Faits:
A. A.a L'Association des médecins du canton de Genève (ci-après: AMG) est une association au sens des <ref-law>, dont les statuts lui assignent notamment les buts suivants:
« L'AMG assure la fédération, l'organisation et la représentation de l'ensemble des médecins.
Plus particulièrement, elle:
favorise l'adhésion des médecins à ses structures en y maintenant
un esprit de confraternité et de solidarité et en créant les conditions
favorables pour assurer et stimuler l'éthique professionnelle, la
défense générale des intérêts de ses membres, leur information et
leur formation continue dans le but de maintenir et d'accroître la
qualité,
- ...
crée et institutionnalise les contacts avec les différents milieux ou
associations appelés à intervenir dans les domaines de la santé, de
l'éthique, de l'économie et de la défense des intérêts des patients,
... »
(art. 1 et 2 statuts AMG, édition 2004).
La Commission de déontologie et de conciliation de l'AMG (ci-après: CDC) examine et traite toute plainte de confrères ou de tierce personne relative au respect du code de déontologie de la Fédération des médecins suisses (ci-après: code FMH) et inflige d'elle-même les sanctions qu'elle estime nécessaires, en application dudit code et selon une procédure fixée par celui-ci et un règlement dûment approuvé par le Conseil de l'AMG (art. 12 statuts AMG). Elle a la compétence d'infliger les sanctions prévues par les art. 47 code FMH et 21 règlement AMG, lesquelles peuvent être cumulées, notamment l'exclusion définitive de la société cantonale de médecine et de la FMH (art. 47 let. d code FMH et 21 let. d règlement AMG), la publication dans l'organe de l'AMG et de la FMH (art. 47 let. f code FMH et 21 let. f règlement AMG) et la communication à la Direction de la santé publique ou aux organes de l'assurance-maladie concernée (art. 47 let. g code FMH et 21 let. g règlement AMG).
Le Conseil suisse de déontologie (ci-après: CSD) est l'autorité de recours contre les sanctions prononcées par la CDC (art. 23 al. 1 par. 2 statuts AMG, 43 al. 2 et 48 code FMH, art. 22 règlement AMG).
A.b X._ exerce à Y._, à titre indépendant, la profession de médecin psychiatre. Il est régulièrement mandaté par des compagnies d'assurances et des tribunaux pour exécuter des expertises psychiatriques. Il a été admis le 13 décembre 2001 comme membre de l'AMG et, de ce fait, affilié à la FMH et à la Société médicale de Suisse romande.
Le 4 juin 2004, sur plaintes de patients et de confrères, la CDC a infligé au prénommé un blâme et une amende de 10'000 fr. pour violation de l'art. 4 code FMH, qui impose au médecin le respect de la personnalité du patient et l'interdiction de l'abus d'autorité. Cette sanction a été confirmée, sur recours, par le CSD le 14 septembre 2005.
Saisie, entre mars et juillet 2005, de nouvelles plaintes similaires, la CDC a, par décision du 19 juin 2006, prononcé l'exclusion de X._ de l'AMG et ordonné la publication de cette décision dans l'organe de l'association ainsi que sa communication à la Direction de la santé publique et aux organes de SantéSuisse.
A.c Par lettre du 14 août 2006, X._ a démissionné de l'AMG. Celle-ci a reçu la lettre le 17 août 2006. Le 9 octobre 2006, elle a informé l'intéressé que sa démission avait été acceptée lors de la séance de son Conseil du 18 septembre 2006 « avec effet immédiat ». Elle lui a signalé en outre que sa démission entraînait également celle de la FMH s'il n'adhérait pas à une autre société cantonale. A ce propos, cette fédération l'a avisé le 29 novembre 2006 que s'il voulait conserver son statut de membre FMH, il devait lui faire parvenir dans les 10 jours, sous peine de radiation de la liste des membres, la copie de sa demande d'affiliation à une nouvelle organisation cantonale de médecine. L'intéressé n'a pas répondu à cette invitation.
A.d Par acte du 21 août 2006, X._ a recouru auprès du CSD contre la décision d'exclusion du 19 juin 2006.
Statuant sur ce recours le 1er mars 2007, le CSD l'a déclaré irrecevable faute, à cette date, de légitimation active de son auteur qui avait renoncé à sa qualité de membre avec effet immédiat au cours de l'année 2006 et n'était donc plus membre de la FMH au moment de la décision finale.
B. Le 2 avril 2007, X._ a ouvert action devant le Tribunal de première instance du canton de Genève contre l'AMG en annulation de son exclusion de cette association. Par jugement du 21 février 2008, le tribunal lui a dénié la légitimation active parce que, au moment d'ouvrir action, il avait déjà perdu sa qualité de membre de l'AMG du fait de sa démission, et il l'a donc débouté de toutes ses conclusions.
Sur appel de l'intéressé, la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance par arrêt du 14 novembre 2008, communiqué aux parties le 20 du même mois. Elle a précisé que l'appel aurait de toute façon dû être rejeté en raison des violations graves et répétées de l'art. 4 code FMH; en outre, la démission consécutive à l'exclusion ne pouvait avoir pour effet de rendre sans objet la publication et la communication de la sanction; enfin, l'intérêt de l'AMG à faire respecter un comportement professionnel conforme à l'éthique et aux règles déontologiques prévues par le code FMH l'emportait sur celui de l'intéressé à voir préservés sa réputation et son avenir économique.
C. Par acte du 6 janvier 2009, X._ a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile, concluant principalement à l'annulation des décisions de la Cour de justice, du Tribunal de première instance, du CSD et de la CDC, subsidiairement à l'annulation de l'arrêt de la Cour de justice et au renvoi de la cause à l'autorité précédente, voire au premier juge, pour qu'elle/il statue à nouveau dans le sens des considérants du Tribunal fédéral. Le recourant invoque la violation de l'<ref-law> en relation avec la légitimation active, du droit à la preuve (<ref-law>), du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), de la liberté négative d'association (art. 23 al. 3 Cst. et 11 § 1 CEDH) et du droit à la réputation (<ref-law>, 13 al. 1 Cst., 10 al. 2 Cst. et 8 § 1 CEDH).
L'intimée conclut au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué.
Par ordonnance du 29 janvier 2009, la Présidente de la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif présentée par le recourant.

Considérant en droit:
1. 1.1 L'arrêt attaqué est une décision finale prise par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans un litige portant sur la qualité de membre d'une association, soit un litige qui n'est pas de nature pécuniaire (<ref-ruling> consid. 1, 77 consid. 1a). Le recours en matière civile est donc recevable indépendamment de la valeur litigieuse. Il émane en outre de la partie qui a succombé dans ses conclusions en instance cantonale (<ref-law>) et il a été déposé en temps utile (<ref-law>), compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. c LTF), ainsi que dans la forme prévue par la loi (<ref-law>).
1.2 Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par la motivation de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés ou, à l'inverse, rejeter un recours en substituant une nouvelle argumentation à celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 254; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 262).
2. Selon l'<ref-law>, tout sociétaire est autorisé de par la loi à attaquer en justice les décisions auxquelles il n'a pas adhéré et qui violent des dispositions légales ou statutaires.
2.1 Fondé sur cette disposition, l'arrêt entrepris retient que le recourant a perdu la qualité de membre de l'AMG le 17 août 2006 et celle de membre de la FMH aux environs du 15 décembre 2006, faute d'avoir répondu à l'invitation de celle-ci de produire une demande d'affiliation à une autre organisation cantonale de médecine. La Cour de justice en déduit que le recourant, s'il disposait encore de la légitimation active lors de son recours du 21 août 2006 auprès du CSD, a perdu cette qualité en cours de procédure, qu'il en était dépourvu au moment où cette instance a statué le 1er mars 2007 et, a fortiori, lors de son action en annulation devant le Tribunal de première instance le 2 avril 2007, ainsi qu'au moment du dépôt de son appel le 14 avril 2008.
Invoquant les spécificités de l'<ref-law> en relation avec une décision d'exclusion, le recourant soutient qu'une telle décision doit pouvoir être attaquée par le sociétaire visé, même en cas de démission ultérieure. Il se prévaut de l'intérêt juridique devant être reconnu à tout sociétaire à faire constater judiciairement que la perte de sa qualité de membre n'est pas survenue à la suite d'une exclusion et que cet intérêt doit être plus particulièrement protégé lorsque la décision contestée prévoit, outre l'exclusion, des effets accessoires pouvant porter atteinte à sa personnalité et à ses intérêts économiques.
2.2 Les décisions visées par l'<ref-law> ont généralement trait au fonctionnement et à l'activité de l'association, de sorte que le membre démissionnaire, qui n'est pas personnellement visé, perd tout intérêt à les attaquer en justice. En renonçant à la qualité de sociétaire, il est ainsi privé de la légitimation active à l'action en contestation. En l'espèce, la question se pose de savoir si la démission du sociétaire entraîne également la perte de la légitimation active lorsque la décision litigieuse est une décision d'exclusion, qui le touche donc personnellement et qui, de surcroît, déploie des effets susceptibles d'entraîner une atteinte à sa réputation professionnelle et à son avenir économique.
2.2.1 La jurisprudence rendue en matière d'exclusion de l'association (<ref-law>) opère une distinction entre les associations à but idéal et les organisations professionnelles ou corporatives constituées sous la forme juridique de l'association. Les clauses statutaires d'exclusion pour un motif indéterminé (clause générale) ou sans indication de motifs des premières font obstacle, sous réserve de l'abus de droit, à toute action en justice du sociétaire exclu. En revanche, une exception au principe de l'incontestabilité matérielle doit être reconnue pour les exclusions prononcées par les secondes. Une telle exception est justifiée par le fait que la portée économique, respectivement professionnelle, de la qualité de sociétaire d'une organisation professionnelle ou corporative, voire d'un groupement économique, en particulier à cause de la réputation commerciale d'un membre, exige une limitation de la liberté d'exclusion (<ref-ruling>; <ref-ruling> ).
En l'espèce, en l'absence de constatations des instances cantonales sur le sujet, le Tribunal fédéral peut s'abstenir de trancher - en première et unique instance - la question de savoir si l'AMG remplit les conditions de l'exception jurisprudentielle susmentionnée.
2.2.2 Lorsque la démission intervient consécutivement à une procédure d'exclusion, l'association peut ou bien constater que la démission rend sans objet la procédure d'exclusion en cours et ses effets accessoires (publication, communication à des organisations intéressées), et radier en conséquence cette procédure, ou bien décider de maintenir le prononcé d'exclusion avec ses effets accessoires malgré la démission. Dans la première hypothèse, le démissionnaire ne justifie plus d'aucun intérêt juridiquement protégé à saisir la justice, que ce soit pour revendiquer des avantages sociaux, surtout économiques, auxquels il a volontairement renoncé en démissionnant, ou que ce soit pour faire examiner le bien-fondé de son exclusion. Dans la seconde hypothèse, qui est à l'évidence celle qui a été adoptée en l'occurrence, le démissionnaire doit se voir reconnaître un intérêt juridiquement protégé à faire examiner par le juge la régularité de son exclusion et des effets accessoires de celle-ci. Cette qualité pour agir ne se fonde toutefois pas sur la perte des avantages sociaux, qui résulte de la démission, mais exclusivement sur les inconvénients liés aux effets accessoires de l'exclusion.
En l'occurrence, la décision d'exclusion est susceptible de porter atteinte à la personnalité du recourant en raison non seulement de sa publication dans le bulletin interne de l'association, mais également de sa communication à la Direction de la santé publique cantonale et aux organes de SantéSuisse. Dans la mesure où la décision d'exclusion et son fondement doivent être portés à la connaissance de ses pairs, c'est la réputation professionnelle du recourant qui est en jeu. En outre, l'information à donner aux organes cantonaux et fédéraux de la santé est susceptible d'entraver le développement économique du recourant, dont une part non négligeable de l'activité professionnelle est consacrée à l'établissement d'expertises pour le compte de compagnies d'assurances et de tribunaux. L'impact potentiel des effets accessoires de la décision d'exclusion justifie d'autant plus la reconnaissance de la légitimation active du recourant à contester judiciairement, en dépit de sa démission, le bien-fondé et la proportionnalité de la sanction prononcée à son encontre.
2.2.3 Il convient également de relever qu'un membre démissionnaire de l'association intimée est tenu, en vertu de l'art. 21 al. 1 des statuts de celle-ci, fondé sur l'<ref-law>, à un préavis de sortie de six mois pour la fin d'un exercice administratif annuel, fixée au 31 décembre (art. 4 al. 3 in fine statuts). La démission ne devient donc effective qu'à la date statutaire; dans l'intervalle, comme le précise du reste l'art. 21 al. 3 des statuts, le membre démissionnaire conserve les droits et les obligations attachés à sa qualité de membre. Par ailleurs, la démission est un acte juridique unilatéral soumis à réception, mais non à acceptation (JEAN-FRANÇOIS PERRIN/CHRISTINE CHAPPUIS, Droit de l'association, 3e éd 2008, p. 124). Or, l'AMG a « accepté » la démission en décidant de l'assortir d'un effet immédiat, alors qu'elle n'était pas saisie d'une demande de dérogation au sens de l'art. 21 al. 2 des statuts. En procédant de la sorte, elle a créé les conditions permettant au CSD de ne pas examiner le bien-fondé de l'exclusion sous couvert du défaut de légitimation. La Cour de justice retient à ce propos que la démission est devenue effective le 17 août 2006. Elle a donc assorti la démission, « acceptée avec effet immédiat » le 18 septembre 2006 par le Conseil de l'AMG, d'un effet rétroactif au 17 août 2006.
En vertu des statuts, la démission donnée par le recourant « sans effet immédiat » le 14 août 2006 aurait dû prendre effet le 31 décembre 2007. Dans cette mesure, le recourant avait conservé la qualité pour agir tant devant le CSD que devant le Tribunal de première instance, son action ayant été déposée le 2 avril 2007.
2.3 Il résulte de ce qui précède que c'est à tort que la Cour de justice a confirmé l'absence de légitimation active du recourant.
3. 3.1 Invoquant une violation du droit à la preuve et du droit d'être entendu, le recourant reproche à la Cour de justice d'avoir retenu à titre subsidiaire - soit dans l'hypothèse où la légitimation active devrait lui être reconnue - qu'il s'était rendu coupable de violations concrètes, graves et répétées des principes régissant les rapports entre le médecin et son patient, sans procéder elle-même à la moindre mesure d'instruction mais en se référant aux faits ressortant de la décision de la CDC du 19 juin 2006.
3.2 Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment pour le justiciable le droit de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, d'obtenir l'administration des preuves pertinentes et valablement offertes, de participer à l'administration des preuves essentielles et de se déterminer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2a/aa; <ref-ruling> consid. 3a). Le juge peut cependant renoncer à l'administration de certaines preuves, notamment lorsque les faits dont les parties veulent rapporter l'authenticité ne sont pas importants pour la solution du litige. Ce refus d'instruire ne viole leur droit d'être entendues que si l'appréciation anticipée de la pertinence du moyen de preuve offert, à laquelle le juge a ainsi procédé, est entachée d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 3 et les arrêts cités).
En l'absence de disposition spéciale contraire, l'<ref-law> répartit le fardeau de la preuve pour toutes les prétentions fondées sur le droit privé fédéral et détermine, sur cette base, laquelle des parties doit assumer les conséquences d'un échec de la preuve (<ref-ruling> consid. 3.1). L'<ref-law> accorde également le droit à la preuve et à la contre-preuve (<ref-ruling> consid. 2.6). Le juge enfreint notamment cette disposition s'il ne donne pas suite aux offres de preuve d'une partie sur des faits pertinents pour l'appréciation juridique de la cause (<ref-ruling> consid. 5.2.2; <ref-ruling> consid. 2.6 et les références citées; <ref-ruling> consid. 2a). Il n'y a pas de violation de l'<ref-law> si une mesure probatoire est refusée à la suite d'une appréciation anticipée des preuves (<ref-ruling> consid. 2.6 et les réf. citées). Par conséquent, si le juge estime que le moyen de preuve requis ne pourrait fournir la preuve attendue ou ne pourrait en aucun cas prévaloir sur les autres moyens de preuve déjà administrés, c'est-à-dire ne serait pas de nature à modifier le résultat des preuves qu'il tient pour acquis, il ne méconnaît pas l'<ref-law>.
Les prétentions découlant des <ref-law> et 29 al. 2 Cst. se recoupent donc. Sous l'empire de l'OJ, leur délimitation résultait du fait que, dans les cas susceptibles de recours en réforme, la violation du droit à la preuve en tant que violation de l'<ref-law> pouvait (et même devait) être soulevée par cette voie et non en tant que violation du droit d'être entendu, dès lors qu'en raison de sa subsidiarité absolue, le recours de droit public n'était pas ouvert (art. 43 al. 1, respectivement 84 al. 2 OJ). Désormais, le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris les droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 3.1). Dans cette mesure, le problème de la distinction entre les voies de recours tombe. Le point de savoir s'il faut déduire la violation du droit à la preuve de l'<ref-law> ou de l'art. 29 al. 2 Cst. subsiste néanmoins. Si le droit d'alléguer des faits et d'offrir des moyens de preuve pertinents est invoqué en relation avec un droit subjectif privé découlant d'une norme de droit matériel fédéral, ce qui est le cas en l'espèce, il y a lieu de dénoncer la violation du droit à la preuve selon l'<ref-law> et non du droit d'être entendu de l'art. 29 al. 2 Cst. L'<ref-law> ne permet toutefois pas de remettre en question l'appréciation des preuves (arrêts 5A.198/2008 du 26 septembre 2008 consid. 6.1; 5A.403/2007 du 25 octobre 2007 consid. 3.1 et les arrêts cités). Par conséquent, les griefs de violation du droit d'être entendu au sens de violation du droit à la preuve, à l'exception de l'appréciation des preuves, doivent être traités comme des griefs de violation de l'<ref-law>.
3.3 Dans le cas particulier, le Tribunal de première instance a renoncé à toute mesure probatoire au motif que la légitimation active du recourant faisait défaut; il n'a donc pas examiné le fond de l'affaire. Pour sa part, la Cour de justice a confirmé l'absence de légitimation active mais est entrée en matière, à titre subsidiaire, sur la réalité et la gravité des actes reprochés au recourant. C'est vraisemblablement en raison du caractère superfétatoire de son argumentation qu'elle s'est abstenue d'entendre les parties et des témoins sur les faits décisifs de la cause. Elle n'a cependant pas motivé son choix de se référer aux seuls faits retenus par la CDC plutôt que de procéder elle-même à une instruction complète et contradictoire. Elle n'a pas non plus indiqué les raisons pour lesquelles la comparution des parties et l'audition de témoins ne pouvaient pas prévaloir sur les autres moyens de preuve administrés. Ce faisant, elle a privé le recourant de toute instruction de sa cause par une autorité judiciaire. Les art. 30 al. 1 Cst. et 6 § 1 CEDH lui conféraient pourtant le droit à la tenue d'une audience aux fins de faire réentendre, dans des conditions compatibles avec les exigences d'indépendance et d'impartialité, les témoins qui s'étaient exprimés devant la CDC, instance associative, lors d'auditions auxquelles il avait certes participé, mais sans être assisté par un mandataire professionnel. La Cour de justice ne pouvait donc pas faire l'économie de l'instruction contradictoire si elle entendait se prononcer sur le fond de l'affaire, fût-ce à titre subsidiaire.
Les griefs formulés sur ce point par le recourant sont donc fondés. Il est en conséquence superflu d'examiner les autres moyens soulevés à l'appui du recours.
4. En conclusion, il y a lieu d'admettre le recours, d'annuler l'arrêt de la Cour de justice et de renvoyer la cause à cette autorité pour nouvelle décision, le choix lui appartenant de statuer elle-même ou de renvoyer à son tour la cause en première instance pour nouveau jugement (<ref-law>).
Les frais et dépens de l'instance fédérale doivent être mis à la charge de l'intimée (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt de la Cour de justice du 14 novembre 2008 est annulé.
La cause est renvoyée à la Cour de justice pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Une indemnité de 3'000 fr., à verser au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 1er septembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Hohl Fellay