Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Am 13. April 1999 starb der 1906 geborene, seit Januar 1996 verwitwete C._, der früher in Z._ eine eigene Zahnarztpraxis betrieben hatte. Er hinterliess als gesetzliche Erben die Tochter B._ und den Sohn A._.
C._ hatte zahlreiche letztwillige Verfügungen verfasst. Eine vom 8. September 1997 datierte Verfügung hat folgenden Wortlaut:
"Aufgrund der neusten Vorkommnisse setze ich meinen Sohn A._ auf den Pflichtteil, somit erhält er 3/8 meines Nachlasses und meine Tochter B._ 5/8.
Als Teilungsbestimmung verfüge ich, dass der Erbteil des Sohnes in bar bestehen soll. Oder nach Zuweisung meiner Tochter B._.
Alle früheren Zuweisungsbestimmungen sind damit aufgehoben."
Alle früheren Zuweisungsbestimmungen sind damit aufgehoben."
B. Mit Eingabe vom 8. September 2000 reichte A._ beim Amtsgericht Luzern-Stadt gegen B._ Klage ein und verlangte unter anderem, die Anordnung in Abs. 2 der letztwilligen Verfügung vom 8. September 1997 für nichtig und den übrigen Teil für ungültig zu erklären.
B._ erhob Widerklage, im Wesentlichen mit den Anträgen, den Nachlass, den Wert jedes einzelnen Nachlassgegenstandes und ihre Berechtigung zu 5/8 am Nachlass festzustellen, den Barwert des A._ zukommenden Anteils von 3/8 zu ermitteln und diesem Barwerte in entsprechender Höhe zuzuweisen.
Mit prozessleitender Verfügung vom 14. Februar 2003 ordnete der Amtsgerichtspräsident I an, dass die Verfahren betreffend Klage und Widerklage getrennt würden und der Erbteilungsprozess bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Urteils im Verfahren betreffend Testamentsungültigkeit sistiert werde.
Am 31. März 2003 erkannte das Amtsgericht Luzern-Stadt (Abteilung I) folgendes:
1. Es wird festgestellt, dass die Bestimmung in der letztwilligen Verfügung von C._ vom 8.9.1997 mit dem Wortlaut "Oder nach Zuweisung meiner Tochter B._" nichtig ist.
2. Im Übrigen wird die Klage abgewiesen.
3. Die Kriminalpolizei ... wird gerichtlich angewiesen, die aufgrund des Entscheids des Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt am 29.8.2000 gelagerten Trägermaterialien von biologischen Spuren von C._ zu vernichten.
..."
A._ appellierte an das Obergericht (I. Kammer) des Kantons Luzern, das die Appellation mit Urteil vom 17. Juni 2004 abwies und das erstinstanzliche Urteil bestätigte.
A._ appellierte an das Obergericht (I. Kammer) des Kantons Luzern, das die Appellation mit Urteil vom 17. Juni 2004 abwies und das erstinstanzliche Urteil bestätigte.
C. A._ erhebt beim Bundesgericht sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch Berufung. Mit der Beschwerde beantragt er, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben. Ferner stellt er das Prozessbegehren, der Beschwerde hinsichtlich der angeordneten Vernichtung der Trägermaterialien mit den biologischen Spuren des Erblassers aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
In der Präsidialverfügung vom 15. September 2004 ist bezüglich des Gesuchs um aufschiebende Wirkung festgehalten worden, dass durch zulässige Berufung der Eintritt der Rechtskraft des angefochtenen Urteils von Gesetzes wegen gehemmt werde.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer rügt vorab eine Missachtung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>), insbesondere des Rechts, sich im Verfahren zu äussern und Beweismittel zu offerieren. Was die Parteien in Beanspruchung des rechtlichen Gehörs vorbrächten, habe das Gericht zu prüfen und zu würdigen. Eigenmächtige Beschränkung der Prüfungsbefugnis komme einer Rechtsverweigerung gleich; das Gericht müsse zu den vorgebrachten Argumenten und Antworten Stellung nehmen.
1. Der Beschwerdeführer rügt vorab eine Missachtung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>), insbesondere des Rechts, sich im Verfahren zu äussern und Beweismittel zu offerieren. Was die Parteien in Beanspruchung des rechtlichen Gehörs vorbrächten, habe das Gericht zu prüfen und zu würdigen. Eigenmächtige Beschränkung der Prüfungsbefugnis komme einer Rechtsverweigerung gleich; das Gericht müsse zu den vorgebrachten Argumenten und Antworten Stellung nehmen.
1.1 1.1.1 Für Zivilstreitigkeiten ergibt sich der Beweisführungsanspruch einer Partei aus <ref-law>, d.h. aus dem Bundesrecht, dessen Verletzung mit Berufung zu rügen ist (vgl. Art. 43 Abs. 1 und Art. 84 Abs. 2 OG). <ref-law> bestimmt allerdings nicht, wie der Sachrichter das Ergebnis der Beweiserhebungen zu würdigen habe, und verbietet ihm somit nicht, einem beantragten Beweismittel auf Grund einer vorweggenommenen Beweiswürdigung die Tauglichkeit abzusprechen (<ref-ruling> E. 4a S. 317 mit Hinweisen). Die staatsrechtliche Beschwerde ist mithin insofern zulässig, als der beanstandete Verzicht auf die Anordnung bestimmter Beweismassnahmen auf antizipierter Beweiswürdigung beruht und diese (als willkürlich) angefochten wird.
Wegen willkürlicher Feststellung von Tatsachen greift das Bundesgericht ein, wenn jene offensichtlich unhaltbar ist, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offenkundigen Versehen beruht oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lässt (<ref-ruling> E. 2 S. 86; <ref-ruling> E. 4b S. 40 mit Hinweisen). Die Aufhebung eines kantonalen Entscheids rechtfertigt sich in jedem Fall nur dort, wo nicht nur die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4 S. 58; <ref-ruling> E. 2 S. 86 mit Hinweis). Wird Willkür gerügt, ist klar und detailliert aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid qualifiziert unrichtig sein soll (<ref-ruling> E. 1c S. 73 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.6 S. 189 mit weiteren Hinweisen). Appellatorische Kritik, wie sie allenfalls im Rahmen eines Berufungsverfahrens zulässig ist, ist ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 7a S. 312; <ref-ruling> E. 4b S. 11 f.).
1.1.2 Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) ergibt sich die Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Bei dieser Pflicht geht es darum, dass der Betroffene sich über die Tragweite des Entscheids ein Bild machen und ihn in voller Kenntnis der Sache gegebenenfalls anfechten kann. Es besteht jedoch kein Anspruch auf ausführliche Begründung, namentlich nicht darauf, dass auf jede Einwendung eingegangen wird (<ref-ruling> E. 2b S. 102 mit Hinweisen).
1.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, dass sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen lasse, weshalb das Obergericht seinem Antrag, ein (postmortales) gerontopsychiatrisches Gutachten über den Erblasser einzuholen, nicht stattgegeben hat; die kantonale Appellationsinstanz verweise auf "Umstände", ohne dass klar wäre, was damit konkret gemeint sei.
Der Entschluss, auf das Einholen des verlangten Gutachtens zu verzichten, beruht offensichtlich auf der eingehenden Würdigung der Erklärungen von Dr. med. D._ und Dr. med. E._, die den Erblasser zu Lebzeiten persönlich betreut haben. Aus deren Äusserungen hat das Obergericht - in vorweggenommener Beweiswürdigung - geschlossen, die beantragte Expertise vermöchte an der Annahme, es lägen keine Hinweise für eine derart angeschlagene Gesundheit des Erblassers vor, dass an dessen Urteils- bzw. Testierfähigkeit ernsthaft zu zweifeln wäre, nichts zu ändern. Von einer Gehörsverweigerung im Sinne fehlender Begründung kann nach dem Gesagten nicht die Rede sein, und dass die der Ablehnung zugrunde liegende vorweggenommene Beweiswürdigung willkürlich wäre, legt der Beschwerdeführer nicht dar.
1.3 Zu dem vom Beschwerdeführer eingereichten Gutachten von Dr. med. F._ und Dr. med. G._ vom 19. Februar 2003 stellte das Obergericht fest, es handle sich um ein Privatgutachten; es habe nur die Bedeutung einer Parteibehauptung und könne daher nicht als taugliches Beweismittel gewürdigt werden. Der Beschwerdeführer wirft der kantonalen Appellationsinstanz vor, sie habe sich mit dem Gutachten nur mangelhaft auseinander gesetzt.
Soweit auch dieses Vorbringen den Vorwurf mangelhafter Begründung enthält, ist die Rüge nach dem Gesagten unbegründet. Im Übrigen begnügt sich der Beschwerdeführer damit, in appellatorischer Form seine eigene Auslegung des Gutachtens vorzutragen. Wenn er darauf hinweist, dass die von ihm beauftragten Experten zum Schluss gelangt seien, die jederzeitige intakte Urteilsfähigkeit des Erblassers in Bezug auf komplexe Geschäfte sei nicht erwiesen, so versäumt er darzutun, weshalb die Annahme des Obergerichts, der Erblasser habe zur Zeit der Errichtung der letztwilligen Verfügung über die erforderlichen geistigen Fähigkeiten verfügt, auch unter Berücksichtigung der verschiedenen Zeugenaussagen - unter anderem ebenfalls von Ärzten - willkürlich sein soll.
1.4 Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht insofern eine selektive Beweisabnahme vor, als es die von ihm beantragten Zeugenbefragungen nicht durchgeführt habe, dagegen drei von der Beschwerdegegnerin angerufene Zeugen einvernommen worden seien. Wie die kantonale Instanz selbst erklärt, beruht der Verzicht auf die Zeugeneinvernahmen auf vorweggenommener Beweiswürdigung. Was der Beschwerdeführer zu diesem Punkt weiter vorbringt, enthält nicht ansatzweise das, was zur Begründung der Rüge, diese sei vollkommen unhaltbar, erforderlich ist.
1.5 Ebenso wenig genügen die Ausführungen des Beschwerdeführers zum Vorwurf, das Obergericht habe die vorhandenen Zeugenaussagen nur unvollständig berücksichtigt, den vom Gesetz an die Begründung einer staatsrechtlichen Beschwerde gestellten Anforderungen: Die kantonale Appellationsinstanz hat erklärt, dass es bei der Einvernahme von Zeugen zur Urteilsfähigkeit einer Person nicht darum gehen könne, ihnen medizinische oder juristische Fragen zu unterbreiten; die Befragten sollten dem Gericht vielmehr die Entscheidungsgrundlagen liefern, indem sie ein Bild von der betreffenden Person vermittelten, deren Reaktionen und Verhalten in verschiedenen Situationen, an ihr beobachtete Fehlleistungen oder Anzeichen von Beurteilungsfähigkeit bzw. deren Fehlen beschrieben. Dem hält der Beschwerdeführer ohne jegliche Substantiierung bloss entgegen, er habe gewünscht, dass auch zu dem von ihm eingebrachten Beweisthema Zeugen einvernommen und berücksichtigt würden, doch habe ihm das Obergericht diesen Beweis abgeschnitten.
1.5 Ebenso wenig genügen die Ausführungen des Beschwerdeführers zum Vorwurf, das Obergericht habe die vorhandenen Zeugenaussagen nur unvollständig berücksichtigt, den vom Gesetz an die Begründung einer staatsrechtlichen Beschwerde gestellten Anforderungen: Die kantonale Appellationsinstanz hat erklärt, dass es bei der Einvernahme von Zeugen zur Urteilsfähigkeit einer Person nicht darum gehen könne, ihnen medizinische oder juristische Fragen zu unterbreiten; die Befragten sollten dem Gericht vielmehr die Entscheidungsgrundlagen liefern, indem sie ein Bild von der betreffenden Person vermittelten, deren Reaktionen und Verhalten in verschiedenen Situationen, an ihr beobachtete Fehlleistungen oder Anzeichen von Beurteilungsfähigkeit bzw. deren Fehlen beschrieben. Dem hält der Beschwerdeführer ohne jegliche Substantiierung bloss entgegen, er habe gewünscht, dass auch zu dem von ihm eingebrachten Beweisthema Zeugen einvernommen und berücksichtigt würden, doch habe ihm das Obergericht diesen Beweis abgeschnitten.
2. Sodann werden in verschiedenen weiteren Punkten Verletzungen des Willkürverbots (<ref-law>) geltend gemacht.
2.1 Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, einerseits das von ihm in die Wege geleitete vormundschaftliche Verfahren als irrelevant zu bezeichnen, andererseits aber gleichwohl auf dieses Verfahren abzustellen. An der von ihm erwähnten Stelle ging es der kantonalen Instanz offensichtlich einzig darum, festzuhalten, dass das vormundschaftliche Verfahren erst nach Errichtung des strittigen Testaments eingeleitet worden ist. Im Übrigen legt der Beschwerdeführer in keiner Weise dar, inwiefern das Abstellen auf gewisse Akten jenes Verfahrens willkürlich sein soll.
2.1 Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, einerseits das von ihm in die Wege geleitete vormundschaftliche Verfahren als irrelevant zu bezeichnen, andererseits aber gleichwohl auf dieses Verfahren abzustellen. An der von ihm erwähnten Stelle ging es der kantonalen Instanz offensichtlich einzig darum, festzuhalten, dass das vormundschaftliche Verfahren erst nach Errichtung des strittigen Testaments eingeleitet worden ist. Im Übrigen legt der Beschwerdeführer in keiner Weise dar, inwiefern das Abstellen auf gewisse Akten jenes Verfahrens willkürlich sein soll.
2.2 2.2.1 In der letztwilligen Verfügung vom 8. September 1997 hat der Erblasser den Beschwerdeführer unter Hinweis auf die "neusten Vorkommnisse" auf den Pflichtteil gesetzt. Im kantonalen Verfahren hatte der Beschwerdeführer geltend gemacht, dass es solche Vorkommnisse gar nicht gegeben und der Erblasser sich in dieser Beziehung in einem Irrtum befunden habe. Die Beschwerdegegnerin erklärte dazu, es werde wohl nicht mehr zu eruieren sein, was der Verstorbene damit gemeint habe.
Das Obergericht bemerkt, dass die erste Instanz zutreffend davon ausgegangen sei, die "neusten Vorkommnisse" seien nicht aktenkundig; es scheine nicht bekannt zu sein, was der Erblasser mit diesem Passus gemeint habe; keine der Parteien habe über den Inhalt jener "Vorkommnisse" nähere Angaben gemacht, woran auch die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers in der Appellation nichts zu ändern vermöchten; im Übrigen ergebe sich aus den Angaben des Erblassers anlässlich des Gesprächs bei der Vormundschaftsdirektion, dass das Verhältnis zwischen ihm und dem Beschwerdeführer nicht ungetrübt gewesen sei.
2.2.2 Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht in diesem Zusammenhang vor, in willkürlicher Weise den Verhandlungsgrundsatz missachtet zu haben. Die Verhandlungsmaxime besagt, dass es ausschliesslich Sache der Parteien ist, das Tatsächliche des Streits vorzutragen, und dass das Gericht an unbestritten gebliebene oder zugestandene Tatsachen gebunden ist und darüber nicht Beweis zu erheben hat (vgl. Oscar Vogel/Karl Spühler, Grundriss des Zivilprozessrechts, 7. Auflage, Bern 2001, 6. Kapitel, Rz. 19 ff.). Wenn hier die Beschwerdegegnerin erklärt hat, es werde sich wohl nicht mehr herausfinden lassen, was der Erblasser mit "neusten Vorkommnissen" gemeint haben könnte, bedeutet dies nicht, dass sie deren Nichtvorhandensein anerkennt. Ob es solche Vorkommnisse gegeben habe, ist demzufolge umstritten. Von einer formellen Wahrheit bzw. von einer Verletzung der Verhandlungsmaxime durch das Obergericht, das die Existenz von Vorkommnissen nicht verneint hat, kann deshalb keine Rede sein.
2.2.3 Die Erwähnung "neuster Vorkommnisse" im Testament begründet die tatsächliche Vermutung deren Existenz (in der Wahrnehmung des Erblassers). Es hätte unter diesen Umständen am Beschwerdeführer gelegen, diese Vermutung umzustürzen oder zumindest erhebliche Zweifel an deren Richtigkeit darzutun. Die stillschweigende Annahme des Obergerichts, es habe in den Augen des Erblassers eben solche Vorkommnisse gegeben und dieser sei insoweit weder einem Irrtum noch einer Einflüsterung der Beschwerdegegnerin unterlegen, ist letztlich das Ergebnis einer Würdigung der tatsächlichen Gegebenheiten. Dass diese willkürlich sei, macht der Beschwerdeführer indessen nicht geltend.
2.3 In mehreren Punkten wird ferner die obergerichtliche Beweiswürdigung als willkürlich bezeichnet.
2.3.1 Der Beschwerdeführer erklärt, er habe in der Appellationsschrift darauf aufmerksam gemacht, dass die Zeugen H._, I._ und J._ den Erblasser nur gelegentlich erlebt hätten und bei diesen Begegnungen mit ihm über Dinge gesprochen worden sei, die keinen Zusammenhang mit aktuellem Geschehen gehabt hätten; aus den Aussagen dieser Zeugen lasse sich deshalb kein Rückschluss auf die kognitiven Fähigkeiten des Erblassers ziehen. Das Obergericht habe sich über diesen Einwand hinweggesetzt.
Diese Rüge stösst ins Leere. Im angefochtenen Entscheid (S. 17) hat sich die kantonale Appellationsinstanz eingehend mit den Einwendungen des Beschwerdeführers befasst. Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen Ausführungen nicht auseinander und legt namentlich auch nicht dar, dass sie willkürlich wären.
2.3.2 Das Obergericht teilt die Auffassung der ersten Instanz, wonach die Ausführungen der Zeugin K._ sich über das Ganze gesehen wenig konkret und präzis präsentierten. Das gelte insbesondere für die Aussage, es seien Sachen vorgefallen, bei denen sie sich nicht habe vorstellen können, dass der Erblasser sie gemacht hätte, wenn er geistig noch voll da gewesen wäre, zumal die Zeugin keine konkreten Vorfälle angeführt habe. Die Zeugin erwähne lediglich, dass der Erblasser sich über Kleinigkeiten aufgeregt habe und ihre Töchter habe aus dem Haus weisen wollen. Weiter habe sie erklärt, dass der Erblasser sie und ihren Sohn anlässlich einer Beerdigung im November 1997 nicht mehr erkannt habe, was sie jedoch von sich aus der Verwirrung wegen der Beerdigung und dem damit verbundenen Stress zugeschrieben habe. Gerade aus dieser Begründung könnte geschlossen werden, dass der Erblasser im Normalfall nicht verwirrt gewesen sei.
In seinen hiergegen erhobenen Einwendungen begnügt sich der Beschwerdeführer damit, in appellatorischer Form den Einschätzungen des Obergerichts seine eigene Würdigung der Aussagen von K._ entgegen zu halten. Weshalb die Auffassung der kantonalen Instanz willkürlich sein soll, ist damit nicht ansatzweise dargetan.
2.3.3 Willkür erblickt der Beschwerdeführer ausserdem darin, dass die Aussagen des Zeugen L._ einerseits und diejenigen der Zeugen M._ (seiner Ehefrau) und N._ (seines Sohnes) andererseits vom Obergericht ganz unterschiedlich gewichtet worden seien. Die Aussagen von L._ habe die kantonale Instanz ohne weiteres hingenommen, obschon dieser Zeuge als Angestellter der Bank O._ den Erblasser als Kunde betreut und deshalb nicht anders habe aussagen können, da er sich sonst dem Vorwurf ausgesetzt hätte, er habe mit einem unter Umständen nicht (mehr) Urteilsfähigen Bankgeschäfte abgeschlossen. Demgegenüber habe das Obergericht darauf hingewiesen, dass M._ und N._ nicht nur seine nächsten Angehörigen seien, sondern auch ein Interesse am Prozessausgang hätten, weshalb deren Aussagen nur mit grösster Zurückhaltung zu berücksichtigen seien.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen Ausführungen, denen beizufügen ist, dass M._ und N._ nach den Feststellungen der kantonalen Appellationsinstanz sämtliche Rechtsschriften und auch gewisse andere Aktenstücke gelesen hatten, in keiner Weise auseinander. Stattdessen beschränkt er sich auf die Bemerkung, offensichtlich sei auch hier mit verschiedenen Ellen gemessen worden. Auch in diesem Punkt genügt die Beschwerde den an die Begründung gestellten Anforderungen somit nicht.
2.3.4 Nach den Ausführungen im angefochtenen Entscheid wurde der Erblasser Ende September 1997 wegen anhaltender Müdigkeit auf Veranlassung seines Hausarztes in die Medizinische Klinik des Kantonsspitals Z._ eingewiesen. Der mit der Aufnahmeuntersuchung betraute Arzt habe ein vermindertes Kurzzeitgedächtnis und ein etwas verlangsamtes Denken, jedoch einen nur leicht reduzierten Allgemeinzustand und ein klares Bewusstsein festgestellt. Die nähere Untersuchung habe dann das Vorliegen eines Aneurysmas (Ausweitung) der Hauptschlagader im Bauch ergeben. PD Dr. med. P._, Chefärztin der Klinik, habe eine Operation für klar indiziert und der beigezogene Chirurg den Eingriff zwar nicht als klein, angesichts der Gesamtsituation aber als absolut vertretbar erachtet. Der Erblasser habe sich indessen gegen eine Operation entschieden, worauf er am 1. Oktober 1997 das Spital - laut Austrittsbericht in ordentlichem Allgemeinzustand - verlassen habe. Das Obergericht weist des weitern darauf hin, PD Dr. med. P._, die in ihrem an den Beschwerdeführer gerichteten Schreiben vom 1. Juli 1999 erklärt habe, es seien während der Hospitalisation des Erblassers keine Untersuchungen über die Frischgedächtnisfunktion durchgeführt worden, sei der Auffassung, der Erblasser habe den Schweregrad seiner Krankheit erkannt, aber auch die Gefahr einer Operation verstanden. Allerdings stehe dieser Äusserung eine Bemerkung im Pflegebericht vom 1. Oktober 1997 gegenüber, wonach die zuständige Pflegerin auf Grund der Frage des Erblassers, ob es denn nicht so schlimm sei, dass er wieder nach Hause dürfe, den Eindruck erhalten habe, dieser habe die Diagnose nicht realisiert. Mit dem Bemerken, es sei unklar, was der Erblasser mit seiner Frage gemeint habe, und ausserdem anzunehmen, dass PD Dr. med. P._ ernsthafte Zweifel an dessen Einsichtsfähigkeit zum Ausdruck gebracht hätte, ging das Obergericht davon aus, der Erblasser habe die Tragweite seiner Erkrankung und eines allfälligen operativen Eingriffs verstanden.
Entgegen dem Vorbringen des Beschwerdeführers hat das Obergericht die Erklärungen der Personen, die sich anlässlich des Spitalaufenthalts mit dem Erblasser befasst haben, demnach durchaus gewürdigt. Was in der Beschwerde vorgetragen wird, vermag den von der kantonalen Instanz gezogenen Schluss über die Fähigkeit des Erblassers, die Bedeutung seiner Erkrankung zu erkennen, nicht als willkürlich erscheinen zu lassen.
2.3.5 Der Beschwerdeführer hatte im kantonalen Verfahren geltend gemacht, der Erblasser sei irrtümlich davon ausgegangen, dass er der leibliche Vater der Beschwerdegegnerin sei, und hätte als besonders familien- und traditionsbewusste Person diese nicht zu seinen, des Beschwerdeführers, Lasten begünstigt, wenn er nicht diesem Irrtum erlegen wäre.
2.3.5.1 Hierzu hält das Obergericht fest, der Erblasser habe in seiner Ergänzung zum Testament vom 10. Oktober 1996 Stellung zur Frage der Vaterschaft genommen und begründet, weshalb die Vermutung, seine Tochter (die Beklagte) sei aus einer ausserehelichen Beziehung seiner Ehefrau mit dem "alten Onkel Q._" entstanden, haltlos sei. Auf die entsprechende Unsicherheit habe der Erblasser erst gar nicht reagiert, so dass ein Irrtum nicht vorliege bzw. nicht vorliegen könne. Ausserdem weist die kantonale Appellationsinstanz darauf hin, dass für eine Ungültigkeit der letztwilligen Verfügung nach <ref-law> erforderlich sei, dass der Erblasser seine Verfügung unter dem Einfluss des Irrtums errichtet habe, mit andern Worten ein Kausalzusammenhang zwischen der falschen Vorstellung und der Verfügung gegeben sein müsse. Der Beschwerdeführer habe nicht nur den Nachweis des Irrtums, sondern insbesondere auch denjenigen der Kausalität zu erbringen. Der blosse Hinweis, der Erblasser hätte, wenn er um die angeblich fehlende Vaterschaft gewusst hätte, die Beschwerdegegnerin nicht begünstigt, genüge nicht, ganz abgesehen davon, dass auch keine Beweise für diese Behauptung angeboten worden seien. Die erste Instanz habe unter den dargelegten Umständen zu Recht davon abgesehen, ein Vaterschaftsgutachten einzuholen.
2.3.5.2 Was der Kläger gegen die tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts und damit gegen die dem Verzicht auf die Einholung eines Vaterschaftsgutachtens (DNA-Analyse) zu Grunde liegende antizipierte Beweiswürdigung vorbringt, stellt eine rein appellatorische Kritik dar und ist nicht geeignet, den Vorwurf der Willkür zu begründen. Ist der Verzicht auf die erwähnte Expertise nicht zu beanstanden, stösst die Willkürrüge, die auch gegen die von der kantonalen Instanz angeordnete Vernichtung der Trägermaterialien mit den biologischen Spuren des Erblassers erhoben wird, ins Leere.
2.3.5.2 Was der Kläger gegen die tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts und damit gegen die dem Verzicht auf die Einholung eines Vaterschaftsgutachtens (DNA-Analyse) zu Grunde liegende antizipierte Beweiswürdigung vorbringt, stellt eine rein appellatorische Kritik dar und ist nicht geeignet, den Vorwurf der Willkür zu begründen. Ist der Verzicht auf die erwähnte Expertise nicht zu beanstanden, stösst die Willkürrüge, die auch gegen die von der kantonalen Instanz angeordnete Vernichtung der Trägermaterialien mit den biologischen Spuren des Erblassers erhoben wird, ins Leere.
3. Die staatsrechtliche Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang ist die Gerichtsgebühr dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist und der Beschwerdegegnerin somit keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 12'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 12'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (I. Kammer) des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Januar 2005
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: