Sachverhalt:
A.
A.a. Die X._ AG mit Sitz in I._ ZH (Beschwerdeführerin) wurde am 8. Juni 2005 in das Handelsregister eingetragen und hat ihr Rechtsdomizil an der J._-Strasse in I._.
Mit Tagesregister-Eintrag vom 27. Januar 2012 wurde die seit dem 3. Januar 2011 als Revisionsstelle fungierende Z._ AG aus dem Handelsregister gelöscht.
A.b. Mit an das Rechtsdomizil der X._ AG adressiertem Schreiben vom 27. Januar 2012 (zugestellt am 1. Februar 2012) teilte das Handelsregisteramt des Kantons Zürich (Beschwerdegegner) der Gesellschaft mit, dass die Z._ AG als Revisionsstelle im Handelsregister gelöscht worden ist und die Gesellschaft damit über keine Revisionsstelle mehr verfügt. Das Handelsregisteramt wies die X._ AG darauf hin, dass eine Aktiengesellschaft gemäss <ref-law> über eine von der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde zugelassene und im Handelsregister eingetragene Revisionsstelle verfügen oder aber der Verzicht auf eine Revision im Sinne von <ref-law> eingetragen sein müsse. Dies sei bei der X._ AG nicht gegeben, womit ein Organisationsmangel im Sinne von <ref-law> vorliege. Das Handelsregisteramt forderte die X._ AG deshalb dazu auf, den gesetzmässigen Zustand hinsichtlich der Revisionsstelle innert 30 Tagen herzustellen. Weiter hielt das Handelsregisteramt fest, dass es dem zuständigen Gericht den Antrag stellen werde, die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen, falls die Gesellschaft den rechtmässigen Zustand nicht innert Frist herstellt.
Die X._ AG liess die ihr angesetzte Frist ungenutzt verstreichen.
B.
Mit Gesuch vom 8. März 2012 beantragte das Handelsregisteramt dem Handelsgericht des Kantons Zürich, es seien infolge Mängeln in der gesetzlich zwingenden Organisation der X._ AG die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen.
Zur Begründung führte das Handelsregisteramt aus, die X._ AG verfüge weder über eine Revisionsstelle noch sei der Verzicht auf eine Revision i.S. von <ref-law> eingetragen. Das oberste Leitungsorgan habe die ihm angesetzte Frist ungenutzt verstreichen lassen und trotz Ankündigung der Überweisung an den Richter keine Revisionsstelle und auch keinen Verzicht auf eine Revision angemeldet.
B.a. Mit prozessleitender Verfügung vom 9. März 2012 (zugestellt am 14. März 2012) stellte das Handelsgericht des Kantons Zürich der X._ AG ein Doppel des Gesuchs zu (Dispositiv-Ziffer 1) und setzte der Gesellschaft eine einmalige Frist bis 23. April 2012 an, um den rechtmässigen Zustand herzustellen oder konkret zureichende Gründe darzulegen, welche gegen das Gesuch des Handelsregisteramts sprechen. Weiter wies das Handelsgericht darauf hin, dass bei Säumnis oder unbehelflichen Einwendungen durch Urteil des Handelsgerichts die Auflösung der Gesellschaft und ihre Liquidation nach den Konkursregeln angeordnet werde (Dispositiv-Ziffer 2).
Die X._ AG liess die ihr angesetzte Frist wiederum ungenutzt verstreichen.
Mit Urteil vom 30. Oktober 2012 löste das Handelsgericht die X._ AG auf, ordnete deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs (Dispositiv-Ziffer 1) an und beauftragte das Konkursamt Q._ mit deren Vollzug (Dispositiv-Ziffer 2).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die X._ AG dem Bundesgericht sinngemäss, das Urteil des Handelsgerichts sei aufzuheben und es sei eine neue Frist anzusetzen, binnen derer der Organisationsmangel zu beseitigen ist. Eventualiter beantragt die X._ AG sinngemäss, es sei anstelle des Konkursamtes Q._ das Konkursamt R._ mit dem Vollzug der Liquidation zu beauftragen.
Die Vorinstanz und das Handelsregisteramt haben in ihren Vernehmlassungen vom 16. bzw. 23. April 2013 zur Beschwerde Stellung genommen, ohne Antrag zu stellen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1, 470 E. 1; <ref-ruling> E. 1).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>), der von einem oberen kantonalen Gericht erging, das als Fachgericht für handelsrechtliche Streitigkeiten und einzige kantonale Instanz eingesetzt ist (<ref-law>), sie ist innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) von der mit ihren Rechtsbegehren unterlegenen Partei (<ref-law>) eingereicht worden und bei der Streitsache handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>). Eine Streitwertgrenze besteht für Beschwerden gegen Urteile kantonaler Handelsgerichte nicht (<ref-law>; zur Publikation bestimmtes Urteil des Bundesgerichts 4A_435/2012 vom 4. Februar 2013 E. 1.2). Beschwerdegegner ist - entgegen dem Rubrum des angefochtenen Entscheids - nicht der Kanton Zürich, sondern dessen Handelsregisteramt, welches in Organisationsmängelverfahren von Bundesrechts wegen als Partei auftreten kann (<ref-law> i.V.m. <ref-law> und <ref-law>).
1.2.
1.2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
1.2.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Diese Regel zielt auf Tatsachen ab, die erst durch das angefochtene Urteil rechtserheblich werden. So darf sich die Beschwerdeführerin auf neue Tatsachen berufen, wenn sie der Vorinstanz eine Verfahrensverletzung vorwirft. Dasselbe gilt, wenn sich das Urteil der Vorinstanz auf ein neues rechtliches Argument stützt, mit dem die Parteien zuvor nicht konfrontiert worden waren. Schliesslich gehören dazu auch Tatsachen, die erst für das bundesgerichtliche Verfahren erheblich werden, z.B. die Einhaltung der Beschwerdefrist (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129). Unzulässig sind hingegen neue Tatsachen, die bereits der Vorinstanz hätten vorgelegt werden können (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129).
1.2.3. Diese Grundsätze verkennt die Beschwerdeführerin, wenn sie in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht vorbringt, ihr Verwaltungsratsmitglied A._ habe aus gesundheitlichen Gründen die Frist verstreichen lassen, welche der Beschwerdeführerin seitens des Handelsgerichts angesetzt worden ist. Diese Behauptung und das als Beweismittel beigelegte Arztzeugnis betrifft Tatsachen, die bereits der Vorinstanz hätten vorgelegt werden können. Damit ist die Beschwerdeführerin nicht zu hören.
2.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz sinngemäss eine Verletzung von <ref-law> vor, indem diese die Auflösung der Gesellschaft angeordnet habe, anstatt ihr eine (neue) Frist zur Behebung des Organisationsmangels anzusetzen.
2.1.
2.1.1. Aktiengesellschaften haben ihre Jahresrechnung durch eine Revisionsstelle ordentlich (<ref-law>) oder gegebenenfalls eingeschränkt (<ref-law>) prüfen zu lassen. Nach <ref-law> kann mit Zustimmung sämtlicher Aktionäre auf eine eingeschränkte Revision verzichtet werden, wenn die Gesellschaft im Jahresdurchschnitt nicht mehr als zehn Vollstellen hat (sog. Opting-out ).
2.1.2. Gemäss <ref-law> stellt der Handelsregisterführer dem Gericht bei Mängeln in der gesetzlich zwingenden Organisation einer Gesellschaft den Antrag, die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen. Nach <ref-law> kann das Gericht insbesondere der Gesellschaft unter Androhung ihrer Auflösung eine Frist ansetzen, binnen derer der rechtmässige Zustand wieder herzustellen ist (Abs. 1 Ziff. 1), das fehlende Organ oder einen Sachwalter ernennen (Abs. 1 Ziff. 2) oder die Gesellschaft auflösen und ihre Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs anordnen (Abs. 1 Ziff. 3).
2.1.3. Mit <ref-law> wollte der Gesetzgeber dem Gericht einen hinreichenden Handlungsspielraum gewähren, um eine mit Blick auf die konkreten Umstände des Einzelfalles angemessene Massnahme treffen zu können (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 298; <ref-ruling> E. 3.5 S. 170; <ref-ruling> E. 11.4.1 S. 371). Das Gericht ist bei der Ausübung dieses Handlungsspielraums freilich nicht ungebunden: Die in <ref-law> genannten Massnahmen stehen in einem Stufenverhältnis. Das Gericht soll die drastische Massnahme der Auflösung gemäss Ziffer 3 erst anordnen, wenn die milderen Massnahmen gemäss Ziffer 1 und Ziffer 2 nicht genügen oder erfolglos geblieben sind (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 298 f.). Es gilt mithin das Verhältnismässigkeitsprinzip: Nur wenn sich mildere Mittel nicht als sachgerecht bzw. zielführend erweisen, kommt als ultima ratio die Auflösung der Gesellschaft nach <ref-law> zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 299; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 280). Dies ist etwa der Fall, wenn Verfügungen nicht zustellbar sind oder wenn sich die Gesellschaft in keiner Art und Weise vernehmen lässt (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1.4 S. 299).
2.1.4. Fehlt der Gesellschaft die Revisionsstelle und wurde der Mangel innert richterlich angesetzter Frist nicht behoben, ist die Ernennung des fehlenden Organs grundsätzlich die angemessene Massnahme zur Beseitigung des Organisationsmangels (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 302; Urteil 4A_411/2012 vom 22. November 2012 E. 2.1.5). Denn gegenüber der Anordnung der Auflösung der Gesellschaft und deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs stellt die Ernennung des fehlenden Organs das mildere Mittel dar. Dem Gericht wird es regelmässig als verhältnismässig und den verfolgten Zielen angemessen erscheinen, der Ernennung einer Revisionsstelle gegenüber der Anordnung der Auflösung und der Liquidation der Gesellschaften nach den Vorschriften über den Konkurs den Vorzug zu geben (Urteil 4A_411/2012 vom 22. November 2012 E. 2.1.5 m.H.). Diese Lösung entspricht auch den Vorstellungen des Gesetzgebers, wollte dieser mit <ref-law> doch lediglich eine einheitliche Ordnung für die Behebung und Sanktionierung sämtlicher Mängel in der gesetzlich vorgeschriebenen Organisation der Gesellschaft schaffen, dabei aber die Fälle der Durchsetzung zwingender Vorgaben gegenüber dem bisherigen Recht nicht erweitern (Botschaft vom 19. Dezember 2001 zur Revision des Obligationenrechts [GmbH-Recht sowie Anpassungen im Aktien-, Genossenschafts-, Handelsregister- und Firmenrecht], BBl 2002, S. 3231 f.). Das bisherige Recht sah bei Fehlen einer Revisionsstelle die Ansetzung einer Frist zur Behebung des Mangels und bei deren erfolglosen Verstreichen die richterliche Ernennung der Revisionsstelle, nicht aber die Auflösung der Gesellschaft vor (aArt. 727f OR). Es ist nicht davon auszugehen, dass der Gesetzgeber mit <ref-law> die Stufenfolge dieser Massnahmen durchbrechen wollte (Urteil 4A_411/2012 vom 22. November 2012 E. 2.1.5).
Aus prozessökonomischen Gründen kann das Gericht der Gesellschaft bei Einsetzung einer Revisionsstelle freilich gleichzeitig unter Androhung der Auflösung bei Nichtbeachtung eine Frist zur Bezahlung des gemäss <ref-law> zu leistenden Vorschusses ansetzen. Ein solches Vorgehen ermöglicht dem Gericht, die Gesellschaft nach unbenutztem Fristablauf direkt aufzulösen, ohne auf ein erneutes Gesuch des Handelsregisterführers, eines Gesellschafters oder Gläubigers verwiesen zu sein (Urteil 4A_411/2012 vom 22. November 2012 E. 2.2.3).
2.2.
2.2.1. Die Vorinstanz stellte fest, dass die Beschwerdeführerin über keine gesetzmässige Revisionsstelle (<ref-law>) und auch über keinen eingetragenen Verzicht auf die (eingeschränkte) Revision (<ref-law>) verfügt. Damit liege bei der Beschwerdeführerin ein schwerwiegender Organisationsmangel vor. Da die Beschwerdeführerin die richterlich angesetzte Frist zur Behebung des Mangels ungenutzt verstreichen liess, kam die Vorinstanz zum Schluss, dass die Gesellschaft aufzulösen sei.
2.2.2. Soweit die Beschwerdeführerin gegen diese Erwägungen einwendet, ihr sei seitens der Vorinstanz gar keine Frist zur Behebung des Organisationsmangels gesetzt worden, ist ihr Einwand unzutreffend. Aus dem vorinstanzlich festgestellten Prozesssachverhalt bzw. aus den Akten, auf die im angefochtenen Entscheid verwiesen wird, ergibt sich, dass die Vorinstanz der Beschwerdeführerin mit prozessleitender Verfügung vom 9. März 2012 (zugestellt am 14. März 2012) eine einmalige Frist bis 23. April 2012 ansetzte, um den rechtmässigen Zustand herzustellen oder konkret zureichende Gründe darzulegen, welche gegen das Gesuch des Handelsregisteramts sprechen.
Soweit die Beschwerdeführerin gegen die vorinstanzlichen Erwägungen sodann sinngemäss einwendet, bei blossem Fehlen einer Revisionsstelle sei die Auflösung der Gesellschaft mit Blick auf das Stufenverhältnis der in <ref-law> genannten Massnahmen unangemessen, ist dies im Grundsatz zwar zutreffend. Denn die Auflösung der Gesellschaft muss stets ultima ratio bleiben; sie kommt nur zum Zuge, wenn sich mildere Mittel nicht als sachgerecht bzw. zielführend erweisen. Aus dem vorinstanzlichen Prozesssachverhalt geht indessen hervor, dass im vorliegenden Fall die Beschwerdeführerin bereits im Mängelbeseitigungsverfahren vor dem Handelsregisteramt gemäss <ref-law> auf die entsprechende Fristansetzung von 30 Tagen in keiner Weise reagiert hat. Auch auf die Fristansetzung durch die Vorinstanz gemäss prozessleitender Verfügung vom 9. März 2012 hat die Beschwerdeführerin überhaupt keine Reaktion gezeigt. Auch wenn es sich beim Organwalter der Beschwerdeführerin um einen juristischen Laien handelt, ist ein Untätigbleiben auf zwei hintereinander folgende Fristansetzungen nicht nachvollziehbar. In der Tat gehen aus dem vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt denn auch keine stichhaltigen Gründe hervor, weshalb die Beschwerdeführerin sich im vorinstanzlichen sowie im Verfahren vor dem Handelsregisteramt in keiner Art und Weise vernehmen liess. Die Berufung auf gesundheitliche Probleme des Organwalters erfolgte erst im bundesgerichtlichen Verfahren und damit verspätet (<ref-law>; oben E. 1.2.3). Vor diesem Hintergrund durfte und musste die Vorinstanz davon ausgehen, dass die Beschwerdeführerin auch bei richterlicher Einsetzung einer Revisionsstelle keine Reaktion zeigen und insbesondere den Vorschuss gemäss <ref-law> nicht leisten würde. Die mildere Massnahme gemäss <ref-law> hätte sich unter diesen Umständen nicht als sachgerecht bzw. zielführend erwiesen, womit die Vorinstanz zu Recht auf Auflösung der Gesellschaft erkannt hat.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt sodann sinngemäss eine Verletzung von <ref-law>, indem die Vorinstanz anstatt das Konkursamt in R._ dasjenige in Q._ mit dem Vollzug der Liquidation beauftragt habe.
3.1. Zur Abwicklung des gestützt auf <ref-law> eröffneten Konkursverfahrens ist in sachlicher Hinsicht das Konkursamt zuständig (Franco Lorandi, Konkursverfahren über Handelsgesellschaften ohne Konkurseröffnung - Gedanken zu <ref-law>, AJP 2008, S. 1390; Berger/Rüetschi/Zihler, Die Behebung von Organisationsmängeln - handelsregisterrechtliche und zivilprozessuale Aspekte, REPRAX 2012, S. 20). In örtlicher Hinsicht ist das Konkursamt am Sitz der Gesellschaft zuständig (vgl. <ref-law>; Lorandi, a.a.O., S. 1390).
3.2. Die Kantone bestimmen die Zahl und die Grösse der Konkurskreise (<ref-law>). Gemäss § 16 des Zürcher Einführungsgesetzes zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs vom 26. November 2007 (LS 281) i.V.m. § 1 lit. c, § 2, § 36 Abs. 2 des Zürcher Notariatsgesetzes vom 9. Juni 1985 (LS 242) und dem Beschluss des Kantonsrates über die Notariatskreise und den Sitz der Notariate (LS 242.4) ist für Personen mit Sitz in I._ das Konkursamt in R._ zuständig.
3.3. Die Vorinstanz hat in Dispositiv-Ziffer 3 das Konkursamt in Q._ mit dem Vollzug der konkursrechtlichen Liquidation beauftragt. In ihrer Vernehmlassung räumt die Vorinstanz ein, dass - wie die Beschwerdeführerin zutreffend geltend macht - im vorliegenden Fall das Konkursamt in R._ örtlich zuständig ist. Die Beschwerde ist somit in diesem Punkt begründet und es ist Dispositiv-Ziffer 3 entsprechend anzupassen.
4.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen und die Dispostiv-Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids im Sinne des Gesagten anzupassen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen.
Die Beschwerdeführerin dringt nur, aber immerhin in einem untergeordneten Punkt durch, weshalb es sich rechtfertigt, ihr eine reduzierte Gerichtsgebühr aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist der nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin indessen nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4 S. 446).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutheissen. Die Ziffer 2 des angefochtenen Urteils des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 30. Oktober 2012 wird aufgehoben und wie folgt neu gefasst:
"2. Das Konkursamt R._ wird mit dem Vollzug beauftragt."
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juli 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni