Erwägungen:
1. Am 26. Mai 2008 reichte X._ eine als "Dienstaufsichtsbeschwerde" bezeichnete Eingabe gegen den Gerichtskreis III Aarberg-Büren-Erlach ein. Er machte geltend, er habe am 25. September 2007 zwei Strafanzeigen eingereicht und seither nichts gehört, was mit ihnen geschehen sei. Die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern nahm die Eingabe als Beschwerde im Sinne von Art. 327 ff. StrV entgegen und wies sie mit Beschluss vom 18. Juni 2008 ab. Zur Begründung führte die Anklagekammer zusammenfassend aus, dass das zuständige Untersuchungsrichteramt betreffend der zwei Strafanzeigen vom 25. September 2007 und eine Reihe weiterer Strafanzeigen am 9./10. Juni 2008 einen Nichteintretensbeschluss getroffen habe. Eine Rechtsverweigerung oder Rechtsverzögerung sei nicht ersichtlich, weshalb die Beschwerde abzuweisen sei.
2. X._ führt mit Eingabe vom 1. Juli 2008 (Postaufgabe 3. Juli 2008) Beschwerde in Strafsachen (<ref-law>) gegen den Beschluss der Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. <ref-law> nennt die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Ist ein, wie hier, in Anwendung kantonalen Rechts ergangener Entscheid angefochten, bildet die Verletzung blossen kantonalen Rechts keinen selbständigen Beschwerdegrund. Vielmehr hat der Beschwerdeführer darzulegen, inwiefern der beanstandete Entscheid gegen verfassungsmässige Rechte, wie etwa das Willkürverbot verstossen soll. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen der Anklagekammer nicht rechtsgenüglich auseinander und vermag nicht darzulegen, inwiefern die Anklagekammer in verfassungswidriger Weise seine Beschwerde abgewiesen haben sollte. Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4. Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Untersuchungsrichteramt I Berner Jura-Seeland, dem Gerichtskreis III Aarberg-Büren-Erlach und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Pfäffli