Faits:
A.
Les époux B._ et C._, ressortissants turcs, parents de trois enfants nés en 2004, 2010 et 2011, sont titulaires, respectivement, d'une autorisation de séjour et d'une autorisation d'établissement. Le 10 juin 2010, C._ a déposé une demande d'entrée en Suisse pour sa mère, A._, née le 3 mars 1960, ressortissante turque. Il a indiqué que sa mère vivait seule en Turquie, qu'elle souhaitait venir en Suisse pour être plus proche de ses enfants, et petits-enfants, qu'elle serait entièrement prise en charge par lui et son épouse et que son activité se résumerait à la garde de ses petits-enfants. La prénommée, qui s'était mariée en Turquie le 20 août 1979 avec D._, avait divorcé le 21 mai 1992. Son ex-mari, ainsi que ses deux fils, C._ et E._ résidaient en Suisse, dans le canton de Neuchâtel.
A la demande du Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des migrations), C._ a déposé le 1er novembre 2010 diverses pièces, telles que des certificats de salaires, une attestation de l'Office des poursuites, un bail à loyer, ainsi que des documents officiels turcs. Faisant suite à une dénonciation anonyme lui ayant été adressée en octobre 2011, à teneur de laquelle A._ vivait en Suisse depuis plusieurs années déjà, ledit service a demandé à la police neuchâteloise d'auditionner la prénommée. Entendue le 18 janvier 2012, celle-ci a déclaré, en substance, que son ex-époux et ses deux fils habitaient en Suisse, que cela faisait deux-trois ans qu'elle était entrée illégalement en Suisse, que depuis lors elle s'occupait de sa petite-fille atteinte de trisomie ainsi que de ses deux autres petits-enfants et du ménage, que son fils et sa belle-fille subvenaient à ses besoins, qu'elle n'envisageait pas d'apprendre le français car elle devait s'occuper de ses petits-enfants et ne savait ni lire ni écrire en turc, et enfin qu'un retour en Turquie serait pour elle catastrophique car elle n'y avait plus rien ni personne.
B.
Après avoir donné la possibilité au mandataire de A._ de déposer des observations, le Service des migrations a refusé par décision du 22 juin 2012 d'accorder une autorisation de séjour à la prénommée et lui a imparti un délai au 31 août 2012 pour quitter la Suisse. Il a considéré que deux des trois conditions posées par l'art. 28 LEtr, concernant l'admission de rentiers, n'étaient pas remplies, dès lors que l'intéressée n'avait pas atteint l'âge de 55 ans et qu'elle ne disposait pas d'un revenu propre suffisant pour subvenir à son entretien. Il a également relevé que la LEtr ne prévoyait pas de regroupement familial pour les ascendants et que, selon l'art. 8 CEDH, un tel regroupement n'était possible que si la personne concernée se trouvait dans un rapport de dépendance particulier avec le membre de sa famille autorisé à séjourner en Suisse, ce qui n'était pas le cas de A._ vis-à-vis de son fils. Le service susdit a encore retenu que la situation de la prénommée ne constituait pas un cas individuel d'une extrême gravité au sens de l'art. 30 al. 1 let. b LEtr.
S aisi d'un recours de A._ contre le prononcé du 22 juin 2012 du Service des migrations, le Département de l'économie du canton de Neuchâtel (ci-après: le Département cantonal) a, d'une part, admis par décision incidente du 6 août 2012 la requête de mesure provisionnelle tendant à l'octroi de l'effet suspensif et, d'autre part, rejeté le recours par décision du 12 octobre 2012, niant par la même occasion que A._ puisse se prévaloir de l'art. 8 CEDH. Il a également retenu qu'un séjour en Suisse ne s'imposait pas en raison d'un cas individuel d'une extrême gravité.
Le 5 juin 2013, la Cour de droit public du Tribunal cantonal (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé contre la décision du 12 octobre 2012.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt du 5 juin 2013 du Tribunal cantonal. Outre l'effet suspensif, elle requiert principalement l'octroi d'une autorisation de séjour, subsidiairement le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouveau jugement dans le sens des considérants. Le 8 juillet 2013, le Président de la IIe Cour de droit public a accordé l'effet suspensif au recours. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 44).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 179; 497 consid. 3.3 p. 501).
La recourante invoque, sous l'angle des art. 13 Cst. et 8 CEDH, son droit à la protection de la vie familiale pour entretenir une relation avec son fils et sa belle-fille, tous deux au bénéfice d'un titre de séjour en Suisse, ainsi qu'avec ses petits-enfants. On peut se demander si, au vu de la jurisprudence restrictive du Tribunal fédéral en matière de regroupement familial entre parents et enfants adultes (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 14; arrêt 2C_546/2013 du 5 décembre 2013 consid. 1.1.2), la recourante peut se prévaloir de ces dispositions pour en déduire un droit à une autorisation de séjour. La question peut cependant demeurer indécise, le recours devant de toute manière être rejeté, comme il sera démontré ci-après.
La voie du recours en matière de droit public sera donc considérée comme ouverte, ce qui entraîne l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire.
1.2. Dans la mesure où la recourante fait valoir une violation de l'art. 30 al. 1 let. b LEtr, son recours en matière de droit public est en revanche irrecevable (art. 83 let. c ch. 2 LTF). Cette disposition concerne en effet une autorisation de nature potestative (Kann-Vorschrift; arrêt 2C_400/2011 du 2 décembre 2011 consid. 1.2.2). Le Tribunal fédéral ne pourrait par conséquent examiner l'application de l'art. 30 al. 1 let. b LEtr par les autorités cantonales que dans les limites du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>). Or, la recourante ne soulève pas de griefs de nature constitutionnelle qui seraient recevables (cf. <ref-law>; arrêt 2C_803/2010 du 14 juin 2011 consid. 3).
1.3. Pour le surplus, s'en prenant à l'arrêt du Tribunal cantonal du 5 juin 2013, le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF); en outre, il a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>) par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>). Par conséquent, il convient d'entrer en matière.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral et du droit international (cf. art. 95 let. a et b ainsi que 106 al. 1 LTF), alors qu'il n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant conformément au principe d'allégation (<ref-law>). Ainsi, lorsque le grief d'arbitraire est soulevé, il appartient au recourant d'expliquer clairement en quoi consiste l'arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 265 s.; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 133). En outre, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut cependant rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>; cf. aussi <ref-law>).
2.2. Tout au long de son écriture, la recourante discute librement les faits retenus par le Tribunal cantonal comme elle le ferait devant une Cour d'appel. Un tel procédé est inadmissible devant le Tribunal fédéral. A cela s'ajoute qu'il ne suffit pas de déclarer un état de fait arbitraire pour que soit ouverte la voie d'une critique appellatoire de l'arrêt entrepris. Il convient au contraire d'établir de manière précise en quoi les mécanismes mis en oeuvre par l'instance précédente pour fixer l'état de fait étaient à ce point déficients qu'ils en seraient devenus arbitraires. Une telle obligation de motivation, déduite de l'<ref-law>, n'a nullement été respectée en la cause. Conformément à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral examinera donc l'application du droit fédéral sur la base des seuls faits retenus par le Tribunal cantonal.
3.
3.1. La recourante invoque, sous l'angle des art. 8 CEDH et 13 Cst. - qui ont sur ce point une teneur identique -, son droit à entretenir une relation avec son fils majeur, titulaire d'une autorisation d'établissement, sa belle-fille et ses petits enfants. Ainsi que l'a relevé le Tribunal cantonal, l'extension de la protection de l'art. 8 CEDH aux ressortissants étrangers majeurs suppose l'existence d'un lien de dépendance comparable à celui qui unit les parents à leurs enfants mineurs. Le handicap ou la maladie grave doivent nécessiter une présence, une surveillance, des soins et une attention que seuls des proches parents sont généralement susceptibles d'assumer et de prodiguer (arrêts 2C_546/2013 du 5 décembre 2013 consid. 4.1; 2D_7/2013 du 30 mai 2013 consid. 7.1, avec références). En revanche, des difficultés économiques ou d'autres problèmes d'organisation ne sauraient être assimilés à un handicap ou une maladie grave rendant irremplaçable l'assistance de proches parents (cf. arrêts 2C_817/2010 du 24 mars 2011 consid. 4; 2C_174/2007 du 12 juillet 2007 consid. 3.4; 2A.31/2004 du 26 janvier 2004 consid. 2.1.2; 2A.30/2004 du 23 janvier 2004 consid. 2.2); le seul manque de moyens financiers ne fonde pas un droit à se prévaloir de l'art. 8 CEDH pour obtenir le droit de séjourner auprès de personnes de la famille susceptibles de pourvoir à l'entretien manquant.
3.2. En l'occurrence, la recourante ne se trouve pas vis-à-vis de son fils et de sa belle-fille dans un rapport de dépendance particulier. Le fait que ces derniers contribuent financièrement à l'entretien de l'intéressée ne crée pas un tel rapport de dépendance. Par ailleurs, quand bien même la recourante souffre d'une pathologie dorso-lombalgique, même nécessitant un suivi médical régulier et un traitement depuis une année, son état de santé ne demande pas une présence, une surveillance, des soins et une attention que seuls ses proches parents seraient susceptibles d'assumer et de prodiguer. Le fait qu'en raison de son illettrisme la recourante nécessite une aide quotidienne n'est à cet égard pas déterminant. La Cour cantonale a ainsi justement nié toute situation de dépendance liée à un proche résidant en Suisse en relation avec cette affection, au sens des art. 8 CEDH et 13 Cst.
Au demeurant, la recourante ne prétend pas que sa petite-fille trisomique soit dans un rapport de dépendance avec elle-même, ce qui ne ressort du reste pas de l'arrêt attaqué, de sorte que, sous cet angle également, l'intéressée ne peut se prévaloir de l'art. 8 CEDH (cf. arrêt 2C_1005/20011 du 12 juin 2012 consid. 1.3 a contrario ).
Le grief est ainsi rejeté. Il est pour le reste renvoyé à l'analyse complète et pertinente du Tribunal cantonal sur cette question (<ref-law>).
4.
Au vu de ce qui précède, il y a lieu de rejeter le recours dans la mesure où il est recevable. Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours en matière de droit public est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service des migrations, au Département de l'économie et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 28 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Aubry Girardin
La Greffière: McGregor