unentgeltlicher Rechtsvertreter), hat sich ergeben:
A.- Rechtsanwalt X._ erhob am 11. Januar 1999 für Y._ beim Einzelrichter des Bezirksgerichtes Zürich Staatshaftungsklage gegen den Kanton Zürich. Gleichzeitig reichte er ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung ein. Dabei legitimierte er sich mit einer von Y._ am 2. April 1998 in der Ausschaffungshaft in Kloten unterzeichneten Anwaltsvollmacht, die ihn ausdrücklich zu dessen Vertretung betreffend "Strafverfahren/Ausschaffungshaft" berechtigte.
Mit Verfügung vom 26. Januar 1999 wies der Einzelrichter für Zivilsachen des Bezirksgerichts Zürich das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit der Klage ab.
Rechtsanwalt X._ rekurrierte dagegen im Namen von Y._ an das Obergericht des Kantons Zürich, wobei er für diesen wiederum um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ersuchte.
Mit Verfügung vom 8. April 1999 setzte der Präsident der II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich Y._ und Rechtsanwalt X._ eine Frist von zehn Tagen an, um eine den Hauptprozess betreffende Anwaltsvollmacht im Original einzureichen, unter sinngemässer Androhung, dass im Säumnisfall auf die Beschwerde nicht eingetreten werde.
Die Frist wurde auf Gesuch von Rechtsanwalt X._ hin, der geltend machte, seinen Mandanten nicht erreichen zu können, zweimal verlängert. Nach Ablehnung eines Wiedererwägungsgesuchs wurde mit Verfügung vom 24. Juni 1999 eine Notfrist von weiteren 30 Tagen angesetzt.
Die Präsidialverfügung vom 8. April 1999 konnte Y._ am 22. Juli 1999 eröffnet werden. Dieser befand sich zu jener Zeit erneut in Ausschaffungshaft und wurde am 16. August 1999 nach Albanien ausgeschafft.
Da weder X._ noch Y._ der Verfügung vom 8. April 1999 bzw. 24. Juni 1999 Folge geleistet hatten, trat die II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich (im Folgenden auch Obergericht) mit Beschluss vom 3. September 1999 mangels genügender Vollmacht weder auf den Rekurs noch auf das Gesuch um unentgeltlich Prozessführung und Verbeiständung ein. Dem von X._ gestellten Antrag, es sei von der Beibringung einer Originalvollmacht abzusehen, da er den Aufenthaltsort seines Mandanten nicht habe ausfindig machen können, wurde nicht stattgegeben.
Auf ein von Rechtsanwalt X._ gestelltes Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Beibringung einer Originalvollmacht und um Wiedererwägung des Beschlusses des Obergerichts vom 3. September 1999 bzw. der Präsidialverfügung vom 8. April 1999 trat das Obergericht am 4. Oktober 1999 nicht ein.
Mit Entscheid vom 31. August 2000 trat auch das Kassationsgericht des Kantons Zürich (im Folgenden auch Kassationsgericht) mangels genügender Legitimation von Rechtsanwalt X._ zur Vertretung von Y._ weder auf die in dessen Namen gegen die Entscheide vom 3. September bzw. 4. Oktober 1999 eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde noch auf das auch vor dem Kassationsgericht gestellte Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ein. Die Kosten des Verfahrens wurden Rechtsanwalt X._ auferlegt.
B.-Mit Eingabe vom 6. Oktober 2000 führt Rechtsanwalt X._ (im Folgenden auch Beschwerdeführer 1) hiergegen sowohl in eigenem als auch im Namen von Y._ (im Folgenden auch Beschwerdeführer 2) staatsrechtliche Beschwerde.
Dabei wird eine Verletzung des Willkürverbots, des Grundsatzes von Treu und Glauben, des Fairnessgebots sowie eine mehrfache formelle Rechtsverweigerung geltend gemacht und beantragt, den Entscheid des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 31. August 2000 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an dieses Gericht zurückzuweisen. Eventualiter wird die Aufhebung der Entscheide des Obergerichts des Kantons Zürich vom 3. September 1999 und 4. Oktober 1999 sowie der Präsidialverfügung vom 8. April 1999 beantragt.
Ersucht wird weiter um die Zustellung der Akten des Obergerichts des Kantons Zürich zur Einsichtnahme sowie um das Ansetzen einer neuen Frist zur ergänzenden Begründung der vorliegenden staatsrechtlichen Beschwerde. Für Y._ wird zudem auch vor Bundesgericht ein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und Befreiung von der Pflicht, dem Bundesgericht eine schriftliche Vollmacht vorzulegen, eingereicht.
Dem von X._ in eigenem Namen gestellten Gesuch um Befreiung von der Kostenvorschusspflicht wurde mit Schreiben bzw. Verfügung des Abteilungspräsidenten vom 11. Oktober 2000 nicht stattgegeben.
C.- Das Kassationsgericht und die Finanzdirektion des Kantons Zürich haben auf eine Stellungnahme verzichtet.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Der angefochtene Nichteintretensbeschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid, gegen den kein anderes eidgenössisches Rechtsmittel zur Verfügung steht (Art. 84 Abs. 2, 86 und 87 OG). Die staatsrechtliche Beschwerde ist insoweit zulässig.
b) Die Beschwerdeführer beantragen nebst der Aufhebung des Nichteintretensbeschlusses des Kassationsgerichts eventualiter auch die Aufhebung der Entscheide des Obergerichts vom 3. September 1999 und 4. Oktober 1999 sowie der Präsidialverfügung vom 8. April 1999. Der Entscheid einer unteren kantonalen Instanz kann nach bundesgerichtlicher Praxis mitangefochten werden, wenn entweder der letzten kantonalen Instanz nicht sämtliche vor Bundesgericht zulässigen Rügen unterbreitet werden konnten oder wenn solche Rügen zwar von der letzten kantonalen Instanz zu beurteilen waren, jedoch mit einer engeren Prüfungsbefugnis, als sie dem Bundesgericht zusteht ("Dorénaz-Praxis", begründet in <ref-ruling>, eingeschränkt in <ref-ruling> E. 1b S. 354 und alsdann bestätigt in <ref-ruling> E. 3a S. 311; <ref-ruling> E. 1 S. 414 f. sowie zuletzt in <ref-ruling> E. 1a/aa S. 493 f., mit weiteren Hinweisen). In diesen Fällen kann der unterinstanzliche Entscheid innert der Frist für die staatsrechtliche Beschwerde gegen den letztinstanzlichen Entscheid noch mitangefochten werden (BGE <ref-ruling> E. 1 S. 415). Dies gilt jedoch nur, wenn die letzte kantonale Instanz die Sache materiell - wenn auch mit eingeschränkter Kognition - geprüft hat. Tritt die angerufene kantonale Instanz darauf nicht ein, so liegt kein neuer Entscheid in der Sache vor, mit welchem zusammen der Entscheid der unteren Instanz mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten werden könnte (<ref-ruling> E. 1 S. 250; bestätigt im unveröffentlichten Urteil vom 8. Oktober 1996 i.S. G., E. 1b); anfechtbar ist in diesem Fall bloss der Nichteintretensentscheid der letzten kantonalen Instanz (Walter Kälin, Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, 2. Auflage, Bern 1994, S. 346). Auf die staatsrechtliche Beschwerde ist daher insoweit nicht einzutreten, als sie sich gegen die Entscheide des Obergerichts vom 3. September 1999 und 4. Oktober 1999 sowie gegen die Präsidialverfügung vom 8. April 1999 richtet.
c) Die staatsrechtliche Beschwerde ist von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen lediglich kassatorischer Natur. Soweit die Beschwerdeführer mehr verlangen als die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, kann auf die Beschwerde ebenfalls nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 1b S. 107, mit Hinweisen).
d) Neue Vorbringen tatsächlicher Art sind in einer staatsrechtlichen Beschwerde unbeachtlich (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 7; <ref-ruling> E. 5a S. 26). Das Bundesgericht lässt Ausnahmen von dieser Regel nur zu, soweit erst die Begründung des angefochtenen Entscheids zur Geltendmachung der neuen Tatsachen Anlass gibt, diese von der kantonalen Instanz offensichtlich von Amtes wegen berücksichtigt werden müssen oder im kantonalen Verfahren nicht von Bedeutung waren (vgl. Walter Kälin, a.a. O., S. 369 f., mit Hinweisen).
Nicht einzutreten ist somit auch auf den - wie in der Beschwerdeschrift selber erwähnt - erstmals vor Bundesgericht gestellten Beweisantrag, die anlässlich der Haftverhandlung bzw. der Unterredungen des Beschwerdeführers 1 mit dem Beschwerdeführer 2 tätigen Übersetzer seien als Zeugen anzuhören; deren Befragung hätte nämlich bereits vor dem Ober- und dem Kassationsgericht beantragt werden können.
2.- a) Nach Art. 29 Abs. 1 OG haben Parteivertreter eine Vollmacht zu den Akten zu legen (Satz 1); eine solche kann jederzeit nachgefordert werden (Satz 2). Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung erweist es sich indessen als überflüssig und unangemessen, vom Anwalt für die staatsrechtliche Beschwerde in jedem Fall eine spezielle Vollmacht zu verlangen, so kann etwa dann auf eine ausdrückliche Vollmacht verzichtet werden, wenn der Rechtsvertreter seinen Mandanten bereits im kantonalen Verfahren rechtsgültig vertreten hat (vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 443 f.).
b) Der Beschwerdeführer 1 hat dem Bundesgericht für die namens des Beschwerdeführers 2 gestellten Rechtsbegehren keine spezielle Vollmacht eingereicht. Er legitimiert sich diesbezüglich - wie schon im kantonalen Verfahren - mit einer am 2. April 1998 vom Beschwerdeführer 2 in der Ausschaffungshaft unterzeichnete Vollmacht. Darin wird er gemäss Vermerk nur betreffend "Strafverfahren/Ausschaffungshaft" ausdrücklich zur Vertretung ermächtigt. Das Kassationsgericht erachtete die Vollmacht im angefochtenen Entscheid daher bereits für eine Vertretung vor den kantonalen Instanzen als ungenügend (vgl. nachfolgende E. 2d). Auf die im Namen des Beschwerdeführers 2 geltend gemachten Rechtsbegehren kann daher nur dann eingetreten werden, wenn sich - entgegen den Ausführungen im angefochtenen Entscheid - erweisen sollte, dass der Beschwerdeführer 1 den Beschwerdeführer 2 im kantonalen Verfahren rechtsgültig vertreten hat.
Eine neue Vollmacht nachzufordern (Art. 29 Abs. 1
2. Satz OG) erübrigt sich im vorliegenden Fall von vornherein, da der Beschwerdeführer 1 mit dem Beschwerdeführer 2, dessen Aufenthaltsort unbekannt ist, keinen Kontakt aufnehmen kann.
c) Nach § 34 Abs. 1 des zürcherischen Gesetzes vom 13. Juni 1976 über den Zivilprozess (ZPO) bedarf, wer eine Partei vertritt, einer schriftlichen oder zu Protokoll erklärten Vollmacht. Die Berechtigung eines Parteivertreters zur Prozessführung ist eine Prozessvoraussetzung, die von Amtes wegen überprüft wird (<ref-law>). Fehlt die Vollmacht oder ist sie ungenügend, so ist dem Vertreter und der Partei Gelegenheit zu geben, den Mangel zu beheben (<ref-law>).
d) Das Kassationsgericht hielt im angefochtenen Entscheid im Wesentlichen dafür, aus der Umschreibung "Strafverfahren/Ausschaffungshaft" in der am 2. April 1998 unterzeichneten Vollmacht ergebe sich nicht, dass der Beschwerdeführer 2 den Beschwerdeführer 1 über das Ausschaffungsverfahren bzw. Haftprüfungsverfahren hinaus zur Vertretung in Zivilprozessen ermächtigt habe. Eine entsprechende Vollmacht sei auch im Rahmen der Haftrichterverhandlungen nie genügend zu Protokoll genommen worden. Die Führung eines Staatshaftungsverfahrens, somit eines Zivilprozesses, sei jedoch für den Fall des Unterliegens mit einem möglicherweise beträchtlichen Kosten- und Entschädigungsrisiko verbunden. Es müsse daher sichergestellt sein, dass der Beschwerdeführer 2 die betreffende Klage habe erheben bzw. den Beschwerdeführer 1 damit habe beauftragen wollen. Dass es dem Beschwerdeführer 1 innert Frist nicht gelungen sei, den Beschwerdeführer 2 zu kontaktieren und eine neue Vollmacht erhältlich zu machen, genüge folglich nicht, um das Erfordernis einer schriftlichen oder zu Protokoll erklärten Vollmacht gemäss <ref-law> zu lockern und sich mit einer im Rahmen eines anderen Verfahrens ausgestellten Vollmacht zu begnügen. Auf das Ansetzen einer weiteren Frist, um eine neue Vollmacht einzureichen, hat das Kassationsgericht indessen aber verzichtet, mit der Begründung, dies erübrige sich, da es dem Beschwerdeführer 1 bereits vor dem Obergericht nicht gelungen sei, eine sich auf das Staatshaftungsverfahren beziehende Ermächtigung nachzuweisen.
e) Die Vollmacht, die der Beschwerdeführer 2 am 2. April 1998 unterzeichnete, ist keine Generalvollmacht.
Sie bezieht sich gemäss Vermerk einzig auf die Vertretung betreffend "Strafverfahren/Ausschaffungshaft". Sowohl das Ober- als auch das Kassationsgericht gingen daher zu Recht davon aus, dass diese Vollmacht den Beschwerdeführer 1 nicht zur Erhebung eines Zivilprozesses, konkret zur Einreichung einer Staatshaftungsklage bzw. zu deren Weiterzug, ermächtigte.
Da eine Vollmacht nicht nur dem geordneten Verfahrensablauf, sondern zugleich der Verwirklichung des materiellen Rechts und damit letztlich den Interessen des Betroffenen selber dient, war es verfassungsrechtlich auch haltbar - das heisst weder willkürlich (<ref-law>) noch überspitzt formalistisch (<ref-law>) -, wenn sowohl das Ober- als auch das Kassationsgericht auf einer ausdrücklichen Vollmacht beharrten.
f) Der Präsident der II. Zivilkammer des Obergerichts hat mit Verfügung vom 8. April 1999 unbestrittenermassen sowohl dem Beschwerdeführer 1 als auch seinem angeblichen Mandanten eine Frist von zehn Tagen gesetzt, um eine den Hauptprozess betreffende Vollmacht im Original einzureichen.
Diese Verfügung konnte gemäss den nicht offensichtlich unzutreffenden Feststellungen des Kassationsgerichts nicht nur dem Beschwerdeführer 1, sondern auch dem Beschwerdeführer 2, der sich zu jener Zeit wiederum in Ausschaffungshaft befand, eröffnet werden. Dass das Obergericht, den Beschwerdeführer 1, der nach eigenen Angaben intensiv nach dem Verbleiben des Beschwerdeführers 2 gesucht hatte, nicht umgehend darüber informierte, mag zwar fragwürdig erscheinen; eine Verletzung der Verfassung liegt aber nicht vor: Da das Obergericht zu Recht davon ausging, dass ein rechtsgültiges Vertretungsverhältnis fehlte, war es nämlich weder nach dem Prinzip von Treu und Glauben (<ref-law>) noch nach dem Gebot der Fairness oder einer anderen Norm gehalten, dem Beschwerdeführer 1 Tatsachen bekannt zu geben, die den Beschwerdeführer 2 betrafen. Wann das Obergericht über die erneute Inhaftierung des Beschwerdeführers 2 Kenntnis erhielt, spielt somit keine Rolle. Für den zu dieser Frage beantragten weiteren Schriftwechsel bzw. für eine Zustellung der Akten des Obergerichts an den Beschwerdeführer 1 zur Einsichtnahme besteht somit ebenso wenig Anlass wie für das Ansetzen einer neuen Frist zur Ergänzung der vorliegenden Beschwerde.
Beide Beschwerdeführer liessen die ihnen in der Verfügung vom 8. April 1999 gesetzte Frist unbenutzt verstreichen.
Eine neue Vollmacht wurde auch nach dem Entscheid des Obergerichts vom 3. September 1999 nicht beigebracht.
Der Beschwerdeführer 1 konnte sich, wie er selber ausführt, mit dem Beschwerdeführer 2, dessen Aufenthaltsort seit der Ausschaffung unbekannt ist, nicht mehr in Verbindung setzen.
Unter diesen Umständen ist es nicht unhaltbar bzw. auch sonst aus verfassungsrechtlicher Sicht nicht zu beanstanden, wenn das Kassationsgericht auf die Beschwerde nicht eintrat, ohne den Beschwerdeführern vorgängig erneut Frist zur Einreichung einer Vollmacht bzw. zum Nachweis der Ermächtigung anzusetzen. Die in der Beschwerde gegen den Nichteintretensentscheid erhobenen Verfassungsrügen erweisen sich daher auch bei einer materiellen Überprüfung als unbegründet.
g) Der Beschwerdeführer 1 hat den Beschwerdeführer 2 somit vor der letzten kantonalen Instanz nicht rechtsgültig vertreten. Auf die staatsrechtliche Beschwerde ist daher mangels Vollmacht insoweit nicht einzutreten, als diese im Namen des Beschwerdeführers 2 eingereicht worden ist.
3.- a) Der Beschwerdeführer 1 führt indessen nicht nur für den Beschwerdeführer 2 sondern auch in eigenem Namen staatsrechtliche Beschwerde. Dazu ist er insoweit berechtigt, als er durch die Kostenauflage im angefochtenen Entscheid in seiner rechtlichen Stellung berührt ist (<ref-ruling> E. 1b S. 96, mit Hinweis). Die verfassungsrechtliche Überprüfung des Kostenspruchs ist jedoch nur insofern zulässig, als dadurch nicht indirekt der Entscheid in der Hauptsache miterfasst wird. Der von der Kostenauflage Beschwerte kann daher nur rügen, der Kostenentscheid sei mit dem Prozessergebnis unvereinbar oder die kantonale Behörde habe die Kostenregelung des kantonalen Rechts willkürlich angewendet (<ref-ruling>, S. 91), für weitere Rügen fehlt es ihm mangels Parteistellung im kantonalen Verfahren an der Beschwerdebefugnis (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 222).
b) Gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss die Beschwerdeschrift die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2a S. 3 f.). Auf bloss appellatorische Kritik tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. b). Ob diese Voraussetzung bezüglich der hier zulässigen Rügen des Beschwerdeführers 1 erfüllt sind, ist zu bezweifeln. Die Frage kann indessen offen gelassen werden, da sich diese Rügen auch bei einer materiellen Überprüfung als unbegründet erweisen.
c) Nach den vorangehenden Erwägungen durfte das Kassationsgericht ohne die Verfassung zu verletzen davon ausgehen, der Beschwerdeführer 1 habe für den Beschwerdeführer 2 Nichtigkeitsbeschwerde geführt bzw. die unentgeltliche Prozessführung beantragt, ohne dazu ermächtigt gewesen zu sein. Wenn es daher schloss, der Beschwerdeführer 1 habe diese Verfahren schuldhaft verursacht und ihm deshalb gestützt auf <ref-law> deren Kosten auferlegt, ist dies weder unhaltbar bzw. willkürlich noch mit dem Prozessergebnis unvereinbar.
4.- Demnach erweist sich die staatsrechtliche Beschwerde als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang hat der mit seinen Anträgen unterliegende Beschwerdeführer 1, X._, die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG).
Auf das für den Beschwerdeführer 2, Y._ eingereichte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann mangels Vollmacht des angeblichen Vertreters nicht eingetreten werden (Art. 152 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 29 Abs. 1 OG; siehe dazu vorangehende E. 2). Da feststeht, dass der angebliche Vertreter bereits im kantonalen Verfahren nicht rechtsgültig bevollmächtigt war, könnte dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im Übrigen auch wegen der Aussichtslosig- keit der gestellten Rechtsbegehren nicht entsprochen werden (Art. 152 Abs. 1 OG).
Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 159 Abs. 2 OG analog).
Von einer Zustellung des Urteils an Y._, dessen Aufenthalt unbekannt ist, kann abgesehen werden, da, wie dargelegt (vgl. vorangehende E. 2), davon auszugehen ist, dass mangels Vollmacht in seinem Namen keine rechtsgenügliche Eingabe eingereicht wurde.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Auf das namens von Y._ eingereichte Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird nicht eingetreten.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird Rechtsanwalt X._ auferlegt.
4.- Dieses Urteil wird Rechtsanwalt X._ sowie der Finanzdirektion und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 17. April 2001
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Die Gerichtsschreiberin: