Faits:
A. A.a X._, homme d'affaires expérimenté demeurant au Caire, a ouvert le 14 octobre 1975 un compte bancaire auprès de la Banque Y._ SA (ci-après: Y._), à Genève, compte qu'il utilisait principalement en relation avec son activité professionnelle.
Parmi les documents contractuels que X._ a signés lors de l'ouverture de la relation bancaire figurent les conditions générales de la Banque et une lettre-formule relative au courrier gardé, soit une convention de banque restante. Ces documents stipulent notamment que toute réclamation relative à l'exécution ou l'inexécution d'un ordre quelconque doit être formulée par le client au plus tard dans un délai d'un mois après notification de l'avis de transaction ou de l'extrait de compte correspondant, faute de quoi l'opération y relative est réputée acceptée. Ils stipulent en outre que tous les avis et extraits de compte conservés en banque restante à la demande du client sont réputés valablement notifiés à la date qu'ils portent.
En pratique, X._ se rendait deux ou trois fois par année à Genève pour retirer son courrier conservé en banque restante au sein de Y._ et y rencontrer le responsable de la relation bancaire, A._. Celui-ci se rendait aussi deux ou trois fois par année au Caire pour visiter son client et discuter de l'état du compte.
A.b X._ n'a confié aucun mandat de gestion à Y._, qui ne pouvait effectuer une opération déterminée pour le compte de son client que sur instructions de ce dernier. Les opérations sur le compte étaient effectuées sur instructions téléphoniques de X._ et confirmées par une télécopie de la Banque au client. En relation avec ce mode opératoire, Y._ a demandé à X._, dans le courant de l'année 2002, de lui retourner signé le formulaire « Télex-Télégramme-Téléphone or Facsimilé Instructions », par lequel la Banque était notamment autorisée à exécuter, sans nécessité d'une confirmation écrite et à sa décharge, les instructions téléphoniques de son client. Ce document était exigé par les auditeurs de la Banque. X._ l'a retourné dûment signé le 27 juillet 2002.
A.c Dans le cadre de son activité commerciale, X._ se procurait des marchandises qu'il payait en dollars (USD) et revendait à des clients qui réglaient en euros (EUR). Il était donc exposé à un risque de change, notamment en cas de fluctuation de la parité dollar/euro. X._ souhaitait neutraliser ce risque et se prémunir contre une hausse du dollar par une opération de couverture (hedging). À cette fin, il pouvait soit contracter un emprunt en euros pour acheter immédiatement des dollars et rembourser ultérieurement cet emprunt avec les euros attendus, soit vendre à terme les euros attendus contre des dollars.
A.d Le 5 novembre 2002, X._ a instruit par téléphone A._, selon une note téléphonique établie par la Banque, d'effectuer une opération de hedging sous la forme d'un achat à terme de dollars contre des euros. La Banque était ainsi instruite d'acheter USD 2'000'000.-, au cours du jour, pour le prix de EUR 2'007'830.54 payables à l'échéance de l'achat à terme, fixée au 7 février 2003. Par télécopie du 5 novembre 2002, la Banque a confirmé à X._ l'exécution de cet ordre en ajoutant, sur la confirmation, la mention « good luck », car A._ considérait, au contraire de X._, que le dollar allait se déprécier par rapport à l'euro.
A.e Le 15 novembre 2002, X._ a retiré sa correspondance conservée en banque restante auprès de Y._, notamment l'avis de transaction du 5 novembre 2002 concernant l'achat/vente à terme de USD 2'000'000.- pour le prix de EUR 2'007'830.54, payables à l'échéance du 7 février 2003.
Contrairement aux prévisions de X._, le cours du dollar, à cette échéance, avait baissé par rapport à celui de l'euro, de sorte que les USD 2'000'000.- acquis pour le prix de EUR 2'007'830.54 lors de l'achat/vente à terme du 5 novembre 2002 ne valaient plus que EUR 1'843'317.97 EUR au 7 février 2003, générant ainsi une perte de change de EUR 164'512.57.
A.f L'opération d'achat/vente à terme de USD 2'000'000.- a été renouvelée par la Banque pour le compte de X._ - l'opération arrivée à échéance étant liquidée par le paiement de la différence entre le taux de change de l'achat à terme et le taux au jour de l'échéance - une première fois le 5 février 2003 pour le prix de EUR 1'850'323.62, avec échéance au 7 mai 2003, date à laquelle les USD 2'000'000.- valaient EUR 1'780'151.31, impliquant une perte de change de EUR 70'672.31; elle a ensuite été renouvelée une seconde fois le 5 mai 2003 pour le prix de EUR 1'782'531.19, avec échéance au 10 juin 2003, date à laquelle les USD 2'000'000.- valaient EUR 1'687'763.71, impliquant une perte de change de EUR 94'767.48; enfin, elle a été renouvelée une troisième fois le 6 juin 2003 pour le prix de EUR 1'689'902.83, avec échéance au 10 juillet 2003, date à laquelle les USD 2'000'000.- valaient EUR 1'762'891.-, impliquant un gain de change de EUR 72'988.17. Pendant cette période, la Banque a facturé à son client, à titre d'intérêts débiteurs, les montants respectifs de EUR 1'105.03, EUR 2'625.40 et EUR 417.94, soit au total EUR 4'148.37. La perte totale sur ces opérations s'établissait ainsi à EUR 261'112.56 (EUR 64'512.57 + EUR 70'672.31 + EUR 94'767.48 - EUR 72'988.17 + EUR 4'148.37).
A.g Au début du mois de mars 2003, A._ a rencontré X._ au Caire. Y._ a allégué qu'à cette occasion, X._ était informé des pertes de change résultant de l'opération à terme initiale du 5 novembre 2002 et n'avait formulé aucune critique sur le renouvellement de cette opération. De son côté, X._ a admis avoir parlé de manière générale de l'évolution des taux de change avec son gestionnaire, mais a contesté avoir abordé le sujet de l'opération d'achat/vente à terme prétendument instruite le 5 novembre 2002.
A.h Les avis de transaction liés à l'opération du 5 novembre 2002 et à ses renouvellements successifs ont été déposés dans le dossier banque restante de X._ auprès de Y._ aux dates considérées et consultées par le client le 19 juin 2003. À cette date, X._ a reproché à la Banque d'avoir effectué les opérations à terme sans instructions, relevant que sa seule demande avait été de procéder à une opération de couverture au moyen non d'un achat/vente de dollars à terme, mais d'un emprunt en euros qui devait être immédiatement converti en dollars et placé fiduciairement.
B. B.a Le 3 octobre 2005, X._ a assigné Y._ devant le Tribunal de première instance du canton de Genève en paiement notamment de la somme de EUR 261'112.56, plus intérêt à 5% l'an dès le 25 février 2003, à titre de réparation du dommage causé par la perte de change liée aux opérations non instruites des 5 novembre 2002, 5 février 2003, 5 mai 2003 et 6 juin 2003. La Banque a conclu au déboutement de X._ des fins de sa demande.
B.b Par jugement du 10 mai 2007, le Tribunal de première instance a débouté X._ des fins de sa demande, avec suite de dépens. Il a considéré en substance que l'opération d'achat/vente à terme initiée le 5 novembre 2002 ne nécessitait pas une confirmation écrite du client selon la formule « Télex-Télégramme-Téléphone or Facsimilé Instructions » signée le 27 juillet 2002 par X._. Le tribunal a relevé que la transaction du 5 novembre 2002 avait au demeurant été confirmée par la Banque au moyen d'une télécopie adressée au client, lequel n'avait pas soulevé de contestation à sa réception, et que celui-ci avait pu prendre connaissance de l'avis de transaction du 5 novembre 2002 relatif à l'opération litigieuse lors de la consultation de son dossier le 15 novembre 2002. Enfin, la convention de banque restante pouvait être opposée à X._ pour les renouvellements successifs de cette opération, qui s'inscrivaient dans la politique de placement voulue par le client.
B.c Statuant par arrêt du 18 avril 2008 sur appel de X._, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance, avec suite de dépens.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile au Tribunal fédéral, X._ conclut avec suite de frais et dépens à la réforme de cet arrêt en ce sens que Y._ soit condamné à lui payer la somme de EUR 261'112.56, plus intérêt à 5% l'an dès le 25 avril 2003. L'intimée conclut avec suite de frais et dépens au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable.

Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie demanderesse qui a succombé dans ses conclusions en paiement prises devant l'autorité précédente et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 1.1), le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Portant sur une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours est donc en principe recevable, puisqu'il a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prévues par la loi (art. 42 LTF).
1.2 Le Tribunal fédéral, qui applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) - sous réserve de l'exception prévue par l'art. 106 al. 2 LTF pour la violation de droits fondamentaux ou de dispositions de droit cantonal et intercantonal (cf. <ref-ruling> consid. 1.4.2) -, conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). La notion de faits qui ont été établis de façon manifestement inexacte, utilisée à l'art. 105 al. 2 LTF, correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (Message du Conseil fédéral concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4135, ch. 4.1.4.2; cf. <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 1.4.3, 384 consid. 4.2.2).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire, selon la jurisprudence, lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1b et les arrêts cités). Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.1).
La partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi l'appréciation des preuves respectivement l'établissement des faits par l'autorité précédente est arbitraire, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1.5; <ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 1.4.3; <ref-ruling> consid. 1.3, 286 consid. 1.4). Le Tribunal fédéral n'a pas à entrer en matière sur une argumentation appellatoire, c'est-à-dire sur celle qui ne fait que l'inviter à substituer sa propre appréciation des preuves à celle du juge du fait (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 2a), sans tenter de démontrer que le raisonnement suivi par celui-ci, ou le résultat auquel il est parvenu, est insoutenable.
2. Avant d'examiner la cause à la lumière des griefs soulevés par le recourant, il sied de rappeler les principes juridiques applicables.
2.1 L'exécution par la banque des ordres du client et la responsabilité qui peut en découler à l'égard de celui-ci est en principe soumise aux règles du mandat au sens des art. 394 ss CO (cf. arrêt 4C.97/1997 du 29 octobre 1997, reproduit in SJ 1998 p. 198, consid. 3a; Carlo Lombardini, Droit bancaire suisse, 2002, n. 39 p. 466). L'étendue du mandat est déterminée, si la convention ne l'a pas expressément fixée, par la nature de l'affaire à laquelle il se rapporte (art. 396 al. 1 CO). En l'absence d'un mandat de gestion - contrat par lequel la banque s'oblige à gérer tout ou partie de la fortune du mandant en déterminant elle-même les opérations à effectuer, dans les limites fixées par le client (arrêt 4C.97/1997 du 29 octobre 1997, reproduit in SJ 1998 p. 198, consid. 3a et les arrêts cités) -, une banque ne peut effectuer une opération déterminée sur le compte de son client que sur instructions ou avec l'accord de ce dernier. La banque qui effectue des opérations bancaires sans instructions ou sans l'accord de son client répond du dommage qui en résulte pour celui-ci, selon les règles de la gestion d'affaires sans mandat (art. 419 ss CO; Alessandro Bizzozero, Le contrat de gérance de fortune, thèse Fribourg 1992, p. 88 s.; Walter Fellmann, Berner Kommentar, Band VI/2/4, 1992, n. 39 ad art. 396 CO; Georg Gautschi, Berner Kommentar, Band VI/2/4, 1971, n. 4c ad art. 396 CO; arrêt 4C.97/1997 précité, reproduit in SJ 1998 p. 198, consid. 3a; arrêt 4C.285/1993 du 5 mai 1994, reproduit in SJ 1994 p. 729, consid. 2b/aa; cf. Daniel Guggenheim, Les contrats de la pratique bancaire suisse, 4e éd. 2000, p. 226).
2.2 Les conditions générales des banques prévoient habituellement que toute réclamation relative à une opération doit être formulée par le client au plus tard dans un certain délai - généralement un mois -après la réception de l'avis de transaction ou de l'extrait de compte correspondant, faute de quoi l'opération est réputée acceptée (Lombardini, op. cit., n. 70 p. 146; Guggenheim, op. cit., p. 127). Le Tribunal fédéral a admis la validité d'une telle disposition contractuelle, laquelle a pour effet que le client qui ne formule pas d'objection dans le délai contre une opération que la banque a effectuée sans instructions perd le droit d'agir en dommages-intérêts (arrêt 4C.194/2005 du 28 septembre 2005, consid. 3.2.3 et 3.2.4, reproduit in Pra 2006 n° 119 p. 834 et commenté par Eric Sibbern et Hans Caspar von der Crone, RSDA 78/2006 p. 70, ainsi que par Mario Giovanoli, Jurisprudence bancaire et financière 2005-2006 en Suisse (droit privé), in Journée 2006 de droit bancaire et financier, Genève 2007, p. 129 ss, 139-141; cf. aussi <ref-ruling> consid. 2c).
2.3 Les parties étaient liées par une convention de banque restante. Selon la jurisprudence, lorsqu'une banque accepte de conserver par devers elle les avis qu'elle adresse à ses clients, ses communications sont opposables à ceux-ci comme s'ils les avaient effectivement reçues (<ref-ruling> consid. 2a p. 194/195). De même, on doit admettre que le client qui adopte ce mode de communication est censé avoir pris connaissance immédiatement des avis qui lui sont adressés de cette façon (arrêt 4C.378/2004 du 30 mai 2005, reproduit in SJ 2006 I 1, consid. 2.2; arrêt 4C.116/1995 du 9 août 1995, consid. 5b, reproduit in SJ 1996 p. 193; arrêt C.357/1984 du 7 décembre 1984, consid. 2b, reproduit in SJ 1985 p. 246). En effet, l'option banque restante n'est pas utilisée dans l'intérêt de la banque mais bien dans celui du client, qui pour des raisons de discrétion n'entend pas recevoir les communications que la banque doit lui adresser (cf. Lombardini, op. cit., n. 74 p. 147). En pareil cas, la banque, qui a l'obligation de rendre compte à ses clients des opérations qu'elle accomplit pour ceux-ci, a un intérêt légitime à ce que le destinataire du courrier en banque restante soit traité de la même manière que le client qui a réellement reçu le courrier en ce qui concerne l'obligation, découlant des règles de la bonne foi, de réagir en cas de refus ou de désaccord avec une opération dont il a reçu communication. Le client qui choisit l'option banque restante prend donc un risque, dont il doit supporter les conséquences s'il se réalise (arrêt 4C.378/2004 précité, reproduit in SJ 2006 I 1, consid. 2.2; Lombardini, op. cit., n. 74 p. 147).
Cependant, en raison des conséquences choquantes que pourrait avoir, dans certaines circonstances, l'application stricte de la fiction de la réception du courrier, le juge conserve la faculté d'apprécier le cas en équité. Ainsi, une situation manifestement contraire à l'équité peut être sanctionnée au titre de l'abus de droit (art. 2 al. 2 CC). Tel est le cas lorsque la banque profite de la fiction de la réception du courrier pour agir sciemment au détriment du client, ou lorsqu'après avoir géré un compte pendant plusieurs années conformément aux instructions orales du client, la banque s'en écarte intentionnellement alors que rien ne le laissait prévoir, ou encore lorsque la banque sait que le client n'approuve pas les actes communiqués en banque restante (arrêt 4C.378/2004 précité, reproduit in SJ 2006 I 1, consid. 2.2; arrêt non publié 4C.81/2002 du 1er juillet 2002, consid. 4.3; arrêt 4C.116/1995 précité, consid. 5b, reproduit in SJ 1996 p. 193; arrêt C.357/1984 précité, consid. 2b, reproduit in SJ 1985 p. 246).
3. Il convient de distinguer la question de l'opération initiale d'achat/vente à terme du 5 novembre 2002 (cf. lettre A.d supra), qui sera examinée ci-après, de celle des renouvellements successifs de cette opération effectués les 5 février 2003, 5 mai 2003 et 6 juin 2003 (cf. lettre A.f supra), qui sera examinée dans un deuxième temps (cf. consid. 4 infra).
3.1 La Cour de justice a exposé que par le document intitulé « Télex-Télégramme-Téléphone or Facsimilé Instructions » qu'il avait signé le 27 juillet 2002, le recourant avait expressément autorisé la Banque à exécuter, sans nécessité d'une confirmation écrite, ses ordres téléphoniques; l'intimée était ainsi autorisée à lui opposer cette documentation bancaire qui avait été mise en oeuvre antérieurement aux opérations de change à terme litigieuses. Les juges cantonaux ont ensuite exposé qu'il ressortait d'une note d'entretien téléphonique conservée par la Banque, datée du 5 novembre 2002, que le recourant avait instruit ce même jour par téléphone l'intimée d'acheter à terme USD 2'000'000.- contre des euros payables à l'échéance de l'achat fixée au 7 février 2003; il ressortait également du dossier que par télécopie de ce même 5 novembre 2002, la Banque avait confirmé à son client l'exécution de cet ordre et que l'envoi de cette télécopie n'avait suscité aucune contestation de sa part. En outre, il était établi que le 15 novembre 2002, le recourant avait retiré toute sa correspondance conservée en banque restante, dont l'avis de transaction du 5 novembre 2002 concernant l'achat/vente avec échéance au 7 février 2003; là également, le recourant n'avait formulé aucune contestation sur l'opération ainsi effectuée.
3.2 Le recourant reproche à la Cour de justice une constatation arbitraire des faits à trois égards, soit pour avoir retenu: premièrement, que le recourant avait instruit le 5 novembre 2002 A._ d'effectuer une opération de hedging sous la forme d'un achat à terme de dollars contre des euros (cf. lettre A.d et consid. 3.1 supra); deuxièmement, que le 15 novembre 2002, le recourant avait retiré toute sa correspondance conservée en banque restante, dont l'avis de transaction du 5 novembre 2002 concernant l'achat/vente à terme avec échéance au 7 février 2003 (cf. lettre A.e et consid. 3.1 supra); troisièmement, que la Banque était autorisée à exécuter, sans nécessité d'une confirmation écrite, les ordres téléphoniques du recourant (cf. lettre A.b et consid. 3.1 supra).
En substance, le recourant affirme que lors de l'entretien téléphonique du 5 novembre 2002, il aurait fait part à l'intimée de son souhait d'effectuer une opération de hedging sous la forme d'un prêt en euros sur trois mois pour acheter immédiatement des dollars, et non sous la forme d'un achat à terme de dollars contre des euros; en effectuant cette opération sous cette dernière forme, l'intimée se serait écartée délibérément des instructions de son client, au préjudice de ce dernier. Le recourant conteste par ailleurs que l'avis de transaction du 5 novembre 2002 ait fait partie des documents qui lui ont été remis le 15 novembre 2002; il soutient n'avoir alors reçu que les relevés trimestriels des mois précédents. Enfin, le recourant fait valoir que le document intitulé « Télex-Télégramme-Téléphone or Facsimilé Instructions » n'avait pour vocation que d'exempter la Banque de toute responsabilité en relation avec les risques inhérents attachés aux instructions données par ses clients au moyen de modes de communication particuliers et qu'il ne réglait nullement la question du mode de communication effectivement convenu entre les parties, lesquelles auraient en l'espèce convenu de la transmission d'instructions par le moyen d'appels téléphoniques toujours suivis d'une confirmation par télécopie.
En substance, le recourant affirme que lors de l'entretien téléphonique du 5 novembre 2002, il aurait fait part à l'intimée de son souhait d'effectuer une opération de hedging sous la forme d'un prêt en euros sur trois mois pour acheter immédiatement des dollars, et non sous la forme d'un achat à terme de dollars contre des euros; en effectuant cette opération sous cette dernière forme, l'intimée se serait écartée délibérément des instructions de son client, au préjudice de ce dernier. Le recourant conteste par ailleurs que l'avis de transaction du 5 novembre 2002 ait fait partie des documents qui lui ont été remis le 15 novembre 2002; il soutient n'avoir alors reçu que les relevés trimestriels des mois précédents. Enfin, le recourant fait valoir que le document intitulé « Télex-Télégramme-Téléphone or Facsimilé Instructions » n'avait pour vocation que d'exempter la Banque de toute responsabilité en relation avec les risques inhérents attachés aux instructions données par ses clients au moyen de modes de communication particuliers et qu'il ne réglait nullement la question du mode de communication effectivement convenu entre les parties, lesquelles auraient en l'espèce convenu de la transmission d'instructions par le moyen d'appels téléphoniques toujours suivis d'une confirmation par télécopie.
3.3 3.3.1 Il n'est pas contesté que le recourant est lié par la clause, figurant dans les documents qu'il a signés lors de l'ouverture de la relation bancaire, qui stipule que toute réclamation relative à l'exécution ou l'inexécution d'un ordre quelconque doit être formulée par le client au plus tard dans un délai d'un mois après notification de l'avis de transaction ou de l'extrait de compte correspondant, faute de quoi l'opération y relative est réputée acceptée (cf. lettre A.a supra). Une telle disposition contractuelle est parfaitement valable et a pour effet que le recourant, s'il entendait formuler une objection contre une opération que la banque aurait effectuée sans instructions, aurait dû le faire au plus tard dans un délai d'un mois après avoir reçu l'avis de transaction correspondant, sous peine de perdre le droit d'agir en dommages-intérêts (cf. consid. 2.2 supra).
3.3.2 La cour cantonale a constaté que par télécopie du 5 novembre 2002, l'intimée a confirmé au recourant l'exécution de l'ordre d'achat à terme de USD 2'000'000.-, au taux de 0.9961 (correspondant à un prix de EUR 2'007'830.54), avec échéance au 7 février 2003. Le recourant ne démontre pas que ce fait aurait été établi de manière manifestement inexacte, si bien qu'il y a lieu de s'en tenir sur ce point à l'état de fait de l'arrêt attaqué (cf. consid. 1.2 supra).
3.3.3 Au surplus, l'autorité cantonale a retenu que le 15 novembre 2002, le recourant avait retiré toute sa correspondance conservée en banque restante, dont l'avis de transaction du 5 novembre 2002 concernant l'achat/vente à terme de USD 2'000'000.- avec échéance au 7 février 2003. Le recourant échoue à démontrer que cette constatation procède d'une appréciation arbitraire des preuves. En effet, il résulte des pièces produites que l'opération litigieuse exécutée le 5 novembre 2002 a été enregistrée dans le système informatique de la Banque le même jour et qu'elle fait partie des 104 documents enregistrés informatiquement entre les deux retraits de banque restante considérés. Or, par sa signature apposée le 15 novembre 2002 sur le document intitulé « retrait de courrier banque restante », le recourant a confirmé avoir bien reçu, à cette date, 104 documents sous pli fermé. Le témoin B._, qui était à l'époque cadre dans le département de supports informatiques de l'intimée, a confirmé que le document relatif à l'opération litigieuse avait été stocké dans le dossier banque restante du recourant le 5 novembre 2002 et qu'il figurait parmi les documents visés par le « retrait de courrier banque restante » signé le 15 novembre 2002. Dans ces conditions, les juges cantonaux pouvaient sans arbitraire tenir pour établi que le recourant avait bel et bien reçu le 15 novembre 2002 l'avis de transaction du 5 novembre 2002 relatif à l'opération litigieuse.
3.3.4 Il doit ainsi être tenu pour constant (cf. art. 105 LTF) que le recourant a reçu le 5 novembre 2002 une télécopie lui confirmant l'exécution de l'opération d'achat/vente à terme de USD 2'000'000.- avec échéance au 7 février 2003 et qu'il a en outre reçu le 15 novembre 2002 sous pli fermé l'avis relatif à cette transaction. N'ayant formulé aucune réclamation dans le mois qui a suivi l'une et l'autre de ces communications, il est réputé avoir accepté l'opération litigieuse et ne peut agir en dommages-intérêts en relation avec celle-ci.
3.4 Dans ces circonstances, il est superfétatoire de se pencher sur les autres griefs soulevés par le recourant contre les constatations de fait de l'arrêt attaqué (cf. consid. 3.2 supra). En effet, même en admettant que lors de la conversation téléphonique du 5 novembre 2002, le recourant n'ait pas donné à l'intimée l'instruction d'effectuer l'opération de hedging sous la forme d'un achat à terme de dollars contre des euros (cf. sur ce point consid. 3.5 infra), et même à supposer que les parties aient convenu que tous les ordres téléphoniques devaient être confirmés par télécopie, l'opération litigieuse est réputée avoir été acceptée par le recourant dès lors que celui-ci n'a formulé aucune objection en temps utile après que l'exécution de cette transaction lui eut été confirmée par télécopie le 5 novembre 2005, ni après que l'avis y relatif lui eut été remis en mains propres dix jours plus tard.
3.4 Dans ces circonstances, il est superfétatoire de se pencher sur les autres griefs soulevés par le recourant contre les constatations de fait de l'arrêt attaqué (cf. consid. 3.2 supra). En effet, même en admettant que lors de la conversation téléphonique du 5 novembre 2002, le recourant n'ait pas donné à l'intimée l'instruction d'effectuer l'opération de hedging sous la forme d'un achat à terme de dollars contre des euros (cf. sur ce point consid. 3.5 infra), et même à supposer que les parties aient convenu que tous les ordres téléphoniques devaient être confirmés par télécopie, l'opération litigieuse est réputée avoir été acceptée par le recourant dès lors que celui-ci n'a formulé aucune objection en temps utile après que l'exécution de cette transaction lui eut été confirmée par télécopie le 5 novembre 2005, ni après que l'avis y relatif lui eut été remis en mains propres dix jours plus tard.
3.5 3.5.1 Le recourant soutient que la Banque a violé son devoir d'information respectivement de conseil en lui proposant d'effectuer l'opération de hedging visée par l'entretien téléphonique du 5 novembre 2002 non pas sous la forme souhaitée d'un prêt en euros sur trois mois pour acheter immédiatement des dollars, mais sous la forme d'un achat à terme de dollars contre des euros, alors que cette opération n'était pas appropriée pour atteindre les buts recherchés par le recourant et que la banque ne lui avait jamais expliqué les risques importants liés aux opérations de change à terme. Selon le recourant, la cour cantonale aurait ainsi violé le droit fédéral en omettant de constater que la Banque avait failli à ses devoirs découlant des art. 397 et 398 CO.
3.5.2 La Cour de justice a retenu que l'opération consistant à acheter à terme des dollars contre des euros - forme proposée par l'intimée, qui a toujours soutenu qu'il s'agissait d'une solution moins onéreuse pour le recourant dès lors qu'elle n'entraînait pas de perception par la Banque d'intérêts débiteurs - était équivalente à celle consistant à emprunter des euros pour acheter immédiatement des dollars, au regard des buts poursuivis par le recourant qui souhaitait se prémunir, dans le cadre de son activité commerciale, contre une hausse du dollar par rapport à l'euro.
3.5.3 Le recourant ne démontre pas que cette constatation soit manifestement inexacte. Il soutient, exemples à l'appui, que si les méthodes sont effectivement équivalentes dans l'hypothèse où l'opération commerciale sous-jacente a bien lieu, la méthode du prêt en euros serait plus avantageuse en cas d'annulation de l'opération commerciale, car dans cette hypothèse, le recourant n'aurait pas besoin d'utiliser cet argent et pourrait prendre la décision de rembourser le prêt en tout temps en fonction de l'évolution du taux de change. Ce faisant, le recourant prend toutefois en compte de pures spéculations sur l'évolution du taux de change au-delà de la date qui est seule déterminante, soit celle de l'échéance du prêt en euros à trois mois respectivement de l'achat à terme de dollars à trois mois. Or si l'opération commerciale est annulée et que le recourant ne reçoit pas le paiement en euros de la part de l'acheteur, il se retrouve à l'échéance avec un dépôt en dollars ne couvrant pas le prêt en euros et donc avec la même perte de change qu'en cas d'achat à terme de dollars pour la même échéance.
3.5.4 Il ne résulte ainsi pas de l'état de fait déterminant (art. 105 LTF) que la Banque ait violé ses obligations envers le recourant en effectuant l'opération de couverture sous la forme d'un achat à terme de dollars plutôt que sous la forme d'un prêt en euros. Au surplus, on ne voit pas que l'intimée ait eu l'obligation d'attirer expressément l'attention du recourant, homme d'affaires expérimenté, sur les risques liés à l'opération d'achat à terme de dollars, risques qui étaient d'ailleurs équivalents à ceux du prêt en euros.
4. 4.1 L'opération initiale d'achat/vente à terme de USD 2'000'000.- effectuée le 5 novembre 2002 a été renouvelée par la Banque pour le compte du recourant - l'opération arrivée à échéance étant liquidée par le paiement de la différence entre le taux de change de l'achat à terme et le taux au jour de l'échéance - une première fois le 5 février 2003 avec échéance au 7 mai 2003, ce qui a généré une perte de change de EUR 70'672.31, puis une seconde fois le 5 mai 2003 avec échéance au 10 juin 2003, ce qui a généré une perte de change de EUR 94'767.48, et une troisième fois le 6 juin 2003 avec échéance au 10 juillet 2003, ce qui a généré un gain de change de EUR 72'988.17 (cf. lettre A.f supra).
La Cour de justice a exposé qu'il était peu vraisemblable que, lors de leurs entretiens tenus en mars 2003 au Caire (cf. lettre A.g supra), le recourant et son gestionnaire n'aient pas abordé la question de la perte de change substantielle résultant de la première opération de change à terme échue le 7 février 2003 et de la suite à donner à cette opération de couverture déficitaire. En outre, à supposer que les deux premiers renouvellements des 5 février et 5 mai 2003, pour les échéances respectives des 7 mai et 10 juin 2003, aient été effectués sans instructions du recourant, ces opérations étaient conformes à ses intérêts et ne présentaient aucun caractère irrégulier ou insolite, dès lors qu'elles s'inscrivaient dans la suite logique de l'opération initiale du 5 novembre 2002 instruite par le recourant. Les juges cantonaux ont considéré au surplus que ces transactions de renouvellement ne pouvaient constituer des opérations que le client aurait refusées et pour lesquelles les fictions de communication en banque restante des avis de transaction, et d'acceptation tacite desdites transactions faute de contestation dans le délai utile, seraient inopérantes. Comme les avis de transactions liés aux renouvellements des 5 février et 5 mai 2003 avaient été notifiés en banque restante aux dates correspondantes et n'avaient pas été contestés dans le délai d'un mois dès leur communication en banque restante, ils étaient réputés acceptés et ratifiés par le recourant, lequel était forclos à vouloir être indemnisé des pertes de change résultant de ces opérations. Quant au dernier renouvellement du 6 juin 2003, avec échéance au 10 juillet 2003, il avait bien été contesté dans le délai utile d'un mois, mais s'était traduit par un gain et non par une perte de change.
La Cour de justice a exposé qu'il était peu vraisemblable que, lors de leurs entretiens tenus en mars 2003 au Caire (cf. lettre A.g supra), le recourant et son gestionnaire n'aient pas abordé la question de la perte de change substantielle résultant de la première opération de change à terme échue le 7 février 2003 et de la suite à donner à cette opération de couverture déficitaire. En outre, à supposer que les deux premiers renouvellements des 5 février et 5 mai 2003, pour les échéances respectives des 7 mai et 10 juin 2003, aient été effectués sans instructions du recourant, ces opérations étaient conformes à ses intérêts et ne présentaient aucun caractère irrégulier ou insolite, dès lors qu'elles s'inscrivaient dans la suite logique de l'opération initiale du 5 novembre 2002 instruite par le recourant. Les juges cantonaux ont considéré au surplus que ces transactions de renouvellement ne pouvaient constituer des opérations que le client aurait refusées et pour lesquelles les fictions de communication en banque restante des avis de transaction, et d'acceptation tacite desdites transactions faute de contestation dans le délai utile, seraient inopérantes. Comme les avis de transactions liés aux renouvellements des 5 février et 5 mai 2003 avaient été notifiés en banque restante aux dates correspondantes et n'avaient pas été contestés dans le délai d'un mois dès leur communication en banque restante, ils étaient réputés acceptés et ratifiés par le recourant, lequel était forclos à vouloir être indemnisé des pertes de change résultant de ces opérations. Quant au dernier renouvellement du 6 juin 2003, avec échéance au 10 juillet 2003, il avait bien été contesté dans le délai utile d'un mois, mais s'était traduit par un gain et non par une perte de change.
4.2 4.2.1 Le recourant fait d'abord valoir que les avis relatifs aux transactions litigieuses étaient conservés sous forme électronique jusqu'à ce que le client vienne retirer son courrier placé en banque restante, de sorte que ces avis de transaction ne seraient pas entrés dans sa sphère d'influence avant leur impression par la banque lors de sa visite le 19 juin 2003 et que le délai de trente jours pour contester les opérations n'aurait donc commencé à courir qu'à cette date.
4.2.2 Ce grief est dénué de pertinence. Que les avis de transaction et extraits de compte conservés en banque restante à la demande du client le soient sous forme électronique plutôt que sous forme de documents imprimés jusqu'au moment où le client vient les retirer ne saurait avoir d'incidence sur la date à laquelle ils sont réputés valablement notifiés selon la convention de banque restante.
4.2.2 Ce grief est dénué de pertinence. Que les avis de transaction et extraits de compte conservés en banque restante à la demande du client le soient sous forme électronique plutôt que sous forme de documents imprimés jusqu'au moment où le client vient les retirer ne saurait avoir d'incidence sur la date à laquelle ils sont réputés valablement notifiés selon la convention de banque restante.
4.3 4.3.1 Le recourant invoque également la jurisprudence selon laquelle une banque ne saurait s'abriter derrière la fiction de la réception du courrier conservé en banque restante lorsqu'elle a profité de cette fiction pour agir sciemment au détriment du client, lorsqu'après avoir géré un compte pendant plusieurs années conformément aux instructions orales du client, elle s'en est écartée intentionnellement alors que rien ne le laissait prévoir, ou lorsqu'elle savait que le client n'approuvait pas les actes communiqués en banque restante (cf. consid. 2.3 supra). Il soutient que l'intimée aurait décidé de renouveler l'opération de change à terme initiale du 5 novembre 2002 sans avoir reçu aucune instruction dans ce sens; en outre, l'intimée savait que l'opération de couverture souhaitée par le client ne portait que sur la période novembre 2002-février 2003 et elle savait donc que le recourant n'aurait jamais accepté les opérations suivantes.
4.3.2 Comme on l'a vu, il doit être tenu pour constant que le recourant a à tout le moins ratifié tacitement l'opération de change à terme initiale du 5 novembre 2002, après avoir pris connaissance par télécopie le même jour, puis par remise en mains propres le 15 novembre 2002, de l'avis de transaction correspondant (cf. consid. 3.3.2 à 3.3.4 supra). En outre, la cour cantonale a retenu, sur la base notamment de l'interrogatoire de A._, que lorsque le recourant a rencontré celui-ci au Caire au début du mois de mars 2003, il était informé des pertes de change résultant de l'opération à terme initiale du 5 novembre 2002 et n'avait formulé aucune critique sur le renouvellement de cette opération; le recourant ne démontre pas que les faits auraient sur ce point été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit, de sorte qu'il y a lieu sur ce point également de s'en tenir aux constatations de fait de l'autorité précédente. Dans ces circonstances, on ne voit pas comment on pourrait retenir qu'en procédant aux renouvellements des 5 février et 5 mai 2003, qui s'inscrivaient dans la logique de l'opération initiale dont on rappelle qu'elle avait été en tous les cas ratifiée tacitement par le recourant, la Banque aurait sciemment agi au détriment de son client ou dû savoir que celui-ci n'approuverait pas les actes communiqués en banque restante. On ne voit ainsi pas trace d'un abus de droit qui commanderait en l'espèce d'écarter la fiction de notification en banque restante.
5. Il résulte de ce qui précède que le recours, mal fondé, doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera à l'intimée une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1, 2 et 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 7'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 8'000 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 23 septembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Abrecht