Erwägungen:
1. Das Gesuch des britischen Staatsangehörigen X._ um Verlängerung der am 24. Februar 2007 abgelaufenen Aufenthaltsbewilligung wurde von den Behörden des Kantons Bern abgewiesen, verbunden mit seiner Wegweisung. Die gegen den letztinstanzlichen kantonalen Entscheid (Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 28. Juli 2010) erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten blieb erfolglos (Urteil des Bundesgerichts 2C_680/ 2010 vom 18. Januar 2011). Namentlich wurde erkannt, dass vom betroffenen Ausländer eine gegenwärtige und hinreichend schwere Gefahr für die öffentliche Sicherheit und Ordnung ausgehe.
Im Nachgang zum Bewilligungsverfahren verfügte das Bundesamt für Migration am 9. April 2011 eine Einreisesperre gegen X._, welcher am 6. Mai 2011 gegen diese Verfügung mit Beschwerde ans Bundesverwaltungsgericht gelangte. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragte er dem Bundesverwaltungsgericht einerseits, die vom Bundesamt entzogene aufschiebende Wirkung der Beschwerde sei wiederherzustellen, andererseits, es sei ihm die Möglichkeit zu geben, sich auf eigene Kosten durch seinen Psychiater in der Schweiz zum Vorliegen einer tatsächlichen, gegenwärtigen und hinreichend schweren Gefährdung, die ein Grundinteresse der Gesellschaft berühre, begutachten zu lassen. Mit Zwischenverfügung des Instruktionsrichters vom 17. Juni 2011 wies das Bundesverwaltungsgericht diese Begehren ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 10. Juli (Postaufgabe 16. Juli) 2011 beantragt X._ dem Bundesgericht, "die Vorinstanz über den völkerrechtlichen Vertragsbruch hinzuweisen, und die Einreisesperre aufzuheben". Eventualiter ersucht er um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung und um Sistierung des Verfahrens zwecks Sachverhaltsabklärung (Erbringung Beweismittel Gutachten).
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Angefochten ist ein Zwischenentscheid in einem ausländerrechtlichen Verfahren, das die Frage der Einreise zum Gegenstand hat. Auf den Beschwerdeführer als britischen Staatsbürger kommt das Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedern andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR. 0.142.112.681) zur Anwendung, sodass der Ausschlussgrund von <ref-law> in Berücksichtigung von Art. 11 Abs. 3 FZA (doppelte Beschwerdemöglichkeit) nicht greift (Urteile 2C_378/2007 vom 14. Januar 2008 E. 2.1 und 2C_375/2007 vom 8. November 2007 E. 2.2). Gegen einen Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts stünde daher die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen, und sie kann auch erhoben werden gegen einen vorausgehenden Zwischenentscheid, sofern die spezifischen diesbezüglichen Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind.
2. 2.1 Angefochten ist ein Zwischenentscheid in einem ausländerrechtlichen Verfahren, das die Frage der Einreise zum Gegenstand hat. Auf den Beschwerdeführer als britischen Staatsbürger kommt das Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedern andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR. 0.142.112.681) zur Anwendung, sodass der Ausschlussgrund von <ref-law> in Berücksichtigung von Art. 11 Abs. 3 FZA (doppelte Beschwerdemöglichkeit) nicht greift (Urteile 2C_378/2007 vom 14. Januar 2008 E. 2.1 und 2C_375/2007 vom 8. November 2007 E. 2.2). Gegen einen Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts stünde daher die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen, und sie kann auch erhoben werden gegen einen vorausgehenden Zwischenentscheid, sofern die spezifischen diesbezüglichen Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind.
2.2 2.2.1 Gegen andere (als die in <ref-law> genannten) selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde gemäss <ref-law> zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen erheblichen Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Richtet sich die Beschwerde sodann gegen einen Zwischenentscheid über vorsorgliche Massnahmen, kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>).
2.2.2 Soweit sich die Beschwerde gegen die Ablehnung der Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung richtet, ist darauf schon mangels (nach <ref-law> erforderlicher) gesonderter Geltendmachung und Begründung bedürftiger (vgl. <ref-law>) Rügen verfassungsrechtlicher Natur nicht einzutreten.
2.2.3 Der Beschwerdeführer rügt auch (und primär), dass das Bundesverwaltungsgericht seinen Beweisantrag auf Durchführung einer Begutachtung abgelehnt hat. Zwischenentscheide über Beweismassnahmen sind regelmässig nicht mit einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil verbunden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 191 f.), insbesondere dann nicht, wenn ein Beweisantrag abgelehnt wird (vgl. Urteil 2C_658/2010 E. 2.2.2 mit Hinweisen); diesbezügliche Rügen können in Anwendung von <ref-law> wirksam noch in einer Beschwerde gegen den Endentscheid vorgetragen werden. Dass und inwiefern es sich vorliegend anders verhalten würde, bleibt unerfindlich und hätte ohnehin vom Beschwerdeführer dargelegt werden müssen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356, 400 E. 2 S. 404; <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 48; je betreffend nicht evidenter Beschwerdelegitimation).
2.3 Die Beschwerde erweist sich mithin als offensichtlich unzulässig (<ref-law>), und es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten. Bei dieser Ausgangslage fallen die eventualiter (offenbar für das bundesgerichtliche Verfahren) gestellten Gesuche um Verfahrenssistierung und aufschiebende Wirkung dahin.
2.4 Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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