Erwägungen:
1.
Das Regionalgericht Bern-Mittelland führt gegen A._ ein Strafverfahren wegen Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittel-, das Heilmittel- und das Strassenverkehrsgesetz, falscher Anschuldigung, versuchter Anstiftung zur Falschaussage, Hinderung einer Amtshandlung und Sachbeschädigung. Mit Verfügung vom 3. März 2014 hiess der zuständige Verfahrensleiter das Gesuch des Beschuldigten um Wechsel der amtlichen Verteidigung gut. Dagegen erhob die kantonale Staatsanwaltschaft für Besondere Aufgaben Beschwerde. Mit Beschluss vom 12. Mai 2014 hiess die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern die Beschwerde gut und hob die Verfügung des Regionalgerichts auf. Dagegen gelangte A._ mit Beschwerde ans Bundesgericht. Dieses hiess mit Urteil vom 23. Juli 2014 (Verfahren 1B_211/2014) die Beschwerde gut, hob die Ziffer 1 des Beschlusses der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern auf und bestätigte die Verfügung des Regionalgerichts Bern-Mittelland vom 3. März 2014.
Am 16. Juli 2014 fällte das Regionalgericht Bern-Mittelland ein Strafurteil gegen A._. Da die Hauptverhandlung in Anwesenheit des bisherigen amtlichen Verteidigers stattfand, hob die 1. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Bern am 24. Februar 2015 das Urteil vom 16. Juli 2014 auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Regionalgericht Bern-Mittelland zurück.
2.
Am 15. April 2015 gab der Verfahrensleiter des Regionalgerichts Bern-Mittelland bekannt, dass die Neubeurteilung des Strafurteils in unveränderter Zusammensetzung des Gerichts durchgeführt werde. In der Folge stellte A._ ein Ausstandsgesuch gegen Gerichtspräsident Müller und die Laienrichter Schörlin und Streiff des Regionalgerichts Bern-Mittelland sowie gegen Staatsanwalt Jaggi der Regionalen Staatsanwaltschaft Bern-Mitteland. Die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern hiess mit Beschluss vom 3. August 2015 das Ausstandsgesuch gegen Gerichtspräsident Müller und die Laienrichter Schörlin und Streiff gut. Das Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Jaggi wies die Beschwerdekammer ab. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass nach Erhebung der Anklage die Staatsanwaltschaft zur Partei werde (<ref-law>). In diesem Verfahrensstadium sei sie nicht mehr zur Unparteilichkeit verpflichtet und habe grundsätzlich die Anklage zu vertreten (<ref-law>).
3.
A._ führt mit Eingabe vom 31. August 2015 (Postaufgabe 3. September 2015) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen der Beschwerdekammer, die zur Abweisung des Ausstandsbegehrens gegen den Staatsanwalt führte, nicht auseinander. Er vermag nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der Beschwerdekammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- oder verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da sich die Beschwerde als offensichtlich aussichtslos erweist (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage ist indessen zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Strafabteilung, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 08. September 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli