Sachverhalt:
A. X._ ist albanische Staatsangehörige. Sie gelangte 1991 in die Schweiz und wohnt seit 1993 in der Politischen Gemeinde Oberriet. Sie ist seit 1995 in der A._ AG in Oberriet tätig. Sie lebt mit ihrem behinderten Sohn Y._ und ihrem Sohn Z._ sowie dessen Familie zusammen.
Am 27. Mai/1. Oktober 2002 stellte X._ ein Gesuch um Einbürgerung. Der Einbürgerungsrat der Politischen Gemeinde Oberriet teilte ihr daraufhin mit, das Gesuch werde zurückgestellt, bis ihre Integration verbessert sei.
Am 13. Juli 2004 stellte X._ erneut einen Antrag auf Erteilung des Bürgerrechts. Der Einbürgerungsrat stufte nunmehr die Voraussetzungen zur Einbürgerung als erfüllt ein und beantragte der Stimmbürgerschaft die Einbürgerung von X._. Diesem Antrag folgte die Bürgerversammlung vom 31. März 2006 aber nicht und lehnte die Erteilung des Bürgerrechts ab.
B. Mit Schreiben vom 4. September 2007 beantragte X._ erneut ihre Einbürgerung. Der Einbürgerungsrat erachtete die Voraussetzungen nach wie vor als gegeben und stellte der Stimmbürgerschaft an der Bürgerversammlung vom 11. April 2008 erneut den Antrag, X._ das Bürgerrecht zu erteilen. Die Stimmbürgerschaft lehnte den Einbürgerungsantrag jedoch wiederum ab.
Gegen den Beschluss der Stimmbürgerschaft vom 11. April 2008 erhob X._ Beschwerde ans Departement des Innern des Kantons St. Gallen, welches diese mit Entscheid vom 26. Januar 2009 guthiess, den ablehnenden Beschluss der Stimmbürgerschaft aufhob und die Sache an die Politische Gemeinde Oberriet zurückwies, damit der Einbürgerungsrat die Vorlage der Bürgerschaft an der nächsten Bürgerversammlung erneut unterbreiten könne. Gleichzeitig wurde die Politische Gemeinde Oberriet darauf aufmerksam gemacht, dass bei einer neuerlichen rechtswidrigen Ablehnung der Einbürgerungsvorlage die Einbürgerung aufsichtsrechtlich angeordnet werden könnte.
Der Einbürgerungsrat stellte der Bürgerversammlung vom 27. März 2009 abermals den Antrag, X._ das Bürgerrecht zu erteilen. An der Bürgerversammlung äusserten sich mehrere Personen zum Einbürgerungsgesuch. Im Anschluss daran lehnte die Stimmbürgerschaft den Einbürgerungsantrag mit grossem Mehr ab.
Mit Eingaben vom 3. und 24. April 2009 erhob X._ Abstimmungsbeschwerde beim Departement des Innern. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 11. Dezember 2009 ab.
Mit Eingabe vom 28. Dezember 2009 reichte X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen ein.
Mit Verfügung vom 25. Januar 2010 wies der Präsident des Verwaltungsgerichts das von X._ gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. Hiergegen erhob X._ Beschwerde beim Bundesgericht, welches die Beschwerde mit Urteil vom 15. Juni 2010 guthiess. Mit Verfügung vom 6. Oktober 2010 hiess das Verwaltungsgericht das Gesuch von X._ um unentgeltliche Rechtspflege gut.
Mit Urteil vom 31. Mai 2011 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde von X._ gut, hob den angefochtenen Entscheid des Departements des Innern vom 11. Dezember 2009 und den Beschluss der Bürgerversammlung Oberriet vom 27. März 2009 auf und wies die Sache zur Einbürgerung von X._ ans Departement des Innern zurück.
C. Die Politische Gemeinde Oberriet führt mit Eingabe vom 7. Juli 2011 subsidiäre Verfassungsbeschwerde ans Bundesgericht und rügt in der Hauptsache eine Verletzung der Gemeindeautonomie. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts und die Abweisung des Einbürgerungsgesuchs von X._.
Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Departement des Innern stellt Antrag auf Gutheissung der Beschwerde. X._ beantragt die Abweisung der Beschwerde und ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Stellungnahmen wurden der Beschwerdeführerin zur Kenntnisnahme zugestellt.

Erwägungen:
1. 1.1 Beschwerden gegen letztinstanzliche Verfügungen der Kantone in Einbürgerungsangelegenheiten richten sich nach den allgemeinen Bestimmungen über die Bundesrechtspflege (Art. 51 Abs. 1 des Bundesgesetzes über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts vom 29. September 1952 [Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0]). Zur Beschwerde berechtigt sind auch die betroffenen Kantone und Gemeinden (<ref-law>).
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> ist gemäss <ref-law> gegen Entscheide über die ordentliche Einbürgerung ausgeschlossen. Eine andere ordentliche Beschwerde fällt nicht in Betracht. Damit ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> im Grundsatz gegeben. Der Entscheid der Vorinstanz kann mit keinem kantonalen Rechtsmittel angefochten werden und ist daher kantonal letztinstanzlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 269).
1.2 Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nach <ref-law> die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden. Zur Beschwerde ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b).
Die in <ref-law> genannte Voraussetzung ist erfüllt. Das nach <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse kann durch kantonales oder eidgenössisches Gesetzesrecht oder unmittelbar durch ein spezielles Grundrecht oder bundesverfassungsrechtliche Verfahrensgarantien begründet sein (<ref-ruling> E. 4 S. 191 und E. 6.2 S. 199; <ref-ruling> E. 1 S. 219). Der Entscheid der Vorinstanz trifft die Beschwerdeführerin in hoheitlichen Befugnissen, da ihr Beschluss auf Nichteinbürgerung der Beschwerdegegnerin aufgehoben wird. Die Beschwerdeführerin ist daher legitimiert, eine Verletzung ihrer in <ref-law> garantierten Gemeindeautonomie zu rügen (vgl. <ref-law>). Ob ihr im hier betroffenen Bereich tatsächlich Autonomie zukommt, ist nicht eine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.2 S. 45 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 93; <ref-ruling> E. 1.1 S. 412; je mit Hinweisen). In Verbindung mit der Rüge der Verletzung ihrer Autonomie kann die Gemeinde auch eine Verletzung des Willkürgebots und des Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend machen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 272; <ref-ruling> E. 3.1 S. 95).
Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten, soweit die gesetzlichen Begründungsanforderungen erfüllt sind (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).
2. Die Vorinstanz hat erwogen, es sei zu prüfen, ob die Ablehnung des Einbürgerungsgesuchs auf sachlichen Gründen beruhe. Der Bürgerversammlung komme beim Entscheid über die Einbürgerung ein weiter Ermessensspielraum zu, und es stehe Gemeinden offen, eine freizügige oder eine zurückhaltende Einbürgerungspraxis zu entwickeln. Es sei insbesondere zulässig, von einer Gesuchstellerin eine gewisse lokale Integration und eine allmähliche Angleichung an die schweizerischen Gewohnheiten zu verlangen, die darin bestehe, dass sie tatsächlich in einen eigentlichen Kontakt mit der Bevölkerung des aufnehmenden Gemeinwesens trete und hierdurch ihren Integrationswillen bezeuge. Nach Art. 13 lit. b und d des Gesetzes über das St. Galler Bürgerrecht vom 3. August 2010 (BRG/SG; sGS 121.1) seien aber auch der Wille zur Teilnahme am Wirtschaftsleben sowie die sozialen Beziehungen am Arbeitsplatz und in der Nachbarschaft als Merkmale der Integration zu betrachten. Die bisherige kantonale Praxis dürfe nicht dahingehend verstanden werden, dass ausschliesslich eine Aktivität in Vereinen eine besondere lokale Integration begründe.
Die Vorinstanz hat weiter ausgeführt, die Beschwerdegegnerin sei seit über 15 Jahren an derselben Arbeitsstelle tätig, und der Arbeitgeber stelle ihr ein positives Zeugnis aus. Dies sei als Integrationsmerkmal zu berücksichtigen. Zudem sei die Beschwerdegegnerin in die Nachbarschaft integriert. Des Weiteren sei es nachvollziehbar, dass sie neben ihrer Arbeit und der Betreuung ihres behinderten Sohns nur beschränkte Möglichkeiten habe, intensiv am öffentlichen Leben teilzunehmen oder die Mitgliedschaft in Vereinen zu pflegen. Dass sie unter den gegebenen Umständen ein relativ zurückgezogenes Leben führe, könne ihr nicht angelastet werden. Vielmehr könnte eine aktivere Teilnahme der Beschwerdegegnerin am Dorfleben angesichts ihrer Betreuungsaufgaben auch negative Reaktionen hervorrufen.
Gestützt auf diese Erwägungen hat die Vorinstanz im Ergebnis geschlossen, dass die Ablehnung des Einbürgerungsgesuchs nicht auf sachlich haltbaren Gründen beruhe. Die Beschwerdegegnerin sei im Rahmen ihrer beschränkten Möglichkeiten insgesamt gut integriert und zeige mit der Betreuung ihres behinderten Sohns ein hohes Mass an Eigenverantwortung. Ferner sei sie bemüht, auch ihren Lebensunterhalt eigenverantwortlich zu bestreiten. Der angefochtene Entscheid sei deshalb aufzuheben und die Sache zur Einbürgerung der Beschwerdegegnerin ans Departement des Innern zurückzuweisen.
3. Die Beschwerdeführerin macht eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung geltend.
3. Die Beschwerdeführerin macht eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung geltend.
3.1 3.1.1 Die Beschwerdeführerin bringt vor, die von der Beschwerdegegnerin im vorinstanzlichen Verfahren beigebrachten Bestätigungen ihrer Integration durch verschiedene Personen stellten blosse Gefälligkeitsbescheinigungen dar, welche von der Vorinstanz nicht hätten berücksichtigt werden dürfen.
3.1.2 Die Eingabe der Beschwerdegegnerin, worin diese die Bestätigungen erwähnte und würdigte, wurde der Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren zugestellt. Diese macht denn insoweit auch keine Gehörsverletzung geltend. Hatte sie aber Kenntnis von den Bestätigungen, geboten es Treu und Glauben, allfällige Einwendungen, sei es hinsichtlich der Glaubhaftigkeit, sei es hinsichtlich des Novenrechts, bereits im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren und nicht erst vor Bundesgericht geltend zu machen. Im Übrigen legt die Beschwerdeführerin aber auch nicht in einer den Begründungsanforderungen (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>) genügenden Weise dar, weshalb die Bestätigungen nicht glaubhaft sein sollten. Auf die Beschwerde ist in diesem Punkt folglich nicht einzutreten.
3.1.2 Die Eingabe der Beschwerdegegnerin, worin diese die Bestätigungen erwähnte und würdigte, wurde der Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren zugestellt. Diese macht denn insoweit auch keine Gehörsverletzung geltend. Hatte sie aber Kenntnis von den Bestätigungen, geboten es Treu und Glauben, allfällige Einwendungen, sei es hinsichtlich der Glaubhaftigkeit, sei es hinsichtlich des Novenrechts, bereits im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren und nicht erst vor Bundesgericht geltend zu machen. Im Übrigen legt die Beschwerdeführerin aber auch nicht in einer den Begründungsanforderungen (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>) genügenden Weise dar, weshalb die Bestätigungen nicht glaubhaft sein sollten. Auf die Beschwerde ist in diesem Punkt folglich nicht einzutreten.
3.2 3.2.1 Die Beschwerdeführerin rügt die vorinstanzliche Feststellung, wonach die Beschwerdegegnerin infolge Arbeit und Betreuung ihres Sohns nur beschränkte Möglichkeiten zur Teilnahme am öffentlichen Leben habe, als willkürlich. Auch die weitere Erwägung der Vorinstanz, dass eine regere Teilnahme der Beschwerdegegnerin am Dorfleben angesichts ihrer Betreuungspflichten negative Reaktionen hervorrufen könnte, stelle bloss eine ungeprüfte Vermutung dar. Ferner argumentiere die Vorinstanz widersprüchlich, wenn sie einerseits ausführe, die Beschwerdegegnerin sei im Rahmen ihrer Möglichkeiten "gut integriert", andererseits aber erwäge, die "ungenügende Integration" könne der Beschwerdegegnerin nicht angelastet werden.
3.2.2 Die Rügen sind unbegründet. Es entspricht der allgemeinen Lebenserfahrung, dass eine erwerbstätige Person mit umfangreichen Betreuungsaufgaben nur beschränkte Möglichkeiten hat, am öffentlichen Leben teilzunehmen. Von einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung kann daher nicht gesprochen werden. Ebenso wenig ist die Einschätzung der Vorinstanz unhaltbar, dass eine häufigere Abwesenheit der Beschwerdegegnerin von zu Hause negativ bewertet werden könnte, weil diese damit weniger Zeit für die Betreuung ihres behinderten Sohns aufwenden könnte; im Übrigen kommt diesem Argument offensichtlich keine ausschlaggebende Bedeutung zu. Soweit die Beschwerdeführerin der Vorinstanz eine widersprüchliche Argumentation vorwirft, kann ihr nicht gefolgt werden, zumal der Vorhalt auf einem fehlerhaften Zitat beruht, erwog doch die Vorinstanz, dass der Beschwerdegegnerin eine ungenügende lokale Integration nicht angelastet werden könne.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung der Begründungspflicht als Ausfluss ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>, weil die Vorinstanz nicht ausführe, inwiefern der von der Bürgerversammlung vorgebrachte Grund der fehlenden lokalen Integration sachlich nicht haltbar und willkürlich sein sollte. Zudem enthalte die Urteilsbegründung keine Erwägungen zum Diskriminierungsverbot.
4.2 Die Vorbringen sind nicht stichhaltig. Die Vorinstanz hat ausführlich dargelegt, weshalb die Beschwerdegegnerin unter Berücksichtigung ihrer besonderen lebensgeschichtlichen Situation als zureichend integriert gelten könne. Damit ist sie ihrer Begründungspflicht nachgekommen. Des Weiteren ist die Vorinstanz nicht von einer Verletzung des Diskriminierungsverbots ausgegangen, weshalb sich detaillierte Ausführungen hierzu erübrigten.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung der Gemeindeautonomie. Aus Sicht der Bürgerversammlung seien die Mitgliedschaft in einem Verein oder die sonstige Teilnahme am Dorfleben entscheidend, damit von einer besonderen lokalen Integration gesprochen werden könne. Aus subjektiver Sicht der Beschwerdegegnerin möge es zwar zutreffen, dass sie keine Zeit für diese Aktivitäten habe, dies ändere jedoch nichts daran, dass die Bürgerversammlung solche erwarten dürfe. Indem die Vorinstanz andere Argumente in den Vordergrund gerückt habe, habe sie eine Ermessenskontrolle vorgenommen und hierdurch in unzulässiger Weise in den Beurteilungsspielraum der Gemeinde eingegriffen.
5.2 <ref-law> gewährleistet die Gemeindeautonomie nach Massgabe des kantonalen Rechts. Gemäss Art. 89 Abs. 1 KV/SG ist die Gemeinde autonom, soweit das Gesetz ihre Entscheidungsfreiheit nicht einschränkt.
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind Gemeinden in einem Sachbereich autonom, wenn das kantonale Recht diesen nicht abschliessend ordnet, sondern ihn ganz oder teilweise der Gemeinde zur Regelung überlässt und ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräumt. Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen. Der Schutz der Gemeindeautonomie setzt eine solche nicht in einem ganzen Aufgabengebiet, sondern lediglich im streitigen Bereich voraus. Im Einzelnen ergibt sich der Umfang der kommunalen Autonomie aus dem für den entsprechenden Bereich anwendbaren kantonalen Verfassungs- und Gesetzesrecht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 269, 395 E. 3.2.1 S. 398; <ref-ruling> E. 2.2 S. 241 f.; je mit Hinweisen). Die Anwendung von eidgenössischem und kantonalem Verfassungsrecht prüft das Bundesgericht mit freier Kognition, die Handhabung von Gesetzes- und Verordnungsrecht unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots (<ref-ruling> E. 2.2 S. 237; <ref-ruling> E. 2.3 S. 270; <ref-ruling> E. 1 S. 305).
5.3 Die Voraussetzungen an die Eignung einer Person zur Einbürgerung sind in <ref-law> umschrieben (vgl. auch <ref-law>). Die Kantone sind daher in der Ausgestaltung der Einbürgerungsvoraussetzungen insoweit frei, als sie hinsichtlich der Wohnsitzerfordernisse oder der Eignung Konkretisierungen vornehmen können. Nach dem kantonalen Recht sind namentlich der Wille zur Teilnahme am Wirtschaftsleben und die sozialen Beziehungen am Arbeitsplatz und in der Nachbarschaft als Merkmale der Integration zu betrachten. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies nicht, sieht aber die Mitgliedschaft in Vereinen oder anderen Gemeindeorganisationen als entscheidend an, um von einer genügenden lokalen Integration sprechen zu können.
Dieser Auffassung kann nicht gefolgt werden. Zwar kommt den Bürgerversammlungen nach der kantonalen Praxis ein weiter Ermessensspielraum zu und kann von einer Gesuchstellerin eine "gewisse lokale Integration" verlangt werden. Das rechtfertigt es jedoch nicht, die Mitgliedschaft in Vereinen oder anderen Organisationen letztlich zum ausschlaggebenden Integrationsmerkmal zu erheben und dabei die speziellen Umstände, unter denen die Beschwerdegegnerin lebt, auszublenden. Damit würde das Wesen der Integration, das von der Vorinstanz zutreffend mit einer allmählichen Angleichung an die schweizerischen Gewohnheiten umschrieben wird (siehe auch <ref-ruling> E. 4.3 S. 173), verkannt. Im Übrigen gibt es auch viele Schweizerinnen und Schweizer, die, sei es aufgrund ihres Charakters, sei es aufgrund bestimmter Lebensumstände, zurückgezogen leben und nicht aktiv auf Gemeindeebene mitwirken, deren Selbstverständnis als Bürgerinnen und Bürger dieses Landes aber deswegen nicht in Frage steht. Der Argumentation der Beschwerdeführerin liegt mithin ein einseitiger und damit unhaltbarer Integrationsbegriff zugrunde.
Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Vorinstanz, indem sie neben den Sprachkenntnissen der Beschwerdegegnerin insbesondere auch deren erfolgreiche Eingliederung in den Arbeitsprozess und die von ihr in hohem Mass wahrgenommene Eigenverantwortung in Bezug auf die Bestreitung ihres Lebensunterhalts wie auch hinsichtlich der Betreuung ihres behinderten Sohns entscheidend gewichtet hat, nicht in den Beurteilungsspielraum der Gemeinde eingegriffen hat.
6. Die Beschwerde ist folglich abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der in ihrem amtlichen Wirkungskreis unterliegenden Gemeinde werden keine Gerichtskosten auferlegt (<ref-law>). Hingegen hat sie dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (vgl. <ref-law>). Damit wird deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Politische Gemeinde Oberriet hat den Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin, Rechtsanwalt Fredy Fässler, für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Departement des Innern und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juni 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner