Sachverhalt:
A. Der 1961 geborene Z._ war seit 2000 als Maschinenbediener bei der Q._ AG angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Bei einem Auffahrunfall vom 16. März 2005 erlitt er gemäss Arztzeugnis UVG der am Folgetag aufgesuchten Dr. med. C._, Innere Medizin FMH, vom 11. Mai 2005 ein leichtes Schleudertrauma. Die entsprechende Behandlung konnte am 19. April 2005 abgeschlossen werden.
Mit Schreiben vom 13. Juni 2005 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf Ende September 2005.
Wegen Schmerzen im Bereich der Lendenwirbelsäule (LWS) begab sich Z._ am 16. und 21. Juni 2005 erneut bei Dr. med. C._ in Behandlung. Ab 23. Juni 2005 wurde die Therapie bei Dr. med. B._, Allgemeinmedizin FMH, fortgesetzt. Diesen Arzt konsultierte der Versicherte am 25. Juni 2005 wegen eines tags zuvor erlittenen neuerlichen Auffahrunfalls. Nach einem Ferienaufenthalt im Herkunftsland vom 30. Juni bis 31. Juli 2005 stand der Versicherte ab 2. August 2005 bei Dr. med. S._, Allgemeinmedizin FMH (Praxispartner des ferienabwesenden Dr. med. B._), in Behandlung. Dr. med. S._ gab am 11. September 2005 als Beurteilung posttraumatisch verstärkte, vorbestehende lumbale Schmerzen im Sinne einer ISG-Blockierung an. Die SUVA zog weitere Berichte des Dr. med. W._, Rheumatologie FMH und Physikalische Medizin, vom 27. September und 28. November 2005 sowie des MRI des Zentrums A._ vom 5. Oktober 2005 bei und holte eine Stellungnahme des Kreisarztes Dr. med. F._ vom 9. Dezember 2005 ein. Ausserdem liess sie durch die Arbeitsgruppe für Unfallmechanik eine Technische Unfallanalyse vom 30. November 2005, eine Kurzbeurteilung vom 5. Dezember 2005 und eine biomechanische Beurteilung vom 29. Dezember 2005 erstellen. Am 16. Januar 2006 wurde der Versicherte durch den Kreisarzt Dr. med. F._ untersucht. Anschliessend schloss die Anstalt den Fall mit dem 31. Januar 2006 ab und stellte ihre Leistungen (Taggeld und Heilbehandlung) auf dieses Datum hin ein (Verfügung vom 18. Januar 2006). Daran hielt die SUVA - nach Eingang weiterer Berichte des Dr. med. W._ vom 27. März 2006 und 27. Juni 2006 - mit Einspracheentscheid vom 3. August 2006 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz ab (Entscheid vom 23. Februar 2007). Während des Rechtsmittelverfahrens hielt sich der Versicherte vom 22. August bis 8. September 2006 in der Rehaklinik X._ auf (Austrittsbericht vom 22. September 2006). Er liess dem kantonalen Gericht eine Bestätigung von Dr. med. I._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 24. November 2006 einreichen.
C. Z._ lässt Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es seien ihm - in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides - die gesetzlichen Leistungen auszurichten. Mit der Beschwerdeschrift werden zwei Schreiben des Paraplegikerzentrums Y._ vom 28. März und 17. April 2007 eingereicht.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer lässt zunächst geltend machen, das kantonale Gericht habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Es habe seinem Vertreter, welcher, nachdem er zuvor nicht am Verfahren beteiligt gewesen war, mit Schreiben vom 2. Februar 2007 die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels sowie Akteneinsicht verlangt hatte, die Gerichtsakten erst am 9. Februar 2007 (Eintreffen) zugestellt. Gleichzeitig habe es den Vertreter aufgefordert, die Akten bis am 8. Februar 2007 zurückzusenden, da der Fall bereits für die nächste Gerichtssitzung traktandiert sei. Dadurch (keine Gelegenheit zur Stellungnahme, Frist zur Aktenrückgabe von "minus ein Tag") sei es dem Beschwerdeführer und seinem Vertreter verunmöglicht worden, den Antrag auf Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels zu begründen.
1.2 Nach der Rechtsprechung (SVR 1995 AHV Nr. 65 S. 196 E. 2b mit Hinweisen, H 152/94) gebietet der Grundsatz des rechtlichen Gehörs (altArt. 4 Abs. 1 BV; nunmehr <ref-law>) die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels, wenn die Vernehmlassung der Gegenpartei neue tatsächliche oder rechtliche Begründungsgesichtspunkte enthält, mit denen der Beschwerdeführer nicht zu rechnen brauchte. Diese Voraussetzungen waren hier nicht erfüllt, denn die Vernehmlassung der SUVA vom 28. Dezember 2006 enthielt keine grundlegend neuen Argumente. Der Vertreter des Beschwerdeführers stellte in seinem Schreiben vom 9. Februar 2007 denn auch keinen Antrag, es sei ihm die Frist zur Stellungnahme innerhalb eines zweiten Schriftenwechsels zu verlängern und die Behandlung der Angelegenheit durch das Gericht sei zu verschieben. Eine Gehörsverletzung liegt unter diesen Umständen nicht vor.
2. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers (<ref-law>) erforderlichen natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfallereignis und eingetretenem Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 1 S. 337; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 181, 402 E. 4.3.1 S. 406, 119 V 335 E. 1 S. 337, 118 V 286 E. 1b S. 289, je mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Richtig sind auch die vorinstanzlichen Erwägungen zur Beweislast für das Dahinfallen des natürlichen Kausalzusammenhangs, wenn der Unfallversicherer seine Leistungspflicht für eine bestimmte gesundheitliche Störung zunächst anerkannt hat (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 329 E. 3b, U 180/93; vgl. auch RKUV 2000 Nr. U 363 S. 45, U 355/98), sowie zum Beweiswert und zur Würdigung medizinischer Berichte und Stellungnahmen (<ref-ruling> E. 3a S. 352).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob die SUVA für Folgen der Unfälle vom 16. März und/oder 24. Juni 2005 über den 31. Januar 2006 hinaus Leistungen zu erbringen hat. Versicherer und Vorinstanz haben dies verneint mit der Begründung, die über dieses Datum hinaus fortbestehenden Beschwerden stünden in keinem natürlichen Kausalzusammenhang zum Unfallereignis. Der Beschwerdeführer erachtet die Kausalität als gegeben.
3.1 Bezüglich der geltend gemachten Symptomatik im Bereich der HWS geht aus den Akten hervor, dass der Versicherte nach dem Unfall vom 16. März 2005, bei dem er laut Arztzeugnis UVG ein leichtes Schleudertrauma erlitt, über Nackenschmerzen klagte. Er konnte die Arbeit ab 4. April 2005 zu 50 % und ab 16. April 2005 zu 100 % wieder aufnehmen. Die Behandlung wurde am 19. April 2005 abgeschlossen. Was den weiteren Verlauf anbelangt, hält Dr. med. S._ im Bericht vom 11. September 2005 fest, die nach dem Ereignis vom 24. Juni 2005 neu aufgetretenen Nackenschmerzen hätten sich während der Ferien im Heimatland (30. Juni bis 31. Juli 2005) vollständig gebessert. Die ab 2. August 2005 attestierte Arbeitsunfähigkeit bezog sich auf die lumbalen Beschwerden. In der Beurteilung erwähnt Dr. med. S._ dementsprechend keine HWS-Symptomatik. Gemäss dem Bericht von Dr. med. W._ vom 27. September 2005 beschränkte sich der Befund im Bereich der HWS auf eine geringgradige Bewegungseinschränkung beidseits bei leichten Endphasenschmerzen. Diagnostiziert wurde auch durch diesen Arzt nur ein noch in Abklärung befindliches lumbovertebrales Syndrom. Der SUVA-Arzt Dr. med F._ hielt am 16. Januar 2006 fest, der klinische HWS-Befund sei normal. Entgegen den Vorbringen in der Beschwerdeschrift enthalten die Akten somit keine hinreichenden Anhaltspunkte für länger dauernde unfallkausale Beschwerden im Bereich der HWS, welche geeignet sein könnten, einen Leistungsanspruch zu begründen. Ebenso wenig bestehen diesbezüglich Unklarheiten, welche eine ergänzende Untersuchung verlangen würden.
3.1 Bezüglich der geltend gemachten Symptomatik im Bereich der HWS geht aus den Akten hervor, dass der Versicherte nach dem Unfall vom 16. März 2005, bei dem er laut Arztzeugnis UVG ein leichtes Schleudertrauma erlitt, über Nackenschmerzen klagte. Er konnte die Arbeit ab 4. April 2005 zu 50 % und ab 16. April 2005 zu 100 % wieder aufnehmen. Die Behandlung wurde am 19. April 2005 abgeschlossen. Was den weiteren Verlauf anbelangt, hält Dr. med. S._ im Bericht vom 11. September 2005 fest, die nach dem Ereignis vom 24. Juni 2005 neu aufgetretenen Nackenschmerzen hätten sich während der Ferien im Heimatland (30. Juni bis 31. Juli 2005) vollständig gebessert. Die ab 2. August 2005 attestierte Arbeitsunfähigkeit bezog sich auf die lumbalen Beschwerden. In der Beurteilung erwähnt Dr. med. S._ dementsprechend keine HWS-Symptomatik. Gemäss dem Bericht von Dr. med. W._ vom 27. September 2005 beschränkte sich der Befund im Bereich der HWS auf eine geringgradige Bewegungseinschränkung beidseits bei leichten Endphasenschmerzen. Diagnostiziert wurde auch durch diesen Arzt nur ein noch in Abklärung befindliches lumbovertebrales Syndrom. Der SUVA-Arzt Dr. med F._ hielt am 16. Januar 2006 fest, der klinische HWS-Befund sei normal. Entgegen den Vorbringen in der Beschwerdeschrift enthalten die Akten somit keine hinreichenden Anhaltspunkte für länger dauernde unfallkausale Beschwerden im Bereich der HWS, welche geeignet sein könnten, einen Leistungsanspruch zu begründen. Ebenso wenig bestehen diesbezüglich Unklarheiten, welche eine ergänzende Untersuchung verlangen würden.
3.2 3.2.1 Wegen lumbaler Rückenbeschwerden war der Beschwerdeführer seit 16. Juni 2005 zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben, als er am 24. Juni 2005 den zweiten Auffahrunfall erlitt. Danach klagte er über eine Verschlimmerung dieser Beschwerden. Dr. med. S._ konnte aufgrund einer Röntgenuntersuchung keine Hinweise für degenerative oder posttraumatische Veränderungen feststellen. Weil sich die vom Patienten angegebenen Beschwerden auch durch Physiotherapie nicht nachhaltig reduzieren liessen, überwies er den Patienten an den Rheumatologen Dr. med. W._. Dieser hält in seinem Bericht vom 27. September 2005 fest, es bestehe ein lumbovertebrales Syndrom, "welches möglicherweise tatsächlich posttraumatisch ausgelöst wurde, wobei radiologisch keine pathologischen Befunde festgestellt werden können". Zur Klärung der Situation veranlasste er eine MRI-Untersuchung. Diese ergab laut dem Bericht des MRI des Zentrums A._ vom 5. Oktober 2005 mediane bis links paramediane Diskushernien bei Anulus fibrosus-Defekten L4/L5 und L5/S1 sowie leichte spondylarthrotische Veränderungen. Es wurde keine erkennbare eigentliche Nervenwurzelkompression festgestellt. Wie Dr. med. W._ in seinem Bericht vom 28. November 2005 festhält, wurde in der Folge eine epidurale Infiltration L4/L5 durchgeführt. Der Versicherte habe daraufhin über eine vorübergehende Teilbesserung berichtet und die Schmerzen vor allem im Ileolumbalbereich, links stärker als rechts, lokalisiert, entsprechend der Druckdolenz. Er, der Arzt, empfehle deshalb eine stationäre Behandlung in rehabilitativem Sinne, wobei aus versicherungstechnischer Sicht zu überlegen sei, ob damit auch gleichzeitig eine abschliessende Behandlung von der Unfallseite her erreicht sei, zumal die Veränderungen im MRI eher auf einen degenerativen Prozess hinwiesen. Der Kreisarzt Dr. med. F._ führt im nach seiner Untersuchung vom 16. Januar 2006 verfassten Bericht aus, der Unfallmechanismus schliesse eine schwerwiegendere traumatische Schädigung der LWS aus. Kernspintomographisch hätten sich die bereits erwähnten Diskushernien ergeben. Unter den gegebenen Umständen dürfe der Unfallkausalzusammenhang als erloschen betrachtet werden. Er fügt hinzu, falls Dr. med. W._ aus in dieser kreisärztlichen Beurteilung allenfalls nicht berücksichtigten Gründen diesbezüglich zu anderen Schlussfolgerungen gelange, bitte er um einen ergänzenden Bericht. Er habe auch keine Einwände gegen eine Überprüfung dieser Stellungnahme im Rahmen eines externen Gutachtens.
3.2.2 Es entspricht einer medizinischen Erfahrungstatsache im Bereich des Unfallversicherungsrechts, dass praktisch alle Diskushernien bei Vorliegen degenerativer Bandscheibenveränderungen entstehen und ein Unfallereignis nur ausnahmsweise, unter besonderen Voraussetzungen, als eigentliche Ursache in Betracht fällt. Als weitgehend unfallbedingt kann eine Diskushernie betrachtet werden, wenn das Unfallereignis von besonderer Schwere und geeignet war, eine Schädigung der Bandscheibe herbeizuführen, und die Symptome der Diskushernie (vertebrales oder radikuläres Syndrom) unverzüglich und mit sofortiger Arbeitsunfähigkeit auftreten. In solchen Fällen hat die Unfallversicherung praxisgemäss auch für Rezidive und allfällige Operationen aufzukommen. Wird die Diskushernie durch den Unfall lediglich ausgelöst, nicht aber verursacht, übernimmt die Unfallversicherung den durch das Unfallereignis ausgelösten Beschwerdeschub, spätere Rezidive dagegen nur, wenn eindeutige Brückensymptome gegeben sind (RKUV 2000 Nr. U 379 S. 192 E. 2a [U 138/99] mit Hinweis auf das nicht veröffentlichte Urteil U 159/95 vom 26. August 1996, E. 1b; zuletzt Urteil 8C_281/2007 vom 18. Januar 2008, E. 5.2.1).
3.2.3 Die SUVA hat die Schwere der beiden Auffahrunfälle vom 16. März und 24. Juni 2005 mittels einer biomechanischen Beurteilung abklären lassen. Die dabei ermittelten kollisionsbedingten Geschwindigkeitsänderungen (delta-v) lagen beim ersten Ereignis zwischen 5 und 15 km/h, beim zweiten zwischen 3.5 und 9 km/h. Eine Zunahme der lumbalen Beschwerden wurde nach dem letzteren Ereignis angegeben. Dieses war mit Blick auf die vorstehend dargelegten Grundsätze nicht geeignet, eine Diskushernie zu verursachen. Die SUVA hat somit nur für einen durch diesen Unfall allenfalls bewirkten vorübergehenden Beschwerdeschub aufzukommen, wobei der Vorzustand zu berücksichtigen ist, welcher bereits zur Bescheinigung voller Arbeitsunfähigkeit wegen lumbaler Rückenschmerzen ab dem 16. Juni 2005 führte. Angesichts der schlüssigen und überzeugenden Stellungnahme des Kreisarztes Dr. med. F._ vom 16. Januar 2006 hat als mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt zu gelten, dass dieser Beschwerdeschub spätestens Ende Januar 2006 abgeklungen und der status quo sine erreicht war. Der Kreisarzt hält ausdrücklich fest, Dr. med. W._ werde um einen ergänzenden Bericht gebeten, falls er sich der Kausalitätsbeurteilung nicht anschliessen könne. Nachdem Dr. med. W._ keinen solchen Bericht erstattete (die Stellungnahmen vom 27. März und 27. Juni 2006 äussern sich nicht zur Unfallkausalität), kann angenommen werden, seine Einschätzung stimme mit jener des Kreisarztes überein. Der Rheumatologe lässt denn auch bereits in seiner Stellungnahme vom 28. November 2005 deutlich erkennen, dass er die Beschwerden eher auf einen degenerativen Prozess als auf den Unfall zurückführt. Auch der Austrittsbericht der Rehaklinik X._ vom 22. September 2006 bildet keine Grundlage für eine abweichende Beurteilung. Die während des Klinikaufenthalts durchgeführte psychosomatische Abklärung ergab keine krankheitswertige psychische Störung. Eine Unfallkausalität unter diesem Gesichtspunkt scheidet somit ebenfalls aus, woran auch der Umstand nichts ändert, dass sich der Versicherte gemäss der vorinstanzlich eingereichten Bestätigung von Dr. med. I._ vom 24. November 2006 seit 22. November 2006 bei diesem Arzt in "Abklärung/Behandlung" befindet. Weiterer Abklärungen bedarf es unter diesen Umständen nicht. SUVA und Vorinstanz haben den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen den Unfallereignissen vom 16. März bzw. 24. Juni 2005 einerseits und den über den 31. Januar 2006 hinaus anhaltenden Beschwerden andererseits zu Recht verneint. Die Beschwerde ist abzuweisen.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1, 2 und 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. April 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger