Sachverhalt:
A. Der 1957 geborene V._ war bis Ende Juni 2009 als Textilarbeiter bei der Firma S._ AG angestellt; er verlor diese Arbeitsstelle aus wirtschaftlichen Gründen. Nach einem (im Juni 2009 erlittenen) Verhebetrauma meldete er sich im November 2009 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau klärte die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse ab und holte dafür insbesondere beim Institut X._ ein Gutachten ein, welches am 30. August 2011 erstattet wurde. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 7. Mai 2012).
B. V._ liess hiegegen Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, die Verfügung sei aufzuheben und es sei ihm mit Wirkung ab Juni 2010 mindestens eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Eventualiter sei die Verfügung aufzuheben und die Angelegenheit an die IV-Stelle zurückzuweisen mit der Anordnung einer neuen rheumatologisch-psychiatrischen Begutachtung (einschliesslich MRI der Lendenwirbelsäule). Mit Entscheid vom 12. September 2012 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die Beschwerde ab.
C. V._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und es sei ihm mit Wirkung ab Juni 2010 mindestens eine halbe Rente zuzusprechen. Eventualiter sei der Entscheid aufzuheben und die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz respektive die IV-Stelle zurückzuweisen.

Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), unter anderem eine unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen (<ref-ruling> E. 2 S. 25). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Rüge hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht, und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> und <ref-law>).
2. 2.1 Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung (<ref-law>; <ref-law>). Während Vorinstanz und IV-Stelle den Anspruch auf eine Rente mangels anspruchserheblichen Invaliditätsgrades verneinen, stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, es stehe ihm (mindestens) eine halbe Invalidenrente zu.
2.2 Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Voraussetzungen für den Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung und die Rechtsprechung zum Beweiswert medizinischer Berichte und Gutachten zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Nach Würdigung der medizinischen Akten gelangte das kantonale Gericht im Hinblick auf die einzig streitige Frage der Arbeitsunfähigkeit zum nachvollziehbar begründeten Ergebnis, dass der Beschwerdeführer in körperlich angepassten Tätigkeiten zu 80 % arbeitsfähig sei. Es stützte sich dafür im Wesentlichen auf das Gutachten des Instituts X._ vom 30. August 2011, auf welches auch nach den Ärzten der Medizinischen Abklärungsstelle Y._ abzustellen ist (Case-Report-Einträge vom September 2011 und März 2012). Darin wurde als Diagnose mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit eine rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig in der Form einer leichten depressiven Episode (ICD-10 F33.0), sowie ein chronisches lumbovertebrales Schmerzsyndrom ohne fassbare radikuläre Symptomatik (ICD-10 M54.5) festgehalten. Die Gutachter attestierten dem Versicherten eine volle Arbeitsunfähigkeit für körperlich schwere Tätigkeiten und eine Arbeits- und Leistungsfähigkeit von 80 % (vollschichtig realisierbar) für körperlich leichte bis selten mittelschwere, adaptierte Tätigkeiten. Die Vorinstanz erwog, es sei nicht entscheidend, dass der Beschwerdeführer sich weiterhin in Behandlung zu Dr. med. P._, Fachärztin Psychiatrie und Psychotherapie FMH, begebe; auffallend sei, dass diese trotz der geltend gemachten Schwere nur zweimal pro Monat stattfinde. Soweit im Austrittsbericht des Spitals Z._ vom 8. März 2011 eine mittelschwere depressive Episode angegeben werde, sei dies nicht begründet. Im Übrigen sei beim Spitaleintritt eine unauffällige Psyche festgestellt worden. Ein medizinisches Korrelat für die geklagten Beschwerden habe auch bei der damaligen Hospitalisation nicht gefunden werden können.
3.2 In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was die (für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen; vgl. E. 1) Tatsachenfeststellungen des kantonalen Gerichts als offensichtlich unrichtig oder rechtsfehlerhaft erscheinen lässt.
Die Auffassung des kantonalen Gerichts, das Gutachten des Instituts X._ vom 30. August 2011 entspreche den Anforderungen der Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis), ist in tatsächlicher Hinsicht weder offensichtlich unrichtig noch ist darin eine willkürliche Beweiswürdigung oder sonst wie eine Bundesrechtsverletzung zu erblicken. Mit seinen Vorbringen im Zusammenhang mit der vorinstanzlichen Würdigung des Gutachtens des Instituts X._ vom 30. August 2011 übt der Beschwerdeführer unzulässige appellatorische Kritik (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.1 S. 356; Urteil 9C_294/2012 vom 7. Mai 2012 E. 3.1). Es trifft nicht zu, dass aus der Sicht der Gutachter des Instituts X._ "irgendein Schaden in der LWS und daraus resultierende Beschwerden [...] praktisch nicht existent" seien, wie der Beschwerdeführer geltend macht, wird doch ausdrücklich eine Diskushernie LWK5/SWK1 mediolateral rechts mit Irritation der Nervenwurzel S1 rechts festgehalten und eine Arbeitsfähigkeit für körperlich schwere Tätigkeiten verneint. Am psychiatrischen Teilgutachten beanstandet der Beschwerdeführer, dass sich dieses mit der insbesondere auch von Dr. med. P._ gestellten, anderslautenden Diagnose einer schweren depressiven Störung nicht auseinandersetze, sondern eine solche in nicht nachvollziehbarer Weise verneine und aus dem Fehlen einer schweren depressiven Störung den Schluss ziehe, es liege lediglich eine leichte vor. Diese Kritik trifft nicht zu. Denn die Gutachter haben ihre Diagnose einer rezidivierenden depressiven Störung, gegenwärtig leichte depressive Episode (ICD-10 F33.0), und die daraus resultierende Arbeitsunfähigkeit von 20 % eingehend begründet und eingeräumt, dass während der Klinikaufenthalte punktuell von einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % ausgegangen werden könne. Des Weitern haben sie zu den früheren psychiatrischen Einschätzungen (insbesondere auch der Dr. med. P._) ausführlich und nachvollziehbar Stellung genommen.
3.3 Zu Unrecht erblickt der Beschwerdeführer sodann eine Verletzung des rechtlichen Gehörs darin, dass die Vorinstanz den von ihm im kantonalen Verfahren in Aussicht gestellten Bericht der Klinik L._ vom 7. September 2012 nicht abgewartet habe. Denn diesem kam von vornherein keine Bedeutung zu entsprechend dem Grundsatz, dass für die Beurteilung des Leistungsanspruches die Verhältnisse massgebend sind, wie sie sich bis zum Erlass der Verfügung entwickelt haben (hier bis zum 7. Mai 2012). Aus diesem Grunde (wie im Übrigen auch unter novenrechtlichen Gesichtspunkten; <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 170, 217 E. 2.2 f. S. 220; <ref-ruling> E. 3.2 f. S. 364 f.) ist auf den Bericht vom 7. September 2012 auch im letztinstanzlichen Verfahren nicht weiter einzugehen.
3.4 Die vorinstanzliche Invaliditätsbemessung durch Einkommensvergleich ist nicht angefochten. Es besteht kein Anlass zu einer näheren Prüfung.
4. Die Beschwerde hatte keine Aussicht auf Erfolg, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> als offensichtlich unbegründet (Abs. 2 lit. a), ohne Durchführung des Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den vorinstanzlichen Entscheid erledigt wird.
5. Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. März 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann