Faits:
A. A._ né en 1956, a travaillé en qualité d'aide-ferblantier au service de la société X._ et exerçait, en outre, une activité accessoire de nettoyeur au service de l'entreprise Y._. A ce double titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 30 août 2002, alors que l'assuré était à l'arrêt au volant de sa voiture, celle-ci a été percutée à l'arrière par un autre véhicule. L'intéressé a subi des contusions cervicales et au genou droit.
La CNA a pris en charge le cas et a ordonné un séjour à l'Hôpital Z._ du 11 mars au 9 avril 2003. Dans un rapport du 2 mai 2003, les médecins de cet établissement ont posé le diagnostic d'algodystrophie stade II du genou droit, de contusion du genou droit (lésions cartilagineuses multiples du condyle fémoral interne et déchirure du ménisque interne du genou droit) et de méniscectomie partielle interne du genou droit, de diabète mellitus non-insulino-dépendant et de cervicarthrose C5-C6 et C6-C7.
La CNA a recueilli divers renseignements médicaux. En particulier, elle a requis l'avis du docteur H._, médecin d'arrondissement (rapport d'examen médical final du 15 janvier 2004). Par courrier du 6 juillet 2004, elle a informé l'assuré qu'elle mettait fin au paiement des soins médicaux et de l'indemnité journalière avec effet au 31 juillet 2004 et qu'elle statuerait sur son droit éventuel à une rente d'invalidité et à une indemnité pour atteinte à l'intégrité.
Par décision du 18 avril 2005, confirmée sur opposition le 3 novembre suivant, elle a alloué à l'intéressé, dès le 1er août 2004, une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 23 %, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 5 %.
B. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition, le Tribunal des assurances du canton de Vaud (depuis le 1er janvier 2009 : la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal) a requis le dossier constitué par l'assurance-invalidité.
Par décision du 27 mars 2007, confirmée sur opposition par jugement incident du 3 juillet 2007, la juridiction cantonale a rejeté la demande d'expertise présentée par l'assuré.
Après avoir entendu divers témoins, elle a rejeté le recours dont elle était saisie par jugement du 27 novembre 2008.
C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il requiert l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle complète l'instruction en mettant en oeuvre une expertise afin d'établir le taux d'invalidité, ainsi que celui de l'atteinte à l'intégrité en tenant compte de l'évolution défavorable de son diabète.
L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le taux de la rente d'invalidité de l'assurance-accidents allouée au recourant à partir du 1er août 2004, ainsi que sur celui de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par l'autorité précédente (<ref-law>).
2. Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables en l'occurrence, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 La juridiction cantonale est d'avis que la capacité de travail de l'assuré est entière dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles, soit dans une activité légère et sédentaire permettant de travailler dans des positions alternées. Elle s'est fondée pour cela sur les conclusions du docteur H._ selon lesquelles il n'existait pas d'éléments objectivables du point de vue médical permettant d'expliquer les douleurs et les limitations alléguées en relation avec le genou droit (rapport du 15 janvier 2004). Les premiers juges ont considéré que cette appréciation médicale avait pleine valeur probante et qu'elle n'était pas remise en cause par les autres avis médicaux versés au dossier. En ce qui concerne le diabète apparu dix ans environ avant l'accident, la juridiction cantonale a considéré que cette affection n'est pas invalidante et qu'au surplus, il ne ressort pas des rapports du docteur M._, spécialiste en médecine interne et médecin traitant de l'assuré (rapports des 9 mai 2006, 30 mars et 3 septembre 2007), que son dérèglement et les soins continus qu'il nécessite seraient dus à l'accident.
3.2 Par un premier moyen, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir violé son obligation d'établir les faits déterminants pour la solution du litige (art. 61 let. c LPGA) en ne donnant pas suite à sa requête tendant à la mise en oeuvre d'une expertise médicale destinée à connaître l'évolution de son diabète, ainsi que son influence sur sa capacité de travail.
Si l'administration ou le juge, se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves fournies par les investigations auxquelles ils doivent procéder d'office, sont convaincus que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation, il est superflu d'administrer d'autres preuves (appréciation anticipée des preuves; Kieser, Das Verwaltungsverfahren in der Sozialversicherung, p. 212, n° 450; Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungs-rechtspflege des Bundes, 2e éd., p. 39, n° 111 et p. 117, n° 320; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2e éd., p. 274; cf. aussi <ref-ruling> consid. 4a p. 469, 122 III 219 consid. 3c p. 223, 120 Ib 224 consid. 2b p. 229, 119 V 335 consid. 3c p. 344 et la référence). Une telle manière de procéder ne viole pas le droit d'être entendu selon l'art. 29 al. 2 Cst. (SVR 2001 IV n° 10 p. 28 consid. 4b), la jurisprudence rendue sous l'empire de l'art. 4 a Cst. étant toujours valable (<ref-ruling> consid. 4b p. 94, 122 V 157 consid. 1d p. 162 et l'arrêt cité).
En l'espèce, le recourant ne fait valoir aucun moyen de nature à démontrer que d'autres mesures probatoires pouvaient modifier l'appréciation des premiers juges. Il se contente en effet de se référer à certains témoignages présentés devant la juridiction cantonale au sujet de divers troubles (blocages du genou, douleurs au genou et au dos, troubles du sommeil et importants moments de découragement), ainsi qu'à l'avis du docteur M._ selon lequel l'évolution défavorable du diabète est en relation avec un manque d'activités physiques. Or, rien ne permet de soupçonner un lien entre ce manque d'activités physiques et l'accident, du moment que, selon le docteur H._ - dont les conclusions ne sont pas remises en cause sur ce point par les autres médecins consultés (cf. rapports des docteurs V._, spécialiste en chirurgie [du 4 janvier 2006], et B._, spécialiste en chirurgie orthopédique [du 11 juin 2007]) - il n'y a pas d'éléments objectivables du point de vue médical permettant d'expliquer les importantes limitations alléguées en relation avec le genou droit. Aussi, la juridiction cantonale était-elle fondée, sur la base des conclusions du docteur H._, à se dispenser d'administrer d'autres preuves au sujet de l'état de santé du recourant et le grief de celui-ci apparaît mal fondé.
3.3 Par un deuxième moyen, le recourant conteste le taux d'invalidité fixé par l'intimée et confirmé par la juridiction cantonale en alléguant qu'aucune activité ressortant des descriptions de poste de travail (DPT) retenues par la CNA ne convient à son état de santé.
Ce moyen est infondé. Outre le fait que selon le docteur H._, cinq de ces DPT sont compatibles avec l'état de santé de l'assuré, il apparaît que l'évaluation du taux d'invalidité sur la base des données statistiques ressortant des Enquêtes sur la structure des salaires (ESS) de l'Office fédéral de la statistique n'est pas plus favorable au recourant. Renvoi soit à cet égard au considérant 6b du jugement entrepris.
4. La juridiction cantonale a confirmé le taux d'atteinte à l'intégrité de 5 % en se fondant sur l'avis du docteur H._ (rapport du 15 janvier 2004), selon lequel l'état du genou droit correspond, du point de vue fonctionnel, à une gonarthrose débutante. Dans la mesure où il n'existe pas de motif objectif de remettre en cause cette appréciation médicale, il n'y a pas lieu de modifier ce taux, comme le voudrait le recourant.
5. Vu ce qui précède, il apparaît, sans qu'une expertise médicale complémentaire soit nécessaire, que le taux de la rente d'invalidité et celui de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité ont été correctement fixés dans le cas particulier. Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
6. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 29 octobre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd