Erwägungen:
1. Mit Gesamtentscheid vom 26. Januar 2010 trat das Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland auf die von A.X._ gegen das Bauvorhaben der Planungsgemeinschaft Y._ erhobene Einsprache mangels Legitimation nicht ein und erteilte gleichzeitig die Baubewilligung.
Hiergegen gelangte A.X._ mit einer Beschwerde an die Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern. Diese wies die Beschwerde mit Entscheid vom 13. April 2010 ab, soweit sie darauf eintrat.
In der Folge erhob A.X._ eine Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Dessen Verwaltungsrechtliche Abteilung hat die Beschwerde mit Urteil vom 2. Juni 2010 abgewiesen und die vorinstanzliche Auffassung der fehlenden Einsprachebefugnis bestätigt.
2. Gegen dieses Urteil führen A. und B.X._ mit Eingabe vom 12. Juli 2010 der Sache nach Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Sie verlangen u.a. (sinngemäss) die Aufhebung des Urteils, verbunden mit verschiedenen Zusatzbegehren.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen einzuholen.
3. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch <ref-law>; zudem <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53 und 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Die Beschwerdeführer bemängeln ganz allgemein und weitschweifig das Vorgehen der Baubewilligungsbehörden und das verwaltungsgerichtliche Urteil, wonach die Vorinstanzen die Einsprachebefugnis mit zutreffenden Gründen verneint haben. Sie setzen sich indes nicht hinreichend mit den dem angefochtenen Urteil zugrunde liegenden Erwägungen auseinander und legen nicht im Einzelnen dar, inwiefern das Urteil Recht im Sinne von <ref-law> verletzen soll.
Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
Ergibt sich das Nichteintreten bereits aus dem genannten Grunde, sind die von den Beschwerdeführern nebst dem (sinngemässen) Hauptbegehren um Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 2. Juni 2010 gestellten Zusatzbegehren nicht weiter zu erörtern.
Ebenso kann nach dem Gesagten offen bleiben, ob B.X._, der am zugrunde liegenden kantonalen Verfahren nicht beteiligt war, nunmehr (erst) im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren beschwerdebefugt ist (vgl. <ref-law>).
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit aufzuerlegen (<ref-law>). Der privaten Beschwerdegegnerin ist durch das vorliegende Verfahren kein Aufwand entstanden, weshalb ihr keine Parteientschädigung zusteht.

Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Muri b. Bern, der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juli 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp