Faits:
A.
Z._, née en 1935, était locataire depuis 1978 d'un appartement de cinq pièces au rez-de-chaussée d'un immeuble situé ... en ville de Genève. En décembre 2007, elle a signé un nouveau contrat de bail pour la période du 1er janvier au 31 décembre 2008, renouvelable tacitement d'année en année, sauf préavis de résiliation donné trois mois à l'avance. Le loyer annuel a été fixé en dernier lieu à 13'200 fr., charges non comprises.
En mai 2009, l'immeuble a été racheté par la société X._ SA, dont le but est de participer à des entreprises, notamment immobilières. Par avis non motivé du 31 juillet 2009, la nouvelle propriétaire a résilié le bail de la locataire pour le 31 décembre 2009.
B.
B.a.
Le 27 août 2009, la locataire a déposé une requête en annulation de congé devant la Commission genevoise de conciliation en matière de baux et loyers. Plusieurs audiences ont été reportées à la demande des parties, qui étaient en négociation.
Le 18 septembre 2009, la société bailleresse a indiqué à la locataire, par avocats interposés, que le congé était motivé par la volonté de mettre l'appartement à la disposition d'un proche. Le même jour, elle a déclaré "sous les réserves d'usage" qu'elle était disposée à entrer en matière sur une prolongation de bail.
Par courrier du 2 octobre 2009 également rédigé "sous les réserves d'usage", l'avocat de la locataire a répondu que sa mandante étant âgée et de condition modeste, elle serait heureuse que la bailleresse " l'aide à tenter de trouver une solution de relogement, si possible dans le quartier ... où elle a[vait] sa famille "; elle cherchait un appartement de quatre pièces dont le loyer n'excéderait pas 1'500 fr. Le courrier ajoutait encore ce qui suit:
"Ceci précisé, ma mandante accepterait de passer un procès-verbal devant la Commission de conciliation en matière de baux valant unique prolongation de bail jusqu'au 31 janvier 2014.
Le procès-verbal devrait prévoir que ma mandante est autorisée à quitter les lieux en tout temps, moyennant un préavis de quinze jours pour la fin d'un mois.
Je vous remercie de m'indiquer le sort que votre mandante réserve à cette proposition transactionnelle."
Le conseil de la bailleresse a répondu le 21 octobre 2009, "sous les réserves d'usage":
"J'ai bien reçu votre correspondance du 2 octobre 2009. Soyez-en remercié.
L'échéance du 31 janvier 2014 apparaît trop lointaine à ma cliente.
Par contre, celle-ci se met immédiatement à la recherche d'un appartement de 4 pièces au loyer maximum de Frs 1'500.- par mois."
Une audience s'est tenue le 1er juin 2010.
Le même jour, l'avocat de la bailleresse a adressé le courrier suivant au conseil de la locataire:
"Je fais suite à notre entretien téléphonique de ce matin et vous confirme que ma mandante accepte l'offre transactionnelle formulée dans votre lettre du 2 octobre 2009, à savoir une unique prolongation de bail jusqu'au 31 janvier 2014.
Vu l'accord intervenu, la présente n'est pas couverte par les réserves d'usage."
L'avocat de la locataire a répondu le 4 juin 2010:
"Je fais suite à l'audience de conciliation du 1er juin 2010, ainsi qu'à vos lignes qui ont suivi celle-ci.
Vous m'aviez indiqué, par courrier du 21 octobre 2009, que l'échéance du 31 janvier 2014 apparaissait trop lointaine à votre cliente.
Ce refus de notre proposition transactionnelle du 2 octobre 2009 a rendu celle-ci caduque.
Dès lors, aucun accord n'est encore intervenu.
Je ne manquerai cependant pas de revenir très prochainement à vous, afin de tenter de trouver une solution amiable dans ce dossier."
Entre juin et novembre 2010, la bailleresse a proposé six appartements à la locataire, qui les a refusés.
Par décision du 31 octobre 2011, la commission de conciliation a retenu que les parties n'avaient trouvé aucun accord quant à un départ ou une prolongation de bail. Elle a annulé le congé au motif qu'il contrevenait aux règles de la bonne foi.
B.b. Le 14 novembre 2011, la bailleresse a déposé une demande devant le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève. Elle invitait cette autorité à constater la validité du congé et à ratifier l'accord portant sur une unique prolongation de bail jusqu'au 31 janvier 2014.
A l'audience de comparution personnelle qui s'est tenue le 12 mars 2012, l'administrateur unique de la bailleresse a donné les explications suivantes: la société dont il était l'organe avait pour actionnaire unique une holding dénommée A._ SA. L'immeuble, qui était organisé en propriété par étages, devait faire l'objet de travaux de rénovation importants; il était prévu de créer un appartement dans les combles. Une demande d'autorisation avait été déposée en 2009. L'actionnaire n'avait pas encore décidé si elle revendrait les lots de PPE. Lorsqu'elle les remettrait à bail, elle exigerait des loyers plus élevés, conformément aux loyers usuels du quartier et aux travaux accomplis. Les travaux impliquaient à terme le départ des locataires. Après ces travaux, tous les appartements devaient être mis à disposition de proches de la holding. Le congé contesté visait précisément à mettre l'appartement à disposition d'un proche de l'actionnaire. " Ce proche, qui [pouvait] être une connaissance, [était] encore indéterminé en l'état. " Deux proches avaient déjà été installés dans des appartements vacants, avec des baux à court terme. L'administrateur ignorait toutefois leurs noms et l'étage où ils logeaient.
Par jugement du 7 janvier 2013, le tribunal a annulé le congé notifié le 31 juillet 2009 et rejeté toutes autres conclusions.
B.c. La bailleresse a interjeté un appel auprès de la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice. Cette autorité a confirmé la décision entreprise, par arrêt du 17 juillet 2013.
C.
La bailleresse saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile, dans lequel elle requiert à titre principal que la résiliation du bail pour le 31 décembre 2009 soit déclarée valable et qu'il soit constaté que les parties ont valablement convenu d'une unique prolongation échéant le 31 janvier 2014, respectivement que l'accord en question soit ratifié.
La locataire conclut au rejet du recours. L'autorité précédente se réfère à son arrêt.

Considérant en droit:
1.
Le recours peut être formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>).
L'autorité de céans est en principe liée par les faits retenus dans l'arrêt attaqué. A défaut de griefs valablement soulevés par la recourante, il n'y a en l'occurrence pas à tenir compte de la version des faits partiellement divergente qu'elle présente dans son mémoire (cf. art. 97 al. 1 et art. 105 LTF; <ref-ruling> consid. 6.2).
2.
2.1. La recourante invoque tout d'abord le grief d'arbitraire (art. 9 Cst.) et de violation des art. 1 et 5 al. 1 CO. La cour cantonale aurait refusé à tort de voir une offre ferme dans la proposition faite par la locataire le 2 octobre 2009; de surcroît, elle aurait apprécié les preuves de façon arbitraire en considérant que l'offre avait été refusée. En réalité, la recourante aurait accepté l'offre après avoir manifesté l'intention de s'octroyer un délai de réflexion; les parties seraient parvenues à un accord complet.
2.2. Le contrat est parfait lorsque les parties ont, réciproquement et d'une manière concordante, manifesté leur volonté (<ref-law>). Généralement, le contrat se forme par l'offre et l'acceptation. L'une des parties présente à l'autre une offre, c'est-à-dire la proposition ferme de conclure un contrat. Le destinataire peut alors accepter l'offre, la refuser ou formuler une contre-proposition. Le contrat est non avenu si l'acceptation n'est pas conforme à l'offre, notamment si elle en rejette certains éléments ou les modifie (cf. entre autres PIERRE ENGEL, Traité des obligations en droit suisse, 2 e éd. 1997, p. 192 et 201). Lorsque l'offre a été faite sans fixation de délai à une personne non présente, l'auteur de l'offre reste lié jusqu'au moment où il peut s'attendre à l'arrivée d'une réponse expédiée à temps et régulièrement (<ref-law>).
2.3. La cour cantonale a tenu en substance le raisonnement suivant: il est douteux que le courrier du 2 octobre 2009 constitue une offre ferme; la locataire a proposé un départ au 31 janvier 2014, mais entendait subordonner cet accord, devant être passé devant l'autorité de conciliation, à l'aide que lui apporterait la bailleresse dans sa quête d'un nouveau logement. Quoi qu'il en soit, même si la lettre devait être traitée comme une offre, il faudrait constater qu'elle a été refusée par la bailleresse dans son courrier du 21 octobre 2009. Il y est clairement exprimé que la date proposée du 31 janvier 2014 apparaît trop lointaine, ce qui signifie qu'elle est inacceptable en l'état. Vu ce refus portant sur un point essentiel, la locataire était libérée dès le 21 octobre 2009 de son offre, qui n'était ainsi plus en vigueur. Si les négociations se sont poursuivies jusqu'au courrier du 1er juin 2010, cela ne signifie pas que l'offre du 2 octobre 2009 était toujours valable; ce fait peut s'expliquer par le souhait commun de trouver un accord, lequel était lié notamment à l'aide que la bailleresse apporterait à la locataire en vue de trouver un logement correspondant à ses exigences.
2.4. Il est malaisé de dire si l'autorité précédente a recouru à l'interprétation subjective ou objective pour déterminer la volonté des parties (cf. <ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2.2.1). Cette question importe peu, car dans l'un ou l'autre cas, l'on ne discerne pas de violation du droit fédéral. Plus précisément, il n'était pas arbitraire, ni contraire au principe de la confiance de constater que la réponse du 21 octobre 2009 ne concordait pas avec la proposition du 2 octobre 2009, en ce sens que la bailleresse n'acceptait pas la date d'échéance du 31 janvier 2014 proposée par la locataire. Contrairement à ce que plaide la recourante, l'on ne saurait discerner dans cette réponse la manifestation d'une volonté de se donner un temps de réflexion afin de rechercher et proposer des logements. Au demeurant, même si la bailleresse avait clairement exprimé une telle volonté, il faudrait considérer qu'après l'écoulement de sept mois, la locataire n'était plus liée par son offre. Ces considérations suffisent à constater l'inexistence d'un accord quant à une unique prolongation de bail au 31 janvier 2014, sans qu'il soit nécessaire de déterminer si la proposition du 2 octobre 2009 peut être qualifiée d'offre.
3.
3.1. Dans un second moyen, la bailleresse conteste que le congé contrevienne aux règles de la bonne foi. Elle se plaint d'une violation des <ref-law> et 9 Cst.
3.2. La cour de céans examine librement, et non pas sous l'angle de l'arbitraire, la question de savoir si la disposition précitée du Code des obligations a été correctement appliquée. La règle en question énonce que le congé est annulable lorsqu'il contrevient aux règles de la bonne foi. La protection ainsi conférée procède à la fois du principe de la bonne foi et de l'interdiction de l'abus de droit, respectivement consacrés aux alinéas 1 et 2 de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2 p. 192).
Les cas typiques d'abus de droit justifient l'annulation du congé, étant précisé que l'attitude de l'auteur du congé ne doit pas nécessairement procéder d'un abus de droit "manifeste" au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3a p. 108). Ainsi, le congé contrevient aux règles de la bonne foi lorsqu'il est fondé sur un motif qui n'est manifestement qu'un prétexte, qu'il ne répond à aucun intérêt objectif, sérieux et digne de protection, qu'il procède d'un pur esprit de chicane ou consacre une disproportion grossière des intérêts en présence (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 62; <ref-ruling> consid. 2 p. 192).
La résiliation motivée par le besoin du bailleur ou de ses proches parents d'occuper eux-mêmes l'appartement loué n'est en principe pas contraire aux règles de la bonne foi (arrêt 4C.411/2006 du 9 février 2007 consid. 2.1, in MRA 2007 p. 45). Dans un litige portant sur la prolongation d'un bail, qui implique de procéder à une pesée des intérêts en présence, le Tribunal fédéral a souligné en obiter dictum que l'intérêt d'une bailleresse, lorsqu'il s'agit d'une personne morale, se concentre dans la réalisation de son but social; si elle invoque le désir de son actionnaire de loger lui-même dans les locaux, elle se heurte à l'objection que l'actionnaire est juridiquement une personne distincte de la société (arrêt 4C.139/2000 du 10 juillet 2000 consid. 2b, cité dans l'<ref-ruling> consid. 3.4.3 i.f. ).
3.3. En l'occurrence, la bailleresse n'a dans un premier temps fourni aucun motif, puis a justifié le congé par la volonté de mettre l'appartement à disposition d'un "proche". En audience, l'administrateur de la bailleresse a précisé qu'il était question d'installer dans l'immeuble des proches de l'actionnaire unique, celle-ci étant une holding dénommée A._ SA. Il a concédé que le proche appelé à reprendre l'appartement de la locataire était encore indéterminé en l'état. Tout en prétendant que deux personnes "proches" occupaient déjà des appartements dans l'immeuble, il n'a pu indiquer ni leurs noms, ni les logements concernés.
Il apparaît ainsi que la bailleresse ne peut désigner aucune personne souhaitant reprendre l'appartement de la locataire. Elle a encore évoqué en cours de procédure un projet d'importants travaux de rénovation nécessitant le départ des locataires, pour lequel une demande d'autorisation aurait été déposée en 2009 déjà. La cour cantonale relève toutefois que la bailleresse est restée évasive quant à l'objet et l'ampleur des travaux. En outre, il n'apparaît pas que ses dires aient été étayés par des éléments concrets. Ce motif n'a au demeurant pas été invoqué dans la lettre de résiliation le 31 juillet 2009, ni dans les explications données le 18 septembre 2009.
Au vu des faits retenus dans l'arrêt attaqué, qui lient l'autorité de céans, la Cour de justice n'a pas enfreint le droit fédéral en considérant que le motif invoqué à l'appui du congé n'était qu'un prétexte, ou qu'à tout le moins le congé ne répondait à aucun intérêt objectif, sérieux et digne de protection. Peut dès lors rester indécise la question de la validité d'une résiliation qui serait réellement destinée à permettre l'installation d'une personne présentant par exemple des liens économiques ou d'affaires avec la société détenant l'entier du capital-actions de la bailleresse. L'on peut envisager que le congé ait été donné pour des motifs économiques, mais cela supposerait encore d'établir qu'il est possible d'augmenter le loyer selon la méthode absolue (cf. <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 3b/bb p. 110).
4.
La recourante succombe. En conséquence, elle supportera les frais et dépens de la présente procédure (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 10 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti