Faits :
A.
A.a. A.X._, de nationalité suisse, est propriétaire, avec son épouse B.X._, d'une maison à C._ (FR). En 1995, il a retiré ses papiers de la commune fribourgeoise. La même année, l'intéressé a été engagé par l'Université de Fribourg, une personne morale de droit public (cf. <ref-law>), en qualité de Professeur en séjour de recherche à plein temps auprès de l'Institut interdisciplinaire d'éthique et des droits de l'homme. Dans le cadre de cet engagement, A.X._ est le Directeur du Département-Chaire UNESCO de l'Université roumaine de D._.
A.b. Par arrêt du 8 mai 2009, la Cour fiscale du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal) a admis le recours formé par l'Administration fédérale des contributions contre la décision du Service cantonal des contributions de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Service cantonal) de n'assujettir les époux X._ que sur les revenus de leur fortune immobilière pour les périodes fiscales 2004 à 2006. L'autorité cantonale a retenu que le contribuable n'avait pas démontré avoir constitué un nouveau domicile en Roumanie. Cet arrêt n'a pas fait l'objet d'un recours.
Par décision sur réclamation du 19 février 2010 concernant la période fiscale 2007, le Service cantonal a rejeté la réclamation formée par les époux X._ afin d'être imposés conformément à l'art. 3 al. 5 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'impôt fédéral direct (LIFD; RS 642.11). Le Service cantonal a fait de même pour la période fiscale 2008 par décision sur réclamation du 24 mars 2010. Les deux décisions sont entrées en force.
Par arrêt du 4 mai 2012, le Tribunal cantonal a rejeté le recours formé par les époux contre la décision sur réclamation du 28 décembre 2010 portant sur la période fiscale 2009. L'autorité cantonale a retenu que A.X._ était assujetti à l'impôt en Suisse à raison du rattachement personnel lié à son domicile en Suisse et qu'il ne pouvait pas bénéficier de l'application de l'<ref-law>. Cet arrêt est aussi entré en force.
A.c. Pour la période fiscale 2010, objet de la présente procédure, B.X._ a rempli une déclaration d'impôt dans laquelle elle a mentionné les éléments de revenu et de fortune la concernant, sans donner d'indication sur le revenu et la fortune de son mari.
B.
Par avis de taxation du 19 janvier 2012 concernant la période fiscale 2010, le Service cantonal a imposé conjointement les époux X._ sur leurs revenus et fortune. Une taxation ordinaire a été notifiée aux époux le 21 juin 2012.
Le 6 septembre 2012, A.X._ a formé réclamation à l'encontre de l'avis de taxation du 21 juin 2012. Par décision du 11 septembre 2012, le Service cantonal a rejeté la réclamation déposée par l'intéressé. Se référant à ses décisions sur réclamation concernant les périodes fiscales 2007 et 2008, ainsi qu'à l'arrêt du 4 mai 2012 du Tribunal cantonal concernant la période fiscale 2009, il a relevé que le contribuable ne bénéficiait pas du statut fiscal privilégié de diplomate, qu'il avait le centre de ses intérêts à C._, que son employeur était l'Université de Fribourg et que la rémunération versée par celle-ci entraînait le droit d'imposer exclusif de la Suisse en application de la convention de double imposition conclue avec la Roumanie.
A.X._ a recouru contre cette décision sur réclamation. Par arrêt du 18 février 2014, le Tribunal cantonal a rejeté le recours interjeté par l'intéressé tant pour ce qui a trait à l'impôt cantonal qu'à l'impôt fédéral direct 2010.
C.
A.X._ et B.X._ ont saisi le Tribunal fédéral d'un "recours" à l'encontre de l'arrêt du 18 février 2014. Ils demandent la "révision" de la taxation prononcée à leur égard et la modification de l'arrêt entrepris, tenant compte des attestations fournies concernant le statut diplomatique de A.X._ en Roumanie. Ils concluent également à ce que le régime prévu par l'<ref-law> leur soit appliqué.
Contestant les faits allégués par les recourants qui ne correspondent pas aux faits constatés dans l'arrêt attaqué, le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours formé par A.X._ et à l'irrecevabilité du recours de B.X._. Le Service cantonal et l'Administration fédérale des contributions proposent le rejet du recours. A.X._ a déposé des observations complémentaires les 17 et 18 août 2014.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal cantonal a rendu un seul arrêt valant pour les impôts cantonal et communal, d'une part, et pour l'impôt fédéral direct, d'autre part, ce qui est admissible (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 262 s.). Dans ces circonstances, on ne peut reprocher aux recourants d'avoir pris des conclusions valant pour les deux catégories d'impôts dans leur recours au Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.3 p. 264; arrêt 2C_476/2014 du 21 novembre 2014 consid. 1). Par souci d'unification par rapport à d'autres cantons dans lesquels deux décisions sont rendues, la Cour de céans a ouvert deux dossiers, l'un concernant l'IFD (2C_336/2014), l'autre l'ICC (2C_335/2014). Comme l'état de fait est identique et que les questions juridiques se recoupent en partie, les deux causes seront néanmoins jointes et il sera statué dans un seul arrêt (cf. <ref-law> et 24 PCF [RS 273]).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2 p. 60).
2.2. Les recourants ont simplement déclaré former un "recours" auprès du Tribunal fédéral. Cette désignation imprécise ne saurait leur nuire à condition que le recours remplisse les exigences légales de la voie de droit qui leur est ouverte (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 370; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 491; arrêt 2C_1014/2013 du 22 août 2014 consid. 2.1).
L'arrêt attaqué concerne l'assujettissement de A.X._ à l'impôt en Suisse pour la période fiscale 2010. Comme ce domaine relève du droit public et qu'aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'est réalisée, la voie du recours en matière de droit public est ouverte sur la base des <ref-law>, 146 LIFD et 73 al. 1 de la loi du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes (LHID; RS 642.14) (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 189).
Pour le reste, déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Le recours est donc recevable en tant qu'il a été formé par A.X._, qui a pris part à la procédure devant l'instance précédente, est particulièrement atteint par la décision attaquée et a un intérêt digne de protection à sa modification (<ref-law>). En revanche, B.X._, qui n'a pas pris part à la procédure devant l'autorité précédente et ne prétend pas avoir été privée de la possibilité de le faire, comme l'exige l'<ref-law>, n'a pas qualité pour recourir. Le recours n'est dès lors pas recevable en ce qui la concerne.
3.
3.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus par l'<ref-law>. Il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 205) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). En outre, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
3.2. Dans la mesure où le recourant complète, de manière appellatoire, les constatations cantonales, sans tenir compte des éléments retenus dans la décision attaquée, son argumentation ne sera pas prise en considération. Comme le recourant ne prétend nullement que les constatations cantonales seraient manifestement incomplètes ou arbitraires, la Cour de céans examinera les griefs invoqués uniquement en fonction des faits ressortant de la décision entreprise. En particulier, la Cour de céans ne tiendra pas compte des allégués du recourant relatifs à la reconnaissance par le Finanzamt zurichois de son statut diplomatique, à l'attestation établie par le Service cantonal lors de la vente partielle de sa propriété et à son adhésion à l'AVS facultative pour les ressortissants suisses résidant à l'étranger. Par ailleurs, en tant qu'elles ne ressortiraient pas déjà du dossier constitué par les autorités précédentes, les pièces annexées au mémoire de recours constituent des moyens nouveaux irrecevables.
I. Impôt fédéral direct
4.
Les conventions internationales en matière de double imposition ne contiennent que des règles visant à limiter les pouvoirs d'imposition des Etats mais ne fondent pas l'imposition elle-même (<ref-ruling> consid. 3 in fine p. 366; arrêts 2C_750/2013 du 9 octobre 2014 consid. 2.2.2, in StR 69/2014 p. 875; 2C_604/2011 du 9 mai 2012 consid. 2, in StE 2012 A 32 n° 18; 2C_436/2011 du 13 décembre 2011 consid. 2.1, in StE 2012 B 82.1 n° 6). Par conséquent, il convient d'abord de s'assurer de l'existence d'un droit (interne) d'imposition, puis, le cas échéant, de vérifier que ce droit d'imposition n'est pas limité par une disposition conventionnelle visant à restreindre ou éliminer une éventuelle double imposition internationale (cf. Xavier Oberson, Précis de droit fiscal international, 4e éd. Berne 2014, p. 43 n. 120).
5.
La question de savoir si le recourant avait son domicile en Suisse pour la période fiscale 2010 doit être examinée à la lumière de l'<ref-law>.
5.1. En vertu de l'<ref-law>, les personnes physiques sont assujetties à l'impôt à raison du rattachement personnel lorsque, au regard du droit fiscal, elles sont domiciliées ou séjournent en Suisse. Par domicile fiscal, on entend en principe le domicile civil, c'est-à-dire le lieu où la personne réside avec l'intention de s'y établir durablement (<ref-law>), ou le lieu où se situe le centre de ses intérêts (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 305 s.; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 36; arrêt 2C_793/2013 du 7 mai 2014 consid. 4.2). Selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, ce lieu se détermine en fonction de l'ensemble des circonstances objectives, et non en fonction des déclarations du contribuable; dans cette mesure, il n'est pas possible de choisir librement un domicile fiscal (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 305 ss.; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 35 s.).
Le Tribunal fédéral a par ailleurs retenu que, en matière de droit fiscal international, il ne suffit pas, pour admettre la constitution d'un nouveau domicile, d'avoir coupé les liens avec le domicile antérieur; il faut au contraire s'être constitué un nouveau domicile fiscal. Ainsi, dans la règle, selon le principe de la rémanence du domicile fiscal, le contribuable qui abandonne son domicile suisse pour se rendre à l'étranger conserve son domicile fiscal au lieu de son ancien domicile tant qu'il ne s'en est pas constitué un nouveau au lieu de sa nouvelle installation. La notion du domicile fiscal reste ainsi très proche de celle du droit civil et l'<ref-law>, qui prévoit que toute personne conserve son domicile aussi longtemps qu'elle ne s'en est pas créé un nouveau, s'applique par analogie en matière de droit fiscal international (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 306; arrêts 2C_793/2013 du 7 mai 2014 consid. 4.3, in StE 2014 A 24.21 n° 29; 2C_1267/2012 du 1er juillet 2013 consid. 3.3, in StE 2013 B 11.1 n° 25; 2C_111/2012 du 25 juillet 2012 consid. 4.3).
En matière fiscale, il appartient à l'autorité d'établir les faits qui justifient l'assujettissement et qui augmentent la taxation, tandis que le contribuable doit prouver les faits qui diminuent la dette ou la suppriment. En ce qui concerne le domicile, cela implique qu'il appartient à l'autorité d'apporter les éléments de fait nécessaires propres à établir le domicile fiscal déterminant pour l'assujettissement (cf. arrêt 2C_793/2013 du 7 mai 2014 consid. 4.4, in StE 2014 A 24.21 n° 29). Quand des indices clairs et précis rendent vraisemblable l'état de fait établi par l'autorité, il revient alors au contribuable de réfuter, preuves à l'appui, les faits avancés par celle-ci. La procédure de taxation est ainsi caractérisée par la collaboration réciproque de l'autorité fiscale et du contribuable. Il ne s'agit pas seulement de démontrer la fin des liens avec le précédent domicile, mais également d'établir les circonstances de fait qui fondent le nouveau domicile (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 307; arrêt 2C_678/2013 du 28 avril 2014 consid. 2.5, in StR 69/2014 p. 714).
5.2. En l'espèce, le recourant soutient s'être constitué un nouveau domicile en Roumanie contrairement aux constatations de l'autorité fiscale fribourgeoise selon lesquelles il aurait toujours son domicile fiscal à C._ en Suisse où réside son épouse. Il lui incombait donc de démontrer ou du moins de rendre vraisemblable l'existence d'étroites relations avec la Roumanie.
Le recourant s'est principalement attaché à établir que sa fonction de directeur du département nécessitait un investissement personnel et financier important pour lequel il s'était consacré entièrement depuis 2001. L'intéressé a exposé que depuis qu'il occupait le poste de professeur auprès de l'Université de D._, le centre de ses intérêts se situait en Roumanie. L'intéressé perd cependant de vue qu'en droit fiscal international les intérêts professionnels ne peuvent être pris en compte dans la fixation du domicile fiscal que s'ils représentent une part prépondérante des intérêts globaux du contribuable (arrêts 2C_452/2012 et 2C_453/2012 du 7 novembre 2012 consid. 4.6, in StE 2013 A 32 n° 19; 2C_1267/2012 du 1er juillet 2013 consid. 4.1; 2C_472/2010 du 18 janvier 2011 consid. 2.3, in StE 2011 A 32 n° 17; Locher/Meier/von Siebenthal/Kolb, Doppelbesteuerungsabkommen Schweiz-Deutschland 1971 und 1978, B 4.2 n° 3). La jurisprudence développée par le Tribunal fédéral à l'égard des contribuables mariés en matière intercantonale n'est pas transposable au droit fiscal international (arrêts 2C_678/2013 du 28 avril 2014 consid. 2.4, in StR 69/2014 p. 714; 2C_452/2012 et 2C_453/2012 du 7 novembre 2012 consid. 4.6; Locher, Einführung in das internationale Steuerrecht der Schweiz, 3e éd. 2005, p. 228 ss.). En l'occurrence, l'arrêt attaqué retient que le recourant a conservé ses intérêts familiaux et économiques en Suisse. Selon les constatations cantonales, qui lient le Tribunal de céans, le recourant maintient un contact régulier avec son épouse, puisqu'il revient à C._ en moyenne chaque mois, sans compter la période des vacances académiques. Pour la première fois devant le Tribunal fédéral, le recourant indique qu'il passe régulièrement un mois en Corse en été avec son épouse. Outre qu'il s'agit d'un fait nouveau irrecevable (cf. supra consid. 3), cet élément démontre que le recourant vit toujours une relation étroite avec son épouse qui est restée en Suisse. Le recourant est par ailleurs propriétaire avec son épouse d'un bien immobilier à Fribourg. C'est également là que se situe le siège de son employeur qui le rémunère. Quant à son installation à l'étranger, il ressort de l'état de fait retenu par le Tribunal cantonal que l'Université de D._ ne met à disposition du recourant qu'un bureau et une chambre. Le recourant ne conteste pas ces éléments. Il ne prétend du reste pas avoir noué, hormis les relations professionnelles avec des personnes issues de son environnement de travail, des relations sociales ou amicales à l'étranger. Quant aux liens que le recourant et son épouse entretiendraient avec la Roumanie, en particulier la naissance de leur fils à D._ et son mariage avec une citoyenne roumaine, force est de constater que ces éléments s'écartent des faits constatés dans l'arrêt attaqué (cf. supra consid. 3). Ces relations, qui concernent le fils du recourant, ne changent du reste rien au fait que son épouse demeure en Suisse et que l'intéressé continue d'y séjourner régulièrement dans l'année, soit en moyenne chaque mois et durant les vacances académiques. Il s'ensuit que les intérêts professionnels du recourant ne sont pas à ce point importants qu'il conviendrait de leur donner un poids prépondérant dans la fixation du domicile fiscal par rapport aux liens qu'il a conservés avec la Suisse.
5.3. Le recourant soutient qu'il a apporté la preuve d'exemption d'impôts en Roumanie requise par l'autorité fiscale. Il se prévaut à cet égard d'un d'un protocole établi le 17 mai 2010 par le Ministre roumain des affaires étrangères. D'après l'intéressé, ce document suffit à démontrer l'existence d'un nouveau domicile fiscal en Roumanie. Cette conclusion procède d'une mauvaise lecture de la jurisprudence. Le Tribunal fédéral a certes précisé que l'existence d'un nouveau domicile ou d'un séjour à l'étranger pouvait être admise si l'intéressé parvenait à démontrer qu'il y payait des impôts ou s'il établissait qu'il en était dûment dispensé (cf. <ref-ruling> consid. 3.3 p. 306; arrêts 2C_793/2013 du 7 mai 2014 consid. 4.3, in StE 2014 A 24.21 n° 29; 2C_1267/2012 du 1er juillet 2013 consid. 3.3, in StE 2013 B 11.1 n° 25; 2C_111/2012 du 25 juillet 2012 consid. 4.3). Cette jurisprudence a cependant trait au domicile fictif de l'<ref-law>, selon lequel le contribuable qui abandonne son domicile suisse pour se rendre à étranger conserve son domicile en Suisse aussi longtemps qu'il n'en a pas créé un nouveau. A partir du moment où il existe un faisceau d'indices suffisant pour admettre que le centre des intérêts du contribuable se trouve en Suisse (ce qui est le cas en l'espèce, cf. supra consid. 5.2), il n'y a pas lieu de déterminer un domicile fictif, de sorte que la jurisprudence précitée ne trouve pas application. Le recourant se prévaut également de son statut d'"agent diplomatique accrédité par le Ministère roumain des affaires étrangères". L'intéressé fait valoir qu'il bénéfice à ce titre d'une exemption fiscale en Suisse. Or, comme l'a jugé à bon droit l'instance précédente, ce document ne permet pas à lui seul de conclure que le centre des intérêts du recourant se serait déplacé en Roumanie. Contrairement à ce que prétend l'intéressé, le simple fait d'obtenir une carte d'identité diplomatique par les autorités étrangères ne constitue pas une circonstance permettant d'établir un domicile fiscal dans le pays en question.
Dans ces conditions, l'instance précédente n'a pas violé le droit fédéral en considérant que le centre des intérêts du recourant demeurait en Suisse, dans le canton de Fribourg. Il s'ensuit que le recourant est assujetti à l'impôt en Suisse en vertu de l'<ref-law>.
6.
Le recourant invoque l'application de l'<ref-law> relatif à l'imposition des personnes physiques domiciliées à l'étranger.
6.1. Au préalable, il convient de préciser que, sous l'angle de l'impôt fédéral direct, le recourant n'a pas d'intérêt à invoquer l'<ref-law> dès lors que cette disposition prévoit un assujettissement illimité à l'impôt en Suisse à raison du rattachement personnel. En revanche, dans la mesure où cette disposition n'a pas d'équivalent dans la LHID (arrêts 2C_839/2009 du 1er avril 2010 consid. 2.2.1; 2A.521/2000 du 29 juillet 2001 consid. 4 b), l'application de l'<ref-law> entraînerait l'exonération du recourant de l'impôt cantonal et communal.
6.2. Selon l'<ref-law>, les personnes physiques domiciliées à l'étranger qui y sont exonérées totalement ou partiellement des impôts sur le revenu en raison de leur activité pour le compte de la Confédération ou d'autres corporations ou établissements de droit public suisses, sont assujetties à l'impôt dans leur commune d'origine à raison du rattachement personnel. L'assujettissement s'étend également au conjoint et aux enfants. Cette disposition est précisée dans l'ordonnance du 20 octobre 1993 sur l'imposition des personnes physiques domiciliées à l'étranger et exerçant une activité pour le compte de la Confédération ou d'autres corporations ou établissements de droit public suisses (RS 642.110.8). D'après l'art. 1 al. 1 de l'ordonnance, sont assujetties à l'impôt au sens de l'<ref-law>, les employés de la Confédération, des cantons, des communes et des autres corporations ou établissements de droit public suisses, pour autant qu'ils résident à l'étranger sans interruption pendant au moins 183 jours et qu'en raison de leur activité, ils y soient exonérés intégralement ou en partie des impôts sur le revenu en vertu de conventions internationales ou de l'usage.
6.3. En l'occurrence, l'<ref-law> suppose que le contribuable soit domicilié à l'étranger. Cette condition résulte tant de la lettre de cette disposition que de l'ordonnance qui la précise. En l'occurrence, il est établi que le domicile fiscal du recourant se trouve en Suisse (cf. supra consid. 5), de sorte que l'<ref-law> ne trouve pas application. Il n'est donc nul besoin d'examiner, comme le souhaite le recourant, si ce dernier est exonéré totalement ou partiellement des impôts sur le revenu en raison d'une activité pour le compte de la Confédération ou d'autres corporations ou établissements de droit public suisses.
7.
Il convient encore de vérifier si le recourant peut se fonder sur la Convention de Vienne du 18 avril 1961 sur les relations diplomatiques (Convention de Vienne; RS 0.191.01) pour bénéficier d'une exemption d'impôts.
7.1. D'après l'art. 34 de la Convention de Vienne, l'agent diplomatique est exempt de tous impôts et taxes, personnels ou réels, nationaux, régionaux ou communaux, sous réserve des exceptions prévues aux lettres a à f. L'expression "agent diplomatique" s'entend du chef de la mission ou d'un membre du personnel diplomatique de la mission (art. 1 let. e). Selon l'art. 7 de la Convention, les membres du personnel de la mission doivent être nommés par l'Etat accréditant.
7.2. En l'occurrence, il ressort de l'arrêt attaqué, non contesté sur ce point, que le recourant n'est pas inscrit dans la liste des diplomates établie par le Département fédéral des affaires étrangères. Il s'ensuit que le recourant n'a pas été nommé par la Suisse en qualité de membre du personnel diplomatique, de sorte qu'il ne peut prétendre à une exemption fiscale au sens de la Convention. Cette conclusion s'impose même dans l'hypothèse où l'Etat accréditant serait la Roumanie. Dans ce cas en effet, le recourant reste soumis aux impôts en Suisse en application de l'art. 38 de la Convention, selon lequel l'agent diplomatique qui a la nationalité de l'Etat accréditaire ou y a sa résidence permanente ne bénéficie de l'immunité de juridiction et de l'inviolabilité que pour les actes officiels accomplis dans l'exercice de ses fonctions. Les membres d'une représentation étrangère qui sont de nationalité suisse ne jouissent ainsi que d'immunités fonctionnelles. Ils ne bénéficient d'aucune exemption fiscale, et ceci quelles que soient leurs fonctions au sein de la représentation étrangère (voir le Message relatif à la loi fédérale sur les privilèges, les immunités et les facilités, ainsi que sur les aides financières accordés par la Suisse en tant qu'Etat hôte, du 13 septembre 2006, FF 2006 p. 7603 ss, 7632). Partant, que l'Etat accréditant soit la Suisse ou la Roumanie, le recourant ne peut prétendre à aucune exemption fiscale sur la base de la Convention de Vienne.
8.
Reste enfin à examiner si la détermination du domicile du recourant, respectivement son assujettissement illimité, en Suisse est conforme à la Convention du 25 octobre 1993 entre la Confédération suisse et la Roumanie en vue d'éviter les doubles impositions en matière d'impôts sur le revenu et sur la fortune (RS 0.672.966.31).
8.1. La Convention s'applique aux personnes qui sont des résidents d'un Etat contractant ou des deux Etats contractants (art. 1 de la Convention). S'agissant de la notion de résident, la Convention renvoie à la législation de l'Etat où la personne est assujettie, en raison notamment de son domicile ou de sa résidence (art. 4 par. 1 de la Convention). D'après l'art. 19 al. 1 de la Convention, les rémunérations, autres que les pensions, payées par un Etat contractant ou l'une de ses subdivisions politiques, collectivités locales ou unités administrative-territoriales à une personne physique, au titre de services rendus dans l'exercice de fonctions publiques à cet Etat ou à cette subdivision, collectivité ou unité ne sont imposables que dans cet Etat (let. a ). Toutefois, ces rémunérations ne sont imposables que dans l'autre Etat contractant si les services sont rendus dans cet Etat et si la personne physique est un résident de cet Etat qui: (i) possède la nationalité de cet Etat; ou (ii) n'est pas devenu un résident de cet Etat à seule fin de rendre les services (let. b).
8.2. En l'espèce, il est établi que le recourant avait sa résidence ainsi que son domicile en Suisse en vertu de l'<ref-law> (cf. supra consid. 5). A supposer que le recourant ait été également résident en Roumanie, il aurait de toute façon été assujetti à l'impôt en Suisse en application des critères de l'art. 19 al. 1 let. a de la Convention: il est rémunéré par une personne morale de droit public suisse pour exercer une fonction publique, de sorte qu'il doit être imposé en Suisse. Les exceptions prévues à l'art. 19 al. 1 let. b ne sont au demeurant pas réalisées en l'espèce.
Il s'ensuit qu'en jugeant que le recourant était assujetti à l'impôt en Suisse, l'instance précédente a correctement appliqué le droit fédéral y compris la convention de double imposition avec la Roumanie. Le recours est par conséquent rejeté en tant qu'il concerne l'impôt fédéral direct pour la période 2010.
II Impôt cantonal et communal
9.
9.1. L'<ref-law> règle l'assujettissement des personnes physiques dans un canton à raison du rattachement personnel, tel qu'il doit être repris par les législations cantonales. Il donne des définitions du domicile et du séjour dans le canton identiques à celle de l'<ref-law> (pour la Suisse). L'art. 3 al. 1 et 2 de la loi fribourgeoise du 6 juin 2000 sur les impôts cantonaux directs [LICD/FR; RSF 631.1] reprend les mêmes termes; il est donc conforme à l'<ref-law>.
9.2. Il s'ensuit que les considérations développées ci-dessus pour l'impôt fédéral direct relatives au domicile fiscal du recourant s'appliquent également aux impôts cantonal et communal (cf. arrêt 2C_627/2011 et 2C_653/2011 du 7 mars 2012 consid. 8.2). Partant, c'est à bon droit que l'autorité intimée a retenu que le domicile du recourant était maintenu dans le canton de Fribourg. Le recours est par conséquent rejeté en tant qu'il concerne l'impôt cantonal et communal pour la période 2010, dans la mesure où il est recevable.
10.
Compte tenu de ce qui précède, les frais judiciaires seront mis à la charge des recourants solidairement entre eux (art. 66 al. 1 et 5 LTF ). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 2C_335/2014 et 2C_336/2014 sont jointes.
2.
Dans la mesure où il est recevable, le recours est rejeté en tant qu'il concerne l'impôt fédéral direct.
3.
Dans la mesure où il est recevable, le recours est rejeté en tant qu'il concerne l'impôt cantonal et communal.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge des recourants solidairement entre eux.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux recourants, au Service cantonal des contributions et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour fiscale, ainsi qu'à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 19 janvier 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : McGregor