Sachverhalt:
A. Bei der Stiftung Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer, Köniz, handelt es sich um eine Stiftung im Sinne von <ref-law>, welche am 28. Juni 2006 ins Handelsregister des Kantons Bern eingetragen wurde. Sie bezweckt die Förderung und Unterstützung der Ziele sowie der Grundsätze des Verbandes SOS-Kinderdörfer International. Ihre Zielsetzung besteht insbesondere in der Unterstützung von elternlosen und verlassenen Kindern aller Rassen, Kulturen und Religionen. Die Stiftung ist Rechtsnachfolgerin des Vereins mit gleichem Namen. Dieser war vom 1. Januar 1995 bis zum 31. Dezember 2006 im Register für Mehrwertsteuerpflichtige eingetragen.
B. B.a Das Münzsammlungsprogramm der SOS Kinderdörfer
Am 11. Juni 1998 schloss der damalige Verein Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer mit der Swissair (Swissair Transport Co. Ltd., 8058 Zürich-Airport) einen Zusammenarbeitsvertrag ab, mit dem sich die Swissair verpflichtete, die Ziele der SOS-Kinderdörfer zu fördern und zu unterstützen. Dies sollte vor allem in finanzieller Hinsicht, z.B. durch gemeinsame Münz-Sammelprojekte, sowie mit zusätzlichen Anstrengungen und Projekten, wie Promotionsveranstaltungen und Mailings erfolgen. Ein analoger Vertrag wurde am 30. Juli 2002 mit der Nachfolgegesellschaft der Swissair, d.h. mit der Swiss (International Air Lines Ltd.), abgeschlossen.
Die Swissair/Swiss (im Folgenden nur noch: "Swiss") hatte sich verpflichtet, das von den Passagieren an Bord der Flugzeuge mit speziell gekennzeichneten Sammeltäschchen oder an den beiden Flughäfen Kloten und Basel gesammelte Münzgeld an den Verein Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer abzuliefern. Das so gesammelte Geld wurde anschliessend sortiert, gezählt und soweit nötig in Schweizer Währung umgerechnet und nach Abzug von administrativen und Kampagnekosten weitergeleitet. Im Gegenzug hatte sich der Verein Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer bereit erklärt, das Logo und den Namen für Werbezwecke zur Verfügung zu stellen.
B.b Die Aktion "Gutes Tun ist leicht, wenn viele helfen"
Neben Aktivitäten in den Flugzeugen und auf den Flughäfen führten die Mitarbeitenden der SAir-Group im Jahre 2001 eine Spendenaktion durch, die ausserhalb der Arbeitszeit auf privater Basis statt fand. Der dabei gesammelte Betrag von Fr. 936'678.45 wurde durch die SAir Group auf Fr. 2 Mio. erhöht und anlässlich einer Gala-Veranstaltung dem Verein übergeben.
B.c Die Punkteaktion "COOP Supercard"
Ähnlich wie die Swiss bot auch die COOP (Basel) ihren Kunden die Möglichkeit, zugunsten der SOS-Kinderdörfer mit Spenden aktiv zu werden. Dies geschah dadurch, dass die Kunden auf ihre Rückvergütungen verzichteten, die ihnen aufgrund von gesammelten Punktegutschriften zustanden. Der für je 10'000 Superpunkte dem Kunden zustehende Betrag von Fr. 90.-- wurde dann dem Verein gutgeschrieben.
C. Mit Schreiben vom 22. April 2003 ersuchte der Verein Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer um Streichung aus dem Mehrwertsteuerregister, was Abklärungen der Eidgenössischen Steuerverwaltung zur Folge hatte. Diese führten dazu, dass die Verwaltung die Steuerpflicht des Vereins aufgrund von Sponsoringleistungen (vorne B.a - B.c) bejahte und ihm mit zwei Ergänzungsabrechnungen (für den Zeitraum vom 4. Quartal 1999 bis zum 4. Quartal 2000) Fr. 40'425.-- zuzüglich Verzugszins (Nr. 07680294), und (für den Zeitraum vom 1. Quartal 2001 bis zum 2. Quartal 2003) Fr. 182'260.-- (Nr. 07680295) zuzüglich Verzugszins in Rechnung stellte. Die beiden Ergänzungsabrechnungen wurden mit zwei förmlichen Entscheiden vom 12. Februar 2004 bestätigt. Die dagegen erhobenen Einsprachen vom 10. März 2004 wurden samt Ergänzung vom 8. November 2004 mit zwei Einspracheentscheiden (beide datierend vom 6. August 2007) abgewiesen, soweit die ihnen zugrunde liegenden Verfügungen nicht in Rechtskraft erwachsen waren.
D. Gegen diese beiden Einspracheentscheide wehrte sich die Stiftung Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer erfolglos beim Bundesverwaltungsgericht: Mit Urteil vom 28. Mai 2009 wies dieses die Beschwerde der Stiftung ab, nachdem es die Verfahren für die beiden angefochtenen Entscheide antragsgemäss vereinigt hatte.
E. Mit Eingabe vom 6. Juli 2009 führt die Stiftung Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 28. Mai 2009 aufzuheben und die geschuldete Mehrwertsteuer auf maximal Fr. 3'731.-- festzusetzen; eventuell sei die Sache zurückzuweisen "zur Festsetzung der geschuldeten Mehrwertsteuer durch die ESTV aufgrund des Marktwerts der von den SOS-Kinderdörfern erbrachten Leistungen".
Die Eidgenössische Steuerverwaltung schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts auf dem Gebiet der Mehrwertsteuer ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht zulässig (Art. 82 lit. a in Verbindung mit Art. 83 sowie Art. 86 BGG). Die im vorinstanzlichen Verfahren unterlegene Stiftung Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer ist hierzu legitimiert (<ref-law>). Auf die von ihr frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist demnach einzutreten.
1.2 Im Streit liegen Steuerforderungen, welche das letzte Quartal 1999 bis und mit das 2. Quartal 2003 betreffen. Die umstrittenen Nachforderungen sind demnach sowohl nach der Verordnung vom 22. Juni 1994 über die Mehrwertsteuer (MWSTV, AS 1994 1464 [Zeitraum bis Ende 2000]) als auch gestützt auf das Bundesgesetz vom 2. September 1999 über die Mehrwertsteuer (aMWSTG, AS 2000 1300 [Zeitraum nach dem 1. Januar 2001]) zu beurteilen (vgl. Art. 93 und Art. 94 aMWSTG).
2. 2.1 Der Mehrwertsteuer unterliegen u.a. die entgeltlichen Lieferungen von Gegenständen, die entgeltlich erbrachten Dienstleistungen, der Eigenverbrauch sowie der entgeltliche Bezug von Dienstleistungen aus dem Ausland, wenn sie nicht ausdrücklich von der Besteuerung ausgenommen oder befreit sind (<ref-law>; Art. 5 aMWSTG). Damit von einer steuerbaren Leistung gesprochen werden kann, verlangt das Gesetz mit Ausnahme des Eigenverbrauchs Entgeltlichkeit (Art. 4 und 5 MWSTV sowie Art. 5 und 6 aMWSTG).
2.2 Die Steuer wird nach <ref-law> und Art. 33 Abs. 1 aMWSTG vom Entgelt berechnet. Die Entgeltlichkeit der Leistung setzt einen Austausch von Leistungen durch Erbringung von Lieferungen oder Dienstleistungen voraus, wofür als Gegenleistung ein Entgelt erbracht wird. Damit ein Leistungsaustausch vorliegt, muss zwischen Leistung und Gegenleistung eine innere wirtschaftliche Verknüpfung gegeben sein (<ref-ruling> E. 6a. S. 451; Urteil 2A.334/2003 vom 30. April 2004 E. 2.1, in: ASA 75 S. 324). Nicht in den Geltungsbereich der Mehrwertsteuer fallen demgegenüber Operationen, die nicht auf einem Leistungsaustausch beruhen (so genannte Nichtumsätze). Als solche gelten etwa Schenkungen, Erbschaften, Schadenersatzleistungen, Konventionalstrafen, Garantieleistungen, Subventionen und Spenden sowie Dividenden (<ref-ruling> E. 4.3. S. 358 f. mit Hinweisen).
2.2 Die Steuer wird nach <ref-law> und Art. 33 Abs. 1 aMWSTG vom Entgelt berechnet. Die Entgeltlichkeit der Leistung setzt einen Austausch von Leistungen durch Erbringung von Lieferungen oder Dienstleistungen voraus, wofür als Gegenleistung ein Entgelt erbracht wird. Damit ein Leistungsaustausch vorliegt, muss zwischen Leistung und Gegenleistung eine innere wirtschaftliche Verknüpfung gegeben sein (<ref-ruling> E. 6a. S. 451; Urteil 2A.334/2003 vom 30. April 2004 E. 2.1, in: ASA 75 S. 324). Nicht in den Geltungsbereich der Mehrwertsteuer fallen demgegenüber Operationen, die nicht auf einem Leistungsaustausch beruhen (so genannte Nichtumsätze). Als solche gelten etwa Schenkungen, Erbschaften, Schadenersatzleistungen, Konventionalstrafen, Garantieleistungen, Subventionen und Spenden sowie Dividenden (<ref-ruling> E. 4.3. S. 358 f. mit Hinweisen).
2.3 2.3.1 Nach konstanter Lehre und Rechtsprechung sind Sponsoringleistungen steuerbare Umsätze, wenn sie mit einer Bekanntmachungs- oder Werbeleistung verknüpft sind. Als Entgelt für die Bekanntmachungs- oder Werbeleistung gilt die Leistung des Sponsors. Steuerfrei sind Sponsorenleistungen nur, wenn diese ohne Gegenleistung (Bekanntmachungs- oder Werbeleistung) erfolgen.
2.3.2 Im Grundsatzurteil 2A.150/2001 vom 13. Februar 2002 (in Pra 2002 Nr. 53 S. 296, vgl. E. 5, insbesondere E. 5c, d und e) hat das Bundesgericht die von der Eidgenössischen Steuerverwaltung entwickelte Praxis zur Besteuerung von Sponsoringleistungen geschützt, sofern mit solchen Leistungen z.B. kulturelle oder sportliche Veranstaltungen finanziert werden und damit ein Leistungsaustausch verbunden ist. Diese Praxis wird im Urteil 2A.175/2002 vom 23. Dezember 2002 unter Hinweis auf die einschlägige Branchenbroschüre (vgl. Branchenbroschüre vom Juli 1995 für den Sport, S. 23 f. Ziff. 4.1.4 sowie Merkblatt Nr. 29 vom Juni 1998 S. 5 Ziff. 2.4) und auf die nach der Einführung des aMWSTG per 1. Januar 2001 erlassene Wegleitung 2001 (Ziff. 412 ff.) bestätigt (Vgl. E. 2 des genannten Urteils). Die unter der Geltung der MWSTV entwickelte Praxis wird damit weitergeführt und in Einzelfragen verfeinert (vgl. das eingangs erwähnte Urteil 2A.150/2001 E. 5c, dazu auch Urteil 2A.443/2002 vom 8. Januar 2003). Diese Praxis geht davon aus, dass eine Gegenleistung schon dann vorliegt, wenn der Sponsor oder Spender vom Empfänger in einem Mitteilungsblatt, Klubheft oder Programm unter Hinweis aus eine berufliche, gewerbliche oder unternehmerische Tätigkeit genannt wird. Keine Werbeleistung stellt lediglich die Erwähnung von Privatpersonen ohne jeglichen Hinweis auf eine geschäftliche Tätigkeit dar.
In der Folge schützte das Bundesgericht auch die Praxis der Eidgenössischen Steuerverwaltung bezüglich der Entgeltsbemessung. Danach wird gemäss <ref-law> bzw. Art. 33 Abs. 1 aMWSTG für die Bemessung der Steuer auf das Entgelt abgestellt, wobei zum Entgelt alles gehört, was der Empfänger oder an seiner Stelle ein Dritter als Gegenleistung für die Lieferung oder Dienstleistung aufwendet (Abs. 2). Berechnungsgrundlage ist demnach, was der Verbraucher (Abnehmer) bereit oder verpflichtet ist, für die erhaltene Leistung aufzuwenden. Dies gilt auch für das Sponsoring, weshalb es keine Rolle spielt, ob der Sponsor die von ihm empfangene Leistung unter Umständen billiger hätte erhalten können, oder dass zwei Sponsoren für vergleichbare Leistungen unterschiedliche Beiträge bezahlen. Aus diesem Grunde kann nicht geltend gemacht werden, dass derjenige Teil des bezahlten Betrages, der über den Werbeaufwand hinausgeht, nicht Bestandteil des Entgelts ist (vgl. Urteil 2A.43/2002 E. 3.3.1). Ein Splitting oder Teilsplitting wird deshalb zu Recht abgelehnt.
Im Urteil 2A.526/2003 vom 1. Juli 2004 (vor allem E. 1.2 ff.) hat das Bundesgericht die bisherige Praxis bestätigt und darauf hingewiesen, dass für die Annahme eines Leistungsaustausches nicht einmal zwingend ein Vertragsverhältnis erforderlich ist. Es genügt, wenn das steuerpflichtige Unternehmen tätig wird und eine Leistung die Gegenleistung auslöst. Im Weiteren hat das Bundesgericht entschieden, dass für Sponsoringleistungen kommerziell tätiger Unternehmen in der Regel angenommen werden darf, dass damit ein Leistungsaustausch verbunden ist. Im Urteil 2C_613 2007 vom 15. August 2008 (E. 5.4) wird u.a. im Zusammenhang mit Sponsoringleistungen einer Bank festgehalten, dass eine wertmässige Übereinstimmung von Leistung und Gegenleistungen für die Begründung einer steuerbaren Sponsoringleistung nicht entscheidend ist, sondern hierfür alleine auf den Kausalzusammenhang zwischen Leistung und Gegenleistung abgestellt wird.
In der schweizerischen Doktrin werden die von der Eidgenössischen Steuerverwaltung für die Besteuerung von Sponsoringleistungen entwickelten Grundsätze und die hierzu ergangene Rechtsprechung weitgehend anerkannt (Andreas Russi, Sponsoring und Mehrwertsteuer, in: Der Schweizer Treuhänder 73/1999, S. 633 ff.; Camenzind/Honauer/ Vallender, Handbuch zum Mehrwertsteuergesetz, 2. Auflage 2003, Rz. 1440 ff., S. 489 f.; Pierre-Marie Glauser, Sponsoring et TVA, in: L'Expert Comptable Suisse, 2005, S. 886).
In der schweizerischen Doktrin werden die von der Eidgenössischen Steuerverwaltung für die Besteuerung von Sponsoringleistungen entwickelten Grundsätze und die hierzu ergangene Rechtsprechung weitgehend anerkannt (Andreas Russi, Sponsoring und Mehrwertsteuer, in: Der Schweizer Treuhänder 73/1999, S. 633 ff.; Camenzind/Honauer/ Vallender, Handbuch zum Mehrwertsteuergesetz, 2. Auflage 2003, Rz. 1440 ff., S. 489 f.; Pierre-Marie Glauser, Sponsoring et TVA, in: L'Expert Comptable Suisse, 2005, S. 886).
2.4 2.4.1 Im Zusammenhang mit der Frage des Leistungsaustausches stellt sich in Fällen, bei denen mehrere Parteien involviert sind, die Vorfrage, wer als Leistungserbringer und wer als Leistungsempfänger identifiziert wird. Damit sind allenfalls auch Stellvertretungsverhältnisse zu klären.
2.4.2 Die sowohl in der MWSTV wie im aMWSTG geltende Regelung unterscheidet zwischen direkter oder indirekter Stellvertretung (<ref-law> bzw. Art. 11 aMWSTG). Direkte Stellvertretung oder Vermittlung einer Leistung, bei welcher der Vertretene unmittelbar gegenüber dem Abnehmer verpflichtet wird, verlangt ein ausdrückliches Handeln des Vertreters im Namen und für Rechnung des Vertretenen. Aufgrund der vom Bundesgericht verschiedentlich bestätigten Praxis (vgl. u.a. Urteile 2C_359/2008 vom 23. Februar 2009 und 2C_229/2008 vom 13. Oktober 2008 E. 4.2) müssen folgende Anforderungen erfüllt sein, damit eine direkte Stellvertretung angenommen werden kann:
a) Es muss ein durch den Vertretenen erteilter, auf Vermittlung lautender, schriftlicher Auftrag vorliegen.
b) Es müssen Dokumente wie Verträge, Rechnungen und Quittungen bestehen, aus denen eindeutig hervorgeht, dass der Vertreter ausdrücklich im Namen und für Rechnung des Vertretenen handelt.
c) Es muss eine schriftliche Abrechnung über den Erlös und die Provisionen vorliegen.
Wesentlich ist, dass das Handeln im fremden Namen ausdrücklich erfolgen muss. Der blosse Hinweis des Vertreters, dass dieser für fremde Rechnung tätig sei, oder Umstände, die auf eine direkte Stellvertretung hindeuten, genügen nicht.
Geändert wurden die strengen formellen Anforderungen für die Annahme der direkten Stellvertretung erst mit dem neuen, ab dem 1. Januar 2010 geltenden Mehrwertsteuergesetz, das hier allerdings noch nicht zur Anwendung kommt (vgl. Art. 20 des Bundesgesetzes vom 12. Juni 2009 über die Mehrwertsteuer, MWSTG [SR 641.20]).
3. 3.1 Umstritten ist beim Münzsammlungsprogramm der SOS-Kinderdörfer vorab die Frage des Leistungsaustausches. Diesbezüglich rügt die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz fälschlicherweise nur von einem Leistungsaustausch ausgehe. Es sei hier jedoch zwischen den Leistungen zu unterscheiden, welche in vertraglicher Abrede zwischen den SOS-Kinderdörfern und der Swiss erfolgten, sowie zwischen den unabhängig davon erbrachten Spenden der Passagiere/Reisenden. Bei den Leistungen der Passagiere handle es sich ausschliesslich um nicht steuerbare Spenden, die von der Swiss lediglich weitergeleitet würden und die in keiner Art und Weise mit dem zwischen der Beschwerdeführerin und der Swiss vereinbarten Vertragsverhältnis zusammenhingen. Im Weiteren wird u.a. auch das Bestehen eines Leistungsaustausches überhaupt verneint.
3.2 Fest steht, dass im vorliegenden Fall zwischen den durch die Reisenden in Spendenabsicht erbrachten Zuwendungen einerseits und andererseits den Leistungen zu unterscheiden ist, die zwischen der Beschwerdeführerin und den hier zur Diskussion stehenden Unternehmungen erbracht werden. Massgebend für die Beurteilung der Frage, ob hier eine steuerbare Leistung oder eine steuerfreie Spende vorliegt, sind primär die konkreten Vertragsverhältnisse.
3.3 Aus den Vereinbarungen zwischen der Swiss und der Beschwerdeführerin (vgl. Partnership contract vom 11. Juni 1998 sowie vom 30. Juli 2002) geht hervor, dass die beiden Vertragspartner vereinbart haben, eine enge Partnerschaft innerhalb der Schweiz zu bilden, mit dem Ziel, dass Swiss die Zielsetzungen der SOS-Kinderdörfer nicht nur auf finanzielle Art und Weise unterstützt, sondern dass dies auch mit weiteren Projekten, (besonderen Promotionsveranstaltungen und Mailings) erfolgen soll (vgl. Partnership contract, Introduction). Zu diesem Zweck wurde für die Dauer der Zusammenarbeit festgelegt, dass die Beschwerdeführerin der Swiss nicht nur ihren Namen und das Logo zur Verfügung stellt, sondern dieser auch das exklusive Recht einräumt, von ihr Bild und Tonaufnahmen (Texte, Logo, Photo- und Tonaufnahmen usw.) zu verwenden (vgl. Partnership contract, "1. Conditions of cooperation"). Aus den weiteren vertraglichen Vereinbarungen geht zudem hervor, dass diese Unterlagen der Swiss für Marketing und PR-Aktivitäten aller Art zur Verfügung stehen sollen, dass sich die Parteien gegenseitig laufend informieren und auch unterstützen. Dabei behält sich die Swiss das Recht vor, sich vor Ort über sämtliche Projekte, die durch die Zusammenarbeit entstehen, ein Bild zu machen. Im Weiteren bestehen Mitspracherechte bei der Projektauswahl und das Recht, in die Abrechnungs- und Buchhaltungsunterlagen Einsicht nehmen zu können (vgl. Partnership contract, Ziffern 3 und 4). Als Gegenleistung für diese Dienstleistungen erhält die Beschwerdeführerin alle Geldmittel, die gesammelt werden. Davon in Abzug gebracht werden lediglich die für die Administration und im Zusammenhang mit Kampagnen gemachten Aufwendungen (vgl. Partnership contract, Ziffer 3b).
Aus diesen vertraglichen Vereinbarungen geht klar hervor, dass mit den durch die Swiss gesammelten Geldern die von der Beschwerdeführerin erbrachten Werbe- und Bekanntmachungsleistungen durch das Zurverfügungstellen und den exklusiven Gebrauch ihres Namens sowie das Ermöglichen von Image- und Werbekampagnen abgegolten werden. Hinzu kommt die Bekanntmachung der Zusammenarbeit mit Swiss durch die Beschwerdeführerin in ihren Publikationen und in den Medien. Die Swiss bezahlt diese Leistungen durch die gesammelten Gelder. Damit wird das für einen Leistungsaustausch wesentliche Erfordernis der "wirtschaftlichen Verknüpfung" von Leistung und Gegenleistung erzielt. Diese innere Verknüpfung wird, wie die Vorinstanz zu Recht festhält, durch die namentlichen Nennungen der Swiss zur Bekanntmachung und Imageförderung dokumentiert und erhärtet. Dies entspricht dem in Lehre und Rechtsprechung geforderten Prinzip des "do ut des" (ich gebe, damit du gibst), wobei es für die Beurteilung der Frage des Leistungsaustausches keine Rolle spielt, von wem die Gegenleistung erbracht wird. Dies muss nicht einmal direkt durch den Leistungsempfänger erfolgen (Vgl. <ref-ruling> E. 4.1, 126 II 443, E. 6a; Camenzind/Honauer/Vallender, a.a.O., Rz. 179 u. 180, S. 82 ff.). Insgesamt liegt hier ein echter Leistungsaustausch vor, der für die Begründung der Besteuerung kausal ist.
Aufgrund des Zusammenarbeitsvertrages steht überdies fest, dass die Swiss ohne die ihr eingeräumten Bekanntmachungsleistungen die gesamte Sammelaktion nicht getätigt hätte, weil nur so das soziale Engagement ersichtlich wurde und der damit verbundene Imagegewinn erzielt werden konnte.
3.4 Dass daneben ein Verhältnis zwischen den Spendern und der Swiss bestand, steht der Annahme eines Leistungsaustausches nicht entgegen. Aus der vertraglichen Vereinbarung zwischen der Beschwerdeführerin und der Swiss ergeben sich keine Anhaltspunkte, dass es sich lediglich um ein Inkasso oder um eine Weiterleitung von Geldern an den Verein/die Stiftung der SOS-Kinderdörfer gehandelt bzw. die Gegenleistung der Swiss lediglich in der Bereitstellung von Sammelgefässen bestanden hätte. Dass dies nicht zutrifft, ist schon daraus ersichtlich, dass die gesammelten Gelder gezählt, abgerechnet und die entsprechenden Währungen umgetauscht, m.a.W. aufbereitet werden müssen (was entsprechende Kosten mit sich bringt, die denn auch gemäss Vertrag in Abzug gebracht werden können).
3.5 Unzutreffend ist auch die Argumentation der Beschwerdeführerin, es könne nicht davon gesprochen werden, dass die Swiss betreffend die Leistung der Gelder im eigenen Namen aufgetreten sei (vgl. S. 12 der Beschwerdeschrift). Dem stehen schon die klaren vertraglichen Vereinbarungen entgegen. Fest steht daneben aber auch, dass die Swiss bei der Übermittlung der gespendeten Gelder jedenfalls nicht ausdrücklich im Namen der privaten Spender aufgetreten ist und dabei auch nicht die in <ref-law> bzw. Art. 11 aMWSTG enthaltenen bzw. von der Praxis entwickelten Regeln zur Stellvertretung (vgl. E. 2.4.2) eingehalten hat. Tatsache ist, dass die gesammelten Gelder durch die Swiss abgerechnet und dann durch diese - währungsbereinigt - auf das Konto der Beschwerdeführerin einbezahlt worden sind. Etwas anderes ergibt sich zumindest nicht aus den einschlägigen Akten bzw. aus dem von der Vorinstanz für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich festgestellten Sachverhalt (<ref-law>).
3.6 Die Sammelgefässe, die mit der Aufschrift "SOS-Kinderdörfer" versehen waren, bzw. die in den Flugzeugen abgegebenen entsprechenden Sammeltäschchen ändern nichts, weil damit lediglich die Zweckbestimmung der gesammelten Gelder dokumentiert wird. Nicht entscheidend für die Beurteilung des konkreten Leistungsaustausches ist, ob und aufgrund welcher Annahmen der spendende Passagier seine Gelder abgegeben hat und ob dieser davon ausging, mit seiner Spende stünden diese Gelder direkt den Kinderdörfern zur Verfügung. Massgebend ist allein die tatsächliche vertragliche Ausgestaltung, wonach die Swiss aufgrund der Geldsammlung die von der Beschwerdeführerin erbrachte Image- und Werbeleistung begleicht und auch solche Leistungen bezieht (was den Spendern zwar nicht besonders offen gelegt wurde, aber auch nicht offen gelegt werden musste).
Dass die Gelder bei der Swiss nicht als Werbeaufwand behandelt werden, ändert nichts an der Annahme eines Leistungsaustausches. Abgesehen davon, dass es sich bei diesem Vorbringen lediglich um eine Behauptung handelt, für die kein Beweis erbracht wurde, liesse sich aus einer in diesem Fall allenfalls fehlerhaften Buchung nichts zu Gunsten der Beschwerdeführerin ableiten.
3.7 Was die Bemessung des für die Besteuerung massgebenden Entgelts betrifft, so ist gemäss der konstanten Rechtsprechung des Bundesgerichts ein Splitting im Zusammenhang mit Sponsoringleistungen nicht möglich (vorne E. 2.3.2). Die in diesem Zusammenhang gemachten Ausführungen der Beschwerdeführerin gehen an der Sache vorbei.
Dies trifft auch für ihre Ausführungen bezüglich eines tauschähnlichen Umsatzes zu. Von einem tauschähnlichen Umsatz im Zusammenhang mit Sponsoringleistungen wird dann gesprochen, wenn das Entgelt für eine Dienstleistung in einer Lieferung oder Dienstleistung besteht oder umgekehrt (vgl. das bereits erwähnte Urteil 2A.150/2002, E. 7a, mit Verweis auf Camenzind/Honauer/Vallender, a.a.O., Rz. 261 S. 109). Nachdem zwischen der Beschwerdeführerin und der Swiss aber ein echtes Leistungsaustauschverhältnis vorliegt (vorne E. 3.3), ist die von der ersteren angerufene Rechtsprechung zum tauschähnlichen Umsatz hier nicht massgebend.
3.8 Auch die übrigen Argumente der Beschwerdeführerin vermögen nicht durchzudringen. So wurden die Spenden der Reisenden nicht, wie geltend gemacht wird, von der Vorinstanz als Entgelt Dritter qualifiziert. Diese hat vielmehr einen direkten Leistungsaustausch zwischen der Beschwerdeführerin und Swiss angenommen (vgl. Urteil der Vorinstanz [E. 3.3 und 4.2.2]).
Nichts zu Gunsten der Beschwerdeführerin ableiten lässt sich aus einem allfälligen Beizug des EU-Rechts, weil dieses mit der in der Schweiz entwickelten Praxis nur beschränkt vergleichbar ist und von einem "Zuschuss" (dazu BGE 126 II E. 5e S. 455) im vorliegenden Falle nicht gesprochen werden kann.
3.9 Zusammenfassend ergibt sich, dass die Eidgenössische Steuerverwaltung und das Bundesverwaltungsgericht aufgrund der zwischen den Parteien abgeschlossenen Vereinbarung zu Recht einen Leistungsaustausch angenommen haben und dieser, wie sich aus den massgebenden Ergänzungsabrechnungen ergibt, auch richtig besteuert worden ist.
4. 4.1 Bei der Aktion "Gutes Tun ist leicht, wenn viele helfen" ging es darum, dass die Mitarbeitenden der SAir-Group Spendengelder im Umfange von Fr. 936'678.45 gesammelt hatten und dieser Betrag dann durch die SAir-Group noch um Fr. 1'063'321.55 auf Fr. 2 Mio. aufgerundet worden war (vorne B.b). Gegenstand der vorliegenden Beschwerde bildet nur noch die Besteuerung des durch die Mitarbeitenden gesammelten Betrages von Fr. 936'678.45, nachdem der von der SAir-Group aufgestockte Betrag schon im Einspracheverfahren als steuerpflichtig anerkannt wurde.
4.2 Die Beschwerdeführerin verkennt auch hier die sich aus der vertraglichen Vereinbarung (vgl. Partnership-Contract vom 30. Juli 2002) ergebenden massgebenden Tatsachen. Aufgrund dieser Vereinbarung verpflichtete sich die Swiss, die Beschwerdeführerin durch weitere Aktivitäten und Promotionen zu unterstützten (vgl. Partnership Contract, "Introduction"). Dies hat sie denn auch getan, u.a. indem sie durch entsprechende Mitarbeiteraktionen innerhalb der SAir-Group Gelder gesammelt und diese im Rahmen einer Galaveranstaltung der Beschwerdeführerin mit einem Check über Fr. 2 Mio. übergeben hat. Ausstellerin des Checks war die SAir-Group und nicht etwa einzelne Mitarbeitende oder eine Mitarbeitervereinigung. Damit bezweckte und erreichte die SAir-Group offensichtlich eine für den Konzern positive Werbewirkung, wie den verschiedenen Medienmitteilungen entnommen werden kann. Genau dies war aufgrund der Partnerschaft auch angestrebt worden. Wie diese Gelder gesammelt wurden, ist für die Beurteilung des Leistungsaustausches nicht erheblich, weil nicht nur der aufgerundete Teil, sondern auch die aus der Mitarbeiteraktion stammenden Fr. 936'678.45 durch die Swiss im Rahmen der Partnerschaft vereinnahmt und übergeben wurden.
5. 5.1 Bei den im Zusammenhang mit der Punkteaktion "COOP Supercard" besteuerten Leistungen handelt es sich um eine Aktion aus dem Coop-Supercard-Programm. Damit lösen Coop-Kunden bei ihren Einkäufen mit der Kundenkarte gesammelte Punkte ein und verzichten dabei auf ihre so erworbene Prämie zu Gunsten der SOS-Kinderdörfer. Insgesamt handelte es um einen Betrag von Fr. 23'310.--, der von Coop auf diesem Wege überwiesen werden konnte (vgl. vorne B.c).
5.2 Aus dem von der Vorinstanz für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich festgestellten Sachverhalt ergibt sich, dass die Coop-Supercard-Aktion in der Quartalszeitschrift der Beschwerdeführerin erwähnt wurde und auch eine entsprechende "Banner-Werbung" auf der Internetseite von Coop aufgeschaltet war. Damit wird die aufgrund von Praxis und Rechtsprechung (vgl. E. 2.3.2) für den Leistungsaustausch geforderte Werbewirkung erreicht und auch dokumentiert. Die von der Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang aufgestellte Behauptung, dass die Punktesammelaktion keinen Werbecharakter habe, ist wirklichkeitsfremd. Die Vorinstanz und die Eidgenössische Steuerverwaltung haben diese Leistungen deshalb zu Recht als mehrwertsteuerpflichtig qualifiziert.
6. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich nach dem Gesagten in allen Teilen als unbegründet und ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 65/66 BGG). Dem Umstand, dass es sich bei ihr um eine gemeinnützige Organisation handelt (vgl. S. 19 der Beschwerdeschrift), wird bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung getragen. Eine Parteientschädigung ist nicht auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000..-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Februar 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Klopfenstein