Sachverhalt:
A.
A.a. Nachdem ihm die Ausgleichskasse des Kantons Zürich mit Verfügung vom 27. März 2012 ab 1. Juli 2012 eine Altersrente der AHV von Fr. 1'316.- zugesprochen hatte, ersuchte D._ mit an die Gemeindeverwaltung, Sozialabteilung EL adressiertem Schreiben vom 1. Mai 2012 um "Zusprechung der gesetzlich vorgesehenen Ergänzungsleistungen". In der Folge forderte ihn die Leiterin Sozialversicherungen, Zusatzleistungen zur AHV/IV, Geschäftsstelle X._ (nachfolgend: Durchführungsstelle), mehrmals auf, verschiedene noch fehlende Unterlagen einzureichen, welchem Ersuchen er unter Angabe der Gründe nur teilweise nachkam. Mit Schreiben vom 27. Juli 2012 teilte die Durchführungsstelle D._ mit, falls er die erwähnten Unterlagen nicht bis Ende August 2012 eingereicht haben sollte, könnte auf sein Leistungsgesuch nicht eingetreten werden.
A.b. Am 6. August 2012 reichte D._ beim Bezirksrat Beschwerde ein und beantragte u.a., die Durchführungsstelle sei anzuweisen, die Berechnung seines Anspruchs auf Zusatzleistungen aufgrund der vorgelegten Unterlagen zu vollziehen und zu verfügen. Der Bezirksrat überwies die Eingabe zuständigkeitshalber an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich.
Mit Verfügung vom 4. September 2012 stellte die Durchführungsstelle die Gesuchsbearbeitung ein mit der Begründung, die verlangten Unterlagen seien bis heute nicht eingereicht worden.
A.c. Mit Entscheid vom 31. Oktober 2012 wies das kantonale Sozialversicherungsgericht die Beschwerde vom 6. August 2012 ab, soweit es darauf eintrat, wobei es in der Begründung festhielt, es bleibe dem Beschwerdeführer unbenommen, gegen die zwischenzeitlich erlassene Nichteintretensverfügung vom 4. September 2012 Einsprache zu erheben.
A.d. Am 11. Dezember 2012 reichte D._ beim Bezirksrat Beschwerde ein und beantragte u.a., die Verfügung vom 4. September 2012 sei ungültig zu erklären, das Gesuchsverfahren sei "mit dem Status vom 6. August 2012 fortzuführen" und die Durchführungsstelle anzuweisen, die Zusatzleistung aufgrund der gesetzlichen Bestimmungen "und der vorhandenen Unterlagen zu berechnen", zu verfügen und auszuzahlen. Der Bezirksrat überwies die Eingabe an die Durchführungsstelle als "erste Rechtsmittelinstanz". Diese trat mit Einspracheentscheid vom 23. Januar 2013 darauf nicht ein mit der Begründung, die Rechtsmittelfrist zur Anfechtung der Verfügung vom 4. September 2012 sei unbenutzt abgelaufen.
B.
Die Beschwerde des D._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. März 2013 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt D._ in der Hauptsache, der Entscheid vom 28. März 2013 und die Verfügung vom 4. September 2012 seien aufzuheben, die Durchführungsstelle sei anzuweisen, das Gesuch vom 1. Mai 2012 mit Stand vom 6. August 2012 fortzuführen und die Zusatzleistungen aufgrund der vorhandenen Unterlagen unverzüglich zu berechnen und den berechneten Betrag anzuweisen, unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung.
Die Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt X._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Sozialversicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde ist unzulässig, soweit darin materielle Anträge gestellt werden (vgl. Urteil 9C_185/2011 vom 15. September 2011 E. 2 mit Hinweisen). Damit ist auch dem Gesuch, dem Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung zu entziehen, der Boden entzogen. Abgesehen davon kommt der Beschwerde von Gesetzes wegen nicht Suspensiveffekt zu (<ref-law>). Soweit das Gesuch als Begehren um andere vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> verstanden werden soll, legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern die Voraussetzungen hiefür gegeben sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 431 und Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 3 zu <ref-law> ).
2.
2.1. Nach insoweit unbestrittener Feststellung der Vorinstanz war die Verfügung vom 4. September 2012 dem Beschwerdeführer drei Tage später zugestellt worden und somit die beim Bezirksrat am 11. Dezember 2012 eingereichte Beschwerde bzw. die Einsprache klar nicht innerhalb der in der Rechtsmittelbelehrung korrekt angegebenen Frist von 30 Tagen (vgl. <ref-law>) erhoben worden. Diese Frist ist nicht erstreckbar (<ref-law>; SVR 2009 IV Nr. 19 S. 49, I 898/06 E. 3.4). Ebenfalls steht ausser Frage, dass dem Schreiben vom 27. Juli 2012, womit die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer aufforderte, bis Ende August 2012 bestimmte Unterlagen einzureichen unter Androhung des Nichteintretens auf das Leistungsbegehren bei Nichterfüllung der Auflage (Mahn- und Bedenkzeitverfahren; <ref-law>) kein Verfügungscharakter zukam und dagegen nicht Einsprache oder allenfalls Beschwerde geführt werden konnte (vgl. RKUV 1997 Nr. U 284 S. 331, U 168/96; Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, Rz. 52 zu <ref-law>). Daran ändert nichts und es kann daher offenbleiben, ob die gestellten Auflagen eine unnötige Verletzung der Datenschutzgesetze und seiner Privatsphäre bedeuteten und deshalb "beschwerde- bzw. rekursfähig" waren, auf welchen Standpunkt sich der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde an den Bezirksrat vom 6. August 2012 gegen das Schreiben vom 27. Juli 2012 gestellt hatte. Die Verfügung vom 4. September 2012 war somit nicht ungültig, weil sei während eines hängigen Verfahrens in der gleichen Sache ergangen war, wie er in der vorinstanzlichen Beschwerde vorbrachte.
2.2. Die Vorinstanz hat das Nichteintreten der Durchführungsstelle auf die Einsprache vom 11. Dezember 2012 gegen die Verfügung vom 4. September 2012 damit begründet, die Einsprachefrist sei nicht erstreckbar gewesen und habe durch das zuvor vom Gesuchsteller angehobene Beschwerdeverfahren nicht automatisch verlängert werden können. Dieser habe das am 27. Juli 2012 in Gang gesetzte Mahn- und Bedenkzeitverfahren nach <ref-law> nicht einfach dadurch einseitig unterbrechen können, indem er auf das Schreiben vom selben Tag Bezug genommen und ein Beschwerdeverfahren angehoben habe. Dem hält der Beschwerdeführer entgegen, das kantonale Sozialversicherungsgericht habe in seinem Entscheid vom 31. Oktober 2012 festgehalten, es bleibe ihm unbenommen, gegen die zwischenzeitlich erlassene Nichteintretensverfügung vom 4. September 2012 Einsprache zu erheben.
Selbst wenn die Vorinstanz mit dieser Bemerkung zum Ausdruck gebracht hätte, das bei ihr anhängig gemachte Verfahren hemme den Fristenlauf, kann der Beschwerdeführer daraus nichts zu seinen Gunsten ableiten, weil bei Erhalt des Entscheids vom 31. Oktober 2012 die Einsprachefrist von 30 Tagen gegen die Verfügung vom 4. September 2012 ebenfalls bereits abgelaufen war.
3.
Der Beschwerdeführer bringt vor, der Bezirksrat habe seine Beschwerde vom 6. August 2012 an das kantonale Sozialversicherungsgericht weitergeleitet anstatt an die Durchführungsstelle mit der Aufforderung, die gemäss ATSG notwendige Verfügung zu erlassen; diese wiederum habe "trotz Wissen um das Verfahren" eine Nichteintretensverfügung erlassen. Damit rügt er sinngemäss ein gegen Treu und Glauben verstossendes Verhalten der Beschwerdegegnerin, wobei hier in erster Linie eine Verletzung der Beratungspflicht nach <ref-law> (vgl. dazu <ref-ruling> E. 7.2 S. 258 f. und 131 V 472 E. 4.3 S. 478) in Betracht fällt. Er legt indessen nicht substanziiert dar, inwiefern die diesbezüglichen Voraussetzungen gegeben sind, insbesondere was ihn zur - einseitigen - Annahme berechtigte, entgegen der Rechtsmittelbelehrung nicht innert Frist Einsprache gegen die Verfügung vom 4. September 2012 erheben zu müssen bzw. die Rechtshängigkeit des von ihm eingeleiteten Beschwerdeverfahrens würde den Fristenlauf hemmen. Ebenfalls nicht weiter einzugehen ist auf die Vorbringen in der Beschwerde betreffend die Formungültigkeit dieses Verwaltungsaktes. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern er durch den behaupteten Mangel daran gehindert wurde, die Verfügung - fristgerecht - anzufechten (<ref-law>; SVR 2011 IV N. 32 S. 93, 9C_791/2010 E. 2.2 mit Hinweisen; Urteil 2C_848/2012 vom 8. März 2013 E. 4; Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG).
Entscheidend bleibt auch unter diesem Gesichtspunkt, dass die Verfügung vom 4. September 2012 eine korrekte Rechtsmittelbelehrung enthielt und nichts - insbesondere nicht die am 6. August 2012 gegen das Schreiben vom 27. Juli 2012 erhobene Beschwerde - den Beschwerdeführer in guten Treuen zur Annahme berechtigte, hinsichtlich dieser Verfügung gälte die gesetzliche Einsprachefrist von 30 Tagen nicht.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat grundsätzlich der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Seinem Gesuch um unentgeltliche Prozessführung kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. August 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Fessler