Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1954) und Y._ (geb. 1974) haben am 28. Juli 2006 geheiratet. Sie sind die Eltern der Söhne A._ (geb. 2002) und B._ (geb. 2003).
B.
Mit Eheschutzentscheid vom 16. Juni 2011 stellte das Gerichtspräsidium Baden die Kinder unter die Obhut ihres Vaters, wies diesem die eheliche Wohnung zur alleinigen Benützung zu, regelte das Besuchsrecht der Mutter und verpflichtete diese, soweit vor Bundesgericht noch relevant, zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen an die Kinder. Auf Berufung der Mutter hin entschied das Obergericht des Kantons Aargau am 22. September 2011 gegenteilig: Es sprach der Mutter die Obhut zu, regelte das Besuchsrecht des Vaters und bestimmte seine Unterhaltspflicht ab Rechtskraft des Urteils auf monatlich Fr. 570.-- pro Kind (zzgl. allfälliger Kinderzulagen). Das Bundesgericht bestätigte diesen Entscheid (Urteil 5A_768/2011 vom 23. Februar 2012).
C.
C.a. Am 5. März 2012 beantragte X._ dem Gerichtspräsidium Baden, den Entscheid des Obergerichts vom 22. September 2011 neu zu fassen und die beiden Söhne unter seine Obhut zu stellen. Zugleich sei das Besuchsrecht der Mutter zu regeln und diese zu monatlichen Kinderalimenten von je Fr. 1'200.-- (zzgl. Kinderzulagen) zu verurteilen. Nachdem es die Eltern befragt hatte, beliess das Gerichtspräsidium die Kinder superprovisorisch in der Obhut der Mutter und stellte die Anordnung eines Kinderzuteilungsgutachtens beim Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst (KJPD) C._ in Aussicht. Dieses wurde am 18. Juni 2013 erstattet. Am 1. Juli 2013 beantragte der Prozessbeistand der Kinder unter anderem, A._ und B._ unter die elterliche Obhut des Vater zu stellen. Mit Entscheid vom 16. August 2013 wies das Gerichtspräsidium X._s Abänderungsbegehren ab.
C.b. Hierauf legten der Prozessbeistand der Kinder und X._ Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau ein. Beide wiederholten ihren Antrag, die Knaben unter die Obhut des Vaters zu stellen und der Mutter ein gerichtsübliches Besuchsrecht zu gewähren (s. Bst. C.a). X._ wiederholte überdies seinen Antrag betreffend die Kinderalimente und verlangte, die Besuchsbeiständin abzulösen und durch eine unbefangene Person zu ersetzen. In prozessualer Hinsicht verlangte er, die Kinder vor Obergericht anzuhören und die Gutachterin Dr. E._ als Zeugin einzuvernehmen. Mit Entscheid vom 19. Dezember 2013 wies das Obergericht die Berufung des Prozessbeistands ab. Diejenige von X._ wies es ab, soweit es darauf eintrat, bewilligte X._ für das Berufungsverfahren aber die unentgeltliche Prozessführung "zu 50 %".
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 19. Februar 2014 wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Ziffern 1-6 des Urteils des Gerichtspräsidiums [recte: des Obergerichts] vom 19. Dezember 2013 aufzuheben. In der Sache hält er an seinen im kantonalen Verfahren gestellten Anträgen fest (s. Bst. C). Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zuletzt ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Prozessführung. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Eheschutzentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die zur Hauptsache über die Obhutszuteilung geurteilt hat. Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit streitwertunabhängig zulässig (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 und Art. 90 BGG). Unter den gleichen Voraussetzungen steht die Beschwerde auch gegen den Entscheid offen, der dem Beschwerdeführer für das Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege teilweise versagt, denn das Obergericht hat diesen Entscheid nicht unabhängig von der Hauptsache gefällt (s. Urteil 5A_740/2012 vom 11. März 2013 E. 1.1).
2.
Von vornherein nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer darin das erstinstanzliche Verfahren kritisiert. Denn Gegenstand der Beschwerde an das Bundesgericht ist allein der angefochtene Entscheid der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>).
3.
Eheschutzentscheide unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Es gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen prüft. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es demnach nicht aus, wenn der Beschwerdeführer die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
4.
Der Beschwerdeführer verlangt vom Bundesgericht, den obergerichtlichen Obhutsentscheid vom 22. September 2011 abzuändern und die gemeinsamen Söhne A._ und B._ unter seine elterliche Obhut zu stellen.
Sind Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft einmal angeordnet, so können sie nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> abgeändert werden. Dieser Vorschrift zufolge passt das Gericht auf Begehren eines Ehegatten die Massnahmen an, wenn sich die Verhältnisse verändern, oder hebt sie auf, wenn ihr Grund weggefallen ist. Nach der Rechtsprechung setzt eine Abänderung von Eheschutzmassnahmen voraus, dass seit der Rechtskraft des Urteils eine wesentliche und dauerhafte Veränderung eingetreten ist. Ein Abänderungsgrund liegt auch dann vor, wenn die tatsächlichen Feststellungen, die dem Massnahmeentscheid zugrunde lagen, sich nachträglich als unrichtig erweisen oder nicht wie vorhergesehen verwirklichen. Schliesslich kann ein Ehegatte die Abänderung verlangen, wenn sich der ursprüngliche Entscheid als nicht gerechtfertigt erweist, weil dem Massnahmerichter wesentliche Tatsachen nicht bekannt waren. Andernfalls steht die formelle Rechtskraft des Eheschutzentscheides einer Abänderung entgegen. Insbesondere kann ein Abänderungsbegehren nicht damit begründet werden, dass die ursprünglichen Umstände in rechtlicher Hinsicht oder - gestützt auf die bereits behaupteten Tatsachen und offerierten Beweise - in tatsächlicher Hinsicht falsch gewürdigt worden seien. Denn das Abänderungsverfahren bezweckt nicht, das erste Urteil zu korrigieren, sondern es an veränderte Umstände anzupassen (Urteil 5A_245/2013 vom 24. September 2013 E. 3.1 und 5A_555/2013 vom 29. Oktober 2013 E. 3.1, je mit Hinweisen). Eine Abänderung ist ferner ausgeschlossen, wenn die vermeintlich neue Sachlage durch eigenmächtiges, widerrechtliches, mithin rechtsmissbräuchliches Verhalten herbeigeführt worden ist (Urteil 5P.473/2006 vom 19. Dezember 2006 E. 3, Zusammenfassung in: FamPra.ch 2007 S. 373, bestätigt in: Urteil 5A_101/2013 vom 25. Juli 2013 E. 3.1 mit Hinweis). Bei alledem gilt es zu berücksichtigen, dass es im Eheschutzverfahren auch unter der Herrschaft der Schweizerischen Zivilprozessordnung genügt, die behaupteten Tatsachen glaubhaft zu machen (Urteil 5A_661/2011 vom 10. Februar 2012 E. 2.3 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2b/bb S. 478; s. auch <ref-ruling> E. 3 S. 377).
5.
Anlass zur Beschwerde gibt zunächst der Entscheid des Obergerichts, die Beweisanträge des Beschwerdeführers im Berufungsverfahren abzuweisen.
5.1. Mit Bezug auf die verlangte gerichtliche Anhörung der Kinder hält das Obergericht fest, die Befragung im Rahmen einer Begutachtung sei zulässig. Sofern das Ergebnis einer delegierten Anhörung noch aktuell sei, könne das Gericht auf deren Ergebnisse abstellen. Die Knaben seien am 17. Mai 2013 im Rahmen des gerichtlichen Begutachtungsauftrags von Dr. med. F._ als Chefarzt des KJPD und damit von einer fraglos fachlich qualifizierten und unabhängigen Person befragt worden. Zwischenzeitlich eingetretene Vorkommnisse, die heute eine erneute Anhörung der Knaben erfordern würden, seien nicht vorgebracht worden und ergäben sich auch nicht aus den Akten. Als unnötig erachtet das Obergericht auch die Zeugeneinvernahme von Dr. med. E._, die ursprünglich die Begutachtung der beiden Knaben anhand genommen hatte und die beiden Knaben - nach der Darstellung des Beschwerdeführers - im Gegensatz zu Dr. med. F._ auch zu den Gefährdungsmeldungen befragt haben soll. Das Obergericht führt aus, der Beschwerdeführer tue nicht dar, inwiefern deren Zeugenaussage etwas zur Entscheidfindung beitragen könnte.
5.2. Was der Beschwerdeführer vor Bundesgericht dagegen vorbringt, vermag die Abweisung der Beweisanträge nicht als willkürlich auszuweisen. Insbesondere stellt der Beschwerdeführer - zu Recht - nicht in Frage, dass die Anhörung der Kinder (<ref-law>) nach der Praxis des Bundesgerichts auch im Rahmen der Begutachtung erfolgen kann (<ref-ruling> E. 4 S. 554 f.). Dass sich aus den von ihm angerufenen "staatsvertraglichen Pflichten der Schweiz" etwas anderes ergibt, behauptet der Beschwerdeführer nicht. Ebenso wenig setzt er sich mit der vorinstanzlichen Erkenntnis auseinander, wonach Gründe für eine erneute Anhörung weder vorgebracht noch ersichtlich seien. Was das beantragte Zeugnis von Dr. med. E._ angeht, erklärt das Obergericht zunächst, die Gefährdungsmeldungen des Beschwerdeführers seien aktenkundig, und verweist im Übrigen auf die Ausführungen von Dr. med. F._, wonach zwischen seinen eigenen Feststellungen und Einschätzungen und den Notizen von Dr. med. E._, soweit deren Aufzeichnungen lesbar und verständlich gewesen seien, keine Widersprüche bestünden. Auch zu diesen Erkenntnissen äussert sich der Beschwerdeführer jedenfalls nicht in einer Weise, die den strengen Anforderungen des Rügeprinzips (s. E. 3) genügt. Seine Ausführungen laufen vielmehr darauf hinaus, dass er das erwähnte Gutachten für "falsch" hält, weil Dr. med. F._ die Kinder zu seinen Gefährdungsmeldungen nicht befragt und einzig auf die Aussagen der angeblich parteiischen Besuchsbeiständin und der Beschwerdegegnerin abgestellt habe. Damit aber betreffen seine Vorwürfe gar nicht das behauptete "Recht" der beiden Kinder auf eine erneute gerichtliche Anhörung, sondern das gestützt darauf verfasste Gutachten. Diesbezüglich hält das Obergericht fest, der Beschwerdeführer vermöge den schlüssigen Ausführungen der ersten Instanz, wonach keine Anhaltspunkte für eine Parteilichkeit des Gutachters Dr. med. F._ vorliegen, "nichts Durchschlagendes" entgegenzuhalten. Er begnüge sich mit dem "nicht haltbaren Standpunkt", Dr. med. F._ habe das Gutachten oberflächlich, offensichtlich voreingenommen und parteiisch erstattet. Dem Gutachten sei demzufolge "voller Beweiswert" zu attestieren. Diese Erkenntnisse vermag der Beschwerdeführer mit seinen blossen Gegenbehauptungen nicht zu Fall zu bringen.
6.
Zur Hauptsache dreht sich der Streit um die Frage, ob ein Grund vorliegt, der eine Umteilung der elterlichen Obhut unausweichlich macht.
6.1. Das Obergericht führt aus, dass der gefestigte Wunsch eines Kindes, beim andern Elternteil zu wohnen, wohl einen Abänderungsgrund darstellen kann. Im Interesse einer kontinuierlichen Entwicklung des Kindes dürften die Elternrechte aber nicht leichtfertig, sondern nur dann neu geregelt werden, wenn die Beibehaltung der geltenden Regelung das Wohl des Kindes ernsthaft zu gefährden drohe. Eine Neuregelung setze mithin voraus, dass die aktuelle Regelung dem Kind mehr schadet als der Verlust an Kontinuität in der Erziehung und in den Lebensumständen, der mit der Änderung der Hauptbezugsperson verbunden ist.
Bezogen auf den konkreten Fall kommt die Berufungsinstanz zum Schluss, der Gutachter Dr. med. F._ habe in seiner Expertise vom 18. Juni 2013 keine Hinweise ausmachen können, dass die Kinder bei einem Verbleib bei der Klägerin in "grundlegende Schwierigkeiten" kämen. Dem Gutachten zufolge seien sich beide Knaben in den Einzelgesprächen darin einig gewesen, "dass man sowohl beim Vater wie auch bei der Mutter leben könne". Der Prozessbeistand mache in seiner Berufung nicht geltend, dass das Wohl der beiden Knaben unter der (weiteren) Obhut ihrer Mutter irgendeiner Gefahr ausgesetzt wäre. Eine konkrete Gefahr werde auch vom Beschwerdeführer "weder behauptet geschweige denn dargetan". Seine Vorbringen würden sich in der Befürchtung erschöpfen, dass die Kinder bei Beibehaltung der aktuellen Obhutssituation "latent gefährdet" seien. Zur Frage der Zuteilungspräferenzen der beiden Knaben hält die Berufungsinstanz fest, zum einen könne den beiden (im Urteilszeitpunkt) unter zwölfjährigen Knaben hinsichtlich der Frage der Zuteilung der elterlichen Obhut noch keine Urteilsfähigkeit zugebilligt werden. Zum andern anerkenne Dr. med. F._ in seinem Gutachten, dass die beiden Kinder in ihrer Entwicklung gut vorangeschritten sind und sich im Rahmen ihres Alters "schon recht differenziert" zur gesamten Situation äusserten. Ihre Begründung, weshalb sie beim Vater leben möchten, überzeuge bei Nachfragen aber wenig. Ihre Argumente stünden im Widerspruch zu ihrer weiteren Aussage, wie gut es ihnen in der heutigen Situation bei der Mutter in D._ gehe. Möglicherweise seien die Kinder (bewusst oder unbewusst) durch den Vater beeinflusst worden.
6.2. Anstatt aufzuzeigen, inwiefern das vorstehend resümierte vorinstanzliche Beweisergebnis mit der tatsächlichen Situation in einem klaren Widerspruch steht und damit offensichtlich unrichtig ist, gibt sich der Beschwerdeführer damit zufrieden, den Sachverhalt aus seiner eigenen Sicht zu schildern und die bereits dem Obergericht unterbreiteten Rügen zu wiederholen. Damit vermag er nichts auszurichten. An der Sache vorbei gehen namentlich die weitschweifigen Ausführungen, mit denen er die "im Urteil des Bezirksgerichts vom 16. August 2013 angeführten Vorwürfe" von sich weist. Wie bereits erwähnt, steht vor Bundesgericht nicht das erstinstanzliche Urteil zur Überprüfung, sondern dasjenige des Obergerichts (E. 2). Unbehelflich ist auch die Kritik an den Umständen in der Primarschule in D._, die "alles andere als glücklich und von Gewalt und fehlender schulischer und erzieherischer Betreuung gezeichnet" seien. Soweit der Beschwerdeführer damit eine Gefährdung des Wohls der beiden Knaben unterstellen will, wäre diese jedenfalls nicht auf Tatsachen zurückzuführen, die in der Person der Beschwerdegegnerin liegen. Das Gesagte gilt sinngemäss, wenn der Beschwerdeführer die berufliche Situation der Beschwerdegegnerin beanstandet. Inwiefern damit eine konkrete Gefährdung des Kindeswohls verbunden sein soll, vermag er nicht zu erklären. Schliesslich stellt der Beschwerdeführer wiederum die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin in Frage, kritisiert ihre mangelnde Kooperation bei der Ausübung seines Besuchsrechts und stellt diesen Vorwürfen seine eigenen Vorzüge als Inhaber der elterlichen Obhut gegenüber. Damit verkennt er die beschriebene Natur des Abänderungsverfahrens (E. 4) : Allein dass eine Zuteilung der Obhut an ihn auch in Frage käme, bedeutet nicht, dass ein Abänderungsgrund im Sinne von <ref-law> vorliegt.
6.3. Was die Frage der verlangten Neuregelung der elterlichen Obhut angeht, erweist sich die Beschwerde also als unbegründet. Bleibt es aber dabei, dass A._ und B._ der elterlichen Obhut der Beschwerdegegnerin unterstellt sind, so fallen die mit der verlangten Umteilung der Obhut verknüpften Begehren des Beschwerdeführers betreffend den persönlichen Verkehr und die Unterhaltspflicht dahin. Diesbezügliche Erörterungen erübrigen sich.
7.
Zumindest sinngemäss wehrt sich der Beschwerdeführer auch dagegen, dass ihm das Obergericht für das Berufungsverfahren das Armenrecht nur zu 50 % bewilligt (s. Sachverhalt Bst. C.b ). Der Streit dreht sich um die Anspruchsvoraussetzung der fehlenden Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren.
7.1. Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (<ref-law>). Aussichtslos im Sinne der zitierten Vorschrift sind nach der Rechtsprechung Prozessbegehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Verhältnisse zur Zeit, in der das Armenrechtsgesuch gestellt wurde (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen). Dabei ist Rechtsfrage, welche Umstände bei der Beurteilung der Prozessaussichten in Betracht fallen und ob sie für oder gegen eine hinreichende Erfolgsaussicht sprechen, Tatfrage hingegen, ob und wieweit einzelne Tatumstände erstellt sind (<ref-ruling> E. 2c S. 307). Bei der Beurteilung der Erfolgsaussichten einer Berufung kommt es ausschliesslich darauf an, ob das Rechtsmittel prozessual unzulässig oder aussichtslos ist (Urteil 5A_417/2009 vom 31. Juli 2009 E. 2.2 mit zahlreichen Hinweisen), und nicht darauf, dass die um das Armenrecht ersuchende Partei überhaupt erst "ein Verfahren anstrengen muss" (s. Stefan Meichssner, Aktuelle Praxis der unentgeltlichen Rechtspflege, in: Jusletter, 7. Dezember 2009, Rz. 37). Mithin ist zu beachten, dass ein erstinstanzliches Urteil vorliegt, das mit den gestellten Rechtsbegehren verglichen werden kann (Urteil 4A_226/2011 vom 31. Mai 2011 E. 3.2).
7.2. Die Berufungsinstanz hält fest, wie sich aus ihren Erwägungen zur Sache ergebe, habe den Berufungsbegehren des Beschwerdeführers einschliesslich seinen Beweisanträgen "zum Vornherein" kein Erfolg beschieden sein können. Gegen diese Erkenntnis vermag der Beschwerdeführer nicht aufzukommen, wenn er sich in appellatorischer Weise über einen unfairen Prozess beklagt, seine Vorwürfe an die Adresse der Beschwerdegegnerin wiederholt und auf seine Kritik am kinderpsychiatrischen Gutachten zurückkommt. Unbehelflich ist auch der Hinweis auf das Urteil des Bezirksgerichts Baden vom 16. Mai 2011. Die Erfolgsaussichten seiner Berufungsbegehren sind nicht am Entscheid zu messen, dessen Abänderung der Beschwerdeführer verlangt, sondern am erstinstanzlichen Entscheid über die Abänderungsbegehren, also am bezirksgerichtlichen Entscheid vom 16. August 2013. Soweit sich der Beschwerdeführer schliesslich darauf beruft, dass auch der Prozessbeistand der Kinder für eine Obhutszuteilung an den Vater plädiere, übersieht er, dass das Obergericht diesem Umstand ausdrücklich dadurch Rechnung trägt, dass es ihm das Armenrecht insoweit gewährt, als er sich der Berufung des Prozessbeistands angeschlossen hat, und die beiden Berufungen dabei "mit je 50 %" gewichtet. Inwiefern sich dies mit dem verfassungsmässigen Rechtspflegeanspruch nicht vertrüge, tut der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Die Beschwerde erweist sich auch in dieser Hinsicht als unbegründet.
8.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer unterliegt. Er hat für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet. Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen, soweit angesichts der diesbezüglich fehlenden Begründung überhaupt darauf einzutreten ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, A._, B._ und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn