Erwägungen:
1. X._ (geb. 1972) ist nach eigenen Angaben kamerunischer Staatsbürger, dürfte jedoch nach den bisherigen Abklärungen eher aus Nigeria stammen. Er durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren. Vom 14. Mai bis zum 11. Juni 2008 befand er sich in Untersuchungshaft (Drogenhandel); tags darauf nahm ihn das Amt für Migration des Kantons Zug in Ausschaffungshaft, welche der Haftrichter am Verwaltungsgericht des Kantons Zug am 13. Juni 2008 prüfte und bis zum 10. September 2008 bestätigte. X._ wandte sich am 18. Juni 2008 mit einem "Letter of an Appeal" gegen diesen Entscheid. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug leitete sein Schreiben am 20. Juni 2008 zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weiter. X._ beantragt sinngemäss, aus der Haft entlassen zu werden.
2. Die Eingabe ist - soweit sich der Beschwerdeführer darin überhaupt sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt und nicht lediglich allgemeine Kritik an der schweizerischen Asylpolitik übt (vgl. <ref-law>) - offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden:
2.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden (Nichteintretensentscheid des Bundesamts für Migration vom 5. September 2007, bestätigt durch das Bundesverwaltungsgericht am 18. September 2007); er weigert sich jedoch nach wie vor, das Land freiwillig zu verlassen. Der Beschwerdeführer wurde als Kleindealer in der Drogenszene aktiv, versuchte die Behörden mit einer gefälschten Identitätskarte über seine Personalien zu täuschen und ist hier bereits einmal ohne Adressangabe verschwunden. Gestützt auf dieses Verhalten besteht bei ihm "Untertauchensgefahr" im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f.); zudem erfüllt er den Haftgrund von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 AuG (asylrechtlicher Nichteintretensentscheid).
2.2 Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, in seiner Heimat verfolgt zu werden, verkennt er, dass hierüber im Asylverfahren rechtskräftig entschieden wurde und er diese Frage im Haftprüfungsverfahren nicht mehr aufwerfen kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 197 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 220). Hinsichtlich seines Einwands, bei einer Haftentlassung bereit zu sein, sich in einen Drittstaat zu begeben, ist nicht ersichtlich, wie er dies ohne Reisepapiere rechtmässig tun könnte; nur sein Heimatstaat ist verpflichtet, ihn gegebenenfalls auch ohne solche zurückzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2). Der Beschwerdeführer kann die Dauer seiner ausländerrechtlich begründeten Festhaltung verkürzen, indem er bei der Organisation seiner Heimkehr mit den Behörden zusammenarbeitet. Für alles Weitere wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (<ref-law>).
3. Aufgrund der Umstände rechtfertigt es sich, keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>). Das Amt für Migration des Kantons Zug wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Haftrichter, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar