A.- Mit Verfügung vom 31. Januar 1996 bewilligte das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen den Dres. J._ und P._ den Betrieb der aus ihnen bestehenden einfachen Gesellschaft Klinik X._ bis zum 31. Januar 2001. Verschiedene Krankenkassen verweigerten aber Kostengutsprache für einen dortigen Aufenthalt und eine bei dieser vorgenommenen Behandlung. Der Kantonalverband St. Gallischer Krankenversicherer (KSGK) begründete dies damit, dass die Klinik X._ keine nach bisherigem, d.h. bis Ende Dezember 1995 gültig gewesenem Recht zugelassene Leistungserbringerin im Sinne der Übergangsbestimmungen des grundsätzlich am 1. Januar 1996 in Kraft getretenen neuen Bundesgesetzes über die Krankenversicherung vom 18. März 1994 (KVG) sei.
Am 24. Juni 1997 erliess der Regierungsrat des Kantons St. Gallen die Spitalliste für den Kanton St. Gallen, in welcher die Klinik X._ nicht enthalten war. Dagegen liessen die Dres. J._ und P._ als deren Beteiligte Verwaltungsbeschwerde beim Bundesrat einreichen. Ebenfalls beschwert hat sich - vor allem aus Gründen der Überkapazität - der Verband Krankenversicherer St. Gallen-Thurgau (KST), welcher Nachfolger des KSGK bildet.
B.- Nachdem der KST die Klinik X._ immer noch nicht als Heilanstalt anerkennen wollte, liessen die beiden leitenden Ärzte namens der einfachen Gesellschaft beim Schiedsgericht nach KVG des Kantons St. Gallen Klage erheben mit dem Begehren, es sei festzustellen, dass die Klinik X._ als Leistungserbringerin zulasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zugelassen und berechtigt sei, bestehenden Tarifverträgen mit anderen Privatspitälern beizutreten.
Das kantonale Schiedsgericht nach KVG wies die Klage ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 12. März 1999).
C.- Die Dres. J._ und P._ lassen als Mitglieder der einfachen Gesellschaft Klinik X. _ Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen und beantragen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Klinik X._ als Leistungserbringerin zulasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zugelassen sei.
Der KST lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherung lässt sich nicht vernehmen.
D.- Am 23. Juni 1999 entschied der Bundesrat über die Verwaltungsbeschwerde des KST und Mitbeteiligte gegen den Regierungsrat des Kantons St. Gallen in Sachen St. Galler Spitalliste. Dabei hiess er die Beschwerde in der Hauptsache in dem Sinne gut, dass er die St. Galler Spitalliste vom 24. Juni 1997 aufhob und die Sache zur Vervollständigung der Planung und zu neuem Beschluss an den Regierungsrat zurückwies; im Übrigen wies er die Beschwerde ab.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Eine einfache Gesellschaft ist als solche nicht parteifähig. Indem die Verwaltungsgerichtsbeschwerde jedoch im Namen beider Mitglieder der Gesellschaft erhoben wurde, ist sie als deren Beschwerde entgegenzunehmen (vgl. <ref-ruling> Erw. 1a; 78 I 106 Erw. 1).
2.- a) Nach Art. 89 KVG entscheidet ein Schiedsgericht Streitigkeiten zwischen Versicherern und Leistungserbringern (Abs. 1). Zuständig ist das Schiedsgericht desjenigen Kantons, in dem die ständige Einrichtung des Leistungserbringers liegt (Abs. 2). Gegen Entscheide der Schiedsgerichte kann laut Art. 91 KVG Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Eidgenössischen Versicherungsgericht geführt werden.
Gesetz (KVG) und Verordnung (KVV) umschreiben nicht näher, was unter Streitigkeiten im Sinne von Art. 89 KVG zu verstehen ist. Rechtsprechung und Lehre zum altrechtlichen Art. 25 Abs. 1 KUVG gehen von einer weiten Begriffsumschreibung aus. Danach setzt die sachliche Zuständigkeit des Schiedsgerichts voraus, dass die Streitigkeit Rechtsbeziehungen zum Gegenstand hat, die sich aus dem KUVG ergeben oder die auf Grund des KUVG eingegangen worden sind (<ref-ruling> Erw. 5 mit Hinweisen). So verhält es sich u.a., wenn die Auseinandersetzung die besondere Stellung einer Heilanstalt im Rahmen des KUVG betrifft (<ref-ruling> Erw. 3b).
b) Da es sich beim angefochtenen Entscheid nicht um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen handelt, hat das Eidgenössische Versicherungsgericht nur zu prüfen, ob das vorinstanzliche Gericht Bundesrecht verletzt hat, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt worden ist (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
3.- Streitig und zu prüfen ist, ob die Klinik X._ als Leistungserbringerin im Sinne der Übergangsbestimmungen des KVG bis zum rechtskräftigen Erlass einer kantonalen Spitalliste zugelassen ist.
a) Gemäss dem (bereits) am 1. Juni 1995 in Kraft getretenen Art. 101 Abs. 2 Satz 1 KVG (Art. 1 Abs. 2 der Verordnung über die Inkraftsetzung und Einführung des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung; SR 832. 101) sind Anstalten oder deren Abteilungen, die nach bisherigem Recht als Heilanstalten gelten, als Leistungserbringer nach neuem Recht zugelassen, solange der Kanton die in Art. 39 Abs. 1 lit. c vorgesehene Liste der Spitäler und Pflegeheime noch nicht erstellt hat.
b) Als Heilanstalten im Sinne des - bis 31. Dezember 1995 gültig gewesenen - Art. 12 Abs. 2 Ziff. 2 KUVG gelten gemäss Art. 23 Abs. 1 Vo III Anstalten oder Abteilungen von solchen, die der Behandlung von Kranken unter ärztlicher Leitung dienen. Nach der Rechtsprechung betrifft das Erfordernis der ärztlichen Leitung nicht die Anstalt als solche, sondern die dort erbrachte ärztliche Behandlung, die nicht unbedingt durch fest angestellte Anstaltsärzte vorgenommen werden muss. Dass die Heilanstalt eine allgemeine Abteilung besitzt, ist nicht erforderlich. Unerlässlich ist hingegen, dass sie über genügend und fachgemäss ausgebildetes Krankenpflegepersonal sowie über medizinische Einrichtungen verfügt, die den ärztlichen bzw. therapeutischen Anforderungen genügen, welche die besondere Zwecksetzung der Anstalt stellt (<ref-ruling> Erw. 5 mit Hinweisen).
Um auf Grund des Übergangsrechts des KVG bis zum rechtskräftigen Erlass der Spitalliste auch nach KVG als Leistungserbringer zugelassen zu sein, muss zudem das betriebliche Moment erfüllt sein, d.h. der Spitalbetrieb muss vor Inkrafttreten des neuen Rechts aufgenommen worden sein (vgl. RKUV 1997 Nr. KV 10 S. 261 Erw. II./2.2).
4.- Gestützt darauf hat die Vorinstanz zu Recht erkannt, dass in der Klinik X._ im Jahre 1995 noch nicht von einem normalen Klinikbetrieb die Rede sein kann.
In der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nichts vorgebracht, was die dem kantonalen Entscheid zu Grunde liegende Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts als mangelhaft im Sinne von Art. 105 Abs. 2 OG und die rechtliche Würdigung als bundesrechtswidrig erscheinen lassen könnte. Insbesondere können die Beschwerdeführer aus dem Entscheid des Bundesrates vom 23. Juni 1999 in Bezug auf die vorliegende Streitfrage nichts zu ihren Gunsten ableiten, geht es doch hier nicht um die Frage, ob ein Rechtsanspruch auf Aufnahme in die Spitalliste besteht. Was sodann die Ausführungen zum Zeitpunkt der Inbetriebnahme der Klinik X._ betrifft, so handelt es sich um unzulässige und damit unbeachtliche Noven (vgl. <ref-ruling> Erw. 1c; AHI 1994 S. 211 Erw. 2b mit Hinweisen). Auch ist offensichtlich kein Verstoss gegen den Grundsatz von Treu und Glauben infolge widersprüchlichen Verhaltens des KST gegeben. Es kann auf die einlässlichen Erwägungen im kantonalen Entscheid verwiesen werden, denen das Eidgenössische Versicherungsgericht nichts beizufügen hat.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I.Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
II.Die Gerichtskosten von Fr. 3000. - werden den Beschwerdeführern auferlegt und mit dem geleisteten Kostenvorschuss verrechnet.
III. Die Beschwerdeführer haben dem Verband Krankenversicherer St. Gallen-Thurgau für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500. - zu bezahlen.
IV.Dieses Urteil wird den Parteien, dem Schiedsgericht gemäss Bundesgesetz über die Krankenversicherung, St. Gallen, und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 23. Februar 2000
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer:
Die Gerichtsschreiberin: