Sachverhalt:
A. A.a A._ übernahm im ersten Semester des Schuljahres 2001/2002 erstmals eine Stellvertretung als Französischlehrerin an der Sekundarschule X._. Nach verschiedenen Lehrtätigkeiten an weiteren Schulen folgten vom 3. Mai bis 3. Juni 2004 sowie vom 21. Februar bis 31. Juli 2005 zunächst wiederum Stellvertretungen an der Sekundarschule X._. Vom 1. August 2005 bis 31. Juli 2008 unterrichtete A._ sodann an dieser Schule mit unterschiedlichen Pensen die Fächer Französisch, Deutsch als Zweitsprache, Förderunterricht Französisch sowie Zusatzfranzösisch, wobei die Anstellungen jeweils mit befristeten Verträgen erfolgten. Letztmals wurde sie mit Arbeitsvertrag vom 20. Juni 2008 - wiederum befristet - für das Schuljahr 2008/2009 für die genannten Fächer angestellt, welche sie in verschiedenen Anforderungsniveaus unterrichtete.
A.b Nachdem sich A._ am 11. März 2009 auf eine ausgeschriebene Stelle an der Sekundarschule X._ für die Fächer Französisch und Deutsch als Zweitsprache beworben hatte, teilte ihr die Schulleitung mit Schreiben vom 13. März 2009 mit, zur Bearbeitung der Bewerbung benötige man noch die offizielle schweizerische Anerkennung der in Bern eingereichten Studienausweise und die damit verbundene Lehrberechtigung. Mit Brief vom 20. April 2008 (recte: 20. April 2009) wies die Schulleitung sodann darauf hin, dass der derzeit befristete Arbeitsvertrag am 30. Juni 2009 auslaufe und ein befristeter Vertrag gemäss kantonalen Vorschriften eine Dauer von vier Jahren nicht überschreiten dürfe. Eine unbefristete Anstellung komme zudem mangels erfüllter Anstellungsvoraussetzungen (erforderliche Ausbildung, Lehrberechtigung in mindestens drei Fächern bzw. Äquivalenzbescheinigung ausländischer Ausbildungsabschlüsse) nicht in Betracht. Seit Ende April 2009 hat A._ krankheitshalber nicht mehr gearbeitet.
A.c Mit Schreiben vom 30. Juni 2009 bestätigte die Schulleitung A._ - nunmehr vertreten durch Rechtsanwalt Simon Rosenthaler - das Auslaufen ihrer befristeten Anstellung erneut, nachdem Letzterer die Schulleitung am 19. Juni 2009 unter Berufung u.a. auf die Unzulässigkeit einer rechtsmissbräuchlichen Aneinanderreihung befristeter Anstellungen um eine Bestätigung der Weiterbeschäftigung auch im Schuljahr 2009/2010 ersucht hatte.
A.d Gegen die Mitteilung vom 30. Juni 2009 erhob A._ Beschwerde an den Schulrat der Sekundarschule X._. Sie beantragte, unter Aufhebung der Verfügung der Schulleitung vom 30. Juni 2009 sei sie im Schuljahr 2009/2010 (ab 1. August 2009) weiterhin an der Sekundarschule X._ als Lehrperson zu beschäftigen und die entsprechenden Leistungen auszurichten. Eventualiter sei festzustellen, dass sie über den Monat Juli 2009 hinaus Anspruch auf Lohnfortzahlung bis max. 730 Tage habe, und es seien ihr die entsprechenden Leistungen auszurichten. Ausserdem sei ihr eine Abgangsentschädigung gemäss § 25 Personalgesetz in der Höhe eines Jahreslohns auszurichten. Die beantragte Weiterbeschäftigung begründete sie einerseits mit der Missbräuchlichkeit der Aneinanderreihung mehrerer befristeter Anstellungen. Andererseits machte sie geltend, sie erfülle die Voraussetzungen für eine unbefristete Anstellung. Der Schulrat wies die Beschwerde mit Verfügung vom 25. September 2009 ab. Gleichzeitig verneinte er einen Anspruch auf eine Festanstellung. Hinsichtlich der Frage der Lohnfortzahlung bejahte er einen Anspruch bis zum Wiedererlangen der Arbeitsfähigkeit, längstens jedoch für 730 Tage, welchen er infolge wiederholter Meldepflichtverletzungen indessen kürzte.
A.e Mit Eingabe vom 12. Oktober 2009 erhob A._ unter Aufrechterhaltung ihrer vorinstanzlich gestellten Rechtsbegehren Beschwerde beim Regierungsrat. Dieser wies die Beschwerde mit Entscheid vom 4. Mai 2010 ab. Gleichzeitig beschränkte er die von der Vorinstanz zugesprochene Lohnfortzahlung zufolge Arbeitsunfähigkeit auf die Dauer des Arbeitsverhältnisses (Regierungsratsbeschluss [RRB] Nr. 624).
B. Wiederum unter Aufrechterhaltung ihrer vorinstanzlich gestellten Rechtsbegehren liess A._ beim Kantonsgericht Basel-Landschaft hiegegen Beschwerde führen, welche es mit Entscheid vom 19. Januar 2011 abwies.
C. A._ lässt dagegen in Erneuerung der vorinstanzlichen Rechtsbegehren Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen.
Der Schulrat der Sekundarschule X._ beantragt Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), der ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis und somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law> betrifft. Es handelt sich um eine vermögensrechtliche Streitigkeit, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht gegeben ist. Der erforderliche Streitwert von Fr. 15'000.- (<ref-law>) ist erreicht. Die Beschwerdeführerin erfüllt die Legitimationsvoraussetzungen (<ref-law>). Sie rügt, der angefochtene Entscheid wende § 6 Abs. 2 und 5 der Verordnung zum Personalgesetz (Personalverordnung [PersVO, SGS 150.11]) vom 19. Dezember 2000 willkürlich an. Die unterschiedliche Behandlung von Lehrkräften mit einem inländischen bzw. ausländischen Diplom verletze sodann das Rechtsgleichheitsgebot und die bilateralen Verträge mit der Europäischen Union (EU). Schliesslich widerspreche die von der Vorinstanz vorgenommene Interpretation von § 6 Abs. 2 und 5 PersVO dem Vorrang des übergeordneten kantonalen Rechts, was § 74 Abs. 2 der Verfassung des Kantons Basel-Landschaft vom 17. Mai 1984 (SGS 100) und Art. 5 der Bundesverfassung (BV) verletze. Diese Rügen sind zulässig (Art. 95 lit. a-c BGG). Auf die - auch form- und fristgerecht eingereichte - Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Gemäss <ref-law> ist im Rahmen der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt, das Grund (<ref-law>) einer Beschwerde beim Bundesgericht bilden kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. <ref-law>). Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 262; <ref-ruling> E. 2.1 S. 120; je mit Hinweisen).
2.2 Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Nach der Rechtsprechung ist eine Entscheidung willkürlich, wenn sie eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Willkürliche Rechtsanwendung liegt zudem nicht schon vor, wenn eine andere Lösung vertretbar oder sogar vorzuziehen wäre (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3. Strittig und zu prüfen ist vorerst, ob der Umstand, dass die Beschwerdeführerin in der Zeit vom 21. Februar 2005 bis 31. Juli 2009 durchgehend an der Sekundarschule X._ mit jeweils befristeten Arbeitsverträgen angestellt war, ein unzulässiges Kettenarbeitsverhältnis darstellt und die Vorinstanz in diesem Zusammenhang das kantonale Recht, insbesondere § 6 Abs. 2 und 5 PersVO, willkürlich angewendet hat. Dabei ist zu beachten, dass die - rechtskräftig verfügte - Befristung eines Dienstverhältnisses grundsätzlich nicht mehr in Frage gestellt werden kann (Urteil 8C_166/2011 vom 13. Juli 2011 E. 4), was auch bei vorliegendem rechtsgültig zu Stande gekommenen öffentlich-rechtlichen Anstellungsvertrag zu gelten hat.
3.1 Gemäss § 5 PersVO sind Arbeitsverträge in der Regel unbefristet abzuschliessen. § 6 PersVO regelt befristete Verträge wie folgt:
(1) Befristete Arbeitsverhältnisse sind abzuschliessen insbesondere für folgende Arbeitsverhältnisse:
a. für Anstellungen, die auf Grund ihrer Aufgabenstellung befristet sind;
b. für den befristeten Einsatz in einer Stellvertretungsfunktion;
c. für Anstellungen von Lehrpersonen, wenn die Ausbildung unvollständig ist.
(2) Die Dauer der Befristung überschreitet in der Regel 48 Monate nicht.
(3)...
(4) ...
(5) Befristete Arbeitsverträge können von der Anstellungsbehörde für die gleiche Funktion und mit der oder demselben Mitarbeitenden in der Regel nicht mehr als dreimal hintereinander abgeschlossen werden.
3.2 Die Vorinstanz erachtete die befristete Anstellung vom 21. Februar 2005 bis 31. Juli 2005 als unproblematisch. Die Beschwerdeführerin sei zu dieser Zeit gemäss eigenen Angaben (letztmals) als Stellvertreterin tätig gewesen. Die Befristung dieser Anstellung erweise sich somit gestützt auf § 6 Abs. 1 lit. b PersVO als rechtmässig.
Die Beschwerdeführerin rügt keine willkürliche Feststellung des Sachverhalts (vgl. E. 2). Somit ist davon auszugehen, dass vom 21. Februar 2005 bis zum 31. Juli 2005 lediglich eine Stellvertretung wahrgenommen wurde. Stellvertretungsfunktionen können gemäss § 6 Abs. 1 lit. b PersVO befristet erfolgen.
3.3 Die insgesamt vier, jeweils auf ein Jahr befristeten Anstellungen in der Zeit vom 1. August 2005 bis 31. Juli 2009 erfolgten wegen unvollständiger Ausbildung gemäss § 6 Abs. 1 lit. c PersVO.
3.3.1 Die Vorinstanz hat die massgeblichen Rechtsgrundlagen (§ 73 des Bildungsgesetzes [SGS 640] vom 6. Juni 2002; § 3 Abs. 1 und 2 der Verordnung über die Lehrerinnen- und Lehrerfunktionen vom 21. Juni 2005 [VoLFK; SGS 156.95] und Ziff. 7 des Funktionskataloges VoLFK) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.3.2 Es ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin über keine schweizerischen Ausbildungsabschlüsse verfügt, welche diesen Anforderungen - insbesondere dem Typ 407 B.11 gemäss Funktionskatalog VoLFK - entsprechen. Die Beschwerdeführerin macht vielmehr erneut geltend, dass sie mit ihren im Ausland erworbenen Abschlüssen die von der VoLFK erwähnten Voraussetzungen seit 2003 erfüllt habe, sodass eine befristete Anstellung grundsätzlich nicht zulässig gewesen wäre. Die Vorinstanz hat offen gelassen, ob die Abschlüsse der Beschwerdeführerin materiell der im Funktionskatalog VoLFK geforderten Ausbildung entsprochen hätten. Nach § 3 Abs. 2 VoLFK könne die Bildungs-, Kultur- und Sportdirektion andere, gleichwertige Ausweise anerkennen. Wer für die Überprüfung der Gleichwertigkeit ausländischer Abschlüsse zuständig sei, ergebe sich aus dieser Bestimmung nicht. Die Vorinstanz legte sodann dar, dass aufgrund der Interkantonalen Vereinbarung über die Anerkennung von Ausbildungsabschlüssen vom 18. Februar 1993 sowie die Anerkennungsreglemente der Schweizerischen Konferenz der kantonalen Erziehungsdirektoren (EDK), insbesondere dem Reglement über die Anerkennung ausländischer Ausbildungsabschlüsse (230.329), die EDK dafür zuständig sei. Darauf wird verwiesen. Die Beschwerdeführerin rügt nicht in substanziierter Weise, inwiefern diese Auslegung des kantonalen Verordnungsrechts willkürlich sein soll. Sie bringt einzig vor, ihre ausländischen Ausbildungsabschlüsse entsprächen § 3 des Reglements über die Anerkennung von ausländischen Ausbildungsabschlüssen der EDK vom 27. Oktober 2006. Was sie damit sagen will ist unklar, da diese Bestimmung nur regelt, welche Personen mit ausländischen Abschlüssen bei der EDK antragsberechtigt sind. Es wäre der Beschwerdeführerin unstrittigerweise unbenommen gewesen, ein entsprechendes Gesuch einzureichen, was sie aber unterliess.
3.4 Zu prüfen bleibt, ob die Vorinstanz § 6 Abs. 2 und 5 PersVO deshalb willkürlich anwendete, weil sie davon ausging, diese Bestimmung sei weder durch die Gesamtdauer der wiederholt befristeten Anstellungen von insgesamt viereinhalb Jahren noch durch die Anzahl der Verlängerungen verletzt worden.
3.4.1 Die Vorinstanz nahm an, dass die Befristungsordnung gemäss § 6 Abs. 2 und 5 PersVO aufgrund ihres Wortlauts ("in der Regel") Ausnahmen ausdrücklich zulasse. Ein zulässiger Grund für eine Abweichung von der Regel ergebe sich hier aus § 3 Abs. 3 der VoLFK, wonach Lehrerinnen und Lehrern, welche die Ausbildungsvoraussetzungen für eine unbefristete Anstellung nicht erfüllen, ein unbefristeter Vertrag angeboten werden kann, sofern sie während mindestens der zweifachen Berufserfahrungszeit erfolgreich in der entsprechenden Schulart tätig gewesen waren. Die geforderten Berufserfahrungszeiten variieren zwischen zwei bis sechs Jahren (vgl. Anhang VoLFK). Würden die Gesamtdauer und die maximalen Verlängerungsmöglichkeiten gemäss § 6 Abs. 2 und 5 PersVO auch bei Lehrpersonen mit ungenügender Ausbildung strikte eingehalten, wären diese - jedenfalls solche, bei denen mehr als zwei Jahre Berufserfahrungszeit gefordert werden - überhaupt nie in der Lage, die für eine Festanstellung erforderliche doppelte Berufserfahrungszeit an derselben Schule zu erlangen. In solchen Fällen müsse daher davon ausgegangen werden, dass eine Ausnahme von den in § 6 Abs. 2 und 5 PersVO vorgesehenen Fristen sachlich zulässig sei.
3.4.2 Diese Auslegung des kantonalen Verordnungsrechts hält offensichtlich vor dem Willkürverbot stand. Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, insbesondere dass damit eine eigentliche Normkorrektur von § 6 Abs. 2 und 5 PersVO stattfinde, indem für Lehrpersonen mit unvollständiger Ausbildung eine generelle Ausnahme angenommen werde, ist nicht geeignet, daran etwas zu ändern, zumal das Bundesgericht auch im Hinblick auf öffentlich-rechtliche Arbeitsverhältnisse im Schulbereich das mehrmalige Aneinanderreihen befristeter Arbeitsverhältnisse wegen fehlender fachlicher Qualifikation als zulässig beurteilt hat (Urteil 1C_100/2007 vom 26. März 2008 E. 3.3.2 mit Hinweis). Die Vorinstanz konnte somit willkürfrei davon ausgehen, dass sich die wiederholte befristete Anstellung der Beschwerdeführerin im Zeitraum vom 21. Februar 2005 bis 31. Juli 2009 auf § 6 PersVO abstützen liess.
4. 4.1 Mit einer weiteren Rüge macht die Beschwerdeführerin geltend, die Auslegung von § 6 Abs. 2 und 5 PersVO in Verbindung mit § 3 Abs. 3 VoFLK durch die Vorinstanz verstosse gegen übergeordnetes Recht, nämlich § 14 und 15 PersG. Diese Verordnungsbestimmung sei daher im Rahmen der akzessorischen Normenkontrolle, die sich aus <ref-law> ableite, für unanwendbar zu erklären. Sie rügt damit eine Verletzung des Legalitätsprinzips. Ausserdem beruft sie sich in diesem Zusammenhang auf § 74 Abs. 2 der Kantonsverfassung, ohne dass sie darlegt, inwiefern diese kantonale Norm einen über <ref-law> hinausgehenden Schutz gewährleistet. Darauf ist somit nicht weiter einzugehen.
4.2 Das Legalitätsprinzip ist zwar in <ref-law> verankert, stellt aber bloss ein verfassungsmässiges Prinzip und kein Grundrecht dar. Im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann das Legalitätsprinzip grundsätzlich direkt und unabhängig von einem Grundrecht angerufen werden. Die Überprüfung bei der Anwendung kantonalen Rechts (ausserhalb des Schutzbereichs spezieller Grundrechte) beschränkt sich aber auf den Gesichtswinkel der Willkür (<ref-ruling> E. 4.1 S. 156 f. und E. 4.2.2 und 4.3 S. 158; Urteile 2C_741/2009 vom 26. April 2010 E. 3.1 und 8C_952/2009 vom 18. Mai 2010 E. 1.3). Die Beschwerdeführerin macht indessen keine Willkür geltend, sodass sich auch hiezu Weiterungen erübrigen.
5. 5.1 Sodann wird beschwerdeweise eingewendet, die wiederholte befristete Anstellung verstosse gegen die Richtlinie 89/48/EWG vom 21. Dezember 1988 über die Anerkennung von Hochschuldiplomen, welche nach Anhang III des am 1. Juni 2002 in Kraft getretenen Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit, (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) Geltung beanspruche. Obwohl sie seit dem Jahr 2003 über eine gleichwertige Ausbildung verfügt habe, sei sie über Jahre hinweg nur befristet angestellt worden mit der Begründung, ihre Ausbildung sei unvollständig.
5.2 Die Rüge der Verletzung von Völkerrecht (<ref-law>) muss den Begründungsanforderungen gemäss <ref-law> genügen (Urteil 1C_453/2008 vom 12. Februar 2009 E. 1.4). Wie dargelegt (E. 2.1) soll ein Beschwerdeführer in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen. Die Beschwerdeführerin hatte in ihrer Beschwerde an die Vorinstanz geltend gemacht, vor dem Hintergrund der EU-Personenfreizügigkeit erscheine es als fragwürdig, dass die Schulleitung einen Entscheid der EDK verlangt habe, obwohl ihr sämtliche Dokumente vorgelegen hätten. Die Vorinstanz hat die Vereinbarkeit mit dem FZA nicht geprüft, was die Beschwerdeführerin nicht rügt. In ihrer Beschwerde an das Bundesgericht legt sie sodann nicht substanziiert dar, inwiefern das vom kantonalen Recht vorgesehene Verfahren konkret das FZA verletzen soll. Es ist daher zweifelhaft, ob eine genügende Begründung im Sinn von <ref-law> vorliegt.
5.3 Im Übrigen ist aber auch nicht ersichtlich, inwiefern die kantonale Regelung gegen die Richtlinie 89/48/EWG verstossen soll. Diese sieht keine automatische Anerkennung der in einem andern Mitgliedstaat erworbenen beruflichen Befähigungsnachweise vor. Die zuständige Behörde im Aufnahmestaat vergleicht die jeweiligen beruflichen Qualifikationen und entscheidet über die Anerkennung. Die Richtlinie schreibt nicht vor, wer die im Aufnahmestaat zuständige Stelle ist. Vielmehr sieht Art. 9 der Richtlinie vor, dass die Mitgliedstaaten innerhalb der in Artikel 12 vorgesehenen Frist die zuständigen Behörden bezeichnen, die ermächtigt sind, die Anträge entgegenzunehmen und die in der Richtlinie genannten Entscheidungen zu treffen. Somit wird die zuständige Stelle durch innerstaatliches Recht bestimmt, in der Schweiz je nach Sachbereich durch kantonales oder eidgenössisches. Die Kantone haben ihre Zuständigkeit für die pädagogischen Berufe der EDK übertragen (Art. 1 Abs. 2 und 4 der Interkantonalen Vereinbarung über die Anerkennung von Ausbildungsabschlüssen vom 18. Februar 1993; Art. 2 Reglement über die Anerkennung von ausländischen Ausbildungsabschlüssen der EDK vom 27. Oktober 2006; Merkblatt "Anerkennung ausländischer Lehrdiplome" der EDK, www.edk.ch; FRÉDÉRIC BERTHOUD, Die Anerkennung von Berufsqualifikationen zwischen der Schweiz und der EU, in: Daniel Thürer/Rolf. H. Weber/Wolfgang Portmann/Andreas Kellerhals [Hrsg.], Bilaterale Verträge I & II Schweiz - EU, Zürich 2007, S. 249 ff., S. 274 f.; MAX WILD, Die Anerkennung von Diplomen im Rahmen des Abkommens über die Freizügigkeit der Personen, in: Daniel Felder/Christine Kaddous [Hrsg.], Bilaterale Abkommen Schweiz - EU, Basel 2001, S. 397 ff., S. 399 f.). Es entspricht somit der Richtlinie 89/48 EWG, wenn das kantonale Recht einen Anerkennungsentscheid der EDK verlangt.
6. Auf das weitere Vorbringen der Beschwerdeführerin, ihre Schlechterstellung verletze "im Übrigen auch <ref-law>, insbesondere das Diskriminierungsverbot" ist mangels genügender Substanziierung (vgl. E. 2.1) ebenfalls nicht näher einzugehen.
Das befristete Arbeitsverhältnis endete somit per 31. Juli 2009, ohne dass es einer Kündigung bedurft hätte (Urteil 8C_166/2011 vom 13. Juli 2011 E. 5.1 und 5.2).
7. Ohne weiteres zu verwerfen ist sodann der Einwand in der Beschwerde, die Nichtberücksichtigung ihrer Bewerbung auf eine unbefristete Stelle sei willkürlich erfolgt, was einzig mit einer Verletzung der Richtlinie 89/48/EWG begründet wird. Die unbefristete Anstellung setzt indessen eine gleichwertige Ausbildung voraus, über welche sie - wie dargelegt - nicht verfügte. Es kann daher auch offenbleiben, ob oder inwieweit ein abgewiesener Bewerber eine Nichtanstellung überhaupt anfechten kann.
8. Strittig ist schliesslich, ob die seit Ende April 2009 arbeitsunfähige Beschwerdeführerin aus ihrer bis 31. Juli 2009 befristeten Anstellung - über das Datum der Beendigung hinaus - einen Anspruch auf Lohnfortzahlung während maximal 730 Tagen ableiten kann.
8.1 Die Vorinstanz stützte ihren Entscheid auf § 19 Abs. 1 und 2 des Dekrets zum Personalgesetz (Personaldekret [PersD]; SGS 150.1) in Verbindung mit § 6, § 4 und § 3a Abs. 3 der Verordnung über die Lohnansprüche der Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter bei Arbeitsunfähigkeit infolge Krankheit oder Unfalls vom 27. Juni 2000 (VO Lohnfortzahlung; SGS 153.12). § 3a VO Lohnfortzahlung trat am 1. August 2009 in Kraft (Ergänzung vom 7. Juli 2009, GS 36.1164). In der früheren Fassung fehlte eine entsprechende Bestimmung. In materiellrechtlicher Hinsicht gilt der allgemeine übergangsrechtliche Grundsatz, dass für die Beurteilung diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> E. 4.3 S. 27; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 447; Urteil 8C_979/2009 vom 1. November 2010 E. 3 mit Hinweisen). Das Arbeitsverhältnis der Beschwerdeführerin endete zwar am 31. Juli 2009. Sie macht jedoch Lohnfortzahlungsansprüche gestützt auf ihre anhaltende Krankheit für den Zeitraum nach dessen Beendigung geltend, mithin ab 1. August 2009. Massgeblich ist somit die VO Lohnfortzahlung in ihrer ab dem 1. August 2009 gültigen Fassung.
8.2 Während der Schulrat in seiner Verfügung vom 25. September 2009 einen Lohnfortzahlungsanspruch über die Beendigung des Arbeitsverhältnisses hinaus in analoger Anwendung der Regelung bei Ablauf der Amtsdauer grundsätzlich bejahte, verneinte die Vorinstanz einen solchen und bestätigte insofern die Auffassung des Regierungsrates. Der Lohnanspruch erlösche am Tag der Beendigung des Arbeitsverhältnisses (§ 19 Abs. 1 PersD), Bestimmungen der Lohnzahlung bei Krankheit blieben vorbehalten (§ 19 Abs. 2 PersD). Bei unbefristetem Arbeitsverhältnis, das durch Kündigung des Arbeitgebers beendet werde und bei dem die Arbeitsunfähigkeit über die Beendigung hinaus andauere, erlösche der Lohnanspruch gestützt auf § 6 VO Lohnfortzahlung erst bei Wiedereintritt der Arbeitsfähigkeit, spätestens jedoch nach Ablauf der Lohnzahlungspflicht gemäss § 3 (unbefristetes Arbeitsverhältnis) und § 4 (Probezeit). Eine analoge Regelung bestehe ferner für die auf Amtsperiode gewählten Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter (§ 3a Abs. 3 VO Lohnfortzahlung). Keine entsprechende Bestimmung zum Verhältnis Lohnfortzahlung nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses enthalte die VO Lohnfortzahlung demgegenüber für die befristeten Arbeitsverträge. Demzufolge regle das kantonale Verordnungsrecht diesbezüglich die befristeten Arbeitsverhältnisse bewusst (sog. "qualifiziertes Schweigen") anders als unbefristete und die auf Amtsdauer bestimmten. Diese Auslegung, die sich auf Wortlaut und Systematik stützen kann, ist nicht willkürlich (vgl. E. 2.2). Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, insbesondere, dass § 4 Abs. 1 lit. d VO Lohnfortzahlung bei einer Befristung von mehr als 14 Monaten vorbehaltlos auf § 3 Abs. 1 derselben Verordnung, der eine Lohnfortzahlung bis 730 Tagen vorsieht, verweise, vermag daran nichts zu ändern. Aus § 3 Abs. 1 VO Lohnfortzahlung liesse sich, wenn überhaupt, nur etwas ableiten, wenn die maximale Befristung weniger als zwei Jahre wäre, sodass eine Lohnfortzahlung von 730 Tagen zum vornherein nicht während der Dauer des Arbeitsverhältnisses geleistet werden könnte. Die maximale Dauer (mit Ausnahmen) beträgt aber 48 Monate (§ 6 Abs. 2 PersVO).
8.3 Zu prüfen bleibt, ob diese willkürfreie Auslegung des kantonalen Rechts vor der Verfassung standhält.
8.3.1 Die Beschwerdeführerin rügt in diesem Zusammenhang eine Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots. Es sei nicht einzusehen, weshalb der Lohnfortzahlungsanspruch im Falle des Arbeitsverhältnisses mit fester Amtsdauer nach dessen Beendigung weiter dauern soll, nicht hingegen bei einem befristeten Arbeitsverhältnis. Diese Ungleichbehandlung sei mangels sachlicher Kriterien diskriminierend und verfassungswidrig.
8.3.2 Dieser Einwand ist neu. Vor kantonalem Gericht hatte sich die Beschwerdeführerin lediglich auf eine unzulässige Ungleichbehandlung zwischen befristet und unbefristet Angestellten berufen.
Neue rechtliche Begründungen sind zulässig. Soweit die Vorinstanz keine Tatsachenfeststellungen getroffen hat, weil sie diese im Hinblick auf ihre rechtliche Beurteilung als nicht wesentlich erachtete, kann das Bundesgericht den Sachverhalt aufgrund der Akten ergänzen (<ref-law>). Wenn jedoch die Akten dem Bundesgericht keinen sicheren Schluss zulassen, weist es die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts gemäss <ref-law> an die Vorinstanz zurück (BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, N. 56 zu <ref-law>).
8.3.3 Das Gebot der rechtsgleichen Behandlung (<ref-law>) ist verletzt, wenn ein Erlass hinsichtlich einer entscheidwesentlichen Tatsache rechtliche Unterscheidungen trifft, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder wenn er Unterscheidungen unterlässt, die sich aufgrund der Verhältnisse aufdrängen. Die Rechtsgleichheit ist verletzt, wenn Gleiches nicht nach Massgabe seiner Gleichheit gleich oder Ungleiches nicht nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird. Dem Gesetzgeber bleibt im Rahmen dieser Grundsätze und des Willkürverbots ein weiter Spielraum der Gestaltung, den das Bundesgericht nicht durch eigene Gestaltungsvorstellungen schmälert (<ref-ruling> E. 9.1 S. 42; <ref-ruling> E. 4.1 S. 162 f.; <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 114; <ref-ruling> E. 3.6 S. 70; Urteil 1C_297/2010 vom 1. Dezember 2010 E. 5.2).
8.3.4 Die Beschwerdeführerin geht mit ihrem Vorbringen davon aus, dass es sich beim Arbeitsverhältnis auf Amtsdauer ebenso um ein befristetes handelt. Es trifft zu, dass das Arbeitsverhältnis der auf Amtsperiode Gewählten mit dem Tage des Ablaufes der Amtsperiode endet (§ 56 Abs. 2 PersG). Indessen überdauert das Beamtenverhältnis in der Regel die einzelnen Amtsperioden und wird erst durch Nichtwiederwahlverfügung - entsprechend der Kündigung im gewöhnlichen Arbeitsverhältnis - aufgelöst. Auch wenn das Arbeitsverhältnis auf Amtsdauer somit befristet ist und kein Anspruch auf Wiederwahl besteht, kann es nach der Praxis nicht ohne weiteres beendet werden. Vielmehr muss für die Nichtwiederwahl ein "zureichender Grund" vorliegen, das heisst die zuständige Behörde muss ihren Entscheid sachlich begründen (HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. Aufl., 2010, Rz. 1559f. mit Hinweisen; PETER HÄNNI, Das öffentliche Dienstrecht der Schweiz, 2. Aufl., 2008, S. 525 ff.; PAUL RICHLI, Öffentliches Dienstrecht im Zeichen des New Public Management, 1996, S. 22 ff.). Das Beamtenverhältnis charakterisiert sich deshalb im Grundsatz als unbefristetes Dienstverhältnis, in dessen Rahmen die Amtsdauer Teil des zeitlichen Kündigungsschutzes ist (MATTHIAS MICHEL, Amtsdauersystem, in: Peter Helbling/Thomas Poledna [Hrsg.], Personalrecht des öffentlichen Dienstes, 1999, S. 153 ff., S. 164 f.).
8.3.5 Bis Ende Juli 2009 bestand wie dargelegt (E. 8.1) auch für auf Amtsdauer Gewählte keine ausdrückliche Regelung betreffend Lohnfortzahlung über den Ablauf der Amtsperiode hinaus. Vielmehr bestimmte § 1 Abs. 3 PersVO in der bis Ende Juli 2009 gültigen Fassung, für die gewählten Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter seien die Bestimmungen, die für den befristeten Arbeitsvertrag gelten, sinngemäss anwendbar. Grundsätzlich ging somit das kantonale Recht davon aus, dass es sich um vergleichbare Verhältnisse handelte. Wenn nun der kantonale Gesetzgeber diese parallele Behandlung von befristeten und auf Amtsdauer gewählten Arbeitsverhältnissen in Bezug auf die Lohnzahlung bei Arbeitsunfähigkeit infolge Krankheit oder Unfall per 1. August 2009 aufhob und die auf Amtsdauer Gewählten diesbezüglich den unbefristet Angestellten gleich stellte, lag dies in seinem Gestaltungsspielraum und kann nicht als unsachlich bezeichnet werden. Während befristete Arbeitsverhältnisse ohne weiteres enden, bedarf die Nichtwiederwahl eines zureichenden Grundes (E. 8.3.4). Der befristet Angestellte muss sich somit auf die Beendigung einstellen, während der auf Amtsdauer Gewählte grundsätzlich von einer andauernden Anstellung ausgehen kann.
8.3.6 Die Beschwerdeführerin bestreitet ferner, dass es für die Ungleichbehandlung zwischen unbefristeten Arbeitsverhältnissen und solchen auf Amtsdauer einerseits und befristeten andererseits einen sachlichen Grund gibt. Sie macht geltend, sie brauche den Schutz genau so wie jemand, dem aus einem unbefristeten Verhältnis gekündet wurde. Das Risiko eines krankheitsbedingten Einkommensausfalls bestehe in ganz besonderem Masse für Personen, die ihre Stelle verloren hätten, denn ihr Gesundheitszustand erschwere oder verunmögliche die Stellensuche. Letzteres trifft zu, ist aber nicht entscheidend. Vielmehr muss sich eine befristet Angestellte auf die Beendigung einstellen und entsprechend planen. Mit Blick auf den zeitlich voraussehbaren Ablauf des Arbeitsverhältnisses steht es der befristet angestellten Person frei, individuell eine Krankentaggeldversicherung mit Leistungsbeginn ab Austrittstag zu vereinbaren, während unbefristet und auf Amtsdauer angestellte Personen hiezu keine Veranlassung haben, da sie die Kündigung beziehungsweise die Nichtwiederwahl in der Regel unvorbereitet trifft. Die vom kantonalen Recht getroffene Differenzierung ist daher nicht unsachlich.
8.4 Zusammenfassend ergibt sich, dass der Anspruch auf Lohnfortzahlung mit der Beendigung des Arbeitsverhältnisses am 31. Juli 2009 erlosch. Damit erübrigt sich eine Prüfung der geltend gemachten (längeren) Dauer der Lohnfortzahlung, da selbst die von den Vorinstanzen bejahte Dauer gemäss § 4 Abs. 1 lit. c VO Lohnfortzahlung in diesem Zeitpunkt nicht ausgeschöpft war.
9. Was schliesslich die erneut geltend gemachte Abgangsentschädigung anbetrifft, fehlt es an einem substanziierten Einwand. Die Beschwerdeführerin bezieht sich einzig auf den fehlenden Antrag der Anstellungsbehörde, setzt sich aber mit keinem Wort damit auseinander, dass die Vorinstanz auch die Voraussetzungen gemäss § 25 Abs. 1 lit. a und b PersG als offensichtlich nicht erfüllt erachtete. Schliesslich rügt sie eine Verletzung von <ref-law>, weil ihre Anstellung ohne sachlichen Grund nicht verlängert worden sei, was, wie dargelegt, aber nicht zutrifft.
10.
10.1 Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 65 Abs. 4 lit. a in Verbindung mit <ref-law>).
10.2 Eine öffentlich-rechtliche Körperschaft hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, wenn sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis prozessiert (<ref-law>; <ref-ruling>; Urteil 8C_151/2010 vom 31. August 2010 E. 6.2).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Oktober 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Die Gerichtsschreiberin: Polla