Sachverhalt:
A. A.a Der 1964 geborene G._ bezog während der vom 31. August 2004 bis 30. August 2006 laufenden Rahmenfrist Taggelder der Arbeitslosenversicherung und war deswegen bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, Zweigstelle Deutschschweiz (nachfolgend: Auffangeinrichtung), berufsvorsorgerechtlich versichert. Er meldete sich am 14. März 2008 zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau sprach G._ eine ganze Invalidenrente mit Wirkung ab 1. Juni 2007 zu (Verfügung vom 31. August 2009).
A.b G._ verlangte in der Folge von der Auffangeinrichtung die Ausrichtung einer Invalidenrente. Nach mehrmaligem Schriftenwechsel verneinte diese am 6. August 2010 eine Leistungspflicht.
B. Die von G._ gegen die Auffangeinrichtung auf Ausrichtung einer Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge erhobene Klage hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 6. April 2011 gut.
C. Die Auffangeinrichtung führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, das Urteil vom 6. April 2011 sei aufzuheben und die Klage abzuweisen.
G._ und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2 Grundsätzlich wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Rechtsverletzungen und Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550; <ref-ruling> E. 2.5 S. 262). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2. Anspruch auf Invalidenleistungen haben nach Art. 23 lit. a BVG Personen, die im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 40 % invalid sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert waren. Die obligatorische Versicherung beginnt gemäss Art. 10 Abs. 1 BVG mit dem Antritt des Arbeitsverhältnisses, für Bezüger von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung mit dem Tag, für den erstmals eine Arbeitslosenentschädigung ausgerichtet wird (SVR 2011 BVG Nr. 30 S. 114, 9C_793/2010 E. 4). Sodann sind gemäss Art. 1 Abs. 1 der Verordnung über die obligatorische berufliche Vorsorge von arbeitslosen Personen vom 3. März 1997 (SR 837.174; nachfolgend: Verordnung) Arbeitslose für die Risiken Tod und Invalidität obligatorisch versichert, welche die Anspruchsvoraussetzungen nach <ref-law> für den Bezug von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung erfüllen oder Entschädigungen nach <ref-law> beziehen (lit. a) und einen koordinierten Tageslohn nach den Art. 4 oder 5 erzielen (lit. b). Laut Art. 10 Abs. 2 lit. d BVG endet die Versicherungspflicht unter Vorbehalt von Art. 8 Abs. 3 BVG, wenn der Anspruch auf Taggelder der Arbeitslosenversicherung wegen des Ablaufs der Rahmenfrist endet.
3. 3.1 Die Vorinstanz erwog, die Bezugnahme auf die Rahmenfrist in Art. 10 Abs. 2 lit. d BVG sei mit der 1. BVG-Revision eingeführt worden, um klarzustellen, dass das Vorsorgeverhältnis erst nach Ausschöpfung des Anspruchs auf Arbeitslosentaggelder ende. Sodann blieben gemäss Art. 2 Abs. 2 Verordnung arbeitslose Personen selbst nach einer gestützt auf <ref-law> ausgesprochenen vorübergehenden Einstellung der Anspruchsberechtigung versichert. Demzufolge bestimme sich das Ende des Vorsorgeverhältnisses bei Arbeitslosen nach der Rahmenfrist, welche hier vom 31. August 2004 bis 30. August 2006 gedauert habe. Die Arbeitsunfähigkeit, die Ursache der Invalidität war, habe mit der Wartezeit (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 gültigen Fassung) am 1. Juni 2006 zu laufen begonnen. Auch wenn am 18. April 2006 wegen Ausschöpfung des Krankentaggeldes (<ref-law>) ein Stillstand in der arbeitslosenversicherungsrechtlichen Anspruchsberechtigung eingetreten sei, bestehe ein Rentenanspruch aus beruflicher Vorsorge (Art. 23 lit. a BVG).
3.2 Die Beschwerdeführerin trägt hiegegen vor, das kantonale Gericht verkenne, dass der vorsorgerechtliche Versicherungsschutz einen BVG-pflichtigen Lohn voraussetze. Alleinige Ausnahmen von diesem Grundsatz seien in Art. 10 Abs. 3 BVG (Nachdeckung) und Art. 2 Abs. 2 Verordnung geregelt. Mangels einer Gesetzes- oder Verordnungsbestimmung bestehe nach dem Ende des Anspruchs auf Arbeitslosentaggeld keine Versicherungsdeckung aus obligatorischer beruflicher Vorsorge mehr.
4. Streitig ist, ob der Beschwerdegegner im Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, bei der Auffangeinrichtung berufsvorsorgeversichert war. Uneinigkeit besteht in
der Auslegung von Art. 10 Abs. 2 lit. d BVG, welche Bestimmung das Ende der vorsorgerechtlichen Versicherung arbeitsloser Personen regelt.
4.1 Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zu Grunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden. Die Gesetzesauslegung hat sich vom Gedanken leiten zu lassen, dass nicht schon der Wortlaut die Norm darstellt, sondern erst das an Sachverhalten verstandene und konkretisierte Gesetz. Gefordert ist die sachlich richtige Entscheidung im normativen Gefüge, ausgerichtet auf ein befriedigendes Ergebnis der ratio legis. Dabei befolgt das Bundesgericht einen pragmatischen Methodenpluralismus und lehnt es namentlich ab, die einzelnen Auslegungselemente einer hierarchischen Prioritätsordnung zu unterstellen. Die Gesetzesmaterialien können beigezogen werden, wenn sie auf die streitige Frage eine klare Antwort geben (<ref-ruling> E. 6.6.2.1 S. 37; <ref-ruling> E. 7.1 S. 203; <ref-ruling> E. 5.1 S. 53; <ref-ruling> E. 5.2 S. 311).
4.2 Die Auslegung von Art. 10 Abs. 2 lit. d BVG durch die Vorinstanz geht dahin, dass der vorsorgerechtliche Versicherungsschutz bestehen bleibt, auch wenn die versicherte Person während laufender Rahmenfrist (<ref-law>) keinen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung mehr hat (<ref-law>). Das kantonale Gericht lässt als Beendigungsgrund des Versicherungsschutzes mithin nur den Ablauf der Rahmenfrist gelten. Dieser Betrachtungsweise kann nicht beigepflichtet werden. Nach Art. 2 Abs. 3 BVG unterstehen Bezüger von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung für die Risiken Tod und Invalidität der obligatorischen Versicherung (SVR 2011 BVG Nr. 30 S. 114, 9C_793/2010). Dementsprechend sieht Art. 1 Abs. 1 lit. a Verordnung vor, dass für die Risiken Tod und Invalidität arbeitslose Personen obligatorisch versichert sind, welche die Anspruchsvoraussetzungen nach <ref-law> für den Bezug von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung erfüllen oder Entschädigungen nach <ref-law> beziehen. Darüber hinaus bildet das Taggeld der Arbeitslosenversicherung die Grundlage für den koordinierten Tageslohn (Art. 4 Abs. 1 und 2 Verordnung; vgl. Art. 8 Abs. 1 BVG). Unter Berücksichtigung des Koordinationsabzuges (Art. 3 Abs. 1 und Art. 4 Abs. 2 Verordnung) bestimmt der koordinierte Tageslohn, ob Arbeitslose für die Risiken Tod und Invalidität überhaupt obligatorisch versichert sind (Art. 1 Abs. 1 lit. b Verordnung; JEAN-MAURICE FRÉSARD, Questions de coordination en matière de prévoyance professionnelle, Recueil de Jurisprudence Neuchâteloise, 2000, S. 38 Rz. 51) und es wird damit der obligatorisch zu versichernde Einkommensbereich umgrenzt (Art. 4 Abs. 1 Verordnung; vgl. SVR 2011 BVG Nr. 40 S. 151, 9C_120/2010 E. 5.1; vgl. JÜRG BRECHBÜHL, in: BVG und FZG, Handkommentar, 2010, N. 8 und 9 zu Art. 8 BVG). In diesem Lichte kann aus dem Wortlaut von Art. 10 Abs. 2 lit. d BVG (vgl. E. 2) nicht der Schluss gezogen werden, erst der Ablauf der Rahmenfrist beende die einmal begründete obligatorische Versicherungsunterstellung (vgl. Urteile B 95/03 vom 29. Juni 2004 E. 3 und B 56/00 vom 17. Mai 2001 E. 3b). Die Aufrechterhaltung des Versicherungsschutzes setzt vielmehr den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung voraus.
4.3 Laut Botschaft zur 1. BVG-Revision soll mit dem Begriff "wegen des Ablaufs der Rahmenfrist" in Art. 10 Abs. 2 lit. d BVG nur klargestellt werden, dass eine Bezügerin oder ein Bezüger von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung in der obligatorischen beruflichen Vorsorge versichert bleibt, solange der Anspruch auf ein Arbeitslosentaggeld besteht. Insbesondere bleibt der Versicherungsschutz erhalten, wenn der Bezug der Taggelder nach <ref-law> vorübergehend eingestellt worden ist (BBl 2000 2689; vgl. auch JÜRG BRECHBÜHL, a.a.O., N. 24 zu Art. 10 BVG). In diesem Sinn sind gemäss Art. 2 Abs. 2 Verordnung Personen obligatorisch berufsvorsorgerechtlich versichert, deren Anspruchsberechtigung eingestellt ist (<ref-law>). Die Frage nach der Leistungseinstellung gestützt auf <ref-law> stellt sich nämlich nur, wenn sämtliche Anspruchsvoraussetzungen nach <ref-law> erfüllt sind (THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2. Aufl. 2007, S. 2424 Rz. 826). Die Einstellung der Arbeitslosentaggelder setzt mithin die Anspruchsberechtigung gemäss <ref-law> voraus (Art. 30 Abs. 3 erster Satz AVIG). Zufolge Taggeldeinstellung endet die berufsvorsorgerechtliche Versicherungspflicht arbeitsloser Personen daher nicht. Der Versicherungsschutz aus beruflicher Vorsorge erlischt hingegen, falls der Anspruch auf ein Arbeitslosentaggeld während laufender Rahmenfrist wegfällt. Es ist zu prüfen, ob die Ausschöpfung der gestützt auf <ref-law> ausbezahlten Taggelder (vgl. E. 3.1 hievor) den Anspruch auf Arbeitslosentaggeld untergehen liess, oder ob es sich dabei um einen Tatbestand der Leistungseinstellung handelt.
5. 5.1 Gemäss <ref-law> haben Versicherte, die wegen Krankheit (<ref-law>), Unfall (<ref-law>) oder Schwangerschaft vorübergehend nicht oder nur vermindert arbeits- und vermittlungsfähig sind und deshalb die Kontrollvorschriften nicht erfüllen können, Anspruch auf das volle Taggeld, sofern sie die übrigen Anspruchsvoraussetzungen erfüllen. Dieser dauert längstens bis zum 30. Tag nach Beginn der ganzen oder teilweisen Arbeitsunfähigkeit und ist innerhalb der Rahmenfrist auf 44 Taggelder beschränkt.
5.2 Der Anwendungsbereich von <ref-law> beschränkt sich auf Versicherte, die vorübergehend nicht oder nur vermindert arbeits- und vermittlungsfähig sind (SVR 2006 AlV Nr. 22 S. 75, C 286/05 E. 3.2; THOMAS NUSSBAUMER, a.a.O., S. 2307 Rz. 439). Die Koordinationsvorschrift nimmt durch die Erwähnung der Arbeits- und Vermittlungsunfähigkeit auf <ref-law> Bezug (RKUV 2003 Nr. U 477 S. 111, U 160/02 E. 2.1) und stellt eine Ausnahme vom Grundprinzip der Arbeitslosenversicherung dar, wonach Leistungen nur bei Vermittlungsfähigkeit der Versicherten in Betracht kommen (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; SVR 2010 AlV Nr. 5 S. 11, 8C_841/2009 E. 4.4). Denn die Arbeitsfähigkeit bildet ein wesentliches Element der Vermittlungsfähigkeit (vgl. <ref-law>: "...in der Lage...ist"; E. 4.3 des unmittelbar hievor angeführten Urteils). Aus diesem Grund ist nach Ablauf der in <ref-law> eingeräumten Bezugsdauer der Anspruch auf Arbeitslosentaggeld nicht mehr gegeben, falls die versicherte Person weiterhin krankheitsbedingt vermittlungsunfähig ist. Um eine blosse Leistungseinstellung handelt es sich dabei nicht. Demzufolge waren mit der Taggeldeinstellung vom 18. April 2006 die Voraussetzungen für die obligatorische Versicherungsunterstellung nicht mehr gegeben, wobei aus nachfolgenden Gründen offen bleiben kann, ob der Beschwerdegegner in den Genuss der Nachdeckung gemäss Art. 10 Abs. 3 BVG kommt (vgl. SVR 2008 BVG Nr. 22 S. 87, B 110/06 E. 6.3).
6. 6.1 Im kantonalen Klageverfahren über Streitigkeiten zwischen Vorsorgeeinrichtungen und Anspruchsberechtigten stellt das Gericht den Sachverhalt von Amtes wegen fest (Art. 73 Abs. 2 BVG; <ref-ruling> E. 2 S. 451 f.; SVR 2010 BVG Nr. 34 S. 129, 9C_889/2009 E. 3.2). Die unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen sowie die Nichtbeachtung des Untersuchungsgrundsatzes durch das kantonale Versicherungsgericht stellen eine Verletzung von Bundesrecht nach <ref-law> dar (vgl. SVR 2009 IV Nr. 56 S. 174, 9C_323/2009 E. 3 zum hier nicht direkt anwendbaren <ref-law>).
6.2 Damit eine Vorsorgeeinrichtung, welcher ein Arbeitnehmer beim Eintritt der Arbeitsunfähigkeit angeschlossen war, für das erst nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses eingetretene Invaliditätsrisiko aufzukommen hat, ist erforderlich, dass zwischen Arbeitsunfähigkeit (zum Begriff vgl. Urteil B 49/00 vom 7. Januar 2003 E. 3, Zusammenfassung in: SZS 2003 S. 521) und Invalidität ein enger sachlicher und zeitlicher Zusammenhang besteht. Die hinreichende sachliche Konnexität ist zu bejahen, wenn der Gesundheitsschaden, wie er der Invalidität zu Grunde liegt, im Wesentlichen bereits Ursache der früheren Arbeitsunfähigkeit war (<ref-ruling> E. 3.2 S. 22; <ref-ruling> E. 1c S. 265; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 117). Der zeitliche Zusammenhang zur später eingetretenen Invalidität als weitere Voraussetzung für den Anspruch auf Invalidenleistungen gegenüber der früheren Vorsorgeeinrichtung setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig geworden ist (<ref-ruling> E. 3.2.1). Massgebend ist die Arbeitsfähigkeit in einer der gesundheitlichen Beeinträchtigung angepassten zumutbaren Tätigkeit. Diese Beschäftigung muss jedoch bezogen auf die angestammte Tätigkeit die Erzielung eines rentenausschliessenden Einkommens ermöglichen (<ref-ruling> E. 5.3 S. 27).
6.3 Die Feststellungen der Vorinstanz zum massgeblichen Eintritt der Arbeitsunfähigkeit sind unklar. Einerseits geht das kantonale Gericht ohne weitere Begründung davon aus, dass die zur Invalidität führende Arbeitsunfähigkeit am 1. Juni 2006 begonnen habe. Diese Feststellung machte die Vorinstanz offenbar gestützt auf die IV-Verfügung vom 31. August 2009, wonach eine Arbeitsunfähigkeit von 70 % auf Grund der neuen Diagnose - mittelschwere bis schwere depressive Störung mit somatischem Syndrom - ab 1. Juni 2006 bestanden haben soll. Anderseits hielt das kantonale Gericht fest, dass der Verlust der Arbeitslosenentschädigung im Mai, Juni und Juli 2006 nicht wegen Ablaufs der Rahmenfrist erfolgt sei, sondern weil sich der Versicherte zuvor - also vor April 2006 - krank gemeldet und danach seinen Anspruch auf Krankentaggelder der Arbeitslosenversicherung ausgeschöpft habe. Diese zweite Feststellung deutet aber darauf hin, dass bereits vor April 2006 eine auch hier relevante Arbeitsunfähigkeit bestanden haben könnte. So ist den Abrechnungen der Arbeitslosenkasse zu entnehmen, dass unter anderem bereits im März 2006 Krankentaggelder vergütet worden sind. Unter diesen Umständen durfte das vorinstanzliche Gericht nicht davon ausgehen, der Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, falle unstrittig mit dem Beginn der Wartezeit zusammen (a<ref-law>). Da der Beschwerdegegner - wie dargelegt - am 1. Juni 2006 bei der Beschwerdeführerin aus beruflicher Vorsorge nicht versichert war, kommt es für den Rentenanspruch entscheidend darauf an, ob die vor 18. April 2006 eingetretene Arbeitsunfähigkeit auf dieselbe Krankheit zurückzuführen war, welche am 1. Juni 2006 die Wartezeit ausgelöst hat und Ursache der Invalidität war (sachlicher Konnex). Verhält es sich so, stellt sich die weitere Frage nach dem zeitlichen Zusammenhang (vgl. E. 6.2 hievor). Der rechtserhebliche Sachverhalt ist unter diesen Umständen unvollständig festgestellt (<ref-law>; E. 1.1). Eine Sachverhaltsergänzung durch das Bundesgericht (<ref-law>) fällt ausser Betracht, da medizinische Unterlagen nicht bei den Akten liegen. Die Sache geht an das kantonale Gericht, damit es nach Beizug der medizinischen Unterlagen (vgl. E. 6.1) im Sinne der Erwägungen erneut über die Klage entscheide.
7. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdegegner die Verfahrenskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 6. April 2011 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit diese, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Klage neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. November 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Attinger