Erwägungen:
1. X._ (geb. 1974), tunesischer Staatsangehöriger, heiratete in seinem Heimatland am 4. Juli 2004 die in der Schweiz niederlassungsberechtigte österreichische Staatsbürgerin Y._ (geb. 1971). In der Folge erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung B EG/EFTA, die zuletzt bis am 2. September 2009 verlängert wurde. Am 23. August 2005 kam der gemeinsame Sohn A._ zur Welt, der in die Niederlassungsbewilligung seiner Mutter einbezogen wurde. Spätestens im November 2005 zog X._ aus der ehelichen Wohnung aus. Bereits zuvor war es zu Auseinandersetzungen zwischen den Eheleuten gekommen. Y._ hatte das Amt für Migration des Kantons Luzern im Februar 2005 erstmals über eine Trennung informiert.
Am 21. Juli 2009 ersuchte X._ um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung. Das Amt für Migration des Kantons Luzern lehnte dieses Gesuch am 18. Januar 2011 ab. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos.
Vor Bundesgericht beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 4. Januar 2012 aufzuheben und die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Ferner sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
2. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet, soweit sie überhaupt den gesetzlichen Begründungs- wie Rügeanforderungen genügt; sie kann ohne Weiterungen mit summarischer Begründung im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden.
2.1 Der Beschwerdeführer äussert sich in seiner Eingabe nicht näher zur Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. <ref-law>), ruft in der Sache jedoch Art. 8 EMRK an. Da der minderjährige Sohn über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz verfügt, hat der Beschwerdeführer grundsätzlich Anspruch auf eine Anwesenheitsbewilligung und kann sich auf Art. 8 EMRK berufen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179).
Die neuen Vorbringen des Beschwerdeführers (regelmässiger Kontakt zu seinem Sohn, Erfüllen seiner Unterhaltspflichten, Bemühungen um eine Arbeitsstelle) fallen unter das Novenverbot von <ref-law> und sind daher unzulässig.
2.2 Der Beschwerdeführer macht einzig eine Verletzung von Art. 8 EMRK geltend, was nachfolgend näher zu prüfen ist.
Der nicht sorge- bzw. obhutsberechtigte Ausländer hat gestützt auf Art. 8 EMRK ausnahmsweise dann einen Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, wenn er sich tadellos verhalten hat und zwischen ihm und seinem Kind in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung besteht (Urteil 2C_336/2012 vom 3. August 2012 E. 3.2 mit Hinweisen). Das Verwaltungsgericht hält zu Recht fest, dass es vorliegend gleich an mehreren Voraussetzungen für die ausnahmsweise Zuerkennung eines Anwesenheitsrechts an den nicht obhutsberechtigten Beschwerdeführer fehlt: Weder in affektiver noch in wirtschaftlicher Hinsicht besteht eine besonders enge Beziehung des Beschwerdeführers zu seinem Sohn A._. Das im Rahmen der vorsorglichen Massnahmen im Scheidungsverfahren eingeräumte Besuchsrecht geht nicht über das übliche Mass hinaus - und ist damit eben nicht besonders grosszügig ausgestaltet (vgl. dazu Urteil 2C_718/2010 vom 2. März 2011 E. 3.2.1 mit Hinweisen). Ein regelmässiger Kontakt zu seinem Sohn ist nicht erstellt. Die Zahlung der geschuldeten Unterhaltszahlungen hat der Beschwerdeführer weder belegen noch beziffern können. Auch ist das Verhalten des Beschwerdeführers nicht tadellos, da seine Zahlungsmoral zu wünschen übrig lässt und er beträchtliche Schulden in Form von Verlustscheinen aufweist. Zudem ist der Beschwerdeführer in den vergangenen Jahren fünf Mal gebüsst worden, was trotz nur geringfügiger Übertretungen nicht ausser Acht gelassen werden darf. Abgesehen davon bezieht der Beschwerdeführer nach eigenen Angaben Sozialhilfe. Die Verweigerung des weiteren Aufenthaltes in der Schweiz verstösst damit insgesamt nicht gegen Art. 8 EMRK.
Weder aus dem Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681) noch aus Art. 50 AuG (SR 142.20) ergäbe sich vorliegend etwas anderes (vgl. Urteil 2C_886/2011 vom 28. Februar 2012 E. 4.1). Für alles Weitere kann auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden (<ref-law>).
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>), da seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege infolge Aussichtslosigkeit nicht zu entsprechen ist (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Egli