Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1944 geborene P._ arbeitete als kaufmännische Angestellte bei der Schule Q._ und war bei der Berner Versicherung (nachfolgend: Berner) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert. Am 1. Dezember 1998 erlitt sie einen Auffahrunfall, als sie mit ihrem Personenwagen wegen eines Linksabbiegers anhalten musste und ein nachfolgendes Fahrzeug nicht mehr rechtzeitig bremsen konnte. Am 4. Dezember 1998 begab sie sich wegen Kopfschmerzen und Druckgefühlen im Kopf zu Dr. med. S._, Physikalische Medizin FMH spez. Rheumaerkrankungen, welcher ein diskretes Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte, physiotherapeutische Massnahmen anordnete und eine Arbeitsunfähigkeit verneinte. Am 26. März 1999 berichtete er, nach einer anfänglichen Besserung der Beschwerden sei es zu einer Verschlimmerung der Zervikalgien mit linksseitiger Ausstrahlung in den Arm gekommen, weshalb eine MR-Abklärung durchgeführt worden sei. Diese hatte spondylarthotische Veränderungen der HWS ohne Anhaltspunkte für traumatische Läsionen, eine mediane Diskusprotrusion C6/7 sowie degenerative Veränderungen C5/6 und C6/7 gezeigt (Bericht des Spitals X._ vom 5. März 1999). Nach Einholung eines Berichts des Dr. med. B._, Allgemeinpraxis, vom 31. Juli 1999 und einer Stellungnahme ihres beratenden Arztes Dr. med. G._, Orthopädische Chirurgie FMH, vom 25. August 1999 stellte die Berner die Leistungen mit Verfügung vom 14. Dezember 1999 auf den 28. Februar 1999 ein. Hiegegen erhoben sowohl die Versicherte als auch ihre Krankenkasse Z._ Einsprache. Letztere zog sie am 12. Januar 2000 zurück. Die von der Versicherten erhobene Einsprache hiess die Berner insofern teilweise gut, als sie feststellte, der Status quo sine sei am 22. Juni 1999 erreicht worden mit der Folge, dass ihre Leistungspflicht noch bis zu diesem Zeitpunkt bestehe (Entscheid vom 24. März 2000).
A. Die 1944 geborene P._ arbeitete als kaufmännische Angestellte bei der Schule Q._ und war bei der Berner Versicherung (nachfolgend: Berner) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert. Am 1. Dezember 1998 erlitt sie einen Auffahrunfall, als sie mit ihrem Personenwagen wegen eines Linksabbiegers anhalten musste und ein nachfolgendes Fahrzeug nicht mehr rechtzeitig bremsen konnte. Am 4. Dezember 1998 begab sie sich wegen Kopfschmerzen und Druckgefühlen im Kopf zu Dr. med. S._, Physikalische Medizin FMH spez. Rheumaerkrankungen, welcher ein diskretes Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte, physiotherapeutische Massnahmen anordnete und eine Arbeitsunfähigkeit verneinte. Am 26. März 1999 berichtete er, nach einer anfänglichen Besserung der Beschwerden sei es zu einer Verschlimmerung der Zervikalgien mit linksseitiger Ausstrahlung in den Arm gekommen, weshalb eine MR-Abklärung durchgeführt worden sei. Diese hatte spondylarthotische Veränderungen der HWS ohne Anhaltspunkte für traumatische Läsionen, eine mediane Diskusprotrusion C6/7 sowie degenerative Veränderungen C5/6 und C6/7 gezeigt (Bericht des Spitals X._ vom 5. März 1999). Nach Einholung eines Berichts des Dr. med. B._, Allgemeinpraxis, vom 31. Juli 1999 und einer Stellungnahme ihres beratenden Arztes Dr. med. G._, Orthopädische Chirurgie FMH, vom 25. August 1999 stellte die Berner die Leistungen mit Verfügung vom 14. Dezember 1999 auf den 28. Februar 1999 ein. Hiegegen erhoben sowohl die Versicherte als auch ihre Krankenkasse Z._ Einsprache. Letztere zog sie am 12. Januar 2000 zurück. Die von der Versicherten erhobene Einsprache hiess die Berner insofern teilweise gut, als sie feststellte, der Status quo sine sei am 22. Juni 1999 erreicht worden mit der Folge, dass ihre Leistungspflicht noch bis zu diesem Zeitpunkt bestehe (Entscheid vom 24. März 2000).
B. P._ beschwerte sich beim Verwaltungsgericht des Kantons Zug und beantragte, in Aufhebung des Einspracheentscheides sei festzustellen, dass die Berner weiterhin die gesetzlichen Leistungen zu erbringen habe. Zur Begründung brachte sie im Wesentlichen vor, ungeachtet der vorbestandenen degenerativen Veränderungen an der HWS habe sie vor dem Unfall nie an Kopf- und Nackenschmerzen gelitten. Der Unfall habe zu einer richtungweisenden Verschlimmerung des Gesundheitszustandes geführt und es sei nicht erwiesen, dass sie auch ohne den Unfall an den gleichen Beschwerden leiden würde.
Am 28. Juni 2001 diagnostizierte Dr. med. A._, Facharzt FMH für Chirurgie speziell Handchirurgie, ein fortgeschrittenes Karpaltunnel-Syndrom rechts, das am 3. Juli 2001 operiert wurde.
Mit Verfügung vom 3. September 2001 beauftragte das kantonale Gericht Dr. med. R._, Facharzt FMH für Neurologie, mit einem Gutachten, welches am 21. Januar 2003 erstattet wurde und in dem die bestehenden Beschwerden als mit überwiegender Wahrscheinlichkeit unfallkausal bezeichnet wurden. Die Parteien nahmen hiezu Stellung, wobei die Allianz Suisse (als Rechtsnachfolgerin der Berner) ein bei PD Dr. med. O._, Oberarzt an der Neurologischen Klinik und Poliklinik des Spitals Y._, eingeholtes neurologisches Aktengutachten vom 10. März 2003 einreichte.
Mit Entscheid vom 6. Juni 2003 bejahte das kantonale Gericht zumindest teilweise den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen den bestehenden Kopfschmerzen sowie Hals- und Nackenbeschwerden mit Ausstrahlungen in den oberen Brustwirbelsäulen(BWS)-Bereich und dem Unfall vom 1. Dezember 1998 und wies die Sache an die Allianz Suisse zurück, damit sie die der Versicherten zustehenden Leistungen festsetze.
Mit Entscheid vom 6. Juni 2003 bejahte das kantonale Gericht zumindest teilweise den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen den bestehenden Kopfschmerzen sowie Hals- und Nackenbeschwerden mit Ausstrahlungen in den oberen Brustwirbelsäulen(BWS)-Bereich und dem Unfall vom 1. Dezember 1998 und wies die Sache an die Allianz Suisse zurück, damit sie die der Versicherten zustehenden Leistungen festsetze.
C. Die Allianz Suisse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 24. März 2000 sei zu bestätigen.
P._ lässt sich mit dem Antrag auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vernehmen. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf Vernehmlassung.

Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 in Kraft getreten. Mit ihm sind zahlreiche Bestimmungen im Unfallversicherungsbereich geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> Erw. 1), und weil ferner das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses des streitigen Einspracheentscheides (hier: 24. März 2000) eingetretenen Sachverhalt abstellt (<ref-ruling> Erw. 1.2 mit Hinweisen), sind im vorliegenden Fall die bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Bestimmungen anwendbar.
1. Am 1. Januar 2003 ist das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 in Kraft getreten. Mit ihm sind zahlreiche Bestimmungen im Unfallversicherungsbereich geändert worden. Weil in zeitlicher Hinsicht grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend sind, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> Erw. 1), und weil ferner das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses des streitigen Einspracheentscheides (hier: 24. März 2000) eingetretenen Sachverhalt abstellt (<ref-ruling> Erw. 1.2 mit Hinweisen), sind im vorliegenden Fall die bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Bestimmungen anwendbar.
2. 2.1 Die Leistungspflicht eines Unfallversicherers gemäss UVG setzt zunächst voraus, dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht. Ursachen im Sinne des natürlichen Kausalzusammenhangs sind alle Umstände, ohne deren Vorhandensein der eingetretene Erfolg nicht als eingetreten oder nicht als in der gleichen Weise bzw. nicht zur gleichen Zeit eingetreten gedacht werden kann. Entsprechend dieser Umschreibung ist für die Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs nicht erforderlich, dass ein Unfall die alleinige oder unmittelbare Ursache gesundheitlicher Störungen ist; es genügt, dass das schädigende Ereignis zusammen mit anderen Bedingungen die körperliche oder geistige Integrität der versicherten Person beeinträchtigt hat, der Unfall mit andern Worten nicht weggedacht werden kann, ohne dass auch die eingetretene gesundheitliche Störung entfiele (<ref-ruling> Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, je mit Hinweisen).
Ob zwischen einem schädigenden Ereignis und einer gesundheitlichen Störung ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht, ist eine Tatfrage, worüber die Verwaltung bzw. im Beschwerdefall das Gericht im Rahmen der ihm obliegenden Beweiswürdigung nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu befinden hat. Die blosse Möglichkeit eines Zusammenhangs genügt für die Begründung eines Leistungsanspruches nicht (<ref-ruling> Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, je mit Hinweisen).
Auch der Wegfall eines ursächlichen Zusammenhangs zwischen dem Unfallereignis und den bestehenden Beschwerden muss mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sein. Weil es sich dabei um eine leistungsaufhebende Tatsache handelt, liegt die Beweislast - anders als bei der Frage, ob ein leistungsbegründender natürlicher Kausalzusammenhang gegeben ist - nicht bei der versicherten Person, sondern beim Unfallversicherer (RKUV 2000 Nr. U 363 S. 45, 1994 Nr. U 206 S. 328). Dabei kann nachgewiesen werden, dass entweder der Zustand, wie er vor dem Unfall bestanden hat (Status quo ante) oder aber derjenige Zustand erreicht ist, wie er sich auch ohne den Unfall früher oder später eingestellt hätte (Status quo sine; RKUV 1994 Nr. U 206 S. 328 Erw. 3b, 1992 Nr. U 142 S. 75 Erw. 4b, je mit Hinweisen). Der Unfallversicherer hat jedoch nicht den Beweis für unfallfremde Ursachen zu erbringen, sondern nur, dass die unfallbedingten Ursachen des Gesundheitsschadens ihre kausale Bedeutung verloren haben (Urteile F. vom 10. September 2003, U 343/02, und E. vom 12. Dezember 2002, U 247/02).
2.2 Nach den in den Akten enthaltenen Arztberichten litt die Beschwerdegegnerin bei Einstellung der Leistungen am 22. Juni 1999 und bis zu dem für die Beurteilung massgebenden Zeitpunkt des Erlasses des Einspracheentscheides vom 24. März 2000 (<ref-ruling> Erw. 1a) an Kopfschmerzen, Hals- und Nackenbeschwerden, Schmerzen an der BWS, Armschmerzen sowie an einem Karpaltunnelsyndrom. Die Vorinstanz gelangt nach eingehender Darlegung der medizinischen Akten zum Schluss, mit Ausnahme von Dr. med. G._ (beratender Arzt der Beschwerdeführerin) seien sich alle beteiligten Ärzte darin einig, dass die bestehenden Kopf-, Hals- und Nackenbeschwerden zumindest teilweise auf das Unfallereignis vom 1. Dezember 1998 zurückzuführen seien. Es bestehe kein Anlass, von dieser Beurteilung abzugehen. Bezüglich der Beschwerden an der BWS sei festzustellen, dass diese erstmals im Gerichtsgutachten des Dr. med. R._ vom 21. Januar 2003 erwähnt würden. Einzig Dr. med. B._ spreche von einer Wurzelirritation auf der Höhe C6 bis Th1 (Bericht vom 31. Juli 1999). Nachdem aber auch PD Dr. med. O._ im Aktengutachten vom 10. März 2003 die BWS-Beschwerden nicht einordnen könne und festhalte, er vermöge den Standpunkt von Dr. med. R._ weder zu bejahen noch zu verneinen, und da sich der obere Teil der BWS in unmittelbarer Nachbarschaft zu den nach den Arztberichten betroffenen Segmenten C6/7 befinde, könne der natürliche Kausalzusammenhang zwischen den BWS-Beschwerden und dem Unfallereignis nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen werden. Bezüglich des Karpaltunnelsyndroms gelange der Gerichtsgutachter zum Schluss, dass es sich wahrscheinlich um ein unfallbedingtes Leiden handle. Diese Feststellung erweise sich im Lichte der übrigen Arztberichte indessen nicht als schlüssig. Wie PD Dr. med. O._ überzeugend darlege, sei ein traumatisch bedingtes Karpaltunnelsyndrom selten und würde eine klare Prädisposition in Form einer Nervenerkrankung oder einer angeborenen Verengung des Spinalkanals voraussetzen. Hieran fehle es im vorliegenden Fall. Auch der Unfallablauf spreche gegen eine traumatische Verletzung des rechten Handgelenks. Das Gericht sehe sich daher veranlasst, in diesem Punkt vom Gerichtsgutachten abzuweichen und den Schlussfolgerungen von PD Dr. med. O._ zu folgen. Danach stehe das im Sommer 2001 diagnostizierte und erfolgreich operierte Karpaltunnelsyndrom nicht in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom Dezember 1998. Die übrigen im Juni 1999 noch vorhanden gewesenen Beeinträchtigungen wie Kopf-, Hals- und Nackenbeschwerden mit Ausstrahlungen in den oberen BWS-Bereich stünden dagegen zumindest teilweise in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Unfall. Jedenfalls könne auf Grund der medizinischen Akten nicht mit der erforderlichen überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen werden, dass am 22. Juni 1999 der Status quo sine erreicht gewesen sei.
Die Beschwerdeführerin erhebt Kritik am Gutachten des Dr. med. R._ und rügt, die Vorinstanz habe sich mit dem Aktengutachten des PD Dr. med. O._ nicht hinreichend auseinander gesetzt. Des Weiteren macht sie geltend, der angefochtene Entscheid äussere sich zu wenig differenziert zur Kausalitätsfrage hinsichtlich der einzelnen Beschwerdebilder. Bezüglich der Kopfschmerzen und der Zervikalgien (Hals- und Nackenbeschwerden) sei festzustellen, dass die Kopfschmerzen verschwunden seien und bezüglich der zervikalen Symptomatik mit Ausnahme von Muskelverspannungen keine Befunde hätten erhoben werden können. Wenn die Gutachter den Kausalzusammenhang dennoch bejaht hätten, dann offenbar nur darum, weil die Beschwerdegegnerin über belastungsabhängige Hals- und Nackenbeschwerden geklagt und ihren Angaben zufolge früher nie an solchen Schmerzen gelitten habe. Damit folge das Gutachten der im Unfallversicherungsrecht unzulässigen Maxime "post hoc, ergo propter hoc". Weil die - im vorinstanzlichen Entscheid unbeachtet gebliebenen - Armschmerzen rechts nach Auffassung von PD Dr. med. O._ mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf das Karpaltunnelsyndrom zurückzuführen seien, welches nicht als unfallkausal zu betrachten sei, könnten auch die Armschmerzen nicht auf den Unfall zurückgeführt werden. Bezüglich der Schmerzen an der BWS sei die Unfallkausalität angesichts der langen Latenzzeit nicht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit ausgewiesen. Mit der Formulierung "ein natürlicher Kausalzusammenhang könne nicht ausgeschlossen werden" räume die Vorinstanz selber ein, dass eine Unfallkausalität bloss möglich, nicht aber überwiegend wahrscheinlich sei. Zudem sei auf Grund der medizinischen Akten auch die blosse Möglichkeit eines Kausalzusammenhangs zu verneinen.
2.3 Mit der Vorinstanz besteht kein Anlass, von der übereinstimmenden Auffassung der Gerichts- und Parteigutachter abzugehen, wonach die Kopf-, Hals- und Nackenbeschwerden zumindest teilweise als unfallkausal zu betrachten sind, wobei den Kopfschmerzen keine wesentliche Bedeutung mehr zukommt. Dem steht nicht entgegen, dass mittels bildgebender Untersuchungen keine traumatischen Läsionen, dafür aber spondylarthrotische Veränderungen der HWS, eine mediane Diskusprotrusion C6/7 sowie degenerative Veränderungen mit dorsalen Osteophytenbildungen auf Höhe von C5/6 und C6/7 festgestellt wurden (Bericht des Spitals X._ vom 5. März 1999). Das typische Beschwerdebild nach Schleudertraumen der HWS zeichnet sich gerade dadurch aus, dass die Beschwerden oft organisch nicht oder nicht hinreichend nachweisbar sind. Für die Leistungspflicht des Unfallversicherers genügt es aber, dass die geklagten Beschwerden medizinisch einer fassbaren gesundheitlichen Beeinträchtigung zugeschrieben werden können und diese Gesundheitsschädigung mit überwiegender Wahrscheinlichkeit in einem ursächlichen Zusammenhang mit dem versicherten Unfall steht. Dass der im Zusammenhang mit HWS-Verletzungen sich manifestierende Beschwerdekomplex mitunter noch andere Ursachen haben kann, darf nicht von vornherein zur Verneinung der natürlichen Kausalität führen, da der Unfall als eine Teilursache für die Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs genügt (<ref-ruling>; RKUV 2000 Nr. U 395 S. 317). Diesbezüglich ist auf Grund der Akten davon auszugehen, dass die Beschwerdegegnerin vor dem Unfall an keinen Hals- und Nackenbeschwerden gelitten hat. Die degenerativen Veränderungen an der HWS sind altersentsprechend und fallen auch nach Auffassung des Parteigutachters PD Dr. med. O._ als Ursache der Zervikalgien nicht in Betracht. Die Teilkausalität des Unfalls für die bestehenden Hals- und Nackenbeschwerden ist damit hinreichend begründet. Eine unzulässige Beurteilung nach der Maxime "post hoc, ergo propter hoc" liegt nicht vor.
Bezüglich der Beschwerden an der BWS verneint PD Dr. med. O._ eine Unfallkausalität mit der Begründung, diese seien erst mit grosser Latenzzeit nach dem Unfall (erstmalige Erwähnung im Gutachten von Dr. med. R._ vom 31. Januar 2003) aufgetreten. Demgegenüber bejaht Dr. med. R._ die Unfallkausalität, wobei er von einem einheitlichen Beschwerdebild (HWS/BWS) ausgeht, was im Hinblick darauf, dass die Beschwerden den unteren HWS- und den oberen BWS-Bereich betreffen, plausibel erscheint. Da es sich demzufolge nicht um ein selbstständiges Beschwerdebild, sondern um Ausstrahlungen der unfallkausalen HWS-Beschwerden handelt, ist der natürliche Kausalzusammenhang mit dem Unfall nicht nur nicht auszuschliessen, sondern als überwiegend wahrscheinlich zu betrachten.
Was das am 3. Juli 2001 operierte Karpaltunnelsyndrom betrifft, wird im Gutachten des Dr. med. R._ davon ausgegangen, dass es sich wahrscheinlich um ein unfallbedingtes Syndrom handelt, indem eine gewisse Prädisposition bestanden und der Unfall, bei welchem die Versicherte einen Schlag im Handgelenksbereich erlitten habe, zu einer richtunggebenden Verschlimmerung geführt habe. PD Dr. med. O._ hält dem entgegen, dass keine Anhaltspunkte für eine Prädisposition vorlägen. Eine solche könnte in einer erhöhten Verwundbarkeit der Nerven für Druckläsionen oder einer schon vor dem Unfall eng gewesenen Passage des Nerven durch den Karpaltunnel bestanden haben. Eine erhöhte Verwundbarkeit von Nerven auf Druckexposition entstehe durch erworbene oder erbliche Nervenkrankheiten, welche in der Regel mehrere Nerven beträfen und praktisch immer "symmetrisch" seien. Im vorliegenden Fall schliesse der normale EMG-Befund des gegenüberliegenden N. medianus links eine solche Erkrankung aus. Ein vorbestehender enger Karpaltunnel sei ebenfalls nicht dokumentiert. Auch eine anatomische Prädisposition wäre zudem auf beiden Seiten gleichermassen zu erwarten gewesen. Schliesslich beinhalte das Postulat einer anatomischen Prädisposition, dass ein lokales Trauma im Handgelenk stattgefunden habe. Auf Grund der vorhandenen Unterlagen und insbesondere der Aussagen der Versicherten selbst sei eine Traumatisierung im Bereich des Handgelenks aber als sehr unwahrscheinlich zu betrachten. Die Vorinstanz ist auf Grund dieser eingehend begründeten und überzeugenden fachärztlichen Beurteilung in diesem Punkt zu Recht vom Gerichtsgutachten abgewichen (vgl. hiezu <ref-ruling> Erw. 3b/aa). Gegen die Unfallkausalität spricht insbesondere auch der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin im Anschluss an den Unfall nicht über Schmerzen im Handgelenk geklagt hat und die für ein Karpaltunnelsyndrom typischen Beschwerden erst längere Zeit nach dem Unfall aufgetreten sind. Das Karpaltunnelsyndrom ist daher nicht als unfallkausal zu qualifizieren.
Fraglich ist, wie es sich hinsichtlich der Armschmerzen verhält, welche nach den Angaben von Dr. med. S._ vom 26. März 1999 Ausstrahlungen der Zervikalgien bildeten, nach Auffassung von PD Dr. med. O._ jedoch keine zervikogene Ursache hatten, sondern in Zusammenhang mit dem Karpaltunnelsyndrom standen und seit der Operation vom 3. Juli 2001 abgeklungen sind. Dabei fällt auf, dass im Bericht des Dr. med. S._ vom 26. März 1999 linksseitige Armschmerzen angegeben wurden, während im Gutachten von PD Dr. med. O._ von Armschmerzen rechts die Rede war. Nähere Abklärungen erübrigen sich indessen, weil diesbezüglich keine Behandlungsbedürftigkeit oder Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit anzunehmen ist.
Zusammenfassend ist festzustellen, dass die Unfallkausalität hinsichtlich der Hals- und Nackenbeschwerden (mit Ausstrahlungen in die obere BWS) zumindest im Sinne einer Teilkausalität zu bejahen und bezüglich der übrigen Beschwerden zu verneinen ist. In Bezug auf die unfallkausalen Beschwerden waren beim Fallabschluss per 22. Juni 1999 weder der Status quo sine noch der Status quo ante erreicht.
Zusammenfassend ist festzustellen, dass die Unfallkausalität hinsichtlich der Hals- und Nackenbeschwerden (mit Ausstrahlungen in die obere BWS) zumindest im Sinne einer Teilkausalität zu bejahen und bezüglich der übrigen Beschwerden zu verneinen ist. In Bezug auf die unfallkausalen Beschwerden waren beim Fallabschluss per 22. Juni 1999 weder der Status quo sine noch der Status quo ante erreicht.
3. 3.1 Die Leistungspflicht des Unfallversicherers setzt im Weiteren voraus, dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden ein adäquater Kausalzusammenhang besteht. Nach der Rechtsprechung hat ein Ereignis dann als adäquate Ursache eines Erfolges zu gelten, wenn es nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und nach der allgemeinen Lebenserfahrung an sich geeignet ist, einen Erfolg von der Art des eingetretenen herbeizuführen, der Eintritt dieses Erfolges also durch das Ereignis allgemein als begünstigt erscheint (<ref-ruling> Erw. 5a mit Hinweisen).
Nach der Rechtsprechung ist bei Schleudertraumen und schleudertraumaähnlichen Verletzungen der HWS für die Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs im Einzelfall zu verlangen, dass dem Unfall für die Entstehung der Arbeits- bzw. Erwerbsunfähigkeit eine massgebende Bedeutung zukommt. Bei leichten Unfällen kann der adäquate Kausalzusammenhang zwischen Unfall und nachfolgenden Gesundheitsstörungen in der Regel ohne weiteres verneint werden, weil auf Grund der allgemeinen Lebenserfahrung, aber auch unter Einbezug unfallmedizinischer Erkenntnisse davon ausgegangen werden darf, dass ein solcher Unfall nicht geeignet ist, einen erheblichen Gesundheitsschaden zu verursachen. Bei schweren Unfällen dagegen ist der adäquate Kausalzusammenhang zwischen Unfall und Folgen in der Regel zu bejahen. Denn nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und nach der allgemeinen Lebenserfahrung sind solche Unfälle geeignet, entsprechende Gesundheitsschäden zu bewirken. Bei Unfällen aus dem mittleren Bereich lässt sich die Frage, ob zwischen Unfall und Folgen ein adäquater Kausalzusammenhang besteht, nicht auf Grund des Unfalles allein schlüssig beantworten. Weitere, objektiv erfassbare Umstände, welche unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehen oder als direkte oder indirekte Folgen davon erscheinen, sind in eine Gesamtwürdigung einzubeziehen. Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat die für die Adäquanzbeurteilung massgebenden Kriterien näher umschrieben und von der Schwere des Unfalls abhängige Regeln zur Adäquanzbeurteilung aufgestellt (<ref-ruling> Erw. 6a und seitherige Rechtsprechung).
3.2 Die Beschwerdegegnerin macht unter Hinweis auf <ref-ruling> ff. geltend, mit der Anerkennung der Leistungspflicht habe der Unfallversicherer die Adäquanz des Kausalzusammenhangs rechtskräftig anerkannt, weshalb darauf nicht zurückgekommen werden könne.
Im genannten Urteil hat das Eidgenössische Versicherungsgericht entschieden, dass es nicht zulässig ist, im Rahmen der Adäquanzprüfung einen je nach der konkret zur Diskussion stehenden Leistung (Rente oder Heilbehandlung) unterschiedlichen Massstab anzulegen. Es wurde damit nicht gesagt, eine Adäquanzprüfung sei ausgeschlossen, wenn der Unfallversicherer in einem konkreten Fall bereits Leistungen erbracht hat. Dem Entscheid ist vielmehr zu entnehmen, dass sich die Frage nach dem adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem schädigenden Ereignis und psychischen Fehlentwicklungen in der Regel erst nach einer längeren ärztlichen Behandlung und/oder nach einer länger dauernden, vollen oder teilweisen Arbeitsunfähigkeit stellt. Sowohl bei psychischen Unfallfolgen als auch bei Schleudertraumen oder schleudertraumaähnlichen Verletzungen der HWS und Schädel-Hirntraumen lassen sich die für die Adäquanzbeurteilung massgebenden Kriterien grundsätzlich erst nach Abschluss des normalen, unfallbedingt erforderlichen Heilungsprozesses beurteilen. Dem Unfallversicherer muss es daher auch nach erfolgter Leistungsgewährung möglich sein, die Adäquanz namentlich im Hinblick auf einen allfälligen Rentenanspruch zu prüfen (vgl. auch Urteile K. vom 6. Mai 2003 Erw. 4.2.1, U 6/03, R. vom 9. September 2002 Erw. 3.4, U 412/01, und A. vom 6. November 2001 Erw. 3, U 8/00). Im vorliegenden Fall hatte der Unfallversicherer die Adäquanz bei Zusprechung der Heilungskosten- und Taggeldleistungen nicht geprüft, weshalb diesbezüglich auch kein rechtskräftiger Entscheid vorlag. Daran ändert nichts, dass im Einspracheentscheid vom 24. März 2000 ausdrücklich darauf hingewiesen wurde, dass eine Leistungspflicht in Zusammenhang mit dem Unfall anerkannt worden sei.
3.3 Zu prüfen ist nach dem Gesagten, ob und bejahendenfalls in welchem Zeitpunkt der Heilungsprozess eine Beurteilung der Adäquanzkriterien zuliess.
Die Versicherte wurde wegen des am 1. Dezember 1998 erlittenen HWS-Distorsionstraumas vom 16. Dezember 1998 bis 19. Februar 1999 auf Anordnung des Dr. med. S._ physiotherapeutisch behandelt. Vom 31. März bis 7. Mai 1999 wurde Heilgymnastik, Massage und Elektrotherapie durchgeführt. Offenbar gleichzeitig war die Beschwerdegegnerin bei Dr. med. B._ in Behandlung, welcher dem Unfallversicherer am 27. Juli 999 mitteilte, er habe die Behandlung (Neuraltherapie) bei weitgehender Schmerzfreiheit am 22. Juni 1999 abgeschlossen; es bestünden noch leichte Restbeschwerden, die möglicherweise keiner speziellen Therapie mehr bedürften. Nachdem auch Dr. med. G._ am 25. August 1999 eine weitere Behandlungsbedürftigkeit verneint hatte, schloss die Beschwerdeführerin den Fall zunächst per 28. Februar 1999 und in der Folge per 22. Juni 1999 ab. Aus den Akten ergibt sich indessen, dass die Versicherte ab 16. Juni 1999 erneut bei Dr. med. S._ in Behandlung war und in der Zeit vom 18. Juni 1999 bis 10. September 1999 und vom 21. September bis 2. Dezember 1999 wiederum Heilgymnastik, Massage und Elektrotherapie durchgeführt wurde. Für diese Behandlungen hat der Krankenversicherer die Leistungspflicht mit Schreiben vom 12. Januar 2000 ausdrücklich anerkannt. Für die Zeit ab 3. Dezember 1999 ergeben sich aus den Akten dagegen keine Hinweise auf weitere Behandlungen der Unfallfolgen. Die durchgeführten Therapien richteten sich gegen das Karpaltunnelsyndrom, welches nicht unfallkausal ist (Erw. 2.3 hievor). Soweit später erneut physiotherapeutische Massnahmen durchgeführt wurden, dienten sie gemäss dem Gutachten des Dr. med. R._ der Erhaltung des bestehenden Gesundheitszustandes und es war davon keine wesentliche Besserung mehr zu erwarten. Unter den gegebenen Umständen ist die Adäquanzbeurteilung bezogen auf den massgebenden Zeitpunkt des Einspracheentscheides vom 24. März 2000 nicht als verfrüht zu betrachten.
3.4 Im Hinblick darauf, dass die Beschwerdeführerin die Leistungspflicht mangels eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen den bestehenden Beschwerden und dem Unfallereignis verneint hat, bestand für sie auch im Einspracheverfahren kein Anlass, die Adäquanz des Kausalzusammenhangs näher zu prüfen. Dagegen durfte die Vorinstanz die Leistungspflicht des Unfallversicherers nicht bejahen, ohne eine Adäquanzbeurteilung vorzunehmen. Zwar äussert sich die Beschwerdeführerin in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde auch zur Adäquanzfrage und verfügt das Eidgenössische Versicherungsgericht im vorliegenden Verfahren über die volle Kognition (Art. 132 OG). Zwecks Wahrung des Instanzenzuges rechtfertigt es sich jedoch, die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es den Fall unter diesem Gesichtspunkt prüfe und über die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin neu entscheide.
3.4 Im Hinblick darauf, dass die Beschwerdeführerin die Leistungspflicht mangels eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen den bestehenden Beschwerden und dem Unfallereignis verneint hat, bestand für sie auch im Einspracheverfahren kein Anlass, die Adäquanz des Kausalzusammenhangs näher zu prüfen. Dagegen durfte die Vorinstanz die Leistungspflicht des Unfallversicherers nicht bejahen, ohne eine Adäquanzbeurteilung vorzunehmen. Zwar äussert sich die Beschwerdeführerin in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde auch zur Adäquanzfrage und verfügt das Eidgenössische Versicherungsgericht im vorliegenden Verfahren über die volle Kognition (Art. 132 OG). Zwecks Wahrung des Instanzenzuges rechtfertigt es sich jedoch, die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es den Fall unter diesem Gesichtspunkt prüfe und über die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin neu entscheide.
4. Der teilweise obsiegenden Beschwerdeführerin steht keine Parteientschädigung zu, weil sie als eine mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation gehandelt hat (Art. 159 Abs. 2 OG) und kein Ausnahmefall im Sinne der Rechtsprechung vorliegt (<ref-ruling> Erw. 6b; RKUV 1995 Nr. K 955 S. 6). Die Beschwerdeführerin obsiegt nur insoweit, als die Sache zur Adäquanzprüfung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird; im Übrigen wird die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abgewiesen. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens hat sie der Beschwerdegegnerin eine reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen.

Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug vom 6. Juni 2002 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen vorgehe und über den Leistungsanspruch der Beschwerdegegnerin neu entscheide.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug vom 6. Juni 2002 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen vorgehe und über den Leistungsanspruch der Beschwerdegegnerin neu entscheide.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Allianz Suisse hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1000.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die Allianz Suisse hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1000.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 15. Oktober 2003
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der IV. Kammer: Der Gerichtsschreiber: