Sachverhalt:
A. Die 1950 geborene J._ zog sich bei einem Verkehrsunfall am 18. August 1996 Kompressionsfrakturen im Brust- und Lendenwirbelbereich zu. Die Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Winterthur), bei welcher sie obligatorisch versichert war, erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld).
Im Mai 1997 meldete sich J._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügungen vom 4. September 2001 sprach ihr die IV-Stelle Basel-Stadt für die Zeit vom 1. August 1997 bis 31. August 1998 eine ganze Rente und ab 1. September 1998 eine halbe Rente samt Zusatzrente für den Ehemann zu, was das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 16. Oktober 2002 bestätigte. Mit Verfügung vom 6. Juli 2004 hob die IV-Stelle die halbe Rente auf Ende des der Zustellung des Entscheids folgenden Monats auf. Hiegegen liess J._ Einsprache erheben. Am 25. Oktober 2004 verfügte die IV-Stelle die Sistierung des Verfahrens bis zum rechtskräftigen Abschluss des Unfallversicherungsfalles.
Mit Verfügung vom 15. Februar 2005 sprach die Winterthur J._ ab 1. Januar 2005 eine Invalidenrente von monatlich Fr. 2'677.- (Invaliditätsgrad: 50 %) sowie eine Integritätsentschädigung von Fr. 9'720.- (Integritätsschaden: 10 %) zu. Dagegen erhob die IV-Stelle Basel-Stadt Einsprache. Sie beantragte, die Verfügung vom 15. Februar 2005 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass kein Anspruch auf eine Invalidenrente nach UVG bestehe. Mit Entscheid vom 25. April 2005 trat die Winterthur auf die Einsprache nicht ein.
B. In Gutheissung der Beschwerde der IV-Stelle hob das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 17. Februar 2006 den Einspracheentscheid vom 25. April 2005 auf und wies die Sache an die Winterthur zum Erlass eines materiellen Entscheides zurück.
C. Die Winterthur führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. J._ und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205 ff., 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 395).
2. Streitgegenstand bildet die von der Vorinstanz bejahte Berechtigung der IV-Stelle zur Einsprache gegen die Verfügung vom 15. Februar 2005, mit welcher die Verwaltungsgerichtsbeschwerde führende Winterthur J._ für die erwerblichen Folgen des Unfalles vom 18. August 1996 u.a. eine Invalidenrente aufgrund einer Erwerbsunfähigkeit von 50 % zugesprochen hat.
3. Nach <ref-law> hat der Versicherungsträger über Leistungen, Forderungen und Anordnungen, die erheblich sind oder mit denen die betroffene Person nicht einverstanden ist, schriftlich Verfügungen zu erlassen (Abs. 1). Erlässt ein Versicherungsträger eine Verfügung, welche die Leistungspflicht eines anderen Trägers berührt, so hat er auch ihm die Verfügung zu eröffnen. Dieser kann die gleichen Rechtsmittel ergreifen wie die versicherte Person (Abs. 4).
Der Begriff des «Berührtseins» im Sinne von <ref-law> ist gleich zu verstehen wie das schutzwürdige Interesse (an der Aufhebung oder Änderung der angefochtenen Verfügung) nach Art. 103 lit. a OG. Berührt ist somit derjenige andere Versicherungsträger, der in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache steht, mithin in rechtlichen oder tatsächlichen Interessen spürbar betroffen ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 77, 131 V 362 E. 2.1 S. 365 mit Hinweisen; vgl. zur Entstehungsgeschichte von <ref-law>: BBl 1991 II 207 und 268, 1994 V 947, 1999 V 4606).
4. Das kantonale Gericht hat die Einsprache- und Beschwerdelegitimation der IV-Stelle im Wesentlichen unter Hinweis auf die Rechtsprechung zur Bindungswirkung rechtskräftiger Invaliditätsschätzungen anderer Versicherungsträger nach <ref-ruling> (bestätigt im Urteil I 319/04 vom 14. Juni 2005 für die Zeit nach Inkrafttreten des Allgemeinen Teils des Sozialversicherungsrechts am 1. Januar 2003) bejaht. Danach ist die Invaliditätsschätzung der Unfallversicherung für die IV-Stellen und im Beschwerdefall für das kantonale Versicherungsgericht sowie letztinstanzlich für das Eidgenössische Versicherungsgericht (seit 1. Januar 2007: I. und II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts) in dem Sinne verbindlich, als davon nur bei Vorliegen triftiger Gründe abgewichen werden darf. Aus dieser Bindungswirkung ergebe sich das Einsprache- und Beschwerderecht der IV-Stelle.
Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde führende Winterthur begründet ihren gegenteiligen Standpunkt u.a. damit, dass laut <ref-ruling> der Unfallversicherer mangels «Berührtseins» im Sinne von <ref-law> nicht zur Einsprache gegen die Verfügung oder zur Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der IV-Stelle über den Rentenanspruch als solchen oder den Invaliditätsgrad berechtigt ist. Dies gelte auch im umgekehrten Fall, wenn es also um die Frage gehe, ob die IV-Stelle zur Einsprache gegen die Verfügung oder zur Beschwerde gegen den Einspracheentscheid betreffend eine Rente der Unfallversicherung berechtigt sei. Demzufolge sei sie zu Recht nicht auf die Einsprache der IV-Stelle gegen die Verfügung vom 15. Februar 2005 eingetreten.
5. Ob die IV-Stelle aufgrund von <ref-law> zur Einsprache gegen die Verfügung oder zur Beschwerde gegen den Einspracheentscheid betreffend eine Rente der Unfallversicherung berechtigt ist, war bisher nicht Gegenstand der höchstrichterlichen Rechtsprechung. In <ref-ruling> hat das Bundesgericht (damals: Eidgenössisches Versicherungsgericht) die Frage in einem obiter dictum bejaht. Nach Verneinung triftiger Gründe für ein Abweichen von der rechtskräftigen Invaliditätsschätzung der Unfallversicherung im Sinne von <ref-ruling> führte das Gericht aus, um dieser Konsequenz (Bindung an den vom Unfallversicherer im ausserordentlichen Bemessungsverfahren in vertretbarer Weise ermittelten Invaliditätsgrad) zu entgehen, hätte die IV-Stelle die Verfügung der SUVA anfechten können. Damit wäre eine genauere gerichtliche Prüfung der Invaliditätsschätzung der Unfallversicherung möglich geworden. Davon habe sie aber abgesehen, obschon sie dazu hinreichend Gelegenheit gehabt hätte.
Im Schrifttum wird die Legitimation der IV-Stelle zur Einsprache gegen die Verfügung oder zur Beschwerde gegen den Einspracheentscheid betreffend eine Rente der Unfallversicherung mangels «Berührtseins» aufgrund einer fehlenden eigentlichen resp. absoluten Bindungswirkung der Invaliditätsschätzung des Unfallversicherers mehrheitlich verneint oder zumindest angezweifelt (Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, Rz. 29 ff. zu <ref-law> und in: AJP 1/2007 S. 109; Ulrich Meyer, Die Teilnahme am vorinstanzlichen Verfahren als Voraussetzung der Rechtsmittellegitimation, in: Sozialversicherungsrechtstagung 2004 [Band 30 der Schriftenreihe des IRP-HSG, St. Gallen 2004 (René Schaffhauser/Franz Schlauri [Hrsg.])] S. 28 f.; Graziella Salamone, Die Bindungswirkung der Invaliditätsschätzung der Invalidenversicherung und die Beschwerdelegitimation des Unfallversicherers im invalidenversicherungsrechtlichen Verfahren, in: HAVE 2005 S. 342 Ziff. III.3; Peter Arnold, Die neuere Rechtsprechung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts zur (Leistungs-)Koordination im Überblick, in: Sozialversicherungsrechtliche Leistungskoordination. Grundlagen, aktuelle Entwicklungen, Perspektiven [Band 36 der Schriftenreihe des IRP-HSG, St. Gallen 2006 (René Schaffhauser/Ueli Kieser [Hrsg.])]; a.M. wohl Jürg Scheidegger, Der einheitliche Invaliditätsgrad, in: Sozialversicherungsrechtliche Leistungskoordination. Grundlagen, aktuelle Entwicklungen, Perspektiven [Band 36 der Schriftenreihe des IRP-HSG, St. Gallen 2006 (René Schaffhauser/Ueli Kieser [Hrsg.])].
6. 6.1 Der für das kantonale Gericht massgebende <ref-ruling> beruht auf dem Grundsatz der Einheitlichkeit des Invaliditätsbegriffs (vgl. auch <ref-law>). Bei gleichem Gesundheitsschaden soll die Invaliditätsbemessung in der Invalidenversicherung, der obligatorischen Unfallversicherung und in der Militärversicherung denselben Invaliditätsgrad ergeben (<ref-ruling> E. 2a S. 291 mit Hinweisen). Die daraus abgeleitete Koordination der Invaliditätsbemessung in diesen Sozialversicherungszweigen verfolgt das Ziel, unterschiedliche Festlegungen des Invaliditätsgrades zu vermeiden, was der Rechtssicherheit dient und damit sowohl im Interesse der Versicherer als auch der betroffenen Bürger liegt (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 123). Diese Zielsetzung wird indessen bereits durch <ref-ruling> selber insofern relativiert, als die IV-Stellen und die Unfallversicherer die Invaliditätsbemessung in jedem einzelnen Fall selbstständig vorzunehmen haben. Keinesfalls dürfen sie sich ohne weitere eigene Prüfung mit der blossen Übernahme des Invaliditätsgrades des Unfallversicherers oder der IV-Stelle begnügen (<ref-ruling> E. 2d S. 293 unten).
6.2 Der <ref-ruling> tragende koordinationsrechtliche Gesichtspunkt hat sodann dadurch an Bedeutung verloren, dass nach AHI 2004 S. 186 E. 4.3 (I 564/02) und <ref-ruling> die Invaliditätsschätzung der Invalidenversicherung gegenüber dem Unfallversicherer keine Bindungswirkung entfaltet. Dasselbe im umgekehrten Verhältnis nicht gelten zu lassen, käme aber damit in Konflikt, dass das Gesetz weder der Invaliditätsbemessung der Invalidenversicherung noch derjenigen der Unfallversicherung Priorität einräumt (<ref-ruling> E. 2d S. 293; Jürg Scheidegger, Die Koordination der Invaliditätsschätzungen, in: Aktuelle Rechtsfragen der Sozialversicherungspraxis [Band 6 der Schriftenreihe des IRP-HSG, St. Gallen 2001 (René Schaffhauser/Franz Schlauri [Hrsg.])] S. 86 f.; Salamone a.a.O.).
Die in AHI a.a.O. genannten Gründe gegen eine auch im Sinne von <ref-ruling> relativierte Bindungswirkung der Invaliditätsschätzung der Invalidenversicherung für die Unfallversicherung gelten auch im umgekehrten Verhältnis. Die Voraussetzungen für eine Rente in diesen Sozialversicherungszweigen sind trotz des grundsätzlich gleichen Invaliditätsbegriffes verschieden. Insbesondere berücksichtigt die Invaliditätsschätzung der Unfallversicherung lediglich die natürlich und adäquat kausalen gesundheitlichen und erwerblichen Unfallfolgen. Daraus folgt insbesondere, dass der rechtskräftige Abschluss des Unfallversicherungsverfahrens auch bei Beteiligung der IV-Stelle einen Streit um eine Rente der Invalidenversicherung nicht ein für alle Mal ausschliesst. Häufig bestehen denn auch nicht bloss unfallbedingte gesundheitliche Beeinträchtigungen. Zu denken ist an krankhafte Vorzustände oder an psychische Fehlentwicklungen, für welche der Unfall keine adäquate kausale Ursache darstellt. Sodann stellen schon der unterschiedliche Rentenbeginn in der Invalidenversicherung und Unfallversicherung, die Änderbarkeit des Invaliditätsgrades im Lauf der Zeit sowie das regelmässig zeitliche Auseinanderfallen der jeweiligen Rentenverfügungen und -entscheide eine Bindung an die Invaliditätsschätzung des anderen Sozialversicherungsträgers in Frage (vgl. auch Jürg Scheidegger, Der einheitliche Invaliditätsgrad, in: Sozialversicherungsrechtliche Leistungskoordination. Grundlagen, aktuelle Entwicklungen, Perspektiven [Band 36 der Schriftenreihe des IRP-HSG, St. Gallen 2006 ([René Schaffhauser/Ueli Kieser [Hrsg.])] S. 90 f.).
6.3 Schliesslich ist Folgendes zu beachten: In <ref-ruling> E. 2d S. 294 wird ausgeführt, dass zumindest rechtskräftig abgeschlossene Invaliditätsschätzungen nicht unbeachtet bleiben dürfen. Vielmehr müssen sie als Indizien für eine zuverlässige Beurteilung gewertet und als solches in den Entscheidungsprozess erst später verfügender Versicherungsträger miteinbezogen werden. «Dies verlangt auch nach gewissen Mitwirkungsrechten des durch eine verfügungsmässige Festlegung der Invalidität in einem Sozialversicherungsbereich tangierten andern Versicherers. Im Unfallversicherungsrecht wird diesem Schutzbedürfnis ausdrücklich entsprochen, indem <ref-law> vorsieht, dass die Verfügung eines Versicherers oder einer andern Sozialversicherung, welche die Leistungspflicht des andern Versicherers berührt, auch diesem andern Versicherer zu eröffnen ist (Satz 1), und dieser die gleichen Rechtsmittel ergreifen kann wie die versicherte Person (Satz 2). Macht er von der Möglichkeit, den Entscheid der andern Versicherung anzufechten, obschon ihm dieser ordnungsgemäss eröffnet worden ist, nicht Gebrauch, hat er diesen grundsätzlich gegen sich gelten zu lassen (RKUV 1998 Nr. U 305 S. 432).»
Aus diesen Erwägungen lässt sich entgegen dem kantonalen Gericht nichts zu Gunsten einer Bindungswirkung der rechtskräftigen Invaliditätsschätzung der Unfallversicherung für die IV-Stelle resp. deren Einsprache- und Beschwerdelegitimation gewinnen. Gemäss AHI 2004 S. 181 räumt <ref-law>, in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2002, dem Unfallversicherer eben nicht das Recht zur Beschwerde gegen die Rentenverfügung der IV-Stelle ein. Dasselbe gilt laut <ref-ruling> für den inhaltlich gleichen <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 75). Umso weniger besteht eine Rechtsgrundlage für die Anfechtungsmöglichkeit der Einsprache und Beschwerde der IV-Stelle im Verfahren der Unfallversicherung als Korrelat der Richtigkeitsvermutung (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 367 oben) einer rechtskräftigen Invaliditätsschätzung des Unfallversicherers. Darin kommt auch zum Ausdruck, dass in verfahrensrechtlicher Hinsicht weder der Invalidenversicherung noch der Unfallversicherung Vorrang gegenüber dem anderen Sozialversicherungszweig zukommt. Im Übrigen kann es nicht der mit der Einheitlichkeit des Invaliditätsbegriffs verfolgte Koordinationszweck sein, dass der später verfügende Sozialversicherungsträger den Rentenentscheid des andern, Unfallversicherer oder IV-Stelle, anfechten muss, nur um diesen sich nicht allenfalls entgegenhalten lassen zu müssen.
6.4 Aus den vorstehenden Gründen ist in gleicher Weise wie in AHI 2004 S. 181 (I 564/02) und <ref-ruling> eine absolute Bindungswirkung der Invaliditätsschätzung der Unfallversicherung für die Invalidenversicherung im Sinne von <ref-ruling> und daher die Berechtigung der IV-Stelle zur Einsprache gegen die Verfügung und zur Beschwerde gegen den Einspracheentscheid des Unfallversicherers über den Rentenanspruch als solchen oder den Invaliditätsgrad zu verneinen. Inwiefern der Invaliditätsschätzung der Unfallversicherung und der Invalidenversicherung für den jeweils anderen Sozialversicherungszweig noch Bedeutung zukommt, etwa die Verpflichtung zum Beizug der Akten, braucht hier nicht näher geprüft zu werden (vgl. dazu Jürg Scheidegger, Der einheitliche Invaliditätsgrad, und Peter Arnold, Die neuere Rechtsprechung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts zur (Leistungs-)Koordination im Überblick, in: Sozialversicherungsrechtliche Leistungskoordination. Grundlagen, aktuelle Entwicklungen, Perspektiven [Band 36 der Schriftenreihe des IRP-HSG, St. Gallen 2006 (René Schaffhauser/Ueli Kieser [Hrsg.])] S. 89 ff. und S. 197 ff.). Immerhin haben Unfallversicherer und IV-Stelle ihre Rentenverfügungen und -entscheide dem jeweils andern Sozialversicherungsträger mitzuteilen (vgl. <ref-law>).
7. Die Winterthur ist somit zu Recht nicht auf die Einsprache der IV-Stelle gegen ihre Verfügung vom 15. Februar 2005 im Rentenpunkt eingetreten. Der anders lautende vorinstanzliche Entscheid verletzt Bundesrecht.
8. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 OG in der bis 30. Juni 2006 gültig gewesenen Fassung e contrario).
Die obsiegende Winterthur hat praxisgemäss keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-ruling> E. 7 S. 169, 112 V 44 E. 3 S. 49).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 17. Februar 2006 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden der IV-Stelle Basel-Stadt auferlegt. Der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft wird der geleistete Kostenvorschuss in dieser Höhe zurückerstattet.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, dem Bundesamt für Gesundheit, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und J._ zugestellt.
Luzern, 28. August 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: