Sachverhalt:
A.
Der 1984 geborene A._ schloss im Juli 2007 bei der Firma B._ GmbH die Lehre zum Autofachmann ab. Seit 18. Januar 2011 arbeitete er wieder bei dieser Firma als Autofachmann. Vom 7. Juli 2011 bis 18. August 2011 war er in der Klinik C._ für Psychiatrie und Psychotherapie, hospitalisiert. Am 13. März 2012 meldete er sich bei der IV-Stelle des Kantons Thurgau zum Leistungsbezug an. Diese zog diverse Arztberichte und ein für die Sympany Versicherungen AG erstelltes Gutachten der Psychiaterin Frau Dr. med. D._ vom 3. Oktober 2012 bei. Weiter holte sie ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. E._ vom 23. Oktober 2013 samt neuropsychologischer Beurteilung des Psychologen Dr. phil. F._ vom 1. Oktober 2013 ein. Dr. med. E._ diagnostizierte eine einfache Aktivitäts- und Aufmerksamkeitsstörung im Erwachsenenalter (ICD-10: F90.0) sowie eine rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig leichte depressive Episode (ICD-10 F33.0), mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit. Mit Verfügung vom 10. Juni 2014 verneinte die IV-Stelle den Anspruch des Versicherten auf berufliche Massnahmen. Mit Verfügung vom 21. Oktober 2014 sprach sie ihm ab 1. Januar 2013 bis 31. Dezember 2013 eine ganze Invalidenrente zu (Invaliditätsgrad 100 %).
B.
Gegen beide Verfügungen erhob der Versicherte beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau Beschwerde. Dieses holte eine Stellungnahme des Dr. med. E._ vom 7. Januar 2015 ein. Der Versicherte legte eine Stellungnahme des Dr. med. G._, Oberarzt, Externer Psychiatrischer Dienst, Klinik C._, vom 15. Januar 2015 auf. Die Beschwerde gegen die Verfügung vom 10. Juni 2014 hiess die Vorinstanz gut; sie hob sie auf und wies die Sache zur Berufsberatung und anschliessend neuem Entscheid über eine mögliche Umschulung an die IV-Stelle zurück. Die Beschwerde gegen die Rentenverfügung vom 21. Oktober 2014 wies die Vorinstanz ab (Entscheid vom 4. März 2015).
C.
Mit Beschwerde beantragt der Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei ein Obergutachten in Auftrag zu geben und alsdann eine unbefristete Invalidenrente zuzusprechen; es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren beanstandeten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Rechtsfragen sind die vollständige Feststellung erheblicher Tatsachen sowie die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die aufgrund dieser Berichte gerichtlich festgestellte Gesundheitslage bzw. Arbeitsfähigkeit und die konkrete Beweiswürdigung sind Sachverhaltsfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397; nicht publ. E. 4.1 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]).
2.
Die Vorinstanz - auf deren Entscheid verwiesen wird - hat die für die Beurteilung des Leistungsanspruchs massgebenden rechtlichen Grundlagen richtig dargelegt.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat mit einlässlicher Begründung erwogen, im Bericht vom 11. Juni 2012 hätten die Ärzte des psychiatrischen Zentrums H._ eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit ab 17. Januar 2012 attestiert. Die IV-Stelle sei demnach ab diesem Zeitpunkt zu Recht vom Beginn des Wartejahres (<ref-law>) ausgegangen. Das psychiatrische Gutachten des Dr. med. E._ vom 23. Oktober 2013 erfülle die Anforderungen an eine rechtsgenügliche medizinische Beurteilungsgrundlage, weshalb darauf abzustellen sei. Der Versicherte sei am 30. August 2013 von Dr. med. E._ und am 23. September 2013 vom Neuropsychologen Dr. phil. F._ untersucht worden. Spätestens ab dann sei die von Dr. med. E._ festgestellte 75%ige Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit zu berücksichtigen. Bei dieser Arbeitsfähigkeit resultiere ein rentenausschliessender Invaliditätsgrad von 16,7 %. Die IV-Stelle habe dem Versicherten somit zu Recht eine ganze befristete Rente vom 1. Januar 2013 bis 31. Dezember 2013 (drei Monate nach der Verbesserung; <ref-law>) zugesprochen.
Sämtliche Einwände des Versicherten vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern. Festzuhalten ist insbesondere Folgendes:
3.2. In der Beschwerde wiederholt der Versicherte über weite Teile hinweg wortwörtlich die vor kantonalem Gericht vorgebrachte Argumentation; hierauf ist von vornherein nicht weiter einzugehen (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.1 und E. 2.3 S. 245 ff.). Die Beschwerde wird demnach nur insoweit geprüft, als die aufgeworfenen Aspekte mit einer ausreichenden Begründung versehen sind (Urteil 8C_96/2015 vom 19. Mai 2015 E. 3.2).
3.3. Der Versicherte beruft sich in erster Linie auf die Berichte des behandelnden Psychiaters Dr. med. G._ vom 2. Juli 2014 und 15. Januar 2015. Diese Berichte vermögen - wie die Vorinstanz richtig erkannt hat - das Gutachten des Dr. med. E._ vom 23. Oktober 2013 nicht in Frage zu stellen, zumal nicht ersichtlich ist, dass sie wichtige Aspekte benennen, die bei der Begutachtung unerkannt oder ungewürdigt geblieben sind (Urteil 8C_516/2014 vom 6. Januar 2015 E. 7). Die Angaben des Dr. med. G._ sind vielmehr - wie die Vorinstanz richtig erkannt hat - divergent, da er im Bericht vom 2. Juli 2014 aus seiner damaligen Erfahrung von einer 80%igen Leistungsminderung bei einem 50%igen Pensum und in demjenigen vom 15. Januar 2015 von einer aufzubauenden 50%igen Arbeitsfähigkeit seit Februar 2014 ausging.
3.4. Der Versicherte bringt vor, die Vorinstanz habe sich nicht mit allen Aspekten in den Berichten des Dr. med. G._ und im Gutachten der Frau Dr. med. D._ vom 3. Oktober 2012 und weiteren Arztberichten auseinandergesetzt. Die aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör fliessende Begründungspflicht (<ref-law>; <ref-law>) erfordert indessen nicht, dass sich das Gericht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt. Vielmehr kann es sich auf die für seinen Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründungspflicht soll den Anspruch der Partei auf eine sachbezogene Begründung gewährleisten. Sie ist erfüllt, wenn der Betroffene die entsprechenden Erwägungen sachgerecht anfechten kann (<ref-ruling> E. 5.1 S. 237; Urteil 8C_288/2015 vom 26. Mai 2015 E. 3.3). Dies ist hier der Fall.
3.5. Da von weiteren medizinischen Abklärungen keine entscheidrelevanten Ergebnisse mehr zu erwarten sind, hat die Vorinstanz zu Recht darauf verzichtet (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236).
3.6. Der vorinstanzliche Einkommensvergleich, der ab 1. Januar 2014 zu einem rentenausschliessenden Invaliditätsgrad von 16,7 % führte (<ref-law>), ist unbestritten, womit es sein Bewenden hat.
4.
Der unterliegende Versicherte trägt die Verfahrenskosten (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihm wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht gewährt werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Juli 2015
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar