Sachverhalt:
A.
Die 1959 geborene türkische Staatsangehörige X._ hielt sich mit einem Besuchervisum bei Verwandten in der Schweiz auf, als sie 2005 den 1964 geborenen Schweizer Y._ heiratete. Aufgrund dieser Eheschliessung erhielt sie hier eine Aufenthaltsbewilligung. 2010 verstarb Y._ in O._, wobei seine Gattin zu dieser Zeit in der Türkei weilte.
B.
Mit Verfügung vom 26. April 2011 lehnte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ ab, da es die Voraussetzungen hierfür als nicht gegeben erachtete.
Ein hiergegen ergriffener Rekurs wurde vom Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel mit Entscheid vom 13. September 2013 abgewiesen. Anders als das Migrationsamt ging das Departement nicht nur vom Fehlen der Verlängerungsvoraussetzungen aus, sondern es erachtete die Beziehung von X._ und Y._ von vornherein als Scheinehe.
Hiergegen rekurrierte die Betroffene beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht. Dieses wies den Rekurs mit Urteil vom 17. Juli 2014 ebenfalls ab, doch liess es die Frage nach dem Vorliegen einer Scheinehe offen: Wie das Migrationsamt beschränkte sich das Appellationsgericht auf die Prüfung der Verlängerungsvoraussetzungen und erachtete diese als nicht gegeben.
C.
Mit Eingabe vom 15. September 2014 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und beantragt im Wesentlichen, es sei ihre Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
Das Justiz- und Sicherheitsdepartement und das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt sowie das Bundesamt für Migration (seit 1. Januar 2015: Staatssekretariat für Migration) schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Migrationsamt verzichtet auf eine Vernehmlassung und schliesst sich der Stellungnahme des Appellationsgerichtes an. Mit Eingabe vom 5. Januar 2015 nimmt X._ zum Vernehmlassungsergebnis Stellung und hält an ihren Anträgen fest.
Mit Verfügung vom 18. September 2014 erkannte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu.

Erwägungen:
1.
1.1. Nach Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen ausgeschlossen, auf deren Erteilung weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Rechtsanspruch einräumen. Im vorliegenden Fall beruft sich die Beschwerdeführerin unter anderem auf Art. 50 Abs. 1 lit. a und lit. b des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20), wonach der Bewilligungsanspruch des Ehegatten nach Auflösung der Ehe oder Familiengemeinschaft fortbesteht, wenn (lit. a) "die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht" oder (lit. b) "wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen". Sie behauptet, gestützt auf diese Bestimmungen einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu haben. Dies ist im Nachfolgenden näher zu prüfen. Ob die Bewilligung tatsächlich zu erteilen ist, bildet nicht Eintretensfrage, sondern Gegenstand der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1.5 S. 150). Insofern erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als zulässig und es kann auf das im Übrigen form- und fristgerecht (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Rechtsmittel grundsätzlich eingetreten werden (unter Vorbehalt von E. 1.2 und E. 1.3 hiernach), zumal die Beschwerdeführerin als Adressatin des angefochtenen Urteils ohne Weiteres hierzu legitimiert ist (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2. Das Bundesgericht stellt grundsätzlich auf den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt ab (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diese Sachverhaltsfeststellungen können vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Werden die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen von der beschwerdeführenden Partei beanstandet, so muss die Rüge gemäss den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerdeschrift begründet werden (<ref-ruling> E. 1.2.2 und E. 1.4.3 S. 252 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 351 f.); auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Zudem setzt eine Sachverhaltsrüge voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt; Umstände und Unterlagen, welche bei Erlass des angefochtenen Entscheids noch nicht vorlagen, stellen sog. "echte Noven" dar, welche im bundesgerichtlichen Verfahren in jedem Fall unzulässig sind. Gleiches gilt für neue Begehren (Art. 99 BGG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.).
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin rügt vorab in formeller Hinsicht eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) im Verfahren vor dem kantonalen Justiz- und Sicherheitsdepartement. Sie beanstandet, dass das Departement während des Rekursverfahrens zusätzliche Sachverhaltsabklärungen veranlasst und basierend auf dem so ermittelten neuen Sachverhalt auf eine Scheinehe geschlossen hat. Zum Vorliegen einer Scheinehe sei sie, die Beschwerdeführerin, im erstinstanzlichen Verfahren des Migrationsamts nämlich nicht angehört worden, weshalb sich der Instanzenzug für die Überprüfung des Streitgegenstandes verkürzt habe.
2.2. Die Rüge ist unbegründet:
Wie die Vorinstanz nachvollziehbar ausführt und wie auch von der Beschwerdeführerin selbst nicht bestritten wird, liegt der Auslöser für die zusätzlichen Sachverhaltsabklärungen des Departements darin, dass während des bei ihm anhängigen Rekursverfahrens der Bundesgerichtsentscheid <ref-ruling> erging, mit welchem die Anwendung von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG präzisiert wurde: Im genannten Entscheid hielt das Bundesgericht fest, dass der Tod eines Schweizer Bürgers für dessen ausländische Ehegattin vermutungsweise einen wichtigen persönlichen Grund für den weiteren Aufenthalt im Land gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG darstellt. Gleichzeitig stellte das Bundesgericht jedoch auch klar, dass diese Vermutung widerlegbar ist und nur dann gilt, wenn keine besonderen Umstände vorliegen, welche an der Legitimität der Ehe oder an der Intensität der ehelichen Bindung zwischen den Gatten Zweifel wecken ("lorsqu'aucune circonstance particulière ne permet de douter du bien-fondé du mariage ni de l'intensité des liens entre les conjoints").
Diese Weiterentwicklung der Rechtsprechung machte es vorliegend notwendig, dass die zuständige Rekursinstanz weitere Abklärungen tätigte, um zu prüfen, ob die Kriterien für das Bestehen resp. das Widerlegen der vom Bundesgericht aufgestellten Vermutung erfüllt sind, weshalb das entsprechende Vorgehen des Departements als sachgerecht erscheint. Ebenso wenig ist es zu beanstanden, dass das Departement im vorliegenden Fall angesichts der erweiterten Erkenntnisse eine Motivsubstitution vornahm: Entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin hatte dies keine Erweiterung oder Veränderung des Streitgegenstandes zur Folge; stets ging es um die Frage, ob der Beschwerdeführerin gestützt auf Art. 50 AuG ein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zusteht. Die Kriterien, welche das Bundesgericht in <ref-ruling> betreffend die Widerlegung der Härtefallvermutung zugunsten des überlebenden Ehegatten definiert hat, unterscheiden sich dabei nicht grundsätzlich von den Wesensmerkmalen einer Scheinehe; in beiden Fällen geht es um die Authentizität und die faktische Intensität der gelebten Beziehung. Das Prozessthema blieb somit im Wesentlichen dasselbe. Vor allem aber hat das Departement der Beschwerdeführerin am 14. März 2013 ausdrücklich Gelegenheit gegeben, zum neu aufgekommenen Verdacht der Scheinehe Stellung zu nehmen, was die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 30. Mai 2013 dann auch getan hat.
3.
3.1. Im Zusammenhang mit ihren formellen Vorbringen rügt die Beschwerdeführerin im Weitern eine Verletzung des Devolutiveffektes sowie eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts: Das kantonale Justiz- und Sicherheitsdepartement habe die ergänzenden Sachverhaltsabklärungen, namentlich eine persönliche Befragung der Beschwerdeführerin, zu Unrecht durch einen Mitarbeiter des Migrationsamtes vornehmen lassen, da es § 48 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 22. April 1976 betreffend die Organisation des Regierungsrates und der Verwaltung des Kantons Basel-Stadt (Organisationsgesetz, OG/BS; SG 153.100) der Rekursinstanz verbiete, Mitarbeiter der Vorinstanz mit der Behandlung des Rekurses zu beauftragen.
3.2. Das Appellationsgericht führte diesbezüglich aus, das Departement habe das Migrationsamt nicht mit der selbständigen Behandlung und Entscheidung des Rekurses beauftragt, sondern lediglich mit der hilfsweisen Durchführung einzelner ergänzender Sachverhaltsabklärungen wie etwa der persönlichen Befragung der Beschwerdeführerin. Der Entscheid in der Sache sei in jedem Fall dem Departement als Rekursinstanz vorbehalten geblieben. Ein solches Vorgehen stehe mit dem kantonalen Gesetz in Übereinstimmung, zumal dieses in § 48 Abs. 2 OG/BS ausdrücklich vorsehe, dass die Rekursinstanz Beteiligte und Sachverständige anhören oder anhören lassen kann.
3.3. Wie die Beschwerdeführerin zutreffend erkannt hat, ist die Verletzung von kantonalem Recht grundsätzlich kein zulässiger Beschwerdegrund; überprüft werden kann diesbezüglich nur, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder sonst wie gegen übergeordnetes Recht verstösst (<ref-ruling> E. 3.1 S. 227; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 2.4 und E. 2.5.2 S. 249 f.; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 151 f.). Im vorliegenden Fall erscheint es zwar eigenartig, dass das Departement die notwendig gewordene ergänzende Befragung der Beschwerdeführerin nicht selbst vornahm, sondern hierzu als Hilfspersonen auf Mitarbeiter der Vorinstanz zurückgriff. Indessen kann die vom Appellationsgericht vorgenommene Interpretation des kantonalen Rechts, wonach dieses nur die selbständige Behandlung und Entscheidung des Rekurses durch die Vorinstanz jedoch nicht deren hilfsweise Mitwirkung im Rekursverfahren verbiete, zumindest nicht als geradezu willkürlich bezeichnet werden: Dass auch eine andere Auffassung oder Auslegung des kantonalen Rechts denkbar oder gar vorzuziehen wäre, reicht gemäss ständiger Rechtsprechung für die Annahme von Willkür nicht aus (<ref-ruling> E. 7 S. 82; <ref-ruling> E. 4.2 S. 560; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4). Dass in der hier zu beurteilenden Angelegenheit über die hilfsweise Inanspruchnahme hinaus auch formelle oder faktische Entscheidungsbefugnisse an das Migrationsamt delegiert worden wären, ist nicht ersichtlich und wird von der Beschwerdeführerin auch nicht behauptet. Die Rüge erweist sich demgemäss als unbegründet.
4.
4.1. Wie bereits ausgeführt, besteht gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG der Bewilligungsanspruch des Ehegatten nach Auflösung der Ehe oder Familiengemeinschaft fort, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht. Wie das Appellationsgericht zutreffend aufgezeigt hat, bezweckt die Integration, dass längerfristig und rechtmässig anwesende Ausländerinnen und Ausländer am wirtschaftlichen, sozialen und kulturellen Leben der Gesellschaft teilhaben (Art. 4 Abs. 2 AuG; vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 4 f.; Urteil 2C_65/2014 vom 27. Januar 2015 m.w.H.). Dazu ist erforderlich, dass sich Ausländerinnen und Ausländer mit den gesellschaftlichen Verhältnissen und Lebensbedingungen in der Schweiz auseinandersetzen und insbesondere eine Landessprache erlernen (Art. 2 Abs. 4 AuG). Nach Art. 77 Abs. 4 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201) liegt eine erfolgreiche Integration nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG vor, wenn die Ausländerin oder der Ausländer namentlich die rechtsstaatliche Ordnung und die Werte der Bundesverfassung respektiert (lit. a) sowie den Willen zur Teilnahme am Wirtschaftsleben und zum Erwerb der am Wohnort gesprochenen Landessprache bekundet (lit. b). Nach Art. 4 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über die Integration von Ausländerinnen und Ausländern (VintA; SR 142.205) zeigt sich der Beitrag der Ausländerinnen und Ausländer zu ihrer Integration namentlich in der Respektierung der rechtsstaatlichen Ordnung und der Werte der Bundesverfassung (lit. a), im Erlernen der am Wohnort gesprochenen Landessprache (lit. b), in der Auseinandersetzung mit den Lebensbedingungen in der Schweiz (lit. c) sowie im Willen zur Teilnahme am Wirtschaftsleben und zum Erwerb von Bildung (lit. d).
4.2. Die Vorinstanz verneinte das Vorliegen einer erfolgreichen Integration: Zwar sei die Beschwerdeführerin bislang nicht strafrechtlich in Erscheinung getreten oder negativ aufgefallen. Ebenso habe sie bisher noch keine Sozialhilfe bezogen. Wie die Beschwerdeführerin selber einräume, sei dies allerdings alleine darauf zurückzuführen, dass ihr Unterhalt durch hier ansässige Familienangehörige gewährleistet werde: Die bescheidene Witwenrente von Fr. 1'398.--/Monat vermöge jedenfalls den gegenwärtigen Lebensunterhalt nicht zu decken. Seit ihrer Heirat und Einreise habe die Beschwerdeführerin zu keinem Zeitpunkt eine Erwerbstätigkeit ausgeübt, obwohl sie hierzu berechtigt gewesen und die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit auch geboten gewesen wäre, nachdem ihr Gatte im Frühjahr 2009 seine Stelle als Koch verloren und die finanzielle Situation sich verschlechtert habe. Auch seien keinerlei Suchbemühungen für eine Arbeitsstelle ersichtlich. Mangels jeglicher Teilhabe am wirtschaftlichen Leben könne folglich in wirtschaftlicher Hinsicht von einer erfolgreichen Integration keine Rede sein. Gleiches gelte in sprachlicher Hinsicht: Die Beschwerdeführerin spreche praktisch kein Deutsch. Ebenso sei weder belegt noch behauptet, dass sie sich je darum bemüht hätte, auch nur minimalste, ihrer Schulbildung entsprechende Deutschkenntnisse zu erwerben. Weiter sei auch in sozialer Hinsicht eine erfolgreiche Integration zu verneinen: Es sei in keiner Weise zu erkennen, dass die Beschwerdeführerin nennenswerte ausserfamiliäre bzw. ausserhäusliche Kontakte pflege; sie selbst gebe denn auch an, sich praktisch ausschliesslich im Kreise ihrer türkischstämmigen Familie zu bewegen. An Mitgliedschaften in Vereinen oder Engagements in hiesigen Institutionen, was als Teilhabe am gesellschaftlichen Leben in der Schweiz gewertet werden könnte, mangle es vollständig.
4.3. Den Ausführungen der Vorinstanz setzt die Beschwerdeführerin nichts Stichhaltiges entgegen. Sie beschränkt sich im Wesentlichen darauf, ihr Alter und die von ihr behaupteten gegenwärtigen körperlichen und psychischen Gebrechen hinzuweisen: Beim Tod ihres Gatten sei sie vermutungsweise schon 55 Jahre alt gewesen, da dürfe von ihr die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit nicht mehr verlangt werden. Dies überzeugt jedoch nicht: Bei Einreise in die Schweiz und Heirat im Jahr 2005 war die gemäss Aktenlage 1959 geborene Beschwerdeführerin erst 46 Jahre alt und beim Tod ihres Gatten im Jahr 2010 mithin erst 51-jährig. Der Vorinstanz ist zuzustimmen, dass gesundheitliche Beeinträchtigungen, welche ihr in jener Zeit die Ausübung zumindest einer Teilzeit-Erwerbstätigkeit verunmöglicht hätten, weder substantiiert noch belegt wurden (vgl. E. 5.8 hiernach). Auch die übrigen diesbezüglichen Vorbringen der Beschwerdeführerin gehen an der Sache vorbei: So macht sie etwa geltend, aus dem Umstand, dass sie für die amtliche Befragung einen Dolmetscher benötigt habe, dürfe nicht auf fehlende Sprachkompetenzen geschlossen werden. Ebenso weist sie darauf hin, dass zahlreiche ihrer Familienangehörigen inzwischen eingebürgert worden seien. Indessen zeigt sie nicht auf, inwiefern sie - entgegen den vorinstanzlichen Feststellungen - Deutschkenntnisse erworben habe oder über ausserfamiliäre Kontakte verfüge. Mit einem solchen Vorgehen vermag sie den Anforderungen an eine Sachverhaltsrüge im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zu genügen (vgl. E. 1.2 hiervor). Als Folge davon ist auch die vorinstanzliche Schlussfolgerung nicht zu beanstanden, dass die Beschwerdeführerin weder in wirtschaftlicher noch in sprachlicher oder gesellschaftlicher Hinsicht als integriert gelten kann. Sie kann den von ihr behaupteten Anspruch auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung mithin nicht aus Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG herleiten.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin leitet den von ihr geltend gemachten Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach wie vor auch daraus ab, dass wichtige persönliche Gründe ihren weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machten (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG). In diesem Zusammenhang beruft sie sich in erster Linie auf die mit <ref-ruling> eingeführte Vermutung beim Tod des Schweizer Ehegattens (E. 2.2 hiervor). Demgegenüber geht das Appellationsgericht davon aus, dass diese Vermutung im vorliegenden Fall nicht greife, zumal Zweifel an der Legitimität der Ehe und an der Intensität der ehelichen Bindung bestünden.
5.2. Zur Begründung führt die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid was folgt aus:
Aufgrund der zeitlichen Gegebenheiten (Kennenlernen der Ehegatten frühestens im Winter 2004/2005 anlässlich eines Besuchsaufenthaltes; Wiedereinreise der Beschwerdeführerin am 1. Juni 2005; Gesuch um Durchführung des Vorbereitungsverfahrens der Eheschliessung am 12. August 2005; Ablauf des Besuchervisums am 30. August 2005; Heirat am 15. September 2005) sei davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin nach Ablauf ihrer Anwesenheitsberechtigung und bereits nach kurzer Bekanntschaft einen schweizerischen Staatsangehörigen heiraten wollte, um hier eine Aufenthaltsbewilligung zu erhalten. Zwar könne grundsätzlich auch eine solche Ehe in tatsächlicher Verbundenheit der Gatten gelebt werden. Auffallend sei jedoch, dass die Beschwerdeführerin über die persönlichen Verhältnisse ihres Gatten wenig wisse und namentlich die Gründe nicht benennen bzw. kennen wolle, die im Jahr 2009 zum Stellenverlust ihres Mannes geführt haben; dies erstaune besonders, zumal die seitherige Arbeitslosigkeit für den Gatten zweifelsohne ein einschneidendes Ereignis dargestellt habe. Auch gemeinsame Reisen hätten unbestrittenermassen nie stattgefunden; dabei mute es seltsam an, dass die Beschwerdeführerin trotz günstigster Flüge nie gemeinsam mit ihrem Gatten in ihr Heimatland geflogen sei, etwa um ihn ihrer dort lebenden Mutter vorzustellen. Auffallend sei zudem, dass die Beschwerdeführerin und ihre hier lebenden Familienangehörigen - angeblich aus finanziellen Gründen - für den verstorbenen Ehemann trotz der behaupteten innigen Beziehung keinerlei Abdankungsfeier organisiert hätten.
Aussergewöhnlich seien aber im vorliegenden Fall insbesondere auch die Wohnverhältnisse: Die Beschwerdeführerin, welche zum Zeitpunkt des Ablebens ihres Gatten in der Türkei weilte, habe sich unmittelbar nach ihrer Rückkehr vom angeblichen ehelichen Domizil an der A._strasse 24 in O._ abgemeldet und sogleich bei ihrer Tochter an der B._strasse 139 in O._ angemeldet. Dieser jähe Wechsel lasse sich -entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin - nicht mit finanziellen Überlegungen begründen, blieb doch die Miete der angeblich ehelichen Wohnung ohnehin bis zum nächsten Kündigungstermin geschuldet. Es entstehe der Eindruck, dass die Beschwerdeführerin schon vor dem Tod des Gatten nicht mehr an der A._strasse 24 gewohnt habe, sondern dort nur zum Schein gemeldet gewesen sei. Dieser Verdacht werde durch einen weiteren seltsam anmutenden Umstand gestützt: In der angeblich ehelichen Wohnung sei eines der Zimmer an einen Freund des Ehemanns untervermietet gewesen, welcher dort offenbar unter bedenklichen wohnhygienischen Verhältnissen gehaust habe; in der türkischen Kultur sei es indes absolut ungebräuchlich, dass eine Frau, die wie die Beschwerdeführerin aus einer ländlichen, traditionell-patriarchalischen Struktur stamme, einen fremden Mann im ehelichen Heim dulde.
5.3. Die Beschwerdeführerin weist in diesem Zusammenhang darauf hin, dass die Vorinstanz es unterlassen habe, nachzuweisen oder festzustellen, dass die Ehe zwischen der Beschwerdeführerin und ihrem schweizerischen Gatten tatsächlich nicht bis zum Tode des Ehemanns intakt gewesen sei. Stattdessen gehe das Appellationsgericht in irriger Weise davon aus, dass das Nennen von Verdachtsmomenten bereits genüge, um den Bewilligungsanspruch gem. Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG zu verneinen. Eine Verweigerung der Bewilligung aufgrund von Mutmassungen und Zweifeln sei indes willkürlich und offensichtlich nicht haltbar, zumal diese nicht ausreichten, um den Vorwurf des Rechtsmissbrauchs hinreichend zu begründen: Die Feststellung der Vorinstanz, die Beschwerdeführerin habe ihren Gatten erst kurz vor der Hochzeit kennengelernt, sei überdies schon deshalb willkürlich, weil sich die Beschwerdeführerin bereits in früheren Jahren mit einem Besuchervisum in der Schweiz aufgehalten habe. Aus den fehlenden gemeinsamen Reisen könne ebenfalls nichts geschlossen werden; ihr Ehegatte habe ihre Mutter, d.h. seine Schwiegermutter, anlässlich deren Besuch in der Schweiz kennengelernt. Im Übrigen habe sie, die Beschwerdeführerin, stets angegeben, anlässlich des Ablebens ihres Gatten kein "Fest" organisiert zu haben, womit sie jedoch nicht gemeint habe, dass gar keine Abdankungsfeierlichkeiten stattgefunden hätten. Schliesslich will die Beschwerdeführerin auch in der sofortigen Adressänderung sowie in der Aufnahme eines männlichen Untermieters in die eheliche Wohnung nichts Ungewöhnliches sehen: Der sofortige Umzug sei erfolgt, weil sie bei ihren alltäglichen Verrichtungen auf die Hilfe Dritter angewiesen sei und die Untervermietung eines Zimmers sei bei bedürftigen türkischen Familien nichts Aussergewöhnliches. Die von der Vorinstanz monierten bedenklichen wohnhygienischen Zustände seien erst nach dem Tod des Ehegatten resp. dem Auszug der Beschwerdeführerin entstanden, als sich nur noch der Untermieter und dessen Freunde in jener Wohnung aufgehalten hätten.
5.4. Wie bereits ausgeführt, gilt die vom Bundesgericht aufgestellte Vermutung eines wichtigen Grundes für einen weiteren Aufenthalt der ausländischen Person nach dem Tod des Schweizer Gatten nur falls keine besonderen Umstände vorliegen, welche an der Legitimität der Ehe oder an der Intensität der ehelichen Bindung zwischen den Gatten Zweifel wecken. In <ref-ruling> E. 3.3 S. 396 hat das Bundesgericht als Beispiel für solche zu Zweifeln Anlass gebende Umstände ausdrücklich auch die Situation benannt, dass die ausländische Person vor dem Tod des schweizerischen Gatten das Zusammenleben aufgegeben hat, wodurch ersichtlich wird, dass die Ehegemeinschaft im Zeitpunkt des Ablebens bereits aufgelöst war ("le cas d'un étranger [...] qui aurait mis fin à la vie commune avant le décès de son conjoint suisse, démontrant qu'au moment du décès la communauté conjugale était rompue"; vgl. auch Urteil 2C_358/2012 vom 28. November 2012 E. 5.3.1). Dies steht in Übereinstimmung mit der grundsätzlichen Überlegung, dass der Härtefall beim Tod des Schweizer Gatten darin besteht, dass der überlebende ausländische Ehegatte jenes Leben aufgeben muss, welches er zusammen mit dem verstorbenen Partner in der Schweiz geführt hat (Urteil 2C_669/2012 vom 5. Mai 2013 E. 3.4). Da somit gerade kein Härtefall vorliegt, wenn das eheliche Zusammenleben bereits vor dem Ableben des schweizerischen Ehepartners nicht mehr stattfand, kommt es hier massgeblich auf die Wohnverhältnisse der Beschwerdeführerin beim Tod ihres Ehemanns an. Diese sind im Nachfolgenden näher zu behandeln.
5.5. Die Vorinstanz hat in diesem Zusammenhang auf verschiedene Umstände hingewiesen, die sie als auffällig bezeichnete, namentlich auf die sofortige Adressänderung der Beschwerdeführerin nach dem Tod des Gatten sowie auf das in der angeblich gemeinsamen Wohnung bestehende Untermietverhältnis mit einem Freund des Ehemanns und auf die in der Wohnung herrschenden prekären wohnhygienischen Verhältnisse. Diese Umstände sind nicht unbeachtlich. Jedoch hat die Beschwerdeführerin zutreffend eingewendet, dass das Appellationsgericht in sachverhaltlicher Hinsicht nicht explizit festgestellt hat, die Gatten hätten schon vor dem Tod des Ehemanns nicht mehr zusammengewohnt; diesbezüglich beschränkte sich die Vorinstanz auf die Äusserung eines entsprechenden Verdachts.
5.6. Wie hiervor in E. 1.2 aufgezeigt, kann das Bundesgericht die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Im Unterschied zu Art. 105 Abs. 2 des vormaligen, bis zum 31. Dezember 2006 in Kraft gewesenen Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (Bundesrechtspflegegesetz, OG; BS 3 531) erwähnt Art. 105 Abs. 2 BGG die unvollständige Sachverhaltsfeststellung nicht mehr ausdrücklich, doch anerkennt die herrschende Lehre, dass eine unvollständige Beurteilungsgrundlage auch eine Rechtsverletzung gemäss Art. 95 BGG darstelle, weswegen es sich rechtfertige, die bisherige Rechtsprechung zu Art. 105 Abs. 2 OG auch unter der Geltung des Bundesgerichtsgesetzes weiterzuführen (Meyer/Dormann in: Niggli/ Uebersax/Wiprächtiger [Hrsg.], Basler Kommentar - Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, Rz. 59 mit Hinweis auf die Gesetzesmaterialien; Seiler in: Seiler/von Werdt/Güngerich [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, Rz. 24 zu Art. 97; Corboz in: Corboz/Wurzburger/Ferrari/ Frésard/Aubry Girardin [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, Rz. 5 zu Art. 105).
Eine unvollständige Erhebung des Sachverhaltes liegt indes nur dann vor, wenn die für die Beurteilung des streitigen Rechtsverhältnis erforderlichen Tatsachen nicht festgestellt worden sind (<ref-ruling> E. 4.3 S. 62; Meyer/Dormann, a.a.O., Rz. 59 m.w.H.). In seiner Rechtsprechung zu Art. 105 Abs. 2 OG ging das Bundesgericht von der Vollständigkeit der Sachverhaltsfeststellung aus, wenn sich die rechtserheblichen Tatsachen aus der Begründung des angefochtenen Entscheids selber oder ohne Weiteres aus den von den vorinstanzlichen Behörden beigezogenen und dem Bundesgericht vorgelegten Akten ergeben (<ref-ruling> E. 5 S. 51 ff.; Meyer/Dormann, a.a.O., Rz. 25).
5.7. Hinsichtlich der Wohnsituation der Beschwerdeführerin vor dem Tod ihres Gatten lassen sich den im bundesgerichtlichen Verfahren vorliegenden Akten weitere erhebliche Tatsachen entnehmen:
Der Mietvertrag für die angeblich gemeinsame Wohnung lautet ausschliesslich auf den verstorbenen Ehemann; die Beschwerdeführerin ist nicht erwähnt. Weiter ist aus dem Vertrag ersichtlich, dass es sich beim gemieteten Objekt an der A._strasse 24 an sich um ein Bürogebäude mit insgesamt fünf Büros sowie Garderobe und Toilette und einem Archiv im Estrich handelt.
Der Rekursentscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements des Kantons Basel-Stadt vom 13. September 2013 verweist in seiner Randziffer 25 auf das konkursamtliche Inventar vom 30. Juli 2010 wonach sich die angeblich eheliche Wohnung an der A._strasse 24 bei der Inventarisierung in einem "äusserst desolaten Zustand" befand; die Böden seien allesamt mit leeren Alu-Bierdosen übersät und alles sei ziemlich stark verschmutzt gewesen. Weiter werden die Auskünfte der zuständigen Immobilienverwalterin wiedergegeben. Demgemäss habe das gesamte Objekt nach der Räumung saniert werden müssen; namentlich hätten neue Böden verlegt, neue Sanitäranlagen installiert und die gesamte Küche herausgerissen werden müssen. Sie, die Immobilienverwalterin, habe die Situation noch immer in Erinnerung und sie könne sich nicht vorstellen, dass jemand in solchen Verhältnissen habe wohnen können: Überall sei Abfall herumgelegen und in den Räumlichkeiten habe es einen üblen Geruch gehabt; zum Zustand beigetragen habe auch, dass in der Wohnung noch ein grosser Kampfhund gelebt habe.
In den Randziffern 26 und 27 des erwähnten Rekursentscheids hielt das Justiz- und Sicherheitsdepartement weitere Abklärungsergebnisse bei der Immobilienverwaltung fest. Demgemäss hat die Bewirtschafterin erst mit dem Tod von Y._ erfahren, dass dieser eine Ehefrau hatte. Damals habe sie, die Bewirtschafterin, in Erfahrung bringen können, dass die Ehefrau an der B._strasse 139 gewohnt habe; an diese Adresse habe sie dann der Beschwerdeführerin ein Schreiben zugestellt, wonach sie als überlebende Gattin das Recht habe, das Mietverhältnis für die Wohnung zu kündigen. An der A._strasse 24 sei zudem während der gesamten Mietdauer weder der Briefkasten noch das Klingelschild mit dem Namen der Beschwerdeführerin beschriftet gewesen; sie, die Bewirtschafterin, könne dies deswegen mit Sicherheit sagen, weil die Liegenschaftverwaltung die Praxis habe, die Einzahlungsscheine für die Miete nicht brieflich zu versenden, sondern diese den Mietern in regelmässigen Abständen persönlich vor Ort einzuwerfen, um den Behauptungen der Mieter zuvorzukommen, sie hätten keine Einzahlungsscheine erhalten.
Zusammenfassend ergibt sich mithin, dass es sich bei der von Y._ gemieteten "Wohnung" um offensichtlich zweckentfremdete Büroräumlichkeiten handelte, wobei eines dieser Büros zur dauerhaften Bewohnung einem Untermieter überlassen wurde. Die Beschwerdeführerin war weder im Mietvertrag dieses Objektes erwähnt noch hatte die Liegenschaftsverwaltung Kenntnis von der Verheiratung von Y._ oder von einem Einzug der Beschwerdeführerin. Zudem war der Name der Beschwerdeführerin zu keiner Zeit am Briefkasten oder am Klingelschild der Liegenschaft angeschrieben. Bei der konkursamtlichen Begehung des Objekts im Juli 2010 war dieses dermassen verdreckt und beschädigt, dass eine Gesamtsanierung durchgeführt werden musste. Bei dieser Sachlage erscheint es ausgeschlossen, dass die "Wohnung" von Y._ an der A._strasse 24 noch im Juni 2010 als gemeinsames eheliches Domizil von ihm und der Beschwerdeführerin gedient hat, womit feststeht, dass das Zusammenleben der Gatten - soweit es denn überhaupt stattgefunden hatte - jedenfalls beim Tod des Ehemanns bereits aufgegeben worden war. Aus diesem Grund ist der Schlussfolgerung des Appellationsgerichts zuzustimmen, dass sich die Beschwerdeführerin nicht auf die in <ref-ruling> aufgestellte Vermutung berufen kann.
5.8. Zu prüfen bleibt die Behauptung der Beschwerdeführerin, dass unabhängig von der Vermutung von <ref-ruling> weitere wichtige Gründe für ihren fortgesetzten Aufenthalt in der Schweiz vorliegen würden, zumal ihre Wiedereingliederung in der Türkei stark gefährdet sei. Sie beruft sich in diesem Zusammenhang auf eine Gehbehinderung sowie auf eine inzwischen aufgetretene Depression. Wie die Vorinstanz diesbezüglich jedoch zutreffend festhielt, hat die Beschwerdeführerin hinsichtlich dem Ausmass der behaupteten Gehbehinderung zu keinem Zeitpunkt hinreichend substantiierte Angaben gemacht oder aussagekräftige Unterlagen eingereicht. Zudem soll die Behinderung gemäss den Aussagen der Beschwerdeführerin auf einen Unfall zurückgehen, welcher sich bereits vor 25 Jahren ereignet habe, weshalb es insoweit auch am praxisgemäss erforderlichen Konnex zwischen der aufgelösten Ehe resp. dem damit verbundenen Aufenthalt einerseits und den geltend gemachten wichtigen Gründen für ein Verbleiben in der Schweiz andererseits mangelt (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 349 f.; Urteil 2C_766/2013 vom 1. November 2014 E. 2.2 m.w.H.). Gleiches gilt für die im bundesgerichtlichen Verfahren erstmals behauptete depressive Erkrankung: Auch hier ist weder ersichtlich noch dargetan, inwieweit ein Zusammenhang zur Ehe mit ihrem vor fünf Jahren verstorbenen Gatten bestehen soll. Überdies handelt es sich bei diesem Vorbringen und dem diesbezüglich eingereichten Arztzeugnis vom 9. September 2014 um unzulässige Noven (E. 1.3 hiervor). Somit steht fest, dass der Beschwerdeführerin gestützt auf Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG kein Anspruch auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung zusteht.
6.
Auch die übrigen Vorbringen der Beschwerdeführerin überzeugen nicht:
So behauptet sie etwa, aufgrund des von Art. 8 Ziff. 1 EMRK gewährleisteten Rechts auf Familienleben einen Anspruch auf eine Aufenthaltserlaubnis in der Schweiz zu haben, zumal sie aufgrund ihrer Gebrechen in einem eigentlichen Abhängigkeitsverhältnis zu ihren in der Schweiz lebenden Kindern stehe und selbst bei alltäglichen Verrichtungen auf deren Hilfe angewiesen sei. Wie bereits ausgeführt, beschränkt sie sich betreffend der von ihr geltend gemachten gesundheitlichen Beeinträchtigungen auf pauschale, unsubstantiierte Behauptungen und auf das Vorbringen unzulässiger Noven, so dass diese Einwendungen nicht zu hören sind. Ebenso wenig legt sie dar, welche ihrer Angehörigen in welchem Umfang Betreuungsaufgaben übernehmen würden, und weshalb es ausgeschlossen sein soll, solche pflegerische Unterstützung auch in der Türkei zu erhalten.
Somit ist nicht ersichtlich, weshalb der heute 56-jährigen Beschwerdeführerin, die bis zu ihrem 46. Lebensjahr in der Türkei gelebt hat, praktisch ausschliesslich Türkisch spricht, mit den dortigen sozialen und kulturellen Gepflogenheiten bestens vertraut ist und selbst nach der Eheschliessung mit ihrem Schweizer Gatten wiederholt alleine in die Türkei gereist ist, eine Rückkehr in ihre Heimat nicht zuzumuten sein sollte.
7.
Nach dem Ausgeführten ist der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichtes des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht im Ergebnis nicht zu beanstanden. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist folglich abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin an sich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann jedoch bewilligt werden, da die Beschwerde angesichts der Mängel bei der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung (vgl. E. 5.5 hiervor) jedenfalls nicht als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden kann, die Beschwerdeführerin bedürftig ist, und die Beigabe eines Anwalts notwendig erscheint (Art. 64 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird gutgeheissen:
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Advokat Dr. Yves Waldmann, O._, wird als unentgeltlicher Rechtsbeistand der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht sowie dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juni 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler