Sachverhalt:
A. Das Obergericht von Appenzell Ausserrhoden befand X._ am 24. Juni 2008 zweitinstanzlich des Führens eines Motorfahrzeugs in fahrunfähigem Zustand (<ref-law> i.V.m. <ref-law> und Art. 2 Abs. 2 der Verkehrsregelnverordnung [VRV]) und des unnötigen Laufenlassens des Motors bei einem stillstehenden Fahrzeug (<ref-law> i.V.m. <ref-law> und Art. 33 Abs. 1 lit. a VRV), begangen am 8. Dezember 2006, schuldig und bestrafte ihn mit einer Busse von Fr. 4'000.--.
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts von Appenzell Ausserrhoden vom 24. Juni 2008 sei aufzuheben, und er sei freizusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er, seiner Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1. Den Verurteilungen liegt der folgende Sachverhalt zugrunde: Am 8. Dezember 2006, ca. 23.00 Uhr, ging bei der Notrufzentrale der Kantonspolizei die Meldung ein, auf dem Parkplatz eines Restaurants in A._ befinde sich ein Motorfahrzeug, das mit laufendem Motor parkiert sei. Anlässlich der darauffolgenden Polizeikontrolle wurde der Beschwerdeführer schlafend am Steuer des fraglichen Fahrzeugs angetroffen. Als die Polizeibeamten ihn weckten, stellten sie bei ihm Alkoholsymptome fest, weshalb sie in der Folge auf dem Polizeiposten zwei Atemalkoholmessungen durchführten. Diese ergaben Werte von 0,67 und 0,69 Gewichtspromille.
Dieser Sachverhalt wird in der Überweisungsverfügung des kantonalen Verhöramts von Appenzell Ausserrhoden vom 26. September 2007 detailliert umschrieben. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, es mangle an einer genügend substantiierten Anklage (vgl. Beschwerde S. 10), kann seiner Argumentation nicht gefolgt werden.
2. 2.1 Nach der Durchführung der Atemalkoholmessungen wurde der Beschwerdeführer polizeilich einvernommen. Vor der Einvernahme wurde er explizit auf sein Aussageverweigerungsrecht, nicht aber auf sein Recht, eine Verteidigung zu bestellen, hingewiesen. Der Beschwerdeführer erklärte sich bereit auszusagen und gab an, er habe in einem Restaurant in St. Gallen Bier konsumiert und sei anschliessend an seinen Wohnort nach A._ gefahren und dort auf dem Parkplatz vor seiner Wohnung bei laufendem Motor eingeschlafen. Des Weiteren anerkannte er die gemessene Atemalkoholkonzentration von 0,67 Gewichtspromille mit seiner Unterschrift auf dem Polizeiprotokoll ausdrücklich an.
Der Beschwerdeführer rügt, diese Aussagen bei der Polizei seien nicht verwertbar, da er nicht auf sein in <ref-law> und Art. 6 Abs. 3 lit. a EMRK verankertes Recht auf Beizug eines Verteidigers hingewiesen worden sei. Ein beigezogener Verteidiger hätte ihm insbesondere raten können, angesichts seines damaligen zweifelhaften Vernehmungszustands keine Aussagen zu machen. Mit der Verwertung seiner Aussagen habe die Vorinstanz mithin <ref-law> wie auch <ref-law> verletzt. Der Umstand, dass er bereits früher in einem gleichgelagerten Verfahren einen Verteidiger an seiner Seite gehabt habe, führe nicht zu einer anderen Beurteilung. Zudem - so betont der Beschwerdeführer weiter - werde in der künftig geltenden schweizerischen Strafprozessordnung explizit ein Verwertungsverbot statuiert. Diese Intention des Bundesgesetzgebers mache deutlich, wie <ref-law> zu interpretieren sei (Beschwerde S. 3-5).
2.2 Die Vorinstanz hat erwogen, das Bundesgericht habe in <ref-ruling> für einen Fall, in welchem die beschuldigte Person nicht ausdrücklich auf ihr Aussageverweigerungsrecht aufmerksam gemacht worden sei, ein absolutes Verwertungsverbot verneint. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sei eine Aussageverwertung trotz fehlender Belehrung ausnahmsweise möglich, wenn erwiesen sei, dass die beschuldigte Person ihr Schweigerecht gekannt habe. Gleiches müsse auch für die Belehrung über das Recht auf Beizug einer Verteidigung gelten. Es sei aktenkundig, dass der Beschwerdeführer bereits 2005 vom Kantonsgericht von Appenzell Ausserrhoden wegen einer Trunkenheitsfahrt verurteilt worden und in diesem Verfahren anwaltlich vertreten gewesen sei. Der Beschwerdeführer habe daher um sein Recht auf jederzeitigen Beizug einer Verteidigung gewusst. Ferner sei er korrekt auf sein Aussageverweigerungsrecht aufmerksam gemacht worden und habe trotzdem ausgesagt. Die gegenüber der Polizei gemachten Aussagen seien daher verwertbar (angefochtenes Urteil S. 8 f.).
2.3 Aus dem in Art. 31 und 32 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankerten Anspruch auf ein faires Verfahren ergibt sich für die Strafverfolgungsbehörden unmittelbar die Pflicht, die beschuldigte Person über ihre prozessualen Rechte im Allgemeinen aufzuklären und sie insbesondere frühzeitig auf ihr Recht hinzuweisen, jederzeit einen Verteidiger beiziehen zu können (<ref-ruling> E. 4; vgl. auch Urteil des Bundesgerichts 1B.253/2007 vom 29. November 2007 E. 3.1, in: Pra 2008 Nr. 38 S. 260).
Dieser Pflicht ist die Polizei vorliegend nicht nachgekommen, weshalb sich die Frage nach den Rechtsfolgen dieses Versäumnisses stellt. Wie die Vorinstanz zu Recht erwogen hat, lässt sich die bundesgerichtliche Rechtsprechung zur unterlassenen Belehrung über das Aussageverweigerungsrecht auf den zu beurteilenden Fall übertragen. So hat das Bundesgericht entschieden, Aussagen, welche die beschuldigte Person gemacht habe, ohne vorgängig auf ihre Verfahrensrechte hingewiesen worden zu sein, seien grundsätzlich unverwertbar. Eine Ausnahme gelte jedoch insbesondere, wenn die beschuldigte Person ihre Rechte gekannt habe. Des Weiteren könnten in Abwägung der entgegenstehenden Interessen auch gewisse unrechtmässig beschaffte Beweise zu Lasten eines Beschuldigten verwertet werden. Je schwerer die zu beurteilende Straftat sei, umso eher überwiege dabei das öffentliche Interesse an der Wahrheitsfindung das private Interesse des Beschuldigten daran, dass der fragliche Beweis unverwertet bleibe (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 3.2 insbesondere mit Hinweis auf das Urteil des Bundesgerichts 6P. 164/2001 vom 9. Januar 2002 E. 3e).
Wie die Vorinstanz zutreffend hervorgehoben hat, ist aktenkundig, dass der Beschwerdeführer bereits am 13. Juni 2005 vom Kantonsgericht von Appenzell Ausserrhoden wegen einer Trunkenheitsfahrt im November 2004 verurteilt worden und in jenem Verfahren anwaltlich vertreten gewesen ist (vorinstanzliche Akten act. 12). Die Schlussfolgerung der Vorinstanz, es sei daher davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer in Kenntnis seines Rechts auf jederzeitigen Beizug eines Verteidigers bei der Polizei Aussagen gemacht habe, ist deshalb nicht zu beanstanden und wird vom Beschwerdeführer im Übrigen auch nicht explizit in Frage gestellt.
Schliesslich kann der Beschwerdeführer aus dem in Art. 158 Abs. 2 der künftigen Schweizerischen Strafprozessordnung vom 5. Oktober 2007 statuierten Verwertungsverbot bei unterbliebenem Hinweis auf die Verteidigungsrechte nichts zu seinen Gunsten ableiten, entfaltet die noch nicht in Kraft getretene eidgenössische Strafprozessordnung doch keine Vorwirkung.
2.4 Der Beschwerdeführer macht zudem geltend, infolge seines pathologischen Ermüdungszustandes sei er zum Zeitpunkt der polizeilichen Einvernahme nicht vernehmungsfähig gewesen (vgl. Beschwerde S. 6-8).
2.5 Die Vorinstanz hat ausgeführt, der Beschwerdeführer sei nur relativ gering alkoholisiert gewesen. Überdies sei er, nachdem er von der Polizei in seinem Auto geweckt worden sei, in der kalten Winternacht gemeinsam mit den Polizeibeamten rund 150 Meter zu Fuss zum Polizeiposten marschiert und damit nicht mehr schläfrig gewesen. Diese Umstände würden eindeutig gegen die behauptete Vernehmungsunfähigkeit infolge Alkoholkonsums und Übermüdung sprechen. Dieser Schluss werde überdies durch das Polizeiprotokoll untermauert, worin das Verhalten des Beschwerdeführers bei der Einvernahme als ruhig, normal und unauffällig beschrieben werde (angefochtenes Urteil S. 9- 11).
2.6 Die Ausführungen der Vorinstanz sind überzeugend. Ihr Fazit, es bestünden keinerlei Zweifel an der Vernehmungsfähigkeit des Beschwerdeführers zum Zeitpunkt der polizeilichen Einvernahme, hält der bundesgerichtlichen Überprüfung stand. Daher kann dem Beschwerdeführer auch insoweit nicht gefolgt werden, als dass er geltend macht, der Hinweis auf die Möglichkeit des Beizugs eines Verteidigers wäre auch deshalb unabdingbar gewesen, weil ihn dieser auf seinen zweifelhaften Vernehmungszustand hätte aufmerksam machen können.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt des Weiteren eine willkürliche Beweiswürdigung und als Folge daraus eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung. Im Ergebnis verletze das angefochtene Urteil den aus der Unschuldsvermutung abgeleiteten Grundsatz "in dubio pro reo". Betreffend des Vorwurfs des unnötigen Laufenlassens des Motors präzisiert der Beschwerdeführer, der Sachverhalt sei unklar geblieben, da insbesondere nicht feststehe, wie lange das Fahrzeug mit laufendem Motor parkiert gewesen sei. Seine Verurteilungen seien daher willkürlich im Sinne von <ref-law> (Beschwerde S. 5-11).
3.2 <ref-law> gewährleistet den Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür behandelt zu werden. Auf dem Gebiet der Beweiswürdigung ist die Kognition des Bundesgerichts auf Willkür beschränkt. Willkür in der Beweiswürdigung liegt vor, wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen (<ref-ruling> E. 5.4). Dass das angefochtene Urteil mit der Darstellung des Beschwerdeführers nicht übereinstimmt oder eine andere Lösung oder Würdigung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, genügt praxisgemäss für die Begründung von Willkür nicht (<ref-ruling> nicht publ. E. 4.1; <ref-ruling> E. 2b).
Gemäss der in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankerten Maxime "in dubio pro reo" ist bis zum gesetzlichen Nachweis der Schuld zu vermuten, dass die einer strafbaren Handlung angeklagte Person unschuldig ist (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen). Als Beweiswürdigungsregel besagt die Maxime, dass sich das Strafgericht nicht von der Existenz eines für die beschuldigte Person ungünstigen Sachverhalts überzeugt erklären darf, wenn bei objektiver Betrachtung erhebliche und nicht zu unterdrückende Zweifel bestehen, dass sich der Sachverhalt so verwirklicht hat. Inwiefern dieser Grundsatz verletzt sein soll, prüft das Bundesgericht nur unter dem Gesichtspunkt der Willkür, das heisst, es greift nur ein, wenn das Sachgericht die beschuldigte Person verurteilte, obgleich bei objektiver Würdigung des Beweisergebnisses offensichtlich erhebliche bzw. schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel an deren Schuld fortbestehen (BGE <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2; Urteil des Bundesgerichts 6B_923/2008 vom 2. Februar 2009 E. 2).
Wird eine willkürliche Beweiswürdigung gerügt, reicht es nicht aus, wenn der Beschwerdeführer zum Beweisergebnis frei plädiert und darlegt, wie seiner Auffassung nach die vorhandenen Beweise richtigerweise zu würdigen gewesen wären, wie er dies in einem appellatorischen Verfahren mit freier Rechts- und Tatsachenüberprüfung tun könnte. Er muss gemäss ständiger Rechtsprechung vielmehr aufzeigen, inwiefern die angefochtene Beweiswürdigung die Verfassung dadurch verletzen sollte, dass sie im Ergebnis offensichtlich unhaltbar wäre (vgl. <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3c).
3.3 Die Vorinstanz hat erwogen, die ersten Aussagen des Beschwerdeführers bei der Polizei seien glaubhaft. Dass die Zeitangaben im Polizeiprotokoll Ungenauigkeiten im 10-Minuten-Bereich aufwiesen - so sei die Uhrzeit der Rückfahrt des Beschwerdeführers von St. Gallen im Protokoll mit 22.45 Uhr angegeben worden, obwohl davon auszugehen sei, dass er die Heimfahrt bereits um 22.35 Uhr angetreten habe -, vermöge an dieser Beurteilung nichts zu ändern (angefochtenes Urteil S. 13 f.). In Bezug auf den Vorwurf des unnötigen Laufenlassens des Motors hält die Vorinstanz weiter fest, es könne insbesondere gestützt auf die glaubhaften Aussagen des Beschwerdeführers bei der Polizei als erstellt gelten, dass er den Motor des parkierten Autos während rund 10 Minuten absichtlich und damit vorsätzlich für den Betrieb der Heizung habe laufen lassen (angefochtenes Urteil S. 15 f.).
3.4 Was der Beschwerdeführer gegen die Beweiswürdigung der Vorinstanz vorbringt, ist nicht geeignet, Willkür respektive eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" darzutun.
Der Beschwerdeführer behauptet, seine bei der Polizei gemachten Aussagen seien unzutreffend. In Tat und Wahrheit habe er am Abend des 8. Dezember 2006 in St. Gallen gegen 19.30 Uhr nur ein grosses Bier getrunken und sei daraufhin nach Hause gefahren. In seiner Wohnung habe er nochmals Bier konsumiert und sei alsdann zu seinem Auto zurückgekehrt, wo er einige CDs nach Musikstücken abgesucht und zu diesem Zweck Motor und Heizung habe laufen lassen. Dabei sei er eingeschlafen und in der Folge von der Polizei geweckt worden.
Mit diesen Ausführungen stellt der Beschwerdeführer der vorinstanzlichen Begründung lediglich seine eigene Sicht der Dinge gegenüber, ohne näher zu erörtern, inwiefern der Entscheid schlechterdings unhaltbar sein sollte. Seine Vorbringen erschöpfen sich mithin in einer unzulässigen appellatorischen Kritik am angefochtenen Urteil und genügen den Begründungsanforderungen gemäss <ref-law> nicht.
3.5 Schliesslich rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör, da die Vorinstanzen den diensthabenden Polizeibeamten wie auch den unbekannten Anzeiger nicht einvernommen hätten (Beschwerde S. 10).
3.6 <ref-law> gewährleistet den Anspruch auf rechtliches Gehör. Daraus ergibt sich der Anspruch der Parteien, mit rechtzeitig und formgültig angebotenen Beweisanträgen und Vorbringen gehört zu werden, soweit diese erhebliche Tatsachen betreffen und nicht offensichtlich beweisuntauglich sind (<ref-ruling> E. 2.1). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, seine Überzeugung würde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2.1).
3.7 Vorliegend konnte die Vorinstanz, ohne in Willkür zu verfallen, in antizipierter Beweiswürdigung schliessen, die Einvernahme der vom Beschwerdeführer beantragten Zeugen würde mutmasslich keinen Erkenntnisgewinn bringen, da der Sachverhalt insbesondere auf Grund der glaubhaften Aussagen des Beschwerdeführers anlässlich der polizeilichen Einvernahme nachgewiesen sei.
4. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht von Appenzell Ausserrhoden, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Stohner