Sachverhalt:
A. Die am 11. Dezember 2000 geborene M._ verfügt über die Bürgerrechte der Kantone Zürich und Aargau. Sie lebte bis 31. August 2006 in A._ (ZH). Am 1. September 2006 zog sie mit ihrer Mutter nach B._ (SH). Aufgrund einer Gefährdungsmeldung vom 23. Februar 2007 wurde M._ von der Vormundschaftsbehörde B._ zunächst teilweise und ab 1. November 2007 dauerhaft in einer Pflegefamilie untergebracht. Am 26. November 2008 beschloss die Sozialhilfebehörde B._ unter anderem, das seit 1. November 2007 geschuldete Pflegegeld zu übernehmen.
Mit Unterstützungsanzeige vom 6. Februar 2009 (zugestellt am 30. März 2009) machte das Sozialamt des Kantons Schaffhausen beim Heimatkanton Zürich die Erstattung der bis 31. August 2008 geleisteten Unterstützung geltend. Am 9. November 2009 wies das Sozialamt des Kantons Schaffhausen eine dagegen erhobene Einsprache des Kantons Zürich ab.
B. Mit Entscheid vom 21. Mai 2010 wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen die vom Kanton Zürich eingereichte Beschwerde ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt der Kanton Zürich, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 21. Mai 2010 aufzuheben und zu erkennen, dass der Heimatkanton Zürich in der Unterstützungsangelegenheit von M._ gegenüber dem Wohnkanton Schaffhausen nicht kostenersatzpflichtig sei.
Der Kanton Schaffhausen schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Kanton Zürich liess sich dazu am 20. August 2010 vernehmen.

Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit von Amtes wegen (<ref-law>). Es untersucht deshalb grundsätzlich von Amtes wegen, ob und inwiefern auf eine Beschwerde eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 1 S. 43). Immerhin ist die Beschwerde gemäss <ref-law> hinreichend zu begründen. Der Beschwerdeführer hat darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen gegeben sind. Soweit diese nicht ohne weiteres ersichtlich sind, ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, anhand der Akten oder weiterer, noch beizuziehender Unterlagen nachzuforschen, ob und inwiefern der Beschwerdeführer zur Beschwerde zuzulassen ist (<ref-ruling> E. 2 S. 403 f. mit Hinweisen).
2. 2.1 Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Gestützt auf <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Der Beschwerdeführer rügt eine unrichtige Anwendung des Bundesgesetzes vom 24. Juni 1977 über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG; SR 851.1), indem, entgegen der Annahme der Vorinstanzen, die erst nach Ablauf der Zweijahresfrist im Sinne von <ref-law> zur Begleichung von Pflegegeldern aus der Vergangenheit ausgerichteten Sozialhilfeleistungen nicht dem Heimatkanton überbunden werden dürften und die Unterstützungsanzeige überdies nach <ref-law> verspätet ergangen sei. Das Zuständigkeitsgesetz ist öffentliches Recht des Bundes im Sinne von Art. 82 lit. a und Art. 95 lit. a BGG. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu keinen Ausschlussgrund (vgl. <ref-law>).
2.2 Nach den bis 31. Dezember 2006 in Kraft gestandenen Rechtspflegebestimmungen des ZUG konnten Beschlüsse, mit welchen der fordernde Kanton eine Einsprache des pflichtigen Kantons ablehnte, mittels Beschwerde beim EJPD angefochten werden (a<ref-law>); der Beschwerdeentscheid des Departements unterlag der Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht (a<ref-law>). Das seit dem 1. Januar 2007 geltende Recht sieht demgegenüber neu eine Beschwerdemöglichkeit an eine kantonale richterliche Behörde vor (<ref-law>). <ref-law> wurde durch Anhang Ziff. 119 des Verwaltungsgerichtsgesetzes vom 17. Juni 2005 (SR 173.32) mit Wirkung seit 1. Januar 2007 aufgehoben (vgl. Urteil 8C_115/2007 vom 23. Januar 2008 E. 1).
2.3 Unter der Herrschaft des bis 31. Dezember 2006 in Kraft gestandenen OG (BS 3 531) ging das Bundesgericht davon aus, aufgrund des in Art. 33 und 34 ZUG vorgesehenen Rechtspflegesystems ergebe sich, dass die betroffenen Kantone unter den allgemeinen Voraussetzungen zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde legitimiert seien (vgl. Art. 103 OG). Es trat daher jeweils ohne weiteres auf die Beschwerde des im Verfahren vor dem Departement unterlegenen Kantons ein (Urteile 2A.253/2003 vom 23. September 2003 E. 1.1 und ZBl 102/2001 S. 331, 2A.603/1999 E. 1).
Seit dem 1. Januar 2007 richtet sich das Beschwerderecht ans Bundesgericht nach dem BGG. Danach sind Verwaltungsverbände (Bund, Kantone, Gemeinden, etc.) vorab dann zur Beschwerde an das Bundesgericht ermächtigt, wenn sie sich auf eine der in Art. 89 Abs. 2 lit. a-d BGG umschriebenen besonderen Legitimationsklauseln berufen können. Die Beschwerdebefugnis des Kantons Zürich lässt sich aufgrund der Aufhebung von <ref-law> auf keine besondere Ermächtigungsnorm mehr stützen. Dieser leitet seine Legitimation aus dem allgemeinen Beschwerderecht gemäss <ref-law> ab. Danach ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten befugt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (lit. c).
Der Kanton kann gegenüber dem andern Kanton nicht hoheitlich handeln. Die Anzeige im Sinne von <ref-law> stellt denn auch keine hoheitliche Verfügung dar; gleichwohl kommt ihr rechtsgestaltende Wirkung zu, indem sie den Kanton, an den sie gerichtet ist, rechtskräftig zum Kostenersatz verpflichtet, wenn dieser nicht mit einer Einsprache nach <ref-law> form- und fristgerecht dagegen reagiert (WERNER THOMET, Kommentar zum Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [ZUG], 2. Aufl. 1994, N. 304 zu <ref-law>). Der Kanton Zürich hat am vorinstanzlichen Verfahren als Partei teilgenommen und wurde als Adressat des angefochtenen Entscheids verpflichtet, finanzielle Leistungen zu erbringen. Er ist daher auch unter der Herrschaft des BGG zur Beschwerde ans Bundesgericht legitimiert (vgl. auch die Urteile 8C_223/2010 vom 5. Juli 2010 und 8C_829/2007 vom 5. August 2008 [zusammengefasst in FamPra.ch 2010 S. 143], wo das Bundesgericht ohne weiteres auf die Beschwerde des betroffenen Kantons eingetreten ist).
2.4 Wenn ein Kanton als Gemeinwesen gestützt auf <ref-law> als Rechtsmittelträger handeln will, obliegt seine prozessuale Vertretung in der Regel dem Regierungsrat als oberster Exekutivbehörde, welche den Kanton von Verfassungs wegen nach aussen vertritt (vgl. auch Art. 71 Abs. 1 lit. c der Verfassung des Kantons Zürich vom 27. Februar 2005 [KV/ZH; SR 131.211]). Will eine nachgeordnete Behörde namens des Kantons Beschwerde führen, hat sie ihre Vertretungsbefugnis explizit darzutun, sei es durch einen entsprechenden speziellen Ermächtigungsbeschluss der Kantonsregierung oder durch Angabe der sie zur Prozessführung namens des Kantons berechtigenden kantonalen Vorschriften (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 16; <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 48; vgl. auch Urteil 2C_805/2008 vom 3. Februar 2009 E. 2.2.1). Die Sicherheitsdirektion durfte aufgrund der bisherigen bundesgerichtlichen Praxis davon ausgehen, dass sie in Fragen der Sozialhilfe als zur prozessualen Vertretung des Kantons berechtigt angesehen wird (vgl. etwa das in FamPra.ch 2010 S. 143 zusammengefasste Urteil 8C_829/2007 vom 5. August 2008 und das Urteil 2A.771/2006 vom 17. April 2007).
2.5 Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde ist deshalb einzutreten (<ref-law>).
3. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
4. 4.1 Vorweg ist die gerügte Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) zu prüfen. Der Kanton Zürich macht geltend, das kantonale Gericht habe sich nicht mit seinen Ausführungen auseinandergesetzt, wonach in der Literatur und von der Kommission ZUG/Rechtsfragen die Auffassung vertreten werde, bei einer nachträglichen Schuldübernahme, über welche die Sozialhilfebehörde nach Ablauf der in <ref-law> statuierten zweijährigen Weiterverrechnungsperiode entscheide und für welche sie vorgängig keine Kostengutsprache geleistet habe, sei die Wohnsitzdauer im Zeitpunkt der Beschlussfassung über die Unterstützung massgebend.
4.2 Das rechtliche Gehör nach <ref-law> verlangt, dass die Behörde die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtslage betroffenen Person auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen).
4.3 Das kantonale Gericht hat in E. 2c des Entscheids die in der Literatur (THOMET, a.a.O., N. 299 zu <ref-law>) vertretene Meinung wiedergegeben und erwogen, die Mutter von M._sei bereits seit dem 1. November 2007 nicht in der Lage gewesen, die vereinbarten Pflegegelder zu bezahlen, so dass die Sozialhilfebehörde für diese Verpflichtung bereits in jenem Zeitpunkt hätte Gutsprache erteilen müssen. Dementsprechend sei der Heimatkanton für die von der Fürsorge übernommenen Schulden bis 31. August 2008 kostenersatzpflichtig. Ein Grund für das Abstellen auf den Zeitpunkt des Unterstützungsbeschlusses vom 26. November 2008 bestehe nicht. Diese Ausführungen genügen im Lichte der bundesgerichtlichen Rechtsprechung für eine nachvollziehbare Begründung.
4.4 Weiter erblickt der Beschwerdeführer eine Verletzung des rechtlichen Gehörs darin, dass das Obergericht die wirtschaftliche Situation der Mutter anhand der Budgetaufstellung im Unterstützungsbeschluss der Sozialhilfebehörde geprüft habe, ohne ihm die entsprechenden Unterlagen vorzulegen und ihm Gelegenheit zu geben, dazu Stellung zu nehmen.
Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, welcher in die Rechtsstellung einer Person eingreift. Dazu gehört insbesondere deren Recht, sich vor Erlass des Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 370 mit Hinweisen).
Dem Beschwerdeführer wurde die von der Sozialhilfebehörde an der Sitzung vom 26. November 2008 beschlossene Unterstützung mittels Formular "Unterstützungsanzeige gemäss Art. 31" vom 6. Februar 2009 unter Nennung der Gründe der Bedürftigkeit und der Art sowie des Masses der Unterstützung angezeigt. Daraus konnte er ohne weiteres die notwendigen Angaben entnehmen, die er zur Feststellung seiner Kostenersatzpflicht brauchte (vgl. <ref-law>). Die Bedürftigkeit war denn auch gar nicht streitig. Vielmehr stellt sich der Kanton Zürich auf den Standpunkt, diese sei für die Beurteilung der streitigen Frage der Kostenübernahme durch den Heimatkanton nicht massgebend. Entscheidend sei einzig der Zeitpunkt des Gesuchs um Ausrichtung wirtschaftlicher Hilfe und des Beschlusses der Schuldübernahme durch die Sozialhilfebehörde. Wenn der Beschwerdeführer nunmehr rügt, es sei ihm die Budgetaufstellung nicht vorgelegt worden, steht dies dazu im Widerspruch. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt jedenfalls nicht vor.
5. 5.1 Bedürftige werden von ihrem Wohnkanton unterstützt (Art. 115 erster Satz BV). Der Bund regelt die Ausnahmen und Zuständigkeiten (Art. 115 zweiter Satz BV). Dabei kann er insbesondere den Rückgriff auf einen früheren Wohnkanton oder den Heimatkanton regeln (so noch ausdrücklich Art. 48 Abs. 2 aBV).
5.2 Das ZUG präzisiert in dem durch die Verfassung gesetzten Rahmen, welcher Kanton für die Fürsorge zuständig ist, und es regelt den Ersatz von Unterstützungskosten unter den Kantonen (vgl. Art. 1 Abs. 1 und 2 ZUG). Bedürftig im Sinne des Bundesgesetzes ist, wer für seinen Lebensunterhalt nicht hinreichend oder nicht rechtzeitig aus eigenen Mitteln aufkommen kann (<ref-law>). <ref-law> unterstellt sodann die Beurteilung der Bedürftigkeit den am Unterstützungsort geltenden Vorschriften und Grundsätzen. <ref-law> definiert, was unter "Unterstützungen" zu verstehen ist, nämlich Geld- und Naturalleistungen eines Gemeinwesens, die nach kantonalem Recht an Bedürftige ausgerichtet und nach den Bedürfnissen bemessen werden. <ref-law> enthält einen Katalog von Leistungen, die nicht als Unterstützungen im Sinne des Gesetzes gelten.
Die Unterstützung eines Schweizer Bürgers obliegt dem Wohnkanton (<ref-law>). Wenn der Unterstützte noch nicht zwei Jahre lang ununterbrochen in einem andern Kanton Wohnsitz hat, so erstattet der Heimatkanton dem Wohnkanton die Kosten der Unterstützung, die dieser selber ausgerichtet oder einem Aufenthaltskanton nach Artikel 14 vergütet hat (<ref-law>).
Der Wohn- oder der Aufenthaltskanton, der vom Heimatkanton die Rückerstattung von Unterstützungsleistungen verlangt, zeigt diesem den Unterstützungsfall binnen 60 Tagen an. In begründeten Fällen läuft die Frist längstens ein Jahr. Für später gemeldete Unterstützungsfälle besteht keine Ersatzpflicht (<ref-law> in der seit 1. Juli 1992 in Kraft stehenden Fassung). Die Anzeigefrist beginnt, sobald die zuständige Fürsorgebehörde die Unterstützung beschliesst oder der Wohnkanton vom Aufenthaltskanton eine Anzeige nach Artikel 30 erhalten hat (<ref-law>). Die Unterstützungsanzeige muss die Angaben enthalten, die für den Heimatkanton zur Feststellung seiner Kostenersatzpflicht nötig sind (<ref-law>).
6. 6.1 Nach den insoweit unbestrittenen Feststellungen des angefochtenen Entscheids zog M._ am 1. September 2006 von A._ nach B._, wo sie einen Unterstützungswohnsitz begründete. Auf den 1. November 2007 wurde sie dauerhaft in einer Pflegefamilie untergebracht. Gemäss dem am 19. August 2008 abgeschlossenen Pflegevertrag hätte ihre Mutter den Pflegeeltern monatlich Fr. 1'335.- bezahlen müssen. Da sie diesen jeweils lediglich den vom Vater von M._ erhaltenen Unterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 540.- überwiesen hatte und sich aus finanziellen Gründen nicht in der Lage sah, für den Restbetrag aufzukommen, beantragte die Mutter am 17. November 2008 - und somit nach Ablauf der am 31. August 2008 endenden Zweijahresfrist für die Verrechnung an den Heimatkanton gemäss <ref-law> - bei der Gemeinde B._ Sozialhilfe. Die Sozialhilfebehörde beschloss am 26. November 2008 unter anderem, für die seit 1. November 2007 noch ausstehenden Kosten der Fremdbetreuung aufzukommen.
6.2 Das Sozialamt und das kantonale Gericht gehen davon aus, für die Kostenersatzpflicht des Heimatkantons komme es nicht auf den Zeitpunkt des Unterstützungsbeschlusses an, sondern auf die Bedürftigkeit während der Wohndauer. Dies gelte auch dann, wenn erst nach Ablauf der Zweijahresfrist gemäss <ref-law> ein Gesuch um Übernahme aufgelaufener Schulden gestellt und bewilligt werde. Da die Bedürftigkeit der Mutter von M._ seit 1. November 2007 ausgewiesen sei, müssten die ungedeckt gebliebenen, von der Fürsorge nachträglich übernommenen Pflegegelder bis Ende August 2008 vom Kanton Zürich ersetzt werden. Bei der Anzeigefrist von 60 Tagen gemäss <ref-law> handle es sich um eine Ordnungsvorschrift, weshalb der Kostenersatzanspruch des Wohnkantons nicht verwirkt sei.
6.3 Der Kanton Zürich stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, mit der Ausdehnung der Kostenersatzpflicht des Heimatkantons auf erst nach Ablauf der zweijährigen Weiterverrechnungsfrist entstandene Sozialhilfeleistungen verletze der vorinstanzliche Entscheid Bundesrecht. Durch die Verwendung des Begriffs "Unterstützter" in <ref-law> habe der Gesetzgeber nämlich klar zum Ausdruck gebracht, dass nur innerhalb der Zweijahresfrist ausgerichtete Sozialhilfeleistungen der Erstattungspflicht des Heimatkantons unterliegen würden. Obwohl im Kanton Schaffhausen gestützt auf Art. 27 Abs. 2 des Gesetzes vom 21. November 1994 über die öffentliche Sozialhilfe (Sozialhilfegesetz; SHR 850.100) ausnahmsweise Schulden berücksichtigt werden könnten, wenn dadurch eine bestehende oder drohende Notlage behoben und grössere Kosten vermieden würden, werde Sozialhilfe nur für die Gegenwart und, solange die Notlage anhalte, für die Zukunft ausgerichtet, nicht jedoch für die Vergangenheit. Ob während der zweijährigen Wohnsitzdauer Bedürftigkeit bestanden habe, sei daher unerheblich. Anders zu entscheiden sei nur in jenen Fällen, in denen die Sozialhilfebehörde innerhalb der ersten beiden Jahre der Wohnsitznahme bereits Kostengutsprache erteilt habe oder in denen ein Sozialhilfegesuch innerhalb dieser Frist gestellt und gestützt darauf Sozialhilfeleistungen ausbezahlt worden seien, die Beschlussfassung über die Unterstützung indessen erst später erfolgt sei. Zudem vertritt der Beschwerdeführer - wie bereits in den vorinstanzlichen Verfahren - die Auffassung, nachdem die Unterstützungsanzeige unbestrittenermassen erst nach Ablauf der 60-tägigen Frist von <ref-law> erfolgt sei, ohne dass dafür ein Grund genannt worden wäre, falle ein Kostenersatz auch aus diesem Grund ausser Betracht.
7. 7.1 Art und Umfang der Sozialhilfe richten sich gemäss <ref-law> nach den kantonalrechtlichen Vorschriften. Weil die Sozialhilfe die Aufgabe hat, den gegenwärtigen Bedarf zu decken, kann sie - Ausnahmen vorbehalten - grundsätzlich nicht für Schulden aus der Vergangenheit aufkommen (FELIX WOLFFERS, Grundriss des Sozialhilferechts, 2. Aufl. 1999, S. 152). Davon geht auch Art. 27 des kantonalen Sozialhilfegesetzes aus. Schulden können bei Vorliegen besonderer Umstände im Einzelfall ausnahmsweise berücksichtigt werden, um eine bestehende oder drohende Notlage zu beheben oder grössere Kosten zu vermeiden (Art. 27 Abs. 2 und 3 des kantonalen Sozialhilfegesetzes). Dies steht auch im Einklang mit Art. 2 und 3 ZUG, sofern sich die Unterstützung einer Person in Form von Übernahme und Bezahlung von Schulden als notwendig erweist, um den Lebensunterhalt des Schuldners zu sichern (THOMET, a.a.O., N. 76 zu <ref-law>). Pflegegelder fallen zudem nicht unter den Ausnahmenkatalog von <ref-law>. Etwas anderes ergibt sich auch nicht aus <ref-law>. Wenn in dieser Bestimmung die "Kosten der Unterstützung" als vergütungspflichtig bezeichnet werden, wird auf <ref-law> Bezug genommen, welcher als "Unterstützungsleistungen" im Sinne des Gesetzes Geld- und Naturalleistungen definiert, die nach kantonalem Recht an Bedürftige ausgerichtet und nach den Bedürfnissen bemessen werden.
7.2 Ändert eine bedürftige Person den Wohnkanton, wechselt zwar die Zuständigkeit des Gemeinwesens, das die Hilfe leistet, indessen gemäss <ref-law> während den ersten zwei Jahren der Wohnsitzdauer nicht desjenigen, das die Kosten dafür ersetzt. Von einer Aufhebung der Ersatzpflicht des Heimatkantons hat der Gesetzgeber, trotz Kritik einiger Kantone, im Rahmen der Revision des ZUG ausdrücklich abgesehen. Damit sollte nicht zuletzt der überdurchschnittlichen Fluktuation potentieller Fürsorgeklienten innerhalb der ersten beiden Jahre Rechnung getragen werden (vgl. Botschaft vom 22. November 1989 zur Änderung des Bundesgesetzes über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [BBl 1990 I 49 Ziff. 222.22]).
7.3 Das kantonale Gericht hat die Auffassung verworfen, wonach sich die Kostenersatzpflicht des Heimatkantons bei nachträglicher Übernahme von Schulden einer bedürftigen Person ohne vorherige Gesuchstellung oder Gutsprache mit Blick auf die Schwierigkeit, welche eine nachträgliche Feststellung des Zeitpunktes der Bedürftigkeit mit sich bringen dürfte (THOMET, a.a.O., N. 299 zu <ref-law>), in jedem Fall nach der Wohnsitzdauer im Zeitpunkt des Unterstützungsbeschlusses zu richten habe. Die Kommission ZUG/Rechtsfragen der SKOS hielt dem im Bericht vom April 2004 entgegen, gerade in grösseren Gemeinden ergehe der Unterstützungsentscheid häufig nach Einsetzen der Hilfe, weshalb die Bedürftigkeit erst rückwirkend festgestellt werden könne. Massgebend sei daher der Zeitraum der Bedürftigkeit.
Indem das Obergericht entscheidend darauf abstellte, dass die Sozialhilfebehörde aufgrund der ausgewiesenen Bedürftigkeit bereits ab 1. November 2007 für die Pflegegelder hätte Kostengutsprache leisten müssen, widerspricht dies weder dem Wortlaut noch Sinn und Zweck von <ref-law>. Der angefochtene Entscheid erweist sich daher in diesem Punkt als bundesrechtskonform.
8. 8.1 Nach Art. 31 Abs. 1 und 2 ZUG beträgt die Anzeigefrist 60 Tage und in begründeten Fällen längstens ein Jahr seit dem Unterstützungsbeschluss der zuständigen Fürsorgebehörde. Gemäss Wortlaut von <ref-law> ist die Unterstützungsanzeige rechtzeitig erfolgt, wenn sie innert 60 Tagen ergeht. Nach Ablauf eines Jahres ist der Anspruch in jedem Fall verwirkt. Dies ergibt sich unzweifelhaft aus <ref-law>, wonach für später gemeldete Unterstützungsfälle keine Ersatzpflicht besteht. Für den dazwischen liegenden Zeitraum gilt, dass die Unterstützungsanzeige dann rechtzeitig ist, wenn die Verspätung begründet ist. Daraus könnte geschlossen werden, dass die Nichtbeachtung der 60-tägigen Frist die Verwirkung der Ersatzansprüche zur Folge hat, sofern der anzeigestellende Kanton das Versäumnis der Frist nicht in geeigneter Weise begründet. Dies entspricht indessen nicht der Absicht des Gesetzgebers.
8.2 Laut Botschaft vom 17. November 1976 zu einem Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (BBl 1976 III 1193 Ziff. 262) handelt es sich bei der 60-tägigen Anzeigefrist um eine Ordnungs- und nicht um eine Verwirkungsfrist. In der bereits erwähnten Botschaft vom 22. November 1989 (BBl 1990 I 49 Ziff. 251.2) wird ausgeführt, die Frist stosse in der Praxis seit Jahren auf Kritik, da ihre Nichteinhaltung Verwirkungsfolgen nach sich ziehe. Aufgrund einer entsprechenden Empfehlung der Schweizerischen Konferenz für öffentliche Fürsorge (SKöF) werde sie jedoch von den Kantonen als Ordnungsfrist betrachtet. Diese Diskrepanz wollte der Gesetzgeber bei der Revision des ZUG beheben und die umstrittene und offenbar praxisfremde Verwirkungsfrist in eine Ordnungsfrist umwandeln. Da die mangelnde Verbindlichkeit Nachlässigkeiten fördern und eine vernünftige Budgetplanung auf Seiten der ersatzpflichtigen Gemeinwesen verhindern könnte, schlug der Bundesrat schliesslich vor, eine endgültige Frist von einem Jahr festzulegen. Der Ständerat führte zur Klarstellung alsdann den Nachsatz ein, dass für später als ein Jahr gemeldete Unterstützungsfälle keine Ersatzpflicht mehr bestehe (AB 1990 S 496).
8.3 Auch in der Literatur wird die 60-tägige Frist unter Hinweis auf die Materialien als Ordnungsfrist bezeichnet (THOMET, a.a.O., N. 288 zu <ref-law>; vgl. zudem KARIN ANDERER, Das Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [ZUG], in: Das Schweizerische Sozialhilferecht, 2008, S. 236).
8.4 Im Gegensatz zur Einjahresfrist hat der Gesetzgeber somit ausdrücklich davon abgesehen, die 60-tägige Frist mit einer Sanktion zu verbinden. Diese ist daher als Ordnungsfrist mit Appellfunktion zu verstehen, deren Nichtbeachtung keine direkten Rechtsfolgen nach sich zieht. Die Nachlässigkeit der zuständigen Fürsorgebehörde hat demnach erst nach Ablauf eines Jahres die Verwirkung des Ersatzanspruchs zur Folge. Selbst wenn die Behörde die Verspätung nicht näher begründet, gereicht ihr dies folglich nicht zum Nachteil, sofern sie innerhalb eines Jahres handelt. Indem das kantonale Gericht die Unterstützungsanzeige als rechtzeitig betrachtet hat, obwohl sie erst am 30. März 2009 und somit nach Ablauf von 60 Tagen seit der Beschlussfassung vom 26. November 2008 ergangen ist, hat sie nach dem Gesagten kein Bundesrecht verletzt.
9. Die Beschwerde ist demnach abzuweisen. Der unterliegende Kanton Zürich hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>), da es um sein Vermögensinteresse geht und er sich folglich nicht auf <ref-law> berufen kann (in FamPra.ch 2010 S. 143 zusammengefasstes Urteil 8C_829/2007 vom 5. August 2008 E. 5 mit Hinweisen). Der Kanton Schaffhausen hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da er in seinem amtlichen Wirkungskreis tätig war (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen, der Gemeinde B._ und M._ schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. September 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer