Sachverhalt:
A.
A.a. X._ ist die Mutter der minderjährigen Kinder A._ (geb. 2002) und B._ (geb. 2008). Am 21. Februar 2011 wurde ihr die Obhut über die Kinder entzogen, eine Erziehungsbeistandschaft für die Kinder angeordnet und eine Beiständin ernannt. Die Kinder sind seither in Familienpflege bei C._ und D._, E._.
A.b. Mit Verfügung vom 2. Februar 2012 bestätigte die Vormundschaftskommission der Einwohnergemeinde F._ den Obhutsentzug, die Anordnung der Erziehungsbeistandschaft sowie die Wahl der Beiständin. Im Weiteren regelte sie das Besuchsrecht von X._ dahingehend, dass das Recht pro Kind getrennt auszuüben sei und mindestens 2 Stunden pro Monat betrage, ferner dass das Recht der Mutter begleitet auszuüben sei, solange die Beiständin der Kinder und die für die Kinder zuständige Fachperson dies für notwendig erachten. Laut Verfügung sind die Besuche von A._ am Wohnort der Pflegeeltern oder in der dortigen Umgebung, die Besuche von B._ am Wohnort seines Vaters während dessen Besuchszeiten auszuüben. Abschliessend bestimmte die Kommission, dass das Besuchsrecht auf bis zu 2 Tage pro Monat unbegleitet zu erweitern sei, sofern die Situation von der Beiständin der Kinder und der für die Kinder zuständigen Fachperson als geeignet eingeschätzt werde. Im Weiteren beauftragte die Kommission Prof. Dr. G._ mit der Nachbegutachtung per 31. August 2012.
A.c. In seiner Nachbegutachtung vom 25. Juni 2012 hielt der Gutachter die bisherige Besuchsrechtsregelung der Mutter betreffend B._ nach wie vor als vertretbar. Als schwieriger beurteilte er die Besuche der Tochter A._ bei ihrer Mutter und kam diesbezüglich zum Schluss, dass mindestens zweimal pro Jahr ein begleiteter Besuch von ca. einer Stunde stattzufinden habe.
B.
B.a. Gegen die Verfügung der Vormundschaftskommission beschwerte sich X._ beim Regierungsstatthalter Bern-Mittelland (Beschwerde vom 13. Februar 2012) und beantragte, ihr Besuchsrecht zu erweitern bzw. ihr ein ordentliches Besuchsrecht einzuräumen. Mit Entscheid vom 11. September 2012 wies der Regierungsstatthalter die Beschwerde ab. Gegen dessen Entscheid gelangte X._ mit Beschwerde von 24. September 2012 an das Obergericht des Kantons Bern mit dem Begehren, ihr Besuchsrecht zu erweitern und ihr für das Beschwerdeverfahren vor Obergericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
B.b. Mit Entscheid vom 3. Oktober 2012 bestätigte die Vormundschaftskommission das Besuchsrecht der Mutter im bisherigen Umfang.
B.c. Mit Verfügung vom 8. Februar 2013 schrieb der Instruktionsrichter des Obergerichts des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, das Beschwerdeverfahren nach Anhörung der Parteien zur Kostenfrage als erledigt vom Geschäftsverzeichnis ab. Ferner gab er dem Gesuch von X._ um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren nicht statt, auferlegte ihr die Kosten des Verfahrens und sprach keine Parteikosten zu.
C.
X._ (Beschwerdeführerin) hat mit Eingabe vom 15. März 2013 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen die Verfügung des Instruktionsrichters Beschwerde erhoben mit dem Begehren, die Verfügung des Instruktionsrichters sei teilweise aufzuheben, ihr für "das Verfahren vor der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde" die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu erteilen und ihr den unterzeichnenden Rechtsanwalt als amtlichen Anwalt zu bestellen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie ebenso um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin beantragt, es sei ihr für das Verfahren vor der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Aus der Begründung der Beschwerde, die für die Auslegung der Rechtsbegehren beizuziehen ist, ergibt sich indes, dass sich die Beschwerdeführerin gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung im Beschwerdeverfahren vor Obergericht wendet. In diesem Sinn ist die Beschwerde zu behandeln.
1.2. Angefochten ist ein Entscheid, mit dem die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im Endentscheid in der Sache (Abschreibung des Beschwerdeverfahrens zufolge Gegenstandslosigkeit) verweigert worden ist. Die Beschwerde richtet sich damit gegen einen Endentscheid (vgl. Urteile 5A_182/2012 vom 24. September 2012 E. 1; 5A_567/2011 vom 10 Februar 2012 E. 1). In der Sache geht es um eine Zivilsache im Sinn von Art. 72 ff. BGG ohne Streitwert. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich zulässig. Die Voraussetzungen von Art. 76 Abs. 1 BGG sind erfüllt. Auf die rechtzeitig eingereichte Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
2.
2.1. Mit Bezug auf die Frage der unentgeltlichen Rechtspflege hat der Instruktionsrichter erwogen, bei der Beschwerdeführerin werde eine paranoide Persönlichkeitsstörung diagnostiziert. Überdies gelange Prof. Dr. G._ in seinem Gutachten vom 5. Oktober 2011 zum Schluss, ein umfangreiches Besuchsrecht der Beschwerdeführerin berge die Gefahr, dass die Mutter im Zustand psychischer Auffälligkeit die Kinder belaste. Die Gefährdung des Kindeswohls durch die psychische Erkrankung der Beschwerdeführerin sei erstellt. Die von der Vormundschaftsbehörde vorgenommene Güterabwägung entspreche unter den gegebenen Umständen dem Kindeswohl. Die Regelung des Besuchsrechts stütze sich auf das Gutachten vom 5. Oktober 2011 und beziehe sämtliche Beteiligten mit ein. Von den beiden im Gutachten vorgeschlagenen Varianten habe die Vormundschaftskommission die für die Beschwerdeführerin günstigere angeordnet. Im späteren Gutachten vom 25. Juni 2012 habe der Experte die bisherige Besuchsrechtsregelung bezüglich B._ als nach wie vor vertretbar erachtet. Mit Bezug auf die Tochter A._ sei er indes von schwierigeren Verhältnissen ausgegangen und zum Schluss gelangt, ein begleiteter Besuch von ca. 2 Stunden pro Jahr sei zuzulassen. Die Vormundschaftskommission habe in ihrer Verfügung vom 2. Februar 2012 das Besuchsrecht der Mutter weit weniger eingeschränkt, als dies im Nachgutachten vom 25. Juni 2012 empfohlen worden sei. An dieser Regelung habe die Kommission schliesslich in ihrer Verfügung vom 3. Oktober 2012 in Abweichung vom Nachgutachten vom 25. Juni 2012 festgehalten. Zudem trage die Möglichkeit, das Besuchsrecht auf bis zu zwei Tage pro Monat unbegleitet auszudehnen, den kommenden Entwicklungsmöglichkeiten hinreichend Rechnung. Aus diesen Überlegungen heraus ist der Instruktionsrichter davon ausgegangen, die Beschwerde an das Obergericht sei aussichtslos.
2.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung der Begründungspflicht (Art. 29 Abs. 2 BV) sowie eine Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV und führt zur Begründung aus, wie sie in ihrer Beschwerde an das Obergericht vom 24. September 2012 dargelegt habe, hätten sich ihre persönlichen Verhältnisse seit der Verfügung der Vormundschaftskommission vom 2. Februar 2012 verändert. Sie lebe seit August 2012 wieder allein in einer 31/2-Zimmer-Wohnung und befinde sich seit Ende 2011 in regelmässiger psychiatrischer Behandlung. Überdies habe sie das Gutachten als einseitig und nicht nachvollziehbar bezeichnet und gerügt, dass dieses lediglich aufgrund eines einzigen Gesprächs erstellt worden sei. Aus diesem Grunde habe sie beantragt, beim behandelnden Psychiater eine Stellungnahme zur Frage einzuholen, ob ihr derzeitiger Gesundheitszustand eine Ausweitung des Besuchsrecht erlaube. Die Vorinstanz sei auf diese Vorbringen und den Beweisantrag nicht eingegangen und habe damit ihre Pflicht, den Entscheid zu begründen, verletzt.
Aufgrund der Ausführungen in der Beschwerde und des Beweisantrages habe die Beschwerde nicht als aussichtslos bezeichnet werden können.
3.
3.1. Das rechtliche Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV verlangt, dass die Behörde die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtslage betroffenen Person auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 4.2 S. 355; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen).
3.2. Nach dem angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz für die Frage der Aussichtslosigkeit des Beschwerdeverfahrens einerseits dem Umstand Bedeutung beigemessen, dass die Beschwerdeführerin an einer paranoiden Persönlichkeitsstörung leidet. Anderseits war für sie massgebend, dass sowohl das Gutachten vom 5. Oktober 2011 als auch jenes vom 25. Juni 2012 lediglich ein restriktives Besuchsrecht der Beschwerdeführerin befürworten. Aus der Begründung ergibt sich klar, von welchen Kriterien sich die Vorinstanz hat leiten lassen. Wie die nachfolgenden Ausführungen in der Sache belegen, war die Beschwerdeführerin in der Lage, den Entscheid sachgerecht anzufechten. Eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV liegt nicht vor.
4.
4.1. Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat nach Art. 29 Abs. 3 BV Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2c mit Hinweisen). Die Prozesschancen sind in vorläufiger und summarischer Prüfung des Prozessstoffes abzuschätzen, wobei es im Rechtsmittelverfahren um die Erfolgsaussichten des Rechtsbehelfs geht. Die Frage lautet, ob das Rechtsmittel offenbar prozessual unzulässig oder aussichtslos ist (BGE 60 I 179 E. 1 S. 182; 78 I 193 E. 2 S. 195). Dass der angefochtene Entscheid oder das vorinstanzliche Verfahren an einem Mangel leidet, genügt für die Bejahung der Erfolgsaussichten nicht; entscheidend ist allein, ob das Rechtsmittel voraussichtlich gutgeheissen werden muss (Urteil 5A_373/2008 vom 7. Juli 2008 E. 2). Ob ein Begehren aussichtslos erscheint, beurteilt sich aufgrund der Verhältnisse im Zeitpunkt des Gesuchs (<ref-ruling> E. 5 S. 616; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f., je mit Hinweisen).
4.2. Im vorliegenden Fall ist entscheidend, dass das aktuelle Nachgutachten vom 25. Juni 2012 zum Zeitpunkt des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege bereits vorgelegen hat. Nach diesem Gutachten kann das bisherige Besuchsrecht der Beschwerdeführerin zu ihrem Sohn beibehalten werden, während es mit Bezug auf A._ im Verhältnis zu früheren Regelung vom 2. Februar 2012 einzuschränken ist. Zwar hat die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde das Gutachten als nicht nachvollziehbar und einseitig bezeichnet und hat auch beanstandet, dass dieses lediglich aufgrund eines Gesprächs erstellt worden sei. In diesem Zusammenhang hat sie alsdann beantragt, bei ihrem behandelnden Psychiater eine Stellungnahme zur Frage der Ausweitung des Besuchsrechts einzuholen. Allein aufgrund dieser Vorbringen und des Beweisantrages lässt sich indes noch nicht zwingend schliessen, das Beschwerdeverfahren sei nicht aussichtslos. Bei der fraglichen Stellungnahme handelte es sich ohnehin nicht um ein Obergutachten, sondern einzig um ein Parteivorbringen (siehe dazu namentlich: Annette DOLGE, Basler Kommentar ZPO, 2010, N. 17 zu Art. 183 ZPO). Inwiefern dieses Zweifel an der Stichhaltigkeit des Gutachtens vom 25. Juni 2012 erwecken sollte, wird nicht substanziiert erörtert. Aufgrund der gegebenen Sachlage und des vorhandenen aktuellen Nachgutachtens vom 25. Juni 2012 durfte die Vorinstanz bei der im Rahmen der Behandlung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege vorzunehmenden summarischen Prüfung des Prozessstoffs annehmen, die Beschwerde sei aussichtslos. Der angefochtene Entscheid hält damit im Ergebnis vor Art. 29 Abs. 3 BV stand.
5.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
6.
Wie die bisherigen Ausführungen zeigen, hat sich die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos erwiesen. Fehlt es somit an einer der materiellen Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, ist das entsprechende Gesuch der Beschwerdeführerin abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juni 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden