Faits:
A. Les parcelles nos 7660 à 7665 de la commune de D._ sont alignées et forment un lotissement d'habitations.
A et B X._, respectivement nés en 1936 et en 1939, sont copropriétaires de la parcelle n° 7662. Ils y vivent dans leur villa.
E._ est propriétaire de la parcelle n° 7664. Y est érigée une maison dans laquelle elle habite avec ses deux fils.
Les deux immeubles précités sont séparés par la parcelle n° 7663.
B. Les parcelles nos 7660 à 7665 sont grevées réciproquement d'une servitude d'interdiction de tous dépôts qui seraient dangereux, nuisibles ou simplement désagréables pour le voisinage, soit notamment par un aspect inesthétique, par le bruit ou par l'odeur.
C. Les parcelles nos 7663 à 7665 sont grevées au profit de la parcelle no 7662 appartenant aux époux X._ d'une servitude de passage dont l'assiette est le chemin d'accès aux parcelles. Cette servitude comprend l'interdiction du stationnement à titre permanent de tout véhicule et l'obligation pour chaque propriétaire d'entretenir la partie du chemin sur sa propriété, de manière à ce chacun puisse accéder normalement à sa villa.
Les époux X._ ont reproché à E._ une violation de cette servitude par le stationnement de véhicules qui empêchent le passage sur le chemin d'accès.
D. Dans son jardin, E._ a installé une volière d'une surface d'environ 1m sur 1m 20 adossée à un petit chalet en bois. Cette structure a abrité jusqu'à neuf oiseaux. En février 2005, elle était occupée par deux perruches des Indes et une perruche australienne.
Les époux X._ se sont plaints auprès de E._ des cris émis du matin au soir par ces volatiles.
E. Le 13 janvier 2004, ils ont ouvert action devant le Tribunal de première instance du canton de Genève contre E._ en concluant, sous la menace de la peine prévue à l'<ref-law>, à ce qu'il soit interdit à celle-ci toutes immissions excessives par le bruit des oiseaux abrités dans sa volière, à ce qu'il soit ordonné à l'intéressée de déplacer ces animaux hors de sa propriété et à ce qu'il soit interdit tout nouveau trouble de la servitude de passage grevant sa parcelle au profit de la leur, en particulier le stationnement de véhicules sur le chemin d'accès.
Par jugement du 24 mai 2007, le Tribunal de première instance a rejeté toutes les conclusions des demandeurs.
Le 16 novembre 2007, statuant sur appel des époux X._, la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance.
F. Les époux X._ exercent un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral en reprenant leurs conclusions de première instance.
G. Par ordonnance du 25 janvier 2008, le président de la cour de céans a attribué l'effet suspensif aux recours.

Considérant en droit:
1. Les litiges portant sur les rapports de voisinage (art. 679 et 684 CC) sont des contestations civiles de nature pécuniaire (ATF 52 II 292 consid. 1). Il en va de même de la contestation portant sur l'exercice de la servitude de passage en tant qu'il s'agit d'un droit appartenant au patrimoine d'une personne ou pour le moins étroitement lié à un rapport juridique de nature patrimoniale (cf. <ref-ruling> consid. 1a; arrêt 5C.29/2007 du 12 mars 2007 consid. 2.1). Conformément à l'<ref-law>, le recours en matière civile n'est recevable que si la valeur litigieuse s'élève au moins à 30'000 fr. En cas de recours contre une décision finale, cette valeur est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (<ref-law>); si les conclusions ne tendent pas au paiement d'une somme d'argent déterminée, le Tribunal fédéral fixe la valeur litigieuse selon son appréciation (<ref-law>). Cette disposition correspond à l'ancien art. 36 al. 2 OJ (Message du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale in : FF 2001 p. 3764, 3858). Cela signifie que le Tribunal fédéral va fixer la valeur en se fondant sur les éléments d'appréciation ressortant de la décision attaquée (<ref-law>) ou d'autres éléments ressortant du dossier, sans être lié par l'estimation du recourant ou un accord des parties (<ref-ruling> consid. 1c/ee p. 495), ni par une estimation manifestement erronée de l'autorité cantonale.
1.1 En l'espèce, étaient litigieuses devant la dernière instance cantonale les conclusions tendant à la suppression du trouble causé par le stationnement de véhicules sur le chemin d'accès ainsi que des immissions que constitueraient les cris des oiseaux. La cour cantonale a constaté que la valeur litigieuse est indéterminée. Les recourants affirment qu'elle atteint le montant de 30'000 fr.
La valeur litigieuse relative aux restrictions légales à la propriété foncière (<ref-law>) équivaut à la diminution de valeur que subit le fonds des recourants en raison des nuisances sonores, voire s'il est plus élevé, l'intérêt de l'intimée à conserver ses oiseaux dans son jardin (cf. ATF 45 II 402 consid. 1; POUDRET, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. I, n. 9.5 ad art. 36 OJ). Les indications des recourants, qui se contentent d'affirmer, sans que leurs allégations soient contrôlables, que le prix du m2 dans la campagne genevoise est facilement supérieur à 2'000 fr., que leur parcelle s'étend sur 512 m2 et que certains des oiseaux valent plus de 2'000 fr., ne fournissent aucun renseignement utile, en particulier sur la diminution de valeur subie par leurs fonds. Quant à la valeur relative à la violation de la servitude de passage, elle est également fonction de la valeur de l'extension contestée ou de l'intérêt à la suppression de l'atteinte (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1). A ce sujet, les recourants prétendent que si l'intimée devait louer une place de parc pour son véhicule, elle devrait s'acquitter d'un montant mensuel d'au moins 250 fr. Il s'agit à nouveau de pures affirmations, incontrôlables. Les faits de l'arrêt attaqué et les éléments du dossier ne contiennent pour le surplus pas d'informations relatives au préjudice subi par les demandeurs ou à l'intérêt de l'intimée. Les recourants n'ont en particulier pas jugé utile de faire administrer une expertise judiciaire, laquelle aurait permis d'estimer ces éléments. Il n'est donc pas possible de constater d'emblée et avec certitude que l'addition des divers chefs de conclusions formés par les recourants atteint 30'000 fr. (<ref-law>). Ainsi, faute de constatations ou d'éléments d'appréciation permettant au Tribunal fédéral de fixer la valeur litigieuse, le recours en matière civile est irrecevable au regard de l'<ref-law>.
2. Reste à examiner si la contestation soulève une question juridique de principe, auquel cas le recours serait recevable (<ref-law>). Les recourants qui se prévalent de cette exception doivent exposer en quoi leur cause en remplit les conditions (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2.2.1). Ils affirment en l'occurrence que le Tribunal fédéral n'a jamais précisé à quelle sensibilité (âge, sensibilité particulière et profil sociologique) il fallait se référer pour apprécier l'existence d'immissions excessives au sens de l'<ref-law>. Ils y voient une question juridique de principe.
2.1 La notion de question juridique de principe doit être interprétée de manière restrictive. En particulier, lorsque le point soulevé ne concerne que l'application des principes jurisprudentiels à un cas d'espèce, il ne peut être qualifié de question juridique de principe (<ref-ruling> consid. 1.2).
2.2 Pour juger de l'existence d'immissions excessives au sens de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral a jugé qu'il faut procéder à une pesée des intérêts en présence en prenant comme référence la sensibilité d'un homme ordinaire dans la même situation (<ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 2.1). C'est dire qu'une jurisprudence bien établie résout la question soulevée par les recourants qui n'indiquent nullement en quoi il se justifierait de s'écarter de ces principes (cf. FF 2001 p. 4108; BEAT RUDIN, in : Commentaire bâlois, Bundesgerichtsgesetz, 2008, n. 43 ad <ref-law>). On ne saurait donc voir en l'espèce une question juridique de principe au sens de l'<ref-law>.
3. Dès lors que le recours en matière civile est irrecevable et que l'on ne se trouve pas dans l'un des cas d'exception prévus par l'<ref-law>, il s'agit d'examiner la recevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 3.1).
Celui-ci ne peut être exercé que pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Le Tribunal fédéral ne se saisit que des griefs soulevés et motivés de façon détaillée par la partie recourante (<ref-law> en liaison avec l'<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2). Il statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>) et ne peut rectifier ou compléter les constatations de cette autorité que si les faits ont été établis en violation des droits constitutionnels, pour autant que la partie recourante mette en évidence, de façon également détaillée, les constatations prétendument viciées (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2; voir aussi <ref-ruling> consid. 7.1).
4. Les recourants dénoncent une violation de leur droit d'être entendus sous son aspect du droit à une décision motivée (art. 29 al. 2 Cst.). Ils prétendent avoir affirmé dans leur mémoire d'appel que la présence des volatiles et partant, leurs cris, constituent non seulement une immission excessive au sens de l'<ref-law> mais violent également la servitude d'interdiction de dépôts qui seraient désagréables pour le voisinage, notamment par le bruit (let. B supra); l'autorité précédente n'aurait pas répondu à ce grief et aurait ainsi commis un déni de justice formel.
4.1 La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu celui d'obtenir une décision motivée. Il suffit cependant que l'autorité mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2b). L'autorité n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais elle peut au contraire se limiter à ceux qui lui paraissent pertinents (<ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 2b). Savoir si la motivation présentée est convaincante est une question distincte de celle du droit à une décision motivée. Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision des juges, le droit à une décision motivée est respecté, même si la motivation présentée est erronée (arrêt 4A_25/2007 du 25 mai 2007, consid. 3.3).
4.2 L'autorité précédente a en effet uniquement examiné si les cris des volatiles constituaient une immission excessive au sens de l'<ref-law>, mais elle ne s'est pas prononcée sur le grief des recourants tiré d'une violation de la servitude en raison de ces nuisances. Or, il est possible de prévoir, par contrat, des mesures de protection contre le bruit plus sévères que celles prévues par la loi. Ainsi, dans les relations de voisinage, les parties peuvent exclure par le biais d'une servitude, des bruits qui, en vertu de l'<ref-law>, devraient être tolérés (<ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 6.2 non publié). Il incombait dès lors à l'autorité précédente d'examiner si, en l'espèce, le but visé par la servitude était identique à l'interdiction d'immissions excessives au sens de l'<ref-law>. En s'abstenant de le faire, l'autorité cantonale a failli à son devoir minimum de traiter un problème qui n'apparaissait pas d'emblée dénué de pertinence. Le recours doit par conséquent être admis sur ce point.
5. Les recourants s'en prennent à diverses constatations de faits au motif qu'elles procèdent d'une appréciation arbitraire des preuves et d'une application arbitraire du droit cantonal.
5.1 La jurisprudence reconnaît au juge un large pouvoir d'appréciation dans la constatation des faits et leur appréciation, lequel trouve toutefois sa limite dans l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 2a). Le Tribunal fédéral n'intervient en conséquence, pour violation de l'art. 9 Cst., que si le juge a abusé de ce pouvoir, en particulier lorsqu'il a admis ou nié un fait pertinent en se mettant en contradiction évidente avec les pièces et éléments du dossier, lorsqu'il a méconnu des preuves pertinentes ou qu'il n'en a arbitrairement pas tenu compte, lorsque les constatations de fait sont manifestement fausses ou encore lorsque l'appréciation des preuves se révèle insoutenable ou qu'elle heurte de façon grossière le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 4, 173 consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2).
5.2 Les recourants reprochent à la cour cantonale d'avoir constaté que les mesures effectuées dans l'expertise privée avaient été faites en décibels et non en dB(A) qui sont utilisées pour tenir compte de la sensibilité de l'oreille par rapport aux fréquences mesurées.
Dans leur argumentation, les recourants donnent force détails techniques pour expliquer la nature et l'utilisation des dB(A). Ils méconnaissent toutefois qu'il leur appartient de démontrer dans quelle mesure la constatation arbitraire qu'ils dénoncent est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). En l'occurrence, cela impliquait d'expliquer en quoi le fait « que les niveaux sonores progressent selon une logique logarithmique » et la prise en compte des dB(A) au lieu des décibels étaient importants pour l'issue du litige. Faute de l'avoir fait, leur grief, irrecevable, ne sera pas examiné plus avant.
5.3 Selon les recourants, l'autorité cantonale aurait dû tenir compte, dans l'examen de l'existence d'immissions excessives, de la directive du Cercle bruit du 10 mars 1999, laquelle prévoirait que les bruits d'animaux doivent être évités 24h sur 24h.
Ce grief, dont la recevabilité est sujette à caution dans la mesure où les recourants n'indiquent pas la disposition précise qu'ils invoquent, doit être rejeté. La directive en question est intitulée « Détermination et évaluation des nuisances sonores liées à l'exploitation des établissements publics ». Outre qu'on ne voit pas en quoi elle serait déterminante pour établir un usage dans une zone résidentielle de villas, il n'apparaît pas, à la lecture de son texte, qu'elle traite des bruits d'animaux. Le grief doit ainsi être rejeté dans la très faible mesure de sa recevabilité.
5.4 Les recourants voient une application arbitraire de l'art. 255 de la loi de procédure civile du 10 avril 1987 du canton de Genève (ci-après LPC/GE; RSG E 3 05) dans le refus de n'avoir pas retenu tous les faits ressortant du rapport d'expertise privée qu'ils ont versé au dossier. Selon eux, dès lors que les juges précédents ont pris en considération les valeurs d'exposition prévues par les annexes de l'Ordonnance fédérale sur la protection contre le bruit du 15 décembre 1986 (OPB; RS 814.41) pour juger de l'existence d'immissions excessives, ils devaient tenir compte également des mesures obtenues à la suite d'évaluations et de pondérations, soit les mesures Lr fixées dans l'OPB. L'autorité précédente aurait en particulier dû constater que les cris des oiseaux dépassent de 15 à 25 dB(A) le bruit de fond, que les nuisances sonores générées sont très perceptibles étant donné le calme de la zone, que le niveau d'évaluation des cris varie entre Lr = 57 et 67 dB(A) et que ce niveau d'évaluation atteint et dépasse la valeur limite d'immission (VLI) pour le bruit industriel, artisanal et agricole dans cette zone, soit VLI = 60 dB(A).
5.4.1 L'autorité cantonale a rappelé que, dans le canton de Genève, les expertises privées, dans le cadre de procédure ordinaire, n'ont valeur que d'allégations si elles sont contestées par la partie adverse. Elle a relevé qu'en l'espèce, l'intimée ne contestait pas l'expérience en matière d'acoustique de l'entreprise qui avait établi, à la demande des recourants, le rapport d'expertise. Elle a donc retenu, en tant que constatations de faits de nature technique, les mesures du niveau sonore du bruit des oiseaux (bruit maximum des cris isolés du bruit de fond variant entre 55 et 65 décibels, niveau sonore moyens des cris lors des crises d'une dizaine de minutes s'élevant à 53 décibels). En revanche, elle a écarté les évaluations, appréciations et conclusions résultant du rapport. Elle n'a ainsi pas retenu le niveau d'évaluation du bruit lorsqu'il résultait du calcul et de l'évaluation de divers paramètres à caractère pénalisant, les appréciations sur la gêne provoquée par les cris, les caractéristiques de ces bruits et le niveau à partir duquel ils deviennent désagréables pour l'oreille.
5.4.2 Les recourants ne démontrent nullement l'arbitraire de ce raisonnement. La cour cantonale n'a pas écarté les faits parce qu'ils n'auraient pas été pertinents - comme semblent le croire les recourants lorsqu'ils expliquent longuement l'utilité de constater les mesures Lr - , mais parce que l'expertise privée n'était pas propre à les établir. A les suivre, il suffirait que des faits ressortent d'une expertise privée pour qu'on doive les considérer comme établis. Or, à l'instar de nombreuses lois cantonales, la loi de procédure civile genevoise ne reconnaît pas de force probante particulière aux expertises privées. Celles-ci doivent être considérées comme de simples allégations d'une partie (arrêts non publiés 4A_193/2008 du 8 juillet 2008 consid. 4.1; 4A_58/2008 du 28 avril 2008, consid. 5.3; 4P.169/2003 du 30 octobre 2003, consid. 2.1.4; Bertossa/Gaillard/ Guyet/Schmidt, Commentaire de la loi de procédure civile genevoise, tome II, n. 2 ad art. 255; Fabienne Hohl, Procédure civile, tome I, n. 1052 p. 198; Vogel/Spühler, Grundriss des Zivilprozessrechts, 8e éd. 2006, chap. 10, n. 152, p. 284 s.; cf. aussi <ref-ruling> consid. 3.4). C'est dire qu'en l'espèce, dès lors que l'intimée a toujours contesté l'existence d'immissions excessives et que les conclusions de l'expertise sur le caractère gênant des nuisances sonores étaient contredits par les témoignages des habitants du lotissement, il n'y avait pas d'arbitraire à ne pas retenir les données du rapport qui s'écartaient de simples constatations techniques.
Les recourants soutiennent encore que la Cour de justice a appliqué de manière arbitraire l'<ref-law>/GE en n'ordonnant pas l'administration d'une expertise judiciaire afin d'établir ces faits. Cette simple affirmation est impropre à démontrer que l'autorité précédente a non seulement appliqué la disposition en question de manière erronée - ce qui est insuffisant pour l'admission du moyen - mais, qui plus est, de manière insoutenable.
6. Les recourants dénoncent une application arbitraire des art. 679 et 684 CC. Ils prétendent que les nuisances sonores générées par la présence des oiseaux appartenant à leur voisine causent des immissions excessives.
6.1 Selon l'<ref-law>, le propriétaire est tenu, dans l'exercice de son droit, de s'abstenir de tout excès au détriment de la propriété du voisin (al. 1); sont interdits en particulier les émissions de fumée ou de suie, les émanations incommodantes, les bruits, les trépidations qui ont un effet dommageable et qui excèdent les limites de la tolérance que se doivent les voisins eu égard à l'usage local, à la situation et à la nature des immeubles (al. 2). Le propriétaire victime de telles immissions peut agir en cessation ou prévention du trouble ainsi qu'en réparation du dommage (<ref-law>).
Selon la jurisprudence, dans la délimitation entre les immissions licites et celles qui sont illicites parce qu'excessives, le facteur déterminant est l'intensité de l'effet dommageable, qui doit être appréciée d'après des critères objectifs. Le juge doit procéder à une pesée objective et concrète des intérêts en présence, en prenant comme référence la sensibilité d'un homme ordinaire se trouvant dans la même situation (<ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 2.1).
Pour déterminer si les immissions constatées sont excessives et partant illicites eu égard à la situation des immeubles au sens de l'<ref-law>, de même que pour ordonner les mesures qui lui paraissent appropriées, le juge dispose d'un certain pouvoir d'appréciation dans l'application des règles du droit et de l'équité. En pareil cas, le Tribunal fédéral fait preuve de retenue et n'intervient que si le juge a abusé de son pouvoir d'appréciation, en se référant à des critères dénués de pertinence ou en ne tenant pas compte d'éléments essentiels, ou lorsque la décision, dans son résultat, est manifestement inéquitable ou heurte de manière choquante le sentiment de justice (<ref-ruling> consid. 4a et les références citées).
6.2 Pour déterminer si les bruits des oiseaux pouvaient être qualifiés d'immissions excessives, l'autorité précédente s'est référée aux valeurs d'exposition pour les immissions sonores prévues par les annexes 3 à 7 de l'OPB. Elle a relevé que les cris isolés n'avaient dépassé que de cinq décibels, de temps en temps, la valeur limite d'exposition diurne qui est de 60 décibels pour les zones d'habitation (degré de sensibilité II). Quant au niveau sonore des chants enregistrés durant les crises matinales d'une dizaine de minutes, elle a constaté que celui-ci ne dépassait pas la valeur limite. Elle en a conclu que le dépassement ponctuel et dans une faible mesure de la valeur limite d'exposition ne constituait pas une immission excessive. Cette appréciation était corroborée par l'audition de l'enregistrement produit par les recourants et les déclarations des voisins dont aucun ne se trouve incommodé par la présence des oiseaux. La cour cantonale a jugé que ces témoignages avaient plus de force probante que les déclarations des amis des recourants qui avaient fait état de nuisances sonores mais dont la présence sur les lieux n'était que ponctuelle.
6.3 Dans la mesure où les recourants se fondent sur des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué et dont ils ont vainement soutenu qu'ils avaient été établis en violation de leurs droits constitutionnels, leur critique est irrecevable (recours, n° 119-125, 131).
Par ailleurs, il ne suffit pas d'invoquer l'arbitraire et de renvoyer à l'argumentation développée dans le recours en matière civile pour répondre aux exigences de motivation accrue énoncées à l'<ref-law>. Les recourants formulent en effet des critiques largement appellatoires. Ainsi, affirmer que leur intérêt prime sur celui de leur voisine (recours, n° 132) ou que les nuisances sonores ont dépassé les valeurs limites de l'OPB (recours, n° 129) ne démontre pas l'arbitraire de la solution retenue. A cet égard, il faut observer que si les normes de droit public peuvent jouer un rôle lorsqu'il s'agit de déterminer les limites de la tolérance que se doivent les voisins eu égard à l'usage local, à la situation et à la nature des immeubles (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3c), les annexes 3 à 7 de l'OPB auxquelles s'est référée l'autorité cantonale n'ont pas de portée dans le cas particulier, car elles concernent exclusivement des bruits d'origine technique, soit respectivement le bruit du trafic routier, des chemins de fer, des aérodromes civils, de l'industrie et de l'artisanat, ainsi que des installations de tirs; les nuisances sonores causées par des animaux, qui sont des bruits de comportement (cf. <ref-ruling> consid. 2 et 3b), ne sont pas couvertes par ces dispositions légales. Le raisonnement de la cour cantonale ne conduit pas pour autant à une solution arbitraire; pour dénier le caractère excessif des immissions, elle s'est en effet fondée sur des éléments pertinents que sont les témoignages des voisins et l'audition d'un enregistrement produit par les recourants.
A ce sujet, lorsque les recourants prétendent que les témoignages des voisins ne doivent pas être pris en considération car ils travaillent à l'extérieur de leur domicile et ont la charge d'enfants ou habitent en bordure de route et sont donc moins sensibles à d'autres bruits, ils ne font qu'opposer leur opinion à celle de l'autorité précédente. Celle-ci a tenu compte des circonstances exposées par les recourants dans l'appréciation des témoignages en expliquant en quoi elles n'étaient pas déterminantes. Pour le reste, en soutenant que les déclarations des voisins, plus jeunes qu'eux, ne sont pas pertinentes car l'<ref-law> permet également de s'opposer aux nuisances incommodant les catégories plus sensibles de la population, telles que les personnes âgées et les enfants, les recourants méconnaissent que, pour apprécier le caractère excessif d'une immission, le juge civil doit procéder à une pesée des intérêts en présence en prenant comme référence la sensibilité d'un homme ordinaire dans la même situation. Par conséquent, la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en se fondant sur les témoignages des voisins. Par ailleurs, comme aucun des cinq témoins entendus à ce titre n'a été importuné par les oiseaux appartenant à l'intimée, que cette appréciation a été confirmée par les juges cantonaux après leur audition de l'enregistrement des chants produit par les recourants, et que lors du transport sur place du Tribunal de première instance, le 4 février 2005, aucun des volatiles appartenant à l'intimée ne s'est manifesté, il n'était pas insoutenable de considérer que les recourants n'avaient pas établi l'existence d'immissions excessives.
En dernier lieu, les recourants relèvent que les magistrats précédents ont observé que si l'intimée devait augmenter le nombre d'oiseaux détenus ou si elle devait se procurer des cacatoès, comme elle en avait eu autrefois, la question du caractère excessif des immissions pourrait à nouveau se poser. Ils estiment que cette considération devait conduire à l'admission de leur action en prévention de l'atteinte. Or, pour qu'une telle action soit admise, il faut que l'atteinte soit hautement vraisemblable (<ref-ruling> consid. 2; STEINAUER, Les droits réels, tome II, 3ème éd., n° 1925). Les recourants ne prétendent même pas que cette condition était remplie et s'en prennent ainsi à nouveau à l'arrêt attaqué d'une manière purement appellatoire et, partant, irrecevable.
En définitive, le grief d'application arbitraire des art. 679 et 684 CC, dans la mesure où il est recevable, est dénué de fondement.
7. Les recourants voient enfin une application arbitraire des art. 737 et 738 CC. La cour cantonale aurait, par une interprétation insoutenable de la servitude de passage, rejeté à tort leur action tendant à interdire à l'intimée tout nouveau trouble de la servitude par le stationnement de véhicules.
7.1 La cour cantonale a constaté que l'assiette de la servitude de passage qui grève la parcelle de l'intimée au profit de celle des recourants s'étend sur le chemin d'accès aux parcelles. Elle comporte l'interdiction de tout dépôt sur le passage, l'interdiction du stationnement, à titre permanent, de tout véhicule et l'obligation pour chaque propriétaire d'entretenir la portion du chemin sur sa propriété, de manière à ce que chacun puisse accéder à sa villa. Elle a également retenu que des véhicules étaient à quelques occasions stationnés à hauteur de la propriété de l'intimée et empiétaient sur le chemin d'accès, sans que cela n'ait toutefois empêché le passage d'automobiles. L'autorité précédente en a conclu qu'il s'agissait d'une gêne passagère et occasionnelle qui ne contrevenait pas à la servitude; celle-ci interdisait uniquement le stationnement permanent et non le parcage momentané ou même durable, dans la mesure où celui-ci n'empêchait pas le passage sur le chemin.
7.2 Les recourants affirment que la servitude de passage ne pouvait être interprétée autrement que par l'interdiction de stationner tout véhicule de manière à ce qu'il empiète sur le chemin, indépendamment du fait que le passage d'automobiles soit empêché. Selon eux, seul le parcage momentané, destiné à charger ou décharger des véhicules est compatible avec la servitude. Ils se contentent d'opposer ainsi leur opinion à celle de la cour cantonale en méconnaissance, une nouvelle fois, des exigences en matière de motivation d'un recours constitutionnel subsidiaire (cf. consid. 3 supra); ils ne démontrent pas en quoi l'interprétation qu'a faite l'autorité précédente à la lumière de l'<ref-law>, serait insoutenable. Leur critique, purement appellatoire, est par conséquent irrecevable.
8. L'admission du grief de violation du droit à une décision motivée (cf. consid. 4 supra) rend sans objet le grief pris d'une violation de la servitude de dépôt par les bruits des oiseaux.
9. Alors que le recours en matière civile est irrecevable, le recours constitutionnel subsidiaire est admis uniquement sur la question du déni de justice formel (consid. 4 supra), les griefs portant sur les constatations de faits et l'application arbitraire des art. 684, 737 et 738 CC étant rejetés dans la mesure de leur recevabilité. Au vu de ce résultat, il se justifie de répartir les frais à raison d'un dixième à la charge de l'intimée et de neuf dixièmes à la charge des recourants, solidairement entre eux (<ref-law>). Ceux-ci verseront à l'intimée des dépens réduits dans la même proportion (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière civile est irrecevable.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est partiellement admis dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge des recourants pour neuf dixièmes et pour un dixième à la charge de l'intimée.
4. Une indemnité de 2'400 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge des recourants, solidairement entre eux.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 3 octobre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Rey-Mermet