Faits:
A.
A.a. Dès le 1er août 1994, X._ a été engagé par l'ancien Hôpital V._ en qualité de médecin-consultant dans le service de gynécologie et obstétrique. A partir du 1er octobre 1995, il a assuré le remplacement du médecin-chef de service (i.e. le Dr A._) durant les périodes où celui-ci était absent et a été nommé, à compter du 1er septembre 1996, médecin-chef adjoint. Le Dr A._ rencontrait de manière générale des problèmes relationnels avec ses subordonnés (médecins-adjoints, chefs de clinique ou assistants). Informée de cette situation en 2001, la direction de l'Hôpital V._ avait envisagé d'ouvrir alors une enquête médico-administrative à son encontre, laquelle avait été évitée grâce à l'intervention de X._.
Lors de la création en 2004 de l'Hôpital Z._, connu sous la raison sociale « Etablissement R._ », X._ a été informé que de nouvelles conditions cadres d'engagement et de rémunération des médecins-cadres et des médecins externes avaient été négociées au plan cantonal et que cela impliquait que son contrat de travail devait être revu pour respecter les normes cantonales voulues par le Conseil d'Etat. L'Hôpital V._, qui devait rejoindre à la fin juin 2006, la nouvelle entité juridique de R._, a ainsi résilié, par courrier du 12 septembre 2005, le contrat du prénommé pour le 30 juin 2006. Il a été expliqué à X._ que son contrat de travail définitif serait établi ultérieurement avec l'Hôpital Z._.
En avril 2006, X._ a reçu un projet de nouveau contrat avec l'Hôpital Z._ qui le classait au rang de médecin agréé, supprimant son titre de médecin-chef adjoint. Le précité a exprimé son désaccord à ce changement de titre. Précédemment, lors d'une réunion des médecins-cadres de l'Hôpital V._, il avait déjà contesté la perte de son titre.
Dès le 1er juillet 2006, X._ a poursuivi son activité habituelle comme par le passé, mais pour le compte de l'Hôpital Z._. Le 6 décembre 2006, il a écrit à la direction dudit hôpital concernant son changement de statut, qu'il qualifiait de « déclassement plutôt gratuit et immérité de (ses) titres actuels » (<ref-law>). La direction de l'Hôpital Z._ n'est apparemment pas entrée en matière à ce sujet.
X._ n'a reçu des propositions contractuelles concrètes que le 12 juin 2007; à cette occasion, la direction de l'Hôpital Z._ lui a offert la fonction de médecin-adjoint pour le département de gynécologie-obstétrique dès le 1er mai 2007 au taux de 40%. Le cahier des charges ne lui ayant pas été remis, X._ n'a jamais signé cette proposition. Celui-ci est resté dans l'attente de précisions sur sa situation venant de l'Hôpital Z._, tout en continuant d'accomplir, pour le site V._, les tâches qui étaient les siennes lorsqu'il était sous contrat avec l'Hôpital V._.
A.b. Il a été retenu que X._ assistait régulièrement aux séances de la Commission consultative de l'Hôpital V._. Depuis la création de l'Hôpital Z._, l'importance de cette commission avait diminué, car il ne s'agissait plus que d'un groupe consultatif, sans pouvoir décisionnel, visant à instaurer un dialogue entre le corps médical et les représentants politiques.
Lors de la réunion de ladite commission qui s'est tenue le 6 septembre 2007, X._ y a été remplacé, sans en être averti, par la Dresse B._. X._ figurait dans la liste des médecins-cadres qui avaient été convoqués à cette réunion, mais non la Dresse B._.
Dans le même temps, X._ a appris, par des bruits de couloir, que la Dresse B._ s'était présentée auprès de ses collègues comme le nouveau médecin-chef adjoint. Ni le précité, ni le personnel de l'établissement n'ont été informés officiellement par la direction de la nomination comme médecin-chef adjoint de la Dresse B._.
A.c. L'organisation du service de gynécologie de Z._ a été laborieuse. Lors des discussions avec l'Hôpital Z._, le service de gynécologie et obstétrique de l'Hôpital V._ était représenté par le médecin-chef, soit le Dr A._, supérieur hiérarchique de X._. Ce dernier s'attendait à ce que le Dr A._ soutienne le maintien de sa position hiérarchique, ce qui n'a pas été le cas. Les relations de X._ avec le Dr A._ s'étaient depuis lors sensiblement dégradées.
D'après un procès-verbal d'une séance du Collège élargi des médecins s'étant tenue le 24 avril 2006, le Dr A._ a déclaré qu'il avait reçu, avec un tiers, la mission de recenser l'implication effective des médecins au sein des différents services (heures de présence, travaux effectués) et qu'il s'était révélé que pour certains d'entre eux, « le titre ne correspondait pas à leur activité effective ».
Dans un courrier du 21 septembre 2007 adressé au Directeur général de l'Hôpital Z._, X._ s'est plaint du comportement adopté à son endroit - qualifié notamment de mobbing - par le Dr A._ et par ledit hôpital, à l'instigation du directeur en question, et a demandé une enquête médico-administrative.
Lors d'un entretien qui s'est déroulé avec le Directeur général le 1er octobre 2007, X._ s'est refusé à toute discussion, requérant qu'il soit répondu par écrit à son courrier du 21 septembre 2007.
Le 2 octobre 2007, la Directrice des ressources humaines de l'Hôpital Z._ a informé X._ que la cellule nanti-harcèlement de la « CCT ... » n'était pas compétente pour les médecins, mais seulement pour les employés relevant de la convention collective, mais qu'elle ne voyait personnellement pas d'inconvénients à ce qu'il s'adresse à cette cellule, étant précisé que les organes de la CCT pourraient avoir un avis différent.
Par courrier du 11 octobre 2007, comportant trois pages à interlignes serrés, le Directeur général a répondu aux points soulevés par X._ dans l'écriture susrappelée; il a exprimé le souhait qu'un procès pour harcèlement psychologique ne soit pas intenté, car personne n'y aurait véritablement intérêt; à la fin de ce pli, le Directeur général a demandé à X._ de lui fournir dans les meilleurs délais des attestations de formation continue.
Le 5 novembre 2007, le Dr A._ a envoyé au Directeur général et à des collègues de X._ un courriel pour se plaindre de l'attitude de celui-ci lors d'une précédente réunion dans laquelle une dispute avait éclaté entre les susnommés.
Il résulte de la teneur courtoise du courriel échangé le 4 octobre 2008 entre le Dr A._ et X._ que les relations professionnelles entretenues par les deux hommes, tendues en fin d'année 2007, se seraient apaisées par la suite.
B.
Par demande du 1er décembre 2008, X._ a ouvert action contre l'Hôpital Z._ devant le Tribunal des Prud'hommes du district de Neuchâtel et conclu au paiement de la somme de 2'000 fr. à titre de tort moral, avec intérêts à 5% l'an dès le 6 septembre 2007. Il a fait valoir que l'établissement défendeur l'a traité d'une manière contraire à l'éthique, dans le but de l'écarter du cercle des médecins y travaillant et de le pousser à présenter sa démission. Déstabilisé de manière progressive et constante, il aurait été atteint dans sa santé et son honneur professionnel.
Le défendeur a conclu à sa libération.
De nombreux témoins ont été entendus.
Par jugement du 7 décembre 2012, le Tribunal civil du Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers, qui a depuis lors remplacé le Tribunal des Prud'hommes du district de Neuchâtel, a entièrement rejeté la demande. Il a retenu que les éléments avancés par le demandeur ne suffisaient pas à faire admettre l'existence de mobbing. De plus, outre des migraines, des insomnies et un état anxieux, il n'avait pas été diagnostiqué chez le demandeur de graves troubles de santé; du reste, il n'avait subi aucune incapacité de travail et était au contraire resté très actif dans son service.
Statuant par arrêt du 3 avril 2013 sur le recours au sens des <ref-law> (RS 272) déposé par le demandeur contre ce jugement, l'Autorité de recours en matière civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel l'a rejeté. Elle a considéré que les premiers juges n'ont pas omis de prendre en compte des éléments importants du dossier, qu'ils ont au contraire examiné avec soin tous les événements sur lesquels le demandeur a fondé son action et qu'ils ont retenu, sans faire preuve d'arbitraire, qu'il n'y a pas eu d'agissements hostiles délibérés à son égard. Sur la base de cet état de fait, l'autorité cantonale a admis que n'étaient pas réunies les conditions pour que soit retenue l'existence du harcèlement psychologique prétendu.
C.
X._ exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Il requiert l'annulation de cette décision et qu'il soit prononcé que le défendeur est condamné à lui verser le montant de 2'000 fr. à titre de tort moral avec intérêts à 5% l'an dès le 6 septembre 2007.
L'intimé conclut à l'irrecevabilité du recours.
Le recourant a répliqué, alors que l'intimé a renoncé à dupliquer.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours est dirigé contre une décision rendue en matière civile (<ref-law>). La valeur litigieuse n'atteint pas le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF) et aucun des cas de dispense (<ref-law>) n'est réalisé. En conséquence, seul le recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>) est ouvert en l'espèce, à l'exclusion du recours ordinaire en matière civile.
1.2. L'arrêt attaqué est une décision finale (art. 117 et 90 al. 1 LTF) prise sur recours par le tribunal supérieur du canton concerné (art. 114 et 75 LTF).
Le recourant a pris part à l'instance précédente et a entièrement succombé dans ses conclusions en paiement; il a ainsi qualité pour recourir (<ref-law>).
Déposé en temps utile (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans la forme requise (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours constitutionnel est recevable.
1.3. Ce recours ne peut être exercé que pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Le Tribunal fédéral ne se saisit que des griefs soulevés et motivés de façon détaillée par la partie recourante (art. 117 et 106 al. 2 LTF). L'auteur du recours doit indiquer quel droit constitutionnel aurait été violé et montrer, par une argumentation circonstanciée, en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 444). Le Tribunal fédéral doit statuer sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 al. 2 et 116 LTF), ce que la partie recourante doit invoquer avec précision (art. 117 et 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 445). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 117 et 99 al. 1 LTF).
2.
Le recourant invoque tout d'abord l'arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves, prohibé par l'art. 9 Cst., ainsi qu'une violation de l'art. 7 Cst. Si on le comprend bien, il affirme que les circonstances dans lesquelles il a perdu son titre de médecin-chef adjoint ont été constatées de manière insoutenable. Il se réfère à divers témoignages qui relatent que le remplacement du recourant à son poste de médecin-chef adjoint par la Dresse B._ n'a pas fait l'objet d'un communiqué officiel du médecin-chef de service et que les médecins ainsi que le personnel de l'intimé ont eu vent de la nouvelle situation par des bruits de couloir.
2.1. Selon la jurisprudence, l'arbitraire, proscrit par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 319; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379 s.).
Il résulte de la jurisprudence relative aux recours formés pour violation de droits constitutionnels (cf. <ref-law>) que celui qui se plaint d'arbitraire doit indiquer de façon précise en quoi la décision qu'il attaque est entachée d'un vice grave et indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 400).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, l'autorité verse dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsqu'elle tire des conclusions insoutenables à partir des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560).
2.2. Le grief de violation de l'art. 7 Cst. ne fait l'objet d'aucun développement, de sorte qu'il est irrecevable (<ref-law>). De toute manière, on ne voit pas que la cour cantonale ait porté d'une quelconque façon atteinte à la dignité humaine du recourant, au sens donné par la jurisprudence (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 54 s.).
2.3. La perte par le recourant de son titre de médecin-chef adjoint a fait l'objet de constatations détaillées de l'autorité cantonale, figurant au considérant 3 let. d de l'arrêt attaqué. A lire ce considérant, il appert qu'il n'a pas échappé aux juges cantonaux que le recourant a été remplacé par la Dresse B._ sans être prévenu, alors que le personnel du service et les médecins-chefs des autres départements n'avaient pas été officiellement avertis, et que les bruits de couloir qui ont entouré cet événement étaient regrettables.
Il apparaît ainsi que le moyen pris de l'appréciation arbitraire des preuves est dénué de toute consistance.
3.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir appliqué arbitrairement l'<ref-law>. Il se prévaut de différents indices, qui seront examinés en détail ci-dessous, dont l'appréciation globale devrait conduire à reconnaître qu'il a été victime de harcèlement psychologique.
3.1. Selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, le harcèlement psychologique, appelé communément mobbing, se définit comme un enchaînement de propos et/ou d'agissements hostiles, répétés fréquemment pendant une période assez longue, par lesquels un ou plusieurs individus cherchent à isoler, à marginaliser, voire à exclure une personne sur son lieu de travail. La victime est souvent placée dans une situation où chaque acte pris individuellement, auquel un témoin a pu assister, peut éventuellement être considéré comme supportable alors que l'ensemble des agissements constitue une déstabilisation de la personnalité, poussée jusqu'à l'élimination professionnelle de la personne visée. Il n'y a toutefois pas harcèlement psychologique du seul fait qu'un conflit existe dans les relations professionnelles ou qu'il règne une mauvaise ambiance de travail, ni du fait qu'un membre du personnel serait invité - même de façon pressante, répétée, au besoin sous la menace de sanctions disciplinaires ou d'une procédure de licenciement - à se conformer à ses obligations résultant du rapport de travail, ou encore du fait qu'un supérieur hiérarchique n'aurait pas satisfait pleinement et toujours aux devoirs qui lui incombent à l'égard de ses collaboratrices et collaborateurs. Il résulte des particularités du mobbing que ce dernier est généralement difficile à prouver, si bien qu'il faut éventuellement admettre son existence sur la base d'un faisceau d'indices convergents. Il sied cependant de garder à l'esprit que le mobbing peut n'être qu'imaginaire et qu'il peut même être allégué abusivement pour tenter de se protéger contre des remarques ou mesures pourtant justifiées (arrêts 4A_32/2010 du 17 mai 2010 consid. 3.2; 4C.109/2005 du 31 mai 2005 consid. 4; 4C.276/2004 du 12 octobre 2004 consid. 4.1).
Les actes de mobbing sont prohibés par l'<ref-law>, qui dispose, à son al. 1er in initio, que l'employeur protège et respecte, dans les rapports de travail, la personnalité du travailleur, manifeste les égards voulus pour sa santé et veille au maintien de la moralité. L'employeur qui ne protège pas son employé du harcèlement psychologique enfreint la norme précitée (<ref-ruling> consid. 2a p. 73).
3.2.
3.2.1. Le recourant voit un premier indice de harcèlement psychologique dans le fait que le Dr A._ a affirmé, lors d'une réunion du Collège élargi des médecins organisée le 24 avril 2006, que « pour certains (médecins), le titre ne correspondait pas à leur activité effective ». Il soutient que l'employeur n'a pas contesté que ces termes le visaient directement.
3.2.2. La phrase du Dr A._ ne peut évidemment pas être assimilée à un acte hostile contre le recourant, puisque le précité ne nomme personne. Et le recourant ne soutient pas que le Dr A._ a prononcé ces mots en le regardant fixement ou en faisant comprendre d'une autre manière à l'auditoire qu'il faisait partie des médecins concernés par la critique. Quant à l'allégation que l'intimé aurait admis que la phrase incriminée était destinée au recourant, elle est purement gratuite, dès l'instant où celui-ci ne renvoie pour l'étayer à aucune pièce du dossier précisément désignée.
3.3.
3.3.1. De l'avis du recourant, un deuxième indice de mobbing réside dans la constatation que l'attitude malveillante du Dr A._ à son endroit s'est inscrite dans la durée, car, en 2001 déjà, l'ouverture d'une enquête médico-administrative contre le prénommé avait été envisagée. De plus, l'intimé n'aurait pas pris de mesures pour empêcher le harcèlement dont il se plaint.
3.3.2. Il a été constaté en fait (<ref-law>), sans que l'arbitraire ne soit invoqué à ce propos, que le Dr A._ avait de manière générale des problèmes relationnels avec les médecins sous ses ordres. Il apparaît ainsi d'emblée que le caractère difficile de ce praticien, susceptible d'être mal accepté par les médecins subordonnés, touchait l'ensemble de ces derniers, et pas seulement le recourant, même si ce dernier a pu le ressentir comme tel.
Mise au courant de la situation en 2001, la direction de l'établissement hospitalier alors concerné a pensé à mettre sur pied une enquête médico-administrative, mais y a renoncé en raison de l'intervention du recourant lui-même. Ce dernier est donc malvenu de se plaindre de l'inaction de l'établissement en l'occurrence.
En 2007, les relations entre le recourant et le Dr A._ se sont dégradées, car le premier attendait que le second le soutienne dans son désir de demeurer médecin-chef adjoint, espoir qui a été déçu. Le 21 septembre 2007, le recourant a fait part par écrit à la Direction de l'intimé qu'il estimait subir du harcèlement psychologique de la part du Dr A._ et a requis l'ouverture d'une enquête médico-administrative. L'intimé a pris l'affaire au sérieux, dès l'instant où, dix jours plus tard (i.e. le 1er octobre 2007), il a convoqué le recourant à s'entretenir avec le Directeur général. Le recourant s'étant alors refusé à toute discussion et ayant requis qu'il lui soit répondu par écrit, l'intimé s'est exécuté, le 11 octobre suivant déjà, en répondant points par points, au moyen d'une écriture de trois pages comportant un interligne serré, aux questions qui avaient été soulevées. Certes, l'intimé avait indiqué au recourant, le 2 octobre 2007, que la cellule anti-harcèlement mise en place au sein de l'établissement n'était pas compétente pour les médecins. On peut le déplorer, mais il est exclu de voir dans cette carence organisationnelle un acte relevant du harcèlement psychologique.
3.4.
3.4.1. Aux yeux du recourant, il faut admettre un troisième indice de harcèlement dans le fait que le Directeur général de l'intimé lui a demandé, dans la réponse écrite qu'il lui a adressée le 11 octobre 2007, de fournir rapidement des attestations de formation continue.
3.4.2. Comme la cour cantonale l'a retenu, cette requête était pour le moins peu délicate, voire même déplacée. Même si l'on peut parfaitement comprendre que le recourant ait eu le sentiment que cette requête de production de documents avait pour fin de le décourager à aller de l'avant dans sa plainte pour mobbing, on ne peut pourtant y voir une quelconque tentative de l'anéantir professionnellement.
3.5.
3.5.1. A suivre le recourant, un quatrième indice de harcèlement apparaît du fait qu'il a été remplacé, sans qu'il en soit averti préalablement, par la Dresse B._ lors de la réunion de la Commission consultative qui s'est tenue le 6 septembre 2007. Il reproche à la cour cantonale d'avoir perdu de vue que cet événement s'est passé peu de temps avant que l'intimé ne décide, sans l'informer officiellement, de nommer la précitée au poste de médecin-chef adjoint, poste qu'il occupait jusque-là. Il voit une similitude dans cet épisode avec l'affaire ayant donné lieu à l'arrêt 4C.259/2004 du 11 novembre 2004.
3.5.2. Il est vrai que le recourant assistait régulièrement aux séance de la Commission consultative et qu'il pouvait ainsi attendre qu'on l'informât dûment si sa présence n'y était plus souhaitée. Du reste, il a été constaté qu'il avait été convoqué à la séance en cause, à l'inverse de la Dresse B._. Cette manière d'agir de l'intimé prête assurément le flanc à la critique. Mais on doit la relativiser, car le recourant n'a pas contesté que cette commission, depuis la réorganisation hospitalière de 2006, avait perdu tout pouvoir décisionnel, ne fonctionnant plus qu'en qualité de groupe consultatif.
Quelque temps plus tard, le recourant a appris, par des bruits de couloir, que la Dresse B._ avait été désignée comme médecin-chef adjoint, fonction qu'il occupait jusqu'alors. Le recourant n'a pas été informé officiellement par la direction de cette nomination, pas plus que le personnel de l'établissement. Cette manière d'agir, dissimulée et déloyale, est constitutive d'une atteinte aux droits de la personnalité du recourant. Pourtant, elle ne s'inscrit pas, au vu des considérants qui précèdent, dans un enchaînement d'attitudes hostiles visant à exclure le recourant de son lieu de travail. Le recourant a ainsi pu continuer à exercer comme médecin spécialisé auprès de l'intimé et il n'a pas été prouvé que sa rémunération ait été par la suite revue à la baisse ou qu'il ait subi après coup un autre affront. Il n'apparaît pas non plus que son travail a été dévalorisé ou critiqué sans raisons objectives.
L'arrêt 4C.259/2004 du 11 novembre 2004 ne lui est d'aucun secours. Cette cause a trait à un licenciement d'un travailleur opéré de manière particulièrement brutale et humiliante, à telle enseigne que les anciens collègues pouvaient supposer qu'il pouvait se fonder sur des motifs graves, alors qu'en réalité le congé n'avait qu'un caractère économique. Ces données n'ont rien à voir avec la présente querelle.
3.6.
3.6.1. Le recourant soutient qu'un cinquième indice de mobbing apparaît à la lecture du courriel - qualifié par lui d'incendiaire - que le Dr A._ a envoyé le 5 novembre 2007 notamment au Directeur général de l'intimé.
3.6.2. Ce courriel a été adressé au Directeur général sous le coup de la colère, après que le Dr A._ et le recourant se sont disputés. Cet événement ne témoigne tout au plus que du caractère atrabilaire du prénommé, mais en rien d'un processus de harcèlement psychologique. Le recourant n'invoque aucun autre courriel du précité ayant la même teneur. Au contraire, le contenu d'un courriel du 4 octobre 2008 montre que les intéressés ont par la suite entretenu des relations apaisées.
4.
En résumé, la perte de son statut de médecin-chef adjoint en 2007 a incontestablement pu être vécue difficilement par le recourant. Pourtant, cela ne suffit pas à établir qu'il y ait eu un quelconque harcèlement psychologique dirigé contre celui-ci, imputable à l'intimé ou à ses auxiliaires. La cour cantonale n'a pas consacré une application insoutenable de l'<ref-law>.
Il suit de là que le recours doit être rejeté en tant qu'il est recevable. Le recourant, qui succombe, paiera les frais de justice - réduits en vertu de l'art. 65 al. 4 let. c LTF - et versera à son adverse partie une indemnité à titre de dépens (art. 66 al. 1, 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais de justice, arrêtés à 600 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimé une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à l'Autorité de recours en matière civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 19 septembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet