Sachverhalt:
A. A.a Y._ und Z._ betrieben im Jahre 2001 ihren Vater A._ für eine Forderung von mehreren Millionen Franken aus Schenkungsvertrag. In diesem Zusammenhang verarrestierte ("Arrest I") und pfändete das Betreibungsamt Schaffhausen die auf A._ sowie auf die C._ Stiftung lautenden Konti und Depots bei der Bank X._ AG in Schaffhausen bis zum Forderungsbetrag.
A.b Am 9. Dezember 2004 wurden auf Begehren von Y._ und Z._ erneut Konti und Depots der C._ Stiftung sowie von A._ bei der Bank X._ AG für aufgelaufene Kosten und Parteientschädigungen verarrestiert, und zwar im Umfang von Fr. 88'000.-- ("Arrest II", Betreibung Nr. 1) sowie für Zinsen auf den Hauptforderungen im Umfang von Fr. 472'000.-- ("Arrest III", Betreibung Nr. 2).
A.c Am 13. Dezember 2004 wies die Bank X._ AG das Betreibungsamt darauf hin, dass sie aufgrund ihres Pfandrechts an den gesperrten Depotwerten die Minuspositionen durch Titelverkäufe ausgleichen wolle. Sodann beanspruche sie für Zahlungen, welche sie aus Garantieverpflichtungen zugunsten der C._ Stiftung geleistet habe, das vertraglich eingeräumte Pfandrecht an den Werten der C._ Stiftung. Daraufhin antwortete das Betreibungsamt am 15. Februar 2005, dass wegen des Arrest- und Pfändungsbeschlags der Vermögenswerte ein Ausgleich von Negativpositionen nicht erlaubt sei. Am 23. Februar 2005 teilte die Bank dem Betreibungsamt mit, dass gestützt auf das Schreiben vom 13. Dezember 2004 das Widerspruchsverfahren in Gang gesetzt hätte werden sollen; sie werde nun die aus dem Verkauf der Fondsanteile resultierenden Guthaben mit den Soll-Saldi von Konti der C._ Stiftung verrechnen. Zwischen dem 2. und 8. März 2005 vollzog sie die angekündigten Schritte und deckte die aus Garantieverpflichtungen entstandenen Soll-Saldi durch Verrechnung mit aus dem Erlös entstandenen Guthaben. Am 1. April 2005 teilte die Bank dem Betreibungsamt mit, "die C._ Stiftung weise keine Vermögenswerte mehr auf".
A.d Am 21. März 2005 bzw. 11. April 2005 erfolgte in der Betreibung Nr. 1 ("Arrest II") und Betreibung Nr. 2 ("Arrest III") der Pfändungsvollzug für den verarrestierten Betrag. Ebenfalls am 11. April 2005 wurde für weitere Verzugszinsen ein Arrest im Umfang von Fr. 326'000.-- auf Konti und Depots der C._ Stiftung sowie von A._ bei der Bank X._ AG gelegt ("Arrest IV"); der Pfändungsvollzug (Betreibung Nr. 3) erfolgte am 11. November 2006.
A.e Das Betreibungsamt Schaffhausen verwertete schliesslich am 16. Januar 2007 in den drei Betreibungen die Forderungen der Schuldner A._ bzw. C._ Stiftung gegenüber der Bank X._ AG, Zürich, als Drittschuldnerin. Die Forderungen in Betreibung Nr. 1 für den Betrag von Fr. 85'570.35, in Betreibung Nr. 2 für den Betrag von Fr. 451'437.85 und in Betreibung Nr. 3 für den Betrag von Fr. 311'000.-- wurden gemäss <ref-law> an Zahlungs statt den beiden Gläubigern Y._ und Z._ überwiesen. Gemäss Bescheinigungen (Form. 33) vom 16. Januar 2007 gelten alle drei überwiesenen Forderungen von der Bank X._ AG als bestritten.
A.f Am 28. September 2007 erhoben Y._ und Z._ Klage beim Handelsgericht des Kantons Zürich mit dem (in der Folge reduzierten) Begehren, die Bank X._ AG sei zu verpflichten, ihnen Fr. 636'099.50 nebst Zins von 5% seit 26. Februar 2005 zu bezahlen. Sie machten im Wesentlichen geltend, "die Bank habe ihnen unrechtmässig Vermögenssubstrat entzogen": Sie habe die Vermögenswerte, welche A._ bzw. die C._ Stiftung der Bank als Faustpfand zur Sicherung von Garantien übergeben hatte, nicht selber verwerten dürfen, weil diese verarrestiert waren, weshalb die Verrechnung von Ansprüchen aus Bankgarantien mit dem Guthaben des Schuldners bzw. der C._ Stiftung aus dem Erlös nicht zulässig gewesen sei.
B. Mit Urteil vom 4. November 2009 verpflichtete das Handelsgericht des Kantons Zürich (in teilweiser Gutheissung der Klage) die Bank X._ AG, den beiden Klägern Fr. 338'503.30 zuzüglich Zins von 5% seit 26. Februar 2005 zu bezahlen.
C. Die Bank X._ AG führt mit Eingabe vom 16. Dezember 2009 Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, das Urteil des Handelsgerichts vom 4. November 2009 aufzuheben und die Klage vollumfänglich abzuweisen.
Y._ und Z._ als Beschwerdegegner beantragen mit Vernehmlassung vom 19. Februar 2010 die Abweisung der Beschwerde in Zivilsachen, soweit darauf einzutreten sei. Das Handelsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Entscheid über Forderungen, welche den Beschwerdegegnern nach <ref-law> durch das Betreibungsamt überwiesen und von diesen eingeklagt wurden. Die Forderungen sind auf die Beschwerdegegner kraft Gesetz im Sinne von <ref-law> übergegangen und werden von diesen aus eigenem Recht geltend gemacht (FRITZSCHE/WALDER, Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 1984, § 30 Rz 23; Gilliéron, Poursuite pour dettes, faillite et concordat, 4. Aufl. 2005, S. 243 Rz 1260). Der Entscheid über den Bestand einer auf diese Weise abgetretenen Forderung gegenüber dem Drittschuldner - der Beschwerdeführerin - ist materieller Natur und betrifft eine Zivilsache im Sinne von <ref-law>. In der vorliegenden vermögensrechtlichen Streitigkeit wird die gesetzliche Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- erreicht (<ref-law>). Die Vorinstanz als Fachgericht für handelsrechtliche Streitigkeiten hat als einzige Instanz in verfahrensabschliessender Weise entschieden (Art. 75 Abs. 2 lit. b, Art. 90 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig.
1.2 Mit vorliegender Beschwerde kann die Verletzung von u.a. Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgelegt hat (<ref-law>).
2. 2.1 Das Handelsgericht hat geprüft, ob die Beschwerdeführerin gegenüber den Beschwerdegegnern, denen die geltend gemachten Forderungen durch Verwertung nach <ref-law> überwiesen wurden, die Verrechnung für eigene Forderungen erklären darf, und - falls diese unzulässig ist - sie sich auf ein Pfandrecht an den Vermögenswerten berufen kann.
2.1.1 Die Vorinstanz hat zunächst erwogen, dass die Beschwerdeführerin die zwangsvollstreckungsrechtliche Verfügungssperre betreffend die auf A._ und die C._ Stiftung lautenden Vermögenswerte nicht beachtet habe. Es sei ihr kein Recht zur privaten Verwertung der - die Verwertungsanweisung des Betreibungsamts vom 15. Februar 2005 übersteigenden - restlichen Fondsanteile zugestanden; die Beschwerdeführerin habe die verarrestierten Wertschriften nicht verkaufen und anschliessend die Verrechnung vornehmen dürfen. Die vorhandenen Kontoguthaben seien nur als Folge der technischen Abwicklung (Verkauf von Fondsanteilen) entstanden und nicht dafür bestimmt gewesen, der Beschwerdeführerin zur Verrechnung mit eigenen Forderungen (aus Bankdienstleistungen bzw. Garantie) gegenüber der C._ Stiftung zu dienen. Der Selbsthilfeverkauf und die anschliessende Verrechnung mit den entstandenen Guthaben seien unzulässig. Deshalb seien die Guthaben von A._ bzw. der C._ Stiftung im Umfang der Verrechnung als weiterhin bestehend zu betrachten.
2.1.2 Nach Auffassung des Handelsgerichts hat die Beschwerdeführerin sodann ihr Pfandrecht an den verarrestierten ("Arrest II und III") bzw. gepfändeten Vermögenswerten nicht angemeldet. Sie habe ihr Pfandrecht in den Betreibungen verwirkt. Im Übrigen wäre die angeblich unterlassene Einleitung des Widerspruchsverfahrens mit Beschwerde gegen das Betreibungsamt vor den Aufsichtsbehörden zu rügen gewesen.
2.1.3 Das Handelsgericht hat geschlossen, dass die Beschwerdeführerin weder eine Verrechnungsbefugnis noch allfällige Pfandrechte an den Vermögenswerten und daher das Guthaben an die Beschwerdegegner - als Abtretungsgläubiger gemäss <ref-law> - zu leisten habe. Nach Berücksichtigung eines (Verwertungs-) Überschusses (Fr. 221'496.50) aus einem anderen Arrest- bzw. Betreibungsverfahren ("Arrest I", Betreibung Nr. 4) verbleibe ein Betrag von Fr. 338'503.50, welche die Beschwerdeführerin den Beschwerdegegnern gestützt auf die beiden in Betreibung Nr. 1 und Nr. 2 abgetretenen Forderungen zu bezahlen habe. Die dritte, in Betreibung Nr. 3 ("Arrest IV") abgetretene Forderung sei unbegründet, zumal keine mit Arrest- bzw. Pfändungsbeschlag belegten Vermögenswerte von der Beschwerdeführerin selber verwertet worden seien; weitere Ansprüche seien nicht begründet.
2.2 Die Beschwerdeführerin rügt im Wesentlichen eine Verletzung von <ref-law> und <ref-law>, weil das Handelsgericht ihr das Recht auf Verrechnung sowie das Pfandrecht an Vermögenswerten abgesprochen habe. Die Forderungsüberweisung nach <ref-law> schliesse ihr Recht, Forderungen gegenüber dem Betriebenen zur Verrechnung zu bringen, nicht aus. Die Verfügungssperre des Betreibungsamtes betreffend die Vermögenswerte des Betriebenen vermöge daran nichts zu ändern. Sodann habe das Handelsgericht mit der Verneinung des Pfandrechts an den Vermögenswerten die Regeln über die Geltendmachung ihrer Ansprüche verletzt, weil das Betreibungsamt nicht nach <ref-law> (Einleitung des Widerspruchsverfahren) vorgegangen sei. Sie habe ihr Pfandrecht dem Betreibungsamt mehrfach mitgeteilt; im Weiteren sei (mit Hinweis auf <ref-ruling>) anerkannt und notorisch, dass Banken ihre Ansprüche gegenüber dem Bankkunden vertraglich durch Verrechnungs- und Pfandrechte sichern. Die Beschwerdeführerin habe darauf vertrauen dürfen, dass das Betreibungsamt das Widerspruchsverfahren einleiten würde, in welchem sie ihre Pfandrechte geltend machen könne.
3. Anlass zur Beschwerde geben Forderungen, welche den Beschwerdegegnern nach <ref-law> durch das Betreibungsamt überwiesen und von diesen eingeklagt wurden. Zu Recht ist unbestritten, dass die Abtretung einer Forderung zum Nennwert an Zahlungs statt gemäss <ref-law> in ihren Wirkungen der privatrechtlichen Zession entspricht, ungeachtet dessen, dass sie auf einem Verwertungsakt (bzw. einer Verfügung des Betreibungsamtes) beruht. Die Gläubiger - hier die Beschwerdegegner - sind gemeinsam bis zum Nennwert der abgetretenen Forderungen in die Rechte gegen die Drittschuldnerin - hier die Beschwerdeführerin - eingetreten (<ref-ruling> E. 3 S. 238; Amonn/Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 8. Aufl. 2008, § 27 Rz 50 u. 51). Sodann steht zu Recht nicht in Frage, dass der Drittschuldner (die Beschwerdeführerin als debitor cessus) den Abtretungsgläubigern nach <ref-law> Einreden entgegen halten kann, u.a. die persönliche Einrede gegen den Zedenten (Betreibungsschuldner) wie die Verrechnung (<ref-ruling> E. 3 S. 238; Amonn/Walther, a.a.O., § 27 Rz 52; GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, 2000, N. 30 zu Art. 131). Umstritten ist, ob das Handelsgericht der Beschwerdeführerin die Befugnis zur Verrechnung mit eigenen Forderungen gegenüber dem Betriebenen verweigern durfte.
3.1 Gegenstand der hier nach <ref-law> verwerteten bzw. abgetretenen Forderungen sind die Guthaben des Betriebenen, welche im Wesentlichen aus dem Verkauf der verarrestierten Fondsanteile entstanden sind und welche die Beschwerdeführerin als Drittschuldnerin durch Verrechnung getilgt haben will. Dass die Guthaben, welche dem Betriebenen durch die Verwertung der verarrestierten Fondsanteile entstanden sind, ebenfalls unter zwangsvollstreckungsrechtlichen Beschlag gefallen sind und in der Folge durch das Betreibungsamt verwertet werden durften, steht hier zu Recht nicht zur Diskussion; im Übrigen ist die Verwertung nach <ref-law> - als betreibungsamtliche Verfügung - unangefochten geblieben und rechtskräftig.
3.2 Das Handelsgericht hat der Beschwerdeführerin - entgegen ihrer Darstellung - nicht wegen ihrer Gegenforderung (Forderung, die sie zur Verrechnung bringen will) die Verrechnungsbefugnis verweigert. Es hat die Verrechnungslage deshalb verneint, weil mit Bezug auf die Hauptforderung - d.h. die Forderung des Verrechnungsgegners - die erforderliche Voraussetzung nicht erfüllt sei. Entscheidend sei (unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 4), dass der Drittschuldner im Zeitpunkt, als er vom Arrest Kenntnis erhielt, die Aussicht hatte, dereinst verrechnen zu können. Hier sei die Hauptforderung nur deshalb entstanden, weil die Beschwerdeführerin die verpfändeten Vermögenswerte von A._ bzw. der C._ Stiftung nach Arrestbeschlag verwertet habe. Das Betreibungsamt habe zudem auf Anfrage der Beschwerdeführerin ausdrücklich darauf hingewiesen, dass der "Ausgleich von Negativpositionen" nicht erlaubt sei, solange der Arrest- bzw. Pfändungsbeschlag anhalte. Ohne diese Verwertung wäre kein Guthaben (Hauptforderung) auf dem Konto der C._ Stiftung gegenüber der Beschwerdeführerin entstanden und hätte diese nicht mit einer Gegenforderung (aus den erbrachten Bankdienstleistungen) verrechnen können.
3.3 Aus dem angefochtenen Urteil geht hervor, dass die Beschwerdeführerin verarrestierte Vermögenswerte verwertet hat. Dass das offenbar zwischen der Beschwerdeführerin (als Pfandnehmerin) und A._ bzw. der C._ Stiftung (als Verpfänder) vereinbarte - im Bankverkehr übliche (Zobl, Berner Kommentar, 1996, N. 28 und 29 zu <ref-law>) - Recht zur Verwertung der verpfändeten Vermögenswerte (<ref-law>) durch das Zwangsvollstreckungsrecht beschränkt wird, stellt die Beschwerdeführerin nicht in Frage. In der Tat kann nach konstanter Rechtsprechung und herrschender Auffassung ein privates Pfandverwertungsrecht (<ref-law>) - wie die Vorinstanz richtig festgehalten hat - nicht mehr ausgeübt werden, sobald der Pfandgegenstand gepfändet oder verarrestiert worden ist (<ref-ruling> ff.; <ref-ruling> E. 3b S. 93; <ref-ruling> E. 2 26/27; Steinauer, Les droits réels, Bd. III, 2003, Rz 3122b; Tuor/Schnyder/ Schmid, Das Schweizerische Zivilgesetzbuch, 13. Aufl. 2009, § 117 Rz 6; Gilliéron, Commentaire, a.a.O, N. 63 zu Art. 98; Reiser, in: Basler Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 1998, N. 87 zu Art. 275; Amonn/Walther, a.a.O., § 33 Rz 18; Moskric, Der Lombardkredit, 2003, S. 232-234 mit eingehender Begründung; Zobl, a.a.O., N. 33 ff. zu <ref-law>, mit Kritik in N. 40). Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz angenommen hat, die Beschwerdeführerin habe kein Recht zur privaten Verwertung der verarrestierten Fondsanteile gehabt.
3.4 Die Beschwerdegegner weisen darauf hin, die Verrechnung der Beschwerdeführerin sei rechtsmissbräuchlich, weil sie auf einem Verstoss gegen den Arrestbeschlag beruhe. Dass das Guthaben (die Hauptforderung) zu Gunsten der C._ Stiftung durch den Verkauf der verarrestierten Fondsanteile entstanden ist, geht aus dem Sachverhalt hervor und ist unbestritten. Entstand aber die der Verrechnung zugrunde liegende Hauptforderung aufgrund eines rechtswidrigen Verhaltens des nachherigen Kompensanten, so kann ihre Tilgung durch Verrechnung rechtsmissbräuchlich sein (Aepli, Zürcher Kommentar, 1991, N. 88 Vorbem. zu Art. 120-126 OR). Wohl wird im angefochtenen Urteil nicht ausdrücklich von "Rechtsmissbrauch" gesprochen. Wenn das Handelsgericht aber festgehalten hat, die Guthaben (Hauptforderung) aus der unzulässigen - weil gegen den Arrestbeschlag verstossenden - Selbsthilfe bzw. privaten Verwertung ihres Pfandes seien "nicht dafür bestimmt gewesen", der Beschwerdeführerin zur Verrechnung mit eigenen Forderungen zur Verfügung zu stehen, wirft sie ihr wohl eine rechtsmissbräuchliche Verrechnung vor. Nach Auffassung der Vorinstanz hat die Beschwerdeführerin in unzulässiger Weise ihre Rechtsposition verbessert, indem sie einseitig und in Missachtung der laufenden Zwangsvollstreckung unmittelbar eine verrechenbare Hauptforderung geschaffen hat (anstatt ihre allfälligen Pfandrechte - wie alle Gläubiger - nach Art. 106 f. SchKG geltend zu machen). Darauf geht die Beschwerdeführerin nicht ein. Sie beschränkt sich auf die Feststellung, dass ihr ein Verrechnungsrecht zustehe, ohne auf den Grund einzugehen, weshalb die Vorinstanz die Verrechnung als unwirksam erachtet hat. Sie legt nicht dar, inwiefern das Handelsgericht <ref-law> (vgl. zum Begriff: <ref-ruling> E. 5.1 S. 497) verkannt habe, wenn es angenommen hat, dass ihre Rechtsausübung - die Verrechnung - ohne schützenswertes Interesse erfolgt sei. Insoweit kann auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht eingetreten werden (<ref-law>), und eine abschliessende Beurteilung der Frage des Rechtsmissbrauchs ist im konkreten Fall nicht erforderlich.
3.5 Im Übrigen ist nach <ref-law> die Verrechnung gegen den Willen des Gläubigers ohnehin ausgeschlossen, wenn es um die Rückgabe- bzw. Ersatzverpflichtung aus widerrechtlicher oder böswilliger Vorenthaltung geht. Mit diesem Verrechnungsausschluss kommt der Grundsatz zum Ausdruck, dass aus eigenem Fehlverhalten kein Nutzen gezogen werden darf bzw. diese Schuld nicht zur Befriedigung einer Forderung durch Verrechnung verwendet werden kann (AEPLI, a.a.O., N. 24, 40 zu <ref-law>). Wer z.B. eine hinterlegte Ware entgegen der vertraglichen Abrede verkauft, entzieht diese im Sinne von <ref-law> und kann daher der Schadenersatzforderung des Vertragspartners nicht die Einrede der Verrechnung entgegenhalten (BGE 51 III 446 E. 2 S. 448 f.). Das Gleiche muss gelten, wenn - wie hier - die Beschwerdeführerin als Pfandnehmerin das Pfand trotz Arrestbeschlag (d.h. widerrechtlich) privat verwertet hat, obwohl sie um die Verletzung der vom Zwangsvollstreckungsrecht geschützten Rechte wusste (vgl. AEPLI, a.a.O., N. 46 f. zu <ref-law>). Sie kann dem aus dem Verkauf resultierenden Guthaben auf Seiten des Betriebenen jedenfalls nicht gegen den Willen der Beschwerdegegner (welche die Forderung nach <ref-law> erworben haben) die Einrede der Verrechnung entgegenhalten. Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn das Handelsgericht im Ergebnis einen gesetzlichen Verrechnungsausschluss angenommen hat.
3.6 Schliesslich versucht die Beschwerdeführerin nichts für sich aus dem Bundesgesetz über Bucheffekten vom 3. Oktober 2008 (BEG; SR 957.1) abzuleiten. Nach diesem Gesetz ist die Verwertung von Bucheffekten, an denen eine Sicherheit bestellt worden ist, und die Verrechnung mit der gesicherten Forderung auch im Zwangsvollstreckungsverfahren gegen den Sicherungsgeber möglich (Art. 31 Abs. 2 BEG). Der Gesetzgeber hat sich ausdrücklich von der bisherigen Rechtslage abgewendet und eine neue Regelung geschaffen (Botschaft vom 15. November 2006 zum Bucheffektengesetz sowie Haager Wertpapierübereinkommen, BBl 2006 9381 Ziff. 2.1.7.1; FOËX, Gage sur les droits-valeurs: développements récents, in: Mélanges Association des Notaires Vaudois, 2005, S. 249). Da das BEG erst am 1. Januar 2010 - erst nach der umstrittenen Verrechnung - in Kraft getreten ist und die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang keine Rügen begründet, erübrigen sich weitere Erörterungen. Nach dem Dargelegten hält vor Bundesrecht stand, wenn das Handelsgericht gefolgert hat, dass die Verrechnungswirkung auszubleiben hat. In diesem Punkt ist die Rüge einer Rechtsverletzung unbegründet.
4. Die Beschwerdeführerin wirft dem Handelsgericht weiter eine Verletzung der "Grundsätze des betreibungsrechtlichen Pfändungsverfahrens vor". Sie habe ihr Pfandrecht bzw. den Pfandvertrag dem Betreibungsamt rechtsgenügend zur Kenntnis gebracht. Wenn das Handelsgericht annehme, dass die Verrechnung nicht wirksam erfolgt sei, dann müsse ihr jedoch das Pfandrecht (an den verarrestierten bzw. gepfändeten Vermögenswerten) zugestanden werden. Nach Auffassung des Handelsgerichts hat die Beschwerdeführerin jedoch ihr Pfandrecht an den verarrestierten ("Arrest II" und "Arrest III") bzw. gepfändeten Vermögenswerten nicht angemeldet. Sie habe ihr allfälliges Pfandrecht in den Betreibungen verwirkt und könne dieses den Beschwerdegegnern nicht mehr entgegenhalten.
4.1 Die Beschwerdeführerin bezieht ihr Pfandrecht nicht nur auf die verarrestierten bzw. gepfändeten Vermögenswerte, sondern auch auf die Bankguthaben, welche durch die Privatverwertung beim Betriebenen entstanden sind. Die Vorinstanz ist allgemein - und zu Recht unter Hinweis auf <ref-ruling> ff. - davon ausgegangen, dass auch bei gepfändeten Bankguthaben, an denen Anspruch erhoben wird, die Vormerkung des Drittanspruchs erforderlich ist. Ob vor dem Hintergrund der Unzulässigkeit der Privatverwertung sich das Pfandrecht "automatisch" auf das entstandene, ebenfalls unter Arrest- bzw. Pfändungsbeschlag stehende Bankguthaben des Betriebenen erstreckt, hat das Handelsgericht nicht ausgeführt; es spricht lediglich von einem "allfälligen Pfandrecht". Die Frage braucht - wie sich aus dem Folgenden ergibt - nicht näher erörtert zu werden.
4.2 Zu Recht ist unbestritten, dass die Pfandrechte Dritter am Arrest- bzw. Pfändungsgut (wie Wertpapieren, Bankguthaben) im Widerspruchsverfahren zu klären sind (Art. 106 ff., Art. 275 SchKG; AMONN/ Walther, a.a.O, § 24 Rz 7, 10). Es trifft zu, dass es nach <ref-ruling> (E. 4b S. 49) - auf welchen die Beschwerdeführerin hinweist - den Banken in der Regel leichtfällt, den Bestand der von ihnen geltend gemachten Pfandrechte durch Vorlage von Urkunden sofort zu beweisen, so dass der Gläubiger von vornherein auf eine Widerspruchsklage verzichtet. Entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin kann aus dem erwähnten Urteil keinesfalls abgeleitet werden, dass die Anmeldung des Anspruchs gemäss <ref-law> (bzw. das sog. Vorverfahren) für Banken entbehrlich wäre (vgl. Fritzsche/Walder, a.a.O., § 26 Rz 27, S. 369). Eine gültige Anmeldung ist vielmehr Voraussetzung, dass das Betreibungsamt das Widerspruchsverfahren überhaupt eröffnen kann (vgl. Art. 107 ff.); gegebenenfalls kann es - wie die Vorinstanz zu Recht erwogen hat - mittels Beschwerde (<ref-law>) dazu gezwungen werden (AMONN/WALTHER, a.a.O., § 24 Rz 30; GILLIÉRON, Poursuite, a.a.O., Rz 1137, 1143).
4.3 Die Ausführungen der Beschwerdeführerin zur angeblich rechtzeitigen und wirksamen Anmeldung ihres Pfandrechts sind unbehelflich. Aus dem angefochtenen Urteil geht hervor, dass in den strittigen Arresten bzw. Pfändungen kein Widerspruchsverfahren eröffnet worden ist. Im Übrigen übergeht die Beschwerdeführerin (sowie das Handelsgericht), dass nach Verteilung des Verwertungserlöses das Widerspruchsverfahren gar nicht mehr möglich ist (vgl. <ref-law>; AMONN/WALTHER, a.a.O., § 24 Rz 24). Bei der Verwertung nach <ref-law> - Hingabe an Zahlungs statt - erlöschen die Betreibungen der Abtretungsgläubiger (Amonn/Walther, a.a.O., § 27 Rz 51); diese nehmen insoweit weder am Kollokationsplan noch an der Verteilung teil (GILLIÉRON, Commentaire, a.a.O., N. 17 a.E. zu Art. 131). Im Ergebnis ist nicht zu beanstanden, wenn das Handelsgericht angenommen hat, die Beschwerdeführerin könne den Beschwerdegegnern - denen die Forderung gestützt auf <ref-law> überwiesen wurde bzw. deren Betreibungen erloschen sind - kein Pfandrecht entgegenhalten, sondern die umstrittenen Forderungen seien unbelastet verwertet worden. Insoweit kann von einer Rechtsverletzung nicht gesprochen werden.
5. Nach dem Dargelegten liegt keine Rechtsverletzung vor, wenn das Handelsgericht geschlossen hat, dass die Beschwerdeführerin kein Verrechnungsrecht habe und sie einen allfälligen Pfandrechtsanspruch den Beschwerdegegnern in den (zu den "Arresten II und III" gehörenden) Betreibungen nicht geltend machen könne. Andere Rechtsverletzungen legt die Beschwerdeführerin nicht dar (<ref-law>).
6. Der Beschwerde in Zivilsachen ist kein Erfolg beschieden. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 9'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 9'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante