Sachverhalt:
A.
A.a. Y._ und X._ sind die gemeinsamen nicht verheirateten Eltern der am 16. Juli 2009 geborenen Tochter A._. Die von den Eltern am 22. Juni 2010 geschlossene Vereinbarung über den Unterhalt und die Betreuung des gemeinsamen Kindes sah insbesondere vor, dass dieses von beiden Eltern zu gleichen Teilen je zweieinhalb Tage pro fünf Werktage plus Samstag oder Sonntag bzw. plus jedes zweite Wochenende betreut wird, wobei diese Betreuungsregelung auch bei einer eventuellen Auflösung des gemeinsamen Haushaltes (Pendelmodell) gelten soll. Am 9. August 2010 genehmigte die Vormundschaftsbehörde B._ die Vereinbarung und übertrug gestützt auf aArt. 298a Abs. 1 ZGB die elterliche Sorge über das Kind antragsgemäss auf beide Eltern.
A.b. Im Juni 2011 trennten sich die Eltern und leben seither nicht mehr im gemeinsamen Haushalt. Die Mutter zog nach Basel. Am 15. Juni 2012 änderte die Vormundschaftsbehörde Basel-Stadt nach Anhörung des Sozialarbeiters und der Eltern die Betreuungsregelung dahingehend, dass das Kind wöchentlich alternierend zwei und in der darauffolgenden Woche drei Tage (mit Übernachtungen; beispielsweise von Donnerstag, 09.30 Uhr, bis Freitag, 18.00 Uhr, und in der jeweils darauffolgenden Woche von Donnerstag, 09.30 Uhr, bis Sonntag, 18.00 Uhr) beim Vater verbringt (Ziff. 1). Vorgesehen wurde ferner, dass das Kind nach vier Monaten wöchentlich alternierend zwei Tage und in der jeweils darauf folgenden Woche vier Tage beim Vater verbringt (beispielsweise von Donnerstag, 09.30 Uhr, bis Freitag 18.00 Uhr und in der folgenden Woche von Donnerstag, 09.30 Uhr, bis Sonntag, 18.00 Uhr (Ziff. 2). Nach Ablauf von vier Monaten gilt die bestehende Ferienregelung, wonach beide Elternteile gleich viel Ferien mit dem Kind verbringen dürfen.
B.
Der Vater gelangte gegen den Beschluss der Vormundschaftsbehörde mit Rekurs an das Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit den Begehren, die Ziffern 1 bis 3 des angefochtenen Beschlusses aufzuheben und neu zu bestimmen, dass die Tochter wöchentlich alternierend 3 Tage inkl. 2 Übernachtungen, in der darauffolgenden Woche 4 Tage inkl. 3 Übernachtungen bei ihm verbringe. Ferner sei festzustellen, dass nach Ablauf der Übergangszeit die Kontaktregelung gemäss Vereinbarung vom 22. Juni 2010 gelte. Mit Urteil vom 20. Dezember 2012 wies das Appellationsgericht Basel-Stadt als Verwaltungsgericht den Rekurs ab.
C.
Der Vater (Beschwerdeführer) gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 13. März 2013 (Postaufgabe) an das Bundesgericht. Er beantragt sinngemäss, das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts sei insofern abzuändern, als nach Ablauf der Übergangszeit die bestehende Kontaktregelung gemäss Vereinbarung vom 22. Juni 2010 gelte. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Eingabe vom 11. Juni 2013 wurde die Beschwerde korrigiert.
D.
Das Appellationsgericht Basel-Stadt hat sich am 10. Juni 2013 vernehmen lassen. Die Mutter (Beschwerdegegnerin) hat am 24. Juni 2013 zur Beschwerde Stellung genommen. Sie beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Ferner ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und um Sicherstellung ihrer Parteikosten. Der Beschwerdeführer hat sich am 9. Juli 2013 zur Vernehmlassung der Vorinstanz und der Beschwerdegegnerin geäussert. Das Appellationsgericht hat am 15. Juli 2013 auf eine weitere Stellungnahme verzichtet. Die Beschwerdegegnerin hat am 30. August 2013 zur Eingabe des Beschwerdeführers vom 9. Juli 2013 Stellung genommen, worauf der Beschwerdeführer am 7. September 2013 sich zum Schreiben der Beschwerdegegnerin vom 30. August 2013 geäussert hat. Die Beschwerdegegnerin hat schliesslich am 16. September 2013 zur Eingabe des Beschwerdeführers vom 7. September 2013 Stellung genommen. Weitere Eingaben seitens der Parteien sind nicht erfolgt.
E.
Die Beschwerde wurde an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 14. November 2014 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und Abstimmung mündlich eröffnet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in Zivilsachen ist am 13. März 2013 bei der Post aufgegeben worden. Anwendbar für die Beurteilung ihrer Zulässigkeit ist somit Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG in der am 1. Januar 2013 in Kraft getretenen Fassung gemäss Anhang 5 des Bundesgesetzes vom 19. Dezember 2008 (Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht; AS 2011 725, BBl 2006 7001). Nach dieser Bestimmung ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig gegen öffentlich-rechtliche Entscheide, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, insbesondere auf dem Gebiet des Kindes- und Erwachsenschutzes. Angefochten ist vorliegend ein in Anwendung von aArt. 298a Abs. 2 ZGB ergangener Entscheid über die Abänderung der von den Parteien vereinbarten Betreuungsregelung. Dabei handelt es sich um ein Urteil auf dem Gebiet des Kindesschutzes (vgl. Urteil 5A_284/2012 vom 10. September 2012 E. 1.1).
1.2. Der Beschwerdeführer hat vor Bundesgericht seine Rechtsbegehren abgeändert, indem er nur noch beantragt, dass nach Ablauf der Übergangsphase die Betreuungsregelung gemäss Vereinbarung vom 22. Juni 2010 gelte. Er verlangt damit weniger als vor zweiter Instanz. Insoweit liegt kein neues (unzulässiges) Begehren vor (<ref-law>).
1.3. In der Sache ist <ref-law> in der Fassung gemäss Ziff. I 4 des Bundesgesetzes vom 26. Juni 1998, in Kraft seit 1. Januar 2000 (AS 1999 1118; BBl 1996 I 1) anwendbar, da die fragliche Neuordnung durch die Vormundschaftsbehörde am 15. Juni 2012 und das angefochtene Urteil am 20. Dezember 2012 ergangen sind (nachfolgend aArt. 298a Abs. 1 bzw. 2 ZGB).
1.4. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten, soweit der Beschwerdeführer das Bundesgericht darum ersucht, anhand der Akten festzustellen, welcher Elternteil geeignet erscheint, dem andern sein Betreuungsrecht zu ermöglichen. Dabei handelt es sich um einen neuen und damit unzulässigen Antrag (<ref-law>). Zudem nimmt das Bundesgericht im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen selbst keine Beweismittel ab (<ref-law>; <ref-ruling> E. 6.1 S. 214).
1.5. Neu und damit unzulässig ist auch der Antrag auf Anordnung einer Mediation.
1.6. Soweit die Eingaben des Beschwerdeführers vom 9. Juli sowie vom 7. September 2013 die Beschwerde ergänzen, sind sie infolge Ablaufs der Rechtsmittelfrist (<ref-law>) von vornherein unzulässig. Im Übrigen wird darin bereits in der Beschwerdeschrift Ausgeführtes wiederholt. Nicht anders verhält es sich mit der Stellungnahme der Beschwerdegegnerin vom 30. August 2013 und 16. September 2013. Auf diese Eingaben ist insgesamt nicht mehr einzugehen.
1.7. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Bundesrecht mit freier Kognition (<ref-law>). Dabei wendet es - im Rahmen der gestellten Anträge - das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Es ist indes nicht gehalten, alle sich stellenden Rechtsfragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht (mehr) vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen).
2.2. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls auf sie nicht eingetreten wird. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Dazu ist in der Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids konkret einzugehen und im Einzelnen aufzuzeigen, worin eine Rechtsverletzung besteht (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
2.3. Das Bundesgericht ist an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, er sei offensichtlich unrichtig d.h. willkürlich festgestellt worden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398), oder beruhe auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>). In der Beschwerde muss zudem aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Es gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 255). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen, auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.4. Die Eingabe des Beschwerdeführers vermag den aufgezeigten Begründungsanforderungen über weite Strecken nicht zu genügen. Das trifft auf die Ausführungen auf S. 2-7 Ziff. 1 und 2 zu, die keine Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Urteils erkennen lassen. Dasselbe gilt aber namentlich auch für die Ausführungen auf S. 8 zu E. 1.4, S. 9 und 10 zu E. 3.1, S. 10 f. zu E. 3.5.2, zu E. 3.5.3, zu E. 3.5.4, zu E. 6 (recte 4), die sich nicht rechtsgenüglich mit den Erwägungen des angefochtenen Urteils auseinandersetzen und überdies zum Teil neue Tatsachen enthalten. In diesem Umfang ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.
Weder haben die Parteien vor den kantonalen Instanzen einen Antrag auf Abänderung der Regelung betreffend die gemeinsame elterliche Sorge gestellt, noch hat das Verwaltungsgericht die Voraussetzungen als gegeben erachtet, um die gemeinsame elterliche Sorge von Amtes wegen abzuändern (vgl. aArt. 298a Abs. 2 ZGB). Strittig ist einzig die Neuordnung der in der Vereinbarung vom 22. Juni 2010 festgelegten Betreuungsregelung.
3.1. Das Verwaltungsgericht hat erwogen, die Zuständigkeit zur Abänderung einer bestehenden Betreuungsregelung unverheirateter Eltern, denen gestützt auf aArt. 298a Abs. 1 ZGB aufgrund einer Vereinbarung die gemeinsame elterliche Sorge über ihr Kind übertragen worden sei, werde im Gesetz nicht geregelt. Da die Festlegung der Betreuungsanteile beider Eltern in der Sache der Regelung des Besuchsrechts gleiche, erstrecke sich die Regelungs- bzw. Änderungskompetenz der Vormundschaftsbehörde auf die Abänderung der bestehenden Betreuungsregelung. Das Verwaltungsgericht äusserte sich sodann zum Einwand des Beschwerdeführers, die Vereinbarung vom 22. Juni 2010 enthalte auch eine Lösung für den Fall der Aufhebung des gemeinsamen Haushaltes, weshalb insoweit kein Änderungsbedarf bestehe. Dazu führte es ergänzend aus, entgegen den Darlegungen habe sich die familiäre Situation der Betroffenen seit der Erstellung besagter Vereinbarung wesentlich verändert. Anlass zur Neuregelung der Betreuungsanteile gebe zum einen der Umstand, dass die Parteien nunmehr verschiedene Wohnsitze hätten, zum andern aber auch die Tatsache, dass sich die Parteien in Bezug auf die Betreuungsanteile nicht mehr einig seien. Vor diesem Hintergrund sei nicht erheblich, dass die Vereinbarung vom 22. Juni 2010 eine Regelung für die Zeit nach der gemeinsamen Haushaltsführung enthalte, zumal die Kinderbelange ohnehin nicht der freien Parteivereinbarung unterlägen bzw. die getroffene Regelung auf ihre Vereinbarkeit mit dem Kindeswohl zu überprüfen sei. Angesichts der veränderten Lebensumstände der Parteien und der fehlenden Bereitschaft, sich an die ursprüngliche Vereinbarung zu halten, sei die Betreuung zu recht neu geregelt worden.
3.2. Der Beschwerdeführer bestreitet die Zuständigkeit der Vormundschaftsbehörde zur Neuregelung der Betreuung. Er stellt sich des Weiteren wie vor dem Verwaltungsgericht auf den Standpunkt, die Verhältnisse hätten sich nicht geändert, da die Vereinbarung vom 22. Juni 2010 eine Lösung für den Fall der Auflösung des gemeinsamen Haushaltes enthalte. Die Beschwerdegegnerin schliesst sich im Ergebnis den vorinstanzlichen Ausführungen an.
4.
Haben die Eltern sich in einer genehmigungsfähigen Vereinbarung über ihre Anteile an der Betreuung des Kindes und die Verteilung der Unterhaltskosten verständigt, so überträgt ihnen die Vormundschaftsbehörde auf gemeinsamen Antrag die elterliche Sorge, sofern dies mit dem Kindeswohl vereinbar ist (aArt. 298a Abs. 1 ZGB). Nach aArt. 298a Abs. 2 ZGB regelt die vormundschaftliche Aufsichtsbehörde auf Begehren eines Elternteils oder des Kindes oder der Vormundschaftsbehörde die Zuteilung neu, wenn dies wegen wesentlicher Veränderung der Verhältnisse zum Wohl des Kindes geboten ist.
4.1. Die elterliche Sorge ist ein Pflichtrecht, das die Gesamtheit der elterlichen Verantwortlichkeit und Befugnisse gegenüber dem Kind umfasst, insbesondere mit Bezug auf die Erziehung, die gesetzliche Vertretung und die Vermögensverwaltung. Das Obhutsrecht ist Teil der elterlichen Sorge. Sein Kern ist die Befugnis, den Aufenthaltsort des Kindes sowie die Art und Weise seiner Unterbringung zu bestimmen (<ref-ruling> E. 4a). Des Weiteren ist der Träger des Obhutsrechtes verantwortlich für die tägliche Betreuung, Pflege und Erziehung des Kindes; teilweise wird dabei auch von faktischer Obhut (garde de fait) gesprochen. In der Rechtsprechung wird allgemein nicht zwischen Obhutsrecht und faktischer Obhut unterschieden, sondern generell von Obhut gesprochen, mit welcher das gesamte Rechtsbündel (Aufenthaltsbestimmung, tägliche Betreuung, Pflege und Erziehung) gemeint ist (siehe dazu: <ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 356).
4.2. Im vorliegenden Fall üben die Eltern die elterliche Sorge gemeinsam aus, was auch für die Obhut gilt, zumal diese nicht einem Elternteil ausschliesslich zugeteilt worden ist. Soweit die kantonalen Instanzen über eine Änderung der Betreuungsregelung befunden haben, handelt es sich dabei um eine Regelung der tatsächlichen Obhut. Da die Obhut, wie gesagt, von der Rechtsprechung als Teil der elterlichen Sorge angesehen wird (E. 4.1), und im Rahmen von Kindesschutzmassnahmen sowohl die Neuregelung der elterlichen Sorge (aArt. 311 ZGB) als auch der Obhut (aArt. 310 ZGB) in die Zuständigkeit der Vormundschaftsbehörde fallen, war die Vormundschaftsbehörde entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers zur Neuregelung der Betreuungsanteile zuständig. Eine Bundesrechtsverletzung ist insoweit nicht ersichtlich.
4.3. Das Verwaltungsgericht hat die Voraussetzungen von aArt. 298a Abs. 2 ZGB für eine Abänderung der Betreuungsregelung als gegeben erachtet. Es ist insbesondere davon ausgegangen, dass die bestehende Regelung den eingetretenen Verhältnissen und dem Kindeswohl angesichts des zwischen den Parteien bestehenden Streits über die Betreuungsanteile nicht mehr gerecht werde. Soweit der Beschwerdeführer davon ausgeht, eine Änderung der Betreuungsregelung erübrige sich, da die Vereinbarung bereits eine Regelung für das Pendelmodell vorsehe, kann ihm nicht gefolgt werden: Wie die Vorinstanz zu Recht festhält, unterliegen die Kinderbelange der Offizialmaxime (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling>), welche die zuständige Behörde zum Einschreiten verpflichtet, wenn sich die Parteien im Verlaufe der Zeit über die Betreuungsanteile nicht mehr einig sind und die früher getroffene Vereinbarung von einer oder von beiden Parteien nicht mehr eingehalten wird. Mit der neuen Betreuungsregelung hat die Vorinstanz das ihr zustehende Ermessen nicht überschritten, hat sie doch trotz der eingetretenen Uneinigkeit über die Betreuungsanteile darauf verzichtet, die gemeinsame Sorge aufzuheben oder die Obhut einem Elternteil alleine zuzuteilen. Mit der Neuregelung der Betreuungsanteile hat sie die am wenigsten einschneidende Massnahme getroffen, die den Verhältnissen und insbesondere dem Kindeswohl gerecht zu werden scheint. Der Beschwerdeführer bringt dagegen nichts vor, was die verwaltungsgerichtliche Auffassung als bundesrechtswidrig erscheinen liesse.
5.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (<ref-law> und <ref-law>).
6.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist gutzuheissen, da sich die Beschwerde nicht als von Anfang an aussichtslos erwiesen hat und der Beschwerdeführer nachweislich als bedürftig gilt (<ref-law>). Das bedeutet für den nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer, dass die Gerichtskosten einstweilen auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen sind.
7.
Infolge Gutheissung des Gesuchs des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist das Gesuch der Beschwerdegegnerin um Sicherstellung ihrer Parteikosten abzuweisen (<ref-law>).
8.
Da eine der Beschwerdegegnerin zugesprochene Parteientschädigung angesichts der prekären finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers von vornherein uneinbringlich sein dürfte, ist auch das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege gutzuheissen; sie gilt ebenfalls als bedürftig und ihr Standpunkt war nicht von Anfang an aussichtslos (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist ein amtlicher Rechtsbeistand zu bestellen, der angesichts der dem Beschwerdeführer gewährten unentgeltlichen Rechtspflege und der Uneinbringlichkeit einer Parteientschädigung für seine Bemühungen aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gesuche der Parteien um unentgeltliche Rechtspflege werden gutgeheissen. Der Beschwerdegegnerin wird Advokat Reiner Fringeli als amtlicher Rechtsbeistand bestellt.
3.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um Sicherstellung ihrer Parteikosten wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, einstweilen aber auf die Bundesgerichtskasse genommen.
5.
Advokat Reiner Fringeli wird für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- aus der Bundesgerichtskasse entrichtet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. November 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden