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours, envisagé comme un recours constitutionnel subsidiaire, est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Des frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Ecole d'ingénieurs et d'architectes de Fribourg, à la Direction de l'économie et de l'emploi du canton de Fribourg et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Ie Cour administrative.
Lausanne, le 28 mai 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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