Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. X._ fuhr am 7. August 2005 in Zürich mit seinem Personenwagen durch die Kasernenstrasse in Richtung Hauptbahnhof. Auf der Höhe des Hauses Nr. 95 stiess er mit der rechten Seite seines Fahrzeugs gegen die geöffnete linke Hintertüre des am rechten Strassenrand parkierten Fahrzeugs eines anderen Verkehrsteilnehmers, als dieser sich in sein Fahrzeug beugte und darin hantierte (angefochtener Entscheid S. 9/10 E. 4.1.2. und 4.3.1.1.).
Das Obergericht des Kantons Zürich sprach X._ mit Urteil vom 11. Dezember 2007 im Berufungsverfahren der Verletzung einer Verkehrsregel im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> schuldig und bestrafte ihn mit einer Busse von Fr. 100.--.
X._ wendet sich mit Beschwerde ans Bundesgericht und beantragt unter anderem, das Urteil vom 11. Dezember 2007 sei aufzuheben (Antrag 4).
2. Auf das Ausstandsbegehren gegen Richter und einen Gerichtsschreiber des Bundesgerichts (Antrag 2 sowie act. 8) ist nicht einzutreten. Die Mitwirkung an einem früheren Verfahren des Bundesgerichts bildet für sich allein keinen Ausstandsgrund (<ref-law>). Dies gilt auch, wenn der Beschwerdeführer gegen die abgelehnten Gerichtspersonen, mit deren Tätigwerden in der Vergangenheit er nicht einverstanden ist, eine Strafanzeige erstattet hat (Beilage 2 zur Beschwerde).
Es mag angemerkt werden, dass die Bundesanwaltschaft der Strafanzeige des Beschwerdeführers mit Verfügung vom 6. März 2008 keine Folge gegeben hat.
3. Mit der angeblichen Befangenheit von Oberrichter Bollinger (Antrag 3) war das Bundesgericht bereits in zwei Urteilen befasst (1B_86/2007 vom 11. Juni 2007 und 1F_8/2007 vom 11. Juli 2007). Es kann offen gelassen werden, ob der Beschwerdeführer diese Frage heute erneut aufwerfen kann (vgl. angefochtenen Entscheid S. 5/6 E. 1.3). Seine entsprechenden Ausführungen (Beschwerde S. 5 Ziff. 3.2) vermögen ohnehin nicht darzutun, aus welchem Grund Oberrichter Bollinger befangen sein sollte.
4. Zur Frage der mündlichen Berufungsverhandlung (Antrag 5) hat sich die Vorinstanz geäussert, worauf hier in Anwendung von <ref-law> verwiesen werden kann (vgl. angefochtenen Entscheid S. 8 E. 3.2.). Was daran gegen das Recht im Sinne von <ref-law> verstossen könnte, ergibt sich aus der Beschwerde nicht (vgl. Beschwerde S. 5/6 Ziff. 4.2.).
5. In Bezug auf den Sachverhalt anerkennt der Beschwerdeführer, dass dem Urteil des Bundesgerichts die tatsächlichen Annahmen der Vorinstanz zugrunde zu legen sind (Beschwerde S. 4 Ziff. 2). Sein Antrag 6 ist folglich widersprüchlich, und er wird im Übrigen auch nicht hinreichend begründet (Art. 97 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG).
In rechtlicher Hinsicht kann in Anwendung von <ref-law> auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (vgl. angefochtenen Entscheid S. 14/15 E. 4.3.2. mit Hinweis auf den erstinstanzlichen Entscheid). Eine Verletzung des Strassenverkehrsrechts ergibt sich aus der Beschwerde nicht (vgl. Beschwerde S. 6/7 Ziff. 4.3. und 4.4.) und ist auch nicht ersichtlich.
6. Die Vorinstanz hat sich zu den Haftpflicht- und Genugtuungsansprüchen geäussert, worauf hier in Anwendung von <ref-law> verwiesen werden kann (vgl. angefochtenen Entscheid S. 19/20 E. 6). Der Beschwerdeführer stellt dazu zwar die Anträge 8 und 9, aber er begründet diese nicht hinreichend gemäss <ref-law> (vgl. Beschwerde S. 4 Ziff. 1.2.), weshalb darauf nicht einzutreten ist.
7. Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung (Antrag 1) gegenstandslos geworden.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (act. 11) ist abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Eine Reduktion der Gerichtsgebühr kommt wegen der Art der Prozessführung des Beschwerdeführers nicht in Betracht (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Ausstandsbegehren gemäss Antrag 2 wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn