Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Gesuchstellerin und Beschwerdeführerin) fuhr am 13. Juni 2004 gegen 16.00 Uhr auf der Autobahn A1 in Fahrtrichtung Zürich auf der Überholspur. Dabei bildete sich infolge eines Verkehrsunfalles auf der Höhe des Autobahnanschlusses Wangen an der Aare ein Rückstau. A._ bremste ab. Die hinter ihr fahrende, bei der Versicherung X._ AG (Gesuchs- und Beschwerdegegnerin) versicherte Fahrzeuglenkerin bemerkte das Abbremsen zu spät und prallte frontal in das Heck des Personenwagens von A._. Dieser kollidierte darauf mit dem vor ihm stehenden Fahrzeug. A._ beklagte sich sogleich über Nacken- und Kopfschmerzen. Sie steht seither wegen einer Halswirbelsäulen-Distorsion, einer Kontusion der linken Schulter und wegen Kopfschmerzen in fachärztlicher Behandlung.
A.b. Für die Unfallfolgen richtete die Suva Zürich im Rahmen einer unfallähnlichen Körperschädigung (<ref-law>) zunächst die gesetzlichen Versicherungsleistungen aus. Mit Verfügung vom 26. März 2009 verneinte die Suva Zürich jedoch das Vorliegen eines adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall vom 13. Juni 2004 und den aktuellen Beschwerden. Sie stellte die Versicherungsleistungen per 31. März 2009 ein. Die dagegen am 15. April 2009 erhobene Einsprache wies die Suva mit Entscheid vom 25. September 2009 ab.
B.
B.a. Um ihre Prozesschancen gegen die Haftpflichtversicherung der Unfallverursacherin besser abschätzen zu können, gelangte A._ am 4. Oktober 2012 mit einem Gesuch um vorsorgliche Beweisführung gemäss <ref-law> an das Richteramt Solothurn-Lebern. Sie beantragte, es sei im Rahmen einer vorsorglichen Beweisführung ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten zur Feststellung der bestehenden gesundheitlichen Beschwerden, zur sich daraus ergebenden Arbeitsunfähigkeit und Einschränkung in der Haushaltsführung und zur Kausalität der Beschwerden zu veranlassen.
Zur Begründung führte A._ aus, dass in einem allfälligen Haftpflichtprozess die Frage entscheidend sei, ob ihre gegenwärtigen Beschwerden, die ihr nur eine 75-prozentige Arbeitstätigkeit gestatten, natürlich kausale Folge des versicherten Unfalles seien. Sodann sei zu fragen, in welchem Umfang sie in ihrer Arbeitsfähigkeit und in der Fähigkeit, ihren Haushalt zu führen, eingeschränkt sei. Sobald diese vom medizinischen Gutachter zu beurteilenden Fragen beantwortet seien, sollten sich die Parteien im Quantitativen einigen können. Sollte jedoch das Gutachten auch nur eine dieser Fragen verneinen, erübrige sich ein Haftpflichtprozess mangels kausalem Schaden.
Mit Urteil vom 5. Dezember 2012 wies der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern das Gesuch um vorsorgliche Beweisführung ab.
B.b. Dagegen erhob A._ am 21. Dezember 2012 Berufung an das Obergericht des Kantons Solothurn mit den folgenden Rechtsbegehren:
"1. Das angefochtene Urteil des Einzelrichters am Richteramt Solothurn-Lebern vom 5. Dezember 2012, mitgeteilt am 12. Dezember 2012, sei aufzuheben.
2. Das Gesuch der Berufungsklägerin, es sei im Rahmen einer vorsorglichen Beweisführung ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten zu veranlassen, zur Feststellung ihrer bestehenden gesundheitlichen Beschwerden, zur sich daraus ergebenden Arbeitsunfähigkeit, zu den Einschränkungen in der Haushaltsführung sowie zur Kausalität der Beschwerden, sei gutzuheissen.
3. Eventuell sei der Einzelrichter am Richteramt Solothurn-Lebern anzuweisen, auf das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen einzutreten und das beantragte polydisziplinäre Gutachten zur Feststellung der gesundheitlichen Beschwerden der Berufungsklägerin, zu der sich daraus ergebenden Arbeitsunfähigkeit und Einschränkung in der Haushaltsführung und zur Kausalität der Beschwerden in Auftrag zu geben.
4. Unter gesetzlicher Kosten- und Entschädigungsfolge für das erstinstanzliche und das Berufungsverfahren.
5. Verfahrensantrag: Falls die Berufung gutgeheissen und das Gesuch grundsätzlich bewilligt wird, ist den Parteien Frist einzuräumen, um Gutachter vorzuschlagen und Gutachterfragen zu stellen."
Mit Urteil vom 28. März 2013 wies das Obergericht die Berufung ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt A._ dem Bundesgericht die folgenden Anträge:
"1. Das angefochtene Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn sei aufzuheben und das Gesuch der Beschwerdeführerin, es sei im Rahmen einer vorsorglichen Beweisführung ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten zu veranlassen zur Feststellung ihrer bestehenden gesundheitlichen Beschwerden, zur sich daraus ergebenden Arbeitsunfähigkeit, zu den Einschränkungen in der Haushaltsführung sowie zur Kausalität der Beschwerden, sei gutzuheissen.
2. Im Falle einer Gutheissung der Beschwerde sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese den Parteien Frist ansetze zur Bezeichnung von Sachverständigen und zur Einreichung von Gutachterfragen.
3. Unter Kosten- und Entschädigungsfolge für das Verfahren vor den beiden Vorinstanzen und vor dem Bundesgericht zulasten der Beschwerdegegnerin."
Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, soweit Eintreten. Die Vorinstanz trägt auf Abweisung an.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1 S. 103, 470 E. 1 S. 472; <ref-ruling> E. 1 S. 216).
1.1. Der angefochtene Entscheid betrifft ein Gesuch um vorsorgliche Beweisführung, auf das die Bestimmungen über die vorsorglichen Massnahmen Anwendung finden (<ref-law>). Massnahmenentscheide gelten nur dann als Endentscheide im Sinne von <ref-law>, wenn sie in einem eigenständigen Verfahren ergehen. Selbständig eröffnete Massnahmenentscheide, die vor oder während eines Hauptverfahrens erlassen werden und nur für die Dauer des Hauptverfahrens Bestand haben bzw. unter der Bedingung, dass ein Hauptverfahren eingeleitet wird, stellen Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 1.2 S. 79; <ref-ruling> E. 3.1 S. 86 f.).
Der vorliegend angefochtene Entscheid ist in einem Gesuchsverfahren betreffend vorsorgliche Beweisführung ergangen, das von der Einleitung eines ordentlichen Hauptverfahrens unabhängig und damit eigenständig ist. Mit dem angefochtenen Entscheid wurde das Gesuch abgewiesen und damit das Gesuchsverfahren zum Abschluss gebracht. Es handelt sich folglich um einen Endentscheid i.S. von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2 S. 79; <ref-ruling> E. 1.1 S. 46 f.). Dagegen ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig.
1.2. Bei einem Entscheid über vorsorgliche Beweisführung handelt es sich um einen Entscheid i.S. von <ref-law> (BGE <ref-ruling> E. 1.1 S. 46; <ref-ruling> E. 2 S. 639). Dagegen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden.
Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 88; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444 f.; je mit Hinweisen).
1.3.
1.3.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt ( faits de la procédure; fatti procedurali; vgl. zum Ganzen BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 31 zu <ref-law>; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, Bern 2008, N. 3672 zu <ref-law>; JEAN-FRANÇOIS POUDRET, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, Bd. 2, 1990, N. 4.2 zu Art. 63 aOG; BIRCHMEIER, Handbuch des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege, S. 89; HENRI DESCHENAUX, La distinction du fait et du droit dans les procédures de recours au Tribunal fédéral, Habil. Fribourg 1948, S. 19; CHRISTOPH HURNI, Gedanken zur künftigen Anwendung der neuen Schweizerischen ZPO durch das Bundesgericht, recht 2010, S. 92 f.). Zum Prozesssachverhalt gehören namentlich die Anträge der Parteien, ihre Tatsachenbehauptungen, rechtlichen Erörterungen ( BIRCHMEIER, a.a.O.; CORBOZ, a.a.O.), Prozesserklärungen und Beweisvorbringen ( DONZALLAZ, a.a.O.), der Inhalt einer Zeugenaussage, einer Expertise oder die Feststellungen anlässlich eines Augenscheins ( CORBOZ, a.a.O.).
Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Die Beschwerdeführerin, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substanziiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss <ref-law> gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f., 393 E. 7.1 S. 398, 462 E. 2.4 S. 466 f.).
1.3.2. Diese Grundsätze verkennt die Beschwerdeführerin, soweit sie unter dem Titel " II. Begründung / A. Sachverhalt" ihrer Beschwerdeschrift den Sachverhalt im Wesentlichen aus eigener Sicht wiedergibt, dies unter Hinweis auf im vorinstanzlichen Verfahren eingereichte Beweismittel, jedoch ohne gleichzeitig Sachverhaltsrügen zu erheben. Die entsprechenden Ausführungen sind somit unbeachtlich.
2.
Die Beschwerdeführerin macht eine willkürliche Anwendung von <ref-law> geltend.
2.1. Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Praxis nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint. Willkür in der Rechtsanwendung liegt nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 2.1 S. 211; je mit Hinweisen).
2.2. <ref-law> regelt die vorsorgliche Beweisführung. Nach Abs. 1 lit. b nimmt das Gericht jederzeit Beweis ab, wenn die gesuchstellende Partei eine Gefährdung der Beweismittel oder ein schutzwürdiges Interesse glaubhaft macht.
2.2.1. Gemäss der Botschaft wird mit dem Begriff des schutzwürdigen Interesses in <ref-law> auf die Möglichkeit Bezug genommen, eine vorsorgliche Beweisführung auch zur Abklärung der Beweis- und Prozessaussichten durchzuführen. Diese Möglichkeit soll dazu beitragen, aussichtslose Prozesse zu vermeiden (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7221, S. 7315; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 81).
2.2.2. Zur Glaubhaftmachung eines schutzwürdigen Interesses an einer vorsorglichen Beweisführung genügt die blosse Behauptung eines Bedürfnisses, Beweis- und Prozessaussichten abzuklären, freilich nicht. Eine vorsorgliche Beweisführung kann nur mit Blick auf einen konkreten materiellrechtlichen Anspruch verlangt werden, hängt doch das Interesse an einer Beweisabnahme vom Interesse an der Durchsetzung eines damit zu beweisenden Anspruchs ab (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 81). Der Gesuchsteller, der sich auf <ref-law> stützt, muss daher glaubhaft machen, dass ein Sachverhalt vorliegt, gestützt auf den ihm das materielle Recht einen Anspruch gegen die Gesuchsgegnerin gewährt und zu dessen Beweis das abzunehmende Beweismittel dienen kann (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 81 mit Hinweisen). Lediglich für Tatsachen, die mit dem vorsorglich abzunehmenden Beweismittel bewiesen werden sollen, kann keine eigentliche Glaubhaftmachung verlangt werden, denn sonst würde der Zweck von <ref-law>, die vorprozessuale Abklärung von Beweisaussichten zu ermöglichen, vereitelt. Stellt das abzunehmende Beweismittel das einzige dar, mit dem der Gesuchsteller seinen Anspruch beweisen kann, muss es genügen, dass er das Vorliegen der anspruchsbegründenden Tatsachen lediglich substanziiert und schlüssig behauptet (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 82).
Die Anforderungen an die Glaubhaftmachung dürfen freilich nicht überspannt werden, geht es doch beim Verfahren der vorsorglichen Beweisabnahme noch nicht um die Prüfung der Begründetheit des Hauptanspruchs ( MARK SCHWEIZER, Vorsorgliche Beweisabnahme nach schweizerischer Zivilprozessordnung und Patentgesetz, ZZZ 2010, S. 8; LAURENT KILLIASet al., Gewährt <ref-law> eine "pre-trial discovery" nach US-amerikanischem Recht?, in: Lorandi/Staehelin [Hrsg.], Innovatives Recht, Festschrift für Ivo Schwander, 2011, S. 941). Abgesehen von der Glaubhaftmachung eines Hauptsacheanspruchs bzw. der schlüssigen und substanziierten Behauptung der anspruchsbegründenden Tatsachen, die durch das vorsorglich beantragte Beweismittel bewiesen werden sollen, sind an das Bestehen eines schutzwürdigen Interesses keine hohen Anforderungen zu stellen ( WALTER FELLMANN, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 19 zu Art. 158). Ein solches wäre namentlich etwa dann zu verneinen, wenn das beantragte Beweismittel untauglich ist ( SCHWEIZER, a.a.O., S. 8; LEUCHet al., Die Zivilprozessordnung für den Kanton Bern, 5. Aufl. 2000, N. 1b zu Art. 227), muss doch das vorsorglich abgenommene Beweismittel in einem allfälligen Hauptprozess verwertet werden können. Ebenfalls kein Interesse an einer vorsorglichen Beweisführung besteht sodann, wenn es der gesuchstellenden Partei lediglich darum geht, ein bereits vorliegendes Gutachten mit einem weiteren Gutachten in Frage zu stellen.
2.2.3. Im Verfahren nach <ref-law> ist schliesslich zu beachten, dass im Stadium einer vorsorglichen Beweisführung vor Einleitung des Hauptprozesses das Prozessthema noch nicht abschliessend herausgeschält ist. Es liegt daher primär in der Verantwortung des Gesuchstellers, dem Gericht die erforderlichen Angaben zum Sachverhalt zu machen und den Umfang der beantragten Beweisführung zu bestimmen ( FELLMANN, a.a.O., N. 20 zu <ref-law>).
Verlangt der Gesuchsteller die Einholung eines Gutachtens, obliegt es in erster Linie ihm, dem Gericht die Fragen zu unterbreiten, die dem Experten zu stellen sind ( KILLIASet al., a.a.O., S. 943; FELLMANN, a.a.O., N. 20 zu <ref-law>; LEUCHet al., a.a.O., N. 4 zu <ref-law>/BE). Die Gesuchsgegnerin, welche im Verfahren der vorsorglichen Beweisführung gemäss Art. 158 Abs. 2 i.V.m. Art. 248 lit. d und Art. 253 ZPO anzuhören ist (<ref-ruling> E. 4.3 S. 36), kann dabei durch eigene Fragen oder durch Zusatz- und Ergänzungsfragen ihren eigenen Standpunkt in das Verfahren einbringen ( FELLMANN, a.a.O., N. 20 zu <ref-law>), wobei das Gericht dafür zu sorgen hat, dass der durch das Gesuch definierte Prozessgegenstand gewahrt bleibt und nicht durch Ergänzungsfragen erweitert wird. Der endgültige Entscheid über die Formulierung der Fragen liegt stets beim Gericht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 36).
Die Gesuchsgegnerin kann eine Ausdehnung der Beweisführung auf weitere Tatsachen sowie die Abnahme von Gegenbeweismitteln nur insoweit beantragen, als auch diesbezüglich die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind ( FELLMANN, a.a.O., N. 26 zu <ref-law>; LEUCHet al., a.a.O., N. 1 zu <ref-law>/BE).
2.2.4. Für die vorliegend umstrittene vorsorgliche Abnahme eines Expertengutachtens gelten im Übrigen die allgemeinen Regeln gemäss <ref-law>. Dies gilt namentlich in Bezug auf die Auswahl des Gutachters: Die Parteien können dem Gericht diesbezüglich zwar Vorschläge unterbreiten und gegenüber in Frage kommenden Kandidaten Ausstandsgründe vorbringen (Art. 183 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), die definitive Wahl des Gutachters und dessen Ernennung ist jedoch Sache des Gerichts ( SVEN RÜETSCHI, in: Berner Kommentar, 2012, N. 17, 19 zu <ref-law>; Hans Schmid, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>).
2.3. Die Vorinstanz hat ein schutzwürdiges Interesse der Beschwerdeführerin an einer vorsorglichen Beweisführung verneint. Zur Begründung verwies sie auf rund 20 medizinische Stellungnahmen aus dem Zeitraum zwischen Juli 2004 und Oktober 2012, darunter diverse Arztzeugnisse, fachärztliche Berichte sowie eine biomechanische Kurzbeurteilung, deren Schlussfolgerungen sie kurz zusammenfasste. Nach Auffassung der Vorinstanz geben diese Unterlagen ein umfassendes und einheitliches Bild über den Gesundheitszustand bzw. die gesundheitlichen Beschwerden der Beschwerdeführerin ab. Zwar hätten sich nicht alle untersuchenden Ärzte (explizit) zur Kausalität der Beschwerden zum Unfallereignis sowie zur bestehenden Arbeitsfähigkeit der Beschwerdeführerin geäussert. Es lägen aber sowohl Stellungnahmen zur Kausalität zwischen Unfall und geklagten Beschwerden als auch zur Arbeitsfähigkeit vor, anhand deren sich eine Verfahrensprognose für einen Schadenersatzprozess stellen lässt. Aufgrund der umfangreichen Dokumentation ihres Gesundheitszustandes seit dem Unfall vom Juni 2004 sei es der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin möglich, ihre Chancen in einem allfälligen Haftpflichtprozess gegen die Beschwerdegegnerin abzuschätzen. Die Beschwerdeführerin sei im Verfahren um vorsorgliche Beweisführung nicht auf ein polydisziplinäres Gutachten angewiesen, weshalb ihr ein schutzwürdiges Interesse abzusprechen sei. Daran ändere auch die Tatsache nichts, dass ein polydisziplinäres Gutachten ein wichtiges Beweismittel für die Beurteilung der Kausalität in Schleudertraumata-Fällen sei und deshalb in einem allfälligen Haftpflichtprozess wohl unentbehrlich sein werde.
Auch mit der Prozessökonomie lässt sich nach Auffassung der Vorinstanz eine vorgängige Beweisabnahme mittels Gutachtens nicht rechtfertigen. Denn erst der Prozess in der Hauptsache führe zu definitiven Erkenntnissen. Es dürfte sich in der Regel nicht vermeiden lassen, im nachfolgenden Prozess über die Hauptsache die - bereits vorsorglich durchgeführte - Beweisabnahme aufgrund des erst im Hauptprozess definitiv fixierten Streitgegenstandes zu wiederholen oder zumindest zu ergänzen. Auch wenn das Vorliegen eines Gutachtens dazu führen könnte, dass von einem Hauptprozess abgesehen wird, dürfe die vorsorgliche Beweisabnahme nicht dazu führen, dass sich das Beweisverfahren ohne Not in den vorprozessualen Bereich verlagere. Schliesslich könne es nicht Zweck einer vorgängigen Beweisabnahme sein, eine Partei vor jeglichem Prozessrisiko zu schützen, d.h. ein solches mittels vorsorglicher Beweisabnahme gänzlich auszuschliessen. Der Beschwerdeführerin erwachse kein Nachteil, wenn sie ein Gutachten erst in einem allfälligen Hauptprozess beantrage. Auch aus diesem Grund müsse die Notwendigkeit eines polydisziplinären Gutachtens verneint werden.
2.4. Dagegen wendet die Beschwerdeführerin ein, dass die von der Vorinstanz angeführten medizinischen Stellungnahmen keine Antwort gäben auf Fragen, die in einem allfälligen Haftpflichtprozess gegen die Beschwerdegegnerin entscheidend wären. So etwa auf die Frage, ob die Unfallkausalität auch noch für die Zeit nach der Einstellung der Suva-Leistungen zu bejahen ist und ob es unfallkausale Beschwerden sind, die zu einer Reduktion der Arbeitsfähigkeit ab dem Jahr 2011 geführt haben. Auf genau diese Fragen verspreche sich die Beschwerdeführerin mit dem beantragten interdisziplinären Gutachten aber eine Antwort. Der angefochtene Entscheid leide an einem Widerspruch, wenn die Vorinstanz zwar festhalte, dass in einem allfälligen Haftpflichtprozess ein medizinisches Gutachten wohl unumgänglich sei, andererseits der Beschwerdeführerin das schutzwürdige Interesse an genau dieser Begutachtung im Rahmen des vorsorglichen Beweisverfahrens abspreche. Es liege auf der Hand, dass ein aufwändiger Prozess mit einem vorgängigen Gutachten verhindert werden könne: Falls die Beschwerden als unfallfremd beurteilt werden, falle der Beschwerdeführerin die Basis ihrer Klage dahin; werde die Unfallkausalität derjenigen Beschwerden, welche die Arbeitsfähigkeit heute verursachen, aber bejaht, dürfte eine gütliche Einigung möglich werden.
2.5. Die Rüge ist begründet. Mit ihren Erwägungen verkennt die Vorinstanz den Zweck und die Voraussetzungen der vorsorglichen Beweisführung nach <ref-law>. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung hängt das Interesse an einer vorsorglichen Beweisabnahme vom Interesse an der Durchsetzung eines damit zu beweisenden Anspruchs ab (oben E. 2.2.2). Das schutzwürdige Interesse gemäss <ref-law> bezieht sich mithin unmittelbar auf die potentielle Durchsetzung eines konkreten Anspruches (vgl. auch Francesco Trezzini, Funzioni ordinatorie e garantistiche dell'interesse degno di protezione nel processo civile, SZZP 2012, S. 374). Vor diesem Hintergrund lässt sich vorliegend ein schutzwürdiges Interesse an der vorsorglichen Beweisführung aber nicht willkürfrei verneinen, wenn - wie die Vorinstanz selber ausführt - das beantragte polydisziplinäre Gutachten "in einem allfälligen Haftpflichtprozess wohl unentbehrlich" sein wird, also der von der Beschwerdeführerin behauptete Anspruch ohne ein solches Gutachten nicht beurteilt werden kann. Es ist in der Tat widersprüchlich, wenn die Vorinstanz zwar einerseits festhält, dass in einem allfälligen Haftpflichtprozess ein medizinisches Gutachten benötigt werde, andererseits der Beschwerdeführerin das schutzwürdige Interesse an genau dieser Begutachtung im Rahmen des vorsorglichen Beweisverfahrens aber abspricht.
Die Vorinstanz übersieht denn auch, dass die vorsorgliche Beweisführung nach <ref-law> nicht bloss eine vage Abschätzung der Prozesschancen ermöglichen soll, sondern eine eigentliche Abklärung der Prozessaussichten im Allgemeinen und der Beweisaussichten im Besonderen. Eine hinreichende Klärung der Prozessaussichten kann dabei aber nur mit der vorsorglichen Abnahme von Beweismitteln erreicht werden, welche zum Beweis der anspruchsbegründenden Tatsache tauglich sind und sich auch eignen, im Beweisverfahren eines allfälligen Hauptprozesses eine tragende Rolle zu spielen. Dies gilt ganz besonders, wenn solche Klärung eine Expertise erfordert (vgl. Leuch et al., Die Zivilprozessordnung für den Kanton Bern, 5. Aufl. 2000, N. 1a zu <ref-law>/BE; Fellmann, a.a.O., N. 18 zu <ref-law>). Nur so lassen sich aussichtslose Prozesse vermeiden, sei dies durch Förderung der Bereitschaft der Gesuchstellerin, auf Klageerhebung zu verzichten, oder aber der Bereitschaft beider Parteien, sich zu vergleichen.
Dass ein polydisziplinäres Gutachten für den vorliegend in Frage kommenden Haftpflichtprozess nicht nur ein taugliches, sondern geradezu zentrales Beweismittel sein wird, hat die Vorinstanz zu Recht nicht in Abrede gestellt. Bei den vorliegend bereits vorhandenen rund 20 medizinischen Stellungnahmen (Arztzeugnisse, fachärztliche Berichte etc.) handelt es sich beweisrechtlich betrachtet denn auch um blosse Privatgutachten (<ref-ruling> E. 3 b/dd), welche nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung als Bestandteil der Parteivorbringen und nicht als eigentliche Beweismittel gelten (<ref-ruling> E. 3.4 S. 87 f.; vgl. auch <ref-ruling> E. 3f/bb S. 82 f.). Demgegenüber strebt die Beschwerdeführerin ein gerichtliches Gutachten i.S. von <ref-law> an. Ist aber ein solches Gutachten im Hauptprozess notwendig, lässt sich ein schutzwürdiges Interesse an dessen vorsorglicher Abnahme nicht willkürfrei verneinen, sofern die Beschwerdeführerin glaubhaft gemacht hat, dass ein Sachverhalt vorliegt, gestützt auf den ihr das materielle Recht einen Anspruch gegen die Beschwerdegegnerin gewährt.
3.
Die Rüge, die Vorinstanz habe <ref-law> willkürlich angewendet, erweist sich als begründet und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Den vorinstanzlichen Feststellungen lässt sich indessen nicht entnehmen, ob die Beschwerdeführerin den Sachverhalt, aus dem sie einen Anspruch gegenüber der Beschwerdegegnerin ableitet, auch hinreichend glaubhaft gemacht hat (vgl. oben E. 2.2). Ein reformatorischer Entscheid (<ref-law>) ist mithin nicht möglich, womit die Sache zur Prüfung dieser Voraussetzungen und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen ist.
Die Kosten für ein allfälliges Gutachten wird gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung die Gesuchstellerin (hier also die Beschwerdeführerin) zu tragen haben. Blosse Zusatz- oder Erläuterungsfragen, die Bestandteil der von der Gesuchstellerin verlangten Beweisführung bilden, lösen keine Kostenpflicht der Gesuchsgegnerin aus (dazu eingehend <ref-ruling> E. 4 S. 34 ff.).
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird das angefochtene Urteil aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. November 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni