Fatti:
A.
B.A._ è titolare della ditta C._, attiva nel campo del piccolo credito e nel ramo immobiliare. Suo marito nonché collaboratore, A.A._, possiede una procura individuale.
B.
In data 10 e 23 gennaio 2008 l'Ufficio circondariale di tassazione di Mendrisio ha notificato agli interessati le tassazioni IC/IFD per il biennio 2001/2002 e per i periodi fiscali dal 2003 al 2006. Per quanto concerne gli anni 2001/2002 l'autorità fiscale ha aumentato il reddito dell'attività indipendente della moglie da fr. 27'502.-- di media annua a fr. 120'000.--, per effetto di diverse riprese. Ha inoltre aggiunto gli interessi attivi su un prestito concesso alla D._ SA (fr. 15'041.-- di media annua) e gli interessi passivi pagati alla E._ AG, di X._, nel Canton Grigioni (fr. 14'205.--). Anche per i periodi successivi il reddito da attività indipendente è stato aumentato, sempre per effetto di diverse riprese (2003: da fr. 33'179.-- a fr. 52'000.--; 2004: da fr. 0.-- a fr. 15'000.--; 2005: da fr. 0.-- a fr. 20'000.--; 2006: da fr. 35'873.-- a fr. 58'000.--). Sono inoltre stati aggiunti gli interessi passivi versati alle società creditrici E._ AG e F._ AG, entrambe di X._ nonché, per gli anni fiscali 2004 e 2005, una liquidazione erogata dalla Cassa pensione G._.
Con decisioni dei 10 e 12 dicembre 2012, l'Ufficio di tassazione di Mendrisio ha parzialmente accolto i reclami presentati dai coniugi A._ e ha ridotto da fr. 120'000.-- a fr. 78'000.-- il reddito aziendale per gli anni 2001/2002. Ha invece confermato il reddito determinato per gli anni successivi, il mancato riconoscimento degli interessi passivi pagati alla E._ AG - rinviando in proposito alle motivazioni esposte nella decisione relativa al biennio 1999/2000 e alla sentenza della Camera di diritto tributario del 25 giugno 2012 - nonché le diverse riprese per spese non riconosciute (utilizzazione privata di strutture e servizi della ditta, segnatamente uso di autoveicoli, nonché altri vantaggi provenienti dalle società H._ SA e I._ SA).
C.
L'8 gennaio 2013 A.A._ e B.A._ hanno adito la Camera di diritto tributario del Tribunale d'appello contestando le citate decisioni su reclamo. Dopo avere declinato la proposta del Giudice delegato di rinunciare al prosieguo della procedura vista la sentenza con cui il 18 febbraio 2013 il Tribunale federale aveva respinto il loro gravame concernente le tassazioni dei periodi 1997/1998 e 1999/2000 (causa 2C_823/2012 e 2C_824/2012) e dopo un iter procedurale riguardante l'istanza di assistenza giudiziaria da loro presentata in sede cantonale che non occorre qui rievocare (vedasi cause 2C_464/2013 e 2C_465/2013 del 19 luglio 2013 nonché 2C_849/2013 del 30 dicembre 2013), la Corte cantonale, con sentenza del 9 maggio 2014, ha respinto il ricorso nella misura in cui concerneva gli anni 2003 a 2006 e l'ha invece parzialmente accolto per quanto riguarda il biennio 2001/2002, annullando alcune riprese effettuate nel citato periodo.
D.
Il 12 giugno 2014 A.A._ e B.A._ hanno presentato dinanzi al Tribunale federale un ricorso in materia di diritto pubblico, con cui chiedono che il giudizio cantonale sia annullato e la causa rinviata all'autorità precedente per nuovo giudizio. In sintesi censurano la violazione del loro diritto di essere sentiti e del divieto dell'arbitrio. Postulano inoltre il beneficio dell'assistenza giudiziaria, con nomina di un avvocato d'ufficio.
Il Tribunale federale non ha ordinato uno scambio di allegati scritti, chiedendo solo la trasmissione degli atti cantonali, avvenuta il 23 giugno 2014.

Diritto:
1.
1.1. Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione la sua competenza (<ref-law>) e l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (<ref-ruling> consid. 1 pag. 43).
1.2. La Corte cantonale si è lecitamente pronunciata in un solo giudizio concernente le imposte cantonali e l'imposta federale diretta; in tali circostanze, i ricorrenti potevano anch'essi formulare critiche e conclusioni valide per le due categorie di imposte, senza procedere a ulteriori distinzioni (<ref-ruling> consid. 1.3 pag. 262 seg.). Siccome vi sono Cantoni che emanano in ogni caso decisioni indipendenti, per ciascun tipo d'imposta, il Tribunale federale ha aperto comunque due incarti distinti, per le imposte cantonali (2C_578/2014) e per l'imposta federale diretta (2C_579/2014), che si giustifica ora di congiungere (sentenza 2C_415/2012 del 2 novembre 2012 consid. 1.1).
1.3. Rivolta contro la decisione di un'autorità cantonale di ultima istanza in una causa di diritto pubblico, l'impugnativa, presentata in tempo utile (<ref-law>) dai destinatari del giudizio contestato (<ref-law>), è di massima ammissibile quale ricorso in materia di diritto pubblico (art. 82 segg. LTF; in questo contesto, cfr. pure l'art. 86 cpv. 1 lett. d LTF in relazione con l'<ref-law> nonché l'art. 73 della legge federale del 14 dicembre 1990 sull'armonizzazione delle imposte dirette dei Cantoni e dei Comuni [LAID; RS 642.14]).
2.
Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>). Nondimeno, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dalla legge (art. 42 cpv. 1 e 2 LTF), la cui mancata ottemperanza conduce all'inammissibilità del gravame, esamina di regola solo le censure sollevate (<ref-ruling> consid. 1.1 pag. 104 seg.). Nell'atto di ricorso occorre pertanto spiegare in modo conciso in cosa consiste la lesione del diritto e su quali punti il giudizio contestato viene impugnato (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 245 seg.). Esigenze più severe valgono invece in relazione alla violazione di diritti fondamentali; simili critiche vengono infatti trattate unicamente se sono state motivate in modo chiaro, circostanziato ed esaustivo (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 246; <ref-ruling> consid. 1.4.2 pag. 254).
3.
3.1. Nell'allegato ricorsuale viene in primo luogo denunciato una lesione del diritto di essere sentiti (<ref-law>). I contribuenti rimproverano ai giudici cantonali di non avere assunto le prove da loro offerte al fine di dimostrare l'esistenza dei debiti contratti nei confronti della E._ AG e della F._ SA, con sede a X._, e, di riflesso, degli interessi passivi pagati. Segnatamente non sarebbero state considerate le ricevute di pagamento degli interessi e le dichiarazioni attestanti l'entità del debito residuo, non sarebbe stato sentito in qualità di teste l'avv. J.J._, amministratore delle citate società, né sarebbe stata richiesta alle medesime ulteriore documentazione a conferma e, infine, benché fosse stato espressamente domandato, non sarebbe stato convocato il loro patrocinatore ad un'udienza per incombenti.
3.2. Il diritto di essere sentito, sancito dall'<ref-law>, comprende tra l'altro il diritto per la parte interessata di consultare l'incarto, di offrire mezzi di prova su punti rilevanti e di esigerne l'assunzione, di partecipare alla stessa e di potersi esprimere sulle relative risultanze nella misura in cui possano influire sulla decisione (<ref-ruling> consid. 5.1 pag. 293). Il diritto di far amministrare delle prove presuppone tuttavia che il fatto da provare sia pertinente, che il mezzo di prova proposto sia necessario per constatare questo fatto e che la domanda sia formulata nelle forme e nei termini prescritti. D'altra parte, quand'anche la prova offerta risulti di per sé lecita, tale garanzia costituzionale non impedisce all'autorità di porre un termine all'istruttoria, allorquando le prove assunte le hanno permesso di formarsi una propria convinzione e, procedendo in modo non arbitrario ad un apprezzamento anticipato delle prove richieste, è convinta che le stesse non potrebbero condurla a modificare la sua opinione (<ref-ruling> consid. 5.3 pag. 236; <ref-ruling> consid. 5.3 pag. 148; <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 429 con rispettivi rinvii). Nell'ambito di questa valutazione, le spetta un vasto margine di apprezzamento e il Tribunale federale interviene solo in caso di arbitrio (sulla nozione d'arbitrio <ref-ruling> consid. 4.1.2 pag. 62).
3.3. Per una corretta visione del caso appare opportuno rammentare che nella loro dichiarazione fiscale 1997/1998, i coniugi A._ avevano indicato l'esistenza di un debito privato e di un debito aziendale verso la società finanziaria L._ con sede all'estero, garantiti da cartelle ipotecarie gravanti un fondo di proprietà di B.A._, rispettivamente della sua società. Nella dichiarazione concernente il biennio 1999/2000, i contribuenti avevano poi precisato che alla L._ con sede all'estero era subentrata la E._ AG di X._ (Canton Grigioni), che aveva ripreso sia il debito privato sia quello aziendale. Presidente della società grigionese era a quel tempo l'avv. J.J._ (deceduto nel 2008 e sostituito dal figlio, l'avv. K.J._), che in precedenza aveva sempre agito anche in nome e per conto della citata L._ (cfr. causa 2C_823/2012 e 2C_824/2012 citata).
3.4. Pronunciandosi sulla questione del mancato riconoscimento degli interessi passivi pagati alle società di X._, la Corte cantonale ha osservato che detta problematica era già stata da lei esaminata con sentenza del 25 giugno 2012, confermata poi dal Tribunale federale il 18 febbraio 2013 (causa 2C_823/2012 e 2C_824/2012 citata), quando si era pronunciata sui periodi fiscali precedenti, ossia i bienni 1997/1998 (quando il creditore era la L._ con sede all'estero) e 1999/2000 (allorquando alla L._ era subentrata, sempre nella veste di creditore, la E._ AG). In proposito ha rammentato che in quel contesto si era ampiamente confrontata con le conseguenze del trasferimento del debito dalla L._ alla E._ AG, segnatamente ha ricordato che, nel menzionato giudizio del 25 giugno 2012, era giunta alla conclusione che la sola circostanza che la E._ AG fosse subentrata alla L._ quale creditore non bastava a comportare il riconoscimento del debito. Pur ammettendo che le esigenze probatorie erano più rigorose nei confronti di entità giuridiche estere, allorché quando il creditore è domiciliato in Svizzera era di regola sufficiente indicarne il nome e l'indirizzo, ha rilevato che aveva giudicato che il mancato riconoscimento dei debiti contratti verso la società finanziaria estera implicava, di riflesso, anche il mancato riconoscimento dei prestiti concessi nel biennio successivo dalla E._ AG, i quali sarebbero serviti per l'appunto a rilevare i primi. Al riguardo aveva aggiunto che i contribuenti non erano stati in grado di produrre nessun elemento atto a dimostrare in maniera ineccepibile l'avvenuto trasferimento delle somme di denaro, così come non erano stati in grado di provare in modo inconfutabile il versamento dei relativi interessi. A tale proposito, le attestazioni sottoscritte dall'avv. J.J._ dovevano essere considerate con la necessaria prudenza, già per il semplice fatto che era lui all'origine dell'intero costrutto giuridico. Detto avvocato rappresentava del resto, oltre alla pretesa creditrice con sede all'estero, anche altre società utilizzate dai contribuenti, prima fra tutte la E._ AG di X._, di cui era presidente, ma anche la F._ SA, sempre con sede a X._. Nel caso concreto, dato che le censure sollevate dai contribuenti erano le stesse di quelle con cui essa si era confrontata nel giudizio del 25 giugno 2012, ne derivava che neppure gli interessi passivi pagati nei periodi fiscali 2001/2001 e dal 2003 al 2006 erano deducibili dal reddito imponibile.
3.5. In realtà, con il rifiuto di assumere le prove proposte dai contribuenti, la Corte cantonale ha operato un ammissibile apprezzamento anticipato delle prove. Rinviando a quanto da lei già deciso per i precedenti periodi fiscali e successivamente confermato da questa Corte (citata causa 2C_823/2012 e 2C_824/2012), ha spiegato infatti perché non riteneva attendibili i mezzi di prova proposti. Ha constatato cioè la totale assenza di documenti in grado di fornire la benché minima prova di un movimento bancario sia con riferimento all'avvenuto trasferimento delle somme di denaro sia per quanto concerne il pagamento dei relativi interessi nonché ha posto l'accento sul singolare ruolo svolto dall'avv. J.J. _ nell'intera vicenda e, di riflesso, ha emesso delle riserve nei confronti delle attestazioni da lui sottoscritte. Ora, nel contestare questa valutazione, quantomeno sostenibile, della Camera di diritto tributario, i ricorrenti non dimostrano in alcun modo l'esistenza di un apprezzamento anticipato arbitrario delle prove (al riguardo cfr. <ref-ruling> consid. 5.3 pag. 236 seg.; <ref-ruling> consid. 5.3 pag. 148; <ref-ruling> consid. 3 pag. 157). In effetti essi nulla adducono e ancora meno provano che le singole prove offerte erano conformi ai requisiti già indicati dalla Corte cantonale. Senza poi dimenticare, con riferimento alla richiesta di convocare il loro patrocinatore per un'udienza per incombenti, che il diritto di essere sentito non comprende quello di comparire personalmente e di esprimersi oralmente dinanzi all'autorità giudicante (DTF <ref-ruling> consid. 5.3 pag. 148 con rinvio; <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 428; <ref-ruling> consid. 9b pag. 219). Su questo punto la censura si rivela priva di pertinenza e, come tale, va respinta.
3.6. I ricorrenti sostengono inoltre che, contrariamente a quanto oggetto di disamina nella sentenza cantonale del 25 giugno 2012, poi confermata da questa Corte il 18 febbraio 2013, i debiti ora in discussione non sono stati contratti con società straniere bensì con società svizzere, motivo per cui le prove da loro offerte andavano ammesse, le situazioni non essendo paragonabili. Sennonché, come già loro ricordato (causa 2C_849/2013 del 30 dicembre 2013, consid. 5.2.1), essi dimenticano che il giudizio reso in precedenza aveva per oggetto anche un periodo fiscale in cui alla L._, con sede a all'estero, era già subentrata la E._ AG, con sede nel Canton Grigioni. Anche in proposito la censura si dimostra infondata e va quindi respinta.
3.7. I ricorrenti pongono poi l'accento sul fatto che la Corte cantonale avrebbe deciso che approfondimenti non erano necessari, siccome i debiti versi gli enti svizzeri costituivano la ripresa dei precedenti debiti verso la società con sede all'estero. Tale ragionamento, secondo gli interessati, sarebbe di "comodo", dato che i debiti verso la società estera non erano stati accertati, non perché non sussistevano, ma semplicemente perché ne era mancata la dimostrazione. Mentre quelli contratti nei confronti delle società svizzere erano sostenuti da precisa documentazione, sottoscritta da un legale, il quale avrebbe peraltro effettuato di persona i passaggi di denaro dalla società estera a quelle svizzere, come comprovato dall'ampia documentazione prodotta. Sennonché, oltre al fatto che, contrariamente a quanto affermato dai ricorrenti, i debiti contratti verso la società estera non sono stati ammessi, perlomeno dal profilo fiscale, perché non era stata fornita una prova ineccepibile della loro esistenza (citata causa 2C_823/2012 e 2C_824/2012, consid. 3 e 4.1), le critiche appena esposte in realtà si confondono con quelle esaminate in precedenza ai considerandi 3.5 e 3.6: esse vanno di conseguenza respinte per gli stessi motivi.
4.
Formulando le medesime critiche di quelle esposte in precedenza con riferimento alla violazione del loro diritto di essere sentiti, i ricorrenti ritengono la sentenza impugnata inficiata d'arbitrio. La censura disattende tuttavia l'<ref-law> e sfugge pertanto ad un esame di merito. In effetti, una critica fondata sulla violazione dell'<ref-law> - come appunto è quella in esame - non può esaurirsi in considerazioni che forniscono solo una diversa lettura delle prove addotte, ma necessita di una motivazione puntuale, da cui emerga in che misura i giudici cantonali non abbiano manifestamente compreso il senso e la portata di un mezzo di prova, abbiano omesso senza seria ragione di tenere conto di un mezzo di prova importante o abbiano proceduto a deduzioni insostenibili (<ref-ruling> consid. 4.2 pag. 560; <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62; <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 9; <ref-ruling> consid. 2a pag. 40 seg.).
5.
I ricorrenti non ridiscutono gli altri punti contenuti nella sentenza cantonale, segnatamente la ripresa di spese non riconosciute e le prestazioni valutabili in denaro (vedasi sentenza querelata consid. 2 e 3, pag. 5 segg.). Non occorre pertanto pronunciarsi in proposito.
6.
Per quanto precede, nella misura in cui è ammissibile, il ricorso deve essere integralmente respinto sia con riferimento all'imposta federale diretta sia per quanto riguarda l'imposta cantonale.
7.
L'istanza di assistenza giudiziaria presentata col gravame, tendente all'esonero dal pagamento di spese giudiziarie e all'ottenimento del gratuito patrocinio per la procedura davanti al Tribunale federale, va parimenti respinta, poiché il ricorso appariva sin dall'inizio privo di probabilità di successo (art. 64 cpv. 1 e 2 LTF). Nell'addossare le spese giudiziarie ai ricorrenti, soccombenti in solido (art. 65 e 66 cpv. 1 e 5 LTF), viene comunque considerata la loro particolare situazione finanziaria, fissando un importo ridotto. Non si assegnano ripetibili ad autorità vincenti (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Le cause 2C_578/2014 e 2C_579/2014 sono congiunte.
2.
Sia per quanto concerne l'imposta federale diretta (2C_579/2014) che l'imposta cantonale (2C_578/2014), il ricorso in materia di diritto pubblico, nella misura in cui è ammissibile, è respinto.
3.
La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
4.
Le spese giudiziarie ridotte di fr. 1'000.-- sono poste a carico dei ricorrenti, in solido.
5.
Comunicazione al patrocinatore dei ricorrenti, alla Divisione delle contribuzioni e alla Camera di diritto tributario del Tribunale d'appello del Cantone Ticino, nonché all'Amministrazione federale delle contribuzioni, Divisione principale imposta federale diretta, imposta preventiva, tasse di bollo.