Faits:
A.
L'Association pour le ramassage des ordures ménagères Y._ (ci-après l'Association) a publié le 16 mars 2012 un appel d'offres en procédure ouverte pour un marché public de ramassage des ordures ménagères sur les communes de A._, B._, C._ et D._. Le dossier d'appel d'offres remis aux candidats annonçait que l'adjudication allait dépendre à raison de 70 % du prix et à raison de 10 % chacun de l'expérience du soumissionnaire, de ses références et d'un critère environnemental. L'avenant n° 3 donnait des informations sur le nombre de points de ramassage pour une tournée, le nombre de ramassages par semaine, le nombre total des arrêts de véhicules, ainsi que le nombre des containers et des moloks à vider sur une tournée. L'avenant n° 3 renseignait également les candidats sur les kilométrages effectifs des quatre communes pour 2009, 2010 et 2011, soit une moyenne annuelle de 17'008.80 km. Les soumissionnaires devaient évaluer eux-mêmes le nombre des kilomètres parcourus sur le territoire des quatre communes et hors de ces territoires.
Trois offres ont été ouvertes le 9 mai 2012. L'offre de la raison individuelle Z._, entreprise de transports et de terrassements, était la plus avantageuse, soit CHF 217'957.80, suivie de celle de la société en nom collectif X._, entreprise de terrassement et de transports, qui s'élevait à CHF 237'042.70, et d'un troisième concurrent. L'écart entre les deux prix tenait principalement au total des kilomètres pris en compte par chacun des soumissionnaires, soit 17'004 km pour X._ et 12'641 km pour Z._.
Compte tenu des fortes différences entre les kilométrages mentionnés par les soumissionnaires, l'Association a invité ces derniers à calculer le nombre de kilomètres à parcourir, par tournée, dans chaque commune et à l'extérieur, puis à annualiser ce nombre. Les indications de Z._ correspondaient au kilométrage mentionné dans son offre. Les tableaux déposés par X._ totalisaient 14'794.80 km. Le 4 juin 2012, l'Association a invité ce soumissionnaire à lui dire s'il maintenait son offre, qui ne pouvait être modifiée, ou s'il la retirait. Le 8 juin 2012, X._ a adressé à l'Association un courrier ramenant le kilométrage à 13'995.40 km. L'entreprise expliquait que le kilométrage de l'offre avait été calculé sur la base du document d'appel d'offres et que les données fournies par les communes comprenaient les courses spéciales effectuées en dehors des ramassages périodiques fixes.
Le 12 juin 2012, l'Association a mandaté A._ SA (ci-après l'expert), afin de vérifier les kilométrages proposés dans les offres. Dans son rapport du 12 juillet 2012, l'expert retient un kilométrage de 12'010.23 km pour Z._, et de 13'388.90 km pour X._, compte tenu des emplacements des garages des deux entreprises.
Le 5 septembre 2012, au vu de trois grilles de notation des offres, l'Association a adjugé le marché à Z._ (ci-après l'adjudicataire). Sur la base des kilométrages figurant dans les offres, il était crédité d'une note finale de 4.80 points, devant X._ avec 4.06 points. En notant le critère du prix d'après les kilométrages arrêtés par l'expert, X._ obtenait 4.60 points et l'adjudicataire 4.59 points. Dans l'hypothèse où les kilométrages étaient, pour l'adjudicataire, celui de son offre et pour X._ celui de l'expert, les deux obtenaient une note de 4.60 points.
B.
Le 29 octobre 2012, X._ a recouru contre la décision d'adjudication auprès du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après le Tribunal cantonal).
Par arrêt du 15 février 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours. Il retenait, en substance, qu'il lui incombait de censurer les excès et les abus du pouvoir d'appréciation mais non d'user à la place de l'adjudicateur de son pouvoir d'appréciation en présence d'offres équivalentes ou quasi équivalentes. Or, les deux offres étaient à peu près équivalentes si l'on se fondait sur les kilométrages calculés par l'expert, ce qui justifiait le rejet du recours.
C.
Par acte du 22 mars 2013, X._ dépose un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. L'entreprise sollicite l'octroi de l'effet suspensif, aucun contrat ne pouvant être conclu dans le marché litigieux par l'Association. Elle conclut en outre à l'admission du recours, à l'annulation de l'arrêt du 15 février 2013 et à ce que le marché de l'évacuation des déchets ménagers et ordures sur les communes de A._, B._, C._ et D._ lui soit adjugé, le tout sous suite de frais et dépens.
Le 20 avril 2013, l'Association s'est déterminée sur la requête d'effet suspensif. Elle a précisé que, dans l'obligation d'assurer le ramassage des ordures ménagères, elle avait prié la recourante, qui assurait ce service depuis plusieurs années, de poursuivre le ramassage et le transport des déchets jusqu'à ce que le Tribunal fédéral se soit prononcé sur l'effet suspensif ou sur le fond du recours.
Par ordonnance du 2 mai 2013, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif.
L'Association et l'adjudicataire concluent au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. Le Tribunal cantonal a renoncé à se déterminer.
Par acte du 6 mai 2013, la recourante a déposé un complément à son recours. Elle faisait état d'un fait nouveau lié à l'évaluation du critère environnemental, l'Association ayant reconnu par courrier du 1er mai 2013 que la recourante aurait dû se voir créditer de 0.2 points supplémentaires à ce titre et obtenir ainsi un total de 4.26 points pour son offre.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 472 et les arrêts cités).
1.1. La cause relève du droit des marchés publics (art. 82 let. a et 83 let. f LTF). L'arrêt attaqué peut donc en principe faire l'objet d'un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral, à condition qu'il ne tombe pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'art. 83 let. f LTF. Selon cette disposition, le recours en matière de droit public n'est recevable contre les décisions en matière de marchés publics qu'à la double condition que la valeur estimée du mandat à attribuer soit égale ou supérieure aux seuils déterminants prévus à cet effet et que la décision attaquée soulève une question juridique de principe (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 194 s.), ce qu'il appartient au recourant de démontrer (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 398 s.).
En l'espèce, le marché a été adjugé pour la somme de CHF 217'957.80, soit un montant largement inférieur au seuil déterminant de CHF 8.7 millions (cf. art. 6 al. 1 let. c de la loi fédérale du 16 décembre 1994 sur les marchés publics [LMP; RS 172.056.1]). C'est donc à juste titre que la recourante dépose un recours constitutionnel subsidiaire.
1.2. Formé contre un arrêt d'un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 114 ainsi que 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le présent recours a par ailleurs été déposé en temps utile (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 117, 42 et 106 al. 2 LTF) par l'entreprise évincée qui était partie à la procédure cantonale et peut justifier d'un intérêt juridique à obtenir l'annulation ou la modification de la décision attaquée (cf. art. 115 let. a et b LTF). Il est par conséquent recevable.
1.3. La voie du recours constitutionnel subsidiaire n'est ouverte que pour faire valoir des griefs portant sur la violation de droits constitutionnels (cf. <ref-law>). La recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendu et d'arbitraire, tous griefs susceptibles d'entrer dans le champ d'application de l'<ref-law>. Il convient donc d'entrer en matière.
2.
En procédure par-devant la Cour de céans, la recourante se prévaut d'un fait nouveau lié à l'évaluation du critère environnemental, l'Association ayant recalculé ce critère et, par courrier du 1er mai 2013, informé la recourante qu'elle aurait dû se voir créditer de 0.2 points supplémentaires à ce titre et obtenir ainsi un total de 4.26 points pour son offre.
Aux termes de l'<ref-law>, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Des faits qui se sont produits après l'arrêt attaqué, soit de véritables nova, ne peuvent résulter de celui-ci. Ils sont par conséquent en principe irrecevables dans la procédure par-devant le Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 123; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 344). Ils doivent, le cas échéant, être invoqués dans le cadre d'une procédure de révision de l'arrêt cantonal (cf. arrêt 6B_389/2012 du 6 novembre 2012 consid. 4.4).
En l'espèce, la nouvelle notation du critère environnemental est intervenue le 1er mai 2013, soit après l'arrêt du Tribunal cantonal du 15 février 2013. Il ne peut par conséquent en être tenu compte dans la présente procédure de recours.
3.
La recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendu au motif que le Tribunal cantonal ne s'est pas explicitement prononcé sur le grief principal qu'elle avait soulevé, à savoir que le kilométrage à retenir pour l'évaluation des offres devait être celui établi par l'expert et non celui figurant dans son offre.
3.1. Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de nature formelle ancrée à l'art. 29 al. 2 Cst., dont la violation entraîne l'annulation de la décision attaquée sans égard aux chances de succès du recours sur le fond (cf. <ref-ruling> consid. 2.6.1 p. 285), de sorte qu'il convient de commencer par son examen.
Le droit d'être entendu comprend l'obligation, pour l'autorité, de motiver sa décision. Elle n'est cependant pas tenue de discuter de manière détaillée tous les arguments soulevés par les parties ni de statuer séparément sur chacun des allégués qui lui sont présentés. Elle peut se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (cf. <ref-ruling> consid. 5.2 p. 236).
3.2. En l'espèce, le Tribunal cantonal a retenu, en fait, que si le prix était noté en fonction des kilométrages figurant dans les offres, l'adjudicataire obtenait une note de 4.80 points et la recourante un résultat de 4.06 points. Il a également relevé que, si le critère du prix était noté d'après les kilométrages arrêtés par l'expert, la recourante obtenait 4.60 points et l'adjudicataire 4.59 points. Il a ajouté enfin que, dans l'hypothèse où l'adjudicataire était noté sur le kilométrage de son offre et la recourante sur celui retenu par l'expert, les deux obtenaient une note de 4.60 points. Le Tribunal cantonal a retenu par ailleurs que la recourante ne prétendait à aucun moment que si l'on souscrivait à son argumentation, son offre obtiendrait une note plus élevée que celle de l'adjudicataire. Il a ajouté que, quelle que soit l'hypothèse retenue, les deux offres étaient équivalentes ou à peu près équivalentes, ce qui conduisait au rejet du recours. Sans retenir formellement que le kilométrage pertinent devait être celui établi par l'expert, le Tribunal cantonal a ainsi néanmoins examiné les effets de cette hypothèse sur l'adjudication du marché. Dans la mesure où ces effets ne l'amenaient pas à conclure à une adjudication viciée, il pouvait s'abstenir de choisir une méthode de calcul plutôt qu'une autre. Le point de savoir si la conclusion de l'instance précédente est justifiée, devra être analysé ci-après. Le grief de violation du droit d'être entendu doit en revanche être rejeté.
4.
La recourante se plaint d'arbitraire dans la constatations des faits et l'appréciation des preuves.
4.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (cf. pour cette notion <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560) - ou en violation du droit (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées; à défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356).
Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. Il ne suffit pas que la motivation de la décision critiquée soit insoutenable; encore faut-il que celle-ci se révèle arbitraire dans son résultat. En outre, il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle adoptée par l'autorité intimée serait concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 379 s.; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités).
4.2. La recourante reproche au Tribunal cantonal d'avoir refusé de retenir que le seul kilométrage pertinent était celui établi par l'expert. Force est de constater que, sous couvert d'établissement des faits, les critiques formulées par la recourante se rapportent en réalité à l'application du droit par l'instance précédente, puisqu'elles portent sur la question de savoir dans quelle mesure l'Association pouvait ou devait prendre en considération la note calculée sur la base des kilométrages établis par l'expert, ou si elle était tenue aux chiffres figurant dans l'offre. Elles seront par conséquent examinées ci-après. Le grief d'arbitraire dans la constatations des faits et l'appréciation des preuves doit en revanche être rejeté.
4.3. Conformément à l'art. 16 de l'accord intercantonal sur les marchés publics du 25 novembre 1994 (AIMP; RS-VS 726.1), le recours peut être formé, en procédure cantonale, notamment pour violation du droit, y compris l'excès ou l'abus de pouvoir d'appréciation (al. 1 let. a), mais le grief d'inopportunité ne peut pas être invoqué (al. 2). Les questions d'opportunité concernent l'exercice par l'autorité de son pouvoir discrétionnaire. Une décision inopportune est entachée d'une erreur d'appréciation, mais moins grave que l'excès ou l'abus du pouvoir d'appréciation. En raison de l'exclusion du contrôle de l'opportunité, l'appréciation faite par le pouvoir adjudicateur au stade de l'application des critères d'adjudication et du choix de l'offre économiquement la plus avantageuse devrait sauf cas d'abus échapper au contrôle de l'autorité judiciaire. En substituant son pouvoir d'appréciation à celui de l'autorité adjudicatrice, l'autorité judiciaire juge en opportunité, violant dans cette mesure l'art. 16 al. 2 AIMP (cf. arrêt 2C_52/2011 du 10 février 2012 consid. 3.2).
La loi valaisanne du 8 mai 2003 concernant l'adhésion du canton du Valais à l'accord intercantonal sur les marchés publics (LcMP; RS-VS 726.1) ainsi que son ordonnance d'application du 11 juin 2003 (Omp; RS-VS 726.100) confèrent au pouvoir adjudicateur une grande liberté d'appréciation, notamment dans le choix des critères d'adjudication et dans l'adjudication elle-même (art. 31 ss Omp). Selon l'art. 14 al. 1 Omp, l'offre ne peut plus être modifiée à l'échéance du délai de soumission, sous réserve de l'art. 19 al. 2 Omp. Aux termes de cette disposition, des erreurs évidentes de l'offre, telles que des erreurs de calcul et d'écriture, sont corrigées avant l'adjudication. Par ailleurs, selon l'art. 20 al. 1 Omp, l'adjudicateur peut réclamer aux soumissionnaires des explications écrites relatives à leur offre. En revanche, les négociations entre l'adjudicateur et les soumissionnaires sur des prix, des remises de prix et des modifications de prestations sont interdites (cf. art. 21 Omp).
4.4. En l'espèce, compte tenu des grandes différences dans les kilométrages retenus par les soumissionnaires, l'Association a d'abord sollicité des explications complémentaires puis demandé à un expert de vérifier les kilométrages retenus. Il s'est ainsi avéré que la recourante avait fondé son offre sur les chiffres de l'appel d'offres, à savoir la moyenne des kilométrages des années 2009-2011, plutôt que de calculer elle-même les trajets - et donc les kilométrages - qu'elle allait effectuer si elle obtenait le marché. Considérant qu'il ne s'agissait pas là d'une erreur de calcul ou d'écriture au sens de l'art. 19 al. 2 Omp, mais d'une erreur de compréhension de l'appel d'offres qu'elle ne pouvait corriger, l'Association a néanmoins, selon l'état de fait retenu par le Tribunal cantonal, établi trois grilles de notation des offres. Si le prix était coté en fonction des kilométrages figurant dans les offres, l'adjudicataire était crédité d'une note finale de 4.80 points, devant la recourante avec 4.06 points. En notant le critère du prix d'après les kilométrages arrêtés par l'expert, la recourante obtenait 4.60 points et l'adjudicataire 4.59 points. Dans l'hypothèse où les kilométrages étaient, pour l'adjudicataire, celui de son offre et pour la recourante celui de l'expert, les deux obtenaient une note de 4.60 points. Compte tenu de ces éléments, l'adjudicataire a été préféré à la recourante, son offre étant jugée soit meilleure soit équivalente à celle de la recourante. A son tour, le Tribunal cantonal n'a pas qualifié d'erreur de calcul ou d'écriture le kilométrage figurant dans l'offre de la recourante et constaté que, quelle que soit l'hypothèse retenue, l'offre de l'adjudicataire était soit meilleure soit au moins à peu près équivalente de celle de la recourante, ce qui justifiait le rejet du recours.
En procédant de la sorte, le Tribunal cantonal n'est pas tombé dans l'arbitraire. Toutes les grilles d'évaluation aboutissaient en effet au résultat que l'offre de l'adjudicataire était soit meilleure (si les notes étaient fondées sur les offres), soit équivalente (si les notes étaient fondées sur les chiffres de l'expert) à celle de la recourante. En outre, en cas d'équivalence, l'adjudicateur dispose d'une grande latitude d'appréciation qui lui donnait toute liberté pour choisir un soumissionnaire plutôt que l'autre sans abuser de son pourvoir d'appréciation. Il n'était pas indispensable, sous cet angle, de trancher la question de savoir si les kilométrages retenus par la recourante dans son offre relevaient ou non d'une erreur de calcul ou d'écriture qui devait être corrigée. Au contraire, si le Tribunal cantonal avait modifié la décision d'adjudication en faveur de la recourante, il aurait jugé en opportunité, ce que les règles sur les marchés publics interdisent (cf. supra consid. 4.3).
En conclusion, la position du Tribunal cantonal échappe au grief d'arbitraire. Dans ces conditions, le recours doit être rejeté en tant qu'il conteste le caractère illicite de l'adjudication du 5 septembre 2012.
5.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>) et n'a pas droit à des dépens (<ref-law>). Elle versera en outre une indemnité à titre de dépens à l'adjudicataire (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Aucune indemnité à titre de dépens ne sera en revanche accordée à l'Association intimée dès lors qu'elle est une organisation chargée de tâches de droit public et qu'elle a obtenu gain de cause dans l'exercice de ses attributions officielles (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 7 p. 118 s.; arrêt 2C_534/2011 du 23 février 2012 consid. 6).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à CHF 3'000.-, sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à Z._ une indemnité de CHF 3'000.- à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 23 juillet 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Beti