Erwägungen:
1. Mit Urteil vom 25. Januar 2012 erteilte die Einzelrichterin des Bezirksgerichts A._ den Gesuchsgegnern in der Betreibung Nr. xxxx B._ definitive Rechtsöffnung für Fr. 3009.70. Der Beschwerdeführer gelangte dagegen an das Obergericht des Kantons Luzern, welches auf seine Beschwerde mit Entscheid vom 27. März 2012 nicht eintrat. Der Beschwerdeführer hat diesen Entscheid beim Bundesgericht angefochten. Er verlangt dessen Aufhebung.
2. 2.1 In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234).
2.2 Das Obergericht hat erwogen, die betriebene Forderung beruhe auf rechtskräftig festgesetzten Staats- und Gemeindeveranlagungen vom Jahr 2002. Diese Forderung sei bereits einmal Gegenstand einer Betreibung gewesen, die mit einem Verlustschein geendet habe. Die Einzelrichterin stelle fest, dass sie im Verfahren der Rechtsöffnung lediglich prüfe, ob ein Rechtsöffnungstitel vorliege. Es sei nicht ihre Aufgabe, allfällige strafrechtlich relevanten Sachverhalte bzw. politische Geschehnisse abzuklären. Die Zustellung der Mahnung vom 11. Februar 2004 sei durch eingeschriebenen Brief ausgewiesen. Insgesamt vermöchten die Einwendungen des Beschwerdeführers den definitiven Rechtsöffnungstitel nicht zu entkräften, zumal er den Urkundenbeweis für die Tilgung, Stundung bzw. die Verjährung der Forderung nicht erbracht habe. Die vor Obergericht eingereichte Beschwerde entspreche den Ausführungen des Beschwerdeführers vor dem Bezirksgerichtspräsidium. Er begründe insbesondere nicht weshalb der Verlustschein Nr. 20060032 vom 19. März 2006 des Betreibungsamtes Udligenswil keine Grundlage für die definitive Rechtsöffnung bilde und der Rechtsöffnungsrichter nicht befugt sein soll, diese Grundlage materiell zu prüfen. Der Beschwerdeführer setze sich mit dem erstinstanzlichen Entscheid nicht auseinander und bringe auch keine gültigen Einwendungen im Sinn von <ref-law> vor. Mangels Begründung sei auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.3 Der Beschwerdeführer setzt sich in seiner Eingabe in keiner Weise den vorgenannten Begründungsanforderungen entsprechend mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinander und legt nicht dar, inwiefern diese Bundesrecht verletzt haben soll.
2.4 Auf die offensichtlich ungenügend begründete und damit unzulässige Verfassungsbeschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren (<ref-law>) durch die Präsidentin der Abteilung unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (<ref-law>) nicht einzutreten.

Demnach erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden