Faits:
A.
Le 22 novembre 2012, A.X._, ressortissant irakien né en 1er juillet 1968, a été placé en détention administrative en vue de son renvoi par le Service de la population et des migrations du canton du Valais (ci-après: le Service cantonal) pour une durée de trois mois. Cette mise en détention a été approuvée par le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Juge unique) le 26 novembre 2012. Le recours au Tribunal fédéral formé par A.X._ à l'encontre de cette décision a été déclaré manifestement irrecevable par arrêt du 21 décembre 2012 (cause 2C_1260/2012).
Le 20 décembre 2012, A.X._ a refusé de monter dans un avion qui devait le rapatrier.
Le 21 février 2013, le Juge unique, sur requête du Service cantonal, a prolongé la détention de A.X._ jusqu'au 22 mai 2013. Statuant sur recours de l'intéressé, le Tribunal fédéral, par arrêt du 23 avril 2013, a rejeté celui-ci dans la mesure de sa recevabilité et a refusé d'octroyer à A.X._ le bénéfice de l'assistance judiciaire, le recours étant dépourvu de chances de succès (cause 2C_285/2013).
B.
Par arrêt du 21 mai 2013, le Juge unique a donné suite à la requête du Service cantonal et prolongé une deuxième fois la détention de A.X._ jusqu'au 22 août 2013 et a rejeté la demande de libération formée par l'intéressé.
C.
Contre l'arrêt du 21 mai 2013, A.X._, représenté devant le Tribunal fédéral par B._, licenciée en droit et employée d'Amnesty International, forme un recours en matière de droit public. Il conclut à l'annulation de l'arrêt du Tribunal cantonal du 11 février 2013 dans la cause A2 13/27 (recte: arrêt du 21 mai 2013, cause A2 13/89), à ce que le Tribunal fédéral demande au Service cantonal de le libérer immédiatement et, même en cas de libération, à ce qu'il statue sur la proportionnalité de la détention et sur sa compatibilité avec l'art. 7 Cst. et qu'il lui attribue, le cas échéant, une indemnité pour les atteintes commises. A.X._ requiert par ailleurs l'octroi de l'assistance judiciaire.
Ni le Service cantonal, ni l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral), pas plus que le Tribunal cantonal n'ont présenté d'observations. Dans sa détermination du 10 juillet 2013, A.X._ s'est nouvellement plaint des conditions de détention administrative dans le canton du Valais.

Considérant en droit:
1.
A l'instar de la décision du Juge unique prononçant la première prolongation de la détention du recourant, l'arrêt attaqué qui prolonge une deuxième fois ladite détention jusqu'au 22 août 2013 et refuse de libérer l'intéressé peut faire l'objet d'un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral (cf. arrêt 2C_285/2013 du 23 avril 2013 consid. 1.1). Le recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>) par le détenu administratif qui remplit les conditions de l'<ref-law>.
Selon l'<ref-law>, le mémoire doit contenir des conclusions, qui doivent être formulées de manière précise (cf. arrêt 4A_402/2011 du 19 décembre 2011 consid. 1.2). L'interdiction du formalisme excessif impose toutefois de ne pas se montrer trop strict dans la formulation des conclusions si, à la lecture du mémoire, on comprend clairement ce que veut le recourant (arrêts 4A_688/2011 du 17 avril 2012 consid. 2, non publié in <ref-ruling>; 5A_827/2012 du 21 décembre 2012 consid. 1.2). Les conclusions nouvelles sont irrecevables (<ref-law>).
Bien que les conclusions portent sur l'annulation d'une autre décision du Tribunal cantonal, on comprend à la motivation que le recourant s'en prend en réalité à l'arrêt du 21 mai 2013, de sorte que ladite conclusion est admissible. En revanche, les conclusions subsidiaires, dans lesquelles le recourant demande à la Cour de céans de se prononcer sur la proportionnalité de sa détention (avant tout en lien avec les conditions de détention) et sur sa compatibilité avec l'art. 7 Cst. même s'il était libéré et de décider de lui attribuer le cas échéant une indemnité pour les atteintes commises sont irrecevables, car elles sont nouvelles, le recourant n'ayant jamais contesté les conditions de sa détention ni a fortiori pris de conclusions à ce propos sur le plan cantonal (<ref-ruling> consid. 3a p. 221; arrêt 2C_420/2011 du 9 juin 2011 consid. 5).
2.
Les différentes procédures devant la Cour de céans concernant la détention administrative de A.X._ ont mis en évidence les faits suivants : A.X._ a déposé une demande d'asile en Suisse le 15 février 1999, qui a été rejetée le 18 décembre 2001. Il a été condamné pénalement en décembre 2003 et janvier 2004 à respectivement 20 mois et 2 ans d'emprisonnement et à l'expulsion du territoire suisse pour une durée de 10 ans pour lésions corporelles graves. Le 19 mai 2006, il a fait l'objet d'une mesure de détention administrative au motif qu'il n'avait accompli aucune démarche en vue de prouver son identité et de regagner son pays d'origine. Il a été libéré de sa détention administrative le 13 décembre 2006, après avoir été rendu attentif à son obligation de quitter la Suisse et de collaborer avec les autorités. Il a été établi qu'il était connu en Suisse sous deux identités différentes, à savoir A.Y._ et A.Z._. En juin et octobre 2007, il a déclaré refuser de quitter la Suisse et n'a pas voulu s'informer sur les aides au départ dont il aurait pu bénéficier. A partir du 30 avril 2009, les autorités n'ont plus su où le recourant était domicilié, tous les courriers le concernant étant adressés à son mandataire d'alors. Il a été placé en détention après avoir été reconduit en Valais par la police vaudoise. A.X._ avait déclaré ne pas vouloir quitter la Suisse de manière autonome et n'avoir recherché aucun document prouvant son identité.
A deux reprises, le recourant a demandé en vain que son renvoi soit réexaminé; la première demande s'est soldée par un arrêt de rejet du Tribunal administratif fédéral du 16 mars 2009, la seconde par un arrêt d'irrecevabilité de cette même autorité prononcé le 31 mai 2011.
3.
Comme déjà indiqué dans l'arrêt 2C_285/2013 du 23 avril 2013 consid. 4, la mise en détention du recourant est justifiée en application de l'art. 76 al. 1 let. b ch. 3 LEtr.
Le recourant se trouve en détention administrative en vue de son renvoi depuis le 22 novembre 2012. La nouvelle prolongation de la détention, accordée jusqu'au 22 août 2013, reste donc dans les limites et conditions prévues par l'art. 79 al. 2 let a LEtr, dès lors que le recourant refuse de coopérer, comme le démontre son refus d'accepter un vol ordinaire pour être rapatrié. Or, selon les constatations cantonales, l'organisation d'un vol spécial implique en particulier que des collaborateurs de l'Office fédéral conviennent avec les autorités d'Erbil, dans le Nord-Irak d'où vient le recourant, des modalités de l'organisation d'un tel vol, ce que ceux-ci projetaient de faire à mi-juin 2013. Dans ce contexte et compte tenu du risque concret que le recourant ne se soustraie à son renvoi, puisqu'il répète son refus de se rendre en Irak, la durée de la détention prolongée reste encore proportionnée. En outre, les démarches évoquées dans l'arrêt attaqué démontrent que l'on ne peut reprocher à l'autorité un manque de diligence contraire à l'art. 76 al. 4 LEtr, étant précisé que c'est en premier lieu le recourant qui est responsable des difficultés liées à son renvoi.
En l'état, aucun élément ne permet donc de considérer que la deuxième prolongation de détention prononcée par le Juge unique ne respecte pas les exigences légales.
4.
Les griefs formulés par le recourant ne permettent pas de modifier cette conclusion.
4.1. Le recourant reproche au Juge cantonal d'avoir établi les faits de manière incomplète et erronée.
L'arrêt attaqué retient que l'Office fédéral a accompli des démarches pour permettre un renvoi du recourant au Nord-Irak par vol spécial et que des collaborateurs vont se rendre sur place. Une telle constatation est suffisante, sans que le Juge de la détention ne doive encore interroger le Service cantonal. Le recourant se fonde dans ce contexte sur l'art. 79 al. 4 LEtr. Or cette disposition n'existe pas.
Sous l'angle des faits, le recourant reproche également au Juge unique de ne s'être à aucun moment préoccupé des conditions de détention, violant son devoir d'instruction et la maxime d'office (recte: inquisitoriale; arrêt 2C_1007/2011 du 12 mars 2012 consid. 4.4). Cette maxime régissant l'établissement des faits en procédure administrative n'oblige toutefois pas le juge à instruire d'office le litige lorsqu'un justiciable renonce à expliquer sa position; si des motifs objectifs le conduisent à soupçonner que les allégations et offres de preuves d'une partie sont lacunaires, il doit inviter cette partie à compléter ses moyens (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 80). En l'espèce, avant que le Juge ne statue sur la demande de prolongation, l'avocat du recourant s'est déterminé par écrit et une audition a été organisée devant le Juge unique. Ceux-ci avaient donc tout loisir de se plaindre des conditions de détention inadéquates dont se prévaut à présent le recourant. En outre, le recourant avait déjà eu l'occasion de comparaître devant le Juge unique lors de la première demande de prolongation. Pourtant, à aucun moment l'avocat et/ou le recourant n'ont évoqué ce point. On ne voit pas que le Juge cantonal ait dû soupçonner que le recourant, dûment représenté par un avocat d'office, aurait oublié de critiquer les conditions de sa détention. On ne voit donc pas que l'on puisse reprocher à l'instance inférieure d'avoir constaté les faits de manière lacunaire ou violé la maxime inquisitoriale sur ce point.
4.2. Invoquant l'art. 29 Cst., le recourant reproche à l'arrêt attaqué d'être insuffisamment motivé s'agissant des conditions de sa détention. Dès lors que le Juge unique n'avait pas à examiner ce point en l'absence de griefs du recourant, on ne voit pas que l'on puisse lui reprocher une violation de l'art. 29 al. 2 Cst. En effet, pour répondre aux exigences de motivation prévues par cette disposition il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 270; arrêt 1B_82/2013 du 27 mars 2013 consid. 2.2, destiné à la publication).
4.3. S'agissant du fond, le recourant, sous le couvert de la proportionnalité, d'une violation de l'art. 81 LEtr et de l'art. 7 Cst., se plaint des conditions de sa détention administrative dans les deux établissements qu'il a fréquentés (à Martigny pendant 1 mois; puis au Centre de détention pour étrangers de Granges depuis 6 mois). Comme on vient de l'évoquer, ni le recourant ni son avocat sur le plan cantonal n'ont jamais formulé de griefs devant le Juge unique sur le sujet. Pour la première fois devant la Cour de céans, le recourant soutient être détenu depuis le 22 novembre 2012 dans des conditions contraires aux droits fondamentaux.
Une telle argumentation n'est pas recevable (cf. consid. 1 supra). Le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de rappeler plusieurs fois qu'il n'examinait les conditions de la détention que dans la mesure où les griefs y relatifs ont été soulevés devant le juge (cantonal) de la détention. La Cour de céans est, en effet, liée par l'état de fait établi par l'autorité précédente et la présentation de faits nouveaux ou de nouveaux moyens de preuve est en principe exclue (<ref-law>; arrêts 2C_420/2011 du 9 juin 2011 consid. 5; 2C_128/2009 du 30 mars 2009 consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 3a p. 221).
5.
Dans ces circonstances, le recours ne peut qu'être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Le recours, qui se fonde essentiellement sur des critiques (irrecevables) liées aux conditions de détention, était d'emblée infondé, de sorte que la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). Au demeurant, la représentante du recourant ayant indiqué qu'elle était juriste et non pas titulaire du brevet d'avocat, elle ne pouvait prétendre à une indemnité au sens de l'<ref-law>. Cette disposition, ancrée dans une loi fédérale au sens formel, réserve en effet univoquement la possibilité d'être désigné comme représentant d'une partie et d'être indemnisé par le Tribunal fédéral au seul avocat breveté (<ref-ruling> consid. 7.4.1 p. 4; arrêts 2C_1132/2012 du 13 mai 2013 consid. 5.3, non publié; 2C_769/2012 du 22 octobre 2012 consid. 4.3; 2C_323/2011 du 29 août 2011 consid. 2).
Compte tenu de la situation du recourant, il sera toutefois statué sans frais (<ref-law>). Il ne sera pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la représentante du recourant, au Service de la population et des migrations du canton du Valais, au Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 11 juillet 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Chatton