Erwägungen:
1.
X._ erhob mit mehreren Eingaben Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Mit Verfügung vom 31. Juli 2013 setzte das Verwaltungsgericht dem Beschwerdegegner und der Mitbeteiligten eine Frist von 30 Tagen, um eine allfällige Beschwerdeantwort sowie die nötigen Akten einzureichen. Gleichzeitig trat es auf die Ausstandsbegehren gegen Verwaltungsrichter Y._ und Verwaltungsrichterin Z._ nicht ein. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, dass Ausstandsgründe im Sinne des Gesetzes vorliegend offensichtlich zu verneinen seien. Werde ein Ausstand ausschliesslich mit Gründen verlangt, die von vornherein untauglich sind, so gelte das Begehren als unzulässig und darauf sei nicht einzutreten, wobei die Behörde selbst über ihren eigenen Ausstand bestimmen dürfe.
2.
X._ führt mit Eingabe vom 1. September 2013 (Postaufgabe 2. September 2013) Beschwerde gegen die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung des Verwaltungsgerichts nicht auseinander. Aus seiner Beschwerde ergibt sich nicht, inwiefern die Zwischenverfügung des Verwaltungsgerichts bzw. das Nichteintreten auf die Ausstandsbegehren rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen) offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Regierungsrat des Kantons Zürich, der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Oktober 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli