Sachverhalt:
A.
Aufgrund eines ärztlichen Behandlungsfehlers, der sich am 3. Mai 1994 am Spital S._ ereignet hatte, verpflichtete das Obergericht des Kantons Aargau die Trägerschaft des Spitals, die Gesundheitsstiftung X._ (Beschwerdeführerin), mit zweitinstanzlichem Urteil vom 24. Mai 2007, dem Geschädigten, A._, Fr. 243'250.40 nebst Zins zu bezahlen. Das Bundesgericht bestätigte diesen Entscheid mit Urteil 4A_273/2007 vom 31. Oktober 2007. Bei der Berechnung des Schadens wurden u.a. die Zahlungen der Eidgenössischen Invalidenversicherung (IV, Beschwerdegegnerin 1) angerechnet. Bei der Berechnung des Rentenschadens wurde die Differenz zwischen den hypothetischen Altersleistungen und den effektiven Invaliden- und Altersleistungen berücksichtigt.
B.
Am 23. Februar 2009 reichten die Eidgenössische Invalidenversicherung und die Eidgenössische Alters- und Hinterlassenenversicherung (AHV, Beschwerdegegnerin 2) beim Bezirksgericht Rheinfelden Klage ein. Sie beantragten, die Beschwerdeführerin sei zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin 1 den Betrag von Fr. 230'800.50 nebst Zins und der Beschwerdegegnerin 2 Fr. 57'652.-- nebst Zins zu bezahlen. Mit dieser Klage forderte die Beschwerdegegnerin 1 von der Beschwerdeführerin (bzw. ihrer Haftpflichtversicherung, der Versicherung P._) gestützt auf aArt. 52 IVG i.V.m. aArt. 48ter AHVG IV-Leistungen zurück, die sie infolge der von der Beschwerdeführerin zu vertretenden Gesundheitsbeeinträchtigung ausgerichtet hatte. Die Beschwerdegegnerin 2 machte gestützt auf aArt. 48ter AHVG einen Rückerstattungsanspruch in dem Umfang geltend, in dem die Altersrente von A._ infolge des Ereignisses, für das die Beschwerdeführerin haftpflichtig sei, nicht finanziert sei.
Mit Urteil vom 23. März 2011 verpflichtete das Bezirksgericht die Beschwerdeführerin in teilweiser Gutheissung der Klage, der Beschwerdegegnerin 1 Fr. 154'480.90 nebst Zins und der Beschwerdegegnerin 2 Fr. 57'652.-- nebst Zins zu bezahlen. Es verneinte insbesondere, dass die Forderungen der Beschwerdegegnerinnen verjährt seien.
Eine dagegen erhobene Berufung der Beschwerdeführerin hiess das Obergericht des Kantons Aargau am 3. Juli 2013 bezüglich der Beschwerdegegnerin 2 gut und wies sie bezüglich der Beschwerdegegnerin 1 ab. Es verpflichtete die Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin 1 Fr. 154'480.90 nebst Zins zu 5 % auf Fr. 119'482.50 seit dem 1. Januar 2008 zu bezahlen, und wies die Klage im Übrigen ab. Im Gegensatz zur Erstinstanz betrachtete es die Forderung der Beschwerdegegnerin 2 als verjährt. Für die Forderung der Beschwerdegegnerin 1 sei die Klage aber vor Ablauf der unterbrochenen Verjährungsfrist erhoben worden.
C.
Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen sinngemäss, das Urteil vom 3. Juli 2013 aufzuheben und die Klage der Beschwerdegegnerinnen 1 und 2 vollumfänglich abzuweisen, unter entsprechender Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens.
Die Beschwerdegegnerinnen beantragen, auf die Beschwerde gegen die Beschwerdegegnerin 2 sei nicht einzutreten und die Beschwerde gegen die Beschwerdegegnerin 1 abzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Die Beschwerdeführerin reichte eine Replik ein.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1).
1.1. Zu klären ist zunächst, ob der angefochtene Entscheid in einer Zivilsache im Sinne von <ref-law> erging, in der die Beschwerde in Zivilsachen offen steht.
Die Beschwerdegegnerinnen machten mit ihrer Klage Regressansprüche geltend, die ihnen infolge Subrogation in die Schadenersatzansprüche des Geschädigten nach aArt. 48ter AHVG (aufgehoben durch Anhang Ziff. 7 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts [ATSG; AS 2002 3371]) und nach aArt. 52 IVG (aufgehoben durch Ziff. I des BG vom 21. März 2003 [4. IV-Revision] mit Wirkung seit 1. Jan. 2004 [AS 2003 3837, S. 3846]) zukämen. aArt. 52 IVG verwies für den Regress der Invalidenversicherung auf die Bestimmungen des AHVG. Gemäss aArt. 48ter AHVG gingen die Ansprüche des Geschädigten gegenüber einem Haftpflichtigen im Zeitpunkt des Schadenereignisses bis auf die Höhe der gesetzlichen Leistungen auf die Sozialversicherung über (vgl. <ref-ruling> E. 1). Mit der Subrogation entsteht kein neuer, selbständiger Anspruch des Sozialversicherers. Er übernimmt durch Legalzession den Haftpflichtanspruch des Geschädigten mit allen damit verbundenen Vor- und Nachteilen (<ref-ruling> E. 3 S. 225 mit Hinweis).
Die geltend gemachten Forderungen betreffen die wirtschaftlichen Folgen wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital. Die Vorinstanz beurteilte die Streitigkeit nach Bundesprivatrecht, so dass insoweit ohne weiteres von einer Zivilsache auszugehen ist (<ref-law>). Dass das Regressrecht der Beschwerdegegnerinnen im öffentlichen Recht geregelt ist, ändert daran nichts (vgl. Urteil C.482/1985 vom 29. April 1086 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
Die Beschwerdeführerin bestreitet allerdings, dass für die strittigen Haftpflichtansprüche Bundesprivatrecht anwendbar sei. Nach ihrer Ansicht hätte richtigerweise das kantonale öffentliche Haftungsrecht angewendet werden müssen. Auch wenn dies zutreffen sollte, ändert es nichts an der Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen. Denn Entscheide über Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital nach dem kantonalen öffentlichen Haftungsrecht stehen im Sinne von <ref-law> in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht, so dass dagegen die Beschwerde in Zivilsachen in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1 S. 465).
1.2. Das angefochtene Urteil ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit mit einem die Grenze nach <ref-law> übersteigenden Streitwert. Auch insoweit sind die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in Zivilsachen - unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (s. Erwägung 2 hinten) - erfüllt.
1.3. Die Beschwerdegegnerinnen beantragen allerdings, auf die Beschwerde gegen die Beschwerdegegnerin 2 sei nicht einzutreten, da die Klage derselben von der Vorinstanz im Gesamtbetrag abgewiesen wurde. Die Beschwerdeführerin sei in Bezug auf die Beschwerdegegnerin 2 nicht beschwert.
Dem ist ohne weiteres zu folgen. Mit ihrer erst in der Replik - und damit zu spät (vgl. die nachfolgende Erwägung 2.1) - vorgebrachten Behauptung, das Rechtsschutzinteresse ergebe sich aus dem vorinstanzlichen Kostenentscheid, kann die Beschwerdeführerin nicht gehört werden, zumal sie diese nicht begründet (vgl. Erwägung 5 hinten). Auf die Beschwerde ist mangels Rechtsschutzinteresse nicht einzutreten, soweit sie sich gegen die Beschwerdegegnerin 2 richtet.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen).
Die Beschwerde ist dabei hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Macht der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; er hat vielmehr anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils im Einzelnen zu zeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; <ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen, und der blosse Verweis auf Ausführungen in andern Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 400).
Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (Art. 42 Abs. 1 und Art. 43 BGG; <ref-ruling> E. 2.4). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf der Beschwerdeführer die Replik nicht dazu verwenden, seine Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.4). Die Replik ist nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2).
Diesen Begründungsanforderungen entspricht die vorliegende Beschwerdeschrift in verschiedenen Teilen nicht, wie in den nachfolgenden Erwägungen darzulegen ist.
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 2.2.1; <ref-ruling> E. 3).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4 S. 466). Soweit die Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_470/2009 vom 18. Februar 2010 E. 1.2). Überdies hat sie darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.4.3, 396 E. 3.1 S. 399).
Auch diesen Grundsätzen wird in der vorliegenden Beschwerde in verschiedenen Punkten nicht Rechnung getragen.
3.
Die streitbetroffenen Ersatzforderungen resultieren aus fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital. Mit einer solchen Behandlung wird eine öffentliche Aufgabe wahrgenommen. Somit sind die Kantone nach <ref-law> befugt, aber nicht verpflichtet, die Haftung für die Tätigkeit der in einem öffentlichen Spital beschäftigten Ärzte dem kantonalen öffentlichen Haftungsrecht zu unterstellen (fakultativer Vorbehalt zugunsten des kantonalen öffentlichen Rechts; vgl. <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.1). Machen die Kantone von ihrer Befugnis keinen Gebrauch, kommen unmittelbar die bundesprivatrechtlichen Normen des Obligationenrechts zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2a/bb S. 104 f.).
Die Vorinstanz verneinte, dass das öffentliche Recht des Kantons Aargau für den vorliegenden Fall im Sinne von <ref-law> von den bundesprivatrechtlichen Normen des OR abweichende Haftungsbestimmungen vorsehe. Unter obligationenrechtlichen Gesichtspunkten sei davon auszugehen, dass zwischen den Parteien (bzw. zwischen dem Geschädigten und der Beschwerdeführerin) ein Vertrag zustande gekommen sei. Die Verjährung von Forderungen wegen Verletzung des Vertrags richte sich nach <ref-law> und auf die vorliegend zu beurteilende Forderung sei die zehnjährige Frist des <ref-law> anwendbar.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe mit diesem Entscheid Art. 61 i.V.m. Art. 60 und <ref-law> verletzt. Der Kanton Aargau habe entgegen der Begründung der Vorinstanz von der in <ref-law> eingeräumten Befugnis Gebrauch gemacht und im kantonalen Verantwortlichkeitsgesetz (Gesetz des Kantons Aargau über die Verantwortlichkeit der öffentlichen Beamten und Angestellten und über die Haftung des Staates und der Gemeinden für ihre Beamten vom 21. Dezember 1939 [Verantwortlichkeitsgesetz, aVG/AG; aufgehoben mit dem Inkrafttreten des Haftungsgesetzes des Kantons Aargau vom 24. März 2009, AGS 2010 18]) entsprechende Bestimmungen erlassen. Nach § 7 aVG/AG finde der Abschnitt des Obligationenrechts über die unerlaubten Handlungen (Art. 41 ff.) ergänzend Anwendung, soweit das Verantwortlichkeitsgesetz keine Vorschriften aufstelle. Da sich das Verantwortlichkeitsgesetz nicht zur Verjährung ausspreche, sei die einjährige Frist nach <ref-law> anwendbar.
3.1. Ob der kantonale Gesetzgeber von der Befugnis nach <ref-law> Gebrauch gemacht hat, ist allein nach kantonalem Recht zu beurteilen, dessen Auslegung und Anwendung das Bundesgericht nur auf Willkür prüft. <ref-law> wird durch eine falsche Auslegung des kantonalen Rechts von vornherein nicht verletzt, da diese Bestimmung dem kantonalen Gesetzgeber keinerlei Verpflichtungen auferlegt, sondern mangels kantonaler Normen die bundesrechtlichen Bestimmungen des OR als anwendbar erklärt (<ref-ruling> E. 2a/cc; Urteile 4C.178/2005 vom 20. Dezember 2005 E. 2.3, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: AJP 2006 1150; 4C.97/2002 vom 1. Juli 2002 E. 2.2; zur Willkürprüfung des kantonalen Rechts durch das Bundesgericht: <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.3 S. 521 f.). Zu prüfen ist demzufolge einzig, ob die Vorinstanz willkürlich verneinte, dass kantonale Bestimmungen bestehen, mit denen der kantonale Gesetzgeber für den vorliegenden Fall von der Befugnis nach <ref-law> Gebrauch gemacht hat. Die Beschwerdeführerin geht fehl, wenn sie geltend macht, die Beurteilung, welche Verjährungsfrist vorliegend anwendbar sei, müsse in Auslegung von <ref-law> bestimmt werden, und eine Verletzung dieser Bestimmung rügt.
3.2. Die Vorinstanz erwog, für die Frage, ob das kantonale öffentliche Recht im vorliegenden Fall, in dem sich das schädigende Ereignis im Mai 1994 zugetragen habe, im Sinne von <ref-law> von den Normen des OR abweichende Haftungsbestimmungen vorsehe, sei das aVG/AG massgebend. Dieses finde jedoch auf die Haftung selbständiger juristischer Personen keine Anwendung. § 2 aVG/AG bestimme, dass der Staat und die Gemeinden pflichtig seien, für Schaden Ersatz zu leisten, der Dritten durch öffentliche Beamte, Angestellte und Arbeiter in Ausübung ihres Dienstes widerrechtlich, sei es absichtlich, sei es fahrlässig, zugefügt wird. Gemäss § 4 aVG/AG gelte die Ersatzpflicht des Staates und der Gemeinden aber nicht für Schäden, die von Beamten, Angestellten und Arbeitern öffentlicher Betriebe mit selbständiger Rechtspersönlichkeit verschuldet werde. Seinem Wortlaut nach befasse sich das aVG/AG demnach nicht mit der Schadenersatzpflicht (selbständiger) juristischer Personen bzw. finde auf deren Haftung keine Anwendung. Aus der Entstehungsgeschichte ergebe sich insoweit kein klarer Hinweis auf eine planwidrige Unvollständigkeit des Gesetzes, weshalb eine Lückenfüllung unzulässig sei. Mit Blick auf den Zweckgedanken, insbesondere mit Blick auf die Absicht, Beamte gegen ungerechtfertigte Prozesse zu sichern, lasse sich in der fehlenden Regelung der Schadenersatzpflicht selbständiger juristischer Personen mit öffentlichen Aufgaben keine planwidrige Unvollständigkeit erblicken. Da die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt des Schadensereignisses ein privatrechtlicher Verein mit eigener Rechtspersönlichkeit gewesen sei, bleibe es bei der Anwendbarkeit der Bestimmungen des Obligationenrechts.
3.3. Die Beschwerdeführerin erhebt keine Willkürrüge, in der sie auch nur ansatzweise aufzeigen würde, weshalb es entgegen diesen Erwägungen offensichtlich unhaltbar sein soll, wenn die Vorinstanz die Anwendbarkeit des aVG/AG auf den vorliegenden Fall verneinte. Sie bringt bloss in frei gehaltenen Ausführungen, ohne auf die Erwägungen der Vorinstanz zum vorliegenden Fall einzugehen, vor, die Ersatzpflicht bestimme sich ausschliesslich nach kantonalem Recht, wenn ein Kanton - wie der Kanton Aargau mit dem Verantwortlichkeitsgesetz - Bestimmungen über die Haftung von öffentlichen Beamten und Angestellten erlassen habe. Da sich das Verantwortlichkeitsgesetz zur Verjährung nicht ausspreche, kämen nach dessen § 7 die Bestimmungen von <ref-law> zur Anwendung. Damit zeigt sie nicht im Ansatz auf, inwiefern die vorinstanzliche Auslegung des kantonalen Rechts willkürlich sein soll. Sie übt blosse appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid, mit der sie nicht zu hören ist. Überdies genügt sie dabei auch insoweit den Begründungsanforderungen nicht, als sie bloss auf Meinungsäusserungen verschiedener kantonaler Behörden in den Akten verweist, ohne ihren Standpunkt in der Beschwerde selber zu begründen (s. Erwägung 2.1 vorne).
Auf die Rüge, die Vorinstanz habe zu Unrecht entschieden, dass der Kanton Aargau von der in <ref-law> eingeräumten Befugnis keinen Gebrauch gemacht habe, ist demnach nicht einzutreten.
3.4. Auch die Annahme der Vorinstanz, es sei unter obligationenrechtlichen Gesichtspunkten davon auszugehen, dass ein Vertrag zwischen der Beschwerdeführerin und dem geschädigten Patienten geschlossen wurde, ficht die Beschwerdeführerin nicht in einer den Begründungsanforderungen genügenden Weise an (Erwägung 2.1 vorne). Sie bringt bloss im Rahmen ihrer Ausführungen zur Frage, ob der kantonale Gesetzgeber für den vorliegenden Fall von seiner Befugnis nach <ref-law> Gebrauch gemacht habe, in allgemeiner Weise vor, die Beamtenhaftung beurteile sich nach <ref-law>, soweit einschlägige kantonale Bestimmungen überhaupt fehlten. Damit stellt sie die Annahme der Vorinstanz, es sei vorliegend ein Vertrag geschlossen worden, nicht rechtsgenügend in Frage.
Ist damit aber von einer vertraglichen Haftung auszugehen, ist es auch zutreffend, dass die Vorinstanz auf die Verjährungsfrage <ref-law> angewendet hat (vgl. dazu schon das im Streit zwischen der Beschwerdeführerin und A._ ergangene Urteil 4C.112/2003 vom 28. Mai 2003 E. 1.1 in fine).
4.
Es ist unbestritten, dass die Verjährungsfrist mit dem schädigenden Ereignis am 3. Mai 1994 zu laufen begann und (bei zehnjähriger Verjährungsfrist) am 3. Mai 2004 abgelaufen wäre, falls sie nicht unterbrochen wurde. Die Vorinstanz kam zum Schluss, die Beschwerdeführerin bzw. die Versicherung P._ (im Folgenden bloss: Versicherung), deren Handlungen der Beschwerdeführerin zuzurechnen seien, habe mit einer Überweisung von Fr. 76'292.-- an die Ausgleichskasse Basel-Stadt vom 5. August 1999, der ein Begleitschreiben gleichen Datums folgte, ihre Schuldpflicht im Sinne von <ref-law> grundsätzlich anerkannt und damit die Verjährungsfrist unterbrochen.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe Bundesrecht, insbesondere <ref-law> verletzt, indem sie die Bezahlung einer periodischen Rechnung von Fr. 76'292.-- als Schuldanerkennung für die heute eingeklagten Forderungen qualifiziert habe, ohne die Umstände des Einzelfalls eingehend zu prüfen.
4.1. Nach <ref-law> wird die Verjährung durch Anerkennung der Forderung von Seiten des Schuldners unterbrochen, namentlich auch durch Zins- und Abschlagszahlungen. Eine Anerkennungshandlung nach <ref-law> setzt keinen auf Unterbrechung der Verjährung gerichteten Willen voraus. Als Anerkennung mit Unterbrechungswirkung gilt jedes Verhalten des Schuldners, das der Gläubiger nach Treu und Glauben im Verkehr als Bestätigung auffassen darf, dass die rechtliche Verpflichtung des Schuldners grundsätzlich bestehe. Die Anerkennung der grundsätzlichen Schuldpflicht genügt. Sie braucht sich nicht auf einen bestimmten Betrag zu beziehen (<ref-ruling> E. 5.2.1; <ref-ruling> E. 7b S. 378 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 180 f.). Ob dies zutrifft, ist nach den konkreten Umständen des Einzelfalles zu bestimmen (Urteil 4A_590/2009 vom 14. Mai 2010 E. 4.1 mit Hinweisen). Dass der tatsächlich geschuldete Betrag noch nicht feststeht oder strittig ist, steht einer Anerkennung nicht entgegen. Auch eine grundsätzliche Anerkennung der Schuld unter gleichzeitiger Bestreitung eines bestimmten Betrages wirkt als verjährungsunterbrechende Schuldanerkennung (<ref-ruling> E. 5.2.2).
Das Bundesgericht äusserte sich in einem neueren Entscheid zu den Unterbrechungswirkungen einer "Akontozahlung". Mit einer solchen wird gemeinhin eine vorläufige Zahlung bezeichnet, wobei der Umfang der definitiv geschuldeten Leistung noch zu ermitteln ist. Akontozahlungen werden insbesondere vereinbart, wenn Einigkeit über den Grundsatz der Zahlungspflicht und Ungewissheit über die Höhe des tatsächlich geschuldeten Betrages besteht, wobei eine allfällige Differenz nachzuzahlen beziehungsweise zurückzuerstatten ist (<ref-ruling> E. 5.2.3; <ref-ruling> E. 2b S. 120). Mit einer Akontozahlung bringt der Schuldner daher in der Regel zum Ausdruck, dass er seine Verpflichtung grundsätzlich anerkennt, unter gewissen Voraussetzungen zur Leistung weiterer Zahlungen bereit ist und somit das Bestehen einer Restschuld nicht ausschliesst. Dies genügt zur Unterbrechung der Verjährung. Dass dem Gläubiger bei hinreichender Akontozahlung eventuell gar keine weiteren Ansprüche mehr zustehen, vermag daran nichts zu ändern, da dies lediglich eine Folge der Ungewissheit über die Höhe der Forderung ist. Allfällige Vorbehalte, die nicht den Grundsatz der Zahlungspflicht, sondern die Höhe der Forderung betreffen, stehen einer Unterbrechung der Verjährung nicht entgegen (<ref-ruling> E. 5.2.3; <ref-ruling> E. 3 S. 181, je mit Hinweisen). Gibt der Schuldner anlässlich der Akontozahlung allerdings zu erkennen, dass nach dieser Zahlung jedenfalls kein Anspruch des Gläubigers mehr bestehe, ist der geleistete Betrag eine Schlusszahlung, was eine Anerkennungswirkung für weitere Forderungen des Gläubigers ausschliesst (<ref-ruling> E. 5.2.4; Robert K. Däppen, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht, 5. Aufl. 2011, N. 3 zu <ref-law>).
4.2. Nach den Feststellungen der Vorinstanz meldete die Ausgleichskasse Basel-Stadt am 30. Mai 1996 gegenüber der Versicherung Rückgriffsansprüche an. Am 5. August 1999 überwies die Versicherung der Ausgleichskasse einen Betrag von Fr. 76'292.--. Zu diesem Zeitpunkt stand der Umfang des gesamten Schadens bzw. des Regressanspruchs noch nicht fest. Das Begleitschreiben vom gleichen Tag trug den Titel "Regresszahlung" und lautete wie folgt:
"Bei der Durchsicht meiner Pendenzen habe ich festgestellt, dass ihr Schreiben vom 15. März 1999 bis jetzt unbeantwortet geblieben ist. Mit heutiger Zahlung habe ich für Ihre Leistungen vom 1.6.1996 bis zum 28.2.1999 total Fr. 76'292.-- auf das Konto qqq der Bank K._ überwiesen. Für die eingetretene Verzögerung bitte ich um Verständnis."
Die Vorinstanz erwog dazu, mit der Zahlung vom 5. August 1999 habe die Versicherung keine eigentliche Akontozahlung, sondern eine Zahlung für eine bestimmte Zeitperiode, nämlich für die Zeit vom 1. Juni 1996 bis zum 28. Februar 1999, geleistet. Nachdem die Ausgleichskasse mit Schreiben vom 30. Mai 1996 Rückgriffsansprüche angemeldet hatte und der Umfang des gesamten Schadens bzw. Regressanspruchs im Zeitpunkt der Zahlung vom 5. August 1999 noch nicht feststand, sei diese Zahlung nach Treu und Glauben als grundsätzliche Anerkennung der Schuldpflicht zu verstehen. Wenn nämlich bei Bezahlung dieses Betrages nicht feststand, wie sich der Schaden weiter entwickelte, habe kein Grund zur Annahme bestanden, die Versicherung sei grundsätzlich nur bereit, Zahlungen für die Zeitperiode vom 1. Juni 1996 bis zum 28. Februar 1999 zu leisten, zumal keine Anhaltspunkte dafür geltend gemacht wurden, weshalb sich die Regresspflicht zeitlich auf diese Periode beschränken sollte. Vielmehr sei die Bezahlung in dem Sinn zu verstehen, dass die Versicherung ihre Verpflichtung zur Leistung von Regresszahlungen aus dem schädigenden Ereignis vom 3. Mai 1994 dem Grundsatz nach anerkannte, während die Höhe der Regresszahlungen strittig blieb.
Schliesslich hielt die Vorinstanz fest, die Handlung der Versicherung sei der Beschwerdeführerin anzurechnen. Nach den nicht substanziiert gerügten Erwägungen der Erstinstanz vertrete die Versicherung gemäss ihren Allgemeinen Versicherungsbedingungen den Versicherten gegenüber dem Geschädigten bei der Schadenregulierung.
4.3. Dem kann ohne weiteres gefolgt werden und die Beschwerdeführerin geht fehl, wenn sie dafür hält, weder aus der Regressanmeldung, noch aus ihrem Schreiben oder aus ihrer Zahlung könne auf eine Anerkennung geschlossen werden, und schon gar nicht auf eine die Beschwerdeführerin bindende.
4.3.1. Die Ausgleichskasse hatte im Jahr 1996 Rückgriffsansprüche angemeldet. Mit ihrem Schreiben vom 15. März 1999, auf das im Begleitschreiben der Versicherung vom 5. August 1999 Bezug genommen wird, stellte sie der Versicherung offenbar eine Rechnung für ihre Leistungen in der Zeitperiode vom 1. Juni 1996 bis zum 28. Februar 1999. Im Zeitpunkt der Bezahlung dieser Rechnung, am 5. August 1999, stand nach den vorinstanzlichen Feststellungen der Umfang des gesamten Schadens bzw. des Regressanspruchs noch nicht fest. Wird bei dieser Sachlage von einer Partei wie der Beschwerdegegnerin 1, der Eidgenössischen Invalidenversicherung, im Zusammenhang mit einem Personenschadenfall eine Rechnung für eine Regressforderung gestellt, die eine bestimmte Zeitperiode betrifft, ist es offenkundig und muss der Versicherer davon ausgehen, dass die Regelung der Regressforderung damit noch nicht abschliessend erledigt ist und unter gleichen Voraussetzungen, d.h. für gleichartige Ansprüche für andere Zeitperioden, noch Ansprüche bestehen (vgl. dagegen der von der Beschwerdeführerin angerufene BGE 33 II 223 E. 2 S. 226, bei dem es nicht um gleichartige Ansprüche ging; STEPHEN V. Berti, Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 2002, N. 26 zu <ref-law>).
Die Versicherung bezahlte den in Rechnung gestellten Betrag von Fr. 76'292.-- in dieser Situation und erklärte im Begleitschreiben bloss, die Zahlung erfolge (gemäss gestellter Rechnung) für die Leistungen vom 1. Juni 1996 bis zum 28. Februar 1999, ohne dabei aber ihre grundsätzliche Leistungspflicht und die Pflicht zur Erbringung von weiteren Zahlungen (für andere Zeitperioden) zu bestreiten oder einen entsprechenden Vorbehalt anzubringen. Dieses Verhalten kann nach Treu und Glauben nicht anders, denn als grundsätzliche Anerkennung ihrer Schuldpflicht verstanden werden. Es verhält sich dabei gleich wie bei der vorbehaltlosen Leistung einer Akontozahlung (vgl. Erwägung 4.1 vorne). Es trifft demnach nicht zu, dass die Versicherung die obere Grenze ihres Anerkennungswillens setzte, indem sie im Schreiben vom 5. August 1999 ohne weiteren Vorbehalt den Betrag und die Zeitperiode nannte, für welche die Zahlung desselben erfolgte. Die Nennung des der Rechnungsstellung entsprechenden Betrages im Begleitschreiben der Zahlung, ohne dass gleichzeitig weitere Zahlungen ausgeschlossen werden, hat nicht die gleiche Wirkung wie die Nennung eines Betrages in einer besonderen Anerkennungserklärung (vgl. dazu BERTI, a.a.O., N. 17 ff.). Der vorliegende Fall, in dem die Versicherung bei grundsätzlich angemeldetem Regressanspruch die Rechnung der Beschwerdegegnerin 1 für eine bestimmte Zeitperiode vollumfänglich bezahlte, kann sodann nicht mit Konstellationen gleichgesetzt werden, in denen der Schuldner von einem in Rechnung gestellten Gesamtbetrag nur einen Teilbetrag bezahlt, den er allein anerkennt (vgl. dazu Frédéric Krauskopf, Die Schuldanerkennung im Schweizerischen Obligationenrecht, 2003, Rz. 294).
Die Beschwerdeführerin macht in diesem Zusammenhang geltend, die Gesamtforderung sei stets bestritten gewesen. Soweit sie damit geltend machen will, am 5. August 1999 sei ausser dem quantitativ des Schadens die Schadenersatzpflicht überhaupt bestritten gewesen, weicht sie von dem im angefochtenen Urteil festgestellten Sachverhalt ab, stellte die Vorinstanz doch einzig fest, dass am 5. August 1999 der Umfang des gesamten Schadens bzw. des Regressanspruchs noch nicht feststand. Da die Beschwerdeführerin dazu keine Sachverhaltsrüge erhebt, die dem Bundesgericht gegebenenfalls eine Ergänzung des Sachverhalts erlauben könnte (Erwägung 2 vorne), kann sie insoweit nicht gehört werden.
Das gleiche gilt, soweit die Beschwerdeführerin sich auf ein im angefochtenen Urteil nicht erwähntes Schreiben vom 1. Dezember 2000 beruft, in dem die Versicherung explizit festgehalten habe, sie lehne weitere Regresszahlungen vollumfänglich ab. Ohnehin hat die nach dem Ausgeführten durch die Zahlung der Versicherung vom 5. August 1999 erfolgte Unterbrechung der Verjährung die Wirkung, dass die Verjährungsfrist ab diesem Zeitpunkt neu zu laufen beginnt (<ref-law>; vgl. dazu BERTI, a.a.O., N. 4 zu <ref-law>). Eine nachträgliche Erklärung vermöchte daran nichts zu ändern.
4.3.2. Soweit die Beschwerdeführerin bestreitet, dass die Unterbrechungshandlung der Versicherung für sie bindend ist, kann darauf nicht eingetreten werden. Denn sie lässt es insoweit an jeglicher Begründung vermissen, weshalb die Vorinstanz bzw. die Erstinstanz eine Bindung zu Unrecht bejaht haben soll.
4.3.3. Die Beschwerdeführerin rügt weiter, die Vorinstanz habe mit der Annahme, dass eine Schuldanerkennung im Sinne von <ref-law> vorliege, <ref-law> verletzt, indem sie auf ein diesbezügliches Beweisverfahren gänzlich verzichtet habe. Es liege eine Verletzung des Rechts auf Beweis vor. Die - nicht leicht verständliche - Rüge ist unbegründet, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
<ref-law> gibt der beweispflichtigen Partei einen bundesrechtlichen Anspruch darauf, für rechtserhebliche Vorbringen zum Beweis zugelassen zu werden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 226, 545 E. 3.3.2 S. 548; <ref-ruling> E. 5.4 S. 601), wenn ihr Beweisantrag nach Form und Inhalt den Vorschriften des kantonalen Rechts entspricht (<ref-ruling> E. 2.6 S. 24 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 290, je mit Hinweisen). Wer eine Verletzung seines Beweisführungsanspruchs geltend macht, hat mit Aktenhinweisen darzulegen, welche Beweismittel er im kantonalen Verfahren prozesskonform für welche prozessrelevanten Tatsachen angeboten hat (Urteil 5C.238/2000 vom 8. Dezember 2000 E. 4a, nicht publ. in: <ref-ruling>; Erwägung 2.2 vorne). Denn ein Anspruch auf Beweisführung besteht nur, sofern der Beweisantrag rechtserhebliche Tatsachen, d.h. Sachumstände, von deren Verwirklichung es abhängt, ob so oder anders zu entscheiden ist, betrifft und nach Form und Inhalt den Vorschriften des anwendbaren Prozessrechts entspricht (<ref-ruling> E. 7.1 S. 299).
Die Vorinstanz durfte nach dem Gesagten aufgrund der von ihr getroffenen tatsächlichen Feststellungen, gegen welche die Beschwerdeführerin keine Sachverhaltsrügen erhebt (Erwägung 2.2), auf das Vorliegen einer Schuldanerkennung schliessen. Wenn die Beschwerdeführerin geltend macht, die Beschwerdegegnerin 1 wäre für das Vorliegen von verjährungsunterbrechenden Umständen beweispflichtig gewesen, stösst sie daher ins Leere, ganz abgesehen davon, dass es nicht zielführend sein kann, wenn die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Beweisführungsanspruchs der Gegenpartei rügt. Die Frage der Verletzung des Beweisführungsanspruchs der Beschwerdeführerin selber kann sich von vornherein nur im Hinblick auf das Recht zum Gegenbeweis stellen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.4 S. 326). Wenn die Beschwerdeführerin insoweit beanstandet, dass die Vorinstanz zur Zahlung und zum Begleitschreiben vom 5. August 1999 keine Parteibefragung angeordnet oder andere Beweise abgenommen habe, ohne darzulegen, welche Beweismittel die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren prozesskonform für welche prozessrelevanten Tatsachenbehauptungen angeboten hat, begründet sie eine Verletzung ihres Beweisführungsanspruchs allerdings von vornherein nicht hinreichend (Erwägung 2 vorne).
4.4. Nach dem Ausgeführten hat die Vorinstanz eine Unterbrechung der zehnjährigen Verjährungsfrist durch die Handlungen der Versicherung vom 5. August 1999 mit Bezug auf die Beschwerdegegnerin 1 zu Recht bejaht und eine Verjährung von deren Regressforderung vor Klageeinreichung zutreffend verneint.
Bei diesem Ergebnis braucht nicht auf die Darlegungen der Beschwerdeführerin darüber eingegangen zu werden, dass die Vereinbarung 1 zwischen der Schweizerischen Vereinigung der Haftpflicht- und Motorfahrzeug-Versicherer und dem Bundesamt für Sozialversicherung betreffend Verjährungsverzicht vom 24. Dezember 1981/13. Januar 1982 am Verjährungseintritt nichts zu ändern vermöge.
5.
Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin beantragt eine Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens in der Beschwerde nur für den Fall der Gutheissung der Beschwerde, so dass sich bei diesem Verfahrensausgang eine Auseinandersetzung mit diesen Anträgen und den Vorbringen dazu erübrigt. Erst in der Replik (im Zusammenhang mit der Frage des Rechtsschutzinteresses an der Beschwerde gegen die Beschwerdegegnerin 2; Erwägung 1.3 vorne) behauptet sie, die Vorinstanz habe dem Unterliegen der Beschwerdegegnerin 2 im kantonalen Verfahren bei der Kostenverteilung nicht Rechnung getragen. Auf diese Behauptung ist indessen nicht einzugehen, da sie erst nach Ablauf der Beschwerdefrist - und damit verspätet - und im Übrigen ohne jegliche Begründung vorgetragen wurde (Erwägung 2.1 vorne).
6.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 6'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Januar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer