Sachverhalt:
A.
R._, geboren 1974, arbeitete zuletzt von Juli 2007 bis zum 29. November 2009 mit einem 100%-Pensum als Software Entwicklerin für die Firma X._ AG. Am 15. März 2010 meldete sie sich bei der IV-Stelle Basel-Stadt zum Leistungsbezug an, weil sie - gemäss eigenen Angaben - seit Januar 1997 an Stress, einer Angststörung sowie einer Depression leide und "seit Sommer 2005 nur noch in Begleitung aus [ihrer] Wohnung" hinaus gehen könne. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihr die IV-Stelle mit Wirkung ab 1. November 2010 basierend auf einem Invaliditätsgrad von 56% eine halbe Invalidenrente zu (Verfügung vom 19. Oktober 2012).
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde der R._ hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 7. Mai 2013 gut, indem es die IV-Stelle verpflichtete, der Versicherten ab November 2010 eine ganze Invalidenrente zu gewähren.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der Versicherten sei unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids ab November 2010 eine halbe, eventualiter eine Dreiviertelsrente zu gewähren. Zudem ersucht die Beschwerdeführerin um Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
Während R._ auf Abweisung sowohl der Beschwerde als auch des Gesuches um aufschiebende Wirkung und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung. Die beigeladene AXA Stiftung Berufliche Vorsorge beantragt die Gutheissung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. <ref-law>) - Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2. Die aufgrund medizinischer Untersuchungen gerichtlich festgestellte Arbeits (un) fähigkeit ist Entscheidung über eine Tatfrage. Soweit die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es um eine Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes sowie der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 43 Abs. 1 und <ref-law> ist Rechtsfrage. Die konkrete Beweiswürdigung wie auch die antizipierte Beweiswürdigung (als Teil derselben) betreffen eine Tatfrage (Urteil 8C_782/2008 vom 24. Oktober 2008 E. 3.4 mit Hinweisen).
2.
Strittig ist, ob die Versicherte gemäss angefochtenem Entscheid Anspruch auf eine ganze oder - nach Auffassung der IV-Stelle - nur auf eine halbe bzw. eventualiter auf eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung hat.
3.
Das kantonale Gericht hat die massgebenden gesetzlichen Bestimmungen und die hiezu von der Rechtsprechung weiter konkretisierten Grundsätze im angefochtenen Entscheid - soweit hier von Belang - zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4.
Verwaltung und Vorinstanz stellten in tatsächlicher Hinsicht übereinstimmend auf das beweiskräftige, den Anforderungen von <ref-ruling> E. 5.1 S. 232 genügende psychiatrische Gutachten des Dr. med. W._ vom 5. Juni 2011 ab, wonach die Beschwerdegegnerin infolge einer "Agoraphobie (F40.0) mit Panikstörung (F40.01) ", einer "rezidivierenden depressiven Störung, gegenwärtig remittiert (F33.4) " und einer "kombinierten zwangshaften und ängstlich vermeidenden Persönlichkeitsstörung (F61.0) " seit 2001 in der Arbeitsfähigkeit eingeschränkt und in ihrer angestammten Tätigkeit nur noch zu 60% arbeitsfähig ist. Es sei ihr jegliche Computertätigkeit zumutbar, sofern sie die Tätigkeit von zu Hause aus ausüben könne. Auch in einer anderen Tätigkeit bestehe ebenfalls eine 60%-ige Arbeitsfähigkeit, sofern die Versicherte von jemandem zur Arbeit begleitet werden könne.
5.
5.1. Das kantonale Gericht schloss die erwerbliche Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit unter den ärztlich beschriebenen Bedingungen aus, weil diese "ein nicht realistisches Entgegenkommen des potentiellen Arbeitgebers" voraussetzen würden. Das Finden einer entsprechenden Stelle auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt erscheine folglich zum Vornherein als ausgeschlossen. Demgegenüber rügt die Beschwerde führende IV-Stelle, die Vorinstanz habe Bundesrecht (<ref-law>) verletzt, indem sie gestützt auf eine einzige, im Internet zugängliche Meinungsäusserung eines Kadermitgliedes der IBM Schweiz AG zur Heimarbeit in der Computerbranche in Bezug auf die konkret zu beurteilende Situation der Beschwerdegegnerin auf die fehlende Verwertbarkeit der verbleibenden 60%-igen Arbeitsfähigkeit geschlossen habe.
5.2. In Bezug auf die strittige Rechtsfrage nach der Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit (SVR 2013 IV Nr. 14 S. 35, 9C_149/2011 E. 1.2 i.f. mit Hinweis) ist demnach zu prüfen, ob der in Betracht zu ziehende ausgeglichene Arbeitsmarkt (<ref-ruling> E. 4b S. 276; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2 S. 346 f.) der versicherten Person trotz ihrer gesundheitlichen Einschränkungen noch zumutbare Einsatzmöglichkeiten bietet (Urteil 8C_728/2012 vom 8. Mai 2013 E. 4.3.2).
5.2.1. Von einer versicherten Person können rechtsprechungsgemäss nur Vorkehren verlangt werden, die unter Berücksichtigung der gesamten objektiven und subjektiven Gegebenheiten des Einzelfalles zumutbar sind. An die Konkretisierung von Arbeitsgelegenheiten und Verdienstaussichten sind jedoch rechtsprechungsgemäss keine übermässigen Anforderungen zu stellen (SVR 2008 IV Nr. 62 S. 203, 9C_830/2007 E. 5.1 mit Hinweis). Für die Invaliditätsbemessung ist nicht massgeblich, ob eine invalide Person unter den konkreten Arbeitsmarktverhältnissen vermittelt werden kann, sondern einzig, ob sie die ihr verbliebene Arbeitskraft noch wirtschaftlich nutzen könnte, wenn die verfügbaren Arbeitsplätze dem Angebot an Arbeitskräften entsprechen würden (AHI 1998 S. 287 E. 3b S. 290 f., I 198/97). Zu berücksichtigen ist zudem, dass der ausgeglichene Arbeitsmarkt (<ref-law>) auch sogenannte Nischenarbeitsplätze umfasst, also Stellen- und Arbeitsangebote, bei welchen Behinderte mit einem sozialen Entgegenkommen von Seiten des Arbeitgebers rechnen können (Urteil 9C_95/2007 vom 29. August 2007 E. 4.3 mit Hinweisen). Von einer Arbeitsgelegenheit kann nicht mehr gesprochen werden, wenn die zumutbare Tätigkeit nurmehr in so eingeschränkter Form möglich ist, dass sie der ausgeglichene Arbeitsmarkt praktisch nicht kennt oder sie nur unter nicht realistischem Entgegenkommen eines durchschnittlichen Arbeitgebers möglich wäre und das Finden einer entsprechenden Stelle daher von vornherein als ausgeschlossen erscheint (Urteil 8C_728/2012 vom 8. Mai 2013 E. 4.3.3 mit Hinweisen).
5.2.2. Zu Recht verweist die Beschwerdeführerin darauf, dass die heute 39-jährige, als Application Engineer und Nischenspezialistin im Bereich Web-Design und -Produktion ausgebildete und bestens qualifizierte Versicherte nach eigenen Angaben bereits seit 2003 ausschliesslich von zu Hause aus gearbeitet hatte. Die von der Vorinstanz vertretene Auffassung, wonach die erwerbliche Verwertung der Restarbeitsfähigkeit ausgeschlossen sei, weil sich auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt keine entsprechenden Stellen fänden, ist schon deshalb offensichtlich unzutreffend, weil die Beschwerdegegnerin gemäss IK-Auszug seit 2001 - trotz der seither unverändert anhaltenden gesundheitlichen Beeinträchtigungen - die ihr verbleibende Restarbeitsfähigkeit bei vier verschiedenen Arbeitgebern mit jeweils beachtlichem Erfolg erwerblich verwertet hat. Und dies, obgleich sie nach eigenen Angaben ab 2003 ihre berufliche Tätigkeit nur noch zu Hause ausüben konnte.
5.3. Die Beschwerde der IV-Stelle ist nach dem Gesagten insoweit als offensichtlich begründet gutzuheissen als entgegen dem angefochtenen Entscheid davon auszugehen ist, dass die Versicherte auch ab November 2009 - Zeitpunkt des Eintrittes der Arbeitsunfähigkeit gemäss Anmeldung zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung - weiterhin zumindest im gutachterlich attestierten Ausmass (vgl. E. 4 hievor) sowohl in der bis dahin ausgeübten angestammten Tätigkeit wie auch in einer anderen, von zu Hause aus zu verrichtenden Computertätigkeit zumutbarerweise die ihr verbleibende Restarbeitsfähigkeit erwerblich zu verwerten vermochte.
5.4. Mit Blick auf den Streitgegenstand (E. 2 hievor) und den angefochtenen Entscheid fehlt es an den erforderlichen Voraussetzungen, um vor Bundesgericht im Rahmen der eingeschränkten Kognition (vgl. E. 1.1 hievor) abschliessend über den strittigen Rentenanspruch befinden zu können. Weil vor kantonalem Gericht auch die Feststellung der für die Ermittlung des Invaliditätsgrades und damit den Rentenanspruch massgebenden hypothetischen Vergleichseinkommen strittig war, sich die Vorinstanz jedoch aufgrund der von dieser vertretenen Auffassung nicht veranlasst sah, entsprechende Sachverhaltsfeststellungen zu tätigen, ist die Sache zur diesbezüglichen Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen nach <ref-law> an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Hernach wird es über die Beschwerde - ausgehend von der erwerblichen Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit gemäss Erwägung Ziffer 4 hievor - neu entscheiden.
6.
Mit dem Urteil in der Sache wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
7.
7.1. Die Beschwerde ist offensichtlich begründet und im vereinfachten Verfahren mit summarischer Begründung (<ref-law>) zu erledigen.
7.2. Die Gerichtskosten werden der Beschwerdegegnerin als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ist infolge der deklarierten Vermögenswerte wegen fehlender Bedürftigkeit (<ref-law>) sowie wegen fehlender Begründung abzuweisen (Urteil 2C_238/2012 vom 30. Juli 2012 E. 5.2; Urteil 5A_57/2010 vom 2. Juli 2010; Thomas Geiser, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 23 zu <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 7. Mai 2013 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem AXA Stiftung Berufliche Vorsorge, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. November 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Hochuli