Sachverhalt:
A.
A._ wohnte während Jahren in W._, Gemeinde U._/ZG. Dort war er polizeilich gemeldet, bezahlte die Steuern und übte die politischen Rechte aus. Im Jahr 2003 liess A._ in V._/LU ein Mehrfamilienhaus erstellen und erwarb eine der Wohnungen zu Eigentum, welche er spätestens seit Ende September 2003 zusammen mit seiner Lebensgefährtin bewohnte. Im Nachgang eines von der Gemeinde V._/LU angehobenen Bussenverfahrens wegen Nichtdeposition des Heimatscheins, in dem A._ vor Bundesgericht unterlag (Urteil 2P. 49/2005 vom 10. August 2005), erliess die Steuerverwaltung des Kantons Luzern am 29. September 2005 einen Feststellungsentscheid betreffend das Steuerdomizil, wonach A._ ab dem 1. Januar 2003 in V._/LU unbeschränkt steuerpflichtig sei. Dieser Entscheid wurde vom Bundesgericht mit Urteil 2P.22/2007 vom 10. März 2008 bestätigt.
Während der Rechtsmittelverfahren betreffend das Steuerdomizil, am 7. Juni 2006, hatte die Steuerverwaltung des Kantons Zug A._ für das Steuerjahr 2003 mit einem Einkommen von Fr. 31'000.-- (satzbestimmend Fr. 31'000.--) und einem Vermögen von Fr. 730'000.-- (satzbestimmend Fr. 730'000.--) veranlagt. Der Entscheid vom 7. Juni 2006 erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
B.
Am 4. Juli 2008 veranlagte die Steuerverwaltung (heute: Dienststelle Steuern) des Kantons Luzern A._ für die Steuerperiode 2003. Die dagegen erhobene Einsprache hiess die Dienststelle Steuern am 23. April 2013 teilweise gut. Sie hob insbesondere die Veranlagung der direkten Bundessteuer auf. Auf den Staats- und Gemeindesteuern gewährte sie Abzüge und schied das Einkommen aus der selbständigen Erwerbstätigkeit sowie die Liegenschaft im Kanton Zug aus. Ferner reduzierte sie den (anrechenbaren) Eigenmietwert. Das im Kanton Luzern steuerbare Einkommen setzte sie auf Fr. 18'800.-- (zum Satz von Fr. 44'400.--) und das im Kanton Luzern steuerbare Vermögen auf Fr. 394'000.-- (zum Satz von Fr. 554'000.--) fest.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 21. Oktober 2013 ab.
C.
A._ erhebt am 3. April 2014 Beschwerde beim Bundesgericht mit den (sinngemässen) Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Steuerbehörden des Kantons Luzern zurückzuweisen; eventuell sei die Steuerveranlagung 2003 durch das Bundesgericht neu zu beurteilen; subeventuell sei der Kanton Zug zu verpflichten, über die Steuerveranlagung 2003 neu zu befinden.
Die Steuerverwaltung des Kantons Zug hat auf Vernehmlassung verzichtet. Bei der Dienststelle Steuern und dem Kantonsgericht des Kantons Luzern ist keine Vernehmlassung eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts und unterliegt als Endentscheid einer kantonal letztinstanzlich zuständigen Gerichtsbehörde der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. <ref-law>, <ref-law>, <ref-law>; vgl. auch Art. 73 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG; SR 642.14]). Ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor. Der Beschwerdeführer ist als Steuerpflichtiger zur Erhebung der Beschwerde legitimiert (<ref-law> und Art. 73 Abs. 2 StHG). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde (vgl. <ref-law>, <ref-law>) ist einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die von der beschwerdeführenden Partei vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten, insbesondere des Willkürverbots, gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (vgl. vorstehenden Abschnitt am Ende).
2.
Vorab sind die formellen Rügen zu behandeln (<ref-ruling> E. 5.1 S. 237).
2.1. Der Beschwerdeführer trägt vor, das Einspracheverfahren im Kanton Luzern sei während ca. viereinhalb Jahren verschleppt worden. Dies stelle eine unzulässige Rechtsverzögerung dar.
Aus dem angefochtenen Urteil geht nicht hervor, dass der Beschwerdeführer während des Einspracheverfahrens eine Rechtsverzögerungsbeschwerde eingereicht oder die Verfahrensdauer in der Beschwerde an die Vorinstanz beanstandet hätte. Die Rüge ist daher verspätet (vgl. Urteil 2C_440/2014 / 2C_441/2014 vom 10. Oktober 2014 E. 8.1).
2.2. Der Beschwerdeführer moniert, die Luzerner Steuerbehörden hätten "für die Nutzung einer Baustelle" im Jahr 2003 einen Eigenmietwert erhoben, ohne ihm das rechtliche Gehör zu gewähren. Auch die Vorinstanz habe nicht geprüft, ob seine Liegenschaft in V._ per Ende 2003 fertiggestellt gewesen sei, was eine Verletzung des rechtlichen Gehörs darstelle. Schliesslich habe die Vorinstanz in Verletzung des rechtlichen Gehörs die Tatsache übergangen, dass sämtliche Einkommens- und Vermögenswerte bereits im Jahr 2006 rechtskräftig im Kanton Zug veranlagt und ausgeschieden worden seien.
2.2.1. Was die Besteuerung des Eigenmietwerts betrifft, geht die Rüge des Beschwerdeführers fehl: Er hatte während des Einspracheverfahrens ausreichend Gelegenheit, seinen Standpunkt einzubringen. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt nicht vor.
2.2.2. Die beiden anderen Vorbringen betreffen nicht das rechtliche Gehör, sondern die Feststellung der Tatsachen und deren Würdigung. Sie sind daher bei der materiellen Prüfung der Veranlagung zu berücksichtigen.
3.
In materieller Hinsicht beanstandet der Beschwerdeführer die Besteuerung des Eigenmietwerts für seine Liegenschaft im Kanton Luzern. Ferner macht er eine Verletzung des Doppelbesteuerungsverbots nach <ref-law> geltend.
3.1. Auch auf dem Gebiet des Verbots der interkantonalen Doppelbesteuerung (<ref-law>) ist der Instanzenzug in einem Kanton vollständig zu durchlaufen, ehe das Bundesgericht angerufen werden kann (<ref-law>). Trifft dies zu, kann zusammen mit dem noch nicht rechtskräftigen letztinstanzlichen Entscheid des einen Kantons auch die bereits rechtskräftige Veranlagungsverfügung oder der bereits rechtskräftige Rechtsmittelentscheid eines weiteren Kantons bzw. mehrerer weiterer Kantone angefochten werden (Urteil 2C_708/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 1.3, nicht publiziert in: <ref-ruling>, aber in: StR 68 2013 212, StE 2013 A 24.44.1 Nr. 3, RDAF 2013 II p. 469). In Bezug auf diese Verfügungen und Entscheide aus einem oder mehreren anderen Kantonen besteht praxisgemäss kein Erfordernis der Letztinstanzlichkeit (<ref-ruling> E. 2.4 S. 307 bzw. 308 E. 2.4 S. 313; Urteile 2C_92/2012 vom 17. August 2012 E. 1.3, in: StR 67/2012 S. 828; 2C_397/2010 vom 6. Dezember 2010 E. 1.2, in: RDAF 2011 II 127 und StE 2011 A 24.21 Nr. 22). Neben dem (nicht rechtskräftigen) Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Luzern vom 21. Oktober 2013 kann somit auch die (längst rechtskräftige) Veranlagungsverfügung des Kantons Zug vom 7. Juni 2006 angefochten werden.
3.2. Die Beschwerde richtet sich im Hauptantrag gegen das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 21. Oktober 2013. Das Bundesgericht prüft in Doppelbesteuerungssachen nicht von Amtes wegen, ob eine von der beschwerdeführenden Partei unangefochten gebliebene konkurrierende Veranlagungsverfügung das Verbot der Doppelbesteuerung verletzt (Urteile 2C_404/2013 vom 2. Mai 2014 E. 1.3; 2C_319/2013 vom 13. März 2014 E. 1.3.1; 2C_91/2012 vom 17. August 2012 E. 1.3.3, in: StR 68/2013 S. 158, RDAF 2013 II p. 458; 2C_199/2011 vom 14. November 2011 E. 1.2). Die beschwerdeführende Partei, welche das Urteil des zweitveranlagenden Kantons wegen Verletzung des Doppelbesteuerungsverbots anficht, muss eventualiter die Aufhebung des rechtskräftigen Veranlagungsentscheids beantragen. Indessen werden praxisgemäss an eine solche "Mitanfechtung" keine allzu hohen Anforderungen gestellt. Die Aufhebung der rechtskräftigen Veranlagungsverfügung des Kantons Zug vom 7. Juni 2006 wird zwar nicht ausdrücklich beantragt, jedoch wird sinngemäss in einem als Eventualantrag bezeichneten Subeventualantrag verlangt, der Kanton Zug sei zu verpflichten, ein neues Veranlagungsverfahren durchzuführen. Das ist ausreichend.
3.3. Zunächst ist zu prüfen, ob das angefochtene Urteil - ohne Berücksichtigung der Doppelbesteuerungsproblematik - aufzuheben oder zu bestätigen ist. Sofern die Zuständigkeit des Kantons Luzern zur Besteuerung bejaht und das angefochtene Urteil bestätigt wird, ist in einem zweiten Schritt zu prüfen, ob dies zu einer unzulässigen Doppelbesteuerung führt. Um eine solche zu vermeiden, wäre der rechtskräftige Veranlagungsentscheid des Kantons Zug insoweit aufzuheben.
4.
Zunächst ist zu prüfen, ob die Vorinstanz den Einspracheentscheid vom 23. April 2013 zu Recht bestätigt hat.
4.1. Der Beschwerdeführer moniert, die Luzerner Steuerbehörden hätten den Eigenmietwert seiner Liegenschaft in V._/LU rückwirkend festgelegt und dabei zu Unrecht das Jahr 2003 einbezogen. Für das Jahr 2003 sei kein Eigenmietwert verfügt worden. Dies sei auch nicht möglich gewesen, weil die Wohnung per Ende 2003 nicht fertiggestellt und nur beschränkt nutzbar gewesen sei. Für das Steuerjahr 2003 dürfe daher kein Eigenmietwert besteuert werden.
4.1.1. Soweit der Beschwerdeführer (wie schon vor der Vorinstanz) vorbringt, die Behörden hätten missbräuchlich unterstellt, dass er seinen Wohnsitz im Jahr 2003 in die Gemeinde V._ verlegt habe, ist darauf nicht mehr einzugehen. Das Bundesgericht hat mit Urteil 2P.22/2007 (Streitgegenstand: Steuerdomizil im Jahr 2003) vom 10. März 2008 entschieden, dass der Beschwerdeführer seinen Lebensmittelpunkt im Herbst 2003 von W._ nach V._ verlegt hat und folglich seit dem 1. Januar 2003 im Kanton Luzern unbeschränkt steuerpflichtig ist.
4.1.2. Es trifft indessen zu, dass der Eigenmietwert nur zu versteuern ist, solange und soweit das Objekt selbst genutzt wird (vgl. Urteil 2C_431/2009 vom 4. Dezember 2009 E. 2.1).
Das Bundesgericht hat mit Urteil 2P.49/2005 vom 10. August 2005 (Streitgegenstand: Bussenverfügung und Verpflichtung zur Hinterlegung des Heimatscheins) bestätigt, dass der Beschwerdeführer "spätestens ab Ende September 2003" zusammen mit seiner Lebensgefährtin überwiegend in seiner Wohnung in V._ lebte. In Berücksichtigung dieser Feststellung hat die Dienststelle Steuern den Eigenmietwert erst ab dem 1. Oktober besteuert, wie dem Einspracheentscheid vom 23. April 2013 zu entnehmen ist.
Die Vorinstanz hat die Besteuerung des Eigenmietwerts von Oktober 2003 bis Dezember 2003 mit einer einlässlichen Begründung geschützt. Da der Beschwerdeführer nicht die Berechnung des Eigenmietwerts, sondern grundsätzlich dessen Besteuerung im Jahr 2003 beanstandet, ist nicht näher darauf einzugehen: Die Besteuerung des Eigenmietwerts ab dem 1. Oktober 2003 erfolgte in Übereinstimmung mit den zitierten Urteilen des Bundesgerichts. Dies ist nicht zu beanstanden, zumal damit die Veranlagungsverfügung vom 4. Juli 2008, in welcher der Eigenmietwert für das ganze Jahr 2003 angerechnet worden war, korrigiert wurde. Die Einwände des Beschwerdeführers betreffend Fertigstellung und Bewohnbarkeit der Wohnung waren bereits in den erwähnten Verfahren betreffend Nichtdeposition des Heimatscheins bzw. Steuerdomizil entkräftet worden, wobei teilweise aufwendige Abklärungen getätigt worden waren. Auch die Tatsache, dass erst im Jahr 2004 eine Schätzung des Katasterwerts stattgefunden hat, vermag nichts daran zu ändern, dass der Beschwerdeführer seine Wohnung in V._ spätestens ab Ende September 2003 selbst genutzt hat und folglich ab dem 1. Oktober 2003 den Eigenmietwert versteuern muss. Es trifft nicht zu, dass für das Jahr 2003 kein Eigenmietwert verfügt worden wäre, wie der Beschwerdeführer meint. Der Eigenmietwert wurde im Einspracheentscheid vom 23. April 2013 zusammen mit der Veranlagung der übrigen Einkünfte und Vermögenswerte gestützt auf die im Jahr 2003 gültigen gesetzlichen Grundlagen festgelegt (vgl. angefochtenes Urteil E. 5.1). Eine "rückwirkende" Eigenmietwertbesteuerung liegt demnach nicht vor. Die Vorinstanz hat zudem die Berechnungsmethode zur Aktualisierung der Mietwertsätze im Rahmen der ordentlichen Bemessungsmethode einlässlich dargelegt (vgl. angefochtenes Urteil E. 5.1.1), worauf ebenfalls verwiesen werden kann.
4.2. Nachdem der Beschwerdeführer keine weiteren Rügen gegen die Veranlagung durch den Kanton Luzern vorbringt, ist das angefochtene Urteil zu bestätigen.
5.
Der Beschwerdeführer macht geltend, sämtliche Einkommens- und Vermögenswerte seien bereits im Jahr 2006 rechtskräftig im Kanton Zug veranlagt und ausgeschieden worden. Dadurch, dass er diese Werte im Kanton Luzern noch einmal versteuern müsse, werde das Doppelbesteuerungsverbot verletzt. Aufgrund der langen Dauer des Verfahrens im Kanton Luzern sei eine allfällige Neuveranlagung im Kanton Zug verjährt.
5.1. Ein Verstoss gegen das Verbot der interkantonalen Doppelbesteuerung nach <ref-law> liegt vor, wenn ein Steuersubjekt von zwei oder mehreren Kantonen für das gleiche Steuerobjekt und dieselbe Steuerperiode zur Besteuerung herangezogen wird (aktuelle Doppelbesteuerung) oder wenn ein Kanton in Verletzung der geltenden Kollisionsnormen seine Steuerhoheit überschreitet und eine Steuer erhebt, die einem anderen Kanton zusteht (virtuelle Doppelbesteuerung). Ausserdem darf ein Kanton ein Steuersubjekt grundsätzlich nicht deshalb stärker belasten, weil es nicht im vollen Umfang seiner Steuerhoheit untersteht, sondern zufolge seiner territorialen Beziehungen auch in einem anderen Kanton steuerpflichtig ist (Urteil 2C_708/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 2.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>, aber in: StR 68/2013 S. 212, StE 2013 A 24.44.1 Nr. 3, RDAF 2013 II p. 469; <ref-ruling> E. 3.1 S. 300 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 147; <ref-ruling> E. 2.1 S. 306 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 311; <ref-ruling> E. 2.1 S. 31 f.).
5.2. Der steuerliche Wohnsitz und damit das Hauptsteuerdomizil des Beschwerdeführers lag in der Steuerperiode 2003 im Kanton Luzern. Dies wurde allerdings erst mit Urteil des Bundesgerichts vom 10. März 2008 letztinstanzlich bestätigt. Im Kanton Zug, wo der Beschwerdeführer infolge wirtschaftlicher Zugehörigkeit (aus heutiger Sicht) über ein Nebensteuerdomizil verfügte, wurde er bereits am 7. Juni 2006 - als unbeschränkt steuerpflichtig - rechtskräftig veranlagt. Da sowohl der Kanton Zug, wie auch der Kanton Luzern in den jeweiligen Veranlagungen für 2003 von einem Hauptsteuerdomizil in ihrem Kanton ausgegangen sind, resultierte eine aktuelle Doppelbesteuerung.
5.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Veranlagung durch den Kanton Zug sei verjährt. Es ist nicht nachvollziehbar, was der Beschwerdeführer aus den Verjährungsregeln ableiten will. Die Verjährung kann in einer Konstellation wie der vorliegenden keine Rolle spielen: Die Aufhebung eines kantonalen, rechtskräftigen Veranlagungsentscheids zur Vermeidung der interkantonalen Doppelbesteuerung erfolgt im Interesse der steuerpflichtigen Person und ist mit Blick auf die Rechtskraft des aufzuhebenden Entscheids ein Sonderfall.
5.4. Aufgrund des Ausgeführten erweist sich die Beschwerde im Hauptantrag als unbegründet und ist abzuweisen. Dagegen ist der Eventualantrag begründet und die Beschwerde gegenüber dem Kanton Zug insofern gutzuheissen, als die rechtskräftige Veranlagung aufgehoben und die Sache zur neuen Veranlagung aufgrund des Nebensteuerdomizils im Kanton Zug an die Steuerverwaltung des Kantons Zug zurückgewiesen wird.
6.
Entsprechend dem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Dieser obsiegt zwar insoweit, als der Kompetenzkonflikt zwischen den Kantonen Luzern und Zug beseitigt wird. Mit seinem Hauptbegehren, im Kanton Zug besteuert zu werden, vermag er jedoch nicht durchzudringen. Das Unterliegen in diesem Punkt kann bei der Verlegung der Kosten in den Vordergrund gestellt werden. Dass der konkurrierende Hoheitsakt aufgehoben werden muss, darf bei der Kostenverlegung ausser Acht gelassen werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde gegenüber dem Kanton Luzern wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde gegenüber dem Kanton Zug wird gutgeheissen. Der Entscheid der Steuerverwaltung des Kantons Zug vom 7. Juni 2006 wird aufgehoben. Die Sache wird zur neuen Veranlagung im Sinn der Erwägungen an die Steuerverwaltung des Kantons Zug zurückgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, der Steuerverwaltung des Kantons Zug, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Januar 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner