Sachverhalt:
A. Die 1955 geborene K._, Mutter von fünf Kindern, bezog zwischen Juli 2004 und Februar 2006 Taggelder der Arbeitslosenversicherung. Am 14. Januar 2009 meldete sich die Versicherte bei der Familienausgleichskasse des Kantons Thurgau zum rückwirkenden Bezug von Kinder- und Ausbildungszulagen an. Die Ausgleichskasse leitete das Gesuch betreffend die Zeit, in welcher die Versicherte arbeitslos war, an die Arbeitslosenkasse des Kantons Thurgau weiter. Mit Verfügung vom 24. April 2009 und Einspracheentscheid vom 19. Mai 2009 verneinte die Arbeitslosenkasse einen Nachzahlungsanspruch, da dieser verwirkt sei.
B. Die von K._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 28. Oktober 2009 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt K._, die Arbeitslosenkasse des Kantons Thurgau sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheides zu verpflichten, ihr Kinderzuschläge für den Zeitraum vom 1. Juni 2004 bis zum 28. Februar 2006 in der Höhe von Fr. 9'600.- nachzuzahlen.
Während die Arbeitslosenkasse des Kantons Thurgau auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Staatssekretariat für Wirtschaft auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. 2.1 Es steht fest und ist unbestritten, dass die Versicherte ihren Anspruch auf Kinderzuschläge im Sinne von Art. 22 Abs. 1 Satz 2 AVIG nicht innerhalb der dreimonatigen Frist (Art. 20 Abs. 3 AVIG; vgl. auch Urteil C 140/00 vom 7. August 2002) geltend gemacht hat. Streitig und zu prüfen ist jedoch, ob die verspätete Geltendmachung auf eine Verletzung der Informations- und Aufklärungspflichten durch die Beschwerdegegnerin zurückzuführen ist und ob die abgelaufene Frist allenfalls aus diesem Grund wiederherzustellen ist.
2.2 Die Versicherungsträger und Durchführungsorgane der einzelnen Sozialversicherungen sind gemäss Art. 27 Abs. 1 ATSG verpflichtet, im Rahmen ihres Zuständigkeitsbereiches die interessierten Personen über ihre Rechte und Pflichten aufzuklären.
3. 3.1 Wie das kantonale Gericht für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich festgestellt hat, beantwortete die Beschwerdeführerin auf dem Anmeldeformular die Frage, ob sie den Kinderzuschlag nach AVIG geltend machen wolle, negativ. Damit steht fest, dass die Beschwerdegegnerin die Versicherte durch eben diese Frage auf den möglichen Anspruch eines Kinderzuschlages aufmerksam gemacht hat. Es hätte danach der Versicherten oblegen, bei bestehenden Unsicherheiten über den Anspruch von der Versicherung weitere Auskünfte zu verlangen; nicht der Arbeitslosenversicherung angelastet werden kann, wenn die Beschwerdeführerin offenbar eine den Kinderzuschlag nach AVIG nicht ausschliessende Kinderrente nach IVG mit einer diesen Anspruch ausschliessenden Kinderzulage verwechselt hat. Die Arbeitslosenversicherung ist somit ihrer Aufklärungspflicht genügend nachgekommen.
3.2 Entgegen den Ausführungen der Versicherten vermag an diesem Resultat auch der Umstand nichts zu ändern, dass aus ihrem Schreiben an das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Thurgau vom 22. Juli 2004 zu entnehmen ist, ihr Ehemann sei Rentner der Invalidenversicherung. Zum einen können auch IV-Rentner erwerbstätig sein, so dass ein Kinderzuschläge ausschliessender Bezug von Kinderzulagen durch ihren Mann damit noch nicht unmöglich erschien. Zum anderen erwähnte die Beschwerdeführerin den Rentenbezug ihres Ehemannes beiläufig in einem Verfahren betreffend Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit; wie das kantonale Gericht zutreffend erwogen hat, musste die Versicherung das Schreiben vom 22. Juli 2004 somit nicht zum Anlass nehmen, die von der Versicherten auf dem Antragsformular gemachten Angaben einer kritischen Prüfung zu unterziehen.
3.3 Da die Beschwerdeführerin ihren Antrag auf Kinderzuschläge zu spät gestellt und die Beschwerdegegnerin ihren Informations- und Aufklärungspflichten hinreichend nachgekommen ist, besteht kein Anspruch mehr auf Nachzahlung der Zuschläge. Einsprache- und kantonaler Gerichtsentscheid waren rechtens; die Beschwerde ist abzuweisen.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Januar 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Holzer