Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Mit Eheschutzentscheid vom 18. Mai 2006 nahm der delegierte Richter des Amtsgerichts G._ davon Vormerk, dass die Eheleute X._ und Y._ den gemeinsamen Haushalt am 15. Mai 2005 aufgelöst hätten und berechtigt seien, weiterhin auf unbestimmte Zeit getrennt zu leben. Er stellte die Kinder A._, geboren im Juli 1999, und B._, geboren im Januar 2003, unter die elterliche Obhut der Mutter und räumte X._ ein Besuchs- und Ferienrecht ein. Ferner wurde dieser mit Wirkung ab 22. Juli 2005 verpflichtet, an den Unterhalt der Kinder monatliche Beiträge von je Fr. 750.-- und an denjenigen von Y._ solche von Fr. 1'800.-- zu zahlen.
In teilweiser Gutheissung eines von X._ erhobenen Rekurses änderte das Obergericht (II. Kammer) des Kantons Luzern den amtsgerichtlichen Entscheid am 16. Oktober 2006 insofern ab, als es die Y._ zugesprochenen Unterhaltsbeiträge auf monatlich Fr. 1'600.-- bis September 2005, Fr. 1'100.-- bis April 2006 und Fr. 900.-- für die Zeit darnach festsetzte.
In teilweiser Gutheissung eines von X._ erhobenen Rekurses änderte das Obergericht (II. Kammer) des Kantons Luzern den amtsgerichtlichen Entscheid am 16. Oktober 2006 insofern ab, als es die Y._ zugesprochenen Unterhaltsbeiträge auf monatlich Fr. 1'600.-- bis September 2005, Fr. 1'100.-- bis April 2006 und Fr. 900.-- für die Zeit darnach festsetzte.
B. X._ führt staatsrechtliche Beschwerde und verlangt, den obergerichtlichen Entscheid vom 16. Oktober 2006 insofern aufzuheben, als er für die Zeit ab 1. Juni 2006 zu Unterhaltsbeiträgen an Y._ verpflichtet worden sei, die Fr. 400.-- im Monat überstiegen. Im gleichen Ausmass sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Ausserdem ersucht der Beschwerdeführer darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung des Begehrens um aufschiebende Wirkung. Vernehmlassungen sind im Übrigen nicht eingeholt worden.
Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung des Begehrens um aufschiebende Wirkung. Vernehmlassungen sind im Übrigen nicht eingeholt worden.
C. Durch Präsidialverfügung vom 1. Dezember 2006 ist der Beschwerde insofern aufschiebende Wirkung zuerkannt worden, als der Beschwerdeführer vom Obergericht für die Zeit von Juni 2006 bis Oktober 2006 zu Fr. 400.-- im Monat übersteigenden Unterhaltsbeiträgen verpflichtet wurde.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist vorher ergangen, so dass noch die Bestimmungen des Bundesrechtspflegegesetzes (OG) anzuwenden sind (vgl. <ref-law>).
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist vorher ergangen, so dass noch die Bestimmungen des Bundesrechtspflegegesetzes (OG) anzuwenden sind (vgl. <ref-law>).
2. Das Bundesgericht prüft die Rechtsmittelvoraussetzungen frei und von Amtes wegen, ohne an die Auffassungen der Parteien gebunden zu sein (<ref-ruling> E. 1 S. 292 mit Hinweis).
2.1 Der im Eheschutzverfahren ergangene Entscheid der oberen kantonalen Instanz gilt nicht als Endentscheid im Sinne von Art. 48 Abs. 1 OG und ist daher nicht mit Berufung anfechtbar. Hingegen ist in einem solchen Fall die staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte gegeben (Art. 84 Abs. 1 lit. a OG; <ref-ruling> E. 2 S. 476 ff.). Auf die von der beschwerten Partei rechtzeitig gegen den Entscheid der letzten kantonalen Instanz erhobene Beschwerde ist zudem auch aus der Sicht von Art. 86 Abs. 1, Art. 88 und Art. 89 Abs. 1 OG einzutreten.
2.2 Im Bereich der staatsrechtlichen Beschwerde gilt der Grundsatz der richterlichen Rechtsanwendung nicht. Das Bundesgericht prüft nur gestützt auf (im Sinne von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG) klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, ob ein kantonaler Entscheid verfassungswidrig ist. Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls im Rahmen eines Berufungsverfahrens zulässig ist, wird nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen). Bei der Willkürrüge ist klar und detailliert aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll. Die Aufhebung eines kantonalen Entscheids rechtfertigt sich in jedem Fall nur dort, wo nicht nur die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 153; <ref-ruling> E. 2 S. 86, mit Hinweisen).
2.3 Neue Tatsachenbehauptungen, neue rechtliche Argumente und neue Beweisanträge sind im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde grundsätzlich unstatthaft. Zulässig sind neue Vorbringen rechtlicher oder tatsächlicher Art, zu deren Geltendmachung erst die Begründung des angefochtenen Entscheids Anlass gegeben hat, sowie neue Vorbringen zu Gesichtspunkten, die sich aufdrängen und die deshalb von der kantonalen Instanz offensichtlich hätten berücksichtigt werden müssen. Eine weitere Ausnahme gilt für Vorbringen, die erstmals im Rahmen von Sachverhaltsabklärungen gemäss Art. 95 OG Bedeutung erlangen, und für neue rechtliche Vorbringen in Fällen, da die letzte kantonale Instanz volle Überprüfungsbefugnis besass und das Recht von Amtes wegen anzuwenden hatte (<ref-ruling> E. 6c S. 357 mit Hinweisen).
2.3 Neue Tatsachenbehauptungen, neue rechtliche Argumente und neue Beweisanträge sind im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde grundsätzlich unstatthaft. Zulässig sind neue Vorbringen rechtlicher oder tatsächlicher Art, zu deren Geltendmachung erst die Begründung des angefochtenen Entscheids Anlass gegeben hat, sowie neue Vorbringen zu Gesichtspunkten, die sich aufdrängen und die deshalb von der kantonalen Instanz offensichtlich hätten berücksichtigt werden müssen. Eine weitere Ausnahme gilt für Vorbringen, die erstmals im Rahmen von Sachverhaltsabklärungen gemäss Art. 95 OG Bedeutung erlangen, und für neue rechtliche Vorbringen in Fällen, da die letzte kantonale Instanz volle Überprüfungsbefugnis besass und das Recht von Amtes wegen anzuwenden hatte (<ref-ruling> E. 6c S. 357 mit Hinweisen).
3. Den obergerichtlichen Entscheid beanstandet der Beschwerdeführer einzig insofern, als der Beschwerdegegnerin ab 1. Juni 2006 ein Unterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 900.-- bzw. von mehr als Fr. 400.-- zugesprochen wurde. Willkür erblickt er namentlich darin, dass ihm das Obergericht für die Zeit ab 1. Juni 2006 ein hypothetisches Einkommen aus Nebenerwerb von Fr. 500.-- angerechnet habe.
3.1 Das Obergericht ging mit dem delegierten Amtsrichter von einem Erwerbseinkommen des Beschwerdeführers bei der J._ AG von monatlich Fr. 5'071.-- aus. Mit dem Hinweis, dass der Beschwerdeführer nach den Feststellungen des erstinstanzlichen Richters ursprünglich mit zwei Nebenbeschäftigungen als Chauffeur bei der K._ GmbH und der L._ GmbH durchschnittlich rund Fr. 1'200.-- bzw. Fr. 1'000.-- im Monat erzielt habe, er das erste Arbeitsverhältnis jedoch per Ende September 2005 beendet habe, berücksichtigte es für die Zeit bis September 2005 einen zusätzlichen Nebenerwerb von monatlich Fr. 1'200.--. Für die Zeit darnach sei dem Beschwerdeführer ein solcher von noch Fr. 500.-- anzurechnen. Wohl habe der Beschwerdeführer auf eigene Initiative hin per Ende Mai 2006 auch das Arbeitsverhältnis mit der L._ GmbH aufgelöst, doch sei die Notwendigkeit dieses Schritts zu bezweifeln. Die Bescheinigung der J._ AG, wonach für den Beschwerdeführer "zum Teil Nacht- und Wochenendarbeiten nicht auszuschliessen" seien, sei angesichts ihrer doppelten Relativierung derart vage und offen, dass nicht gesagt werden könne, es komme überhaupt kein Nebenverdienst mehr in Frage. Zu Recht mache die Beschwerdegegnerin geltend, demjenigen, der für ein Eigenheim einer Nebenbeschäftigung nachgehen könne, sei dies auch zur Bestreitung von Kinderunterhaltsbeiträgen möglich. Das Obergericht hält dafür, der Beschwerdeführer hätte zumindest teilweise weiterhin seinem früheren Nebenerwerb nachgehen können und wenn er diesen vollumfänglich aufgegeben habe, sei dies in böswilliger Weise zur Schmälerung seiner Leistungsfähigkeit geschehen.
3.2 Der Beschwerdeführer, der darauf hinweist, dass von einem Unterhaltspflichtigen grundsätzlich nicht verlangt werden könne, neben einer vollzeitlichen Erwerbstätigkeit einer Nebenbeschäftigung nachzugehen, bestreitet, seine Nebenerwerbstätigkeit böswillig aufgegeben zu haben. Wie aus zwei Bestätigungen vom 6. November 2006 hervorgehe, habe er der L._ GmbH in der zweiten Maiwoche 2006 seine Kündigung mündlich mitgeteilt, unmittelbar nachdem er von seiner Hauptarbeitgeberin vom Wechsel des Arbeitsplatzes und von den damit verbundenen neuen Aufgaben und Belastungen erfahren gehabt habe. Entgegen der Auffassung des Obergerichts ergebe sich aus dem Schreiben der J._ AG vom 31. Mai 2006 zudem klar, dass seine Hauptbeschäftigung eine Nebenerwerbstätigkeit ausschliesse. In Willkür verfallen sei die kantonale Rekursinstanz schliesslich auch insofern, als sie ihm keine Übergangsfrist für die Wiederaufnahme einer Nebenbeschäftigung eingeräumt habe.
3.2.1 Richtig ist, dass von einem Unterhaltspflichtigen in der Regel kein Arbeitspensum von mehr als 100 % erwartet werden darf. Wie das Obergericht unter Hinweis auf die einschlägige Literatur zutreffend dargetan hat, kann von diesem Grundsatz jedoch insbesondere dann abgewichen werden, wenn die Möglichkeit einer Nebenbeschäftigung tatsächlich besteht und diese dem Unterhaltspflichtigen auch zugemutet werden kann. Letzteres hängt von den persönlichen Verhältnissen ab, namentlich vom Alter und der bisherigen Lebensführung der betreffenden Person (Urteil des Bundesgerichts vom 7. März 2002 [5P.418/2001], E. 5c, besprochen in: FamPra.ch 2002 S. 578 ff.).
3.2.2 Entgegen den Ausführungen in der Beschwerde hat das Obergericht sich bei der Bejahung der Zumutbarkeit einer Nebenbeschäftigung nicht einzig von der Annahme leiten lassen, der Beschwerdeführer habe seine früheren Nebentätigkeiten aus bösem Willen aufgegeben. Vielmehr erklärt es auch, der Beschwerdeführer habe nicht glaubhaft zu machen vermocht, dass die von ihm bisher ausgeübte Nebenerwerbstätigkeit ihm nie zuzumuten gewesen sei. Diese Feststellung des Obergerichts wird nicht beanstandet. Wohl galten die früheren Anstrengungen des Beschwerdeführers einem nicht mehr aktuellen Ziel, dem Bau eines Eigenheims. Die Erzielung von Nebeneinkommen zur Ermöglichung von angemessenen Unterhaltsbeiträgen an die Familie bedeutet eine Umstellung, von der das Obergericht jedoch ohne Willkür annehmen durfte, sie könne dem Beschwerdeführer trotz der empfundenen Enttäuschung noch zugemutet werden.
3.2.3 In ihrem Schreiben vom 31. Mai 2006 bestätigte die J._ AG, der Beschwerdeführer sei seit 15. Mai 2006 für unbestimmte Zeit in einem Team von fünf Mitarbeitern in T._ eingesetzt; in den laufenden Projekten seien die Endtermine so gesetzt, dass das Team bereits um 06.00 Uhr die Arbeit aufnehme und zum Teil Nacht- und Wochenendarbeiten nicht auszuschliessen seien. Die Auffassung des Obergerichts, dem Beschwerdeführer sei ein Nebenerwerb zuzumuten, erscheint auch in Anbetracht dieser Erklärung nicht als willkürlich. Abgesehen davon, dass nach dem Wortlaut der Bestätigung ein ausserordentlicher Einsatz, wenn überhaupt, nur äusserst selten vorkommen dürfte, stünde ein solcher nur einer Nacht- oder Wochenendarbeit entgegen. Die im Mai 2006 aufgegebene Nebenbeschäftigung bei der L._ GmbH hatte der Beschwerdeführer deshalb angenommen, weil sie während der Woche habe ausgeübt werden können und ihm erlaubt habe, die Tätigkeit bei der K._ GmbH an den Wochenenden einzuschränken. Die Annahme, der Beschwerdeführer könnte wieder eine Tätigkeit gleicher Art antreten, ist auf jeden Fall nicht vollkommen unhaltbar. Das Obergericht geht im Übrigen ohnehin davon aus, dass dem Beschwerdeführer Nebenbeschäftigungen nur in sehr eingeschränktem Masse zugemutet werden könnten, hat es doch den vom erstinstanzlichen Richter angerechneten Betrag von monatlich noch Fr. 1'200.-- auf Fr. 500.-- herabgesetzt. Dieser Betrag ist weniger als ein Viertel der vor der Trennung aus Nebenbeschäftigungen erzielten Fr. 2'200.--. Angesichts der angespannten wirtschaftlichen Verhältnisse der Parteien durfte das Obergericht ohne Willkür annehmen, die - erheblich reduzierte - Verpflichtung des Beschwerdeführers zur Leistung einer Nebenbeschäftigung sei besser mit dem Gesetz vereinbar als eine noch empfindlichere Unterdeckung.
Wann der Beschwerdeführer von der J._ AG über seine Versetzung von S._ nach T._ ins Bild gesetzt wurde, ist nach dem Gesagten ebenso ohne Belang wie die Frage, ob zwischen dieser Information und der mündlichen Kündigung der Nebenbeschäftigung bei der L._ GmbH ein unmittelbarer zeitlicher Zusammenhang bestanden habe. Dem Antrag des Beschwerdeführers, es sei ihm ausnahmsweise zu gestatten, neue Unterlagen ins Recht zu legen, aus denen sich ergebe, dass die J._ AG ihn erst eine Woche vor seiner Versetzung über den Arbeitsplatzwechsel informiert habe und dass er seine Nebenbeschäftigung bei der L._ GmbH unmittelbar daraufhin gekündigt habe, ist damit der Boden entzogen. Das Beweisbegehren ist daher nicht weiter zu erörtern.
3.2.4 Unter Hinweis darauf, dass er seit 1. Juni 2006 keiner Nebenerwerbstätigkeit mehr nachgegangen sei, bezeichnet der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid auch insofern als willkürlich, als das Obergericht ihm keine Übergangsfrist zur Neuaufnahme einer Nebenbeschäftigung eingeräumt habe.
Verlangt der Richter von einer Partei - beispielsweise durch die Zumutung eines Umzugs in eine billigere Wohnung oder durch die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens und damit die Zumutung einer Steigerung der Erwerbstätigkeit - eine Umstellung ihrer Lebensverhältnisse, hat er ihr grundsätzlich hinreichend Zeit zu lassen, die rechtlichen Vorgaben in die Wirklichkeit umzusetzen (dazu <ref-ruling> E. 2.2 S. 421; <ref-ruling> E. 5 S. 17; Urteil des Bundesgerichts vom 7. Januar 2004 [5P.388/2003], E. 1.1, abgedruckt in: Pra 2004 Nr. 96 S. 555 und FamPra.ch 2004 S. 409). Ein von dieser Regel abweichender Entscheid braucht indessen nicht zwangsläufig willkürlich zu sein. Massgebend sind die konkreten Umstände des einzelnen Falles. Von Bedeutung ist etwa, ob die geforderte Umstellung für den betroffenen Ehegatten voraussehbar war (Urteil des Bundesgerichts vom 7. Januar 2004 [5P.388/2003], E. 1.2, abgedruckt in: Pra 2004 Nr. 96 S. 556 und FamPra.ch 2004 S. 409). So wurde Willkür beispielsweise verneint in einem Fall, da der Ehefrau, die seit drei Jahren vom Ehemann getrennt gelebt und keine Anstalten für die von diesem verlangte Ausdehnung ihrer Erwerbstätigkeit von 50 % auf 100 % getroffen hatte, nur eine sehr kurze und zum Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Urteils bereits verstrichene Frist eingeräumt worden war (Urteil des Bundesgerichts vom 7. März 2002 [5P.418/2001], E. 5c, besprochen in: FamPra.ch 2002 S. 578 ff.). Einer anderen Ehefrau wurde für eine abgeschlossene und in der Vergangenheit liegende Zeitspanne ein hypothetisches Einkommen angerechnet, weil sie sich während besagter Zeit gar nicht um eine Arbeitsstelle bemüht hatte, obwohl eine Erwerbstätigkeit ihr tatsächlich möglich und zuzumuten gewesen wäre (Urteil des Bundesgerichts vom 1. Juli 2004 [5P.170/2004], E. 1.2.2, abgedruckt in: AJP 2004 S. 1420).
Im zur Beurteilung stehenden Fall ist von Bedeutung, dass der Beschwerdeführer bis vor nicht zu langer Zeit einer Nebenbeschäftigung nachgegangen war und diese freiwillig aufgab, obwohl ihm hatte bewusst sein müssen, dass ohne Nebenerwerb sich der gebührende Unterhalt für die Familie nicht sichern lässt. Es geht hier somit nicht um die Frage, ab wann der Unterhaltsschuldner eine Nebenerwerbstätigkeit werde aufnehmen können, sondern darum, weshalb er eine solche aufgegeben habe. Im Lichte der dargelegten Rechtsprechung erscheint der Verzicht des Obergerichts, dem Beschwerdeführer für die durch die Anrechnung eines hypothetischen Zusatzeinkommens verlangte Wiederaufnahme einer Nebenbeschäftigung eine Übergangsfrist einzuräumen, nicht als willkürlich.
3.3 Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, die hypothetische Einkommenszurechnung greife in seinen Fundamentalanspruch auf Wahrung des Existenzminimums ein, weshalb der angefochtene Entscheid auch im Ergebnis willkürlich sei. Was er zur Begründung dieser Rüge vorträgt, ist von vornherein unbehelflich, wird doch auf der Einkommensseite der vom Obergericht nach dem Gesagten willkürfrei eingesetzte Betrag von monatlich Fr. 500.-- ausser Acht gelassen.
3.3 Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, die hypothetische Einkommenszurechnung greife in seinen Fundamentalanspruch auf Wahrung des Existenzminimums ein, weshalb der angefochtene Entscheid auch im Ergebnis willkürlich sei. Was er zur Begründung dieser Rüge vorträgt, ist von vornherein unbehelflich, wird doch auf der Einkommensseite der vom Obergericht nach dem Gesagten willkürfrei eingesetzte Betrag von monatlich Fr. 500.-- ausser Acht gelassen.
4. Die staatsrechtliche Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Sie erschien unter den dargelegten Umständen von vornherein als aussichtslos. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist daher abzuweisen (vgl. Art. 152 Abs. 1 OG), und die Gerichtsgebühr ist ausgangsgemäss dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Mit ihrem Antrag auf Abweisung des Gesuchs um Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung ist die Beschwerdegegnerin unterlegen. Da zur Sache selbst keine Vernehmlassungen eingeholt worden sind und der Beschwerdegegnerin somit insofern keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern (II. Kammer als Rekursinstanz nach ZPO) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juli 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: