Sachverhalt:
A.
A._, geb. 1986, ist Bürger der Gemeinde U._ (SZ). Er ist wegen einer schweren geistigen und körperlichen Behinderung dauernd auf Pflege und Betreuung angewiesen. Im März 2009 kehrte A._ mit seiner Mutter, unter deren alleiniger Obhut er stand, nach einer 11-jährigen Aufenthaltszeit in Amerika zurück in die Schweiz. Er wurde unmittelbar nach seiner Rückkehr in verschiedenen Einrichtungen gepflegt. Die Gemeinde V._ (LU) errichtete eine kombinierte Mitwirkungs- und Vermögensbeistandschaft nach aArt. 392/393 ZGB. Die Mutter von A._ reiste im Oktober 2010 wieder nach Amerika aus. Der Kanton Luzern liess dem Kanton Schwyz im Juli 2009 für die Kosten der Pflege und Betreuung eine Unterstützungsanzeige im Sinne von Art. 15 in Verbindung mit <ref-law> zukommen. Der Kanton Schwyz kam in der Folge bis März 2011 für die Unterbringungskosten im Alters- und Pflegeheim B._ (LU) auf. Auf die zweite Quartalsrechnung 2011 hin und in der Folge auch gegen weitere Abrechnungen erhob der Kanton Schwyz jeweils Einsprache. Er beanstandete im Wesentlichen den Aufenthalt des jugendlichen A._ in einem Alters- und Pflegeheim. Dieser habe als Bezüger einer IV-Rente Anspruch auf Unterbringung in einem nach dem IFEG anerkannten Heim. Gemäss <ref-law> dürften A._ für den Aufenthalt in einer anerkannten Institution keine Sozialhilfekosten erwachsen. Diese Kosten könnten daher auch nicht dem Heimatkanton weiterverrechnet werden. Mit Beschluss vom 28. Mai 2013 wies der Kanton Luzern die Einsprachen nach <ref-law> ab. Zwischenzeitlich hatte A._ am 19. Dezember 2012 vom Alters- und Pflegeheim B._ in das Wohnheim C._ gewechselt.
B.
Die vom Kanton Schwyz gegen den Beschluss vom 28. Mai 2013 geführte Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 27. Mai 2014 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt der Kanton Schwyz, der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern sei aufzuheben.
Während dieses auf eine Vernehmlassung verzichtet, schliesst der Kanton Luzern auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 44 mit Hinweisen).
1.2. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Gestützt auf <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Der Beschwerdeführer rügt eine unrichtige Anwendung des Bundesgesetzes vom 24. Juni 1977 über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG; SR 851.1). Dieses ist öffentliches Recht des Bundes im Sinne von Art. 82 lit. a und Art. 95 lit. a BGG (<ref-ruling> E. 2.1 S. 352). Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu keinen Ausschlussgrund (vgl. <ref-law>).
1.3. Ein Kanton kann gegenüber dem andern Kanton nicht hoheitlich handeln. Die Unterstützungsanzeige nach <ref-law> und die Abrechnung nach <ref-law> stellen auch keine hoheitlichen Verfügungen dar; gleichwohl kommt ihnen rechtsgestaltende Wirkung zu, indem sie den Kanton, an den sie gerichtet sind, rechtskräftig zum Kostenersatz verpflichten, wenn dieser nicht mit einer Einsprache nach <ref-law> form- und fristgerecht dagegen reagiert (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 353 f.; Werner Thomet, Kommentar zum Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [ZUG], 2. Aufl. 1994, Rz. 304). Der Kanton Schwyz hat am vorinstanzlichen Verfahren als Partei teilgenommen und wurde als Adressat des angefochtenen Entscheids verpflichtet, finanzielle Leistungen zu erbringen. Er ist daher zur Beschwerde ans Bundesgericht legitimiert (<ref-ruling> E. 2.3 S. 354 mit Hinweisen).
1.4. Da auch die übrigen Voraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 137 f. mit Hinweis).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob der Kanton Schwyz als Heimatkanton für die Unterbringungs- und Pflegekosten des A._ im Alters- und Pflegeheim B._ aufzukommen hat.
Der Kanton Luzern bejaht dies und beruft sich dabei auf <ref-law>, der wie folgt lautet: Hat der Unterstützte keinen Wohnsitz in der Schweiz, so vergütet der Heimatkanton dem Aufenthaltskanton die Kosten der Unterstützung.
Der Kanton Schwyz vertritt die Auffassung, A._ habe im Kanton Luzern Wohnsitz begründet, womit eine Kostenübernahme durch den Heimatkanton nach <ref-law> ausser Betracht falle. Zudem handle es sich bei den in Rechnung gestellten Aufwendungen nicht um Fürsorgekosten im Sinne des Zuständigkeitsgesetzes.
4.
Der Bedürftige hat seinen Wohnsitz nach dem Zuständigkeitsgesetz (Unterstützungswohnsitz) in dem Kanton, in dem er sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält. Dieser Kanton wird als Wohnkanton bezeichnet (<ref-law>). Der Unterstützungswohnsitz nach dieser Regelung ist nicht zwingend identisch mit dem zivilrechtlichen Wohnsitz (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 435 mit Hinweis).
4.1. Das kantonale Gericht hat als Erstes auf die Regelung gemäss <ref-law> Bezug genommen, wonach u.a. der Aufenthalt in einem Heim, einem Spital oder einer anderen Anstalt keinen Unterstützungswohnsitz begründet. Es hat erwogen, dies bedeute zunächst einmal nur, dass der Eintritt in eine solche Anstalt einen bestehenden Unterstützungswohnsitz nicht beende. Das trifft zu (vgl. <ref-law> [recte: ZUG]; <ref-ruling> E. 3.1.3 S. 25; Ursprung/Riedi, Zur neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung auf dem Gebiet der Sozialhilfe, in: ZBl 115/2014 S. 231 ff., 241). Dementsprechend schliesst <ref-law> nicht aus, dass A._ im Kanton Luzern Unterstützungswohnsitz begründet hat. Ob ein solcher Wohnsitz begründet wurde, bedarf daher weiterer Betrachtung.
4.2.
4.2.1. Die Vorinstanz hat erwogen, A._ sei bei der Rückkehr in die Schweiz mündig gewesen und habe daher den Wohnsitz seiner Mutter in V._ auf der Grundlage von <ref-law> nicht geteilt. Es habe sodann keine wohnsitzbestimmende Massnahme der Vormundschaftsbehörde (heute: Erwachsenen- und Kindesschutzbehörde) im Sinne von Art. 25 Abs. 2 und Art. 26 ZGB bestanden. Gestützt auf seinen körperlichen und geistigen Schwächezustand sei der Betroffene aber auch nicht in der Lage gewesen, einen eigenen Wohnsitz im Sinne von <ref-law> zu begründen.
Der Beschwerdeführer stellt diese Erwägungen zu Recht nicht in Frage. Er beruft sich vielmehr darauf, A._ habe Wohnsitz nach <ref-law> begründet.
4.2.2. Gemäss <ref-law> gilt der Aufenthaltsort als Wohnsitz, wenn ein früher begründeter Wohnsitz nicht nachweisbar oder ein im Ausland begründeter Wohnsitz aufgegeben und in der Schweiz kein neuer begründet worden ist.
Das kantonale Gericht hat zu Recht erkannt, dass aus dieser Regelung nicht auf einen Unterstützungswohnsitz geschlossen werden kann. Ein im Sinne von <ref-law> begründeter Wohnsitz ist im Anwendungsbereich des Zuständigkeitsgesetzes nicht massgeblich. Der Gesetzgeber hat zwar angestrebt, den Unterstützungswohnsitz weitmöglichst dem zivilrechtlichen Wohnsitz anzugleichen. Eine begriffseinheitliche Legiferierung lässt sich aber nicht immer verwirklichen. So dient der zivilrechtliche Wohnsitzbegriff der Festlegung zivilrechtlicher, zivilprozessualer und vollstreckungsrechtlicher Zuständigkeiten. Einen solchen Wohnsitz muss jedermann jederzeit haben. Demgegenüber dient der Unterstützungswohnsitz zur Bestimmung des fürsorgepflichtigen Gemeinwesens. Dabei kann es sich nicht um einen Ort handeln, zu dem die betroffene Person keine dauerhafte persönliche Beziehung hat. Das Zuständigkeitsgesetz kennt daher den fiktiven Wohnsitz im Sinne von <ref-law> nicht (vgl. Urteil 8C_223/2010 vom 5. Juli 2010 E. 3.1, in: Pra 2011 Nr. 38 S. 274; Thomet, a.a.O., Rz. 89, 144 und 153; Ursprung/Riedi, a.a.O., S. 241 und 242; siehe auch Botschaft vom 22. November 1989 zur Änderung des Bundesgesetzes über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger, BBl 1990 I 49, 58 Ziff. 213).
4.3. Mithin steht fest, dass A._ im Kanton Luzern keinen Unterstützungswohnsitz begründet hat. Dieser Kanton gilt vielmehr als Aufenthaltsort nach <ref-law> und der Kanton Schwyz ist als Heimatkanton für die Kosten der Unterstützung ersatzpflichtig (in diesem Sinne auch: Thomet, a.a.O., Rz. 202).
5.
Der Kanton Schwyz wendet weiter ein, die zuständigen Behörden im Kanton Luzern hätten A._ zu Unrecht in einem Alters- und Pflegeheim untergebracht. A._ habe nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2006 über die Institutionen zur Förderung der Eingliederung von invaliden Personen (IFEG; SR 831.26) Anspruch auf eine Platzierung in einer nach Art. 4 und 5 IFEG anerkannten Behinderteninstitution. Gemäss <ref-law> dürften keiner Person infolge Aufenthalts in einer solchen Institution Sozialhilfekosten erwachsen.
5.1. Gemäss <ref-law> hat der Heimatkanton dem Aufenthaltskanton die Unterstützungskosten zu erstatten. Gegenstand der Ersatzpflicht sind demnach nur Unterstützungen. Laut <ref-law> handelt es sich dabei um Geld- und Naturalleistungen des Gemeinwesens, welche nach kantonalem Recht an Bedürftige ausgerichtet und nach den Bedürfnissen berechnet werden. Gemeint sind in erster Linie Sozialhilfeleistungen von Kanton und Gemeinden (Thomet, a.a.O., Rz. 74). Nicht unter solche Leistungen fallen die Kosten für den Aufenthalt in einer nach dem IFEG anerkannten Institution. Diese Kosten dürfen die Kantone nicht aus Mitteln der Sozialhilfe bestreiten (vgl. <ref-law>; Botschaft vom 7. September 2005 zur Ausführungsgesetzgebung zur Neugestaltung des Finanzausgleichs und der Aufgabenteilung zwischen Bund und Kantonen [NFA; nachfolgend: Botschaft NFA], BBl 2005 6029, 6208 Ziff. 2.9.4.4). Sie haben dies mittels Subventionen an die entsprechenden Institutionen oder mit direkten Unterstützungsbeiträgen, etwa als Ergänzungsleistungen, zu tun. Stellen die hier in Rechnung gestellten Unterstützungs- und Pflegevergütungen Kosten im Sinne von <ref-law> dar, handelt es sich demnach nicht um Unterstützungen, welche der Kanton als Heimatkanton nach <ref-law> zu übernehmen hätte.
5.2. Der Beschwerdegegner macht hiezu vorerst geltend, er sei, da A._ im Kanton Luzern keinen Wohnsitz habe, auch nicht für die Unterbringung nach IFEG zuständig. Schon deshalb könne es bei den in Rechnung gestellten Kosten nicht um solche nach IFEG gehen.
Der Einwand verfängt nicht. A._ hat zwar keinen Unterstützungswohnsitz im Kanton Luzern begründet, da <ref-law> in diesem Zusammenhang keine Anwendung findet (E. 4.2.2 hievor). Indessen ist im Regelungsbereich des IFEG nicht der Unterstützungswohnsitz nach dem Zuständigkeitsgesetz, sondern der zivilrechtliche Wohnsitzbegriff massgebend (vgl. Botschaft NFA, a.a.O., 6205 Ziff. 2.9.4.4). Das bedarfsgerechte Angebot an geeigneten Plätzen, welches der Wohnkanton zur Verfügung zu stellen hat, soll für alle Kantonsbewohner gelten und nicht von einem Unterstützungswohnsitz abhängen. Deshalb bleibt die subsidiäre Bestimmung von <ref-law> anwendbar.
5.3. A._ hat sich nun aber unbestrittenermassen nicht in einer nach Art. 4 f. IFEG anerkannten Institution aufgehalten. Bei den für die Unterbringung im Alters- und Pflegeheim B._ entstandenen Kosten handelt es sich demnach grundsätzlich um Unterstützungen nach kantonalem Recht im Sinne von <ref-law> und nicht um solche, welche durch eine Spezialsubventionierung oder ähnliche Mittel zu finanzieren wären.
Dagegen wendet der Kanton Schwyz ein, der Kanton Luzern wäre zu einer Unterbringung des Betroffenen in einer anerkannten Institution verpflichtet gewesen. Hätte er diese bundesrechtliche Verpflichtung befolgt, wären keine Unterstützungskosten im Sinne des Zuständigkeitsgesetzes angewachsen.
5.3.1. Gemäss <ref-law> gewährleistet jeder Kanton, dass invaliden Personen, die Wohnsitz in seinem Kanton haben, ein Angebot an Institutionen zur Verfügung steht, das ihren Bedürfnissen in angemessener Weise entspricht. Ein "angemessenes" Angebot bedeutet zum einen, dass der Kanton den Bedarf nicht rein quantitativ ermitteln darf, sondern u.a. auch der Vielfalt der Behinderungen Rechnung tragen muss. Zum andern sollen die Kosten für die öffentliche Hand und der Nutzen für die invaliden Personen in einem vernünftigen Verhältnis zueinander stehen (vgl. Botschaft NFA, a.a.O., 6205 Ziff. 2.9.4.4). Die Kantone beteiligen sich so weit an den Kosten des Aufenthaltes in einer anerkannten Institution, dass keine invalide Person wegen dieses Aufenthaltes Sozialhilfe benötigt (<ref-law>). Findet eine invalide Person keinen Platz in einer von ihrem Wohnsitzkanton anerkannten, geeigneten Institution, so hat sie Anspruch darauf, dass der Kanton sich an den Kosten für einen Aufenthalt in einer anderen Institution beteiligt, welche die Anforderungen erfüllt, zum Beispiel in einer von einem anderen Kanton anerkannten oder in einer nicht anerkannten Institution (vgl. <ref-law>; Botschaft NFA, a.a.O., 6208 Ziff. 2.9.4.4). Der Wohnsitzkanton wird jedoch nur dann leistungspflichtig, wenn der Antrag gerechtfertigt ist, namentlich dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit entspricht. Verweigert die kantonale Behörde die Unterstützung, kann die invalide Person diesen Entscheid bis vor Bundesgericht anfechten (vgl. Botschaft NFA, a.a.O., 6208 Ziff. 2.9.4.4).
5.3.2. Aus dem Gesagten erhellt einerseits, dass die Kantone für ein ausgewogenes, genügendes Angebot an Plätzen für invalide Personen zu sorgen haben. Diese müssen die speziellen Voraussetzungen für die Anerkennung erfüllen (<ref-law>). Ist eine Unterbringung innerhalb des Wohnsitzkantons nicht möglich, ist sie ausserhalb zu gewährleisten.
Anderseits ergibt sich aus der gesetzlichen Regelung, dass der Anspruch auf eine angemessene Unterbringung der invaliden Person zukommt. Diese hat ihn geltend zu machen. Zwar richtet sich die Verpflichtung für ein angemessenes Angebot im Sinne von <ref-law> an den Kanton. Dieser hat ein Konzept zur Förderung der Eingliederung zu erstellen und dieses bei der erstmaligen Erstellung dem Bundesrat zur Genehmigung vorzulegen (<ref-law>). Das ändert indessen nichts daran, dass der Rechtsanspruch auf einen Platz in einer anerkannten Institution der invaliden Person zusteht. Demnach war der Kanton Luzern in casu ohne entsprechendes Gesuch des A._ nicht verpflichtet, diesen in einer anerkannten Institution unterzubringen. Es kann daher offenbleiben, ob er genügend unternommen hat, um eine solche Unterbringung innert nützlicher Frist zu realisieren, und wie es sich verhielte, wenn A._ ein entsprechendes Gesuch gestellt hätte. Die aus dem Aufenthalt im Alters- und Pflegeheim B._ entstandenen Kosten durften demnach ohne Verletzung von Bundesrecht als Unterstützungskosten im Sinne von <ref-law> an den Heimatkanton weiterverrechnet werden (<ref-law>). Das führt zur Abweisung der Beschwerde.
6.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>; zur Nichtanwendbarkeit von <ref-law>: Urteil 8C_521/2010 vom 27. September 2010 E. 9, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 8C_530/2014 vom 7. November 2014 E. 6; erwähntes Urteil 8C_223/2010 E. 5). Der Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung, da er in seinem amtlichen Wirkungskreis tätig war (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. November 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz