Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1947 geborene P._ arbeitete bei der Firma X._, und war bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend AXA), obligatorisch unfallversichert. Am 8. Dezember 2007 wurde er von einer Person in die rechte Hand gebissen. Gleichentags wurde die Wunde genäht; am 10. Dezember 2007 erfolgte eine operative Abszessexzision und Wundrevision. Zusätzlich zu den Handbeschwerden rechts beklagte der Versicherte Schulterschmerzen rechts, die er auf einen Sturz am ersten postoperativen Tag zurückführte. Die AXA erbrachte Heilbehandlung und Taggeld. Sie holte diverse Arztberichte und ein interdisziplinäres (orthopädisches und schmerzmedizinisches/psychosomatisches) Gutachten der Klinik Y._, vom 23. Oktober 2009 ein. Am 1. Februar 2010 verfügte sie die Leistungseinstellung per 30. April 2009, da die geklagten Handbeschwerden rechts nicht mehr und die Schulterbeschwerden rechts nur möglicherweise unfallbedingt seien. Die Einsprache des Versicherten wies sie mit Entscheid vom 15. September 2010 ab.
A.b. Der Versicherte erhob Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich. Er legte unter anderem ein Gutachten des Dr. med. A._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Facharzt für Handchirurgie und Chirurgie der peripheren Nerven, vom 1. November 2010 auf. Die Vorinstanz hiess die Beschwerde, soweit sie darauf eintrat, in dem Sinne gut, dass sie den Einspracheentscheid aufhob und die AXA verpflichtete, für die Folgen des Unfalls vom 8. Dezember 2007 über den 30. April 2009 hinaus die gesetzlichen Leistungen zu erbringen (Entscheid vom 30. Januar 2012).
A.c. Die hiegegen von der AXA geführte Beschwerde hiess das Bundesgericht teilweise gut. Es hob den kantonalen Entscheid auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der AXA neu entscheide. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. Es erwog, der Vorinstanz sei insofern beizupflichten, als aufgrund der Ausführungen des Dr. med. A._ nicht ohne Weiteres gesagt werden könne, das unfallbedingte komplexe regionale Schmerzsyndrom (CRPS) I bis 30. April 2009 vollumfänglich ausgeheilt. Indessen sei die Sache angesichts der widersprüchlichen Aktenlage an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie eine Stellungnahme der Klinik Y._ zum Gutachten des Dr. med. A._ vom 1. November 2010 einhole. Erforderlichenfalls habe sie eine weitere medizinische Begutachtung anzuordnen. Danach habe sie über die Beschwerde betreffend die Handproblematik rechts neu zu entscheiden (Urteil 8C_232/2012 vom 27. September 2012).
B.
In der Folge reichte der Versicherte vorinstanzlich Fotos seiner Finger ein. Die Vorinstanz holte eine Stellungnahme der Klinik Y._ vom 20. November 2012 zum Gutachten des Dr. med. A._ vom 1. November 2010 ein. Hierzu liess sich der Versicherte am 3. Januar 2013 vernehmen, wobei er eine Stellungnahme des Dr. med. A._ vom 17. Dezember 2012 auflegte. Die AXA nahm am 21. Januar 2013 Stellung. Mit Entscheid vom 22. Mai 2013 hiess die Vorinstanz die Beschwerde teilweise gut und änderte den Einspracheentscheid der AXA dahingehend ab, als sie diese verpflichtete, für die Folgen des Unfalls vom 8. Dezember 2007 bezüglich der Beschwerden an der rechten Hand über den 30. April 2009 hinaus die gesetzlichen Leistungen zu erbringen.
C.
Mit Beschwerde beantragt die AXA die Aufhebung des kantonalen Entscheides; es sei zu erkennen, dass im Zeitpunkt der Leistungseinstellung per 30 April 2009 keine Leistungspflicht mehr bestanden habe; eventuell sei die Sache für weitere medizinische Abklärungen betreffend die Folgen des Unfalls vom 8. Dezember 2007 an die Vorinstanz oder an die AXA zurückzuweisen; der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Der Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Verfügung vom 10. September 2013 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Trotzdem prüft es - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren beanstandeten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Die Vorinstanz hat die Grundlagen über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 111; zum Genügen einer Teilursächlichkeit für die Bejahung der Kausalität siehe <ref-ruling> E. 9.5 S. 125) richtig dargelegt. Gleiches gilt zum Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 6 S. 221) und zum Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist Folgendes: Den von Versicherungsträgern nach Art. 44 ATSG eingeholten, den Anforderungen der Rechtsprechung entsprechenden Gutachten externer Spezialärzte darf das Gericht vollen Beweiswert zuerkennen, solange nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit der Expertise sprechen (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 232, 135 V 465 E. 4.4 S. 470). Ein Parteigutachten besitzt nicht den gleichen Rang wie ein vom Gericht oder vom Versicherungsträger nach dem vorgegebenen Verfahrensrecht eingeholtes Gutachten. Es verpflichtet indessen das Gericht, den von der Rechtsprechung aufgestellten Richtlinien für die Beweiswürdigung folgend, zu prüfen, ob es in rechtserheblichen Fragen die Auffassung und Schlussfolgerungen des vom Gericht oder vom Versicherungsträger förmlich bestellten Gutachters derart zu erschüttern vermag, dass davon abzuweichen ist (<ref-ruling>).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob das durch den Unfall vom 8. Dezember 2007 verursachte CRPS I an der rechten Hand des Versicherten am 30. April 2009 vollumfänglich ausgeheilt war.
3.1.
3.1.1. Die Klinik Y._ legte in der Stellungnahme vom 20. November 2012 zum Gutachten des Dr. med. A._ vom 1. November 2010 im Wesentlichen dar, in ihrem Gutachten vom 23. Oktober 2009 habe sie keine Hinweise für die Beschwerden eines CRPS finden können. Die Schmerzen seien im Rahmen der Restbeschwerden bei deutlicher Fingergelenksarthrose interpretiert worden. Weiter müsse angemerkt werden, dass Dr. med. A._ den Versicherten mehr als ein Jahr nach ihrer Begutachtung untersucht habe. In diesem Zeitraum sei zusätzlich ein operativer Eingriff (Carpaltunnel-Operation) im Bereich der rechten Hand durchgeführt worden, der ebenfalls einen Einfluss auf die gesamte Situation nehmen könne. Es sei nicht auszuschliessen, dass ein allfälliger CRPS Typ I aufgrund dieses operativen Eingriffs entstanden sei. Nach objektiver und kritischer Beurteilung müsse überwiegend wahrscheinlich davon ausgegangen werden, das beim Versicherten Schmerzen in Sinne von mixed pain im Bereich der rechten Hand vorlägen. Ein CRPS Typ I sei beim Versicherten im frühen Verlauf nach dem Unfall dokumentiert. Dazu sei zusätzlich eine erhebliche Fingergelenksarthrose mit spontaner Einsteifung des Zeigefingerendgelenks aufgetreten. Nach ihrer Feststellung hätten zum Zeitpunkt des Gutachtens vom Oktober 2010 (recte 2009) keine residuellen Symptome eines CRPS Typ I vorgelegen. Aus diesem Grund hätten sie die Beschwerden damals dem Arthroseschmerz zugeordnet. Diese Beurteilung gelte auch nach nachträglicher Analyse der Akten vollumfänglich.
3.1.2. Dr. med. A._ führte in der Stellungnahme vom 17. Dezember 2012 im Wesentlichen aus, die Carpaltunnel-Operation habe die Entwicklung eines CRPS Typ I nicht beeinflusst. Die vom Versicherten anlässlich seiner Untersuchung vom 1. Oktober 2010 geäusserten Schmerzen am Zeigefinger und ulnarseitigen Daumen (radiologisch keine Arthrose am Daumenstrahl) seien vom Charakter her nicht Arthrose-typisch, sondern entsprächen einer ungewöhnlichen Allodynie (Schmerzempfindung, die durch Reize ausgelöst werde, die üblicherweise keinen Schmerz verursachten) und Hyperalgesie (übermässige Schmerzempfindlichkeit auf einen üblicherweise schmerzhaften Reiz), wie sie beim CRPS Typ I typischerweise vorkämen. Zusammenfassend sei in der Beurteilung dieses seltenen und ungewöhnlichen Falles nebensächlich, ob ein Typ I oder ein Typ II eines CRPS vorliege. Entscheidend sei, dass trophische Weichteilstörungen am Zeigefinger und eine Allodynie am Daumen und Zeigefinger vorlägen, die nach wie vor überwiegend wahrscheinlich als Residuum eines CRPS Typ I für die geäusserten Residualbeschwerden verantwortlich seien. Das Trauma (Menschenbiss) habe einen bedeutenden Einfluss auf die Residualbeschwerden, und das unbestrittenermassen eingetretene CRPS Typ I sei nach wie vor für diese (während seiner Begutachtung vom 1. Oktober 2010 geäusserten) Residualbeschwerden verantwortlich.
3.2. Nach dem Gesagten ist die Aktenlage weiterhin unklar und widersprüchlich. Zwischen der Klinik Y._ und Dr. med. A._ bestehen umstrittene Fragen, die das Gericht nicht durch freie Beweiswürdigung (Art. 61 lit. c in fine ATSG) zu Gunsten der einen oder anderen fachlichen Betrachtungsweise entscheiden kann. Hieran vermögen die Ausführungen der Vorinstanz nichts zu ändern. Festzuhalten ist insbesondere Folgendes:
Die Vorinstanz erwog, die Klinik Y._ habe anlässlich ihrer Begutachtung vom 26. Mai 2009 (Untersuchungsdatum) eine erhebliche Berührungsempfindlichkeit des Zeigefingerstrahls und teilweise des ulnarseitigen Daumens, eine Schwellung des Zeigefingerstrahls sowie eine auffallende Fältelung des Zeigefingerstrahls dorsal und teilweise auch gegenseitig angegeben; in der Stellungnahme vom 20. November 2012 habe sie nunmehr eingeräumt, die Schmerzen im Bereich der rechten Hand seien als mixed pain zu werten. Damit könne nicht überwiegend wahrscheinlich ausgeschlossen werden, dass die Beschwerden wenigstens teilweise auf ein CRPS I zurückzuführen und damit mit dem Unfall vom 8. Dezember 2007 im Zusammenhang stünden. Dem ist entgegenzuhalten, dass die Klinik Y._ die Beschwerden trotz diesen Feststellungen sowohl im Gutachten vom 23. Oktober 2009 als auch in der Stellungnahme vom 20. November 2012 einzig auf eine unfallfremde Fingergelenksarthrose zurückführte. Aus dem von der Klinik Y._ verwendeten Begriff der "mixed pain"-Schmerzen kann nicht auf das Gegenteil geschlossen werden.
Weiter führte die Vorinstanz aus, der den Versicherten behandelnde Dr. med. H._ sei in der vom Bundesgericht im Urteil 8C_232/2012 nicht berücksichtigten Stellungnahme vom 3. März 2010 davon ausgegangen, dass beim Beschwerdeführer das atrophe Stadium eines CRPS I (Grad III) vorliege; es seien eine leichte Gewebeatrophie und eine Generalisierung der Beschwerden zu beobachten. Hieraus kann der Versicherte aufgrund der Aktenlage nichts zu seinen Gunsten ableiten. Denn abgesehen davon, dass behandelnde Ärzte mitunter im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung in Zweifelsfällen eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagen, weshalb ihre Berichte mit Vorbehalt zu würdigen sind (<ref-ruling> E. 4.5. S. 470), räumte die Vorinstanz selber ein, Dr. med. H._ habe festgestellt, das CRPS I stehe auch im Zusammenhang mit den arthrotischen Veränderungen.
Die Sache ist daher an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie ein medizinisches Gerichtsgutachten anordne und danach über die Beschwerde neu entscheide (vgl. auch Urteil 8C_331/2012 vom 31. August 2012 E. 4.2.2).
4.
Der unterliegende Versicherte trägt die Verfahrenkosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 7.1 S. 271).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 22. Mai 2013 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Oktober 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar