Sachverhalt:
A. Die Sozialkommission der Gemeinde X._ forderte wirtschaftliche Sozialhilfe in Höhe von Fr. 107'085.05 aus dem Nachlass des am ... verstorbenen Y._ zurück (Verfügung vom 27. September 2010).
Gegen diesen Beschluss reichte K._, Alleinerbin des verstorbenen Y._, beim Bezirksrat Z._ Rekurs ein. Mit Entscheid vom 23. März 2011 wies dieser den Rekurs ab.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die von K._ gegen den Entscheid des Bezirksrats Z._ erhobene Beschwerde, mit welcher diese die Aufhebung der Rückerstattungsforderung beantragt hatte, mit Entscheid vom 12. Januar 2012 ab.
C. K._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben, und es sei der Rückforderungsbetrag auf Fr. 57'315.55 zu reduzieren; eventuell sei der Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Soweit sich der angefochtene Entscheid auf Quellen des kantonalen Rechts stützt, welche nicht in Art. 95 lit. c-e BGG genannt werden, beschränkt sich die Überprüfung durch das Bundesgericht demgegenüber thematisch auf die erhobenen und begründeten Rügen (<ref-law>) und inhaltlich auf die Frage, ob die Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Im Vordergrund steht dabei eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere des Willkürverbots nach <ref-law>. Was die Feststellung des Sachverhalts anbelangt, kann gemäss <ref-law> nur gerügt werden, diese sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1 S. 95 mit Hinweis).
2. 2.1 Stirbt der Hilfeempfänger, entsteht gemäss § 28 Abs. 1 des Sozialhilfegesetzes des Kantons Zürich vom 14. Juni 1981 (SHG; LS 851.1) ein Anspruch auf Rückerstattung der wirtschaftlichen Hilfe gegenüber seinem Nachlass. Bei der Geltendmachung des Rückerstattungsanspruchs sind die Verhältnisse der Erben angemessen zu berücksichtigen (Abs. 2).
2.2 Im angefochtenen Entscheid führte das kantonale Gericht aus, gemäss § 19 Abs. 1 lit. b des Gesetzes des Kantons Zürich vom 7. Februar 1971 über die Zusatzleistungen zur eidgenössischen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (Zusatzleistungsgesetz; ZLG; LS 831.3) seien rechtmässig bezogene Beihilfen in der Regel aus dem Nachlass einer bisher oder früher Beihilfe beziehenden Person zurückzuerstatten, wobei bei erbenden Ehegatten, eingetragenen Partnerinnen oder Partner, Kinder oder Eltern die Rückerstattung nur von demjenigen Teil des Nachlasses zu leisten sei, der den Betrag von Fr. 25'000.- übersteige. Derselbe Betrag sei massgebend für die Beurteilung, ob der Hilfebezüger im Sinne von § 27 Abs. 1 lit. b SHG in "finanziell günstige Verhältnisse" gelangt sei (vgl. zudem die von der Schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe herausgegebenen Richtlinien für die Ausgestaltung der Sozialhilfe [SKOS], 4. Ausgabe 2005, E.3.1). Das kantonale Gericht ging davon aus, dass der Freibetrag analog zu berücksichtigen sei, wenn, wie vorliegend, die Schwester des verstorbenen Erblassers Erbin ist.
3. 3.1 Nach den Feststellungen des Verwaltungsgerichts betrifft die Rückerstattungsforderung von Fr. 107'085.05 dem Verstorbenen in der Zeit von Dezember 2000 bis Januar 2007 ausbezahlte wirtschaftliche Hilfe. Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass die Sozialkommission Leistungen in dieser Höhe ausgerichtet hat und nun grundsätzlich ein Anspruch auf Rückerstattung der geleisteten wirtschaftlichen Hilfe gegenüber dem Nachlass besteht.
3.2 Des Weitern hielt das Verwaltungsgericht im angefochtenen Entscheid fest, gemäss dem vom Bezirksrat Z._ am 26. April 2010 genehmigten Schlussbericht der Beistandschaft des Verstorbenen vom 8. März 2010 habe das Vermögen am 28. Februar 2010 folgende Aktiven ausgewiesen: Privatkonto Fr. 33'197.75, Fremdwährungskonto (US $ umgerechnet in CHF) Fr. 186'385.73, Verrechnungssteuer Fr. 60.10, insgesamt somit Fr. 219'643.58. Zum Vermögensbestand hat das kantonale Gericht erwogen, der Verstorbene habe von seinem Vater US $ 173'592.- geerbt, welche per 28. Februar 2010 zu einem günstigen Dollarkurs in insgesamt Fr. 186'385.- hätten eingewechselt werden können. Aufgrund getätigter Zahlungen habe das Privatkonto am 16. September 2010 noch einen Betrag von Fr. 30'806.75 ausgewiesen, was bezogen auf diesen Zeitpunkt ein Vermögen von insgesamt Fr. 217'252.58 ergebe. Daraus lasse sich die von der Sozialkommission geltend gemachte Rückerstattungsforderung problemlos begleichen, ohne dass der Freibetrag von Fr. 25'000.- tangiert werde.
Nach den Ausführungen des Verwaltungsgerichts könnte die Rückerstattungsforderung selbst dann aus dem Nachlass des verstorbenen Bruders beglichen werden, wenn der Aktivsaldo - wie von der Beschwerdeführerin geltend gemacht - lediglich noch Fr. 181'846.15 betrage. Auch das Honorar von Rechtsanwalt J._ (Beistand des Verstorbenen) in Höhe von Fr. 44'741.55 könne daraus bezahlt werden. Dass es für die Rechnung in Höhe von Fr. 54'140.- für ausbezahlte kantonale Beihilfen und Gemeindezuschüsse nicht mehr reichen würde, ist nach Auffassung der Vorinstanz nicht massgeblich, da in diesem Verfahren einzig die Rückerstattung wirtschaftlicher Hilfe zur Diskussion stehe.
Das Verwaltungsgericht hielt weiter dafür, es sei aufgrund verschiedener nicht bewerteter Vermögenspositionen nicht auszuschliessen, dass der Nachlass des Verstorbenen sogar etwas grösser sei als im Schlussbericht der Beistandschaft vom 8. März 2010 ausgewiesen.
Insgesamt schloss das kantonale Gericht, dass der Beschwerdeführerin die Rückerstattung auch unter Berücksichtigung ihrer Verhältnisse zumutbar sei, wobei die Rückerstattungsforderung nur den Nachlass ihres Bruders berühre.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin bringt vor, das Verwaltungsgericht sei gestützt auf offensichtlich falsche tatsächliche Annahmen und unter Ausserachtlassung mehrerer von ihr eingereichter Beweismittel zum unzutreffenden Schluss gelangt, die Rückerstattungsforderung der Sozialkommission sei rechtmässig.
4.1.1 Nach Auffassung der Beschwerdeführerin trifft es nicht zu, dass die US $ 173'593.- "per 28. Februar 2010 zu einem günstigen Dollarkurs in insgesamt sFr. 186'385.73 eingewechselt werden konnten". Vielmehr sei das $-Konto, wie von ihr bereits im vorinstanzlichen Verfahren geltend gemacht und belegt, am 10. Mai 2011 aufgelöst und der Gegenwert von sFr. 150'780.10 auf ein CHF-Konto überwiesen worden.
4.1.2 Der Beschwerdeführerin ist darin beizupflichten, dass das Dollar-Guthaben nicht am 28. Februar 2010 aufgelöst und in Schweizer Franken angelegt wurde. Vielmehr wurde es im Anhang zum Schlussbericht der Beistandschaft vom 8. März 2010 ausdrücklich als Fremdwährungskonto bezeichnet und unter Zugrundelegung des damals geltenden Umrechnungskurses von 1.07373 mit sFr. 186'385.73 als Aktivum aufgeführt. Die gerügte Erwägung im angefochtenen Entscheid ist insofern missverständlich, als die Position zum genannten Zeitpunkt nicht in Schweizer Franken umgewechselt wurde, sondern allenfalls hätte umgewechselt werden können. Die Vorinstanz hat den von der Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren angeführten und mit einem Bankauszug belegten Kontostand per 12. Mai 2011 von sFr. 181'846.15 (nach Auflösung des Fremdwährungskontos) ebenfalls in Betracht gezogen und somit nicht übersehen, dass sich das Nachlassvermögen seit dem Schlussbericht der Beistandschaft verringert hat.
4.1.3 Wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren äussert sich die Beschwerdeführerin erneut über eine von der Gemeinde X._ erteilte Auskunft bezüglich der Höhe des gesamten Rückforderungsbetrages. Gemäss den Feststellungen des kantonalen Gerichts bezog sich die im E-Mail vom 11. Dezember 2009 erteilte Auskunft auf Ergänzungsleistungen, Beihilfe und Gemeindezuschüsse, nicht aber auf Sozialhilfe; zudem handelte es sich bei der Angabe lediglich um eine Richtgrösse. Daraus schloss dieses, die Beschwerdeführerin könne sich hinsichtlich der streitigen Rückforderung nicht auf den Grundsatz von Treu und Glauben berufen. Entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin beruht die vorinstanzliche Schlussfolgerung nicht auf offensichtlich falschen Tatsachen oder aktenwidrigen Annahmen.
4.2 Da die Verhältnisse der Erbin bei der Geltendmachung des Rückerstattungsanspruchs angemessen zu berücksichtigen sind (§ 28 Abs. 2 SHG), konnte die Sozialkommission bei Erlass ihrer Verfügung vom 27. September 2010 aufgrund des damaligen Vermögensbestandes ohne weiteres davon ausgehen, dass die Verhältnisse eine Rückerstattung des von ihr geltend gemachten Betrages erlaubten. Sie hat zudem ausdrücklich zugesichert, dass sich die Rückforderung einzig gegen den Nachlass richte und nicht auf zusätzliche Vermögenswerte oder auf das persönliche Vermögen der Beschwerdeführerin zurückgegriffen werde (vgl. auch Stellungnahme der Sozialkommission vom 26. November 2010 und Entscheid des Bezirksrats Z._ vom 23. März 2011 E. 3.5.5.). Auch das Verwaltungsgericht konnte aufgrund des im Beschwerdeverfahren geltend gemachten Vermögensbestandes von Fr. 181'846.15 gemäss Bankbeleg vom 12. Mai 2011 davon ausgehen, dass die Voraussetzungen gemäss § 28 Abs. 2 SHG erfüllt seien. Seine Beurteilung beruht somit nicht auf einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung.
4.3 Inwiefern der Entscheid des kantonalen Gerichts in Verletzung kantonalen Rechts ergangen oder bundesrechtswidrig wäre, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend, noch ist dies ohne weiteres ersichtlich. Insbesondere ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz nicht sämtliche ausstehenden Forderungen gewürdigt hat. Dies wäre auch gar nicht möglich gewesen, da nach ihren Feststellungen aufgrund verschiedener nicht bewerteter Vermögenswerte nicht auszuschliessen war, dass der Nachlass sich noch vergrössern könnte. Der vorinstanzliche Hinweis auf mögliche weitere Vermögenswerte ist entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin weder willkürlich noch aktenwidrig, zumal sich das kantonale Gericht zu dieser Frage nicht abschliessend geäussert hat und dies auch nicht hätte tun können.
4.4 Soweit die Beschwerdeführerin Ausführungen über die Art und Weise macht, wie die vormundschaftlichen Organe den Nachlass ihres Bruders verwaltet haben, wurde sie bereits vom Verwaltungsgericht darauf hingewiesen, dass sie damit im vorliegenden Verfahren nicht gehört werden kann.
4.5 Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit damit die materielle Begründetheit der Rückerstattungsforderung gerügt wird.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, beim aktuellen Stand des Nachlassvermögens könnten höchstens noch Fr. 57'315.55 zurückgefordert werden, damit der Freibetrag von Fr. 25'000.- gewährleistet bleibe.
5.2 Der Einwand der Beschwerdeführerin, die Fachstelle Erwachsenenschutz habe verschiedene Zahlungen an die Gemeinde X._ getätigt, so dass das Nachlasskonto am 3. Februar 2012 lediglich noch einen Aktivsaldo von Fr. 82'315.55 ausgewiesen habe, beschlägt neue Tatsachen. Das Vorbringen von Tatsachen oder Beweismitteln, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden sind (sog. echte Noven), ist vor Bundesgericht unzulässig (<ref-law>). Daran ändert nichts, dass die Beschwerdeführerin bereits im vorinstanzlichen Verfahren mit Blick auf das Vorhandensein weiterer Rückforderungen der Gemeinde X._ Schwierigkeiten bei der Rückzahlung geltend machte.
5.3 Bezüglich der im vorinstanzlichen Entscheid angeführten Rechnung von Fr. 54'140.- (kantonale Beihilfen und Gemeindezuschüsse) ist anzumerken, dass das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 5. April 2011 die Akten der Gemeinde X._ überwiesen hat zur Beurteilung der Frage, ob allenfalls die Voraussetzungen für einen Erlass dieser sowie weiterer Rückerstattungsforderungen gegeben seien (vgl. auch Urteil des Bundesgerichts vom 25. Juli 2011 [9C-387/2011]).
5.4 Zur Frage, ob der Beschwerdeführerin aus dem Nachlass ihres Bruders ein Freibetrag von Fr. 25'000.- zu belassen sei, hat sich die Sozialkommission bislang nicht geäussert. Es bestand für sie dazu auch kein Anlass, weil noch genügend Nachlassvermögen vorhanden war. Weil sich die Situation gemäss den Ausführungen der Beschwerdeführerin nunmehr offenbar geändert hat, wird die Gemeinde X._ darüber im Rahmen der Durchsetzung der Rückerstattungsforderung oder eines allfälligen Erlasses zu befinden haben.
5.5 Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, die Rückforderung sei auf Fr. 57'315.55 zu reduzieren, weil sonst kein Freibetrag mehr verbleibe, ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten.
6. Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Kosten des vorliegenden Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
Die Akten werden der Gemeinde X._ überwiesen zur Prüfung eines allfälligen Erlasses der Rückerstattung.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. März 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Die Gerichtsschreiberin: Hofer