Sachverhalt:
A. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt sprach X._, der als Geschäftsinhaber eines Trödelmarkts in Basel in der Zeitspanne von November 2002 bis August 2004 mehrfach Waren von verschiedenen Personen zwecks Weiterverkaufs erworben hatte, am 15. Dezember 2006 in weitgehender Bestätigung des Urteils des Strafgerichts Basel-Stadt vom 27. September 2005 der mehrfachen Hehlerei (Art. 160 Ziff. 1 Abs. 1 StGB) schuldig und verurteilte ihn zu fünf Monaten Gefängnis, teilweise als Zusatzstrafe zu einem Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 10. September 2003. In der Urteilsbegründung führte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt aus, X._ habe aufgrund der gesamten Erwerbsumstände wissen oder zumindest annehmen müssen, dass die Waren durch strafbare Handlungen gegen das Vermögen erlangt worden waren.
B. X._ erhebt sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde je mit dem Antrag, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 15. Dezember 2006 sei aufzuheben. Mit eidgenössischer Nichtigkeitsbeschwerde beantragt er des Weiteren die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz. Diese sei anzuweisen, ein psychiatrisches Gutachten betreffend seiner Zurechnungsfähigkeit einzuholen. Ferner ersucht er für beide Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung.
C. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt beantragen die Abweisung der beiden Beschwerden.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das angefochtene Urteil ist vor dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG; SR 173.110) am 1. Januar 2007 ergangen. Auf die Rechtsmittel ist deshalb noch das bisherige Verfahrensrecht anwendbar (Art. 132 Abs. 1 BGG, e contrario), hier somit dasjenige der staatsrechtlichen Beschwerde (Art. 84 ff. OG) und der eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde (Art. 268 ff. BStP).
Am 1. Januar 2007 ist der revidierte Allgemeine Teil des Strafgesetzbuches in Kraft getreten. Die neuen Bestimmungen sind hier aber noch nicht von Bedeutung, da das Bundesgericht im Verfahren der Nichtigkeitsbeschwerde nur prüft, ob das kantonale Gericht das eidgenössische Recht richtig angewendet hat (Art. 269 Abs. 1 BStP), mithin das Recht, welches im Zeitpunkt der Ausfällung des angefochtenen Urteils noch gegolten hat (<ref-ruling> E. 5.3 mit Hinweisen).
I. Staatsrechtliche Beschwerde
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 9 BV, da das Appellationsgericht Beweise, welche seine Zurechnungsfähigkeit in Frage stellten, nicht richtig gewürdigt habe. Aus den medizinischen Akten und insbesondere aus dem Schreiben von Dr. med. A._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 10. Dezember 2006 ergäben sich spezifische Anhaltspunkte, dass er geistig beeinträchtigt sei. In Anbetracht dessen sei die Ablehnung des Appellationsgerichts, eine psychiatrische Begutachtung anzuordnen, willkürlich.
2.2 Willkür in der Beweiswürdigung liegt vor, wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, auf einem offenkundigen Fehler beruhen oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen. Dabei genügt es nicht, wenn der angefochtene Entscheid sich nur in der Begründung als unhaltbar erweist; eine Aufhebung rechtfertigt sich erst, wenn er auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (<ref-ruling> E. 2a mit Hinweisen).
2.3 Dr. med. A._ hat in seinem Schreiben vom 10. Dezember 2006 festgehalten, dass der Beschwerdeführer aufgrund einer depressiven Grundstimmung, einer ausgeprägten Ängstlichkeit und Konzentrationsstörung sowie einer Einschränkung der Merkfähigkeit sein Geschäft nie ganz aus eigener Kraft habe führen und auch keine Übersicht über die Geschäftsabläufe habe haben können. Des Weiteren sei der Beschwerdeführer auch nicht im Stande, eine strafbare Tat zu planen und durchzuführen (vorinstanzliche Akten act. 605).
Das Appellationsgericht hat dieses Schreiben wie auch die weiteren medizinischen Berichte ausdrücklich in die Beweiswürdigung miteinbezogen. Es hat jedoch erwogen, dass der Beschwerdeführer entgegen den Einschätzungen von Dr. med. A._ während vieler Jahre sehr wohl in der Lage gewesen sei, sein Trödelgeschäft zu betreiben. Zudem hätten die vom Beschwerdeführer verübten Taten weder eine umfangreiche Planung noch eine besondere kriminelle Energie erfordert.
Einem von einer Partei eingereichten medizinischen Bericht kommt rechtlich einzig die Tragweite einer Parteibehauptung zu. Das Appellationsgericht hat begründet, weshalb es im Ergebnis von der Meinung des Arztes, der Beschwerdeführer sei nicht zur Planung und Durchführung einer Strafhandlung fähig gewesen, abgewichen ist. Diese Beweiswürdigung durch das Appellationsgericht hält der bundesgerichtlichen Willkürprüfung stand. Insbesondere ist nicht ersichtlich - und wird vom Beschwerdeführer auch nicht näher substantiiert - inwieweit das Appellationsgericht von Tatsachen ausgegangen wäre, welche mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen.
Ob das Appellationsgericht hingegen aufgrund der sich aus den willkürfrei gewürdigten Beweismittel ergebenden Sachlage ernsthafte Zweifel an der Zurechnungsfähigkeit des Beschwerdeführers hätte hegen und deshalb gestützt auf Art. 13 StGB ein psychiatrisches Gutachten hätte anordnen müssen, ist eine Rechtsfrage, die nicht mit staatsrechtlicher Beschwerde zur Entscheidung gestellt werden kann (<ref-ruling> E. 2; Erhard Schweri, Eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde in Strafsachen, Bern 1993, N. 678).
Die staatsrechtliche Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
II. Nichtigkeitsbeschwerde
3. 3.1 Mit Nichtigkeitsbeschwerde rügt der Beschwerdeführer die Verletzung von Art. 13 Abs. 1 StGB, da die Vorinstanz, obwohl sie aufgrund der Umstände an seiner Zurechnungsfähigkeit hätte zweifeln müssen, auf die Anordnung eines psychiatrischen Gutachtens verzichtet habe.
Zur Begründung führt der Beschwerdeführer aus, er habe am 13. Mai 1992 durch einen Sturz auf seinen Hinterkopf ein Schädelhirntrauma erlitten. Seither leide er unter einer schweren posttraumatischen Anpassungs- bzw. Belastungsstörung und sei deshalb zu 100 % arbeitsunfähig. Die eidgenössische Invalidenversicherung habe ihm denn auch am 8. November 1995 mit Wirkung ab 1. Juli 1993 eine volle Invalidenrente zugesprochen. Aufgrund der medizinischen Berichte des Psychotherapeuten B._, der Ärzte Dr. C._ und Dr. D._ des Kantonsspitals Basel sowie von Dr. med. A._ dränge sich vorliegend die gutachterliche Abklärung seiner Schuldfähigkeit virulent auf.
3.2 Die Vorinstanz erwägt, es gebe zweifellos noch andere Straftäter, die in ihrem Lebenslauf einen Unfall oder traumatische Erlebnisse hatten, ohne dass damit ihre Fähigkeit, das Unrecht begangener Straftaten zu erkennen, Schaden genommen habe. Beim Beschwerdeführer wiesen weder die Taten als solche noch die Art der Ausführung Auffälligkeiten auf, welche Zweifel an seiner Zurechnungsfähigkeit begründeten. Bei dieser Sachlage könne dementsprechend von der Einholung eines psychiatrischen Gutachten abgesehen werden.
3.3 Nach Art. 13 Abs. 1 StGB ist eine Untersuchung des Beschuldigten anzuordnen, wenn Zweifel an dessen Zurechnungsfähigkeit bestehen. Der Richter soll seine Zweifel nicht selber beseitigen, etwa indem er psychiatrische Fachliteratur beizieht. Vielmehr ergibt sich aus Art. 13 Abs. 2 StGB, dass er bei Zweifeln einen Sachverständigen beiziehen muss. Art. 13 StGB gilt nicht nur, wenn der Richter tatsächlich Zweifel an der Zurechnungsfähigkeit hat, sondern auch, wenn er nach den Umständen des Falls ernsthafte Zweifel haben sollte (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 1a mit Hinweisen). Bei der Prüfung dieser Zweifel ist zu berücksichtigen, dass nicht jede geringfügige Herabsetzung der Fähigkeit, sich zu beherrschen, genügt, um verminderte Zurechnungsfähigkeit anzunehmen. Der Betroffene muss vielmehr, zumal der Begriff des normalen Menschen nicht eng zu fassen ist, in hohem Masse in den Bereich des Abnormen fallen. Seine Geistesverfassung muss nach Art und Grad stark vom Durchschnitt nicht bloss der Rechts-, sondern auch der Verbrechensgenossen abweichen (BGE <ref-ruling> E. 4b).
Umstände, welche beim Richter ernsthafte Zweifel hervorrufen müssen, sind nach der bundesgerichtlichen Praxis beispielsweise gegeben bei Drogenabhängigkeit (<ref-ruling> und <ref-ruling> E. 2), bei einer Frau, die mit einer schizophrenen Tochter zusammenlebte (<ref-ruling>), bei einem Sexualdelinquenten mit möglicherweise abnorm starkem Geschlechtstrieb (BGE 71 IV 190) sowie bei einem Ersttäter, bei dem der Beginn der Straffälligkeit mit dem Ausbruch einer schweren allergischen oder psychosomatischen Hautkrankheit zusammenfiel (<ref-ruling>). Die Notwendigkeit, einen Sachverständigen zuzuziehen, ist erst gegeben, wenn Anzeichen vorliegen, die geeignet sind, Zweifel hinsichtlich der vollen Schuldfähigkeit zu erwecken, wie etwa ein Widerspruch zwischen Tat und Täterpersönlichkeit oder völlig unübliches Verhalten. Zeigt das Verhalten des Täters vor, während und nach der Tat, dass ein Realitätsbezug erhalten war, dass er sich an wechselnde Erfordernisse der Situation anpassen, auf eine Gelegenheit zur Tat warten oder diese gar konstellieren konnte, so hat eine schwere Beeinträchtigung nicht vorgelegen (vgl. <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 4a mit weiteren Beispielen; siehe zum Ganzen auch Volker Dittmann, Psychotrope Substanzen, Delinquenz und Zurechnungsfähigkeit, Schweizerische Rundschau für Medizin [PRAXIS] 85/1996, S. 109 ff.; Marc Helfenstein, Der Sachverständigenbeweis im schweizerischen Strafprozess, Diss. Zürich 1978, S. 36 ff.; Philipp Maier/Arnulf Möller, Das gerichtspsychiatrische Gutachten gemäss Art. 13 StGB, Zürich 1999, S. 94 ff.; Felix Bommer, Basler Kommentar StGB I, Basel 2003, Art. 13 N. 7 ff.; Stefan Trechsel, Kurzkommentar StGB, 2. Auflage, Zürich 1997, Art. 13 N. 2).
3.4 Der den Beschwerdeführer behandelnde Psychologe/Psychotherapeut und Neuropsychologe B._ stellte eine posttraumatische Belastungsstörung bzw. ängstlich-depressive Anpassungsstörung fest. Dr. C._ und Dr. D._ der Neurologisch-neurochirurgischen Poliklinik des Kantonsspitals Basel diagnostizierten beim Beschwerdeführer (ebenfalls) namentlich eine schwere posttraumatische Anpassungsstörung als Folge eines Schädelhirntraumas.
3.5 Posttraumatische Belastungs- und Anpassungsstörungen sind Beeinträchtigungen der psychischen Gesundheit. Gemäss der internationalen Klassifikation der WHO handelt es sich bei der posttraumatischen Belastungsstörung um eine verzögerte oder protrahierte Reaktion auf ein belastendes Ereignis oder eine Situation aussergewöhnlicher Bedrohung oder katastrophenartigen Ausmasses, die bei fast jedem eine tiefe Verzweiflung hervorrufen würde (Horst Dilling, Internationale Klassifikation psychischer Störungen, 5. Auflage, Bern 2005, S. 169). Eine solche Störung äussert sich in den Symptomen des Wiedererlebens durch Alb- und Tagträume und kann zu emotionaler Stumpfheit, Gleichgültigkeit und Teilnahmslosigkeit führen. Gleichzeitig ist häufig eine erhöhte Erregung festzustellen, die sich in Schlafstörungen, Reizbarkeit, Konzentrationsstörungen, Hypervigilanz oder gesteigerter Schreckhaftigkeit manifestiert (Ulrich Schnyder, Posttraumatische Belastungsstörungen, in: Erwin Murer, Psychische Störungen und Sozialversicherung, Bern 2002, S. 99 - 116, S. 101 und S. 114). Als Anpassungsstörung gelten Zustände von subjektivem Leiden und emotionaler Beeinträchtigung, welche soziale Funktionen und Leistungen behindern und während des Anpassungsprozesses nach einer entscheidenden Lebensveränderung, nach einem belastenden Lebensereignis oder auch nach schwerer körperlicher Krankheit auftreten (Dilling, a.a.O., S. 170; vgl. zum Ganzen auch Arnold Erlenkämper, Sozialrecht, Rechtliche Grundlagen; in: Klaus Foerster/Ulrich Venzlaff, Psychiatrische Begutachtung, Ein praktisches Handbuch für Ärzte und Juristen, 4. Auflage, München 2004, S. 581 - 641, S. 620; Martin Leonhardt, Psychiatrische Begutachtung bei asyl- und ausländerrechtlichen Verfahren; in: Foerster/Venzlaff, a.a.O., S. 747 - 755, S. 750 f.).
Solche Belastungsreaktionen und Anpassungsstörungen gehen nur relativ selten mit Straftaten einher (Norbert Nedopil, Forensische Psychiatrie, Stuttgart 2000, S. 142). Dass sie zur Aufhebung der Einsichtsfähigkeit führen, ist kaum denkbar; in seltenen Fällen sind sie unter Umständen jedoch derart ausgeprägt, dass die Steuerungsfähigkeit aufgehoben sein kann (Nedopil, a.a.O., S. 144).
3.6 Wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat, begründet die diagnostizierte posttraumatische Belastungs- bzw. Anpassungsstörung keine ernsthaften Zweifel an der Zurechnungsfähigkeit des Beschwerdeführers. Ein Widerspruch zwischen seinen Taten, welche alle in Zusammenhang mit dem von ihm betriebenen Trödelladen stehen, und seiner Persönlichkeit besteht nicht. Der Beschwerdeführer hat den Laden, wenn auch mit Hilfe seiner Angehörigen, zielgerichtet und profitorientiert geführt. Des Weiteren hat er sich trotz seiner angeblichen Vergesslichkeit noch Monate nach der Abwicklung gewisser Geschäfte an deren Einzelheiten erinnern können. Sein Verhalten vor, während und nach den Taten, die er im Übrigen keineswegs im Affekt begangen hat, zeigt seinen Realitätsbezug, wirkt überlegt und macht deutlich, dass er sehr wohl die Fähigkeit besitzt, sich an Situationen anzupassen und auf die richtigen Gelegenheiten zur Tatausführung zu warten. Die Vorinstanz hat mit anderen Worten zu Recht geschlossen, dass weder die Taten als solche noch die Art und Weise der Ausführung Auffälligkeiten aufwiesen. Es fehlen somit konkrete Anhaltspunkte für eine Herabsetzung der Einsichts- oder der Steuerungsfähigkeit des Beschwerdeführers. Der Umstand, dass dem Beschwerdeführer eine volle IV-Rente zugesprochen wurde, genügt für sich alleine nicht, um solche ernsthaften Zweifel an einer strafrechtlich relevanten Beeinträchtigung der vollen Schuldfähigkeit zu erwecken.
Es ist damit bundesrechtlich nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz auf den Beizug eines Sachverständigen verzichtet hat. Die Nichtigkeitsbeschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
III. Kosten- und Entschädigungsfolgen
4. Der Beschwerdeführer ersucht für beide Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Da die Rechtsmittel von vornherein aussichtslos waren, kann den Gesuchen nicht entsprochen werden (Art. 152 Abs. 1 OG).
Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG und Art. 278 Abs. 1 BStP). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr ist seinen finanziellen Verhältnissen Rechnung zu tragen (Art. 153a Abs. 1 OG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Nichtigkeitsbeschwerde wird abgewiesen.
3. Die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege werden abgewiesen.
4. Die Gerichtsgebühr von insgesamt Fr. 1'600.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Mai 2007
Im Namen des Kassationshofes
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: