Sachverhalt:
A.
C._ (vormals D._) ist Eigentümerin des in der Gemischten Gemeinde Aeschi b. Spiez auf der Parzelle Gbbl. Nr. 646 gelegenen Ferienzentrums Aeschiried. Das Zentrum befindet sich im Wirkungsbereich der Überbauungsordnung "Stiftung Blaukreuzheim Aeschiried" vom 28. Mai 1999, bestehend aus dem Überbauungsplan und den Überbauungsvorschriften. Die Planung umfasst das Grundstück Gbbl. Nr. 646 mit dem Ferienheim und einen kurzen Abschnitt der Zufahrtsstrasse (Allmigässli).
Das Ferienheim besteht aus zwei Gebäuden, dem "Seeblick" und dem "Chalet". Mit Vertrag vom 22./24. September 2014 vermietete die Stiftung ab dem 1. Oktober 2014 den Trakt "Seeblick" an den Kanton Bern zur Nutzung als Kollektivunterkunft für die dem Kanton zugewiesenen Asylbewerberinnen und Asylbewerber (nachfolgend auch: Durchgangszentrum). Der Trakt "Chalet" wurde mit Ausnahme der Wäscherei nicht vermietet, wird jedoch ebenfalls nicht mehr weiter als Ferienheim betrieben.
Mit Schreiben vom 24. Oktober 2014 ersuchten A.A._ und B.A._, Eigentümer des in der Nähe des Ferienheims gelegenen Grundstücks Gbbl. Nr. 657, beim Regierungsstatthalteramt Frutigen-Niedersimmental um Akteneinsicht im Baubewilligungsverfahren betreffend das Durchgangszentrum. Für den Fall, dass kein Bewilligungsverfahren durchgeführt werde, beantragten sie die Eröffnung eines solchen. Nachdem die stellvertretende Regierungsstatthalterin ihnen mitgeteilt hatte, dass kein Baugesuch eingegangen sei, ersuchte die Gemischte Gemeinde Aeschi b. Spiez das Regierungsstatthalteramt am 28. Oktober 2014 um Klärung der Baubewilligungspflicht.
Mit Feststellungsverfügung vom 14. November 2014 entschied das Regierungsstatthalteramt, dass für den Betrieb des Durchgangszentrums bei einer Beschränkung auf maximal 100 Betten kein Baubewilligungsverfahren durchzuführen sei; für jede darüber hinausgehende Aufstockung der Betten sei jedoch eine Baubewilligung erforderlich. Gleichzeitig wies das Regierungsstatthalteramt ein Gesuch von A.A._ und B.A._ um Erlass eines vorsorglichen (superprovisorischen) Verbots ab, das Ferienzentrum als Durchgangszentrum zu nutzen. Einer allfälligen Beschwerde gegen die Verfügung entzog das Regierungsstatthalteramt die aufschiebende Wirkung.
Die von A.A._ und B.A._ am 20. November 2014 gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies die Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern mit Entscheid vom 22. Dezember 2014 ab. Gleichzeitig entzog sie einer allfälligen Beschwerde gegen ihren Entscheid die aufschiebende Wirkung.
A.A._ und B.A._ fochten diesen Entscheid am 28. Januar 2015 mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern an. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 22. April 2015 ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 26. Mai 2015 beantragen A.A._ und B.A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass die Umnutzung des Ferienzentrums Aeschiried in ein Durchgangszentrum für Asylsuchende baubewilligungspflichtig sei. Eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion und das Verwaltungsgericht stellen Antrag auf Beschwerdeabweisung. C._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern hat eine Vernehmlassung eingereicht, ohne ausdrücklich Anträge zu stellen. Die Gemischte Gemeinde Aeschi b. Spiez und das Bundesamt für Raumentwicklung ARE verzichten auf eine Stellungnahme. Die Beschwerdeführer halten an ihrem Standpunkt und an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Streitgegenstand bildet die Baubewilligungspflicht der Umnutzung eines Ferienzentrums in ein Durchgangszentrum für Asylsuchende. Dabei handelt es sich um eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Ein Ausschlussgrund ist nicht gegeben (<ref-law>). Die Vorinstanz hat als letzte kantonale Instanz entschieden (<ref-law>).
Das Grundstück der Beschwerdeführer liegt rund 120 Meter vom Ferienheim entfernt (vgl. Entscheid der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion vom 22. Dezember 2014) und wird über dieselbe Zufahrtsstrasse, das Allmigässli, erschlossen. Damit ist die räumliche Beziehungsnähe zu bejahen (vgl. auch Urteil 1C_40/2010 vom 9. März 2010 E. 2.4, wo das Bundesgericht zum Schluss kam, der Eigentümer einer rund 150 bis 200 m von einem geplanten Asylbewerberzentrum entfernten Liegenschaft sei zur Beschwerdeerhebung berechtigt). Die Beschwerdeführer gelten folglich als Nachbarn im baurechtlichen Sinn und sind legitimiert, sämtliche Rügen vorzubringen, die die vorliegend umstrittene Frage der Baubewilligungspflicht betreffen.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten - einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>) - gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 281 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 235).
Willkür liegt nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, gen ügt nicht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 319 mit Hinweis).
2.
2.1. Die Beschwerdeführer machen geltend, die Vorinstanz habe ihren Antrag auf Durchführung eines Augenscheins und weitere Beweisanträge (Edition der Betriebsbewilligung des Ferienheims und der Akten des damaligen Baubewilligungsverfahrens betreffend den Neubau des Gebäudes "Chalet") zu Unrecht abgewiesen. Zudem sei die Vorinstanz ihrer Begründungspflicht nicht hinreichend nachgekommen. Es liege eine Verletzung von <ref-law> vor.
2.2. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> ergibt sich für die Parteien das Recht, Beweisanträge zu stellen, und für die Behörden die Pflicht, rechtzeitig und formgültig angebotene Beweisbegehren entgegenzunehmen und zu berücksichtigen. Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt indes vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (BGE <ref-ruling> E. 5.2 und 5.3 S. 236 f.). Der Entscheid darüber, ob ein Augenschein angeordnet wird, steht im pflichtgemässen Ermessen der anordnenden Behörde. Eine dahin gehende Pflicht besteht nur, wenn die tatsächlichen Verhältnisse auf andere Weise nicht abgeklärt werden können (vgl. Urteil 1C_76/2012 vom 6. Juli 2012 E. 2.3 mit Hinweis).
Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör folgt für die Behörde weiter die Pflicht, ihren Entscheid zu begründen. Dies bedeutet indes nicht, dass sie sich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (BGE <ref-ruling> E. 5.2 und 5.3 S. 236 f.).
2.3. Die Sachlage ist in den Akten ausführlich dokumentiert. Die Vorinstanz konnte ohne Willkür in antizipierter Beweiswürdigung davon ausgehen, dass eine Edition weiterer Unterlagen oder die Durchführung eines Augenscheins nichts am Beweisergebnis ändern würde.
Die Vorinstanz hat ihr Urteil eingehend begründet und sich mit sämtlichen entscheiderheblichen Vorbringen der Beschwerdeführer auseinandergesetzt. Eine Verletzung des Anspruchs der Beschwerdeführer auf rechtliches Gehör ist auch insoweit zu verneinen.
3.
Nach Art. 22 Abs. 1 RPG dürfen Bauten und Anlagen nur mit behördlicher Bewilligung errichtet oder geändert werden. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung unterstehen grundsätzlich auch reine Umnutzungen ohne bauliche Massnahmen der Baubewilligungspflicht. Eine ohne bauliche Vorkehren auskommende Zweckänderung unterliegt der Bewilligungspflicht nur dann nicht, wenn erstens auch der neue Verwendungszweck der in der fraglichen Zone zuzulassenden Nutzung entspricht (vgl. nachfolgend E. 4) und zweitens sich die Änderung hinsichtlich ihrer Auswirkungen auf Umwelt und Planung als ausgesprochen geringfügig erweist (<ref-ruling> E. 4d S. 223; vgl. ferner <ref-ruling> E. 5.2 S. 139 f.). Sind die mit der neuen Nutzung verbundenen Auswirkungen intensiver als die bisherigen, so ist von einer bewilligungspflichtigen Nutzungsänderung auszugehen. Dies ist insbesondere bei einer deutlichen Zunahme der Immissionen der Fall (vgl. Urteil 1C_347/2014 vom 16. Januar 2015 E. 3.2; siehe nachfolgend E. 5).
Der bundesrechtliche Begriff der bewilligungspflichtigen Bauten und Anlagen kann von den Kantonen weiter, nicht aber enger gefasst werden (Urteil 1C_658/2013 vom 24. Januar 2014 E. 4.1). Nach bernischem Recht gelten im Wesentlichen die gleichen Anforderungen wie nach Art. 22 RPG (vgl. insbesondere Art. 1a und 1b des kantonalen Baugesetzes vom 9. Juni 1985 [BauG/BE; BSG 721.0] sowie Art. 6 des kantonalen Dekrets vom 22. März 1994 über das Baubewilligungsverfahren [Baubewilligungsdekret, BewD/BE; BSG 725.1]). Eine spezifische Regelung enthält das kantonale Recht in Bezug auf die Brandsicherheit. Gemäss Art. 6 Abs. 1 lit. d BewD/BE bedürfen bauliche Änderungen im Gebäudeinnern, die nicht mit einer baubewilligungspflichtigen Nutzungsänderung verbunden sind und nicht die Brandsicherheit betreffen, grundsätzlich keiner Baubewilligung (vgl. hierzu nachfolgend E. 6).
4.
4.1. Nach Ansicht der Beschwerdeführer ist die Nutzung des Ferienzentrums als Durchgangszentrum nicht zonenkonform und deshalb bewilligungspflichtig. Sie werfen der Vorinstanz eine willkürliche Auslegung und Anwendung der Überbauungsvorschriften zur Überbauungsordnung "Stiftung Blaukreuzheim Aeschiried" vor. Die Auslegung widerspreche dem Wortlaut der Überbauungsvorschriften; ein Ferienzentrum sei kein Asylzentrum.
4.2. Die Vorinstanz hat ausgeführt, in Art. 4 der Überbauungsvorschriften werde die zulässige Nutzung mit "Ferienheim und öffentliches Café/Restaurant" umschrieben. Art. 5 der Überbauungsvorschriften erkläre sodann die Vorschriften der Wohnzone W3 gemäss kommunalem Baureglement für ergänzend anwendbar. Die Überbauungsordnung diene folglich in erster Linie dem Wohnen bzw. der Unterbringung von Personen. Ein Zentrum für Asylbewerbende ermögliche den zeitlich befristeten Aufenthalt einer bestimmten Personengruppe und weise damit eine dem Ferienheim vergleichbare Nutzung auf. Zwar unterschieden sich ein Ferien- und ein Durchgangszentrum hinsichtlich der beherbergten Personengruppe. Im Blaukreuzheim hätten sich jedoch typischerweise Gäste mit einer leichten geistigen und/oder körperlichen Behinderung wie auch Personen mit einer Sucht-Vergangenheit aufgehalten; Ferien hätten namentlich Insassen verschiedener Alters- und Pflegeheime sowie von Wohnheimen für Senioren bzw. Menschen mit Handicap verbracht. Das Ferienheim habe mithin immer auch Menschen beherbergt, welche aus verschiedenen Gründen (Gesundheit, Alter, Lebenssituation) auf besondere Betreuung angewiesen gewesen seien. Entsprechend sei Art. 4 der Überbauungsvorschriften in einem weiten Sinn dahingehend zu verstehen, dass im Perimeter der Überbauungsordnung die Unterbringung besonders schutzwürdiger Personen mit speziellen Bedürfnissen zulässig sei. Wie die bisherigen Gäste des Ferienheims seien auch Asylsuchende Menschen, die sich - wenn auch aus anderen Gründen - in einer besonderen Lebenssituation befänden und besonders schutz- und betreuungsbedürftig seien.
4.3. Der Gemeinderat der Gemischten Gemeinde Aeschi b. Spiez hat im Verfahren vor der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion mit Eingabe vom 8. Dezember 2014 Stellung genommen und ausgeführt, die Überbauungsordnung sei immer weit ausgelegt worden. Die Nutzung des Ferienzentrums als Durchgangszentrum für Asylsuchende entspreche der Überbauungsordnung. Diese Auffassung hat der Gemeinderat im vorinstanzlichen Verfahren bekräftigt.
Die Gemeinde ist in ihrer Ortsplanung im Rahmen der Gesetzgebung und der übergeordneten Planung autonom (vgl. Art. 65 Abs. 1 BauG/ BE). Wo eine Gemeinde zur Rechtsetzung zuständig ist, steht ihr auch bei der Anwendung und Auslegung der erlassenen Normen ein gewisser Beurteilungsspielraum zu. Diesen hat die Gemeinde nicht verletzt. Die die Auffassung des Gemeinderats bestätigende vorinstanzliche Auslegung der Überbauungsvorschriften, wonach die Überbauungsordnung der Unterbringung besonders schutz- und betreuungsbedürftiger Personen diene, orientiert sich am Sinn und Zweck der Bestimmungen und ist ohne Weiteres vertretbar. Das Ferienzentrum war kein konventioneller, rein renditeorientierter Hotel-Betrieb, sondern eine Organisation, die sich im Rahmen ihres Betriebs für sozial Schwächere und Randgruppen einsetzte.
Die Auslegung der kommunalen und kantonalen Behörden steht auch in Einklang mit der bisherigen bundesgerichtlichen Rechtsprechung und Meinungen in der Lehre. So schützte das Bundesgericht mit Urteil 1C_40/2010 vom 9. März 2010 die Auslegung des Gemeinderats von Eggersriet (SG), welcher die Zweckänderung von einem Beherbergungsbetrieb mit Unterkunfts-, Tagungs- und Schulungsräumen in ein Asylbewerberzentrum mit der Begründung als nicht baubewilligungspflichtig eingestuft hatte, das Asylbewerberzentrum sei in einer Kurzone zonenkonform. Nach der Lehre ist des Weiteren etwa auch die Umnutzung eines früheren Personalhauses eines Spitals in ein Durchgangszentrum für Asylsuchende in einer gemischten Wohn- und Gewerbezone zonenkonform (vgl. Arnold Marti, in: ZBl 116/2015 S. 339 mit Hinweis auf einen Entscheid des Verwaltungsgerichts Basel-Landschaft vom 4. September 2002).
5.
5.1. Die Beschwerdeführer stellen sich auf den Standpunkt, die neue Nutzung als Durchgangszentrum habe intensivere Auswirkungen als die bisherige und sei deshalb bewilligungspflichtig.
5.2. Die Vorinstanz hat ausgeführt, die Umnutzung des Ferienzentrums habe keine erhebliche Mehrnutzung zur Folge. Das gesamte Ferienheim habe ein maximale Kapazität von 102 Betten aufgewiesen (73 im Trakt "Seeblick" und 29 im Trakt "Chalet"), wobei die Betriebsbewilligung auf maximal 90 Betten beschränkt gewesen sei. Das Durchgangszentrum solle nun mit maximal 100 Betten betrieben werden. Die Steigerung um zehn Betten falle nicht entscheidend ins Gewicht. Gleiches gelte für den Umstand, dass die Asylsuchenden besonderer Betreuung bedürften, seien doch schon bisher Personen mit besonderem Betreuungsbedarf im Ferienheim beherbergt worden. Eine stärkere Frequentierung der Erschliessungsstrasse sei ebenfalls nicht wahrscheinlich, da die Asylsuchenden in der Regel keine Motorfahrzeuge besässen und keinen erheblichen Besucherverkehr auslösten. Auch im Übrigen sei aufgrund der Nutzungsänderung keine Zunahme an Immissionen zu erwarten.
5.3. Die Nutzung als Durchgangszentrum wurde verbindlich auf 100 Betten beschränkt; jede darüber hinausgehende Aufstockung der Betten ist vom Regierungsstatthalteramt ausdrücklich für bewilligungspflichtig erklärt worden. Die Würdigung der Vorinstanz, die Erhöhung um zehn Betten im Vergleich zur bisherigen Betriebsbewilligung wirke sich nicht massgeblich aus, ist vertretbar. Bei dieser Beurteilung hat die Vorinstanz zu Recht die bisher zulässige mit der neu erlaubten Nutzung verglichen. Die Beschwerdeführer hatten keinen Anspruch darauf, dass die Betreiber des Ferienheims die zulässige Nutzung nicht ausschöpften. Gemäss Betriebsbewilligung hätte das Ferienheim das ganze Jahr mit 90 Betten betrieben werden können. Aus den Tatsachen, dass das Ferienzentrum im Winter Betriebsferien hatte und die Betten im übrigen Teil des Jahres nicht voll ausgelastet waren, können die Beschwerdeführer nichts für ihren Standpunkt ableiten.
Nicht zu beanstanden ist auch die Einschätzung der Vorinstanz, es sei aufgrund der Umnutzung nicht mit Mehrverkehr zu rechnen (vgl. hierzu auch Urteil 1C_40/2010 vom 9. März 2010 E. 3). Hinsichtlich des Verkehrsaufkommens ist zudem zu beachten, dass bisher im Ferienzentrum ein öffentliches Restaurant betrieben wurde, das nun geschlossen ist. Die durch die Gäste des Restaurants verursachten Fahrten fallen mithin weg. Da von keinem Mehrverkehr auszugehen ist, erübrigt es sich, auf die Vorbringen der Beschwerdeführer einzugehen, welche auf der Annahme einer erhöhten Nutzung der Erschliessungsstrasse beruhen. Auch im Übrigen ist nicht ersichtlich, dass die neue Nutzung zu einer Zunahme der Immissionen führt.
6.
6.1. Die Beschwerdeführer rügen, die Baubewilligungspflicht sei zu bejahen, weil mit der Umnutzung bauliche Änderungen verbunden seien, welche die Brandsicherheit betreffen würden. Die Gebäudeversicherung des Kantons Bern habe in ihrem vom Regierungsstatthalteramt eingeholten Bericht vom 3. November 2014 neu eine "Vollüberwachung" verlangt. Eine solche Erweiterung sei entgegen der Auffassung der Vorinstanz keine blosse bewilligungsfreie Renovation. Hinzu komme, dass sich die Brandgefahr durch die Mehrbelegung des Gebäudes mit 100 statt mit maximal 73 Personen erhöhe.
6.2. Die Vorinstanz hat erwogen, bauliche Änderungen, welche die Brandsicherheit betreffen würden, seien baubewilligungspflichtig (vgl. Art. 6 Abs. 1 lit. d BewD/BE e contrario; siehe auch E. 3 hiervor). Um eine unter die Bewilligungspflicht fallende bauliche Änderung handle es sich, wenn ein Umbau, ein Ausbau oder eine Erneuerung vorgenommen und dabei das übliche Mass einer Renovation überschritten werde. Nicht erfasst würden demgegenüber reine Unterhaltsarbeiten oder kleinere Reparaturen. Im zu beurteilenden Fall habe die Gebäudeversicherung des Kantons Bern verlangt, dass die bestehende Brandmeldeanlage erweitert und den neuen Gegebenheiten angepasst werde (Vollüberwachung), sowie dass die Fluchtwege und Ausgänge mit sicherheitsbeleuchteten Rettungszeichen zu kennzeichnen seien. Damit, so hat die Vorinstanz geschlossen, stünden keine Massnahmen zur Diskussion, welche in ihren Auswirkungen über blosse Unterhaltsarbeiten oder kleinere Reparaturen hinausgingen. So halte sich insbesondere auch die Erweiterung der Brandmeldeanlage zur Vollüberwachung im Rahmen einer üblichen Renovation.
Des Weiteren hat die Vorinstanz auf die kantonale Praxis verwiesen, wonach eine die Brandgefahr erhöhende Nutzungsänderung insbesondere dann gegeben sei, wenn die neue Nutzung Funken erzeugende Arbeiten oder den Umgang mit brennbaren Flüssigkeiten oder gefährlichen Stoffen und Staubentwicklungen beinhalte. Der zu beurteilende Fall sei anders gelagert. Der Trakt "Seeblick" habe mit einer Kapazität von 73 Betten bereits bisher der Beherbergung einer nicht unerheblichen Anzahl Personen gedient. Die Infrastruktur könne auch von 100 Personen genutzt werden, ohne dass damit eine Erhöhung der Brandgefahr verbunden sei. Dies gelte auch mit Blick auf den Betrieb der Grossküche. Selbst wenn die Asylsuchenden diese selber betreiben sollten, blieben Aussagen über unsachgemässe bzw. die Brandgefahr erhöhende Handlungen spekulativ.
Die Umnutzung sei daher auch mit Blick auf die Brandsicherheit nicht baubewilligungspflichtig.
6.3. Die vorinstanzliche Auslegung des kantonalen Rechts (Art. 6 Abs. 1 lit. d BewD/BE) und ihre Beweiswürdigung erweisen sich als haltbar. Die von der Gebäudeversicherung des Kantons Bern in ihrem Bericht vom 3. November 2014 verlangten Anpassungen erfordern keine baulichen Massnahmen, sondern nur das Anbringen von zusätzlichen Brandmeldern und Notausgangszeichen. Die Einschätzung der Vorinstanz, dass sich die Erweiterung der Brandmeldeanlage zur Vollüberwachung im Rahmen einer üblichen Renovation bewege, ist ebenso vertretbar wie ihre Schlussfolgerung, dass die Erhöhung der Belegung von 73 auf 100 Personen nicht per se zu einer höheren Brandgefahr führt.
7.
Die Beschwerdeführer berufen sich schliesslich auf Art. 26a des Asylgesetzes vom 26. Juni 1998 (AsylG; SR 142.31). Nach dieser Bestimmung können Anlagen und Bauten des Bundes ohne kantonale oder kommunale Bewilligungen für maximal drei Jahre zur Unterbringung von Asylsuchenden genutzt werden, wenn die Zweckänderung keine erheblichen baulichen Massnahmen erfordert und keine wesentliche Änderung in Bezug auf die Belegung der Anlage oder Baute erfolgt. <ref-law> stellt eine Spezialregelung für Bundesbauten dar und ist daher vorliegend nicht einschlägig. Die Bestimmung äussert sich nicht zur Umnutzung von privaten Bauten und Anlagen und schliesst nicht aus, dass auch eine solche unter bestimmten Voraussetzungen baubewilligungsfrei möglich ist.
8.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG) und der Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1, 2 und 4 BGG). Den in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegenden Behörden steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren pauschal mit Fr. 3'000.-- zuentschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemischten Gemeinde Aeschi b. Spiez, dem Kanton Bern, der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Raumentwicklung ARE schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. November 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner