Faits:
A. Le 31 mai 2007, la Télévision suisse romande (TSR) a diffusé, dans le cadre de l'émission "Temps présent", un reportage intitulé "Le juge, le psy et l'accusé". Ce reportage se composait d'une introduction suivie de cinq séquences relatant chacune une affaire pénale qui s'était déroulée peu auparavant en Suisse romande et pour laquelle la justice avait recouru à une expertise psychiatrique et il comportait une conclusion. La cinquième séquence concernait le cas genevois d'une fillette qui avait accusé son père et deux de ses oncles de lui avoir fait subir des actes d'ordre sexuel. Dans le cadre de l'instruction pénale de ce dossier, X._, psychiatre, avait été désigné afin d'effectuer une seconde expertise psychiatrique sur la fillette et avait conclu à la crédibilité des propos de l'enfant. Par la suite, l'enfant s'était rétractée et le procès avait finalement abouti à un acquittement.
Le 17 août 2007, X._ a déposé plainte auprès de l'Autorité indépendante d'examen des plaintes en matière de radio-télévision (ci-après: l'Autorité de plainte). Il se considérait comme directement touché par la présentation de l'affaire genevoise, qui se fondait selon lui sur une version unilatérale des événements.
B. Par décision du 10 mars 2008, notifiée le 27 octobre 2008, l'Autorité de plainte a admis à l'unanimité la plainte formée par X._, dans la mesure où elle était recevable. Elle a constaté que, dans l'émission litigieuse diffusée le 31 mai 2007, la TSR avait violé le principe de la présentation fidèle des événements au sens de la législation en matière de radio et de télévision. Elle a invité la Société suisse de radiodiffusion et télévision (SSR) à l'informer des dispositions prises dans un délai de 60 jours à compter de la notification de cette décision, respectivement dans un délai de 30 jours à compter de son entrée en force.
C. La SSR interjette un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral contre la décision prise le 10 mars 2008 par l'Autorité de plainte dont elle demande l'annulation; en outre, elle conclut au rejet de la plainte déposée le 17 août 2007 par X._ ou au renvoi de la cause à l'autorité compétente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
L'Autorité de plainte conclut au rejet du recours. X._ conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens.
D. Le 4 mars 2009, la Cour de céans a visionné l'émission litigieuse diffusée le 31 mai 2007.
Le 1er mai 2009, la Cour de céans a délibéré sur le présent recours en séance publique.

Considérant en droit:
1. Le présent recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>) contre une décision de l'Autorité de plainte (art. 86 al. 1 let. c LTF). De plus, en tant qu'organisatrice de l'émission contestée, la SSR a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law> (cf. arrêt 2C_89/2008 du 26 juin 2008 consid. 2, non publié in <ref-ruling>; voir aussi <ref-ruling> consid. 1.1 p. 255). Le recours est donc recevable.
2. Le 1er avril 2007 est entrée en vigueur la loi fédérale du 24 mars 2006 sur la radio et la télévision (LRTV; RS 784.40). Elle est applicable en l'occurrence, puisque l'émission contestée a été diffusée le 31 mai 2007.
3. 3.1 L'émission litigieuse tendait à illustrer, sur la base de cinq volets consacrés chacun à un drame ayant eu lieu en Suisse durant les dernières années, le lien existant entre la justice, l'expertise psychiatrique et l'accusé. En début d'émission, il était fait référence à l'affaire française d'Outreau dans laquelle des experts avaient jugé crédibles de fausses accusations d'enfants et qui avait abouti à un désastre judiciaire. Puis, le reportage comportait cinq séquences consacrées chacune à une affaire pénale et contenant des interviews. La première séquence se rapportait à l'agression d'un cafetier à Fribourg. La deuxième séquence relatait l'affaire du Grand-Pont de Lausanne, soit le cas d'un chauffeur qui avait quitté la route pour monter sur le trottoir, faisant ainsi une dizaine de victimes dont 3 étaient mortes. La troisième séquence revenait sur le triple infanticide de La Chaux-de-Fonds. La quatrième séquence était consacrée au drame de Chamoson (Valais): une mère avait tenté de tuer tous ses enfants et avait d'ailleurs réussi à faire mourir l'un d'eux. La cinquième et dernière séquence, seule contestée, était consacrée à une affaire genevoise dans laquelle le plaignant avait fonctionné comme expert. A la suite d'accusations d'attouchements portées par une fillette à l'encontre de son père et de deux de ses oncles, le psychiatre X._ avait conclu à la crédibilité des propos de l'enfant, contrairement à une première expertise. L'enfant s'était par la suite rétractée et un acquittement avait été prononcé. Cette affaire était annoncée dans l'émission en cause comme comparable à l'affaire d'Outreau. Le reportage faisait intervenir à plusieurs reprises l'avocat du père accusé, qui critiquait tout d'abord violemment l'expertise de X._, puis s'en prenait de façon plus générale à ce psychiatre, se disant inquiet des expertises qu'il pourrait encore effectuer. La parole était aussi donnée au père et à la belle-mère de la fillette, qui expliquaient comme ils avaient été marqués émotionnellement. Le reportage précisait ensuite que X._ avait décliné l'offre de participer à l'émission en raison du secret médical et de fonction. La TSR indiquait que les rétractations de la fillette n'avaient pas amené ce psychiatre à modifier ses conclusions et que le Jury avait estimé que l'expertise de X._ souffrait de critiques. Au terme de l'émission, la TSR soulignait que la position des experts-psychiatres dans les tribunaux n'avait jamais été aussi contestée et qu'il était peut-être temps qu'éclate une crise pour remettre chacun (expert-psychiatre et tribunal) à sa juste place - en d'autres termes pour déterminer le rôle qui revient à l'expert-psychiatre et la responsabilité que doit assumer le tribunal. Elle donnait encore la parole à un psychiatre français qui tirait les leçons du procès d'Outreau, puis elle concluait en disant qu'en Suisse, la réflexion ne faisait que commencer.
3.2 Dans sa décision du 10 mars 2008, l'Autorité de plainte a examiné seulement la cinquième séquence qui était contestée par X._, en rappelant que les différents volets de l'émission litigieuse étaient indépendants les uns des autres. Elle a considéré que la comparaison du cas genevois avec l'affaire d'Outreau était inappropriée. Par ailleurs, les journalistes avaient accordé une place disproportionnée à l'avocat du père accusé qui jouait un rôle partial, tout en s'exprimant à différents titres, ce qui prêtait à confusion. De plus, l'importance que la TSR accordait à cet avocat donnait l'impression qu'elle soutenait ses thèses. L'Autorité de plainte a ajouté qu'en l'absence de X._, les journalistes auraient dû apporter des éléments à sa décharge et donner également son point de vue. Les téléspectateurs n'avaient donc pas pu se forger librement une opinion sur la base des informations diffusées dans le reportage. De plus, les journalistes avaient commis plusieurs manquements à la diligence journalistique en ce qui concernait l'obligation de transparence et d'impartialité. Il en découlait une violation du principe de présentation fidèle des événements garanti par l'<ref-law>.
4. La recourante soutient tout d'abord que l'Autorité de plainte a établi les faits de façon manifestement inexacte sur un point décisif, en retenant que l'affaire genevoise évoquée dans la séquence litigieuse avait été jugée à huis clos, sans débats publics (cf. décision attaquée, consid. 8.3.2 et 9.1). Cela suffirait, selon elle, pour annuler la décision entreprise.
4.1 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été constatés de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, auquel cas il peut les rectifier ou les compléter d'office (cf. <ref-law>). Le recourant ne peut critiquer les constatations de l'autorité précédente qu'à ces mêmes conditions et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-law>; voir aussi <ref-ruling> consid. 3.4 p. 263 s.).
4.2 Le cas genevois objet de la séquence litigieuse a donné lieu à un procès public dont la presse s'est d'ailleurs faite l'écho. C'est donc à tort que l'Autorité de plainte a retenu que cette affaire avait été jugée à huis clos, comme elle l'admet du reste dans ses déterminations. Sur ce point, la recourante a donc raison, la décision attaquée comportant une constatation de fait inexacte. Il n'y a cependant pas lieu d'examiner quelles seraient les incidences de la correction de ce vice, car la décision entreprise doit de toute façon être annulée pour une autre raison.
5. Le présent litige porte au fond sur l'application qui a été faite de l'<ref-law> dont la teneur est la suivante:
"Les émissions rédactionnelles ayant un contenu informatif doivent présenter les événements de manière fidèle et permettre au public de se faire sa propre opinion. Les vues personnelles et les commentaires doivent être identifiables comme tels."
Comme le relève le message du Conseil fédéral du 18 décembre 2002 relatif à la révision totale de la loi fédérale sur la radio et la télévision (FF 2003 1516 ch. 2.1.2.1.2), l'art. 4 al. 2 à 4 LRTV règle les exigences minimales applicables aux émissions rédactionnelles et se fonde sur la réglementation antérieure de 1991. En particulier, l'<ref-law> reprend en substance l'art. 4 de la loi fédérale du 21 juin 1991 sur la radio et la télévision (RO 1992 601) sur lequel le Tribunal fédéral a eu l'occasion de se pencher, de sorte que la jurisprudence rendue sous l'ancien droit demeure applicable. Selon celle-ci, la loi soumet les programmes à une obligation d'objectivité: l'auditeur ou le téléspectateur doit pouvoir se faire l'idée la plus juste possible des faits et opinions rapportés et être à même de se forger son propre avis (<ref-ruling> consid. 3.3.1 p. 6). Le principe de la véracité implique que le diffuseur restitue les faits objectivement; le téléspectateur doit être informé des points controversés pour qu'il puisse se faire son idée (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 256; <ref-ruling> consid. 4a p. 478 et la jurisprudence citée). Les dispositions légales relatives aux programmes n'excluent ni les prises de position ou les critiques du concepteur de programmes ni le journalisme engagé, pour autant que la transparence à ce sujet soit garantie (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 256 s. et la jurisprudence citée). On parle de journalisme engagé lorsque le journaliste se fait l'avocat d'une thèse et émet des critiques spécialement acerbes (cf., au sujet de l'"anwaltlicher Journalismus", <ref-ruling> consid. 2.2 p. 256 s., <ref-ruling> consid. 4a p. 478 s. et <ref-ruling> consid. 3b p. 34). L'émission, prise dans son ensemble, ne doit pas être manipulatrice (<ref-ruling> consid. 3.3.1 p. 6). De manière générale, les exigences à satisfaire doivent être établies dans le cas d'espèce eu égard aux circonstances, au caractère et aux particularités de l'émission ainsi qu'aux connaissances préalables du public (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 292; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 257 et la jurisprudence citée). Elles sont d'autant plus élevées que le sujet traité est délicat (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 257; <ref-ruling> consid. 3b p. 34), respectivement que les critiques sont importantes (MARTIN DUMERMUTH, Die Programmaufsicht bei Radio und Fernsehen in der Schweiz, 1992, p. 366). Les exigences d'objectivité et de transparence susmentionnées impliquent une différenciation précise des faits, d'une part, et de leur interprétation, voire des commentaires à leur sujet, d'autre part (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 292; <ref-ruling> consid. 4a p. 478). Par ailleurs, la diligence journalistique impose qu'une personne, entreprise ou autorité qui a été violemment attaquée puisse faire entendre son point de vue. Si l'intéressé refuse de collaborer à l'émission dans laquelle il est mis en cause, il incombe au journaliste d'informer les téléspectateurs sur la diversité des opinions en la matière. Le devoir de diligence commande en particulier au journaliste de clarifier ou corriger les opinions qui reposent sur une présentation des faits manifes- tement erronée ou non prouvée (<ref-ruling> consid. 3b p. 171; arrêts 2C_542/2007 du 19 mars 2008 consid. 5.2.2 et 2A.653/2005 du 9 mars 2006 consid. 4.1.2). Ce devoir ne va pas jusqu'à obliger le journaliste à défendre la position qu'aurait vraisemblablement soutenue l'intéressé absent, mais il lui impose au moins d'indiquer que les affirmations énoncées par "l'agresseur" sont contestées et de préciser dans quelle mesure elles le sont (<ref-ruling> consid. 3b p. 171; cf. aussi décision de l'Autorité de plainte du 20 mai 1994 consid. 3.3, in JAAC 59/1995 n° 42). Le réalisateur doit donc veiller à ce que le point de vue de l'absent soit exposé de manière suffisante (GABRIEL BOINAY, La contestation des émissions de la radio et de la télévision, 1996, p. 62 n. 167; DUMERMUTH, op. cit., p. 367 s.; PETER STUDER/RUDOLF MAYR VON BALDEGG, Medienrecht für die Praxis, 3e éd. 2006, p. 197 ss). Enfin, en ce qui concerne l'autonomie du diffuseur quant à ses programmes, il faut prendre en compte qu'une intervention dans le cadre de la surveillance des programmes ne se justifie pas du seul fait qu'une émission n'est pas satisfaisante à tous égards, mais seulement lorsque, prise dans son ensemble, elle viole les exigences minimales quant au contenu des programmes figurant à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 293; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 259; <ref-ruling> consid. 3a p. 207).
6. 6.1 La recourante soutient que l'Autorité de plainte a méconnu l'<ref-law> en qualifiant d'unilatérale la présentation des faits relative à l'affaire genevoise. Elle fait valoir que, dans la séquence contestée, le conseil du père accusé a été présenté sans équivoque comme "l'avocat de la défense, dont les propos sont nécessairement, et par vocation, partisans", de sorte que le public devait comprendre qu'il soutenait une thèse. Elle reproche également à l'Autorité de plainte d'avoir considéré que des éléments modérateurs favorables à X._ auraient dû être introduits, en rappelant qu'il n'appartient pas à l'Autorité de plainte de poser des principes tendant uniquement à la mise en oeuvre des règles protégeant la personnalité. Enfin, la recourante prétend que l'affaire genevoise et le cas d'Outreau sont comparables dans le processus qu'ils illustrent: détention "à tort" d'une personne sur la base d'une expertise concluant à la crédibilité d'un enfant, de sorte que le lien entre ces deux causes était justifié.
6.2 L'Autorité de plainte a souligné certains aspects qu'elle a qualifiés de manquements. A vrai dire, elle n'a fait entrer dans sa réflexion que la cinquième séquence de l'émission contestée. Elle a cependant perdu de vue que, pour contrôler le respect de l'<ref-law>, elle devait se fonder sur l'impression d'ensemble qui se dégageait de l'émission litigieuse. Celle-ci visait à exposer les difficultés dans la collaboration entre justice pénale et psychiatrie. C'est pourquoi la conformité de l'émission aux exigences légales applicables aux programmes suppose d'examiner si le téléspectateur était à même de se forger son propre avis en toute objectivité.
Il est certes exact que, dans le cinquième volet de l'émission en cause, le point de vue de l'accusé est le seul qui soit exposé. Cela vient de ce que la juge d'instruction qui avait été chargée de l'instruction du dossier genevois n'a pas accepté d'être interviewée et de ce que le psychiatre X._ a refusé de participer à l'émission, en expliquant qu'il était lié par le secret médical et celui de fonction. Les journalistes n'ont pas présenté eux-mêmes ni par l'intermédiaire de juges ou psychiatres différents de ceux qui avaient décliné leur offre d'intervenir dans l'émission critiquée les difficultés que rencontrent les professionnels de l'ordre judiciaire ou du monde médical confrontés au problème de la crédibilité des témoignages d'enfants dont il existe des soupçons qu'ils auraient été victimes d'abus sexuels. Le fait qu'il y ait une carence à cet égard et qu'en revanche, une large place ait été accordée à l'accusé et à son avocat dans la cinquième séquence n'équivaut cependant pas à une violation du droit des programmes dans le contexte général de l'émission. En effet, les avis des juges et des psychiatres sont exposés dans d'autres séquences. En ce qui concerne l'expertise de X._, elle a été décrite de façon objective. En effet, il ressort de l'arrêt rendu le 23 mai 2006 par la Cour correctionnelle du canton de Genève que le Jury n'a pas été convaincu par cette expertise et a déclaré qu'elle "souffr[ait] de critiques", ce qui a été indiqué dans l'émission litigieuse. Ces critiques étaient telles que les journalistes n'étaient pas obligés d'atténuer la portée de ladite expertise par leurs propres commentaires ou grâce à d'autres personnes ni de la montrer sous un meilleur jour.
Quant à la comparaison du cas genevois avec le procès d'Outreau, au regard du dossier, la similitude entre ces deux affaires réside essentiellement dans le fait que des expertises psychiatriques de crédibilité qui ne satisfaisaient pas aux critères spécifiques (cf., par exemple, <ref-ruling> consid. 2 p. 84 ss) ont été remises, ce qui était lourd de conséquences pour les inculpés et aurait pu aboutir à une condamnation pénale d'innocents. L'émission litigieuse avait pour objet le risque de jugements erronés en cas de collaboration entre justice pénale et psychiatrie ainsi que les moyens de le limiter. C'est pourquoi la comparaison avec le cas d'Outreau était compréhensible et n'est pas critiquable. Alors même qu'il était bien connu du téléspectateur que les affaires d'Outreau et de Genève se distinguaient l'une de l'autre, notamment quant à la dimension des événements, il a été clairement exposé dans l'émission contestée que, dans le cas genevois, il s'agissait d'une fillette et de trois inculpés qui faisaient l'objet d'une instruction.
Il ressort ainsi d'un examen portant sur l'ensemble de l'émission litigieuse que celle-ci n'a pas violé l'<ref-law>.
7. Compte tenu de ce qui précède, le recours doit être admis et la décision attaquée annulée. Il y a lieu de constater que l'émission litigieuse ne viole pas le principe de la présentation fidèle des événements au sens de l'<ref-law>.
L'intimé, qui succombe, n'a pas droit à des dépens (<ref-law>) et doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF), car l'<ref-law> posant le principe de la gratuité ne s'applique qu'à la procédure devant l'Autorité de plainte.
Bien qu'elle obtienne gain de cause, la recourante, qui est une organisation chargée de tâches de droit public, n'a pas droit à des dépens (<ref-law>; cf. arrêt 2A.743/2006 du 2 août 2007 consid. 6).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et la décision de l'Autorité indépendante d'examen des plaintes en matière de radio-télévision du 10 mars 2008 est annulée. Il est constaté que l'émission "Temps présent" intitulée "Le juge, le psy et l'accusé", diffusée le 31 mai 2007, ne viole pas le principe de la présentation fidèle des événements au sens de la législation en matière de radio et de télévision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à l'Autorité indépendante d'examen des plaintes en matière de radio-télévision.
Lausanne, le 1er mai 2009
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Müller Dupraz