Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Raubes, Freiheitsberaubung und mehrfachen Diebstahls. Der Beschuldigte wurde am 14. Mai 2014 festgenommen und mit Verfügung des Zwangsmassnahmengerichtes des Kantons Aargau vom 17. Mai 2014 in Untersuchungshaft versetzt. Ein vom Beschuldigten am 24. März 2015 erhobenes Haftentlassungsgesuch wies das Zwangsmassnahmengericht am 31. März 2015 ab. Am 9. April 2015 wurde der Beschuldigte aus der Untersuchungshaft in den vorzeitigen Strafvollzug versetzt. Am 17. April 2015 verfügte die Staatsanwaltschaft seine Rückversetzung in die Untersuchungshaft.
B.
Der Beschuldigte erhob am 13. April 2015 Beschwerde gegen die Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 31. März 2015. Mit Entscheid vom 5. Mai 2015 hiess das Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, die Beschwerde teilweise gut. Im Dispositiv seines Entscheides wies es die Staatsanwaltschaft (gestützt auf <ref-law>) an, die noch ausstehenden Untersuchungshandlungen bis zum 30. Juni 2015 zum Abschluss zu bringen. In seinen Erwägungen stellte es eine Verletzung des Beschleunigungsgebotes in Haftsachen fest. Ausserdem stellte es fest, dass die am 17. April 2015 erfolgte Rückversetzung des Beschwerdeführers in die Untersuchungshaft nichtig sei und er sich "formell nach wie vor im vorzeitigen Strafvollzug" befinde. Im Übrigen, insbesondere hinsichtlich des vom Beschuldigten gestellten Haftentlassungsgesuchs, wies es die Beschwerde ab.
C.
Gegen den Entscheid des Obergerichtes vom 5. Mai 2015 gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 3. Juni 2015 an das Bundesgericht. Er beantragte unter anderem seine Haftentlassung. Mit Urteil vom 1. Juli 2015 hiess das Bundesgericht die Beschwerde teilweise gut. Es ergänzte Ziffer 1 des Entscheiddispositives vom 5. Mai 2015 des Obergerichts mit der Feststellung, dass die Staatsanwaltschaft das Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt hatte. Den Haftentlassungsantrag wies das Bundesgericht ab (Verfahren 1B_203/2015).
D.
Am 2. Juli 2015 stellte der Beschuldigte ein weiteres Haftentlassungsgesuch, welches das kantonale Zwangsmassnahmengericht am 13. Juli 2015 abwies. Eine vom Beschuldigten am 20. Juli 2015 dagegen erhobene Beschwerde (inklusive Haftentlassungsgesuch) wies das Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, mit Entscheid vom 14. August 2015 ab. Gleichzeitig stellte das Obergericht (in den Erwägungen und im Entscheiddispositiv) fest, dass die Staatsanwaltschaft das Beschleunigungsgebot in Haftsachen erneut verletzt habe.
E.
Gegen den Entscheid des Obergerichts vom 14. August 2015 gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 3. September (Posteingang: 7. September) 2015 nochmals an das Bundesgericht. Er beantragt neben der Aufhebung des angefochtenen Entscheides seine sofortige Haftentlassung.
Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet. Die Staatsanwaltschaft nimmt in ihrer verspäteten Eingabe vom 16. September 2015 ebenfalls keine inhaltliche Stellungnahme zur Beschwerde. Sie verweist auf die Akten bzw. den angefochtenen Entscheid.

Erwägungen:
1.
Das Recht, Haftentlassungsgesuche zu stellen und eine richterliche Haftprüfung zu erwirken, steht auch Beschuldigten im vorzeitigen Strafvollzug zu (<ref-law> i.V.m. Art. 233 und Art. 236 StPO; <ref-ruling> E. 4.1 S. 194; vgl. MATTHIAS HÄRRI, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl., Basel 2014, Art. 236 N. 20; MARC FORSTER, ebenda, Art. 233 N. 1). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine erneute Verletzung des Beschleunigungsgebotes in Haftsachen. Entgegen den Weisungen des Obergerichtes und des Bundesgerichtes seien Untersuchungshandlungen, welche bis spätestens 30. Juni 2015 hätten erfolgen müssen, bis heute nicht durchgeführt worden. Er beantragt seine sofortige Haftentlassung. Das kantonale Obergericht und die Staatsanwaltschaft bestreiten die Sachdarstellung des Beschwerdeführers nicht. Sie haben im Verfahren vor Bundesgericht auf (inhaltliche) Stellungnahmen verzichtet. Auch im kantonalen Beschwerdeverfahren hatte sich die Staatsanwaltschaft nicht vernehmen lassen.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> und Art. 5 Ziff. 3 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich abgeurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Sie liegt dann vor, wenn die Haftfrist die mutmassliche Dauer der zu erwartenden freiheitsentziehenden Sanktion übersteigt (vgl. auch <ref-law>). Bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit der Haftdauer ist namentlich der Schwere der untersuchten Straftaten Rechnung zu tragen. Der Richter darf die Haft nur so lange erstrecken, als sie nicht in grosse zeitliche Nähe der (im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung) konkret zu erwartenden Dauer der freiheitsentziehenden Sanktion rückt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 275; <ref-ruling> E. 4.1 S. 170; 270 E. 3.4.2 S. 281; <ref-ruling> E. 4 S. 27 f.; je mit Hinweisen).
3.2. Im Weiteren kann eine Haft die bundesrechtskonforme Dauer auch dann überschreiten, wenn das Strafverfahren nicht genügend vorangetrieben wird (vgl. Art. 31 Abs. 3-4 BV und <ref-law>). Eine Haftentlassung kommt allerdings nur bei besonders schwer wiegenden bzw. häufigen Versäumnissen in Frage, die erkennen lassen, dass die verantwortlichen Behörden nicht gewillt oder nicht in der Lage sind, dem Beschleunigungsgebot in Haftsachen Rechnung zu tragen. Die Frage, ob eine Haftdauer als übermässig bezeichnet werden muss, ist aufgrund der konkreten Verhältnisse des einzelnen Falles zu beurteilen. Eine Verletzung des Beschleunigungsgebotes ist im Dispositiv des Urteils festzustellen. Auch ist ihr bei der Auferlegung von Verfahrenskosten angemessen Rechnung zu tragen. Der Haftrichter kann nötigenfalls prozessuale Anordnungen erlassen bzw. Fristen für ausstehende Verfahrenshandlungen ansetzen (<ref-ruling> E. 3.1, 3.2.2-3.2.3 S. 96-98; <ref-ruling> E. 2.3 S. 278; <ref-ruling> E. 4.1 S. 170 f.; 270 E. 3.4.2 S. 281; <ref-ruling> E. 4.1 S. 27 f.; <ref-ruling> E. 4.4 S. 154; <ref-ruling> E. 5d S. 92 f.; Urteile 1B_291/2014 vom 8. September 2014 E. 3.2; 1B_41/2013 vom 27. Februar 2013, E. 3.7 und E. 4; vgl. zu dieser Praxis auch Forster, a.a.O, Art. 226 N. 3).
3.3. Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, Art. 31 BV) wegen strafprozessualer Haft erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung der StPO frei. <ref-law> gelangt bei strafprozessualen Zwangsmassnahmen nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2.2 S. 60; <ref-ruling> E. 1.2 S. 189; <ref-ruling> E. 2 S. 125; 340 E. 2.4 S. 346). Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 73 f.).
4.
Den Haftprüfungsentscheiden des Obergerichtes vom 5. Mai und 14. August 2015 sowie dem Urteil des Bundesgerichtes vom 1. Juli 2015 (Verfahren 1B_203/2015) lässt sich Folgendes entnehmen:
4.1. In seinem Haftprüfungsentscheid vom 5. Mai 2015 stellte das kantonale Obergericht den dringenden Tatverdacht eines Verbrechens oder Vergehens fest. Der Beschwerdeführer habe die mutmassliche Geschädigte, zu der er vorher eine sexuelle Beziehung unterhalten habe, am 14. Mai 2014 in einer Tiefgarage abgepasst und unter einem Vorwand dazu bewogen, ihn in ihr Auto einsteigen zu lassen bzw. bis zum Bahnhof Rheinfelden mitzunehmen. Während der Fahrt habe er ihr befohlen, einen anderen Weg einzuschlagen und sich bei ihrem Arbeitgeber als krank abzumelden. Weiter habe er sie aufgefordert, ihm bis am nächsten Morgen Fr. 5'000.-- zu beschaffen. Auf ihre Mitteilung, wonach sie kein Geld besitze, habe er geäussert, er werde ihr Auto als Sicherheit behalten. Auch habe er ihr angedroht, sie und ihre Familie umzubringen, falls sie jemandem davon erzählen würde. Er habe ihr die Fahrtrichtung angewiesen und gesagt, dass sie anschliessend den Zug benutzen könne. Ausserdem habe er von einer Geiselnahme gesprochen. Die Geschädigte sei zu einer Tankstelle abgebogen und habe dort zu fliehen versucht. Der Beschwerdeführer habe sie an den Haaren zurückgerissen, ihr die Hand auf den Mund gedrückt und versucht, sie am Verlassen des Fahrzeugs zu hindern. Dabei habe er sie zudem in die Nase gebissen. Schliesslich habe sie sich von ihm losreissen können, worauf sie schreiend zum Tankstellenshop gerannt sei. Angestellte das Ladens seien ihr zur Hilfe geeilt. Der Beschwerdeführer habe ihr Auto entwendet und sei damit an einen anderen Ort gefahren.
4.2. Schon in seinem Haftprüfungsentscheid vom 5. Mai 2015 erwog das Obergericht, es bezweifle, ob die Staatsanwaltschaft dem Beschleunigungsgebot in Haftsachen die gebotene Beachtung entgegenbrachte. Zu Beginn der Strafuntersuchung habe die Staatsanwaltschaft (in ihrem Haftanordnungsbegehren vom 16. Mai 2014) dargelegt, dass sie beabsichtige, die sichergestellten Daten der beiden beschlagnahmten Mobiltelefone auszuwerten, eine DNA-Analyse der Bisswunde bei der Geschädigten vorzunehmen, die Videoüberwachungsdaten der Tankstelle sowie allfällige Spuren im Fahrzeug zu sichern, den Arbeitgeber der Geschädigten zu befragen und den Beschwerdeführer danach mit den erhobenen Beweisen zu konfrontieren. In ihrem Haftverlängerungsgesuch vom 11. Juli 2014 habe die Staatsanwaltschaft ausserdem ein Editionsgesuch bei einer Online-Auktionsplattform erwähnt sowie die Ermittlung und Einvernahme eines Angehörigen des Beschuldigten, von Mitarbeitenden der Tankstelle und eines im Tatzeitpunkt anwesenden Automobilisten. Im Haftverlängerungsgesuch vom 7. Oktober 2014 habe sie darauf hingewiesen, dass der Beschwerdeführer "immer neue Versionen" bezüglich des Tatgeschehens vorgebracht habe. Die Beweiserhebungen bei der Online-Auktionsplattform stünden mit den Aussagen des Beschwerdeführers nicht in Übereinstimmung. Unterdessen hätten der Angehörige, die Tankstellen-Angestellten und der Automobilist ermittelt und befragt werden können. Der Beschwerdeführer sei mit ihren Aussagen konfrontiert worden. Ausstehend gewesen sei damals noch seine Konfrontation mit der Geschädigten sowie die Schlusseinvernahme. Auch der ausländerrechtliche Status des Beschwerdeführers sei zu überprüfen gewesen, weshalb das Migrationsamt angefragt worden sei. Es sei ausserdem eine Gerichtsstandsanfrage ausstehend gewesen, mit dem Antrag auf Verfahrensübernahme durch die Bundesrepublik Deutschland. Der Beschwerdeführer habe sich gegenüber den ermittelnden Polizeiorganen "aggressiv, aufgebracht und verbal ausfällig" verhalten.
4.3. In ihrem Haftverlängerungsgesuch vom 5. Dezember 2014 habe die Staatsanwaltschaft dargelegt, sie habe die vom Obergericht angeordnete Konfrontation vor Ablauf der verfügten Frist angesetzt und kurz nach Ablauf der Frist durchführen lassen. Der Tatverdacht des Raubes und der Freiheitsberaubung habe sich dabei erhärtet. Wegen den einschlägigen Vorstrafen des Beschwerdeführers, seinen in Deutschland und der Schweiz neu untersuchten Delikten und seinem aggressiven Verhalten gegenüber Mitgefangenen und Ermittlungsorganen (Beleidigungen, Drohungen und Tätlichkeiten) sei eine psychiatrische Begutachtung des Beschuldigten erforderlich gewesen. Weitere Ermittlungsergebnisse bezüglich sichergestellter Bargeldbeträge und Mobiltelefone seien noch ausstehend gewesen. Diesbezüglich sei am 2. Oktober 2014 ein polizeilicher Zwischenbericht erfolgt. In ihrem Haftverlängerungsgesuch vom 7. Januar 2015 habe die Staatsanwaltschaft erneut auf die Widersetzlichkeit bzw. mutmassliche Gefährlichkeit des Beschwerdeführers hingewiesen, welche durch einen Sachverständigen abzuklären sei.
4.4. In ihrer Stellungnahme vom 26. März 2015 (zum damaligen Haftentlassungsantrag) habe die Staatsanwaltschaft dargelegt, dass das psychiatrische Gutachten "mit Vorankündigung mit Verfügung vom 23. Januar 2015 in die Wege geleitet" worden sei. In ihrer Beschwerdeantwort vom 21. April 2015 habe sie darauf hingewiesen, dass sie mit der Staatsanwaltschaft München I in mündlichem Kontakt gestanden sei zur Abklärung einer allfälligen Verfahrensübernahme durch die deutsche Justiz. Da sich die definitive Antwort der deutschen Behörden verzögert habe, sei das Gutachten unterdessen am 20. April 2015 in Auftrag gegeben worden.
4.5. Das Obergericht erwog in seinem Haftprüfungsentscheid vom 5. Mai 2015 weiter, dass die Konfrontationseinvernahme am 3. Dezember 2014 verspätet stattgefunden habe. Bereits mit Haftprüfungsentscheid vom 31. Oktober 2014 habe es eine Rechtsverzögerung (betreffend die damals ausstehende Konfrontationseinvernahme) festgestellt. Anstatt wie angeordnet bis Ende November 2014, sei die Konfrontation erst am 3. Dezember 2014 erfolgt. Als wesentliche Verfahrensschritte im Untersuchungsverfahren seien am 5. Mai 2015 nur noch die psychiatrische Begutachtung und die Klärung von Zuständigkeitsfragen mit den deutschen Behörden im Raum gestanden. Die Staatsanwaltschaft habe nicht nachvollziehbar dargelegt, weshalb sie die Begutachtung erst am 5. Dezember 2014 (erstmals) für notwendig erachtet und erst am 20. April 2015 in Auftrag gegeben habe.
4.6. Zwar hätten diese Umstände nach Ansicht des Obergerichtes (am 5. Mai 2015) "noch nicht darauf schliessen" lassen, "dass die von der Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg zu verantwortende Verfahrenszögerung darauf zurückzuführen" wäre, dass "sie nicht gewillt oder nicht in der Lage" wäre, "das Verfahren mit der gebotenen Beschleunigung voranzutreiben und zum Abschluss zu bringen, weshalb die Rechtmässigkeit des Freiheitsentzuges dadurch noch nicht in Frage gestellt" gewesen sei. Es sei jedoch angebracht gewesen, die Staatsanwaltschaft "gestützt auf die festzustellende Rechtsverzögerung und <ref-law> anzuweisen, bis spätestens 30. Juni 2015 die Zuständigkeitsfrage zu klären, das psychiatrische Gutachten erstellen zu lassen und die Schlusseinvernahme durchzuführen". Im Dispositiv des Entscheides vom 5. Mai 2015 wies das Obergericht die Staatsanwaltschaft daher ausdrücklich an, die noch ausstehenden Untersuchungshandlungen bis spätestens 30. Juni 2015 zum Abschluss zu bringen. Ausserdem berücksichtigte es die teilweise Gutheissung der Beschwerde (betreffend Beschleunigungsgebot) bei der Kostenauflage. Das Haftentlassungsgesuch des Beschuldigten wies es ab.
4.7. An die Adresse der Staatsanwaltschaft führte das Obergericht in seinem Entscheid vom 5. Mai 2015 (E. 5.8, S. 16) Folgendes aus: "Sie" (die Staatsanwaltschaft) "ist darauf hinzuweisen, dass die Nichteinhaltung dieser Frist" (bis spätestens 30. Juni 2015) "ohne stichhaltige Begründung vermuten liesse, dass sie nicht gewillt oder nicht in der Lage ist, das Verfahren mit der gebotenen Beschleunigung voranzutreiben. Eine allfällige Nichteinhaltung dieser Frist liesse sich insbesondere nicht mit dem blossen Hinweis rechtfertigen, dass die Gründe hierfür ausserhalb der Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg zu suchen sind, etwa bei den deutschen Behörden oder dem beauftragten Sachverständigen. Vielmehr hätte sich die Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg diesfalls über ihre nun eben vorzunehmenden ernsthaften Bemühungen, im Rahmen des ihr Möglichen beschleunigend auf das Verfahren einzuwirken, substantiiert auszuweisen. Auch hätte sie konkret und selbstredend verbindlich aufzuzeigen, bis wann die noch offenen und einem Untersuchungsabschluss entgegenstehenden Fragen aller Voraussicht nach geklärt sein werden".
4.8. In seinem Urteil vom 1. Juli 2015 bestätigte das Bundesgericht die vom Obergericht festgestellte Verletzung des Beschleunigungsgebotes in Haftsachen. Es hiess die Beschwerde des Beschuldigten insofern teilweise gut, als die Vorinstanz es versäumt hatte, die Verletzung des Beschleunigungsgebotes im Urteilsdispositiv festzustellen. Das Haftentlassungsgesuch des Beschwerdeführers wies das Bundesgericht ebenfalls ab. Es erwog, eine Haftentlassung habe in der damaligen prozessualen Konstellation nicht zu erfolgen gehabt. "Angesichts der von den kantonalen Gerichten angeordneten Massnahmen zur Beschleunigung des Verfahrens" habe sich (am 1. Juli 2015) noch nicht darauf schliessen lassen, dass die kantonalen Instanzen grundsätzlich nicht gewillt oder nicht in der Lage wären, dem Beschleunigungsgebot in Haftsachen ausreichend Rechnung zu tragen (Urteil des Bundesgerichtes 1B_203/2015 E. 5.5).
4.9. Im angefochtenen Entscheid vom 14. August 2015 stellt das Obergericht fest, dass die Staatsanwaltschaft die ihr von ihm (in seinem Urteil vom 5. Mai 2015) angesetzte Frist (bis spätestens 30. Juni 2015) weder in Bezug auf das ausstehende Gutachten noch auf die ausstehende Schlusseinvernahme eingehalten habe. In einer Stellungnahme vom 8. Juli 2015 (im erstinstanzlichen Verfahren vor dem Zwangsmassnahmengericht) habe sie mitgeteilt, die Firma Psychiatrische Dienste Aargau AG habe ihr am 28. April 2015 das Gutachten nicht vor Ende Dezember 2015 in Aussicht stellen können. Sie, die Staatsanwaltschaft, habe daraufhin "innert 15 Minuten einen neuen Sachverständigen gefunden". Die Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel (UPK/BS) hätten ihr "eine Gutachtenserledigung innerhalb von drei Monaten in Aussicht gestellt". Eine Erledigung bis 30. Juni 2015 sei hingegen nicht möglich gewesen. Am 18. Juni 2015 habe ihr der (neue) Gutachter der UPK/BS telefonisch mitgeteilt, dass der Beschwerdeführer von seinem Aussageverweigerungsrecht Gebrauch mache, was die Erstellung der Expertise erschwere. Ein Gutachten aus der Jugendzeit des Beschwerdeführers in München, welches der Experte erbeten habe, habe sie, die Staatsanwaltschaft, am 7. Juli 2015 bei der Staatsanwaltschaft München I auf dem Weg der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen angefordert. Das Rechtshilfeverfahren sei derzeit noch pendent. Die Staatsanwaltschaft habe das Urteil des Obergerichtes vom 5. Mai 2015 insofern kritisiert, als eine "Fristansetzung hinsichtlich der Erstellung eines normalen Gutachtens innerhalb von 7 Wochen nicht der notorischen Praxisdauer von mindestens 3 Monaten" entspreche. Am 10. Juni 2015 habe sie den (neuen) Sachverständigen "zur Beschleunigung angewiesen". Den Fristablauf für die (vom Obergericht ebenfalls auf spätestens 30. Juni 2015 terminierte) Schlusseinvernahme habe die Staatsanwaltschaft damit begründet, dass "derzeit keine weiteren Erkenntnisse" vorlägen bzw. zunächst das noch ausstehende Gutachten abzuwarten sei (angefochtener Entscheid, E. 5.4, S. 10).
4.10. Das Obergericht erwägt weiter, dass die Staatsanwaltschaft bereits mehrfach auf das Beschleunigungsgebot in Haftsachen habe hingewiesen werden müssen. Zudem hätten wiederholt Verletzungen des Beschleunigungsgebotes richterlich festgestellt und Fristen zur Vornahme von Verfahrenshandlungen angesetzt werden müssen. Entgegen seinen Weisungen im Urteil vom 5. Mai 2015 habe die Staatsanwaltschaft den Gutachter erst am 10. Juni 2015, und damit über einen Monat später, auf die besondere Dringlichkeit aufmerksam gemacht. Auch das Rechtshilfeersuchen an die Staatsanwaltschaft München I habe sie erst am 7. Juli 2015 gestellt, damit eine Woche nach Ablauf der Frist und auch nach Eingang des erneuten Haftentlassungsgesuchs. Dabei habe sie bereits seit dem 18. Juni 2015 gewusst, dass der Sachverständige Unterlagen aus Deutschland beiziehen wollte. Entgegen den ausdrücklichen Vorgaben im obergerichtlichen Urteil vom 5. Mai 2015 habe die Staatsanwaltschaft keine plausiblen Gründe für diese weiteren Verzögerungen dargelegt. Insbesondere habe sie nicht substanziiert, inwiefern sie im Rahmen ihrer prozessualen Möglichkeiten ernsthafte Bemühungen an den Tag gelegt hätte, nunmehr beschleunigend auf das Verfahren einzuwirken. Vor dem Zwangsmassnahmengericht habe sie sich lediglich damit begnügt, ihre Vorgehensweise pauschal "als erheblichen Einsatz zur Beschleunigung des Verfahrens zu rühmen". Im Verfahren vor dem Obergericht habe sie sich gar nicht erst vernehmen lassen (angefochtener Entscheid, E. 5.5, S. 10 f.).
4.11. Zusammenfassend erwägt das Obergericht, die Staatsanwaltschaft habe damit "erneut verspätet gehandelt und Verzögerungen des Verfahrens bewirkt". Dennoch sei keine Haftentlassung anzuordnen, da der Beschwerdeführer durch seine Aussageverweigerung selbst zur Verfahrensverzögerung "beigetragen" habe (angefochtener Entscheid, E. 5.5, S. 11 f.).
4.12. Der Vorinstanz ist darin zuzustimmen, dass die Staatsanwaltschaft das Beschleunigungsgebot in Haftsachen (auch nach dem Urteil des Obergerichtes vom 5. Mai 2015) erneut verletzt hat. Eine nachvollziehbare Begründung der Vorinstanz, weshalb die Haftentlassungsgesuche des Beschwerdeführers vom 2. Juli bzw. 20. Juli 2015 trotz dieser weiteren Verfahrensverschleppung (und entgegen ihren anderslautenden prospektiven Erwägungen im Urteil vom 5. Mai 2015) erneut abzuweisen seien, findet sich im angefochtenen Entscheid indessen nicht. Die Staatsanwaltschaft hat sich weder im kantonalen Beschwerdeverfahren, noch vor Bundesgericht inhaltlich vernehmen lassen.
4.13. In der Tat ist nicht einzusehen, weshalb ein besonders dringendes (weil erst mit monatelanger Verspätung in Auftrag gegebenes) psychiatrisches Gutachten nicht innert vernünftiger Frist erstellt werden können sollte. Die Vorinstanz weist darauf hin, dass die Staatsanwaltschaft selbst eingeräumt hat, dass ein "normales Gutachten" innerhalb von ca. 3 Monaten erwartet werden könne. Dass der Beschuldigte von seinem Aussageverweigerungsrecht Gebrauch gemacht habe, rechtfertigt keine lange Verzögerung der Begutachtung. Diese ist nötigenfalls aufgrund der vorliegenden Akten zügig durchzuführen. Eine nochmalige mehrmonatige Verschleppung der Begutachtung lässt sich auch nicht mit dem Wunsch des Experten begründen, in ein altes ausländisches Gutachten Einsicht nehmen zu wollen, welches auf dem Weg der internationalen Rechtshilfe einzuholen sei. Auf diese Zusammenhänge wurde die Staatsanwaltschaft - im Hinblick auf die besondere Verfahrensbeschleunigung in Haftsachen - bereits im Urteil des Obergerichtes vom 5. Mai 2015 (E. 5.8, S. 16) nachdrücklich hingewiesen. Darüber hinaus ist das Gutachten (entgegen der Zusicherung der UPK/BS vom 28. April 2015 laut Stellungnahme der Staatsanwaltschaft vom 8. Juli 2015) auch nach Ablauf von deutlich mehr als drei weiteren Monaten offensichtlich noch nicht eingetroffen. Besonders unverständlich wirkt in diesem Zusammenhang auch, dass die Staatsanwaltschaft den neuen Sachverständigen erst am 10. Juni 2015 zur beförderlichen Erstellung des Gutachtens anhielt, mithin mehr als einen Monat nach den obergerichtlichen Weisungen vom 5. Mai 2015, welche am 7. Mai 2015 bei der Staatsanwaltschaft eingegangen waren. Weitere Vorkehren zur Beschleunigung der Begutachtung hat die Staatsanwaltschaft seither nach den Feststellungen des Obergerichtes nicht getroffen. Mit dem Rechtshilfeersuchen hat sie noch einen zusätzlichen Monat (bis am 7. Juli 2015) zugewartet. Ins Gewicht fällt schliesslich auch noch, dass sich der Beschwerdeführer bereits seit mehr als 16 Monaten in strafprozessualer Haft befindet.
5.
Zusammenfassend ist festzustellen, dass das kantonale Obergericht und das Bundesgericht die verfahrensleitende Staatsanwaltschaft schon mehrmals wegen Verletzung des Beschleunigungsgebotes in Haftsachen rügen bzw. zu einer zügigeren Untersuchungsführung anhalten mussten. Schon in einem Haftprüfungsentscheid vom 31. Oktober 2014 hatte das Obergericht eine Rechtsverzögerung (betreffend die damals ausstehende Konfrontationseinvernahme) festgestellt. In den Erwägungen seines Entscheides vom 5. Mai 2015 stellte das Obergericht weitere Verfahrensverschleppungen fest, und es wies die Staatsanwaltschaft an, bis spätestens 30. Juni 2015 die Zuständigkeitsfrage zu klären, das psychiatrische Gutachten erstellen zu lassen und die Schlusseinvernahme durchzuführen. Für den Fall der Nichteinhaltung dieser richterlichen Frist stellte es die Haftentlassung des Beschuldigten in Aussicht. Das Bundesgericht schloss sich diesen Rügen und Verfahrensanordnungen ausdrücklich an und liess die Feststellung der Verletzung des Beschleunigungsgebotes in Haftsachen auch noch in das Dispositiv des Entscheides vom 5. Mai 2015 aufnehmen. Trotz Ermahnungen durch die Gerichte hat die Staatsanwaltschaft den gerichtlichen Anordnungen nicht mit der unterdessen gebotenen Konsequenz Folge geleistet. Plausible Gründe für die dargelegte erneute Verfahrensverzögerung - in einem Fall von bereits deutlich mehr als ein Jahr andauernder strafprozessualer Haft - hat sie weder im kantonalen Beschwerdeverfahren noch vor Bundesgericht dargelegt. Im Haftprüfungsverfahren vor Bundesgericht hat sie die ihr angesetzte Vernehmlassungsfrist versäumt und sich zur Sache nicht geäussert. Das prozessuale Verhalten der Staatsanwaltschaft lässt unterdessen keinen anderen Schluss mehr zu, als dass sie nicht gewillt oder nicht in der Lage erscheint, dem grundrechtlich verankerten Beschleunigungsgebot in Haftsachen (Art. 31 Abs. 3-4 BV, Art. 5 Ziff. 3 und Ziff. 4 EMRK) bei der zeitlichen Priorisierung des vorliegenden Untersuchungsverfahrens ausreichend Rechnung zu tragen. Bei Würdigung sämtlicher Umstände erweist sich die sofortige Haftentlassung des Beschwerdeführers als von Bundesrechts wegen geboten. Die Haftentlassung kann von der Staatsanwaltschaft nötigenfalls mit geeigneten Ersatzmassnahmen verknüpft werden (<ref-law>).
6.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die erneute Verletzung des Beschleunigungsgebots im Dispositiv des vorliegenden Urteils festzustellen. Die Sache ist an die Staatsanwaltschaft zurückzuweisen, welche die unverzügliche Haftentlassung des Beschwerdeführers anzuordnen hat. Die Staatsanwaltschaft wird vorgängig zu prüfen haben, ob die Haftentlassung mit geeigneten Ersatzmassnahmen (<ref-law>) zu verbinden ist.
Gerichtskosten sind nicht zu erheben (<ref-law>). Hingegen hat der Kanton Aargau dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers (im Rahmen der Parteientschädigung) ein angemessenes Pauschalhonorar (inkl. Barauslagen) zu entrichten (vgl. Art. 68 Abs. 1-2 BGG). Dieses Honorar umfasst auch die Entschädigung für das kantonale Verfahren (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid vom 14. August 2015 des Obergerichts des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, aufgehoben.
2.
Es wird festgestellt, dass die Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg das Beschleunigungsgebot in Haftsachen mehrfach verletzt hat.
3.
Die Haftsache wird an die Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg zurückgewiesen, welche den Beschwerdeführer unverzüglich aus der Haft zu entlassen hat. Zuvor hat die Staatsanwaltschaft zu prüfen, ob die Haftentlassung mit geeigneten Ersatzmassnahmen für strafprozessuale Haft zu verbinden ist.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Der Kanton Aargau (Kasse der Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg) hat Rechtsanwalt Peter Fäs für das kantonale Haftprüfungsverfahren sowie für das Verfahren vor dem Bundesgericht ein Honorar (direkte Parteientschädigung) von insgesamt Fr. 3'000.-- (pauschal, inkl. MWST) zu entrichten.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. September 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster