Sachverhalt:
A. A.a A._ wurde am 16. August 2001 zusammen mit B._ als Job Sharing Partnerin vom Stadtrat der Stadt Bern zunächst provisorisch und am 22. August 2002 definitiv als Ratssekretär gewählt. Die von der Stadtratspräsidentin erlassene und von A._ sowie B._ gegengezeichnete Anstellungsverfügung vom 22. August 2002 enthielt unter der Überschrift "Besondere Bestimmungen" den Hinweis, dass das Dienstverhältnis von A._ an das Dienstverhältnis von B._ gekoppelt sei und beide im Sinne eines Job-Pairings gemeinsam die Verantwortung für die Planung und Erfüllung der mit der Stelle verbundenen Aufgaben übernehmen würden.
In der Folge kam es zu Spannungen zwischen der Ratssekretärin und dem Ratssekretär, welche den Präsidenten des Stadtrates veranlassten, eine Administrativuntersuchung durchzuführen. Nachdem die beiden Betroffenen zum Untersuchungsbericht vom 7. Juli 2009 Stellung genommen hatten, kündigte B._ das Dienstverhältnis am 13. August 2009 auf den 30. November 2009. Daraufhin bewarb sich A._ mit Schreiben vom 18. August 2009 um die Leitung des Ratssekretariats zu 100 % mit dem Hinweis, dass er sich in ungekündigter Stellung als Co-Leiter des Ratssekretariats befinde. Am 19. August 2009 erliess der Stadtratspräsident folgende Verfügung:
In der Folge kam es zu Spannungen zwischen der Ratssekretärin und dem Ratssekretär, welche den Präsidenten des Stadtrates veranlassten, eine Administrativuntersuchung durchzuführen. Nachdem die beiden Betroffenen zum Untersuchungsbericht vom 7. Juli 2009 Stellung genommen hatten, kündigte B._ das Dienstverhältnis am 13. August 2009 auf den 30. November 2009. Daraufhin bewarb sich A._ mit Schreiben vom 18. August 2009 um die Leitung des Ratssekretariats zu 100 % mit dem Hinweis, dass er sich in ungekündigter Stellung als Co-Leiter des Ratssekretariats befinde. Am 19. August 2009 erliess der Stadtratspräsident folgende Verfügung:
"1. Der Stadtrat von Bern hat am 13. August 2009 Kenntnis genommen von der Demission von Frau Dr. B._ als Ratssekretärin im Job-Pairing mit Herrn A._.
2. Gestützt auf den Anstellungsbeschluss des Stadtrats und gemäss den besonderen Bestimmungen der Anstellungsverfügung vom 22. August 2002 wird festgestellt, dass mit der Beendigung des Dienstverhältnisses von Frau Dr. B._ das Dienstverhältnis von Herrn A._ ebenfalls auf den 30. November 2009 endet."
A.b Gegen diese Verfügung erhob A._ Beschwerde beim Regierungsstatthalteramt Bern und stellte gleichzeitig ein Ausstandsbegehren gegen den Stadtratspräsidenten X._, den ersten Vizepräsidenten Y._ und die zweite Vizepräsidentin Z._. Der Regierungsstatthalter wies die Beschwerde mit Entscheid vom 30. November 2009 ab, soweit er darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1). Des Weitern verpflichtete er den Beschwerdeführer, den Beschwerdegegnern 2 bis 4 eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 4'297.30 zu entrichten (Dispositiv-Ziffer 4).
B. Die dagegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 5. Februar 2010 ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1). Zudem verpflichtete es A._, den Beschwerdegegnern 2 bis 4 für das kantonale Verfahren eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 500.- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 3).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ die Aufhebung des angefochtenen Entscheids beantragen; eventuell sei die Sache an den Regierungsstatthalter zurückzuweisen. Die Verfahrenskosten seien der Beschwerdegegnerin 1 aufzuerlegen. Hinsichtlich der Parteikosten seien die Beschwerdegegner 1 bis 4 zu verurteilen, ihm unter solidarischer Haftbarkeit eine Entschädigung für die entstandenen Kosten in den Verfahren vor dem Regierungsstatthalter, dem Verwaltungsgericht und dem Bundesgericht nach richterlichem Ermessen zu bezahlen; eventuell sei die Parteientschädigung zu Gunsten der Beschwerdegegner 2 bis 4 für das Verfahren vor dem Regierungsstatthalter von Fr. 4'297.30 für alle drei Parteien zusammen auf Fr. 500.- herabzusetzen. Ferner ersucht er um aufschiebende Wirkung der Beschwerde.
Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Einwohnergemeinde Stadt Bern, X._, Y._ und Z._ schliessen ebenfalls auf Abweisung, soweit auf die Beschwerde einzutreten sei.
D. Mit Eingabe vom 12. Mai 2010 lässt A._ seine Mitteilung an die Gegenpartei gleichen Datums sowie das Protokoll der Stadtratssitzung vom 29. April 2010 über die Reorganisation der Leitung des Ratssekretariats einreichen. Die Gegenparteien haben sich dazu am 27. Mai 2010 vernehmen lassen. Am 31. Mai 2010 hat A._ dazu Stellung genommen. In der Folge gelangte der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 21. Juni 2010 nochmals ans Bundesgericht.
E. Mit Verfügung vom 19. Mai 2010 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Dieser betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinn von <ref-law>. Bereits vor der Vorinstanz beantragte der Beschwerdeführer die Verpflichtung der Gemeinde zur Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses über den 30. November 2009 hinaus. Er verlangte die Feststellung, dass sein Anstellungsverhältnis unbefristet sei, und wollte eine Kündigung für nichtig erklären lassen. Die im bundesgerichtlichen Verfahren gestellten Rechtsbegehren gehen nicht über diesen Rahmen hinaus. Da mit dem Begehren um Weiterbestehen des Arbeitsverhältnisses Lohnforderungen und allenfalls weitere geldwerte Ansprüche in Zusammenhang stehen, liegt eine vermögensrechtliche Streitigkeit vor (Urteil 8C_176/2009 vom 14. September 2009 E. 1.1), weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht gegeben ist.
1.2 Die Beschwerde ist auf dem Gebiet der öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisse zulässig, wenn der Streitwert nicht weniger als 15'000 Franken beträgt (<ref-law>) oder wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Letzteres wird vom Beschwerdeführer nicht geltend gemacht (vgl. <ref-law>), weshalb sich die Zulässigkeit der Beschwerde an der Streitwertgrenze von <ref-law> entscheidet. Der Streitwert bestimmt sich bei Beschwerden gegen Endentscheide nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben waren (<ref-law>). Lautet ein Begehren nicht auf Bezahlung einer bestimmten Geldsumme, setzt das Bundesgericht gemäss <ref-law> den Streitwert nach Ermessen fest. Gemäss Anstellungsverfügung vom 22. August 2002 erzielte der Beschwerdeführer für seine Teilzeittätigkeit als Ratssekretär ein Jahreseinkommen von Fr. 66'538.50. Die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- ist somit erreicht, wovon auch das kantonale Gericht in der Rechtsmittelbelehrung ausgeht. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten steht daher offen. Zuständig für deren Beurteilung ist entgegen der beschwerdegegnerischen Auffassung nicht die I. öffentlich-rechtliche, sondern die I. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts (Art. 34 lit. h des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht, BGerR; RS 173.110.131).
1.3 Das Bundesgericht kann angefochtene Urteile nicht uneingeschränkt, sondern nur hinsichtlich der im Gesetz (<ref-law>) genannten Beschwerdegründe überprüfen. Ist auf die zu beurteilenden Fragen, wie hier, ausschliesslich kommunales oder kantonales Recht anwendbar, sind die Bundesrechtsrügen gemäss <ref-law> auf Verfassungsrügen beschränkt. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. <ref-law>). Dabei wird die Praxis zum Rügeprinzip gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) weitergeführt (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 262; <ref-ruling> E. 2.1 S. 120, je mit Hinweisen).
1.4 Die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz kann lediglich gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Wer Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substanziiert darlegen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sind. Soweit es um die Frage geht, ob der Sachverhalt offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich oder unter verfassungswidriger Verletzung einer kantonalen Verfahrensregel ermittelt worden ist, gelten ebenso strenge Anforderungen an die Begründungspflicht der Beschwerde wie bei Rügen im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
2. 2.1 Die Anstellungsverfügung vom 22. Juni 2002 sah unter dem Titel "Besondere Bestimmungen" Folgendes vor:
"Wird das Dienstverhältnis einer der beiden Personen der Stellenpartnerschaft beendigt, gilt die Beendigung auch für das Dienstverhältnis der Stellenpartnerin oder des -partners. Die Stelle wird neu zur Bewerbung ausgeschrieben. Kommt eine Wiederbesetzung im Rahmen einer Stellenpartnerschaft in Frage, wird Herrn A._ ein Mitspracherecht (kein Mitbestimmungsrecht) eingeräumt, soweit Frau Dr. B._ durch eine andere Person mit gleichem Pensum ersetzt werden soll. Herr A._ erklärt sich ausdrücklich mit dieser Regelung einverstanden."
Das kantonale Gericht hat offengelassen, ob aufgrund dieser Regelung die Auflösung des Dienstverhältnisses gegenüber dem Beschwerdeführer automatisch eintritt, oder ob sie einzig verdeutlichen soll, dass bei Beendigung des einen Dienstverhältnisses das andere mittels Kündigung ebenfalls zu beenden sei.
2.2 Gemäss Art. 5 Abs. 3 des Personalreglements vom 21. November 1991 der Stadt Bern (PRB; SSSB 153.01) wird das öffentlich-rechtliche Dienstverhältnis in den vom Reglement vorgesehenen Fällen beendet. Nach Art. 18 Abs. 1 PRB wird das definitive Verhältnis auf Demissionsbegehren von Angestellten, auf Veranlassung der Stadt oder im gegenseitigen Einvernehmen beendet. Die Angestellten können jederzeit unter Wahrung einer Frist von drei Monaten kündigen, worauf die zuständige Instanz die Beendigung des Dienstverhältnisses zu verfügen hat (Art. 19 Abs. 1 in Verbindung mit Abs. 3 PRB). Für eine Beendigung des Dienstverhältnisses durch die Stadt müssen sachliche Gründe vorliegen, wobei die zuständige Instanz die Beendigung unter Wahrung einer Frist von drei Monaten auf Monatsende zu verfügen hat (Art. 20 Abs. 1 in Verbindung mit Abs. 5 PRB).
2.3 Laut Art. 58 Abs. 2 PRB erlässt der Gemeinderat Bestimmungen über die Arbeitszeit und fördert individuelle und flexible Arbeitszeitnormen. Er regelt insbesondere die Sonderformen der Arbeitszeit, wie Teilzeitarbeit, individuelle Jahresarbeitszeit, Schicht- und Turnusarbeit, gleitende und andere Formen flexibler Arbeitszeit. Gestützt auf diese Delegationsnorm hat der Gemeinderat der Stadt Bern im unter der Überschrift "Job Sharing" stehenden Art. 130a der Personalverordnung vom 19. September 2001 der Stadt Bern (PVO; SSSB 153.011) unter anderem Folgendes normiert:
(...)
4. "Wird das Dienstverhältnis einer Person der Job Sharing-Partnerschaft beendigt, hat die andere Person keinen Anspruch auf Weiterführung des Dienstverhältnisses. Die Beendigung gilt auch für die andere Person. Dieser Umstand ist in der Anstellungsverfügung ausdrücklich festzuhalten. Die Vorgesetzten sind indessen frei, eine Lösung zu suchen, die ein Weiterführen des Job Sharings ermöglicht."
2.4 Nach dem Verwaltungsgericht zieht das Ausscheiden des einen Stellenpartners wegen des damit in Frage gestellten Arbeitnehmerschutzes des verbleibenden Stelleninhabers nicht automatisch die Beendigung seiner Anstellung nach sich. Dieser Umstand stelle jedoch einen sachlichen Grund für eine Kündigung durch den Arbeitgeber im Sinne von Art. 20 Abs. 1 PRB dar. Dies führte das kantonale Gericht dazu, Art. 130a Abs. 4 PVO dahingehend auszulegen, dass bei Job-Sharing-Verhältnissen das Ausscheiden des einen Stelleninhabers in aller Regel die Entlassung des verbleibenden Stellenpartners aus sachlichem Grund nach sich ziehe. Am 19. August 2009 habe der Stadtratspräsident unter Einräumung des rechtlichen Gehörs und Wahrung der Frist eine schriftliche und sachlich begründete Kündigungsverfügung im Sinne von Art. 20 Abs. 2 PRB erlassen, gemäss welcher das Dienstverhältnis mit dem Beschwerdeführer per 30. November 2009 ende. Mit dem Hinweis auf die Demission von B._ nenne diese den die Entlassung rechtfertigenden sachlichen Grund und bringe damit einen offenkundigen Kündigungswillen zum Ausdruck, soweit das Dienstverhältnis nicht ohnehin bereits beendet sein sollte.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer, welcher sich im vorinstanzlichen Verfahren auf den Standpunkt gestellt hatte, laut Personalreglement bedürfe die Beendigung eines öffentlich-rechtlichen Dienstverhältnisses der Form einer rechtsgestaltenden Verfügung der zuständigen Stelle, anerkennt ausdrücklich, dass das kantonale Gericht ihm in diesem Punkt gefolgt ist. Er bestreitet auch nicht, dass angesichts der Besonderheiten des Job-Pairing das Ausscheiden des einen Stellenpartners einen sachlichen Grund darstellt, der die Arbeitgeberin dazu berechtigt, das Arbeitsverhältnis mit dem verbleibenden Partner ebenfalls zu beenden. Art. 20 PRB zählt zwar die sachlichen Gründe nicht einzeln auf. Das kantonale Gericht konnte jedoch Art. 130a Abs. 4 PVO willkürfrei dahingehend auslegen, dass eine Reorganisation der Stelle im Sinne einer Aufhebung des Job-Pairing einen sachlichen Grund im Sinne von Art. 20 Abs. 1 PRB für die Auflösung des Anstellungsverhältnisses des nicht selbst kündigenden Stellenpartners durch die Arbeitgeberin darstellt. Hinzu kommt, dass sich der Beschwerdeführer mit einer solchen Rechtsfolge aufgrund der Formulierung "wird das Dienstverhältnis einer der beiden Personen der Stellenpartnerschaft beendigt, gilt die Beendigung auch für das Dienstverhältnis der Stellenpartnerin oder des -partners" in der von ihm mitunterzeichneten Anstellungsverfügung vom 22. August 2002 ausdrücklich einverstanden erklärt hat (vgl. auch Harry Nötzli, Die Beendigung von Arbeitsverhältnissen im Bundespersonalrecht, Bern 2005, S. 133 Rz. 214 zum Wegfall einer vertraglichen Anstellungsbedingung als ordentlicher Kündigungsgrund).
3.2 Die Beschwerdegegner halten unter Hinweis auf die Anstellungsverfügung vom 22. August 2002 und den Wortlaut von Art. 130a Abs. 4 PVO daran fest, dass das Arbeitsverhältnis mit dem Beschwerdeführer aufgrund der Kündigung von B._ ipso iure beendet worden sei. Indem die Beendigung des Arbeitsverhältnisses am 19. August 2009 mittels Verfügung ausdrücklich festgehalten worden sei, habe der Beschwerdeführer die Gelegenheit erhalten, die von ihm bestrittene Rechtsfolge überprüfen zu lassen.
4. 4.1 Näher einzugehen ist zunächst auf den beschwerdeführerischen Einwand, die vorinstanzliche Feststellung eines durch den Stadtratspräsidenten geäusserten, offenkundigen Kündigungswillens sei offensichtlich unrichtig (<ref-law>) und beruhe auf willkürlicher Rechtsanwendung. Insbesondere habe das Verwaltungsgericht allein gestützt auf den - nach Ansicht des Beschwerdeführers nicht eindeutigen - Wortlaut der Verfügung vom 19. August 2009 auf einen Kündigungswillen geschlossen, ohne diese Annahme anhand weiterer Beweismittel, wie der Vorgeschichte und der beschwerdegegnerischen Argumentation, der Stadtratspräsident habe nicht gekündigt, sondern lediglich eine Feststellung getroffen, zu verifizieren. In seiner Sachverhaltsrüge beschränkt sich der Beschwerdeführer weitgehend darauf, seine eigene Sicht der Dinge darzulegen, ohne damit die Bundesrechtskonformität der Beurteilung des Verwaltungsgerichts ernsthaft in Frage zu stellen.
4.2 Wenn Dispositiv-Ziffer 2 der mit "Beendigung des Dienstverhältnisses im Job-Pairing als Ratssekretär" betitelten Verfügung vom 19. August 2009 festhält, dass "mit der Beendigung des Dienstverhältnisses von Frau Dr. B._ das Dienstverhältnis von Herrn A._ ebenfalls auf den 30. November 2009 endet", wird damit nicht nur der Beendigungsgrund genannt, sondern auch die Rechtsfolge, nämlich die Beendigung des mit "der Anstellungsverfügung vom 22. August 2002" begründeten Arbeitsverhältnisses. Das Dispositiv hat somit - unabhängig von der rechtlichen Qualifikation der Verfügung als Gestaltungs- oder Feststellungsverfügung - die Beendigung des Arbeitsverhältnisses zum Gegenstand. Diese Rechtsfolge war aufgrund des diesbezüglich unzweideutigen Wortlautes der Verfügung klar gewollt. Sie entspricht überdies der von den Beschwerdegegnern stets bekräftigten Absicht. Die von diesen vertretene Auffassung, eine Feststellungsverfügung erlassen zu haben, gründet nicht in einer fehlenden Beendigungsabsicht, sondern allein in der Annahme, das Arbeitsverhältnis ende "ex lege". Gemäss den Beschwerdegegnern wollte der Präsident des Stadtrates mit dem Erlass der Verfügung hinsichtlich der Beendigung des bestehenden Arbeitsverhältnisses mit dem Beschwerdeführer Rechtssicherheit schaffen und diesem Gelegenheit geben, diese anzufechten. Dem Stadtrat stand es zwar grundsätzlich offen, den Beschwerdeführer im Rahmen der Neubesetzung der Stelle erneut zu berücksichtigen und mit ihm gegebenenfalls ein neues Anstellungsverhältnis zu begründen. Dies ändert jedoch nichts daran, dass er zunächst das bestehende Arbeitsverhältnis beenden wollte und dies auch unmissverständlich so zum Ausdruck brachte.
4.3 Zu keinem anderen Ergebnis führt die Vorgeschichte. Gemäss dem im vorinstanzlichen Entscheid unwidersprochen wiedergegebenen Protokollauszug der Stadtratssitzung vom 16. August 2001 war dem Stadtrat bereits bei der Anstellung des Beschwerdeführers und seiner Stellenpartnerin klar, dass bei Ausscheiden des einen auch das Arbeitsverhältnis des verbleibenden Job-Pairing-Partners enden soll, und zwar unabhängig davon, ob mit Letzterem in der Folge allenfalls ein neues Arbeitsverhältnis eingegangen wird. Der Wille des Stadtrates zur Beendigung des Arbeitsverhältnisses fand zudem seinen Niederschlag in der Sitzung vom 3. Dezember 2009, an welcher dieser eine Reorganisation des Ratssekretariats, die Aufhebung des Job-Pairing und die Neuausschreibung der Stelle beschloss.
4.4 Indem das Verwaltungsgericht unter den gegebenen Umständen den Willen des Stadtrates zur Beendigung des Arbeitsverhältnisses im Job-Pairing bejaht hat, entspricht dies weder einer offensichtlich unrichtigen noch einer unter einer Rechtsverletzung zustande gekommenen Feststellung des Sachverhalts, noch kann darin eine Verfassungswidrigkeit erblickt werden. An diesem Ergebnis vermögen auch die anlässlich der Stadtratssitzung vom 29. April 2010 vorgebrachten, teilweise anders lautenden Voten einzelner Ratsmitglieder nichts zu ändern. Massgebend ist einzig der Wille des Stadtrates als Kollegialbehörde.
5. 5.1 Nach Meinung des Beschwerdeführers hat das Verwaltungsgericht die Grenze zulässiger Umdeutung der Verfügungsformel überschritten und damit Art. 52 des Gesetzes vom 23. Mai 1989 des Kantons Bern über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG; BSG 155.21) zum Inhalt von Verfügungen willkürlich angewendet. Die Verfügungsformel sei weder unklar, unvollständig, in sich widersprüchlich, noch enthalte sie Redaktions- oder Kanzleifehler. Hingegen basiere sie auf einer falschen Rechtsanwendung. Die Ausgangslage sei nicht vergleichbar mit jener im Urteil des Bundesgerichts 1C_279/2007 vom 25. März 2008, da sich die zuständige Behörde dort formell für die Beendigung der Anstellung ausgesprochen habe, während die Beschwerdegegner sich vorliegend ausdrücklich gegen das Vorliegen einer Gestaltungsverfügung gewandt hätten. Weil sich der Stadtrat als zuständiges Organ nicht geäussert habe, verletzte es <ref-law> (Kantonsverfassung), wenn die Verwaltungsjustiz ihm eine bestimmte Auffassung unterstelle, zumal die Anstellungsverfügung mehrere Vorgehensweisen im Falle des Ausscheidens eines Job-Pairing Partners offenlasse.
5.2 Im vom Verwaltungsgericht erwähnten Urteil 1C_279/2007 bezeichnete es das Bundesgericht in einer ähnlich gelagerten Konstellation als nicht gegen das Willkürverbot verstossend, dass das Verwaltungsgericht dem in Form einer Feststellung ausformulierten Dispositiv der Kündigungsverfügung mit Blick auf deren Erwägungen eine über die Verfügungsformel hinausgehende Tragweite beimass. Nicht anders verhält es sich im vorliegenden Fall. Wie bereits erwähnt, durfte das kantonale Gericht willkürfrei annehmen, Dispositiv-Ziffer 2 der Verfügung vom 19. August 2009 bringe den Willen zum Ausdruck, das Anstellungsverhältnis mit dem Beschwerdeführer im Job-Pairing gemäss Anstellungsverfügung vom 22. August 2002 zu beenden. Vor diesem Hintergrund spielt es keine Rolle, ob die Beendigung des Anstellungsverhältnisses ipso iure eintrat, oder ob sie aufgrund einer förmlichen Verfügung entstanden ist. Mit seinem Entscheid hat das Verwaltungsgericht diese Rechtsfolge, wenn auch mit anderer Begründung als in der streitigen Verfügung, bestätigt. Dass die Stadt Bern den Beschwerdeführer in der Folge gestützt auf den bis 31. Mai 2010 befristeten Arbeitsvertrag vom 1. Dezember 2009 als Ratssekretär weiter beschäftigte, ändert nichts an ihrem Beendigungswillen hinsichtlich des mit Verfügung vom 22. August 2002 begründeten Arbeitsverhältnisses. Der neue Vertrag stand denn auch ausdrücklich unter dem Vorbehalt, dass das öffentlich-rechtliche Dienstverhältnis gemäss Anstellungsverfügung vom 22. August 2002 mit Verfügung vom 19. August 2009 per 30. November 2009 beendet wurde.
5.3 Das Bundesgericht anerkennt das sämtlichen Kantonsverfassungen zugrunde liegende Prinzip der Gewaltenteilung, das in <ref-law> vorausgesetzt wird, als verfassungsmässiges Recht. Dieses schützt die Einhaltung der verfassungsmässigen Zuständigkeitsordnung (Urteil 1C_103/2007 vom 7. Dezember 2007 E. 4.1, in: ZBl 110/2009 S. 266). Inwiefern diese vorliegend verletzt sein soll, vermag der Beschwerdeführer nicht darzutun. Insbesondere ist nicht ersichtlich, weshalb es das Gewaltenteilungsprinzip einem kantonalen Gericht verbieten soll - soweit rechtserheblich - Annahmen über den (mutmasslichen) Willen eines Parlaments zu treffen. Zwar hat nicht der Stadtrat selber die streitige Verfügung vom 19. August 2009 erlassen, sondern der Stadtratspräsident. Dazu hat das Verwaltungsgericht erwogen, mit Blick auf die allein von der damaligen Stadtratspräsidentin unterzeichnete Anstellungsverfügung vom 22. August 2002 erscheine es sachgerecht, dass die Kündigungsverfügung, bei der es einzig um die Umsetzung einer klar umschriebenen und im Stadtrat bereits bei der Anstellung besprochenen Rechtsfolge eines nunmehr eingetretenen Tatbestandes gehe, vom amtierenden Stadtratspräsidenten habe unterzeichnet werden können. Dies gelte umso mehr, als sich der Beschwerdeführer - wie in Art. 130a Abs. 4 PVO und der Anstellungsverfügung vom 22. August 2002 festgehalten - erneut zur Wahl stellen und der Stadtrat sich in diesem Rahmen dazu äussern könne, ob er die Dienste des Beschwerdeführers als Stadtratssekretär weiterhin in Anspruch nehmen wolle. Dies wird vom Beschwerdeführer letztinstanzlich nicht bestritten. Soweit die Rüge einer Verletzung von <ref-law> überhaupt rechtsgenüglich vorgetragen wurde (vgl. E. 1.3 hievor), erweist sie sich jedenfalls als unbegründet.
5.4 Der Beschwerdeführer erblickt in der Umdeutung der Verfügung in eine rechtsgestaltende Kündigung des Weitern eine Verletzung der Gemeindeautonomie (<ref-law>). Mit diesem Vorgehen greife das kantonale Gericht in die Entscheidungsfreiheit der Gemeinde ein, welcher es als Akt der Rechtsanwendung allein zustehe, eine Kündigung auszusprechen oder darauf zu verzichten. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts können Private hilfsweise die Verletzung der Gemeindeautonomie rügen, wenn sie auch zur Erhebung anderer Verfassungsrügen legitimiert sind (<ref-ruling> E. 2c S. 212; <ref-ruling> E. 1e S. 226, je mit Hinweisen). Davon wird eine Ausnahme gemacht, wenn dasjenige Organ, das für die Vertretung der Gemeinde zuständig ist, ausdrücklich oder stillschweigend (durch konkludentes Handeln) darauf verzichtet hat, sich auf die behauptete Verletzung der Gemeindeautonomie zu berufen (<ref-ruling> E. 1c; Urteil 1P.364/2002 vom 28. April 2003 E. 1.5). Wie bereits dargelegt, erweist sich die Beurteilung des kantonalen Gerichts hinsichtlich der Annahme eines Willens der Stadt Bern zur Beendigung des Arbeitsverhältnisses unabhängig davon als rechtmässig, ob sie in Form einer Feststellungs- oder einer Gestaltungsverfügung erlassen wurde. Auch mit der Berufung auf die Gemeindeautonomie vermag der Beschwerdeführer daher in diesem Punkt nicht durchzudringen.
6. 6.1 Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, bereits vor Erlass der Feststellungsverfügung und in der Verwaltungsbeschwerde habe er das missbräuchliche und seine Persönlichkeit verletzende Vorgehen der Arbeitgeberin gerügt. Bei der Beurteilung der Verfügung vom 19. August 2009 habe das Verwaltungsgericht diese Umstände nicht berücksichtigt bzw. nicht gewürdigt, obwohl sie - anders als beim Vorliegen einer Feststellungsverfügung - im Rahmen einer rechtsgestaltenden Kündigungsverfügung zwingend hätten überprüft werden müssen. Damit habe es den Sachverhalt unvollständig festgestellt und keiner rechtlichen Würdigung unterzogen.
6.2 Im kantonalen Gerichtsverfahren hatte der Beschwerdeführer zwar eventualiter die Aufhebung der Verfügung vom 19. August 2009 beantragt, ohne jedoch Missbräuchlichkeit der Kündigung infolge Verletzung der Fürsorgepflicht durch die Arbeitgeberin geltend zu machen. Die Rüge ist daher insofern neu. Nach <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Abs. 1). Neue Begehren sind unzulässig (Abs. 2). Grundlage der bundesgerichtlichen Beurteilung sollen diejenigen Rechtsfragen sein, über welche die Vorinstanz unter Berücksichtigung der von den Parteien eingenommenen Standpunkte und vertretenen Auffassungen im angefochtenen Entscheid befunden hat (ULRICH MEYER, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, Rz. 2 zu <ref-law>). Selbst wenn der Beschwerdeführer mit seinem Einwand zu hören wäre, vermöchte dieser zu keinem andern Ergebnis zu führen. Wie bereits erwähnt (vgl. E. 3.1 hievor), stellt die Auflösung des Job-Pairing infolge Ausscheidens der Stellenpartnerin angesichts der Besonderheit des Arbeitsverhältnisses per se einen sachlichen Grund im Sinne von Art. 20 Abs. 1 PRB dar, der die Anstellungsbehörde zur Beendigung des Anstellungsverhältnisses mit dem Beschwerdeführer berechtigte. Den Hintergründen, die zur Auflösung des Job-Pairing geführt haben und dem Einwand, die Administrativuntersuchung habe den Beschwerdeführer schwerwiegend in seiner Persönlichkeit verletzt, kommt daher für die Beendigung selbst unter der Qualifikation der Verfügung vom 19. August 2009 als ordentliche Kündigung aus sachlichem Grund zum vornherein keine Relevanz zu. Es liegt daher keine Rechtsverweigerung (<ref-law>) vor, wenn sich der angefochtene Gerichtsentscheid in den Erwägungen nicht weiter damit befasst hat. Die Beschwerde ist daher auch in diesem Punkt unbehelflich.
6.3 Ebenfalls unbegründet erweist sich die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer sich in diesem Zusammenhang auf die Rechtsweggarantie (<ref-law>) beruft. Seiner Ansicht nach wurde die Rechtsweggarantie in doppelter Hinsicht verletzt: Zum einen durch die formelle Rechtskraft, weil eine Aufhebung der Kündigung nicht mehr möglich sei und zum andern aufgrund der materiellen Rechtskraft, weil damit das Verhalten der Organe der Beschwerdegegnerin 1 nicht mehr als Grundlage für die Geltendmachung von Ansprüchen aus <ref-law> angerufen werden könne. Gegenstand des Verfahrens bildet einzig die Verfassungsmässigkeit der vom Verwaltungsgericht bejahten Beendigung des Arbeitsverhältnisses. Ansprüche aus Persönlichkeitsverletzung sind allenfalls in einem separaten Prozess geltend zu machen, in welchem die hier nicht geprüften Vorwürfe bei der Beurteilung der Anspruchsvoraussetzung eine Rolle spielen können. Die Rechtsweggarantie gewährleistet bei grundsätzlich allen Rechtsstreitigkeiten Zugang zu wenigstens einem Gericht, das Rechts- und Sachverhaltsfragen umfassend überprüfen kann (<ref-ruling> E. 5.3 S. 403 mit Hinweisen; Urteil 1C_310/2009 vom 17. März 2010 E. 2.2.2). Die Vorinstanz hat nach dem Regierungsstatthalter als zweite kantonale Rechtsmittelinstanz über die Beschwerde betreffend Beendigung des Anstellungsverhältnisses entschieden. Es ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht hinreichend substanziiert dargelegt, inwieweit der vorinstanzliche Entscheid gegen den von ihm angerufenen Verfassungsgrundsatz verstossen soll, zumal das Verfahren durch zwei kantonale Instanzen beurteilt wurde (vgl. Urteil 8C_395/2009 vom 10. November 2009 E. 3). Insoweit ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden.
6.4 Teilweise in die gleiche Richtung zielt der Einwand, das kantonale Gericht habe die Begründung der Verfügung vom 19. August 2009 in willkürlicher Anwendung von Art. 20 PRB und Art. 52 VRPG als rechtsgenüglich betrachtet, obwohl sich diese nicht mit den gegen eine Kündigung gerichteten Beanstandungen des Beschwerdeführers auseinandersetze. Art. 20 Abs. 2 PRB hält die Begründungspflicht der Behörde bei der Entlassung ausdrücklich fest, ohne die Ansprüche an die Begründungspflicht im Einzelnen zu präzisieren. Grundsätzlich bestimmen die Umstände des Einzelfalles und die Interessen der betroffenen Person die Anforderungen an die Ausführlichkeit der Begründung. Die betroffene Person muss sich über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben können und in der Lage sein, in voller Kenntnis der Gründe ein Rechtsmittel zu ergreifen. Dies setzt voraus, dass die Behörde die Überlegungen, von denen sie sich leiten lässt und auf welche sie ihren Entscheid abstützt, nennt. Je grösser das Ermessen der Behörde ist und je stärker ein Entscheid in die individuellen Rechte eingreift, desto höhere Anforderungen sind an die Begründung zu stellen (NÖTZLI, a.a.O., S. 79 Rz. 115). Gemäss kantonalem Gericht nennt die Verfügung mit dem Hinweis auf die Demission von B._ den sachlichen Grund für die Entlassung und bringt den Willen zum Ausdruck, das bestehende Anstellungsverhältnis mit dem Beschwerdeführer zu beenden. Damit konnte es ohne weiteres davon ausgehen, die streitige Verfügung enthalte die für eine Kündigungsverfügung erforderlichen Elemente, welche es dem Beschwerdeführer erlaubten, diese anzufechten. Diesem war zudem im Zeitpunkt des Verfügungserlasses bekannt, dass seine Stellenpartnerin gekündigt hatte, weshalb für ihn auch der Grund für die Beendigung seines Anstellungsverhältnisses offensichtlich war. Der Vorwurf der fehlerhaften Begründung ist daher nicht geeignet, die Haltbarkeit der Beurteilung des kantonalen Gerichts in Frage zu stellen.
7. 7.1 Nach der Vorinstanz wurde der Beschwerdeführer vorgängig der Verfügung vom 19. August 2009 rechtsgenüglich angehört. Laut Beschwerdeführer hat sie damit eine aktenwidrige Feststellung getroffen und selber den Gehörsanspruch verletzt.
7.2 Der Umfang des Anspruchs auf rechtliches Gehör wird zunächst durch die kantonalen Verfahrensvorschriften umschrieben. Das Bundesgericht prüft deren Auslegung und Anwendung nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbotes. Unabhängig vom kantonalen Recht greifen die aus <ref-law> folgenden Verfahrensregeln zur Sicherung des rechtlichen Gehörs Platz (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 161). Ob diese Grundsätze eingehalten wurden, prüft das Bundesgericht mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 2 S. 242 f. mit Hinweisen). Dass sich aus dem kantonalen Recht ein weitergehender Gehörsanspruch als aus <ref-law> ergeben würde, wird nicht behauptet und ist auch nicht ersichtlich.
7.3 Im Einzelnen lässt sich nicht generell, sondern nur unter Würdigung der konkreten Interessenlage beurteilen, wie weit das Äusserungsrecht geht. Wegleitend muss der Gedanke sein, einer Partei zu ermöglichen, ihren Standpunkt wirksam zur Geltung zu bringen (<ref-ruling> E. 2b S. 274; <ref-ruling> E. 2b/cc S. 197; Urteile 2P.46/2006 vom 7. Juni 2006 E. 4.3, 2P.77/2003 vom 9. Juli 2003 E. 2.1, 2P.241/1996 vom 27. November 1996 E. 2c). Im öffentlichen Dienstrecht können auch relativ informelle Äusserungsgelegenheiten vor der Kündigung dem verfassungsrechtlichen Gehörsanspruch genügen, sofern dem Betroffenen klar war, dass er mit einer solchen Massnahme zu rechnen hatte (Urteile 8C_395/2009 vom 10. November 2009 E. 6.1, 8C_158/2009 vom 2. September 2009 E. 5.1, je mit Hinweisen). Der bundesrechtliche Anspruch auf rechtliches Gehör gibt keinen Anspruch auf Anhörung vor der gesamten entscheidenden Behörde (<ref-ruling> E. 3b S. 136 f.; <ref-ruling> E. 6a S. 133).
7.4 Im vom Stadtratspräsidenten in Auftrag gegebenen Bericht über die Administrativuntersuchung vom 7. Juli 2009 wurde empfohlen, eine möglichst baldige Beendigung der Co-Leitung des Ratssekretariats und damit des bestehenden Dienstverhältnisses durchzuführen. Der Beschwerdeführer konnte dazu am 27. Juli 2007 Stellung nehmen. Seine Stellungnahme wurde am 28. Juli 2009 dem Präsidenten des Stadtrates weitergeleitet, worauf dieser die beiden Stelleninhaber aufforderte, sich bis zum 12. August 2009 über eine Kündigung Gedanken zu machen. Am 12. August 2009 gelangte der Beschwerdeführer mit einer weiteren Eingabe an den Stadtrat. Unter Hinweis auf die zwischenzeitlich erfolgte Kündigung der Co-Leiterin des Ratssekretariats reichte er schliesslich am 18. August 2009 seine Bewerbung um die Leitung des Ratssekretariats zu 100 % ein. Unter diesen Umständen konnte das kantonale Gericht davon ausgehen, dem Beschwerdeführer sei der Grund für die Beendigung des Arbeitsverhältnisses im Wesentlichen bekannt gewesen und er habe insgesamt ausreichend Gelegenheit gehabt, sich zu den der Kündigung zugrunde liegenden Tatsachen zu äussern. Wenn das Verwaltungsgericht in den Erwägungen einzig das obige Schreiben des Beschwerdeführers vom 18. August 2009 erwähnte, kann ihm deswegen keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorgeworfen werden.
8. 8.1 Hinsichtlich der Kostenfolge beantragt der Beschwerdeführer, die vom Regierungsstatthalter gemäss Entscheid vom 30. November 2009 den Beschwerdegegnern 2 bis 4 zugesprochene Parteientschädigung sei auf Fr. 500.- zu reduzieren, nachdem er im Verfahren vor dem kantonalen Verwaltungsgericht noch die vollständige Aufhebung der erstinstanzlich zugesprochenen Parteikostenentschädigung verlangt hatte, ohne in masslicher Hinsicht einen Eventualantrag zu stellen.
8.2 Der Regierungsstatthalter hatte den heutigen Beschwerdegegnern 2 bis 4 gestützt auf Art. 108 Abs. 4 in Verbindung mit Art. 104 Abs. 1 VRPG eine Parteientschädigung zugesprochen. Zwischen den Beteiligten ist letztinstanzlich nicht mehr streitig, dass diese grundsätzlich Anspruch auf Parteientschädigung für das erstinstanzliche Verwaltungsverfahren haben. In Frage steht nur die Höhe der zu erstattenden Anwaltskosten. Diese wurde im Entscheid vom 30. November 2009 damit begründet, dass von der eingereichten Kostennote über insgesamt Fr. 8'594.55 rund die Hälfte den auf die Beschwerdegegner 2 bis 4 entfallenden Aufwand (Anteil Sachverhaltsermittlung, Vornahme rechtlicher Abklärungen, Stellungnahme zum Ausstandsbegehren) betreffe. Das Verwaltungsgericht schützte die zugesprochene Parteientschädigung in Höhe von insgesamt Fr. 4'297.30, weil die Beschwerdegegner 2 bis 4 vom Beschwerdeführer selber als solche belangt worden seien und im Verfahren ihre Standpunkte zur Parteirolle und dem Ausstandsbegehren hätten verteidigen müssen. Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist. Dies ist mit Bezug auf die Höhe der zugesprochenen Parteientschädigung nicht der Fall.
9. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Gemeinde (Beschwerdegegnerin 1) hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>; vgl. Urteil 1C_279/2007). Angesichts der Tatsache, dass die Beschwerdegegner 2 bis 4 einzig im Kostenpunkt obsiegen, rechtfertigt sich die Zusprechung einer reduzierten Parteientschädigung von insgesamt Fr. 500.- (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegner 2 bis 4 für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Juni 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer