Sachverhalt:
A.
A._ bestand in den Frühjahrsprüfungssessionen 2011 und 2012 den schriftlichen Teil der Notariatsprüfungen des Kantons Luzern nicht. Auf Gesuch hin wurde er anlässlich der Prüfungssession vom Frühjahr 2013 zum dritten Versuch zugelassen. Mit Verfügung vom 9. April 2013 informierte die Notariatsprüfungskommission des Kantons Luzern A._ über das Ergebnis der schriftlichen Prüfungen, wonach das Handels- und Stiftungsrecht mit "genügend"; demgegenüber das Fach Sachen- und Kaufvertragsrecht sowie das Fach Ehegüter- und Erbrecht mit "ungenügend" bewertet wurden. Die Notariatsprüfungskommission teilte weiter mit, dass die schriftliche Prüfung damit nicht bestanden und eine Wiederholung nicht mehr möglich sei. Damit erübrigte sich auch eine Zulassung zu den mündlichen Notariatsprüfungen, die für den Fall des Bestehens der schriftlichen Prüfungen vorgesehen waren.
B.
Gegen die Verfügung vom 9. April 2013 erhob A._ Beschwerde beim Obergericht (seit dem 1. Juni 2013 Kantonsgericht) und beantragte insbesondere, den negativen Prüfungsentscheid aufzuheben. Im Sinne einer vorsorglichen Massnahme verlangte er weiter die provisorische Zulassung zur mündlichen Prüfung. Das Kantonsgericht wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 18. November 2013 ab; die beantragte vorsorgliche Massnahme hatte es zuvor nicht gewährt.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Erlassbeschwerde) und subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt A._ dem Bundesgericht unter anderem festzustellen, dass § 60a Abs. 1 Satz 2 des Gesetzes über die öffentlichen Beurkundungen vom 18. September 1973 (SRL Nr. 255; im Folgenden: Beurkundungsgesetz/LU) nicht verfassungskonform sei. Insbesondere seien der Entscheid der Vorinstanz vom 18. November 2013 und derjenige der Prüfungskommission vom 9. April 2013 aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die Vorinstanz kein unabhängiges und unparteiliches Gericht sei. Der Beschwerdeführer beantragt weiter, ihm sei die Befähigung zum Notar zu erteilen; eventuell sei die schriftliche Notariatsprüfung für bestanden zu erklären, weswegen er zur mündlichen Notariatsprüfung zuzulassen sei; subsubeventualiter sei die Angelegenheit an ein unabhängiges und unparteiisches Gericht mit der Möglichkeit der Ermessenskontrolle, insbesondere unter Berücksichtigung der fehlerhaften Aufgabenstellung, zurückzuweisen.
Die Notariatskommission des Kantons Luzern und das Kantonsgericht beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hält in einer weiteren Eingabe an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Streitgegenstand bildet das Nichtbestehen einer Notariatsprüfung, wobei das Prüfungsergebnis mit einer ungenügenden Leistung in der schriftlichen Prüfung in den Fächern "Sachen- und Kaufvertragsrecht" sowie "Ehe- und Erbrecht" begründet wird. In diesem Fall der Bewertung der persönlichen Fähigkeiten des Beschwerdeführers kommt der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. t BGG zum Tragen ("Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen"), sodass einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG offensteht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 44; <ref-ruling> E. 1 S. 231; Urteile 2D_31/2014 vom 22. April 2014 E. 2.2.1; 2D_36/2013 vom 20. Januar 2014 E. 1.2; 2C_694/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 1.2; 2D_34/2012 vom 26. Oktober 2012 E. 1.1; 2D_56/2011 vom 9. Juli 2012 E. 1).
1.2. Nach Art. 115 lit. b BGG setzt die Legitimation zur subsidiären Verfassungsbeschwerde ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids voraus. Der Beschwerdeführer hat bei erfolgreich absolvierter Notariatsprüfung (sowie weiterer, hier nicht zu prüfenden Voraussetzungen) einen Rechtsanspruch auf Erteilung des Befähigungsausweises als Notar (vgl. § 5 Abs. 2 lit. a des Beurkundungsgesetzes/LU). Durch die endgültige Abweisung ist der Beschwerdeführer unmittelbar in seinen rechtlich geschützten Interessen betroffen und zur subsidiären Verfassungsbeschwerde legitimiert.
1.3. Der Beschwerdeführer rügt die Verfassungsmässigkeit der durch das Kantonsgericht zur Anwendung gebrachten Norm, auf die der negative Prüfungsentscheid massgeblich gestützt wurde. Er ficht § 60a Abs. 1 Beurkundungsgesetz/LU an und geht davon aus, dies sei gemäss Art. 82 lit. b BGG mittels Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten möglich. Die Frage der Verfassungskonformität der zur Anwendung gelangten Bestimmung des Beurkundungsgesetzes/LU aus dem Jahr 2002 stellt sich vorliegend jedoch nicht (mehr) im Rahmen einer abstrakten Normenkontrolle (Art. 82 lit. b BGG in Verbindung mit Art. 101 BGG); dem Antrag auf Aufhebung ist nicht zu entsprechen. Vielmehr soll anhand des Prüfungsentscheids als konkretem Einzelakt vorfrageweise überprüft werden, ob § 60a des Beurkundungsgesetzes/LU gegen höherrangiges Recht verstösst (akzessorische Normenkontrolle). Dies ist zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 80; <ref-ruling> E. 2.3 S. 69 f.; Urteil 2C_397/2007 vom 18. März 2008 E. 1.4 nicht publ. in: <ref-ruling> ff.). Die akzessorische Überprüfung der kantonalen Bestimmungen vermag für sich jedoch nicht das ordentliche Rechtsmittel zu eröffnen, sondern erfolgt im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde (s. oben E. 1.1).
1.4. Mit der Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nur, soweit eine entsprechende Rüge vorgebracht und begründet worden ist. Dabei gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG in Verbindung mit Art. 117 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 235; <ref-ruling> E. 2.8 S. 494).
1.5. Hat das Bundesgericht auf subsidiäre Verfassungsbeschwerde hin die Bewertung von Prüfungsleistungen zu beurteilen, so prüft es die Handhabung der einschlägigen kantonalen Verfahrensvorschriften unter dem Gesichtswinkel der Willkür. In erster Linie untersucht es, ob das vorgeschriebene Verfahren unter Beachtung der verfassungsrechtlichen Minimalgarantien durchgeführt worden ist. Eine grosse Zurückhaltung auferlegt es sich bei der materiellen Beurteilung, indem es erst einschreitet, wenn sich die Behörde von sachfremden oder sonst wie offensichtlich unhaltbaren Erwägungen hat leiten lassen, sodass ihr Entscheid unter rechtsstaatlichen Gesichtspunkten als nicht mehr vertretbar und damit als willkürlich erscheint. Das Bundesgericht auferlegt sich bei der Überprüfung von Examensleistungen auch dann Zurückhaltung, wenn es aufgrund seiner Fachkenntnisse sachlich zu einer weitergehenden Überprüfung befähigt wäre (etwa bei Rechtsanwalts- oder Notariatsprüfungen; BGE <ref-ruling> E. 6.2 S. 238; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 mit Hinweisen; Urteile 2D_34/2012 vom 26. Oktober 2012 E. 1.3; 2D_53/2009 vom 25. November 2009 E. 1.4; 2D_55/2010 vom 1. März 2011 E. 1.5).
1.6. Nicht eingetreten werden kann auf die Beschwerde hinsichtlich der beantragten Aufhebung des Entscheids der Notariatsprüfungskommission, ist dieser doch durch das Urteil des Verwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt). Jener Entscheid gilt als inhaltlich mit angefochten; einzig das Urteil des Kantonsgerichts bildet jedoch das Anfechtungsobjekt für die Beschwerde vor Bundesgericht (Art. 86 Abs. 1 lit. d in Verbindung mit Art. 114 BGG; <ref-ruling> E. 1.4 S. 144; Urteile 2C_366/2014 vom 6. Juni 2014 E. 2.1; 2C_699/2013 vom 23. Mai 2014 E. 2.2 mit Hinweisen).
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV). Er wirft dem Kantonsgericht vor, es habe die Akten der ersten zwei Prüfungsversuche sowie Resultate der Kandidaten der letzten zwei Jahre nicht zu den Akten genommen. Damit habe nicht dargestellt werden können, dass die Durchfallquote unverhältnismässig hoch und diejenigen Kandidaten, welche die Prüfung erfolgreich absolvierten, des Öfteren sehr nahe mit den Prüfungsexperten verbunden gewesen waren.
2.1. Der in Art. 29 Abs. 2 BV garantierte Anspruch auf rechtliches Gehör räumt dem Betroffenen das persönlichkeitsbezogene Mitwirkungsrecht ein, erhebliche Beweise beizubringen, mit solchen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken. Dem Mitwirkungsrecht entspricht die Pflicht der Behörden, die Argumente und Verfahrensanträge der Parteien entgegenzunehmen und zu prüfen sowie die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 127; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148). Bei Prüfungsentscheiden dient die Einsicht in die Akten dem Kandidaten namentlich dazu, nachträglich die Beurteilung seiner Prüfungsarbeit nachzuvollziehen und allenfalls ein Rechtsmittel gegen den Prüfungsentscheid einzulegen. Zu diesem Zweck ist dem Kandidaten Zugang zu all jenen Informationen zu gewähren, die erforderlich sind, um die Prüfungsbewertung nachvollziehen zu können (<ref-ruling> E. 2 S. 227 ff.; Urteile 2D_25/2012 vom 6. November 2012 E. 3.3; 2C_694/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 3.3; 2P.83/2004 vom 9. August 2004 E. 2.3.2). Vom Einsichtsrecht erfasst sind namentlich die eigenen Prüfungsunterlagen, wozu unter anderem die schriftlich gestellten Prüfungsaufgaben sowie die schriftliche Prüfungsarbeit des Kandidaten zählen (<ref-ruling> E. 2b S. 228 und E. 2d S. 229; Urteil 2C_694/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 3.3). Allerdings steht die Verfassungsgarantie einer vorweggenommenen Beweiswürdigung nicht entgegen. Das Kantonsgericht darf auf die Abnahme von Beweisen verzichten, wenn es aufgrund der Akten oder bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen kann, diese werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (BGE <ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157).
2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör sei verletzt, weil ihm die Unterlagen zu seinen ersten beiden Prüfungsversuchen aus den Jahren 2011 und 2012 nicht vorgelegen hätten. Dem ist entgegenzuhalten, dass die ersten beiden Prüfungen, die der Beschwerdeführer gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen eingesehen hatte, separat bewertet und nicht angefochten wurden. Es ist nicht ersichtlich, welche Relevanz die beiden unangefochten gebliebenen und damit endgültig nicht bestandenen Prüfungen für das vorliegend streitige Verfahren über die Bewertung des dritten Prüfungsversuchs hätten. Das Kantonsgericht durfte die Erhebung dieses Antrags in antizipierter Beweiswürdigung ablehnen, ohne Bundesrecht zu verletzen.
Der Beschwerdeführer bringt vor, das Kantonsgericht habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör auch insofern verletzt, als es die Anmeldungen und die Resultate der Prüfungsteilnehmer der Notariatsprüfungen der letzten Jahre nicht ediert habe. Die Prüfungskommission hat in ihrer Vernehmlassung die Anzahl erfolgreicher Kandidaten seit 2011 als 7 von 11 bezeichnet; wie sich aus ihrer Eingabe im bundesgerichtlichen Verfahren ergibt, waren gleichzeitig mit dem Beschwerdeführer drei Kandidaten an die schriftlichen Prüfungen der Frühjahrssession 2013 angetreten, einer davon hatte die Prüfung erfolgreich bestanden. Die Zahlen sind für sich und ohne weitere Belege wenig aussagekräftig, um die Behauptungen des Beschwerdeführers zu stützen, wonach die Durchfallquote der Prüfung "unverhältnismässig" hoch sei. Dieser weist zudem nicht auf konkrete Anhalts- oder Verdachtspunkte hin, die auf eine falsche Prüfungsbewertung schliessen lassen, welche sich anhand der Einsichtsnahme in die Prüfungsunterlagen oder -abschlüsse anderer Kandidaten zeigen soll (vgl. <ref-ruling> E. 2b ff. S. 228 ff.; Urteile 2C_694/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 3.4; 2D_10/2010 vom 31. Januar 2011 E. 4.4; 2C_638/2007, 2D_117/2007 vom 7. April 2008 E. 4.2 mit Hinweisen). Das Kantonsgericht durfte den Beizug der Akten der übrigen Kandidaten mangels konkreter Hinweise auf Unregelmässigkeiten der Korrektur im Vergleich mit den anderen Prüfungsabsolventen ablehnen. Es hat dies in zulässiger Weise damit begründet, die Gutheissung des Antrags hätte insbesondere wegen fehlender konkreter Bezüge zum angefochtenen Prüfungsentscheid am Ausgang des Verfahrens nichts zu ändern vermocht.
3.
Der Beschwerdeführer rügt weiter eine fehlende Unabhängigkeit des Kantonsgerichts von der Notariatsprüfungskommission. Sein Anspruch auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht sei verletzt (Art. 30 Abs. 1 BV; Art. 6 Ziff. 1 EMRK).
3.1. Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch darauf, dass ihre Streitsache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Gericht beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, welche ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das gerichtliche Urteil einwirken. Art. 30 Abs. 1 BV soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen (<ref-ruling> E. 2.1.2 S. 435 f.; <ref-ruling> E. 5.1 S. 125; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124; <ref-ruling> E. 2.2 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 229; <ref-ruling> E. 3.1 S. 210). Die Garantie des verfassungsmässigen Gerichts wird bereits verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten aufscheinen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Gerichts zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit hervorrufen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass ein Gerichtsmitglied tatsächlich befangen ist (BGE <ref-ruling> E. 5.1 S. 125; <ref-ruling> E. 2.2 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 210; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 608 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 240 mit weiteren Hinweisen).
3.2. Der Beschwerdeführer sieht die fehlende Unabhängigkeit der Vorinstanz in mehreren Bestimmungen des Beurkundungsgesetzes des Kantons Luzern begründet. Die von ihm herangezogenen institutionell-verfahrensorganisatorischen Normen oder behaupteten personellen Unvereinbarkeiten ergeben indessen keinen Anschein der Befangenheit der Vorinstanz: So ist nicht einzusehen, weshalb die Überprüfung des Zulassungsgesuchs zum Notariatsexamen durch die Geschäftsleitung des Kantonsgerichts - sie beinhaltet die Befugnis zu kontrollieren, ob ein Anwaltspatent oder das Fähigkeitszeugnis "Gemeindeschreiber" vorliegt und ob die Prüfungsgebühr bezahlt wurde (§ 2 Abs. 2 bis 4 Notariatsprüfungsverordnung/LU) - die Befangenheit des Spruchkörpers implizierte. Auch der Umstand, dass ein am vorinstanzlichen Urteil beteiligter Kantonsrichter Mitglied der Geschäftsleitung des Gerichts ist, legt keine personelle Unvereinbarkeit nahe. Wenn das Kantonsgericht als Rechtsmittelinstanz gegen Prüfungsentscheide der Kommission zuständig ist (§ 60a Beurkundungsgesetz/LU) und gleichzeitig als Wahlorgan die Prüfungskommission (§ 6 Abs. 3 Beurkundungsgesetz/LU) sowie die Aufsichtsbehörde über die Urkundspersonen (§ 56 Abs. 1 Beurkundungsgesetz/LU) bestellt, vermag dies für sich keine sachfremden Einflüsse auf die Justiztätigkeit der Vorinstanz aufzuzeigen. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers wäre es im Übrigen nicht zum Vornherein ausgeschlossen, dass Rechtsmittelinstanzen (auch unmittelbare) Aufsichtsfunktionen ausüben und diese selbst reglementieren (vgl. etwa [für den Bereich des Bundesrechts] die Aufsichtsfunktion des Bundesgerichts über die Eidgenössischen Gerichte; Aufsichtsreglement des Bundesgerichts vom 11. September 2006; SR 173.110.132). Der Umstand, dass der gleichzeitig am Kantonsgericht als Gerichtsschreiber tätige (jedoch ohnehin nicht am vorinstanzlichen Urteil beteiligte) Aktuar der Prüfungskommission den Notariatskandidaten die Prüfungsräumlichkeiten und -mittel zeigte und die Prüfungen protokolliert, vermag keine fehlende Unabhängigkeit des Kantonsgerichts aufzuzeigen (§ 1 Abs. 2 der Notariatsprüfungsverordnung/LU; vgl. auch etwa § 5 Abs. 3 des Gesetzes über das Anwaltspatent und die Parteienvertretung des Kantons Luzern vom 4. März 2000 [SRL 280]). Der Präsident der Prüfungskommission ist selbst nicht Mitglied des Kantonsgerichts, sodass entgegen der Vorbringen des Beschwerdeführers auch diesbezüglich keine personelle Unvereinbarkeit vorliegt und nicht der Anschein von Befangenheit erweckt wird (vgl. hierzu Urteil 2D_36/2013 vom 20. Januar 2014 E. 3). Der Beschwerdeführer macht denn auch keine konkreten Befangenheitsgründe einzelner Richter geltend. Es sind weder organisatorisch-institutionelle noch personelle Unvereinbarkeiten erkennbar, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit der Vorinstanz hervorrufen. Eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist nicht dargetan.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt die Verfassungsmässigkeit von § 60a Abs. 1 Beurkundungsgesetz/LU (vgl. oben E. 1.3). Gemäss dieser Bestimmung steht gegen die in Anwendung des Gesetzes ergangenen Entscheide die Beschwerde an das Kantonsgericht offen, dem auch die Ermessenskontrolle zusteht. Von der Ermessenskontrolle ausgenommen werden allerdings Beschwerden gegen Prüfungsentscheide. Hierin sieht der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 29a BV (Rechtsweggarantie).
4.2. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers verlangt die Rechtsweggarantie von Art. 29a BV keine gerichtliche Kontrolle der Angemessenheit des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.5 S. 239 mit zahlreichen Hinweisen auf Literatur; Urteile 2C_124/2013 vom 25. November 2013 E. 1.3.1; 2C_180/2013 und 2C_181/2013 vom 5. November 2013 E. 8.1; 2C_114/2012 vom 26. März 2013 E. 2.3; 1C_310/2009 vom 17. März 2010 E. 2.2.2 und E. 2.2.3; 2C_690/2010 vom 25. Januar 2011 E. 2.2). Die Kantone können hierüber hinausgehen und auch eine gerichtliche Prüfung der Angemessenheit vorsehen; sie sind hierzu jedoch bundesrechtlich nicht verpflichtet (vgl. Bernhard Ehrenzeller, in: Niggli/Uebersax/ Wiprächtiger [Hrsg.], BSK Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 15 zu Art. 110; Hansjörg Seiler, in: Seiler/von Werdt/Güngerich [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 11 zu Art. 110). Das Bundesgericht akzeptiert demnach in konstanter Rechtsprechung eine entsprechende Kognitionsbeschränkung der kantonalen Verwaltungsgerichte bei der Überprüfung von Examensleistungen, sodass hieraus keine Unzulässigkeit der angeführten kantonalen Erlassbestimmung und keine Verletzung von Art. 29a BV resultiert (vgl. BGE <ref-ruling> E. 5.4.1 S. 237; Urteil 2D_34/2012 vom 26. Oktober 2012 E. 3.3; 2D_25/2011 vom 21. November 2011 E. 2.6; vgl. etwa für eine analoge Kognitionsbeschränkung auf Bundesebene Art. 37 Abs. 4 des ETH-Gesetzes [SR 414.110]).
5.
5.1. Vorgebracht wird weiter, die Kommission habe ihren negativen Prüfungsentscheid in willkürlicher Art und Weise gefällt. So hätten Mängel in der Aufgabenstellung im Fach Sachen- und Kaufvertragsrecht das Prüfungsresultat wesentlich beeinflusst. Eine telefonische Konsultation des Experten, der die Prüfung entworfen hatte, habe diesbezüglich keine Klarheit bringen können. Auch bei der Aufgabenstellung für die Ehe- und Erbrechtsprüfung hätten sich hinsichtlich der Fragestellung Mängel ergeben. Voraussetzung, dass die Kandidaten die Prüfungen überhaupt bestehen könnten, sei die Kenntnis von sog. "alten Prüfungen" und damit ein "Insiderwissen", das nur Anwaltskanzleien zugänglich gemacht werde, in denen Prüfungsexperten tätig seien. Zum Ausdruck käme hierdurch zusätzlich ein Interesse der Prüfungskommission, zum Schutz der bereits zugelassenen Notare möglichst wenige neue Notare zu patentieren.
5.2. Die Vorinstanz hält zwar fest, die vom Beschwerdeführer geschilderte Unsicherheit hinsichtlich der richtigen Lösung sei anhand der zur Verfügung stehenden Unterlagen bzw. aufgrund des nicht abgegebenen Mutationsplans nachvollziehbar. Vor diesem Hintergrund, so die Vorinstanz weiter, wäre es wünschbar gewesen, die Aufgabenstellung durch weitere Hinweise zu verdeutlichen oder spätestens durch das Telefonat während der Prüfung vermehrt Klarheit zu verschaffen, was von den Kandidaten erwartet wurde. Indessen sei dadurch die Aufgabenstellung im Fach Sachen- und Kaufvertragsrecht weder zur Abklärung des Fähigkeitsnachweises schlichtweg ungeeignet geworden noch habe dies zu einer missbräuchlichen Prüfungsbewertung geführt. Auch die Ehegüter- und Erbrechtsprüfung erschien dem Kantonsgericht im Rahmen der ihm zustehenden Prüfungsbefugnis weder unlösbar noch unhaltbar bewertet. Dieser Einschätzung ist zuzustimmen, jedenfalls lassen die - teils appellatorischen (vgl. oben E. 1.4) - Rügen des Beschwerdeführers die Einschätzung des Kantonsgerichts nicht als willkürlich erscheinen: Der Beschwerdeführer wurde mit Kandidaten verglichen, die in der Sachen- und Kaufvertragsrechtsklausur die gleichen Informationen eines Prüfungsexperten simultan am Telefon per Lautsprecher erhielten und, ebenfalls ohne zusätzliche Hilfestellung oder Konkretisierung, einen Lösungsweg erarbeiten mussten. Wie die Vorinstanz zudem gestützt auf verschiedene Sitzungsprotokolle sachverhaltlich erstellt, wurde die Bewertung der Prüfung sowohl im Sachen- und Kaufvertragsrechts als auch im Ehegüter- und Erbrecht durch fünf Experten für alle vier Kandidaten einzeln ausführlich begründet. Die Experten hatten sich eingehend mit dem im Vergleich zur Lösungsskizze abweichenden Lösungsweg des Beschwerdeführers in den Fächern Sachen- und Kaufvertragsrechts sowie Ehegüter- und Erbrecht auseinandergesetzt. Soweit dessen Lösungsweg nicht gegen die in den Prüfungsprotokollen erwähnten sachen- und eherechtlichen Regelungen verstiess und die Umsetzung der gewählten Lösung aus Sicht der Prüfungsexperten korrekt erfolgte, wurden dem Beschwerdeführer für seinen abweichenden Lösungsweg Punkte vergeben. Die vom Beschwerdeführer behauptete "schablonenhafte" Korrektur und eine unhaltbare Aufgabenstellung oder willkürliche Bewertung - eine solche wäre angesichts der beschränkten Kognition des Bundesgerichts für ein Durchdringen seiner Rüge zur materiellen Prüfungsbewertung erforderlich (vgl. oben E. 1.5) -, sind nicht dargetan.
5.3. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Prüfung sei ohnehin nur mit "Insiderwissen" zu bestehen, bleiben seine Vorbringen unbelegt. Die Notariatskommission legt dar, dass sie die bisherigen, sog. "alten Prüfungen" und ihre Musterlösungen jeweils nach ablehnenden Prüfungsentscheiden im Rahmen der Akteneinsicht zur Verfügung gestellt habe. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, ihm wären bisherige Prüfungen und Musterlösungen nicht zugänglich gemachten worden, substanziiert er nicht, wem sie auf welche unzulässige Weise rechtsungleich vorgelegt geworden sein sollen (vgl. Urteile 2C_694/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 3.4; 2C_638/2007, 2D_117/2007 vom 7. April 2008 E. 4.2 mit Hinweisen). Bisherige Prüfungen und Musterlösungen sind ihm zumindest in dem Umfang zuteilgeworden, als er von seinem Anspruch auf Akteneinsicht zu den zuvor abgelegten Prüfungssessionen 2011 und 2012 unbestrittenermassen Gebrauch gemacht hatte (vgl. oben E. 2.2). Inwiefern sich aus seiner Rüge zu früheren Prüfungsaufgaben und fehlenden Musterlösungen eine unhaltbare Bewertung der abgelegten schriftlichen Prüfung ergeben soll, vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer rügt schliesslich eine formelle Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 BV), weil das Kantonsgericht nicht vorsorglich anordnete, ihn zur mündlichen Prüfung zuzulassen. Indem keine Zwischenverfügung erlassen wurde, sei auch das Recht verletzt, Anträge rechtzeitig zu behandeln.
6.2. Art. 29 Abs. 1 BV räumt einen Anspruch auf Behandlung von formgerecht eingereichten Eingaben ein und verbietet formelle Rechtsverweigerung. Eine solche liegt vor, wenn eine Behörde fälschlicherweise auf eine Eingabe nicht eintritt und sie nicht regelgemäss prüft (<ref-ruling> E. 2.3 S. 232; <ref-ruling> E. 4.5 S. 103; <ref-ruling> E. 2a S. 441 mit Hinweis; Urteile 1P.338/2006 und 1P.582/2006 vom 12. Februar 2007 E. 3.2; Gerold Steinmann, in: Die schweizerische Bundesverfassung, 2. Aufl. 2008, N. 10 zu Art. 29 BV).
Zur mündlichen Notariatsprüfung werden gemäss § 4a Abs. 1 Notariatsprüfungsverordnung/LU nur Kandidaten zugelassen, welche die schriftliche Prüfung bestanden haben. Der Beschwerdeführer vermochte mit Bezug auf den negativen Prüfungsentscheid zu den schriftlichen Prüfungen - wie die Vorinstanz zurecht erwog - keine Rechtsverletzung aufzuzeigen (vgl. oben E. 2-5), sodass der Prüfungsentscheid zur abgelegten Klausur nicht aufzuheben war. Aufgrund der dem Kantonsgericht beantragten, von diesem jedoch nicht (vorweg) behandelten vorsorglichen Massnahme um provisorische Zulassung zu den mündlichen Notariatsprüfungen, ist dem Beschwerdeführer - wie sich im Nachhinein zeigt - kein nicht wieder gutzumachender Nachteil entstanden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 47, 333 E. 1.3.1 S. 335; je mit Hinweisen). Vor diesem Hintergrund besteht auch kein aktuelles rechtlich geschütztes Interesse mehr an der Änderung oder Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids (vgl. oben E. 1.2 und Art. 93 Abs. 3 BGG). Die Rüge der Rechtsverweigerung hinsichtlich einer provisorischen Zulassung zur mündlichen Prüfung kann daher nicht weiter behandelt werden.
7.
Nach den vorstehenden Erwägungen erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es ist keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Rechtsmittel wird als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen und abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni