Faits:
A.
A.a. Le 10 octobre 2011, sur réquisition de l'Office d'impôt du district de Morges, représentant l'Etat de Vaud, l'Office des poursuites du district de Morges a notifié à A._ un commandement de payer (poursuite n o xxxx) les sommes de xxxx fr., avec intérêts à 3,5 % dès le 6 décembre 2010 (I), de xxxx fr. (II) et de xxxx fr. (III), ces deux derniers montants ne portant pas intérêts. Sous la rubrique cause de l'obligation, il était indiqué: (I) " Impôt sur le revenu et la fortune 2008 (Etat de Vaud, Commune de [...]) selon décision de taxation du 04.11.2010 et du décompte final du 08.11.2010; sommation adressée le 11.01.2011 ", (II) " Intérêts moratoires sur acomptes " et " Intérêts compensatoires".
A.b. A._ ayant fait opposition totale, le poursuivant en a requis la mainlevée définitive le 20 mars 2012.
Dans ce cadre, par pli recommandé du 2 mai 2012, le Juge de paix du district de Morges a imparti à A._ un délai au 1 er juin suivant pour qu'il se détermine sur la requête et dépose toutes pièces utiles. Il a attiré l'attention du poursuivi sur le fait que, même s'il ne procédait pas, la procédure suivrait son cours et qu'il serait statué sans audience, sur la base du dossier conformément aux art. 147 al. 3 et 256 al. 1 CPC.
Le 1 er juin 2012, A._ a sollicité la prolongation de ce délai, laquelle lui a été refusée le 4 juin suivant. Par arrêt du 19 juillet 2012, la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal a déclaré irrecevable le recours interjeté contre cette décision de refus, motif pris qu'elle ne causait pas un préjudice irréparable justifiant le recours immédiat.
A.c. Par prononcé du 11 juin 2012, le juge de paix a levé définitivement l'opposition au commandement de payer.
A.d. Par arrêt du 15 août 2013, la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours de A._ interjeté contre cette décision de mainlevée définitive, qu'elle a maintenue. Elle a par ailleurs confirmé, dans ses considérants, le refus de la demande de prolongation du délai de détermination. L'assistance judiciaire, sous la forme d'une exonération des avances et des frais judiciaires, ayant été accordée au recourant, elle a mis les frais à la charge de l'Etat, réservant leur remboursement ultérieur conformément à l'art. 123 CPC.
B.
Par écriture du 23 septembre 2013, A._ exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Principalement, il conclut à la réforme de l'arrêt cantonal en ce sens que le prononcé du Juge de Paix du district de Morges du 11 juin 2012 est annulé et qu'ordre est donné à ce magistrat de lui impartir un nouveau délai de détermination avant toute nouvelle décision sur la requête de mainlevée. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite en outre l'assistance judiciaire, son mandataire lui étant désigné en qualité d'avocat d'office.
L'Office d'impôt du district de Morges propose le rejet du recours. Bien qu'elle déclare se référer à ses considérants, l'autorité cantonale prétend que son arrêt ne comporte aucune contradiction et souligne le caractère abusif du comportement du recourant.
C.
Par ordonnance du 1 er octobre 2013, le Président de la II e Cour de droit civil a accordé l'effet suspensif au recours.

Considérant en droit:
1.
1.1. La décision qui prononce la mainlevée définitive de l'opposition est en principe sujette au recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. a LTF; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 521). Cependant, la valeur litigieuse n'atteint pas le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF) et le recourant ne prétend pas (art. 42 al. 2 LTF) que la cause soulèverait une question juridique de principe (art. 74 al. 2 let. a LTF; cf. sur cette notion: <ref-ruling> consid. 1.1 p. 582). Partant, c'est bien le recours constitutionnel subsidiaire au sens des art. 113 ss LTF qui est ouvert dans le cas présent.
Les autres conditions de recevabilité (respect du délai [art. 100 al. 1 et 117 LTF], caractère final de la décision [art. 90 et 117 LTF; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400], autorités précédentes [art. 75 et 114 LTF], qualité pour recourir [art. 115 LTF]) sont par ailleurs remplies.
1.2. Le recours ouvert contre la décision principale finale l'est aussi contre la décision - incidente - confirmant le refus de prolonger le délai imparti au poursuivi pour se déterminer sur la requête de mainlevée (art. 93 al. 3 LTF).
2.
Le recours constitutionnel peut être formé pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Saisi d'un tel recours, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs expressément soulevés et motivés (art. 106 al. 2 et 117 LTF; sur les exigences de motivation, parmi plusieurs: <ref-ruling> consid. 2.1 p. 143; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 444; <ref-ruling> consid. 2 p. 591 s.; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 399 s.).
3.
3.1. Examinant le prononcé de mainlevée définitive, la Cour des poursuites et faillites a considéré que la décision de taxation définitive du 4 novembre 2010 relative à l'impôt sur le revenu et la fortune 2008 et à l'impôt fédéral direct 2008 ainsi que le décompte final du 8 novembre 2010 valaient titre de mainlevée pour le montant en poursuite et pour l'intérêt moratoire, et ce en dépit du fait que le poursuivant n'avait produit aucune pièce attestant de la réception de ces décisions par le poursuivi. A cet égard, elle a jugé que, selon la jurisprudence, la notification est présumée lorsque le poursuivi ne procède pas devant le premier juge alors que la décision produite à l'appui de la requête de mainlevée mentionne expressément son entrée en force et son caractère exécutoire. Or, cette hypothèse était réalisée dans le cas présent. En effet, le poursuivi n'avait pas soutenu en première instance ne pas avoir reçu les décisions litigieuses alors même que la requête de mainlevée qui lui avait été adressée mentionnait expressément leur caractère exécutoire.
Statuant ensuite sur la décision du premier juge refusant la prolongation du délai de détermination, l'autorité cantonale a écarté toute violation du droit d'être entendu, motif pris que la prolongation n'est pas un droit.
3.2. Le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) et d'arbitraire (art. 9 Cst.).
4.
Le recourant soutient que, compte tenu de la portée accrue qu'elle entendait donner à son " silence ", la Cour des poursuites et faillites ne pouvait, sans arbitraire (art. 9 Cst.), se borner à considérer que la prolongation du délai de réponse n'est pas un droit pour justifier le refus du premier juge et aurait dû lui impartir un bref délai de détermination avant de statuer sur la requête de mainlevée. La décision de mainlevée aurait ainsi été prise en violation de son droit d'être entendu, plus particulièrement de son droit à se déterminer (art. 29 al. 2 Cst.).
Bien que, ce faisant, le recourant n'invoque aucune disposition de droit fédéral, on comprend qu'il se plaint d'une application arbitraire (art. 9 Cst.) de l'art. 144 al. 2 CPC qui serait - par effet réflexe - constitutive d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst).
4.1. Le refus de prolonger le délai de réponse constituant une décision incidente dont le sort peut influer sur l'issue de la décision - finale - de mainlevée (art. 93 al. 3 LTF), il convient d'examiner en premier si, en confirmant le refus du premier juge, l'autorité cantonale est tombée dans l'arbitraire.
4.2. Une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit censurée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 318/319 et les arrêts cités).
4.3. Saisie du grief de la violation du droit d'être entendu en raison du refus du premier juge de prolonger le délai de réponse, l'autorité cantonale a considéré que la prolongation de délai n'est pas un droit.
4.4. Selon l'art. 144 al. 2 CPC, les délais fixés judiciairement peuvent être prolongés pour des motifs suffisants, lorsque la demande en est faite avant leur expiration.
Certes, ainsi que l'expose la Cour des poursuites et faillites, la prolongation de délai n'est pas un droit. Une telle affirmation doit toutefois être comprise en ce sens que le requérant doit rendre vraisemblable (Adrian Staehelin, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2e éd., 2013, no 6 ad art. 144 CPC; Barbara Merz, in: Schweizerische Zivilprozessordnung (ZPO) Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander [éd], 2011, no 9 ad art. 144 CPC; Urs H. Hoffmann-Nowotny, in: Kurzkommentar ZPO, 2010, no 13 ad art. 144 CPC ) l'existence de " justes motifs ", dont il appartient au juge de vérifier s'il s'agit de circonstances qui, selon l'expérience générale de la vie, sont de nature à empêcher l'observation du délai ou du moins à contrarier l'exécution en temps voulu de l'acte de procédure (Staehelin, op. cit., no 5 ad art. 144 CPC; Merz, op. cit., no 6 ad art 144 CPC; cf. Jean-Maurice Frésard, in: Commentaire de la LTF, 2009, no 10 ad art. 47 LTF).
Si le juge dispose d'un large pouvoir d'appréciation en la matière, il ne saurait écarter, sans aucun motif, des critères essentiels pour la décision ou, à l'inverse, se fonder sur des éléments dépourvus d'importance (en ce sens: Denis Tappy, in: Code de procédure civile commenté, 2011, no 11 ad art. 144 CPC, selon lequel l'autorité supérieure ne devrait que " rarement " s'écarter de la décision prise par le premier juge), sous peine de rendre une décision violant le droit d'être entendu du requérant (cf. Staehelin, op. cit., no 6 ad art. 144 CPC, selon lequel il y a violation du droit d'être entendu si la prolongation est refusée alors qu'il y a un motif suffisant).
Force est de constater qu'en se contentant, en l'espèce, de répondre lapidairement au recourant que la prolongation de délai n'est pas un droit (cf. supra, consid. 4.3), sans examiner si des motifs suffisants étaient invoqués, les juges cantonaux ont méconnu de façon insoutenable les limites de leur pouvoir d'appréciation, qui plus est en ignorant qu'il doit être statué en premier sur un grief d'ordre formel, ce d'autant plus lorsqu'il est soulevé dans le cadre d'une décision incidente attaquée avec la décision principale finale.
5.
Vu ce qui précède, le recours doit être admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale afin qu'elle statue à nouveau sur le recours en tant qu'il porte sur la décision incidente de refus de prolongation du délai de réponse et, le cas échéant, sur la décision principale de mainlevée. Dès lors qu'il succombe, l'intimé, dont l'intérêt patrimonial est en jeu, supportera les frais judiciaires (cf. art. 66 al. 4 LTF) et versera des dépens au recourant qui a agi avec le concours d'un avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF). La demande d'assistance judiciaire du recourant est ainsi sans objet (<ref-ruling> consid. 10 p. 139).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
La demande d'assistance judiciaire du recourant est sans objet.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4.
Une indemnité de 1'500 fr., à verser au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimé.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal vaudois.
Lausanne, le 15 janvier 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Jordan